अवकल फलन

गणना में, डिफरेंशियल एक फंक्शन (गणित) में परिवर्तन के प्रमुख भाग#कैलकुलस का प्रतिनिधित्व करता है $$y=f(x)$$ स्वतंत्र चर में परिवर्तन के संबंध में। अंतर $$dy$$ द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$dy = f'(x)\,dx,$$

कहाँ $$f'(x)$$ के संबंध में f का व्युत्पन्न है $$x$$, और $$dx$$ एक अतिरिक्त वास्तविक चर (गणित) है (ताकि $$dy$$ का एक कार्य है $$x$$ और $$dx$$). अंकन ऐसा है कि समीकरण


 * $$dy = \frac{dy}{dx}\, dx$$

धारण करता है, जहां लीबनिज संकेतन में व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व किया जाता है $$dy/dx$$, और यह अंतर के भागफल के रूप में व्युत्पन्न के संबंध में संगत है। एक लिखता भी है


 * $$df(x) = f'(x)\,dx.$$

चर का सटीक अर्थ $$dy$$ और $$dx$$ आवेदन के संदर्भ और गणितीय कठोरता के आवश्यक स्तर पर निर्भर करता है। इन चरों का डोमेन एक विशेष ज्यामितीय महत्व पर ले सकता है यदि अंतर को एक विशेष अंतर रूप, या विश्लेषणात्मक महत्व के रूप में माना जाता है, यदि अंतर को किसी फ़ंक्शन की वृद्धि के लिए एक रैखिक सन्निकटन के रूप में माना जाता है। परंपरागत रूप से, चर $$dx$$ और $$dy$$ बहुत छोटा (अनंत) माना जाता है, और इस व्याख्या को गैर-मानक विश्लेषण में कठोर बनाया जाता है।

इतिहास और उपयोग
अंतर को पहली बार आइजैक न्यूटन द्वारा एक सहज या अनुमानी परिभाषा के माध्यम से पेश किया गया था और लाइबनिट्स द्वारा आगे बढ़ाया गया था, जिन्होंने अंतर के बारे में सोचा था।$$dy$$ मूल्य में एक असीम रूप से छोटे (या अतिसूक्ष्म) परिवर्तन के रूप में$$y$$ फ़ंक्शन का, एक असीम रूप से छोटे परिवर्तन के अनुरूप$$dx$$ समारोह के तर्क में$$x$$. उस कारण से, के परिवर्तन की तात्कालिक दर $$y$$ इसके संबंध में $$x$$, जो कि फलन के अवकलज का मान है, को भिन्न द्वारा निरूपित किया जाता है


 * $$ \frac{dy}{dx} $$

डेरिवेटिव के लिए लाइबनिज संकेतन कहा जाता है। भागफल $$dy/dx$$ असीम रूप से छोटा नहीं है; बल्कि यह एक वास्तविक संख्या है।

उदाहरण के लिए, बिशप बर्कले द्वारा प्रसिद्ध पैम्फलेट विश्लेषक द्वारा इस रूप में इनफिनिटिमल्स के उपयोग की व्यापक रूप से आलोचना की गई थी। ऑगस्टिन-लुई कॉची (#CITEREFCauchy1823) ने डिफरेंशियल को लाइबनिट्स के इनफिनिटिमल्स के परमाणुवाद की अपील के बिना परिभाषित किया। इसके बजाय, कॉची, जीन ले रोंड डी'अलेम्बर्ट | डी'अलेम्बर्ट का अनुसरण करते हुए, लीबनिज़ और उनके उत्तराधिकारियों के तार्किक क्रम को उल्टा कर दिया: व्युत्पन्न ही मौलिक वस्तु बन गया, जिसे अंतर भागफलों की सीमा (गणित) के रूप में परिभाषित किया गया था, और अंतर तब थे इसके संदर्भ में परिभाषित किया गया है। अर्थात्, अंतर को परिभाषित करने के लिए कोई भी स्वतंत्र था $$dy$$ एक अभिव्यक्ति द्वारा
 * $$dy = f'(x)\,dx$$

जिसमें $$dy$$ और $$dx$$ परिमित वास्तविक मान लेने वाले बस नए चर हैं, नियत अतिसूक्ष्म नहीं जैसा कि लाइबनिज के लिए था। के अनुसार, कॉची का दृष्टिकोण लीबनिज के अतिसूक्ष्म दृष्टिकोण पर एक महत्वपूर्ण तार्किक सुधार था, क्योंकि, अत्यल्प मात्राओं की आध्यात्मिक धारणा को लागू करने के बजाय, मात्राएँ $$dy$$ और $$dx$$ अब किसी भी अन्य वास्तविक मात्रा के समान ही हेरफेर किया जा सकता है सार्थक तरीके से। अंतरों के प्रति कॉची का समग्र अवधारणात्मक दृष्टिकोण आधुनिक विश्लेषणात्मक उपचारों में मानक बना हुआ है, हालांकि कठोरता पर अंतिम शब्द, सीमा की पूरी तरह से आधुनिक धारणा, अंततः कार्ल वीयरस्ट्रास के कारण थी। भौतिक उपचारों में, जैसे कि ऊष्मप्रवैगिकी के सिद्धांत पर लागू होने वाले, असीम दृश्य अभी भी प्रबल है।  इनफिनिटिमल डिफरेंशियल के भौतिक उपयोग को उनकी गणितीय असंभवता के साथ निम्नानुसार सुलझाएं। अंतर परिमित गैर-शून्य मानों का प्रतिनिधित्व करते हैं जो उस विशेष उद्देश्य के लिए आवश्यक सटीकता की डिग्री से छोटे होते हैं जिसके लिए उनका इरादा होता है। इस प्रकार भौतिक अतिसूक्ष्मों को सटीक अर्थ रखने के लिए संबंधित गणितीय अतिसूक्ष्म से अपील करने की आवश्यकता नहीं है।

गणितीय विश्लेषण और विभेदक ज्यामिति में बीसवीं शताब्दी के विकास के बाद, यह स्पष्ट हो गया कि एक समारोह के अंतर की धारणा को विभिन्न तरीकों से विस्तारित किया जा सकता है। वास्तविक विश्लेषण में, किसी फ़ंक्शन की वृद्धि के प्रमुख भाग के रूप में सीधे अंतर से निपटना अधिक वांछनीय है। यह सीधे इस धारणा की ओर जाता है कि एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन का अंतर एक वेतन वृद्धि का रैखिक कार्य है $$\Delta x$$. यह दृष्टिकोण विभिन्न प्रकार के अधिक परिष्कृत स्थानों के लिए अंतर (एक रेखीय मानचित्र के रूप में) को विकसित करने की अनुमति देता है, अंततः इस तरह की धारणाओं को जन्म देता है जैसे कि फ्रेचेट व्युत्पन्न | फ्रेचेट या गेटॉक्स व्युत्पन्न। इसी तरह, विभेदक ज्यामिति में, एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन का अंतर एक स्पर्शरेखा सदिश (एक असीम रूप से छोटा विस्थापन) का एक रैखिक कार्य है, जो इसे एक प्रकार के एक रूप के रूप में प्रदर्शित करता है: फ़ंक्शन का बाहरी व्युत्पन्न। गैर-मानक कैलकुलस में, अंतरों को इनफिनिटिमल्स के रूप में माना जाता है, जिसे स्वयं एक कठोर आधार पर रखा जा सकता है (देखें अंतर (इनफिनिटिमल))।

परिभाषा
डिफरेंशियल कैलकुलस के आधुनिक उपचारों में डिफरेंशियल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है। एक समारोह का अंतर $$f(x)$$ एक वास्तविक चर का $$x$$ कार्य है $$df$$ दो स्वतंत्र वास्तविक चर के $$x$$ और $$\Delta x$$ द्वारा दिए गए


 * $$df(x, \Delta x) \stackrel{\mathrm{def}}{=} f'(x)\,\Delta x.$$

एक या दोनों तर्कों को दबा दिया जा सकता है, यानी कोई देख सकता है $$df(x)$$ या केवल $$df$$. अगर $$y=f(x)$$, अवकलन को इस रूप में भी लिखा जा सकता है $$dy$$. तब से $$dx(x,\Delta x)=\Delta x$$, यह लिखने के लिए पारंपरिक है $$dx=\Delta x$$ ताकि निम्नलिखित समानता हो:


 * $$df(x) = f'(x) \, dx$$

अंतर की यह धारणा मोटे तौर पर तब लागू होती है जब किसी फ़ंक्शन के लिए एक रैखिक सन्निकटन मांगा जाता है, जिसमें वृद्धि का मूल्य $$\Delta x$$ काफी छोटा है। अधिक सटीक, अगर $$f$$ पर एक अवकलनीय फलन है $$x$$, फिर में अंतर $$y$$-मूल्य


 * $$\Delta y \stackrel{\rm{def}}{=} f(x+\Delta x) - f(x)$$

संतुष्ट


 * $$\Delta y = f'(x)\,\Delta x + \varepsilon = df(x) + \varepsilon\,$$

जहां त्रुटि $$\varepsilon$$ सन्निकटन में संतुष्ट $$\varepsilon /\Delta x\rightarrow 0$$ जैसा $$\Delta x\rightarrow 0$$. दूसरे शब्दों में, किसी की अनुमानित पहचान होती है


 * $$\Delta y \approx dy$$

जिसमें त्रुटि के सापेक्ष वांछित के रूप में छोटा किया जा सकता है $$\Delta x$$ विवश करके $$\Delta x$$ पर्याप्त रूप से छोटा होना; यानी,
 * $$\frac{\Delta y - dy}{\Delta x}\to 0$$

जैसा $$\Delta x\rightarrow 0$$. इस कारण से, किसी फ़ंक्शन के अंतर को मुख्य भाग के रूप में जाना जाता है | प्रमुख भागरैखिक) भाग एक फ़ंक्शन के वेतन वृद्धि में होता है: अंतर वेतन वृद्धि का एक रैखिक कार्य है $$\Delta x$$, और यद्यपि त्रुटि $$\varepsilon$$ अरेखीय हो सकता है, यह तेजी से शून्य हो जाता है $$\Delta x$$ शून्य हो जाता है।

कई चरों में अंतर
अगले, एक से अधिक स्वतंत्र चर के कार्यों के लिए,


 * $$ y = f(x_1,\dots,x_n), $$

किसी एक वेरिएबल x के संबंध में y का आंशिक अंतर1 परिवर्तन dx के परिणामस्वरूप y में परिवर्तन का मुख्य भाग है1 उस एक चर में। आंशिक अंतर इसलिए है


 * $$ \frac{\partial y}{\partial x_1} dx_1 $$

x के संबंध में y का आंशिक डेरिवेटिव शामिल है1. सभी स्वतंत्र चरों के संबंध में आंशिक अंतरों का योग कुल अंतर है


 * $$ dy = \frac{\partial y}{\partial x_1} dx_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} dx_n, $$

जो y में परिवर्तन का मुख्य भाग है जो स्वतंत्र चरों x में परिवर्तनों के परिणामस्वरूप होता हैi.

अधिक सटीक रूप से, बहुभिन्नरूपी कलन के संदर्भ में, निम्नलिखित, यदि f एक अवकलनीय फलन है, तो Fréchet व्युत्पन्न द्वारा, वृद्धि


 * $$\begin{align}

\Delta y &{}\stackrel{\mathrm{def}}{=} f(x_1+\Delta x_1, \dots, x_n+\Delta x_n) - f(x_1,\dots,x_n)\\ &{}= \frac{\partial y}{\partial x_1} \Delta x_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} \Delta x_n + \varepsilon_1\Delta x_1 +\cdots+\varepsilon_n\Delta x_n \end{align}$$ जहां त्रुटि शब्द εi वृद्धि Δx के रूप में शून्य हो जाती हैi संयुक्त रूप से शून्य हो जाते हैं। कुल अंतर को तब कड़ाई से परिभाषित किया जाता है


 * $$dy = \frac{\partial y}{\partial x_1} \Delta x_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} \Delta x_n.$$

चूंकि, इस परिभाषा के साथ,
 * $$dx_i(\Delta x_1,\dots,\Delta x_n) = \Delta x_i,$$

किसी के पास
 * $$dy = \frac{\partial y}{\partial x_1}\,d x_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n}\,d x_n.$$

जैसा कि एक चर के मामले में, अनुमानित तत्समक धारण करता है


 * $$dy \approx \Delta y$$

जिसमें कुल त्रुटि को वांछित के सापेक्ष छोटा किया जा सकता है $$\sqrt{\Delta x_1^2+\cdots +\Delta x_n^2}$$ पर्याप्त रूप से छोटे वेतन वृद्धि पर ध्यान केंद्रित करके।

त्रुटि अनुमान के लिए कुल अंतर का अनुप्रयोग
मापन में, प्रायोगिक अनिश्चितता विश्लेषण में कुल अंतर का उपयोग किया जाता है $$\Delta f$$ एक समारोह का $$f$$ त्रुटियों के आधार पर $$\Delta x,\Delta y,\ldots $$ मापदंडों का $$x, y, \ldots$$. यह मानते हुए कि परिवर्तन लगभग रैखिक होने के लिए पर्याप्त छोटा है:


 * $$\Delta f(x)=f'(x)\Delta x$$

और यह कि सभी चर स्वतंत्र हैं, फिर सभी चरों के लिए,


 * $$\Delta f = f_x \Delta x + f_y \Delta y + \cdots$$

ऐसा इसलिए है क्योंकि व्युत्पन्न $$f_x$$ विशेष पैरामीटर के संबंध में $$x$$ समारोह की संवेदनशीलता देता है $$f$$ में बदलाव के लिए $$x$$, विशेष रूप से त्रुटि $$\Delta x$$. जैसा कि उन्हें स्वतंत्र माना जाता है, विश्लेषण सबसे खराब स्थिति का वर्णन करता है। घटक त्रुटियों के निरपेक्ष मूल्यों का उपयोग किया जाता है, क्योंकि सरल संगणना के बाद, व्युत्पन्न में ऋणात्मक चिह्न हो सकता है। इस सिद्धांत से योग, गुणन आदि के त्रुटि नियम व्युत्पन्न होते हैं, जैसे:


 * होने देना $$f(a,b)=ab$$;


 * $$\Delta f=f_a\Delta a+f_b\Delta b$$; डेरिवेटिव का मूल्यांकन


 * Δf = bΔa + aΔb; f से विभाजित करना, जो a × b है


 * Δf/f = Δa/a + Δb/b

कहने का तात्पर्य यह है कि गुणन में, कुल सापेक्ष त्रुटि प्राचलों की सापेक्ष त्रुटियों का योग होती है।

यह समझने के लिए कि यह किस प्रकार कार्य पर निर्भर करता है, उस मामले पर विचार करें जहां कार्य है $$f(a,b)=a\ln b$$ बजाय। फिर, यह गणना की जा सकती है कि त्रुटि अनुमान है
 * Δf/f = Δa/a + Δb/(b ln b)

एक अतिरिक्त 'के साथln b' कारक एक साधारण उत्पाद के मामले में नहीं मिला। यह अतिरिक्त कारक त्रुटि को छोटा बनाता है, जैसे ln b नंगे b जितना बड़ा नहीं है।

उच्च-क्रम अंतर
किसी एकल चर x के फ़ंक्शन y = f(x) के उच्च-क्रम के अंतरों को इसके माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है:
 * $$d^2y = d(dy) = d(f'(x)dx) = (df'(x))dx = f''(x)\,(dx)^2,$$

और, सामान्य तौर पर,
 * $$d^ny = f^{(n)}(x)\,(dx)^n.$$

अनौपचारिक रूप से, यह उच्च क्रम के डेरिवेटिव के लिए लिबनिज़ के अंकन को प्रेरित करता है
 * $$f^{(n)}(x) = \frac{d^n f}{dx^n}.$$

जब स्वतंत्र चर x को स्वयं अन्य चरों पर निर्भर रहने की अनुमति दी जाती है, तो अभिव्यक्ति अधिक जटिल हो जाती है, क्योंकि इसमें x में ही उच्च क्रम के अंतर भी शामिल होने चाहिए। इस प्रकार, उदाहरण के लिए,

\begin{align} d^2 y &= f''(x)\,(dx)^2 + f'(x)d^2x\\ d^3 y &= f'(x)\, (dx)^3 + 3f(x)dx\,d^2x + f'(x)d^3x \end{align}$$ इत्यादि।

इसी तरह के विचार कई चरों के कार्यों के उच्च क्रम के अंतर को परिभाषित करने के लिए लागू होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि f दो चरों x और y का एक फलन है, तो
 * $$d^nf = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{\partial^n f}{\partial x^k \partial y^{n-k}}(dx)^k(dy)^{n-k},$$

कहाँ $\binom{n}{k}$ द्विपद गुणांक है। अधिक चर में, एक समान अभिव्यक्ति धारण करती है, लेकिन द्विपद विस्तार के बजाय एक उपयुक्त बहुपद गुणांक विस्तार के साथ। कई चरों में उच्च क्रम के अंतर भी अधिक जटिल हो जाते हैं जब स्वतंत्र चरों को स्वयं अन्य चरों पर निर्भर रहने की अनुमति दी जाती है। उदाहरण के लिए, x और y के फलन f के लिए, जिन्हें सहायक चरों पर निर्भर रहने की अनुमति है, एक के पास है
 * $$d^2f = \left(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(dx)^2+2\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}dx\,dy + \frac{\partial^2f}{\partial y^2}(dy)^2\right) + \frac{\partial f}{\partial x}d^2x + \frac{\partial f}{\partial y}d^2y.$$

इस सांकेतिक अक्षमता के कारण, उच्च क्रम के अंतरों के उपयोग की व्यापक रूप से आलोचना की गई थी, जिन्होंने निष्कर्ष निकाला:
 * अंत में, समानता का अर्थ या प्रतिनिधित्व क्या है?
 * $$d^2z = r\,dx^2 + 2s\,dx\,dy + t\,dy^2\,?$$
 * ए मोन एविस, रिएन डू टाउट।

वह है: अंत में, समानता [...] का क्या अर्थ है, या प्रतिनिधित्व किया गया है? मेरी राय में, कुछ भी नहीं। इस संशयवाद के बावजूद, उच्च क्रम के अंतर विश्लेषण में एक महत्वपूर्ण उपकरण के रूप में उभरे। इन संदर्भों में, वृद्धि Δx पर लागू फलन f के nवें क्रम के अंतर को इसके द्वारा परिभाषित किया जाता है
 * $$d^nf(x,\Delta x) = \left.\frac{d^n}{dt^n} f(x+t\Delta x)\right|_{t=0}$$

या समकक्ष अभिव्यक्ति, जैसे
 * $$\lim_{t\to 0}\frac{\Delta^n_{t\Delta x} f}{t^n}$$

कहाँ $$\Delta^n_{t\Delta x} f$$ वृद्धि tΔx के साथ एक nवां आगे का अंतर है।

यह परिभाषा तब भी समझ में आती है जब f कई चरों का एक कार्य है (सादगी के लिए यहाँ एक वेक्टर तर्क के रूप में लिया गया है)। फिर इस तरह से परिभाषित nवां अंतर सदिश वृद्धि Δx में डिग्री n का एक सजातीय कार्य है। इसके अलावा, बिंदु x पर f की टेलर श्रृंखला द्वारा दी गई है
 * $$f(x+\Delta x)\sim f(x) + df(x,\Delta x) + \frac{1}{2}d^2f(x,\Delta x) + \cdots + \frac{1}{n!}d^nf(x,\Delta x) + \cdots$$

उच्च क्रम गैटॉक्स व्युत्पन्न इन विचारों को अनंत आयामी स्थानों के लिए सामान्यीकृत करता है।

गुण
अंतर के कई गुण व्युत्पन्न, आंशिक व्युत्पन्न और कुल व्युत्पन्न के संबंधित गुणों से सीधे तरीके से अनुसरण करते हैं। इसमे शामिल है:
 * रैखिकता: स्थिरांक a और b और अवकलनीय फलन f और g के लिए,
 * $$d(af+bg) = a\,df + b\,dg.$$


 * उत्पाद नियम: दो अलग-अलग कार्यों f और g के लिए,
 * $$d(fg) = f\,dg+g\,df.$$

इन दो गुणों के साथ एक ऑपरेशन डी सार बीजगणित में व्युत्पन्न (अमूर्त बीजगणित) के रूप में जाना जाता है। वे शक्ति नियम लागू करते हैं
 * $$ d( f^n ) = n f^{n-1} df $$

इसके अलावा, व्यापकता के बढ़ते स्तर में श्रृंखला नियम के विभिन्न रूप धारण करते हैं:
 * यदि y = f(u) वेरिएबल u का एक अवकलनीय फलन है और u = g(x) x का एक अवकलनीय फलन है, तो
 * $$dy = f'(u)\,du = f'(g(x))g'(x)\,dx.$$


 * अगर y = f(x1, ..., xn) और सभी चर x1, ..., एक्सn दूसरे वेरिएबल t पर निर्भर करते हैं, फिर चेन रूल # चेन रूल द्वारा कई वेरिएबल्स के लिए, एक के पास है


 * $$\begin{align}

dy &= \frac{dy}{dt}dt \\ &= \frac{\partial y}{\partial x_1} dx_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} dx_n\\ &= \frac{\partial y}{\partial x_1} \frac{dx_1}{dt}\,dt + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} \frac{dx_n}{dt}\,dt. \end{align}$$
 * अनुमानिक रूप से, कई चरों के लिए श्रृंखला नियम को इस समीकरण के दोनों पक्षों के माध्यम से असीम रूप से छोटी मात्रा dt से विभाजित करके समझा जा सकता है।


 * अधिक सामान्य अनुरूप भाव धारण करते हैं, जिसमें मध्यवर्ती चर x होते हैंi एक से अधिक चरों पर निर्भर करते हैं।

सामान्य सूत्रीकरण
एक समारोह के लिए अंतर की एक सुसंगत धारणा विकसित की जा सकती है f : Rn → Rm दो यूक्लिडियन अंतरिक्ष स्थान के बीच। माना x,Δx ∈ Rn यूक्लिडियन सदिशों का एक युग्म हो। फलन f में वृद्धि है
 * $$\Delta f = f(\mathbf{x}+\Delta\mathbf{x}) - f(\mathbf{x}).$$

यदि कोई m × n मैट्रिक्स (गणित) A मौजूद है, जैसे कि
 * $$\Delta f = A\Delta\mathbf{x} + \|\Delta\mathbf{x}\|\boldsymbol{\varepsilon}$$

जिसमें वेक्टर ε → 0 के रूप में Δx → 0, फिर f परिभाषा के अनुसार बिंदु x पर अवकलनीय है। मैट्रिक्स ए को कभी-कभी जैकबियन मैट्रिक्स  के रूप में जाना जाता है, और रैखिक परिवर्तन जो वेतन वृद्धि Δx ∈ R से जुड़ा होता हैn सदिश AΔ'x' ∈ 'R'm, इस सामान्य सेटिंग में, बिंदु x पर f के अवकल df(x) के रूप में जाना जाता है। यह बिल्कुल फ्रेचेट डेरिवेटिव है, और किसी भी बनच रिक्त स्थान के बीच एक समारोह के लिए काम करने के लिए एक ही निर्माण किया जा सकता है।

एक और उपयोगी दृष्टिकोण अंतर को सीधे एक प्रकार के दिशात्मक व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित करना है:


 * $$df(\mathbf{x},\mathbf{h}) = \lim_{t\to 0}\frac{f(\mathbf{x}+t\mathbf{h})-f(\mathbf{x})}{t} = \left.\frac{d}{dt}f(\mathbf{x}+t\mathbf{h})\right|_{t=0},$$

जो उच्च क्रम के अंतर को परिभाषित करने के लिए पहले से ही लिया गया दृष्टिकोण है (और कॉची द्वारा निर्धारित परिभाषा के लगभग है)। यदि टी समय और 'एक्स' स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है, तो 'एच' विस्थापन के बजाय वेग का प्रतिनिधित्व करता है जैसा कि हमने इसे पहले माना है। यह अंतर की धारणा का एक और शोधन देता है: कि यह गतिज वेग का एक रैखिक कार्य होना चाहिए। अंतरिक्ष के किसी दिए गए बिंदु के माध्यम से सभी वेगों का सेट स्पर्शरेखा स्थान के रूप में जाना जाता है, और इसलिए df स्पर्शरेखा स्थान पर एक रैखिक कार्य देता है: एक अंतर रूप। इस व्याख्या के साथ, एफ के अंतर को बाहरी व्युत्पन्न के रूप में जाना जाता है, और अंतर ज्यामिति में व्यापक अनुप्रयोग होता है क्योंकि वेग और स्पर्शरेखा स्थान की धारणा किसी भी अलग-अलग कई गुना पर समझ में आती है। यदि, इसके अलावा, f का आउटपुट मान भी एक स्थिति (यूक्लिडियन अंतरिक्ष में) का प्रतिनिधित्व करता है, तो एक आयामी विश्लेषण पुष्टि करता है कि df का आउटपुट मान एक वेग होना चाहिए। यदि कोई इस तरीके से अंतर का इलाज करता है, तो इसे पुशफॉर्वर्ड (अंतर) के रूप में जाना जाता है क्योंकि यह एक स्रोत स्थान से वेग को लक्ष्य स्थान में वेग में धकेलता है।

अन्य दृष्टिकोण
यद्यपि एक अतिसूक्ष्म वेतन वृद्धि dx होने की धारणा आधुनिक गणितीय विश्लेषण में अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है, अंतर (अनंत) को परिभाषित करने के लिए कई तरह की तकनीकें मौजूद हैं ताकि किसी फ़ंक्शन के अंतर को इस तरह से नियंत्रित किया जा सके जो इसके साथ संघर्ष न करे। लीबनिज संकेतन। इसमे शामिल है:


 * डिफरेंशियल को एक प्रकार के डिफरेंशियल फॉर्म के रूप में परिभाषित करना, विशेष रूप से किसी फ़ंक्शन का बाहरी डेरिवेटिव। फिर एक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान में वैक्टर के साथ असीम वेतन वृद्धि की पहचान की जाती है। यह दृष्टिकोण अंतर ज्यामिति और संबंधित क्षेत्रों में लोकप्रिय है, क्योंकि यह अलग-अलग कई गुनाओं के बीच मैपिंग को आसानी से सामान्यीकृत करता है।
 * क्रमविनिमेय वलयों के nilpotent  तत्वों के रूप में अवकलन। यह दृष्टिकोण बीजगणितीय ज्यामिति में लोकप्रिय है।
 * सेट थ्योरी के स्मूथ मॉडल में डिफरेंशियल्स। इस दृष्टिकोण को सिंथेटिक अंतर ज्यामिति  या चिकना अत्यल्प विश्लेषण के रूप में जाना जाता है और यह बीजगणितीय ज्यामितीय दृष्टिकोण से निकटता से संबंधित है, सिवाय इसके कि  टोपोस सिद्धांत  के विचारों का उपयोग उस तंत्र को छिपाने के लिए किया जाता है जिसके द्वारा निलपोटेंट इनफिनिटिमल पेश किए जाते हैं।
 * अति वास्तविक संख्या सिस्टम में इनफिनिटिमल्स के रूप में डिफरेंशियल, जो वास्तविक संख्याओं के विस्तार होते हैं जिनमें इन्वर्टिबल इनफिनिटिमल्स और असीम रूप से बड़ी संख्याएँ होती हैं। यह अब्राहम रॉबिन्सन द्वारा प्रतिपादित अमानक विश्लेषण का दृष्टिकोण है।

उदाहरण और अनुप्रयोग
गणना में प्रयोगात्मक त्रुटियों के प्रसार का अध्ययन करने के लिए संख्यात्मक विश्लेषण में विभेदकों का प्रभावी ढंग से उपयोग किया जा सकता है, और इस प्रकार किसी समस्या की समग्र संख्यात्मक स्थिरता. मान लीजिए कि चर x एक प्रयोग के परिणाम का प्रतिनिधित्व करता है और y x पर लागू संख्यात्मक गणना का परिणाम है। प्रश्न यह है कि किस हद तक x के मापन में त्रुटियाँ y की गणना के परिणाम को प्रभावित करती हैं। यदि x अपने वास्तविक मान के Δx के भीतर जाना जाता है, तो टेलर का प्रमेय y की गणना में त्रुटि Δy पर निम्नलिखित अनुमान देता है:
 * $$\Delta y = f'(x)\Delta x + \frac{(\Delta x)^2}{2}f''(\xi)$$

कहाँ ξ = x + θΔx कुछ के लिए 0 < θ < 1. यदि Δx छोटा है, तो दूसरा ऑर्डर शब्द नगण्य है, ताकि Δy, व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, अच्छी तरह से अनुमानित हो dy = f'(x)Δx.

अंतर समीकरण को फिर से लिखने के लिए अंतर अक्सर उपयोगी होता है


 * $$ \frac{dy}{dx} = g(x) $$

प्रपत्र में


 * $$ dy = g(x)\,dx, $$

विशेष रूप से जब कोई चरों को अलग करना चाहता है।

यह भी देखें

 * विभेदीकरण के लिए संकेतन

बाहरी संबंध

 * Differential Of A Function at Wolfram Demonstrations Project