क्वांटम प्रासंगिकता

क्वांटम प्रासंगिकता क्वांटम यांत्रिकी की फेनोमेनोलॉजी (भौतिकी) की एक विशेषता है जिससे क्वांटम वेधशालाओं के मापन को केवल पहले से उपस्थित मूल्यों को प्रकट करने के बारे में नहीं सोचा जा सकता है। यथार्थवादी छिपे-चर सिद्धांत में ऐसा करने का कोई भी प्रयास उन मूल्यों की ओर जाता है जो अन्य (संगत) अवलोकनों की पसंद पर निर्भर होते हैं जो एक साथ मापा जाता है (माप संदर्भ)। अधिक औपचारिक रूप से, एक क्वांटम अवलोकनीय का माप परिणाम (मान लिया गया पूर्व-विद्यमान) उस पर निर्भर करता है, जिस पर अन्य क्रमचयी गुणधर्म नमूदार एक ही माप सेट के भीतर हैं।

कोचेन-स्पेकर प्रमेय | बेल-कोचेन-स्पीकर प्रमेय द्वारा पहली बार प्रासंगिकता को क्वांटम घटना विज्ञान की एक विशेषता के रूप में प्रदर्शित किया गया था। प्रासंगिकता का अध्ययन क्वांटम नींव में रुचि के एक प्रमुख विषय के रूप में विकसित हुआ है क्योंकि यह घटना क्वांटम सिद्धांत के कुछ गैर-मौलिक और प्रति-सहज पहलुओं को स्पष्ट करती है। शीफ (गणित) सिद्धांत के परिप्रेक्ष्य से प्रासंगिकता का अध्ययन करने और बेहतर ढंग से समझने के लिए कई शक्तिशाली गणितीय ढांचे विकसित किए गए हैं। ग्राफ सिद्धांत, हाइपरग्राफ, algebraic topology, and probabilistic couplings.

बेल के प्रमेय के अर्थ में, क्वांटम गैर-स्थानीयता, प्रासंगिकता की अधिक सामान्य घटना के एक विशेष स्थितियों के रूप में देखी जा सकती है, जिसमें माप संदर्भों में माप होते हैं जो अलग-अलग क्षेत्रों में फैले हुए हैं। यह फाइन के प्रमेय से आता है।

क्वांटम प्रासंगिकता को क्वांटम कम्प्यूटेशनल स्पीडअप और क्वांटम कम्प्यूटिंग में क्वांटम सर्वोच्चता के स्रोत के रूप में पहचाना गया है। समकालीन अनुसंधान ने कम्प्यूटेशनल संसाधन के रूप में इसकी उपयोगिता की खोज पर तेजी से ध्यान केंद्रित किया है।

पाक कला और बेकन
1935 में ग्रेट हरमन द्वारा प्रासंगिकता की आवश्यकता पर अनौपचारिक रूप से चर्चा की गई थी, लेकिन यह 30 से अधिक वर्षों के बाद था जब साइमन बी. कोचेन और अर्नस्ट स्पेकर, और अलग से जॉन स्टीवर्ट बेल ने सबूतों का निर्माण किया कि क्वांटम यांत्रिकी की घटना विज्ञान की व्याख्या करने में सक्षम कोई भी यथार्थवादी छिपा-चर सिद्धांत हिल्बर्ट अंतरिक्ष आयाम तीन और प्रणालियों के लिए प्रासंगिक है। बड़ा। कोचेन-स्पीकर प्रमेय सिद्ध करता है कि यथार्थवादी गैर-प्रासंगिक छिपे-चर सिद्धांत क्वांटम यांत्रिकी के अनुभवजन्य भविष्यवाणियों को पुन: उत्पन्न नहीं कर सकते हैं। ऐसा सिद्धांत निम्नलिखित मान लेगा।


 * 1) सभी क्वांटम-मैकेनिकल वेधशालाओं को एक साथ निश्चित मान दिए जा सकते हैं (यह यथार्थवाद अभिधारणा है, जो मानक क्वांटम यांत्रिकी में गलत है, क्योंकि ऐसे अवलोकन हैं जो प्रत्येक दिए गए क्वांटम राज्य में अनिश्चित हैं)। ये वैश्विक मूल्य असाइनमेंट निश्चित रूप से कुछ 'छिपे हुए' मौलिक चर पर निर्भर हो सकते हैं, जो बदले में, कुछ मौलिक कारणों (सांख्यिकीय यांत्रिकी के रूप में) के लिए भिन्न हो सकते हैं। वेधशालाओं के मापा कार्य इसलिए अंततः स्टोकेस्टिक रूप से बदल सकते हैं। चूंकि यह स्टोचैस्टिसिटी ज्ञानात्मक है और क्वांटम यांत्रिकी के मानक सूत्रीकरण की तरह ऑनटिक नहीं है।
 * 2) वैल्यू असाइनमेंट पहले से उपस्थित हैं और किसी भी अन्य वेधशालाओं की पसंद से स्वतंत्र हैं, जो मानक क्वांटम यांत्रिकी में, मापा अवलोकन के साथ आने के रूप में वर्णित हैं, और उन्हें भी मापा जाता है।
 * 3) संगत वेधशालाओं के लिए मूल्यों के असाइनमेंट पर कुछ कार्यात्मक बाधाएं मान ली गई हैं (उदाहरण के लिए, वे योगात्मक और गुणक हैं, चूंकि इस कार्यात्मक आवश्यकता के कई संस्करण हैं)।

इसके अतिरिक्त, कोचेन और स्पीकर ने विषय पर अपने पेपर में द्वि-आयामी क्यूबिट स्थितियों के लिए एक स्पष्ट रूप से गैर-प्रासंगिक छिपे हुए चर मॉडल का निर्माण किया, इस प्रकार क्वांटम सिस्टम के आयाम के लक्षण वर्णन को पूरा करना जो प्रासंगिक व्यवहार प्रदर्शित कर सकता है। बेल के प्रमाण ने ग्लीसन के प्रमेय के एक कमजोर संस्करण का आह्वान किया, यह दिखाने के लिए प्रमेय की पुनर्व्याख्या करते हुए कि क्वांटम प्रासंगिकता केवल दो से अधिक हिल्बर्ट अंतरिक्ष आयाम में उपस्थित है।

शीफ-सैद्धांतिक ढांचा
शेफ़ (गणित)-सैद्धांतिक, या अब्राम्स्की-ब्रैंडेनबर्गर, सैमसन अब्राम्स्की और एडम ब्रांडेनबर्गर द्वारा शुरू की गई प्रासंगिकता के लिए दृष्टिकोण सिद्धांत-स्वतंत्र है और क्वांटम सिद्धांत से परे किसी भी स्थिति में लागू किया जा सकता है जिसमें अनुभवजन्य डेटा संदर्भों में उत्पन्न होता है। क्वांटम सिद्धांत और अन्य भौतिक सिद्धांतों में उत्पन्न होने वाली प्रासंगिकता के रूपों का अध्ययन करने के साथ-साथ इसका उपयोग तर्कशास्त्र में औपचारिक रूप से समतुल्य घटनाओं का अध्ययन करने के लिए भी किया गया है। संबंधपरक डेटाबेस, प्राकृतिक भाषा प्रसंस्करण, और बाधा संतुष्टि। संक्षेप में, प्रासंगिकता तब उत्पन्न होती है जब अनुभवजन्य डेटा स्थानीय रूप से सुसंगत होता है लेकिन विश्व स्तर पर असंगत होता है।

यह ढांचा स्वाभाविक रूप से प्रासंगिकता के गुणात्मक पदानुक्रम को जन्म देता है।


 * '(संभाव्य) प्रासंगिकता' माप के आँकड़ों में देखी जा सकती है, उदा। असमानता के उल्लंघन से। प्रासंगिकता का केसीबीएस पेंटाग्राम प्रमाण एक प्रतिनिधि उदाहरण है।
 * 'तार्किक प्रासंगिकता' को 'संभावनावादी' जानकारी में देखा जा सकता है जिसके बारे में परिणाम घटनाएँ संभव हैं और जो संभव नहीं हैं। एक प्रतिनिधि उदाहरण हार्डी का विरोधाभास है | हार्डी की गैर स्थानीयता गैर स्थानीयता का प्रमाण है।
 * 'सशक्त प्रासंगिकता' प्रासंगिकता का एक अधिकतम रूप है। जबकि (संभाव्य) प्रासंगिकता तब उत्पन्न होती है जब वैश्विक मूल्य असाइनमेंट के मिश्रण द्वारा माप के आंकड़ों को पुन: प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, जब कोई वैश्विक मूल्य असाइनमेंट संभावित परिणाम घटनाओं के साथ भी संगत नहीं होता है तो मजबूत प्रासंगिकता उत्पन्न होती है। एक प्रतिनिधि उदाहरण प्रासंगिकता का मूल कोचेन-स्पीकर प्रमाण है।

इस पदानुक्रम में प्रत्येक स्तर में अगला शामिल है। एक महत्वपूर्ण मध्यवर्ती स्तर जो तार्किक और मजबूत प्रासंगिकता वर्गों के बीच सख्ती से स्थित है, 'ऑल-बनाम-नथिंग प्रासंगिकता' है, जिसका एक प्रतिनिधि उदाहरण ग्रीनबर्गर-हॉर्न-ज़ीलिंगर राज्य है। ग्रीनबर्गर-हॉर्न-ज़ीलिंगर गैर-स्थानीयता का प्रमाण है।

ग्राफ और हाइपरग्राफ फ्रेमवर्क
एडन कैबेलो, सिमोन सेवेरिनी और एंड्रियास विंटर ने विभिन्न भौतिक सिद्धांतों की प्रासंगिकता का अध्ययन करने के लिए एक सामान्य ग्राफ-सैद्धांतिक ढांचा प्रस्तुत किया। इस ढांचे के भीतर प्रायोगिक परिदृश्यों को रेखांकन द्वारा वर्णित किया गया है, और इन रेखांकन की कुछ ग्राफ़ संपत्ति को विशेष भौतिक महत्व दिखाया गया है। माप के आँकड़ों में प्रासंगिकता को देखने का एक तरीका गैर-प्रासंगिकता असमानताओं (सामान्यीकृत बेल असमानताओं के रूप में भी जाना जाता है) के उल्लंघन के माध्यम से है। कुछ उचित रूप से सामान्यीकृत असमानताओं के संबंध में, स्वतंत्र सेट (ग्राफ सिद्धांत), लोवाज़ संख्या, और प्रायोगिक परिदृश्य के ग्राफ की भिन्नात्मक पैकिंग संख्या मौलिक सिद्धांतों, क्वांटम सिद्धांत और सामान्यीकृत संभाव्य सिद्धांतों की डिग्री पर तंग ऊपरी सीमा प्रदान करती है। क्रमशः, उस तरह के प्रयोग में प्रासंगिकता प्रदर्शित कर सकते हैं। ग्राफ़ के अतिरिक्त हाइपरग्राफ़ पर आधारित एक अधिक परिष्कृत फ़्रेमवर्क का भी उपयोग किया जाता है।

प्रासंगिकता-दर-डिफ़ॉल्ट (सीबीडी) ढांचा
सीबीडी दृष्टिकोण में, एहतिबार जफरोव,जानने कुजाला, और सहयोगियों द्वारा विकसित, (गैर) प्रासंगिकता को यादृच्छिक चर के किसी भी सिस्टम की संपत्ति के रूप में माना जाता है, जिसे एक सेट के रूप में परिभाषित किया गया है $$\mathcal{R}=\left\{ R_{q}^{c}:q\in Q,q\prec c,c\in C\right\}$$ जिसमें प्रत्येक यादृच्छिक चर $$R_{q}^{c}$$ इसकी सामग्री द्वारा लेबल किया गया है $$q$$, इसके द्वारा मापी जाने वाली संपत्ति और इसका संदर्भ $$c$$, रिकॉर्ड की गई परिस्थितियों का सेट जिसके तहत इसे रिकॉर्ड किया गया है (जिसमें अन्य यादृच्छिक चर शामिल हैं, लेकिन यह सीमित नहीं है) एक साथ रिकॉर्ड किया गया है); $$ q\prec c$$ के लिए खड़ा है$$q$$ में नापती है $$c$$. एक संदर्भ के भीतर चर संयुक्त रूप से वितरित किए जाते हैं, लेकिन विभिन्न संदर्भों के चर स्टोचैस्टिक रूप से असंबंधित होते हैं, जिन्हें अलग-अलग नमूना स्थानों पर परिभाषित किया जाता है। सिस्टम का ए (संभाव्य) युग्मन $$\mathcal{R}$$ एक प्रणाली के रूप में परिभाषित किया गया है $$S$$ जिसमें सभी चर संयुक्त रूप से वितरित किए जाते हैं और किसी भी संदर्भ में $$c$$, $$R^{c}=\left\{ R_{q}^{c}:q\in Q,q\prec c\right\} $$ और $$S^{c}=\left\{ S_{q}^{c}:q\in Q,q\prec c\right\} $$ समान रूप से वितरित हैं। अगर सिस्टम में कपलिंग है, तो उसे गैर-प्रासंगिक माना जाता है $$S$$ जैसे कि संभावनाएं $$\Pr\left[S_{q}^{c}=S_{q}^{c'}\right]$$ सभी संदर्भों के लिए अधिकतम संभव हैं $$c,c'$$ और सामग्री $$q$$ ऐसा है कि $$ q\prec c,c'$$. यदि ऐसा युग्मन उपस्थित नहीं है, तो सिस्टम प्रासंगिक है। द्विबीजपत्री के चक्रीय प्रणालियों के महत्वपूर्ण वर्ग के लिए ($$\pm1$$) यादृच्छिक चर,$$\mathcal{C}_{n}=\left\{ \left(R_{1}^{1},R_{2}^{1}\right),\left(R_{2}^{2},R_{3}^{2}\right),\ldots,\left(R_{n}^{n},R_{1}^{n}\right)\right\}$$ ($$n\geq2$$), यह दिखाया गया है कि इस तरह की प्रणाली गैर-प्रासंगिक है अगर और केवल अगर

$$D\left(\mathcal{C}_{n}\right)\leq\Delta\left(\mathcal{C}_{n}\right),$$ यहाँ

$$\Delta\left(\mathcal{C}_{n}\right)=\left(n-2\right)+\left|R_{1}^{1}-R_{1}^{n}\right|+\left|R_{2}^{1}-R_{2}^{2}\right|+\ldots\left|R_{n}^{n-1}-R_{n}^{n}\right|,$$ और

$$D\left(\mathcal{C}_{n}\right)=\max\left(\lambda_{1}\left\langle R_{1}^{1}R_{2}^{1}\right\rangle +\lambda_{2}\left\langle R_{2}^{2}R_{3}^{2}\right\rangle +\ldots+\lambda_{n}\left\langle R_{n}^{n},R_{1}^{n}\right\rangle \right),$$ अधिकतम के साथ सभी पर कब्जा कर लिया $$\lambda_{i}=\pm1 $$ जिसका उत्पाद है $$-1$$. अगर $$R_{q}^{c}$$ और $$R_{q}^{c'}$$, एक ही सामग्री को अलग-अलग संदर्भ में मापते हुए, सदैव समान रूप से वितरित किए जाते हैं, सिस्टम को लगातार जुड़ा हुआ कहा जाता है (संतोषजनक नो-डिस्टर्बेंस या नो-सिग्नलिंग सिद्धांत)। कुछ तार्किक मुद्दों को छोड़कर, इस स्थितियों में सीबीडी क्वांटम भौतिकी में प्रासंगिकता के पारंपरिक उपचारों में माहिर है। विशेष रूप से, लगातार जुड़े चक्रीय प्रणालियों के लिए उपरोक्त गैर-प्रासंगिकता मानदंड कम हो जाता है $$D\left(\mathcal{C}_{n}\right)\leq n-2,$$जिसमें बेल/CHSH असमानता शामिल है ($$n=4$$), केसीबीएस असमानता ($$n=5$$), और अन्य प्रसिद्ध असमानताएँ। सीबीडी में प्रासंगिकता का एक विशेष मामला इस तथ्य से अनुसरण करता है कि यादृच्छिक चर के लिए संयुक्त रूप से वितरित किया जाना एक और एक ही यादृच्छिक चर के मापनीय कार्यों के बराबर है (यह बेल के प्रमेय के आर्थर फाइन के विश्लेषण को सामान्यीकृत करता है)। सीबीडी अनिवार्य रूप से अब्रामस्की के शीफ-सैद्धांतिक दृष्टिकोण के संभावित भाग के साथ मेल खाता है यदि सिस्टम दृढ़ता से लगातार जुड़ा हुआ है, जिसका अर्थ है कि संयुक्त वितरण $$\left\{ R_{q_{1}}^{c},\ldots,R_{q_{k}}^{c}\right\}  $$ और $$ \left\{ R_{q_{1}}^{c'},\ldots,R_{q_{k}}^{c'}\right\} $$ जब भी संयोग करें $$q_{1},\ldots,q_{k}$$ सन्दर्भों में मापा जाता है $$c,c'$$. चूंकि, प्रासंगिकता के अधिकांश दृष्टिकोणों के विपरीत, सीबीडी असंगत जुड़ाव की अनुमति देता है $$R_{q}^{c}$$ और $$R_{q}^{c'}$$ अलग-अलग वितरित। यह सीबीडी को उन भौतिकी प्रयोगों पर लागू करता है जिनमें नो-डिस्टर्बेंस कंडीशन का उल्लंघन होता है, साथ ही मानव व्यवहार के लिए जहां इस शर्त का नियम के रूप में उल्लंघन किया जाता है। विशेष रूप से, विक्टर सर्वांतेस , एहतिबार जफरोव, और सहयोगियों ने प्रदर्शित किया है कि सरल निर्णय लेने के कुछ प्रतिमानों का वर्णन करने वाले यादृच्छिक चर प्रासंगिक प्रणाली बनाते हैं,  जबकि कई अन्य निर्णय लेने वाली प्रणालियाँ गैर-प्रासंगिक हैं जब उनकी असंगतता को ठीक से ध्यान में रखा जाता है।

परिचालन ढांचा
रॉबर्ट स्पेकेंस के कारण प्रासंगिकता की एक विस्तारित धारणा परिचालन भौतिक सिद्धांतों के सामान्य ढांचे के भीतर तैयारियों और परिवर्तनों के साथ-साथ मापों पर भी लागू होती है। मापन के संबंध में, यह प्रासंगिकता की मानक परिभाषाओं में उपस्थित मूल्य असाइनमेंट के निर्धारणवाद की धारणा को हटा देता है। यह प्रासंगिकता के एक विशेष स्थितियों के रूप में गैर-स्थानीयता की व्याख्या को तोड़ता है, और गैर-मौलिक के रूप में अलघुकरणीय यादृच्छिकता का इलाज नहीं करता है। फिर भी, यह प्रासंगिकता की सामान्य धारणा को पुनः प्राप्त करता है जब परिणाम निर्धारणवाद लगाया जाता है।

स्पेककेन्स की प्रासंगिकता को लाइबनिज के अविवेकी पहचान के नियम का उपयोग करके प्रेरित किया जा सकता है। इस ढांचे में भौतिक प्रणालियों पर लागू कानून गैर-प्रासंगिकता की अनुमानित परिभाषा को दर्शाता है। यह आगे सीमन्स एट अल द्वारा खोजा गया था, जिन्होंने प्रदर्शित किया कि प्रासंगिकता की अन्य धारणाएं भी लीबनिज़ियन सिद्धांतों से प्रेरित हो सकती हैं, और संचालन संबंधी आंकड़ों से ऑन्कोलॉजिकल निष्कर्ष को सक्षम करने वाले उपकरण के रूप में सोचा जा सकता है।

अतिरिक्त प्रासंगिकता और असाधारणता
शुद्ध क्वांटम स्थिति दी गई है $$|\psi \rangle$$बोर्न का नियम बताता है कि किसी अन्य राज्य को प्राप्त करने की संभावना $$| \phi \rangle$$ माप में है $$| \langle \phi | \psi \rangle|^2$$. चूंकि, ऐसी संख्या एक पूर्ण संभाव्यता वितरण को परिभाषित नहीं करती है, अर्थात पारस्परिक रूप से अनन्य घटनाओं के एक सेट पर मूल्य, 1 तक का योग। इस तरह के एक सेट को प्राप्त करने के लिए एक संदर्भ निर्दिष्ट करने की आवश्यकता होती है, जो आने वाले ऑपरेटरों का एक पूरा सेट है। (सीएससीओ), या समकक्ष रूप से एन ऑर्थोगोनल प्रोजेक्टर का एक सेट $$| \phi_n \rangle \langle \phi_n |$$ वह राशि पहचान के लिए, जहां $$N$$ हिल्बर्ट अंतरिक्ष का आयाम है। फिर एक के पास है $$\sum_n | \langle \phi_n | \psi \rangle|^2 = 1$$ आशा के अनुसार। इस अर्थ में, कोई कह सकता है कि एक राज्य सदिश $$| \psi \rangle$$ जब तक एक संदर्भ निर्दिष्ट नहीं किया गया है, तब तक अकेला अनुमानित रूप से अधूरा है। वास्तविक भौतिक अवस्था, जिसे अब परिभाषित किया गया है $$| \phi_n \rangle$$ एक निर्दिष्ट संदर्भ में, Auffèves और Grangier द्वारा एक साधन कहा गया है चूंकि यह स्पष्ट है $$| \psi \rangle$$ अकेले एक तौर-तरीके को परिभाषित नहीं करता है, इसकी स्थिति क्या है? अगर $$N \geq 3$$, कोई भी इसे आसानी से देख सकता है $$| \psi \rangle$$ अलग-अलग संदर्भों से संबंधित तौर-तरीकों के एक समकक्ष वर्ग से जुड़ा हुआ है, लेकिन निश्चित रूप से आपस में जुड़ा हुआ है, भले ही अलग-अलग सीएससीओ ऑब्जर्वेबल कम्यूट न करें। इस तुल्यता वर्ग को एक असाधारण वर्ग कहा जाता है, और संदर्भों के बीच निश्चितता के संबद्ध हस्तांतरण को अतिरिक्त प्रासंगिकता कहा जाता है। एक साधारण उदाहरण के रूप में, दो स्पिन 1/2 के लिए सामान्य सिंगलेट राज्य कुल स्पिन के माप से जुड़े (गैर कम्यूटिंग) सीएससीओ में पाया जा सकता है (के साथ) $$S=0, \; m=0$$), या बेल मापन के साथ, और वास्तव में यह असीम रूप से कई अलग-अलग सीएससीओ में प्रकट होता है - लेकिन स्पष्ट रूप से सभी संभावितों में नहीं। क्वांटम यांत्रिकी में प्रासंगिकता की भूमिका को स्पष्ट करने के लिए असाधारणता और अतिरिक्त प्रासंगिकता की अवधारणाएं बहुत उपयोगी हैं, जो गैर-प्रासंगिक नहीं है (जैसे मौलिक भौतिक होगा), लेकिन या तो पूरी तरह से प्रासंगिक नहीं है, क्योंकि असंगत (गैर-कम्यूटिंग) से संबंधित तौर-तरीके हैं। संदर्भों को निश्चितता से जोड़ा जा सकता है। अब एक अभिधारणा के रूप में अतिरिक्त प्रासंगिकता से शुरू करते हुए, तथ्य यह है कि संदर्भों के बीच निश्चितता को स्थानांतरित किया जा सकता है, और फिर किसी दिए गए प्रोजेक्टर से जुड़ा हुआ है, ग्लेसन के प्रमेय की परिकल्पना का आधार है, और इस प्रकार बोर्न के नियम का। इसके अतिरिक्त, एक राज्य वेक्टर को एक असाधारण वर्ग के साथ संबद्ध करना एक गणितीय उपकरण के रूप में इसकी स्थिति को स्पष्ट करता है, जो तौर-तरीकों को जोड़ने वाली संभावनाओं की गणना करता है, जो वास्तविक रूप से देखी गई भौतिक घटनाओं या परिणामों के अनुरूप है। यह दृष्टिकोण काफी उपयोगी है, और इसका उपयोग हर जगह क्वांटम यांत्रिकी में किया जा सकता है।

अन्य ढांचे और एक्सटेंशन
प्रासंगिकता का एक रूप जो एक क्वांटम सिस्टम की गतिशीलता में उपस्थित हो सकता है, शेन मैन्सफील्ड और स्काउट प्रेरणा द्वारा प्रस्तुत किया गया था, और कम्प्यूटेशनल क्वांटम वर्चस्व से संबंधित दिखाया गया है। प्रासंगिकता की धारणा के रूप में जो परिवर्तनों पर लागू होती है, यह स्पेकेंस के समान नहीं है। आज तक खोजे गए उदाहरण अतिरिक्त मेमोरी बाधाओं पर निर्भर करते हैं जिनमें मूलभूत प्रेरणा से अधिक कम्प्यूटेशनल है। समतुल्य लाभ प्राप्त करने के लिए प्रासंगिकता को लैंडौअर इरेज़र के विरुद्ध ट्रेड-ऑफ़ किया जा सकता है।

ललित प्रमेय
कोचेन-स्पीकर प्रमेय सिद्ध करता है कि क्वांटम यांत्रिकी यथार्थवादी गैर-प्रासंगिक छिपे हुए चर मॉडल के साथ असंगत है। दूसरी ओर बेल की प्रमेय सिद्ध करती है कि क्वांटम यांत्रिकी एक ऐसे प्रयोग में गुणनखंडनीय छिपे हुए चर मॉडल के साथ असंगत है जिसमें अलग-अलग स्थान जैसे अलग-अलग स्थानों पर माप किए जाते हैं। आर्थर फाइन ने दिखाया कि प्रायोगिक परिदृश्य में जिसमें प्रसिद्ध CHSH असमानता और गैर-स्थानीयता का प्रमाण लागू होता है, एक गुणनखंडनीय छिपा हुआ चर मॉडल उपस्थित होता है और केवल अगर एक गैर-प्रासंगिक छिपा हुआ चर मॉडल उपस्थित होता है। सैमसन अब्राम्स्की और एडम ब्रेंडेनबर्गर द्वारा किसी भी प्रायोगिक परिदृश्य में यह समानता अधिक सामान्यतः सिद्ध हुई थी। यही कारण है कि हम गैर-स्थानिकता को प्रासंगिकता का एक विशेष मामला मान सकते हैं।

प्रासंगिक अंश
प्रासंगिकता को मापने के लिए कई विधियां उपस्थित हैं। एक दृष्टिकोण उस डिग्री को मापना है जिस पर कुछ विशेष गैर-प्रासंगिकता असमानता का उल्लंघन किया जाता है, उदा। केसीबीएस पेंटाग्राम, यू-ओह असमानता, या कुछ बेल की प्रमेय। प्रासंगिकता का एक अधिक सामान्य उपाय प्रासंगिक अंश है।

माप के आँकड़ों के एक सेट को देखते हुए, प्रत्येक माप संदर्भ के लिए संयुक्त परिणामों पर संभाव्यता वितरण से मिलकर, हम ई को एक गैर-प्रासंगिक भाग ई में फैक्टरिंग पर विचार कर सकते हैं।NC और कुछ शेष e',

$$ e = \lambda e^{NC} + (1-\lambda)e' \,. $$ ऐसे सभी अपघटनों में λ का अधिकतम मान e का गैर-प्रासंगिक अंश NCF(e) है, जबकि शेष CF(e)=(1-NCF(e)) e का प्रासंगिक अंश है। विचार यह है कि हम डेटा के उच्चतम संभव अंश के लिए एक गैर-प्रासंगिक स्पष्टीकरण की तलाश करते हैं, और जो बचा है वह अलघुकरणीय रूप से प्रासंगिक हिस्सा है। दरअसल ऐसे किसी भी अपघटन के लिए जो λ को अधिकतम करता है, बचे हुए e' को दृढ़ता से प्रासंगिक माना जाता है। प्रासंगिकता का यह माप अंतराल [0,1] में मान लेता है, जहां 0 गैर-प्रासंगिकता से मेल खाता है और 1 मजबूत प्रासंगिकता से मेल खाता है। रैखिक प्रोग्रामिंग का उपयोग करके प्रासंगिक अंश की गणना की जा सकती है।

यह भी सिद्ध हो गया है कि CF(e) उस सीमा पर एक ऊपरी सीमा है जिस तक e किसी सामान्यीकृत गैर-प्रासंगिकता असमानता का उल्लंघन करता है। यहाँ सामान्यीकरण का अर्थ है कि उल्लंघनों को असमानता के बीजगणितीय अधिकतम उल्लंघन के अंशों के रूप में व्यक्त किया जाता है। इसके अतिरिक्त, जो λ को अधिकतम करता है, उसके लिए दोहरी रैखिक कार्यक्रम एक गैर-प्रासंगिक असमानता की गणना करता है जिसके लिए यह उल्लंघन प्राप्त होता है। इस अर्थ में प्रासंगिक अंश प्रासंगिकता का एक अधिक तटस्थ उपाय है, क्योंकि यह विशेष रूप से एक असमानता के विरुद्ध आँकड़ों की जाँच करने के अतिरिक्त सभी संभव गैर-प्रासंगिक असमानताओं का अनुकूलन करता है।

प्रासंगिकता-दर-डिफ़ॉल्ट (सीबीडी) ढांचे के भीतर (गैर) प्रासंगिकता के उपाय
सीबीडी ढांचे के भीतर प्रासंगिक प्रणालियों में प्रासंगिकता की डिग्री के कई उपाय प्रस्तावित किए गए थे, लेकिन उनमें से केवल एक ने सीएनटी2 को निरूपित किया, गैर-प्रासंगिक प्रणालियों, NCNT2 में स्वाभाविक रूप से गैर-प्रासंगिकता के एक उपाय में विस्तार करने के लिए दिखाया गया है. यह महत्वपूर्ण है, क्योंकि कम से कम सीबीडी के गैर-भौतिक अनुप्रयोगों में प्रासंगिकता और गैर-प्रासंगिकता समान रुचि के हैं। दोनों सीएनटी2 और एनसीएनटी2 के रूप में परिभाषित किया गया है $$L_1$$संभाव्यता वेक्टर के बीच की दूरी $$\mathbf{p}$$ एक प्रणाली और गैर-प्रासंगिकता पॉलीटॉप की सतह का प्रतिनिधित्व करना $$\mathbb{P}$$ समान सिंगल-वेरिएबल मार्जिन के साथ सभी संभावित गैर-प्रासंगिक प्रणालियों का प्रतिनिधित्व करना। द्विबीजपत्री यादृच्छिक चर के चक्रीय सिस्टम के लिए, यह दिखाया गया है कि अगर सिस्टम प्रासंगिक है (यानी, $$D\left(\mathcal{C}_{n}\right)>\Delta\left(\mathcal{C}_{n}\right)$$),

$$\mathrm{CNT}_{2}=D\left(\mathcal{C}_{n}\right)-\Delta\left(\mathcal{C}_{n}\right),$$ और अगर यह गैर-प्रासंगिक है ( $$D\left(\mathcal{C}_{n}\right)\leq\Delta\left(\mathcal{C}_{n}\right)$$),

$$\mathrm{NCNT}_{2}=\min\left(\Delta\left(\mathcal{C}_{n}\right)-D\left(\mathcal{C}_{n}\right),m\left(\mathcal{C}_{n}\right)\right),$$ यहाँ $$m\left(\mathcal{C}_{n}\right)$$ है $$L_1$$- वेक्टर से दूरी $$ \mathbf{p}\in\mathbb{P}$$ बॉक्स की सतह पर गैर-प्रासंगिकता वाले पॉलीटॉप को परिचालित करता है। अधिक सामान्यतः, एनसीएनटी2 और सीएनटी2 रैखिक प्रोग्रामिंग के माध्यम से गणना की जाती है। प्रासंगिकता के अन्य सीबीडी-आधारित उपायों के लिए भी यही सच है। उनमें से एक, CNT3 को निरूपित करता है, एक अर्ध-युग्मन की धारणा का उपयोग करता है, जो एक युग्मन से भिन्न होता है जिसमें इसके मूल्यों के संयुक्त वितरण में संभावनाओं को मनमाना वास्तविक (नकारात्मक होने की अनुमति दी जाती है लेकिन 1 के योग) के साथ बदल दिया जाता है। अर्ध-युग्मन का वर्ग $$ S$$ संभावनाओं को अधिकतम करना $$\Pr\left[S_{q}^{c}=S_{q}^{c'}\right]$$ सदैव खाली नहीं होता है, और इस वर्ग में हस्ताक्षरित माप की न्यूनतम कुल भिन्नता प्रासंगिकता का एक प्राकृतिक उपाय है।

क्वांटम कंप्यूटिंग के संसाधन के रूप में प्रासंगिकता
हाल ही में, क्वांटम कंप्यूटिंग में क्वांटम वर्चस्व और कम्प्यूटेशनल स्पीडअप के स्रोत के रूप में क्वांटम प्रासंगिकता की जांच की गई है।

जादू राज्य आसवन
मैजिक स्टेट डिस्टिलेशन क्वांटम कंप्यूटिंग के लिए एक योजना है जिसमें केवल क्लिफर्ड ऑपरेटरों के क्वांटम सर्किट का निर्माण किया जाता है, जो स्वयं दोष-सहिष्णु हैं, लेकिन कुशलता से अनुकरणीय हैं, कुछ जादू राज्यों के साथ इंजेक्ट किए जाते हैं जो सार्वभौमिक दोष-सहिष्णु क्वांटम कंप्यूटिंग के लिए कम्प्यूटेशनल शक्ति को बढ़ावा देते हैं। 2014 में, मार्क हावर्ड, एट अल। दिखाया गया है कि प्रासंगिकता जादुई राज्यों को विषम प्रधान आयाम के क्यूबिट्स के लिए और वास्तविक तरंग कार्यों के साथ क्यूबिट्स के लिए दर्शाती है। जुआनी बरमेजो-वेगा एट अल द्वारा क्विबिट स्थितियों के विस्तार की जांच की गई है। अनुसंधान की यह पंक्ति अर्नेस्टो गैल्वाओ द्वारा पहले के काम पर आधारित है, जिसमें दिखाया गया है कि विग्नर क्वासिप्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन नेगेटिविटी एक राज्य के जादू होने के लिए आवश्यक है; यह बाद में सामने आया कि विग्नर की नकारात्मकता और प्रासंगिकता एक अर्थ में गैर-शास्त्रीयता के समान विचार हैं।

माप-आधारित क्वांटम कंप्यूटिंग
वन-वे क्वांटम कंप्यूटर | माप-आधारित क्वांटम संगणना (एमबीक्यूसी) क्वांटम कंप्यूटिंग के लिए एक मॉडल है जिसमें एक मौलिक नियंत्रण कंप्यूटर एक क्वांटम सिस्टम के साथ इंटरैक्ट करता है जो प्रदर्शन किए जाने वाले मापों को निर्दिष्ट करता है और बदले में माप परिणाम प्राप्त करता है। क्वांटम सिस्टम के लिए माप के आँकड़े प्रासंगिकता प्रदर्शित कर सकते हैं या नहीं भी कर सकते हैं। विभिन्न प्रकार के परिणामों से पता चला है कि प्रासंगिकता की उपस्थिति एमबीक्यूसी की कम्प्यूटेशनल शक्ति को बढ़ाती है।

विशेष रूप से, शोधकर्ताओं ने एक कृत्रिम स्थिति पर विचार किया है जिसमें मौलिक नियंत्रण कंप्यूटर की शक्ति केवल रैखिक बूलियन कार्यों की गणना करने में सक्षम होने तक ही सीमित है, अर्थात समता एल जटिलता वर्ग ⊕L में समस्याओं को हल करने के लिए। मल्टी-क्यूबिट क्वांटम सिस्टम के साथ बातचीत के लिए एक प्राकृतिक धारणा यह है कि बातचीत के प्रत्येक चरण में माप का एक द्विआधारी विकल्प होता है जो बदले में एक द्विआधारी परिणाम देता है। इस प्रतिबंधित प्रकार के एक एमबीक्यूसी को आई2-एमबीक्यूसी के रूप में जाना जाता है।

एंडर्स और ब्राउन
2009 में, जेनेट एंडर्स और डैन ब्राउन ने दिखाया कि गैर-रैखिक फ़ंक्शन की गणना करने के लिए गैर-स्थानिकता और प्रासंगिकता के दो विशिष्ट उदाहरण पर्याप्त थे। यह बदले में एक सार्वभौमिक मौलिक कंप्यूटर की कम्प्यूटेशनल शक्ति को बढ़ावा देने के लिए उपयोग किया जा सकता है, अर्थात जटिलता वर्ग पी में समस्याओं को हल करने के लिए। इसे कभी-कभी माप-आधारित मौलिक संगणना के रूप में संदर्भित किया जाता है। विशिष्ट उदाहरणों में जीएचजेड प्रयोग का उपयोग किया गया है।

रौसेंडोर्फ
2013 में, रॉबर्ट रौसेंडोर्फ ने अधिक सामान्यतः दिखाया कि गैर-रैखिक फ़ंक्शन की गणना करने के लिए एल2-एमबीक्यूसी के लिए दृढ़ता से प्रासंगिक माप आंकड़ों तक पहुंच आवश्यक और पर्याप्त है। उन्होंने यह भी दिखाया कि गैर-रेखीय बूलियन कार्यों की पर्याप्त उच्च संभावना के साथ गणना करने के लिए प्रासंगिकता की आवश्यकता होती है।

अब्राम्स्की, बारबोसा और मैन्सफील्ड
सैमसन अब्राम्स्की, रुई सोरेस बारबोसा और शेन मैन्सफील्ड के कारण इन परिणामों का एक और सामान्यीकरण और परिशोधन 2017 में दिखाई दिया, जो किसी भी गैर-रैखिक फ़ंक्शन की सफलतापूर्वक गणना करने की संभावना और l2 में उपस्थित प्रासंगिकता की डिग्री के बीच एक सटीक मात्रात्मक संबंध सिद्ध करता है। एमबीक्यूसी को प्रासंगिक अंश द्वारा मापा जाता है। विशेष रूप से, $$ (1-p_s) \geq \left( 1-CF(e) \right). \nu(f) $$यहाँ $$ p_s, CF(e), \nu(f) \in [0,1] $$ सफलता की संभावना है, माप के आँकड़ों का प्रासंगिक अंश ई, और गणना किए जाने वाले फ़ंक्शन की गैर-रैखिकता का एक उपाय है $$ f $$, क्रमश।

आगे के उदाहरण

 * उपरोक्त असमानता को क्वांटम रेफरी खेल में क्वांटम लाभ से संबंधित करने के लिए भी दिखाया गया था | गैर-स्थानीय गेम रणनीति के लिए आवश्यक प्रासंगिकता की डिग्री और गेम की कठिनाई का एक उचित उपाय है। * इसी प्रकार असमानता l2-एमबीक्यूसी के अनुरूप क्वांटम गणना के परिवर्तन-आधारित मॉडल में उत्पन्न होती है जहां यह क्वांटम प्रणाली की गतिशीलता में उपस्थित अनुक्रमिक प्रासंगिकता की डिग्री को सफलता की संभावना और लक्ष्य की गैर-रैखिकता की डिग्री से संबंधित करती है। फ़ंक्शन । * क्रिप्टोग्राफिक रैंडम-एक्सेस कोड में क्वांटम लाभ को सक्षम करने के लिए तैयारी और राज्य-भेदभाव कार्यों में की प्रासंगिकता दिखाई गई है
 * क्वांटम सिस्टम के मौलिक सिमुलेशन में, स्मृति लागतों को उठाने के लिए प्रासंगिकता दिखाई गई है।

यह भी देखें

 * कोचेन-स्पीकर प्रमेय
 * मर्मिन-पेरेस स्क्वायर
 * केसीबीएस पेंटाग्राम
 * क्वांटम गैर-स्थानीयता
 * क्वांटम नींव
 * क्वांटम अनिश्चितता