मौलिक वर्ग

गणित में, मौलिक वर्ग एक समरूपता (गणित) वर्ग है [M] जो आयाम n के जुड़ा हुआ स्थान  समायोज्य कई गुना बंद से जुड़ा है, जो समरूपता समूह के जनरेटर से मेल खाता है। $$H_n(M,\partial M;\mathbf{Z})\cong\mathbf{Z}$$. मौलिक वर्ग को कई गुना के उपयुक्त त्रिभुज के शीर्ष-आयामी संकेतन के अभिविन्यास के रूप में सोचा जा सकता है।

बंद, उन्मुख
जब M आयाम n का जुड़ा हुआ स्थान उन्मुख बंद समायोज्य है, तो शीर्ष समरूपता समूह अनंत चक्रीय है: $$H_n(M;\mathbf{Z}) \cong \mathbf{Z}$$, और अभिविन्यास जनरेटर का विकल्प है, समरूपता का विकल्प है $$\mathbf{Z} \to H_n(M;\mathbf{Z})$$. जनरेटर को मौलिक वर्ग कहा जाता है।

यदि M वियोजित हो गया है (लेकिन अभी भी उन्मुख है), तो मौलिक वर्ग प्रत्येक जुड़े हुए घटक के लिए मौलिक वर्गों का प्रत्यक्ष योग होता है (प्रत्येक घटक के लिए एक अभिविन्यास के अनुरूप)।

डॉ कहलमज गर्भाशय के संबंध में यह M पर एकीकरण का प्रतिनिधित्व करता है; अर्थात् M के लिए सहज कई गुना, विभेदक रूप nफॉर्म ω को मौलिक वर्ग के साथ जोड़ा जा सकता है


 * $$\langle\omega, [M]\rangle = \int_M \omega\ ,$$

जो M पर ω का अभिन्न अंग है, और ω के सह-समरूपता वर्ग पर निर्भर करता है।

स्टिफ़ेल-व्हिटनी वर्ग
यदि M उन्मुख नहीं है, $$H_n(M;\mathbf{Z}) \ncong \mathbf{Z}$$, और इसलिए कोई पूर्णांक के अंदर रहने वाले मौलिक वर्ग M को परिभाषित नहीं कर सकता है। चूकि, प्रत्येक बंद कई गुना होता है $$\mathbf{Z}_2$$-उन्मुख, और $$H_n(M;\mathbf{Z}_2)=\mathbf{Z}_2$$ ( M जुड़ा हुआ के लिए)। इस प्रकार प्रत्येक बंद कई गुना होता है $$\mathbf{Z}_2$$-उन्मुखी (सिर्फ उन्मुख नहीं: अभिविन्यास के चुनाव में कोई अस्पष्टता नहीं है), और एक है $$\mathbf{Z}_2$$-मौलिक वर्ग.

यह $$\mathbf{Z}_2$$-मौलिक वर्ग का उपयोग स्टिफ़ेल-व्हिटनी वर्ग को परिभाषित करने में किया जाता है।

सीमा के साथ
यदि M सीमा के साथ एक संक्षिप्त उन्मुख कई गुना होता है, तो शीर्ष सापेक्ष समरूपता समूह फिर से अनंत चक्रीय होता  है $$H_n(M,\partial M)\cong \mathbf{Z}$$, और इसलिए मौलिक वर्ग की धारणा को सीमा मामले के साथ कई गुना तक बढ़ाया जा सकता है।

पोंकारे द्वंद्व
किसी भी एबेलियन समूह के लिए $$G$$ और गैर नकारात्मक पूर्णांक $$q \ge 0$$ कोई समरूपता प्राप्त कर सकता है
 * $$[M]\frown~:H^q(M;G) \rightarrow H_{n-q}(M;G)$$.

मौलिक वर्ग और कैप उत्पाद का उपयोग करना $$q$$ -को समरूपता समूह होता है। यह समरूपता पोंकारे को द्वंद्व देती है:
 * $$H^* (M; G) \cong H_{n-*}(M; G)$$.

सीमा के साथ कई गुना मौलिक वर्ग की धारणा का उपयोग करके, हम उस मामले में भी पोंकारे द्वैत का विस्तार कर सकते हैं (लेफ़्सचेत्ज़ द्वैत देखें)। वास्तव में, मौलिक वर्ग वाला कैप उत्पाद  मजबूत द्वैत परिणाम देता है, यह कहते हुए कि हमारे पास समरूपताएं हैं $$H^q(M, A;R) \cong H_{n-q}(M, B;R)$$, यह मानते हुए कि हमारे पास वह है $$A, B$$ हैं $$(n-1)$$-आयामी कई गुना के साथ $$\partial A=\partial B= A\cap B$$ और $$\partial M=A\cup B$$.

ट्विस्टेड पोंकारे द्वंद्व भी देखें

अनुप्रयोग
असत्य समूह के ध्वज प्रकार के ब्रुहट अपघटन में, मूल वर्ग शीर्ष-आयाम शूबर्ट कोशिका से मेल खाता है, या समकक्ष कॉक्सेटर समूह का सबसे लंबा तत्व होता है।

यह भी देखें

 * कॉक्सेटर समूह का सबसे लंबा तत्व
 * पोंकारे द्वैत

बाहरी संबंध

 * Fundamental class at the Manifold Atlas.
 * The Encyclopedia of Mathematics article on the fundamental class.