आकार सिद्धांत

गणित में, आकार सिद्धांत टोपोलॉजिकल स्पेस स्थान के गुणों का अध्ययन करता है $$\mathbb{R}^k$$-मूल्यवान फ़ंक्शन (गणित), इन कार्यों के परिवर्तन के संबंध में। अधिक औपचारिक रूप से, आकार सिद्धांत का विषय आकार जोड़े के बीच प्राकृतिक छद्म दूरी का अध्ययन है। आकार सिद्धांत का एक सर्वेक्षण इसमें पाया जा सकता है .

इतिहास और अनुप्रयोग
आकार सिद्धांत की शुरुआत फ्रोसिनी द्वारा प्रस्तुत आकार फलन की अवधारणा में निहित है। कंप्यूटर दृष्टि और पैटर्न पहचान में आकार की तुलना के लिए आकार फ़ंक्शन का उपयोग प्रारंभ में गणितीय उपकरण के रूप में किया गया है। बीजगणितीय टोपोलॉजी के लिए आकार फ़ंक्शन की अवधारणा का विस्तार 1999 फ्रोसिनी और मुलाज़ानी पेपर में किया गया था जहां आकार के समरूप समूहों को प्राकृतिक छद्म दूरी के साथ पेश किया गया था $$\mathbb{R}^k$$-मूल्यवान कार्य। होमोलॉजी सिद्धांत (आकार फ़ैक्टर) का विस्तार 2001 में पेश किया गया था। आकार होमोटॉपी समूह और आकार फ़ंक्टर दृढ़ता से लगातार होमोलॉजी समूह की अवधारणा से संबंधित हैं लगातार होमोलॉजी में अध्ययन किया गया। यह इंगित करना उचित है कि आकार फ़ंक्शन का रैंक है $$0$$-वें लगातार होमोलॉजी समूह, जबकि लगातार होमोलॉजी समूह के बीच संबंध और आकार होमोटोपी समूह, होमोलोजी समूहों और होमोटोपी समूहों के बीच मौजूद एक के अनुरूप है।

आकार सिद्धांत में, आकार कार्यों और आकार समरूप समूहों को प्राकृतिक छद्म दूरी के लिए निचली सीमा की गणना करने के उपकरण के रूप में देखा जाता है। दरअसल, आकार फ़ंक्शन द्वारा लिए गए मानों के बीच निम्नलिखित लिंक मौजूद है $$\ell_{(N,\psi)}(\bar x,\bar y)$$, $$\ell_{(M,\varphi)}(\tilde x,\tilde y)$$ और प्राकृतिक छद्म दूरी $$d((M,\varphi),(N,\psi))$$ आकार जोड़े के बीच $$(M,\varphi),\ (N,\psi)$$ ,
 * $$\text{If }\ell_{(N,\psi)}(\bar x,\bar y)>\ell_{(M,\varphi)}(\tilde x,\tilde y)\text{ then }d((M,\varphi),(N,\psi))\ge \min\{\tilde x-\bar x,\bar y-\tilde y\}.$$

एक समान परिणाम आकार होमोटॉपी समूह के लिए होता है।

आकार सिद्धांत और सर्वोच्च मानदंड से भिन्न मानदंडों के लिए प्राकृतिक छद्म दूरी की अवधारणा को सामान्य बनाने के प्रयास ने अन्य पुनर्मूल्यांकन अपरिवर्तनीय मानदंडों के अध्ययन को जन्म दिया है।

यह भी देखें

 * आकार फ़ंक्शन
 * प्राकृतिक छद्म दूरी
 * आकार फ़ैक्टर
 * आकार समरूप समूह
 * साइज़ जोड़ी
 * मिलान दूरी