योजनाओं का फाइबर उत्पाद

गणित में, विशेष रूप से बीजगणितीय ज्यामिति में, अधियोजना का फाइबर उत्पाद एक मौलिक निर्माण है। इसकी कई व्याख्याएँ और विशेष स्तिथियाँ हैं। उदाहरण के लिए, फाइबर उत्पाद बताता है कि कैसे एक क्षेत्र में बीजीय विविधता (गणित) बड़े क्षेत्र में विविधता, या किस्मों के एक श्रेणी की वापसी, या किस्मों की श्रेणी का एक फाइबर निर्धारित करती है। आधार परिवर्तन एक अतिसंबद्‍ध धारणा है।

परिभाषा
अधियोजना (गणित) की श्रेणी (गणित) बीजगणितीय ज्यामिति के लिए एक व्यापक समुच्चयन है। एक उपयोगी दर्शन (ग्रोथेंडिक के सापेक्ष दृष्टिकोण के रूप में जाना जाता है) यह है कि बीजगणितीय ज्यामिति का अधिकांश भाग एकल अधियोजना X के स्थान पर अधियोजना X → Y (जिसे अधियोजना, केवल बीजगणितीय वक्रों का अध्ययन करने के स्थान पर, किसी आधार अधियोजना Y पर वक्रों के श्रेणी का अध्ययन कर सकता है। वास्तव में, दोनों दृष्टिकोण एक दूसरे को समृद्ध करते हैं।

विशेष रूप से, एक क्रमविनिमेय वलय R पर एक अधियोजना का अर्थ है एक अधियोजना फ़ील्ड k पर बीजगणितीय विविधता की पुरानी धारणा कुछ गुणों के साथ k पर एक अधियोजना के बराबर है। (वास्तव में किन अधियोजना को किस्में कहा जाना चाहिए, इसके लिए अलग-अलग अधिवेशन हैं। एक मानक विकल्प यह है कि किसी फ़ील्ड k पर विविधता का अर्थ k पर परिमित प्रकार की एक अभिन्न पृथक योजना है। )

सामान्यतः, अधियोजना के एक रूपवाद फाइबर उत्पाद X ×Y Z → Z है।

औपचारिक रूप से: यह अधियोजना की श्रेणी की एक उपयोगी विशेषता है जिसमें फाइबर उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) हमेशा उपस्थित रहता है। अर्थात्, योजनाओं X → Y और Z → Y के किसी भी रूपवाद के लिए, X और Z के आकारिकी के साथ एक योजना, निम्न आरेख बनाते हुए क्रमविनिमेय आरेख, और जो उस विशेषता के साथ सार्वभौमिक विशेषता है। अर्थात्, किसी भी अधियोजना W के लिए रूपवाद के साथ X और Z जिसकी संरचना Y के बराबर है, W से X ×Y Z तक एक अद्वितीय रूपवाद है जो आरेख को लघु बनाता है। हमेशा की तरह सार्वभौमिक गुणों के साथ, यह स्थिति अधियोजना X ×Y Z निर्धारित करती है यदि एक अद्वितीय समरूपता तक यह उपस्थित है। इस बात का प्रमाण कि अधियोजना के फाइबर उत्पाद हमेशा उपस्थित रहते हैं, समस्या को बीजगणित के टेंसर उत्पाद (cf. ग्लूइंग योजनाएं) तक कम कर देता है। विशेष रूप से, जब एफ़िन अधियोजना है
 * $$X\times_Y Z = \operatorname{Spec}(A\otimes_B C).$$

रूपवाद X ×Y Z → Z को रूपवाद Z → Y के माध्यम से रूपवाद X → Y का 'आधार परिवर्तन' या 'पुलबैक' कहा जाता है।

कुछ स्तिथियों में, अधियोजना के फाइबर उत्पाद में एक सही जोड़, वेइल प्रतिबंध होता है।

व्याख्याएँ और विशेष स्तिथियाँ

 * क्षेत्र k पर अधियोजना की श्रेणी में, 'उत्पाद' X × Y का अर्थ फाइबर उत्पाद X ×k Y है (जो Spec(k) के ऊपर फाइबर उत्पाद के लिए आशुलिपि है)। उदाहरण के लिए, फ़ील्ड k पर एफ़िन स्पेस Am और An का गुणनफल, k पर एफ़िन स्पेस Am+n है।
 * फ़ील्ड k पर स्कीम X और k के किसी फ़ील्ड विस्तार E के लिए, 'आधार परिवर्तन' XE इसका अर्थ फाइबर उत्पाद X × हैSpec(k) विशिष्टता(ई). यहाँ एक्सE ई पर एक अधियोजना है। उदाहरण के लिए, यदि एक्स प्रक्षेप्य विमान 'पी' में वक्र है समीकरण xy द्वारा परिभाषित वास्तविक संख्याओं R पर2 = 7z3, फिर XC P में सम्मिश्र संख्या वक्र है उसी समीकरण द्वारा परिभाषित। किसी फ़ील्ड k पर बीजगणितीय विविधता के कई गुणों को इसके आधार परिवर्तन के आधार पर k के बीजगणितीय समापन के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है, जो स्थिति को सरल बनाता है।
 * मान लीजिए कि f: वाई y के ऊपर f के 'फाइबर' को फाइबर उत्पाद X × के रूप में परिभाषित किया गया हैY विशिष्टता(k(y)); यह फ़ील्ड k(y) पर एक अधियोजना है। यह अवधारणा Y द्वारा पैरामीट्रिज्ड अधियोजना के एक श्रेणी के रूप में अधियोजना X → Y के रूपवाद के मोटे विचार को उचित ठहराने में मदद करती है।
 * मान लें कि X, Y और Z एक फ़ील्ड k पर स्कीम हैं, जिसमें k के ऊपर रूपवाद X → Y और Z → Y हैं। फिर फाइबर उत्पाद X x के k-तर्कसंगत बिंदुओं का सेटY Z का वर्णन करना आसान है:
 * $$(X\times_Y Z)(k)=X(k)\times_{Y(k)}Z(k).$$
 * अर्थात, X x का एक k-बिंदुY Z को X और Z के k-बिंदुओं की एक जोड़ी से पहचाना जा सकता है जिनकी Y में समान छवि है। यह अधियोजना के फाइबर उत्पाद की सार्वभौमिक विशेषता से तत्काल है।


 * यदि X और Z किसी अधियोजना Y की बंद उपयोजनाएं हैं, तो फाइबर उत्पाद X xY Z अपनी प्राकृतिक अधियोजना संरचना के साथ बिल्कुल 'अधियोजना-सैद्धांतिक प्रतिच्छेदन' X ∩ Z है। यही बात खुली उपअधियोजना के लिए भी लागू होती है।

आधार परिवर्तन और अवतरण
अधियोजना के आकारिकी के कुछ महत्वपूर्ण गुण P को मनमाने आधार परिवर्तन के तहत संरक्षित किया जाता है। अर्थात्, यदि X → Y में गुण P है और Z → Y अधियोजना का कोई रूप है, तो आधार परिवर्तन X xY Z → Z में विशेषता P है। उदाहरण के लिए, फ्लैट आकारिकी, चिकनी आकारिकी, उचित आकारिकी और आकारिकी के कई अन्य वर्ग मनमाने आधार परिवर्तन के तहत संरक्षित हैं। वंश शब्द विपरीत प्रश्न को संदर्भित करता है: यदि पुल-बैक रूपवाद एक्स एक्सY Z → Z के पास कुछ गुण P है, क्या मूल रूपवाद X → Y के पास गुण P होना चाहिए? स्पष्ट रूप से यह सामान्य रूप से असंभव है: उदाहरण के लिए, Z खाली अधियोजना हो सकती है, जिस स्थिति में पुल-बैक रूपवाद मूल रूपवाद के बारे में सभी जानकारी खो देता है। लेकिन यदि रूपवाद Z → Y समतल और विशेषण है (जिसे 'वफादारी से सपाट' भी कहा जाता है) और अर्ध-कॉम्पैक्ट रूपवाद|अर्ध-कॉम्पैक्ट है, तो कई गुण Z से Y तक उतरते हैं। जो गुण उतरते हैं उनमें समतलता, चिकनापन, उचितता और शामिल हैं रूपवाद के कई अन्य वर्ग। ये परिणाम अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक के वंश सिद्धांत (गणित) का हिस्सा हैं।

उदाहरण: किसी भी फ़ील्ड एक्सटेंशन k ⊂ E के लिए, रूपवाद Spec(E) → Spec(k) ईमानदारी से सपाट और अर्ध-कॉम्पैक्ट है। तो उल्लेखित वंश परिणाम का अर्थ है कि एक अधियोजना X ओवर k k पर स्मूथ है यदि और केवल यदि आधार X बदलता हैE ई पर चिकनी है। यही बात उचितता और कई अन्य गुणों के लिए भी लागू होती है।