संख्यात्मक अंक

एक संख्यात्मक अंक (अक्सर केवल अंक के लिए छोटा) एक अकेला प्रतीक होता है (जैसे "2") या संयोजनों में (जैसे "25") एक स्थितीय अंक प्रणाली में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए "अंक" नाम इस तथ्य से आता है हाथों के दस अंक (लैटिन डिजिटी अर्थ उंगलियां) सामान्य आधार 10 अंक प्रणाली के दस प्रतीकों के अनुरूप हैं, अर्थात दशमलव (प्राचीन लैटिन विशेषण डिसेम अर्थ दस) अंक।

एक पूर्णांक सूत्र के साथ दिए गए अंक प्रणाली के लिए, आवश्यक विभिन्न अंकों की संख्या आधार के निरपेक्ष मान द्वारा दी जाती है। उदाहरण के लिए, दशमलव प्रणाली (आधार 10) के लिए दस अंकों (0 से 9 तक) की आवश्यकता होती है, जबकि बाइनरी संख्या (आधार 2) के लिए दो अंकों (0 और 1) की आवश्यकता होती है।

विवरण
एक बुनियादी डिजिटल प्रणाली में, अंक अंकों का एक क्रम होता है, जो कितनी भी लंबाई का हो सकता है। अनुक्रम में प्रत्येक स्थिति का एक स्थानीय मान होता है और प्रत्येक अंक का एक मान होता है। अंक के मूल्य की गणना अनुक्रम में प्रत्येक अंक को उसके स्थानीय मान से गुणा करके और परिणामों को जोड़कर की जाती है।

डिजिटल मान
संख्या प्रणाली में प्रत्येक अंक एक पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करता है। उदाहरण के लिए, दशमलव  में अंक "1" पूर्णांक एक को दर्शाता है, और हेक्साडेसिमल प्रणाली में, "ए" अक्षर 10 (संख्या) की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। एक स्थिति संख्या प्रणाली में प्रत्येक पूर्णांक के लिए  शून्य  से ऊपर तक एक अद्वितीय अंक होता है, लेकिन इसमें संख्या प्रणाली का मूलांक शामिल नहीं होता है।

इस प्रकार स्थितीय दशमलव प्रणाली में, 0 से 9 तक की संख्याओं को उनके संबंधित अंकों "0" से "9" का उपयोग करके सबसे दाईं ओर "इकाइयों" की स्थिति में व्यक्त किया जा सकता है। संख्या 12 को इकाइयों की स्थिति में अंक "2" के साथ व्यक्त किया जा सकता है और अंक "1" के साथ "दहाई" स्थिति में, "2" के बाईं ओर जबकि संख्या 312 को तीन अंकों द्वारा व्यक्त किया जा सकता है: "सैकड़ों" स्थिति में "3", "दहाई" स्थिति में "1", और "इकाइयों" की स्थिति में "2"।

स्थान मानों की गणना
दशमलव अंक प्रणाली दशमलव विभाजक का उपयोग करती है, आमतौर पर अंग्रेजी में एक अवधि (विराम चिह्न), या अन्य यूरोपीय भाषाओं में  अल्पविराम, "इकाई के स्थान" या "इकाइयों के स्थान" को दर्शाने के लिए,  जिसका एक स्थानीय मान है। इसके बाईं ओर प्रत्येक क्रमिक स्थान का स्थानीय मान पिछले अंक के स्थानीय मान के बराबर होता है जो आधार से गुणा होता है।  इसी तरह, विभाजक के दायीं ओर प्रत्येक क्रमिक स्थान का स्थानीय मान आधार से विभाजित पिछले अंक के स्थानीय मान के बराबर होता है। उदाहरण के लिए,अंक 10.34 (आधार 10 में लिखा हुआ) में,
 * 0 तुरंत विभाजक के बाईं ओर है, तो यह इकाई या इकाई के स्थान पर है, और इसे इकाई अंक या इकाई अंक कहा जाता है;
 * इकाई के बाईं ओर 1 दहाई के स्थान पर है, और इसे दहाई का अंक कहा जाता है;
 * 3 इकाई के स्थान की दाहिनी ओर है, इसलिए वह दसवें स्थान पर है, और वह दसवां अंक कहलाता है;
 * चार दसवें स्थान की दाहिनी ओर सौवें स्थान पर है, और वह सौवां अंक कहलाता है।

संख्या का कुल मान 1 दहाई, 0 इकाई, 3 दहाई और 4 सौवां है। ध्यान रहे कि शून्य, जो संख्या के लिए कोई मूल्य नहीं योगदान देता है, इंगित करता है कि 1 इकाई के स्थान के बजाय दहाई के स्थान पर है।

किसी अंक में किसी दिए गए अंक का स्थानीय मान एक साधारण गणना द्वारा दिया जा सकता है, जो अपने आप में अंक प्रणाली के पीछे के तर्क का पूरक है। गणना में घातांक n - 1 द्वारा उठाए गए आधार द्वारा दिए गए अंक का गुणन शामिल है, जहां n विभाजक से अंक की स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है; n का मान धनात्मक (+) है, लेकिन यह केवल तभी है जब अंक विभाजक के बाईं ओर हो। और दाईं ओर, अंक को ऋणात्मक (-) n द्वारा उठाए गए आधार से गुणा किया जाता है। उदाहरण के लिए, संख्या 10.34 (आधार 10 में लिखा हुआ) में,
 * 1 विभाजक के बाईं ओर दूसरा है, इसलिए गणना के आधार पर, इसका मान है,


 * $$n - 1 = 2 - 1 = 1$$
 * $$1 \times 10^1 = 10$$
 * 4 विभाजक के दायीं ओर दूसरा है, इसलिए गणना के आधार पर इसका मान है,


 * $$n = -2$$
 * $$4 \times 10^{-2} = \frac{4}{100}$$

इतिहास
 पहली सच्ची लिखित स्थिति संख्या प्रणाली को हिंदू अरबी अंक प्रणाली माना जाता है। यह प्रणाली भारत में 7वीं शताब्दी तक स्थापित की गई थी, लेकिन अभी तक अपने आधुनिक रूप में नहीं था क्योंकि अंक शून्य के उपयोग को अभी तक व्यापक रूप से स्वीकार नहीं किया गया था। कभी-कभी शून्य के स्थान पर अंकों को उनके महत्व के आधार पर इंगित करने के लिए बिंदुओं से चिह्नित किया जाता था, या एक स्थान का उपयोग प्लेसहोल्डर के रूप में किया जाता था। शून्य का व्यापक रूप से स्वीकृत पहला प्रयोग 876 में हुआ था। मूल अंक आधुनिक अंकों से काफी मिलते-जुलते थे, यहां तक ​​कि अंकों को दर्शाने वाले ग्लाइफ तक भी।

13वीं शताब्दी तक, पश्चिमी अरबी अंकों को यूरोपीय गणितीय हलकों में स्वीकार कर लिया गया था (फिबोनाची ने उन्हें अपने द बुक ऑफ द एबाकस में इस्तेमाल किया था)। वे 15वीं शताब्दी में आम उपयोग में आने लगे। 20वीं शताब्दी के अंत तक दुनिया में लगभग सभी गैर-कम्प्यूटरीकृत गणना अरबी अंकों के साथ की जाती थी, जिसने अधिकांश संस्कृतियों में देशी अंक प्रणालियों को बदल दिया है।

अन्य ऐतिहासिक अंक प्रणाली अंकों का उपयोग करके
माया अंकों की सही उम्र स्पष्ट नहीं है, लेकिन यह संभव है कि यह हिंदू अरबी व्यवस्था से भी पुराना हो। प्रणाली विजीसिमल (आधार 20) थी, इसलिए इसमें बीस अंक हैं। मायाओं ने शून्य का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक शेल प्रतीक का इस्तेमाल किया। अंकों को लंबवत रूप से लिखा गया था, जिसमें इकाई सबसे नीचे थी। माया के पास आधुनिक दशमलव विभाजक के बराबर नहीं था, इसलिए उनका सिस्टम भिन्नों का प्रतिनिधित्व नहीं कर सका।

थाई अंक प्रणाली हिंदू अरबी अंक प्रणाली के समान है, अंकों का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किए जाने वाले प्रतीकों को छोड़कर इन अंकों का उपयोग  थाईलैंड में पहले की तुलना में कम जनसाधारण है, लेकिन वे अभी भी अरबी अंकों के साथ उपयोग किए जाते हैं।

रॉड अंक, चीनी और  जापानी गणितज्ञों द्वारा एक बार उपयोग की जाने वाली गिनती की छड़ के लिखित रूप, एक दशमलव स्थितीय प्रणाली है जो न केवल शून्य बल्कि ऋणात्मक संख्याओं का भी प्रतिनिधित्व करने में सक्षम है। गिनती की ये रॉड  स्वयं हिंदू अरबी अंक प्रणाली से पहले की हैं। सूज़ौ अंक रॉड अंकों के रूप हैं।

कंप्यूटर विज्ञान में
बाइनरी (बेस 2), ऑक्टल (बेस 8), और हेक्साडेसिमल (बेस 16) सिस्टम, कंप्यूटर विज्ञान में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं, सभी हिंदू-अरबी अंक प्रणाली की परंपराओं का पालन करते हैं। बाइनरी सिस्टम केवल "0" और "1" अंकों का उपयोग करता है, जबकि ऑक्टल सिस्टम "0" से "7" तक के अंकों का उपयोग करता है। हेक्साडेसिमल प्रणाली दशमलव प्रणाली से सभी अंकों का उपयोग करती है, साथ ही "ए" से "एफ" अक्षरों का उपयोग करती है, जो क्रमशः 10 से 15 तक की संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं।

असामान्य प्रणाली
कभी-कभी टर्नरी अंक प्रणाली और संतुलित टर्नरी का उपयोग किया जाता है। ये दोनों आधार 3 प्रणालियाँ हैं।

अंक मान 1, 0 और -1 होने में संतुलित टर्नरी असामान्य है। बैलेंस्ड टर्नरी में कुछ उपयोगी गुण पाए जाते हैं और इस प्रणाली का प्रयोग, प्रायोगिक रूसी सेतुन कंप्यूटरों में किया गया है।

पिछले 300 वर्षों में कई लेखकों ने स्थितीय संकेतन की सुविधा का उल्लेख किया है यह एक संशोधित दशमलव प्रतिनिधित्व के बराबर है। संख्यात्मक अंकों के उपयोग के लिए कुछ लाभों के बारे में बताया गया है जो नकारात्मक मूल्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं। 1840 में ऑगस्टिन-लुइस कॉची ने संख्याओं के हस्ताक्षरित अंकों के प्रतिनिधित्व के उपयोग की वकालत की, और 1928 में फ्लोरियन काजोरी ने नकारात्मक अंकों के लिए संदर्भों का अपना संग्रह प्रस्तुत किया। कंप्यूटर डिजाइन में हस्ताक्षरित अंकों के प्रतिनिधित्व की अवधारणा को भी लिया गया है।

गणित में अंक
संख्याओं का वर्णन करने में अंकों की आवश्यक भूमिका के बावजूद, वे आधुनिक गणित के लिए अपेक्षाकृत महत्वहीन हैं। फिर भी, कुछ महत्वपूर्ण गणितीय अवधारणाएँ हैं जो अंकों के अनुक्रम के रूप में किसी संख्या के निरूपण का उपयोग करते हैं।

डिजिटल जड़ें
डिजिटल रूट किसी दिए गए नंबर के अंकों के योग से प्राप्त एकल अंकों की संख्या है, फिर परिणाम के अंकों का योग, और इसी तरह जब तक एक अंक की संख्या प्राप्त नहीं हो जाती।

9 को बाहर निकालना
9 निकालना हाथ से किए गए अंकगणित की जाँच करने की एक प्रक्रिया है। इसका वर्णन करने के लिए, $$f(x)$$ को ऊपर बताए अनुसार $$x$$ के डिजिटल रूट का प्रतिनिधित्व करने दें। नौ को कास्ट करना इस तथ्य का उपयोग करता है कि यदि $$A + B = C$$ फिर$$f(f(A) + f(B)) = f(C)$$ नाइन निकालने की प्रक्रिया में, बाद वाले समीकरण के दोनों पक्षों की गणना की जाती है, और यदि वे समान नहीं हैं तो मूल जोड़ अवश्य ही दोषपूर्ण रहा होगा।

रिपुनीट्स और रिपडिजिट्स
रिपुनिट पूर्णांक होते हैं जिन्हें केवल अंक 1 के साथ दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, 1111 (एक हजार, एक सौ ग्यारह) एक रिपुनिट है। रेपडिजिट्स, रिपुनिट्स का एक सामान्यीकरण है; वे एक ही अंक के दोहराए गए उदाहरणों द्वारा दर्शाए गए पूर्णांक हैं। उदाहरण के लिए, 333 एक रिपडिजिट्स है। पुनरावृत्तियों की प्रधानता गणितज्ञों के लिए रुचिकर है।

पैलिंड्रोमिक संख्या और लिक्रेल संख्या
पैलिंड्रोमिक संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जो उनके अंकों को उलटने पर समान पढ़ती हैं। लाइक्रेल संख्या एक सकारात्मक पूर्णांक है जो कभी भी एक पैलिंड्रोमिक संख्या नहीं देता है जब उलटे अंकों के साथ अपने आप में जोड़े जाने की पुनरावृति प्रक्रिया के अधीन होती है। इस प्रकार प्रश्न यह है कि क्या आधार 10 में कोई लीचरल संख्याएँ हैं, मनोरंजक गणित में सबसे छोटी संख्या 196 एक समस्या है।

प्राचीन संख्याओं का इतिहास
गिनती सहायक उपकरण, विशेष रूप से शरीर के अंगों (उंगलियों पर गिनती) का उपयोग निश्चित रूप से प्रागैतिहासिक काल में आज के रूप में किया जाता था।

कई विविधताएं हैं। दस अंगुलियों की गिनती के अलावा, कुछ संस्कृतियों ने अंगुलियों की गिनती की है, उंगलियों और पैर की उंगलियों के साथ-साथ उंगलियों के बीच की जगह। न्यू गिनी की ओक्साप्मिन संस्कृति संख्याओं को दर्शाने के लिए शरीर के 27 ऊपरी स्थानों की एक प्रणाली का उपयोग करती है।

संख्यात्मक जानकारी को संरक्षित करने के लिए, लकड़ी, हड्डी, और पत्थर का उपयोग प्रागैतिहासिक काल से किया जाता रहा है। प्राचीन स्वदेशी अमेरिकी समूहों सहित पाषाण युग की संस्कृतियों ने जुए, व्यक्तिगत सेवाओं और व्यापार-सामान के लिए लंबाइयों का इस्तेमाल किया।

सुमेरियों द्वारा 8000 और 3500 ईसा पूर्व के बीच मिट्टी में संख्यात्मक जानकारी को संरक्षित करने की एक विधि का आविष्कार किया गया था। यह विभिन्न आकृतियों के छोटे मिट्टी के टोकन के साथ किया गया था जो एक स्ट्रिंग पर मोतियों की तरह बंधे हुए थे। लगभग 3500 ईसा पूर्व से, मिट्टी के टोकन को धीरे-धीरे मिट्टी की गोलियों (मूल रूप से टोकन के लिए कंटेनर) में विभिन्न कोणों पर एक गोल स्टाइलस से प्रभावित संख्या संकेतों से बदल दिया गया था। जिसे बाद में बेक किया गया। लगभग 3100 ईसा पूर्व, लिखित संख्याएँ गिनने वाली चीज़ों से अलग हो गईं और अमूर्त अंक बन गईं।

2700 और 2000 ईसा पूर्व के बीच, सुमेर में, गोल लेखनी को धीरे-धीरे एक ईख लेखनी द्वारा बदल दिया गया था जिसका उपयोग मिट्टी में पच्चर के आकार के फन्नी लिपि चिन्हों को दबाने के लिए किया जाता था। ये फन्नी लिपि संख्या चिह्न गोल संख्या चिह्नों के समान थे उन्होंने गोल संख्या चिह्नों के योगात्मक चिह्न मान संकेतन को प्रतिस्थापित और बनाए रखा। ये प्रणालियाँ धीरे-धीरे एक सामान्य षाष्टिक संख्या प्रणाली में परिवर्तित हो गईं; यह एक स्थानीय मान प्रणाली थी जिसमें केवल दो प्रभावित निशान, लंबवत पच्चर और शेवरॉन शामिल थे, जो भिन्नों का भी प्रतिनिधित्व कर सकता है। यह षाष्टिक संख्या प्रणाली पुराने बेबीलोनिया काल (लगभग 1950 ईसा पूर्व) की शुरुआत में पूरी तरह से विकसित हुई थी और बेबीलोनिया में मानक बन गई थी।

सेक्जेसिमल अंक एक मिश्रित रेडिक्स प्रणाली थी जो फन्नी लिपि ऊर्ध्वाधर वेजेज और शेवरॉन के क्रम में वैकल्पिक आधार 10 और आधार 6 को बनाए रखते थे। 1950 ईसा पूर्व तक, यह एक स्थितीय संकेतन प्रणाली थी। वाणिज्य में पाष्टिक अंकों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाने लगा, लेकिन इसका उपयोग खगोलीय और अन्य गणनाओं में भी किया जाता था। इस प्रणाली को बेबीलोनिया से निर्यात किया गया था और पूरे मेसोपोटामिया में इस्तेमाल किया गया था, और प्रत्येक भूमध्यसागरीय राष्ट्र द्वारा, जो यूनानी, रोमन और मिस्रवासियों सहित माप और गिनती की मानक बेबीलोनियाई इकाइयों का उपयोग करता था। आधुनिक समाजों में समय (मिनट प्रति घंटा) और कोण (डिग्री) को मापने के लिए बेबीलोनियाई-शैली के पाष्टिक अंक का उपयोग अभी भी किया जाता है।

आधुनिक संख्याओं का इतिहास
चीन में, अभाज्य संख्याओं के आधुनिक टैली का उपयोग करके सेनाओं और प्रावधानों की गणना की जाती थी। सैनिकों की अद्वितीय संख्या और चावल की माप इन ऊँचाइयों के अद्वितीय संयोजन के रूप में दिखाई देते हैं। आधुनिक अंकगणित की एक बड़ी सुविधा यह है कि इसे गुणा करना आसान है। यह विशेष रूप से आकर्षक प्रावधानों के लिए मॉड्यूलर अंकगणित का उपयोग करता है। पारंपरिक लंबाइयों को गुणा और भाग करना काफी कठिन होता है। आधुनिक समय में कभी-कभी अंकीय संकेत प्रक्रिया में मॉड्यूलर अंकगणित का उपयोग किया जाता है।

सबसे पुरानी यूनानी प्रणाली अटारी अंकों की थी, लेकिन चौथी शताब्दी ईसा पूर्व में उन्होंने एक अर्ध-अक्षीय वर्णमाला प्रणाली का उपयोग करना शुरू कर दिया (ग्रीक अंक देखें)। यहूदियों ने एक समान प्रणाली (हिब्रू अंक) का उपयोग करना शुरू किया, जिसमें सबसे पुराने उदाहरण लगभग 100 ईसा पूर्व के सिक्के हैं

रोमन साम्राज्य ने मोम, पपीरस और पत्थर पर लिखी गई लम्हों का इस्तेमाल किया और मोटे तौर पर विभिन्न संख्याओं को पत्र सौंपने के ग्रीक रिवाज का पालन किया।16वीं शताब्दी में स्थितीय संकेतन आम उपयोग में आने तक रोमन अंक प्रणाली यूरोप में आम उपयोग में रही।

मध्य अमेरिका की माया ने मिश्रित आधार 18 और आधार 20 प्रणाली का इस्तेमाल किया, जो संभवतः ऑल्मेक से विरासत में मिली थी, जिसमें स्थितिगत संकेतन और शून्य जैसी उन्नत विशेषताएं शामिल थीं। उन्होंने इस प्रणाली का उपयोग उन्नत खगोलीय गणना करने के लिए किया, जिसमें सौर वर्ष की लंबाई और शुक्र की कक्षा की अत्यधिक सटीक गणना शामिल है।

इंकान साम्राज्य ने क्यूपू, रंगीन रेशों की गांठों द्वारा बनाई गई लंबाइयों का उपयोग करते हुए एक बड़ी कमांड अर्थव्यवस्था चलाई। 16 वीं शताब्दी में स्पेन विजेता प्राप्तकर्ताओं द्वारा समुद्री मील और रंगों के एन्कोडिंग के ज्ञान को दबा दिया गया था, और अभी तक जीवित नहीं रहा है, हालांकि एंडीज  क्षेत्र में अभी भी रिकॉर्डिंग उपकरणों की तरह सरल क्विपू का उपयोग किया जाता है।

कुछ अधिकारियों का मानना ​​है कि स्थितीय अंकगणित की शुरुआत चीन में गिनती की छड़ों के व्यापक उपयोग के साथ हुई। सबसे पहले लिखित स्थितीय रिकॉर्ड चीन में 400 के आसपास रॉड कैलकुलस  परिणाम प्रतीत होते हैं। शून्य का उपयोग भारत में पहली बार 7वीं शताब्दी में ब्रह्मगुप्त द्वारा किया गया था।

आधुनिक स्थितीय अरबी अंक प्रणाली भारतीय गणितज्ञों द्वारा विकसित की गई थी, और 773 के आसपास एक भारतीय राजदूत द्वारा बगदाद लाए गए खगोलीय तालिकाओं के साथ मुस्लिम गणितज्ञों को दिया गया।

भारत से, इस्लामी सुल्तानों और अफ्रीका के बीच संपन्न व्यापार ने इस अवधारणा को काहिरा तक पहुँचाया। अरबी गणितज्ञों ने दशमलव अंशों को शामिल करने के लिए इस प्रणाली का विस्तार किया, और मुहम्मद इब्न मूसा अल-इवारिज्मी ने 9वीं शताब्दी में इसके बारे में एक महत्वपूर्ण काम लिखा। 12वीं शताब्दी में स्पेन और 1201 के पीसा के लिबर अबासी के लियोनार्डो में इस काम के अनुवाद के साथ आधुनिक अरबी अंकों को यूरोप में पेश किया गया था। यूरोप में, शून्य के साथ संपूर्ण भारतीय प्रणाली 12वीं शताब्दी में अरबों से ली गई थी।

बाइनरी अंक प्रणाली (आधार 2), का प्रचार 17वीं शताब्दी में गॉटफ्रीड लिबनिज़ द्वारा किया गया था। लाइबनिज ने अपने करियर की शुरुआत में ही इस अवधारणा को विकसित कर लिया था, और जब उन्होंने चीन से आई चिंग की एक प्रति की समीक्षा की, तो उन्होंने इसे फिर से देखा था। ref> ] 20वीं सदी में कंप्यूटर अनुप्रयोगों के कारण बाइनरी नंबर आम उपयोग में आ गए।

यह भी देखें

 * हेक्साडेसिमल
 * बाइनरी संख्या ( काटा ),  क्वांटम बाइनरी अंक  (क्यूबिट)
 * टर्नीरी अंक (टर्नरी अंक प्रणाली),  क्वांटम टर्नरी अंक  (कुट्रिट)
 * दशमलव अंक (डीआईटी (DIT) (इकाई))
 * हेक्साडेसिमल अंक ( हेक्सिट (कम्प्यूटिंग) )
 * प्राकृतिक अंक (एनएटी (NAT) (इकाई), एनआईटी NIT (सूचना की इकाई))
 * नेपरियन अंक (नेपिट (यूनिट))
 * महत्वपूर्ण अंक
 * बड़ी संख्या
 * पाठ के आंकड़े
 * अबेकस
 * बड़ी संख्या का इतिहास
 * अंक प्रणाली विषयों की सूची

विभिन्न स्क्रिप्ट में अंकन अंकन

 * अरबी अंक
 * अर्मेनियाई अंक
 * बेबीलोनियन अंक
 * बाली के अंक
 * बंगाली अंक
 * बर्मी अंक
 * चीनी अंक
 * जोंगखा अंक
 * पूर्वी अरबी अंक
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 * वियतनामी अंक

संदर्भ
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