कार्नोट प्रमेय (थर्मोडायनामिक्स)

ऊष्मा गतिकी में, कार्नोट की प्रमेय, 1824 में निकोलस लियोनार्ड सादी कार्नोट द्वारा विकसित किया गया, जिसे कार्नोट का नियम भी कहा जाता है, एक सिद्धांत है जो अधिकतम दक्षता पर सीमा निर्दिष्ट करता है जो कोई भी ताप इंजन प्राप्त कर सकता है।

कार्नोट की प्रमेय में कहा गया है कि एक ही दो तापीय या आगार के बीच कार्य करने वाले सभी ताप इंजनों में समान आगार के बीच चलने वाली प्रतिवर्ती प्रक्रिया(ऊष्मा गतिकी) ताप इंजन से अधिक दक्षता नहीं हो सकती है। इस प्रमेय का एक परिणाम यह है कि आगार की एक युग्म के बीच कार्य करने वाला प्रत्येक प्रतिवर्ती ऊष्मा इंजन समान रूप से प्रभावी होता है, भले ही कार्यरत पदार्थ या संचालन विवरण कुछ भी हो। चूंकि एक कार्नोट ताप इंजन भी एक प्रतिवर्ती इंजन है, सभी प्रतिवर्ती ताप इंजनों की दक्षता कार्नोट ताप इंजन की दक्षता के रूप में निर्धारित की जाती है जो पूर्ण रूप से अपने उष्ण और शीतल आगारों के तापमान पर निर्भर करती है।

शीतल और उष्ण आगारों के बीच चलने वाले ऊष्मा इंजन की अधिकतम दक्षता(अर्थात, कार्नोट ताप के इंजन दक्षता) जिसे क्रमशः $H$ और $C$ के रूप में दर्शाया जाता है, आगारों के बीच तापमान के अंतर के उष्ण आगार के तापमान से अनुपात होता है, जिसे समीकरण
 * $$\eta_{\text{max}} = \frac{T_\mathrm{H}-T_\mathrm{C}}{T_\mathrm{H}},$$

में व्यक्त किया जाता है जहाँ $T_\mathrm{H}$ और $T_\mathrm{C}$ क्रमशः उष्ण और शीतल आगारों के पूर्ण तापमान हैं, और दक्षता $\eta$ इंजन इंजन द्वारा(पर्यावरण के लिए) किए गए कार्य(ऊष्मा गतिकी) का अनुपात है जो उष्ण आगार(इंजन के लिए) से कर्षित ऊष्मा है।

$\eta_\text{max}$ शून्य से अधिक है यदि और मात्र यदि दो आगार के बीच तापमान का अंतर है। चूँकि $\eta_\text{max}$ सभी उत्क्रमणीय और अपरिवर्तनीय ताप इंजन दक्षता की ऊपरी सीमा है, यह निष्कर्ष निकाला गया है कि ताप इंजन से कार्य का उत्पादन तभी किया जा सकता है जब इंजन से जुड़ने वाले दो तापीय आगारों के बीच तापमान का अंतर हो।

कार्नोट की प्रमेय ऊष्मा गतिकी के दूसरे नियम का परिणाम है। ऐतिहासिक रूप से, यह समकालीन कैलोरी सिद्धांत पर आधारित था, और दूसरे नियम की स्थापना से पहले था।

प्रमाण
कार्नोट प्रमेय का प्रमाण विरोधाभास या असंगति प्रदर्शन द्वारा एक प्रमाण है(किसी कथन की असत्यता को मानकर उसे सिद्ध करने की विधि और तार्किक रूप से इस धारणा से एक असत्य या विरोधाभासी कथन प्राप्त करना), उचित आंकड़े कड़े जैसी स्थिति पर आधारित है, जहां अलग-अलग तापमान पर दो तापीय आगारों के बीच अलग-अलग क्षमता वाले दो ताप इंजन कार्य कर रहे हैं। अपेक्षाकृत उष्ण आगार को उष्ण आगार और दूसरे आगार को शीत आगार कहा जाता है। अधिक दक्षता $$\eta_{_M}$$ वाला एक(आवश्यकता नहीं कि प्रतिवर्ती प्रक्रिया(ऊष्मा गतिकी) हो) ऊष्मा इंजन $$M$$ कम दक्षता $$\eta_{_L}$$ वाला प्रतिवर्ती ताप इंजन $$L$$ चला रहा है, जिससे बाद वाला ऊष्मा पम्प के रूप में कार्य करता है। इंजन $$L$$ के प्रतिवर्ती होने की आवश्यकता इसकी ज्ञात दक्षता का उपयोग करके कार्य $$W$$ और ऊष्मा $$Q$$ को समझाने के लिए आवश्यक है। यद्यपि, $$\eta_{_M}>\eta_{_L}$$के बाद से, शुद्ध ऊष्मा प्रवाह पीछे की ओर होगा, अर्थात, उष्ण आगार में:


 * $$Q^\text{out}_\text{h} = Q < \frac{\eta_{_M}}{\eta_{_L}}Q=Q^\text{in}_\text{h},$$

जहाँ $$Q$$ ऊष्मा का प्रतिनिधित्व करता है, पादांकित द्वारा निरूपित वस्तु के इनपुट के लिए $$\text{in}$$, पादांकित द्वारा निरूपित वस्तु से आउटपुट के लिए $$\text{out}$$, और $$h$$ उष्ण आगार के लिए। यदि ऊष्मा $$Q^\text{out}_\text{h} $$ उष्ण आगार से प्रवाहित होती है तो + का चिन्ह होता है जबकि यदि $$Q^\text{in}_\text{h} $$ उष्ण आगार से प्रवाहित होती है तो इसका चिह्न - होता है। इस व्यंजक को सरलता से ऊष्मा इंजन, $$\eta=W/Q_h^{out}$$ की दक्षता की परिभाषा का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, जहां इस व्यंजक में कार्य और ऊष्मा प्रति इंजन चक्र शुद्ध मात्रा है, और प्रत्येक इंजन के लिए ऊर्जा का संरक्षण नीचे दिखाया गया है। कार्य $$W$$ के पारम्परिक संकेत, जिसके साथ इंजन द्वारा अपने परिवेश में किए गए कार्य के लिए + के चिह्न का प्रयोग किया जाता है।

उपरोक्त व्यंजक का अर्थ है कि इंजन युग्म से उष्ण आगार में ऊष्मा(एक इंजन के रूप में माना जा सकता है) उष्ण आगार से इंजन युग्म में ऊष्मा से अधिक है(अर्थात, उष्ण आगार निरंतर ऊर्जा प्राप्त करते है)। कम दक्षता वाला एक प्रतिवर्ती ऊष्मा इंजन इस इंजन को दिए गए कार्य(ऊर्जा) के लिए उष्ण आगार में अधिक ऊष्मा(ऊर्जा) प्रदान करते है, जब इसे ऊष्मा पम्प के रूप में चलाया जाता है। इन सभी का अर्थ है कि ऊष्मा बिना बाहरी कार्य के शीतल से उष्ण स्थानों में स्थानांतरित हो सकती है, और ऊष्मा गतिकी के दूसरे नियम द्वारा ऐसा ऊष्मा स्थानांतरण असंभव है।


 * यह विचित्र लग सकता है कि ऊष्मा गतिकी के दूसरे नियम का उल्लंघन करने के लिए कम दक्षता वाले एक काल्पनिक प्रतिवर्ती ताप पंप का उपयोग किया जाता है, परन्तु रेफ्रिजरेटर इकाइयों के लिए योग्यता का आकृति दक्षता, $$W/Q_\text{h}^\text{out}$$ नहीं है, परन्तु प्रदर्शन का गुणांक(COP) है, जो $$Q_\text{c}^\text{out}/W$$ है जहां इस $$W$$ का चिह्न ऊपर के विपरीत है(+ इंजन में किए गए कार्य के लिए)।

आइए कार्य $$W$$ और ऊष्मा $$Q$$ के मानों को उचित चित्र में दर्शाया गया है जिसमें कम दक्षता वाले $$\eta_{_L}$$के साथ एक प्रतिवर्ती ताप इंजन $$L$$ को अधिक दक्षता वाले $$\eta_{_M}$$वाले ऊष्मा इंजन $$M$$ द्वारा ऊष्मा पम्प के रूप में चलाया जाता है।

दक्षता की परिभाषा प्रत्येक इंजन के लिए $$\eta = W/Q_\text{h}^\text{out}$$ है और निम्नलिखित व्यंजक बनाए जा सकते हैं:


 * $$\eta_M= \frac{W_M}{Q^{\text{out},M}_\text{h}} = \frac{\eta_M Q}{Q}=\eta_M,$$
 * $$ \eta_L = \frac{W_L}{Q^{\text{out},L}_h} = \frac{-\eta_M Q}{-\frac{\eta_M}{\eta_L}Q} = \eta_L.$$

दूसरे व्यंजक का भाजक, $$ Q^{\text{out},L}_h = -\frac{\eta_M}{\eta_L}Q$$, व्यंजक को सुसंगत बनाने के लिए बनाया गया है, और यह इंजन $$L$$ के लिए कार्य और ऊष्मा के मानों को भरने में उपयोग करते है।

प्रत्येक इंजन के लिए, इंजन में प्रवेश करने वाली ऊर्जा का निरपेक्ष मान, $$ E_\text{abs}^\text{in} $$, इंजन से निकलने वाली ऊर्जा के निरपेक्ष मान, $$ E_\text{abs}^\text{out} $$ के बराबर होना चाहिए। अन्यथा, इंजन में ऊर्जा निरंतर संचित होती है या इंजन से इनपुट ऊर्जा की तुलना में इंजन से अधिक ऊर्जा लेने से ऊर्जा के संरक्षण का उल्लंघन होता है:


 * $$E_\text{M,abs}^\text{in} = Q = (1-\eta_M)Q + \eta_M Q = E_\text{M,abs}^\text{out}, $$
 * $$E_\text{L,abs}^\text{in} = \eta_M Q + \eta_M Q \left(\frac{1}{\eta_L}- 1 \right ) = \frac{\eta_M}{\eta_L}Q = E_\text{L,abs}^\text{out}. $$

दूसरे व्यंजक में, $ \left| Q^{\text{out},L}_h \right| = \left| - \frac{\eta_M}{\eta_L}Q \right|$ का उपयोग $\eta_M Q \left(\frac{1}{\eta_L}- 1 \right ) $  पद को खोजने के लिए किया जाता है, जो शीतल आगार से ली गई ऊष्मा की मात्रा का वर्णन करते है, काम के पूर्ण मान व्यंजक को पूरा करता है और उचित आकृति में ऊष्मा देता है।

यह स्थापित करने के बाद कि उचित आकृति मान उचित हैं, कार्नोट का प्रमेय अपरिवर्तनीय और प्रतिवर्ती ताप इंजनों के लिए सिद्ध हो सकता है जैसा कि नीचे दिखाया गया है।

प्रतिवर्ती इंजन
यह देखने के लिए कि तापमान $$T_1$$ और $$T_2$$ पर आगारों के बीच चलने वाले प्रत्येक प्रतिवर्ती इंजन की दक्षता समान होनी चाहिए, मान लें कि दो प्रतिवर्ती ऊष्मा इंजनों की क्षमताएँ भिन्न हैं, और अपेक्षाकृत अधिक प्रभावी इंजन $$M$$ को ऊष्मा पम्प के रूप में अपेक्षाकृत कम प्रभावी इंजन $$L$$ को चलाने दें। जैसा कि उचित आकृति दिखाता है, यह बाहरी कार्य के बिना शीत से उष्ण आगार में ऊष्मा का प्रवाह करेगा, जो ऊष्मा गतिकी के दूसरे नियम का उल्लंघन करता है। इसलिए, दोनों(प्रतिवर्ती) ऊष्मा इंजनों की दक्षता समान होती है, और हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि:


 * सभी उत्क्रमणीय ऊष्मा इंजन जो समान दो तापीय(ऊष्मा) आगारों के बीच कार्य करते हैं, उनकी दक्षता समान होती है।

उत्क्रमणीय ऊष्मा इंजन की दक्षता कार्नोट ऊष्मा इंजन का प्रतिवर्ती ऊष्मा इंजनों में से एक के रूप में विश्लेषण करके निर्धारित की जा सकती है।

यह निष्कर्ष महत्वपूर्ण परिणाम है क्योंकि यह क्लॉसियस प्रमेय को स्थापित करने में सहायता करते है, जिसका अर्थ है कि एन्ट्रापी $$S$$ में परिवर्तन सभी प्रतिवर्ती प्रक्रियाओं के लिए अद्वितीय है:
 * $$\Delta S = \int_a^b \frac {dQ_\text{rev}}T $$

एन्ट्रॉपी परिवर्तन के रूप में, जो ऊष्मागतिक साम्यावस्था अवस्था $$a$$ से संक्रमण के समय किया जाता है, वी-टी(आयतन-तापमान) स्थान में $$b$$, इन दो अवस्थाओं के बीच सभी प्रतिवर्ती प्रक्रिया पथों पर समान है। यदि यह अभिन्न पथ स्वतंत्र नहीं होता, तो एन्ट्रापी एक अवस्था चर नहीं होता।

अपरिवर्तनीय इंजन
आइए दो इंजनों पर विचार करें, एक $$M$$ है जो अपेक्षाकृत अधिक प्रभावी अपरिवर्तनीय इंजन है जबकि दूसरा $$L$$ है जो अपेक्षाकृत कम प्रभावी प्रतिवर्ती इंजन है, और हम उचित आकृति में वर्णित मशीन का निर्माण करते हैं($$M$$ ड्राइव $$L$$ को ऊष्मा पंप के रूप में चलाता है)। तब यह मशीन ऊष्मा गतिकी के दूसरे नियम का उल्लंघन करती है। चूँकि कार्नोट ऊष्मा इंजन एक उत्क्रमणीय ऊष्मा इंजन है, उपरोक्त दो उत्क्रमणीय ऊष्मा इंजनों के विषय में चर्चा में निष्कर्ष के साथ, हमारे समीप कार्नोट के प्रमेय का पहला भाग है:


 * एक ही दो आगार के बीच कार्य कर रहे एक कार्नोट ताप इंजन की तुलना में कोई अपरिवर्तनीय ताप इंजन अधिक प्रभावी नहीं है।

ऊष्मागतिक तापमान की परिभाषा
एक ऊष्मा इंजन की दक्षता इंजन द्वारा किए गए कार्य को प्रति इंजन चक्र या

में इंजन द्वारा प्रारम्भ की गई ऊष्मा से विभाजित किया जाता है, जहाँ $$w_{cy}$$ इंजन द्वारा किया गया कार्य है, $$q_C$$ इंजन से शीतल आगार की ऊष्मा है, और $$q_H$$ प्रति चक्र, उष्ण आगार से इंजन की ऊष्मा है। इस प्रकार, दक्षता मात्र $$\frac{q_C}{q_H}$$ पर निर्भर करती है।

क्योंकि तापमान $$T_1$$ और $$T_2$$ के बीच काम करने वाले सभी प्रतिवर्ती ऊष्मा इंजनों की दक्षता समान होनी चाहिए, एक प्रतिवर्ती ताप इंजन की दक्षता मात्र दो आगार तापमानों का एक कार्य है:

इसके अतिरिक्त, तापमान $$T_1$$ और $$T_3$$ के बीच काम करने वाले एक उत्क्रमणीय ताप इंजन की दक्षता उतनी ही होनी चाहिए जितनी कि दो चक्रों में से एक, एक $$T_1$$ और दूसरा(मध्यवर्ती) तापमान $$T_2$$ के बीच, और दूसरा $$T_2$$ और $$T_3$$ के बीच($$T_1 < T_2 < T_3$$)। ऐसा तभी हो सकता है जब

इस स्थिति में विशेषज्ञता है कि $$T_1$$ निश्चित संदर्भ तापमान है: 273.16 के रूप में पानी के त्रिगुण बिंदु का तापमान। (निश्चित रूप से किसी भी संदर्भ तापमान और किसी भी धनात्मक संख्यात्मक मान का उपयोग किया जा सकता है - यहाँ विकल्प केल्विन पैमाने से मेल खाता है।) फिर किसी भी $$T_2$$ और $$T_3$$ के लिए,


 * $$f(T_2,T_3) = \frac{f(T_1,T_3)}{f(T_1,T_2)} = \frac{273.16 \cdot f(T_1,T_3)}{273.16 \cdot f(T_1,T_2)}.$$

इसलिए, यदि ऊष्मागतिक तापमान को


 * $$T' = 273.16 \cdot f(T_1,T),$$

द्वारा परिभाषित किया जाता है, तो फलन को ऊष्मागतिक तापमान के एक फलन
 * $$f(T_2,T_3) = \frac{T_3'}{T_2'}$$ के रूप में देखा जाता है।

यह तुरंत अनुसरण करता है कि

उपरोक्त समीकरण में इस समीकरण को वापस प्रतिस्थापित करना $$\frac{q_C}{q_H} = f(T_H,T_C)$$ ऊष्मागतिक तापमान के संदर्भ में दक्षता के लिए एक संबंध देता है:

ईंधन सेल और बैटरी के लिए अनुप्रयोज्यता
चूंकि ईंधन सेल और बैटरी(विद्युत) उपयोगी शक्ति उत्पन्न कर सकते हैं जब प्रणाली के सभी घटक एक ही तापमान($$T=T_H=T_C$$) पर होते हैं, वे स्पष्ट रूप से कार्नोट के प्रमेय द्वारा सीमित नहीं होते हैं, जो बताता है कि $$T_H=T_C$$ होने पर कोई शक्ति उत्पन्न नहीं की जा सकती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि कार्नोट का प्रमेय तापीय ऊर्जा को कार्य करने के लिए परिवर्तित करने वाले इंजनों पर लागू होता है, जबकि ईंधन सेल और बैटरी रासायनिक ऊर्जा को कार्य करने के लिए परिवर्तित करते हैं। फिर भी, ऊष्मा गतिकी का दूसरा नियम अभी भी ईंधन सेल और बैटरी ऊर्जा रूपांतरण पर प्रतिबंध प्रदान करता है।

कार्नोट बैटरी एक प्रकार की ऊर्जा भंडारण प्रणाली है जो विद्युत को ताप भंडारण में संग्रहीत करती है और संग्रहीत ऊष्मा को वापस ऊष्मागतिक चक्रों के माध्यम से विद्युत में परिवर्तित करती है।

यह भी देखें

 * चंबल-नोविकोव दक्षता
 * ताप और शीतलन दक्षता सीमा