मानक बोरेल स्थान

गणित में, एक मानक बोरेल स्थान बोरेल सेट#मानक बोरेल रिक्त स्थान और पोलिश स्थान से जुड़े कुराटोस्की प्रमेय हैं। असतत स्थान  पोलिश स्पेस के मापने योग्य स्थान को छूट देते हुए, मापने योग्य स्पेस के  समाकृतिकता  तक, केवल एक मानक बोरेल स्पेस है।

औपचारिक परिभाषा
मापने योग्य स्थान $$(X, \Sigma)$$ यदि कोई मीट्रिक (गणित) मौजूद है तो उसे मानक बोरेल कहा जाता है $$X$$ जो इसे इस तरह से एक पूर्ण मीट्रिक स्थान वियोज्य स्पेस मीट्रिक स्पेस बनाता है $$\Sigma$$ तो बोरेल σ-बीजगणित है। मानक बोरेल रिक्त स्थान में कई उपयोगी गुण होते हैं जो सामान्य औसत दर्जे के स्थान के लिए नहीं होते हैं।

गुण

 * अगर $$(X, \Sigma)$$ और $$(Y, T)$$ मानक बोरेल हैं तो कोई विशेषण मापने योग्य कार्य $$f : (X, \Sigma) \to (Y, \Tau)$$ एक समरूपता है (अर्थात, प्रतिलोम मानचित्रण भी मापने योग्य है)। यह विश्लेषणात्मक सेट  से आता है। सूस्लिन की प्रमेय, एक सेट के रूप में जो एनालिटिक सेट और coanalytic दोनों है, अनिवार्य रूप से बोरेल है।
 * अगर $$(X, \Sigma)$$ और $$(Y, T)$$ मानक बोरेल स्थान हैं और $$f : X \to Y$$ तब $$f$$ मापने योग्य है अगर और केवल अगर किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ $$f$$ बोरेल है।
 * मानक बोरेल रिक्त स्थान के एक गणनीय परिवार का उत्पाद और प्रत्यक्ष मिलन मानक है।
 * एक मानक बोरेल स्थान पर प्रत्येक पूर्ण माप संभाव्यता माप इसे एक मानक संभावना स्थान में बदल देता है।

कुराटोव्स्की का प्रमेय
प्रमेय। होने देना $$X$$ एक पोलिश स्पेस हो, यानी एक टोपोलॉजिकल स्पेस हो जैसे कि एक मेट्रिक (गणित) हो $$d$$ पर $$X$$ की टोपोलॉजी को परिभाषित करता है $$X$$ और वह बनाता है $$X$$ एक पूर्ण वियोज्य मीट्रिक स्थान। तब $$X$$ बोरेल स्पेस के रूप में बोरेल समरूपता  में से एक है (1) $$\R,$$ (2) $$\Z$$ या (3) एक परिमित असतत स्थान। (यह परिणाम महरम के प्रमेय की याद दिलाता है।)

यह इस प्रकार है कि एक मानक बोरेल स्पेस को इसकी प्रमुखता से आइसोमोर्फिज्म तक की विशेषता है, और यह कि किसी भी बेशुमार मानक बोरेल स्थान में सातत्य की प्रमुखता होती है।

मानक बोरेल रिक्त स्थान पर बोरेल समरूपता टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान पर होमोमोर्फिम्स के समान हैं: दोनों विशेषण हैं और संरचना के तहत बंद हैं, और एक होमियोमोर्फिज्म और इसके व्युत्क्रम दोनों निरंतरता (टोपोलॉजी) हैं, दोनों के बजाय केवल बोरेल औसत दर्जे का है।