ल्यपुनोव फलन

साधारण अंतर समीकरणों (ओडीई) के सिद्धांत में, ल्यपुनोव फलन, जिसका नाम अलेक्जेंडर ल्यपुनोव के नाम पर रखा गया है, अदिश कार्य हैं जिनका उपयोग ओडीई के संतुलन बिंदु की स्थिरता को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है। ल्यपुनोव फलन (जिन्हें स्थिरता के लिए ल्यपुनोव की दूसरी विधि भी कहा जाता है) गतिशील प्रणालियों और नियंत्रण सिद्धांत के स्थिरता सिद्धांत के लिए महत्वपूर्ण हैं। समान अवधारणा मार्कोव श्रृंखलाओं के सामान्य राज्य स्थान के सिद्धांत में प्रदर्शित होती है, सामान्यतः फोस्टर-लायपुनोव फलन नाम के अंतर्गत है।

ओडीई के कुछ वर्गों के लिए, ल्यपुनोव कार्यों का अस्तित्व स्थिरता के लिए आवश्यक और पर्याप्त नियम होते है। ओडीई के लिए ल्यपुनोव कार्यों के निर्माण के लिए कोई सामान्य तकनीक नहीं है, चूँकि, फॉर्मूलेशन प्रकार के आधार पर, स्वायत्त विषयों में उनके सबसे सामान्य रूप का उपयोग करके सामान्य अंतर समीकरणों के लिए ल्यपुनोव कार्यों के निर्माण की व्यवस्थित विधि प्रोफेसर केम सिवेलेक द्वारा दी गई थी। चूँकि, कई विशिष्ट विषयों में ल्यपुनोव फलन का निर्माण ज्ञात है। उदाहरण के लिए, व्यावहारिक गणितज्ञों के अनुसार, विघटनकारी जाइरोस्कोपिक प्रणाली के लिए ल्यपुनोव फलन का निर्माण नहीं किया जा सका है। चूँकि, उपरोक्त प्रकाशन में व्यक्त विधि का उपयोग करते हुए, ऐसी प्रणाली के लिए भी सी. सिवेलेक और ओ द्वारा संबंधित लेख के अनुसार ल्यपुनोव फलन का निर्माण किया जा सकता है। सिहानबेगेंडी. इसके अतिरिक्त, अवस्था वाली प्रणाली के लिए द्विघात फलन पर्याप्त होते हैं; विशेष रैखिक मैट्रिक्स असमानता का समाधान रैखिक प्रणालियों के लिए ल्यपुनोव फलन प्रदान करता है, और संरक्षण नियम (भौतिकी) का उपयोग प्रायः भौतिक प्रणालियों के लिए ल्यपुनोव कार्यों के निर्माण के लिए किया जा सकता है।

परिभाषा
स्वायत्त गतिशील प्रणाली के लिए ल्यपुनोव फलन इस प्रकार है:-


 * $$\begin{cases}g:\R^n \to \R^n &

\\ \dot{y} = g(y) \end{cases}$$ संतुलन बिंदु के साथ $$y=0$$ अदिश फलन है, $$V:\R^n\to\R$$ जो सतत है, उसका सतत प्रथम अवकलज है, उसके लिए पूर्णतः सकारात्मक $$y\neq 0$$ है, और जिसके लिए समय $$\dot{V} = \nabla{V}\cdot g$$ अन्य सकारात्मक व्युत्पन्न है (ये नियम मूल वाले कुछ क्षेत्र पर आवश्यक हैं)। वह स्थिति $$-\nabla{V}\cdot g$$ के लिए $$y\neq 0$$ पूर्णतः सकारात्मक है, कभी-कभी इस प्रकार कहा जाता है, $$-\nabla{V}\cdot g$$ स्थानीय रूप से सकारात्मक निश्चित है, या $$\nabla{V}\cdot g$$ स्थानीय रूप से नकारात्मक निश्चित है I

परिभाषा में प्रयोग किये जाने वाले शब्दों की चर्चा
ल्यपुनोव फलन गतिशील प्रणालियों के संतुलन बिंदुओं के अध्ययन में उत्पन्न होते हैं। $$\R^n,$$ में स्वायत्त गतिशील प्रणाली के रूप में लिखा जा सकता है


 * $$\dot{y} = g(y)$$

कुछ स्मूथ $$g:\R^n \to \R^n.$$ के लिए

संतुलन बिंदु $$y^*$$ है, ऐसा है कि $$g\left(y^*\right) = 0.$$ संतुलन बिंदु दिया गया है, $$y^*$$ वहाँ सदैव समन्वयात्मक परिवर्तन $$x = y - y^*$$ विद्यमान रहता है, ऐसा है कि:


 * $$\begin{cases} \dot{x} = \dot{y} = g(y) = g\left(x + y^*\right) = f(x) \\ f(0) = 0 \end{cases}$$

इस प्रकार, संतुलन बिंदुओं का अध्ययन करने में, यह मान लेना पर्याप्त है कि संतुलन बिंदु $$0$$ घटित होता है I

श्रृंखला नियम के अनुसार, किसी भी कार्य के लिए, $$H:\R^n \to \R,$$ गतिशील प्रणाली के समाधान के साथ मूल्यांकन किए गए फलन का समय व्युत्पन्न है I


 * $$ \dot{H} = \frac{d}{dt} H(x(t)) = \frac{\partial H}{\partial x}\cdot \frac{dx}{dt} = \nabla H \cdot \dot{x} = \nabla H\cdot f(x).$$

फलन $$H$$ यदि दोनों हों तो इसे स्थानीय रूप से सकारात्मक-निश्चित फलन (गतिशील प्रणालियों के अर्थ में) के रूप में परिभाषित किया गया है, $$H(0) = 0$$ और मूल का निकट है, $$\mathcal{B}$$, ऐसा है कि:


 * $$H(x) > 0 \quad \forall x \in \mathcal{B} \setminus\{0\} .$$

स्वायत्त प्रणालियों के लिए मूलरूपी ल्यपुनोव प्रमेय
$$x^* = 0$$ स्वायत्त प्रणाली का संतुलन हो,
 * $$\dot{x} = f(x).$$

और $$\dot{V}(x)$$ नोटेशन का उपयोग करें, ल्यपुनोव फलन $$V$$ के समय व्युत्पन्न को प्रदर्शित करने के लिए :
 * $$\dot{V}(x) = \frac{d}{dt} V(x(t)) = \frac{\partial V}{\partial x}\cdot \frac{dx}{dt} = \nabla V \cdot \dot{x} = \nabla V\cdot f(x).$$

स्थानीय रूप से स्पर्शोन्मुख स्थिर संतुलन

यदि संतुलन पृथक किया जाता है, तो ल्यपुनोव-प्रत्याशी कार्य करता है I $$V$$ स्थानीय रूप से सकारात्मक निश्चित है, और ल्यपुनोव-प्रत्याशी-फलन का समय व्युत्पन्न स्थानीय रूप से नकारात्मक निश्चित है:
 * $$\dot{V}(x) < 0 \quad \forall x \in \mathcal{B}\setminus\{0\}$$

कुछ निकट के लिए $$\mathcal{B}$$ उत्पत्ति के पश्चात् संतुलन स्थानीय रूप से स्पर्शोन्मुख रूप से स्थिर सिद्ध होता है।

स्थिर संतुलन
यदि $$V$$ ल्यपुनोव फलन है, तो संतुलन स्थिरता सिद्धांत है। इसका विपरीत भी सत्य है, और इसे जे एल मासेरा द्वारा सिद्ध किया गया था।

वैश्विक स्तर पर स्पर्शोन्मुख रूप से स्थिर संतुलन
यदि ल्यपुनोव-प्रत्याशी-कार्य $$V$$ विश्व स्तर पर सकारात्मक निश्चित है, रेडियल रूप से असंबद्ध फलन, संतुलन पृथक है और ल्यपुनोव-प्रत्याशी-फलन का समय व्युत्पन्न विश्व स्तर पर नकारात्मक निश्चित है:
 * $$\dot{V}(x) < 0 \quad \forall x \in \R ^n\setminus\{0\},$$

तब संतुलन स्थिरता सिद्धांत सिद्ध होता है।

ल्यपुनोव-प्रत्याशी फलन $$V(x)$$ यदि रेडियल रूप से असीमित है, जो इस प्रकार है:-
 * $$\| x \| \to \infty \Rightarrow V(x) \to \infty. $$

(इसे मानक के रूप में भी जाना जाता है।)

उदाहरण
निम्नलिखित अंतर समीकरण $$\R$$ पर विचार करें:


 * $$\dot x = -x.$$

ध्यान में रख कर $$x^2$$ मूल के निकट सदैव सकारात्मक होता है, यह हमें अध्ययन में सहायता करने के लिए ल्यपुनोव फलन का स्वाभाविक प्रत्याशी है I $$x$$, $$V(x)=x^2$$ पर $$\R $$ तब,


 * $$\dot V(x) = V'(x) \dot x = 2x\cdot (-x) = -2x^2< 0.$$

यह सही ढंग से प्रदर्शित किया है कि उपरोक्त अंतर समीकरण, $$x,$$ उत्पत्ति के सम्बन्ध में स्पर्शोन्मुख रूप से स्थिर है। ध्यान दें कि उसी ल्यपुनोव प्रत्याशी का उपयोग करके कोई यह दिखा सकता है कि संतुलन भी विश्व स्तर पर स्पर्शोन्मुख रूप से स्थिर है।

यह भी देखें

 * ल्यपुनोव स्थिरता
 * सामान्य अवकल समीकरण
 * नियंत्रण-ल्यपुनोव फलन
 * चेतेव फलन
 * फोस्टर का प्रमेय
 * ल्यपुनोव अनुकूलन

संदर्भ

 * Civelek, C. (2018). Archives of Control Sciences, volume 28 (LXIV), No. 2, pages 201–222 Doi:10.24425/123456
 * Civelek, C.; Cihanbeğendi, Ö. (2020). Frontiers of Information Technology & Electronic Engineering, volume 21, pages 629–634 Doi: 10.1631/FITEE.1900014
 * Civelek, C. (2018). Archives of Control Sciences, volume 28 (LXIV), No. 2, pages 201–222 Doi:10.24425/123456
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बाहरी संबंध

 * Example of determining the stability of the equilibrium solution of a system of ODEs with a Lyapunov function