वन-वे क्वांटम कंप्यूटर

<शामिल नहीं> वन-वे या माप-आधारित क्वांटम कंप्यूटर (एमबीक्यूसी) क्वांटम कम्प्यूटिंग की एक विधि है जो पहले एक क्वांटम उलझाव संसाधन स्थिति तैयार करती है, आमतौर पर एक क्लस्टर राज्य या ग्राफ स्थिति, फिर उस पर एकल qubit मापन करती है। यह एक तरफ़ा है क्योंकि माप से संसाधन स्थिति नष्ट हो जाती है।

प्रत्येक व्यक्तिगत माप का परिणाम यादृच्छिक होता है, लेकिन वे इस तरह से संबंधित होते हैं कि गणना हमेशा सफल होती है। सामान्य तौर पर बाद के मापन के लिए आधार (रैखिक बीजगणित) के विकल्प को पहले माप के परिणामों पर निर्भर करने की आवश्यकता होती है, और इसलिए सभी माप एक ही समय में नहीं किए जा सकते हैं।

MBQC का हार्डवेयर कार्यान्वयन मुख्य रूप से फोटोनिक्स पर निर्भर करता है, फोटॉनों के बीच उलझाव के गुणों के कारण। उलझन और माप की प्रक्रिया को ग्राफ (असतत गणित) और समूह सिद्धांत की मदद से वर्णित किया जा सकता है, विशेष रूप से स्टेबलाइज़र समूह के तत्वों द्वारा।

परिभाषा
क्वांटम कंप्यूटिंग का उद्देश्य क्वांटम यांत्रिकी की विशेषताओं के साथ एक सूचना सिद्धांत के निर्माण पर केंद्रित है: सूचना (अंश) की एक द्विआधारी इकाई को एन्कोडिंग के बजाय, जिसे 1 या 0 पर स्विच किया जा सकता है, सूचना की एक क्वांटम बाइनरी इकाई (qubit) एक साथ हो सकती है। क्वांटम सुपरइम्पोजिशन नामक घटना के लिए धन्यवाद, एक ही समय में 0 और 1 हो जाते हैं।  क्वांटम कंप्यूटिंग के लिए एक अन्य प्रमुख विशेषता क्वांटम के बीच क्वांटम उलझाव पर निर्भर करती है।

यह कितना घूमता है? में, क्युबिट्स का एक सेट, जिसे रजिस्टर कहा जाता है, संगणना की शुरुआत में तैयार किया जाता है, फिर एकात्मक मैट्रिक्स द्वारा ले जाने वाले क्यूबिट्स पर लॉजिक ऑपरेशंस का एक सेट लागू किया जाता है। एक क्वांटम परिपथ का निर्माण क्वैबिट्स के एक रजिस्टर द्वारा किया जाता है, जिस पर क्यूबिट्स पर एकात्मक परिवर्तन लागू होते हैं। माप-आधारित क्वांटम संगणना में, एकात्मक परिवर्तनों के माध्यम से एक तर्क संचालन को लागू करने के बजाय, एक ही ऑपरेशन को एक संख्या में उलझाकर निष्पादित किया जाता है। $$k$$ के एक समूह के साथ इनपुट की मात्रा $$a$$ Ancilla बिट, की एक समग्र स्रोत स्थिति का गठन $$a+k=n$$ qubits, और फिर एक संख्या को मापना $$m$$ उनमें से। शेष $$k=n-m$$ मापी गई क्वैबिट्स के साथ उलझाव के कारण आउटपुट क्वैब माप से प्रभावित होंगे। वन-वे कंप्यूटर एक सार्वभौमिक क्वांटम कंप्यूटर साबित हुआ है, जिसका अर्थ है कि यह किसी भी एकात्मक ऑपरेशन को मनमानी संख्या में पुन: उत्पन्न कर सकता है।

सामान्य प्रक्रिया
माप-आधारित क्वांटम कंप्यूटिंग की मानक प्रक्रिया में तीन चरण होते हैं: क्यूबिट्स को उलझाएं, एंसिली (सहायक क्विबिट्स) को मापें और आउटपुट को सही करें। पहले चरण में, स्रोत स्थिति तैयार करने के लिए qubits को उलझाया जाता है। दूसरे चरण में, ancillae को मापा जाता है, जो आउटपुट qubits की स्थिति को प्रभावित करता है। हालाँकि, क्वांटम यांत्रिकी की अनिर्धारित प्रकृति के कारण मापन आउटपुट गैर-नियतात्मक परिणाम हैं: नियतात्मक तरीके से संगणना को आगे बढ़ाने के लिए, कुछ सुधार संचालक, जिन्हें उपोत्पाद कहा जाता है, पेश किए जाते हैं।

स्रोत स्थिति तैयार करना
गणना की शुरुआत में, qubits को दो श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है: इनपुट और सहायक qubits। इनपुट एक सामान्य में निर्धारित qubits का प्रतिनिधित्व करते हैं $$| \psi \rangle = \alpha |0\rangle + \beta |1 \rangle$$ राज्य, जिस पर कुछ एकात्मक परिवर्तनों का कार्य किया जाना है। स्रोत राज्य तैयार करने के लिए, सभी सहायक qubits में तैयार किया जाना चाहिए $$ |+\rangle $$ राज्य:
 * $$ |+\rangle = \tfrac{| 0 \rangle + | 1 \rangle}{\sqrt{2}}, $$

कहाँ $$ | 0 \rangle $$ और $$ | 1 \rangle  $$ शास्त्रीय के लिए क्वांटम एन्कोडिंग हैं $$0$$ और $$1$$ बिट्स:
 * $$ | 0 \rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix};\quad | 1 \rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$.

के साथ एक रजिस्टर $$n$$ qubits इसलिए सेट किया जाएगा $$ | + \rangle^{\otimes n} $$. तत्पश्चात, दो qubits के बीच उलझाव को लागू करके प्रदर्शन किया जा सकता है $$CZ$$ गेट ऑपरेशन। इस तरह के दो-qubits ऑपरेटर का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व द्वारा दिया गया है
 * $$ CZ =\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}. $$

ए की कार्रवाई $$CZ$$ निम्नलिखित प्रणाली द्वारा दो क्विबिट से अधिक गेट का वर्णन किया जा सकता है:

\begin{cases} CZ | 0+ \rangle = | 0+ \rangle \\ CZ | 0- \rangle = | 0- \rangle \\ CZ | 1+ \rangle = | 1- \rangle \\ CZ | 1- \rangle = | 1+ \rangle \end{cases} $$ आवेदन करते समय ए $$CZ$$ में दो सहायक द्वार $$|+ \rangle$$ राज्य, समग्र राज्य
 * $$CZ| ++ \rangle = \frac{| 0+ \rangle + | 1- \rangle}{\sqrt 2}$$

qubits की एक उलझी हुई जोड़ी बन जाती है। जब दो सहायकों को आपस में उलझाते हैं, तो इस बारे में कोई महत्व नहीं दिया जाता है कि कौन सी नियंत्रण कक्षा है और कौन सा लक्ष्य है, जहाँ तक परिणाम समान है। इसी प्रकार, के रूप में $$CZ$$ फाटकों को एक विकर्ण रूप में दर्शाया गया है, वे सभी एक-दूसरे का आवागमन करते हैं, और इस बारे में कोई महत्व नहीं दिया जाता है कि कौन सी कक्षा पहले उलझती है। उलझी हुई भौतिक मात्राओं को तैयार करने के लिए फोटॉन सबसे आम स्रोत हैं।

qubits को मापना
एकल-कण अवस्था पर मापन की प्रक्रिया को प्रेक्षण योग्य के ईजेनवेक्टर पर राज्य को प्रक्षेपित करके वर्णित किया जा सकता है। एक अवलोकनीय पर विचार करें $$O$$ दो संभावित eigenvectors के साथ, कहते हैं $$| o_1 \rangle$$ और $$| o_2 \rangle$$, और एक बहु-कण क्वांटम प्रणाली से निपटने के लिए मान लीजिए $$| \Psi \rangle$$. नाप रहा है $$i$$-वें क्वबिट द्वारा $$O$$ देखने योग्य साधन प्रोजेक्ट करने के लिए $$| \Psi \rangle$$ के eigenvectors पर राज्य $$O$$: :$$ | \Psi' \rangle = |o_i \rangle \langle o_i | \Psi \rangle$$. की वास्तविक स्थिति $$i$$-वीं कक्षा अब है $$|o_i \rangle$$, जो बन सकता है $$ | o_1 \rangle$$ या $$ | o_2 \rangle$$, माप से परिणाम पर निर्भर करता है (जो क्वांटम यांत्रिकी में संभाव्य है)। माप प्रक्षेपण के eigenstates पर किया जा सकता है $$M(\theta) = \cos(\theta)X + \sin(\theta)Y$$ देखने योग्य:
 * $$ M(\theta) = \cos(\theta) \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} + \sin(\theta) \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & e^{-i \theta} \\ e^{i \theta} & 0 \end{bmatrix} $$,

कहाँ $$X$$ और $$Y$$ पॉल मैट्रिसेस से संबंधित हैं। के ईजेनवेक्टर $$M(\theta)$$ हैं $$|\theta_\pm \rangle = |0 \rangle \pm e^{i \theta} |1 \rangle$$. पर एक qubit मापना $$X$$-$$Y$$ विमान, यानी द्वारा $$M(\theta)$$ देखने योग्य, का अर्थ है इसे प्रोजेक्ट करना $$|\theta_+ \rangle$$ या $$|\theta_- \rangle$$. एक तरफ़ा क्वांटम कंप्यूटिंग में, एक बार एक क्यूबिट को मापने के बाद, गणना के प्रवाह में इसे रीसायकल करने का कोई तरीका नहीं है। इसलिए, का उपयोग करने के बजाय $$|o_i \rangle \langle o_i |$$ अंकन, यह खोजना आम है $$\langle o_i |$$ पर एक प्रक्षेपी माप इंगित करने के लिए $$i$$-वीं कक्षा।

आउटपुट सही करना
सभी मापन किए जाने के बाद, सिस्टम को कम संख्या में qubits में घटा दिया गया है, जो सिस्टम की आउटपुट स्थिति बनाते हैं। माप के संभाव्य परिणाम के कारण, सिस्टम नियतात्मक तरीके से सेट नहीं होता है: पर माप के बाद $$X$$-$$Y$$ विमान, परिणाम बदल सकता है कि क्या परिणाम था $$| \theta_+ \rangle $$ या $$| \theta_- \rangle $$. नियतात्मक संगणना करने के लिए, कुछ सुधार पेश किए जाने चाहिए। सुधार संचालक, या उपोत्पाद संचालक, सभी मापों के प्रदर्शन के बाद आउटपुट क्यूबिट्स पर लागू होते हैं। उपोत्पाद संचालक जिन्हें कार्यान्वित किया जा सकता है वे हैं $$X$$ और $$Z$$. माप के परिणाम के आधार पर, एक उपोत्पाद ऑपरेटर को आउटपुट स्थिति पर लागू किया जा सकता है या नहीं: ए $$X$$ पर सुधार $$j$$-th qubit, पर किए गए माप के परिणाम के आधार पर $$i$$-th qubit के माध्यम से $$M(\theta)$$ अवलोकनीय, के रूप में वर्णित किया जा सकता है $$X_j^{s_i}$$, कहाँ $$s_i$$ होना तय है $$0$$ यदि माप का परिणाम था $$| \theta_+ \rangle$$, अन्यथा है $$1$$ अगर यह था $$| \theta_- \rangle$$. पहले मामले में, कोई सुधार नहीं होगा, बाद वाले में a $$X$$ ऑपरेटर पर लागू किया जाएगा $$j$$-वीं कक्षा। आखिरकार, भले ही एक माप का परिणाम क्वांटम यांत्रिकी में नियतात्मक नहीं है, माप से परिणाम का उपयोग सुधार करने के लिए किया जा सकता है, और एक नियतात्मक संगणना को जारी रखा जा सकता है।

सीएमई पैटर्न
एकात्मक फाटकों को लागू करने के लिए उलझाव, माप और सुधार के संचालन किए जा सकते हैं। सर्किट में किसी भी लॉजिक गेट के लिए इस तरह के ऑपरेशन समय-समय पर किए जा सकते हैं, या बल्कि एक ऐसे पैटर्न में जो शुरुआत में सभी उलझाव संचालन को आवंटित करता है, मध्य में माप और सर्किट के अंत में सुधार। गणना के ऐसे पैटर्न को सीएमई मानक पैटर्न कहा जाता है। सीएमई औपचारिकता में, के बीच उलझाव का संचालन $$i$$ और $$j$$ क्यूबिट्स कहा जाता है $$E_{ij}$$. पर माप $$i$$ क्यूबिट, में $$X$$-$$Y$$ विमान, एक के संबंध में $$\theta$$ कोण, के रूप में परिभाषित किया गया है $$M_i^\theta$$. अंत में, $$X$$ ए पर उपोत्पाद $$i$$ qubit, a से अधिक माप के संबंध में $$j$$ क्यूबिट, के रूप में वर्णित है $$X_i^{s_j}$$, कहाँ $$s_j$$ इसके लिए सेट है $$0$$ यदि परिणाम है $$| \theta_+ \rangle$$ राज्य, $$1$$ जब परिणाम है $$| \theta_- \rangle$$. एक ही अंकन के लिए है $$Z$$ उपोत्पाद।

सीएमई पैटर्न के बाद गणना करते समय, ऐसा हो सकता है कि दो माप $$M_i^{\theta_1}$$ और $$M_j^{\theta_2}$$ पर $$X$$-$$Y$$ समतल एक से दूसरे के परिणाम पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, माप के कोण के सामने का चिह्न $$j$$-th qubit को माप के संबंध में फ़्लिप किया जा सकता है $$i$$-वीं कक्षा: ऐसे मामले में, अंकन को इस प्रकार लिखा जाएगा $$[M_j^{\theta_2}]^{s_i} M_i^{\theta_1}$$, और इसलिए मापन की दो संक्रियाएं अब एक-दूसरे का स्थानान्तरण नहीं करती हैं। अगर $$s_i$$ इसके लिए सेट है $$0$$, कोई फ्लिप नहीं $$\theta_2$$ संकेत होगा, अन्यथा (जब $$s_i=1$$) द $$\theta_2$$ कोण पर फ़्लिप किया जाएगा $$-\theta_2$$. अंकन $$[M_j^{\theta_2}]^{s_i}$$ इसलिए के रूप में फिर से लिखा जा सकता है $$M_j^{(-)^{s_i}\theta_2}$$.

एक उदाहरण: यूलर रोटेशन
उदाहरण के तौर पर, यूलर कोणों पर विचार करें $$XZX$$ आधार: इस तरह के ऑपरेशन, क्वांटम कम्प्यूटेशन के गेट मॉडल में वर्णित हैं
 * $$ e^{i \gamma}R_X(\phi) R_Z(\theta)R_X(\lambda) $$,

कहाँ $$\phi, \theta, \lambda$$ घूर्णन के लिए कोण हैं, जबकि $$\gamma$$ एक वैश्विक चरण को परिभाषित करता है जो गणना के लिए अप्रासंगिक है। इस तरह के ऑपरेशन को एकतरफा कंप्यूटिंग फ्रेम में करने के लिए, निम्नलिखित सीएमई पैटर्न को लागू करना संभव है:
 * $$Z_3^{s_1+s_3}X_3^{s_2+s_4} [M_4^{-\phi}]^{s_1+s_3} [M_3^{-\theta}]^{s_2} [M_2^{-\lambda}]^{s_1} M_1^{0} E_{4,5} E_{3,4} E_{2,3} E_{1,2}$$,

जहां इनपुट स्थिति $$| \psi \rangle = \alpha | 0 \rangle + \beta | 1 \rangle$$ क्युबिट है $$1$$, अन्य सभी qubits सहायक सहायक हैं और इसलिए उन्हें तैयार करना होगा $$| + \rangle$$ राज्य। पहले चरण में, इनपुट स्थिति $$|\psi \rangle$$ दूसरी कक्षा से उलझा होना चाहिए; बदले में, दूसरी कक्षा को तीसरे और इसी तरह से उलझाना चाहिए। पेचीदा ऑपरेशन $$E_{ij}$$ qubits के बीच द्वारा किया जा सकता है $$CZ$$ द्वार।

दूसरे स्थान पर, पहली और दूसरी qubits द्वारा मापा जाना चाहिए $$M(\theta)$$ देखने योग्य, जिसका अर्थ है कि उन्हें स्वदेशी राज्यों पर प्रक्षेपित किया जाना चाहिए $$| \theta \rangle $$ इस तरह के अवलोकनीय। जब $$\theta$$ शून्य है, $$| \theta_\pm \rangle$$ राज्य कम हो जाते हैं $$|\pm \rangle$$ वाले, यानी के लिए eigenvectors $$X$$ पाउली संचालिका. पहला माप $$M_1^{0}$$ क्यूबिट पर किया जाता है $$1$$ के साथ $$\theta=0$$ कोण, जिसका अर्थ है कि इसे पर प्रक्षेपित किया जाना है $$\langle \pm |$$ राज्यों। दूसरा माप $$[M_2^{-\lambda}]^{s_1}$$ के संबंध में किया जाता है $$-\lambda$$ कोण, यानी दूसरी कक्षा पर प्रक्षेपित किया जाना है $$\langle 0 | \pm e^{i \lambda} \langle 1 |$$ राज्य। हालाँकि, यदि पिछले माप से परिणाम किया गया है $$\langle - |$$, का चिह्न है $$\lambda$$ कोण को फ़्लिप करना होगा, और दूसरी कक्षा को प्रक्षेपित किया जाएगा $$\langle 0 | + e^{-i \lambda} \langle 1 |$$ राज्य; यदि पहले माप से परिणाम किया गया है $$\langle + |$$, कोई फ्लिप करने की आवश्यकता नहीं है। तीसरे के लिए वही ऑपरेशन दोहराना होगा $$[M_3^{\theta}]^{s_2}$$ और चौथा $$[M_4^{\phi}]^{s_1+s_3}$$ माप, संबंधित कोणों और साइन फ़्लिप के अनुसार। के ऊपर का चिन्ह $$\phi$$ कोण होना तय है $$(-)^{s_1+s_3}$$. आखिरकार पाँचवीं कक्षा (मापने के लिए केवल एक ही नहीं) के आंकड़े आउटपुट स्टेट हैं।

अंत में, सुधार $$Z_5^{s_1+s_3}X_5^{s_2+s_4}$$ आउटपुट स्टेट पर बायप्रोडक्ट ऑपरेटरों के माध्यम से प्रदर्शन किया जाना है। उदाहरण के लिए, यदि दूसरी और चौथी कक्षा से अधिक की माप हो $$\langle \phi_+ |$$ और $$\langle \lambda_+ |$$द्वारा कोई सुधार नहीं किया जाएगा $$X_5$$ ऑपरेटर, के रूप में $$s_2=s_4=0$$. एक के लिए एक ही परिणाम है $$\langle \phi_- |$$ $$\langle \lambda_- |$$ परिणाम, जैसा $$s_2=s_4=1$$ और इस प्रकार स्क्वायर पाउली ऑपरेटर $$X^2$$ पहचान लौटाता है।

जैसा कि इस तरह के उदाहरण में देखा गया है, माप-आधारित गणना मॉडल में, भौतिक इनपुट क्यूबिट (पहला वाला) और आउटपुट क्यूबिट (तीसरा वाला) एक दूसरे से भिन्न हो सकते हैं।

क्वांटम सर्किट मॉडल और एमबीक्यूसी
के बीच समानता

वन-वे क्वांटम कंप्यूटर उलझाव और माप के संचालन के माध्यम से एकात्मक परिवर्तनों के एक सर्किट के कार्यान्वयन की अनुमति देता है। उसी समय, किसी भी क्वांटम सर्किट को बदले में सीएमई पैटर्न में परिवर्तित किया जा सकता है: क्वांटम सर्किट को माप के एमबीक्यूसी पैटर्न में अनुवाद करने की तकनीक वी। डैनोस एट अल द्वारा तैयार की गई है। द्वारा बनाए गए लॉजिक गेट्स के एक सार्वभौमिक सेट का उपयोग करके इस तरह के रूपांतरण को आगे बढ़ाया जा सकता है $$CZ$$ और यह $$J(\theta)$$ ऑपरेटर: इसलिए, किसी भी सर्किट को एक सेट में विघटित किया जा सकता है $$CZ$$ और यह $$J(\theta)$$ द्वार। $$J(\theta)$$ h> सिंगल-क्यूबिट ऑपरेटर को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:
 * $$J(\theta) = \frac{1}{\sqrt 2} \begin{pmatrix} 1 & e^{i \theta} \\ 1 & -e^{i\theta} \end{pmatrix}$$. $$J(\theta)$$ h> को निम्नानुसार CME पैटर्न में बदला जा सकता है:
 * $$J(\theta) = X_2 M_1^{-\theta} E_{1,2}$$

जिसका अर्थ है, ए को लागू करना $$J(\theta)$$ ऑपरेटर, इनपुट qubits $$| \psi \rangle$$ एक ancilla qubit से उलझा होना चाहिए $$| + \rangle$$, इसलिए इनपुट को पर मापा जाना चाहिए $$X$$-$$Y$$ विमान, उसके बाद आउटपुट क्यूबिट द्वारा सही किया जाता है $$X_2$$ उपोत्पाद। एक बार हर $$J(\theta)$$ गेट को सीएमई पैटर्न में विघटित कर दिया गया है, समग्र संगणना में संचालन शामिल होंगे $$E_{ij}$$ उलझाव, $$M_i^{-\theta_i}$$ माप और $$X_j$$ सुधार। गणना के पूरे प्रवाह को सीएमई पैटर्न में ले जाने के लिए, कुछ नियम प्रदान किए गए हैं।

मानकीकरण
सभी को स्थानांतरित करने के लिए $$E_{ij}$$ प्रक्रिया की शुरुआत में उलझाव, कम्यूटेटर के कुछ नियम बताए जाने चाहिए:
 * $$E_{ij} Z_i^s = Z_i^s E_{ij}$$
 * $$E_{ij} X_i^s = X_i^s Z_j^s E_{ij}$$
 * $$E_{ij} A_k = A_k E_{ij}$$.

उलझाव संचालक $$E_{ij}$$ के साथ आवागमन करता है $$Z$$ पाउली ऑपरेटरों और किसी अन्य ऑपरेटर के साथ $$A_k$$ एक qubit पर अभिनय $$k\neq i,j$$, लेकिन साथ नहीं $$X$$ पाउली ऑपरेटरों पर अभिनय $$i$$-वें या $$j$$-वें क्युबिट्स।

पाउली सरलीकरण
माप संचालन $$M_i^\theta$$ निम्नलिखित तरीके से सुधार के साथ यात्रा करें:


 * $$M_i^\theta X_i^s = [M_i^\theta]^s$$
 * $$M_i^\theta Z_i^t = S_i^t M_i^\theta$$,

कहाँ $$[M_i^\theta]^s=M_i^{(-)^s\theta}$$. इस तरह के ऑपरेशन का मतलब है कि, शिफ्ट करते समय $$X$$ पैटर्न के अंत में सुधार, माप के बीच कुछ निर्भरताएँ हो सकती हैं। $$S_i^t$$ h> ऑपरेटर को सिग्नल शिफ्टिंग कहा जाता है, जिसकी क्रिया अगले पैराग्राफ में बताई जाएगी। विशेष रूप से $$\theta$$ कोण, कुछ सरलीकरण, जिन्हें पाउली सरलीकरण कहा जाता है, पेश किए जा सकते हैं:


 * $$M_i^0 X_i^s = M_i^0$$
 * $$M_i^{\pi/2} X_i^s = M_i^{\pi/2} Z_i^s$$.

सिग्नल शिफ्टिंग
सिग्नल शिफ्टिंग ऑपरेटर की कार्रवाई $$S_i^t$$ इसके रूपांतरण के नियमों के माध्यम से समझाया जा सकता है:


 * $$X_i^{s} S_i^t = S_i^t X_i^{s[(s_i+t)/s_i]}$$
 * $$Z_i^{s} S_i^t = S_i^t Z_i^{s[(s_i+t)/s_i]}$$. $$s[(t+s_i)/s_i]$$ h> ऑपरेशन की व्याख्या की जानी है: मान लीजिए कि संकेतों का एक क्रम है $$s$$, को मिलाकर $$s_1 + s_2 + ... + s_i + ...$$, संचालन $$s[(t+s_i)/s_i]$$ मतलब स्थानापन्न करना $$s_i$$ साथ $$s_i+t$$ क्रम में $$s$$, जो बन जाता है $$s_1 + s_2 + ... + s_i + t + ...$$. अगर कोई नहीं $$s_i$$ में प्रकट होता है $$s$$ अनुक्रम, कोई प्रतिस्थापन नहीं होगा। एक सही सीएमई पैटर्न करने के लिए, हर सिग्नल शिफ्टिंग ऑपरेटर $$S_i^t$$ पैटर्न के अंत में अनुवाद किया जाना चाहिए।

स्टेबलाइज़र औपचारिकता
उलझे हुए qubits की स्रोत स्थिति तैयार करते समय, स्टेबलाइजर समूह द्वारा एक ग्राफ प्रतिनिधित्व दिया जा सकता है। स्टेबलाइजर समूह $$\mathcal{S}_n$$ पाउली समूह का एक एबेलियन समूह उपसमूह है $$\mathcal{P}_n$$, जिसे इसके जनरेटर द्वारा वर्णित किया जा सकता है $$\{\pm 1, \pm i\} \times \{I,X,Y,Z\}^{\otimes n}$$. एक स्टेबलाइजर अवस्था है $$n$$-क्यूबिट राज्य $$| \Psi \rangle $$ जो जनरेटर के लिए एक अद्वितीय eigenstate है $$S_i$$ की $$\mathcal{S}_n$$ स्टेबलाइजर समूह: :$$S_i | \Psi \rangle = | \Psi \rangle.$$ बिल्कुल, $$S_i \in \mathcal{S}_n \, \forall i$$.

इसलिए इसे परिभाषित करना संभव है $$n$$ क्यूबिट ग्राफ स्थिति $$| G \rangle$$ एक ग्राफ, यानी एक सेट से जुड़ी क्वांटम स्थिति के रूप में $$G=(V,E)$$ जिसका वर्टेक्स (ग्राफ सिद्धांत) $$V$$ क्यूबिट्स के अनुरूप, जबकि एज (ग्राफ सिद्धांत) $$E$$ qubits के बीच उलझनों का प्रतिनिधित्व करते हैं। शीर्षों को a द्वारा लेबल किया जा सकता है $$i$$ सूचकांक, जबकि किनारों, को जोड़ने $$i$$-वें शीर्ष से $$j$$-वाँ, दो-सूचकांक लेबल द्वारा, जैसे $$(i,j)$$. स्टेबलाइजर औपचारिकता में, इस तरह की ग्राफ संरचना को एनकोड किया जा सकता है $$K_i$$ के जनरेटर $$\mathcal{S}_n$$, के रूप में परिभाषित
 * $$ K_i = X_i \prod_{j \in (i,j)} Z_j $$,

कहाँ $${j \in (i,j)}$$ सभी के लिए खड़ा है $$j$$ के साथ पड़ोसी qubits $$i$$-वाँ, यानी $$j$$ ए से जुड़े हुए कोने $$(i,j)$$ के साथ बढ़त $$i$$ शिखर। प्रत्येक $$K_i$$ जनरेटर अन्य सभी के साथ यात्रा करता है। द्वारा रचित एक ग्राफ $$n$$ शिखरों द्वारा वर्णित किया जा सकता है $$n$$ स्टेबलाइजर समूह से जनरेटर:


 * $$\langle K_1, K_2, ..., K_n\rangle$$.

जबकि की संख्या $$X_i$$ प्रत्येक के लिए निर्धारित है $$K_i$$ जनरेटर, की संख्या $$Z_j$$ ग्राफ़ में किनारों द्वारा लागू किए गए कनेक्शन के संबंध में भिन्न हो सकते हैं।

क्लिफर्ड समूह
क्लिफर्ड समूह $$\mathcal{C}_n$$ तत्वों से बना है जो पाउली के समूह से तत्वों को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं $$\mathcal{P}_n$$:
 * $$\mathcal{C}_n = \{ U \in SU(2^n) \; | \; U S U^\dagger \in \mathcal{P}_n, S \in \mathcal{P}_n \}$$.

क्लिफर्ड समूह को तीन जनरेटर की आवश्यकता होती है, जिसे हैडमार्ड गेट के रूप में चुना जा सकता है $$H$$ और चरण रोटेशन $$S$$ सिंगल-क्विबिट गेट्स के लिए, और दूसरा दो-क्विबिट्स गेट से $$CNOT$$ (नियंत्रित गेट नहीं) या $$CZ$$ (नियंत्रित चरण द्वार):
 * $$ H = \frac{1}{\sqrt 2} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}, \quad S = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}, \quad CNOT = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} $$.

एक राज्य पर विचार करें $$| G \rangle$$ जिसे स्टेबलाइजर्स के एक सेट द्वारा स्थिर किया जाता है $$S_i$$. एक तत्व के माध्यम से अभिनय $$U$$ क्लिफर्ड समूह से ऐसे राज्य पर, निम्नलिखित समानताएँ हैं:
 * $$U|G\rangle = U S_i |G\rangle = U S_i U^\dagger U |G\rangle = S'_i U |G\rangle$$.

इसलिए $$U$$ संचालन मानचित्र $$|G\rangle$$ करने के लिए राज्य $$U |G\rangle$$ और इसके $$S_i$$ स्टेबलाइजर्स को $$U S_i U^\dagger$$. इस तरह के ऑपरेशन के लिए अलग-अलग अभ्यावेदन हो सकते हैं $$K_i$$ स्टेबलाइजर समूह के जनरेटर।

गॉट्समैन-निल प्रमेय कहता है कि, क्लिफर्ड समूह से लॉजिक गेट्स का एक सेट दिया गया है, जिसके बाद $$Z$$ मापन, इस तरह की गणना को शास्त्रीय कंप्यूटर पर मजबूत अर्थों में कुशलतापूर्वक अनुकरण किया जा सकता है, यानी एक गणना जो बहुपद-समय में संभाव्यता को विस्तृत करती है $$P(x)$$ किसी दिए गए आउटपुट के लिए $$x$$ सर्किट से।

टोपोलॉजिकल क्लस्टर स्टेट क्वांटम कंप्यूटर
आवधिक 3डी जाली क्लस्टर स्थिति पर माप-आधारित संगणना का उपयोग टोपोलॉजिकल क्वांटम त्रुटि सुधार को लागू करने के लिए किया जा सकता है। टोपोलॉजिकल क्लस्टर स्टेट कम्प्यूटेशन, कितेव के टोरिक कोड से निकटता से संबंधित है, क्योंकि 3 डी टोपोलॉजिकल क्लस्टर स्टेट का निर्माण किया जा सकता है और समय के साथ 2 डी एरे पर गेट्स के बार-बार अनुक्रम द्वारा मापा जा सकता है।

कार्यान्वयन
फोटोन के 2x2 क्लस्टर स्टेट पर 2 क्विट ग्रोवर के एल्गोरिथ्म को चलाकर एकतरफा क्वांटम संगणना का प्रदर्शन किया गया है। एक तरफ़ा संगणना पर आधारित एक रैखिक ऑप्टिकल क्वांटम कंप्यूटिंग प्रस्तावित की गई है। ऑप्टिकल जाली में क्लस्टर स्टेट्स भी बनाए गए हैं, लेकिन अभिकलन के लिए उपयोग नहीं किया गया था क्योंकि व्यक्तिगत रूप से मापने के लिए परमाणु qubits एक साथ बहुत करीब थे।

एक संसाधन के रूप में AKLT स्थिति
यह दिखाया गया है कि (स्पिन (भौतिकी) $$ \tfrac{3}{2}$$) एक 2डी मधुकोश जाली पर AKLT स्थिति का उपयोग MBQC के लिए एक संसाधन के रूप में किया जा सकता है। हाल ही में यह दिखाया गया है कि एक स्पिन-मिश्रण AKLT स्थिति को संसाधन के रूप में उपयोग किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * क्वांटम गेट टेलीपोर्टेशन
 * निरंतर-परिवर्तनीय क्वांटम जानकारी
 * क्वांटम एल्गोरिथ्म
 * क्वांटम लॉजिक गेट
 * रैखिक ऑप्टिकल क्वांटम कंप्यूटिंग
 * क्वांटम प्रकाशिकी
 * क्वांटम त्रुटि सुधार
 * क्वांटम ट्यूरिंग मशीन
 * स्थिरोष्म क्वांटम संगणना

संदर्भ

 * General


 * Non-cluster resource states
 * Measurement-based quantum computation, quantum carry-lookahead adder