लाई अधि-बीजगणित

गणित में, लाई सुपरबीजगणित Z2श्रेणीबद्ध बीजगणित को शामिल करने के लिए लाई बीजगणित का सामान्यीकरण है। सैद्धांतिक भौतिकी में सुपरएलजेब्रा महत्वपूर्ण हैं जहां उनका उपयोग अतिसममिति के गणित का वर्णन करने के लिए किया जाता है। इनमें से अधिकांश सिद्धांतों में, सुपरबीजगणित के सम तत्व बोसॉन के अनुरूप होते हैं और विषम तत्व फरमिओन्स के अनुरूप होते हैं (किन्तु यह सदैव सत्य नहीं होता है; उदाहरण के लिए, सर्वोत्तम सुपरसममेट्री इसकी दूसरी विधि है)।

परिभाषा
औपचारिक रूप से, लाई सुपरबीजगणित गैर-सहयोगी Z2-श्रेणीबद्ध बीजगणित, या सुपरबीजगणित है, जो एक क्रमविनिमेय वलय (सामान्यतः 'आर' या 'सी') पर होता है, जिसका उत्पाद [···], जिसे 'लाइ सुपरब्रैकेट'  या सुपरकम्यूटेटर कहा जाता है,दो स्थितियों (सामान्य के अनुरूप) को संतुष्ट करता है श्रेणीकरण के साथ बीजगणित स्वयंसिद्ध लाई):

सुपर तिरछा-समरूपता:


 * $$[x,y]=-(-1)^{|x| |y|}[y,x].\ $$

सुपर जैकोबी पहचान:
 * $$(-1)^{|x||z|}[x, [y, z]] + (-1)^{|y||x|}[y, [z, x]] + (-1)^{|z||y|}[z, [x, y]] = 0, $$

जहां 'Z'2-श्रेणीकरण में x, y, और z शुद्ध हैं। जहाँ, |x| x की डिग्री को दर्शाता है (या तो 0 या 1)। [x,y] की डिग्री x और y मॉड्यूलो 2 की डिग्री का योग है।

कोई कभी-कभी |x|= 0  के लिए स्वयंसिद्ध $$[x,x]=0$$ भी जोड़ता है (यदि 2 विपरीत है तो यह स्वचालित रूप से अनुसरण करता है) और |x|= 1 के लिए  $$[[x,x],x]=0$$  (यदि 3 विपरीत है तो यह स्वचालित रूप से अनुसरण करता है)। जब  क्षेत्र वलय पूर्णांक होती है या लाई सुपरएल्जेब्रा स्वतंत्र मॉड्यूल होता है, तो ये स्थितियाँ उस स्थिति के समान होती हैं जो पोंकारे-बिरखॉफ़-विट प्रमेय रखती हैं (और, सामान्य रूप पर, वे प्रमेय को धारण करने के लिए आवश्यक नियम हैं)।

इस प्रकार से लाई बीजगणित की ही तरह, लाई सुपरबीजगणित के सार्वभौमिक आवरण बीजगणित को हॉपफ बीजगणित संरचना दी जा सकती है।

एक श्रेणीबद्ध लाई बीजगणित (मान लीजिए, 'Z' या 'N' द्वारा वर्गीकृत) जो कि एंटीकम्यूटेटिव है और श्रेणीबद्ध अर्थ में जैकोबी $$Z_2$$ के पास भी है श्रेणीकरण (जिसे बीजगणित को विषम और सम भागों में "रोलिंग अप"  कहा जाता है), किन्तु इसे "सुपर" नहीं कहा जाता है। किन्तु विचार के लिए श्रेणीबद्ध लाई बीजगणित पर नोट-0 देखें।

गुण
मान लीजिये $$\mathfrak g = \mathfrak g_0 \oplus \mathfrak g_1$$ लाई सुपरबीजगणित बनें। जैकोबी पहचान का निरीक्षण करने पर, कोई यह देख सकता है कि आठ स्तिथि हैं जो इस तथ्य पर निर्भर करते हैं कि तर्क सम या विषम हैं । ये चार वर्गों में आते हैं, जिन्हें विषम तत्वों की संख्या के आधार पर अनुक्रमित किया जाता है:
 * 1) कोई विषम तत्व नहीं. कथन केवल इतना ही है कि  $$\mathfrak g_0$$ एक सामान्य लाई बीजगणित है.
 * 2) एक विषम तत्व. तब $$\mathfrak g_1$$क्रिया  $$\mathfrak g_0$$ के लिए $$\mathrm{ad}_a: b \rightarrow [a, b], \quad a \in \mathfrak g_0, \quad b, [a, b] \in \mathfrak g_1$$ मॉड्यूल है.
 * 3) दो विषम तत्व. जैकोबी पहचान कहती है  कि ब्रैकेट $$\mathfrak g_1 \otimes \mathfrak g_1 \rightarrow \mathfrak g_0$$ एक सममित $$\mathfrak g_1$$-मानचित्र है।
 * 4) तीन विषम तत्व. सभी के लिए $$b \in \mathfrak g_1$$, $$[b,[b,b]] = 0$$.

इस प्रकार एक लाई सुपरबीजगणित का सम उपबीजगणित $$\mathfrak g_0$$ एक (सामान्य) लाई बीजगणित बनाता है क्योंकि सभी चिह्न विलुप्त हो जाते हैं, और सुपरब्रैकेट एक सामान्य लाई ब्रैकेट बन जाता है, जबकि $$\mathfrak g_1$$, $$\mathfrak g_0$$ का एक रैखिक प्रतिनिधित्व है और एक सममित $$\mathfrak g_0$$-समतुल्य रेखीय मानचित्र $$\{\cdot,\cdot\}:\mathfrak g_1\otimes \mathfrak g_1\rightarrow \mathfrak g_0$$ उपस्तिथ है। वह,


 * $$[\left\{x, y\right\},z]+[\left\{y, z\right\},x]+[\left\{z, x\right\},y]=0, \quad x,y, z \in \mathfrak g_1.$$

स्थितियाँ (1)-(3) रैखिक हैं और सभी को सामान्य लाई बीजगणित के संदर्भ में समझा जा सकता है। नियम (4) अरैखिक है, और सामान्य लाई बीजगणित ($$\mathfrak g_0$$) और प्रतिनिधित्व ($$\mathfrak g_1$$) से प्रारंभ करके लाई सुपरबीजगणित का निर्माण करते समय इसे सत्यापित करना सबसे कठिन है।

आक्रमण
A∗ लाई सुपरएल्जेब्रा सम्मिश्र लाई सुपरएल्जेब्रा है जो अपने आप में इनवोल्यूशन (गणित) प्रतिरेखीय मानचित्र से सुसज्जित है जो Z2 श्रेणीकरण का सम्मान करता है और लाई सुपरबीजगणित में सभी x और y के लिए [x,y]* = [y*,x*] को संतुष्ट करता है। (कुछ लेखक सम्मेलन को पसंद करते हैं [x,y]*=(−1)undefined[y*,x*]; परिवर्तन * को −* दो सम्मेलनों के बीच स्विच करता है।) इसका सार्वभौमिक आवरण बीजगणित एक  साधारण *-बीजगणित होगा।

उदाहरण
इस प्रकार से किसी भी सहयोगी सुपरबीजगणित $$A$$ को देखते हुए कोई सजातीय तत्वों के सुपर कंप्यूटर को परिभाषित कर सकता है
 * $$[x,y] = xy - (-1)^{|x||y|}yx\ $$

और फिर सभी तत्वों तक रैखिकता द्वारा विस्तार करना। बीजगणित $$A$$ सुपरकम्यूटेटर के साथ मिलकर यह लाई सुपरबीजगणित बन जाता है। इस प्रक्रिया का सबसे सरल उदाहरण शायद तब है जब $$A$$ अपने आप में एक सुपर सदिश स्थान $$V$$ के सभी रैखिक कार्यों $$\mathbf {End}(V)$$ का स्थान है। जब $$V = \mathbb K^{p|q}$$ होता है तो इस स्थान को  $$M^{p|q}$$ या $$M(p|q)$$ द्वारा दर्शाया जाता है, ऊपर दिए गए लाई ब्रैकेट के साथ, स्थान को $$\mathfrak {gl}(p|q)$$ दर्शाया जाता है

होमोटॉपी समूहों पर व्हाइटहेड उत्पाद पूर्णांकों पर लाई सुपरएल्जेब्रा के कई उदाहरण देता है।

सुपर-पोंकारे बीजगणित फ्लैट सुपरस्पेस की आइसोमेट्री उत्पन्न करता है।

वर्गीकरण
सरल सम्मिश्र परिमित-आयामी लाई सुपरएलजेब्रा को विक्टर काक द्वारा वर्गीकृत किया गया था।

वे (लाई बीजगणित को छोड़कर) हैं:

विशेष रैखिक लाई सुपरबीजगणित $$\mathfrak{sl}(m|n)$$.

लाई सुपरबीजगणित $$\mathfrak{sl}(m|n)$$ का उपबीजगणित है $$\mathfrak{gl}(m|n)$$ सुपर ट्रेस शून्य के साथ मैट्रिक्स से मिलकर। यह सरल है जब $$m\not=n$$. अगर $$m=n$$, फिर पहचान मैट्रिक्स $$ I_{2m} $$एक आदर्श उत्पन्न करता है. इस आदर्श $$\mathfrak{sl}(m|m) / \langle I_{2m} \rangle$$ को उद्धृत करने से पता चलता है जो $$m \geq 2$$ के लिए सरल है.

ऑर्थोसिम्पलेक्टिक लाई सुपरबीजगणित $$\mathfrak{osp}(m|2n)$$.

एक सम, गैर-पतित, सुपरसिमेट्रिक बिलिनियर रूप $$\langle \cdot, \cdot \rangle$$ पर विचार करें $$\mathbb{C}^{m|2n}$$ पर. फिर ऑर्थोसिम्पलेक्टिक लाई सुपरएलजेब्रा $$\mathfrak{gl}(m|2n)$$ का उपबीजगणित है जो की ऐसे मैट्रिक्स से मिलकर जो इस रूप को अपरिवर्तनीय छोड़ देते हैं:$$\mathfrak{osp}(m|2n) = \{ X \in \mathfrak{gl}(m|2n) \mid \langle X u,v \rangle + (-1)^{|X||u|} \langle u, X v\rangle =0 \text{ for all } u,v \in \mathbb{C}^{m|2n} \}. $$ इसका सम भाग $$\mathfrak{so}(m) \oplus \mathfrak{sp}(2n)$$ द्वारा दिया गया है? .

असाधारण लाई सुपरबीजगणित $$D(2,1;\alpha)$$.

एक पैरामीटर के आधार पर (9∣8)-आयामी लाई सुपरएल्जेब्रा का परिवार है $$\alpha$$. ये की विकृतियाँ हैं $$D(2,1)=\mathfrak{osp}(4|2)$$. अगर $$\alpha\not=0$$ और $$\alpha\not=-1$$, तो D(2,1,α) सरल है। इसके अतिरिक्त $$D(2,1;\alpha) \cong D(2,1;\beta)$$ अगर $$\alpha$$ और $$\beta$$ मानचित्रों के अंतर्गत ही कक्षा के अंतर्गत हैं $$\alpha \mapsto \alpha^{-1}$$ और $$\alpha \mapsto -1-\alpha$$.

असाधारण लाई सुपरबीजगणित $$F(4)$$.

इसका आयाम (24|16) है। इसका सम भाग किसके द्वारा दिया गया है? $$\mathfrak{sl}(2) \oplus \mathfrak{so}(7)$$.

असाधारण लाई सुपरबीजगणित $$G(3)$$.

इसका आयाम (17|14) है। इसका सम भाग किसके द्वारा दिया गया है? $$\mathfrak{sl}(2) \oplus G_2$$.

वहाँ भी दो तथाकथित विषम श्रृंखला कहा जाता है $$\mathfrak{pe}(n)$$ और $$\mathfrak{q}(n)$$.

कार्टन प्रकार. इन्हें चार परिवारों में विभाजित किया जा सकता है: $$W(n)$$, $$S(n)$$, $$\widetilde{S}(2n)$$ और $$H(n)$$. कार्टन प्रकार के सरल लाई सुपरएलजेब्रा के लिए, सम भाग की क्रिया के तहत विषम भाग अब पूरी तरह से कम करने योग्य नहीं है।

अनंत-आयामी सरल रैखिक रूप से कॉम्पैक्ट लाई सुपरएल्जेब्रा का वर्गीकरण
वर्गीकरण में 10 श्रृंखलाएँ शामिल हैं W(m, n), S(m, n) ((m, n) ≠ (1, 1)), H(2m, n), K(2m + 1, n), HO(m, m) (m ≥ 2), SHO(m, ' 'एम) (एम ≥ 3), केओ(एम, एम + 1), एसकेओ(एम, एम + 1; β) (एम ≥ 2 ), SHO ∼ (2m, 2m), SKO ∼ (2m + 1, 2m'' + 3) और पांच असाधारण बीजगणित:


 * ई(1, 6), ई(5, 10), ई(4, 4), ई(3, 6), ई(3, 8)

अंतिम दो विशेष रूप से दिलचस्प हैं (Kac के अनुसार) क्योंकि उनके पास मानक मॉडल गेज समूह SU(3)×SU(2)×U(1) उनके शून्य स्तर बीजगणित के रूप में है। सुपरस्ट्रिंग सिद्धांत में अनंत-आयामी (एफ़िन) लाई सुपरबीजगणित महत्वपूर्ण समरूपताएं हैं। विशेष रूप से, विरासोरो बीजगणित के साथ $$\mathcal{N}$$ सुपरसिमेट्रीज़ हैं $$K(1, \mathcal{N})$$ जिनका केवल केंद्रीय विस्तार है $$\mathcal{N} = 4$$.

श्रेणी-सैद्धांतिक परिभाषा
श्रेणी सिद्धांत में, लाई सुपरबीजगणित को गैर-सहयोगी सुपरबीजगणित के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसका उत्पाद संतुष्ट करता है

जहां σ चक्रीय क्रमपरिवर्तन ब्रेडिंग है $$({\operatorname{id}} \otimes\tau_{A,A}) \circ (\tau_{A,A}\otimes {\operatorname{id}})$$. आरेखीय रूप में:
 * $$[\cdot,\cdot]\circ ({\operatorname{id}}+\tau_{A,A})=0$$
 * $$[\cdot,\cdot]\circ ([\cdot,\cdot]\otimes {\operatorname{id}} \circ({\operatorname{id}}+\sigma+\sigma^2)=0$$


 * Liealgebra.png

यह भी देखें

 * गेरस्टेनहाबर बीजगणित
 * एनीओनिक लाई बीजगणित
 * ग्रासमैन बीजगणित
 * एक लाई सुपरबीजगणित का प्रतिनिधित्व
 * सुपरस्पेस
 * सुपरग्रुप (भौतिकी)
 * सार्वभौमिक आवरण बीजगणित

बाहरी संबंध

 * Irving Kaplansky + Lie Superalgebras