वृत्ताकार त्रिभुज

ज्यामिति में, एक वृत्ताकार त्रिभुज वृत्ताकार चाप किनारों वाला त्रिभुज होता है।

उदाहरण
तीन वृत्ताकार डिस्क का प्रतिच्छेदन एक उत्तल वृत्ताकार त्रिभुज बनाता है। उदाहरण के लिए, एक रेलेक्स त्रिकोण इस निर्माण का एक विशेष मामला है जहां तीन डिस्क एक समबाहु त्रिभुज के कोने पर केंद्रित होती हैं, जिसकी त्रिज्या त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई के बराबर होती है। हालाँकि, प्रत्येक उत्तल वृत्ताकार त्रिभुज इस तरह से डिस्क के प्रतिच्छेदन के रूप में नहीं बनता है।

एक वृत्ताकार सींग वाले त्रिभुज के सभी आंतरिक कोण शून्य के बराबर होते हैं। इनमें से कुछ त्रिभुजों को बनाने का एक तरीका यह है कि तीन वृत्तों को जोड़े में एक दूसरे से बाहरी स्पर्शरेखा पर रखा जाए; फिर इन वृत्तों से घिरा मध्य त्रिभुजाकार क्षेत्र एक श्रृंग त्रिभुज है। हालांकि, अन्य सींग वाले त्रिकोण, जैसे कि arbelos  (तीन समरेखीय कोने और इसके किनारों के रूप में तीन अर्धवृत्त) तीन स्पर्शरेखा मंडलों में से एक के लिए आंतरिक हैं, जो इसे बनाते हैं, तीनों के बाहरी होने के बजाय।

रोजर जोसेफ बोस्कोविच द्वारा पाया गया एक कारडायोड  जैसा गोलाकार त्रिभुज एक रेखा पर समान रूप से तीन कोने, रेखा के एक तरफ दो समान अर्धवृत्त और रेखा के दूसरी तरफ दो बार त्रिज्या का तीसरा अर्धवृत्त है। दो बाहरी शीर्षों का आंतरिक कोण है $$\pi$$ और मध्य शीर्ष में आंतरिक कोण होता है $$2\pi$$. इसका विचित्र गुण है कि मध्य शीर्ष से होकर जाने वाली सभी रेखाएँ इसके परिमाप को समद्विभाजित करती हैं। अन्य वृत्ताकार त्रिभुजों में उत्तल और अवतल वृत्ताकार चाप किनारों का मिश्रण हो सकता है।

कोणों का लक्षण वर्णन
तीन दिए गए कोण $$\theta_1$$, $$\theta_2$$, और $$\theta_3$$ अंतराल में $$[0,2\pi]$$ एक वृत्ताकार त्रिभुज के आंतरिक कोण बनाते हैं (स्व-प्रतिच्छेदन के बिना) यदि और केवल यदि वे असमानताओं की प्रणाली का पालन करते हैं $$ \begin{align} -2\pi &< \theta_1 + \theta_2 - \theta_3 < 2\pi\\ -2\pi &< \theta_1 + \theta_3 - \theta_2 < 2\pi\\ -2\pi &< \theta_2 + \theta_3 - \theta_1 < 2\pi. \end{align} $$ एक दूसरे के समान आंतरिक कोण वाले सभी गोलाकार त्रिकोण मोबियस परिवर्तनों के तहत एक दूसरे के बराबर हैं।

आइसोपेरिमेट्री
परिपत्र त्रिकोण एक समपरिमितीय समस्या का समाधान देते हैं जिसमें एक न्यूनतम लंबाई की वक्र की तलाश करता है जो तीन दिए गए बिंदुओं को घेरता है और एक निर्धारित क्षेत्र है। जब क्षेत्रफल कम से कम बिंदुओं के परिवृत्त जितना बड़ा हो, तो समाधान बिंदुओं के चारों ओर उस क्षेत्र का कोई भी वृत्त होता है। छोटे क्षेत्रों के लिए, इष्टतम वक्र तीन बिंदुओं के साथ एक गोलाकार त्रिभुज होगा, और इसके किनारों के बराबर त्रिज्या के गोलाकार चाप के साथ, उस क्षेत्र के नीचे जहां इस तरह के त्रिभुज के तीन आंतरिक कोणों में से एक शून्य तक पहुंच जाता है। उस क्षेत्र के नीचे, वक्र एंटीना के साथ एक गोलाकार त्रिकोण में पतित हो जाता है, सीधे खंड इसके शीर्ष से एक या अधिक निर्दिष्ट बिंदुओं तक पहुंचते हैं। क्षेत्र के शून्य हो जाने की सीमा में, वृत्ताकार त्रिभुज दिए गए तीन बिंदुओं के फर्मेट बिंदु की ओर सिकुड़ जाता है।

यह भी देखें

 * हार्ट सर्कल, कुछ गोलाकार त्रिकोणों से जुड़ा एक सर्कल
 * अतिपरवलयिक त्रिभुज, एक त्रिभुज जिसकी अतिपरवलयिक ज्यामिति में सीधी भुजाएँ होती हैं, लेकिन अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति के कुछ मॉडलों में वृत्ताकार रूप में खींचा जाता है
 * लून_(गणित)#विमान_ज्यामिति और लेंस_(ज्यामिति), गोलाकार चापों से घिरे दो तरफा आंकड़े
 * तिपतिया घास, एक गोलाकार त्रिकोण जो इसके तीन शीर्षों से बाहर की ओर उभरा हुआ है, जिसका उपयोग वास्तुकला में किया जाता है