रूथियन यांत्रिकी



मौलिक यांत्रिकी में, राउत की प्रक्रिया या रूथियन यांत्रिकी एडवर्ड जॉन रूथ द्वारा विकसित लैग्रैंगियन यांत्रिकी और हैमिल्टनियन यांत्रिकी का संकर सूत्रीकरण है। इसके विपरीत, रूथियन फलन (गणित) है। जो लैग्रैंगियन यांत्रिकी और हैमिल्टन यांत्रिकी फलन दोनों को प्रतिस्थापित करता है। रूथियन यांत्रिकी लैग्रैंगियन यांत्रिकी और हैमिल्टनियन यांत्रिकी के समान है, और कोई नई भौतिकी प्रस्तुत नहीं करती है। यह यांत्रिक समस्याओं को हल करने की वैकल्पिक विधि प्रदान करता है।

परिभाषाएँ
रूथियन, हैमिल्टनियन की तरह, लैग्रेंजियन के लीजेंड्रे परिवर्तन से प्राप्त किया जा सकता है, और हैमिल्टनियन के समान गणितीय रूप है, किंतु यह पूर्णतया समान नहीं है। लैग्रेंजियन, हैमिल्टनियन और रूथियन कार्यों के बीच का अवकल उनके चर हैं। प्रणाली में स्वतंत्रता (भौतिकी और रसायन विज्ञान) की डिग्री का प्रतिनिधित्व करने वाले सामान्यीकृत निर्देशांक के दिए गए समुच्चय के लिए, लैग्रेंगियन निर्देशांक और वेग का एक कार्य है। जबकि हैमिल्टन निर्देशांक और संवेग का एक कार्य है।

रूथियन इन कार्यों से अलग है जिसमें कुछ निर्देशांकों को संबंधित सामान्यीकृत वेगों के लिए चुना जाता है, समान सामान्यीकृत गति होती है। यह चुनाव इच्छानुसार है, और समस्या को सरल बनाने के लिए किया जा सकता है। इसका परिणाम यह भी है कि रूथियन समीकरण कुछ निर्देशांकों और संबंधित संवेगों के लिए हेमिल्टनियन समीकरण हैं, और शेष निर्देशांकों और उनके वेगों के लिए लैग्रैंगियन समीकरण हैं। प्रत्येक स्थिति में लैग्रेंजियन और हैमिल्टनियन कार्यों को एकल फलन, रूथियन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इस प्रकार पूरे समुच्चय में समीकरणों के दोनों समुच्चयों के लाभ हैं, हैमिल्टन समीकरणों के लिए निर्देशांक के समुच्चय को विभाजित करने की विधि के साथ, और लैग्रैंगियन समीकरणों के लिए है।

लाग्रंगियन यांत्रिकी के स्थिति में, सामान्यीकृत निर्देशांक $q_{1}, q_{2}$, ... और संबंधित वेग $dq_{1}/dt, dq_{2}/dt, ...$, और संभवतः समय $t$, लाग्रंगियन में प्रवेश करते है।


 * $$L(q_1,q_2,\ldots,\dot{q}_1,\dot{q}_2,\ldots,t)\,, \quad \dot{q}_i = \frac{d q_i}{dt} \,, $$

जहां ओवरडॉट्स समय व्युत्पन्न को दर्शाते हैं।

हैमिल्टनियन यांत्रिकी में, सामान्यीकृत निर्देशांक $q_{1}, q_{2}, ...$ और इसी सामान्यीकृत संवेग $p_{1}, p_{2}, ...,$ और संभवतः समय, हैमिल्टन में प्रवेश करते है।


 * $$H(q_1,q_2,\ldots,p_1,p_2,\ldots,t) = \sum_i \dot{q}_ip_i - L(q_1,q_2,\ldots,\dot{q}_1(p_1),\dot{q}_2(p_2),\ldots,t) \,, \quad p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\,,$$

जहां दूसरा समीकरण समन्वय $q_{i}$ के अनुरूप सामान्यीकृत संवेग $p_{i}$ की परिभाषा है (आंशिक डेरिवेटिव को $∂$ का उपयोग करके निरूपित किया जाता है)। वेग $dq_{i}/dt$ उनके परिभाषित संबंध को उलट कर उनके संबंधित संवेग के कार्यों के रूप में व्यक्त किए जाते हैं। इस संदर्भ में, $p_{i}$ को $q_{i}$ के लिए "प्रामाणिक रूप से संयुग्मित" संवेग कहा जाता है।

रौथियन $L$ और $H$ के बीच मध्यवर्ती है; कुछ निर्देशांक $q_{1}, q_{2}, ..., q_{n}$ को समान सामान्यीकृत संवेग $p_{1}, p_{2}, ..., p_{n}$ के लिए चुना जाता है, शेष निर्देशांक $ζ_{1}, ζ_{2}, ..., ζ_{s}$ को सामान्यीकृत वेग $dζ_{1}/dt, dζ_{2}/dt, ..., dζ_{s}/dt$ के लिए चुना जाता है और समय स्पष्ट रूप से प्रकट हो सकता है।

जहाँ फिर से सामान्यीकृत वेग $n + s$ को परिभाषित संबंध के माध्यम से सामान्यीकृत संवेग $dq_{i}/dt$ के कार्य के रूप में व्यक्त किया जाना है। $p_{i}$ निर्देशांकों में से कौन से $n + s$ निर्देशांकों का संगत संवेग होना चाहिए, यह चुनाव इच्छानुसार है।

उपरोक्त का उपयोग सैद्धांतिक भौतिकी, और मौलिक यांत्रिकी (गोल्डस्टीन पुस्तक) द्वारा किया जाता है। कुछ लेखक उपरोक्त परिभाषा के नकारात्मक होने के लिए रूथियन को परिभाषित कर सकते हैं।

सामान्य परिभाषा की लंबाई को देखते हुए, चर के टुपल्स (या सदिश) के लिए बोल्डफेस का उपयोग करने के लिए अधिक कॉम्पैक्ट नोटेशन है, इस प्रकार $n$, $q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n})$, $ζ = (ζ_{1}, ζ_{2}, ..., ζ_{s})$, और $p = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{n})$ है। जिससे


 * $$R(\mathbf{q},\boldsymbol{\zeta}, \mathbf{p}, \dot{\boldsymbol{\zeta}}, t) = \mathbf{p}\cdot\dot - L(\mathbf{q}, \boldsymbol{\zeta}, \dot{\mathbf{q}}, \dot{\boldsymbol{\zeta}},t) \,, $$

जहां टुपल्स पर परिभाषित डॉट उत्पाद है, यहां दिखाई देने वाले विशिष्ट उदाहरण के लिए:


 * $$\mathbf{p}\cdot\dot = \sum_{i=1}^n p_i\dot{q}_i \,.$$

गति के समीकरण
संदर्भ के लिए, स्वतंत्रता की $d ζ/dt = (dζ_{1}/dt, dζ_{2}/dt, ..., dζ_{s}/dt)$ कोटि के लिए यूलर-लैग्रेंज समीकरण, निर्देशांक में $s$ युग्मित द्वितीय कोटि के साधारण अवकल समीकरणों का समुच्चय है।


 * $$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} = \frac{\partial L}{\partial q_j} \,, $$

जहां $s$, और स्वतंत्रता की $j = 1, 2, ..., s$ डिग्री के लिए हैमिल्टनियन समीकरण निर्देशांक और संवेग में $n$ युग्मित प्रथम क्रम साधारण अवकल समीकरणों का समुच्चय है।


 * $$\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i} \,,\quad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i} \,. $$

नीचे, गति के रूथियन समीकरणों को दो विधियों से प्राप्त किया जाता है, इस प्रक्रिया में अन्य उपयोगी डेरिवेटिव पाए जाते हैं | जिनका उपयोग कहीं और किया जा सकता है।

स्वतंत्रता की दो डिग्री
स्वतंत्रता की दो डिग्री $2n$ और $q$ के साथ एक प्रणाली के स्थिति पर विचार करें, सामान्यीकृत वेग $ζ$ और $dq/dt$ के साथ और लाग्रंगियन समय-निर्भर है। (स्वतंत्रता की किसी भी संख्या के लिए सामान्यीकरण सही उसी प्रक्रिया का पालन करता है जो दो के साथ होती है)। प्रणाली के लाग्रंगियन का रूप होता है।


 * $$ L(q, \zeta, \dot{q}, \dot{\zeta}, t) $$

$dζ/dt$ एक यांत्रिकी का अवकल है।


 * $$ dL = \frac{\partial L}{\partial q}dq + \frac{\partial L}{\partial \zeta}d\zeta + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}d\dot{q} + \frac{\partial L}{\partial \dot{\zeta}}d\dot{\zeta} + \frac{\partial L}{\partial t}dt \,. $$

अब समुच्चय ($L$, $q$, $ζ$, $dq/dt$) को ($dζ/dt$, $q$, $ζ$, $p$) तक वेरिएबल्स को बदलें, बस वेग $dζ/dt$ को मोमेंटम $dq/dt$ पर स्विच करें। डिफरेंशियल्स में वेरिएबल्स का यह बदलाव लीजेंड्रे ट्रांसफॉर्मेशन है। $p$ को बदलने के लिए नए फलन का अंतर $L$, $dq$, $dζ$, $dp$, और $d(dζ/dt)$ में अंतर का योग होगा। सामान्यीकृत संवेग की परिभाषा और निर्देशांक $dt$ के लिए लैग्रेंज के समीकरण का उपयोग करता है।


 * $$p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \,,\quad \dot{p} = \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = \frac{\partial L}{\partial q}$$

अपने पास


 * $$ dL = \dot{p}dq + \frac{\partial L}{\partial \zeta}d\zeta + p d\dot{q} + \frac{\partial L}{\partial \dot{\zeta}}d\dot{\zeta} + \frac{\partial L}{\partial t}dt $$

और प्रतिस्थापित करना $q$ द्वारा $pd(dq/dt)$, अवकलों के लिए उत्पाद नियम को याद करें, और विकल्प


 * $$ pd\dot{q} = d(\dot{q} p) - \dot{q}dp $$

वेरिएबल्स के नए समुच्चय के संदर्भ में एक नए फलन का अवकल प्राप्त करने के लिए:


 * $$ d(L-p\dot{q}) = \dot{p} dq + \frac{\partial L}{\partial \zeta}d\zeta - \dot{q} dp + \frac{\partial L}{\partial \dot{\zeta}}d\dot{\zeta} + \frac{\partial L}{\partial t}dt \,. $$

रूथियन का परिचय


 * $$ R(q,\zeta,p,\dot{\zeta},t) = p \dot{q}(p) - L $$

जहाँ फिर से वेग $(dq/dt)dp$ गति का कार्य p है। अपने पास


 * $$ dR = -\dot{p} dq - \frac{\partial L}{\partial \zeta}d\zeta + \dot{q}dp - \frac{\partial L}{\partial \dot{\zeta}}d\dot{\zeta} - \frac{\partial L}{\partial t}dt\,, $$

किंतु उपरोक्त परिभाषा से, रूथियन का अवकल है।


 * $$ dR = \frac{\partial R }{\partial q}dq + \frac{\partial R }{\partial \zeta}d\zeta + \frac{\partial R }{\partial p}dp + \frac{\partial R }{\partial \dot{\zeta}}d\dot{\zeta} + \frac{\partial R}{\partial t}dt \,.$$

अवकलन $u$, $v$, $d(uv) = udv + vdu$, $dq/dt$, और $dq$, के गुणांकों की तुलना करने पर परिणाम निर्देशांक $dζ$ के लिए हैमिल्टन के समीकरण हैं |


 * $$ \dot{q} = \frac{\partial R}{\partial p} \,,\quad \dot{p} = -\frac{\partial R}{\partial q} \,,$$

और निर्देशांक $dp$ के लिए लैग्रेंज का समीकरण


 * $$\frac{d}{dt}\frac{\partial R}{\partial \dot{\zeta}} = \frac{\partial R}{\partial \zeta} $$

जो इससे अनुसरण करता है।


 * $$ \frac{\partial L}{\partial \zeta} = - \frac{\partial R}{\partial \zeta} \,,\quad \frac{\partial L}{\partial \dot{\zeta}} = - \frac{\partial R}{\partial \dot{\zeta}} \,, $$

और दूसरे समीकरण का कुल समय व्युत्पन्न करना और पहले के समान करना ध्यान दें कि रूथियन गति के सभी समीकरणों में हैमिल्टनियन और लैग्रैंगियन कार्यों की स्थान लेता है।

शेष समीकरण $d(dζ/dt)$ और $dt$ का आंशिक समय डेरिवेटिव नकारात्मक बताता है।


 * $$\frac{\partial L}{\partial t}=-\frac{\partial R}{\partial t}\,.$$

स्वतंत्रता की कोई भी डिग्री
$q$ निर्देशांक के लिए जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, रोउथियन के साथ समन्वय करता है।


 * $$R(q_1,\ldots,q_n,\zeta_1,\ldots,\zeta_s, p_1, \ldots,p_n, \dot{\zeta}_1 , \ldots,\dot{\zeta}_s,t) = \sum_{i=1}^n p_i\dot{q}_i(p_i) - L$$

गति के समीकरणों को पिछले अनुभाग की तरह इस रौथियन के लेजेंड्रे परिवर्तन द्वारा प्राप्त किया जा सकता है, किंतु दूसरा विधि यह है कि केवल आंशिक डेरिवेटिव्स को लिया जाए $ζ$ निर्देशांक के संबंध में $L$ और $R$, क्षण $n + s$, और वेग $R$ है। जहाँ $q_{i}$, और $ζ_{j}$. डेरिवेटिव है।


 * $$ \frac{\partial R}{\partial q_i} = -\frac{\partial L}{\partial q_i} = - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = - \dot{p}_i $$
 * $$ \frac{\partial R}{\partial p_i} = \dot{q}_i $$
 * $$ \frac{\partial R}{\partial \zeta_j} = - \frac{\partial L}{\partial \zeta_j} \,, $$
 * $$ \frac{\partial R}{\partial \dot{\zeta}_j} = - \frac{\partial L}{\partial \dot{\zeta}_j} \,, $$
 * $$ \frac{\partial R}{\partial t} = - \frac{\partial L}{\partial t} \,. $$

पहले दो समान रूप से हैमिल्टनियन समीकरण हैं। समीकरणों के चौथे समुच्चय के कुल समय व्युत्पन्न को तीसरे के साथ समान करना (प्रत्येक मान के लिए $p_{i}$) लाग्रंगियन समीकरण देता है। पाँचवाँ समय आंशिक डेरिवेटिव के बीच पहले जैसा ही संबंध है। संक्षेप में

समीकरणों की कुल संख्या $dζ_{j}/dt$ है, $i = 1, 2, ..., n$ हैमिल्टनियन समीकरण प्लस $j = 1, 2, ..., s$ लैग्रेंज समीकरण है।

ऊर्जा
चूँकि लाग्रंगियन में ऊर्जा के समान इकाइयाँ हैं, रोउथियन की इकाइयाँ भी ऊर्जा हैं। एसआई इकाइयों में यह जूल है।

लाग्रंगियन का कुल समय व्युत्पन्न करने से सामान्य परिणाम प्राप्त होता है


 * $$\frac{\partial L}{\partial t} = \frac{d }{d t}\left(\sum_{i=1}^n \dot{q}_i\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} + \sum_{j=1}^s \dot{\zeta}_j\frac{\partial L}{\partial \dot{\zeta}_j} - L\right)\,.$$

यदि लाग्रंगियन समय से स्वतंत्र है, तो लाग्रंगियन का आंशिक समय व्युत्पन्न शून्य $j$ है, इसलिए कोष्ठक में कुल समय व्युत्पन्न के अनुसार मात्रा स्थिर होनी चाहिए, यह प्रणाली की कुल ऊर्जा है।


 * $$E = \sum_{i=1}^n \dot{q}_i\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} + \sum_{j=1}^s \dot{\zeta}_j\frac{\partial L}{\partial \dot{\zeta}_j} - L\,.$$

(यदि बाहरी क्षेत्र प्रणाली के घटकों के साथ परस्पर क्रिया कर रहे हैं, तो वे पूरे स्थान में भिन्न हो सकते हैं किंतु समय नहीं)। इस अभिव्यक्ति के लिए सभी वेगों $2n + s$ और $2n$ के संबंध में $s$ के आंशिक डेरिवेटिव की आवश्यकता है। $∂L/∂t = 0$ की समय स्वतंत्र होने की एक ही स्थिति के अनुसार रौथियन के संदर्भ में ऊर्जा $dq_{i}/dt$ की परिभाषा को प्रतिस्थापित करने और वेग $dζ_{j}/dt$ के संबंध में $L$ के आंशिक डेरिवेटिव को थोड़ा सरल है।


 * $$E = R - \sum_{j=1}^s \dot{\zeta}_j\frac{\partial R}{\partial \dot{\zeta}_j} \,.$$

वेग $R$ के संबंध में केवल $R$ के आंशिक डेरिवेटिव पर ध्यान दें। इस स्थिति में कि $dζ_{j}/dt$ और रौथियन स्पष्ट रूप से समय-स्वतंत्र है तो $R$ अर्थात रौथियन प्रणाली की ऊर्जा के समान है। $dζ_{j}/dt$ के लिए समान अभिव्यक्ति जब $R$ भी हैमिल्टनियन है तो सभी $s = 0$ में।

यदि रूथियन की स्पष्ट समय निर्भरता है, तो प्रणाली की कुल ऊर्जा स्थिर नहीं है। सामान्य परिणाम है


 * $$\frac{\partial R}{\partial t} = \dfrac{d}{dt}\left(R - \sum_{j=1}^s \dot{\zeta}_j\frac{\partial R}{\partial \dot{\zeta}_j} \right)\,,$$

जिसे $E = R$ के कुल समय व्युत्पन्न से उसी तरह प्राप्त किया जा सकता है। जैसे $R$ के लिए

चक्रीय निर्देशांक
अधिकांशतः रूथियन दृष्टिकोण कोई लाभ नहीं दे सकता है। किंतु उल्लेखनीय स्थिति जहां यह उपयोगी होता है, जब प्रणाली में चक्रीय निर्देशांक होते हैं (जिन्हें अज्ञानी निर्देशांक भी कहा जाता है), परिभाषा के अनुसार वे निर्देशांक जो मूल लाग्रंगियन में प्रकट नहीं होते हैं। लाग्रंगियन समीकरण शक्तिशाली परिणाम हैं | सिद्धांत और व्यवहार में अधिकांशतः उपयोग किया जाता है, क्योंकि निर्देशांक में गति के समीकरण स्थापित करना सरल है। चूंकि, यदि चक्रीय निर्देशांक होते हैं, तब भी सभी निर्देशांकों को हल करने के लिए समीकरण होते है, जिसमें चक्रीय निर्देशांक भी सम्मिलित हैं | लैग्रैंगियन में उनकी अनुपस्थिति के अतिरिक्त है। मिल्टनियन समीकरण उपयोगी सैद्धांतिक परिणाम हैं, किंतु व्यवहार में कम उपयोगी हैं क्योंकि निर्देशांक और संवेग समाधानों में एक साथ संबंधित हैं | समीकरणों को हल करने के बाद निर्देशांक और संवेग को एक दूसरे से हटा दिया जाना चाहिए। फिर भी, हैमिल्टनियन समीकरण चक्रीय निर्देशांक के लिए पूरी तरह से अनुकूल हैं | क्योंकि चक्रीय निर्देशांक में समीकरण सामान्य रूप से विलुप्त हो जाते हैं, केवल गैर चक्रीय निर्देशांक में समीकरण छोड़ते हैं।

रूथियन दृष्टिकोण में दोनों दृष्टिकोणों में से सबसे अच्छा है। क्योंकि चक्रीय निर्देशांक को हैमिल्टनियन समीकरणों से विभाजित किया जा सकता है और गैर-चक्रीय निर्देशांकों को पीछे छोड़ते हुए लैग्रैंगियन समीकरणों से हल किया जा सकता है। लाग्रंगियन दृष्टिकोण की तुलना में कुल मिलाकर कम समीकरणों को हल करने की आवश्यकता है।

राउथियन फॉर्मूलेशन चक्रीय निर्देशांक वाले प्रणाली के लिए उपयोगी है, क्योंकि परिभाषा के अनुसार वे निर्देशांक $s = 0$, और इसलिए $E = R = H$ दर्ज नहीं होते हैं | $R$ और $L$ के संगत आंशिक डेरिवेटिव उन निर्देशांकों के संबंध में शून्य हैं, जो संबंधित सामान्यीकृत संवेग के समान है जो स्थिरांक को कम करता है। इसे ठोस बनाने के लिए, यदि $L$ सभी चक्रीय निर्देशांक हैं, और तब $R$ सभी गैर चक्रीय हैं |


 * $$\frac{\partial L}{\partial q_i} = \dot{p}_i = - \frac{\partial R}{\partial q_i} = 0 \quad \Rightarrow \quad p_i = \alpha_i \,, $$

जहां $L$ नियतांक हैं। इन स्थिरांकों को रूथियन में प्रतिस्थापित करने पर, $R$ केवल गैर चक्रीय निर्देशांक और वेगों (और सामान्य समय में भी) का कार्य है।


 * $$R(\zeta_1,\ldots,\zeta_s,\alpha_1,\ldots,\alpha_n,\dot{\zeta}_1,\ldots,\dot{\zeta}_s,t) = \sum_{i=1}^n \alpha_i\dot{q}_i(\alpha_i) - L(\zeta_1,\ldots,\zeta_s,\dot{q}_1(\alpha_1),\ldots,\dot{q}_n(\alpha_n),\dot{\zeta}_1,\ldots,\dot{\zeta}_s,t) \,, $$
 * चक्रीय निर्देशांक $q_{i}$ में हैमिल्टनियन समीकरण स्वचालित रूप से विलुप्त हो जाता है।
 * $$\dot{q}_i=\frac{\partial R}{\partial \alpha_i}=f_i( \zeta_1(t),\ldots,\zeta_s(t), \dot{\zeta}_1(t),\ldots,\dot{\zeta}_s(t), \alpha_1,\ldots,\alpha_n,t) \,,\quad \dot{p}_i=-\frac{\partial R}{\partial q_i}=0\,,$$

और यह लाग्रंगियन समीकरण गैर चक्रीय निर्देशांक $ζ_{j}$ में हैं |


 * $$\frac{d}{dt}\frac{\partial R}{\partial \dot{\zeta}_j} = \frac{\partial R}{\partial \zeta_j} \,. $$

इस प्रकार हैमिल्टनियन समीकरणों के लाभ के साथ चक्रीय निर्देशांकों को स्पष्ट रूप से हटाने के साथ, गैर-चक्रीय निर्देशांकों में लाग्रंगियन समीकरणों को हल करने के लिए समस्या को कम कर दिया गया है। उन समाधानों का उपयोग करके, के लिए समीकरण $$\dot{q}_i$$गणना करने के लिए एकीकृत $$q_i(t)$$ किया जा सकता है।

यदि हम रुचि रखते हैं कि चक्रीय निर्देशांक समय के साथ कैसे बदलते हैं, तो चक्रीय निर्देशांक के अनुरूप सामान्यीकृत वेगों के समीकरणों को एकीकृत किया जा सकता है।

उदाहरण
राउत की प्रक्रिया इस बात की गारंटी नहीं देती कि गति के समीकरण सरल होंगे, चूंकि इससे कम समीकरण बनेंगे।

गोलाकार निर्देशांक में केंद्रीय क्षमता
चक्रीय निर्देशांक वाले यांत्रिक प्रणालियों का सामान्य वर्ग केंद्रीय क्षमता वाले होते हैं, क्योंकि इस रूप की क्षमता केवल रेडियल अलगाव पर निर्भर होती है और कोणों पर कोई निर्भरता नहीं होती है।

गोलाकार ध्रुवीय निर्देशांक $α_{i}$ में केंद्रीय क्षमता $R$ के प्रभाव में द्रव्यमान $2n$ के कण पर विचार करें।


 * $$L(r,\dot{r},\theta,\dot{\theta},\dot{\phi}) = \frac{m}{2}(\dot{r}^2 + {r}^2\dot{\theta}^2 + r^2 \sin^2\theta\dot{\phi}^2) - V(r) \,. $$

सूचना $s$ चक्रीय है, क्योंकि यह लाग्रंगियन में प्रकट नहीं होता है। संवेग संयुग्मित होता है $(r, θ, φ)$ नियतांक है।


 * $$p_\phi = \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}} = mr^2\sin^2\theta\dot{\phi}\,,$$

जिसमें $V(r)$ और $m$ समय के साथ बदल सकता है, किंतु कोणीय गति $φ$ स्थिर है। रूथियन को लिया जा सकता है


 * $$\begin{align}

R(r,\dot{r},\theta,\dot{\theta}) & = p_\phi\dot{\phi} - L \\ & = p_\phi\dot{\phi} - \frac{m}{2}\dot{r}^2 - \frac{m}{2}r^2\dot{\theta}^2 - \frac{p_\phi\dot{\phi}}{2} + V(r) \\ & = \frac{p_\phi\dot{\phi}}{2} - \frac{m}{2}\dot{r}^2 - \frac{m}{2}r^2\dot{\theta}^2 + V(r) \\ & = \frac{p_\phi^2 }{2mr^2\sin^2\theta} - \frac{m}{2}\dot{r}^2 - \frac{m}{2}r^2\dot{\theta}^2 + V(r) \,. \end{align}$$ हम के लिए हल कर सकते हैं | $φ$ और $r$ लैग्रेंज के समीकरणों का उपयोग करके, और इसके लिए हल $dφ/dt$ करने की आवश्यकता नहीं है। क्योंकि यह हैमिल्टन के समीकरणों द्वारा समाप्त हो गया है। वह $p_{φ}$ समीकरण है।


 * $$\frac{d}{dt} \frac{\partial R}{\partial \dot{r}} = \frac{\partial R}{\partial r} \quad\Rightarrow\quad-m\ddot{r} = -\frac{p_\phi^2}{mr^3\sin^2\theta} - mr\dot{\theta}^2 + \frac{\partial V}{\partial r} \,, $$

और यह $r$ समीकरण है।


 * $$\frac{d}{dt} \frac{\partial R}{\partial \dot{\theta}} = \frac{\partial R}{\partial \theta} \quad\Rightarrow\quad -m(2r\dot{r}\dot{\theta} + r^2\ddot{\theta}) = -\frac{p_\phi^2\cos\theta}{mr^2\sin^3\theta} \,. $$

रूथियन दृष्टिकोण ने दो युग्मित अरैखिक समीकरण प्राप्त किए हैं। इसके विपरीत लाग्रंगियन दृष्टिकोण तीन अरैखिक युग्मित समीकरणों की ओर जाता है, पहली और दूसरी बार डेरिवेटिव में मिश्रण $θ$ उन सभी में, लाग्रंगियन से इसकी अनुपस्थिति के अतिरिक्त वह $φ$ समीकरण है।


 * $$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = \frac{\partial L}{\partial r} \quad\Rightarrow\quad m\ddot{r} = mr\dot{\theta}^2 + mr\sin^2\theta\dot{\phi}^2 - \frac{\partial V}{\partial r} \,,$$
 * $r$ समीकरण है।
 * $θ$ समीकरण है।


 * $$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = \frac{\partial L}{\partial \theta} \quad\Rightarrow\quad 2r\dot{r}\dot{\theta} + r^2\ddot{\theta} = r^2 \sin\theta\cos\theta\dot{\phi}^2\,, $$

$φ$ समीकरण है।
 * $$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}} = \frac{\partial L}{\partial \phi} \quad\Rightarrow\quad 2r\dot{r}\sin^2\theta\dot{\phi} + 2r^2 \sin\theta\cos\theta \dot{\theta}\dot{\phi} + r^2\sin^2\theta \ddot{\phi}=0 \,. $$

गोलाकार पेंडुलम
गोलाकार पेंडुलम, द्रव्यमान $r$ पर विचार करें (एक पेंडुलम बॉब के रूप में जाना जाता है) लंबाई की कठोर छड़ से जुड़ा हुआ है। नगण्य द्रव्यमान का, स्थानीय गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के अधीन $θ$. प्रणाली कोणीय वेग $φ$ से घूमती है। जो स्थिर नहीं है। रॉड और वर्टिकल के बीच का कोण $m$ है और स्थिर नहीं है।

लाग्रंगियन है।
 * $$L(\theta,\dot{\theta},\dot{\phi}) = \frac{m\ell^2}{2}(\dot{\theta}^2 + \sin^2\theta \dot{\phi}^2) + mg\ell\cos\theta \,, $$

और $g$ स्थिर संवेग वाली प्रणाली के लिए चक्रीय निर्देशांक है।


 * $$p_\phi = \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}} = m\ell^2\sin^2\theta \dot{\phi} \,. $$

जो फिर से ऊर्ध्वाधर के बारे में भौतिक रूप से निकाय का कोणीय संवेग है। कोना $dφ/dt$ और कोणीय वेग $θ$ समय के साथ बदलता रहता है, किंतु कोणीय संवेग स्थिर रहता है। रोउथियन है


 * $$\begin{align}

R(\theta,\dot{\theta}) & = p_\phi \dot{\phi} - L \\ & = p_\phi \dot{\phi} - \frac{m\ell^2}{2}\dot{\theta}^2 - \frac{p_\phi \dot{\phi}}{2} - mg\ell\cos\theta \\ & = \frac{p_\phi \dot{\phi}}{2} - \frac{m\ell^2}{2}\dot{\theta}^2 - mg\ell\cos\theta \\ & = \frac{p_\phi^2 }{2m\ell^2\sin^2\theta} - \frac{m\ell^2}{2}\dot{\theta}^2 - mg\ell\cos\theta \end{align}$$
 * $φ$ समीकरण लाग्रंगियन समीकरणों से पाया जाता है।
 * $θ$ समीकरण लाग्रंगियन समीकरणों से पाया जाता है।


 * $$\frac{d}{dt}\frac{\partial R}{\partial \dot{\theta}} = \frac{\partial R}{\partial \theta} \quad \Rightarrow \quad - m\ell^2\ddot{\theta} = -\frac{p_\phi^2 \cos\theta}{m\ell^2\sin^3\theta} + mg\ell\sin\theta \,,$$

या स्थिरांक का परिचय देकर सरल करना है।


 * $$a = \frac{p_\phi^2}{m^2\ell^4}\,,\quad b = \frac{g}{\ell} \,,$$

देता है


 * $$\ddot{\theta} = a\frac{\cos\theta}{\sin^3\theta} - b \sin\theta \,.$$

यह समीकरण साधारण अरैखिक पेंडुलम समीकरण जैसा दिखता है, क्योंकि यह ऊर्ध्वाधर अक्ष के माध्यम से झूल सकता है, ऊर्ध्वाधर अक्ष के बारे में रोटेशन के लिए खाते में अतिरिक्त पद के साथ (स्थिर $dφ/dt$ कोणीय गति $θ$ से संबंधित है).

लाग्रंगियन दृष्टिकोण को प्रयुक्त करने से हल करने के लिए दो अरैखिक युग्मित समीकरण हैं। वह $a$ समीकरण है।


 * $$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = \frac{\partial L}{\partial \theta} \quad\Rightarrow\quad m\ell^2\ddot{\theta} = m\ell^2 \sin\theta\cos\theta\dot{\phi}^2 -mg\ell\sin\theta \,, $$

और यह $p_{φ}$ समीकरण है।


 * $$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}} = \frac{\partial L}{\partial \phi} \quad\Rightarrow\quad 2\sin\theta\cos\theta \dot{\theta}\dot{\phi} + \sin^2\theta \ddot{\phi}=0 \,. $$

भारी सममित शीर्ष
द्रव्यमान का भारी सममित शीर्ष $θ$ में लाग्रंगियन है।
 * $$L(\theta,\dot{\theta},\dot{\psi},\dot{\phi})=\frac{I_1}{2}(\dot{\theta}^2 + \dot{\phi}^2\sin^2\theta) + \frac{I_3}{2}(\dot{\psi}^2+\dot{\phi}^2\cos^2\theta)+I_3\dot{\psi}\dot{\phi}\cos\theta-Mg\ell\cos\theta$$

जहां $φ$ यूलर कोण हैं $M$ ऊर्ध्वाधर $ψ, φ, θ$-अक्ष और शीर्ष के $θ$-अक्ष के बीच का कोण है, $z$ अपने स्वयं के $z&prime;$-अक्ष के बारे में शीर्ष का घूर्णन है और $ψ$ शीर्ष के $z&prime;$ का अज़ीमुथल है। ऊर्ध्वाधर $φ$-अक्ष के चारों ओर अक्ष जड़त्व के प्रमुख क्षण शीर्ष के अपने $z$ अक्ष के बारे में $z$ हैं | $x&prime;$ शीर्ष के अपने $I_{1}$' अक्ष के बारे में, और $I_{2}$ शीर्ष के अपने $y&prime;$-अक्ष के बारे में हैं। चूंकि शीर्ष अपने $I_{3}$-अक्ष के बारे में सममित है, $z&prime;$ यहाँ स्थानीय गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा के लिए सरल संबंध $z&prime;$ का उपयोग किया जाता है जहाँ $I_{1} = I_{2}$ गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है और शीर्ष के द्रव्यमान का केंद्र इसके सिरे से इसके $V = Mglcosθ$-अक्ष के साथ दूरी $g$ है।

कोण $z&prime;$ चक्रीय हैं। स्थिर संवेग शीर्ष के अपनी धुरी के बारे में कोणीय संवेग और ऊर्ध्वाधर के बारे में इसकी अग्रता क्रमशः हैं:


 * $$p_\psi = \frac{\partial L}{\partial \dot{\psi}} = I_3\dot{\psi} + I_3\dot{\phi} \cos\theta $$
 * $$p_\phi = \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}} = \dot{\phi}(I_1\sin^2\theta + I_3\cos^2\theta) + I_3\dot{\psi}\cos\theta $$

इनमें $l$ से,


 * $$p_\phi - p_\psi\cos\theta = I_1\dot{\phi}\sin^2\theta$$

अपने पास


 * $$ \dot{\phi} = \frac{p_\phi - p_\psi\cos\theta}{I_1\sin^2\theta}\,, $$

और समाप्त करना $ψ, φ$, इस परिणाम को इसमें बदलें $dψ/dt$ और हल करें $dφ/dt$ खोजने के लिए


 * $$\dot{\psi} = \frac{p_\psi}{I_3} - \cos\theta \left(\frac{p_\phi - p_\psi\cos\theta}{I_1\sin^2\theta}\right) \,.$$

रूथियन को लिया जा सकता है।


 * $$R(\theta,\dot{\theta}) = p_\psi\dot{\psi} + p_\phi\dot{\phi} - L = \frac{1}{2}(p_\psi\dot{\psi} + p_\phi\dot{\phi}) - \frac{I_1 \dot{\theta}^2}{2} + Mg\ell \cos\theta $$

और तबसे


 * $$ \frac{p_\phi\dot{\phi}}{2} = \frac{p_\phi^2}{2I_1\sin^2\theta} - \frac{p_\psi p_\phi\cos\theta}{2I_1\sin^2\theta}\,, $$
 * $$\frac{p_\psi \dot{\psi}}{2} = \frac{p_\psi^2}{2I_3} - \frac{p_\psi p_\phi\cos\theta }{2I_1\sin^2\theta} + \frac{p_\psi^2 \cos^2\theta}{2I_1\sin^2\theta}$$

अपने पास


 * $$R = \frac{p_\psi^2}{2I_3} + \frac{p_\psi^2 \cos^2\theta}{2I_1\sin^2\theta} + \frac{p_\phi^2}{2I_1\sin^2\theta} - \frac{p_\psi p_\phi\cos\theta}{I_1\sin^2\theta} - \frac{I_1 \dot{\theta}^2}{2} + Mg\ell \cos\theta \,. $$

पहला शब्द स्थिर है, और इसे अनदेखा किया जा सकता है। क्योंकि केवल आर के डेरिवेटिव्स गति के समीकरणों में प्रवेश करेंगे जानकारी के हानि के बिना, सरलीकृत रौथियन इस प्रकार है।


 * $$R = \frac{1}{2I_1\sin^2\theta}\left[p_\psi^2 \cos^2\theta + p_\phi^2 - 2 p_\psi p_\phi \cos\theta\right] - \frac{I_1 \dot{\theta}^2}{2} + Mg\ell \cos\theta $$

के लिए गति का समीकरण $p_{ψ}$ प्रत्यक्ष गणना द्वारा है।


 * $$\frac{d}{dt}\frac{\partial R}{\partial \dot{\theta}} = \frac{\partial R}{\partial \theta} \quad \Rightarrow \quad $$
 * $$-I_1\ddot{\theta} = -\frac{\cos\theta}{I_1\sin^3\theta}\left[p_\psi^2 \cos^2\theta + p_\phi^2 - \frac{p_\psi p_\phi}{2} \cos\theta\right] + \frac{1}{2I_1\sin^2\theta} \left[-2 p_\psi^2 \cos\theta\sin\theta + \frac{p_\psi p_\phi}{2} \sin\theta\right] -Mg\ell\sin\theta \,, $$

या स्थिरांक का परिचय देकर


 * $$a = \frac{p_\psi^2}{I_1^2} \,,\quad b = \frac{p_\phi^2}{I_1^2}\,,\quad c=\frac{p_\psi p_\phi}{2 I_1^2}\,,\quad k= \frac{Mg\ell}{I_1}\,,$$

समीकरण का सरल रूप प्राप्त होता है।


 * $$\ddot{\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin^3\theta}( a\cos^2\theta +b -c\cos\theta ) + \frac{1}{2\sin\theta} (2 a \cos\theta - c) + k\sin\theta \,. $$

चूंकि समीकरण अत्यधिक गैर-रैखिक है, हल करने के लिए केवल समीकरण है, इसे सीधे प्राप्त किया गया था, और चक्रीय निर्देशांक सम्मिलित नहीं हैं।

इसके विपरीत, निर्देशांकों की अनुपस्थिति के अतिरिक्त, लाग्रंगियन दृष्टिकोण तीन अरैखिक युग्मित समीकरणों $dψ/dt$ और $θ$ लाग्रंगियन को हल करने की ओर ले जाता है। वह $ψ$ समीकरण है।


 * $$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = \frac{\partial L}{\partial \theta} \quad\Rightarrow \quad I_1\ddot{\theta} = (I_1- I_3)\dot{\phi}^2\sin\theta\cos\theta -I_3\dot{\psi}\dot{\phi}\sin\theta +Mg\ell\sin\theta\,,$$

$φ$ समीकरण है।
 * $$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\psi}} = \frac{\partial L}{\partial \psi} \quad\Rightarrow \quad \ddot{\psi} +  \ddot{\phi}\cos\theta - \dot{\phi}\dot{\theta}\sin\theta= 0 \,,$$

और यह $θ$ समीकरण है।


 * $$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}} = \frac{\partial L}{\partial \phi} \quad\Rightarrow \quad \ddot{\phi}(I_1\sin^2\theta + I_3\cos^2\theta) + \dot{\phi}(I_1 - I_3)2\sin\theta\cos\theta\dot{\theta} + I_3\ddot{\psi}\cos\theta - I_3\dot{\psi}\sin\theta\dot{\theta} =0 \,,$$

एक समान चुंबकीय क्षेत्र में मौलिक आवेशित कण


द्रव्यमान $ψ$ और बिजली का आवेश $φ$ के एक स्थिर (समय-स्वतंत्र) समरूप (पूरे स्थान पर स्थिर) चुंबकीय क्षेत्र में $r$ के एक मौलिक आवेशित कण पर विचार करें। चुंबकीय क्षमता $dθ/dt$ और विद्युत क्षमता द्वारा दिए गए सामान्य विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में आवेशित कण के लिए लाग्रंगियन $$\phi$$ है।


 * $$L = \frac{m}{2} \dot{\mathbf{r}}^2 - q \phi + q \dot{\mathbf{r}} \cdot \mathbf{A} \,, $$

बेलनाकार निर्देशांक $z$ का उपयोग करना विधिजनक है, जिससे


 * $$\dot{\mathbf{r}} = \mathbf{v} = (v_r, v_\theta,v_z) = (\dot{r},r\dot{\theta},\dot{z}) \,, $$
 * $$\mathbf{B} = (B_r,B_\theta,B_z) = (0,0,B)\,. $$

विद्युत क्षेत्र न होने की स्थिति में विद्युत विभव शून्य होता है। $$\phi=0$$, और हम चुंबकीय क्षमता के लिए अक्षीय गेज चुन सकते हैं |


 * $$\mathbf{A} = \frac{1}{2}\mathbf{B}\times\mathbf{r} \quad \Rightarrow \quad \mathbf{A} = (A_r,A_\theta,A_z) = (0,Br/2,0)\,, $$

और लाग्रंगियन है।


 * $$L(r,\dot{r},\dot{\theta},\dot{z}) = \frac{m}{2} (\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2 + \dot{z}^2) + \frac{qB r^2\dot{\theta}}{2} \,. $$

ध्यान दें कि इस क्षमता में प्रभावी रूप से बेलनाकार समरूपता है (चूंकि इसमें कोणीय वेग निर्भरता भी है), क्योंकि केवल स्थानिक निर्भरता काल्पनिक सिलेंडर अक्ष से रेडियल लंबाई पर है।

दो चक्रीय निर्देशांक हैं, $r$ और $dθ/dt$ विहित संवेग $m$ और $q$ के संयुग्मी स्थिरांक हैं |


 * $$p_{\theta} = \frac{\partial L}{\partial \dot {\theta}} = mr^2\dot {\theta} + \frac{qBr^2}{2} \,,\quad p_z = \frac{\partial L}{\partial \dot {z}} = m\dot{z} \,,$$

इसलिए वेग हैं |


 * $$\dot {\theta} = \frac{1}{mr^2}\left(p_\theta - \frac{qBr^2}{2}\right) \,,\quad \dot{z} = \frac{p_z}{m}\,.$$

Z अक्ष के बारे में कोणीय गति $B$ नहीं है, किंतु मात्रा $A$, जो चुंबकीय क्षेत्र के योगदान के कारण संरक्षित नहीं है। विहित गति $(r, θ, z)$ संरक्षित मात्रा है। अब भी यही हाल है कि $θ$ z अक्ष के साथ रैखिक या अनुवाद संबंधी गति है, जिसे संरक्षित भी किया जाता है।

रेडियल घटक $z$ और कोणीय वेग $θ$ समय के साथ बदल सकता है, किंतु $z$ स्थिर है, और चूँकि $p_{θ}$ स्थिर है इसलिए $mr^{2}dθ/dt$ स्थिर है। रौथियन रूप ले सकता है।


 * $$\begin{align}

R(r,\dot{r}) & = p_{\theta}\dot{\theta}+p_z\dot{z} - L \\ & = p_{\theta}\dot{\theta}+p_z\dot{z} - \frac{m}{2}\dot r^2 - \frac{p_\theta\dot{\theta}}{2} - \frac{p_z\dot{z}}{2} - \frac{1}{2}qBr^2\dot{\theta} \\[6pt] & = (p_\theta - qBr^2 )\frac{\dot{\theta}}{2} - \frac{m}{2}\dot r^2 + \frac{p_z\dot{z}}{2} \\ [6pt] & = \frac{1}{2mr^2} \left(p_\theta - qBr^2 \right)\left(p_\theta - \frac{qBr^2}{2} \right) - \frac{m}{2}\dot{r}^2 + \frac{p_z^2}{2m} \\[6pt] & = \frac{1}{2mr^2} \left(p_\theta^2 - \frac{3}{2}qBr^2 + \frac{(qB)^2r^4}{2} \right) - \frac{m}{2}\dot{r}^2 \end{align}$$ जहां अंतिम पंक्ति में, $p_{θ}$ शब्द स्थिर है और निरंतरता के नुकसान के बिना इसे अनदेखा किया जा सकता है। के लिए हैमिल्टनियन समीकरण $p_{z}$ और $r$ स्वचालित रूप से विलुप्त हो जाता है और इसके लिए हल करने की आवश्यकता नहीं होती है। लाग्रंगियन समीकरण $dθ/dt$ में


 * $$\frac{d}{dt}\frac{\partial R}{\partial \dot{r}} = \frac{\partial R}{\partial r} $$

प्रत्यक्ष गणना से है।


 * $$-m\ddot{r} = \frac{1}{2m}\left[\frac{-2}{r^3} \left(p_\theta^2 - \frac{3}{2}qBr^2 + \frac{(qB)^2 r^4}{2} \right) + \frac{1}{r^2}(- 3qBr + 2(qB)^2r^3)\right] \,, $$

जो नियमो को एकत्र करने के बाद है \


 * $$m\ddot{r}=\frac{1}{2m}\left[\frac{2p_{\theta}^2}{r^3}-(qB)^2 r\right] \,, $$

और स्थिरांकों का परिचय देकर इसे और सरल बनाना है।


 * $$a = \frac{p_{\theta}^2}{m^2} \,,\quad b = - \frac{(qB)^2}{2m^2} \,, $$

अवकल समीकरण है।


 * $$\ddot{r} = \frac{a}{r^3} + br $$

यह देखने के लिए कि $p_{θ}$ समय के साथ कैसे बदलता है, उपरोक्त $p_{z}$ के लिए संवेग अभिव्यक्ति को एकीकृत करें |


 * $$ z = \frac{p_z}{m}t + c_z \,,$$

जहाँ $dz/dt$ इच्छानुसार स्थिरांक है,जिसका प्रारंभिक स्थितियों $p_{z}^{2}/2m$ का मान निर्दिष्ट किया जाना है।

इस प्रणाली में कण की गति घुमावदार है, अक्षीय गति समरूप (स्थिर) के साथ, किंतु ऊपर व्युत्पन्न गति के समीकरण के अनुसार रेडियल और कोणीय घटक एक सर्पिल में भिन्न होते हैं। $θ$, $z$, $r$, $z$, पर प्रारंभिक स्थितियां निर्धारित करेंगी कि कण के प्रक्षेपवक्र में एक स्थिर $p_{z}$ है या अलग-अलग $c_{z}$ है। यदि प्रारंभ में $z$ शून्य नहीं है किंतु $r$ जबकि $dr/dt$ और $θ$ इच्छानुसार हैं तो कण के प्रारंभिक वेग में कोई रेडियल घटक नहीं है $dθ/dt$ स्थिर है। इसलिए गति पूर्ण हेलिक्स में होगी यदि $r$ स्थिर है तो संरक्षित $r$ के अनुसार कोणीय वेग भी स्थिर है।

लाग्रंगियन दृष्टिकोण के साथ, $r$ के लिए समीकरण $dr/dt = 0$ इसमें सम्मिलित हो जाएगा जिसे समाप्त करना है, और इसके लिए $θ$ और $dθ/dt$ के लिए हल करने के लिए समीकरण है।


 * $$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = \frac{\partial L}{\partial r} \quad\Rightarrow\quad m\ddot{r} = mr\dot{\theta}^2 + qBr\dot{\theta} \,,$$

$r$ समीकरण है।
 * $$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = \frac{\partial L}{\partial \theta} \quad\Rightarrow\quad m(2r\dot{r}\dot {\theta} + r^2\ddot {\theta}) + qBr\dot{r} = 0 \,,$$

और यह $r$ समीकरण है


 * $$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{z}} = \frac{\partial L}{\partial z} \quad\Rightarrow\quad m\ddot{z} = 0 \,.$$

$p_{θ}$ समीकरण एकीकृत करने के लिए सामान्य है, किंतु $r$ और $dθ/dt$ समीकरण किसी भी स्थिति में नहीं हैं, सभी समीकरणों में समय के डेरिवेटिव मिश्रित होते हैं और इसे समाप्त किया जाना चाहिए।

यह भी देखें

 * विविधताओं की गणना
 * फेज़ स्पेस
 * विन्यास स्थान (भौतिकी)
 * कई-बॉडी की समस्या
 * कठोर बॉडी यांत्रिकी

संदर्भ


Функция Рауса