आव्यूह गुणन

गणित में, विशेष रूप से रेखीय बीजगणित में, आव्यूह गुणन एक द्विआधारी संक्रिया है जो दो आव्यूहों से एक आव्यूह (गणित) उत्पन्न करता है। आव्यूह गुणन के लिए, पहले आव्यूह में स्तंभों की संख्या दूसरे आव्यूह में पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए। परिणामी  आव्यूह, जिसे  आव्यूह उत्पाद के रूप में जाना जाता है, में पहले  आव्यूह की पंक्तियों की संख्या और दूसरे  आव्यूह के स्तंभों की संख्या होती है। मेट्रिसेस का उत्पाद $A$ और $B$ के रूप $AB$ में दर्शाया गया है। आव्यूह गुणन का पहली बार वर्णन फ्रांसीसी गणितज्ञ जैक्स फिलिप मैरी बिनेट ने 1812 में किया था, मैट्रिसेस द्वारा दर्शाए गए रैखिक मानचित्रों के कार्यों की संरचना का प्रतिनिधित्व करने के लिए। इस प्रकार आव्यूह गुणन रेखीय बीजगणित का एक आधारभूत उपकरण है, और इस तरह गणित के कई क्षेत्रों के साथ-साथ अनुप्रयुक्त गणित, सांख्यिकी, भौतिकी, अर्थशास्त्र और अभियांत्रिकी में इसके कई अनुप्रयोग हैं। कंप्यूटिंग  आव्यूह उत्पाद रैखिक बीजगणित के सभी कम्प्यूटेशनल अनुप्रयोगों में एक केंद्रीय ऑपरेशन है।

नोटेशन
यह लेख निम्नलिखित सांकेतिक सम्मेलनों का उपयोग करेगा: मैट्रिसेस को बड़े अक्षरों द्वारा बोल्ड में दर्शाया जाता है, उदा. $A$; लोअरकेस बोल्ड में यूक्लिडियन वेक्टर, उदा. $a$; और सदिशों और आव्यूहों की प्रविष्टियाँ तिरछी होती हैं (वे एक क्षेत्र से संख्याएँ होती हैं), उदा. $A$ और $a$ सूचकांक अंकन प्रायः परिभाषाओं को व्यक्त करने का सबसे स्पष्ट तरीका होता है, और साहित्य में मानक के रूप में प्रयोग किया जाता है। पंक्ति में प्रवेश $i$, कॉलम $j$ आव्यूह का $A$ द्वारा दर्शाया गया है $(A)_{ij}$, $A_{ij}$ या $a_{ij}$. इसके विपरीत, एक एकल सबस्क्रिप्ट, उदा $A_{1}, A_{2}$, आव्यूह के संग्रह से  आव्यूह ( आव्यूह प्रविष्टि नहीं) का चयन करने के लिए उपयोग किया जाता है।

परिभाषा
यदि $A$ एक $m × n$ आव्यूह और $B$ एक $n × p$ आव्यूह,


 * $$\mathbf{A}=\begin{pmatrix}

a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix},\quad\mathbf{B}=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1p} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{np} \\ \end{pmatrix}$$ आव्यूह उत्पाद $C = AB$ (गुणन चिह्नों या बिंदुओं के बिना चिह्नित) को परिभाषित किया गया है $m × p$ आव्यूह
 * $$\mathbf{C}=\begin{pmatrix}

c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1p} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{m1} & c_{m2} & \cdots & c_{mp} \\ \end{pmatrix}$$ ऐसा है कि
 * $$ c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} +\cdots + a_{in}b_{nj}= \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}, $$

के लिए $i = 1, ..., m$ और $j = 1, ..., p$.

अर्थात एंट्री $c_{ij}$ उत्पाद की प्रविष्टियों को टर्म-दर-टर्म गुणा करके प्राप्त किया जाता है $i$की $A$ वीं पंक्ति और यह $B$ $j$का स्तम्भ, और इनका उत्पाद योग $n$ करें। दूसरे शब्दों में, $c_{ij}$ का डॉट उत्पाद $i$ है $A$ की $B$ वीं पंक्ति और यह $j$का स्तम्भ है,

इसलिए, $AB$ रूप में भी लिखा जा सकता है


 * $$\mathbf{C}=\begin{pmatrix}

a_{11}b_{11} +\cdots + a_{1n}b_{n1} & a_{11}b_{12} +\cdots + a_{1n}b_{n2} & \cdots & a_{11}b_{1p} +\cdots + a_{1n}b_{np} \\ a_{21}b_{11} +\cdots + a_{2n}b_{n1} & a_{21}b_{12} +\cdots + a_{2n}b_{n2} & \cdots & a_{21}b_{1p} +\cdots + a_{2n}b_{np} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}b_{11} +\cdots + a_{mn}b_{n1} & a_{m1}b_{12} +\cdots + a_{mn}b_{n2} & \cdots & a_{m1}b_{1p} +\cdots + a_{mn}b_{np} \\ \end{pmatrix} $$ इस प्रकार उत्पाद $AB$ परिभाषित किया गया है अगर और केवल अगर स्तंभों की संख्या में $A$ में पंक्तियों की संख्या $B$ के बराबर है, इस मामले में $n$.

अधिकांश परिदृश्यों में, प्रविष्टियाँ संख्याएँ होती हैं, लेकिन वे किसी भी प्रकार की गणितीय वस्तुएँ हो सकती हैं, जिसके लिए एक जोड़ और गुणा परिभाषित किया जाता है, जो कि साहचर्य गुण हैं, और इस तरह कि जोड़ क्रमविनिमेय गुण है, और गुणन सम्मान के साथ वितरण गुण है जोड़ के लिए विशेष रूप से, प्रविष्टियाँ स्वयं मेट्रिसेस हो सकती हैं ( ब्लॉक आव्यूह देखें)।

चित्रण
दाईं ओर का आंकड़ा आरेखीय रूप से दो मैट्रिसेस के उत्पाद को दिखाता है $A$ और $B$, दिखा रहा है कि कैसे उत्पाद आव्यूह में प्रत्येक आव्यूह एक पंक्ति से समानता रखता है $A$ और $B$ का एक स्तंभ,



\overset{4\times 2 \text{ matrix}}{\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ \cdot & \cdot \\ a_{31} & a_{32} \\ \cdot & \cdot \\ \end{bmatrix}} \overset{2\times 3\text{ matrix}}{\begin{bmatrix} \cdot & b_{12} & b_{13} \\ \cdot & b_{22} & b_{23} \\ \end{bmatrix}}

= \overset{4\times 3\text{ matrix}}{\begin{bmatrix} \cdot & c_{12} & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & c_{33} \\ \cdot & \cdot & \cdot \\ \end{bmatrix}} $$ चौराहों पर मान, दाईं ओर आकृति में आव्यूहों के साथ चिह्नित हैं:


 * $$\begin{align}

c_{12} & = a_{11} b_{12} + a_{12} b_{22} \\ c_{33} & = a_{31} b_{13} + a_{32} b_{23} \end{align}$$

मौलिक अनुप्रयोग
ऐतिहासिक रूप से, रेखीय बीजगणित में संगणना को सुगम बनाने और स्पष्ट करने के लिए आव्यूह गुणन की शुरुआत की गई है। आव्यूह गुणन और रेखीय बीजगणित के बीच यह मजबूत संबंध सभी गणित के साथ-साथ भौतिकी, रसायन विज्ञान, इंजीनियरिंग और कंप्यूटर विज्ञान में मौलिक बना हुआ है।

रेखीय मानचित्र
यदि एक सदिश स्थान का एक परिमित आधार (रैखिक बीजगणित) है, तो इसके सदिश प्रत्येक विशिष्ट रूप से स्केलर्स के एक परिमित अनुक्रम (गणित) द्वारा दर्शाए जाते हैं, जिसे एक समन्वय सदिश कहा जाता है, जिसके तत्व आधार पर सदिश के निर्देशांक हैं। ये निर्देशांक सदिश अन्य सदिश समष्टि बनाते हैं, जो मूल सदिश समष्टि के लिए तुल्याकारिता है। एक समन्वय वेक्टर सामान्यतः कॉलम आव्यूह (जिसे कॉलम वेक्टर भी कहा जाता है) के रूप में व्यवस्थित किया जाता है, जो केवल एक कॉलम वाला  आव्यूह होता है। तो, एक स्तंभ वेक्टर एक समन्वय वेक्टर और मूल वेक्टर अंतरिक्ष के एक वेक्टर दोनों का प्रतिनिधित्व करता है।

एक रेखीय नक्शा $A$ आयाम के एक सदिश स्थान से $n$ आयाम के वेक्टर स्थान में $m$ एक कॉलम वेक्टर को मैप करता है
 * $$\mathbf x=\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}$$

कॉलम वेक्टर पर
 * $$\mathbf y= A(\mathbf x)= \begin{pmatrix}a_{11}x_1+\cdots + a_{1n}x_n\\ a_{21}x_1+\cdots + a_{2n}x_n \\ \vdots \\ a_{m1}x_1+\cdots + a_{mn}x_n\end{pmatrix}.$$

रेखीय नक्शा $A$ इस प्रकार आव्यूह द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$\mathbf{A}=\begin{pmatrix}

a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix}, $$ और कॉलम वेक्टर को मैप करता है $$\mathbf x$$ आव्यूह उत्पाद के लिए
 * $$\mathbf y = \mathbf {Ax}.$$

यदि $B$ आयाम के पूर्ववर्ती सदिश स्थान से एक और रैखिक नक्शा है $m$, आयाम के सदिश स्थान में $p$, यह एक द्वारा दर्शाया गया है $p\times m$ आव्यूह $$\mathbf B.$$ एक सीधी गणना से पता चलता है कि फ़ंक्शन रचना का आव्यूह $B\circ A$  आव्यूह उत्पाद है $$\mathbf {BA}.$$ सामान्य सूत्र $(B\circ A)(\mathbf x) = B(A(\mathbf x))$) जो फ़ंक्शन संरचना को परिभाषित करता है, यहां  आव्यूह उत्पाद की संबद्धता के एक विशिष्ट मामले के रूप में उदाहरण दिया गया है (देखें  नीचे):
 * $$(\mathbf{BA})\mathbf x = \mathbf{B}(\mathbf {Ax}) = \mathbf{BAx}.$$

ज्यामितीय घुमाव
एक यूक्लिडियन विमान में कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का उपयोग करना, एक कोण द्वारा रोटेशन (गणित) । $$\alpha$$ मूल के आसपास (गणित) एक रेखीय मानचित्र है। ज्यादा ठीक,
 * $$ \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} =

\begin{bmatrix} \cos \alpha & - \sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix},$$ जहां स्रोत बिंदु $$(x,y)$$ और इसकी छवि $$(x',y')$$ कॉलम वैक्टर के रूप में लिखे गए हैं।

द्वारा रोटेशन की रचना $$\alpha$$ और उसके द्वारा $$\beta$$ फिर आव्यूह उत्पाद से समानता रखती है
 * $$\begin{bmatrix} \cos \beta & - \sin \beta \\ \sin \beta & \cos \beta \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} \cos \alpha & - \sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \beta \cos \alpha - \sin \beta \sin \alpha & - \cos \beta \sin \alpha - \sin \beta \cos \alpha \\ \sin \beta \cos \alpha + \cos \beta \sin \alpha & - \sin \beta \sin \alpha + \cos \beta \cos \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos (\alpha+\beta) & - \sin(\alpha+\beta) \\ \sin(\alpha+\beta) & \cos(\alpha+\beta) \end{bmatrix},$$ जहां उपयुक्त त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची कोण योग और अंतर सर्वसमिकाओं को दूसरी समता के लिए नियोजित किया जाता है। यही है, रचना कोण द्वारा रोटेशन से समानता रखती है $$\alpha+\beta$$, जैसा सोचा था।

अर्थशास्त्र में संसाधनों का आवंटन
उदाहरण के तौर पर, एक काल्पनिक फैक्ट्री 4 प्रकार का उपयोग करती है बुनियादी वस्तुएं, $$b_1, b_2, b_3, b_4$$ 3 प्रकार के मध्यवर्ती माल का उत्पादन करने के लिए, $$m_1, m_2, m_3$$, जो बदले में 3 प्रकार के अंतिम उत्पाद का उत्पादन करने के लिए उपयोग किया जाता है, $$f_1, f_2, f_3$$. मेट्रिसेस
 * $$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\  2 & 1 & 1 \\   0 & 1 & 1 \\   1 & 1 & 2 \\   \end{pmatrix} $$ और $$\mathbf{B} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\   2 & 3 & 1 \\   4 & 2 & 2 \\   \end{pmatrix} $$

मध्यवर्ती वस्तुओं की दी गई मात्रा के लिए आवश्यक मूल वस्तुओं की मात्रा, और अंतिम उत्पादों की दी गई मात्रा के लिए क्रमशः मध्यवर्ती वस्तुओं की मात्रा प्रदान करते हैं।

उदाहरण के लिए, मध्यवर्ती वस्तु की एक इकाई $$m_1$$ का उत्पादन करना, आधारभूत वस्तु की एक इकाई $$b_1$$, की दो इकाइयां $$b_2$$, की कोई इकाई नहीं है $$b_3$$, और की एक इकाई $$b_4$$ के पहले कॉलम $$\mathbf{A}$$ के अनुरूप आवश्यक हैं,

आव्यूह गुणन का प्रयोग करके गणना कीजिए
 * $$\mathbf{AB} = \begin{pmatrix} 5 & 4 & 3 \\  8 & 9 & 5 \\\   6 & 5 & 3 \\   11 & 9 & 6 \\   \end{pmatrix} ;$$

यह आव्यूह सीधे अंतिम वस्तुओं की दी गई मात्रा के लिए आवश्यक आधारभूत वस्तुओं की मात्रा प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, नीचे की बाईं प्रविष्टि $$\mathbf{AB}$$ के रूप में गणना की जाती है $$1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 4 = 11$$, यह दर्शाता है $$11$$ की इकाइयाँ $$b_4$$ की एक इकाई का उत्पादन करने की आवश्यकता है $$f_1$$. दरअसल, एक $$b_4$$ के लिए इकाई की आवश्यकता है $$m_1$$, 2 के लिए $$m_2$$, और $$4$$ दोनों में से प्रत्येक के लिए $$m_3$$ इकाइयां जो अंदर जाती हैं $$f_1$$ इकाई, चित्र देखें।

उत्पादन करने के लिए उदा। अंतिम उत्पाद की 100 इकाइयां $$f_1$$, 80 इकाइयां $$f_2$$, और 60 इकाइयां $$f_3$$आधारभूत वस्तुओं की आवश्यक मात्रा की गणना इस प्रकार की जा सकती है
 * $$(\mathbf{AB}) \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 60 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1000 \\ 1820 \\ 1180 \\ 2180 \end{pmatrix} ,$$

वह है, $$1000$$ की इकाइयाँ $$b_1$$, $$1820$$ की इकाइयाँ $$b_2$$, $$1180$$ की इकाइयाँ $$b_3$$, $$2180$$ की इकाइयाँ $$b_4$$ की आवश्यकता है। इसी तरह, उत्पाद आव्यूह $$\mathbf{AB}$$ अन्य अंतिम-अच्छी राशि डेटा के लिए आधारभूत वस्तुओं की आवश्यक मात्रा की गणना करने के लिए उपयोग किया जा सकता है।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली
रैखिक समीकरणों की प्रणाली का सामान्य रूप है
 * $$\begin{matrix}a_{11}x_1+\cdots + a_{1n}x_n=b_1

\\ a_{21}x_1+\cdots + a_{2n}x_n =b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1+\cdots + a_{mn}x_n =b_m\end{matrix}.$$ उपरोक्त के समान संकेतन का उपयोग करते हुए, ऐसी प्रणाली एकल आव्यूह समीकरण के समतुल्य है
 * $$\mathbf{Ax}=\mathbf b.$$

डॉट उत्पाद, बिलिनियर फॉर्म और सेस्क्विलिनियर फॉर्म
दो कॉलम वैक्टर का डॉट उत्पाद आव्यूह उत्पाद है
 * $$\mathbf x^\mathsf T \mathbf y,$$

जहाँ $$\mathbf x^\mathsf T$$ स्थानान्तरण द्वारा प्राप्त पंक्ति सदिश है $$\mathbf x$$ और परिणामी 1×1 आव्यूह की पहचान इसकी अनूठी प्रविष्टि से की जाती है।

अधिक सामान्यतः, परिमित आयाम के सदिश स्थान पर किसी भी द्विरेखीय रूप को आव्यूह उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
 * $$\mathbf x^\mathsf T \mathbf {Ay},$$

और किसी भी अनुक्रमिक रूप को व्यक्त किया जा सकता है
 * $$\mathbf x^\dagger \mathbf {Ay},$$

जहाँ $$\mathbf x^\dagger$$ के संयुग्मी स्थानान्तरण $$\mathbf x$$ को दर्शाता है (स्थानांतरण के संयुग्म, या संयुग्म के समतुल्य स्थानान्तरण)।

सामान्य गुण
आव्यूह गुणन सामान्य गुणन के साथ कुछ गुण साझा करता है। हालाँकि, आव्यूह गुणन को परिभाषित नहीं किया जाता है यदि पहले कारक के स्तंभों की संख्या दूसरे कारक की पंक्तियों की संख्या से भिन्न होती है, और यह अविनिमेय है, तब भी जब कारकों के क्रम को बदलने के बाद भी उत्पाद निश्चित रहता है।

गैर-कम्यूटेटिविटी
एक संक्रिया क्रमविनिमेय गुण है यदि, दो तत्व दिए गए हों $A$ और $B$ ऐसा है कि उत्पाद $$\mathbf{A}\mathbf{B}$$ परिभाषित किया गया है, तो $$\mathbf{B}\mathbf{A}$$ भी परिभाषित किया गया है, और $$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}.$$

यदि $A$ और $B$ संबंधित आकार के आव्यूह हैं $m\times n$ और $p\times q$, तब $$\mathbf{A}\mathbf{B}$$ यदि परिभाषित किया गया है $n=p$, और $$\mathbf{B}\mathbf{A}$$ यदि परिभाषित किया गया है $m=q$. इसलिए, यदि उत्पादों में से एक परिभाषित है, तो दूसरे को परिभाषित करने की आवश्यकता नहीं है। यदि $m=q\neq n=p$, दो उत्पादों को परिभाषित किया गया है, लेकिन उनके अलग-अलग आकार हैं; इस प्रकार वे समान नहीं हो सकते। केवल $m=q= n=p$, अर्थात अगर $A$ और $B$ समान आकार के वर्ग आव्यूह हैं, दोनों उत्पाद परिभाषित हैं और समान आकार के हैं। यहां तक ​​कि इस मामले में, एक सामान्य रूप में है
 * $$\mathbf{A}\mathbf{B} \neq \mathbf{B}\mathbf{A}.$$ उदाहरण के लिए
 * $$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},$$

लेकिन
 * $$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

यह उदाहरण दिखाने के लिए विस्तारित किया जा सकता है कि, यदि $A$ एक है $n\times n$ एक क्षेत्र में प्रविष्टियों के साथ आव्यूह (गणित) $F$, तब $$\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{B}\mathbf{A}$$ हर एक के लिए $n\times n$ आव्यूह $B$ में प्रविष्टियों के साथ $F$, अगर और केवल अगर $$\mathbf{A}=c\,\mathbf{I}$$ जहाँ $c\in F$, और $I$ है $n\times n$ शिनाख्त सांचा यदि, एक क्षेत्र के बजाय, प्रविष्टियों को एक रिंग (गणित) से संबंधित माना जाता है, तो किसी को शर्त जोड़नी होगी कि $c$ रिंग के केंद्र (रिंग थ्योरी) से संबंधित है।

एक विशेष मामला जहां क्रमविनिमेयता तब होती है जब $D$ और $E$ दो (वर्ग) विकर्ण आव्यूह हैं (समान आकार के); तब $DE = ED$. फिर से, यदि मेट्रिसेस एक क्षेत्र के बजाय एक सामान्य रिंग के ऊपर हैं, तो प्रत्येक में संबंधित प्रविष्टियों को भी इसे धारण करने के लिए एक दूसरे के साथ आना चाहिए।

वितरणशीलता
आव्यूह योग के संबंध में आव्यूह उत्पाद वितरण गुण है। अर्थात अगर $A, B, C, D$ संबंधित आकार के  आव्यूह हैं $m × n$, $n × p$, $n × p$, और $p × q$, एक के पास (बायाँ वितरण)
 * $$\mathbf{A}(\mathbf{B} + \mathbf{C}) = \mathbf{AB} + \mathbf{AC},$$

और (सही वितरण)
 * $$(\mathbf{B} + \mathbf{C} )\mathbf{D} = \mathbf{BD} + \mathbf{CD}.$$

यह द्वारा गुणांकों के वितरण से परिणामित होता है
 * $$\sum_k a_{ik}(b_{kj} + c_{kj}) = \sum_k a_{ik}b_{kj} + \sum_k a_{ik}c_{kj} $$
 * $$\sum_k (b_{ik} + c_{ik}) d_{kj} = \sum_k b_{ik}d_{kj} + \sum_k c_{ik}d_{kj}. $$

स्केलर के साथ उत्पाद
यदि $A$ एक आव्यूह है और $c$ एक अदिश, फिर मैट्रिसेस $$c\mathbf{A}$$ और $$\mathbf{A}c$$ की सभी प्रविष्टियों को बाएँ या दाएँ गुणा करके प्राप्त किया जाता है $A$ द्वारा $c$. यदि अदिशों में क्रमविनिमेय गुण है, तब $$c\mathbf{A} = \mathbf{A}c.$$ यदि उत्पाद $$\mathbf{AB}$$ परिभाषित किया गया है (अर्थात, कॉलम की संख्या $A$ की पंक्तियों की संख्या के बराबर है $B$), तब
 * $$ c(\mathbf{AB}) = (c \mathbf{A})\mathbf{B}$$ और $$ (\mathbf{A} \mathbf{B})c=\mathbf{A}(\mathbf{B}c).$$

यदि अदिशों में क्रमविनिमेय गुण है, तो चारों आव्यूह बराबर होते हैं। अधिक सामान्यतः, चारों समान हैं यदि $c$ मैट्रिसेस की प्रविष्टियों वाले रिंग (गणित) के केंद्र (रिंग थ्योरी) से संबंधित है, क्योंकि इस मामले में, $cX = Xc$ सभी मैट्रिसेस के लिए $X$.

ये गुण अदिशों के गुणनफल की द्विरेखीयता से उत्पन्न होते हैं:
 * $$c \left(\sum_k a_{ik}b_{kj}\right) = \sum_k (c a_{ik} ) b_{kj} $$
 * $$\left(\sum_k a_{ik}b_{kj}\right) c = \sum_k a_{ik} ( b_{kj}c). $$

स्थानांतरण
यदि स्केलर में क्रमविनिमेय संपत्ति है, तो मैट्रिसेस के उत्पाद का स्थानान्तरण, विपरीत क्रम में, कारकों के स्थानान्तरण का उत्पाद है। वह है
 * $$ (\mathbf{AB})^\mathsf{T} = \mathbf{B}^\mathsf{T}\mathbf{A}^\mathsf{T} $$

जहाँ T ट्रांज़ोज़ को दर्शाता है, जो कि पंक्तियों और स्तंभों का आदान-प्रदान है।

प्रविष्टियों के बीच क्रम के बाद से यह पहचान गैर-अनुवर्ती प्रविष्टियों के लिए नहीं है $A$ और $B$ उलटा है, जब कोई आव्यूह उत्पाद की परिभाषा का विस्तार करता है।

जटिल संयुग्म
यदि $A$ और $B$ फिर जटिल संख्या प्रविष्टियाँ हैं
 * $$ (\mathbf{AB})^* = \mathbf{A}^*\mathbf{B}^* $$

जहाँ $^{*}$ एक आव्यूह के प्रवेश-वार जटिल संयुग्म को दर्शाता है।

यह आव्यूह उत्पाद की परिभाषा पर लागू होने का परिणाम है कि एक योग का संयुग्म योग के संयुग्मों का योग है और एक उत्पाद का संयुग्म कारकों के संयुग्मों का उत्पाद है।

स्थानान्तरण प्रविष्टियों के सूचकांकों पर कार्य करता है, जबकि संयुग्मन स्वयं प्रविष्टियों पर स्वतंत्र रूप से कार्य करता है। इसका परिणाम यह होता है कि यदि $A$ और $B$ जटिल प्रविष्टियाँ हैं, एक है


 * $$ (\mathbf{AB})^\dagger = \mathbf{B}^\dagger\mathbf{A}^\dagger ,$$

जहाँ $^{†}$ संयुग्म पारगमन को दर्शाता है (संयुग्म का संयुग्म, या संयुग्म का समतुल्य स्थानान्तरण)।

साहचर्य
तीन मेट्रिसेस दिए गए हैं $A, B$ और $C$, वह उत्पाद $(AB)C$ और $A(BC)$ यदि और केवल यदि स्तंभों की संख्या परिभाषित की जाती है $A$ की पंक्तियों की संख्या के बराबर है $B$, और स्तंभों की संख्या $B$ की पंक्तियों की संख्या के बराबर है $C$ (विशेष रूप से, यदि उत्पादों में से एक को परिभाषित किया गया है, तो दूसरे को भी परिभाषित किया गया है)। इस मामले में, किसी के पास साहचर्य संपत्ति है
 * $$(\mathbf{AB})\mathbf{C}=\mathbf{A}(\mathbf{BC}).$$

किसी भी साहचर्य संचालन के लिए, यह कोष्ठकों को छोड़ने और उपरोक्त उत्पादों को लिखने की अनुमति देता है $\mathbf{ABC}.$ यह किसी भी आव्यूह के उत्पाद के लिए स्वाभाविक रूप से विस्तारित होता है, बशर्ते कि आयाम मेल खाते हों। अर्थात अगर $A_{1}, A_{2}, ..., A_{n}$ मैट्रिसेस ऐसे हैं कि कॉलम की संख्या $A_{i}$ की पंक्तियों की संख्या के बराबर है $A_{i + 1}$ के लिए $i = 1, ..., n – 1$, फिर उत्पाद
 * $$ \prod_{i=1}^n \mathbf{A}_i = \mathbf{A}_1\mathbf{A}_2\cdots\mathbf{A}_n $$

परिभाषित है और संचालन के क्रम पर निर्भर नहीं करता है, यदि मेट्रिसेस का क्रम स्थिर रखा जाता है।

इन गुणों को सीधे लेकिन जटिल जोड़-तोड़ से सिद्ध किया जा सकता है। यह परिणाम इस तथ्य से भी अनुसरण करता है कि मैट्रिसेस रैखिक मानचित्रों का प्रतिनिधित्व करते हैं। इसलिए, मैट्रिसेस की साहचर्य संपत्ति फ़ंक्शन रचना की साहचर्य संपत्ति का एक विशिष्ट मामला है।

कम्प्यूटेशनल जटिलता कोष्ठक पर निर्भर करती है
यद्यपि आव्यूह उत्पादों के अनुक्रम का परिणाम संचालन के क्रम पर निर्भर नहीं करता है (बशर्ते कि  आव्यूह का क्रम नहीं बदला जाता है), कम्प्यूटेशनल जटिलता इस आदेश पर नाटकीय रूप से निर्भर हो सकती है।

उदाहरण के लिए, अगर $A, B$ और $C$ संबंधित आकार के आव्यूह हैं $10×30, 30×5, 5×60$, कंप्यूटिंग $(AB)C$ ज़रूरत $10×30×5 + 10×5×60 = 4,500$ गुणन, गणना करते समय $A(BC)$ ज़रूरत $30×5×60 + 10×30×60 = 27,000$ गुणन। एल्गोरिद्म को उत्पादों के सर्वोत्तम क्रम को चुनने के लिए डिज़ाइन किया गया है, आव्यूह श्रृंखला गुणन देखें। जब संख्या $n$ आव्यूहों की संख्या बढ़ जाती है, यह दिखाया गया है कि सर्वोत्तम क्रम के चुनाव में जटिलता होती है $$O(n \log n).$$

समानता के लिए आवेदन
कोई उलटा आव्यूह $$\mathbf{P}$$ एक समान  आव्यूह को परिभाषित करता है (समान आकार के वर्ग  आव्यूह पर $$\mathbf{P}$$)
 * $$S_\mathbf{P}(\mathbf{A}) = \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{P}.$$

समानता परिवर्तन उत्पाद को उत्पाद में मैप करता है, अर्थात
 * $$S_\mathbf{P}(\mathbf{AB}) = S_\mathbf{P}(\mathbf{A})S_\mathbf{P}(\mathbf{B}).$$

वास्तव में, एक है
 * $$\mathbf{P}^{-1} (\mathbf{AB}) \mathbf{P}

= \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A}(\mathbf{P}\mathbf{P}^{-1})\mathbf{B} \mathbf{P} =(\mathbf{P}^{-1} \mathbf{A}\mathbf{P})(\mathbf{P}^{-1}\mathbf{B} \mathbf{P}).$$

स्क्वायर मेट्रिसेस
आइए बताते हैं $$\mathcal M_n(R)$$ का समूह $n×n$ एक रिंग में प्रविष्टियों के साथ वर्ग आव्यूह (गणित) $R$, जो व्यवहार में प्रायः एक क्षेत्र (गणित) होता है।

में $$\mathcal M_n(R)$$, उत्पाद को आव्यूह की प्रत्येक जोड़ी के लिए परिभाषित किया गया है। यह बनाता है $$\mathcal M_n(R)$$ एक रिंग (गणित), जिसमें पहचान  आव्यूह है $I$ पहचान तत्व के रूप में ( आव्यूह जिसकी विकर्ण प्रविष्टियाँ 1 के बराबर हैं और अन्य सभी प्रविष्टियाँ 0 हैं)। यह वलय एक साहचर्य बीजगणित भी है $R$-बीजगणित।

यदि $n > 1$, कई आव्यूहों में गुणनात्मक व्युत्क्रम नहीं होता है। उदाहरण के लिए, एक आव्यूह ऐसा है कि एक पंक्ति (या एक स्तंभ) की सभी प्रविष्टियाँ 0 हैं, इसका व्युत्क्रम नहीं है। यदि यह मौजूद है, तो  आव्यूह का व्युत्क्रम $A$ निरूपित किया जाता है $A^{−1}$, और, इस प्रकार सत्यापित करता है
 * $$ \mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{A} = \mathbf{I}. $$

एक व्युत्क्रम वाला आव्यूह एक उलटा  आव्यूह है। अन्यथा, यह एक विलक्षण  आव्यूह है।

मेट्रिसेस का एक उत्पाद व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि प्रत्येक कारक व्युत्क्रमणीय है। इस मामले में, एक है


 * $$(\mathbf{A}\mathbf{B})^{-1} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}.$$

कब $R$ क्रमविनिमेय वलय है, और, विशेष रूप से, जब यह एक क्षेत्र है, तो उत्पाद का निर्धारक निर्धारकों का गुणनफल होता है। जैसा कि निर्धारक अदिश होते हैं, और अदिश यात्रा करते हैं, इस प्रकार एक है
 * $$ \det(\mathbf{AB}) = \det(\mathbf{BA}) =\det(\mathbf{A})\det(\mathbf{B}). $$

अन्य आव्यूह अपरिवर्तनीय (गणित) उत्पादों के साथ भी व्यवहार नहीं करते हैं। फिर भी अगर $R$ क्रमविनिमेय है, $AB$ और $BA$ समान ट्रेस (रैखिक बीजगणित), समान विशेषता बहुपद, और समान गुणकों के साथ समान ​​​​हैं। हालांकि, आइजन्वेक्टर सामान्यतः $AB ≠ BA$ अलग होते हैं,

एक आव्यूह की शक्तियाँ
कोई वर्ग आव्यूह को किसी भी घातांक के लिए उसी तरह बार-बार गुणा कर सकता है जैसे साधारण संख्याओं के लिए। वह है,
 * $$\mathbf{A}^0 = \mathbf{I},$$
 * $$\mathbf{A}^1 = \mathbf{A},$$
 * $$\mathbf{A}^k = \underbrace{\mathbf{A}\mathbf{A}\cdots\mathbf{A}}_{k\text{ times}}.$$

कम्प्यूटिंग $k$ एक आव्यूह की शक्ति की जरूरत $k – 1$ है, एकल आव्यूह गुणन के समय का गुणा, यदि यह तुच्छ एल्गोरिथम (दोहराया गुणन) के साथ किया जाता है। चूँकि इसमें बहुत समय लग सकता है, सामान्यतः कोई वर्ग द्वारा घातांक का उपयोग करना पसंद करता है, जिसके लिए कम से कम की आवश्यकता होती है $2 log_{2} k$  आव्यूह गुणा, और इसलिए अधिक कुशल है।

घातांक के लिए एक आसान मामला एक विकर्ण आव्यूह का है। चूंकि विकर्ण मैट्रिसेस का गुणन केवल संगत विकर्ण तत्वों को एक साथ गुणा करने के बराबर है, इसलिए $k$एक विकर्ण  आव्यूह की $k$ शक्ति प्रविष्टियों को बढ़ाकर प्राप्त की जाती है:

\begin{bmatrix} a_{11} & 0     & \cdots & 0 \\ 0     & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0    & 0       & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}^k = \begin{bmatrix} a_{11}^k & 0       & \cdots & 0 \\ 0       & a_{22}^k & \cdots & 0 \\ \vdots  & \vdots   & \ddots & \vdots \\ 0       & 0        & \cdots & a_{nn}^k \end{bmatrix}. $$

सार बीजगणित
आव्यूह उत्पाद की परिभाषा के लिए आवश्यक है कि प्रविष्टियाँ एक सेमिरिंग से संबंधित हों, और सेमीरिंग के तत्वों के गुणन की आवश्यकता नहीं होती है ताकि कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी हो। कई अनुप्रयोगों में, आव्यूह तत्व एक क्षेत्र से संबंधित होते हैं, हालांकि ग्राफ़ सबसे छोटी पथ समस्याओं के लिए उष्णकटिबंधीय सेमिरिंग भी एक सामान्य विकल्प है। क्षेत्रों पर  आव्यूह के मामले में भी, उत्पाद सामान्य रूप से कम्यूटिव नहीं है, हालांकि यह सहयोगी संपत्ति है और  आव्यूह जोड़ पर वितरण संपत्ति है। पहचान मैट्रिसेस (जो वर्ग  आव्यूह हैं जिनकी प्रविष्टियां मुख्य विकर्ण के बाहर शून्य हैं और मुख्य विकर्ण पर 1 हैं)  आव्यूह उत्पाद के पहचान तत्व हैं। इससे यह पता चलता है कि $n × n$ रिंग (गणित) के ऊपर मैट्रिसेस एक रिंग बनाते हैं, जो गैर-अनुक्रमिक है सिवाय इसके कि अगर $n = 1$ और ग्राउंड रिंग कम्यूटिव है।

एक उलटा आव्यूह में एक गुणक व्युत्क्रम हो सकता है, जिसे व्युत्क्रम  आव्यूह कहा जाता है। सामान्य मामले में जहां प्रविष्टियां क्रमविनिमेय रिंग से संबंधित होती हैं $R$, एक  आव्यूह में एक व्युत्क्रम होता है यदि और केवल यदि इसके निर्धारक में गुणक व्युत्क्रम होता है $R$. वर्ग आव्यूह के उत्पाद का निर्धारक कारकों के निर्धारकों का उत्पाद है। $n × n$ }} आव्यूह जिनके व्युत्क्रम आव्यूह गुणन के तहत एक समूह (गणित) बनाते हैं, जिसके उपसमूह आव्यूह समूह कहलाते हैं। कई शास्त्रीय समूह (सभी परिमित समूह सहित)  आव्यूह समूह के लिए समूह समरूपता हैं; यह समूह अभ्यावेदन के सिद्धांत का प्रारंभिक बिंदु है।

कम्प्यूटेशनल जटिलता
आव्यूह गुणन कलन विधि जो परिभाषा से परिणाम देता है, सबसे खराब स्थिति में जटिलता की आवश्यकता होती है, $n^3$ गुणन और $(n-1)n^2$ दो वर्गों के गुणनफल की गणना करने के लिए अदिश राशियों का योग $ω$ आव्यूह। इसकी कम्प्यूटेशनल जटिलता इसलिए है $O(n^3)$, संगणना के एक मॉडल में जिसके लिए स्केलर संचालन में निरंतर समय लगता है।

आश्चर्यजनक रूप से, यह जटिलता इष्टतम नहीं है, जैसा कि 1969 में वोल्कर स्ट्रास द्वारा दिखाया गया था, जिन्होंने एक एल्गोरिथ्म प्रदान किया था, जिसे अब स्ट्रैसेन का एल्गोरिथ्म कहा जाता है, इसकी जटिलता के साथ $$O( n^{\log_{2}7}) \approx O(n^{2.8074}).$$

प्रदर्शन को और बेहतर बनाने के लिए स्ट्रैसेन के एल्गोरिथ्म को समानांतर किया जा सकता है। , सबसे अच्छा आव्यूह गुणन एल्गोरिथ्म जोश अलमन और वर्जीनिया वासिलिवस्का विलियम्स द्वारा है और इसमें जटिलता है $n×n$.

यह ज्ञात नहीं है कि आव्यूह गुणन में किया जा सकता है या नहीं $O(n^{2.3728596})$ समय। यह इष्टतम होगा, क्योंकि किसी को अवश्य पढ़ना चाहिए, $n^2$ एक  आव्यूह के तत्वों को दूसरे  आव्यूह के साथ गुणा करने के लिए।

चूंकि आव्यूह गुणन कई एल्गोरिदम के लिए आधार बनाता है, और  आव्यूह पर कई संचालनों में भी  आव्यूह गुणन (गुणक स्थिरांक तक) के समान जटिलता होती है,  आव्यूह गुणन की कम्प्यूटेशनल जटिलता पूरे संख्यात्मक रैखिक बीजगणित और सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में दिखाई देती है।

सामान्यीकरण
मेट्रिसेस के अन्य प्रकार के उत्पादों में शामिल हैं:
 * ब्लॉक आव्यूह ब्लॉक  आव्यूह गुणन
 * क्रेकोवियन उत्पाद, के रूप में परिभाषित $n^{2 + o(1)}$
 * फ्रोबेनियस आंतरिक उत्पाद, आव्यूह के डॉट उत्पाद को वैक्टर के रूप में माना जाता है, या, समान रूप से हैडमार्ड उत्पाद की प्रविष्टियों का योग
 * एक ही आकार के दो आव्यूह के हैडमार्ड उत्पाद (मैट्रिसेस), जिसके परिणामस्वरूप एक ही आकार का एक  आव्यूह होता है, जो उत्पाद एंट्री-बाय-एंट्री है
 * क्रोनकर उत्पाद या टेन्सर उत्पाद, पूर्ववर्ती के किसी भी आकार का सामान्यीकरण
 * खत्री-राव उत्पाद और फेस-स्प्लिटिंग उत्पाद
 * बाहरी उत्पाद, जिसे डाइएडिक उत्पाद या दो कॉलम मैट्रिसेस का टेंसर उत्पाद भी कहा जाता है, जो है $$\mathbf{a}\mathbf{b}^\mathsf{T}$$
 * स्केलर गुणज

यह भी देखें

 * आव्यूह कैलकुलस, कैलकुस से संचालन के साथ आव्यूह गुणा की बातचीत के लिए

संदर्भ

 * Henry Cohn, Robert Kleinberg, Balázs Szegedy, and Chris Umans. Group-theoretic Algorithms for Matrix Multiplication. . Proceedings of the 46th Annual Symposium on Foundations of Computer Science, 23–25 October 2005, Pittsburgh, PA, IEEE Computer Society, pp. 379–388.
 * Henry Cohn, Chris Umans. A Group-theoretic Approach to Fast Matrix Multiplication. . Proceedings of the 44th Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, 11–14 October 2003, Cambridge, MA, IEEE Computer Society, pp. 438–449.
 * Knuth, D.E., The Art of Computer Programming Volume 2: Seminumerical Algorithms. Addison-Wesley Professional; 3 edition (November 14, 1997). ISBN 978-0-201-89684-8. pp. 501.
 * Ran Raz. On the complexity of matrix product. In Proceedings of the thirty-fourth annual ACM symposium on Theory of computing. ACM Press, 2002..
 * Robinson, Sara, Toward an Optimal Algorithm for Matrix Multiplication, SIAM News 38(9), November 2005. PDF
 * Strassen, Volker, Gaussian Elimination is not Optimal, Numer. Math. 13, p. 354-356, 1969.
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