समस्थेयता सिद्धांत

गणित में, समरूपता सिद्धांत उन स्थितियों का एक व्यवस्थित अध्ययन है जिसमें मानचित्र (गणित) उनके बीच समरूपता के साथ आ सकता है। यह बीजगणितीय टोपोलॉजी में एक विषय के रूप में उत्पन्न हुआ था लेकिन आजकल एक स्वतंत्र अनुशासन के रूप में अध्ययन किया जाता है। बीजगणितीय टोपोलॉजी के अलावा, सिद्धांत का उपयोग गणित के अन्य क्षेत्रों में भी किया गया है जैसे कि बीजगणितीय ज्यामिति (उदाहरण के लिए, A1 होमोटॉपी सिद्धांत | A1 समरूपता सिद्धांत) और श्रेणी सिद्धांत (विशेष रूप से उच्च श्रेणी सिद्धांत का अध्ययन)।

रिक्त स्थान और मानचित्र
होमोटोपी सिद्धांत और बीजगणितीय टोपोलॉजी में, शब्द स्थान एक टोपोलॉजिकल स्पेस को दर्शाता है। पैथोलॉजिकल (गणित) से बचने के लिए, शायद ही कोई मनमाना रिक्त स्थान के साथ काम करता है; इसके बजाय, किसी को अतिरिक्त बाधाओं को पूरा करने के लिए रिक्त स्थान की आवश्यकता होती है, जैसे कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न स्थान, या हौसडॉर्फ स्थान, या सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स।

उपरोक्त के समान ही, एक मानचित्र (गणित) एक सतत कार्य है, संभवतः कुछ अतिरिक्त बाधाओं के साथ।

अक्सर, कोई एक नुकीले स्थान के साथ काम करता है -- अर्थात, एक विशिष्ट बिंदु वाला स्थान, जिसे आधार बिंदु कहा जाता है। एक नुकीला नक्शा तब एक नक्शा होता है जो बेसपॉइंट्स को संरक्षित करता है; अर्थात, यह डोमेन के बेसपॉइंट को कोडोमेन के बेसपॉइंट को भेजता है। इसके विपरीत, एक मुफ़्त मानचित्र वह होता है जिसे आधार बिंदुओं को संरक्षित करने की आवश्यकता नहीं होती है।

होमोटॉपी
आइए मैं इकाई अंतराल को निरूपित करता हूं। I द्वारा अनुक्रमित मानचित्रों का एक परिवार, $$h_t : X \to Y$$ से होमोटोपी कहा जाता है $$h_0$$ को $$h_1$$ अगर $$h : I \times X \to Y, (t, x) \mapsto h_t(x)$$ एक नक्शा है (उदाहरण के लिए, यह एक सतत कार्य होना चाहिए (टोपोलॉजी))। जब X, Y नुकीले स्थान हैं, तो $$h_t$$ आधार बिंदुओं को संरक्षित करने की आवश्यकता है। समरूपता को एक तुल्यता संबंध के रूप में दिखाया जा सकता है। एक नुकीला स्थान X और एक पूर्णांक दिया गया है $$n \ge 1$$, होने देना $$\pi_n(X) = [S^n, X]_*$$ आधारित मानचित्रों की होमोटोपी कक्षाएं बनें $$S^n \to X$$ एक (नुकीले) n-गोले से $$S^n$$ एक्स के लिए। जैसा कि यह निकला, $$\pi_n(X)$$ समूह (गणित) हैं; विशेष रूप से, $$\pi_1(X)$$ X का [[मौलिक समूह]] कहा जाता है।

यदि कोई एक नुकीले स्थान के बजाय एक स्थान के साथ काम करना पसंद करता है, तो एक मौलिक समूह (और उच्च संस्करण) की धारणा है: परिभाषा के अनुसार, एक स्थान X का मौलिक समूह श्रेणी (गणित) है जहां वस्तु (श्रेणी सिद्धांत) ) X के बिंदु हैं और आकारिकी पथ हैं।

कोफिब्रेशन और फाइब्रेशन
नक्षा $$f: A \to X$$ cofibration कहा जाता है अगर दिया गया हो (1) एक नक्शा $$h_0 : X \to Z$$ और (2) एक समरूपता $$g_t : A \to Z$$, एक समरूपता मौजूद है $$h_t : X \to Z$$ जो फैलता है $$h_0$$ और ऐसा है $$h_t \circ f = g_t$$. कुछ ढीले अर्थों के लिए, यह अमूर्त बीजगणित में एक इंजेक्शन मॉड्यूल के परिभाषित आरेख का एक एनालॉग है। सबसे बुनियादी उदाहरण एक सीडब्ल्यू जोड़ी है $$(X, A)$$; चूंकि कई सीडब्ल्यू परिसरों के साथ ही काम करते हैं, इसलिए कॉफिब्रेशन की धारणा अक्सर अंतर्निहित होती है।

सेरे के अर्थ में एक कंपन एक कोफ़िब्रेशन की दोहरी धारणा है: यानी एक नक्शा $$p : X \to B$$ एक तंतु है अगर दिया (1) एक नक्शा $$Z \to X$$ और (2) एक समरूपता $$g_t : Z \to B$$, एक समरूपता मौजूद है $$h_t: Z \to X$$ ऐसा है कि $$h_0$$ दिया गया है और $$p \circ h_t = g_t$$. एक मूल उदाहरण एक कवरिंग मैप है (वास्तव में, एक फ़िब्रेशन एक कवरिंग मैप का सामान्यीकरण है)। अगर $$E$$ एक प्रिंसिपल बंडल है | प्रिंसिपल जी-बंडल, यानी, ग्रुप_एक्शन # टाइप्स_ऑफ_एक्शन्स (टोपोलॉजिकल) समूह क्रिया के साथ एक स्पेस (टोपोलॉजिकल समूह) ग्रुप, फिर प्रोजेक्शन मैप $$p: E \to X$$ फाइब्रेशन का उदाहरण है।

वर्गीकरण रिक्त स्थान और होमोटॉपी संचालन
एक टोपोलॉजिकल समूह जी दिया गया है, मुख्य बंडल के लिए वर्गीकरण स्थान | प्रमुख जी-बंडल (समतुल्यता तक) एक स्थान है $$BG$$ जैसे कि, प्रत्येक स्थान X के लिए,
 * $$[X, BG] = $$ {एक्स पर प्रिंसिपल जी-बंडल} / ~ $$, \,\, [f] \mapsto f^* EG$$

कहाँ ब्राउन की प्रतिनिधित्व क्षमता प्रमेय वर्गीकरण रिक्त स्थान के अस्तित्व की गारंटी देता है।
 * बाईं ओर नक्शे के होमोटॉपी वर्गों का सेट है $$X \to BG$$,
 * ~ बंडलों के समरूपता को संदर्भित करता है, और
 * = विशिष्ट बंडल को वापस खींचकर दिया जाता है $$EG$$ पर $$BG$$ (सार्वभौमिक बंडल कहा जाता है) एक मानचित्र के साथ $$X \to BG$$.

स्पेक्ट्रम और सामान्यीकृत कोहोलॉजी
यह विचार कि एक वर्गीकृत स्थान प्रमुख बंडलों को वर्गीकृत करता है, को और आगे बढ़ाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, कोई कोहोलॉजी कक्षाओं को वर्गीकृत करने का प्रयास कर सकता है: एक एबेलियन समूह ए (जैसे $$\mathbb{Z}$$),
 * $$[X, K(A, n)] = \operatorname{H}^n(X; A)$$

कहाँ $$K(A, n)$$ इलेनबर्ग-मैकलेन स्थान है। उपरोक्त समीकरण एक सामान्यीकृत कोहोलॉजी सिद्धांत की धारणा की ओर ले जाता है; यानी, रिक्त स्थान की श्रेणी से एबेलियन समूहों की श्रेणी का एक प्रतिपरिवर्तक फ़ंक्टर जो साधारण कोहोलॉजी सिद्धांत को सामान्य बनाने वाले स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है। जैसा कि यह पता चला है, ऐसा फ़ैक्टर किसी स्थान द्वारा प्रतिनिधित्व करने योग्य फ़ंक्टर नहीं हो सकता है, लेकिन इसे हमेशा स्पेक्ट्रम नामक संरचना मानचित्रों के साथ (नुकीले) रिक्त स्थान के अनुक्रम द्वारा दर्शाया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, सामान्यीकृत कोहोलॉजी सिद्धांत देने के लिए एक स्पेक्ट्रम देना है।

एक स्पेक्ट्रम का एक मूल उदाहरण एक गोलाकार स्पेक्ट्रम है: $$S^0 \to S^1 \to S^2 \to \cdots$$

प्रमुख प्रमेय

 * सीफ़र्ट-वैन कम्पेन प्रमेय
 * होमोटोपी छांटना प्रमेय
 * फ्रायडेंथल निलंबन प्रमेय (छांटना प्रमेय का एक परिणाम)
 * लैंडवेबर सटीक फ़ैक्टर प्रमेय
 * डोल-कान पत्राचार
 * एकमैन-हिल्टन तर्क - उदाहरण के लिए यह दर्शाता है कि उच्च होमोटॉपी समूह एबेलियन समूह हैं।
 * सार्वभौमिक गुणांक प्रमेय

बाधा सिद्धांत और विशेषता वर्ग
यह भी देखें: विशेषता वर्ग, पोस्टनिकोव टॉवर, व्हाइटहेड मरोड़

विशिष्ट सिद्धांत
कई विशिष्ट सिद्धांत हैं
 * सरल समरूपता सिद्धांत
 * स्थिर समरूपता सिद्धांत
 * रंगीन समरूपता सिद्धांत
 * तर्कसंगत समरूपता सिद्धांत
 * पी-एडिक समरूपता सिद्धांत
 * समपरिवर्तक समरूपता सिद्धांत

होमोटॉपी परिकल्पना
समरूपता सिद्धांत की नींव में मूल प्रश्नों में से एक अंतरिक्ष की प्रकृति है। होमोटॉपी परिकल्पना पूछती है कि क्या कोई स्थान मौलिक रूप से बीजगणितीय है।

अवधारणाएं

 * फाइबर अनुक्रम
 * कोफाइबर अनुक्रम

सिंपल होमोटॉपी थ्योरी

 * सिंपल होमोटॉपी

यह भी देखें

 * अत्यधिक संरचित रिंग स्पेक्ट्रम
 * होमोटॉपी प्रकार सिद्धांत
 * स्टैक का पीछा करना

संदर्भ

 * May, J. A Concise Course in Algebraic Topology
 * Ronald Brown, Topology and groupoids (2006) Booksurge LLC ISBN 1-4196-2722-8.
 * Ronald Brown, Topology and groupoids (2006) Booksurge LLC ISBN 1-4196-2722-8.

अग्रिम पठन

 * Cisinski's notes
 * http://ncatlab.org/nlab/files/Abstract-Homotopy.pdf
 * Math 527 - Homotopy Theory Spring 2013, Section F1, lectures by Martin Frankland

बाहरी संबंध

 * https://ncatlab.org/nlab/show/homotopy+theory