बाह्य बिलियर्ड्स

बाहरी बिलियर्ड्स एक गतिशील प्रणाली है जो समतल में उत्तल सेट आकार पर आधारित है। शास्त्रीय रूप से, इस प्रणाली को यूक्लिडियन विमान के लिए परिभाषित किया गया है लेकिन कोई सिस्टम को अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति में भी मान सकता है या अन्य स्थानों पर जो विमान को उपयुक्त रूप से सामान्यीकृत करते हैं। बाहरी बिलियर्ड्स सामान्य गतिशील बिलियर्ड्स से इस मायने में भिन्न होता है कि यह आकार के अंदर के बजाय बाहर की चालों के एक अलग अनुक्रम से संबंधित होता है।

बाहरी बिलियर्ड्स मानचित्र
मान लीजिए कि P समतल में एक उत्तल सेट आकृति है। P के बाहर एक बिंदु x0 दिया गया है, आमतौर पर एक अद्वितीय है बिंदु x1 (P के बाहर भी) ताकि x0 को x1 से जोड़ने वाला रेखाखंड इसके मध्य बिंदु पर P की स्पर्शरेखा हो और x0 से x1 तक चलने वाले व्यक्ति को दाईं ओर P दिखाई देगा। (चित्र देखें।) नक्शा F: x0 -> X1 को बाहरी बिलियर्ड्स मानचित्र कहा जाता है।

व्युत्क्रम फ़ंक्शन (या पीछे की ओर) बाहरी बिलियर्ड्स मानचित्र को मानचित्र x1 -> x0 के रूप में भी परिभाषित किया गया है। ऊपर दी गई परिभाषा में दाएँ शब्द को बाएँ शब्द से प्रतिस्थापित करने से ही उलटा नक्शा प्राप्त हो जाता है। यह आंकड़ा यूक्लिडियन विमान में स्थिति को दर्शाता है, लेकिन इसमें परिभाषा को दर्शाता है अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति मूलतः समान है।

कक्षाएँ
एक बाहरी बिलियर्ड्स कक्षा (गतिशीलता) सभी पुनरावृत्त फ़ंक्शन का सेट है बिंदु का, अर्थात् ... x0 <--> x1 <--> x2 <--> x3 ... अर्थात, x0 से प्रारंभ करें और बाहरी बिलियर्ड्स मानचित्र और पीछे की ओर बाहरी बिलियर्ड्स मानचित्र दोनों को पुनरावृत्त रूप से लागू करें। जब P एक पूर्णतः उत्तल आकृति हो, जैसे दीर्घवृत्त, P के बाहरी हिस्से में प्रत्येक बिंदु की एक अच्छी तरह से परिभाषित कक्षा है। जब पी एक बहुभुज है, जिसके कारण कुछ बिंदुओं पर अच्छी तरह से परिभाषित कक्षाएँ नहीं हो सकती हैं प्रासंगिक स्पर्शरेखा रेखा के मध्यबिंदु को चुनने की संभावित अस्पष्टता। फिर भी, में बहुभुज मामले में, लगभग हर बिंदु की एक अच्छी तरह से परिभाषित कक्षा होती है।
 * किसी कक्षा को आवधिक कहा जाता है यदि वह अंततः दोहराती है।
 * एक कक्षा को एपेरियोडिक (या गैर-आवधिक) कहा जाता है यदि यह आवधिक नहीं है।
 * एक कक्षा को परिबद्ध (या स्थिर) कहा जाता है यदि समतल में किसी परिबद्ध क्षेत्र में पूरी कक्षा समाहित हो।
 * किसी कक्षा को असंबद्ध (या अस्थिर) कहा जाता है यदि वह परिबद्ध न हो।

उच्च-आयामी स्थान
उच्च-आयामी स्थान में बाहरी बिलियर्ड्स प्रणाली को परिभाषित करना इस लेख के दायरे से बाहर है। सामान्य गतिशील बिलियर्ड्स के मामले के विपरीत, परिभाषा सीधी नहीं है। मानचित्र के लिए एक प्राकृतिक सेटिंग एक जटिल वेक्टर स्थान है। इस मामले में, प्रत्येक बिंदु पर उत्तल सेट बॉडी पर स्पर्श रेखा का एक प्राकृतिक विकल्प होता है। इन स्पर्शरेखाओं को सामान्य से शुरू करके और 90 डिग्री घुमाने के लिए जटिल अनेक गुना  का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है। इन विशिष्ट स्पर्शरेखा रेखाओं का उपयोग किया जा सकता है बाहरी बिलियर्ड्स मानचित्र को मोटे तौर पर ऊपर बताए अनुसार परिभाषित करने के लिए।

इतिहास
अधिकांश लोग बाहरी बिलियर्ड्स की शुरुआत का श्रेय 1950 के दशक के अंत में बर्नहार्ड न्यूमैन को देते हैं, हालाँकि ऐसा लगता है कि कुछ लोग एम. डे के कारण 1945 में हुए पुराने निर्माण का हवाला देते हैं। जर्गेन मोजर ने 1970 के दशक में आकाशीय यांत्रिकी के लिए एक खिलौना मॉडल के रूप में इस प्रणाली को लोकप्रिय बनाया। इस प्रणाली का शास्त्रीय अध्ययन यूक्लिडियन विमान में और हाल ही में किया गया है अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति. कोई उच्च-आयामी स्थानों पर भी विचार कर सकता है, हालांकि अभी तक कोई गंभीर अध्ययन नहीं किया गया है। बर्नहार्ड न्यूमैन ने अनौपचारिक रूप से यह प्रश्न उठाया कि कोई कर सकता है या नहीं बाहरी बिलियर्ड्स प्रणाली में असीमित कक्षाएँ हैं, और मोजर ने इसे 1973 में लिखित रूप में दिया था। कभी-कभी इस मूल प्रश्न को मोजर-न्यूमैन प्रश्न कहा जाता है। यह प्रश्न, जो मूल रूप से यूक्लिडियन विमान में आकृतियों के लिए उठाया गया था और हाल ही में हल किया गया है, इस क्षेत्र में एक मार्गदर्शक समस्या रही है।

यूक्लिडियन तल में बंधी हुई कक्षाएँ
70 के दशक में, जुर्गन मोजर ने कोलमोगोरोव-अर्नोल्ड-मोजर प्रमेय|के.ए.एम. पर आधारित एक प्रमाण तैयार किया। सिद्धांत, वह बाहरी ए के सापेक्ष बिलियर्ड्स सकारात्मक वक्रता (गणित) के 6-गुना-विभेदित कार्य आकार में सभी कक्षाएँ सीमित हैं। 1982 में राफेल डौडी ने इस नतीजे का पूरा सबूत दिया. बहुभुज मामले में एक बड़ी प्रगति कई वर्षों की अवधि में हुई जब लेखकों की तीन टीमें, विवाल्डी-शैडेंको, व्हीलराइट, और गुटकिन-मुझे नहीं पता, प्रत्येक विभिन्न तरीकों का उपयोग करते हुए, दिखाया गया कि एक अर्धवार्षिक बहुभुज के सापेक्ष बाहरी बिलियर्ड्स की सभी कक्षाएँ परिबद्ध हैं। द्विवार्षिक की धारणा तकनीकी है (संदर्भ देखें) लेकिन इसमें नियमित बहुभुज और उत्तल तर्कसंगत बहुभुज का वर्ग शामिल है, अर्थात् वे उत्तल बहुभुज जिनके शीर्षों पर परिमेय संख्या निर्देशांक होते हैं। परिमेय बहुभुजों के मामले में, सभी कक्षाएँ हैं आवधिक. 1995 में, सर्गेई ताबाचनिकोव ने दिखाया कि नियमित पेंटागन के लिए बाहरी बिलियर्ड्स में कुछ एपेरियोडिक कक्षाएँ होती हैं, इस प्रकार तर्कसंगत और नियमित मामलों में गतिशीलता के बीच अंतर स्पष्ट हो जाता है। 1996 में, फिलिप बॉयलैंड ने दिखाया कि कुछ आकृतियों के सापेक्ष बाहरी बिलियर्ड्स में कक्षाएँ हो सकती हैं जो जमा होती हैं आकार। 2005 में, डैनियल जेनिन ने दिखाया कि जब आकृति एक समलम्बाकार होती है तो सभी कक्षाएँ सीमित हो जाती हैं, इस प्रकार यह दर्शाता है कि सिस्टम की सभी कक्षाओं को सीमित करने के लिए अर्ध-तर्कसंगतता एक आवश्यक शर्त नहीं है। (सभी समलंब चतुर्भुज नहीं हैं।)

यूक्लिडियन तल में असीमित कक्षाएँ
2007 में, रिचर्ड श्वार्ट्ज (गणितज्ञ) ने दिखाया कि परिभाषित होने पर बाहरी बिलियर्ड्स की कुछ असीमित कक्षाएँ होती हैं रोजर पेनरोज़ पतंग के सापेक्ष, इस प्रकार मूल मोजर-न्यूमैन प्रश्न का उत्तर सकारात्मक है। पेनरोज़ पतंग पतंग-और-डार्ट्स पेनरोज़ टाइलिंग्स से उत्तल बहुभुज चतुर्भुज है। इसके बाद, श्वार्ट्ज ने दिखाया कि सापेक्ष परिभाषित होने पर बाहरी बिलियर्ड्स की असीमित कक्षाएँ होती हैं किसी भी तर्कहीन पतंग के लिए. एक अपरिमेय पतंग निम्नलिखित गुण वाला एक चतुर्भुज है: चतुर्भुज का एक विकर्ण क्षेत्र को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है और दूसरा विकर्ण क्षेत्र को दो त्रिभुजों में विभाजित करता है जिनके क्षेत्रफल परिमेय संख्या गुणज नहीं हैं एक दूसरे की। 2008 में, दिमित्री डोलगोप्याट और बासम फयाद ने दिखाया कि सेमीडिस्क के सापेक्ष परिभाषित बाहरी बिलियर्ड्स हैं असीमित कक्षाएँ. सेमीडिस्क वह क्षेत्र है जो डिस्क (गणित) को आधा काटने पर प्राप्त होता है। डोलगोपायत-फ़याद का प्रमाण मजबूत है, और डिस्क को लगभग आधा काटकर प्राप्त क्षेत्रों के लिए भी काम करता है, जब लगभग शब्द की उपयुक्त व्याख्या की जाती है।

अतिपरवलयिक तल में असीमित कक्षाएँ
2003 में, फ़िलिज़ डोरू और सर्गेई ताबाचनिकोव ने दिखाया कि हाइपरबोलिक ज्यामिति में उत्तल बहुभुजों के एक निश्चित वर्ग के लिए सभी कक्षाएँ असीमित हैं। लेखक ऐसे बहुभुजों को बड़ा कहते हैं। (परिभाषा के लिए संदर्भ देखें।) फ़िलिज़ डोरू और सैमुअल ओटन ने 2011 में उन शर्तों को निर्दिष्ट करके इस काम को बढ़ाया जिसके तहत हाइपरबोलिक विमान में एक नियमित बहुभुज तालिका में सभी कक्षाएँ असीमित होती हैं, यानी बड़ी होती हैं।

आवधिक कक्षाओं का अस्तित्व
साधारण गतिशील बिलियर्ड्स में, आवधिक का अस्तित्व कक्षाएँ एक प्रमुख अनसुलझी समस्या है। उदाहरण के लिए, यह अज्ञात है कि प्रत्येक त्रिकोणीय आकार की मेज में एक आवधिक बिलियर्ड पथ होता है। अधिक प्रगति हुई है बाहरी बिलियर्ड्स के लिए बनाया गया है, हालाँकि स्थिति अभी भी अच्छी तरह से समझ में नहीं आई है। जैसा कि ऊपर बताया गया है, सिस्टम परिभाषित होने पर सभी कक्षाएँ आवधिक होती हैं यूक्लिडियन तल में एक उत्तल तर्कसंगत बहुभुज के सापेक्ष। इसके अलावा, यह एक है क्रिस कुल्टर का हालिया प्रमेय (सर्गेई ताबाचनिकोव द्वारा लिखित) जो बाहरी है किसी भी उत्तल बहुभुज के सापेक्ष बिलियर्ड्स की आवधिक कक्षाएँ होती हैं - वास्तव में ए किसी दिए गए सीमित क्षेत्र के बाहर आवधिक कक्षा।

खुले प्रश्न
आउटर बिलियर्ड्स एक ऐसा विषय है जो अभी भी अपने शुरुआती चरण में है। अधिकांश समस्याएँ अभी भी अनसुलझी हैं। यहां क्षेत्र की कुछ खुली समस्याएं हैं।
 * दिखाएँ कि लगभग हर उत्तल बहुभुज के सापेक्ष बाहरी बिलियर्ड्स की कक्षाएँ असीमित हैं।
 * दिखाएँ कि एक नियमित बहुभुज के सापेक्ष बाहरी बिलियर्ड्स की लगभग हर कक्षा आवर्त होती है। समबाहु त्रिभुज और वर्ग के मामले तुच्छ हैं, और ताबाचनिकोव ने नियमित पंचकोण के लिए इसका उत्तर दिया। ये एकमात्र ज्ञात मामले हैं।
 * अधिक व्यापक रूप से, विशिष्ट उत्तल बहुभुज के सापेक्ष आवधिक कक्षाओं के सेट की संरचना को चिह्नित करें।
 * अतिशयोक्तिपूर्ण तल में सरल आकृतियों, जैसे छोटे समबाहु त्रिभुज, के सापेक्ष आवधिक कक्षाओं की संरचना को समझें।

यह भी देखें

 * रोशनी की समस्या