सबऑब्जेक्ट वर्गिकारक

श्रेणी सिद्धांत में, उपवस्तु वर्गिकारक एक श्रेणी का विशेष वस्तु Ω है, जैसे कि, सहजता से, श्रेणी में किसी भी वस्तु X के उपवस्तु 'X ' से Ω तक आकारिकी के अनुरूप होते हैं। विशिष्ट उदाहरणों में, आकारिकी उपवस्तु के तत्वों को "सही" और X के अन्य तत्वों को गलत प्रदर्शित करती है। इसलिए, एक उपवस्तु वर्गिकारक को एक "वास्तविक मान वस्तु" के रूप में भी जाना जाता है और तर्क के स्पष्ट विवरण में इस अवधारणा का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। हालांकि ध्यान दें कि उपवस्तु वर्गिकारक प्रायः साधारण द्वि आधारी वास्तविक मान {सत्य, असत्य} की तुलना में बहुत अधिक जटिल होते हैं।

परिचयात्मक उदाहरण
एक उदाहरण के रूप में, समुच्चय Ω = {0,1} समुच्चय और फलन की श्रेणी में एक उपवस्तु वर्गिकारक है: समाविष्ट फलन j द्वारा परिभाषित S के प्रत्येक उपसमुच्चय A के लिए: A → S हम फलन χA S से Ω को नियोजित कर सकते हैं जो A से 1 के तत्वों को सटीक रूप से प्रतिचित्र करता है (अभिलक्षण फलन देखें)। S से Ω तक प्रत्येक फलन ठीक एक उपसमुच्चय A से इस प्रकार उत्पन्न होता है।

अधिक स्पष्टता के लिए, S (A ⊆ S) के उपसमुच्चय A पर विचार करें, जहाँ S एक समुच्चय है। उपसमुच्चय होने की धारणा को गणितीय रूप से तथाकथित अभिलाक्षणिक फलन χA :S → {0,1} का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
 * $$\chi_A(x) =

\begin{cases} 0, & \mbox{if }x\notin A \\ 1, & \mbox{if }x\in A \end{cases}$$ (यहाँ हम 1 को सत्य और 0 को असत्य के रूप में व्याख्या करते हैं।) अभिलाक्षणिक फलन की भूमिका यह निर्धारित करना है कि कौन से तत्व उपसमुच्चय A से संबंधित हैं। वास्तव में, χA, A के तत्वों पर सटीक रूप से सच है।

इस प्रकार, S के सभी उपसमुच्चयों का संग्रह और S से Ω = {0,1} तक के सभी प्रतिचित्रों का संग्रह समरूपी है।

इस धारणा को वर्गीकृत करने के लिए, याद रखें कि, श्रेणी सिद्धांत में, एक उपवस्तु वास्तव में एक जोड़ी है जिसमें एक वस्तु और एक मोनिक तीर (किसी अन्य वस्तु में समिलित होने के रूप में व्याख्या की गई) समिलित है। तदनुसार, 'सत्य ' तत्व 1 को संदर्भित करता है, जिसे तीर द्वारा चुना गया है: 'सत्य ': {0} → {0, 1} जो 0 से 1 को प्रतिचित्र करता है। S के उपसमुच्चय A को अब अभिलाक्षणिक फलन χA, के साथ 'सत्य ' के पुलबैक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो निम्नलिखित आरेख पर दिखाया गया है: इस तरह से परिभाषित, χ एक आकृतिवाद SubC(S) → HomC(S, Ω) है। परिभाषा के अनुसार, Ω एक उपवस्तु वर्गिकारक है यदि यह आकारिता एक समरूपतावाद है।

परिभाषा
सामान्य परिभाषा के लिए, हम एक श्रेणी C से शुरू करते हैं जिसमें एक अंतस्थ वस्तु होता है, जिसे हम 1 से निरूपित करते हैं। C की वस्तु Ω C के लिए एक उपवस्तु वर्गिकारक है यदि कोई आकारिकी उपस्थित है
 * 1 → Ω

निम्नलिखित गुण के साथ:
 * प्रत्येक एकरूपता J के लिए: U → X में एक अद्वितीय आकारिकी χj: X → Ω है, जैसे कि निम्नलिखित क्रमविनिमेय आरेख

आकारिकी χj के बाद j द्वारा दर्शाए गए उप-वस्तु के लिए 'वर्गीकरण आकारिकी' कहा जाता है।

समुच्चय के ढेर
सांस्थितिक समष्टि X खुला समुच्चय के पुलाबद्‍ध (गणित) की श्रेणी में एक उप-वस्तु वर्गीकरण Ω है जिसे निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है: X के किसी भी खुले समुच्चय U के लिए, Ω (U) U के सभी खुले उपसमुच्चयों का समुच्चय है। अंतस्थ वस्तु पुलाबद्‍ध 1 है जो X के हर खुले समुच्चय U को एकल (गणित) {*} निर्धारित करता है। आकारिकी η:1 → Ω प्रतिचित्रों के परिवार द्वारा दिया गया है ηU : 1(U) → Ω(U) nU(*) = U द्वारा परिभाषित X के प्रत्येक खुले समुच्चय U। X पर एक पुलाबद्‍ध F और एक सब-पुलाबद्‍ध j दिया है: G → F, वर्गीकृत आकारिकी χj: F → Ω प्रतिचित्र χ के परिवार द्वारा दिया गया हैj,U: F (U) → Ω (U), जहां Xj, U(X) U के सभी खुले समुच्चय V का संघ है जैसे X से V (पुलाबद्‍ध के अर्थ में) का प्रतिबंध JV (G (V)) में निहित है।

समान्यतः इस सांस्थितिक अनुक्रम के अंदर एक अभिकथन बोलना सत्य या असत्य है, और एक खुले उपसमुच्चय U के दृष्टिकोण से इसका वास्तविक मूल U का खुला उपसमुच्चय है जहां अभिकथन सत्य है।

पूर्वपुलाबद्‍ध
एक छोटी श्रेणी $$C$$, पूर्वपुलाबद्‍ध की श्रेणी $$\mathrm{Set}^{C^{op}}$$ दी गयी है (अर्थात् गुणन श्रेणी $$C$$ जिसमें $$\mathrm{Set}$$ के सभी प्रतिपरिवर्ती प्रकार्यक समिलित हैं) जो उपवस्तु वर्गिकारक द्वारा दिया गया है, $$c \in C$$ को छलनी (श्रेणी सिद्धांत) के समुच्चय पर $$c$$ पर भेज रहा है। ऊपर दिए गए ढेरों के समुच्चय उदाहरण में वर्गीकृत आकारिकी बहुत सीमा तक समान रूप से बनाई गई हैं।

प्राथमिक टोपोई
ऊपर दिए गए दोनों उदाहरणों को निम्नलिखित सामान्य तथ्य से सम्मिलित किया गया है: परिमित सीमा (श्रेणी सिद्धांत) और शक्ति वस्तुओं के साथ एक श्रेणी के रूप में परिभाषित प्रत्येक प्राथमिक सांस्थितिक अनुक्रम, आवश्यक रूप से एक उपवस्तु वर्गिकारक है। ऊपर दिए गए दो उदाहरण स्थलानुक्रम हैं, और प्रत्येक ग्रोथेंडिक स्थलानुक्रम एक प्राथमिक स्थलानुक्रम है।

संबंधित अवधारणाएँ
एक casitopos  में एक वस्तु होती है जो लगभग एक उपवस्तु वर्गीकरण होता है; यह केवल मजबूत विषयों का वर्गीकरण करता है।