रुइन सिद्धांत

बीमांकिक विज्ञान और व्यावहारिक संभाव्यता में, बर्बाद सिद्धांत (कभी-कभी जोखिम सिद्धांत)। या सामूहिक जोखिम सिद्धांत) किसी बीमाकर्ता की दिवालियेपन/बर्बाद होने की संवेदनशीलता का वर्णन करने के लिए गणितीय मॉडल का उपयोग करता है। ऐसे मॉडलों में ब्याज की मुख्य बातें हैं बर्बादी की संभावना, बर्बादी से ठीक पहले अधिशेष का वितरण और बर्बादी के समय घाटा।

शास्त्रीय मॉडल
खंडहर सिद्धांत का सैद्धांतिक आधार, जिसे क्रैमर-लुंडबर्ग मॉडल (या शास्त्रीय यौगिक-पॉइसन जोखिम मॉडल, शास्त्रीय जोखिम प्रक्रिया) के रूप में जाना जाता है या पॉइसन जोखिम प्रक्रिया) 1903 में स्वीडिश एक्चुअरी फिलिप लुंडबर्ग द्वारा शुरू की गई थी। लुंडबर्ग का काम 1930 के दशक में हेराल्ड क्रैमर द्वारा पुनः प्रकाशित किया गया था। मॉडल एक बीमा कंपनी का वर्णन करता है जो दो विपरीत नकदी प्रवाह का अनुभव करती है: आने वाले नकद प्रीमियम और आउटगोइंग दावे। प्रीमियम ग्राहकों से एक स्थिर दर c > 0 पर आता है और दावे पॉइसन प्रक्रिया के अनुसार आते हैं $$N_t$$ तीव्रता λ के साथ और स्वतंत्र और समान रूप से वितरित गैर-नकारात्मक यादृच्छिक चर हैं $$\xi_i$$ वितरण एफ और माध्य μ के साथ (वे एक यौगिक पॉइसन प्रक्रिया बनाते हैं)। तो एक बीमाकर्ता के लिए जो प्रारंभिक अधिशेष x, कुल संपत्ति से शुरू होता है $$X_t$$ द्वारा दिए गए हैं:
 * $$X_t = x + ct - \sum_{i=1}^{N_t} \xi_i \quad \text{ for t} \geq 0.$$

मॉडल का केंद्रीय उद्देश्य इस संभावना की जांच करना है कि बीमाकर्ता का अधिशेष स्तर अंततः शून्य से नीचे चला जाता है (फर्म को दिवालिया बना देता है)। यह मात्रा, जिसे अंतिम विनाश की संभावना कहा जाता है, के रूप में परिभाषित किया गया है
 * $$\psi(x)=\mathbb{P}^x\{\tau<\infty\}$$

जहां बर्बादी का समय है $$\tau=\inf\{t>0 \,:\, X(t)<0\}$$ उस सम्मेलन के साथ $$\inf\varnothing=\infty$$. इसकी गणना बिल्कुल पोलाकज़ेक-खिंचाइन सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है (यहां खंडहर फ़ंक्शन एम/जी/1 कतार में प्रतीक्षा समय के स्थिर वितरण के टेल फ़ंक्शन के बराबर है )
 * $$\psi(x)=\left(1-\frac{\lambda \mu}{c}\right) \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{\lambda \mu}{c}\right)^n (1-F^{\ast n}_l(x))$$

कहाँ $$F_l$$ के पूँछ वितरण का परिवर्तन है $$F$$,
 * $$F_l(x) = \frac{1}{\mu} \int_0^x \left(1-F(u)\right) \text{d}u$$

और $$\cdot^{\ast n}$$ को दर्शाता है $$n$$-गुना कनवल्शन. ऐसे मामले में जहां दावा आकार तेजी से वितरित किया जाता है, यह सरल हो जाता है :$$\psi(x) = \frac{\lambda \mu}{c}e^{-\left( \frac{1}{\mu}-\frac{\lambda}{c}\right)x}.$$

स्पैरे एंडरसन मॉडल
ई. स्पैरे एंडरसन ने 1957 में शास्त्रीय मॉडल का विस्तार किया दावे के अंतर-आगमन समय को मनमाने ढंग से वितरण कार्यों की अनुमति देकर।
 * $$X_t = x + ct - \sum_{i=1}^{N_t} \xi_i \quad \text{ for }t \geq 0,$$

जहां क्लेम नंबर की प्रक्रिया होती है $$ (N_t)_{t\geq 0} $$ एक नवीनीकरण प्रक्रिया है और $$(\xi_i)_{i\in\mathbb{N}}$$ स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर हैं। मॉडल यह भी मानता है $$ \xi_i > 0 $$ लगभग निश्चित रूप से और वह $$ (N_t)_{t\geq 0} $$ और $$(\xi_i)_{i\in\mathbb{N}}$$ स्वतंत्र हैं. इस मॉडल को नवीकरण जोखिम मॉडल के रूप में भी जाना जाता है।

अपेक्षित रियायती दंड समारोह
माइकल आर पॉवर्स और गेरबर और शिउ अपेक्षित रियायती दंड फ़ंक्शन के माध्यम से बीमाकर्ता के अधिशेष के व्यवहार का विश्लेषण किया गया, जिसे आमतौर पर खंडहर साहित्य में गेरबर-शिउ फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है और बीमांकिक वैज्ञानिकों एलियास एस.डब्ल्यू के नाम पर रखा गया है। शिउ और हंस-उलरिच गेरबर। यह बहस का विषय है कि क्या पॉवर्स के योगदान के कारण फ़ंक्शन को पॉवर्स-गेरबर-शिउ फ़ंक्शन कहा जाना चाहिए था।

माइकल आर. पॉवर्स के नोटेशन में, इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है


 * $$m(x)=\mathbb{E}^x[e^{-\delta\tau}K_{\tau}]$$,

कहाँ $$\delta$$ ब्याज की छूट देने वाली शक्ति है, $$K_{\tau}$$ एक सामान्य दंड समारोह है जो बर्बादी के समय बीमाकर्ता की आर्थिक लागत और अपेक्षा को दर्शाता है $$\mathbb{E}^x$$ संभाव्यता माप के अनुरूप है $$\mathbb{P}^x$$. फ़ंक्शन को पॉवर्स द्वारा दिवालियापन की अपेक्षित रियायती लागत कहा जाता है।

गेरबर और शिउ के अंकन में, इसे इस प्रकार दिया गया है


 * $$m(x)=\mathbb{E}^x[e^{-\delta\tau}w(X_{\tau-},X_{\tau})\mathbb{I}(\tau<\infty)]$$,

कहाँ $$\delta$$ ब्याज की छूट देने वाली शक्ति है और $$w(X_{\tau-},X_{\tau})$$ एक दंड समारोह है जो बर्बादी के समय बीमाकर्ता की आर्थिक लागत को कवर करता है (यह बर्बादी से पहले अधिशेष पर निर्भर माना जाता है) $$X_{\tau-}$$ और घाटा बर्बादी की ओर है $$X_{\tau}$$), और उम्मीद $$\mathbb{E}^x$$ संभाव्यता माप के अनुरूप है $$\mathbb{P}^x$$. यहां सूचक कार्य करता है $$\mathbb{I}(\tau<\infty)$$ इस बात पर जोर देता है कि जुर्माना तभी लगाया जाता है जब बर्बादी होती है।

अपेक्षित छूट वाले दंड फ़ंक्शन की व्याख्या करना काफी सहज है। चूंकि फ़ंक्शन उस दंड के बीमांकिक वर्तमान मूल्य को मापता है जो उस पर होता है $$\tau$$, दंड फ़ंक्शन को छूट कारक से गुणा किया जाता है $$e^{-\delta\tau}$$, और फिर प्रतीक्षा समय की संभाव्यता वितरण का औसत निकाला गया $$\tau$$. जबकि गेरबर और शिउ इस फ़ंक्शन को शास्त्रीय यौगिक-पॉइसन मॉडल, पॉवर्स पर लागू किया तर्क दिया गया कि एक बीमाकर्ता का अधिशेष प्रसार प्रक्रियाओं के एक परिवार द्वारा बेहतर ढंग से तैयार किया गया है।

बर्बादी से संबंधित मात्राओं की एक विशाल विविधता है जो अपेक्षित छूट वाले दंड समारोह की श्रेणी में आती है। अपेक्षित रियायती दंड समारोह के वर्ग से संबंधित अन्य वित्त-संबंधित मात्राओं में स्थायी अमेरिकी पुट विकल्प शामिल है, इष्टतम व्यायाम समय पर आकस्मिक दावा, और भी बहुत कुछ।

हाल के घटनाक्रम

 * निरंतर रुचि के साथ कंपाउंड-पॉइसन जोखिम मॉडल
 * स्टोकेस्टिक रुचि के साथ कंपाउंड-पॉइसन जोखिम मॉडल
 * ब्राउनियन-मोशन जोखिम मॉडल
 * सामान्य प्रसार-प्रक्रिया मॉडल
 * मार्कोव-संग्राहक जोखिम मॉडल
 * दुर्घटना संभाव्यता कारक (एपीएफ) कैलकुलेटर - जोखिम विश्लेषण मॉडल (@एसबीएच)

यह भी देखें

 * वित्तीय जोखिम
 * वोल्टेरा इंटीग्रल समीकरण#अनुप्रयोग: रुइन सिद्धांत|वोल्टेरा इंटीग्रल समीकरण#रुइन सिद्धांत