त्रिकोणीय संख्या

एक त्रिकोणीय संख्या या त्रिभुज संख्या एक समबाहु त्रिभुज में व्यवस्थित वस्तुओं की गणना करती है। त्रिकोणीय संख्या एक प्रकार की प्रतीकात्मक संख्या है, $n$ वीं त्रिकोणीय संख्या त्रिकोणीय व्यवस्था में बिन्दुओं की संख्या है जिसमें प्रत्येक पक्ष पर $n$ बिंन्दु हैं, और $1 से n तक n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के बराबर है। त्रिभुज संख्याओं का क्रम, जो  $0$वीं त्रिभुज संख्या से प्रारंभ होता है,संख्याओं का पूर्णांक अनुक्रम है-

(यह क्रम पूर्णांक अनुक्रमों के ऑन-लाइन विश्वकोश में सम्मिलित है .)

सूत्र
त्रिकोणीय संख्याएं निम्नलिखित स्पष्ट सूत्रों द्वारा दी गई हैं: $$ T_n= \sum_{k=1}^n k = 1+2+3+ \dotsb +n = \frac{n(n+1)}{2} = {n+1 \choose 2} ,$$ जहाँ पर $$\textstyle {n+1 \choose 2}$$ द्विपद गुणांक है। यह अलग-अलग युग्मों की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है जिन्हें $n + 1$ वस्तुओ से चुना जा सकता है, और इसे $n$ प्लस वन चूज टू से पढ़ा जाता है।

दृश्य प्रमाण का उपयोग करके पहले समीकरण को चित्रित किया जा सकता है। प्रत्येक त्रिकोणीय संख्या के लिए $$T_n$$, त्रिकोणीय संख्या के अनुरूप वस्तुओं की एक अर्ध-वर्ग व्यवस्था की कल्पना करें, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में है। इस व्यवस्था का अनुकरण करना और एक आयताकार आकृति बनाने के लिए इसे घुमाना वस्तुओं की संख्या को दोगुना कर देता है, $$n \times (n+1)$$ आयामों के साथ एक आयत का निर्माण करता है, जो आयत में वस्तुओं की संख्या भी है। स्पष्ट रूप से, त्रिकोणीय संख्या स्वयं सदैव ऐसी आकृति में वस्तुओं की संख्या का आधा होता है, या -

$$T_n = \frac{n(n+1)}{2} $$

उदाहरण $$T_4$$ इस प्रकार है:

गणितीय आगमन का उपयोग करके इस सूत्र को औपचारिक रूप से सिद्ध किया जा सकता है। यह 1 के लिए स्पष्ट रूप से सत्य है-$$T_1 = \sum_{k=1}^{1}k = \frac{1(1 + 1)}{2} = \frac{2}{2} = 1.$$

अब मान लें कि, किसी प्राकृत संख्या m के लिए $$T_m=\sum_{k=1}^m= \frac{m(m+1)}{2}$$

इसमें (m+1) जोड़ने पर-

$$ \begin{align} \sum_{k=1}^{m}k + (m + 1) &= \frac{m(m + 1)}{2} + m + 1\\ &= \frac{m(m + 1) + 2m + 2}{2}\\ &= \frac{m^2 + m + 2m + 2}{2}\\ &= \frac{m^2 + 3m + 2}{2}\\ &= \frac{(m + 1)(m + 2)}{2}, \end{align} $$ इसलिए यदि $$m$$ के लिए सत्य है तो यह $$m+1$$ के लिए भी सत्य है चूंकि यह $$1$$ के लिए स्पष्ट रूप से सच है, इसलिए यह समीकरण $$2$$, $$3$$ और अंततः सभी प्राकृतिक संख्याएँ $$n$$ के लिए सत्य है।

कहा जाता है कि जर्मन गणितज्ञ और वैज्ञानिक, कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने अपनी प्रारंभिक अवस्था में $n + 1$  जोड़ी के संख्याओं के मूल्यों के योग में  n /2  का गुणा करके इस संबंध को पाया था हालांकि, इस कहानी की सच्चाई की परवाह किए बिना, गॉस इस सूत्र की खोज करने वाले पहले व्यक्ति नहीं थे, और कुछ लोगों को यह संभावना है कि इसकी उत्पत्ति 5 वीं शताब्दी ईसा पूर्व में पाइथागोरस में हुई थी। दो सूत्रों का वर्णन आयरिश भिक्षु डिकुइल ने अपने कम्प्यूटर्स में लगभग 816 में किया था। डिकुइल के खाते का अंग्रेजी अनुवाद उपलब्ध है।

त्रिकोणीय संख्या $T_{n}$ हाथ मिलाने की संख्या को गिनने की समस्या को हल करता है यदि प्रत्येक व्यक्ति के साथ एक कमरे में $n + 1$ लोग प्रत्येक व्यक्ति से एक बार हाथ मिलाते हैं। दूसरे शब्दों में, n लोगो के हाथ मिलाने की समस्या का समाधान $T_{n−1}$ है। फलन $T$ भाज्य फलन का योगात्मक समरूप है, जो 1 से $n$ तक के पूर्णांकों का गुणनफल है।

त्रिभुज में बिंदुओं के निकटतम युग्मों के बीच रेखा खंडों की संख्या को बिंदुओं की संख्या या पुनरावृत्ति संबंध के रूप में दर्शाया जा सकता है: $$L_n = 3 T_{n-1}= 3{n \choose 2};L_n = L_{n-1} + 3(n-1), ~L_1 = 0.$$ एक अनुक्रम की सीमा में, दो संख्याओं, बिंदुओं और रेखाखंडों के बीच का अनुपात है- $$\lim_{n\to\infty} \frac{T_n}{L_n} = \frac{1}{3}.$$

अन्य आकृति संख्याओं से संबंध
त्रिकोणीय संख्याओं में अन्य आलंकारिक संख्याओं के साथ व्यापक संबंध होते हैं।

सबसे सरल रूप से, दो लगातार त्रिकोणीय संख्याओं का योग एक वर्ग संख्या है, जिसमें योग दोनों के बीच के अंतर का वर्ग होता है (और इस प्रकार दोनों का अंतर योग का वर्गमूल होता है)। बीजगणितीय रूप से,
 * $$T_n + T_{n-1} = \left (\frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}\right) + \left(\frac{\left(n-1\right)^2}{2} + \frac{n-1}{2} \right ) = \left (\frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}\right) + \left(\frac{n^2}{2} - \frac{n}{2} \right ) = n^2 = (T_n - T_{n-1})^2.$$

एक वर्ग बनाने के लिए त्रिभुजों को विपरीत दिशाओं में रखकर इस तथ्य को ग्राफिक रूप से प्रदर्शित किया जा सकता है:

त्रिकोणीय संख्या का दोगुना, जैसा कि उपरोक्त खंड में से दृश्य प्रमाण में है, सर्वनाम संख्या कहलाती है।

अपरिमित रूप से अनेक त्रिभुज संख्याएँ हैं जो वर्ग संख्याएँ भी हैं। उदाहरण के लिए 1, 36, 1225। उनमें से कुछ एक सरल पुनरावर्ती सूत्र द्वारा उत्पन्न किए जा सकते हैं: $$S_{n+1} = 4S_n \left( 8S_n + 1\right)$$ तथा $$S_1 = 1.$$ सभी वर्ग त्रिकोणीय संख्याएँ पुनरावर्तन से पाई जाती हैं- $$S_n = 34S_{n-1} - S_{n-2} + 2$$ साथ $$S_0 = 0$$ तथा $$S_1 = 1.$$

साथ ही, nवीं त्रिभुजाकार संख्या का वर्ग 1 से n तक के पूर्णांकों के घनों के योग के बराबर होता है। इसे इस रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है-
 * $$ \sum_{k=1}^n k^3 = \left(\sum_{k=1}^n k \right)^2.$$

प्रथम n त्रिकोणीय संख्याओं का योग nवीं चतुष्फलकीय संख्या है- $$ \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2} = \frac {n(n+1)(n+2)} {6}.$$ अधिक सामान्यतः nवें m-गोनल संख्या और nवें (m + 1)-गोनल संख्या के बीच का अंतर (n − 1)वीं त्रिकोणीय संख्या है। उदाहरण के लिए, छठी षट्कोणीय संख्या (81) घटाव छठी षट्कोणीय संख्या (66) पांचवीं त्रिकोणीय संख्या 15 के बराबर होती है। अन्य प्रत्येक त्रिकोणीय संख्या एक षट्कोणीय संख्या होती है। त्रिकोणीय संख्याओं को जानने के बाद, कोई भी केन्द्रित बहुभुज संख्या की गणना कर सकता है; $n$वीं केंद्रित $n$-गोनल संख्या सूत्र द्वारा प्राप्त की जाती है- $$Ck_n = kT_{n-1}+1$$ जहाँ पर $n$ एक त्रिकोणीय संख्या है।

दो त्रिभुजाकार संख्याओं का धनात्मक अंतर समलम्बाकार संख्या होती है।

त्रिकोणीय संख्याओं के लिए नमूना मिला $$ \sum_{n_1=1}^{n_2}n_1=\binom{n_2+1}{2}$$ और चतुष्फलकीय संख्याओं के लिए $$ \sum_{n_2=1}^{n_3}\sum_{n_1=1}^{n_2}n_1=\binom{n_3+2}{3},$$ जो द्विपद गुणांक का उपयोग करता है, सामान्यीकृत किया जा सकता है। यह सूत्र इस प्रकार है: $$ \sum_{n_{k-1}=1}^{n_k}\sum_{n_{k-2}=1}^{n_{k-1}}\ldots\sum_{n_2=1}^{n_3}\sum_{n_1=1}^{n_2}n_1=\binom{n_k+k-1}{k}$$

अन्य गुण
त्रिकोणीय संख्या फौल्हबर के सूत्र के प्रथम-डिग्री सन्दर्भ के अनुरूप है।

वैकल्पिक त्रिकोणीय संख्याएं(1, 6, 15, 28, ...) भी षट्कोणीय संख्याएं हैं।

प्रत्येक सम पूर्ण संख्या त्रिकोणीय (साथ ही षट्कोणीय) होती है, जो सूत्र द्वारा व्यक्त कि जाती है- $$M_p 2^{p-1} = \frac{M_p (M_p + 1)}2 = T_{M_p}$$ जहाँ पर $k$ मेर्सन प्राइम है। कोई विषम पूर्ण संख्या ज्ञात नहीं है, इसलिए सभी ज्ञात पूर्ण संख्याएँ त्रिभुजाकार हैं।

उदाहरण के लिए, तीसरी त्रिकोणीय संख्या (3 × 2 =) 6 है, सातवीं (7 × 4 =) 28 है, 31वीं (31 × 16 =) 496 है, और 127वीं (127 × 64 =) 8128 है।

त्रिकोणीय संख्या का अंतिम अंक 0, 1, 3, 5, 6 या 8 है, और इस प्रकार 2, 4, 7, या 9 में कभी समाप्त नहीं होता है। एक अंतिम 3 को 0 या 5 से पहले होना चाहिए, अंतिम 8 के पहले 2 या 7 होना चाहिए।

आधार 10 में, एक गैर-शून्य त्रिकोणीय संख्या का डिजिटल रूट सदैव 1, 3, 6 या 9 होता है। इसलिए, प्रत्येक त्रिकोणीय संख्या या तो तीन से विभाज्य होती है या 9 से विभाजित करने पर 1 शेष बचता है:

0 = 9 × 0

1 = 9 × 0 + 1

3 = 9 × 0 + 3

6 = 9 × 0 + 6

10 = 9 × 1 + 1

15 = 9 × 1 + 6

21 = 9 × 2 + 3

28 = 9 × 3 + 1

36 = 9 × 4

45 = 9 × 5

55 = 9 × 6 + 1

66 = 9 × 7 + 3

78 = 9 × 8 + 6

91 = 9 × 10 + 1

...

त्रिकोणीय संख्याओं के लिए एक अधिक विशिष्ट गुण है जो 3 से विभाज्य नहीं हैं, यानी 27 से विभाजित करने पर उनके पास या तो शेष 1 या 10 होता है। जो 10 मॉड्यूलर अंकगणित 27 के बराबर होते हैं, वे भी 10 मॉड 81 के बराबर होते हैं।

त्रिकोणीय संख्याओं के लिए डिजिटल रूट पैटर्न, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, प्रत्येक नौ पदों को दोहराते हुए, 1, 3, 6, 1, 6, 3, 1, 9, 9 है।

हालाँकि, उपरोक्त कथन का विलोम सदैव सत्य नहीं होता है। उदाहरण के लिए, 12 का अंकीय मूल, जो त्रिकोणीय संख्या नहीं है, 3 है और तीन से विभाज्य है।

यदि $T$ एक त्रिभुज संख्या है, तो $M_{p}$ एक त्रिभुज संख्या भी है, दिया गया $x$ एक विषम वर्ग है और $ax + b$. ध्यान दें कि $a$ सदैव एक त्रिकोणीय संख्या होगी, क्योंकि $b = a − 1⁄8$, जो सभी विषम वर्गों को प्राप्त करता है, एक त्रिकोणीय संख्या को 8 से गुणा करके और 1 जोड़कर प्रकट किया जाता है, और प्रक्रिया के लिए $b$ दिया गया $8T_{n} + 1 = (2n + 1)^{2}$ एक विषम वर्ग है, इस संक्रिया का विलोम है।

इस रूप के पहले कई जोड़े ($b$ कि गिनती नहीं) हैं: $a$, $1x + 0$, $9x + 1$, $25x + 3$, $49x + 6$, $81x + 10$, ... आदि। दिया गया $121x + 15$$169x + 21$ के बराबर है ये सूत्र निर्मित होते हैं $x,$, $T_{n}$, $T_{3n + 1}$, $T_{5n + 2}$, और इत्यादि प्राप्त होते हैं।।

सभी शून्येतर त्रिभुजाकार संख्याओं के गुणनात्मक व्युत्क्रम का योग है $$ \sum_{n=1}^{\infty}{1 \over {{n^2 + n} \over 2}} = 2\sum_{n=1}^{\infty}{1 \over {n^2 + n}} = 2 .$$ यह एक दूरबीन श्रृंखला के मूल योग का उपयोग करके दिखाया जा सकता है: $$ \sum_{n=1}^{\infty}{1 \over {n(n+1)}} = 1 .$$ त्रिकोणीय संख्या के संबंध में दो अन्य सूत्र हैं $$T_{a+b} = T_a + T_b + ab$$ तथा $$T_{ab} = T_aT_b + T_{a-1}T_{b-1},$$ जिनमें से दोनों को बिंन्दु नमूने (ऊपर देखें) या कुछ साधारण बीजगणित के साथ आसानी से स्थापित किया जा सकता है।

1796 में, गॉस ने पाया कि प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक तीन त्रिकोणीय संख्याओं के योग के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है (संभवत: $T_{7n + 3}$ = 0), उन्होंने अपनी डायरी में अपने प्रसिद्ध शब्द "ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ" लिखे। इस प्रमेय का अर्थ यह नहीं है कि त्रिकोणीय संख्याएं भिन्न हैं (जैसा कि 20 = 10 + 10 + 0 के मामले में), न ही यह कि तीन गैर-शून्य त्रिकोणीय संख्याओं वाला समाधान मौजूद होना चाहिए। यह फेरमत बहुभुज संख्या प्रमेय का एक विशेष मामला है।

$T_{9n + 4}$ के रूप कि सबसे बड़ी त्रिकोणीय संख्या 4095 है (देखें रामानुजन-नागेल समीकरण)।

वैक्लाव फ़्रांसिसज़ेक सिएरपिन्स्की ने ज्यामितीय प्रगति में चार अलग-अलग त्रिकोणीय संख्याओं के अस्तित्व के रूप में प्रश्न प्रस्तुत किया।पोलिश गणितज्ञ काज़िमिर्ज़ स्ज़िमिकज़ेक द्वारा यह अनुमान लगाया गया था कि यह असंभव है और बाद में 2007 में फेंग और चेन द्वारा सिद्ध किया गया था।   त्रिकोणीय संख्याओं के योग के रूप में एक पूर्णांक को व्यक्त करने वाले सूत्र थीटा कार्यों से जुड़े हैं, विशेष रूप से रामानुजन थीटा फंक्शन।

अनुप्रयोग
$T_{0}$ कंप्यूटिंग उपकरणों के एक पूरी तरह से जुड़े नेटवर्क को $2^{k} −&thinsp;1$ केबल या अन्य कनेक्शन की उपस्थिति की आवश्यकता होती है; यह ऊपर बताई गई हाथ मिलाने की समस्या के बराबर है।

एक टूर्नामेंट प्रारूप में जो राउंड-रॉबिन समूह चरण का उपयोग करता है, $n$ टीमों के बीच खेले जाने वाले मैचों की संख्या त्रिकोणीय संख्या $T_{n −&thinsp;1}$ के बराबर होती है। उदाहरण के लिए, 4 टीमों वाले समूह चरण में 6 मैचों की आवश्यकता होती है, और 8 टीमों वाले समूह चरण में 28 मैचों की आवश्यकता होती है। यह भी हाथ मिलाने की समस्या और पूरी तरह से जुड़ी नेटवर्क समस्याओं के बराबर है।

किसी संपत्ति के मूल्यह्रास की गणना करने का एक तरीका योग-वर्ष अंकों की विधि है, जिसमें $n$ को खोजना सम्मिलित है, जहां पर $T_{n −&thinsp;1}$ संपत्ति के उपयोगी जीवन के वर्षों में लंबाई है। हर साल, वस्तु खो देता है $T_{n}$, जहाँ पर $n$ वस्तु का आरंभिक मूल्य है (मुद्रा की इकाइयों में), $(b − s) × n − y⁄T_{n}$ इसका अंतिम निस्तारण मूल्य है, $b$ वस्तु के प्रयोग करने योग्य वर्षों की कुल संख्या है, और $s$ मूल्यह्रास अनुसूची में चालू वर्ष। इस पद्धति के तहत, प्रयोग करने योग्य जीवन के साथ एक वस्तु $n$ = 4 साल का नुकसान होगा $4⁄10$ पहले वर्ष में इसके खोने योग्य मूल्य का, $3⁄10$ क्षण में, $2⁄10$ तीसरे में, और $1⁄10$ चौथे में, के कुल मूल्यह्रास जमा $10⁄10$ (संपूर्ण) खोने योग्य मूल्य का।

त्रिकोणीय मूल और त्रिभुज संख्याओं के लिए परीक्षण
$x$ के वर्गमूल के अनुरूप, $x$ के (सकारात्मक) त्रिकोणीय मूल को संख्या $y$ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जैसे कि $n$: $$n = \frac{\sqrt{8x+1}-1}{2}$$ जो द्विघात सूत्र से तुरंत अनुसरण करता है। तो एक पूर्णांक $x$ त्रिकोणीय है अगर और केवल अगर $n$ एक वर्ग है। समतुल्य रूप से, यदि $x$ का धनात्मक त्रिकोणीय मूल n एक पूर्णांक है तो $x$, $n$ वीं त्रिकोणीय संख्या है।

वैकल्पिक नाम
डोनाल्ड नुथ द्वारा प्रस्तावित एक वैकल्पिक नाम फैक्टोरियल्स के अनुरूप टर्मियल है, जिसका nवें त्रिकोणीय संख्या के लिए संकेतन $T_{n} = x$? है। हालांकि कुछ अन्य स्रोत इस नाम और संकेतन का उपयोग करते हैं, वे व्यापक उपयोग में नहीं हैं।

यह भी देखें

 * 1 + 2 + 3 + 4 +
 * दोगुनी त्रिकोणीय संख्या, एक त्रिकोणीय संख्या जिसकी त्रिकोणीय संख्या के अनुक्रम में स्थिति भी एक त्रिकोणीय संख्या है।
 * टेट्रैक्टिस, त्रिकोण में दस बिंदुओं की व्यवस्था, पाइथागोरियनवाद में महत्वपूर्ण है।

बाहरी संबंध

 * Triangular numbers at cut-the-knot
 * There exist triangular numbers that are also square at cut-the-knot
 * Hypertetrahedral Polytopic Roots by Rob Hubbard, including the generalisation to triangular cube roots, some higher dimensions, and some approximate formulas
 * Hypertetrahedral Polytopic Roots by Rob Hubbard, including the generalisation to triangular cube roots, some higher dimensions, and some approximate formulas
 * Hypertetrahedral Polytopic Roots by Rob Hubbard, including the generalisation to triangular cube roots, some higher dimensions, and some approximate formulas