अवशिष्ट प्रमेय

जटिल विश्लेषण में, अवशेष प्रमेय, जिसे कभी-कभी कौशी का अवशेष प्रमेय भी कहा जाता है, बंद वक्रों पर विश्लेषणात्मक कार्यों के रेखा अभिन्न  का मूल्यांकन करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है; इसका उपयोग अक्सर वास्तविक अभिन्न और अनंत श्रृंखला की गणना करने के लिए भी किया जा सकता है। यह कॉशी इंटीग्रल प्रमेय और कॉची अभिन्न प्रमेय का सामान्यीकरण करता है। एक ज्यामितीय परिप्रेक्ष्य से, इसे सामान्यीकृत स्टोक्स प्रमेय के एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है।

कथन
बयान इस प्रकार है: होने देना $U$ बिंदुओं की एक परिमित सूची वाले जटिल तल का एक सरल रूप से जुड़ा हुआ खुला उपसमुच्चय हो $a_{1}, ..., a_{n}$, $U_{0} = U \ {a_{1}, …, a_{n}} |undefined$, और एक समारोह $f$ परिभाषित और होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन ऑन $U_{0}$. होने देना $γ$ में एक बंद सुधार योग्य वक्र हो $U_{0}$, और की घुमावदार संख्या को निरूपित करें $γ$ आस-पास $a_{k}$ द्वारा $I(γ, a_{k})$. रेखा का अभिन्न अंग $f$ आस-पास $γ$ के बराबर है $2πi$ के अवशेषों (जटिल विश्लेषण) का योग $f$ बिंदुओं पर, प्रत्येक को जितनी बार गिना जाता है $γ$ बिंदु के आसपास हवाएँ: $$\oint_\gamma f(z)\, dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n \operatorname{I}(\gamma, a_k) \operatorname{Res}( f, a_k ). $$ अगर $γ$ वक्र अभिविन्यास जॉर्डन वक्र है, $I(γ, a_{k}) = 1$ अगर $a_{k}$ के भीतरी भाग में है $γ$, और 0 यदि नहीं, तो $$\oint_\gamma f(z)\, dz = 2\pi i \sum \operatorname{Res}( f, a_k ) $$ उन पर योग के साथ $a_{k}$ अंदर $γ$. अवशेष प्रमेय का स्टोक्स प्रमेय से संबंध जॉर्डन वक्र प्रमेय द्वारा दिया गया है। सामान्य समतल वक्र $γ$ को पहले सरल बंद वक्रों के एक सेट में कम किया जाना चाहिए $\{γ_{i}\}$ जिसका योग बराबर है $γ$ एकीकरण उद्देश्यों के लिए; यह समस्या को अभिन्न खोजने में कम कर देता है $f dz$ जॉर्डन वक्र के साथ $γ_{i}$ इंटीरियर के साथ $V$. आवश्यकता है कि $f$ होलोमॉर्फिक हो $U_{0} = U \ \{a_{k}\}$ उस कथन के समतुल्य है जो बाह्य व्युत्पन्न है $d(f dz) = 0$ पर $U_{0}$. इस प्रकार यदि दो तलीय क्षेत्र $V$ और $W$ का $U$ समान उपसमुच्चय संलग्न करें $\{a_{j}\}$ का $\{a_{k}\}$, क्षेत्र $V \ W$ और $W \ V$ पूरी तरह से झूठ बोलना $U_{0}$, और इसलिए $$\int_{V \setminus W} d(f \, dz) - \int_{W \setminus V} d(f \, dz)$$ अच्छी तरह से परिभाषित और शून्य के बराबर है। नतीजतन, का समोच्च अभिन्न $f dz$ साथ में $γ_{j} = ∂V$ पथों के साथ समाकलों के समुच्चय के योग के बराबर है $λ_{j}$, प्रत्येक एकल के चारों ओर मनमाने ढंग से छोटे क्षेत्र को घेरता है $a_{j}$ - के अवशेष $f$ (पारंपरिक कारक तक $2πi$) पर $\{a_{j}\}$. संक्षेप में $\{γ_{j}\}$, हम वाइंडिंग नंबरों के संदर्भ में समोच्च अभिन्न की अंतिम अभिव्यक्ति को पुनर्प्राप्त करते हैं $\{I(γ, a_{k})\}$.

वास्तविक समाकलों का मूल्यांकन करने के लिए, अवशेष प्रमेय का उपयोग निम्नलिखित तरीके से किया जाता है: समाकलन को जटिल तल तक विस्तारित किया जाता है और इसके अवशेषों की गणना की जाती है (जो आमतौर पर आसान होता है), और वास्तविक अक्ष का एक हिस्सा एक बंद वक्र तक बढ़ाया जाता है ऊपरी या निचले आधे विमान में एक अर्धवृत्त संलग्न करके, एक अर्धवृत्त बनाते हुए। इस वक्र पर समाकलन की गणना अवशिष्ट प्रमेय का उपयोग करके की जा सकती है। अक्सर, समाकल का अर्ध-वृत्त भाग शून्य की ओर झुक जाता है, क्योंकि अर्ध-वृत्त की त्रिज्या बढ़ती है, केवल समाकल का वास्तविक-अक्ष भाग छोड़ता है, जिसमें हम मूल रूप से रुचि रखते थे।

वास्तविक अक्ष के साथ एक अभिन्न
अभिन्न $$\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{itx}}{x^2+1}\,dx$$

कॉची वितरण के विशिष्ट कार्य (संभावना सिद्धांत) की गणना करते समय संभाव्यता सिद्धांत में उत्पन्न होता है। यह प्रारंभिक कलन की तकनीकों का विरोध करता है लेकिन इसे समोच्च समाकलों की सीमा के रूप में व्यक्त करके मूल्यांकन किया जा सकता है।

कल्पना करना $t > 0$ और समोच्च परिभाषित करें $C$ जो वास्तविक संख्या रेखा के साथ जाता है $−a$ को $C$ और फिर 0 पर केंद्रित अर्धवृत्त के साथ वामावर्त $a$ को $−a$. लेना $a$ 1 से अधिक होना, ताकि काल्पनिक संख्या इकाई $a$ वक्र के भीतर संलग्न है। अब समोच्च अभिन्न पर विचार करें $$\int_C {f(z)}\,dz = \int_C \frac{e^{itz}}{z^2+1}\,dz.$$ तब से $e^{itz}$ एक संपूर्ण कार्य है (जटिल तल में किसी भी बिंदु पर कोई गणितीय विलक्षणता नहीं है), इस कार्य में विलक्षणताएँ केवल वहीं हैं जहाँ भाजक $z^{2} + 1$ शून्य है। तब से $z^{2} + 1 = (z + i)(z − i)$, वह केवल वहीं होता है $z = i$ या $z = −i$. उनमें से केवल एक बिंदु इस समोच्च से घिरे क्षेत्र में है। क्योंकि $f(z)$ है $$\begin{align} \frac{e^{itz}}{z^2+1} & =\frac{e^{itz}}{2i}\left(\frac{1}{z-i}-\frac{1}{z+i}\right) \\ & =\frac{e^{itz}}{2i(z-i)} -\frac{e^{itz}}{2i(z+i)} , \end{align}$$ के अवशेष (जटिल विश्लेषण)। $f(z)$ पर $z = i$ है $$\operatorname{Res}_{z=i}f(z)=\frac{e^{-t}}{2i}.$$ अवशेष प्रमेय के अनुसार, हमारे पास है $$\int_C f(z)\,dz=2\pi i\cdot\operatorname{Res}\limits_{z=i}f(z)=2\pi i \frac{e^{-t}}{2i} = \pi e^{-t}.$$ समोच्च $i$ को सीधे भाग और घुमावदार चाप में विभाजित किया जा सकता है, ताकि $$\int_{\mathrm{straight}} f(z)\,dz+\int_{\mathrm{arc}} f(z)\,dz=\pi e^{-t}$$ और इस तरह $$\int_{-a}^a f(z)\,dz =\pi e^{-t}-\int_{\mathrm{arc}} f(z)\,dz.$$ कुछ अनुमान लेम्मा का उपयोग करके, हमारे पास है $$\left|\int_{\mathrm{arc}}\frac{e^{itz}}{z^2+1}\,dz\right| \leq \pi a \cdot \sup_{\text{arc}} \left| \frac{e^{itz}}{z^2+1} \right| \leq \pi a \cdot \sup_{\text{arc}} \frac{1}{|z^2+1|} \leq \frac{\pi a}{a^2 - 1},$$ और $$\lim_{a \to \infty} \frac{\pi a}{a^2-1} = 0.$$ अंश पर अनुमान इस प्रकार है $t > 0$, और सम्मिश्र संख्याओं के लिए $C$ चाप के साथ (जो ऊपरी अर्ध-तल में स्थित है), तर्क $z$ का $φ$ 0 और के बीच स्थित है $\pi$. इसलिए, $$\left|e^{itz}\right| = \left|e^{it|z|(\cos\varphi + i\sin\varphi)}\right|=\left|e^{-t|z|\sin\varphi + it|z|\cos\varphi}\right|=e^{-t|z| \sin\varphi} \le 1.$$ इसलिए, $$\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{itz}}{z^2+1}\,dz=\pi e^{-t}.$$ अगर $t < 0$ फिर चाप के साथ एक समान तर्क $C'$ जो चारों ओर घूमता है $−i$ इसके बजाय $i$ पता चलता है कि



$$\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{itz}}{z^2+1}\,dz=\pi e^t,$$ और अंत में हमारे पास है $$\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{itz}}{z^2+1}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}.$$ (अगर $C'$ तब समाकलन प्राथमिक कलन पद्धतियों के लिए तुरंत उत्पन्न होता है और इसका मूल्य है π.)

एक अनंत राशि
यह तथ्य कि $t = 0$ में प्रत्येक पूर्णांक पर अवशेष 1 के साथ साधारण ध्रुव होते हैं जिनका उपयोग योग की गणना के लिए किया जा सकता है $$ \sum_{n=-\infty}^\infty f(n).$$ उदाहरण के लिए विचार करें, $π cot(πz)$. होने देना $f(z) = z^{−2}$ वह आयत हो जिसकी सीमा है $Γ_{N}$ सकारात्मक अभिविन्यास के साथ, एक पूर्णांक के साथ $z$. अवशेष सूत्र द्वारा,

$$\frac{1}{2 \pi i} \int_{\Gamma_N} f(z) \pi \cot(\pi z) \, dz = \operatorname{Res}\limits_{z = 0} + \sum_{n = -N \atop n\ne 0}^N n^{-2}.$$ बाएं हाथ की ओर शून्य हो जाता है $[−N − 1⁄2, N + 1⁄2]^{2}$ चूंकि इंटीग्रैंड में ऑर्डर है $$O(n^{-2})$$. वहीं दूसरी ओर,

$$\frac{z}{2} \cot\left(\frac{z}{2}\right) = 1 - B_2 \frac{z^2}{2!} + \cdots $$ जहां बरनौली संख्या $$B_2 = \frac{1}{6}.$$ (वास्तव में, $N → ∞$।) इस प्रकार, अवशेष $z⁄2 cot(z⁄2) = iz⁄1 − e^{−iz} − iz⁄2$ है $$. हम निष्कर्ष निकालते हैं:

$$\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$ जो बेसल समस्या का प्रमाण है।

आइज़ेंस्टीन श्रृंखला का योग स्थापित करने के लिए एक ही चाल का उपयोग किया जा सकता है: $$\pi \cot(\pi z) = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=-N}^N (z - n)^{-1}.$$ हम लेते हैं $−π^{2}⁄3$ साथ $N$ एक गैर-पूर्णांक और हम उपरोक्त के लिए दिखाएंगे $w$. इस मामले में कठिनाई अनंत पर समोच्च समाकल के गायब होने को दर्शाने की है। अपने पास: $$\int_{\Gamma_N} \frac{\pi \cot(\pi z)}{z} \, dz = 0$$ चूँकि समाकलन एक समान कार्य है और इसलिए बाएँ-आधे तल में समोच्च से योगदान और दाईं ओर समोच्च एक दूसरे को रद्द कर देते हैं। इस प्रकार, $$\int_{\Gamma_N} f(z) \pi \cot(\pi z) \, dz = \int_{\Gamma_N} \left(\frac{1}{w - z} + \frac{1}{z}\right) \pi \cot(\pi z) \, dz$$ के रूप में शून्य हो जाता है $f(z) = (w − z)^{−1}$.

यह भी देखें

 * कॉची का अभिन्न सूत्र
 * ग्लासर का मास्टर प्रमेय
 * जॉर्डन की लेम्मा
 * समोच्च एकीकरण के तरीके
 * मोरेरा की प्रमेय
 * नाचबिन का प्रमेय
 * अवशेष अनंत पर
 * लघुगणक रूप

बाहरी संबंध

 * Residue theorem in MathWorld
 * Residue theorem in MathWorld