श्रृंखला (गणित)

गणित में, श्रेणी साधारणतः, किसी दी गई प्रारंभिक राशि में एक के बाद एक अनंततः कई राशिओं के योग की संक्रिया का वर्णन है। श्रेणी का अध्ययन कलन और इसके सामान्यीकरण, गणितीय विश्लेषण का एक महत्वपूर्ण भाग है। श्रेणी का उपयोग गणित के अधिकांश फील्डों में किया जाता है, यहां तक कि जनक (जनरेटिंग) फलनों के माध्यम से परिमित संरचनाओं (जैसे कि साहचर्य (कॉम्बीनेटरिक्स) में) का अध्ययन करने के लिए भी। गणित में उनकी सर्वविद्यमानता के अतिरिक्त, अनंत श्रेणियों का व्यापक रूप से अन्य परिमाणात्मक विषयों जैसे कि भौतिकी, संगणक विज्ञान, सांख्यिकी और वित्त में भी उपयोग किया जाता है।

लंबे समय तक, यह विचार कि इस तरह के एक संभावित अनंत संकलन एक परिमित परिणाम उत्पन्न कर सकता है, विरोधाभास माना जाता था। 17वीं शताब्दी के दौरान एक सीमा की अवधारणा का उपयोग करके इस विरोधाभास को हल किया गया था। एचिल्स और टोर्टोइस के ज़ेनो का विरोधाभास अनंत राशियों की इस प्रतिगामी गुणधर्म को दर्शाता है: एचिल्स टोर्टोइस के पीछे दौड़ता है, लेकिन जब वह दौड़ की शुरुआत में टोर्टोइस की स्थिति तक पहुँचता है, तो टोर्टोइस दूसरे स्थान पर पहुँच जाता है; जब वह इस दूसरे स्थान पर पहुंचता है, तो टोर्टोइस तीसरे स्थान पर होता है, और इसी तरह आगे भी। ज़ेनो ने निष्कर्ष निकाला कि एचिल्स कभी भी टोर्टोइस तक नहीं पहुँच सकता, और इस तरह वह गतिविधि विद्यमान नहीं है। ज़ेनो ने दौड़ को असीम रूप से कई उप-दौड़ों में विभाजित किया, जिनमें से प्रत्येक को एक सीमित समय की आवश्यकता थी, ताकि एचिल्स को टोर्टोइस को पकड़ने का कुल समय एक श्रेणी द्वारा दिया जा सके। विरोधाभास का हल यह है कि, हालांकि श्रेणी में पदों की अनंत संख्या है, इसकी एक परिमित राशि है, जो एचिल्स को टोर्टोइस के साथ पकड़ने के लिए आवश्यक समय प्रदान करती है।

आधुनिक पदावली में, कोई भी (क्रमित) पदों का अनंत अनुक्रम $$(a_1,a_2,a_3,\ldots)$$ (अर्थात, संख्याएँ, फलन, या कुछ भी जो जोड़ा जा सकता है) एक श्रेणी को परिभाषित करता है, जो कि एक के बाद एक अनंततः कई राशिओं के योग की संक्रिया है। इस बात पर बल देने के लिए कि पदों की संख्या अनंत है, एक श्रंखला को अनंत श्रेणी कहा जा सकता है। एक निम्नलिखित व्यंजक द्वारा दर्शाया (या निरूपित) जाता है।$$a_1+a_2+a_3+\cdots,$$या, संकलन चिह्न का उपयोग करके,$$\sum_{i=1}^\infty a_i.$$श्रेणी द्वारा अंतर्निहित योग के अनंत अनुक्रम को प्रभावी रूप से अग्रसारित नहीं किया जा सकता है (कम से कम एक सीमित समय में)। हालाँकि, यदि वह समुच्चय जिससे पद और उनके परिमित योग संबंधित हैं, उनकी सीमा की धारणा होती है, अतः इन्हे कभी-कभी श्रेणी के लिए मान निर्दिष्ट करना संभव होता है, जिसे श्रेणी का योग कहा जाता है। यह मान सीमा है क्योंकि $n$ श्रेणी के पहले $n$ पदों के परिमित योगों की अनन्तता (यदि सीमा विद्यमान है) की ओर जाता है, जिसे श्रेणी के $n$वां आंशिक योग कहा जाता है। अर्थात्,

$$\sum_{i=1}^\infty a_i = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n a_i.$$जब यह सीमा विद्यमान होती है, तो कोई कहता है कि श्रेणी कनवर्जेंट या संकलन करने योग्य है, या यह कि अनुक्रम $$(a_1,a_2,a_3,\ldots)$$ संकलन करने योग्य है। इस स्थिति में, सीमा को श्रेणी का संकलन फल कहा जाता है। अन्यथा, श्रेणी को भिन्न कहा जाता है। अंकन $\sum_{i=1}^\infty a_i$ दोनों श्रेणियों को दर्शाता है- जो एक के बाद एक अनिश्चित काल के लिए पदों को जोड़ने की अंतर्निहित प्रक्रिया है- और, यदि श्रेणी कनवर्जेंट है, तो श्रेणी का संकलन—प्रक्रिया का परिणाम। यह $$a+b$$ के योग—योग की प्रक्रिया—और उसके परिणाम—$a$ और $b$ के योग दोनों को दर्शाने के समान परिपाटी का सामान्यीकरण है।

सामान्यतः, श्रेणी की पद एक रिंग से प्राप्त होते हैं, प्रायः वास्तविक संख्याओं का फ़ील्ड $$\mathbb R$$ या समिश्र संख्याओं का फ़ील्ड $$\mathbb C$$ । इस स्थिति में, सभी श्रेणियों का समुच्चय स्वयं में एक रिंग (और यहां तक कि साहचर्य बीजगणित) होता है, जिसमें योग में पद द्वारा श्रेणी पद को जोड़ना सम्मिलित है, और गुणन कॉची गुणनफल होता है।

मूल गुणधर्म
एक अनंत श्रृंखला या केवल श्रृंखला एक अनंत संकलन है, जिसे अनंत व्यंजक द्वारा निम्नलिखित रूप में निरूपित किया जा सकता है $$a_0 + a_1 + a_2 + \cdots, $$ जहाँ $$(a_n)$$ पदों का कोई क्रमित अनुक्रम है, जैसे कि संख्याएँ, फलन, या कुछ और जो जोड़ा जा सकता है (एबेलियन समूह)। यह एक व्यंजक है जो $$a_0,a_1,\dots$$ पदों की सूची से उन्हें एक साथ रखकर और उन्हें "+" प्रतीक के साथ जोड़कर प्राप्त किया जाता है। संकलन संकेतन का उपयोग करके एक श्रेणी का भी प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, जैसे$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n. $$

यदि पदों के एबेलियन समूह $A$ में सीमा की अवधारणा है (उदाहरण के लिए, यदि यह एक मीट्रिक समष्टि है), अतः कुछ श्रेणी, कनवर्जेंट श्रेणी, को $A$ में मान होने के रूप में व्याख्या की जा सकती है, जिसे श्रेणी का संकलन कहा जाता है। इसमें कलन के सामान्य स्थिति सम्मिलित हैं, जिसमें समूह वास्तविक संख्याओं का फील्ड है या समिश्र संख्याओं का फील्ड है। दी गई श्रेणी $s=\sum_{n=0}^\infty a_n$ को प्रेक्षित करते हुए, इसका $k$वाँ आंशिक संकलन निम्नलिखित है

$$s_k = \sum_{n=0}^{k}a_n = a_0 + a_1 + \cdots + a_k.$$ परिभाषा के अनुसार, श्रेणी $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ सीमा $L$ तक कनवर्ज होती है (या केवल $L$ तक संकलन करते है), यदि इसके आंशिक संकलन के अनुक्रम की सीमा $L$ है। इस स्थिति में, सामान्यतः इसे निम्नलिखित रूप से व्यक्त किया जा सकता है

$$L = \sum_{n=0}^{\infty}a_n.$$ किसी श्रेणी को कनवर्जेंट कहा जाता है यदि यह किसी सीमा तक कनवर्ज किया जाता है, या जब कनवर्ज नहीं होता है तो यह डाईवेर्जेंट होता है। इस सीमा का मान, यदि यह विद्यमान है, तब यह श्रेणी का मान होता है।

कनवर्जेंट श्रेणी
एक श्रेणी $Σa_{n}$ को कनवर्जेंट या कनवर्जेंट होना तब कहा जाता है जब आंशिक योगों के अनुक्रम $(s_{k})$ की एक सीमित सीमा होती है। यदि $s_{k}$ की सीमा अनंत है या अस्तित्व में नहीं है, तो श्रेणी को अपसारी कहा जाता है। जब आंशिक योग की सीमा विद्यमान होती है, तो इसे श्रेणी का मान (या योग) कहा जाता है$$\sum_{n=0}^\infty a_n = \lim_{k\to\infty} s_k = \lim_{k\to\infty} \sum_{n=0}^k a_n.$$

एक आसान तरीका है कि एक अनंत श्रेणी कनवर्जेंट कर सकती है यदि पर्याप्त रूप से बड़े $n$ के लिए सभी $a_{n}$ शून्य हैं। इस तरह की श्रेणी को परिमित योग के साथ पहचाना जा सकता है, इसलिए यह केवल एक तुच्छ अर्थ में अनंत है।

श्रेणी के गुणों का पता लगाना जो कनवर्जेंट करते हैं, भले ही असीम रूप से कई पद गैर-शून्य हों, श्रेणी के अध्ययन का सार है। मिसाल पर विचार करें

$$ 1 + \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+\cdots+ \frac{1}{2^n}+\cdots.$$ वास्तविक संख्या रेखा पर इसके कनवर्जेंट की "कल्पना" करना संभव है: हम लंबाई 2 की एक रेखा की कल्पना कर सकते हैं, जिसमें लगातार खंड 1, 1/2, 1/4, आदि की लंबाई से चिह्नित हैं। चिह्नित करने के लिए हमेशा जगह होती है अगला खंड, क्योंकि शेष रेखा की राशि हमेशा अंतिम खंड के रूप में चिह्नित होती है: जब हमने 1/2 को चिन्हित कर लिया है, तब भी हमारे पास 1/2 लंबाई का एक टुकड़ा है, इसलिए हम निश्चित रूप से अगले 1/4 को चिह्नित कर सकते हैं। यह तर्क यह साबित नहीं करता है कि योग 2 के बराबर है (हालांकि यह है), लेकिन यह साबित करता है कि यह अधिक से अधिक 2 है। दूसरे पदों में, श्रेणी की ऊपरी सीमा होती है। यह देखते हुए कि श्रेणी कनवर्जेंट करती है, यह साबित करते हुए कि यह 2 के बराबर है, केवल प्राथमिक बीजगणित की आवश्यकता है। यदि श्रेणी को $S$ के रूप में निरूपित किया जाता है, तो यह देखा जा सकता है

$$S/2 = \frac{1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+\cdots}{2} = \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{16} +\cdots.$$ इसलिए,

$$S-S/2 = 1 \Rightarrow S = 2.$$ मुहावरे को श्रेणी के अन्य समकक्ष विचारों तक बढ़ाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक दोहराए जाने वाला दशमलव, जैसा कि

$$x = 0.111\dots, $$ श्रेणी को एनकोड करता है

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{10^n}.$$ चूँकि ये श्रेणीएँ हमेशा वास्तविक संख्याओं में परिवर्तित होती हैं (क्योंकि जिसे वास्तविक संख्याओं की पूर्णता गुणधर्म कहा जाता है), इस तरह से श्रेणी के बारे में बात करना उसी तरह है जैसे उन संख्याओं के बारे में बात करना जिनके लिए वे खड़े होते हैं। विशेष रूप से, दशमलव विस्तार 0.111... की पहचान 1/9 से की जा सकती है। यह एक तर्क की ओर ले जाता है कि 9 × 0.111... = 0.999... = 1, जो केवल इस तथ्य पर निर्भर करता है कि श्रेणी के लिए सीमा नियम अंकगणितीय संक्रियाओं को संरक्षित करते हैं; इस तर्क पर अधिक विवरण के लिए, 0.999 देखें ....

संख्यात्मक श्रेणी के उदाहरण

 * एक ज्यामितीय श्रेणी वह है जहां प्रत्येक क्रमिक पद पिछले पद को एक स्थिरांक संख्या से गुणा करके निर्मित किया जाता है (इस संदर्भ में सामान्य अनुपात कहा जाता है)। उदाहरण के लिए: $$1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty{1 \over 2^n} = 2.$$ सामान्य तौर पर, ज्यामितीय श्रेणी $$\sum_{n=0}^\infty z^n$$ कनवर्जेंट करता है अगर और केवल अगर $|z| < 1$, जिस स्थिति में यह $ {1 \over 1 - z}$ में परिवर्तित हो जाता है।
 * हार्मोनिक श्रेणी एक श्रेणी है $$1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty {1 \over n}.$$ हार्मोनिक श्रेणी अपसारी है।
 * एक वैकल्पिक श्रेणी एक ऐसी श्रेणी है जहां पद वैकल्पिक संकेत हैं। उदाहरण:$$1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots =\sum_{n=1}^\infty {\left(-1\right)^{n-1} \over n}=\ln(2) \quad $$ (वैकल्पिक हार्मोनिक श्रेणी) और $$-1+\frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty \frac{\left(-1\right)^n}{2n-1} = -\frac{\pi}{4}$$
 * एक दूरबीन श्रेणी $$\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})$$ कनवर्ज होता है यदि अनुक्रम bn एक सीमा L तक कनवर्ज होता है—जैसा कि n अनंत तक जाता है। श्रेणी का मान तब b1 − L है।
 * एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी ज्यामितीय श्रेणी का एक सामान्यीकरण है, जिसमें अंकगणितीय अनुक्रम में पदों के बराबर सामान्य अनुपात के गुणांक होते हैं। उदाहरण :$$3 + {5 \over 2} + {7 \over 4} + {9 \over 8} + {11 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty{(3+2n) \over 2^n}.$$
 * पी-श्रेणी$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}$$ यदि p > 1 कनवर्ज होता है और p ≤ 1 के लिए अपसरित होता है, जिसे कनवर्जेंट परीक्षण में नीचे वर्णित समाकल मानदंड के साथ दिखाया जा सकता है। पी के एक समारोह के रूप में, इस श्रेणी का योग रीमैन का जेटा फ़ंक्शन है।
 * हाइपरज्यामितीय श्रेणी: $$_rF_s \left[ \begin{matrix}a_1, a_2, \dotsc, a_r \\ b_1, b_2, \dotsc, b_s \end{matrix}; z \right] := \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a_1)_n (a_2)_n \dotsb (a_r)_n}{(b_1)_n (b_2)_n \dotsb (b_s)_n \; n!} z^n$$ और उनके सामान्यीकरण (जैसे बुनियादी हाइपरज्यामितीय श्रेणी और दीर्घवृत्तीय अतिज्यामितीय श्रेणी) प्रायः समाकलनीय प्रणालियों और गणितीय भौतिकी में दिखाई देते हैं।
 * कुछ प्राथमिक श्रंखलाएँ ऐसी हैं जिनका कनवर्जेंट अभी तक ज्ञात/सिद्ध नहीं है। उदाहरण के लिए, यह ज्ञात नहीं है कि फ्लिंट हिल्स श्रेणी$$\sum_{n=1}^\infty \frac{\csc^{2} n}{n^{3}}$$ जुड़ता है या नहीं। कनवर्जेंट इस बात पर निर्भर करता है कि $$\pi$$ को परिमेय संख्याओं (जो अभी तक अज्ञात है) के साथ कितनी अच्छी तरह अनुमानित किया जा सकता है। अधिक विशिष्ट रूप से, योग में बड़े संख्यात्मक योगदान के साथ n के मान $$\pi$$ के सतत अंश कनवर्जेंट के अंश हैं, 1, 3, 22, 333, 355, 103993, ... से शुरू होने वाला एक अनुक्रम। ये पूर्णांक हैं जो कुछ पूर्णांक n के लिए $$n\pi$$ के करीब हैं, ताकि $$\sin n\pi$$ 0 के करीब हो और इसका पारस्परिक बड़ा हो। अलेक्सेयेव (2011) ने साबित किया कि यदि श्रेणी कनवर्ज होती है, तो 55 की अपरिमेयता माप 2.5 से छोटी होती है, जो कि 7.10320533 की वर्तमान ज्ञात सीमा से बहुत छोटी है....

पाई
=== $$ \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$$$$ \sum_{i=1}^\infty \frac{(-1)^{i+1}(4)}{2i-1} = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \frac{4}{11} + \frac{4}{13} - \cdots = \pi$$2 का प्राकृतिक लघुगणक ===

$$\sum_{i=1}^\infty \frac{(-1)^{i+1}}{i} = \ln 2$$

$$\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{(2i+1)(2i+2)} = \ln 2$$$$\sum_{i=0}^\infty \frac{(-1)^i}{(i+1)(i+2)} = 2\ln(2) -1$$$$\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i \left(4i^2-1\right)} = 2\ln(2) -1$$$$ \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{2^{i}i} = \ln 2$$$$ \sum_{i=1}^\infty \left(\frac{1}{3^i}+\frac{1}{4^i}\right)\frac{1}{i} = \ln 2$$$$ \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{2i(2i-1)} = \ln 2$$

प्राकृतिक लघुगणक का आधार ई
$$\sum_{i = 0}^\infty \frac{(-1)^i}{i!} = 1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots = \frac{1}{e}$$$$ \sum_{i = 0}^\infty \frac{1}{i!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots = e $$

अनुक्रमों पर एक ऑपरेशन के रूप में पथरी और आंशिक योग
आंशिक योग एक अनुक्रम इनपुट के रूप में लेता है, (ए), और आउटपुट के रूप में एक और अनुक्रम देता है, (एसएन)। इस प्रकार यह अनुक्रमों पर एक एकात्मक संक्रिया है। इसके अतिरिक्त, यह फ़ंक्शन रैखिक है, और इस प्रकार अनुक्रमों के सदिश स्थल पर एक रैखिक ऑपरेटर है, जिसे Σ निरूपित किया गया है। उलटा ऑपरेटर परिमित अंतर ऑपरेटर है, जिसे Δ दर्शाया गया है। ये एक वास्तविक चर के कार्यों के बजाय केवल श्रेणी (एक प्राकृतिक संख्या के कार्यों) के लिए अभिन्न और व्युत्पन्न के असतत अनुरूप व्यवहार करते हैं। उदाहरण के लिए, अनुक्रम (1, 1, 1, ...) में आंशिक योग के रूप में श्रेणी (1, 2, 3, 4, ...) है, जो कि $\int_0^x 1\,dt = x$ के तथ्य के अनुरूप है।

संगणक विज्ञान में इसे उपसर्ग योग के नाम से जाना जाता है।

श्रेणी के गुण
श्रेणी को न केवल कनवर्जेंट या विचलन द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, बल्कि पदों के गुणों द्वारा भी (पूर्ण या सशर्त कनवर्जेंट); श्रेणी के कनवर्जेंट का प्रकार (बिंदुवार, वर्दी); पद a का वर्ग (चाहे वह एक वास्तविक संख्या हो, अंकगणितीय प्रगति हो, त्रिकोणमितीय फलन हो); आदि।

गैर-नकारात्मक पद
जब प्रत्येक एन के लिए एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या होती है, तो आंशिक योगों का अनुक्रम एसएन गैर-घटता है। यह इस प्रकार है कि गैर-नकारात्मक पदों के साथ एक श्रेणी Σan कनवर्जेंट करती है अगर और केवल अगर आंशिक रकम का अनुक्रम SN परिबद्ध है।

उदाहरण के लिए, श्रेणी

$$\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^2}$$ कनवर्जेंट है, क्योंकि असमानता

$$\frac1 {n^2} \le \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}, \quad n \ge 2,$$ और टेलीस्कोपिक योग तर्क का तात्पर्य है कि आंशिक योग 2 से घिरा है। मूल श्रेणी का सटीक मान बेसल समस्या है।

ग्रुपिंग
जब आप किसी श्रेणी का समूह बनाते हैं तो श्रेणी का पुनर्क्रमण नहीं होता है, इसलिए रीमैन श्रेणी प्रमेय लागू नहीं होता है। एक नई श्रेणी का आंशिक योग मूल श्रेणी के अनुवर्ती होगा, जिसका अर्थ है कि यदि मूल श्रेणी कनवर्ज होती है, तो नई श्रेणी भी कनवर्ज होती है। लेकिन अपसारी श्रेणी के लिए जो सत्य नहीं है, उदाहरण के लिए 1-1+1-1+... प्रत्येक दो तत्वों को समूहीकृत करने से 0+0+0+... श्रेणी बनेगी, जो कनवर्जेंट है। दूसरी ओर, नई श्रेणी के विचलन का अर्थ है कि मूल श्रेणी केवल भिन्न हो सकती है जो कभी-कभी उपयोगी होती है, जैसे कि ओरेस्मे सबूत।

पूर्ण कनवर्जेंट
एक श्रेणी

$$\sum_{n=0}^\infty a_n$$ निरपेक्ष मूल्यों की श्रेणी अगर बिल्कुल कनवर्जेंट करती है

$$\sum_{n=0}^\infty \left|a_n\right|$$ कनवर्जेंट। यह न केवल यह गारंटी देने के लिए पर्याप्त है कि मूल श्रेणी एक सीमा तक कनवर्जेंट करती है, बल्कि यह भी कि इसका कोई भी पुनर्क्रमण उसी सीमा तक परिवर्तित हो जाता है।

सशर्त कनवर्जेंट
वास्तविक या समिश्र संख्याओं की एक श्रेणी को सशर्त रूप से कनवर्जेंट (या अर्ध-कनवर्जेंट) कहा जाता है यदि यह कनवर्जेंट है लेकिन पूर्ण कनवर्जेंट नहीं है। एक प्रसिद्ध उदाहरण एकांतर श्रेणी है

$$\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \over n} = 1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots,$$ जो कनवर्जेंट है (और इसका योग $$\ln 2$$ के बराबर है), लेकिन प्रत्येक पद का निरपेक्ष मान लेकर बनाई गई श्रेणी अपसारी हार्मोनिक श्रेणी है। रीमैन श्रेणी प्रमेय का कहना है कि किसी भी सशर्त रूप से कनवर्जेंट श्रेणी को अलग-अलग श्रेणी बनाने के लिए पुन: व्यवस्थित किया जा सकता है, और इसके अतिरिक्त, यदि $$a_{n}$$ वास्तविक हैं और $$S$$ कोई वास्तविक संख्या है, तो कोई पुनर्क्रमित कर सकता है ताकि पुनर्क्रमित श्रेणी $$S$$ के बराबर योग के साथ कनवर्जेंट हो।

हाबिल का परीक्षण अर्ध-कनवर्जेंट श्रेणी को संभालने के लिए एक महत्वपूर्ण उपकरण है। यदि किसी श्रेणी का रूप है

$$\sum a_n = \sum \lambda_n b_n$$ जहां आंशिक योग $$B_{n} = b_{0} + \cdots + b_{n}$$ परिबद्ध हैं, $$\lambda_{n}$$ परिबद्ध विचरण है, और $$\lim \lambda_{n} b_{n}$$ विद्यमान है:

$$\sup_N \left| \sum_{n=0}^N b_n \right| < \infty, \ \ \sum \left|\lambda_{n+1} - \lambda_n\right| < \infty\ \text{and} \ \lambda_n B_n \ \text{converges,}$$ फिर श्रेणी $\sum a_{n}$ कनवर्जेंट है। यह कई त्रिकोणमितीय श्रेणियों के बिंदु-वार कनवर्जेंट पर लागू होता है, जैसे कि

$$\sum_{n=2}^\infty \frac{\sin(n x)}{\ln n}$$ $$0 < x < 2\pi$$ के साथ। एबेल की विधि में $$b_{n+1}=B_{n+1}-B_{n}$$ लिखना सम्मिलित है, और भागों द्वारा एकीकरण के समान परिवर्तन करने में (भागों द्वारा योग कहा जाता है), जो दी गई श्रेणी $\sum a_{n}$ को बिल्कुल कनवर्जेंट श्रेणी से संबंधित करता है।

$$ \sum (\lambda_n - \lambda_{n+1}) \, B_n.$$

ट्रंकेशन त्रुटियों का मूल्यांकन
ट्रंकेशन त्रुटियों का मूल्यांकन संख्यात्मक विश्लेषण (विशेष रूप से मान्य संख्यात्मक और संगणक-सहायता प्रमाण) में एक महत्वपूर्ण प्रक्रिया है।

वैकल्पिक श्रेणी
जब वैकल्पिक श्रेणी परीक्षण की स्थितियाँ $S:=\sum_{m=0}^\infty(-1)^m u_m$ से संतुष्ट होती हैं, तो एक सटीक त्रुटि मूल्यांकन होता है। $$s_n$$ को दी गई वैकल्पिक श्रेणी $$S$$ का आंशिक योग $s_n:=\sum_{m=0}^n(-1)^m u_m$  के रूप में समुच्चय करें। फिर अगली असमानता रखती है। $$|S-s_n|\leq u_{n+1}.$$

टेलर सीरीज
टेलर का प्रमेय एक ऐसा कथन है जिसमें टेलर श्रेणी को छोटा किए जाने पर त्रुटि पद का मूल्यांकन सम्मिलित है।

हाइपरज्यामितीय श्रेणी
अनुपात का उपयोग करके, हम त्रुटि पद का मूल्यांकन प्राप्त कर सकते हैं जब हाइपरज्यामितीय श्रेणी को छोटा कर दिया जाता है।

मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल
मैट्रिक्स घातीय के लिए:

$$\exp(X) := \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}X^k,\quad X\in\mathbb{C}^{n\times n},$$ निम्नलिखित त्रुटि मूल्यांकन धारण करता है (स्केलिंग और स्क्वायरिंग विधि):

$$T_{r,s}(X) := \left[\sum_{j=0}^r\frac{1}{j!}(X/s)^j\right]^s,\quad \|\exp(X)-T_{r,s}(X)\|\leq\frac{\|X\|^{r+1}}{s^r(r+1)!}\exp(\|X\|).$$

कनवर्जेंट परीक्षण
ऐसे कई परीक्षण विद्यमान हैं जिनका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि कोई विशेष श्रेणी कनवर्जेंट या विचलन करती है या नहीं।
 * n-वाँ पद परीक्षण: यदि $\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$ है, तो श्रंखला अपसारी होती है; यदि $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$, तो परीक्षण अनिर्णायक है।
 * तुलना परीक्षण 1 (प्रत्यक्ष तुलना परीक्षण देखें): यदि $\sum b_n$ पूर्ण कनवर्जेंट श्रेणी है जैसे कि $$\left\vert a_n \right\vert \leq C \left\vert b_n \right\vert$$ किसी संख्या $$C$$ के लिए और पर्याप्त रूप से बड़े $$n$$ के लिए, तो $\sum a_n$ बिल्कुल भी कनवर्जेंट करता है। यदि $\sum \left\vert b_n \right\vert$  विचलन करते हैं, और $$\left\vert a_n \right\vert \geq \left\vert b_n \right\vert$$ सभी के लिए पर्याप्त रूप से बड़ा $$n$$ है, तो $\sum a_n$  भी पूरी तरह से कनवर्जेंट करने में विफल रहता है (हालांकि यह अभी भी सशर्त रूप से कनवर्जेंट हो सकता है, उदाहरण के लिए, यदि $$a_n$$)।
 * तुलना परीक्षण 2 (सीमा तुलना परीक्षण देखें): यदि $\sum b_n$ पूरी तरह से कनवर्जेंट श्रेणी है जैसे कि $$\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right\vert \leq \left\vert \frac{b_{n+1}}{b_{n}} \right\vert$$ पर्याप्त रूप से बड़े $$n$$ के लिए है, तो $\sum a_n$  भी पूरी तरह से कनवर्जेंट करता है। यदि $\sum \left| b_n \right|$  विचलन करते हैं, और $$\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right\vert \geq \left\vert \frac{b_{n+1}}{b_{n}} \right\vert$$ सभी के लिए पर्याप्त रूप से बड़ा $$n$$ है, तो $\sum a_n$  भी पूरी तरह से कनवर्जेंट करने में विफल रहता है (हालांकि यह अभी भी सशर्त रूप से कनवर्जेंट हो सकता है, उदाहरण के लिए, यदि $$a_n$$ वैकल्पिक रूप से साइन में हैं)।
 * अनुपात परीक्षण: यदि कोई स्थिरांक $$C < 1$$ विद्यमान है जैसे कि $$\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right\vert < C$$ सभी के लिए पर्याप्त रूप से बड़ा $$n$$ है, तो $\sum a_{n}$ बिल्कुल कनवर्जेंट करता है। जब अनुपात $$1$$ से कम है, लेकिन $$1$$ से कम स्थिरांक से कम नहीं है, तो कनवर्जेंट संभव है लेकिन यह परीक्षण इसे स्थापित नहीं करता है।
 * मूल परीक्षण: यदि कोई स्थिरांक $$C < 1$$ विद्यमान है जैसे कि $$\left\vert a_{n} \right\vert^{\frac{1}{n}} \leq C$$ सभी के लिए पर्याप्त रूप से बड़ा $$n$$ है, तो $\sum a_{n}$ पूरी तरह से कनवर्जेंट करता है।
 * इंटीग्रल टेस्ट: यदि $$f(x)$$ एक सकारात्मक मोनोटोन घटता हुआ कार्य है जो अंतराल $$[1,\infty)$$ पर सभी $\sum a_{n}$ के लिए $$f(n)=a_{n}$$ के साथ परिभाषित किया गया है, तो $$n$$ कनवर्जेंट करता है और केवल अगर इंटीग्रल $\int_{1}^{\infty} f(x) \, dx$  सीमित है।
 * कौशी का संघनन परीक्षण: यदि $$a_{n}$$ गैर-ऋणात्मक और गैर-बढ़ता हुआ है, तो दो श्रेणी $\sum a_{n}$ और $\sum 2^{k} a_{(2^{k})}$  एक ही प्रकृति के हैं: दोनों कनवर्जेंट, या दोनों विचलन।
 * अल्टरनेटिंग सीरीज़ टेस्ट: फॉर्म $\sum (-1)^{n} a_{n}$ ($$a_{n} > 0$$ के साथ) की एक सीरीज़ को अल्टरनेटिंग कहा जाता है। इस तरह की श्रेणी कनवर्जेंट करती है यदि अनुक्रम $$a_{n}$$ मोनोटोन कम हो रहा है और $$0$$ में कनवर्जेंट करता है। विपरीत सामान्य रूप से सत्य नहीं है।
 * कुछ विशिष्ट प्रकार की श्रेणियों के लिए अधिक विशिष्ट कनवर्जेंट परीक्षण होते हैं, उदाहरण के लिए फूरियर श्रेणी के लिए दीनी परीक्षण होता है।

कार्यों की श्रेणी
वास्तविक- या समिश्र-मूल्यवान फ़ंक्शन की एक श्रेणी

$$\sum_{n=0}^\infty f_n(x)$$ एक समुच्चय E पर बिंदुवार कनवर्जेंट करता है, यदि श्रेणी E में प्रत्येक x के लिए वास्तविक या समिश्र संख्याओं की एक सामान्य श्रेणी के रूप में कनवर्जेंट करती है। समान रूप से, आंशिक रकम

$$s_N(x) = \sum_{n=0}^N f_n(x)$$ प्रत्येक x ∈ E के लिए ƒ(x) को N → ∞ के रूप में परिवर्तित करें।

कार्यों की एक श्रेणी के कनवर्जेंट की एक मजबूत धारणा एकसमान कनवर्जेंट है। एक श्रेणी समान रूप से कनवर्जेंट करती है यदि यह बिंदुवार फ़ंक्शन ƒ(x) में परिवर्तित होती है, और Nth आंशिक योग द्वारा सीमा का अनुमान लगाने में त्रुटि होती है,

$$|s_N(x) - f(x)|$$ पर्याप्त रूप से बड़ा N चुनकर x से स्वतंत्र रूप से न्यूनतम बनाया जा सकता है।

एक श्रेणी के लिए समान कनवर्जेंट वांछनीय है क्योंकि श्रेणी की पदों के कई गुण तब सीमा द्वारा बनाए रखा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि निरंतर कार्यों की एक श्रेणी समान रूप से कनवर्जेंट करती है, तो सीमा कार्य भी निरंतर होता है। इसी तरह, यदि ƒn एक बंद और परिबद्ध अंतराल I पर पूर्णांक हैं और समान रूप से कनवर्ज होते हैं, तो श्रेणी I पर भी पूर्णांकित होती है और टर्म-दर-टर्म एकीकृत हो सकती है। एकसमान कनवर्जेंट के लिए परीक्षणों में वीयरस्ट्रास का एम-परीक्षण, एबेल का समान कनवर्जेंट परीक्षण, दीनी का परीक्षण और कॉची अनुक्रम सम्मिलित हैं।

कार्यों की एक श्रेणी के अधिक परिष्कृत प्रकार के कनवर्जेंट को भी परिभाषित किया जा सकता है। माप सिद्धांत में, उदाहरण के लिए, कार्यों की एक श्रेणी लगभग हर जगह कनवर्जेंट करती है यदि यह शून्य माप के एक निश्चित समुच्चय को छोड़कर बिंदुवार कनवर्जेंट करती है। कनवर्जेंट के अन्य तरीके विचाराधीन कार्यों के स्थान पर एक अलग मीट्रिक अंतरिक्ष संरचना पर निर्भर करते हैं। उदाहरण के लिए, कार्यों की एक श्रेणी एक समुच्चय ई पर एक सीमित फ़ंक्शन ƒ प्रदान करने के लिए माध्य में परिवर्तित होती है

$$\int_E \left|s_N(x)-f(x)\right|^2\,dx \to 0$$ जब N→ ∞।

शक्ति श्रेणी


एक शक्ति श्रेणी प्रपत्र की एक श्रेणी है

$$\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n.$$ फ़ंक्शन के बिंदु c पर टेलर श्रेणी एक शक्ति श्रेणी है, जो कई मामलों में, c के पड़ोस में फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाती है। उदाहरण के लिए श्रेणी

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$$ की टेलर श्रेणी है $$e^x$$ मूल बिंदु पर और प्रत्येक x के लिए इसमें परिवर्तित होता है।

जब तक यह केवल x = c पर कनवर्जेंट नहीं करता है, ऐसी श्रेणी समिश्र विमान में बिंदु सी पर केंद्रित कनवर्जेंट के एक निश्चित खुले डिस्क पर कनवर्जेंट करती है, और डिस्क की सीमा के कुछ बिंदुओं पर भी कनवर्जेंट कर सकती है। इस डिस्क की त्रिज्या को कनवर्जेंट की त्रिज्या के रूप में जाना जाता है, और सिद्धांत रूप में गुणांक के asymptotics से निर्धारित किया जा सकता है। कनवर्जेंट की डिस्क के आंतरिक भाग के बंद और परिबद्ध (अर्थात, कॉम्पैक्ट) उपसमुच्चय पर कनवर्जेंट समान है: बुद्धि के लिए, यह कॉम्पैक्ट समुच्चय पर समान रूप से कनवर्जेंट है।

ऐतिहासिक रूप से, लियोनहार्ड यूलर जैसे गणितज्ञों ने अनंत श्रेणियों के साथ उदारतापूर्वक संचालन किया, भले ही वे कनवर्जेंट न हों। उन्नीसवीं शताब्दी में जब कलन को एक ठोस और सही नींव पर रखा गया था, तो श्रेणी के कनवर्जेंट के कठोर प्रमाण की हमेशा आवश्यकता थी।

औपचारिक शक्ति श्रेणी
जबकि शक्ति श्रेणी के कई उपयोग उनके योगों को संदर्भित करते हैं, यह भी संभव है कि शक्ति श्रेणी को औपचारिक राशियों के रूप में माना जाए, जिसका अर्थ है कि वास्तव में कोई जोड़ संचालन नहीं किया जाता है, और प्रतीक "+" संयुग्मन का एक सार प्रतीक है जिसे आवश्यक रूप से जोड़ के अनुरूप नहीं समझा जाता है। इस समुच्चयिंग में, श्रेणी के कनवर्जेंट के बजाय स्वयं गुणांकों का अनुक्रम रुचिकर है। औपचारिक शक्ति श्रेणी का उपयोग कॉम्बिनेटरिक्स में उन अनुक्रमों का वर्णन और अध्ययन करने के लिए किया जाता है जो अन्यथा संभालना मुश्किल होता है, उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन उत्पन्न करने की विधि का उपयोग करना। हिल्बर्ट-पोंकेयर श्रेणी एक औपचारिक शक्ति श्रेणी है जिसका उपयोग श्रेणीबद्ध बीजगणित का अध्ययन करने के लिए किया जाता है।

भले ही शक्ति श्रेणी की सीमा पर विचार नहीं किया गया हो, यदि पद उचित संरचना का समर्थन करते हैं तो "औपचारिक रूप से" शक्ति श्रेणी के लिए अतिरिक्त, गुणा, व्युत्पन्न, प्रतिपक्षी जैसे कार्यों को परिभाषित करना संभव है, प्रतीक "+" का इलाज करना जैसे कि यह अतिरिक्त के अनुरूप है। सबसे आम समुच्चयिंग में, पद एक क्रमविनिमेय अंगूठी से आते हैं, ताकि औपचारिक शक्ति श्रेणी को टर्म-दर-टर्म जोड़ा जा सके और कॉची गुणनफल के माध्यम से गुणा किया जा सके। इस स्थिति में औपचारिक शक्ति श्रेणी का बीजगणित अंतर्निहित पद रिंग पर प्राकृतिक संख्याओं के मोनोइड का कुल बीजगणित है। यदि अंतर्निहित टर्म रिंग एक डिफरेंशियल बीजगणित है, तो औपचारिक शक्ति श्रेणी का बीजगणित भी एक डिफरेंशियल बीजगणित है, जिसमें टर्म-बाय-टर्म भेदभाव किया जाता है।

लॉरेंट श्रेणी
लॉरेंट श्रेणी नकारात्मक और साथ ही सकारात्मक घातांक के साथ श्रेणी में पदों को स्वीकार करके शक्ति श्रेणी का सामान्यीकरण करती है। एक लॉरेंट श्रेणी इस प्रकार किसी भी प्रकार की श्रेणी है

$$\sum_{n=-\infty}^\infty a_n x^n.$$यदि ऐसी श्रेणी कनवर्जेंट करती है, तो सामान्य तौर पर यह एक डिस्क के बजाय एक रिंग में होती है, और संभवतः कुछ सीमा बिंदुओं पर। श्रेणी कनवर्जेंट के रिंग के आंतरिक भाग के कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय पर समान रूप से कनवर्ज होती है।

डिरिचलेट श्रेणी


एक डिरिचलेट श्रेणी एक रूप है

$$\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n^s},$$ जहाँ s एक सम्मिश्र संख्या है। उदाहरण के लिए, यदि सभी एn 1 के बराबर हैं, तो डिरिचलेट श्रेणी रीमैन जीटा फ़ंक्शन है

$$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}.$$ जेटा फ़ंक्शन की तरह, डिरिचलेट श्रेणी सामान्य रूप से विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। सामान्यतः एक डिरिचलेट श्रेणी कनवर्जेंट करती है यदि s का वास्तविक भाग एक संख्या से अधिक होता है जिसे कनवर्जेंट का भुज कहते हैं। कई मामलों में, एक डिरिचलेट श्रेणी को विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा कनवर्जेंट के डोमेन के बाहर एक विश्लेषणात्मक कार्य में विस्तारित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, ज़ेटा फ़ंक्शन के लिए डिरिचलेट श्रेणी पूरी तरह से कनवर्जेंट करती है जब Re(s)> 1, लेकिन ज़ेटा फ़ंक्शन को $$\Complex\setminus\{1\}$$ पर परिभाषित एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन तक बढ़ाया जा सकता है, जिसमें 1 पर एक साधारण पोल होता है।

इस श्रेणी को सीधे सामान्य डिरिचलेट श्रेणी के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

त्रिकोणमितीय श्रेणी
कार्यों की एक श्रेणी जिसमें पद त्रिकोणमितीय कार्य होते हैं, त्रिकोणमितीय श्रेणी कहलाती है:

$$\frac12 A_0 + \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos nx + B_n \sin nx\right).$$ त्रिकोणमितीय श्रेणी का सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण एक फ़ंक्शन की फूरियर श्रेणी है।

अनंत श्रेणी का विकास
ग्रीक गणितज्ञ आर्किमिडीज़ ने एक विधि के साथ एक अनंत श्रेणी का पहला ज्ञात योग तैयार किया जो आज भी कलन के फील्ड में उपयोग किया जाता है। उन्होंने एक अनंत श्रेणी के योग के साथ एक पररिंग के चाप के नीचे के फील्ड की गणना करने के लिए थकावट की विधि का उपयोग किया, और π का उल्लेखनीय रूप से सटीक अनुमान लगाया।

केरल, भारत के गणितज्ञों ने 1350 CE के आस-पास अनंत श्रेणी का अध्ययन किया।

17वीं शताब्दी में, जेम्स ग्रेगोरी ने नई दशमलव प्रणाली में अनंत श्रेणी पर काम किया और कई मैकलॉरिन श्रेणी प्रकाशित कीं। 1715 में, सभी कार्यों के लिए टेलर श्रेणी के निर्माण के लिए एक सामान्य विधि, जिसके लिए वे विद्यमान हैं, ब्रुक टेलर द्वारा प्रदान की गई थी। 18वीं शताब्दी में लियोनहार्ड यूलर ने हाइपरज्यामितीय श्रेणी और क्यू-श्रेणी के सिद्धांत को विकसित किया।

कनवर्जेंट मानदंड
अनंत श्रेणी की वैधता की जांच 19वीं शताब्दी में गॉस से शुरू मानी जाती है। यूलर ने पहले से ही हाइपरजियोमेट्रिक श्रेणी पर विचार किया था

$$1 + \frac{\alpha\beta}{1\cdot\gamma}x + \frac{\alpha(\alpha+1)\beta(\beta+1)}{1 \cdot 2 \cdot \gamma(\gamma+1)}x^2 + \cdots$$ जिस पर 1812 में गॉस ने एक संस्मरण प्रकाशित किया। इसने कनवर्जेंट के सरल मानदंड, और अवशेषों के प्रश्न और कनवर्जेंट की सीमा को स्थापित किया।

कॉची (1821) ने कनवर्जेंट के कठोर परीक्षण पर जोर दिया; उन्होंने दिखाया कि यदि दो श्रेणियाँ कनवर्जेंट हैं तो उनका गुणनफल आवश्यक रूप से ऐसा नहीं है, और उसके साथ प्रभावी मानदंडों की खोज शुरू होती है। ग्रेगरी (1668) द्वारा कनवर्जेंट और विचलन पद बहुत पहले पेश किए गए थे। लिओनहार्ड यूलर और गॉस ने विभिन्न मापदंड दिए थे, और कॉलिन मैकलॉरिन ने कॉची की कुछ खोजों का अनुमान लगाया था। कॉची ने इस तरह के रूप में एक समिश्र कार्य के विस्तार के द्वारा शक्ति श्रेणी के सिद्धांत को आगे बढ़ाया।

नील्स हेनरिक एबेल (1826) द्विपद श्रेणी पर अपने संस्मरण में

$$1 + \frac{m}{1!}x + \frac{m(m-1)}{2!}x^2 + \cdots$$ कॉची के कुछ निष्कर्षों को सही किया, और $$m$$ और $$x$$ के समिश्र मानों के लिए श्रेणी का एक पूर्ण वैज्ञानिक योग दिया। उन्होंने कनवर्जेंट के प्रश्नों में निरंतरता के विषय पर विचार करने की आवश्यकता को दिखाया।

कॉची के तरीकों ने सामान्य मानदंडों के बजाय विशेष का नेतृत्व किया, और राबे (1832) के बारे में भी यही कहा जा सकता है, जिन्होंने डी मॉर्गन (1842 से) के विषय की पहली विस्तृत जांच की, जिनके लॉगरिदमिक टेस्ट डुबोइस-रेमंड (1873) और प्रिंगशाइम (1889) ने एक निश्चित फील्ड में विफल होने को दिखाया है; बर्ट्रेंड (1842), बोनट (1843), मालमस्टन (1846, 1847, एकीकरण के बिना बाद वाला); स्टोक्स (1847), पॉकर (1852), चेबिशेव (1852), और अरंड्ट (1853)।

सामान्य मानदंड कुमेर (1835) के साथ शुरू हुआ, और ईसेनस्टीन (1847), वेइरस्ट्रास द्वारा कार्यों के सिद्धांत, दीनी (1867), डुबोइस-रेमंड (1873), और कई अन्य लोगों के लिए उनके विभिन्न योगदानों का अध्ययन किया गया है। प्रिंग्सहाइम के संस्मरण (1889) सबसे पूर्ण सामान्य सिद्धांत प्रस्तुत करते हैं।

एक समान कनवर्जेंट
कॉची (1821) द्वारा समान कनवर्जेंट के सिद्धांत का इलाज किया गया था, उसकी सीमाओं को हाबिल ने इंगित किया था, लेकिन सबसे पहले इस पर सफलतापूर्वक हमला करने वाले सेडेल और स्टोक्स (1847-48) थे। कॉची ने समस्या को फिर से उठाया (1853), एबेल की आलोचना को स्वीकार करते हुए, और उसी निष्कर्ष पर पहुंचे जो स्टोक्स पहले ही पा चुके थे। थोमे ने सिद्धांत (1866) का इस्तेमाल किया, लेकिन कार्यों के सिद्धांत की मांग के बावजूद, वर्दी और गैर-समान कनवर्जेंट के बीच अंतर करने के महत्व को पहचानने में बहुत देरी हुई।

अर्ध-कनवर्जेंट
एक श्रेणी को अर्ध-कनवर्जेंट (या सशर्त रूप से कनवर्जेंट) कहा जाता है यदि यह कनवर्जेंट है लेकिन पूर्ण कनवर्जेंट नहीं है।

अर्ध-कनवर्जेंट श्रेणी का अध्ययन पोइसन (1823) द्वारा किया गया, जिन्होंने मैकलॉरिन सूत्र के शेष भाग के लिए एक सामान्य रूप भी दिया। हालाँकि, समस्या का सबसे महत्वपूर्ण हल जैकोबी (1834) के कारण है, जिन्होंने एक अलग दृष्टिकोण से शेष के प्रश्न पर हमला किया और एक अलग सूत्र पर पहुँचे। इस अभिव्यक्ति पर भी काम किया गया था, और एक अन्य माल्मस्टेन (1847) द्वारा दिया गया था। Schlömilch (Zeitschrift, Vol.I, पृष्ठ 192, 1856) ने भी जैकोबी के शेष में सुधार किया, और शेष और Bernoulli के कार्य के बीच के संबंध को दिखाया

$$F(x) = 1^n + 2^n + \cdots + (x - 1)^n.$$ एंजेलो जेनोची (1852) ने सिद्धांत में और योगदान दिया है।

शुरुआती लेखकों में व्रोनस्की थे, जिनके "लोई सुप्रीम" (1815) को केली (1873) ने इसे प्रमुखता में लाने तक मुश्किल से पहचाना था।

फूरियर श्रेणी
भौतिक विचारों के परिणाम के रूप में फूरियर श्रेणी की जांच की जा रही थी, उसी समय जब गॉस, एबेल और कौची अनंत श्रेणी के सिद्धांत पर काम कर रहे थे। ज्या और कोसाइन के विस्तार के लिए श्रेणी, चाप की ज्या और कोज्या की शक्तियों में कई चापों का उपचार जैकब बर्नौली (1702) और उनके भाई जोहान बर्नौली (1701) द्वारा किया गया था और इससे भी पहले विएटा द्वारा। यूलर और लाग्रेंज ने इस विषय को सरल बनाया, जैसा कि पॉइन्सॉट, श्रोटर, ग्लैशर और कुमेर ने किया।

फूरियर (1807) ने खुद के लिए एक अलग समस्या निर्धारित की, एक्स के गुणकों के ज्या या कोज्या के संदर्भ में एक्स के दिए गए फ़ंक्शन का विस्तार करने के लिए, एक समस्या जिसे उन्होंने अपने थ्योरी एनालिटिक डे ला चालेर (1822) में सम्मिलित किया। श्रेणी में गुणांकों के निर्धारण के लिए यूलर ने सूत्र पहले ही दे दिए थे; फूरियर पहले व्यक्ति थे जिन्होंने सामान्य प्रमेय को प्रमाणित करने का प्रयास किया। प्वासों (1820-23) ने भी समस्या पर एक भिन्न दृष्टिकोण से आक्रमण किया। फूरियर ने, हालांकि, अपनी श्रेणी के कनवर्जेंट के प्रश्न का हल नहीं किया, यह मामला कॉची (1826) के लिए प्रयास करने के लिए और डिरिचलेट (1829) के लिए पूरी तरह से वैज्ञानिक तरीके से संभालने के लिए छोड़ दिया गया था (फूरियर श्रेणी का कनवर्जेंट देखें)। त्रिकोणमितीय श्रेणी का डिरिचलेट का उपचार (क्रेले, 1829), रीमैन (1854), हेइन, लिपशिट्ज, श्लाफली और डु बोइस-रेमंड द्वारा आलोचना और सुधार का विषय था। त्रिकोणमितीय और फूरियर श्रेणी के सिद्धांत के अन्य प्रमुख योगदानकर्ताओं में दीनी, हर्मिट, हलफेन, क्रूस, बायरली और अपेल थे।

स्पर्शोन्मुख श्रेणी
स्पर्शोन्मुख श्रेणी, अन्यथा स्पर्शोन्मुख विस्तार, अनंत श्रेणीएँ हैं जिनके आंशिक योग डोमेन के कुछ बिंदुओं की सीमा में अच्छे सन्निकटन बन जाते हैं। सामान्य तौर पर वे कनवर्जेंट नहीं करते हैं, लेकिन वे सन्निकटन के अनुक्रम के रूप में उपयोगी होते हैं, जिनमें से प्रत्येक पदों की सीमित संख्या के लिए वांछित उत्तर के करीब एक मूल्य प्रदान करता है। अंतर यह है कि एक स्पर्शोन्मुख श्रेणी को वांछित के रूप में सटीक उत्तर देने के लिए नहीं बनाया जा सकता है, जिस तरह से कनवर्जेंट श्रेणी हो सकती है। वास्तव में, पदों की एक निश्चित संख्या के बाद, एक विशिष्ट स्पर्शोन्मुख श्रेणी अपने सर्वोत्तम सन्निकटन तक पहुँचती है; यदि अधिक शर्तें सम्मिलित की जाती हैं, तो ऐसी अधिकांश श्रेणियाँ खराब उत्तर उत्पन्न करेंगी।

अपसारी श्रेणी
कई परिस्थितियों में, एक श्रेणी के लिए एक सीमा निर्धारित करना वांछनीय है जो सामान्य अर्थों में कनवर्जेंट करने में विफल रहता है। एक संकलनीयता विधि अपसारी श्रेणी के समुच्चय के एक उपसमुच्चय की सीमा का एक ऐसा नियतन है जो कनवर्जेंट की शास्त्रीय धारणा को उचित रूप से विस्तारित करता है। संक्षेपण विधियों में सामान्यता के बढ़ते क्रम में सिसैरा योग, (सी, के) योग, बोरेल योग और बोरेल योग सम्मिलित हैं (और इसलिए उत्तरोत्तर अपसारी श्रेणी पर लागू होते हैं)।

संभव संकलनीयता पद्धतियों से संबंधित विभिन्न प्रकार के सामान्य परिणाम ज्ञात हैं। सिल्वरमैन-टूप्लेट्ज़ प्रमेय मैट्रिक्स सारांश विधियों की विशेषता है, जो गुणांक के सदिश के लिए एक अनंत मैट्रिक्स को लागू करके एक भिन्न श्रेणी को योग करने के तरीके हैं। अपसारी श्रंखला के योग के लिए सबसे सामान्य विधि गैर-रचनात्मक है, और बानाच सीमाओं से संबंधित है।

स्वैच्छिक सूचकांक समुच्चय पर योग
एक मनमाना सूचकांक समुच्चय $$I$$ पर राशियों के लिए परिभाषाएँ दी जा सकती हैं। श्रेणी की सामान्य धारणा के साथ दो मुख्य अंतर हैं: पहला, समुच्चय $$I$$ पर कोई विशिष्ट क्रम नहीं दिया गया है; दूसरा, यह समुच्चय $$I$$ बेशुमार हो सकता है। कनवर्जेंट की धारणा को मजबूत करने की आवश्यकता है, क्योंकि सशर्त कनवर्जेंट की अवधारणा सूचकांक समुच्चय के क्रम पर निर्भर करती है।

यदि $$a : I \mapsto G$$ एक सूचकांक समुच्चय $$I$$ से एक समुच्चय $$G$$ तक का एक फ़ंक्शन है, तो $$a$$ से जुड़ी "श्रेणी" इंडेक्स एलिमेंट्स $$x \in I$$ पर $$a(x) \in G $$ तत्वों का औपचारिक योग है जिसे निरूपित किया गया है

$$\sum_{x \in I} a(x).$$ जब सूचकांक समुच्चय प्राकृतिक संख्या $$I=\N,$$ है, तो फ़ंक्शन $$a : \N \mapsto G,$$ $$a(n) = a_n$$ द्वारा चिह्नित अनुक्रम है। प्राकृतिक संख्याओं पर अनुक्रमित एक श्रेणी एक आदेशित औपचारिक योग है और इसलिए हम प्राकृतिक संख्याओं द्वारा प्रेरित क्रम पर जोर देने के लिए $\sum_{n \in \N}$ को $\sum_{n=0}^{\infty}$  के रूप में फिर से लिखते हैं। इस प्रकार, हम प्राकृतिक संख्याओं द्वारा अनुक्रमित एक श्रेणी के लिए सामान्य संकेतन प्राप्त करते हैं

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots.$$गैर-ऋणात्मक संख्याओं के परिवार
जब एक परिवार का योग $$\left\{a_i : i \in I\right\}$$ गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं की, परिभाषित करें

$$\sum_{i\in I}a_i = \sup \left\{ \sum_{i\in A} a_i\, : A \subseteq I, A \text{ finite}\right\} \in [0, +\infty].$$ जब सुप्रीमम परिमित होता है तो का समुच्चय $$i \in I$$ ऐसा है कि $$a_i > 0$$ गणनीय है। वास्तव में, प्रत्येक के लिए $$n \geq 1,$$ प्रमुखता $$\left|A_n\right|$$ समुच्चय का $$A_n = \left\{i \in I : a_i > 1/n\right\}$$ परिमित है क्योंकि

$$\frac{1}{n} \, \left|A_n\right| = \sum_{i \in A_n} \frac{1}{n} \leq \sum_{i \in A_n} a_i \leq \sum_{i \in I} a_i < \infty.$$ यदि $$I$$ गणनीय रूप से अनंत है और इस रूप में गिना जाता है $$I = \left\{i_0, i_1, \ldots\right\}$$ तब उपरोक्त परिभाषित राशि संतुष्ट होती है

$$\sum_{i \in I} a_i = \sum_{k=0}^{+\infty} a_{i_k},$$ मूल्य प्रदान किया $$\infty$$ श्रेणी के योग के लिए अनुमति है।

गैर-नकारात्मक वास्तविक पर किसी भी राशि को गिनती के माप के संबंध में एक गैर-नकारात्मक कार्य के अभिन्न अंग के रूप में समझा जा सकता है, जो दो निर्माणों के बीच कई समानताएं रखता है।

एबेलियन सामयिक समूह
$$a : I \to X$$ को एक मानचित्र होने दें, जिसे $$\left(a_i\right)_{i \in I},$$ से भी दर्शाया गया है, कुछ गैर-खाली समुच्चय $$I$$ से हॉसडॉर्फ एबेलियन टोपोलॉजिकल ग्रुप $$X$$ में। $$\operatorname{Finite}(I)$$ को $$I,$$ के सभी परिमित उपसमुच्चय का संग्रह होने दें, जिसमें $$\operatorname{Finite}(I)$$ को एक निर्देशित समुच्चय के रूप में देखा गया है, जिसे $$\,\subseteq\,$$ में सम्मिलित किया गया है। सम्मिलित होने के रूप में संघ के साथ। परिवार $$\left(a_i\right)_{i \in I},$$ को कहा जाता है यदि निम्नलिखित सीमा, जिसे $$\sum_{i\in I} a_i$$ द्वारा निरूपित किया जाता है और $$\left(a_i\right)_{i \in I},$$ का योग कहा जाता है, $$X$$ में विद्यमान है:$$\sum_{i\in I} a_i := \lim_{A \in \operatorname{Finite}(I)} \ \sum_{i\in A} a_i = \lim \left\{\sum_{i\in A} a_i \,: A \subseteq I, A \text{ finite }\right\}$$

यह कहते हुए योग $$S := \sum_{i\in I} a_i$$ परिमित आंशिक रकम की सीमा है जिसका मतलब है कि हर पड़ोस के लिए $$V$$ मूल में $$X,$$ एक परिमित उपसमुच्चय विद्यमान है $$A_0$$ का $$I$$ ऐसा है कि

$$S - \sum_{i \in A} a_i \in V \qquad \text{ for every finite superset} \; A \supseteq A_0.$$ इसलिये $$\operatorname{Finite}(I)$$ कुल आदेश नहीं है, यह आंशिक रकम के अनुक्रम की सीमा नहीं है, बल्कि नेट (गणित) की है।

$$X,$$ में उत्पत्ति के प्रत्येक पड़ोस $$W$$ के लिए, एक छोटा पड़ोस $$V$$ ऐसा है कि $$V - V \subseteq W$$ है। यह इस प्रकार है कि एक बिना शर्त योग करने योग्य परिवार $$\left(a_i\right)_{i \in I},$$ के परिमित आंशिक योग, एक बनाते हैं, जो कि प्रत्येक पड़ोस के $$W$$ में मूल के लिए है। $$X,$$ $$I$$ में से एक परिमित उपसमुच्चय $$A_0$$ का अस्तित्व है, जैसे कि

$$\sum_{i \in A_1} a_i - \sum_{i \in A_2} a_i \in W \qquad \text{ for all finite supersets } \; A_1, A_2 \supseteq A_0,$$ जिसका तात्पर्य है $$a_i \in W$$ हरएक के लिए $$i \in I \setminus A_0$$ (ले कर $$A_1 := A_0 \cup \{i\}$$ तथा $$A_2 := A_0$$).

जब $$X$$ पूर्ण हो जाता है, तो एक परिवार $$\left(a_i\right)_{i \in I}$$ बिना शर्त के $$X$$ में योग करने योग्य होता है यदि और केवल अगर परिमित राशि बाद की कॉची शुद्ध स्थिति को पूरा करती है। जब $$X$$ पूर्ण होता है और $$\left(a_i\right)_{i \in I},$$ $$X,$$में बिना शर्त योग योग्य होता है, तो प्रत्येक उपसमुच्चय $$J \subseteq I,$$ के लिए, संबंधित उपपरिवार $$\left(a_j\right)_{j \in J},$$ $$X$$में भी बिना शर्त योग योग्य होता है।

जब गैर-ऋणात्मक संख्याओं के परिवार का योग, पहले परिभाषित विस्तारित अर्थ में, परिमित है, तो यह सामयिक समूह में योग के साथ मेल खाता है $$X = \R.$$

यदि $$X$$ में एक परिवार $$\left(a_i\right)_{i \in I}$$ बिना शर्त के योग करने योग्य है, तो $$X$$ में मूल के प्रत्येक पड़ोस $$W$$ के लिए, एक परिमित उपसमुच्चय $$A_0 \subseteq I$$ है जैसे कि $$a_i \in W$$ प्रत्येक सूचकांक $$i$$ के लिए $$A_0$$ में नहीं। यदि $$X$$ प्रथम-गणनीय स्थान है तो इसका पालन होता है कि $$i \in I$$ का समुच्चय ऐसा है कि $$a_i \neq 0$$ गणनीय है। यह एक सामान्य एबेलियन टोपोलॉजिकल समूह (नीचे उदाहरण देखें) में सच नहीं होना चाहिए।

बिना शर्त कनवर्जेंट श्रेणी
मान लीजिए कि $$I = \N$$। यदि एक परिवार $$a_n, n \in \N,$$ हॉसडॉर्फ एबेलियन टोपोलॉजिकल ग्रुप $$X,$$ में बिना शर्त योग योग्य है, तो सामान्य अर्थों में श्रेणी कनवर्जेंट करती है और इसका योग समान होता है,$$\sum_{n=0}^\infty a_n = \sum_{n \in \N} a_n.$$

स्वभावतः, बिना शर्त संकलन की परिभाषा योग के क्रम के प्रति असंवेदनशील है। जब $$\sum a_n$$ बिना किसी शर्त के योग करने योग्य होता है, तो अनुक्रमों के समुच्चय $$\N$$ में से किसी भी क्रमचय $$\sigma : \N \to \N$$ के बाद श्रेणी कनवर्जेंट बनी रहती है, समान योग के साथ,

$$\sum_{n=0}^\infty a_{\sigma(n)} = \sum_{n=0}^\infty a_n.$$ इसके विपरीत, यदि किसी श्रेणी $$\sum a_n$$ का प्रत्येक क्रमचय कनवर्जेंट करता है, तो श्रेणी बिना शर्त कनवर्जेंट होती है। जब $$X$$ पूर्ण हो जाता है तो बिना शर्त कनवर्जेंट भी इस तथ्य के समतुल्य होता है कि सभी उपश्रेणियाँ कनवर्जेंट हैं; यदि $$X$$ एक बनच स्थान है, तो यह कहने के बराबर है कि संकेतों के प्रत्येक अनुक्रम के लिए $$\varepsilon_n = \pm 1$$, श्रेणी

$$\sum_{n=0}^\infty \varepsilon_n a_n$$$$X$$ में कनवर्ज होता है।

टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस में सीरीज
यदि $$X$$ एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (टीवीएस) है और $$\left(x_i\right)_{i \in I}$$ $$X$$ में एक (संभवत: बेशुमार) परिवार है तो यह परिवार सारांश योग्य है यदि शुद्ध $$\left(x_A\right)_{A \in \operatorname{Finite}(I)}$$ की सीमा $$\lim_{A \in \operatorname{Finite}(I)} x_A$$ $$X,$$ में विद्यमान है, जहां $$\operatorname{Finite}(I)$$ $$\,\subseteq\,$$ और $x_A := \sum_{i \in A} x_i$ को सम्मिलित करके निर्देशित $$I$$ के सभी परिमित उपसमुच्चयों का निर्देशित समुच्चय है।

इसे पूर्णतः योग्य कहा जाता है यदि इसके अतिरिक्त, $$X,$$ पर प्रत्येक सतत सेमिनोर्म $$p$$ के लिए, कुल $$\left(p\left(x_i\right)\right)_{i \in I}$$ योग योग्य है। यदि $$X$$ एक सामान्य स्थान है और यदि $$\left(x_i\right)_{i \in I}$$ $$X,$$ में एक पूर्ण योग योग्य परिवार है, तो आवश्यक रूप से $$x_i$$ के एक गणनीय संग्रह के अतिरिक्त सभी शून्य हैं। इसलिए, आदर्श स्थानों में, सामान्यतः केवल कई पदों के साथ श्रेणी पर विचार करना हमेशा आवश्यक होता है।

सारांशित परिवार परमाणु रिक्त स्थान के सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

बनच और सेमिनोर्म्ड स्थानों में श्रेणी
श्रेणी की धारणा को सेमीनॉर्मड स्पेस के स्थिति में आसानी से बढ़ाया जा सकता है। यदि $$x_n$$ एक आदर्श स्थान $$X$$ के तत्वों का एक क्रम है और यदि $$x \in X$$ है तो श्रेणी $$\sum x_n$$ $$X$$ में $$x$$ में परिवर्तित हो जाती है यदि श्रेणी $\left(\sum_{n=0}^N x_n\right)_{N=1}^{\infty}$ के आंशिक योग का क्रम $$X$$ में $$x$$ में परिवर्तित हो जाता है; अर्थात्,$$\left\|x - \sum_{n=0}^N x_n\right\| \to 0 \quad \text{ as } N \to \infty.$$

अधिक सामान्यतः, श्रेणी के कनवर्जेंट को किसी भी एबेलियन हौसडॉर्फ टोपोलॉजिकल समूह में परिभाषित किया जा सकता है। विशेष रूप से, इस स्थिति में, $$\sum x_n,$$ $$x$$ में कनवर्जेंट करता है यदि आंशिक योगों का क्रम $$x$$ में परिवर्तित हो जाता है।

यदि $$(X, |\cdot|)$$ एक सेमिनोर्म्ड स्थान है, तो पूर्ण कनवर्जेंट की धारणा बन जाती है: $$X$$ में सदिशों की श्रेणी $\sum_{i \in I} x_i$ पूरी तरह से कनवर्जेंट करती है

$$ \sum_{i \in I} \left|x_i\right| < +\infty$$ इस स्थिति में सभी लेकिन अधिक से अधिक गणनीय रूप से $$\left|x_i\right|$$ के कई मूल्य आवश्यक रूप से शून्य हैं।

यदि एक बनच स्थान में सदिशों की एक गणनीय श्रेणी पूरी तरह से कनवर्जेंट करती है तो यह बिना शर्त के कनवर्जेंट करती है, लेकिन इसका विलोम केवल परिमित-आयामी बानाच रिक्त स्थान ( का प्रमेय) में होता है।

सुव्यवस्थित योग
सशर्त रूप से कनवर्जेंट श्रेणी पर विचार किया जा सकता है यदि $$I$$ एक सुव्यवस्थित समुच्चय है, उदाहरण के लिए, एक क्रमिक संख्या $$\alpha_0$$। इस स्थिति में, ट्रांसफिनिट पुनरावर्तन द्वारा परिभाषित करें:

$$\sum_{\beta < \alpha + 1} a_\beta = a_{\alpha} + \sum_{\beta < \alpha} a_\beta$$ और एक सीमा के लिए $$\alpha,$$

$$\sum_{\beta < \alpha} a_\beta = \lim_{\gamma\to\alpha} \sum_{\beta < \gamma} a_\beta$$ यदि यह सीमा विद्यमान है। यदि सभी सीमाएं विद्यमान हैं $$\alpha_0,$$ फिर श्रेणी कनवर्जेंट करती है।

उदाहरण
\begin{cases} 0 & x\neq a, \\ f(a) & x=a, \\ \end{cases} $$ एक फ़ंक्शन जिसका समर्थन (गणित) एक सिंगलटन (गणित) है $$\{a\}.$$ फिर $$f = \sum_{a \in X}f_a$$ बिन्दुवार कनवर्जेंट की टोपोलॉजी में (अर्थात, योग को अनंत गुणनफल समूह में लिया जाता है $$Y^X$$).
 * 1) एक समारोह दिया $$f : X \to Y$$ एक एबेलियन टोपोलॉजिकल समूह में $$Y,$$ प्रत्येक के लिए परिभाषित करें $$a \in X,$$ $$f_a(x)=
 * 1) एकता के विभाजन की परिभाषा में, एक मनमाना सूचकांक समुच्चय पर कार्यों के योग का निर्माण करता है $$I,$$ $$ \sum_{i \in I} \varphi_i(x) = 1.$$ जबकि, औपचारिक रूप से, इसके लिए बेशुमार श्रेणियों के योगों की धारणा की आवश्यकता होती है, निर्माण के द्वारा, प्रत्येक दिए गए $$x,$$ के लिए, योग में केवल बहुत से गैर-शून्य पद होते हैं, इसलिए ऐसी राशियों के कनवर्जेंट के संबंध में कोई समस्या उत्पन्न नहीं होती है। वास्तव में, कोई सामान्यतः अधिक मानता है: कार्यों का परिवार स्थानीय रूप से परिमित है, अर्थात, प्रत्येक $$x$$ के लिए $$x$$ का एक पड़ोस है जिसमें कार्यों की एक सीमित संख्या के अतिरिक्त सभी गायब हो जाते हैं। $$\varphi_i,$$ की कोई भी नियमितता गुणधर्म, जैसे कि निरंतरता, भिन्नता, जो परिमित राशि के तहत संरक्षित है, कार्यों के इस परिवार के किसी भी उपसंग्रह के योग के लिए संरक्षित की जाएगी।
 * 2) पहले बेशुमार अध्यादेश पर $$\omega_1$$ आदेश टोपोलॉजी, निरंतर कार्य में एक टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में देखा जाता है $$f : \left[0, \omega_1\right) \to \left[0, \omega_1\right]$$ के द्वारा दिया गया $$f(\alpha) = 1$$ संतुष्ट $$\sum_{\alpha \in [0,\omega_1)}f(\alpha) = \omega_1$$ (दूसरे पदों में, $$\omega_1$$ 1 की प्रतियां हैं $$\omega_1$$) केवल तभी जब कोई परिमित आंशिक योगों के बजाय सभी गणनीय आंशिक योगों पर एक सीमा लेता है। यह स्थान वियोज्य नहीं है।

यह भी देखें

 * निरंतर अंश
 * कनवर्जेंट परीक्षण
 * कनवर्जेंट श्रेणी
 * अलग श्रेणी
 * विश्लेषणात्मक कार्यों की अनंत रचनाएँ
 * अनंत अभिव्यक्ति (गणित)
 * अनंत गुणनफल
 * पुनरावृत्त बाइनरी ऑपरेशन
 * गणितीय श्रेणी की सूची
 * उपसर्ग राशि
 * अनुक्रम परिवर्तन
 * श्रेणी विस्तार

ग्रन्थसूची

 * Bromwich, T. J. An Introduction to the Theory of Infinite Series MacMillan & Co. 1908, revised 1926, reprinted 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.
 * Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (McGraw-Hill: New York, 1964).
 * Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (McGraw-Hill: New York, 1964).
 * Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (McGraw-Hill: New York, 1964).
 * Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (McGraw-Hill: New York, 1964).

बाहरी संबंध

 * Infinite Series Tutorial
 * Infinite Series Tutorial