असतत फूरियर श्रृंखला

अंकीय संकेत प्रक्रिया में, शब्द असतत फूरियर श्रृंखला (डीएफएस) कोई भी आवधिक असतत-समय संकेत होता है जिसमें हार्मोनिक रूप से संबंधित (अर्थात् फूरियर) असतत वास्तविक साइनसॉइड या असतत सम्मिश्र घातांक सम्मिलित होता हैं, जो एक भारित योग द्वारा संयुक्त होते हैं। एक विशिष्ट उदाहरण व्युत्क्रम असतत फूरियर रूपांतरण (सामान्य) (व्युत्क्रम डीएफटी) होता है।

परिभाषा
डीएफएस का सामान्य रूप निम्न प्रकार होता है:

जो एक मौलिक आवृत्ति $$1/N$$ के हार्मोनिक्स होता हैं, कुछ सकारात्मक पूर्णांक $$N$$ के लिए होता है। $$k$$ की व्यावहारिक सीमा $$[0,\ N-1],$$ होती है क्योंकि आवधिकता बड़े मूल्यों को अनावश्यक बना देती है। जब $$X[k]$$ गुणांक a से प्राप्त होते हैं तो $$N$$-लंबाई डीएफटी, और का एक कारक $$1/N$$ डाला जाता है, तो यह उलटा डीएफटी बन जाता है।    और इस स्थिति  में, केवल गुणांकों को ही कभी-कभी असतत फूरियर श्रृंखला के रूप में संदर्भित किया जाता है।

लंबाई का एक क्रम बनाना एक सामान्य अभ्यास होता है एक $$N$$ लंबे समय से $$x[n]$$ इसे विभाजित करके क्रमबद्ध करें $$N$$-लंबाई खंड और उन्हें बिंदुवार एक साथ जोड़ना। (देखें ) यह आवधिक योग का एक चक्र उत्पन्न करता है:


 * $$x_{_N}[n]\ \triangleq\ \sum_{m=-\infty}^{\infty} x[n-mN], \quad n \in \mathbb{Z}.$$

आवधिकता के कारण, $$x_{_N}$$को DFS के रूप में दर्शाया जा सकता है $$ N $$ अद्वितीय गुणांक जिन्हें $$ N $$-लंबाई डीएफटी द्वारा प्राप्त किया जा सकता है.

गुणांक उपयोगी होता हैं क्योंकि वे असतत-समय फूरियर ट्रांसफॉर्म (डीटीएफटी) के $$x[n]$$ अनुक्रम के नमूने हैं:


 * $$X_{1/T}(f) \triangleq \sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-i 2\pi f nT}\ T\ x(nT) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} X\left(f - \tfrac{m}{T}\right), \quad f \in \mathbb{R}

$$ यहाँ, $$x(nT)$$ एक सतत फलन $$x(t)$$के प्रतिरूप का प्रतिनिधित्व करता है, नमूना अंतराल के साथ $$T,$$ और $$X(f)$$ का फूरियर रूपांतरण $$x(t)$$ होता है  समानता पॉइसन योग सूत्र का परिणाम होता है। परिभाषाओं के साथ $$x[n] \triangleq T\ x(nT)$$ और $$X_N[k] \triangleq X_{1/T}\left(\tfrac{k}{NT}\right)$$:


 * $$X_N[k] = \sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-i 2\pi \tfrac{k}{N} n}\ x[n], \quad k = 0,...,N-1$$

N-आवधिकता के कारण $$e^{-i 2\pi \tfrac{k}{N} n}$$ कर्नेल, योग को इस प्रकार प्रदर्शित किया जा सकता है:



\begin{align} X_N[k] &= \sum_{m=-\infty}^{\infty}\left(\sum_{n=0}^{N-1}e^{-i 2\pi \tfrac{k}{N}n}\ x[n-mN]\right)\\ &= \sum_{n=0}^{N-1}e^{-i 2\pi \tfrac{k}{N}n} \underbrace{\left(\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[n-mN]\right)}_{x_{_N}[n]}\\ &= \operatorname{DFT}\{x_{_N}\}. \end{align} $$