अंतःक्षेपक फलन

गणित में, एक इंजेक्टिव फ़ंक्शन (जिसे इंजेक्शन, या वन-टू-वन फ़ंक्शन के रूप में भी जाना जाता है) एक फ़ंक्शन (गणित) है $f$ जो अपने डोमेन के विशिष्ट (गणित) तत्वों को अलग-अलग तत्वों में मैप करता है; वह है, $f(x_{1}) = f(x_{2})$ तात्पर्य $x_{1} = x_{2}$. (समान रूप से, $x_{1} ≠ x_{2}$ तात्पर्य $f(x_{1}) f(x_{2})$ समतुल्य विरोधाभास कथन में।) दूसरे शब्दों में, फ़ंक्शन के कोडोमेन का प्रत्येक तत्व छवि (गणित) है किसी फ़ंक्शन के डोमेन का एक तत्व। शब्द  से भ्रमित नहीं होना चाहिए  जो विशेषण कार्यों को संदर्भित करता है, जो ऐसे कार्य हैं कि कोडोमेन में प्रत्येक तत्व डोमेन में बिल्कुल एक तत्व की छवि है।

बीजगणितीय संरचनाओं के बीच एक समरूपता एक ऐसा कार्य है जो संरचनाओं के संचालन के साथ संगत है। सभी सामान्य बीजगणितीय संरचनाओं के लिए, और, विशेष रूप से वेक्टर रिक्त स्थान के लिए, एक को ए भी कहा जाता है. हालाँकि, श्रेणी सिद्धांत के अधिक सामान्य संदर्भ में, एक मोनोमोर्फिज्म की परिभाषा एक इंजेक्शन होमोमोर्फिज्म से भिन्न होती है। इस प्रकार यह एक प्रमेय है कि वे बीजगणितीय संरचनाओं के लिए समतुल्य हैं; देखना अधिक जानकारी के लिए।

एक समारोह $$f$$ जो इंजेक्शन नहीं है उसे कभी-कभी अनेक-से-एक कहा जाता है।

परिभाषा


होने देना $$f$$ एक फ़ंक्शन बनें जिसका डोमेन एक सेट है $$X.$$ कार्यक्रम $$f$$ इंजेक्शन कहा जाता है बशर्ते कि सभी के लिए $$a$$ और $$b$$ में $$X,$$ अगर $$f(a) = f(b),$$ तब $$a = b$$; वह है, $$f(a) = f(b)$$ तात्पर्य $$a=b.$$ समान रूप से, यदि $$a \neq b,$$ तब $$f(a) \neq f(b)$$ कॉन्ट्रापोज़िशन कथन में।

प्रतीकात्मक रूप से,$$\forall a,b \in X, \;\; f(a)=f(b) \Rightarrow a=b,$$ जो तार्किक रूप से विरोधाभास के समतुल्य है, $$\forall a, b \in X, \;\; a \neq b \Rightarrow f(a) \neq f(b).$$

उदाहरण
दृश्य उदाहरणों के लिए, पाठकों को #गैलरी|गैलरी अनुभाग की ओर निर्देशित किया जाता है। अधिक सामान्यतः, जब $$X$$ और $$Y$$ दोनों वास्तविक रेखा हैं $$\R,$$ फिर एक इंजेक्शन फ़ंक्शन $$f : \R \to \R$$ वह है जिसका ग्राफ किसी भी क्षैतिज रेखा द्वारा एक से अधिक बार नहीं काटा जाता है। इस सिद्धांत को कहा जाता है.
 * किसी भी सेट के लिए $$X$$ और कोई उपसमुच्चय $$S \subseteq X,$$ समावेशन मानचित्र $$S \to X$$ (जो कोई तत्व भेजता है $$s \in S$$ स्वयं के लिए) इंजेक्शन है। विशेष रूप से, पहचान समारोह $$X \to X$$ हमेशा विशेषणात्मक (और वास्तव में विशेषणात्मक) होता है।
 * यदि किसी फ़ंक्शन का डोमेन खाली सेट है, तो फ़ंक्शन खाली फ़ंक्शन है, जो इंजेक्टिव है।
 * यदि किसी फ़ंक्शन के डोमेन में एक तत्व है (अर्थात, यह एक सिंगलटन सेट है), तो फ़ंक्शन हमेशा इंजेक्टिव होता है।
 * कार्यक्रम $$f : \R \to \R$$ द्वारा परिभाषित $$f(x) = 2 x + 1$$ इंजेक्शन है.
 * कार्यक्रम $$g : \R \to \R$$ द्वारा परिभाषित $$g(x) = x^2$$ है इंजेक्शन, क्योंकि (उदाहरण के लिए) $$g(1) = 1 = g(-1).$$ हालांकि, यदि $$g$$ को फिर से परिभाषित किया गया है ताकि इसका डोमेन गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्या हो [0,+∞), फिर $$g$$ इंजेक्शन है.
 * घातांकीय फलन $$\exp : \R \to \R$$ द्वारा परिभाषित $$\exp(x) = e^x$$ विशेषण है (लेकिन विशेषण नहीं, क्योंकि कोई भी वास्तविक मान ऋणात्मक संख्या से मेल नहीं खाता)।
 * प्राकृतिक लघुगणक फ़ंक्शन $$\ln : (0, \infty) \to \R$$ द्वारा परिभाषित $$x \mapsto \ln x$$ इंजेक्शन है.
 * कार्यक्रम $$g : \R \to \R$$ द्वारा परिभाषित $$g(x) = x^n - x$$ इंजेक्शन नहीं है, उदाहरण के लिए, $$g(0) = g(1) = 0.$$

इंजेक्शन पूर्ववत किए जा सकते हैं
व्युत्क्रम फलन#बाएँ और दाएँ व्युत्क्रम वाले फ़ंक्शन हमेशा इंजेक्शन होते हैं। अर्थात् दिया हुआ $$f : X \to Y,$$ यदि कोई फ़ंक्शन है $$g : Y \to X$$ ऐसा कि हर किसी के लिए $$x \in X$$, $$g(f(x)) = x$$, तब $$f$$ इंजेक्शन है. इस मामले में, $$g$$ का रिट्रेक्ट (श्रेणी सिद्धांत) कहा जाता है $$f.$$ इसके विपरीत, $$f$$ का रिट्रेक्ट (श्रेणी सिद्धांत) कहा जाता है $$g.$$ इसके विपरीत, हर इंजेक्शन $$f$$ एक गैर-रिक्त डोमेन के साथ बायाँ व्युत्क्रम होता है $$g$$. इसे एक तत्व चुनकर परिभाषित किया जा सकता है $$a$$ के क्षेत्र में $$f$$ और सेटिंग $$g(y)$$ पूर्व-छवि के अनूठे तत्व के लिए $$f^{-1}[y]$$ (यदि यह गैर-रिक्त है) या को $$a$$ (अन्यथा)।

बायां उलटा $$g$$ आवश्यक रूप से इसका व्युत्क्रम फलन नहीं है $$f,$$ क्योंकि दूसरे क्रम में रचना, $$f \circ g,$$ पर पहचान से भिन्न हो सकता है $$Y.$$ दूसरे शब्दों में, एक इंजेक्शन फ़ंक्शन को बाएं व्युत्क्रम द्वारा उलटा किया जा सकता है, लेकिन जरूरी नहीं कि यह व्युत्क्रम फ़ंक्शन हो, जिसके लिए आवश्यक है कि फ़ंक्शन विशेषण हो।

इंजेक्शन को उलटा बनाया जा सकता है
वास्तव में, एक इंजेक्शन फ़ंक्शन को चालू करने के लिए $$f : X \to Y$$ एक विशेषण (इसलिए उलटा) फ़ंक्शन में, यह इसके कोडोमेन को बदलने के लिए पर्याप्त है $$Y$$ इसकी वास्तविक सीमा से $$J = f(X).$$ यानी चलो $$g : X \to J$$ ऐसा है कि $$g(x) = f(x)$$ सभी के लिए $$x \in X$$; तब $$g$$ वस्तुनिष्ठ है. वास्तव में, $$f$$ के रूप में तथ्यांकित किया जा सकता है $$\operatorname{In}_{J,Y} \circ g,$$ कहाँ $$\operatorname{In}_{J,Y}$$ से समावेशन कार्य है $$J$$ में $$Y.$$ अधिक सामान्यतः, विशेषण आंशिक कार्यों को आंशिक आक्षेप कहा जाता है।

अन्य गुण
* अगर $$f$$ और $$g$$ तो फिर दोनों इंजेक्शन हैं $$f \circ g$$ इंजेक्शन है.
 * अगर $$g \circ f$$ तो, इंजेक्शन है $$f$$ इंजेक्शन है (लेकिन $$g$$ जरूरत नहीं है)।
 * $$f : X \to Y$$ इंजेक्शन है यदि और केवल यदि, कोई कार्य दिया गया हो $$g,$$ $$h : W \to X$$ जब कभी भी $$f \circ g = f \circ h,$$ तब $$g = h.$$ दूसरे शब्दों में, श्रेणी सिद्धांत श्रेणी के सेटों की श्रेणी में इंजेक्टिव फ़ंक्शन सटीक रूप से एकरूपता हैं।
 * अगर $$f : X \to Y$$ इंजेक्शन है और $$A$$ का एक उपसमुच्चय है $$X,$$ तब $$f^{-1}(f(A)) = A.$$ इस प्रकार, $$A$$ इसकी छवि (फ़ंक्शन) से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है $$f(A).$$
 * अगर $$f : X \to Y$$ इंजेक्शन है और $$A$$ और $$B$$ के दोनों उपसमुच्चय हैं $$X,$$ तब $$f(A \cap B) = f(A) \cap f(B).$$
 * हर समारोह $$h : W \to Y$$ के रूप में विघटित किया जा सकता है $$h = f \circ g$$ एक उपयुक्त इंजेक्शन के लिए $$f$$ और अनुमान $$g.$$ यह अपघटन समरूपता तक अद्वितीय है, और $$f$$ इसे श्रेणी के समावेशन कार्य के रूप में सोचा जा सकता है $$h(W)$$ का $$h$$ कोडोमेन के उपसमुच्चय के रूप में $$Y$$ का $$h.$$
 * अगर $$f : X \to Y$$ तो, एक इंजेक्शन फ़ंक्शन है $$Y$$ कम से कम उतने ही तत्व हैं $$X,$$ कार्डिनल संख्याओं के अर्थ में. विशेष रूप से, यदि, इसके अतिरिक्त, से एक इंजेक्शन है $$Y$$ को $$X,$$ तब $$X$$ और $$Y$$ एक ही कार्डिनल नंबर है. (इसे कैंटर-बर्नस्टीन-श्रोएडर प्रमेय के रूप में जाना जाता है।)
 * अगर दोनों $$X$$ और $$Y$$ तो, समान संख्या में तत्वों के साथ परिमित सेट हैं $$f : X \to Y$$ इंजेक्शन है यदि और केवल यदि $$f$$ विशेषण है (किस मामले में $$f$$ विशेषणात्मक है)।
 * एक इंजेक्शन फ़ंक्शन जो दो बीजगणितीय संरचनाओं के बीच एक समरूपता है, एक एम्बेडिंग है।
 * सस्पेक्टिविटी के विपरीत, जो किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ और उसके कोडोमेन के बीच एक संबंध है, इंजेक्टिविटी अकेले फ़ंक्शन के ग्राफ़ की एक संपत्ति है; अर्थात्, चाहे कोई फ़ंक्शन हो $$f$$ क्या इंजेक्शन का निर्णय केवल ग्राफ़ (और कोडोमेन नहीं) पर विचार करके किया जा सकता है $$f.$$

यह साबित करना कि फ़ंक्शन इंजेक्टिव हैं
एक प्रमाण कि एक फ़ंक्शन $$f$$ इंजेक्शन इस बात पर निर्भर करता है कि फ़ंक्शन को कैसे प्रस्तुत किया जाता है और फ़ंक्शन में क्या गुण हैं। किसी सूत्र द्वारा दिए गए कार्यों के लिए एक मूल विचार होता है। हम इंजेक्शन की परिभाषा का उपयोग करते हैं, अर्थात् यदि $$f(x) = f(y),$$ तब $$x = y.$$ यहाँ एक उदाहरण है: $$f(x) = 2 x + 3$$ प्रमाण: चलो $$f : X \to Y.$$ कल्पना करना $$f(x) = f(y).$$ इसलिए $$2 x + 3 = 2 y + 3$$ तात्पर्य $$2 x = 2 y,$$ जो ये दर्शाता हे $$x = y.$$ अत: परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि $$f$$ इंजेक्शन है.

यह साबित करने की कई अन्य विधियाँ हैं कि कोई फ़ंक्शन इंजेक्टिव है। उदाहरण के लिए, कैलकुलस में यदि $$f$$ किसी अंतराल पर परिभाषित एक अवकलनीय फलन है, तो यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि उस अंतराल पर व्युत्पन्न हमेशा सकारात्मक या हमेशा नकारात्मक होता है। रैखिक बीजगणित में, यदि $$f$$ एक रैखिक परिवर्तन है यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि कर्नेल $$f$$ केवल शून्य वेक्टर शामिल है। अगर $$f$$ यह परिमित डोमेन वाला एक फ़ंक्शन है, यह प्रत्येक डोमेन तत्व की छवियों की सूची को देखने और यह जांचने के लिए पर्याप्त है कि कोई भी छवि सूची में दो बार नहीं आती है।

वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन के लिए एक ग्राफिकल दृष्टिकोण $$f$$ एक वास्तविक चर का $$x$$ क्षैतिज रेखा परीक्षण है. यदि प्रत्येक क्षैतिज रेखा वक्र को प्रतिच्छेद करती है $$f(x)$$ फिर, अधिकतम एक बिंदु पर $$f$$ इंजेक्शन है या एक-से-एक।

संदर्भ

 * , p. 17 ff.
 * , p. 38 ff.

बाहरी संबंध

 * Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.
 * Khan Academy – Surjective (onto) and Injective (one-to-one) functions: Introduction to surjective and injective functions