फ़िल्टर बैंक

सिग्नल संसाधन में, फिल्टर बैंक (या फिल्टरबैंक) बैंडपास फिल्टर की एक सरणी है जो इनपुट सिग्नल को कई घटकों में अलग करता है और प्रत्येक मूल सिग्नल के एकल आवृत्ति उप-बैंड कोडिंग को सक्रिय किया जाता है। फ़िल्टर बैंक का अनुप्रयोग ग्राफिक तुल्यकारक होता है जो घटकों को अलग तरह से क्षीण कर सकता है और उन्हें मूल सिग्नल के संशोधित संस्करण में पुनः संयोजित कर सकता है। फ़िल्टर बैंक द्वारा की गई अपघटन की प्रक्रिया को विश्लेषण कहा जाता है (प्रत्येक उप-बैंड में इसके घटकों के संदर्भ में सिग्नल का विश्लेषण) विश्लेषण के आउटपुट को उप-बैंड सिग्नल के रूप में संदर्भित किया जाता है क्योंकि फ़िल्टर बैंक में फ़िल्टर के रूप में कई उप-बैंड होते हैं। जिसके कारण फ़िल्टरिंग प्रक्रिया से उत्पन्न पूर्ण सिग्नल के पुनर्निर्माण प्रक्रिया को संश्लेषण कहा जाता है।

डिजिटल सिग्नल प्रक्रिया में, फिल्टर बैंक शब्द सामान्यतः फिल्टर के विपरीत फिल्टर बैंक पर भी प्रयुक्त होता है। इसमे अंतर यह है कि प्राप्तकर्ता भी अधोपरिवर्तक को कम केंद्र आवृत्ति में परिवर्तित करते हैं जिसे कम दर पर फिर से पुनर्निर्माण किया जा सकता है। यही परिणाम कभी-कभी बैंडपास और उप-बैंड को परिवर्तित करके प्राप्त किया जा सकता है।

फ़िल्टर बैंकों का एक अन्य अनुप्रयोग सिग्नल संपीड़न है जब कुछ आवृत्तियाँ दूसरों की तुलना में अधिक महत्वपूर्ण होती हैं। अपघटन के बाद, महत्वपूर्ण आवृत्तियों को ठीक विश्लेषण के साथ कोडित किया जा सकता है। इन आवृत्तियों पर छोटे अंतर महत्वपूर्ण होते हैं और इन अंतरों को संरक्षित करने वाली कोडिंग सिद्धांत योजना का उपयोग किया जाना आवशयक है दूसरी ओर, कम महत्वपूर्ण आवृत्तियों का शुद्ध होना आवश्यक नहीं होता है। इसमे एक सामान्य कोडिंग योजना का उपयोग किया जा सकता है यदि अपेक्षाकृत कम आवृत्ति वाले सिग्नल (कम महत्वपूर्ण) विवरण कोडिंग में परिवर्तित हो जाते है।

वोकोडर एक न्यूनाधिक या मॉडूलेटर सिग्नल (जैसे कि ध्वनि) के उप-बैंडों की आयाम जानकारी निर्धारित करने के लिए फिल्टर बैंक का उपयोग करता है और एक वाहक सिग्नल के उप-बैंडों के आयाम को नियंत्रित करने के लिए उनका उपयोग करता है जैसे गिटार या संश्लेषक का आउटपुट, इस प्रकार वाहक पर न्यूनाधिक सिग्नल की गतिशील विशेषताओं को प्रयुक्त किया जाता है।

कुछ फिल्टर बैंक लगभग पूर्ण रूप से से समय डोमेन में कार्य करते हैं, सिग्नल को छोटे बैंड में विभाजित करने के लिए चतुर्भुज दर्पण फिल्टर या गोएर्टज़ेल एल्गोरिथम जैसी फिल्टर की एक श्रृंखला का उपयोग करते हैं। अन्य फ़िल्टर बैंक तीव्र फूरियर रूपांतरण (एफएफटी) का उपयोग करते हैं।

एफएफटी फ़िल्टर बैंक
इनपुट डेटा प्रवाह के ओवरलैपिंग (अधिव्यापी) खंड पर एफएफटी के अनुक्रम का प्रदर्शन करके उपयोगकर्ता का एक बैंक बनाया जा सकता है। फ़िल्टर की आवृत्ति प्रतिक्रियाओं के आकार को नियंत्रित करने के लिए प्रत्येक खंड पर एक भारांकन फ़ंक्शन या विंडो फ़ंक्शन प्रयुक्त किया जाता है। आकार जितना बड़ा होता है नाइक्विस्ट परीक्षण विश्लेषण मानदंडों को पूरा करने के लिए उतनी ही बार एफएफटी की आवश्यकता होती है। एक निश्चित खंड लंबाई के लिए, ओवरलैप की संख्या निर्धारित करती है कि एफएफटी कितनी बार किया जाता है। इसके अतिरिक्त, फ़िल्टर का आकार जितना व्यापक होगा, इनपुट बैंडविड्थ को बढ़ाने के लिए उतने ही कम फ़िल्टर की आवश्यकता होगी। प्रत्येक भारित खंड को छोटे ब्लॉकों के अनुक्रम के रूप में मानकर अनावश्यक फिल्टर (अर्थात आवृत्ति में कमी) को कुशलतापूर्वक नष्ट किया जाता है और एफएफटी केवल ब्लॉकों के योग पर किया जाता है। इसे डब्ल्यूओएलए और एफएफटी के रूप में संदर्भित किया गया है। (देखें )

एक विशेष स्थिति तब होती है जब एक विशेष डिज़ाइन द्वारा खंड की लंबाई एफएफटीएस के बीच के अंतराल का पूर्णांक गुणक होता है। एफएफटी फ़िल्टर बैंक को एक या एक से अधिक बहुप्रावस्थीय फ़िल्टर संरचनाओं के रूप में वर्णित किया जा सकता है जहाँ फेज़ों को एक साधारण योग के अतिरिक्त एफएफटी द्वारा पुनर्संयोजित किया जाता है। प्रति खंड ब्लॉकों की संख्या प्रत्येक फिल्टर की आवेग प्रतिक्रिया लंबाई है। एक सामान्य प्रयोजित प्रसंस्करण पर एफएफटी और बहु-फेज़ संरचनाओं की कम्प्यूटेशनल क्षमताएं समान होती हैं।

संश्लेषण (अर्थात एकाधिक उपयोगकर्ता के आउटपुट को दोबारा संबद्ध करना) मूल रूप से प्रत्येक सिग्नल को अपनी नई केंद्र आवृत्ति में अनुवादित करने और आवृत्ति की धाराओं को सारांशित करने के लिए कुल बैंडविड्थ के अनुरूप दर पर प्रतिचयन की स्थिति होती है। उस संदर्भ में, प्रतिचयन से संबद्ध अंतःक्षेप फिल्टर को संश्लेषण फिल्टर कहा जाता है। प्रत्येक चैनल की शुद्ध आवृत्ति प्रतिक्रिया फ़िल्टर बैंक (विश्लेषण फ़िल्टर) की आवृत्ति प्रतिक्रिया के साथ संश्लेषण फ़िल्टर का उत्पाद है। सामान्यतः तटस्थ चैनलों की आवृत्ति प्रतिक्रिया चैनल केंद्रों के बीच प्रत्येक आवृत्ति पर एक स्थिर मान के बराबर होती है। उस स्थिति को पूर्ण पुनर्निर्माण के रूप में जाना जाता है।

बैंकों का समय-आवृत्ति वितरण के रूप में फ़िल्टर
समय-आवृत्ति सिग्नल संसाधन में फ़िल्टर बैंक एक विशेष द्विघात समय-आवृत्ति वितरण (टीएफडी) है जो एक संयुक्त समय-आवृत्ति डोमेन में सिग्नल का प्रतिनिधित्व करता है। यह द्वि-आयामी फ़िल्टरिंग द्वारा 'विग्नर-विले वितरण' से संबंधित है जो द्विघात या द्विरेखीय समय-आवृत्ति वितरण की कक्ष को परिभाषित करता है। फ़िल्टर बैंक और स्पेक्ट्रम द्विघात टीएफडी बनाने के दो सबसे सरल तरीके हैं जो संक्षेप में समान होते हैं जैसे कि एक (स्पेक्ट्रोग्राम) समय डोमेन को विभिन्न खंडो में विभाजित करके और फिर एक फूरियर रूपांतरण प्राप्त किया जाता है, जबकि दूसरा (फ़िल्टर बैंक) बैंडपास फ़िल्टर बनाने वाले विभिन्न खंडो में आवृत्ति डोमेन को विभाजित करके प्राप्त किया जाता है जो विश्लेषण के अंतर्गत सिग्नल द्वारा संचालित होते हैं।

बहु-दर फ़िल्टर बैंक
बहु-दर फिल्टर बैंक एक सिग्नल को कई उप-बैंडों में विभाजित करता है जिसका आवृत्ति बैंड की बैंडविड्थ के अनुरूप विभिन्न दरों पर विश्लेषण किया जा सकता है। कार्यान्वयन सिग्नल संसाधन और प्रतिचयन विस्तार का उपयोग करता है। रूपान्तरण डोमेन में उन परिचालनों के प्रभावों में अतिरिक्त अंतर्दृष्टि के लिए और  देखें।

संकीर्ण निम्न आवृत्ति फिल्टर
एक संकीर्ण निम्न आवृत्ति फिल्टर को संकीर्ण पासबैंड के साथ निम्न आवृत्ति फिल्टर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। बहु-दर सीमित निम्न आवृत्ति फिल्टर (एफआईआर) बनाने के लिए, समयअ परिवर्तनीय फिल्टर (एफआईआर) को निम्न आवृत्ति एन्टी-एलियासिंग फिल्टर और एक निर्णायक फिल्टर के साथ एक अन्तर्वेशक और निम्न आवृत्ति एंटी-प्रतिबिंबन फिल्टर के साथ रूपांतरित कर सकते हैं। इस प्रकार परिणामी बहु-दर प्रणाली निर्णायक फिल्टर और अन्तर्वेशक फिल्टर के माध्यम से एक समय-डोमेन रैखिक फ़िल्टर है।

निम्न आवृत्ति फ़िल्टर में दो बहु फ़ेज़ फ़िल्टर होते हैं एक डिकिमेटर (निर्णायक फिल्टर) के लिए और दूसरा अन्तर्वेशक फिल्टरके लिए, एक फ़िल्टर बैंक इनपुट सिग्नल को $$x\left(n\right)$$ मे विभाजित करता है सिग्नलों के अनुक्रम $$x_{1}(n),x_{2}(n),x_{3}(n),...$$. मे इस प्रकार से प्रत्येक उत्पन्न सिग्नल $$x\left(n\right)$$ के स्पेक्ट्रम में एक अलग क्षेत्र के अनुरूप होते है। इस प्रक्रिया में यह संभव हो सकता है कि क्षेत्र ओवरलैप हों। और उत्पन्न सिग्नल $$x_{1}(n),x_{2}(n),x_{3}(n),...$$ बैंडविड्थ के साथ बैंडपास फिल्टर के समूह के संग्रह के माध्यम से उत्पन्न किया जा सकता है। $$\rm BW_{1},BW_{2},BW_{3},...$$ और $$f_{c1},f_{c2},f_{c3},...$$क्रमश केंद्र आवृत्तियों के एक बहु-दर फ़िल्टर बैंक एकल इनपुट सिग्नल का उपयोग करता है और फ़िल्टर द्वारा सिग्नल के कई आउटपुट उत्पन्न करता है। इनपुट सिग्नल को दो या दो से अधिक सिग्नल में विभाजित करने के लिए, एक विश्लेषण-संश्लेषण प्रणाली का उपयोग किया जा सकता है।

सिग्नल k = 0,1,2,3 के लिए 4 फिल्टर $$H_{k}(z)$$ की सहायता से समान बैंडविथ के 4 बैंड फिल्टर (विश्लेषण बैंक में) में विभाजित हो जाता है और प्रत्येक उप-सिग्नल को 4 फलन फिल्टर से हटा दिया जाता है प्रत्येक बैंड में सिग्नल को विभाजित करके, अलग-अलग सिग्नल विशेषताएँ प्राप्त की जा सकती है। संश्लेषण अनुभाग में फ़िल्टर मूल सिग्नल का पुनर्निर्माण किया जाता है सबसे पहले, प्रसंस्करण इकाई के आउटपुट पर 4 उप-सिग्नल को 4 के गुणक द्वारा प्रतिचयनित करना और फिर 4 संश्लेषण फ़िल्टर द्वारा फ़िल्टर करना और $$F_{k}(z)$$ के लिए K= 0,1,2,3 में, इन 4 फ़िल्टरों के आउटपुट सम्बद्ध जाते हैं।

सांख्यिकीय रूप से अनुकूलित फ़िल्टर बैंक (आइगेन फ़िल्टर बैंक)
असतत-समय फ़िल्टर बैंक आधारित पारंपरिक पूर्ण पुनर्निर्माण फ़िल्टर बैंक के अतिरिक्त डिजाइन में वांछित इनपुट सिग्नल पर निर्भर सुविधाओं को सम्मिलित करने की स्वीकृति देता है। अधिकतम ऊर्जा संघनन, उप-बैंड सिग्नलों का डी-सह संबंध और दिए गए इनपुट सहप्रसरण/सहसंबंध संरचना के लिए अन्य विशेषताओं जैसे सूचना सिद्धांत को इष्टतम फिल्टर बैंकों के डिजाइन में सम्मिलित किया गया है। ये फ़िल्टर बैंक सिग्नल पर निर्भर करहुनेन-लोव रूपान्तरण (केएलटी) से संबद्ध होते हैं जो कि इष्टतम ब्लॉक रूपान्तरण है जहाँ आधार फलन (फ़िल्टर) की लंबाई L और उपसमष्‍टि आयाम M समान होता हैं।

बहु-आयामी फ़िल्टर बैंक
बहुआयामी फ़िल्टरिंग, डाउनसैंपलिंग और अपसैंपलिंग बहु-दर प्रणाली और फ़िल्टर बैंकों के मुख्य भाग हैं।

एक पूर्ण फ़िल्टर बैंक में विश्लेषण और संश्लेषण पक्ष होते हैं। विश्लेषण फिल्टर बैंक अलग-अलग फ्रीक्वेंसी स्पेक्ट्रा के साथ अलग-अलग उप-बैंडों के लिए एक इनपुट सिग्नल को विभाजित करता है।

संश्लेषण भाग विभिन्न सबबैंड सिग्नलों को फिर से जोड़ता है और एक पुनर्निर्मित सिग्नल उत्पन्न करता है।

बुनियादी निर्माण खंडों में से दो निर्णायक और विस्तारक हैं। उदाहरण के लिए, इनपुट चार दिशात्मक उप बैंडों में विभाजित होता है, जिनमें से प्रत्येक वेज के आकार के आवृत्ति क्षेत्रों में से एक को कवर करता है। 1डी प्रणालियों में, एम-फोल्ड डिकिमेटर केवल उन नमूनों को रखते हैं जो एम के गुणक हैं और बाकी को छोड़ देते हैं। जबकि बहु-आयामी प्रणालियों में डिकिमेटर डी × डी गैर-एकवचन पूर्णांक मैट्रिक्स होते हैं। यह केवल उन नमूनों पर विचार करता है जो डिकिमेटर द्वारा उत्पन्न जाली पर होते हैं। सामान्यतः इस्तेमाल किया जाने वाला डिकिमेटर क्विनकुंक्स डिकिमेटर है जिसका जाली पांचवां मैट्रिक्स से उत्पन्न होता है जिसे परिभाषित किया गया है $$\begin{bmatrix}1 & 1 \\-1 & 1 \end{bmatrix}$$

quincunx मैट्रिक्स द्वारा उत्पन्न quincunx जाली जैसा दिखाया गया है; संश्लेषण भाग विश्लेषण भाग के लिए दोहरी है।

सबबैंड अपघटन और पुनर्निर्माण के संदर्भ में फ़िल्टर बैंकों का आवृत्ति-डोमेन परिप्रेक्ष्य से विश्लेषण किया जा सकता है। हालांकि, समान रूप से महत्वपूर्ण है हिल्बर्ट स्पेसेस और फूरियर विश्लेषण | फिल्टर बैंकों की हिल्बर्ट-स्पेस व्याख्या, जो ज्यामितीय सिग्नल प्रस्तुतियों में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। सामान्य के-चैनल फ़िल्टर बैंक के लिए, विश्लेषण फ़िल्टर के साथ $$\left\{ h_{k}[n]\right\} _{k=1}^{K} $$, संश्लेषण फिल्टर $$\left\{ g_{k}[n]\right\} _{k=1}^{K}$$, और नमूना मैट्रिक्स $$\left\{ M_{k}[n]\right\} _{k=1}^{K} $$. विश्लेषण पक्ष में, हम वैक्टर को परिभाषित कर सकते हैं$$\ell^{2}(\mathbf{Z}^{d}) $$जैसा


 * $$\varphi_{k,m}[n]\stackrel{\rm def}{=}h_{k}^{*}[M_{k}m-n]$$,

प्रत्येक सूचकांक दो मापदंडों द्वारा: $$1\leq k\leq K$$ और $$m\in \mathbf{Z}^{2}$$.

इसी तरह, संश्लेषण फिल्टर के लिए $$g_{k}[n]$$ हम परिभाषित कर सकते हैं $$\psi_{k,m}[n]\stackrel{\rm def}{=}g_{k}^{*}[M_{k}m-n]$$.

विश्लेषण/संश्लेषण पक्षों की परिभाषा को ध्यान में रखते हुए हम इसे सत्यापित कर सकते हैं $$c_{k}[m]=\langle x[n],\varphi_{k,m}[n] \rangle$$ और पुनर्निर्माण भाग के लिए:


 * $$\hat{x}[n]=\sum_{1\leq k\leq K,m\in \mathbf{Z}^{2}}c_{k}[m]\psi_{k,m}[n]$$.

दूसरे शब्दों में, विश्लेषण फ़िल्टर बैंक इनपुट सिग्नल के आंतरिक उत्पाद और विश्लेषण सेट से वेक्टर की गणना करता है। इसके अतिरिक्त, संश्लेषण सेट से वैक्टर के संयोजन में पुनर्निर्मित सिग्नल, और गणना किए गए आंतरिक उत्पादों के संयोजन गुणांक, जिसका अर्थ है


 * $$\hat{x}[n]=\sum_{1\leq k\leq K,m\in \mathbf{Z}^{2}}\langle x[n],\varphi_{k,m}[n] \rangle\psi_{k,m}[n]$$

यदि अपघटन और उसके बाद के पुनर्निर्माण में कोई हानि नहीं होती है, तो फ़िल्टर बैंक को पूर्ण पुनर्निर्माण कहा जाता है। (उस मामले में हमारे पास होगा $$x[n]=\hat{x[n]}$$. चित्रा एन चैनलों के साथ एक सामान्य बहुआयामी फिल्टर बैंक और एक सामान्य नमूना मैट्रिक्स एम दिखाता है। विश्लेषण भाग इनपुट सिग्नल को रूपांतरित करता है $$x[n]$$ एन फ़िल्टर्ड और डाउनसैंपल आउटपुट में $$y_{j}[n],$$ $$j=0,1,...,N-1$$. संश्लेषण भाग मूल सिग्नल को पुनः प्राप्त करता है $$y_{j}[n]$$ अपसैंपलिंग और फ़िल्टरिंग द्वारा। इस तरह के सेटअप का उपयोग कई अनुप्रयोगों में किया जाता है जैसे कि सबबैंड कोडिंग, मल्टीचैनल अधिग्रहण और तरंगिका रूपांतरित होती है

सही पुनर्निर्माण फ़िल्टर बैंक
हम पॉलीपेज़ प्रतिनिधित्व का उपयोग कर सकते हैं, इसलिए इनपुट सिग्नल $$x[n]$$ इसके पॉलीफ़ेज़ घटकों के एक वेक्टर द्वारा प्रतिनिधित्व किया जा सकता है $$x(z)\stackrel{\rm def}{=}(X_{0}(z),...,X_{|M|-1}(z))^{T} $$. निरूपित $$y(z)\stackrel{\rm def}{=}(Y_{0}(z),...,Y_{|N|-1}(z))^{T}.$$

तो हमारे पास होगा $$y(z)=H(z)x(z)$$, कहाँ $$H_{i,j}(z)$$ फ़िल्टर के j-th पॉलीफ़ेज़ घटक को दर्शाता है $$H_{i}(z)$$.

इसी तरह, आउटपुट सिग्नल के लिए हमारे पास होगा $$\hat{x}(z)=G(z)y(z)$$, कहाँ $$\hat{x}(z)\stackrel{\rm def}{=}(\hat{X}_{0}(z),...,\hat{X}_{|M|-1}(z))^{T} $$. जी भी एक मैट्रिक्स है जहां $$G_{i,j}(z)$$ जेवें संश्लेषण के iवें पॉलीफ़ेज़ घटक को दर्शाता है जीजे (जेड) फ़िल्टर करें।

फ़िल्टर बैंक का पूर्ण पुनर्निर्माण है अगर $$x(z)= \hat{x}(z)$$ किसी भी इनपुट के लिए, या समकक्ष $$I_{|M|}=G(z)H(z)$$ जिसका अर्थ है कि G(z) H(z) का बायाँ व्युत्क्रम है।

बहुआयामी फ़िल्टर डिज़ाइन
1-डी फ़िल्टर बैंक आज तक अच्छी तरह विकसित हुए हैं। हालांकि, छवि, वीडियो, 3डी ध्वनि, रडार, सोनार जैसे कई सिग्नल बहुआयामी हैं, और बहुआयामी फिल्टर बैंकों के डिजाइन की आवश्यकता होती है।

संचार प्रौद्योगिकी के तेजी से विकास के साथ, सिग्नल प्रोसेसिंग सिस्टम को प्रोसेसिंग, ट्रांसमिशन और रिसेप्शन के दौरान डेटा स्टोर करने के लिए अधिक स्थान की आवश्यकता होती है। संसाधित किए जाने वाले डेटा को कम करने, भंडारण को बचाने और जटिलता को कम करने के लिए, इन लक्ष्यों को प्राप्त करने के लिए बहु-दर सैंपलिंग तकनीकों को पेश किया गया था। फ़िल्टर बैंकों का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में किया जा सकता है, जैसे इमेज कोडिंग, वॉइस कोडिंग, रडार इत्यादि।

कई 1D फ़िल्टर मुद्दों का अच्छी तरह से अध्ययन किया गया और शोधकर्ताओं ने कई 1D फ़िल्टर बैंक डिज़ाइन दृष्टिकोण प्रस्तावित किए। लेकिन अभी भी कई बहुआयामी फ़िल्टर बैंक डिज़ाइन समस्याएं हैं जिन्हें हल करने की आवश्यकता है। हो सकता है कि कुछ विधियाँ सिग्नल को अच्छी तरह से पुनर्निमित न करें, कुछ विधियाँ जटिल और प्रयुक्त करने में कठिन हैं।

एक बहु-आयामी फिल्टर बैंक को डिजाइन करने का सबसे सरल तरीका 1डी फिल्टर बैंकों को एक पेड़ की संरचना के रूप में कैस्केड करना है जहां डेसीमेशन मैट्रिक्स विकर्ण है और डेटा को प्रत्येक आयाम में अलग से संसाधित किया जाता है। ऐसी प्रणालियों को वियोज्य प्रणालियों के रूप में संदर्भित किया जाता है। हालाँकि, फ़िल्टर बैंकों के लिए समर्थन का क्षेत्र वियोज्य नहीं हो सकता है। ऐसे में फिल्टर बैंक की डिजाइनिंग जटिल हो जाती है। ज्यादातर मामलों में हम गैर-वियोज्य प्रणालियों से निपटते हैं।

एक फ़िल्टर बैंक में एक विश्लेषण चरण और एक संश्लेषण चरण होता है। प्रत्येक चरण में समानांतर में फिल्टर का एक सेट होता है। फ़िल्टर बैंक डिज़ाइन विश्लेषण और संश्लेषण चरणों में फ़िल्टर का डिज़ाइन है। विश्लेषण फ़िल्टर एप्लिकेशन आवश्यकताओं के आधार पर सिग्नल को ओवरलैपिंग या गैर-ओवरलैपिंग सबबैंड में विभाजित करते हैं। जब इन फिल्टर के आउटपुट को एक साथ जोड़ दिया जाता है, तो संश्लेषण फिल्टर को सबबैंड से इनपुट सिग्नल को फिर से बनाने के लिए डिज़ाइन किया जाना चाहिए। प्रसंस्करण सामान्यतः विश्लेषण चरण के बाद किया जाता है। इन फ़िल्टर बैंकों को अनंत आवेग प्रतिक्रिया (IIR) या परिमित आवेग प्रतिक्रिया (FIR) के रूप में डिज़ाइन किया जा सकता है।

डेटा दर को कम करने के लिए, डाउनसैंपलिंग और अपसैंपलिंग क्रमशः विश्लेषण और संश्लेषण चरणों में किए जाते हैं।

मौजूदा दृष्टिकोण
नीचे बहुआयामी फिल्टर बैंकों के डिजाइन पर कई दृष्टिकोण दिए गए हैं। अधिक जानकारी के लिए, कृपया मूल संदर्भ देखें।

बहुआयामी पूर्ण-पुनर्निर्माण फिल्टर बैंक
जब विभाजित सिग्नल को वापस मूल सिग्नल में फिर से बनाना आवश्यक हो, तो पूर्ण-पुनर्निर्माण (पीआर) फ़िल्टर बैंकों का उपयोग किया जा सकता है।

बता दें कि H(z) फिल्टर का ट्रांसफर फंक्शन है। फ़िल्टर के आकार को प्रत्येक आयाम में संबंधित बहुपद के क्रम के रूप में परिभाषित किया गया है। एक बहुपद की समरूपता या विरोधी-समरूपता संबंधित फ़िल्टर की रैखिक चरण संपत्ति निर्धारित करती है और इसके आकार से संबंधित होती है। 1D मामले की तरह, 2 चैनल फ़िल्टर बैंक के लिए अलियासिंग टर्म A(z) और ट्रांसफर फ़ंक्शन T(z) हैं: ए (जेड) = 1/2 (एच0(-z) एफ0 (जेड) + एच1 (-z) एफ1 (जेड)); टी (जेड) = 1/2 (एच0 (जेड) एफ0 (जेड) + एच1 (जेड) एफ1 (जेड)), जहां एच0 और वह1 अपघटन फिल्टर हैं, और एफ0 और एफ1 पुनर्निर्माण फिल्टर हैं।

यदि उपनाम शब्द रद्द कर दिया गया है और टी (जेड) एक मोनोमियल के बराबर है तो इनपुट सिग्नल को पूरी तरह से पुनर्निर्मित किया जा सकता है। तो आवश्यक शर्त यह है कि T'(z) सामान्यतः सममित और विषम-दर-विषम आकार का होता है।

छवि प्रसंस्करण के लिए रैखिक चरण पीआर फिल्टर बहुत उपयोगी होते हैं। यह दो-चैनल फ़िल्टर बैंक प्रयुक्त करना अपेक्षाकृत आसान है। लेकिन कभी-कभी दो चैनल काफी नहीं होते हैं। मल्टी-चैनल फ़िल्टर बैंक उत्पन्न करने के लिए दो-चैनल फ़िल्टर बैंकों को कैस्केड किया जा सकता है।

बहुआयामी दिशात्मक फिल्टर बैंक और सरफेसलेट्स
एम-डायमेंशनल डायरेक्शनल फिल्टर बैंक (एमडीएफबी) फिल्टर बैंकों का एक परिवार है जो एक सरल और कुशल वृक्ष-संरचित निर्माण के साथ मनमाना एम-डायमेंशनल सिग्नल के दिशात्मक अपघटन को प्राप्त कर सकता है। इसमें कई विशिष्ट गुण हैं जैसे: दिशात्मक अपघटन, कुशल वृक्ष निर्माण, कोणीय संकल्प और पूर्ण पुनर्निर्माण। सामान्य एम-आयामी मामले में, एमडीएफबी के आदर्श आवृत्ति समर्थन हाइपरक्यूब-आधारित हाइपरपिरामिड हैं। एमडीएफबी के लिए अपघटन का पहला स्तर एक एन-चैनल अनडेसिमिटेड फिल्टर बैंक द्वारा प्राप्त किया जाता है, जिसके घटक फिल्टर एम-डी घंटे के आकार के फिल्टर होते हैं जो डब्ल्यू के साथ संरेखित होते हैं।1,...,मेंM क्रमशः कुल्हाड़ियों। उसके बाद, इनपुट सिग्नल को 2-डी पुनरावृत्त रूप से पुनः नमूना किए गए चेकरबोर्ड फ़िल्टर बैंकों आईआरसी की एक श्रृंखला द्वारा विघटित किया जाता हैli(ली)(i=2,3,...,M), जहां IRCli(Li)आयाम युग्म (n1,एनi) और सुपरस्क्रिप्ट (Li) का अर्थ है iवें स्तर के फिल्टर बैंक के लिए अपघटन के स्तर। ध्यान दें कि, दूसरे स्तर से शुरू करते हुए, हम पिछले स्तर से प्रत्येक आउटपुट चैनल में एक IRC फ़िल्टर बैंक संलग्न करते हैं, और इसलिए पूरे फ़िल्टर में कुल 2 हैं(एल1+...+एलN) आउटपुट चैनल।

बहुआयामी ओवरसैंपल्ड फ़िल्टर बैंक
ओवरसैंपल्ड फ़िल्टर बैंक बहु-दर फ़िल्टर बैंक होते हैं जहाँ विश्लेषण चरण में आउटपुट नमूनों की संख्या इनपुट नमूनों की संख्या से बड़ी होती है। यह मजबूत अनुप्रयोगों के लिए प्रस्तावित है। ओवरसैंपल्ड फिल्टर बैंकों का एक विशेष वर्ग बिना डाउनसैंपलिंग या अपसैंपलिंग के नॉनसैंपल्ड फिल्टर बैंक है। एक oversampled फ़िल्टर बैंक के लिए सही पुनर्निर्माण की स्थिति को पॉलीपेज़ डोमेन में मैट्रिक्स उलटा समस्या के रूप में कहा जा सकता है। IIR oversampled फ़िल्टर बैंक के लिए, वोलोविच में सही पुनर्निर्माण का अध्ययन किया गया है और कैलाथ। नियंत्रण सिद्धांत के संदर्भ में। जबकि एफआईआर ओवरसैंपल फिल्टर बैंक के लिए हमें 1-डी और एम-डी के लिए अलग-अलग रणनीति का इस्तेमाल करना होगा। एफआईआर फिल्टर अधिक लोकप्रिय हैं क्योंकि इसे प्रयुक्त करना आसान है। 1-डी ओवरसैंपल्ड एफआईआर फिल्टर बैंकों के लिए, यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म मैट्रिक्स व्युत्क्रम समस्या में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। हालांकि, यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म बहुआयामी (एमडी) फिल्टर के लिए विफल रहता है। एमडी फिल्टर के लिए, हम एफआईआर प्रतिनिधित्व को बहुपद प्रतिनिधित्व में बदल सकते हैं। और फिर बहुआयामी oversampled फ़िल्टर बैंकों की रूपरेखा और पुनर्निर्माण की स्थिति प्राप्त करने के लिए बीजगणितीय ज्यामिति और ग्रोबनर आधारों का उपयोग करें।

बहुआयामी गैर-नमूना एफआईआर फिल्टर बैंक
गैर-नमूना किए गए फ़िल्टर बैंक विशेष रूप से ओवर-नमूना किए गए फ़िल्टर बैंक होते हैं जिनमें डाउन-नमूनाकरण या अप-नमूनाकरण नहीं होता है। गैर-नमूनाकृत एफआईआर फिल्टर बैंकों के लिए सही पुनर्निर्माण की स्थिति एक वेक्टर उलटा समस्या की ओर ले जाती है: द विश्लेषण फिल्टर $$\{H_{1},...,H_{N}\}$$ दिए गए हैं और एफआईआर, और लक्ष्य एफआईआर संश्लेषण फिल्टर का एक सेट खोजना है $$\{G_{1},...,G_{N}\}$$ संतुष्टि देने वाला।

ग्रोबनेर बेस का प्रयोग
जैसा कि बहुआयामी फिल्टर बैंकों को बहुभिन्नरूपी तर्कसंगत मैट्रिसेस द्वारा दर्शाया जा सकता है, यह विधि एक बहुत प्रभावी उपकरण है जिसका उपयोग बहुआयामी फिल्टर बैंकों से निपटने के लिए किया जा सकता है। इन चारो, एक बहुभिन्नरूपी बहुपद मैट्रिक्स-गुणनखंड एल्गोरिथम पेश किया गया है और चर्चा की गई है। सबसे आम समस्या सही पुनर्निर्माण के लिए बहुआयामी फिल्टर बैंक है। यह पत्र इस लक्ष्य को प्राप्त करने की विधि के बारे में बात करता है जो रैखिक चरण की विवश स्थिति को संतुष्ट करता है।

कागज के विवरण के अनुसार, गुणनखंड में कुछ नए परिणामों पर चर्चा की गई है और बहुआयामी रैखिक चरण पूर्ण पुनर्निर्माण परिमित-आवेग प्रतिक्रिया फ़िल्टर बैंकों के मुद्दों पर प्रयुक्त किया जा रहा है। एडम्स में ग्रोबनर ठिकानों की मूल अवधारणा दी गई है। बहुभिन्नरूपी मैट्रिक्स गुणनखंडन पर आधारित यह दृष्टिकोण विभिन्न क्षेत्रों में उपयोग किया जा सकता है। बहुआयामी सिग्नलों के प्रसंस्करण, संपीड़न, संचरण और डिकोडिंग में समस्याओं को हल करने के लिए बहुपद आदर्शों और मॉड्यूल के एल्गोरिथम सिद्धांत को संशोधित किया जा सकता है।

सामान्य बहुआयामी फिल्टर बैंक (चित्र 7) को विश्लेषण और संश्लेषण पॉलीफ़ेज़ मैट्रिसेस की एक जोड़ी द्वारा दर्शाया जा सकता है $$H(z)$$ और $$G(z)$$ आकार का $$N\times M $$ और $$M\times N$$, जहां N चैनलों की संख्या है और $$M\stackrel{\rm def}{=}|M| $$ नमूना मैट्रिक्स के निर्धारक का पूर्ण मूल्य है। भी $$H(z)$$ और $$G(z)$$ विश्लेषण और संश्लेषण फिल्टर के पॉलीफ़ेज़ घटकों के जेड-रूपांतरण हैं। इसलिए, वे बहुभिन्नरूपी लॉरेंट बहुपद हैं, जिनका सामान्य रूप है:


 * $$F(z)=\sum_{k\in \mathbf{Z}^{d}}f[k]z^{k}=\sum_{k\in \mathbf{Z}^{d}}f[k_{1},...,k_{d}]z_{1}^{k_{1}}...z_{d}^{k_{d}}$$.

सही पुनर्निर्माण फिल्टर बैंकों को डिजाइन करने के लिए लॉरेंट बहुपद मैट्रिक्स समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:


 * $$G(z)H(z)=I_{|M|}$$.

बहुभिन्नरूपी बहुपद वाले बहुआयामी मामले में हमें ग्रोबनेर आधारों के सिद्धांत और एल्गोरिदम का उपयोग करने की आवश्यकता है।

ग्रॉबनर बेस का उपयोग पूर्ण पुनर्निर्माण बहुआयामी फिल्टर बैंकों को चिह्नित करने के लिए किया जा सकता है, लेकिन इसे पहले बहुपद मैट्रिक्स से लॉरेंट बहुपद मैट्रिक्स तक विस्तारित करने की आवश्यकता है।

ग्रोबनर-आधार अभिकलन को बहुपद मैट्रिक्स समीकरण को हल करने के लिए गॉसियन विलोपन के समकक्ष माना जा सकता है $$G(z)H(z)=I_{|M|}$$.

अगर हमारे पास बहुपद वैक्टर का सेट है


 * $$\mathrm{Module}\left\{ h_{1}(z),...,h_{N}(z)\right\} \stackrel{\rm def}{=}\{c_{1}(z)h_{1}(z)+...+c_{N}(z)h_{N}(z)\}$$

कहाँ $$c_{1}(z),...,c_{N}(z)$$ बहुपद हैं।

मॉड्यूल रैखिक बीजगणित में वैक्टर के एक सेट की अवधि के अनुरूप है। ग्रोबनर आधारों के सिद्धांत का अर्थ है कि मॉड्यूल में बहुपदों में बिजली उत्पादों के दिए गए क्रम के लिए एक अद्वितीय कम ग्रोबनर आधार है।

यदि हम ग्रोबनेर आधार को परिभाषित करते हैं $$\left\{ b_{1}(z),...,b_{N}(z)\right\}$$, यह हो सकता है से प्राप्त $$\left\{ h_{1}(z),...,h_{N}(z)\right\} $$ कमी के एक परिमित अनुक्रम द्वारा (विभाजन) कदम।

रिवर्स इंजीनियरिंग का उपयोग करके हम आधार सदिशों की गणना कर सकते हैं $$b_{i}(z)$$ मूल वैक्टर के संदर्भ में $$h_{j}(z)$$ किसी के जरिए $$K\times N$$ परिवर्तन मैट्रिक्स $$W_{ij}(z)$$ जैसा:


 * $$b_{i}(z)=\sum_{j=1}^{N}W_{ij}(z)h_{j}(z),i=1,...,K$$

मैपिंग-आधारित बहुआयामी फ़िल्टर बैंक
ग्रोबनर बेस दृष्टिकोण के माध्यम से अच्छी आवृत्ति प्रतिक्रियाओं के साथ फ़िल्टर डिजाइन करना चुनौतीपूर्ण है।

अच्छी आवृत्ति प्रतिक्रियाओं के साथ अविभाज्य बहुआयामी फ़िल्टर बैंकों को डिज़ाइन करने के लिए लोकप्रिय रूप से उपयोग किए जाने वाले मानचित्रण आधारित डिज़ाइन। मैपिंग दृष्टिकोण के फिल्टर के प्रकार पर कुछ प्रतिबंध हैं; हालाँकि, यह कई महत्वपूर्ण लाभ लाता है, जैसे कि उठाने/सीढ़ी संरचनाओं के माध्यम से कुशल कार्यान्वयन। यहां हम सैंपलिंग मैट्रिक्स के साथ 2डी में दो-चैनल फिल्टर बैंकों का एक उदाहरण प्रदान करते हैं $$D_{1}=\left[\begin{array}{cc} 2 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right]$$ हमारे पास चैनल फ़िल्टर की आदर्श आवृत्ति प्रतिक्रियाओं के कई संभावित विकल्प होंगे $$H_{0}(\xi) $$ और $$G_{0}(\xi)$$. (ध्यान दें कि अन्य दो फ़िल्टर $$H_{1}(\xi) $$ और $$G_{1}(\xi)$$ पूरक क्षेत्रों पर समर्थित हैं।)

चित्रा में सभी आवृत्ति क्षेत्रों को आयताकार जाली द्वारा गंभीर रूप से नमूना किया जा सकता है $$D_1$$.

तो कल्पना करें कि फ़िल्टर बैंक पूर्ण पुनर्निर्माण प्राप्त करता है एफआईआर फिल्टर के साथ। फिर पॉलीफ़ेज़ डोमेन लक्षण वर्णन से यह पता चलता है कि फ़िल्टर H1(z) और G1(z) पूरी तरह से हैं क्रमशः H0(z) और G0(z) द्वारा निर्दिष्ट। इसलिए, हमें H0(x) और G0(z) को डिजाइन करने की आवश्यकता है, जिसमें वांछित आवृत्ति प्रतिक्रियाएं हैं और पॉलीफ़ेज़-डोमेन शर्तों को पूरा करती हैं। $$H_{0}(z_{1},z_{2})G_{0}(z_{1},z_{2})+H_{0}(-z_{1},z_{2})G_{0}(-z_{1},z_{2})=2$$

उपरोक्त परिणाम प्राप्त करने के लिए विभिन्न मानचित्रण तकनीकों का उपयोग किया जा सकता है।

फ़्रीक्वेंसी डोमेन
में फ़िल्टर-बैंक डिज़ाइन जब सही पुनर्निर्माण की आवश्यकता नहीं होती है, तो एफआईआर फिल्टर का उपयोग करने के बजाय फ़्रीक्वेंसी डोमेन में काम करके डिज़ाइन की समस्या को सरल बनाया जा सकता है।

ध्यान दें कि फ़्रीक्वेंसी डोमेन विधि गैर-सैंपल किए गए फ़िल्टर बैंकों के डिज़ाइन तक सीमित नहीं है (पढ़ें ).

प्रत्यक्ष आवृत्ति-डोमेन अनुकूलन
2-चैनल फ़िल्टर बैंकों को डिजाइन करने के लिए मौजूदा तरीकों में से कई परिवर्तनीय तकनीक के परिवर्तन पर आधारित हैं। उदाहरण के लिए, 1-डी 2-चैनल फ़िल्टर बैंकों को डिजाइन करने के लिए मैकक्लीन ट्रांसफॉर्म का उपयोग किया जा सकता है। हालांकि 2-डी फिल्टर बैंकों में 1-डी प्रोटोटाइप के साथ कई समान गुण हैं, लेकिन 2-चैनल केस से अधिक तक विस्तार करना मुश्किल है। गुयेन में, लेखक फ़्रीक्वेंसी डोमेन में प्रत्यक्ष अनुकूलन द्वारा बहुआयामी फ़िल्टर बैंकों के डिज़ाइन के बारे में बात करते हैं। यहां प्रस्तावित विधि मुख्य रूप से एम-चैनल 2डी फिल्टर बैंक डिजाइन पर केंद्रित है। विधि आवृत्ति समर्थन विन्यास के प्रति लचीली है। आवृत्ति डोमेन में अनुकूलन द्वारा डिज़ाइन किए गए 2D फ़िल्टर बैंकों का उपयोग वी में किया गया है और एस। गुयेन के पेपर में, प्रस्तावित पद्धति दो-चैनल 2डी फिल्टर बैंकों के डिजाइन तक सीमित नहीं है; दृष्टिकोण किसी भी महत्वपूर्ण सबसैंपलिंग मैट्रिक्स के साथ एम-चैनल फ़िल्टर बैंकों के लिए सामान्यीकृत है। कागज में कार्यान्वयन के अनुसार, इसका उपयोग 8-चैनल 2D फ़िल्टर बैंक डिज़ाइन तक प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है।

(6) रिवर्स जैकेट मैट्रिक्स ली के 1999 के पेपर में, लेखक रिवर्स जैकेट मैट्रिक्स का उपयोग करके बहुआयामी फ़िल्टर बैंक डिज़ाइन के बारे में बात करते हैं। H को क्रम n का एक हैडमार्ड मैट्रिक्स होने दें, H का स्थानान्तरण इसके व्युत्क्रम से निकटता से संबंधित है। सही सूत्र है: $$HH^T=I_n$$, जहां मैंn एन × एन पहचान मैट्रिक्स और एच हैT H का स्थानांतर है। 1999 के पेपर में, लेखक रिवर्स जैकेट मैट्रिक्स [आरजे] का सामान्यीकरण करते हैंN हैडमार्ड मैट्रिसेस और भारित हैडमार्ड मैट्रिसेस का उपयोग करना। इस पत्र में, लेखकों ने प्रस्तावित किया कि 128 टैप वाले एफआईआर फिल्टर को एक बुनियादी फिल्टर के रूप में इस्तेमाल किया जाना चाहिए, और आरजे मेट्रिसेस के लिए डिकिमेशन कारक की गणना की जाती है। उन्होंने विभिन्न मापदंडों के आधार पर सिमुलेशन किया और कम क्षय कारक में अच्छी गुणवत्ता का प्रदर्शन हासिल किया।

दिशात्मक फ़िल्टर बैंक
बामबर्गर और स्मिथ ने एक 2D दिशात्मक फिल्टर बैंक (डीएफबी) का प्रस्ताव रखा।

डीएफबी कुशलता से एक एल-लेवल ट्री-स्ट्रक्चर्ड अपघटन के माध्यम से कार्यान्वित किया जाता है जो आगे बढ़ता है $$2^{l}$$ पच्चर के आकार के आवृत्ति विभाजन के साथ सबबैंड (चित्र देखें)।

डीएफबी के मूल निर्माण में इनपुट सिग्नल को संशोधित करना और हीरे के आकार के फिल्टर का उपयोग करना सम्मिलित है।

इसके अतिरिक्त, वांछित आवृत्ति विभाजन प्राप्त करने के लिए, एक जटिल वृक्ष विस्तार नियम का पालन करना होगा। नतीजतन, आवृत्ति क्षेत्र परिणामी उप-बैंडों के लिए चैनल सूचकांकों के आधार पर चित्र 9 में दिखाए गए सरल क्रम का पालन नहीं करते हैं।

डीएफबी का पहला लाभ यह है कि यह न केवल एक निरर्थक परिवर्तन है बल्कि यह पूर्ण पुनर्निर्माण भी प्रदान करता है। डीएफबी का एक अन्य लाभ इसकी दिशात्मक-चयनात्मकता और कुशल संरचना है।

यह लाभ डीएफबी को कई सिग्नल और इमेज प्रोसेसिंग उपयोग के लिए उपयुक्त दृष्टिकोण बनाता है। (उदाहरण के लिए, लाप्लासियन पिरामिड, कंटूरलेट्स का निर्माण किया, विरल छवि प्रतिनिधित्व, चिकित्सा इमेजिंग, वगैरह।)।

दिशात्मक फ़िल्टर बैंकों को उच्च आयामों में विकसित किया जा सकता है। फ़्रीक्वेंसी सेक्शनिंग प्राप्त करने के लिए इसका उपयोग 3-डी में किया जा सकता है।

फ़िल्टर-बैंक ट्रांसीवर
वाइडबैंड वायरलेस संचार में भौतिक परत के लिए फ़िल्टर बैंक महत्वपूर्ण तत्व हैं, जहां समस्या कई चैनलों के कुशल आधार-बैंड प्रसंस्करण की है। एक फ़िल्टर-बैंक-आधारित ट्रांसीवर आर्किटेक्चर गैर-सन्निहित चैनलों के मामले में पिछली योजनाओं द्वारा देखी गई मापनीयता और दक्षता के मुद्दों को समाप्त करता है। फ़िल्टर बैंक के कारण प्रदर्शन में गिरावट को कम करने के लिए उपयुक्त फ़िल्टर डिज़ाइन आवश्यक है। सार्वभौमिक रूप से प्रयुक्त डिज़ाइन प्राप्त करने के लिए, तरंग प्रारूप, चैनल आँकड़े और कोडिंग/डिकोडिंग योजना के बारे में हल्की धारणाएँ बनाई जा सकती हैं। हेयुरिस्टिक और इष्टतम डिजाइन पद्धति दोनों का उपयोग किया जा सकता है, और कम जटिलता के साथ उत्कृष्ट प्रदर्शन संभव है, जब तक कि ट्रांसीवर यथोचित बड़े ओवरसैंपलिंग कारक के साथ संचालित होता है। एक व्यावहारिक अनुप्रयोग ओएफडीएम ट्रांसमिशन है, जहां वे छोटी अतिरिक्त जटिलता के साथ बहुत अच्छा प्रदर्शन प्रदान करते हैं।