सदिश-मूल्यवान अवकल रूप

गणित में, मैनिफोल्ड M पर सदिश - मान विभेदक रूप है जिसमे कि ऐसा सदिश स्थल है जो कि V के मानों के साथ M पर विभेदक रूप है तथा जिसमे अधिक सामान्यतः, यह है की M के ऊपर कुछ ऐसे सदिश मान है जो कि E में मानों के साथ विभेदक रूप है। साधारण विभेदक रूपों को R-मान के विभेदक रूपों के रूप में देखा जा सकता है।

सदिश -मान विभेदक रूपों का महत्वपूर्ण स्तिथि बीजगणित-मान रूप हैं। ( कनेक्शन प्रपत्र ऐसे रूप का उदाहरण है।)

परिभाषा
मान लीजिए कि M स्मूथ मैनिफोल्ड है और जिसमे E → M, M के ऊपर स्मूथ सदिश मान है। हम मान E के अनुभाग (फाइबर मान) के स्थान को Γ(E) से निरूपित करते हैं। इस प्रकार डिग्री P का ' E-मान विभेदक रूप' Λp(T ∗M), के साथ E के टेंसर उत्पाद मान का स्मूथ खंड है | जिसमे M के कोटैंजेंट मान की p-th बाहरी शक्ति है तथा ऐसे रूपों का स्थान निम्न द्वारा दर्शाया गया है
 * $$\Omega^p(M,E) = \Gamma(E\otimes\Lambda^pT^*M).$$

क्योंकि यह Γ स्ट्रोंग मोनोइडल फ़ैक्टर है, इसका अर्थ इस प्रकार भी निकाला जा सकता है|
 * $$\Gamma(E\otimes\Lambda^pT^*M) = \Gamma(E) \otimes_{\Omega^0(M)} \Gamma(\Lambda^pT^*M) = \Gamma(E) \otimes_{\Omega^0(M)} \Omega^p(M),$$

जहां बाद के दो टेंसर उत्पाद है तथा रिंग के ऊपर भी मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद हैं जिसमे (गणित) Ω0(M) M पर सुचारू रूप से 'R '-मान वाले फलन में (सातवां उदाहरण मॉड्यूल देखें (गणित) या (उदाहरण)। परंपरा के अनुसार, E-मान 0-रूप मान E का केवल खंड है। अथार्त ,
 * $$\Omega^0(M,E) = \Gamma(E).\,$$

समान रूप से, E-मान में विभेदक रूप को सदिश मान आकारिकी के रूप में परिभाषित किया जा सकता है
 * $$TM\otimes\cdots\otimes TM \to E$$

जो पूरी तरह से तिरछा-सममित मैट्रिक्स है तथा तिरछा-सममित है।

मान लीजिए V निश्चित सदिश समष्टि है। जिसमे डिग्री P का V-मान विभेदक रूप' है तथा तुच्छ मान M × V में मानों के साथ डिग्री P का विभेदक रूप है। ऐसे रूपों का स्थान ΩP(M, V) द्वारा दर्शाया गया है जब V = 'R साधारण विभेदक रूप की परिभाषा को पुनः प्राप्त करता है। तो कोई यह भी दिखा सकता है कि प्राकृतिक समरूपता V परिमित-आयामी है|
 * $$\Omega^p(M) \otimes_\mathbb{R} V \to \Omega^p(M,V),$$

समरूपता वह है, जहां पहला टेंसर उत्पाद R पर सदिश रिक्त स्थानों का उपयोग किया जाता है|,

पुलबैक
कोई सामान्य रूपों की तरह ही स्मूथ मानचित्रों द्वारा सदिश -मान रूपों के पुलबैक (विभेदक ज्यामिति) को परिभाषित कर सकता है तथा सहज मानचित्र द्वारा N पर E-मान रूप का पुलबैक जो φ : M → N, M पर (φ*E)- का मान रूप है, जहां φ*E है, जिसमे φ द्वारा E का पुलबैक मान दर्शाया गया है।

सूत्र सामान्य स्तिथि की तरह ही दिया गया है। तथा N पर किसी भी E-मान P-रूप को ω के लिए पुलबैक φ*ω द्वारा दिया जाता है
 * $$ (\varphi^*\omega)_x(v_1,\cdots, v_p) = \omega_{\varphi(x)}(\mathrm d\varphi_x(v_1),\cdots,\mathrm d\varphi_x(v_p)).$$

वेज उत्पाद

सामान्य विभेदक रूपों की तरह है, कोई सदिश -मान रूपों के वेज उत्पाद को परिभाषित कर सकता है। E2 -मान P -रूप के साथ तथा E1 मान - Q-रूप का वेज उत्पाद स्वाभाविक रूप से (E1⊗E2) है| तथा मूल्यांकित (p+q)-रूप में होता है |
 * $$\wedge : \Omega^p(M,E_1) \times \Omega^q(M,E_2) \to \Omega^{p+q}(M,E_1\otimes E_2).$$

यह परिभाषा सामान्य रूपों की तरह ही होती है, तथा इस अपवाद के साथ कि वास्तविक गुणन को टेंसर उत्पाद से बदल दिया जाता है|:
 * $$(\omega\wedge\eta)(v_1,\cdots,v_{p+q}) = \frac{1}{p! q!}\sum_{\sigma\in S_{p+q}}\sgn(\sigma)\omega(v_{\sigma(1)},\cdots,v_{\sigma(p)})\otimes \eta(v_{\sigma(p+1)},\cdots,v_{\sigma(p+q)}).$$

विशेष रूप से, E-मान Q-रूप के साथ साधारण (R-मान) P-रूप का वेज उत्पाद है जो कि स्वाभाविक रूप से E -मान होता है तथा ( p+q)-रूप (चूंकि तुच्छ मान M × R के साथ E का टेंसर उत्पाद स्वाभाविक रूप से E के समरूपी है)। जिसमे ω ∈ ΩP(M) और η ∈ ΩQ(M, E) के लिए इसमें सामान्य क्रमपरिवर्तन संबंध होता है:
 * $$\omega\wedge\eta = (-1)^{pq}\eta\wedge\omega.$$

सामान्यतः दो E-मान रूपों का वेज उत्पाद है और E-मान रूप नहीं है, किन्तु (E⊗E) -मान रूप है। चूँकि, यदि E बीजगणित मान है (अर्थात केवल सदिश रिक्त स्थान के बजाय फ़ील्ड पर बीजगणित का मान) तो कोई E-मान रूप प्राप्त करने के लिए E में गुणन के साथ रचना कर सकता है। यदि E क्रमविनिमेय बीजगणित, साहचर्य बीजगणित का मान है, तो इस संशोधित पच्चर उत्पाद के साथ, सभी E-मान विभेदक रूपों का सेट
 * $$\Omega(M,E) = \bigoplus_{p=0}^{\dim M}\Omega^p(M,E)$$

श्रेणीबद्ध-क्रमविनिमेय साहचर्य बीजगणित बन जाता है। यदि E के तंतु क्रमविनिमेय नहीं हैं तो Ω(M,E) श्रेणीबद्ध-क्रमविनिमेय नहीं होंगे।

बाहरी व्युत्पन्न
किसी भी सदिश समष्टि V के लिए V-मान रूपों के समष्टि पर प्राकृतिक बाह्य व्युत्पन्न होता है। यह V के किसी भी आधार (रैखिक बीजगणित) के सापेक्ष घटक-वार सामान्य बाहरी व्युत्पन्न अभिनय है। स्पष्ट रूप से, यदि {Eα} V के लिए आधार है तो V-मान P-रूप को ω = ωαeα का विभेदक द्वारा दिया गया है
 * $$d\omega = (d\omega^\alpha)e_\alpha.\,$$

V-मान रूपों पर बाहरी व्युत्पन्न की पूरी तरह से सामान्य संबंधों द्वारा विशेषता है:
 * $$\begin{align}

&d(\omega+\eta) = d\omega + d\eta\\ &d(\omega\wedge\eta) = d\omega\wedge\eta + (-1)^p\,\omega\wedge d\eta\qquad(p=\deg\omega)\\ &d(d\omega) = 0. \end{align}$$ अधिक सामान्यतः उपरोक्त टिप्पणियाँ E-मान रूपों पर लागू होती हैं जहां E M पर कोई फ्लैट सदिश मान है (यानी सदिश मान जिसका संक्रमण कार्य स्थिर है)। E के किसी भी स्थानीय तुच्छीकरण पर बाहरी व्युत्पन्न को उपरोक्त के रूप में परिभाषित किया गया है।

यदि E समतल नहीं है तो E -मान रूपों पर अभिनय करने वाले बाहरी व्युत्पन्न की कोई प्राकृतिक धारणा नहीं है।तथा E पर कनेक्शन (सदिश मान) के विकल्प की आवश्यकता है। E पर कनेक्शन रैखिक विभेदक ऑपरेटर है जो E के अनुभागों को E -मान रूप में लेता है:
 * $$\nabla : \Omega^0(M,E) \to \Omega^1(M,E).$$

यदि E कनेक्शन ∇ से सुसज्जित है तो अद्वितीय सहसंयोजक बाहरी व्युत्पन्न है
 * $$d_\nabla: \Omega^p(M,E) \to \Omega^{p+1}(M,E)$$

विस्तार ∇. सहसंयोजक बाहरी व्युत्पन्न रैखिकता और समीकरण द्वारा विशेषता है
 * $$d_\nabla(\omega\wedge\eta) = d_\nabla\omega\wedge\eta + (-1)^p\,\omega\wedge d\eta$$

जहां ω E-मान P-रुप है और η सामान्य Q-रूप है। सामान्यतः किसी को d∇2 = 0 होना आवश्यक नहीं है. वास्तव में, ऐसा तभी होता है जब कनेक्शन ∇ समतल हो (अर्थात लुप्त हो रही वक्रता का रूप हो)।

प्रमुख बंडलो पर मूल या तन्य रूप
मान लीजिए कि E → M, M के ऊपर रैंक k का सहज सदिश मान है और π : F(E) → M, E का (संबद्ध मान) फ़्रेम मान है, जो कि  प्रमुख मान GLk(R)  है  M  पर मान । E का π द्वारा            [u, v] →u(v) के व्युत्क्रम के माध्यम से पुलबैक मान विहित रूप से F(E) ×ρ Rk के समरूपी है| जहां ρ मानक प्रतिनिधित्व है। इसलिए, M पर E-मान रूप के π द्वारा पुलबैक 'Rk' को निर्धारित करता है -जहाँ F(E) पर मूल्यांकित रूप है । जबकि  यह जाँचना कठिन नहीं है कि यह खींचा हुआ रूप GLk(R) F(E)× Rk की प्राकृतिक समूह क्रिया (गणित) के संबंध में सही समतुल्य|दाएँ-समतुल्य है। और ऊर्ध्वाधर मान (F(E) के स्पर्शरेखा सदिश जो dπ के कर्नेल में स्थित हैं) पर गायब हो जाता है। F(E) पर ऐसे सदिश -मान रूप विशेष शब्दावली की गारंटी देने के लिए काफी महत्वपूर्ण हैं: उन्हें F(E) पर मूल या टेंसोरियल रूप कहा जाता है।

मान लीजिए π : P → M (सुचारू) प्रिंसिपल G-मान है तथा मान लीजिए कि V निरूपण ρ : G → GL(V) के साथ निश्चित सदिश स्थान है। जहाँ P पर ρ प्रकार का मूल या तन्य रूप, P पर चूँकि V-मान रूप ω है जो इस अर्थ में समतुल्य और क्षैतिज है कि यहां Rg कुछ g ∈ G के लिए P पर G की सही क्रिया को दर्शाता है। ध्यान दें कि 0-रूपों के लिए दूसरी शर्त शून्य रूप से सत्य है।
 * 1) $$(R_g)^*\omega = \rho(g^{-1})\omega\,$$ सभी जी ∈ जी के लिए, और
 * 2) $$\omega(v_1, \ldots, v_p) = 0$$ जब भी कम से कम Vi ऊर्ध्वाधर हैं (अर्थात्, dπ(vi) = 0).

उदाहरण: यदि ρ ली बीजगणित पर G का संयुक्त प्रतिनिधित्व है, तो कनेक्शन रूप पहली शर्त को संतुष्ट करता है (लेकिन दूसरी नहीं)। संबंधित वक्रता रूप Ω दोनों को संतुष्ट करता है; इसलिए Ω आसन्न प्रकार का तन्य रूप है। दो कनेक्शन रूपों का विभेदक तन्य रूप है।

उपरोक्त P और ρ को देखते हुए कोई संबंधित सदिश मान E = P ×ρ V का निर्माण कर सकता है | P पर टेन्सोरिअल q-रूप, M पर E-मूल्य वाले q-रूप के साथ प्राकृतिक -से- पत्राचार में हैं। जैसा कि ऊपर प्रमुख मान F(E) के स्तिथि में है, जिसे q-रूप दिया गया है $$\overline{\phi}$$ E में मानों के साथ M पर, P पर φ को फ़ाइबरवाइज द्वारा परिभाषित करें, मान लीजिए u पर ,
 * $$\phi = u^{-1}\pi^*\overline{\phi}$$

जहां U को रैखिक समरूपता के रूप में देखा जाता है $$V \overset{\simeq}\to E_{\pi(u)} = (\pi^*E)_u, v \mapsto [u, v]$$. φ तो प्रकार ρ का तन्य रूप है। इसके विपरीत, प्रकार ρ का तन्य रूप φ दिया गया है, वही सूत्र E -मान रूप को परिभाषित करता है $$\overline{\phi}$$ M पर (सीएफ. चेर्न-वेइल होमोमोर्फिज्म।) विशेष रूप से, सदिश रिक्त स्थान का प्राकृतिक आइसोमोर्फिज्म है
 * $$\Gamma(M, E) \simeq \{ f: P \to V | f(ug) = \rho(g)^{-1}f(u) \}, \, \overline{f} \leftrightarrow f$$.

उदाहरण: मान लीजिए E, M का स्पर्शरेखा मान है। फिर पहचान मान मानचित्र idE: E →E, M पर E-मान वन रूप है। टॉटोलॉजिकल वन-रूप E के फ्रेम मान पर अद्वितीय वन-रूप है जो idE से मेल खाता है. θ द्वारा निरूपित, यह मानक प्रकार का तन्य रूप है। अब, मान लीजिए कि P पर कनेक्शन है ताकि P पर (विभिन्न) सदिश -मान रूपों पर बाहरी सहसंयोजक भेदभाव D हो। उपरोक्त पत्राचार के माध्यम से, D E -मान रूपों पर भी कार्य करता है: ∇ द्वारा परिभाषित करें |
 * $$\nabla \overline{\phi} = \overline{D \phi}.$$

विशेष रूप से शून्य-रूपों के लिए,
 * $$\nabla: \Gamma(M, E) \to \Gamma(M, T^*M \otimes E)$$.

यह बिल्कुल कनेक्शन (सदिश मान) के लिए सहसंयोजक व्युत्पन्न है।

उदाहरण
सील मॉड्यूलर रूप सीगल मॉड्यूलर किस्म पर सदिश -मान विभेदक रूपों के रूप में उत्पन्न होते हैं।

संदर्भ

 * Shoshichi Kobayashi and Katsumi Nomizu (1963) Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley Interscience.