फर्मी-डिराक सांख्यिकी

फर्मी-डिराक सांख्यिकी (एफ-डी सांख्यिकी) एक प्रकार का क्वांटम सांख्यिकी है, जो भौतिक प्रणाली के भौतिकी पर प्रयुक्त होता है। जिसमें अनेक गैर-अंतःक्रियात्मक, समान कण होते हैं, जो पौली बहिष्करण सिद्धांत का पालन करते हैं। परिणाम सवरूप ऊर्जा स्तर पर कणों का फर्मी-डिराक वितरण है। इसका नाम एनरिको फर्मी और पॉल डिराक के नाम पर रखा गया है, जिनमें से प्रत्येक ने इसमे 1926 में स्वतंत्र रूप से वितरण प्राप्त किया था (चूंकि फर्मी ने इसे डिराक से पहले प्राप्त किया था)। फर्मी-डिराक सांख्यिकी सांख्यिकीय यांत्रिकी के क्षेत्र का एक भाग है, और क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांतों का उपयोग करती है।

ऊष्मा गतिकी संतुलन में अर्ध-पूर्णांक चक्रण (भौतिकी) (1/2, 3/2, आदि) के साथ समान और अप्रभेद्य कणों पर एफ-डी आँकड़े प्रयुक्त होते हैं, जिन्हें फर्मियन कहा जाता है। कणों के बीच नगण्य संपर्क के स्थितियों में, प्रणाली को एकल-कण ऊर्जा क्षेत्र के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है। परिणाम इन क्षेत्रों पर कणों का एफ-डी वितरण है, जहां कोई भी दो कण एक ही क्षेत्र पर अधिकार नहीं कर सकते हैं। जिसका प्रणाली के गुणों पर अधिक प्रभाव पड़ता है। एफ-डी आंकड़े सबसे अधिक विद्युदणु पर प्रयुक्त होते हैं, चक्रण 1/2 के साथ एक प्रकार का फ़र्मियन है।

एफ-डी सांख्यिकी का समकक्ष बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी (बी -इ सांख्यिकी) है, जो पूर्णांक चक्रण (0, 1, 2, आदि) वाले समान और अप्रभेद्य कणों पर प्रयुक्त होता है, जिसे बोसोन कहा जाता है। मौलिक भौतिकी में, मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी (एम-बी सांख्यिकी) का उपयोग उन कणों का वर्णन करने के लिए किया जाता है। जो समान हैं, और जिन्हें प्रथक-प्रथक माने जाता है। बी-ई और एम-बी दोनों आँकड़ों के लिए एक से अधिक कण एफ-डी आँकड़ों के विपरीत एक ही स्थिति पर अधिकार कर सकते हैं।

इतिहास
1926 में फर्मी-डिराक आँकड़ों की प्रारंभिक से पहले, प्रतीत होने वाली विरोधाभासी घटनाओं के कारण इलेक्ट्रॉन व्यवहार के कुछ पक्षों को समझना कठिन था। उदाहरण के रूप मे, कमरे के तापमान पर किसी धातु की इलेक्ट्रॉनिक ताप क्षमता विद्युत प्रवाह की तुलना में 100 गुना कम विद्युदणु से आती है। यह समझना भी कठिन था, कि कमरे के तापमान पर धातुओं पर उच्च विद्युत क्षेत्र लगाने से उत्पन्न क्षेत्र इलेक्ट्रॉन उत्सर्जन तापमान से लगभग स्वतंत्र क्यों थे।

ड्रूड प्रतिरूप के माध्यम से उस समय धातुओं के इलेक्ट्रॉनिक सिद्धांत के सामने आने वाली कठिनाई यह मानने के कारण थी, कि इलेक्ट्रॉन (मौलिक सांख्यिकी सिद्धांत के अनुसार) सभी समकक्ष थे। दूसरे शब्दों में, यह माना जाता था कि प्रत्येक इलेक्ट्रॉन बोल्ट्जमैन स्थिरांक kB के क्रम पर विशिष्ट ऊष्मा में एक राशि का योगदान करता है। एफ-डी सांख्यिकी के विकास की इस समस्या का समाधान नहीं हो पाया है।

एफ-डी आँकड़े पहली बार 1926 में एनरिको फर्मी और पॉल डिराक के माध्यम से प्रकाशित किए गए थे मैक्स बोर्न पास्कल जॉर्डन के अनुसार 1925 में उन्हीं आँकड़ों का विकास हुआ, जिसे उन्होंने वोल्फगैंग पौली सांख्यिकी कहा जाता था, किन्तु इसे समयबद्ध विधियों से प्रकाशित नहीं किया गया।  डिराक के अनुसार इसका अध्ययन सबसे पहले फर्मी के माध्यम से किया गया था, और डिराक ने इसे "फर्मी सांख्यिकी" और संबंधित कणों को "फर्मियन" कहा था।

1926 में राल्फ फाउलर के माध्यम से श्वेत वामन के लिए एक तारे के पतन का वर्णन करने के लिए एफ-डी आँकड़े प्रयुक्त किए गए थे। 1927 में अर्नोल्ड सोमरफेल्ड ने इसे धातुओं में विद्युदणु पर प्रयुक्त किया और मुक्त इलेक्ट्रॉन प्रतिरूप विकसित किया, और 1928 में फाउलर और लोथर वोल्फगैंग नॉर्डहाइम ने इसे धातुओं से क्षेत्र इलेक्ट्रॉन उत्सर्जन के लिए प्रयुक्त किया। फर्मी-डिराक सांख्यिकी भौतिकी का एक महत्वपूर्ण भाग बनी हुई है।

फर्मी-डिराक वितरण
ऊष्म-प्रवैगिकी संतुलन में समान फ़र्मियन की प्रणाली के लिए, एकल-कण अवस्था $i$ में फ़र्मियन की औसत संख्या फर्मी-डिराक (एफ-डी) वितरण के माध्यम से दी गई है,

कहाँ $k_{B}$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है, $T$ पूर्ण तापमान है, $ε_{i}$ एकल-कण अवस्था $i$ की ऊर्जा है और $μ$ कुल रासायनिक क्षमता है। यह वितरण स्थिति से सामान्यीकृत है


 * $$\sum_i\bar n_i=N$$
 * उसमे प्रदर्शन शैली $$\mu=\mu(T,N)$$ व्यक्त करने के लिए उपयोग किया जा सकता है। $$\mu$$ या तो एक सकारात्मक या नकारात्मक मान ग्रहण कर सकता है।

शून्य निरपेक्ष तापमान पर, $μ$ फर्मी ऊर्जा और संभावित ऊर्जा प्रति फर्मन के समरूप है, परन्तु यह सकारात्मक वर्णक्रमीय घनत्व के निकटतम (गणित) में हो। वर्णक्रमीय अंतर के स्थितियों में जैसे अर्धचालक μ में इलेक्ट्रॉनों के लिए समरूपता के बिंदु को सामान्यतः फर्मी स्तर या इलेक्ट्रॉनों के लिए विद्युत रासायनिक क्षमता कहा जाता है, और यह अंतराल के बीच में स्थित होगा। एफ-डी वितरण केवल तभी मान्य होता है, जब प्रणाली में फ़र्मियन की संख्या अधिक बड़ी होती है। जिससे प्रणाली में एक और फ़र्मियन जोड़ने से $μ$ पर नगण्य प्रभाव पड़ता है। चूंकि एफ-डी वितरण पौली बहिष्करण सिद्धांत का उपयोग करके प्राप्त किया गया था, जो प्रत्येक संभावित स्थिति पर अधिकार करने के लिए अधिकतम फ़र्मियन की अनुमति देता है, और परिणाम यह $$0 < \bar{n}_i  < 1$$ है।

कक्षा मे = केंद्र की चौड़ाई = 400 ऊंचाई = 300 शीर्षक = फर्मी-डिराक वितरण। ऊर्जा निर्भरता उच्च "टी" पर अधिक क्रमिक $$\bar{n} = 0.5$$ जब $$\varepsilon = \mu$$ नहीं दिखाया गया है। उच्च टी के $$\mu$$ लिए घट जाती है। और इसके लिए तापमान पर निर्भरता $$\varepsilon > \mu$$ है। अवस्था में कणों की संख्या के प्रसरण की गणना ऊपर दिए गए व्यंजक से $$\bar{n}_i$$ के लिए की जा सकती है।
 * $$ V(n_i) = k_{\rm B}T\frac{\partial}{\partial \mu}\bar{n}_i= \bar{n}_i(1-\bar{n}_i).$$

एफ–डी वितरण $$\bar{n}_i$$ को अध: पतन $$g_i$$ से गुणा करके ऊर्जा $$\varepsilon_i$$ वाले फ़र्मियन की औसत संख्या पाई जा सकती है (अर्थात ऊर्जा $$\varepsilon_i$$ वाले क्षेत्रों की संख्या) )

ऊर्जा पर कणों का वितरण
क्षेत्रों पर फर्मी-डिराक कणों के वितरण से, ऊर्जा पर कणों के वितरण का के स्थान का पता लगाया जा सकता है। एफ–डी वितरण $$\bar{n}_i$$ को अध: पतन $$g_i$$ से गुणा करके ऊर्जा $$\varepsilon_i$$ वाले फ़र्मियन की औसत संख्या पाई जा सकती है (अर्थात ऊर्जा $$\varepsilon_i$$ वाले क्षेत्रों की संख्या),
 * $$ \begin{align}

\bar{n}(\varepsilon_i) &= g_i \bar{n}_i \\ &= \frac{g_i}{e^{(\varepsilon_i - \mu) / k_{\rm B} T} + 1}. \end{align} $$ कब $$g_i \ge 2$$, यह संभव है कि $$\bar{n}(\varepsilon_i) > 1$$, चूंकि एक से अधिक क्षेत्र हैं जो समान ऊर्जा वाले फर्मों के माध्यम से अधिकार किए जा सकते हैं, जैसे $$\varepsilon_i$$ है।

जब ऊर्जाओं का एक अर्ध-निरंतर $$\varepsilon$$ क्षेत्रों $$g(\varepsilon)$$ का संबद्ध घनत्व होता है (अर्थात प्रति इकाई आयतन में प्रति इकाई ऊर्जा की अवस्थाओं की संख्या ), प्रति इकाई आयतन प्रति इकाई ऊर्जा श्रेणी में फ़र्मियन की औसत संख्या होती है-


 * $$\bar{\mathcal{N}}(\varepsilon) = g(\varepsilon) F(\varepsilon),$$

जहाँ $$F(\varepsilon)$$ फर्मी फलन कहा जाता है, और यह वही फलन (गणित) है जिसका उपयोग एफ-डी वितरण $$\bar{n}_i$$ के लिए किया जाता है,
 * $$ F(\varepsilon) = \frac{1}{e^{(\varepsilon - \mu) / k_{\rm B}T} + 1}, $$

ताकि


 * $$ \bar{\mathcal{N}}(\varepsilon) = \frac{g(\varepsilon)}{e^{(\varepsilon - \mu) / k_{\rm B} T} + 1}. $$

क्वांटम और मौलिक शासन
फर्मी-डिराक वितरण उच्च तापमान और कम कण घनत्व की सीमा में मैक्सवेल-बोल्ट्जमान वितरण तक बिना किसी तदर्थ धारणाओं की आवश्यकता के पहुंचता है।

\bar{n}_i = \frac{1}{e^{(\varepsilon_i-\mu)/k_{\rm B}T}+1} \ll 1 $$, इसलिए $$ e^{(\varepsilon_i-\mu)/k_{\rm B}T}+1 \gg 1 $$ या समतुल्य रूप से $$ e^{(\varepsilon_i-\mu)/k_{\rm B}T} \gg 1 $$. उस स्थिति में, $$ \bar{n}_i \approx \frac{1}{e^{(\varepsilon_i-\mu)/k_{\rm B}T}}=\frac{N}{Z}e^{-\varepsilon_i/k_{\rm B}T} $$, जो मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन सांख्यिकी का परिणाम है। \bar{n}_i = \frac{1}{e^{(\varepsilon_i-\mu)/k_{\rm B}T}+1} \ll 1 $$. यह पुनः से मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन के आँकड़ों को कम कर देता है।
 * कम कण घनत्व की सीमा में, $$
 * उच्च तापमान की सीमा में, कणों को ऊर्जा मानों की बड़ी श्रृंखला में वितरित किया जाता है, इसलिए प्रत्येक क्षेत्र पर अधिभाग (विशेष रूप से $$\varepsilon_i - \mu \gg k_{\rm B}T$$ के साथ उच्च ऊर्जा वाले) पुनः से बहुत छोटे होते है, $$

मौलिक व्यवस्था, जहां मैक्सवेल-बोल्ट्जमान आंकड़ों को फर्मी-डिराक आंकड़ों के अनुमान के रूप में उपयोग किया जा सकता है, उस स्थिति पर विचार करके पाया जाता है। जो एक कण की स्थिति और गति के लिए हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत के माध्यम से लगाए गए सीमा से दूर है। उदाहरण के लिए अर्धचालक की भौतिकी में, जब प्रवाहकत्त्व संघ की अवस्थाओं का घनत्व अपमिश्रण सांद्रता से बहुत अधिक होता है, तो प्रवाहकत्त्व संघ और फर्मी स्तर के बीच ऊर्जा अंतर की गणना मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी का उपयोग करके की जा सकती है। अन्यथा यदि प्रवाहकत्त्व संघ के क्षेत्रों के घनत्व की तुलना में अपमिश्रण एकाग्रता नगण्य नहीं है, तो स्पष्ट गणना के लिए एफ-डी वितरण का उपयोग किया जाना चाहिए। तब यह दिखाया जा सकता है कि मौलिक स्थिति प्रबल होती है, जब कणों की सांद्रता एक औसत अंतरकण पृथक्करण $$ \bar{R} $$ से मेल खाती है जो कणों के औसत डी ब्रोगली वेवलेंथ $$ \bar{\lambda} $$ से बहुत अधिक है :
 * $$\bar{R} \gg \bar{\lambda} \approx \frac{h}{\sqrt{3mk_{\rm B}T}}, $$

कहाँ $h$ प्लैंक स्थिरांक है, और $m$ प्राथमिक कण है।

एक विशिष्ट धातु में प्रवाहकत्त्व विद्युदणु के स्थितियों में $T$ = 300 केल्विन (अर्थात् लगभग कमरे का तापमान), प्रणाली मौलिक व्यवस्था से बहुत दूर है, क्योंकि $$ \bar{R} \approx \bar{\lambda}/25 $$ है। यह इलेक्ट्रॉन के छोटे द्रव्यमान और धातु में प्रवाहकत्त्व इलेक्ट्रॉनों की उच्च सांद्रता (अर्थात् छोटा $$\bar{R}$$) के कारण है। इस प्रकार विशिष्ट धातु में प्रवाहकत्त्व विद्युदणु के लिए फर्मी-डिराक सांख्यिकी की आवश्यकता होती है।

एक प्रणाली का एक और उदाहरण जो मौलिक व्यवस्था में नहीं है। वह प्रणाली है जिसमें एक तारे के इलेक्ट्रॉन होते हैं, जो श्वेत वामन के रूप में ढह गए हैं। चूंकि श्वेत वामन का तापमान उच्च होता है (सामान्यतः इसकी सतह पर $T$ = $10,000 K$), इसकी उच्च इलेक्ट्रॉन सांद्रता और प्रत्येक इलेक्ट्रॉन का छोटा द्रव्यमान मौलिक सन्निकटन का उपयोग करने से रोकता है, और पुनः से फर्मी-डिराक सांख्यिकी की आवश्यकता होती है।

भव्य विहित समूह
फर्मी-डिराक वितरण, जो केवल गैर-अंतःक्रियात्मक फ़र्मों की क्वांटम प्रणाली पर प्रयुक्त होता है, आसानी से भव्य विहित समूह से प्राप्त होता है। इस समूह में, प्रणालीएक संग्रह (तापमान T और रासायनिक क्षमता μ संग्रह के माध्यम से निर्धारित) के साथ ऊर्जा और विनिमय कणों का आदान-प्रदान करने में सक्षम है।

गैर-अंतःक्रियात्मक गुणवत्ता के कारण, प्रत्येक उपलब्ध एकल-कण स्तर (ऊर्जा स्तर ϵ के साथ) संग्रह के संपर्क में प्रथक ऊष्मा गतिकी प्रणाली बनाता है। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक एकल-कण स्तर एक प्रथक, छोटा भव्य विहित समूह है। पौली अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार, एकल-कण स्तर के लिए केवल दो संभावित सूक्ष्म क्षेत्र (सांख्यिकीय यांत्रिकी) हैं। कोई कण नहीं (ऊर्जा E=0), या एक कण (ऊर्जा E = ε) है। परिणामी विभाजन कार्य (सांख्यिकीय यांत्रिकी) उस एकल-कण स्तर के लिए इसलिए मात्र दो नियम हैं:
 * $$ \begin{align}

\mathcal Z &= \exp\big(0(\mu - \varepsilon)/k_{\rm B} T\big) + \exp\big(1(\mu - \varepsilon)/k_{\rm B} T\big) \\ &= 1 + \exp\big((\mu - \varepsilon)/k_{\rm B} T\big), \end{align}$$ और उस एकल-कण स्तर के उप-स्तर के लिए औसत कण संख्या के माध्यम से दिया गया है:
 * $$ \langle N\rangle = k_{\rm B} T \frac{1}{\mathcal Z} \left(\frac{\partial \mathcal Z}{\partial \mu}\right)_{V,T} = \frac{1}{\exp\big((\varepsilon-\mu)/k_{\rm B} T\big) + 1}. $$

यह परिणाम प्रत्येक एकल-कण स्तर के लिए प्रयुक्त होता है, और इस प्रकार प्रणालीकी संपूर्ण स्थिति के लिए फर्मी-डिराक वितरण देता है।

कण संख्या (थर्मल अस्थिरता के कारण) में भिन्नता भी प्राप्त की जा सकती है (कण संख्या में साधारण बर्नौली वितरण है):
 * $$ \big\langle (\Delta N)^2 \big\rangle = k_{\rm B} T \left(\frac{d\langle N\rangle}{d\mu}\right)_{V,T} = \langle N\rangle \big(1 - \langle N\rangle\big). $$

यह मात्रा अभिगमन परिघटनाओं में महत्वपूर्ण है, जैसे विद्युत चालकता के लिए सीबेक गुणांक और इलेक्ट्रॉन गैस के लिए ताप विद्युत गुणांक, जहां अभिगमन परिघटना में योगदान करने के लिए ऊर्जा स्तर की क्षमता $$\big\langle (\Delta N)^2 \big\rangle$$ के समानुपाती होती है।

विहित समूह
कैनोनिकल समेकन में फर्मी-डिराक आंकड़ों को प्राप्त करना भी संभव है। N समान फ़र्मियन से बनी बहु-कण प्रणाली पर विचार करें, जिसमें नगण्य परस्पर क्रिया होती है, और जो तापीय संतुलन में होती हैं। चूँकि फ़र्मियन, ऊर्जा के बीच नगण्य अंतःक्रिया होती है। अनेक-कण प्रणाली की एक अवस्था $$E_R$$ की ऊर्जा $$R$$ को एकल-कण ऊर्जा के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है


 * $$ E_R = \sum_{r} n_r \varepsilon_r $$

कहाँ $$ n_r $$ अधिभोग संख्या कहा जाता है, और एकल-कण अवस्था में कणों की संख्या है, और ऊर्जा $$\varepsilon_r $$ के साथ एकल-कण अवस्था $$r$$ में कणों की संख्या है। योग सभी संभावित एकल-कण अवस्थाओं $$r$$ से अधिक है।

संभावना है कि बहु-कण प्रणाली क्षेत्र $$R$$, में है, सामान्यीकृत विहित वितरण के माध्यम से दिया जाता है,
 * $$P_R = \frac { e^{-\beta E_R} }

{ \displaystyle \sum_{R'} e^{-\beta E_{R'}} } $$ कहाँ $$ \beta= 1/k_{\rm B}T$$,$\scriptstyle -\beta E_R$ बोलत्ज्मन गुणक कहा जाता है, और बहु-कण प्रणाली के सभी संभावित अवस्थाओं $$R'$$ पर योग होता है। एक अधिभोग संख्या के लिए औसत मान $$n_i \;$$है


 * $$\bar{n}_i \ = \ \sum_R n_i \ P_R  $$

ध्यान दें कि अनेक -कण प्रणाली की स्थिति $$R$$ एकल-कण क्षेत्रों के कण अधिभोग के माध्यम से निर्दिष्ट किया जा सकता है, अर्थात $$n_1,\, n_2,\, \ldots \;,$$ को निर्दिष्ट करके ताकि


 * $$P_R = P_{n_1,n_2,\ldots} = \frac{ e^{-\beta (n_1 \varepsilon_1+n_2 \varepsilon_2+\cdots)} }

{\displaystyle \sum_{{n_1}',{n_2}',\ldots} e^{-\beta ({n_1}' \varepsilon_1+{n_2}' \varepsilon_2+\cdots)} } $$ और $$\bar{n}_i$$ के लिए समीकरण बन जाता है-


 * $$\begin{alignat} {2}

\bar{n}_i & = \sum_{n_1,n_2,\dots} n_i \ P_{n_1,n_2,\dots} \\ \\          & = \frac{\displaystyle \sum_{n_1,n_2,\dots} n_i \ e^{-\beta (n_1\varepsilon_1 + n_2\varepsilon_2 + \cdots + n_i\varepsilon_i + \cdots)} } {\displaystyle \sum_{n_1,n_2,\dots} e^{-\beta (n_1\varepsilon_1 + n_2\varepsilon_2 + \cdots + n_i\varepsilon_i + \cdots)} } \\

\end{alignat} $$ जहां योग $$n_1, n_2, \ldots$$ के मानो के सभी संयोजनों पर है। जो पौली अपवर्जन सिद्धांत का पालन करते हैं, और प्रत्येक $$r$$ के लिए $ n_r $ = 0 or 1 है। इसके अतिरिक्त $$n_1, n_2, \ldots$$ के मानों का प्रत्येक संयोजन इस बाधा को संतुष्ट करता है कि कणों की कुल संख्या $$N$$ है।


 * $$ \sum_r n_r = N. $$

मानो को पुनर्व्यवस्थित करने पर,


 * $$ \bar{n}_i = \frac

{\displaystyle \sum_{n_i=0} ^1 n_i \ e^{-\beta (n_i\varepsilon_i)} \quad \sideset{ }{^{(i)}}\sum_{n_1,n_2,\dots} e^{-\beta (n_1\varepsilon_1+n_2\varepsilon_2+\cdots)} } {\displaystyle \sum_{n_i=0} ^1 e^{-\beta (n_i\varepsilon_i)} \qquad \sideset{ }{^{(i)}}\sum_{n_1,n_2,\dots} e^{-\beta (n_1\varepsilon_1 + n_2\varepsilon_2 + \cdots)} } $$ जहाँ योग चिह्न पर $$^{(i)}$$ इंगित करता है कि योग $$n_i$$ से अधिक नहीं है़, और इस बाधा के अधीन है कि योग से जुड़े कणों की कुल संख्या $$N_i = N-n_i$$ है। ध्यान दें कि $$\Sigma^{(i)}$$ अभी भी $$N_i  $$ बाधा के माध्यम से $$n_i$$पर निर्भर करता है, क्योंकि एक स्थितियों में $$n_i=0 $$ और $$\Sigma^{(i)}$$ का मूल्यांकन $$N_i=N ,$$ के साथ किया जाता है। जबकि दूसरे स्थितियों में $$n_i=1 $$ और $$\Sigma^{(i)}$$ का मूल्यांकन $$N_i=N-1  .$$ के साथ किया जाता है। संकेतन को सरल बनाने के लिए और स्पष्ट रूप से इंगित करने के लिए कि $$\Sigma^{(i)}$$ अभी भी $$n_i$$ से $$N-n_i$$, पर निर्भर करता है-


 * $$ Z_i(N-n_i) \equiv \ \sideset{ }{^{(i)}}\sum_{n_1,n_2,\ldots} e^{-\beta (n_1\varepsilon_1+n_2\varepsilon_2+\cdots)} \;$$

जिससे $$\bar{n}_i$$ के लिए पिछली अभिव्यक्ति को $$Z_i$$ के संदर्भ में पुनः से लिखा और मूल्यांकन किया जा सके-


 * $$ \begin{alignat} {3}

\bar{n}_i \ & = \frac{ \displaystyle \sum_{n_i=0} ^1  n_i \ e^{-\beta (n_i\varepsilon_i)}  \ \   Z_i(N-n_i)} { \displaystyle  \sum_{n_i=0} ^1 e^{-\beta (n_i\varepsilon_i)} \qquad     Z_i(N-n_i)} \\[8pt] & = \ \frac { \quad 0 \quad \; + e^{-\beta\varepsilon_i}\; Z_i(N-1)} {Z_i(N) + e^{-\beta\varepsilon_i}\; Z_i(N-1)}  \\[6pt] & = \ \frac {1} {[Z_i(N)/Z_i(N-1)] \; e^{\beta\varepsilon_i}+1} \quad. \end{alignat} $$ निम्नलिखित सन्निकटन का उपयोग $$ Z_i(N)/Z_i(N-1)$$ के स्थान पर एक अभिव्यक्ति अन्वेषण के लिए किया जाएगा


 * $$\begin{alignat} {2}

\ln Z_i(N- 1) & \simeq \ln Z_i(N) - \frac {\partial \ln Z_i(N)} {\partial N } \\ & = \ln Z_i(N) - \alpha_i \; \end{alignat}$$ कहाँ $$\alpha_i \equiv \frac {\partial \ln Z_i(N)} {\partial N} \. $$

यदि कणों की संख्या $$N$$ इतनी बड़ी है कि प्रणाली में एक कण जोड़ने पर रासायनिक क्षमता $$\mu\;$$ में परिवर्तन बहुत छोटा है, तब $$\alpha_i \simeq - \mu / k_{\rm B}T \ .$$ है दोनों पक्षों का आधार e विरोधाभास लेना, $$\alpha_i \,$$के लिए प्रतिस्थापित करना और पुनर्व्यवस्थित करना है,


 * $$Z_i(N) / Z_i(N- 1) = e^{-\mu / k_{\rm B}T }. $$

$$\bar {n}_i$$ के लिए समीकरण में उपरोक्त को प्रतिस्थापित करने और $$\beta\;$$की पिछली परिभाषा का उपयोग करने के लिए $$1/k_{\rm B}T $$ को $$\beta\;$$, के स्थान पर प्रतिस्थापित करने से फर्मी-डिराक वितरण होता है।
 * $$\bar{n}_i = \ \frac {1} {e^{(\varepsilon_i - \mu)/k_{\rm B}T }+1}$$

मैक्सवेल-बोल्ट्जमान वितरण और बोस-आइंस्टीन वितरण की भांति फर्मी-डिराक वितरण भी औसत मानो के डार्विन-फाउलर विधि के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है।

सूक्ष्म विहित समूह
प्रणालीकी बहुलता का सरल विश्लेषण करके और लैग्रेंज गुणक का उपयोग करके परिणाम प्राप्त किया जा सकता है।

मान लीजिए कि हमारे पास अनेक ऊर्जा स्तर हैं, जिन्हें इंडेक्स i के माध्यम से अंकित किया गया है, प्रत्येक स्तर मे ऊर्जा εi है, और इसमे कुल ni कण है। मान लीजिए कि प्रत्येक स्तर में gi विशिष्ट उपस्तर होते हैं, जिनमें से सभी में समान ऊर्जा होती है, और जो प्रथक-प्रथक होते हैं। उदाहरण के लिए, दो कणों का संवेग भिन्न हो सकता है (अर्थात् उनका संवेग भिन्न दिशाओं में हो सकता है), जिस स्थिति में वे एक दूसरे से भिन्न होते हैं, पुनः भी उनमें समान ऊर्जा हो सकती है। स्तर i से जुड़े gi के मान को उस ऊर्जा स्तर का "अपघटन" कहा जाता है। पाउली बहिष्करण सिद्धांत कहता है, कि केवल फर्मियन ऐसे किसी भी उपस्तर पर अधिकार कर सकता है।

एक ऊर्जा स्तर के gi उपस्तरों के बीच ni अप्रभेद्य कणों को वितरित करने के विधियों की संख्या, अधिकतम कण प्रति उपस्तर के साथ, द्विपद गुणांक के माध्यम से दी जाती है, इसके संयोजी व्याख्या का उपयोग करते हुए-

w(n_i,g_i)=\frac{g_i!}{n_i!(g_i-n_i)!} \. $$ उदाहरण के लिए, दो कणों को तीन उपस्तरों में विभाजन से कुल तीन विधियों से 110, 101, या 011 की जनसंख्या संख्या मिलेगी जो 3!/(2!1!) के समरूप है।

विधियों की संख्या जिसमें आधिपत्य संख्याओं ni का एक समुच्चय संपादित किया जा सकता है। उन विधियों का उत्पाद है जिनसे प्रत्येक व्यक्तिगत ऊर्जा स्तर को वासित किया जा सकता है-



W = \prod_i w(n_i,g_i) = \prod_i \frac{g_i!}{n_i!(g_i-n_i)!}. $$ मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी को प्राप्त करने में उपयोग की जाने वाली एक ही प्रक्रिया का पालन करते हुए, हम ni का समुच्चय अन्वेषणा चाहते हैं। जिसके लिए W को अधिकतम किया जाता है, इस बाधा के अधीन कि कणों की एक निश्चित संख्या हो और एक निश्चित ऊर्जा होती है। हम फलन बनाने वाले लैग्रेंज गुणक का उपयोग करके अपने समाधान को बाध्य करते हैं-



f(n_i)=\ln(W)+\alpha\left(N-\sum n_i\right)+\beta\left(E-\sum n_i \varepsilon_i\right). $$ क्रमगुणों के लिए स्टर्लिंग के सन्निकटन का उपयोग करना, व्युत्पन्न को ni के संबंध में लेना, परिणाम को शून्य पर समुच्चय करना, और ni के लिए हल करने से फर्मी-डिराक जनसंख्या संख्या प्राप्त होती है-



n_i = \frac{g_i}{e^{\alpha+\beta \varepsilon_i}+1}. $$ मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी लेख में उल्लिखित प्रक्रिया के समान एक प्रक्रिया के माध्यम से इसे ऊष्मागतिकीय रूप से दिखाया जा सकता है, कि $\beta = \frac{1}{k_{\rm B}T}$ और $\alpha = - \frac{\mu}{k_{\rm B}T}$, जिससेअंत में संभावना है कि एक क्षेत्र पर अधिकार कर लिया जाएगा-



\bar{n}_i = \frac{n_i}{g_i} = \frac{1}{e^{(\varepsilon_i-\mu)/k_{\rm B}T}+1}. $$

यह भी देखें

 * भव्य विहित समूह
 * पाउली अपवर्जन सिद्धांत
 * पूरा फर्मी-डिराक अभिन्न | पूरा फर्मी-डिराक अभिन्न
 * फर्मी स्तर
 * फर्मी गैस
 * मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन सांख्यिकी
 * बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी
 * पैरा सांख्यिकी
 * तार्किक कार्य