ब्लो अप

गणित में ब्लो अप एक प्रकार का ज्यामितीय परिवर्तन है जो किसी दिए गए स्थान के उप-स्थान को उस उप-स्थान से बाहर की ओर इंगित करते हुए सभी दिशाओं से परिवर्तित कर देता है। उदाहरण के लिए किसी विमान में एक बिंदु का विस्फोट बिंदु को उस बिंदु पर प्रक्षेपित स्पर्शरेखा स्थान से परिवर्तित कर देता है। इस प्रकार किसी रूपक के विस्फोट का प्रदर्शन करने के अतिरिक्त चित्र के भाग को बड़ा करने के लिए तस्वीर पर ज़ूम इन करने का तरीका है।

ब्लोअप द्विवार्षिक ज्यामिति में सबसे मौलिक परिवर्तन हैं, क्योंकि इसके प्रक्षेपी प्रकारों के बीच प्रत्येक द्विवार्षिक रूपवाद विस्फोट का रूप ले लेता हैं। इस प्रकार किसी कमजोर गुणनखंड वाली प्रमेय को प्रदर्शित करता है जो इस प्रकार हैं कि प्रत्येक द्विभाजित मानचित्र को विशेष रूप से सरल ब्लोअप की संरचना के रूप में कारक बनाया जाता है। इस प्रकार क्रेमोना समूह विमान के बायरेशनल मोर्फिज़्म का समूह ब्लोअप द्वारा उत्पन्न होता है।

द्विपक्षीय परिवर्तनों का वर्णन करने में उनके महत्व के अतिरिक्त ब्लूप-अप भी नए स्थानों के निर्माण के लिए महत्वपूर्ण विधि है। इस प्रकार उदाहरण के लिए विलक्षणताओं के समाधान के लिए अधिकांश प्रक्रियाएँ विलक्षणताओं को तब तक ब्लो अप करके आगे बढ़ाती हैं जब तक कि वे सहज न हो जाएँ। इसका मुख्य परिणाम यह है कि ब्लोअप का उपयोग बायरेशनल मैप्स की विलक्षणताओं को हल करने के लिए किया जाता हैं।

मौलिक रूप से, ब्लूप-अप को बाहरी रूप से परिभाषित किया गया था, पहले निर्देशांक में स्पष्ट निर्माण का उपयोग करके प्रक्षेपण स्थान जैसे रिक्त स्थान पर ब्लूप-अप को परिभाषित करके और फिर इस प्रकार एम्बेडिंग के संदर्भ में अन्य रिक्त स्थान पर ब्लोअप को परिभाषित करने के लिए किया जाता हैं। यह कुछ शब्दावली के कारण इसमें परिलक्षित किया जाता हैं, जैसे कि मौलिक शब्द मोनोइडल स्थानांनतरण इसका मुख्य उदाहरण हैं। इसके समकालीन बीजगणितीय ज्यामिति ब्लोइंग को बीजगणितीय विविधता पर इसके लिए आंतरिक संक्रिया के रूप में माना जाता हैं। इस प्रकार इस दृष्टिकोण से किसी उप-वर्ग को कार्टियर भाजक में परिवर्तित करने के लिए विस्फोट सार्वभौमिक (श्रेणी सिद्धांत के अर्थ में) विधि के रूप में उपयोग किया जाता हैं।

किसी ब्लोअप को मोनॉयडल स्थानांनतरण, लोकल क्वाड्रैटिक स्थानांनतरण, सूचक, σ-प्रक्रिया, या हॉफ मैप भी कहा जा सकता है।

विमान में किसी बिंदु के कारण विस्फोट
विस्फोट का सबसे सरल स्थिति विमान में ऐसे बिंदु का विस्फोट है। जिसके उदाहरण में ब्लोइंग की अधिकांश सामान्य विशेषताएं देखी जा सकती हैं।

ब्लोअप की इस घटना को पत्राचार के रूप में सिंथेटिक विवरण के रूप में माना जाता हैं। इस प्रकार यहाँ पर याद रखें कि ग्रासमानियन G (1,2) विमान में बिंदु के माध्यम से सभी लाइनों के समूहों को पैरामीट्रिज करता है। इस प्रकार प्रक्षेपी विमान P2 का ब्लोअप बिंदु P पर, जिसे हम X निरूपित करते हैं-
 * $$X = \{ (Q, \ell) \mid P,\,Q \in \ell\} \subseteq \mathbf{P}^2 \times \mathbf{G}(1,2).$$

यहाँ Q एक अन्य बिंदु और $$\ell$$ को दर्शाता है जो ग्रासमैनियन का तत्व है। इस प्रकार X प्रक्षेपी प्रकार है क्योंकि यह प्रक्षेपी प्रकारों के उत्पाद की विवृत उप-प्रकार को प्रकट करता है। यह प्राकृतिक संरचना π से 'P2' तक आता है जो $$(Q, \ell)$$ Q के लिए संयोजन के रूप में उपयोग किया जाता है। यह संरचना सभी बिंदुओं के संवृत्त उपसमुच्चय पर समरूपता को प्रकट करता है, इस प्रकार $$(Q, \ell)$$ Q ≠ P के साथ रेखा $$\ell$$ उन दो बिंदुओं से निर्धारित होता है। जब Q = P होता हैं तब इस रेखा $$\ell$$ P से होकर जाने वाली रेखा हो सकती है। इस प्रकार ये रेखाएँ P से होकर जाने वाली दिशाओं के स्थान के अनुरूप हैं, जो 'P' के समरूपी है। इस प्रकार P1 को असाधारण विभाजक कहा जाता है, और इस परिभाषा के अनुसार यह प्रक्षेपित सामान्य समूह P पर सामान्य परिभाषा को प्रकट करता हैं। क्योंकि P ऐसा बिंदु है जिसमें सामान्य स्थानों की स्पर्शरेखा के लिए यह स्थान समान रहता हैं, इसलिए असाधारण भाजक P पर प्रक्षेपित स्पर्शरेखा स्थान पर आइसोमोर्फिक रूप में होता है।

ब्लूप-अप पर निर्देशांक देने के लिए हम उपरोक्त घटनाओं के पत्राचार के लिए समीकरण लिख सकते हैं। इस प्रकार 'P2' के मान के अनुसार सजातीय निर्देशांक [X0:X1:X2] होने पर P बिंदु [P0:P1:P2] है। इस प्रकार प्रक्षेपी द्वैत बिन्दु G(1,2) P2 के लिए तुल्याकारी है, इसलिए हम इसे सजातीय निर्देशांक [L0: L1: L2] दे सकते हैं। किसी पंक्ति $$\ell_0 = [L_0:L_1:L_2]$$ के सभी समूहों का मान [X0:X1:X2] है जो इस प्रकार हैं कि X0L0 + X1L1 + X2L2 = 0 के समान होता हैं। इस प्रकार इसे विस्फोट के रूप में वर्णित किया जा सकता है
 * $$X = \{ ([X_0:X_1:X_2],[L_0:L_1:L_2]) \mid P_0L_0 + P_1L_1 + P_2L_2 = 0,\, X_0L_0 + X_1L_1 + X_2L_2 = 0 \} \subseteq \mathbf{P}^2 \times \mathbf{P}^2.$$

ब्लोअप P से दूर आइसोमोर्फिज्म को प्रकट करने में सहयोगी होता है, और प्रोजेक्टिव समतल के अतिरिक्त एफाइन समतल में कार्य करके, हम ब्लोअप के लिए सरल समीकरण दे सकते हैं। प्रक्षेपी रूपांतरण के बाद, हम मान सकते हैं कि P = [0:0:1]। एफिन समतल X पर निर्देशांक के लिए x और y लिखें2≠0। स्थिति P ∈ $$\ell$$ तात्पर्य यह है कि L2 = 0, इसलिए हम ग्रासमैनियन को P 1 से परिवर्तित कर सकते हैं। इस कारण ब्लोअप विविधता कुछ इस प्रकार होता है-
 * $$\{ ((x,y),[z:w]) \mid xz + yw = 0 \} \subseteq \mathbf{A}^2 \times \mathbf{P}^1.$$

इन संकेतों में से किसी एक को व्युत्क्रम करने के लिए उचित निर्देशांकों को परिवर्तित करना अधिक सामान्य है। इस कारण ब्लूप-अप को इस रूप में लिखा जा सकता है
 * $$\left \{ ((x,y),[z:w]) \mid \det\begin{bmatrix}x&y\\w&z\end{bmatrix} = 0 \right \}.$$

यह समीकरण पिछले वाले की तुलना में सामान्यीकृत करना सरल है।

यदि हम ग्रासमैनियन के अनंत बिंदु को हटा दें, तो विस्फोट को सरली से देखा जा सकता है, उदाहरण के लिए w = 1 समूह और 3D समतल में मानक सैडल पॉइंट सैडल सतह y = xz प्राप्त करें।

ब्लोअप को सामान्य स्थान से बिंदु तक सीधे निर्देशांक का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है। इस प्रकार इसे पुनः हम एफाइन समतल 'A 2' पर कार्य करते हैं। इसके मूल बिंदु के लिए सामान्य स्थान सदिश स्थान m/m 2 के रूप में प्रकट होता हैं, जहाँ m = (x, y) मूल बिंदु की उच्चिष्ठ गुणक के रूप में प्रकट होता हैं। इस कारण बीजगणितीय रूप से इस सदिश स्थान का प्रक्षेपीकरण इसके सममित बीजगणित का गुणनफल है, अर्थात,
 * $$X = \operatorname{Proj} \bigoplus_{r=0}^\infty \operatorname{Sym}^r_{k[x,y]} \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2.$$

इस उदाहरण में, इसका ठोस विवरण है
 * $$X = \operatorname{Proj} k[x,y][z,w]/(xz - yw),$$

जहां x और y की डिग्री 0 है और z और w की डिग्री 1 है।

वास्तविक या जटिल संख्याओं के ऊपर, ब्लूप-अप का संबंधित योग के रूप में एक सांस्थितिकीय विवरण $$\mathbf{P}^2\#\mathbf{P}^2$$ होता है। इस प्रकार मान लें कि P 'A'2 ⊆ P2 में मूल है, और अनंत पर रेखा के लिए L को उपयोग करते हैं। इस प्रकार 'A'2\{0} में व्युत्क्रम मैप T को प्रकट करता हैं जो (x, y) को (x/(|x|)2 + |y|2), y/(|x|2 + |y|2)) के रूप में प्रकट करता है। इस प्रकार T इकाई क्षेत्र S के संबंध में वृत्त उलटा होता है: यह S को सही करता है, इस मूल के माध्यम से प्रत्येक पंक्ति को संरक्षित करता है, और बाहर के साथ गोले के अंदर का आदान-प्रदान करता है। यहाँ पर T सतत मानचित्र 'P'2 \ {0} → A2 तक फैला हुआ है, इस मूल बिंदु पर अनंत पर रेखा भेजकर इसे प्राप्त करते हैं। यह विस्तार मुख्य रूप से जिसे हम T भी कहते हैं, इसका उपयोग ब्लोअप के निर्माण के लिए किया जा सकता है। इस प्रकार C यूनिट बॉल के पूरक को दर्शाता है। ब्लोअप X S के साथ C की दो प्रतियों को संलग्न करके प्राप्त किया गया कई गुना है। X मानचित्र π से 'P'2 के साथ आता है जो C की पहली प्रति पर पहचान है और C की दूसरी प्रति पर T है। यह प्रारूप P से दूर आइसोमोर्फिज्म के रूप में प्रयोग किया जाता हैं, और P पर फाइबर C की दूसरी प्रति में अनंतता पर रेखा द्वारा निरूपित करता हैं। इस रेखा में प्रत्येक बिंदु उत्पत्ति के माध्यम से अद्वितीय रेखा से मेल खाता है, इसलिए π से अधिक फाइबर उत्पत्ति के माध्यम से संभावित सामान्य दिशाओं से मेल खाता है।

'CP2' के लिए इस प्रक्रिया को ओरिएंटेड मैनिफोल्ड का उत्पादन करने के लिए उपयोग करना चाहिए। ऐसा करने के लिए C की दो प्रतियों को विपरीत अभिविन्यास दिया जाना चाहिए। इन प्रतीकों में X का उपयोग किया जाता है, इस प्रकार $$\mathbf{CP}^2\#\overline{\mathbf{CP}^2}$$, जहाँ $$\overline{\mathbf{CP}^2}$$ CP2 है उसे मानक अभिविन्यास के विपरीत माना जाता हैं।

जटिल स्थानों पर ब्लो का कारण
Z को n-डायमेंशनल जटिल संख्या  समतल में मूल होने दें, इस प्रकार 'C'n अर्थात्, Z वह बिंदु है जहाँ n निर्देशांक कार्य करता है, जो $$x_1, \ldots, x_n$$ के साथ ही लुप्त हो जाते हैं। इस प्रकार Pn - 1 होने पर (n - 1)-सजातीय निर्देशांक के साथ आयामी जटिल प्रक्षेपी स्थान $$y_1, \ldots, y_n$$ के रूप में प्रकट होते हैं। इस प्रकार इसी क्रम में $$\tilde{\mathbf{C}^n}$$ Cn × 'P'n - 1 का उपसमुच्चय हैं जो किसी समीकरण को संतुष्ट करता है $$x_i y_j = x_j y_i $$ i, J = 1, ..., n के लिए उपयोग किया जाता हैं। इसका प्रक्षेपण इस प्रकार हैं।


 * $$\pi : \mathbf{C}^n \times \mathbf{P}^{n - 1} \to \mathbf{C}^n$$

स्वाभाविक रूप से होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन मैप को प्रेरित करता है


 * $$\pi : \tilde{\mathbf{C}^n} \to \mathbf{C}^n.$$

यह प्रारूप π (या, अधिकांशतः, समतल $$\tilde{\mathbf{C}^n}$$) को Cn का ब्लो-अप (विभिन्न आयाम वाले ब्लो अप या ब्लोअप) कहा जाता है।

'असाधारण विभाजक' E को π के अनुसार ब्लो-अप लोकस Z की व्युत्क्रम छवि के रूप में परिभाषित किया गया है। इसे देखना सरल है


 * $$E = Z \times \mathbf{P}^{n - 1} \subseteq \mathbf{C}^n \times \mathbf{P}^{n - 1}$$

प्रोजेक्टिव समतल की मुख्य प्रति इस प्रकार है। यह प्रभावी विभाजक (बीजीय ज्यामिति) है। इसे E से दूर करके π के बीच तुल्याकारिता $$\tilde{\mathbf{C}^n} \setminus E$$ और C n के रूप में प्रकट करते हैं। इस प्रकार Z को इस बीच का एक द्विभाजित प्रारूप $$\tilde{\mathbf{C}^n}$$ और C n मान लेते हैं।

यदि इसके अतिरिक्त हम होलोमोर्फिक प्रक्षेपण को प्रकट करते हैं-


 * $$q\colon \tilde{\mathbf{C}^n} \to \mathbf{P}^{n-1}$$

हम का टॉटोलॉजिकल लाइन समूह $$\mathbf{P}^{n-1}$$ प्राप्त करते हैं और इसी प्रकार हम असाधारण भाजक $$ \lbrace Z\rbrace\times\mathbf{P}^{n-1}$$ की पहचान कर सकते हैं। इसके शून्य खंड के साथ अर्थात् $$\mathbf{0}\colon \mathbf{P}^{n-1}\to\mathcal{O}_{\mathbf{P}^{n-1}}$$ जो प्रत्येक बिंदु को $$p$$ शून्य तत्व $$\mathbf{0}_p$$ फाइबर ओवर में $$p$$ के रूप में उपयोग करता है।

जटिल मैनिफोल्ड्स में सबमनिफोल्ड्स को ब्लो करना
अधिक सामान्यतः में कोई भी कोडिमेंशन-K जटिल अवस्था में कई गुना होने पर 'Cn' का मान Z के रूप में ब्लो कर सकता है। इस प्रकार मान लीजिए कि Z समीकरणों का स्थान $$x_1 = \cdots = x_k = 0$$ है, और जाने $$y_1, \ldots, y_k$$ यह बिंदु P पर सजातीय निर्देशांक K - 1 प्रकट करता हैं। इस प्रकार $$\tilde{\mathbf{C}}^n$$ समीकरणों का स्थान $$x_i y_j = x_j y_i$$ है, जो सभी i और j के लिए, समतल 'C' n × 'P' K - 1 के रूप में प्रकट होता हैं।

सामान्यतः कोई भी इस निर्माण को स्थानीय रूप से लागू करके किसी भी जटिल कई गुना X के किसी भी सबमनीफोल्ड को ब्लो कर सकता है। इस प्रभाव के कारण पहले की तरह असाधारण विभाजक E के साथ ब्लो-अप लोकस Z को परिवर्तित करने के लिए इसका उपयोग किया जाता है। दूसरे शब्दों में, ब्लो-अप मैप को इस समीकरण के अनुसार प्रकट करते हैं।


 * $$\pi : \tilde X \to X$$

किसी बायरेशनल मैपिंग को इस प्रकार प्रकट करते हैं कि जो E से दूर होने पर आइसोमोर्फिज्म को प्रेरित करती है, और E पर, फाइबर 'P' के साथ स्थानीय रूप से कंपन  K - 1 को मुख्यतः प्रतिबंध $$\pi|_E : E \to Z$$ स्वाभाविक रूप से X में Z के सामान्य समूह के प्रक्षेपण के रूप में देखा जाता है।

चूँकि E एक समतल भाजक है, इसका सामान्य समूह रेखा समूह के समान है। यह दर्शाना कठिन नहीं है कि E स्वयं को ऋणात्मक रूप से प्रतिच्छेद करता है। इसका अर्थ है कि इसके सामान्य समूह में कोई होलोमोर्फिक सेक्शन E नहीं है, इस प्रकार अपने समरूपता (गणित) वर्ग का एकमात्र सहज जटिल प्रतिनिधि $$\tilde X$$ करता है, ( इस प्रकार मान लें कि E को उसी वर्ग में एक और जटिल सबमेनिफोल्ड से विचलित किया जा सकता है। फिर दो सबमेनिफोल्ड सकारात्मक रूप से विचलित करते हैं- जैसा कि जटिल सबमनिफोल्ड सदैव करते हैं - E के ऋणात्मक आत्म-प्रतिच्छेदन का विरोध करते हैं।) यही कारण है कि विभाजक को असाधारण कहा जाता है।

V को Z के अतिरिक्त X के कुछ सबमनीफोल्ड के रूप में प्रकट करते हैं। इस प्रकार यदि V Z से अलग हो जाता है, तो यह Z के साथ ब्लो होने से अनिवार्य रूप से अप्रभावित होता है। चूंकि, यदि यह Z को विचलित करता है, तो विस्फोट में V के दो अलग-अलग अनुरूप $$\tilde X$$ के समान होते हैं। यह उचित परिवर्तन को प्रदर्शित करता है, जो कि इस प्रकार विवृत $$\pi^{-1}(V \setminus Z)$$ है, इसका सामान्य समूह अंदर है, जो $$\tilde X$$ विशिष्ट रूप से X में V से भिन्न है। दूसरा 'कुल परिवर्तन' है, जिसमें कुछ या सभी E सम्मिलित हैं, यह अनिवार्य रूप से सह-समरूपता में V को पुलबैक करता हैं।

योजनाओं में उपस्थित त्रुटि के कारण ब्लो होना
इसकी सबसे बड़ी व्यापकता में ब्लो-अप का पीछा करने के लिए, X को योजना (गणित) के रूप में प्रकट करते हैं, और $$\mathcal{I}$$ X पर आदर्शों का सुसंगत प्रारूप बना देते हैं। इस प्रकार X के संबंध में $$\mathcal{I}$$ को योजना $$\tilde{X}$$ के रूप में प्रकट करते है। इसका प्रारूप इस प्रकार हैं-


 * $$\pi\colon \tilde{X} \rightarrow X$$

इस प्रकार यह मान इस प्रकार है कि $$\pi^{-1} \mathcal{I} \cdot \mathcal{O}_{\tilde{X}}$$ इस सार्वभौमिक संपत्ति की विशेषता को व्युत्क्रम शीफ के समान प्रकट करता ​हैं: इस प्रकार किसी भी संरचना के लिए f: Y → X ऐसा है कि $$f^{-1} \mathcal{I} \cdot \mathcal{O}_Y$$ मुख्य रूप से व्युत्क्रमणीय शीफ है, जो f अद्वितीय रूप से π के माध्यम से मुख्य कारक है।

इस प्रकार


 * $$\tilde{X}=\mathbf{Proj} \bigoplus_{n=0}^{\infty} \mathcal{I}^n$$

यह मान इस प्रकार हैं कि इस तरह से ब्लो-अप का निर्माण किया जाता है। यहाँ प्रोज ग्रेडेड कम्यूटेटिव रिंग पर प्रोज निर्माण  है।

असाधारण विभाजक
एक विस्फोट का असाधारण विभाजक $$\pi : \operatorname{Bl}_\mathcal{I} X \to X$$ आदर्श शीफ के व्युत्क्रम दर्पण द्वारा परिभाषित उपयोजना $$\mathcal{I}$$ है, जिसे $$\pi^{-1}\mathcal{I}\cdot\mathcal{O}_{\operatorname{Bl}_\mathcal{I} X}$$ द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रकार प्रोज के संदर्भ में ब्लो अप की परिभाषा से यह पता चलता है कि इस उपयोजना ई को आदर्श शीफ $$\textstyle\bigoplus_{n=0}^\infty \mathcal{I}^{n+1}$$ द्वारा परिभाषित किया गया है। इस प्रकार यह आदर्श प्रारूप भी $$\mathcal{O}(1)$$ π के लिए सापेक्षता को प्रकट करता हैं।

π असाधारण भाजक से दूर एक समरूपता है, किन्तु असाधारण भाजक को π के असाधारण स्थान में नहीं होना चाहिए। इस प्रकार E पर π तुल्याकारिता हो सकती है। उदाहरण के लिए, यह तुच्छ स्थिति में होता है जहाँ $$\mathcal{I}$$ पहले से ही व्युत्क्रम प्रारूप है। विशेष रूप से ऐसी स्थितियों में रूपवाद π अपवादात्मक भाजक का निर्धारण नहीं करता है। इस प्रकार इसकी इस स्थिति में जहां असाधारण विभाजक की तुलना में असाधारण स्थान कठोरता से छोटे हो सकते है, जब X में विलक्षणताएं होती हैं। उदाहरण के लिए, X को एफ़ाइन कोन ओवर P1 &times; P1 होने देते हैं। इस कारण X को लुप्त स्थान के रूप में xw &minus; yz में A4 दिया जा सकता है। इसके आदर्श रूप में (x, y) और (x, z) को दो तलों को परिभाषित करने में सहायक माना जाता हैं, जिनमें से प्रत्येक X के शीर्ष से होकर गुजरता है। इस प्रकार शीर्ष से दूर ये तल X में हाइपरसर्फफेस हैं, इसलिए विस्फोट वहां पर समरूपता को प्रकट करता है। इन विमानों में से किसी विस्फोट का असाधारण स्थान इसलिए शंकु के शीर्ष पर केंद्रित है, और इसके परिणामस्वरूप यह असाधारण विभाजक से छोटा है।

रैखिक उप-स्थानों का ब्लोअप
इसके अनुसार $$\mathbf{P}^n$$ को $n$ -आयामी प्रोजेक्टिव समतल के रूप में प्रकट किया जाता हैं। इस प्रकार किसी रैखिक उप-स्थान को L}कोडिमेंशन के लिए } $d$ संतुलन के विस्फोट का वर्णन करने के कई स्पष्ट विधियाँ हैं जिसमें $$\mathbf{P}^n$$ साथ में $L$ को लगता है कि $$\mathbf{P}^n$$ निर्देशांक $$X_0, \dots, X_n$$ हैं। इन निर्देशांको के परिवर्तित होने के पश्चात हम यह मान सकते हैं कि $$L = \{X_{n-d+1} = \dots = X_n = 0\}$$ मुख्य रूप से ब्लूप-अप को एम्बेड किया जा सकता है। इस प्रकार $$\mathbf{P}^n \times \mathbf{P}^{n-d}$$ को हम $$Y_0, \dots, Y_{n-d}$$ के दूसरे कारक पर निर्देशांक के रूप में प्रकट करते हैं। क्योंकि इस प्रकार $L$ मुख्य रूप से नियमित अनुक्रम द्वारा परिभाषित किया गया है, ब्लोअप आव्यूह के 2x2 तत्वो के विलुप्त होने से निर्धारित होती है $$\begin{pmatrix} X_0 & \cdots & X_{n-d} \\ Y_0 & \cdots & Y_{n-d} \end{pmatrix}.$$ इस समीकरण की यह प्रणाली इस बात पर बल देने के समान है कि दो पंक्तियाँ रैखिक रूप से निर्भर हैं। इस प्रकार यह बिंदु $$P \in \mathbf{P}^n$$ रूप को प्रकट करता है इसमें $L$ को यदि माना जाए तो जब इसके निर्देशांक उपरोक्त आव्यूह की पहली पंक्ति में प्रतिस्थापित किए जाते हैं, तो वह पंक्ति शून्य होती है। इस स्थिति में $Q$ रके लिए कोई शर्त नहीं होती है। इस प्रकार यदि इस पंक्ति गैर-शून्य स्थिति में मान लिया जाता हैं तो रैखिक निर्भरता का अर्थ है कि दूसरी पंक्ति पहली की एक अदिश गुणक है और इसलिए एक अद्वितीय बिंदु $$Q \in \mathbf{P}^{n-d}$$ है जो इस प्रकार है कि $$(P, Q)$$ विस्फोट का रूप ले लेते हैं।

इस विस्फोट को घटना पत्राचार के रूप में एक सिंथेटिक विवरण भी दिया जा सकता है$$\{(P, M) \colon P \in M,\,L \subseteq M\} \subseteq \mathbf{P}^n \times \operatorname{Gr}(n, n - d + 1),$$

जहाँ $$\operatorname{Gr}$$ के ग्रासमैनियन को दर्शाता है $$(n - d + 1)$$-आयामी उप-स्थान $$\mathbf{P}^n$$. पिछले समन्वय के साथ संबंध देखने के लिए, देखें कि सभी का समूह $$M \in \operatorname{Gr}(n, n - d + 1)$$ जिसमें सम्मिलित है $L$ एक प्रोजेक्टिव समतल के लिए आइसोमोर्फिक है $$\mathbf{P}^{n-d}$$. ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रत्येक उपक्षेत्र $M$ का रैखिक संयोजन $L$ है और एक बिंदु $Q$ अंदर नही $L$, और दो अंक $Q$ और $Q'$ वही $M$ निर्धारित करें। इस स्थिति में उनके प्रक्षेपण के अनुसार एक ही छवि है जो $$\mathbf{P}^n$$ से दूर $L$ के समान हैं। इसलिए, ग्रासमानियन को इसकी एक प्रति $$\mathbf{P}^{n-d}$$ जहाँ पर $$P \not\in L$$ इसे प्रतिस्थापित किया जा सकता है, केवल एक उपसमष्टि है तथा $M$ युक्त $P$ का मान रैखिक संयोजन $P$ और $L$ के रूप में प्रकट होता हैं। इस प्रकार उपरोक्त निर्देशांक में, यह वह स्थिति है जहाँ $$(X_0, \dots, X_{n-d})$$ शून्य सदिश नहीं है। इस प्रकार इस स्थिति $$P \in L$$ से मेल खाती है $$(X_0, \dots, X_{n-d})$$ शून्य वेक्टर होने के अनुसार कोई भी $Q$ की अनुमति को स्वीकार करता है, अर्ताथ कोई भी $M$ युक्त $L$ संभव है।

घटता योजना के चौराहों को ब्लो करना-सैद्धांतिक रूप से
होने देना $$f,g \in \mathbb{C}[x,y,z]$$ डिग्री के सामान्य सजातीय बहुपद $$d$$ बनाता हैं (जिसका अर्थ है कि उनकी संबद्ध प्रक्षेपी किस्में प्रतिच्छेदन $$d^2$$ बेज़ाउट के प्रमेय द्वारा अंकित करता हैं )। इस क्रम में यह स्कीम (गणित) की बीजगणितीय ज्यामिति की निम्नलिखित शब्दावली ब्लोइंग का मॉडल $$\mathbb{P}^2$$ पर $$d^2$$ अंक देता है:$$\begin{matrix} \textbf{Proj}\left( \dfrac{\mathbb{C}[s,t][x,y,z]}{(sf(x,y,z) + tg(x,y,z))} \right) \\ \downarrow \\ \textbf{Proj}(\mathbb{C}[x,y,z]) \end{matrix}$$ तंतुओं को देखने से पता चलता है कि यह सच क्यों है: यदि हम इस बिंदु को उपयोग करते हैं, जिसमें $$p = [x_0:x_1:x_2]$$ पर पुनः पुलबैक आरेख इस प्रकार प्रकट होता हैं- $$\begin{matrix} \textbf{Proj}\left( \dfrac{\mathbb{C}[s,t]}{sf(p) + tg(p)} \right)& \rightarrow & \textbf{Proj}\left( \dfrac{\mathbb{C}[s,t][x,y,z]}{(sf(x,y,z) + tg(x,y,z))} \right) \\ \downarrow & & \downarrow \\ \textbf{Spec}(\mathbb{C})& \xrightarrow{[x_0:x_1:x_2]} & \textbf{Proj}(\mathbb{C}[x,y,z]) \end{matrix}$$ यह हमें बताता है कि जब भी फाइबर बिंदु होता $$f(p) \neq 0$$ या $$g(p) \neq 0$$ है और फाइबर $$\mathbb{P}^1$$ यदि $$f(p) = g(p) = 0$$ का रूप ले लेता है।

संबंधित निर्माण
Cn के विस्फोट के रूप में ऊपर वर्णित इन सम्मिश्र संख्याओं के उपयोग के बारे में कुछ भी आवश्यक नहीं था, इस ब्लो-अप को किसी भी क्षेत्र (गणित) पर उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 'R2' का वास्तविक विस्फोट मोबियस पट्टी में मूल परिणाम पर तदानुसार दो-गोले S2 के परिणाम के अनुसार वास्तविक प्रक्षेपी तल के रूप में प्रकट होता हैं।

सामान्य शंकु की विकृति को ब्लो-अप विधि द्वारा प्रकट किया जाता है जिसका उपयोग बीजगणितीय ज्यामिति में कई परिणामों को सिद्ध करने के लिए किया जाता है। इस प्रकार यह योजना X और विवृत उप-योजना V को देखते हुए प्रकट होती हैं, जिसे इस प्रकार विस्फोट किया जाता है


 * $$V \times \{0\} \ \text{in} \ Y = X \times \mathbf{C} \ \text{or} \ X \times \mathbf{P}^1$$

इसके अनुसार-


 * $$\tilde Y \to \mathbf{C}$$

उक्त समीकरण मुख्य कंपन है। जिसमें सामान्य फाइबर X के लिए स्वाभाविक रूप से आइसोमोर्फिक है, जबकि केंद्रीय फाइबर दो योजनाओं का मुख्य संघ है: इसमें V के साथ X का ब्लो-अप प्रकट होता हैं, और दूसरा V का सामान्य शंकु है, जिसके तंतुओं को प्रोजेक्टिव समतल में पूरा किया गया है।

सहानुभूति श्रेणी में ब्लो-अप भी किया जा सकता है, इसके संगत लगभग जटिल मैनिफोल्ड के साथ सहानुभूतिपूर्ण मैनिफोल्ड को समाप्त करके और जटिल ब्लो-अप के साथ आगे बढ़ाया जाता हैं। यह विशुद्ध रूप से सामयिक स्तर पर समझ में आता है; चूंकि, ब्लो-अप को इस सहानुभूतिपूर्ण क्रम के रूप से समाप्त करने के लिए कुछ सुरक्षा की आवश्यकता होती है, क्योंकि इस प्रकार कोई असाधारण विभाजक E में अपने तरीके से सहानुभूतिपूर्ण रूप का विस्तार नहीं कर सकता है। इस प्रकार किसी को E के समीप में सहानुभूतिपूर्ण रूप को परिवर्तन करना आवश्यक होता हैं, या ब्लो-अप को काटकर निष्पादित करना आवश्यक होता हैं। इस प्रकार Z का समीपस्थ और सीमा को अच्छी तरह से परिभाषित विधि से संजोया जाता हैं। यह सहानुभूतिपूर्ण काटने की औपचारिकता का उपयोग करके सबसे अच्छी तरह से समझा जाता है, जिसमें से सहानुभूतिपूर्ण विस्फोट की विशेष स्थिति उतपादित होती है। इसके लिए सहानुभूति पूर्ण रूप से होने वाली कटौती, सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड के व्युत्क्रम प्रक्रिया के साथ स्मूथ डिवाइडर के साथ सामान्य शंकु के विरूपण का सिम्प्लेक्टिक n लॉग द्वारा प्रकट किया जाता है।

यह भी देखें

 * अधिकतम रूप से निकट बिंदु का प्रकट होना
 * विलक्षणताओं का संकल्प