क्वांटम छद्म टेलीपैथी

क्वांटम छद्म-टेलीपैथी का तथ्य यह है कि कुछ बायेसियन खेलों में असममित जानकारी वाले खिलाड़ियों के पास एक जटिल क्‍वांटम अवस्था में एक साझा भौतिक प्रणाली होती है, जो जटिल भौतिक प्रणाली पर किए गए मापों पर निर्भर योजनाओ को कार्यान्वित करने में सक्षम होती है। जटिल क्वांटम प्रणाली तक अभिगम्य के अतिरिक्त खिलाड़ियों द्वारा एक ही खेल के किसी भी मिश्रित नैश संतुलन योजना से प्राप्त की जाने वाली तुलना में संतुलन से उच्च अपेक्षित भुगतान प्राप्त किया जा सकता है।

अपने 1999 के पेपर में गाइल्स ब्रासार्ड, रिचर्ड क्लेव और एलेन टैप ने प्रदर्शित किया कि क्वांटम छद्म-टेलीपैथी कुछ खेलों में खिलाड़ियों को ऐसे परिणाम प्राप्त करने की स्वीकृति देती है जो केवल तभी संभव होते हैं जब प्रतिभागियों को खेल के समय वार्तालाप करने की स्वीकृति दी जाती है।

इस घटना को क्वांटम छद्म-टेलीपैथी के रूप में संदर्भित किया जाता है। उपसर्ग छद्म के साथ इस तथ्य का अर्थ है कि क्वांटम छद्म-टेलीपैथी में किसी भी पक्ष के बीच सूचना का आदान-प्रदान सम्मिलित नहीं है। इसके अतिरिक्त क्वांटम छद्म टेलीपैथी कुछ परिस्थितियों में प्रतिभागियों के लिए सूचनाओं के आदान-प्रदान की आवश्यकता को दूर कर देती है।

कुछ परिस्थितियों में पारस्परिक रूप से लाभप्रद परिणाम प्राप्त करने के लिए संचार में संलग्न होने की आवश्यकता को हटाकर क्वांटम छद्म-टेलीपैथी उपयोगी हो सकती है। यदि किसी खेल में कुछ प्रतिभागियों को कई प्रकाश वर्ष से अलग किया गया हो, जिसका अर्थ है कि उनके बीच संचार में कई वर्ष लग सकते है। यह क्वांटम गैर-स्थानीयता के सूक्ष्म निहितार्थ का एक उदाहरण है।

क्वांटम छद्म टेलीपैथी का उपयोग सामान्यतः क्वांटम यांत्रिकी की गैर-स्थानीय विशेषताओं को प्रदर्शित करने के लिए एक विचार प्रयोग के रूप में किया जाता है। हालाँकि, क्वांटम छद्म टेलीपैथी एक वास्तविक घटना है, जिसे प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित किया जा सकता है। इस प्रकार यह बेल असमानता उल्लंघनों की प्रायोगिक पुष्टि का एक विशेष रूप से उल्लेखनीय उदाहरण है।

असममित जानकारी का खेल
बायेसियन खेल एक ऐसा खेल है जिसमें दोनों खिलाड़ियों के पास कुछ मापदंडों के मान के संबंध में अपूर्ण जानकारी होती है। बायेसियन खेल में कभी-कभी ऐसा होता है कि कम से कम कुछ खिलाड़ियों के लिए नैश संतुलन में प्राप्त होने वाले उच्चतम अपेक्षित परिणाम उससे कम होते है जिसे सामान्यतः प्राप्त किया जा सकता है। यदि अपूर्ण जानकारी नही होती है। असममित जानकारी अपूर्ण जानकारी की एक विशेष स्थिति है, जिसमें विभिन्न खिलाड़ी कुछ मापदंडों के मान के संबंध में अपनी जानकारी के कारण भिन्न होते हैं।

असममित जानकारी के प्राचीन बायेसियन खेलों में एक सामान्य धारणा यह है कि खेल प्रारम्भ होने से पहले सभी खिलाड़ी कुछ महत्वपूर्ण मापदंडों के मान से अज्ञात होते हैं। एक बार खेल प्रारम्भ होने पर विभिन्न खिलाड़ियों को विभिन्न मापदंडों के मान के विषय में जानकारी प्राप्त होती है। हालाँकि खेल प्रारम्भ होने के बाद खिलाड़ियों को वार्तालाप करने से मना किया जाता है। जिसके परिणामस्वरूप वे खेल के मापदंडों के संबंध में सामूहिक रूप से सम्मिलित जानकारी का आदान-प्रदान करने में असमर्थ होते हैं।

इस धारणा का एक महत्वपूर्ण निहितार्थ यह है कि यदि खिलाड़ी खेल प्रारम्भ होने से पहले योजनायों पर वार्तालाप करने और चर्चा करने में सक्षम हों, इससे किसी भी खिलाड़ी के अपेक्षित लाभ में वृद्धि नहीं होगी, क्योंकि अज्ञात मापदंडों के विषय में महत्वपूर्ण जानकारी अभी तक खेल के प्रतिभागियों को स्पष्ट नहीं होती है। हालाँकि यदि खेल को संशोधित किया जा सकता है। ताकि खिलाड़ियों को खेल प्रारम्भ होने के बाद वार्तालाप करने की स्वीकृति दी जाए, एक बार प्रत्येक खिलाड़ी को कुछ अज्ञात मापदंडों के मान के विषय में कुछ जानकारी प्राप्त हो जाए, तो यह खेल के प्रतिभागियों के लिए संभव हो सकता है। एक नैश संतुलन जो संचार के अभाव में प्राप्त होने वाले किसी भी नैश संतुलन के लिए पेरेटो ऑप्टिमल (इष्टतम) है।

क्वांटम टेलीपैथी का महत्वपूर्ण निहितार्थ यह भी है कि यद्यपि असममित जानकारी के बायेसियन खेल प्रारम्भ होने से पहले संचार के संतुलन में सुधार नहीं होता है तब यह सिद्ध किया जा सकता है कि कुछ बायेसियन खेल में खेल के प्रारम्भ होने से पहले खिलाड़ियों को जटिल क्वैबिट का आदान-प्रदान करने की स्वीकृति प्राप्त हो सकती है। जिससे एक नैश संतुलन केवल तभी प्राप्त किया जा सकता है जब खेल संचार की स्वीकृति प्राप्त हो सकती है।

मैजिक-स्क्वायर खेल
क्वांटम छद्म-टेलीपैथी का एक उदाहरण मैजिक-स्क्वायर खेल में देखा जा सकता है, जिसे एडन कैबेलो और पी.के द्वारा प्रस्तुत किया गया था। यह खेल अरविंद एन. डेविड मर्मिन और एशर पेरेज़ के पिछले कार्य पर आधारित है। इस खेल में दो खिलाड़ी ऐलिस और बॉब हैं। खेल के प्रारम्भ में ही ऐलिस और बॉब अलग हो जाते हैं। अलग होने के बाद उनके बीच वार्तालाप संभव नहीं होती है। खेल के लिए आवश्यक है कि ऐलिस प्लस और माइनस चिह्नों के साथ 3×3 तालिका की एक पंक्ति और बॉब एक ​​स्तम्भ (कॉलम) भरें। खेल प्रारम्भ होने से पहले ऐलिस को नहीं पता था कि उसे तालिका की कौन सी पंक्ति भरनी होगी। इसी प्रकार बॉब को भी नहीं पता था कि उसे कौन सा स्तम्भ भरना होगा। दोनों खिलाड़ियों के अलग होने के बाद ऐलिस को अपेक्षाकृत रूप से तालिका की एक पंक्ति दी गई और उसे (+) और (-) चिह्नों से भरने के लिए कहा गया। इसी प्रकार बॉब को यादृच्छिक रूप से तालिका का एक स्तम्भ दिया गया और इसे भी (+) और (-) चिह्नों से भरने के लिए कहा गया था।

खिलाड़ी निम्नलिखित आवश्यकता के अधीन हैं: ऐलिस को अपनी पंक्ति इस प्रकार भरनी होगी कि उस पंक्ति में ऋण चिह्नों की संख्या सम हो। इसके अतिरिक्त बॉब को अपना स्तम्भ इस प्रकार भरना होगा कि उस स्तम्भ में विषम संख्या में ऋण चिह्न हों।

सामान्यतः ऐलिस को नहीं पता था कि बॉब को कौन सा स्तम्भ भरने के लिए कहा गया है। इसी प्रकार बॉब को भी नहीं पता था कि ऐलिस को कौन सी पंक्ति भरने के लिए कहा गया है। इस प्रकार यह खेल असममित अपूर्ण जानकारी वाला एक बायेसियन खेल है क्योंकि किसी भी खिलाड़ी के पास पूर्ण जानकारी नहीं है खेल के विषय में जानकारी (अपूर्ण जानकारी) और दोनों खिलाड़ियों के पास सम्मिलित जानकारी (असममित जानकारी) के संदर्भ में भिन्नता है।

प्रतिभागियों द्वारा किए गए कार्यों के आधार पर इस खेल में दो में से एक परिणाम हो सकता है। या तो दोनों खिलाड़ी जीतते हैं या दोनों खिलाड़ी हारते हैं।

यदि ऐलिस और बॉब अपनी पंक्ति और स्तंभ द्वारा साझा किए गए सेल (कोष) में समान चिह्न लगाते हैं, तो वे खेल जीत जाते हैं। यदि वे विपरीत चिह्न लगाते हैं, तो वे खेल हार जाते हैं।

ध्यान दें कि दोनों खिलाड़ी अपने सभी (+) और (-) चिन्ह एक साथ लगाते हैं और खेल समाप्त होने तक कोई भी खिलाड़ी यह नहीं देख सकता है कि दूसरे खिलाड़ी ने अपने चिन्ह कहाँ लगाए हैं।

यह सिद्ध किया जा सकता है कि इस खेल के प्रारम्भिक सूत्र में ऐसी कोई योजना (नैश संतुलन या अन्य) नहीं है जो खिलाड़ियों को 8/9 से अधिक संभाव्यता के साथ खेल जीतने की स्वीकृति देती है। 8/9 इसलिए होता है क्योंकि वे इस विषय पर सहमत हो सकते हैं कि 9 में से 8 वर्गों में क्या मान रखा जाए, लेकिन 9वां वर्ग नहीं है जो संभाव्यता 1/9 के साथ साझा वर्ग हो सकता है। यदि ऐलिस और बॉब खेल प्रारम्भ होने से पहले सूचनाओं का आदान-प्रदान करते हैं, तो इससे खेल पर किसी भी प्रकार का प्रभाव नहीं पड़ेगा और खिलाड़ी भी 8/9 संभाव्यता के साथ जीत को सर्वश्रेष्ठ कर सकते हैं।

खेल केवल 8/9 संभाव्यता के साथ ही जीता जा सकता है। इसका कारण यह है कि एक पूरी तरह से सुसंगत तालिका सम्मिलित नहीं है। यह स्व-विरोधाभासी हो सकती है। तालिका में ऋण चिह्नों का योग पंक्ति योग के आधार पर सम होता है। इसके विपरीत स्तम्भ योगों का उपयोग करते समय विषम होता है। एक और उदाहरण के रूप में यदि वे आरेख में दिखाए गए आंशिक तालिका का उपयोग करते हैं (ऐलिस के लिए -1 और गुप्त वर्ग में बॉब के लिए +1 द्वारा पूरक) और चुनौती पंक्तियों और स्तंभों को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है तब वे 8/9 संभाव्यता के साथ जीत सकते है। ऐसी कोई प्रारम्भिक योजना सम्मिलित नहीं है जो यादृच्छिक पंक्ति और स्तंभ चयन के साथ इस जीत दर को हरा सकती है। खेल को ऐलिस और बॉब को यह पता लगाने के बाद वार्तालाप करने की स्वीकृति देने के लिए संशोधित किया गया था कि उन्हें कौन सी पंक्ति/स्तंभ दिया गया है। जिसमे योजनायों का एक समूह सम्मिलित था जो दोनों खिलाड़ियों को संभाव्यता 1 के साथ खेल जीतने की स्वीकृति दे सकता है। हालांकि यदि क्वांटम छद्म-टेलीपैथी का उपयोग किया गया है, तो ऐलिस और बॉब दोनों बिना वार्तालाप किए खेल जीत सकते हैं।

छद्म-टेलीपैथिक योजनाएँ
क्वांटम छद्म-टेलीपैथी के उपयोग से ऐलिस और बॉब खेल प्रारम्भ होने के बाद बिना किसी वार्तालाप के 100% खेल जीतने में सक्षम हो सकते हैं।

इसके लिए ऐलिस और बॉब के पास जटिल स्थिति वाले चिन्हो के दो युग्म होने की आवश्यकता है। ये युग्म खेल प्रारम्भ होने से पहले ही तैयार किये जा सकते है। प्रत्येक युग्म का एक चिन्ह ऐलिस द्वारा और दूसरा बॉब द्वारा धारण किया जाता है। इसलिए उनमें से प्रत्येक में दो युग्म होते हैं। जब ऐलिस और बॉब सीखते हैं कि उन्हें कौन सा स्तम्भ और पंक्ति भरनी है, तो प्रत्येक युग्म उस जानकारी का उपयोग यह चुनने के लिए करता है कि उन्हें अपने पंक्ति/स्तंभ के लिए कौन सा माप करना चाहिए। माप का परिणाम उनमें से प्रत्येक को यादृच्छिक प्रतीत होता है और किसी भी चिन्ह के साथ आंशिक संभाव्यता वितरण दूसरे पक्ष द्वारा किए गए माप से स्वतंत्र होता है। इसलिए कोई वास्तविक वार्तालाप नहीं होती है।

हालाँकि चिन्ह को मापने की प्रक्रिया माप के परिणामों के संयुक्त संभाव्यता वितरण पर पर्याप्त संरचना लगाती है जैसे कि यदि ऐलिस और बॉब अपने माप के परिणामों के आधार पर अपने कार्यों को चुनते हैं, तो योजनायों और मापों का एक समूह सम्मिलित होगा जो खेल को संभाव्यता 1 के साथ जीतने की स्वीकृति दे सकता है।

ध्यान दें कि ऐलिस और बॉब एक-दूसरे से प्रकाश वर्ष दूर हो सकते हैं और जटिल स्थितियाँ अभी भी उन्हें निश्चितता के साथ खेल जीतने के लिए अपने कार्यों को पर्याप्त रूप से समन्वयित करने में सक्षम बना सकती है। इस खेल के प्रत्येक चरण में एक जटिल स्थिति का उपयोग होता है। खेल खेलने के लिए यह आवश्यक है कि n जटिल स्थितियाँ (2n स्वतंत्र बेल युग्म नीचे देखें) पहले से साझा की जाएं। ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रत्येक चरण को मापने के लिए 2-बिट जानकारी की आवश्यकता होती है और तीसरी प्रविष्टि को पहले दो चिन्हों द्वारा निर्धारित किया जाता है। इसलिए इसे मापना आवश्यक नहीं है क्योकि यह उपयुक्त संबंध को नष्ट कर सकती है। पहले के खेलों के प्रारम्भिक मापों का पुन: उपयोग करने का कोई तरीका नहीं है।

यह चाल ऐलिस और बॉब के लिए एक जटिल क्‍वांटम अवस्था को साझा करने और तालिका प्रविष्टियों को प्राप्त करने के लिए उनके जटिल स्थिति के घटकों पर विशिष्ट माप का उपयोग करने के लिए है। एक उपयुक्त सहसंबद्ध अवस्था में जटिल बेल अवस्था का एक युग्म होता है:


 * $$\left|\varphi\right\rang

= \frac{1}{\sqrt{2}} \bigg(\left|+\right\rang_a \otimes \left|+\right\rang_b + \left|-\right\rang_a \otimes \left|-\right\rang_b \bigg) \otimes \frac{1}{\sqrt{2}} \bigg(\left|+\right\rang_c \otimes \left|+\right\rang_d + \left|-\right\rang_c \otimes \left|-\right\rang_d \bigg) $$ जहां $$\left|+\right\rang$$ और $$\left|-\right\rang$$ पाउली संक्रियक Sx की आइगेन अवस्थाए क्रमशः ​​​​+1 और −1 के साथ हैं, जबकि सबस्क्रिप्ट a, b, c, और d प्रत्येक बेल अवस्था के घटकों की पहचान करते हैं, a और c ऐलिस, b और d बॉब के के मान का प्रतिनिधित्व करते है। प्रतीक $$\otimes$$ एक टेंसर उत्पाद का प्रतिनिधित्व करता है।

इन घटकों के अवलोकनों को पॉल आव्यूह के उत्पादों के रूप में लिखा जा सकता है:


 * $$ S_x = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}

, S_y = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix} , S_z = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} $$ इन पाउली स्पिन संक्रियकों के उत्पादों का उपयोग 3×3 तालिका को भरने के लिए किया जा सकता है, जैसे कि प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तम्भ में आइगेन मान +1 और -1 के साथ समूहों का पारस्परिक रूप से क्रम परिवर्तनशील समूह होता है। प्रत्येक पंक्ति में एक प्रेक्षणीय उत्पाद पहचान संक्रियक होता है जो प्रत्येक स्तम्भ में प्रेक्षणीय उत्पाद पहचान संक्रियक को घटाकर बराबर कर सकता है। यह एक तथाकथित मर्मिन-पेरेज़ समूह है। इसे नीचे तालिका में दिखाया गया है।

जबकि सामान्यतः प्रविष्टियों को +1 और −1 के साथ 3×3 तालिका बनाना संभव नहीं है, जैसे कि प्रत्येक पंक्ति में संख्याओ का उत्पाद +1 के बराबर हो और प्रत्येक स्तम्भ में संख्याओ का उत्पाद −1 के बराबर हो, यदि यह संभव है तब स्पिन आव्यूह पर आधारित क्षेत्र में क्‍वांटम बीजगणित के साथ ऐसा किया जा सकता है।

प्रत्येक खिलाड़ी द्वारा खेल के प्रत्येक चरण में जटिल स्थिति के अपने भाग का एक माप करके खेल आगे बढ़ता है। ऐलिस की प्रत्येक माप उसे एक पंक्ति के लिए मान देती है और बॉब की प्रत्येक माप उसे एक स्तम्भ के लिए मान देती है। ऐसा करना संभव है क्योंकि किसी दी गई पंक्ति या स्तंभ में सभी अवलोकन योग्य वस्तुएँ घूमती हैं। इसलिए एक आधार सम्मिलित है जिसमें उन्हें एक साथ मापा जा सकता है। ऐलिस की पहली पंक्ति के लिए उसे अपने दोनों मानों को $$S_z$$ आधार पर मापने की आवश्यकता है, दूसरी पंक्ति के लिए उसे उन्हें $$S_x$$ आधार पर मापने की आवश्यकता है और तीसरी पंक्ति के लिए उसे उन्हें जटिल आधार पर मापने की आवश्यकता है। बॉब के पहले स्तम्भ के लिए उसे अपने पहले मान को $$S_z$$ आधार पर और दूसरे को $$S_z$$ आधार पर मापने की आवश्यकता है, दूसरे स्तम्भ के लिए उसे अपने पहले मान को $$S_z$$ आधार पर और दूसरे को $$S_x$$ आधार पर मापने की आवश्यकता है और अपने तीसरे स्तंभ के लिए उसे अपने दोनों मानों को एक अलग जटिल बेल आधार में मापने की आवश्यकता है। जब तक ऊपर दी गई तालिका का उपयोग किया जाता है तब तक माप परिणाम सदैव ऐलिस के लिए उसकी पंक्ति के साथ +1 और बॉब के लिए उसके स्तम्भ के नीचे -1 से गुणा करने की संभवना है। इस प्रकार प्रत्येक नए चरण के लिए एक नई जटिल अवस्था की आवश्यकता होती है क्योंकि कई पंक्ति और स्तंभ एक-दूसरे के साथ संगत नहीं होते हैं।

समन्वय खेल
प्रारम्भिक गैर-सममित खेल सिद्धांत में एक समन्वय खेल एकाधिक नैश संतुलन वाला खेल है। छद्म-टेलीपैथी से संबंधित साहित्य कभी-कभी मर्मिन-पेरेज़ खेल जैसे खेल को समन्वय खेल के रूप में संदर्भित करता है। एक ओर यह तकनीकी रूप से सही है क्योंकि मर्मिन-पेरेज़ खेल के प्रारम्भिक प्रारूप में एकाधिक नैश संतुलन की सुविधा होती है।

हालाँकि क्वांटम छद्म-टेलीपैथी समन्वय समस्याओं का कोई समाधान प्रदान नहीं करती है जो समन्वय खेलों की विशेषताए हैं। क्वांटम स्यूडो-टेलीपैथी की उपयोगिता बायेसियन खेलों में असममित जानकारी के साथ समस्याओं को हल करने में निहित है जहां वार्तालाप का कोई अर्थ नही है।

उदाहरण के लिए मर्मिन-पेरेज़ खेल में छद्म-टेलीपैथिक योजनायों को प्रयुक्त करने से सूचनाओं के आदान-प्रदान के लिए बॉब और ऐलिस की आवश्यकता को दूर किया जा सकता है। हालाँकि छद्म-टेलीपैथिक योजनाए समन्वय समस्याओं का समाधान नहीं करती हैं। विशेष रूप से छद्म-टेलीपैथिक योजनायों को प्रयुक्त करने के बाद भी बॉब और ऐलिस केवल संभाव्यता के साथ खेल जीत सकते है। यदि वे दोनों अपनी छद्म-टेलीपैथिक योजनायों को ऊपर वर्णित सिद्धान्त से अनुसार समन्वयित करते हैं।

वर्तमान शोध
वर्तमान शोध मे यह प्रदर्शित किया गया है कि ऊपर वर्णित खेल सबसे सरल दो-खिलाड़ियों का खेल है जिसमें क्वांटम छद्म टेलीपैथी संभाव्यता के साथ जीत की स्वीकृति देता है। अन्य खेल जिनमें क्वांटम स्यूडो-टेलीपैथी होती है प्रायः जिसका अध्ययन किया गया है। जिसमें बड़े मैजिक स्क्वायर के खेल भी सम्मिलित हैं जो आरेख खेल क्वांटम क्रोमेटिक संख्या की धारणा को जन्म देते हैं। जिसमें दो से अधिक प्रतिभागी सम्मिलित हो सकते है। सामान्यतः दो-खिलाड़ियों वाले गैर-स्थानीय खेल की जीत की संभाव्यता को खिलाड़ियों द्वारा साझा करने की स्वीकृति समिश्र क्वैबिट की संख्या में वृद्धि करके सुधार किया जा सकता है। क्वांटम छद्म-टेलीपैथी का उपयोग करके दो-खिलाड़ियों के खेल को जीतने की अधिकतम संभाव्यता की गणना करना असंभव है लेकिन एक बड़ी सीमित साझा समिश्र क्वैबिट की संख्या मानकर एक निचली सीमा निर्धारित की जा सकती है। एक ऊपरी सीमा को गैर-स्थानीय खेल की समतुल्य संरचना के संदर्भ में भी प्रयुक्त किया जा सकता है, जो कि कम्यूटिंग आव्यूह पर आधारित है। अधिकतम जीत की संभाव्यता के लिए ऊपरी और निचली सीमा की गणना एनपी-हार्ड है। जबकि कुछ खेल अधिकतम जीत की संभाव्यता को अपेक्षाकृत रूप से गणना करने की स्वीकृति दे सकते हैं। कोन्स एम्बेडिंग समस्याओ का दावा किया गया है। जिसका तात्पर्य ऐसे खेल से है जहां ये सीमाएं एक अद्वितीय अधिकतम जीत की संभाव्यता में परिवर्तित नहीं होती हैं।

वर्तमान शोध के अध्ययन सुसंगत क्‍वांटम अवस्था पर अपूर्ण माप के कारण इसके विरूद्ध प्रभाव की जटिलता पर कई सवालों का सामना करते हैं। वर्तमान के कार्य में जटिलता के कारण गैर-रेखीय वितरित गणना की संचार लागत में तेजी से वृद्धि देखी गई है जबकि संचार चैनल स्वयं रैखिक होने तक ही सीमित है।

जुलाई 2022 में एक अध्ययन में मर्मिन-पेरेज़ मैजिक स्क्वायर खेल के गैर-स्थानीय संस्करण को खेलकर क्वांटम स्यूडो-टेलीपैथी के प्रयोगात्मक प्रदर्शन की सूचना दी गई है।

ग्रीनबर्गर-हॉर्न-ज़ीलिंगर खेल
ग्रीनबर्गर-हॉर्न-ज़ीलिंगर (जीएचजेड) खेल क्वांटम छद्म टेलीपैथी का एक और उदाहरण है। जिसकी प्रारम्भिक रूप से खेल में जीतने की संभाव्यता 75% है। हालाँकि, क्वांटम योजना के साथ खिलाड़ी सदैव 1 के बराबर जीत की संभाव्यता के साथ जीत सकते हैं।

यहाँ तीन खिलाड़ी ऐलिस, बॉब और कैरोल एक रेफरी के विरुद्ध खेल रहे हैं। रेफरी प्रत्येक खिलाड़ी से $$\in \{0,1\}$$ प्रश्न पूछता है। तीनों खिलाड़ियों में से प्रत्येक का उत्तर $$\in \{0,1\}$$ है। रेफरी 4 विकल्पों में से समान रूप से तीन प्रश्न x, y, z निकालता है जिसमे $$\{(0,0,0), (1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\}$$ चुना जाता है, फिर ऐलिस को बिट 0, बॉब को बिट 1 और कैरोल को रेफरी से बिट 1 प्राप्त होता है। प्राप्त प्रश्न के आधार पर ऐलिस, बॉब और कैरोल प्रत्येक उत्तर a, b, c के साथ 0 या 1 के रूप में देते हैं। खिलाड़ी खेल प्रारम्भ होने से पहले एक साथ योजना बना सकते हैं। हालाँकि, खेल के समय किसी भी वार्तालाप की स्वीकृति नहीं है।

यदि खिलाड़ी $$a \oplus b \oplus c = x \lor y \lor z$$ जीतते हैं तब $$\lor$$ "OR" स्थिति को इंगित करता है और $$\oplus$$ उत्तर मॉड्यूल 2 के योग को इंगित करता है। दूसरे शब्दों में यदि तीन उत्तरों का योग $$x = y = z = 0$$ सम है, तो अन्य उत्तरों का योग विषम होता है।

प्रारम्भिक योजना
प्रारम्भिक योजनाओ के आधार पर ऐलिस, बॉब और कैरोल एक नियतात्मक योजना अपना सकते हैं जो सदैव विषम योग के साथ समाप्त होती है। उदाहरण के लिए ऐलिस सदैव आउटपुट 1 देता है। बॉब और कैरोल सदैव आउटपुट 0 देते हैं। जिससे खिलाड़ी 75% समय जीतते हैं और केवल तभी हारते हैं जब प्रश्न $$(0,0,0)$$ हो जाता है।

वास्तव में प्रारम्भिक योजना की दृष्टि से यह जीतने की सबसे अच्छी योजना है। हम जीत की 4 में से अधिकतम 3 शर्तों को ही पूरा कर सकते हैं। मान लीजिए $$a_0, a_1$$ क्रमशः 0 और 1 के लिए ऐलिस की प्रतिक्रिया है, $$b_0, b_1$$ क्रमशः 0, 1 के लिए बॉब की प्रतिक्रिया है और $$c_0, c_1$$ क्रमशः 0, 1 के लिए कैरोल की प्रतिक्रिया है। तब हम प्रायः उन सभी समस्याओं को लिख सकते हैं जो जीतने की शर्तों को पूरा करती हैं:$$\begin{align} & a_0 + b_0 + c_0 = 0\mod 2 \\ & a_1 + b_1 + c_0 = 1\mod 2 \\ & a_1 + b_0 + c_1 = 1\mod 2 \\ & a_0 + b_1 + c_1 = 1\mod 2 \end{align}$$माना कि एक प्रारम्भिक योजना है जो जीतने की सभी चार शर्तों को पूरा करती है, तो सभी चार शर्तें सच होती हैं। अध्ययन के माध्यम से प्रत्येक पद बाईं ओर दो बार दिखाई देता है। इसलिए बाईं ओर का योग 0 mod 2 होता है। हालाँकि दाईं ओर का योग 1 mod 2 होता है। जिससे यह प्रदर्शित होता है कि जीतने की सभी चार शर्तें एक साथ पूरी नहीं की जा सकती हैं।

क्वांटम योजना
अब हम उस क्वांटम योजना पर आ गए हैं जहां ऐलिस, बॉब और कैरोल ने क्वांटम योजना को स्वीकृत करने का निर्णय किया है। वे तीनों अब एक त्रिपक्षीय जटिल अवस्था $ |{\psi}\rangle = \frac{1}{\sqrt 2} (|000\rangle + |111\rangle)$ को साझा करते हैं, जिसे ग्रीनबर्गर-हॉर्न-ज़ीलिंगर अवस्था के रूप में जाना जाता है।

यदि प्रश्न 0 प्राप्त होता है, तो खिलाड़ी X के आधार पर $\{|+\rangle,|-\rangle\}$ माप करता है। यदि प्रश्न 1 प्राप्त होता है, तो खिलाड़ी Y के आधार पर $\left\{\frac{1}{\sqrt 2}(|0\rangle+i|1\rangle), \frac{1}{\sqrt 2}(|0\rangle-i|1\rangle)\right\}$  माप करता है। दोनों स्थितियों में यदि माप का परिणाम युग्म की पहली स्थिति है तो खिलाड़ी उत्तर 0 देते हैं और यदि परिणाम युग्म की दूसरी स्थिति है तो खिलाड़ी उत्तर 1 देते हैं।

यह जांचना आसान है कि इस योजना से खिलाड़ी संभाव्यता 1 के साथ खेल को जीतते हैं।

यह भी देखें

 * क्वांटम खेल सिद्धांत
 * क्वांटम रेफरीड खेल
 * जीएचजेड अवस्था - 3 जटिल अवस्थाए
 * ईपीआर विरोधाभास
 * कोचेन-स्पेकर प्रमेय
 * क्वांटम सूचना विज्ञान
 * क्यूबिट
 * त्सिरेलसन की सीमा
 * व्हीलर-फेनमैन अवशोषक सिद्धांत

बाहरी संबंध

 * Understanding and simulating quantum pseudo-telepathy
 * Quantum Pseudo-Telepathy