कार्लिट्ज़ घातांक

गणित में, कार्लिट्ज़ घातांक वास्तविक विश्लेषण और जटिल विश्लेषण में अध्ययन किए गए सामान्य घातीय फ़ंक्शन का एक विशिष्ट पी एनालॉग है। इसका उपयोग कार्लित्ज़ मॉड्यूल की परिभाषा में किया जाता है - ड्रिनफेल्ड मॉड्यूल का एक उदाहरण।

परिभाषा
हम बहुपद वलय F पर काम करते हैंq[टी] एक परिमित क्षेत्र 'एफ' पर एक चर काq क्यू तत्वों के साथ. समापन (मीट्रिक स्थान) 'सी'∞ फ़ील्ड F के बीजगणितीय समापन काq((टी−1)) टी में औपचारिक लॉरेंट श्रृंखला का−1काम आएगा. यह एक पूर्ण और बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है।

सबसे पहले हमें भाज्य के एनालॉग्स की आवश्यकता है, जो सामान्य घातीय फ़ंक्शन की परिभाषा में दिखाई देते हैं। I > 0 के लिए हम परिभाषित करते हैं


 * $$[i] := T^{q^i} - T, \, $$
 * $$D_i := \prod_{1 \le j \le i} [j]^{q^{i - j}}$$

और डी0 := 1. ध्यान दें कि सामान्य फैक्टोरियल यहां अनुपयुक्त है, क्योंकि n! 'एफ' में गायब हो जाता हैq[टी] जब तक कि एन 'एफ' की विशेषता (बीजगणित) से छोटा न होq[टी]।

इसका उपयोग करके हम कार्लिट्ज़ एक्सपोनेंशियल ई को परिभाषित करते हैंC:सी∞→सी∞ अभिसरण योग द्वारा


 * $$e_C(x) := \sum_{i = 0}^\infty \frac{x^{q^i}}{D_i}.$$

कार्लित्ज़ मॉड्यूल से संबंध
कार्लिट्ज़ घातांक कार्यात्मक समीकरण को संतुष्ट करता है


 * $$e_C(Tx) = Te_C(x) + \left(e_C(x)\right)^q = (T + \tau)e_C(x), \, $$

जहां हम देख सकते हैं $$ \tau $$ की शक्ति के रूप में $$ q $$ मानचित्र या रिंग के एक तत्व के रूप में $$ F_q(T)\{\tau\} $$ असंक्रमणीय बहुपदों का. एक चर में बहुपद वलय की सार्वभौमिक संपत्ति से यह एक वलय समरूपता तक विस्तारित होता है ψ:'F'q[टी]→'सी'∞{τ}, ड्रिनफेल्ड 'एफ' को परिभाषित करते हुएq[टी]-'सी' पर मॉड्यूल∞{τ}. इसे कार्लिट्ज़ मॉड्यूल कहा जाता है।