द्विघात अवकल

गणित में, रीमैन सतह पर एक द्विघात अंतर होलोमार्फिक  कोटैंजेंट बंडल के सममित वर्ग का एक खंड है। यदि अनुभाग होलोमोर्फिक है, तो द्विघात अंतर को होलोमोर्फिक कहा जाता है। रीमैन सतह पर होलोमोर्फिक द्विघात विभेदकों के वेक्टर स्थान की रीमैन मॉड्यूलि स्पेस, या टेइचमुलर स्पेस के कोटैंजेंट स्पेस के रूप में एक प्राकृतिक व्याख्या है।

स्थानीय रूप
एक डोमेन पर प्रत्येक द्विघात अंतर $$U$$ जटिल तल में इस प्रकार लिखा जा सकता है $$f(z) \,dz \otimes dz$$, कहाँ $$z$$ जटिल चर है, और $$f$$ पर एक जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन है $$U$$. ऐसा स्थानीय द्विघात अंतर होलोमोर्फिक है यदि और केवल यदि $$f$$ होलोमोर्फिक फ़ंक्शन है। एक चार्ट दिया गया $$\mu$$ सामान्य रीमैन सतह के लिए $$R$$ और एक द्विघात अंतर $$q$$ पर $$R$$, ठहराना  $$(\mu^{-1})^*(q)$$ जटिल तल में किसी डोमेन पर द्विघात अंतर को परिभाषित करता है।

एबेलियन अंतर से संबंध
अगर $$\omega$$ रीमैन सतह पर एक एबेलियन अंतर है $$\omega \otimes \omega$$ एक द्विघात अंतर है.

एकवचन यूक्लिडियन संरचना
एक होलोमोर्फिक द्विघात अंतर $$q$$ रीमैनियन मीट्रिक निर्धारित करता है $$|q|$$ इसके शून्यों के पूरक पर. अगर $$q$$ जटिल तल में एक डोमेन पर परिभाषित किया गया है, और $$q = f(z) \,dz \otimes dz$$, तो संबंधित रीमैनियन मीट्रिक है $$|f(z)|(dx^2 + dy^2)$$, कहाँ $$z = x + iy$$. तब से $$f$$ होलोमोर्फिक है, इस मीट्रिक की वक्रता शून्य है। इस प्रकार, एक होलोमोर्फिक द्विघात अंतर सेट के पूरक पर एक फ्लैट मीट्रिक को परिभाषित करता है $$z$$ ऐसा है कि $$f(z) = 0$$.

संदर्भ

 * Kurt Strebel, Quadratic differentials. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), 5. Springer-Verlag, Berlin, 1984. xii + 184 pp. ISBN 3-540-13035-7.
 * Y. Imayoshi and M. Taniguchi, M. An introduction to Teichmüller spaces. Translated and revised from the Japanese version by the authors. Springer-Verlag, Tokyo, 1992. xiv + 279 pp. ISBN 4-431-70088-9.
 * Frederick P. Gardiner, Teichmüller Theory and Quadratic Differentials. Wiley-Interscience, New York, 1987. xvii + 236 pp. ISBN 0-471-84539-6.