स्थानीय रैखिककरण विधि

संख्यात्मक विश्लेषण में, स्थानीय रैखिककरण (एलएल) विधि लगातार समय अंतराल पर दिए गए समीकरण के स्थानीय (टुकड़ों के अनुसार) रैखिककरण के आधार पर अंतर समीकरणों के लिए संख्यात्मक एकीकरण को डिजाइन करने के लिए एक सामान्य रणनीति है। संख्यात्मक इंटीग्रेटर्स को फिर प्रत्येक लगातार अंतराल के अंत में परिणामस्वरूप टुकड़े-टुकड़े रैखिक समीकरण के समाधान के रूप में पुनरावृत्त रूप से परिभाषित किया जाता है। एलएल पद्धति को विभिन्न प्रकार के समीकरणों के लिए विकसित किया गया है जैसे साधारण अंतर समीकरण, विलंब अंतर समीकरण, यादृच्छिक और स्टोचैस्टिक अंतर समीकरण अंतर समीकरण। एलएल इंटीग्रेटर्स अज्ञात मापदंडों के आकलन के लिए अनुमान सिद्धांत के कार्यान्वयन में महत्वपूर्ण घटक हैं और विभेदक समीकरणों के अप्रतिबंधित चर (संभावित रूप से शोर) अवलोकनों की समय श्रृंखला दी गई है। एलएल योजनाएं विभिन्न प्रकार के क्षेत्रों जैसे तंत्रिका विज्ञान, वित्त, वानिकी, नियंत्रण इंजीनियरिंग, गणितीय सांख्यिकी आदि में जटिल मॉडल से निपटने के लिए आदर्श हैं।

पृष्ठभूमि
विभेदक समीकरण कई परिघटनाओं के समय विकास का वर्णन करने के लिए एक महत्वपूर्ण गणितीय उपकरण बन गए हैं, जैसे, सूर्य के चारों ओर ग्रहों का घूमना, बाजार में संपत्ति की कीमतों की गतिशीलता, न्यूरॉन्स की आग, महामारी का प्रसार, आदि। हालांकि, चूंकि इन समीकरणों के सटीक समाधान आम तौर पर अज्ञात होते हैं, संख्यात्मक इंटीग्रेटर्स द्वारा प्राप्त संख्यात्मक सन्निकटन आवश्यक होते हैं। वर्तमान में, गतिशील अध्ययन में केंद्रित इंजीनियरिंग और अनुप्रयुक्त विज्ञान में कई अनुप्रयोग कुशल संख्यात्मक इंटीग्रेटर्स के विकास की मांग करते हैं जो इन समीकरणों की गतिशीलता को यथासंभव संरक्षित करते हैं। इस मुख्य प्रेरणा के साथ, स्थानीय रैखिककरण इंटीग्रेटर्स विकसित किए गए हैं।

उच्च-क्रम स्थानीय रैखिककरण विधि
हाई-ऑर्डर लोकल लीनियराइज़ेशन (HOLL) मेथड, डिफरेंशियल इक्वेशन के लिए हाई-ऑर्डर इंटीग्रेटर्स प्राप्त करने के लिए ओरिएंटेड लोकल लीनियराइज़ेशन मेथड का एक सामान्यीकरण है जो रेखीय समीकरणों के स्थिरता सिद्धांत और गतिशील प्रणाली  को संरक्षित करता है। समाकलक मूल समीकरण के समाधान x को लगातार समय अंतरालों पर विभाजित करके दो भागों में प्राप्त किए जाते हैं: स्थानीय रूप से रैखिकीकृत समीकरण का समाधान z और अवशिष्ट का एक उच्च-क्रम सन्निकटन $$\mathbf{r}= \mathbf{x}-\mathbf{z}$$.

स्थानीय रैखिककरण योजना
एक स्थानीय रेखाकरण (एलएल) योजना अंतिम पुनरावर्तन (कंप्यूटर विज्ञान) है जो अंतर समीकरणों के एक वर्ग के लिए एलएल या एचओएलएल पद्धति से प्राप्त विवेक के संख्यात्मक कार्यान्वयन की अनुमति देता है।

ओडीई के लिए एलएल विधियां
d-विम साधारण अवकल समीकरण (ODE) पर विचार करें

 $$ \frac{d\mathbf{x}\left( t\right) }{dt}=\mathbf{f}\left( t,\mathbf{x}\left( t\right) \right) ,\qquad t\in \left[ t_{0},T\right], \qquad \qquad \qquad \qquad (4.1) $$

प्रारंभिक स्थिति के साथ $$\mathbf{x}(t_{0})=\mathbf{x}_{0}$$, कहाँ $$\mathbf{f}$$ एक अवकलनीय फलन है।

होने देना $$\left( t\right) _{h}=\{t_{n}:n=0,..,N\}$$ समय अंतराल का एक समय विवेक हो $$[t_{0},T]$$ अधिकतम स्टेपसाइज एच के साथ ऐसा है $$t_{n} $$\mathbf{x}(t_n+h)=\mathbf{x}(t_n)+\mathbf{\phi }(t_n,\mathbf{x}(t_n);h)+\mathbf{r}(t_n,\mathbf{x}(t_n);h), $$

कहाँ

 $$\mathbf{\phi }(t_n,\mathbf{z}_n;h)=\int\limits_0^h e^{\mathbf{f}_{\mathbf{x}}(t_n,\mathbf{z}_n) (h-s)}(\mathbf{f} (t_n, \mathbf{z}_n) + \mathbf{f}_t(t_n,\mathbf{z}_n) s) \, ds \qquad$$

रैखिक सन्निकटन से परिणाम, और

 $$\mathbf{r}(t_n,\mathbf{z}_n;h)=\int\limits_0^h e^{\mathbf{f}_{\mathbf{x}} (t_n,\mathbf{z}_n) (h-s)}\mathbf{g}_n(s,\mathbf{x}(t_n+s)) \, ds, \qquad \qquad \qquad (4.2)$$

रैखिक सन्निकटन का अवशिष्ट है। यहाँ, $$\mathbf{f}_{\mathbf{x}}$$ और $$\mathbf{f}_{t}$$ क्रमशः चर x और t के संबंध में f के आंशिक डेरिवेटिव को निरूपित करें, और $$\mathbf{g}_n(s,\mathbf{u})=\mathbf{f}(s,\mathbf{u})-\mathbf{f}_{\mathbf{x}}(t_n,\mathbf{z}_n) \mathbf{u}-\mathbf{f}_t (t_n,\mathbf{z}_n) (s-t_n)-\mathbf{f}(t_n,\mathbf{z}_n) +\mathbf{f}_{\mathbf{x}}(t_n,\mathbf{z}_n)\mathbf{z}_n. $$

स्थानीय रेखीय विवेक
एक समय विवेक के लिए $$\left( t\right) _{h}$$, प्रत्येक बिंदु पर ODE (4.1) का स्थानीय रेखीय विवेक $$t_{n+1}\in \left( t\right) _{h}$$ पुनरावर्ती अभिव्यक्ति द्वारा परिभाषित किया गया है

 $$\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\mathbf{\phi}(t_n,\mathbf{z}_n;h_n), \qquad \text{ with } \quad \mathbf{z}_0=\mathbf{x}_0. \qquad \qquad \qquad \qquad (4.3)$$

स्थानीय रेखीय विवेचन (4.3) अरैखिक ODEs के समाधान के क्रम 2 के साथ अभिसरण की दर, लेकिन यह रैखिक ODEs के समाधान से मेल खाता है। पुनरावर्तन (4.3) को घातीय यूलर विवेकीकरण के रूप में भी जाना जाता है।

उच्च-क्रम स्थानीय रैखिक विवेक
एक समय विवेक के लिए $$(t)_h,$$ प्रत्येक बिंदु पर ODE (4.1) का एक उच्च-क्रम स्थानीय रैखिक (HOLL) विवेकीकरण $$t_{n+1} \in (t)_h$$ पुनरावर्ती अभिव्यक्ति द्वारा परिभाषित किया गया है

 $$\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\mathbf{\phi}(t_n,\mathbf{z}_n;h_n) + \widetilde{\mathbf{r}}(t_n,\mathbf{z}_n;h_n),\qquad \text{ with } \quad \mathbf{z}_0=\mathbf{x}_0, \qquad \qquad \qquad(4.4)$$

कहाँ $$\tilde{r}$$ एक आदेश है $$\alpha $$ (> 2) अवशिष्ट आर के सन्निकटन $$(i.e., \left\vert \mathbf{r}(t_n, \mathbf{z}_n;h)-\widetilde{\mathbf{r}}(t_n,\mathbf{z}_n;h)\right\vert \propto h^{\alpha+1 }).$$ HOLL विवेकाधिकार (4.4) आदेश के साथ अभिसरण की दर $$\alpha$$ अरेखीय ODEs के समाधान के लिए, लेकिन यह रैखिक ODEs के समाधान से मेल खाता है।

HOLL के विवेक को दो तरीकों से प्राप्त किया जा सकता है:   1) (चतुर्भुज-आधारित) आर के अभिन्न प्रतिनिधित्व (4.2) का अनुमान लगाकर; और 2) (इंटीग्रेटर-आधारित) द्वारा परिभाषित आर के अंतर प्रतिनिधित्व के लिए एक संख्यात्मक इंटीग्रेटर का उपयोग करके

 $$\frac{d\mathbf{r}(t) }{dt} = \mathbf{q}(t_n,\mathbf{z}_n;t \mathbf{,\mathbf{r}}(t) \mathbf), \qquad \text{ with } \qquad \mathbf{r}(t_n) =\mathbf{0,} \qquad \qquad \qquad (4.5)$$

सभी के लिए $$t\in \lbrack t_k,t_{k+1}]$$, कहाँ

 $$\mathbf{q}(t_{n},\mathbf{z}_{n};s\mathbf{,\xi })=\mathbf{f}(s,\mathbf{z}_{n}+ \mathbf{\phi }\left( t_{n},\mathbf{z}_{n};s-t_{n}\right) +\mathbf{\xi })- \mathbf{f}_{\mathbf{x}}(t_{n},\mathbf{z}_{n})\mathbf{\phi } ( t_n, \mathbf{z}_n;s-t_n) -\mathbf{f}_t( t_n,\mathbf{z}_n) (s-t_n)-\mathbf{f}( t_n,\mathbf{z}_n).$$ पूर्ण विवेक, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित है: $$\qquad \mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\mathbf{\phi }(t_n,\mathbf{z}_n;h_n)+h_n \sum_{j=1}^s b_j \mathbf{k}_j,\quad \text{ with } \quad \mathbf{k}_i = \mathbf{q}(t_n,\mathbf{z}_n;\text{ }t_n + c_i h_n \mathbf{,} \mathbf{} h_n \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij}\mathbf{k}_j), $$
 * स्थानीय रूप से रेखीय रनगे कुट्टा विवेक

जो एक एस-स्टेज स्पष्ट रूंज-कुट्टा विधियों के माध्यम से (4.5) को हल करके प्राप्त किया जाता है। गुणांकों के साथ रनगे-कुट्टा (आरके) योजना $$\mathbf{c}=\left[ c_{i}\right], \mathbf{A}=\left[ a_{ij}\right] \quad and \quad \mathbf{b}=\left[ b_{j}\right]$$. $$\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\mathbf{\phi}(t_n,\mathbf{z}_n;h_n)+\int_0^{h_n}e^{(h_n-s) \mathbf{f}_{\mathbf{x}} \left( t_n,\mathbf{z}_n\right) } \sum_{j=2}^p\frac{\mathbf{c}_{n,j}}{j!} s^j \, ds,\text{ with } \mathbf{c}_{n,j}=\left( \frac{d^{j+1}\mathbf{x}(t)}{dt^{j+1}}-\mathbf{f}_{\mathbf{x}} (t_n,\mathbf{z}_n) \frac{d^{j}\mathbf{x}(t) }{dt^j}\right) \mid _{t=\mathbf{z}_n}, $$
 * स्थानीय रेखीय टेलर विवेक 

जो के अनुमान से उत्पन्न होता है $$\mathbf{g}_{n}$$(4.2) में इसके क्रम-पी द्वारा टेलर श्रृंखला को काट दिया गया।


 * मल्टीस्टेप-टाइप एक्सपोनेंशियल प्रोपेगेशन डिस्क्रिटाइजेशन

 $\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\mathbf{\phi}(t_n,\mathbf{z}_n;h)+h\sum_{j=0}^{p-1}\gamma_j\nabla^j\mathbf{g}_n(t_n,\mathbf{z }_{n}), \quad with \quad \gamma_j =(-1)^j \int\limits_0^1 e^{(1-\theta) h\mathbf{f}_{\mathbf{x}} (t_n,\mathbf{z}_n) } \left( \begin{array}{c} -\theta \\ j \end{array} \right) d\theta, $

के प्रक्षेप से उत्पन्न होता है $$\mathbf{g}_{n}$$in (4.2) पर डिग्री p के एक बहुपद द्वारा $$t_{n},\ldots, t_{n-p+1}$$, कहाँ $$\nabla ^{j}\mathbf{g}_{n}(t_{m},\mathbf{z}_{m})$$ के जे-वें पिछड़े अंतर को दर्शाता है $$\mathbf{g}_{n}(t_{m},\mathbf{z}_{m})$$.

 $\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\mathbf{\phi}(t_n,\mathbf{z}_n ;h) + h\sum_{j=0}^{p-1} \gamma _{j,p}\nabla^j \mathbf{g}_n (t_n,\mathbf{z}_n),\quad \text{ with } \quad \gamma_{j,p} = \int\limits_0^1 e^{(1-\theta )h\mathbf{f}_{\mathbf{x}} (t_n,\mathbf{z}_n) } \left( \begin{array}{c} \theta p\\ j \end{array} \right) d\theta, $
 * रनगे कुट्टा प्रकार घातीय प्रसार विवेक

के प्रक्षेप से उत्पन्न होता है $$\mathbf{g}_{n}$$in (4.2) पर डिग्री p के एक बहुपद द्वारा $$t_{n},\ldots, t_{n}+(p-1)h/p$$,

 $\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\mathbf{\phi }(t_n,\mathbf{z}_n;h)+h\sum_{j=1}^{p-1}\sum_{l=1}^j\frac{\gamma _{j+1}}{l} \nabla^l\mathbf{g}_n(t_n,\mathbf{z}_{n}),\quad \text{ with } \quad \gamma_{j+1}=(-1)^{j+1} \int\limits_0^1e^{(1-\theta )h\mathbf{f}_{\mathbf{x}} \left( t_n,\mathbf{z}_n\right) }\theta \left( \begin{array}{c} -\theta \\ j \end{array} \right) d\theta, $
 * रैखिक घातांक एडम्स विवेक

के प्रक्षेप से उत्पन्न होता है $$\mathbf{g}_{n}$$(4.2) में डिग्री पी के एक हर्मिट बहुपद द्वारा $$t_{n},\ldots, t_{n-p+1}$$.

स्थानीय रैखिककरण योजनाएं
सभी संख्यात्मक कार्यान्वयन $$\mathbf{y}_{n}$$ एलएल (या एक एचओएलएल) विवेकाधिकार $$\mathbf{z}_{n}$$ अनुमान शामिल हैं $$\widetilde{\phi}_j$$ अभिन्न करने के लिए $$\phi_j$$ फार्म का

 $$\phi_j(\mathbf{A},h)=\int\limits_0^h e^{(h-s)\mathbf{A}} s^{j-1} \, ds,\qquad j=1,2\ldots, $$

जहां A d × d मैट्रिक्स है। प्रत्येक संख्यात्मक कार्यान्वयन $$\mathbf{y}_n$$ डालूँगा की (या एक HOLL की) $$\mathbf{z}_{n}$$ किसी भी आदेश को सामान्य रूप से स्थानीय रैखिककरण योजना कहा जाता है।

मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल
सहित कम्प्यूटिंग इंटीग्रल

इंटीग्रल की गणना करने के लिए कई एल्गोरिदम के बीच $$\phi _{j}$$, चरघातांकी मैट्रिक्स के लिए परिमेय Padé और Krylov उपस्थान सन्निकटन पर आधारित पसंद किए जाते हैं। इसके लिए अभिव्यक्ति द्वारा एक केंद्रीय भूमिका निभाई जा रही है  $$\sum\nolimits_{i=1}^l \phi_i(\mathbf{A},h)\mathbf{a}_i = \mathbf{L}e^{h\mathbf{H}}\mathbf{r}, $$

कहाँ $$\mathbf{a}_i$$ डी-आयामी वैक्टर हैं,

 $$\mathbf{H}= \begin{bmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{v}_{l} & \mathbf{v}_{l-1} & \cdots & \mathbf{v}_{1} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & 1 & \cdots & 0 \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & 0 & \ddots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 1 \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{(d+l)\times (d+l)},

$$

$$\mathbf{L}=[\mathbf{I} \quad \mathbf{0}_{d\times l}]$$, $$\mathbf{r}=[\mathbf{0}_{1\times (d+l-1)}\quad1]^{\intercal},$$ $$\mathbf{v}_{i}=\mathbf{a}_{i}(i-1)! $$, प्राणी $$\mathbf{I}$$ डी-आयामी पहचान मैट्रिक्स।

अगर $$\mathbf{P}_{p,q}(2^{-k}\mathbf{H}h) $$ (p; q)-Padé सन्निकटन को दर्शाता है|Padé का सन्निकटन $$e^{2^{-k}\mathbf{H}h} $$ और k ऐसी सबसे छोटी प्राकृत संख्या है $$|2^{-k}\mathbf{H}h|\leq \frac{1}{2}, then$$  $$\left\vert \sum\nolimits_{i=1}^l \phi_i (\mathbf{A},h)\mathbf{a}_{i}- \mathbf{L}\left( \mathbf{\mathbf{P}}_{p,q}(2^{-k}\mathbf{H}h)\right)^{2^k} \mathbf{r}\right\vert \varpropto h^{p+q+1}.$$

अगर $$\mathbf{\mathbf{k}}_{m,k}^{p,q}(h,\mathbf{H},\mathbf{r})$$ (m; p; q; k) क्रायलोव सबस्पेस|क्रायलोव-पैडे का सन्निकटन दर्शाता है $$e^{h\mathbf{H}}\mathbf{r}$$, तब

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\left\vert \sum\nolimits_{i=1}^{l}\phi _{i}(\mathbf{A},h)\mathbf{a}_i - \mathbf{L\mathbf{k}}_{m,k}^{p,q}(h,\mathbf{H},\mathbf{r})\right\vert \varpropto h^{\min ({m,p+q+1})},$$

कहाँ $$m \leq d$$ क्रायलोव उपक्षेत्र का आयाम है।

आदेश-2 एलएल योजनाएँ
<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{y}_{n+1}=\mathbf{y}_{n}+\mathbf{L}(\mathbf{P}_{p,q}(2^{-k_{n}} \mathbf{M}_{n}h_{n}))^{2^{k_{n}}}\mathbf{r,} $$ $$\qquad \qquad (4.6)$$

जहां मैट्रिसेस $$\mathbf{M}_n$$, एल और आर के रूप में परिभाषित किया गया है

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{M}_n = \begin{bmatrix} \mathbf{f}_{\mathbf{x}}(t_n,\mathbf{y}_n) & \mathbf{f}_t(t_n,\mathbf{y}_n) & \mathbf{f}(t_n,\mathbf{y}_n) \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{(d+2)\times (d+2)},$$

$$\mathbf{L}=\left[ \begin{array}{ll} \mathbf{I} & \mathbf{0}_{d\times 2} \end{array} \right]$$ और $$\mathbf{r}^{\intercal }=\left[ \begin{array}{ll} \mathbf{0}_{1\times (d+1)} & 1 \end{array} \right] $$ साथ $$p+q>1$$. ओडीई की बड़ी प्रणालियों के लिए

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{y}_{n+1}=\mathbf{y}_{n}+\mathbf{L\mathbf{k}} _{m_{n},k_{n}}^{p,q}(h_{n},\mathbf{M}_{n},\mathbf{r})\mathbf{,}\qquad \text{ with } \qquad m_{n}>2. $$

आदेश-3 एलएल-टेलर योजनाएँ
<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{y}_{n+1}=\mathbf{y}_n+\mathbf{L}_{1}(\mathbf{P}_{p,q}(2^{-k_n} \mathbf{T}_n h_n))^{2^{k_n}}\mathbf{r}_1 \mathbf{,}$$ $$ \qquad \qquad (4.7)$$

जहां स्वायत्त प्रणाली (गणित) के लिए मैट्रिसेस ODEs $$\mathbf{T}_{n}, \mathbf{L}_{1}$$ और $$\mathbf{r}_{1}$$ के रूप में परिभाषित किया गया है

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{T}_{n}=\left[ \begin{array}{cccc} \mathbf{f}_{\mathbf{x}}(\mathbf{y}_{n}) & (\mathbf{I}\otimes \mathbf{f} ^{\intercal }(\mathbf{y}_{n}))\mathbf{f}_{\mathbf{xx}}(\mathbf{y}_{n}) \mathbf{f}(\mathbf{y}_{n}) & \mathbf{0} & \mathbf{f}(\mathbf{y}_{n}) \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \in \mathbb{R}^{(d+3)\times (d+3)}, $$

$$\mathbf{L}_{1}=\left[ \begin{array}{ll} \mathbf{I} & \mathbf{0}_{d\times 3} \end{array} \right] \quad and \quad \mathbf{r}_{1}^{\intercal }=\left[ \begin{array}{ll} \mathbf{0}_{1\times (d+2)} & 1 \end{array} \right]$$. यहाँ, $$\mathbf{f}_{\mathbf{xx}}$$ x, और p + q > 2 के संबंध में f के दूसरे व्युत्पन्न को दर्शाता है। ओडीई की बड़ी प्रणालियों के लिए

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{y}_{n+1}=\mathbf{y}_{n}+\mathbf{L\mathbf{k}} _{m_{n},k_{n}}^{p,q}(h_{n},\mathbf{T}_{n},\mathbf{r})\mathbf{,}\qquad \text{ with } \qquad m_{n}>3. $$

आदेश-4 एलएल-आरके योजनाएं
<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{y}_{n+1}=\mathbf{y}_{n}+\mathbf{u}_{4}+\frac{h_{n}}{6}(2\mathbf{k} _{2}+2\mathbf{k}_{3}+\mathbf{k}_{4}),\quad$$  $$\qquad \qquad (4.8)$$

कहाँ

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{u}_{j}=\mathbf{L}(\mathbf{P}_{p,q}(2^{-\kappa _{j}}\mathbf{M} _{n}c_{j}h_{n}))^{2^{\kappa _{j}}}\mathbf{r} $$

और

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{k}_{j}=\mathbf{f}\left( t_{n}+c_{j}h_{n},\mathbf{y}_{n}+\mathbf{u} _{j}+c_{j}h_{n}\mathbf{k}_{j-1}\right) -\mathbf{f}\left( t_{n},\mathbf{y} _{n}\right) -\mathbf{f}_{\mathbf{x}}\left( t_{n},\mathbf{y}_{n}\right) \mathbf{u}_{j}\ -\mathbf{f}_{t}\left( t_{n},\mathbf{y}_{n}\right) c_{j}h_{n}, $$

साथ $$\mathbf{k}_{1}\equiv \mathbf{0}, c=\left[ \begin{array}{cccc} 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \end{array} \right], $$ और p + q > 3. ODEs की बड़ी प्रणालियों के लिए, वेक्टर $$\mathbf{u}_{j} $$ उपरोक्त योजना में द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है $$\mathbf{u}_{j}=\mathbf{L\mathbf{k} }_{m_{j},k_{j}}^{p,q}(c_{j}h_{n},\mathbf{M}_{n},\mathbf{r})$$ साथ $$ m_j > 4.$$

डोरमैंड और प्रिंस
की स्थानीय रूप से रेखीयकृत रंज-कुट्टा योजना

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{y}_{n+1}=\mathbf{y}_n+\mathbf{u}_s+h_n\sum_{j=1}^s b_j \mathbf{k}_j \qquad \text{ and } \qquad \widehat{\mathbf{y}}_{n+1}=\mathbf{y}_n+\mathbf{u}_s+h_n\sum_{j=1}^s \widehat{b}_j \mathbf{k}_j,\quad $$ $$\qquad \qquad (4.9)$$

जहाँ s = 7 चरणों की संख्या है,

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{k}_j=\mathbf{f(}t_n+c_j h_n,\mathbf{y}_n+\mathbf{u}_j + h_n \sum_{i=1}^{s-1} a_{j,i} \mathbf{k}_i)-\mathbf{f}\left( t_n, \mathbf{y}_n\right) -\mathbf{f}_{\mathbf{x}}\left( t_n,\mathbf{y}_n\right) \mathbf{u}_j\ -\mathbf{f}_t\left( t_n,\mathbf{y}_n \right) c_j h_n, $$

साथ $$\mathbf{k}_{1}\equiv \mathbf{0}$$, और $$a_{j,i}, b_{j}, \widehat{b}_j \quad and \quad c_j$$ डोरमैंड-प्रिंस विधि हैं। डोरमैंड और प्रिंस के रनगे-कुट्टा गुणांक और पी + क्यू> 4। वेक्टर $$\mathbf{u}_j$$ उपरोक्त योजना में क्रमशः ODE की छोटी या बड़ी प्रणालियों के लिए Padé या Krylor–Pad सन्निकटन द्वारा गणना की जाती है।

स्थिरता और गतिशीलता
निर्माण के द्वारा, LL और HOLL विवेकाधिकार रैखिक ODE की स्थिरता और गतिशीलता को विरासत में प्राप्त करते हैं, लेकिन यह सामान्य रूप से LL योजनाओं का मामला नहीं है। साथ $$p\leq q\leq p+2$$, एलएल योजनाएं (4.6)-(4.9) कड़ी समीकरण|ए-स्थिर हैं। क्यू = पी + 1 या क्यू = पी + 2 के साथ, एलएल योजनाएँ (4.6) - (4.9) भी एल-स्थिरता | एल-स्थिर हैं। रैखिक ODEs के लिए, LL योजनाएँ (4.6)-(4.9) क्रम p + q के साथ अभिसरित होती हैं। इसके अलावा, पी = क्यू = 6 और के साथ $$m_{n}$$ = डी, ऊपर वर्णित सभी एलएल योजनाएं वर्तमान व्यक्तिगत कंप्यूटरों पर रैखिक ओडीई के "सटीक संगणना" (फ्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित की सटीकता तक) के लिए उपज देती हैं।  इसमें कठोर समीकरण और अत्यधिक दोलनशील रैखिक समीकरण शामिल हैं। इसके अलावा, एलएल योजनाएँ (4.6) - (4.9) रैखिक ODEs के लिए नियमित हैं और हैमिल्टनियन यांत्रिकी लयबद्ध दोलक के सिंपलेक्टिक ज्यामिति को विरासत में मिलाती हैं।  ये एलएल योजनाएँ भी रैखिककरण को संरक्षित कर रही हैं, और हाइपरबोलिक संतुलन बिंदुओं के आसपास स्थिर कई गुना का बेहतर प्रजनन प्रदर्शित करती हैं और चक्र को सीमित करती हैं जो समान चरण के साथ साधारण अंतर समीकरणों के लिए संख्यात्मक तरीके हैं।  उदाहरण के लिए, चित्र 1 ODEs का चरण चित्र दिखाता है



\begin{align} & \frac{dx_1}{dt} =-2x_1+x_2+1-\mu f(x_1,\lambda) \qquad \qquad (4.10) \\[6pt] & \frac{dx_{2}}{dt} = x_1-2x_2+1-\mu f(x_2,\lambda) \qquad \qquad \quad (4.11) \end{align} $$ साथ $$f(u,\lambda) =u(1+u+\lambda u^2)^{-1}$$, $$\mu =15$$ और $$\lambda =57$$, और विभिन्न योजनाओं द्वारा इसका अनुमान। इस प्रणाली के क्षेत्र में दो संतुलन बिंदु और एक संतुलन बिंदु है $$0\leq x_1,x_2\leq 1$$.

डीडीई के लिए एलएल तरीके
डी-डायमेंशनल डिले डिफरेंशियल इक्वेशन (DDE) पर विचार करें

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\frac{d\mathbf{x}(t) }{dt} = \mathbf{f}(t,\mathbf{x}(t) ,\mathbf{x}_t(-\tau_1),\ldots ,\mathbf{x}_t(-\tau_m)),\qquad t\in[t_0,T], \qquad\qquad (5.1) $$

एम लगातार देरी के साथ $$\tau_i>0$$ और प्रारंभिक अवस्था $$\mathbf{x}_{t_0}(s)=\mathbf{\varphi}(s)$$ सभी के लिए $$s\in[-\tau,0], $$ जहाँ f एक अवकलनीय फलन है, $$\mathbf{x}_t:[-\tau,0] \longrightarrow \mathbb{R}^d$$ खंड समारोह के रूप में परिभाषित किया गया है

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{x}_t(s):=\mathbf{x}(t+s),\text{ } s\in[-\tau,0], $$

सभी के लिए $$t\in[t_0,T], \mathbf{\varphi }:[-\tau,0] \longrightarrow \mathbb{R}^d$$ एक दिया गया कार्य है, और $$\tau = \max \left\{ \tau_1,\ldots,\tau_m\right\} .$$

स्थानीय रेखीय विवेक
एक समय विवेक के लिए $$(t)_h$$, प्रत्येक बिंदु पर DDE (5.1) का स्थानीय रेखीय विवेक $$t_{n+1} \in (t)_h$$ पुनरावर्ती अभिव्यक्ति द्वारा परिभाषित किया गया है

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\Phi (t_n,\mathbf{z}_n,h_n;\widetilde{\mathbf{z}}_{t_n}^1, \ldots,\widetilde{\mathbf{z}}_{t_n}^m), \qquad \qquad (5.2) $$

कहाँ

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\Phi (t_n,\mathbf{z}_n,h_n;\widetilde{\mathbf{z}}_{t_n}^1, \ldots, \widetilde{\mathbf{z}}_{t_{n}}^{m}) = \int\limits_0^{h_n}e^{\mathbf{A}_n(h_n-u)} \left[\sum\limits_{i=1}^m \mathbf{B}_n^i (\widetilde{\mathbf{z}}_{t_n}^i (u-\tau_i) -\widetilde{\mathbf{z}}_{t_n}^i (-\tau_i) )+\mathbf{d}_n\right] \, du + \int \limits_0^{h_n}\int\limits_0^u e^{\mathbf{A}_n(h_n-u)}\mathbf{c}_n \, dr \, du $$

$$\widetilde{\mathbf{z}}_{t_n}^i:\left[ -\tau_i,0\right] \longrightarrow \mathbb{R}^d$$ खंड समारोह के रूप में परिभाषित किया गया है

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\widetilde{\mathbf{z}}_{t_n}^i(s):=\widetilde{\mathbf{z}}^i(t_n+s), \text{ } s\in [-\tau_i,0] ,$$

और $$\widetilde{\mathbf{z}}^i:\left[ t_n-\tau_i,t_n\right] \longrightarrow \mathbb{R}^d$$का उपयुक्त अनुमान है $$\mathbf{x}(t)$$ सभी के लिए $$t\in \lbrack t_n-\tau_i,t_n]$$ ऐसा है कि $$\widetilde{\mathbf{z}}^i(t_n)=\mathbf{z}_n.$$ यहाँ, <div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{A}_n=\mathbf{f}_x(t_n,\mathbf{z}_n,\widetilde{\mathbf{z}}_{t_n}^1(-\tau_1),\ldots,\widetilde{\mathbf{z}}_{t_n}^m(-\tau_d)), \text{ }\mathbf{B}_n^i=\mathbf{f}_{x_t(-\tau_i)}(t_n,\mathbf{z}_n,\widetilde{\mathbf{z}}_{t_n}^1(-\tau_1),\ldots,\widetilde{\mathbf{z}}_{t_n}^m(-\tau_d)) $$

निरंतर मैट्रिसेस हैं और

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{c}_n=\mathbf{f}_t(t_n,\mathbf{z}_n,\widetilde{\mathbf{z}}_{t_n}^1 (-\tau_1),\ldots,\widetilde{\mathbf{z}}_{t_n}^m(-\tau_d)) \text{ and }\mathbf{d}_n=\mathbf{f(}t_n,\mathbf{z}_n,\widetilde{\mathbf{z}}_{t_n}^1(-\tau_1),\ldots,\widetilde{\mathbf{z}}_{t_n}^m(-\tau_d)) $$

निरंतर वैक्टर हैं। $$\mathbf{f}_{t}, \mathbf{f}_{x} \quad and \quad \mathbf{f} _{x_{t}(-\tau _{i})}$$ निरूपित करें, क्रमशः चर  t  और  x,  और के संबंध में f का आंशिक डेरिवेटिव $$\mathbf{x}_{t}(-\tau _{i})$$. स्थानीय रैखिक विवेक (5.2) क्रम के साथ (5.1) के समाधान में परिवर्तित हो जाता है $$\alpha =\min \{2,r\},$$ अगर $$\widetilde{\mathbf{z}}_{t_{n}}^{i}$$ अनुमानित $$\mathbf{z}_{t_{n}}^{i}$$ आदेश के साथ $$r \quad (i.e., \left\vert \mathbf{z}_{t_{n}}^{i}\mathbf{(}u-\tau _{i} \mathbf{)}-\widetilde{\mathbf{z}}_{t_{n}}^{i}\mathbf{(}u-\tau _{i}\mathbf{)} \right\vert \propto h_{n}^{r}$$ सभी के लिए $$u\in \lbrack 0,h_{n}])$$.

स्थानीय रैखिककरण योजनाएं
अनुमानों के आधार पर $$\widetilde{\mathbf{z}}_{t_{n}}^{i}$$ और गणना करने के लिए एल्गोरिदम पर $$\mathbf{\phi }$$ विभिन्न स्थानीय रैखिककरण योजनाओं को परिभाषित किया जा सकता है। प्रत्येक संख्यात्मक कार्यान्वयन $$\mathbf{y}_{n}$$ एक स्थानीय रैखिक विवेक का $$\mathbf{z}_{n}$$ आम तौर पर स्थानीय रैखिककरण योजना कहा जाता है।

आदेश-2 बहुपद एलएल योजनाएं
<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{y}_{n+1}=\mathbf{y}_{n}+\mathbf{L}(\mathbf{P}_{p,q}(2^{-k_{n}} \mathbf{M}_{n}h_{n}))^{2^{k_{n}}}\mathbf{r,} \quad$$ $$ \qquad (5.3) $$

जहां मैट्रिसेस $$\mathbf{M}_{n}, \mathbf{L}$$ और $$\mathbf{r}$$ के रूप में परिभाषित किया गया है

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{M}_{n}= \begin{bmatrix} \mathbf{A}_{n} & \mathbf{c}_{n}+\sum\limits_{i=1}^{m}\mathbf{B}_{n}^{i} \mathbf{\alpha }_{n}^{i} & \mathbf{d}_{n} \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{(d+2)\times (d+2)},$$

$$\mathbf{L}=\left[ \begin{array}{ll} \mathbf{I} & \mathbf{0}_{d\times 2} \end{array} \right]$$ और $$\mathbf{r}^{\intercal }=\left[ \begin{array}{ll} \mathbf{0}_{1\times (d+1)} & 1 \end{array} \right], h_{n}\leq \tau$$, और $$p+q>1$$. यहाँ, मेट्रिसेस $$\mathbf{A}_{n}$$, $$\mathbf{B}_{n}^{i}$$, $$\mathbf{c}_{n}$$ और $$\mathbf{d}_{n}$$ (5.2) के रूप में परिभाषित किया गया है, लेकिन प्रतिस्थापित कर रहा है $$\mathbf{z}$$ द्वारा $$\mathbf{y}$$ और $$\mathbf{\alpha }_{n}^{i}=(\mathbf{y}(t_{n+1}-\tau _{i})-\mathbf{y} (t_{n}-\tau _{i}))/h_{n},$$ कहाँ

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{y}\left( t\right) =\mathbf{y}_{n_{t}}+\mathbf{L}(\mathbf{P}_{p,q}(2^{-k_{n}} \mathbf{M}_{n_{t}}(t-t_{n_{t}})))^{2^{k_{n}}}\mathbf{r},$$

साथ $$n_{t}=\max \{n=0,1,2,...,:t_{n}\leq t\text{ and }t_{n}\in \left( t\right) _{h}\}$$, सभी के लिए एलएल योजना (5.3) के माध्यम से परिभाषित (5.1) के समाधान के लिए स्थानीय रैखिक अनुमान है $$t\in \lbrack t_{0},t_{n}]$$ और तक $$\mathbf{y}\left( t\right) =\mathbf{\varphi }\left( t\right)$$ के लिए $$t\in \left[ t_{0}-\tau ,t_{0}\right]$$. डीडीई की बड़ी प्रणालियों के लिए

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{y}_{n+1}=\mathbf{y}_{n}+\mathbf{L\mathbf{k}} _{m_{n},k_{n}}^{p,q}(h_{n},\mathbf{M}_{n},\mathbf{r})\quad and \quad \mathbf{y}\left( t\right) =\mathbf{y}_{n_{t}}+\mathbf{L\mathbf{k}} _{m_{n_{t}},k_{n_{t}}}^{p,q}(t-t_{n_{t}},\mathbf{M}_{n_{t}},\mathbf{r}),$$

साथ $$p+q>1$$ और $$m_{n}>2$$. चित्र 2 एलएल योजना (5.3) की स्थिरता और डीडीई की एक कठोर प्रणाली के एकीकरण में समान क्रम की एक स्पष्ट योजना को दर्शाता है।

आरडीई के लिए एलएल तरीके
डी-डायमेंशनल रैंडम डिफरेंशियल इक्वेशन (RDE) पर विचार करें

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; >$$\frac{d\mathbf{x}\left( t\right) }{dt}=\mathbf{f}(\mathbf{x}(t),\mathbf{\xi } (t)),\quad t\in \left[ t_{0},T\right] ,\qquad \qquad \qquad (6.1) $$

प्रारंभिक स्थिति के साथ $$\mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0,$$ कहाँ $$\mathbf{ \xi }$$ एक के-आयामी स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है, और 'एफ' एक अलग-अलग कार्य है। मान लीजिए कि एक बोध (संभावना) (पथ) का $$\mathbf{\xi }$$ दिया हुआ है।

स्थानीय रैखिक विवेक
एक समय विवेक के लिए $$\left( t\right) _{h}$$, प्रत्येक बिंदु पर RDE (6.1) का स्थानीय रेखीय विवेक $$t_{n+1}\in \left( t\right) _{h}$$ पुनरावर्ती अभिव्यक्ति द्वारा परिभाषित किया गया है

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_{n}+\mathbf{\phi }(t_{n},\mathbf{z}_{n};h_{n}), \qquad \text{ with } \qquad \mathbf{z}_{0}=\mathbf{x}_{0},$$

कहाँ

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{\phi }(t_n,\mathbf{z}_n;h_n)=\int\limits_0^{h_n} e^{\mathbf{f}_{\mathbf{x}} (\mathbf{z}_n,\mathbf{\xi}(t_n)) (h_n-u)}(\mathbf{f(z}_{n},\mathbf{\xi }(t_{n}))+\mathbf{f}_{\mathbf{\xi}}(\mathbf{z}_n,\mathbf{\xi }(t_{n}))(\widetilde{\mathbf{\xi }}(t_{n}+u)-\widetilde{\mathbf{\xi }}(t_n))) \, du $$

और $$\widetilde{\mathbf{\xi }}$$ प्रक्रिया का एक अनुमान है $$\mathbf{ \xi }$$ सभी के लिए $$t\in \left[ t_{0},T\right]. $$ यहाँ, $$\mathbf{f}_{x}$$ और $$\mathbf{f}_{\xi }$$ के आंशिक डेरिवेटिव को निरूपित करें $$\mathbf{f}$$ इसके संबंध में $$\mathbf{x}$$ और $$\xi $$, क्रमश।

स्थानीय रैखिककरण योजनाएं
अनुमानों के आधार पर $$\widetilde{\mathbf{\xi }}$$ प्रक्रिया के लिए $$\mathbf{\xi}$$ और गणना करने के लिए एल्गोरिदम का $$\mathbf{\phi}$$, विभिन्न स्थानीय रैखिककरण योजनाओं को परिभाषित किया जा सकता है। प्रत्येक संख्यात्मक कार्यान्वयन $$\mathbf{y}_n$$ स्थानीय रैखिक विवेक का $$\mathbf{z}_n$$ आम तौर पर स्थानीय रैखिककरण योजना कहा जाता है।

एलएल योजनाएं
<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; >

$$\mathbf{y}_{n+1}=\mathbf{y}_n+\mathbf{L}(\mathbf{P}_{p,q}(2^{-k_n} \mathbf{M}_n h_{n}))^{2^{k_n}}\mathbf{r,} \quad $$ जहां मैट्रिसेस $$\mathbf{M}_{n}, \quad \mathbf{L} \quad and \quad \mathbf{r}$$ के रूप में परिभाषित किया गया है

$$\mathbf{M}_{n}=\left[ \begin{array}{ccc} \mathbf{f}_{\mathbf{x}}\left( \mathbf{y}_{n},\mathbf{\xi }(t_{n})\right) & \mathbf{f}_{\mathbf{\xi }}(\mathbf{y}_{n},\mathbf{\xi }(t_{n})(\mathbf{\xi } (t_{n+1})-\mathbf{\xi }(t_{n}))/h_{n} & \mathbf{f}\left( \mathbf{y}_{n}, \mathbf{\xi }(t_{n})\right) \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]$$

$$\mathbf{L}=\left[ \begin{array}{ll} \mathbf{I} & \mathbf{0}_{d\times 2} \end{array} \right] $$, $$\mathbf{r}^{\intercal }=\left[ \begin{array}{ll} \mathbf{0}_{1\times (d+1)} & 1 \end{array} \right]$$, और पी+ क्यू> 1। आरडीई की बड़ी प्रणालियों के लिए,

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{y}_{n+1}=\mathbf{y}_{n}+\mathbf{L\mathbf{k}} _{m_{n},k_{n}}^{p,q}(h_{n},\mathbf{M}_{n},\mathbf{r}),\quad p+q>1 \quad and \quad m_{n}>2.$$

दोनों योजनाओं की अभिसरण दर है $$min\{2,2\gamma \}$$, कहाँ है $$\gamma$$ धारक की स्थिति का प्रतिपादक $$\mathbf{\xi }$$.

चित्र 3 RDE का चरण चित्र प्रस्तुत करता है

$$\frac{dx_{1}}{dt} =-x_{2}+\left( 1-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\right) x_{1}\sin (w^{H}(t))^{2}, \quad \qquad x_{1}(0)=0.8 \qquad (6.2)

$$

$$\frac{dx_{2}}{dt} =x_{1}+(1-x_{1}^{2}-x_{2}^{2})x_{2}\sin (w^{H}(t))^{2}, \qquad \qquad x_{2}(0)=0.1, \qquad (6.3)

$$ और दो संख्यात्मक योजनाओं द्वारा इसका सन्निकटन, जहाँ $$w^{H}$$ हर्स्ट एक्सपोनेंट एच = 0.45 के साथ एक आंशिक ब्राउनियन गति को दर्शाता है।

एसडीई के लिए मजबूत एलएल विधियाँ
डी-डायमेंशनल स्टोचैस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन (SDE) पर विचार करें

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$d\mathbf{x}(t)=\mathbf{f}(t,\mathbf{x}(t))dt+\sum\limits_{i=1}^{m}\mathbf{g} _{i}(t)d\mathbf{w}^{i}(t),\quad t\in \left[ t_{0},T\right], \qquad \qquad \qquad (7.1)$$

प्रारंभिक स्थिति के साथ $$\mathbf{x}(t_{0})=\mathbf{x}_{0}$$, जहां बहाव गुणांक $$\mathbf{f}$$ और प्रसार गुणांक $$\mathbf{g}_{i}$$ अलग-अलग कार्य हैं, और $$\mathbf{w=(\mathbf{w}}^{1},\ldots ,\mathbf{w} ^{m}\mathbf{)}$$ एक एम-आयामी मानक वीनर प्रक्रिया है।

स्थानीय रेखीय विवेक
एक समय विवेक के लिए $$\left( t\right) _{h}$$, आदेश-$$\mathbb{\gamma }$$ (=1,1.5) एसडीई (7.1) के समाधान के मजबूत स्थानीय रैखिक विवेक को पुनरावर्ती संबंध द्वारा परिभाषित किया गया है <div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_{n}+\mathbf{\phi }_{\mathbb{\gamma }}(t_{n}, \mathbf{z}_{n};h_{n})+\mathbf{\xi }(t_{n},\mathbf{z}_{n};h_{n}),\quad with \quad \mathbf{z}_{0}=\mathbf{x}_{0},$$

कहाँ

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{\phi }_{\mathbb{\gamma }}(t_{n},\mathbf{z}_{n};\delta )=\int_{0}^{\delta }e^{\mathbf{f}_{\mathbf{x}}(t_{n},\mathbf{y}_{n})(\delta -u)}(\mathbf{f(}t_{n},\mathbf{z}_{n})+\mathbf{a}^{\mathbb{\gamma }}(t_{n}, \mathbf{z}_{n})u)du $$

और

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{\xi} \left( t_n,\mathbf{z}_n;\delta \right) = \sum\limits_{i=1}^m \int\nolimits_{t_n}^{t_n+\delta} e^{\mathbf{f}_{\mathbf{x}} (t_n,\mathbf{z}_n)(t_n+\delta -u)}\mathbf{g}_i(u) \, d\mathbf{w}^i(u). $$

यहाँ,

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$ \mathbf{a}^{\mathbb{\gamma}}(t_n,\mathbf{z}_n)= \left\{ \begin{array}{cl} \mathbf{f}_t(t_n,\mathbf{z}_n) & \text{for } \qquad \mathbb{\gamma }=1 \\ \mathbf{f}_t(t_n,\mathbf{z}_n) +\frac{1}{2} \sum\limits_{j=1}^m ( \mathbf{I}\otimes \mathbf{g}_j^\intercal (t_n)) \mathbf{f}_{\mathbf{xx}}(t_n, \mathbf{z}_n)\mathbf{g}_j (t_n) & \text{for } \quad \mathbb{\gamma}=1.5, \end{array} \right. $$

$$\mathbf{f}_{\mathbf{x}}, \mathbf{f}_t$$ के आंशिक डेरिवेटिव को निरूपित करें $$\mathbf{f}$$ चर के संबंध में $$\mathbf{x}$$ और  टी , क्रमशः, और $$\mathbf{f}_{\mathbf{xx}}$$ का हेसियन मैट्रिक्स $$\mathbf{f}$$ इसके संबंध में $$\mathbf{x}$$. मजबूत स्थानीय रैखिक विवेक $$\mathbf{z}_{n+1}$$ क्रम के साथ यादृच्छिक चर का अभिसरण $$\mathbb{\gamma }$$ (= 1, 1.5) (7.1) के समाधान के लिए।

उच्च-क्रम स्थानीय रैखिक विवेक
(7.1) के बहाव अवधि के स्थानीय रैखिककरण के बाद $$(t_n, \mathbf{z}_n)$$, अवशिष्ट के लिए समीकरण $$\mathbf{r}$$ द्वारा दिया गया है

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$d\mathbf{r}(t) =\mathbf{q}_\gamma (t_n,\mathbf{z}_n;t \mathbf{,\mathbf{r}}(t)) \, dt + \sum\limits_{i=1}^m \mathbf{g}_i(t) \, d\mathbf{w}^i(t)\mathbf{,}\qquad \mathbf{r}(t_n) = \mathbf{0} $$

सभी के लिए $$t\in \lbrack t_n,t_{n+1}]$$, कहाँ

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{q}_\gamma (t_n,\mathbf{z}_n;s\mathbf{,\xi })=\mathbf{f}(s,\mathbf{z}_n+\mathbf{\phi}_\gamma (t_n,\mathbf{z}_n;s-t_n) +\mathbf{\xi })-\mathbf{f}_{\mathbf{x}}(t_n,\mathbf{z}_n)\mathbf{\phi}_\gamma(t_n,\mathbf{z}_n;s-t_n) - \mathbf{a}^\gamma (t_n,\mathbf{z}_n) (s-t_n)-\mathbf{f}(t_n,\mathbf{z}_n). $$

प्रत्येक बिंदु पर एसडीई (7.1) का एक उच्च-क्रम स्थानीय रैखिक विवेचन $$t_{n+1}\in(t)_h $$ फिर पुनरावर्ती अभिव्यक्ति द्वारा परिभाषित किया गया है <div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\mathbf{\phi}_\gamma (t_n,\mathbf{z}_n;h_n)+\widetilde{\mathbf{r}}(t_n,\mathbf{z}_n;h_n),\qquad \text{ with } \qquad \mathbf{z}_0=\mathbf{x}_0, $$

कहाँ $$\widetilde{\mathbf{r}} $$ अवशिष्ट के लिए एक मजबूत सन्निकटन है $$\mathbf{r} $$ आदेश की $$\alpha $$ 1.5 से अधिक। मजबूत HOLL विवेक $$\mathbf{z}_{n+1} $$ व्यवस्था के साथ मिलती है $$\alpha $$ (7.1) के समाधान के लिए।

स्थानीय रैखिककरण योजनाएं
कंप्यूटिंग के तरीके पर निर्भर करता है $$\mathbf{\phi }_{\mathbb{\gamma }}$$, $$\mathbf{\xi }$$ और $$\widetilde{\mathbf{r}}$$ विभिन्न संख्यात्मक योजनाएँ प्राप्त की जा सकती हैं। प्रत्येक संख्यात्मक कार्यान्वयन $$\mathbf{y}_{n}$$ एक मजबूत स्थानीय रैखिक विवेक का $$\mathbf{z}_{n}$$ किसी भी आदेश के सामान्य रूप से मजबूत स्थानीय रेखाकरण (एसएलएल) योजना कहा जाता है।

आदेश 1 SLL योजनाएँ
<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{y}_{n+1}=\mathbf{y}_n+\mathbf{L}(\mathbf{P}_{p,q}(2^{-k_n} \mathbf{M}_{n}h_{n}))^{2^{k_{n}}}\mathbf{r+}\sum\limits_{i=1}^m \mathbf{g}_i(t_n)\Delta \mathbf{w}_n^i,\quad $$ $$\qquad \qquad (7.2)$$

जहां मैट्रिसेस $$\mathbf{M}_{n}$$, $$\mathbf{L}$$ और $$\mathbf{r}$$ (4.6) के रूप में परिभाषित किया गया है, $$\Delta \mathbf{w}_{n}^{i}$$ एक स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर है|i.i.d. शून्य माध्य विचरण के साथ सामान्य वितरण $$h_{n}$$, और p+q > 1. एसडीई की बड़ी प्रणालियों के लिए, उपरोक्त योजना में $$(\mathbf{P}_{p,q}(2^{-k_n}\mathbf{M}_{n}h_{n}))^{2^{k_n}}\mathbf{r}$$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $$\mathbf{\mathbf{k}}_{m_{n}, k_n}^{p,q}(h_n,\mathbf{M}_n,\mathbf{r})$$.

ऑर्डर 1.5 SLL स्कीम
<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{y}_{n+1} =\mathbf{y}_n+\mathbf{L}(\mathbf{P}_{p,q}(2^{-k_n} \mathbf{M}_n h_n))^{2^{k_n}}\mathbf{r}+\sum\limits_{i=1}^m\left( \mathbf{g}_i(t_n)\Delta \mathbf{w}_n^i \mathbf{f}_{\mathbf{x}}(t_n,\widetilde{\mathbf{y}}_n)\mathbf{g}_i(t_n)\Delta \mathbf{z}_n^i+\frac{d\mathbf{g}_i(t_n)}{dt} (\Delta \mathbf{w}_{n}^{i}h_{n}-\Delta \mathbf{z}_{n}^{i})\right),  \qquad \qquad (7.3)$$

जहां मैट्रिसेस $$\mathbf{M}_{n}$$, $$\mathbf{L}$$ और $$\mathbf{r}$$ के रूप में परिभाषित किया गया है

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{M}_n= \begin{bmatrix} \mathbf{f}_{\mathbf{x}}(t_n,\mathbf{y}_n) & \mathbf{f}_{t}(t_n,\mathbf{y}_n)+\frac{1}{2}\sum\limits_{j=1}^{m}\left( \mathbf{I}\otimes \mathbf{g}_j^\intercal (t_n) \right) \mathbf{f}_{ \mathbf{xx}}(t_n,\mathbf{y}_n)\mathbf{g}_j(t_n) & \mathbf{f}(t_{n},\mathbf{y}_n) \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{(d+2)\times (d+2)}, $$

$$\mathbf{L}=\left[ \begin{array}{ll} \mathbf{I} & \mathbf{0}_{d\times 2} \end{array} \right], \mathbf{r}^{\intercal }=\left[ \begin{array}{ll} \mathbf{0}_{1\times (d+1)} & 1 \end{array} \right]$$, $$\Delta \mathbf{z}_{n}^{i}$$ एक आई.आई.डी. शून्य माध्य गाऊसी यादृच्छिक चर विचरण के साथ $$E\left( (\Delta \mathbf{z}_{n}^{i})^{2}\right) = \frac{1}{3}h_{n}^{3}$$ और सहप्रसरण $$E(\Delta \mathbf{w}_{n}^{i}\Delta \mathbf{z}_{n}^{i})=\frac{1}{2}h_{n}^{2}$$ और पी+ क्यू> 1. एसडीई की बड़ी प्रणालियों के लिए, उपरोक्त योजना में $$(\mathbf{P}_{p,q}(2^{-k_{n}}\mathbf{M}_{n}h_{n}))^{2^{k_{n}}}\mathbf{r}$$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $$\mathbf{\mathbf{k}} _{m_{n},k_{n}}^{p,q}(h_{n},\mathbf{M}_{n},\mathbf{r})$$.

ऑर्डर 2 एसएलएल-टेलर स्कीम्स
<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{y}_{t_{n+1}} =\mathbf{y}_{n}+\mathbf{L}(\mathbf{P}_{p,q}(2^{-k_{n}} \mathbf{M}_{n}h_{n}))^{2^{k_{n}}}\mathbf{r}+\sum\limits_{j=1}^{m}\mathbf{g} _{j}\left( t_{n}\right) \Delta \mathbf{w}_{n}^{j}+\sum\limits_{j=1}^{m} \mathbf{f}_{\mathbf{x}}(t_{n},\mathbf{y}_{n})\mathbf{g}_{j}\left( t_{n}\right) \widetilde{J}_{\left( j,0\right) } +\sum\limits_{j=1}^{m}\frac{d\mathbf{g}_{_{j}}}{dt}\left( t_{n}\right) \widetilde{J}_{\left( 0,j\right) }$$

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\qquad \qquad +\sum\limits_{j_{1},j_{2}=1}^{m}\left( \mathbf{I}\otimes \mathbf{g}_{j_{2}}^{\intercal }\left( t_{n}\right) \right) \mathbf{f}_{\mathbf{xx}}(t_{n},\mathbf{y}_{n})\mathbf{g} _{j_{1}}\left( t_{n}\right) \widetilde{J}_{\left( j_{1},j_{2},0\right), }\qquad \qquad (7.4)$$

कहाँ $$\mathbf{M}_{n}$$, $$\mathbf{L}$$, $$\mathbf{r}$$ और $$\Delta \mathbf{w}_{n}^{i}$$ क्रम-1 एसएलएल योजनाओं के रूप में परिभाषित किया गया है, और $$\widetilde{J}_{\alpha } $$ मल्टीपल स्ट्रैटोनोविच अभिन्न का ऑर्डर 2 सन्निकटन है $$J_{\alpha }$$.

2 एसएलएल-आरके योजनाओं का आदेश दें
एकल वीनर शोर वाले SDEs के लिए (m=1')'

$$\mathbf{y}_{t_{n+1}}=\mathbf{y}_{n}+\widetilde{\mathbf{\phi }}(t_{n},\mathbf{ y}_{n};h_{n})+\frac{h_{n}}{2}\left( \mathbf{k}_{1}+\mathbf{k}_{2}\right) + \mathbf{g}\left( t_{n}\right) \Delta w_{n}+\frac{\left( \mathbf{g}\left( t_{n+1}\right) -\mathbf{g}\left( t_{n}\right) \right) }{h_{n}}J_{\left( 0,1\right) } \quad (7.5) $$

$$\quad \quad \quad $$ कहाँ


 * $$\mathbf{k}_{1} =\mathbf{f}(t_{n}+\frac{h_{n}}{2},\mathbf{y}_{n}+\widetilde{

\mathbf{\phi }}(t_{n},\mathbf{y}_{n};\frac{h_{n}}{2})+\gamma _{+})-\mathbf{f} _{\mathbf{x}}(t_{n},\mathbf{y}_{n})\widetilde{\mathbf{\phi }}(t_{n},\mathbf{y }_{n};\frac{h_{n}}{2})-\mathbf{f}\left( t_{n},\mathbf{y}_{n}\right) -\mathbf{ f}_{t}\left( t_{n},\mathbf{y}_{n}\right) \frac{h_{n}}{2}, $$
 * $$\mathbf{k}_{2} =\mathbf{f}(t_{n}+\frac{h_{n}}{2},\mathbf{y}_{n}+\widetilde{

\mathbf{\phi }}(t_{n},\mathbf{y}_{n};\frac{h_{n}}{2})+\gamma _{-}) -\mathbf{f} _{\mathbf{x}}(t_{n},\mathbf{y}_{n})\widetilde{\mathbf{\phi }}(t_{n},\mathbf{y }_{n};\frac{h_{n}}{2}) -\mathbf{f}\left( t_{n},\mathbf{y}_{n}\right) -\mathbf{f}_{t}\left( t_{n},\mathbf{y}_{n}\right) \frac{h_{n}}{2},$$ साथ $$\gamma _{\pm }=\frac{1}{h_{n}}\mathbf{g}\left( t_{n}\right) \Bigl( \widetilde{J}_{\left( 1,0\right) }\pm \sqrt{2\widetilde{J}_{\left(1,1,0\right) }h_{n}- \widetilde{J}_{\left( 1,0\right) }^{2}} \Bigr) $$.

यहाँ, $$\widetilde{\mathbf{\phi }}(t_{n},\mathbf{y}_{n};h_{n})=\mathbf{L}(\mathbf{P}_{p,q}(2^{-k_{n}}\mathbf{M}_{n}h_{n}))^{2^{k_{n}}}\mathbf{r} $$ निम्न आयामी एसडीई के लिए, और $$\widetilde{\mathbf{\phi }}(t_{n},\mathbf{y}_{n};h_{n})=\mathbf{L\mathbf{k}}_{m_{n},k_{n}}^{p,q}(h_{n},\mathbf{M}_{n}, \mathbf{r}) $$ एसडीई की बड़ी प्रणालियों के लिए, जहां $$\mathbf{M}_{n} $$, $$\mathbf{L} $$, $$\mathbf{r} $$, $$\Delta \mathbf{w}_{n}^{i} $$ और $$\widetilde{J}_{\alpha } $$ क्रम-2 एसएलएल-टेलर योजनाओं, p+q>1 और के रूप में परिभाषित किया गया है $$m_{n}>2 $$.

स्थिरता और गतिशीलता
निर्माण के द्वारा, मजबूत एलएल और एचओएलएल विवेक रैखिक एसडीई की स्थिरता और यादृच्छिक गतिशील प्रणाली को विरासत में मिलाते हैं, लेकिन यह सामान्य रूप से मजबूत एलएल योजनाओं का मामला नहीं है। एलएल योजनाएं (7.2)-(7.5) के साथ $$p\leq q\leq p+2 $$ कठोर और अत्यधिक दोलनशील रैखिक समीकरणों सहित A-स्थिर हैं। इसके अलावा, पुलबैक आकर्षित करने वाला  के साथ लीनियर एसडीई के लिए, इन योजनाओं में एक रैंडम अट्रैक्टर भी होता है, जो स्टेपसाइज कम होने पर प्रायिकता में सटीक रूप से अभिसरण करता है और किसी भी स्टेपसाइज के लिए इन समीकरणों की ergodicity को संरक्षित करता है।  ये योजनाएँ सरल और युग्मित हार्मोनिक ऑसिलेटर्स के आवश्यक गतिशील गुणों को भी पुन: पेश करती हैं जैसे कि पथों के साथ ऊर्जा की रैखिक वृद्धि, 0 के आस-पास ऑसिलेटरी व्यवहार, हैमिल्टनियन ऑसिलेटर्स की सहानुभूतिपूर्ण संरचना और पथों का माध्य। छोटे शोर वाले गैर-रैखिक एसडीई के लिए (यानी, (7.1) $$\mathbf{g}_{i}(t)\approx 0 $$), इन एसएलएल योजनाओं के पथ मूल रूप से ओडीई के लिए एलएल योजना (4.6) के गैर-यादृच्छिक पथ हैं और छोटे शोर से संबंधित एक छोटी गड़बड़ी है। इस स्थिति में, उस नियतात्मक योजना के गतिशील गुण, जैसे कि रेखीयकरण संरक्षण और अतिशयोक्तिपूर्ण संतुलन बिंदुओं और आवधिक कक्षाओं के आसपास सटीक समाधान गतिकी का संरक्षण, SLL योजना के पथों के लिए प्रासंगिक हो जाते हैं। उदाहरण के लिए, चित्र 4 चरण तल में डोमेन के विकास और स्टोचैस्टिक ऑसिलेटर की ऊर्जा को दर्शाता है

$$\begin{array}{ll} dx(t)=y(t)dt, & x_{1}(0)=0.01 \\ dy(t)=-(\omega ^{2}x(t)+\epsilon x^{4}(t))dt+\sigma dw_{t}, & x_{1}(0)=0.1, \end{array} \qquad \qquad (7.6)$$ और दो संख्यात्मक योजनाओं द्वारा उनका अनुमान।

एसडीई के लिए कमजोर एलएल विधियाँ
डी-डायमेंशनल स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन पर विचार करें

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$d\mathbf{x}(t)=\mathbf{f}(t,\mathbf{x}(t))dt+\sum\limits_{i=1}^{m}\mathbf{g} _{i}(t)d\mathbf{w}^{i}(t),\qquad t\in \left[ t_{0},T\right], \qquad \qquad (8.1)$$

प्रारंभिक स्थिति के साथ $$\mathbf{x}(t_{0})=\mathbf{x}_{0}$$, जहां बहाव गुणांक $$\mathbf{f}$$ और प्रसार गुणांक $$\mathbf{g}_{i}$$ अलग-अलग कार्य हैं, और $$\mathbf{w=(\mathbf{w}}^{1},\ldots ,\mathbf{w}^{m}\mathbf{)}$$ एक एम-आयामी मानक वीनर प्रक्रिया है।

स्थानीय रैखिक विवेक
एक समय विवेक के लिए $$\left( t\right) _{h}$$, आदेश-$$\mathbb{\beta }$$ $$(=1,2)$$ एसडीई (8.1) के समाधान के कमजोर स्थानीय रैखिक विवेक को पुनरावर्ती संबंध द्वारा परिभाषित किया गया है

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_{n}+\mathbf{\phi }_{\mathbb{\beta }}(t_{n}, \mathbf{z}_{n};h_{n})+\mathbf{\eta }(t_{n},\mathbf{z}_{n};h_{n}),\quad with \quad \mathbf{z}_{0}=\mathbf{x}_{0}, $$

कहाँ

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{\phi }_{\mathbb{\beta }}(t_{n},\mathbf{z}_{n};\delta )=\int_{0}^{\delta }e^{\mathbf{f}_{\mathbf{x}}(t_{n},\mathbf{z}_{n})(\delta -u)}(\mathbf{f(}t_{n},\mathbf{z}_{n})+\mathbf{b}^{\mathbb{\beta }}(t_{n}, \mathbf{z}_{n})u)du $$

साथ

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{b}^{\mathbb{\beta }}(t_{n},\mathbf{z}_{n})= \begin{cases} \mathbf{f}_{t}(t_{n},\mathbf{z}_{n}) & \text{for }\mathbb{\beta }=1 \\ \mathbf{f}_{t}(t_{n},\mathbf{z}_{n})+\frac{1}{2}\sum \limits_{j=1}^{m}\left( \mathbf{I}\otimes \mathbf{g} _{j}^{\intercal }\left( t_{n}\right) \right) \mathbf{f}_{\mathbf{xx}}(t_{n}, \mathbf{z}_{n})\mathbf{g}_{j}\left( t_{n}\right) & \text{for }\mathbb{\beta } =2, \end{cases} $$

और $$\mathbf{\eta }(t_{n},\mathbf{z}_{n};\delta )$$ विचरण मैट्रिक्स के साथ एक शून्य माध्य स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{\Sigma }(t_{n},\mathbf{z}_{n};\delta )=\int\limits_{0}^{\delta }e^{ \mathbf{f}_{\mathbf{x}}(t_{n},\mathbf{z}_{n})(\delta -s)}\mathbf{G}(t_{n}+s) \mathbf{G}^{\intercal }(t_{n}+s)e^{\mathbf{f}_{\mathbf{x}}^{\intercal }(t_{n},\mathbf{z}_{n})(\delta -s)}ds. $$

यहाँ, $$\mathbf{f}_{\mathbf{x}}$$, $$\mathbf{f}_{t}$$ के आंशिक डेरिवेटिव को निरूपित करें $$\mathbf{f}$$ चर के संबंध में $$\mathbf{x}$$ और टी, क्रमशः, $$\mathbf{f}_{\mathbf{xx}}$$ का हेसियन मैट्रिक्स $$\mathbf{f}$$ इसके संबंध में $$\mathbf{x}$$, और $$\mathbf{G}(t)=[\mathbf{g}_{1}(t),\ldots, \mathbf{g}_{m}(t)]$$. कमजोर स्थानीय रैखिक विवेक $$\mathbf{z}_{n+1}$$ क्रम के साथ यादृच्छिक चर का अभिसरण $$\mathbb{\beta }$$ (=1,2) (8.1) के समाधान के लिए।

स्थानीय रैखिककरण योजनाएं
कंप्यूटिंग के तरीके पर निर्भर करता है $$\mathbf{\phi }_{\mathbb{\beta }}$$ और $$\mathbf{\Sigma }$$ विभिन्न संख्यात्मक योजनाएँ प्राप्त की जा सकती हैं। प्रत्येक संख्यात्मक कार्यान्वयन $$\mathbf{y}_{n}$$ कमजोर स्थानीय रैखिक विवेक का $$\mathbf{z}_{n}$$ सामान्य रूप से कमजोर स्थानीय रेखाकरण (डब्ल्यूएलएल) योजना कहा जाता है।

आदेश 1 WLL योजना
<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{y}_{n+1}=\mathbf{y}_{n}+\mathbf{B}_{14}+(\mathbf{B}_{12}\mathbf{B} _{11}^{\intercal })^{1/2}\mathbf{\xi }_{n} $$

जहां, स्वायत्त प्रसार गुणांक वाले एसडीई के लिए, $$\mathbf{B}_{11}$$, $$\mathbf{B}_{12}$$ और $$\mathbf{B}_{14}$$ ब्लॉक मैट्रिक्स द्वारा परिभाषित सबमैट्रिसेस हैं $$\mathbf{B}=\mathbf{P}_{p,q}(2^{-k_{n}}\mathcal{M}_{n}h_{n}))^{2^{k_{n}}}$$, साथ

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathcal{M}_{n}=\left[ \begin{array}{cccc} \mathbf{f}_{\mathbf{x}}(t_{n},\mathbf{y}_{n}) & \mathbf{GG}^{\intercal } & \mathbf{f}_{t}(t_{n},\mathbf{y}_{n}) & \mathbf{f}(t_{n},\mathbf{y}_{n}) \\ \mathbf{0} & -\mathbf{f}_{\mathbf{x}}^{\intercal }(t_{n},\mathbf{y}_{n}) & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & 0 & 1 \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & 0 & 0 \end{array} \right] \in \mathbb{R}^{(2d+2)\times (2d+2)}, $$

और $$\{\mathbf{\xi }_{n}\}$$ डी-आयामी स्वतंत्र बर्नौली वितरण का अनुक्रम है | दो-बिंदु यादृच्छिक वैक्टर संतोषजनक वितरित करते हैं $$P(\xi _{n}^{k}=\pm 1)=\frac{1}{2} $$.

आदेश 2 WLL योजना
<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{y}_{n+1}=\mathbf{y}_{n}+\mathbf{B}_{16}+(\mathbf{B}_{14}\mathbf{B} _{11}^{\intercal })^{1/2}\mathbf{\xi }_{n}, $$

कहाँ $$\mathbf{B}_{11}$$, $$\mathbf{B}_{14}$$ और $$\mathbf{B}_{16}$$ विभाजित मैट्रिक्स द्वारा परिभाषित सबमैट्रिसेस हैं $$\mathbf{B}=\mathbf{P} _{p,q}(2^{-k_{n}}\mathcal{M}_{n}h_{n}))^{2^{k_{n}}}$$ साथ

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathcal{M}_{n}=\left[ \begin{array}{cccccc} \mathbf{J} & \mathbf{H}_{2} & \mathbf{H}_{1} & \mathbf{H}_{0} & \mathbf{a} _{2} & \mathbf{a}_{1} \\ \mathbf{0} & -\mathbf{J}^{\intercal } & \mathbf{I} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & -\mathbf{J}^{\intercal } & \mathbf{I} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & -\mathbf{J}^{\intercal } & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & 0 & 1 \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & 0 & 0 \end{array} \right] \in \mathbb{R}^{(4d+2)\times (4d+2)}, $$

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{J}=\mathbf{f}_{\mathbf{x}}(t_{n},\mathbf{y}_{n})\qquad \mathbf{a}_{1}=\mathbf{f}(t_{n},\mathbf{y}_{n})\qquad \mathbf{a} _{2}=\mathbf{f}_{t}(t_{n},\mathbf{y}_{n})+\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{m}( \mathbf{I}\otimes (\mathbf{g}^{i}(t_{n}))^{\intercal })\mathbf{f}_{\mathbf{xx }}(t_{n},\mathbf{y}_{n})\mathbf{g}^{i}(t_{n}) $$

और

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{H}_{0}=\mathbf{G}(t_{n})\mathbf{G}^{\intercal }(t_{n})\qquad \mathbf{H}_{1}=\mathbf{G}(t_{n})\frac{d\mathbf{G}^{\intercal }(t_{n})}{dt} +\frac{d\mathbf{G}(t_{n})}{dt}\mathbf{G}^{\intercal }(t_{n})\qquad \mathbf{H}_{2}=\frac{d\mathbf{G}(t_{n})}{dt}\frac{d\mathbf{G}^{\intercal }(t_{n})}{dt}\text{.} $$

स्थिरता और गतिशीलता
निर्माण के द्वारा, कमजोर एलएल विवेकाधिकार रैखिक एसडीई की स्थिरता और यादृच्छिक गतिशील प्रणाली को विरासत में मिला है, लेकिन यह सामान्य रूप से कमजोर एलएल योजनाओं का मामला नहीं है। डब्ल्यूएलएल योजनाएं, के साथ $$p\leq q\leq p+2,$$ रैखिक SDEs के क्षण (गणित) को संरक्षित करें, और माध्य-स्क्वायर स्थिरता या अस्थिरता को इनहेरिट करें जो इस तरह के समाधान में हो सकती है। इसमें शामिल हैं, उदाहरण के लिए, यादृच्छिक बल द्वारा संचालित युग्मित हार्मोनिक ऑसिलेटर्स के समीकरण, और कठोर रैखिक एसडीई की बड़ी प्रणालियाँ जो रैखिक स्टोकेस्टिक आंशिक अंतर समीकरणों के लिए लाइनों की विधि से उत्पन्न होती हैं। इसके अलावा, ये डब्लूएलएल योजनाएं रैखिक समीकरणों की क्षुद्रता को संरक्षित करती हैं, और गैर-रैखिक एसडीई के कुछ वर्गों के लिए ज्यामितीय रूप से एर्गोडिक हैं। छोटे शोर वाले गैर-रैखिक एसडीई के लिए (यानी, (8.1) with $$\mathbf{g}_{i}(t)\approx 0$$), इन डब्लूएलएल योजनाओं के समाधान मूल रूप से ओडीई के लिए एलएल योजना (4.6) के गैर-यादृच्छिक पथ हैं और छोटे शोर से संबंधित एक छोटी गड़बड़ी है। इस स्थिति में, उस नियतात्मक योजना के गतिशील गुण, जैसे कि रेखीयकरण संरक्षण और अतिशयोक्तिपूर्ण संतुलन बिंदुओं और आवधिक कक्षाओं के आसपास सटीक समाधान गतिकी का संरक्षण, WLL योजना के माध्यम के लिए प्रासंगिक हो जाते हैं। उदाहरण के लिए, चित्र 5 एसडीई का अनुमानित माध्य दिखाता है

$$dx=-t^{2}x\text{ }dt+\frac{3}{2(t+1)}e^{-t^{3}/3}\text{ }dw_{t},\qquad \qquad x(0)=1, \qquad \quad(8.2)$$ विभिन्न योजनाओं द्वारा गणना।

ऐतिहासिक नोट
नीचे स्थानीय रेखाकरण (एलएल) पद्धति के मुख्य विकास की एक समय रेखा है।


 * पोप डी.ए. (1963) टेलर विस्तार के आधार पर ODEs और LL योजना के लिए LL विवेक का परिचय देता है।
 * ओजाकी टी. (1985) ने एसडीई के एकीकरण और आकलन के लिए एलएल पद्धति का परिचय दिया। स्थानीय रैखिककरण शब्द का प्रयोग पहली बार किया गया है।
 * बिस्के आर। एट अल। (1996) एसडीई के लिए मजबूत एलएल पद्धति का पुनर्निमाण।
 * शोजी आई. और ओजाकी टी. (1997) ने एसडीई के लिए कमजोर एलएल पद्धति का सुधार किया।
 * होचब्रुक एम. एट अल। (1998) क्रायलोव सबस्पेस सन्निकटन के आधार पर ओडीई के लिए एलएल स्कीम पेश करते हैं।
 * जिमेनेज जे.सी. (2002) ओडीई और एसडीई के लिए तर्कसंगत पेड सन्निकटन के आधार पर एलएल योजना पेश करता है।
 * कार्बनेल एफ.एम. और अन्य। (2005) आरडीई के लिए एलएल पद्धति का परिचय देते हैं।
 * जिमेनेज जे.सी. एट अल। (2006) डीडीई के लिए एलएल पद्धति का परिचय देते हैं। * डे ला क्रूज़ एच। एट अल। (2006,2007) और टोकमैन एम. (2006) ने ODE के लिए HOLL इंटीग्रेटर्स के दो वर्गों का परिचय दिया: इंटीग्रेटर-आधारित और चतुर्भुज आधारित। * डे ला क्रूज़ एच। एट अल। (2010) एसडीई के लिए मजबूत HOLL पद्धति का परिचय देता है।