डेडेकिंड डोमेन

सार बीजगणित में, एक डेडेकिंड कार्यक्षेत्र या डेडेकिंड वलय, जिसका नाम रिचर्ड डेडेकिंड के नाम पर रखा गया है, एक अभिन्न कार्यक्षेत्र है जिसमें प्रत्येक अशून्य उचित आदर्श गुणनखंड को अभाज्य आदर्शों के गुणन में समिलित करता है। यह कहा जा सकता है कि गुणनखंड के क्रम तक इस तरह का एक गुणनखंड आवश्यक रूप से अद्वितीय है। डेडेकिंड कार्यक्षेत्र की कम से कम तीन अन्य विशेषताएँ हैं जिन्हें कभी-कभी परिभाषा के रूप में लिया जाता है:

क्षेत्र (गणित) एक क्रमविनिमेय वलय है जिसमें कोई गैर-तुच्छ उचित आदर्श नहीं होते हैं, इसलिए कोई भी क्षेत्र एक डेडेकाइंड कार्यक्षेत्र हो सकता है। कुछ लेखक इस आवश्यकता को जोड़ते हैं कि डेडेकाइंड कार्यक्षेत्र एक क्षेत्र नहीं होना चाहिए। कई और लेखकों ने डेडेकाइंड कार्यक्षेत्र के लिए प्रमेयों को निहित प्रावधान के साथ बताया है कि उन्हें क्षेत्रों की स्थिति में तुच्छ संशोधनों की आवश्यकता हो सकती है।

परिभाषा का एक तात्कालिक परिणाम यह है कि प्रत्येक सिद्धांत आदर्श कार्यक्षेत्र (PID) एक डेडेकाइंड कार्यक्षेत्र है। वास्तव में एक डेडेकाइंड कार्यक्षेत्र एक अद्वितीय गुणनखंडन कार्यक्षेत्र (UFD) है, यदि यह केवल एक PID है।

डेडेकाइंड कार्यक्षेत्र का प्रागितिहास
19वीं शताब्दी में उच्च कोटि की बीजगणितीय संख्याओं के वलयों (गणित) का उपयोग करके बहुपद समीकरणों के पूर्णांक समाधानों में अंतर्दृष्टि प्राप्त करना एक सामान्य तकनीक बन गई। उदाहरण के लिए, एक सकारात्मक पूर्णांक $$m$$ को ठीक करें, यह निर्धारित करने के प्रयास में कि किन पूर्णांकों को द्विघात रूप $$x^2+my^2$$द्वारा दर्शाया गया है, द्विघात रूप को  $$(x+\sqrt{-m}y)(x-\sqrt{-m}y)$$  में विभाजित करना स्वाभाविक है,  द्विघात क्षेत्र के पूर्णांकों के वलय में होने वाला गुणनखंड $$\mathbb{Q}(\sqrt{-m})$$ है। इसी तरह, एक सकारात्मक पूर्णांक  $$n$$ के लिए बहुपद $$z^n-y^n$$ (जो फर्मेट समीकरण को हल करने के लिए उपयुक्त है $$x^n+y^n = z^n$$) पर गुणनखंड किया जा सकता है $$\mathbb{Z}[\zeta_n]$$, जहाँ $$\zeta_n$$ एक n-वा अभाज्य मूल हैं।

$$m$$ और $$n$$ के कुछ छोटे मानों के लिए बीजगणितीय पूर्णांकों के ये वलय PID ​​हैं, और इसे पियरे डी फर्मेट ($$m = 1, n = 4$$) और लियोनहार्ड यूलर ($$m = 2,3, n = 3$$) की प्राचीन सफलताओं की व्याख्या के रूप में देखा जा सकता हैं। इस समय तक किसी दिए गए द्विघात क्षेत्र के सभी  बीजगणितीय पूर्णांकों  के विलय  $$\mathbb{Q}(\sqrt{D})$$ को निर्धारित करने की प्रक्रिया एक PID ​​है, जिसका द्विघात रूप सिद्धांतकारों के लिए अच्छी तरह से जाना जाता था। विशेष रूप से, कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने काल्पनिक द्विघात क्षेत्रों की स्थिति को देखा था: उन्होंने  $$D < 0$$  के नौ मूल्यों को पाया। जिसके लिए पूर्णांकों का वलय एक PID है और यह अनुमान लगाया कि आगे अब कोई मान प्राप्त नहीं किया जा सकता। (गॉस का अनुमान एक सौ साल से भी अधिक समय बाद कर्ट हेगनेर, एलन बेकर (गणितज्ञ) और हेरोल्ड स्टार्क द्वारा सिद्ध किया गया।) हालांकि, इसे द्विघात रूपों के तुल्यता वर्गों की भाषा में समझा गया था, ताकि विशेष रूप से द्विघात रूपों और फ़र्मेट समीकरण के बीच समानता को न समझा जा सके। 1847 में गेब्रियल लैम ने सभी के लिए फर्मेट के अंतिम प्रमेय  $$n > 2$$ के समाधान की घोषणा की, अर्थात् फ़र्मेट समीकरण के गैर-शून्य पूर्णांकों में कोई समाधान नहीं है, लेकिन यह पता चला है कि उसका समाधान इस धारणा पर आधारित है कि साइक्लोटोमिक वलय $$\mathbb{Z}[\zeta_n]$$ एक UFD है। अर्नस्ट कुमेर ने तीन साल पहले   $$n = 23$$ दिखाया था (मानों की पूर्ण परिमित सूची) जिसके लिए $$\mathbb{Z}[\zeta_n]$$ एक UFD है। उसी समय, कुमेर ने फर्मेट के अंतिम प्रमेय को प्रमाणित करने के लिए कम से कम अभाज्य संख्या के घातांक $$n$$  के एक बड़े वर्ग के लिए शक्तिशाली नए तरीके विकसित किए, जिसे अब हम इस तथ्य के रूप में पहचानते हैं कि वलय $$\mathbb{Z}[\zeta_n]$$ एक डेडेकाइंड कार्यक्षेत्र है। वास्तव में कुमेर ने आदर्शों के साथ नहीं बल्कि "आदर्श संख्याओं"  के साथ काम किया, जिस कारण एक आधुनिक परिभाषा डेडेकिंड द्वारा दी गई।

20वीं शताब्दी तक, बीजगणित और संख्या सिद्धांतकारों को यह अनुभव हो गया था कि PID ​​होने की स्थिति बहुत ही कोमल होती है, जबकि डेडेकाइंड कार्यक्षेत्र होने की स्थिति बहुत ही मजबूत होती है। उदाहरण के लिए साधारण पूर्णांकों का वलय एक PID है, लेकिन जैसा कि वलय के ऊपर देखा गया है $$\mathcal{O}_K$$ एक संख्या क्षेत्र $$K$$ में बीजगणितीय पूर्णांकों की PID ​​होना आवश्यक नहीं है। वास्तव में, हालांकि गॉस ने यह भी अनुमान लगाया था कि अपरिमित रूप से अनेक अभाज्य संख्याएँ  $$p$$ होती हैं जैसे कि पूर्णांकों का वलय $$\mathbb{Q}(\sqrt{p})$$ एक PID ​​है,  तक यह अभी तक ज्ञात नहीं है कि अपरिमित रूप से अनेक संख्या क्षेत्र हैं या नहीं। $$K$$ (मनमानी डिग्री का) एक ऐसा $$\mathcal{O}_K$$ PID ​​है। दूसरी ओर, संख्या क्षेत्र में पूर्णांकों का वलय हमेशा डेडेकाइंड कार्यक्षेत्र ही होता है।

कोमल/सुदृढ़ द्विभाजन का एक अन्य उदाहरण यह तथ्य है कि एक डेडेकिंड कार्यक्षेत्र होने के संबंध में, नोथेरियन कार्यक्षेत्र के बीच, एक अवस्थिति विशेषता: एक नोथेरियन कार्यक्षेत्र $$R$$ प्रत्येक अधिकतम आदर्श $$M$$ के $$R$$  के लिए डेडेकाइंड हैं। वलयों का स्थानीयकरण $$R_M$$ एक  डेडेकाइंड वलय है। लेकिन एक स्थानीय कार्यक्षेत्र एक डेडेकाइंड वलय है, अगर यह एक PID ​​​​है, अगर यह एक असतत मूल्यांकन वलय (DVR) है, इसलिए वही स्थानीय लक्षण वर्णन PID ​​​​के लिए नहीं हो सकता है: बल्कि, यह कह सकते है कि डेडेकाइंड वलय की अवधारणा एक DVR की अवधारणा का वैश्वीकरण है।

वैकल्पिक परिभाषाएँ
एक अभिन्न कार्यक्षेत्र के लिए $$R$$ जो एक क्षेत्र नहीं है, निम्नलिखित सभी शर्तें समतुल्य हैं:
 * (DD1) प्रत्येक अशून्य उचित आदर्श गुणनखंडन अभाज्य संख्या में होते हैं।
 * (DD2) $$R$$ नोथेरियन है, और प्रत्येक अधिकतम आदर्श पर स्थानीयकरण एक असतत मूल्यांकन वलय है।
 * (DD3) $$R$$ का प्रत्येक अशून्य भिन्नात्मक गुणनखंडन उलटा होता है।
 * (DD4) $$R$$ एक अभिन्न रूप से बंद नोथेरियन कार्यक्षेत्र है, जिसमें क्रुल आयाम एक है (अर्थात, प्रत्येक गैर-अभाज्य आदर्श अधिकतम है)।
 * (DD5) किसी भी दो आदर्शों के लिए $$I$$ और $$J$$ में $$R$$, $$I$$ में निहित है, यदि और केवल $$J$$ को आदर्शों के रूप में विभाजित करता है। अर्थात एक आदर्श $$H$$ उपलब्ध है जैसे कि $$I=JH$$. इस स्थिति को संतुष्ट करने वाली एकता के साथ एक क्रमविनियम वलय (आवश्यक रूप से एक कार्यक्षेत्र नहीं) को एक नियंत्रण विभाजन वलय (CDR) कहा जाता है।

इस प्रकार एक डेडेकाइंड कार्यक्षेत्र एक ऐसा कार्यक्षेत्र है जो या तो एक क्षेत्र है, या जो उपरोक्त में से सभी या किसी एक को संतुष्ट करता हो। व्यवहार में, (DD4) को सत्यापित करना प्रायः सबसे आसान होता है।

क्रुल कार्यक्षेत्र डेडेकाइंड कार्यक्षेत्र का एक उच्च-आयामी अनुरूप है: एक डेडेकाइंड कार्यक्षेत्र जो एक क्षेत्र नहीं है, आयाम 1 का क्रुल कार्यक्षेत्र है। इस धारणा का उपयोग डेडेकाइंड कार्यक्षेत्र के विभिन्न लक्षणों का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है। वास्तव में, यह निकोलस बोरबाकी के "क्रमविनियम बीजगणित" में प्रयुक्त डेडेकिंड कार्यक्षेत्र की परिभाषा है।

एक डेडेकिंड कार्यक्षेत्र को समरूप बीजगणित के संदर्भ में भी चित्रित किया जा सकता है: एक अभिन्न कार्यक्षेत्र एक डेडेकिंड कार्यक्षेत्र है यदि और केवल यह एक वंशानुगत वलय है; अर्थात, इसके ऊपर एक प्रक्षेपी मॉड्यूल का उपमॉड्यूल प्रक्षेपी है। इसी तरह, एक अभिन्न कार्यक्षेत्र एक डेडेकिंड कार्यक्षेत्र है यदि और केवल इसके ऊपर प्रत्येक विभाज्य मॉड्यूल इंजेक्शन मॉड्यूल है।

डेडेकाइंड कार्यक्षेत्र के कुछ उदाहरण
सभी सिद्धांत आदर्श कार्यक्षेत्र और इसलिए सभी असतत मूल्यांकन वलय (DVR) डेडेकिंड कार्यक्षेत्र हैं।

किसी संख्या क्षेत्र K में बीजगणितीय पूर्णांकों का वलय $$R = \mathcal{O}_K$$ नोथेरियन है, जो अभिन्न रूप से बंद है, और एक आयाम है: अंतिम विशेषता को देखने के लिए, निरीक्षण करें कि R के किसी भी अशून्य अभाज्य गुणजावली I के लिए, R/I एक परिमित सेट है, और याद रखें कि एक परिमित अभिन्न कार्यक्षेत्र एक क्षेत्र है; इसलिए (DD4) द्वारा R एक डेडेकिंड कार्यक्षेत्र है। उपरोक्त अनुसार, इसमें कुमेर और डेडेकिंड द्वारा माने गए सभी उदाहरण समिलित हैं और ये सबसे अधिक अध्ययन किए गए उदाहरणों में से हैं।

डेडेकाइंड वलय के अन्य वर्ग जो ज्यामिति से आता है और यह तर्कसंगत रूप से समान महत्व का है : मान लीजिए C को एक क्षेत्र k पर एक गैर-एकवचन ज्यामितीय रूप से अभिन्न बीजगणितीय वक्र है। फिर C पर नियमित फलनों का समन्वय वलय k[C] एक डेडेकिंड कार्यक्षेत्र है। यह केवल ज्यामितीय शब्दों को बीजगणित में अनुवाद करने से एक सीमा तक स्पष्ट है: परिभाषा के अनुसार, किसी भी प्रकार की समन्वय की अंगूठी, एक अंतिम रूप से उत्पन्न k-बीजगणित है, इसलिए नोथेरियन; इसके अतिरिक्त वक्र का अर्थ एक आयाम है और गैर-एकवचन अर्थ है (और, पहले आयाम में, के बराबर है), जिसका परिभाषा के अनुसार अर्थ अभिन्न रूप से बंद होना है।

इन दोनों निर्माणों को निम्नलिखित मूल परिणाम के विशेष स्तिथियों के रूप में देखा जा सकता है:

'प्रमेय ': मान लीजिए कि R एक डेडेकिंड कार्यक्षेत्र है जिसका क्षेत्र K है। मान लीजिए L, K का एक परिमित डिग्री क्षेत्र विस्तार है और S द्वारा L में R के अभिन्न संवरण को निरूपित करता है। तब S स्वयं एक डेडेकिंड कार्यक्षेत्र है।

जब R स्वयं एक PID है, तब इस प्रमेय को लागू करने से हमें PIDs से डेडेकिंड कार्यक्षेत्र बनाने का एक तरीका मिल जाता है। R = 'Z' मानते हुए, यह रचना सटीक रूप से कहती है कि संख्या क्षेत्रों के पूर्णांकों के वलय डेडेकिंड कार्यक्षेत्र हैं। R = k [t] लेते हुए, एक उपरोक्त स्थिति को एफ़िन लाइन के शाखित संवरण के रूप में व्युत्क्रमणीय एफ़िन वक्र के रूप में प्राप्त करता है।

ऑस्कर ज़ारिस्की और पियरे-सैमुअल को इस निर्माण के साथ यह पूछने के लिए पर्याप्त रूप से लिया गया था कि क्या प्रत्येक डेडेकिंड कार्यक्षेत्र इससे उत्पन्न होता है। L. क्लाबोर्न द्वारा आश्चर्यजनक रूप से सरल नकारात्मक उत्तर दिया गया।

उपरोक्त स्थिति के समान स्थिति मान ले, लेकिन K का विस्तार L अनंत डिग्री का बीजगणितीय है, तो यह अभी भी L में R के पूर्ण समापन S के लिए डेडेकिंड कार्यक्षेत्र होना संभव है, लेकिन इसकी गारंटी नहीं है। उदाहरण के लिए, फिर से R = 'Z', K = 'Q' लें और अब L को सभी बीजगणितीय संख्याओं का क्षेत्र $$\overline{\textbf{Q}}$$ मान लें। पूर्ण समापन सभी बीजगणितीय पूर्णांकों के वलय  $$\overline{\textbf{Z}}$$ के अतिरिक्त और कुछ नहीं है। चूंकि एक बीजगणितीय पूर्णांक का वर्गमूल फिर से एक बीजगणितीय पूर्णांक होता है, इसलिए किसी भी शून्येतर गैर-इकाई बीजगणितीय पूर्णांकों का गुणनफल करना संभव नहीं है, जिसका अर्थ है कि $$\overline{\textbf{Z}}$$ नोथेरियन अभाज्य नहीं है! सामान्यतः, एक अनंत बीजगणितीय विस्तार में डेडेकिंड कार्यक्षेत्र का अभिन्न समापन एक प्रुफर कार्यक्षेत्र है; यह पता चला है कि बीजगणितीय पूर्णांकों का वलय इससे थोड़ा अधिक विशेष है: यह एक बेज़ाउट कार्यक्षेत्र है।

आंशिक आदर्श और वर्ग समूह
R को क्षेत्र K के साथ एक अभिन्न कार्यक्षेत्र मान ले। एक भिन्नात्मक आदर्श K का एक अशून्य R-उपप्रतिरूपक I है जिसके लिए K में एक अशून्य x उपलब्ध है जैसे कि $$xI \subset R.$$

दो आंशिक आदर्शों I और J को देखते हुए, उनके गुणनफल IJ को सभी परिमित योगों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है $$\sum_n i_n j_n, \, i_n \in I, \, j_n \in J$$: गुणनफल IJ पुनः एक भिन्नात्मक गुणजावली है। उपरोक्त गुणनफल के साथ संपन्न सभी भिन्नात्मक आदर्शों का सेट Frac(R) एक क्रमविनिमेय अर्धसमूह है और वास्तव में एक मोनोइड है जिसमें पहचान तत्व भिन्नात्मक आदर्श R है।

किसी भिन्नात्मक आदर्श I के लिए, भिन्नात्मक गुणजावली को परिभाषित किया जा सकता है


 * $$I^* = (R:I) = \{x \in K \mid xI \subset R\}.$$

एक पुनरुक्ति में $$I^*I \subset R$$ होता है। वास्तव में किसी में समानता होती है यदि और केवल, Frac(R) के मोनोइड के तत्व के रूप में उलटा है। दूसरे शब्दों में, यदि I का कोई व्युत्क्रम है, तो प्रतिलोम $$I^*$$ अवश्य होना चाहिए।

एक भिन्नात्मक आदर्श सिद्धांत K में कुछ गैर शून्य x के लिए $$xR$$ के रूप में से एक है। ध्यान दें कि प्रत्येक भिन्नात्मक आदर्श सिद्धांत व्युत्क्रमणीय है। $$xR$$ का व्युत्क्रम केवल $$\frac{1}{x}R$$. है। हम Prin(R) द्वारा सिद्धांत आंशिक आदर्शों के उपसमूह को निरूपित करते हैं।

एक कार्यक्षेत्र R एक PID ​​​​है अगर और केवल हर आंशिक आदर्श सिद्धांत है। इस स्थिति में, हमारे पास Frac(R) = Prin(R) = है $$K^{\times}/R^{\times}$$, दो सिद्धांत आंशिक आदर्शों के बाद से $$xR$$ और $$yR$$ बराबर हैं $$xy^{-1}$$ R में एक इकाई है।

एक सामान्य कार्यक्षेत्र R के लिए, मुख्य भिन्नात्मक आदर्शों के सबमोनॉइड Prin (R) द्वारा सभी भिन्नात्मक आदर्शों के मोनोइड Frac(R) के भागफल को लेना अर्थपूर्ण है। हालाँकि यह भागफल समान्यतः केवल एक मोनोइड होता है। वास्तव में यह देखना आसान है कि Frac(R)/Prin(R) में भिन्नात्मक आदर्श I का वर्ग व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि I स्वयं व्युत्क्रमणीय है।

अब हम (DD3) की सराहना कर सकते हैं: डेडेकिंड कार्यक्षेत्र में (और केवल डेडेकिंड कार्यक्षेत्र में) प्रत्येक भिन्नात्मक आदर्श व्युत्क्रमणीय होता है। इस प्रकार ये ठीक कार्यक्षेत्र के वर्ग हैं जिसके लिए Frac(R)/Prin(R) एक समूह (गणित) बनाता है, R का आदर्श वर्ग समूह Cl(R) है। यह समूह छोटा है अगर और केवल R एक PID है, इसलिए इसे PID ​​​​होने वाले सामान्य डेडेकाइंड कार्यक्षेत्र में बाधा को मापने के रूप में देखा जा सकता है।

हमने ध्यान दिया कि एक मनमाने कार्यक्षेत्र के लिए पिकार्ड समूह Pic(R) को उल्टे भिन्नात्मक आदर्शों के समूह के रूप में परिभाषित किया जा सकता है Inv(R) modulo सिद्धांत भिन्नात्मक आदर्शों का उपसमूह हैं। डेडेकिंड कार्यक्षेत्र के लिए यह निश्चित रूप से आदर्श वर्ग समूह के समान है। हालांकि, कार्यक्षेत्र के एक अधिक सामान्य वर्ग पर, जिसमें नोथेरियन कार्यक्षेत्र और क्रुल कार्यक्षेत्र समिलित हैं, आदर्श वर्ग समूह एक अलग तरीके से बनाया गया है, और एक विहित समरूपता है


 * Pic (R) → CI (R)

जो कि समान्यतः न तो अंतःक्षेपी है और न ही आच्छादक। यह कार्टियर विभाजक और वील विभाजक के बीच एक विलक्षण बीजगणितीय प्रकार के अंतर का एक एफीन एनालॉग है।

L. क्लैबॉर्न (क्लाबॉर्न 1966) का एक उल्लेखनीय प्रमेय दावा करता है कि किसी भी एबेलियन समूह G के लिए, एक डेडेकिंड कार्यक्षेत्र R उपलब्ध है जिसका आदर्श वर्ग समूह G के लिए समूह समरूपता है। बाद में, C.R. लीधम-ग्रीन ने दिखाया कि इस तरह के R का निर्माण एक द्विघात क्षेत्र विस्तार (लीधम-ग्रीन 1972) में PID ​​​​के अभिन्न समापन के रूप में किया जा सकता है। 1976 में, M. रोसेन ने दिखाया कि किसी डेडेकिंड कार्यक्षेत्र के वर्ग समूह के रूप में किसी भी गणनीय एबेलियन समूह को कैसे सिद्ध किया जाए, जो एक दीर्घवृत्तीय वक्र के तर्कसंगत कार्य क्षेत्र का एक उपसमूह है, और अनुमान लगाया कि एक सामान्य एबेलियन के लिए ऐसा अण्डाकार निर्माण संभव होना चाहिए। रोसेन के अनुमान को 2008 में P.L. (क्लार्क 2009) ने सिद्ध किया।

इसके विपरीत, बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में बुनियादी प्रमेयों में से एक यह निर्धारित करता है कि संख्या क्षेत्र के पूर्णांकों के वलय का वर्ग समूह परिमित है; इसकी प्रमुखता को वर्ग संख्या (संख्या सिद्धांत) कहा जाता है और गॉस से लेकर आज तक कई प्रमुख गणितज्ञों की कड़ी मेहनत के बाद यह एक महत्वपूर्ण और रहस्यमय अपरिवर्तनीय है।

एक डेडेकिंड कार्यक्षेत्र पर सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल
सिद्धांत आदर्श कार्यक्षेत्र (PID) पर सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल के लिए प्रसिद्ध और अत्यधिक उपयोगी संरचना प्रमेय को ध्यान में रखते हुए, डेडेकाइंड कार्यक्षेत्र पर अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल के लिए संबंधित सिद्धांत के लिए निवेदन स्वाभाविक है।

आइए संक्षेप में एक PID R पर एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न $$M$$ की स्थिति में संरचना सिद्धांत को याद करें। हम मरोड़ वाले उपप्रतिरूपक  $$T$$  को M के $$m$$ तत्वों के सेट के रूप में परिभाषित करते हैं। जैसे कि  $$rm = 0$$ कुछ गैर शून्य के लिए $$r$$ में $$R$$. तब (M1) $$T$$ प्रत्येक रूप में चक्रीय मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग में विघटित किया जा सकता है। $$R/I$$ कुछ अशून्य आदर्श के लिए $$I$$ का $$R$$. चीनी अवशेष प्रमेय द्वारा, प्रत्येक $$R/I$$ को उपप्रतिरूपक के प्रत्यक्ष योग में विघटित किया जा सकता है $$R/P^i$$, जहां $$P^i$$ एक अभाज्य आदर्श शक्ति है। यह अपघटन अद्वितीय नहीं है, लेकिन केवल दो अपघटन


 * $$T \cong R/P_1^{a_1} \oplus \cdots \oplus R/P_r^{a_r} \cong R/Q_1^{b_1} \oplus \cdots \oplus R/Q_s^{b_s} $$

केवल गुणनखंड के क्रम में भिन्न होते हैं।

(M2) मरोड़ उपप्रतिरूपक एक सीधा योग है। अर्थात्, $$P$$ का $$M$$ एक पूरक उपप्रतिरूपक उपलब्ध है, ऐसा है, कि $$M = T \oplus P$$.

(M3PID) $$P$$,$$R^n$$ के समरूपी से विशिष्ट रूप से निर्धारित गैर-ऋणात्मक पूर्णांक $$n$$ के लिए विशेष रूप से, $$P$$ एक अंतिम रूप से उत्पन्न मुक्त मॉड्यूल है।

अब मान ले कि $$M$$ एक स्वेच्छ डेडेकिंड कार्यक्षेत्र $$R$$. पर एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न किया गया मॉड्यूल है

तब (M1) और (M2) शब्दशः धारण करते हैं। हालाँकि, यह (M3PID) से अनुसरण करता है कि एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मरोड़ रहित मॉड्यूल $$P$$ एक PID ​​​ है। विशेष रूप से, यह दावा करता है कि सभी भिन्नात्मक आदर्श सिद्धांत हैं, एक कथन जो कभी भी गलत हो सकता है वह यह है कि $$R$$ एक PID ​​नहीं है। दूसरे शब्दों में, वर्ग समूह $$Cl(R)$$ की गैर-तुच्छता के कारण (M3PID) विफल हो जाता है। उल्लेखनीय रूप से, एक मनमाना डेडेकाइंड कार्यक्षेत्र पर मरोड़ रहित बारीक रूप से उत्पन्न मॉड्यूल में अतिरिक्त संरचना को वर्ग समूह द्वारा सटीक रूप से नियंत्रित किया जाता है, जैसा कि अब हम समझाते हैं। एक मनमाने ढंग से डेडेकिंड कार्यक्षेत्र पर एक

(M3DD) $$P$$ श्रेणी एक प्रक्षेपीय मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग के लिए समरूपी है: $$P \cong I_1 \oplus \cdots \oplus I_r$$. इसके अतिरिक्त, किसी भी श्रेणी के लिए एक प्रक्षेपीय मॉड्यूल $$I_1,\ldots,I_r,J_1,\ldots,J_s$$, किसी के पास


 * $$ I_1 \oplus \cdots \oplus I_r \cong J_1 \oplus \cdots \oplus J_s$$

अगर और केवल अगर


 * $$r = s$$

और


 * $$I_1 \otimes \cdots \otimes I_r \cong J_1 \otimes \cdots \otimes J_s.\,$$

श्रेणी एक प्रक्षेपीय मॉड्यूल को भिन्नात्मक आदर्शों के साथ पहचाना जा सकता है, और अंतिम स्थिति को फिर से परिभाषित किया जा सकता है


 * $$ [I_1 \cdots I_r] = [J_1 \cdots J_s] \in Cl(R). $$

इस प्रकार श्रेणी का एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मरोड़ रहित मॉड्यूल $$n > 0$$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$R^{n-1} \oplus I$$, जहां $$I$$ श्रेणी एक प्रक्षेपीय मॉड्यूल है। $$P$$ पर $$R$$ के लिए स्टीनिट्ज़ वर्ग $$[I]$$ का $$I$$ में $$Cl(R)$$: यह विशिष्ट रूप से निर्धारित है। इसका एक परिणाम है:

प्रमेय: मानो कि $$R$$ एक डेडेकाइंड कार्यक्षेत्र है। तब $$K_0(R) \cong \mathbb{Z} \oplus Cl(R)$$, जहां $$K_0(R)$$ सूक्ष्म रूप से उत्पन्न प्रक्षेपी $$R$$ मॉड्यूल के क्रमविनिमेय मोनॉइड का ग्रोथेंडिक समूह है।

ये परिणाम 1912 में अर्नेस्ट स्टीनिट्ज़ द्वारा स्थापित किए गए थे।

इस संरचना का एक अतिरिक्त परिणाम, जो पूर्ववर्ती प्रमेय में निहित नहीं है, यह है कि यदि डेडेकिंड कार्यक्षेत्र पर दो प्रक्षेपी मॉड्यूल ग्रोथेंडिक समूह में समान वर्ग हैं, तो वे वास्तव में समरूपी हैं।

स्थानीय रूप से डेडेकिंड के छल्ले
एक अभिन्न कार्यक्षेत्र $$R$$  उपलब्ध हैं जो स्थानीय रूप से डेडेकाइंड है लेकिन विश्व स्तर पर डेडेकाइंड नही हैं। $$R$$  का स्थानीयकरण प्रत्येक अधिकतम आदर्श पर एक डेडेकाइंड वलय (समतुल्य रूप से, एक DVR हैं), लेकिन  $$R$$ स्वयं डेडेकाइंड नहीं है। जैसा कि ऊपर बताया गया है, उपरोक्त वलय नोथेरियन नहीं हो सकती है। ऐसा लगता है कि इस तरह के वलयों का पहला उदाहरण 1953 में एन. नाकानो द्वारा बनाया गया था। साहित्य में ऐसे वलयों को कभी-कभी "उचित लगभग डेडेकिंड विलय" कहा जाता है।

यह भी देखें

 * डेवनपोर्ट स्थिरांक

संदर्भ

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