कलन का मौलिक प्रमेय

कैलकुलस का मौलिक प्रमेय एक प्रमेय है जो किसी फलन के व्युत्पन्न की अवधारणा को जोड़ता है (इसकी ढलान की गणना, या प्रत्येक समय परिवर्तन की दर की गणना) को समाकलित फलन (इसके ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल की गणना, या संचयी) की अवधारणा से जोड़ता है। छोटे योगदान का प्रभाव) दो कार्यवाही स्थिर मान के अतिरिक्त एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं जो इस बात पर निर्भर करता है कि कोई क्षेत्र की गणना कहाँ से प्रारंभ करता है।

प्रमेय का पहला भाग, कैलकुलस का पहला मूलभूत प्रमेय, बताता है कि किसी फलन $f$ के लिए, प्रतिपक्षी या अनिश्चित समाकल के अभिन्न के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। $F$ चर ऊपरी सीमा के साथ अंतराल पर इसका तात्पर्य निरंतर कार्य के लिए प्रतिपक्षी के अस्तित्व से है।

इसके विपरीत, प्रमेय का दूसरा भाग, कैलकुलस का दूसरा मूलभूत प्रमेय, बताता है कि किसी फलन का समाकल $f$ निश्चित अंतराल पर (गणित) किसी भी प्रतिपक्षी के परिवर्तन के बराबर है $F$ अंतराल के सिरों के बीच यह निश्चित अभिन्न की गणना को बहुत सरल करता है, परंतु प्रतीकात्मक एकीकरण द्वारा प्रतिपक्षी पाया जा सकता है, इस प्रकार संख्यात्मक एकीकरण से बचा जा सकता है।

इतिहास
कैलकुलस का मौलिक प्रमेय विभेदीकरण और एकीकरण से संबंधित है, यह दर्शाता है कि ये दो संक्रियाएँ अनिवार्य रूप से एक दूसरे की व्युत्क्रम संक्रिया हैं। इस प्रमेय की खोज से पहले, यह मान्यता नहीं थी कि ये दोनों कार्यवाही से संबंधित थे। प्राचीन ग्रीक गणित जानता था कि अनंतता के माध्यम से क्षेत्र की गणना कैसे की जाती है, कार्यवाही जिसे अब हम एकीकरण कहते हैं। विभेदीकरण की उत्पत्ति इसी तरह कलन के मौलिक प्रमेय से सैकड़ों वर्ष पहले से हुई है; उदाहरण के लिए, चौदहवीं शताब्दी में ऑक्सफोर्ड कैलकुलेटर और अन्य विद्वानों द्वारा कार्यों और गति के निरंतर कार्य की धारणाओं का अध्ययन किया गया था। कैलकुलस के मौलिक प्रमेय की ऐतिहासिक प्रासंगिकता इन संक्रियाओं की गणना करने की क्षमता नहीं है, उचित रूप से यह अनुभव है कि दो प्रतीत होने वाले अलग-अलग संक्रियाएं (ज्यामितीय क्षेत्रों की गणना, और ढाल की गणना) वास्तव में निकट से संबंधित हैं।

कलन के मौलिक प्रमेय के अनुमान और प्रमाण से, एकीकरण और विभेदन के एकीकृत सिद्धांत के रूप में कलन की प्रारंभ होती है। मौलिक प्रमेय के प्रारंभिक रूप का पहला प्रकाशित बयान और प्रमाण, चरित्र में दृढ़ता से ज्यामितीय, जेम्स ग्रेगोरी (गणितज्ञ) (1638-1675) द्वारा किया गया था। इसहाक बैरो (1630-1677) ने प्रमेय का अधिक सामान्यीकृत संस्करण सिद्ध किया, जबकि उनके छात्र आइजैक न्यूटन (1642-1727) ने आसपास के गणितीय सिद्धांत के विकास को पूरा किया। गॉटफ्रीड लीबनिज (1646-1716) ने ज्ञान को अनंत मात्राओं के लिए कैलकुलस में व्यवस्थित किया और आज प्रयोग किए जाने वाले लीबनिज के अंकन को प्रस्तुत किया।

ज्यामितीय अर्थ
पहले मौलिक प्रमेय की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है। निरंतर कार्य $f(x)$ दिया गया है जिसका ग्राफ वक्र के रूप में प्लॉट किया गया है, संबंधित क्षेत्र फलन को परिभाषित करता है $$x\mapsto A(x)$$ ऐसा है कि $A(x)$ 0 और x के बीच वक्र के नीचे का क्षेत्र है $A(x + h) − A(x)$ सरलता से संगणनीय नहीं हो सकता है, लेकिन इसे अच्छी तरह से परिभाषित माना जाता है।

वक्र के नीचे का क्षेत्र $h$ और $y = f(x)$ के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात करके गणना की जा सकती है फिर बीच के क्षेत्र $A(x)$ और $h$ को घटाना दूसरे शब्दों में, इस पट्टी का क्षेत्रफल $A(x)$ होगा ।

इसी पट्टी के क्षेत्रफल का अनुमान लगाने का एक और विधि है। जैसा कि संलग्न चित्र में दिखाया गया है, आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए $x$ को $x + h$ से गुणा किया जाता है जो इस पट्टी के लगभग समान आकार का है। इसलिए: $$A(x+h)-A(x) \approx f(x) \cdot h$$ वास्तव में, यह अनुमान पूर्ण समानता बन जाता है यदि हम आरेख में लाल अतिरिक्त क्षेत्र जोड़ते हैं। इसलिए: $$A(x+h)-A(x)=f(x)\cdot h+\text{ (Excess)}$$ पुनर्व्यवस्थित शर्तें: $$f(x) = \frac{A(x+h)-A(x)}{h} - \frac{\text{Excess}}{h}.$$ जैसा $x$ पहुँचता है $0$ किसी फलन की सीमा में, अंतिम अंश शून्य पर जाना चाहिए। इसे देखने के लिए, ध्यान दें कि अतिरिक्त क्षेत्र छोटे काले-सीमा वाले आयत के अंदर है, जो अतिरिक्त क्षेत्र के लिए ऊपरी सीमा देता है:"\text{Excess}"जहाँ $$x+h_1$$ और $$x + h_2$$ वे बिंदु हैं $h$ अंतराल $h$ में क्रमशः अपने अधिकतम और न्यूनतम तक पहुँचता है $f$.

इस प्रकार: $$\left|f(x) - \frac{A(x+h) - A(x)}{h}\right| = \frac{|\text{Excess}|}{h} \le \frac{h(f(x+h_1) - f(x+h_2))}{h} = f(x{+}h_1) - f(x{+}h_2),$$$[x, x + h]$ की निरंतरता से $[x, x + h]$, दाहिने हाथ की अभिव्यक्ति शून्य हो जाती है जैसे $f$ करता है। इसलिए, बाईं ओर भी शून्य हो जाता है, और:

$$f(x) = \lim_{h\to 0}\frac{A(x+h)-A(x)}{h} \ \stackrel{\text{def}}{=}\ A'(x).$$ अर्थात्, क्षेत्र फलन का व्युत्पन्न $A(x + h) − A(x)$ उपस्थित है और मूल कार्य $f(x)$ के बराबर है, इसलिए क्षेत्र फलन मूल फलन का अवकलज है।

इस प्रकार, फलन (क्षेत्र) के अभिन्न अंग का व्युत्पन्न मूल कार्य है, इसलिए व्युत्पन्न और अभिन्न व्युत्क्रम कार्य हैं जो एक दूसरे को उल्टा करते हैं। यह मौलिक प्रमेय का सार है।

शारीरिक अंतर्ज्ञान
सहजता से, मौलिक प्रमेय में कहा गया है कि एकीकरण और भेदभाव अनिवार्य रूप से विपरीत संचालन हैं जो एक दूसरे को उलट देते हैं।

दूसरा मौलिक प्रमेय कहता है कि समय के साथ मात्रा में अपरिमेय परिवर्तनों का योग (मात्रा के व्युत्पन्न का अभिन्न अंग) मात्रा में शुद्ध परिवर्तन तक जुड़ जाता है। इसकी कल्पना करने के लिए, कार में यात्रा करने की कल्पना करें और तय की गई दूरी (राजमार्ग के साथ स्थिति में शुद्ध परिवर्तन) जानना चाहते हैं। आप स्पीडोमीटर पर वेग देख सकते हैं लेकिन अपना स्थान देखने के लिए बाहर नहीं देख सकते। प्रत्येक सेकेंड, आप यह पता लगा सकते हैं कि कार ने कितनी दूर की यात्रा की है। दूरी = गति × समय, वर्तमान गति (किलोमीटर या मील प्रति घंटे में) को समय अंतराल (1 सेकंड = $$\tfrac{1}{3600}$$ घंटा)। इन सभी छोटे कदमों का योग करके, आप कार से बाहर देखे बिना तय की गई कुल दूरी की गणना कर सकते हैं:$$\text{distance traveled} = \sum \left( \begin{array}{c} \text{velocity at}\\ \text{each time}\end{array}\right) \times \left( \begin{array}{c} \text{time}\\ \text{interval}\end{array}\right) = \sum v(t)\times \Delta t.$$जैसा $$\Delta t$$ इनफिनिटिमल छोटा हो जाता है, समाकलन इंटीग्रल के अनुरूप होता है। इस प्रकार, वेग फलन का अभिन्न अंग (स्थिति का व्युत्पन्न) गणना करता है कि कार ने कितनी दूर यात्रा की है (स्थिति में शुद्ध परिवर्तन)

पहला मौलिक प्रमेय कहता है कि कोई भी मात्रा निश्चित समय से चर समय तक मात्रा के अभिन्न अंग के परिवर्तन (व्युत्पन्न) की दर है। उपरोक्त उदाहरण को जारी रखते हुए, यदि आप वेग फलन की कल्पना करते हैं, तो आप इसे दूरी फलन प्राप्त करने के लिए प्रारंभी समय से किसी भी समय तक एकीकृत कर सकते हैं जिसका व्युत्पन्न दिया गया वेग है। (हाईवे-मार्कर स्थिति प्राप्त करने के लिए, आपको इस इंटीग्रल में अपनी प्रारंभिक स्थिति जोड़ने की आवश्यकता है।)

औपचारिक बयान
प्रमेय के दो भाग हैं। पहला भाग प्रतिपक्षी के व्युत्पन्न से संबंधित है, जबकि दूसरा भाग प्रतिपक्षी और निश्चित अभिन्न के बीच के संबंध से संबंधित है।

पहला भाग
इस भाग को कभी-कभी कलन की पहली मौलिक प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

मान लीजिये $f$ बंद अंतराल $h$ पर परिभाषित निरंतर वास्तविक-मूल्यवान कार्य हो $f$$[a, b]$ में सभी के लिए $F$ परिभाषित कार्य हो। $$F(x) = \int_a^x f(t)\, dt.$$ फिर समान रूप $0$ पर निरंतर है और खुले अंतराल $[a, b]$ पर अलग-अलग है, और $$F'(x) = f(x)$$ $x$ सभी $(a, b)$ के लिए $(a, b)$, $x$ का अवकलज है।

परिणाम
किसी फलन के निश्चित समाकल की गणना करने के लिए मूलभूत प्रमेय का प्रयोग अधिकांशतः किया जाता है $$f$$ जिसके लिए प्रतिपक्षी ज्ञात है। विशेष रूप से, अगर $$f$$ पर एक वास्तविक-मूल्यवान सतत फलन है $$[a,b]$$ और $$F$$ का प्रतिपक्षी है $$f$$ में $$[a,b]$$ तब $$\int_a^b f(t)\, dt = F(b)-F(a).$$ उपप्रमेय पूरे अंतराल पर सतत कार्य मानता है। इस परिणाम को प्रमेय के अगले भाग में थोड़ा सा पुष्ट किया गया है।

दूसरा भाग
इस भाग को कभी-कभी कलन न्यूटन-लीबनिज अभिगृहीत की दूसरी मौलिक प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

तब $$f$$ बंद अंतराल पर वास्तविक-मूल्यवान फलन और $$F$$ सतत कार्य प्रारंभ है $$[a,b]$$ जो कि प्रतिकूल है $$f$$ में $$(a,b)$$: $$F'(x) = f(x).$$ अगर $$f$$ रीमैन इंटीग्रेबल ऑन है $$[a,b]$$ तब $$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a).$$ दूसरा भाग उपप्रमेय से कुछ सीमा तक मजबूत है क्योंकि यह ऐसा नहीं मानता है $$f$$ निरंतर है।

जब विरोधी $$F$$ का $$f$$ उपस्थित है, तो इसके लिए असीम रूप से कई प्रतिपक्षी हैं मनमाना स्थिरांक जोड़कर प्राप्त किया. साथ ही, प्रमेय के पहले भाग द्वारा, के प्रतिअवकलज $$f$$ हमेशा उपस्थित जब $$f$$ निरंतर है।

पहले भाग का प्रमाण
किसी दिए गए फलन के लिए $A(x)$, फलन को परिभाषित करें $f(x)$ जैसा $$F(x) = \int_a^x f(t) \,dt.$$ किन्हीं दो नंबरों के लिए $[a, b]$ और $f$ में $F$, अपने पास

$$\begin{align}F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) &= \int_a^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt - \int_a^{x_1} f(t) \,dt \\& =\int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt, \end{align}$$ इंटीग्रल के मूल गुणों और क्षेत्रों की योगात्मकता के परिणामस्वरूप बाद की समानता।

औसत मूल्य प्रमेय के अनुसार निश्चित इंटीग्रल के लिए पहला औसत मूल्य प्रमेय, वास्तविक संख्या उपस्थित है $$c \in [x_1, x_1 + \Delta x]$$ ऐसा है कि $$\int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt = f(c)\cdot \Delta x.$$ यह इस प्रकार है कि $$F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = f(c)\cdot \Delta x,$$ और इस प्रकार वह $$\frac{F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = f(c).$$ सीमा के रूप में लेना $$\Delta x \to 0,$$ और इसे ध्यान में रखते हुए $$c \in [x_1, x_1 + \Delta x],$$ मिलता है $$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} f(c), $$ वह है, $$F'(x_1) = f(x_1),$$ व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार, की निरंतरता $f$, और निचोड़ प्रमेय।

प्रमेय का प्रमाण
कल्पना करना $[a, b]$ का अवकलज है $f$, साथ $F$ लगातार $f$. होने देना $$G(x) = \int_a^x f(t)\, dt.$$ प्रमेय के पहले भाग से, हम जानते हैं $f$ का भी प्रतिपक्षी है $[a, b]$. तब से $F(x)$ औसत मूल्य प्रमेय का तात्पर्य है $x_{1}$ स्थिर कार्य है, अर्थात एक संख्या है $G$ ऐसा है कि $x_{1} + Δx$ सभी के लिए $f$ में $c$. दे $F′ − G′ = 0$, अपने पास $$F(a) + c = G(a) = \int_a^a f(t)\, dt = 0,$$ अर्थात् $F − G$. दूसरे शब्दों में, $G(x) = F(x)&thinsp;+&thinsp;c$, इसलिए $$\int_a^b f(x)\, dx = G(b) = F(b) - F(a).$$

दूसरे भाग का प्रमाण
यह रीमैन इंटीग्रल द्वारा सीमा प्रमाण है।

आरंभ करने के लिए, हम माध्य मान प्रमेय को याद करते हैं। संक्षेप में कहा गया है, अगर $x$ बंद अंतराल पर निरंतर है $[a, b]$ और खुले अंतराल पर अलग-अलग $F$, तो कुछ उपस्थित है $[a, b]$ में $(a, b)$ ऐसा है कि $$F'(c)(b - a) = F(b) - F(a). $$ होने देना $c$ हो (रीमैन) अंतराल पर पूर्णांक $(a, b)$, और जाने $f$ प्रतिपक्षी स्वीकार करें $[a, b]$ पर $f$ ऐसा है कि $F$ लगातार प्रारंभ है $(a, b)$. मात्रा से प्रारंभ करें $x = a$. नंबर होने दो $c = −F(a)$ ऐसा है कि $$a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b. $$ यह इस प्रकार है कि $$F(b) - F(a) = F(x_n) - F(x_0). $$ अब, हम प्रत्येक को जोड़ते हैं $G(x) = F(x) − F(a)$ इसके योगात्मक व्युत्क्रम के साथ, ताकि परिणामी मात्रा बराबर हो: $$\begin{align} F(b) - F(a) &= F(x_n) + [-F(x_{n-1}) + F(x_{n-1})] + \cdots + [-F(x_1) + F(x_1)] - F(x_0) \\ &= [F(x_n) - F(x_{n-1})] + [F(x_{n-1}) - F(x_{n-2})] + \cdots + [F(x_2) - F(x_1)] + [F(x_1) - F(x_0)]. \end{align}$$ उपरोक्त मात्रा को निम्न योग के रूप में लिखा जा सकता है:

फलन $F$ अंतराल पर अवकलनीय है $[a, b]$ और बंद अंतराल पर निरंतर $$; इसलिए, यह भी प्रत्येक अंतराल पर अवकलनीय है $F$ और प्रत्येक अंतराल पर निरंतर $(a, b)$. औसत मूल्य प्रमेय (ऊपर) के अनुसार, प्रत्येक के लिए $[a, b]$ वहाँ एक उपस्थित है $$c_i$$ में $(x_{i−1}, x_{i})$ ऐसा है कि $$F(x_i) - F(x_{i-1}) = F'(c_i)(x_i - x_{i-1}). $$ उपरोक्त को प्रतिस्थापित करना ($[x_{i−1}, x_{i}]$), हम पाते हैं $$F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n [F'(c_i)(x_i - x_{i-1})].$$ धारणा का तात्पर्य है $$F'(c_i) = f(c_i).$$ भी, $$x_i - x_{i-1}$$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$\Delta x$$ विभाजन का $$i$$.

हम आयत के क्षेत्रफल का वर्णन कर रहे हैं, चौड़ाई गुणा ऊंचाई के साथ, और हम क्षेत्रों को एक साथ जोड़ रहे हैं। प्रत्येक आयत, औसत मूल्य प्रमेय के आधार पर, उस वक्र खंड के सन्निकटन का वर्णन करता है जिस पर इसे खींचा गया है। भी $$\Delta x_i$$ के सभी मानों के लिए समान नहीं होना चाहिए $i$, या दूसरे शब्दों में कहें कि आयतों की चौड़ाई अलग-अलग हो सकती है। हमें जो करना है वह वक्र के साथ अनुमानित है $(x_{i−1}, x_{i})$ आयतें। अब, जैसे-जैसे विभाजन का आकार छोटा होता जाता है और $$ बढ़ता है, जिसके परिणामस्वरूप अंतरिक्ष को कवर करने के लिए और अधिक विभाजन होते हैं, हम वक्र के वास्तविक क्षेत्र के और समीप आते जाते हैं।

अभिव्यक्ति की सीमा लेने से जैसे-जैसे विभाजन का मानदंड शून्य के करीब पहुंचता है, हम रीमैन इंटीग्रल पर पहुंचते हैं। हम जानते हैं कि यह सीमा उपस्थित है क्योंकि $$ को पूर्णांक माना गया था। अर्थात्, हम सीमा लेते हैं क्योंकि सबसे बड़ा विभाजन आकार में शून्य तक पहुंचता है, ताकि अन्य सभी विभाजन छोटे हों और विभाजनों की संख्या अनंत तक पहुंच जाए।

इसलिए, हम दोनों पक्षों की सीमा लेते हैं ($i$). यह हमें देता है $$\lim_{\| \Delta x_i \| \to 0} F(b) - F(a) = \lim_{\| \Delta x_i \| \to 0} \sum_{i=1}^n [f(c_i)(\Delta x_i)].$$ कोई भी नहीं $F(b) − F(a)$ और न $x_{1}, ..., x_{n}$ पर निर्भर है $$\|\Delta x_i\|$$, इसलिए बाईं ओर की सीमा बनी रहती है $F(x_{i})$. $$F(b) - F(a) = \lim_{\| \Delta x_i \| \to 0} \sum_{i=1}^n [f(c_i)(\Delta x_i)].$$ समीकरण के दाईं ओर का व्यंजक समाकल ओवर को परिभाषित करता है $n$ से $n$ को $f$. इसलिए, हम प्राप्त करते हैं $$F(b) - F(a) = \int_a^b f(x)\,dx,$$ जो प्रमाण को पूरा करता है।

भागों के बीच संबंध
जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, दूसरे भाग का थोड़ा कमजोर संस्करण पहले भाग से आता है।

इसी तरह, यह लगभग ऐसा लगता है जैसे प्रमेय का पहला भाग सीधे दूसरे से आता है। यानी मान लीजिए $$ का अवकलज है $f$. फिर दूसरे प्रमेय द्वारा, $G(x) - G(a) = \int_a^x f(t) \, dt$. अब, मान लीजिए $F(x) = \int_a^x f(t)\, dt = G(x) - G(a)$. तब $a$ के समान व्युत्पन्न है $b$, और इसलिए $F(b)$. चूंकि, यह तर्क तभी काम करता है, जब हम पहले से ही यह जानते हों $G$ में प्रतिपक्षी है, और एकमात्र विधि है कि हम जानते हैं कि सभी निरंतर कार्यों में प्रतिपक्षी हैं, जो कि मौलिक प्रमेय के पहले भाग से है। उदाहरण के लिए, अगर $F(a)$, तब $f$ में प्रतिपक्षी है, अर्थात् $$G(x) = \int_0^x f(t) \, dt$$ और इस फलन के लिए कोई सरल अभिव्यक्ति नहीं है। इसलिए यह महत्वपूर्ण है कि प्रमेय के दूसरे भाग की व्याख्या समाकलन की परिभाषा के रूप में न की जाए। वास्तव में, कई गैर-प्राथमिक अभिन्न हैं, और असंतुलित कार्य पूर्णांक हो सकते हैं, लेकिन किसी भी प्रतिपक्षी की कमी है। इसके विपरीत, कई कार्य जिनमें एंटीडेरिवेटिव होते हैं, रीमैन इंटेग्रेबल नहीं होते हैं (देखें वोल्टेरा का कार्य)।

विशेष अभिन्न कंप्यूटिंग
मान लीजिए निम्नलिखित की गणना की जानी है: $$\int_2^5 x^2\, dx. $$ यहाँ, $$f(x) = x^2 $$ और हम उपयोग कर सकते हैं $F(x) = \frac{1}{3}x^3 $ प्रतिपक्षी के रूप में। इसलिए: $$\int_2^5 x^2\, dx = F(5) - F(2) = \frac{5^3}{3} - \frac{2^3}{3} = \frac{125}{3} - \frac{8}{3} = \frac{117}{3} = 39.$$

पहले भाग का प्रयोग
कल्पना करना $$ \frac{d}{dx} \int_0^x t^3\, dt $$ गणना की जानी है। के साथ प्रमेय के पहले भाग का उपयोग करना $$f(t) = t^3 $$ देता है $$ \frac{d}{dx} \int_0^x t^3\, dt = f(x)= x^3. $$ ध्यान दें कि इसे प्रमेय के दूसरे भाग का उपयोग करके भी जाँचा जा सकता है। विशेष रूप से, $F(t) = \frac{1}{4}t^4 $ का प्रतिपक्षी है $$f(t)$$, इसलिए $$ \frac{d}{dx} \int_0^x t^3\, dt = \frac{d}{dx} F(x) - \frac{d}{dx} F(0) = \frac{d}{dx} \frac{x^4}{4} = x^3. $$

एक अभिन्न जहां उपप्रमेय अपर्याप्त है
कल्पना करना $$ f(x)=\begin{cases} \sin\left(\frac1x\right)-\frac1x\cos\left(\frac1x\right) & x\ne0\\ 0 & x=0\\ \end{cases} $$ तब $$f(x)$$ शून्य पर सतत नहीं है। इसके अतिरिक्त, यह सिर्फ कैसे की बात नहीं है $$f$$ शून्य पर परिभाषित किया गया है, क्योंकि सीमा के रूप में $$x\to0$$ का $$f(x)$$ उपस्थित नहीं होना। इसलिए, परिणाम की गणना करने के लिए उपयोग नहीं किया जा सकता है $$ \int_0^1 f(x)\, dx. $$ लेकिन फलन पर विचार करें $$ F(x)=\begin{cases} x\sin\left(\frac1x\right) & x\ne0\\ 0 & x=0.\\ \end{cases} $$ नोटिस जो $$F(x)$$ निरंतर प्रारंभ है $$[0,1]$$ (निचोड़ प्रमेय द्वारा शून्य सहित), और $$F(x)$$ पर अवकलनीय है $$(0,1)$$ साथ $$F'(x)=f(x).$$ इसलिए, प्रमेय का भाग दो प्रयुक्त होता है, और $$ \int_0^1 f(x)\, dx=F(1)-F(0)=\sin(1). $$

सैद्धांतिक उदाहरण
इसे सिद्ध करने के लिए प्रमेय का उपयोग किया जा सकता है $$\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx+\int_c^b f(x) dx.$$ तब से, $$ \begin{align} \int_a^b f(x) dx &= F(b)-F(a), \\ \int_a^c f(x) dx &= F(c)-F(a), \text{ and } \\ \int_c^b f(x) dx &= F(b)-F(c), \end{align}$$ परिणाम इस प्रकार है, $$F(b)-F(a) = F(c)-F(a)+F(b)-F(c).$$

सामान्यीकरण
फलन $F$ पूरे अंतराल में निरंतर नहीं होना चाहिए। प्रमेय का भाग I तब कहता है: यदि $G$ कोई भी लेबेस्ग इंटीग्रेशन फलन प्रारंभ है $f$ और $F(b) − F(a)$ में एक संख्या है $f$ ऐसा है कि $f$ पर निरंतर $F′ = f$ है, तब $$F(x) = \int_a^x f(t)\, dt$$ के लिए अवकलनीय है $f(x) = e^{−x^{2}}|undefined$ साथ $x_{0}$. हम शर्तों में ढील दे सकते हैं $f$ अभी भी और मान लीजिए कि यह केवल स्थानीय रूप से पूर्णांक है। उस स्थिति में, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि function $[a, b]$ लगभग हर जगह अलग-अलग है और $x_{0}$ लगभग हर जगह। वास्तविक रेखा पर यह कथन लेबेस्ग विभेदन प्रमेय | लेबेस्ग की विभेदन प्रमेय के समतुल्य है। ये परिणाम हेनस्टॉक-कुर्जवील इंटीग्रल के लिए सही रहते हैं, जो बड़े वर्ग के पूर्णांक कार्यों की अनुमति देता है।

उच्च आयामों में लेबेस्ग की विभेदन प्रमेय कैलकुलस के मौलिक प्रमेय को यह कहते हुए सामान्यीकृत करती है कि लगभग प्रत्येक के लिए $[a, b]$, फलन का औसत मूल्य $f$ त्रिज्या की गेंद पर $f$ पर केंद्रित है $F$ आदत है $x = x_{0}$ जैसा $x$ 0 की ओर जाता है।

प्रमेय का भाग II किसी भी लेबेस्ग पूर्णांकीय फलन के लिए सत्य है $f$, जिसमें प्रतिपक्षी है $r$ (चूंकि, सभी पूर्णांक कार्य नहीं करते हैं)। दूसरे शब्दों में, यदि एक वास्तविक कार्य $x$ पर $r$ व्युत्पन्न स्वीकार करता है $F′(x_{0}) = f(x_{0})$ हर बिंदु पर $f$ का $F$ और यदि यह व्युत्पन्न है $F$ लेबेस्ग पर पूर्णांक है $[a, b]$, तब $$F(b) - F(a) = \int_a^b f(t) \, dt.$$ यह परिणाम निरंतर कार्यों के लिए विफल हो सकता है $x$ जो व्युत्पन्न स्वीकार करते हैं $F′(x) = f(x)$ लगभग हर बिंदु पर $[a, b]$, जैसा कि कैंटर फलन का उदाहरण दिखाता है। चूंकि, यदि $f$ पूर्ण निरंतरता है, यह व्युत्पन्न स्वीकार करता है $f(x)$ लगभग हर बिंदु पर $[a, b]$, और इसके अतिरिक्त $F$ पूर्णांक है, साथ $f(x)$ के अभिन्न के बराबर $x$ पर $F$. इसके विपरीत यदि $x$ तब कोई पूर्णांक कार्य है $F′$ जैसा कि पहले सूत्र में दिया गया है, के साथ पूर्णतः सतत होगा $f(x)$ लगभग हर जगह होगा।

इस प्रमेय की शर्तों को फिर से हेनस्टॉक-कुर्जवील इंटीग्रल के रूप में शामिल इंटीग्रल पर विचार करके आराम दिया जा सकता है। विशेष रूप से, यदि सतत कार्य $F′(x)$ व्युत्पन्न स्वीकार करता है $F(b) − F(a)$ बिल्कुल, लेकिन फिर गिनती के कई बिंदु $F′ = f$ हेनस्टॉक-कुर्ज़वील पूर्णांक है और $F(x)$ के अभिन्न के बराबर है $F′$ पर $[a, b]$. यहाँ अंतर यह है कि की अभिन्नता $f$ ग्रहण करने की आवश्यकता नहीं है।

टेलर के प्रमेय का संस्करण, जो त्रुटि शब्द को अभिन्न के रूप में व्यक्त करता है, को मौलिक प्रमेय के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है।

जटिल संख्या कार्यों के लिए प्रमेय का संस्करण है: मान लीजिए $F$ खुला सम्मुचय है और $f(x)$ एक ऐसा कार्य है जिसमें एक होलोमॉर्फिक फलन एंटीडेरिवेटिव है $f$ पर $[a, b]$. फिर हर वक्र के लिए $f(x)$, वक्र समाकलन की गणना इस रूप में की जा सकती है $$\int_\gamma f(z) \,dz = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)).$$ मौलिक प्रमेय को उच्च आयामों और कई गुना में वक्र और सतह के अभिन्न अंग के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। गतिमान सतहों की कलन द्वारा प्रस्तुत किया गया ऐसा ही एक सामान्यीकरण इंटीग्रल का समय विकास है। उच्च आयामों में कलन के मौलिक प्रमेय के सबसे परिचित विस्तार विचलन प्रमेय और ढाल प्रमेय हैं।

इस दिशा में सबसे शक्तिशाली सामान्यीकरणों में से एक है सामान्यीकृत स्टोक्स प्रमेय | स्टोक्स प्रमेय (कभी-कभी बहुभिन्नरूपी कैलकुलस के मौलिक प्रमेय के रूप में जाना जाता है): होने देना $f$ एक उन्मुख टुकड़े-टुकड़े आयाम का असीम रूप से अलग-अलग हो $U$ और जाने $$\omega$$ एक सुगठित रूप से समर्थित विभेदक रूप बनें$F(b) − F(a)$-फॉर्म ऑन $F$. अगर $f : U → C$ के कई गुना को दर्शाता है $U$ इसके प्रेरित ओरिएंटेशन (गणित) को देखते हुए $$\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega.$$ यहाँ $γ : [a, b] → U$ बाहरी व्युत्पन्न है, जिसे केवल कई गुना संरचना का उपयोग करके परिभाषित किया गया है।

प्रमेय का प्रयोग अधिकांशतः उन स्थितियों में किया जाता है जहां $M$ कुछ बड़े कई गुना (उदा। $(n&thinsp;−&thinsp;1)$) जिस पर प्रपत्र $$\omega$$ परिभाषित किया गया।

कैलकुलस का मौलिक प्रमेय हमें एक निश्चित समाकलन को पहले क्रम के साधारण अंतर समीकरण के रूप में प्रस्तुत करने की अनुमति देता है। $$\int_a^b f(x)\, dx$$ के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है $$\frac{dy}{dx}=f(x),\;\; y(a)=0 $$ साथ $$y(b)$$ अभिन्न के मूल्य के रूप में।

यह भी देखें

 * अभिन्न चिह्न के तहत भेदभाव
 * टेलीस्कोपिंग श्रृंखला
 * ढाल प्रमेय
 * विभेदीकरण के लिए संकेतन

अग्रिम पठन

 * Malet, A., Studies on James Gregorie (1638-1675) (PhD Thesis, Princeton, 1989).
 * Hernandez Rodriguez, O. A.; Lopez Fernandez, J. M. . "Teaching the Fundamental Theorem of Calculus: A Historical Reflection", Loci: Convergence (MAA), January 2012.
 * Malet, A., Studies on James Gregorie (1638-1675) (PhD Thesis, Princeton, 1989).
 * Hernandez Rodriguez, O. A.; Lopez Fernandez, J. M. . "Teaching the Fundamental Theorem of Calculus: A Historical Reflection", Loci: Convergence (MAA), January 2012.

बाहरी संबंध

 * James Gregory's Euclidean Proof of the Fundamental Theorem of Calculus at Convergence
 * Isaac Barrow's proof of the Fundamental Theorem of Calculus
 * Fundamental Theorem of Calculus at imomath.com
 * Alternative proof of the fundamental theorem of calculus
 * Fundamental Theorem of Calculus MIT.
 * Fundamental Theorem of Calculus Mathworld.
 * Fundamental Theorem of Calculus Mathworld.