जाली गैस ऑटोमेटन

लैटिस गैस ऑटोमेटा (एलजीसीए), या लैटिस गैस सेल्युलर ऑटोमेटा, एक प्रकार का सेलुलर ऑटोमेटन  है जिसका उपयोग द्रव प्रवाह को अनुकरण करने के लिए किया जाता है, जो एचपीपी मॉडल द्वारा अग्रणी है। वे जाली बोल्ट्ज़मैन विधियों के अग्रदूत थे। जाली गैस ऑटोमेटा से, मैक्रोस्कोपिक नेवियर-स्टोक्स समीकरण प्राप्त करना संभव है। 1990 के दशक की शुरुआत में लैटिस गैस ऑटोमेटन विधियों में रुचि कम हो गई, क्योंकि लैटिस बोल्ट्ज़मैन में रुचि बढ़ने लगी। हालाँकि, LGCA वैरिएंट, जिसे BIO-LGCA कहा जाता है, अभी भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है जीव विज्ञान में सामूहिक प्रवास का मॉडल तैयार करना।

बुनियादी सिद्धांत
एक सेलुलर ऑटोमेटन के रूप में, इन मॉडलों में एक जाली शामिल होती है, जहां जाली पर स्थित साइटें एक निश्चित संख्या में विभिन्न अवस्थाएं ले सकती हैं। जाली गैस में, विभिन्न अवस्थाएँ निश्चित वेग वाले कण होते हैं। अनुकरण का विकास अलग-अलग समय चरणों में किया जाता है। प्रत्येक समय चरण के बाद, किसी दिए गए साइट की स्थिति समय चरण से पहले, साइट और पड़ोसी साइटों की स्थिति से निर्धारित की जा सकती है।

प्रत्येक साइट पर स्थिति विशुद्ध रूप से बूलियन फ़ंक्शन है। किसी दिए गए स्थान पर, प्रत्येक दिशा में गति करने वाला एक कण या तो है या नहीं है।

प्रत्येक समय चरण में, दो प्रक्रियाएँ क्रियान्वित होती हैं, प्रसार और टकराव। प्रसार चरण में, प्रत्येक कण उस कण के वेग से निर्धारित पड़ोसी स्थल पर चला जाएगा। किसी भी टकराव को छोड़कर, ऊपर की ओर वेग वाला एक कण समय कदम के बाद उस वेग को बनाए रखेगा, लेकिन मूल साइट के ऊपर पड़ोसी साइट पर ले जाया जाएगा। तथाकथित बहिष्करण सिद्धांत दो या दो से अधिक कणों को एक ही लिंक पर एक ही दिशा में यात्रा करने से रोकता है।

टकराव चरण में, टकराव नियमों का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि यदि कई कण एक ही साइट पर पहुंचते हैं तो क्या होगा। बड़े पैमाने पर संरक्षण और संवेग के संरक्षण को बनाए रखने के लिए इन टकराव नियमों की आवश्यकता होती है; इन संरक्षण कानूनों को प्राप्त करने के लिए सेलुलर ऑटोमेटन को ब्लॉक करें मॉडल का उपयोग किया जा सकता है। ध्यान दें कि बहिष्करण सिद्धांत दो कणों को एक ही लिंक पर विपरीत दिशाओं में यात्रा करने से नहीं रोकता है; जब ऐसा होता है, तो दोनों कण बिना टकराए एक-दूसरे से आगे निकल जाते हैं।

वर्गाकार जाली के साथ प्रारंभिक प्रयास
1973 और 1976 में प्रकाशित पत्रों में, जीन हार्डी, यवेस पोमेउ और ओलिवियर डी पाज़िस ने पहला जाली बोल्ट्ज़मैन मॉडल पेश किया, जिसे लेखकों के बाद एचपीपी मॉडल कहा जाता है। एचपीपी मॉडल द्रव कण अंतःक्रिया का एक द्वि-आयामी मॉडल है। इस मॉडल में, जाली वर्गाकार है, और कण एक इकाई गति से अलग समय तक स्वतंत्र रूप से यात्रा करते हैं। कण उन चार स्थानों में से किसी भी स्थान पर जा सकते हैं जिनकी कोशिकाएँ एक साझा किनारा साझा करती हैं। कण तिरछे नहीं चल सकते।

यदि दो कण आमने-सामने टकराते हैं, उदाहरण के लिए बाईं ओर जाने वाला एक कण दाईं ओर जाने वाले कण से मिलता है, तो परिणाम यह होगा कि दो कण साइट को उस दिशा में समकोण पर छोड़ देंगे, जिस दिशा में वे आए थे। एचपीपी मॉडल में घूर्णी अपरिवर्तनीयता का अभाव था, जिसने मॉडल को अत्यधिक एनिसोट्रॉपिक बना दिया। उदाहरण के लिए, इसका मतलब यह है कि एचपीपी मॉडल द्वारा उत्पादित भंवर चौकोर आकार के होते हैं।

हेक्सागोनल ग्रिड
हेक्सागोनल ग्रिड मॉडल पहली बार 1986 में उरीएल फ्रिस्क, ब्रॉसल हस्लाचर और पोमेउ द्वारा एक पेपर में पेश किया गया था, और इसे इसके आविष्कारकों के बाद एफएचपी मॉडल के रूप में जाना जाता है। मॉडल में छह या सात वेग होते हैं, जो इस पर निर्भर करता है कि किस भिन्नता का उपयोग किया जाता है। किसी भी स्थिति में, छह वेग प्रत्येक पड़ोसी स्थल पर गति का प्रतिनिधित्व करते हैं। कुछ मॉडलों में (जिन्हें एफएचपी-II और एफएचपी-III कहा जाता है), विश्राम अवस्था में कणों का प्रतिनिधित्व करने वाला सातवां वेग पेश किया गया है। आराम की स्थिति में कण पड़ोसी स्थानों पर नहीं फैलते हैं, लेकिन वे अन्य कणों से टकराने में सक्षम होते हैं। FHP-III मॉडल सभी संभावित टकरावों की अनुमति देता है जो घनत्व और गति को संरक्षित करते हैं। टकरावों की संख्या बढ़ने से रेनॉल्ड्स संख्या बढ़ जाती है, इसलिए FHP-II और FHP-III मॉडल छह-स्पीड FHP-I मॉडल की तुलना में कम चिपचिपा प्रवाह अनुकरण कर सकते हैं। एफएचपी मॉडल का सरल अद्यतन नियम दो चरणों में आगे बढ़ता है, जिसे कण संख्या और गति को संरक्षित करने के लिए चुना जाता है। पहला है टकराव से निपटना। एफएचपी मॉडल में टकराव के नियम नियतात्मक नहीं हैं, कुछ इनपुट स्थितियां दो संभावित परिणाम उत्पन्न करती हैं, और जब ऐसा होता है, तो उनमें से एक को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। चूंकि पूरी तरह से कम्प्यूटेशनल माध्यमों से यादृच्छिक संख्या उत्पन्न करना संभव नहीं है, इसलिए आमतौर पर छद्म यादृच्छिकता प्रक्रिया को चुना जाता है। टकराव के चरण के बाद एक लिंक पर एक कण को ​​साइट छोड़ने के लिए माना जाता है। यदि किसी साइट पर दो कण आमने-सामने आते हैं, तो वे बिखर जाते हैं। गति को संरक्षित करने वाली दो संभावित आउटगोइंग दिशाओं के बीच एक यादृच्छिक विकल्प बनाया जाता है।

हेक्सागोनल ग्रिड उतनी बड़ी अनिसोट्रॉपी समस्याओं से ग्रस्त नहीं है जितनी एचपीपी वर्ग ग्रिड मॉडल को परेशान करने वाली समस्याओं से ग्रस्त हैं, एक भाग्यशाली तथ्य जो पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है, और जिसने फ्रिस्क को यह टिप्पणी करने के लिए प्रेरित किया कि समरूपता देवता परोपकारी हैं।

तीन आयाम
त्रि-आयामी ग्रिड के लिए, पूरे स्थान को भरने वाला एकमात्र नियमित बहुवचन   घनक्षेत्र  है, जबकि पर्याप्त रूप से बड़े समरूपता समूह के साथ एकमात्र नियमित पॉलीटोप द्वादशफ़लक और विंशतिफलक हैं (दूसरे अवरोध के बिना मॉडल को समान कमियों का सामना करना पड़ेगा) एचपीपी मॉडल)। एक ऐसा मॉडल बनाने के लिए जो तीन आयामों से निपटता है, इसलिए आयामों की संख्या में वृद्धि की आवश्यकता होती है, जैसे कि 1986 में डी'हुमिएरेस, लेलेमैंड और फ्रिस्क द्वारा मॉडल, जिसमें एक चेहरा-केंद्रित  अतिविम  मॉडल नियोजित किया गया था।

स्थूल मात्राएँ प्राप्त करना
किसी स्थल पर घनत्व प्रत्येक स्थल पर कणों की संख्या की गणना करके पाया जा सकता है। यदि कणों को सारांशित करने से पहले इकाई वेग से गुणा किया जाता है, तो कोई भी साइट पर गति प्राप्त कर सकता है। हालाँकि, अलग-अलग साइटों के लिए घनत्व, गति और वेग की गणना बड़ी मात्रा में शोर के अधीन है, और व्यवहार में, अधिक उचित परिणाम प्राप्त करने के लिए एक बड़े क्षेत्र का औसत निकाला जाएगा। सांख्यिकीय शोर को और कम करने के लिए अक्सर एन्सेम्बल औसत का उपयोग किया जाता है।

फायदे और नुकसान
जाली गैस मॉडल द्वारा रखी गई मुख्य संपत्ति यह है कि बूलियन राज्यों का मतलब है कि फ्लोटिंग-पॉइंट परिशुद्धता के कारण किसी भी राउंड-ऑफ त्रुटि के बिना सटीक कंप्यूटिंग होगी, और सेलुलर ऑटोमेटा सिस्टम समानांतर के साथ जाली गैस ऑटोमेटन सिमुलेशन चलाना संभव बनाता समानांतर कंप्यूटिंग. जाली गैस विधि के नुकसान में गैलीलियन अपरिवर्तनशीलता की कमी और सांख्यिकीय शोर शामिल हैं। एक अन्य समस्या त्रि-आयामी समस्याओं को संभालने के लिए मॉडल का विस्तार करने में कठिनाई है, ऐसे मुद्दों से निपटने के लिए पर्याप्त सममित ग्रिड बनाए रखने के लिए अधिक आयामों के उपयोग की आवश्यकता होती है।

जीव विज्ञान में एक मॉडल के रूप में
लैटिस-गैस सेलुलर ऑटोमेटा को अनुकूलित किया गया है और अभी भी जीव विज्ञान में सामूहिक प्रवासन के मॉडलिंग के लिए व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। जैविक एजेंटों की सक्रिय प्रकृति के साथ-साथ कोशिकाओं के चिपचिपे वातावरण के कारण, संवेग संरक्षण की आवश्यकता नहीं है। इसके अलावा, एजेंट मर सकते हैं या प्रजनन कर सकते हैं, इसलिए बड़े पैमाने पर संरक्षण भी अनुपस्थित हो सकता है। टकराव के चरण के दौरान, कण व्यक्तियों के बीच स्थानीय संपर्क का अनुकरण करते हुए, बोल्ट्ज़मैन वितरण के बाद स्टोकेस्टिक रूप से पुन: व्यवस्थित होते हैं।

संदर्भ

 * (Chapter 2 is about lattice gas Cellular Automata)
 * James Maxwell Buick (1997). Lattice Boltzmann Methods in Interfacial Wave Modelling. PhD Thesis, University of Edinburgh. (Chapter 3 is about the lattice gas model.) (archive.org) 2008-11-13

बाहरी संबंध

 * Master thesis (2000) – Details on programming and optimising the simulation of the FHP LGA
 * Master thesis (2010) - Implementation of FHP model in Nvidia CUDA technology.