फर्मी स्तर की तरह

एक अर्ध फर्मी स्तर (जिसे इमरेफ भी कहा जाता है, जिसे फर्मी पीछे की ओर लिखा जाता है) एक शब्द है जिसका उपयोग क्वांटम यांत्रिकी में और विशेष रूप से फ़र्मी स्तर (इलेक्ट्रॉनों की रासायनिक क्षमता) के लिए ठोस अवस्था भौतिकी में किया जाता है जो चालन बैंड में अलग से इलेक्ट्रॉनों की आबादी का वर्णन करता है और संयोजी बंध जब उनकी आबादी थर्मोडायनामिक संतुलन से विस्थापित हो जाती है। यह विस्थापन बाहरी वोल्टेज के अनुप्रयोग या ऊर्जा $$E>E_g$$ के प्रकाश के संपर्क के कारण हो सकता है, जो चालन बैंड और वैलेंस बैंड में इलेक्ट्रॉनों की आबादी को बदलते हैं। चूंकि पुनर्संयोजन (भौतिकी) दर (बैंड के बीच संतुलन की दर) प्रत्येक बैंड के अंदर ऊर्जा विश्राम दर की तुलना में बहुत धीमी होती है चालन बैंड और वैलेंस बैंड में प्रत्येक की व्यक्तिगत आबादी हो सकती है जो आंतरिक रूप से संतुलन में हो तथापि बैंड इलेक्ट्रॉनों के आदान-प्रदान के संबंध में संतुलन में नहीं हैं। संतुलन से विस्थापन ऐसा है कि वाहक आबादी को अब फर्मी स्तर द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है चूंकि प्रत्येक बैंड के लिए अलग अर्ध-फर्मी स्तरों की अवधारणा का वर्णन करना संभव है।

परिभाषा
जब अर्धचालक थर्मल संतुलन में होता है तो E के ऊर्जा स्तर पर इलेक्ट्रॉनों का वितरण कार्य फर्मी-डिराक वितरण कार्य द्वारा प्रस्तुत किया जाता है। इस स्थिति में फर्मी स्तर को उस स्तर के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें उस ऊर्जा पर इलेक्ट्रॉन के कब्जे की संभावना 1⁄2 होती है थर्मल संतुलन में चालन बैंड अर्ध-फर्मी स्तर और वैलेंस बैंड अर्ध-फर्मी स्तर के बीच अंतर करने की कोई आवश्यकता नहीं है क्योंकि वे केवल फर्मी स्तर के समान हैं।

जब तापीय संतुलन की स्थिति से अस्तव्यस्तता होती है तो चालन बैंड और वैलेंस बैंड में इलेक्ट्रॉनों की आबादी बदल जाती है। यदि अशांति बहुत अधिक नहीं है या बहुत तेज़ी से नहीं बदल रही है तो बैंड प्रत्येक अर्ध तापीय संतुलन की स्थिति में आराम करते हैं। क्योंकि कंडक्शन बैंड के अंदर इलेक्ट्रॉन छेद लिए विश्राम का समय ऊर्जा अंतराल की तुलना में बहुत कम है हम विचार कर सकते हैं कि चालन बैंड में इलेक्ट्रॉन थर्मल संतुलन में हैं। यह वैलेंस बैंड में इलेक्ट्रॉनों के लिए भी प्रयुक्त होता है (प्रायः इलेक्ट्रॉन छिद्रों के संदर्भ में समझा जाता है)। हम चालन बैंड में इलेक्ट्रॉनों के थर्मल संतुलन के कारण अर्ध फर्मी स्तर और इसी तरह वैलेंस बैंड के लिए अर्ध फर्मी स्तर और अर्ध तापमान को परिभाषित कर सकते हैं।

हम चालन बैंड में इलेक्ट्रॉनों के लिए सामान्य फर्मी कार्य को बता सकते हैं $$f_{\rm c}(k,r)\approx f_0(E,E_{\rm Fc},T_{\rm c})$$ और वैलेंस बैंड में इलेक्ट्रॉनों के लिए $$f_{\rm v}(k,r)\approx f_0(E,E_{\rm Fv},T_{\rm v})$$ जहाँ :
 * $$f_0(E,E_{\rm F},T)=\frac{1}{e^{(E-E_{\rm F})/(k_{\rm B}T)}+1}$$ फर्मी-डिराक बंटन फलन है,
 * $$E_{\rm Fc}$$ स्थान आर पर चालन बैंड अर्ध-फर्मी स्तर है,
 * $$E_{\rm Fv}$$ स्थान आर पर वैलेंस बैंड अर्ध-फर्मी स्तर है,
 * $$T_c$$ चालन बैंड तापमान है,
 * $$T_v$$ वैलेंस बैंड तापमान है,
 * $$f_{\rm c}(k,r)$$ संभावना है कि विशेष चालन-बैंड अवस्था बलोच के प्रमेय k और स्थिति r के साथ इलेक्ट्रॉन द्वारा अधिकृत कर लिया जाता है,
 * $$f_{\rm v}(k,r)$$ संभावना है कि विशेष वैलेंस-बैंड अवस्था वेववेक्टर के और स्थिति आर के साथ इलेक्ट्रॉन द्वारा अधिकृत कर लिया जाता है (अथार्त छेद द्वारा अधिकृत नहीं किया जाता है)।
 * $$E$$ प्रश्न में चालन- या वैलेंस-बैंड अवस्था की ऊर्जा है,
 * $$k_{\rm B}$$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है।

पी-एन जंक्शन
जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है, पी-एन जंक्शन में चालन बैंड और वैलेंस बैंड को बाईं ओर नीली ठोस रेखा द्वारा दर्शाया गया है, और अर्ध फर्मी स्तर को लाल धराशायी रेखा द्वारा दर्शाया गया है।

जब किसी p-n जंक्शन पर कोई बाहरी वोल्टेज (पूर्वाग्रह) प्रयुक्त नहीं होता है तो इलेक्ट्रॉन और छिद्रों के अर्ध फर्मी स्तर दूसरे के साथ ओवरलैप होते हैं। जैसे-जैसे पूर्वाग्रह बढ़ता है पी-साइड का वैलेंस बैंड नीचे खिंचता जाता है और इसी तरह छेद अर्ध फर्मी स्तर पर होता है। परिणामस्वरूप छिद्र और इलेक्ट्रॉन अर्ध फर्मी स्तर का पृथक्करण बढ़ गया।



आवेदन
इस सरलीकरण से हमें कई क्षेत्रों में सहायता मिलेगी उदाहरण के लिए, हम थर्मल संतुलन में उपयोग किए जाने वाले इलेक्ट्रॉन और छेद घनत्व के लिए समान समीकरण का उपयोग कर सकते हैं, किन्तु अर्ध-फ़र्मी स्तर और तापमान को प्रतिस्थापित कर सकते हैं। अर्थात्, यदि हम $$n$$ को चालन बैंड इलेक्ट्रॉनों का स्थानिक घनत्व और $$p$$ को किसी पदार्थ में छिद्रों का स्थानिक घनत्व मानते हैं, और यदि बोल्ट्ज़मैन सन्निकटन धारण करता है, अर्थात यह मानते हुए कि इलेक्ट्रॉन और छिद्र घनत्व बहुत अधिक नहीं हैं, तो $$n = n(E_{\rm F_c})$$ $$p = p(E_{\rm F_v})$$ जहां $$n(E)$$ चालन बैंड इलेक्ट्रॉनों का स्थानिक घनत्व है जो थर्मल संतुलन में उपस्थित होगा यदि फर्मी स्तर $$E$$ पर होता, और $$p(E)$$ छिद्रों का स्थानिक घनत्व है जो होगा यदि फर्मी स्तर $$E$$ पर था तो थर्मल संतुलन में उपस्थित होगा।

धारा (बहाव और प्रसार के संयुक्त प्रभाव के कारण) केवल तभी दिखाई देगी जब फर्मी या अर्ध फर्मी स्तर में भिन्नता हो। इलेक्ट्रॉन प्रवाह के लिए वर्तमान घनत्व को इलेक्ट्रॉन अर्ध फर्मी स्तर में ढाल के समानुपाती दिखाया जा सकता है। यदि हम $$\mu$$ को इलेक्ट्रॉन गतिशीलता मानते हैं, और $$E_{F}(\mathbf{r})$$ स्थानिक बिंदु $$\mathbf{r}$$ पर अर्ध फर्मी ऊर्जा मानते हैं, तो हमारे पास है है$$ \mathbf{J}_n(\mathbf{r}) =\mu_nn\cdot (\nabla E_{\rm F_c})$$इसी तरह, छिद्रों के लिए हमारे पास है $$ \mathbf{ J}_p(\mathbf{r})= \mu_pp\cdot (\nabla E_{\rm F_v})$$