स्रोत क्षेत्र

सैद्धांतिक भौतिकी में, स्रोत क्षेत्र एक पृष्ठभूमि क्षेत्र $$J$$ है जो मूल क्षेत्र $$\phi$$ से जुड़ा हुआ हैː
 * $$ S_{source} = J\phi$$.

यह शब्द फेनमैन के पथ अभिन्न सूत्रीकरण में क्रिया में प्रकट होता है और सिद्धांत अंतःक्रियाओं के लिए उत्तरदायी है। श्विंगर के सूत्रीकरण में स्रोत कणों को बनाने या नष्ट करने (पता लगाने) के लिए उत्तरदायी है। टकराव की प्रतिक्रिया में स्रोत टकराव में अन्य कणों को सम्मिलित कर सकता है। इसलिए, स्रोत सिद्धांत के सहसंबंध फलन (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत) पर दोनों ओर से अभिनय करने वाले वैक्यूम आयाम में दिखाई देता है।

इस प्रकार से श्विंगर का स्रोत सिद्धांत श्विंगर के क्वांटम क्रिया सिद्धांत से उत्पन्न होता है और पथ अभिन्न सूत्रीकरण से संबंधित हो सकता है क्योंकि प्रति से $$\delta J$$ स्रोत के संबंध में भिन्नता क्षेत्र $$\phi$$ से मेल खाती है अर्थात।

$$\delta J=\int \mathcal{D}\phi ~ e^{-i\int dt ~ J(t)\phi(t)}$$.

इसके अतिरिक्त, एक स्रोत स्पेसटाइम के क्षेत्र में प्रभावी रूप से कार्य करता है। जैसा कि नीचे दिए गए उदाहरणों में देखा जा सकता है, स्रोत क्षेत्र $$\phi$$ के लिए गति के समीकरणों (सामान्यतः दूसरे क्रम के आंशिक अंतर समीकरण) के दाईं ओर दिखाई देता है. जब क्षेत्र $$\phi$$ विद्युत चुम्बकीय क्षमता या मीट्रिक टेंसर है, स्रोत क्षेत्र क्रमशः विद्युत प्रवाह या तनाव-ऊर्जा टेंसर है।

सांख्यिकीय और गैर-सापेक्षतावादी अनुप्रयोगों के संदर्भ में, श्विंगर का स्रोत सूत्रीकरण कई गैर-संतुलन प्रणालियों को समझने में महत्वपूर्ण नियम निभाता है। स्रोत सिद्धांत सैद्धांतिक रूप से महत्वपूर्ण है क्योंकि इसमें न तो विचलन नियमितीकरण और न ही पुनर्सामान्यीकरण की आवश्यकता है।

पथ अभिन्न सूत्रीकरण और स्रोत सूत्रीकरण के बीच संबंध
फेनमैन के पथ में सामान्यीकरण $$\mathcal{N}\equiv Z[J=0]$$ विभाजन फलन (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत) के साथ अभिन्न सूत्रीकरण,

$$Z[J]=\mathcal{N}\int \mathcal{D}\phi ~ e^{-i\int dt ~ [\mathcal{L}(t;\phi,\dot{\phi})+J(t)\phi(t)]}$$

प्रोपेगेटर ग्रीन के कार्य (सहसंबंध कार्य (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत)) उत्पन्न करता हैː

$$G(t_1,\cdots,t_N)=\frac{\delta}{i\delta J(t_1)}\cdots\frac{\delta}{i\delta J(t_N)}Z[J]\Bigg|_{J=0}$$.

यह समझने के लिए कि $$J$$, $$\phi$$ का एक बाहरी ड्राइविंग स्रोत है, क्वांटम वैरिएबल पद्धति को प्रयुक्त करता है। संभाव्यता सिद्धांत के दृष्टिकोण से, $$Z[J] $$ को फलन $$e^{J\phi} $$ के अपेक्षित मूल्य के रूप में देखा जा सकता है। यह एक टॉय मॉडल के रूप में फोर्स्ड हार्मोनिक ऑसिलेटर के हैमिल्टनियन पर विचार करने के लिए प्रेरित करता है।

$$\mathcal{H}=E\hat{a}^{\dagger}\hat{a}-\frac{1}{\sqrt{2E}}(J\hat{a}^{\dagger}+J^{*}a)$$ जहाँ $$E^2=m^2+\vec{p}^2 $$.

वास्तव में, धारा वास्तविक है, अर्थात् $$J=J^{*}$$. और लैग्रेंजियन $$\mathcal{L}=i\hat{a}^{\dagger}\partial_0(\hat{a})-\mathcal{H}$$ है. अब से हम टोपी और तारांकन हटा देते हैं। इस प्रकार से याद रखें कि विहित परिमाणीकरण या वास्तविक अदिश क्षेत्र $$\phi\sim (a^{\dagger}+a)$$ दर्शाता है. विभाजन फलन और उसके सहसंबंधकों के बीच संबंध के प्रकाश में, निर्वात आयाम की भिन्नता मिलती है

$$\delta_J\langle0,x'_0|0,x_0\rangle_J=i\Big\langle0,x'_0\Big|\int^{x'_0}_{x_0}dx_0 ~ \delta J\Big(a^{\dagger}+a\Big) \Big|0,x_0~\Big\rangle_J$$, जहाँ $$x_0'>x_0> x_0$$.

चूंकि अभिन्न अंग समय क्षेत्र में है, कोई फूरियर इसे निर्माण/विनाश ऑपरेटरों के साथ मिलकर रूपांतरित कर सकता है, जैसे कि आयाम अंततः बन जाता है

$$\langle0,x'_0|0,x''_0\rangle_J=\exp{\Big[\frac{i}{2\pi}\int df ~ J(f)\frac{1}{f-E}J(-f)\Big]}$$.

यह ध्यान करना सरल है कि $$f=E$$ यहां विलक्षणता है. फिर, हम $$i\epsilon$$-प्रिस्क्रिप्शन इसका फायदा उठा सकते हैं और पोल $$f-E+i\epsilon$$ को इस प्रकार स्थानांतरित कर सकते हैं कि $$x_0> x_0'$$ के लिए ग्रीन का कार्य प्राप्त होː

$$\begin{align} \langle 0|0\rangle_{J} &= \exp{\Big[\frac{i}{2}\int dx_0~dx'_0J(x_0)\Delta(x_0-x'_0)J(x'_0)\Big]} \\ &\Delta(x_0-x'_0) =\int \frac{df}{2\pi}\frac{e^{-if(x_0-x'_0)}}{f-E+i\epsilon} \end{align} $$

चूंकि अंतिम परिणाम अदिश क्षेत्रों की परस्पर क्रिया के लिए श्विंगर का स्रोत सिद्धांत है और इसे किसी भी स्पेसटाइम क्षेत्र में सामान्यीकृत किया जा सकता है। इस प्रकार से नीचे विचार किए गए उदाहरण मीट्रिक $$\eta_{\mu\nu}=\text{diag}(1,-1,-1,-1) $$ का अनुसरण करते हैं.

अदिश क्षेत्रों के लिए स्रोत सिद्धांत
इस प्रकार कारण क्षोभ सिद्धांत दर्शाता है कि स्रोत कैसे वीक विधि से कार्य करते हैं। स्पिन-0 कण $$J_e$$ उत्सर्जित करने वाले एक वीक स्रोत के लिए निर्वात अवस्था पर संभाव्यता आयाम $$\langle 0|0\rangle_{J_{e}}\sim1$$ के साथ कार्य करके गति $$p$$ और आयाम $$\langle p|0\rangle_{J_{e}}$$ के साथ एक एकल कण निश्चित स्पेसटाइम क्षेत्र $$x'$$ के अन्दर बनाया जाता है, फिर, एक अन्य वीक स्रोत $$J_a$$ उस एकल कण को दूसरे स्पेसटाइम के अन्दर अवशोषित कर लेता है। क्षेत्र $$x$$ इस प्रकार है कि आयाम $$\langle 0|p\rangle_{J_{a}}$$ हो जाता है इस तरह, पूर्ण निर्वात आयाम द्वारा दिया जाता हैː

$$\langle 0|0\rangle_{J_{e}+J_{a}}\sim1+\frac{i}{2}\int dx~dx'J_a(x)\Delta(x-x')J_e(x') $$

जहाँ $$\Delta(x-x') $$ सूत्रों का प्रचारक (सहसंबंधक) है। अंतिम आयाम का दूसरा पद विभाजन फलन (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत) या मुक्त सिद्धांतों को परिभाषित करता है। और कुछ अंतःक्रिया सिद्धांत के लिए, अदिश क्षेत्र $$\phi$$का धारा $$J$$ से लैग्रेंजियन इस प्रकार दिया जाता हैː

$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}\partial_{\mu}\phi\partial^{\mu}\phi-\frac{1}{2}m^2\phi^2+J\phi.$$

यदि कोई द्रव्यमान पद में $$-i\epsilon$$ जोड़ता है तो फूरियर $$J$$ और $$\phi$$ दोनों को संवेग स्थान में रूपांतरित करता है, निर्वात आयाम बन जाता हैː

$$\langle 0|0\rangle=\exp{\left(\frac{i}{2}\int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\left[\tilde{\phi}(p)(p_{\mu}p^{\mu}-m^2+i\epsilon)\tilde{\phi}(-p)+J(p)\frac{1}{p_{\mu}p^{\mu}-m^2+i\epsilon}J(-p)\right]\right)} $$,

जहाँ $$\tilde{\phi}(p)=\phi(p)+\frac{J(p)}{p_{\mu}p^{\mu}-m^2+i\epsilon}. $$ यह नोटिस करना सरल है कि उपरोक्त आयाम में $$\tilde{\phi}(p)(p_{\mu}p^{\mu}-m^2+i\epsilon)\tilde{\phi}(-p) $$पद फूरियर को $$\tilde{\phi}(x)(\Box+m^2)\tilde{\phi}(x)=\tilde{\phi}(x)J(x) $$ अर्थात, $$(\Box+m^2)\tilde{\phi}=J $$. में रूपांतरित किया जा सकता है।

इस प्रकार, विभाजन फलन (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत) स्केलर सिद्धांत विभाजन फलन से निम्नानुसार प्राप्त किया जाता है। अंतिम परिणाम हमें विभाजन फलन को इस प्रकार पढ़ने की अनुमति देता है

$$Z[J]=Z[0]e^{\frac{i}{2}\langle J(y)\Delta(y-y')J(y')\rangle} $$, जहाँ $$Z[0]=\int \mathcal{D}\tilde{\phi} ~ e^{-i\int dt ~ [\frac{1}{2}\partial_{\mu}\tilde{\phi}\partial^{\mu}\tilde{\phi}-\frac{1}{2}(m^2-i\epsilon)\tilde{\phi}^2]}$$, और $$\langle J(y)\Delta(y-y')J(y')\rangle $$ स्रोत $$\langle0|0\rangle_{J} $$ द्वारा प्राप्त निर्वात आयाम है. परिणामस्वारूप, प्रचारक को विभाजन फलन को निम्नानुसार अलग करके परिभाषित किया गया है।

$$\begin{align} \frac{-1}{Z[0]}\frac{\delta^2 Z[J]}{\delta J(x) \delta J(x')} \Bigg\vert_{J=0} &= \frac{-1}{2Z[0]}\frac{\delta}{\delta J(x)} \Bigg\{ Z[J] \left( \int d^4y' \Delta(x'-y') J(y') + \int d^4y J(y) \Delta(y-x') \right) \Bigg\} \Bigg\vert_{J=0} = \frac{Z[J] }{Z[0]} \Delta(x-x') \Bigg\vert_{J=0} \\ \quad\\ &= \Delta(x-x'). \end{align} $$

यह नीचे माध्य क्षेत्र सन्निकटन पर विचार करने को प्रेरित करता है।

प्रभावी क्रिया, माध्य क्षेत्र सन्निकटन, और शीर्ष फलन
श्विंगर के स्रोत सिद्धांत के आधार पर, स्टीवन वेनबर्ग ने प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत की नींव स्थापित की, जिसे भौतिकविदों के बीच व्यापक रूप से सराहा गया है। जूलियन श्विंगर कैरियर के अतिरिक्त, वेनबर्ग ने इस सैद्धांतिक ढांचे को उत्प्रेरित करने का श्रेय श्विंगर को दिया।

ग्रीन के सभी कार्यों को औपचारिक रूप से विभाजन राशि के टेलर विस्तार के माध्यम से स्रोत क्षेत्रों के फलन के रूप में माना जा सकता है। यह विधि सामान्यतः क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के पथ अभिन्न सूत्रीकरण में उपयोग की जाती है। सामान्य विधि जिसके द्वारा ऐसे स्रोत क्षेत्रों का उपयोग क्वांटम, सांख्यिकीय-यांत्रिकी और अन्य प्रणालियों दोनों में प्रचारक प्राप्त करने के लिए किया जाता है, निम्नानुसार उल्लिखित है। विक-घुमाए गए आयाम $$W[J]=-i\ln(\langle 0|0 \rangle_{J}) $$ के संदर्भ में विभाजन फलन को फिर से परिभाषित करने पर, विभाजन फलन $$Z[J]=e^{iW[J]} $$ बन जाता है. कोई $$F[J]=iW[J] $$ परिचय करा सकता है, जो थर्मल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में मुक्त ऊर्जा के रूप में व्यवहार करता है, सम्मिश्र संख्या को अवशोषित करने के लिए, और इसलिए $$\ln Z[J]=F[J] $$. फलन $$F[J] $$ इसे घटी हुई क्वांटम क्रिया भी कहा जाता है। और पौराणिक परिवर्तन की सहायता से, हम नई प्रभावी ऊर्जा कार्यात्मकता या प्रभावी क्षेत्र, का आविष्कार कर सकते हैं,

जैसेː$$\Gamma[\bar{\phi}]=W[J]-\int d^4x J(x)\bar(x) $$, परिवर्तनों के साथ

$$\frac{\delta W}{\delta J} =\bar{\phi}~,~\frac{\delta W}{\delta J}\Bigg|_{J=0} =\langle\phi\rangle~,~\frac{\delta \Gamma[\bar{\phi}]}{\delta \bar{\phi}}\Bigg|_{J} =-J~,~\frac{\delta \Gamma[\bar{\phi}]}{\delta \bar{\phi}}\Bigg|_{\bar{\phi}=\langle\phi\rangle} =0. $$

प्रभावी क्षेत्र की परिभाषा में एकीकरण को $$\phi$$ से अधिक योग के साथ प्रतिस्थापित करने की अनुमति है, अर्थात।,

$$\Gamma[\bar{\phi}]=W[J]-J_a(x)\bar^a(x) $$.

$$\langle\phi\rangle $$ h> को माध्य-क्षेत्र सिद्धांत स्पष्ट रूप से इसलिए कहा जाता है क्योंकि $$\langle\phi\rangle=\frac{\int \mathcal{D}\phi ~ e^{-i\int dt ~ [\mathcal{L}(t;\phi,\dot{\phi})+J(t)\phi(t)]}~\phi~}{Z[J]/\mathcal{N}}$$, जबकि $$\bar{\phi} $$ पृष्ठभूमि क्षेत्र विधि है. एक क्षेत्र $$\phi$$ मौलिक भाग $$\bar{\phi}$$ और उतार-चढ़ाव वाला भाग $$\eta$$, अर्थात।, $$\phi=\bar{\phi}+\eta$$,में विघटित हो गया है इसलिए निर्वात आयाम को इस रूप में पुनः प्रस्तुत किया जा सकता है

$$e^{i\Gamma[\bar{\phi}]}=\mathcal{N}\int \exp{\Bigg\{i\Big[S[\phi]-\Big(\frac{\delta}{\delta\bar{\phi}}\Gamma[\bar{\phi}]\Big)\eta\Big]}\Bigg\}~d\phi$$,

और कोई भी फलन $$\mathcal{F}[\phi]$$ परिभाषित किया जाता है

$$\langle\mathcal{F}[\phi]\rangle=e^{-i\Gamma[\bar{\phi}]}~\mathcal{N}\int \mathcal{F}[\phi] ~\exp{\Bigg\{i\Big[S[\phi]-\Big(\frac{\delta}{\delta\bar{\phi}}\Gamma[\bar{\phi}]\Big)\eta\Big]}\Bigg\}~d\phi$$,

जहाँ $$S[\phi]$$ मुक्त लैग्रेन्जियन की क्रिया है। अंतिम दो अभिन्न अंग किसी भी प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत के स्तंभ हैं। यह निर्माण प्रकीर्णन (एलएसजेड कटौती सूत्र), सहज समरूपता टूटने, वार्ड पहचान, गैर-रेखीय सिग्मा मॉडल, और कम-ऊर्जा प्रभावी सिद्धांतों का अध्ययन करने में अपरिहार्य है। इसके अतिरिक्त, यह सैद्धांतिक रूप क्वांटम गुरुत्व के लिए विहित क्वांटम गुरुत्व प्रभावी सिद्धांत विकसित करने पर विचारों की श्रृंखला प्रारंभ करता है, जिसे मुख्य रूप से ब्राइस डेविट द्वारा प्रचारित किया गया था जो श्विंगर के पीएचडी छात्र थे।

क्रियाओं के ग्रीन फलन पर वापस जाएँ। तब से $$\Gamma[\bar{\phi}]$$ ,$$F[J]$$का लीजेंड्रे रूपांतरण है, और $$F[J]$$ एन-पॉइंट उर्सेल फलन सहसंबंधक $$G^{N,~c}_{F[J]}=\frac{\delta F[J]}{\delta J(x_1)\cdots \delta J(x_N)}\Big|_{J=0}$$ को परिभाषित करता है तो $$F[J]$$ , से प्राप्त संबंधित सहसंबंधक से प्राप्त किया गया , जिसे शीर्ष फलन के रूप में जाना जाता है, $$G^{N,~c}_{\Gamma[J]}=\frac{\delta \Gamma[\bar{\phi}]}{\delta \bar{\phi}(x_1)\cdots \delta\bar{\phi}(x_N)}\Big|_{\bar{\phi}=\langle\phi\rangle}$$द्वारा दिया जाता है. परिणामस्वारूप, एक कण इरेड्यूसिबल ग्राफ़

(सामान्यतः 11पीआई के रूप में संक्षिप्त) में, जुड़े हुए 2-बिंदु $$F $$-सहसंबंधक को 2-बिंदु $$\Gamma $$-सहसंबंधक, के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया गया है अर्थात, सामान्य रूप से कम किया गया सहसंबंध $$G^{(2)}_{F[J]}=\frac{\delta \bar{\phi}(x_1)}{\delta J(x_2)}\Big|_{J=0}=\frac{1}{p_{\mu}p^{\mu}-m^2} $$ है ,

और प्रभावी सहसंबंध हैː

$$G^{(2)}_{\Gamma[\phi]}=\frac{\delta J(x_1)}{\delta \bar{\phi}(x_2)}\Big|_{\bar{\phi}=\langle\phi\rangle}=p_{\mu}p^{\mu}-m^2 $$.

सदिश क्षेत्रों के लिए स्रोत सिद्धांत
एक वीक स्रोत के लिए जो सामान्य धारा $$J=J_e+J_a$$ के साथ प्रोका क्रिया मिसिव स्पिन-1 कण उत्पन्न करता है विभिन्न कारण अंतरिक्ष-समय बिंदुओं $$x_0> x_0'$$ पर कार्य करना, निर्वात आयाम है

$$\langle 0|0\rangle_{J}=\exp{\left(\frac{i}{2}\int dx~dx'\left[J_{\mu}(x)\Delta(x-x')J^{\mu}(x')+\frac{1}{m^2}\partial_{\mu }J^{\mu}(x)\Delta(x-x')\partial'_{\nu}J^{\nu}(x')\right]\right)} $$

संवेग स्थान में, स्पिन-1 कण विश्राम द्रव्यमान $$m $$ के साथ निश्चित गति $$p_{\mu}=(m,0,0,0) $$ है इसके बाकी फ्रेम में, अर्थात $$p_{\mu}p^{\mu}=m^2 $$. फिर, आयाम देता है

$$\begin{alignat}{2} (J_{\mu}(p))^T~J^{\mu}(p)-\frac{1}{m^2}(p_{\mu }J^{\mu}(p))^T~p_{\nu}J^{\nu}(p) & =(J_{\mu}(p))^T~J^{\mu}(p)-(J^{\mu}(p))^T~\frac{p_{\mu }p_{\nu}}{p_{\sigma}p^{\sigma}}\Big|_{on-shell}~J^{\nu}(p) \\ & =(J^{\mu}(p))^T~\left[\eta_{\mu\nu}-\frac{p_{\mu }p_{\nu}}{m^2}\right]~J^{\nu}(p)

\end{alignat} $$

जहाँ $$\eta_{\mu\nu}=\text{diag}(1,-1,-1,-1) $$ और $$(J_{\mu}(p))^T $$ ,$$J_{\mu}(p) $$ का स्थानांतरण है. अंतिम परिणाम कॉन्फ़िगरेशन स्थान में वैक्यूम आयाम में प्रयुक्त प्रोपेगेटर से मेल खाता है, अर्थात,

$$\langle 0|TA_{\mu}(x)A_{\nu}(x')|0\rangle=-i\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\frac{1}{p_{\alpha}p^{\alpha}+i\epsilon}\left[\eta_{\mu\nu}-(1-\xi)\frac{p_{\mu }p_{\nu}}{p_{\sigma}p^{\sigma}-\xi m^2}\right]e^{ip^{\mu}(x_{\mu}-x'_{\mu})} $$.

जब $$\xi=1 $$, चुना हुआ फेनमैन-'टी हूफ्ट प्रोपेगेटर गेज-फिक्सिंग स्पिन- 1 को द्रव्यमानहीन बनाता है। और जब $$\xi=0 $$, चयनित लैंडौ गेज फिक्सिंग| स्पिन-1 को बड़े माप पर बनाती है। क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स में अध्ययन के अनुसार द्रव्यमान रहित स्तिथि स्पष्ट है। यह विशाल स्तिथि अधिक रुचि है क्योंकि वर्तमान को संरक्षित करने की मांग नहीं की गई है। चूंकि, करंट को उसी तरह से सुधारा जा सकता है जैसे बेलिनफेंटे-रोसेनफेल्ड तनाव-ऊर्जा टेंसर बेलिनफेंटे-रोसेनफेल्ड टेंसर में सुधार किया जाता है जिससे यह संरक्षित रहे। और विशाल सदिश के लिए गति का समीकरण प्राप्त करने के लिए, कोई परिभाषित कर सकता है

$$W[J]=-i\ln(\langle 0|0\rangle_{J})=\frac{1}{2}\int dx~dx'\left[J_{\mu}(x)\Delta(x-x')J^{\mu}(x')+\frac{1}{m^2}\partial_{\mu }J^{\mu}(x)\Delta(x-x')\partial'_{\nu}J^{\nu}(x')\right]. $$

विशाल स्पिन-1 क्षेत्र की परिभाषा प्राप्त करने के लिए कोई दूसरे पद पर भाग द्वारा एकीकरण प्रयुक्त कर सकता है और फिर $$\int dx J_{\mu}(x)$$ को एकल कर सकता है

$$A_{\mu}(x)\equiv\int dx'\Delta(x-x')J^{\mu}(x')-\frac{1}{m^2}\partial_{\mu }\left[\int dx'\Delta(x-x')\partial'_{\nu}J^{\nu}(x')\right]. $$

इसके अतिरिक्त, उपरोक्त समीकरण यह कहता है कि $$\partial_{\mu}A^{\mu}=(1/m^2)\partial_{\mu}J^{\mu} $$. इस प्रकार, गति का समीकरण निम्नलिखित में से किसी भी रूप में लिखा जा सकता है

$$\begin{align} (\Box+m^2)A_{\mu}=J_{\mu}+\frac{1}{m^2}\partial_{\nu}\partial_{\mu}J^{\nu},\\ (\Box+m^2)A_{\mu}+\partial_{\nu}\partial_{\mu}A^{\nu}=J_{\mu}. \end{align} $$

उच्च माप पर पूर्णतः सममित स्पिन-2 क्षेत्र के लिए स्रोत सिद्धांत
एक समतल मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष में वीक स्रोत के लिए, सामान्य पुनर्परिभाषित ऊर्जा-संवेग टेंसर के साथ विशाल गुरुत्वाकर्षण मिसाइल स्पिन -2 कण को ​​अवशोषित करना, जो वर्तमान के रूप में कार्य करता है, $$\bar{T}^{\mu\nu}=T^{\mu\nu}-\frac{1}{3}\eta_{\mu\alpha}\bar{\eta}_{\nu\beta}T^{\alpha\beta}$$,

जहाँ $$\bar{\eta}_{\mu\nu}(p)=(\eta_{\mu\nu}-\frac{1}{m^2}p_{\mu }p_{\nu}) $$ वैक्यूम ध्रुवीकरण या वैक्यूम ध्रुवीकरण टेंसर है, कॉम्पैक्ट रूप में वैक्यूम आयाम है

$$\begin{align} \langle 0|0\rangle_{\bar{T}}=\exp\Big(-\frac{i}{2}\int \Big[\bar{T}_{\mu\nu}(x)\Delta(x-x')\bar{T}^{\mu\nu}(x') &+\frac{2}{m^2}\eta_{\lambda\nu}\partial_{\mu }\bar{T}^{\mu\nu}(x)\Delta(x-x')\partial'_{\kappa}\bar{T}^{\kappa\lambda}(x')\\ &+\frac{1}{m^4}\partial_{\mu }\partial_{\nu }\bar{T}^{\mu\nu}(x)\Delta(x-x')\partial'_{\kappa}\partial'_{\lambda} \bar{T}^{\kappa\lambda}(x')\Big] dx~dx' \Big),

\end{align} $$

या

$$\begin{align} \langle 0|0\rangle_{T}=\exp\Bigg(-\frac{i}{2}\int&\Bigg[T_{\mu\nu}(x)\Delta(x-x')T^{\mu\nu}(x') +\frac{2}{m^2}\eta_{\lambda\nu}\partial_{\mu }T^{\mu\nu}(x)\Delta(x-x')\partial'_{\kappa}T^{\kappa\lambda}(x')\\ &+\frac{1}{m^4}\partial_{\mu }\partial_{\mu }T^{\mu\nu}(x)\Delta(x-x')\partial'_{\kappa}\partial'_{\lambda}T^{\kappa\lambda}(x')\\ & -\frac{1}{3}\left(\eta_{\mu\nu} T^{\mu\nu}(x)-\frac{1}{m^2}\partial_{\mu }\partial_{\nu }T^{\mu\nu}(x)\right)\Delta(x-x')\left(\eta_{\kappa\lambda} T^{\kappa\lambda}(x')-\frac{1}{m^2}\partial'_{\kappa }\partial'_{\lambda }T^{\kappa\lambda}(x')\right) \Bigg]dx~dx' \Bigg). \end{align} $$

संवेग स्थान में यह आयाम देता है (ट्रांसपोज़ अंतर्निहित है)

$$\begin{align} \bar{T}_{\mu\nu}(p)\eta^{\mu\kappa}\eta^{\nu\lambda}\bar{T}_{\kappa\lambda}(p) & -\frac{1}{m^2}\bar{T}_{\mu\nu}(p)\eta^{\mu\kappa}p^{\nu }p^{\lambda}\bar{T}_{\kappa\lambda}(p)\\ &-\frac{1}{m^2}\bar{T}_{\mu\nu}(p)\eta^{\nu\lambda}p^{\mu }p^{\kappa}\bar{T}_{\kappa\lambda}(p)+\frac{1}{m^4}\bar{T}_{\mu\nu}(p)p^{\mu }p^{\nu }p^{\kappa}p^{\lambda}\bar{T}_{\kappa\lambda}(p)= \end{align} $$

$$\begin{align} \eta^{\mu\kappa}\Big( \bar{T}_{\mu\nu}(p)\eta^{\nu\lambda}\bar{T}_{\kappa\lambda}(p)&-\frac{1}{m^2}\bar{T}_{\mu\nu}(p)p^{\nu }p^{\lambda}\bar{T}_{\kappa\lambda}(p)\Big)\\ &-\frac{1}{m^2}p^{\mu }p^{\kappa}\Big(\bar{T}_{\mu\nu}(p)\eta^{\nu\lambda}\bar{T}_{\kappa\lambda}(p)-\frac{1}{m^2}\bar{T}_{\mu\nu}(p)p^{\nu }p^{\lambda}\bar{T}_{\kappa\lambda}(p)\Big)=\\ \Big(\eta^{\mu\kappa}-\frac{1}{m^2}p^{\mu }p^{\kappa}\Big)\Big( & \bar{T}_{\mu\nu}(p)\eta^{\nu\lambda}\bar{T}_{\kappa\lambda}(p)-\frac{1}{m^2}\bar{T}_{\mu\nu}(p)p^{\nu }p^{\lambda}\bar{T}_{\kappa\lambda}(p)\Big)=\\ & \bar{T}_{\mu\nu}(p)\Big(\eta^{\mu\kappa}-\frac{1}{m^2}p^{\mu }p^{\kappa}\Big)\Big(\eta^{\nu\lambda}-\frac{1}{m^2}p^{\nu }p^{\lambda}\Big)\bar{T}_{\kappa\lambda}(p). \end{align} $$

और स्रोत के सममित गुणों की सहायता से, अंतिम परिणाम $$T^{\mu\nu}(p)\Pi_{\mu\nu\kappa\lambda}(p)T^{\kappa\lambda}(p) $$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है, जहां प्रोजेक्शन ऑपरेटर, या जैकोबी फील्ड ऑपरेटर का फूरियर रूपांतरण $$\Pi_{\mu\nu\kappa\lambda}(p)=\frac{1}{2}\Big(\bar{\eta}_{\mu\kappa}(p)\bar{\eta}_{\nu\lambda}(p)+\bar{\eta}_{\mu\lambda}(p)\bar{\eta}_{\nu\kappa}(p)-\frac{2}{3}\bar{\eta}_{\mu\nu}(p)\bar{\eta}_{\kappa\lambda}(p)\Big) $$ श्विंगर के वैरिएबल सिद्धांत पर पीयरल्स ब्रैकेट को प्रयुक्त करके प्राप्त किया गया है।

एन-आयामी फ्लैट स्पेसटाइम में, 2/3 को 2/(एन-1) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। और रैखिककृत गुरुत्वाकर्षण द्रव्यमान रहित स्पिन-2 क्षेत्रों के लिए, प्रोपेगेटर ग्रेविटॉन प्रोपेगेटर $$\Pi^{m=0}_{\mu\nu\kappa\lambda}=\frac{1}{2}\Big(\eta_{\mu\kappa}\eta_{\nu\lambda}+\eta_{\mu\lambda}\eta_{\nu\kappa}-\frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}\eta_{\kappa\lambda}\Big) $$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है।

वार्ड-ताकाहाशी पहचान की सहायता से, प्रोजेक्टर ऑपरेटर क्षेत्र के सममित गुणों, वर्तमान के संरक्षण क्रिया और स्वतंत्रता की अनुमत भौतिक डिग्री की जांच करने के लिए महत्वपूर्ण है।

यह ध्यान देने योग्य है कि वैक्यूम ध्रुवीकरण टेंसर $$\bar{\eta}_{\nu\beta}$$ और उत्तम ऊर्जा गति टेंसर $$\bar{T}^{\mu\nu}$$ विशाल गुरुत्वाकर्षण के प्रारंभिक संस्करणों में दिखाई देते हैं। रुचि तथ्य यह है कि दो स्रोतों के बीच एकल स्पिन-2 क्षेत्र के आदान-प्रदान के 1970 के प्रारंभिक अध्ययनों में प्राप्त स्पष्ट विसंबंधितियों के कारण बड़े माप पर गुरुत्वाकर्षण सिद्धांतों को हाल तक व्यापक रूप से सराहना नहीं मिली है। किन्तु 2010 में डीआरजीटी दृष्टिकोण स्टुकेलबर्ग क्षेत्र के दोहन से पहले प्राप्त सभी घोस्ट्स और असंतोषों से मुक्त निरंतर सहसंयोजक बड़े माप पर सिद्धांत का नेतृत्व हुआ।

यदि कोई देखे $$\langle0|0\rangle_{T}$$ और बड़े माप पर स्पिन-1 क्षेत्र को परिभाषित करने के लिए उपयोग की जाने वाली समान प्रक्रिया का पालन करता है, तो बड़े माप पर स्पिन-2 क्षेत्र को परिभाषित करना सरल है

$$\begin{align} h_{\mu\nu}(x)&=\int\Delta(x-x')T^{\mu\nu}(x')dx' -\frac{1}{m^2}\partial_{\mu }\int\Delta(x-x')\partial'^{\kappa}T_{\kappa\nu}(x')dx'-\frac{1}{m^2}\partial_{\nu }\int\Delta(x-x')\partial'^{\kappa}T_{\kappa\mu}(x')dx'\\ &+\frac{1}{m^4}\partial_{\mu }\partial_{\mu }\int\Delta(x-x')\partial'_{\kappa}\partial'_{\lambda}T^{\kappa\lambda}(x')dx'\\ & -\frac{1}{3}\left(\eta_{\mu\nu}-\frac{1}{m^2}\partial_{\mu }\partial_{\mu }\right)\int\Delta(x-x')\left[\eta_{\kappa\lambda} T^{\kappa\lambda}(x')-\frac{1}{m^2}\partial'_{\kappa }\partial'_{\lambda }T^{\kappa\lambda}(x')\right] dx'. \end{align} $$

संबंधित विचलन स्थिति पढ़ी जाती है $$\partial^{\mu}h_{\mu\nu}-\partial_{\nu}h=\frac{1}{m^2}\partial^{\mu}T_{\mu\nu}$$, जहां वर्तमान $$\partial^{\mu}T_{\mu\nu}$$ आवश्यक रूप से संरक्षित नहीं है (यह द्रव्यमान रहित स्यिथि की तरह गेज की स्थिति नहीं है)। किन्तु बेलिनफेंटे-रोसेनफेल्ड निर्माण के अनुसार ऊर्जा-संवेग टेंसर को $$\mathfrak{T}_{\mu\nu}=T_{\mu\nu}-\frac{1}{4}\eta_{\mu\nu}\mathfrak{T}$$ जैसे $$\partial^{\mu}\mathfrak{T}_{\mu\nu}=0$$ उत्तम बनाया जा सकता है । इस प्रकार, गति का समीकरण

$$\left( \square+m^{2}\right)  h_{\mu\nu}=T_{\mu\nu}+\dfrac{1}{m^{2}}\left( \partial_{\mu}\partial^{\rho}T_{\rho\nu}+\partial_{\nu}\partial^{\rho} T_{\rho\mu}-\frac{1}{2}~\eta_{\mu\nu}\partial^{\rho}\partial^{\sigma} T_{\rho\sigma}\right)  +\frac{2}{3m^{4}}\left(  \partial_{\mu}\partial_{\nu }-\frac{1}{4}~\eta_{\mu\nu}\square\right)  \partial^{\rho}\partial^{\sigma }T_{\rho\sigma}$$

बन जाता है

$$\left( \square+m^{2}\right)  h_{\mu\nu}=\mathfrak{T}_{\mu\nu}-\frac{1}{4} ~\eta_{\mu\nu}\mathfrak{T}-\dfrac{1}{6m^{4}}\left( \partial_{\mu}\partial_{\nu }-\frac{1}{4}~\eta_{\mu\nu}\square\right)  \left(  \square+3m^{2}\right) \mathfrak{T}.$$

कोई गैर-भौतिक क्षेत्रों $$\partial^{\mu}h_{\mu\nu}$$ और $$h$$, को अलग करने के लिए विचलन स्थिति का उपयोग कर सकता है इसलिए गति के समीकरण को सरल बनाया गया हैː

$$\left( \square+M^{2}\right) h_{\mu\nu}=\mathfrak{T}_{\mu\nu}-\frac{1}{3} ~\eta_{\mu\nu}\mathfrak{T}-\frac{1}{3m^{2}}~\partial_{\mu}\partial_{\nu} \mathfrak{T}$$.

बड़े माप पर पूर्णतः सममित एकपक्षीय पूर्णांक स्पिन क्षेत्र के लिए स्रोत सिद्धांत
कोई $$T^{\mu\nu}(p) $$ स्रोत को सामान्यीकृत करके $$S^{\mu_1\cdots\mu_{\ell}}(p) $$ उच्च-स्पिन सिद्धांत बना सकता है, जैसे कि $$T^{\mu\nu}(p)\Pi_{\mu\nu\kappa\lambda}(p)T^{\kappa\lambda}(p) $$, $$S^{\mu_1\cdots\mu_{\ell}}(p) \Pi_{\mu_1\cdots\mu_{\ell}\nu_1\cdots\nu_{\ell}}(p) S^{\nu_1\cdots\nu_{\ell}}(p) $$ बन जाता है। सामान्यीकृत प्रक्षेपण ऑपरेटर निम्नानुसार मात्राबद्ध विद्युत चुम्बकीय सदिश क्षमता के विद्युत चुम्बकीय ध्रुवीकरण सदिश $$e^{\mu}_{m}(p) $$ को सामान्य बनाने में भी सहायता करता है। स्पेसटाइम पॉइंट $$x~ \text{and}~ x' $$ के लिए वृत्ताकार हार्मोनिक्स का जोड़ प्रमेय दर्शाता है

$$x^{\mu_1}\cdots x^{\mu_{\ell}} \Pi_{\mu_1\cdots\mu_{\ell}\nu_1\cdots\nu_{\ell}}(p) x'^{\nu_1}\cdots x'^{\nu_{\ell}}=\frac{2^\ell(\ell!)^2}{(2\ell) !}\frac{4\pi}{2\ell+ 1}\sum\limits^{\ell}_{m=-\ell}Y_{\ell,m}(x)Y_{\ell,m}^{*}(x') $$.

इसके अतिरिक्त, वृत्ताकार हार्मोनिक्स या डिग्री के सम्मिश्र-मूल्यवान सजातीय बहुपदो के स्थान के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के साथ संबंध $$\ell $$ इकाई (एन-1)-क्षेत्र पर ध्रुवीकरण टेंसर को इस प्रकार परिभाषित करता है $$e_{(m)}(x_1,\dots,x_n) = \sum_{i_1\dots i_\ell} e_{(m)i_1\dots i_\ell}x_{i_1}\cdots x_{i_\ell},~ \forall x_i\in S^{N-1}.$$फिर, सामान्यीकृत ध्रुवीकरण सदिश $$e^{\mu_{1}\cdots\mu_{\ell}}(p)~ x_{\mu_{1}}\cdots x_{\mu_{\ell}}=\sqrt{\frac{2^\ell(\ell!)^2}{(2\ell) !}\frac{4\pi}{2\ell+ 1}}Y_{\ell,m}(x) $$ है.

और प्रोजेक्शन ऑपरेटर को $$\Pi^{\mu_1\cdots\mu_{\ell}\nu_1\cdots\nu_{\ell}}(p)=\sum\limits^{\ell}_{m=-\ell}[e^{\mu_1\cdots \mu_{\ell}}_{m}(p)]~[e^{\nu_1\cdots \nu_{\ell}}_{m}(p)]^* $$ इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है.

प्रक्षेपण ऑपरेटर के सममित गुण संवेग स्थान में निर्वात आयाम से निपटना सरल बनाते हैं। इसलिए हम इसे कॉन्फ़िगरेशन स्थान में सहसंबंधक $$\Delta(x-x') $$ के रूप में व्यक्त करते हैं, हम लिखते हैंː

$$\langle0|0\rangle_S=\exp{\Big[\frac{i}{2}\int\frac{dp^4}{(2\pi)^4}S^{\mu_1\cdots\mu_{\ell}}(-p) \frac{\Pi_{\mu_1\cdots\mu_{\ell}\nu_1\cdots\nu_{\ell}}(p)}{p_{\sigma}p^{\sigma}-m^2+i\epsilon} S^{\nu_1\cdots\nu_{\ell}}(p)\Big]} $$.

मिश्रित सममित एकपक्षीय स्पिन क्षेत्रों के लिए स्रोत सिद्धांत
इसके अतिरिक्त, कल्ब-रेमोंड क्षेत्र और एकपक्षीय आयामों और उच्च-स्पिन सिद्धांत में मिश्रित सममित गुणों के साथ काल्पनिक गेज क्षेत्रों का वर्णन करने के लिए स्रोत सिद्धांत को सामान्य बनाना सैद्धांतिक रूप से सुसंबंधित है। किन्तु सिद्धांत में स्वतंत्रता की अभौतिक डिग्री का ध्यान रखना चाहिए। उदाहरण के लिए एन-आयामों में और कर्टराइट क्षेत्र $$T_{[\mu\nu]\lambda}$$ और स्रोत के मिश्रित सममित द्रव्यमान रहित संस्करण के लिए$$S_{[\mu\nu]\lambda}=\partial_{\alpha}\partial^{\alpha}T_{[\mu\nu]\lambda}$$, निर्वात आयाम है

$$\langle 0|0\rangle_{S}=\exp{\left(-\frac{1}{2}\int dx~dx'\left[S_{[\mu\nu]\lambda}(x)\Delta(x-x')S_{[\mu\nu]\lambda}(x')+\frac{2}{3-N}S_{[\mu\alpha]\alpha}(x)\Delta(x-x')S_{[\mu\beta]\beta}(x')\right]\right)} $$ जो N=4 में सिद्धांत के लिए स्रोत को अंततः प्रकट करता है कि यह गैर भौतिक क्षेत्र का सिद्धांत है। चूंकि, दोहरा गुरुत्वाकर्षण N≥5 में बचता है।

एकपक्षीय अर्ध-पूर्णांक स्पिन क्षेत्र के लिए स्रोत सिद्धांत
जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है,स्पिन- $$\frac{1}{2}$$ के लिए फर्मियन प्रोपेगेटर 1⁄2 $$S(x-x')=(p \!\!\!/+m)\Delta(x-x')$$ और वर्तमान $$J=J_e+J_a$$ निर्वात आयाम है

$$\begin{align}

\langle 0|0\rangle_J & =\exp{\Bigg[\frac{i}{2}\int dxdx' ~J(x)~\Big(\gamma^0 S(x-x')\Big)~J(x') \Bigg] }\\

&=\langle 0|0\rangle_{J_e} \exp{\Bigg[ i \int dxdx' ~J_e(x)~\Big(\gamma^0 S(x-x')~\Big) ~J_a(x') \Bigg] }\langle 0|0\rangle_{J_a}.

\end{align}$$ संवेग स्थान में कम आयाम किसके द्वारा दिया जाता है?

$$W^{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{3}\int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}~J(-p)\Big[\gamma^0\frac{p \!\!\!/+m}{p^2-m^2}\Big]~J(p).$$

स्पिन के लिए-$$\frac{3}{2}$$ रारिटा-श्विंगर समीकरण|रारिटा-श्विंगर फर्मियन, $$\Pi_{\mu\nu}=\bar{\eta}_{\mu\nu}-\frac{1}{3}\gamma^{\alpha}\bar{\eta}_{\alpha\mu}\gamma^{\beta}\bar{\eta}_{\beta\nu}.$$ फिर, कोई भी प्राप्त करने के लिए $$\gamma_{\mu}=\eta_{\mu\nu}\gamma^{\nu}$$ और ऑन-शेल $$p\!\!\!/=-m$$ का उपयोग कर सकता है

$$\begin{align} W^{\frac{3}{2}} &=-\frac{2}{5}\int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}~J^{\mu}(-p)~\Big[\gamma^0\frac{(p\!\!\!/+m)\Big(\bar{\eta}_{\mu\nu}|_{on-shell}-\frac{1}{3}\gamma^{\alpha}\bar{\eta}_{\alpha\mu}|_{on-shell}\gamma^{\beta}\bar{\eta}_{\beta\nu}|_{on-shell}\Big)}{p^2-m^2}\Big]~J^{\nu}(p)\\ &=-\frac{2}{5}\int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}~J^{\mu}(-p)~\Big[\gamma^0\frac{(\eta_{\mu\nu}-\frac{p_{\mu}p_{\nu}}{m^2})(p\!\!\!/+m)-\frac{1}{3}\Big(\gamma_{\mu}+\frac{1}{m}p_{\mu}\Big)\Big(p\!\!\!/+m\Big)\Big(\gamma_{\nu}+\frac{1}{m}p_{\nu}\Big)}{p^2-m^2}\Big]~J^{\nu}(p). \end{align}$$

यदि स्रोत $$J_{\mu} $$ से प्रतिस्थापित कर दिया गया है तो कोई कम की गई मीट्रिक $$\bar{\eta}_{\mu\nu} $$ सामान्य के साथ $$\eta_{\mu\nu} $$ को प्रतिस्थापित कर सकता है

$$\bar{J}_{\mu}(p)=\frac{2}{5}\gamma^{\alpha}\Pi_{\mu\alpha\nu\beta}\gamma^{\beta}J^{\nu}(p). $$

स्पिन के लिए-$$(j+\frac{1}{2}) $$, उपरोक्त परिणामों को सामान्यीकृत किया जा सकता है

$$W^{j+\frac{1}{2}}=-\frac{j+1}{2j+3}\int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}~J^{\mu_1\cdots\mu_j}(-p)~\Big[\gamma^0\frac{~\gamma^{\alpha}~\Pi_{\mu_1\cdots\mu_j\alpha\nu_1\cdots\nu_j\beta}~\gamma^{\beta}}{p^2-m^2}\Big]~J^{\nu_1\cdots\nu_j}(p).$$ कारण $$\frac{j+1}{2j+3}$$ प्रक्षेपण ऑपरेटर के गुणों, धारा की ट्रेसलेसनेस और ऑपरेटर द्वारा प्रक्षेपित किए जाने के बाद धारा के संरक्षण से प्राप्त किया जाता है। ये स्थितियाँ को क्षेत्र पर फ़िर्ज़-पॉली से और फैंग-फ्रॉन्सडाल स्थितियाँ स्वयं प्राप्त की जा सकती हैं। विशाल क्षेत्रों के लैग्रेंजियन फॉर्मूलेशन और उनकी स्थितियों का अध्ययन लंबोदर सिंह और सी. आर. हेगन द्वारा किया गया था। प्रोजेक्शन ऑपरेटरों का गैर-सापेक्ष संस्करण, चार्ल्स ज़ेमाच द्वारा विकसित, जो श्विंगर का अन्य छात्र है, हैड्रॉन स्पेक्ट्रोस्कोपी में इसका भारी उपयोग किया जाता है। सहसंयोजक प्रक्षेपण ऑपरेटरों को प्रस्तुत करने के लिए ज़ेमाच की विधि को सापेक्षिक रूप से उत्तम बनाया जा सकता है।

यह भी देखें

 * क्लेडीश-श्विंगर औपचारिकता
 * श्विंगर फलन
 * विग्नर-बार्गमैन समीकरण
 * जोस-वेनबर्ग समीकरण