आइवरसन ब्रैकेट

गणित में, आइवरसन कोष्ठक, केनेथ ई. इवरसन के नाम पर रखा गया, एक संकेतन है जो क्रोनकर डेल्टा का सामान्यीकरण करता है, जो कथन $x = y$ का आइवरसन कोष्ठक है। यह किसी भी कथन (तर्क) को उस कथन के स्वतंत्र चर के फलन (गणित) में मापता है। इस फलन को उन चरों के मानों के लिए 1 मान लेने के लिए परिभाषित किया गया है जिनके लिए कथन सत्य है, और अन्यथा 0 मान लेता है। इसे सामान्यतौर पर वर्गाकार कोष्ठकों के अंदर कथन लगाकर दर्शाया जाता है: $$[P] = \begin{cases} 1 & \text{if } P \text{ is true;} \\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases}$$ दूसरे शब्दों में, किसी कथन का आइवरसन कोष्ठक मानों के उस समुच्चय का सूचक फलन है जिसके लिए कथन सत्य है।

इन्वर्सन कोष्ठक समन इंडेक्स पर प्रतिबंध के बिना कैपिटल-सिग्मा संकेतन का उपयोग करने की अनुमति देता है। अर्थात किसी गुण के लिए $$P(k)$$ पूर्णांक का $$k$$, कोई प्रतिबंधित योग को $$\sum_{k : P(k)}f(k)$$ अप्रतिबंधित रूप में $$\sum_k f(k) \cdot[P(k)]$$फिर से लिखा जा सकता है। इस फलन के साथ, $$f(k)$$ के मूल्यों के लिए परिभाषित करने की आवश्यकता नहीं है $k$ जिसके लिए आइवरसन कोष्ठक $0$ के बराबर है; वह f(k) [ गलत ] का योग है, 0 का मूल्यांकन करना चाहिए भले ही $$f(k)$$ को परिभाषित किया गया है।

अंकन मूल रूप से केनेथ ई. इवरसन द्वारा अपनी प्रोग्रामिंग भाषा एपीएल (प्रोग्रामिंग भाषा) में प्रस्तुत किया गया था, चूँकि कोष्ठकों में संलग्न एकल संबंधपरक संचालकों तक सीमित है, जबकि अपने अंतर्गत कथनो के सामान्यीकरण, वर्गाकार कोष्ठकों के लिए नोटेशनल प्रतिबंध, और योग के लिए आवेदन, कोष्ठक में तार्किक अभिव्यक्तियों में अस्पष्टता को कम करने के लिए डोनाल्ड नुथ द्वारा सिद्ध किया गया हैं।

गुण
आइवरसन कोष्ठक, लॉजिक और समूह संचालन पर अंकगणित के बीच सीधा समानता है। उदाहरण के लिए, A और B को सेट होने दें और $$P(k_1,\dots)$$ पूर्णांकों की कोई गुण; तो हमारे पास हैं $$\begin{align}[] [\,P \land Q\,] ~ &= ~ [\,P\,]\,[\,Q\,]; \\[1em] [\,P \lor Q\,] ~ &= ~ [\,P\,] \; + \; [\,Q\,] \; - \; [\,P\,]\,[\,Q\,]; \\[1em] [\,\neg \,P\,] ~ &= ~ 1 - [\,P\,]; \\[1em] [\,P {\scriptstyle\mathsf\text{ XOR }} Q\,] ~ &= ~ \Bigl|\,[\,P\,] \; - \; [\,Q\,] \, \Bigr| ; \\[1em] [\,k \in A\,] \; + \; [\,k \in B\,] ~ &= ~ [\,k \in A \cup B\,] \; + \; [\,k \in A \cap B\,]; \\[1em] [\,x \in A \cap B\,] ~ &= ~ [\,x \in A\,]\, [\,x \in B\,]; \\[1em] [\,\forall \,m\ : \, P(k, m)\,] ~ &= ~ \prod_m\, [\,P(k, m)\,]; \\[1em] [\,\exists \,m\ : \, P(k, m)\,] ~ &= ~ \min\Bigl\{\;1\,, \,\sum_m \,[\,P(k, m)\,]\;\Bigr\} = 1 \; - \;\prod_m \, [\,\neg\, P(k, m)\,] ; \\[1em] \#\Bigl\{\; m \,\Big| \, P(k, m)\;\Bigr\} ~ &= ~ \sum_m \, [\,P(k, m)\,]. \end{align}$$

उदाहरण
संकेतन योग में अलग कारक के रूप में योग (या इंटीग्रल) की सीमा स्थितियों को स्थानांतरित करने की अनुमति देता है, योग संचालिका के चारों तरफ जगह खाली करता है, परन्तु अत्यधिक महत्वपूर्ण रूप से इसे बीजगणितीय रूप से परिवर्तन करने की अनुमति देता है।

दोहरी गिनती का नियम
हम आइवरसन कोष्ठकों का उपयोग करके यांत्रिक रूप से प्रसिद्ध योग बदलाव का नियम प्राप्त करते हैं:

$$\begin{align} \sum_{k\in A}f(k)+\sum_{k\in B}f(k) &=\sum_kf(k)\,[k\in A]+\sum_kf(k)\,[k\in B]\\ &=\sum_kf(k)\,([k\in A]+[k\in B]) \\&=\sum_kf(k)\,([k\in A\cup B]+[k\in A\cap B]) \\&=\sum_{k\in A\cup B}f(k)\ +\sum_{k\in A\cap B}f(k). \end{align}$$

योग इंटरचेंज
बहुत प्रसिद्ध नियम $\sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^j f(j,k) = \sum_{k=1}^n \sum_{j=k}^n f(j,k)$ वैसे ही सरलता से प्राप्त होता है: $$\begin{align} \sum_{j=1}^n\,\sum_{k=1}^j f(j,k) &=\sum_{j,k}f(j,k)\,[1\leq j\leq n]\,[1\leq k\leq j] \\&=\sum_{j,k}f(j,k)\,[1\leq k\leq j\leq n] \\&=\sum_{j,k}f(j,k)\,[1\leq k\leq n]\,[k\leq j\leq n]

\\&=\sum_{k=1}^n\,\sum_{j=k}^n f(j,k). \end{align}$$

गिनती
उदाहरण के लिए, यूलर फाई फलन जो n तक धनात्मक पूर्णांकों की संख्या की गणना करता है जो कि n के लिए सह अभाज्य हैं, द्वारा व्यक्त किया जा सकता है $$ \varphi(n)=\sum_{i=1}^{n}[\gcd(i,n)=1],\qquad\text{for } n\in\N^+.$$

विशेष मामलों का सरलीकरण
आइवरसन कोष्ठक का अन्य उपयोग विशेष कथनों के साथ समीकरणों को सरल बनाना है। उदाहरण के लिए, सूत्र $$\sum_{1\le k\le n \atop \gcd(k,n)=1}\!\!k = \frac{1}{2}n\varphi(n)$$ के लिए मान्य है $n &gt; 1$ परन्तु $n = 1$के लिए $1⁄2$ द्वारा बंद है। सभी धनात्मक पूर्णांकों के लिए मान्य पहचान प्राप्त करने के लिए $n$ (अर्थात, वे सभी मान जिनके लिए $$\phi(n)$$ परिभाषित किया गया है), आइवरसन कोष्ठक से जुड़े सुधार अवधि को जोड़ा जा सकता है: $$\sum_{1\le k\le n \atop \gcd(k,n)=1}\!\!k = \frac{1}{2}n(\varphi(n)+[n=1])$$

सामान्य कार्य
कई सामान्य फलन, विशेष प्रकार से सामान्य खंड के अनुसार परिभाषा वाले, आइवरसन कोष्ठक के संदर्भ में व्यक्त किए जा सकते हैं। क्रोनेकर डेल्टा संकेतन आइवरसन संकेतन का विशिष्ट कथन है जब स्थिति समानता होती है। वह है, $$\delta_{ij} = [i=j].$$ सूचक फलन, अधिकांशतः निरूपित $$\mathbf{1}_A(x)$$, $$\mathbf{I}_A(x)$$ या $$\chi_A(x)$$, आइवरसन कोष्ठक है जिसकी स्थिति के रूप में समूह सदस्यता है: $$\mathbf{I}_A(x) = [x\in A].$$ हैवीसाइड स्टेप फलन, साइन फलन, और निरपेक्ष मान फलन भी इस संकेतन में सरलता से व्यक्त किए जाते हैं: $$\begin{align} H(x) &= [x > 0], \\ \sgn(x) &= [x > 0] - [x < 0], \end{align}$$ और $$\begin{align} |x| &= x[x > 0] - x[x < 0] \\ &= x([x > 0] - [x < 0]) \\ &= x \cdot \sgn(x). \end{align}$$ तुलनात्मक फलन अधिकतम और न्यूनतम (दो तर्कों में से बड़ा या छोटा लौटाना) के रूप में लिखा जा सकता है $$\max(x, y) = x[x > y] + y[x \leq y]$$ और $$\min(x, y) = x[x \leq y] + y[x > y].$$ फ्लोर तथा सेलिंग फलन को इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$\lfloor x \rfloor = \sum_n n \cdot [n \le x < n + 1]$$ और $$\lceil x \rceil = \sum_n n \cdot [n - 1 < x \le n],$$ जहां सूचकांक $$n$$ योग की संख्या को सभी पूर्णांकों की श्रेणी में समझा जाता है।

रैंप फलन व्यक्त किया जा सकता है $$R(x) = x \cdot [x \geq 0].$$ वास्तविक का ट्राइकोटॉमी (गणित) निम्नलिखित पहचान के बराबर है: $$[a < b] + [a = b] + [a > b] = 1. $$ मोबियस फलन में गुण है (और इसे पुनरावृत्ति द्वारा परिभाषित किया जा सकता है ) $$\sum_{d|n} \mu(d) \ =\ [n=1].$$

सामान्य कार्यों के संदर्भ में सूत्रीकरण
1830 के दशक में, गुलिएम्लो डल्ला सोमाजा ने व्यंजक $$0^{0^x}$$उपयोग किया, अब जो लिखा जाएगा उसका प्रदर्शित करने के लिए $$[x > 0]$$ है; उन्होंने भिन्न का भी उपयोग किया, जैसे $$\left(1 - 0^{0^{-x}}\right) \left(1 - 0^{0^{x-a}}\right)$$के लिए $$[0 \leq x \leq a]$$ है। शून्य की घात के एक शून्य के बाद, वे मात्राएँ बराबर होती हैं जहाँ परिभाषित किया गया है: $$0^{0^x}$$1 है यदि  $x > 0$, 0 है यदि  $x = 0$,अन्यथा अपरिभाषित है।

सांकेतिक रूपांतर
अब मानक वर्ग [ · ] कोष्ठक के अतिरिक्त और [ · ] मूल कोष्ठक ब्लैकबोर्ड बोल्ड(गहरे काले) कोष्ठकों का भी प्रयोग किया गया है, उदा.$⟦ · ⟧$साथ ही प्रकाशक के टाइपफेस (अक्षराकृति) में उपलब्ध कोष्ठक चिह्नों के अन्य असामान्य रूपों के साथ पार्श्व टिप्पणी है।

यह भी देखें
सूचक (कंप्यूटर प्रोग्रामिंग) में टाइप रूपांतरण: कई प्रोग्रामिंग भाषा संख्यात्मक या सूचक (कंप्यूटर प्रोग्रामिंग) मात्राओं को बूलियन डेटा प्रकार के रूप में उपयोग करने की अनुमति देती हैं|
 * बूलियन समारोह
 * संकेतक फलन