स्वातंत्र्य कोटि (यांत्रिकी)

भोतिकी में, एक यांत्रिक प्रणाली की स्वतंत्रता की डिग्री स्वतंत्र मापदंडों की संख्या है जो इसकी कॉन्फ़िगरेशन या स्थिति को परिभाषित करती है। मैकेनिकल इंजीनियरिंग, संरचनागत वास्तुविद्या,  अंतरिक्ष इंजिनीयरिंग , रोबोटिक्स और अन्य क्षेत्रों में निकायों के प्रणाली के विश्लेषण में यह महत्वपूर्ण है।

ट्रैक के सापेक्ष चलने वाले एकल रेलकार (इंजन) की स्थिति में स्वतंत्रता की एक डिग्री होती है क्योंकि कार की स्थिति ट्रैक के सापेक्ष दूरी से परिभाषित होती है। एक इंजन से टिका लगाकर जुड़ी कठोर कारों की एक ट्रेन में अभी भी केवल एक डिग्री की स्वतंत्रता है क्योंकि इंजन के पीछे कारों की स्थिति ट्रैक के आकार से सीमित है।

अत्यधिक कठोर निलंबन वाले ऑटोमोबाइल को विमान पर यात्रा करने वाला दृढ़ पिंड  माना जा सकता है। इस निकाय में अनुवाद के दो घटकों और  ROTATION  के एक कोण से मिलकर स्वतंत्रता की तीन स्वतंत्र डिग्री हैं। स्किडिंग या  बहाव (मोटरस्पोर्ट्स)  एक ऑटोमोबाइल की स्वतंत्रता की तीन स्वतंत्र डिग्री का एक अच्छा उदाहरण है।

अंतरिक्ष में एक दृढ़ पिंड की स्थिति और अभिविन्यास (ज्यामिति) को अनुवाद (भौतिकी) के तीन घटकों और घूर्णन के तीन घटकों द्वारा परिभाषित किया गया है, जिसका अर्थ है कि इसमें स्वतंत्रता की छह डिग्री हैं।

सटीक बाधा यांत्रिक प्रारूप विधि स्वतंत्रता की डिग्री का प्रबंधन करती है, न तो किसी उपकरण को न्यूनतम करती है और न ही अधिक बाधित करती है।

गति और आयाम
एक n-आयामी दृढ़ पिंड की स्थिति कठोर परिवर्तन द्वारा परिभाषित की जाती है, [T] = [A, d], जहां d एक n-आयामी अनुवाद है और A एक n × n घूर्णन मैट्रिक्स है, जिसमें n ट्रांसलेशनल स्वतंत्रता डिग्री और n(n − 1)/2 स्वतंत्रता की घूर्णी डिग्री  है। स्वतंत्रता की घूर्णी डिग्री की संख्या घूर्णन समूह SO(n) के आयाम से आती है।

एक गैर-कठोर या विकृत शरीर को कई सूक्ष्म कणों को डीओएफ की अनंत संख्या के संग्रह के रूप में माना जा सकता है, यह प्रायः परिमित डीओएफ प्रणाली द्वारा अनुमानित होता है। जब गति में बड़े विस्थापन सम्मिलित हैं अध्ययन का मुख्य उद्देश्य है कि विश्लेषण को आसान बनाने के लिए एक विकृत शरीर को एक दृढ़ पिंड के रूप में अनुमानित किया जा सकता है।

किसी प्रणाली की स्वतंत्रता की डिग्री को कॉन्फ़िगरेशन निर्दिष्ट करने के लिए आवश्यक निर्देशांक की न्यूनतम संख्या के रूप में देखा जा सकता है। इस परिभाषा को प्रारंभ करते हुए, हमारे पास:
 * 1) एक समतल में एक कण के लिए दो निर्देशांक इसके स्थान को परिभाषित करते हैं, इसलिए इसमें स्वतंत्रता की दो डिग्री होती हैं;
 * 2) अंतरिक्ष में एक कण को ​​​​तीन निर्देशांक की आवश्यकता होती है, इसलिए इसमें तीन डिग्री की स्वतंत्रता होती है;
 * 3) अंतरिक्ष में दो कणों की स्वतंत्रता की संयुक्त छह डिग्री होती है;
 * 4) यदि अंतरिक्ष में दो कण एक दूसरे से एक निरंतर दूरी बनाए रखने के लिए मजबूर हैं, जैसे कि डायटोमिक अणु के स्थिति में, तो छह निर्देशांकों को दूरी सूत्र द्वारा परिभाषित एकल बाधा समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। यह प्रणाली की स्वतंत्रता की डिग्री को पांच तक न्यूनतम कर देता है, क्योंकि अन्य पांच निर्दिष्ट किए जाने के उपरांत शेष सूत्र को हल करने के लिए दूरी सूत्र का उपयोग किया जा सकता है।

दृढ़ पिंड


एक दृढ़ पिंड में स्वतंत्रता की अधिकतम छह डिग्री होती है जिसमें 3T3R होती है तथा 3T3R के ही तीन परिक्रमणहीन 3T और तीन घूर्णन 3R होते हैं।

यूलर कोण भी देखें।

उदाहरण के लिए, समुद्र में एक जहाज की गति में दृढ़ पिंड की स्वतंत्रता की छह डिग्री होती है, और इसे इस प्रकार वर्णित किया जाता है: अनुवाद और घूर्णन: उदाहरण के लिए, उड़ान में हवाई जहाज के प्रक्षेपवक्र में स्वतंत्रता की तीन डिग्री होती है और प्रक्षेपवक्र के सापेक्ष इसकी प्रवृत्ति में स्वतंत्रता की कुल छह डिग्री के लिए स्वतंत्रता की तीन डिग्री होती है।
 * 1) चलना या बढ़ना: आगे और पीछे चलना;
 * 2) स्ट्राफिंग या लहराना: बाएं और दाएं घूमना;
 * 3) एलिवेटिंग या हीविंग: ऊपर और नीचे जाना;
 * 4) रोल घूर्णन: पिवोट्स साइड टू साइड;
 * 5) पिच घूर्णन: आगे और पीछे की ओर झुकता है;
 * 6) यॉ घूर्णन: बाएं और दाएं घूमता है;


 * उड़ान और जहाज की गतिशीलता में रोलिंग के लिए, क्रमशः रोल (विमानन) और रोल (जहाज की गति) देखें।
 * एक महत्वपूर्ण व्युत्पन्न रोल दर है, जो कोणीय गति है जिस पर एक विमान अपना रोल रवैया परिवर्तित सकता है, और यद्यपि प्रति सेकंड डिग्री में व्यक्त किया जाता है।
 * उड़ान और जहाज की गतिशीलता में पिचिंग के लिए क्रमशः पिच (विमानन) और पिच (जहाज गति) देखें।
 * उड़ान और जहाज की गतिशीलता में परि ऊर्ध्वाक्ष दोलन लेने के लिए, क्रमशः यव (एविएशन) और यॉ (जहाज की गति) देखें।
 * एक महत्वपूर्ण व्युत्पत्ति यव दर है, यव घूर्णन की कोणीय गति, या दर सेंसर के सापेक्ष मापी जाती है।
 * एक अन्य महत्वपूर्ण व्युत्पत्ति यॉइंग मोमेंट है, एक यॉ घूर्णन की कोणीय गति, जो विमान की गतिशीलता में प्रतिकूल यव के लिए महत्वपूर्ण है।

न्यूनतम गतिशीलता
भौतिक बाधाएं एकल कठोर निकाय की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या को सीमित कर सकती हैं। उदाहरण के लिए, एक सपाट मेज पर चारों ओर स्खलन वाले ब्लॉक में 3 DOF 2T1R होते हैं जिसमें दो अनुवाद 2T और 1 घूर्णन 1R होते हैं। SCARA जैसे XYZ पोजिशनिंग रोबोट में 3 DOF 3T न्यूनतम गतिशीलता है।

गतिशीलता सूत्र
गतिशीलता सूत्र उन मापदंडों की संख्या की गणना करता है जो कठोर निकायों के एक सेट के विन्यास को परिभाषित करते हैं जो इन निकायों को जोड़ने वाले जोड़ों से मजबूर हैं।

अंतरिक्ष में चलने वाले n कठोर पिंडों की एक प्रणाली पर विचार करें, जिसमें एक निश्चित फ्रेम के सापेक्ष 6n स्वतंत्रता की डिग्री मापी गई है। इस प्रणाली की स्वतंत्रता की डिग्री की गणना करने के लिए, निश्चित निकाय को निकायों की गिनती में सम्मिलित करें, क्योंकी गतिशीलता निश्चित फ्रेम बनाने वाले निकाय की पसंद से स्वतंत्र हो।पुनः N = n + 1 की अनियंत्रित प्रणाली की स्वतंत्रता की डिग्री है
 * $$ M=6n=6(N-1), \!$$

क्योंकि निश्चित निकाय में स्वयं के सापेक्ष स्वतंत्रता की शून्य डिग्री होती है।

इस प्रणाली में निकायों को जोड़ने वाले जोड़ स्वतंत्रता की डिग्री को न्यूनतम करते हैं और गतिशीलता को न्यूनतम करते हैं। विशेष रूप से, कब्ज़े और स्लाइडर्स प्रत्येक में पाँच बाधाएँ लगाते हैं और इसलिए पाँच डिग्री की स्वतंत्रता को हटा देते हैं। बाधाओं की संख्या c को परिभाषित करना सुविधाजनक है जो एक संयुक्त संयुक्त की स्वतंत्रता f के संदर्भ में लगाता है, जहां c = 6 - f हिंज या स्लाइडर के स्थिति में, जो स्वतंत्रता जोड़ों की एक डिग्री है, में f = 1 है और इसलिए c = 6 − 1 = 5 है।

परिणाम यह है कि एन मूविंग लिंक्स और जे जॉइंट्स से बनने वाली प्रणाली की गतिशीलता प्रत्येक स्वतंत्रता एफ के सापेक्ष हैi, i = 1, ..., j, द्वारा दिया गया है


 * $$ M = 6n - \sum_{i=1}^j\ (6 - f_i) = 6(N-1 - j) + \sum_{i=1}^j\ f_i $$

याद रखें कि N में निश्चित लिंक सम्मिलित है।

दो महत्वपूर्ण विशेष स्थिति हैं: (i) एक साधारण खुली श्रृंखला, और (ii) एक साधारण बंद श्रृंखला। एक एकल खुली श्रृंखला में n जोड़ों द्वारा अंत से अंत तक जुड़े हुए n मूविंग लिंक होते हैं, जिसका एक सिरा ग्राउंड लिंक से जुड़ा होता है। इस प्रकार, इस स्थिति में N=j+1 और श्रृंखला की गतिशीलता है
 * $$ M = \sum_{i=1}^j\ f_i $$

एक साधारण बंद श्रृंखला के लिए, n मूविंग लिंक n + 1 जोड़ों द्वारा शुरू से अंत तक जुड़े होते हैं जैसे कि दो छोर एक लूप बनाने वाले ग्राउंड लिंक से जुड़े होते हैं। इस स्थिति में, हमारे पास N = j है और श्रृंखला की गतिशीलता है
 * $$ M = \sum_{i=1}^j\ f_i - 6 $$

एक साधारण ओपन चेन का एक उदाहरण सीरियल रोबोट मैनिपुलेटर है। ये रोबोटिक प्रणाली छह एक डिग्री-ऑफ-फ्रीडम रेवोल्यूशन या प्रिज्मीय जोड़ों से जुड़े लिंक की एक श्रृंखला से निर्मित होते हैं, इसलिए प्रणाली में छह डिग्री की स्वतंत्रता होती है।

RSSR स्थानिक चार-बार लिंकेज एक साधारण बंद श्रृंखला का एक उदाहरण है। इन जोड़ों की स्वतंत्रता का योग आठ है, इसलिए लिंकेज की गतिशीलता दो है, जहां स्वतंत्रता की एक डिग्री दो एस जोड़ों को जोड़ने वाली रेखा के चारों ओर युग्मक का घूमना है।

प्लानर और गोलाकार आंदोलन
लिंकेज (मैकेनिकल) को प्रारूप करना आम बात है क्योंकी सभी निकायों के आंदोलन को समांतर विमानों पर झूठ बोलने के लिए मजबूर किया जा सके, जिसे प्लानर लिंकेज के रूप में जाना जाता है। लिंकेज प्रणाली का निर्माण करना भी संभव है क्योंकी सभी पिंड एक गोलाकार लिंकेज बनाते हुए संकेंद्रित क्षेत्रों में घूमें। दोनों ही मामलों में, प्रत्येक प्रणाली में लिंक्स की स्वतंत्रता की डिग्री अब छह के बजाय तीन है, और जोड़ों द्वारा लगाए गए प्रतिबंध अब c = 3 − f हैं।

इस स्थिति में, गतिशीलता सूत्र द्वारा दिया गया है
 * $$M = 3(N- 1 - j)+ \sum_{i=1}^j\ f_i, $$

और विशेष स्थिति बन जाते हैं प्लानर सरल बंद श्रृंखला का एक उदाहरण प्लानर चार-बार लिंकेज  है, जो चार-बार लूप है जिसमें चार एक डिग्री-ऑफ़-फ्रीडम जोड़ हैं और इसलिए इसमें गतिशीलता M = 1 है।
 * प्लानर या गोलाकार सरल खुली श्रृंखला, $$ M = \sum_{i=1}^j\ f_i, $$
 * प्लानर या गोलाकार सरल बंद श्रृंखला, $$ M = \sum_{i=1}^j\ f_i - 3. $$

निकायों की प्रणाली
कई निकायों वाली एक प्रणाली में एक संयुक्त डीओएफ होगा जो कि निकायों के डीओएफ का योग है, आंतरिक बाधाओं को न्यूनतम करके वे सापेक्ष गति पर हो सकते हैं। एक तंत्र (इंजीनियरिंग) या लिंकेज (मैकेनिकल) जिसमें कई जुड़े दृढ़ पिंड होते हैं, एक दृढ़ पिंड  के लिए स्वतंत्रता की डिग्री से अधिक हो सकते हैं। यहाँ शब्द स्वतंत्रता की डिग्री का उपयोग लिंकेज के स्थानिक मुद्रा को निर्दिष्ट करने के लिए आवश्यक मापदंडों की संख्या का वर्णन करने के लिए किया जाता है। इसे रोबोट के कॉन्फिगरेशन स्पेस, टास्क स्पेस और वर्कस्पेस के संदर्भ में भी परिभाषित किया गया है।

एक विशिष्ट प्रकार का लिंकेज ओपन गतिज श्रृंखला है, जहां जोड़ों पर कठोर लिंक का एक सेट जुड़ा होता है; एक जोड़ एक डीओएफ (हिंज/स्लाइडिंग), या दो (बेलनाकार) प्रदान कर सकता है। ऐसी श्रृंखलाएं यद्यपि रोबोटिक्स, जैव यांत्रिकी, और उपग्रहों और अन्य अंतरिक्ष संरचनाओं के लिए होती हैं। माना जाता है कि एक मानव हाथ में सात डीओएफ होते हैं। एक कंधा पिच, यव और रोल देता है, एक कोहनी पिच के लिए अनुमति देता है, और एक कलाई पिच, यव और रोल के लिए अनुमति देता है। हाथ को अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर ले जाने के लिए उनमें से केवल 3 आंदोलनों की आवश्यकता होगी, लेकिन लोगों में विभिन्न कोणों या दिशाओं से चीजों को समझने की क्षमता नहीं होगी। एक रोबोट (या ऑब्जेक्ट) जिसमें सभी 6 भौतिक डीओएफ को नियंत्रित करने के लिए तंत्र है, होलोनोमिक (रोबोटिक्स) कहा जाता है। कुल डीओएफ की तुलना में न्यूनतम नियंत्रित डीओएफ वाली वस्तु को गैर-होलोनोमिक कहा जाता है, और कुल डीओएफ (जैसे मानव हाथ) की तुलना में अधिक नियंत्रणीय डीओएफ वाली वस्तु को बेमानी कहा जाता है। हालांकि यह ध्यान रखें कि यह मानव भुजा में बेमानी नहीं है क्योंकि दो डीओएफ; कलाई और कंधे, जो एक ही गति का प्रतिनिधित्व करते हैं; रोल करें, एक दूसरे को आपूर्ति करें क्योंकि वे पूर्ण 360 नहीं कर सकते। स्वतंत्रता की डिग्री विभिन्न आंदोलनों की तरह होती है जिन्हें बनाया जा सकता है।

मोबाइल रोबोटिक्स में, एक कार जैसा रोबोट 2-डी अंतरिक्ष में किसी भी स्थिति और अभिविन्यास तक पहुंच सकता है, इसलिए इसे अपनी मुद्रा का वर्णन करने के लिए 3 डीओएफ की आवश्यकता होती है, लेकिन किसी भी बिंदु पर, आप इसे केवल आगे की गति और स्टीयरिंग कोण से ही स्थानांतरित कर सकते हैं। तो इसमें दो नियंत्रण डीओएफ और तीन प्रतिनिधि डीओएफ हैं; यानी यह गैर-होलोनोमिक है। 3-डी स्पेस में 3-4 कंट्रोल डीओएफ (फॉरवर्ड मोशन, रोल, पिच, और एक सीमित सीमा तक, यॉ) के सापेक्ष एक फिक्स्ड-विंग एयरक्राफ्ट भी नॉन-होलोनोमिक है, क्योंकि यह सीधे ऊपर/नीचे नहीं जा सकता है या बाएँ दांए।

मैकेनिकल प्रणाली में स्वतंत्रता की डिग्री की गणना करने के लिए सूत्रों और विधियों का सारांश पेनेस्ट्री, कैवेसेस और वीटा द्वारा दिया गया है।

विद्युत अभियन्त्रण
इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में स्वतंत्रता की डिग्री का उपयोग प्रायः दिशाओं की संख्या का वर्णन करने के लिए किया जाता है जिसमें एक चरणबद्ध ऐरे एंटीना (रेडियो) या तो beamforming  बना सकता है। यह सरणी में निहित तत्वों की संख्या से एक न्यूनतम के बराबर है, क्योंकि एक तत्व को एक संदर्भ के रूप में उपयोग किया जाता है जिसके विरुद्ध प्रत्येक शेष एंटीना तत्वों का उपयोग करके रचनात्मक या विनाशकारी हस्तक्षेप लागू किया जा सकता है। राडार अभ्यास और संचार लिंक अभ्यास, बीम स्टीयरिंग के सापेक्ष रडार अनुप्रयोगों के लिए अधिक प्रचलित है और नल स्टीयरिंग संचार लिंक में हस्तक्षेप दमन के लिए अधिक प्रचलित है।