शून्य समुच्चय

गणितीय विश्लेषण में, शून्य समुच्चय वास्तविक संख्याओं का लेबेस्ग्यू् मापनीय समुच्चय होता है जिसमें लेबेस्ग्यू् का माप शून्य होता है। इसे समुच्चय के रूप में चित्रित किया जा सकता है जिसे यादृच्छिक रूप से छोटी कुल लंबाई के अंतराल (गणित) के गणनीय संघ द्वारा आच्छादित (टोपोलॉजी) किया जा सकता है।

जैसा कि समुच्चय सिद्धांत में परिभाषित है, शून्य समुच्चय की धारणा को रिक्त समुच्चय के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए। यद्यपि रिक्त समुच्चय में लेबेस्ग्यू का माप शून्य है, फिर भी ऐसे गैर-रिक्त समुच्चय भी हैं जो शून्य हैं। इस प्रकार से उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं के किसी भी गैर-रिक्त गणनीय समुच्चय में लेबेस्ग्यू का माप शून्य है, और इसलिए वह शून्य है।

अतः अधिक सामान्यतः, किसी दिए गए माप समष्टि$$M = (X, \Sigma, \mu)$$ पर शून्य समुच्चय एक ऐसा समुच्चय $$S \in \Sigma$$ होता है जैसे कि $$\mu(S) = 0.$$

उदाहरण
इस प्रकार से वास्तविक संख्याओं का प्रत्येक परिमित या गणनीय अनंत उपसमुच्चय शून्य समुच्चय है। अतः इस प्रकार से उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय और परिमेय संख्याओं का समुच्चय दोनों ही गणनीय रूप से अनंत हैं और इसलिए वास्तविक संख्याओं के उपसमुच्चय माने जाने पर शून्य समुच्चय हैं।

इस प्रकार से कैंटर समुच्चय अगणनीय शून्य समुच्चय का उदाहरण है।

परिभाषा
अतः मान लीजिए $$A$$ वास्तविक रेखा $$\Reals$$ का उपसमुच्चय है जैसे कि प्रत्येक $$\varepsilon > 0$$ के लिए, विवृत अंतरालों का एक अनुक्रम $$U_1, U_2, \ldots$$ स्थित होता है (जहां अंतराल $$U_n = (a_n, b_n) \subseteq \Reals$$ की लंबाई $$\operatorname{length}(U_n) = b_n - a_n$$) है जैसे कि $$ A \subseteq \bigcup_{n=1}^\infty U_n \ ~\textrm{and}~ \ \sum_{n=1}^\infty \operatorname{length}(U_n) < \varepsilon \,, $$ तो $$A$$ शून्य समुच्चय है, जिसे शून्य-विवरण के समुच्चय के रूप में भी जाना जाता है।

इस प्रकार से गणितीय विश्लेषण की शब्दावली में, इस परिभाषा के लिए आवश्यक है कि $$A$$ के विवृत आवरणों का एक क्रम हो जिसके लिए आवरणों की लम्बाई अनुक्रम की सीमा शून्य है।

गुण
अतः रिक्त समुच्चय सदैव शून्य समुच्चय होता है। अधिक सामान्यतः, अशक्त समुच्चयों का कोई भी गणनीय संघ (समुच्चय सिद्धांत) अशक्त होता है। शून्य समुच्चय का कोई भी उपसमुच्चय स्वयं शून्य समुच्चय होता है। इस प्रकार से साथ में, ये तथ्य दर्शाते हैं कि $$X$$ के $$m$$-शून्य समुच्चय $$X$$ पर सिग्मा-आदर्श बनाते हैं। इसी प्रकार, मापनीय $$m$$-शून्य समुच्चय मापनीय समुच्चयों के सिग्मा-बीजगणित का सिग्मा-आदर्श बनाते हैं। इस प्रकार, शून्य समुच्चय की व्याख्या नगण्य समुच्चय के रूप में की जा सकती है, जो लगभग प्रत्येक समष्टिकी धारणा को परिभाषित करता है।

लेबेस्ग्यू माप
इस प्रकार से लेबेस्ग्यू माप यूक्लिडियन समष्टि के उपसमुच्चय को लंबाई, क्षेत्र या आयतन निर्दिष्ट करने की मानक विधि है।

अतः $$\Reals$$ के एक उपसमुच्चय $$N$$ में शून्य लेबेस्ग्यू माप है और इसे $$\Reals$$ में एक शून्य समुच्चय माना जाता है यदि और मात्र यदि:
 * कोई भी धनात्मक संख्या $$\varepsilon$$ को देखते हुए $$\Reals$$ में अंतरालों अस्तित्वगत परिमाणीकरण का क्रम $$I_1, I_2, \ldots$$ होता है, जैसे कि $$N$$, $$I_1, I_2, \ldots$$ के मिलान में समाहित होता है और मिलन की कुल लंबाई $$\varepsilon$$ से कम होती है।

इस प्रकार से अंतराल के अतिरिक्त $$n$$- घन (ज्यामिति) इका उपयोग करके इस स्थिति को $$\Reals^n$$ में सामान्यीकृत किया जा सकता है। वस्तुतः, इस विचार को किसी भी स्तर पर अर्थपूर्ण बनाया जा सकता है, भले ही वहां कोई लेबेस्ग्यू माप न हो।

इस प्रकार से उदाहरण के लिए:
 * $$\Reals^n$$ के संबंध में सभी एकलक (गणित) शून्य हैं, और इसलिए सभी गणनीय समुच्चय शून्य हैं। विशेष रूप से, परिमेय संख्याओं का समुच्चय $$\Q$$, $$\Reals$$ में संहत (टोपोलॉजी) होने के अतिरिक्त एक शून्य समुच्चय है।
 * कैंटर समुच्चय का मानक निर्माण $$\Reals$$ में शून्य अगणनीय समुच्चय का उदाहरण है; यद्यपि अन्य निर्माण भी संभव हैं जो कैंटर को कोई भी माप निर्धारित करते हैं।
 * $$\Reals^n$$ के सभी उपसमुच्चय जिनका आयाम $$n$$ से छोटा है, $$\Reals^n$$ में शून्य लेबेस्ग्यू माप है। इस प्रकार से उदाहरण के लिए सीधी रेखाएँ या वृत्त $$\Reals^2$$ में शून्य समुच्चय है।
 * सार्ड की लेम्मा: सुचारु फलन के महत्वपूर्ण मानों के समुच्चय का माप शून्य होता है।

यदि $$\lambda$$, $$\Reals$$ के लिए लेबेस्ग्यू माप है और π, $$\Reals^2$$ के लिए लेबेस्ग्यू माप है, तो गुणनफल माप $$\lambda \times \lambda = \pi$$ है। अशक्त समुच्चयों के संदर्भ में, निम्नलिखित तुल्यता को फ़ुबिनी के प्रमेय की शैली दी गई है:

$$\pi(A) = 0 \iff \lambda \left(\left\{x : \lambda\left(A_x\right) > 0\right\}\right) = 0$$ के लिए।
 * $$A \subset \Reals^2$$ और $$A_x = \{y : (x, y) \isin A\},$$

उपयोग
इस प्रकार से शून्य समुच्चय लेबेस्ग्यू एकीकरण की परिभाषा में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं: यदि फलन $$f$$ और $$g$$ एक शून्य समुच्चय को छोड़कर सभी बराबर हैं, तो $$f$$ पूर्णांक है, यदि और मात्र यदि $$g$$ है, और उनके अभिन्न अंग बराबर हैं। अतः यह फलनों के समतुल्य वर्गों के समुच्चय के रूप में $$L^p$$ रिक्त समष्टि की औपचारिक परिभाषा को प्रेरित करता है जो मात्र शून्य समुच्चय पर भिन्न होता है।

एक माप जिसमें शून्य समुच्चय के सभी उपसमुच्चय मापनीय होते हैं, पूर्ण माप होता है। इस प्रकार से किसी भी गैर-पूर्ण माप को यह अनुरोध करके पूर्ण माप बनाने के लिए पूर्ण किया जा सकता है कि शून्य समुच्चय के उपसमुच्चय का माप शून्य है। लेबेस्ग्यू माप पूर्ण माप का उदाहरण है; कुछ निर्माणों में, इसे अपूर्ण बोरेल माप के पूर्ण होने के रूप में परिभाषित किया गया है।

कैंटर समुच्चय का उपसमुच्चय जो बोरेल मापनीय नहीं है
इस प्रकार से बोरेल माप पूर्ण नहीं हुआ है। अतः एक सरल निर्माण मानक कैंटर सेट $$K$$ से प्रारंभ करना है, जो संवृत है इसलिए बोरेल मापनीय है, और जिसका माप शून्य है, और $$K$$ का एक उपसमुच्चय $$F$$ जो बोरेल मापनीय नहीं है। (चूंकि लेबेस्ग्यू माप पूर्ण हो गया है, यह $$F$$ निश्चित रूप से लेबेस्ग्यू मापनीय है।)

अतः सबसे पहले, हमें यह जानना होगा कि धनात्मक माप के प्रत्येक समुच्चय में गैर-मापनीय उपसमुच्चय होता है। मान लीजिए कि $$f$$ कैंटर फलन है, सतत फलन जो $$K^c$$ पर स्थानीय रूप से स्थिर है, और $$f(0) = 0$$ और $$f(1) = 1$$ के साथ $$[0, 1]$$ पर एकदिष्ट रूप से बढ़ रहा है। स्पष्ट रुप से, $$f(K^c)$$ गणनीय है, क्योंकि इसमें $$K^c$$ के प्रति घटक एक बिंदु होता है। इसलिए $$f(K^c)$$ का माप शून्य है, इसलिए $$f(K)$$ का माप एक है। इस प्रकार से हमें दृढ़ता से एकदिष्ट फलन की आवश्यकता है, इसलिए $$g(x) = f(x) + x$$ पर विचार करें। चूँकि $$f(x)$$ पूर्णतया एकदिष्ट और सतत है, यह एक समरूपता है। इसके अतिरिक्त, $$g(K)$$ का माप एक है। मान लीजिए कि $$E \subseteq g(K)$$ गैर-मापनीय है, और मान लीजिए कि $$F = g^{-1}(E)$$ है। क्योंकि $$g$$ अन्तःक्षेपक है, हमारे निकट $$F \subseteq K$$ है, और इसलिए $$F$$ शून्य समुच्चय है।यद्यपि, यदि यह बोरेल मापनीय होता, तो $$f(F)$$ बोरेल भी मापनीय होता है (यहां हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि सतत फलन द्वारा निर्धारित बोरेल का पूर्व प्रतिचित्र (गणित) मापनीय है; $$g(F) = (g^{-1})^{-1}(F)$$ निरंतर फ़ंक्शन $$h = g^{-1}$$ के माध्यम से $$F$$ का पूर्व प्रतिचित्र है ।) इसलिए, $$F$$ शून्य, परन्तु गैर-बोरेल मापनीय समुच्चय है।

हार शून्य
इस प्रकार से एक वियोज्य बानाच समष्टि $$(X, +)$$ में, समूह संक्रियक किसी भी उपसमुच्चय $$A \subseteq X$$ को किसी भी $$x \in X$$ के लिए अनुवादित $$A + x$$ में ले जाता है। अतः जब $$X$$ के बोरेल उपसमुच्चय के σ-बीजगणित पर संभाव्यता माप $μ$ होता है, जैसे कि सभी $$x,$$ $$\mu(A + x) = 0$$ के लिए $$A$$ एक हार शून्य समुच्चय है।

इस प्रकार से यह शब्द अनुवाद के मापों की शून्य अपरिवर्तनशीलता को संदर्भित करता है, इसे हार माप के साथ पाए जाने वाले पूर्ण अपरिवर्तन्य के साथ जोड़ता है।

अतः टोपोलॉजिकल समूहों के कुछ बीजगणितीय गुण उपसमुच्चय और हार नल समुच्चय के आकार से संबंधित हैं। इस प्रकार से हार नल समुच्चय का उपयोग पोलिश समूहों में यह दिखाने के लिए किया गया है कि जब $A$ कोई छोटा समुच्चय नहीं है, तो $$A^{-1} A$$ तत्समक अवयव का एक विवृत निकटवर्ती होता है। अतः इस गुण के नाम ह्यूगो स्टीनहॉस के नाम पर रखा गया है क्योंकि यह स्टीनहॉस प्रमेय का निष्कर्ष है।