औसत पूर्ण प्रतिशत त्रुटि

औसत पूर्ण प्रतिशत त्रुटि (एमएपीई), जिसे औसत पूर्ण प्रतिशत विचलन (एमएपीडी) के रूप में भी जाना जाता है, आंकड़ों में पूर्वानुमान पद्धति की भविष्यवाणी उपयुक्तता का एक उपाय है। यह सामान्यता उपयुक्तता को सूत्र द्वारा परिभाषित अनुपात के रूप में व्यक्त करता है:


 * $$\mbox{MAPE} = \frac{100\%}{n}\sum_{t=1}^n \left|\frac{A_t-F_t}{A_t}\right| $$

जहाँ $A_{t}$ वास्तविक मूल्य है और $F_{t}$ पूर्वानुमान मान है। उनके अंतर को वास्तविक मूल्य से विभाजित किया जाता है $A_{t}$. इस अनुपात का निरपेक्ष मूल्य समय में प्रत्येक पूर्वानुमानित बिंदु के लिए अभिव्यक्त किया जाता है और $n$ व्यक्त किए गए बिंदुओं की संख्या से विभाजित किया जाता है.

प्रतिगमन समस्याओं में एमएपीई
सापेक्ष त्रुटि के संदर्भ में इसकी बहुत सहज व्याख्या के कारण औसत पूर्ण प्रतिशत त्रुटि सामान्यता प्रतिगमन विश्लेषण और मॉडल मूल्यांकन के लिए हानिकारक कार्य के रूप में उपयोग की जाती है।

परिभाषा
मानक प्रतिगमन व्यवस्था पर विचार करें जिसमें एक यादृच्छिक समरूप द्वारा डेटा का पूर्णतः वर्णन किया गया है $$Z=(X,Y)$$ मूल्यों के साथ $$\mathbb{R}^d\times\mathbb{R}$$, और $n$ आई.आई.डी. प्रतियां $$(X_1, Y_1), ..., (X_n, Y_n)$$ का $$(X,Y)$$. प्रतिगमन मॉडल का उद्देश्य समरूप के लिए एक उचित मॉडल खोजना है, जो एक मापने योग्य कार्य है $g$ से $$\mathbb{R}^d$$ को $$\mathbb{R}$$ ऐसा है कि $$g(X)$$ $Y$ के निकट है.

मौलिक प्रतिगमन व्यवस्था में, $$g(X)$$ की निकटता $Y$ को $L_{2}$ हानियों द्वारा मापा जाता है, जिसे माध्य वक्रता त्रुटि (एमएसई) भी कहा जाता है। एमएपीई प्रतिगमन संदर्भ में, की निकटता $$g(X)$$ को $Y$ को एमएपीई के माध्यम से मापा जाता है, और एमएपीई प्रतिगमन का उद्देश्य एक मॉडल खोजना है $$g_\text{MAPE}$$ ऐसा है कि:


 * $$g_\text{MAPE}(x) = \arg\min_{g \in \mathcal{G}} \mathbb{E}\left[ \left|\frac{g(X) - Y}{Y}\right||X = x\right]$$

जहाँ $$\mathcal{G}$$ माना जाने वाला मॉडल का वर्ग है (उदाहरण के लिए रैखिक मॉडल)।

व्यवहारतः

व्यवहारतः $$g_\text{MAPE}(x)$$ अनुभवजन्य हानियाँ न्यूनीकरण रणनीति द्वारा आकलन किया जा सकता है, जिससे


 * $$ \widehat{g}_\text{MAPE}(x) = \arg\min_{g \in \mathcal{G}} \sum_{i=1}^n \left|\frac{g(X_i) - Y_i}{Y_i}\right|$$

व्यावहारिक दृष्टिकोण से, प्रतिगमन मॉडल के लिए गुणवत्ता फ़ंक्शन के रूप में एमएपीई का उपयोग भारित औसत पूर्ण त्रुटि (एमएई) प्रतिगमन करने के समान है, जिसे मात्रात्मक प्रतिगमन भी कहा जाता है। यह गुणधर्म नगण्य है


 * $$ \widehat{g}_\text{MAPE}(x) = \arg\min_{g \in \mathcal{G}} \sum_{i=1}^n \omega(Y_i) \left|g(X_i) - Y_i\right| \mbox{ with } \omega(Y_i) = \left|\frac{1}{Y_i}\right|$$

परिणामस्वरूप, एमएपीई का उपयोग व्यवहारतः बहुत सरल है, उदाहरण के लिए भार की अनुमति देने वाले मात्रात्मक प्रतिगमन के लिए उपस्थित पुस्तकालयों का उपयोग करना।

संगति
प्रतिगमन विश्लेषण के लिए हानिकारक कार्य के रूप में एमएपीई का उपयोग व्यावहारिक दृष्टिकोण और सैद्धांतिक दृष्टिकोण दोनों पर संभव है, क्योंकि एक इष्टतम मॉडल के अस्तित्व और अनुभवजन्य हानियाँ न्यूनीकरण की स्थिरता (सांख्यिकी) सिद्ध हो सकती है।

डब्ल्यूएमएपीई
डब्ल्यूएमएपीई (कभी-कभी स्पेलिंग डब्ल्यूएमएपीई) भारित माध्य निरपेक्ष प्रतिशत त्रुटि के लिए है। यह प्रतिगमन या पूर्वानुमान मॉडल के प्रदर्शन का मूल्यांकन करने के लिए उपयोग किया जाने वाला एक उपाय है। यह एमएपीई का एक रूप है जिसमें औसत पूर्ण प्रतिशत त्रुटियों को भारित अंकगणितीय माध्य के रूप में माना जाता है। सामान्यता पूर्ण प्रतिशत त्रुटियां वास्तविक रूप द्वारा भारित होती हैं (उदाहरण के लिए बिक्री पूर्वानुमान की स्थिति में, त्रुटियों को बिक्री मात्रा द्वारा भारित किया जाता है)।. प्रभावी रूप से, यह 'अनंत त्रुटि स्थिति पर नियन्त्रण पा लेता है। इसका सूत्र है:
 * $$\mbox{wMAPE} = \frac{\sum_{i=1}^n (w_i \cdot \frac{\left|A_i-F_i\right|}{|A_i|})}{\sum_{i=1}^n w_i} = \frac{\sum_{i=1}^n (|A_i| \cdot \frac{\left|A_i-F_i\right|}{|A_i|})}{\sum_{i=1}^n \left|A_i\right|}$$

जहाँ $$w_i$$ भार है, $$A$$ वास्तविक डेटा का वेक्टर है और $$F$$ पूर्वानुमान या भविष्यवाणी है।

यधपि, यह प्रभावी रूप से बहुत सरल सूत्र को सरल करता है:
 * $$\mbox{wMAPE} = \frac{\sum_{i=1}^n \left|A_i-F_i\right|}{\sum_{i=1}^n \left|A_i\right|}$$

भ्रामक रूप से, कभी-कभी जब लोग डब्ल्यूएमएपीई का उल्लेख करते हैं तो वे एक अलग मॉडल के बारे में चर्चा कर रहे होते हैं जिसमें उपरोक्त डब्ल्यूएमएपीई सूत्र के अंश और भाजक को फिर से प्रचलित भार के दूसरे समूह $$w_i$$ द्वारा भारित किया जाता है।. संभवतः इसे डबल वेटेड एमएपीई (डब्ल्यूडब्ल्यूएमएपीई) कहना अधिक उपयुक्त होगा। इसका सूत्र है:
 * $$\mbox{wMAPE} = \frac{\sum_{i=1}^n w_i \left|A_i-F_i\right|}{\sum_{i=1}^n w_i \left|A_i\right|}$$

समस्याएँ
यधपि एमएपीई की अवधारणा बहुत सरल और ठोस लगती है, व्यावहारिक अनुप्रयोग में इसकी बड़ी त्रुटियाँ हैं, और एमएपीई की त्रुटियों और भ्रामक परिणामों पर कई अध्ययन हैं।
 * इसका उपयोग नहीं किया जा सकता है यदि शून्य या निकट-शून्य मान हैं (जो कभी-कभी होता है, उदाहरण के लिए मांग डेटा में) क्योंकि शून्य से एक विभाजन होगा या एमएपीई के मूल्य अनंत तक चल रहे हैं।
 * उन पूर्वानुमानों के लिए जो बहुत कम हैं, प्रतिशत त्रुटि 100% से अधिक नहीं हो सकती है, लेकिन उन पूर्वानुमानों के लिए जो बहुत अधिक हैं, प्रतिशत त्रुटि की कोई ऊपरी सीमा नहीं है।
 * एमएपीई नकारात्मक त्रुटियों पर भारी दंड लगाता है, $$A_t < F_t$$ सकारात्मक त्रुटियों की तुलना में। परिणामस्वरूप, जब एमएपीई का उपयोग भविष्यवाणी विधियों की उपयुक्तता की तुलना करने के लिए किया जाता है तो यह पक्षपाती होता है कि यह व्यवस्थित रूप से एक ऐसी विधि का चयन करेगा जिसका पूर्वानुमान बहुत कम है। इस अल्पज्ञात लेकिन गंभीर समस्याओं का उपयुक्त अनुपात के लघुगणक (वास्तविक मूल्य के लिए आकलनित अनुपात) के आधार पर उपयुक्त माप का उपयोग करके दूर किया जा सकता है। $\log\left(\frac{\text{predicted}}{\text{actual}}\right) $ . यह दृष्टिकोण उचित सांख्यिकीय गुणों की ओर जाता है और उन भविष्यवाणियों की ओर भी ले जाता है जिनकी व्याख्या ज्यामितीय माध्य के रूप में की जा सकती है। * लोग अधिकांशतः सोचते हैं कि एमएपीई माध्यिका पर अनुकूलित होगा। लेकिन उदाहरण के लिए, एक लॉग नॉर्मल का माध्यिका होता है $$e^\mu$$ जहां पर यह एमएपीई अनुकूलित है $$e^{\mu - \sigma^{2}}$$.

एमएपीई के साथ इन समस्याओं को दूर करने के लिए लेख में कुछ अन्य उपाय प्रस्तावित हैं:
 * माध्य पूर्ण तुलनीय त्रुटि (एमएएसई)
 * सममित माध्य निरपेक्ष प्रतिशत त्रुटि (एसएमएपीई)
 * माध्य दिशात्मक शुद्धता (एमडीए)
 * माध्य आर्कटैंजेंट पूर्ण प्रतिशत त्रुटि (एमएएपीई): एमएएपीई को कोण के रूप में ढलान माना जा सकता है, जबकि एमएपीई अनुपात के रूप में ढलान है।

यह भी देखें

 * न्यूनतम पूर्ण विचलन
 * माध्य पूर्ण त्रुटि
 * माध्य प्रतिशत त्रुटि
 * सममित माध्य पूर्ण प्रतिशत त्रुटि

बाहरी संबंध

 * प्रतिगमन मॉडल के लिए माध्य निरपेक्ष प्रतिशत त्रुटि
 * माध्य निरपेक्ष प्रतिशत त्रुटि (एमएपीई)
 * प्रतिशत त्रुटियों पर त्रुटियाँ - एमएपीई के प्रकार
 * माध्य आर्कटैंजेंट पूर्ण प्रतिशत त्रुटि (एमएएपीई)