ल्यपुनोव स्थिरता

गतिशील प्रणालियों का वर्णन करने वाले अंतर समीकरणों]] या अंतर समीकरणों के समाधान के लिए विभिन्न प्रकार के स्थिरता सिद्धांत पर वर्णन किया जा सकता है। सबसे महत्वपूर्ण प्रकार संतुलन के बिंदु के निकट समाधानों की स्थिरता से संबंधित है। इस पर अलेक्सांद्र ल्यपुनोव के सिद्धांत से वर्णन किया जा सकता है। सरल शब्दों में, यदि समाधान संतुलन बिंदु $$x_e$$ के पास प्रारंभ होते हैं $$x_e$$ तो सदैव के लिए $$x_e$$ ल्यपुनोव स्थिर है। और अधिक स्थिरता से, यदि $$x_e$$ ल्यपुनोव स्थिर है $$x_e$$ में अभिसरण किया जाता है $$x_e$$, फिर $$x_e$$ को एसिम्प्टोटिक रूप से स्थिर कहा जाता है (एसिम्प्टोटिक विश्लेषण देखें)। घातांकीय स्थिरता की धारणा क्षय की न्यूनतम दर का आश्वासन देता है, अर्थात, यह अनुमान लगाता है कि समाधान कितनी शीघ्रता से अभिसरण होते हैं। ल्यपुनोव स्थिरता के विचार को अनंत-आयामी कई गुना तक बढ़ाया जा सकता है, जहां इसे संरचनात्मक स्थिरता के रूप में जाना जाता है, जो अंतर समीकरणों के विभिन्न किन्तु निकटवर्ती समाधानों के व्यवहार से संबंधित है। इनपुट-टू-स्टेट स्थिरता (आईएसएस) वाले प्रणाली पर ल्यपुनोव धारणाओं को प्रारम्भ करता है।

इतिहास
लायपुनोव स्थिरता का नाम रूसी गणितज्ञ अलेक्सांद्र मिखाइलोविच ल्यपुनोव के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1892 में खार्कोव विश्वविद्यालय में गति की स्थिरता की सामान्य समस्या थीसिस का बचाव किया था। ए. एम. लायपुनोव संतुलन के बिंदुओं के बारे में उन्हें रैखिक बनाने की व्यापक रूप से फैली स्थानीय पद्धति की तुलना करके अरेखीय गतिशील प्रणालियों की स्थिरता के विश्लेषण के लिए वैश्विक दृष्टिकोण विकसित करने के सफल प्रयासों में अग्रणी थे। उनका कार्य, जो प्रारंभ में रूसी में प्रकाशित हुआ और फिर फ्रेंच में अनुवादित हुआ, कई वर्षों तक अधिक कम ध्यान दिया गया। ए.एम. लायपुनोव द्वारा स्थापित गति की स्थिरता के गणितीय सिद्धांत ने विज्ञान और प्रौद्योगिकी में इसके कार्यान्वयन के लिए अधिक समय का अनुमान लगाया था। इसके अतिरिक्त लायपुनोव ने स्वयं इस क्षेत्र में आवेदन नहीं किया, उनकी रुचि खगोलीय अनुप्रयोग के साथ घूर्णनशील द्रव द्रव्यमान की स्थिरता में थी। उनके पास कोई डॉक्टरेट छात्र नहीं थे जो स्थिरता के क्षेत्र में अनुसंधान का अनुसरण करते थे और 1918 में उनकी आत्महत्या के कारण उनका अपना भाग्य अधिक दुखद था। कई दशकों तक स्थिरता का सिद्धांत पूर्ण रूप से अप्रसिद्ध हो गया। 1930 के दशक में कज़ान एविएशन इंस्टीट्यूट में कार्य करने वाले रूसी-सोवियत गणितज्ञ और मैकेनिक निकोले गुरयेविच चेतेव प्रथम व्यक्ति थे जिन्होंने ए.एम. ल्यपुनोव द्वारा किये गए परिक्षण की अविश्वसनीय परिमाण को अनुभव किया था। सिद्धांत में योगदान एन.जी.चेतेव द्वारा किया गया इतना महत्वपूर्ण था कि कई गणितज्ञ, भौतिक विज्ञानी और इंजीनियर उन्हें ल्यपुनोव का प्रत्यक्ष उत्तराधिकारी और स्थिरता के गणितीय सिद्धांत के निर्माण और विकास में अगला वैज्ञानिक वंशज मानते हैं।

शीत युद्ध (1953-62) की अवधि के समय इसमें रुचि अचानक बढ़ गई जब ल्यपुनोव की तथाकथित दूसरी विधि (नीचे देखें) को एयरोस्पेस मार्गदर्शन प्रणालियों की स्थिरता के लिए प्रारम्भ पाया गया, जिसमें सामान्यतः स्थिरता अरैखिकताएं होती हैं जो अन्य विधियों से योग्य नहीं होता हैं। नियंत्रण और प्रणाली साहित्य में तब और उसके पश्चात से बड़ी संख्या में प्रकाशन सामने आए।    वर्तमान में ल्यपुनोव प्रतिपादक की अवधारणा (स्थिरता पर चर्चा करने की ल्यपुनोव की प्रथम विधि से संबंधित) को अराजकता सिद्धांत के संबंध में व्यापक रुचि मिली है। ट्रैफ़िक असाइनमेंट समस्याओं में संतुलन समाधान परिक्षण करने के लिए ल्यपुनोव स्थिरता विधियों को भी प्रारम्भ किया गया है।

निरंतर-समय प्रणालियों के लिए परिभाषा
स्वायत्त प्रणाली (गणित) अरेखीय गतिशील प्रणाली पर विचार किया जाता है:


 * $$\dot{x} = f(x(t)), \;\;\;\; x(0) = x_0$$,

जहाँ $$x(t) \in \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R}^n$$ प्रणाली स्थिति वेक्टर को दर्शाता है, $$\mathcal{D}$$ संवृत समुच्चय जिसमें मूल सम्मिलित है, और $$f: \mathcal{D} \rightarrow \mathbb{R}^n$$ सतत सदिश क्षेत्र है $$\mathcal{D}$$ द्वारा कल्पना की जा सकती है $$f$$ पर संतुलन $$x_e$$ है जिससे $$ f(x_e)=0 $$ तब


 * 1) इस संतुलन को ल्यपुनोव स्थिर कहा जाता है, यदि, प्रत्येक के लिए $$\epsilon > 0$$ उपस्तिथ है $$\delta > 0$$ ऐसा कि, यदि $$\|x(0)-x_e\| < \delta$$, फिर प्रत्येक के लिए $$t \geq 0$$ अपने पास $$\|x(t)-x_e\| < \epsilon$$ है।
 * 2) उपरोक्त प्रणाली का संतुलन स्पर्शोन्मुख रूप से स्थिर कहा जाता है यदि यह ल्यपुनोव स्थिर है और $$\delta > 0$$ उपस्तिथ है ऐसे कि यदि $$\|x(0)-x_e \|< \delta$$, तब $$\lim_{t \rightarrow \infty} \|x(t)-x_e\| = 0$$ है।
 * 3) उपरोक्त प्रणाली के संतुलन को चरघातांकीय रूप से स्थिर कहा जाता है यदि यह स्पर्शोन्मुख रूप से स्थिर है और $$\alpha >0, \beta >0, \delta >0$$ उपस्तिथ है  ऐसे कि यदि $$\|x(0)-x_e\| < \delta$$, तब $$\|x(t)-x_e\| \leq \alpha\|x(0)-x_e\|e^{-\beta t}$$, सभी के लिए $$t \geq 0$$ है।

वैचारिक रूप से, उपरोक्त शब्दों के अर्थ निम्नलिखित हैं:
 * 1) संतुलन की लायपुनोव स्थिरता का अर्थ है कि समाधान संतुलन के अधिक निकट (दूरी के भीतर) प्रारंभ होते हैं $$\delta$$ इससे) सदैव के लिए अधिक निकट (दूरी के भीतर) बने रहते हैं $$\epsilon$$ यह से)। ध्यान दें कि यह किसी के लिए भी सत्य होना चाहिए $$\epsilon$$ जिसे किसी का चयन किया जायेंगा।
 * 2) एसिम्प्टोटिक स्थिरता का अर्थ है कि जो समाधान अधिक निकट से प्रारंभ होते हैं वे न केवल अधिक निकट रहते हैं अन्यथा अंततः संतुलन में आ जाते हैं।
 * 3) घातीय स्थिरता का अर्थ है कि समाधान न केवल अभिसरित होते हैं, अन्यथा वास्तव में विशेष ज्ञात दर से अधिक या कम से कम उतनी ही तीव्रता से $$\alpha\|x(0)-x_e\|e^{-\beta t}$$ अभिसरण होते हैं।

प्रक्षेप पथ $$x(t) = \phi(t)$$ (स्थानीय रूप से) आकर्षक है यदि


 * $$\|x(t)-\phi(t)\| \rightarrow 0 $$ जैसा $$ t \rightarrow \infty$$

सभी प्रक्षेप पथों के लिए $$x(t) $$ जो अधिक निकट से प्रारंभ होता है $$\phi(t) $$, और विश्व स्तर पर आकर्षक यदि यह गुण सभी प्रक्षेप पथों के लिए उपयुक्त है।

अर्थात्, यदि x इसके स्थिर मैनिफोल्ड के आंतरिक भाग से संबंधित है, तो यह आकर्षक और स्थिर होने पर स्पर्शोन्मुख रूप से स्थिर है। (ऐसे उदाहरण हैं जो दिखाते हैं कि आकर्षण का अर्थ स्पर्शोन्मुख स्थिरता नहीं है।  होमोक्लिनिक कक्षा का उपयोग करके ऐसे उदाहरण बनाना सरल है।)

यदि संतुलन पर गतिशील प्रणाली का जैकोबियन स्थिरता आव्यूह होता है (अर्थात, यदि प्रत्येक आइगेनवैल्यू का वास्तविक भाग समिष्ट से ऋणात्मक है), तो संतुलन असम्बद्ध रूप से स्थिर है।

विचलन की प्रणाली
केवल संतुलन बिंदु (स्थिर समाधान) के निकट स्थिरता पर विचार करने के अतिरिक्त $$x(t)=x_e$$), समाधान के निकट स्थिरता की समान परिभाषाएँ $$x(t) = \phi(t)$$ तैयार कर सकता है चूँकि, कोई अधिक सामान्य स्थिति को चरों में परिवर्तन द्वारा संतुलन की स्थिति तक कम कर सकता है जिसे विचलन प्रणाली कहा जाता है। $$y = x - \phi(t)$$ द्वारा परिभाषित किया जाता है, अंतर समीकरण का पालन करना:


 * $$\dot{y} = f(t, y + \phi(t)) - \dot{\phi}(t) = g(t, y)$$.

यह अब स्वायत्त प्रणाली नहीं है, किन्तु इसमें आश्वासन संतुलन बिंदु $$y=0$$ है जिसकी स्थिरता मूल समाधान की स्थिरता के समान $$x(t) = \phi(t)$$ है।

लायपुनोव की स्थिरता के लिए दूसरी विधि
लायपुनोव ने अपने मूल 1892 के कार्य में स्थिरता प्रदर्शित करने के लिए दो विधियों को प्रस्तावित किया। प्रथम विधि ने श्रृंखला में समाधान विकसित किया जो तब सीमाओं के भीतर अभिसरण सिद्ध हुआ। दूसरी विधि, जिसे अब ल्यपुनोव स्थिरता पैरामीटर या प्रत्यक्ष विधि के रूप में जाना जाता है, ल्यपुनोव फलन V(x) का उपयोग करती है जिसमें शास्त्रीय गतिशीलता के संभावित फलन का सादृश्य होता है। इसे प्रणाली के लिए निम्नानुसार प्रस्तुत किया गया है संतुलन का बिंदु $$ \dot{x} = f(x)$$ होना। $$x=0$$ फलन पर विचार किया जाता है $$V : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} $$ ऐसा है कि तब V(x) को ल्यपुनोव फलन कहा जाता है और प्रणाली ल्यपुनोव के अर्थ में स्थिर है। (ध्यान दें कि $$V(0)=0$$ आवश्यक है; अन्यथा उदाहरण के लिए $$V(x) = 1/(1+|x|)$$ यह सिद्ध किया जाता है कि $$\dot x(t) = x$$ स्थानीय रूप से स्थिर है।) वैश्विक स्थिरता का निष्कर्ष निकालने के लिए उचितता या रेडियल अनबाउंडनेस नामक अतिरिक्त स्थिति की आवश्यकता होती है। वैश्विक स्पर्शोन्मुख स्थिरता (जीएएस) भी इसी प्रकार चलती है।
 * $$V(x)=0$$ यदि केवल $$x=0$$
 * $$V(x)>0$$ यदि केवल $$x \ne 0$$
 * $$ \dot{V}(x) = \frac{d}{dt}V(x) = \sum_{i=1}^n\frac{\partial V}{\partial x_i}f_i(x) = \nabla V \cdot f(x) \le 0$$ के सभी मानों के लिए $$x\ne 0$$ होता है नोट: स्पर्शोन्मुख स्थिरता के लिए, $$ \dot{V}(x)<0 $$ के लिए $$x \ne 0$$ आवश्यक है।

भौतिक प्रणाली (जैसे कंपन वसंत और द्रव्यमान) के बारे में सोचकर और ऐसी प्रणाली की ऊर्जा पर विचार करके विश्लेषण की इस पद्धति की कल्पना करना सरल है। यदि प्रणाली समय के साथ ऊर्जा लुप्त होती है और ऊर्जा कभी स्थित नहीं होती है तो अंततः प्रणाली को रुकना होगा और कुछ अंतिम विश्राम अवस्था में पहुंचना होगा। इस अंतिम अवस्था को आकर्षणकर्ता कहा जाता है। चूँकि, ऐसा फलन का शोध करना जो भौतिक प्रणाली की त्रुटिहीन ऊर्जा देता है, कठिन हो सकता है, और अमूर्त गणितीय प्रणालियों, आर्थिक प्रणालियों या जैविक प्रणालियों के लिए, ऊर्जा की अवधारणा प्रारम्भ नहीं हो सकती है।

ल्यपुनोव का अनुभव था कि वास्तविक भौतिक ऊर्जा के ज्ञान की आवश्यकता के बिना स्थिरता सिद्ध की जा सकती है, उपरोक्त बाधाओं को पूर्ण करने के लिए ल्यपुनोव फलन पाया जा सके।

असतत-समय प्रणालियों के लिए परिभाषा
असतत-समय प्रणालियों की परिभाषा निरंतर-समय प्रणालियों के लगभग समान है। नीचे दी गई परिभाषा इसे प्रदान करती है, सामान्यतः अधिक गणितीय पाठों में उपयोग की जाने वाली वैकल्पिक भाषा का उपयोग किया जाता है।

मान लीजिए (X, d) मीट्रिक समिष्ट है और f: X → X सतत फलन है। X में बिंदु x को 'ल्यपुनोव स्थिर' कहा जाता है, यदि,


 * $$\forall \epsilon>0 \ \exists \delta>0 \  \forall y\in X \ \left [d(x,y)<\delta \Rightarrow \forall n \in \mathbf{N} \  d\left (f^n(x),f^n(y) \right )<\epsilon \right ].$$

हम कहते हैं कि x 'स्पर्शोन्मुख रूप से स्थिर' है यदि यह इसके स्थिर मैनिफोल्ड के आंतरिक भाग से संबंधित है, अर्थात यदि,


 * $$ \exists \delta>0 \left [ d(x,y)<\delta \Rightarrow \lim_{n\to\infty} d \left(f^n(x),f^n(y) \right)=0\right ].$$

रैखिक स्तिथि समिष्ट मॉडल के लिए स्थिरता
रैखिक स्तिथि समिष्ट (नियंत्रण) मॉडल


 * $$\dot{\textbf{x}} = A\textbf{x}$$,

जहाँ $$ A$$ परिमित आव्यूह है, स्पर्शोन्मुख रूप से स्थिर है (वास्तव में, घातीय स्थिरता) यदि सभी वास्तविक भाग आइजन वैल्यू $$ A$$ के ऋणात्मक हैं, यह स्थिति निम्नलिखित के समान है:
 * $$A^\textsf{T}M + MA$$

कुछ धनात्मक-निश्चित आव्यूह के लिए ऋणात्मक निश्चित $$M = M^\textsf{T}$$है (प्रासंगिक ल्यपुनोव फलन $$V(x) = x^\textsf{T}Mx$$ है)

तदनुसार, समय-असतत रैखिक स्तिथि समिष्ट (नियंत्रण) मॉडल


 * $$\textbf{x}_{t+1} = A\textbf{x}_t$$

यदि सभी आइजन वैल्यू ​​स्पर्शोन्मुख रूप से स्थिर हैं (वास्तव में, चरघातांकीय रूप से स्थिर)। $$ A$$ निरपेक्ष मान से छोटा होता है।

इस पश्चात की स्थिति को स्विच्ड प्रणाली के लिए सामान्यीकृत किया गया है: रैखिक स्विच्ड असतत समय प्रणाली (आव्यूह के समुच्चय द्वारा शासित) $$\{A_1, \dots, A_m\}$$) है।


 * $${\textbf{x}_{t+1}} = A_{i_t}\textbf{x}_t,\quad A_{i_t} \in \{A_1, \dots, A_m\}$$

यदि समुच्चय का संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या असममित रूप से स्थिर है (वास्तव में, घातीय रूप से स्थिर) $$\{A_1, \dots, A_m\}$$ से छोटा है।

इनपुट वाले प्रणाली के लिए स्थिरता
इनपुट (या नियंत्रण) वाले प्रणाली का स्वरूप होता है:


 * $$\dot{\textbf{x}} = \textbf{f}(\textbf{x}, \textbf{u})$$

जहां (सामान्यतः समय-निर्भर) इनपुट u(t) को नियंत्रण, बाहरी इनपुट, उत्तेजना, डिस्टर्बेंस, या फोर्सिंग फलन के रूप में देखा जा सकता है। यह दिखाया गया है कि संतुलन के बिंदु के निकट जो ल्यपुनोव स्थिर है, प्रणाली छोटे डिस्टर्बेंस के अंतर्गत स्थिर रहता है। बड़ी इनपुट डिस्टर्बेंस के लिए ऐसी प्रणालियों का अध्ययन नियंत्रण सिद्धांत का विषय है और नियंत्रण इंजीनियरिंग में प्रारम्भ किया जाता है। इनपुट वाले प्रणाली के लिए, प्रणाली की स्थिरता पर इनपुट के प्रभाव की मात्रा निर्धारित करनी चाहिए। इस विश्लेषण के मुख्य दो दृष्टिकोण हैं बीआईबीओ स्थिरता (रैखिक प्रणाली के लिए) और इनपुट-टू-स्टेट स्थिरता (आईएसएस) (अरेखीय प्रणाली के लिए) है।

उदाहरण
यह उदाहरण ऐसी प्रणाली दिखाता है जहां ल्यपुनोव फलन का उपयोग ल्यपुनोव स्थिरता को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है किन्तु स्पर्शोन्मुख स्थिरता नहीं दिखा सकता है। घर्षण पद में परिवर्तन के साथ वैन डेर पोल ऑसिलेटर समीकरण के आधार पर निम्नलिखित समीकरण पर विचार किया जाता है:


 * $$ \ddot{y} + y -\varepsilon \left( \frac{\dot{y}^{3}}{3} - \dot{y}\right) = 0.$$

मान लीजिये


 * $$ x_{1} = y, x_{2} = \dot{y} $$

जिससे संबंधित प्रणाली हो


 * $$ \begin{align}

&\dot{x}_{1} = x_{2}, \\ &\dot{x}_{2} = -x_{1} + \varepsilon \left( \frac{3} - {x_{2}}\right). \end{align} $$ मूल $$ x_1= 0,\ x_2=0$$ मात्र संतुलन बिंदु है। ल्यपुनोव फलन के रूप में चयन किया जाता है:


 * $$ V = \frac {1}{2} \left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right) $$

जो स्पष्ट रूप से धनात्मक-निश्चित फलन है। इसकी व्युत्पत्ति है:



\dot{V} = x_{1} \dot x_{1} + x_{2} \dot x_{2} = x_{1} x_{2} - x_{1} x_{2}+\varepsilon \frac{x_{2}^4}{3} - \varepsilon {x_{2}^2} =  \varepsilon \frac{x_{2}^4}{3} -\varepsilon {x_{2}^2}. $$ ऐसा लगता है कि यदि पैरामीटर $$ \varepsilon $$ धनात्मक है, स्थिरता के लिए स्पर्शोन्मुख $$ x_{2}^{2} < 3.$$ है किन्तु यह त्रुटिपूर्ण है, क्योंकि $$ \dot{V} $$ पर $$x_1$$ निर्भर नहीं है, और सभी समिष्ट 0 है $$x_1$$अक्ष संतुलन ल्यपुनोव स्थिर है किन्तु स्पर्शोन्मुख रूप से स्थिर नहीं है।

बारबालाट की लेम्मा और समय-भिन्न प्रणालियों की स्थिरता
मान लीजिये कि f केवल समय का फलन है।


 * मान लीजिये $$\dot{f}(t) \to 0$$ इसका तात्पर्य यह नहीं है $$f(t)$$ पर सीमा $$t\to\infty$$ है उदाहरण के लिए, $$f(t)=\sin(\ln(t)),\; t>0$$ है।
 * मान लीजिये $$f(t)$$ सीमा के निकट पहुंच रहा है $$t \to \infty$$ इसका तात्पर्य यह नहीं है $$\dot{f}(t) \to 0$$ उदाहरण के लिए, $$f(t)=\sin\left(t^2\right)/t,\; t>0$$ है।
 * मान लीजिये $$f(t)$$ निचली सीमा और घटती हुई ($$\dot{f}\le 0$$) तात्पर्य यह है कि यह सीमा तक अभिसरण करता है। किन्तु यह नहीं बताता है या नहीं $$\dot{f}\to 0$$ जैसा $$t \to \infty$$ है।

बार्बलाट की लेम्मा (गणित) कहती है:
 * यदि $$f(t)$$ की सीमित सीमा होती है $$t \to \infty$$ यदि $$\dot{f}$$ समान रूप से सतत है (या $$\ddot{f}$$ घिरा हुआ है), फिर $$\dot{f}(t) \to 0$$ जैसा $$t \to\infty$$ है।

वैकल्पिक संस्करण इस प्रकार है:


 * मान लीजिये $$p\in [1,\infty)$$ और $$q\in (1,\infty]$$ यदि $$f \in L^p(0,\infty)$$ और $${\dot f}\in L^q(0,\infty)$$, तब $$f(t)\to 0$$ जैसा $$t\to \infty.$$ है।

निम्नलिखित रूप में लेम्मा वेक्टर वैल्यू वाली स्तिथि में भी सत्य है:


 * मान लीजिये $$f(t)$$ बनच समिष्ट में मानों के साथ समान रूप से निरंतर फलन $$E$$ है और मान लीजिये $$\textstyle\int_0^t f(\tau)\mathrm {d}\tau$$ की सीमित सीमा $$t\to \infty$$ होती है तब $$f(t)\to 0$$ जैसा $$t\to \infty$$ है।

निम्नलिखित उदाहरण स्लोटिन और ली की पुस्तक एप्लाइड नॉनलाइनियर कंट्रोल के पृष्ठ 125 से लिया गया है।

अस्वायत्त प्रणाली (गणित) पर विचार किया जाता है:
 * $$\dot{e}=-e + g\cdot w(t)$$
 * $$\dot{g}=-e \cdot w(t).$$

यह अस्वायत्त है क्योंकि इनपुट $$w$$ समय का फलन है मान लीजिये कि इनपुट $$w(t)$$ घिरा है।

मान लीजिए $$V=e^2+g^2$$ और $$\dot{V}=-2e^2 \le 0.$$ प्रदान करता है।

तो यही कहता है कि $$V(t)\leq V(0)$$ पहले दो नियम से और इसलिए $$e$$ और $$g$$ बंधे हुए हैं, किन्तु यह के अभिसरण के बारे में कुछ नहीं कहता है $$e$$ शून्य करने के लिए इसके अतिरिक्त, लासेल के अपरिवर्तनीय सिद्धांत को प्रारम्भ नहीं किया जा सकता, क्योंकि गतिशीलता अस्वायत्त है।

बार्बलाट की लेम्मा का उपयोग करना:


 * $$\ddot{V}= -4e(-e+g\cdot w)$$.

यह इसलिए बाध्य है $$e$$, $$g$$ और $$w$$ बंधे हुए हैं, यह संकेत करता है $$\dot{V} \to 0$$ जैसा $$t\to\infty$$ और इसलिए $$e \to 0$$ इससे सिद्ध होता है कि त्रुटि मिलती है।

यह भी देखें

 * ल्यपुनोव फलन
 * लासेल का अपरिवर्तनशील सिद्धांत
 * ल्यपुनोव-मल्किन प्रमेय
 * मार्कस-यामाबे अनुमान
 * लाइब्रेशन बिंदु कक्षा
 * हार्टमैन-ग्रोबमैन प्रमेय
 * क्षोभ सिद्धांत