क्लासिकल हैमिल्टनियन चतुर्भुज

विलियम रोवन हैमिल्टन ने 1843 में चार का समुदाय, एक गणितीय इकाई का आविष्कार किया। यह लेख हैमिल्टन के चतुष्कोणों के मूल उपचार का वर्णन करता है, जिसमें उनके अंकन और करारों का उपयोग किया गया है। हैमिल्टन का उपचार आधुनिक दृष्टिकोण की तुलना में अधिक ज्यामिति है, जो चतुष्कोणों के बीजगणितीय गुणों पर बल देता है। गणितीय रूप से, चतुष्कोणों पर चर्चा की गई आधुनिक परिभाषा से केवल उस शब्दावली से भिन्न होती है जिसका उपयोग किया जाता है।

एक चतुष्कोण के शास्त्रीय तत्व
हैमिल्टन ने चतुष्कोण को त्रिआयाम (सदिशस्थान) स्थान में दो निर्देशित रेखाओं के भागफल के रूप में परिभाषित किया; या, अधिक सामान्यतः, दो सदिशों के भागफल के रूप में।

एक चतुर्धातुक को एक अदिश और एक सदिशके योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसे इसके टेन्सर और इसके छंदr के उत्पाद के रूप में भी दर्शाया जा सकता है।

अदिश
हैमिल्टन ने वास्तविक संख्याओं के लिए स्केलर्स शब्द का आविष्कार किया, क्योंकि वे प्रगति के पैमाने को सकारात्मक से नकारात्मक अनंत तक फैलाते हैं या क्योंकि वे एक सामान्य पैमाने पर स्थितियों की तुलना का प्रतिनिधित्व करते हैं। हैमिल्टन ने साधारण अदिश बीजगणित को शुद्ध समय का विज्ञान माना।

वेक्टर
हैमिल्टन ने एक सदिश को "एक सही रेखा ... जिसमें न केवल लंबाई बल्कि दिशा भी हो" के रूप में परिभाषित किया है। हैमिल्टन ने शब्द सदिश लैटिन वेहेयर से लिया है, ले जाने के लिए।

हैमिल्टन ने एक सदिश की कल्पना इसके दो चरम बिंदुओं के अंतर के रूप में की। हैमिल्टन के लिए, एक सदिश हमेशा एक त्रि-आयामी इकाई था, जिसमें किसी भी दिए गए समन्वय प्रणाली के सापेक्ष तीन समन्वय होते हैं, जिसमें ध्रुवीय समन्वय प्रणाली और आयताकार प्रणाली दोनों सम्मिलित हैं लेकिन इतनी ही सीमित नहीं है, दोनों ध्रुवीय और आयताकार प्रणालियाँ ।  इसलिए उन्होंने सदिशों को त्रिक कहा।

हैमिल्टन ने यूक्लिडियन सदिश# पहले के अंत में दूसरे सदिश के प्रतिनिधित्व को रखकर ज्यामितीय शब्दों में वैक्टर के जोड़ को परिभाषित किया। उन्होंने सदिश घटाव को परिभाषित किया।

एक सदिश को अपने आप में कई बार जोड़कर, उन्होंने एक पूर्णांक द्वारा एक सदिश के गुणन को परिभाषित किया, फिर इसे एक पूर्णांक द्वारा विभाजन, और एक परिमेय संख्या द्वारा एक सदिश के गुणन (और विभाजन) तक विस्तारित किया। अंत में, सीमाएं लेते हुए, उन्होंने सदिश α को किसी भी अदिश x से गुणा करने के परिणाम को एक सदिश β के रूप में उसी दिशा के साथ परिभाषित किया जैसे α यदि x धनात्मक है; α के विपरीत दिशा यदि x ऋणात्मक है; और एक लम्बाई जो |x| है α की लंबाई का गुना।

दो समानांतर (ज्यामिति) या विरोधी समानांतर वैक्टर का भागफल इसलिए दो वैक्टरों की लंबाई के अनुपात के बराबर पूर्ण मूल्य वाला एक स्केलर है; यदि सदिश समांतर हैं तो अदिश धनात्मक होता है और यदि वे समांतर-विरोधी होते हैं तो ऋणात्मक होता है।

इकाई वेक्टर
एक इकाई सदिश एक लंबाई का एक सदिश है। इकाई वैक्टर के उदाहरणों में i, j और k सम्मिलित  हैं।

टेन्सर

 * नोट: हैमिल्टन द्वारा टेंसर शब्द का प्रयोग आधुनिक शब्दावली के साथ मेल नहीं खाता है। हैमिल्टन का टेन्सर वास्तव में चतुष्कोणीय बीजगणित पर निरपेक्ष मान (बीजगणित) है, जो इसे एक आदर्श सदिश स्थान बनाता है।

हैमिल्टन ने टेन्सर को एक सकारात्मक संख्यात्मक मात्रा, या अधिक ठीक से, संकेत रहित संख्या के रूप में परिभाषित किया।  टेन्सर को धनात्मक अदिश माना जा सकता है। टेंसर को स्ट्रेचिंग फैक्टर का प्रतिनिधित्व करने वाला माना जा सकता है।

हैमिल्टन ने अपनी पहली पुस्तक, लेक्चर्स ऑन क्वाटरनियंस में टेन्सर शब्द का परिचय दिया, जो क्वाटरनियंस के अपने आविष्कार के तुरंत बाद दिए गए व्याख्यानों पर आधारित था:
 *  परिभाषा के अनुसार नए शब्द टेन्सर के अर्थ को बढ़ाना सुविधाजनक लगता है, ताकि इसे उन अन्य घटनाओं को भी सम्मिलित करने में सक्षम बनाया जा सके, जिनमें हम इसकी लंबाई बढ़ाने के बजाय कम करके लाइन पर काम करते हैं; और प्रायः उस लंबाई को किसी निश्चित अनुपात में बदलकर। इस प्रकार हम (जैसा कि विचाराधीन लेख के अंत में संकेत दिया गया था) में भिन्नात्मक और यहां तक ​​​​कि समानता (गणित) टेंसर होंगे, जो केवल संख्यात्मक गुणक होंगे, और सभी सकारात्मक होंगे या (अधिक ठीक से बोलने के लिए) साइनलेस नंबर, यानी, धनात्मक और ऋणात्मक बीजगणितीय चिह्नों से रहित ; क्योंकि, यहाँ पर विचार किए गए संक्रिया में, हम उन पंक्तियों की दिशाओं (साथ ही स्थितियों से) से अमूर्त करते हैं जिनकी तुलना या संचालन किया जाता है।

प्रत्येक चतुष्कोण में एक टेन्सर होता है, जो इसके परिमाण का एक माप है (उसी तरह जिस तरह एक सदिश की लंबाई एक सदिश परिमाण का एक माप है)। जब एक चतुष्कोण को दो सदिशों के भागफल के रूप में परिभाषित किया जाता है, तो इसका टेंसर इन सदिशों की लंबाई का अनुपात होता है।

छंद
छंद 1 के टेन्सर वाला एक चतुष्कोण है। वैकल्पिक रूप से, छंद को दो समान लंबाई वाले सदिशों के भागफल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है वैक्टर।

सामान्य तौर पर एक छंद निम्नलिखित सभी को परिभाषित करता है: एक दिशात्मक अक्ष; विमान सामान्य (ज्यामिति) उस धुरी के लिए; और घूर्णन का कोण।

जब एक छंद और एक सदिश, जो छंद के तल में स्थित है, को गुणा किया जाता है, तो परिणाम समान लंबाई का एक नया सदिश होता है, लेकिन छंद के कोण द्वारा घुमाया जाता है।

सदिशचाप
चूँकि प्रत्येक इकाई सदिश को एक इकाई क्षेत्र पर एक बिंदु के रूप में सोचा जा सकता है, और चूँकि एक छंद को दो सदिशों के भागफल के रूप में माना जा सकता है, एक छंद में एक प्रतिनिधि बड़ा वृत्त चाप होता है, जिसे सदिश चाप कहा जाता है, इन दो बिंदुओं को जोड़ता है, भाजक या भागफल के निचले भाग से, भागफल के लाभांश या ऊपरी भाग से खींचा गया।

सही छंद
जब एक छंद के चाप में एक समकोण का परिमाण होता है, तो उसे समकोण छंद, समकोण छंद या चतुष्कोणीय छंद कहते हैं।

पतित रूप
इकाई -स्केलर्स कहे जाने वाले दो विशेष पतित छंद घटना हैं। इन दो स्केलर्स (नकारात्मक और सकारात्मक एकता) को स्केलर चतुष्कोणों के रूप में माना जा सकता है। ये दो स्केलर विशेष सीमित घटना  हैं, जो शून्य या π के कोण वाले छंदों के अनुरूप हैं।

अन्य छंदों के विपरीत, इन दोनों को एक अद्वितीय चाप द्वारा प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। 1 का चाप एक एकल बिंदु है, और -1 को अनंत संख्या में चापों द्वारा दर्शाया जा सकता है, क्योंकि एक गोले के प्रतिध्रुवीय बिंदुओं के बीच अनंत संख्या में छोटी-छोटी रेखाएँ होती हैं।

चतुष्कोण
प्रत्येक चतुष्कोण को एक अदिश और एक सदिश में विघटित किया जा सकता है।


 * $$q = \mathbf{S}(q) + \mathbf{V}(q)$$

ये दो ऑपरेशन S और V कहलाते हैं का स्केलर लें और एक चतुर्धातुक का सदिशलें। चतुर्धातुक के सदिश भाग को दायाँ भाग भी कहा जाता है। प्रत्येक चतुष्कोण चतुर्धातुक के टेंसर द्वारा गुणा किए गए छंद के बराबर है। द्वारा एक चतुष्कोण के छंद को नकारना


 * $$\mathbf{U}q$$

और चतुष्कोण का टेंसर द्वारा


 * $$\mathbf{T}q$$

अपने पास


 * $$q=\mathbf{T}q\mathbf{U}q$$

सही चतुष्कोण
एक सही चतुष्कोण एक चतुर्धातुक है जिसका अदिश घटक शून्य है,


 * $$S(q) = 0$$

एक सम चतुर्भुज का कोण 90 डिग्री है। एक सही चतुष्कोण को सदिश प्लस शून्य अदिश के रूप में भी माना जा सकता है। सही चतुष्कोणों को मानक ट्रिनोमियल रूप में रखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि Q एक समचतुर्भुज है, तो इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:


 * $$Q = xi + yj + zk$$

चार ऑपरेशन
चतुष्कोणीय संकेतन में चार संक्रियाएँ मूलभूत महत्व की हैं।

विशेष रूप से यह समझना महत्वपूर्ण है कि गुणन की एक ही संक्रिया, भाग की एक संक्रिया और जोड़ और घटाव की एक ही संक्रिया है। यह एकल गुणा ऑपरेटर किसी भी प्रकार की गणितीय संस्थाओं पर काम कर सकता है। इसी तरह हर प्रकार की इकाई को किसी अन्य प्रकार की इकाई से विभाजित, जोड़ा या घटाया जा सकता है। घटाव प्रतीक के अर्थ को समझना चतुष्कोणीय सिद्धांत में महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह एक सदिश की अवधारणा को समझने की ओर जाता है।

साधारण संचालक
शास्त्रीय चतुष्कोणीय संकेतन में दो क्रमसूचक संक्रियाएँ जोड़ और घटाव या + और - थीं।

ये निशान हैं:

... प्रगति की स्थिति के संश्लेषण और विश्लेषण की विशेषताएं, जैसा कि इस स्थिति को उस प्रगति के किसी अन्य राज्य से व्युत्पन्न या तुलना के रूप में माना जाता है।

घटाव
घटाव एक प्रकार का विश्लेषण है जिसे क्रमिक विश्लेषण कहा जाता है ...आइए अब अंतरिक्ष को प्रगति के क्षेत्र के रूप में माना जाए जिसका अध्ययन किया जाना है, और POINTS को उस प्रगति की स्थिति के रूप में माना जाए। ... मैं किसी अन्य (ऐसी) स्थिति की तुलना में एक ज्यामितीय स्थिति (अंतरिक्ष में) के विश्लेषण के संकेत या विशेषता के रूप में ज्यामिति में माइनस, या चिह्न - शब्द को मानने के लिए प्रेरित हूं। एक गणितीय बिंदु की दूसरे के साथ तुलना इस बात के निर्धारण के लिए कि क्या उनका क्रमिक संबंध कहा जा सकता है, या अंतरिक्ष में उनकी सापेक्ष स्थिति ... 

घटाव का पहला उदाहरण बिंदु A को पृथ्वी का प्रतिनिधित्व करने के लिए, और बिंदु B को सूर्य का प्रतिनिधित्व करने के लिए लेना है, फिर A से B तक खींचा गया तीर गति या सदिश की क्रिया का प्रतिनिधित्व करता है। अ से ब तक।


 * बी - ए

यह सदिशके हैमिल्टन के व्याख्यान में पहला उदाहरण दर्शाता है। इस घटना में पृथ्वी से सूर्य तक यात्रा करने का कार्य।

जोड़
जोड़ एक प्रकार का विश्लेषण है जिसे क्रमिक संश्लेषण कहा जाता है।

सदिशों और अदिशों का जोड़
सदिशऔर स्केलर जोड़े जा सकते हैं। जब एक सदिशको स्केलर में जोड़ा जाता है, तो एक पूरी तरह से अलग इकाई, एक चतुर्धातुक बनाया जाता है।

एक सदिश और एक अदिश हमेशा एक चतुर्भुज होता है भले ही अदिश शून्य हो। यदि सदिश में जोड़ा गया अदिश शून्य है, तो उत्पन्न होने वाले नए चतुष्कोण को समचतुर्भुज कहा जाता है। इसमें 90 डिग्री का कोण विशेषता है।

कार्डिनल ऑपरेशंस
दो कार्डिनल ऑपरेशन चतुष्कोणीय अंकन में ज्यामितीय गुणन और ज्यामितीय विभाजन होते हैं और इन्हें लिखा जा सकता है:



विभाजन और गुणन का उपयोग करने के लिए निम्नलिखित अधिक उन्नत शब्दों को सीखने की आवश्यकता नहीं है।

विभाजन एक प्रकार का विश्लेषण है जिसे कार्डिनल विश्लेषण कहा जाता है। गुणन एक प्रकार का संश्लेषण है जिसे कार्डिनल संश्लेषण कहा जाता है

विभाग
शास्त्रीय रूप से, चतुष्कोण को दो वैक्टरों के अनुपात के रूप में देखा जाता था, जिसे कभी-कभी ज्यामितीय अंश कहा जाता था।

यदि OA और OB मूल O से दो अन्य बिंदुओं A और B तक खींचे गए दो सदिशों का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो ज्यामितीय अंश को इस प्रकार लिखा जाता था


 * $$OA:OB$$

वैकल्पिक रूप से यदि दो सदिशों को α और β द्वारा दर्शाया जाता है तो भागफल को इस प्रकार लिखा जाता है


 * $$\alpha\div\beta$$

या


 * $$\frac{\alpha}{\beta}$$

हैमिल्टन का दावा है: दो वैक्टरों का भागफल प्रायः एक चतुष्कोण होता है। Quaternions पर व्याख्यान भी पहले दो वैक्टरों के भागफल के रूप में एक चतुर्भुज की अवधारणा का परिचय देते हैं:

तार्किक रूप से और परिभाषा के अनुसार, अगर $$\frac{\alpha}{\beta}=q$$ तब $${q}\times{\beta} = \alpha.$$.

हैमिल्टन की कलन में गुणनफल क्रमविनिमेय नहीं है, अर्थात चरों के क्रम का बहुत महत्व है। यदि q और β के क्रम को उलट दिया जाए तो परिणाम सामान्य रूप से α नहीं होगा। Quaternion q को एक ऑपरेटर के रूप में माना जा सकता है जो β को α में बदलता है, पहले इसे घुमाकर, पूर्व में घूर्णन (गणित) का एक कार्य और फिर इसकी लंबाई को बदलकर, जिसे पहले होमोथेटिक परिवर्तन का कार्य कहा जाता था।

साथ ही परिभाषा के अनुसार दो सदिशों का भागफल भाजक के गुणक व्युत्क्रम के अंश गुणा के बराबर होता है। चूंकि सदिशों का गुणन क्रमविनिमेय नहीं है, इसलिए निम्नलिखित व्यंजक में क्रम नहीं बदला जा सकता है।


 * $$\frac{\alpha}{\beta}=\,{\alpha}\times\frac{1}{\beta}$$

फिर से दाहिनी ओर दो मात्राओं का क्रम महत्वपूर्ण है।

हार्डी स्मरक निरसन नियमों के संदर्भ में विभाजन की परिभाषा प्रस्तुत करता है। रद्द करना ऊपर की ओर दाहिने हाथ से किया जा रहा है। यदि alpha और beta सदिश हैं और q एक चतुष्कोण ऐसा है कि


 * $$\frac{\alpha}{\beta} = q $$

तब $$\alpha\beta^{-1}=q$$ और $$\frac{\alpha}{\beta}.\beta = \alpha\beta^{-1}.\beta=\alpha$$
 * $$\times$$ और $$\div$$ उलटा संचालन हैं, जैसे कि:

और
 * $$\beta\div\alpha\times\alpha=\beta$$ और $$q\times\alpha\div\alpha=q$$

क्यू के बारे में सोचने का एक महत्वपूर्ण तरीका एक ऑपरेटर के रूप में है जो पहले इसे (संस्करण) घुमाकर और फिर इसकी लंबाई (तनाव) बदलकर β को α में बदलता है।
 * $$\gamma=(\gamma\div\beta)\times(\beta\div\alpha)\times\alpha$$


 * $$\gamma\div\alpha=(\gamma\div\beta)\times(\beta\div\alpha)$$

इकाई वैक्टर i, j, k
का विभाजन i, j, और k पर डिवीजन ऑपरेटर का उपयोग करने के परिणाम इस प्रकार थे।

इकाई सदिश का व्युत्क्रम सदिश उल्टा होता है।
 * $$\frac{1}{i} = i^{-1} = -i$$

क्योंकि एक इकाई सदिशऔर इसका व्युत्क्रम एक दूसरे के समानांतर होते हैं लेकिन विपरीत दिशाओं में इंगित करते हैं, एक इकाई सदिशके उत्पाद और इसके पारस्परिक में एक विशेष केस कम्यूटेटिव संपत्ति होती है, उदाहरण के लिए यदि कोई इकाई सदिशहै तो:
 * $$\frac{1}{a}a = (-a)a = 1 = a(-a) = a\frac{1}{a}.$$

हालांकि, अधिक सामान्य घटना में एक से अधिक सदिशसम्मिलित  हैं (चाहे वह एक इकाई  सदिशहै या नहीं) क्रमविनिमेय संपत्ति धारण नहीं करती है। उदाहरण के लिए:


 * $$i\frac{k}{i}$$ ≠ $$\frac{k}{i} i.$$

ऐसा इसलिए है क्योंकि k/i को सावधानीपूर्वक परिभाषित किया गया है:


 * $$\frac{k}{i} = k\frac{1}{i} = ki^{-1} = k(-i) = -(ki) = -(j) = -j$$.

ताकि:


 * $$i\frac{k}{i} = i(-j) = -k$$,

हालाँकि


 * $$\frac{k}{i} i= (-j)i = -(ji) = -(-k) = k$$

दो समानांतर सदिशों का विभाजन
जबकि सामान्यतः दो सदिशों का भागफल एक चतुर्भुज होता है, यदि α और β दो समांतर सदिश हैं तो इन दोनों सदिशों का भागफल एक अदिश राशि है। उदाहरण के लिए, अगर

$$\alpha = ai$$,

और $$\beta = bi$$ तब


 * $$\alpha\div\beta = \frac{\alpha}{\beta} = \frac{ai}{bi} = \frac{a}{b}$$

जहाँ a/b एक अदिश राशि है।

दो गैर-समानांतर वैक्टरों का विभाजन
सामान्य रूप से दो सदिशों का भागफल चतुर्धातुक होता है:


 * $$q =\frac{\alpha}{\beta}$$$$=\frac{T\alpha}{T\beta}(\cos\phi + \epsilon\sin\phi)$$

जहां α और β दो गैर-समानांतर वैक्टर हैं, φ उनके बीच का कोण है, और ε वैक्टर α और β के विमान के लंबवत एक इकाई सदिशहै, जिसकी दिशा मानक दाहिने हाथ के नियम द्वारा दी गई है।

गुणन
शास्त्रीय चतुष्कोणीय संकेतन में गुणन की केवल एक अवधारणा थी। शास्त्रीय संकेतन प्रणाली में दो वास्तविक संख्याओं, दो काल्पनिक संख्याओं या एक वास्तविक संख्या का एक काल्पनिक संख्या से गुणा एक ही संक्रिया थी।

एक स्केलर और एक सदिशका गुणन एक ही गुणन ऑपरेटर के साथ पूरा किया गया था; चतुष्कोणों के दो सदिशों का गुणन इसी संक्रिया का उपयोग करता है जैसा कि एक चतुष्कोण और एक सदिश या दो चतुष्कोणों के गुणन ने किया था।

फैक्टर, फेसएंड और फैक्टम
जब दो राशियों का गुणा किया जाता है तो पहली राशि को गुणनखण्ड कहते हैं। दूसरी मात्रा को मुख कहा जाता है और परिणाम को तथ्य कहा जाता है।
 * कारक × चेहरा = हो गया

वितरक
शास्त्रीय संकेतन में, गुणन वितरण गुण था। इसे समझने से यह देखना आसान हो जाता है कि क्लासिकल संकेतन में दो सदिशों के गुणनफल ने चतुष्कोण क्यों उत्पन्न किया।


 * $$q=(ai + bj + ck)\times(ei + fj + gk)$$
 * $$q = ae({i}\times{i}) + af({i}\times{j}) + ag({i}\times{k}) + be({j}\times{i}) + bf({j}\times{j}) + bg({j}\times{k}) + ce({k}\times{i}) + cf({k}\times{j}) + cg({k}\times{k})$$

चतुर्धातुक गुणन तालिका का उपयोग करना हमारे पास है:


 * $$q = ae(-1) + af(+k) + ag(-j) + be(-k) + bf(-1) + bg(+i) + ce(+j) + cf(-i) + cg(-1)$$

फिर शर्तें एकत्रित करना:


 * $$q = -ae - bf - cg + (bg-cf)i + (ce - ag)j + (af-be)k$$

पहले तीन पद एक अदिश राशि हैं।

दे


 * $$w = -ae - bf - cg$$
 * $$x = (bg-cf)$$
 * $$y = (ce - ag)$$
 * $$z = (af-be)$$

ताकि दो सदिशों का गुणनफल एक चतुर्भुज हो, और इसे इस रूप में लिखा जा सके:


 * $$q = w + xi + yj + zk$$

दो समचतुर्भुजों का गुणनफल
दो सही चतुष्कोणों का उत्पाद प्रायः एक चतुर्धातुक होता है।

चलो α और β सही चतुष्कोण हैं जो दो चतुष्कोणों के वैक्टर लेने के परिणामस्वरूप होते हैं:


 * $$\alpha=\mathbf{V}p$$
 * $$\beta=\mathbf{V}q$$

सामान्य रूप से उनका उत्पाद एक नया चतुष्कोण है जिसे यहाँ r द्वारा दर्शाया गया है। यह उत्पाद अस्पष्ट नहीं है क्योंकि शास्त्रीय संकेतन में केवल एक उत्पाद है।


 * $$r =\,\alpha\beta;$$

सभी चतुष्कोणों की तरह r अब इसके सदिश और अदिश भागों में विघटित हो सकता है।


 * $$r=\mathbf{S}r+\mathbf{V}r$$

दाईं ओर के पदों को गुणनफल का अदिश और गुणनफल का सदिश कहा जाता है दो सही चतुष्कोणों की।
 * नोट: गुणनफल का अदिश चिन्ह के परिवर्तन (गुणन -1) तक दो सदिशों के यूक्लिडियन अदिश गुणनफल के अनुरूप होता है।

अदिश और सदिश
दो क्लासिकल चतुष्कोणीय अंकन प्रणाली में दो महत्वपूर्ण संक्रियाएं S(q) और V(q) थीं, जिसका अर्थ था स्केलर भाग लेना, और काल्पनिक भाग लेना, जिसे हैमिल्टन ने चतुर्धातुक का सदिश भाग कहा। यहाँ S और V q पर कार्य करने वाले संकारक हैं। इस प्रकार के व्यंजकों में अस्पष्टता के बिना कोष्ठकों को छोड़ा जा सकता है। शास्त्रीय संकेतन:


 * $$q =\,\mathbf{S}q + \mathbf{V}q$$

यहाँ q एक चतुर्भुज है। 'S'q चतुष्कोण का अदिश है जबकि 'V'q चतुष्कोण का सदिश है।

संयुग्म
K संयुग्म संकारक है। क्वाटरनियन का संयुग्म एक क्वाटरनियन है जो पहले क्वाटरनियन के सदिशभाग को माइनस एक से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।

अगर


 * $$q =\,\mathbf{S}q + \mathbf{V}q$$

तब


 * $$\mathbf{K}q=\mathbf{S}\,q - \mathbf{V}q$$.

इजहार


 * $$r=\,\mathbf{K}q$$,

का अर्थ है, चतुष्कोण r को चतुष्कोण q के संयुग्म का मान निर्दिष्ट करें।

टेन्सर
टी टेंसर ऑपरेटर है। यह एक प्रकार की संख्या लौटाता है जिसे #Tensor|Tensor कहा जाता है।

धनात्मक अदिश का टेन्सर वह अदिश है। ऋणात्मक अदिश का टेन्सर, अदिश का निरपेक्ष मान होता है (अर्थात्, ऋणात्मक चिह्न के बिना)। उदाहरण के लिए:


 * $$\mathbf{T}(5) = 5 $$
 * $$\mathbf{T}(-5)= 5$$

परिभाषा के अनुसार सदिश का टेन्सर सदिश की लंबाई है। उदाहरण के लिए, यदि:


 * $$\alpha = xi + yj + zk$$

तब


 * $$\mathbf{T}\alpha = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

एक इकाई सदिश का टेन्सर एक होता है। चूँकि सदिश का छंद एक इकाई सदिश होता है, किसी भी सदिश के छंद का टेन्सर हमेशा एकता के बराबर होता है। प्रतीकात्मक रूप से:

एक चतुर्धातुक परिभाषा के अनुसार दो सदिशों का भागफल है और चतुष्कोण का टेन्सर परिभाषा के अनुसार इन दो सदिशों के टेंसरों का भागफल है। प्रतीकों में:
 * $$\mathbf{TU}\alpha = 1$$

इस परिभाषा से यह दिखाया जा सकता है कि एक उपयोगी यूक्लिडियन मानदंड है:
 * $$q = \frac{\alpha}{\beta}.$$
 * $$\mathbf{T}q = \frac{\mathbf{T}\alpha}{\mathbf{T}\beta}.$$
 * $$\mathbf{T}q=\sqrt{w^2+x^2+y^2+z^2}$$

इस परिभाषा से यह भी सिद्ध किया जा सकता है कि चतुष्कोण का टेंसर प्राप्त करने का एक अन्य सूत्र सामान्य मानदंड से है, जिसे चतुष्कोण और उसके संयुग्म के उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है। एक चतुष्कोण के सामान्य मानदंड का वर्गमूल उसके टेंसर के बराबर होता है।
 * $$\mathbf{T}q=\sqrt{qKq}$$

एक उपयोगी पहचान यह है कि चतुष्क के टेंसर का वर्ग क्वाटरनियन के वर्ग के टेन्सर के बराबर होता है, ताकि कोष्ठकों को छोड़ा जा सके।
 * $$(\mathbf{T}q)^2 = \mathbf{T}(q^2) = \mathbf{T}q^2$$

साथ ही, संयुग्मी चतुष्कोणों के टेंसर बराबर होते हैं।
 * $$\mathbf{TK}q = \mathbf{T}q$$

चतुष्कोण के टेंसर को अब इसका आदर्श (गणित) कहा जाता है।

अक्ष और कोण
एक गैर-अदिश चतुष्कोण का कोण लेने पर, परिणाम शून्य से अधिक और π से कम होता है। जब एक गैर-अदिश चतुष्कोण को दो सदिशों के भागफल के रूप में देखा जाता है, तो चतुर्भुज का अक्ष इस मूल भागफल में दो सदिशों के तल के लंबवत एक इकाई सदिश होता है, जो दाहिने हाथ के नियम द्वारा निर्दिष्ट दिशा में होता है। कोण दो सदिशों के बीच का कोण है।

प्रतीकों में,


 * $$u = Ax.q$$
 * $$\theta = \angle q$$

पारस्परिक
अगर


 * $$q=\frac{\alpha}{\beta}$$

तो इसके गुणक व्युत्क्रम को इस रूप में परिभाषित किया जाता है

$$\frac{1}{q}=q^{-1} = \frac{\beta}{\alpha}$$ इजहार:


 * $${q}\times{\alpha}\times\frac{1}{q}$$

पारस्परिक के कई महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं, उदाहरण के लिए चतुष्कोण और स्थानिक घुमाव, विशेष रूप से जब q एक छंद है। एक छंद का अपने व्युत्क्रम के लिए एक आसान सूत्र होता है।
 * $$\frac{1}{(\mathbf{U}q)}= \mathbf{S.U}q - \mathbf{V.U}q = \mathbf{K.U}q$$

शब्दों में एक छंद का व्युत्क्रम उसके संयुग्म के बराबर होता है। ऑपरेटरों के बीच डॉट्स संचालन के क्रम को दिखाते हैं, और यह इंगित करने में भी मदद करते हैं कि एस और यू उदाहरण के लिए, एसयू नामक एक ऑपरेशन के बजाय दो अलग-अलग ऑपरेशन हैं।

सामान्य मानदंड
इसके संयुग्म के साथ एक चतुष्कोण का उत्पाद इसका सामान्य मानदंड है। चतुर्धातुक के सामान्य मानदंड को लेने के संचालन को N अक्षर से दर्शाया गया है। परिभाषा के अनुसार सामान्य मानदंड इसके संयुग्म के साथ एक चतुर्भुज का उत्पाद है। यह सिद्ध किया जा सकता है वह सामान्य मानदंड चतुष्कोण के टेंसर के वर्ग के बराबर है। हालाँकि यह प्रमाण एक परिभाषा नहीं बनाता है। हैमिल्टन सामान्य मानदंड और टेन्सर दोनों की सटीक, स्वतंत्र परिभाषाएँ देता है। संख्या के सिद्धांत से सुझाए गए अनुसार इस मानदंड को अपनाया गया था, हालांकि हैमिल्टन को उद्धृत करने के लिए वे अक्सर नहीं चाहते थे। टेंसर आमतौर पर अधिक उपयोगी होता है। मानदंड शब्द व्याख्यान पर व्याख्यान में प्रकट नहीं होता है, और केवल दो बार  क्वाटरनियन के तत्व की सामग्री की तालिका में।

प्रतीकों में:


 * $$\mathbf{N}q=\,q\mathbf{K}q =\,(\mathbf{T}q)^2$$

छंद का सामान्य मानदंड हमेशा सकारात्मक एकता के बराबर होता है।
 * $$\mathbf{NU}q = \mathbf{U}q.\mathbf{KU}q = 1$$

ज्यामितीय रूप से वास्तविक और ज्यामितीय रूप से काल्पनिक संख्याएं
शास्त्रीय चतुर्धातुक साहित्य में समीकरण


 * $$q^2=-1$$

माना जाता था कि इसके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं जिन्हें ज्यामितीय रूप से वास्तविक कहा जाता है। ये समाधान इकाई वैक्टर हैं जो एक इकाई क्षेत्र की सतह बनाते हैं।

एक ज्यामितीय रूप से वास्तविक चतुर्धातुक वह है जिसे i, j और k के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है, जैसे कि गुणांक के वर्ग एक तक जोड़ते हैं। हैमिल्टन ने प्रदर्शित किया कि ज्यामितीय रूप से वास्तविक जड़ों के अतिरिक्त इस समीकरण की अतिरिक्त जड़ें भी होनी चाहिए। काल्पनिक अदिश के अस्तित्व को देखते हुए, कई व्यंजकों को लिखा जा सकता है और उचित नाम दिए जा सकते हैं। ये सभी हैमिल्टन के मूल चतुष्कोण कलन का हिस्सा थे। प्रतीकों में:


 * $$q + q'\sqrt{-1}$$

जहाँ q और q' वास्तविक चतुष्कोण हैं, और ऋण एक का वर्गमूल काल्पनिक इकाई है, और इसे काल्पनिक या प्रतीकात्मक जड़ें कहा जाता है और ज्यामितीय रूप से वास्तविक सदिशमात्रा नहीं।

काल्पनिक अदिश
ज्यामितीय रूप से काल्पनिक मात्राएँ विशुद्ध रूप से प्रतीकात्मक प्रकृति के उपरोक्त समीकरण की अतिरिक्त जड़ें हैं। 'तत्वों' के अनुच्छेद 214 में हैमिल्टन ने साबित किया कि अगर कोई i, j और k है तो एक और मात्रा h भी होनी चाहिए जो कि एक काल्पनिक अदिश है, जिसे वह देखता है कि पहले से ही किसी को भी होना चाहिए था जिसने पिछले लेख पढ़े थे। ध्यान से। तत्वों का अनुच्छेद 149 ज्यामितीय रूप से काल्पनिक संख्याओं के बारे में है और इसमें एक फुटनोट सम्मिलित है जो द्विभाजित शब्द का परिचय देता है। साधारण बीजगणित की काल्पनिक और स्केलर काल्पनिक शब्द कभी-कभी इन ज्यामितीय रूप से काल्पनिक मात्राओं के लिए उपयोग किए जाते हैं।

एक समीकरण के ज्यामितीय रूप से काल्पनिक जड़ों की शास्त्रीय सोच में ज्यामितीय रूप से असंभव स्थितियों के रूप में व्याख्या की गई थी। Quaternions के तत्वों के अनुच्छेद 214 में एक रेखा और एक वृत्त के समीकरण के उदाहरण की पड़ताल की गई है, जो एक ज्यामितीय रूप से काल्पनिक जड़ वाले समीकरण द्वारा इंगित किए जाने के रूप में प्रतिच्छेद नहीं करते हैं। हैमिल्टन के बाद के लेखन में उन्होंने काल्पनिक स्केलर को निरूपित करने के लिए एच अक्षर का उपयोग करने का प्रस्ताव दिया

द्विअर्थी
क्वाटरनियंस के तत्वों के पृष्ठ 665 पर हैमिल्टन जटिल संख्या गुणांक के साथ एक क्वाटरनियन होने के लिए एक द्विअर्थी को परिभाषित करता है। एक द्विचतुर्भुज का अदिश भाग तब एक सम्मिश्र संख्या होती है जिसे 'द्विअक्षर' कहा जाता है। द्विचतुर्भुज का सदिश भाग एक द्विभाजक (जटिल) होता है जिसमें तीन जटिल घटक होते हैं। Biquaternions तो मूल (वास्तविक) चतुष्कोणों की जटिलता है।

अन्य डबल चतुष्कोण
हैमिल्टन ने काल्पनिक अदिश (जिसे अब जटिल संख्या के रूप में जाना जाता है) के बीच अंतर करने के लिए साहचर्य शब्द का आविष्कार किया, जो क्रमविनिमेय और साहचर्य दोनों है, और नकारात्मक एकता की चार अन्य संभावित जड़ें जिन्हें उन्होंने एल, एम, एन और ओ नामित किया, संक्षेप में उनका उल्लेख करते हुए चतुष्कोणों पर और निजी पत्रों में व्याख्यान के परिशिष्ट बी। हालांकि, क्वाटरनियंस के तत्वों में शून्य से एक की गैर-सहयोगी जड़ें दिखाई नहीं देती हैं। काम करने से पहले हैमिल्टन की मृत्यु हो गई इन अजीब संस्थाओं पर। उनके बेटे ने दावा किया कि वे दूसरे यूलिसिस के हाथों के लिए आरक्षित धनुष हैं।

यह भी देखें

 * केली-डिक्सन निर्माण
 * Octions
 * फ्रोबेनियस प्रमेय (वास्तविक विभाजन बीजगणित)

संदर्भ

 * W.R. Hamilton (1853), Dublin: Hodges and Smith
 * W.R. Hamilton (1866),, 2nd edition, edited by Charles Jasper Joly, Longmans Green & Company.
 * A.S. Hardy (1887), Elements of Quaternions
 * P.G. Tait (1890), An Elementary Treatise on Quaternions, Cambridge: C.J. Clay and Sons
 * Herbert Goldstein(1980), Classical Mechanics, 2nd edition, Library of congress catalog number QA805.G6 1980