सांकेतिक ग्राफ

गणित में ग्राफ़ सिद्धांत के क्षेत्र में, एक हस्ताक्षरित ग्राफ़ एक ग्राफ़ होता है जिसमें प्रत्येक किनारे पर एक सकारात्मक या नकारात्मक चिह्न होता है।

एक हस्ताक्षरित ग्राफ संतुलित होता है यदि हर चक्र ([[ग्राफ सिद्धांत)]] के किनारे के किनारे का उत्पाद सकारात्मक है। नाम हस्ताक्षरित ग्राफ और संतुलन की धारणा पहली बार 1953 में फ्रैंक हैरिस के एक गणितीय पेपर में दिखाई दी। डेन्स कोनिग ने पहले से ही 1936 में एक अलग शब्दावली के तहत समकक्ष धारणाओं का अध्ययन किया था, लेकिन साइन समूह की प्रासंगिकता को पहचाने बिना। मिशिगन विश्वविद्यालय में सेंटर फॉर ग्रुप डायनेमिक्स में, डोरविन कार्टराईट और हैरी ने फ्रिट्ज हैडर के मनोवैज्ञानिक सिद्धांत के संतुलन सिद्धांत को भावनाओं के त्रिकोण में हस्ताक्षर किए गए रेखांकन में संतुलन के मनोवैज्ञानिक सिद्धांत के लिए सामान्यीकृत किया। हस्ताक्षरित रेखांकन कई बार फिर से खोजे गए हैं क्योंकि वे कई असंबद्ध क्षेत्रों में स्वाभाविक रूप से सामने आते हैं। उदाहरण के लिए, वे क्लासिकल मूल प्रक्रिया  के सबसेट की ज्यामिति का वर्णन और विश्लेषण करने में सक्षम बनाते हैं। वे  टोपोलॉजिकल ग्राफ सिद्धांत  और  समूह सिद्धांत  में दिखाई देते हैं। वे रेखांकन में विषम और सम चक्र (ग्राफ सिद्धांत) के बारे में प्रश्नों के लिए एक स्वाभाविक संदर्भ हैं। वे गैर-फेरोमैग्नेटिक आइसिंग मॉडल में जमीनी अवस्था ऊर्जा की गणना में दिखाई देते हैं; इसके लिए Σ में सबसे बड़ा संतुलित किनारा सेट खोजने की जरूरत है। उन्हें सहसंबंध क्लस्टरिंग में डेटा वर्गीकरण पर लागू किया गया है।

मौलिक प्रमेय
एक पथ का चिह्न (ग्राफ़ सिद्धांत) इसके किनारों के चिह्नों का गुणनफल है। इस प्रकार एक पथ तभी धनात्मक होता है जब उसमें सम संख्या में ऋणात्मक किनारे हों (जहाँ शून्य सम है)। फ्रैंक हैरी के गणितीय संतुलन सिद्धांत में, प्रत्येक चक्र (ग्राफ सिद्धांत) सकारात्मक होने पर एक हस्ताक्षरित ग्राफ संतुलित होता है। हैरी साबित करता है कि एक हस्ताक्षरित ग्राफ संतुलित होता है जब (1) नोड्स के प्रत्येक जोड़े के लिए, उनके बीच के सभी रास्तों का एक ही चिह्न होता है, या (2) वर्टिकल विभाजन उपसमुच्चय (संभवतः खाली) की एक जोड़ी में होता है, प्रत्येक में केवल सकारात्मक किनारे होते हैं, लेकिन नकारात्मक किनारों से जुड़ा हुआ है। यह प्रमेय का सामान्यीकरण करता है कि एक साधारण (अहस्ताक्षरित) ग्राफ द्विदलीय ग्राफ है यदि और केवल यदि प्रत्येक चक्र की लंबाई समान है।

एक साधारण प्रमाण स्विचिंग की विधि का उपयोग करता है। एक हस्ताक्षरित ग्राफ़ को स्विच करने का अर्थ है शीर्ष उपसमुच्चय और उसके पूरक के बीच सभी किनारों के संकेतों को उलट देना। हैरी के प्रमेय को साबित करने के लिए, प्रेरण द्वारा दिखाया गया है कि Σ को सभी सकारात्मक होने के लिए स्विच किया जा सकता है अगर यह संतुलित है।

एक कमजोर प्रमेय, लेकिन एक सरल प्रमाण के साथ, यह है कि यदि हस्ताक्षरित पूर्ण ग्राफ़ में प्रत्येक 3-चक्र धनात्मक है, तो ग्राफ़ संतुलित है। प्रमाण के लिए, एक मनमाना नोड n चुनें और इसे और उन सभी नोड्स को रखें जो n से एक समूह में सकारात्मक किनारे से जुड़े हैं, जिन्हें A कहा जाता है, और वे सभी जो 'n' से जुड़े हैं 'एन' दूसरे में एक नकारात्मक किनारे से, जिसे 'बी' कहा जाता है। चूंकि यह एक पूर्ण ग्राफ है, इसलिए ए में हर दो नोड दोस्त होने चाहिए और बी में हर दो नोड दोस्त होने चाहिए, अन्यथा एक 3-चक्र होगा जो असंतुलित था। (चूंकि यह एक पूर्ण ग्राफ है, कोई भी नकारात्मक किनारा असंतुलित 3-चक्र का कारण होगा।) इसी तरह, सभी नकारात्मक किनारों को दो समूहों के बीच जाना चाहिए।

निराशा सूचकांक
हताशा सूचकांक (प्रारंभिक रूप से संतुलन की रेखा सूचकांक कहा जाता है Σ की सबसे छोटी संख्या किनारों की है जिसका विलोपन, या समतुल्य जिसका साइन रिवर्सल (हैरी का एक प्रमेय ), Σ को संतुलित बनाता है। तुल्यता का कारण यह है कि हताशा सूचकांक किनारों की सबसे छोटी संख्या के बराबर होता है जिसका निषेध (या, समतुल्य, विलोपन; Σ संतुलित बनाता है।

हताशा सूचकांक का वर्णन करने का दूसरा तरीका यह है कि यह किनारों की सबसे छोटी संख्या है जो सभी नकारात्मक चक्रों को कवर करती है। इस मात्रा को ऋणात्मक चक्र आवरण संख्या कहा गया है।

एक और समतुल्य परिभाषा है (जिसे स्विच करके आसानी से सिद्ध किया जा सकता है)। प्रत्येक शीर्ष को +1 या -1 का मान दें; हम इसे Σ की स्थिति कहते हैं। एक बढ़त को संतुष्ट कहा जाता है यदि यह सकारात्मक है और दोनों समापन बिंदुओं का मान समान है, या यह ऋणात्मक है और अंत बिंदुओं के विपरीत मान हैं। एक किनारा जो संतुष्ट नहीं होता है उसे निराश कहा जाता है। सभी राज्यों में कुंठित किनारों की सबसे छोटी संख्या हताशा सूचकांक है। यह परिभाषा पहली बार एबेलसन और रोसेनबर्ग द्वारा (अप्रचलित) नाम जटिलता के तहत एक अलग संकेतन में पेश की गई थी। ऐसे सेट का पूरक सबसे संभावित किनारों के साथ Σ का संतुलित सबग्राफ है।

हताशा सूचकांक ढूँढना एक एनपी-कठिन समस्या है। अरेफ एट अल। बाइनरी प्रोग्रामिंग मॉडल सुझाएं जो 10 तक के ग्राफ के फ्रस्ट्रेशन इंडेक्स की गणना करने में सक्षम हैं उचित समय में 5 किनारे। कोई भी एनपी-हार्ड जटिलता देख सकता है कि सभी-नकारात्मक हस्ताक्षरित ग्राफ़ की हताशा सूचकांक ग्राफ़ सिद्धांत में मैक्सकट समस्या के समान है, जो एनपी-हार्ड है।

स्पिन ग्लासेस के एक मॉडल, आइसिंग मॉडल#मिश्रित में फ्रस्ट्रेशन इंडेक्स महत्वपूर्ण है। इस मॉडल में, हस्ताक्षरित ग्राफ निश्चित है। एक राज्य में प्रत्येक शीर्ष पर ऊपर या नीचे स्पिन देना शामिल है। हम स्पिन अप को +1 और स्पिन डाउन को -1 मानते हैं। इस प्रकार, प्रत्येक राज्य में कई कुंठित किनारे हैं। एक राज्य की ऊर्जा तब बड़ी होती है जब उसके पास अधिक कुंठित किनारे होते हैं, इसलिए एक जमीनी राज्य सबसे कम कुंठित ऊर्जा वाला राज्य होता है। इस प्रकार, $$\ $ की जमीनी स्थिति ऊर्जा का पता लगाने के लिए किसी को निराशा सूचकांक का पता लगाना होगा।

निराशा संख्या
अनुरूप शीर्ष संख्या हताशा संख्या है, जिसे सबसे छोटी संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है जिसका Σ से विलोपन संतुलन में होता है। समतुल्य रूप से, कोई Σ के संतुलित प्रेरित सबग्राफ का सबसे बड़ा क्रम चाहता है।

एल्गोरिथम समस्याएं
हस्ताक्षरित ग्राफ़ के बारे में तीन मूलभूत प्रश्न हैं: क्या यह संतुलित है? इसमें सेट किए गए संतुलित किनारे का सबसे बड़ा आकार क्या है? शीर्ष (ग्राफ सिद्धांत) की सबसे छोटी संख्या क्या है जिसे संतुलित करने के लिए हटाया जाना चाहिए? बहुपद समय में पहला प्रश्न हल करना आसान है। दूसरे प्रश्न को फ्रस्ट्रेशन इंडेक्स या मैक्सिमम बैलेंस्ड सबग्राफ समस्या कहा जाता है। यह एनपी-हार्ड है क्योंकि इसका विशेष मामला (जब ग्राफ के सभी किनारे नकारात्मक हैं) एनपी-हार्ड प्रॉब्लम मैक्सिमम कट है। तीसरे प्रश्न को निराशा संख्या या अधिकतम संतुलित प्रेरित सबग्राफ समस्या कहा जाता है, यह एनपी-हार्ड भी है; उदाहरण देखें

मैट्रोइड सिद्धांत
एक हस्ताक्षरित ग्राफ़ से जुड़े दो मैट्रोइड्स हैं, जिन्हें साइन-ग्राफ़िक matroid  कहा जाता है (जिसे फ़्रेम मैट्रॉइड या कभी-कभी बायस मैट्रोइड भी कहा जाता है) और लिफ्ट मैट्रोइड, जो दोनों एक ग्राफ़ के चक्र मैट्रॉइड को सामान्य करते हैं। वे पक्षपाती ग्राफ के समान मैट्रोइड्स के विशेष मामले हैं।

'फ़्रेम मेट्रॉइड' (या 'साइन-ग्राफ़िक मैट्रॉइड') M(G) ने अपने ग्राउंड सेट के लिए एज सेट E किया है। एक एज सेट स्वतंत्र होता है यदि प्रत्येक घटक में या तो कोई वृत्त नहीं होता है या केवल एक वृत्त होता है, जो ऋणात्मक होता है। ( मैट्रोइड सिद्धांत में एक हाफ-एज बिल्कुल नेगेटिव लूप की तरह काम करता है।) मैट्रॉइड का एक सर्किट या तो एक पॉजिटिव सर्कल होता है, या एक कनेक्टिंग सिंपल पाथ के साथ नेगेटिव सर्किल का एक जोड़ा होता है, जैसे कि दो सर्कल या तो डिसजॉइंट होते हैं (फिर कनेक्टिंग पथ का प्रत्येक सर्कल के साथ एक छोर आम है और अन्यथा दोनों से अलग है) या केवल एक सामान्य शीर्ष साझा करें (इस मामले में कनेक्टिंग पथ वह एकल शीर्ष है)। एज सेट S की कोटि n - b है, जहाँ n, G के शीर्षों की संख्या है और b, S के संतुलित घटकों की संख्या है, पृथक शीर्षों को संतुलित घटकों के रूप में गिनते हुए। यह matroid हस्ताक्षरित ग्राफ़ के घटना मैट्रिक्स का matroid सिद्धांत है। यही कारण है कि यह शास्त्रीय रूट सिस्टम की जड़ों की रैखिक निर्भरताओं का वर्णन करता है।

'विस्तारित लिफ्ट मैट्रॉइड' एल0(जी) ने इसके आधार के लिए सेट ई सेट किया है0 एज सेट E का एक 'अतिरिक्त बिंदु' के साथ मिलन, जिसे हम e से निरूपित करते हैं0. लिफ्ट मैट्रॉइड एल(जी) ई तक सीमित विस्तारित लिफ्ट मैट्रॉइड है। अतिरिक्त बिंदु बिल्कुल नकारात्मक पाश की तरह कार्य करता है, इसलिए हम केवल लिफ्ट मैट्रॉइड का वर्णन करते हैं। एक किनारे का सेट स्वतंत्र होता है यदि इसमें या तो कोई वृत्त नहीं होता है या केवल एक वृत्त होता है, जो ऋणात्मक होता है। (यह वही नियम है जो हस्ताक्षरित-ग्राफ़िक मैट्रोइड में प्रत्येक घटक के लिए अलग से लागू होता है।) एक मैट्रॉइड सर्किट या तो एक सकारात्मक सर्कल या नकारात्मक सर्किलों की एक जोड़ी है जो या तो अलग हैं या केवल एक सामान्य शीर्ष है। एज सेट S की रैंक n - c + ε है, जहां c S के घटकों की संख्या है, अलग-अलग शीर्षों की गणना, और ε यदि 'S' संतुलित है तो 0 है और यदि नहीं है तो 1 है।

अन्य प्रकार के हस्ताक्षरित ग्राफ
कभी-कभी संकेतों को +1 और -1 मान लिया जाता है। यह केवल अंकन का अंतर है, यदि संकेतों को अभी भी एक वृत्त के चारों ओर गुणा किया जाता है और गुणनफल का चिह्न महत्वपूर्ण है। हालांकि, किनारे के लेबल का इलाज करने के दो अन्य तरीके हैं जो हस्ताक्षरित ग्राफ सिद्धांत में फिट नहीं होते हैं।

हस्ताक्षरित ग्राफ़ शब्द को कभी-कभी ग्राफ़ पर लागू किया जाता है जिसमें प्रत्येक किनारे का भार होता है, w(e) = +1 या -1। ये एक ही प्रकार के हस्ताक्षरित ग्राफ़ नहीं हैं; वे प्रतिबंधित वजन सेट के साथ ग्राफ (असतत गणित) हैं। अंतर यह है कि वज़न जोड़ा जाता है, गुणा नहीं किया जाता है। समस्याएं और तरीके पूरी तरह से अलग हैं।

नाम उन ग्राफ़ों पर भी लागू होता है जिनमें संकेत किनारों पर रंगों के रूप में कार्य करते हैं। रंग का महत्व यह है कि यह किनारे पर लगाए गए विभिन्न भारों को निर्धारित करता है, न कि इसका चिन्ह आंतरिक रूप से महत्वपूर्ण है। गाँठ सिद्धांत में यह स्थिति है, जहाँ संकेतों का एकमात्र महत्व यह है कि उन्हें दो-तत्व समूह द्वारा परस्पर बदला जा सकता है, लेकिन सकारात्मक और नकारात्मक के बीच कोई आंतरिक अंतर नहीं है। सांकेतिक रंग के ग्राफ़ का मैट्रोइड अंतर्निहित ग्राफ़ का चक्र मैट्रोइड है; यह हस्ताक्षरित ग्राफ का फ्रेम या लिफ्ट मैट्रॉइड नहीं है। साइन लेबल, मैट्रोइड को बदलने के बजाय, मैट्रोइड के तत्वों पर संकेत बन जाते हैं।

इस लेख में हम सख्त अर्थों में केवल हस्ताक्षरित ग्राफ सिद्धांत पर चर्चा करते हैं। सांकेतिक रंग के ग्राफ़ के लिए रंगीन मैट्रोइड्स देखें।

हस्ताक्षरित डिग्राफ
एक हस्ताक्षरित डिग्राफ हस्ताक्षरित चाप के साथ एक निर्देशित ग्राफ है। हस्ताक्षरित डिग्राफ हस्ताक्षरित ग्राफ़ की तुलना में कहीं अधिक जटिल हैं, क्योंकि केवल निर्देशित चक्रों के संकेत ही महत्वपूर्ण हैं। उदाहरण के लिए, संतुलन की कई परिभाषाएँ हैं, जिनमें से प्रत्येक को चित्रित करना कठिन है, हस्ताक्षरित अप्रत्यक्ष रेखांकन की स्थिति के विपरीत।

हस्ताक्षरित द्विलेखों को #अभिविन्यास के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। उत्तरार्द्ध द्विदिश रेखांकन हैं, निर्देशित रेखांकन नहीं (सभी सकारात्मक संकेतों के तुच्छ मामले को छोड़कर)।

वर्टेक्स संकेत
एक शीर्ष-हस्ताक्षरित ग्राफ़, जिसे कभी-कभी चिह्नित ग्राफ़ कहा जाता है, एक ग्राफ़ होता है जिसके शीर्षों को संकेत दिए जाते हैं। एक वृत्त को संगत कहा जाता है (लेकिन यह तार्किक स्थिरता से असंबंधित है) या सामंजस्यपूर्ण कहा जाता है यदि इसके शीर्ष संकेतों का गुणनफल सकारात्मक है, और असंगत या धार्मिक है यदि उत्पाद ऋणात्मक है। हरारी के संतुलन प्रमेय के अनुरूप सामंजस्यपूर्ण शीर्ष-हस्ताक्षरित रेखांकन का कोई सरल लक्षण वर्णन नहीं है; इसके बजाय, चरित्र-चित्रण एक कठिन समस्या रही है, जोगलेकर, शाह और दीवान (2012) द्वारा सबसे अच्छा हल किया गया है (और भी आम तौर पर)। बड़े बदलाव के बिना वर्टेक्स संकेतों के सिद्धांत में किनारे के संकेतों को जोड़ना अक्सर आसान होता है; इस प्रकार, शीर्ष-हस्ताक्षरित ग्राफ़ (या चिह्नित हस्ताक्षरित ग्राफ़) के लिए कई परिणाम स्वाभाविक रूप से शीर्ष-और-किनारे-हस्ताक्षरित ग्राफ़ तक विस्तारित होते हैं। जोगलेकर, शाह और दीवान (2012) द्वारा सद्भाव के लक्षण वर्णन के लिए यह विशेष रूप से सच है।

एक चिह्नित हस्ताक्षरित ग्राफ और एक राज्य समारोह के साथ एक हस्ताक्षरित ग्राफ के बीच का अंतर (जैसा कि § हस्ताक्षरित ग्राफ # हताशा में है) यह है कि पूर्व में वर्टेक्स संकेत आवश्यक संरचना का हिस्सा हैं, जबकि एक राज्य फ़ंक्शन हस्ताक्षरित पर एक चर फ़ंक्शन है ग्राफ।

ध्यान दें कि चिह्नित ग्राफ शब्द पेट्री नेट में व्यापक रूप से एक पूरी तरह से अलग अर्थ में उपयोग किया जाता है; चिह्नित रेखांकन पर लेख देखें।

रंग
अहस्ताक्षरित ग्राफ़ सिद्धांत के साथ, हस्ताक्षरित ग्राफ़ रंग की एक धारणा है। जहाँ ग्राफ़ का ग्राफ रंग वर्टेक्स सेट से नेचुरल नंबर्स तक मैपिंग है, साइन किए गए ग्राफ़ का कलरिंग वर्टेक्स सेट से पूर्णांकों तक मैपिंग है। ग्राफ़ कलरिंग की बाधाएँ हस्ताक्षरित ग्राफ़ के किनारों से आती हैं। दो शीर्षों को निर्दिष्ट पूर्णांक भिन्न होने चाहिए यदि वे एक सकारात्मक किनारे से जुड़े हों। यदि कोने एक नकारात्मक किनारे से जुड़े हुए हैं, तो आसन्न कोने पर लेबल योगात्मक व्युत्क्रम नहीं होना चाहिए। सकारात्मक लूप के साथ हस्ताक्षरित ग्राफ का कोई उचित रंग नहीं हो सकता है।

अधिकतम प्राकृतिक संख्या k पर परिमाण के साथ पूर्णांक के सेट पर वर्टेक्स लेबल को प्रतिबंधित करते समय, एक हस्ताक्षरित ग्राफ़ के उचित रंगों का सेट परिमित होता है। ऐसे उचित रंगों की संख्या और k के बीच का संबंध k में एक बहुपद है; जब के संदर्भ में व्यक्त किया गया $$2k+1$$ इसे हस्ताक्षरित ग्राफ का रंगीन बहुपद कहा जाता है। यह एक अहस्ताक्षरित ग्राफ के रंगीन बहुपद के अनुरूप है।

सामाजिक मनोविज्ञान
सामाजिक मनोविज्ञान में, हस्ताक्षरित रेखांकन का उपयोग सामाजिक स्थितियों को मॉडल करने के लिए किया गया है, सकारात्मक किनारों के साथ दोस्ती का प्रतिनिधित्व करते हैं और नोड्स के बीच नकारात्मक किनारों की दुश्मनी, जो लोगों का प्रतिनिधित्व करते हैं। फिर, उदाहरण के लिए, एक सकारात्मक 3-चक्र या तो तीन परस्पर मित्र हैं, या एक सामान्य शत्रु वाले दो मित्र हैं; जबकि एक नकारात्मक 3-चक्र या तो तीन परस्पर शत्रु हैं, या दो शत्रु हैं जो एक पारस्परिक मित्र साझा करते हैं। संतुलन सिद्धांत के अनुसार, सकारात्मक चक्र संतुलित होते हैं और इन्हें स्थिर सामाजिक स्थिति माना जाता है, जबकि नकारात्मक चक्र असंतुलित होते हैं और इन्हें अस्थिर माना जाता है। सिद्धांत के अनुसार, तीन पारस्परिक शत्रुओं के मामले में, ऐसा इसलिए है क्योंकि एक साझा शत्रु को साझा करने से मेरे शत्रु का शत्रु मेरा मित्र है। एक दोस्त को साझा करने वाले दो दुश्मनों के मामले में, साझा दोस्त एक दूसरे को चुनने की संभावना रखता है और अपनी दोस्ती में से एक को दुश्मन में बदल देता है।

एंटल, क्रैपीव्स्की और रेडर सामाजिक गतिशीलता को एक हस्ताक्षरित ग्राफ के किनारे पर साइन इन परिवर्तन के रूप में मानते हैं। एक तलाकशुदा जोड़े के पिछले दोस्तों के साथ सामाजिक संबंधों का उपयोग समाज में एक हस्ताक्षरित ग्राफ के विकास को दर्शाने के लिए किया जाता है। एक अन्य दृष्टांत प्रथम विश्व युद्ध से पहले के दशकों में यूरोपीय शक्तियों के बीच बदलते अंतरराष्ट्रीय गठजोड़ का वर्णन करता है। वे स्थानीय त्रय गतिकी और विवश त्रय गतिकी पर विचार करते हैं, जहां बाद वाले मामले में एक संबंध परिवर्तन तभी किया जाता है जब असंतुलित त्रय की कुल संख्या कम हो जाती है। सिमुलेशन ने परिवर्तन के लिए चुने गए यादृच्छिक असंतुलित त्रिभुज वाले यादृच्छिक संबंधों के साथ एक पूर्ण ग्राफ माना। इस प्रक्रिया के तहत एन नोड्स के साथ हस्ताक्षरित ग्राफ के विकास का अध्ययन किया जाता है और मैत्रीपूर्ण लिंक के स्थिर घनत्व का वर्णन करने के लिए अनुकरण किया जाता है।

संतुलन सिद्धांत को गंभीर रूप से चुनौती दी गई है, विशेष रूप से बड़ी प्रणालियों के लिए इसके आवेदन में, सैद्धांतिक आधार पर कि मैत्रीपूर्ण संबंध समाज को एक साथ बांधते हैं, जबकि दुश्मनों के दो शिविरों में विभाजित समाज अत्यधिक अस्थिर होगा। प्रायोगिक अध्ययनों ने भी संरचनात्मक संतुलन सिद्धांत की भविष्यवाणियों की केवल कमजोर पुष्टि प्रदान की है।

स्पिन चश्मा
भौतिकी में, हस्ताक्षरित रेखांकन नॉनफेरोमैग्नेटिक आइसिंग मॉडल के लिए एक प्राकृतिक संदर्भ है, जो स्पिन ग्लास के अध्ययन के लिए लागू होता है।

जटिल प्रणाली
प्रारंभिक रूप से जनसंख्या जीव विज्ञान और पारिस्थितिकी में विकसित एक विश्लेषणात्मक पद्धति का उपयोग करना, लेकिन अब कई वैज्ञानिक विषयों में उपयोग किया जाता है, हस्ताक्षरित डिग्राफ ने जटिल कारण प्रणालियों के व्यवहार के तर्क में आवेदन पाया है। इस तरह के विश्लेषण सिस्टम के दिए गए स्तरों पर प्रतिक्रिया के बारे में सवालों के जवाब देते हैं, और एक या एक से अधिक बिंदुओं पर एक प्रणाली को दी गई चर प्रतिक्रियाओं की दिशा के बारे में, इस तरह के गड़बड़ी के चर सहसंबंध, सिस्टम में विचरण का वितरण, और संवेदनशीलता या सिस्टम गड़बड़ी के लिए विशेष चर की असंवेदनशीलता।

डेटा क्लस्टरिंग
सहसंबंध क्लस्टरिंग समानता द्वारा डेटा के प्राकृतिक क्लस्टरिंग की तलाश में है। डेटा बिंदुओं को एक ग्राफ़ के कोने के रूप में दर्शाया जाता है, जिसमें समान वस्तुओं को जोड़ने वाला एक सकारात्मक किनारा और असमान वस्तुओं को जोड़ने वाला एक नकारात्मक किनारा होता है।

तंत्रिका विज्ञान
मस्तिष्क को एक हस्ताक्षरित ग्राफ के रूप में माना जा सकता है जहां मस्तिष्क क्षेत्रों के गतिविधि पैटर्न के बीच तुल्यकालन और विरोधी तुल्यकालन सकारात्मक और नकारात्मक किनारों को निर्धारित करते हैं। इस संबंध में, मस्तिष्क नेटवर्क की स्थिरता और ऊर्जा का पता लगाया जा सकता है। साथ ही, हाल ही में, तंत्रिका कनेक्शन के गैर-तुच्छ संयोजन की पहचान करने और मस्तिष्क के समायोज्य तत्वों को उजागर करने के लिए मस्तिष्क नेटवर्क विश्लेषण में हताशा की अवधारणा का उपयोग किया गया है।

सामान्यीकरण
एक हस्ताक्षरित ग्राफ एक विशेष प्रकार का लाभ ग्राफ है जिसमें लाभ समूह का क्रम 2 होता है। एक हस्ताक्षरित ग्राफ द्वारा निर्धारित जोड़ी (जी, 'बी' (Σ)) एक विशेष प्रकार का पक्षपाती ग्राफ है। साइन ग्रुप के पास विशेष संपत्ति है, जो बड़े लाभ समूहों द्वारा साझा नहीं की जाती है, कि किनारे के संकेत संतुलित चक्रों के सेट 'बी' (Σ) द्वारा स्विच करने के लिए निर्धारित किए जाते हैं।