बीटा फलन

गणित में, बीटा फलन, जिसे यूलर अभिन्न भी कहा जाता है, यह एक विशेष फलन होता है जो गामा फलन और द्विपद गुणांक से निकटता से संबंधित होता है। इसे अभिन्न द्वारा परिभाषित किया जाता है


 * $$ \Beta(z_1,z_2) = \int_0^1 t^{z_1-1}(1-t)^{z_2-1}\,dt$$

सम्मिश्र संख्या इनपुट के लिए $$ z_1, z_2 $$ ऐसा है कि $$ \Re(z_1), \Re(z_2)>0$$.

बीटा फलन का अध्ययन लियोनहार्ड यूलर और एड्रियन मैरी लीजेंड्रे द्वारा किया गया था और इसे जैक्स फिलिप मैरी बिनेट द्वारा इसका नाम दिया गया था, इसका प्रतीक $Β$ एक ग्रीक वर्णमाला का बीटा (अक्षर) है।

गुण
बीटा फलन सममित फलन होता है, जिसका अर्थ है $$ \Beta(z_1,z_2) = \Beta(z_2,z_1)$$ सभी इनपुट के लिए $$z_1$$ और $$z_2$$. बीटा फलन का प्रमुख गुण गामा फलन से घनिष्ठ संबंध है:


 * $$ \Beta(z_1,z_2)=\frac{\Gamma(z_1)\,\Gamma(z_2)}{\Gamma(z_1+z_2)}.$$

इसका एक प्रमाण नीचे दिया गया है

बीटा फलन द्विपद गुणांक से निकटता से संबंधित होता है। जब $m$ (या $n$, समरूपता द्वारा) एक धनात्मक पूर्णांक है, यह गामा फलन की परिभाषा से अनुसरण करता है $Γ$ वह
 * $$ \Beta(m,n) =\frac{(m-1)!\,(n-1)!}{(m+n-1)!} = \frac{m + n}{mn} \Bigg/ \binom{m + n}{m}. $$

गामा फलन से संबंध
संबंध की एक सरल व्युत्पत्ति $$ \Beta(z_1,z_2) =\frac{\Gamma(z_1)\,\Gamma(z_2)}{\Gamma(z_1+z_2)}$$ एमिल आर्टिन की पुस्तक द गामा फंक्शन, पृष्ठ 18-19 में प्राप्त किया जा सकता है। इस संबंध को प्राप्त करने के लिए, उत्पाद को इस प्रकार लिखते है


 * $$\begin{align}

\Gamma(z_1)\Gamma(z_2) &= \int_{u=0}^\infty\ e^{-u} u^{z_1-1}\,du \cdot\int_{v=0}^\infty\ e^{-v} v^{z_2-1}\,dv \\[6pt] &=\int_{v=0}^\infty\int_{u=0}^\infty\ e^{-u-v} u^{z_1-1}v^{z_2-1}\, du \,dv. \end{align}$$ $u = st$ और $v = s(1 − t)$, क्योंकि $u + v = s$ और $u / (u+v) = t$, हमारे पास इसके लिए एकीकरण की सीमाएं है $s$ 0 से ∞ तक है और एकीकरण की सीमाएँ है $t$ 0 से 1 है। इस प्रकार उत्पादन होता है


 * $$\begin{align}

\Gamma(z_1)\Gamma(z_2) &= \int_{s=0}^\infty\int_{t=0}^1 e^{-s} (st)^{z_1-1}(s(1-t))^{z_2-1}s\,dt \,ds \\[6pt] &= \int_{s=0}^\infty e^{-s}s^{z_1+z_2-1} \,ds\cdot\int_{t=0}^1 t^{z_1-1}(1-t)^{z_2-1}\,dt\\ &=\Gamma(z_1+z_2) \cdot \Beta(z_1,z_2). \end{align}$$ इसके द्वारा दोनों संख्याओं को विभाजित किया जाता है $$\Gamma(z_1+z_2)$$ वांछित परिणाम प्राप्त होता है.

बताए गए एकीकरण को विशेष स्थिति के रूप में देखा जा सकता है


 * $$\begin{align}f(u)&:=e^{-u} u^{z_1-1} 1_{\R_+} \\ g(u)&:=e^{-u} u^{z_2-1} 1_{\R_+}, \end{align}$$

और


 * $$ \Gamma(z_1) \Gamma(z_2) = \int_{\R}f(u)\,du\cdot \int_{\R} g(u) \,du = \int_{\R}(f*g)(u)\,du =\Beta(z_1,z_2)\,\Gamma(z_1+z_2).$$

व्युत्पन्न
हमारे पास है


 * $$\frac{\partial}{\partial z_1} \mathrm{B}(z_1, z_2) = \mathrm{B}(z_1, z_2) \left( \frac{\Gamma'(z_1)}{\Gamma(z_1)} - \frac{\Gamma'(z_1 + z_2)}{\Gamma(z_1 + z_2)} \right) = \mathrm{B}(z_1, z_2) \big(\psi(z_1) - \psi(z_1 + z_2)\big),$$
 * $$\frac{\partial}{\partial z_m} \mathrm{B}(z_1, z_2, \dots, z_n) = \mathrm{B}(z_1, z_2, \dots, z_n) \left(\psi(z_m) - \psi\left( \sum_{k=1}^n z_k \right)\right), \quad 1\le m\le n,$$

जहाँ $$\psi(z)$$ बहु फलन को दर्शाता है।

अनुमान
स्टर्लिंग का सन्निकटन स्पर्शोन्मुख सूत्र से प्राप्त होता है


 * $$\Beta(x,y) \sim \sqrt {2\pi } \frac{x^{x - 1/2} y^{y - 1/2} }{( {x + y} )^{x + y - 1/2} }$$

बड़े के लिए $x$ और बड़ा $y$.

यदि दूसरी ओर $x$ बड़ा है और $y$ तो निश्चित है


 * $$\Beta(x,y) \sim \Gamma(y)\,x^{-y}.$$

अन्य पहचान और सूत्र
बीटा फलन को परिभाषित करने वाले अभिन्न को निम्नलिखित सहित विभिन्न विधियों से फिर से लिखा जा सकता है:

\begin{align} \Beta(z_1,z_2) &= 2\int_0^{\pi / 2}(\sin\theta)^{2z_1-1}(\cos\theta)^{2z_2-1}\,d\theta, \\[6pt] &= \int_0^\infty\frac{t^{z_1-1}}{(1+t)^{z_1+z_2}}\,dt, \\[6pt] &= n\int_0^1t^{nz_1-1}(1-t^n)^{z_2-1}\,dt, \\ &= (1-a)^{z_2} \int_0^1 \frac{(1-t)^{z_1-1}t^{z_2-1}}{(1-at)^{z_1+z_2}}dt \qquad \text{for any } a\in\mathbb{R}_{\leq 1}, \end{align}$$ जहां दूसरी से आखिरी पहचान में $n$ कोई धनात्मक वास्तविक संख्या है. व्यक्ति प्रतिस्थापन द्वारा पहले अभिन्न से दूसरे में जा सकता है $$t = \tan^2(\theta)$$.

बीटा फलन को अनंत योग के रूप में लिखा जा सकता है
 * $$\Beta(x,y) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(1-x)_n}{(y+n)\,n!}$$ : (जहाँ $$(x)_n$$ गिरता और बढ़ता फैक्टोरियल है)

और एक अनंत उत्पाद के रूप में
 * $$\Beta(x,y) = \frac{x+y}{x y} \prod_{n=1}^\infty \left( 1+ \dfrac{x y}{n (x+y+n)}\right)^{-1}.$$

बीटा फलन द्विपद गुणांकों के लिए संबंधित पहचानों के अनुरूप कई पहचानों को संतुष्ट करता है, जिसमें पास्कल की पहचान का एक संस्करण भी सम्मलित होता है


 * $$ \Beta(x,y) = \Beta(x, y+1) + \Beta(x+1, y)$$

और एक निर्देशांक पर एक सरल पुनरावृत्ति:


 * $$\Beta(x+1,y) = \Beta(x, y) \cdot \dfrac{x}{x+y}, \quad \Beta(x,y+1) = \Beta(x, y) \cdot \dfrac{y}{x+y}.$$

बीटा फलन के धनात्मक पूर्णांक मान भी 2D फलन के आंशिक व्युत्पन्न है: सभी गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के लिए $$m$$ और $$n$$,
 * $$\Beta(m+1, n+1) = \frac{\partial^{m+n}h}{\partial a^m \, \partial b^n}(0, 0),$$

जहाँ
 * $$h(a, b) = \frac{e^a-e^b}{a-b}.$$

उपरोक्त पास्कल फलन प्रथम-क्रम आंशिक अंतर समीकरण का समाधान है
 * $$h = h_a+h_b.$$

इसके लिए $$x, y \geq 1$$, बीटा फलन को सम्मलित करने वाले कनवल्शन के संदर्भ में लिखा जा सकता है $$t \mapsto t_+^x$$:
 * $$ \Beta(x,y) \cdot\left(t \mapsto t_+^{x+y-1}\right) = \Big(t \mapsto t_+^{x-1}\Big) * \Big(t \mapsto t_+^{y-1}\Big)$$

विशेष बिंदुओं पर मूल्यांकन अधिक सरल हो सकता है, उदाहरण के लिए,
 * $$ \Beta(1,x) = \dfrac{1}{x} $$

और
 * $$ \Beta(x,1-x) = \dfrac{\pi}{\sin(\pi x)}, \qquad x \not \in \mathbb{Z} $$

$$ x = \frac{1}{2}$$ इस अंतिम सूत्र में, उसका अनुसरण करता है $$\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$$. बीटा फलन के उत्पाद के लिए इसे द्विचर पहचान में सामान्यीकृत करने से यह प्राप्त होता है:
 * $$ \Beta(x,y) \cdot \Beta(x+y,1-y) = \frac{\pi}{x \sin(\pi y)} .$$

बीटा फलन के लिए यूलर के अभिन्न को पोचहैमर समोच्च पर एक अभिन्न में परिवर्तित किया जा सकता है $C$ जैसे


 * $$\left(1-e^{2\pi i\alpha}\right)\left(1-e^{2\pi i\beta}\right)\Beta(\alpha,\beta) =\int_C t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1} \, dt.$$

यह पोचहैमर समोच्च अभिन्न अंग सभी मूल्यों के लिए अभिसरण करता है $α$ और $β$ और इस प्रकार बीटा फलन की विश्लेषणात्मक निरंतरता मिलती है।

जिस तरह यह पूर्णांकों के लिए गामा फलन का वर्णन करता है, बीटा फलन सूचकांकों को समायोजित करने के बाद एक द्विपद गुणांक को परिभाषित कर सकता है:
 * $$\binom{n}{k} = \frac{1}{(n+1)\,\Beta(n-k+1, k+1)}.$$

इसके अतिरिक्त, पूर्णांक के लिए $n$, $Β$ के निरंतर मानों के फलन के लिए गुणन किया जा सकता है $k$:
 * $$\binom{n}{k} = (-1)^n\, n! \cdot\frac{\sin (\pi k)}{\pi \displaystyle\prod_{i=0}^n (k-i)}.$$

पारस्परिक बीटा फलन
पारस्परिक बीटा फलन प्रपत्र के बारे में विशेष फलन है


 * $$f(x,y)=\frac{1}{\Beta(x,y)}$$

उनके अभिन्न निरूपण त्रिकोणमितीय कार्यों के निश्चित अभिन्न अंग के रूप में इसकी ऊर्जा के उत्पाद के साथ निकटता से संबंधित होता है| एकाधिक-कोण है:

$$\int_0^\pi\sin^{x-1}\theta\sin y\theta~d\theta=\frac{\pi\sin\frac{y\pi}{2}}{2^{x-1}x\Beta\left(\frac{x+y+1}{2},\frac{x-y+1}{2}\right)}$$
 * $$\int_0^\pi\sin^{x-1}\theta\cos y\theta~d\theta=\frac{\pi\cos\frac{y\pi}{2}}{2^{x-1}x\Beta\left(\frac{x+y+1}{2},\frac{x-y+1}{2}\right)}$$
 * $$\int_0^\pi\cos^{x-1}\theta\sin y\theta~d\theta=\frac{\pi\cos\frac{y\pi}{2}}{2^{x-1}x\Beta\left(\frac{x+y+1}{2},\frac{x-y+1}{2}\right)}$$
 * $$\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^{x-1}\theta\cos y\theta~d\theta=\frac{\pi}{2^xx\Beta\left(\frac{x+y+1}{2},\frac{x-y+1}{2}\right)}$$

अपूर्ण बीटा फलन
अपूर्ण बीटा फलन, बीटा फलन को सामान्यीकरण, के रूप में परिभाषित किया जाता है


 * $$ \Beta(x;\,a,b) = \int_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt. $$

इसके लिए $x = 1$, अपूर्ण बीटा फलन पूर्ण बीटा फलन के साथ मेल खाता है। दोनों कार्यों के बीच का संबंध गामा फलन और उसके सामान्यीकरण के बीच अधूरा गामा फलन जैसा होता है। धनात्मक पूर्णांक ए और बी के लिए, अपूर्ण बीटा फलन तर्कसंगत गुणांक के साथ डिग्री ए + बी - 1 का बहुपद होता है।

'नियमित अपूर्ण बीटा फलन' (या संक्षेप में 'नियमित बीटा फलन') को अपूर्ण बीटा फलन और पूर्ण बीटा फलन के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है:


 * $$ I_x(a,b) = \frac{\Beta(x;\,a,b)}{\Beta(a,b)}. $$

नियमित अपूर्ण बीटा फलन बीटा वितरण का संचयी वितरण फलन होता है, और संचयी वितरण फलन से संबंधित होता है $$F(k;\,n,p)$$ एक यादृच्छिक चर का $X$ एकल सफलता की संभावना के साथ द्विपद वितरण का पालन करता है $p$ और बर्नौली परीक्षणों की संख्या $n$ होती है:


 * $$F(k;\,n,p) = \Pr\left(X \le k\right) = I_{1-p}(n-k, k+1) = 1 - I_p(k+1,n-k). $$

गुण

 * $$\begin{align}

I_0(a,b) &= 0 \\ I_1(a,b) &= 1 \\ I_x(a,1) &= x^a\\ I_x(1,b) &= 1 - (1-x)^b \\ I_x(a,b) &= 1 - I_{1-x}(b,a) \\ I_x(a+1,b) &= I_x(a,b)-\frac{x^a(1-x)^b}{a \Beta(a,b)} \\ I_x(a,b+1) &= I_x(a,b)+\frac{x^a(1-x)^b}{b \Beta(a,b)} \\ \int B(x;a,b) \mathrm{d}x &= x B(x; a, b) - B(x; a+1, b) \\ \Beta(x;a,b)&=(-1)^{a} \Beta\left(\frac{x}{x-1};a,1-a-b\right) \end{align}$$

बहुभिन्नरूपी बीटा फलन
बीटा फलन को दो से अधिक तर्कों वाले फलन तक बढ़ाया जा सकता है:


 * $$\Beta(\alpha_1,\alpha_2,\ldots\alpha_n) = \frac{\Gamma(\alpha_1)\,\Gamma(\alpha_2) \cdots \Gamma(\alpha_n)}{\Gamma(\alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n)} .$$

इस बहुभिन्नरूपी बीटा फलन का उपयोग डिरिचलेट वितरण की परिभाषा में किया जाता है। बीटा फलन से इसका संबंध बहुपद गुणांक और द्विपद गुणांक के बीच संबंध के अनुरूप होता है। उदाहरण के लिए, यह पास्कल की पहचान के एक समान संस्करण को संतुष्ट करता है:


 * $$\Beta(\alpha_1,\alpha_2,\ldots\alpha_n) = \Beta(\alpha_1+1,\alpha_2,\ldots\alpha_n)+\Beta(\alpha_1,\alpha_2+1,\ldots\alpha_n)+\cdots+\Beta(\alpha_1,\alpha_2,\ldots\alpha_n+1) .$$

अनुप्रयोग
बीटा फलन प्रक्षेपवक्र के लिए प्रकीर्णन आयाम की गणना और प्रतिनिधित्व करने में उपयोगी होता है। इसके अतिरिक्त, यह स्ट्रिंग सिद्धांत में पहला ज्ञात एस आव्यूह था, जिसका अनुमान सबसे पहले गेब्रियल विनीशियन ने लगाया था। यह अधिमान्य अनुलग्नक प्रक्रिया के सिद्धांत में भी होता है, जो एक प्रकार की प्रसंभाव्य समस्या होती है। बीटा फलन सांख्यिकी में भी महत्वपूर्ण होता है, उदाहरण बीटा वितरण और बीटा मुख्य वितरण। जैसा कि पहले संक्षेप में बताया गया है, बीटा फलन गामा फलन के साथ निकटता से जुड़ा हुआ होता है और युक्ति भाषा में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

सॉफ्टवेयर कार्यान्वयन
सामान्यतः अनुपलब्ध होने पर भी, पूर्ण और अपूर्ण बीटा फलन मानों की गणना सामान्यतः स्प्रेडशीट या कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली में सम्मलित फलन का उपयोग करके किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, माइक्रोसॉफ्ट इक्सेल में, संपूर्ण बीटा फलन की गणना इसके साथ की जा सकती है  फलन (या   पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा) में SciPy पैकेज):

यह परिणाम गुणों से प्राप्त होता है।

ऐसे संबंधों का उपयोग करके अपूर्ण बीटा फलन की सीधे गणना नहीं की जा सकती है और अन्य विधियों का उपयोग किया जाता है। जीएनयू आक्टेव में, इसकी गणना निरंतर अंश विस्तार का उपयोग करके की जाती है।

अपूर्ण बीटा फलन सामान्य भाषाओं में उपस्थित कार्यान्वयन होता है। उदाहरण के लिए,  (अपूर्ण बीटा फलन) मैट्लैब और जीएनयू ऑक्टेव में,   (बीटा वितरण की संभावना) आर (प्रोग्रामिंग भाषा) में, या   SciPy में बीटा वितरण संचयी वितरण फलन की गणना करता है - जो वास्तव में, संचयी बीटा वितरण होता है - और इसलिए, वास्तविक अपूर्ण बीटा फलन प्राप्त करने के लिए, परिणाम को गुणा करना होता है   ,   और   $$ \Beta(x;\,a,b) $$ और $$ I_x(a,b) $$।

यह भी देखें

 * बीटा वितरण और बीटा प्राइम वितरण, बीटा फलन से संबंधित दो संभाव्यता वितरण
 * जैकोबी योग, परिमित क्षेत्रों पर बीटा फलन का एनालॉग।
 * नॉरलुंड-चावल अभिन्न
 * यूल-साइमन वितरण

बाहरी संबंध

 * Arbitrarily accurate values can be obtained from:
 * The Wolfram functions site: Evaluate Beta Regularized incomplete beta
 * danielsoper.com: Incomplete beta function calculator, Regularized incomplete beta function calculator
 * The Wolfram functions site: Evaluate Beta Regularized incomplete beta
 * danielsoper.com: Incomplete beta function calculator, Regularized incomplete beta function calculator