निर्माण योग्य संख्या

ज्यामिति और बीजगणित में, एक वास्तविक संख्या $$r$$ रचनात्मक है अगर और केवल अगर, इकाई लंबाई का एक रेखा खंड, लंबाई का एक रेखा खंड दिया गया है $$|r|$$ परिमित संख्या में चरणों में कंपास और सीधे किनारे के निर्माण के साथ बनाया जा सकता है। समान रूप से, $$r$$ रचनात्मक है अगर और केवल अगर के लिए एक बंद-रूप अभिव्यक्ति है $$r$$ केवल पूर्णांकों और जोड़, घटाव, गुणा, भाग और वर्गमूल के लिए संक्रियाओं का उपयोग करना।

रचनात्मक संख्याओं की ज्यामितीय परिभाषा रचनात्मक बिंदुओं की इसी परिभाषा को प्रेरित करती है, जिसे फिर से या तो ज्यामितीय या बीजगणितीय रूप से वर्णित किया जा सकता है। एक बिंदु निर्माण योग्य है अगर इसे एक कंपास और सीधे किनारे के निर्माण के बिंदुओं में से एक के रूप में उत्पादित किया जा सकता है (एक रेखा खंड का अंत बिंदु या दो रेखाओं या मंडलों का क्रॉसिंग बिंदु), किसी दिए गए इकाई लंबाई खंड से शुरू होता है। वैकल्पिक रूप से और समतुल्य रूप से, दिए गए खंड के दो समापन बिंदुओं को कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के अंक (0, 0) और (1, 0) के रूप में लेते हुए, एक बिंदु रचनात्मक होता है यदि और केवल अगर इसके कार्टेशियन निर्देशांक दोनों रचनात्मक संख्याएं हैं। अन्य प्रक्रियाओं का उपयोग करके निर्मित की जा सकने वाली संख्याओं और बिंदुओं से उन्हें अलग करने के लिए रचनात्मक संख्याओं और बिंदुओं को शासक और कम्पास संख्या और शासक और कम्पास बिंदु भी कहा जाता है।

रचनात्मक संख्याओं का सेट एक फ़ील्ड (बीजगणित) बनाता है: इस सेट के सदस्यों के लिए चार बुनियादी अंकगणितीय परिचालनों में से किसी एक को लागू करने से एक और रचनात्मक संख्या उत्पन्न होती है। यह क्षेत्र परिमेय संख्याओं का एक क्षेत्र विस्तार है और बदले में बीजगणितीय संख्याओं के क्षेत्र में समाहित है। यह परिमेय संख्याओं का यूक्लिडियन समापन है, परिमेय संख्याओं का सबसे छोटा क्षेत्र विस्तार जिसमें इसकी सभी धनात्मक संख्याओं के वर्गमूल शामिल हैं।

रचनात्मक संख्याओं की बीजगणितीय और ज्यामितीय परिभाषाओं के बीच समानता का सबूत प्राचीन ग्रीक गणित से कई प्रसिद्ध समस्याओं सहित, कंपास और सीधे किनारों के निर्माण के बारे में ज्यामितीय प्रश्नों को अमूर्त बीजगणित में बदलने का प्रभाव है। इन प्रश्नों के बीजगणितीय सूत्रीकरण ने सबूतों को जन्म दिया कि उनके समाधान रचनात्मक नहीं हैं, उन्हीं समस्याओं के ज्यामितीय सूत्रीकरण के बाद सदियों के हमले को खारिज कर दिया।

ज्यामितीय रूप से रचनात्मक बिंदु
होने देना $$O$$ और $$A$$ समतल (ज्यामिति) में दिए गए दो अलग-अलग बिंदु हों, और परिभाषित करें $$S$$ उन बिंदुओं का समूह होना चाहिए जिन्हें कंपास और सीधे किनारे से शुरू करके बनाया जा सकता है $$O$$ और $$A$$. फिर के अंक $$S$$ रचनात्मक बिंदु कहलाते हैं। $$O$$ और $$A$$ परिभाषा के अनुसार, के तत्व हैं $$S$$. के शेष तत्वों का अधिक सटीक वर्णन करने के लिए $$S$$, निम्नलिखित दो परिभाषाएँ बनाएँ: फिर, के अंक $$S$$, अलावा $$O$$ और $$A$$ हैं:
 * एक रेखा खंड जिसका समापन बिंदु अंदर है $$S$$ एक निर्मित खंड कहा जाता है, और
 * एक वृत्त जिसका केंद्र में है $$S$$ और जो एक बिंदु से होकर गुजरता है $$S$$ (वैकल्पिक रूप से, जिसकी त्रिज्या के विशिष्ट बिंदुओं के कुछ जोड़े के बीच की दूरी है $$S$$) एक निर्मित सर्कल कहा जाता है।
 * दो गैर-समानांतर निर्मित खंडों का रेखा-रेखा चौराहा, या निर्मित खंडों के माध्यम से रेखाएँ,
 * एक निर्मित वृत्त और एक निर्मित खंड के प्रतिच्छेदन बिंदु, या एक निर्मित खंड के माध्यम से रेखा, या
 * दो अलग-अलग निर्मित वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदु।

उदाहरण के तौर पर, निर्मित खंड का मध्यबिंदु $$OA$$ एक निर्माण बिंदु है। इसके लिए एक निर्माण दो मंडलों का निर्माण करना है $$OA$$ त्रिज्या के रूप में, और इन दो मंडलियों के दो क्रॉसिंग बिंदुओं के माध्यम से रेखा। फिर खंड का मध्यबिंदु $$OA$$ वह बिंदु है जहां इस खंड को निर्मित रेखा द्वारा पार किया जाता है।

ज्यामितीय रूप से रचनात्मक संख्या
ज्यामितीय फॉर्मूलेशन के लिए प्रारंभिक जानकारी का उपयोग कार्टेशियन समन्वय प्रणाली को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है जिसमें बिंदु $$O$$ निर्देशांक वाले मूल से जुड़ा है $$(0,0)$$ और किस बिंदु पर $$A$$ निर्देशांकों से जुड़ा है $$(1, 0)$$. के अंक $$S$$ अब एक रचनात्मक संख्या को एक रचनात्मक बिंदु के समन्वय के रूप में परिभाषित करके ज्यामिति और बीजगणित को जोड़ने के लिए उपयोग किया जा सकता है।

समतुल्य परिभाषाएं हैं कि एक रचनात्मक संख्या है $$x$$-एक रचनात्मक बिंदु का समन्वय $$(x,0)$$ या एक रचनात्मक रेखा खंड की लंबाई। इस तुल्यता की एक दिशा में, यदि एक रचनात्मक बिंदु के निर्देशांक हैं $$(x,y)$$, फिर बिंदु $$(x,0)$$ पर इसके लंबवत प्रक्षेपण के रूप में निर्मित किया जा सकता है $$x$$-अक्ष, और मूल से इस बिंदु तक के खंड की लंबाई है $$x$$. यदि विपरीत दिशा में $$x$$ एक रचनात्मक रेखा खंड की लंबाई है, फिर प्रतिच्छेद करती है $$x$$-अक्ष पर केन्द्रित एक वृत्त के साथ $$O$$ त्रिज्या के साथ $$x$$ बात देता है $$(x,0)$$. इस तुल्यता से यह पता चलता है कि प्रत्येक बिंदु जिसका कार्तीय निर्देशांक ज्यामितीय रूप से रचनात्मक संख्याएं हैं, स्वयं एक ज्यामितीय रूप से निर्माण योग्य बिंदु है। कबके लिए $$x$$ और $$y$$ ज्यामितीय रूप से रचनात्मक संख्याएँ हैं, बिंदु $$(x,y)$$ के माध्यम से लाइनों के चौराहे के रूप में बनाया जा सकता है $$(x,0)$$ और $$(0,y)$$, समन्वय अक्षों के लंबवत।

बीजगणितीय रूप से रचनात्मक संख्या
बीजगणितीय रूप से रचनात्मक वास्तविक संख्याएं वास्तविक संख्याओं का सबसेट होती हैं जिन्हें सूत्रों द्वारा वर्णित किया जा सकता है जो योग, घटाव, गुणा, गुणात्मक उलटा, और सकारात्मक संख्याओं के वर्गमूल के संचालन का उपयोग करके पूर्णांक को जोड़ते हैं। और भी सरलता से, इन सूत्रों को लंबा बनाने की कीमत पर, इन सूत्रों में पूर्णांकों को केवल 0 और 1 तक ही सीमित रखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, 2 का वर्गमूल रचनात्मक है, क्योंकि इसे सूत्रों द्वारा वर्णित किया जा सकता है $$\sqrt2$$ या $$\sqrt{1+1}$$.

समान रूप से, बीजगणितीय रूप से रचनात्मक जटिल संख्याएं जटिल संख्याओं का उपसमुच्चय होती हैं, जिसमें समान प्रकार के सूत्र होते हैं, वर्गमूल के अधिक सामान्य संस्करण का उपयोग करते हुए जो सकारात्मक संख्याओं तक सीमित नहीं है, बल्कि इसके तर्क के रूप में मनमाने ढंग से जटिल संख्याओं को ले सकता है, और उत्पादन करता है इसके तर्क की सम्मिश्र संख्या का वर्गमूल#मुख्य वर्गमूल। वैकल्पिक रूप से, जटिल संख्याओं की एक ही प्रणाली को उन जटिल संख्याओं के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिनके वास्तविक और काल्पनिक भाग दोनों रचनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं। उदाहरण के लिए, सम्मिश्र संख्या $$i$$ सूत्र हैं $$\sqrt{-1}$$ या $$\sqrt{0-1}$$, और इसके वास्तविक और काल्पनिक भाग क्रमशः 0 और 1 निर्माण संख्या हैं।

रचनात्मक जटिल संख्याओं की ये दो परिभाषाएँ समतुल्य हैं। एक दिशा में, अगर $$q=x+iy$$ एक सम्मिश्र संख्या है जिसका वास्तविक भाग है $$x$$ और काल्पनिक हिस्सा $$y$$ दोनों रचनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं, फिर प्रतिस्थापित कर रहे हैं $$x$$ और $$y$$ बड़े फार्मूले के भीतर उनके फार्मूले द्वारा $$x+y\sqrt{-1}$$ के लिए सूत्र बनाता है $$q$$ एक जटिल संख्या के रूप में। दूसरी दिशा में, बीजगणितीय रूप से रचनात्मक जटिल संख्या के लिए किसी भी सूत्र को उसके वास्तविक और काल्पनिक भागों के लिए सूत्रों में परिवर्तित किया जा सकता है, सूत्र में प्रत्येक ऑपरेशन को उसके तर्कों के वास्तविक और काल्पनिक भागों पर पुनरावर्ती रूप से विस्तारित करके, विस्तार का उपयोग करके
 * $$(a+ib)\pm (c+id)=(a \pm c)+i(b \pm d)$$
 * $$(a+ib)(c+id)=(ac-bd) + i(ad+bc)$$
 * $$\frac{1}{a+ib}=\frac{a}{a^2+b^2} + i \frac{-b}{a^2+b^2}$$
 * $$\sqrt{a+ib} = \frac{(a+r)\sqrt{r}}{s} + i\frac{b\sqrt{r}}{s}$$, कहाँ $$r=\sqrt{a^2+b^2{}_{\!}}$$ और $$s=\sqrt{(a+r)^2+b^2}$$.

बीजगणितीय रूप से रचनात्मक बिंदु
बीजगणितीय रूप से रचनात्मक बिंदुओं को उन बिंदुओं के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिनके दो वास्तविक कार्टेशियन निर्देशांक बीजगणितीय रूप से रचनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं। वैकल्पिक रूप से, उन्हें बीजीय रूप से रचनात्मक जटिल संख्याओं द्वारा दिए गए जटिल विमान में बिंदुओं के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। बीजगणितीय रूप से रचनात्मक जटिल संख्याओं के लिए दो परिभाषाओं के बीच समानता से, बीजगणितीय रूप से रचनात्मक बिंदुओं की ये दो परिभाषाएं भी समकक्ष हैं।

बीजगणितीय और ज्यामितीय परिभाषाओं की समानता
अगर $$a$$ और $$b$$ ज्यामितीय रूप से निर्मित खंडों की गैर-शून्य लंबाई हैं तो लंबाई के निर्मित खंडों को प्राप्त करने के लिए प्राथमिक कम्पास और सीधा निर्माण का उपयोग किया जा सकता है $$a+b$$, $$|a-b|$$, $$ab$$, और $$a/b$$. बाद वाले दो को अवरोधन प्रमेय के आधार पर निर्माण के साथ किया जा सकता है। इन उपकरणों का उपयोग करते हुए थोड़ा कम प्रारंभिक निर्माण ज्यामितीय माध्य प्रमेय पर आधारित है और लंबाई के एक खंड का निर्माण करेगा $$\sqrt{a}$$ लंबाई के एक निर्मित खंड से $$a$$. यह इस प्रकार है कि संख्या के लिए एक सूत्र को संख्या के लिए एक निर्माण में अनुवाद करने के लिए इन तकनीकों का उपयोग करके, प्रत्येक बीजगणितीय रूप से निर्माण योग्य संख्या ज्यामितीय रूप से निर्माण योग्य है।

दूसरी दिशा में, ज्यामितीय वस्तुओं का एक सेट बीजगणितीय रूप से रचनात्मक वास्तविक संख्याओं द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है: अंक, ढलान और के लिए निर्देशांक $$y$$-रेखाओं के लिए अवरोधन, और मंडलियों के लिए केंद्र और त्रिज्या। कम्पास-एंड-स्ट्रेटेज निर्माण के एक चरण में जोड़े जा सकने वाले प्रत्येक अतिरिक्त ऑब्जेक्ट के लिए, केवल अंकगणित और वर्गमूल का उपयोग करके, इन मूल्यों के संदर्भ में सूत्र विकसित करना संभव (लेकिन थकाऊ) है। इन सूत्रों से यह पता चलता है कि प्रत्येक ज्यामितीय रूप से रचनात्मक संख्या बीजगणितीय रूप से रचनात्मक होती है।

बीजगणितीय गुण
बीजगणितीय रूप से रचनात्मक संख्याओं की परिभाषा में इनमें से किसी भी संख्या का योग, अंतर, उत्पाद और गुणात्मक व्युत्क्रम शामिल है, वही संचालन जो सार बीजगणित में एक क्षेत्र (बीजगणित) को परिभाषित करते हैं। इस प्रकार, रचनात्मक संख्याएं (उपर्युक्त किसी भी तरीके से परिभाषित) एक क्षेत्र बनाती हैं। अधिक विशेष रूप से, रचनात्मक वास्तविक संख्या एक यूक्लिडियन क्षेत्र बनाती है, एक आदेशित फ़ील्ड जिसमें इसके प्रत्येक सकारात्मक तत्व का वर्ग रूट होता है। इस क्षेत्र और इसके उपक्षेत्रों के गुणों की जांच करने से एक संख्या के निर्माण योग्य होने की आवश्यक शर्तें बनती हैं, जिसका उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि शास्त्रीय ज्यामितीय निर्माण समस्याओं में उत्पन्न होने वाली विशिष्ट संख्याएँ रचनात्मक नहीं हैं।

रचनात्मक संख्याओं के पूरे क्षेत्र के स्थान पर उपक्षेत्र पर विचार करना सुविधाजनक है $$\mathbb{Q}(\gamma)$$ किसी भी रचनात्मक संख्या द्वारा उत्पन्न $$\gamma$$, और के बीजगणितीय निर्माण का उपयोग करने के लिए $$\gamma$$ इस क्षेत्र को विघटित करने के लिए। अगर $$\gamma$$ एक रचनात्मक वास्तविक संख्या है, तो इसे बनाने वाले सूत्र के भीतर होने वाले मान वास्तविक संख्याओं के परिमित अनुक्रम का उत्पादन करने के लिए उपयोग किए जा सकते हैं $$\alpha_1,\dots, a_n=\gamma$$ ऐसा है कि, प्रत्येक के लिए $$i$$, $$\mathbb{Q}(\alpha_1,\dots,a_i)$$ का बीजगणितीय विस्तार है $$\mathbb{Q}(\alpha_1,\dots,a_{i-1})$$ डिग्री 2 की। थोड़ी अलग शब्दावली का प्रयोग करते हुए, एक वास्तविक संख्या रचनात्मक होती है यदि और केवल तभी जब वह वास्तविक द्विघात विस्तार के क्षेत्रों के परिमित टॉवर के शीर्ष पर एक क्षेत्र में स्थित हो, $$\mathbb{Q} = K_0 \subseteq K_1 \subseteq \dots \subseteq K_n,$$ तर्कसंगत क्षेत्र से शुरू $$\mathbb{Q}$$ कहाँ $$\gamma$$ में है $$K_n$$ और सभी के लिए $$0< j\le n$$, $$[K_j:K_{j-1}]=2$$. यह इस अपघटन से इस प्रकार है कि एक क्षेत्र विस्तार की डिग्री $$[\mathbb{Q}(\gamma):\mathbb{Q}]$$ है $$2^r$$, कहाँ $$r$$ द्विघात विस्तार चरणों की संख्या की गणना करता है।

वास्तविक मामले के अनुरूप, एक सम्मिश्र संख्या रचनात्मक होती है यदि और केवल यदि यह जटिल द्विघात विस्तार के परिमित टॉवर के शीर्ष पर एक क्षेत्र में स्थित है। ज्यादा ठीक, $$\gamma$$ निर्माण योग्य है अगर और केवल अगर वहाँ खेतों का एक टॉवर मौजूद है $$\mathbb{Q} = F_0 \subseteq F_1 \subseteq \dots \subseteq F_n,$$ कहाँ $$\gamma$$ में है $$F_n$$, और सभी के लिए $$0<j\le n$$, $$[F_j:F_{j-1}]= 2$$. इस लक्षण वर्णन और वास्तविक रचनात्मक संख्याओं के बीच का अंतर केवल इतना है कि इस टावर के क्षेत्र वास्तविक होने तक ही सीमित नहीं हैं। नतीजतन, यदि एक जटिल संख्या $$\gamma$$ रचनात्मक है, तो $$[\mathbb{Q}(\gamma):\mathbb{Q}]$$ दो की शक्ति है। हालाँकि, यह आवश्यक शर्त पर्याप्त नहीं है: ऐसे क्षेत्र विस्तार मौजूद हैं जिनकी डिग्री दो की शक्ति है जिसे द्विघात विस्तार के अनुक्रम में शामिल नहीं किया जा सकता है।

के द्विघात विस्तार के टावरों से इस तरह से उत्पन्न किए जा सकने वाले क्षेत्र $$\mathbb{Q}$$ के पुनरावर्तित द्विघात विस्तार कहलाते हैं $$\mathbb{Q}$$. वास्तविक और जटिल रचनात्मक संख्याओं के क्षेत्र सभी वास्तविक या जटिल पुनरावृत्त द्विघात एक्सटेंशन के संघ हैं $$\mathbb{Q}$$.

त्रिकोणमितीय संख्या
त्रिकोणमितीय संख्याएँ कोणों की कोसाइन या साइन होती हैं जो कि परिमेय गुणज होती हैं $$\pi$$. ये संख्याएं हमेशा बीजगणितीय होती हैं, लेकिन ये रचनात्मक नहीं हो सकती हैं। कोसाइन या कोण की ज्या $$2\pi/n$$ केवल कुछ विशेष संख्याओं के लिए रचनात्मक है $$n$$: इस प्रकार, उदाहरण के लिए, $$\cos(\pi/15)$$ रचनात्मक है क्योंकि 15 दो फर्मेट प्राइम्स, 3 और 5 का उत्पाद है।
 * दो की शक्ति
 * फर्मेट प्राइम्स, अभाज्य संख्याएँ जो एक से अधिक दो की शक्ति हैं
 * दो और अलग फर्मेट प्राइम्स की शक्तियों के उत्पाद।

असंभव निर्माण
प्राचीन यूनान ने सोचा था कि स्ट्रेटेज और कम्पास निर्माण की कुछ समस्याएं जिन्हें वे हल नहीं कर सकते थे, वे केवल अड़ियल थीं, अघुलनशील नहीं। हालांकि, कुछ संख्याओं की अरचनात्मकता यह साबित करती है कि इन निर्माणों को निष्पादित करना तार्किक रूप से असंभव है। (समस्याएं स्वयं, हालांकि, उन तरीकों का उपयोग करके हल करने योग्य हैं जो केवल सीधा और कम्पास के साथ काम करने की बाधा से परे हैं, और यूनानी जानते थे कि उन्हें इस तरह से कैसे हल किया जाए। ऐसा ही एक उदाहरण है आर्किमिडीज। आर्किमिडीज का न्यूसिस निर्माण समाधान कोण त्रिभाजन की समस्या।) विशेष रूप से, रचनात्मक संख्याओं के बीजगणितीय सूत्रीकरण से निम्नलिखित निर्माण समस्याओं की असंभवता का प्रमाण मिलता है:

घन को दोगुना करना
 * इकाई वर्ग को दोगुना करने की समस्या को पहले वाले के विकर्ण पर भुजा की लंबाई के साथ एक और वर्ग के निर्माण से हल किया जाता है $$\sqrt2$$ और क्षेत्र $$2$$. इसी तरह, घन को दोगुना करने की समस्या लंबाई के निर्माण के लिए पूछती है $$\sqrt[3]{2}$$ मात्रा के साथ एक घन के किनारे $$2$$. यह रचनात्मक नहीं है, क्योंकि इस लंबाई का न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत), $$x^3-2$$, डिग्री 3 ओवर है $$\Q$$. एक घन बहुपद के रूप में जिसकी एकमात्र वास्तविक जड़ अपरिमेय है, इस बहुपद को अलघुकरणीय होना चाहिए, क्योंकि यदि इसका द्विघात वास्तविक मूल होता तो संयुग्म (वर्गमूल) एक दूसरा वास्तविक मूल प्रदान करता।


 * कोण तिरछा
 * इस समस्या में, एक दिए गए कोण से $$\theta$$, एक कोण बनाना चाहिए $$\theta/3$$. बीजगणितीय रूप से, कोणों को उनके त्रिकोणमितीय कार्यों द्वारा दर्शाया जा सकता है, जैसे कि उनके उन लोगों के  या  कोज्या, जो प्रारंभिक खंड के साथ दिए गए कोण को बनाने वाले रेखा खंड के अंत बिंदु के कार्टेशियन निर्देशांक देते हैं। इस प्रकार, एक कोण $$\theta$$ निर्माण योग्य है जब $$x=\cos\theta$$ एक रचनात्मक संख्या है, और कोण को त्रिकोणित करने की समस्या को निर्माण के रूप में तैयार किया जा सकता है $$\cos(\tfrac{1}{3}\arccos x)$$. उदाहरण के लिए, कोण $$\theta=\pi/3=60^\circ$$ एक समबाहु त्रिभुज का निर्माण कम्पास और स्ट्रेटेज द्वारा किया जा सकता है $$x=\cos\theta=\tfrac12$$. हालाँकि, इसका तिरछा $$\theta/3=\pi/9=20^\circ$$ नहीं बनाया जा सकता, क्योंकि $$\cos\pi/9$$ न्यूनतम बहुपद है $$8x^3-6x-1$$ डिग्री 3 ओवर $$\Q$$. चूंकि ट्राइसेक्शन समस्या का यह विशिष्ट उदाहरण कंपास और सीधीज द्वारा हल नहीं किया जा सकता है, सामान्य समस्या भी हल नहीं की जा सकती है।


 * सर्कल को स्क्वायर करना
 * क्षेत्रफल वाला वर्ग $$\pi$$, एक इकाई वृत्त के समान क्षेत्र की पार्श्व लंबाई होगी $$\sqrt\pi$$, एक पारलौकिक संख्या। इसलिए, यह वर्ग और इसकी भुजा की लंबाई रचनात्मक नहीं है, क्योंकि यह बीजगणितीय नहीं है $$\Q$$.


 * रचनात्मक बहुभुज
 * यदि नियमित $$n$$-गॉन का निर्माण इसके केंद्र के साथ मूल में किया गया है, केंद्र से लेकर लगातार कोने तक के खंडों के बीच के कोण हैं $$2\pi/n$$. बहुभुज का निर्माण तभी किया जा सकता है जब इस कोण का कोसाइन एक त्रिकोणमितीय संख्या हो। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, एक 15-गॉन रचनात्मक है, लेकिन नियमित सातकोणक  रचनात्मक नहीं है, क्योंकि 7 प्राइम है, लेकिन फर्मेट प्राइम नहीं है। इसकी गैर-रचनात्मकता के अधिक प्रत्यक्ष प्रमाण के लिए, बहुपद की जटिल जड़ों के रूप में एक नियमित सप्तभुज के शीर्षों का प्रतिनिधित्व करें $$x^7-1$$. कारक को हटाना $$x-1$$, द्वारा विभाजित $$x^3$$, और प्रतिस्थापन $$y=x+1/x$$ सरल बहुपद देता है $$y^3+y^2-2y-1$$, तीन वास्तविक जड़ों के साथ एक अलघुकरणीय घन, प्रत्येक एक सम्मिश्र-संख्या शीर्ष के वास्तविक भाग का दो गुना। इसकी जड़ें रचनात्मक नहीं हैं, इसलिए सप्तभुज भी रचनात्मक नहीं है।

अलहज़ेन की समस्या
 * यदि दो बिंदु और एक वृत्ताकार दर्पण दिया गया हो, तो वृत्त पर दिए गए बिंदुओं में से एक बिंदु दूसरे का परावर्तित प्रतिबिम्ब कहाँ देखता है? ज्यामितीय रूप से, प्रत्येक दिए गए बिंदु से परावर्तन के बिंदु तक की रेखाएँ समान कोणों पर और समान-लंबाई वाली जीवाओं में वृत्त से मिलती हैं। हालांकि, कंपास और सीधे किनारे का उपयोग करके प्रतिबिंब के बिंदु का निर्माण करना असंभव है। विशेष रूप से, दो बिंदुओं के साथ एक इकाई वृत्त के लिए $$(\tfrac16,\tfrac16)$$ और $$(-\tfrac12,\tfrac12)$$ इसके अंदर, समाधान में एक अलघुकरणीय डिग्री-चार बहुपद की जड़ें बनाने वाले निर्देशांक हैं $$x^4-2x^3+4x^2+2x-1$$. हालांकि इसकी डिग्री दो की शक्ति है, इस बहुपद के विखंडन क्षेत्र में तीन से विभाज्य डिग्री है, इसलिए यह पुनरावृत्त द्विघात विस्तार से नहीं आता है और अल्हज़ेन की समस्या का कोई कम्पास और सीधा समाधान नहीं है।

इतिहास
रचनात्मक संख्याओं की अवधारणा का जन्म जटिल रूप से तीन असंभव कंपास और सीधे किनारों के निर्माण के इतिहास से जुड़ा हुआ है: घन को दोगुना करना, कोण को विभाजित करना, और सर्कल को स्क्वायर करना। प्लूटार्क में एक मार्ग के कारण ज्यामितीय निर्माणों में केवल कंपास और सीधे किनारे का उपयोग करने का प्रतिबंध अक्सर प्लेटो को श्रेय दिया जाता है। प्लूटार्क के अनुसार, प्लेटो ने क्यूब (डेलियन) समस्या का डुप्लिकेशन कनिडस के यूडोक्सस और आर्किटास और मेनाएकमस को दिया, जिन्होंने यांत्रिक साधनों का उपयोग करके समस्या को हल किया, शुद्ध ज्यामिति का उपयोग करके समस्या को हल नहीं करने के लिए प्लेटो से फटकार लगाई। हालांकि, इस एट्रिब्यूशन को चुनौती दी गई है, भाग में, कहानी के एक अन्य संस्करण के अस्तित्व के कारण (एस्केलॉन के यूटोकियस द्वारा एराटोस्थनीज को जिम्मेदार ठहराया गया) जो कहता है कि तीनों ने समाधान पाया लेकिन वे व्यावहारिक मूल्य के लिए बहुत सारगर्भित थे। बंद किया हुआ, रोड्स के यूडेमस का हवाला देते हुए, ओनोपाइड्स (लगभग 450 ईसा पूर्व) को दो शासक और कम्पास निर्माण के साथ श्रेय दिया, जिससे कुछ लेखकों ने अनुमान लगाया कि ओनोपाइड्स ने प्रतिबंध की शुरुआत की। क्लासिक निर्माण समस्याओं की असंभवता के लिए कम्पास और स्ट्रेटेज पर प्रतिबंध आवश्यक है। उदाहरण के लिए, कोण तिर्छा कई तरह से किया जा सकता है, जो प्राचीन यूनानियों के लिए जाना जाता था। एलीस के हिप्पियास के हिप्पियास के क्वाड्रैट्रिक्स, मेनाएकमस के शंकु खंड, या आर्किमिडीज के चिन्हित सीधा (न्यूसिस निर्माण) का निर्माण सभी का उपयोग किया गया है, जैसा कि पेपर फोल्डिंग के गणित के माध्यम से एक और आधुनिक दृष्टिकोण है। यद्यपि क्लासिक तीन निर्माण समस्याओं में से एक नहीं, सीधा किनारा और कम्पास के साथ नियमित बहुभुजों के निर्माण की समस्या को अक्सर उनके साथ व्यवहार किया जाता है। यूनानियों को पता था कि नियमित निर्माण कैसे किया जाता है $n$-gons साथ $$n=2^h$$ (किसी भी पूर्णांक के लिए $$h\ge 2$$), 3, 5, या इनमें से किन्हीं दो या तीन संख्याओं का गुणनफल, लेकिन अन्य नियमित $n$-gons ने उन्हें चकमा दिया। 1796 में कार्ल फ्रेडरिक गॉस, जो उस समय अठारह वर्षीय छात्र थे, ने एक समाचार पत्र में घोषणा की कि उन्होंने एक हेप्टाडेकागन|नियमित 17-गॉन का निर्माण किया है जो सीधे किनारे और कम्पास के साथ है। गॉस का उपचार ज्यामितीय के बजाय बीजगणितीय था; वास्तव में, उन्होंने वास्तव में बहुभुज का निर्माण नहीं किया, बल्कि यह दिखाया कि एक केंद्रीय कोण का कोज्या एक रचनात्मक संख्या थी। इस तर्क को उनकी 1801 की पुस्तक अंकगणितीय शोध में सामान्यीकृत किया गया था, जिसमें एक नियमित के निर्माण के लिए पर्याप्त स्थिति दी गई थी। $n$-gon. गॉस ने दावा किया, लेकिन यह साबित नहीं किया कि शर्त भी आवश्यक थी और कई लेखक, विशेष रूप से फेलिक्स क्लेन, ने सबूत के इस हिस्से का श्रेय उन्हें भी दिया। अल्हज़ेन की समस्या भी क्लासिक तीन समस्याओं में से एक नहीं है, लेकिन मध्यकालीन इस्लाम में एक गणित, इब्न अल-हेथम (अलहज़ेन) के नाम पर होने के बावजूद, यह दूसरी शताब्दी से पहले से ही टॉलेमी के ऑप्टिक्स (टॉलेमी) में दिखाई देती है।

ने बीजगणितीय रूप से सिद्ध किया कि घन को दोगुना करने और कोण को त्रिगुणित करने की समस्याएँ यदि कोई केवल कम्पास और सीधी धार का उपयोग करता है तो हल करना असंभव है। उसी पेपर में उन्होंने यह निर्धारित करने की समस्या भी हल की कि कौन से नियमित बहुभुज रचनात्मक हैं: एक नियमित बहुभुज रचनात्मक होता है यदि और केवल अगर इसके पक्षों की संख्या दो की शक्ति का उत्पाद है और किसी भी संख्या में अलग-अलग फ़र्मेट प्राइम्स (यानी, गॉस द्वारा दी गई पर्याप्त शर्तें भी आवश्यक हैं)। जेम्स ग्रेगरी (खगोलविद और गणितज्ञ) द्वारा 1667 में Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (द ट्रू स्क्वेरिंग ऑफ़ द सर्कल एंड द हाइपरबोला) में सर्कल को स्क्वायर करने की असंभवता का एक प्रयास किया गया सबूत दिया गया था। हालांकि उनका सबूत दोषपूर्ण था, यह था के बीजगणितीय गुणों का उपयोग करके समस्या को हल करने का प्रयास करने वाला पहला पेपर $\pi$. यह 1882 तक नहीं था कि फर्डिनेंड वॉन लिंडमैन ने चार्ल्स हर्मिट के काम को विस्तारित करके और यह साबित करके सख्ती से अपनी असंभवता साबित कर दी थी π एक पारलौकिक संख्या है। अल्हज़ेन की समस्या को कम्पास और स्ट्रेटेज के काम तक हल करना असंभव साबित नहीं हुआ था. रचनात्मक संख्याओं का अध्ययन, प्रति से, रेने डेसकार्टेस द्वारा ला जियोमेट्री में शुरू किया गया था, जो 1637 में प्रकाशित उनकी पुस्तक पद्धति पर परिचर्चा का एक परिशिष्ट था। डेसकार्टेस ने संख्याओं को ज्यामितीय रेखा खंडों से जोड़ा ताकि उनकी दार्शनिक पद्धति की शक्ति को हल करके प्रदर्शित किया जा सके। अलेक्जेंड्रिया के पप्पस द्वारा प्रस्तुत एक प्राचीन सीधा किनारा और कम्पास निर्माण समस्या।

यह भी देखें

 * संगणनीय संख्या
 * निश्चित वास्तविक संख्या

बाहरी संबंध

 * Constructible Numbers at Cut-the-knot
 * Constructible Numbers at Cut-the-knot