कासिमिर तत्व

गणित में कासिमिर तत्व एक लाई बीजगणित के सार्वभौमिक आवरण के केंद्र (रिंग थ्योरी) का एक विशिष्ट तत्व है। जिसे कासिमिर इनवेरिएंट या कासिमिर ऑपरेटर के रूप में भी जाना जाता है। एक प्रोटोटाइपिकल उदाहरण स्क्वायर कोणीय गति ऑपरेटर है। जो त्रि-आयामी रोटेशन समूह SO(3) का कासिमिर तत्व है।

सामान्यतः कासिमिर तत्वों का उपयोग सार्वभौमिक आवरण बीजगणित के केंद्र के किसी भी तत्व को संदर्भित करने के लिए किया जा सकता है। इन तत्वों के एक क्षेत्र पर बीजगणित को हरीश-चंद्र समरूपता के माध्यम से बहुपद बीजगणित के लिए समरूपता के रूप में भी जाना जाता है।

कासिमिर तत्व का नाम वैज्ञानिक हेंड्रिक कासिमिर के नाम पर रखा गया है। जिन्होंने 1931 में कठोर शरीर की गतिशीलता के अपने विवरण में उनकी पहचान का विवरण दिया था।

परिभाषा
सबसे अधिकत प्रयोग किया जाने वाला कासिमिर इनवेरिएंट द्विघात इनवेरिएंट है। यह परिभाषित करने के लिए सबसे सरल है और इसलिए पहले दिया गया है। चूंकि किसी के पास उच्च क्रम के कासिमिर इनवेरिएंट भी पाये जा सकते हैं। जो उच्च क्रम के सजातीय सममित बहुपदों के समान होते हैं।

द्विघात कासिमिर तत्व
माना कि $$\mathfrak{g}$$ एक $$n$$-आयामी लाई बीजगणित है। माना कि B एक नॉनडिजेनरेट $$\mathfrak{g}$$ पर द्विरेखीय रूप है। जो की $$\mathfrak{g}$$ पर आसन्न क्रिया के अनुसार अपरिवर्तनीय है। जिसका अर्थ यह है कि $$B(\operatorname{ad}_XY, Z) + B(Y, \operatorname{ad}_X Z) = 0$$, $$\mathfrak{g}$$ में सभी X, Y, Z के लिये. (B का सबसे सामान्य पसंद किलिंग रूप है। यदि $$\mathfrak{g}$$ सेमीसिंपल लाई बीजगणित है।)

माना कि-
 * $$\{X_i\}_{i=1}^n$$

का कोई भी आधार (रैखिक बीजगणित) $$\mathfrak{g}$$ हो, और
 * $$\{X^i\}_{i=1}^n$$

का B के संबंध में दोहरा आधार $$\mathfrak{g}$$ के साथ हो। 'कासिमिर तत्व' $$\Omega$$ लिए सार्वभौमिक आवरण बीजगणित B का तत्व है। जो कि $$U(\mathfrak{g})$$ सूत्र द्वारा दिया गया है।
 * $$\Omega = \sum_{i=1}^n X_i X^i.$$

चूंकि परिभाषा लाई बीजगणित के आधार के विकल्प पर निर्भर करती है। यह प्रदर्शित करना सरल है कि Ω इस पसंद से स्वतंत्र है। दूसरी ओर Ω द्विरेखीय रूप B पर निर्भर करता है। B के व्युत्क्रम का अर्थ है कि कासिमिर तत्व लाई बीजगणित $$\mathfrak{g}$$ के सभी तत्वों के साथ संचार करता है और इसलिए सार्वभौमिक आवरण बीजगणित $$U(\mathfrak{g})$$ के एक वलय के केंद्र में स्थित है।

 एक रेखीय प्रतिनिधित्व और एक सुचारू क्रिया का द्विघात कासिमिर इनवेरिएंट 

लाई बीजगणित निरूपण ρ का $$\mathfrak{g}$$ सदिश स्थान V पर दिया गया है। संभवतः अनंत-आयामी ρ का 'कैसिमिर इनवेरिएंट' ρ(Ω) के रूप में परिभाषित किया गया है। सूत्र द्वारा दिए गए V पर रैखिक संचालिका-


 * $$\rho(\Omega) = \sum_{i=1}^n \rho(X_i)\rho(X^i).$$

इस निर्माण का एक विशिष्ट रूप अंतर ज्यामिति और वैश्विक विश्लेषण में महत्वपूर्ण भूमिका प्रदर्शित करता है। माना कि लाई बीजगणित $$\mathfrak{g}$$ के साथ एक जुड़ा लाई समूह G अलग-अलग कई गुना M पर समूह कार्रवाई करें। M पर सरल फलन के स्थान पर G के संबंधित प्रतिनिधित्व ρ पर विचार करें। फिर $$\mathfrak{g}$$ के तत्व M पर पहले क्रम के डिफरेंशियल ऑपरेटर्स द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है। इस स्थिति में ρ का कासिमिर इनवेरिएंट उपरोक्त सूत्र द्वारा परिभाषित M पर G-इनवेरिएंट सेकेंड ऑर्डर डिफरेंशियल ऑपरेटर है।

आगे विशेषज्ञता यदि ऐसा प्रतीत होता है कि M में एक रिमेंनियन मीट्रिक है। जिस पर G आइसोमेट्रीज़ और स्टेबलाइज़र उपसमूह Gx द्वारा सकर्मक रूप से कार्य करता है। एक बिंदु x पर M के स्पर्शरेखा स्थान पर अनियमित रूप से कार्य करता है। फिर ρ का कासिमिर इनवेरिएंट मीट्रिक से आने वाले लाप्लासियन ऑपरेटर का एक अदिश गुणक है।

अधिक सामान्य कासिमिर आक्रमणकारियों को भी परिभाषित किया जा सकता है। जो सामान्यतः फ्रेडहोम सिद्धांत में छद्म-विभेदक संचालकों के अध्ययन में होता है।

उच्च क्रम के कासिमिर तत्व
यूनिवर्सल आवरण बीजगणित पर लेख कासिमिर ऑपरेटरों की एक विस्तृत, सटीक परिभाषा और उनके कुछ गुणों का एक विवरण देता है। सभी कासिमिर ऑपरेटर लाई बीजगणित के आसन्न प्रतिनिधित्व के सममित बीजगणित में सममित सजातीय बहुपदों $$\operatorname{ad}_\mathfrak{g}.$$ के अनुरूप हैं:


 * $$C_{(m)} = \kappa^{ij\cdots k} X_i \otimes X_j \otimes \cdots\otimes X_k$$

जहाँ $m$ सममित टेंसर $$\kappa^{ij\cdots k}$$ का क्रम है और यह $$X_i$$ का एक सदिश स्थान $$\mathfrak{g}.$$ आधार बनाते हैं। यह एक सममित सजातीय बहुपद के अनुरूप है।


 * $$c_{(m)} = \kappa^{ij\cdots k} t_i t_j \cdots t_k$$

में $m$ अनिश्चित चर $$t_i$$ बहुपद बीजगणित में $$K[t_i, t_j, \cdots ,t_k]$$ एक सतह के ऊपर स्थित हैं। समरूपता का कारण पीबीडब्ल्यू प्रमेय से निकलकर प्रदर्शित होता है और सार्वभौमिक आवरण बीजगणित पर आलेख में अधिक विस्तार से चर्चा की गई है।

इसके अतिरिक्त एक कासिमिर तत्व को सार्वभौमिक आवरण वाले बीजगणित के केंद्र से संबंधित होना चाहिए अर्थात इसका पालन करना चाहिए।


 * $$[C_{(m)}, X_i] = 0$$

सभी आधार तत्वों $$X_i.$$ के लिए इसी सममित टेंसर $$\kappa^{ij\cdots k}$$ के संदर्भ में ज्ञात है। यह स्थिति टेंसर के अपरिवर्तनीय होने के बराबर है:
 * $$f_{ij}^{\;\; k} \kappa^{jl\cdots m}

+ f_{ij}^{\;\; l} \kappa^{kj\cdots m} + \cdots + f_{ij}^{\;\; m} \kappa^{kl\cdots j} = 0 $$ जहाँ $$f_{ij}^{\;\; k}$$ लाई बीजगणित अर्थात संरचना स्थिरांक है। जो कि- $$[X_i,X_j]=f_{ij}^{\;\; k}X_k$$.

द्विघात कासिमिर तत्व की विशिष्टता
चूंकि एक साधारण लाई बीजगणित के लिए प्रत्येक अपरिवर्तनीय बिलिनियर फॉर्म किलिंग फॉर्म का एक बहुपद है। संबंधित कासिमिर तत्व विशिष्ट रूप से एक स्थिरांक तक परिभाषित होता है। सामान्य अर्धसरल लाई बीजगणित के लिए अपरिवर्तनीय द्विरेखीय रूपों के स्थान में प्रत्येक सरल घटक के लिए एक आधार वेक्टर होता है और इसलिए यह संबंधित कासिमिर ऑपरेटरों के स्थान के लिए भी सही है।

 $$G$$ पर लाप्लासियन से संबंध 

यदि $$G$$ लाई बीजगणित $$\mathfrak{g}$$ वाला एक लाई समूह है। अपरिवर्तनीय बिलिनियर फॉर्म का विकल्प $$\mathfrak{g}$$ द्वि-अपरिवर्तनीय रीमैनियन मीट्रिक के विकल्प $$G$$ से मेल खाता है। फिर सार्वभौमिक आवरण बीजगणित $$\mathfrak{g}$$ की पहचान के अनुसार बाएं अपरिवर्तनीय अंतर ऑपरेटरों $$G$$ के साथ, बिलिनियर रूप का कासिमिर तत्व $$\mathfrak{g}$$ के लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर $$G$$ के मानचित्र हैं। (इसी द्वि-अपरिवर्तनीय मीट्रिक के संबंध में दर्शाया गया है।)

कासिमिर तत्व और प्रतिनिधित्व सिद्धांत
ग्यूलियो रेकैच के प्रमेय द्वारा एक अर्धसरल लाई बीजगणित के लिए सार्वभौमिक आवरण बीजगणित के केंद्र का आयाम इसके अर्धसरल लाई बीजगणित रैंक के बराबर है। कासिमिर संचालिका लाप्लासियन की अवधारणा को एक सामान्य अर्ध-सरल लाई समूह पर जोर देती है। किन्तु रैंक> 1 के लिए लाप्लासियन का कोई विशेष एनालॉग नहीं है।

परिभाषा के अनुसार सार्वभौमिक आवरण वाले बीजगणित के केंद्र का कोई भी सदस्य बीजगणित के अन्य सभी तत्वों के साथ आवागमन करता है। शूर के लेम्मा के अनुसार लाइ बीजगणित के किसी भी अप्रासंगिक प्रतिनिधित्व में कोई भी कासिमिर तत्व इस प्रकार पहचान के समानुपाती होता है। सभी कासिमिर तत्वों के इंगेन वैल्यू ​​​​का उपयोग लाई बीजगणित (और इसलिए इसके लाई समूह के भी) के प्रतिनिधित्व को वर्गीकृत करने के लिए किया जा सकता है।

भौतिक द्रव्यमान और स्पिन इन ईजेनवैल्यू के उदाहरण हैं। जैसा कि क्वांटम यांत्रिकी में पाए जाने वाले कई अन्य सांख्यिक अंक हैं। सामान्यतः टोपोलॉजिकल क्वांटम संख्याएं इस पैटर्न के लिए एक अपवाद हैं। चूंकि गहरे सिद्धांत संकेत देते हैं कि ये एक ही घटना के दो रूप हैं।.

माना कि $$L(\lambda)$$ भार का परिमित आयामी उच्चतम भार मॉड्यूल $$\lambda$$ हो। फिर द्विघात कासिमिर तत्व $$\Omega$$ पर $$L(\lambda)$$ निरंतर द्वारा कार्य करता है।
 * $$\langle \lambda, \lambda + 2 \rho \rangle=\langle\lambda+\rho,\lambda+\rho\rangle - \langle\rho,\rho\rangle ,$$ जहाँ $$\rho$$ भार सकारात्मक जड़ों के आधे योग द्वारा परिभाषित किया गया है। यदि $$L(\lambda)$$ अगणनीय है (अर्थात यदि $$\lambda\neq 0$$), तो यह स्थिरांक अशून्य है। जब से $$\lambda$$ प्रमुख है। यदि $$\lambda\neq 0$$, तब $$\langle\lambda,\lambda\rangle>0$$ और $$\langle\lambda,\rho\rangle\geq 0$$। यह प्रदर्शित हो रहा है कि $$\langle\lambda,\lambda+2\rho\rangle >0$$. पूर्ण न्यूनीकरण पर वेइल के प्रमेय के प्रमाण में यह अवलोकन एक महत्वपूर्ण भूमिका प्रदर्शित करतार है। ईगेनवैल्यू के गैर-लुप्त होने को अधिक अमूर्त प्रकारों से सिद्द करना भी संभव है। ईजेनवेल्यू के लिए एक स्पष्ट सूत्र का उपयोग किए बिना कार्टन की कसौटी का उपयोग करना उचित है। हम्फ्रीज़ की पुस्तक में खंड 4.3 और 6.2 देखें।

 सरल लाई बीजगणित के सममित अपरिवर्तनीय टेंसर 

एक $$m$$ श्रेणी के कासिमिर तत्व के माध्यम से एक ही क्रम के एक सममित अपरिवर्तनीय टेंसर $$C_{(m)} = \kappa^{i_1i_2\cdots i_m} X_{i_1}X_{i_2}\cdots X_{i_m}$$ से मिलती है। कासिमिर तत्वों का निर्माण और संबंध सममित अपरिवर्तनीय टेंसरों के लिए समान करने के बराबर है।

सममित अपरिवर्तनीय टेन्सर का निर्माण
सममित अपरिवर्तनीय टेंसरों को परिभाषित प्रतिनिधित्व में सममित चिन्ह के रूप में बनाया जा सकता है।

k^{(m)}_{i_1i_2\cdots i_m} = \text{Tr}\left(X_{(i_1}X_{i_2}\cdots X_{i_m)}\right) $$ जहां सूचकांकों को किलिंग फॉर्म द्वारा ऊपर और नीचे किया जाता है और सभी क्रमपरिवर्तनों के अनुसार सममित किया जाता है।

इस प्रकार के एंटीसिमेट्रिक इनवेरिएंट टेंसर से सममित अपरिवर्तनीय टेंसरों का निर्माण करना भी संभव है। जो कि हैं-

\Omega^{(2m-1)}_{i_1i_2\cdots i_{2m-1}} = f_{i_1[i_2}^{j_1} \cdots f^{j_{m-1}}_{i_{2m-3}i_{2m-2}]} k^{(m)}_{j_1\cdots j_{m-1}i_{2m-1}} $$ सममित अपरिवर्तनीय टेंसर

t_{i_1i_2\cdots i_m}^{(m)} = \Omega^{(2m-1)}_{j_1j_2\cdots j_{2m-2} i_m} f_{i_1}^{j_1j_2}\cdots f_{i_{m-1}}^{j_{2m-2}j_{2m-3}} $$ $$m>2$$ के लिए अनुपयोगी है। ऐसे अपरिवर्तनीय टेन्सर एक दूसरे के लिए इस अर्थ में ओर्थोगोनल हैं कि $$t^{(m)}_{i_1i_2\cdots i_m} \left(t^{(n)}\right)^{i_1i_2\cdots i_m i_{m+1}\cdots i_n} = 0 $$ यदि $$n>m$$.

साधारण लाई बीजगणित की स्थिति में $$A_l=\mathfrak{sl}_{l+1}$$,

माना कि हम क्रम तीन के पूर्ण सममित टेंसर $$d_{ijk}$$ का परिचय दें। ऐसा है कि परिभाषित प्रतिनिधित्व में,

X_iX_j = \frac{2}{\ell+1} \delta_{ij} + f_{ij}^k X_k + d_{ij}^k X_k $$ फिर सडबेरी सममित अपरिवर्तनीय टेंसर हैं। :

$$ d^{(2)}_{i_1i_2} = \delta_{i_1i_2} $$

d^{(3)}_{i_1i_2i_3} = d_{i_1i_2i_3} $$

d^{(4)}_{i_1i_2i_3i_4} = d_{(i_1i_2}{}^j d_{i_3i_4)j} $$

d^{(5)}_{i_1i_2i_3i_4i_5} = d_{(i_1i_2}{}^j d^j{}_{i_3}{}^kd_{i_4i_5)k} $$

 सममित अपरिवर्तनीय टेंसर के बीच संबंध 

रैंक $$r$$ के एक साधारण लाई बीजगणित के लिए, वहाँ $$r$$ बीजीय रूप से स्वतंत्र सममित अपरिवर्तनीय टेंसर हैं। इसलिए ऐसे किसी टेंसर को के संदर्भ में $$r$$ दिए गए टेंसर को व्यक्त किया जा सकता है। सममित अपरिवर्तनीय टेंसरों के बीच पहचान के पूर्ण समुच्चय प्राप्त करने के लिए एक व्यवस्थित विधि है।

लाई बीजगणित की स्थिति में $$A_l$$, सममित अपरिवर्तनीय टेंसर $$t^{(m)}$$, $$t^{(m>l+1)}=0$$ की विधि का पालन करता है।

अन्य समुच्चयों के संदर्भ में इन टेंसरों को पुनः व्यक्त करना जैसे $$d^{(m)}$$ या $$k^{(m)}$$ इन अन्य परिवारों के अन्दर गैर-तुच्छ संबंधों को उत्पन्न करता है। उदाहरण के लिए सडबेरी टेंसर $$d^{(m>l+1)}$$ के रूप में $$d^{(2)},\cdots, d^{(l+1)}$$ को व्यक्त किया जा सकता है। दिये गये इस प्रकार के संबंधों के साथ-

d^{(4)}_{i_1i_2i_3i_4}\ \underset{l=2}{=}\ \frac13\delta_{(i_1i_2}\delta_{i_3i_4)} $$

d^{(5)}_{i_1i_2i_3i_4i_5}\ \underset{l=2}{=}\ \frac13 d_{(i_1i_2i_3}\delta_{i_4i_5)} $$

d^{(5)}_{i_1i_2i_3i_4i_5}\ \underset{l=3}{=}\ \frac23 d_{(i_1i_2i_3}\delta_{i_4i_5)} $$ संरचना स्थिरांक भी उन पहचानों का पालन करते हैं। जो सीधे सममित अपरिवर्तनीय टेंसर से संबंधित नहीं हैं। उदाहरण के लिए :$$ 3d_{ab}{}^{e}d_{cde}-f_{ac}{}^{e}f_{bde}-f_{ad}{}^{e}f_{bce}\ \underset{l=2}{=}\ \delta_{ac}\delta_{bd}+\delta_{ad}\delta_{bc}-\delta_{ab}\delta_{cd} $$

$sl(2)$ की स्थिति
लाई बीजगणित $$\mathfrak{sl}_2 \mathbb{C}$$ शून्य ट्रेस के साथ दो-दो-दो जटिल मैट्रिसेस होते हैं। तीन मानक आधार तत्व $$e$$,$$f$$, और $$h$$ हैं।


 * $$\begin{align}

e &= \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{bmatrix}, & f &= \begin{bmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{bmatrix}, & h &= \begin{bmatrix} 1 & 0\\  0 & -1 \end{bmatrix}. \end{align}$$ कम्यूटेटर हैं-


 * $$\begin{align}[]

[e, f] &=  h, & [h, f] &= -2f, & [h, e] &= 2e. \end{align}$$ यह कोई प्रदर्शित कर सकता है कि कासिमिर तत्व है।

$$\Omega = ef + fe + \frac{1}{2}h^2 = \frac{1}{2}h^2 + h + 2fe = \frac{3}{2}I_2.$$

 $so(3)$ की स्थिति 

लाई बीजगणित $$\mathfrak{so}(3)$$ का लाई बीजगणित SO(3) है। त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष के लिए घूर्णन समूह है। यह रैंक 1 का सरल रूप है और इसलिए इसमें एक स्वतंत्र कासिमिर है। रोटेशन समूह के लिए किलिंग फॉर्म सिर्फ क्रोनकर डेल्टा है और इसलिए कासिमिर इनवेरिएंट $$L_x,\, L_y,\, L_z$$ बीजगणित का केवल जनरेटर के वर्गों का योग है। यह है कि कासिमिर इनवेरिएंट द्वारा दिया गया है।


 * $$L^2 = L_x^2 + L_y^2 + L_z^2.$$

$$\mathfrak{so}(3)$$ के अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व पर विचार करें। जिसमें $$L_z$$ का सबसे बड़ा इगेन वैल्यू $$\ell$$ है। जहां $$\ell$$ के संभावित मान $0,\, \frac{1}{2},\, 1,\, \frac{3}{2},\, \ldots$ हैं। कासिमिर संकारक के व्युत्क्रमण का तात्पर्य है कि यह पहचान संकारक $$I$$ का गुणक है। निम्नलिखित परिणाम देते हुए इस स्थिरांक की स्पष्ट रूप से गणना की जा सकती है।
 * $$L^2 = L_x^2 + L_y^2 + L_z^2 = \ell(\ell + 1)I.$$

क्वांटम यांत्रिकी में स्केलर मान $$\ell$$ कुल कोणीय गति के रूप में प्रदर्शित किया गया है। रोटेशन समूह के परिमित-आयामी मैट्रिक्स-मूल्यवान समूह प्रतिनिधित्व के लिए $$\ell$$ सदैव पूर्णांक मान (बोसॉन के लिए) या आधा-पूर्णांक मान (फर्मियन के लिए) लेता है।

दिए गए मूल्य $$\ell$$ के लिए मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व $$(2\ell + 1)$$-आयामी है। इस प्रकार उदाहरण के लिए त्रि-आयामी प्रतिनिधित्व $$\ell = 1$$ के लिए $$\mathfrak{so}(3)$$ से मिलती है और जनरेटर द्वारा दिया जाता है।


 * $$\begin{align}

L_x &= i\begin{pmatrix} 0& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 1&  0 \end{pmatrix}; & L_y &= i\begin{pmatrix} 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ -1& 0& 0 \end{pmatrix}; & L_z &= i\begin{pmatrix} 0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0&  0& 0 \end{pmatrix}, \end{align}$$ जहां $$i$$ के कारक भौतिकी सम्मेलन (यहाँ प्रयुक्त) के साथ समझौते के लिए आवश्यक हैं कि जनरेटर को तिरछा-स्व-आसन्न ऑपरेटर होना चाहिए।

द्विघात कासिमिर अपरिवर्तनीय परिणाम के साथ स्वयं सरलता से गणना की जा सकती है-


 * $$L^2 = L_x^2 + L_y^2 + L_z^2 = 2

\begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{pmatrix} $$ जैसा $$\ell(\ell + 1) = 2$$ जब $$\ell = 1$$. इसी प्रकार दो आयामी प्रतिनिधित्व का आधार पॉल मैट्रिसेस द्वारा दिया गया है। जो स्पिन (भौतिकी) के अनुरूप है। $1/2$ और एक बार फिर प्रत्यक्ष संगणना द्वारा कासिमिर के सूत्र की जाँच कर सकते हैं।

यह भी देखें

 * हरीश-चंद्र समरूपता
 * पाउली-लुबांस्की स्यूडोवेक्टर
 * क्लेबश-गॉर्डन गुणांक

अग्रिम पठन

 * https://mathoverflow.net/questions/74689/motivating-the-casimir-element
 * https://mathoverflow.net/questions/74689/motivating-the-casimir-element
 * https://mathoverflow.net/questions/74689/motivating-the-casimir-element