वर्टेक्स मॉडल

एक शीर्ष मॉडल एक प्रकार का सांख्यिकीय यांत्रिकी वैज्ञानिक मॉडलिंग है जिसमें विभाजन फ़ंक्शन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) मॉडल में एक शीर्ष (ग्राफ सिद्धांत) (एक परमाणु या कण का प्रतिनिधित्व) के साथ जुड़ा हुआ है। यह निकटतम-पड़ोसी मॉडल, जैसे कि आइसिंग मॉडल, के विपरीत है, जिसमें ऊर्जा, और इस प्रकार एक सांख्यिकीय माइक्रोस्टेट का बोल्ट्ज़मैन वजन दो पड़ोसी कणों को जोड़ने वाले बांडों के लिए जिम्मेदार है। इस प्रकार कणों की जाली में एक शीर्ष से जुड़ी ऊर्जा उन बंधनों की स्थिति पर निर्भर होती है जो इसे आसन्न शीर्षों से जोड़ते हैं। यह पता चला है कि वेक्टर रिक्त स्थान के टेंसर उत्पाद में वर्णक्रमीय मापदंडों के साथ यांग-बैक्सटर समीकरण का प्रत्येक समाधान $$ V\otimes V $$ एक बिल्कुल हल करने योग्य वर्टेक्स मॉडल उत्पन्न करता है।

यद्यपि मॉडल को किसी भी संख्या में आयामों में विभिन्न ज्यामिति पर लागू किया जा सकता है, किसी दिए गए बंधन के लिए किसी भी संभावित स्थिति के साथ, सबसे मौलिक उदाहरण दो आयामी जाली के लिए होते हैं, सबसे सरल एक वर्ग जाली है जहां प्रत्येक बंधन में दो संभावित स्थिति होती है। इस मॉडल में, प्रत्येक कण चार अन्य कणों से जुड़ा होता है, और कण से सटे चार बंधनों में से प्रत्येक में दो संभावित अवस्थाएँ होती हैं, जो बंधन पर एक तीर की दिशा द्वारा इंगित की जाती हैं। इस मॉडल में, प्रत्येक शीर्ष अपना सकता है $$2^4$$ संभावित विन्यास. किसी दिए गए शीर्ष के लिए ऊर्जा दी जा सकती है $$\varepsilon_{ij}^{k\ell}$$, जाली की स्थिति के साथ प्रत्येक बंधन की एक स्थिति का असाइनमेंट होता है, जिसमें राज्य की कुल ऊर्जा शीर्ष ऊर्जाओं का योग होती है। चूंकि अनंत जाली के लिए ऊर्जा अक्सर अपसारी होती है, जैसे-जैसे जाली अनंत आकार के करीब पहुंचती है, एक परिमित जाली के लिए मॉडल का अध्ययन किया जाता है। आवधिक फ़ंक्शन या डोमेन दीवार मॉडल पर सीमा शर्तें लगाई जा सकती हैं।

चर्चा
जाली की दी गई स्थिति के लिए, बोल्ट्ज़मैन वजन को संबंधित शीर्ष राज्यों के बोल्ट्जमैन वजन के शीर्ष पर उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है
 * $$\exp(-\beta \varepsilon(\mbox{state})) = \prod_\mbox{vertices} \exp(-\beta \varepsilon_{ij}^{k\ell})$$

जहां शीर्षों के लिए बोल्ट्ज़मान भार लिखे गए हैं
 * $$R_{ij}^{k\ell} = \exp(-\beta \varepsilon_{ij}^{k\ell})$$,

और शीर्ष से जुड़े चार किनारों में से प्रत्येक की संभावित स्थिति पर i, j, k, l की सीमा होती है। आसन्न शीर्षों की शीर्ष अवस्थाओं को राज्य के स्वीकार्य होने के लिए कनेक्टिंग किनारों (बॉन्ड) के साथ संगतता शर्तों को पूरा करना होगा।

सिस्टम के किसी विशेष समय पर किसी भी स्थिति में होने की संभावना, और इसलिए सिस्टम के गुण विभाजन फ़ंक्शन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) द्वारा निर्धारित किए जाते हैं, जिसके लिए एक विश्लेषणात्मक रूप वांछित है।
 * $$\mathbb{Z} = \sum_\mbox{states} \exp(-\beta \varepsilon(\mbox{state})) $$

जहां β = 1/kT, T तापमान है और k बोल्ट्जमैन स्थिरांक है। सिस्टम के किसी दिए गए राज्य (माइक्रोस्टेट) में होने की संभावना इस प्रकार दी गई है
 * $$\frac{\exp(-\beta \varepsilon(\mbox{state}))}{\mathbb{Z}}$$

ताकि सिस्टम की ऊर्जा का औसत मूल्य दिया जा सके

\langle \varepsilon \rangle = \frac{\sum_\mbox{states} \varepsilon \exp(-\beta \varepsilon)}{\sum_\mbox{states} \exp(-\beta \varepsilon)} = kT^2 \frac{\partial}{\partial T} \ln \mathbb{Z} $$ विभाजन फ़ंक्शन का मूल्यांकन करने के लिए, सबसे पहले शीर्षों की एक पंक्ति की स्थितियों की जाँच करें।

बाहरी किनारे स्वतंत्र चर हैं, आंतरिक बंधनों पर योग के साथ। इसलिए, पंक्ति विभाजन फ़ंक्शन बनाएं
 * $$T_{i_1 k_1 \dots k_N}^{i'_1 \ell_1 \dots l_N} = \sum_{r_1,\dots,r_{N-1}} R_{i_1 k_1}^{r_1 \ell_1} R_{r_1 k_2}^{r_2 \ell_2} \cdots R_{r_{N-1} k_N}^{i'_1 \ell_N}

$$ इसे एक आधार (रैखिक बीजगणित) के साथ सहायक एन-आयामी वेक्टर स्पेस वी के संदर्भ में दोबारा तैयार किया जा सकता है। $$\{v_1, \ldots, v_n\}$$, और $$R \in End(V \otimes V)$$ जैसा
 * $$R(v_i \otimes v_j) = \sum_{k,\ell} R_{ij}^{k\ell} v_k \otimes v_\ell $$

और $$T \in End(V \otimes V^{\otimes N})$$ जैसा
 * $$T(v_{i_1} \otimes v_{k_1} \otimes \cdots \otimes v_{k_N}) = \sum_{i'_1,\ell_1, \dots \ell_N} T_{i_1 k_1 \dots k_N}^{i'_1 \ell_1 \dots \ell_N} v_{i'_1} \otimes v_{\ell_1} \otimes \cdots \otimes v_{\ell_N}$$

इसका अर्थ यह है कि T को इस प्रकार लिखा जा सकता है
 * $$T = R_{0N}\cdots R_{02} R_{01} ,$$

जहां सूचकांक टेंसर उत्पाद के कारकों को दर्शाते हैं $$ V \otimes V^{\otimes N}$$ जिस पर R कार्य करता है। आवधिक सीमा शर्तों के साथ पहली पंक्ति में बांड की स्थिति का सारांश $$i_1 = i'_1$$, देता है
 * $$(\operatorname{trace}_{V}(T))_{k_1 \dots k_N }^{\ell_1 \dots \ell_N},$$

कहाँ $$\tau = \operatorname{trace}_{V}(T)$$ पंक्ति-स्थानांतरण मैट्रिक्स है। दो पंक्तियों में योगदान का योग करने पर, परिणाम मिलता है
 * $$(\operatorname{trace}_{V}(T))_{k_1 \dots k_N }^{\ell_1 \dots \ell_N} (\operatorname{trace}_{V}(T))_{j_1 \dots j_N}^{k_1 \dots k_N} .$$

जो पहली दो पंक्तियों को जोड़ने वाले ऊर्ध्वाधर बांडों पर योग करने पर देता है:$$((\operatorname{trace}_{V}(T))^2)_{j_1 \dots j_N }^{\ell_1 \dots \ell_N} $$ एम पंक्तियों के लिए, यह देता है
 * $$((\operatorname{trace}_{V}(T))^M)_{\ell'_1 \dots \ell'_N }^{\ell_1 \dots \ell_N} $$

और फिर ऊर्ध्वाधर स्तंभों पर आवधिक सीमा शर्तों को लागू करते हुए, विभाजन फ़ंक्शन को स्थानांतरण मैट्रिक्स के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है $$\tau$$ जैसा
 * $$\mathbb{Z}= \operatorname{trace}_{V^{\otimes N}}(\tau^M)

\sim \lambda_{max}^M $$ कहाँ $$\lambda_{max}$$ का सबसे बड़ा eigenvalue है $$\tau$$. अनुमान इस तथ्य से चलता है कि के eigenvalues $$\tau^M$$ के eigenvalues ​​हैं $$\tau$$ एम की शक्ति के लिए, और के रूप में $$M \rightarrow \infty$$, सबसे बड़े eigenvalue की शक्ति दूसरों की तुलना में बहुत बड़ी हो जाती है। चूँकि ट्रेस (रैखिक बीजगणित) eigenvalues ​​​​का योग है, गणना की समस्या $$\mathbb{Z}$$ का अधिकतम eigenvalue ज्ञात करने की समस्या कम हो जाती है $$\tau$$. यह अपने आप में अध्ययन का एक और क्षेत्र है। हालाँकि, सबसे बड़ा eigenvalue खोजने की समस्या के लिए एक मानक दृष्टिकोण $$\tau$$ ऑपरेटरों के एक बड़े परिवार को ढूंढना है जो साथ यात्रा करते हैं $$\tau$$. इसका तात्पर्य यह है कि eigenspace सामान्य हैं, और समाधान के संभावित स्थान को प्रतिबंधित करते हैं। कम्यूटिंग ऑपरेटरों का ऐसा परिवार आमतौर पर यांग-बैक्सटर समीकरण के माध्यम से पाया जाता है, जो इस प्रकार सांख्यिकीय यांत्रिकी को क्वांटम समूहों के अध्ययन से जोड़ता है।

अभिन्नता
परिभाषा: एक शीर्ष मॉडल अभिन्न है यदि, $$\forall \mu, \nu, \exists \lambda$$ ऐसा है कि
 * $$ R_{12}(\lambda)R_{13}(\mu)R_{23}(\nu) = R_{23}(\nu)R_{13}(\mu)R_{12}(\lambda)$$

यह यांग-बैक्सटर समीकरण का एक पैरामीटरयुक्त संस्करण है, जो शीर्ष ऊर्जाओं की संभावित निर्भरता के अनुरूप है, और इसलिए बोल्ट्ज़मैन तापमान, बाहरी क्षेत्रों आदि जैसे बाहरी मापदंडों पर आर को महत्व देता है।

अभिन्नता की स्थिति निम्नलिखित संबंध को दर्शाती है।

'प्रस्ताव': एक पूर्णांक शीर्ष मॉडल के लिए, साथ $$\lambda, \mu$$ और $$\nu$$ फिर, ऊपर बताए अनुसार परिभाषित किया गया है
 * $$R(\lambda)(1 \otimes T(\mu))(T(\nu) \otimes 1) = (T(\nu) \otimes 1)(1 \otimes T(\mu))R(\lambda) $$

के एंडोमोर्फिज्म के रूप में $$V \otimes V \otimes V^{\otimes N}$$, कहाँ $$R(\lambda)$$ टेंसर उत्पाद के पहले दो वैक्टर पर कार्य करता है।

इसके बाद उपरोक्त समीकरण के दोनों पक्षों को दाईं ओर से गुणा किया जाता है $$ R(\lambda)^{-1}$$ और ट्रेस ऑपरेटर की चक्रीय संपत्ति का उपयोग करना जो निम्नलिखित परिणाम रखता है।

परिणाम: एक पूर्णांक शीर्ष मॉडल के लिए जिसके लिए $$R(\lambda)$$ उलटा है $$\forall \lambda$$, स्थानांतरण मैट्रिक्स $$\tau(\mu)$$ के साथ आवागमन करता है $$\tau(\nu), \ \forall \mu, \nu$$.

यह सॉल्व करने योग्य जाली मॉडल के समाधान में यांग-बैक्सटर समीकरण की भूमिका को दर्शाता है। स्थानांतरण मैट्रिक्स के बाद से $$\tau$$ सभी के लिए आवागमन $$\lambda, \nu$$, के eigenvectors $$\tau$$ सामान्य हैं, और इसलिए पैरामीटरीकरण से स्वतंत्र हैं। यह एक आवर्ती विषय है जो इन कम्यूटिंग ट्रांसफर मैट्रिक्स को देखने के लिए कई अन्य प्रकार के सांख्यिकीय यांत्रिक मॉडल में दिखाई देता है।

उपरोक्त आर की परिभाषा से, यह इस प्रकार है कि दो एन-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान के टेंसर उत्पाद में यांग-बैक्सटर समीकरण के प्रत्येक समाधान के लिए, एक संबंधित 2-आयामी सॉल्वेबल वर्टेक्स मॉडल होता है जहां प्रत्येक बॉन्ड हो सकता है संभावित अवस्थाएँ $$\{1,\ldots,n\}$$, जहां आर द्वारा फैलाए गए स्थान में एक एंडोमोर्फिज्म है $$\{|a \rangle \otimes |b \rangle\}, 1 \leq a,b \leq n $$. यह किसी दिए गए क्वांटम बीजगणित के सभी परिमित-आयामी अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व सिद्धांत के वर्गीकरण को इसके अनुरूप हल करने योग्य मॉडल खोजने के लिए प्रेरित करता है।

उल्लेखनीय शीर्ष मॉडल

 * छह-वर्टेक्स मॉडल
 * Sixvertex.jpg* आठ-शीर्ष मॉडल
 * Eightvertex.jpg* उन्नीस-वर्टेक्स मॉडल (इज़रगिन-कोरेपिन मॉडल)