फोटॉन क्षेत्र

फोटन स्फीय (Photon sphere) या फोटॉन सर्कल एक क्षेत्र होता है जहाँ गुरुत्वाकर्षण इतना तीव्र होता है कि फोटों को आवश्यकता होती है कि वे आकारों में चक्कर लगाकर घूमें, जिसे कभी-कभी अंतिम फोटन आवरण (Last photon orbit) भी कहा जाता है। एक, श्वार्जस्चिल्ड ब्लैक होल के लिए फोटन स्फीय का त्रिज्या, जो कि किसी भी स्थिर वृत्त राशि के लिए निचला सीमा भी होता है, दिया गया है।

$$r = \frac{3GM}{c^2} = \frac{3r_\text{s}}{2},$$

जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक, $M$ ब्लैक-होल द्रव्यमान, और $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है और $r_{s}$ श्वार्जस्चिल्ड त्रिज्या (घटना क्षितिज की त्रिज्या) है; इस परिणाम का निर्धारण करने के लिए नीचे दिए गए कुछ कदमों का पालन किया जाता है।

यह समीकरण इस बात का अनुमान लगाता है कि फोटॉन स्फेयर एकमात्र एक अत्यंत संकुचित वस्तु (एक ब्लैक होल या संभवतः एक "अति-संकुचित" न्यूट्रॉन स्टार) के आस-पास के स्थान में ही सम्मलित हो सकता है।

फोटोन स्फीयर एक ब्लैक होल के केंद्र से घटना क्षेत्र से दूर होती है। फोटॉन स्फीय के भीतर, एक ऐसा फोटॉन कल्पित किया जा सकता है जो एक व्यक्ति के सिर के पीछे से निकलता है, ब्लैक होल के चारों ओर घूमता हुआ, फिर उसकी आंखों में आकर वह व्यक्ति फिर से अपने सिर के पीछे की ओर देख पाता है। गैर-घुमती ब्लैक होल के लिए, फोटॉन स्फीय rs के 3/2 के व्यास का एक गोला होता है।फोटोन स्फेर के अंदर उतरने या उसे पार करने के लिए कोई स्थिर मुक्त गिरता अवरोही चक्रवृत्ति मौजूद नहीं होती। इसके बाहर से इसे पार करने वाली कोई गिरता अवरोही चक्रवृत्ति ब्लैक होल में सर्पिल तरीके से घुमता हुआ जाता है। अंदर से इसे पार करने वाली कोई चक्रवृत्ति ब्लैक होल से दूर जाकर बेअसर हो जाती है या फिर उससे उतरते हुए घुमता हुआ ब्लैक होल में सर्पिल तरीके से घुमता हुआ जाता है। इस दूरी से कम एक अर्ध महत्वाकांक वाली कोई भी एक शांत चलाव वाली ऑर्बिट संभव नहीं है, किन्तु फोटॉन स्फीय के भीतर, एक स्थिर त्वरण से अंतरिक्ष यान या प्रोब को घटना क्षेत्र सीमा से ऊपर उठने की अनुमति होती है।

फोटॉन स्फीय की एक और गुणवत्ता केन्द्रवातावर्त बल (ध्यान दें: केन्द्रीय नहीं) के उलट होने की है। फोटॉन स्फीय के बाहर, जितनी तेज गति से व्यक्ति ऑर्बिट करता है, उतनी अधिक बाहरी बल अनुभूत करता है। केन्द्रवातावर्त बल फोटॉन स्फीय पर शून्य होता है, जिसमें किसी भी गति पर ना-फ्रीफॉल ऑर्बिट सम्मलित हैं, अर्थात एक वस्तु की वजन उसकी गति के अतिरिक्त कुछ भी नहीं होती है और फोटॉन स्फीय के अंदर उस बल का मान उलट जाता है। फोटॉन स्फीय के अंदर, अधिक तेज ऑर्बिट करने से भार या अंतर्निहित बल बढ़ता है। इसका अंतर्निहित तरल घटना विज्ञान के लिए गंभीर परिणाम होते हैं।

एक घूमते हुए ब्लैक होल में दो फोटॉन गोले होते हैं। जैसे ही ब्लैक होल घूमता है, यह अपने साथ स्पेस को फ्रेम खींच करता है। फोटॉन स्फेयर जो ब्लैक होल के निकट है, उसी दिशा में घूम रहा है जैसे कि रोटेशन, चूँकि फोटॉन स्फीयर इसके विपरीत आगे बढ़ रहा है। ब्लैक होल के घूर्णन का कोणीय वेग जितना अधिक होगा, दो फोटॉन क्षेत्रों के बीच की दूरी उतनी ही अधिक होगी। चूंकि ब्लैक होल में रोटेशन की एक धुरी होती है, यह एकमात्र भूमध्य रेखा की दिशा घूमता हुआ ब्लैक होल के निकट आने पर ही सही होता है।यदि एक ब्लैक होल की धुरी की दिशा के विभिन्न कोणों से उसके निकट पहुँचा जाए, जैसे ध्रुवियों से इक्वेटर की दिशा में आने पर, तो एकमात्र एक फोटोन स्फीय होती है। इसलिए, इस दिशा से पहुँचते समय, ब्लैक होल के घुमाव से उसके साथ या उसके विपरीत दिशा में घुमने की संभावना नहीं होती है।

एक श्वार्ज़स्चिल्ड ब्लैक होल के लिए व्युत्पत्ति
एक श्वार्जशिल्ड ब्लैक होल में गोलीय फोटन चक्र के लिए सभी संभव धुरियां समान होती हैं और सभी गोलीय चक्र एक ही त्रिज्या वाली होती हैं क्योंकि श्वार्जशिल्ड काले झरने में गोलीय फोटन रेखाएँ वास्तव में गोलीय होती हैं।

इस निरूपण में, हम श्वार्जस्चिल्ड मीट्रिक का उपयोग करते हैं, जो निम्नलिखित होता है।


 * $$ds^2 = \left(1 - \frac{r_\text{s}}{r}\right) c^2 \,dt^2 - \left(1 - \frac{r_\text{s}}{r}\right)^{-1} \,dr^2 - r^2 (\sin^2\theta \,d\phi^2 + d\theta^2).$$

एक फोटोन जो एक स्थिर रेडियस r (अर्थात फाई-निर्देश की दिशा में) से गुजर रहा हो, के लिए $$dr = 0$$. होता है। क्योंकि यह एक फोटोन है, इसलिए, $$ds = 0$$ यानी "प्रकाश-जैसे अंतराल" होता है। हम सदैव यह संभव होता है कि हम धुरी के लिए संयोजन तंत्र को ऐसे घुमा सकते हैं कि $$d\theta = 0$$ होता है। (उदाहरण के लिए $$\theta = \pi/2$$).

ds, dr और dθ को शून्य करके, हमें निम्नलिखित मिलता है।


 * $$\left(1 - \frac{r_\text{s}}{r}\right) c^2 \,dt^2 = r^2 \sin^2\theta \,d\phi^2.$$

फिर से व्यवस्थित करने से निम्नलिखित मिलता है:


 * $$\frac{d\phi}{dt} = \frac{c}{r \sin\theta} \sqrt{1 - \frac{r_\text{s}}{r}}.$$

आगे बढ़ने के लिए, हमें संबंध $$\frac{d\phi}{dt}$$ की आवश्यकता है। इसे खोजने के लिए, हम रेडियल जियोडेसिक समीकरण का उपयोग करते हैं


 * $$\frac{d^2r}{d\tau^2} + \Gamma^r_{\mu\nu} u^\mu u^\nu = 0.$$

गैर-शून्य $$\Gamma$$-कनेक्शन गुणांक हैं

\Gamma^r_{tt} = \frac{c^2 BB'}{2}, \quad \Gamma^r_{rr} = -\frac{B^{-1} B'}{2}, \quad \Gamma^r_{\theta\theta} = -rB, \quad \Gamma^r_{\phi\phi} = -Br\sin^2\theta,$$ जहाँ $$B' = \frac{dB}{dr},\ B = 1 - \frac{r_\text{s}}{r}$$.

हम फोटन रेडियल ज्यामिति को निरंतर r और $$\theta$$, के साथ उपचार करते हैं, इसलिए


 * $$\frac{dr}{d\tau} = \frac{d^2r}{d\tau^2} = \frac{d\theta}{d\tau} = 0.$$

रद्दी ज्यामिति समीकरण में इस सबको सम्मिलित करते हुए (रेडियल निर्देशिका के साथ ज्यामिति समीकरण), हम प्राप्त करते हैं:


 * $$\left(\frac{d\phi}{dt}\right)^2 = \frac{c^2 r_\text{s}}{2r^3\sin^2\theta}.$$

पहले जो प्राप्त किया गया था, उसकी समानता हमारे पास है


 * $$c \sqrt{\frac{r_\text{s}}{2r}} = c \sqrt{1 - \frac{r_\text{s}}{r}},$$

हमने यहां डाला है $$\theta = \pi/2$$ रेडियन (कल्पना करें कि फोटन आवृत्ति कर रहे केंद्रीय भार को निर्देशांक अक्षों के केंद्र में स्थित है। तब जब फोटन $$\phi$$- निर्देशांक रेखा के साथ गति में होता है, तो फोटन के आवरण के केंद्र में भार स्थित होने के लिए हमें $$\theta = \pi/2$$ रेडियन होना चाहिए।)

इसलिए, इस अंतिम अभिव्यक्ति को पुनर्व्यवस्थित करने से हमें निम्नलिखित मिलता है।


 * $$r = \frac{3}{2} r_\text{s},$$

वह परिणाम है जिसे हम सिद्ध करने के लिए निकल पड़े हैं।

फोटॉन केर ब्लैक होल के चारों ओर परिक्रमा करता है
श्वार्ज़स्चाइल्ड ब्लैक होल के विपरीत, एक केर (स्पिनिंग) ब्लैक होल गोलीय सममिति नहीं रखता है, बल्कि केवल एक सममिति का होता है, जो फोटन आवृत्तियों के लिए गहरे परिणाम होते हैं, विवरण और फोटन आवृत्तियों और फोटन वृत्तों के सिमुलेशन के लिए देखें। समकक्ष तल में दो वृत्ताकार फोटन आवृत्तियाँ होती हैं (प्रोग्रेड और रेट्रोग्रेड), जिनमें भिन्न बॉयर-लिन्डक्विस्ट त्रिज्याओं वाले होते हैं:
 * $$r_\pm^\circ = r_\text{s} \left[1 + \cos\left(\frac23 \arccos\frac{\pm|a|}{M}\right)\right],$$

यहां $$a = J/M$$ जो कि ब्लैक होल के प्रति इकाई द्रव्यमान का कोणीय संवेग है। अन्य स्थिर-त्रिज्या आवृत्तियाँ सम्मलित हैं, किन्तु उनके पथ अधिक जटिल पथ होते हैं जो क्षेत्रमध्य से अक्षांश में लटकते हुए आपस में झूलते हैं।

बाहरी संबंध

 * Step by Step into a Black Hole
 * Virtual Trips to Black Holes and Neutron Stars
 * Guide to Black Holes
 * Spherical Photon Orbits Around a Kerr Black Hole