जॉनसन-निक्विस्ट रव

जॉनसन-निक्विस्ट शोर (थर्मल शोर, जॉनसन शोर, या निक्विस्ट शोर) विद्युत कंडक्टर के भीतर आवेश वाहक (आमतौर पर इलेक्ट्रॉनों) के थर्मल ऊर्जा द्वारा उत्पन्न इलेक्ट्रॉनिक शोर है, जो किसी भी लागू वोल्टेज की परवाह किए बिना होता है। थर्मल शोर सभी विद्युत परिपथों में मौजूद होता है, और संवेदनशील इलेक्ट्रॉनिक उपकरण (जैसे रेडियो रिसीवर) कमजोर संकेतों को नष्ट कर सकते हैं, और विद्युत मापन उपकरणों की संवेदनशीलता पर सीमित कारक हो सकते हैं। तापमान के साथ तापीय शोर बढ़ता है। कुछ संवेदनशील इलेक्ट्रॉनिक उपकरण जैसे रेडियो दूरबीन रिसीवर को उनके सर्किट में थर्मल शोर को कम करने के लिए क्रायोजेनिक तापमान के लिए ठंडा किया जाता है। इस शोर के सामान्य, सांख्यिकीय भौतिक व्युत्पत्ति को उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय कहा जाता है, जहां सामान्यीकृत विद्युत प्रतिबाधा या सामान्यीकृत विद्युत संवेदनशीलता का उपयोग माध्यम को विशेषता देने के लिए किया जाता है।

एक आदर्श प्रतिरोध में थर्मल शोर लगभग सफेद होता है, जिसका अर्थ है कि विद्युत वर्णक्रमीय घनत्व लगभग आवृत्ति स्पेक्ट्रम के दौरान लगभग स्थिर होता है, लेकिन अत्यधिक उच्च आवृत्तियों पर शून्य तक क्षय होता है (कमरे के तापमान के लिए टेराहर्ट्ज़ (इकाई) जब परिमित बैंडविड्थ तक सीमित होता है, तापीय शोर में लगभग सामान्य वितरण होता है।

इतिहास
इस प्रकार के शोर का पता चला और सबसे पहले 1926 में बेल लैब्स में जॉन बी जॉनसन द्वारा मापा गया।  उन्होंने अपने निष्कर्षों को हैरी निक्विस्ट, बेल लैब्स में भी वर्णित किया, जो परिणामों को समझाने में सक्षम थे।

व्युत्पत्ति
जैसा कि Nyquist ने अपने 1928 के पेपर में कहा था, विद्युत दोलन के सामान्य मोड में ऊर्जा का योग शोर के आयाम को निर्धारित करेगा। Nyquist ने बोल्ट्जमैन और मैक्सवेल के समविभाजन प्रमेय का उपयोग किया। समविभाजन प्रमेय#संभावित ऊर्जा और समविभाजन कानून के हार्मोनिक दोलक की अवधारणा का उपयोग करना,

$$\left \langle H \right \rangle=k_{\rm B} T$$ कहाँ $$\left \langle H \right \rangle$$ (W/Hz) में शोर शक्ति घनत्व है, $$k_{\rm B}$$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है और $$T$$ तापमान है। बैंडविड्थ द्वारा समीकरण को गुणा करने पर परिणाम शोर शक्ति के रूप में मिलता है।

$$N=k_{\rm B} T \Delta f $$ जहाँ N शोर शक्ति है और Δf बैंडविड्थ (सिग्नल प्रोसेसिंग) है।

शोर वोल्टेज और शक्ति
थर्मल शोर शॉट शोर से अलग है, जिसमें वोल्टेज लागू होने पर होने वाले अतिरिक्त वर्तमान उतार-चढ़ाव होते हैं और एक मैक्रोस्कोपिक प्रवाह प्रवाह शुरू होता है। सामान्य मामले के लिए, उपरोक्त परिभाषा किसी भी प्रकार के संचालन संचरण माध्यम (जैसे इलेक्ट्रोलाइट में आयन) में आवेश वाहकों पर लागू होती है, न कि केवल प्रतिरोधों पर। यह एक आदर्श शोर मुक्त प्रतिरोधी के साथ श्रृंखला में गैर-आदर्श प्रतिरोधी के शोर का प्रतिनिधित्व करने वाले वोल्टेज स्रोत द्वारा तैयार किया जा सकता है।

बैंडविड्थ (सिग्नल प्रोसेसिंग) के प्रति हेटर्स  एक तरफा वर्णक्रमीय घनत्व, या वोल्टेज विचरण (औसत वर्ग), द्वारा दिया जाता है



\overline {v_{n}^2} = 4 k_\text{B} T R $$ जहां केB जौल्स प्रति केल्विन में बोल्ट्जमैन का स्थिरांक है, टी केल्विन में प्रतिरोधक का निरपेक्ष तापमान है, और आर ओम (Ω) में प्रतिरोधक मान है। त्वरित गणना के लिए कमरे के तापमान पर इस समीकरण का उपयोग करना:

\sqrt{\overline {v_{n}^2}} = 0.13 \sqrt{R} ~\mathrm{nV}/\sqrt{\mathrm{Hz}}.$$ उदाहरण के लिए, 300 K के तापमान पर 1 kΩ प्रतिरोध होता है



\sqrt{\overline {v_{n}^2}} = \sqrt{4 \cdot 1.38 \cdot 10^{-23}~\mathrm{J}/\mathrm{K} \cdot 300~\mathrm{K} \cdot 1000~\Omega} = 4.07 \cdot 10^{-9} ~\mathrm{V}/\sqrt{\mathrm{Hz}}.$$ किसी दिए गए बैंडविड्थ के लिए, वोल्टेज का मूल माध्य वर्ग (RMS), $$v_{n}$$, द्वारा दिया गया है



v_{n} = \sqrt{\overline {v_{n}^2}}\sqrt{\Delta f } = \sqrt{ 4 k_\text{B} T R \Delta f } $$ जहां Δf हर्ट्ज़ में बैंडविड्थ है जिस पर शोर मापा जाता है। कमरे के तापमान पर 1 kΩ रोकनेवाला और 10 kHz बैंडविड्थ के लिए, RMS शोर वोल्टेज 400 nV है। याद रखने के लिए अंगूठे का एक उपयोगी नियम यह है कि 1 हर्ट्ज बैंडविड्थ पर 50 Ω कमरे के तापमान पर 1 nV शोर के अनुरूप है।

शॉर्ट सर्किट में एक रोकनेवाला एक शोर शक्ति को नष्ट कर देता है

P = {v_{n}^2}/R = 4 k_\text{B} \,T \Delta f. $$ रोकनेवाला पर उत्पन्न शोर शेष सर्किट में स्थानांतरित हो सकता है; अधिकतम शोर शक्ति हस्तांतरण प्रतिबाधा मिलान के साथ होता है जब शेष सर्किट का थेवेनिन समकक्ष प्रतिरोध शोर पैदा करने वाले प्रतिरोध के बराबर होता है। इस मामले में दो सहभागी प्रतिरोधों में से प्रत्येक अपने आप में और दूसरे प्रतिरोधक में शोर को फैलाता है। चूँकि इन प्रतिरोधों में से किसी एक पर स्रोत वोल्टेज का केवल आधा गिरता है, परिणामी शोर शक्ति द्वारा दिया जाता है



P = k_\text{B} \,T \Delta f $$ जहाँ P वाट में तापीय शोर शक्ति है। ध्यान दें कि यह शोर पैदा करने वाले प्रतिरोध से स्वतंत्र है।

शोर वर्तमान
शोर स्रोत को एक वर्तमान स्रोत द्वारा समानांतर में नॉर्टन समतुल्य लेकर भी तैयार किया जा सकता है जो केवल आर द्वारा विभाजित करने के लिए मेल खाता है। यह वर्तमान स्रोत का मूल माध्य वर्ग मान देता है:



i_n = \sqrt {{4 k_\text{B} T \Delta f } \over R}. $$

डेसीबल में शोर की शक्ति
सिग्नल की शक्ति को अक्सर dBm (1 मिलीवाट के सापेक्ष डेसिबल) में मापा जाता है। उपरोक्त समीकरण से, dBm में, कमरे के तापमान पर एक प्रतिरोधक में शोर की शक्ति तब होती है:
 * $$P_\mathrm{dBm} = 10\ \log_{10}(k_\text{B} T \Delta f / 1\,\textrm{mW})\ \textrm{dBm}.$$

कमरे के तापमान (300 K) पर यह लगभग है
 * $$P_\mathrm{dBm} = -173.8\ \textrm{dBm} + 10\ \log_{10}(\Delta f \text{ in Hz})\ \textrm{dB}.$$

इस समीकरण का उपयोग करते हुए, विभिन्न बैंडविड्थ के लिए शोर की शक्ति की गणना करना सरल है:

कैपेसिटर पर थर्मल शोर
दोषरहित उपकरणों के रूप में आदर्श कैपेसिटर में थर्मल शोर नहीं होता है, लेकिन आमतौर पर आरसी सर्किट में प्रतिरोधकों के साथ प्रयोग किया जाता है, संयोजन में केटीसी शोर कहा जाता है। आरसी सर्किट का शोर बैंडविड्थ Δf = 1/(4RC) है। जब इसे थर्मल शोर समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो परिणाम का असामान्य रूप से सरल रूप होता है क्योंकि विद्युत प्रतिरोध (R) का मान समीकरण से बाहर हो जाता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि उच्च R बैंडविड्थ को उतना ही कम करता है जितना शोर को बढ़ाता है।

ऐसे फ़िल्टर में उत्पन्न माध्य-वर्ग और RMS शोर वोल्टेज हैं:

\overline {v_n^2} = {4 k_\text{B} T R \over 4 R C} = k_\text{B} T / C $$

v_n = \sqrt{4 k_\text{B} T R \over 4 R C} = \sqrt{ k_\text{B} T / C }. $$ शोर चार्ज कैपेसिटेंस गुना वोल्टेज है:

Q_n = C v_n = C \sqrt{ k_\text{B} T / C } = \sqrt{ k_\text{B} T C } $$

\overline{Q_n^2} = C^2 \overline{v_n^2} = C^2 k_\text{B} T / C = k_\text{B} T C $$ यह आवेश शोर kTC शोर शब्द का मूल है।

हालांकि प्रतिरोधी के मूल्य से स्वतंत्र, प्रतिरोधी में केटीसी शोर का 100% उत्पन्न होता है। इसलिए, यदि रोकनेवाला और संधारित्र अलग-अलग तापमान पर हैं, तो उपरोक्त गणना में अकेले प्रतिरोधक के तापमान का उपयोग किया जाना चाहिए।

एक चरम मामला शून्य बैंडविड्थ सीमा है जिसे एक आदर्श स्विच खोलकर कैपेसिटर पर छोड़ा गया 'रीसेट शोर' कहा जाता है। प्रतिरोध अनंत है, फिर भी सूत्र लागू होता है; हालाँकि, अब RMS की व्याख्या समय के औसत के रूप में नहीं की जानी चाहिए, बल्कि ऐसी कई रीसेट घटनाओं के औसत के रूप में की जानी चाहिए, क्योंकि बैंडविड्थ शून्य होने पर वोल्टेज स्थिर रहता है। इस अर्थ में, आरसी सर्किट के जॉनसन शोर को अंतर्निहित देखा जा सकता है, संधारित्र पर इलेक्ट्रॉनों की संख्या के थर्मोडायनामिक वितरण का प्रभाव, यहां तक ​​​​कि प्रतिरोधी की भागीदारी के बिना भी।

शोर कैपेसिटर के कारण नहीं होता है, बल्कि कैपेसिटर पर आवेश की मात्रा के थर्मोडायनामिक उतार-चढ़ाव के कारण होता है। एक बार संधारित्र को एक संवाहक सर्किट से डिस्कनेक्ट कर दिया जाता है, ऊपर दिए गए अनुसार मानक विचलन के साथ थर्मोडायनामिक उतार-चढ़ाव एक यादृच्छिक मूल्य पर स्थिर हो जाता है। कैपेसिटिव सेंसर का रीसेट शोर अक्सर एक सीमित शोर स्रोत होता है, उदाहरण के लिए छवि संवेदक  में।

थर्मल संतुलन में किसी भी प्रणाली में स्वतंत्रता (भौतिकी और रसायन विज्ञान) की प्रति डिग्री केटी / 2 की औसत ऊर्जा के साथ राज्य चर होते हैं। एक संधारित्र पर ऊर्जा के सूत्र का उपयोग करना (E = ½CV2), संधारित्र पर माध्य शोर ऊर्जा को ½C(kT/C) = kT/2 भी देखा जा सकता है। प्रतिरोध पर विचार किए बिना, संधारित्र पर थर्मल शोर इस संबंध से प्राप्त किया जा सकता है।

सामान्यीकृत रूप
$$4 k_\text{B} T R$$ एच> ऊपर वर्णित वोल्टेज शोर कम आवृत्तियों के लिए पूरी तरह प्रतिरोधी घटक के लिए एक विशेष मामला है। उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय के परिणामस्वरूप, सामान्य तौर पर, थर्मल विद्युत शोर कई सामान्यीकृत विद्युत मामलों में प्रतिरोधी प्रतिक्रिया से संबंधित होता है। नीचे विभिन्न प्रकार के सामान्यीकरण दिए गए हैं। ये सभी सामान्यीकरण एक सामान्य सीमा साझा करते हैं, कि वे केवल उन मामलों में लागू होते हैं जहां विचाराधीन विद्युत घटक विशुद्ध रूप से निष्क्रियता (इंजीनियरिंग) और रैखिक है।

प्रतिक्रियाशील प्रतिबाधा
Nyquist के मूल पेपर ने आंशिक रूप से विद्युत प्रतिक्रिया प्रतिक्रिया वाले घटकों के लिए सामान्यीकृत शोर भी प्रदान किया, उदाहरण के लिए, ऐसे स्रोत जिनमें कैपेसिटर या इंडक्टर्स होते हैं। इस तरह के एक घटक को आवृत्ति-निर्भर जटिल विद्युत प्रतिबाधा द्वारा वर्णित किया जा सकता है $$Z(f)$$. श्रृंखला शोर वोल्टेज की शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व के लिए सूत्र है

S_{v_n v_n}(f) = 4 k_\text{B} T \eta(f) \operatorname{Re}[Z(f)]. $$ कार्यक्रम $$\eta(f)$$ बहुत उच्च आवृत्तियों को छोड़कर, या लगभग पूर्ण शून्य (नीचे देखें) को छोड़कर केवल 1 के बराबर है।

प्रतिबाधा का वास्तविक हिस्सा, $$\operatorname{Re}[Z(f)]$$, सामान्य आवृत्ति पर निर्भर है और इसलिए जॉनसन-निक्विस्ट शोर सफेद शोर नहीं है। आवृत्तियों की एक अवधि में आरएमएस शोर वोल्टेज $$f_1$$ को $$f_2$$ शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व के एकीकरण द्वारा पाया जा सकता है:
 * $$ \sqrt{\langle v_n^2 \rangle} = \sqrt{\int_{f_1}^{f_2} S_{v_n v_n}(f) df}$$.

वैकल्पिक रूप से, जॉनसन शोर का वर्णन करने के लिए समानांतर शोर प्रवाह का उपयोग किया जा सकता है, इसकी शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व है

S_{i_n i_n}(f) = 4 k_\text{B} T \eta(f) \operatorname{Re}[Y(f)]. $$ कहाँ $$Y(f) = 1/Z(f)$$ विद्युत प्रवेश है; ध्यान दें कि $$\operatorname{Re}[Y(f)] = \operatorname{Re}[Z(f)]/|Z(f)|^2$$

उच्च आवृत्तियों या कम तापमान
पर क्वांटम प्रभाव Nyquist ने यह भी बताया कि क्वांटम प्रभाव बहुत उच्च आवृत्तियों या पूर्ण शून्य के पास बहुत कम तापमान के लिए होता है। कार्यक्रम $$\eta(f)$$ सामान्य रूप से दिया गया है
 * $$\eta(f) = \frac{hf/k_\text{B} T}{e^{hf/k_\text{B} T} - 1},$$

कहाँ $$h$$ प्लैंक नियतांक है और $$\eta(f)$$ गुणन कारक है।

बहुत उच्च आवृत्तियों पर $$f \gtrsim k_\text{B} T/h$$, कार्यक्रम $$\eta(f)$$ घातीय रूप से शून्य से घटने लगता है। कमरे के तापमान पर यह संक्रमण टेराहर्ट्ज़ में होता है, पारंपरिक इलेक्ट्रॉनिक्स की क्षमताओं से कहीं अधिक, और इसलिए यह सेट करने के लिए मान्य है $$\eta(f)=1$$ पारंपरिक इलेक्ट्रॉनिक्स काम के लिए।

प्लांक के नियम से संबंध
Nyquist का सूत्र अनिवार्य रूप से वही है जो प्लैंक द्वारा 1901 में एक ब्लैकबॉडी के इलेक्ट्रोमैग्नेटिक रेडिएशन के लिए एक आयाम में प्राप्त किया गया था - यानी, यह प्लैंक के नियम का एक आयामी संस्करण है। ब्लैकबॉडी रेडिएशन का प्लैंक का नियम। दूसरे शब्दों में, एक गर्म अवरोधक एक संचरण लाइन पर विद्युत चुम्बकीय तरंगें पैदा करेगा जैसे एक गर्म वस्तु मुक्त स्थान में विद्युत चुम्बकीय तरंगों का निर्माण करेगी।

1946 में, रॉबर्ट एच. डिके ने संबंधों पर विस्तार से बताया, और आगे इसे एंटेना के गुणों से जोड़ा, विशेष रूप से यह तथ्य कि सभी अलग-अलग दिशाओं में औसत एंटीना एपर्चर इससे बड़ा नहीं हो सकता $$\lambda^2/(4\pi)$$, जहां λ तरंग दैर्ध्य है। यह 3D बनाम 1D प्लैंक के नियम की विभिन्न आवृत्ति निर्भरता से आता है।

मल्टीपोर्ट विद्युत नेटवर्क
रिचर्ड क्यू. ट्विस ने Nyquist के फॉर्मूले को मल्टी-पोर्ट (सर्किट थ्योरी) पैसिव इलेक्ट्रिकल नेटवर्क तक बढ़ाया, जिसमें गैर-पारस्परिक डिवाइस जैसे कि फैलानेवाला ्स और आइसोलेटर (माइक्रोवेव) शामिल हैं। थर्मल शोर हर बंदरगाह पर दिखाई देता है, और प्रत्येक बंदरगाह के साथ श्रृंखला में यादृच्छिक श्रृंखला वोल्टेज स्रोत के रूप में वर्णित किया जा सकता है। विभिन्न बंदरगाहों पर यादृच्छिक वोल्टेज सहसंबद्ध हो सकते हैं, और उनके आयाम और सहसंबंध पूरी तरह से अलग-अलग शोर वोल्टेज से संबंधित क्रॉस-स्पेक्ट्रल घनत्व कार्यों के एक सेट द्वारा वर्णित हैं।

S_{v_m v_n}(f) = 2 k_\text{B} T \eta(f) (Z_{mn}(f) + Z_{nm}(f)^*) $$ जहां $$Z_{mn}$$ प्रतिबाधा मैट्रिक्स के तत्व हैं $$\mathbf{Z}$$. फिर से, शोर का एक वैकल्पिक विवरण इसके बजाय प्रत्येक पोर्ट पर लागू समानांतर वर्तमान स्रोतों के संदर्भ में है। उनका क्रॉस-स्पेक्ट्रल घनत्व किसके द्वारा दिया जाता है

S_{i_m i_n}(f) = 2 k_\text{B} T \eta(f) (Y_{mn}(f) + Y_{nm}(f)^*) $$ कहाँ $$\mathbf{Y} = \mathbf{Z}^{-1}$$ प्रवेश पैरामीटर है।

निरंतर इलेक्ट्रोडायनामिक मीडिया
Nyquist शोर का पूर्ण सामान्यीकरण उतार-चढ़ाव इलेक्ट्रोडायनामिक्स में पाया जाता है, जो निरंतर प्रतिक्रिया समारोह जैसे कि ढांकता हुआ पारगम्यता या चुंबकीय पारगम्यता में विघटनकारी प्रतिक्रिया के साथ निरंतर मीडिया के अंदर शोर वर्तमान घनत्व का वर्णन करता है। उतार-चढ़ाव इलेक्ट्रोडायनामिक्स के समीकरण जॉनसन-निक्विस्ट शोर और फ्री-स्पेस श्याम पिंडों से उत्पन्न विकिरण  दोनों का वर्णन करने के लिए एक सामान्य ढांचा प्रदान करते हैं।

यह भी देखें

 * उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय
 * शॉट शोर
 * 1/च शोर
 * लैंग्विन समीकरण
 * उष्णता से ऊपर उठना

बाहरी संबंध

 * Amplifier noise in RF systems
 * Thermal noise (undergraduate) with detailed math