वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी

भौतिक विज्ञान में, जॉन वॉन न्यूमैन के नाम पर वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी शास्त्रीय सांख्यिकीय यांत्रिकी से क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी तक गिब्स एंट्रॉपी की अवधारणा का विस्तार है। घनत्व मैट्रिक्स द्वारा वर्णित क्वांटम-यांत्रिक प्रणाली के लिए $ρ$, वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी है
 * $$ S = - \operatorname{tr}(\rho \ln \rho),$$

कहाँ $$\operatorname{tr}$$ ट्रेस (रैखिक बीजगणित) को दर्शाता है और ln (प्राकृतिक) मैट्रिक्स लघुगणक को दर्शाता है। यदि घनत्व मैट्रिक्स $ρ$ इसके eigenvectors के आधार पर लिखा गया है $$|1\rangle, |2\rangle, |3\rangle, \dots$$ जैसा
 * $$ \rho = \sum_j \eta_j \left| j \right\rang \left\lang j \right| ,$$

तो वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी केवल है :$$ S = -\sum_j \eta_j \ln \eta_j .$$ इस रूप में, एस को सूचना सिद्धांत शैनन एंट्रॉपी के रूप में देखा जा सकता है।

क्वांटम सूचना सिद्धांत के ढांचे में वॉन न्यूमैन एन्ट्रापी का उपयोग विभिन्न रूपों (सशर्त एन्ट्रापी, सापेक्ष एन्ट्रापी, आदि) में भी किया जाता है ताकि उलझाव की एन्ट्रापी को चिह्नित किया जा सके।

पृष्ठभूमि
जॉन वॉन न्यूमैन ने अपने 1932 के कार्य क्वांटम यांत्रिकी की गणितीय नींव में क्वांटम यांत्रिकी के लिए एक कठोर गणितीय ढाँचे की स्थापना की। इसमें, उन्होंने माप का एक सिद्धांत प्रदान किया, जहां लहर-फ़ंक्शन पतन की सामान्य धारणा को एक अपरिवर्तनीय प्रक्रिया (तथाकथित वॉन न्यूमैन या प्रक्षेपी माप) के रूप में वर्णित किया गया है।

घनत्व मैट्रिक्स को वॉन न्यूमैन और लेव लैंडौ द्वारा विभिन्न प्रेरणाओं के साथ पेश किया गया था। लन्दौ को प्रेरित करने वाली प्रेरणा एक राज्य सदिश द्वारा एक समग्र क्वांटम प्रणाली के उपतंत्र का वर्णन करने की असंभवता थी। दूसरी ओर, वॉन न्यूमैन ने क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी और क्वांटम माप के सिद्धांत दोनों को विकसित करने के लिए घनत्व मैट्रिक्स की शुरुआत की।

घनत्व मैट्रिक्स औपचारिकता, इस प्रकार विकसित हुई, शास्त्रीय सांख्यिकीय यांत्रिकी के उपकरण को क्वांटम डोमेन तक बढ़ाया। शास्त्रीय ढांचे में, सिस्टम के संभाव्यता वितरण और विभाजन समारोह (सांख्यिकीय यांत्रिकी) हमें सभी संभावित थर्मोडायनामिक मात्राओं की गणना करने की अनुमति देता है। वॉन न्यूमैन ने एक जटिल हिल्बर्ट अंतरिक्ष में क्वांटम राज्यों और ऑपरेटरों के संदर्भ में समान भूमिका निभाने के लिए घनत्व मैट्रिक्स की शुरुआत की। सांख्यिकीय घनत्व मैट्रिक्स ऑपरेटर का ज्ञान हमें वैचारिक रूप से समान, लेकिन गणितीय रूप से भिन्न तरीके से सभी औसत क्वांटम संस्थाओं की गणना करने की अनुमति देगा।

मान लें कि हमारे पास तरंग कार्यों का एक सेट है |Ψ〉 जो क्वांटम संख्या n के सेट पर पैरामीट्रिक रूप से निर्भर करता है1, एन2, ..., एनN. हमारे पास जो प्राकृतिक चर है वह आयाम है जिसके साथ मूल सेट का एक विशेष तरंग प्रणाली के वास्तविक तरंग समारोह में भाग लेता है। आइए हम इस आयाम के वर्ग को p(n1, एन2, ..., एनN). लक्ष्य इस मात्रा p को फेज स्पेस में क्लासिकल डेंसिटी फंक्शन में बदलना है। हमें यह सत्यापित करना होगा कि पी शास्त्रीय सीमा में घनत्व समारोह में चला जाता है, और इसमें एर्गोडिक गुण होते हैं। जाँचने के बाद p(n1, एन2, ..., एनN) गति का एक स्थिरांक है, प्रायिकता p(n1, एन2, ..., एनN) p को केवल ऊर्जा का फलन बनाता है।

इस प्रक्रिया के बाद, एक फॉर्म की तलाश करते समय अंततः घनत्व मैट्रिक्स औपचारिकता पर पहुंच जाता है जहां पी (एन1, एन2, ..., एनN) प्रयुक्त प्रतिनिधित्व के संबंध में अपरिवर्तनीय है। जिस रूप में यह लिखा गया है, यह केवल उन मात्राओं के लिए सही अपेक्षा मान देगा जो क्वांटम संख्या n के संबंध में विकर्ण हैं1, एन2, ..., एनN. ऑपरेटरों के अपेक्षा मूल्य जो विकर्ण नहीं हैं, उनमें क्वांटम आयाम के चरण शामिल हैं। मान लीजिए कि हम क्वांटम संख्या n को एनकोड करते हैं1, एन2, ..., एनN सिंगल इंडेक्स i या j में। तब हमारे वेव फंक्शन का रूप होता है


 * $$ \left| \Psi \right\rangle = \sum_i a_i \left| \psi_i \right\rangle . $$

एक ऑपरेटर बी का अपेक्षित मूल्य जो इन तरंग कार्यों में विकर्ण नहीं है, इसलिए


 * $$ \left\langle B \right\rangle = \sum_{i,j} a_i^{*}a_j \left\langle i \right| B \left| j \right\rangle .$$

वह भूमिका जो मूल रूप से मात्राओं के लिए आरक्षित थी $$ \left| a_i \right| ^2$$ इस प्रकार सिस्टम एस के घनत्व मैट्रिक्स द्वारा लिया जाता है।


 * $$ \left\langle j \right| \rho \left| i \right\rangle = a_j a_i^{*} .$$

इसलिए, 〈बी〉 पढ़ता है
 * $$ \left\langle B \right\rangle = \operatorname{tr} (\rho B) .$$

उपरोक्त शब्द का व्युत्क्रम मैट्रिक्स सिद्धांत द्वारा वर्णित है। ट्रेस चक्रीय क्रमपरिवर्तन और दोनों मैट्रिक्स के तहत अपरिवर्तनीय है $ρ$ और B को किसी भी आधार पर सुविधाजनक बनाया जा सकता है, आमतौर पर eigenvectors का आधार। मैट्रिक्स उत्पाद के चक्रीय क्रमपरिवर्तन से, यह देखा जा सकता है कि एक पहचान मैट्रिक्स उत्पन्न होगा और इसलिए आधार में परिवर्तन से ट्रेस प्रभावित नहीं होगा। एक गणितीय ढांचे का वर्णन किया गया था जहां घनत्व ऑपरेटर के उत्पाद का पता लगाने के द्वारा मेट्रिसेस द्वारा वर्णित क्वांटम ऑपरेटरों की अपेक्षा मूल्य प्राप्त किया जाता है। $$\hat{\rho}$$ और एक ऑपरेटर  $$\hat{B}$$ (ऑपरेटरों के बीच हिल्बर्ट स्केलर उत्पाद)। यहाँ मैट्रिक्स औपचारिकता सांख्यिकीय यांत्रिकी ढांचे में है, हालांकि यह परिमित जितना राज्य के लिए भी लागू होता है, जो आमतौर पर होता है, जहां सिस्टम की स्थिति को क्वांटम राज्य द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है, लेकिन एक सांख्यिकीय ऑपरेटर के रूप में $$\hat{\rho}$$ उपरोक्त प्रपत्र का। गणितीय रूप से,  $$\hat{\rho}$$ यूनिट ट्रेस के साथ एक सकारात्मक-अर्ध-परिमित हर्मिटियन मैट्रिक्स है।

परिभाषा
घनत्व मैट्रिक्स ρ को देखते हुए, वॉन न्यूमैन ने एन्ट्रापी को परिभाषित किया जैसा


 * $$S(\rho) = -\operatorname{tr} (\rho \ln \rho),$$

जो एंट्रॉपी (सांख्यिकीय ऊष्मप्रवैगिकी) का एक उचित विस्तार है#गिब्स एन्ट्रापी सूत्र (एक कारक तक) $k_{B}$) और शैनन क्वांटम मामले में एन्ट्रापी। S(ρ) की गणना करने के लिए यह सुविधाजनक है (मैट्रिक्स का लघुगणक देखें) के मैट्रिक्स के Eigedecomposition की गणना करना $$~\rho = \sum_j \eta_j \left| j \right\rangle \left\langle j \right| $$. वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी तब द्वारा दिया जाता है


 * $$S(\rho) = - \sum_j \eta_j \ln \eta_j .$$

चूंकि, शुद्ध अवस्था के लिए, घनत्व मैट्रिक्स Idempotent मैट्रिक्स है, ρ = ρ2, इसके लिए एन्ट्रापी S(ρ) गायब हो जाता है। इस प्रकार, यदि सिस्टम परिमित (परिमित-आयामी मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व) है, तो एन्ट्रापी S(ρ) शुद्ध अवस्था से सिस्टम के प्रस्थान की मात्रा निर्धारित करता है। दूसरे शब्दों में, यह किसी दिए गए परिमित प्रणाली का वर्णन करते हुए राज्य के मिश्रण की डिग्री को संहिताबद्ध करता है। मापन एक क्वांटम प्रणाली को गैर-हस्तक्षेप और घनत्व मैट्रिक्स # एंट्रॉपी में बदल देता है; इसलिए, उदाहरण के लिए, एक शुद्ध अवस्था की लुप्त एन्ट्रापी $$\Psi = ( \left| 0 \right\rangle + \left| 1 \right\rangle ) / \sqrt{2}$$, एक घनत्व मैट्रिक्स के अनुरूप
 * $$\rho = {1\over 2} \begin{pmatrix}

1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}  $$ तक बढ़ जाता है $S = \ln 2 \approx 0.69$ माप परिणाम मिश्रण के लिए
 * $$\rho = {1\over 2} \begin{pmatrix}

1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}  $$ क्योंकि क्वांटम हस्तक्षेप की जानकारी मिटा दी जाती है।

गुण
वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी के कुछ गुण:


 * $S(ρ)$ शून्य है अगर और केवल अगर $ρ$ शुद्ध अवस्था का प्रतिनिधित्व करता है।
 * $S(ρ)$ अधिकतम और बराबर है $$\ln N$$ मिश्रित क्वांटम स्थिति के लिए, $N$ हिल्बर्ट अंतरिक्ष का आयाम होना।
 * $S(ρ)$ के आधार पर परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है $ρ$, वह है, $S(ρ) = S(UρU^{†})$, साथ $U$ एक एकात्मक परिवर्तन।
 * $S(ρ)$ अवतल है, अर्थात धनात्मक संख्याओं का संग्रह दिया गया है $λ_{i}$ जो एकता का योग है ($$\Sigma_i \lambda_i = 1$$) और घनत्व ऑपरेटर $ρ_{i}$, अपने पास
 * $$ S\bigg(\sum_{i=1}^k \lambda_i \rho_i \bigg) \geq \sum_{i=1}^k \lambda_i S(\rho_i). $$


 * $S(ρ)$ बाध्यता को संतुष्ट करता है
 * $$ S\bigg(\sum_{i=1}^k \lambda_i \rho_i \bigg) \leq \sum_{i=1}^k \lambda_i S(\rho_i) - \sum_{i=1}^k \lambda_i \log \lambda_i. $$
 * जहां समानता हासिल की जाती है $ρ_{i}$ ओर्थोगोनल समर्थन है, और पहले की तरह $ρ_{i}$ घनत्व संचालक हैं और $λ_{i}$ सकारात्मक संख्याओं का एक संग्रह है जो एकता के बराबर है ($$\Sigma_i \lambda_i = 1$$)


 * $S(ρ)$ स्वतंत्र प्रणालियों के लिए योगात्मक है। दो घनत्व मैट्रिक्स दिए गए हैं $ρ_{A}, ρ_{B}$ स्वतंत्र सिस्टम ए और बी का वर्णन करते हुए, हमारे पास है
 * $$S(\rho_A \otimes \rho_B)=S(\rho_A)+S(\rho_B)$$.


 * $S(ρ)$ किसी भी तीन प्रणालियों ए, बी, और सी के लिए दृढ़ता से सहायक है:
 * $$S(\rho_{ABC}) + S(\rho_{B}) \leq S(\rho_{AB}) + S(\rho_{BC}).$$
 * इसका अपने आप मतलब है $S(ρ)$ उप-योगात्मक है:
 * $$S(\rho_{AC}) \leq S(\rho_{A}) +S(\rho_{C}).$$

नीचे, सबअडिटिविटी की अवधारणा पर चर्चा की गई है, इसके बाद मजबूत सबअडिटिविटी के लिए इसका सामान्यीकरण किया गया है।

उपविभाजन
अगर $ρ_{A}, ρ_{B}$ सामान्य स्थिति के कम घनत्व वाले मैट्रिक्स हैं $ρ_{AB}$, तब
 * $$ \left| S(\rho_A) - S(\rho_B) \right| \leq S(\rho_{AB}) \leq S(\rho_A) + S(\rho_B) . $$

इस दाहिने हाथ की असमानता को उप-विषमता के रूप में जाना जाता है। दो असमानताओं को एक साथ कभी-कभी त्रिभुज असमानता के रूप में जाना जाता है। वे 1970 में फुजीहिरो अर्की और इलियट एच. लीब द्वारा सिद्ध किए गए थे। जबकि शैनन के सिद्धांत में एक समग्र प्रणाली की एन्ट्रापी कभी भी इसके किसी भी हिस्से की एन्ट्रापी से कम नहीं हो सकती, क्वांटम सिद्धांत में यह मामला नहीं है, अर्थात यह संभव है कि $S(ρ_{AB}) = 0$, जबकि $S(ρ_{A}) = S(ρ_{B}) > 0$.

सहज रूप से, इसे इस प्रकार समझा जा सकता है: क्वांटम यांत्रिकी में, संयुक्त प्रणाली की एन्ट्रापी उसके घटकों की एन्ट्रापी के योग से कम हो सकती है क्योंकि घटक क्वांटम उलझाव हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, जैसा कि स्पष्ट रूप से देखा गया है, दो स्पिन-½s की बेल स्थिति,
 * $$ \left| \psi \right\rangle = \left| \uparrow \downarrow \right\rangle + \left| \downarrow \uparrow \right\rangle ,$$

शून्य एन्ट्रापी के साथ एक शुद्ध अवस्था है, लेकिन प्रत्येक स्पिन में अधिकतम एन्ट्रापी होती है जब इसे क्वांटम उलझाव # कम घनत्व मैट्रिक्स में व्यक्तिगत रूप से माना जाता है। एक स्पिन में एंट्रॉपी को दूसरे स्पिन की एंट्रॉपी से सहसंबंधित करके रद्द किया जा सकता है। बाएं हाथ की असमानता को मोटे तौर पर यह कहते हुए व्याख्या किया जा सकता है कि एंट्रॉपी को समान मात्रा में एंट्रॉपी द्वारा ही रद्द किया जा सकता है।

अगर सिस्टम $A$ और सिस्टम $B$ में एंट्रॉपी की अलग-अलग मात्रा होती है, छोटा केवल आंशिक रूप से बड़े को रद्द कर सकता है, और कुछ एन्ट्रापी को छोड़ देना चाहिए। इसी तरह, दाहिने हाथ की असमानता की व्याख्या यह कहते हुए की जा सकती है कि एक समग्र प्रणाली की एन्ट्रापी अधिकतम होती है जब इसके घटक असंबद्ध होते हैं, इस मामले में कुल एन्ट्रापी केवल उप-एन्ट्रॉपी का योग होता है। यह हिल्बर्ट स्पेस वन के बजाय चरण अंतरिक्ष सूत्रीकरण में अधिक सहज ज्ञान युक्त हो सकता है, जहां वॉन न्यूमैन एन्ट्रापी मात्रा के अपेक्षित मूल्य को घटा देता है। ★ विग्नेर अर्ध-प्रायिकता बंटन का लघुगणक, $−∫ f ★ log_{_{★} }f dx dp$, एक ऑफ़सेट शिफ्ट तक। इस सामान्यीकरण ऑफसेट शिफ्ट तक, एंट्रॉपी इसकी शास्त्रीय सीमा के द्वारा प्रमुखता है।

मजबूत उप-विषमता
वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी क्वांटम एंट्रॉपी की मजबूत उप-विषमता भी है। तीन हिल्बर्ट रिक्त स्थान दिए गए हैं, ए, बी, सी,


 * $$S(\rho_{ABC}) + S(\rho_{B}) \leq S(\rho_{AB}) + S(\rho_{BC}).$$

यह एक अधिक कठिन प्रमेय है और इसे सबसे पहले जैक कीफर (सांख्यिकीविद)|जे. 1959 में कीफर और 1973 में स्वतंत्र रूप से इलियट एच. लीब और मैरी बेथ रुस्काई द्वारा, इलियट एच. लीब की मैट्रिक्स असमानता का उपयोग करना 1973 में साबित हुआ। उपरोक्त त्रिभुज असमानता के बाईं ओर स्थापित करने वाली सबूत तकनीक का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि मजबूत उप-विषमता असमानता निम्नलिखित असमानता के बराबर है।


 * $$S(\rho_{A}) + S(\rho_{C}) \leq S(\rho_{AB}) + S(\rho_{BC})$$

कब $ρ_{AB}$, आदि घनत्व मैट्रिक्स के कम घनत्व वाले मैट्रिक्स हैं $ρ_{ABC}$. यदि हम इस असमानता के बाईं ओर सामान्य उप-विषमता लागू करते हैं, और ए, बी, सी के सभी क्रमपरिवर्तनों पर विचार करते हैं, तो हमें त्रिभुज असमानता प्राप्त होती है $ρ_{ABC}$: तीन संख्याओं में से प्रत्येक $S(ρ_{AB}), S(ρ_{BC}), S(ρ_{AC})$ अन्य दो के योग से कम या उसके बराबर है।

यह भी देखें

 * एंट्रॉपी (सूचना सिद्धांत)
 * रैखिक एन्ट्रापी
 * विभाजन समारोह (गणित)
 * क्वांटम सशर्त एन्ट्रापी
 * क्वांटम पारस्परिक जानकारी
 * बहुत नाजुक स्थिति
 * क्वांटम एंट्रॉपी की मजबूत उप-विषमता
 * वेहरल एन्ट्रॉपी