वैश्‍लेषिक फलन

गणित में, विश्लेषणात्मक कार्य एक क्रिया (गणित) है जो स्थानीय रूप से अभिसरण श्रृंखला शक्ति द्वारा दिया जाता है। वास्तविक विश्लेषणात्मक कार्य और जटिल विश्लेषणात्मक कार्य दोनों का अस्तित्व हैं। प्रत्येक प्रकार के कार्य सहज कार्य होते हैं, लेकिन जटिल विश्लेषणात्मक कार्य उन गुणों को प्रदर्शित करते हैं जो सामान्यतः वास्तविक विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए नहीं होते हैं। प्रकार्य विश्लेषणात्मक है अगर और केवल अगर इसकी टेलर श्रृंखला x0 के बारे में किसी प्रतिवैस में प्रकार्य को अपने कार्यक्षेत्र में प्रत्येक x0 के लिए अभिसरण करती है।

परिभाषाएँ
औपचारिक रूप से, एक प्रकार्य $$f$$ खुले समुच्चय पर वास्तविक विश्लेषणात्मक $$D$$ वास्तविक रेखा में है यदि किसी $$x_0\in D$$ के लिए कोई लिख सकता है:

f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_{n} \left( x-x_0 \right)^{n} = a_0 + a_1 (x-x_0) + a_2 (x-x_0)^2 + a_3 (x-x_0)^3 + \cdots $$ जिसमें गुणांक $$a_0, a_1, \dots$$ वास्तविक संख्याएँ हैं और श्रृंखला (गणित) अभिसरण श्रृंखला $$x$$ के लिये $$f(x)$$ $$x_0$$ के प्रतिवैस में है।

वैकल्पिक रूप से, वास्तविक विश्लेषणात्मक कार्य एक सुचारू कार्य है जैसे कि टेलर श्रृंखला किसी भी बिंदु $$x_0$$ पर इसके कार्यक्षेत्र


 * $$ T(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^{n}$$

$$x$$ के लिये $$f(x)$$ $$x_0$$ के प्रतिवैस में बिंदुवार अभिसरित हो जाता है। किसी दिए गए समुच्चय पर सभी वास्तविक विश्लेषणात्मक कार्यों का समुच्चय $$D$$ द्वारा प्रायः $$\mathcal{C}^{\,\omega}(D)$$ दर्शाया जाता है।

एक प्रकार्य $$f$$ वास्तविक रेखा के कुछ उपसमुच्चय को बिंदु $$x$$ पर वापर परिभाषित स्तविक विश्लेषणात्मक कहा जाता है यदि किसी $$x$$ का प्रतिवैस $$D$$ है जिस पर $$f$$ वास्तविक विश्लेषणात्मक है।

जटिल विश्लेषणात्मक कार्य की परिभाषा, ऊपर की परिभाषाओं में, जटिल समतल के साथ वास्तविक और जटिल विमान के साथ वास्तविक रेखा को प्रतिस्थापित करके प्राप्त की जाती है। एक फलन जटिल विश्लेषणात्मक होता है यदि और केवल यदि यह पूर्णसममितिक क्रिया है अर्थात यह जटिल अवकलनीय है। इस कारण से पूर्णसममितिक और विश्लेषणात्मक शब्द प्रायः ऐसे कार्यों के लिए परस्पर विनिमेयता के अनुसार उपयोग किए जाते हैं।

उदाहरण
विश्लेषणात्मक कार्यों के विशिष्ट उदाहरण हैं
 * सभी प्राथमिक कार्य:
 * सभी बहुपद: यदि किसी बहुपद की घात n है, तो उसके टेलर श्रृंखला विस्तार में n से बड़ी घात की कोई भी शर्तें तुरंत 0 से लुप्‍त हो जानी चाहिए, और इसलिए यह श्रृंखला तुच्छ रूप से अभिसरण होगी। इसके अलावा, प्रत्येक बहुपद की अपनी मैकलॉरिन श्रृंखला होती है।
 * घातीय कार्य विश्लेषणात्मक है। इस क्रिया के लिए कोई भी टेलर श्रृंखला न केवल x के लिए पर्याप्त रूप से x0 के करीब अभिसरण करती है (जैसा कि परिभाषा में है) लेकिन x (वास्तविक या जटिल) के सभी मानों के लिए अभिसरण करती है।
 * त्रिकोणमितीय कार्य, लघुगणक और घातांक उनके कार्यक्षेत्र के किसी भी खुले समुच्चय पर विश्लेषणात्मक हैं।
 * सबसे विशेष कार्य (कम से कम जटिल विमान की कुछ सीमा में):
 * अतिज्यामितीय कार्य
 * बेसेल कार्य
 * गामा कार्य

विश्लेषणात्मक नहीं होने वाले कार्यों के विशिष्ट उदाहरण हैं


 * जब वास्तविक संख्याओं या जटिल संख्याओं के समुच्चय पर परिभाषित किया जाता है तो निरपेक्ष गामा प्रकार्य हर जगह विश्लेषणात्मक नहीं होता है क्योंकि यह 0 पर अलग-अलग नहीं होता है। टुकड़ों के अनुसार कार्य (विभिन्न क्षेत्रों में विभिन्न सूत्रों द्वारा दिए गए कार्य) जहां टुकड़े मिलते हैं सामान्यतः विश्लेषणात्मक नहीं होते हैं।
 * जटिल संयुग्म कार्य z → z* जटिल विश्लेषणात्मक नहीं है, हालांकि वास्तविक रेखा के लिए इसका प्रतिबंध पहचान कार्य है और इसलिए वास्तविक विश्लेषणात्मक है, और यह एक वास्तविक विश्लेषणात्मक कार्य $$\mathbb{R}^{2}$$ से $$\mathbb{R}^{2}$$ है।
 * अन्य गैर-विश्लेषणात्मक सुचारू कार्य, और विशेष रूप से कोई भी सुचारू कार्य $$f$$ सघन आश्रय के साथ, यानी $$f \in \mathcal{C}^\infty_0(\R^n)$$, $$\R^n$$ पर विश्लेषणात्मक नहीं हो सकता।

वैकल्पिक लक्षण वर्णन
निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैं:

जटिल विश्लेषणात्मक कार्य पूर्णसममितिक क्रिया के बिल्कुल समकक्ष हैं, और इस प्रकार अधिक आसानी से चरित्र-चित्रण किया गया है।
 * 1) $$f$$ खुले समुच्चय पर वास्तविक विश्लेषणात्मक $$D$$ है
 * 2) यहाँ जटिल विश्लेषणात्मक विस्तार $$f$$ है एक खुले समुच्चय $$G \subset \mathbb{C}$$ के लिए  जिसमें $$D$$ है
 * 3) $$f$$ चिकना है और हर सघनसमुच्चय $$K \subset D$$ के लिए एक स्थिर $$C$$ इस तरह से मौजूद है कि प्रत्येक $$x \in K$$ के लिए और प्रत्येक गैर-नकारात्मक पूर्णांक $$k$$ निम्नलिखित सीमा रखती है $$ \left| \frac{d^k f}{dx^k}(x) \right| \leq C^{k+1} k!$$

कई चर (नीचे देखें) के साथ एक विश्लेषणात्मक क्रिया के प्रकर्ण में, वास्तविक विश्लेषणात्मकता को फूरियर-ब्रोस-इगोलनिट्ज़र रूपांतरण का उपयोग करके चित्रित किया जा सकता है।

बहुभिन्नरूपी प्रकर्ण में, वास्तविक विश्लेषणात्मक कार्य तीसरे लक्षण वर्णन के प्रत्यक्ष सामान्यीकरण को संतुष्ट करते हैं। मान लीजिए $$U \subset \R^n$$ खुला समुच्चय है, और मान लीजिए $$f: U \to \R$$.

फिर $$f$$ वास्तविक विश्लेषणात्मक $$U$$ है यदि और केवल यदि $$f \in C^\infty(U)$$ और हर सघन $$K \subseteq U$$ के लिए एक स्थिर $$C$$ मौजूद है, इस तरह कि प्रत्येक बहु-सूचकांक $$\alpha \in \Z_{\geq 0}^n$$ के लिए निम्नलिखित सीमा रखती है
 * $$ \sup_{x \in K} \left | \frac{\partial^\alpha f}{\partial x^\alpha}(x) \right | \leq C^{|\alpha|+1}\alpha!$$

विश्लेषणात्मक कार्यों के गुण

 * विश्लेषणात्मक कार्यों के योग, उत्पाद और कार्य संरचना विश्लेषणात्मक हैं।
 * विश्लेषणात्मक क्रिया का गुणात्मक व्युत्क्रम जो कहीं भी शून्य नहीं है, विश्लेषणात्मक है, जैसा कि एक व्युत्क्रमणीय विश्लेषणात्मक क्रिया का व्युत्क्रम है जिसका व्युत्पन्न कहीं भी शून्य नहीं है। (लैग्रेंज व्युत्क्रम प्रमेय भी देखें।)
 * कोई भी विश्लेषणात्मक कार्य सुचारू कार्य है, जो कि असीम रूप से भिन्न है। वास्तविक कार्यों के लिए विलोम सत्य नहीं है; वस्तुत:, एक निश्चित अर्थ में, वास्तविक विश्लेषणात्मक कार्य सभी वास्तविक असीम रूप से अलग-अलग कार्यों की तुलना में विरल हैं। सम्मिश्र संख्याओं के लिए, विपरीत पकड़ में आता है, और वस्तुत: खुले समुच्चय पर एक बार अलग-अलग होने वाला कोई भी कार्य उस समुच्चय पर विश्लेषणात्मक होता है (नीचे विश्लेषणात्मकता और भिन्नता देखें)।
 * किसी भी खुले समुच्चय के लिए $$\Omega \subseteq \mathbb{C}$$, सभी विश्लेषणात्मक कार्यों का समुच्चय A (Ω)। $$u\ :\ \Omega \to \mathbb{C}$$ सघनसमुच्चय पर एक समान अभिसरण के संबंध में एक फ्रेचेट स्थान है। तथ्य यह है कि विश्लेषणात्मक कार्यों के सघनसमुच्चय पर समान सीमाएं विश्लेषणात्मक हैं, मोरेरा के प्रमेय का एक आसान परिणाम है। समुच्चय $$\scriptstyle A_\infty(\Omega)$$ उच्चतम मानक के साथ सभी परिबद्ध प्रकार्य  विश्लेषणात्मकल फंक्शन्स में से एक बनच स्थान है।

एक बहुपद बहुत अधिक बिंदुओं पर शून्य नहीं हो सकता जब तक कि यह शून्य बहुपद न हो (अधिक सटीक रूप से, शून्यों की संख्या बहुपद की अधिक से अधिक घात होती है)। विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए एक समान लेकिन कमजोर कथन है। यदि किसी विश्लेषणात्मक फलन के शून्यों के समुच्चय ƒ का किसी फलन के अपने क्षेत्र के अंदर संचयन बिंदु है, तो ƒ संचय बिंदु वाले जुड़े हुए स्थान पर हर जगह शून्य है। दूसरे शब्दों में, यदि (rn) विशिष्ट संख्याओं का एक क्रम है जैसे कि ƒ(rn) = सभी n के लिए 0 और D के कार्यक्षेत्र में एक बिंदु r के अनुक्रम की यह अनुक्रम सीमा, फिर ƒ D युक्त r के जुड़े घटक पर समान रूप से शून्य है। इसे पहचान प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

साथ ही, यदि एक बिंदु पर एक विश्लेषणात्मक क्रिया के सभी व्युत्पादित शून्य हैं, तो संबंधित घटक पर क्रिया स्थिर है।

इन कथनों का अर्थ है कि उस अवधि में विश्लेषणात्मक कार्यों में बहुपदों की तुलना में अधिक स्वतंत्रता (भौतिकी और रसायन विज्ञान) की घात होती है, वे अभी भी काफी कठोर हैं।

विश्लेषणात्मकता और भिन्नता
जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, कोई भी विश्लेषणात्मक कार्य (वास्तविक या जटिल) असीम रूप से भिन्न होता है (जिसे शिष्ट, या $$\mathcal{C}^{\infty}$$). (ध्यान दें कि यह भिन्नता वास्तविक चर के अर्थ में है; नीचे जटिल व्युत्पादित की तुलना करें।) ऐसे सहज वास्तविक कार्य मौजूद हैं जो विश्लेषणात्मक नहीं हैं: गैर-विश्लेषणात्मक सुचारू कार्य देखें। वस्तुत: ऐसे कई कार्य हैं।

जटिल विश्लेषणात्मक कार्यों और जटिल व्युत्पादित पर विचार करते समय स्थिति काफी अलग होती है। यह सिद्ध किया जा सकता है कि पूर्णसममितिक कार्य विश्लेषणात्मक हैं | एक खुले समुच्चय में अलग-अलग (जटिल अर्थों में) कोई भी जटिल कार्य विश्लेषणात्मक है। नतीजतन, जटिल विश्लेषण में, विश्लेषणात्मक कार्य शब्द पूर्णसममितिक क्रिया का पर्याय है।

वास्तविक बनाम जटिल विश्लेषणात्मक कार्य
वास्तविक और जटिल विश्लेषणात्मक कार्यों में महत्वपूर्ण अंतर हैं (कोई यह समीक्षा कर सकता है कि भिन्नता के साथ उनके अलग-अलग संबंधों से भी)। जटिल कार्यों की विश्लेषणात्मकता एक अधिक प्रतिबंधात्मक संपत्ति है, क्योंकि इसमें अधिक प्रतिबंधात्मक आवश्यक शर्तें हैं और जटिल विश्लेषणात्मक कार्यों में उनके वास्तविक-रेखा समकक्षों की तुलना में अधिक संरचना है। लिउविले के प्रमेय (जटिल विश्लेषण) के अनुसार, पूरे जटिल विमान पर परिभाषित कोई भी बाध्य जटिल विश्लेषणात्मक कार्य स्थिर है। वास्तविक विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए संबंधित कथन, वास्तविक रेखा द्वारा प्रतिस्थापित जटिल विमान के साथ, स्पष्ट रूप से गलत है; यह ऐसे दर्शाया गया है:


 * $$f(x)=\frac{1}{x^2+1}.$$

इसके अलावा, यदि एक बिंदु x0 के चारों ओर एक खुली गेंद (गणित) में एक जटिल विश्लेषणात्मक कार्य परिभाषित किया गया है, x0 पर इसकी शक्ति श्रृंखला विस्तार पूरी खुली गेंद में अभिसारी है ( पूर्णसममितिक कार्यों की विश्लेषणात्मकता)। वास्तविक विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए यह कथन (जटिल विमान की एक खुली चक्रिका (गणित) के बजाय वास्तविक रेखा का एक खुला अंतराल (गणित) का अर्थ है) सामान्य रूप से सही नहीं है; उपरोक्त उदाहरण का कार्य के लिए एक उदाहरण देता है x0= 0 और त्रिज्या की एक गेंद 1 से अधिक है, क्योंकि शक्ति श्रृंखला  1 − x2 + x4 − x6... |x| ≥ 1 के लिए विचलन करता है।

वास्तविक रेखा पर कुछ खुले समुच्चय पर कोई भी वास्तविक विश्लेषणात्मक कार्य जटिल विमान के कुछ खुले समुच्चय पर एक जटिल विश्लेषणात्मक कार्य के लिए बढ़ाया जा सकता है। हालाँकि, संपूर्ण वास्तविक रेखा पर परिभाषित प्रत्येक वास्तविक विश्लेषणात्मक कार्य को पूरे जटिल तल पर परिभाषित एक जटिल कार्य तक नहीं बढ़ाया जा सकता है। उपरोक्त अनुच्छेद में परिभाषित क्रिया ƒ(x) एक प्रतिउदाहरण है, क्योंकि यह x=±i के लिए परिभाषित नहीं है। यह बताता है कि क्यों ƒ(x) की टेलर श्रृंखला |x| > 1 के लिए विचलन करती है, अर्थात अभिसरण की त्रिज्या 1 है क्योंकि जटिल कार्य में मूल्यांकन बिंदु 0 से दूरी 1 पर एक ध्रुव है और मूल्यांकन बिंदु के चारों ओर त्रिज्या 1 की खुली चकती के भीतर कोई और ध्रुव नहीं है।

कई चर के विश्लेषणात्मक कार्य
कोई उन चरों में शक्ति श्रृंखला के माध्यम से कई चरों में विश्लेषणात्मक कार्यों को परिभाषित कर सकता है (शक्ति श्रृंखला देखें)। कई चर के विश्लेषणात्मक कार्यों में कुछ समान गुण होते हैं जो एक चर के विश्लेषणात्मक कार्यों के रूप में होते हैं। हालाँकि, विशेष रूप से जटिल विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए, नई और दिलचस्प घटनाएँ 2 या अधिक जटिल आयामों में दिखाई देती हैं:


 * एक से अधिक चर में जटिल विश्लेषणात्मक कार्यों के शून्य समुच्चय कभी भी असतत स्थान नहीं होते हैं। इसे हार्टोग्स के विस्तार प्रमेय द्वारा सिद्ध किया जा सकता है।
 * एकल-मूल्यवान कार्यों के लिए समरूपता के कार्यक्षेत्र में मनमाने (जुड़े) खुले समुच्चय होते हैं। हालाँकि, कई जटिल चरों में, केवल कुछ जुड़े हुए खुले समुच्चय ही समरूपता का कार्यक्षेत्र के लक्षण वर्णन से छद्म उत्तलता की धारणा बनती है।

यह भी देखें

 * कॉची-रीमैन समीकरण
 * पूर्णसममितिक क्रिया
 * पाले-वीनर प्रमेय
 * अर्ध-विश्लेषणात्मक कार्य
 * विश्लेषणात्मक कार्यों की अनंत रचनाएँ

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 * स्वतंत्रता की घात (भौतिकी और रसायन विज्ञान)
 * सबूत है कि पूर्णसममितिक  क्रिया विश्लेषणात्मक हैं

बाहरी संबंध

 * Solver for all zeros of a complex analytic function that lie within a rectangular region by Ivan B. Ivanov
 * Solver for all zeros of a complex analytic function that lie within a rectangular region by Ivan B. Ivanov
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