जाली बोल्ट्ज़मैन विधियाँ

लैटिस गैस ऑटोमेटा (एलजीए) विधि (हार्डी-यवेस पोमेउ-पाज़िस और फ्रिस्क-हैस्लाचर-पोमो मॉडल) से उत्पन्न लैटिस बोल्ट्ज़मान विधियां (एलबीएम), द्रव सिमुलेशन के लिए कम्प्यूटेशनल तरल गतिशीलता (सीएफडी) विधियों का वर्ग है। नेवियर-स्टोक्स समीकरणों को सीधे हल करने के अतिरिक्त, एक जाली पर द्रव घनत्व को स्ट्रीमिंग और टकराव (विश्राम) प्रक्रियाओं के साथ अनुकरण किया जाता है। विधि बहुमुखी है चूँकि मॉडल द्रव को सीधे तौर पर वाष्प/तरल सह-अस्तित्व जैसे सामान्य तरल व्यवहार की नकल करने के लिए बनाया जा सकता है, और इसलिए तरल बूंदों जैसे तरल प्रणालियों का अनुकरण किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, छिद्रपूर्ण मीडिया जैसे समष्टि वातावरण में तरल पदार्थ को सीधे अनुकरण किया जा सकता है, जबकि समष्टि सीमाओं के साथ अन्य सीएफडी विधियों के साथ काम करना कठिन हो सकता है।

एल्गोरिदम
सीएफडी विधियों के विपरीत, जो स्थूल गुणों (अर्थात, द्रव्यमान, गति और ऊर्जा) के संरक्षण समीकरणों को संख्यात्मक रूप से हल करते हैं, एलबीएम काल्पनिक कणों से युक्त तरल पदार्थ को मॉडल करता है, और ऐसे कण भिन्न जाली पर लगातार प्रसार और टकराव की प्रक्रिया करते हैं। अपनी कणीय प्रकृति और स्थानीय गतिशीलता के कारण, एलबीएम के अन्य पारंपरिक सीएफडी तरीकों की तुलना में अनेक फायदे हैं, विशेष रूप से समष्टि सीमाओं से निपटने, सूक्ष्म अंतःक्रियाओं को सम्मिलित करने और एल्गोरिदम के समानांतरीकरण में। जाली बोल्ट्ज़मान समीकरण की भिन्न व्याख्या असतत-वेग बोल्ट्ज़मान समीकरण की है. आंशिक अंतर समीकरणों की प्रणाली के समाधान की संख्यात्मक विधियाँ एक भिन्न मानचित्र को जन्म देती हैं, जिसकी व्याख्या काल्पनिक कणों के प्रसार और टकराव के रूप में की जा सकती है। एक एल्गोरिदम में, टकराव और स्ट्रीमिंग चरण होते हैं। इनसे द्रव का घनत्व विकसित होता है $$\rho(\vec{x},t)$$, के लिए $$\vec{x}$$ स्थिति और $$t$$ समय। चूँकि द्रव जाली पर होता है, घनत्व में अनेक घटक होते हैं $$f_i, i=0,\ldots, a$$ प्रत्येक जाली बिंदु से जुड़े जाली वैक्टर की संख्या के सामान्तर। उदाहरण के तौर पर, दो आयामों में सिमुलेशन में उपयोग की जाने वाली साधारण जाली के लिए जाली वैक्टर यहां दिखाया गया है। इस जाली को सामान्यतः दो आयामों और नौ वैक्टरों के लिए D2Q9 से दर्शाया जाता है: उत्तर, पूर्व, दक्षिण और पश्चिम के साथ चार सदिश, साथ ही इकाई वर्ग के कोनों पर चार सदिश, साथ ही दोनों घटकों के साथ सदिश शून्य। फिर, उदाहरण के लिए सदिश $$\vec{e}_4=(0,-1)$$, अर्थात, यह दक्षिण की ओर इंगित करता है और इसलिए इसका कोई नहीं है $$x$$ घटक किन्तु ए $$y$$ का घटक $$-1$$. तब केंद्रीय जाली बिंदु पर कुल घनत्व के नौ घटकों में से एक, $$f_4(\vec{x},t)$$, बिंदु पर द्रव का वह भाग है $$\vec{x}$$ की जाली इकाइयों में गति से, दक्षिण की ओर बढ़ रहा है।

फिर समय में द्रव को विकसित करने वाले चरण हैं:
 * टक्कर चरण:
 * $$f_i(\vec{x},t+\delta_t) = f_i(\vec{x},t) + \frac{f_i^{eq}(\vec{x},t)-f_i(\vec{x},t)}{\tau_f} \,\!$$
 * जो भटनागर ग्रॉस एंड क्रूक (बीजीके) है द्रव के अणुओं के मध्य टकराव के माध्यम से संतुलन में छूट के लिए मॉडल। $$f_i^{eq}(\vec{x},t)$$ वहां वर्तमान घनत्व पर दिशा i के अनुदिश संतुलन घनत्व है। मॉडल मानता है कि द्रव स्थानीय रूप से विशिष्ट समय पैमाने पर संतुलन में आराम करता है $$\tau_f$$. यह समय मापदंड गतिक श्यानता निर्धारित करता है, यह जितना बड़ा होगा, गतिक श्यानता उतनी ही अधिक होगी।


 * स्ट्रीमिंग चरण:$$f_i(\vec{x}+\vec{e}_i,t+\delta_t) =f_i(\vec{x},t) \,\! $$
 * जैसा $$f_i(\vec{x},t)$$ परिभाषा के अनुसार, बिंदु पर द्रव घनत्व है $$\vec{x}$$ समय पर $$t$$के वेग से घूम रहा है $$\vec{e}_i$$ प्रति समय कदम पर, फिर अगली बार कदम पर $$t+\delta_t$$ यह बिंदु की ओर प्रवाहित हो चुका होगा $$\vec{x}+\vec{e}_i$$.

फायदे

 * एलबीएम को बड़े पैमाने पर समानांतर (कंप्यूटिंग) पर कुशलतापूर्वक चलाने के लिए डिजाइन किया गया था, जिसमें सस्ती एम्बेडेड क्षेत्र में प्रोग्राम की जा सकने वाली द्वार श्रंखला और डिजिटल सिग्नल प्रोसेसर से लेकर ग्राफ़िक्स प्रोसेसिंग युनिट और विषम क्लस्टर और सुपर कंप्यूटर (धीमे इंटरकनेक्शन नेटवर्क के साथ भी) सम्मिलित थे। यह समष्टि भौतिकी और परिष्कृत एल्गोरिदम को सक्षम बनाता है। दक्षता गुणात्मक रूप से नए स्तर की समझ की ओर ले जाती है क्योंकि यह उन समस्याओं को हल करने की अनुमति देती है जिनका पहले समाधान नहीं किया जा सकता था (या केवल अपर्याप्त त्रुटिहीनता के साथ)।
 * यह विधि किसी तरल पदार्थ के आणविक विवरण से उत्पन्न होती है और इसमें अणुओं के मध्य परस्पर क्रिया के ज्ञान से उत्पन्न भौतिक शब्दों को सीधे सम्मिलित किया जा सकता है। इसलिए यह मौलिक अनुसंधान में अनिवार्य उपकरण है, क्योंकि यह सिद्धांत के विस्तार और संबंधित संख्यात्मक मॉडल के निर्माण के मध्य के चक्र को छोटा रखता है।
 * ऐसे समय में स्वचालित डेटा प्री-प्रोसेसिंग और जाली निर्माण जो कुल सिमुलेशन का छोटा सा हिस्सा होता है।
 * समानांतर डेटा विश्लेषण, पोस्ट-प्रोसेसिंग और मूल्यांकन।
 * छोटी बूंदों और बुलबुले के साथ पूरी तरह से हल किया गया बहु-चरण प्रवाह।
 * समष्टि ज्यामिति और छिद्रपूर्ण मीडिया के माध्यम से पूरी तरह से हल किया गया प्रवाह।
 * गर्मी हस्तांतरण और रासायनिक प्रतिक्रियाओं के साथ समष्टि, युग्मित प्रवाह।

सीमाएँ
समष्टि द्रव प्रणालियों के अनुकरण में एलबीएम की बढ़ती लोकप्रियता के अतिरिक्त, इस नवीन दृष्टिकोण की कुछ सीमाएँ हैं। वर्तमान में, वायुगतिकी में उच्च-मैक संख्या प्रवाह अभी भी एलबीएम के लिए कठिन है, और सुसंगत थर्मो-हाइड्रोडायनामिक योजना अनुपस्थित है। चूँकि, नेवियर-स्टोक्स आधारित सीएफडी की तरह, गर्मी हस्तांतरण (ठोस-आधारित चालन, संवहन और विकिरण) सिमुलेशन क्षमता को सक्षम करने के लिए एलबीएम विधियों को थर्मल-विशिष्ट समाधानों के साथ सफलतापूर्वक जोड़ा गया है। मल्टीफ़ेज़/मल्टीकंपोनेंट मॉडल के लिए, इंटरफ़ेस की मोटाई सामान्यतः बड़ी होती है और वास्तविक तरल पदार्थों की तुलना में इंटरफ़ेस में घनत्व अनुपात छोटा होता है। हाल ही में इस समस्या का समाधान युआन और लौरा ए शेफ़र द्वारा किया गया है जिन्होंने शान और चेन, स्विफ्ट, और हे, चेन और झांग के मॉडल में सुधार किया है। वह केवल राज्य के समीकरण को बदलकर 1000:1 के घनत्व अनुपात तक पहुंचने में सक्षम थे। उच्च गति वाले द्रव प्रवाह की मॉडलिंग की सीमा को दूर करने के लिए गैलिलियन ट्रांसफ़ॉर्मेशन क्रियान्वित करने का प्रस्ताव किया गया है।

फिर भी, पिछले बीस वर्षों के समय इस पद्धति के व्यापक अनुप्रयोगों और तेज़ प्रगति ने माइक्रोफ्लुइडिक्स सहित कम्प्यूटेशनल भौतिकी में इसकी क्षमता सिद्ध करना  कर दी है: एलबीएम उच्च नुडसेन संख्या प्रवाह के क्षेत्र में आशाजनक परिणाम प्रदर्शित करता है।

एलजीए पद्धति से विकास
एलबीएम की उत्पत्ति जाली गैस ऑटोमेटा (एलजीए) विधि से हुई है, जिसे सरलीकृत काल्पनिक आणविक गतिशीलता मॉडल के रूप में माना जा सकता है जिसमें स्थान, समय और कण वेग सभी भिन्न-भिन्न हैं। उदाहरण के लिए, 2-आयामी लैटिस_गैस_ऑटोमेटन हेक्सागोनल_ग्रिड्स में प्रत्येक जाली नोड त्रिकोणीय जाली पर 6 जाली वेगों द्वारा अपने पड़ोसियों से जुड़ा होता है; किसी जाली नोड पर दिए गए जाली वेग के साथ चलते हुए या तब 0 या 1 कण हो सकते हैं। समय अंतराल के पश्चात्, प्रत्येक कण अपनी दिशा में निकटतम नोड की ओर बढ़ेगा; इस प्रक्रिया को प्रसार या स्ट्रीमिंग चरण कहा जाता है। जब से अधिक कण भिन्न-भिन्न दिशाओं से ही नोड पर आते हैं, तब वह टकराते हैं और टकराव के नियमों के अनुसार अपने वेग बदलते हैं। स्ट्रीमिंग चरण और टकराव चरण वैकल्पिक। उपयुक्त टकराव नियमों को टकराव से पहले और पश्चात् में कण संख्या (द्रव्यमान), गति और ऊर्जा को संरक्षित करना चाहिए। एलजीए हाइड्रोडायनामिक सिमुलेशन में उपयोग के लिए अनेक जन्मजात दोषों से ग्रस्त है: तेज प्रवाह के लिए गैलीलियन अपरिवर्तनशीलता की कमी, सांख्यिकीय ध्वनि और जाली आकार के साथ खराब रेनॉल्ड्स संख्या स्केलिंग। चूँकि, एलजीए प्रतिक्रिया प्रसार और आणविक गतिशीलता मॉडल की पहुंच को सरल बनाने और विस्तारित करने के लिए उपयुक्त हैं।

एलजीए से एलबीएम में संक्रमण के लिए मुख्य प्रेरणा जाली दिशा में बूलियन कण संख्या को उसके समग्र औसत, तथाकथित घनत्व वितरण फलन के साथ प्रतिस्थापित करके सांख्यिकीय ध्वनि को दूर करने की इच्छा थी। इस प्रतिस्थापन के साथ, असतत टकराव नियम को भी सतत फलन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है जिसे टकराव ऑपरेटर के रूप में जाना जाता है। एलबीएम विकास में, महत्वपूर्ण सरलीकरण टकराव ऑपरेटर को भटनागर-ग्रॉस-क्रूक (बीजीके) विश्राम अवधि के साथ अनुमानित करना है। यह जाली बीजीके (एलबीजीके) मॉडल सिमुलेशन को अधिक कुशल बनाता है और परिवहन गुणांक के लचीलेपन की अनुमति देता है। दूसरी ओर, यह दिखाया गया है कि एलबीएम योजना को निरंतर बोल्ट्ज़मैन समीकरण का विशेष विच्छेदित रूप भी माना जा सकता है। चैपमैन-एनस्कोग सिद्धांत से, कोई एलबीएम एल्गोरिदम से गवर्निंग निरंतरता और नेवियर-स्टोक्स समीकरणों को पुनर्प्राप्त कर सकता है।

लैटिस और डीएनक्यूएम वर्गीकरण
लैटिस बोल्ट्ज़मैन मॉडल को अनेक भिन्न-भिन्न लैटिस पर संचालित किया जा सकता है, दोनों क्यूबिक और त्रिकोणीय, और असतत वितरण फलन में बाकी कणों के साथ या उनके बिना।

जाली द्वारा विभिन्न तरीकों को वर्गीकृत करने का लोकप्रिय विधि DnQm योजना है। यहां Dn का अर्थ n आयाम है, जबकि Qm का अर्थ m गति है। उदाहरण के लिए, D3Q15 घन ग्रिड पर 3-आयामी जाली बोल्ट्ज़मैन मॉडल है, जिसमें बाकी कण उपस्तिथ हैं। प्रत्येक नोड में क्रिस्टल आकार होता है और 15 नोड्स तक कण पहुंचा सकता है: 6 निकटतम नोड्स में से प्रत्येक जो सतह साझा करते हैं, 8 निकटतम नोड्स कोने को साझा करते हैं, और स्वयं। (D3Q15 मॉडल में 12 निकटतम नोड्स में जाने वाले कण सम्मिलित नहीं हैं जो किनारे साझा करते हैं; उन्हें जोड़ने से D3Q27 मॉडल बन जाएगा।)

अनुकरण से पहले स्थान और समय जैसी वास्तविक मात्राओं को जाली इकाइयों में परिवर्तित करने की आवश्यकता होती है। रेनॉल्ड्स संख्या की तरह गैर-आयामी मात्राएँ समान रहती हैं।

जाली इकाइयाँ रूपांतरण
अधिकांश लैटिस बोल्ट्ज़मैन सिमुलेशन में $$\delta_x\,\!$$ जाली रिक्ति के लिए मूल इकाई है, इसलिए यदि लंबाई का डोमेन है $$L\,\!$$ है $$N\,\!$$ इसकी पूरी लंबाई के साथ जाली इकाइयों को, अंतरिक्ष इकाई के रूप में परिभाषित किया गया है $$\delta_x=L/N\,\!$$. जाली बोल्ट्ज़मैन सिमुलेशन में गति सामान्यतः ध्वनि की गति के संदर्भ में दी जाती है। इसलिए असतत समय इकाई को इस प्रकार दिया जा सकता है $$\delta_t = \frac{\delta_x}{C_s}\,\!$$, जहां हर $$C_s$$ ध्वनि की भौतिक गति है. छोटे पैमाने के प्रवाह के लिए (जैसे कि झरझरा मीडिया यांत्रिकी में देखा जाता है), ध्वनि की वास्तविक गति के साथ संचालन करने से अस्वीकार्य रूप से कम समय के कदम हो सकते हैं। इसलिए जाली मैक संख्या को वास्तविक मच संख्या से कहीं अधिक बड़ा करना और रेनॉल्ड्स संख्या को संरक्षित करने के लिए चिपचिपाहट बढ़ाकर इसकी भरपाई करना आम बात है।

मिश्रण का अनुकरण
गतिशील और विकृत इंटरफ़ेस (रसायन विज्ञान) के कारण मल्टीफ़ेज़/मल्टीकंपोनेंट प्रवाह का अनुकरण पारंपरिक सीएफडी के लिए सदैव चुनौती रहा है। अधिक मौलिक रूप से, विभिन्न चरण (पदार्थ) (तरल और वाष्प) या घटकों (जैसे, तेल और पानी) के मध्य इंटरफेस द्रव अणुओं के मध्य विशिष्ट बातचीत से उत्पन्न होता है। इसलिए, इस तरह की सूक्ष्म अंतःक्रियाओं को स्थूल नेवियर-स्टोक्स समीकरण में क्रियान्वित करना कठिनाई है। चूँकि, एलबीएम में, पार्टिकुलेट कैनेटीक्स टकराव ऑपरेटर को संशोधित करके अंतर्निहित सूक्ष्म इंटरैक्शन को सम्मिलित करने का अपेक्षाकृत आसान और सुसंगत विधि प्रदान करता है। अनेक एलबीएम मल्टीफ़ेज़/मल्टीकंपोनेंट मॉडल विकसित किए गए हैं। यहां चरण पृथक्करण कण गतिशीलता से स्वचालित रूप से उत्पन्न होते हैं और पारंपरिक सीएफडी विधियों की तरह इंटरफेस में हेरफेर करने के लिए किसी विशेष उपचार की आवश्यकता नहीं होती है। मल्टीफ़ेज़/मल्टीकंपोनेंट एलबीएम मॉडल के सफल अनुप्रयोग विभिन्न समष्टि द्रव प्रणालियों में पाए जा सकते हैं, जिनमें इंटरफ़ेस अस्थिरता, तरल बुलबुला/बूंद की गतिशीलता, ठोस सतहों पर गीलापन, इंटरफेशियल स्लिप और छोटी बूंद इलेक्ट्रोहाइड्रोडायनामिक विकृति सम्मिलित हैं।

कम-मैक संख्या शासन पर महत्वपूर्ण घनत्व भिन्नता को समायोजित करने में सक्षम गैस मिश्रण दहन के अनुकरण के लिए जाली बोल्ट्ज़मैन मॉडल हाल ही में प्रस्तावित किया गया है। इस संबंध में, यह ध्यान देने योग्य है कि, चूंकि एलबीएम क्षेत्रों के बड़े समूह (पारंपरिक सीएफडी की तुलना में) से संबंधित है, जहां तक ​​​​बड़े विस्तृत दहन तंत्र का संबंध है, प्रतिक्रियाशील गैस मिश्रण का सिमुलेशन मेमोरी मांग के संदर्भ में कुछ अतिरिक्त चुनौतियां प्रस्तुत करता है। चूँकि, व्यवस्थित मॉडल कटौती विधि ों का सहारा लेकर उन विवादों  को संबोधित किया जा सकता है।

थर्मल जाली-बोल्ट्ज़मैन विधि
वर्तमान में (2009), थर्मल लैटिस-बोल्ट्ज़मैन विधि (टीएलबीएम) तीन श्रेणियों में से में आती है: मल्टी-स्पीड दृष्टिकोण, निष्क्रिय अदिश दृष्टिकोण, और तापीय ऊर्जा वितरण।

असतत एलबीई से नेवियर-स्टोक्स समीकरण की व्युत्पत्ति
असतत जाली बोल्ट्ज़मैन समीकरण से प्रारंभ करना (प्रयुक्त टकराव ऑपरेटर के कारण एलबीजीके समीकरण के रूप में भी जाना जाता है)। हम पहले एलबीई के बाईं ओर के बारे में दूसरे क्रम की टेलर श्रृंखला का विस्तार करते हैं। इसे सरल प्रथम-क्रम टेलर विस्तार के स्थान पर चुना गया है क्योंकि असतत एलबीई को पुनर्प्राप्त नहीं किया जा सकता है। दूसरे क्रम की टेलर श्रृंखला का विस्तार करते समय, शून्य व्युत्पन्न पद और दाईं ओर का पहला पद रद्द हो जाएगा, जिससे टेलर विस्तार और टकराव ऑपरेटर का केवल पहला और दूसरा व्युत्पन्न पद बचेगा:


 * $$f_i(\vec{x}+\vec{e}_i\delta_t,t+\delta_t) = f_i(\vec{x},t) + \frac{\delta_t}{\tau_f} (f_i^{eq}-f_i).$$

सरलता के लिए लिखें $$f_i(\vec{x},t)$$ जैसा $$f_i$$. थोड़ा सरलीकृत टेलर श्रृंखला का विस्तार इस प्रकार है, जहां : डायड्स के मध्य कोलन उत्पाद है:


 * $$\frac{\partial f_i}{\partial t} + \vec{e}_i\cdot \nabla f_i + \left( \frac{1}{2}\vec{e}_i\vec{e}_i : \nabla\nabla f_i +\vec{e}_i\cdot\nabla\frac{\partial f_i}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f_i}{\partial t^2} \right) = \frac{1}{\tau}(f_i^{eq}-f_i).$$

कण वितरण फलन को संतुलन और गैर-संतुलन घटकों में विस्तारित करके और चैपमैन-एनस्कोग विस्तार का उपयोग करके, जहां $$K$$ नुडसेन संख्या है, टेलर-विस्तारित एलबीई को उचित सातत्य समीकरण प्राप्त करने के लिए नुडसेन संख्या के क्रम के विभिन्न परिमाणों में विघटित किया जा सकता है:


 * $$f_i = f_i^\text{eq} + K f_i^\text{neq},$$
 * $$f_i^\text{neq} = f_i^{(1)} + K f_i^{(2)}+O(K^2).$$

संतुलन और गैर-संतुलन वितरण उनके स्थूल चर के लिए निम्नलिखित संबंधों को संतुष्ट करते हैं (इन्हें पश्चात् में उपयोग किया जाएगा, जब कण वितरण कण से स्थूल स्तर तक स्केल करने के लिए सही रूप में होंगे):


 * $$\rho = \sum_i f_i^\text{eq},$$
 * $$\rho \vec{u} = \sum_i f_i^\text{eq} \vec{e}_i,$$
 * $$0 = \sum_i f_i^{(k)} \qquad \text{for } k = 1,2,$$
 * $$0 = \sum_i f_i^{(k)} \vec{e}_i.$$

चैपमैन-एनस्कोग विस्तार तब है:


 * $$\frac{\partial}{\partial t} = K\frac{\partial}{\partial t_1} + K^2\frac{\partial}{\partial t_2} \qquad \text{for } t_2(\text{diffusive time-scale})  \ll t_1(\text{convective time-scale}),$$
 * $$\frac{\partial}{\partial x} = K\frac{\partial}{\partial x_1}.$$

विस्तारित संतुलन और गैर-संतुलन को टेलर विस्तार में प्रतिस्थापित करके और भिन्न-भिन्न क्रम में भिन्न करके $$K$$, सातत्य समीकरण लगभग व्युत्पन्न हैं।

ऑर्डर के लिए $$K^0$$:


 * $$\frac{\partial f_i^\text{eq}}{\partial t_1} + \vec{e}_i \nabla_1 f_i^\text{eq} = -\frac{f_i^{(1)}}{\tau}.$$

ऑर्डर के लिए $$K^1$$:


 * $$\frac{\partial f_i^{(1)}}{\partial t_1} + \frac{\partial f_i^\text{eq}}{\partial t_2} + \vec{e}_i \nabla f_i^{(1)} + \frac{1}{2}\vec{e}_i\vec{e}_i : \nabla\nabla f_i^\text{eq} +\vec{e}_i \cdot \nabla\frac{\partial f_i^\text{eq}}{\partial t_1} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f_i^\text{eq}}{\partial t_1^2} = -\frac{f_i^{(2)}}{\tau}.$$

फिर, दूसरे समीकरण को कुछ बीजगणित और पहले समीकरण को निम्नलिखित में सरल बनाया जा सकता है:


 * $$\frac{\partial f_i^\text{eq}}{\partial t_2} + \left( 1 - \frac{1}{2\tau} \right) \left[ \frac{\partial f_i^{(1)}}{\partial t_1} + \vec{e}_i \nabla_1 f_i^{(1)} \right] = -\frac{f_i^{(2)}}{\tau}.$$

ऊपर से कण वितरण कार्यों और स्थूल गुणों के मध्य संबंधों को क्रियान्वित करने पर, द्रव्यमान और गति समीकरण प्राप्त होते हैं:


 * $$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \rho \vec{u} = 0,$$
 * $$\frac{\partial \rho\vec{u}}{\partial t} + \nabla \cdot \Pi = 0.$$

संवेग प्रवाह टेंसर $$\Pi$$ तब निम्न रूप है:


 * $$\Pi_{xy} = \sum_{i}\vec{e}_{ix}\vec{e}_{iy} \left[ f_i^{eq} + \left( 1 - \frac{1}{2 \tau} \right) f_i^{(1)} \right],$$

कहाँ $$\vec{e}_{ix}\vec{e}_{iy}$$ के सभी घटकों के योग के वर्ग के लिए आशुलिपि है $$\vec{e}_{i}$$ (अर्थात। $$\textstyle\left(\sum_{x}\vec{e}_{ix}\right)^2 = \sum_{x}\sum_{y}\vec{e}_{ix}\vec{e}_{iy}$$), और नेवियर-स्टोक्स समीकरण के तुलनीय होने के लिए दूसरे क्रम के साथ संतुलन कण वितरण है:


 * $$f_i^\text{eq} = \omega_i\rho \left( 1 + \frac{\vec{e}_i \vec{u}}{c_{s}^{2}} + \frac{(\vec{e}_i \vec{u})^{2}}{2c_{s}^{4}} - \frac{\vec{u}^2}{2c_{s}^{2}} \right).$$

संतुलन वितरण केवल छोटे वेग या छोटी मच संख्या के लिए मान्य है। संतुलन वितरण को फ्लक्स टेंसर में वापस डालने से होता है:


 * $$ \Pi_{xy}^{(0)} = \sum_{i}\vec{e}_{ix}\vec{e}_{iy} f_i^{eq} = p\delta_{xy} + \rho u_x u_y,$$
 * $$ \Pi_{xy}^{(1)} = \left( 1 - \frac{1}{2 \tau} \right) \sum_{i}\vec{e}_{ix}\vec{e}_{iy} f_i^{(1)} = \nu\left(\nabla_x \left( \rho \vec{u}_y \right) + \nabla_y \left( \rho \vec{u}_x \right)\right).$$

अंत में, नेवियर-स्टोक्स समीकरण को इस धारणा के अनुसार पुनः प्राप्त किया गया है कि घनत्व भिन्नता छोटी है:


 * $$ \rho \left( \frac{\partial \vec{u}_{x}}{\partial t} + \nabla_{y}\cdot\vec{u}_{x}\vec{u}_{y}\right) = -\nabla_{x}p + \nu\nabla_{y}\cdot\left(\nabla_x \left( \rho \vec{u}_y \right) + \nabla_y \left( \rho \vec{u}_x \right)\right).$$

यह व्युत्पत्ति चेन और डूलेन के कार्य का अनुसरण करती है।

सिमुलेशन के लिए गणितीय समीकरण
सतत बोल्ट्ज़मैन समीकरण एकल कण संभाव्यता वितरण फलन के लिए विकास समीकरण है $$f(\vec{x},\vec{e}_i,t)$$ और आंतरिक ऊर्जा घनत्व वितरण फलन $$g(\vec{x},\vec{e}_i,t)$$ (वह और अन्य) क्रमशः प्रत्येक हैं:


 * $$\partial_t f + (\vec{e}\cdot \nabla) f + F\partial_v f = \Omega(f),$$
 * $$\partial_t g + (\vec{e}\cdot \nabla) g + G\partial_v f = \Omega(g),$$

कहाँ $$g(\vec{x},\vec{e}_i,t)$$ से संबंधित है $$f(\vec{x},\vec{e}_i,t)$$ द्वारा


 * $$g(\vec{x},\vec{e}_i,t) = \frac{(\vec{e}-\vec{u})^2}{2}f(\vec{x},\vec{e}_i,t),$$

$$F$$ बाहरी शक्ति है, $$\Omega$$ टकराव अभिन्न है, और $$\vec{e}$$ (इसके द्वारा भी लेबल किया गया है $$\vec{\xi}$$ साहित्य में) सूक्ष्म वेग है। बाह्य बल $$F$$ तापमान बाहरी बल से संबंधित है $$G$$ नीचे दिए गए संबंध द्वारा. किसी के मॉडल के लिए विशिष्ट परीक्षण रेले-बेनार्ड संवहन है $$G$$.


 * $$ F = \frac{\vec{G}\cdot(\vec{e} - \vec{u})}{RT}f^\text{eq},$$
 * $$ \vec{G} = \beta g_0(T - T_{avg})\vec{k}.$$

घनत्व जैसे स्थूल चर $$\rho$$, वेग $$\vec{u}$$, और तापमान $$T$$ घनत्व वितरण फलन के क्षणों के रूप में गणना की जा सकती है:


 * $$ \rho = \int f \, d\vec{e},$$
 * $$ \rho\vec{u} = \int \vec{e}f \, d\vec{e},$$
 * $$ \frac{\rho DRT}{2} = \rho\epsilon = \int g \, d\vec{e}.$$

जाली बोल्ट्ज़मैन विधि अंतरिक्ष को जाली तक सीमित करके और वेग स्थान को सूक्ष्म वेगों के भिन्न समूह तक सीमित करके इस समीकरण को भिन्न करती है (अर्थात)। $$\vec{e}_i = (\vec{e}_{ix},\vec{e}_{iy})$$). उदाहरण के लिए D2Q9, D3Q15 और D3Q19 में सूक्ष्म वेग इस प्रकार दिए गए हैं:


 * $$\vec{e}_i = c\times

\begin{cases} (0,0)                       & i = 0 \\ (1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)   & i = 1,2,3,4 \\ (1,1),(-1,1),(-1,-1),(1,-1) & i = 5,6,7,8 \\ \end{cases}$$
 * $$\vec{e}_i = c\times

\begin{cases} (0,0,0)                       & i = 0 \\ (\plusmn 1,0,0),(0,\plusmn 1,0),(0,0,\plusmn 1)   & i = 1,2,...,5,6 \\ (\plusmn1,\plusmn1,\plusmn1) & i = 7,8,...,13,14 \\ \end{cases}$$
 * $$\vec{e}_i = c\times

\begin{cases} (0,0,0)                       & i = 0 \\ (\plusmn 1,0,0),(0,\plusmn 1,0),(0,0,\plusmn 1)   & i = 1,2,...,5,6 \\ (\plusmn1,\plusmn1,0),(\plusmn1,0,\plusmn1),(0,\plusmn1,\plusmn1) & i = 7,8,...,17,18 \\ \end{cases}$$ द्रव्यमान घनत्व और आंतरिक ऊर्जा घनत्व के लिए एकल-चरण विवेकाधीन बोल्ट्ज़मैन समीकरण हैं:


 * $$f_i(\vec{x}+\vec{e}_i\delta_t,t+\delta_t)-f_i(\vec{x},t) + F_i = \Omega(f),$$
 * $$g_i(\vec{x}+\vec{e}_i\delta_t,t+\delta_t)-g_i(\vec{x},t) + G_i = \Omega(g).$$

टकराव ऑपरेटर का अनुमान अधिकांशतः बीजीके टकराव ऑपरेटर द्वारा लगाया जाता है, परंतु कि यह संरक्षण नियमों को भी पूरा करता हो:


 * $$\Omega(f) = \frac{1}{\tau_f} (f_i^\text{eq} - f_i),$$
 * $$\Omega(g) = \frac{1}{\tau_g} (g_i^\text{eq} - g_i).$$

टकराव ऑपरेटर में $$f_i^\text{eq}$$ असतत है,. D2Q9 और D3Q19 में, इसे निरंतर और असतत रूप में असम्पीडित प्रवाह के लिए नीचे दिखाया गया है जहां D, R, और T क्रमशः आयाम, सार्वभौमिक गैस स्थिरांक और पूर्ण तापमान हैं। सतत से असतत रूप के लिए आंशिक व्युत्पत्ति दूसरे क्रम की त्रुटिहीनता के लिए सरल व्युत्पत्ति के माध्यम से प्रदान की जाती है।


 * $$f^\text{eq} = \frac{\rho}{(2 \pi RT)^{D/2}}e^{-\frac{(\vec{e}-\vec{u})^2}{2RT}}$$
 * $$= \frac{\rho}{(2 \pi RT)^{D/2}}e^{-\frac{(\vec{e})^2}{2RT}}e^{\frac{\vec{e}\vec{u}}{RT}-\frac{\vec{u}^2}{2RT}} $$
 * $$= \frac{\rho}{(2 \pi RT)^{D/2}}e^{-\frac{(\vec{e})^2}{2RT}}\left(1+\frac{\vec{e}\vec{u}}{RT}+\frac{(\vec{e}\vec{u})^2}{2(RT)^2}-\frac{\vec{u}^2}{2RT}+...\right) $$

दे $$c=\sqrt{3RT}$$ अंतिम परिणाम देता है:


 * $$f_i^{eq}=\omega_i\rho \left (1+\frac{3\vec{e}_i\vec{u}}{c^2}+\frac{9(\vec{e}_i\vec{u})^2}{2c^4}- \frac{3(\vec{u})^2}{2c^2} \right)   $$
 * $$g^{eq}=\frac{\rho(\vec{e}-\vec{u})^2}{2(2 \pi RT)^{D/2}}e^{-\frac{(\vec{e}-\vec{u})^2}{2RT}} $$
 * $$\omega_i =

\begin{cases} 4/9   & i = 0 \\ 1/9   & i = 1,2,3,4 \\ 1/36  & i = 5,6,7,8 \\ \end{cases}$$
 * $$\omega_i =

\begin{cases} 1/3   & i = 0 \\ 1/18   & i = 1,2,...,5,6 \\ 1/36  & i = 7,8,...,17,18 \\ \end{cases}$$ चूंकि एकल-घटक प्रवाह पर पहले ही बहुत काम किया जा चुका है, इसलिए निम्नलिखित टीएलबीएम पर चर्चा की जाएगी। मल्टीकंपोनेंट/मल्टीफ़ेज़ टीएलबीएम भी केवल घटक की तुलना में अधिक रोचक और उपयोगी है। वर्तमान शोध के अनुरूप होने के लिए, प्रणाली के सभी घटकों (अर्थात छिद्रपूर्ण मीडिया की दीवारें, एकाधिक तरल पदार्थ/गैस इत्यादि) के समूह को परिभाषित करें। $$\Psi$$ तत्वों के साथ $$\sigma_j$$.


 * $$f_i^{\sigma}(\vec{x}+\vec{e}_i\delta_t,t+\delta_t)-f_i^{\sigma}(\vec{x},t) + F_i=\frac{1}{\tau_f^{\sigma}} (f_i^{\sigma,eq}(\rho^{\sigma},v^{\sigma})-f_i^{\sigma})$$

विश्राम पैरामीटर,$$\tau_f^{\sigma_j}\,\!$$, गतिज श्यानता से संबंधित है,$$\nu_f^{\sigma_j}\,\!$$, निम्नलिखित संबंध द्वारा:


 * $$\nu_f^{\sigma_j} = (\tau_f^{\sigma_j}-0.5)c_s^2\delta_t.$$

का क्षण (गणित)। $$f_i\,\!$$ स्थानीय संरक्षित मात्राएँ दें। घनत्व द्वारा दिया गया है


 * $$\rho=\sum_{\sigma}\sum_i f_i\,\!$$
 * $$\rho\epsilon =\sum_i g_i\,\!$$
 * $$\rho^{\sigma}=\sum_i f_i^{\sigma}\,\!$$

और भारित औसत वेग, $$\vec{u'} \,\!$$, और स्थानीय गति द्वारा दी गई है


 * $$ \vec{u'}=\left (\sum_{\sigma}\frac{\rho^{\sigma}\vec{u^{\sigma}}}{\tau_f^{\sigma}}\right)/\left(\sum_{\sigma}\frac{\rho^{\sigma}}{\tau_f^{\sigma}}\right)  $$
 * $$\rho^{\sigma} \vec{u^{\sigma}} = \sum_i f_i^{\sigma} \vec{e}_i.$$
 * $$v^{\sigma} = \vec{u'}+ \frac{\tau_f^{\sigma}}{\rho^{\sigma}}\vec{F}^{\sigma}$$

संतुलन वेग के लिए उपरोक्त समीकरण में $$v^{\sigma}\,\!$$, द $$\vec{F}^{\sigma}\,\!$$ शब्द घटक और अन्य घटकों के मध्य परस्पर क्रिया बल है। यह अभी भी बहुत चर्चा का विषय है क्योंकि यह सामान्यतः ट्यूनिंग पैरामीटर है जो यह निर्धारित करता है कि द्रव-द्रव, द्रव-गैस, आदि कैसे परस्पर क्रिया करते हैं। फ्रैंक एट अल. इस बल अवधि के लिए वर्तमान मॉडलों की सूची बनाएं। सामान्यतः उपयोग की जाने वाली व्युत्पत्तियाँ हैं गनस्टेंसन क्रोमोडायनामिक मॉडल, तरल/वाष्प प्रणाली और बाइनरी तरल पदार्थ दोनों के लिए स्विफ्ट का मुक्त ऊर्जा-आधारित दृष्टिकोण, वह अंतर-आणविक इंटरैक्शन-आधारित मॉडल, इनामुरो दृष्टिकोण और ली और लिन दृष्टिकोण हैं। इसके लिए सामान्य विवरण निम्नलिखित है $$\vec{F}^{\sigma}\,\!$$ जैसा कि अनेक लेखकों ने दिया है।

$$\vec{F}^{\sigma} = -\psi^{\sigma}(\vec{x})\sum_{\sigma_j}H^{\sigma\sigma_j}(\vec{x},\vec{x}')\sum_i\psi^{\sigma_j}(\vec{x}+\vec{e}_i)\vec{e}_i   \,\!$$

$$\psi(\vec{x})\,\!$$ प्रभावी द्रव्यमान है और $$H(\vec{x},\vec{x}')\,\!$$ ग्रीन का कार्य अंतरकणीय अंतःक्रिया का प्रतिनिधित्व करता है $$\vec{x}'\,\!$$ निकटतम स्थल के रूप में. संतुष्टि देने वाला $$H(\vec{x},\vec{x}')=H(\vec{x}',\vec{x})\,\!$$ और कहाँ $$H(\vec{x},\vec{x}')>0\,\!$$ प्रतिकारक शक्तियों का प्रतिनिधित्व करता है। D2Q9 और D3Q19 के लिए, यह होता है

$$H^{\sigma\sigma_j}(\vec{x},\vec{x}') = \begin{cases} h^{\sigma\sigma_j}   & \left | \vec{x}-\vec{x}' \right | \le c \\ 0   & \left | \vec{x}-\vec{x}' \right | > c \\ \end{cases} $$

$$H^{\sigma\sigma_j}(\vec{x},\vec{x}') = \begin{cases} h^{\sigma\sigma_j}   & \left | \vec{x}-\vec{x}' \right | = c \\ h^{\sigma\sigma_j}/2   & \left | \vec{x}-\vec{x}' \right |  =\sqrt{2c} \\ 0   &  \text{otherwise} \\ \end{cases} $$ शान और चेन द्वारा प्रस्तावित प्रभावी द्रव्यमान एकल-घटक, मल्टीफ़ेज़ प्रणाली के लिए निम्नलिखित प्रभावी द्रव्यमान का उपयोग करता है। एकल घटक और बहुचरण की स्थिति के अंतर्गत अवस्था का समीकरण भी दिया गया है।


 * $$\psi(\vec{x})=\psi(\rho^{\sigma})=\rho_0^{\sigma}\left[1-e^{(-\rho^{\sigma}/\rho_0^{\sigma})} \right]\,\!$$
 * $$p=c_s^2 \rho+c_0h[\psi(\vec{x})]^2\,\!$$

अभी तक तब यही प्रतीत हो रहा है $$\rho_0^{\sigma}\,\!$$ और $$h^{\sigma \sigma_j}\,\!$$ ट्यून करने के लिए स्वतंत्र स्थिरांक हैं किन्तु बार प्रणाली की स्थिति के समीकरण (ईओएस) में प्लग हो जाने पर, उन्हें महत्वपूर्ण बिंदु पर थर्मोडायनामिक संबंधों को संतुष्ट करना होगा जैसे कि $$(\partial P / \partial {\rho})_T=(\partial^2 P / \partial {\rho^2})_T=0\,\!$$ और $$p=p_c\,\!$$. ईओएस के लिए, $$c_0\,\!$$ D2Q9 और D3Q19 के लिए 3.0 है जबकि D3Q15 के लिए यह 10.0 के सामान्तर है। इसे पश्चात् में युआन और शेफ़र द्वारा दिखाया गया मल्टीफ़ेज़ प्रवाह को अधिक त्रुटिहीन रूप से अनुकरण करने के लिए प्रभावी द्रव्यमान घनत्व को बदलने की आवश्यकता है। उन्होंने शान और चेन (एससी), कार्नाहन-स्टार्लिंग (सी-एस), वैन डेर वाल्स (वीडीडब्ल्यू), रेडलिच-क्वांग (आर-के), रेडलिच-क्वांग सोवे (आरकेएस), और पेंग-रॉबिन्सन (पी-आर) ईओएस की तुलना की। उनके परिणामों से पता चला कि एससी ईओएस अपर्याप्त था और सी-एस, पी-आर, आर-के, और आरकेएस ईओएस सभी ही घटक के मल्टीफ़ेज़ प्रवाह मॉडलिंग में अधिक त्रुटिहीन हैं।

लोकप्रिय इज़ोटेर्माल लैटिस बोल्ट्ज़मैन विधियों के लिए भिन्न एकमात्र संरक्षित मात्राएँ हैं। थर्मल मॉडल भी ऊर्जा का संरक्षण करते हैं और इसलिए उनमें अतिरिक्त संरक्षित मात्रा होती है:


 * $$\rho \theta + \rho u u =\sum_i f_i \vec{e}_i \vec{e}_i.$$

अनुप्रयोग
पिछले वर्षों के समय, एलबीएम विभिन्न लंबाई और समय के पैमाने पर समस्याओं को हल करने के लिए शक्तिशाली उपकरण सिद्ध करना हुआ है।

एलबीएम के कुछ अनुप्रयोगों में सम्मिलित हैं:


 * झरझरा मीडिया प्रवाह
 * बायोमेडिकल प्रवाह
 * पृथ्वी विज्ञान (मृदा निस्पंदन)।
 * ऊर्जा विज्ञान (ईंधन सेल)। ).

बाहरी संबंध

 * एलबीएम विधि
 * एंट्रोपिक लैटिस बोल्ट्ज़मान विधि (ईएलबीएम)
 * dsfd.org: वार्षिक डीएसएफडी सम्मेलन श्रृंखला की वेबसाइट (1986 - वर्तमान) जहां लैटिस बोल्ट्जमैन विधि के सिद्धांत और अनुप्रयोग में प्रगति पर चर्चा की जाती है
 * लैटिस बोल्ट्ज़मैन विधियों और उनके अनुप्रयोगों पर वार्षिक आईसीएमएमईएस सम्मेलन की वेबसाइट

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