क्वांटम सीमा

भौतिकी में क्वांटम सीमा क्वांटम पैमाने पर माप सटीकता की एक सीमा है। संदर्भ के आधार पर, सीमा निरपेक्ष हो सकती है (जैसे कि हाइजेनबर्ग सीमा), या यह केवल तभी लागू हो सकती है जब प्रयोग स्वाभाविक रूप से होने वाली क्वांटम स्थितियों (उदाहरण के लिए इंटरफेरोमेट्री में मानक क्वांटम सीमा) के साथ किया जाता है और हो सकता है उन्नत राज्य तैयारी और माप योजनाओं से बचा गया।

हालाँकि, मानक क्वांटम सीमा या एसक्यूएल शब्द का उपयोग केवल इंटरफेरोमेट्री से अधिक व्यापक है। सिद्धांत रूप में, अध्ययन के तहत एक प्रणाली के अवलोकन योग्य क्वांटम मैकेनिकल का कोई भी रैखिक माप जो अलग-अलग समय पर स्वयं के साथ कम्यूटेटर नहीं करता है, ऐसी सीमाओं की ओर ले जाता है। संक्षेप में, यह अनिश्चितता सिद्धांत ही इसका कारण है। अधिक विस्तृत व्याख्या यह होगी कि क्वांटम यांत्रिकी में किसी भी माप में कम से कम दो पक्ष शामिल होते हैं, एक वस्तु और एक मीटर। पूर्व वह प्रणाली है जिसका अवलोकन, कहें $$\hat x$$, हम मापना चाहते हैं. उत्तरार्द्ध वह प्रणाली है जिसके मूल्य का अनुमान लगाने के लिए हम वस्तु को जोड़ते हैं $$\hat x$$ कुछ चुने गए अवलोकनीय को रिकॉर्ड करके वस्तु का, $$\hat{\mathcal{O}}$$, इस प्रणाली का, उदा. मीटर के पैमाने पर सूचक की स्थिति. संक्षेप में, यह भौतिकी में होने वाले अधिकांश मापों का एक मॉडल है, जिसे अप्रत्यक्ष माप के रूप में जाना जाता है (पृष्ठ 38-42 देखें) ). इसलिए कोई भी माप अंतःक्रिया का परिणाम है और वह दोनों तरीकों से कार्य करता है। इसलिए, मीटर प्रत्येक माप के दौरान वस्तु पर कार्य करता है, आमतौर पर मात्रा के माध्यम से, $$\hat{\mathcal{F}}$$, पढ़ने योग्य अवलोकनीय से संयुग्मित $$\hat{\mathcal{O}}$$, इस प्रकार मापे गए अवलोकनीय के मूल्य में गड़बड़ी होती है $$\hat x$$ और बाद के मापों के परिणामों को संशोधित करना। इसे माप के तहत सिस्टम पर मीटर की पश्च क्रिया (क्वांटम)  के रूप में जाना जाता है।

साथ ही, क्वांटम यांत्रिकी यह निर्धारित करती है कि मीटर के अवलोकन योग्य रीडआउट में अंतर्निहित अनिश्चितता होनी चाहिए, $$\delta\hat{\mathcal{O}}$$, मापी गई मात्रा के मूल्य से योगात्मक और स्वतंत्र $$\hat x$$. इसे माप अशुद्धि या माप शोर के रूप में जाना जाता है। अनिश्चितता सिद्धांत के कारण, यह अशुद्धि मनमानी नहीं हो सकती है और अनिश्चितता सिद्धांत द्वारा बैक-एक्शन गड़बड़ी से जुड़ी हुई है:


 * $$\Delta {\mathcal{O}} \Delta {\mathcal{F}} \geqslant \hbar/2\,,$$

कहाँ $$\Delta a = \sqrt{\langle\hat a^2\rangle-\langle\hat a\rangle^2}$$ अवलोकनीय का एक मानक विचलन है $$a$$ और $$\langle\hat a\rangle$$ की अपेक्षा मूल्य के लिए खड़ा है $$a$$ सिस्टम चाहे किसी भी क्वांटम अवस्था में हो। यदि सिस्टम न्यूनतम अनिश्चितता की स्थिति में है तो समानता पहुंच जाती है। हमारे मामले का परिणाम यह है कि हमारा माप जितना अधिक सटीक होगा, यानी उतना ही छोटा होगा $$\Delta \mathcal{\delta O}$$, मापे गए अवलोकन पर मीटर का प्रभाव जितना अधिक होगा, गड़बड़ी उतनी ही अधिक होगी $$\hat x$$. इसलिए, मीटर के रीडआउट में, सामान्य तौर पर, तीन पद शामिल होंगे:


 * $$\hat{\mathcal{O}} = \hat x_{\mathrm{free}} + \delta \hat{\mathcal{O}} + \delta \hat x_{BA}[\hat{\mathcal{F}}]\,,$$

कहाँ $$\hat x_{\mathrm{free}} $$ का एक मान है $$\hat x$$ यदि वस्तु मीटर से युग्मित नहीं होती, तो ऐसा होता, और $$\delta \hat {x_{BA}}[\hat{\mathcal{F}}]$$ के मूल्य में गड़बड़ी है $$\hat x$$ बैक एक्शन फोर्स के कारण, $$\hat{\mathcal{F}}$$. उत्तरार्द्ध की अनिश्चितता आनुपातिक है $$\Delta \mathcal{F}\propto\Delta \mathcal{O}^{-1}$$. इस प्रकार, इस तरह के माप में एक न्यूनतम मूल्य या परिशुद्धता की सीमा होती है, जिसे कोई भी प्राप्त कर सकता है $$\delta\hat{\mathcal{O}} $$ और $$\hat{\mathcal{F}}$$ असंबंधित हैं. क्वांटम सीमा और मानक क्वांटम सीमा शब्द कभी-कभी एक दूसरे के स्थान पर उपयोग किए जाते हैं। आमतौर पर, क्वांटम सीमा एक सामान्य शब्द है जो क्वांटम प्रभावों के कारण माप पर किसी भी प्रतिबंध को संदर्भित करता है, जबकि किसी भी संदर्भ में मानक क्वांटम सीमा एक क्वांटम सीमा को संदर्भित करती है जो उस संदर्भ में सर्वव्यापी है।

विस्थापन माप
एक बहुत ही सरल माप योजना पर विचार करें, जो, फिर भी, सामान्य स्थिति माप की सभी प्रमुख विशेषताओं को समाहित करती है। चित्र में दिखाई गई योजना में, जांच निकाय के विस्थापन की निगरानी के लिए बहुत कम प्रकाश दालों के अनुक्रम का उपयोग किया जाता है $$M$$. स्थिति $$x$$ का $$M$$ समय-समय पर समय अंतराल के साथ जांच की जाती है $$\vartheta$$. हम द्रव्यमान मानते हैं $$M$$ माप प्रक्रिया के दौरान पल्स नियमित (शास्त्रीय) विकिरण दबाव द्वारा किए गए विस्थापन की उपेक्षा करने के लिए पर्याप्त बड़ा।

फिर प्रत्येक $$j$$-वें पल्स, जब परावर्तित होता है, तो परीक्षण-द्रव्यमान स्थिति के मूल्य के अनुपात में एक चरण बदलाव होता है $$x(t_j)$$ प्रतिबिंब के क्षण में:

कहाँ $$k_p=\omega_p/c$$, $$\omega_p$$ प्रकाश आवृत्ति है, $$j=\dots,-1,0,1,\dots$$ नाड़ी संख्या है और $$\hat{\phi}_j$$ का प्रारंभिक (यादृच्छिक) चरण है $$j$$-वाँ नाड़ी. हम मानते हैं कि इन सभी चरणों का माध्य मान शून्य के बराबर है, $$\langle\hat{\phi}_j\rangle=0$$, और उनका मूल माध्य वर्ग (आरएमएस) अनिश्चितता $$(\langle\hat{\phi^2}\rangle-\langle\hat{\phi}\rangle^2)^{1/2}$$ के बराबर है $$\Delta\phi$$.

परावर्तित दालों का पता एक चरण-संवेदनशील उपकरण (चरण डिटेक्टर) द्वारा लगाया जाता है। ऑप्टिकल चरण डिटेक्टर का कार्यान्वयन उदाहरण के लिए किया जा सकता है। होमोडाइन का पता लगाना  या ऑप्टिकल हेटेरोडाइन का पता लगाना डिटेक्शन स्कीम (धारा 2.3 देखें)। और उसमें संदर्भ), या अन्य ऐसी रीड-आउट तकनीकें।

इस उदाहरण में, प्रकाश पल्स चरण $$\hat\phi_j$$ अवलोकन योग्य रीडआउट के रूप में कार्य करता है $$\mathcal{O}$$ मीटर का. तब हम मान लेते हैं कि चरण $$\hat{\phi}_j^{\mathrm{refl}}$$ डिटेक्टर द्वारा शुरू की गई माप त्रुटि चरणों की प्रारंभिक अनिश्चितता से बहुत छोटी है $$\Delta\phi$$. इस मामले में, प्रारंभिक अनिश्चितता स्थिति माप त्रुटि का एकमात्र स्रोत होगी:

सुविधा के लिए, हम समीकरण को पुनः सामान्यीकृत करते हैं। ($$) समतुल्य परीक्षण-द्रव्यमान विस्थापन के रूप में:

कहाँ



\hat{x}_{\mathrm{fl}}(t_j) = -\frac{\hat{\phi}_j}{2 k_p} $$ समीकरण द्वारा दी गई आरएमएस अनिश्चितताओं के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक मान हैं। ($$).

परावर्तन पर, प्रत्येक प्रकाश पल्स परीक्षण द्रव्यमान को किक करता है, इसके बराबर बैक-एक्शन गति को स्थानांतरित करता है

कहाँ $$\hat{p}_j^{\mathrm{before}}$$ और $$\hat{p}_j^{\mathrm{after}}$$ प्रकाश नाड़ी परावर्तन के ठीक पहले और ठीक बाद परीक्षण-द्रव्यमान संवेग मान हैं, और $$\mathcal{W}_j$$ की ऊर्जा है $$j$$-वाँ नाड़ी, जो अवलोकनीय पश्च क्रिया की भूमिका निभाती है $$\hat{\mathcal{F}}$$ मीटर का. इस गड़बड़ी का प्रमुख हिस्सा शास्त्रीय विकिरण दबाव द्वारा योगदान देता है:



\langle\hat{p}_j^{\mathrm{b.a.}}\rangle = \frac{2}{c}\mathcal{W} \,, $$ साथ $$\mathcal{W}$$ दालों की औसत ऊर्जा. इसलिए, कोई इसके प्रभाव की उपेक्षा कर सकता है, क्योंकि इसे या तो माप परिणाम से घटाया जा सकता है या एक एक्चुएटर द्वारा मुआवजा दिया जा सकता है। यादृच्छिक भाग, जिसकी भरपाई नहीं की जा सकती, नाड़ी ऊर्जा के विचलन के समानुपाती होता है:



\hat{p}^{\mathrm{b.a.}}(t_j) = \hat{p}_j^{\mathrm{b.a.}} - \langle\hat{p}_j^{\mathrm{b.a.}}\rangle = \frac{2}{c}\bigl(\hat{\mathcal{W}}_j - \mathcal{W}\bigr) \,, $$ और इसका आरएमएस अनिश्चित रूप से बराबर है

साथ $$\Delta\mathcal{W}$$ पल्स ऊर्जा की आरएमएस अनिश्चितता।

यह मानते हुए कि दर्पण मुक्त है (जो एक उचित अनुमान है यदि स्पन्दों के बीच का समय अंतराल निलंबित दर्पण दोलनों की अवधि से बहुत कम है, $$\vartheta\ll T$$), कोई इसकी पिछली कार्रवाई के कारण होने वाले अतिरिक्त विस्थापन का अनुमान लगा सकता है $$j$$-वाँ पल्स जो बाद के माप की अनिश्चितता में योगदान देगा $$j+1$$ पल्स समय $$\vartheta$$ बाद में:



\hat x_{\mathrm{b.a.}}(t_j) = \frac{\hat{p}^{\mathrm{b.a.}}(t_j)\vartheta}{M} \,. $$ इसकी अनिश्चितता बस होगी



\Delta x_{\mathrm{b.a.}}(t_j) = \frac{\Delta {p}_{\mathrm{b.a.}}(t_j)\vartheta}{M} \,. $$ यदि अब हम यह अनुमान लगाना चाहें कि दर्पण इनके बीच कितना घूमा है $$j$$ और  $$j+1$$ दालें, यानी इसका विस्थापन   $$\delta\tilde x_{j+1,j} =  \tilde x(t_{j+1}) - \tilde x(t_{j})$$, हमें तीन अतिरिक्त अनिश्चितताओं से निपटना होगा जो हमारे अनुमान की सटीकता को सीमित करती हैं:



\Delta \tilde{x}_{j+1,j} = \Bigl[(\Delta x_{\rm meas}(t_{j+1}))^2+(\Delta x_{\rm meas}(t_{j}))^2+(\Delta x_{\rm b.a.}(t_{j}))^2\Bigr]^{1/2} \,, $$ जहां हमने अपनी माप अनिश्चितता में सभी योगदानों को सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र मान लिया और इस प्रकार मानक विचलनों के योग द्वारा कुल अनिश्चितता प्राप्त की। यदि हम आगे यह मान लें कि सभी प्रकाश दालें समान हैं और उनकी चरण अनिश्चितता समान है, तो $$\Delta x_{\rm meas}(t_{j+1}) = \Delta x_{\rm meas}(t_{j}) \equiv \Delta x_{\rm meas} = \Delta\phi/(2k_p)$$.

अब, यह राशि न्यूनतम क्या है और इस सरल अनुमान में न्यूनतम त्रुटि क्या हो सकती है? उत्तर क्वांटम यांत्रिकी से आता है, अगर हम याद रखें कि ऊर्जा और प्रत्येक पल्स का चरण विहित रूप से संयुग्मित अवलोकन योग्य हैं और इस प्रकार निम्नलिखित अनिश्चितता संबंध का पालन करते हैं:



\Delta\mathcal{W}\Delta\phi \ge \frac{\hbar\omega_p}{2} \,. $$ इसलिए, यह Eqs से अनुसरण करता है। ($$ और $$) कि स्थिति माप त्रुटि $$\Delta x_{\mathrm{meas}}$$ और गति गड़बड़ी $$\Delta p_{\mathrm{b.a.}}$$ पश्च क्रिया के कारण अनिश्चितता संबंध भी संतुष्ट होता है:



\Delta x_{\mathrm{meas}}\Delta p_{\mathrm{b.a.}} \ge \frac{\hbar}{2} \,. $$ इस संबंध को ध्यान में रखते हुए, न्यूनतम अनिश्चितता, $$\Delta x_{\mathrm{meas}}$$दर्पण को अधिक परेशान न करने के लिए प्रकाश स्पंदन बराबर होना चाहिए $$\Delta x_{\mathrm{b.a.}}$$ दोनों के लिए उपज $$\Delta x_{\mathrm{min}} = \sqrt{\frac{\hbar\vartheta}{2M}}$$. इस प्रकार क्वांटम यांत्रिकी द्वारा निर्धारित न्यूनतम विस्थापन माप त्रुटि इस प्रकार है:



\Delta \tilde{x}_{j+1,j} \geqslant \Bigl[2(\Delta x_{\rm meas})^2+\Bigl(\frac{\hbar\vartheta}{2M\Delta x_{\rm meas}}\Bigr)^2\Bigr]^{1/2} \geqslant \sqrt{\frac{3\hbar\vartheta}{2M}}\,. $$ ऐसी 2-पल्स प्रक्रिया के लिए यह मानक क्वांटम सीमा है। सिद्धांत रूप में, यदि हम अपने माप को केवल दो पल्स तक सीमित रखते हैं और बाद में दर्पण की स्थिति में गड़बड़ी की परवाह नहीं करते हैं, तो दूसरी पल्स माप अनिश्चितता, $$ \Delta x_{\rm meas}(t_{j+1})$$, सिद्धांत रूप में, 0 तक घटाया जा सकता है (निश्चित रूप से, इससे परिणाम मिलेगा, $$ \Delta p_{\rm b.a.}(t_{j+1})\to\infty$$) और विस्थापन माप त्रुटि की सीमा कम हो जाएगी:



\Delta \tilde{x}_{SQL} =  \sqrt{\frac{\hbar\vartheta}{M}}\,, $$ जिसे मुक्त द्रव्यमान विस्थापन के मापन के लिए मानक क्वांटम सीमा के रूप में जाना जाता है।

यह उदाहरण रैखिक माप के एक साधारण विशेष मामले का प्रतिनिधित्व करता है। माप योजनाओं के इस वर्ग को फॉर्म के दो रैखिक समीकरणों द्वारा पूरी तरह से वर्णित किया जा सकता है~($$) और ($$), बशर्ते कि माप अनिश्चितता और ऑब्जेक्ट बैक-एक्शन गड़बड़ी दोनों ($$\hat{x}_{\mathrm{fl}}(t_j)$$ और $$\hat{p}^{\mathrm{b.a.}}(t_j)$$ इस मामले में) परीक्षण वस्तु की प्रारंभिक क्वांटम स्थिति से सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र हैं और मापे गए अवलोकन योग्य और इसके विहित रूप से संयुग्मित समकक्ष (इस मामले में वस्तु की स्थिति और गति) के समान अनिश्चितता संबंध को संतुष्ट करते हैं।

क्वांटम प्रकाशिकी में उपयोग
इंटरफेरोमेट्री या अन्य ऑप्टिकल माप के संदर्भ में, मानक क्वांटम सीमा आमतौर पर क्वांटम शोर के न्यूनतम स्तर को संदर्भित करती है जो निचोड़ सुसंगत स्थिति के बिना प्राप्त करने योग्य है। चरण शोर के लिए अतिरिक्त क्वांटम सीमा है, जो केवल उच्च शोर आवृत्तियों पर लेज़र  द्वारा पहुंच योग्य है।

स्पेक्ट्रोस्कोपी में, एक्स-रे स्पेक्ट्रम में सबसे छोटी तरंग दैर्ध्य को क्वांटम सीमा कहा जाता है।

शास्त्रीय सीमा से भ्रामक संबंध
ध्यान दें कि शब्द सीमा की अधिकता के कारण, शास्त्रीय सीमा क्वांटम सीमा के विपरीत नहीं है। क्वांटम सीमा में, सीमा का उपयोग भौतिक सीमा (जैसे आर्मस्ट्रांग सीमा) के अर्थ में किया जा रहा है। शास्त्रीय सीमा में सीमा का प्रयोग सीमा (गणित) के अर्थ में किया जाता है। (ध्यान दें कि कोई सरल कठोर गणितीय सीमा नहीं है जो क्वांटम यांत्रिकी से शास्त्रीय यांत्रिकी को पूरी तरह से पुनर्प्राप्त करती है, एरेनफेस्ट प्रमेय के बावजूद। फिर भी, क्वांटम यांत्रिकी के चरण अंतरिक्ष निर्माण में, ऐसी सीमाएं अधिक व्यवस्थित और व्यावहारिक हैं।)

यह भी देखें

 * शास्त्रीय सीमा
 * हाइजेनबर्ग सीमा
 * अति सापेक्षतावादी सीमा

संदर्भ और नोट्स
श्रेणी:क्वांटम यांत्रिकी