कोहोमोटोपी समुच्चय

गणित में, विशेष रूप से बीजगणितीय टोपोलॉजी में, कोहोमोटोपी सेट नुकीले स्थान की श्रेणी (गणित) और बेसपॉइंट-संरक्षित निरंतर फ़ंक्शन (टोपोलॉजी) मानचित्रों से लेकर सेट (गणित) और फ़ंक्शन (गणित) की श्रेणी तक विशेष श्रेणी सिद्धांत हैं। वे समरूप समूहों के लिए द्वैत (गणित) हैं, लेकिन कम अध्ययन किए गए हैं।

अवलोकन
एक नुकीले टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स के पी-वें कोहोमोटॉपी सेट को परिभाषित किया गया है


 * $$\pi^p(X) = [X,S^p]$$

निरंतर मैपिंग के नुकीले होमोटॉपी वर्गों का सेट $$X$$ पी- अति क्षेत्र के लिए $$S^p$$. पी = 1 के लिए इस सेट में एक एबेलियन समूह संरचना है, और, बशर्ते $$X$$ एक सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्स है, पहले सह-समरूपता  समूह के लिए समूह समरूपता है $$H^1(X)$$, वृत्त के बाद से $$S^1$$ एक ईलेनबर्ग-मैकलेन प्रकार का स्थान है $$K(\mathbb{Z},1)$$. वास्तव में, यह हेंज हॉफ का एक प्रमेय है कि यदि $$X$$ तब अधिकतम p आयाम का CW-कॉम्प्लेक्स है $$[X,S^p]$$ पी-वें कोहोमोलोजी समूह के प्रति आपत्ति है $$H^p(X)$$.

सेट $$[X,S^p]$$ यदि एक प्राकृतिक समूह (गणित) संरचना भी है $$X$$ एक निलंबन है (टोपोलॉजी) $$\Sigma Y$$, जैसे कि एक गोला $$S^q$$ के लिए $$q \ge 1$$.

यदि X, CW-कॉम्प्लेक्स के समतुल्य होमोटॉपी नहीं है, तो $$H^1(X)$$ हो सकता है कि यह समरूपी न हो $$[X,S^1]$$. वारसॉ सर्कल द्वारा एक प्रति-उदाहरण दिया गया है, जिसका पहला कोहॉमोलॉजी समूह गायब हो जाता है, लेकिन एक मानचित्र को स्वीकार करता है $$S^1$$ जो स्थिर मानचित्र के लिए समस्थानिक नहीं है।

गुण
कोहोमोटोपी सेट के बारे में कुछ बुनियादी तथ्य, कुछ दूसरों की तुलना में अधिक स्पष्ट:


 * $$\pi^p(S^q) = \pi_q(S^p)$$ सभी पी और क्यू के लिए.
 * के लिए $$q= p + 1$$ और $$p > 2$$, समूह $$\pi^p(S^q)$$ के बराबर है $$\mathbb{Z}_2$$. (इस परिणाम को साबित करने के लिए, लेव पोंट्रीगिन ने फ़्रेमयुक्त सह-बॉर्डिज्म की अवधारणा विकसित की।)
 * अगर $$f,g\colon X \to S^p$$ है $$\|f(x) - g(x)\| < 2$$ सभी x के लिए, फिर $$[f] = [g]$$, और यदि f और g हैं तो समरूपता चिकनी है।
 * के लिए $$X$$ एक सघन स्थान   चिकनी कई गुना, $$\pi^p(X)$$ सुचारू फ़ंक्शन मानचित्रों के समरूप वर्गों के सेट के लिए समरूपी है $$X \to S^p$$; इस मामले में, प्रत्येक सतत मानचित्र को एक चिकने मानचित्र द्वारा समान रूप से अनुमानित किया जा सकता है और कोई भी समस्थानिक सुचारू मानचित्र सुचारू रूप से समस्थानिक होगा।
 * अगर $$X$$ एक $$m$$-तो फिर कई गुना $$\pi^p(X)=0$$ के लिए $$p > m$$.
 * अगर $$X$$ एक $$m$$-मैनिफोल्ड#मैनिफोल्ड विद बाउंड्री, सेट $$\pi^p(X,\partial X)$$ आंतरिक (टोपोलॉजी)  के  संहिताकरण -पी फ़्रेमयुक्त सबमेनिफोल्ड्स के कोबॉर्डिज़्म वर्गों के सेट के साथ आपत्ति में प्राकृतिक समरूपता है। $$X \setminus \partial X$$.
 * का स्थिर कोहोमोटोपी समूह $$X$$ कॉलिमिट है
 * $$\pi^p_s(X) = \varinjlim_k{[\Sigma^k X, S^{p+k}]}$$
 * जो एक एबेलियन समूह है।