दूसरा परिमाणीकरण

दूसरा परिमाणीकरण, जिसे व्यवसाय संख्या प्रतिनिधित्व भी कहा जाता है, एक औपचारिकता है जिसका उपयोग क्वांटम यांत्रिकी एन-बॉडी समस्या | कई-बॉडी सिस्टम का वर्णन और विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, इसे विहित परिमाणीकरण के रूप में जाना जाता है, जिसमें क्षेत्रों (आमतौर पर पदार्थ के तरंग कार्यों के रूप में) को क्षेत्र ऑपरेटरों के रूप में माना जाता है, उसी तरह जैसे भौतिक मात्राएं (स्थिति, गति, आदि) होती हैं प्रथम परिमाणीकरण में ऑपरेटर के रूप में सोचा गया। इस पद्धति के प्रमुख विचार 1927 में पॉल डिराक द्वारा प्रस्तुत किये गये थे। और बाद में, विशेष रूप से, पास्कल जॉर्डन  द्वारा विकसित किए गए और व्लादिमीर फॉक। इस दृष्टिकोण में, क्वांटम कई-निकाय राज्यों को फॉक राज्य के आधार पर दर्शाया जाता है, जिसका निर्माण प्रत्येक एकल-कण राज्य को एक निश्चित संख्या में समान कणों से भरकर किया जाता है। दूसरी परिमाणीकरण औपचारिकता फॉक राज्यों के निर्माण और प्रबंधन के लिए सृजन और विनाश ऑपरेटरों का परिचय देती है, जो क्वांटम कई-शरीर सिद्धांत के अध्ययन के लिए उपयोगी उपकरण प्रदान करती है।

क्वांटम अनेक-निकाय अवस्थाएँ
दूसरे परिमाणीकरण औपचारिकता का प्रारंभिक बिंदु क्वांटम यांत्रिकी में कणों के समान कणों की धारणा है। शास्त्रीय यांत्रिकी के विपरीत, जहां प्रत्येक कण को ​​एक विशिष्ट स्थिति वेक्टर द्वारा लेबल किया जाता है $$\mathbf{r}_i$$ और के सेट के विभिन्न विन्यास $$\mathbf{r}_i$$क्वांटम यांत्रिकी में, कण अलग-अलग कई-शरीर स्थितियों के अनुरूप होते हैं, कण समान होते हैं, जैसे कि दो कणों का आदान-प्रदान होता है, यानी। $$\mathbf{r}_i\leftrightarrow\mathbf{r}_j$$, एक भिन्न अनेक-निकाय क्वांटम अवस्था की ओर नहीं ले जाता है। इसका तात्पर्य यह है कि दो कणों के आदान-प्रदान के तहत क्वांटम मल्टी-बॉडी वेव फ़ंक्शन अपरिवर्तनीय (एक चरण कारक तक) होना चाहिए। कणों के कण आँकड़ों के अनुसार, कण विनिमय के तहत कई-शरीर तरंग फ़ंक्शन या तो सममित या एंटीसिमेट्रिक हो सकते हैं:
 * $$\Psi_{\rm B}(\cdots,\mathbf{r}_i,\cdots,\mathbf{r}_j,\cdots)=+\Psi_{\rm B}(\cdots,\mathbf{r}_j,\cdots,\mathbf{r}_i,\cdots)$$ यदि कण बोसॉन हैं,
 * $$\Psi_{\rm F}(\cdots,\mathbf{r}_i,\cdots,\mathbf{r}_j,\cdots)=-\Psi_{\rm F}(\cdots,\mathbf{r}_j,\cdots,\mathbf{r}_i,\cdots)$$ यदि कण फरमिओन्स हैं।

यह विनिमय समरूपता गुण अनेक-निकाय तरंग फ़ंक्शन पर बाधा डालता है। हर बार जब एक कण को ​​कई-निकाय प्रणाली से जोड़ा या हटाया जाता है, तो समरूपता बाधा को पूरा करने के लिए तरंग फ़ंक्शन को ठीक से सममित या विरोधी-सममित होना चाहिए। पहले परिमाणीकरण औपचारिकता में, एकल-कण राज्यों के स्थायी (गणित) (बोसॉन के लिए) या निर्धारक (फर्मियन के लिए) के रैखिक संयोजन के रूप में तरंग फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करके इस बाधा की गारंटी दी जाती है। दूसरे परिमाणीकरण औपचारिकता में, निर्माण और विनाश ऑपरेटरों द्वारा समरूपता के मुद्दे का स्वचालित रूप से ध्यान रखा जाता है, ताकि इसका अंकन बहुत सरल हो सके।

प्रथम-मात्राबद्ध अनेक-निकाय तरंग फलन
एकल-कण तरंग कार्यों के एक पूर्ण सेट पर विचार करें $$\psi_{\alpha}(\mathbf{r})$$ द्वारा लेबल किया गया $$\alpha$$ (जो कई क्वांटम संख्याओं का संयुक्त सूचकांक हो सकता है)। निम्नलिखित तरंग फ़ंक्शन
 * $$\Psi[\mathbf{r}_i]=\prod_{i=1}^{N}\psi_{\alpha_i}(\mathbf{r}_i)\equiv \psi_{\alpha_1}\otimes\psi_{\alpha_2}\otimes\cdots\otimes\psi_{\alpha_N}$$

एक N-कण अवस्था का प्रतिनिधित्व करता है जिसमें ith कण एकल-कण अवस्था में होता है $$|{\alpha_i}\rangle$$. शॉर्टहैंड नोटेशन में, तरंग फ़ंक्शन की स्थिति तर्क को छोड़ा जा सकता है, और यह माना जाता है कि ith एकल-कण तरंग फ़ंक्शन ith कण की स्थिति का वर्णन करता है। तरंग फ़ंक्शन $$\Psi$$ सममित या विरोधी सममित नहीं किया गया है, इस प्रकार आम तौर पर समान कणों के लिए कई-शरीर तरंग फ़ंक्शन के रूप में योग्य नहीं है। हालाँकि, ऑपरेटरों द्वारा इसे सममित (सममित-विरोधी) रूप में लाया जा सकता है $$\mathcal{S}$$ सममिति के लिए, और $$\mathcal{A}$$ प्रतिसंतुलनकर्ता के लिए.

बोसॉन के लिए, बहु-निकाय तरंग फ़ंक्शन को सममित होना चाहिए,
 * $$\Psi_{\rm B}[\mathbf{r}_i]=\mathcal{N}\mathcal{S}\Psi[\mathbf{r}_i]=\mathcal{N}\sum_{\pi\in S_N}\prod_{i=1}^{N}\psi_{\alpha_{\pi(i)}}(\mathbf{r}_i)=\mathcal{N}\sum_{\pi\in S_N}\psi_{\alpha_{\pi(1)}}\otimes\psi_{\alpha_{\pi(2)}}\otimes\cdots\otimes\psi_{\alpha_{\pi(N)}};$$

जबकि फर्मिऑन के लिए, बहु-निकाय तरंग फ़ंक्शन को सममिति-विरोधी होना चाहिए,
 * $$\Psi_{\rm F}[\mathbf{r}_i]=\mathcal{N}\mathcal{A}\Psi[\mathbf{r}_i]=\mathcal{N}\sum_{\pi\in S_N}(-1)^\pi\prod_{i=1}^{N}\psi_{\alpha_{\pi(i)}}(\mathbf{r}_i)=\mathcal{N}\sum_{\pi\in S_N}(-1)^\pi\psi_{\alpha_{\pi(1)}}\otimes\psi_{\alpha_{\pi(2)}}\otimes\cdots\otimes\psi_{\alpha_{\pi(N)}}.$$

यहाँ $$\pi$$ एन-बॉडी क्रमपरिवर्तन समूह (या सममित समूह) में एक तत्व है $$S_{N}$$, जो राज्य लेबल के बीच क्रमपरिवर्तन करता है $$\alpha_i$$, और $$(-1)^\pi$$ क्रमपरिवर्तन की संगत समता को दर्शाता है। $$\mathcal{N}$$ सामान्यीकरण ऑपरेटर है जो तरंग फ़ंक्शन को सामान्य करता है। (यह ऑपरेटर है जो डिग्री n के सममित टेंसरों के लिए एक उपयुक्त संख्यात्मक सामान्यीकरण कारक लागू करता है; इसके मूल्य के लिए अगला भाग देखें।)

यदि कोई मैट्रिक्स में एकल-कण तरंग कार्यों को व्यवस्थित करता है $$U$$, जैसे कि पंक्ति-आई कॉलम-जे मैट्रिक्स तत्व है $$U_{ij}=\psi_{\alpha_{j}}(\mathbf{r}_i)\equiv \langle\mathbf{r}_i|\alpha_j\rangle$$, तो बोसॉन मल्टी-बॉडी वेव फ़ंक्शन को केवल स्थायी (गणित) के रूप में लिखा जा सकता है $$\Psi_{\rm B}=\mathcal{N}\operatorname{perm} U$$, और फर्मियन अनेक-निकाय तरंग एक निर्धारक के रूप में कार्य करती है $$\Psi_{\rm F}=\mathcal{N}\det U$$ (स्लेटर निर्धारक के रूप में भी जाना जाता है)।

द्वितीय-मात्राबद्ध फॉक बताता है
प्रथम परिमाणित तरंग कार्यों में भौतिक रूप से साकार होने योग्य अनेक-निकाय अवस्थाओं का वर्णन करने के लिए जटिल सममितीकरण प्रक्रियाएँ शामिल होती हैं क्योंकि प्रथम परिमाणीकरण की भाषा अप्रभेद्य कणों के लिए अनावश्यक होती है। पहली परिमाणीकरण भाषा में, अनेक-निकाय अवस्था का वर्णन प्रश्नों की एक श्रृंखला का उत्तर देकर किया जाता है जैसे कि कौन सा कण किस अवस्था में है? . हालाँकि ये भौतिक प्रश्न नहीं हैं, क्योंकि कण समान हैं, और यह बताना असंभव है कि कौन सा कण पहले स्थान पर है। प्रतीत होता है कि अलग-अलग राज्य हैं $$\psi_1\otimes\psi_2$$ और $$\psi_2\otimes\psi_1$$ वास्तव में एक ही क्वांटम अनेक-निकाय अवस्था के अनावश्यक नाम हैं। इसलिए पहले परिमाणीकरण विवरण में इस अतिरेक को खत्म करने के लिए सममितीकरण (या विरोधी सममितीकरण) को पेश किया जाना चाहिए।

दूसरी परिमाणीकरण भाषा में, प्रत्येक कण से यह पूछने के बजाय कि वह किस अवस्था में है, यह पूछा जाता है कि प्रत्येक अवस्था में कितने कण हैं? . क्योंकि यह विवरण कणों के लेबलिंग का उल्लेख नहीं करता है, इसमें कोई अनावश्यक जानकारी नहीं है, और इसलिए क्वांटम कई-शरीर स्थिति का सटीक और सरल विवरण मिलता है। इस दृष्टिकोण में, कई-निकाय राज्य को व्यवसाय संख्या के आधार पर दर्शाया जाता है, और आधार राज्य को व्यवसाय संख्याओं के सेट द्वारा लेबल किया जाता है, जिसे दर्शाया जाता है
 * $$|[n_{\alpha}]\rang\equiv|n_1,n_2,\cdots, n_{\alpha}, \cdots \rang,$$

मतलब कि हैं $$ n_{\alpha}$$ एकल-कण अवस्था में कण $$|\alpha\rangle$$ (या जैसे $$\psi_\alpha$$). व्यवसाय संख्याओं का योग कणों की कुल संख्या से होता है, अर्थात। $ \sum_\alpha n_{\alpha} = N$. फर्मियन के लिए, व्यवसाय संख्या $$ n_{\alpha}$$ पाउली अपवर्जन सिद्धांत के कारण, केवल 0 या 1 हो सकता है; जबकि बोसॉन के लिए यह कोई भी गैर-नकारात्मक पूर्णांक हो सकता है
 * $$n_{\alpha}= \begin{cases}

0, 1 &\text{fermions,}\\ 0,1,2,3,...          &\text{bosons.} \end{cases} $$ व्यवसाय क्रमांक बताता है $$|[n_{\alpha}]\rang$$ इन्हें फॉक स्टेट्स के नाम से भी जाना जाता है। सभी फ़ॉक राज्य बहु-निकाय हिल्बर्ट स्थान, या फॉक स्पेस का पूर्ण आधार बनाते हैं। किसी भी सामान्य क्वांटम अनेक-निकाय अवस्था को फॉक अवस्थाओं के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

ध्यान दें कि अधिक कुशल भाषा प्रदान करने के अलावा, फ़ॉक स्पेस कणों की एक परिवर्तनीय संख्या की अनुमति देता है। हिल्बर्ट स्पेस के रूप में, यह पिछले अनुभाग में वर्णित एन-कण बोसोनिक या फर्मिओनिक टेंसर स्पेस के योग के लिए आइसोमोर्फिक है, जिसमें एक-आयामी शून्य-कण स्पेस 'सी' भी शामिल है।

शून्य के बराबर सभी व्यवसाय संख्याओं वाली फॉक अवस्था को निर्वात अवस्था कहा जाता है, जिसे दर्शाया गया है $$|0\rangle\equiv|\cdots,0_\alpha,\cdots\rangle$$. केवल एक गैर-शून्य व्यवसाय संख्या वाला फॉक राज्य एक एकल-मोड फॉक राज्य है, जिसे दर्शाया गया है $$|n_\alpha\rangle\equiv|\cdots,0,n_\alpha,0,\cdots\rangle$$. पहले परिमाणित तरंग फ़ंक्शन के संदर्भ में, निर्वात अवस्था इकाई टेंसर उत्पाद है और इसे दर्शाया जा सकता है $$|0\rangle=1$$. एकल-कण अवस्था इसके तरंग कार्य में कम हो जाती है $$|1_\alpha\rangle=\psi_\alpha$$. अन्य एकल-मोड अनेक-निकाय (बोसोन) स्थितियाँ उस मोड के तरंग फ़ंक्शन के टेंसर उत्पाद मात्र हैं, जैसे कि $$|2_\alpha\rangle=\psi_\alpha\otimes\psi_\alpha$$ और $$|n_\alpha\rangle=\psi_\alpha^{\otimes n}$$. मल्टी-मोड फ़ॉक अवस्थाओं के लिए (अर्थात् एक से अधिक एकल-कण अवस्थाएँ $$|\alpha\rangle$$ शामिल है), संबंधित प्रथम-मात्राकृत तरंग फ़ंक्शन को कण आंकड़ों के अनुसार उचित समरूपता की आवश्यकता होगी, उदाहरण के लिए $$|1_1,1_2\rangle=(\psi_1\psi_2+\psi_2\psi_1)/\sqrt{2}$$ बोसॉन अवस्था के लिए, और $$|1_1,1_2\rangle=(\psi_1\psi_2-\psi_2\psi_1)/\sqrt{2}$$ एक फर्मियन अवस्था के लिए (प्रतीक $$\otimes$$ बीच में $$\psi_1$$ और $$\psi_2$$ सरलता के लिए छोड़ दिया गया है)। सामान्यतः सामान्यीकरण पाया जाता है $\sqrt{{1}/{N!\prod_{\alpha}n_\alpha!}}$, जहां N कणों की कुल संख्या है। फर्मियन के लिए, यह अभिव्यक्ति कम हो जाती है $$\tfrac{1}{\sqrt{N!}}$$ जैसा $$n_\alpha$$ केवल शून्य या एक ही हो सकता है। तो फॉक अवस्था के अनुरूप प्रथम-मात्राबद्ध तरंग फ़ंक्शन पढ़ता है
 * $$|[n_\alpha]\rangle_{\rm B}=\left(\frac{1}{N!\prod_{\alpha}n_\alpha!}\right)^{1/2}\mathcal{S}\bigotimes\limits_\alpha\psi_\alpha^{\otimes n_\alpha}$$

बोसॉन के लिए और
 * $$|[n_\alpha]\rangle_{\rm F}=\frac{1}{\sqrt{N!}}\mathcal{A}\bigotimes\limits_\alpha\psi_\alpha^{\otimes n_\alpha}$$ फर्मियन के लिए. ध्यान दें कि फर्मियन के लिए, $$n_\alpha=0,1$$ केवल, इसलिए ऊपर दिया गया टेंसर उत्पाद प्रभावी रूप से सभी व्याप्त एकल-कण राज्यों पर एक उत्पाद मात्र है।

सृजन और प्रलय संचालक
सृजन और विनाश संचालकों को अनेक-निकाय प्रणाली में एक कण जोड़ने या हटाने के लिए पेश किया जाता है। ये संचालक दूसरे परिमाणीकरण औपचारिकता के मूल में हैं, जो पहले और दूसरे परिमाण वाले राज्यों के बीच के अंतर को पाटते हैं। सृजन (विनाश) ऑपरेटर को पहले-क्वांटाइज़्ड कई-बॉडी तरंग फ़ंक्शन पर लागू करने से कण आंकड़ों के आधार पर सममित तरीके से तरंग फ़ंक्शन से एकल-कण स्थिति सम्मिलित (हटा) जाएगी। दूसरी ओर, सभी द्वितीय-मात्राबद्ध फ़ॉक राज्यों का निर्माण निर्माण ऑपरेटरों को बार-बार वैक्यूम स्थिति में लागू करके किया जा सकता है।

सृजन और विनाश ऑपरेटर (बोसॉन के लिए) मूल रूप से क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर के संदर्भ में ऊपर उठाने और कम करने वाले ऑपरेटरों के रूप में बनाए गए हैं, जिन्हें फिर क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में फ़ील्ड ऑपरेटरों के लिए सामान्यीकृत किया जाता है। वे क्वांटम अनेक-निकाय सिद्धांत के लिए मौलिक हैं, इस अर्थ में कि प्रत्येक अनेक-निकाय संचालक (अनेक-निकाय प्रणाली के हैमिल्टनियन और सभी भौतिक अवलोकनों सहित) को उनके संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है।

सम्मिलन और विलोपन ऑपरेशन
किसी कण का निर्माण और विनाश प्रथम परिमाणित तरंग फ़ंक्शन से एकल-कण अवस्था को सममित या विरोधी-सममित तरीके से सम्मिलित और विलोपन द्वारा कार्यान्वित किया जाता है। होने देना $$\psi_\alpha$$ एक एकल-कण अवस्था हो, मान लीजिए 1 टेंसर पहचान है (यह शून्य-कण स्थान C का जनरेटर है और संतुष्ट करता है) $$\psi_\alpha\equiv1\otimes\psi_\alpha\equiv\psi_\alpha\otimes1$$ मौलिक हिल्बर्ट स्थान पर टेंसर बीजगणित में), और चलो $$\Psi =\psi_{\alpha_1}\otimes\psi_{\alpha_2}\otimes\cdots$$ एक सामान्य टेंसर उत्पाद स्थिति बनें। प्रविष्टि $$\otimes_\pm$$ और विलोपन $$\oslash_\pm$$ ऑपरेटर निम्नलिखित पुनरावर्ती समीकरणों द्वारा परिभाषित रैखिक ऑपरेटर हैं
 * $$\psi_\alpha\otimes_\pm 1=\psi_\alpha,\quad\psi_\alpha\otimes_\pm(\psi_\beta\otimes\Psi)= \psi_\alpha\otimes\psi_\beta\otimes\Psi\pm\psi_\beta\otimes(\psi_\alpha\otimes_\pm\Psi);$$
 * $$\psi_\alpha\oslash_\pm 1=0,\quad\psi_\alpha\oslash_\pm(\psi_\beta\otimes\Psi)= \delta_{\alpha\beta}\Psi\pm\psi_\beta\otimes(\psi_\alpha\oslash_\pm\Psi).$$

यहाँ $$\delta_{\alpha\beta}$$ क्रोनकर डेल्टा  प्रतीक है, जो 1 यदि देता है $$\alpha=\beta$$, और 0 अन्यथा। सबस्क्रिप्ट $$\pm$$ सम्मिलन या विलोपन ऑपरेटर इंगित करता है कि क्या सममितीकरण (बोसॉन के लिए) या एंटी-सममितीकरण (फर्मियन के लिए) लागू किया गया है।

बोसॉन निर्माण और विनाश संचालक
बोसोन निर्माण (सम्मान विनाश) ऑपरेटर को आमतौर पर के रूप में दर्शाया जाता है $$b_{\alpha}^\dagger$$ (सम्मान. $$b_{\alpha}$$). सृजन संचालक $$b_{\alpha}^\dagger$$ एकल-कण अवस्था में एक बोसोन जोड़ता है $$|\alpha\rangle$$, और विनाश संचालिका $$b_{\alpha}$$ एकल-कण अवस्था से बोसोन को हटा देता है $$|\alpha\rangle$$. सृजन और संहार संचालक एक दूसरे से संयुग्मित हर्मिटियन हैं, लेकिन उनमें से कोई भी हर्मिटियन संचालक नहीं हैं ($$b_\alpha\neq b_\alpha^\dagger$$).

परिभाषा
बोसोन निर्माण (विनाश) ऑपरेटर एक रैखिक ऑपरेटर है, जिसकी क्रिया एन-कण प्रथम-मात्रा तरंग फ़ंक्शन पर होती है $$\Psi$$ परिभाषित किया जाता है
 * $$b_\alpha^\dagger \Psi = \frac{1}{\sqrt{N+1}}\psi_\alpha\otimes_+\Psi,$$
 * $$b_\alpha\Psi = \frac{1}{\sqrt{N}}\psi_\alpha\oslash_+\Psi,$$

कहाँ $$\psi_\alpha\otimes_+$$ एकल-कण अवस्था सम्मिलित करता है $$\psi_\alpha$$ में $$N+1$$ संभावित सम्मिलन स्थिति सममित रूप से, और $$\psi_\alpha\oslash_+$$ एकल-कण स्थिति को हटा देता है $$\psi_\alpha$$ से $$N$$ संभावित विलोपन स्थिति सममित रूप से।

उदाहरण
इसके बाद टेंसर प्रतीक $$\otimes$$ सरलता के लिए एकल-कण अवस्थाओं के बीच को छोड़ दिया गया है। राज्य ले लो $$|1_1,1_2\rangle=(\psi_1\psi_2+\psi_2\psi_1)/\sqrt{2}$$, राज्य पर एक और बोसोन बनाएं $$\psi_1$$,
 * $$\begin{array}{rl}b_1^\dagger|1_1,1_2\rangle=&\frac{1}{\sqrt{2}}(b_1^\dagger\psi_1\psi_2+b_1^\dagger\psi_2\psi_1)\\=&\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\psi_1\otimes_+\psi_1\psi_2+\frac{1}{\sqrt{3}}\psi_1\otimes_+\psi_2\psi_1\right)\\=&\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}(\psi_1\psi_1\psi_2+\psi_1\psi_1\psi_2+\psi_1\psi_2\psi_1)+\frac{1}{\sqrt{3}}(\psi_1\psi_2\psi_1+\psi_2\psi_1\psi_1+\psi_2\psi_1\psi_1)\right)\\=&\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}(\psi_1\psi_1\psi_2+\psi_1\psi_2\psi_1+\psi_2\psi_1\psi_1)\\

=&\sqrt{2}|2_1,1_2\rangle.\end{array}$$ फिर राज्य से एक बोसोन का सफाया कर दो $$\psi_1$$,
 * $$\begin{array}{rl}b_1|2_1,1_2\rangle=&\frac{1}{\sqrt{3}}(b_1\psi_1\psi_1\psi_2+b_1\psi_1\psi_2\psi_1+b_1\psi_2\psi_1\psi_1)\\=&\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\psi_1\oslash_+\psi_1\psi_1\psi_2+\frac{1}{\sqrt{3}}\psi_1\oslash_+\psi_1\psi_2\psi_1+\frac{1}{\sqrt{3}}\psi_1\oslash_+\psi_2\psi_1\psi_1\right)\\=&\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}(\psi_1\psi_2+\psi_1\psi_2+0)+\frac{1}{\sqrt{3}}(\psi_2\psi_1+0+\psi_1\psi_2)+\frac{1}{\sqrt{3}}(0+\psi_2\psi_1+\psi_2\psi_1)\right)\\=&\psi_1\psi_2+\psi_2\psi_1\\=&\sqrt{2}|1_1,1_2\rangle.\end{array}$$

फॉक राज्यों पर कार्रवाई
एकल-मोड निर्वात अवस्था से प्रारंभ करना $$|0_\alpha\rangle=1$$, निर्माण ऑपरेटर को लागू करना $$b_\alpha^\dagger$$ बार-बार, कोई पाता है
 * $$b_\alpha^\dagger|0_\alpha\rangle=\psi_\alpha\otimes_+ 1=\psi_\alpha=|1_\alpha\rangle,$$
 * $$b_\alpha^\dagger|n_\alpha\rangle=\frac{1}{\sqrt{n_\alpha+1}}\psi_\alpha\otimes_+ \psi_\alpha^{\otimes n_\alpha}=\sqrt{n_\alpha+1}\psi_\alpha^{\otimes (n_\alpha+1)}=\sqrt{n_\alpha+1}|n_\alpha+1\rangle.$$

निर्माण ऑपरेटर बोसॉन व्यवसाय संख्या को 1 से बढ़ा देता है। इसलिए, सभी व्यवसाय संख्या राज्यों का निर्माण बोसॉन निर्माण ऑपरेटर द्वारा निर्वात अवस्था से किया जा सकता है।
 * $$|n_\alpha\rangle=\frac{1}{\sqrt{n_\alpha!}}(b_{\alpha}^\dagger)^{n_\alpha}|0_\alpha\rangle.$$

दूसरी ओर, विनाश संचालक $$b_\alpha$$ बोसोन व्यवसाय संख्या को 1 से कम कर देता है
 * $$b_\alpha|n_\alpha\rangle=\frac{1}{\sqrt{n_\alpha}}\psi_\alpha\oslash_+ \psi_\alpha^{\otimes n_\alpha}=\sqrt{n_\alpha}\psi_\alpha^{\otimes (n_\alpha-1)}=\sqrt{n_\alpha}|n_\alpha-1\rangle.$$

यह निर्वात अवस्था को भी बुझा देगा $$b_\alpha|0_\alpha\rangle=0$$ क्योंकि निर्वात अवस्था में नष्ट होने के लिए कोई बोसोन नहीं बचा है। उपरोक्त सूत्रों का प्रयोग करके यह दर्शाया जा सकता है कि
 * $$b_\alpha^\dagger b_\alpha|n_\alpha\rangle=n_\alpha|n_\alpha\rangle,$$

मतलब है कि $$\hat{n}_\alpha = b_\alpha^\dagger b_\alpha$$ बोसोन संख्या ऑपरेटर को परिभाषित करता है।

उपरोक्त परिणाम को बोसॉन की किसी भी फॉक अवस्था के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।
 * $$b_\alpha^\dagger|\cdots,n_\beta,n_\alpha,n_\gamma,\cdots\rangle= \sqrt{n_\alpha+1}|\cdots,n_\beta,n_\alpha+1,n_\gamma,\cdots\rangle.$$
 * $$b_\alpha|\cdots,n_\beta,n_\alpha,n_\gamma,\cdots\rangle= \sqrt{n_\alpha}|\cdots,n_\beta,n_\alpha-1,n_\gamma,\cdots\rangle.$$

इन दो समीकरणों को दूसरे-परिमाणीकरण औपचारिकता में बोसॉन निर्माण और विनाश ऑपरेटरों के परिभाषित गुणों के रूप में माना जा सकता है। अंतर्निहित प्रथम-क्वांटाइज़्ड तरंग फ़ंक्शन की जटिल सममिति का निर्माण और विनाश ऑपरेटरों द्वारा स्वचालित रूप से ध्यान रखा जाता है (जब पहले-क्वांटाइज़्ड तरंग फ़ंक्शन पर कार्य किया जाता है), ताकि जटिलता दूसरे-क्वांटाइज़्ड स्तर पर प्रकट न हो, और द्वितीय-परिमाणीकरण सूत्र सरल और साफ-सुथरे हैं।

ऑपरेटर पहचान
फॉक अवस्था पर बोसॉन निर्माण और विनाश ऑपरेटरों की कार्रवाई से निम्नलिखित ऑपरेटर पहचान का पता चलता है,
 * $$[b_\alpha^\dagger,b_\beta^\dagger]=[b_\alpha,b_\beta]=0,\quad [b_\alpha,b_\beta^\dagger]=\delta_{\alpha\beta}.$$

इन रूपान्तरण संबंधों को बोसॉन निर्माण और विनाश ऑपरेटरों की बीजगणितीय परिभाषा के रूप में माना जा सकता है। तथ्य यह है कि कण विनिमय के तहत बोसॉन कई-शरीर तरंग फ़ंक्शन सममित है, बोसॉन ऑपरेटरों के रूपान्तरण द्वारा भी प्रकट होता है।

क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर के ऊपर उठाने और कम करने वाले ऑपरेटर भी कम्यूटेशन संबंधों के समान सेट को संतुष्ट करते हैं, जिसका अर्थ है कि बोसॉन की व्याख्या एक ऑसिलेटर के ऊर्जा क्वांटा (फोनन) के रूप में की जा सकती है। एक हार्मोनिक थरथरानवाला (या हार्मोनिक दोलन मोड का एक संग्रह) की स्थिति और गति ऑपरेटरों को फोनन निर्माण और विनाश ऑपरेटरों के हर्मिटियन संयोजनों द्वारा दिया जाता है,
 * $$x_{\alpha}=(b_{\alpha}+b_{\alpha}^\dagger)/\sqrt{2},\quad p_{\alpha}=(b_{\alpha}-b_{\alpha}^\dagger)/(\sqrt{2}\mathrm{i}), $$

जो स्थिति और गति ऑपरेटरों के बीच विहित कम्यूटेशन संबंध को पुन: उत्पन्न करता है (साथ)। $$\hbar=1$$)
 * $$[x_{\alpha},p_{\beta}]=\mathrm{i}\delta_{\alpha\beta},\quad [x_{\alpha},x_{\beta}]=[p_{\alpha},p_{\beta}]=0.$$

इस विचार को क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में सामान्यीकृत किया गया है, जो पदार्थ क्षेत्र के प्रत्येक मोड को क्वांटम उतार-चढ़ाव के अधीन एक थरथरानवाला के रूप में मानता है, और बोसॉन को क्षेत्र के उत्तेजना (या ऊर्जा क्वांटा) के रूप में माना जाता है।

फर्मियन निर्माण और विनाश संचालक
फर्मियन निर्माण (विनाश) संचालिका को आमतौर पर इस रूप में दर्शाया जाता है $$c_{\alpha}^\dagger$$ ($$c_{\alpha}$$). सृजन संचालक $$c_{\alpha}^\dagger$$ एकल-कण अवस्था में एक फर्मियन जोड़ता है $$|\alpha\rangle$$, और विनाश संचालिका $$c_{\alpha}$$ एकल-कण अवस्था से एक फर्मियन को हटा देता है $$|\alpha\rangle$$.

परिभाषा
फ़र्मियन क्रिएशन (विनाश) ऑपरेटर एक रैखिक ऑपरेटर है, जिसकी क्रिया एन-कण प्रथम-मात्रा तरंग फ़ंक्शन पर होती है $$\Psi$$ परिभाषित किया जाता है
 * $$c_\alpha^\dagger \Psi = \frac{1}{\sqrt{N+1}}\psi_\alpha\otimes_-\Psi,$$
 * $$c_\alpha\Psi = \frac{1}{\sqrt{N}}\psi_\alpha\oslash_-\Psi,$$

कहाँ $$\psi_\alpha\otimes_-$$ एकल-कण अवस्था सम्मिलित करता है $$\psi_\alpha$$ में $$N+1$$ सम्भावित सम्मिलन स्थितियाँ सममिति-विरोधी हैं, और $$\psi_\alpha\oslash_-$$ एकल-कण स्थिति को हटा देता है $$\psi_\alpha$$ से $$N$$ संभावित विलोपन स्थितियाँ सममिति-विरोधी हैं।

दो (या अधिक) फर्मियन की अवस्थाओं पर सृजन और विनाश संचालकों के परिणामों को देखना विशेष रूप से शिक्षाप्रद है, क्योंकि वे विनिमय के प्रभावों को प्रदर्शित करते हैं। नीचे दिए गए उदाहरण में कुछ उदाहरणात्मक ऑपरेशन दिए गए हैं। दो-फर्मियन अवस्था पर सृजन और विनाश संचालकों के लिए संपूर्ण बीजगणित क्वांटम फोटोनिक्स में पाया जा सकता है।

उदाहरण
इसके बाद टेंसर प्रतीक $$\otimes$$ सरलता के लिए एकल-कण अवस्थाओं के बीच को छोड़ दिया गया है। राज्य ले लो $$|1_1,1_2\rangle=(\psi_1\psi_2-\psi_2\psi_1)/\sqrt{2}$$, कब्जे पर एक और फर्मियन बनाने का प्रयास $$\psi_1$$ राज्य संपूर्ण अनेक-निकाय तरंग फ़ंक्शन को बुझा देगा,
 * $$\begin{array}{rl}c_1^\dagger|1_1,1_2\rangle=&\frac{1}{\sqrt{2}}(c_1^\dagger\psi_1\psi_2-c_1^\dagger\psi_2\psi_1)\\=&\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\psi_1\otimes_-\psi_1\psi_2-\frac{1}{\sqrt{3}}\psi_1\otimes_-\psi_2\psi_1\right)\\=&\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}(\psi_1\psi_1\psi_2-\psi_1\psi_1\psi_2+\psi_1\psi_2\psi_1)-\frac{1}{\sqrt{3}}(\psi_1\psi_2\psi_1-\psi_2\psi_1\psi_1+\psi_2\psi_1\psi_1)\right)\\=&0.\end{array}$$

पर एक फर्मियन को नष्ट करें $$\psi_2$$ राज्य, राज्य ले लो $$|1_1,1_2\rangle=(\psi_1\psi_2-\psi_2\psi_1)/\sqrt{2}$$,
 * $$\begin{array}{rl}c_2|1_1,1_2\rangle=&\frac{1}{\sqrt{2}}(c_2\psi_1\psi_2-c_2\psi_2\psi_1)\\=&\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\psi_2\oslash_-\psi_1\psi_2-\frac{1}{\sqrt{2}}\psi_2\oslash_-\psi_2\psi_1\right)\\=&\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}(0-\psi_1)-\frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_1-0)\right)\\=&-\psi_1\\=&-|1_1,0_2\rangle.\end{array}$$

माइनस साइन (फर्मियन साइन के रूप में जाना जाता है) फर्मियन वेव फ़ंक्शन की एंटी-सिमेट्रिक प्रॉपर्टी के कारण प्रकट होता है।

फॉक राज्यों पर कार्रवाई
एकल-मोड निर्वात अवस्था से प्रारंभ करना $$|0_\alpha\rangle=1$$, फर्मियन क्रिएशन ऑपरेटर को लागू करना $$c_\alpha^\dagger$$,
 * $$c_\alpha^\dagger|0_\alpha\rangle=\psi_\alpha\otimes_- 1=\psi_\alpha=|1_\alpha\rangle,$$
 * $$c_\alpha^\dagger|1_\alpha\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\psi_\alpha\otimes_- \psi_\alpha=0.$$

यदि एकल-कण अवस्था $$|\alpha\rangle$$ खाली है, सृजन संचालक राज्य को फर्मियन से भर देगा। हालाँकि, यदि राज्य पहले से ही एक फर्मियन द्वारा कब्जा कर लिया गया है, तो सृजन ऑपरेटर का आगे का आवेदन राज्य को बुझा देगा, पॉली अपवर्जन सिद्धांत का प्रदर्शन करेगा कि दो समान फर्मियन एक ही राज्य पर एक साथ कब्जा नहीं कर सकते हैं। फिर भी, फर्मियन विनाश ऑपरेटर द्वारा फर्मियन को कब्जे वाले राज्य से हटाया जा सकता है $$c_\alpha$$,
 * $$c_\alpha|1_\alpha\rangle=\psi_\alpha\oslash_-\psi_\alpha=1=|0_\alpha\rangle,$$
 * $$c_\alpha|0_\alpha\rangle =0.$$

निर्वात अवस्था को विनाश संचालक की कार्रवाई से बुझाया जाता है।

बोसॉन केस के समान, फर्मियन फॉक अवस्था का निर्माण फर्मियन क्रिएशन ऑपरेटर का उपयोग करके निर्वात अवस्था से किया जा सकता है
 * $$|n_\alpha\rangle=(c_{\alpha}^\dagger)^{n_\alpha}|0_\alpha\rangle.$$

इसे जांचना (गणना द्वारा) आसान है
 * $$c_\alpha^\dagger c_\alpha|n_\alpha\rangle=n_\alpha|n_\alpha\rangle,$$

मतलब है कि $$\hat{n}_\alpha = c_\alpha^\dagger c_\alpha$$ फर्मियन नंबर ऑपरेटर को परिभाषित करता है।

उपरोक्त परिणाम को फर्मियन की किसी भी फॉक अवस्था के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।
 * $$c_\alpha^\dagger|\cdots,n_\beta,n_\alpha,n_\gamma,\cdots\rangle=(-1)^{\sum_{\beta<\alpha}n_\beta} \sqrt{1-n_\alpha}|\cdots,n_\beta,1+n_\alpha,n_\gamma,\cdots\rangle.$$
 * $$c_\alpha|\cdots,n_\beta,n_\alpha,n_\gamma,\cdots\rangle= (-1)^{\sum_{\beta<\alpha}n_\beta} \sqrt{n_\alpha}|\cdots,n_\beta,1-n_\alpha,n_\gamma,\cdots\rangle.$$

याद रखें कि व्यवसाय संख्या $$n_\alpha$$ फर्मिऑन के लिए केवल 0 या 1 ही ले सकते हैं। इन दो समीकरणों को दूसरे परिमाणीकरण औपचारिकता में फर्मियन निर्माण और विनाश ऑपरेटरों के परिभाषित गुणों के रूप में माना जा सकता है। ध्यान दें कि फर्मियन साइन संरचना $$(-1)^{\sum_{\beta<\alpha}n_\beta} $$, जिसे जॉर्डन-विग्नर परिवर्तन के रूप में भी जाना जाता है|जॉर्डन-विग्नर स्ट्रिंग के लिए एकल-कण राज्यों (स्पिन संरचना) के पूर्वनिर्धारित क्रम की आवश्यकता होती है। और इसमें सभी पूर्ववर्ती राज्यों की फर्मियन व्यवसाय संख्या की गिनती शामिल है; इसलिए फर्मियन निर्माण और विनाश संचालकों को कुछ अर्थों में गैर-स्थानीय माना जाता है। यह अवलोकन इस विचार की ओर ले जाता है कि फ़र्मियन लंबी दूरी की उलझी हुई स्थानीय qubit प्रणाली में उभरते हुए कण हैं।

ऑपरेटर पहचान
निम्नलिखित ऑपरेटर पहचान फॉक राज्य पर फर्मियन निर्माण और विनाश ऑपरेटरों की कार्रवाई से अनुसरण करती हैं,
 * $$\{c_\alpha^\dagger,c_\beta^\dagger\}=\{c_\alpha,c_\beta\}=0,\quad \{c_\alpha,c_\beta^\dagger\}=\delta_{\alpha\beta}.$$

इन विरोधी कम्यूटेशन संबंधों को फर्मियन निर्माण और विनाश ऑपरेटरों की बीजगणितीय परिभाषा के रूप में माना जा सकता है। तथ्य यह है कि कण विनिमय के तहत फर्मियन कई-बॉडी वेव फ़ंक्शन एंटी-सिमेट्रिक है, फर्मियन ऑपरेटरों के एंटी-कम्यूटेशन द्वारा भी प्रकट होता है।

सृजन और संहार संचालक एक दूसरे से संयुग्मित हर्मिटियन हैं, लेकिन उनमें से कोई भी हर्मिटियन संचालक नहीं हैं ($$c_\alpha\neq c_\alpha^\dagger$$). फर्मियन निर्माण और विनाश ऑपरेटरों का हर्मिटियन संयोजन
 * $$\chi_{\alpha,\text{Re}}=(c_\alpha+c_\alpha^\dagger)/\sqrt{2}, \quad \chi_{\alpha,\text{Im}}=(c_\alpha-c_\alpha^\dagger)/(\sqrt{2}\mathrm{i}),$$

मेजराना फर्मियन ऑपरेटर कहलाते हैं। उन्हें फर्मिओनिक हार्मोनिक ऑसिलेटर की स्थिति और गति ऑपरेटरों के फर्मोनिक एनालॉग के रूप में देखा जा सकता है। वे एंटीकम्युटेशन संबंध को संतुष्ट करते हैं
 * $$\{\chi_{i},\chi_{j}\}=\delta_{ij},$$

कहाँ $$i,j$$ किसी भी मेजराना फर्मियन ऑपरेटरों को समान स्तर पर लेबल करता है (चाहे उनकी उत्पत्ति जटिल फर्मियन ऑपरेटरों के रे या आईएम संयोजन से हुई हो) $$c_{\alpha}$$). एंटीकम्यूटेशन संबंध इंगित करता है कि मेजराना फर्मियन ऑपरेटर्स एक क्लिफोर्ड बीजगणित उत्पन्न करते हैं, जिसे कई-बॉडी हिल्बर्ट स्पेस में पाउली ऑपरेटरों के रूप में व्यवस्थित रूप से दर्शाया जा सकता है।

क्वांटम फ़ील्ड ऑपरेटर
परिभाषित $$a^{\dagger}_{\nu}$$ एकल-कण अवस्था के लिए एक सामान्य विनाश (सृजन) संचालक के रूप में $$\nu$$ वह या तो फर्मिओनिक हो सकता है $$(c^{\dagger}_{\nu})$$ या बोसोनिक $$(b^{\dagger}_{\nu})$$ऑपरेटरों की स्थिति और गति स्थान मात्रा  फ़ील्ड ऑपरेटर (भौतिकी) को परिभाषित करता है $$ \Psi(\mathbf{r})$$ और $$\Psi^{\dagger}(\mathbf{r})$$ द्वारा
 * $$ \Psi(\mathbf{r})=\sum_{\nu} \psi_{\nu} \left( \mathbf{r} \right) a_{\nu}$$
 * $$ \Psi^{\dagger}(\mathbf{r})=\sum_{\nu} \psi^*_{\nu} \left( \mathbf{r} \right) a^{\dagger}_{\nu}$$

ये गुणांकों के साथ दूसरे परिमाणीकरण ऑपरेटर हैं $$\psi_{\nu} \left( \mathbf{r} \right)$$ और $$ \psi^*_{\nu} \left( \mathbf{r} \right)$$ यह सामान्य प्रथम परिमाणीकरण|प्रथम-परिमाणीकरण वेवफंक्शन हैं। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, कोई भी अपेक्षा मान सामान्य प्रथम-परिमाणीकरण तरंग फ़ंक्शन होगा। शिथिल बोल, $$\Psi^{\dagger}(\mathbf{r})$$ किसी भी आधार अवस्था के माध्यम से स्थिति r पर सिस्टम में एक कण जोड़ने के सभी संभावित तरीकों का योग है $$\psi_{\nu}\left(\mathbf{r}\right)$$, जरूरी नहीं कि समतल तरंगें हों, जैसा कि नीचे दिया गया है।

तब से $$ \Psi(\mathbf{r})$$ और $$\Psi^{\dagger}(\mathbf{r})$$ अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु पर परिभाषित दूसरे परिमाणीकरण ऑपरेटरों को क्वांटम क्षेत्र ऑपरेटर कहा जाता है। वे निम्नलिखित मौलिक कम्यूटेटर और एंटी-कम्यूटेटर संबंधों का पालन करते हैं,


 * $$ \left[\Psi(\mathbf{r}_1),\Psi^\dagger(\mathbf{r}_2)\right]=\delta (\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2) $$ बोसोन क्षेत्र,
 * $$ \{\Psi(\mathbf{r}_1),\Psi^\dagger(\mathbf{r}_2)\}=\delta (\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2) $$ फर्मियन क्षेत्र.

सजातीय प्रणालियों के लिए वास्तविक स्थान और गति अभ्यावेदन के बीच परिवर्तन करना अक्सर वांछनीय होता है, इसलिए, फूरियर में क्वांटम फ़ील्ड ऑपरेटर पैदावार को रूपांतरित करते हैं:
 * $$ \Psi(\mathbf{r})={1\over \sqrt {V}} \sum_{\mathbf{k}} e^{i\mathbf{k\cdot r}}a_{\mathbf{k}}$$
 * $$ \Psi^{\dagger}(\mathbf{r})={ 1\over \sqrt{V}} \sum_{\mathbf{k}} e^{-i\mathbf{k\cdot r}}a^{\dagger}_{\mathbf{k}}$$

नामकरण पर टिप्पणी
जॉर्डन द्वारा प्रस्तुत दूसरा परिमाणीकरण शब्द, यह एक मिथ्या नाम है जो ऐतिहासिक कारणों से कायम है। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के मूल में, यह अनुचित रूप से सोचा गया था कि डिराक समीकरण एक शास्त्रीय स्पिनर क्षेत्र के बजाय एक सापेक्षतावादी तरंग फ़ंक्शन (इसलिए अप्रचलित डिराक समुद्री व्याख्या) का वर्णन करता है, जिसे जब परिमाणित किया जाता है (स्केलर क्षेत्र की तरह), तो एक फर्मियोनिक क्वांटम उत्पन्न होता है फ़ील्ड (बनाम बोसोनिक क्वांटम फ़ील्ड)।

एक फिर से मात्रा निर्धारित नहीं कर रहा है, जैसा कि दूसरा शब्द सुझा सकता है; जिस क्षेत्र को परिमाणित किया जा रहा है वह श्रोडिंगर समीकरण नहीं है | श्रोडिंगर तरंग फ़ंक्शन जो एक कण को ​​परिमाणित करने के परिणामस्वरूप उत्पन्न हुआ था, लेकिन एक शास्त्रीय क्षेत्र है (जैसे कि विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र या डिराक स्पिनर क्षेत्र), मूल रूप से युग्मित ऑसिलेटर्स का एक संयोजन है, जिसे पहले परिमाणित नहीं किया गया था। इस असेंबली में प्रत्येक ऑसिलेटर को केवल परिमाणित किया जा रहा है, जो सिस्टम के अर्धशास्त्रीय भौतिकी उपचार से पूरी तरह से क्वांटम-मैकेनिकल में स्थानांतरित हो रहा है।

यह भी देखें

 * विहित परिमाणीकरण
 * पहला परिमाणीकरण
 * ज्यामितीय परिमाणीकरण
 * परिमाणीकरण (भौतिकी)
 * श्रोडिंगर कार्यात्मक
 * अदिश क्षेत्र सिद्धांत