पुश फॉरवर्ड मापक

माप सिद्धांत में, एक पुशवर्ड माप (जिसे पुश फॉरवर्ड, पुश-फॉरवर्ड या इमेज माप के रूप में भी जाना जाता है) एक मापने योग्य फ़ंक्शन का उपयोग करके एक मापने योग्य स्थान से दूसरे माप (गणित) को स्थानांतरित करके प्राप्त किया जाता है।

परिभाषा
मापने योग्य स्थान दिया गया $$(X_1,\Sigma_1)$$ और $$(X_2,\Sigma_2)$$, एक मापने योग्य मानचित्रण $$f\colon X_1\to X_2$$ और एक उपाय $$\mu\colon\Sigma_1\to[0,+\infty]$$, का धक्का $$\mu$$ माप के रूप में परिभाषित किया गया है $$f_{*}(\mu)\colon\Sigma_2\to[0,+\infty]$$ द्वारा दिए गए


 * $$f_{*} (\mu) (B) = \mu \left( f^{-1} (B) \right)$$ के लिए $$B \in \Sigma_{2}.$$

यह परिभाषा एक हस्ताक्षरित उपाय या जटिल उपाय के लिए यथोचित परिवर्तनों सहित लागू होती है। पुशफॉरवर्ड उपाय को भी निरूपित किया जाता है $$\mu \circ f^{-1}$$, $$f_\sharp \mu$$, $$f \sharp \mu$$, या $$f \# \mu$$.

मुख्य संपत्ति: परिवर्तन-के-चर सूत्र
प्रमेय: एक्स पर मापने योग्य फ़ंक्शन जी2 पुशफॉरवर्ड माप f के संबंध में पूर्णांक है∗(μ) अगर और केवल अगर रचना $$g \circ f$$ माप μ के संबंध में पूर्णांक है। उस स्थिति में, समाकल संपाती हो जाते हैं, अर्थात,


 * $$\int_{X_2} g \, d(f_* \mu) = \int_{X_1} g \circ f \, d\mu.$$

ध्यान दें कि पिछले सूत्र में $$X_1=f^{-1}(X_2)$$.

उदाहरण और अनुप्रयोग

 * यूनिट सर्कल एस पर एक प्राकृतिक लेबेस्ग उपाय1 (यहाँ जटिल समतल C के एक उपसमुच्चय के रूप में सोचा गया है) को पुश-फॉरवर्ड निर्माण और वास्तविक रेखा R पर Lebesgue माप λ का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है। चलो λ भी निरूपित करता है Lebesgue माप का अंतराल [0, 2π) और मान लीजिए f : [0, 2π) → S1 f(t) = exp(i t) द्वारा परिभाषित प्राकृतिक आक्षेप है। प्राकृतिक Lebesgue उपाय 'एस' पर1 तो पुश-फॉरवर्ड माप f है∗(λ)। माप एफ∗(λ) को चाप लंबाई माप या कोण माप भी कहा जा सकता है, क्योंकि f∗(λ)-'S' में एक चाप का माप1 सटीक रूप से इसकी चाप की लंबाई है (या, समतुल्य, वह कोण जो यह वृत्त के केंद्र पर बनाता है।)
 * पिछला उदाहरण एन-डायमेंशनल टोरस्र्स  'टी' पर एक प्राकृतिक लेबेस्ग माप देने के लिए अच्छी तरह से फैला हुआ हैएन. पिछला उदाहरण एक विशेष मामला है, क्योंकि 'एस'1 = टी 1। टी पर यह लेबेस्ग उपाय n, सामान्यीकरण तक,  कॉम्पैक्ट जगह,  जुड़ा हुआ स्थान  झूठ समूह 'T' के लिए हार माप हैएन.
 * अनंत-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान पर गॉसियन उपायों को वास्तविक रेखा पर पुश-फॉरवर्ड और मानक गाऊसी माप का उपयोग करके परिभाषित किया गया है: एक अलग करने योग्य स्थान पर एक बोरेल माप γ बनच स्थान  एक्स को 'गॉसियन' कहा जाता है यदि γ द्वारा पुश-फॉरवर्ड किया जाता है एक्स के निरंतर दोहरे स्थान में कोई गैर-शून्य रैखिक कार्यात्मक 'आर' पर गॉसियन माप है।
 * एक मापने योग्य फ़ंक्शन f : X → X पर विचार करें और f का समारोह रचना स्वयं n बार:


 * $$f^{(n)} = \underbrace{f \circ f \circ \dots \circ f}_{n \mathrm{\, times}} : X \to X.$$
 * यह पुनरावृत्त कार्य एक गतिशील प्रणाली बनाता है। इस तरह की प्रणालियों के अध्ययन में अक्सर एक्स पर एक माप μ खोजने में रुचि होती है कि नक्शा एफ अपरिवर्तित छोड़ देता है, एक तथाकथित अपरिवर्तनीय उपाय, यानी एक जिसके लिए एफ&lowast;(μ) = μ।


 * ऐसी गतिशील प्रणाली के लिए अर्ध-अपरिवर्तनीय उपायों पर भी विचार किया जा सकता है: एक उपाय$$\mu$$पर$$(X,\Sigma)$$'क्वैसी-इनवेरिएंट अंडर' कहा जाता है $$f$$ अगर पुश-फॉरवर्ड करें$$\mu$$द्वारा $$f$$ केवल मूल माप μ के उपायों की समानता है, जरूरी नहीं कि इसके बराबर हो। उपायों की एक जोड़ी $$\mu, \nu$$ एक ही स्थान पर समतुल्य हैं यदि और केवल यदि $$\forall A\in \Sigma: \ \mu(A) = 0 \iff \nu(A) = 0$$, इसलिए $$\mu$$ के अंतर्गत अर्ध-अपरिवर्तनीय है $$f$$ अगर $$\forall A \in \Sigma: \ \mu(A) = 0 \iff f_* \mu(A) = \mu\big(f^{-1}(A)\big) = 0$$
 * इस निर्माण के माध्यम से ची वितरण जैसे कई प्राकृतिक संभाव्यता वितरण प्राप्त किए जा सकते हैं।


 * रैंडम वैरिएबल पुशफॉरवर्ड उपायों को प्रेरित करते हैं। वे एक प्रायिकता स्थान को कोडोमेन स्थान में मैप करते हैं और उस स्थान को पुशफॉरवर्ड द्वारा परिभाषित प्रायिकता माप के साथ संपन्न करते हैं। इसके अलावा, क्योंकि यादृच्छिक चर कार्य हैं (और इसलिए कुल कार्य), पूरे कोडोमेन की उलटी छवि संपूर्ण डोमेन है, और पूरे डोमेन का माप 1 है, इसलिए पूरे कोडोमेन का माप 1 है। इसका मतलब है कि यादृच्छिक चर अनंत तक बनाए जा सकते हैं और वे हमेशा यादृच्छिक चर के रूप में रहेंगे और संभाव्यता उपायों के साथ कोडोमेन रिक्त स्थान प्रदान करेंगे।

एक सामान्यीकरण
सामान्य तौर पर, किसी भी मापने योग्य कार्य को आगे धकेला जा सकता है, पुश-फॉरवर्ड तब एक रैखिक ऑपरेटर बन जाता है, जिसे ट्रांसफर ऑपरेटर या फ्रोबेनियस-पेरोन ऑपरेटर के रूप में जाना जाता है। परिमित स्थानों में यह ऑपरेटर आम तौर पर फ्रोबेनियस-पेरोन प्रमेय की आवश्यकताओं को पूरा करता है, और ऑपरेटर का अधिकतम आइगेनवेल्यू अपरिवर्तनीय माप से मेल खाता है।

पुश-फॉरवर्ड के निकट ठहराना  है; मापने योग्य स्थानों पर कार्यों के रिक्त स्थान पर एक ऑपरेटर के रूप में, यह संरचना ऑपरेटर या व्यापारी संचालिका है।

यह भी देखें

 * माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली