विभाजक

गणित में, एक सेपरॉइड असम्बद्ध सेटों के बीच एक द्विआधारी संबंध है जो उपसमुच्चय द्वारा प्रेरित विहित क्रम में एक आदर्श (आदेश सिद्धांत) के रूप में स्थिर है। कई गणितीय वस्तुएँ जो काफी भिन्न प्रतीत होती हैं, सेपरॉइड के ढांचे में एक सामान्य सामान्यीकरण पाती हैं; उदाहरण के लिए, ग्राफ (असतत गणित), उत्तल सेटों का विन्यास, उन्मुख मैट्रोइड्स और polytopes । कोई भी गणनीय श्रेणी (गणित) विभाजक का एक प्रेरित उपश्रेणी है जब वे समरूपता से संपन्न होते हैं (अर्थात, मैपिंग जो तथाकथित रेडॉन के प्रमेय को संरक्षित करते हैं)।

इस सामान्य ढांचे में, विभिन्न श्रेणियों के कुछ परिणाम और अपरिवर्तनीय एक ही पहलू के विशेष मामले बन जाते हैं; उदाहरण के लिए, ग्राफ थ्योरी से स्यूडोएक्रोमैटिक नंबर और कॉम्बिनेटरियल उत्तलता से टेवरबर्ग प्रमेय एक ही पहलू के दो चेहरे हैं, अर्थात्, सेपरॉइड का पूरा रंग।

सिद्धांत
एक सेपरॉइड एक समुच्चय है (गणित) $$S$$ एक द्विआधारी संबंध के साथ संपन्न $$\mid\ \subseteq2^S\times2^S$$ इसके सत्ता स्थापित  पर, जो निम्नलिखित सरल गुणों को संतुष्ट करता है $$A,B\subseteq S$$:


 * $$A\mid B\Leftrightarrow B\mid A,$$
 * $$A\mid B\Rightarrow A\cap B=\varnothing,$$
 * $$A\mid B \hbox{ and } A'\subset A\Rightarrow A'\mid B.$$

एक संबंधित जोड़ी $$A\mid B$$ एक अलगाव कहा जाता है और हम अक्सर कहते हैं कि A, B से अलग है। विभाजक के पुनर्निर्माण के लिए 'अधिकतम' अलगाव को जानना पर्याप्त है।

एक नक्शा (गणित) $$\varphi\colon S\to T$$ यदि पृथक्करणों की पूर्वकल्पनाएँ पृथक्करण हैं, तो यह विभाजकों का एक रूपवाद है; वह है, के लिए $$A,B\subseteq T$$
 * $$A\mid B\Rightarrow\varphi^{-1}(A)\mid\varphi^{-1}(B).$$

उदाहरण
सेपरॉयड के उदाहरण गणित की लगभग हर शाखा में पाए जा सकते हैं। यहां हम कुछ ही सूचीबद्ध करते हैं।

1. एक ग्राफ (असतत गणित) जी = (वी, ई) दिया गया है, हम कह सकते हैं कि वी के दो (असंबद्ध) उपसमुच्चय, कहते हैं कि ए और बी अलग हो जाते हैं, तो हम इसके शीर्ष (ग्राफ सिद्धांत) पर एक अलगाव को परिभाषित कर सकते हैं नो एज (ग्राफ सिद्धांत) एक से दूसरे में जा रहा है; अर्थात।,


 * $$A\mid B\Leftrightarrow\forall a\in A\hbox{ and }b\in B\colon ab\not\in E.$$

2. एक उन्मुख matroid दिया एम = (ई, टी), इसके शीर्ष टी के संदर्भ में दिया गया है, हम ई पर एक अलगाव को यह कहकर परिभाषित कर सकते हैं कि दो उपसमुच्चय अलग हो जाते हैं यदि वे एक शीर्ष के विपरीत संकेतों में निहित हैं। दूसरे शब्दों में, एक ओरिएंटेड मैट्रॉइड के शीर्ष एक सेपरॉइड के अधिकतम अलगाव हैं। बेशक, इस उदाहरण में सभी निर्देशित रेखांकन शामिल हैं।

3. यूक्लिडियन अंतरिक्ष में वस्तुओं के एक परिवार को देखते हुए, हम यह कहकर इसमें एक सेपरॉइड को परिभाषित कर सकते हैं कि यदि कोई hyperplane  मौजूद है जो उन्हें अलग करता है तो दो उपसमुच्चय अलग हो जाते हैं; यानी उन्हें इसके दो विपरीत पक्षों में छोड़ देना।

4. एक टोपोलॉजिकल स्पेस को देखते हुए, हम एक सेपरॉइड को यह कहते हुए परिभाषित कर सकते हैं कि दो उपसमुच्चय अलग हो गए हैं यदि दो अलग-अलग खुले सेट मौजूद हैं जिनमें वे शामिल हैं (उनमें से प्रत्येक के लिए एक)।

बुनियादी लेम्मा
कुछ यूक्लिडियन अंतरिक्ष में उत्तल सेट के एक परिवार और हाइपरप्लेन द्वारा उनके पृथक्करण के साथ प्रत्येक सेपरॉइड का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है।