श्रृंखला नियम

गणना में, श्रृंखला नियम एक सूत्र है जो दो अलग-अलग कार्यों की फ़ंक्शन संरचना के व्युत्पन्न को व्यक्त करता है $f$ तथा $g$ के डेरिवेटिव के संदर्भ में $f$ तथा $g$. अधिक सटीक, अगर $$h=f\circ g$$ समारोह ऐसा है कि $$h(x)=f(g(x))$$ हरएक के लिए $x$, तो लैग्रेंज के अंकन में श्रृंखला नियम है,
 * $$h'(x) = f'(g(x)) g'(x).$$

या, समकक्ष,
 * $$h'=(f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'.$$

श्रृंखला नियम को लाइबनिज के अंकन में भी व्यक्त किया जा सकता है। यदि एक चर $z$ चर पर निर्भर करता है $y$, जो स्वयं चर पर निर्भर करता है $x$ (वह है, $y$ तथा $z$ आश्रित चर हैं), तो $z$ निर्भर करता है $x$ साथ ही, मध्यवर्ती चर के माध्यम से $y$. इस मामले में, श्रृंखला नियम के रूप में व्यक्त किया गया है
 * $$\frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy} \cdot \frac{dy}{dx},$$ तथा
 * $$ \left.\frac{dz}{dx}\right|_{x} = \left.\frac{dz}{dy}\right|_{y(x)}

\cdot \left. \frac{dy}{dx}\right|_{x} ,$$ यह इंगित करने के लिए कि किन बिंदुओं पर डेरिवेटिव का मूल्यांकन किया जाना है।

अभिन्न में, श्रृंखला नियम का प्रतिपक्ष प्रतिस्थापन नियम है।

सहज व्याख्या
सहज रूप से, श्रृंखला नियम में कहा गया है कि परिवर्तन की तात्कालिक दर जानने के लिए $z$ के सापेक्ष $y$ और वह $y$ के सापेक्ष $x$ के परिवर्तन की तात्कालिक दर की गणना करने की अनुमति देता है $z$ के सापेक्ष $x$ परिवर्तन की दो दरों के उत्पाद के रूप में।

जैसा कि जॉर्ज एफ. सीमन्स ने कहा है: यदि एक कार साइकिल से दोगुनी गति से चलती है और साइकिल चलने वाले व्यक्ति की गति से चार गुना तेज है, तो कार व्यक्ति की गति से 2 × 4 = 8 गुना गति से चलती है। इस उदाहरण और श्रृंखला नियम के बीच संबंध इस प्रकार है। होने देना $z$, $y$ तथा $x$ क्रमशः कार, साइकिल और चलने वाले आदमी की (चर) स्थिति हो। कार और साइकिल की आपेक्षिक स्थिति में परिवर्तन की दर है इसी प्रकार,  तो, कार और चलने वाले आदमी की सापेक्ष स्थिति में परिवर्तन की दर है
 * $$\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=2\cdot 4=8.$$

स्थिति परिवर्तन की दर गति का अनुपात है, और गति समय के संबंध में स्थिति का व्युत्पन्न है; वह है,
 * $$\frac{dz}{dx}=\frac \frac{dz}{dt}\frac{dx}{dt},$$

या, समकक्ष,
 * $$\frac{dz}{dt}=\frac{dz}{dx}\cdot \frac{dx}{dt},$$

जो श्रृंखला नियम का एक अनुप्रयोग भी है।

इतिहास
ऐसा लगता है कि श्रृंखला नियम का इस्तेमाल सबसे पहले गॉटफ्राइड विल्हेम लिबनिज़ो ने किया था। उन्होंने इसका उपयोग के व्युत्पन्न की गणना के लिए किया $$\sqrt{a + bz + cz^2}$$ वर्गमूल फलन और फलन के संयोजन के रूप में $$a + bz + cz^2\!$$. उन्होंने पहली बार इसका उल्लेख 1676 के संस्मरण (गणना में एक संकेत त्रुटि के साथ) में किया था। श्रृंखला नियम का सामान्य संकेतन लाइबनिज के कारण है। गुइलौमे डे ल'हॉपिटल ने अपने अतिसूक्ष्म जीवों का विश्लेषण में निहित रूप से श्रृंखला नियम का इस्तेमाल किया। लियोनहार्ड यूलर की किसी भी विश्लेषण पुस्तक में श्रृंखला नियम प्रकट नहीं होता है, भले ही वे लीबनिज की खोज के सौ साल बाद लिखे गए हों।

कथन
श्रृंखला नियम का सबसे सरल रूप एक वास्तविक संख्या चर के वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के लिए है। इसमें कहा गया है कि अगर$g$एक कार्य है जो एक बिंदु पर अवकलनीय है$c$(यानी व्युत्पन्न $g′(c)$ मौजूद है) और$f$एक फ़ंक्शन है जो अलग-अलग है $g(c)$, फिर समग्र कार्य $$f\circ g$$ पर अवकलनीय है$c$, और व्युत्पन्न है
 * $$ (f\circ g)'(c) = f'(g(c))\cdot g'(c). $$

नियम को कभी-कभी संक्षिप्त किया जाता है


 * $$(f\circ g)' = (f'\circ g) \cdot g'.$$

यदि $y = f(u)$ तथा $u = g(x)$, तो यह संक्षिप्त रूप लाइबनिज़ संकेतन में लिखा गया है:


 * $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.$$

जिन बिंदुओं पर डेरिवेटिव का मूल्यांकन किया जाता है, उन्हें भी स्पष्ट रूप से बताया जा सकता है:


 * $$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=c} = \left.\frac{dy}{du}\right|_{u = g(c)} \cdot \left.\frac{du}{dx}\right|_{x=c}.$$

इसी तर्क को आगे बढ़ाते हुए दिया$n$कार्यों $$f_1, \ldots, f_n\!$$ समग्र कार्य के साथ $$f_1 \circ ( f_2 \circ \cdots (f_{n-1} \circ f_n) )\!$$, यदि प्रत्येक समारोह $$f_i\!$$ इसके तत्काल इनपुट पर अवकलनीय है, तो मिश्रित फ़ंक्शन भी चेन नियम के बार-बार आवेदन से भिन्न होता है, जहां व्युत्पन्न है (लीबनिज़ के संकेतन में):


 * $$\frac{df_1}{dx} = \frac{df_1}{df_2}\frac{df_2}{df_3}\cdots\frac{df_n}{dx}.$$

दो से अधिक कार्यों के सम्मिश्रण
शृंखला नियम दो से अधिक कार्यों के संयोजनों पर लागू किया जा सकता है। दो से अधिक कार्यों के सम्मिश्र का व्युत्पन्न लेने के लिए, ध्यान दें कि सम्मिश्र का $f$, $g$, तथा$h$(उस क्रम में) का सम्मिश्रण है $f$ साथ $g ∘ h$. श्रृंखला नियम बताता है कि के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए $f ∘ g ∘ h$, यह के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए पर्याप्त है$f$और व्युत्पन्न $g ∘ h$. का व्युत्पन्न$f$सीधे गणना की जा सकती है, और का व्युत्पन्न $g ∘ h$ श्रृंखला नियम को फिर से लागू करके गणना की जा सकती है।

संक्षिप्तता के लिए, फ़ंक्शन पर विचार करें
 * $$y = e^{\sin (x^2)}.$$

इसे तीन कार्यों के सम्मिश्र के रूप में विघटित किया जा सकता है:
 * $$\begin{align}

y &= f(u) = e^u, \\[6pt] u &= g(v) = \sin v = \sin(x^2), \\[6pt] v &= h(x) = x^2. \end{align}$$ उनके डेरिवेटिव हैं:
 * $$\begin{align}

\frac{dy}{du} &= f'(u) = e^u = e^{\sin(x^2)}, \\[6pt] \frac{du}{dv} &= g'(v) = \cos v = \cos(x^2), \\[6pt] \frac{dv}{dx} &= h'(x) = 2x. \end{align}$$ श्रृंखला नियम बताता है कि बिंदु पर उनके संमिश्र का व्युत्पन्न $x = a$ है:



\begin{align} (f \circ g \circ h)'(a) & = f'((g \circ h)(a))\cdot (g \circ h)'(a) \\[10pt] & = f'((g \circ h)(a)) \cdot g'(h(a)) \cdot h'(a) = (f' \circ g \circ h)(a) \cdot (g' \circ h)(a) \cdot h'(a). \end{align} $$ लाइबनिज के संकेतन में, यह है:
 * $$\frac{dy}{dx} = \left.\frac{dy}{du}\right|_{u=g(h(a))}\cdot\left.\frac{du}{dv}\right|_{v=h(a)}\cdot\left.\frac{dv}{dx}\right|_{x=a},$$

या संक्षेप में,
 * $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dv}\cdot\frac{dv}{dx}.$$

व्युत्पन्न कार्य इसलिए है:
 * $$\frac{dy}{dx} = e^{\sin(x^2)}\cdot\cos(x^2)\cdot 2x.$$

इस व्युत्पन्न की गणना करने का दूसरा तरीका समग्र कार्य को देखना है $f ∘ g ∘ h$ के सम्मिश्र के रूप में $f ∘ g$ और वह। श्रृंखला नियम को इस तरीके से लागू करने से प्राप्त होगा:
 * $$(f \circ g \circ h)'(a) = (f \circ g)'(h(a))\cdot h'(a) = f'(g(h(a)))\cdot g'(h(a))\cdot h'(a).$$

यह वही है जो ऊपर गणना की गई थी। इसकी उम्मीद की जानी चाहिए क्योंकि $(f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h)$.

कभी-कभी, फॉर्म की मनमाने ढंग से लंबी संरचना को अलग करना आवश्यक होता है $$f_1 \circ f_2 \circ \cdots \circ f_{n-1} \circ f_n\!$$. इस मामले में, परिभाषित करें
 * $$f_{a\,.\,.\,b} = f_{a} \circ f_{a+1} \circ \cdots \circ f_{b-1} \circ f_{b}$$

कहाँ पे $$f_{a\,.\,.\,a} = f_a$$ तथा $$f_{a\,.\,.\,b}(x) = x$$ जब $$b < a$$. तब श्रृंखला नियम रूप लेता है
 * $$Df_{1\,.\,.\,n} = (Df_1 \circ f_{2\,.\,.\,n}) (Df_2 \circ f_{3\,.\,.\,n}) \cdots (Df_{n-1} \circ f_{n\,.\,.\,n}) Df_n = \prod_{k=1}^n \left[Df_k \circ f_{(k+1)\,.\,.\,n}\right]$$

या, लैग्रेंज संकेतन में,
 * $$f_{1\,.\,.\,n}'(x) = f_1' \left( f_{2\,.\,.\,n}(x) \right) \; f_2' \left( f_{3\,.\,.\,n}(x) \right) \cdots f_{n-1}' \left(f_{n\,.\,.\,n}(x)\right) \; f_n'(x) = \prod_{k=1}^{n} f_k' \left(f_{(k+1\,.\,.\,n)}(x) \right)$$

भागफल नियम
कुछ प्रसिद्ध विभेदन नियमों को प्राप्त करने के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, भागफल नियम श्रृंखला नियम और उत्पाद नियम का परिणाम है। इसे देखने के लिए फंक्शन लिखें $f(x)/g(x)$ उत्पाद के रूप में $f(x) · 1/g(x)$. पहले उत्पाद नियम लागू करें:


 * $$\begin{align}

\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) &= \frac{d}{dx}\left(f(x)\cdot\frac{1}{g(x)}\right) \\ &= f'(x)\cdot\frac{1}{g(x)} + f(x)\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{g(x)}\right). \end{align}$$ के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए $1/g(x)$, ध्यान दें कि यह का सम्मिश्रण है $g$ पारस्परिक कार्य के साथ, वह कार्य जो भेजता है $x$ प्रति $1/x$. पारस्परिक कार्य का व्युत्पन्न है $$-1/x^2\!$$. श्रृंखला नियम लागू करने से, अंतिम व्यंजक बन जाता है:


 * $$f'(x)\cdot\frac{1}{g(x)} + f(x)\cdot\left(-\frac{1}{g(x)^2}\cdot g'(x)\right)

= \frac{f'(x) g(x) - f(x) g'(x)}{g(x)^2},$$ जो भागफल नियम का सामान्य सूत्र है।

व्युत्क्रम कार्यों के डेरिवेटिव्स
मान लो कि $y = g(x)$ एक उलटा कार्य है। इसके प्रतिलोम फलन को कॉल करें $f$ ताकि हमारे पास हो $x = f(y)$. के व्युत्पन्न के लिए एक सूत्र है $f$ के व्युत्पन्न के संदर्भ में $g$. इसे देखने के लिए ध्यान दें कि $f$ तथा $g$ सूत्र को संतुष्ट करें


 * $$f(g(x)) = x.$$

और क्योंकि कार्य $$f(g(x))$$ तथा $x$ समान हैं, उनके डेरिवेटिव समान होने चाहिए। का व्युत्पन्न $x$ मान 1 के साथ स्थिर फलन है, और का व्युत्पन्न है $$f(g(x))$$ श्रृंखला नियम द्वारा निर्धारित किया जाता है। इसलिए, हमारे पास यह है:


 * $$f'(g(x)) g'(x) = 1.$$

ज़ाहिर करना $f'$ एक स्वतंत्र चर के एक समारोह के रूप में $y$, हम स्थानापन्न करते हैं $$f(y)$$ के लिये $x$ जहाँ भी दिखाई दे। तब हम के लिए हल कर सकते हैं $f'$.


 * $$\begin{align}

f'(g(f(y))) g'(f(y)) &= 1 \\[5pt] f'(y) g'(f(y)) &= 1 \\[5pt] f'(y) = \frac{1}{g'(f(y))}. \end{align}$$ उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन पर विचार करें $g(x) = e^{x}$. इसका उलटा है $f(y) = ln y$. इसलिये $g′(x) = e^{x}$उपरोक्त सूत्र यह कहता है
 * $$\frac{d}{dy}\ln y = \frac{1}{e^{\ln y}} = \frac{1}{y}.$$

यह सूत्र सत्य है जब भी $g$ अवकलनीय है और इसका विलोम है $f$ विभेदनीय भी है। यह सूत्र तब विफल हो सकता है जब इनमें से कोई एक स्थिति सत्य न हो। उदाहरण के लिए विचार करें $g(x) = x^{3}$. इसका उलटा है $f(y) = y^{1/3}$, जो शून्य पर अवकलनीय नहीं है। यदि हम व्युत्पन्न की गणना करने के लिए उपरोक्त सूत्र का उपयोग करने का प्रयास करते हैं $f$ शून्य पर, तो हमें मूल्यांकन करना चाहिए $1/g′(f(0))$. तब से $f(0) = 0$ तथा $g′(0) = 0$, हमें 1/0 का मूल्यांकन करना चाहिए, जो अपरिभाषित है। इसलिए, इस मामले में सूत्र विफल रहता है। यह आश्चर्य की बात नहीं है क्योंकि $f$ शून्य पर अवकलनीय नहीं है।

उच्च डेरिवेटिव
फा डी ब्रूनो का सूत्र श्रृंखला नियम को उच्च डेरिवेटिव के लिए सामान्यीकृत करता है। ऐसा मानते हुए $y = f(u)$ तथा $u = g(x)$, तो पहले कुछ डेरिवेटिव हैं:



\begin{align} \frac{dy}{dx} & = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} \\[4pt] \frac{d^2 y }{d x^2} & = \frac{d^2 y}{d u^2} \left(\frac{du}{dx}\right)^2 + \frac{dy}{du} \frac{d^2 u}{dx^2} \\[4pt] \frac{d^3 y }{d x^3} & = \frac{d^3 y}{d u^3} \left(\frac{du}{dx}\right)^3 + 3 \, \frac{d^2 y}{d u^2} \frac{du}{dx} \frac{d^2 u}{d x^2} + \frac{dy}{du} \frac{d^3 u}{d x^3} \\[4pt] \frac{d^4 y}{d x^4} & =\frac{d^4 y}{du^4} \left(\frac{du}{dx}\right)^4 + 6 \, \frac{d^3 y}{d u^3} \left(\frac{du}{dx}\right)^2 \frac{d^2 u}{d x^2} + \frac{d^2 y}{d u^2} \left( 4 \, \frac{du}{dx} \frac{d^3 u}{dx^3}   + 3 \, \left(\frac{d^2 u}{dx^2}\right)^2\right) + \frac{dy}{du} \frac{d^4 u}{dx^4}. \end{align} $$

पहला प्रमाण
श्रृंखला नियम का एक प्रमाण समग्र कार्य के व्युत्पन्न को परिभाषित करने से शुरू होता है $f ∘ g$, जहां हम अंतर भागफल  के एक फलन की सीमा लेते हैं $f ∘ g$ जैसा $x$ दृष्टिकोण $a$:
 * $$(f \circ g)'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(g(x)) - f(g(a))}{x - a}.$$

फिलहाल मान लें कि $$g(x)\!$$ बराबर नही हैं $$g(a)$$ किसी के लिए $x$ पास $a$. फिर पिछली अभिव्यक्ति दो कारकों के उत्पाद के बराबर है:


 * $$\lim_{x \to a} \frac{f(g(x)) - f(g(a))}{g(x) - g(a)} \cdot \frac{g(x) - g(a)}{x - a}.$$

यदि $$g$$ निकट दोलन करता है $a$, तो हो सकता है कि कोई कितना भी करीब क्यों न आ जाए $a$, हमेशा एक और भी करीब होता है $x$ ऐसा है कि $g(x) = g(a)$. उदाहरण के लिए, यह निकट होता है $a = 0$ निरंतर कार्य  के लिए $g$ द्वारा परिभाषित $g(x) = 0$ के लिये $x = 0$ तथा $g(x) = x^{2} sin(1/x)$ अन्यथा। जब भी ऐसा होता है, उपरोक्त व्यंजक अपरिभाषित होता है क्योंकि इसमें शून्य से भाग करना शामिल होता है। इसे हल करने के लिए, एक फ़ंक्शन पेश करें $$Q$$ निम्नलिखित नुसार:


 * $$Q(y) = \begin{cases}

\displaystyle\frac{f(y) - f(g(a))}{y - g(a)}, & y \neq g(a), \\ f'(g(a)), & y = g(a). \end{cases}$$ हम दिखाएंगे कि अंतर भागफल के लिए $f ∘ g$ हमेशा के बराबर होता है:
 * $$Q(g(x)) \cdot \frac{g(x) - g(a)}{x - a}.$$

जब भी $g(x)$ के बराबर नहीं है $g(a)$, यह स्पष्ट है क्योंकि के कारक $g(x) − g(a)$ रद्द करना। कब $g(x)$ बराबरी $g(a)$, तो अंतर भागफल के लिए $f ∘ g$ शून्य है क्योंकि $f(g(x))$ बराबरी $f(g(a))$, और उपरोक्त उत्पाद शून्य है क्योंकि यह बराबर है $f′(g(a))$ बार शून्य। तो उपरोक्त उत्पाद हमेशा अंतर भागफल के बराबर होता है, और यह दिखाने के लिए कि का व्युत्पन्न $f ∘ g$ पर $a$ मौजूद है और इसके मूल्य को निर्धारित करने के लिए, हमें केवल यह दिखाना होगा कि सीमा के रूप में $x$ जाता है $a$ उपरोक्त उत्पाद मौजूद हैं और इसका मूल्य निर्धारित करते हैं।

ऐसा करने के लिए, याद रखें कि किसी उत्पाद की सीमा मौजूद है यदि उसके कारकों की सीमाएं मौजूद हैं। जब ऐसा होता है, तो इन दो कारकों के उत्पाद की सीमा कारकों की सीमाओं के उत्पाद के बराबर होगी। दो कारक हैं $Q(g(x))$ तथा $(g(x) − g(a)) / (x − a)$. उत्तरार्द्ध के लिए अंतर भागफल है $g$ पर $a$, और क्योंकि $g$ पर भिन्न है $a$ धारणा से, इसकी सीमा के रूप में $x$ आदत है $a$ मौजूद है और बराबर है $g′(a)$.

से संबंधित $Q(g(x))$, नोटिस जो $Q$ कहीं भी परिभाषित किया गया है$f$है। आगे,$f$पर भिन्न है $g(a)$ धारणा से, इसलिए $Q$ निरंतर है $g(a)$, व्युत्पन्न की परिभाषा के द्वारा। कार्यक्रम $g$ निरंतर है $a$ क्योंकि यह पर अवकलनीय है $a$, और इसीलिए $Q ∘ g$ निरंतर है $a$. तो इसकी सीमा के रूप में$x$जाता है$a$मौजूद है और बराबर है $Q(g(a))$, जो है $f′(g(a))$.

इससे पता चलता है कि दोनों कारकों की सीमाएं मौजूद हैं और वे बराबर हैं $f′(g(a))$ तथा $g′(a)$, क्रमश। इसलिए, का व्युत्पन्न $f ∘ g$ a पर मौजूद है और बराबर है $f′(g(a))$$g′(a)$.

दूसरा प्रमाण
श्रृंखला नियम को सिद्ध करने का एक अन्य तरीका व्युत्पन्न द्वारा निर्धारित रैखिक सन्निकटन में त्रुटि को मापना है। इस प्रमाण का यह लाभ है कि यह कई चरों का सामान्यीकरण करता है। यह एक बिंदु पर अवकलनीयता की निम्नलिखित समतुल्य परिभाषा पर निर्भर करता है: एक फ़ंक्शन g एक पर अवकलनीय है यदि वास्तविक संख्या g′(a) मौजूद है और एक फ़ंक्शन ε(h) जो शून्य की ओर जाता है क्योंकि h शून्य की ओर जाता है, और इसके अलावा
 * $$g(a + h) - g(a) = g'(a) h + \varepsilon(h) h.$$

यहाँ बाईं ओर a और at पर g के मान के बीच सही अंतर का प्रतिनिधित्व करता है $a + h$, जबकि दाहिनी ओर डेरिवेटिव और एक त्रुटि शब्द द्वारा निर्धारित सन्निकटन का प्रतिनिधित्व करता है।

श्रृंखला नियम की स्थिति में, ऐसा फलन ε अस्तित्व में है क्योंकि g को a पर अवकलनीय माना जाता है। पुन: पूर्वधारणा के अनुसार, g(a) पर f के लिए एक समान फलन भी विद्यमान होता है। इस फ़ंक्शन को कॉल करने पर, हमारे पास है
 * $$f(g(a) + k) - f(g(a)) = f'(g(a)) k + \eta(k) k.$$

उपरोक्त परिभाषा η (0) पर कोई बाधा नहीं डालती है, भले ही यह माना जाता है कि η (के) शून्य हो जाता है क्योंकि के शून्य हो जाता है। अगर हम सेट करते हैं $η(0) = 0$, तो η 0 पर सतत है।

प्रमेय को साबित करने के लिए अंतर का अध्ययन करना आवश्यक है $f(g(a + h)) − f(g(a))$ जैसे h शून्य हो जाता है। स्थानापन्न करने के लिए पहला कदम है $g(a + h)$ a पर g की अवकलनीयता की परिभाषा का उपयोग करते हुए:
 * $$f(g(a + h)) - f(g(a)) = f(g(a) + g'(a) h + \varepsilon(h) h) - f(g(a)).$$

अगला चरण g(a) पर f की अवकलनीयता की परिभाषा का उपयोग करना है। इसके लिए फॉर्म की अवधि की आवश्यकता है $f(g(a) + k)$ कुछ कश्मीर के लिए उपरोक्त समीकरण में, सही k h के साथ बदलता रहता है। समूह $k_{h} = g′(a) h + ε(h) h$ और दाहिनी ओर बन जाता है $f(g(a) + k_{h}) − f(g(a))$. व्युत्पन्न की परिभाषा को लागू करना:
 * $$f(g(a) + k_h) - f(g(a)) = f'(g(a)) k_h + \eta(k_h) k_h.$$

इस व्यंजक के व्यवहार का अध्ययन करने के लिए जब h शून्य की ओर जाता है, k का विस्तार करेंh. शर्तों को पुनर्समूहित करने के बाद, दाहिनी ओर बन जाता है:
 * $$f'(g(a)) g'(a)h + [f'(g(a)) \varepsilon(h) + \eta(k_h) g'(a) + \eta(k_h) \varepsilon(h)] h.$$

क्योंकि (h) और η(k .)h) शून्य की ओर जाता है क्योंकि h शून्य की ओर जाता है, पहले दो ब्रैकेटेड शब्द शून्य की ओर जाते हैं जैसे h शून्य की ओर जाता है। सीमाओं के गुणनफल पर उसी प्रमेय को लागू करने पर जैसा कि पहले प्रमाण में है, तीसरे कोष्ठक वाले पद में भी शून्य की प्रवृत्ति होती है। क्योंकि उपरोक्त अभिव्यक्ति अंतर के बराबर है $f(g(a + h)) − f(g(a))$, व्युत्पन्न की परिभाषा के द्वारा $f ∘ g$ पर अवकलनीय है और इसका व्युत्पन्न है $f′(g(a)) g′(a).$ पहले प्रमाण में Q की भूमिका इस प्रमाण में द्वारा निभाई जाती है। वे समीकरण से संबंधित हैं:
 * $$Q(y) = f'(g(a)) + \eta(y - g(a)). $$

जी (ए) पर क्यू को परिभाषित करने की आवश्यकता शून्य पर η को परिभाषित करने की आवश्यकता के अनुरूप है।

तीसरा प्रमाण
कॉन्स्टेंटिन कैराथोडोरी की एक फ़ंक्शन की भिन्नता की वैकल्पिक परिभाषा का उपयोग श्रृंखला नियम का एक सुंदर प्रमाण देने के लिए किया जा सकता है। इस परिभाषा के तहत, एक समारोह $f$ एक बिंदु पर अवकलनीय है $a$ अगर और केवल अगर कोई फ़ंक्शन है $q$, पर निरंतर $a$ और ऐसा है $f(x) − f(a) = q(x)(x − a)$. ऐसा अधिकतम एक कार्य है, और यदि $f$ पर भिन्न है $a$ फिर $f ′(a) = q(a)$. श्रृंखला नियम की मान्यताओं और इस तथ्य को देखते हुए कि अवकलनीय कार्य और निरंतर कार्यों की संरचना निरंतर है, हमारे पास यह है कि कार्य मौजूद हैं $q$, पर निरंतर $g(a)$, तथा $r$, पर निरंतर $a$, और ऐसा कि,
 * $$f(g(x))-f(g(a))=q(g(x))(g(x)-g(a))$$

तथा
 * $$g(x)-g(a)=r(x)(x-a).$$

इसलिए,
 * $$f(g(x))-f(g(a))=q(g(x))r(x)(x-a),$$

लेकिन द्वारा दिया गया कार्य $h(x) = q(g(x))r(x)$ निरंतर है $a$, और हम प्राप्त करते हैं, इसके लिए $a$
 * $$(f(g(a)))'=q(g(a))r(a)=f'(g(a))g'(a).$$

एक समान दृष्टिकोण कई चरों के निरंतर भिन्न (वेक्टर-) कार्यों के लिए काम करता है। फैक्टरिंग की यह विधि भिन्नता के मजबूत रूपों के लिए एक एकीकृत दृष्टिकोण की भी अनुमति देती है, जब व्युत्पन्न लिप्सचिट्ज़ निरंतरता, होल्डर स्थिति|होल्डर निरंतर, आदि होना आवश्यक है। भेदभाव को स्वयं बहुपद शेष प्रमेय  के रूप में देखा जा सकता है (छोटा एटिएन बेज़ाउट|बेज़ाउट प्रमेय, या कारक प्रमेय), कार्यों के उपयुक्त वर्ग के लिए सामान्यीकृत।

अत्यल्प मात्राओं के माध्यम से प्रमाण
यदि $$y=f(x)$$ तथा $$x=g(t)$$ फिर अनंत को चुनना $$\Delta t\not=0$$ हम इसी की गणना करते हैं $$\Delta x=g(t+\Delta t)-g(t)$$ और फिर संबंधित $$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$$, ताकि
 * $$\frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{\Delta y}{\Delta x} \frac{\Delta x}{\Delta t}$$

और हमारे द्वारा प्राप्त मानक भाग  को लागू करना
 * $$\frac{d y}{d t}=\frac{d y}{d x} \frac{dx}{dt}$$

जो चेन नियम है।

बहुविकल्पीय मामला
बहु-चर कार्यों के लिए श्रृंखला नियम का सामान्यीकरण बल्कि तकनीकी है। हालांकि, फॉर्म के कार्यों के मामले में लिखना आसान है
 * $$f(g_1(x), \dots, g_k(x)).$$

चूंकि यह मामला अक्सर एक चर के कार्यों के अध्ययन में होता है, इसलिए इसे अलग से वर्णन करना उचित है।

का मामला $f(g1(x), ..., gk(x))$
फॉर्म के फंक्शन के लिए चेन रूल लिखने के लिए

के आंशिक डेरिवेटिव की जरूरत है $f$ इसके संबंध में $k$ तर्क। आंशिक डेरिवेटिव के लिए सामान्य अंकन में फ़ंक्शन के तर्कों के लिए नाम शामिल होते हैं। चूंकि उपरोक्त सूत्र में इन तर्कों का नाम नहीं दिया गया है, इसलिए इसे निरूपित करना सरल और स्पष्ट है
 * $$D_i f$$ का आंशिक व्युत्पन्न $f$ इसके संबंध में $i$वें तर्क, और द्वारा
 * $$D_i f(z)$$

इस व्युत्पन्न का मूल्य पर $z$.

इस अंकन के साथ, श्रृंखला नियम है


 * $$\frac{d}{dx}f(g_1(x), \dots, g_k (x))=\sum_{i=1}^k \left(\frac{d}{dx}{g_i}(x)\right) D_i f(g_1(x), \dots, g_k (x)).$$

उदाहरण: अंकगणितीय संक्रियाएँ
यदि समारोह $f$ अतिरिक्त है, अर्थात्, यदि
 * $$f(u,v)=u+v,$$

फिर $D_1 f = \frac{\partial f}{\partial u} = 1$ तथा $D_2 f = \frac{\partial f}{\partial v} = 1$. इस प्रकार, श्रृंखला नियम देता है
 * $$\frac{d}{dx}(g(x)+h(x)) = \left( \frac{d}{dx}g(x) \right) D_1 f+\left( \frac{d}{dx}h(x)\right) D_2 f=\frac{d}{dx}g(x) +\frac{d}{dx}h(x).$$

गुणन के लिए
 * $$f(u,v)=uv,$$

आंशिक हैं $$D_1 f = v$$ तथा $$D_2 f = u$$. इस प्रकार,
 * $$\frac{d}{dx}(g(x)h(x)) = h(x) \frac{d}{dx} g(x) + g(x) \frac{d}{dx} h(x).$$

घातांक का मामला
 * $$f(u,v)=u^v$$

थोड़ा और जटिल है, जैसे
 * $$D_1 f = vu^{v-1},$$

और जैसे $$u^v=e^{v\ln u},$$
 * $$D_2 f = u^v\ln u.$$

यह इस प्रकार है कि
 * $$\frac{d}{dx}\left(g(x)^{h(x)}\right) = h(x)g(x)^{h(x)-1} \frac{d}{dx}g(x) + g(x)^{h(x)} \ln g(x) \frac{d}{dx}h(x).$$

सामान्य नियम
सामान्य स्थिति में श्रृंखला नियम लिखने का सबसे सरल तरीका कुल व्युत्पन्न # कुल व्युत्पन्न का उपयोग एक रैखिक मानचित्र के रूप में करना है, जो एक रैखिक परिवर्तन है जो सभी दिशात्मक डेरिवेटिव को एक सूत्र में कैप्चर करता है। अलग-अलग कार्यों पर विचार करें $f(g1(x), ..., gk(x))$ तथा $f : R^{m} → R^{k}$, और एक बिंदु $g : R^{n} → R^{m}$ में $a$. होने देना $R^{n}$ के कुल व्युत्पन्न को निरूपित करें $D_{a} g$ पर $g$ तथा $a$ के कुल व्युत्पन्न को निरूपित करें $D_{g(a)} f$ पर $f$. ये दो व्युत्पन्न रैखिक परिवर्तन हैं $g(a)$ तथा $R^{n} → R^{m}$, क्रमशः, इसलिए उनकी रचना की जा सकती है। कुल डेरिवेटिव के लिए श्रृंखला नियम यह है कि उनका सम्मिश्र का कुल डेरिवेटिव है $R^{m} → R^{k}$ पर $f ∘ g$:
 * $$D_{\mathbf{a}}(f \circ g) = D_{g(\mathbf{a})}f \circ D_{\mathbf{a}}g,$$

या संक्षेप में,
 * $$D(f \circ g) = Df \circ Dg.$$

ऊपर दिए गए दूसरे प्रमाण के समान तकनीक का उपयोग करके उच्च-आयामी श्रृंखला नियम को सिद्ध किया जा सकता है।

चूंकि कुल व्युत्पन्न एक रैखिक परिवर्तन है, सूत्र में प्रदर्शित होने वाले कार्यों को मैट्रिक्स के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। कुल व्युत्पन्न के अनुरूप मैट्रिक्स को जैकबियन मैट्रिक्स  कहा जाता है, और दो डेरिवेटिव का संयोजन उनके जैकोबियन मैट्रिक्स के उत्पाद से मेल खाता है। इस दृष्टिकोण से श्रृंखला नियम इसलिए कहता है:
 * $$J_{f \circ g}(\mathbf{a}) = J_{f}(g(\mathbf{a})) J_{g}(\mathbf{a}),$$

या संक्षेप में,
 * $$J_{f \circ g} = (J_f \circ g)J_g.$$

अर्थात्, संयुक्त फलन का जैकोबियन, रचित कार्यों के जैकोबियन का गुणनफल होता है (उपयुक्त बिंदुओं पर मूल्यांकन किया जाता है)।

उच्च-आयामी श्रृंखला नियम एक-आयामी श्रृंखला नियम का सामान्यीकरण है। यदि k, m, और n 1 हैं, तो $a$ तथा $f : R → R$, फिर f और g के जैकोबियन मैट्रिसेस हैं $g : R → R$. विशेष रूप से, वे हैं:
 * $$\begin{align}

J_g(a) &= \begin{pmatrix} g'(a) \end{pmatrix}, \\ J_{f}(g(a)) &= \begin{pmatrix} f'(g(a)) \end{pmatrix}. \end{align}$$ f g का जैकबियन इन का गुणनफल है $1 × 1$ मैट्रिक्स, तो यह है $1 × 1$, जैसा कि एक आयामी श्रृंखला नियम से अपेक्षित है। रैखिक परिवर्तनों की भाषा में, डीa(g) वह फलन है जो सदिश को g′(a) और D. के गुणनखंड से मापता हैg(a)(एफ) वह कार्य है जो एफ' (जी (ए)) के कारक द्वारा वेक्टर को स्केल करता है। श्रृंखला नियम कहता है कि इन दो रैखिक परिवर्तनों का सम्मिश्रण रैखिक परिवर्तन है $f′(g(a))⋅g′(a)$, और इसलिए यह फ़ंक्शन है जो वेक्टर को f′(g(a))⋅g′(a) द्वारा स्केल करता है।

श्रृंखला नियम लिखने का एक अन्य तरीका तब उपयोग किया जाता है जब f और g को उनके घटकों के रूप में व्यक्त किया जाता है $D_{a}(f ∘ g)$ तथा $y = f(u) = (f_{1}(u), …, f_{k}(u))$. इस मामले में, जैकोबियन मैट्रिसेस के लिए उपरोक्त नियम आमतौर पर इस प्रकार लिखा जाता है:
 * $$\frac{\partial(y_1, \ldots, y_k)}{\partial(x_1, \ldots, x_n)} = \frac{\partial(y_1, \ldots, y_k)}{\partial(u_1, \ldots, u_m)} \frac{\partial(u_1, \ldots, u_m)}{\partial(x_1, \ldots, x_n)}.$$

कुल डेरिवेटिव के लिए चेन नियम आंशिक डेरिवेटिव के लिए चेन नियम का तात्पर्य है। याद रखें कि जब कुल व्युत्पन्न मौजूद होता है, तो iवें समन्वय दिशा में आंशिक व्युत्पन्न जैकबियन मैट्रिक्स को iवें आधार वेक्टर से गुणा करके पाया जाता है। उपरोक्त सूत्र के साथ ऐसा करने पर, हम पाते हैं:
 * $$\frac{\partial(y_1, \ldots, y_k)}{\partial x_i} = \frac{\partial(y_1, \ldots, y_k)}{\partial(u_1, \ldots, u_m)} \frac{\partial(u_1, \ldots, u_m)}{\partial x_i}.$$

चूँकि जेकोबियन मैट्रिक्स की प्रविष्टियाँ आंशिक डेरिवेटिव हैं, हम प्राप्त करने के लिए उपरोक्त सूत्र को सरल बना सकते हैं:
 * $$\frac{\partial(y_1, \ldots, y_k)}{\partial x_i} = \sum_{\ell = 1}^m \frac{\partial(y_1, \ldots, y_k)}{\partial u_\ell} \frac{\partial u_\ell}{\partial x_i}.$$

अधिक अवधारणात्मक रूप से, यह नियम इस तथ्य को व्यक्त करता है कि x. में परिवर्तनi दिशा बदल सकती है सभी जी1 जी के माध्यम सेm, और इनमें से कोई भी परिवर्तन f को प्रभावित कर सकता है।

विशेष मामले में जहां $u = g(x) = (g_{1}(x), …, g_{m}(x))$, ताकि f एक वास्तविक-मूल्यवान कार्य हो, तो यह सूत्र और भी सरल हो जाता है:
 * $$\frac{\partial y}{\partial x_i} = \sum_{\ell = 1}^m \frac{\partial y}{\partial u_\ell} \frac{\partial u_\ell}{\partial x_i}.$$

इसे डॉट उत्पाद  के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। याद है कि $k = 1$, आंशिक व्युत्पन्न $u = (g_{1}, …, g_{m})$ एक सदिश भी है, और श्रृंखला नियम कहता है कि:
 * $$\frac{\partial y}{\partial x_i} = \nabla y \cdot \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial x_i}.$$

उदाहरण
दिया गया $∂u / ∂x_{i}$ कहाँ पे $u(x, y) = x^{2} + 2y$ तथा $x(r, t) = r sin(t)$, का मान निर्धारित करें $y(r,t) = sin^{2}(t)$ तथा $∂u / ∂r$ श्रृंखला नियम का उपयोग करना।
 * $$\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial r} = (2x)(\sin(t)) + (2)(0) = 2r \sin^2(t),$$

तथा
 * $$\begin{align}\frac{\partial u}{\partial t}

&= \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t} \\ &= (2x)(r\cos(t)) + (2)(2\sin(t)\cos(t)) \\ &= (2r\sin(t))(r\cos(t)) + 4\sin(t)\cos(t) \\ &= 2(r^2 + 2) \sin(t)\cos(t) \\ &= (r^2 + 2) \sin(2t).\end{align}$$

बहुपरिवर्तनीय कार्यों के उच्च डेरिवेटिव
एकल-चर कार्यों के उच्च-क्रम डेरिवेटिव के लिए Faà di Bruno का सूत्र बहु-परिवर्तनीय मामले को सामान्यीकृत करता है। यदि $∂u / ∂t$ का एक कार्य है $y = f(u)$ ऊपर के रूप में, फिर का दूसरा व्युत्पन्न $u = g(x)$ है:
 * $$\frac{\partial^2 y}{\partial x_i \partial x_j} = \sum_k \left(\frac{\partial y}{\partial u_k}\frac{\partial^2 u_k}{\partial x_i \partial x_j}\right) + \sum_{k, \ell} \left(\frac{\partial^2 y}{\partial u_k \partial u_\ell}\frac{\partial u_k}{\partial x_i}\frac{\partial u_\ell}{\partial x_j}\right).$$

आगे सामान्यीकरण
कलन के सभी विस्तारों में एक श्रृंखला नियम होता है। इनमें से अधिकांश में, सूत्र वही रहता है, हालाँकि उस सूत्र का अर्थ बहुत भिन्न हो सकता है।

एक सामान्यीकरण कई गुना है। इस स्थिति में, श्रृंखला नियम इस तथ्य का प्रतिनिधित्व करता है कि का व्युत्पन्न $f ∘ g$ f के व्युत्पन्न और g के व्युत्पन्न का सम्मिश्र है। यह प्रमेय ऊपर दिए गए उच्च आयामी श्रृंखला नियम का एक तात्कालिक परिणाम है, और इसका बिल्कुल वही सूत्र है।

बानाच रिक्त स्थान में फ्रेचेट डेरिवेटिव के लिए श्रृंखला नियम भी मान्य है। वही फार्मूला पहले जैसा है। यह मामला और पिछला मामला बनच के कई गुना एक साथ सामान्यीकरण को स्वीकार करता है।

विभेदक बीजगणित में, व्युत्पन्न की व्याख्या काहलर अवकलन के मॉड्यूल के आकारिकी के रूप में की जाती है। विनिमेय वलयों का एक वलय समरूपता $f ∘ g$ काहलर विभेदकों के आकारिकी को निर्धारित करता है $f : R → S$ जो डी (एफ (आर)) को एक तत्व डॉ भेजता है, एफ (आर) के बाहरी अंतर। सूत्र $Df : Ω_{R} → Ω_{S}$ इस संदर्भ में भी रखता है।

इन उदाहरणों की सामान्य विशेषता यह है कि वे इस विचार की अभिव्यक्ति हैं कि व्युत्पन्न एक फ़ैक्टर का हिस्सा है। एक फ़ैक्टर रिक्त स्थान पर एक ऑपरेशन है और उनके बीच कार्य करता है। यह प्रत्येक स्थान को एक नई जगह से जोड़ता है और प्रत्येक फ़ंक्शन को दो रिक्त स्थान के बीच संबंधित नई जगहों के बीच एक नया फ़ंक्शन जोड़ता है। उपरोक्त प्रत्येक मामले में, ऑपरेटर प्रत्येक स्थान को उसके स्पर्शरेखा बंडल में भेजता है और यह प्रत्येक फ़ंक्शन को उसके डेरिवेटिव में भेजता है। उदाहरण के लिए, कई गुना मामले में, व्युत्पन्न सी भेजता हैr-C से कई गुनाr−1-कई गुना (इसकी स्पर्शरेखा बंडल) और एक सीr-इसके कुल डेरिवेटिव के लिए कार्य करता है। इसके लिए एक फ़ंक्टर होने की एक आवश्यकता है, अर्थात् एक सम्मिश्र का व्युत्पन्न डेरिवेटिव का सम्मिश्र होना चाहिए। ठीक यही सूत्र है $D(f ∘ g) = Df ∘ Dg$.

स्टोकेस्टिक कलन में चेन रूल्स भी होते हैं। इनमें से एक, इटो लेम्मा, एक इटो प्रक्रिया (या अधिक आम तौर पर एक सेमीमार्टिंगलेस) डीएक्स के सम्मिश्रण को व्यक्त करता हैt दो बार अवकलनीय फलन के साथ f. Itō's lemma में, समग्र फलन का अवकलज न केवल dX. पर निर्भर करता हैt और f का व्युत्पन्न लेकिन f के दूसरे व्युत्पन्न पर भी। दूसरे व्युत्पन्न पर निर्भरता स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के गैर-शून्य द्विघात भिन्नता का परिणाम है, जिसका मोटे तौर पर मतलब है कि प्रक्रिया बहुत मोटे तरीके से ऊपर और नीचे जा सकती है। श्रृंखला नियम का यह प्रकार एक फ़ैक्टर का उदाहरण नहीं है क्योंकि दो कार्यों की रचना अलग-अलग प्रकार की होती है।

यह भी देखें

 * - एक कम्प्यूटेशनल विधि जो सटीक संख्यात्मक डेरिवेटिव की गणना करने के लिए श्रृंखला नियम का भारी उपयोग करती है।