विस्कोप्लास्टिसिटी

विस्कोप्लास्टिसिटी सातत्य यांत्रिकी में एक सिद्धांत है जो ठोस पदार्थों के दर-निर्भर अकुशल व्यवहार का वर्णन करता है। इस संदर्भ में दर-निर्भरता का अर्थ है कि सामग्री का विरूपण (यांत्रिकी) उस दर पर निर्भर करता है जिस पर संरचनात्मक भार लागू किया जाता है। विस्कोप्लास्टीसिटी का विषय बेलोचदार व्यवहार प्लास्टिसिटी (भौतिकी) है जिसका अर्थ है कि लोड स्तर तक पहुंचने पर सामग्री अप्राप्य विकृतियों से गुजरती है। क्षणिक प्लास्टिसिटी गणना के लिए दर-निर्भर प्लास्टिसिटी महत्वपूर्ण है। दर-स्वतंत्र प्लास्टिक और विस्कोप्लास्टिक सामग्री मॉडल के बीच मुख्य अंतर यह है कि उत्तरार्द्ध भार के आवेदन के बाद न केवल स्थायी विकृतियों को प्रदर्शित करता है, बल्कि लागू भार के प्रभाव के तहत समय के एक समारोह के रूप में रेंगना (विरूपण) प्रवाह से गुजरना जारी रखता है।

विस्कोप्लास्टिक सामग्रियों की लोचदार प्रतिक्रिया को हुक के नियम वसंत (उपकरण)  तत्वों द्वारा एक-आयाम में दर्शाया जा सकता है। दर-निर्भरता को नॉनलाइनियर डैशपॉट तत्वों द्वारा  viscoelasticity  के समान तरीके से दर्शाया जा सकता है। जैसा कि चित्र 1 में दिखाया गया है, फिसलने वाले घर्षण तत्वों को जोड़कर प्लास्टिसिटी का हिसाब लगाया जा सकता है। चित्र में E यंग का मापांक है, λ चिपचिपापन पैरामीटर है और N एक बिजली कानून प्रकार का पैरामीटर है जो गैर-रेखीय डैशपॉट का प्रतिनिधित्व करता है [σ(dε/dt)= σ = λ(dε/dt)(1/एन)]. स्लाइडिंग तत्व में उपज (इंजीनियरिंग) (σ) हो सकती हैy) जो कि तनाव दर पर निर्भर है, या स्थिर भी है, जैसा कि चित्र 1सी में दिखाया गया है।

विस्कोप्लास्टिसिटी को आमतौर पर पेर्ज़िना या डुवाउट-लायंस प्रकार के ओवरस्ट्रेस मॉडल का उपयोग करके तीन-आयामों में तैयार किया जाता है। इन मॉडलों में, भार के अनुप्रयोग पर तनाव को दर-स्वतंत्र उपज सतह से आगे बढ़ने की अनुमति दी जाती है और फिर समय के साथ उपज सतह पर वापस आराम करने की अनुमति दी जाती है। आमतौर पर यह माना जाता है कि ऐसे मॉडलों में उपज की सतह दर पर निर्भर नहीं होती है। एक वैकल्पिक दृष्टिकोण उपज तनाव में तनाव दर निर्भरता जोड़ना और किसी सामग्री की प्रतिक्रिया की गणना करने के लिए दर स्वतंत्र प्लास्टिसिटी की तकनीकों का उपयोग करना है। धातुओं और मिश्रधातुओं के लिए, विस्कोप्लास्टीसिटी क्रिस्टलीयों में अव्यवस्थाओं की गति से जुड़े एक तंत्र के कारण होने वाला स्थूल व्यवहार है, जिसमें अंतर-क्रिस्टलीय ग्लाइडिंग के सुपरपोज़्ड प्रभाव होते हैं। तंत्र आमतौर पर पूर्ण पिघलने के तापमान के लगभग एक तिहाई से अधिक तापमान पर प्रभावी हो जाता है। हालाँकि, कुछ मिश्रधातुएँ कमरे के तापमान (300K) पर विस्कोप्लास्टिकिटी प्रदर्शित करती हैं। पॉलीमर, लकड़ी और  अस्फ़ाल्ट  के लिए, लोच या विस्कोइलास्टिसिटी की सीमा से परे व्यवहार का वर्णन करने के लिए विस्कोप्लास्टिसिटी के सिद्धांत की आवश्यकता होती है।

सामान्य तौर पर, विस्कोप्लास्टिसिटी सिद्धांत निम्नलिखित क्षेत्रों में उपयोगी होते हैं:
 * स्थायी विकृतियों की गणना,
 * संरचनाओं के प्लास्टिक पतन की भविष्यवाणी,
 * स्थिरता की जांच,
 * क्रैश सिमुलेशन,
 * उच्च तापमान के संपर्क में आने वाली प्रणालियाँ जैसे इंजनों में टर्बाइन, उदा. एक बिजली संयंत्र,
 * गतिशील समस्याएं और उच्च तनाव दर के संपर्क में आने वाली प्रणालियाँ।

इतिहास
प्लास्टिसिटी सिद्धांतों पर शोध 1864 में हेनरी ट्रैस्का  के काम से शुरू हुआ,  सेंट Venant  (1870) और मौरिस लेवी (1871) उपज सतह पर#ट्रेस्का उपज सतह। 1913 में वॉन मिज़ द्वारा एक बेहतर प्लास्टिसिटी मॉडल प्रस्तुत किया गया था जिसे अब वॉन मिज़ उपज मानदंड के रूप में जाना जाता है। विस्कोप्लास्टीसिटी में, गणितीय मॉडल का विकास एंड्रेड के नियम द्वारा रेंगना (विरूपण) के प्रतिनिधित्व के साथ 1910 में शुरू हुआ। 1929 में, नॉर्टन एक आयामी डैशपॉट मॉडल विकसित किया जो रेंगने (विरूपण) की दर को तनाव से जोड़ता है। 1934 में, ओडक्विस्ट बहु-अक्षीय मामले में नॉर्टन के नियम को सामान्यीकृत किया।

उपज सतह पर प्लास्टिक के प्रवाह की सामान्यता और प्लास्टिसिटी के लिए प्रवाह नियम जैसी अवधारणाएँ प्रांटल (1924) द्वारा पेश की गईं थीं। और रीस (1930)। 1932 में, होहेनमसर और विलियम प्रेगर धीमे विस्कोप्लास्टिक प्रवाह के लिए पहला मॉडल प्रस्तावित किया। इस मॉडल ने असम्पीडित बिंघम प्लास्टिक के लिए विचलन तनाव और तनाव दर के बीच एक संबंध प्रदान किया हालाँकि, इन सिद्धांतों का अनुप्रयोग 1950 से पहले शुरू नहीं हुआ था, जहाँ सीमा प्रमेय की खोज की गई थी।

1960 में, हॉफ द्वारा आयोजित पहला IUTAM संगोष्ठी "स्ट्रक्चर्स में रेंगना" काम सख्त  कानूनों के लिए हॉफ, रबोटनोव, पेरज़िना, हल्ट और लेमैत्रे के कार्यों के साथ विस्कोप्लास्टी में एक बड़ा विकास प्रदान किया गया, और वर्क हार्डनिंग कानूनों के लिए क्रैटोचविल, मालिनीनी और खडजिंस्की, पोंटर और लेकी और चाबोचे के कार्यों ने विस्कोप्लास्टीसिटी में एक बड़ा विकास प्रदान किया। पेर्ज़िना ने 1963 में एक चिपचिपापन गुणांक पेश किया जो तापमान और समय पर निर्भर है। तैयार किए गए मॉडल अपरिवर्तनीय प्रक्रियाओं के  ऊष्मप्रवैगिकी  और घटनात्मक मॉडल दृष्टिकोण द्वारा समर्थित थे। इन कार्यों में प्रस्तुत विचार दर-निर्भर प्लास्टिसिटी में बाद के अधिकांश शोधों का आधार रहे हैं।

घटना विज्ञान
गुणात्मक विश्लेषण के लिए, विस्कोप्लास्टिक सामग्रियों की घटना विज्ञान का वर्णन करने के लिए कई विशिष्ट परीक्षण किए जाते हैं। इन परीक्षणों के कुछ उदाहरण हैं #निरंतर तनाव या तनाव दर पर सख्त परीक्षण,
 * 1) निरंतर बल पर रेंगना परीक्षण, और
 * 2) निरंतर बढ़ाव पर तनाव विश्राम।

तनाव सख्त परीक्षण
उपज (इंजीनियरिंग) का एक परिणाम यह है कि जैसे-जैसे प्लास्टिक विरूपण बढ़ता है, अतिरिक्त परिमित तनाव सिद्धांत का उत्पादन करने के लिए तनाव (यांत्रिकी) में वृद्धि की आवश्यकता होती है। इस घटना को वर्क हार्डनिंग|स्ट्रेन/वर्क हार्डनिंग के रूप में जाना जाता है। विस्कोप्लास्टिक सामग्री के लिए सख्त होने वाले वक्र दर-स्वतंत्र प्लास्टिक सामग्री से काफी भिन्न नहीं होते हैं। फिर भी, तीन आवश्यक अंतर देखे जा सकते हैं। लोचदार और प्लास्टिक भागों को अलग करके उपभेदों को विभाजित करने की परिकल्पना अभी भी लागू है जहां उपभेद छोटे हैं, अर्थात।,
 * 1) एक ही तनाव में, तनाव की दर जितनी अधिक होगी तनाव उतना ही अधिक होगा
 * 2) परीक्षण के दौरान तनाव की दर में बदलाव के परिणामस्वरूप तनाव-तनाव वक्र में तत्काल परिवर्तन होता है।
 * 3) उपज (इंजीनियरिंग) की अवधारणा अब सख्ती से लागू नहीं है।

\boldsymbol{\varepsilon} = \boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{e}} + \boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{vp}} $$ कहाँ $$\boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{e}}$$ लोचदार तनाव है और $$\boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{vp}}$$ विस्कोप्लास्टिक स्ट्रेन है। चित्र में नीले रंग में दिखाए गए तनाव-तनाव व्यवहार को प्राप्त करने के लिए, सामग्री को शुरू में 0.1/s की तनाव दर पर लोड किया जाता है। फिर तनाव दर को तुरंत 100/सेकेंड तक बढ़ा दिया जाता है और कुछ समय के लिए उस मूल्य पर स्थिर रखा जाता है। उस समयावधि के अंत में तनाव दर तुरंत 0.1/सेकेंड पर वापस आ जाती है और तनाव के बढ़ते मूल्यों के लिए चक्र जारी रहता है। तनाव-दर परिवर्तन और तनाव प्रतिक्रिया के बीच स्पष्ट रूप से अंतराल है। इस अंतराल को ओवरस्ट्रेस मॉडल (जैसे कि विस्कोप्लास्टिसिटी # पेर्ज़िना फॉर्मूलेशन) द्वारा काफी सटीक रूप से तैयार किया गया है, लेकिन दर-स्वतंत्र प्लास्टिसिटी के मॉडल द्वारा नहीं, जिसमें दर-निर्भर उपज तनाव होता है।

रेंगना परीक्षण
रेंगना (विरूपण) किसी ठोस पदार्थ की निरंतर तनाव के तहत धीरे-धीरे चलने या स्थायी रूप से विकृत होने की प्रवृत्ति है। क्रीप परीक्षण निरंतर तनाव के कारण तनाव प्रतिक्रिया को मापते हैं जैसा कि चित्र 3 में दिखाया गया है। शास्त्रीय क्रीप वक्र एक स्थिर तापमान पर एकअक्षीय तनाव के अधीन सामग्री में समय के एक कार्य के रूप में तनाव के विकास का प्रतिनिधित्व करता है। उदाहरण के लिए, क्रीप परीक्षण, निरंतर बल/तनाव लगाने और सिस्टम की तनाव प्रतिक्रिया का विश्लेषण करके किया जाता है। सामान्य तौर पर, जैसा कि चित्र 3 बी में दिखाया गया है, यह वक्र आमतौर पर व्यवहार के तीन चरण या अवधि दिखाता है # प्राथमिक रेंगना चरण, जिसे क्षणिक रेंगना भी कहा जाता है, प्रारंभिक चरण है जिसके दौरान सामग्री के सख्त होने से प्रवाह की दर में कमी आती है जो शुरू में बहुत अधिक होती है। $$(0 \le \boldsymbol{\varepsilon} \le \boldsymbol{\varepsilon}_1 )$$.
 * 1) द्वितीयक रेंगना चरण, जिसे स्थिर अवस्था के रूप में भी जाना जाता है, वह है जहां तनाव दर स्थिर होती है। $$(\boldsymbol{\varepsilon}_1 \le \boldsymbol{\varepsilon} \le \boldsymbol{\varepsilon}_2)$$.
 * 2) एक तृतीयक रेंगना चरण जिसमें फ्रैक्चर स्ट्रेन तक तनाव दर में वृद्धि होती है। $$(\boldsymbol{\varepsilon}_2 \le \boldsymbol{\varepsilon} \le \boldsymbol{\varepsilon}_R)$$.

विश्राम परीक्षण
जैसा कि चित्र 4 में दिखाया गया है, विश्राम परीक्षण इसे एक निश्चित अवधि के लिए निरंतर तनाव के कारण होने वाली तनाव प्रतिक्रिया के रूप में परिभाषित किया गया है। विस्कोप्लास्टिक सामग्रियों में, विश्राम परीक्षण एक निरंतर तनाव पर एकअक्षीय लोडिंग में तनाव विश्राम को प्रदर्शित करते हैं। वास्तव में, ये परीक्षण चिपचिपाहट की विशेषता बताते हैं और इसका उपयोग तनाव और विस्कोप्लास्टिक तनाव की दर के बीच मौजूद संबंध को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। तनाव दर का अपघटन है

\cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{\varepsilon}}{\mathrm{d}t} = \cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{e}}}{\mathrm{d}t} + \cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{vp}}}{\mathrm{d}t} ~. $$ विकृति दर का लोचदार भाग किसके द्वारा दिया जाता है?

\cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{e}}}{\mathrm{d}t} = \mathsf{E}^{-1}~\cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{\sigma}}{\mathrm{d}t} $$ तनाव-समय वक्र के समतल क्षेत्र के लिए, कुल तनाव दर शून्य है। इसलिए हमारे पास है,

\cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{vp}}}{\mathrm{d}t} = -\mathsf{E}^{-1}~\cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{\sigma}}{\mathrm{d}t} $$ इसलिए, विश्राम वक्र का उपयोग विस्कोप्लास्टिक तनाव की दर निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है और इसलिए एक आयामी विस्कोप्लास्टिक सामग्री मॉडल में डैशपॉट की चिपचिपाहट निर्धारित की जा सकती है। विश्राम परीक्षण के अंत में तनाव कम होने पर जो अवशिष्ट मूल्य प्राप्त होता है, वह लोच की ऊपरी सीमा से मेल खाता है। सेंधा नमक जैसी कुछ सामग्रियों के लिए लोच की ऐसी ऊपरी सीमा तनाव के बहुत कम मूल्य पर होती है और तनाव में किसी भी अवलोकन योग्य पठार के बिना विश्राम परीक्षण एक वर्ष से अधिक समय तक जारी रखा जा सकता है।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि स्थिति को बनाए रखने के कारण विश्राम परीक्षण करना बेहद कठिन है $$\cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{\varepsilon}}{\mathrm{d}t} = 0$$ किसी परीक्षण में काफी विनम्रता की आवश्यकता होती है।

विस्कोप्लास्टिकिटी के रियोलॉजिकल मॉडल
स्प्रिंग-डैशपॉट-स्लाइडर तत्वों पर आधारित विस्कोप्लास्टी के लिए एक-आयामी संवैधानिक मॉडल शामिल हैं पूरी तरह से विस्कोप्लास्टिक ठोस, लोचदार पूरी तरह से विस्कोप्लास्टिक ठोस, और इलास्टोविस्कोप्लास्टिक सख्त ठोस। तत्वों को श्रृंखला सर्किट या समानांतर सर्किट में जोड़ा जा सकता है। उन मॉडलों में जहां तत्व श्रृंखला में जुड़े हुए हैं, तनाव योगात्मक है जबकि प्रत्येक तत्व में तनाव बराबर है। समानांतर कनेक्शन में, तनाव योगात्मक होता है जबकि तनाव प्रत्येक तत्व में बराबर होता है। इनमें से कई एक-आयामी मॉडल को छोटे तनाव शासन के लिए तीन आयामों में सामान्यीकृत किया जा सकता है। आगे की चर्चा में समय दर तनाव और तनाव को इस प्रकार लिखा गया है $$\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}$$ और $$\dot{\boldsymbol{\sigma}}$$, क्रमश।

पूर्णतया विस्कोप्लास्टिक ठोस (नॉर्टन-हॉफ मॉडल)
एक पूर्णतः विस्कोप्लास्टिक ठोस में, जिसे विस्कोप्लास्टिकिटी का नॉर्टन-हॉफ मॉडल भी कहा जाता है, तनाव (चिपचिपा तरल पदार्थ के लिए) स्थायी तनाव की दर का एक कार्य है। मॉडल में लोच के प्रभाव की उपेक्षा की गई है, अर्थात, $$\boldsymbol{\varepsilon}_e = 0$$ और इसलिए कोई प्रारंभिक उपज तनाव नहीं है, यानी, $$\sigma_y = 0$$. चिपचिपे डैशपॉट ने एक प्रतिक्रिया दी है

\boldsymbol{\sigma} = \eta~\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_{\mathrm{vp}} \implies \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_{\mathrm{vp}} = \cfrac{\boldsymbol{\sigma}}{\eta} $$ कहाँ $$\eta$$ डैशपॉट की चिपचिपाहट है. नॉर्टन-हॉफ मॉडल में श्यानता $$\eta$$ लागू तनाव का एक अरेखीय कार्य है और इसके द्वारा दिया जाता है

\eta = \lambda\left[\cfrac{\lambda}{||\boldsymbol{\sigma}||}\right]^{N-1} $$ कहाँ $$N$$ एक फिटिंग पैरामीटर है, λ सामग्री की गतिज चिपचिपाहट है और $$||\boldsymbol{\sigma}|| = \sqrt{\boldsymbol{\sigma}:\boldsymbol{\sigma}} = \sqrt{\sigma_{ij}\sigma_{ij}}$$. फिर विस्कोप्लास्टिक स्ट्रेन दर संबंध द्वारा दी गई है

\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_{\mathrm{vp}} = \cfrac{\boldsymbol{\sigma}}{\lambda}\left[\cfrac{||\boldsymbol{\sigma}||}{\lambda}\right]^{N-1} $$ एक-आयामी रूप में, नॉर्टन-हॉफ मॉडल को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

\sigma = \lambda~\left(\dot{\varepsilon}_{\mathrm{vp}}\right)^{1/N} $$ कब $$N = 1.0$$ ठोस viscoelastic  है।

यदि हम यह मान लें कि प्लास्टिक प्रवाह आइसोकोरिक प्रक्रिया (मात्रा संरक्षण) है, तो उपरोक्त संबंध को अधिक परिचित रूप में व्यक्त किया जा सकता है

\boldsymbol{s} = 2 K~\left(\sqrt{3}\dot{\varepsilon}_{\mathrm{eq}}\right)^{m-1}~\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_{\mathrm{vp}} $$ कहाँ $$\boldsymbol{s}$$ विचलनकारी तनाव टेंसर है, $$\dot{\varepsilon}_{\mathrm{eq}}$$ समतुल्य तनाव दर है, और $$K, m$$ भौतिक पैरामीटर हैं. समतुल्य तनाव दर को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 * $$\dot{\bar{\epsilon}} = \sqrt{\frac{2}{3} \dot{\bar{\bar{\epsilon}}}:\dot{\bar{\bar{\epsilon}}} }

$$ इन मॉडलों को दो तिहाई से अधिक तापमान पर धातुओं और मिश्र धातुओं में लागू किया जा सकता है ऊंचे तापमान पर उनके पूर्ण गलनांक (केल्विन में) और पॉलिमर/डामर का। ऐसी सामग्री के तनाव सख्त होने, रेंगने और विश्राम परीक्षणों की प्रतिक्रियाएँ चित्र 6 में दिखाई गई हैं।

लोचदार पूर्णतः विस्कोप्लास्टिक ठोस (बिंघम-नॉर्टन मॉडल)
लोचदार-पूर्ण विस्कोप्लास्टिक मोड बनाने के लिए दो प्रकार के प्राथमिक दृष्टिकोण का उपयोग किया जा सकता है। पहली स्थिति में, स्लाइडिंग घर्षण तत्व और डैशपॉट को समानांतर में व्यवस्थित किया जाता है और फिर श्रृंखला में लोचदार स्प्रिंग से जोड़ा जाता है जैसा कि चित्र 7 में दिखाया गया है। इस मॉडल को बिंघम-मैक्सवेल मॉडल कहा जाता है (मैक्सवेल सामग्री और बिंघम के अनुरूप) प्लास्टिक) या बिंघम-नॉर्टन मॉडल। दूसरी स्थिति में, सभी तीन तत्व समानांतर में व्यवस्थित होते हैं। ऐसे मॉडल को केल्विन मॉडल के अनुरूप बिंघम-केल्विन मॉडल कहा जाता है।

लोचदार-पूर्ण विस्कोप्लास्टिक सामग्रियों के लिए, लोचदार तनाव को अब नगण्य नहीं माना जाता है, लेकिन प्लास्टिक तनाव की दर केवल प्रारंभिक उपज तनाव का एक कार्य है और सख्त होने का कोई प्रभाव नहीं होता है। जब तनाव की परवाह किए बिना लोचदार सीमा पार हो जाती है तो स्लाइडिंग तत्व निरंतर उपजने वाले तनाव का प्रतिनिधित्व करता है। मॉडल को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

\begin{align} & \boldsymbol{\sigma} = \mathsf{E}~\boldsymbol{\varepsilon} & & \mathrm{for}~\|\boldsymbol{\sigma}\| < \sigma_y \\ & \dot{\boldsymbol{\varepsilon}} = \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_{\mathrm{e}} + \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_{\mathrm{vp}} = \mathsf{E}^{-1}~\dot{\boldsymbol{\sigma}} + \cfrac{\boldsymbol{\sigma}}{\eta}\left[1 - \cfrac{\sigma_y}{\|\boldsymbol{\sigma}\|}\right]  & & \mathrm{for}~\|\boldsymbol{\sigma}\| \ge \sigma_y \end{align} $$ कहाँ $$\eta$$ डैशपॉट तत्व की चिपचिपाहट है। यदि डैशपॉट तत्व की प्रतिक्रिया नॉर्टन फॉर्म की है

\cfrac{\boldsymbol{\sigma}}{\eta} = \cfrac{\boldsymbol{\sigma}}{\lambda}\left[\cfrac{\|\boldsymbol{\sigma}\|}{\lambda}\right]^{N-1} $$ हमें बिंघम-नॉर्टन मॉडल मिलता है

\dot{\boldsymbol{\varepsilon}} = \mathsf{E}^{-1}~\dot{\boldsymbol{\sigma}} + \cfrac{\boldsymbol{\sigma}}{\lambda}\left[\cfrac{\|\boldsymbol{\sigma}\|}{\lambda}\right]^{N-1}\left[1 - \cfrac{\sigma_y}{\|\boldsymbol{\sigma}\|}\right]  \quad \mathrm{for}~\|\boldsymbol{\sigma}\| \ge \sigma_y $$ तनाव दर के लिए अन्य अभिव्यक्तियाँ भी साहित्य में देखी जा सकती हैं सामान्य रूप के साथ

\dot{\boldsymbol{\varepsilon}} = \mathsf{E}^{-1}~\dot{\boldsymbol{\sigma}} + f(\boldsymbol{\sigma}, \sigma_y)~\boldsymbol{\sigma} \quad \mathrm{for}~\|\boldsymbol{\sigma}\| \ge \sigma_y $$ ऐसी सामग्री के तनाव सख्त होने, रेंगने और विश्राम परीक्षणों की प्रतिक्रियाएँ चित्र 8 में दिखाई गई हैं।

इलास्टोविस्कोप्लास्टिक कठोरीकरण ठोस
तनाव कठोरण के साथ एक लोचदार-विस्कोप्लास्टिक सामग्री को पूर्ण प्लास्टिसिटी के साथ एक लोचदार-विस्कोप्लास्टिक सामग्री के समान समीकरणों द्वारा वर्णित किया गया है। हालाँकि, इस मामले में तनाव प्लास्टिक स्ट्रेन दर और प्लास्टिक स्ट्रेन दोनों पर निर्भर करता है। इलास्टोविस्कोप्लास्टिक सामग्री के लिए तनाव, उपज तनाव से अधिक होने के बाद, प्रारंभिक उपज बिंदु से आगे बढ़ता रहता है। इसका तात्पर्य यह है कि स्लाइडिंग तत्व में उपज तनाव तनाव के साथ बढ़ता है और मॉडल को सामान्य शब्दों में व्यक्त किया जा सकता है

\begin{align} & \boldsymbol{\varepsilon} =\boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{e}} = \mathsf{E}^{-1}~\boldsymbol{\sigma} = ~\boldsymbol{\varepsilon} & & \mathrm{for}~||\boldsymbol{\sigma}|| < \sigma_y \\ & \dot{\boldsymbol{\varepsilon}} = \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_{\mathrm{e}} + \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_{\mathrm{vp}} = \mathsf{E}^{-1}~\dot{\boldsymbol{\sigma}} + f(\boldsymbol{\sigma},\sigma_y,\boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{vp}})~\boldsymbol{\sigma}    & & \mathrm{for}~||\boldsymbol{\sigma}|| \ge \sigma_y \end{align} $$.

यह मॉडल तब अपनाया जाता है जब धातुएं और मिश्र धातुएं मध्यम और उच्च तापमान पर होती हैं और लकड़ी उच्च भार के तहत होती है। ऐसी सामग्री के तनाव सख्त होने, रेंगने और विश्राम परीक्षणों की प्रतिक्रियाएँ चित्र 9 में दिखाई गई हैं।

तनाव-दर पर निर्भर प्लास्टिसिटी मॉडल
इनफिनिटसिमल स्ट्रेन सिद्धांत के लिए शास्त्रीय घटना संबंधी विस्कोप्लास्टी मॉडल को आमतौर पर दो प्रकारों में वर्गीकृत किया जाता है:
 * पेर्ज़िना फॉर्मूलेशन
 * डुवाउट-लायंस फॉर्मूलेशन

पेर्ज़िना फॉर्मूलेशन
पेर्ज़िना फॉर्मूलेशन में प्लास्टिक स्ट्रेन दर को फॉर्म के एक संवैधानिक संबंध द्वारा दिया गया माना जाता है

\dot{\varepsilon}_{\mathrm{vp}} = \cfrac{\left\langle f(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{q})\right\rangle}{\tau} \cfrac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\sigma}}  = \begin{cases} \cfrac{f(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{q})}{\tau} \cfrac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\sigma}}& {\rm if}~f(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{q}) > 0 \\ 0 & \rm{otherwise} \\ \end{cases} $$ कहाँ $$ f(.,.)$$ एक उपज सतह है, $$\boldsymbol{\sigma}$$ तनाव है (यांत्रिकी), $$\boldsymbol{q}$$ आंतरिक चरों का एक सेट है (जैसे कि प्लास्टिक मे तनाव )। $$\boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{vp}}$$), $$\tau$$ विश्राम का समय है. संकेतन $$\langle \dots \rangle$$ मैकाले कोष्ठक को दर्शाता है। चाबोचे मॉडल के विभिन्न संस्करणों में प्रयुक्त प्रवाह नियम पेर्ज़िना के प्रवाह नियम का एक विशेष मामला है और रूप है

\dot{\varepsilon}_{\mathrm{vp}} = \left\langle \frac{f}{f_0} \right\rangle^n sign(\boldsymbol{\sigma}-\boldsymbol{\chi}) $$ कहाँ $$f_0$$ का अर्धस्थैतिक मान है $$f$$ और $$\boldsymbol{\chi}$$ एक बैकस्ट्रेस है. बैकस्ट्रेस के लिए कई मॉडल चाबोचे मॉडल के नाम से भी जाने जाते हैं।

डुवाउट-लायंस फॉर्मूलेशन
डुवाउट-लायंस फॉर्मूलेशन पेर्ज़िना फॉर्मूलेशन के बराबर है और इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

\dot{\varepsilon}_{\mathrm{vp}} = \begin{cases} \mathsf{C}^{-1}:\cfrac{\boldsymbol{\sigma} - \mathcal{P}\boldsymbol{\sigma}}{\tau} & \rm{if}~f(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{q}) > 0 \\ 0 & \rm{otherwise} \end{cases} $$ कहाँ $$\mathsf{C}$$ लोचदार कठोरता टेंसर है, $$\mathcal{P}\boldsymbol{\sigma}$$ क्षेत्र की सीमा पर तनाव की स्थिति का निकटतम बिंदु प्रक्षेपण है जो सभी संभावित लोचदार तनाव की स्थिति को सीमित करता है। मात्रा $$\mathcal{P}\boldsymbol{\sigma}$$ आमतौर पर प्लास्टिसिटी समस्या के दर-स्वतंत्र समाधान से पाया जाता है।

प्रवाह तनाव मॉडल
मात्रा $$f(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{q})$$ उपज सतह के विकास का प्रतिनिधित्व करता है। उपज समारोह $$f$$ इसे अक्सर एक समीकरण के रूप में व्यक्त किया जाता है जिसमें तनाव के कुछ अपरिवर्तनीय और उपज तनाव (या प्लास्टिक प्रवाह तनाव) के लिए एक मॉडल शामिल होता है। एक उदाहरण वॉन मिज़ उपज मानदंड या है $$J_2$$ प्लास्टिसिटी उन स्थितियों में प्लास्टिक स्ट्रेन दर की गणना दर-स्वतंत्र प्लास्टिसिटी की तरह ही की जाती है। अन्य स्थितियों में, उपज तनाव मॉडल प्लास्टिक तनाव दर की गणना का एक सीधा साधन प्रदान करता है।

कई अनुभवजन्य और अर्ध-अनुभवजन्य प्रवाह तनाव मॉडल का उपयोग कम्प्यूटेशनल प्लास्टिसिटी के लिए किया जाता है। निम्नलिखित तापमान और तनाव-दर पर निर्भर मॉडल वर्तमान उपयोग में मॉडल का एक नमूना प्रदान करते हैं:
 * 1) जॉनसन-कुक मॉडल
 * 2) स्टाइनबर्ग-कोचरन-गिनान-लुंड मॉडल।
 * 3) ज़ेरिल्ली-आर्मस्ट्रांग मॉडल।
 * 4) मैकेनिकल थ्रेशोल्ड स्ट्रेस मॉडल।
 * 5) प्रेस्टन-टोंक्स-वालेस मॉडल।

जॉनसन-कुक (जेसी) मॉडल यह पूरी तरह से अनुभवजन्य है और पाँचों में से सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। हालाँकि, यह मॉडल उच्च तापमान पर अवास्तविक रूप से छोटी तनाव-दर निर्भरता प्रदर्शित करता है। स्टाइनबर्ग-कोचरन-गिनान-लुंड (एससीजीएल) मॉडल अर्ध-अनुभवजन्य है. मॉडल पूरी तरह से अनुभवजन्य है और उच्च तनाव-दर पर तनाव-दर स्वतंत्र है। एक अव्यवस्था-आधारित विस्तार पर आधारित है कम तनाव-दर पर उपयोग किया जाता है। एससीजीएल मॉडल का उपयोग शॉक भौतिकी समुदाय द्वारा बड़े पैमाने पर किया जाता है। ज़ेरिल्ली-आर्मस्ट्रांग (ZA) मॉडल एक सरल भौतिक आधारित मॉडल है जिसका बड़े पैमाने पर उपयोग किया गया है। एक अधिक जटिल मॉडल जो अव्यवस्था गतिशीलता के विचारों पर आधारित है वह मैकेनिकल थ्रेशोल्ड स्ट्रेस (एमटीएस) मॉडल है। इस मॉडल का उपयोग तांबे, टैंटलम, के प्लास्टिक विरूपण को मॉडल करने के लिए किया गया है। इस्पात की मिश्रधातुएँ, और एल्यूमीनियम मिश्र धातु। हालाँकि, एमटीएस मॉडल लगभग 10 से कम तनाव-दर तक सीमित है7/s. प्रेस्टन-टोंक्स-वालेस (पीटीडब्ल्यू) मॉडल यह भी भौतिक रूप से आधारित है और इसका स्वरूप एमटीएस मॉडल के समान है। हालाँकि, PTW मॉडल में ऐसे घटक होते हैं जो अति-चालित शॉक शासन (तनाव-दर 10 से अधिक) में प्लास्टिक विरूपण का मॉडल बना सकते हैं7/s). इसलिए यह मॉडल पांच प्रवाह तनाव मॉडलों के बीच तनाव-दर की सबसे बड़ी श्रृंखला के लिए मान्य है।

जॉनसन-कुक फ्लो स्ट्रेस मॉडल
जॉनसन-कुक (जेसी) मॉडल यह पूरी तरह से अनुभवजन्य है और प्रवाह तनाव के लिए निम्नलिखित संबंध देता है ($$\sigma_y$$)
 * $$\text{(1)} \qquad

\sigma_y(\varepsilon_{\rm{p}},\dot{\varepsilon_{\rm{p}}},T) = \left[A + B (\varepsilon_{\rm{p}})^n\right]\left[1 + C \ln(\dot{\varepsilon_{\rm{p}}}^{*})\right] \left[1 - (T^*)^m\right] $$ कहाँ $$\varepsilon_{\rm{p}}$$ इनफिनिटसिमल स्ट्रेन सिद्धांत#समतुल्य स्ट्रेन है, $$\dot{\varepsilon_{\rm{p}}}$$ है प्लास्टिक तनाव दर|तनाव-दर, और $$A, B, C, n, m$$ भौतिक स्थिरांक हैं.

समीकरण (1) में सामान्यीकृत तनाव-दर और तापमान को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

\dot{\varepsilon_{\rm{p}}}^{*} := \cfrac{\dot{\varepsilon_{\rm{p}}}}{\dot{\varepsilon_{\rm{p0}}}} \qquad\text{and}\qquad T^* := \cfrac{(T-T_0)}{(T_m-T_0)} $$ कहाँ $$\dot{\varepsilon_{\rm{p0}}}$$ उपज और सख्त पैरामीटर ए, बी और एन निर्धारित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले अर्ध-स्थैतिक परीक्षण की प्रभावी प्लास्टिक तनाव-दर है। ऐसा नहीं है क्योंकि इसे अक्सर बनाने के लिए सिर्फ एक पैरामीटर समझा जाता है $$\dot{\varepsilon_{\rm{p}}}^{*}$$ गैर-आयामी. $$T_0$$ एक संदर्भ तापमान है, और $$T_m$$ एक संदर्भ गलनांक है. उन स्थितियों के लिए जहां $$T^* < 0$$, हम मानते हैं कि $$m = 1$$.

स्टाइनबर्ग-कोक्रेन-गिनान-लुंड प्रवाह तनाव मॉडल
स्टाइनबर्ग-कोचरन-गिनान-लुंड (एससीजीएल) मॉडल एक अर्ध-अनुभवजन्य मॉडल है जिसे स्टाइनबर्ग एट अल द्वारा विकसित किया गया था। उच्च तनाव-दर स्थितियों के लिए और स्टाइनबर्ग और लुंड द्वारा कम तनाव-दर और बीसीसी सामग्री तक विस्तारित। इस मॉडल में प्रवाह तनाव द्वारा दिया गया है
 * $$\text{(2)} \qquad

\sigma_y(\varepsilon_{\rm{p}},\dot{\varepsilon_{\rm{p}}},T) = \left[\sigma_a f(\varepsilon_{\rm{p}}) + \sigma_t (\dot{\varepsilon_{\rm{p}}}, T)\right] \frac{\mu(p,T)}{\mu_0}; \quad \sigma_a f \le \sigma_{\text{max}} \text{and} \sigma_t \le \sigma_p $$ कहाँ $$\sigma_a$$ प्रवाह तनाव का एथर्मल घटक है, $$f(\varepsilon_{\rm{p}})$$ एक फ़ंक्शन है जो तनाव सख्त होने का प्रतिनिधित्व करता है, $$\sigma_t$$ प्रवाह तनाव का तापीय रूप से सक्रिय घटक है, $$\mu(p,T)$$ दबाव और तापमान पर निर्भर कतरनी मापांक है, और $$\mu_0$$ मानक तापमान और दबाव पर कतरनी मापांक है। एथर्मल तनाव का संतृप्ति मूल्य है $$\sigma_{\text{max}}$$. थर्मली सक्रिय तनाव की संतृप्ति पीयरल्स तनाव है ($$\sigma_p$$). इस मॉडल के लिए कतरनी मापांक की गणना आमतौर पर कतरनी मापांक|स्टाइनबर्ग-कोक्रेन-गिनान कतरनी मापांक मॉडल के साथ की जाती है।

तनाव सख्त करने का कार्य ($$f$$) का स्वरूप है

f(\varepsilon_{\rm{p}}) = [1 + \beta(\varepsilon_{\rm{p}} + \varepsilon_{\rm{p}}i)]^n $$ कहाँ $$\beta, n$$ कार्य सख्त करने वाले पैरामीटर हैं, और $$\varepsilon_{\rm{p}}i$$ है प्रारंभिक समकक्ष प्लास्टिक तनाव।

थर्मल घटक ($$\sigma_t$$) की गणना निम्नलिखित समीकरण से द्विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके की जाती है। :$$ \dot{\varepsilon_{\rm{p}}} = \left[\frac{1}{C_1}\exp\left[\frac{2U_k}{k_b~T} \left(1 - \frac{\sigma_t}{\sigma_p}\right)^2\right] + \frac{C_2}{\sigma_t}\right]^{-1}; \quad \sigma_t \le \sigma_p $$ कहाँ $$2 U_k$$ लंबाई के एक अव्यवस्था खंड में किंक-जोड़ी बनाने की ऊर्जा है $$L_d$$, $$k_b$$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है, $$\sigma_p$$ पीयरल्स तनाव है। स्थिरांक $$C_1, C_2$$ रिश्तों द्वारा दिए जाते हैं

C_1 := \frac{\rho_d L_d a b^2 \nu}{2 w^2}; \quad C_2 := \frac{D}{\rho_d b^2} $$ कहाँ $$\rho_d$$ अव्यवस्था है, $$L_d$$ एक अव्यवस्था खंड की लंबाई है, $$a$$ पीयरल्स घाटियों के बीच की दूरी है, $$b$$ बर्गर वेक्टर का परिमाण है, $$\nu$$ डिबाई आवृत्ति है, $$w$$ एक पिनिंग बिंदु की चौड़ाई है, और $$D$$ ड्रैग गुणांक है.

ज़ेरिल्ली-आर्मस्ट्रांग प्रवाह तनाव मॉडल
ज़ेरिल्ली-आर्मस्ट्रांग (ZA) मॉडल सरलीकृत अव्यवस्था यांत्रिकी पर आधारित है। प्रवाह तनाव के लिए समीकरण का सामान्य रूप है
 * $$\text{(3)} \qquad

\sigma_y(\varepsilon_{\rm{p}},\dot{\varepsilon_{\rm{p}}},T) = \sigma_a + B\exp(-\beta T) + B_0\sqrt{\varepsilon_{\rm{p}}}\exp(-\alpha T) ~. $$ इस मॉडल में, $$\sigma_a$$ द्वारा दिए गए प्रवाह तनाव का एथर्मल घटक है

\sigma_a := \sigma_g + \frac{k_h}{\sqrt{l}} + K\varepsilon_{\rm{p}}^n, $$ कहाँ $$\sigma_g$$ विलेय और प्रारंभिक अव्यवस्था घनत्व के कारण योगदान है, $$k_h$$ सूक्ष्म संरचनात्मक तनाव की तीव्रता है, $$l$$ औसत अनाज व्यास है, $$K$$ एफसीसी सामग्री के लिए शून्य है, $$B, B_0$$ भौतिक स्थिरांक हैं.

थर्मली सक्रिय शब्दों में, घातांक के कार्यात्मक रूप $$\alpha$$ और $$\beta$$ हैं

\alpha = \alpha_0 - \alpha_1 \ln(\dot{\varepsilon_{\rm{p}}}); \quad \beta = \beta_0 - \beta_1 \ln(\dot{\varepsilon_{\rm{p}}}); $$ कहाँ $$\alpha_0, \alpha_1, \beta_0, \beta_1$$ सामग्री पैरामीटर हैं जो सामग्री के प्रकार (एफसीसी, बीसीसी, एचसीपी, मिश्र धातु) पर निर्भर करते हैं। ज़ेरिल्ली-आर्मस्ट्रांग मॉडल को संशोधित किया गया है उच्च तापमान पर बेहतर प्रदर्शन के लिए.

मैकेनिकल थ्रेशोल्ड तनाव प्रवाह तनाव मॉडल
मैकेनिकल थ्रेशोल्ड स्ट्रेस (एमटीएस) मॉडल ) का स्वरूप है
 * $$\text{(4)} \qquad

\sigma_y(\varepsilon_{\rm{p}},\dot{\varepsilon},T) = \sigma_a + (S_i \sigma_i + S_e \sigma_e)\frac{\mu(p,T)}{\mu_0} $$ कहाँ $$\sigma_a$$ यांत्रिक थ्रेशोल्ड तनाव का एथर्मल घटक है, $$\sigma_i$$ थर्मली सक्रिय अव्यवस्था गति और अव्यवस्था-अव्यवस्था इंटरैक्शन के लिए आंतरिक बाधाओं के कारण प्रवाह तनाव का घटक है, $$\sigma_e$$ बढ़ती विकृति (स्ट्रेन हार्डनिंग) के साथ सूक्ष्म संरचनात्मक विकास के कारण प्रवाह तनाव का घटक है, ($$S_i, S_e$$) तापमान और तनाव-दर पर निर्भर स्केलिंग कारक हैं, और $$\mu_0$$ 0 K और परिवेशीय दबाव पर कतरनी मापांक है।

स्केलिंग कारक अरहेनियस समीकरण का रूप लेते हैं
 * $$\begin{align}

S_i & = \left[1 - \left(\frac{k_b~T}{g_{0i}b^3\mu(p,T)} \ln\frac{\dot{\varepsilon_{\rm{0}}}}{\dot{\varepsilon}}\right)^{1/q_i} \right]^{1/p_i} \\ S_e & = \left[1 - \left(\frac{k_b~T}{g_{0e}b^3\mu(p,T)} \ln\frac{\dot{\varepsilon_{\rm{0}}}}{\dot{\varepsilon}}\right)^{1/q_e} \right]^{1/p_e} \end{align}$$ कहाँ $$k_b$$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है, $$b$$ बर्गर वेक्टर का परिमाण है, ($$g_{0i}, g_{0e}$$) सामान्यीकृत सक्रियण ऊर्जाएं हैं, ($$\dot{\varepsilon}, \dot{\varepsilon_{\rm{0}}}$$) तनाव-दर और संदर्भ तनाव-दर हैं, और ($$q_i, p_i, q_e, p_e$$) स्थिरांक हैं.

यांत्रिक थ्रेशोल्ड तनाव का तनाव सख्त करने वाला घटक ($$\sigma_e$$) एक अनुभवजन्य संशोधित स्वर कानून द्वारा दिया गया है
 * $$\text{(5)} \qquad

\frac{d\sigma_e}{d\varepsilon_{\rm{p}}} = \theta(\sigma_e) $$ कहाँ
 * $$\begin{align}

\theta(\sigma_e) & = \theta_0 [ 1 - F(\sigma_e)] + \theta_{IV} F(\sigma_e) \\ \theta_0 & = a_0 + a_1 \ln \dot{\varepsilon_{\rm{p}}} + a_2 \sqrt{\dot{\varepsilon_{\rm{p}}}} - a_3 T \\ F(\sigma_e) & = \cfrac{\tanh\left(\alpha \cfrac{\sigma_e}{\sigma_{es}}\right)} {\tanh(\alpha)}\\ \ln(\cfrac{\sigma_{es}}{\sigma_{0es}}) & = \left(\frac{kT}{g_{0es} b^3 \mu(p,T)}\right) \ln\left(\cfrac{\dot{\varepsilon_{\rm{p}}}}{\dot{\varepsilon_{\rm{p}}}}\right) \end{align}$$ और $$\theta_0$$ अव्यवस्था संचय के कारण सख्त होना है, $$\theta_{IV}$$ चरण-IV सख्तीकरण के कारण योगदान है, ($$a_0, a_1, a_2, a_3, \alpha$$) स्थिरांक हैं, $$\sigma_{es}$$ शून्य तनाव सख्त दर पर तनाव है, $$\sigma_{0es}$$ 0 K पर विरूपण के लिए संतृप्ति सीमा तनाव है, $$g_{0es}$$ एक स्थिरांक है, और $$\dot{\varepsilon_{\rm{p}}}$$ अधिकतम तनाव-दर है. ध्यान दें कि अधिकतम तनाव-दर आमतौर पर लगभग तक सीमित होती है $$10^7$$/एस।

प्रेस्टन-टोंक्स-वालेस प्रवाह तनाव मॉडल
प्रेस्टन-टोंक्स-वालेस (पीटीडब्ल्यू) मॉडल अत्यधिक तनाव-दर (10 तक) के लिए प्रवाह तनाव के लिए एक मॉडल प्रदान करने का प्रयास किया गया है11/s) और तापमान पिघलने तक। मॉडल में एक रैखिक वोस सख्त कानून का उपयोग किया जाता है। पीटीडब्ल्यू प्रवाह तनाव द्वारा दिया जाता है
 * $$\text{(6)} \qquad

\sigma_y(\varepsilon_{\rm{p}},\dot{\varepsilon_{\rm{p}}},T) = \begin{cases} 2\left[\tau_s + \alpha\ln\left[1 - \varphi \exp\left(-\beta-\cfrac{\theta\varepsilon_{\rm{p}}}{\alpha\varphi}\right)\right]\right] \mu(p,T) & \text{thermal regime} \\ 2\tau_s\mu(p,T) & \text{shock regime} \end{cases} $$ साथ

\alpha := \frac{s_0 - \tau_y}{d}; \quad \beta := \frac{\tau_s - \tau_y}{\alpha}; \quad \varphi := \exp(\beta) - 1 $$ कहाँ $$\tau_s$$ एक सामान्यीकृत कार्य-सख्त संतृप्ति तनाव है, $$s_0$$ का मूल्य है $$\tau_s$$ 0K पर, $$\tau_y$$ एक सामान्यीकृत उपज तनाव है, $$\theta$$ वोस सख्त कानून में सख्त स्थिरांक है, और $$d$$ एक आयामहीन सामग्री पैरामीटर है जो वॉयस सख्त कानून को संशोधित करता है।

संतृप्ति तनाव और उपज तनाव द्वारा दिया जाता है
 * $$\begin{align}

\tau_s & = \max\left\{s_0 - (s_0 - s_{\infty}) \rm{erf}\left[\kappa \hat{T}\ln\left(\cfrac{\gamma\dot{\xi}}{\dot{\varepsilon_{\rm{p}}}}\right)\right], s_0\left(\cfrac{\dot{\varepsilon_{\rm{p}}}}{\gamma\dot{\xi}}\right)^{s_1}\right\} \\ \tau_y & = \max\left\{y_0 - (y_0 - y_{\infty}) \rm{erf}\left[\kappa \hat{T}\ln\left(\cfrac{\gamma\dot{\xi}}{\dot{\varepsilon_{\rm{p}}}}\right)\right], \min\left\{ y_1\left(\cfrac{\dot{\varepsilon_{\rm{p}}}}{\gamma\dot{\xi}}\right)^{y_2}, s_0\left(\cfrac{\dot{\varepsilon_{\rm{p}}}}{\gamma\dot{\xi}}\right)^{s_1}\right\}\right\} \end{align}$$ कहाँ $$s_{\infty}$$ का मूल्य है $$\tau_s$$ पिघले हुए तापमान के करीब, ($$y_0, y_{\infty}$$) के मान हैं $$\tau_y$$ क्रमशः 0 K पर और पिघलने के करीब, $$(\kappa, \gamma)$$ भौतिक स्थिरांक हैं, $$\hat{T} = T/T_m$$, ($$s_1, y_1, y_2$$) उच्च तनाव-दर शासन के लिए भौतिक पैरामीटर हैं, और

\dot{\xi} = \frac{1}{2}\left(\cfrac{4\pi\rho}{3M}\right)^{1/3} \left(\cfrac{\mu(p,T)}{\rho}\right)^{1/2} $$ कहाँ $$\rho$$ घनत्व है, और $$M$$ परमाणु द्रव्यमान है.

यह भी देखें

 * विस्कोइलास्टिसिटी
 * बिंघम प्लास्टिक
 * डैशपॉट
 * रेंगना (विरूपण)
 * प्लास्टिसिटी (भौतिकी)
 * सातत्यक यांत्रिकी
 * अर्ध-ठोस