प्रक्षेपात्मक विविधता

बीजगणितीय ज्यामिति में, बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र k पर एक प्रक्षेप्य विविधता कुछ प्रक्षेप्य स्थानों का एक उपसमुच्चय है | प्रक्षेप्य n-स्पेस $$\mathbb{P}^n$$ k के ऊपर यह k में गुणांक वाले n + 1 चर के सजातीय बहुपदों के कुछ परिमित परिवार का शून्य-स्थान है, जो एक अभाज्य आदर्श, विविधता का परिभाषित आदर्श उत्पन्न करता है। समान रूप से, एक बीजगणितीय किस्म प्रक्षेप्य होती है यदि इसे ज़ारिस्की टोपोलॉजी के रूप में एम्बेड किया जा सकता है बीजगणितीय किस्म#Subvariety of $$\mathbb{P}^n$$.

एक प्रक्षेप्य विविधता एक प्रक्षेप्य वक्र है यदि इसका आयाम एक है; यदि इसका आयाम दो है तो यह एक प्रक्षेप्य सतह है; यह एक प्रक्षेप्य हाइपरसतह है यदि इसका आयाम समाहित प्रक्षेप्य स्थान के आयाम से एक कम है; इस मामले में यह एकल सजातीय बहुपद के शून्यों का समुच्चय है।

यदि X एक सजातीय अभाज्य आदर्श I द्वारा परिभाषित एक प्रक्षेप्य विविधता है, तो भागफल वलय


 * $$k[x_0, \ldots, x_n]/I$$

इसे X का सजातीय समन्वय वलय कहा जाता है।

प्रक्षेपी किस्में कई प्रकार से उत्पन्न होती हैं। उनमें पूर्ण विविधता है, जिसे मोटे तौर पर यह कहकर व्यक्त किया जा सकता है कि कोई भी बिंदु गायब नहीं है। यह विपरीत सामान्यतः सत्य नहीं है, लेकिन चाउ की लेम्मा इन दोनों धारणाओं के घनिष्ठ संबंध का वर्णन करती है। यह दर्शाना कि एक किस्म प्रक्षेप्य है, X पर लाइन बंडलों या विभाजक (बीजगणितीय ज्यामिति) का अध्ययन करके किया जाता है।

प्रक्षेपी किस्मों की एक प्रमुख विशेषता शीफ ​​कोहोलॉजी पर सीमितता की बाधाएं हैं। सहज प्रक्षेप्य किस्मों के लिए, सेरे द्वैत को पोंकारे द्वैत के एक एनालॉग के रूप में देखा जा सकता है। यह प्रक्षेप्य वक्रों के लिए रीमैन-रोच प्रमेय की ओर भी ले जाता है, यानी, बीजगणितीय विविधता के आयाम की प्रक्षेप्य किस्में 1. प्रक्षेप्य वक्रों का सिद्धांत विशेष रूप से समृद्ध है, जिसमें वक्र के अंकगणितीय जीनस द्वारा वर्गीकरण भी शामिल है। उच्च-आयामी प्रक्षेप्य किस्मों के लिए वर्गीकरण कार्यक्रम स्वाभाविक रूप से प्रक्षेप्य किस्मों के मॉड्यूल के निर्माण की ओर ले जाता है। हिल्बर्ट योजनाएं बंद उपयोजनाओं को पैरामीट्रिज करती हैं $$\mathbb{P}^n$$ निर्धारित हिल्बर्ट बहुपद के साथ। हिल्बर्ट योजनाएँ, जिनमें से ग्रासमैनियन विशेष मामले हैं, भी अपने आप में प्रक्षेपी योजनाएँ हैं। ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत एक और दृष्टिकोण प्रदान करता है। शास्त्रीय दृष्टिकोण में टीचमुलर स्पेस और चाउ किस्म शामिल हैं।

एक विशेष रूप से समृद्ध सिद्धांत, जो क्लासिक्स तक पहुंचता है, जटिल प्रक्षेप्य किस्मों के लिए उपलब्ध है, यानी, जब एक्स को परिभाषित करने वाले बहुपद में जटिल संख्या गुणांक होते हैं। मोटे तौर पर, बीजगणितीय ज्यामिति और विश्लेषणात्मक ज्यामिति का कहना है कि प्रक्षेप्य जटिल विश्लेषणात्मक स्थानों (या मैनिफोल्ड्स) की ज्यामिति प्रक्षेप्य जटिल किस्मों की ज्यामिति के बराबर है। उदाहरण के लिए, एक्स पर होलोमोर्फिक वेक्टर बंडलों (अधिक सामान्यतः सुसंगत शीफ) का सिद्धांत बीजगणितीय वेक्टर बंडलों के साथ मेल खाता है। बीजगणितीय ज्यामिति और विश्लेषणात्मक ज्यामिति#चाउ का प्रमेय|चाउ का प्रमेय कहता है कि प्रक्षेप्य स्थान का एक उपसमुच्चय होलोमोर्फिक कार्यों के एक परिवार का शून्य-स्थान है यदि और केवल यदि यह सजातीय बहुपदों का शून्य-स्थान है। जटिल प्रक्षेप्य किस्मों के लिए विश्लेषणात्मक और बीजगणितीय तरीकों का संयोजन हॉज सिद्धांत जैसे क्षेत्रों को जन्म देता है।

विविधता संरचना
मान लीजिए k एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है। प्रक्षेप्य किस्मों की परिभाषा का आधार प्रक्षेप्य स्थान है $$\mathbb{P}^n$$, जिसे अलग-अलग, लेकिन समकक्ष तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है:


 * मूल बिंदु से होकर जाने वाली सभी रेखाओं के समुच्चय के रूप में $$k^{n+1}$$ (अर्थात, सभी एक-आयामी वेक्टर उप-स्थान $$k^{n+1}$$)
 * टुपल्स के सेट के रूप में $$(x_0, \dots, x_n) \in k^{n+1}$$, साथ $$x_0, \dots, x_n$$ सभी शून्य नहीं, तुल्यता संबंध मॉड्यूलो $$(x_0, \dots, x_n) \sim \lambda (x_0, \dots, x_n)$$ किसी के लिए $$\lambda \in k \setminus \{ 0 \}$$. ऐसे टुपल के तुल्यता वर्ग को निम्न द्वारा निरूपित किया जाता है $$[x_0: \dots: x_n].$$ यह तुल्यता वर्ग प्रक्षेप्य स्थान का सामान्य बिंदु है। संख्या $$x_0, \dots, x_n$$ बिंदु के सजातीय निर्देशांक के रूप में संदर्भित किए जाते हैं।

एक प्रक्षेपी किस्म, परिभाषा के अनुसार, एक बंद उप-विविधता है $$\mathbb{P}^n$$, जहां बंद ज़ारिस्की टोपोलॉजी को संदर्भित करता है। सामान्य तौर पर, ज़ारिस्की टोपोलॉजी के बंद उपसमुच्चय को सजातीय बहुपद कार्यों के एक सीमित संग्रह के सामान्य शून्य-स्थान के रूप में परिभाषित किया जाता है। एक बहुपद दिया गया है $$f \in k[x_0, \dots, x_n]$$, स्थिति


 * $$f([x_0: \dots: x_n]) = 0$$

मनमाने बहुपदों के लिए इसका कोई मतलब नहीं है, लेकिन केवल तभी यदि f सजातीय बहुपद है, अर्थात, सभी एकपदी (जिनका योग f है) की घातें समान हैं। इस मामले में, का गायब होना


 * $$f(\lambda x_0, \dots, \lambda x_n) = \lambda^{\deg f} f(x_0, \dots, x_n)$$

की पसंद से स्वतंत्र है $$\lambda \ne 0$$.

इसलिए, प्रक्षेपी किस्में I के सजातीय प्रधान आदर्शों से उत्पन्न होती हैं $$k[x_0, \dots, x_n]$$, और सेटिंग


 * $$X = \left\{[x_0: \dots: x_n] \in \mathbb{P}^n, f([x_0: \dots: x_n]) = 0 \text{ for all }f \in I \right\}.$$

इसके अलावा, प्रक्षेप्य किस्म इस प्रकार, एक्स का स्थानीय अध्ययन (जैसे, विलक्षणता) एक एफ़िन किस्म तक कम हो जाता है। स्पष्ट संरचना इस प्रकार है. प्रक्षेप्य स्थान $$\mathbb{P}^n$$ मानक ओपन एफ़िन चार्ट द्वारा कवर किया गया है


 * $$U_i = \{[x_0: \dots: x_n], x_i \ne 0 \},$$

जो स्वयं निर्देशांक वलय के साथ एन-स्पेस को जोड़ते हैं


 * $$k \left [y^{(i)}_1, \dots, y^{(i)}_n \right ], \quad y^{(i)}_j = x_j/x_i.$$

सांकेतिक सरलता के लिए i = 0 कहें और सुपरस्क्रिप्ट (0) हटा दें। तब $$X \cap U_0$$ की एक बंद उप-विविधता है $$U_0 \simeq \mathbb{A}^n$$ के आदर्श द्वारा परिभाषित $$k[y_1, \dots, y_n]$$ द्वारा उत्पन्न


 * $$f(1, y_1, \dots, y_n)$$

I में सभी f के लिए। इस प्रकार, X एक बीजगणितीय किस्म है जो (n+1) ओपन एफ़िन चार्ट द्वारा कवर किया गया है $$X \cap U_i$$.

ध्यान दें कि एक्स एफ़िन किस्म का समापन है $$X \cap U_0$$ में $$\mathbb{P}^n$$. इसके विपरीत, कुछ बंद (एफ़िन) किस्म से शुरू करना $$V \subset U_0 \simeq \mathbb{A}^n$$, वी इन का बंद होना $$\mathbb{P}^n$$ प्रक्षेप्य किस्म को कहा जाता हैprojective completion वी का. अगर $$I \subset k[y_1, \dots, y_n]$$ V को परिभाषित करता है, तो इस समापन का परिभाषित आदर्श सजातीय आदर्श है का $$k[x_0, \dots, x_n]$$ द्वारा उत्पन्न


 * $$x_0^{\deg(f)} f(x_1/x_0, \dots, x_n/x_0)$$

I में सभी f के लिए।

उदाहरण के लिए, यदि V द्वारा दिया गया एक एफ़िन वक्र है, तो कहें, $$y^2 = x^3 + ax + b$$ एफ़िन प्लेन में, फिर प्रोजेक्टिव प्लेन में इसकी प्रोजेक्टिव पूर्णता द्वारा दी गई है $$y^2 z = x^3 + ax z^2 + b z^3.$$

प्रक्षेप्य योजनाएँ
विभिन्न अनुप्रयोगों के लिए, प्रक्षेप्य किस्मों, अर्थात् प्रक्षेप्य योजनाओं की तुलना में अधिक सामान्य बीजगणित-ज्यामितीय वस्तुओं पर विचार करना आवश्यक है। प्रक्षेप्य योजनाओं की दिशा में पहला कदम एक योजना संरचना के साथ प्रक्षेप्य स्थान को प्रदान करना है, एक तरह से बीजगणितीय विविधता के रूप में प्रक्षेप्य स्थान के उपरोक्त विवरण को परिष्कृत करना, यानी, $$\mathbb{P}^n(k)$$ एक योजना है जो एफ़िन एन-स्पेस के की (एन + 1) प्रतियों का एक संघ हैn. आम तौर पर अधिक, रिंग ए के ऊपर प्रक्षेप्य स्थान एफ़िन योजनाओं का संघ है


 * $$U_i = \operatorname{Spec} A[x_0/x_i, \dots, x_n/x_i], \quad 0 \le i \le n,$$

इस प्रकार चर अपेक्षा के अनुरूप मेल खाते हैं। के बंद बिंदुओं का सेट $$\mathbb{P}^n_k$$, बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड k के लिए, फिर प्रक्षेप्य स्थान है $$\mathbb{P}^n(k)$$ सामान्य अर्थ में.

प्रोज निर्माण द्वारा एक समतुल्य लेकिन सुव्यवस्थित निर्माण दिया जाता है, जो एक रिंग के स्पेक्ट्रम का एक एनालॉग है, जिसे स्पेक कहा जाता है, जो एक एफ़िन योजना को परिभाषित करता है। उदाहरण के लिए, यदि A एक वलय है, तो


 * $$\mathbb{P}^n_A = \operatorname{Proj}A[x_0, \ldots, x_n].$$

यदि R एक भागफल वलय है $$k[x_0, \ldots, x_n]$$ एक सजातीय आदर्श I द्वारा, फिर विहित प्रक्षेपण बंद विसर्जन को प्रेरित करता है


 * $$\operatorname{Proj} R \hookrightarrow \mathbb{P}^n_k.$$

प्रक्षेपी किस्मों की तुलना में, इस शर्त को हटा दिया गया कि आदर्श I एक प्रमुख आदर्श है। इससे बहुत अधिक लचीली धारणा बनती है: एक ओर टोपोलॉजिकल स्पेस $$X = \operatorname{Proj} R$$ इसमें कई अपरिवर्तनीय घटक हो सकते हैं। इसके अलावा, एक्स पर शून्यप्रभावी कार्य हो सकते हैं।

की उपयोजनाएँ बंद कर दी गईं $$\mathbb{P}^n_k$$ I के सजातीय आदर्शों से विशेष रूप से मेल खाता है $$k[x_0, \ldots, x_n]$$ जो संतृप्त आदर्श हैं; अर्थात।, $$I : (x_0, \dots, x_n) = I.$$ इस तथ्य को प्रक्षेप्य Nullstellensatz का परिष्कृत संस्करण माना जा सकता है।

हम उपरोक्त का एक समन्वय-मुक्त एनालॉग दे सकते हैं। अर्थात्, k के ऊपर एक परिमित-आयामी वेक्टर स्थान V दिया गया है, हम देते हैं


 * $$\mathbb{P}(V) = \operatorname{Proj} k[V]$$

कहाँ $$k[V] = \operatorname{Sym}(V^*)$$ का सममित बीजगणित है $$V^*$$. यह V का प्रक्षेपीकरण है; यानी, यह वी में रेखाओं को पैरामीट्रिज करता है। एक विहित विशेषण मानचित्र है $$\pi: V \setminus \{0\} \to \mathbb{P}(V)$$, जिसे ऊपर वर्णित चार्ट का उपयोग करके परिभाषित किया गया है। निर्माण का एक महत्वपूर्ण उपयोग यह है (cf., ). प्रक्षेप्य किस्म X पर एक विभाजक D एक लाइन बंडल L से मेल खाता है। एक फिर सेट होता है


 * $$|D| = \mathbb{P}(\Gamma(X, L))$$;

इसे D का पूर्ण रैखिक तंत्र कहा जाता है।

किसी भी योजना पर प्रक्षेप्य स्थान (गणित) एस को योजनाओं के फाइबर उत्पाद के रूप में परिभाषित किया जा सकता है


 * $$\mathbb{P}^n_S = \mathbb{P}_\Z^n \times_{\operatorname{Spec}\Z} S.$$

अगर $$\mathcal{O}(1)$$ सेरे ऑन का घुमाव वाला शीफ ​​है $$\mathbb{P}_\Z^n$$, हम जाने $$\mathcal{O}(1) $$ पुलबैक#फाइबर-उत्पाद को निरूपित करें $$\mathcal{O}(1)$$ को $$\mathbb{P}^n_S$$; वह है, $$\mathcal{O}(1) = g^*(\mathcal{O}(1))$$ विहित मानचित्र के लिए $$g: \mathbb{P}^n_{S} \to \mathbb{P}^n_{\Z}.$$ एक योजना X → S को S पर 'प्रोजेक्टिव' कहा जाता है यदि यह एक बंद विसर्जन के रूप में कार्य करता है


 * $$X \to \mathbb{P}^n_S$$

एस के प्रक्षेपण के बाद।

एक लाइन बंडल (या उलटा शीफ) $$\mathcal{L}$$ एक योजना पर


 * $$i: X \to \mathbb{P}^n_S$$

कुछ n के लिए ताकि $$\mathcal{O}(1)$$ के लिए पुलबैक $$\mathcal{L}$$. फिर एक एस-स्कीम एक्स प्रक्षेप्य है यदि और केवल यदि यह उचित रूपवाद है और एस के सापेक्ष एक्स पर एक बहुत बड़ा शीफ ​​मौजूद है। वास्तव में, यदि एक्स उचित है, तो बहुत पर्याप्त लाइन बंडल के अनुरूप एक विसर्जन आवश्यक रूप से बंद है। इसके विपरीत, यदि एक्स प्रक्षेप्य है, तो पुलबैक $$\mathcal{O}(1)$$ प्रक्षेप्य स्थान में एक्स के बंद विसर्जन के तहत बहुत पर्याप्त है। वह प्रक्षेप्य तात्पर्य अधिक गहरा है: उन्मूलन सिद्धांत का मुख्य प्रमेय।

संपूर्ण किस्मों से संबंध
परिभाषा के अनुसार, एक किस्म पूर्ण किस्म है, यदि यह k के ऊपर उचित मानचित्र है। उचितता का मूल्यांकन मानदंड इस अंतर्ज्ञान को व्यक्त करता है कि उचित विविधता में, कोई बिंदु गायब नहीं है।

पूर्ण और प्रक्षेप्य किस्मों के बीच घनिष्ठ संबंध है: एक ओर, प्रक्षेप्य स्थान और इसलिए कोई भी प्रक्षेप्य विविधता पूर्ण होती है। इसका विपरीत सामान्यतः सत्य नहीं है। हालाँकि:


 * एक विलक्षणता सिद्धांत#बीजगणितीय वक्र विलक्षणताएं सी प्रक्षेप्य है यदि और केवल यदि यह पूर्ण विविधता है। यह एक बीजगणितीय किस्म k(C) के फ़ंक्शन फ़ील्ड के असतत मूल्यांकन रिंगों के सेट के साथ C की पहचान करके सिद्ध किया जाता है। इस सेट में एक प्राकृतिक ज़ारिस्की टोपोलॉजी है जिसे ज़ारिस्की-रीमैन स्पेस कहा जाता है।
 * चाउ की लेम्मा बताती है कि किसी भी पूर्ण किस्म (इसके अलावा, सामान्य किस्म के माध्यम से, कोई यह मान सकता है कि यह प्रक्षेपी किस्म सामान्य है।)

प्रक्षेप्य किस्म के कुछ गुण पूर्णता से अनुसरण करते हैं। उदाहरण के लिए,


 * $$\Gamma(X, \mathcal{O}_X) = k$$

किसी भी प्रक्षेप्य किस्म के लिए X ओवर k। यह तथ्य लिउविले के प्रमेय (जटिल विश्लेषण) का एक बीजगणितीय एनालॉग है | लिउविले का प्रमेय (कनेक्टेड कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड पर कोई भी होलोमोर्फिक फ़ंक्शन स्थिर है)। वास्तव में, जटिल प्रक्षेप्य किस्मों पर जटिल विश्लेषणात्मक ज्यामिति और बीजगणितीय ज्यामिति के बीच समानता इससे कहीं आगे तक जाती है, जैसा कि नीचे बताया गया है।

अर्ध-प्रोजेक्टिव किस्म|अर्ध-प्रोजेक्टिव किस्में, परिभाषा के अनुसार, वे हैं जो प्रोजेक्टिव किस्मों की खुली उप-किस्में हैं। किस्मों के इस वर्ग में एफ़िन किस्म भी शामिल है। एफ़िन किस्में लगभग कभी भी पूर्ण (या प्रक्षेपी) नहीं होती हैं। वास्तव में, एक एफ़िन किस्म की प्रक्षेप्य उप-विविधता का आयाम शून्य होना चाहिए। ऐसा इसलिए है क्योंकि केवल स्थिरांक ही प्रक्षेप्य विविधता पर विश्व स्तर पर नियमित कार्य हैं।

उदाहरण और बुनियादी अपरिवर्तनीय
परिभाषा के अनुसार, बहुपद वलय में कोई भी सजातीय आदर्श एक प्रक्षेप्य योजना उत्पन्न करता है (विविधता देने के लिए प्रमुख आदर्श होना आवश्यक है)। इस अर्थ में, प्रक्षेपी किस्मों के उदाहरण प्रचुर मात्रा में हैं। निम्नलिखित सूची में प्रक्षेपी किस्मों के विभिन्न वर्गों का उल्लेख है जो उल्लेखनीय हैं क्योंकि उनका विशेष रूप से गहनता से अध्ययन किया गया है। जटिल प्रक्षेप्य किस्मों का महत्वपूर्ण वर्ग, यानी, मामला $$k=\Complex$$, नीचे और अधिक चर्चा की गई है।

दो प्रक्षेप्य स्थानों का गुणनफल प्रक्षेप्य होता है। वास्तव में, वहाँ स्पष्ट विसर्जन है (जिसे सेग्रे एम्बेडिंग कहा जाता है)


 * $$\begin{cases}

\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^m \to \mathbb{P}^{(n+1)(m+1)-1} \\ (x_i, y_j) \mapsto x_i y_j \end{cases}$$ परिणामस्वरूप, k से अधिक प्रक्षेप्य किस्मों की योजनाओं का फाइबर उत्पाद फिर से प्रक्षेपी है। प्लुकर एम्बेडिंग एक ग्रासमैनियन को एक प्रोजेक्टिव किस्म के रूप में प्रदर्शित करता है। सामान्यीकृत ध्वज विविधता जैसे सामान्य रैखिक समूह का भागफल $$\mathrm{GL}_n(k)$$ मॉड्यूलो ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स के उपसमूह भी प्रक्षेप्य हैं, जो बीजगणितीय समूहों के सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण तथ्य है।

सजातीय निर्देशांक वलय और हिल्बर्ट बहुपद
प्रक्षेप्य किस्म X को परिभाषित करने वाला मुख्य आदर्श P सजातीय है, सजातीय समन्वय वलय है


 * $$R = k[x_0, \dots, x_n] / P$$

एक श्रेणीबद्ध वलय है, अर्थात, इसे इसके श्रेणीबद्ध घटकों के प्रत्यक्ष योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:


 * $$R = \bigoplus_{n \in \N} R_n.$$

वहाँ एक बहुपद P इस प्रकार मौजूद है $$\dim R_n = P(n)$$ सभी पर्याप्त रूप से बड़े n के लिए; इसे एक्स का हिल्बर्ट बहुपद कहा जाता है। यह एक्स की कुछ बाहरी ज्यामिति को एन्कोड करने वाला एक संख्यात्मक अपरिवर्तनीय है। पी की डिग्री एक्स के बीजगणितीय विविधता आर का आयाम है और इसके प्रमुख गुणांक समय 'आर!' किस्म X की बीजगणितीय किस्म की डिग्री है। X का अंकगणितीय जीनस (−1) हैr (P(0) − 1) जब X चिकना हो।

उदाहरण के लिए, सजातीय समन्वय वलय $$\mathbb{P}^n$$ है $$k[x_0, \ldots, x_n]$$ और इसका हिल्बर्ट बहुपद है $$P(z) = \binom{z+n}{n}$$; इसका अंकगणितीय जीनस शून्य है।

यदि सजातीय समन्वय वलय R एक अभिन्न रूप से बंद डोमेन है, तो प्रक्षेप्य किस्म X को प्रक्षेप्य रूप से सामान्य कहा जाता है। ध्यान दें, सामान्य किस्म के विपरीत, प्रक्षेप्य सामान्यता आर पर निर्भर करती है, एक्स का प्रक्षेप्य स्थान में एम्बेडिंग। प्रक्षेप्य किस्म का सामान्यीकरण प्रक्षेप्य है; वास्तव में, यह एक्स के कुछ सजातीय समन्वय रिंग के अभिन्न समापन की परियोजना है।

डिग्री
होने देना $$X \subset \mathbb{P}^N$$ एक प्रक्षेपी किस्म बनें। इसके एम्बेडिंग के सापेक्ष एक्स की डिग्री को परिभाषित करने के कम से कम दो समकक्ष तरीके हैं। पहला तरीका इसे परिमित सेट की कार्डिनैलिटी के रूप में परिभाषित करना है


 * $$\# (X \cap H_1 \cap \cdots \cap H_d)$$

जहाँ d, X और H का आयाम हैiसामान्य स्थिति में हाइपरप्लेन हैं। यह परिभाषा डिग्री के सहज ज्ञान युक्त विचार से मेल खाती है। वास्तव में, यदि किसी के लिए आवश्यक है कि प्रतिच्छेदन उचित प्रतिच्छेदन हो और अपरिवर्तनीय घटकों की बहुलताएँ सभी एक हों।

दूसरी परिभाषा, जिसका उल्लेख पिछले अनुभाग में किया गया है, वह यह है कि एक्स की डिग्री एक्स गुना (मंद एक्स) के हिल्बर्ट बहुपद का अग्रणी गुणांक है! ज्यामितीय रूप से, इस परिभाषा का अर्थ है कि एक्स की डिग्री एक्स पर एफ़िन शंकु के शीर्ष की बहुलता है। होने देना $$V_1, \dots, V_r \subset \mathbb{P}^N$$ शुद्ध आयामों की बंद उप-योजनाएँ हों जो ठीक से प्रतिच्छेद करती हों (वे सामान्य स्थिति में हों)। यदि एमiएक अघुलनशील घटक Z की बहुलता को दर्शाता हैiप्रतिच्छेदन में (अर्थात, प्रतिच्छेदन बहुलता), तो बेज़ाउट के प्रमेय का सामान्यीकरण कहता है:
 * $$\sum_1^s m_i \deg Z_i = \prod_1^r \deg V_i.$$

प्रतिच्छेदन बहुलता एमiZ के गुणांक के रूप में परिभाषित किया जा सकता हैiप्रतिच्छेदन उत्पाद में $$V_1 \cdot \cdots \cdot V_r$$ के चाउ रिंग में $$\mathbb{P}^N$$.

विशेषकर, यदि $$H \subset \mathbb{P}^N$$ तो यह एक हाइपरसर्फेस है जिसमें X नहीं है


 * $$\sum_1^s m_i \deg Z_i = \deg(X) \deg(H)$$

जहाँ Ziबहुलता (स्थानीय रिंग की लंबाई) मी के साथ एक्स और एच के योजना-सैद्धांतिक प्रतिच्छेदन के अप्रासंगिक घटक हैंi.

एक जटिल प्रक्षेप्य विविधता को एक कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड के रूप में देखा जा सकता है; विविधता की डिग्री (एम्बेडिंग के सापेक्ष) परिवेश जटिल प्रक्षेप्य स्थान से विरासत में मिली मीट्रिक के संबंध में कई गुना के रूप में विविधता की मात्रा है। एक जटिल प्रक्षेप्य विविधता को आयतन के न्यूनतम (एक अर्थ में) के रूप में चित्रित किया जा सकता है।

अनुभागों का वलय
मान लीजिए कि X एक प्रक्षेपी किस्म है और L उस पर एक रेखा बंडल है। फिर श्रेणीबद्ध अंगूठी


 * $$R(X, L) = \bigoplus_{n=0}^{\infty} H^0(X, L^{\otimes n})$$

एल के अनुभागों की अंगूठी कहा जाता है। यदि एल पर्याप्त रेखा बंडल है, तो इस अंगूठी का प्रोज एक्स है। इसके अलावा, यदि एक्स सामान्य है और एल बहुत पर्याप्त है, तो $$R(X,L)$$ एल द्वारा निर्धारित एक्स के सजातीय समन्वय रिंग का अभिन्न समापन है; अर्थात।, $$X \hookrightarrow \mathbb{P}^N$$ ताकि $$\mathcal{O}_{\mathbb{P}^N}(1)$$ एल की ओर वापस खींचता है। अनुप्रयोगों के लिए, विभाजक (बीजगणितीय ज्यामिति) (या) के लिए अनुमति देना उपयोगी है $$\Q$$-विभाजक) सिर्फ लाइन बंडल नहीं; यह मानते हुए कि X सामान्य है, परिणामी वलय को वर्गों का सामान्यीकृत वलय कहा जाता है। अगर $$K_X$$ X पर एक विहित विभाजक है, फिर अनुभागों का सामान्यीकृत वलय


 * $$R(X, K_X)$$

X का विहित वलय कहा जाता है। यदि विहित वलय परिमित रूप से उत्पन्न होता है, तो वलय के प्रोज को X का विहित मॉडल कहा जाता है। विहित वलय या मॉडल का उपयोग X के कोडैरा आयाम को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है।

प्रक्षेप्य वक्र
आयाम एक की प्रक्षेप्य योजनाओं को प्रक्षेप्य वक्र कहा जाता है। प्रक्षेप्य वक्रों का अधिकांश सिद्धांत चिकने प्रक्षेप्य वक्रों के बारे में है, क्योंकि बीजगणितीय किस्म के वक्रों के एकवचन बिंदु को बीजगणितीय किस्म के सामान्यीकरण द्वारा हल किया जा सकता है, जिसमें स्थानीय रूप से नियमित कार्यों की अंगूठी के अभिन्न समापन को शामिल किया जाता है। चिकने प्रक्षेप्य वक्र समरूपी होते हैं यदि और केवल यदि बीजगणितीय किस्म का उनका कार्य क्षेत्र समरूपी हो। के परिमित विस्तार का अध्ययन


 * $$\mathbb F_p(t),$$

या समकक्ष चिकनी प्रक्षेप्य वक्र $$\mathbb F_p$$ बीजगणितीय संख्या सिद्धांत की एक महत्वपूर्ण शाखा है। जीनस वन के चिकने प्रक्षेप्य वक्र को अण्डाकार वक्र कहा जाता है। रीमैन-रोच प्रमेय के परिणामस्वरूप, इस तरह के वक्र को एक बंद उपविविधता के रूप में एम्बेड किया जा सकता है $$\mathbb{P}^2$$. सामान्य तौर पर, किसी भी (सुचारू) प्रक्षेप्य वक्र को अंतर्निहित किया जा सकता है $$\mathbb{P}^3$$ (प्रमाण के लिए, सेकेंट किस्म#उदाहरण देखें)। इसके विपरीत, कोई भी चिकना बंद वक्र $$\mathbb{P}^2$$ डिग्री तीन में जीनस सूत्र के अनुसार जीनस एक होता है और इस प्रकार यह एक अण्डाकार वक्र होता है।

दो से अधिक या उसके बराबर जीनस के एक चिकने पूर्ण वक्र को हाइपरलिप्टिक वक्र कहा जाता है यदि कोई परिमित रूपवाद हो $$C \to \mathbb{P}^1$$ डिग्री दो का.

प्रक्षेप्य हाइपरसर्फेस
प्रत्येक अपरिवर्तनीय बंद उपसमुच्चय $$\mathbb{P}^n$$ कोडिमेंशन में से एक ऊनविम पृष्ठ है; यानी, कुछ सजातीय अघुलनशील बहुपद का शून्य सेट।

एबेलियन किस्में
प्रक्षेप्य किस्म X का एक अन्य महत्वपूर्ण अपरिवर्तनीय पिकार्ड समूह है $$\operatorname{Pic}(X)$$ एक्स का, एक्स पर लाइन बंडलों के समरूपता वर्गों का सेट। यह समरूपी है $$H^1(X, \mathcal O_X^*)$$ और इसलिए एक आंतरिक धारणा (एम्बेडिंग से स्वतंत्र)। उदाहरण के लिए, पिकार्ड समूह $$\mathbb{P}^n$$ के लिए समरूपी है $$\Z$$ डिग्री मानचित्र के माध्यम से. की गिरी $$\deg: \operatorname{Pic}(X) \to \Z$$ न केवल एक अमूर्त एबेलियन समूह है, बल्कि एक्स, जैक (एक्स) की जैकोबियन किस्म नामक एक किस्म भी है, जिसके अंक इस समूह के बराबर हैं। (चिकने) वक्र का जैकोबियन वक्र के अध्ययन में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। उदाहरण के लिए, अण्डाकार वक्र E का जैकोबियन E ही है। जीनस g के वक्र X के लिए, Jac(X) का आयाम g है।

जैकोबियन किस्म जैसी किस्में, जो पूर्ण हैं और एक समूह संरचना रखती हैं, नील्स एबेल के सम्मान में एबेलियन किस्म के रूप में जानी जाती हैं। जैसे एफ़िन बीजीय समूहों के बिल्कुल विपरीत $$GL_n(k)$$, ऐसे समूह सदैव क्रमविनिमेय होते हैं, जहाँ से यह नाम पड़ा है। इसके अलावा, वे एक पर्याप्त लाइन बंडल स्वीकार करते हैं और इस प्रकार प्रक्षेप्य होते हैं। दूसरी ओर, एबेलियन योजना प्रक्षेप्य नहीं हो सकती है। एबेलियन किस्मों के उदाहरण अण्डाकार वक्र, जैकोबियन किस्में और K3 सतहें हैं।

अनुमान
होने देना $$E \subset \mathbb{P}^n$$ एक रैखिक उपस्थान बनें; अर्थात।, $$E = \{ s_0 = s_1 = \cdots = s_r = 0 \}$$ कुछ रैखिक रूप से स्वतंत्र रैखिक कार्यात्मकताओं के लिएi. फिर 'ई से प्रक्षेपण' (अच्छी तरह से परिभाषित) रूपवाद है


 * $$\begin{cases}

\phi: \mathbb{P}^n - E \to \mathbb{P}^r \\ x \mapsto [s_0(x) : \cdots : s_r(x)] \end{cases}$$ इस मानचित्र का ज्यामितीय विवरण इस प्रकार है: प्रक्षेपणों का उपयोग उस आयाम को कम करने के लिए किया जा सकता है जिसमें एक प्रक्षेप्य विविधता अंतर्निहित है, परिमित आकारिकी तक। कुछ प्रक्षेपी विविधता से शुरुआत करें $$X \subset \mathbb{P}^n.$$ अगर $$n > \dim X,$$ एक्स पर नहीं एक बिंदु से प्रक्षेपण देता है $$\phi: X \to \mathbb{P}^{n-1}.$$ इसके अतिरिक्त, $$\phi$$ इसकी छवि के लिए एक सीमित मानचित्र है। इस प्रकार, प्रक्रिया को दोहराते हुए, कोई देखता है कि एक सीमित नक्शा है
 * हम देखते हैं $$\mathbb{P}^r \subset \mathbb{P}^n$$ ताकि यह ई से असंयुक्त हो। फिर, किसी के लिए $$x \in \mathbb{P}^n \setminus E$$, $$\phi(x) = W_x \cap \mathbb{P}^r,$$ कहाँ $$W_x$$ E और x युक्त सबसे छोटे रैखिक स्थान को दर्शाता है (जिसे E और x का जोड़ (बीजगणितीय ज्यामिति) कहा जाता है।)
 * $$\phi^{-1}(\{ y_i \ne 0 \}) = \{ s_i \ne 0 \},$$ कहाँ $$y_i$$ पर सजातीय निर्देशांक हैं $$\mathbb{P}^r.$$
 * किसी भी बंद उपयोजना के लिए $$Z \subset \mathbb{P}^n$$ ई से असंयुक्त, प्रतिबंध $$\phi: Z \to \mathbb{P}^r $$ एक परिमित रूपवाद है.


 * $$X \to \mathbb{P}^d, \quad d = \dim X.$$

यह परिणाम नोएदर के सामान्यीकरण लेम्मा का प्रक्षेप्य एनालॉग है। (वास्तव में, यह सामान्यीकरण प्रमेयिका का एक ज्यामितीय प्रमाण देता है।)

उसी प्रक्रिया का उपयोग निम्नलिखित थोड़ा अधिक सटीक परिणाम दिखाने के लिए किया जा सकता है: एक पूर्ण क्षेत्र पर एक प्रक्षेप्य विविधता एक्स को देखते हुए, एक्स से हाइपरसर्फेस एच तक एक सीमित द्विवार्षिक रूपवाद होता है। $$\mathbb{P}^{d+1}.$$ विशेष रूप से, यदि X सामान्य है, तो यह H का सामान्यीकरण है।

द्वैत और रैखिक प्रणाली
जबकि एक प्रक्षेप्य एन-स्पेस $$\mathbb{P}^n$$ एक एफ़िन एन-स्पेस में लाइनों को पैरामीटराइज़ करता है, इसका दोहरा प्रोजेक्टिव स्पेस दोहरी प्रक्षेप्य स्थान हाइपरप्लेन को निम्नानुसार पैरामीटराइज़ करता है। एक फ़ील्ड ठीक करें k. द्वारा $$\breve{\mathbb{P}}_k^n$$, हमारा तात्पर्य एक प्रक्षेप्य एन-स्पेस से है
 * $$\breve{\mathbb{P}}_k^n = \operatorname{Proj}(k[u_0, \dots, u_n])$$

निर्माण से सुसज्जित:
 * $$f \mapsto H_f = \{ \alpha_0 x_0 + \cdots + \alpha_n x_n = 0 \}$$, एक हाइपरप्लेन चालू $$\mathbb{P}^n_L$$

कहाँ $$f: \operatorname{Spec} L \to \breve{\mathbb{P}}_k^n$$ का एक तर्कसंगत बिंदु|एल-बिंदु है $$\breve{\mathbb{P}}_k^n$$ k और के फ़ील्ड एक्सटेंशन L के लिए $$\alpha_i = f^*(u_i) \in L.$$ प्रत्येक एल के लिए, निर्माण एल-बिंदुओं के सेट के बीच एक आक्षेप है $$\breve{\mathbb{P}}_k^n$$ और हाइपरप्लेन का सेट चालू है $$\mathbb{P}^n_L$$. इसके कारण, दोहरा प्रक्षेप्य स्थान $$\breve{\mathbb{P}}_k^n$$ इसे हाइपरप्लेन का मॉड्यूलि स्पेस कहा जाता है $$\mathbb{P}^n_k$$.

में एक पंक्ति $$\breve{\mathbb{P}}_k^n$$ इसे पेंसिल (बीजगणितीय ज्यामिति) कहा जाता है: यह हाइपरप्लेन का एक परिवार है $$\mathbb{P}^n_k$$ द्वारा पैरामीट्रिज्ड $$\mathbb{P}^1_k$$.

यदि V, k के ऊपर एक परिमित-आयामी सदिश समष्टि है, तो, ऊपर बताए गए कारण से, $$\mathbb{P}(V^*) = \operatorname{Proj}(\operatorname{Sym}(V))$$ हाइपरप्लेन का स्थान है $$\mathbb{P}(V)$$. एक महत्वपूर्ण मामला तब होता है जब वी में एक लाइन बंडल के अनुभाग होते हैं। अर्थात्, मान लीजिए कि X एक बीजगणितीय किस्म है, L, X पर एक लाइन बंडल है और $$V \subset \Gamma(X, L)$$ परिमित सकारात्मक आयाम का एक वेक्टर उपस्थान। फिर एक नक्शा है:
 * $$\begin{cases}

\varphi_V: X \setminus B \to \mathbb{P}(V^*) \\ x \mapsto H_x = \{ s \in V | s(x) = 0 \} \end{cases}$$ रैखिक प्रणाली वी द्वारा निर्धारित, जहां बी, जिसे आधार स्थान कहा जाता है, वी में गैर-शून्य खंडों के शून्य के विभाजकों का योजना-सैद्धांतिक प्रतिच्छेदन है (विभाजकों की रैखिक प्रणाली देखें # के निर्माण के लिए एक रैखिक प्रणाली द्वारा निर्धारित एक नक्शा नक्शा)।

सुसंगत ढेरों की सहसंबद्धता
मान लीजिए कि X एक क्षेत्र पर (या, अधिक सामान्यतः नोथेरियन रिंग A पर) एक प्रक्षेप्य योजना है। सुसंगत सहसंरचना $$\mathcal F$$ एक्स पर सेरे के कारण निम्नलिखित महत्वपूर्ण प्रमेय संतुष्ट होते हैं:

ये परिणाम मामले को कम करने वाले साबित हुए हैं $$X= \mathbb{P}^n$$ समरूपता का उपयोग करना
 * 1) $$H^p(X, \mathcal{F})$$ किसी भी पी के लिए एक परिमित-आयामी के-वेक्टर स्थान है।
 * 2) वहाँ एक पूर्णांक मौजूद है $$n_0$$ (इस पर निर्भर करते हुए $$\mathcal{F}$$; कैस्टेलनुवो-ममफोर्ड नियमितता भी देखें) जैसे कि $$H^p(X, \mathcal{F}(n)) = 0$$ सभी के लिए $$n \ge n_0$$ और पी > 0, कहाँ $$\mathcal F(n) = \mathcal F \otimes \mathcal O(n)$$ एक बहुत ही प्रचुर लाइन बंडल की शक्ति के साथ घुमाव है $$\mathcal{O}(1).$$


 * $$H^p(X, \mathcal{F}) = H^p(\mathbb{P}^r, \mathcal{F}), p \ge 0$$

जहां दाहिनी ओर $$\mathcal{F}$$ शून्य द्वारा विस्तार द्वारा प्रक्षेप्य स्थान पर एक पूले के रूप में देखा जाता है। इसके बाद परिणाम की सीधी गणना होती है $$\mathcal{F} = \mathcal{O}_{\mathbb{P}^r}(n),$$ n कोई भी पूर्णांक, और मनमाना के लिए $$\mathcal F$$ बिना किसी कठिनाई के इस मामले में कम हो जाता है। उपरोक्त 1 के परिणाम के रूप में, यदि एफ नोथेरियन योजना से नोथेरियन रिंग तक एक प्रक्षेप्य आकारिकी है, तो उच्चतर प्रत्यक्ष छवि $$R^p f_* \mathcal{F}$$ सुसंगत है. वही परिणाम उचित आकारिकी एफ के लिए लागू होता है, जैसा कि चाउ के लेम्मा की सहायता से दिखाया जा सकता है।

शीफ कोहोमोलोजी समूह एच नोथेरियन टोपोलॉजिकल स्पेस पर मैं गायब हो जाता हूं क्योंकि मैं स्पेस के आयाम से सख्ती से बड़ा हूं। इस प्रकार वह मात्रा, जिसे यूलर विशेषता कहा जाता है $$\mathcal{F}$$,


 * $$\chi(\mathcal{F}) = \sum_{i=0}^\infty (-1)^i \dim H^i(X, \mathcal{F})$$

एक अच्छी तरह से परिभाषित पूर्णांक है (एक्स प्रोजेक्टिव के लिए)। फिर कोई दिखा सकता है $$\chi(\mathcal{F}(n)) = P(n)$$ परिमेय संख्याओं पर कुछ बहुपद P के लिए। इस प्रक्रिया को संरचना शीफ ​​पर लागू करना $$\mathcal{O}_X$$, कोई एक्स के हिल्बर्ट बहुपद को पुनः प्राप्त करता है। विशेष रूप से, यदि एक्स अपरिवर्तनीय है और इसका आयाम आर है, तो एक्स का अंकगणित जीनस इस प्रकार दिया गया है


 * $$(-1)^r (\chi(\mathcal{O}_X) - 1),$$

जो स्पष्ट रूप से आंतरिक है; यानी, एम्बेडिंग से स्वतंत्र।

डिग्री डी की हाइपरसरफेस का अंकगणितीय जीनस है $$\binom{d-1}{n}$$ में $$\mathbb{P}^n$$. विशेष रूप से, डिग्री डी इन का एक चिकना वक्र $$\mathbb{P}^2$$ अंकगणित जीनस है $$(d-1)(d-2)/2$$. यह वंश सूत्र है.

चिकनी प्रक्षेप्य किस्में
मान लीजिए कि X एक सुचारु प्रक्षेप्य किस्म है जहां इसके सभी अप्रासंगिक घटकों का आयाम n है। इस स्थिति में, विहित शीफ़ ωX, शीर्ष डिग्री (यानी, बीजगणितीय एन-फॉर्म) के काहलर अंतर के शीफ के रूप में परिभाषित, एक लाइन बंडल है।

सर्रे द्वैत
सेरे द्वंद्व बताता है कि किसी भी स्थानीय रूप से मुक्त शीफ के लिए $$\mathcal{F}$$ एक्स पर,


 * $$H^i(X, \mathcal{F}) \simeq H^{n-i}(X, \mathcal{F}^\vee \otimes \omega_X)'$$

जहां सुपरस्क्रिप्ट प्राइम दोहरे स्थान को संदर्भित करता है और $$\mathcal{F}^\vee$$ का दोहरा पूल है $$\mathcal{F}$$. प्रोजेक्टिव, लेकिन जरूरी नहीं कि सुचारू योजनाओं का सामान्यीकरण वर्डियर द्वैत के रूप में जाना जाता है।

रीमैन-रोच प्रमेय
एक (चिकनी प्रक्षेप्य) वक्र X, H के लिए2और उच्चतर आयामी कारण से गायब हो जाते हैं और संरचना शीफ ​​के वैश्विक खंडों का स्थान एक-आयामी है। इस प्रकार X का अंकगणितीय जीनस का आयाम है $$H^1(X, \mathcal{O}_X)$$. परिभाषा के अनुसार, X का ज्यामितीय जीनस H का आयाम है0(एक्स, ωX). इस प्रकार सेरे द्वैत का अर्थ है कि अंकगणितीय जीनस और ज्यामितीय जीनस मेल खाते हैं। उन्हें बस एक्स का जीनस कहा जाएगा।

रीमैन-रोच प्रमेय के प्रमाण में सेरे द्वैत भी एक प्रमुख घटक है। चूँकि X चिकना है, इसलिए समूहों की समरूपता है


 * $$ \begin{cases}

\operatorname{Cl}(X) \to \operatorname{Pic}(X) \\ D \mapsto \mathcal{O}(D) \end{cases}$$ वेइल विभाजक के समूह से|(वेइल) विभाजक मॉड्यूलो प्रमुख विभाजक लाइन बंडलों के समरूपता वर्गों के समूह के लिए। ω के अनुरूप एक भाजकX इसे विहित विभाजक कहा जाता है और इसे K से दर्शाया जाता है। मान लीजिए l(D) का आयाम है $$H^0(X, \mathcal{O}(D))$$. फिर रीमैन-रोच प्रमेय कहता है: यदि g, X का एक जीनस है,


 * $$l(D) -l(K - D) = \deg D + 1 - g,$$

X पर किसी भी भाजक D के लिए। सेरे द्वैत द्वारा, यह वैसा ही है:


 * $$\chi(\mathcal{O}(D)) = \deg D + 1 - g,$$

जिसे आसानी से साबित किया जा सकता है. उच्च आयाम के लिए रीमैन-रोच प्रमेय का एक सामान्यीकरण हिरज़ेब्रुक-रीमैन-रोच प्रमेय है, साथ ही दूरगामी ग्रोथेंडिक-रीमैन-रोच प्रमेय भी है।

हिल्बर्ट योजनाएँ
हिल्बर्ट योजनाएँ प्रक्षेप्य योजना ज्यामितीय वस्तु जिसके बिंदु अन्य ज्यामितीय वस्तुओं को पैरामीट्रिज करते हैं। अधिक सटीक रूप से, हिल्बर्ट योजना बंद उप-किस्मों को पैरामीट्रिज करती है जिनका हिल्बर्ट बहुपद एक निर्धारित बहुपद पी के बराबर होता है। यह ग्रोथेंडिक का एक गहरा प्रमेय है कि एक योजना है $$H_X^P$$ k के ऊपर ऐसा है कि, किसी भी k-स्कीम T के लिए, एक आपत्ति है


 * $$\{\text{morphisms }T \to H^P_X \} \ \ \longleftrightarrow \ \ \{\text{closed subschemes of } X \times_k T \text{ flat over } T, \text{ with Hilbert polynomial } P.\}$$

की बंद उपयोजना $$X \times H_X^P$$ जो पहचान मानचित्र से मेल खाता है $$H_X^P \to H_X^P$$ विश्व परिवार कहलाता है।

के लिए $$P(z) = \binom{z+r}{r}$$, हिल्बर्ट योजना $$H_{\mathbb{P}^n}^P$$ में आर-प्लेन का ग्रासमैनियन कहा जाता है $$\mathbb{P}^n$$ और, यदि X एक प्रक्षेप्य योजना है, $$H_X^P$$ एक्स पर आर-प्लेन की फ़ानो योजना कहलाती है।

जटिल प्रक्षेप्य किस्में
इस खंड में, सभी बीजगणितीय किस्में सम्मिश्र संख्या वाली बीजगणितीय किस्में हैं। जटिल प्रक्षेप्य किस्मों के सिद्धांत की एक प्रमुख विशेषता बीजगणितीय और विश्लेषणात्मक तरीकों का संयोजन है। इन सिद्धांतों के बीच संक्रमण निम्नलिखित लिंक द्वारा प्रदान किया गया है: चूंकि कोई भी जटिल बहुपद भी एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन है, कोई भी जटिल विविधता एक्स एक जटिल विश्लेषणात्मक स्थान उत्पन्न करती है, जिसे दर्शाया गया है $$X(\Complex)$$. इसके अलावा, X के ज्यामितीय गुण इनके द्वारा परिलक्षित होते हैं $$X(\Complex)$$. उदाहरण के लिए, बाद वाला एक जटिल मैनिफोल्ड है यदि और केवल यदि एक्स चिकना है; यह सघन है यदि और केवल यदि X उचित है $$\Complex$$.

जटिल काहलर मैनिफोल्ड्स से संबंध
जटिल प्रक्षेप्य स्थान काहलर मैनिफोल्ड है। इसका तात्पर्य यह है कि, किसी भी प्रक्षेपी बीजगणितीय किस्म X के लिए, $$X(\Complex)$$ एक कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड है। इसका विपरीत आम तौर पर सच नहीं है, लेकिन कोडैरा एम्बेडिंग प्रमेय काहलर मैनिफोल्ड को प्रक्षेप्य होने का एक मानदंड देता है।

निम्न आयामों में, निम्नलिखित परिणाम होते हैं:


 * (रीमैन) एक कॉम्पैक्ट रीमैन सतह (यानी, आयाम एक का कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड) एक प्रक्षेप्य किस्म है। टोरेली प्रमेय के अनुसार, यह विशिष्ट रूप से इसके जैकोबियन द्वारा निर्धारित होता है।
 * (चाउ-कोडैरा) दो बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन के साथ आयाम दो का एक कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड एक प्रक्षेप्य किस्म है।

GAGA और चाउ का प्रमेय
बीजगणितीय ज्यामिति और विश्लेषणात्मक ज्यामिति#Chow.27s प्रमेय|चाउ का प्रमेय विश्लेषणात्मक से बीजगणितीय ज्यामिति तक, दूसरे रास्ते पर जाने का एक शानदार तरीका प्रदान करता है। इसमें कहा गया है कि एक जटिल प्रक्षेप्य स्थान की प्रत्येक विश्लेषणात्मक उप-विविधता बीजगणितीय है। प्रमेय की व्याख्या यह कहकर की जा सकती है कि एक निश्चित विकास स्थिति को संतुष्ट करने वाला होलोमोर्फिक फ़ंक्शन आवश्यक रूप से बीजगणितीय है: प्रक्षेप्य इस विकास की स्थिति प्रदान करता है। प्रमेय से निम्नलिखित निष्कर्ष निकाला जा सकता है:

चाउ के प्रमेय को सेरे की बीजगणितीय ज्यामिति और विश्लेषणात्मक ज्यामिति के माध्यम से दिखाया जा सकता है। इसका मुख्य प्रमेय कहता है:
 * जटिल प्रक्षेप्य स्थान पर मेरोमोर्फिक कार्य तर्कसंगत हैं।
 * यदि बीजगणितीय किस्मों के बीच एक बीजीय मानचित्र एक विश्लेषणात्मक समरूपता है, तो यह एक (बीजगणितीय) समरूपता है। (यह भाग जटिल विश्लेषण में एक बुनियादी तथ्य है।) विशेष रूप से, चाउ के प्रमेय का तात्पर्य है कि प्रक्षेप्य किस्मों के बीच एक होलोमोर्फिक मानचित्र बीजगणितीय है। (ऐसे मानचित्र के ग्राफ़ पर विचार करें।)
 * प्रक्षेप्य किस्म पर प्रत्येक होलोमोर्फिक वेक्टर बंडल एक अद्वितीय बीजगणितीय वेक्टर बंडल से प्रेरित होता है।
 * प्रक्षेप्य किस्म पर प्रत्येक होलोमोर्फिक लाइन बंडल एक विभाजक का एक लाइन बंडल है।


 * मान लीजिए कि X एक प्रक्षेपी योजना है $$\Complex$$. फिर फ़ैक्टर एक्स पर सुसंगत शीव्स को संबंधित जटिल विश्लेषणात्मक स्थान एक्स पर सुसंगत शीव्स से जोड़ता हैanश्रेणियों की एक तुल्यता है। इसके अलावा, प्राकृतिक मानचित्र
 * $$H^i(X, \mathcal{F}) \to H^i(X^\text{an}, \mathcal{F})$$
 * सभी i और सभी सुसंगत ढेरों के लिए समरूपताएं हैं $$\mathcal{F}$$ एक्स पर.

जटिल तोरी बनाम जटिल एबेलियन किस्में
एबेलियन किस्म ए से संबंधित जटिल विविधता $$\Complex$$ एक सघन जटिल लाई समूह है। इनका स्वरूप दिखाया जा सकता है


 * $$\Complex^g / L$$

और इन्हें जटिल टोरस भी कहा जाता है। यहां, जी टोरस का आयाम है और एल एक जाली है (जिसे पीरियड जाली भी कहा जाता है)।

पहले से ही ऊपर वर्णित एकरूपता प्रमेय के अनुसार, आयाम 1 का कोई भी टोरस आयाम 1 की एबेलियन विविधता से उत्पन्न होता है, अर्थात, एक अण्डाकार वक्र से। वास्तव में, वीयरस्ट्रैस का अण्डाकार कार्य $$\wp$$ एल से जुड़ा हुआ एक निश्चित अंतर समीकरण को संतुष्ट करता है और परिणामस्वरूप यह एक बंद विसर्जन को परिभाषित करता है:
 * $$\begin{cases}

\Complex/L \to \mathbb{P}^2 \\ L \mapsto (0:0:1) \\ z \mapsto (1 : \wp(z) : \wp'(z)) \end{cases}$$ एक पी-एडिक एनालॉग है, पी-एडिक एकरूपीकरण प्रमेय।

उच्च आयामों के लिए, जटिल एबेलियन किस्मों और जटिल तोरी की धारणाएँ भिन्न होती हैं: केवल बीजगणितीय रूप जटिल तोरी का ध्रुवीकरण एबेलियन किस्मों से आता है।

कोडैरा गायब हो रहा है
मौलिक कोडैरा लुप्त प्रमेय बताता है कि एक पर्याप्त लाइन बंडल के लिए $$\mathcal{L}$$ विशेषता शून्य के क्षेत्र पर एक चिकनी प्रक्षेप्य विविधता एक्स पर,


 * $$H^i(X, \mathcal{L}\otimes \omega_X) = 0$$

i > 0 के लिए, या, समकक्ष सेरे द्वैत द्वारा $$H^i(X, \mathcal L^{-1}) = 0$$ i के लिए < n. इस प्रमेय के पहले प्रमाण में काहलर ज्यामिति के विश्लेषणात्मक तरीकों का उपयोग किया गया था, लेकिन बाद में एक विशुद्ध बीजगणितीय प्रमाण मिला। सामान्य रूप से गायब होने वाला कोडैरा सकारात्मक विशेषता में एक सहज प्रक्षेप्य विविधता के लिए विफल रहता है। कोडैरा का प्रमेय विभिन्न लुप्त हो रहे प्रमेयों में से एक है, जो उच्च शीफ कोहोमोलोजी के लुप्त होने का मानदंड देता है। चूँकि एक शीफ की यूलर विशेषता (ऊपर देखें) अक्सर अलग-अलग कोहोलॉजी समूहों की तुलना में अधिक प्रबंधनीय होती है, इसका अक्सर प्रक्षेपी किस्मों की ज्यामिति के बारे में महत्वपूर्ण परिणाम होता है।

संबंधित धारणाएँ

 * बहु-प्रक्षेपी विविधता
 * भारित प्रक्षेप्य विविधता, भारित प्रक्षेप्य स्थान की एक बंद उपविविधता

यह भी देखें

 * प्रक्षेप्य स्थानों की बीजगणितीय ज्यामिति
 * पर्याप्त तुल्यता संबंध
 * हिल्बर्ट योजना
 * लेफ्शेट्ज़ हाइपरप्लेन प्रमेय
 * न्यूनतम मॉडल कार्यक्रम

संदर्भ

 * R. Vakil, Foundations Of Algebraic Geometry
 * R. Vakil, Foundations Of Algebraic Geometry
 * R. Vakil, Foundations Of Algebraic Geometry
 * R. Vakil, Foundations Of Algebraic Geometry
 * R. Vakil, Foundations Of Algebraic Geometry
 * R. Vakil, Foundations Of Algebraic Geometry
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 * R. Vakil, Foundations Of Algebraic Geometry
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 * R. Vakil, Foundations Of Algebraic Geometry
 * R. Vakil, Foundations Of Algebraic Geometry
 * R. Vakil, Foundations Of Algebraic Geometry

बाहरी संबंध

 * The Hilbert Scheme by Charles Siegel - a blog post
 * varieties Ch. 1