सामान्य रैखिक विधियाँ

सामान्य रैखिक विधियाँ (जीएलएम) साधारण अंतर समीकरणों के लिए संख्यात्मक तरीकों का एक बड़ा वर्ग है जिसका उपयोग साधारण अंतर समीकरणों के लिए संख्यात्मक साधारण अंतर समीकरण समाधान प्राप्त करने के लिए किया जाता है। उनमें मल्टीस्टेज रनगे-कुट्टा विधियां शामिल हैं | रनगे-कुट्टा विधियां जो इंटरमीडिएट कोलोकेशन विधि का उपयोग करती हैं, साथ ही रैखिक मल्टीस्टेप विधियां जो समाधान के सीमित समय के इतिहास को बचाती हैं। जॉन सी. बुचर ने मूल रूप से इन विधियों के लिए यह शब्द गढ़ा था, और उन्होंने समीक्षा पत्रों की एक श्रृंखला लिखी है एक पुस्तक अध्याय और एक पाठ्यपुस्तक विषय पर। उनके सहयोगी, ज़ेडज़िस्लाव जैकीविक्ज़ के पास एक व्यापक पाठ्यपुस्तक भी है विषय पर। विधियों का मूल वर्ग मूल रूप से प्रस्तावित किया गया था बुचर (1965), गियर (1965) और ग्रैग एंड स्टेट्टर (1964)।

कुछ परिभाषाएँ
प्रथम-क्रम साधारण अंतर समीकरणों के लिए संख्यात्मक तरीके फॉर्म की प्रारंभिक मूल्य समस्याओं के अनुमानित समाधान


 * $$ y' = f(t,y), \quad y(t_0) = y_0. $$

परिणाम के मूल्य के लिए अनुमान है $$ y(t) $$ अलग-अलग समय पर $$ t_i $$:


 * $$ y_i \approx y(t_i) \quad\text{where}\quad t_i = t_0 + i h, $$

जहां h समय चरण है (कभी-कभी इसे कहा जाता है)। $$ \Delta t $$).

विधि का विवरण
हम अपने विवरण के लिए बुचर (2006), पृष्ठ 189-190 का अनुसरण करते हैं, हालाँकि हम ध्यान दें कि यह विधि अन्यत्र पाई जा सकती है।

सामान्य रैखिक विधियाँ दो पूर्णांकों का उपयोग करती हैं, $$ r $$, इतिहास में समय बिंदुओं की संख्या और $$ s $$, सहसंयोजन बिंदुओं की संख्या। के मामले में $$r=1$$, ये विधियाँ शास्त्रीय रनगे-कुट्टा विधियों को कम कर देती हैं, और के मामले में $$s=1$$, ये विधियाँ रैखिक मल्टीस्टेप विधियों में बदल जाती हैं।

स्टेज मान $$ Y_i $$ और चरण व्युत्पन्न, $$ F_i, i=1,2,\dots s $$ अनुमानों से गणना की जाती है, $$ y_i^{[n-1]}, i=1, \dots, r $$, समय कदम पर $$n$$:



y^{[n-1]} = \left[ \begin{matrix} y_1^{[n-1]} \\ y_2^{[n-1]} \\ \vdots \\ y_r^{[n-1]} \\ \end{matrix} \right], \quad y^{[n]} = \left[ \begin{matrix} y_1^{[n]} \\ y_2^{[n]} \\ \vdots \\ y_r^{[n]} \\ \end{matrix} \right], \quad Y = \left[ \begin{matrix} Y_1 \\ Y_2 \\ \vdots \\ Y_s \end{matrix} \right], \quad F = \left[ \begin{matrix} F_1 \\ F_2 \\ \vdots \\ F_s \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} f(Y_1) \\ f(Y_2) \\ \vdots \\ f(Y_s) \end{matrix} \right]. $$ स्टेज मान दो मैट्रिक्स द्वारा परिभाषित किए गए हैं, $$ A = [a_{ij} ] $$ और $$ U = [ u_{ij} ]$$:



Y_i = \sum_{j=1}^s a_{ij} h F_j + \sum_{j=1}^r u_{ij} y_j^{[n-1]}, \qquad i=1,2, \dots, s, $$ और समय पर अद्यतन $$t^n$$ दो मैट्रिक्स द्वारा परिभाषित किया गया है, $$ B = [b_{ij}] $$ और $$ V = [v_{ij}] $$:



y_i^{[n]} = \sum_{j=1}^s b_{ij} h F_j + \sum_{j=1}^r v_{ij} y_j^{[n-1]}, \qquad i=1, 2, \dots, r. $$ चार आव्यूहों को देखते हुए, $$A, U, B$$ और $$V$$, कोई कसाई झांकी के एनालॉग को संक्षिप्त रूप से लिख सकता है,



\left[ \begin{matrix} Y \\ y^{[n]} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} A \otimes I & U \otimes I \\ B \otimes I & V \otimes I \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} h F \\ y^{[n-1]} \end{matrix} \right], $$ कहाँ $$\otimes$$ के लिए खड़ा है टेंसर उत्पाद।

उदाहरण
हम (बुचर, 1996) में वर्णित एक उदाहरण प्रस्तुत करते हैं। इस पद्धति में एक एकल 'पूर्वानुमानित' चरण और 'सही' चरण शामिल है, जो समय इतिहास के बारे में अतिरिक्त जानकारी के साथ-साथ एक मध्यवर्ती चरण मान का उपयोग करता है।

एक मध्यवर्ती चरण मान को किसी ऐसी चीज़ के रूप में परिभाषित किया जाता है जो ऐसा दिखता है जैसे यह एक रैखिक मल्टीस्टेप विधि से आया है:



y^*_{n-1/2} = y_{n-2} + h \left( \frac9 8 f( y_{n-1} ) + \frac3 8 f( y_{n-2} ) \right). $$ एक प्रारंभिक 'भविष्यवक्ता' $$ y^*_n $$ स्टेज मान का उपयोग करता है $$y^*_{n-1/2}$$ समय इतिहास के दो टुकड़ों के साथ:



y^*_n = \frac{28}{5} y_{n-1} - \frac{23}{5} y_{n-2} + h \left( \frac{32}{15} f( y^*_{n-1/2} ) - 4 f( y_{n-1} ) - \frac{26}{15} f( y_{n-2} ) \right), $$ और अंतिम अद्यतन इसके द्वारा दिया गया है:



y_n = \frac{32}{31} y_{n-1} - \frac{1}{31} y_{n-2} + h \left( \frac{5}{31} f( y^*_n ) + \frac{64}{93} f( y^*_{n-1/2} ) + \frac{4}{31} f( y_{n-1} ) - \frac{1}{93} f( y_{n-2} ) \right). $$ इस विधि के लिए संक्षिप्त तालिका प्रतिनिधित्व इस प्रकार दिया गया है:



\left[ \begin{array}{ccc|cccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{9}{8} & \frac{3}{8} \\ \frac{32}{15} & 0 & 0 & \frac{28}{5} & -\frac{23}{5} & -4 & -\frac{26}{15} \\ \frac{64}{93} & \frac{5}{31} & 0 & \frac{32}{31} & -\frac{1}{31} & \frac{4}{31} & -\frac{1}{93} \\ \hline \frac{64}{93} & \frac{5}{31} & 0 & \frac{32}{31} & -\frac{1}{31} & \frac{4}{31} & -\frac{1}{93} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right]. $$

यह भी देखें

 * रंज-कुट्टा विधियाँ
 * रैखिक मल्टीस्टेप विधियाँ
 * साधारण अवकल समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधियाँ

बाहरी संबंध

 * General Linear Methods