त्रिभुज असमानताओं की सूची

ज्यामिति में, त्रिभुज असमानताएँ असमानताएँ (गणित) हैं जिनमें त्रिभुजों के पैरामीटर सम्मिलित होते हैं, जो प्रत्येक त्रिभुज के लिए, या प्रत्येक त्रिभुज के लिए कुछ शर्तों को पूरा करते हैं। असमानताएँ दो अलग-अलग मानों का क्रम देती हैं: वे इससे कम, इससे कम या इसके बराबर, से अधिक, या इससे अधिक या इसके बराबर के रूप में हैं। एक त्रिभुज असमानता में पैरामीटर पक्ष की लंबाई, अर्धपरिधि, कोण के उपाय, उन कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान, त्रिभुज का क्षेत्रफल (ज्यामिति), भुजाओं की माध्यिका (ज्यामिति), ऊंचाई (ज्यामिति) हो सकते हैं। ), आंतरिक द्विभाजन की लंबाई # कोण द्विभाजक प्रत्येक कोण से विपरीत दिशा में, द्विभाजन भुजाओं के बहुभुज के पक्षों के लंबवत द्विभाजक, एक स्वैच्छिक  बिंदु से दूसरे बिंदु तक की दूरी, अंतःत्रिज्या, बाह्यवृत्त, परित्रिज्या, और/या अन्य मात्राएँ।

कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान, त्रिभुज का क्षेत्रफल (ज्यामिति), भुजाओं की माध्यिका (ज्यामिति), ऊंचाई (ज्यामिति) हो सकते हैं। ), आंतरिक द्विभाजन की लंबाई # कोण द्विभाजक प्रत्येक कोण से ।दिशा में, द्विभाजन भुजाओं के बहुभुज के पक्षों के लंबवत द्विभाजक, एक स्वैच्छिक बिंदु से दूसरे बिंदु तक की दूरी, अंतःत्रिज्या, बाह्यवृत्त, परित्रिज्या, और/या अन्य मात्राएँ।

जब तक अन्यथा निर्दिष्ट नहीं किया जाता है, यह लेख यूक्लिडियन विमान में त्रिभुजों से संबंधित है।

मुख्य पैरामीटर और नोटेशन
त्रिकोण असमानताओं में सामान्यतः दिखाई देने वाले पैरामीटर हैं:


 * भुजा की लंबाई a, b, और c है;
 * अर्द्धपरिमाप s = (a + b + c) / 2 (आधी परिधि p);
 * कोण शीर्ष (ज्यामिति) के कोणों के ए, बी, और सी को मापता है # संबंधित पक्षों ए, बी, और सी के विपरीत एक पॉलीटोप का (उनके कोण उपायों के समान प्रतीकों के साथ दर्शाए गए कोने के साथ);
 * कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान;
 * त्रिभुज का क्षेत्रफल (ज्यामिति) T;
 * माध्यिका (ज्यामिति) ma, mb, और mc पक्षों की (प्रत्येक पक्ष के मध्य बिंदु से विपरीत शीर्ष तक रेखा खंड की लंबाई है);
 * ऊंचाई (ज्यामिति) ha, hb, और hc (प्रत्येक एक खंड की लंबाई एक तरफ लंबवत है और उस तरफ से (या संभवतः उस तरफ का विस्तार) विपरीत शीर्ष तक पहुंच रहा है);
 * द्विभाजन की लंबाई#कोण द्विभाजक ta, tb, और tc (प्रत्येक शीर्ष से विपरीत दिशा में एक खंड है और शीर्ष कोण को समद्विभाजित करता है);
 * द्विभाजक बहुभुज की भुजाओं का द्विभाजकpa, pb, और pc पक्षों की (प्रत्येक अपने मध्य बिंदु पर एक तरफ लंबवत खंड की लंबाई है और दूसरे पक्षों में से एक तक पहुंच रहा है);
 * समतल में एक स्वैच्छिक बिंद पी पर एक अंत बिंदु के साथ रेखा खंडों की लंबाई (उदाहरण के लिए, p से शीर्ष a तक के खंड की लंबाई को पीए या एपी के रूप में दर्शाया गया है);
 * अंतःत्रिज्या r (त्रिकोण में उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या, तीनों भुजाओं की स्पर्शरेखा), बहिर्वृत्त ra,rb, और rc (प्रत्येक क्रमशः ए, बी, या सी के लिए एक बाहरी स्पर्शरेखा की त्रिज्या है और अन्य दो पक्षों के विस्तार के लिए स्पर्शरेखा है), और परिवृत्त आर (त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या और तीनों शीर्षों से होकर गुजरती है).

पक्ष की लंबाई
मूल त्रिकोण असमानता है $$a < b+c, \quad b < c + a, \quad c < a + b$$ या समकक्ष $$\max(a, b, c)<s.$$ इसके साथ ही, $$\frac{3}{2} \le \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} < 2,$$ जहां दाईं ओर का मान न्यूनतम संभव सीमा है, पहुँची हुई सीमा (गणित) के रूप में त्रिकोण के कुछ वर्ग शून्य क्षेत्र के पतन (गणित) के मामले में आते हैं। बाएं असमानता, जो सभी सकारात्मक a, b, c के लिए है, नेस्बिट की असमानता है।

अपने पास


 * $$3\left( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right) \geq 2\left( \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c} \right) +3.$$


 * $$abc \geq (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c). \quad $$


 * $$\frac{1}{3} \leq \frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2} < \frac{1}{2}. \quad $$


 * $$\sqrt{a+b-c} + \sqrt{a-b+c} + \sqrt{-a+b+c} \leq \sqrt{a}+\sqrt{b} + \sqrt{c}.$$


 * $$a^2b(a-b) + b^2c(b-c) + c^2a(c-a) \geq 0.$$

यदि कोण C अधिक कोण (90° से अधिक) है तो


 * $$a^2+b^2 < c^2;$$

यदि C एक्यूट (90° से कम) है तो


 * $$a^2+b^2 > c^2.$$

समानता के बीच का मामला जब C एक समकोण है, पायथागॉरियन प्रमेय है।

सामान्य रूप में,


 * $$a^2+b^2 > \frac{c^2}{2},$$

समता की सीमा में तभी पहुँचता है जब एक समद्विबाहु त्रिभुज का शीर्ष कोण 180° के करीब पहुँचता है।

यदि त्रिभुज का केन्द्रक त्रिभुज के अंतःवृत्त के अंदर है, तब


 * $$a^2 < 4bc, \quad b^2 < 4ac, \quad c^2 < 4ab.$$

जबकि उपरोक्त सभी असमानताएँ सही हैं क्योंकि a, b, और c को मूल त्रिभुज असमानता का पालन करना चाहिए, जो कि सबसे लंबी भुजा परिधि के आधे से कम है, निम्नलिखित संबंध सभी सकारात्मक a, b, और c के लिए हैं:


 * $$\frac{3abc}{ab+bc+ca} \leq \sqrt[3]{abc} \leq \frac{a+b+c}{3},$$

प्रत्येक होल्डिंग समानता के साथ ही जब a = b = c। यह कहता है कि गैर-समतुल्य मामले में पक्षों का अनुकूल माध्य उनके ज्यामितीय माध्य से कम होता है जो बदले में उनके अंकगणितीय माध्य से कम होता है।

कोण

 * $$\cos A + \cos B + \cos C \leq \frac{3}{2}.$$


 * $$(1-\cos A)(1-\cos B)(1-\cos C) \geq \cos A \cdot \cos B \cdot \cos C.$$


 * $$\cos ^4\frac{A}{2} + \cos ^4\frac{B}{2} + \cos ^4\frac{C}{2} \leq \frac{s^3}{2abc}$$

अर्ध-परिधि s के लिए, केवल समबाहु मामले में समानता के साथ।


 * $$a+b+c \ge 2\sqrt{bc} \cos A + 2 \sqrt{ca} \cos B + 2\sqrt{ab} \cos C.$$


 * $$\sin A + \sin B + \sin C \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}.$$


 * $$\sin ^2 A + \sin ^2 B + \sin ^2 C \leq \frac{9}{4}.$$


 * $$\sin A \cdot \sin B \cdot \sin C \leq \left(\frac{\sin A+\sin B+\sin C}{3}\right)^3 \leq\left(\sin\frac{A+B+C}{3}\right)^3 =\sin^3\left(\frac{\pi}{3}\right)= \frac{3\sqrt{3}}{8}.$$


 * $$\sin A+\sin B \cdot \sin C \leq \varphi$$

कहाँ $$\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2},$$ सुनहरा अनुपात।


 * $$\sin \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{B}{2} \cdot \sin \frac{C}{2} \leq \frac{1}{8}.$$


 * $$\tan ^2 \frac{A}{2} + \tan ^2 \frac{B}{2} + \tan ^2 \frac{C}{2} \geq 1.$$


 * $$\cot A + \cot B + \cot C \geq \sqrt{3}.$$
 * $$\sin A \cdot \cos B +\sin B \cdot \cos C+\sin C \cdot \cos A \leq \frac{3\sqrt{3}}{4}.$$

परिधि आर और अंतःत्रिज्या आर के लिए हमारे पास है


 * $$\max\left(\sin \frac{A}{2}, \sin \frac{B}{2}, \sin \frac{C}{2} \right) \le \frac{1}{2} \left(1+\sqrt{1-\frac{2r}{R}} \right),$$

समानता के साथ यदि और केवल यदि त्रिभुज समद्विबाहु है जिसका शीर्ष कोण 60° से अधिक या उसके बराबर है; और


 * $$\min\left(\sin \frac{A}{2}, \sin \frac{B}{2}, \sin \frac{C}{2} \right) \ge \frac{1}{2} \left(1-\sqrt{1-\frac{2r}{R}} \right),$$

समानता के साथ यदि और केवल यदि त्रिभुज समद्विबाहु है जिसका शीर्ष कोण 60° से कम या बराबर है।

हमारे पास भी है


 * $$\frac{r}{R}-\sqrt{1-\frac{2r}{R}} \le \cos A \le \frac{r}{R}+\sqrt{1-\frac{2r}{R}}$$

और इसी तरह कोण बी, सी के लिए, पहले भाग में समानता के साथ यदि त्रिकोण समद्विबाहु है और शीर्ष कोण कम से कम 60 डिग्री है और दूसरे भाग में समानता यदि और केवल यदि त्रिभुज समद्विबाहु है जिसका शीर्ष कोण 60 डिग्री से अधिक नहीं है.

इसके अतिरिक्त, किन्हीं भी दो कोणों का माप A और B विपरीत भुजाएँ क्रमशः a और b के अनुसार संबंधित हैं


 * $$A>B \quad \text{if and only if} \quad a > b,$$

जो समद्विबाहु त्रिभुज प्रमेय और इसके विलोम से संबंधित है, जो बताता है कि A = B यदि और केवल यदि a = b है।

यूक्लिड के बाहरी कोण प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज का कोई भी बाहरी कोण विपरीत शीर्षों पर आंतरिक कोणों में से किसी एक से बड़ा होता है:


 * $$180^\circ - A > \max(B,C).$$

यदि एक बिंदु D त्रिभुज ABC के अभ्यंतर में है, तो


 * $$\angle BDC > \angle A.$$

एक तीव्र त्रिभुज के लिए हमारे पास है


 * $$\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C < 1,$$

विषम त्रिभुज के लिए रिवर्स असमानता के साथ।

इसके अतिरिक्त, हमारे पास गैर-अक्षम त्रिकोणों के लिए है


 * $$\frac{2R+r}{R}\le \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{A-C}{2}\right)+\cos\left(\frac{B}{2}\right)\right)$$

समानता के साथ यदि और केवल यदि यह कर्ण AC के साथ एक समकोण त्रिभुज है।

क्षेत्र
वीटजेनबॉक की असमानता, क्षेत्रफल T के संदर्भ में है,


 * $$a^2 + b^2 + c^2 \geq 4\sqrt{3}\cdot T, $$

केवल समबाहु मामले में समानता के साथ। यह हैडविगर-फिन्सलर असमानता का परिणाम है, जो कि है


 * $$a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq (a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2} + 4 \sqrt{3} \cdot T .$$

भी,


 * $$ab+bc+ca \geq 4\sqrt{3} \cdot T$$

और


 * $$T \leq \frac{abc}{2}\sqrt{\frac{a+b+c}{a^3+b^3+c^3+abc}} \leq \frac{1}{4}\sqrt[6] \frac{3(a+b+c)^3(abc)^4}{a^3+b^3+c^3} \leq \frac{\sqrt{3}}{4}(abc)^{2/3}.$$

अंकगणितीय-ज्यामितीय माध्य असमानता का उपयोग करते हुए, T पर सबसे ऊपरी सीमा से, त्रिभुजों के लिए समपरिमितीय असमानता प्राप्त की जाती है:


 * $$T \leq \frac{\sqrt{3}}{36}(a+b+c)^2 = \frac{\sqrt{3}}{9}s^2$$

अर्धपरिधि एस के लिए इसे कभी-कभी परिमाप p के रूप में व्यक्त किया जाता है


 * $$p^2 \ge 12\sqrt{3} \cdot T,$$

समबाहु त्रिभुज के लिए समानता के साथ। इससे बल मिलता है


 * $$T \le \frac{\sqrt{3}}{4}(abc)^{2/3}.$$

बोनेसेन की असमानता भी समपरिमितीय असमानता को शक्तिशाली करती है:


 * $$ \pi^2 (R-r)^2 \leq (a+b+c)^2-4\pi T. $$

हमारे पास भी है


 * $$\frac{9abc}{a+b+c} \ge 4\sqrt{3} \cdot T$$

समानता के साथ केवल समबाहु मामले में;


 * $$38T^2 \leq 2s^4-a^4-b^4-c^4$$

अर्धपरिधि के लिए; और


 * $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} < \frac{s}{T}.$$

न्यून त्रिभुजों (जिनके सभी कोण 90° से कम हैं) के लिए ओनो की असमानता है


 * $$27 (b^2 + c^2 - a^2)^2 (c^2 + a^2 - b^2)^2 (a^2 + b^2 - c^2)^2 \leq (4 T)^6.$$

त्रिभुज के क्षेत्रफल की तुलना अंतर्वृत्त के क्षेत्रफल से की जा सकती है:


 * $$\frac{\text{Area of incircle}}{\text{Area of triangle}} \leq \frac{\pi}{3\sqrt{3}}$$

केवल समबाहु त्रिभुज के लिए समानता के साथ।

यदि एक संदर्भ त्रिकोण में एक आंतरिक त्रिकोण अंकित किया गया है ताकि आंतरिक त्रिकोण के कोने संदर्भ त्रिकोण की परिधि को समान लंबाई वाले खंडों में विभाजित करें, तो उनके क्षेत्रों का अनुपात निम्न द्वारा सीमित होता है


 * $$\frac{\text{Area of inscribed triangle}}{\text{Area of reference triangle}} \leq \frac{1}{4}.$$

मान लीजिए कि A, B और C के आंतरिक कोण समद्विभाजक विपरीत भुजाओं को D, E और F पर मिलते हैं। फिर


 * $$\frac{3abc}{4(a^3+b^3+c^3)} \leq \frac{\text{Area of triangle} \,DEF}{\text{Area of triangle} \, ABC} \leq \frac{1}{4}.$$

त्रिभुज के माध्यिका के माध्यम से एक रेखा क्षेत्र को इस प्रकार विभाजित करती है कि छोटे उप-क्षेत्र का मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल से अनुपात कम से कम 4/9 है।

मेडियन और सेंट्रोइड
तीन माध्यिका (त्रिकोण)। $$m_a, \,m_b, \, m_c$$ एक त्रिकोण के प्रत्येक शीर्ष को विपरीत दिशा के मध्य बिंदु से जोड़ता है, और उनकी लंबाई का योग संतुष्ट करता है


 * $$\frac{3}{4}(a+b+c) < m_a+m_b+m_c < a+b+c.$$

इसके अतिरिक्त,


 * $$\left( \frac{m_a}{a} \right)^2 + \left( \frac{m_b}{b} \right)^2 + \left( \frac{m_c}{c} \right)^2 \geq \frac{9}{4},$$

समानता के साथ केवल समबाहु मामले में, और अंतःत्रिज्या आर के लिए,


 * $$\frac{m_am_bm_c}{m_a^2+m_b^2+m_c^2} \geq r.$$

यदि हम परिवृत्त के साथ उनके चौराहों तक विस्तारित माध्यिका की लंबाई को Ma,Mb, और Mc के रूप में निरूपित करते हैं तब


 * $$\frac{M_a}{m_a} + \frac{M_b}{m_b} + \frac{M_c}{m_c} \geq 4.$$

केन्द्रक G माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन है। बता दें कि AG, BG और CG परिवृत्त को क्रमश: U, V और W पर मिलते हैं। फिर दोनों


 * $$GU+GV+GW \geq AG+BG+CG$$

और


 * $$GU \cdot GV \cdot GW \geq AG \cdot BG \cdot CG;$$

इसके साथ ही,


 * $$\sin GBC+\sin GCA+\sin GAB \leq \frac{3}{2}.$$

एक तीव्र त्रिभुज के लिए हमारे पास है


 * $$m_a^2+m_b^2+m_c^2 > 6R^2$$

परिधि R के संदर्भ में, जबकि विपरीत असमानता एक अधिक त्रिभुज के लिए है।

IA, IB, IC के रूप में वर्टिकल से केंद्र की दूरी को निरूपित करते हुए, निम्नलिखित धारण करता है:


 * $$\frac{IA^2}{m_a^2}+\frac{IB^2}{m_b^2}+\frac{IC^2}{m_c^2} \leq \frac{4}{3}.$$

किसी भी त्रिभुज की तीन माध्यिकाएँ दूसरे त्रिभुज की भुजाएँ बना सकती हैं:


 * $$m_a < m_b+m_c, \quad m_b<m_c+m_a, \quad m_c< m_a+m_b.$$

आगे,


 * $$\max\{bm_c +cm_b, \quad cm_a +am_c,\quad am_b +bm_a\} \le \frac{a^2+b^2+c^2}{\sqrt{3}}.$$

ऊंचाई
ऊंचाई ha, आदि प्रत्येक एक शीर्ष को विपरीत दिशा से जोड़ते हैं और उस तरफ लंबवत होते हैं। वे दोनों को संतुष्ट करते हैं


 * $$h_a+h_b+h_c \leq \frac {\sqrt{3}}{2}(a+b+c)$$

और


 * $$h_a^2+h_b^2+h_c^2 \le \frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2).$$

इसके अतिरिक्त यदि $$a\geq b \geq c,$$ तब


 * $$a+h_a \geq b+h_b \geq c+h_c.$$

हमारे पास भी है


 * $$\frac{h_a^2}{(b^2+c^2)}\cdot \frac{h_b^2}{(c^2+a^2)} \cdot \frac{h_c^2}{(a^2+b^2)} \leq \left(\frac{3}{8} \right)^3.$$

आंतरिक कोण द्विभाजक के लिए ta, tb, tc शीर्षों से A, B, C और परिकेन्द्र और अंतःकेन्द्र हैं, हमारे पास है


 * $$\frac{h_a}{t_a}+\frac{h_b}{t_b}+\frac{h_c}{t_c} \geq \frac{R+4r}{R}.$$

किसी त्रिभुज के शीर्षलंबों के व्युत्क्रम स्वयं त्रिभुज बना सकते हैं:
 * $$\frac{1}{h_a}<\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}, \quad \frac{1}{h_b}<\frac{1}{h_c}+\frac{1}{h_a}, \quad \frac{1}{h_c}<\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}.$$

आंतरिक कोण समद्विभाजक और अंत:केंद्र
आंतरिक कोण समद्विभाजक त्रिभुज के आंतरिक भाग में खंड होते हैं जो एक शीर्ष से विपरीत दिशा में पहुंचते हैं और शीर्ष कोण को दो समान कोणों में विभाजित करते हैं। कोण द्विभाजक ta आदि संतुष्ट


 * $$t_a+t_b+t_c \leq \frac{3}{2}(a+b+c)$$

पक्षों के संदर्भ में, और


 * $$h_a \leq t_a \leq m_a$$

ऊंचाई और माध्यिका के संदर्भ में, और इसी तरह के लिए tb और tc. आगे,


 * $$\sqrt{m_a}+\sqrt{m_b}+\sqrt{m_c} \geq \sqrt{t_a}+\sqrt{t_b}+\sqrt{t_c}$$

माध्यिका के संदर्भ में, और


 * $$\frac{h_a}{t_a}+\frac{h_b}{t_b}+\frac{h_c}{t_c}\geq 1+\frac{4r}{R}$$

ऊँचाई के संदर्भ में, अंतःत्रिज्या r और परित्रिज्या R।

चलो ta, tb , और tc परिवृत्त तक विस्तारित कोण द्विभाजक की लंबाई हो। तब


 * $$T_aT_bT_c \geq \frac{8\sqrt{3}}{9}abc,$$

केवल समबाहु मामले में समानता के साथ, और


 * $$T_a+T_b+T_c \leq 5R +2r$$

परिधि आर और अंतःत्रिज्या आर के लिए, फिर से केवल समबाहु मामले में समानता के साथ। इसके साथ ही,।


 * $$T_a+T_b+T_c \geq \frac{4}{3}(t_a+t_b+t_c).$$

केंद्र I के लिए (आंतरिक कोण समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन),


 * $$6r \leq AI+BI+CI \leq \sqrt{12(R^2-Rr+r^2)}.$$

भुजाओं के मध्यबिंदु L, M, N के लिए,


 * $$IL^2+IM^2+IN^2 \geq r(R+r).$$

अंतःकेन्द्र I, केन्द्रक G, परिकेन्द्र O, नौ-बिंदु केंद्र N, और लंबकेन्द्र H के लिए, हमारे पास गैर-समबाहु त्रिभुजों के लिए दूरी असमानताएँ हैं


 * $$IG $$ \angle GIH$$ > 90°, $$ \angle OGI $$ > 90 डिग्री।

चूँकि इन त्रिभुजों में संकेतित अधिक कोण हैं, इसलिए हमारे पास है


 * $$OI^2+IH^2 < OH^2, \quad GI^2+IH^2 < GH^2, \quad OG^2+GI^2 < OI^2,$$

और वास्तव में इनमें से दूसरा पहले की तुलना में अधिक शक्तिशाली परिणाम के बराबर है, जिसे यूलर द्वारा दिखाया गया है:
 * $$ OI^2 < OH^2 - 2 \cdot IH^2 <  2\cdot OI^2.$$

त्रिभुज के दो कोणों में से बड़े का आंतरिक कोण द्विभाजक छोटा होता है:


 * $$\text{If} \quad A>B \quad \text{then} \quad t_a AB+BC+CA > PA+PB+PC,$$

और इन असमानताओं में से दूसरी से अधिक दृढ़ता से है: यदि $$ AB$$ तब त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा है


 * $$PA+PB+PC \leq AC+BC. $$

हमारे पास टॉलेमी की असमानता भी है


 * $$PA \cdot BC + PB \cdot CA > PC \cdot AB$$

आंतरिक बिंदु P के लिए और इसी तरह शीर्षों के चक्रीय क्रमपरिवर्तन के लिए।

यदि हम आंतरिक बिंदु P से त्रिभुज की भुजाओं पर लंब खींचते हैं, भुजाओं को D, E, और F पर प्रतिच्छेद करते हुए, हमारे पास है


 * $$PA \cdot PB \cdot PC \geq (PD+PE)(PE+PF)(PF+PD).$$

इसके अतिरिक्त, एर्डोस-मोर्डेल असमानता बताती है कि
 * $$\frac{PA+PB+PC}{PD+PE+PF} \geq 2$$

समबाहु मामले में समानता के साथ। अधिक दृढ़ता से, बैरो की असमानता बताती है कि यदि आंतरिक बिंदु P पर कोणों के आंतरिक द्विभाजक (अर्थात्, ∠APB, ∠BPC, और ∠CPA के) त्रिभुज की भुजाओं को U, V, और W पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो
 * $$\frac{PA+PB+PC}{PU+PV+PW} \geq 2.$$

एर्डोस-मोर्डेल असमानता से भी शक्तिशाली निम्न है: मान लीजिए कि D, E, F क्रमशः BC, CA, AB पर P के ओर्थोगोनल प्रोजेक्शन हैं, और H, K, L क्रमशः A, B, C पर त्रिभुज के परिवृत्त की स्पर्श रेखाओं पर P के ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन हैं। तब


 * $$PH + PK + PL \ge 2(PD + P E + P F ).$$

ऑर्थोगोनल अनुमानों के साथ पी से एच, के, एल क्रमशः ए, बी, सी पर त्रिकोण के परिवृत्त के स्पर्शरेखा पर, हमारे पास है
 * $$\frac{PH}{a^2}+\frac{PK}{b^2}+\frac{PL}{c^2}\ge \frac{1}{R}$$

जहाँ R परित्रिज्या है।

फिर से पक्षों से आंतरिक बिंदु P की दूरी PD, PE, PF के साथ हमारे पास ये तीन असमानताएँ हैं:


 * $$\frac{PA^2}{PE\cdot PF}+\frac{PB^2}{PF\cdot PD}+\frac{PC^2}{PD\cdot PE} \geq 12;$$
 * $$\frac{PA}{\sqrt{PE\cdot PF}}+\frac{PB}{\sqrt{PF\cdot PD}}+\frac{PC}{\sqrt{PD\cdot PE}}\geq 6;$$
 * $$\frac{PA}{PE+PF}+\frac{PB}{PF+PD}+\frac{PC}{PD+PE}\geq 3.$$

आंतरिक बिंदु P के लिए दूरियों PA, PB, PC के साथ और त्रिकोण क्षेत्र T के साथ,


 * $$(b+c)PA+(c+a)PB+(a+b)PC \geq 8T$$

और


 * $$\frac{PA}{a}+\frac{PB}{b}+\frac{PC}{c} \geq \sqrt{3}.$$

एक आंतरिक बिंदु P के लिए, केन्द्रक G, मध्यबिंदु L, M, N भुजाओं का, और अर्धपरिमाप s,


 * $$2(PL+PM+PN) \leq 3PG+PA+PB+PC \leq s + 2(PL+PM+PN) .$$

इसके अतिरिक्त, सकारात्मक संख्या k1, k2, k3 के लिए और t के साथ 1 से कम या उसके बराबर:


 * $$k_1\cdot (PA)^t + k_2\cdot (PB)^t + k_3\cdot (PC)^t \geq 2^t \sqrt{k_1k_2k_3} \left(\frac{(PD)^t}{\sqrt{k_1}} + \frac{(PE)^t}{\sqrt{k_2}} + \frac{(PF)^t}{\sqrt{k_3}} \right),$$

जबकि t > 1 के लिए हमारे पास है


 * $$k_1\cdot (PA)^t + k_2\cdot (PB)^t + k_3\cdot (PC)^t \geq 2 \sqrt{k_1k_2k_3} \left(\frac{(PD)^t}{\sqrt{k_1}} + \frac{(PE)^t}{\sqrt{k_2}} + \frac{(PF)^t}{\sqrt{k_3}} \right).$$

आंतरिक या बाहरी बिंदु
त्रिभुज के खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या r के संदर्भ में विमान में एक स्वैच्छिक आंतरिक या बाहरी बिंदु के लिए विभिन्न असमानताएँ हैं। उदाहरण के लिए,


 * $$PA+PB+PC \geq 6r.$$

दूसरों में सम्मिलित हैं:


 * $$PA^3+PB^3+PC^3 + k \cdot (PA \cdot PB \cdot PC) \geq8(k+3)r^3$$

के = 0, 1, ..., 6 के लिए;


 * $$PA^2+PB^2+PC^2 + (PA \cdot PB \cdot PC)^{2/3} \geq 16r^2;$$
 * $$PA^2+PB^2+PC^2 + 2(PA \cdot PB \cdot PC)^{2/3} \geq 20r^2;$$

और


 * $$PA^4+PB^4+PC^4 + k(PA \cdot PB \cdot PC)^{4/3} \geq 16(k+3)r^4$$

के = 0, 1, ..., 9 के लिए।

इसके अतिरिक्त, परिधि आर के लिए,


 * $$(PA \cdot PB)^{3/2} + (PB \cdot PC)^{3/2} + (PC \cdot PA)^{3/2} \geq 12Rr^2;$$


 * $$(PA \cdot PB)^{2} + (PB \cdot PC)^{2} + (PC \cdot PA)^{2} \geq 8(R+r)Rr^2;$$


 * $$(PA \cdot PB)^{2} + (PB \cdot PC)^{2} + (PC \cdot PA)^{2} \geq 48r^4;$$


 * $$(PA \cdot PB)^{2} + (PB \cdot PC)^{2} + (PC \cdot PA)^{2} \geq 6(7R-6r)r^3.$$

मान लीजिए ABC एक त्रिभुज है, मान लीजिए G इसका केंद्रक है, और मान लीजिए D, E, और F क्रमशः BC, CA और AB के मध्य बिंदु हैं। एबीसी के विमान में किसी बिंदु पी के लिए:


 * $$PA+PB+PC \le 2(PD+PE+PF)+3PG.$$

अंतर्त्रिज्या और परित्रिज्या
परिधि आर और अंतःत्रिज्या आर के लिए यूलर असमानता बताती है कि


 * $$\frac{R}{r} \geq 2,$$

समानता के साथ केवल समबाहु त्रिभुज मामले में।

एक शक्तिशाली संस्करण  है


 * $$\frac{R}{r} \geq \frac{abc+a^3+b^3+c^3}{2abc} \geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-1 \geq \frac{2}{3} \left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right) \geq 2.$$

तुलना से,


 * $$\frac{r}{R} \geq \frac{4abc-a^3-b^3-c^3}{2abc},$$

जहां दायां पक्ष सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है।

यूलर की असमानता के दो अन्य परिशोधन हैं


 * $$ \frac{R}{r} \geq \frac{(b+c)}{3a}+\frac{(c+a)}{3b}+\frac{(a+b)}{3c} \geq 2$$

और


 * $$\left( \frac{R}{r} \right)^3 \geq \left( \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right) \left( \frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right) \geq 8.$$

एक और सममित असमानता है


 * $$ \frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}\leq \frac{4}{9}\left(\frac{R}{r}-2\right).$$

इसके अतिरिक्त,


 * $$\frac{R}{r} \geq \frac{2(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca};$$


 * $$a^3+b^3+c^3 \leq 8s(R^2-r^2)$$

अर्धपरिधि के संदर्भ में;


 * $$r(r+4R) \geq \sqrt{3} \cdot T$$

क्षेत्र टी के संदर्भ में;


 * $$s\sqrt{3} \leq r+4R$$

और


 * $$s^2 \geq 16Rr - 5r^2$$

अर्धपरिधि के संदर्भ में; और


 * $$\begin{align}

&2R^2+10Rr-r^2-2(R-2r)\sqrt{R^2-2Rr} \leq s^2 \\ &\quad\leq 2R^2+10Rr-r^2+2(R-2r)\sqrt{R^2-2Rr} \end{align}$$ अर्धपरिधि के संदर्भ में भी।  यहाँ अभिव्यक्ति $$\sqrt{R^2-2Rr}=d$$ जहाँ d अंतःकेंद्र और परिकेन्द्र के बीच की दूरी है। बाद की दोहरी असमानता में, पहला भाग समानता के साथ धारण करता है यदि और केवल यदि त्रिभुज कम से कम 60 ° के शीर्ष (ज्यामिति) कोण के साथ समद्विबाहु है, और अंतिम भाग समानता के साथ धारण करता है यदि और केवल यदि त्रिभुज एक के साथ समद्विबाहु है अधिकतम 60° का शीर्ष कोण। इस प्रकार दोनों समानताएँ हैं यदि और केवल यदि त्रिभुज समबाहु है।

हमारे पास किसी भी पक्ष के लिए a भी है
 * $$(R-d)^2-r^2 \le 4R^2 r^2\left(\frac{(R+d)^2-r^2}{(R+d)^4} \right) \le \frac{a^2}{4} \le Q \le (R+d)^2-r^2,$$

कहाँ $$Q=R^2$$ यदि परिकेन्द्र अंतःवृत्त पर या उसके बाहर है और $$Q=4R^2 r^2 \left(\frac{(R-d)^2-r^2}{(R-d)^4}\right)$$ यदि परिकेन्द्र अंतःवृत्त के अंदर है। परिकेन्द्र अंतःवृत्त के भीतर है यदि और केवल यदि


 * $$\frac{R}{r} <\sqrt{2}+1.$$

आगे,


 * $$\frac{9r}{2T} \leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \leq \frac{9R}{4T}.$$

ब्लंडन की असमानता बताती है कि
 * $$s \leq (3\sqrt{3}-4)r+2R.$$

हमारे पास सभी न्यून त्रिभुजों के लिए भी है,
 * $$s > 2R+r.$$

अंतर्वृत्त केंद्र I के लिए, AI, BI और CI को क्रमशः D, E और F पर परिवृत्त को काटने के लिए I से आगे बढ़ाएं। तब


 * $$\frac{AI}{ID} + \frac{BI}{IE} + \frac{CI}{IF} \geq 3.$$

हमारे पास शीर्ष कोणों के संदर्भ में


 * $$\cos A \cdot \cos B \cdot \cos C \leq \left( \frac{r}{R\sqrt{2}} \right)^2.$$

के रूप में निरूपित करें $$R_A, R_B , R_C$$ त्रिकोण की तनरडी। तब


 * $$\frac{4}{R}\le \frac{1}{R_A}+\frac{1}{R_B}+\frac{1}{R_C}\le \frac{2}{r}$$

केवल समबाहु मामले में समानता के साथ, और
 * $$\frac{9}{2}r\le R_A+R_B+R_C \le 2R+\frac{1}{2}r$$

केवल समबाहु मामले में समानता के साथ।

परिधि और अन्य लंबाई
परिधि R के लिए हमारे पास है


 * $$18R^3\geq (a^2+b^2+c^2)R+abc\sqrt{3}$$

और


 * $$a^{2/3}+b^{2/3}+c^{2/3} \leq 3^{7/4}R^{3/2}.$$

हमारे पास भी है


 * $$a+b+c \leq 3\sqrt{3} \cdot R,$$
 * $$9R^2 \geq a^2+b^2+c^2,$$
 * $$h_a+h_b+h_c \leq 3\sqrt{3} \cdot R$$

ऊंचाई के मामले में,


 * $$m_a^2+m_b^2+m_c^2 \leq \frac{27}{4}R^2$$

माध्यिका के संदर्भ में, और


 * $$\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a} \geq \frac{2T}{R}$$

क्षेत्र के संदर्भ में।

इसके अतिरिक्त, परिकेन्द्र O के लिए, मान लीजिए रेखाएँ AO, BO, और CO विपरीत भुजाओं BC, CA, और AB को क्रमश: U, V और W पर प्रतिच्छेद करती हैं। तब


 * $$OU+OV + OW \geq \frac{3}{2}R.$$

एक न्यूनकोण त्रिभुज के लिए परिकेन्द्र O और लंबकेन्द्र H के बीच की दूरी संतुष्ट करती है


 * $$OH < R,$$

विषम त्रिकोण के लिए विपरीत असमानता के साथ।

परिधि पहले और दूसरे ब्रोकार्ड बिंदु B के बीच की दूरी से कम से कम दुगुनी है1 और बी2:
 * $$R \ge 2B_1B_2.$$

इनरेडियस, एक्सराडी, और अन्य लंबाई
त्रिज्या आर के लिए हमारे पास है


 * $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \leq \frac{\sqrt{3}}{2r},$$
 * $$9r \leq h_a+h_b+h_c$$

ऊंचाई के संदर्भ में, और


 * $$\sqrt{r_a^2+r_b^2+r_c^2} \geq 6r$$

बाह्यवृत्तों की त्रिज्या के संदर्भ में। हमारे पास भी है


 * $$\sqrt{s}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \leq \sqrt{2}(r_a+r_b+r_c)$$

और


 * $$\frac{abc}{r} \geq \frac{a^3}{r_a}+\frac{b^3}{r_b}+\frac{c^3}{r_c}.$$

एक्सराडी और माध्यिका संबंधित हैं


 * $$\frac{r_ar_b}{m_am_b}+\frac{r_br_c}{m_bm_c}+\frac{r_cr_a}{m_cm_a} \geq 3.$$

इसके अतिरिक्त, एक तीव्र त्रिभुज के लिए अंतःवृत्त केंद्र I और ऑर्थोसेंटर H के बीच की दूरी संतुष्ट करती है


 * $$IH < r\sqrt{2},$$

एक अधिक त्रिकोण के लिए विपरीत असमानता के साथ।

इसके अतिरिक्त, एक तीव्र त्रिकोण संतुष्ट करता है


 * $$r^2+r_a^2+r_b^2+r_c^2 < 8R^2,$$

परिधि R के संदर्भ में, फिर से विषम त्रिभुज के लिए उलटी असमानता के साथ।

यदि कोण A, B, C के आंतरिक कोण समद्विभाजक विपरीत भुजाओं को U, V, W पर मिलते हैं तो


 * $$\frac{1}{4} < \frac{AI\cdot BI \cdot CI}{AU \cdot BV \cdot CW} \leq \frac{8}{27}.$$

यदि आंतरिक कोण I के माध्यम से आंतरिक कोण द्विभाजक X, Y और Z पर परिवृत्त को पूरा करने के लिए विस्तारित होता है


 * $$\frac{1}{IX}+\frac{1}{IY}+\frac{1}{IZ} \geq \frac{3}{R}$$

परिधि आर के लिए, और


 * $$0\leq (IX-IA)+(IY-IB)+(IZ-IC) \leq 2(R-2r). $$

यदि अंतःवृत्त D, E, F पर भुजाओं को स्पर्श करता है, तो


 * $$EF^2+FD^2+DE^2 \leq \frac{s^2}{3}$$

अर्धपरिधि एस के लिए

खुदा षट्कोण
यदि एक त्रिभुज के अंत:वृत्त पर तीन खंडों को खींचकर और एक भुजा के समानांतर एक स्पर्शरेखा बहुभुज बनाया जाता है, ताकि षट्भुज त्रिभुज में अंकित हो, इसके अन्य तीन भुजाएँ त्रिभुज की भुजाओं के भागों के साथ मेल खाती हैं, तो


 * $$\text{Perimeter of hexagon} \leq \frac{2}{3}(\text{Perimeter of triangle}).$$

खुदा त्रिकोण
यदि एक संदर्भ त्रिभुज ABC की संबंधित भुजाओं AB, BC और CA पर तीन बिंदु D, E, F एक खुदे हुए त्रिकोण के शीर्ष हैं, जो संदर्भ त्रिकोण को चार त्रिकोणों में विभाजित करता है, तो खुदे हुए त्रिकोण का क्षेत्रफल बड़ा होता है अन्य आंतरिक त्रिकोणों में से कम से कम एक के क्षेत्रफल की तुलना में, जब तक कि खुदा हुआ त्रिकोण के कोने संदर्भ त्रिकोण के पक्षों के मध्य बिंदु पर न हों (जिस मामले में खुदा हुआ त्रिकोण औसत दर्जे का त्रिकोण है और सभी चार आंतरिक त्रिकोणों का क्षेत्रफल समान है ):


 * $$\text{Area(DEF)} \ge \min(\text{Area(BED), Area(CFE), Area(ADF)}).$$

खुदा वर्ग
एक न्यूनकोण त्रिभुज में तीन खुदे हुए चित्र होते हैं, जिनमें से प्रत्येक की एक भुजा त्रिभुज की एक भुजा के भाग से मेल खाती है और वर्ग के अन्य दो शीर्ष त्रिभुज की शेष दो भुजाओं पर होते हैं। (एक समकोण त्रिभुज में केवल दो अलग-अलग खुदे हुए वर्ग होते हैं।) यदि इनमें से किसी एक वर्ग की लंबाई x हैa और दूसरे की भुजा की लंबाई x हैb एक्स के साथa <xb, तब


 * $$1 \geq \frac{x_a}{x_b} \geq \frac{2\sqrt{2}}{3} \approx 0.94.$$

इसके अतिरिक्त, हमारे पास किसी भी त्रिकोण में अंकित किसी भी वर्ग के लिए


 * $$\frac{\text{Area of triangle}}{\text{Area of inscribed square}} \geq 2.$$

यूलर लाइन
एक त्रिभुज की यूलर रेखा उसके लंबकेन्द्र, उसके परिकेन्द्र और उसके केन्द्रक से होकर जाती है, किन्तु इसके अंत:केन्द्र से तब तक नहीं जाती जब तक कि त्रिभुज समद्विबाहु त्रिभुज न हो। सभी गैर-समद्विबाहु त्रिभुजों के लिए, केंद्र से यूलर रेखा तक की दूरी d त्रिभुज की सबसे लंबी माध्यिका (ज्यामिति) v, इसकी सबसे लंबी भुजा u, और इसके अर्धपरिमाप s के संदर्भ में निम्नलिखित असमानताओं को संतुष्ट करती है:


 * $$\frac{d}{s} < \frac{d}{u} < \frac{d}{v} < \frac{1}{3}.$$

इन सभी अनुपातों के लिए, 1/3 की ऊपरी सीमा सबसे कड़ी संभव है।

समकोण त्रिभुज
समकोण त्रिभुजों में पैर a और b और कर्ण c निम्नलिखित का पालन करते हैं, केवल समद्विबाहु मामले में समानता के साथ:


 * $$a+b \leq c\sqrt{2}.$$

अंतःत्रिज्या के संदर्भ में, कर्ण पालन करता है


 * $$2r \leq c(\sqrt{2}-1),$$

और कर्ण से ऊँचाई के संदर्भ में पैर पालन करते हैं


 * $$h_c \leq \frac{\sqrt{2}}{4}(a+b).$$

समद्विबाहु त्रिभुज
यदि एक समद्विबाहु त्रिभुज की दो समान भुजाओं की लंबाई a और दूसरी भुजा की लंबाई c है, तो आंतरिक कोण द्विभाजक t दो समान कोण वाले शीर्षों में से एक को संतुष्ट करता है


 * $$\frac{2ac}{a+c} > t > \frac{ac\sqrt{2}}{a+c}.$$

समबाहु त्रिभुज
एक समबाहु त्रिभुज ABC के तल में किसी भी बिंदु P के लिए, शीर्षों, PA, PB, और PC से P की दूरी ऐसी है कि, जब तक कि P त्रिभुज के परिवृत्त पर न हो, वे मूल त्रिभुज असमानता का पालन करते हैं और इस प्रकार स्वयं कर सकते हैं त्रिभुज की भुजाएँ बनाएँ: $$PA+PB > PC, \quad PB+PC > PA, \quad PC+PA > PB.$$ हालाँकि, जब P परिवृत्त पर होता है, तो P से निकटतम दो शीर्षों की दूरियों का योग सबसे दूर के शीर्ष की दूरी के बराबर होता है।

एक त्रिभुज समबाहु होता है यदि और केवल यदि, समतल में प्रत्येक बिंदु P के लिए, त्रिभुज की भुजाओं से PD, PE, और PF के साथ और इसके शीर्षों से PA, PB, और PC की दूरी के साथ, $$4(PD^2+PE^2+PF^2) \geq PA^2+PB^2+PC^2.$$

दो त्रिकोण
दो त्रिकोणों के लिए पेडो की असमानता, एक पक्ष a, b, और सी और क्षेत्र T के साथ, और दूसरा पक्ष d, e, और f और क्षेत्र s के साथ, बताता है कि


 * $$d^2(b^2+c^2-a^2)+e^2(a^2+c^2-b^2)+f^2(a^2+b^2-c^2)\geq 16TS,$$

समानता के साथ यदि और केवल यदि दो त्रिकोण समानता (ज्यामिति) हैं।

हिंज प्रमेय या ओपन-माउथ प्रमेय में कहा गया है कि यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं के सर्वांगसम हों, और पहले का सम्मिलित कोण दूसरे के सम्मिलित कोण से बड़ा हो, तो पहले त्रिभुज की तीसरी भुजा दूसरे त्रिभुज की तीसरी भुजा से अधिक है। अर्थात्, त्रिभुज ABC और DEF में भुजाओं a, b, c, और d, e, f के साथ क्रमशः (विपरीत A आदि के साथ), यदि a = d और b = e और कोण C> कोण F, तो


 * $$ c>f.$$

विलोम भी मान्य है: यदि c > f, तो C > F.

किन्हीं भी दो त्रिभुजों ABC और DEF के कोण कोटिस्पर्श फलन के अनुसार संबंधित हैं


 * $$\cot A (\cot E + \cot F) + \cot B(\cot F+\cot D) + \cot C(\cot D + \cot E) \geq 2.$$

गैर-यूक्लिडियन त्रिकोण
त्रिभुजों के एक हल में या गोलीय त्रिभुजों को हल करना, साथ ही अण्डाकार ज्यामिति में,


 * $$\angle A+\angle B+\angle C >180^\circ.$$

अतिशयोक्तिपूर्ण त्रिभुजों के लिए यह असमानता उलट दी गई है।

यह भी देखें

 * असमानताओं की सूची
 * त्रिकोण विषयों की सूची