प्रमुख कारकों की तालिका

तालिकाओं में 1 से 1000 तक की प्राकृतिक संख्याओं का पूर्णांक गुणनखंड होता है।

जब n एक अभाज्य संख्या है, तो अभाज्य गुणनखंड केवल n ही होता है, जिसे नीचे 'बोल्ड' में लिखा गया है।

संख्या 1 (संख्या) को एक इकाई (रिंग थ्योरी) कहा जाता है। इसका कोई अभाज्य गुणनखण्ड नहीं है और यह न तो अभाज्य संख्या है और न ही भाज्य संख्या।

गुण
एक प्राकृतिक संख्या n के कई गुणों को देखा जा सकता है या सीधे n के अभाज्य गुणनखंड से गणना की जा सकती है। n के विभाजक n के कुछ या सभी अभाज्य गुणनखंडों के सभी गुणनफल हैं (बिना अभाज्य गुणनखंडों के रिक्त गुणनफल 1 सहित)। सभी गुणकों को 1 से बढ़ाकर और फिर उन्हें गुणा करके विभाजकों की संख्या की गणना की जा सकती है। भाजक और भाजक से संबंधित गुण भाजक की तालिका में दर्शाए गए हैं।
 * n के एक अभाज्य गुणनखंड p की 'बहुलता' वह सबसे बड़ा घातांक m है जिसके लिए pm n को विभाजित करता है। तालिकाएँ प्रत्येक प्रमुख कारक के लिए बहुलता दिखाती हैं। यदि कोई घातांक नहीं लिखा जाता है तो बहुलता 1 होती है (क्योंकि p = p 1). एक अभाज्य की बहुलता जो n को विभाजित नहीं करती है उसे 0 कहा जा सकता है या अपरिभाषित माना जा सकता है।
 * Ω(n), बिग ओमेगा फ़ंक्शन (प्राइम फ़ैक्टर), बहुलता के साथ गिने जाने वाले n के अभाज्य गुणनखंडों की संख्या है (इसलिए यह सभी अभाज्य गुणकों का योग है)।
 * एक अभाज्य संख्या में Ω(n) = 1 होता है। पहला: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 . अभाज्य संख्याओं की कई विशेष सूची हैं।
 * एक मिश्रित संख्या में Ω(n) > 1 होता है। पहला: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21 . 1 से ऊपर की सभी संख्याएँ या तो अभाज्य हैं या संयुक्त हैं। 1 भी नहीं है।
 * एक सेमीप्राइम में Ω(n) = 2 है (इसलिए यह समग्र है)। पहला: 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33, 34.
 * एक k- लगभग अभाज्य (एक प्राकृतिक संख्या k के लिए) में Ω(n) = k होता है (इसलिए यह समग्र है यदि k > 1)।
 * एक सम संख्या का अभाज्य गुणनखंड 2 होता है। पहला: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24.
 * एक विषम संख्या का अभाज्य गुणक 2 नहीं है। पहला: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23 . सभी पूर्णांक या तो सम या विषम होते हैं।
 * एक वर्ग संख्या में सभी अभाज्य गुणनखंडों के लिए सम बहुलता होती है (यह a के रूप में है2 कुछ के लिए a). पहला: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144.
 * एक घन (अंकगणितीय) में 3 से विभाज्य सभी गुणक हैं (यह एक रूप का है3 कुछ के लिए a). पहला: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728.
 * एक संपूर्ण शक्ति में सभी गुणकों के लिए एक सामान्य विभाजक m > 1 होता है (यह a के रूप का होता हैm कुछ के लिए a > 1 और m > 1)। पहला: 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100 . 1 कभी-कभी शामिल होता है।
 * एक शक्तिशाली संख्या (जिसे स्क्वायरफुल भी कहा जाता है) में सभी प्रमुख कारकों के लिए 1 से अधिक की बहुलता होती है। पहला: 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72.
 * एक प्रधान शक्ति का केवल एक प्रमुख कारक होता है। पहला: 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19 . 1 कभी-कभी शामिल होता है।
 * एकिलीस संख्या शक्तिशाली है लेकिन एक पूर्ण शक्ति नहीं है। पहला: 72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968.
 * एक वर्ग-मुक्त पूर्णांक में 1 से अधिक बहुलता वाला कोई अभाज्य कारक नहीं होता है। पहला: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17 ). एक संख्या जहां कुछ लेकिन सभी प्रमुख कारकों में 1 से ऊपर की बहुलता नहीं होती है, वह न तो वर्ग-मुक्त होती है और न ही वर्गाकार।
 * लिउविल फलन λ(n) 1 है यदि Ω(n) सम है, और -1 है यदि Ω(n) विषम है।
 * मोबियस फ़ंक्शन μ(n) 0 है यदि n वर्ग-मुक्त नहीं है। अन्यथा μ(n) 1 है यदि Ω(n) सम है, और −1 है यदि Ω(n) विषम है।
 * एक स्फेनिक संख्या में Ω(n) = 3 है और यह वर्ग-मुक्त है (इसलिए यह 3 अलग-अलग अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है)। पहला: 30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154.
 * ए0(n) n को विभाजित करने वाली अभाज्य संख्याओं का योग है, जिसे बहुलता के साथ गिना जाता है। यह एक योगात्मक कार्य है।
 * रुथ-आरोन की जोड़ी एक के साथ दो लगातार संख्या (x, x+1) है0(एक्स) = ए0(एक्स + 1)। पहला (x मान द्वारा): 5, 8, 15, 77, 125, 714, 948, 1330, 1520, 1862, 2491, 3248, एक और परिभाषा एक ही अभाज्य है केवल एक बार गिनें, यदि ऐसा है, तो पहला (x मान द्वारा): 5, 24, 49, 77, 104, 153, 369, 492, 714, 1682, 2107, 2299
 * एक मौलिक x# 2 से x तक सभी अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है। पहला: 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810 . 1# = 1 कभी-कभी शामिल होता है।
 * एक फैक्टोरियल एक्स! 1 से x तक सभी संख्याओं का गुणनफल है। पहला: 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600 . 0! = 1 कभी-कभी शामिल होता है।
 * एक k-चिकनी संख्या (प्राकृतिक संख्या k के लिए) का सबसे बड़ा अभाज्य गुणक ≤ k होता है (इसलिए यह किसी भी j > k के लिए भी j-चिकनी है)।
 * एम एन की तुलना में 'चिकना' है यदि एम का सबसे बड़ा प्रमुख कारक एन के सबसे बड़े से नीचे है।
 * एक नियमित संख्या का 5 से ऊपर कोई अभाज्य गुणक नहीं होता (इसलिए यह 5-चिकना है)। पहला: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16.
 * एक के-चिकनी संख्या#पावरस्मूथ संख्या संख्या में सभी p होते हैंm ≤ k जहां p बहुलता m वाला एक अभाज्य गुणनखंड है।
 * एक मितव्ययी संख्या में इसके प्रमुख गुणनखंड में अंकों की संख्या से अधिक अंक होते हैं (जब घातांक के रूप में 1 से ऊपर की बहुलताओं के साथ नीचे दी गई तालिकाओं की तरह लिखा जाता है)। दशमलव में पहला: 125, 128, 243, 256, 343, 512, 625, 729, 1024, 1029, 1215, 1250.
 * एक इक्विडिजिटल संख्या में अंकों की संख्या उतनी ही होती है जितनी कि इसके अभाज्य गुणनखंड में। दशमलव में पहला: 1, 2, 3, 5, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17.
 * एक असाधारण संख्या में इसके प्रमुख गुणनखंड की तुलना में कम अंक होते हैं। दशमलव में पहला: 4, 6, 8, 9, 12, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30.
 * एक किफायती संख्या को एक मितव्ययी संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है, लेकिन यह भी एक संख्या के रूप में है जो या तो मितव्ययी या समअंकीय है।
 * gcd(m, n) (m और n का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक) सभी प्रमुख कारकों का उत्पाद है जो m और 'दोनों में हैं 'n (m और n'' के लिए सबसे छोटी बहुलता के साथ)।
 * m और n coprime हैं (अपेक्षाकृत प्राइम भी कहा जाता है) अगर gcd(m, n) = 1 (अर्थात् उनके पास कोई सामान्य प्रमुख कारक नहीं है)।
 * lcm(m, n) (m और n का लघुत्तम समापवर्तक) m या n' के सभी प्रमुख कारकों का गुणनफल है ' (एम या एन'' के लिए सबसे बड़ी बहुलता के साथ)।
 * gcd(m, n) × lcm(m, n) = m × n. अन्य एल्गोरिदम का उपयोग करके gcd और lcm की गणना करने की तुलना में प्रमुख कारकों को खोजना अक्सर कठिन होता है, जिन्हें ज्ञात प्रधान गुणनखंड की आवश्यकता नहीं होती है।
 * m n का विभाजक है (जिसे m n को विभाजित करता है, या n m से विभाज्य है) यदि सभी प्रमुख कारक हैं एम की कम से कम एन में उतनी ही बहुलता है।

यह भी देखें


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