अंतःक्षेपक फलन

गणित में, अंतःक्षेपक फलन (जिसे अंतःक्षेपक, या एकैक फलन के रूप में भी जाना जाता है) फलन (गणित) $f$  है जो अपने प्रांत के विशिष्ट (गणित) तत्वों को अलग-अलग तत्वों में सम्बद्ध करता है; वह है, $f(x_{1}) = f(x_{2})$ है तात्पर्य $x_{1} = x_{2}$ (समान रूप से, $x_{1} ≠ x_{2}$ तात्पर्य $f(x_{1}) f(x_{2})$ समतुल्य प्रतिपरिवर्तित कथन में।) दूसरे शब्दों में, फलन के सहप्रांत का प्रत्येक तत्व उसके प्रांत के  तत्व की इमेज (गणित) है। शब्द  शब्द को   के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए जो कि द्विभाजित फलन को संदर्भित करता है, जो ऐसे फलन हैं कि सहप्रांत में प्रत्येक तत्व प्रांत में तत्व की इमेज है।

बीजगणितीय संरचनाओं के बीच समरूपता एक ऐसा फलन है जो संरचनाओं के संचालन के साथ संगत है। सभी सामान्य बीजगणितीय संरचनाओं के लिए, और, विशेष रूप से सदिश समष्टि के लिए, एक  को भी कहा जाता है। चूंकि, श्रेणी सिद्धांत के अधिक सामान्य संदर्भ में, एकरूपता की परिभाषा अंतःक्षेपक समरूपता से भिन्न होती है। इस प्रकार यह प्रमेय है कि वे बीजगणितीय संरचनाओं के लिए समतुल्य हैं; अधिक विवरण के लिए  देखें।

फलन $$f$$ जो अंतःक्षेपक नहीं है उसे कभी-कभी अनेक-से-एक कहा जाता है।

परिभाषा


मान लीजिये $$f$$ एक फलन जिसका प्रांत समुच्चय $$X.$$ है। फलन $$f$$ अंतःक्षेपक कहा जाता है बशर्ते कि सभी $$a$$ के लिए और $$b$$ में $$X,$$ यदि $$f(a) = f(b),$$ तब $$a = b$$; वह है, $$f(a) = f(b)$$ तात्पर्य $$a=b.$$ समान रूप से, यदि $$a \neq b,$$ तब $$f(a) \neq f(b)$$ प्रतिपरिवर्तित कथन में है।

प्रतीकात्मक रूप से,$$\forall a,b \in X, \;\; f(a)=f(b) \Rightarrow a=b,$$ जो तार्किक रूप से प्रतिपरिवर्तित के समतुल्य है, $$\forall a, b \in X, \;\; a \neq b \Rightarrow f(a) \neq f(b).$$ उदाहरण  दृश्य उदाहरणों के लिए, पाठकों को गैलरी अनुभाग की ओर निर्देशित किया जाता है। अधिक सामान्यतः, जब $$X$$ और $$Y$$ दोनों वास्तविक रेखा $$\R,$$ हैं, फिर अंतःक्षेपक फलन $$f : \R \to \R$$ वह है जिसका ग्राफ किसी भी क्षैतिज रेखा द्वारा एक से अधिक बार प्रतिच्छेद नहीं किया जाता है। इस सिद्धांत को   कहा जाता है।
 * किसी भी समुच्चय के लिए $$X$$ और कोई उपसमुच्चय $$S \subseteq X,$$ समावेशन मानचित्र $$S \to X$$ (जो कोई तत्व भेजता है $$s \in S$$ स्वयं के लिए) अंतःक्षेपक है। विशेष रूप से, तत्समक फलन $$X \to X$$ हमेशा अंतःक्षेपक (और वास्तव में द्विभाजित) होता है।
 * यदि किसी फलन का प्रांत रिक्त समुच्चय है, तो फलन रिक्त फलन है, जो अंतःक्षेपक है।
 * यदि किसी फलन के प्रांत में एक तत्व है (अर्थात, यह एकल समुच्चय है), तो फलन हमेशा अंतःक्षेपक होता है।
 * फलन $$f : \R \to \R$$ द्वारा परिभाषित $$f(x) = 2 x + 1$$ अंतःक्षेपक है।
 * फलन $$g : \R \to \R$$ द्वारा परिभाषित $$g(x) = x^2$$ अंतःक्षेपक  है, क्योंकि (उदाहरण के लिए) $$g(1) = 1 = g(-1).$$ चूंकि, यदि $$g$$ को फिर से परिभाषित किया गया है। जिससे कि इसका प्रांत ऋणेतर वास्तविक संख्या हो [0,+∞), फिर $$g$$ अंतःक्षेपक है।
 * घातांकीय फलन $$\exp : \R \to \R$$ द्वारा परिभाषित $$\exp(x) = e^x$$ द्विभाजित है (लेकिन द्विभाजित नहीं, क्योंकि कोई भी वास्तविक मान ऋणात्मक संख्या से मेल नहीं खाता)।
 * प्राकृतिक लघुगणक फलन $$\ln : (0, \infty) \to \R$$ द्वारा परिभाषित $$x \mapsto \ln x$$ अंतःक्षेपक है।
 * फलन $$g : \R \to \R$$ द्वारा परिभाषित $$g(x) = x^n - x$$ अंतःक्षेपक नहीं है, उदाहरण के लिए, $$g(0) = g(1) = 0.$$।

अंतःक्षेपक पूर्ववत किए जा सकते हैं
बाएँ व्युत्क्रम वाले फलन हमेशा अंतःक्षेपक होते हैं। अर्थात् दिया हुआ $$f : X \to Y,$$ यदि कोई फलन है $$g : Y \to X$$ ऐसा कि हर किसी के लिए $$x \in X$$, $$g(f(x)) = x$$, तब $$f$$ अंतःक्षेपक है। इस मामले में, $$g$$ का $$f.$$प्रत्यावर्तन (श्रेणी सिद्धांत) कहा जाता है, इसके विपरीत, $$f$$ का $$g.$$ प्रत्यावर्तन (श्रेणी सिद्धांत) कहा जाता है।

इसके विपरीत, हर अंतःक्षेपक $$f$$ गैर-रिक्त प्रांत के साथ बाएँ व्युत्क्रम $$g$$ होता है। इसे तत्व चुनकर परिभाषित किया जा सकता है $$a$$ के क्षेत्र में $$f$$ और समायोजन $$g(y)$$ पूर्व-इमेज के अद्वितीय तत्व के लिए $$f^{-1}[y]$$ (यदि यह गैर-रिक्त है) या $$a$$ (अन्यथा) है।

बाएँ व्युत्क्रम $$g$$ आवश्यक रूप से इसका व्युत्क्रम फलन $$f,$$ नहीं है क्योंकि दूसरे क्रम में रचना, $$f \circ g,$$ पर तत्समक $$Y.$$ से भिन्न हो सकता है दूसरे शब्दों में, अंतःक्षेपक फलन को बाएं व्युत्क्रम द्वारा "प्रतिलोम" किया जा सकता है, लेकिन जरूरी नहीं कि यह व्युत्क्रम फलन हो, जिसके लिए आवश्यक है कि फलन द्विभाजित होता है।

अंतःक्षेपक को प्रतिलोम बनाया जा सकता है
वास्तव में, अंतःक्षेपक फलन को चालू करने के लिए $$f : X \to Y$$ द्विभाजित (इसलिए उलटा) फलन में, यह इसके सहप्रांत $$Y$$ को बदलने के लिए पर्याप्त है इसकी वास्तविक सीमा से $$J = f(X).$$है। अर्थात $$g : X \to J$$ ऐसा है कि $$g(x) = f(x)$$ सभी के लिए $$x \in X$$; तब $$g$$ वस्तुनिष्ठ है। वास्तव में, $$f$$ के रूप में तथ्यांकित किया जा सकता है $$\operatorname{In}_{J,Y} \circ g,$$ जहाँ $$\operatorname{In}_{J,Y}$$ से समावेशन फलन $$J$$ में $$Y.$$ है।

अधिक सामान्यतः, द्विभाजित आंशिक फलन को आंशिक आक्षेप कहा जाता है।

अन्य गुण



 * यदि $$f$$ और $$g$$ दोनों अंतःक्षेपक हैं तो फिर $$f \circ g$$ अंतःक्षेपक है।


 * यदि $$g \circ f$$ अंतःक्षेपक है तो, $$f$$ अंतःक्षेपक है। (लेकिन $$g$$ जरूरत नहीं है)।
 * $$f : X \to Y$$ अंतःक्षेपक है यदि और केवल यदि, कोई फलन दिया गया हो $$g,$$ $$h : W \to X$$ जब कभी भी $$f \circ g = f \circ h,$$ तब $$g = h.$$ दूसरे शब्दों में, श्रेणी सिद्धांत श्रेणी के समुच्चय की श्रेणी में अंतःक्षेपक फलन सटीक रूप से एकरूपता हैं।
 * यदि $$f : X \to Y$$ अंतःक्षेपक है और $$A$$ का उपसमुच्चय $$X,$$ है तब $$f^{-1}(f(A)) = A.$$ इस प्रकार, $$A$$ इसकी इमेज (फलन ) $$f(A).$$ से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।
 * यदि $$f : X \to Y$$ अंतःक्षेपक है और $$A$$ और $$B$$ के दोनों उपसमुच्चय $$X,$$ हैं तब $$f(A \cap B) = f(A) \cap f(B).$$ है।
 * हर फलन $$h : W \to Y$$ के रूप में विघटित किया जा सकता है $$h = f \circ g$$ एक उपयुक्त अंतःक्षेपक के लिए $$f$$ और अनुमान $$g.$$ है। यह अपघटन समरूपता तक अद्वितीय है, और $$f$$ इसे श्रेणी के समावेशन फलन के रूप में सोचा जा सकता है $$h(W)$$ का $$h$$ सहप्रांत के उपसमुच्चय के रूप में $$Y$$ का $$h.$$है।
 * यदि $$f : X \to Y$$ अंतःक्षेपक फलन है तो, $$Y$$ कम से कम उतने ही तत्व $$X,$$ हैं गणनसंख्या के अर्थ में विशेष रूप से, यदि, इसके अतिरिक्त, $$Y$$ अंतःक्षेपक$$X,$$ के है तब $$X$$ और $$Y$$ एक ही गणनसंख्या है. (इसे कैंटर-बर्नस्टीन-श्रोएडर प्रमेय के रूप में जाना जाता है।)
 * यदि दोनों $$X$$ और $$Y$$ तो, समान संख्या में तत्वों के साथ परिमित समुच्चय हैं $$f : X \to Y$$ अंतःक्षेपक है यदि और केवल यदि $$f$$ द्विभाजित है (किस मामले में $$f$$ अंतःक्षेपक है)।
 * अंतःक्षेपक फलन जो दो बीजगणितीय संरचनाओं के बीच समरूपता है, अंत: स्थापन है।
 * सस्पेक्टिविटी के विपरीत, जो किसी फलन के ग्राफ़ और उसके सहप्रांत के बीच संबंध है, अंतःक्षेपक अकेले फलन के ग्राफ़ की गुण है; अर्थात्, चाहे कोई फलन हो $$f$$ क्या अंतःक्षेपक का निर्णय केवल ग्राफ़ (और सहप्रांत नहीं) $$f.$$ पर विचार करके किया जा सकता है।

यह सिद्ध करना कि फलन अंतःक्षेपक हैं
प्रमाण है कि फलन $$f$$ अंतःक्षेपक इस बात पर निर्भर करता है कि फलन को कैसे प्रस्तुत किया जाता है और फलन में क्या गुण हैं। किसी सूत्र द्वारा दिए गए फलन के लिए मूल विचार होता है। हम अंतःक्षेपक की परिभाषा का उपयोग करते हैं, अर्थात् यदि $$f(x) = f(y),$$ तब $$x = y.$$

यहाँ एक उदाहरण है: $$f(x) = 2 x + 3$$ प्रमाण: मान लीजिये $$f : X \to Y.$$ कल्पना करना $$f(x) = f(y).$$ इसलिए $$2 x + 3 = 2 y + 3$$ तात्पर्य $$2 x = 2 y,$$ जो ये दर्शाता हे $$x = y.$$ अत: परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि $$f$$ अंतःक्षेपक है.

यह सिद्ध करने की कई अन्य विधियाँ हैं कि कोई फलन अंतःक्षेपक है। उदाहरण के लिए, कैलकुलस में यदि $$f$$ किसी अंतराल पर परिभाषित अवकलनीय फलन है, तो यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि उस अंतराल पर व्युत्पन्न हमेशा घनात्मक या हमेशा ऋणात्मक होता है। रैखिक बीजगणित में, यदि $$f$$ रैखिक परिवर्तन है यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि कर्नेल $$f$$ केवल शून्य सदिश सम्मिलित है। यदि $$f$$ यह परिमित प्रांत वाला फलन है, यह प्रत्येक प्रांत तत्व की छवियों की सूची को देखने और यह जांचने के लिए पर्याप्त है कि कोई भी इमेज सूची में दो बार नहीं आती है।

वास्तविक-मान फलन के लिए ग्राफिकल दृष्टिकोण $$f$$ वास्तविक चर $$x$$ का क्षैतिज रेखा परीक्षण है। यदि प्रत्येक क्षैतिज रेखा वक्र $$f(x)$$ को प्रतिच्छेद करती है फिर, अधिकतम बिंदु पर $$f$$ अंतःक्षेपक है या एक-से-एक है।

संदर्भ

 * , p. 17 ff.
 * , p. 38 ff.

बाहरी संबंध

 * Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.
 * Khan Academy – Surjective (onto) and Injective (one-to-one) functions: Introduction to surjective and injective functions