कॉची-प्रत्यास्थ भौतिक

भौतिकी में, एक कॉची-लोचदार सामग्री वह है जिसमें प्रत्येक बिंदु पर तनाव (यांत्रिकी) केवल एक मनमाना संदर्भ विन्यास के संबंध में विरूपण (इंजीनियरिंग) की वर्तमान स्थिति से निर्धारित होता है। कॉची-लोचदार सामग्री को एक साधारण लोचदार सामग्री भी कहा जाता है।

इस परिभाषा से यह पता चलता है कि कॉशी-लोचदार सामग्री में तनाव विरूपण के मार्ग या विरूपण के इतिहास पर निर्भर नहीं करता है, या उस विरूपण को प्राप्त करने में लगने वाले समय या उस दर पर निर्भर करता है जिस पर विरूपण की स्थिति होती है। परिभाषा का तात्पर्य यह भी है कि संवैधानिक समीकरण स्थानिक रूप से स्थानीय हैं; अर्थात्, शेष सामग्री के विरूपण या गति की परवाह किए बिना, तनाव केवल बिंदु के एक अतिसूक्ष्म पड़ोस में विरूपण की स्थिति से प्रभावित होता है। इसका तात्पर्य यह भी है कि शरीर बल (जैसे गुरुत्वाकर्षण), और जड़त्वीय बल सामग्री के गुणों को प्रभावित नहीं कर सकते हैं। अंत में, कॉची-लोचदार सामग्री को भौतिक वस्तुनिष्ठता की आवश्यकताओं को पूरा करना चाहिए।

कॉची-लोचदार सामग्री गणितीय सार हैं, और कोई भी वास्तविक सामग्री इस परिभाषा को पूरी तरह से फिट नहीं करती है। हालांकि, व्यावहारिक हित की कई लोचदार सामग्री, जैसे कि स्टील, प्लास्टिक, लकड़ी और कंक्रीट, को अक्सर तनाव विश्लेषण के प्रयोजनों के लिए कॉची-लोचदार माना जा सकता है।

गणितीय परिभाषा
औपचारिक रूप से, एक सामग्री को कॉची-लोचदार कहा जाता है यदि कॉची तनाव टेन्सर $$ \boldsymbol{\sigma} $$ तनाव टेन्सर (विरूपण ढाल) का एक कार्य है $$\boldsymbol{F}$$ अकेला:
 * $$\ \boldsymbol{\sigma} = \mathcal{G}(\boldsymbol{F}) $$

यह परिभाषा मानती है कि तापमान के प्रभाव को नजरअंदाज किया जा सकता है और शरीर सजातीय है। यह कॉशी-लोचदार सामग्री के लिए संवैधानिक समीकरण है। ध्यान दें कि समारोह $$\mathcal{G}$$ संदर्भ विन्यास की पसंद पर निर्भर करता है। आमतौर पर, संदर्भ कॉन्फ़िगरेशन को आराम (शून्य-तनाव) कॉन्फ़िगरेशन के रूप में लिया जाता है, लेकिन इसकी आवश्यकता नहीं होती है।

सामग्री फ्रेम-उदासीनता की आवश्यकता है कि संवैधानिक संबंध $$\mathcal{G}$$ प्रेक्षक का स्थान बदलने पर परिवर्तन नहीं होना चाहिए। इसलिए एक और मनमाना पर्यवेक्षक के लिए संवैधानिक समीकरण लिखा जा सकता है $$ \boldsymbol{\sigma}^* = \mathcal{G}(\boldsymbol{F}^*) $$. यह जानते हुए कि तनाव (भौतिकी) $$ \sigma $$ और विरूपण ढाल $$ F $$ वस्तुनिष्ठ मात्राएँ हैं, कोई लिख सकता है:



\begin{align} & \boldsymbol{\sigma}^* &=& \mathcal{G}(\boldsymbol{F}^*) \\ \Rightarrow & \boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{R}^T &=& \mathcal{G}(\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{F}) \\ \Rightarrow & \boldsymbol{R}\cdot\mathcal{G}(\boldsymbol{F})\cdot\boldsymbol{R}^T &=& \mathcal{G}(\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{F}) \end{align} $$ कहाँ $$\boldsymbol{R}$$ एक उचित ओर्थोगोनल टेन्सर है।

उपरोक्त एक शर्त है कि संवैधानिक समीकरण $$ \mathcal{G} $$ यह सुनिश्चित करने के लिए सम्मान करना होगा कि सामग्री की प्रतिक्रिया पर्यवेक्षक से स्वतंत्र होगी। पहले या दूसरे पिओला-किरचॉफ तनाव टेंसर के विरूपण प्रवणता से संबंधित संवैधानिक समीकरण के लिए समान स्थितियाँ प्राप्त की जा सकती हैं।

आइसोट्रोपिक कॉची-लोचदार सामग्री
एक आइसोटोपिक सामग्री के लिए तनाव (भौतिकी) $$ \boldsymbol{\sigma} $$ परिमित तनाव सिद्धांत के एक कार्य के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$ \boldsymbol{B}=\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{F}^T $$. संवैधानिक समीकरण तब लिखा जा सकता है:


 * $$\ \boldsymbol{\sigma} = \mathcal{H}(\boldsymbol{B}). $$

पर प्रतिबंध लगाने के लिए $$ h $$ जो सामग्री फ्रेम-उदासीनता के सिद्धांत को सुनिश्चित करेगा, कोई लिख सकता है:


 * $$\ \begin{array}{rrcl} & \boldsymbol{\sigma}^* &=& \mathcal{H}(\boldsymbol{B}^*) \\

\Rightarrow & \boldsymbol{R}\cdot \boldsymbol{\sigma}\cdot \boldsymbol{R}^T &=& \mathcal{H}(\boldsymbol{F}^*\cdot(\boldsymbol{F}^*)^T) \\ \Rightarrow & \boldsymbol{R}\cdot \mathcal{H}(\boldsymbol{B}) \cdot\boldsymbol{R}^T &=& \mathcal{H}(\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{F}^T\cdot\boldsymbol{R}^T) \\ \Rightarrow & \boldsymbol{R}\cdot \mathcal{H}(\boldsymbol{B})\cdot \boldsymbol{R}^T &=& \mathcal{H}(\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{R}^T). \end{array}$$ उपरोक्त स्थिति का सम्मान करने वाले एक संवैधानिक समीकरण को समदैशिक कहा जाता है।

गैर-रूढ़िवादी सामग्री
भले ही कॉची-लोचदार सामग्री में तनाव केवल विरूपण की स्थिति पर निर्भर करता है, तनावों द्वारा किया गया कार्य विरूपण के मार्ग पर निर्भर हो सकता है। इसलिए एक कॉची लोचदार सामग्री में सामान्य रूप से एक गैर-रूढ़िवादी संरचना होती है, और तनाव को स्केलर लोचदार संभावित कार्य से जरूरी नहीं लिया जा सकता है। इस अर्थ में रूढ़िवादी सामग्री को हाइपरलास्टिक सामग्री या ग्रीन-लोचदार कहा जाता है।