द्विआयामी यूक्लिडियन समष्टि

द्वि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष या बस द्वि-आयामी अंतरिक्ष एक ज्यामितीय सेटिंग है (जिसे 2D समष्टि, 2-समष्टि, या द्वि-आयामी समष्टि के रूप में भी जाना जाता है) जिसमें समष्टि पर एक तत्व की स्थिति निर्धारित करने के लिए दो मानों की आवश्यकता होती है। सेट $$\mathbb{R}^2$$ उपयुक्त संरचना के साथ वास्तविक संख्याओं के जोड़े (वास्तविक समन्वय समष्टि) लगातार यूक्लिडियन समष्टि, द्वि-आयामी यूक्लिडियन समष्टि के विहित उदाहरण के रूप में कार्य करते हैं; अवधारणा के सामान्यीकरण के लिए, आयाम देखें। द्वि-आयामी अंतरिक्ष को एक समष्टि पर भौतिक ब्रह्मांड के प्रक्षेपण के रूप में देखा जा सकता है। आमतौर पर, इसे यूक्लिडियन स्पेस के रूप में माना जाता है और दोनों आयामों को लंबाई और चौड़ाई कहा जाता है।

इतिहास
यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक I से IV और VI में द्वि-आयामी ज्यामिति, आकृतियों की समानता, पाइथागोरस प्रमेय (प्रस्ताव 47), कोणों और क्षेत्रों की समानता, समांतरता, त्रिभुज में कोणों का योग, और तीन मामले जिनमें त्रिकोण "बराबर" हैं (एक ही क्षेत्र है), कई अन्य विषयों में भी बराबर है।

बाद में, समष्टि को एक तथाकथित कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में वर्णित किया गया था, एक समन्वय प्रणाली जो संख्यात्मक निर्देशांक की एक जोड़ी द्वारा समष्टि में विशिष्ट रूप से प्रत्येक बिंदु को निर्दिष्ट करती है, जो बिंदु से दो स्थिर लंबवत निर्देशित रेखाओं तक की हस्ताक्षरित दूरियां हैं, जिन्हें लंबाई की एक ही इकाई में मापा जाता है। प्रत्येक संदर्भ रेखा को निर्देशांक अक्ष या केवल तंत्र का अक्ष कहा जाता है, और जिस बिंदु पर वे मिलते हैं वह उसका मूल होता है, आमतौर पर क्रमित युग्म (0, 0) पर है। निर्देशांक को दो अक्षों पर एक बिंदु के लंबवत अनुमानों की स्थिति के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, जिसे मूल से एक हस्ताक्षरित दूरी के रूप में व्यक्त किया जाता है।

इस प्रणाली का विचार 1637 में डेसकार्टेस के लेखन में और स्वतंत्र रूप से पियरे डी फर्माटा द्वारा विकसित किया गया था, हालाँकि फ़र्मेट ने भी तीन आयामों में काम किया, और इस खोज को प्रकाशित नहीं किया गया था। दोनों लेखकों ने अपने अभिक्रिया में एक ही अक्ष का उपयोग किया है और इस अक्ष की एक चर लंबाई है जिसे इसके संदर्भ में मापा जाता है। अक्षों की जोड़ी का उपयोग करने की अवधारणा को बाद में पेश किया गया था, जब डेसकार्टेस के ला गोमेट्री को 1649 में फ्रैंस वैन शूटेन और उनके छात्रों द्वारा लैटिन में अनुवादित किया गया था। डेसकार्टेस के काम में निहित विचारों को स्पष्ट करने की कोशिश करते हुए इन टिप्पणीकारों ने कई अवधारणाएं पेश कीं थी। बाद में, समतल को एक क्षेत्र के रूप में माना गया, जहां किन्हीं दो बिंदुओं को गुणा किया जा सकता है और 0 को छोड़कर, विभाजित किया जा सकता है। इसे सम्मिश्र समतल के रूप में जाना जाता था। सम्मिश्र तल को कभी-कभी Argand समतल कहा जाता है क्योंकि इसका उपयोग अर्ग़ंद (Argand) आरेखों में किया जाता है। इनका नाम जीन-रॉबर्ट अरगैंड (1768-1822) के नाम पर रखा गया है, हालांकि इन्हें पहली बार डेनिश-नॉर्वेजियन भूमि सर्वेक्षक और गणितज्ञ कैस्पर वेसल (1745-1818) द्वारा वर्णित किया गया था। सम्मिश्र तल में किसी फलन के ध्रुवों और शून्यकों की स्थिति को आलेखित करने के लिए अक्सर अरगंड आरेखों का उपयोग किया जाता है।

समन्वय प्रणाली
गणित में, विश्लेषणात्मक ज्यामिति (जिसे कार्टेशियन ज्यामिति भी कहा जाता है) दो निर्देशांक के माध्यम से द्वि-आयामी अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु का वर्णन करता है। दो लंबवत निर्देशांक अक्ष दिए गए हैं जो मूल बिंदु पर एक दूसरे को पार करते हैं। उन्हें आमतौर पर x और y लेबल किया जाता है। इन अक्षों के सापेक्ष, द्विविमीय समष्टि में किसी भी बिंदु की स्थिति वास्तविक संख्याओं के क्रमित युग्म द्वारा दी जाती है, प्रत्येक संख्या दी गई अक्ष के अनुदिश मापी गई मूल बिन्दु से उस बिंदु की दूरी देती है, जो दूसरे अक्ष से उस बिंदु की दूरी के बराबर है।

एक अन्य व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली समन्वय प्रणाली ध्रुवीय समन्वय प्रणाली है, जो एक बिंदु को मूल से इसकी दूरी और एक सही संदर्भ किरण के सापेक्ष उसके कोण के संदर्भ में निर्दिष्ट करती है।

पॉलीटोप्स
दो आयामों में, असीम रूप से कई पॉलीटोप हैं: बहुभुज।

पहले कुछ क्रम नीचे दिखाए गए हैं:

उत्तल
श्लाफ्लिक (Schläfli) प्रतीक {p} एक नियमित पी-गोन (P-gon) का प्रतिनिधित्व करता है।

विकृत (गोलाकार)
नियमित मोनोगोन (या हेनगोन) {1} और नियमित डिगॉन {2} को नियमित बहुभुजों को पतित माना जा सकता है और गैर-यूक्लिडियन रिक्त समष्टि जैसे 2-गोलाकार, 2-टोरस, या दाएं गोलाकार सिलेंडर में गैर-अपक्षयी रूप से मौजूद हो सकते हैं।

नॉन-कॉनवेक्स
दो आयामों में असीम रूप से कई गैर-उत्तल नियमित पॉलीटोप मौजूद हैं, जिनके श्लैफली प्रतीकों में तर्कसंगत संख्या {n/m} से मिलकर बनता है। उन्हें स्टार बहुभुज कहा जाता है और उत्तल नियमित बहुभुज के समान वर्टेक्स व्यवस्था साझा करते हैं।

सामान्य तौर पर, किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए, सभी m के लिए schläfli प्रतीकों {n/m} के साथ n-pointed गैर-उत्तल नियमित बहुभुज सितारे होते हैं जैसे कि m < n /2 (सख्ती से बोलना { n / m } = { n / ( n - m )}) और m और n सहअभाज्य हैं।

वृत्त (सर्कल)


2 आयामों में हाइपरस्फीयर एक वृत्त है, जिसे कभी-कभी 1-गोला (S1) कहा जाता है क्योंकि यह एक-आयामी मैनिफोल्ड है। एक यूक्लिडियन तल में, इसकी लंबाई 2&#x3C0; है और इसके आंतरिक भाग का क्षेत्रफल है

$$A = \pi r^{2}$$

कहाँ पे $$r$$ त्रिज्या है।

अन्य आकार
दो आयामों में अन्य घुमावदार आकृतियों का एक अनंतता है, विशेष रूप से शंकु वर्गों सहित: दीर्घवृत्त, परबोला और हाइपरबोला।

रैखिक बीजगणित में
दो-आयामी समष्टि देखने का एक और गणितीय तरीका रैखिक बीजगणित में पाया जाता है, जहां स्वतंत्रता का विचार महत्वपूर्ण है।समष्टि में दो आयाम हैं क्योंकि एक आयत की लंबाई इसकी चौड़ाई से स्वतंत्र है।रैखिक बीजगणित की तकनीकी भाषा में, समष्टि दो-आयामी है क्योंकि समष्टि में प्रत्येक बिंदु को दो स्वतंत्र वैक्टर के रैखिक संयोजन द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

डॉट उत्पाद, कोण, और लंबाई
दो वैक्टर का डॉट उत्पाद A = [A1, A2] तथा B = [B1, B2] की तरह परिभाषित किया गया है:
 * $$\mathbf{A}\cdot \mathbf{B} = A_1B_1 + A_2B_2$$

एक वेक्टर को एक तीर के रूप में चित्रित किया जा सकता है।इसकी परिमाण इसकी लंबाई है, और इसकी दिशा तीर बिंदुओं की दिशा है।एक वेक्टर ए की परिमाण को निरूपित किया जाता है $$\|\mathbf{A}\|$$।इस दृष्टिकोण में, दो यूक्लिडियन वैक्टर ए और बी के डॉट उत्पाद द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$\mathbf A\cdot\mathbf B = \|\mathbf A\|\,\|\mathbf B\|\cos\theta,$$

जहां θ A और B के बीच का कोण है

एक वेक्टर A का डॉट उत्पाद अपने आप में है
 * $$\mathbf A\cdot\mathbf A = \|\mathbf A\|^2,$$

जो देता है
 * $$ \|\mathbf A\| = \sqrt{\mathbf A\cdot\mathbf A},$$

वेक्टर की यूक्लिडियन लंबाई के लिए सूत्र है

ग्रेडिएंट
एक आयताकार समन्वय प्रणाली में, ढाल द्वारा दिया जाता है

$$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \mathbf{j}$$

लाइन इंटीग्रल और डबल इंटीग्रल्स
कुछ स्केलर फील्ड के लिए f: u ⊆ 'r'2 → 'r', एक टुकड़े -टुकड़े चिकनी वक्र c ⊂ u के साथ अभिन्न रेखा के रूप में परिभाषित किया गया है

$$\int\limits_C f\, ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) |\mathbf{r}'(t)|\, dt.$$

जहाँ r [a, b] →  C  वक्र C का एक मन माना द्विध्रुवीय पैरामीराइजेशन है, जैसे कि r (a) और r (b  के समापन बिंदु देते हैं C और $$a < b$$।

एक सदिश क्षेत्र (वेक्टर फ़ील्ड) F: U ⊆ R2 → R2 के लिए, r की दिशा में एक टुकड़े-टुकड़े चिकने वक्र c ⊂ u के अनुदिश समाकलित रेखा को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$$\int\limits_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.$$

जहाँ डॉट गुणनफल है और r: [a, b] → C वक्र C का एक विशेषण पैरामीट्रिजेशन है, जिससे r (a) और r (b) C के अंतिम बिंदु देते हैं।

एक डबल इंटीग्रल एक फंक्शन के आर 2 में एक क्षेत्र डी के भीतर एक इंटीग्रल को संदर्भित करता है $$f(x,y),$$ और आमतौर पर इस प्रकार लिखा जाता है:

$$\iint\limits_D f(x,y)\,dx\,dy.$$

लाइन इंटीग्रल्स का मौलिक प्रमेय
लाइन इंटीग्रल के मौलिक प्रमेय का कहना है कि एक ढाल क्षेत्र के माध्यम से एक लाइन इंटीग्रल का मूल्यांकन वक्र के समापन बिंदु पर मूल स्केलर क्षेत्र का मूल्यांकन करके किया जा सकता है।

होने देना $$ \varphi : U \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$$।फिर

$$ \varphi\left(\mathbf{q}\right)-\varphi\left(\mathbf{p}\right) = \int_{\gamma[\mathbf{p},\,\mathbf{q}]} \nabla\varphi(\mathbf{r})\cdot d\mathbf{r}. $$

ग्रीन का प्रमेय
मान लें कि C एक समतल में धनात्मक रूप से उन्मुख, टुकड़े-टुकड़े में चिकना, सरल बंद वक्र है, और D को C से घिरा क्षेत्र होने दें। यदि L और M, D वाले खुले क्षेत्र में परिभाषित (x, y) के फलन हैं और निरंतर आंशिक व्युत्पन्न हैं, तो

$$\oint_{C} (L\, dx + M\, dy) = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dx\, dy$$

जहां C के साथ एकीकरण का मार्ग वामावर्त है।

टोपोलॉजी में
टोपोलॉजी में, समष्टि को अद्वितीय संविदात्मक 2-कई गुना होने के रूप में जाना जाता है।

इसका आयाम इस तथ्य की विशेषता है कि समष्टि से एक बिंदु को हटाने से एक ऐसा समष्टि निकलता है जो जुड़ा हुआ है, लेकिन बस जुड़ा नहीं है।

ग्राफ सिद्धांत में
ग्राफ सिद्धांत में, एक तलीय ग्राफ एक ऐसा ग्राफ होता है जिसे समतल में अंतःस्थापित किया जा सकता है, अर्थात, इसे समतल पर इस प्रकार खींचा जा सकता है कि इसके किनारे केवल उनके अंतिम बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। दूसरे शब्दों में, इसे इस तरह से खींचा जा सकता है कि कोई भी किनारा एक दूसरे को पार न करे। इस तरह के आरेखण को प्लेन ग्राफ़ या ग्राफ़ का प्लैनर एम्बेडिंग कहा जाता है। एक समतल ग्राफ को एक समतलीय ग्राफ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसमें प्रत्येक नोड से एक समष्टि पर एक बिंदु तक और प्रत्येक किनारे से उस समष्टि पर एक समष्टि वक्र तक मानचित्रण होता है, जैसे कि प्रत्येक वक्र के चरम बिंदु इसके अंत से मैप किए गए बिंदु होते हैं। नोड्स, और उनके चरम बिंदुओं को छोड़कर सभी वक्र असंबद्ध हैं।

यह भी देखें

 * चित्र समारोह
 * प्लानिमेट्रिक्स