इलेक्ट्रॉनिक विशिष्ट ऊष्मा

ठोस अवस्था भौतिकी में इलेक्ट्रॉनिक विशिष्ट ऊष्मा, जिसे कभी-कभी इलेक्ट्रॉन ऊष्मा क्षमता भी कहा जाता है, एक इलेक्ट्रॉन गैस की विशिष्ट ऊष्मा है। ठोस पदार्थों में ऊष्मा का परिवहन फोनन और मुक्त इलेक्ट्रॉनों द्वारा होता है। हालाँकि, शुद्ध धातुओं के लिए, तापीय चालकता में इलेक्ट्रॉनिक योगदान हावी है। अशुद्ध धातुओं में, अशुद्धियों के साथ टकराव से इलेक्ट्रॉन माध्य मुक्त पथ कम हो जाता है, और फोनन योगदान इलेक्ट्रॉनिक योगदान के साथ तुलनीय हो सकता है।

परिचय
यद्यपि ड्रूड मॉडल धातुओं के भीतर इलेक्ट्रॉन गति का वर्णन करने में काफी सफल रहा, लेकिन इसमें कुछ गलत पहलू हैं: यह प्रयोगात्मक माप की तुलना में गलत संकेत के साथ हॉल गुणांक की भविष्यवाणी करता है, जाली ताप क्षमता के लिए अतिरिक्त इलेक्ट्रॉनिक ताप क्षमता, अर्थात् $$ \tfrac{3}{2} k_{\rm B} $$ ऊंचे तापमान पर प्रति इलेक्ट्रॉन, प्रयोगात्मक मूल्यों के साथ भी असंगत है, क्योंकि धातुओं की माप डुलोंग-पेटिट कानून से कोई विचलन नहीं दिखाती है। ताप क्षमता में इलेक्ट्रॉनों का देखा गया इलेक्ट्रॉनिक योगदान आमतौर पर एक प्रतिशत से भी कम है $$\tfrac{3}{2} k_{\rm B} $$. क्वांटम यांत्रिकी के विकास से पहले यह समस्या अघुलनशील लगती थी। इस विरोधाभास को पॉली अपवर्जन सिद्धांत की खोज के बाद अर्नोल्ड सोमरफेल्ड द्वारा हल किया गया था, जिन्होंने माना कि बोल्ट्जमैन वितरण को फर्मी-डिराक वितरण के साथ बदलने की आवश्यकता थी और इसे मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल में शामिल किया गया था।

आंतरिक ऊर्जा
जब किसी धातु प्रणाली को परम शून्य से गर्म किया जाता है, तो प्रत्येक इलेक्ट्रॉन को ऊर्जा प्राप्त नहीं होती है $$ k_{\rm B}T $$ जैसा कि समविभाजन निर्देश देता है। की ऊर्जा सीमा के भीतर परमाणु कक्षाओं में केवल वे इलेक्ट्रॉन $$ \tfrac{3}{2} k_{\rm B}T $$ फर्मी स्तर के तापीय रूप से उत्तेजित होते हैं। शास्त्रीय गैस के विपरीत, इलेक्ट्रॉन केवल अपने ऊर्जावान पड़ोस में ही मुक्त अवस्था में जा सकते हैं। एक-इलेक्ट्रॉन ऊर्जा स्तर तरंग वेक्टर द्वारा निर्दिष्ट होते हैं $$k$$ रिश्ते के माध्यम से $$\epsilon(k)=\hbar^2k^2/2m$$ साथ $$m$$ इलेक्ट्रॉन द्रव्यमान. यह संबंध व्याप्त ऊर्जा अवस्थाओं को रिक्त अवस्थाओं से अलग करता है और पारस्परिक स्थान|k-स्थान में गोलाकार सतह से मेल खाता है। जैसा $$T\rightarrow 0$$ जमीनी स्थिति वितरण बन जाता है:


 * $$f = \begin{cases}

1 & \mbox{if } \epsilon_f<\mu, \\ 0 & \mbox{if } \epsilon_f>\mu. \\ \end{cases}$$ कहाँ
 * $$f$$ फर्मी-डिराक वितरण है
 * $$\epsilon_f$$ जमीनी अवस्था के अनुरूप ऊर्जा स्तर की ऊर्जा है
 * $$\mu$$ सीमा में जमीनी अवस्था ऊर्जा है $$T\rightarrow 0$$, जो इस प्रकार अभी भी वास्तविक जमीनी अवस्था ऊर्जा से विचलित है।

इसका तात्पर्य यह है कि सीमा में इलेक्ट्रॉनों के लिए जमीनी अवस्था ही एकमात्र व्याप्त अवस्था है $$T\rightarrow 0$$, द $$f=1$$ पाउली अपवर्जन सिद्धांत को ध्यान में रखता है। आंतरिक ऊर्जा $$U$$ मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल के भीतर एक प्रणाली का मान उस स्तर में इलेक्ट्रॉनों की औसत संख्या के एक-इलेक्ट्रॉन स्तर के योग से गुणा किया जाता है:


 * $$U=2\sum_k \epsilon(\mathbf{k})f(\epsilon(\mathbf{k}))$$

जहां 2 का कारक इलेक्ट्रॉन की स्पिन अप और स्पिन डाउन स्थिति को निर्धारित करता है।

आंतरिक ऊर्जा और इलेक्ट्रॉन घनत्व में कमी
एक सुचारु कार्य पर एक योग के लिए सन्निकटन का उपयोग करना $$F(k)$$ के सभी अनुमत मूल्यों पर $$k$$ परिमित बड़ी प्रणाली के लिए दिया गया है:


 * $$F(\mathbf{k})=\frac{V}{8\pi^3}\sum_k F(\mathbf{k})\Delta \mathbf{k} $$

कहाँ $$V$$ सिस्टम का आयतन है.

कम आंतरिक ऊर्जा के लिए $$u=U/V$$ के लिए अभिव्यक्ति $$U$$ इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है:


 * $$u=\int \frac{d\mathbf{k}}{4\pi^3}\epsilon(\mathbf{k})f(\epsilon(\mathbf{k}))$$

और इलेक्ट्रॉन घनत्व के लिए अभिव्यक्ति $$n=\frac{N}{V}$$ इस प्रकार लिखा जा सकता है:


 * $$ n=\int\frac{d\mathbf{k}}{4\pi^3}f(\epsilon(\mathbf{k}))$$

उपरोक्त इंटीग्रल्स का मूल्यांकन इस तथ्य का उपयोग करके किया जा सकता है कि इंटीग्रल्स की निर्भरता $$\mathbf{k}$$ पर निर्भरता में बदला जा सकता है $$\epsilon$$ इलेक्ट्रॉनिक ऊर्जा के संबंध के माध्यम से जब इसे मुक्त कणों के रूप में वर्णित किया जाता है, $$\epsilon(k)=\hbar^2k^2/2m$$, जो एक मनमाने कार्य के लिए उत्पन्न होता है $$G$$:


 * $$ \int\frac{d\mathbf{k}}{4\pi^3}G(\epsilon(\mathbf{k})) = \int_0^\infty \frac{k^2dk}{\pi^2}G(\epsilon(\mathbf{k}))= \int_{-\infty}^\infty d\epsilon D(\epsilon)G(\epsilon)  $$

साथ $$D(\epsilon) = \begin{cases} \frac{m}{\hbar^2\pi^2}\sqrt{\frac{2m\epsilon}{\hbar^2}} & \mbox{if } \epsilon>0, \\ 0 & \mbox{if } \epsilon<0 \\ \end{cases}$$ जिसे स्तरों के घनत्व या प्रति इकाई आयतन की अवस्थाओं के घनत्व के रूप में जाना जाता है $$D(\epsilon) d \epsilon $$ के बीच राज्यों की कुल संख्या है $$\epsilon$$ और $$\epsilon+ d\epsilon $$. ऊपर दिए गए भावों का उपयोग करके अभिन्नों को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है:



\begin{align} u&=\int_{-\infty}^\infty d\epsilon D(\epsilon)\epsilon f(\epsilon) \\ n&=\int_{-\infty}^\infty d\epsilon D(\epsilon)f(\epsilon) \end{align}$$ इन अभिन्नों का मूल्यांकन उन तापमानों के लिए किया जा सकता है जो सोमरफेल्ड विस्तार को लागू करके और सन्निकटन का उपयोग करके फर्मी तापमान की तुलना में छोटे हैं $$\mu$$ से मतभेद होना $$\epsilon_f$$ के लिए $$T=0$$ आदेश की शर्तों के अनुसार $$T^2$$. अभिव्यक्तियाँ बन जाती हैं:



\begin{align} u&=\int_0^{\epsilon_f} \epsilon D(\epsilon)d\epsilon + \epsilon_f \left(   (\mu-\epsilon_f )D(\epsilon_f)+ \frac{\pi^2}{6}(k_{\rm B}T)^2 \dot D(\epsilon_f)\right)  + \frac{\pi^2}{6}(k_{\rm B}T)^2 D(\epsilon_f)+ \mathcal{O}(T^4) \\ n&=\int_0^{\epsilon_f} D(\epsilon)d\epsilon + \left(   (\mu-\epsilon_f )D(\epsilon_f)+ \frac{\pi^2}{6}(k_{\rm B}T)^2 \dot D(\epsilon_f)\right) \end{align}$$ जमीनी अवस्था विन्यास के लिए उपरोक्त भावों के पहले पद (अभिन्न) जमीनी अवस्था की आंतरिक ऊर्जा और इलेक्ट्रॉन घनत्व उत्पन्न करते हैं। इलेक्ट्रॉन घनत्व के लिए अभिव्यक्ति कम हो जाती है $$( \mu-\epsilon_f )D(\epsilon_f)+ \frac{\pi^2}{6}(k_{\rm B}T)^2 \dot D(\epsilon_f)=0 $$. इसे आंतरिक ऊर्जा के लिए अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने पर, निम्नलिखित अभिव्यक्ति मिलती है:


 * $$u=u_0+\frac{\pi^2}{6}(k_{\rm B}T)^2D(\epsilon_f) $$

अंतिम अभिव्यक्ति
मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल के भीतर इलेक्ट्रॉनों का योगदान इस प्रकार दिया गया है:


 * $$C_v=\left( \frac{\partial u}{\partial T} \right)_n = \frac{\pi^2}{3} k_{\rm B}^2TD(\epsilon_f)$$, मुक्त इलेक्ट्रॉनों के लिए: $$ C_V = C_v / n = \frac{\pi^2}{2} \frac{k_{\rm B}^2T}{\epsilon_f} $$

शास्त्रीय परिणाम की तुलना में ($$ C_V=\tfrac{3}{2}k_{\rm B}$$), यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि यह परिणाम एक कारक द्वारा दबा हुआ है $$ \frac{\pi^2}{3} \frac{k_{\rm B}T}{\epsilon_f} $$ जो परिमाण के क्रम के कमरे के तापमान पर है $$10^{-2}$$. यह प्रयोगात्मक रूप से मापी गई ताप क्षमता में इलेक्ट्रॉनिक योगदान की अनुपस्थिति की व्याख्या करता है।

ध्यान दें कि इस व्युत्पत्ति में $$\epsilon_f$$ प्रायः द्वारा दर्शाया जाता है $$E_{\rm F}$$ जिसे फर्मी ऊर्जा के नाम से जाना जाता है। इस संकेतन में, इलेक्ट्रॉन ताप क्षमता बन जाती है:


 * $$C_v= \frac{\pi^2}{3} k_{\rm B}^2TD(E_{\rm F})$$ और मुक्त इलेक्ट्रॉनों के लिए: $$ C_V = \frac{\pi^2}{2}k_{\rm B} \left( \frac{k_{\rm B}T}{E_{\rm F}} \right) = \frac{\pi^2}{2} k_{\rm B}\left( \frac{T}{T_{\rm F}} \right) $$ फर्मी ऊर्जा की परिभाषा का उपयोग करते हुए $$ T_{\rm F} $$ फर्मी तापमान.

धातुओं की ताप क्षमता के लिए प्रयोगात्मक परिणामों के साथ तुलना
डेबी तापमान दोनों से नीचे के तापमान के लिए $$T_{\rm D}$$ और फर्मी तापमान $$T_{\rm F}$$ धातुओं की ताप क्षमता को इलेक्ट्रॉन और फोनन योगदान के योग के रूप में लिखा जा सकता है जो क्रमशः रैखिक और घन हैं: $$C_V=\gamma T +AT^3$$. गुणांक $$\gamma$$ प्रयोगात्मक रूप से गणना और निर्धारण किया जा सकता है। हम इस मान की रिपोर्ट नीचे देते हैं: किसी धातु में मुक्त इलेक्ट्रॉन आमतौर पर उच्च तापमान पर डुलोंग-पेटिट नियम से मजबूत विचलन का कारण नहीं बनते हैं। तब से $$\gamma$$ में रैखिक है $$T$$ और $$A$$ में रैखिक है $$T^3$$, कम तापमान पर जाली का योगदान इलेक्ट्रॉनिक योगदान की तुलना में तेजी से गायब हो जाता है और बाद वाले को मापा जा सकता है। किसी धातु की ताप क्षमता में अनुमानित और प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित इलेक्ट्रॉनिक योगदान का विचलन बहुत बड़ा नहीं है। कुछ धातुएँ इस अनुमानित भविष्यवाणी से काफी भिन्न हैं। मापों से संकेत मिलता है कि ये त्रुटियां धातु में किसी तरह से बदले गए इलेक्ट्रॉन द्रव्यमान से जुड़ी हैं, इलेक्ट्रॉन ताप क्षमता की गणना के लिए इसके बजाय एक इलेक्ट्रॉन के प्रभावी द्रव्यमान (ठोस-अवस्था भौतिकी) पर विचार किया जाना चाहिए। Fe और Co के लिए बड़े विचलन को इन संक्रमण धातुओं के आंशिक रूप से भरे हुए डी-कोशों के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है, जिनके डी-बैंड फर्मी ऊर्जा पर स्थित होते हैं। क्षार धातुओं से मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल के साथ सबसे अच्छा समझौता होने की उम्मीद है क्योंकि ये धातुएं एक बंद कोश के बाहर केवल एक एस-इलेक्ट्रॉन हैं। हालाँकि, सोडियम, जिसे एक मुक्त इलेक्ट्रॉन धातु के सबसे करीब माना जाता है, में भी एक होना निर्धारित है $$\gamma$$ सिद्धांत की अपेक्षा से 25 प्रतिशत अधिक।

कुछ प्रभाव सन्निकटन से विचलन को प्रभावित करते हैं:
 * कठोर क्रिस्टल जाली की आवधिक क्षमता के साथ चालन इलेक्ट्रॉनों की परस्पर क्रिया की उपेक्षा की जाती है।
 * फ़ोनों के साथ चालन इलेक्ट्रॉनों की अंतःक्रिया को भी उपेक्षित किया जाता है। यह अंतःक्रिया इलेक्ट्रॉन के प्रभावी द्रव्यमान में परिवर्तन का कारण बनती है और इसलिए यह इलेक्ट्रॉन ऊर्जा को प्रभावित करती है।
 * चालन इलेक्ट्रॉनों की आपस में परस्पर क्रिया को भी नजरअंदाज कर दिया जाता है। एक गतिमान इलेक्ट्रॉन आसपास के इलेक्ट्रॉन गैस में एक जड़त्वीय प्रतिक्रिया का कारण बनता है।

अतिचालक
अतिचालकता आवधिक प्रणाली के कई धातु तत्वों और मिश्र धातुओं, अंतरधात्विक  यौगिकों और डोप्ड अर्धचालकों में भी होती है। यह प्रभाव सामग्री को ठंडा करने पर होता है। क्रांतिक तापमान से नीचे ठंडा करने पर एन्ट्रापी कम हो जाती है $$T_c$$ अतिचालकता के लिए जो इंगित करता है कि अतिचालक अवस्था सामान्य अवस्था की तुलना में अधिक सुव्यवस्थित है। एन्ट्रापी परिवर्तन छोटा है, इसका मतलब यह होना चाहिए कि इलेक्ट्रॉनों का केवल एक बहुत छोटा अंश सुपरकंडक्टिंग अवस्था में संक्रमण में भाग लेता है, लेकिन, ताप क्षमता में इलेक्ट्रॉनिक योगदान में भारी बदलाव होता है। क्रांतिक तापमान पर ताप क्षमता में तेज उछाल होता है जबकि क्रांतिक तापमान से ऊपर के तापमान के लिए ताप क्षमता तापमान के साथ रैखिक होती है।

व्युत्पत्ति
सुपर कंडक्टरों के लिए इलेक्ट्रॉन ताप क्षमता की गणना बीसीएस सिद्धांत में की जा सकती है। इस मामले में कूपर जोड़े में फर्मिओनिक क्वासिपार्टिकल्स की प्रणाली की एन्ट्रापी है:


 * $$ S(T)=-2k_{\rm B} \sum_k[f_k \ln f_k +(1-f_k) \ln(1-f_k)] $$

कहाँ $$f_k$$ फर्मी-डिराक वितरण है $$ f_k=\frac{1}{e^{\beta \omega_k}+1}$$ साथ $$\omega_k=\sqrt{\epsilon_k^2+\Delta_k(T)^2}$$ और
 * $$ \epsilon_k=E_K-\mu=\hbar^2\mathbf{k}^2/2m -\mu $$ फर्मी ऊर्जा के संबंध में कण ऊर्जा है
 * $$\Delta_k(T) =-\sum_{kk'}u_{k'}v_{k'}$$ ऊर्जा अंतर पैरामीटर जहां $$u_k$$ और $$v_k$$ इस संभावना को दर्शाता है कि कूपर जोड़ी क्रमशः कब्जे में है या खाली है।

ताप क्षमता द्वारा दी गई है $$ C_v(T)=T\frac{\partial S(T)}{\partial T}=T\sum_k \frac{\partial S}{\partial f_k}\frac{\partial f_k}{\partial T} $$. अंतिम दो पदों की गणना की जा सकती है:


 * $$ \begin{align}

\frac{\partial S}{\partial f_k} &=-2k_{\rm B} \ln\frac{f_k}{1-f_k}=2\frac{1}{T} \sqrt{\epsilon_k^2+\Delta_k(T)^2}\\ \frac{\partial f_k}{\partial T} &= \frac{1}{k_{\rm B} T^2} \frac{e^{\beta \omega_k}}{(e^{\beta \omega_k}+1)^2}\left( \sqrt{\epsilon_k^2+\Delta_k(T)^2}-T\frac{\partial}{\partial T} \sqrt{\epsilon_k^2+\Delta_k(T)^2} \right) \end{align} $$ ऊष्मा क्षमता के लिए अभिव्यक्ति में इसे प्रतिस्थापित करना और उस योग को फिर से लागू करना $$\mathbf{k}$$ पारस्परिक स्थान में एक अभिन्न द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है $$\epsilon$$ राज्यों के घनत्व से गुणा किया गया $$ D(E_{\rm F})$$ यह प्रदान करता है:


 * $$ C_v(T)=\frac{2D(E_{\rm F})}{k_{\rm B} T^2}\int^\infty_{-\infty} \left[ \frac{e^{\frac{\sqrt{\epsilon_k^2+\Delta_k(T)^2}}{k_{\rm B} T}}}{(e^{\frac{\sqrt{\epsilon_k^2+\Delta_k(T)^2}}{k_{\rm B} T}}+1)^2} \left( \epsilon_k^2 + \Delta_k(T)^2 -\frac{T}{2} \frac{\partial}{\partial T} \Delta_k(T)^2 \right) \right] d\epsilon_k$$

सुपरकंडक्टर्स के लिए विशेषता व्यवहार
सुपरकंडक्टिंग अवस्था में संक्रमण कर सकने वाली प्रजातियों के लिए इलेक्ट्रॉन ताप क्षमता के विशिष्ट व्यवहार की जांच करने के लिए, तीन क्षेत्रों को परिभाषित किया जाना चाहिए:


 * 1) क्रांतिक तापमान से ऊपर $$ T>T_c $$ #क्रांतिक तापमान पर $$ T=T_c $$ #क्रांतिक तापमान से नीचे $$ T टी पर सुपरकंडक्टर्स c
के लिए $$ T>T_c $$ यह उसे धारण करता है $$ \Delta_k(T)=0 $$ और इलेक्ट्रॉन ताप क्षमता बन जाती है:


 * $$ C_v(T)=\frac{4D(E_{\rm F})}{k_{\rm B} T^2}\int^\infty_{-\infty}\frac{e^{\beta \epsilon}}{(e^{\beta \epsilon}+1)^2} \epsilon^2 d\epsilon=\frac{\pi^2}{3}D(E_{\rm F})k_{\rm B}^2T $$

जैसा कि अपेक्षित था, यह उपरोक्त अनुभाग में प्राप्त सामान्य धातु का परिणाम है क्योंकि एक अतिचालक  महत्वपूर्ण तापमान से ऊपर एक सामान्य कंडक्टर के रूप में व्यवहार करता है।

टी < टी पर सुपरकंडक्टर्स c
के लिए $$ T<T_c $$ सुपर कंडक्टरों के लिए इलेक्ट्रॉन ताप क्षमता एक घातीय क्षय को प्रदर्शित करती है: $$ C_v(T)\approx e^{-\beta \Delta_k(0)} $$

टी = टी पर सुपरकंडक्टर्स c
क्रांतिक तापमान पर ताप क्षमता बंद हो जाती है। ताप क्षमता में यह असंतोष इंगित करता है कि किसी सामग्री के लिए सामान्य संचालन से अतिचालक में संक्रमण दूसरे क्रम का चरण संक्रमण है।

यह भी देखें

 * ड्रूड मॉडल
 * फर्मी-डिराक आँकड़े
 * थर्मल प्रभावी द्रव्यमान
 * प्रभावी द्रव्यमान (ठोस अवस्था भौतिकी)
 * अतिचालकता
 * बीसीएस सिद्धांत

संदर्भ
General references: