बीजगणितीय संख्या

एक बीजगणितीय संख्या एक संख्या है जो पूर्णांक (या, समतुल्य, परिमेय संख्या) गुणांक वाले एक चर में गैर-शून्य बहुपद के फलन का मूल है। उदाहरण के लिए, सुनहरा अनुपात, $$(1 + \sqrt{5})/2$$, एक बीजगणितीय संख्या है, क्योंकि यह बहुपद का एक मूल है $x2 − x − 1$. अर्थात्, यह x के लिए एक मान है जिसके लिए बहुपद का मान शून्य हो जाता है। एक अन्य उदाहरण के रूप में, जटिल संख्या $$1 + i$$ बीजगणितीय है क्योंकि यह की जड़ है $x4 + 4$.

सभी पूर्णांक और परिमेय संख्याएँ बीजगणितीय हैं, जैसे कि सभी nवें मूल हैं। वास्तविक और सम्मिश्र संख्याएँ जो बीजगणितीय नहीं हैं, जैसे कि पाई |$\pi$तथा $e$, पारलौकिक संख्याएँ कहलाती हैं।

बीजगणितीय संख्याओं का समुच्चय (गणित) गणनीय समुच्चय है और बेगणनीय समुच्चय सम्मिश्र संख्याओं के उपसमुच्चय के रूप में Lebesgue माप में शून्य मापता है। इस अर्थ में, लगभग सभी सम्मिश्र संख्याएँ पारलौकिक संख्याएँ हैं।

उदाहरण

 * सभी परिमेय संख्याएँ बीजगणितीय होती हैं। कोई भी परिमेय संख्या, जिसे किसी पूर्णांक के भागफल के रूप में व्यक्त किया जाता है $a$ और एक (गैर-शून्य) प्राकृतिक संख्या $b$उपरोक्त परिभाषा को संतुष्ट करता है, क्योंकि $x = a⁄b$ शून्येतर बहुपद का मूल है, अर्थात् $bx − a$.
 * द्विघात अपरिमेय संख्याएँ, द्विघात बहुपद का अपरिमेय समाधान $ax2 + bx + c$ पूर्णांक गुणांक के साथ $a$, $b$, तथा $c$, बीजगणितीय संख्याएँ हैं। यदि द्विघात बहुपद मोनिक है ($a = 1$), जड़ें आगे द्विघात पूर्णांक के रूप में योग्य हैं।
 * गॉसियन पूर्णांक, जटिल संख्याएँ $a + bi$ जिसके लिए दोनों $a$ तथा $b$ पूर्णांक हैं, द्विघात पूर्णांक भी हैं। यह है क्योंकि $a + bi$ तथा $a - bi$ द्विघात की दो जड़ें हैं $x2 - 2ax + a2 + b2$.
 * स्ट्रेटेज और कम्पास का उपयोग करके दी गई इकाई लंबाई से एक रचनात्मक संख्या का निर्माण किया जा सकता है। इसमें सभी द्विघात अपरिमेय जड़ें, सभी परिमेय संख्याएँ, और सभी संख्याएँ शामिल हैं जो अंकगणित#अंकगणितीय संक्रियाओं और वर्गमूलों के निष्कर्षण का उपयोग करके इनसे बनाई जा सकती हैं। (1, -1, के लिए मुख्य दिशाओं को निर्दिष्ट करके $i$, और -$i$, जटिल संख्याएँ जैसे $$3+i \sqrt{2}$$ रचनात्मक माने जाते हैं।)
 * मूल अंकगणितीय संक्रियाओं के किसी भी संयोजन का उपयोग करके बीजगणितीय संख्याओं से निर्मित कोई भी व्यंजक और nवें मूल का निष्कर्षण |$n$वें मूल एक और बीजगणितीय संख्या देता है।
 * बहुपद जड़ें जिन्हें मूल अंकगणितीय संचालन और निष्कर्षण के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया जा सकता है $n$वें जड़ें (जैसे की जड़ें $x^{5} − x + 1$). एबेल-रफ़िनी प्रमेय लेकिन 5 या उच्चतर डिग्री के सभी बहुपद नहीं।
 * के परिमेय गुणजों के त्रिकोणमितीय फलनों का मान π (अपरिभाषित को छोड़कर): उदाहरण के लिए, $cos π⁄7$, $cos 3

π⁄7$, तथा $cos 5

π⁄7$ संतुष्ट करना $8x^{3} − 4x^{2} − 4x + 1 = 0$. यह बहुपद परिमेय पर अलघुकरणीय बहुपद है और इसलिए तीन कोसाइन संयुग्मी बीजगणितीय संख्याएँ हैं। वैसे ही, $tan 3

π⁄16$, $tan 7

π⁄16$, $tan 11

π⁄16$, तथा $tan 15

π⁄16$ अलघुकरणीय बहुपद को संतुष्ट करें $x^{4} − 4x^{3} − 6x^{2} + 4x + 1 = 0$, और इसलिए संयुग्मी बीजगणितीय पूर्णांक हैं।
 * कुछ लेकिन सभी अपरिमेय संख्याएँ बीजगणितीय नहीं होती हैं:
 * संख्या $$\sqrt{2}$$ तथा $$\frac{ \sqrt[3]{3} }{ 2 }$$ बीजगणितीय हैं क्योंकि वे बहुपद की जड़ें हैं $x^{2} − 2$ तथा $8x^{3} − 3$, क्रमश।
 * सुनहरा अनुपात $φ$ बीजगणितीय है क्योंकि यह बहुपद की जड़ है $x^{2} − x − 1$.
 * संख्या पाई |πऔर ई (गणितीय स्थिरांक) बीजगणितीय संख्याएं नहीं हैं (लिंडमैन-वीयरस्ट्रास प्रमेय देखें)।

<स्पैन क्लास= एंकर आईडी= एक बीजगणितीय संख्या की डिग्री > गुण
*यदि तर्कसंगत गुणांक वाले बहुपद को कम से कम सामान्य भाजक से गुणा किया जाता है, तो पूर्णांक गुणांक वाले परिणामी बहुपद की जड़ें समान होती हैं। इससे पता चलता है कि एक बीजगणितीय संख्या को पूर्णांक या परिमेय गुणांक वाले बहुपद के मूल के रूप में समान रूप से परिभाषित किया जा सकता है।
 * एक बीजगणितीय संख्या दी गई है, एक बहुपद की कम से कम डिग्री के परिमेय गुणांक के साथ एक अद्वितीय मोनिक बहुपद है जिसकी संख्या मूल के रूप में है। इस बहुपद को इसका न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत) कहा जाता है। यदि इसकी न्यूनतम बहुपद की डिग्री है $n$, तब बीजगणितीय संख्या घात की कहलाती है $n$. उदाहरण के लिए, सभी परिमेय संख्याओं की डिग्री 1 होती है, और डिग्री 2 की बीजगणितीय संख्या द्विघात अपरिमेय होती है।
 * बीजगणितीय संख्याएँ सघन सेट सघन क्रम में होती हैं। यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि उनमें परिमेय संख्याएँ होती हैं, जो स्वयं वास्तविक में सघन होती हैं।
 * बीजगणितीय संख्याओं का समुच्चय गणनीय (गणनीय) है, और इसलिए सम्मिश्र संख्याओं के उपसमुच्चय के रूप में इसका लेबेस्ग माप 0 है (अनिवार्य रूप से, बीजगणितीय संख्याएँ सम्मिश्र संख्याओं में कोई स्थान नहीं लेती हैं)। यानी लगभग हर जगह| लगभग सभी वास्तविक और सम्मिश्र संख्याएं पारलौकिक हैं।
 * सभी बीजगणितीय संख्याएँ संगणनीय संख्याएँ हैं और इसलिए निश्चित संख्या और अंकगणितीय संख्याएँ हैं।
 * वास्तविक संख्या के लिए $a$ तथा $b$, जटिल संख्या $a + bi$ बीजगणितीय है अगर और केवल अगर दोनों $a$ तथा $b$ बीजीय हैं।

फील्ड
दो बीजगणितीय संख्याओं का योग, अंतर, गुणनफल और भागफल (यदि हर अशून्य है) फिर से बीजगणितीय होता है, जैसा कि परिणामी का उपयोग करके प्रदर्शित किया जा सकता है, और बीजगणितीय संख्याएँ इस प्रकार एक क्षेत्र (गणित) बनाती हैं। $$\overline{\mathbb{Q}}$$ (कभी-कभी द्वारा निरूपित किया जाता है $$\mathbb A$$, लेकिन यह आमतौर पर एडेल रिंग को दर्शाता है)। एक बहुपद समीकरण का प्रत्येक मूल जिसका गुणांक बीजगणितीय संख्याएँ हैं, पुनः बीजगणितीय होता है। इसे यह कहकर दोहराया जा सकता है कि बीजगणितीय संख्याओं का क्षेत्र बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है। वास्तव में, यह सबसे छोटा बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है जिसमें परिमेय शामिल हैं और इसलिए इसे परिमेय का बीजगणितीय समापन कहा जाता है।

वास्तविक बीजगणितीय संख्याओं का समुच्चय ही एक क्षेत्र बनाता है।

रेडिकल्स द्वारा परिभाषित संख्याएं
जोड़, घटाव, गुणा, भाग (गणित) के परिमित सेट संख्या का उपयोग करके पूर्णांकों से प्राप्त की जा सकने वाली कोई भी संख्या, और (संभवतः जटिल) लेना $n$वें जड़ें जहां $n$ एक सकारात्मक पूर्णांक बीजगणितीय हैं। हालाँकि, इसका विलोम सत्य नहीं है: बीजगणितीय संख्याएँ हैं जिन्हें इस तरह से प्राप्त नहीं किया जा सकता है। ये संख्याएँ 5 या उच्चतर डिग्री के बहुपदों की जड़ें हैं, गैलोज़ सिद्धांत का एक परिणाम है (क्विंटिक समीकरण और एबेल-रफ़िनी प्रमेय देखें)। उदाहरण के लिए, समीकरण:


 * $$x^5-x-1=0$$

एक अद्वितीय वास्तविक जड़ है जिसे केवल मूलांक और अंकगणितीय संक्रियाओं के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

बंद फॉर्म संख्या
बीजगणितीय संख्याएँ वे सभी संख्याएँ हैं जिन्हें परिमेय संख्याओं से शुरू करते हुए बहुपदों के संदर्भ में स्पष्ट या निहित रूप से परिभाषित किया जा सकता है। कोई इसे बंद-रूप संख्याओं के लिए सामान्यीकृत कर सकता है, जिसे विभिन्न तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है। मोटे तौर पर, वे सभी संख्याएँ जिन्हें बहुपदों, घातांकों, और लघुगणकों के संदर्भ में स्पष्ट या निहित रूप से परिभाषित किया जा सकता है, प्रारंभिक संख्याएँ कहलाती हैं, और इनमें बीजगणितीय संख्याएँ, साथ ही कुछ पारलौकिक संख्याएँ शामिल हैं। सबसे संकीर्ण रूप से, बहुपद, घातीय, और लघुगणक के संदर्भ में स्पष्ट रूप से परिभाषित संख्याओं पर विचार किया जा सकता है - इसमें सभी बीजगणितीय संख्याएँ शामिल नहीं हैं, लेकिन इसमें कुछ सरल पारलौकिक संख्याएँ शामिल हैं जैसे $e$ या 2|ln 2 का प्राकृतिक लघुगणक।

बीजगणितीय पूर्णांक


एक बीजगणितीय पूर्णांक एक बीजगणितीय संख्या है जो अग्रणी गुणांक 1 (एक मोनिक बहुपद) के साथ पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद की जड़ है। बीजगणितीय पूर्णांकों के उदाहरण हैं $$5 + 13 \sqrt{2},$$ $$2 - 6i,$$ तथा $\frac{1}{2}(1+i\sqrt{3}).$ इसलिए, बीजगणितीय पूर्णांक पूर्णांकों का एक उचित सुपरसेट बनाते हैं, क्योंकि बाद वाले मोनिक बहुपदों की जड़ें हैं $x − k$ सभी के लिए $$k \in \mathbb{Z}$$. इस अर्थ में, बीजगणितीय पूर्णांक बीजगणितीय संख्याओं के लिए हैं जो पूर्णांक तर्कसंगत संख्याओं के लिए हैं।

बीजगणितीय पूर्णांकों का योग, अंतर और उत्पाद फिर से बीजगणितीय पूर्णांक होते हैं, जिसका अर्थ है कि बीजगणितीय पूर्णांक एक रिंग (गणित) बनाते हैं। बीजगणितीय पूर्णांक नाम इस तथ्य से आता है कि एकमात्र परिमेय संख्याएँ जो बीजीय पूर्णांक हैं, पूर्णांक हैं, और क्योंकि किसी भी बीजगणितीय संख्या क्षेत्र में बीजगणितीय पूर्णांक कई तरह से पूर्णांकों के अनुरूप होते हैं। यदि $K$ एक संख्या क्षेत्र है, इसके पूर्णांकों का वलय बीजगणितीय पूर्णांकों का उपवलय है $K$, और अक्सर के रूप में निरूपित किया जाता है $O_{K}$. ये Dedekind डोमेन के प्रोटोटाइपिक उदाहरण हैं।

विशेष वर्ग

 * बीजगणितीय समाधान
 * गाऊसी पूर्णांक
 * आइज़ेंस्टीन पूर्णांक
 * द्विघात अपरिमेय संख्या
 * मौलिक इकाई (संख्या सिद्धांत)
 * एकता की जड़
 * गाऊसी काल
 * पिसोट-विजयराघवन संख्या
 * सलेम नंबर

संदर्भ

 * Hardy, G. H. and Wright, E. M. 1978, 2000 (with general index) An Introduction to the Theory of Numbers: 5th Edition, Clarendon Press, Oxford UK, ISBN 0-19-853171-0
 * Niven, Ivan 1956. Irrational Numbers, Carus Mathematical Monograph no. 11, Mathematical Association of America.
 * Ore, Øystein 1948, 1988, Number Theory and Its History, Dover Publications, Inc. New York, ISBN 0-486-65620-9 (pbk.)
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 * Ore, Øystein 1948, 1988, Number Theory and Its History, Dover Publications, Inc. New York, ISBN 0-486-65620-9 (pbk.)