उत्पाद-रूप समाधान

संभाव्यता सिद्धांत में, एक उत्पाद-रूप समाधान विशिष्ट उप-घटकों के साथ एक प्रणाली के कुछ मापीय को निर्धारित करने के लिए समाधान का एक विशेष रूप हैं, जहां घटकों के संग्रह के लिए मापीय को विभिन्न घटकों के उत्पाद (गणित) के रूप में लिखा जा सकता है। कैपिटल पाई नोटेशन का उपयोग करके उत्पाद-रूप समाधान में बीजगणितीय रूप होता है
 * $$\text{P}(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n) = B \prod_{i=1}^n \text{P}(x_i)$$

जहां B स्थिर है। इस रूप के समाधान रुचिकर हैं क्योंकि वे n के बड़े मूल्यों के मूल्यांकन के लिए कम्प्यूटेशनल रूप से सस्ते हैं। मल्टीप्रोग्राम्ड और टाइम-शेयर्ड कंप्यूटर सिस्टम के मॉडल में प्रदर्शन मेट्रिक्स खोजने के लिए श्रेणीबद्ध नेटवर्क में ऐसे समाधान महत्वपूर्ण हैं।

संतुलन वितरण
मार्कोव श्रृंखलाओं के संतुलन वितरण के लिए पहला उत्पाद-रूप समाधान पाया गया। महत्त्वहीन रूप से, दो या दो से अधिक स्वतंत्र (संभाव्यता सिद्धांत) उप-घटकों से बने मॉडल स्वतंत्रता की परिभाषा के अनुसार उत्पाद-रूप समाधान प्रदर्शित करते हैं। प्रारंभ में इस शब्द का उपयोग क्यूइंग नेटवर्क में किया गया था जहां उप-घटक अलग-अलग पंक्ति होंगे। उदाहरण के लिए, जैक्सन का प्रमेय (श्रेणीबद्ध सिद्धांत) एक विवृत क्यूइंग नेटवर्क के संयुक्त संतुलन वितरण को अलग-अलग क्यू के संतुलन वितरण के उत्पाद के रूप में देता है। कई विस्तारों के बाद, मुख्य रूप से बीसीएमपी नेटवर्क के बारे में सोचा गया कि उत्पाद-रूप समाधान के लिए स्थानीय संतुलन एक आवश्यकता है।

Erol गेलेनबे का G-नेटवर्क मॉडल सबसे पहले दिखा कि ऐसा नहीं है। स्पाइकिंग व्यवहार जैसी बिंदु-प्रक्रिया वाले जैविक न्यूरॉन्स को मॉडल करने की आवश्यकता से प्रेरित होकर उन्होंने G- नेटवर्क्स के अग्रदूत को प्रस्तुत किया इसे यादृच्छिक तंत्रिका नेटवर्क कहा। नकारात्मक ग्राहकों को प्रस्तुत करके जो अन्य ग्राहकों को नष्ट या समाप्त कर सकते हैं, उन्होंने उत्पाद फार्म नेटवर्क के परिवार को सामान्यीकृत किया। फिर इसे कई चरणों में आगे बढ़ाया गया, पहले गेलेनबे के ट्रिगर्स के द्वारा जो ग्राहक हैं जो अन्य ग्राहकों को एक श्रेणी से दूसरी श्रेणी में ले जाने की शक्ति रखते हैं। ग्राहक का एक और नया रूप जिसने उत्पाद के रूप को भी आगे बढ़ाया, वह था गेलेनबे का "बैच रिमूवल"। इसे एरोल गेलेनबे और जीन-मिशेल फोरन्यू द्वारा "रीसेट" नामक ग्राहक प्रकारों के साथ आगे बढ़ाया गया था, जो विफलताओं की पुनर्निर्माण का मॉडल बना सकता है: जब कोई श्रेणी खाली अवस्था में आती है, तो (उदाहरण के लिए) एक विफलता का प्रतिनिधित्व करती है तो श्रेणी की लंबाई वापस कूद सकती है या रीसेट हो सकती है एक पुनर्निर्माण का प्रतिनिधित्व करते हुए एक आने वाले रीसेट ग्राहक द्वारा इसकी स्थिर-अवस्था वितरण पर "रीसेट" करें, जो पुनर्निर्माण का प्रतिनिधित्व करता है। G-नेटवर्क्स में ये सभी पिछले प्रकार के ग्राहक एक ही नेटवर्क में उपस्थित हो सकते हैं, जिसमें कई वर्ग सम्मिलित हैं और वे सभी एक साथ अभी भी उत्पाद के रूप में समाधान में परिणत होते हैं, जो हमें पहले प्रतिवर्ती नेटवर्क से बहुत आगे ले जाते हैं।

उत्पाद-रूप समाधानों को कभी कभी "स्टेशन संतुलन में स्वतंत्र होते हैं" के रूप में वर्णित किया क्योंकि स्टेशन संतुलन में स्वतंत्र होते हैं। बल्क पंक्ति के नेटवर्क में उत्पाद रूप समाधान भी उपस्थित हैं।

जे.एम. हैरिसन और आर.जे. विलियम्स ने सुनिश्चित किया कि क्लासिकल क्यूइंग नेटवर्क सिद्धांत में सफलतापूर्वक विश्लेषण किए गए सभी मॉडल एक तथाकथित उत्पाद-रूप स्थिर वितरण वाले मॉडल हैं हाल ही में, मार्कोव प्रक्रिया बीजगणित के लिए उत्पाद-रूप समाधान प्रकाशित किए गए हैं (उदाहरण के लिए PEPA में RCAT ) और स्टोकेस्टिक पेट्री नेट।  मार्टिन फ़िनबर्ग अभाव शून्य प्रमेय रासायनिक प्रतिक्रिया नेटवर्क के लिए उत्पाद-रूप स्थिर वितरण को प्रदर्शित करने के लिए पर्याप्त स्थिति देता है।

गेलेंबे का कार्य यह भी दर्शाता है कि G-नेटवर्क्स के उत्पाद का उपयोग रैंडम न्यूरल नेटवर्क्स को स्पाइक करने के लिए किया जा सकता है, और इसके अलावा ऐसे नेटवर्कों का उपयोग परिबद्ध और निरंतर वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के लिए किया जा सकता है।

प्रवास समय वितरण
पारिभाषिक शब्द प्रोडक्ट फॉर्म का उपयोग चक्रीय क्यूइंग सिस्टम में प्रवास समय वितरण को संदर्भित करने के लिए भी किया गया है, जहां एम नोड्स पर नौकरियों द्वारा बिताया गया समय प्रत्येक नोड पर बिताए गए समय के उत्पाद के रूप में दिया जाता है। 1957 में रीच ने दो M/M/1 श्रेणीों के परिणाम को अग्रानुक्रम में दिखाया, बाद में इसे n M/M/1 श्रेणीों तक विस्तारित किया गया और इसे जैक्सन नेटवर्क में ओवरटेक-मुक्त रास्तों पर लागू करने के लिए दिखाया गया है। वालरैंड और वरैया का सुझाव है कि नॉन-ओवरटेकिंग (जहां ग्राहक नेटवर्क के माध्यम से एक अलग मार्ग लेकर अन्य ग्राहकों से आगे नहीं निकल सकते हैं) परिणाम के होल्ड होने के लिए एक आवश्यक शर्त हो सकती है। मित्रानी ओवरटेकिंग के साथ कुछ सरल नेटवर्कों के लिए उचित समाधान प्रदान करता है, यह दर्शाता है कि इनमें से कोई भी उत्पाद-समय के वितरण को प्रदर्शित नहीं करता है।

संवृत नेटवर्क के लिए चाउ ने दो सर्विस नोड्स के लिए एक परिणाम दिखाया, जिसे बाद में श्रेणीों के एक चक्र और गॉर्डन-नेवेल नेटवर्क में ओवरटेक-मुक्त रास्तों के लिए सामान्यीकृत किया गया था।

एक्सटेंशन

 * अनुमानित उत्पाद-रूप समाधानों की गणना स्वतंत्र सीमांत वितरणों को मानते हुए की जाती है, जो कुछ शर्तों के तहत स्थिर वितरण के लिए एक अच्छा सन्निकटन दे सकता है।
 * अर्ध-उत्पाद-रूप समाधान ऐसे समाधान हैं जहां वितरण को उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है जहां शब्दों की वैश्विक अवस्था स्थान पर सीमित कार्यात्मक निर्भरता होती है, जिसका अनुमान लगाया जा सकता है।
 * अर्ध-उत्पाद-रूप समाधान या तो हैं
 * समाधान जो सीमांत घनत्वों का उत्पाद नहीं हैं, लेकिन सीमांत घनत्व उत्पाद-प्रकार के तरीके से वितरण का वर्णन करते हैं या
 * क्षणिक संभाव्यता वितरण के लिए अनुमानित रूप जो क्षणिक क्षणों को अनुमानित करने की अनुमति देता है।