सममित घटक

विद्युत अभियन्त्रण में, सममित घटकों की विधि सामान्य और असामान्य दोनों स्थितियों के तहत असंतुलित तीन-चरण बिजली प्रणालियों के विश्लेषण को सरल बनाती है। मूल विचार यह है कि जटिल संख्या रैखिक परिवर्तन के माध्यम से एन फासर्स के एक असममित समुच्चय को फेजर्स के एन सममित समुच्चयों के एक रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। फोर्टेस्क्यू का प्रमेय (सममित घटक) सुपरपोजिशन सिद्धांत सिद्धांत पर आधारित है इसलिए यह केवल रैखिक बिजली प्रणालियों पर प्रयुक्त होता है, या गैर-रैखिक बिजली प्रणालियों के रैखिक अनुमानों पर प्रयुक्त होता है।

तीन-चरण प्रणालियों के सबसे आम मामले में, परिणामी "सममित" घटकों को प्रत्यक्ष (या धनात्मक), उलटा (या ऋणात्मक) और शून्य (या एकाधिकार) के रूप में संदर्भित किया जाता है। सममित घटकों के क्षेत्र में शक्ति प्रणाली का विश्लेषण बहुत सरल है, क्योंकि परिणामी समीकरण पारस्परिक रूप से रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं यदि परिपथ स्वयं संतुलित है।

विवरण
फ़ाइल: असंतुलित सममित घटक.pdf|thumb|400px|तीन असंतुलित फेजर्स का समुच्चय, और आवश्यक सममित घटक जो तल पर परिणामी प्लॉट का योग करते हैं।

1918 में चार्ल्स लेगेट फोर्टेस्क्यू ने एक पेपर प्रस्तुत किया जिसमें दिखाया गया कि एन असंतुलित फेजर्स के किसी भी समुच्चय (अर्थात, ऐसा कोई पॉलीपेज़ सिग्नल) एन के मूल्यों के लिए संतुलित फेजर्स के एन सममित समुच्चयों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो कि प्रमुख हैं. फेजर्स द्वारा केवल एक आवृत्ति घटक का प्रतिनिधित्व किया जाता है।

1943 में एडिथ क्लार्क ने तीन-चरण प्रणालियों के लिए सममित घटकों के उपयोग की एक विधि देते हुए एक पाठ्यपुस्तक प्रकाशित की, जिसने मूल फोर्टेस्क्यू पेपर की तुलना में गणनाओं को बहुत सरल बना दिया। तीन-चरण प्रणाली में, चरणों के एक समुच्चय में अध्ययन के तहत प्रणाली के समान चरण अनुक्रम होता है (धनात्मक अनुक्रम; एबीसी कहते हैं), दूसरे समुच्चय में रिवर्स चरण अनुक्रम (ऋणात्मक अनुक्रम; एसीबी) होता है, और तीसरे समुच्चय में फेजर्स ए, बी और सी एक दूसरे के साथ चरण में हैं (शून्य अनुक्रम, सामान्य-मोड संकेत)। अनिवार्य रूप से, यह विधि तीन असंतुलित चरणों को तीन स्वतंत्र स्रोतों में परिवर्तित करती है, जो असममित दोष विश्लेषण को अधिक सुगम बनाती है।

धनात्मक अनुक्रम, ऋणात्मक अनुक्रम, और विद्युत जनरेटर, ट्रांसफार्मर और ओवरहेड लाइनों और केबलों सहित अन्य उपकरणों के शून्य अनुक्रम प्रतिबाधा दिखाने के लिए एक-पंक्ति आरेख का विस्तार करके, इस तरह की असंतुलित स्थितियों का विश्लेषण ग्राउंड शॉर्ट-परिपथ गलती के लिए एक पंक्ति के रूप में बहुत अधिक है सरलीकृत। तकनीक को उच्च क्रम चरण प्रणालियों तक भी बढ़ाया जा सकता है।

शारीरिक रूप से, तीन चरण प्रणाली में, धाराओं का एक धनात्मक अनुक्रम समुच्चय एक सामान्य घूर्णन क्षेत्र उत्पन्न करता है, एक ऋणात्मक अनुक्रम समुच्चय विपरीत घुमाव के साथ एक क्षेत्र का उत्पादन करता है, और शून्य अनुक्रम समुच्चय एक ऐसा क्षेत्र उत्पन्न करता है जो दोलन करता है लेकिन चरण वाइंडिंग के बीच घूमता नहीं है। चूंकि इन प्रभावों को भौतिक रूप से अनुक्रम फिल्टर के साथ पता लगाया जा सकता है, गणितीय उपकरण सुरक्षात्मक रिले के डिजाइन का आधार बन गया, जो ऋणात्मक-अनुक्रम वोल्टेज और धाराओं को गलती की स्थिति के विश्वसनीय संकेतक के रूप में उपयोग करता था। इस तरह के रिले का उपयोग परिपथ वियोजक को ट्रिप करने या इलेक्ट्रिकल सिस्टम की सुरक्षा के लिए अन्य कदम उठाने के लिए किया जा सकता है।

जनरल बिजली की तार वेस्टिंगहाउस इलेक्ट्रिक कॉर्पोरेशन में इंजीनियरों द्वारा विश्लेषणात्मक तकनीक को अपनाया और उन्नत किया गया था, और द्वितीय विश्व युद्ध के बाद यह असममित दोष विश्लेषण के लिए एक स्वीकृत तरीका बन गया।

जैसा कि ऊपर दाईं ओर के चित्र में दिखाया गया है, सममित घटकों के तीन समुच्चय (धनात्मक, ऋणात्मक और शून्य अनुक्रम) तीन असंतुलित चरणों की प्रणाली बनाने के लिए जोड़ते हैं जैसा कि आरेख के निचले भाग में चित्रित किया गया है। सदिश के समुच्चय के बीच परिमाण और चरण बदलाव में अंतर के कारण चरणों के बीच असंतुलन उत्पन्न होता है। ध्यान दें कि अलग-अलग अनुक्रम सदिश के रंग (लाल, नीला और पीला) तीन अलग-अलग चरणों (उदाहरण के लिए ए, बी और सी) के अनुरूप हैं। अंतिम प्लॉट पर पहुंचने के लिए, प्रत्येक चरण के सदिशों के योग की गणना की जाती है। यह परिणामी सदिश उस विशेष चरण का प्रभावी फेजर प्रतिनिधित्व है। यह प्रक्रिया, दोहराई जाती है, तीन चरणों में से प्रत्येक के लिए चरण उत्पन्न करती है।

तीन चरण का मामला
तीन-चरण विद्युत शक्ति प्रणालियों के विश्लेषण के लिए सममित घटकों का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। किसी बिंदु पर तीन-चरण प्रणाली के वोल्टेज या करंट को तीन चरणों द्वारा इंगित किया जा सकता है, जिसे वोल्टेज या करंट के तीन घटक कहा जाता है।

यह लेख वोल्टेज पर चर्चा करता है; हालाँकि, वही विचार वर्तमान पर भी प्रयुक्त होते हैं। पूरी तरह से संतुलित तीन-चरण बिजली व्यवस्था में, वोल्टेज फेजर घटकों के समान परिमाण होते हैं लेकिन 120 डिग्री अलग होते हैं। एक असंतुलित प्रणाली में, वोल्टेज फेजर घटकों के परिमाण और चरण भिन्न होते हैं।

वोल्टेज फेजर घटकों को सममित घटकों के एक समुच्चय में विघटित करने से सिस्टम का विश्लेषण करने के साथ-साथ किसी भी असंतुलन की कल्पना करने में मदद मिलती है। यदि तीन वोल्टेज घटकों को फेजर्स (जो जटिल संख्याएं हैं) के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो एक जटिल सदिश बनाया जा सकता है जिसमें तीन चरण घटक सदिश के घटक होते हैं। तीन चरण वोल्टेज घटकों के लिए एक सदिश के रूप में लिखा जा सकता है
 * $$\mathbf{v}_{abc} = \begin{bmatrix} V_a \\ V_b \\ V_c \end{bmatrix}$$

और सदिश को तीन सममित घटकों में विघटित करना देता है
 * $$\begin{bmatrix} V_a \\ V_b \\ V_c \end{bmatrix} =

\begin{bmatrix} V_{a,0} \\ V_{b,0} \\ V_{c,0} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} V_{a,1} \\ V_{b,1} \\ V_{c,1} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} V_{a,2} \\ V_{b,2} \\ V_{c,2} \end{bmatrix}$$ जहां सबस्क्रिप्ट 0, 1 और 2 क्रमशः शून्य, धनात्मक और ऋणात्मक अनुक्रम घटकों को संदर्भित करते हैं। अनुक्रम घटक केवल उनके चरण कोणों से भिन्न होते हैं, जो सममित हैं और इसलिए हैं $$\scriptstyle\frac{2}{3}\pi$$ रेडियंस या 120°.

एक आव्यूह
फेजर रोटेशन ऑपरेटर को परिभाषित करें $$\alpha$$, जो फेजर सदिश को इसके द्वारा गुणा किए जाने पर वामावर्त 120 डिग्री घुमाता है:
 * $$\alpha \equiv e^{\frac{2}{3}\pi i}$$.

ध्यान दें कि $$\alpha^3 = 1$$ ताकि $$\alpha^{-1} = \alpha^2$$.

शून्य अनुक्रम घटकों में समान परिमाण होता है और एक दूसरे के साथ चरण में होते हैं, इसलिए:
 * $$V_0 \equiv V_{a,0} = V_{b,0} = V_{c,0}$$,

और अन्य अनुक्रम घटकों का परिमाण समान होता है, लेकिन उनके चरण कोणों में 120° का अंतर होता है। यदि वोल्टेज फेजर्स के मूल असंतुलित समुच्चय में धनात्मक या एबीसी चरण अनुक्रम होता है, तो:
 * $$\begin{align}

V_1 &\equiv V_{a,1} = \alpha V_{b,1} = \alpha^2 V_{c,1} \end{align}$$,
 * $$\begin{align}

V_2 &\equiv V_{a,2} = \alpha^2 V_{b,2} = \alpha V_{c,2} \end{align}$$, मतलब है कि
 * $$\begin{align} V_{b,1} = \alpha^2 V_1\end{align}$$,
 * $$\begin{align} V_{c,1} = \alpha V_1\end{align}$$,
 * $$\begin{align} V_{b,2} = \alpha V_2\end{align}$$,
 * $$\begin{align} V_{c,2} = \alpha^2 V_2\end{align}$$.

इस प्रकार,
 * $$\begin{align}

\mathbf{v}_{abc} &= \begin{bmatrix} V_0 \\ V_0 \\ V_0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} V_1 \\ \alpha^2 V_1 \\ \alpha V_1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} V_2 \\ \alpha V_2 \\ \alpha^2 V_2 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha^2 & \alpha \\ 1 & \alpha & \alpha^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_0 \\ V_1 \\ V_2 \end{bmatrix} \\ &= \textbf{A} \mathbf{v}_{012} \end{align}$$ कहाँ पे
 * $$\mathbf{v}_{012} = \begin{bmatrix} V_0 \\ V_1 \\ V_2 \end{bmatrix}, \textbf{A} = \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha^2 & \alpha \\ 1 & \alpha & \alpha^2 \end{bmatrix}$$

यदि इसके बजाय वोल्टेज फेजर्स के मूल असंतुलित समुच्चय में ऋणात्मक या एसीबी चरण अनुक्रम होता है, तो निम्न आव्यूह समान रूप से प्राप्त किया जा सकता है:
 * $$\textbf{A}_{acb} = \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & \alpha^2 \\ 1 & \alpha^2 & \alpha \end{bmatrix}$$

अपघटन
अनुक्रम घटक विश्लेषण समीकरण से प्राप्त होते हैं
 * $$\mathbf{v}_{012} = \textbf{A}^{-1} \mathbf{v}_{abc} $$

कहाँ पे
 * $$\textbf{A}^{-1} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & \alpha^2 \\ 1 & \alpha^2 & \alpha \end{bmatrix}$$

उपरोक्त दो समीकरण बताते हैं कि तीन चरणों के एक विषम समुच्चय के अनुरूप सममित घटकों को कैसे प्राप्त किया जाए:
 * अनुक्रम 0 मूल तीन चरणों के योग का एक तिहाई है।
 * अनुक्रम 1 वामावर्त 0°, 120°, और 240° घुमाए गए मूल तीन चरणों के योग का एक-तिहाई है।
 * अनुक्रम 2 वामावर्त 0°, 240°, और 120° घुमाए गए मूल तीन चरणों के योग का एक-तिहाई है।

दृष्टिगत रूप से, यदि मूल घटक सममित हैं, अनुक्रम 0 और 2 प्रत्येक त्रिभुज का निर्माण करेंगे, जिसका योग शून्य होगा, और अनुक्रम 1 घटक एक सीधी रेखा में योग करेंगे।

अंतर्ज्ञान
चरण $$\scriptstyle V_{(ab)}= V_{(a)}-V_{(b)}; \;V_{(bc)}= V_{(b)}-V_{(c)}; \; V_{(ca)}= V_{(c)}-V_{(a)}$$ एक बंद त्रिकोण बनाएं (उदाहरण के लिए, बाहरी वोल्टेज या लाइन से लाइन वोल्टेज)। चरणों के तुल्यकालिक और व्युत्क्रम घटकों को खोजने के लिए, बाहरी त्रिकोण के किसी भी पक्ष को लें और चयनित पक्ष को आधार के रूप में साझा करते हुए दो संभावित समबाहु त्रिभुज बनाएं। ये दो समबाहु त्रिभुज एक तुल्यकालिक और एक व्युत्क्रम प्रणाली का प्रतिनिधित्व करते हैं।

यदि चरण V पूरी तरह से तुल्यकालिक प्रणाली थे, तो आधार रेखा पर बाहरी त्रिभुज का शीर्ष उसी स्थिति में नहीं होगा, जैसा कि समकालिक प्रणाली का प्रतिनिधित्व करने वाले समबाहु त्रिभुज के संगत शीर्ष पर होता है। व्युत्क्रम घटक की किसी भी मात्रा का अर्थ इस स्थिति से विचलन होगा। विचलन व्युत्क्रम चरण घटक का ठीक 3 गुना है।

तुल्यकालिक घटक उसी तरह से उलटा समबाहु त्रिभुज से विचलन का 3 गुना है। प्रासंगिक चरण के लिए इन घटकों के निर्देश सही हैं। ऐसा लगता है कि यह सभी तीन चरणों के लिए काम करता है, चाहे चुने गए पक्ष की परवाह किए बिना, लेकिन यह इस चित्रण की सुंदरता है। ग्राफिक नेपोलियन के प्रमेय से है, जो एक ग्राफिकल गणना तकनीक से मेल खाता है जो कभी-कभी पुरानी संदर्भ पुस्तकों में प्रकट होता है।

पॉली-फेज केस
यह देखा जा सकता है कि उपरोक्त परिवर्तन आव्यूह एक असतत फूरियर रूपांतरण है, और इस प्रकार, किसी भी बहु-चरण प्रणाली के लिए सममित घटकों की गणना की जा सकती है।

3-चरण बिजली प्रणालियों में सममित घटकों में हार्मोनिक्स का योगदान
गैर-रैखिक भार के परिणामस्वरूप हार्मोनिक्स (विद्युत शक्ति) अक्सर बिजली प्रणालियों में होते हैं। हार्मोनिक्स का प्रत्येक क्रम विभिन्न अनुक्रम घटकों में योगदान देता है। आदेश के मौलिक और हार्मोनिक्स $$\scriptstyle 3n + 1$$ धनात्मक अनुक्रम घटक में योगदान देगा। आदेश के हार्मोनिक्स $$\scriptstyle 3n - 1$$ ऋणात्मक अनुक्रम में योगदान देगा। आदेश के हार्मोनिक्स $$\scriptstyle 3n$$ शून्य अनुक्रम में योगदान करें।

ध्यान दें कि उपरोक्त नियम केवल तभी प्रयुक्त होते हैं जब प्रत्येक चरण में चरण मान (या विरूपण) बिल्कुल समान हों। कृपया आगे ध्यान दें कि पावर सिस्टम में हार्मोनिक्स भी आम नहीं हैं।

पावर सिस्टम्स में शून्य अनुक्रम घटक का परिणाम
शून्य अनुक्रम असंतुलित चरणों के घटक का प्रतिनिधित्व करता है जो परिमाण और चरण में बराबर होता है। क्योंकि वे चरण में हैं, एक एन-चरण नेटवर्क के माध्यम से बहने वाली शून्य अनुक्रम धाराएं व्यक्तिगत शून्य अनुक्रम धाराओं के घटकों के परिमाण का n गुना योग करेंगी। सामान्य परिचालन स्थितियों के तहत यह राशि नगण्य होने के लिए काफी छोटी है। हालांकि, बड़े शून्य अनुक्रम की घटनाओं जैसे कि बिजली गिरने के दौरान, धाराओं का यह गैर-शून्य योग व्यक्तिगत चरण कंडक्टरों की तुलना में तटस्थ कंडक्टर के माध्यम से एक बड़ा प्रवाह पैदा कर सकता है। क्योंकि तटस्थ कंडक्टर आमतौर पर व्यक्तिगत चरण कंडक्टरों से बड़े नहीं होते हैं, और अक्सर इन कंडक्टरों की तुलना में छोटे होते हैं, एक बड़ा शून्य अनुक्रम घटक तटस्थ कंडक्टरों और आग को गर्म करने का कारण बन सकता है।

बड़े शून्य अनुक्रम धाराओं को रोकने का एक तरीका डेल्टा कनेक्शन का उपयोग करना है, जो शून्य अनुक्रम धाराओं के लिए एक खुले परिपथ के रूप में प्रकट होता है। इस कारण से, डेल्टा का उपयोग करके अधिकांश संचरण और बहुत उप-संचरण प्रयुक्त किया जाता है। डेल्टा का उपयोग करके बहुत अधिक वितरण भी प्रयुक्त किया जाता है, हालांकि पुरानी कार्य वितरण प्रणाली को कभी-कभी वाईड-अप (डेल्टा-वाई ट्रांसफार्मर से डेल्टा-वाई ट्रांसफॉर्मर में परिवर्तित) किया जाता है ताकि लाइन की क्षमता को कम परिवर्तित लागत पर बढ़ाया जा सके, लेकिन इसकी कीमत पर एक उच्च केंद्रीय स्टेशन सुरक्षात्मक रिले लागत।

बड़े शून्य अनुक्रम धाराओं को रोकने का एक तरीका डेल्टा कनेक्शन का उपयोग करना है, जो शून्य अनुक्रम धाराओं के लिए एक खुले परिपथ के रूप में प्रकट होता है। इस कारण से, डेल्टा का उपयोग करके अधिकांश संचरण और बहुत उप-संचरण प्रयुक्त किया जाता है। डेल्टा का उपयोग करके बहुत अधिक वितरण भी प्रयुक्त किया जाता है, हालांकि "पुराने काम" वितरण प्रणाली को कभी-कभी "वायड-अप" (डेल्टा से वाई में परिवर्तित) किया जाता है ताकि लाइन की क्षमता को कम परिवर्तित लागत पर बढ़ाया जा सके लेकिन उच्च केंद्रीय स्टेशन की कीमत पर सुरक्षात्मक रिले लागत।

यह भी देखें

 * समरूपता
 * डको परिवर्तन
 * अल्फा-बीटा परिवर्तन

संदर्भ

 * Notes


 * Bibliography
 * J. Lewis Blackburn Symmetrical Components for Power Systems Engineering, Marcel Dekker, New York (1993). ISBN 0-8247-8767-6
 * William D. Stevenson, Jr. Elements of Power System Analysis Third Edition, McGraw-Hill, New York (1975). ISBN 0-07-061285-4.
 * History article from IEEE on early development of symmetrical components, retrieved May 12, 2005.
 * Westinghouse Corporation, Applied Protective Relaying, 1976, Westinghouse Corporation, no ISBN, Library of Congress card no. 76-8060 - a standard reference on electromechanical protective relays