जेट (गणित)

गणित में, जेट एक ऑपरेशन है जो एक भिन्न फ़ंक्शन एफ लेता है और अपने डोमेन के प्रत्येक बिंदु पर एक बहुपद, एफ का छोटा टेलर बहुपद उत्पन्न करता है। हालाँकि यह एक जेट की परिभाषा है, जेट का सिद्धांत इन बहुपदों को बहुपद कार्यों के बजाय बहुपद#सार बीजगणित के रूप में मानता है।

यह आलेख पहले एक वास्तविक चर में एक वास्तविक मूल्यवान फ़ंक्शन के जेट की धारणा की पड़ताल करता है, इसके बाद कई वास्तविक चर के सामान्यीकरण की चर्चा होती है। इसके बाद यह यूक्लिडियन स्थानों के बीच जेट और जेट रिक्त स्थान का एक कठोर निर्माण देता है। यह कई गुना ्स के बीच जेट्स के विवरण के साथ समाप्त होता है, और इन जेट्स को आंतरिक रूप से कैसे बनाया जा सकता है। इस अधिक सामान्य संदर्भ में, यह विभेदक ज्यामिति और विभेदक समीकरणों के सिद्धांत में जेट के कुछ अनुप्रयोगों का सारांश प्रस्तुत करता है।

यूक्लिडियन स्थानों के बीच कार्यों के जेट
जेट की कठोर परिभाषा देने से पहले, कुछ विशेष मामलों की जांच करना उपयोगी है।

एक-आयामी मामला
लगता है कि $$f: {\mathbb R}\rightarrow{\mathbb R}$$ एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन है जिसमें बिंदु के पड़ोस (गणित) यू में कम से कम k + 1 व्युत्पन्न होता है $$x_0$$. फिर टेलर के प्रमेय द्वारा,


 * $$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\cdots+\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^{k}+\frac{R_{k+1}(x)}{(k+1)!}(x-x_0)^{k+1}$$

कहाँ
 * $$|R_{k+1}(x)|\le\sup_{x\in U} |f^{(k+1)}(x)|.$$

फिर बिंदु पर f का k-जेट $$x_0$$ बहुपद के रूप में परिभाषित किया गया है
 * $$(J^k_{x_0}f)(z)

=\sum_{i=0}^k \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}z^i =f(x_0)+f'(x_0)z+\cdots+\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}z^k.$$ जेट को सामान्यतः चर z में बहुपद#सार बीजगणित के रूप में माना जाता है, न कि उस चर में वास्तविक बहुपद फलन के रूप में। दूसरे शब्दों में, z एक अनिश्चित (चर) है जो जेट के बीच विभिन्न अमूर्त बीजगणित करने की अनुमति देता है। वास्तव में यह आधार-बिंदु है $$x_0$$ जिससे जेट अपनी कार्यात्मक निर्भरता प्राप्त करते हैं। इस प्रकार, आधार-बिंदु को अलग-अलग करके, एक जेट प्रत्येक बिंदु पर अधिकतम k क्रम का बहुपद उत्पन्न करता है। यह जेट और ट्रंकेटेड टेलर श्रृंखला के बीच एक महत्वपूर्ण वैचारिक अंतर को दर्शाता है: आम तौर पर टेलर श्रृंखला को इसके आधार-बिंदु के बजाय इसके चर पर कार्यात्मक रूप से निर्भर माना जाता है। दूसरी ओर, जेट, टेलर श्रृंखला के बीजगणितीय गुणों को उनके कार्यात्मक गुणों से अलग करते हैं। हम लेख में बाद में इस अलगाव के कारणों और अनुप्रयोगों पर चर्चा करेंगे।

एक यूक्लिडियन स्थान से दूसरे तक मानचित्रण
लगता है कि $$f:{\mathbb R}^n\rightarrow{\mathbb R}^m$$ एक यूक्लिडियन स्पेस से दूसरे यूक्लिडियन स्पेस में कम से कम (k + 1) डेरिवेटिव वाला एक फ़ंक्शन है। इस मामले में, टेलर का प्रमेय इस बात पर जोर देता है



\begin{align} f(x)=f(x_0)+ (Df(x_0))\cdot(x-x_0)+ {} & \frac{1}{2}(D^2f(x_0))\cdot (x-x_0)^{\otimes 2} + \cdots \\[4pt] & \cdots +\frac{D^kf(x_0)}{k!}\cdot(x-x_0)^{\otimes k}+\frac{R_{k+1}(x)}{(k+1)!}\cdot(x-x_0)^{\otimes (k+1)}. \end{align} $$ तब f के k-जेट को बहुपद के रूप में परिभाषित किया जाता है


 * $$(J^k_{x_0}f)(z)=f(x_0)+(Df(x_0))\cdot z+\frac{1}{2}(D^2f(x_0))\cdot z^{\otimes 2} + \cdots + \frac{D^kf(x_0)}{k!}\cdot z^{\otimes k}$$

में $${\mathbb R}[z]$$, कहाँ $$z=(z_1,\ldots,z_n)$$.

जेट्स के बीजगणितीय गुण
दो बुनियादी बीजगणितीय संरचनाएँ हैं जिन्हें जेट ले जा सकते हैं। पहला उत्पाद संरचना है, हालाँकि अंततः यह सबसे कम महत्वपूर्ण साबित होता है। दूसरा जेटों की संरचना की संरचना है।

अगर $$f,g:{\mathbb R}^n\rightarrow {\mathbb R}$$ वास्तविक-मूल्यवान कार्यों की एक जोड़ी है, तो हम उनके जेट के उत्पाद को इसके माध्यम से परिभाषित कर सकते हैं


 * $$J^k_{x_0}f\cdot J^k_{x_0}g=J^k_{x_0}(f\cdot g).$$

यहां हमने अनिश्चित z को दबा दिया है, क्योंकि यह समझा जाता है कि जेट औपचारिक बहुपद हैं। यह उत्पाद केवल z, मॉड्यूलो (शब्दजाल) में सामान्य बहुपदों का उत्पाद है $$z^{k+1}$$. दूसरे शब्दों में, यह वलय में गुणन है $${\mathbb R}[z]/(z^{k+1})$$, कहाँ $$(z^{k+1})$$ क्रम ≥ k + 1 के सजातीय बहुपदों द्वारा उत्पन्न आदर्श (रिंग सिद्धांत) है।

अब हम जेटों की संरचना की ओर बढ़ते हैं। अनावश्यक तकनीकीताओं से बचने के लिए, हम फ़ंक्शंस के जेट पर विचार करते हैं जो मूल को मूल से मैप करते हैं। अगर $$f:{\mathbb R}^m\rightarrow{\mathbb R}^\ell$$ और $$g:{\mathbb R}^n\rightarrow{\mathbb R}^m$$ फिर f(0)=0 और g(0)=0 के साथ $$f\circ g:{\mathbb R}^n \rightarrow{\mathbb R}^\ell$$. जेट की संरचना को परिभाषित किया गया है $$J^k_0 f\circ J^k_0 g=J^k_0 (f\circ g).$$ श्रृंखला नियम का उपयोग करके इसे आसानी से सत्यापित किया जाता है, कि यह मूल में जेट के स्थान पर एक सहयोगी गैर-अनुवांशिक संचालन का गठन करता है।

वास्तव में, के-जेट्स की संरचना बहुपद मॉड्यूलो की संरचना से अधिक कुछ नहीं है, क्रम के सजातीय बहुपदों का आदर्श $$> k$$.

उदाहरण:
 * एक आयाम में, चलो $$f(x)=\log(1-x)$$ और $$g(x)=\sin\,x$$. तब


 * $$(J^3_0f)(x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}$$
 * $$(J^3_0g)(x)=x-\frac{x^3}{6}$$

और



\begin{align} & (J^3_0f)\circ (J^3_0g)=-\left(x-\frac{x^3}{6}\right)-\frac{1}{2}\left(x-\frac{x^3}{6}\right)^2-\frac{1}{3} \left(x-\frac{x^3}{6}\right)^3 \pmod{x^4} \\[4pt] = {} & -x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6} \end{align} $$

विश्लेषणात्मक परिभाषा
निम्नलिखित परिभाषा जेट और जेट स्पेस को परिभाषित करने के लिए गणितीय विश्लेषण के विचारों का उपयोग करती है। इसे बानाच स्थानों के बीच सुचारू कार्यों, वास्तविक या जटिल विश्लेषण के बीच विश्लेषणात्मक कार्यों, पी-एडिक विश्लेषण और विश्लेषण के अन्य क्षेत्रों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

होने देना $$C^\infty({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)$$ सुचारू कार्यों का सदिश स्थान बनें $$f:{\mathbb R}^n\rightarrow {\mathbb R}^m$$. मान लीजिए कि k एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, और मान लीजिए कि p एक बिंदु है $${\mathbb R}^n$$. हम एक तुल्यता संबंध को परिभाषित करते हैं $$E_p^k$$ इस स्थान पर यह घोषणा करके कि दो फ़ंक्शन एफ और जी ऑर्डर के के बराबर हैं यदि एफ और जी का पी पर समान मूल्य है, और उनके सभी आंशिक डेरिवेटिव अपने के-वें-ऑर्डर डेरिवेटिव तक (और इसमें शामिल) पी पर सहमत हैं। संक्षेप में,$$f \sim g \,\!$$ आईएफएफ $$ f-g = 0 $$ से k-वें क्रम तक.

का 'के-वें-ऑर्डर जेट स्पेस' $$C^\infty({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)$$ p पर समतुल्य वर्गों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है $$E^k_p$$, और द्वारा दर्शाया गया है $$J^k_p({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)$$.

एक सुचारू कार्य के पी पर के-वें-ऑर्डर जेट $$f\in C^\infty({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)$$ इसे f के समतुल्य वर्ग के रूप में परिभाषित किया गया है $$J^k_p({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)$$.

बीजगणितीय-ज्यामितीय परिभाषा
निम्नलिखित परिभाषा जेट और जेट स्पेस की धारणा स्थापित करने के लिए बीजगणितीय ज्यामिति और क्रमविनिमेय बीजगणित के विचारों का उपयोग करती है। हालाँकि यह परिभाषा बीजगणितीय ज्यामिति में उपयोग के लिए विशेष रूप से उपयुक्त नहीं है, क्योंकि इसे चिकनी श्रेणी में रखा गया है, इसे आसानी से ऐसे उपयोगों के अनुरूप बनाया जा सकता है।

होने देना $$C_p^\infty({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)$$ सुचारू कार्यों के रोगाणु (गणित) का वेक्टर स्थान बनें $$f:{\mathbb R}^n\rightarrow {\mathbb R}^m$$ एक बिंदु पर पी में $${\mathbb R}^n$$. होने देना $${\mathfrak m}_p$$ कार्यों के रोगाणुओं से युक्त आदर्श बनें जो पी पर लुप्त हो जाते हैं। (यह स्थानीय रिंग के लिए अधिकतम आदर्श है $$C_p^\infty({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)$$.) फिर आदर्श $${\mathfrak m}_p^{k+1}$$ इसमें सभी कार्यशील रोगाणु शामिल होते हैं जो p पर k क्रम में गायब हो जाते हैं। अब हम 'जेट स्पेस' को पी द्वारा परिभाषित कर सकते हैं


 * $$J^k_p({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)=C_p^\infty({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)/{\mathfrak m}_p^{k+1}$$

अगर $$f:{\mathbb R}^n\rightarrow {\mathbb R}^m$$ एक सहज कार्य है, हम p पर f के k-जेट को के तत्व के रूप में परिभाषित कर सकते हैं $$J^k_p({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)$$ व्यवस्थित करके


 * $$J^k_pf=f \pmod {{\mathfrak m}_p^{k+1}}$$

यह अधिक सामान्य निर्माण है. स्थानीय रूप से रिंगित स्थान के लिए|$$\mathbb{F}$$-अंतरिक्ष $$M$$, होने देना $$\mathcal{F}_p$$ संरचना शीफ ​​का डंठल (शेफ) बनें $$p$$ और जाने $${\mathfrak m}_p$$ स्थानीय रिंग का अधिकतम आदर्श बनें $$\mathcal{F}_p$$. केथ जेट स्पेस पर $$p$$ अंगूठी के रूप में परिभाषित किया गया है $$J^k_p(M)=\mathcal{F}_p/{\mathfrak m}_p^{k+1}$$($${\mathfrak m}_p^{k+1}$$ आदर्श (रिंग सिद्धांत)#आदर्श संचालन) है।

टेलर का प्रमेय
परिभाषा के बावजूद, टेलर का प्रमेय वेक्टर स्थानों के बीच एक विहित समरूपता स्थापित करता है $$J^k_p({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)$$ और $${\mathbb R}^m[z_1, \dotsc, z_n]/(z_1, \dotsc, z_n)^{k+1}$$. तो यूक्लिडियन संदर्भ में, जेट को आमतौर पर इस समरूपता के तहत उनके बहुपद प्रतिनिधियों के साथ पहचाना जाता है।

एक बिंदु से एक बिंदु तक जेट रिक्त स्थान
हमने अंतरिक्ष को परिभाषित किया है $$J^k_p({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)$$ एक बिंदु पर जेट की $$p\in {\mathbb R}^n$$. इसका उपस्थान फलन f के जेटों से युक्त है जिससे कि f(p)=q द्वारा निरूपित किया जाता है
 * $$J^k_p({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)_q=\left\{J^kf\in J^k_p({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m) \mid f(p) = q \right\}$$

दो मैनिफ़ोल्ड के बीच फ़ंक्शंस के जेट
यदि एम और एन दो भिन्न-भिन्न मैनिफोल्ड हैं, तो हम किसी फ़ंक्शन के जेट को कैसे परिभाषित करते हैं $$f:M\rightarrow N$$? हम शायद एम और एन पर मैनिफोल्ड का उपयोग करके ऐसे जेट को परिभाषित करने का प्रयास कर सकते हैं। इसका नुकसान यह है कि जेट को इस प्रकार अपरिवर्तनीय तरीके से परिभाषित नहीं किया जा सकता है। जेट टेंसर के रूप में परिवर्तित नहीं होते हैं। इसके बजाय, दो मैनिफ़ोल्ड के बीच फ़ंक्शंस के जेट एक जेट बंडल से संबंधित होते हैं।

वास्तविक रेखा से मैनिफ़ोल्ड तक फ़ंक्शंस के जेट
मान लीजिए कि एम एक चिकनी मैनिफोल्ड है जिसमें एक बिंदु पी है। हम पी के माध्यम से वक्रों के जेट को परिभाषित करेंगे, जिसके द्वारा अब हमारा तात्पर्य सुचारू कार्यों से है $$f:{\mathbb R}\rightarrow M$$ ऐसा कि f(0)=p. तुल्यता संबंध को परिभाषित करें $$E_p^k$$ निम्नलिखित नुसार। मान लीजिए कि f और g, p से होकर गुजरने वाले वक्रों का एक युग्म हैं। हम तब कहेंगे कि एफ और जी पी पर ऑर्डर के के बराबर हैं यदि पी का कुछ पड़ोस (गणित) यू है, जैसे कि, हर सुचारू कार्य के लिए $$\varphi : U \rightarrow {\mathbb R}$$, $$J^k_0 (\varphi\circ f)=J^k_0 (\varphi\circ g)$$. ध्यान दें कि ये जेट समग्र कार्यों के बाद से अच्छी तरह से परिभाषित हैं $$\varphi\circ f$$ और $$\varphi\circ g$$ वास्तविक लाइन से स्वयं तक केवल मैपिंग हैं। इस तुल्यता संबंध को कभी-कभी पी पर वक्रों के बीच के-वें-क्रम संपर्क (गणित) कहा जाता है।

अब हम p से p तक वक्र के 'k-जेट' को f के समतुल्य वर्ग के रूप में परिभाषित करते हैं $$E^k_p$$, निरूपित $$J^k\! f\,$$ या $$J^k_0f$$. के-वें-ऑर्डर जेट स्पेस $$J^k_0({\mathbb R},M)_p$$ फिर पी पर के-जेट्स का सेट है। चूँकि p, M से भिन्न होता है, $$J^k_0({\mathbb R},M)_p$$ एम के ऊपर एक फाइबर बंडल बनाता है: के-वें-क्रम स्पर्शरेखा बंडल, जिसे अक्सर साहित्य में टी द्वारा दर्शाया जाता हैकM (हालाँकि यह संकेतन कभी-कभी भ्रम पैदा कर सकता है)। मामले में k=1, तो प्रथम-क्रम स्पर्शरेखा बंडल सामान्य स्पर्शरेखा बंडल है: T1M=TM.

यह साबित करने के लिए कि टीकेएम वास्तव में एक फाइबर बंडल है, इसके गुणों की जांच करना शिक्षाप्रद है $$J^k_0({\mathbb R},M)_p$$ स्थानीय निर्देशांक में. चलो (xi)= (x1,...,xn) पी के पड़ोस यू में एम के लिए एक स्थानीय समन्वय प्रणाली बनें। अंकन का थोड़ा दुरुपयोग, हम (x) पर विचार कर सकते हैंi) एक स्थानीय भिन्नता के रूप में $$(x^i):M\rightarrow\R^n$$.

दावा करना। पी से होकर गुजरने वाले दो वक्र एफ और जी समतुल्य मॉड्यूल हैं $$E_p^k$$ अगर और केवल अगर $$J^k_0\left((x^i)\circ f\right)=J^k_0\left((x^i)\circ g\right)$$.


 * दरअसल, केवल तभी भाग स्पष्ट है, क्योंकि प्रत्येक n कार्य x करता है1,...,xnM से एक सुचारु कार्य है $${\mathbb R}$$. तो तुल्यता संबंध की परिभाषा के अनुसार $$E_p^k$$, दो समतुल्य वक्र होने चाहिए $$J^k_0(x^i\circ f)=J^k_0(x^i\circ g)$$.


 * इसके विपरीत, मान लीजिए $$\varphi$$; पी के पड़ोस में एम पर एक सहज वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन है। चूँकि प्रत्येक सुचारु कार्य की एक स्थानीय समन्वय अभिव्यक्ति होती है, हम व्यक्त कर सकते हैं $$\varphi$$; निर्देशांक में एक फ़ंक्शन के रूप में। विशेष रूप से, यदि q, p के निकट M का एक बिंदु है, तो


 * $$\varphi(q)=\psi(x^1(q),\dots,x^n(q))$$
 * एन वास्तविक चर के कुछ सहज वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन ψ के लिए। इसलिए, पी से होकर गुजरने वाले दो वक्रों एफ और जी के लिए, हमारे पास है


 * $$\varphi\circ f=\psi(x^1\circ f,\dots,x^n\circ f)$$
 * $$\varphi\circ g=\psi(x^1\circ g,\dots,x^n\circ g)$$
 * श्रृंखला नियम अब दावे के if भाग को स्थापित करता है। उदाहरण के लिए, यदि f और g वास्तविक चर t के फलन हैं, तो


 * $$\left. \frac{d}{dt} \left( \varphi\circ f \right) (t) \right|_{t=0}= \sum_{i=1}^n\left.\frac{d}{dt}(x^i\circ f)(t)\right|_{t=0}\ (D_i\psi)\circ f(0)$$
 * जो f के बजाय g के विरुद्ध मूल्यांकन करने पर समान अभिव्यक्ति के बराबर है, यह याद करते हुए कि f(0)=g(0)=p और f और g समन्वय प्रणाली में k-वें-क्रम संपर्क में हैं (x)मैं).

इसलिए प्रत्यक्ष फाइबर बंडल टीकेएम प्रत्येक समन्वयित पड़ोस में स्थानीय तुच्छीकरण को स्वीकार करता है। इस बिंदु पर, यह साबित करने के लिए कि यह प्रत्यक्ष फाइबर बंडल वास्तव में एक फाइबर बंडल है, यह स्थापित करना पर्याप्त है कि इसमें निर्देशांक के परिवर्तन के तहत गैर-एकवचन संक्रमण कार्य हैं। होने देना $$(y^i):M\rightarrow{\mathbb R}^n$$ एक अलग समन्वय प्रणाली बनें और चलो $$\rho=(x^i)\circ (y^i)^{-1}:{\mathbb R}^n\rightarrow {\mathbb R}^n$$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष के निर्देशांक भिन्नता के संबंधित परिवर्तन स्वयं से संबंधित हों। के एक एफ़िन परिवर्तन के माध्यम से $${\mathbb R}^n$$, हम व्यापकता खोए बिना यह मान सकते हैं कि ρ(0)=0. इस धारणा के साथ, यह सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है $$J^k_0\rho:J^k_0({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^n)\rightarrow J^k_0({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^n)$$ जेट संरचना के अंतर्गत एक उलटा परिवर्तन है। (जेट समूह भी देखें।) लेकिन चूँकि ρ एक भिन्नरूपता है, $$\rho^{-1}$$ यह एक सहज मानचित्रण भी है। इस तरह,


 * $$I=J^k_0I=J^k_0(\rho\circ\rho^{-1})=J^k_0(\rho)\circ J^k_0(\rho^{-1})$$

जो यह साबित करता है $$J^k_0\rho$$ गैर-एकवचन है. इसके अलावा, यह सहज है, हालाँकि हम यहाँ उस तथ्य को साबित नहीं करते हैं।

सहज रूप से, इसका मतलब यह है कि हम एम पर स्थानीय निर्देशांक में टेलर श्रृंखला के संदर्भ में पी के माध्यम से एक वक्र के जेट को व्यक्त कर सकते हैं।

स्थानीय निर्देशांक में उदाहरण:


 * जैसा कि पहले संकेत दिया गया है, पी के माध्यम से वक्र का 1-जेट एक स्पर्शरेखा वेक्टर है। पी पर एक स्पर्शरेखा वेक्टर एक प्रथम-क्रम अंतर ऑपरेटर है जो पी पर सुचारू वास्तविक-मूल्य वाले कार्यों पर कार्य करता है। स्थानीय निर्देशांक में, प्रत्येक स्पर्शरेखा वेक्टर का रूप होता है


 * $$v=\sum_iv^i\frac{\partial}{\partial x^i}$$
 * ऐसे स्पर्शरेखा सदिश v को देखते हुए, मान लीजिए कि x में दिया गया वक्र f हैमैंद्वारा समन्वय प्रणाली $$x^i\circ f(t)=tv^i$$. यदि φ(p)=0 के साथ p के पड़ोस में एक सुचारू कार्य है, तो


 * $$\varphi\circ f:{\mathbb R}\rightarrow {\mathbb R}$$
 * एक वेरिएबल का एक सहज वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन है जिसका 1-जेट द्वारा दिया गया है


 * $$J^1_0(\varphi\circ f)(t)=\sum_itv^i \frac{\partial \varphi}{\partial x^i}(p).$$
 * जो यह साबित करता है कि कोई व्यक्ति स्वाभाविक रूप से उस बिंदु से गुजरने वाले वक्रों के 1-जेट के साथ एक बिंदु पर स्पर्शरेखा वैक्टर की पहचान कर सकता है।


 * एक बिंदु से होकर गुजरने वाले वक्रों के 2-जेटों का स्थान।
 * एक स्थानीय समन्वय प्रणाली में xi एक बिंदु p पर केन्द्रित, हम वक्र f(t) से p तक के दूसरे क्रम के टेलर बहुपद को व्यक्त कर सकते हैं


 * $$J_0^2(x^i(f))(t)=t\frac{dx^i(f)}{dt}(0)+\frac{t^2}{2}\frac{d^2x^i(f)}{dt^2}(0).$$
 * तो x समन्वय प्रणाली में, p के माध्यम से वक्र के 2-जेट को वास्तविक संख्याओं की सूची से पहचाना जाता है $$(\dot{x}^i,\ddot{x}^i)$$. एक बिंदु पर स्पर्शरेखा सदिशों (वक्रों के 1-जेट्स) की तरह, वक्रों के 2-जेट्स समन्वय संक्रमण कार्यों के अनुप्रयोग पर एक परिवर्तन कानून का पालन करते हैं।


 * चलो (यi) एक और समन्वय प्रणाली बनें। शृंखला नियम से,



\begin{align} \frac{d}{dt}y^i(f(t)) & = \sum_j\frac{\partial y^i}{\partial x^j}(f(t))\frac{d}{dt}x^j(f(t)) \\[5pt] \frac{d^2}{dt^2}y^i(f(t)) & = \sum_{j,k}\frac{\partial^2 y^i}{\partial x^j \, \partial x^k}(f(t))\frac{d}{dt}x^j(f(t)) \frac{d}{dt}x^k(f(t))+\sum_j\frac{\partial y^i}{\partial x^j}(f(t))\frac{d^2}{dt^2}x^j(f(t)) \end{align} $$
 * इसलिए, परिवर्तन कानून इन दो अभिव्यक्तियों का t = 0 पर मूल्यांकन करके दिया गया है।



\begin{align} & \dot{y}^i=\sum_j\frac{\partial y^i}{\partial x^j}(0)\dot{x}^j \\[5pt] & \ddot{y}^i=\sum_{j,k}\frac{\partial^2 y^i}{\partial x^j \, \partial x^k}(0)\dot{x}^j\dot{x}^k+\sum_j\frac{\partial y^i}{\partial x^j}(0)\ddot{x}^j. \end{align} $$
 * ध्यान दें कि 2-जेट के लिए परिवर्तन कानून समन्वय संक्रमण कार्यों में दूसरे क्रम का है।

मैनिफोल्ड से मैनिफोल्ड तक कार्यों के जेट
अब हम किसी फ़ंक्शन के जेट को मैनिफोल्ड से मैनिफोल्ड तक परिभाषित करने के लिए तैयार हैं।

मान लीजिए कि एम और एन दो चिकने मैनिफोल्ड हैं। मान लीजिए p, M का एक बिंदु है। स्थान पर विचार करें $$C^\infty_p(M,N)$$ चिकने नक्शों से युक्त $$f:M\rightarrow N$$ पी के कुछ पड़ोस में परिभाषित। हम एक तुल्यता संबंध को परिभाषित करते हैं $$E^k_p$$ पर $$C^\infty_p(M,N)$$ निम्नलिखित नुसार। दो मानचित्र f और g को समतुल्य कहा जाता है यदि, प्रत्येक वक्र γ से p के लिए (याद रखें कि हमारे सम्मेलनों के अनुसार यह एक मानचित्रण है) $$\gamma:{\mathbb R}\rightarrow M$$ ऐसा है कि $$\gamma(0)=p$$), अपने पास $$J^k_0(f\circ \gamma)=J^k_0(g\circ \gamma)$$ 0 के कुछ पड़ोस पर.

जेट स्पेस $$J^k_p(M,N)$$ फिर इसे समतुल्य वर्गों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है $$C^\infty_p(M,N)$$ तुल्यता संबंध मॉड्यूलो $$E^k_p$$. ध्यान दें कि क्योंकि लक्ष्य स्थान N में कोई बीजगणितीय संरचना होनी आवश्यक नहीं है, $$J^k_p(M,N)$$ ऐसी संरचना की भी आवश्यकता नहीं है। वास्तव में, यह यूक्लिडियन रिक्त स्थान के मामले से एकदम विपरीत है।

अगर $$f:M\rightarrow N$$ पी के पास परिभाषित एक सहज कार्य है, तो हम पी पर एफ के के-जेट को परिभाषित करते हैं, $$J^k_pf$$, f मॉड्यूलो का समतुल्य वर्ग होना $$E^k_p$$.

मल्टीजेट्स
जॉन माथेर (गणितज्ञ) ने मल्टीजेट की धारणा पेश की। संक्षेप में कहें तो, मल्टीजेट विभिन्न आधार-बिंदुओं पर जेटों की एक सीमित सूची है। माथेर ने मल्टीजेट ट्रांसवर्सेलिटी प्रमेय को सिद्ध किया, जिसका उपयोग उन्होंने स्थिर मैपिंग के अपने अध्ययन में किया।

खंडों के जेट
मान लीजिए कि ई प्रक्षेपण के साथ कई गुना एम पर एक परिमित-आयामी चिकनी वेक्टर बंडल है $$\pi:E\rightarrow M$$. फिर ई के अनुभाग सुचारु कार्य हैं $$s:M\rightarrow E$$ ऐसा है कि $$\pi\circ s$$ एम की पहचान स्वचालितता  है। एक बिंदु पी के पड़ोस पर एक खंड एस का जेट एम से ई तक पी पर इस चिकनी फ़ंक्शन का जेट है।

पी पर अनुभागों के जेट के स्थान को निरूपित किया जाता है $$J^k_p(M,E)$$. यद्यपि यह संकेतन दो मैनिफोल्ड्स के बीच कार्यों के अधिक सामान्य जेट स्थानों के साथ भ्रम पैदा कर सकता है, संदर्भ आम तौर पर ऐसी किसी भी अस्पष्टता को समाप्त कर देता है।

एक मैनिफोल्ड से दूसरे मैनिफोल्ड में फ़ंक्शंस के जेट के विपरीत, पी पर अनुभागों के जेट का स्थान स्वयं अनुभागों पर वेक्टर स्पेस संरचना से विरासत में मिली वेक्टर स्पेस की संरचना को वहन करता है। चूंकि पी एम पर भिन्न होता है, जेट रिक्त स्थान $$J^k_p(M,E)$$ एम के ऊपर एक वेक्टर बंडल बनाएं, जो कि ई का के-वें-ऑर्डर जेट बंडल है, जिसे जे द्वारा दर्शाया गया हैक(ई).


 * उदाहरण: स्पर्शरेखा बंडल का प्रथम-क्रम जेट बंडल।
 * हम एक बिंदु पर स्थानीय निर्देशांक में काम करते हैं और आइंस्टीन संकेतन  का उपयोग करते हैं। एक सदिश क्षेत्र पर विचार करें


 * $$v=v^i(x)\partial/\partial x^i$$
 * एम में पी के पड़ोस में। वी का 1-जेट वेक्टर क्षेत्र के गुणांक के पहले क्रम के टेलर बहुपद को लेकर प्राप्त किया जाता है:


 * $$J_0^1v^i(x)=v^i(0)+x^j\frac{\partial v^i}{\partial x^j}(0)=v^i+v^i_jx^j.$$
 * एक्स निर्देशांक में, एक बिंदु पर 1-जेट को वास्तविक संख्याओं की सूची से पहचाना जा सकता है $$(v^i,v^i_j)$$. उसी तरह जैसे किसी बिंदु पर स्पर्शरेखा वेक्टर को सूची (v) से पहचाना जा सकता हैi), समन्वय संक्रमण के तहत एक निश्चित परिवर्तन कानून के अधीन, हमें यह जानना होगा कि सूची कैसी है $$(v^i,v^i_j)$$ परिवर्तन से प्रभावित है।


 * तो किसी अन्य समन्वय प्रणाली y को पारित करने में परिवर्तन कानून पर विचार करेंमैं. चलो डब्ल्यूky निर्देशांक में सदिश क्षेत्र v के गुणांक हों। फिर y निर्देशांक में, v का 1-जेट वास्तविक संख्याओं की एक नई सूची है $$(w^i,w^i_j)$$. तब से


 * $$v=w^k(y)\partial/\partial y^k=v^i(x)\partial/\partial x^i,$$
 * यह इस प्रकार है कि


 * $$w^k(y)=v^i(x)\frac{\partial y^k}{\partial x^i}(x).$$
 * इसलिए


 * $$w^k(0)+y^j\frac{\partial w^k}{\partial y^j}(0)=\left(v^i(0)+x^j\frac{\partial v^i}{\partial x^j}\right)\frac{\partial y^k}{\partial x^i}(x)$$
 * टेलर श्रृंखला द्वारा विस्तार, हमारे पास है


 * $$w^k=\frac{\partial y^k}{\partial x^i}(0) v^i$$
 * $$w^k_j=v^i\frac{\partial^2 y^k}{\partial x^i \, \partial x^j}+v_j^i\frac{\partial y^k}{\partial x^i}. $$
 * ध्यान दें कि समन्वय संक्रमण कार्यों में परिवर्तन कानून दूसरे क्रम का है।

यह भी देखें

 * जेट समूह
 * जेट बंडल
 * लैग्रेंजियन प्रणाली

संदर्भ

 * Krasil'shchik, I. S., Vinogradov, A. M., [et al.], Symmetries and conservation laws for differential equations of mathematical physics, American Mathematical Society, Providence, RI, 1999, ISBN 0-8218-0958-X.
 * Kolář, I., Michor, P., Slovák, J., Natural operations in differential geometry. Springer-Verlag: Berlin Heidelberg, 1993. ISBN 3-540-56235-4, ISBN 0-387-56235-4.
 * Saunders, D. J., The Geometry of Jet Bundles, Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36948-7
 * Olver, P. J., Equivalence, Invariants and Symmetry, Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-47811-1
 * Sardanashvily, G., Advanced Differential Geometry for Theoreticians: Fiber bundles, jet manifolds and Lagrangian theory, Lambert Academic Publishing, 2013, ISBN 978-3-659-37815-7;