चतुर्भुज और स्थानिक घूर्णन

इकाई वेक्टर चतुर्भुज, जिसे वर्सर के रूप में जाना जाता है, स्थानिक अभिविन्यास (ज्यामिति) और तीन आयामी अंतरिक्ष में तत्वों के घूर्णन का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक सुविधाजनक गणित संकेतन प्रदान करता है। विशेष रूप से, वे एक मनमाना अक्ष के बारे में अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व | अक्ष-कोण  ROTATION  के बारे में जानकारी को एन्कोड करते हैं। रोटेशन और ओरिएंटेशन चार का समुदाय का  कंप्यूटर चित्रलेख  में अनुप्रयोग होता है, कंप्यूटर दृष्टि, रोबोटिक्स,  मार्गदर्शन, आणविक गतिशीलता, उड़ान गतिशीलता, उपग्रहों की कक्षीय यांत्रिकी, और बनावट (क्रिस्टलीय) विश्लेषण। जब रोटेशन का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है, तो इकाई चतुर्भुज को रोटेशन चतुर्भुज भी कहा जाता है क्योंकि वे 3 डी रोटेशन समूह का प्रतिनिधित्व करते हैं। जब एक ओरिएंटेशन (ज्यामिति) (एक संदर्भ समन्वय प्रणाली के सापेक्ष घूर्णन) का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है, तो उन्हें ओरिएंटेशन चतुर्भुज या रवैया चतुर्भुज कहा जाता है। के एक निश्चित बिंदु के चारों ओर एक स्थानिक घूर्णन $$\theta$$ एक इकाई अक्ष के बारे में रेडियन $$(X,Y,Z)$$ यह दर्शाता है कि यूलर अक्ष चतुर्भुज द्वारा दिया गया है $$(C, X \, S, Y \, S, Z \, S)$$, कहाँ $$C = \cos(\theta/2)$$ और $$S=\sin(\theta/2)$$.

रोटेशन मैट्रिक्स की तुलना में, चतुर्भुज अधिक कॉम्पैक्ट, कुशल और संख्यात्मक रूप से स्थिर हैं। यूलर कोणों की तुलना में, उनकी कार्य संरचना सरल होती है। हालाँकि, वे उतने सहज और समझने में आसान नहीं हैं और, उन लोगों के  और कोसाइन के आवधिक कार्य के कारण, प्राकृतिक अवधि से सटीक रूप से भिन्न घूर्णन कोणों को समान चतुर्भुज में एन्कोड किया जाएगा और  कांति  में पुनर्प्राप्त कोण सीमित होंगे $$[0,2\pi]$$.

चतुष्कोणों को घूर्णन के रूप में उपयोग करना
3-आयामी अंतरिक्ष में, यूलर के घूर्णन प्रमेय के अनुसार, एक निश्चित बिंदु के बारे में एक कठोर शरीर या समन्वय प्रणाली के घूर्णन का कोई भी घूर्णन या अनुक्रम किसी दिए गए कोण द्वारा एकल घूर्णन के बराबर होता है $$\theta$$ एक निश्चित अक्ष (जिसे यूलर अक्ष कहा जाता है) के बारे में जो निश्चित बिंदु से होकर गुजरती है। यूलर अक्ष को आम तौर पर एक इकाई वेक्टर द्वारा दर्शाया जाता है$$\vec{u}$$ ($$\hat{e}$$ चित्र में)। इसलिए, तीन आयामों में किसी भी घूर्णन को एक वेक्टर (गणित और भौतिकी) के माध्यम से दर्शाया जा सकता है$$\vec{u}$$ और एक कोण $$\theta$$.

क्वाटरनियंस इसे एन्कोड करने का एक सरल तरीका देते हैं चार वास्तविक संख्याओं का उपयोग करके अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व, और किसी स्थिति (वेक्टर) पर संबंधित घुमाव को लागू करने (गणना करने) के लिए उपयोग किया जा सकता है $(x,y,z)$, वास्तविक समन्वय स्थान में मूल (गणित) के सापेक्ष एक बिंदु (ज्यामिति) का प्रतिनिधित्व करता है|आर3.

यूक्लिडियन वेक्टर जैसे $(2, 3, 4)$ या $(a_{x}, a_{y}, a_{z})$ के रूप में पुनः लिखा जा सकता है $2 i + 3 j + 4 k$ या $a_{x} i + a_{y} j + a_{z} k$, कहाँ $i$, $j$, $k$ तीन कार्टेशियन समन्वय प्रणाली (पारंपरिक रूप से) का प्रतिनिधित्व करने वाले इकाई वैक्टर हैं $x$, $y$, $z$), और यूक्लिडियन वेक्टर की व्याख्या करके मौलिक चतुर्धातुक इकाइयों के गुणन नियमों का भी पालन करें $(a_{x}, a_{y}, a_{z})$ शुद्ध चतुर्भुज के सदिश भाग के रूप में $(0, a_{x}, a_{y}, a_{z})$.

कोण का एक घूर्णन $$\theta$$ यूनिट वेक्टर द्वारा परिभाषित अक्ष के चारों ओर
 * $$\vec{u} = (u_x, u_y, u_z) = u_x\mathbf{i} + u_y\mathbf{j} + u_z\mathbf{k}$$

एक इकाई चतुर्भुज द्वारा संयुग्मन द्वारा दर्शाया जा सकता है $q$. चतुर्धातुक उत्पाद के बाद से $$\ (0 + u_x\mathbf{i} + u_y\mathbf{j} + u_z\mathbf{k})(0 + u_x\mathbf{i} + u_y\mathbf{j} + u_z\mathbf{k})$$ -1 देता है, घातीय फ़ंक्शन की टेलर श्रृंखला का उपयोग करके, यूलर के सूत्र के पॉल के मैट्रिक्स का परिणाम होता है:


 * $$ \mathbf{q} = e^{\frac{\theta}{2}{(u_x\mathbf{i} + u_y\mathbf{j} + u_z\mathbf{k})}} = \cos \frac{\theta}{2} + (u_x\mathbf{i} + u_y\mathbf{j} + u_z\mathbf{k}) \sin \frac{\theta}{2} = \cos \frac{\theta}{2} + \mathbf u \sin \frac{\theta}{2} $$

इसे दिखाया जा सकता है वांछित घुमाव को एक साधारण वेक्टर पर लागू किया जा सकता है $$\mathbf{p} = (p_x, p_y, p_z) = p_x\mathbf{i} + p_y\mathbf{j} + p_z\mathbf{k}$$ त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, शुद्ध चतुर्भुज का सदिश भाग माना जाता है $$\mathbf{p'}$$, के Conjugate_element_(field_theory) का मूल्यांकन करके$p′$ द्वारा$q$, द्वारा दिए गए:
 * $$L(\mathbf{p'}) := \mathbf{q} \mathbf{p'} \mathbf{q}^{-1} = (0, \mathbf r),$$

$$\mathbf r = (\cos^2\frac{\theta}{2}-||\mathbf u||^2)\mathbf p + 2 (\mathbf u . \mathbf p)\mathbf u + 2\cos\frac{\theta}{2}(\mathbf u \times \mathbf p), $$ हैमिल्टन उत्पाद का उपयोग करते हुए, जहां शुद्ध चतुर्भुज का वेक्टर भाग है $L(p′) = (0, r_{x}, r_{y}, r_{z})$ घूर्णन के बाद बिंदु का नया स्थिति वेक्टर है। एक प्रोग्रामेटिक कार्यान्वयन में, संयुग्मन एक शुद्ध चतुर्भुज का निर्माण करके प्राप्त किया जाता है जिसका वेक्टर भाग होता है $p$, और फिर चतुर्भुज संयुग्मन का प्रदर्शन करना। परिणामी शुद्ध चतुर्भुज का सदिश भाग वांछित सदिश है $r$. स्पष्ट रूप से, $$L$$ चतुर्भुज स्थान का स्वयं में एक रैखिक परिवर्तन प्रदान करता है; भी, तब से $$\mathbf q $$ एकात्मक है, परिवर्तन एक आइसोमेट्री है। भी, $$L(\mathbf q) = \mathbf q $$ इसलिए $$L$$ सदिशों को समानांतर छोड़ता है $$\mathbf q$$ अपरिवर्तनीय. तो, विघटित करके $$\mathbf p $$ वेक्टर भाग के समानांतर एक वेक्टर के रूप में $$(u_x, u_y, u_z)\sin \frac{\theta}{2}$$ का $$\mathbf q $$ और के सदिश भाग के लिए सामान्य एक सदिश $$\mathbf q $$ और दिखा रहा है कि इसका अनुप्रयोग $$L$$ के सामान्य घटक के लिए $$\mathbf p$$ घुमाता है तो दावा दिखता है. तो चलो $$\mathbf n$$ का घटक हो $$\mathbf p$$ के सदिश भाग के लिए ओर्थोगोनल $$\mathbf q$$ और जाने $$\mathbf n_T = \mathbf n \times \mathbf u $$. यह पता चला है कि का वेक्टर भाग $$L(0, \mathbf n)$$ द्वारा दिया गया है $$(\cos^2\frac{\theta}{2} -\sin^2\frac{\theta}{2})\mathbf n + 2(\cos^2\frac{\theta}{2}\sin^2\frac{\theta}{2})\mathbf n_T $$ $$ = \cos\theta \mathbf n + \sin\theta \mathbf n_T$$.

चतुष्कोणों से स्वतंत्र एक ज्यामितीय तथ्य भौतिक घूर्णन से घूर्णी परिवर्तन मैट्रिक्स तक दो-से-एक मानचित्रण का अस्तित्व है। यदि 0 ⩽ $$\theta$$ ⩽ $$2\pi$$, चारों ओर एक भौतिक घूर्णन $$\vec{u}$$ द्वारा $$\theta$$ और चारों ओर एक भौतिक घूर्णन $$-\vec{u}$$ द्वारा $$2\pi-\theta$$ दोनों मध्यवर्ती अभिविन्यासों के माध्यम से असंयुक्त पथों द्वारा समान अंतिम अभिविन्यास प्राप्त करते हैं। उन सदिशों और कोणों को सूत्र में सम्मिलित करके $q$ ऊपर, कोई पाता है कि यदि $q$ पहले घूर्णन का प्रतिनिधित्व करता है, $-q$ दूसरे घूर्णन का प्रतिनिधित्व करता है। यह एक ज्यामितीय प्रमाण है कि संयुग्मन द्वारा $q$ और तक $−q$ को समान घूर्णी परिवर्तन मैट्रिक्स का उत्पादन करना चाहिए। इस तथ्य की पुष्टि बीजगणितीय रूप से यह ध्यान देकर की जाती है कि संयुग्मन द्विघात है $q$, तो का संकेत $q$ रद्द करता है, और परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। (3डी रोटेशन ग्रुप#कनेक्शन_बिटवीन_एसओ(3)_एंड_एसयू(2)|2:1 एसयू(2) से एसओ(3) की मैपिंग देखें) यदि दोनों रोटेशन आधे-मोड़ हैं $$(\theta=\pi)$$, दोनों $q$ और $-q$ का वास्तविक निर्देशांक शून्य के बराबर होगा। अन्यथा, किसी के पास एक सकारात्मक वास्तविक भाग होगा, जो एक कोण से कम कोण द्वारा घूर्णन का प्रतिनिधित्व करेगा $$\pi$$, और दूसरे में एक नकारात्मक वास्तविक भाग होगा, जो इससे बड़े कोण द्वारा घूर्णन का प्रतिनिधित्व करेगा $$\pi$$.

गणितीय रूप से, यह ऑपरेशन सभी शुद्ध चतुर्भुजों के सेट को वहन करता है $p$ (जिनका वास्तविक भाग शून्य के बराबर है) - जो चतुर्भुजों के बीच एक 3-आयामी स्थान का निर्माण करते हैं - अक्ष यू के बारे में वांछित घुमाव द्वारा, कोण θ द्वारा। (प्रत्येक वास्तविक चतुर्भुज को इस ऑपरेशन द्वारा स्वयं में ले जाया जाता है। लेकिन 3-आयामी अंतरिक्ष में घूर्णन के उद्देश्य से, हम वास्तविक चतुर्भुजों को अनदेखा करते हैं।)

यदि हमारी दृष्टि रेखा उसी दिशा में इंगित करती है तो घूर्णन दक्षिणावर्त होता है $$\vec{u}$$.

इस (कौन सा?) उदाहरण में, $q$ एक इकाई चतुर्भुज है और
 * $$ \mathbf{q}^{-1} = e^{-\frac{\theta}{2}{(u_x\mathbf{i} + u_y\mathbf{j} + u_z\mathbf{k})}} = \cos \frac{\theta}{2} - (u_x\mathbf{i} + u_y\mathbf{j} + u_z\mathbf{k}) \sin \frac{\theta}{2} .$$

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि दो चतुर्भुजों के गुणनफल द्वारा संयुग्मन इन चतुर्भुजों द्वारा संयुग्मनों की संरचना है: यदि $p$ और $q$ इकाई चतुर्भुज हैं, फिर घूर्णन (संयुग्मन) द्वारा$pq$ है
 * $$\mathbf{p q} \vec{v} (\mathbf{p q})^{-1} = \mathbf{p q} \vec{v} \mathbf{q}^{-1} \mathbf{p}^{-1} = \mathbf{p} (\mathbf{q} \vec{v} \mathbf{q}^{-1}) \mathbf{p}^{-1}$$,

जो कि घूमने (संयुग्मित करने) के समान है$q$ और फिर द्वारा$p$. परिणाम का अदिश घटक आवश्यक रूप से शून्य है।

चूँकि, किसी घूर्णन का चतुर्भुज व्युत्क्रम, विपरीत घूर्णन है $$\mathbf{q}^{-1} (\mathbf{q} \vec{v} \mathbf{q}^{-1}) \mathbf{q} = \vec{v}$$. चतुर्धातुक घूर्णन का वर्ग एक ही अक्ष के चारों ओर दोगुने कोण का घूर्णन है। आम तौर पर अधिक $q^{n}$ द्वारा एक घूर्णन है$n$ समान अक्ष के चारों ओर के कोण का गुना $q$. इसे मनमाने वास्तविक तक बढ़ाया जा सकता है $n$, स्थानिक झुकावों के बीच सहज अंतर्वेशन की अनुमति देता है; स्लर्प देखें.

दो घूर्णन चतुर्भुजों को संबंध द्वारा एक समकक्ष चतुर्भुज में जोड़ा जा सकता है:


 * $$\mathbf{q}' = \mathbf{q}_2 \mathbf{q}_1 $$

जिसमें $q′$ घूर्णन से मेल खाता है $q_{1}$ रोटेशन के बाद $q_{2}$. इस प्रकार, घुमावों की एक मनमानी संख्या को एक साथ बनाया जा सकता है और फिर एकल घुमाव के रूप में लागू किया जा सकता है। (ध्यान दें कि चतुर्भुज गुणन क्रमविनिमेय नहीं है।)

उदाहरण संयुग्मन संक्रिया
संयुग्मन $i$ द्वारा $j$ ऑपरेशन को संदर्भित करता है $k$.

रोटेशन पर विचार करें $f$ अक्ष के चारों ओर $$\vec{v} = \mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}$$, 120° के घूर्णन कोण के साथ, या $2\pi⁄3$ रेडियंस.
 * $$\alpha = \frac{2 \pi}{3}$$

इसकी लंबाई $$\vec{v}$$ है √3, आधा कोण है $π⁄3$ (60°) कोज्या  के साथ $1⁄2$, ($p$) और साइन $√3⁄2$, ($q$). इसलिए हम इकाई चतुर्भुज द्वारा संयुग्मन से निपट रहे हैं


 * $$\begin{align}

u &= \cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2}\cdot \frac{1}{\| \vec{v} \| }\vec{v}\\ &= \cos \frac{\pi}{3} + \sin \frac{\pi}{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\vec{v}\\ &= \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\vec{v}\\ &= \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}}{\sqrt{3}}\\ &= \frac{1 + \mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}}{2} \end{align}$$ अगर $f$ रोटेशन फ़ंक्शन है,
 * $$f(a\mathbf{i} + b\mathbf{j} + c\mathbf{k}) = u (a\mathbf{i} + b\mathbf{j} + c\mathbf{k}) u^{-1}$$

यह सिद्ध किया जा सकता है कि एक इकाई चतुर्भुज का व्युत्क्रम केवल उसके काल्पनिक घटकों के योगात्मक व्युत्क्रम द्वारा प्राप्त किया जाता है। एक परिणाम के रूप में,
 * $$u^{-1} = \dfrac{1- \mathbf{i} - \mathbf{j} - \mathbf{k}}{2}$$

और
 * $$f(a\mathbf{i} + b\mathbf{j} + c\mathbf{k}) = \dfrac{1 + \mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}}{2}(a\mathbf{i} + b\mathbf{j} + c\mathbf{k}) \dfrac{1 - \mathbf{i} - \mathbf{j} - \mathbf{k}}{2}$$

चतुर्धातुक अंकगणित के सामान्य नियमों का उपयोग करके इसे सरल बनाया जा सकता है
 * $$f(a\mathbf{i} + b\mathbf{j} + c\mathbf{k}) = c\mathbf{i} + a\mathbf{j} + b\mathbf{k}$$

जैसा कि अपेक्षित था, घूर्णन एक घन को एक बिंदु पर स्थिर रखने और उसे निश्चित बिंदु के माध्यम से लंबे विकर्ण के बारे में 120° घुमाने से मेल खाता है (देखें कि तीन अक्ष चक्रीय क्रमपरिवर्तन कैसे हैं)।

चतुर्भुज-व्युत्पन्न रोटेशन मैट्रिक्स
एक चतुर्भुज घूर्णन $$\mathbf{p'} = \mathbf{q} \mathbf{p} \mathbf{q}^{-1}$$ (साथ $$\mathbf{q} = q_r + q_i \mathbf{i} + q_j \mathbf{j} + q_k \mathbf{k}$$) को रोटेशन मैट्रिक्स#क्वाटरनियन में बीजगणितीय रूप से हेरफेर किया जा सकता है $$\mathbf{p'} = \mathbf{R p}$$, कहाँ $$\mathbf{R}$$ रोटेशन मैट्रिक्स द्वारा दिया गया है:
 * $$\mathbf{R} = \begin{bmatrix}

1 - 2s (q_j^2 + q_k^2) & 2s (q_i q_j - q_k q_r) & 2s (q_i q_k + q_j q_r) \\ 2s (q_i q_j + q_k q_r) & 1 - 2s (q_i^2 + q_k^2) & 2s (q_j q_k - q_i q_r) \\ 2s (q_i q_k - q_j q_r) & 2s (q_j q_k + q_i q_r) & 1 - 2s (q_i^2 + q_j^2) \end{bmatrix} $$ यहाँ $$s = \|q\|^{-2}$$ और अगर $q$ एक इकाई चतुर्भुज है, $$s = 1^{-2} = 1$$.

यदि हम व्यक्त करें तो इसे वेक्टर कैलकुलस और रैखिक बीजगणित का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है $$\mathbf p$$ और $$\mathbf q$$ क्वाटरनियन#स्केलर और वेक्टर भागों के रूप में और समीकरण में गुणन संक्रिया के लिए सूत्र का उपयोग करें $$\mathbf{p'} = \mathbf{q} \mathbf{p} \mathbf{q}^{-1}$$. अगर हम लिखते हैं $$\mathbf p$$ जैसा $$\left(0,\ \mathbf p\right)$$, $$\mathbf p'$$ जैसा $$\left(0,\ \mathbf p'\right)$$ और $$\mathbf q$$ जैसा $$\left(q_r,\ \mathbf v\right)$$, कहाँ $$\mathbf v = \left(q_i, q_j, q_k\right)$$, हमारा समीकरण बदल जाता है $$\left(0,\ \mathbf p'\right) = \left(q_r,\ \mathbf v\right) \left(0,\ \mathbf p\right) s\left(q_r,\ -\mathbf v\right)$$. दो चतुर्भुजों के गुणन के लिए सूत्र का उपयोग करके, जिन्हें अदिश और सदिश भागों के रूप में व्यक्त किया जाता है,


 * $$\left(r_1,\ \vec{v}_1\right) \left(r_2,\ \vec{v}_2\right) = \left(r_1 r_2 - \vec{v}_1\cdot\vec{v}_2,\ r_1\vec{v}_2 + r_2\vec{v}_1 + \vec{v}_1\times\vec{v}_2\right),$$

इस समीकरण को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है


 * $$\begin{align}

(0,\ \mathbf p') = &((q_r,\ \mathbf v) (0,\ \mathbf p)) s(q_r,\ -\mathbf v) \\ = &(q_r 0 - \mathbf v \cdot \mathbf p,\ q_r\mathbf p + 0\mathbf v + \mathbf v \times \mathbf p)s(q_r,\ -\mathbf v) \\ = &s(-\mathbf v \cdot \mathbf p,\ q_r\mathbf p + \mathbf v \times \mathbf p)(q_r,\ -\mathbf v) \\ = &s(-\mathbf v \cdot \mathbf p q_r - (q_r\mathbf p + \mathbf v \times \mathbf p)\cdot(-\mathbf v),\ (-\mathbf v \cdot \mathbf p)(-\mathbf v) + q_r(q_r\mathbf p + \mathbf v \times \mathbf p) + (q_r\mathbf p + \mathbf v \times \mathbf p)\times(-\mathbf v)) \\ = &s\left(-\mathbf v \cdot \mathbf p q_r + q_r\mathbf v \cdot \mathbf p,\ \mathbf v\left(\mathbf v \cdot \mathbf p\right) + q_r^2\mathbf p + q_r\mathbf v \times \mathbf p + \mathbf v \times \left(q_r \mathbf p + \mathbf v \times \mathbf p\right)\right) \\ = &\left(0,\ s\left(\mathbf v \otimes \mathbf v + q_r^2\mathbf{I} + 2 q_r[\mathbf v]_{\times} + [\mathbf v]_{\times}^2\right) \mathbf p\right), \end{align}$$ कहाँ $$\otimes$$ बाहरी उत्पाद को दर्शाता है, $$\mathbf{I}$$ पहचान मैट्रिक्स है और $$[\mathbf v]_{\times}$$ परिवर्तन मैट्रिक्स है कि जब एक वेक्टर के साथ दाईं ओर से गुणा किया जाता है $$\mathbf u$$ क्रॉस उत्पाद#मैट्रिक्स गुणन में रूपांतरण देता है $$\mathbf v \times \mathbf u$$.

तब से $$\mathbf p' = \mathbf{R}\mathbf p$$, हम पहचान सकते हैं $$\mathbf{R}$$ जैसा $$s\left(\mathbf v \otimes \mathbf v + q_r^2\mathbf{I} + 2 q_r[\mathbf v]_{\times} + [\mathbf v]_{\times}^2\right)$$, जिसके विस्तार पर उपरोक्त मैट्रिक्स रूप में लिखी गई अभिव्यक्ति का परिणाम होना चाहिए।

अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व पुनर्प्राप्त करना
इजहार $$\mathbf{q} \mathbf{p} \mathbf{q}^{-1}$$ किसी भी सदिश चतुर्भुज को घुमाता है $$\mathbf{p}$$ वेक्टर द्वारा दी गई धुरी के चारों ओर $$\mathbf{a}$$ कोण से $$\theta$$, कहाँ $$\mathbf{a}$$ और $$\theta$$ चतुर्भुज पर निर्भर करता है $$\mathbf{q} = q_r + q_i \mathbf{i} + q_j \mathbf{j} + q_k \mathbf{k}$$.

$$\mathbf{a}$$ और $$\theta$$ निम्नलिखित समीकरणों से पाया जा सकता है:


 * $$\begin{align}

(a_x, a_y, a_z) ={} &\frac{(q_i, q_j, q_k)}{\sqrt{q_i^2 + q_j^2 + q_k^2}} \\[2pt] \theta = 2 \operatorname{atan2} &\left(\sqrt{q_i^2 + q_j^2 + q_k^2},\, q_r \right), \end{align}$$ कहाँ $$\operatorname{atan2}$$ atan2|दो-तर्क स्पर्शरेखा है।

जब चतुर्भुज एक अदिश चतुर्भुज के पास पहुंचता है तो सावधानी बरतनी चाहिए, क्योंकि अध:पतन (गणित) के कारण पहचान रोटेशन की धुरी अच्छी तरह से परिभाषित नहीं होती है।

स्थानिक घुमावों की संरचना
दो घूर्णन आर की संरचना के चतुर्भुज सूत्रीकरण का एक लाभB और आरA बात यह है कि यह सीधे घूर्णन की धुरी और समग्र घूर्णन के कोण R को प्राप्त करता हैC = आरBRA.

मान लीजिए कि स्थानिक घूर्णन आर से जुड़े चतुर्भुज का निर्माण इसके घूर्णन अक्ष 'एस' से घूर्णन कोण के साथ किया गया है $$\varphi$$ इस धुरी के चारों ओर. संबंधित चतुर्भुज द्वारा दिया गया है $$ S = \cos\frac{\varphi}{2} + \mathbf{S}\sin\frac{\varphi}{2}. $$ फिर घूर्णन की संरचना आरB आर के साथA घूर्णन R हैC = आरBRA चतुष्कोणों के गुणनफल द्वारा परिभाषित घूर्णन अक्ष और कोण के साथ $$ A = \cos\frac{\alpha}{2} + \mathbf{A}\sin\frac{\alpha}{2} \quad \text{and} \quad B = \cos\frac{\beta}{2} + \mathbf{B}\sin\frac{\beta}{2}, $$ वह है $$ C = \cos\frac{\gamma}{2} + \mathbf{C}\sin\frac{\gamma}{2} = \left(\cos\frac{\beta}{2} + \mathbf{B} \sin\frac{\beta}{2}\right) \left(\cos\frac{\alpha}{2} + \mathbf{A}\sin\frac{\alpha}{2}\right). $$ प्राप्त करने के लिए इस उत्पाद का विस्तार करें $$ \cos\frac{\gamma}{2} + \mathbf{C}\sin\frac{\gamma}{2} = \left(    \cos\frac{\beta}{2} \cos\frac{\alpha}{2} -    \mathbf{B} \cdot \mathbf{A} \sin\frac{\beta}{2} \sin\frac{\alpha}{2}\right) + \left(\mathbf{B} \sin\frac{\beta}{2} \cos\frac{\alpha}{2} +   \mathbf{A} \sin\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\beta}{2} +    \mathbf{B} \times \mathbf{A} \sin\frac{\beta}{2} \sin\frac{\alpha}{2}  \right). $$ इस समीकरण के दोनों पक्षों को पहचान से विभाजित करें, जो कोसाइन का गोलाकार नियम है, $$\cos\frac{\gamma}{2} = \cos\frac{\beta}{2} \cos\frac{\alpha}{2} - \mathbf{B} \cdot \mathbf{A} \sin\frac{\beta}{2} \sin\frac{\alpha}{2},$$ और गणना करें $$ \mathbf{C} \tan\frac{\gamma}{2} = \frac{ \mathbf{B} \tan\frac{\beta}{2} + \mathbf{A} \tan\frac{\alpha}{2} + \mathbf{B} \times \mathbf{A} \tan\frac{\beta}{2}\tan\frac{\alpha}{2} }{1 - \mathbf{B} \cdot \mathbf{A} \tan\frac{\beta}{2}\tan\frac{\alpha}{2}}. $$ यह दो घूर्णनों की अक्षों के संदर्भ में परिभाषित मिश्रित घूर्णन की धुरी के लिए रोड्रिग्स का सूत्र है। उन्होंने यह सूत्र 1840 में निकाला (देखें पृष्ठ 408)। तीन घूर्णन अक्ष A, B, और C एक गोलाकार त्रिभुज बनाते हैं और इस त्रिभुज की भुजाओं द्वारा निर्मित तलों के बीच के विकर्ण कोणों को घूर्णन कोणों द्वारा परिभाषित किया जाता है। हैमिल्टन इन समीकरणों के घटक रूप को प्रस्तुत करते हुए दिखाया गया है कि चतुर्धातुक उत्पाद दो दिए गए शीर्षों और उनकी संबंधित चाप-लंबाई से एक गोलाकार त्रिभुज के तीसरे शीर्ष की गणना करता है, जो अण्डाकार ज्यामिति में बिंदुओं के लिए बीजगणित को भी परिभाषित करता है।

अक्ष-कोण रचना
सामान्यीकृत घूर्णन अक्ष, को हटाते हुए $\cos\frac{\gamma}{2}$ विस्तारित उत्पाद से, वेक्टर निकलता है जो घूर्णन अक्ष है, कुछ स्थिरांक का समय। जब अक्ष वेक्टर को सामान्य किया जाए तो सावधानी बरतनी चाहिए $$\gamma$$ है $$0$$ या $$k 2\pi$$ जहां वेक्टर निकट है $$0$$; जो कि पहचान है, या किसी अक्ष के चारों ओर 0 घूर्णन है।

$$\begin{align} \gamma &= 2\cos^{-1}\left(\cos\frac{\beta}{2} \cos\frac{\alpha}{2} - \mathbf{B} \cdot \mathbf{A} \sin\frac{\beta}{2} \sin\frac{\alpha}{2}\right) \\ \mathbf{D} &= \mathbf{B} \sin\frac{\beta}{2} \cos\frac{\alpha}{2} + \mathbf{A} \sin\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\beta}{2} + \mathbf{B} \times \mathbf{A} \sin\frac{\beta}{2} \sin\frac{\alpha}{2} \end{align}$$ या कोण जोड़ त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन के साथ... $$\begin{align} \gamma &= 2 \cos^{-1} \left(\left(1 - \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}\right) \cos\frac{\beta - \alpha}{2} + \left(1 + \mathbf{A}\cdot \mathbf{B}\right) \cos\frac{\beta + \alpha}{2}\right) \\ \mathbf{D} &= \left(\sin\frac{\beta + \alpha}{2} + \sin\frac{\beta - \alpha}{2}\right) \mathbf{A} + \left(\sin\frac{\beta + \alpha}{2} - \sin\frac{\beta - \alpha}{2}\right) \mathbf{B} + \left(\cos\frac{\beta - \alpha}{2} - \cos\frac{\beta + \alpha}{2}\right) \mathbf{B} \times \mathbf{A} \end{align}$$ अंततः घूर्णन अक्ष को सामान्य बनाना: $\frac{\mathbf{D}}{2 \sin\frac{1}{2}\gamma}$ या $\frac{\mathbf{D}}{\|\mathbf{D}\|}$.

घूर्णन चतुर्भुज के संबंध में विभेदन
घुमाया हुआ चतुर्भुज $p ↦ qpq^{−1}$ को घूर्णन चतुर्भुज के संबंध में विभेदित करने की आवश्यकता है $p ↦ q p$, जब संख्यात्मक अनुकूलन से रोटेशन का अनुमान लगाया जाता है। 3डी ऑब्जेक्ट पंजीकरण या कैमरा अंशांकन में रोटेशन कोण का अनुमान एक आवश्यक प्रक्रिया है। एकात्मक के लिए $q = 1 + i + j + k⁄2$ और शुद्ध काल्पनिक $cos  60° = 0.5$, जो कि 3डी अंतरिक्ष में घूर्णन के लिए है, घुमाए गए चतुर्भुज के व्युत्पन्न को मैट्रिक्स कैलकुलस नोटेशन का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है
 * $$\begin{align}

\frac{\partial \mathbf{p'}}{\partial \mathbf{q}} \equiv \left[\frac{\partial \mathbf{p'}}{\partial q_0},\frac{\partial \mathbf{p'}}{\partial q_x},\frac{\partial \mathbf{p'}}{\partial q_y},\frac{\partial \mathbf{p'}}{\partial q_z}  \right] = \left[ \mathbf{pq}-(\mathbf{pq})^*,(\mathbf{pqi})^*-\mathbf{pqi},(\mathbf{pqj})^*-\mathbf{pqj},(\mathbf{pqk})^*-\mathbf{pqk} \right]. \end{align}$$ में एक व्युत्पत्ति पाई जा सकती है।

चतुर्भुज
जटिल संख्याओं को एक अमूर्त प्रतीक प्रस्तुत करके परिभाषित किया जा सकता है $sin  60° ≈ 0.866$ जो बीजगणित के सामान्य नियमों और अतिरिक्त नियम को संतुष्ट करता है $p' = q p q^{−1}$. यह सम्मिश्र संख्या अंकगणित के सभी नियमों को पुन: प्रस्तुत करने के लिए पर्याप्त है: उदाहरण के लिए:
 * $$(a+b\mathbf{i})(c+d\mathbf{i}) = ac + ad\mathbf{i} + b\mathbf{i}c + b\mathbf{i}d\mathbf{i} = ac + ad\mathbf{i} + bc\mathbf{i} + bd\mathbf{i}^2 = (ac - bd) + (bc + ad) \mathbf{i}.$$

उसी प्रकार चतुर्भुज को अमूर्त प्रतीकों का परिचय देकर परिभाषित किया जा सकता है $q$, $q$, $p$ जो नियमों को पूरा करते हैं $i$ और गुणन के क्रमविनिमेय नियम को छोड़कर सामान्य बीजगणितीय नियम (ऐसे गैरअनुक्रमिक गुणन का एक परिचित उदाहरण मैट्रिक्स गुणन है)। इससे चतुर्भुज अंकगणित के सभी नियम अनुसरण करते हैं, जैसे चतुर्भुज#आधार तत्वों का गुणन। इन नियमों का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि:
 * $$\begin{align}

&(a + b\mathbf{i} + c\mathbf{j} + d\mathbf{k}) (e + f\mathbf{i} + g\mathbf{j} + h\mathbf{k}) = \\ &(ae - bf - cg - dh) + (af + be + ch - dg) \mathbf{i} + (ag - bh + ce + df) \mathbf{j} + (ah + bg - cf + de) \mathbf{k}. \end{align}$$ काल्पनिक भाग $$b\mathbf{i} + c\mathbf{j} + d\mathbf{k}$$ एक चतुर्भुज का व्यवहार एक वेक्टर की तरह होता है $$\vec{v} = (b,c,d)$$ त्रि-आयामी सदिश स्थल और वास्तविक भाग में $a$ में एक अदिश (गणित) की तरह व्यवहार करता है $i^{2} = −1$. जब ज्यामिति में चतुर्भुज का उपयोग किया जाता है, तो उन्हें शास्त्रीय हैमिल्टनियन चतुर्भुज#क्वाटरनियन के रूप में परिभाषित करना अधिक सुविधाजनक होता है:


 * $$a + b\mathbf{i} + c\mathbf{j} + d\mathbf{k} = a + \vec{v}.$$

कुछ लोगों को एक वेक्टर में एक संख्या जोड़ना अजीब लग सकता है, क्योंकि वे बहुत अलग प्रकृति की वस्तुएं हैं, या दो वैक्टर को एक साथ गुणा करना, क्योंकि यह ऑपरेशन आमतौर पर अपरिभाषित होता है। हालाँकि, अगर कोई याद रखता है कि यह चतुर्भुज के वास्तविक और काल्पनिक भागों के लिए एक मात्र संकेतन है, तो यह अधिक वैध हो जाता है। दूसरे शब्दों में, सही तर्क दो चतुर्भुजों का योग है, एक शून्य वेक्टर/काल्पनिक भाग के साथ, और दूसरा शून्य अदिश/वास्तविक भाग के साथ:
 * $$q_1 = s + \vec{v} = \left(s, \vec{0}\right) + \left(0, \vec{v}\right).$$

हम चतुर्धातुक गुणन को वेक्टर क्रॉस उत्पाद और डॉट उत्पादों की आधुनिक भाषा में व्यक्त कर सकते हैं (जो वास्तव में पहले स्थान पर चतुर्भुज से प्रेरित थे) ). सदिश/काल्पनिक भागों को गुणा करते समय, नियमों के स्थान पर $i$ हमारे पास चतुर्भुज गुणन नियम है:
 * $$\vec{v} \vec{w} = - \vec{v} \cdot \vec{w} + \vec{v} \times \vec{w},$$

कहाँ:
 * $$\vec{v} \vec{w}$$ परिणामी चतुर्भुज है,
 * $$\vec{v} \times \vec{w}$$ वेक्टर क्रॉस उत्पाद (एक वेक्टर) है,
 * $$\vec{v} \cdot \vec{w}$$ सदिश अदिश गुणनफल (एक अदिश राशि) है।

क्वाटरनियन गुणन गैर-अनुवांशिक गुणन है (क्रॉस उत्पाद के कारण, जो प्रतिविनिमय गुण  | एंटी-कम्यूट होता है), जबकि स्केलर-स्केलर और स्केलर-वेक्टर गुणन कम्यूट होता है। इन नियमों से तुरंत यह पता चलता है कि (क्वाटरनियंस#क्वाटरनियंस और R3 की ज्यामिति):


 * $$q_1 q_2 = \left(s + \vec{v}\right) \left(t + \vec{w}\right) = \left(s t - \vec{v} \cdot \vec{w}\right) + \left(s \vec{w} + t \vec{v} + \vec{v} \times \vec{w}\right).$$

एक गैर-शून्य चतुर्भुज का (बाएं और दाएं) गुणात्मक व्युत्क्रम या व्युत्क्रम संयुग्म-से-मानक अनुपात (चतुर्भुज#संयुग्मन, मानक और व्युत्क्रम) द्वारा दिया जाता है:


 * $$q_1^{-1} = \left(s + \vec{v}\right)^{-1} = \frac{\left(s + \vec{v}\right)^*}{\lVert s + \vec{v} \rVert^2} = \frac{s - \vec{v}}{s^2 + \lVert \vec{v} \rVert^2},$$

जैसा कि प्रत्यक्ष गणना द्वारा सत्यापित किया जा सकता है (गुणात्मक व्युत्क्रम#जटिल संख्याओं की समानता पर ध्यान दें)।

रोटेशन पहचान
होने देना $$\vec{u}$$ एक इकाई वेक्टर (रोटेशन अक्ष) बनें और चलो $$q = \cos \frac{\alpha}{2} + \vec{u} \sin \frac{\alpha}{2}$$. हमारा लक्ष्य यह दिखाना है
 * $$\vec{v}' = q \vec{v} q^{-1} = \left( \cos \frac{\alpha}{2} + \vec{u} \sin \frac{\alpha}{2} \right) \, \vec{v} \, \left( \cos \frac{\alpha}{2} - \vec{u} \sin \frac{\alpha}{2} \right)$$

वेक्टर उत्पन्न करता है $$\vec{v}$$ एक कोण से घुमाया गया $$\alpha$$ धुरी के चारों ओर $$\vec{u}$$. विस्तार करना (और इसे ध्यान में रखते हुए $$\vec{u}\vec{v} = \vec{u} \times \vec{v} - \vec{u} \cdot \vec{v}$$), हमारे पास है


 * $$\begin{align}

\vec{v}' &= \vec{v} \cos^2 \frac{\alpha}{2} + \left(\vec{u}\vec{v} - \vec{v}\vec{u}\right) \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} - \vec{u}\vec{v}\vec{u} \sin^2 \frac{\alpha}{2} \\[6pt] &= \vec{v} \cos^2 \frac{\alpha}{2} + 2 \left(\vec{u} \times \vec{v}\right) \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} - \left(\left(\vec{u} \times \vec{v}\right) - \left(\vec{u} \cdot \vec{v}\right)\right)\vec{u} \sin^2 \frac{\alpha}{2} \\[6pt] &= \vec{v} \cos^2 \frac{\alpha}{2} + 2 \left(\vec{u} \times \vec{v}\right) \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} - \left(\left(\vec{u} \times \vec{v}\right)\vec{u} - \left(\vec{u} \cdot \vec{v}\right)\vec{u}\right) \sin^2 \frac{\alpha}{2} \\[6pt] &= \vec{v} \cos^2 \frac{\alpha}{2} + 2 \left(\vec{u} \times \vec{v}\right) \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} - \left(\left(\left(\vec{u} \times \vec{v}\right) \times \vec{u} - \left(\vec{u} \times \vec{v}\right) \cdot \vec{u}\right) - \left(\vec{u} \cdot \vec{v}\right)\vec{u}\right) \sin^2 \frac{\alpha}{2} \\[6pt] &= \vec{v} \cos^2 \frac{\alpha}{2} + 2 \left(\vec{u} \times \vec{v}\right) \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} - \left(\left(\vec{v} - \left(\vec{u} \cdot \vec{v}\right)\vec{u}\right) - 0 - \left(\vec{u} \cdot \vec{v}\right)\vec{u}\right) \sin^2 \frac{\alpha}{2} \\[6pt] &= \vec{v} \cos^2 \frac{\alpha}{2} + 2 \left(\vec{u} \times \vec{v}\right) \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} - \left(\vec{v} - 2 \vec{u} \left(\vec{u} \cdot \vec{v}\right)\right) \sin^2 \frac{\alpha}{2} \\[6pt] &= \vec{v} \cos^2 \frac{\alpha}{2} + 2 \left(\vec{u} \times \vec{v}\right) \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} + \left(2 \vec{u} \left(\vec{u} \cdot \vec{v}\right) - \vec{v}\right) \sin^2 \frac{\alpha}{2} \\[6pt] \end{align}$$ अगर हम जाने देंगे $$\vec{v}_{\bot}$$ और $$\vec{v}_{\|}$$ के घटकों के बराबर $$\vec{v}$$ लंबवत और समानांतर $$\vec{u}$$ क्रमशः, फिर $$\vec{v} = \vec{v}_{\bot} + \vec{v}_{\|}$$ और $$\vec{u} \left(\vec{u} \cdot \vec{v}\right) = \vec{v}_{\|}$$, के लिए अग्रणी


 * $$\begin{align}

\vec{v}' &= \vec{v} \cos^2 \frac{\alpha}{2} + 2 \left(\vec{u} \times \vec{v}\right) \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} + \left(2 \vec{u} \left(\vec{u} \cdot \vec{v}\right) - \vec{v}\right) \sin^2 \frac{\alpha}{2} \\[6pt] &= \left(\vec{v}_{\|} + \vec{v}_{\bot}\right) \cos^2 \frac{\alpha}{2} + 2 \left(\vec{u} \times \vec{v}\right) \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} + \left(\vec{v}_{\|} - \vec{v}_{\bot}\right) \sin^2 \frac{\alpha}{2} \\[6pt] &= \vec{v}_{\|} \left(\cos^2 \frac{\alpha}{2} + \sin^2 \frac{\alpha}{2}\right) + \left(\vec{u} \times \vec{v}\right) \left(2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}\right) + \vec{v}_{\bot} \left(\cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2}\right) \\[6pt] \end{align}$$ त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची|त्रिकोणमितीय पायथागॉरियन और द्वि-कोण सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए, हमारे पास यह है
 * $$\begin{align}

\vec{v}' &= \vec{v}_{\|} \left(\cos^2 \frac{\alpha}{2} + \sin^2 \frac{\alpha}{2}\right) + \left(\vec{u} \times \vec{v}\right) \left(2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}\right) + \vec{v}_{\bot} \left(\cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2}\right) \\[6pt] &= \vec{v}_{\|} + \left(\vec{u} \times \vec{v}\right) \sin \alpha + \vec{v}_\bot \cos \alpha \end{align}$$ यह रोड्रिग्स का रोटेशन फॉर्मूला है $$\alpha$$ चारों ओर $u$ एक्सिस।

चतुर्भुज घूर्णन संचालन
इस खंड में प्रयुक्त गुणों की एक बहुत ही औपचारिक व्याख्या ऑल्टमैन द्वारा दी गई है।

घूर्णन के स्थान की कल्पना करना
यूनिट क्वाटरनियन बहुत ही सरल तरीके से त्रि-आयामी अंतरिक्ष में यूक्लिडियन रोटेशन (गणित) के समूह (गणित) का प्रतिनिधित्व करते हैं। घूर्णन और चतुर्भुज के बीच के पत्राचार को पहले घूर्णन के स्थान की कल्पना करके समझा जा सकता है।

घूर्णन के स्थान की कल्पना करने के लिए, एक सरल मामले पर विचार करने में मदद मिलती है। तीन आयामों में किसी भी घूर्णन को घूर्णन के कुछ अक्ष के चारों ओर घूर्णन के कुछ कोणों द्वारा घूर्णन द्वारा वर्णित किया जा सकता है; अपने उद्देश्यों के लिए, हम अपने कोण के लिए अभिविन्यास (वेक्टर स्थान)  स्थापित करने के लिए एक अक्ष वेक्टर का उपयोग करेंगे। उस विशेष स्थिति पर विचार करें जिसमें घूर्णन अक्ष xy तल में स्थित है। फिर हम इनमें से किसी एक घूर्णन की धुरी को वृत्त पर एक बिंदु द्वारा निर्दिष्ट कर सकते हैं जिससे वेक्टर गुजरता है, और हम घूर्णन के कोण को दर्शाने के लिए वृत्त की त्रिज्या का चयन कर सकते हैं।

इसी प्रकार, एक घूर्णन जिसका घूर्णन अक्ष xy तल में स्थित है, को तीन आयामों में निश्चित त्रिज्या के एक गोले पर एक बिंदु के रूप में वर्णित किया जा सकता है। त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक गोले के उत्तरी ध्रुव से शुरू करके, हम उत्तरी ध्रुव पर बिंदु को पहचान रोटेशन (शून्य कोण रोटेशन) के रूप में निर्दिष्ट करते हैं। जैसे कि पहचान रोटेशन के मामले में, रोटेशन की कोई धुरी परिभाषित नहीं है, और रोटेशन का कोण (शून्य) अप्रासंगिक है। बहुत छोटे घूर्णन कोण वाले घूर्णन को xy तल के समानांतर और उत्तरी ध्रुव के बहुत निकट गोले के माध्यम से एक स्लाइस द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। इस स्लाइस द्वारा परिभाषित वृत्त घूर्णन के छोटे कोण के अनुरूप बहुत छोटा होगा। जैसे-जैसे घूर्णन कोण बड़े होते जाते हैं, टुकड़ा ऋणात्मक z दिशा में बढ़ता जाता है, और गोले के भूमध्य रेखा तक पहुंचने तक वृत्त बड़े होते जाते हैं, जो 180 डिग्री के घूर्णन कोण के अनुरूप होगा। दक्षिण की ओर बढ़ते हुए, वृत्तों की त्रिज्याएँ अब छोटी हो गई हैं (घूर्णन के कोण के निरपेक्ष मान के अनुरूप जिसे ऋणात्मक संख्या माना जाता है)। अंत में, जैसे ही दक्षिणी ध्रुव पर पहुँचते हैं, वृत्त एक बार फिर पहचान घुमाव में सिकुड़ जाते हैं, जिसे दक्षिणी ध्रुव पर बिंदु के रूप में भी निर्दिष्ट किया जाता है।

ध्यान दें कि इस विज़ुअलाइज़ेशन द्वारा ऐसे घुमावों की कई विशेषताओं और उनके प्रतिनिधित्व को देखा जा सकता है। घूर्णन का स्थान निरंतर होता है, प्रत्येक घूर्णन में घूर्णन का एक पड़ोस होता है जो लगभग समान होता है, और पड़ोस के सिकुड़ने पर यह पड़ोस समतल हो जाता है। इसके अलावा, प्रत्येक घुमाव को वास्तव में गोले पर दो एंटीपोडल बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है, जो गोले के केंद्र के माध्यम से एक रेखा के विपरीत छोर पर होते हैं। यह इस तथ्य को दर्शाता है कि प्रत्येक घूर्णन को किसी अक्ष के चारों ओर घूर्णन के रूप में दर्शाया जा सकता है, या, समकक्ष, विपरीत दिशा में इंगित करने वाले अक्ष के बारे में एक नकारात्मक घूर्णन के रूप में (तथाकथित डबल कवरिंग समूह)। किसी विशेष घूर्णन कोण का प्रतिनिधित्व करने वाले वृत्त का अक्षांश उस घूर्णन द्वारा दर्शाए गए कोण का आधा होगा, क्योंकि जैसे ही बिंदु उत्तर से दक्षिण ध्रुव की ओर जाता है, अक्षांश शून्य से 180 डिग्री तक होता है, जबकि घूर्णन का कोण होता है 0 से 360 डिग्री. (एक बिंदु का देशांतर तब घूर्णन की एक विशेष धुरी का प्रतिनिधित्व करता है।) हालांकि ध्यान दें कि घुमावों का यह सेट संरचना के तहत बंद नहीं है। xy तल में अक्षों के साथ दो क्रमिक घुमाव आवश्यक रूप से ऐसा घूर्णन नहीं देंगे जिसकी धुरी xy तल में स्थित हो, और इस प्रकार इसे गोले पर एक बिंदु के रूप में दर्शाया नहीं जा सकता है। यह 3-स्पेस में सामान्य रोटेशन के मामले में नहीं होगा, जिसमें रोटेशन संरचना के तहत एक बंद सेट बनाते हैं।

इस विज़ुअलाइज़ेशन को 3-आयामी अंतरिक्ष में सामान्य घुमाव तक बढ़ाया जा सकता है। पहचान घूर्णन एक बिंदु है, और कुछ अक्ष के बारे में घूर्णन के एक छोटे कोण को एक छोटे त्रिज्या वाले गोले पर एक बिंदु के रूप में दर्शाया जा सकता है। जैसे-जैसे घूर्णन का कोण बढ़ता है, गोला तब तक बढ़ता है, जब तक कि घूर्णन का कोण 180 डिग्री तक नहीं पहुंच जाता, जिस बिंदु पर गोला सिकुड़ना शुरू हो जाता है, और कोण 360 डिग्री (या नकारात्मक दिशा से शून्य डिग्री) तक पहुंचने पर एक बिंदु बन जाता है। फैलते और सिकुड़ते गोले का यह सेट 3-गोले (एक 3-गोला) का प्रतिनिधित्व करता है। जैसा कि ऊपर दिए गए सरल उदाहरण में है, हाइपरस्फेयर पर एक बिंदु के रूप में दर्शाया गया प्रत्येक घुमाव उस हाइपरस्फेयर पर उसके एंटीपोडल बिंदु से मेल खाता है। हाइपरस्फीयर पर अक्षांश घूर्णन के संगत कोण का आधा होगा, और किसी भी बिंदु का पड़ोस चापलूसी हो जाएगा (यानी बिंदुओं के 3-डी यूक्लिडियन स्थान द्वारा दर्शाया जाएगा) क्योंकि पड़ोस सिकुड़ जाएगा। यह व्यवहार इकाई चतुर्भुज के सेट से मेल खाता है: एक सामान्य चतुर्भुज चार आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है, लेकिन इसे इकाई परिमाण में सीमित करने से हाइपरस्फीयर की सतह के बराबर एक त्रि-आयामी स्थान प्राप्त होता है। इकाई चतुर्भुज का परिमाण इकाई त्रिज्या के हाइपरस्फेयर के अनुरूप इकाई होगा। एक इकाई चतुर्भुज का सदिश भाग घूर्णन अक्ष के अनुरूप 2-गोले की त्रिज्या का प्रतिनिधित्व करता है, और इसका परिमाण घूर्णन के आधे कोण की कोज्या है। प्रत्येक घूर्णन को विपरीत चिह्न के दो इकाई चतुर्भुजों द्वारा दर्शाया जाता है, और, जैसा कि तीन आयामों में घूर्णन के स्थान में होता है, दो इकाई चतुर्भुजों का चतुर्भुज उत्पाद एक इकाई चतुर्भुज का उत्पादन करेगा। साथ ही, किसी दिए गए इकाई चतुर्भुज के किसी भी अतिसूक्ष्म पड़ोस में इकाई चतुर्भुज का स्थान समतल होता है।

घूर्णन के स्थान का पैरामीटरीकरण
हम किसी गोले की सतह को अक्षांश और देशांतर जैसे दो निर्देशांकों के साथ पैरामीटराइज़ कर सकते हैं। लेकिन उत्तरी और दक्षिणी ध्रुवों पर अक्षांश और देशांतर खराब व्यवहार (अपभ्रंश (गणित)) हैं, हालांकि ध्रुव गोले के किसी भी अन्य बिंदु से आंतरिक रूप से भिन्न नहीं हैं। ध्रुवों (अक्षांश +90° और −90°) पर देशांतर अर्थहीन हो जाता है।

यह दिखाया जा सकता है कि कोई भी दो-पैरामीटर समन्वय प्रणाली ऐसी विकृति से बच नहीं सकती है। हम गोले को त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एम्बेड करके और इसे तीन कार्टेशियन निर्देशांक के साथ पैरामीटराइज़ करके ऐसी समस्याओं से बच सकते हैं $j$, उत्तरी ध्रुव को पर रखना $k$, दक्षिणी ध्रुव पर $i^{2} = j^{2} = k^{2} = i j k = −1$, और भूमध्य रेखा पर $R$, $i^{2} = j^{2} = k^{2} = ijk = −1$. गोले पर स्थित बिंदु बाधा को संतुष्ट करते हैं $(w, x, y)$, इसलिए हमारे पास अभी भी स्वतंत्रता की केवल दो डिग्री (भौतिकी और रसायन विज्ञान) हैं, हालांकि तीन निर्देशांक हैं। एक बिंदु $(w, x, y) = (1, 0, 0)$ गोले पर वेक्टर द्वारा निर्देशित क्षैतिज अक्ष के चारों ओर सामान्य स्थान में एक घूर्णन का प्रतिनिधित्व करता है $(w, x, y) = (−1, 0, 0)$ एक कोण से $$\alpha= 2 \cos^{-1} w = 2 \sin^{-1} \sqrt{x^2+y^2}$$.

उसी तरह 3डी घुमावों के हाइपरस्फेरिकल स्पेस को तीन कोणों (यूलर एंगल्स) द्वारा पैरामीटराइज़ किया जा सकता है, लेकिन ऐसा कोई भी पैरामीटर हाइपरस्फेयर पर कुछ बिंदुओं पर खराब हो जाता है, जिससे जिम्बल लॉक की समस्या पैदा हो जाती है। हम चार यूक्लिडियन निर्देशांकों का उपयोग करके इससे बच सकते हैं $w = 0$, साथ $x^{2} + y^{2} = 1$. बिंदु $w^{2} + x^{2} + y^{2} = 1$ वेक्टर द्वारा निर्देशित अक्ष के चारों ओर एक घूर्णन का प्रतिनिधित्व करता है $(w, x, y)$ एक कोण से $$\alpha = 2 \cos^{-1} w = 2 \sin^{-1} \sqrt{x^2+y^2+z^2}.$$

अविनिमेय िटी
चतुष्कोणों का गुणन गैर-क्रमविनिमेय है। यह तथ्य बताता है कि कैसे $(x, y, 0)$ फॉर्मूला बिल्कुल भी काम कर सकता है $w, x, y, z$ परिभाषा से। चूंकि इकाई चतुर्भुज का गुणन त्रि-आयामी घुमावों की संरचना से मेल खाता है, इसलिए इस संपत्ति को यह दिखाकर सहज बनाया जा सकता है कि त्रि-आयामी घुमाव सामान्य रूप से क्रमविनिमेय नहीं हैं।

दो किताबें एक दूसरे के बगल में रखें। उनमें से एक को z अक्ष के चारों ओर 90 डिग्री दक्षिणावर्त घुमाएँ, फिर उसे x अक्ष के चारों ओर 180 डिग्री घुमाएँ। दूसरी किताब लें, पहले उसे x अक्ष के चारों ओर 180° पलटें, और बाद में z के चारों ओर 90° दक्षिणावर्त घुमाएँ। दोनों पुस्तकें समानांतर नहीं समाप्त होतीं। इससे पता चलता है कि, सामान्य तौर पर, दो अलग-अलग स्थानिक अक्षों के चारों ओर दो अलग-अलग घुमावों की संरचना परिवर्तित नहीं होगी।

अभिविन्यास
वेक्टर क्रॉस उत्पाद, जिसका उपयोग अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, अंतरिक्ष को एक अभिविन्यास (वेक्टर स्थान) (सौम्यता) प्रदान करता है: एक त्रि-आयामी वेक्टर स्थान में, समीकरण में तीन वेक्टर $w^{2} + x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ हमेशा दाएं हाथ का सेट (या बाएं हाथ का सेट, यह इस पर निर्भर करता है कि क्रॉस उत्पाद को कैसे परिभाषित किया जाता है) बनाएगा, इस प्रकार वेक्टर स्पेस में एक ओरिएंटेशन तय करेगा। वैकल्पिक रूप से, अभिविन्यास पर निर्भरता ऐसे संदर्भ में व्यक्त की जाती है $$\vec{u}$$ जो अक्षीय सदिशों के अनुसार एक घूर्णन निर्दिष्ट करता है। चतुर्धातुक औपचारिकता में स्थान के अभिविन्यास का चुनाव गुणन के क्रम से मेल खाता है: $(w, x, y, z)$ लेकिन $(x, y, z)$. यदि कोई अभिविन्यास को उलट देता है, तो उपरोक्त सूत्र बन जाता है $p ↦ q p q^{−1}$, यानी, एक इकाई $q q^{−1} = 1$ को संयुग्म चतुर्भुज के साथ प्रतिस्थापित किया जाता है - अक्षीय वैक्टर के समान व्यवहार।

वैकल्पिक परिपाटी
यह सूचित किया है एयरोस्पेस और कुछ हद तक रोबोटिक्स समुदाय में वैकल्पिक क्वाटरनियन सम्मेलन का अस्तित्व और निरंतर उपयोग एक महत्वपूर्ण और निरंतर लागत वहन कर रहा है [sic]. यह वैकल्पिक सम्मेलन मैल्कम डी. शस्टर|शस्टर एम.डी. द्वारा प्रस्तावित है और शस्टर के सम्मेलन के तहत चतुर्धातुक आधार तत्वों को गुणा करने की परिभाषा को उलट कर परंपरा से हट जाता है, $$ \mathbf{i} \mathbf{j} = -\mathbf{k}$$ जबकि हैमिल्टन की परिभाषा है $$ \mathbf{i}\mathbf{j} = \mathbf{k}$$. NASA|NASA की जेट प्रोपल्शन प्रयोगशाला के कुछ हिस्सों में इसके उपयोग के लिए इस सम्मेलन को जेपीएल सम्मेलन के रूप में भी जाना जाता है।

शस्टर के सम्मेलन के तहत, दो चतुर्भुजों को गुणा करने का सूत्र इस प्रकार बदल दिया जाता है
 * $$\left(r_1,\ \vec{v}_1\right) \left(r_2,\ \vec{v}_2\right) = \left(r_1 r_2 - \vec{v}_1\cdot\vec{v}_2,\ r_1\vec{v}_2 + r_2\vec{v}_1 \mathbin{\color{red}\mathbf{-}} \vec{v}_1\times\vec{v}_2\right), \qquad \text{(Alternative convention, usage discouraged!)}$$

एक चतुर्भुज द्वारा एक वेक्टर को घुमाने का सूत्र बदल दिया गया है
 * $$\begin{align}

\mathbf p'_\text{alt} ={} &(\mathbf v \otimes \mathbf v + q_r^2\mathbf{I} \mathbin{\color{red}\mathbf{-}} 2 q_r[\mathbf v]_{\times} + [\mathbf v]_{\times}^2) \mathbf p & \text{(Alternative convention, usage discouraged!)} \\ = &\ (\mathbf{I} \mathbin{\color{red}\mathbf{-}} 2 q_r[\mathbf v]_{\times} + 2[\mathbf v]_{\times}^2) \mathbf p & \end{align}$$ शस्टर के सम्मेलन के तहत परिवर्तनों की पहचान करने के लिए, देखें कि क्रॉस उत्पाद से पहले का चिह्न प्लस से माइनस में फ़्लिप किया गया है।

अंत में, एक चतुर्भुज को एक रोटेशन मैट्रिक्स में परिवर्तित करने का सूत्र बदल दिया गया है
 * $$\begin{align}

\mathbf{R}_{alt} &= \mathbf{I} \mathbin{\color{red}\mathbf{-}} 2 q_r[\mathbf v]_{\times} + 2[\mathbf v]_{\times}^2 \qquad \text{(Alternative convention, usage discouraged!)} \\ &= \begin{bmatrix} 1 - 2s (q_j^2 + q_k^2) & 2 (q_i q_j + q_k q_r) & 2 (q_i q_k - q_j q_r) \\ 2 (q_i q_j - q_k q_r) & 1 - 2s (q_i^2 + q_k^2) & 2 (q_j q_k + q_i q_r) \\ 2 (q_i q_k + q_j q_r) & 2 (q_j q_k - q_i q_r) & 1 - 2s (q_i^2 + q_j^2) \end{bmatrix} \end{align}$$ जो पारंपरिक सम्मेलन के तहत परिवर्तित रोटेशन मैट्रिक्स का बिल्कुल स्थानांतरण है।

सम्मेलन द्वारा उपयोग किए गए सॉफ़्टवेयर अनुप्रयोग
नीचे दी गई तालिका चतुर्धातुक सम्मेलन के अनुपालन के आधार पर अनुप्रयोगों को समूहीकृत करती है: हालांकि किसी भी सम्मेलन का उपयोग इस प्रकार बनाए गए अनुप्रयोगों की क्षमता या शुद्धता को प्रभावित नहीं करता है, इसके लेखक तर्क दिया गया कि शस्टर सम्मेलन को छोड़ दिया जाना चाहिए क्योंकि यह हैमिल्टन के बहुत पुराने चतुर्भुज गुणन सम्मेलन से अलग है और इसे गणितीय या सैद्धांतिक भौतिकी क्षेत्रों द्वारा कभी नहीं अपनाया जा सकता है।

चतुर्भुज के लाभ
एक चतुर्भुज (4 संख्या) के रूप में घूर्णन का प्रतिनिधित्व एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स (9 संख्या) के रूप में प्रतिनिधित्व की तुलना में अधिक कॉम्पैक्ट है। इसके अलावा, किसी दिए गए अक्ष और कोण के लिए, कोई भी आसानी से संबंधित चतुर्भुज का निर्माण कर सकता है, और इसके विपरीत, किसी दिए गए चतुर्भुज के लिए कोई भी आसानी से अक्ष और कोण को पढ़ सकता है। ये दोनों मैट्रिस या यूलर कोण के साथ बहुत कठिन हैं।

वीडियो गेम और अन्य अनुप्रयोगों में, व्यक्ति अक्सर सहज घुमाव में रुचि रखता है, जिसका अर्थ है कि दृश्य को धीरे-धीरे घूमना चाहिए और एक चरण में नहीं। इसे चतुर्भुज में स्लर्प जैसे वक्र को चुनकर पूरा किया जा सकता है, जिसमें एक समापन बिंदु पहचान परिवर्तन 1 (या कुछ अन्य प्रारंभिक रोटेशन) है और दूसरा इच्छित अंतिम रोटेशन है। घूर्णन के अन्य निरूपणों के साथ यह अधिक समस्याग्रस्त है।

कंप्यूटर पर कई रोटेशन बनाते समय, राउंडिंग त्रुटियां आवश्यक रूप से जमा हो जाती हैं। एक चतुर्भुज जो थोड़ा सा दूर है, सामान्यीकृत होने के बाद भी एक रोटेशन का प्रतिनिधित्व करता है: एक मैट्रिक्स जो थोड़ा सा बंद है वह अब ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स नहीं हो सकता है और उसे वापस उचित ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स में परिवर्तित करना कठिन है।

क्वाटरनियंस ड्रेडलॉक लॉक नामक एक घटना से भी बचते हैं, जिसका परिणाम तब हो सकता है, उदाहरण के लिए फ्लाइट डायनामिक्स | पिच/यॉ/रोल रोटेशनल सिस्टम में, पिच को 90° ऊपर या नीचे घुमाया जाता है, ताकि यॉ और रोल फिर एक ही गति के अनुरूप हो, और घूर्णन की स्वतंत्रता की एक डिग्री खो जाती है। उदाहरण के लिए, जिम्बल-आधारित एयरोस्पेस जड़त्वीय नेविगेशन प्रणाली में, यदि विमान तेजी से गोता लगा रहा हो या चढ़ाई कर रहा हो तो इसके विनाशकारी परिणाम हो सकते हैं।

एक चतुर्भुज से एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स तक
यूनिट क्वाटरनियन द्वारा घूर्णन के अनुरूप ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स $a × b = c$ (साथ $ij = k$) जब कॉलम वेक्टर के साथ पोस्ट-गुणा किया जाता है
 * $$R = \begin{pmatrix}

a^2 + b^2 - c^2 - d^2 & 2bc - 2ad            & 2bd + 2ac           \\ 2bc + 2ad            & a^2 - b^2 + c^2 - d^2 & 2cd - 2ab           \\ 2bd - 2ac            & 2cd+2ab               & a^2 -b^2 -c^2 + d^2 \\ \end{pmatrix}.$$ इस रोटेशन मैट्रिक्स का उपयोग वेक्टर पर किया जाता है $ji = −k$ जैसा $$w_\text{rotated} = R \cdot w$$. इस घूर्णन का चतुर्भुज प्रतिनिधित्व इस प्रकार दिया गया है:
 * $$\begin{bmatrix} 0\\ w_\text{rotated} \end{bmatrix} = z \begin{bmatrix} 0 \\ w\end{bmatrix} z^*,$$

कहाँ $$z^*$$ चतुर्भुज का संयुग्म है $$ z $$, द्वारा दिए गए $$ \mathbf{z}^* = a - b\mathbf{i} - c\mathbf{j} - d\mathbf{k}$$ इसके अलावा, चतुर्भुज गुणन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है (यह मानते हुए कि ए और बी चतुर्भुज हैं, जैसे ऊपर z):

$$ab = \left(a_0 b_0 - \vec{a} \cdot \vec{b}; a_0 \vec{b} + b_0 \vec{a} + \vec{a} \times \vec{b}\right)$$ जहां क्रम a, b महत्वपूर्ण है क्योंकि दो वैक्टरों का क्रॉस उत्पाद क्रमविनिमेय नहीं है।

एक अधिक कुशल गणना जिसमें चतुर्भुज को इकाई सामान्यीकृत करने की आवश्यकता नहीं होती है, द्वारा दिया गया है
 * $$R = \begin{pmatrix}

1 - cc - dd & bc - ad     & bd + ac     \\ bc + ad    & 1 - bb - dd  & cd - ab     \\ bd - ac    & cd + ab      & 1 - bb - cc \\ \end{pmatrix},$$ जहाँ निम्नलिखित मध्यवर्ती मात्राएँ परिभाषित की गई हैं:
 * $$\begin{alignat}{2}

& \ \ s = 2/(a \cdot a + b \cdot b + c \cdot c + d \cdot d), \\ & \begin{array}{lll} bs = b \cdot s, & cs = c \cdot s,  & ds = d \cdot s,   \\ ab = a \cdot bs, & ac = a \cdot cs, & ad = a \cdot ds, \\ bb = b \cdot bs, & bc = b \cdot cs, & bd = b \cdot ds, \\ cc = c \cdot cs, & cd = c \cdot ds, & dd = d \cdot ds. \\ \end{array} \end{alignat}$$

एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स से एक चतुर्भुज तक
किसी को रोटेशन मैट्रिक्स को चतुर्भुज में परिवर्तित करते समय सावधान रहना चाहिए, क्योंकि जब रोटेशन मैट्रिक्स का ट्रेस (रैखिक बीजगणित) (विकर्ण तत्वों का योग) शून्य या बहुत छोटा होता है, तो कई सीधी विधियां अस्थिर हो जाती हैं। ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स को क्वाटरनियन में परिवर्तित करने की एक स्थिर विधि के लिए, रोटेशन मैट्रिक्स#क्वाटरनियन देखें।

चतुर्भुज फिट करना
उपरोक्त अनुभाग में बताया गया है कि क्वाटरनियन को कैसे पुनर्प्राप्त किया जाए $p ↦ q^{−1} p q$ 3 × 3 रोटेशन मैट्रिक्स से $Q$. हालाँकि, मान लीजिए कि हमारे पास कुछ मैट्रिक्स हैं $Q$ यह शुद्ध घूर्णन नहीं है - उदाहरण के लिए, राउंड-ऑफ त्रुटियों के कारण - और हम चतुर्भुज खोजना चाहते हैं $q$ जो सबसे सटीक रूप से दर्शाता है $Q$. उस स्थिति में हम एक सममित 4 × 4 मैट्रिक्स का निर्माण करते हैं
 * $$ K = \frac{1}{3}

\begin{bmatrix} Q_{xx}-Q_{yy}-Q_{zz} & Q_{yx}+Q_{xy}       & Q_{zx}+Q_{xz}        & Q_{zy}-Q_{yz}        \\ Q_{yx}+Q_{xy}       & Q_{yy}-Q_{xx}-Q_{zz} & Q_{zy}+Q_{yz}        & Q_{xz}-Q_{zx}        \\ Q_{zx}+Q_{xz}       & Q_{zy}+Q_{yz}        & Q_{zz}-Q_{xx}-Q_{yy} & Q_{yx}-Q_{xy}        \\ Q_{zy}-Q_{yz}       & Q_{xz}-Q_{zx}        & Q_{yx}-Q_{xy}        & Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz} \end{bmatrix} , $$ और eigenvector ढूंढें $z = a + b i + c j + d k$ सबसे बड़े eigenvalue के अनुरूप (वह मान 1 होगा यदि और केवल यदि $Q$ एक शुद्ध घूर्णन है)। इस प्रकार प्राप्त चतुर्भुज मूल मैट्रिक्स के निकटतम घूर्णन के अनुरूप होगा $Q$.

प्रदर्शन तुलना
यह अनुभाग 3डी में घूर्णन करने के लिए चतुर्भुज बनाम अन्य विधियों (अक्ष/कोण या घूर्णन मैट्रिक्स) का उपयोग करने के प्रदर्शन निहितार्थों पर चर्चा करता है।

परिणाम
चतुर्भुज घटकों में से केवल तीन स्वतंत्र हैं, क्योंकि घूर्णन को एक इकाई चतुर्भुज द्वारा दर्शाया जाता है। आगे की गणना के लिए आमतौर पर सभी चार तत्वों की आवश्यकता होती है, इसलिए सभी गणनाओं को चौथे घटक को पुनर्प्राप्त करने से अतिरिक्त खर्च का सामना करना पड़ेगा। इसी तरह, कोण-अक्ष को इकाई दिशा को कोण (या उसके एक फ़ंक्शन) से गुणा करके तीन-घटक वेक्टर में संग्रहीत किया जा सकता है, लेकिन गणना के लिए इसका उपयोग करते समय यह अतिरिक्त कम्प्यूटेशनल लागत पर आता है।

* चतुर्भुज को स्पष्ट रूप से एक रोटेशन-जैसे मैट्रिक्स (12 गुणन और 12 जोड़/घटाव) में परिवर्तित किया जा सकता है, जो रोटेशन मैट्रिक्स विधि के साथ निम्नलिखित वैक्टर की घूर्णन लागत को समतल करता है।

प्रयुक्त विधियाँ
किसी वेक्टर को घुमाने के लिए तीन बुनियादी दृष्टिकोण हैं $v$:
 * 1) 3 × 3 रोटेशन मैट्रिक्स के मैट्रिक्स उत्पाद की गणना करें $R$ और मूल 3 × 1 स्तंभ सदिश मैट्रिक्स का प्रतिनिधित्व करता है $v$. इसके लिए 3 × (3 गुणन + 2 जोड़) = 9 गुणन और 6 जोड़ की आवश्यकता होती है, जो एक वेक्टर को घुमाने के लिए सबसे कुशल तरीका है।
 * 2) एक घूर्णन को एक इकाई-लंबाई चतुर्भुज द्वारा दर्शाया जा सकता है $| z | = 1$ अदिश (वास्तविक) भाग के साथ $w$ और वेक्टर (काल्पनिक) भाग $r$. रोटेशन को 3डी वेक्टर पर लागू किया जा सकता है $v$ सूत्र के माध्यम से $$ \vec{v}_\text{new}=\vec{v} + 2\vec{r} \times (\vec{r} \times \vec{v} + w \vec{v})$$. इसका मूल्यांकन करने के लिए केवल 15 गुणन और 15 जोड़ की आवश्यकता होती है (या यदि 2 का गुणनखंड गुणन के माध्यम से किया जाता है तो 18 गुणन और 12 जोड़ की आवश्यकता होती है।) यह सूत्र, जिसे मूल रूप से अक्ष/कोण संकेतन (रॉड्रिग्स सूत्र) के साथ उपयोग करने के लिए सोचा गया था, भी किया जा सकता है। चतुर्धातुक संकेतन पर लागू। यह चतुर्धातुक गुणन के कम कुशल लेकिन अधिक सघन सूत्र के समान परिणाम देता है $$ \vec{v}_\text{new} = q \vec{v} q^{-1}$$.
 * 3) किसी कोण/अक्ष को घूर्णन मैट्रिक्स में बदलने के लिए रोटेशन मैट्रिक्स#कोण-अक्ष प्रतिनिधित्व और चतुर्धातुक प्रतिनिधित्व|कोण/अक्ष सूत्र का उपयोग करें $R$ फिर एक वेक्टर के साथ गुणा करना, या, इसी तरह, क्वाटरनियन नोटेशन को रोटेशन मैट्रिक्स में बदलने के लिए एक सूत्र का उपयोग करना, फिर एक वेक्टर के साथ गुणा करना। कोण/अक्ष को परिवर्तित करना $R$ लागत 12 गुणन, 2 फ़ंक्शन कॉल (sin, cos), और 10 जोड़/घटाव; आइटम 1 से, का उपयोग कर घूर्णन $R$ कुल 21 गुणा, 16 जोड़/घटाव और 2 फ़ंक्शन कॉल (sin, cos) के लिए अतिरिक्त 9 गुणा और 6 जोड़ जोड़ता है। एक चतुर्भुज को परिवर्तित करना $R$ लागत 12 गुणा और 12 जोड़/घटाव; आइटम 1 से, का उपयोग कर घूर्णन $R$ कुल 21 गुणा और 18 जोड़/घटाव के लिए अतिरिक्त 9 गुणा और 6 जोड़ जोड़ता है।

4डी अंतरिक्ष में घूर्णन के रूप में इकाई चतुर्भुज के जोड़े
इकाई चतुर्भुजों की एक जोड़ी $w$ और $q$ 4-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में किसी भी घूर्णन का प्रतिनिधित्व कर सकता है। एक चार-आयामी वेक्टर दिया गया है $v$, और यह मानते हुए कि यह एक चतुर्भुज है, हम वेक्टर को घुमा सकते हैं $v$ इस कदर:


 * $$f\left(\vec{v}\right) = \mathbf{z}_{\rm{l}} \vec{v} \mathbf{z}_{\rm{r}} =

\begin{pmatrix} a_{\rm{l}}&-b_{\rm{l}}&-c_{\rm{l}}&-d_{\rm{l}}\\ b_{\rm{l}}&a_{\rm{l}}&-d_{\rm{l}}&c_{\rm{l}}\\ c_{\rm{l}}&d_{\rm{l}}&a_{\rm{l}}&-b_{\rm{l}}\\ d_{\rm{l}}&-c_{\rm{l}}&b_{\rm{l}}&a_{\rm{l}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}w\\x\\y\\z\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{\rm{r}}&-b_{\rm{r}}&-c_{\rm{r}}&-d_{\rm{r}}\\ b_{\rm{r}}&a_{\rm{r}}&d_{\rm{r}}&-c_{\rm{r}}\\ c_{\rm{r}}&-d_{\rm{r}}&a_{\rm{r}}&b_{\rm{r}}\\ d_{\rm{r}}&c_{\rm{r}}&-b_{\rm{r}}&a_{\rm{r}} \end{pmatrix}. $$ मैट्रिक्स की जोड़ी ℝ के घूर्णन का प्रतिनिधित्व करती है4. ध्यान दें कि तब से $$(\mathbf{z}_{\rm{l}} \vec{v}) \mathbf{z}_{\rm{r}} = \mathbf{z}_{\rm{l}} (\vec{v} \mathbf{z}_{\rm{r}})$$, दो मैट्रिक्स को आवागमन करना होगा। इसलिए, चार आयामी घुमावों के समूह के दो आने-जाने वाले उपसमूह हैं। मनमाने चार-आयामी घुमावों में स्वतंत्रता की 6 डिग्री होती है; प्रत्येक मैट्रिक्स स्वतंत्रता की उन 6 डिग्री में से 3 का प्रतिनिधित्व करता है।

चूँकि चार-आयामी घुमावों के जनरेटरों को चतुर्भुजों के जोड़े द्वारा दर्शाया जा सकता है (निम्नानुसार), सभी चार-आयामी घुमावों को भी दर्शाया जा सकता है।


 * $$\begin{align}

\mathbf{z}_{\rm{l}} \vec{v} \mathbf{z}_{\rm{r}} &= \begin{pmatrix} 1     &-dt_{ab}&-dt_{ac}&-dt_{ad}\\ dt_{ab}&1      &-dt_{bc}&-dt_{bd}\\ dt_{ac}& dt_{bc}&1      &-dt_{cd}\\ dt_{ad}& dt_{bd}& dt_{cd}&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} w\\ x\\ y\\ z \end{pmatrix} \\[3pt] \mathbf{z}_{\rm{l}} &= 1+{dt_{ab}+dt_{cd}\over 2}i+{dt_{ac}-dt_{bd}\over 2}j+{dt_{ad}+dt_{bc}\over 2}k \\[3pt] \mathbf{z}_{\rm{r}} &= 1+{dt_{ab}-dt_{cd}\over 2}i+{dt_{ac}+dt_{bd}\over 2}j+{dt_{ad}-dt_{bc}\over 2}k \end{align}$$

यह भी देखें

 * एंटी-ट्विस्टर तंत्र
 * बाइनरी पॉलीहेड्रल समूह
 * द्विभाजन
 * SO(3) पर चार्ट
 * क्लिफ़ोर्ड बीजगणित
 * चतुर्भुज और यूलर कोणों के बीच रूपांतरण
 * जगह को कवर करना
 * दोहरी चतुर्भुज
 * 2डी ज्यामिति में दोहरे चतुर्भुजों का अनुप्रयोग
 * अण्डाकार ज्यामिति#अण्डाकार स्थान
 * तीन आयामों में घूर्णन औपचारिकताएँ
 * रोटेशन (गणित)
 * स्पिन समूह
 * स्लर्प, गोलाकार रैखिक प्रक्षेप
 * ओलिन्डे रोड्रिग्स
 * विलियम रोवन हैमिल्टन

अग्रिम पठन




बाहरी लिंक और संसाधन

 * रोसेटा कोड पर
 * रोसेटा कोड पर

श्रेणी:चतुर्भुज श्रेणी:तीन आयामों में घूर्णन श्रेणी:कठोर निकाय यांत्रिकी श्रेणी:3डी कंप्यूटर ग्राफ़िक्स