तारकीय न्यूक्लियोसिंथेसिस



तारकीय नाभिकीय संश्लेषण तारों के भीतर परमाणु संलयन अभिक्रियाओ द्वारा रासायनिक तत्वों का निर्माण (नाभिकीय संश्लेषण) है।बिग बैंग के दौरान हाइड्रोजन, हीलियम और लिथियम के मूल निर्माण के बाद से तारकीय नाभिकीय संश्लेषण हुआ है। भविष्य कहने वाला सिद्धांत के रूप में, यह तत्वों की प्रेक्षित बहुतायत का सटीक अनुमान देता है। यह बताता है कि तत्वों की प्रेक्षित बहुतायत समय के साथ क्यों बदलती है और क्यों कुछ तत्व और उनके समस्थानिक दूसरों की तुलना में बहुत अधिक प्रचुर मात्रा में होते हैं। सिद्धांत को शुरू में 1946 में फ्रेड हॉयल द्वारा प्रस्तावित किया गया था, जिन्होंने बाद में 1954 में इसे परिष्कृत किया। मार्गरेट बर्बिज और जेफ्री बर्बिज, विलियम अल्फ्रेड फाउलर और फ्रेड हॉयल ने अपने प्रसिद्ध 1957  B2FH पेपर में लोहे से भारी तत्वों के न्यूट्रॉन कैप्चर(कब्जा)(अधिकृत करना) द्वारा विशेष रूप से  नाभिकीय संश्लेषण के लिए आगे की प्रगति की, जो खगोल भौतिकी के इतिहास में सबसे अधिक उद्धृत पत्रों में से एक बन गया।

तारकीय विकास अपने जीवन काल में अपनी संरचना (उनके घटक तत्वों की प्रचुरता) में परिवर्तन के कारण विकसित होते हैं, पहले हाइड्रोजन दहन (मुख्य अनुक्रम तारा), फिर हीलियम दहन (क्षैतिज शाखा तारा) और उत्तरोत्तर उच्च तत्वों के जलने से हुआ। यद्यपि, यह अपने आप में ब्रह्मांड में तत्वों की प्रचुरता को महत्वपूर्ण रूप से नहीं बदलता है क्योंकि तत्व तारे के भीतर समाहित हैं। बाद में अपने जीवन में, एक कम-द्रव्यमान तारा तारकीय हवा के माध्यम से अपने वायुमंडल को धीरे-धीरे बाहर निकाल देगा, जिससे एक ग्रह नीहारिका बन जाएगी, जबकि एक उच्च-द्रव्यमान तारा सुपरनोवा नामक अचानक विनाशकारी घटना के माध्यम से द्रव्यमान को बाहर निकाल देगा। सुपरनोवा नाभिकीय संश्लेषण शब्द का उपयोग बड़े पैमाने पर तारे या सफेद बौने के विस्फोट के दौरान तत्वों के निर्माण का वर्णन करने के लिए किया जाता है।

ईंधन के जलने का उन्नत क्रम गुरुत्वीय पतन और उससे जुड़े ताप से संचालित होता है, जिसके परिणामस्वरूप कार्बन, ऑक्सीजन और सिलिकॉन का बाद में दहन होता है। यद्यपि, द्रव्यमान सीमा A = 28-56 (सिलिकॉन से निकेल तक) में अधिकांश नाभिकीय संश्लेषण वास्तव में कोर पर ढहने वाली तारे के ऊपरी परतों के कारण होता है, जिससे एक संपीड़न शॉक लहर बाहर की ओर उछलती है। शॉक फ्रंट(मोर्चा) संक्षेप में तापमान को लगभग 50% बढ़ा देता है, जिससे लगभग एक सेकंड के लिए भयंकर जलन होती है। विशाल सितारों में यह अंतिम दहन, जिसे विस्फोटक नाभिकीय संश्लेषण या सुपरनोवा नाभिकीय संश्लेषण कहा जाता है, तारकीय नाभिकीय संश्लेषण का अंतिम युग है।

नाभिकीय संश्लेषण के सिद्धांत के विकास के लिए एक प्रेरणा ब्रह्मांड में पाए जाने वाले तत्वों की प्रचुरता में भिन्नता की खोज थी। भौतिक विवरण की आवश्यकता पहले से ही सौर मंडल में रासायनिक तत्वों के सापेक्ष प्रचुरता से प्रेरित थी। तत्वों की परमाणु संख्या के एक समारोह के रूप में एक ग्राफ पर प्लॉट किए जाने पर उन बहुतायत में एक दांतेदार आरी का आकार होता है जो दसियों लाख के कारकों से भिन्न होता है (नाभिकीय संश्लेषण सिद्धांत का इतिहास देखें)। इसने एक प्राकृतिक प्रक्रिया का सुझाव दिया जो यादृच्छिक नहीं है। तारकीय नाभिकीय संश्लेषण की प्रक्रियाओं को समझने के लिए दूसरा प्रोत्साहन 20वीं शताब्दी के दौरान हुआ, जब यह महसूस किया गया कि परमाणु संलयन अभिक्रियाओ से निकलने वाली ऊर्जा गर्मी और प्रकाश के स्रोत के रूप में सूर्य की लंबी उम्र के लिए जिम्मेदार है।

इतिहास
1920 में, आर्थर एडिंगटन, फ्रांसिस विलियम एस्टन द्वारा परमाणु द्रव्यमान के सटीक मापन और जॉन पेरिन  के एक प्रारंभिक सुझाव के आधार पर, प्रस्तावित किया कि सितारों ने हीलियम बनाने के लिए हाइड्रोजन के परमाणु संलयन से अपनी ऊर्जा प्राप्त की और इस संभावना को बढ़ाया कि तारों में भारी तत्व उत्पन्न होते हैं।   यह तारकीय नाभिकीय संश्लेषण के विचार की दिशा में एक प्रारंभिक कदम था। 1928 में  जॉर्ज गैमो ने वह व्युत्पन्न किया जिसे अब गैमो कारक कहा जाता है, क्वांटम यांत्रिक फॉर्मूला दो सन्निहित नाभिकों के लिए उनके बीच इलेक्ट्रोस्टैटिक(स्थिर विद्युत) कूलम्ब बाधा को पार करने और मजबूत परमाणु बल होने के कारण परमाणु अभिक्रिया से गुजरने के लिए पर्याप्त रूप से एक दूसरे से संपर्क करने की संभावना प्रदान करता है जो बहुत कम दूरी पर ही प्रभावी होता है।  अगले दशक में गैमो कारक का उपयोग रॉबर्ट डी'एस्कॉर्ट एटकिन्सन और फ्रिट्ज हौटरमैन्स द्वारा किया गया था और बाद में एडवर्ड टेलर और खुद गैमो द्वारा उस दर को प्राप्त करने के लिए किया गया था जिस पर तारकीय आंतरिक भाग में मौजूद उच्च तापमान पर परमाणु अभिक्रियाएं होती हैं।

1939 में, "तारों में ऊर्जा उत्पादन" नामक नोबेल व्याख्यान में, हंस बेथे ने अभिक्रियाओ के लिए विभिन्न संभावनाओं का विश्लेषण किया जिसके द्वारा हाइड्रोजन को हीलियम में जोड़ा जाता है। उन्होंने दो प्रक्रियाओं को परिभाषित किया जिन्हें वे तारों में ऊर्जा के स्रोत मानते थे। पहला, प्रोटॉन-प्रोटॉन श्रृंखला अभिक्रिया, सूर्य के द्रव्यमान तक द्रव्यमान वाले सितारों में प्रमुख ऊर्जा स्रोत है। दूसरी प्रक्रिया, कार्बन-नाइट्रोजन-ऑक्सीजन चक्र, जिसे 1938 में कार्ल फ्रेडरिक वॉन वीज़स्कर द्वारा भी माना गया था, अधिक विशाल मुख्य-अनुक्रम सितारों में अधिक महत्वपूर्ण है। ये कार्य तारों को गर्म रखने में सक्षम ऊर्जा उत्पादन से संबंधित हैं। 1968 की पाठ्यपुस्तक में प्रोटॉन-प्रोटॉन श्रृंखला और CNO चक्र का स्पष्ट भौतिक विवरण दिखाई देता है।  यद्यपि, बेठे के दो पेपर भारी नाभिकों के निर्माण को संबोधित नहीं करते थे। यह सिद्धांत 1946 में फ्रेड हॉयल द्वारा अपने तर्क के साथ शुरू किया गया था कि बहुत गर्म नाभिक का एक संग्रह ऊष्मप्रवैगिकी रूप से लोहे में इकट्ठा होगा। हॉयल ने इसके बाद 1954 में एक पेपर के साथ वर्णन किया कि कैसे बड़े पैमाने पर सितारों के भीतर उन्नत संलयन चरण कार्बन से लोहे के तत्वों को बड़े पैमाने पर संश्लेषित करेंगे।

हॉयल के सिद्धांत को अन्य प्रक्रियाओं तक विस्तारित किया गया था, जिसकी शुरुआत 1957 के समीक्षा पत्र "सिंथेसिस ऑफ द एलिमेंट्स इन स्टार्स{तारों में तत्वों का संश्लेषण}" के प्रकाशन से हुई थी, जिसे बर्बिज, बर्बिज, फाउलर और हॉयल द्वारा समान्यता B2FH पेपर के रूप में संदर्भित किया जाता है। इस समीक्षा पत्र ने पहले के शोध को एक भारी उद्धृत तस्वीर में एकत्र किया और परिष्कृत किया जिसने तत्वों के देखे गए सापेक्ष बहुतायत के लिए लेखांकन का वादा किया; लेकिन इसने स्वयं प्राथमिक नाभिकों की उत्पत्ति के लिए हॉयल की 1954 की तस्वीर का विस्तार नहीं किया, जितना कि कई लोगों ने माना, न्यूट्रॉन पर कब्जा द्वारा लोहे से भारी तत्वों के नाभिकीय संश्लेषण की समझ को छोड़कर। एलिस्टर जी. डब्ल्यू. कैमरून और डोनाल्ड डी. क्लेटन द्वारा महत्वपूर्ण सुधार किए गए। 1957 में कैमरन ने नाभिकीय संश्लेषण के लिए अपना स्वतंत्र दृष्टिकोण प्रस्तुत किया, हॉयल के उदाहरण से सूचित किया, और कंप्यूटर को परमाणु प्रणालियों के विकास की समय-निर्भर गणनाओं में पेश किया। क्लेटन ने 1961 में S-प्रक्रिया और 1965 में R-प्रक्रिया के पहली बार-निर्भर मॉडल की समय आधारित गणना की, साथ ही 1968 में प्रचुर मात्रा में अल्फा-कण नाभिक और लौह-समूह तत्वों में सिलिकॉन के जलने से,  और रेडियोजेनिक कालक्रम की खोज तत्वों की आयु निर्धारित करने के लिए की।



मुख्य प्रतिक्रियाएँ
तारकीय नाभिकीय संश्लेषण में सबसे महत्वपूर्ण अभिक्रियाएं:
 * हाइड्रोजन संलयन:
 * ड्यूटेरियम संलयन
 * प्रोटॉन-प्रोटॉन श्रृंखला
 * कार्बन-नाइट्रोजन-ऑक्सीजन चक्र
 * हीलियम संलयन:
 * ट्रिपल-अल्फा प्रक्रिया
 * अल्फा प्रक्रिया
 * भारी तत्वों का संलयन:
 * लिथियम दहन : भूरा बौना  में समान्यता पाई जाने वाली प्रक्रिया
 * कार्बन दहन की प्रक्रिया
 * नियॉन-दहन प्रक्रिया
 * ऑक्सीजन दहन की प्रक्रिया
 * सिलिकॉन दहन की प्रक्रिया
 * लोहे से भारी तत्वों का उत्पादन:
 * न्यूट्रॉन कैप्चर(कब्जा):
 * R-प्रक्रिया
 * S-प्रक्रिया
 * प्रोटॉन कैप्चर(कब्जा):
 * [rp-प्रक्रिया]
 * p-प्रक्रिया
 * प्रकाशविघटन

हाइड्रोजन संलयन
हाइड्रोजन संलयन (हीलियम -4 नाभिक बनाने के लिए चार प्रोटॉन का परमाणु संलयन प्रमुख प्रक्रिया है जो मुख्य-अनुक्रम सितारों के कोर में ऊर्जा उत्पन्न करती है। इसे हाइड्रोजन दहन भी कहा जाता है, जिसे ऑक्सीकरण वातावरण में हाइड्रोजन के रासायनिक दहन के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। दो प्रमुख प्रक्रियाएं हैं जिनके द्वारा तारकीय हाइड्रोजन संलयन होता है: प्रोटॉन-प्रोटॉन श्रृंखला और कार्बन-नाइट्रोजन-ऑक्सीजन (CNO) चक्र है। सफेद बौनों के अपवाद के साथ सभी सितारों में से नब्बे प्रतिशत, इन दो प्रक्रियाओं द्वारा हाइड्रोजन का संलयन कर रहे हैं।

सूर्य जैसे निम्न-द्रव्यमान मुख्य-अनुक्रम सितारों के कोर में, प्रमुख ऊर्जा उत्पादन प्रक्रिया प्रोटॉन-प्रोटॉन श्रृंखला अभिक्रिया है। यह अभिक्रियाओ के एक क्रम के माध्यम से एक हीलियम -4 नाभिक बनाता है जो एक उत्सर्जित पॉज़िट्रॉन और न्यूट्रिनो के साथ एक ड्यूटेरियम नाभिक (एक प्रोटोन और एक न्यूट्रॉन) बनाने के लिए दो प्रोटॉन के संलयन से शुरू होता है। प्रत्येक पूर्ण संलयन चक्र में, प्रोटॉन-प्रोटॉन श्रृंखला अभिक्रिया लगभग 26.2 MeV जारी करती है। प्रोटॉन-प्रोटॉन श्रृंखला अभिक्रिया चक्र तापमान के प्रति अपेक्षाकृत असंवेदनशील है; तापमान में 10% की वृद्धि से इस विधि से ऊर्जा उत्पादन में 46% की वृद्धि होगी, इसलिए, यह हाइड्रोजन संलयन प्रक्रिया तारे की त्रिज्या के एक तिहाई तक हो सकती है और तारे के द्रव्यमान का आधा हिस्सा घेर सकती है। सूर्य के द्रव्यमान के 35% से ऊपर के तारों के लिए, सतह की ओर ऊर्जा प्रवाह पर्याप्त रूप से कम है और संवहन (गर्मी हस्तांतरण) के बजाय कोर क्षेत्र से ऊर्जा हस्तांतरण विकिरण गर्मी हस्तांतरण  द्वारा रहता है। नतीजतन, बाहर की ओर कोर या संलयन उत्पादों में ताजा हाइड्रोजन का थोड़ा सा मिश्रण होता है।

उच्च-द्रव्यमान सितारों में, प्रमुख ऊर्जा उत्पादन प्रक्रिया CNO चक्र है, जो एक उत्प्रेरक चक्र है जो कार्बन, नाइट्रोजन और ऑक्सीजन के नाभिकों को मध्यस्थ के रूप में उपयोग करता है और अंत में प्रोटॉन-प्रोटॉन श्रृंखला के रूप में एक हीलियम नाभिक का उत्पादन करता है। एक पूर्ण CNO चक्र के दौरान, 25.0 MeV ऊर्जा मुक्त होती है। प्रोटॉन-प्रोटोन श्रृंखला अभिक्रिया की तुलना में इस चक्र के ऊर्जा उत्पादन में अंतर, न्युट्रीनो  उत्सर्जन के माध्यम से खोई हुई ऊर्जा के कारण होता है। CNO चक्र बहुत तापमान संवेदनशील है, तापमान में 10% की वृद्धि से ऊर्जा उत्पादन में 350% की वृद्धि होगी। CNO चक्र ऊर्जा उत्पादन का लगभग 90% तारे के द्रव्यमान के आंतरिक 15% के भीतर होता है, इसलिए यह कोर पर दृढ़ता से केंद्रित होता है। इसका परिणाम इतनी तीव्र बाहरी ऊर्जा प्रवाह में होता है कि  विकिरण स्थानांतरण  की तुलना में संवहन ऊर्जा हस्तांतरण अधिक महत्वपूर्ण हो जाता है। नतीजतन, कोर क्षेत्र एक संवहन क्षेत्र बन जाता है, जो हाइड्रोजन संलयन क्षेत्र को हिलाता है और इसे आसपास के प्रोटॉन-समृद्ध क्षेत्र के साथ अच्छी तरह मिलाता है। यह कोर संवहन सितारों में होता है जहां CNO चक्र कुल ऊर्जा का 20% से अधिक योगदान देता है। जैसे-जैसे तारे की उम्र बढ़ती है और कोर का तापमान बढ़ता है, संवहन क्षेत्र के कब्जे वाला क्षेत्र धीरे-धीरे 20% द्रव्यमान से नीचे द्रव्यमान के आंतरिक 8% तक सिकुड़ जाता है। सूर्य अपनी ऊर्जा का 1% CNO चक्र से पैदा करता है।

एक तारे में हावी होने वाली हाइड्रोजन संलयन प्रक्रिया का प्रकार दो अभिक्रियाओ के बीच तापमान निर्भरता के अंतर से निर्धारित होता है। प्रोटॉन-प्रोटॉन श्रृंखला अभिक्रिया लगभग $4 K$ के तापमान पर शुरू होती है, जिससे यह छोटे सितारों में प्रमुख संलयन तंत्र बन जाता है। एक स्व-अनुरक्षण CNO श्रृंखला को लगभग $16 K$ के उच्च तापमान की आवश्यकता होती है, लेकिन इसके बाद जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है, यह प्रोटॉन-प्रोटॉन अभिक्रिया की तुलना में दक्षता में यह अधिक तेजी से बढ़ता है। लगभग $17 K$, से ऊपर CNO चक्र ऊर्जा का प्रमुख स्रोत बन जाता है। यह तापमान सूर्य के द्रव्यमान के कम से कम 1.3 गुना द्रव्यमान वाले मुख्य-अनुक्रम सितारों के कोर में प्राप्त किया जाता है। स्वयं सूर्य का कोर तापमान लगभग $15.7 K$ होता है. एक मुख्य-अनुक्रम तारे की आयु के रूप में, कोर तापमान में वृद्धि होगी, जिसके परिणामस्वरूप इसके CNO चक्र से योगदान में लगातार वृद्धि होगी।

हीलियम संलयन
हाइड्रोजन संलयन के परिणामस्वरूप मुख्य अनुक्रम सितारे अपने कोर में हीलियम जमा करते हैं, लेकिन कोर हीलियम संलयन शुरू करने के लिए पर्याप्त गर्म नहीं होता है। हीलियम संलयन सबसे पहले तब शुरू होता है जब कोई तारा अपने मूल में पर्याप्त हीलियम को प्रज्वलित करने के बाद लाल विशाल शाखा को छोड़ देता है। सूर्य के द्रव्यमान के आसपास के सितारों में, यह लाल विशाल शाखा की नोक पर एक पतित हीलियम कोर से हीलियम चमक के साथ शुरू होता है, और तारा क्षैतिज शाखा में चला जाता है जहां यह अपने कोर में हीलियम को जलाता है। अधिक विशाल तारे बिना चमक के अपने कोर में हीलियम को प्रज्वलित करते हैं और स्पर्शोन्मुख विशाल शाखा तक पहुँचने से पहले एक नीले लूप(पाश) को निष्पादित करते हैं। ऐसा सितारा शुरू में AGB से नीले रंग की ओर जाता है, फिर वापस लूप(पाश) करता है जिसे हयाशी धावन पथ कहा जाता है।  नीला पाश का एक महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि वे आकाशगंगा और आस-पास की  मंदाकिनियों में दूरियों को निर्धारित करने में केंद्रीय महत्व के शास्त्रीय सेफिड चर को जन्म देते हैं।  नाम के बावजूद, लाल विशाल शाखा से नीले लूप पर तारे समान्यता नीले रंग के नहीं होते हैं, बल्कि पीले रंग के दिग्गज होते हैं, संभवतः सेफिड चर। वे हीलियम को तब तक फ्यूज करते हैं जब तक कि कोर काफी हद तक कार्बन और ऑक्सीजन न हो जाए। जब वे मुख्य अनुक्रम को छोड़ देते हैं और लाल महादानव बन जाते हैं तो सबसे विशाल तारे महादानव बन जाते हैं। एक तारे के कोर में हीलियम समाप्त होने के बाद, कार्बन-ऑक्सीजन कोर के चारों ओर एक खोल में हीलियम संलयन जारी रहेगा।

सभी कारको में, हीलियम को ट्रिपल-अल्फा प्रक्रिया के माध्यम से कार्बन में जोड़ा जाता है, अर्थात, तीन हीलियम नाभिक 8Be के माध्यम से कार्बन में परिवर्तित हो जाते हैं। इसके बाद यह अल्फा प्रक्रिया के माध्यम से ऑक्सीजन, नियॉन और भारी तत्वों का निर्माण कर सकता है। इस तरह, अल्फा प्रक्रिया अधिमानतः हीलियम नाभिक पर कब्जा करके प्रोटॉन की सम संख्या वाले तत्वों का उत्पादन करती है। प्रोटॉन की विषम संख्या वाले तत्व अन्य संलयन पथों द्वारा बनते हैं।

अभिक्रिया दर
प्रजातियों A और B के बीच अभिक्रिया दर घनत्व, संख्या घनत्व nA,B, द्वारा दिया गया है:
 * $$r = n_A \, n_B \, k $$

जहां कश्मीर परमाणु संलयन प्रक्रिया को बनाने वाली प्रत्येक प्राथमिक बाइनरी अभिक्रिया की अभिक्रिया दर स्थिर है:
 * $$k = \langle \sigma(v)\,v \rangle$$

यहाँ, σ(v) सापेक्ष वेग v पर अनुप्रस्थ काट है, और औसत सभी वेगों पर किया जाता है।

अर्ध-शास्त्रीय रूप से, अनुप्रस्थ काट आनुपातिक है $$\pi\,\lambda^2$$, कहाँ $$\lambda = h/p$$ पदार्थ तरंग है। इस प्रकार अर्ध-शास्त्रीय रूप से अनुप्रस्थ काट आनुपातिक है $\frac{m}{E}$.

यद्यपि, चूंकि अभिक्रिया में क्वांटम टनलिंग सम्मलित है, कम ऊर्जा पर एक घातीय अवमंदन होता है जो गैमो कारक EG पर निर्भर करता है, एक अरहेनियस समीकरण देता है:
 * $$\sigma(E) = \frac{S(E)}{E} e^{-\sqrt{\frac{E_\text{G}}{E}}}$$

जहां S (E) परमाणु परस्पर क्रिया के विवरण पर निर्भर करता है, और एक अनुप्रस्थ काट के लिए गुणा की गई ऊर्जा का आयाम है।

मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन वितरण और संबंध का उपयोग करते हुए, कुल अभिक्रिया दर प्राप्त करने के लिए सभी ऊर्जाओं को एकीकृत करता है:
 * $$\frac{r}{V} = n_A n_B \int_0^{\infty}\frac{S(E)}{E} \, e^{-\sqrt{\frac{E_\text{G}}{E}}} 2\sqrt{\frac{E}{\pi(kT)^3}} e^{-\frac{E}{kT}} \,\sqrt{\frac{2E}{m_\text{R}}}dE$$

कहाँ $$m_\text{R} = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$$ घटा हुआ द्रव्यमान है।

चूँकि इस एकीकरण में प्रपत्र की उच्च ऊर्जाओं पर एक घातीय अवमंदन होता है $$\sim e^{-\frac{E}{kT}}$$ और गामो कारक से कम ऊर्जा पर, शिखर के चारों ओर, जिसे गामो चोटी कहा जाता है, को छोड़कर अभिन्न लगभग हर जगह गायब हो गया, और E0, जहां:
 * $$\frac{\partial}{\partial E} \left( -\sqrt{\frac{E_\text{G}}{E}} - \frac{E}{kT}\right) \, = \, 0$$

इस प्रकार:
 * $$E_0 = \left(\frac{1}{2}kT \sqrt{E_\text{G}}\right)^\frac{2}{3}$$

एक्सपोनेंट को फिर E0 के आसपास अनुमानित किया जा सकता है जैसा:
 * $$e^{-\frac{E}{kT} - \sqrt{\frac{E_\text{G}}{E}}} \approx e^{-\frac{3E_0}{kT}} \exp\left(-\frac{(E - E_0)^2}{\frac{4}{3} E_0 kT}\right)$$

और अभिक्रिया की दर अनुमानित है:
 * $$\frac{r}{V} \approx n_A \, n_B \, \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3 m_\text{R}}}\, \sqrt{E_0} \frac{S(E_0)}{kT} e^{-\frac{3E_0}{kT}} $$

S(E0) का मान समान्यता 10−3 – 103 keV·b होते हैं, लेकिन बीटा क्षय को सम्मलित करते समय एक बड़े कारक द्वारा अवमंदित होते हैं, मध्यवर्ती बाध्य अवस्था (जैसे डिप्रोटोन) अर्ध-जीवन और बीटा क्षय अर्ध-जीवन के बीच संबंध के कारण, जैसा कि प्रोटॉन-प्रोटॉन श्रृंखला अभिक्रिया में होता है। ध्यान दें कि मुख्य-अनुक्रम सितारों में सामान्य कोर तापमान keV के क्रम के kT देते हैं।

इस प्रकार, CNO चक्र में सीमित अभिक्रिया, प्रोटॉन कैप्चर(कब्जा) द्वारा, S (E0) ~ S (0) = 3.5keV·b है, जबकि प्रोटॉन-प्रोटॉन श्रृंखला अभिक्रिया में सीमित अभिक्रिया, दो प्रोटॉन से ड्यूटेरियम का निर्माण, बहुत कम S(E0) ~ S(0) = 4×10 -22 keV·b होता है। संयोग से, चूंकि पूर्व की अभिक्रिया में बहुत अधिक गैमो कारक होता है, और विशिष्ट सितारों में तत्वों की सापेक्ष बहुतायत के कारण, दो अभिक्रिया दर एक तापमान मान के बराबर होती हैं जो मुख्य-अनुक्रम सितारों के मुख्य तापमान सीमा के भीतर होती हैं।

बाहरी संबंध

 * "How the Sun Shines", by John N. Bahcall (Nobel prize site, accessed 6 January 2020)
 * Nucleosynthesis in NASA's Cosmicopia