विश्लेषणात्मक संकेत

गणित और सिग्नल प्रोसेसिंग में, एक विश्लेषणात्मक सिग्नल एक जटिल मूल्यवान फलन के रूप में होता है, जिसमें कोई नकारात्मक आवृत्ति घटक नहीं होता है। एक विश्लेषणात्मक सिग्नल के वास्तविक और काल्पनिक भाग हिल्बर्ट परिवर्तन द्वारा एक दूसरे से संबंधित वास्तविक-मूल्यवान फलन के रूप में होता है।

वास्तविक फलन का विश्लेषणात्मक प्रतिनिधित्व एक मूल्यवान विश्लेषणात्मक सिग्नल के रूप में होता है, जिसमें मूल फलन और उसका हिल्बर्ट रूपांतरण के रूप में सम्मलित होते है। यह प्रतिनिधित्व कई गणितीय जोड़तोड़ की सुविधा प्रदान करते है। मूल विचार यह है कि फूरियर रूपांतरण या वास्तविक मूल्यवान फलन के स्पेक्ट्रम के नकारात्मक आवृत्ति घटक ऐसे स्पेक्ट्रम के हर्मिटियन समरूपता के कारण अनावश्यक रूप में होते है। इन नकारात्मक आवृत्ति घटकों को सूचना के हानि के बिना त्याग दिया जाता है, बशर्ते कोई जटिल मूल्यवान फलन से निपटने के लिए तैयार होता है। यह फलन की कुछ विशेषताओं को अधिक सुलभ रूप में बनाता है और मॉड्यूलेशन और डिमॉड्यूलेशन प्रोद्योगिकीय जैसे एकल साइडबैंड की व्युत्पत्ति की सुविधा प्रदान करता है।

जब तक हेरफेर किए गए फलन में कोई नकारात्मक आवृत्ति घटक नहीं होता है अर्थात, यह अभी भी विश्लेषणात्मक रूप में होता है, जटिल से वास्तविक में रूपांतरण केवल काल्पनिक भाग को छोड़ने की स्थिति के रूप में होती है। विश्लेषणात्मक प्रतिनिधित्व चरण साइन तरंगों की अवधारणा का एक सामान्यीकरण रूप होता है जबकि चरण समय-अपरिवर्तनीय आयाम चरण तक ही सीमित होते है और आवृत्ति विश्लेषणात्मक सिग्नल समय चर मापदंडों के लिए अनुमति देता है।

परिभाषा
यदि $$s(t)$$ फूरियर रूपांतरण के साथ एक वास्तविक-मूल्यवान फलन $$S(f)$$ के रूप में होता है, तब परिवर्तन में हर्मिटियन फलन समरूपता $$f = 0$$ एक्सिस पर होता है।
 * $$S(-f) = S(f)^*,$$

जहाँ $$S(f)^*$$ का जटिल संयुग्म $$S(f)$$ के रूप में होता है। फलन,

\begin{align} S_\mathrm{a}(f) &\triangleq \begin{cases} 2S(f), &\text{for}\ f > 0,\\ S(f), &\text{for}\ f = 0,\\ 0, &\text{for}\ f < 0 \end{cases}\\ &= \underbrace{2 \operatorname{u}(f)}_{1 + \sgn(f)}S(f) = S(f) + \sgn(f)S(f), \end{align} $$ जहाँ
 * $$\operatorname{u}(f)$$ हैवीसाइड स्टेप फलन के रूप में होते है।
 * $$\sgn(f)$$ साइन फलन के रूप में होते है।

केवल गैर-नकारात्मक आवृत्ति घटक के रूप में सम्मलित होते है $$S(f)$$.और ऑपरेशन प्रतिवर्ती के रूप में है, $$S(f)$$ की हर्मिटियन समरूपता के कारण होती है,

\begin{align} S(f) &= \begin{cases} \frac{1}{2}S_\mathrm{a}(f), &\text{for}\ f > 0,\\ S_\mathrm{a}(f), &\text{for}\ f = 0,\\ \frac{1}{2}S_\mathrm{a}(-f)^*, &\text{for}\ f < 0\ \text{(Hermitian symmetry)} \end{cases}\\ &= \frac{1}{2}[S_\mathrm{a}(f) + S_\mathrm{a}(-f)^*]. \end{align} $$ $$s(t)$$ का विश्लेषणात्मक सिग्नल $$S_\mathrm{a}(f)$$ का व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण के रूप में है
 * $$\begin{align}

s_\mathrm{a}(t) &\triangleq \mathcal{F}^{-1}[S_\mathrm{a}(f)]\\ &= \mathcal{F}^{-1}[S (f)+ \sgn(f) \cdot S(f)]\\ &= \underbrace{\mathcal{F}^{-1}\{S(f)\}}_{s(t)} + \overbrace{ \underbrace{\mathcal{F}^{-1}\{\sgn(f)\}}_{j\frac{1}{\pi t}} * \underbrace{\mathcal{F}^{-1}\{S(f)\}}_{s(t)} }^\text{convolution}\\ &= s(t) + j\underbrace{\left[{1 \over \pi t} * s(t)\right]}_{\operatorname{\mathcal{H}}[s(t)]}\\ &= s(t) + j\hat{s}(t), \end{align}$$ जहाँ
 * $$\hat{s}(t) \triangleq \operatorname{\mathcal{H}}[s(t)]$$ का हिल्बर्ट रूपांतरण $$s(t)$$ है।
 * $$*$$ बाइनरी कनवल्शन ऑपरेटर के रूप में होते है।
 * $$j$$ काल्पनिक इकाई के रूप में होती है।

नोट किया कि $$s(t)= s(t)*\delta(t),$$ इसे फ़िल्टरिंग ऑपरेशन के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है, जो नकारात्मक आवृत्ति घटकों को सीधे हटा देता है


 * $$s_\mathrm{a}(t) = s(t)*\underbrace{\left[\delta(t)+ j{1 \over \pi t}\right]}_{\mathcal{F}^{-1}\{2u(f)\}}.$$

नकारात्मक आवृत्ति घटक
तब से $$s(t) = \operatorname{Re}[s_\mathrm{a}(t)]$$, नकारात्मक आवृत्ति घटकों को पुनर्स्थापित करता है $$\operatorname{Im}[s_\mathrm{a}(t)]$$ को त्यागने का एक साधारण स्थिति होती है, जो प्रति-सहज के रूप में लग सकती है। हम यह नोट कर सकते हैं कि जटिल संयुग्म $$s_\mathrm{a}^*(t)$$ में केवल नकारात्मक आवृत्ति घटक के रूप में सम्मलित होती है। और इसलिए $$s(t) = \operatorname{Re}[s_\mathrm{a}^*(t)]$$ दबा हुआ सकारात्मक आवृत्ति घटकों को पुनर्स्थापित करता है। एक अन्य दृष्टिकोण यह है कि किसी भी स्थिति में काल्पनिक घटक एक ऐसा शब्द है, जो आवृत्ति घटकों को $$s(t).$$ से घटाता है। $$\operatorname{Re}$$ ऑपरेटर नए घटकों को जोड़ने का आभास देते हुए, घटाव को हटा देता है।

उदाहरण 1

 * $$s(t) = \cos(\omega t),$$ जहाँ $$\omega > 0.$$

तब:
 * $$\begin{align}

\hat{s}(t) &= \cos\left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right) = \sin(\omega t), \\ s_\mathrm{a}(t) &= s(t) + j\hat{s}(t) = \cos(\omega t) + j\sin(\omega t) = e^{j\omega t}. \end{align}$$ अंतिम समानता यूलर का सूत्र है, जिसका एक उपप्रमेय $\cos(\omega t) = \frac{1}{2} \left(e^{j\omega t} + e^{j (-\omega) t}\right).$ के रूप में होता है, सामान्यतः एक साधारण साइन वक्र का विश्लेषणात्मक प्रतिनिधित्व इसे जटिल घातीयों के संदर्भ में व्यक्त करता है और नकारात्मक आवृत्ति घटक को छोड़कर सकारात्मक आवृत्ति घटक को दोगुना करके प्राप्त किया जाता है। और साइन वक्र के योग का विश्लेषणात्मक प्रतिनिधित्व व्यक्तिगत साइन वक्र के विश्लेषणात्मक प्रतिनिधित्वों का योग होता है।

उदाहरण 2
यहां हम नकारात्मक आवृत्ति को पहचानने और त्यागने के लिए यूलर के सूत्र का उपयोग करते हैं।


 * $$s(t) = \cos(\omega t + \theta) = \frac{1}{2} \left(e^{j (\omega t+\theta)} + e^{-j (\omega t+\theta)}\right)$$

तब:
 * $$s_\mathrm{a}(t) =

\begin{cases} e^{j(\omega t + \theta)} \ \ = \ e^{j |\omega| t}\cdot e^{j\theta}, & \text{if} \ \omega > 0, \\ e^{-j(\omega t + \theta)} = \ e^{j |\omega| t}\cdot e^{-j\theta}, & \text{if} \ \omega < 0. \end{cases} $$

उदाहरण 3
नकारात्मक आवृत्ति घटकों को हटाने के लिए हिल्बर्ट ट्रांसफ़ॉर्म विधि का उपयोग करने का यह एक और उदाहरण है। हम ध्यान दें कि कुछ भी हमें गणना करने से नहीं रोकता है $$s_\mathrm{a}(t)$$ एक जटिल-मूल्यवान के लिए $$s(t)$$.है, लेकिन यह प्रतिवर्ती प्रतिनिधित्व नहीं हो सकता है, क्योंकि मूल स्पेक्ट्रम सामान्य रूप से सममित नहीं होते है। इसलिए इस उदाहरण को छोड़कर सामान्य चर्चा वास्तविक-मूल्यवान $$s(t)$$.के रूप में होता है।


 * $$s(t) = e^{-j\omega t}$$, जहाँ $$\omega > 0$$.

तब:
 * $$\begin{align}

\hat{s}(t) &= je^{-j\omega t}, \\ s_\mathrm{a}(t) &= e^{-j\omega t} + j^2 e^{-j\omega t} = e^{-j\omega t} - e^{-j\omega t} = 0. \end{align}$$

तात्कालिक आयाम और चरण
ध्रुवीय निर्देशांक में एक विश्लेषणात्मक सिग्नल भी व्यक्त किया जाता है
 * $$s_\mathrm{a}(t) = s_\mathrm{m}(t)e^{j\phi(t)},$$

जहां निम्नलिखित समय-भिन्न भौतिक राशियाँ के रूप में प्रस्तुत की जाती हैं
 * $$s_\mathrm{m}(t) \triangleq |s_\mathrm{a}(t)|$$ तात्कालिक आयाम या आवरण (तरंगें) कहा जाता ह
 * $$\phi(t) \triangleq \arg\!\left[s_\mathrm{a}(t)\right]$$ तात्कालिक चरण या चरण कोण कहा जाता है।

संलग्न आरेख में, नीला वक्र $$s(t)$$ को दर्शाता है और लाल वक्र संगत $$s_\mathrm{m}(t)$$.को दर्शाता है।

अलिखित तात्कालिक चरण के समय व्युत्पन्न में रेडियन/सेकंड की इकाइयाँ होती हैं, और इसे तात्कालिक कोणीय आवृत्ति कहा जाता है
 * $$\omega(t) \triangleq \frac{d\phi}{dt}(t).$$

हर्ट्ज़ में तात्कालिक चरण आवृत्ति है इसलिए,
 * $$f(t)\triangleq \frac{1}{2\pi}\omega(t).$$

तात्कालिक आयाम, और तात्कालिक चरण और आवृत्ति सिग्नल की स्थानीय विशेषताओं को मापने और पता लगाने के लिए उपयोग किए जाने वाले कुछ अनुप्रयोगों में होती है। सिग्नल के विश्लेषणात्मक प्रतिनिधित्व का एक अन्य अनुप्रयोग मॉडुलन के विमॉडुलन से संबंधित होता है। ध्रुवीय निर्देशांक आसानी से आयाम मॉडुलन और चरण या आवृत्ति मॉडुलन के प्रभावों को अलग करते हैं और कुछ प्रकार के सिग्नलों को प्रभावी ढंग से ध्वस्त करते हैं।

जटिल लिफाफा/बेसबैंड
विश्लेषणात्मक सिग्नलों को अधिकांशतः 0 हर्ट्ज की ओर आवृत्ति नीचे-रूपांतरित में स्थानांतरित किया जाता है, संभवतः गैर-सममित नकारात्मक आवृत्ति घटक के रूप में होते है $${s_\mathrm{a}}_{\downarrow}(t) \triangleq s_\mathrm{a}(t)e^{-j\omega_0 t} = s_\mathrm{m}(t)e^{j(\phi(t) - \omega_0 t)},$$ जहाँ $$\omega_0$$ एक यादृच्छिक संदर्भ कोणीय आवृत्ति के रूप में होती है।

यह फलन विभिन्न नामों से जाता है, जैसे जटिल लिफाफा और जटिल बेसबैंड के रूप में होते है। जटिल लिफाफा अद्वितीय रूप में नहीं होते है; यह $$\omega_0$$.की पसंद से निर्धारित होता है। इस अवधारणा का प्रयोग अधिकांशतः पासबैंड सिग्नल के साथ काम करते समय किया जाता है। यदि $$s(t)$$ एक माडुलित सिग्नल के रूप में है, तो $$\omega_0$$ इसकी वाहक आवृत्ति के बराबर हो सकता है।

अन्य स्थितियों में, $$\omega_0$$ वांछित पासबैंड के बीच में कहीं चुना गया है। फिर वास्तविक गुणांक के साथ एक साधारण निम्न-पास फ़िल्टर इंटेरेस्ट के हिस्से को बढ़ा सकता है। एक अन्य मकसद उच्चतम आवृत्ति को कम करना है, जो कि उपनाम-मुक्त नमूनाकरण के लिए न्यूनतम दर को कम करता है। एक आवृत्ति बदलाव जटिल सिग्नल प्रतिनिधित्व के गणितीय ट्रैक्टेबिलिटी को कम नहीं करता है। तो उस मायने में, डाउन कन्वर्टेड सिग्नल अभी भी विश्लेषणात्मक रूप में होते है। चूँकि, वास्तविक-मूल्यवान प्रतिनिधित्व को पुनर्स्थापित करना अब केवल वास्तविक घटक को निकालने का सरल स्थिति नहीं है। अप रूपांतरण की आवश्यकता होती है और यदि सिग्नल को असतत नमूना के रूप में किया गया है, तो अलियासिंग से बचने के लिए इंटरपोलेशन अपसैंपलिंग भी आवश्यक हो सकता है।

यदि $$\omega_0$$ की उच्चतम आवृत्ति से बड़ा चुना जाता है $$s_\mathrm{a}(t),$$ तब $${s_\mathrm{a}}_{\downarrow}(t)$$ कोई सकारात्मक आवृत्तियाँ नहीं होती है। उस स्थिति में, वास्तविक घटक निकालने से उन्हें पुनर्स्थापित किया जाता है, लेकिन विपरीत क्रम में कम आवृत्ति वाले घटक अब उच्च वाले होते है और इसके विपरीत इसका उपयोग एक प्रकार के सिंगल-साइडबैंड मॉड्यूलेशन को कम करने के लिए किया जा सकता है जिसे लोअर साइडबैंड या इनवर्टेड साइडबैंड कहा जाता है।

संदर्भ आवृत्ति के अन्य विकल्पों पर कभी-कभी विचार किया जाता है। समय-आवृत्ति सिग्नल प्रोसेसिंग के क्षेत्र में, यह दिखाया गया था कि विग्नर-विले वितरण की परिभाषा में विश्लेषणात्मक सिग्नल की आवश्यकता होती थी, जिससे कि व्यावहारिक अनुप्रयोगों के लिए आवश्यक वांछित गुण के रूप में हो सकें।
 * कभी-कभी $$\omega_0$$ कम करने के लिए चुना गया है $$\int_0^{+\infty}(\omega - \omega_0)^2|S_\mathrm{a}(\omega)|^2\, d\omega.$$
 * वैकल्पिक रूप से, $$\omega_0$$ को अलिखित तात्कालिक चरण $$\phi(t)$$ को रैखिक रूप से अनुमानित करने में औसत वर्ग त्रुटि को कम करने के लिए चुना जा सकता है।$$\int_{-\infty}^{+\infty}[\omega(t) - \omega_0]^2 |s_\mathrm{a}(t)|^2\, dt$$
 * या कुछ इष्टतम $$\theta$$ के लिए कोई अन्य विकल्प के रूप में होते है$$\int_{-\infty}^{+\infty}[\phi(t) - (\omega_0 t + \theta)]^2\, dt.$$

कभी-कभी वाक्यांश जटिल लिफाफे को एक निरंतर-आवृत्ति चरण के जटिल आयाम का सरल अर्थ दिया जाता है; दूसरी बार जटिल लिफाफा $$ s_m(t)$$ जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, जटिल आयाम के समय-निर्भर सामान्यीकरण के रूप में व्याख्या की गई है। वास्तविक-मूल्य वाले स्थिति में उनका संबंध उससे अलग नहीं होता है और अलग-अलग लिफाफा तरंगें निरंतर आयाम को सामान्य करते है।

एकाधिक चर के सिग्नलों के लिए विश्लेषणात्मक सिग्नल का विस्तार
विश्लेषणात्मक सिग्नल की अवधारणा एकल चर के सिग्नलों के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है, जो सामान्यतः समय है। दो या दो से अधिक चर के सिग्नलों के लिए, एक विश्लेषणात्मक सिग्नल को अलग-अलग विधियों से परिभाषित किया जाता है और इस प्रकार दो दृष्टिकोण नीचे प्रस्तुत किए गए हैं।

तदर्थ दिशा के आधार पर बहु-आयामी विश्लेषणात्मक सिग्नल
एक बार यह स्थापित हो जाने के बाद कि इस स्थिति के लिए नकारात्मक आवृत्तियों का क्या मतलब है, एक बहु-आयामी सिग्नल के लिए विश्लेषणात्मक सिग्नल का एक सीधा सामान्यीकरण किया जाता है। यह एक इकाई वेक्टर की शुरुआत करके किया जा सकता है $$\boldsymbol \hat{u}$$ फूरियर डोमेन में और किसी आवृत्ति वेक्टर को लेबल करते है $$\boldsymbol \xi$$ नकारात्मक के रूप में यदि $$\boldsymbol \xi \cdot \boldsymbol \hat{u} < 0$$. एक-चर सिग्नलों के स्थिति में वर्णित प्रक्रिया के अनुसार, सभी नकारात्मक आवृत्तियों को हटाकर और परिणाम को 2 से गुणा करके विश्लेषणात्मक सिग्नल उत्पन्न किया जाता है। चूँकि, $$\boldsymbol \hat{u}$$ के लिए कोई विशेष दिशा नहीं होती है, जिसे तब तक चुना जाना चाहिए जब तक कि कुछ अतिरिक्त बाधाएँ न हों। इसलिए $$\boldsymbol \hat{u}$$ का चुनाव तदर्थ या अनुप्रयोग विशिष्ट के रूप में होता है।

मोनोजेनिक सिग्नल
विश्लेषणात्मक सिग्नल के वास्तविक और काल्पनिक भाग वेक्टर-मूल्यवान मोनोजेनिक सिग्नल के दो तत्वों के अनुरूप होते हैं, क्योंकि यह एक-चर सिग्नलों के लिए परिभाषित किया गया है। चूँकि, एन-वैरिएबल सिग्नल के स्थिति में एक (n + 1) आयामी वेक्टर मूल्यवान फलन का उत्पादन करते हुए, मोनोजेनिक सिग्नल को सीधे विधि से चर की यादृच्छिक संख्या तक बढ़ाया जाता है

यह भी देखें

 * हिल्बर्ट रूपांतरण की गणना के लिए व्यावहारिक विचार के रूप में होते है
 * नकारात्मक आवृत्ति

अनुप्रयोग

 * सिंगल-साइडबैंड मॉड्यूलेशन
 * चतुर्भुज फ़िल्टर
 * कौसल फ़िल्टर

अग्रिम पठन

 * Leon Cohen, Time-frequency analysis, Prentice Hall, Upper Saddle River, 1995.
 * Frederick W. King, Hilbert Transforms, vol. II, Cambridge University Press, Cambridge, 2009.
 * B. Boashash, Time-Frequency Signal Analysis and Processing: A Comprehensive Reference, Elsevier Science, Oxford, 2003.

बाहरी संबंध

 * Analytic Signals and Hilbert Transform Filters