हार्मोनिक निर्देशांक

रीमैनियन ज्यामिति में, गणित की एक शाखा, हार्मोनिक निर्देशांक एक चिकनी मैनिफोल्ड पर एक निश्चित प्रकार के समन्वय चार्ट हैं, जो कई गुना पर रिमेंनियन मीट्रिक द्वारा निर्धारित होते हैं। वे अपने नियमितता गुणों के कारण ज्यामितीय विश्लेषण की कई समस्याओं में उपयोगी होते हैं।

दो आयामों में, कुछ हार्मोनिक निर्देशांक जिन्हें आइसोथर्मल निर्देशांक के रूप में जाना जाता है, का अध्ययन 1800 के प्रारंभ से किया गया है। उच्च आयामों में हार्मोनिक निर्देशांक शुरू में अल्बर्ट आइंस्टीन और कॉर्नेलियस लैंक्ज़ोस द्वारा लोरेंट्ज़ियन कई गुना और सामान्य सापेक्षता के संदर्भ में विकसित किए गए थे (हार्मोनिक समन्वय स्थिति देखें)। 1981 में डेनिस डे टर्क और जेरी कज़ से के काम के बाद, उन्होंने ज्यामितीय विश्लेषण साहित्य में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभानी शुरू की, हालांकि इदज़ाद सबितोव और एस.जेड. सेफेल ने पांच साल पहले भी यही खोज की थी।

परिभाषा
होने देना $(M, g)$ एक Riemannian कई गुना आयाम हो $n$. एक कहता है कि एक समन्वय चार्ट $(x^{1}, ..., x^{n})$, एक खुले उपसमुच्चय पर परिभाषित $U$ का $M$, हार्मोनिक है यदि प्रत्येक व्यक्ति समन्वय कार्य करता है $x^{i}$ एक हार्मोनिक फ़ंक्शन है $U$. अर्थात्, किसी को उसकी आवश्यकता है
 * $$\Delta^g x^i = 0.\,$$

कहाँ $∆^{g}$ लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर है। मामूली रूप से, समन्वय प्रणाली हार्मोनिक है अगर और केवल अगर, मानचित्र के रूप में $U → ℝ^{n}$, निर्देशांक एक हार्मोनिक मानचित्र हैं। लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर की स्थानीय परिभाषा के साथ एक सीधी संगणना से पता चलता है $(x^{1}, ..., x^{n})$ एक हार्मोनिक समन्वय चार्ट है अगर और केवल अगर
 * $$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ng^{ij}\Gamma_{ij}^k = 0\text{ for all }k=1,\ldots,n,$$

जिसमें $Γk ij$ दिए गए चार्ट के क्रिस्टोफेल प्रतीक हैं। एक निश्चित पृष्ठभूमि समन्वय चार्ट के सापेक्ष $(V, y)$, कोई देख सकता है $(x^{1}, ..., x^{n})$ कार्यों के संग्रह के रूप में $x ∘ y^{−1}$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष के एक खुले उपसमुच्चय पर। के सापेक्ष मीट्रिक टेन्सर $x$ के सापेक्ष मीट्रिक टेंसर से प्राप्त किया जाता है $y$ स्थानीय गणना के पहले डेरिवेटिव के साथ क्या करना है $x ∘ y^{−1}$, और इसलिए इसके सापेक्ष क्रिस्टोफेल प्रतीक $x$ के दूसरे डेरिवेटिव से गणना की जाती है $x ∘ y^{−1}$. इसलिए हार्मोनिक निर्देशांक की दोनों परिभाषाएँ, जैसा कि ऊपर दिया गया है, समन्वय कार्यों के लिए दूसरे क्रम के आंशिक अंतर समीकरणों के साथ करने का गुणात्मक चरित्र है।

क्रिस्टोफेल प्रतीकों की परिभाषा का उपयोग करते हुए, उपरोक्त सूत्र के बराबर है
 * $$2\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ng^{ij}\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^i}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ng^{ij}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}.$$

अस्तित्व और बुनियादी सिद्धांत
हार्मोनिक निर्देशांक हमेशा (स्थानीय रूप से) मौजूद होते हैं, एक परिणाम जो अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरणों के अस्तित्व और समाधान की नियमितता पर मानक परिणामों से आसानी से अनुसरण करता है। विशेष रूप से, समीकरण $∆^{g}u^{j} = 0$ के पास किसी दिए गए बिंदु के आसपास कुछ खुले सेट में समाधान है $p$, ऐसा है कि $u(p)$ और $du_{p}$ दोनों निर्धारित हैं।

हार्मोनिक निर्देशांक में मीट्रिक से संबंधित बुनियादी नियमितता प्रमेय यह है कि यदि मीट्रिक के घटक होल्डर स्पेस में हैं $C^{k, α}$ जब कुछ समन्वय चार्ट में व्यक्त किया जाता है, तो चार्ट की चिकनाई की परवाह किए बिना, एटलस (टोपोलॉजी) # उस समन्वय चार्ट से किसी भी हार्मोनिक समन्वय चार्ट में परिवर्तन मानचित्र होल्डर स्पेस में होगा $C^{k + 1, α}$. विशेष रूप से इसका अर्थ है कि मीट्रिक भी अंदर होगी $C^{k, α}$ हार्मोनिक समन्वय चार्ट के सापेक्ष।

जैसा कि पहली बार 1922 में कॉर्नेलियस लैंक्ज़ोस द्वारा खोजा गया था, एक हार्मोनिक समन्वय चार्ट के सापेक्ष, रिक्की वक्रता द्वारा दिया गया है
 * $$R_{ij}=-\frac{1}{2}\sum_{a,b=1}^n g^{ab}\frac{\partial^2g_{ij}}{\partial x^a\partial x^b}+\partial g\ast\partial g\ast g^{-1}\ast g^{-1}.$$

इस सूत्र का मूलभूत पहलू यह है कि, किसी भी निश्चित के लिए $i$ और $j$, दाहिनी ओर का पहला पद एक अण्डाकार संकारक है जो स्थानीय रूप से परिभाषित फ़ंक्शन पर लागू होता है $g_{ij}$. तो यह अण्डाकार नियमितता से स्वचालित है, और विशेष रूप से स्कॉडर का अनुमान है कि यदि $g$ है $C^{2}$ और $Ric(g)$ है $C^{k, α}$ फिर एक हार्मोनिक समन्वय चार्ट के सापेक्ष $g$ है $C^{k + 2, α}$ उसी चार्ट के सापेक्ष। अधिक सामान्यतः, यदि $g$ है $C^{k, α}$ (साथ $k$ एक से बड़ा) और $Ric(g)$ है $C^{l, α}$ कुछ समन्वय चार्ट के सापेक्ष, तो हार्मोनिक समन्वय चार्ट में संक्रमण कार्य होगा $C^{k + 1, α}$, इसलिए $Ric(g)$ होगा $C^{min(l, k), α}$ हार्मोनिक समन्वय चार्ट में। तो, पिछले परिणाम से, $g$ होगा $C^{min(l, k) + 2, α}$ हार्मोनिक समन्वय चार्ट में।

लैंक्ज़ोस के सूत्र के एक और अनुप्रयोग के रूप में, यह अनुसरण करता है कि आइंस्टीन मीट्रिक हार्मोनिक निर्देशांक में विश्लेषणात्मक कार्य है। विशेष रूप से, यह दर्शाता है कि किसी भी आइंस्टीन मेट्रिक पर सहज मैनिफोल्ड स्वचालित रूप से हार्मोनिक समन्वय चार्ट के संग्रह द्वारा दिए गए मैनिफोल्ड पर एक विश्लेषणात्मक कई गुना  निर्धारित करता है।

उपरोक्त विश्लेषण के कारण, हार्मोनिक निर्देशांकों पर चर्चा करने में यह रीमैनियन मेट्रिक्स पर विचार करने के लिए मानक है जो कम से कम दो बार-लगातार अलग-अलग हैं। हालांकि, अधिक विदेशी फ़ंक्शन रिक्त स्थान के उपयोग के साथ, हार्मोनिक निर्देशांक के अस्तित्व और नियमितता पर उपरोक्त परिणाम उन सेटिंग्स तक बढ़ाए जा सकते हैं जहां मीट्रिक बहुत कमजोर नियमितता है।

स्पर्शोन्मुख रूप से समतल स्थानों में हार्मोनिक निर्देशांक
सुरीले निर्देशांकों का उपयोग रॉबर्ट बार्टनिक द्वारा स्पर्शोन्मुख रूप से फ्लैट स्पेसटाइम के ज्यामितीय गुणों को समझने के लिए किया गया था। मान लीजिए कि किसी के पास एक पूर्ण रीमैनियन मैनिफोल्ड है $(M, g)$, और यह कि एक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय है $K$ का $M$ एक साथ एक भिन्नता के साथ $Φ$ से $M ∖ K$ को $ℝ^{n} ∖ B_{R}(0)$, ऐसा है कि $Φ^{*}g$, मानक यूक्लिडियन मीट्रिक के सापेक्ष $δ$ पर $ℝ^{n} ∖ B_{R}(0)$, ऐसे eigenvalues ​​​​हैं जो सकारात्मक संख्याओं के ऊपर और नीचे समान रूप से बंधे हैं, और ऐसा है $(Φ^{*}g)(x)$ कुछ सटीक अर्थों में, को अभिसरण करता है $δ$ जैसा $x$ अनंत की ओर जाता है। इस तरह के एक भिन्नता को अनंत पर एक संरचना के रूप में जाना जाता है या एसिम्प्टोटिक रूप से फ्लैट निर्देशांक के रूप में जाना जाता है $(M, g)$.

बार्टनिक का प्राथमिक परिणाम यह है कि स्पर्शोन्मुख रूप से फ्लैट निर्देशांक (यदि कोई खाली नहीं है) के संग्रह में एक सरल स्पर्शोन्मुख संरचना होती है, जिसमें किसी भी दो स्पर्शोन्मुख रूप से फ्लैट निर्देशांक के बीच संक्रमण कार्य अनुमानित रूप से, अनंत के पास, एक परिशोधित परिवर्तन द्वारा होता है। यह स्थापित करने में महत्वपूर्ण है कि एक असम्बद्ध रूप से फ्लैट रिमेंनियन मैनिफोल्ड की एडीएम ऊर्जा एक ज्यामितीय अपरिवर्तनीय है जो असम्बद्ध रूप से फ्लैट निर्देशांक की पसंद पर निर्भर नहीं करती है।

इस तथ्य को स्थापित करने में महत्वपूर्ण उपकरण मनमाना स्पर्शोन्मुख फ्लैट निर्देशांक का अनुमान है $(M, g)$ स्पर्शोन्मुख रूप से सपाट निर्देशांक द्वारा जो हार्मोनिक हैं। लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर के लिए फ्रेडहोम के प्रमेय की स्थापना में प्रमुख तकनीकी कार्य है, जब कार्यों के कुछ बनच स्थानों के बीच कार्य करना $M$ जो अनंत पर क्षय होता है। फिर, किसी भी असम्बद्ध रूप से फ्लैट निर्देशांक दिए गए हैं $Φ$, इस तथ्य से कि
 * $$\Delta^g\Phi^k=-\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n g^{ij}\Gamma_{ij}^k,$$

जो अनंत पर क्षय होता है, यह फ्रेडहोम सिद्धांत से अनुसरण करता है कि कार्य होते हैं $z^{k}$ जो अनंत पर इस तरह क्षय होता है $Δ^{g}Φ^{k} = Δ^{g}z^{k}$, और इसलिए वह $Φ^{k} − z^{k}$ हार्मोनिक हैं। यह वांछित स्पर्शोन्मुख रूप से सपाट हार्मोनिक निर्देशांक प्रदान करता है। बार्टनिक का प्राथमिक परिणाम इस तथ्य से आता है कि स्पर्शोन्मुख-क्षय हार्मोनिक कार्यों का वेक्टर स्थान $M$ का आयाम है $n + 1$, जिसका परिणाम है कि कोई भी दो स्पर्शोन्मुख रूप से फ्लैट हार्मोनिक समन्वय करता है $M$ affine परिवर्तन से संबंधित हैं।

बार्टनिक का काम असम्बद्ध रूप से फ्लैट निर्देशांक के अस्तित्व पर आधारित है। अपने तरीकों के आधार पर, शिगेतोशी बांदो, अत्सुशी कासू, और नाकाजिमा खोलें ने दिखाया कि एक बिंदु से दूरी के संदर्भ में वक्रता का क्षय, साथ में बड़ी भूगर्भीय गेंदों की मात्रा के बहुपद विकास और आसानी से जुड़े | सरल-कनेक्टिविटी उनके पूरक के रूप में, स्पर्शोन्मुख रूप से सपाट निर्देशांक के अस्तित्व का तात्पर्य है। आवश्यक बिंदु यह है कि उनकी ज्यामितीय धारणाएं, नीचे हार्मोनिक त्रिज्या पर चर्चा किए गए कुछ परिणामों के माध्यम से, अनंत के निकट क्षेत्रों पर हार्मोनिक निर्देशांक पर अच्छा नियंत्रण देती हैं। एकता के एक विभाजन के उपयोग से, इन हार्मोनिक निर्देशांकों को एक एकल समन्वय चार्ट बनाने के लिए एक साथ पैच किया जा सकता है, जो कि मुख्य उद्देश्य है।

हार्मोनिक त्रिज्या
माइकल टी. एंडरसन के कारण एक मूलभूत परिणाम यह है कि एक चिकनी रीमैनियन कई गुना, कोई सकारात्मक संख्या दी गई है $α$ 0 और 1 के बीच और कोई सकारात्मक संख्या $Q$, एक संख्या है $r$ जिस पर निर्भर करता है $α$, पर $Q$, रिक्की वक्रता की ऊपरी और निचली सीमा पर, आयाम पर, और इंजेक्शन त्रिज्या के लिए एक सकारात्मक निचली सीमा पर, जैसे कि त्रिज्या की कोई भी भूगर्भीय गेंद $r$ हार्मोनिक निर्देशांक का डोमेन है, जिसके सापेक्ष $C^{1, α}$ का आकार $g$ और की एकसमान निकटता $g$ यूक्लिडियन मीट्रिक के लिए दोनों द्वारा नियंत्रित किया जाता है $Q$. इसे मानदंड (गणित) के संदर्भ में भी सुधारा जा सकता है पॉइंटेड रिमैनियन मैनिफोल्ड्स के मानदंड, जहां $C^{1, α}$-एक पैमाने पर मानदंड $r$ के इष्टतम मूल्य से मेल खाती है $Q$ हार्मोनिक निर्देशांक के लिए जिनके डोमेन त्रिज्या के भूगर्भीय गेंद हैं $r$. एंडरसन के काम से पहले और बाद में विभिन्न लेखकों ने ऐसे हार्मोनिक त्रिज्या अनुमानों के संस्करण पाए हैं। हार्मोनिक निर्देशांक चार्ट में रिक्की वक्रता के लिए लैंक्ज़ोस सूत्र के लिए, अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरणों के मानक तरीकों के माध्यम से, प्रमाण का आवश्यक पहलू विश्लेषण है।

इसलिए, ढीले ढंग से बोलना, हार्मोनिक निर्देशांक के उपयोग से पता चलता है कि रीमैनियन मैनिफोल्ड्स को समन्वय चार्ट द्वारा कवर किया जा सकता है जिसमें रीमैनियन मैनिफोल्ड के स्थानीय प्रतिनिधित्व केवल रीमैनियन मैनिफोल्ड के गुणात्मक ज्यामितीय व्यवहार द्वारा नियंत्रित होते हैं। 1970 में जेफ चीगर द्वारा निर्धारित विचारों के बाद, कोई भी रीमैनियन मैनिफोल्ड के अनुक्रमों पर विचार कर सकता है जो समान रूप से ज्यामितीय रूप से नियंत्रित होते हैं, और निर्देशांक का उपयोग करके, एक सीमा रीमैनियन मैनिफोल्ड को इकट्ठा कर सकते हैं। इस तरह के रिमेंनियन अभिसरण की प्रकृति के कारण, उदाहरण के लिए, यह अनुसरण करता है, कि डिफियोमोर्फिज़्म तक केवल एक दिए गए आयाम के बहुत से चिकने कई गुना होते हैं, जो कि रिकी वक्रता और व्यास पर एक निश्चित सीमा के साथ रिमेंनियन मेट्रिक्स को एक निश्चित सकारात्मक निचले हिस्से के साथ स्वीकार करते हैं। इंजेक्शन त्रिज्या पर बाध्य।

हार्मोनिक त्रिज्या पर इस तरह के अनुमानों का उपयोग ज्यामितीय रूप से नियंत्रित कटऑफ कार्यों के निर्माण के लिए भी किया जाता है, और इसलिए एकता के विभाजन भी। उदाहरण के लिए, स्थानीय रूप से परिभाषित दूसरे आंशिक व्युत्पन्न द्वारा किसी फ़ंक्शन के दूसरे सहसंयोजक व्युत्पन्न को नियंत्रित करने के लिए, मीट्रिक के स्थानीय प्रतिनिधित्व के पहले व्युत्पन्न को नियंत्रित करना आवश्यक है। इस तरह के निर्माण नॉनकॉम्पैक्ट रिमेंनियन मैनिफोल्ड्स पर सोबोलिव रिक्त स्थान के बुनियादी पहलुओं का अध्ययन करने में मौलिक हैं।

संदर्भ
Footnotes

Textbooks Articles