बॉन्ड अवधि

वित्त में, वित्तीय परिसंपत्ति की अवधि जिसमें निश्चित कैश फ्लो सम्मिलित होता है, जैसे कि बॉन्ड (वित्त), उन निश्चित कैश फ्लो प्राप्त होने तक उस समय का भारित औसत होता है।

जब किसी परिसंपत्ति की कीमत को उपज (वित्त) के कार्य के रूप में माना जाता है, तो अवधि उपज के प्रति मूल्य संवेदनशीलता, उपज के संबंध में मूल्य में परिवर्तन की दर, या उपज में समानांतर बदलाव के लिए कीमत में प्रतिशत परिवर्तन को भी मापती है।  अवधि शब्द का दोहरा उपयोग, चुकौती तक भारित औसत समय और कीमत में प्रतिशत परिवर्तन दोनों के रूप में, अधिकांशतः भ्रम का कारण बनता है। इस प्रकार कड़ाई से बोलते हुए, मैकाले अवधि कैश फ्लो प्राप्त होने तक भारित औसत समय को दिया गया नाम है और इसे वर्षों में मापा जाता है। संशोधित अवधि मूल्य संवेदनशीलता को दिया गया नाम है। यह किसी बांड की उपज में परिवर्तन के फलन के रूप में उसकी कीमत में परिवर्तन की दर का (-1) गुना है।

दोनों मापों को अवधि कहा जाता है और इनका संख्यात्मक मान समान (या समान के समीप) होता है, अपितु उनके बीच वैचारिक अंतर को ध्यान में रखना महत्वपूर्ण है। मैकाले अवधि वर्षों में इकाइयों के साथ समय माप है और वास्तव में केवल निश्चित कैश फ्लो वाले उपकरण के लिए ही समझ में आता है। मानक बांड के लिए, मैकाले अवधि 0 और बांड की परिपक्वता के बीच होगी। यह परिपक्वता के समान है यदि और केवल तभी जब बांड शून्य-कूपन बांड होता हैं।

दूसरी ओर, संशोधित अवधि, कीमत का गणितीय व्युत्पन्न (परिवर्तन की दर) है और उपज के संबंध में कीमत में परिवर्तन की प्रतिशत दर को मापती है। (पैदावार के संबंध में मूल्य संवेदनशीलता को पूर्ण (डॉलर या यूरो, आदि) शब्दों में भी मापा जा सकता है, और पूर्ण संवेदनशीलता को अधिकांशतः #डॉलर अवधि, DV01 या डॉलर (यूरो) अवधि, DV01, BPV, या डेल्टा के रूप में जाना जाता है (δ या Δ) खतरे)। संशोधित अवधि की अवधारणा को गैर-निश्चित कैश फ्लो वाले ब्याज-दर-संवेदनशील उपकरणों पर लागू किया जा सकता है और इस प्रकार मैकाले अवधि की तुलना में उपकरणों की विस्तृत श्रृंखला पर लागू किया जा सकता है। आधुनिक वित्त में मैकॉले अवधि की तुलना में संशोधित अवधि का अधिक बार उपयोग किया जाता है।

प्रतिदिन इसके उपयोग के लिए, मैकाले और संशोधित अवधि के लिए मूल्यों की समानता (या निकट-समानता) अंतर्ज्ञान के लिए उपयोगी सहायता हो सकती है। उदाहरण के लिए, मानक दस-वर्षीय कूपन बांड की मैकॉले अवधि कुछ हद तक अपितु नाटकीय रूप से 10 साल से कम नहीं होगी और इससे, हम यह अनुमान लगा सकते हैं कि संशोधित अवधि (मूल्य संवेदनशीलता) भी कुछ हद तक होगी अपितु नाटकीय रूप से 10% से कम नहीं होगी। इसी प्रकार, दो साल के कूपन बांड की मैकॉले अवधि 2 साल से कुछ कम होगी और संशोधित अवधि 2% से कुछ कम होगी।

मैकाले अवधि
मैकाले अवधि, जिसका नाम फ्रेडरिक मैकाले के नाम पर रखा गया है जिन्होंने इस अवधारणा को पेश किया था, कैश फ्लो की भारित औसत परिपक्वता है, जिसमें प्रत्येक भुगतान की प्राप्ति का समय उस भुगतान के वर्तमान मूल्य से भारित होता है। इसके लिए हर भार का योग समान होता है, जो कि बांड की कीमत को प्रदर्शित करता है। इस प्रकार निश्चित कैश फ्लो के कुछ सेट पर विचार करें। इन कैश फ्लोों का वर्तमान मूल्य है:


 * $$ V = \sum_{i=1}^{n}PV_i $$

मैकाले अवधि को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
 * (1) $$\text{Macaulay duration} = \frac{\sum_{i=1}^{n}{t_i PV_i}} {\sum_{i=1}^{n}{PV_i}} = \frac{\sum_{i=1}^{n}{t_i PV_i}} {V}  = \sum_{i=1}^{n}t_i \frac {V} $$

जहाँ:
 * $$i$$ कैश फ्लो को अनुक्रमित करता है,
 * $$PV_i$$ का वर्तमान मूल्य है, जहाँ $$i$$ किसी परिसंपत्ति से नकद भुगतान,
 * $$t_i$$ तक वर्षों में समय है, जहाँ $$i$$वां भुगतान प्राप्त होगा,
 * $$V$$ परिसंपत्ति से भविष्य के सभी नकद भुगतानों का वर्तमान मूल्य के समान है।

दूसरी अभिव्यक्ति में भिन्नात्मक पद कैश फ्लो का अनुपात $$PV_i$$ है, जो कुल PV के लिए शाब्दिक रूप से 1.0 में जुड़ते हैं, और भारित औसत के लिए भार के रूप में काम करते हैं। इस प्रकार समग्र अभिव्यक्ति कैश फ्लो भुगतान तक वजन के साथ समय का भारित औसत $$\frac{PV_i} {V} $$ है, इस प्रकार कैश फ्लो के कारण परिसंपत्ति के वर्तमान मूल्य $$i$$ का अनुपात रहता हैं।

उप धनात्मक निश्चित कैश फ्लो के सेट के लिए भारित औसत 0 (न्यूनतम समय), या अधिक सटीक रूप से, के बीच गिर जाएगा, इस प्रकार $$t_1$$ (पहले भुगतान का समय) और अंतिम कैश फ्लो का समय। मैकॉले अवधि अंतिम परिपक्वता के समान होगी यदि और केवल तभी जब परिपक्वता पर केवल ही भुगतान हो। इन प्रतीकों में यदि कैश फ्लो क्रम में है, इस प्रकार $$(t_1, ..., t_n)$$ स्थिति पर:
 * $$t_1 \leq \text{Macaulay duration} \leq t_n,$$

जब तक इसमें भी कैश फ्लो न हो, असमानताएं सख्त रहेंगी। मानक बांड (जिसके लिए कैश फ्लो निश्चित और धनात्मक है) के संदर्भ में, इसका अर्थ है कि मैकाले अवधि केवल शून्य-कूपन बांड के लिए बांड की परिपक्वता के समान होगी।

मैकॉले अवधि की चित्रात्मक व्याख्या चित्र 1 में दिखाई गई है।यह नीचे दिए गए उदाहरण में चर्चा किए गए बांड का प्रतिनिधित्व करता है, इस प्रकार - 20% के कूपन के साथ दो साल की परिपक्वता और 3.9605% के लिए क्रमशः चक्रवृद्धि उपज के समान हैं। इस प्रकार मंडल भुगतान के वर्तमान मूल्य का प्रतिनिधित्व करते हैं, इस प्रकार कूपन भुगतान भविष्य में और भी छोटे होते जाएंगे, और अंतिम बड़े भुगतान में कूपन भुगतान और अंतिम मूलधन पुनर्भुगतान दोनों सम्मिलित होंगे। यदि इन वृत्तों को बैलेंस बीम पर रखा जाता है, तो बीम का आधार (संतुलित केंद्र) भारित औसत दूरी (भुगतान का समय) का प्रतिनिधित्व करेगा, जो इस स्थिति में 1.78 वर्ष है।

अधिकांश व्यावहारिक गणनाओं के लिए, मैकाले अवधि की गणना $$PV(i)$$ की परिपक्वता तक उपज का उपयोग करके की जाती है :


 * (2) $$V = \sum_{i=1}^{n}PV_i = \sum_{i=1}^{n}CF_i \cdot e^{-y \cdot t_i} $$
 * (3) $$\text{Macaulay duration} = \sum_{i=1}^{n}t_i\frac {V} $$

जहाँ:
 * $$i$$ कैश फ्लो को अनुक्रमित करता है,
 * $$PV_i$$ का वर्तमान मूल्य है, जहाँ $$i$$किसी परिसंपत्ति से नकद भुगतान,
 * $$CF_i$$ का कैश फ्लो है, जहाँ  $$i$$किसी संपत्ति से वां भुगतान,
 * $$y$$ किसी परिसंपत्ति के लिए परिपक्वता पर उपज (निरंतर चक्रवृद्धि) है,
 * $$t_i$$ तक वर्षों में समय है, जहाँ  $$i$$वां भुगतान प्राप्त होगा,
 * $$V$$ परिसंपत्ति से परिपक्वता तक सभी नकद भुगतानों का वर्तमान मूल्य है।

मैकाले ने दो वैकल्पिक उपाय दिये:
 * अभिव्यक्ति (1) फिशर-वेइल अवधि है जो छूट कारकों के रूप में शून्य-कूपन बांड कीमतों का उपयोग करती है, और
 * अभिव्यक्ति (3) जो छूट कारकों की गणना के लिए बांड की परिपक्वता तक उपज का उपयोग करती है।

दो अवधियों के बीच मुख्य अंतर यह है कि फिशर-वील अवधि ढलानदार उपज वक्र की संभावना की अनुमति देती है, जबकि दूसरा रूप उपज के निरंतर मूल्य पर आधारित है। इस प्रकार $$y$$, भुगतान की अवधि के अनुसार भिन्न नहीं। कंप्यूटर के उपयोग से, दोनों रूपों की गणना की जा सकती है अपितु अभिव्यक्ति (3), निरंतर उपज मानते हुए, संशोधित अवधि के लिए आवेदन के कारण अधिक व्यापक रूप से उपयोग की जाती है।

अवधि तथा भारित औसत जीवन में अंतर
मैकॉले अवधि बनाम भारित औसत जीवन के मूल्यों और परिभाषाओं दोनों में समानताएं दोनों के उद्देश्य और गणना को भ्रमित कर सकती हैं। उदाहरण के लिए, 5-वर्षीय निश्चित दर वाले ब्याज-मात्र बांड का भारित औसत जीवन 5 होगा, और इस प्रकार मैकाले अवधि बहुत समीप होनी चाहिए। इस प्रकार बंधक समान व्यवहार करते हैं. दोनों के बीच अंतर इस प्रकार हैं:
 * 1) मैकाले अवधि केवल निश्चित अवधि के कैश फ्लो को मापती है, सभी प्रमुख कैश फ्लो में भारित औसत जीवन कारक, चाहे वे निश्चित हों या फ्लोटिंग। इस प्रकार, निश्चित अवधि के हाइब्रिड एआरएम बंधक के लिए, मॉडलिंग उद्देश्यों के लिए, पूरी निश्चित अवधि अंतिम निश्चित भुगतान की तारीख या रीसेट से महीने पहले समाप्त होती है।
 * 2) मैकाले अवधि पूंजी की संगत लागत पर सभी कैश फ्लो में छूट देती है। इस प्रकार भारित औसत जीवन छूट नहीं देता हैं।
 * 3) मैकॉले अवधि कैश फ्लो को भारित करते समय मूलधन और ब्याज दोनों का उपयोग करती है। भारित औसत जीवन केवल मूलधन का उपयोग करता है।

संशोधित अवधि
मैकाले अवधि के विपरीत, संशोधित अवधि (कभी-कभी संक्षिप्त एमडी) मूल्य संवेदनशीलता माप है, जिसे उपज के संबंध में मूल्य के प्रतिशत व्युत्पन्न (उपज के संबंध में बांड मूल्य का लघुगणकीय व्युत्पन्न) के रूप में परिभाषित किया गया है। संशोधित अवधि तब लागू होती है जब किसी बांड या अन्य परिसंपत्ति को उपज के कार्य के रूप में माना जाता है। इस स्थिति में कोई उपज के संबंध में लघुगणकीय व्युत्पन्न को माप सकता है:


 * $$ ModD(y) \equiv - \frac{1}{V} \cdot \frac{\partial V}{\partial y} = -  \frac{\partial \ln(V)}{\partial y} $$

जब उपज को निरंतर मिश्रित करके व्यक्त किया जाता है, तो मैकाले अवधि और संशोधित अवधि संख्यात्मक रूप से बराबर होती है। इसे देखने के लिए यदि हम निरंतर चक्रवृद्धि उपज के संबंध में मूल्य या वर्तमान मूल्य, अभिव्यक्ति (2) का व्युत्पन्न लेते हैं, यहाँ पर $$y$$ के लिए हम यह देख सकते हैं कि:


 * $$ \frac{\partial V}{\partial y} = - \sum_{i=1}^{n} t_i \cdot CF_i \cdot e^{-y \cdot t_i} = - MacD \cdot V,$$

दूसरे शब्दों में, लगातार मिश्रित रूप से व्यक्त किया गया मान,


 * $$ ModD = MacD $$.

जहाँ:
 * $$i$$ कैश फ्लो को अनुक्रमित करता है,
 * $$t_i$$ तक वर्षों में समय है, जहाँ $$i$$वां भुगतान प्राप्त होगा,
 * $$V$$ परिसंपत्ति से सभी नकद भुगतानों का वर्तमान मूल्य है।

समय-समय पर मिश्रित
वित्तीय बाजारों में, पैदावार सामान्यतः निरंतर चक्रवृद्धि के बजाय समय-समय पर चक्रवृद्धि (मान लीजिए वार्षिक या अर्ध-वार्षिक) व्यक्त की जाती है। तब अभिव्यक्ति (2) बन जाती है:
 * $$V(y_k) = \sum_{i=1}^{n}PV_i  =  \sum_{i=1}^{n} \frac{CF_i} {(1+y_k/k)^{k \cdot t_i}}  $$
 * $$ MacD = \sum_{i=1}^{n} \frac {t_i} {V(y_k)} \cdot \frac{CF_i} {(1+y_k/k)^{k \cdot t_i}} $$

संशोधित अवधि ज्ञात करने के लिए, जब हम मूल्य का व्युत्पन्न लेते हैं $$V$$ समय-समय पर चक्रवृद्धि उपज के संबंध में हम पाते हैं
 * $$ \frac{\partial V}{\partial y_k} = - \frac{1}{(1+y_k/k)} \cdot \sum_{i=1}^{n} t_i \cdot \frac {CF_i} {(1+y_k/k)^{k \cdot t_i}} = - \frac{MacD \cdot V(y_k)} { (1+y_k/k)} $$

पुनर्व्यवस्थित करने (दोनों पक्षों को -V से विभाजित करने पर) प्राप्त होता है:


 * $$ \frac{MacD } { (1+y_k/k)} = - \frac{1} {V(y_k)} \cdot \frac{\partial V}{\partial y_k}   \equiv ModD $$

जो संशोधित अवधि और मैकाले अवधि के बीच प्रसिद्ध संबंध है:


 * $$ ModD = \frac{MacD}{(1+y_k/k)} $$

जहाँ:
 * $$i$$ कैश फ्लो को अनुक्रमित करता है,
 * $$k$$ प्रति वर्ष चक्रवृद्धि आवृत्ति है (वार्षिक के लिए 1, अर्ध-वार्षिक के लिए 2, मासिक के लिए 12, साप्ताहिक के लिए 52, आदि),
 * $$CF_i$$ का कैश फ्लो है, जहां $$i$$किसी संपत्ति से वां भुगतान,
 * $$t_i$$ तक वर्षों में समय है, जहां $$i$$वां भुगतान प्राप्त किया जाएगा (उदाहरण के लिए दो-वर्षीय अर्ध-वार्षिक को ए द्वारा दर्शाया जाएगा)। ($$t_i$$ 0.5, 1.0, 1.5, और 2.0 का सूचकांक),
 * $$y_k$$ किसी परिसंपत्ति के लिए परिपक्वता पर उपज, समय-समय पर चक्रवृद्धि होती है
 * $$V$$ परिसंपत्ति से सभी नकद भुगतानों का वर्तमान मूल्य है।

यह मैकॉले अवधि और ऊपर उद्धृत संशोधित अवधि के बीच प्रसिद्ध संबंध देता है। यह याद रखना चाहिए कि, भले ही मैकाले अवधि और संशोधित अवधि निकट से संबंधित हैं, वे वैचारिक रूप से अलग हैं। मैकाले अवधि पुनर्भुगतान तक भारित औसत समय है, इस कारण कई वर्षों के समय की इकाइयों में मापा जाता है, जबकि संशोधित अवधि मूल्य संवेदनशीलता माप है जब कीमत को उपज के फलन के रूप में माना जाता है, उपज के संबंध में कीमत में प्रतिशत परिवर्तन होता है।

इकाइयाँ
मैकाले की अवधि वर्षों में मापी जाती है।

संशोधित अवधि को प्रति इकाई मूल्य में प्रतिशत परिवर्तन (प्रतिशत बिंदु) प्रति वर्ष उपज में परिवर्तन के रूप में मापा जाता है (उदाहरण के लिए उपज 8% प्रति वर्ष (y = 0.08) से 9% प्रति वर्ष (y = 0.09) तक जा रही है)। यह संशोधित अवधि को मैकॉले अवधि के समीप संख्यात्मक मान देगा (और जब दरें लगातार मिश्रित होती हैं तो वह इसके समान होगी)।

औपचारिक रूप से, संशोधित अवधि अर्ध-लोच है|अर्ध-लोच, उपज में इकाई परिवर्तन के लिए कीमत में प्रतिशत परिवर्तन, लोच (अर्थशास्त्र) के बजाय, जो इनपुट में प्रतिशत परिवर्तन के लिए आउटपुट में प्रतिशत परिवर्तन है। संशोधित अवधि परिवर्तन की दर है, उपज में प्रति परिवर्तन कीमत में प्रतिशत परिवर्तन के समान हैं।

गैर-निश्चित कैश फ्लो
संशोधित अवधि को गैर-निश्चित कैश फ्लो वाले उपकरणों तक बढ़ाया जा सकता है, जबकि मैकाले अवधि केवल निश्चित कैश फ्लो उपकरणों पर लागू होती है। संशोधित अवधि को उपज के संबंध में मूल्य के लघुगणकीय व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है, और ऐसी परिभाषा उन उपकरणों पर लागू होगी जो उपज पर निर्भर करते हैं, संभवतः कैश फ्लो तय हो या न हों।

परिमित उपज परिवर्तन
संशोधित अवधि को ऊपर व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है (जैसा कि शब्द कैलकुलस से संबंधित है) और इसलिए यह अनंत परिवर्तनों पर आधारित है। संशोधित अवधि किसी बांड के बाजार मूल्य की सीमित ब्याज दर (अर्ताथ, उपज) आंदोलनों की संवेदनशीलता के माप के रूप में भी उपयोगी है। उपज में थोड़े से परिवर्तित करने के लिए, $$\Delta y$$ का मान इस प्रकार है-


 * $$ ModD \approx - \frac{1}{V} \frac {\Delta V} {\Delta y} \rArr \Delta V \approx - V \cdot ModD \cdot \Delta y $$

इस प्रकार संशोधित अवधि उपज में दिए गए सीमित परिवर्तन के लिए कीमत में प्रतिशत परिवर्तन के लगभग समान है। तो इस कारण 7 साल की मैकॉले अवधि वाले 15-वर्षीय बांड की संशोधित अवधि लगभग 7 साल होगी और यदि ब्याज दर प्रतिशत अंक (मान लीजिए 7% से 8%) बढ़ जाती है तो मूल्य में लगभग 7% की गिरावट आएगी।

फिशर-वेइल अवधि
फिशर-वेइल अवधि मैकाले की अवधि का परिशोधन है जो ब्याज दरों की अवधि संरचना को ध्यान में रखती है। इस प्रकार फिशर-वेइल अवधि प्रत्येक संबंधित परिपक्वता के लिए शून्य कूपन उपज का उपयोग करके प्रासंगिक कैश फ्लो (अधिक सख्ती से) के वर्तमान मूल्यों की गणना करती है।

मुख्य दर अवधि
मुख्य दर अवधि (जिसे आंशिक DV01 या आंशिक अवधि भी कहा जाता है) उपज वक्र के विभिन्न हिस्सों की शिफ्ट के प्रति संवेदनशीलता को मापने के लिए कुल संशोधित अवधि का प्राकृतिक विस्तार है। प्रमुख दर अवधियों को परिभाषित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, परिपक्वता '1M', '3M', '6M', '1Y', '2Y', '3Y', '5Y', '7Y' के साथ शून्य-कूपन दरों के संबंध में।, '10Y', '15Y', '20Y', '25Y', '30Y'. थॉमस हो (वित्त) (1992) कुंजी दर अवधि शब्द की शुरुआत की। रीटानो ने 1991 की शुरुआत में मल्टीफैक्टर उपज वक्र मॉडल को कवर किया था और हाल की समीक्षा में इस विषय पर दोबारा गौर किया है।

मुख्य दर अवधि के लिए आवश्यक है कि हम उपज वक्र से उपकरण का मूल्य निर्धारण करें और उपज वक्र बनाने की आवश्यकता है। जो कि मूल कार्यप्रणाली शून्य या स्पॉट उपज वक्र से उपकरणों के मूल्यांकन पर आधारित थी और प्रमुख दरों के बीच रैखिक प्रक्षेप का उपयोग करती थी, अपितु यह विचार आगे की दरों, बराबर दरों और इसके बाद के आधार पर उपज वक्रों पर लागू होता है। इस प्रकार प्रमुख दर अवधियों (आंशिक DV01s) के लिए कई तकनीकी मुद्दे उत्पन्न होते हैं जो उपकरणों के मूल्य निर्धारण के लिए उपयोग किए जाने वाले विशिष्ट प्रकार के उपज वक्र पर मुख्य दर अवधियों की निर्भरता के कारण मानक कुल संशोधित अवधि के लिए उत्पन्न नहीं होते हैं (कोलमैन, 2011 देखें) ।

बंधन सूत्र
निश्चित, अर्ध-वार्षिक भुगतान वाले मानक बांड के लिए बांड अवधि बंद-फॉर्म फॉर्मूला है:


 * $$ \text{Dur} = \frac{1}{P} \left( C\frac{(1+ai)(1+i)^m-(1+i) - (m-1+a)i}{i^2(1+i)^{(m-1+a)}} + \frac{FV(m - 1 + a)}{(1+i)^{(m-1+a)}} \right ) $$


 * Fv = सममूल्य
 * C = कूपन भुगतान प्रति अवधि (आधा वर्ष)
 * i = प्रति अवधि छूट दर (आधा वर्ष)
 * A = अगले कूपन भुगतान तक शेष अवधि का अंश
 * Am = परिपक्वता तक पूर्ण कूपन अवधि की संख्या
 * P = बांड मूल्य (कैश फ्लो का वर्तमान मूल्य दर i के साथ छूट)

कूपन आवृत्ति वाले बांड के लिए $$k$$ अपितु अवधियों की पूर्णांक संख्या (जिससे कि कोई आंशिक भुगतान अवधि न हो), सूत्र को सरल बनाया गया है:
 * $$MacD = \left[ \frac {(1+y/k)}{y/k} - \frac {100(1+y/k)+m(c/k-100y/k)}{(c/k)[(1+y/k)^m-1]+100y/k} \right ] / k$$

जहाँ
 * y = उपज (प्रति वर्ष, प्रतिशत में),
 * C = कूपन (प्रति वर्ष, दशमलव रूप में),
 * Am = कूपन अवधि की संख्या हैं।

उदाहरण 1
$100 के अंकित मूल्य, 20% अर्ध-वार्षिक कूपन और 4% अर्ध-वार्षिक चक्रवृद्धि उपज के साथ 2-वर्षीय बांड पर विचार करें। कुल PV होगी:


 * $$V = \sum_{i=1}^{n}PV_i = \sum_{i=1}^{n} \frac{CF_i} {(1+y/k)^{k \cdot t_i}} = \sum_{i=1}^{4} \frac{10} {(1+.04/2)^i} + \frac{100} {(1+.04/2)^4} $$
 * $$= 9.804 + 9.612 + 9.423 + 9.238 + 92.385 = 130.462 $$

तब मैकाले काल है


 * $$\text{MacD} = 0.5 \cdot \frac{9.804} { 130.462} + 1.0 \cdot \frac{9.612} { 130.462} + 1.5 \cdot \frac{9.423} { 130.462} + 2.0 \cdot \frac{9.238} { 130.462} + 2.0 \cdot \frac{92.385} { 130.462}= 1.777\,\text{years} $$.

उपरोक्त सरल सूत्र देता है, (y/k =.04/2=.02, c/k = 20/2 = 10):


 * $$ \text{MacD} = \left[ \frac {(1.02)}{0.02} - \frac {100(1.02)+4(10-2)}{10[(1.02)^{4}-1]+2} \right] / 2 = 1.777\,\text{years}$$

संशोधित अवधि, जिसे उपज में प्रतिशत बिंदु परिवर्तन के अनुसार मूल्य में प्रतिशत परिवर्तन के रूप में मापा जाता है:


 * $$ \text{ModD} = \frac{\text{MacD}}{(1+y/k)} = \frac{1.777}{(1+.04/2)} = 1.742$$ (प्रति उपज में 1 प्रतिशत परिवर्तन के कारण कीमत में % परिवर्तन)

DV01, उपज में प्रतिशत परिवर्तन के लिए $100 नाममात्र बांड के मूल्य में डॉलर परिवर्तन के रूप में मापा जाता है,


 * $$ \text{DV01} = \frac{\text{ModD} \cdot 130.462} {100} = 2.27 $$ ($ प्रति 1 प्रतिशत अंक उपज में परिवर्तन)

जहां 100 से विभाजन है क्योंकि संशोधित अवधि प्रतिशत परिवर्तन है।

उदाहरण 2
$1000 अंकित मूल्य, 5% कूपन दर और 6.5% वार्षिक उपज के साथ 5 वर्षों में परिपक्वता वाले बांड पर विचार करें। अवधि की गणना करने के चरण निम्नलिखित हैं:

1. बांड मूल्य का अनुमान लगाएं, इस प्रकार वर्ष 1, 2, 3 और 4 में कूपन $50 होंगे। फिर, वर्ष 5 पर, बांड कुल $1050 के लिए कूपन और मूलधन का भुगतान करेगा। वर्तमान मूल्य पर 6.5% की छूट देने पर, बांड का मूल्य $937.66 है। विवरण निम्नलिखित है:

वर्ष 1: $50 / (1 + 6.5%) ^ 1 = 46.95

वर्ष 2: $50 / (1 + 6.5%) ^ 2 = 44.08

वर्ष 3: $50 / (1 + 6.5%) ^ 3 = 41.39

वर्ष 4: $50 / (1 + 6.5%) ^ 4 = 38.87

वर्ष 5: $1050 / (1 + 6.5%) ^ 5 = 766.37

2. प्रत्येक कैश फ्लो प्राप्त होने के समय को उसके वर्तमान मूल्य से गुणा करें

वर्ष 1: 1 * $46.95 = 46.95

वर्ष 2: 2 * $44.08 = 88.17

वर्ष 3: 3 * $41.39 = 124.18

वर्ष 4: 4 * $38.87 = 155.46

वर्ष 5: 5 * 766.37 = 3831.87

कुल: 4246.63

3. चरण 2 के कुल योग की तुलना बांड मूल्य से करें (चरण 1)

मैकाले अवधि: 4246.63 / 937.66 = 4.53

धन अवधि
, या या ब्लूमबर्ग, यह भी कहा जाता है, इस प्रकार  या  संयुक्त राज्य अमेरिका में, उपज के संबंध में मूल्य के व्युत्पन्न के ऋणात्मक के रूप में परिभाषित किया गया है:


 * $$D_\$ = DV01 = -\frac{\partial V}{\partial y}. $$

जिससे कि यह संशोधित अवधि और कीमत (मूल्य) का उत्पाद हो:


 * $$D_\$ = DV01 = BPV = V \cdot ModD / 100 $$ ($ प्रति 1 प्रतिशत अंक उपज में परिवर्तन)

या


 * $$D_\$ = DV01 = V \cdot ModD / 10000 $$ ($ प्रति 1 आधार बिंदु उपज में परिवर्तन)

DV01 यूनानियों_(वित्त) डेल्टा (यूनानियों_(वित्त)|यूनानियों में से एक) के अनुरूप है - यह आउटपुट (डॉलर) में मूल्य परिवर्तन और इनपुट में इकाई परिवर्तन (उपज का आधार बिंदु) का अनुपात है। डॉलर अवधि या DV01 डॉलर में कीमत में परिवर्तित हो जाता है, प्रतिशत में परिवर्तित नहीं होता हैं। इस प्रकार यह उपज में प्रति इकाई परिवर्तन के कारण बांड के मूल्य में डॉलर का अंतर बताता है। इसे अधिकांशतः 1 आधार बिंदु पर मापा जाता है - DV01 01 (या 1 आधार बिंदु) के डॉलर मूल्य के लिए छोटा है।

BPV (आधार बिंदु मूल्य) या ब्लूमबर्ग रिस्क नाम का भी उपयोग किया जाता है, जो अधिकांशतः पैदावार में 100बीपी परिवर्तन के लिए $100 के अनुमानित डॉलर परिवर्तन पर लागू होता है - अवधि के रूप में समान इकाइयां देता है। कभी-कभी PV01 (01 का वर्तमान मूल्य) का उपयोग किया जाता है, चूंकि PV01 अधिक सटीक रूप से डॉलर या आधार बिंदु वार्षिकी के मूल्य को संदर्भित करता है। (एक सममूल्य बांड और फ्लैट उपज वक्र के लिए DV01, मूल्य w.r.t. उपज का व्युत्पन्न, और PV01, एक-डॉलर वार्षिकी का मूल्य, वास्तव में समान मूल्य होगा।)

DV01 या डॉलर अवधि का उपयोग शून्य अग्रिम मूल्य वाले उपकरणों के लिए किया जा सकता है जैसे कि ब्याज दर स्वैप जहां प्रतिशत परिवर्तन और संशोधित अवधि कम उपयोगी होती है।

मूल्य पर खतरे (VaR) के लिए आवेदन
डॉलर अवधि $$D_\$$$ सामान्यतः इस खतरे का मान (VaR) गणना के लिए उपयोग किया जाता है। इस प्रकार पोर्टफोलियो खतरे प्रबंधन के अनुप्रयोगों को स्पष्ट करने के लिए, ब्याज दरों पर निर्भर प्रतिभूतियों के पोर्टफोलियो पर विचार करें $$ r_1, \ldots, r_n $$ खतरे कारकों के रूप में इस प्रकार हैं-


 * $$V = V(r_1, \ldots, r_n) \, $$

ऐसे पोर्टफोलियो के मूल्य को निरूपित करें। फिर एक्सपोज़र वेक्टर $$ \boldsymbol{\omega} = (\omega_1, \ldots, \omega_n)$$ घटक हैं-


 * $$\omega_i = - D_{\$,i} := \frac{\partial V}{\partial r_i}. $$

तदनुसार, पोर्टफोलियो के मूल्य में परिवर्तन का अनुमान इस प्रकार लगाया जा सकता है-


 * $$\Delta V =  \sum_{i=1}^n \omega_i\, \Delta r_i

+ \sum_{1 \leq i,j \leq n} O(\Delta r_i\, \Delta r_j), $$ अर्थात्, घटक जो ब्याज दर में परिवर्तन में रैखिक है और साथ ही त्रुटि शब्द है जो कम से कम द्विघात है। इस सूत्र का उपयोग उच्च क्रम की शर्तों को अनदेखा करके पोर्टफोलियो के वीएआर की गणना करने के लिए किया जा सकता है। सामान्यतः घनीय या उच्चतर शब्दों को छोटा कर दिया जाता है। द्विघात शब्दों को, जब सम्मिलित किया जाता है, तो (बहु-भिन्न) बंधन उत्तलता के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। कोई ब्याज दरों के संयुक्त वितरण के बारे में धारणा बना सकता है और फिर मोंटे कार्लो सिमुलेशन द्वारा वीएआर की गणना कर सकता है या, कुछ विशेष स्थितियों में (उदाहरण के लिए, गौसियन वितरण रैखिक सन्निकटन मानते हुए), यहां तक ​​​​कि विश्लेषणात्मक रूप से भी। सूत्र का उपयोग पोर्टफोलियो के DV01 की गणना करने के लिए भी किया जा सकता है (नीचे देखें) और इसे ब्याज दरों से परे खतरे कारकों को सम्मिलित करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

खतरे - ब्याज दर संवेदनशीलता के रूप में अवधि
अवधि (संशोधित अवधि) का प्राथमिक उपयोग ब्याज दर संवेदनशीलता या खतरे को मापने के लिए है। इस प्रकार ब्याज दरों या पैदावार के संदर्भ में खतरे के बारे में सोचना बहुत उपयोगी है क्योंकि यह अन्यथा असमान उपकरणों को सामान्य बनाने में मदद करता है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित चार उपकरणों पर विचार करें, जिनमें से प्रत्येक की अंतिम परिपक्वता 10-वर्ष है:

इन चारों की परिपक्वता अवधि 10 वर्ष है, अपितु ब्याज दरों के प्रति संवेदनशीलता और इस प्रकार खतरे अलग-अलग होंगे: शून्य-कूपन में सबसे अधिक संवेदनशीलता होती है और वार्षिकी में सबसे कम हैं।

पहले प्रत्येक में $100 के निवेश पर विचार करें, जो तीन बांडों (कूपन बांड, वार्षिकी, शून्य-कूपन बांड - ब्याज दर स्वैप के लिए कोई अर्थ नहीं है जिसके लिए कोई प्रारंभिक निवेश नहीं है) के लिए कोई अर्थ नहीं है। संशोधित अवधि तीनों में ब्याज दर संवेदनशीलता की तुलना करने के लिए उपयोगी उपाय है। इस प्रकार शून्य-कूपन बांड में उच्चतम संवेदनशीलता होगी, जो उपज में प्रति 100बीपी परिवर्तन पर 9.76% की दर से बदल जाएगी। इसका अर्थ यह है कि यदि पैदावार 5% से बढ़कर 5.01% (1bp की वृद्धि) हो जाती है, तो कीमत में लगभग 0.0976% की गिरावट आनी चाहिए या कीमत में $61.0271 प्रति $100 से परिवर्तित होकर लगभग $60.968 हो जाना चाहिए। निवेश किया गया मूल $100 गिरकर लगभग $99.90 हो जाएगा। वार्षिकी में सबसे कम संवेदनशीलता है, जो शून्य-कूपन बांड की लगभग आधी है, संशोधित अवधि 4.72% है।

वैकल्पिक रूप से, हम प्रत्येक उपकरण के अनुमानित $100 पर विचार कर सकते हैं। इस स्थिति में BPV या DV01 (01 या डॉलर अवधि का डॉलर मूल्य) अधिक प्राकृतिक माप है। तालिका में BPV पैदावार में 100बीपी परिवर्तन के लिए अनुमानित $100 के लिए मूल्य में डॉलर परिवर्तन है। इस प्रकार BPV ब्याज दर स्वैप (जिसके लिए संशोधित अवधि परिभाषित नहीं है) के साथ-साथ तीन बांडों के लिए भी मायने रखेगा।

संशोधित अवधि ब्याज दर संवेदनशीलता के आकार को मापती है। कभी-कभी हम यह सोचकर गुमराह हो सकते हैं कि यह मापता है कि उपकरण उपज वक्र के किस भाग के प्रति संवेदनशील है। आख़िरकार, संशोधित अवधि (कीमत में % परिवर्तन) मैकाले अवधि (परिपक्वता के लिए प्रकार का भारित औसत वर्ष) के लगभग समान संख्या है। इस प्रकार उदाहरण के लिए, उपरोक्त वार्षिकी की मैकाले अवधि 4.8 वर्ष है, और हम सोच सकते हैं कि यह 5-वर्षीय उपज के प्रति संवेदनशील है। अपितु इसमें 10 वर्षों तक कैश फ्लो है और इस प्रकार यह 10-वर्षीय पैदावार के प्रति संवेदनशील होगा। यदि हम उपज वक्र के कुछ हिस्सों के प्रति संवेदनशीलता को मापना चाहते हैं, तो हमें #मुख्य दर अवधि पर विचार करने की आवश्यकता है।

निश्चित कैश फ्लो वाले बांड के लिए मूल्य परिवर्तन दो स्रोतों से आ सकता है:

उपज-मूल्य संबंध उलटा है, और संशोधित अवधि उपज के प्रति मूल्य संवेदनशीलता का बहुत उपयोगी उपाय प्रदान करती है। प्रथम व्युत्पन्न के रूप में यह रैखिक सन्निकटन प्रदान करता है। बड़े उपज परिवर्तनों के लिए, द्विघात या दूसरे क्रम का सन्निकटन प्रदान करने के लिए बॉन्ड उत्तलता को जोड़ा जा सकता है। वैकल्पिक रूप से, और अधिकांशतः अधिक उपयोगी रूप से, उत्तलता का उपयोग यह मापने के लिए किया जा सकता है कि पैदावार में परिवर्तन के साथ संशोधित अवधि कैसे परिवर्तित हो जाती है। विकल्प बाज़ारों में उपयोग किए जाने वाले समान खतरे उपाय (प्रथम और द्वितीय क्रम) विकल्प डेल्टा और ग्रीक (वित्त) गामा हैं।
 * 1) समय का बीतना (बराबर की ओर अभिसरण)। यह निश्चित रूप से पूरी तरह से पूर्वानुमानित है, और इसलिए कोई खतरे नहीं है।
 * 2) उपज में बदलाव. यह बेंचमार्क उपज में बदलाव और/या उपज प्रसार में बदलाव के कारण हो सकता है।

इस प्रकार ब्याज दर संवेदनशीलता के उपायों के रूप में संशोधित अवधि और DV01 भी उपयोगी हैं क्योंकि उन्हें अलग-अलग या आकस्मिक कैश फ्लो वाले उपकरणों और प्रतिभूतियों, जैसे विकल्प, पर लागू किया जा सकता है।

एम्बेडेड विकल्प और प्रभावी अवधि
उन बांडों के लिए जिनमें एम्बेडेड विकल्प होते हैं, जैसे कि पुटेबल और कॉलेबल बांड, संशोधित अवधि परिपक्वता पर उपज में परिवर्तन के लिए मूल्य चाल का सही अनुमान नहीं लगाएगी।

एम्बेडेड पुट विकल्प वाले बांड पर विचार करें। उदाहरण के तौर पर, $1,000 का बांड जिसे धारक द्वारा बांड की परिपक्वता से पहले किसी भी समय सममूल्य पर भुनाया जा सकता है (अर्थात अमेरिकी पुट विकल्प)। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि ब्याज दरें कितनी ऊंची हो जाती हैं, बांड की कीमत कभी भी $1,000 से प्रतिपक्ष क्रेडिट खतरे को नगण्य मानते हुए नीचे नहीं जाएगी। ब्याज दर में परिवर्तन के प्रति इस बांड की कीमत संवेदनशीलता अन्यथा समान कैश फ्लो वाले गैर-पुट योग्य बांड से भिन्न है।

ऐसे बांड की कीमत निर्धारित करने के लिए, किसी को बांड का मूल्य निर्धारित करने के लिए विकल्प मूल्य निर्धारण का उपयोग करना चाहिए, और फिर कोई इसके ग्रीक (वित्त) (और इसलिए इसके लैम्ब्डा) की गणना कर सकता है, जो कि अवधि है। प्रभावी अवधि इस उत्तरार्द्ध के लिए सीमित_अंतर है, और इसके लिए विकल्पों का मूल्यांकन या मूल्य निर्धारण मॉडल की आवश्यकता होगी।


 * $$\text{Effective duration} = \frac {V_{-\Delta y}-V_{+\Delta y}}{2(V_0)\Delta y} $$

जहां Δ y वह राशि है जो परिवर्तन उत्पन्न करती है, और $$V_{-\Delta y}\text{ and } V_{+\Delta y} $$ वे मान हैं जो बांड तब लेगा जब उपज क्रमशः y से गिरती है या y से बढ़ती है। (एक उपज वक्र # ढलान और आकार का महत्व या समानांतर परिवर्तन होने पर ध्यान दें कि यह मान Δ y के लिए उपयोग किए गए मान के आधार पर भिन्न हो सकता है।)

इन मूल्यों की गणना सामान्यतः ट्री-आधारित मॉडल का उपयोग करके की जाती है, जो संपूर्ण उपज वक्र (परिपक्वता के लिए एकल उपज के विपरीत) के लिए बनाया गया है, और इसलिए समय और ब्याज दरों दोनों के फलन के रूप में विकल्प के जीवन में प्रत्येक बिंदु पर व्यायाम व्यवहार को कैप्चर किया जाता है।

प्रसार अवधि
स्प्रेड अवधि विकल्प-समायोजित स्प्रेड (ओएएस) में बदलाव के प्रति बांड के बाजार मूल्य की संवेदनशीलता है। इस प्रकार सूचकांक, या अंतर्निहित उपज वक्र अपरिवर्तित रहता है। फ्लोटिंग रेट संपत्तियां जो सूचकांक (जैसे 1-महीने या 3-महीने LIBOR) के लिए बेंचमार्क की जाती हैं और समय-समय पर रीसेट की जाती हैं, उनकी प्रभावी अवधि शून्य के समीप होगी, अपितु प्रसार अवधि अन्यथा समान निश्चित दर बांड के समान होगी।

औसत अवधि
ब्याज दरों में बदलाव के प्रति बांड म्यूचुअल फंड जैसे बांड के पोर्टफोलियो (वित्त) की संवेदनशीलता भी महत्वपूर्ण हो सकती है। पोर्टफोलियो में बांड की औसत अवधि अधिकांशतः बताई जाती है। पोर्टफोलियो की अवधि पोर्टफोलियो में सभी कैश फ्लो की भारित औसत परिपक्वता के समान होती है। यदि प्रत्येक बांड की परिपक्वता पर समान उपज होती है, तो यह पोर्टफोलियो के बांड की अवधि के भारित औसत के समान होता है, जिसका भार बांड की कीमतों के समानुपाती होता है। इसके आधार पर अन्यथा बांड की अवधि का भारित औसत सिर्फ अच्छा अनुमान है, अपितु इसका उपयोग अभी भी यह अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है कि ब्याज दरों में होने वाले परिवर्तन के उत्तर में पोर्टफोलियो का मूल्य कैसे परिवर्तित हो जाएगा।

उत्तलता
अवधि रैखिक माप है कि ब्याज दर में परिवर्तन के जवाब में बांड की कीमत कैसे परिवर्तित होती है। जैसे-जैसे ब्याज दरें बदलती हैं, कीमत रैखिक रूप से नहीं बदलती है, बल्कि यह ब्याज दरों का उत्तल कार्य है। उत्तलता इस बात की वक्रता का माप है कि ब्याज दर में परिवर्तन के साथ बांड की कीमत कैसे परिवर्तित होती है। विशेष रूप से, अवधि को प्रश्न में ब्याज दर के संबंध में बांड के मूल्य फलन के पहले व्युत्पन्न के रूप में और उत्तलता को दूसरे व्युत्पन्न के रूप में तैयार किया जा सकता है।

उत्तलता भविष्य के कैश फ्लो के प्रसार की भी संभावना देती है। (जिस प्रकार अवधि माध्य पद देती है, उसी प्रकार उत्तलता का उपयोग मानक विचलन, मान लीजिए, रिटर्न की गणना के लिए किया जा सकता है।)

ध्यान दें कि उत्तलता धनात्मक या ऋणात्मक हो सकती है। धनात्मक उत्तलता वाले बांड में कोई कॉल विशेषता नहीं होगी - अर्ताथ जारीकर्ता को परिपक्वता पर बांड को भुनाना होगा - जिसका अर्थ है कि जैसे-जैसे दरें गिरती हैं, इसकी अवधि और कीमत दोनों बढ़ जाएंगी।

दूसरी ओर, कॉल सुविधाओं वाला बांड - अर्ताथ जहां जारीकर्ता बांड को शीघ्रता से भुना सकता है - जिसको ऋणात्मक उत्तलता माना जाता है, क्योंकि दरें विकल्प स्ट्राइक के समीप पहुंचती हैं, जिसका अर्थ है कि दरों में गिरावट के साथ इसकी अवधि गिर जाएगी, और इसलिए इसकी कीमत कम तेज़ी से बढ़ेगा, ऐसा इसलिए है क्योंकि जारीकर्ता प्राचीन समय में बांड को उच्च कूपन पर भुना सकता है और कम दर पर नया बांड फिर से जारी कर सकता है, इस प्रकार जारीकर्ता को मूल्यवान वैकल्पिकता प्रदान की जाती है। उपरोक्त के समान, इन स्थितियों में, बॉन्ड उत्तलता प्रभावी उत्तलता की गणना करना अधिक सही हो सकता है।

संपार्श्विक के रूप में यूएस-शैली 15- या 30-वर्षीय निश्चित दर बंधक के साथ बंधक-समर्थित प्रतिभूतियां (पास-थ्रू बंधक मूलधन पूर्व भुगतान) कॉल करने योग्य बांड के उदाहरण हैं।

शर्मन अनुपात
शर्मन अनुपात बांड अवधि की प्रति यूनिट की पेशकश की गई उपज है, जिसका नाम डबललाइन कैपिटल के मुख्य निवेश अधिकारी जेफरी शेरमेन के नाम पर रखा गया है। इसे बॉन्ड मार्केट का सबसे डरावना गेज कहा गया है, और अमेरिकी कॉरपोरेट बॉन्ड इंडेक्स के लिए यह 0.1968 के सर्वकालिक निचले स्तर पर पहुंच गया था। इसके आधार पर अनुपात केवल प्रस्तावित उपज (प्रतिशत के रूप में) है, जिसे बांड अवधि (वर्षों में) से विभाजित किया जाता है।

यह भी देखें

 * बॉन्ड उत्तलता
 * बॉन्ड मूल्यांकन
 * डे काउंट कनवेंशन
 * अवधि का अंतराल
 * प्रतिरक्षा (वित्त)
 * वित्त विषयों की सूची
 * स्टॉक अवधि
 * स्टॉक अवधि

अग्रिम पठन

 * . The standard reference for conventions applicable to US securities.
 * . The standard reference for conventions applicable to US securities.



बाहरी संबंध

 * Risk Encyclopedia for a good explanation on the multiple definitions of duration and their origins.
 * Step-by-step video tutorial
 * Investopedia’s duration explanation