मिये प्रकीर्णन

विद्युत चुंबकत्व में, मैक्सवेल के समीकरणों का Mie समाधान (जिसे लोरेंज-Mie समाधान, लोरेंज-Mie-डेबी समाधान या Mie स्कैटरिंग के रूप में भी जाना जाता है) एक सजातीय क्षेत्र द्वारा विद्युत चुम्बकीय समतल तरंग के प्रकीर्णन का वर्णन करता है। समाधान वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स की एक अनंत श्रृंखला का रूप लेता है। इसका नाम जर्मन भौतिक विज्ञानी गुस्ताव मि  के नाम पर रखा गया है।

मी समाधान शब्द का उपयोग स्तरीकृत क्षेत्रों या अनंत सिलेंडरों, या अन्य ज्यामिति द्वारा बिखरने के लिए मैक्सवेल के समीकरणों के समाधान के लिए भी किया जाता है, जहां कोई समाधान की रेडियल और कोणीय निर्भरता के लिए चर के पृथक्करण को लिख सकता है। मी सिद्धांत शब्द का प्रयोग कभी-कभी समाधानों और विधियों के इस संग्रह के लिए किया जाता है; यह किसी स्वतंत्र भौतिक सिद्धांत या कानून का उल्लेख नहीं करता है। अधिक मोटे तौर पर, माई प्रकीर्णन सूत्र उन स्थितियों में सबसे उपयोगी होते हैं जहां प्रकीर्णन कणों का आकार बहुत छोटे या बहुत बड़े होने के बजाय प्रकाश की तरंग दैर्ध्य के बराबर होता है।

माइ स्कैटरिंग (कभी-कभी इसे गैर-आणविक स्कैटरिंग या एयरोसोल कण स्कैटरिंग भी कहा जाता है) निचले हिस्से में होता है 4500 mपृथ्वी के वायुमंडल का, जहां किरण (ऑप्टिक्स)#घटना किरण की तरंग दैर्ध्य के लगभग बराबर व्यास वाले कई अनिवार्य रूप से गोलाकार कण मौजूद हो सकते हैं। माई स्कैटरिंग सिद्धांत की कोई ऊपरी आकार सीमा नहीं है, और बड़े कणों के लिए ज्यामितीय प्रकाशिकी की सीमा में परिवर्तित हो जाता है।

परिचय
किसी गोले पर प्रकीर्णन की समस्या के लिए Mie समाधान का एक आधुनिक सूत्रीकरण कई पुस्तकों में पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, जूलियस एडम्स स्ट्रैटन|जे। ए. स्ट्रैटन का विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत। इस सूत्रीकरण में, आपतित समतल तरंग, साथ ही प्रकीर्णन क्षेत्र, को विकिरणित गोलाकार वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स में विस्तारित किया जाता है। आंतरिक क्षेत्र को नियमित वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स में विस्तारित किया गया है। गोलाकार सतह पर सीमा की स्थिति लागू करके, बिखरे हुए क्षेत्र के विस्तार गुणांक की गणना की जा सकती है।

बिखरे हुए प्रकाश की तरंग दैर्ध्य से बहुत बड़े या बहुत छोटे कणों के लिए सरल और सटीक अनुमान हैं जो सिस्टम के व्यवहार का वर्णन करने के लिए पर्याप्त हैं। लेकिन उन वस्तुओं के लिए जिनका आकार तरंग दैर्ध्य के परिमाण के कुछ आदेशों के भीतर है, उदाहरण के लिए, वायुमंडल में पानी की बूंदें, पेंट में लेटेक्स कण, दूध सहित इमल्शन में बूंदें, और जैविक कोशिकाएं और सेलुलर घटक, अधिक विस्तृत दृष्टिकोण आवश्यक है। माई समाधान इसका नाम इसके डेवलपर, जर्मन भौतिक विज्ञानी गुस्ताव मी के नाम पर रखा गया है। डेनिश भौतिक विज्ञानी लुडविग लोरेन्ज़ और अन्य ने स्वतंत्र रूप से एक ढांकता हुआ क्षेत्र द्वारा विद्युत चुम्बकीय समतल तरंग प्रकीर्णन का सिद्धांत विकसित किया।

औपचारिकता एक गोलाकार वस्तु के अंदर और बाहर विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों की गणना की अनुमति देती है और आम तौर पर इसका उपयोग यह गणना करने के लिए किया जाता है कि कितना प्रकाश बिखरा हुआ है (कुल ऑप्टिकल क्रॉस सेक्शन), या यह कहां जाता है (फॉर्म फैक्टर)। इन परिणामों की उल्लेखनीय विशेषताएं माई प्रतिध्वनि हैं, आकार जो विशेष रूप से दृढ़ता से या कमजोर रूप से बिखरते हैं। यह छोटे कणों के लिए रेले स्कैटरिंग और बड़े कणों के लिए रेले-गैन्स-डेबी स्कैटरिंग (लॉर्ड रेले, रिचर्ड गन्स और पीटर डेबी के बाद) के विपरीत है। कणों के आकार को मापने के लिए बिखरे हुए प्रकाश का उपयोग करते समय प्रतिध्वनि और माई स्कैटरिंग की अन्य विशेषताओं का अस्तित्व इसे विशेष रूप से उपयोगी औपचारिकता बनाता है।

रेले सन्निकटन (प्रकीर्णन)
रेले स्कैटरिंग उन क्षेत्रों द्वारा प्रकाश के लोचदार प्रकीर्णन का वर्णन करता है जो प्रकाश की तरंग दैर्ध्य से बहुत छोटे होते हैं। प्रकीर्णित विकिरण की तीव्रता I द्वारा दी गई है
 * $$ I = I_0 \left( \frac{1 + \cos^2 \theta}{2 R^2} \right) \left( \frac{2\pi}{\lambda} \right)^4 \left(\frac{n^2 - 1}{n^2 + 2} \right)^2 \left( \frac{d}{2} \right)^6,$$

जहां मैं0कण के साथ संपर्क से पहले प्रकाश की तीव्रता है, R कण और पर्यवेक्षक के बीच की दूरी है, θ प्रकीर्णन कोण है, λ विचाराधीन प्रकाश की तरंग दैर्ध्य है, n कण का अपवर्तनांक है, और d है कण का व्यास.

उपरोक्त समीकरण से यह देखा जा सकता है कि रेले का प्रकीर्णन कण के आकार और तरंग दैर्ध्य पर अत्यधिक निर्भर है। जैसे-जैसे कण आकार और तरंग दैर्ध्य का अनुपात बढ़ता है, रेले बिखरे हुए विकिरण की तीव्रता तेजी से बढ़ती है। इसके अलावा, रेले बिखरे विकिरण की तीव्रता आगे और पीछे की दिशाओं में समान है।

रेले स्कैटरिंग मॉडल तब टूट जाता है जब कण का आकार आपतित विकिरण की तरंग दैर्ध्य के लगभग 10% से बड़ा हो जाता है। इससे अधिक आयाम वाले कणों के मामले में, बिखरे हुए विकिरण की तीव्रता का पता लगाने के लिए Mie के प्रकीर्णन मॉडल का उपयोग किया जा सकता है। Mie बिखरे हुए विकिरण की तीव्रता एक सरल गणितीय अभिव्यक्ति के बजाय शब्दों की अनंत श्रृंखला के योग द्वारा दी जाती है। हालाँकि, यह दिखाया जा सकता है कि कण आकार की इस सीमा में प्रकीर्णन कई मामलों में रेले प्रकीर्णन से भिन्न होता है: यह मोटे तौर पर तरंग दैर्ध्य से स्वतंत्र होता है और यह विपरीत दिशा की तुलना में आगे की दिशा में बड़ा होता है। कण का आकार जितना बड़ा होगा, उतना ही अधिक प्रकाश आगे की दिशा में प्रकीर्णित होगा।

आकाश का नीला रंग रेले प्रकीर्णन के कारण होता है, क्योंकि वायुमंडल में गैस के कणों का आकार दृश्य प्रकाश की तरंग दैर्ध्य से बहुत छोटा होता है। नीली रोशनी में रेले का प्रकीर्णन उसकी कम तरंगदैर्घ्य के कारण अन्य रंगों की तुलना में बहुत अधिक होता है। जैसे ही सूर्य का प्रकाश वायुमंडल से होकर गुजरता है, इसका नीला घटक रेले वायुमंडलीय गैसों द्वारा दृढ़ता से बिखरा हुआ होता है लेकिन लंबी तरंग दैर्ध्य (जैसे लाल/पीला) घटक नहीं होते हैं। इसलिए सूर्य से सीधे आने वाला सूर्य का प्रकाश थोड़ा पीला दिखाई देता है, जबकि आकाश के बाकी हिस्सों से बिखरा हुआ प्रकाश नीला दिखाई देता है। सूर्योदय और सूर्यास्त के दौरान, संचरित प्रकाश के स्पेक्ट्रम पर रेले के प्रकीर्णन का प्रभाव बहुत अधिक होता है क्योंकि प्रकाश किरणों को पृथ्वी की सतह के पास उच्च घनत्व वाली हवा के माध्यम से अधिक दूरी तय करनी पड़ती है।

इसके विपरीत, बादल बनाने वाली पानी की बूंदें दृश्य प्रकाश में तरंग दैर्ध्य के तुलनीय आकार की होती हैं, और प्रकीर्णन का वर्णन रेले के मॉडल के बजाय मिए के मॉडल द्वारा किया जाता है। यहां, दृश्य प्रकाश की सभी तरंग दैर्ध्य लगभग समान रूप से बिखरी हुई हैं, और इसलिए बादल सफेद या भूरे रंग के दिखाई देते हैं।

रेले-गैन्स सन्निकटन
रेले-गैन्स सन्निकटन प्रकाश प्रकीर्णन का एक अनुमानित समाधान है जब कण का सापेक्ष अपवर्तनांक पर्यावरण के करीब होता है, और इसका आकार |n − 1| द्वारा विभाजित प्रकाश की तरंग दैर्ध्य की तुलना में बहुत छोटा होता है, जहां n अपवर्तनांक है:


 * $$\begin{align}

|n - 1| &\ll 1 \\ kd|n - 1| &\ll 1 \end{align}$$ कहाँ $k$ प्रकाश का तरंगवेक्टर है ($k=\frac{2 \pi}{\lambda}$ ), और $$d$$ कण के रैखिक आयाम को संदर्भित करता है। पूर्व स्थिति को अक्सर ऑप्टिकली सॉफ्ट के रूप में संदर्भित किया जाता है और यह सन्निकटन मनमाने आकार के कणों के लिए होता है।

वैन डे हुल्स्ट का विषम विवर्तन सन्निकटन
विषम विवर्तन सिद्धांत बड़े (तरंग दैर्ध्य की तुलना में) और ऑप्टिकली नरम क्षेत्रों के लिए मान्य है; प्रकाशिकी के संदर्भ में नरम का अर्थ है कि कण का अपवर्तक सूचकांक (एम) पर्यावरण के अपवर्तक सूचकांक से केवल थोड़ा अलग होता है, और कण तरंग को केवल एक छोटे चरण बदलाव के अधीन करता है। इस सन्निकटन में विलुप्त होने की दक्षता दी गई है
 * $$ Q = 2 - \frac{4}{p} \sin p + \frac{4}{p^2} (1 - \cos p),$$

जहां Q प्रकीर्णन का दक्षता कारक है, जिसे प्रकीर्णन क्रॉस-सेक्शन और ज्यामितीय क्रॉस-सेक्शन πa के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है2.

शब्द p = 4πa(n − 1)/λ का भौतिक अर्थ गोले के केंद्र से गुजरने वाली तरंग का चरण विलंब है, जहां a गोले की त्रिज्या है, n गोले के अंदर और बाहर अपवर्तक सूचकांकों का अनुपात है गोला, और λ प्रकाश की तरंग दैर्ध्य।

समीकरणों के इस सेट का वर्णन सबसे पहले हेंड्रिक सी. वैन डे हुल्स्ट ने (1957) में किया था।

गणित
गोलाकार नैनोकण द्वारा प्रकीर्णन को कण आकार की परवाह किए बिना बिल्कुल हल किया जाता है। हम x-अक्ष के अनुदिश ध्रुवीकृत z-अक्ष के अनुदिश प्रसारित एक समतल तरंग द्वारा प्रकीर्णन पर विचार करते हैं। एक कण की ढांकता हुआ और चुंबकीय पारगम्यताएं हैं $$\varepsilon_1$$ और  $$\mu_1$$, और $$\varepsilon$$ और $$\mu$$ पर्यावरण के लिए।

बिखराव की समस्या को हल करने के लिए, हम पहले गोलाकार निर्देशांक में वेक्टर हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण के समाधान लिखते हैं, क्योंकि कणों के अंदर और बाहर के क्षेत्रों को इसे संतुष्ट करना होगा। हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण:

\nabla^{2} \mathbf{E} + {k}^{2} \mathbf{E} = 0, \quad \nabla^{2} \mathbf{H} + {k}^{2} \mathbf{H} = 0. $$ हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण के अलावा, फ़ील्ड को शर्तों को पूरा करना होगा $$ \nabla \cdot \mathbf{E}=\nabla \cdot \mathbf{H}=0$$ और $$ \nabla \times \mathbf{E}=i \omega\mu \mathbf{H}$$, $$ \nabla \times \mathbf{H}=-i \omega\varepsilon \mathbf{E}$$. वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स में सभी आवश्यक गुण होते हैं, जिन्हें निम्नानुसार प्रस्तुत किया गया है:

\mathbf{M}_{^e_o m n}=\nabla \times\left(\mathbf{r} \psi_{^e_o m n}\right) $$- चुंबकीय हार्मोनिक्स (टीई),

\mathbf{N}_{^e_o m n}=\frac{\nabla \times \mathbf{M}_{^e_o m n}} $$- इलेक्ट्रिक हार्मोनिक्स (टीएम),

कहाँ

{\psi_{e m n} = \cos m \varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta) z_{n}({k} r),} $$

{\psi_{o m n} = \sin m \varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta) z_{n}({k} r),} $$ और $$P_{n}^{m}(\cos \theta)$$- एसोसिएटेड लीजेंड्रे बहुपद, और $$ z_{n}({k} r) $$- बेसेल फ़ंक्शन में से कोई #गोलाकार बेसेल फ़ंक्शन।

इसके बाद, हम वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स में आपतित समतल तरंग का विस्तार करते हैं:
 * $$\begin{align}

\mathbf{E}_{inc} &= E_0e^{ikr\cos\theta}\mathbf{e}_x=E_{0}\sum_{n=1}^{\infty} i^n\frac{2n+1}{n(n+1)}\left( \mathbf{M}^{(1)}_{o1n}(k, \mathbf{r})-i \mathbf{N}_{e1n}^{(1)}(k, \mathbf{r})\right), \\ \mathbf{H}_{inc} &= \frac{-k}{\omega\mu}E_{0}\sum_{n=1}^{\infty} i^n\frac{2n+1}{n(n+1)}\left( \mathbf{M}^{(1)}_{e1n}(k, \mathbf{r})+i \mathbf{N}_{o1n}^{(1)}(k, \mathbf{r})\right). \end{align}$$ यहाँ सुपरस्क्रिप्ट है $$(1)$$ इसका मतलब है कि कार्यों के रेडियल भाग में $$\psi_{^e_omn}$$ प्रथम प्रकार के गोलाकार बेसेल फलन हैं। विस्तार गुणांक प्रपत्र के अभिन्न अंग लेकर प्राप्त किए जाते हैं



\frac{\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\mathbf{E}_{inc}\cdot\mathbf{M}^{(1)}_{^e_omn}\sin\theta d\theta d\varphi }{\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\left|\mathbf{M}^{(1)}_{^e_omn}\right|^2\sin\theta d\theta d\varphi }. $$ इस मामले में, सभी गुणांक पर $$m\neq 1$$ शून्य हैं, चूँकि कोण पर समाकलन है $$\varphi$$ अंश में शून्य है.

फिर निम्नलिखित शर्तें लगाई जाती हैं:
 * 1) गोले और पर्यावरण के बीच की सीमा पर विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों के लिए इंटरफ़ेस स्थितियां (जो हमें घटना, आंतरिक और बिखरे हुए क्षेत्रों के विस्तार गुणांक से संबंधित करने की अनुमति देती हैं)
 * 2) शर्त यह है कि समाधान मूल बिंदु पर (इसलिए, उत्पन्न करने वाले कार्यों के रेडियल भाग में) घिरा हुआ है $$\psi_{^e_omn}$$, पहली तरह के गोलाकार बेसेल फ़ंक्शन आंतरिक क्षेत्र के लिए चुने गए हैं),
 * 3) एक बिखरे हुए क्षेत्र के लिए, अनंत पर स्पर्शोन्मुखता एक अपसारी गोलाकार तरंग से मेल खाती है (इसके संबंध में, उत्पन्न करने वाले कार्यों के रेडियल भाग में बिखरे हुए क्षेत्र के लिए) $$\psi_{^e_omn}$$ पहली तरह के गोलाकार हैंकेल फ़ंक्शन चुने गए हैं)।

बिखरे हुए क्षेत्रों को वेक्टर हार्मोनिक विस्तार के रूप में लिखा जाता है

\mathbf{E}_{s}=\sum_{n=1}^{\infty} E_{n}\left(i a_{n} \mathbf{N}_{e 1n}^{(3)}(k, \mathbf{r})-b_{n} \mathbf{M}_{o 1 n}^{(3)}(k, \mathbf{r})\right), $$

\mathbf{H}_{s}=\frac{k}{\omega\mu}\sum_{n=1}^{\infty} E_{n}\left(a_{n} \mathbf{M}_{e 1n}^{(3)}(k, \mathbf{r})+ib_{n} \mathbf{N}_{o 1 n}^{(3)}(k, \mathbf{r})\right). $$ यहाँ सुपरस्क्रिप्ट है $$(3)$$ इसका मतलब है कि कार्यों के रेडियल भाग में $$\psi_{^e_omn}$$पहले प्रकार के गोलाकार हैंकेल फ़ंक्शन हैं (दूसरे प्रकार के होंगे)। $$(4)$$), और  $$E_n= \frac{i^n E_0 (2n+1)}{n (n+1)}$$,

आंतरिक क्षेत्र:

\mathbf{E}_{1}=\sum_{n=1}^{\infty} E_{n}\left(-i d_{n} \mathbf{N}_{e 1n}^{(1)}(k_1, \mathbf{r})+c_{n} \mathbf{M}_{o 1 n}^{(1)}(k_1, \mathbf{r})\right), $$

\mathbf{H}_{1}=\frac{-k_1}{\omega\mu_1}\sum_{n=1}^{\infty} E_{n}\left(d_{n} \mathbf{M}_{e 1n}^{(1)}(k_1, \mathbf{r})+ic_{n} \mathbf{N}_{o 1 n}^{(1)}(k_1, \mathbf{r})\right). $$ $k = \frac{\omega}{c}n$ कण के बाहर तरंग सदिश है $k_1 = \frac {\omega}{c}{n_1}$ कण सामग्री से माध्यम में तरंग वेक्टर है, $$n$$ और $$n_1$$ माध्यम और कण के अपवर्तनांक हैं।

इंटरफ़ेस शर्तों को लागू करने के बाद, हम गुणांकों के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:

c_n(\omega) = \frac {\mu_1\left[ \rho h_n(\rho)\right]'j_n(\rho) - \mu_1\left[ \rho j_n(\rho)\right]'h_n(\rho)}{\mu_1\left[ \rho h_n(\rho)\right]'j_n(\rho_1) - \mu\left[ \rho_1 j_n(\rho_1)\right]'h_n(\rho)}, $$

d_n(\omega) = \frac {\mu_1n_1n\left[ \rho h_n(\rho)\right]'j_n(\rho) - \mu_1n_1n\left[ \rho j_n(\rho)\right]'h_n(\rho)}{\mu n_1^2\left[ \rho h_n(\rho)\right]'j_n(\rho_1) - \mu_1 n^2\left[ \rho_1 j_n(\rho_1)\right]'h_n(\rho)}, $$

b_n(\omega) = \frac {\mu_1\left[ \rho j_n(\rho)\right]'j_n(\rho_1) - \mu\left[ \rho_1 j_n(\rho_1)\right]'j_n(\rho)}{\mu_1\left[ \rho h_n(\rho)\right]'j_n(\rho_1) - \mu\left[ \rho_1 j_n(\rho_1)\right]'h_n(\rho)}, $$

a_n(\omega) = \frac {\mu n_1^2\left[ \rho j_n(\rho)\right]'j_n(\rho_1) - \mu_1 n^2\left[ \rho_1 j_n(\rho_1)\right]'j_n(\rho)}{\mu n_1^2\left[ \rho h_n(\rho)\right]'j_n(\rho_1) - \mu_1 n^2\left[ \rho_1 j_n(\rho_1)\right]'h_n(\rho)}, $$ कहाँ
 * $$\rho=ka,$$
 * $$\rho_1=k_1a$$ साथ $$a$$ गोले की त्रिज्या होना।

$$j_n$$ और $$h_n$$क्रमशः प्रथम प्रकार के बेसेल और हैंकेल के गोलाकार कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

बिखराव और विलुप्ति क्रॉस-सेक्शन
आमतौर पर Mie सिद्धांत का उपयोग करके गणना किए गए मानों में क्षीणन गुणांक के लिए दक्षता गुणांक शामिल होते हैं $$Q_e$$, बिखराव $$Q_s$$, और अवशोषण (विद्युत चुम्बकीय विकिरण) $$Q_a$$. ये दक्षता गुणांक संबंधित प्रक्रिया के क्रॉस सेक्शन (भौतिकी)#क्रॉस सेक्शन और एमआई सिद्धांत के अनुपात हैं, $$\sigma_i$$, कण संरक्षित क्षेत्र के लिए, $$ Q_i = \frac{\sigma_i}{\pi a^2} $$, जहां a कण त्रिज्या है। विलुप्ति की परिभाषा के अनुसार,
 * $$ \sigma_e = \sigma_s + \sigma_a$$ और $$Q_e = Q_s + Q_a $$.

प्रकीर्णन और विलुप्ति गुणांक को अनंत श्रृंखला के रूप में दर्शाया जा सकता है:
 * $$Q_s = \frac{2}{k^2a^2}\sum_{n=1}^\infty (2n + 1)\left(|a_{n}|^2 + |b_{n}|^2\right)$$
 * $$Q_e = \frac{2}{k^2a^2}\sum_{n=1}^\infty (2n + 1)\Re(a_{n} + b_{n})$$

एन द्वारा अनुक्रमित इन राशियों में योगदान, मल्टीपोल विस्तार के आदेशों के अनुरूप है द्विध्रुवीय पद होने के कारण,  चतुर्भुज पद है, इत्यादि।

बड़े कणों पर अनुप्रयोग
यदि कण का आकार सामग्री में कई तरंग दैर्ध्य के बराबर है, तो बिखरे हुए क्षेत्रों में कुछ विशेषताएं हैं। आगे हम विद्युत क्षेत्र के स्वरूप के बारे में बात करेंगे क्योंकि रोटर लेकर उससे चुंबकीय क्षेत्र प्राप्त किया जाता है।

सभी Mie गुणांक आवृत्ति पर निर्भर करते हैं और अधिकतम होते हैं जब हर शून्य के करीब होता है (जटिल आवृत्तियों के लिए शून्य की सटीक समानता प्राप्त की जाती है)। इस मामले में, यह संभव है, कि बिखरने में एक विशिष्ट हार्मोनिक का योगदान हावी हो। फिर कण से बड़ी दूरी पर, बिखरे हुए क्षेत्र का विकिरण पैटर्न वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स के कोणीय भाग के संबंधित विकिरण पैटर्न के समान होगा। हार्मोनिक्स $$ \mathbf{N}_{^e_om1}$$ विद्युत द्विध्रुव के अनुरूप (यदि इस हार्मोनिक का योगदान विद्युत क्षेत्र के विस्तार में हावी है, तो क्षेत्र विद्युत द्विध्रुव क्षेत्र के समान है), $$ \mathbf{M}_{^e_om1}$$ चुंबकीय द्विध्रुव के विद्युत क्षेत्र के अनुरूप, $$ \mathbf{N}_{^e_om2} $$ और $$ \mathbf{M}_{^e_om2}$$ - विद्युत और चुंबकीय चतुर्भुज, $$ \mathbf{N}_{^e_om3}$$ और $$ \mathbf{M}_{^e_om3} $$ - ऑक्टोपोल, इत्यादि। प्रकीर्णन गुणांक की अधिकतम सीमा (साथ ही उनके चरण में परिवर्तन)। $$ \pi $$) बहुध्रुव अनुनाद कहलाते हैं।

तरंग दैर्ध्य पर बिखरने वाले क्रॉस-सेक्शन की निर्भरता और विशिष्ट अनुनादों का योगदान कण सामग्री पर दृढ़ता से निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, 100 एनएम की त्रिज्या वाले एक सोने के कण के लिए, बिखरने में विद्युत द्विध्रुव का योगदान ऑप्टिकल रेंज में प्रबल होता है, जबकि एक सिलिकॉन कण के लिए स्पष्ट चुंबकीय द्विध्रुव और चतुर्ध्रुव प्रतिध्वनि होती है। धातु के कणों के लिए, प्रकीर्णन क्रॉस-सेक्शन में दिखाई देने वाली चोटी को स्थानीयकृत स्थानीयकृत सतह प्लास्मोन भी कहा जाता है।

रेले प्रकीर्णन की सीमा में, प्रकीर्णन क्रॉस-सेक्शन में विद्युत द्विध्रुव योगदान हावी होता है।

आपतित समतल तरंग की अन्य दिशाएँ
x-ध्रुवीकृत समतल तरंग के मामले में, जो z-अक्ष के साथ आपतित होती है, सभी क्षेत्रों के अपघटन में केवल m= 1 के साथ हार्मोनिक्स होते हैं, लेकिन एक मनमाना आपतित तरंग के लिए यह मामला नहीं है। एक घुमाए गए समतल तरंग के लिए, विस्तार गुणांक प्राप्त किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, इस तथ्य का उपयोग करके कि रोटेशन के दौरान, वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स विग्नर डी-मैट्रिक्स|विग्नर डी-मैट्रिक्स द्वारा एक दूसरे के माध्यम से परिवर्तित होते हैं।

इस मामले में, बिखरे हुए क्षेत्र को सभी संभावित हार्मोनिक्स द्वारा विघटित किया जाएगा:



\mathbf{E}_s = \sum_{n=1}^\infty \sum_{m=0}^n E_0( D_{Memn} \mathbf{M}_{emn}^{(3)}(k,\mathbf{r})+ D_{Momn} \mathbf{M}_{omn}^{(3)}(k,\mathbf{r})+ D_{Nemn} \mathbf{N}_{emn}^{(3)}(k,\mathbf{r})+ D_{Nomn} \mathbf{N}_{omn}^{(3)}(k,\mathbf{r})) $$ फिर बिखरने वाले क्रॉस सेक्शन को गुणांक के संदर्भ में निम्नानुसार व्यक्त किया जाएगा:

C_{sca} = \frac{2\pi}{\pi a^2 k^2} \sum_{n=1}^\infty \frac{n(n + 1)}{(2n + 1)} \times \left[ \sum\limits_{m=1}^{n}\frac{(n + m)!}{(n - m)!} \left(|D_{Memn}|^2 + |D_{Momn}|^2 + |D_{Nemn}|^2 + |D_{Nomn}|^2\right )+ 2|D_{Me0n}|^2 + 2|D_{Ne0n}|^2 \right]. $$

केर्कर प्रभाव
केर्कर प्रभाव प्रकीर्णन दिशात्मकता में एक घटना है, जो तब होता है जब विभिन्न मल्टीपोल प्रतिक्रियाएं प्रस्तुत की जाती हैं और नगण्य नहीं होती हैं।

1983 में, मिल्टन कालकोठरी, वांग और ली गाइल्स के काम में। कणों द्वारा प्रकीर्णन की दिशा $$\mu \neq 1$$ जांच की गई। विशेष रूप से, यह दिखाया गया कि काल्पनिक कणों के लिए $$\mu = \varepsilon$$ पिछड़ा प्रकीर्णन पूरी तरह से दबा दिया गया है। इसे समान अपवर्तक सूचकांकों वाली समतल सतह पर परावर्तन के लिए जाइल्स और वाइल्ड के गोलाकार सतह के विस्तार के रूप में देखा जा सकता है, जहां परावर्तन और संचरण स्थिर और घटना के कोण से स्वतंत्र होता है। इसके अलावा, आगे और पीछे की दिशाओं में बिखरने वाले क्रॉस सेक्शन को केवल Mie गुणांक के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है:
 * $$\begin{align}

C_{sca}^\text{backward} &= \frac{1}{a^2 k^2}\left|\sum_{n=1}^\infty {(2n + 1)}(-1)^n(a_n - b_n)\right|^2 \\ C_{sca}^\text{forward} &= \frac{1}{a^2 k^2}\left|\sum_{n=1}^\infty {(2n + 1)}(a_n + b_n)\right|^2 \end{align}$$ गुणांकों के कुछ संयोजनों के लिए, उपरोक्त अभिव्यक्तियों को कम किया जा सकता है।

इसलिए, उदाहरण के लिए, जब शर्तों के साथ $$n>1$$ उपेक्षित किया जा सकता है (क्रॉस सेक्शन (भौतिकी)#प्रकीर्णन क्रॉस सेक्शन के लिए द्विध्रुव सन्निकटन), $$(a_1 - b_1) = 0 $$, बैकस्कैटरिंग में न्यूनतम से मेल खाता है (चुंबकीय और विद्युत द्विध्रुव परिमाण में समान हैं और चरण में हैं, इसे प्रथम केर्कर या शून्य-पिछली तीव्रता की स्थिति भी कहा जाता है ). और $$(a_1 + b_1) = 0$$आगे बिखरने में न्यूनतम से मेल खाती है, इसे दूसरी केर्कर स्थिति (या लगभग-शून्य आगे की तीव्रता की स्थिति) भी कहा जाता है। ऑप्टिकल प्रमेय से, यह दिखाया गया है कि एक निष्क्रिय कण के लिए $$(a_1=-b_1)$$ संभव नहीं है। समस्या के सटीक समाधान के लिए सभी बहुध्रुवों के योगदान को ध्यान में रखना आवश्यक है। विद्युत और चुंबकीय द्विध्रुवों का योग हेयरी बॉल प्रमेय बनाता है ढांकता हुआ कणों के लिए, चुंबकीय द्विध्रुव अनुनाद की तरंग दैर्ध्य से अधिक लंबी तरंग दैर्ध्य पर अधिकतम आगे की ओर बिखराव देखा जाता है, और छोटे कणों पर अधिकतम पीछे की ओर बिखराव देखा जाता है। बाद में, प्रभाव की अन्य किस्में पाई गईं। उदाहरण के लिए, अनुप्रस्थ केर्कर प्रभाव, लगभग पूर्ण एक साथ आगे और पीछे दोनों बिखरे हुए क्षेत्रों का दमन (साइड-स्कैटरिंग पैटर्न), ऑप्टोमैकेनिकल केर्कर प्रभाव, ध्वनिक बिखराव में, और पौधों में भी पाया जाता है। एक लघु भी है प्रभाव की व्याख्या के साथ।

डायडिक ग्रीन का एक गोले का कार्य
ग्रीन का फ़ंक्शन निम्नलिखित समीकरण का समाधान है:

\nabla\times\nabla\times {\bf \hat G}(\omega,\mathbf{r},\mathbf{r}') = \left(\frac{\omega}{c}\right)^{2}\varepsilon(\mathbf{r}, \omega){\bf \hat G}(\omega,\mathbf{r},\mathbf{r}')+ {\bf \hat 1}\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}'), $$ कहाँ $$\hat{\bf 1}$$- शिनाख्त सांचा $$\varepsilon(\mathbf{r}, \omega) = \varepsilon_{1} (\omega)$$ के लिए $$r < a$$, और $$\varepsilon(\mathbf{r}, \omega) = \varepsilon$$ के लिए $$r > a$$. चूँकि सभी फ़ील्ड सदिश हैं, ग्रीन फ़ंक्शन 3 बटा 3 मैट्रिक्स है और इसे डायडिक कहा जाता है। यदि ध्रुवीकरण $$\mathbf{P}(\mathbf{r})$$ सिस्टम में प्रेरित किया जाता है, जब फ़ील्ड को इस प्रकार लिखा जाता है

\mathbf{E}^{\omega}({\mathbf{r}}) = \omega^2\mu\int\limits_V dV' \hat ({\bf r,r'},k) \mathbf{P}^{\omega} (\mathbf{r}') $$ फ़ील्ड्स की तरह ही, ग्रीन के फ़ंक्शन को वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स में विघटित किया जा सकता है। डायडिक ग्रीन का मुक्त स्थान का कार्य а:
 * $$\begin{align}

&\hat ^0({\mathbf{r}, \mathbf{r}', k}) \\ {}={} &\frac{\mathbf{e_r} \otimes \mathbf{e_r}}{k^2}\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}') + \frac{i k}{4 \pi} \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=0}^n (2 - \delta_{m,0}) \frac {2n + 1}{n(n + 1)} \frac{(n - m)!}{(n + m)!} \cdot {} \\ &\quad \begin{cases} \left(\left(\mathbf{M}_{e mn}^{(1)}[k, \mathbf{r}] \otimes{\mathbf{M}}^{(3)}_{e mn}[k, \mathbf{r}'] + \mathbf{M}_{omn}^{(1)}[k, \mathbf{r}] \otimes{\mathbf{M}}^{(3)}_{o mn}[k, \mathbf{r}']\right) +                \left({\mathbf{N}}_{e mn}^{(1)}[k,\mathbf{ r}] \otimes {\mathbf{N}}^{(3)}_{emn}[k, \mathbf{r}'] + \mathbf{N}_{omn}^{(1)}[k, \mathbf{r}] \otimes {\mathbf{N}}^{(3)}_{o mn}[k, \mathbf{r}']\right)         \right), &\text{if } r < r' \\ \left(\left(\mathbf{M}_{e mn}^{(3)}[k, \mathbf{r}] \otimes{\mathbf{M}}^{(1)}_{e mn}[k, \mathbf{r}'] + \mathbf{M}_{omn}^{(3)}[k, \mathbf{r}] \otimes {\mathbf{M}}^{(1)}_{o mn}[k, \mathbf{r}']\right) +                \left({\mathbf{N}}_{e mn}^{(3)}[k,\mathbf{ r}] \otimes {\mathbf{N}}^{(1)}_{emn}[k, \mathbf{r}'] + \mathbf{N}_{omn}^{(3)}[k, \mathbf{r}] \otimes {\mathbf{N}}^{(1)}_{o mn}[k, \mathbf{r}']\right)          \right), &\text{if } r > r'          \end{cases} \end{align}$$ एक गोले की उपस्थिति में, ग्रीन का कार्य भी वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स में विघटित हो जाता है। इसका स्वरूप उस वातावरण पर निर्भर करता है जिसमें बिंदु हैं $$\mathbf{r}$$ और $$\mathbf{r}'$$ स्थित हैं। जब दोनों बिंदु गोले के बाहर हों ($$r > a, r' > a$$):
 * $$\begin{align}

&\hat^{00}({\mathbf{r},\mathbf{r}', k, k_1}) \\ {}={} &\hat^0({\mathbf{r},\mathbf{r}', k}) + \frac {i k}{4 \pi} \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=0}^n (2 - \delta_{m,0}) \frac {2n + 1}{n(n + 1)} \frac {(n - m)!}{(n + m)!} \cdot {} \\ &\quad \left( a_n^{(0)}(\omega)\left(\mathbf{M}_{^e_o mn}^{(3)}[k, \mathbf{r}] \otimes {\mathbf{M}}^{(3)}_{^e_o mn}[k, \mathbf{r}']\right) + b_n^{(0)}(\omega)\left({\mathbf{N}}_{^e_o mn}^{(3)}[k, \mathbf{r}] \otimes {\mathbf{N}}^{(3)}_{^e_omn}[k, \mathbf{r}']\right)\right) \end{align}$$ गुणांक कहां हैं:
 * $$\begin{align}

a_n^{(0)}(\omega) &= \frac {\mu/\mu_1 \left[ \rho_1 j_n(\rho_1)\right]'j_n(\rho) - \left[ \rho j_n(\rho)\right]'j_n(\rho_1)}{\left[ \rho h_n(\rho)\right]'j_n(\rho_1) -\mu/\mu_1 \left[ \rho_1 j_n(\rho_1)\right]'h_n(\rho)}, \\ b_n^{(0)}(\omega) &= \frac {n^2\mu_1/\mu \left[ \rho_1 j_n(\rho_1)\right]'j_n(\rho) - n_1^2\left[ \rho j_n(\rho)\right]'j_n(\rho_1)}{n_1^2\left[ \rho h_n(\rho)\right]'j_n(\rho_1) - n^2 \mu_1/\mu \left[ \rho_1 j_n(\rho_1)\right]'h_n(\rho)}. \end{align}$$ जब दोनों बिंदु गोले के अंदर हों ($$r < a, r' < a$$) :
 * $$\begin{align}

&\hat ^{11}({\mathbf{r},\mathbf{r}', k, k_1}) \\ {}={} &\hat ^0({\mathbf{r},\mathbf{r}', k_1}) + \frac {i k_1}{4 \pi} \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=0}^n (2 - \delta_{m,0}) \frac {2n + 1}{n(n + 1)} \frac {(n - m)!}{(n + m)!} \cdot {} \\ &\quad \left( c_n^{(1)}(\omega) \left(\mathbf{M}_{^e_o mn}^{(1)}[k_1, \mathbf{r}] \otimes {\mathbf{M}}^{(1)}_{^e_o mn}[k_1, \mathbf{r}']\right) + d_n^{(1)}(\omega)\left({\mathbf{N}}_{^e_o mn}^{(1)}[k_1, \mathbf{ r}] \otimes {\mathbf{N}}^{(1)}_{^e_omn}[k_1, \mathbf{r}']\right)\right), \end{align}$$ गुणांक:
 * $$\begin{align}

c_n^{(1)}(\omega) &= \frac {\mu_1/\mu \left[ \rho h_n(\rho)\right]'h_n(\rho_1) - \left[ \rho_1 h_n(\rho_1)\right]'h_n(\rho)}{\left[ \rho_1 j_n(\rho_1)\right]'h_n(\rho) -\mu_1/\mu \left[ \rho h_n(\rho)\right]'j_n(\rho_1)}, \\ d_n^{(1)}(\omega) &= \frac {n_1^2\mu/\mu_1 \left[ \rho h_n(\rho)\right]'h_n(\rho_1) - n^2\left[ \rho_1 h_n(\rho_1)\right]'h_n(\rho)}{n^2\left[ \rho_1 j_n(\rho_1)\right]'h_n(\rho) - n_1^2 \mu/\mu_1 \left[ \rho h_n(\rho)\right]'j_n(\rho_1)}. \end{align}$$ स्रोत गोले के अंदर है और अवलोकन बिंदु बाहर है ($$r > a, r' < a$$):
 * $$\begin{align}

&\hat^{01}({\mathbf{r},\mathbf{r}',k, k_1}) \\ {}={} &\frac {i k_1}{4 \pi} \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=0}^n (2-\delta_{m,0}) \frac {2n+1}{n(n+1)} \frac {(n-m)!}{(n+m)!} \cdot {} \\ &\quad \left( a_n^{(1)}(\omega) (\mathbf{M}_{^e_o mn}^{(3)}[k, \mathbf{r}] \otimes {\mathbf{M}}^{(1)}_{^e_o mn}[k_1, \mathbf{r}']) + b_n^{(1)}(\omega)\left(\mathbf{N}_{^e_o mn}^{(3)}[k, \mathbf{r}] \otimes {\mathbf{N}}^{(1)}_{^e_omn}[k_1, \mathbf{r}']\right)\right) \end{align}$$ गुणांक:
 * $$\begin{align}

a_n^{(1)}(\omega) &= \frac {\left[ \rho_1 j_n(\rho_1)\right]'h_n(\rho_1) - \left[ \rho_1 h_n(\rho_1)\right]'j_n(\rho_1)}{\left[ \rho_1 j_n(\rho_1)\right]'h_n(\rho) -\mu_1/\mu \left[ \rho h_n(\rho)\right]'j_n(\rho_1)}, \\ b_n^{(1)}(\omega) &= \frac {nn_1 \left[ \rho_1 j_n(\rho_1)\right]'h_n(\rho_1) - nn_1\left[ \rho_1 h_n(\rho_1)\right]'j_n(\rho_1)}{ n^2\mu_1/\mu\left[ \rho_1 j_n(\rho_1)\right]'h_n(\rho) - n_1^2  \left[ \rho h_n(\rho)\right]'j_n(\rho_1)}. \end{align}$$ स्रोत गोले के बाहर है और अवलोकन बिंदु अंदर है ($$ra$$) :
 * $$\begin{align}

&\hat{\bf{G}}^{10}({\mathbf{r}, \mathbf{r}', k, k_1}) \\ {}={} &\frac{i k}{4 \pi} \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=0}^n (2 - \delta_{m,0}) \frac {2n + 1}{n(n + 1)} \frac{(n - m)!}{(n + m)!} \cdot {} \\ &\quad \left( c_n^{(0)}(\omega) (\mathbf{M}_{^e_o mn}^{(1)}[k, \mathbf{r}] \otimes {\mathbf{M}}^{(3)}_{^e_o mn}[k_1, \mathbf{r}']) + d_n^{(0)}(\omega)({\mathbf{N}}_{^e_o mn}^{(1)}[k, \mathbf{r}] \otimes {\mathbf{N}}^{(3)}_{^e_omn}[k_1, \mathbf{r}'])\right) \end{align}$$ गुणांक:
 * $$\begin{align}

c_n^{(0)}(\omega) &= \frac{\left[ \rho h_n(\rho) \right]'j_n(\rho) - \left[ \rho j_n(\rho)\right]'h_n(\rho)}{\left[ \rho h_n(\rho)\right]'j_n(\rho_1) - \mu/\mu_1 \left[ \rho_1 j_n(\rho_1) \right]' h_n(\rho)}, \\ d_n^{(0)}(\omega) &= \frac{nn_1 \left[ \rho h_n(\rho) \right]'j_n(\rho) - nn_1\left[ \rho j_n(\rho) \right]'h_n(\rho)}{n_1^2\mu/\mu_1\left[ \rho h_n(\rho)\right]'j_n(\rho_1) - n^2 \left[ \rho_1 j_n(\rho_1) \right]'j_n(\rho)}. \end{align}$$

कम्प्यूटेशनल कोड
Mie समाधान विभिन्न कंप्यूटर भाषाओं जैसे फोरट्रान, MATLAB और Mathematica में लिखे गए कई प्रोग्रामों में कार्यान्वित किए जाते हैं। ये समाधान एक अनंत श्रृंखला का अनुमान लगाते हैं, और आउटपुट के रूप में बिखरने वाले चरण फ़ंक्शन, विलुप्त होने, बिखरने और अवशोषण क्षमता, और असममिति पैरामीटर या विकिरण टोक़ जैसे अन्य मापदंडों की गणना प्रदान करते हैं। Mie समाधान शब्द का वर्तमान उपयोग मैक्सवेल के समीकरणों के समाधान के लिए एक श्रृंखला सन्निकटन को इंगित करता है। ऐसी कई ज्ञात वस्तुएं हैं जो इस तरह के समाधान की अनुमति देती हैं: गोले, संकेंद्रित गोले, अनंत सिलेंडर, गोले के समूह और सिलेंडर के समूह। दीर्घवृत्ताकार कणों द्वारा प्रकीर्णन के लिए ज्ञात श्रृंखला समाधान भी हैं। इन विशिष्ट समाधानों को लागू करने वाले कोड की एक सूची निम्नलिखित में दी गई है:
 * गोले द्वारा विद्युत चुम्बकीय प्रकीर्णन के लिए कोड - एकल गोले, लेपित गोले, बहुपरत गोले और गोले के समूह के लिए समाधान;
 * सिलेंडरों द्वारा विद्युत चुम्बकीय प्रकीर्णन के लिए कोड - एकल सिलेंडर, बहुपरत सिलेंडर और सिलेंडरों के समूह के लिए समाधान।

एक सामान्यीकरण जो अधिक सामान्य आकार के कणों के उपचार की अनुमति देता है वह टी-मैट्रिक्स विधि है, जो मैक्सवेल के समीकरणों के समाधानों की श्रृंखला सन्निकटन पर भी निर्भर करता है।

अन्य कोड और कैलकुलेटर के लिए #बाहरी_लिंक भी देखें।

अनुप्रयोग
मौसम विज्ञान प्रकाशिकी में माई सिद्धांत बहुत महत्वपूर्ण है, जहां धुंध और बादल बिखरने से संबंधित कई समस्याओं के लिए एकता और बड़े क्रम के व्यास-से-तरंग दैर्ध्य अनुपात की विशेषता है। एक और अनुप्रयोग ऑप्टिकल प्रकीर्णन माप द्वारा एयरोसोल के लक्षण वर्णन में है। Mie समाधान दूध, जैविक ऊतक और कंडोम  पेंट जैसी सामान्य सामग्रियों की उपस्थिति को समझने के लिए भी महत्वपूर्ण है।

वायुमंडलीय विज्ञान
माई स्कैटरिंग तब होती है जब वायुमंडलीय कणों का व्यास प्रकाश की तरंग दैर्ध्य के समान या उससे बड़ा होता है। धूल, पराग, धुआं और बादलों का निर्माण करने वाली सूक्ष्म पानी की बूंदें मी प्रकीर्णन के सामान्य कारण हैं। माई प्रकीर्णन अधिकतर वायुमंडल के निचले हिस्सों में होता है, जहां बड़े कण अधिक प्रचुर मात्रा में होते हैं, और बादल की स्थिति में हावी होते हैं।

कैंसर का पता लगाना और स्क्रीनिंग
Mie सिद्धांत का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया गया है कि क्या ऊतक से बिखरी हुई रोशनी स्वस्थ या कैंसरग्रस्त कोशिका नाभिक से मेल खाती है, कोण-संकल्पित कम-सुसंगति इंटरफेरोमेट्री का उपयोग करके।

नैदानिक ​​​​प्रयोगशाला विश्लेषण
मिई सिद्धांत नेफेलोमेट्री_(चिकित्सा) आधारित परख के अनुप्रयोग में एक केंद्रीय सिद्धांत है, जिसका व्यापक रूप से विभिन्न रक्त_प्रोटीन को मापने के लिए चिकित्सा में उपयोग किया जाता है। नेफेलोमेट्री द्वारा रक्त_प्रोटीन की एक विस्तृत श्रृंखला का पता लगाया और मात्रा निर्धारित की जा सकती है।

चुम्बकीय कण
चुंबकीय क्षेत्रों के लिए कई असामान्य विद्युत चुम्बकीय प्रकीर्णन प्रभाव होते हैं। जब सापेक्ष पारगम्यता पारगम्यता (विद्युत चुंबकत्व) के बराबर होती है, तो बैक-स्कैटर लाभ शून्य होता है। इसके अलावा, बिखरा हुआ विकिरण आपतित विकिरण के समान ही ध्रुवीकृत होता है। छोटे-कण (या लंबी-तरंग दैर्ध्य) सीमा में, शून्य आगे बिखरने, अन्य दिशाओं में बिखरे हुए विकिरण के पूर्ण ध्रुवीकरण के लिए, और आगे बिखरने से पीछे बिखरने की विषमता के लिए स्थितियाँ उत्पन्न हो सकती हैं। छोटे-कण सीमा में विशेष मामला पूर्ण ध्रुवीकरण और फॉरवर्ड-स्कैटर-टू-बैकस्कैटर विषमता के दिलचस्प विशेष उदाहरण प्रदान करता है।

मेटामटेरियल
मेटामटेरियल्स को डिजाइन करने के लिए माई सिद्धांत का उपयोग किया गया है। वे आम तौर पर समय-समय पर या यादृच्छिक रूप से कम-पारगम्यता मैट्रिक्स में एम्बेडेड धातु या गैर-धातु समावेशन के त्रि-आयामी कंपोजिट से बने होते हैं। ऐसी योजना में, नकारात्मक संवैधानिक मापदंडों को समावेशन के Mie अनुनादों के आसपास प्रदर्शित करने के लिए डिज़ाइन किया गया है: नकारात्मक प्रभावी पारगम्यता को Mie विद्युत द्विध्रुव प्रकीर्णन गुणांक की प्रतिध्वनि के आसपास डिज़ाइन किया गया है, जबकि नकारात्मक प्रभावी पारगम्यता (विद्युत चुंबकत्व) को अनुनाद के आसपास डिज़ाइन किया गया है Mie चुंबकीय द्विध्रुव प्रकीर्णन गुणांक, और दोगुनी नकारात्मक सामग्री (DNG) को Mie विद्युत और चुंबकीय द्विध्रुव प्रकीर्णन गुणांक के अनुनादों के ओवरलैप के आसपास डिज़ाइन किया गया है। कण में आमतौर पर निम्नलिखित संयोजन होते हैं:
 * 1) सापेक्ष पारगम्यता और पारगम्यता के मान वाले मैग्नेटोडायइलेक्ट्रिक कणों का एक सेट एक से बहुत अधिक और एक दूसरे के करीब;
 * 2) समान विद्युतशीलता लेकिन अलग-अलग आकार वाले दो अलग-अलग ढांकता हुआ कण;
 * 3) समान आकार लेकिन अलग-अलग पारगम्यता वाले दो अलग-अलग ढांकता हुआ कण।

सिद्धांत रूप में, Mie सिद्धांत द्वारा विश्लेषण किए गए कण आमतौर पर गोलाकार होते हैं, लेकिन व्यवहार में, कणों को निर्माण में आसानी के लिए आमतौर पर क्यूब्स या सिलेंडर के रूप में निर्मित किया जाता है। समरूपीकरण के मानदंडों को पूरा करने के लिए, जिसे इस रूप में कहा जा सकता है कि जाली स्थिरांक ऑपरेटिंग तरंग दैर्ध्य से बहुत छोटा है, ढांकता हुआ कणों की सापेक्ष पारगम्यता 1 से बहुत अधिक होनी चाहिए, उदाहरण के लिए। $$\varepsilon_\text{r} > 78(38)$$ नकारात्मक प्रभावी पारगम्यता (पारगम्यता) प्राप्त करने के लिए।

कण आकार
कण आकार प्रभाव का निरीक्षण करने के लिए माई सिद्धांत को अक्सर लेजर विवर्तन विश्लेषण में लागू किया जाता है। जबकि 1970 के दशक के शुरुआती कंप्यूटर केवल अधिक सरल फ्राउनहोफर सन्निकटन के साथ विवर्तन डेटा की गणना करने में सक्षम थे, Mie का 1990 के दशक से व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है और दिशानिर्देश ISO 13320:2009 में 50 माइक्रोमीटर से नीचे के कणों के लिए आधिकारिक तौर पर अनुशंसित किया गया है। प्रदूषित पानी में तेल की सघनता का पता लगाने में माई सिद्धांत का उपयोग किया गया है। माई स्कैटरिंग पानी में हवा के एकल sonoluminescence को आकार देने की प्राथमिक विधि है  और सामग्री में गुहाओं के साथ-साथ सामग्री में कणों के लिए भी मान्य है, जब तक कि आसपास की सामग्री अनिवार्य रूप से गैर-अवशोषित होती है।

परजीवविज्ञान
इसका उपयोग प्लाज्मोडियम फाल्सीपेरम की संरचना का अध्ययन करने के लिए भी किया गया है, जो मलेरिया का एक विशेष रूप से रोगजनक रूप है।

एक्सटेंशन
1986 में, पी. ए. बोबर्ट और जे. व्लीगर ने समतल सतह पर रखे एक सजातीय माध्यम में एक गोले द्वारा प्रकीर्णन की गणना करने के लिए मी मॉडल का विस्तार किया। Mie मॉडल की तरह, विस्तारित मॉडल को आपतित प्रकाश की तरंग दैर्ध्य के करीब त्रिज्या वाले क्षेत्रों पर लागू किया जा सकता है। बॉबबर्ट-वेलीगर (बीवी) मॉडल को लागू करने वाला एक C++ कोड है। हाल के घटनाक्रम दीर्घवृत्ताभ द्वारा प्रकीर्णन से संबंधित हैं। समसामयिक अध्ययन रेले के सुप्रसिद्ध शोध की ओर जाते हैं।

यह भी देखें

 * कम्प्यूटेशनल इलेक्ट्रोमैग्नेटिक्स
 * कणों द्वारा प्रकाश का प्रकीर्णन
 * वायुमंडलीय विकिरण स्थानांतरण कोड की सूची
 * गोले द्वारा विद्युत चुम्बकीय प्रकीर्णन के लिए कोड
 * पानी और बर्फ के ऑप्टिकल गुण

बाहरी संबंध

 * SCATTERLIB and scattport.org are collections of light scattering codes with implementations of Mie solutions in FORTRAN, C++, IDL, Pascal, Mathematica and Mathcad
 * JMIE (2D C++ code to calculate the analytical fields around an infinite cylinder, developed by Jeffrey M. McMahon)
 * ScatLab. Mie scattering software for Windows.
 * STRATIFY MatLab code of scattering from multilayered spheres in cases where the source is a point dipole and a plane wave. Description in arXiv:2006.06512
 * Scattnlay, an open-source C++ Mie solution package with Python and JavaScript wrappers. Provides far-field and near-field simulation results for multilayered spheres.
 * Online Mie scattering calculator provides simulation of scattering properties (including multipole decomposition) and near-field maps for bulk, core-shell, and multilayer spheres. Material parameters include all nk-data files from refractiveindex.info website. The source code is part of Scattnlay project.
 * Online Mie solution calculator is available, with documentation in German and English.
 * Online Mie scattering calculator produces beautiful graphs over a range of parameters.
 * phpMie Online Mie scattering calculator written on PHP.
 * Mie resonance mediated light diffusion and random lasing.
 * Mie solution for spherical particles.
 * PyMieScatt, a Mie solution package written in Python.
 * pyMieForAll, an open-source C++ Mie solution package with Python wrapper.