वाइंडिंग संख्या



गणित में, किसी दिए गए बिंदु के चारों ओर बंद समतल में वक्र की वाइंडिंग संख्या या वाइंडिंग सूचकांक एक पूर्णांक होता है, जो उस समय की कुल संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, जो वक्र बिंदु के चारों ओर वामावर्त यात्रा करता है, अर्थात वक्र की घुमावों की संख्या वाइंडिंग संख्या वक्र के दिशानिर्देश पर निर्भर करती है, और यदि वक्र बिंदु के चारों ओर दक्षिणावर्त घूमता है तो यह ऋणात्मक संख्या होता है।

वाइंडिंग संख्याएं बीजगणितीय टोपोलॉजी में अध्ययन की मूलभूत वस्तुएं हैं, और वे वेक्टर कैलकुलस, जटिल विश्लेषण, ज्यामितीय टोपोलॉजी, अंतर ज्यामिति और भौतिकी(जैसे स्ट्रिंग सिद्धांत) में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

सहज विवरण
मान लीजिए कि हमें xy तल में एक बंद, उन्मुख वक्र दिया गया है। हम किसी वस्तु की गति पथ के रूप में वक्र की कल्पना कर सकते हैं, जिसमें अभिविन्यास उस दिशा को संकेत करता है जिसमें वस्तु चलती है। फिर वक्र की वाइंडिंग संख्या, वस्तु द्वारा मूल बिंदु के चारों ओर किए गए वामावर्त घुमावों की कुल संख्या के बराबर होती है।

घुमावों की कुल संख्या की गणना करते समय, वामावर्त गति को सकारात्मक रूप में गिना जाता है, जबकि दक्षिणावर्त गति को नकारात्मक रूप में गिना जाता है। उदाहरण के लिए, यदि वस्तु पहले मूल को चार बार वामावर्त घुमाती है, और फिर मूल को एक बार दक्षिणावर्त घेरती है, तो वक्र की कुल वाइंडिंग संख्या तीन होती है।

इस योजना का उपयोग करते हुए, वक्र जो मूल के चारों ओर यात्रा नहीं करता है, उसकी वाइंडिंग संख्या शून्य होती है, जबकि वक्र मूल के चारों ओर दक्षिणावर्त यात्रा करता है, उसकी वाइंडिंग संख्या ऋणात्मक होती है। इसलिए, वक्र की वाइंडिंग संख्या कोई भी पूर्णांक हो सकती है। निम्नलिखित चित्र −2 और 3 के बीच वाइंडिंग संख्याओं के साथ वक्र दिखाते हैं

औपचारिक परिभाषा
मान लीजिए $$\gamma:[0,1] \to \Complex \setminus \{a\}$$ समतल शून्य से एक बिंदु पर निरंतर बंद पथ बनें। वाइंडिंग संख्या $$\gamma$$ चारों ओर $$a$$ पूर्णांक है


 * $$\text{wind}(\gamma,a) = s(1) - s(0),$$

जहां $$(\rho,s)$$ ध्रुवीय निर्देशांक में लिखा गया पथ है, यानी कवरिंग मैप के माध्यम से उठा हुआ पथ


 * $$p:\Reals_{>0} \times \Reals \to \Complex \setminus \{a\}: (\rho_0,s_0) \mapsto a+\rho_0 e^{i2\pi s_0}.$$

वाइंडिंग संख्या को कवरिंग स्पेस लिफ्टिंग गुणों(कवरिंग स्पेस में शुरुआती बिंदु को देखते हुए) के कारण अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है और क्योंकि सभी फाइबर $$p$$ फॉर्म के हैं $$\rho_0 \times (s_0 + \Z)$$(इसलिए उपरोक्त अभिव्यक्ति प्रारंभिक बिंदु की पसंद पर निर्भर नहीं करती है)। यह एक पूर्णांक है क्योंकि पथ बंद है।

वैकल्पिक परिभाषाएं
वाइंडिंग संख्या को प्रायः गणित के विभिन्न भागों में अलग-अलग तरीकों से परिभाषित किया जाता है। नीचे दी गई सभी परिभाषाएं ऊपर दी गई परिभाषा के समान हैं

अलेक्जेंडर संख्यांकन
1865 में अगस्त फर्डिनेंड मोबियस द्वारा वाइंडिंग संख्या को परिभाषित करने के लिए एक सरल संयोजन नियम प्रस्तावित किया गया था और फिर 1928 में जेम्स वैडेल अलेक्जेंडर द्वारा स्वतंत्र रूप से। कोई भी वक्र विमान को कई जुड़े क्षेत्रों में विभाजित करता है, जिनमें से एक अविरल है। एक ही क्षेत्र में दो बिंदुओं के आसपास वक्र की वाइंडिंग संख्या बराबर होती है। असंगत क्षेत्र के चारों ओर(किसी भी बिंदु पर) वाइंडिंग संख्या शून्य है। अंत में, किन्हीं दो आसन्न क्षेत्रों के लिए वाइंडिंग संख्याएँ ठीक 1 से भिन्न होती हैं बड़ी वाइंडिंग संख्या वाला क्षेत्र वक्र के बाईं ओर दिखाई देता है(वक्र के नीचे गति के संबंध में)।

विभेदक ज्यामिति
अवकलन ज्यामिति में, प्राचलिक समीकरणों को प्रायः विभेदक कार्य(या कम से कम टुकड़ों में अलग करने योग्य) माना जाता है। इस सन्दर्भ में, ध्रुवीय निर्देशांक θ समीकरण द्वारा आयताकार निर्देशांक x और y से संबंधित है
 * $$d\theta = \frac{1}{r^2} \left( x\,dy - y\,dx \right)\quad\text{where }r^2 = x^2 + y^2.$$

के लिए निम्नलिखित परिभाषा में अंतर करके पाया जाता है
 * $$ \theta(t)=\arctan\bigg(\frac{y(t)}{x(t)}\bigg)$$
 * कलन के मौलिक प्रमेय के अनुसार, θ में कुल परिवर्तन dθ के समाकल के बराबर होता है। इसलिए हम अवकलनीय वक्र की वाइंडिंग संख्या को एक रेखा समाकलन के रूप में व्यक्त कर सकते हैं
 * $$\text{wind}(\gamma,0) = \frac{1}{2\pi} \oint_{\gamma} \,\left(\frac{x}{r^2}\,dy - \frac{y}{r^2}\,dx\right).$$

एक-रूप dθ(मूल के पूरक पर परिभाषित) बंद और सटीक अंतर रूप है, लेकिन सटीक नहीं है, और यह पंचर समतल के पहले डी. रम सह-समरूपता समूह को उत्पन्न करता है। विशेष रूप से, यदि ω मूल के पूरक पर परिभाषित कोई बंद अवकलनीय एक-रूप है, तो बंद लूप के साथ ω का अभिन्न अंग वाइंडिंग संख्या का गुणक देता है।

जटिल विश्लेषण
जटिल विश्लेषण के दौरान वाइंडिंग संख्याएं बहुत महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं(सी.एफ. अवशेष प्रमेय का कथन)। जटिल विश्लेषण के संदर्भ में, एक बंद वक्र की वाइंडिंग संख्या $$\gamma$$ जटिल समतल में निर्देशांक z = x + iy के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। विशेष रूप से, यदि हम z = reiθ लिखते हैं, तो


 * $$dz = e^{i\theta} dr + ire^{i\theta} d\theta$$

और इसीलिए


 * $$\frac{dz}{z} = \frac{dr}{r} + i\,d\theta = d[ \ln r ] + i\,d\theta.$$

जैसा $$\gamma$$ एक बंद वक्र है, $$\ln (r)$$ में कुल परिवर्तन शून्य है, और इस प्रकार का अभिन्न अंग है $\frac{dz}{z}$ के बराबर है $$i$$ कुल परिवर्तन से गुणा $$\theta$$. इसलिए, बंद पथ की वाइंडिंग संख्या $$\gamma$$ मूल के बारे में अभिव्यक्ति द्वारा दिया गया है
 * $$\frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{dz}{z} \, .$$

अधिक प्रायः, यदि $$\gamma$$ द्वारा परिचालित एक बंद वक्र है $$t\in[\alpha,\beta]$$, वाइंडिंग संख्या $$\gamma$$ के बारे में $$z_0$$, के सूचकांक के रूप में भी जाना जाता है $$z_0$$ इसके संबंध में $$\gamma$$, जटिल के लिए परिभाषित किया गया है जैसा $$z_0\notin \gamma([\alpha, \beta])$$
 * $$\mathrm{Ind}_\gamma(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{d\zeta}{\zeta - z_0} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\alpha}^{\beta} \frac{\gamma'(t)}{\gamma(t) - z_0} dt.$$

यह प्रसिद्ध कॉची अभिन्न सूत्र का एक विशेष मामला है।

सम्मिश्र तल में वाइंडिंग संख्या के कुछ मूल गुण निम्नलिखित प्रमेय द्वारा दिए गए हैं

प्रमेय होने देना $$\gamma:[\alpha,\beta]\to\mathbb{C}$$ एक बंद रास्ता बनें और चलो $$\Omega$$ की छवि का समुच्चय पूरक होने दें $$\gamma$$, वह है, फिर $$\Omega:=\mathbb{C}\setminus\gamma([\alpha,\beta])$$ का सूचकांक $$z$$ इसके संबंध में $$\gamma$$,$$\mathrm{Ind}_\gamma:\Omega\to \mathbb{C},\ \ z\mapsto \frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma \frac{d\zeta}{\zeta-z},$$है(i) पूर्णांक- मान, अर्थात, $$\mathrm{Ind}_\gamma(z)\in\mathbb{Z}$$ सभी के लिए $$z\in\Omega$$(ii) के प्रत्येक घटक(अर्थात, अधिकतम जुड़े उपसमुच्चय) पर स्थिर $$\Omega$$ और(iii) यदि $$z$$ शून्य $$\Omega$$ के असीमित घटक में है।

तत्काल परिणाम के रूप में, यह प्रमेय एक वृत्ताकार पथ के बारे में वाइंडिंग संख्या देता है $$\gamma$$ एक बिंदु $$z$$ के बारे में जैसा कि अपेक्षित था, वाइंडिंग संख्या(वामावर्त) छोरों की संख्या की गणना करती है $$\gamma$$ चारों ओर $$z$$ बनाता है।

परिणाम ''यदि $$\gamma$$ द्वारा परिभाषित पथ है $$\gamma(t)=a+re^{int},\ \ 0\leq t\leq 2\pi, \ \ n\in\mathbb{Z}$$, फिर $$\mathrm{Ind}_\gamma(z) = \begin{cases} n, & |z-a|< r; \\ 0, & |z-a|> r. \end{cases}$$

टोपोलॉजी
टोपोलॉजी में, वाइंडिंग संख्या निरंतर मानचित्रण की डिग्री के लिए एक वैकल्पिक शब्द है। भौतिकी में, वाइंडिंग संख्याओं को प्रायः टोपोलॉजिकल क्वांटम संख्या कहा जाता है। दोनों ही मामलों में, एक ही अवधारणा लागू होती है।

एक बिंदु के चारों ओर वाइंडिंग वक्र के उपरोक्त उदाहरण की सरल टोपोलॉजिकल व्याख्या है। समतल में बिंदु का पूरक वृत्त के समतुल्य समरूप है, जैसे कि वृत्त से स्वयं तक के नक्शे वास्तव में उन सभी पर विचार करने की आवश्यकता है। यह दिखाया जा सकता है कि इस तरह के प्रत्येक मानचित्र को मानक मानचित्रों में से एक के लिए लगातार विकृत किया जा सकता है $$S^1 \to S^1 : s \mapsto s^n$$, जहां वृत्त में गुणन को जटिल इकाई वृत्त के साथ पहचान कर परिभाषित किया जाता है। वृत्त से एक टोपोलॉजिकल स्पेस में नक्शों के समरूप वर्गों का समूह एक समूह बनाता है, जिसे उस स्थान का पहला समरूप समूह या मौलिक समूह कहा जाता है। वृत्त का मूल समूह Z, पूर्णांकों का समूह है, और सम्मिश्र वक्र की वाइंडिंग संख्या केवल उसका समरूप वर्ग है।

3-गोले से स्वयं तक के मानचित्रों को भी एक पूर्णांक द्वारा वर्गीकृत किया जाता है जिसे वाइंडिंग संख्या या कभी-कभी पोंट्रीगिन सूचकांक भी कहा जाता है।

टर्निंग संख्या
पथ की स्पर्शरेखा के संबंध में पथ की वाइंडिंग संख्या पर भी विचार किया जा सकता है। समय के माध्यम से पथ के रूप में, यह वेग वेक्टर की उत्पत्ति के संबंध में वाइंडिंग संख्या होगी। इस सन्दर्भ में इस आलेख की प्रारम्भ में दिखाए गए उदाहरण में वाइंडिंग संख्या 3 है, क्योंकि छोटे लूप की गणना की जाती है।

यह केवल विसर्जित पथों के लिए परिभाषित किया गया है(अर्थात, कहीं भी लुप्त होने वाले डेरिवेटिव के साथ अलग-अलग पथों के लिए), और स्पर्शरेखा गॉस मानचित्र की डिग्री है।

इसे ' टर्निंग संख्या ', ' रोटेशन सूचकांक, ' कहा जाता है, रोटेशन सूचकांक या वक्र का सूचकांक, और इसकी गणना 2π द्वारा विभाजित कुल वक्रता के रूप में गणना की जा सकती है

बहुभुज
बहुभुज में, परिवर्तन संख्या को बहुभुज घनत्व के रूप में जाना जाता है। उत्तल बहुभुजों के लिए, और अधिक सामान्यतः रूप से सरल बहुभुजों(स्व-प्रतिच्छेदन नहीं) के लिए, घनत्व 1 है, जोर्डन वक्र प्रमेय द्वारा इसके विपरीत, एक नियमित तारा बहुभुज {p/q} के लिए, घनत्व q है।

अंतराल वक्र
घुमाव संख्या को अंतराल वक्र के लिए परिभाषित नहीं किया जा सकता क्योंकि निरंतर मैपिंग की डिग्री के लिए मिलान आयामों की आवश्यकता होती है। हालांकि, स्थानीय रूप से उत्तल, बंद स्थान वक्रों के लिए, स्पर्शरेखा घुमाव चिह्न को $$(-1)^d$$ परिभाषित किया जा सकता है , जहां पे $$d$$ इसके स्पर्शरेखा संकेतक के स्टीरियोग्राफिक प्रक्षेपण की घुमाव संख्या है। इसके दो मान स्थानीय रूप से उत्तल वक्रों के दो नियमित होमोटोपी गैर-पतित होमोटॉपी वर्गों के अनुरूप हैं।

वाइंडिंग संख्या और हाइजेनबर्ग फेरोमैग्नेट समीकरण
वाइंडिंग संख्या(2 + 1)-आयामी निरंतर हाइजेनबर्ग फेरोमैग्नेट समीकरणों और इसके अभिन्न विस्तार के साथ निकटता से संबंधित है इशिमोरी समीकरण इत्यादि। अंतिम समीकरणों के समाधान वाइंडिंग संख्या या टोपोलॉजिकल चार्ज( टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट और/या टोपोलॉजिकल द्वारा वर्गीकृत किए जाते हैं सांख्यिक अंक)।

बहुभुज में बिंदु
बहुभुज के संबंध में एक बिंदु की वाइंडिंग संख्या का उपयोग बहुभुज(पीआईपी) समस्या में बिंदु को हल करने के लिए किया जा सकता है - अर्थात, इसका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि बिंदु बहुभुज के अंदर है या नहीं।

सामान्यतः बहुभुज में बिंदु कास्टिंग एल्गोरिथम पीआईपी समस्या का एक बेहतर विकल्प है क्योंकि इसे वाइंडिंग संख्या एल्गोरिथम के विपरीत त्रिकोणमितीय कार्यों की आवश्यकता नहीं होती है। फिर भी, वाइंडिंग संख्या एल्गोरिथम को तेज किया जा सकता है ताकि इसमें भी, त्रिकोणमितीय कार्यों से जुड़े गणनाओं की आवश्यकता न हो। एल्गोरिथम का तेज-अप संस्करण, जिसे संडेस एल्गोरिथम के रूप में भी जाना जाता है, ऐसे मामलों में अनुशंसित है जहां गैर-साधारण बहुभुजों का भी हिसाब होना चाहिए।

यह भी देखें

 * तर्क सिद्धांत
 * लिंकिंग गुणांक
 * अशून्य-नियम
 * बहुभुज घनत्व
 * अवशेष प्रमेय
 * श्लाफली प्रतीक
 * टोपोलॉजिकल डिग्री सिद्धांत
 * टोपोलॉजिकल क्वांटम संख्या
 * ट्विस्ट (गणित)
 * विल्सन लूप
 * मरोडना