वैकल्पिक समूह

गणित में, एक वैकल्पिक समूह परिमित समुच्चय के सम क्रमपरिवर्तन का समूह (गणित)  है। के एक सेट पर वैकल्पिक समूह $n$ तत्वों को डिग्री का वैकल्पिक समूह कहा जाता है $n$, या वैकल्पिक समूह चालू $n$ अक्षर और द्वारा निरूपित $An$ या $Alt(n).$

मूल गुण
के लिए n > 1, ग्रुप एn सममित समूह  S का  कम्यूटेटर उपसमूह  हैn एक उपसमूह 2 के सूचकांक के साथ और इसलिए भाज्य |n!/2 तत्व हैं। यह सिग्नेचर  समूह समरूपता  का कर्नेल (बीजगणित) है sgn : Sn → $\{1, −1\}$ सममित समूह के तहत समझाया गया।

समूह एn एबेलियन समूह  है  अगर और केवल अगर  n ≤ 3 और सरल समूह अगर और केवल अगर n = 3 या n ≥ 5. ए5 सबसे छोटा गैर-अबेलियन सरल समूह है, जिसमें समूह 60 का क्रम है, और सबसे छोटा गैर-सुलझाने वाला समूह है।

समूह ए4 क्लेन चार-समूह  V एक उचित  सामान्य उपसमूह  के रूप में है, अर्थात् पहचान और दोहरा स्थानान्तरण $\{, (12)(34), (13)(24), (14)(23) \}$, जो कि A के प्रक्षेपण का मूल है4 पर A3 ≅ Z3. हमारे पास सटीक क्रम  है V → A4 → A3 = Z3. गैलोज़ सिद्धांत में, यह मानचित्र, या बल्कि संबंधित मानचित्र S4 → S3, लैग्रेंज विलायक  क्यूबिक को क्वार्टिक से जोड़ने के अनुरूप है, जो क्वार्टिक बहुपद को रेडिकल्स द्वारा हल करने की अनुमति देता है, जैसा कि  लोदोविको फेरारी  द्वारा स्थापित किया गया है।

संयुग्मन वर्ग
जैसा कि सममित समूह में, A के कोई भी दो तत्वn जो A के एक तत्व से संयुग्मित हैंn चक्र का आकार  समान होना चाहिए। हालाँकि, इसका विलोम आवश्यक रूप से सत्य नहीं है। यदि चक्र आकार में केवल विषम लंबाई के चक्र होते हैं, जिसमें समान लंबाई के दो चक्र नहीं होते हैं, जहां चक्र प्रकार में लंबाई के चक्र शामिल होते हैं, तो इस चक्र आकार के लिए ठीक दो संयुग्मन वर्ग होते हैं.

उदाहरण:
 * दो क्रमचय (123) और (132) A में संयुग्मी नहीं हैं3, हालांकि उनके पास समान चक्र आकार है, और इसलिए वे एस में संयुग्मित हैं3.
 * क्रमपरिवर्तन (123)(45678) A में इसके व्युत्क्रम (132)(48765) के साथ संयुग्मी नहीं है8, हालांकि दो क्रमचयों का चक्र आकार समान है, इसलिए वे S में संयुग्मी हैं8.

सममित समूह के साथ संबंध

 * सममित समूह देखें # वैकल्पिक समूह के साथ संबंध।

जैसा कि परिमित सममित समूह परिमित तत्वों के साथ एक सेट के सभी क्रमपरिवर्तन के समूह हैं, और वैकल्पिक समूह समान क्रमपरिवर्तन के समूह हैं, वैकल्पिक समूह परिमित सममित समूहों के उपसमूह हैं।

जेनरेटर और संबंध
एन ≥ 3 के लिए, एn 3-चक्रों द्वारा उत्पन्न होता है, क्योंकि 3-चक्रों को वाष्पोत्सर्जन के जोड़े के संयोजन से प्राप्त किया जा सकता है। यह जनरेटिंग सेट अक्सर यह साबित करने के लिए प्रयोग किया जाता है कि एn के लिए सरल है n ≥ 5.

ऑटोमोर्फिज्म समूह
के लिए n > 3, के अलावा n = 6, ए का ऑटोमोर्फिज़्म समूहn सममित समूह S हैn, आंतरिक आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म समूह  के साथn और बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म समूह Z2; बाहरी ऑटोमोर्फिज्म विषम क्रमपरिवर्तन द्वारा संयुग्मन से आता है।

के लिए n = 1 और 2, ऑटोमोर्फिज्म समूह तुच्छ है। के लिए n = 3 ऑटोमोर्फिज्म समूह Z है2, तुच्छ आंतरिक ऑटोमोर्फिज़्म समूह और बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म समूह Z के साथ2.

ए का बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म समूह6 क्लेन चार-समूह है| क्लेन चार-समूह है V = Z2 × Z2, और सममित समूह#Automorphism group|S के बाहरी automorphism से संबंधित है6. ए में अतिरिक्त बाहरी ऑटोमोर्फिज्म6 3-चक्रों (जैसे (123)) को आकार 3 के तत्वों से बदल देता है2 (जैसे(123)(456)).

असाधारण समरूपता
कुछ छोटे वैकल्पिक समूहों और लाई प्रकार के छोटे समूहों, विशेष रूप से प्रक्षेपी विशेष रैखिक समूह ों के बीच कुछ असाधारण समरूपताएं हैं। य़े हैं:
 * ए4 पीएसएल के लिए आइसोमोर्फिक है2(3) और चिराल टेट्राहेड्रल समरूपता  का  समरूपता समूह ।
 * ए5 पीएसएल के लिए आइसोमोर्फिक है2(4), पीएसएल2(5), और चिरल आइकोसाहेड्रल समरूपता  का समरूपता समूह। (देखो  के एक अप्रत्यक्ष समरूपता के लिए PSL2(F5) → A5 क्रम 60 के सरल समूहों के वर्गीकरण का उपयोग करते हुए, और प्रत्यक्ष प्रमाण के लिए प्रक्षेपी रैखिक समूह # p बिंदुओं पर कार्रवाई)।
 * ए6 पीएसएल के लिए आइसोमोर्फिक है2(9) और पीएसपी4(2)'।
 * ए8 पीएसएल के लिए आइसोमोर्फिक है4(2)।

अधिक स्पष्ट रूप से, ए3 चक्रीय समूह  Z के लिए आइसोमोर्फिक है3, और ए0, ए1, और ए2  तुच्छ समूह  के लिए आइसोमोर्फिक हैं (जो भी है SL1(q) = PSL1(q) किसी भी क्यू के लिए)।

उदाहरण ए5 3-स्पेस रोटेशन
के उपसमूह के रूप में ए5 3-अंतरिक्ष में एक द्वादशफ़लक के आइसोमेट्रीज़ का समूह है, इसलिए एक प्रतिनिधित्व है A5 → SO3(R).

इस तस्वीर में पॉलीहेड्रा के शिखर समूह के तत्वों का प्रतिनिधित्व करते हैं, जिसमें गोले का केंद्र पहचान तत्व का प्रतिनिधित्व करता है। प्रत्येक शीर्ष केंद्र से उस शीर्ष की ओर इंगित करने वाली धुरी के बारे में एक घूर्णन का प्रतिनिधित्व करता है, रेडियंस में मूल से दूरी के बराबर कोण द्वारा। समान बहुफलक में शीर्ष समान संयुग्मी वर्ग में होते हैं। चूँकि A के लिए संयुग्मन वर्ग समीकरण5 है 1 + 12 + 12 + 15 + 20 = 60, हम चार अलग (गैर-तुच्छ) पॉलीहेड्रा प्राप्त करते हैं।

(2,2) चक्रों के संयुग्मन वर्ग के अपवाद के साथ, प्रत्येक पॉलीहेड्रॉन के कोने उसके संयुग्मी वर्ग के तत्वों के साथ विशेषण पत्राचार में हैं, जो बाहरी सतह पर एक इकोसिडोडेकेड्रोन द्वारा दर्शाया गया है, इसके एंटीपोडल कोने के साथ पहचान की गई है। एक-दूसरे से। इस अतिरेक का कारण यह है कि संगत घुमाव द्वारा हैं π रेडियन, और इसलिए लंबाई के वेक्टर द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है π दो दिशाओं में से किसी में। इस प्रकार (2,2)-चक्रों के वर्ग में 15 तत्व होते हैं, जबकि आईकोसिडोडेकाहेड्रॉन में 30 कोने होते हैं।

ए में बारह 5-चक्रों के दो संयुग्मन वर्ग5 रेडी 2 के दो आईकोसाहेड्रा द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता हैπ/5 और 4π/5, क्रमशः। नॉनट्रिविअल आउटर ऑटोमोर्फिज्म इन Out(A5) ≃ Z2 इन दो वर्गों और संबंधित आईकोसाहेड्रा को आपस में बदल देता है।

उदाहरण: 15 पहेली
यह साबित किया जा सकता है कि 15 पहेली, स्लाइडिंग पहेली  का एक प्रसिद्ध उदाहरण, वैकल्पिक समूह ए द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है15, क्योंकि 15 पहेली का संयोजन क्रमचय#परिभाषा|3-चक्र द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है। वास्तव में, कोई 2k − 1 समान आकार की वर्गाकार टाइलों वाली फिसलने वाली पहेली को A द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है2k−1.

उपसमूह
ए4 यह प्रदर्शित करने वाला सबसे छोटा समूह है कि लैग्रेंज के प्रमेय (समूह सिद्धांत) का विलोम | लैग्रेंज का प्रमेय सामान्य रूप से सत्य नहीं है: एक परिमित समूह जी और एक विभाजक डी दिया गया है $|G|$, क्रम d: समूह के साथ G का एक उपसमूह मौजूद नहीं है G = A4क्रम 12 का, क्रम 6 का कोई उपसमूह नहीं है। तीन तत्वों का एक उपसमूह (तीन वस्तुओं के चक्रीय रोटेशन द्वारा उत्पन्न) किसी भी विशिष्ट गैर-तुच्छ तत्व के साथ पूरे समूह को उत्पन्न करता है।

सबके लिए n > 4, एn कोई गैर-तुच्छ (यानी, उचित) सामान्य उपसमूह नहीं है। इस प्रकार, एn सभी के लिए एक साधारण समूह है n > 4. ए5 सबसे छोटा हल करने योग्य समूह है | अघुलनशील समूह।

ग्रुप होमोलॉजी
वैकल्पिक समूहों का समूह समरूपता   स्थिर समरूपता सिद्धांत  के रूप में स्थिरीकरण प्रदर्शित करता है: पर्याप्त रूप से बड़े एन के लिए, यह स्थिर है। हालाँकि, कुछ निम्न-आयामी असाधारण होमोलॉजी हैं। ध्यान दें कि सममित समूह#होमोलॉजी समान स्थिरीकरण प्रदर्शित करता है, लेकिन निम्न-आयामी अपवादों के बिना (अतिरिक्त होमोलॉजी तत्व)।

एच1: abelianization
पहला होमोलॉजी समूह एबेलियनाइजेशन के साथ मेल खाता है, और (एn पूर्ण समूह है, उद्धृत अपवादों को छोड़कर) इस प्रकार है:
 * एच1(एn, जेड) = जेड1 एन = 0, 1, 2 के लिए;
 * एच1(ए3, जेड) = ए$ab 3$ = ए3 = जेड3;
 * एच1(ए4, जेड) = ए$ab 4$ = जेड3;
 * एच1(एn, जेड) = जेड1 एन ≥ 5 के लिए।

इसे आसानी से सीधे देखा जा सकता है, इस प्रकार है। एn 3-चक्रों द्वारा उत्पन्न होता है - इसलिए केवल गैर-तुच्छ अपभ्रंश मानचित्र हैं An → Z3, चूंकि क्रम-3 तत्वों को क्रम-3 तत्वों के लिए मैप करना चाहिए - और के लिए n ≥ 5 सभी 3-चक्र संयुग्मित हैं, इसलिए उन्हें एबेलियनाइजेशन में एक ही तत्व के लिए मैप करना होगा, क्योंकि एबेलियन समूहों में संयुग्मन तुच्छ है। इस प्रकार एक 3-चक्र की तरह (123) को उसी तत्व को इसके व्युत्क्रम (321) के रूप में मैप करना चाहिए, लेकिन इस प्रकार इसे पहचान के लिए मैप करना चाहिए, क्योंकि इसमें 2 और 3 को विभाजित करने का क्रम होना चाहिए, इसलिए एबेलियनाइजेशन तुच्छ है।

के लिए n < 3, एn तुच्छ है, और इस प्रकार तुच्छ अपमान है। के लिए3 और ए4 कोई सीधे तौर पर एबेलियनाइजेशन की गणना कर सकता है, यह देखते हुए कि 3-चक्र दो संयुग्मन वर्ग बनाते हैं (बजाय सभी संयुग्मित होने के) और गैर-तुच्छ नक्शे हैं A3 ↠ Z3 (वास्तव में एक समरूपता) और A4 ↠ Z3.

एच2: शूर गुणक
वैकल्पिक समूहों के शूर गुणक  एn (मामले में जहां एन कम से कम 5 है) ऑर्डर 2 के चक्रीय समूह हैं, उस मामले को छोड़कर जहां एन या तो 6 या 7 है, इस मामले में ट्रिपल कवर भी है। इन मामलों में, शूर गुणक क्रम 6 का (चक्रीय समूह) है। में पहली बार इनकी गणना की गई थी.


 * एच2(एn, जेड) = जेड1 एन = 1, 2, 3 के लिए;
 * एच2(एn, जेड) = जेड2 एन = 4, 5 के लिए;
 * एच2(एn, जेड) = जेड6 एन = 6, 7 के लिए;
 * एच2(एn, जेड) = जेड2 एन ≥ 8 के लिए।