अर्बेलोस

ज्यामिति में, एक अर्बेलोस एक समतल क्षेत्र होता है जो तीन अर्धवृत्तों से घिरा होता है जिसमें तीन शीर्ष होते हैं जैसे कि प्रत्येक अर्धवृत्त का प्रत्येक कोना अन्य में से एक के साथ साझा किया जाता है, सभी एक सीधी रेखा के एक ही तरफ ("आधार रेखा") ) जिसमें उनके व्यास होते हैं।

इस आंकड़े का सबसे पहला ज्ञात संदर्भ आर्किमिडीज की नींबू की किताब में है, जहां इसके कुछ गणितीय गुणों को प्रस्ताव 4 से 8 के रूप में बताया गया है। अर्बेलोस शब्द 'शोमेकर्स नाइफ' के लिए ग्रीक है। यह आंकड़ा पप्पस श्रृंखला से निकटता से संबंधित है।

गुण
मनमाना व्यास के साथ दो अर्धवृत्त आवश्यक रूप से अवतल हैं तीसरा अर्धवृत्त व्यास के साथ  है

दो अर्धवृत्त आवश्यक रूप से अवतल होती हैं, माना व्यास $a$ और $b$ के साथ तीसरा अर्धवृत्त उत्तल होता है, जिसका वक्र $a+b.$ होता है।

क्षेत्र
अर्बेलोस का क्षेत्रफल व्यास $\overline{HA}$ वाले वृत्त के क्षेत्रफल के समान होता है.

उपपत्ति: प्रमाण के लिए, आर्बेलोस को बिंदु $B$ और $C$ से होकर जाने वाली रेखा पर प्रतिबिंबित करें, और निरीक्षण करे कि दो छोटे वृत्तों (व्यास वाले $\overline{BA}$, $\overline{AC}$ के सापेक्ष) को बड़े वृत्त के क्षेत्रफल (व्यास के साथ $\overline{BC}$) से घटाया जाता है. क्योंकी एक वृत्त का क्षेत्रफल व्यास के वर्ग के समानुपाती होता है (यूक्लिड के यूक्लिड के तत्व, पुस्तक XII, प्रस्ताव 2; हमें यह जानने की आवश्यकता नहीं होती है कि आनुपातिकता $\pi⁄4$ है ), यह दिखाने के लिए समस्या न्यूनतम हो जाती है

$$2|AH|^2 = |BC|^2 - |AC|^2 - |B|^2$$. लंबाई $|BC|$ लंबाई के योग $|BA|$ और $|AC|$, के समान है इसलिए यह समीकरण बीजगणितीय रूप से उस कथन $$|AH|^2 = |BA||AC|$$ को सरल करता है. इस प्रकार प्रमाण है कि खंड $\overline{AH}$ की लंबाई खंड की लंबाई का ज्यामितीय माध्य होता है अब त्रिभुज $BHC$, अर्धवृत्त में अंकित किया जा रहा है, बिंदु $H$ पर एक समकोण होता है, और परिणामस्वरूप $|HA|$ वास्तव में $|BA|$ तथा $|AC|$ के मध्य का एक औसत समानुपातिक माध्य होता है । यह प्रमाण प्राचीन यूनानी तर्क का अनुमान लगाता है; हेरोल्ड पी. बोस रोजर बी. नेल्सन के एक पेपर का हवाला देते हैं जिन्होंने इस विचार को बिना शब्दों के निम्नलिखित प्रमाण के रूप में प्रारंभ किया था।



आयत
मान लीजिए कि $D$ और $E$ वे बिंदु हों जहां खंड $\overline{BH}$ और $\overline{CH}$ क्रमशः अर्धवृत्तों $AB$ और $AC$ को प्रतिच्छेद करते हैं। चतुर्भुज $ADHE$ वास्तव में एक आयत है।
 * उपपत्ति: $∠BDA$, $∠BHC$, और $∠AEC$ समकोण हैं क्योंकि वे अर्धवृत्त (थेल्स के प्रमेय द्वारा) में खुदे हुए हैं। इसलिए चतुर्भुज $ADHE$ के तीन समकोण हैं, इसलिए यह एक आयत है।
 * मान लीजिए कि D और E वे बिंदु हैं जहां खण्ड BH और CH अर्द्धवृत्त AB और AC को प्रतिच्छेद करते हैं। चतुर्भुज ADHE वास्तव में एक आयत है।  उपपत्ति: ∠BDA, ∠BHC, और ∠AEC समकोण हैं क्योंकि वे अर्धवृत्त (थेल्स के प्रमेय द्वारा) में अंकित होता हैं।  चतुर्भुज ADHE के तीन समकोण हैं, इसलिए यह एक Q.E.D. आयत है।

स्पर्शरेखा
रेखा $DE$, $D$ पर अर्धवृत्त $BA$ और $E$ पर अर्धवृत्त $AC$ को स्पर्श करती है।
 * प्रमाण: क्योंकी $∠BDA$ एक समकोण है, $∠DBA$ $π⁄2$ ऋण $∠DAB$ के समान होता है. यद्यपि $∠DAH$  $π⁄2$ ऋण $∠DAB$ भी समान है (तब से $∠HAB$ एक समकोण है)। इसलिए त्रिकोण $DBA$ और $DAH$ समरूप  हैं। इसलिए $∠DIA$ $∠DOH$  के समान है, जहाँ $I$  $\overline{BA}$ का मध्यबिंदु  है  और $O$ $\overline{AH}$ का मध्यबिंदु है . परंतु $∠AOH$ एक सीधी रेखा है, इसलिए $∠DOH$ और $∠DOA$ संपूरक कोण हैं। इसलिए $∠DIA$ और $∠DOA$ का योग π है। $∠IAO$ समकोण है। किसी भी चतुर्भुज में कोणों का योग 2π है, इसलिए चतुर्भुज में $IDOA$, $∠IDO$ एक समकोण होना चाहिए। परंतु $ADHE$ एक आयत है, इसलिए $\overline{AH}$ का मध्यबिंदु $O$ $\overline{DE}$  का भी मध्यबिंदु है । जैसा $I$  $BA$,अर्धवृत्त का केंद्र है  और कोण $∠IDE$ तब एक समकोण है  तो $DE$, $D$ पर अर्धवृत्त $BA$ की स्पर्शरेखा है । समान तर्क से $DE$  पर $E$. अर्धवृत्त $AC$ की स्पर्शरेखा है ।

आर्किमिडीज सर्कल
ऊँचाई $AH$ अर्बेलोस को दो क्षेत्रों में विभाजित करती है, प्रत्येक एक अर्धवृत्त, एक सीधी रेखा खंड और बाहरी अर्धवृत्त के एक चाप से घिरा होता है। इन क्षेत्रों में से प्रत्येक में खुदे हुए वृत्त, जिन्हें आर्बेलोस के आर्किमिडीज़ के वृत्त के रूप में जाना जाता है, उसका आकार समान होता है।

ऊंचाई एएच अर्बेलोस को दो क्षेत्रों में विभाजित कर है, प्रत्येक एक अर्धवृत्त, एक सीधी रेखा खंड और बाहरी अर्धवृत्त के एक चाप से घिरा होता है। इनमें से प्रत्येक क्षेत्र में खुदे हुए वृत्त, जिन्हें अर्बेलोस के आर्किमिडीज़ सर्कल के रूप में जाना जाता है, उसका आकार समान है।

विविधताएं और सामान्यीकरण
परबेलोस अर्बेलोस के समान एक आकृति है, जो अर्धवृत्त के अतिरिक्त परवलय खंडों का उपयोग करता है। एक सामान्यीकरण जिसमें अर्बेलोस और parbelos दोनों सम्मिलित हैं, f-बेलोस है, जो एक निश्चित प्रकार के समान भिन्न फलनो का उपयोग करता है। अतिशयोक्तिपूर्ण तल के पोनकारे अर्ध-विमान मॉडल में, एक अर्बेलोस एक आदर्श त्रिभुज का मॉडल करता है।

व्युत्पत्ति
आर्बेलोस नाम प्राचीन ग्रीक ἡ ἄρβηλος he árbēlos या ἄρβυλος árbylos से आया है, जिसका अर्थ है शूमेकर का चाकू, प्राचीन काल से लेकर आज तक जूते बनाने  द्वारा उपयोग किया जाने वाला चाकू, जिसका ब्लेड ज्यामितीय आकृति जैसा दिखता है।

यह भी देखें

 * आर्किमिडीज की चौपाइयां
 * बैंकऑफ सर्कल
 * स्कोक सर्किल
 * स्कोच लाइन
 * वू हलकों
 * पप्पस चेन
 * सालिनॉन

ग्रन्थसूची

 * American Mathematical Monthly, 120 (2013), 929-935.
 * American Mathematical Monthly, 120 (2013), 929-935.
 * American Mathematical Monthly, 120 (2013), 929-935.