निर्देशांक पद्धति

ज्यामिति में, निर्देशांक पद्धति, निर्देशांक प्रणाली या निर्देशांक निकाय एक ऐसी प्रणाली है जो यूक्लिडीय अंतरिक्ष जैसे किसी मैनिफोल्ड पर बिंदुओं या अन्य ज्यामितीय तत्वों की स्थिति को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए एक या एक से अधिक संख्याओं या निर्देशांकों का उपयोग करती है। निर्देशांकों का क्रम महत्वपूर्ण होता है, और इन्हें कभी-कभी एक क्रमित ट्यूपल में इनकी स्थिति द्वारा और कभी-कभी "x-निर्देशांक" के समान एक वर्ण के रूप में पहचाना जाता है। प्रारम्भिक गणित में निर्देशांकों को वास्तविक संख्या के रूप में लिया जाता है, लेकिन ये सम्मिश्र संख्याएँ या क्रमविनिमेय वलय जैसी अधिक अमूर्त प्रणाली के तत्व हो सकते हैं। एक निर्देशांक प्रणाली के उपयोग से ज्यामिति की समस्याओं को संख्या-सम्बन्धी समस्याओं में रूपांतरित करने की अनुमति मिलती है और इसके विपरीत भी; यह विश्लेषणात्मक ज्यामिति का आधार है।

संख्या रेखा
एक निर्देशांक प्रणाली का सरलतम उदाहरण संख्या रेखा का उपयोग करके वास्तविक संख्याओं वाली एक रेखा पर बिंदुओं की पहचान है। इस प्रणाली में, एक दी गई रेखा पर एक स्वेच्छ बिंदु O (मूलबिंदु) का चयन किया जाता है। एक बिंदु P के निर्देशांक को O से P तक की हस्ताक्षरित दूरी के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ चिन्हित दूरी सकारात्मक या नकारात्मक के रूप में ली गई दूरी है, जो रेखा P के किस तरफ निर्भर करती है। प्रत्येक बिंदु को एक अद्वितीय निर्देशांक दिया जाता है और प्रत्येक वास्तविक संख्या एक अद्वितीय बिंदु का निर्देशांक होती है।

कार्तीय निर्देशांक प्रणाली
एक निर्देशांक प्रणाली का प्रोटोटाइपिकल उदाहरण कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली है। समतल में, दो लंब रेखाओं को चुना जाता है और एक बिंदु के निर्देशांकों को रेखाओं की हस्ताक्षरित दूरी के रूप में लिया जाता है। तीन आयामों में, तीन परस्पर ओर्थोगोनल तलों को चुना जाता है और एक बिंदु के तीन निर्देशांक प्रत्येक तल के लिए चिन्हित दूरी हैं। इसे n-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु के लिए n निर्देशांक बनाने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

निर्देशांक अक्षों की दिशा और क्रम के आधार पर, त्रि-आयामी प्रणाली दाएं हाथ या बाएं हाथ वाली प्रणाली हो सकती है। यह कई निर्देशांक प्रणालियों में से एक है।

ध्रुवीय निर्देशांक प्रणाली
विमान के लिए एक अन्य सामान्य निर्देशांक प्रणाली ध्रुवीय निर्देशांक प्रणाली है। [6] एक बिंदु को ध्रुव के रूप में चुना जाता है और इस बिंदु से एक किरण को ध्रुवीय अक्ष के रूप में लिया जाता है। किसी दिए गए कोण θ के लिए, ध्रुव के माध्यम से एक एकल रेखा होती है जिसका कोण ध्रुवीय अक्ष के साथ θ होता है (अक्ष से रेखा तक वामावर्त मापा जाता है)। फिर इस रेखा पर एक अद्वितीय बिंदु है जिसकी मूल से हस्ताक्षरित दूरी दी गई संख्या r के लिए r है। दिए गए निर्देशांकों के युग्म (r, θ) के लिए एक बिंदु होता है, लेकिन किसी भी बिंदु को निर्देशांकों के अनेक युग्मों द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, (r, θ), (r, θ+2π) और (−r, θ+π) एक ही बिंदु के लिए सभी ध्रुवीय निर्देशांक हैं। θ के किसी भी मान के लिए ध्रुव को (0, θ) द्वारा दर्शाया जाता है।

बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक प्रणाली
ध्रुवीय निर्देशांक प्रणाली को तीन आयामों तक विस्तारित करने की दो सामान्य विधियाँ हैं। बेलनाकार निर्देशांक प्रणाली में, कार्टेशियन निर्देशांक के समान अर्थ के साथ एक z-निर्देशांक r और θ ध्रुवीय निर्देशांक में जोड़ा जाता है जिससे ट्रिपल (r, θ, z) मिलता है।  गोलाकार निर्देशांक इसे एक कदम आगे ले जाते हैं, बेलनाकार निर्देशांक (r, z) की जोड़ी को ध्रुवीय निर्देशांक (ρ, φ) में परिवर्तित करके एक ट्रिपल (ρ, θ, φ) देते हैं। 

सजातीय निर्देशांक प्रणाली
समतल में एक बिंदु को सजातीय निर्देशांक में एक ट्रिपल (x, y, z) द्वारा दर्शाया जा सकता है जहां x/z और y/z बिंदु के कार्तीय निर्देशांक हैं। यह एक "अतिरिक्त" निर्देशांक का परिचय देता है क्योंकि विमान पर एक बिंदु निर्दिष्ट करने के लिए केवल दो की आवश्यकता होती है, लेकिन यह प्रणाली उपयोगी है क्योंकि यह अनन्तता के उपयोग के बिना प्रक्षेपी विमान पर किसी भी बिंदु का प्रतिनिधित्व करती है। सामान्य तौर पर, एक सजातीय निर्देशांक प्रणाली वह होती है जहां केवल निर्देशांक के अनुपात महत्वपूर्ण होते हैं न कि वास्तविक मान।

अन्य आमतौर पर इस्तेमाल की जाने वाली प्रणालियाँ
कुछ अन्य सामान्य निर्देशांक प्रणालियाँ निम्नलिखित हैं:
 * वक्रीय निर्देशांक आमतौर पर निर्देशांक प्रणालियों का एक सामान्यीकरण है; प्रणाली वक्रों के प्रतिच्छेदन पर आधारित है।
 * लंबकोणीय निर्देशांक: निर्देशांक सतहें समकोण पर मिलती हैं
 * तिरछा निर्देशांक: निर्देशांक सतहें ऑर्थोगोनल नहीं हैं
 * लॉग-ध्रुवीय निर्देशांक सिस्टम मूल बिंदु से दूरी के लघुगणक और मूल को प्रतिच्छेद करने वाली संदर्भ रेखा से मापा गया कोण द्वारा विमान में एक बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है।
 * प्लकर निर्देशांक 3डी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में रेखाओं का प्रतिनिधित्व करने का एक तरीका है, जो सजातीय निर्देशांक के रूप में संख्याओं के छह-टपल का उपयोग करते हैं।
 * यांत्रिकी के लैग्रान्जियन यांत्रिकी उपचार में सामान्यीकृत निर्देशांक का उपयोग किया जाता है।
 * यांत्रिकी के हैमिल्टनियन उपचार में कैननिकल निर्देशांक का उपयोग किया जाता है।
 * बैरीसेंट्रिक निर्देशांक प्रणाली का उपयोग त्रिगुट भूखंडों के लिए और अधिक सामान्यतः त्रिकोणों के विश्लेषण में किया जाता है।
 * त्रिभुज के संदर्भ में ट्रिलिनियर निर्देशांक का उपयोग किया जाता है।

निर्देशांक के बिना घटता का वर्णन करने के तरीके हैं, आंतरिक समीकरणों का उपयोग करते हुए जो वक्रता और चाप की लंबाई जैसी अपरिवर्तनीय मात्रा का उपयोग करते हैं। इसमे शामिल है:
 * व्हीवेल समीकरण चाप की लंबाई और स्पर्शरेखा कोण से संबंधित है।
 * सिसैरा समीकरण चाप की लंबाई और वक्रता से संबंधित है।

ज्यामितीय वस्तुओं के निर्देशांक
निर्देशांक प्रणाली का उपयोग अक्सर एक बिंदु की स्थिति को निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता है, लेकिन उनका उपयोग अधिक जटिल आकृतियों जैसे रेखाओं, विमानों, वृत्तों या क्षेत्रों की स्थिति को निर्दिष्ट करने के लिए भी किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, अंतरिक्ष में एक रेखा की स्थिति निर्धारित करने के लिए प्लकर निर्देशांक का उपयोग किया जाता है। जब आवश्यकता होती है, तो वर्णित आकृति के प्रकार का उपयोग निर्देशांक प्रणाली के प्रकार को अलग करने के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए शब्द रेखा निर्देशांक किसी भी निर्देशांक प्रणाली के लिए उपयोग किया जाता है जो रेखा की स्थिति निर्दिष्ट करता है।

ऐसा हो सकता है कि ज्यामितीय आकृतियों के दो अलग-अलग सेटों के लिए निर्देशांक की प्रणालियाँ उनके विश्लेषण के संदर्भ में समान हों। इसका एक उदाहरण प्रक्षेपी तल में बिंदुओं और रेखाओं के लिए सजातीय निर्देशांक की प्रणाली है। इस तरह के मामले में दो प्रणालियों को द्वैतवादी कहा जाता है। द्वैतवादी प्रणालियों में यह गुण होता है कि एक प्रणाली से परिणाम दूसरे में ले जाया जा सकता है क्योंकि ये परिणाम एक ही विश्लेषणात्मक परिणाम की केवल अलग-अलग व्याख्याएं हैं; इसे द्वैत के सिद्धांत के रूप में जाना जाता है।

परिवर्तन
ज्यामितीय आकृतियों का वर्णन करने के लिए अक्सर कई अलग-अलग संभव निर्देशांक प्रणालियाँ होती हैं। विभिन्न प्रणालियों के बीच संबंध को निर्देशांक परिवर्तनों द्वारा वर्णित किया जाता है, जो एक प्रणाली में निर्देशांक के लिए दूसरे सिस्टम में निर्देशांक के संदर्भ में सूत्र देते हैं। उदाहरण के लिए, समतल में, यदि कार्तीय निर्देशांक (x, y) और ध्रुवीय निर्देशांक (r, θ) का मूल एक ही है, और ध्रुवीय अक्ष धनात्मक x अक्ष है, तो ध्रुवीय से कार्तीय निर्देशांक में निर्देशांक परिवर्तन द्वारा दिया जाता है x = r cosθ और y = r sinθ।

अंतरिक्ष से लेकर स्वयं तक की प्रत्येक आपत्ति के साथ दो निर्देशांक परिवर्तन जुड़े हो सकते हैं:
 * ऐसा है कि प्रत्येक बिंदु की छवि के नए निर्देशांक मूल बिंदु के पुराने निर्देशांक के समान हैं (मानचित्रण के सूत्र निर्देशांक परिवर्तन के लिए उलटे हैं)
 * ऐसा है कि प्रत्येक बिंदु की छवि के पुराने निर्देशांक मूल बिंदु के नए निर्देशांक के समान हैं (मानचित्रण के सूत्र वही हैं जो निर्देशांक परिवर्तन के लिए हैं)

उदाहरण के लिए, 1D में, यदि मानचित्रण 3 का दाईं ओर अनुवाद है, तो पहला मूल को 0 से 3 तक ले जाता है, जिससे प्रत्येक बिंदु का निर्देशांक 3 कम हो जाता है, जबकि दूसरा मूल को 0 से -3 तक ले जाता है।, ताकि प्रत्येक बिंदु का निर्देशांक 3 और हो जाए।

निर्देशांक रेखाएं/वक्र और विमान/सतह
दो आयामों में, यदि एक बिंदु निर्देशांक प्रणाली में एक निर्देशांक को स्थिर रखा जाता है और दूसरे निर्देशांक को बदलने की अनुमति दी जाती है, तो परिणामी वक्र को एक निर्देशांक वक्र कहा जाता है। यदि निर्देशांक वक्र वास्तव में सीधी रेखाएँ हैं, तो उन्हें निर्देशांक रेखाएँ कहा जा सकता है। कार्तीय निर्देशांक प्रणालियों में, निर्देशांक रेखाएं पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल होती हैं, और निर्देशांक अक्षों के रूप में जानी जाती हैं। अन्य निर्देशांक प्रणालियों के लिए निर्देशांक वक्र सामान्य वक्र हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, r स्थिरांक धारण करके प्राप्त ध्रुवीय निर्देशांक में निर्देशांक वक्र मूल बिंदु पर केंद्र वाले वृत्त होते हैं। एक निर्देशांक प्रणाली जिसके लिए कुछ निर्देशांक वक्र रेखाएं नहीं हैं, एक वक्रीय निर्देशांक प्रणाली कहलाती है। यह प्रक्रिया हमेशा समझ में नहीं आती है, उदाहरण के लिए एक सजातीय निर्देशांक प्रणाली में कोई निर्देशांक वक्र नहीं होते हैं।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, यदि एक निर्देशांक को स्थिर रखा जाता है और अन्य दो को बदलने की अनुमति दी जाती है, तो परिणामी सतह को एक निर्देशांक सतह कहा जाता है। उदाहरण के लिए, गोलीय निर्देशांक प्रणाली में ρ स्थिरांक धारण करके प्राप्त निर्देशांक सतह मूल बिंदु पर केंद्र वाले गोले होते हैं। त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो निर्देशांक सतहों का प्रतिच्छेदन एक निर्देशांक वक्र है। कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में हम निर्देशांक तलों की बात कर सकते हैं।

इसी तरह, निर्देशांकित हाइपरसर्फ्स (n − 1)-आयामी रिक्त स्थान हैं जो एक n-आयामी निर्देशांक प्रणाली के एकल निर्देशांक को ठीक करने के परिणामस्वरूप उत्पन्न होते हैं।

निर्देशांक मानचित्र
एक निर्देशांक मानचित्र, या निर्देशांक चार्ट की अवधारणा कई गुना के सिद्धांत के केंद्र में है। एक निर्देशांक मानचित्र अनिवार्य रूप से संपत्ति के साथ किसी दिए गए स्थान के सबसेट के लिए एक निर्देशांक प्रणाली है जिसमें प्रत्येक बिंदु में निर्देशांक का एक सेट होता है। अधिक सटीक रूप से, एक निर्देशांक मानचित्र अंतरिक्ष X के खुले उपसमुच्चय से Rn के खुले उपसमुच्चय तक एक होमियोमोर्फिज्म है। संपूर्ण स्थान के लिए एक सुसंगत निर्देशांक प्रणाली प्रदान करना अक्सर संभव नहीं होता है। इस मामले में, अंतरिक्ष को कवर करने वाले एटलस (टोपोलॉजी) बनाने के लिए निर्देशांक मानचित्रों का संग्रह एक साथ रखा जाता है। इस तरह के एटलस से लैस एक स्थान को कई गुना कहा जाता है और अतिरिक्त संरचना को कई गुना परिभाषित किया जा सकता है यदि संरचना सुसंगत है जहां निर्देशांकित नक्शे ओवरलैप होते हैं। उदाहरण के लिए, एक अलग करने योग्य कई गुना एक कई गुना होता है जहां एक निर्देशांक मानचित्र से दूसरे निर्देशांक में निर्देशांक का परिवर्तन हमेशा एक अलग कार्य होता है।

अभिविन्यास-आधारित निर्देशांक
ज्यामिति और कीनेमेटीक्स में, निर्देशांक प्रणालियों का उपयोग बिंदुओं की (रैखिक) स्थिति और अक्षों, विमानों और कठोर निकायों की अभिविन्यास स्थिति का वर्णन करने के लिए किया जाता है। बाद के मामले में, एक दूसरे (आमतौर पर "स्थानीय" के रूप में संदर्भित) निर्देशांक प्रणाली, नोड के लिए तय की जाती है, पहले के आधार पर परिभाषित की जाती है (आमतौर पर "वैश्विक" या "विश्व" निर्देशांक प्रणाली के रूप में संदर्भित)। उदाहरण के लिए, एक कठोर शरीर के अभिविन्यास को एक ओरिएंटेशन मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिसमें इसके तीन स्तंभों में, तीन बिंदुओं के कार्टेशियन निर्देशांक शामिल हैं। इन बिंदुओं का उपयोग स्थानीय प्रणाली के अक्षों के उन्मुखीकरण को परिभाषित करने के लिए किया जाता है; वे उन अक्षों के साथ संरेखित तीन इकाई सदिशों की युक्तियाँ हैं।

भौगोलिक प्रणाली
समग्र रूप से पृथ्वी सबसे आम ज्यामितीय स्थानों में से एक है, जिसके लिए स्थान के सटीक माप की आवश्यकता होती है, और इस प्रकार निर्देशांक प्रणाली होती है। हेलेनिस्टिक काल के यूनानियों से शुरू होकर, उपरोक्त प्रकारों के आधार पर विभिन्न प्रकार की निर्देशांक प्रणालियाँ विकसित की गई हैं, जिनमें शामिल हैं:
 * भौगोलिक निर्देशांक प्रणाली, अक्षांश और देशांतर के गोलाकार निर्देशांक
 * प्रक्षेपित निर्देशांक प्रणाली, जिसमें हजारों कार्तीय निर्देशांक प्रणालियां शामिल हैं, प्रत्येक दुनिया या क्षेत्र की एक तलीय सतह बनाने के लिए मानचित्र प्रक्षेपण पर आधारित है।
 * भूकेंद्रीय निर्देशांक प्रणाली, एक त्रि-आयामी कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली जो पृथ्वी को एक वस्तु के रूप में मॉडल करती है, और ग्लोबल पोजिशनिंग सिस्टम और अन्य उपग्रह नेविगेशन सिस्टम सहित उपग्रहों की कक्षाओं के मॉडलिंग के लिए सबसे अधिक उपयोग की जाती है।

यह भी देखें

 * पूर्ण कोणीय गति
 * अक्षरांकीय ग्रिड
 * अभियांत्रिकी में अक्ष परिपाटियाँ
 * आकाशीय समन्वय प्रणाली
 * निर्देशांक मुक्त
 * आंशिक निर्देशांक
 * सन्दर्भ विन्यास
 * गैलिलियन रूपान्तरण
 * ग्रिड संदर्भ
 * संरेखण तालिका, विभिन्न समन्वय प्रणालियों का चित्रमय निरूपण
 * संदर्भ प्रणाली
 * अक्षों का घूर्णन
 * अक्षों का रूपान्तरण

सापेक्षतावादी निर्देशांक प्रणालियाँ

 * एडिंगटन-फिंकेलस्टीन निर्देशांक
 * गाऊसी ध्रुवीय निर्देशांक
 * गुलस्ट्रैंड-पेनलेव निर्देशांक
 * समदैशिक निर्देशांक
 * क्रुस्कल–सजेकेरेस निर्देशांक
 * श्वार्जचाइल्ड निर्देशांक

बाहरी कड़ियाँ

 * Hexagonal Coordinate Systems