स्थानीय सह-समरूपता

बीजगणितीय ज्यामिति में, स्थानीय कोहोमोलॉजी सापेक्ष समरूपता का एक बीजगणितीय एनालॉग है। अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक ने 1961 में हार्वर्ड में सेमिनार में इसे प्रस्तुत किया, जिसे ने लिखा, और 1961-2 में IHES में इसे SGA2 -  के रूप में लिखा गया, जिसे  के रूप में पुनः प्रकाशित किया गया। एक बीजगणितीय विविधता (या योजना) के खुले उपसमुच्चय पर परिभाषित एक फ़ंक्शन (अधिक सामान्यतः, एक क्वासिकोहेरेंट शीफ का एक खंड) को देखते हुए, स्थानीय कोहोलॉजी उस फ़ंक्शन को एक बड़े डोमेन तक विस्तारित करने में बाधा को मापती है।

उदाहरण के लिए, तर्कसंगत कार्य $$1/x$$ फ़ील्ड $$K$$ पर एफ़िन लाइन $$\mathbb{A}^1_K$$ पर केवल $$0$$ के पूरक पर परिभाषित किया गया है और इसे पूरे फ़ंक्शन पर विस्तारित नहीं किया जा सकता है अंतरिक्ष। स्थानीय कोहोमोलॉजी मॉड्यूल $$H^1_{(x)}(K[x])$$ (जहाँ $$K[x]$$ का समन्वय वलय है) कोहोमोलॉजी वर्ग $$[1/x]$$ के लुप्त न होने पर इसका पता लगाता है। इसी तरह से $$1/xy$$ को एफ़िन प्लेन में $$x$$ और $$y$$ अक्षों से दूर परिभाषित किया गया है, लेकिन इसे x-अक्ष के पूरक या अकेले $$y$$-अक्ष के पूरक तक नहीं बढ़ाया जा सकता है (न ही इसे किया जा सकता है) ऐसे कार्यों के योग के रूप में व्यक्त) यह रुकावट स्थानीय कोहोमोलॉजी मॉड्यूल $$H^2_{(x,y)}(K[x,y])$$ में एक गैर-शून्य वर्ग $$[1/xy]$$ से सटीक रूप से मेल खाती है।

बीजगणितीय ज्यामिति के अलावा, स्थानीय कोहोमोलॉजी ने क्रमविनिमेय बीजगणित,  साहचर्य, और कुछ प्रकार के आंशिक अंतर समीकरणों में अनुप्रयोग पाया है।

परिभाषा
सिद्धांत के सबसे सामान्य ज्यामितीय रूप में, खंड $$\Gamma_Y$$ को एक बंद उपसमुच्चय $$Y$$ में समर्थन के साथ एक टोपोलॉजिकल स्पेस $$X$$ पर, एबेलियन समूहों के एक शीफ $$F$$ का माना जाता है। $$\Gamma_Y$$ स्थानीय सह-समरूपता समूह बनाते हैं:


 * $$H_Y^i(X,F)$$

सिद्धांत के बीजगणितीय रूप में, अंतरिक्ष $$X$$ एक क्रमविनिमेय रिंग आर (इस लेख में नोथेरियन माना जाता है) का स्पेक्ट्रम स्पेक (आर) है और शीफ $$F$$ एक आर-मॉड्यूल एम से जुड़ा क्वासिकोहेरेंट शीफ है, जिसे $$\tilde M$$ द्वारा दर्शाया गया है। बंद उपयोजना Y को एक आदर्श I द्वारा परिभाषित किया गया है। इस स्थिति में, फ़ैक्टर ΓY(F) I-टोरसन फ़ैक्टर से मेल खाता है, जो विनाशकों का एक संघ है


 * $$\Gamma_I(M) := \bigcup_{n \ge 0} (0 :_M I^n),$$

यानी, एम के तत्व जो I की कुछ शक्ति से नष्ट हो जाते हैं। एक सही व्युत्पन्न फ़ंक्टर के रूप में I के संबंध में ith स्थानीय कोहोमोलॉजी मॉड्यूल श्रृंखला परिसर $$\Gamma_I(E^\bullet)$$ का ith कोहोमोलॉजी समूह $$H^i(\Gamma_I(E^\bullet))$$ है मॉड्यूल $$\tilde M$$ के एक इंजेक्शन रिज़ॉल्यूशन $$E^\bullet$$ के आई-टोरसन भाग $$E^\bullet$$ को लेने से प्राप्त किया गया। क्योंकि $$E^\bullet$$ में आर-मॉड्यूल और आर-मॉड्यूल समरूपताएं शामिल हैं, स्थानीय सह-समरूपता समूहों में से प्रत्येक में आर-मॉड्यूल की प्राकृतिक संरचना होती है।

I-टोरसन भाग $$\Gamma_I(M)$$ को वैकल्पिक रूप से इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है:


 * $$\Gamma_I(M) := \varinjlim_{n \in N} \operatorname {Hom}_R(R/I^n, M),$$

और इस कारण से, आर-मॉड्यूल एम की स्थानीय कोहोलॉजी एक्सट मॉड्यूल की प्रत्यक्ष सीमा से सहमत है


 * $$H_I^i(M) := \varinjlim_{n \in N} \operatorname {Ext}_R^i(R/I^n, M).$$

इनमें से किसी भी परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि $$H^i_I(M)$$ अपरिवर्तित रहेगा यदि $$I$$ को समान मूलांक वाले किसी अन्य आदर्श से प्रतिस्थापित कर दिया जाए। ] इससे यह भी पता चलता है कि स्थानीय कोहोलॉजी I के लिए जनरेटर की किसी भी पसंद पर निर्भर नहीं करती है, एक तथ्य जो सेच कॉम्प्लेक्स से जुड़ी निम्नलिखित परिभाषा में प्रासंगिक हो जाता है।

कोसज़ुल और सेच कॉम्प्लेक्स का उपयोग करना
स्थानीय कोहोमोलॉजी की व्युत्पन्न फ़ंक्टर परिभाषा के लिए मॉड्यूल $$\tilde M$$ के एक इंजेक्शन रिज़ॉल्यूशन की आवश्यकता होती है, जो इसे स्पष्ट गणनाओं में उपयोग के लिए दुर्गम बना सकता है। कुछ संदर्भों में सेच कॉम्प्लेक्स को अधिक व्यावहारिक माना जाता है। अयंगर एट अल. (2007), उदाहरण के लिए, बताते हैं कि वे स्थानीय कोहोलॉजी की सेच जटिल परिभाषा प्रस्तुत करने से पहले "किसी दिए गए मॉड्यूल के लिए इन [इंजेक्टिव] प्रकार के प्रस्तावों में से किसी एक को वास्तव में उत्पन्न करने की समस्या" को "अनिवार्य रूप से अनदेखा" करते हैं, और ने सेच कोहोमोलॉजी का वर्णन "एक योजना पर अर्ध-सुसंगत शीव्स के कोहोमोलॉजी की गणना करने के लिए एक व्यावहारिक विधि देने" के रूप में किया है। और "गणना के लिए उपयुक्त" के रूप में वर्णित किया गया है।

सेच कॉम्प्लेक्स को कोसज़ुल कॉम्प्लेक्स,$$K^\bullet(f_1,\ldots,f_m)$$ के कोलिमिट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जहां $$f_1,\ldots, f_n$$ $$I$$ उत्पन्न करता है। स्थानीय कोहोमोलॉजी मॉड्यूल को इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है:


 * $$H_I^i(M) \cong \varinjlim_m H^i \left (\operatorname{Hom}_R \left (K^\bullet \left (f_1^m, \dots, f_n^m \right ), M \right ) \right )$$

कोस्ज़ुल कॉम्प्लेक्स में वह गुण होता है जिससे गुणा किया जाता है $$f_i$$ एक श्रृंखला जटिल रूपवाद को प्रेरित करता है $$\cdot f_i : K^\bullet(f_1,\ldots, f_n) \to K^\bullet(f_1,\ldots, f_n)$$ यह शून्य का समस्थानिक है, अर्थ $$H^i(K^\bullet(f_1,\ldots, f_n))$$ द्वारा नष्ट कर दिया जाता है $$f_i$$. की सीमा में एक गैर-शून्य मानचित्र $$\operatorname{Hom}$$ सेट में सीमित रूप से कई कोसज़ुल परिसरों को छोड़कर सभी के मानचित्र शामिल हैं, और जो आदर्श में किसी तत्व द्वारा नष्ट नहीं किए गए हैं।

कोसज़ुल परिसरों का यह कोलिमिट समरूपी है चेक कोहोमोलॉजी|सेच कॉम्प्लेक्स, निरूपित $$\check{C}^\bullet(f_1,\ldots,f_n;M)$$, नीचे। $$0\to M \to \bigoplus_{i_0} M_{f_i} \to \bigoplus_{i_0 < i_1} M_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \cdots \to M_{f_1\cdots f_n}\to 0$$  मैं कहाँ हूँवेंका स्थानीय कोहोमोलोजी मॉड्यूल $$M$$ इसके संबंध में $$I=(f_1,\ldots,f_n)$$ के लिए समरूपी है मैं उपरोक्त श्रृंखला परिसर की कोहॉमोलॉजी,
 * $$H^i_I(M)\cong H^i(\check{C}^\bullet(f_1,\ldots,f_n;M)).$$

स्थानीय कोहोमोलॉजी मॉड्यूल (विशेषता (बीजगणित) में) की गणना के व्यापक मुद्दे पर चर्चा की गई है और.

बुनियादी गुण
चूंकि आर-मॉड्यूल के किसी भी छोटे सटीक अनुक्रम के लिए स्थानीय कोहोमोलॉजी को व्युत्पन्न फ़ैक्टर के रूप में परिभाषित किया गया है $$0\to M_1\to M_2\to M_3\to 0$$, परिभाषा के अनुसार, स्थानीय कोहोलॉजी में एक प्राकृतिक लंबा सटीक अनुक्रम है


 * $$\cdots\to H^i_I(M_1)\to H^i_I(M_2)\to H^i_I(M_3)\to H^{i+1}_I(M_1)\to\cdots$$ स्थानीय कोहोमोलॉजी मॉड्यूल के साथ एक्स और खुले सेट यू = एक्स \ वाई के सामान्य शीफ़ कोहोमोलोजी को जोड़ने वाले शीफ कोहोमोलॉजी का एक लंबा सटीक अनुक्रम भी है। एक्स पर परिभाषित क्वासिकोहेरेंट शीफ एफ के लिए, इसका रूप है


 * $$\cdots\to H^i_Y(X,F)\to H^i(X,F)\to H^i(U,F)\to H^{i+1}_Y(X,F)\to\cdots$$

सेटिंग में जहां एक्स एक एफ़िन योजना है $$\text{Spec}(R)$$ और Y एक आदर्श (रिंग सिद्धांत) I, कोहोमोलॉजी समूहों का लुप्त हो रहा सेट है $$H^i(X,F)$$ के लिए गायब हो जाओ $$i>0$$. अगर $$F=\tilde{M}$$, इससे एक सटीक अनुक्रम प्राप्त होता है


 * $$0 \to H_I^0(M) \to M \stackrel {\text{res}} \to H^0(U, \tilde M) \to H^1_I(M) \to 0,$$

जहां मध्य मानचित्र खंडों का प्रतिबंध है। इस प्रतिबंध मानचित्र के लक्ष्य को आदर्श परिवर्तन भी कहा जाता है। n ≥ 1 के लिए, समरूपताएँ हैं


 * $$H^{n}(U, \tilde M) \stackrel \cong \to H^{n+1}_I(M).$$

शीफ कोहोमोलॉजी के साथ उपरोक्त समरूपता के कारण, योजना पर कई सार्थक बीजगणितीय टोपोलॉजी निर्माणों को व्यक्त करने के लिए स्थानीय कोहोमोलॉजी का उपयोग किया जा सकता है। $$X=\operatorname{Spec}(R)$$ विशुद्ध रूप से बीजगणितीय शब्दों में. उदाहरण के लिए, एक्स में खुले सेट यू और वी की एक जोड़ी के संबंध में मेयर-विएटोरिस अनुक्रम के स्थानीय कोहोलॉजी में एक प्राकृतिक एनालॉग है, जो क्रमशः आदर्श आई और जे की जोड़ी के अनुरूप बंद उप-योजनाओं के पूरक द्वारा दिया गया है।. इस क्रम का स्वरूप है


 * $$\cdots H^i_{I+J}(M)\to H^i_I(M)\oplus H^i_J(M)\to H^i_{I\cap J}(M)\to H^{i+1}_{I+J}(M)\to\cdots$$

किसी के लिए $$R$$-मापांक $$M$$.

स्थानीय कोहोलॉजी के लुप्त होने का उपयोग बीजगणितीय सेट को परिभाषित करने के लिए आवश्यक (सैद्धांतिक रूप से सेट) समीकरणों की कम से कम संख्या (अंकगणितीय रैंक के रूप में संदर्भित) को बाध्य करने के लिए किया जा सकता है। $$V(I)$$ में $$\operatorname{Spec}(R)$$. अगर $$J$$ के समान मूलांक है $$I$$, और द्वारा उत्पन्न होता है $$n$$ तत्व, फिर जनरेटर पर Čech कॉम्प्लेक्स $$J$$ डिग्री में कोई शर्त नहीं है $$i > n$$. सभी आदर्शों में जनरेटरों की संख्या सबसे कम $$J$$ ऐसा है कि $$\sqrt{J}=\sqrt{I}$$ की अंकगणितीय रैंक है $$I$$, निरूपित $$\operatorname{ara}(I)$$. चूंकि स्थानीय सहसंबद्धता के संबंध में $$I$$ ऐसे किसी भी आदर्श का उपयोग करके गणना की जा सकती है, यह उसका अनुसरण करता है $$H^i_I(M)=0$$ के लिए $$i>\operatorname{ara}(I)$$.

श्रेणीबद्ध स्थानीय सहसंरचना और प्रक्षेप्य ज्यामिति
जब $$R$$ को $$\mathbb{N}$$ द्वारा ग्रेड किया जाता है, $$I$$ सजातीय तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है और $$M$$ एक ग्रेडेड मॉड्यूल है, तो स्थानीय कोहोमोलॉजी मॉड्यूल $$H^i_I(M)$$ पर एक प्राकृतिक ग्रेडिंग होती है जो $$M$$ और $$R$$ की ग्रेडिंग के साथ संगत है। इस आलेख में व्यक्त स्थानीय सह-समरूपता के सभी बुनियादी गुण श्रेणीबद्ध संरचना के अनुकूल हैं। यदि $$M$$ परिमित रूप से उत्पन्न होता है और $$I=\mathfrak{m}$$ सकारात्मक डिग्री वाले $$R$$ के तत्वों द्वारा उत्पन्न आदर्श है, तो श्रेणीबद्ध घटक $$H^i_{\mathfrak{m}}(M)_n$$ $$R$$ पर परिमित रूप से उत्पन्न होते हैं और पर्याप्त रूप से बड़े $$n$$ के लिए गायब हो जाते हैं।

वह मामला जहां $$I=\mathfrak m$$ सकारात्मक डिग्री के सभी तत्वों द्वारा उत्पन्न आदर्श है (कभी-कभी अप्रासंगिक आदर्श कहा जाता है) प्रक्षेप्य ज्यामिति के साथ इसके संबंध के कारण विशेष रूप से विशेष है। इस मामले में, एक समरूपता है


 * $$H^{i+1}_{\mathfrak m}(M)\cong \bigoplus_{k \in \mathbf Z} H^i(\text{Proj}(R), \tilde M(k))$$

जहां $$\text{Proj}(R)$$ $$R$$ से जुड़ी प्रक्षेप्य योजना है, और $$(k)$$ सेरे ट्विस्ट को दर्शाता है। इस समरूपता को वर्गीकृत करते हुए दिया गया है


 * $$H^{i+1}_{\mathfrak m}(M)_n \cong H^i(\text{Proj}(R), \tilde M(n))$$

सभी डिग्री में $$n$$. :

यह समरूपता स्थानीय सह-समरूपता को प्रक्षेप्य योजनाओं की वैश्विक सह-समरूपता से जोड़ती है। उदाहरण के लिए, कैस्टेलनुवो-ममफोर्ड नियमितता को स्थानीय कोहोमोलॉजी का उपयोग करके तैयार किया जा सकता है:


 * $$\text{reg}(M) = \text{sup}\{\text{end}(H^i_{\mathfrak{m}}(M))+i\,|\, 0\leq i\leq \text{dim}(M)\}$$

जहां $$\text{end}(N)$$ उच्चतम डिग्री $$t$$ को दर्शाता है जैसे कि $$N_t\neq 0$$ नियमितता से संबंधित कुछ ऊपरी सीमा वाले परिणामों को साबित करने के लिए स्थानीय सह-समरूपता का उपयोग किया जा सकता है।

शीर्ष स्थानीय सहसंरचना
सेच कॉम्प्लेक्स का उपयोग करते हुए, यदि $$I=(f_1,\ldots,f_n)R$$ स्थानीय कोहोलॉजी मॉड्यूल $$H^n_I(M)$$ औपचारिक अंशों की छवियों द्वारा $$R$$ पर उत्पन्न होता है:


 * $$\left[\frac{m}{f_1^{t_1}\cdots f_n^{t_n}}\right]$$

$$m\in M$$ और $$t_1,\ldots,t_n\geq 1$$ के लिए यह अंश $$H^n_I(M)$$ के एक गैर-शून्य तत्व से मेल खाता है यदि और केवल यदि कोई $$k\geq 0$$ नहीं है जैसे कि $$(f_1\cdots f_t)^k m \in (f_1^{t_1+k},\ldots,f_t^{t_n+k})M$$ उदाहरण के लिए यदि $$t_i=1$$ तो
 * $$f_i\cdot \left[\frac{m}{f_1^{t_1}\cdots f_i\cdots f_n^{t_n}}\right]=0.$$


 * अगर $$K$$ एक फ़ील्ड (गणित) है और $$R=K[x_1,\ldots,x_n]$$ ऊपर एक बहुपद वलय है $$K$$ में $$n$$ चर, फिर स्थानीय कोहोमोलॉजी मॉड्यूल $$H^n_{(x_1,\ldots,x_n)}(K[x_1,\ldots,x_n])$$ इसे एक सदिश समष्टि के रूप में माना जा सकता है $$K$$ व्युत्क्रम एकपदी (सेच कोहोमोलॉजी कक्षाओं) द्वारा दिए गए आधार के साथ $$\left[x_1^{-t_1}\cdots x_n^{-t_n}\right]$$ के लिए $$t_1,\ldots,t_n\geq 1$$. एक के रूप में $$R$$-मॉड्यूल, से गुणा $$x_i$$ कम हो $$t_i$$ 1 द्वारा, शर्त के अधीन $$x_i\cdot \left[x_1^{-t_1}\cdots x_i^{-1}\cdots x_n^{-t_n}\right]=0.$$ क्योंकि शक्तियां $$t_i$$ के तत्वों से गुणा करके नहीं बढ़ाया जा सकता $$R$$, मॉड्यूल $$H^n_{(x_1,\ldots,x_n)}(K[x_1,\ldots,x_n])$$ अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल नहीं है।

एच के उदाहरण1
अगर $$H^0(U,\tilde R)$$ ज्ञात है (कहां $$U=\operatorname{Spec}(R)-V(I)$$), मॉड्यूल $$H^1_I(R)$$ कभी-कभी अनुक्रम का उपयोग करके स्पष्ट रूप से गणना की जा सकती है


 * $$0 \to H_I^0(R) \to R \to H^0(U, \tilde R) \to H^1_I(R) \to 0.$$

निम्नलिखित उदाहरणों में, $$K$$ क्या कोई फ़ील्ड (गणित) है?


 * अगर $$R=K[X,Y^2,XY,Y^3]$$ और $$I=(X,Y^2)R$$, तब $$H^0(U,\tilde R)=K[X,Y]$$ और एक सदिश समष्टि के रूप में $$K$$, पहला स्थानीय कोहोमोलॉजी मॉड्यूल $$H^1_I(R)$$ है $$K[X,Y]/K[X,Y^2,XY,Y^3]$$, एक 1-आयामी $$K$$ वेक्टर स्पेस द्वारा उत्पन्न $$Y$$.
 * अगर $$R=K[X,Y]/(X^2,XY)$$ और $$\mathfrak{m}=(X,Y)R$$, तब $$\Gamma_{\mathfrak{m}}(R)=xR$$ और $$H^0(U,\tilde R)=K[Y,Y^{-1}]$$, इसलिए $$H^1_{\mathfrak{m}}(R)=K[Y,Y^{-1}]/K[Y]$$ अनंत-आयामी है $$K$$ आधार के साथ सदिश स्थान $$Y^{-1},Y^{-2},Y^{-3},\ldots$$

मॉड्यूल के अपरिवर्तनीयों से संबंध
एक मॉड्यूल का आयाम dimR(M) (इसके समर्थन के क्रुल आयाम के रूप में परिभाषित) स्थानीय कोहोमोलॉजी मॉड्यूल के लिए एक ऊपरी सीमा प्रदान करता है
 * $$H_I^n(M) = 0 \text{ for all }n>\dim_R(M).$$

यदि R स्थानीय रिंग है और M परिमित रूप से उत्पन्न होता है तो यह सीमा तीव्र है अर्थात $$H^n_\mathfrak{m}(M) \ne 0$$

गहराई (नियमित एम-अनुक्रम की अधिकतम लंबाई के रूप में परिभाषित; जिसे एम के ग्रेड के रूप में भी जाना जाता है) एक तीव्र निचली सीमा प्रदान करती है, अर्थात, यह सबसे छोटा पूर्णांक n है जैसे कि
 * $$H^n_I(M) \ne 0.$$

ये दो सीमाएँ मिलकर स्थानीय रिंगों पर कोहेन-मैकाले मॉड्यूल का एक लक्षण वर्णन उत्पन्न करती हैं: वे सटीक रूप से वे मॉड्यूल हैं जहाँ $$H^n_\mathfrak{m}(M)$$ एक n को छोड़कर सभी के लिए गायब हो जाता है।

स्थानीय द्वंद्व
स्थानीय द्वैत प्रमेय सेरे द्वैत का एक स्थानीय एनालॉग है। आयाम $$d$$ के कोहेन-मैकाले स्थानीय रिंग $$R$$ के लिए, जो गोरेन्स्टीन स्थानीय रिंग की एक समरूप छवि है (उदाहरण के लिए यदि $$R$$ पूर्ण है तो यह बताता है कि प्राकृतिक युग्मन है।


 * $$H^n_\mathfrak m(M) \times \operatorname{Ext}_R^{d-n}(M, \omega_R) \to H^d_\mathfrak m(\omega_R)$$

एक आदर्श युग्मन है, जहां $$\omega_R$$ के लिए एक दोहरीकरण मॉड्यूल $$R$$ है। मैटलिस द्वैत फ़ैक्टर $$D(-)$$ के संदर्भ में, स्थानीय द्वैत प्रमेय को निम्नलिखित समरूपता के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
 * $$H^n_\mathfrak m(M) \cong D(\operatorname{Ext}_R^{d-n}(M,\omega_R))$$

कथन तब सरल होता है जब $$\omega_R \cong R$$, जो इस परिकल्पना के समतुल्य है कि $$R$$ गोरेन्स्टीन है। यह मामला है, उदाहरण के लिए यदि $$R$$ नियमित है।

अनुप्रयोग
प्रारंभिक अनुप्रयोग लेफ्शेट्ज़ हाइपरप्लेन प्रमेयों के एनालॉग्स के लिए थे। सामान्य तौर पर ऐसे प्रमेय बताते हैं कि कुछ 'नुकसान' को छोड़कर, जिसे नियंत्रित किया जा सकता है, बीजगणितीय विविधता के हाइपरप्लेन अनुभाग पर होमोलॉजी या कोहोलॉजी का समर्थन किया जाता है। ये परिणाम बीजगणितीय मौलिक समूह और पिकार्ड समूह पर लागू होते हैं।

एक अन्य प्रकार के अनुप्रयोग कनेक्टिविटी प्रमेय हैं जैसे ग्रोथेंडिक की कनेक्टिविटी प्रमेय (बर्टिनी प्रमेय का एक स्थानीय एनालॉग) या और  के कारण फुल्टन-हैनसेन कनेक्टिविटी प्रमेय। उत्तरार्द्ध का दावा है कि बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर पीआर में दो प्रक्षेप्य किस्मों वी और डब्ल्यू के लिए, जेड = वी ∩ डब्ल्यू का कनेक्टिविटी आयाम (यानी, जेड के एक बंद उपसमुच्चय टी का न्यूनतम आयाम जिसे जेड से हटाया जाना है) पूरक Z\T विच्छेदित है) से बंधा हुआ है
 * c(Z) ≥ dim V + dim W - r - 1.

उदाहरण के लिए यदि dim V + dim W > r है तो Z जुड़ा हुआ है।

पॉलीहेड्रल ज्यामिति में, स्टैनली के 1975 के मैकमुलेन के ऊपरी बाउंड प्रमेय के सरल रूप के प्रमाण के एक प्रमुख घटक में यह दिखाना शामिल है कि संबंधित सरल परिसर की स्टेनली-रीस्नर रिं कोहेन-मैकॉले है, और होचस्टर के सूत्र के माध्यम से इस गणना में स्थानीय कोहोमोलॉजी एक महत्वपूर्ण उपकरण है।.

यह भी देखें

 * स्थानीय समरूपता - किसी स्थान के शंकु के टोपोलॉजिकल एनालॉग और स्थानीय समरूपता की गणना देता है
 * फाल्टिंग्स का विनाशक प्रमेय

परिचयात्मक संदर्भ

 * हुनेके, क्रेग; टेलर, अमेलिया, स्थानीय कोहोमोलॉजी पर व्याख्यान

संदर्भ

 * Book review by Hartshorne