किलिंग सदिश क्षेत्र

गणित में, एक किलिंग वेक्टर फ़ील्ड (अक्सर किलिंग फ़ील्ड कहा जाता है), जिसका नाम विल्हेम हत्या  के नाम पर रखा गया है, रीमैनियन [[ कई गुना ]] (या छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड) पर एक वेक्टर फ़ील्ड है जो मीट्रिक टेंसर को संरक्षित करता है। किलिंग फ़ील्ड लाई समूह हैं#आइसोमेट्री के लाई समूहों से संबद्ध लाई बीजगणित; अर्थात्, किलिंग फ़ील्ड्स द्वारा उत्पन्न प्रवाह (ज्यामिति) मैनिफोल्ड की आइसोमेट्री (रीमैनियन ज्यामिति) है। अधिक सरलता से, प्रवाह एक समरूपता उत्पन्न करता है, इस अर्थ में कि किसी वस्तु के प्रत्येक बिंदु को किलिंग वेक्टर की दिशा में समान दूरी पर ले जाने से वस्तु पर दूरियाँ विकृत नहीं होंगी।

परिभाषा
विशेष रूप से, एक वेक्टर फ़ील्ड X एक किलिंग फ़ील्ड है यदि मीट्रिक g के X के संबंध में Lie व्युत्पन्न गायब हो जाता है:
 * $$\mathcal{L}_{X} g = 0 \,.$$

लेवी-सिविटा कनेक्शन के संदर्भ में, यह है


 * $$g\left(\nabla_Y X, Z\right) + g\left(Y, \nabla_Z X\right) = 0 \,$$

सभी वैक्टर Y और Z के लिए। स्थानीय निर्देशांक में, यह किलिंग समीकरण के बराबर है
 * $$\nabla_\mu X_\nu + \nabla_{\nu} X_\mu = 0 \,.$$

यह स्थिति सहसंयोजक रूप में व्यक्त की जाती है। इसलिए, इसे सभी समन्वय प्रणालियों में पकड़ बनाने के लिए इसे पसंदीदा समन्वय प्रणाली में स्थापित करना पर्याप्त है।

सर्कल पर किलिंग फील्ड
एक सर्कल पर वेक्टर फ़ील्ड जो वामावर्त को इंगित करता है और प्रत्येक बिंदु पर समान लंबाई होती है, एक किलिंग वेक्टर फ़ील्ड है, क्योंकि इस वेक्टर फ़ील्ड के साथ सर्कल पर प्रत्येक बिंदु को स्थानांतरित करने से सर्कल बस घूमता है।

अतिपरवलयिक तल पर फ़ील्ड्स को ख़त्म करना
किलिंग वेक्टर फ़ील्ड के लिए एक खिलौना उदाहरण ऊपरी आधे तल पर है $$M = \mathbb{R}^2_{y > 0}$$ पोंकारे मीट्रिक से सुसज्जित $$g = y^{-2}\left(dx^2 + dy^2\right)$$. जोड़ी $$(M, g)$$ इसे आम तौर पर पोंकारे हाफ-प्लेन मॉडल कहा जाता है और इसमें किलिंग वेक्टर फ़ील्ड होता है $$\partial_x$$ (मानक निर्देशांक का उपयोग करके)। सहसंयोजक व्युत्पन्न के बाद से यह सहज रूप से स्पष्ट होना चाहिए $$\nabla_{\partial_x}g$$ वेक्टर फ़ील्ड (जिसकी छवि x-अक्ष के समानांतर है) द्वारा उत्पन्न एक अभिन्न वक्र के साथ मीट्रिक को स्थानांतरित करता है।

इसके अलावा, मीट्रिक इससे स्वतंत्र है $$x$$ जिससे हम तुरंत यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं $$\partial_x$$ इस आलेख में नीचे दिए गए परिणामों में से एक का उपयोग करके एक किलिंग फ़ील्ड है।

ऊपरी अर्ध-तल मॉडल का आइसोमेट्री समूह (या बल्कि, पहचान से जुड़ा घटक) है $$\text{SL}(2, \mathbb{R})$$ (पोइंकारे हाफ-प्लेन मॉडल देखें), और अन्य दो किलिंग फ़ील्ड जनरेटर की कार्रवाई पर विचार करके प्राप्त किए जा सकते हैं $$\text{SL}(2, \mathbb{R})$$ ऊपरी आधे तल पर. अन्य दो उत्पन्न करने वाले किलिंग क्षेत्र फैलाव हैं $$D = x\partial_x + y\partial_y$$ और विशेष अनुरूप परिवर्तन $$K = (x^2 - y^2)\partial_x + 2xy \partial_y$$.

2-गोले पर खेतों को मारना
दो-गोले के हत्या क्षेत्र $$S^2$$, या अधिक सामान्यतः $$n$$-गोला $$S^n$$ सामान्य अंतर्ज्ञान से स्पष्ट होना चाहिए: घूर्णी समरूपता वाले क्षेत्रों में मारक क्षेत्र होने चाहिए जो किसी भी अक्ष के बारे में घूर्णन उत्पन्न करते हैं। यानी हम उम्मीद करते हैं $$S^2$$ 3डी रोटेशन समूह SO(3) की कार्रवाई के तहत समरूपता प्राप्त करना। अर्थात्, प्राथमिक ज्ञान का उपयोग करके कि गोले को यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एम्बेड किया जा सकता है, किलिंग फ़ील्ड के रूप का अनुमान लगाना तुरंत संभव है। यह सामान्य रूप से संभव नहीं है, और इसलिए यह उदाहरण बहुत ही सीमित शैक्षिक मूल्य का है।

2-गोले के लिए पारंपरिक चार्ट अंतर्निहित है $$\mathbb{R}^3$$ कार्तीय निर्देशांक में $$(x,y,z)$$ द्वारा दिया गया है
 * $$x = \sin\theta\cos\phi,\qquad y = \sin\theta\sin\phi,\qquad z = \cos\theta$$

ताकि $$\theta$$ ऊँचाई को मापता है, और $$\phi$$ पैरामीटर्स के बारे में घूर्णन $$z$$-एक्सिस।

मानक कार्टेशियन मीट्रिक को वापस खींचना $$ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2$$ गोले पर मानक मीट्रिक देता है,
 * $$ds^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2$$.

सहज रूप से, किसी भी अक्ष के चारों ओर घूमना एक आइसोमेट्री होना चाहिए। इस चार्ट में, वेक्टर फ़ील्ड जो के बारे में घूर्णन उत्पन्न करता है $$z$$-एक्सिस:
 * $$\frac{\partial}{\partial\phi}.$$

इन निर्देशांकों में, मीट्रिक घटक सभी स्वतंत्र हैं $$\phi$$, जो यह दर्शाता है $$\partial_\phi$$ एक हत्या क्षेत्र है.

सदिश क्षेत्र
 * $$\frac{\partial}{\partial\theta}$$

हत्या क्षेत्र नहीं है; समन्वय $$\theta$$ मीट्रिक में स्पष्ट रूप से दिखाई देता है। द्वारा उत्पन्न प्रवाह $$\partial_\theta$$ उत्तर से दक्षिण की ओर जाता है; उत्तरी ध्रुव के बिंदु दूर-दूर फैलते हैं, दक्षिण के बिंदु एक साथ आते हैं। कोई भी परिवर्तन जो बिंदुओं को करीब या दूर ले जाता है वह आइसोमेट्री नहीं हो सकता; इसलिए, ऐसी गति का जनक कोई किलिंग फील्ड नहीं हो सकता।

जनरेटर $$\partial_\phi$$ के बारे में एक घूर्णन के रूप में पहचाना जाता है $$z$$-एक्सिस


 * $$Z = x\partial_y - y\partial_x = \sin^2\theta \,\partial_\phi$$

एक दूसरा जनरेटर, के चारों ओर घूमता है $$x$$-अक्ष, है


 * $$X = z\partial_y - y\partial_z$$

तीसरा जनरेटर, चारों ओर घूमने के लिए $$y$$-अक्ष, है


 * $$Y = z\partial_x - x\partial_z$$

इन तीन जनरेटरों के रैखिक संयोजनों द्वारा दिया गया बीजगणित बंद हो जाता है, और संबंधों का पालन करता है
 * $$[X,Y] = Z \quad [Y,Z] = X \quad [Z,X] = Y.$$

यह झूठ बीजगणित है $$\mathfrak{so}(3)$$.

जताते $$X$$ और $$Y$$ गोलाकार निर्देशांक के संदर्भ में देता है


 * $$X = \sin^2\theta \,(\sin\phi\partial_\theta + \cot\theta\cos\phi\partial_\phi)$$

और
 * $$Y = \sin^2 \theta \,(\cos\phi\partial_\theta - \cot\theta\sin\phi\partial_\phi)$$

ये तीन वेक्टर फ़ील्ड वास्तव में किलिंग फ़ील्ड हैं, इसे दो अलग-अलग तरीकों से निर्धारित किया जा सकता है। एक स्पष्ट गणना द्वारा है: बस के लिए स्पष्ट अभिव्यक्तियों को प्लग इन करें $$\mathcal{L}_Xg$$ और यह दिखाने के लिए चुगली करें $$\mathcal{L}_Xg=\mathcal{L}_Yg=\mathcal{L}_Zg=0.$$ यह एक सार्थक अभ्यास है. वैकल्पिक रूप से, कोई भी पहचान सकता है $$X, Y$$ और $$Z$$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष में आइसोमेट्री के जनरेटर हैं, और चूंकि गोले पर मीट्रिक यूक्लिडियन अंतरिक्ष में मीट्रिक से विरासत में मिली है, इसलिए आइसोमेट्री भी विरासत में मिली है। ये तीन किलिंग फ़ील्ड बीजगणित के लिए जनरेटर का एक पूरा सेट बनाते हैं। वे अद्वितीय नहीं हैं: इन तीन क्षेत्रों का कोई भी रैखिक संयोजन अभी भी एक किलिंग फ़ील्ड है।

इस उदाहरण के बारे में ध्यान देने योग्य कई सूक्ष्म बातें हैं।


 * तीन क्षेत्र विश्व स्तर पर गैर-शून्य नहीं हैं; वास्तव में, क्षेत्र $$Z$$ उत्तरी और दक्षिणी ध्रुवों पर लुप्त हो जाता है; वैसे ही, $$X$$ और $$Y$$ भूमध्य रेखा पर एंटीपोड पर गायब हो जाते हैं। इसे समझने का एक तरीका हेयरी बॉल प्रमेय का परिणाम है। गंजे धब्बों की यह संपत्ति, कार्टन अपघटन में सममित स्थानों की एक सामान्य संपत्ति है। मैनिफ़ोल्ड के प्रत्येक बिंदु पर, किलिंग फ़ील्ड का बीजगणित स्वाभाविक रूप से दो भागों में विभाजित हो जाता है, एक भाग जो मैनिफ़ोल्ड के स्पर्शरेखा है, और दूसरा भाग जो लुप्त हो रहा है (उस बिंदु पर जहां अपघटन किया जा रहा है)।


 * तीन क्षेत्र $$X, Y$$ और $$Z$$ इकाई लंबाई के नहीं हैं. के सामान्य गुणनखंड से विभाजित करके सामान्यीकरण किया जा सकता है $$\sin^2\theta$$ तीनों भावों में प्रकट होना। हालाँकि, उस स्थिति में, फ़ील्ड अब सुचारू नहीं हैं: उदाहरण के लिए, $$\partial_\phi = X/\sin^2\theta$$ उत्तरी और दक्षिणी ध्रुवों पर एकवचन (अभेद्य) है।


 * तीन फ़ील्ड बिंदु-वार ऑर्थोगोनल नहीं हैं; वास्तव में, वे नहीं हो सकते, क्योंकि, किसी भी बिंदु पर, स्पर्शरेखा-तल द्वि-आयामी है, जबकि तीन वैक्टर हैं। गोले पर किसी भी बिंदु को देखते हुए, कुछ गैर-तुच्छ रैखिक संयोजन होता है $$X, Y$$ और $$Z$$ वह गायब हो जाता है: ये तीन वैक्टर उस बिंदु पर द्वि-आयामी स्पर्शरेखा विमान के लिए एक अति-पूर्ण आधार हैं।


 * प्राथमिक ज्ञान कि गोले को यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एम्बेड किया जा सकता है, और इस प्रकार इस एम्बेडिंग से एक मीट्रिक प्राप्त होता है, जिससे किलिंग फ़ील्ड की सही संख्या के बारे में एक भ्रमित अंतर्ज्ञान हो सकता है जिसकी कोई उम्मीद कर सकता है। इस तरह के एम्बेडिंग के बिना, अंतर्ज्ञान सुझाव दे सकता है कि रैखिक रूप से स्वतंत्र जनरेटर की संख्या स्पर्शरेखा बंडल के आयाम से अधिक नहीं होगी। आख़िरकार, किसी भी बिंदु को मैनिफ़ोल्ड पर स्थिर करके, कोई केवल उन्हीं दिशाओं में आगे बढ़ सकता है जो स्पर्शरेखा हैं। 2-गोले के लिए स्पर्शरेखा बंडल का आयाम दो है, और फिर भी तीन किलिंग फ़ील्ड पाए जाते हैं। फिर, यह आश्चर्य सममित स्थानों की एक सामान्य संपत्ति है।

मिन्कोवस्की क्षेत्र में खेतों को नष्ट करना
मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष के हत्या क्षेत्र 3 अंतरिक्ष अनुवाद, समय अनुवाद, घूर्णन के तीन जनरेटर (छोटा समूह) और लोरेंत्ज़ बूस्ट के तीन जनरेटर हैं। ये हैं

बूस्ट और रोटेशन लोरेंत्ज़ समूह उत्पन्न करते हैं। अंतरिक्ष-समय अनुवादों के साथ, यह पोंकारे समूह के लिए लाई बीजगणित बनाता है।
 * समय और स्थान अनुवाद
 * $$ \partial_t ~, \qquad \partial_x ~, \qquad \partial_y ~, \qquad \partial_z ~;$$
 * वेक्टर फ़ील्ड तीन घुमाव उत्पन्न करते हैं, जिन्हें अक्सर जे जनरेटर कहा जाता है,
 * $$-y \partial_x + x \partial_y ~, \qquad -z \partial_y + y \partial_z ~, \qquad -x \partial_z + z \partial_x  ~;$$
 * वेक्टर फ़ील्ड तीन बूस्ट उत्पन्न करते हैं, K जनरेटर,
 * $$x \partial_t + t \partial_x~, \qquad y \partial_t + t \partial_y ~, \qquad z \partial_t + t \partial_z.$$

समतल स्थान में खेतों को नष्ट करना
यहां हम सामान्य समतल स्थान के लिए किलिंग फील्ड प्राप्त करते हैं। किलिंग के समीकरण और कोवेक्टर के लिए रिक्की पहचान से $$K_a$$,
 * $$\nabla_a\nabla_b K_c - \nabla_b\nabla_a K_c = R^d{}_{cab}K_d$$

(अमूर्त सूचकांक संकेतन का उपयोग करके) कहाँ $$R^a{}_{bcd}$$ रीमैन वक्रता टेंसर है, निम्नलिखित पहचान एक किलिंग क्षेत्र के लिए सिद्ध हो सकती है $$X^a$$:
 * $$\nabla_a\nabla_b X_c = R^d{}_{acb}X_d.$$

जब आधार कई गुना हो जाता है $$M$$ समतल स्थान है, अर्थात, यूक्लिडियन स्थान या छद्म-यूक्लिडियन स्थान (मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष के लिए), हम वैश्विक फ्लैट निर्देशांक चुन सकते हैं जैसे कि इन निर्देशांक में, लेवी-सिविटा कनेक्शन और इसलिए रीमैन वक्रता हर जगह गायब हो जाती है, जिससे
 * $$\partial_\mu\partial_\nu X_\rho = 0.$$

किलिंग समीकरण को एकीकृत और लागू करने से हमें सामान्य समाधान लिखने की अनुमति मिलती है $$X_\rho$$ जैसा
 * $$X^\rho = \omega^{\rho\sigma} x_\sigma + c^\rho$$

कहाँ $$\omega^{\mu\nu} = -\omega^{\nu\mu}$$ एंटीसिमेट्रिक है. का उचित मान लेकर $$\omega^{\mu\nu}$$ और $$c^\rho$$, हमें समतल स्थान की आइसोमेट्री के सामान्यीकृत पोंकारे बीजगणित के लिए एक आधार मिलता है:
 * $$M_{\mu\nu} = x_\mu\partial_\nu - x_\nu\partial_\mu$$
 * $$P_\rho = \partial_\rho.$$

ये क्रमशः छद्म-रोटेशन (रोटेशन और बूस्ट) और अनुवाद उत्पन्न करते हैं। सहज रूप से ये प्रत्येक बिंदु पर (छद्म)-मीट्रिक को संरक्षित करते हैं।

कुल आयाम के (छद्म-)यूक्लिडियन स्थान के लिए, कुल मिलाकर हैं $$n(n+1)/2$$ जनरेटर, समतल स्थान को अधिकतम सममित बनाते हैं। यह संख्या अधिकतम सममित स्थानों के लिए सामान्य है। अधिकतम सममित स्थानों को समतल स्थान के उप-विभाजनों के रूप में माना जा सकता है, जो निरंतर उचित दूरी की सतहों के रूप में उत्पन्न होते हैं
 * $$\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^{p,q}:\eta(\mathbf{x},\mathbf{x})=\pm \frac{1}{\kappa^2}\}$$

जिसमें अनिश्चितकालीन ऑर्थोगोनल समूह|O(p,q) समरूपता है। यदि सबमैनिफोल्ड में आयाम है $$n$$, समरूपता के इस समूह में अपेक्षित आयाम है (एक झूठ समूह के रूप में)।

अनुमानतः, हम किलिंग फ़ील्ड बीजगणित का आयाम प्राप्त कर सकते हैं। हत्या के समीकरण का इलाज $$\nabla_a X_b + \nabla_b X_a = 0$$ पहचान के साथ $$\nabla_a\nabla_b X_c = R^c{}_{bad}X_c.$$ दूसरे क्रम के अंतर समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में $$X_a$$, हम का मूल्य निर्धारित कर सकते हैं $$X_a$$ किसी बिंदु पर प्रारंभिक डेटा दिए जाने पर $$p$$. प्रारंभिक डेटा निर्दिष्ट करता है $$X_a(p)$$ और $$\nabla_a X_b(p)$$, लेकिन किलिंग का समीकरण यह लगाता है कि सहसंयोजक व्युत्पन्न एंटीसिमेट्रिक है। कुल मिलाकर यही है $$n^2 - n(n-1)/2 = n(n+1)/2$$ प्रारंभिक डेटा के स्वतंत्र मान.

ठोस उदाहरणों के लिए, समतल स्थान (मिन्कोव्स्की स्थान) और अधिकतम सममित स्थान (गोलाकार, अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान) के उदाहरणों के लिए नीचे देखें।

सामान्य सापेक्षता में क्षेत्रों को नष्ट करना
सामान्य सापेक्षता में आइसोमेट्री पर चर्चा करने के लिए किलिंग फील्ड का उपयोग किया जाता है (जिसमें गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों द्वारा विकृत अंतरिक्ष समय  की ज्यामिति को 4-आयामी छद्म-रिमैनियन मैनिफोल्ड के रूप में देखा जाता है)। एक स्थिर विन्यास में, जिसमें समय के साथ कुछ भी नहीं बदलता है, समय वेक्टर एक किलिंग वेक्टर होगा, और इस प्रकार किलिंग फ़ील्ड समय में आगे की गति की दिशा में इंगित करेगा। उदाहरण के लिए, श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक में चार किलिंग फ़ील्ड हैं: मीट्रिक इससे स्वतंत्र है $$t$$, इस तरह $$\partial_t$$ एक काल-सदृश संहार क्षेत्र है। अन्य तीन घूर्णन के तीन जनरेटर हैं जिनकी चर्चा ऊपर की गई है। घूमते हुए ब्लैक होल के लिए केर मीट्रिक में केवल दो किलिंग फ़ील्ड हैं: समय-जैसा फ़ील्ड, और ब्लैक होल के घूर्णन की धुरी के बारे में घूर्णन उत्पन्न करने वाला फ़ील्ड।

सिटर स्पेस द्वारा और एंटी-डी सिटर स्पेस अधिकतम सममित स्थान हैं $$n$$प्रत्येक स्वामित्व के आयामी संस्करण $$\frac{n(n+1)}{2}$$ सामूहिक हत्या वाली जगह।

एक स्थिर समन्वय का हत्या क्षेत्र
यदि मीट्रिक गुणांक $$g_{\mu \nu} \,$$ कुछ समन्वित आधार पर $$dx^{a} \,$$ किसी एक निर्देशांक से स्वतंत्र हैं $$x^{\kappa} \,$$, तब $$K^{\mu} = \delta^{\mu}_{\kappa} \,$$ एक किलिंग वेक्टर है, जहां $$\delta^{\mu}_{\kappa} \,$$ क्रोनकर डेल्टा है।

इसे सिद्ध करने के लिए, आइए मान लें $$g_{\mu \nu},_0 = 0 \,$$. तब $$K^\mu = \delta^\mu_0 \,$$ और $$K_{\mu} = g_{\mu \nu} K^\nu = g_{\mu \nu} \delta^\nu_0 = g_{\mu 0} \,$$ अब आइए हत्या की स्थिति पर नजर डालें
 * $$K_{\mu;\nu} + K_{\nu;\mu} = K_{\mu,\nu} + K_{\nu,\mu} - 2\Gamma^\rho_{\mu\nu}K_\rho = g_{\mu 0,\nu} + g_{\nu 0,\mu} - g^{\rho\sigma}(g_{\sigma\mu,\nu} + g_{\sigma\nu,\mu} - g_{\mu\nu,\sigma})g_{\rho 0} \,$$

और से $$g_{\rho 0}g^{\rho \sigma} = \delta_0^\sigma \,$$. मार-काट की स्थिति बन जाती है
 * $$g_{\mu 0,\nu} + g_{\nu 0,\mu} - (g_{0\mu,\nu} + g_{0\nu,\mu} - g_{\mu\nu,0}) = 0 \,$$

वह है $$g_{\mu\nu,0} = 0$$, कौन सा सही है।


 * उदाहरण के लिए, भौतिक अर्थ यह है कि, यदि कोई भी मीट्रिक गुणांक समय का कार्य नहीं है, तो मैनिफोल्ड में स्वचालित रूप से समय-जैसा किलिंग वेक्टर होना चाहिए।
 * आम आदमी के शब्दों में, यदि कोई वस्तु समय के साथ रूपांतरित या विकसित नहीं होती है (जब समय बीत जाता है), तो समय बीतने से वस्तु के माप में कोई बदलाव नहीं आएगा। इस तरह से तैयार किए गए, परिणाम एक तनातनी की तरह लगता है, लेकिन किसी को यह समझना होगा कि उदाहरण बहुत अधिक काल्पनिक है: हत्या क्षेत्र बहुत अधिक जटिल और दिलचस्प मामलों पर भी लागू होते हैं।

इसके विपरीत, यदि मीट्रिक $$\mathbf{g}$$ एक किलिंग फ़ील्ड स्वीकार करता है $$X^a$$, तो कोई जिसके लिए निर्देशांक बना सकता है $$\partial_0 g_{\mu\nu} = 0$$. इन निर्देशांकों का निर्माण हाइपरसर्फेस लेकर किया जाता है $$\Sigma$$ ऐसा है कि $$X^a$$ कहीं भी स्पर्शरेखा नहीं है $$\Sigma$$. निर्देशांक लें $$x^i$$ पर $$\Sigma$$, फिर स्थानीय निर्देशांक परिभाषित करें $$(t,x^i)$$ कहाँ $$t$$ के अभिन्न वक्र के साथ पैरामीटर को दर्शाता है $$X^a$$ पर आधारित $$(x^i)$$ पर $$\Sigma$$. इन निर्देशांकों में, लाई व्युत्पन्न समन्वय व्युत्पन्न में कम हो जाता है, अर्थात,
 * $$\mathcal{L}_Xg_{\mu\nu} = \partial_0 g_{\mu\nu}$$

और किलिंग फ़ील्ड की परिभाषा के अनुसार बाईं ओर का भाग गायब हो जाता है।

गुण
एक किलिंग फ़ील्ड किसी बिंदु पर एक वेक्टर और उसके ग्रेडिएंट (यानी बिंदु पर फ़ील्ड के सभी सहसंयोजक व्युत्पन्न) द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित की जाती है।

दो किलिंग फ़ील्ड के वेक्टर फ़ील्ड का लाई ब्रैकेट अभी भी किलिंग फ़ील्ड है। मैनिफोल्ड एम पर किलिंग फ़ील्ड्स इस प्रकार एम पर वेक्टर फ़ील्ड्स का एक ले बीजगणित बनाती हैं। यदि एम पूर्ण अनेक गुना है तो यह मैनिफोल्ड के आइसोमेट्री समूह का ले बीजगणित है। आइसोमेट्रीज़ के एक संक्रमणीय समूह के साथ एक रीमैनियन मैनिफोल्ड एक सजातीय स्थान है।

सघन स्थान मैनिफोल्ड्स के लिए
 * नकारात्मक रिक्की वक्रता का तात्पर्य है कि कोई गैर-तुच्छ (गैर-शून्य) हत्या क्षेत्र नहीं हैं।
 * नॉनपॉज़िटिव रिक्की वक्रता का तात्पर्य है कि कोई भी किलिंग फ़ील्ड समानांतर है। यानी किसी भी वेक्टर क्षेत्र के साथ सहसंयोजक व्युत्पन्न समान रूप से शून्य है।
 * यदि अनुभागीय वक्रता सकारात्मक है और एम का आयाम सम है, तो किलिंग फ़ील्ड में शून्य होना चाहिए।

प्रत्येक किलिंग वेक्टर फ़ील्ड का सहसंयोजक विचलन गायब हो जाता है।

अगर $$X$$ एक किलिंग वेक्टर फ़ील्ड है और $$Y$$ तो फिर, यह एक हॉज सिद्धांत है $$g(X, Y)$$ एक हार्मोनिक फ़ंक्शन है.

अगर $$X$$ एक किलिंग वेक्टर फ़ील्ड है और $$\omega$$ तो फिर, यह एक हॉज सिद्धांत|हार्मोनिक पी-फॉर्म है $$\mathcal{L}_{X} \omega = 0 \,.$$

जियोडेसिक्स
प्रत्येक किलिंग वेक्टर एक मात्रा से मेल खाता है जिसे हैमिल्टनियन प्रवाह के रूप में जियोडेसिक्स के साथ संरक्षित किया जाता है। यह संरक्षित मात्रा किलिंग वेक्टर और जियोडेसिक टेंगेंट वेक्टर के बीच का मीट्रिक उत्पाद है। स्पर्शरेखा वेक्टर के साथ एक एफ़िनली पैरामीट्रिज़्ड जियोडेसिक के साथ $$U^a$$ फिर किलिंग वेक्टर दिया गया $$X_b$$, मात्रा $$U^bX_b$$ संरक्षित है:
 * $$U^a\nabla_a(U^bX_b)=0$$

यह समरूपता के साथ स्पेसटाइम में गतियों का विश्लेषणात्मक अध्ययन करने में सहायता करता है।

तनाव-ऊर्जा टेंसर
एक संरक्षित, सममित टेंसर दिया गया है $$T^{ab}$$, वह है, एक संतोषजनक $$T^{ab} = T^{ba}$$ और $$\nabla_a T^{ab}=0$$, जो तनाव-ऊर्जा टेंसर और किलिंग वेक्टर के विशिष्ट गुण हैं $$X_b$$, हम संरक्षित मात्रा का निर्माण कर सकते हैं $$J^a := T^{ab}X_b$$ संतुष्टि देने वाला
 * $$\nabla_a J^a = 0.$$

कार्टन अपघटन
जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, दो किलिंग फ़ील्ड के वेक्टर फ़ील्ड का लाई ब्रैकेट अभी भी एक किलिंग फ़ील्ड है। द किलिंग फील्ड्स मैनिफोल्ड पर $$M$$ इस प्रकार एक झूठ बीजगणित बनता है $$\mathfrak{g}$$ सभी वेक्टर फ़ील्ड पर $$M.$$ एक बिंदु का चयन करना $$p \in M~,$$ बीजगणित $$\mathfrak{g}$$ दो भागों में विघटित किया जा सकता है:
 * $$\mathfrak{h} = \{ X\in\mathfrak{g} : X(p) = 0 \}$$

और
 * $$\mathfrak{m} = \{ X\in\mathfrak{g} : \nabla X(p) = 0 \}$$

कहाँ $$\nabla$$ सहसंयोजक व्युत्पन्न है. ये दोनों भाग मामूली तौर पर एक दूसरे को काटते हैं लेकिन सामान्य तौर पर विभाजित नहीं होते $$\mathfrak{g}$$. उदाहरण के लिए, यदि $$M$$ एक रीमैनियन सजातीय स्थान है, हमारे पास है $$\mathfrak{g} = \mathfrak{h} \oplus \mathfrak{m}$$ अगर और केवल अगर $$M$$ एक रीमैनियन सममित स्थान है। सहज रूप से, की सममिति $$M$$ स्थानीय रूप से एक सबमैनिफोल्ड को परिभाषित करें $$N$$ कुल स्थान का, और किलिंग फ़ील्ड दिखाते हैं कि उस सबमैनिफोल्ड के साथ कैसे स्लाइड किया जाए। वे उस उपमान के स्पर्शरेखा स्थान का विस्तार करते हैं। स्पर्शरेखा स्थान $$T_pN$$ उस बिंदु पर समूह क्रिया#कार्रवाई के प्रकार अभिनय करने वाले आइसोमेट्री के समान आयाम होना चाहिए। अर्थात व्यक्ति अपेक्षा करता है $$T_pN \cong \mathfrak{m}~.$$ फिर भी, सामान्य तौर पर, किलिंग फ़ील्ड की संख्या उस स्पर्शरेखा स्थान के आयाम से बड़ी होती है। यह कैसे हो सकता है? इसका उत्तर यह है कि अतिरिक्त किलिंग फ़ील्ड अनावश्यक हैं। सभी को मिलाकर, फ़ील्ड किसी विशेष चयनित बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान के लिए एक अति-पूर्ण आधार प्रदान करते हैं; उस विशेष बिंदु पर रैखिक संयोजनों को गायब किया जा सकता है। इसे 2-गोले पर किलिंग फ़ील्ड के उदाहरण में देखा गया था: 3 किलिंग फ़ील्ड हैं; किसी भी बिंदु पर, दो उस बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान का विस्तार करते हैं, और तीसरा अन्य दो का एक रैखिक संयोजन है। किन्हीं दो परिभाषाओं को चुनना $$\mathfrak{m};$$ शेष पतित रैखिक संयोजन एक ऑर्थोगोनल स्थान को परिभाषित करते हैं $$\mathfrak{h}.$$

कार्टन का समावेश
कार्टन इनवोलुशन को जियोडेसिक की दिशा को प्रतिबिंबित करने या उलटने के रूप में परिभाषित किया गया है। इसका अंतर स्पर्शरेखा की दिशा को जियोडेसिक में बदल देता है। यह मानक एक का एक रैखिक संचालिका है; इसमें eigenvalue +1 और -1 के दो अपरिवर्तनीय उप-स्थान हैं। ये दो उपस्थान संगत हैं $$\mathfrak{p}$$ और $$\mathfrak{m},$$ क्रमश।

इसे और अधिक सटीक बनाया जा सकता है. एक बिंदु तय करना $$p \in M$$ एक जियोडेसिक पर विचार करें $$\gamma: \mathbb{R} \to M$$ के माध्यम से गुजरते हुए $$p$$, साथ $$\gamma(0) = p~.$$ इन्वॉल्वमेंट (गणित) $$\sigma_p$$ परिभाषित किया जाता है


 * $$\sigma_p(\gamma(\lambda)) = \gamma(-\lambda)$$

यह मानचित्र उसी में एक समावेश है $$\sigma_p^2 = 1~.$$ जब किलिंग फ़ील्ड के साथ जियोडेसिक्स तक सीमित किया जाता है, तो यह स्पष्ट रूप से एक आइसोमेट्री भी है। इसे विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है।

होने देना $$G$$ किलिंग फ़ील्ड द्वारा उत्पन्न आइसोमेट्री का समूह बनें। कार्यक्रम $$s_p: G \to G$$ द्वारा परिभाषित
 * $$s_p(g) = \sigma_p \circ g \circ \sigma_p = \sigma_p \circ g \circ \sigma_p^{-1}$$

की एक समरूपता है $$G$$. यह अतिसूक्ष्म है $$\theta_p: \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}$$ है
 * $$\theta_p(X) = \left. \frac{d}{d\lambda} s_p\left(e^{\lambda X}\right) \right|_{\lambda=0}$$

कार्टन इनवोल्यूशन एक झूठ बीजगणित समरूपता है
 * $$\theta_p[X, Y] = \left[\theta_p X, \theta_p Y\right]$$

सभी के लिए $$X, Y \in \mathfrak{g}~.$$ उपस्थान $$\mathfrak{m}$$ जबकि, कार्टन इन्वोल्यूशन के अंतर्गत विषम समता है $$\mathfrak{h}$$ सम समता है. अर्थात्, बिंदु पर कार्टन के शामिल होने को दर्शाता है $$p \in M$$ जैसा $$\theta_p$$ किसी के पास
 * $$\left.\theta_p\right|_{\mathfrak{m}} = -Id$$

और
 * $$\left.\theta_p\right|_{\mathfrak{h}} = +Id$$

कहाँ $$Id$$ पहचान मानचित्र है. इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि उपस्थान $$\mathfrak{h}$$ का एक झूठ उपबीजगणित है $$\mathfrak{g}$$, के कारण से $$[\mathfrak{h}, \mathfrak{h}] \subset \mathfrak{h} ~.$$ चूँकि ये सम और विषम समता वाले उपस्थान हैं, इसलिए लाई कोष्ठक विभाजित हो जाते हैं $$[\mathfrak{h}, \mathfrak{m}] \subset \mathfrak{m}$$ और $$[\mathfrak{m}, \mathfrak{m}] \subset \mathfrak{h} ~.$$ उपरोक्त अपघटन सभी बिंदुओं पर लागू होता है $$p \in M$$ एक सममित स्थान के लिए $$M$$; सबूत जोस्ट में पाए जा सकते हैं। वे अधिक सामान्य सेटिंग्स में भी हैं, लेकिन जरूरी नहीं कि वे मैनिफोल्ड के सभी बिंदुओं पर हों।

सममित स्थान के विशेष मामले के लिए, किसी के पास स्पष्ट रूप से वह है $$T_pM \cong \mathfrak{m};$$ अर्थात्, किलिंग फ़ील्ड एक सममित स्थान के संपूर्ण स्पर्शरेखा स्थान को फैलाते हैं। समान रूप से, वक्रता टेंसर स्थानीय रूप से सममित स्थानों पर सहसंयोजक रूप से स्थिर होता है, और इसलिए ये स्थानीय रूप से समानांतर होते हैं; यह कार्टन-एम्ब्रोस-हिक्स प्रमेय है।

सामान्यीकरण
अनुरूप हत्या वेक्टर क्षेत्र को परिभाषित किलिंग वेक्टर फ़ील्ड्स के अनुरूप सामान्यीकृत किया जा सकता है $$\mathcal{L}_{X} g = \lambda g\,$$ कुछ अदिश राशि के लिए $$\lambda.$$ अनुरूप मानचित्रों के एक पैरामीटर परिवारों के व्युत्पन्न अनुरूप हत्या क्षेत्र हैं।
 * [[ टेन्सर को मारना ]] फ़ील्ड सममित टेंसर फ़ील्ड टी हैं जैसे कि सममिति का ट्रेस-मुक्त हिस्सा $$\nabla T \,$$ गायब हो जाता है. किलिंग टेंसर वाले मैनिफोल्ड्स के उदाहरणों में केर स्पेसटाइम और एफआरडब्ल्यू ब्रह्मांड विज्ञान शामिल हैं।
 * यदि हम आइसोमेट्री के समूह के बजाय उस पर कोई ली समूह जी समूह कार्रवाई (गणित) लेते हैं, तो किलिंग वेक्टर फ़ील्ड को किसी भी मैनिफोल्ड एम (संभवतः मीट्रिक के बिना) पर भी परिभाषित किया जा सकता है। इस व्यापक अर्थ में, किलिंग वेक्टर फ़ील्ड समूह क्रिया द्वारा G पर एक सही अपरिवर्तनीय वेक्टर फ़ील्ड को आगे बढ़ाना है। यदि समूह क्रिया प्रभावी है, तो किलिंग वेक्टर फ़ील्ड का स्थान लाई बीजगणित के समरूपी है $$\mathfrak{g}$$ जी का.

यह भी देखें

 * एफ़िन वेक्टर फ़ील्ड
 * वक्रता संरेखण
 * समरूप सदिश क्षेत्र
 * संहार रूप
 * क्षितिज को मारना
 * स्पिनर को मारना
 * द्रव्य संरेखण
 * स्पेसटाइम समरूपता