समुच्चय फलन

गणित में, विशेष रूप से माप सिद्धांत में, एक सेट फ़ंक्शन एक फ़ंक्शन (गणित) होता है जिसका फ़ंक्शन का डोमेन कुछ दिए गए सेट के सबसेट के सेट का परिवार होता है और जो (आमतौर पर) विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा में इसके मान लेता है $$\R \cup \{ \pm \infty \},$$ जिसमें वास्तविक संख्याएँ होती हैं $$\R$$ और $$\pm \infty.$$ एक सेट फ़ंक्शन का आम तौर पर लक्ष्य होता है किसी तरह उपसमुच्चय। माप (गणित) सेट फ़ंक्शंस को मापने के विशिष्ट उदाहरण हैं। इसलिए, शब्द सेट फ़ंक्शन का उपयोग अक्सर माप के गणितीय अर्थ और इसके सामान्य भाषा अर्थ के बीच भ्रम से बचने के लिए किया जाता है।

परिभाषाएँ
अगर $$\mathcal{F}$$ सेट ओवर का परिवार है $$\Omega$$ (मतलब है कि $$\mathcal{F} \subseteq \wp(\Omega)$$ कहाँ $$\wp(\Omega)$$ सत्ता स्थापित को दर्शाता है) फिर a एक कार्य है $$\mu$$ एक समारोह के डोमेन के साथ $$\mathcal{F}$$ और कोडोमेन $$[-\infty, \infty]$$ या, कभी-कभी, कोडोमेन इसके बजाय कुछ सदिश स्थान होता है, जैसा सदिश उपायों, जटिल उपायों और प्रक्षेपण-मूल्यवान उपायों के साथ होता है। सेट फ़ंक्शन के डोमेन में कोई संख्या गुण हो सकते हैं; आमतौर पर सामने आने वाली संपत्तियों और परिवारों की श्रेणियों को नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध किया गया है।

सामान्य तौर पर, यह आमतौर पर माना जाता है $$\mu(E) + \mu(F)$$ हमेशा सभी के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है $$E, F \in \mathcal{F},$$ या समकक्ष, वह $$\mu$$ दोनों नहीं लेता $$- \infty$$ और $$+ \infty$$ मूल्यों के रूप में। यह लेख आगे से यही मानेगा; हालांकि वैकल्पिक रूप से, नीचे दी गई सभी परिभाषाएँ बयानों द्वारा योग्य हो सकती हैं जैसे कि जब भी योग/श्रृंखला परिभाषित की जाती है। यह कभी-कभी घटाव के साथ किया जाता है, जैसे निम्न परिणाम के साथ, जो जब भी होता है $$\mu$$ #पूरी तरह से योगात्मक है:
 * $$\mu(F) - \mu(E) = \mu(F \setminus E) \text{ whenever } \mu(F) - \mu(E)$$ से परिभाषित किया गया है $$E, F \in \mathcal{F}$$ संतुष्टि देने वाला $$E \subseteq F$$ और $$F \setminus E \in \mathcal{F}.$$ अशक्त सेट

एक सेट $$F \in \mathcal{F}$$ ए कहा जाता है (इसके संबंध में $$\mu$$) या केवल  अगर $$\mu(F) = 0.$$ जब कभी भी $$\mu$$ दोनों के समान नहीं है $$-\infty$$ या $$+\infty$$ तो यह आमतौर पर यह भी माना जाता है कि: <उल> : $$\mu(\varnothing) = 0$$ अगर $$\varnothing \in \mathcal{F}.$$ 

विविधता और द्रव्यमान

कुल भिन्नता (माप सिद्धांत) | $$S$$ है $$|\mu|(S) ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \sup \{ |\mu(F)| : F \in \mathcal{F} \text{ and } F \subseteq S \}$$ कहाँ $$|\,\cdot\,|$$ निरपेक्ष मूल्य को दर्शाता है (या अधिक सामान्यतः, यह मानदंड (गणित) या सेमिनोर्म को दर्शाता है यदि $$\mu$$ एक (सेमिनोर्ड स्पेस) नॉर्म्ड स्पेस में वेक्टर-वैल्यू है)। ये मानते हुए $$\cup \mathcal{F} ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \textstyle\bigcup\limits_{F \in \mathcal{F}} F \in \mathcal{F},$$ तब $$|\mu|\left(\cup \mathcal{F}\right)$$ कहा जाता है का $$\mu$$ और $$\mu\left(\cup \mathcal{F}\right)$$ कहा जाता है  का $$\mu.$$ एक सेट फ़ंक्शन कहा जाता है  यदि प्रत्येक के लिए $$F \in \mathcal{F},$$ मूल्य $$\mu(F)$$ है  (जो परिभाषा के अनुसार इसका मतलब है $$\mu(F) \neq \infty$$ और $$\mu(F) \neq -\infty$$; एक  के बराबर है $$\infty$$ या $$- \infty$$). प्रत्येक परिमित समुच्चय फलन का एक परिमित #द्रव्यमान होना चाहिए।

सेट कार्यों के सामान्य गुण
एक सेट समारोह $$\mu$$ पर $$\mathcal{F}$$ बताया गया <सड़क>  यदि इसका मूल्य है $$[0, \infty].$$ फिनिटली एडिटिव सेट फंक्शन| अगर $$\textstyle\sum\limits_{i=1}^n \mu\left(F_i\right) = \mu\left(\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^n F_i\right)$$ सभी जोड़ीदार असंयुक्त परिमित अनुक्रमों के लिए $$F_1, \ldots, F_n \in \mathcal{F}$$ ऐसा है कि $$\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^n F_i \in \mathcal{F}.$$  सिग्मा-एडिटिव सेट फंक्शन| या सिग्मा-एडिटिव सेट फंक्शन | यदि परिमित रूप से योज्य होने के अलावा, सभी जोड़ीदार असंयुक्त अनुक्रमों के लिए $$F_1, F_2, \ldots\,$$ में $$\mathcal{F}$$ ऐसा है कि $$\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty F_i \in \mathcal{F},$$ निम्नलिखित सभी धारण करते हैं: <ओल प्रकार = ए> $$\textstyle\sum\limits_{i=1}^\infty \mu\left(F_i\right) = \mu\left(\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty F_i\right)$$ अगर $$\mu\left(\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty F_i\right)$$ अनंत नहीं है तो यह श्रृंखला $$\textstyle\sum\limits_{i=1}^\infty \mu\left(F_i\right)$$ पूर्ण अभिसरण भी होना चाहिए, जिसका परिभाषा के अनुसार अर्थ है $$\textstyle\sum\limits_{i=1}^\infty \left|\mu\left(F_i\right)\right|$$ परिमित होना चाहिए। यह स्वचालित रूप से सत्य है यदि $$\mu$$ #non-negative|non-negative है (या केवल विस्तारित वास्तविक संख्याओं में मान)। अगर $$\mu\left(\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty F_i\right) = \textstyle\sum\limits_{i=1}^\infty \mu\left(F_i\right)$$ अनंत है तो यह भी आवश्यक है कि श्रृंखला में से कम से कम एक का मान हो $$\textstyle\sum\limits_{\stackrel{i \in \N}{\mu\left(F_i\right) > 0}} \mu\left(F_i\right) \; \text{ and } \; \textstyle\sum\limits_{\stackrel{i \in \N}{\mu\left(F_i\right) < 0}} \mu\left(F_i\right) \;$$ परिमित हो (ताकि उनके मूल्यों का योग अच्छी तरह से परिभाषित हो)। यह स्वचालित रूप से सत्य है यदि $$\mu$$ #गैर-नकारात्मक|गैर-नकारात्मक है।   एक पूर्व-उपाय| अगर यह #non-negative|non-negative है, सिग्मा-एडिटिव सेट फंक्शन (#Finitely एडिटिव सहित), और एक #null खाली सेट है। एक माप (गणित)| अगर यह एक #pre-measure|pre-measure है जिसका डोमेन σ-बीजगणित है। कहने का मतलब यह है कि माप एक σ-बीजगणित पर एक गैर-नकारात्मक गणन योग्य योज्य सेट फ़ंक्शन है जिसमें एक #शून्य खाली सेट होता है। एक संभाव्यता माप| यदि यह एक माप है जिसका #द्रव्यमान है $$1.$$ एक बाहरी माप| अगर यह गैर-नकारात्मक है, #गणनात्मक रूप से सबएडिटिव है, एक #शून्य खाली सेट है, और सत्ता स्थापित  है $$\wp(\Omega)$$ इसके डोमेन के रूप में। एक हस्ताक्षरित उपाय| यदि यह गिनती योगात्मक है, तो #null खाली सेट है, और $$\mu$$ दोनों नहीं लेता $$- \infty$$ और $$+ \infty$$ मानों के रूप में।</li> पूरा उपाय| यदि प्रत्येक #null सेट का प्रत्येक उपसमुच्चय रिक्त है; स्पष्ट रूप से, इसका अर्थ है: जब भी $$F \in \mathcal{F} \text{ satisfies } \mu(F) = 0$$ और $$N \subseteq F$$ का कोई उपसमुच्चय है $$F$$ तब $$N \in \mathcal{F}$$ और $$\mu(N) = 0.$$ σ-सीमित माप| यदि कोई अनुक्रम मौजूद है $$F_1, F_2, F_3, \ldots\,$$ में $$\mathcal{F}$$ ऐसा है कि $$\mu\left(F_i\right)$$ प्रत्येक सूचकांक के लिए परिमित है $$i,$$ और भी $$\textstyle\bigcup\limits_{n=1}^\infty F_n = \textstyle\bigcup\limits_{F \in \mathcal{F}} F.$$</ली> विघटित करने योग्य माप| यदि कोई उपपरिवार मौजूद है $$\mathcal{P} \subseteq \mathcal{F}$$ जोड़ो में असंयुक्त सेट की इस तरह है कि $$\mu(P)$$ प्रत्येक के लिए परिमित है $$P \in \mathcal{P}$$ और भी $$\textstyle\bigcup\limits_{P \in \mathcal{P}} \, P = \textstyle\bigcup\limits_{F \in \mathcal{F}} F$$ (कहाँ $$\mathcal{F} = \operatorname{domain} \mu$$). एक वेक्टर माप| यदि यह एक गिने-चुने योज्य समुच्चय फलन है $$\mu : \mathcal{F} \to X$$ एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस में मूल्यवान $$X$$ (जैसे एक आदर्श स्थान) जिसका डोमेन σ-बीजगणित है। एक जटिल उपाय| यदि यह एक गिने-चुने योगात्मक जटिल संख्या-मूल्यवान सेट फ़ंक्शन है $$\mu : \mathcal{F} \to \Complex$$ जिसका प्रांत σ-बीजगणित है। एक यादृच्छिक उपाय| यदि यह एक माप-मूल्यवान यादृच्छिक तत्व है।</li> </ul>
 * अगर $$\mathcal{F}$$ बाइनरी संघ (सेट सिद्धांत)  के तहत बंद है $$\mu$$ निश्चित रूप से योज्य है अगर और केवल अगर $$\mu(E \cup F) = \mu(E) + \mu(F)$$ सभी असंबद्ध जोड़ियों के लिए $$E, F \in \mathcal{F}.$$
 * अगर $$\mu$$ निश्चित रूप से योज्य है और यदि $$\varnothing \in \mathcal{F}$$ फिर ले रहा है $$E := F := \varnothing$$ पता चलता है कि $$\mu(\varnothing) = \mu(\varnothing) + \mu(\varnothing)$$ जो केवल तभी संभव है $$\mu(\varnothing) = 0$$ या $$\mu(\varnothing) = \pm \infty,$$ जहां बाद के मामले में, $$\mu(E) = \mu(E \cup \varnothing) = \mu(E) + \mu(\varnothing) = \mu(E) + (\pm \infty) = \pm \infty$$ हरएक के लिए $$E \in \mathcal{F}$$ (इसलिए केवल मामला $$\mu(\varnothing) = 0$$ उपयोगी है)।
 * बाईं ओर की श्रृंखला को सामान्य तरीके से सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है $$\textstyle\sum\limits_{i=1}^\infty \mu\left(F_i\right) ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ {\displaystyle\lim_{n \to \infty}} \mu\left(F_1\right) + \cdots + \mu\left(F_n\right).$$
 * परिणामस्वरूप, यदि $$\rho : \N \to \N$$ तब कोई क्रमपरिवर्तन/आपत्ति है $$\textstyle\sum\limits_{i=1}^\infty \mu\left(F_i\right) = \textstyle\sum\limits_{i=1}^\infty \mu\left(F_{\rho(i)}\right);$$ यह है क्योंकि $$\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty F_i = \textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty F_{\rho(i)}$$ और इस शर्त को लागू करना (ए) दो बार गारंटी देता है कि दोनों $$\textstyle\sum\limits_{i=1}^\infty \mu\left(F_i\right) = \mu\left(\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty F_i\right)$$ और $$\mu\left(\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty F_{\rho(i)}\right) = \textstyle\sum\limits_{i=1}^\infty \mu\left(F_{\rho(i)}\right)$$ पकड़ना। परिभाषा के अनुसार, इस संपत्ति के साथ अभिसरण श्रृंखला को बिना शर्त अभिसरण कहा जाता है। सादे अंग्रेजी में कहा गया है, इसका मतलब है कि सेट को पुनर्व्यवस्थित/रीलेबल करना $$F_1, F_2, \ldots$$ नए आदेश के लिए $$F_{\rho(1)}, F_{\rho(2)}, \ldots$$ उनके उपायों के योग को प्रभावित नहीं करता है। संघ के रूप में ही यह वांछनीय है $$F ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \textstyle\bigcup\limits_{i \in \N} F_i$$ इन सेटों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है, वही राशियों के लिए सही होना चाहिए $$\mu(F) = \mu\left(F_1\right) + \mu\left(F_2\right) + \cdots$$ और $$\mu(F) = \mu\left(F_{\rho(1)}\right) + \mu\left(F_{\rho(2)}\right) + \cdots\,.$$</ली>
 * रीमैन श्रृंखला प्रमेय, श्रृंखला द्वारा वास्तविक संख्याओं की किसी भी अभिसरण श्रृंखला के साथ $$\textstyle\sum\limits_{i=1}^\infty \mu\left(F_i\right) = {\displaystyle\lim_{N \to \infty}} \mu\left(F_1\right) + \mu\left(F_2\right) + \cdots + \mu\left(F_N\right)$$ पूरी तरह से अभिसरण करता है अगर और केवल अगर इसका योग इसकी शर्तों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है (बिना शर्त अभिसरण के रूप में जाना जाने वाला गुण)। चूंकि बिना शर्त अभिसरण की ऊपर (ए) द्वारा गारंटी दी गई है, यह स्थिति स्वचालित रूप से सत्य है यदि $$\mu$$ में मूल्यवान है $$[-\infty, \infty].$$</ली>
 * कैराथियोडोरी के विस्तार प्रमेय में बाहरी उपाय दिखाई देते हैं और वे अक्सर कैराथियोडोरी की कसौटी पर प्रतिबंध (गणित) होते हैं। कैराथियोडोरी मापने योग्य उपसमुच्चय</li>
 * कई अन्य गुणों के विपरीत, पूर्णता सेट पर आवश्यकताओं को रखती है $$\operatorname{domain} \mu = \mathcal{F}$$ (और न सिर्फ चालू $$\mu$$के मान).</li>
 * प्रत्येक 𝜎-फ़िनिट सेट फ़ंक्शन डीकंपोज़ेबल है, हालांकि इसके विपरीत नहीं। उदाहरण के लिए, गिनती माप पर $$\R$$ (जिसका डोमेन है $$\wp(\R)$$) डीकंपोज़ेबल है लेकिन नहीं 𝜎-परिमित।</li>
 * अगर $$\mu$$ एक आदर्श स्थान में मूल्यवान है $$(X, \|\cdot\|)$$ तो यह गिनती योगात्मक है अगर और केवल अगर किसी भी जोड़ीदार संबंध विच्छेद अनुक्रम के लिए $$F_1, F_2, \ldots\,$$ में $$\mathcal{F},$$ $$\lim_{n \to \infty} \left\|\mu\left(F_1\right) + \cdots + \mu\left(F_n\right) - \mu\left(\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty F_i\right)\right\| = 0.$$ अगर $$\mu$$ एक बनच स्थान में सूक्ष्म रूप से योगात्मक और मूल्यवान है, तो यह योगात्मक रूप से योगात्मक है यदि और केवल यदि किसी जोड़ीदार असंबद्ध अनुक्रम के लिए $$F_1, F_2, \ldots\,$$ में $$\mathcal{F},$$ $$\lim_{n \to \infty} \left\|\mu\left(F_n \cup F_{n+1} \cup F_{n+2} \cup \cdots\right)\right\| = 0.$$</ली>
 * परिभाषा के अनुसार, एक जटिल उपाय कभी नहीं होता है $$\pm \infty$$ एक मान के रूप में और इसलिए एक #शून्य खाली सेट है।</li>

मनमानी रकम

वर्णित श्रृंखला (गणित)#किसी भी परिवार के लिए सामान्यीकृत श्रृंखला पर इस लेख के खंड में मनमाना सूचकांक सेट पर योग| $$\left(r_i\right)_{i \in I}$$ एक मनमाना अनुक्रमण सेट द्वारा अनुक्रमित वास्तविक संख्याओं का $$I,$$ उनकी राशि को परिभाषित करना संभव है $$\textstyle\sum\limits_{i \in I} r_i$$ परिमित आंशिक योगों के शुद्ध (गणित) की सीमा के रूप में $$F \in \operatorname{FiniteSubsets}(I) \mapsto \textstyle\sum\limits_{i \in F} r_i$$ जहां डोमेन $$\operatorname{FiniteSubsets}(I)$$ द्वारा निर्देशित किया गया है $$\,\subseteq.\,$$ जब कभी यह अभिसारी जाल होता है तो इसकी सीमा को प्रतीकों द्वारा निरूपित किया जाता है $$\textstyle\sum\limits_{i \in I} r_i$$ जबकि अगर यह नेट इसके बजाय अलग हो जाता है $$\pm \infty$$ तो यह लिखकर संकेत किया जा सकता है $$\textstyle\sum\limits_{i \in I} r_i = \pm \infty.$$ रिक्त समुच्चय पर किसी भी योग को शून्य के रूप में परिभाषित किया गया है; वह है, अगर $$I = \varnothing$$ तब $$\textstyle\sum\limits_{i \in \varnothing} r_i = 0$$ परिभाषा से।

उदाहरण के लिए, यदि $$z_i = 0$$ हरएक के लिए $$i \in I$$ तब $$\textstyle\sum\limits_{i \in I} z_i = 0.$$ और यह दिखाया जा सकता है $$\textstyle\sum\limits_{i \in I} r_i = \textstyle\sum\limits_{\stackrel{i \in I,}{r_i = 0}} r_i + \textstyle\sum\limits_{\stackrel{i \in I,}{r_i \neq 0}} r_i = 0 + \textstyle\sum\limits_{\stackrel{i \in I,}{r_i \neq 0}} r_i = \textstyle\sum\limits_{\stackrel{i \in I,}{r_i \neq 0}} r_i.$$ अगर $$I = \N$$ फिर सामान्यीकृत श्रृंखला $$\textstyle\sum\limits_{i \in I} r_i$$ में विलीन हो जाता है $$\R$$ अगर और केवल अगर $$\textstyle\sum\limits_{i=1}^\infty r_i$$ बिना शर्त अभिसरण (या समकक्ष, पूर्ण अभिसरण) सामान्य अर्थों में। यदि एक सामान्यीकृत श्रृंखला $$\textstyle\sum\limits_{i \in I} r_i$$ में विलीन हो जाता है $$\R$$ फिर दोनों $$\textstyle\sum\limits_{\stackrel{i \in I}{r_i > 0}} r_i$$ और $$\textstyle\sum\limits_{\stackrel{i \in I}{r_i < 0}} r_i$$ के तत्वों में भी अभिसरण करते हैं $$\R$$ और सेट $$\left\{i \in I : r_i \neq 0\right\}$$ आवश्यक रूप से गणनीय समुच्चय है (अर्थात, या तो परिमित या गणनीय रूप से अनंत); श्रृंखला (गणित) # एबेलियन टोपोलॉजिकल समूह यदि $$\R$$ किसी भी सामान्य स्थान से प्रतिस्थापित किया जाता है। यह इस प्रकार है कि एक सामान्यीकृत श्रृंखला के लिए $$\textstyle\sum\limits_{i \in I} r_i$$ में जुटना $$\R$$ या $$\Complex,$$ यह आवश्यक है कि सभी लेकिन अधिक से अधिक संख्या में $$r_i$$ के बराबर होगा $$0,$$ जिसका अर्थ है कि $$\textstyle\sum\limits_{i \in I} r_i ~=~ \textstyle\sum\limits_{\stackrel{i \in I}{r_i \neq 0}} r_i$$ अधिक से अधिक कई गैर-शून्य शब्दों का योग है। अलग ढंग से कहा, अगर $$\left\{i \in I : r_i \neq 0\right\}$$ बेशुमार है तो सामान्यीकृत श्रृंखला $$\textstyle\sum\limits_{i \in I} r_i$$ एकाग्र नहीं होता।

संक्षेप में, वास्तविक संख्याओं की प्रकृति और इसकी टोपोलॉजी के कारण, वास्तविक संख्याओं की प्रत्येक सामान्यीकृत श्रृंखला (एक मनमाना सेट द्वारा अनुक्रमित) जो अभिसरण करता है, को कई वास्तविक संख्याओं की एक सामान्य पूर्ण रूप से अभिसरण श्रृंखला में घटाया जा सकता है। इसलिए माप सिद्धांत के संदर्भ में, बेशुमार सेटों और सामान्यीकृत श्रृंखलाओं पर विचार करने से बहुत कम लाभ प्राप्त होता है। विशेष रूप से, यही कारण है कि #गणनीय योगात्मक की परिभाषा को शायद ही कभी कई सेटों से बढ़ाया जाता है $$F_1, F_2, \ldots\,$$ में $$\mathcal{F}$$ (और सामान्य गणनीय श्रृंखला $$\textstyle\sum\limits_{i=1}^\infty \mu\left(F_i\right)$$) मनमाने ढंग से कई सेटों के लिए $$\left(F_i\right)_{i \in I}$$ (और सामान्यीकृत श्रृंखला $$\textstyle\sum\limits_{i \in I} \mu\left(F_i\right)$$).

आंतरिक उपाय, बाहरी उपाय और अन्य गुण
एक सेट समारोह $$\mu$$ कहा जाता है / संतुष्ट करता है <सड़क>  अगर $$\mu(E) \leq \mu(F)$$ जब कभी भी $$E, F \in \mathcal{F}$$ संतुष्ट करना $$E \subseteq F.$$</ली> मॉड्यूलर सेट फंक्शन| यदि यह निम्नलिखित शर्त को पूरा करता है, जिसे जाना जाता है : $$\mu(E \cup F) + \mu(E \cap F) = \mu(E) + \mu(F)$$ सभी के लिए $$E, F \in \mathcal{F}$$ ऐसा है कि $$E \cup F, E \cap F \in \mathcal{F}.$$ सबमॉड्यूलर सेट फंक्शन| अगर $$\mu(E \cup F) + \mu(E \cap F) \leq \mu(E) + \mu(F)$$ सभी के लिए $$E, F \in \mathcal{F}$$ ऐसा है कि $$E \cup F, E \cap F \in \mathcal{F}.$$</ली>  अगर $$|\mu(F)| \leq \textstyle\sum\limits_{i=1}^n \left|\mu\left(F_i\right)\right|$$ सभी परिमित अनुक्रमों के लिए $$F, F_1, \ldots, F_n \in \mathcal{F}$$ जो संतुष्ट करता है $$F \;\subseteq\; \textstyle\bigcup\limits_{i=1}^n F_i.$$</ली> <ली> या अगर $$|\mu(F)| \leq \textstyle\sum\limits_{i=1}^\infty \left|\mu\left(F_i\right)\right|$$ सभी क्रमों के लिए $$F, F_1, F_2, F_3, \ldots\,$$ में $$\mathcal{F}$$ जो संतुष्ट करता है $$F \;\subseteq\; \textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty F_i.$$ <li>सुपरएडिटीविटी| अगर $$\mu(E) + \mu(F) \leq \mu(E \cup F)$$ जब कभी भी $$E, F \in \mathcal{F}$$ से असंबद्ध हैं $$E \cup F \in \mathcal{F}.$$</ली> <ली> अगर $$\lim_{n \to \infty} \mu\left(F_i\right) = \mu\left(\textstyle\bigcap\limits_{i=1}^\infty F_i\right)$$ सभी के लिए सेट का $$F_1 \supseteq F_2 \supseteq F_3 \cdots\,$$ में $$\mathcal{F}$$ ऐसा है कि $$\textstyle\bigcap\limits_{i=1}^\infty F_i \in \mathcal{F}$$ साथ $$\mu\left(\textstyle\bigcap\limits_{i=1}^\infty F_i\right)$$ और सभी $$\mu\left(F_i\right)$$ परिमित। <ली> अगर $$\lim_{n \to \infty} \mu\left(F_i\right) = \mu\left(\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty F_i\right)$$ सभी के लिए सेट का $$F_1 \subseteq F_2 \subseteq F_3 \cdots\,$$ में $$\mathcal{F}$$ ऐसा है कि $$\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty F_i \in \mathcal{F}.$$</ली> <ली> अगर कभी भी $$F \in \mathcal{F}$$ संतुष्ट $$\mu(F) = \infty$$ तो हर असली के लिए $$r > 0,$$ कुछ मौजूद है $$F_r \in \mathcal{F}$$ ऐसा है कि $$F_r \subseteq F$$ और $$r \leq \mu\left(F_r\right) < \infty.$$</ली> <li>एक #बाहरी उपाय| अगर $$\mu$$ गैर-ऋणात्मक है, #गणनीय रूप से सबएडिटिव है, एक #शून्य खाली सेट है, और पावर सेट है $$\wp(\Omega)$$ इसके डोमेन के रूप में।</li> <li>एक आंतरिक उपाय| अगर $$\mu$$ गैर-नकारात्मक है, #सुपरएडिटिव, ऊपर से #निरंतर, एक #शून्य खाली सेट है, पावर सेट है $$\wp(\Omega)$$ इसके डोमेन के रूप में, और नीचे से #infinity तक संपर्क किया जाता है$$+\infty$$ नीचे से संपर्क किया गया है।</li> <li>परमाणु माप| यदि सकारात्मक माप के प्रत्येक मापने योग्य सेट में एक परमाणु (माप सिद्धांत) होता है।</li> </ul>
 * समुच्चयों के क्षेत्र में प्रत्येक परिमित योज्य फलन मॉड्यूलर होता है।
 * ज्यामिति में, इस संपत्ति वाले कुछ एबेलियन सेमीग्रुप में मूल्यवान एक सेट फ़ंक्शन को वैल्यूएशन (ज्यामिति) के रूप में जाना जाता है।. यह मूल्यांकन (ज्यामिति)|मूल्यांकन की ज्यामितीय परिभाषा को मजबूत गैर-समतुल्य मूल्यांकन (माप सिद्धांत) के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए|मूल्यांकन की सैद्धांतिक परिभाषा को मापें जो कि #मूल्यांकन है।</li>
 * अगर $$\mathcal{F}$$ परिमित संघों के तहत बंद है तो यह स्थिति केवल और केवल तभी होती है $$|\mu(F \cup G)| \leq| \mu(F)| + |\mu(G)|$$ सभी के लिए $$F, G \in \mathcal{F}.$$ अगर $$\mu$$ गैर-ऋणात्मक है तो निरपेक्ष मान हटाया जा सकता है।
 * अगर $$\mu$$ एक उपाय है तो यह स्थिति अगर और केवल अगर रखती है $$\mu\left(\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty F_i\right) \leq \textstyle\sum\limits_{i=1}^\infty \mu\left(F_i\right)$$ सभी के लिए $$F_1, F_2, F_3, \ldots\,$$ में $$\mathcal{F}.$$ अगर $$\mu$$ एक प्रायिकता माप है तो यह असमानता बूले की असमानता है।
 * अगर $$\mu$$ गिनती उप-योगात्मक है और $$\varnothing \in \mathcal{F}$$ साथ $$\mu(\varnothing) = 0$$ तब $$\mu$$ #पूरी तरह से सबएडिटिव है।</li>
 * लेबेस्गु उपाय $$\lambda$$ ऊपर से निरंतर है लेकिन यह धारणा नहीं होगी कि सभी $$\mu\left(F_i\right)$$ अंततः परिमित हैं परिभाषा से हटा दिया गया था, जैसा कि इस उदाहरण से पता चलता है: प्रत्येक पूर्णांक के लिए $$i,$$ होने देना $$F_i$$ खुला अंतराल हो $$(i, \infty)$$ ताकि $$\lim_{n \to \infty} \lambda\left(F_i\right) = \lim_{n \to \infty} \infty = \infty \neq 0 = \lambda(\varnothing) = \lambda\left(\textstyle\bigcap\limits_{i=1}^\infty F_i\right)$$ कहाँ $$\textstyle\bigcap\limits_{i=1}^\infty F_i = \varnothing.$$</ली>

यदि एक बाइनरी ऑपरेशन $$\,+\,$$ परिभाषित किया गया है, फिर एक सेट फ़ंक्शन $$\mu$$ बताया गया <उल> <ली> अगर $$\mu(\omega + F) = \mu(F)$$ सभी के लिए $$\omega \in \Omega$$ और $$F \in \mathcal{F}$$ ऐसा है कि $$\omega + F \in \mathcal{F}.$$</ली> </ul>

टोपोलॉजी संबंधित परिभाषाएँ
अगर $$\tau$$ एक टोपोलॉजी (संरचना) पर है $$\Omega$$ फिर एक सेट समारोह $$\mu$$ बताया गया: <उल> <li>एक बोरेल उपाय| यदि यह सभी बोरेल सेटों के σ-बीजगणित पर परिभाषित माप है, जो सबसे छोटा σ-बीजगणित है जिसमें सभी खुले उपसमुच्चय होते हैं (अर्थात, युक्त $$\tau$$).</ली> <li>एक बेयर माप| यदि यह सभी बेयर सेटों के σ-बीजगणित पर परिभाषित माप है।</li> <li>स्थानीय परिमित माप| अगर हर बिंदु के लिए $$\omega \in \Omega$$ कुछ पड़ोस मौजूद है $$U \in \mathcal{F} \cap \tau$$ इस बिंदु से ऐसा है $$\mu(U)$$ परिमित है। <li>τ-additivity| अगर $$\mu\left({\textstyle\bigcup} \, \mathcal{D}\right) = \sup_{D \in \mathcal{D}} \mu(D)$$ जब कभी भी $$\mathcal{D} \subseteq \tau \cap \mathcal{F}$$ के संबंध में निर्देशित किया गया है $$\,\subseteq\,$$ और संतुष्ट करता है $${\textstyle\bigcup} \, \mathcal{D} ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \textstyle\bigcup\limits_{D \in \mathcal{D}} D \in \mathcal{F}.$$ <li>आंतरिक नियमित उपाय| या यदि प्रत्येक के लिए $$F \in \mathcal{F},$$ $$\mu(F) = \sup \{\mu(K) : F \supseteq K \text{ with } K \in \mathcal{F} \text{ a compact subset of } (\Omega, \tau)\}.$$</ली> <li>बाह्य नियमित उपाय| यदि प्रत्येक के लिए $$F \in \mathcal{F},$$ $$\mu(F) = \inf \{\mu(U) : F \subseteq U \text{ and } U \in \mathcal{F} \cap \tau\}.$$</ली> <li>नियमित उपाय| अगर यह इनर रेगुलर और आउटर रेगुलर दोनों है।</li> <li>एक बोरेल नियमित उपाय| यदि यह बोरेल माप है तो वह भी नियमित उपाय है |.</ली> <li>एक रैडॉन माप| यदि यह एक नियमित और स्थानीय रूप से परिमित उपाय है।</li> <li>सख्ती से सकारात्मक उपाय| यदि प्रत्येक गैर-खाली खुले उपसमुच्चय में (सख्ती से) सकारात्मक माप है।</li> <li>एक मूल्यांकन (माप सिद्धांत)| यदि यह गैर-ऋणात्मक है, #monotone, #modular, एक #null खाली सेट है, और डोमेन है $$\tau.$$</ली> </ul>
 * अगर $$\mu$$ एक सूक्ष्म योगात्मक, मोनोटोन और स्थानीय रूप से परिमित है $$\mu(K)$$ प्रत्येक कॉम्पैक्ट मापने योग्य सबसेट के लिए आवश्यक रूप से परिमित है $$K.$$</ली>
 * $$\mathcal{D}$$ के संबंध में निर्देशित किया गया है $$\,\subseteq\,$$ अगर और केवल अगर यह खाली नहीं है और सभी के लिए है $$A, B \in \mathcal{D}$$ कुछ मौजूद है $$C \in \mathcal{D}$$ ऐसा है कि $$A \subseteq C$$ और $$B \subseteq C.$$</ली>

सेट कार्यों के बीच संबंध
अगर $$\mu$$ और $$\nu$$ दो सेट कार्य समाप्त हो गए हैं $$\Omega,$$ तब: <उल> <ली>$$\mu$$ पूर्ण निरंतरता (माप सिद्धांत) कहा जाता है | या वर्चस्व (माप सिद्धांत) |, लिखा हुआ $$\mu \ll \nu,$$ अगर हर सेट के लिए $$F$$ जो दोनों के अधिकार क्षेत्र में आता है $$\mu$$ और $$\nu,$$ अगर $$\nu(F) = 0$$ तब $$\mu(F) = 0.$$ <वह>$$\mu$$ और $$\nu$$ एकवचन उपाय हैं |, लिखा हुआ $$\mu \perp \nu,$$ अगर वहाँ असंबद्ध सेट मौजूद हैं $$M$$ और $$N$$ के डोमेन में $$\mu$$ और $$\nu$$ ऐसा है कि $$M \cup N = \Omega,$$ $$\mu(F) = 0$$ सभी के लिए $$F \subseteq M$$ के अधिकार क्षेत्र में $$\mu,$$ और $$\nu(F) = 0$$ सभी के लिए $$F \subseteq N$$ के अधिकार क्षेत्र में $$\nu.$$</ली> </ul>
 * अगर $$\mu$$ और $$\nu$$ σ-सीमित माप हैं |$$\sigma$$-समान मापने योग्य स्थान पर परिमित उपाय और यदि $$\mu \ll \nu,$$ फिर रैडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न $$\frac{d \mu}{d \nu}$$ मौजूद है और हर मापने योग्य के लिए $$F,$$ $$\mu(F) = \int_F \frac{d \mu}{d \nu} d \nu.$$</ली>
 * $$\mu$$ और $$\nu$$ तुल्यता (माप सिद्धांत) कहलाते हैं| यदि प्रत्येक एक दूसरे के संबंध में #बिल्कुल निरंतर है। $$\mu$$ एक तुल्यता (माप सिद्धांत) # सहायक उपाय कहा जाता है माप का $$\nu$$ अगर $$\mu$$ सिग्मा-परिमित है|$$\sigma$$-परिमित और वे समकक्ष हैं।

उदाहरण
सेट कार्यों के उदाहरणों में शामिल हैं:
 * कार्यक्रम $$d(A) = \lim_{n \to \infty} \frac{|A \cap \{1, \ldots, n\}|}{n},$$ पर्याप्त रूप से अच्छे व्यवहार वाले उपसमुच्चय को प्राकृतिक घनत्व प्रदान करना $$A \subseteq \{1, 2, 3, \ldots\},$$ एक निर्धारित कार्य है।
 * एक संभाव्यता माप सिग्मा-बीजगणित | σ-बीजगणित में प्रत्येक सेट के लिए एक संभावना प्रदान करता है। विशेष रूप से, खाली सेट की संभावना शून्य है और नमूना स्थान की संभावना है $$1,$$ के बीच दी गई संभावनाओं के साथ अन्य सेटों के साथ $$0$$ और $$1.$$
 * एक संभावित माप किसी दिए गए सेट के पावरसेट में प्रत्येक सेट को शून्य और एक के बीच एक संख्या प्रदान करता है। संभावना सिद्धांत देखें।
 * ए एक सेट-वैल्यू  अनियमित परिवर्तनशील वस्तु  है। लेख यादृच्छिक कॉम्पैक्ट सेट देखें।

जॉर्डन मापता है $$\Reals^n$$ जॉर्डन के सभी औसत दर्जे के सबसेट के सेट पर परिभाषित एक सेट फ़ंक्शन है $$\Reals^n;$$ यह अपने जॉर्डन माप के लिए एक जॉर्डन मापने योग्य सेट भेजता है।

लेबेस्ग उपाय
Lebesgue माप पर $$\Reals$$ एक सेट फ़ंक्शन है जो लेबेसेग से संबंधित वास्तविक संख्याओं के प्रत्येक सेट के लिए एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या प्रदान करता है $$\sigma$$-बीजगणित। इसकी परिभाषा समुच्चय से शुरू होती है $$\operatorname{Intervals}(\Reals)$$ वास्तविक संख्याओं के सभी अंतरालों का, जो एक अर्धबीजगणित है $$\Reals.$$ वह फ़ंक्शन जो हर अंतराल को असाइन करता है $$I$$ इसका $$\operatorname{length}(I)$$ एक सूक्ष्म योगात्मक सेट फ़ंक्शन है (स्पष्ट रूप से, if $$I$$ समापन बिंदु हैं $$a \leq b$$ तब $$\operatorname{length}(I) = b - a$$). इस सेट फ़ंक्शन को Lebesgue बाहरी माप पर बढ़ाया जा सकता है $$\Reals,$$ जो अनुवाद-अपरिवर्तनीय सेट फ़ंक्शन है $$\lambda^{\!*\!} : \wp(\Reals) \to [0, \infty]$$ जो एक सबसेट भेजता है $$E \subseteq \Reals$$ नीचे $$\lambda^{\!*\!}(E) = \inf \left\{\sum_{k=1}^\infty \operatorname{length}(I_k) : {(I_k)_{k \in \N}} \text{ is a sequence of open intervals with } E \subseteq \bigcup_{k=1}^\infty I_k\right\}.$$ Lebesgue बाहरी माप गिनती योग्य नहीं है (और इसलिए एक उपाय नहीं है) हालांकि सिग्मा-बीजगणित के लिए इसका प्रतिबंध है।𝜎-सभी उपसमुच्चयों का बीजगणित $$M \subseteq \Reals$$ जो कैराथियोडोरी की कसौटी पर खरे उतरते हैं | कैराथियोडोरी की कसौटी: $$\lambda^{\!*\!}(M) = \lambda^{\!*\!}(M \cap E) + \lambda^{\!*\!}(M \cap E^c) \quad \text{ for every } S \subseteq \Reals$$ एक उपाय है जिसे लेबेस्गु माप कहा जाता है। विटाली सेट करता है वास्तविक संख्याओं के गैर-मापने योग्य सेट के उदाहरण हैं।

अनंत-आयामी स्थान
जैसा कि अनंत-आयामी लेबेस्गु माप पर लेख में विस्तृत है, केवल स्थानीय रूप से परिमित और अनुवाद-अपरिवर्तनीय बोरेल उपाय एक अनंत-आयामी वियोज्य अंतरिक्ष मानक स्थान पर मामूली उपाय है। हालांकि, गॉसियन उपायों को अनंत-आयामी टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान पर परिभाषित करना संभव है। गॉसियन उपायों के लिए संरचना प्रमेय से पता चलता है कि अमूर्त वीनर अंतरिक्ष निर्माण अनिवार्य रूप से एक पृथक स्थान बनच स्थान पर एक सख्त सकारात्मक गॉसियन उपाय प्राप्त करने का एकमात्र तरीका है।

पूरी तरह से एडिटिव ट्रांसलेशन-इनवेरिएंट सेट फ़ंक्शंस
केवल अनुवाद-अपरिवर्तनीय माप पर $$\Omega = \Reals$$ डोमेन के साथ $$\wp(\Reals)$$ के प्रत्येक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय पर परिमित है $$\Reals$$ तुच्छ सेट समारोह है $$\wp(\Reals) \to [0, \infty]$$ जो समान रूप से बराबर है $$0$$ (यानी, यह हर भेजता है $$S \subseteq \Reals$$ को $$0$$) हालाँकि, यदि काउंटेबल एडिटिविटी को परिमित एडिटिविटी के लिए कमजोर किया जाता है, तो इन गुणों के साथ एक गैर-तुच्छ सेट फ़ंक्शन मौजूद होता है और इसके अलावा, कुछ का मूल्य भी होता है $$[0, 1].$$ वास्तव में, इस तरह के गैर-तुच्छ सेट फ़ंक्शन तब भी मौजूद रहेंगे $$\Reals$$ किसी अन्य एबेलियन समूह समूह (गणित) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $$G.$$

अर्द्ध बीजगणित से बीजगणित तक विस्तार
लगता है कि $$\mu$$ अर्धबीजगणित पर एक समुच्चय फलन है $$\mathcal{F}$$ ऊपर $$\Omega$$ और जाने $$\operatorname{algebra}(\mathcal{F}) := \left\{ F_1 \sqcup \cdots \sqcup F_n : n \in \N \text{ and } F_1, \ldots, F_n \in \mathcal{F} \text{ are pairwise disjoint } \right\},$$ जो सेट का फील्ड है $$\Omega$$ द्वारा उत्पन्न $$\mathcal{F}.$$ : विक्षनरी: अर्धबीजगणित का आदर्श उदाहरण जो समुच्चयों का क्षेत्र भी नहीं है वह परिवार है $$\mathcal{S}_d := \{ \varnothing \} \cup \left\{ \left(a_1, b_1\right] \times \cdots \times \left(a_1, b_1\right] ~:~ -\infty \leq a_i < b_i \leq \infty \text{ for all } i = 1, \ldots, d \right\}$$ पर $$\Omega := \R^d$$ कहाँ $$(a, b] := \{ x \in \R : a < x \leq b \}$$ सभी के लिए $$-\infty \leq a < b \leq \infty.$$ महत्वपूर्ण रूप से, दो गैर-सख्त असमानताएँ $$\,\leq\,$$ में $$-\infty \leq a_i < b_i \leq \infty$$ सख्त असमानताओं के साथ प्रतिस्थापित नहीं किया जा सकता है $$\,<\,$$ चूंकि अर्ध-अल्जेब्रस में संपूर्ण अंतर्निहित सेट होना चाहिए $$\R^d;$$ वह है, $$\R^d \in \mathcal{S}_d$$ अर्ध-अल्जेब्रस की आवश्यकता है (जैसा है $$\varnothing \in \mathcal{S}_d$$).

अगर $$\mu$$ # निश्चित रूप से योज्य है तो इसमें एक सेट फ़ंक्शन का एक अनूठा विस्तार है $$\overline{\mu}$$ पर $$\operatorname{algebra}(\mathcal{F})$$ भेजकर परिभाषित किया गया है $$F_1 \sqcup \cdots \sqcup F_n \in \operatorname{algebra}(\mathcal{F})$$ (कहाँ $$\,\sqcup\,$$ इंगित करता है कि ये $$F_i \in \mathcal{F}$$ जोड़ो में असंयुक्त हैं) से: $$\overline{\mu}\left(F_1 \sqcup \cdots \sqcup F_n\right) := \mu\left(F_1\right) + \cdots + \mu\left(F_n\right).$$ यह विस्तार $$\overline{\mu}$$ भी सूक्ष्म रूप से योगात्मक होगा: किसी भी जोड़ीदार असंयुक्त के लिए $$A_1, \ldots, A_n \in \operatorname{algebra}(\mathcal{F}),$$ $$\overline{\mu}\left(A_1 \cup \cdots \cup A_n\right) = \overline{\mu}\left(A_1\right) + \cdots + \overline{\mu}\left(A_n\right).$$ अगर इसके अलावा $$\mu$$ विस्तारित वास्तविक-मूल्यवान और #monotone है (जो, विशेष रूप से, यदि मामला होगा $$\mu$$ #non-negative|non-negative) है तो $$\overline{\mu}$$ मोनोटोन और #अंतिम रूप से उप-योगात्मक होगा: किसी के लिए भी $$A, A_1, \ldots, A_n \in \operatorname{algebra}(\mathcal{F})$$ ऐसा है कि $$A \subseteq A_1 \cup \cdots \cup A_n,$$ $$\overline{\mu}\left(A\right) \leq \overline{\mu}\left(A_1\right) + \cdots + \overline{\mu}\left(A_n\right).$$

अंगूठियों से σ-अलजेब्रा तक विस्तार
अगर $$\mu : \mathcal{F} \to [0, \infty]$$ एक #pre-measure|सेट के रिंग पर पूर्व-माप है (जैसे सेट का बीजगणित) $$\mathcal{F}$$ ऊपर $$\Omega$$ तब $$\mu$$ एक उपाय का विस्तार है $$\overline{\mu} : \sigma(\mathcal{F}) \to [0, \infty]$$ σ-बीजगणित पर $$\sigma(\mathcal{F})$$ द्वारा उत्पन्न $$\mathcal{F}.$$ अगर $$\mu$$ is #σ-परिमित माप|σ-परिमित तो यह विस्तार अद्वितीय है।

इस विस्तार को परिभाषित करने के लिए, पहले विस्तार करें $$\mu$$ एक बाहरी माप के लिए $$\mu^*$$ पर $$2^\Omega = \wp(\Omega)$$ द्वारा $$\mu^*(T) = \inf \left\{\sum_n \mu\left(S_n\right) : T \subseteq \cup_n S_n \text{ with } S_1, S_2, \ldots \in \mathcal{F}\right\}$$ और उसके बाद इसे सेट तक सीमित करें $$\mathcal{F}_M$$ का $$\mu^*$$-मापने योग्य सेट (अर्थात कैराथोडोरी-मापने योग्य सेट), जो सभी का सेट है $$M \subseteq \Omega$$ ऐसा है कि $$\mu^*(S) = \mu^*(S \cap M) + \mu^*(S \cap M^\mathrm{c}) \quad \text{ for every subset } S \subseteq \Omega.$$ यह है एक $$\sigma$$-बीजगणित और $$\mu^*$$ कैरथियोडोरी लेम्मा द्वारा सिग्मा-एडिटिव ऑन इट है।

बाहरी उपायों को प्रतिबंधित करना
अगर $$\mu^* : \wp(\Omega) \to [0, \infty]$$ एक सेट पर एक #बाहरी माप है $$\Omega,$$ जहां (परिभाषा के अनुसार) डोमेन आवश्यक रूप से पावर सेट है $$\wp(\Omega)$$ का $$\Omega,$$ फिर एक उपसमुच्चय $$M \subseteq \Omega$$ कहा जाता है या यदि यह निम्नलिखित को संतुष्ट करता है : $$\mu^*(S) = \mu^*(S \cap M) + \mu^*(S \cap M^\mathrm{c}) \quad \text{ for every subset } S \subseteq \Omega,$$ कहाँ $$M^\mathrm{c} := \Omega \setminus M$$ का पूरक (सेट सिद्धांत) है $$M.$$ सबका परिवार $$\mu^*$$-मापने योग्य उपसमुच्चय एक σ-बीजगणित और बाहरी माप का प्रतिबंध (गणित) है $$\mu^*$$ इस परिवार के लिए एक उपाय (गणित) है।

टिप्पणियाँ
Proofs

संदर्भ

 * A. N. Kolmogorov and S. V. Fomin (1975), Introductory Real Analysis, Dover. ISBN 0-486-61226-0
 * A. N. Kolmogorov and S. V. Fomin (1975), Introductory Real Analysis, Dover. ISBN 0-486-61226-0
 * A. N. Kolmogorov and S. V. Fomin (1975), Introductory Real Analysis, Dover. ISBN 0-486-61226-0

अग्रिम पठन

 * Regular set function at Encyclopedia of Mathematics
 * Regular set function at Encyclopedia of Mathematics