वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित

गणित में, वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित (वीओए) एक बीजगणितीय संरचना है जो द्वि-आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत और स्ट्रिंग सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। भौतिक अनुप्रयोगों के अलावा, वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित विशुद्ध रूप से गणितीय संदर्भों जैसे राक्षसी चांदनी और ज्यामितीय लैंगलैंड पत्राचार में उपयोगी साबित हुए हैं।

वर्टेक्स बीजगणित की संबंधित धारणा 1986 में रिचर्ड बोरचर्ड्स द्वारा पेश की गई थी, जो इगोर फ्रेनकेल  के कारण एक अनंत-आयामी लाई बीजगणित के निर्माण से प्रेरित थी। इस निर्माण के दौरान, एक फॉक स्पेस नियोजित करता है जो जाली वैक्टर से जुड़े वर्टेक्स ऑपरेटरों की कार्रवाई को स्वीकार करता है। बोरचर्ड्स ने वर्टेक्स बीजगणित की धारणा को लैटिस वर्टेक्स ऑपरेटरों के बीच संबंधों को स्वयंसिद्ध करके तैयार किया, एक बीजगणितीय संरचना का निर्माण किया जो फ्रेनकेल की विधि का पालन करके नए ले बीजगणित का निर्माण करने की अनुमति देता है।

वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित की धारणा को वर्टेक्स बीजगणित की धारणा के एक संशोधन के रूप में पेश किया गया था, 1988 में फ्रैंकेल, जेम्स लेपोव्स्की और अर्ने म्योरमैन द्वारा चांदनी मॉड्यूल के निर्माण के लिए उनकी परियोजना के हिस्से के रूप में। उन्होंने देखा कि प्रकृति में दिखाई देने वाले कई शीर्ष बीजगणितों में एक उपयोगी अतिरिक्त संरचना (विरासोरो बीजगणित की एक क्रिया) होती है, और एक ऊर्जा ऑपरेटर के संबंध में एक सीमित-नीचे संपत्ति को संतुष्ट करती है। इस अवलोकन से प्रेरित होकर, उन्होंने वीरासोरो एक्शन और बाउंड-डाउन प्रॉपर्टी को एक्सिओम्स के रूप में जोड़ा।

अब हमारे पास भौतिकी से इन धारणाओं के लिए पोस्ट-हॉक प्रेरणा है, साथ में स्वयंसिद्धों की कई व्याख्याएं हैं जो शुरू में ज्ञात नहीं थीं। शारीरिक रूप से, द्वि-आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत में होलोमोर्फिक क्षेत्र सम्मिलन से उत्पन्न होने वाले वर्टेक्स ऑपरेटर सम्मिलन टकराने पर ऑपरेटर उत्पाद विस्तार को स्वीकार करते हैं, और ये वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित की परिभाषा में निर्दिष्ट संबंधों को सटीक रूप से संतुष्ट करते हैं। वास्तव में, वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित के सिद्धांत एक औपचारिक बीजगणितीय व्याख्या हैं, जिसे भौतिक विज्ञानी चिरल बीजगणित, या चिरल समरूपता के बीजगणित कहते हैं, जहां ये समरूपता एक दिए गए अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत द्वारा संतुष्ट वार्ड पहचान का वर्णन करती है, जिसमें अनुरूप आक्रमण भी शामिल है। वर्टेक्स बीजगणित के स्वयंसिद्धों के अन्य योगों में बोरचर्ड्स का बाद में एकवचन क्रमविनिमेय छल्लों पर किया गया कार्य, हुआंग, क्रिज़ और अन्य द्वारा शुरू किए गए कर्व्स पर कुछ ऑपरेड्स पर बीजगणित, और डी-मॉड्यूल-सैद्धांतिक वस्तुएं जिन्हें चिरल बीजगणित कहा जाता है, सिकंदर मैं बेटा हो और व्लादिमीर ड्रिनफेल्ड द्वारा प्रस्तुत किया गया। संबंधित होने पर, ये चिराल बीजगणित भौतिकविदों द्वारा उपयोग किए जाने वाले समान नाम वाली वस्तुओं के समान नहीं हैं।

वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित के महत्वपूर्ण बुनियादी उदाहरणों में जाली VOAs (मॉडलिंग जाली अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत), affine Kac-Moody बीजगणित (वेस-ज़ुमिनो-विटन मॉडल से) के प्रतिनिधित्व द्वारा दिए गए VOAs, विरासोरो VOAs (यानी, VOAs प्रतिनिधित्व के अनुरूप) शामिल हैं। विरासोरो बीजगणित) और मूनशाइन मॉड्यूल वी♮, जो अपने राक्षस समरूपता से अलग है। ज्यामितीय प्रतिनिधित्व सिद्धांत और गणितीय भौतिकी में अधिक परिष्कृत उदाहरण जैसे कि एफाइन डब्ल्यू-अलजेब्रस और जटिल मैनिफोल्ड पर चिराल दे राम परिसर उत्पन्न होते हैं।

शीर्ष बीजगणित
एक वर्टेक्स बीजगणित डेटा का एक संग्रह है जो कुछ स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है।

डेटा

 * एक सदिश स्थल $$V$$, राज्यों का स्थान कहा जाता है। अंतर्निहित क्षेत्र (गणित) को आम तौर पर जटिल संख्या के रूप में लिया जाता है, हालांकि बोरचर्ड्स के मूल फॉर्मूलेशन को मनमाने ढंग से कम्यूटेटिव रिंग के लिए अनुमति दी जाती है।
 * एक पहचान तत्व $$1\in V$$, कभी-कभी लिखा जाता है $$|0\rangle$$ या $$\Omega$$ एक निर्वात स्थिति इंगित करने के लिए।
 * एक एंडोमोर्फिज्म $$T:V\rightarrow V$$, अनुवाद कहा जाता है। (बोरचर्ड्स के मूल सूत्रीकरण में विभाजित शक्तियों की एक प्रणाली शामिल थी $$T$$, क्योंकि उन्होंने यह नहीं माना था कि ग्राउंड रिंग विभाज्य है।)
 * एक रेखीय गुणन मानचित्र $$Y:V\otimes V\rightarrow V((z))$$, कहाँ $$V((z))$$ में गुणांकों के साथ सभी औपचारिक लॉरेंट श्रृंखला का स्थान है $$V$$. यह संरचना वैकल्पिक रूप से बिलिनियर उत्पादों के अनंत संग्रह के रूप में प्रस्तुत की जाती है $$ k_n : (u,v) \mapsto u_n (v) = u_n v, \; u_n \in \mathrm{End}(V)$$, या बाएँ गुणन मानचित्र के रूप में $$V\rightarrow \mathrm{End}(V)z^{\pm 1}$$, राज्य-क्षेत्र पत्राचार कहा जाता है। प्रत्येक के लिए $$u\in V$$, ऑपरेटर-मूल्यवान औपचारिक वितरण $$Y(u,z)$$ वर्टेक्स ऑपरेटर या फ़ील्ड (शून्य पर सम्मिलित) कहा जाता है, और का गुणांक $$z^{-n-1}$$ संचालिका है $$u_{n}$$. गुणन के लिए मानक अंकन है
 * $$u \otimes v \mapsto Y(u,z)v = \sum_{n \in \mathbf{Z}} u_n v z^{-n-1}$$.

सिद्धांत
निम्नलिखित स्वयंसिद्धों को पूरा करने के लिए इन आंकड़ों की आवश्यकता होती है:


 * पहचान। किसी के लिए $$u\in V\,,\,Y(1,z)u=u=uz^0$$ और $$\,Y(u,z)1\in u+zVz$$.
 * अनुवाद। $$T(1)=0$$, और किसी के लिए $$u,v\in V$$,
 * $$[T,Y(u,z)]v = TY(u,z)v - Y(u,z)Tv = \frac{d}{dz}Y(u,z)v$$


 * लोकैलिटी (जैकोबी आइडेंटिटी, या बोरचर्ड्स आइडेंटिटी)। किसी के लिए $$u,v\in V$$, एक सकारात्मक पूर्णांक मौजूद है $N$ ऐसा है कि:
 * $$ (z-x)^N Y(u, z) Y(v, x) = (z-x)^N Y(v, x) Y(u, z).$$

स्थानीयता स्वयंसिद्ध के समतुल्य योग
लोकैलिटी स्वयंसिद्ध के साहित्य में कई समतुल्य योग हैं, उदाहरण के लिए, फ्रेंकेल-लेपोव्स्की-मेरमैन ने जैकोबी पहचान की शुरुआत की:


 * $$\forall u,v, w \in V : \qquad z^{-1}\delta\left(\frac{y-x}{z}\right)Y(u,x)Y(v,y)w - z^{-1}\delta\left(\frac{-y+x}{z}\right)Y(v,y)Y(u,x)w = y^{-1}\delta\left(\frac{x+z}{y}\right)Y(Y(u,z)v,y)w,$$

जहाँ हम औपचारिक डेल्टा श्रृंखला को इसके द्वारा परिभाषित करते हैं:


 * $$\delta\left(\frac{y-x}{z}\right) := \sum_{s \geq 0, r \in \mathbf{Z}} \binom{r}{s} (-1)^s y^{r-s}x^s z^{-r}.$$

बोरचर्ड्स ने शुरू में निम्नलिखित दो सर्वसमिकाओं का उपयोग किया: किसी भी सदिश u, v, और w, और पूर्णांक m और n के लिए हमारे पास है


 * $$(u_m (v))_n (w) = \sum_{i \geq 0} (-1)^i \binom{m}{i} \left (u_{m-i} (v_{n+i} (w)) - (-1)^m v_{m+n-i} (u_i (w)) \right)$$

और
 * $$ u_m v=\sum_{i\geq 0}(-1)^{m+i+1}\frac{T^{i}}{i!}v_{m+i}u $$.

बाद में उन्होंने एक अधिक विस्तृत संस्करण दिया जो समतुल्य है लेकिन उपयोग में आसान है: हमारे पास मौजूद किसी भी सदिश u, v, और w, और पूर्णांक m, n, और q के लिए


 * $$\sum_{i \in \mathbf{Z}} \binom{m}{i} \left(u_{q+i} (v) \right )_{m+n-i} (w) = \sum_{i\in \mathbf{Z}} (-1)^i \binom{q}{i} \left (u_{m+q-i} \left(v_{n+i} (w) \right ) - (-1)^q v_{n+q-i} \left (u_{m+i} (w) \right ) \right)$$

अंत में, इलाके का औपचारिक कार्य संस्करण है: किसी के लिए $$u,v,w\in V$$, एक तत्व है


 * $$X(u,v,w;z,x) \in Vz,x \left[z^{-1}, x^{-1}, (z-x)^{-1} \right]$$

ऐसा है कि $$Y(u,z)Y(v,x)w$$ और $$Y(v,x)Y(u,z)w$$ के संगत विस्तार हैं $$X(u,v,w;z,x)$$ में $$V((z))((x))$$ और $$V((x))((z))$$.

वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित
एक वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित एक वर्टेक्स बीजगणित है जो एक अनुरूप तत्व से सुसज्जित है $$\omega$$, जैसे कि वर्टेक्स ऑपरेटर $$Y(\omega,z)$$ वजन दो विरासोरो क्षेत्र है $$L(z)$$:


 * $$Y(\omega, z) = \sum_{n\in\mathbf{Z}} \omega_{n} {z^{-n-1}} = L(z) = \sum_{n\in\mathbf{Z}} L_n z^{-n-2}$$

और निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है:
 * $$[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\frac{1}{12}\delta_{m+n,0}(m^3-m)c\,\mathrm{Id}_V$$, कहाँ $$c$$ एक स्थिरांक है जिसे केंद्रीय आवेश या कोटि कहा जाता है $$V$$. विशेष रूप से, इस वर्टेक्स ऑपरेटर के गुणांक संपन्न होते हैं $$V$$ केंद्रीय प्रभार के साथ विरासोरो बीजगणित की एक क्रिया के साथ $$c$$.
 * $$L_0$$ अर्द्ध सरलता से कार्य करता है $$V$$ पूर्णांक eigenvalues ​​​​के साथ जो नीचे बंधे हुए हैं।
 * के eigenvalues ​​​​द्वारा प्रदान की गई ग्रेडिंग के तहत $$L_0$$, गुणन पर $$V$$ सजातीय इस अर्थ में है कि यदि $$u$$ और $$v$$ सजातीय हैं, तो $$u_n v$$ डिग्री का समरूप है $$\mathrm{deg}(u)+\mathrm{deg}(v)-n-1$$.
 * पहचान $$1$$ डिग्री 0 है, और अनुरूप तत्व है $$\omega$$ डिग्री 2 है।
 * $$L_{-1}=T$$.

शीर्ष बीजगणित का एक समरूपता अंतर्निहित वेक्टर रिक्त स्थान का एक नक्शा है जो अतिरिक्त पहचान, अनुवाद और गुणन संरचना का सम्मान करता है। वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित के होमोमोर्फिज्म के कमजोर और मजबूत रूप हैं, यह इस बात पर निर्भर करता है कि वे अनुरूप वैक्टर का सम्मान करते हैं या नहीं।

क्रमविनिमेय शीर्ष बीजगणित
शीर्ष बीजगणित $$V$$ क्रमविनिमेय है यदि सभी शीर्ष संचालक $$Y(u,z)$$ एक दूसरे के साथ आवागमन। यह सभी उत्पादों की संपत्ति के बराबर है $$Y(u,z)v$$ रिहायश $$Vz$$, या वो $$Y(u, z) \in \operatorname{End}z$$. इस प्रकार, क्रमविनिमेय शीर्ष बीजगणित के लिए एक वैकल्पिक परिभाषा वह है जिसमें सभी शीर्ष संचालक होते हैं $$Y(u,z)$$ पर नियमित हैं $$z = 0$$.

एक क्रमविनिमेय शीर्ष बीजगणित को देखते हुए, गुणन की निरंतर शर्तें एक क्रमविनिमेय और साहचर्य रिंग संरचना के साथ सदिश स्थान प्रदान करती हैं, निर्वात सदिश $$1$$ एक इकाई है और $$T$$ एक व्युत्पत्ति है। इसलिए क्रमविनिमेय शीर्ष बीजगणित सज्जित करता है $$V$$ व्युत्पत्ति के साथ एक क्रमविनिमेय एकात्मक बीजगणित की संरचना के साथ। इसके विपरीत, कोई भी क्रमविनिमेय वलय $$V$$ व्युत्पत्ति के साथ $$T$$ एक कैनोनिकल वर्टेक्स बीजगणित संरचना है, जहां हम सेट करते हैं $$Y(u,z)v=u_{-1}vz^0=uv$$, ताकि $$Y$$ एक मानचित्र तक सीमित $$Y:V \rightarrow \operatorname{End}(V)$$ जो गुणन मानचित्र है $$u \mapsto u \cdot$$ साथ $$\cdot$$ बीजगणित उत्पाद। यदि व्युत्पत्ति $$T$$ गायब हो जाता है, हम सेट कर सकते हैं $$\omega=0$$ डिग्री शून्य में केंद्रित वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित प्राप्त करने के लिए।

कोई भी परिमित-विम शीर्ष बीजगणित क्रमविनिमेय होता है।

मूल गुण
अनुवाद संचालक $$T$$ एक शीर्ष बीजगणित में उत्पाद संरचना पर अतिसूक्ष्म समरूपता को प्रेरित करता है, और निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है:

वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित के लिए, अन्य वीरासोरो ऑपरेटर समान गुणों को पूरा करते हैं:
 * $$\,Y(u,z)1=e^{zT}u$$
 * $$\,Tu=u_{-2}1$$, इसलिए $$T$$ इसके द्वारा निर्धारित किया जाता है $$Y$$.
 * $$\,Y(Tu,z)=\frac{\mathrm{d}Y(u,z)}{\mathrm{d}z}$$
 * $$\,e^{xT}Y(u,z)e^{-xT}=Y(e^{xT}u,z)=Y(u,z+x)$$
 * (तिरछा-समरूपता) $$Y(u,z)v=e^{zT}Y(v,-z)u$$


 * $$\,x^{L_0}Y(u,z)x^{-L_0}=Y(x^{L_0}u,xz)$$
 * $$\,e^{xL_1}Y(u,z)e^{-xL_1}=Y(e^{x(1-xz)L_1}(1-xz)^{-2L_0}u,z(1-xz)^{-1})$$
 * (अर्ध-अनुरूपता) $$[L_m, Y(u,z)] = \sum_{k=0}^{m+1} \binom{m+1}{k} z^k Y(L_{m-k}u, z)$$ सभी के लिए $$m\geq -1$$.
 * (साहचर्य, या चचेरे भाई की संपत्ति): किसी के लिए $$u,v,w\in V$$, तत्व


 * $$X(u,v,w;z,x) \in Vz,x[z^{-1}, x^{-1}, (z-x)^{-1}]$$

परिभाषा में दी गई का भी विस्तार होता है $$Y(Y(u,z-x)v,x)w$$ में $$V((x))((z-x))$$.

वर्टेक्स बीजगणित की सहयोगीता संपत्ति इस तथ्य से अनुसरण करती है कि कम्यूटेटर $$Y(u,z)$$ और $$Y(v,z)$$ की परिमित शक्ति द्वारा नष्ट कर दिया जाता है $$z-x$$, यानी, कोई इसे औपचारिक डेल्टा फ़ंक्शन के डेरिवेटिव के परिमित रैखिक संयोजन के रूप में विस्तारित कर सकता है $$(z-x)$$, में गुणांक के साथ $$\mathrm{End}(V)$$.

पुनर्निर्माण: चलो $$V$$ एक शीर्ष बीजगणित बनें, और दें $$J_a$$ संबंधित क्षेत्रों के साथ वैक्टर का एक सेट बनें $$J^a(z)\in \mathrm{End}(V)z^{\pm 1}$$. अगर $$V$$ क्षेत्रों के सकारात्मक वजन गुणांक (यानी, ऑपरेटरों के परिमित उत्पाद) में मोनोमियल्स द्वारा फैला हुआ है $$J^{a}_{n}$$ के लिए आवेदन किया $$1$$, कहाँ $$n$$ ऋणात्मक है), तो हम इस तरह के मोनोमियल के ऑपरेटर उत्पाद को फ़ील्ड के विभाजित पावर डेरिवेटिव्स के सामान्य क्रम के रूप में लिख सकते हैं (यहां, सामान्य क्रम का मतलब है कि बाईं ओर ध्रुवीय शर्तों को दाईं ओर ले जाया जाता है)। विशेष रूप से,


 * $$Y(J^{a_1}_{n_1+1}J^{a_2}_{n_2+1}...J^{a_k}_{n_k+1}1, z) = :\frac{\partial^{n_1}}{\partial z^{n_1}}\frac{J^{a_1}(z)}{n_1!}\frac{\partial^{n_2}}{\partial z^{n_2}}\frac{J^{a_2}(z)}{n_2!} \cdots \frac{\partial^{n_k}}{\partial z^{n_k}}\frac{J^{a_k}(z)}{n_k!}:$$

अधिक आम तौर पर, यदि किसी को सदिश स्थान दिया जाता है $$V$$ एक एंडोमोर्फिज्म के साथ $$T$$ और वेक्टर $$1$$, और एक वैक्टर के एक सेट को असाइन करता है $$J^a$$ खेतों का एक सेट $$J^a(z)\in \mathrm{End}(V)z^{\pm 1}$$ जो पारस्परिक रूप से स्थानीय हैं, जिनके सकारात्मक भार गुणांक उत्पन्न होते हैं $$V$$, और जो पहचान और अनुवाद की शर्तों को पूरा करता है, तो पिछला सूत्र शीर्ष बीजगणित संरचना का वर्णन करता है।

हाइजेनबर्ग वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित
गैर-क्रमानुक्रमिक शीर्ष बीजगणित का एक मूल उदाहरण रैंक 1 मुक्त बोसोन है, जिसे हाइजेनबर्ग वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित भी कहा जाता है। यह एक सदिश b द्वारा उत्पन्न होता है, इस अर्थ में कि क्षेत्र b(z) = Y(b,z) के गुणांकों को सदिश 1 पर लागू करने से, हम एक फैले हुए सेट को प्राप्त करते हैं। अंतर्निहित सदिश स्थान अनंत-चर बहुपद वलय 'C' [x] है1,एक्स2,...], जहां धनात्मक n के लिए, गुणांक b–n वाई (बी, जेड) का एक्स द्वारा गुणा के रूप में कार्य करता हैn, और बीn x में आंशिक अवकलज के n गुणा के रूप में कार्य करता हैn. बी की कार्रवाई0 शून्य से गुणा है, गति शून्य फॉक प्रतिनिधित्व वी का उत्पादन करता है0 हाइजेनबर्ग लाइ बीजगणित का (बी द्वारा उत्पन्नn पूर्णांक n के लिए, कम्यूटेशन संबंधों के साथ [बीn,बीm]=एन डीn,–m), यानी, बी द्वारा फैलाए गए सबलजेब्रा के तुच्छ प्रतिनिधित्व से प्रेरितn, एन ≥ 0।

फॉक स्पेस वी0 निम्नलिखित पुनर्निर्माण द्वारा शीर्ष बीजगणित में बनाया जा सकता है:


 * $$Y( x_{n_1+1}x_{n_2+1}x_{n_3+1}...x_{n_k+1}, z) \equiv \frac{1}{n_1!n_2!..n_k!}:\partial^{n_1}b(z)\partial^{n_2}b(z)...\partial^{n_k}b(z):$$

जहाँ :..: सामान्य क्रम को दर्शाता है (अर्थात x में सभी डेरिवेटिव को दाईं ओर ले जाना)। वर्टेक्स ऑपरेटरों को एक बहुविकल्पीय फ़ंक्शन f के कार्यात्मक के रूप में भी लिखा जा सकता है:


 * $$ Y[f,z] \equiv :f\left(\frac{b(z)}{0!},\frac{b'(z)}{1!},\frac{b''(z)}{2!},...\right): $$

यदि हम समझते हैं कि f के विस्तार में प्रत्येक पद प्रसामान्य क्रमित है।

रैंक 1 मुक्त बोसोन के एन-गुना टेन्सर उत्पाद को लेकर रैंक एन मुक्त बोसॉन दिया जाता है। एन-डायमेंशनल स्पेस में किसी भी वेक्टर बी के लिए, किसी के पास एक फील्ड बी (जेड) होता है, जिसके गुणांक रैंक एन हाइजेनबर्ग बीजगणित के तत्व होते हैं, जिनके कम्यूटेशन संबंधों में एक अतिरिक्त आंतरिक उत्पाद शब्द होता है: [बीn,सीm]=एन (बी, सी) डीn,–m.

विरासोरो वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित
विरासोरो वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित दो कारणों से महत्वपूर्ण हैं: सबसे पहले, वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित में अनुरूप तत्व विरासोरो वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित से एक समरूपता को विहित रूप से प्रेरित करता है, इसलिए वे सिद्धांत में एक सार्वभौमिक भूमिका निभाते हैं। दूसरा, वे वीरसोरो बीजगणित के एकात्मक प्रतिनिधित्व के सिद्धांत से घनिष्ठ रूप से जुड़े हुए हैं, और ये अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत में एक प्रमुख भूमिका निभाते हैं। विशेष रूप से, एकात्मक विरासोरो न्यूनतम मॉडल इन शीर्ष बीजगणितों के सरल भागफल हैं, और उनके टेन्सर उत्पाद संयुक्त रूप से अधिक जटिल शीर्ष ऑपरेटर बीजगणित का निर्माण करने का एक तरीका प्रदान करते हैं।

विरासोरो वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित को विरासोरो बीजगणित के एक प्रेरित प्रतिनिधित्व के रूप में परिभाषित किया गया है: यदि हम एक केंद्रीय चार्ज सी चुनते हैं, तो सबलजेब्रा 'सी' [जेड] ∂ के लिए एक अद्वितीय एक-आयामी मॉड्यूल है।z + K जिसके लिए K cId द्वारा कार्य करता है, और 'C'[z]∂z तुच्छ रूप से कार्य करता है, और इसी प्रेरित मॉड्यूल को एल में बहुपदों द्वारा फैलाया जाता है–n = -z−n–1∂z जैसा कि n 1 से अधिक पूर्णांकों पर होता है। मॉड्यूल में तब विभाजन कार्य होता है


 * $$Tr_V q^{L_0} = \sum_{n \in \mathbf{R}} \dim V_n q^n = \prod_{n \geq 2} (1-q^n)^{-1}$$.

इस स्थान में एक वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित संरचना है, जहाँ वर्टेक्स ऑपरेटर्स द्वारा परिभाषित किया गया है:


 * $$Y(L_{-n_1-2}L_{-n_2-2}...L_{-n_k-2}|0\rangle,z) \equiv \frac{1}{n_1!n_2!..n_k!}:\partial^{n_1}L(z)\partial^{n_2}L(z)...\partial^{n_k}L(z):$$

और $$\omega = L_{-2}|0\rangle$$. तथ्य यह है कि विरासोरो क्षेत्र एल (जेड) स्वयं के संबंध में स्थानीय है, इसके स्व-कम्यूटेटर के सूत्र से घटाया जा सकता है:

$$[L(z),L(x)] =\left(\frac{\partial}{\partial x}L(x)\right)w^{-1}\delta \left(\frac{z}{x}\right)-2L(x)x^{-1}\frac{\partial}{\partial z}\delta \left(\frac{z}{x}\right)-\frac{1}{12}cx^{-1}\left(\frac{\partial}{\partial z}\right)^3\delta \left(\frac{z}{x}\right)$$ जहाँ c केंद्रीय प्रभार है।

केंद्रीय आवेश c के विरासोरो वर्टेक्स बीजगणित से किसी अन्य वर्टेक्स बीजगणित के वर्टेक्स बीजगणित समरूपता को देखते हुए, ω की छवि से जुड़ा वर्टेक्स ऑपरेटर स्वचालित रूप से विरासोरो संबंधों को संतुष्ट करता है, अर्थात, ω की छवि एक अनुरूप वेक्टर है। इसके विपरीत, शीर्ष बीजगणित में कोई भी अनुरूप सदिश कुछ वीरासोरो वर्टेक्स संचालक बीजगणित से एक विशिष्ट शीर्ष बीजगणित समरूपता को प्रेरित करता है।

विरासोरो वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित सरल हैं, सिवाय इसके कि जब c का रूप 1–6(p–q) हो2/pq कोप्राइम पूर्णांक p,q के लिए सख्ती से 1 से अधिक - यह Kac के निर्धारक सूत्र से आता है। इन असाधारण मामलों में, एक अद्वितीय अधिकतम आदर्श होता है, और संबंधित भागफल को न्यूनतम मॉडल कहा जाता है। जब p = q+1, शीर्ष बीजगणित विरासोरो के एकात्मक निरूपण होते हैं, और उनके मॉड्यूल असतत श्रृंखला निरूपण के रूप में जाने जाते हैं। वे भाग में अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं क्योंकि वे असामान्य रूप से ट्रैक्टेबल हैं, और छोटे पी के लिए, वे महत्वपूर्णता पर प्रसिद्ध सांख्यिकीय यांत्रिकी प्रणालियों के अनुरूप हैं, उदाहरण के लिए, द्वि-आयामी महत्वपूर्ण ईज़िंग मॉडल, त्रि-महत्वपूर्ण ईज़िंग मॉडल वेइकांग वांग के काम से, तीन-राज्य पॉट्स मॉडल, आदि संलयन नियमों के संबंध में, हमारे पास एकात्मक न्यूनतम मॉडल की टेंसर श्रेणियों का पूर्ण विवरण है। उदाहरण के लिए, जब c=1/2 (Ising) होता है, तो निम्नतम L के साथ तीन इरेड्यूसिबल मॉड्यूल होते हैं0-वेट 0, 1/2, और 1/16, और इसका फ्यूजन रिंग Z[x,y]/(x है2–1, और2–x–1, xy–y)।

Affine शीर्ष बीजगणित
हाइजेनबर्ग लाइ बीजगणित को एक अनट्विस्टेड एफ़िन लाइ बीजगणित के साथ बदलकर | एफ़िन केसी-मूडी लाइ बीजगणित (यानी, एक परिमित-आयामी सरल लाई बीजगणित पर लूप बीजगणित का सार्वभौमिक केंद्रीय विस्तार (गणित)), कोई निर्वात प्रतिनिधित्व का निर्माण कर सकता है ठीक उसी तरह जैसे मुक्त बोसॉन वर्टेक्स बीजगणित का निर्माण किया जाता है। यह बीजगणित वेस-ज़ुमिनो-विटन मॉडल के वर्तमान बीजगणित के रूप में उत्पन्न होता है, जो विसंगति (भौतिकी) का उत्पादन करता है जिसे केंद्रीय विस्तार के रूप में व्याख्या किया जाता है।

ठोस रूप से, केंद्रीय विस्तार को वापस खींच रहा है


 * $$0 \to \mathbb{C} \to \hat{\mathfrak{g}} \to \mathfrak{g}[t,t^{-1}] \to 0$$

समावेशन के साथ $$\mathfrak{g}[t] \to \mathfrak{g}[t,t^{-1}]$$ एक विभाजित विस्तार उत्पन्न करता है, और वैक्यूम मॉड्यूल बाद के एक आयामी प्रतिनिधित्व से प्रेरित होता है, जिस पर एक केंद्रीय आधार तत्व कुछ चुने हुए स्थिरांक द्वारा कार्य करता है जिसे स्तर कहा जाता है। चूंकि केंद्रीय तत्वों को परिमित प्रकार के बीजगणित पर अपरिवर्तनीय आंतरिक उत्पादों के साथ पहचाना जा सकता है $$\mathfrak{g}$$, एक आम तौर पर स्तर को सामान्य करता है ताकि मारक रूप  में दोहरी कॉक्सेटर संख्या का स्तर दोगुना हो। समतुल्य रूप से, स्तर एक आंतरिक उत्पाद देता है जिसके लिए सबसे लंबी जड़ का मानदंड 2 है। यह लूप बीजगणित सम्मेलन से मेल खाता है, जहां स्तरों को बस जुड़े हुए कॉम्पैक्ट लाई समूहों के तीसरे कोहोलॉजी द्वारा अलग किया जाता है।

आधार चुनकर जेa परिमित प्रकार का लाई बीजगणित, कोई J का उपयोग करके एफ़ाइन लाई बीजगणित का आधार बना सकता हैएn = जेए टी n एक केंद्रीय तत्व K के साथ मिलकर। पुनर्निर्माण के द्वारा, हम फ़ील्ड के डेरिवेटिव के सामान्य ऑर्डर किए गए उत्पादों द्वारा वर्टेक्स ऑपरेटरों का वर्णन कर सकते हैं


 * $$J^a(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty J^a_n z^{-n-1} = \sum_{n=-\infty}^\infty (J^a t^n) z^{-n-1}.$$

जब स्तर गैर-महत्वपूर्ण होता है, यानी, आंतरिक उत्पाद किलिंग फॉर्म का आधा हिस्सा नहीं होता है, तो वैक्यूम प्रतिनिधित्व में एक अनुरूप तत्व होता है, जो सुगवारा निर्माण द्वारा दिया जाता है। दोहरे आधारों के किसी भी विकल्प के लिए Jए, जेa स्तर 1 आंतरिक उत्पाद के संबंध में, अनुरूप तत्व है


 * $$\omega = \frac{1}{2(k+h^\vee)} \sum_a J_{a,-1} J^a_{-1} 1$$

और एक वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित उत्पन्न करता है जिसका केंद्रीय प्रभार है $$k \cdot \dim \mathfrak{g}/(k+h^\vee)$$. महत्वपूर्ण स्तर पर, अनुरूप संरचना नष्ट हो जाती है, क्योंकि भाजक शून्य है, लेकिन कोई ऑपरेटर एल उत्पन्न कर सकता हैn n ≥ –1 के लिए एक सीमा लेकर जब k क्रांतिकता की ओर अग्रसर होता है।

इस निर्माण को रैंक 1 मुक्त बोसोन के लिए काम करने के लिए बदला जा सकता है। वास्तव में, विरासोरो वैक्टर एक-पैरामीटर परिवार ω बनाते हैंs = 1/2 एक्स12 + एस एक्स2, परिणामी वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित को केंद्रीय प्रभार 1−12s के साथ प्रदान करना 2। जब s = 0, हमारे पास श्रेणीबद्ध आयाम के लिए निम्न सूत्र होता है:


 * $$Tr_V q^{L_0} = \sum_{n \in \mathbf{Z}} \dim V_n q^n = \prod_{n \geq 1} (1-q^n)^{-1}$$

इसे विभाजन कार्य (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत)  के लिए  जनरेटिंग फ़ंक्शन  के रूप में जाना जाता है, और इसे q के रूप में भी लिखा जाता हैवजन का 1/24 गुना −1/2 मॉड्यूलर रूप 1/η (डेडेकाइंड और फंक्शन)। रैंक एन मुक्त बोसोन में विरासोरो वैक्टर का एन पैरामीटर परिवार होता है, और जब वे पैरामीटर शून्य होते हैं, तो चरित्र क्यू होता हैn/24 वजन का गुणा −n/2 मॉड्यूलर रूप η -एन.

वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित एक समान जाली
द्वारा परिभाषित जालक शीर्ष बीजगणित निर्माण शीर्ष बीजगणित को परिभाषित करने के लिए मूल प्रेरणा थी। इसका निर्माण जालक सदिशों के संगत मुक्त बोसोन के लिए अलघुकरणीय मॉड्यूलों का योग लेकर और उनके बीच आपस में गुंथे संचालकों को निर्दिष्ट करके गुणन संक्रिया को परिभाषित करके किया गया है। यानी अगर $Λ$ एक समान जालक है, जालक शीर्ष बीजगणित $V_{Λ}$ मुक्त बोसोनिक मॉड्यूल में विघटित होता है:


 * $$V_\Lambda \cong \bigoplus_{\lambda \in \Lambda} V_\lambda$$

लैटिस वर्टेक्स एल्जेब्रा कैनोनिक रूप से जाली के बजाय यूनिमॉड्यूलर जाली के दोहरे कवर से जुड़े होते हैं। जबकि इस तरह के प्रत्येक जाली में आइसोमोर्फिज़्म तक एक अद्वितीय जाली वर्टेक्स बीजगणित होता है, वर्टेक्स बीजगणित निर्माण क्रियात्मक नहीं होता है, क्योंकि लैटिस ऑटोमोर्फिज्म में उठाने में अस्पष्टता होती है।

प्रश्न में डबल कवर विशिष्ट रूप से निम्नलिखित नियम द्वारा आइसोमोर्फिज्म तक निर्धारित होते हैं: तत्वों का रूप होता है $±e_{α}$ जाली वैक्टर के लिए $α ∈ Λ$ (यानी, एक नक्शा है $Λ$ भेजना $e_{α}$ से α जो संकेतों को भूल जाता है), और गुणा संबंधों को संतुष्ट करता है ईαeβ = (–1) (ए, बी)  ईβeα. इसका वर्णन करने का एक और तरीका यह है कि एक जाली भी दी गई है $Λ$, एक अद्वितीय (कोबाउंडरी तक) सामान्यीकृत समूह कोहोलॉजी है $ε(α, β)$ मूल्यों के साथ $±1$ ऐसा है कि $(−1)^{(α,β)} = ε(α, β) ε(β, α)$, जहां सामान्यीकरण की स्थिति यह है कि ε(α, 0) = ε(0, α) = 1 सभी के लिए $α ∈ Λ$. यह कोसायकल एक केंद्रीय विस्तार को प्रेरित करता है $Λ$ क्रम 2 के एक समूह द्वारा, और हम एक मुड़ी हुई समूह की अंगूठी प्राप्त करते हैं $C_{ε}[Λ]$ आधार के साथ $e_{α} (α ∈ Λ)$, और गुणन नियम $e_{α}e_{β} = ε(α, β)e_{α+β}$ - चक्रिका की स्थिति चालू $ε$ वलय की साहचर्यता सुनिश्चित करता है।

वर्टेक्स ऑपरेटर सबसे कम वज़न वाले वेक्टर से जुड़ा हुआ है $v_{λ}$ फॉक स्पेस में $V_{λ}$ है


 * $$Y(v_\lambda,z) = e_\lambda :\exp \int \lambda(z): = e_\lambda z^\lambda \exp \left (\sum_{n<0} \lambda_n \frac{z^{-n}}{n} \right )\exp \left (\sum_{n>0} \lambda_n \frac{z^{-n}}{n} \right ),$$

कहाँ $z^{λ}$ रेखीय मानचित्र के लिए एक आशुलिपि है जो α-Fock स्थान के किसी भी तत्व को लेता है $V_{α}$ मोनोमियल के लिए $z^{(λ,α)}$. फ़ॉक स्पेस के अन्य तत्वों के लिए वर्टेक्स ऑपरेटर्स को पुनर्निर्माण द्वारा निर्धारित किया जाता है।

जैसा कि मुक्त बोसोन के मामले में, किसी के पास सदिश स्थान के एक तत्व s द्वारा दिए गए अनुरूप सदिश का विकल्प होता है $Λ ⊗ C$, लेकिन शर्त यह है कि अतिरिक्त फॉक रिक्त स्थान में पूर्णांक एल है0 eigenvalues ​​​​एस की पसंद को विवश करता है: एक अलौकिक आधार के लिए $x_{i}$, वेक्टर 1/2 xi,12 + एस2 संतुष्ट करना चाहिए $(s, λ) ∈ Z$ सभी के लिए λ ∈ Λ, यानी, s दोहरे जालक में स्थित है।

अगर जाली भी $Λ$ इसके रूट वैक्टर (उन संतोषजनक (α, α) = 2) द्वारा उत्पन्न होता है, और किसी भी दो रूट वैक्टर को रूट वैक्टर की एक श्रृंखला से जोड़ा जाता है, जिसमें लगातार आंतरिक उत्पाद गैर-शून्य होते हैं, फिर वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित अद्वितीय सरल भागफल होता है स्तर एक पर समान सरल रूप से सज्जित सरल लाई बीजगणित के एफिन केएसी-मूडी बीजगणित का वैक्यूम मॉड्यूल। इसे फ्रेनकेल-केएसी (या इगोर फ्रेनकेल-विक्टर केसी- ग्रीम सहगल ) निर्माण के रूप में जाना जाता है, और यह दोहरे अनुनाद मॉडल में टैचियन के सर्जियो फुबिनो  और गेब्रियल विनीशियन द्वारा पहले के निर्माण पर आधारित है। अन्य विशेषताओं के अलावा, रूट वैक्टर के अनुरूप वर्टेक्स ऑपरेटरों के शून्य मोड अंतर्निहित सरल लाई बीजगणित का निर्माण करते हैं, जो मूल रूप से  जैक्स स्तन  के कारण प्रस्तुति से संबंधित है। विशेष रूप से, सभी ADE प्रकार के लाई समूहों का निर्माण सीधे उनके रूट लैटिस से प्राप्त होता है। और यह आमतौर पर 248-आयामी समूह ई बनाने का सबसे आसान तरीका माना जाता है8.

अतिरिक्त उदाहरण

 * राक्षस शीर्ष बीजगणित $$V^\natural$$ (जिसे मूनशाइन मॉड्यूल भी कहा जाता है), मॉन्स्टरस मूनशाइन अनुमानों के बोरचर्ड्स के प्रमाण की कुंजी, 1988 में फ्रेंकेल, लेपोव्स्की और मेउरमैन द्वारा निर्मित किया गया था। यह उल्लेखनीय है क्योंकि इसका विभाजन कार्य मॉड्यूलर इनवेरिएंट j-744 है, और इसका ऑटोमोर्फिज्म समूह है। सबसे बड़ा छिटपुट सरल समूह है, जिसे राक्षस समूह के रूप में जाना जाता है। मूल में जोंक जाली को प्रतिबिंबित करके प्रेरित 2 ऑटोमोर्फिज्म के क्रम से जोंक जाली VOA की परिक्रमा करके इसका निर्माण किया गया है। यही है, एक मुड़ मॉड्यूल के साथ जोंक जाली VOA का प्रत्यक्ष योग बनाता है, और एक प्रेरित इनवोल्यूशन के तहत निश्चित बिंदुओं को लेता है। Frenkel, Lepowsky, और Meurman ने 1988 में अनुमान लगाया था कि $$V^\natural$$ सेंट्रल चार्ज 24 और पार्टीशन फंक्शन j-744 के साथ अद्वितीय होलोमॉर्फिक वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित है। यह अनुमान अभी भी खुला है।
 * चिराल दे रहम कॉम्प्लेक्स: मलिकोव, शेचटमैन, और वेनट्रोब ने दिखाया कि स्थानीयकरण की एक विधि द्वारा, एक बीसीβγ (बोसोन-फर्मियन सुपरफ़ील्ड) प्रणाली को एक चिकनी जटिल मैनिफोल्ड से जोड़ा जा सकता है। ढेरों के इस परिसर में एक विशिष्ट अंतर है, और वैश्विक सह-विज्ञान एक शीर्ष सुपरलेजेब्रा है। बेन-ज़्वी, हेलुआनी और स्ज़ेज़ेस्नी ने दिखाया कि कई गुना पर एक रिमेंनियन मीट्रिक एक एन = 1 सुपरकॉन्फॉर्मल संरचना को प्रेरित करता है, जिसे एन = 2 संरचना में प्रचारित किया जाता है यदि मीट्रिक काहलर और रिक्की-फ्लैट है, और एक हाइपरकेहलर संरचना एक एन को प्रेरित करती है। = 4 संरचना। बोरिसोव और लिबगॉबर ने दिखाया कि चिराल डी रम के कोहोलॉजी से कई गुना कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड के दो-चर अण्डाकार जीन प्राप्त कर सकते हैं - यदि कई गुना कैलाबी-यॉ है, तो यह जीनस एक कमजोर जैकोबी रूप है।

मॉड्यूल
साधारण रिंगों की तरह, शीर्ष बीजगणित मॉड्यूल या प्रतिनिधित्व की धारणा को स्वीकार करते हैं। अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत में मॉड्यूल एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, जहां उन्हें अक्सर सेक्टर कहा जाता है। भौतिकी साहित्य में एक मानक धारणा यह है कि एक अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत का पूरा हिल्बर्ट अंतरिक्ष बाएँ-चलने वाले और दाएँ-चलने वाले क्षेत्रों के टेंसर उत्पादों के योग में विघटित हो जाता है:


 * $$\mathcal{H} \cong \bigoplus_{i \in I} M_i \otimes \overline{M_i}$$

यही है, एक अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत में बाएं-चलने वाली चिराल समरूपता का एक वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित होता है, दाहिनी ओर चलने वाली चिरल समरूपता का एक वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित होता है, और किसी दिए गए दिशा में चलने वाले सेक्टर संबंधित वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित के लिए मॉड्यूल होते हैं।

गुणन Y के साथ एक वर्टेक्स बीजगणित V दिया गया है, एक V-मॉड्यूल एक सदिश स्थान M है जो क्रिया Y से सुसज्जित हैM: V ⊗ M → M((z)), निम्नलिखित शर्तों को पूरा करते हैं:


 * (पहचान) वाईम(1,z) = IdM
 * (साहचर्य, या जैकोबी सर्वसमिका) किसी भी u, v ∈ V, w ∈ M के लिए एक अवयव है


 * $$X(u,v,w;z,x) \in Mz,x[z^{-1}, x^{-1}, (z-x)^{-1}]$$

ऐसा है कि वाईएम(यू,जेड)आईम(v,x)w और Y एम(वाई(यू,जेड–एक्स)वी,एक्स)डब्ल्यू के संगत विस्तार हैं $$X(u,v,w;z,x)$$ एम ((जेड)) ((एक्स)) और एम ((एक्स)) ((जेड-एक्स)) में। समतुल्य रूप से, निम्नलिखित जैकोबी पहचान रखती है:


 * $$z^{-1}\delta\left(\frac{y-x}{z}\right)Y^M(u,x)Y^M(v,y)w - z^{-1}\delta\left(\frac{-y+x}{z}\right)Y^M(v,y)Y^M(u,x)w = y^{-1}\delta\left(\frac{x+z}{y}\right)Y^M(Y(u,z)v,y)w.$$

वर्टेक्स बीजगणित के मॉड्यूल एक एबेलियन श्रेणी बनाते हैं। वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित के साथ काम करते समय, पिछली परिभाषा को कमजोर मॉड्यूल नाम दिया गया है, और अतिरिक्त स्थिति को पूरा करने के लिए वी-मॉड्यूल की आवश्यकता होती है जो एल0 ज़ेड के प्रत्येक सहसमुच्चय में नीचे परिमित-आयामी आइगेनस्पेस और ईजेनवैल्यूज़ के साथ सेमीसिंपली कार्य करता है। हुआंग, लेपोव्स्की, मियामोटो और झांग के कार्य ने व्यापकता के विभिन्न स्तरों पर दिखाया है कि वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित के मॉड्यूल एक फ्यूजन टेन्सर उत्पाद संचालन को स्वीकार करते हैं, और एक ब्रेडेड टेंसर श्रेणी बनाते हैं।

जब वी-मॉड्यूल की श्रेणी (गणित) सूक्ष्म रूप से कई अलघुकरणीय वस्तुओं के साथ अर्ध-सरल होती है, तो वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित वी को तर्कसंगत कहा जाता है। तर्कसंगत वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित एक अतिरिक्त परिमितता परिकल्पना को संतुष्ट करता है (झू के सी के रूप में जाना जाता है2-संबद्धता की स्थिति) विशेष रूप से अच्छी तरह से व्यवहार करने के लिए जाने जाते हैं, और नियमित कहलाते हैं। उदाहरण के लिए, झू के 1996 के मॉड्यूलर इनवेरिएंस प्रमेय का दावा है कि नियमित वीओए के मॉड्यूल के वर्ण एसएल के वेक्टर-मूल्यवान प्रतिनिधित्व का निर्माण करते हैं।2(जेड)। विशेष रूप से, यदि कोई VOA होलोमॉर्फिक है, यानी इसकी प्रतिनिधित्व श्रेणी वेक्टर रिक्त स्थान के बराबर है, तो इसका विभाजन कार्य SL है2(जेड) - एक स्थिर तक अपरिवर्तनीय। हुआंग ने दिखाया कि एक नियमित वीओए के मॉड्यूल की श्रेणी एक मॉड्यूलर टेन्सर श्रेणी है, और इसके संलयन नियम वर्लिंडे सूत्र को संतुष्ट करते हैं।

हमारे पहले उदाहरण से जुड़ने के लिए, रैंक 1 फ्री बोसोन के इरेड्यूसिबल मॉड्यूल फॉक स्पेस वी द्वारा दिए गए हैं।λ कुछ निश्चित गति के साथ λ, यानी हाइजेनबर्ग लाइ बीजगणित के प्रेरित प्रतिनिधित्व, जहां तत्व बी0 λ द्वारा अदिश गुणन द्वारा कार्य करता है। अंतरिक्ष को C[x के रूप में लिखा जा सकता है1,एक्स2,...]मेंλ, जहां विλ एक विशिष्ट भू-राज्य सदिश है। मॉड्यूल श्रेणी अर्ध-सरल नहीं है, क्योंकि कोई एबेलियन लाइ बीजगणित के प्रतिनिधित्व को प्रेरित कर सकता है जहां बी0 एक गैर-तुच्छ जॉर्डन ब्लॉक द्वारा कार्य करता है। रैंक एन फ्री बोसोन के लिए, एक इरेड्यूसिबल मॉड्यूल वी हैλ जटिल एन-आयामी अंतरिक्ष में प्रत्येक वेक्टर λ के लिए। प्रत्येक सदिश b ∈ 'C'n से ऑपरेटर b प्राप्त होता है0, और फॉक स्पेस वीλ संपत्ति से अलग है कि प्रत्येक ऐसे बी0 आंतरिक उत्पाद (बी, λ) द्वारा अदिश गुणन के रूप में कार्य करता है।

साधारण छल्लों के विपरीत, शीर्ष बीजगणित एक ऑटोमोर्फिज्म से जुड़े मुड़े हुए मॉड्यूल की धारणा को स्वीकार करते हैं। आदेश N के एक ऑटोमोर्फिज़्म σ के लिए, क्रिया का रूप V ⊗ M → M((z1/N)), निम्नलिखित मोनोड्रोमी स्थिति के साथ: यदि u ∈ V संतुष्ट करता है σ u = exp(2πik/N)u, तो un = 0 जब तक n n+k/N ∈ 'Z' को संतुष्ट नहीं करता है (विशेषज्ञों के बीच संकेतों के बारे में कुछ असहमति है)। ज्यामितीय रूप से, मुड़े हुए मॉड्यूल को बीजगणितीय वक्र पर शाखा बिंदुओं से जोड़ा जा सकता है, जिसमें रामिफिकेशन (गणित) गैलोज़ कवर होता है। अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत साहित्य में, मुड़े हुए मॉड्यूल को मुड़ क्षेत्र कहा जाता है, और orbifold पर स्ट्रिंग सिद्धांत से घनिष्ठ रूप से जुड़ा हुआ है।

वर्टेक्स ऑपरेटर सुपरलेजेब्रस
अंतर्निहित सदिश स्थान को एक सुपरस्पेस (यानी, एक Z/2Z-वर्गीकृत सदिश स्थान) होने की अनुमति देकर $$ V=V_+\oplus V_-$$) एक शीर्ष बीजगणित के रूप में एक ही डेटा द्वारा एक शीर्ष सुपरलेजेब्रा को परिभाषित किया जा सकता है, जिसमें वी में 1 है+ और टी एक भी ऑपरेटर। स्वयंसिद्ध अनिवार्य रूप से समान हैं, लेकिन स्थानीयता स्वयंसिद्ध, या समकक्ष योगों में से एक में उपयुक्त संकेतों को शामिल करना चाहिए। अर्थात्, यदि a और b सजातीय हैं, तो Y(a,z)Y(b,w) की तुलना εY(b,w)Y(a,z) से की जाती है, जहां ε -1 है यदि a और b दोनों विषम हैं और 1 अन्यथा। यदि इसके अलावा V के सम भाग में एक विरासोरो तत्व ω है2, और सामान्य ग्रेडिंग प्रतिबंध संतुष्ट हैं, तो V को वर्टेक्स ऑपरेटर सुपरलेजेब्रा कहा जाता है।

सबसे सरल उदाहरणों में से एक एकल मुक्त फ़र्मियन ψ द्वारा उत्पन्न वर्टेक्स ऑपरेटर सुपरलेजेब्रा है। विरासोरो प्रतिनिधित्व के रूप में, इसका केंद्रीय प्रभार 1/2 है, और सबसे कम वजन 0 और 1/2 के ईज़िंग मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित होता है। कोई इसे द्विघात स्थान टी पर क्लिफर्ड बीजगणित के स्पिन प्रतिनिधित्व के रूप में भी वर्णित कर सकता है1/2सी[टी,टी-1](दिनांक)1/2 अवशेष पेयरिंग के साथ। वर्टेक्स ऑपरेटर सुपरलेजेब्रा होलोमोर्फिक है, इस अर्थ में कि सभी मॉड्यूल स्वयं के प्रत्यक्ष योग हैं, अर्थात, मॉड्यूल श्रेणी वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी के बराबर है।

मुक्त फ़र्मियन के टेन्सर वर्ग को मुक्त आवेशित फ़र्मियन कहा जाता है, और बोसोन-फ़र्मियन पत्राचार द्वारा, यह विषम जाली Z से जुड़े जाली शीर्ष सुपरलेजेब्रा के लिए आइसोमोर्फिक है। इस पत्राचार का उपयोग डेट-जिंबो-काशीवारा-मिवा द्वारा गैर-रैखिक पीडीई के केपी पदानुक्रम के लिए सॉलिटन समाधान बनाने के लिए किया गया है।

सुपरकॉन्फॉर्मल संरचनाएं
वीरासोरो बीजगणित में कुछ सुपरसिमेट्री है जो स्वाभाविक रूप से सुपरकॉन्फॉर्मल फील्ड थ्योरी और सुपरस्ट्रिंग सिद्धांत  में दिखाई देती है। N=1, 2, और 4 सुपरकॉन्फॉर्मल बीजगणित का विशेष महत्व है।

एक supercurve  का इनफिनिटिमल होलोमॉर्फिक सुपरकॉन्फॉर्मल ट्रांसफॉर्मेशन (एक समान स्थानीय निर्देशांक z और N विषम स्थानीय निर्देशांक θ के साथ)1,...,मैंN) एक सुपर-स्ट्रेस-एनर्जी टेंसर टी (z, θ) के गुणांक द्वारा उत्पन्न होते हैं1, ..., मैंN).

जब एन = 1, टी में विरासोरो फील्ड एल (जेड) द्वारा दिया गया अजीब हिस्सा होता है, और यहां तक ​​​​कि एक क्षेत्र द्वारा दिया गया हिस्सा भी होता है


 * $$G(z) = \sum_n G_n z^{-n-3/2}$$

रूपांतरण संबंधों के अधीन

ऑपरेटर उत्पादों की समरूपता की जांच करके, कोई पाता है कि क्षेत्र जी के लिए दो संभावनाएं हैं: सूचकांक एन या तो सभी पूर्णांक हैं, रामोंड बीजगणित उत्पन्न करते हैं, या सभी आधे-पूर्णांक, नेवू-श्वार्ज़ बीजगणित उत्पन्न करते हैं। इन बीजगणितों में केंद्रीय आवेश पर एकात्मक असतत श्रृंखला निरूपण है
 * $$[G_m,L_n] = (m-n/2)G_{m+n}$$
 * $$[G_m,G_n] = (m-n)L_{m+n} + \delta_{m,-n} \frac{4m^2+1}{12}c$$


 * $$\hat{c} = \frac{2}{3}c = 1-\frac{8}{m(m+2)} \quad m \geq 3$$

और 3/2 से अधिक सभी c के लिए एकात्मक प्रतिनिधित्व, सबसे कम वजन h के साथ केवल h≥ 0 द्वारा Neveu-Schwarz और h ≥ c/24 के लिए रामोंड के लिए विवश है।

केंद्रीय आवेश c वाले शीर्ष संचालक बीजगणित V में एक N=1 सुपरकॉन्फ़ॉर्मल वेक्टर 3/2 भार का एक विषम तत्व τ ∈ V है, जैसे कि
 * $$Y(\tau,z) = G(z) = \sum_{m \in \mathbb{Z}+1/2} G_n z^{-n-3/2},$$

जी−1/2τ = ω, और G(z) के गुणांक केंद्रीय आवेश c पर N=1 Neveu-Schwarz बीजगणित की एक क्रिया उत्पन्न करते हैं।

एन = 2 सुपरसिममेट्री के लिए, एल (जेड) और जे (जेड), और अजीब फ़ील्ड जी भी फ़ील्ड प्राप्त करता है+(z) और जी−(z). क्षेत्र J(z) हाइजेनबर्ग बीजगणित (भौतिकविदों द्वारा U(1) वर्तमान के रूप में वर्णित) की एक क्रिया उत्पन्न करता है। रामोंड और नेवू-श्वार्ज़ एन=2 सुपरकॉन्फॉर्मल बीजगणित दोनों हैं, यह इस बात पर निर्भर करता है कि जी क्षेत्रों पर अनुक्रमण अभिन्न है या अर्ध-अभिन्न है। हालांकि, यू (1) वर्तमान आइसोमोर्फिक सुपरकॉन्फॉर्मल बीजगणित के एक-पैरामीटर परिवार को रामोंड और नेवू-श्वार्टज़ के बीच प्रक्षेपित करता है, और संरचना के इस विरूपण को वर्णक्रमीय प्रवाह के रूप में जाना जाता है। एकात्मक अभ्यावेदन असतत श्रृंखला द्वारा केंद्रीय आवेश c = 3-6 / m के साथ पूर्णांक m कम से कम 3 के लिए दिया जाता है, और c> 3 के लिए सबसे कम भार का एक निरंतरता है।

वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित पर एक N=2 सुपरकॉन्फॉर्मल संरचना विषम तत्वों τ की एक जोड़ी है+, वी− वजन 3/2, और वजन 1 का एक सम तत्व μ जैसे कि τ± जी उत्पन्न करें±(z), और μ J(z) उत्पन्न करता है।

एन = 3 और 4 के लिए, एकात्मक अभ्यावेदन में केवल असतत परिवार में क्रमशः सी = 3k/2 और 6k के साथ केंद्रीय शुल्क होते हैं, क्योंकि k धनात्मक पूर्णांक से अधिक होता है।

अतिरिक्त निर्माण

 * फिक्स्ड पॉइंट सबलजेब्रस: एक वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित पर समरूपता समूह की एक क्रिया को देखते हुए, फिक्स्ड वैक्टर का सबलजेब्रा भी एक वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित है। 2013 में, मियामोटो ने साबित किया कि दो महत्वपूर्ण परिमित गुण, अर्थात् झू की स्थिति सी2 और नियमितता, परिमित हल करने योग्य समूह क्रियाओं के तहत निश्चित बिंदुओं को लेते समय संरक्षित किया जाता है।
 * वर्तमान विस्तार: एक वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित और इंटीग्रल कन्फर्मल वेट के कुछ मॉड्यूल दिए गए हैं, कोई भी अनुकूल परिस्थितियों में प्रत्यक्ष योग पर एक वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित संरचना का वर्णन कर सकता है। जालक शीर्ष बीजगणित इसका एक मानक उदाहरण है। उदाहरणों का एक अन्य परिवार वीओए तैयार किया जाता है, जो ईज़िंग मॉडल के टेंसर उत्पादों से शुरू होता है, और ऐसे मॉड्यूल जोड़ता है जो उपयुक्त रूप से कोड के अनुरूप होते हैं।
 * ऑर्बिफोल्ड्स: एक होलोमोर्फिक वीओए पर कार्य करने वाले एक परिमित चक्रीय समूह को देखते हुए, यह अनुमान लगाया जाता है कि एक दूसरे होलोमोर्फिक वीओए का निर्माण इरेड्यूसिबल ट्विस्टेड मॉड्यूल से जुड़कर और एक प्रेरित ऑटोमोर्फिज्म के तहत निश्चित बिंदुओं को लेकर कर सकता है, जब तक कि ट्विस्टेड मॉड्यूल में उपयुक्त अनुरूप वजन हो। यह विशेष मामलों में सच माना जाता है, उदाहरण के लिए, जाली VOAs पर अभिनय करने वाले अधिकतम 3 आदेशों के समूह।
 * कोसेट निर्माण (गोडार्ड, केंट, और ओलिव के कारण): केंद्रीय आवेश c के वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित V और वैक्टर के एक सेट S को देखते हुए, कम्यूटेंट C (V, S) को वैक्टर v के उप-स्थान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। S से आने वाले सभी क्षेत्रों के साथ सख्ती से परिवर्तन करें, जैसे कि Y(s,z)v ∈ V z  सभी s ∈ S के लिए। यह एक शीर्ष निकला Subalgebra, Y, T, और V से विरासत में मिली पहचान के साथ और यदि S केंद्रीय आवेश c का VOA हैS, कम्यूटेंट केंद्रीय चार्ज c-c का VOA हैS. उदाहरण के लिए, स्तर k+1 पर SU(2) को दो SU(2) बीजगणित के टेंसर उत्पाद में k और 1 के स्तर पर एम्बेड करने से p=k+2, q=k+3, और के साथ विरासोरो असतत श्रृंखला प्राप्त होती है। इसका उपयोग 1980 के दशक में उनके अस्तित्व को साबित करने के लिए किया गया था। फिर से SU(2) के साथ, स्तर k+2 को स्तर k और स्तर 2 के टेंसर उत्पाद में एम्बेड करने से N=1 सुपरकॉन्फॉर्मल असतत श्रृंखला प्राप्त होती है।
 * BRST कमी: किसी भी डिग्री 1 वेक्टर v संतोषजनक v के लिए02=0, इस ऑपरेटर की कोहोलॉजी में ग्रेडेड वर्टेक्स सुपरएलजेब्रा संरचना है। अधिक आम तौर पर, कोई भी वजन 1 क्षेत्र का उपयोग कर सकता है जिसका अवशेष वर्ग शून्य है। सामान्य विधि फ़र्मियन के साथ टेंसर है, क्योंकि तब एक में एक विहित अंतर होता है। एक महत्वपूर्ण विशेष मामला क्वांटम ड्रिनफेल्ड-सोकोलोव रिडक्शन है जो एफिन केएसी-मूडी बीजगणित पर लागू होता है ताकि एफाइन डब्ल्यू-अलजेब्रा को डिग्री 0 कोहोलॉजी के रूप में प्राप्त किया जा सके। ये डब्ल्यू बीजगणित भी स्क्रीनिंग ऑपरेटरों के गुठली द्वारा दिए गए मुक्त बोसोन के वर्टेक्स सबलजेब्रस के रूप में निर्माण को स्वीकार करते हैं।

संबंधित बीजगणितीय संरचनाएं

 * यदि कोई वर्टेक्स बीजगणित में ओपीई के केवल एकवचन भाग पर विचार करता है, तो वह लाई कंफर्मल बीजगणित की परिभाषा पर पहुंचता है। चूंकि अक्सर ओपीई के एकवचन भाग के साथ ही संबंध होता है, यह लाई अनुरूप बीजगणित को अध्ययन करने के लिए एक प्राकृतिक वस्तु बनाता है। ओपीई के नियमित भाग को भूलने वाले वर्टेक्स अलजेब्रा से झूठ अनुरूप बीजगणित तक एक फ़ैक्टर है, और इसमें एक बायां जोड़ है, जिसे यूनिवर्सल वर्टेक्स अलजेब्रा फ़ंक्टर कहा जाता है। एफ़िन केएसी-मूडी बीजगणित और विरासोरो वर्टेक्स बीजगणित के वैक्यूम मॉड्यूल सार्वभौमिक शीर्ष बीजगणित हैं, और विशेष रूप से, पृष्ठभूमि सिद्धांत विकसित होने के बाद उन्हें बहुत संक्षेप में वर्णित किया जा सकता है।
 * साहित्य में शीर्ष बीजगणित की धारणा के कई सामान्यीकरण हैं। कुछ हल्के सामान्यीकरणों में मोनोड्रोमी की अनुमति देने के लिए इलाके के स्वयंसिद्ध को कमजोर करना शामिल है, उदाहरण के लिए, डोंग और लेपोव्स्की के एबेलियन इंटरवेटिंग बीजगणित। मोटे तौर पर ग्रेडेड वेक्टर रिक्त स्थान के ब्रेडेड टेंसर श्रेणी में शीर्ष बीजगणित वस्तुओं के रूप में देखा जा सकता है, ठीक उसी तरह जैसे सुपर वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी में एक शीर्ष सुपरलेजेब्रा ऐसी वस्तु है। अधिक जटिल सामान्यीकरण क्यू-विरूपण और क्वांटम समूहों के प्रतिनिधित्व से संबंधित हैं, जैसे कि फ्रेनकेल-रेशेतिखिन, ईटिंगोफ़-काज़दान और ली के काम में।
 * बेइलिन्सन और ड्रिनफेल्ड ने चिरल बीजगणित की एक शीफ-सैद्धांतिक धारणा पेश की जो वर्टेक्स बीजगणित की धारणा से निकटता से संबंधित है, लेकिन किसी भी दृश्य शक्ति श्रृंखला का उपयोग किए बिना परिभाषित किया गया है। एक बीजगणितीय वक्र X को देखते हुए, X पर एक चिरल बीजगणित एक D हैX-मॉड्यूल ए एक गुणन ऑपरेशन से लैस है $$j_*j^*(A \boxtimes A) \to \Delta_* A$$ X×X पर जो एक साहचर्य शर्त को संतुष्ट करता है। उन्होंने गुणनखंड बीजगणित की एक समतुल्य धारणा भी पेश की जो कि वक्र के सभी परिमित उत्पादों पर क्वासिकोहेरेंट शेवों की एक प्रणाली है, साथ में एक अनुकूलता की स्थिति जिसमें विभिन्न विकर्णों के पूरक के लिए पुलबैक शामिल हैं। एफिन लाइन पर किसी भी अनुवाद-समतुल्य चिरल बीजगणित को एक बिंदु पर फाइबर ले कर वर्टेक्स बीजगणित के साथ पहचाना जा सकता है, और किसी भी वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित को चिकनी बीजगणितीय वक्र पर चिरल बीजगणित संलग्न करने का एक प्राकृतिक तरीका है।

यह भी देखें

 * संचालिका बीजगणित

स्रोत


श्रेणी:अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत श्रेणी:झूठे बीजगणित श्रेणी:गैर-सहयोगी बीजगणित