सीमा-संरक्षण कार्य (आदेश सिद्धांत)

आदेश सिद्धांत के गणित क्षेत्र में, अक्सर फ़ंक्शन (गणित) के बारे में बात की जाती है जो कुछ सीमाओं को संरक्षित करता है, यानी कुछ सर्वोच्च या अनंत। मोटे तौर पर कहें तो, ये फ़ंक्शंस किसी सेट के सुप्रीम/इन्फ़िमम को सेट की छवि के सुप्रीम/इन्फ़िमम में मैप करते हैं। सेट के प्रकार के आधार पर जिसके लिए कोई फ़ंक्शन इस संपत्ति को संतुष्ट करता है, यह परिमित, निर्देशित, गैर-रिक्त, या सिर्फ मनमाना अंतिम या सबसे कम को संरक्षित कर सकता है। इनमें से प्रत्येक आवश्यकता क्रम सिद्धांत के कई क्षेत्रों में स्वाभाविक रूप से और बार-बार दिखाई देती है और इन अवधारणाओं और मोनोटोनिक फ़ंक्शन जैसी अन्य धारणाओं के बीच विभिन्न महत्वपूर्ण संबंध हैं। यदि सीमा संरक्षण का निहितार्थ उलटा है, जैसे कि किसी फ़ंक्शन की सीमा में सीमाओं का अस्तित्व डोमेन में सीमाओं के अस्तित्व को दर्शाता है, तो व्यक्ति को ऐसे फ़ंक्शन प्राप्त होते हैं जो सीमा-प्रतिबिंबित होते हैं।

इस लेख का उद्देश्य इन बुनियादी अवधारणाओं की परिभाषा को स्पष्ट करना है, जो आवश्यक है क्योंकि इस बिंदु पर साहित्य हमेशा सुसंगत नहीं होता है, और इन मुद्दों पर सामान्य परिणाम और स्पष्टीकरण देना है।

पृष्ठभूमि और प्रेरणा
ऑर्डर सिद्धांत के कई विशिष्ट क्षेत्रों में, आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेटों की कक्षाओं को प्रतिबंधित किया जाता है जो कुछ सीमा निर्माणों के संबंध में पूर्णता (ऑर्डर सिद्धांत) हैं। उदाहरण के लिए, जाली (क्रम) में, किसी को उन आदेशों में रुचि होती है जहां सभी परिमित गैर-रिक्त सेटों में न्यूनतम ऊपरी सीमा और सबसे बड़ी निचली सीमा दोनों होती हैं। दूसरी ओर, डोमेन सिद्धांत में, आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट पर ध्यान केंद्रित किया जाता है जिसमें प्रत्येक निर्देशित सेट का एक सर्वोच्च होता है। कम से कम तत्व (खाली सुप्रीम) के साथ पूर्ण जाली और ऑर्डर आगे के उदाहरण प्रदान करते हैं।

इन सभी मामलों में, सीमाएँ सिद्धांतों के लिए एक केंद्रीय भूमिका निभाती हैं, जो प्रत्येक अनुशासन के व्यावहारिक अनुप्रयोगों में उनकी व्याख्याओं द्वारा समर्थित होती हैं। ऐसे आदेशों के बीच उचित मैपिंग निर्दिष्ट करने में भी रुचि है। एक सार्वभौमिक बीजगणित दृष्टिकोण से, इसका मतलब यह है कि कोई व्यक्ति विचाराधीन संरचनाओं के लिए समरूपता की पर्याप्त धारणाएँ खोजना चाहता है। यह उन कार्यों पर विचार करके प्राप्त किया जाता है जो उन निर्माणों के अनुकूल हैं जो संबंधित आदेशों की विशेषता हैं। उदाहरण के लिए, जाली समरूपताएं वे कार्य हैं जो गैर-रिक्त परिमित सुप्रीमा और इनफिमा को संरक्षित करते हैं, अर्थात दो तत्वों के सुप्रीम/इन्फ़िमम की छवि उनकी छवियों का सिर्फ सुप्रीम/इन्फ़िमम है। डोमेन सिद्धांत में, व्यक्ति अक्सर तथाकथित स्कॉट-निरंतर कार्यों से निपटता है जो सभी निर्देशित सर्वोच्चता को संरक्षित करते हैं।

नीचे दी गई परिभाषाओं और शब्दावली की पृष्ठभूमि श्रेणी सिद्धांत में पाई जाती है, जहां सीमा (श्रेणी सिद्धांत) (और सह-सीमाएं) को अधिक सामान्य अर्थ में माना जाता है। 'सीमा-संरक्षण' और 'सीमा-प्रतिबिंबित' फ़ंक्शनलर्स की श्रेणीबद्ध अवधारणा ऑर्डर सिद्धांत के साथ पूर्ण सामंजस्य में है, क्योंकि ऑर्डर को परिभाषित अतिरिक्त संरचना के साथ पॉसेट श्रेणियों के रूप में परिभाषित छोटी श्रेणियों के रूप में माना जा सकता है।

औपचारिक परिभाषा
दो आंशिक रूप से क्रमित सेट P और Q और P से Q तक एक फ़ंक्शन f पर विचार करें। इसके अलावा, मान लीजिए कि S, P का एक उपसमुच्चय है जिसकी न्यूनतम ऊपरी सीमा s है। फिर यदि सेट f(S) = {f(x) | S में x की Q में न्यूनतम ऊपरी सीमा है जो f(s) के बराबर है, यानी।
 * एफ(सुपर एस) = सुपर एफ(एस)

इस परिभाषा में दो आवश्यकताएँ शामिल हैं: समुच्चय f(S) का सर्वोच्च मौजूद है और यह f(s) के बराबर है। यह उपर्युक्त श्रेणी सिद्धांत के समानांतर है, लेकिन साहित्य में हमेशा इसकी आवश्यकता नहीं होती है। वास्तव में, कुछ मामलों में केवल मौजूदा सुप्रीमा को f(s) के बराबर करने की आवश्यकता की परिभाषा को कमजोर कर दिया जाता है। हालाँकि, विकिपीडिया ऊपर दी गई सामान्य धारणा के साथ काम करता है और यदि आवश्यक हो तो अन्य शर्तों को स्पष्ट रूप से बताता है।

ऊपर दी गई मौलिक परिभाषा से, उपयोगी गुणों की एक विस्तृत श्रृंखला प्राप्त की जा सकती है। आंशिक रूप से आदेशित सेट पी और क्यू के बीच एक फ़ंक्शन एफ को परिमित, गैर-रिक्त, निर्देशित, या मनमाना सुप्रीमा को संरक्षित करने के लिए कहा जाता है यदि यह क्रमशः सभी परिमित, गैर-रिक्त, निर्देशित, या मनमाना सेटों के सुप्रीमा को संरक्षित करता है। गैर-रिक्त परिमित सर्वोच्चता के संरक्षण को पहचान f(x v y) = f(x) v f(y) द्वारा भी परिभाषित किया जा सकता है, जो सभी तत्वों x और y के लिए है, जहां हम v को दोनों आदेशों पर कुल कार्य मानते हैं।

द्वैत (आदेश सिद्धांत) तरीके से, व्यक्ति इन्फिमा के संरक्षण के लिए गुणों को परिभाषित करता है।

सीमाओं के संरक्षण की विपरीत स्थिति को परावर्तन कहा जाता है। उपरोक्त के अनुसार एक फ़ंक्शन f और P के एक उपसमुच्चय S पर विचार करें, जैसे कि समर्थन f(S) Q में मौजूद है और P के कुछ तत्वों के लिए f(s) के बराबर है। फिर यदि समर्थन S है तो f, S के सर्वोच्च को 'प्रतिबिंबित' करता है मौजूद है और एस के बराबर है। जैसा कि संरक्षण के लिए पहले ही प्रदर्शित किया जा चुका है, व्यक्ति सेट एस के कुछ वर्गों पर विचार करके और इनफिमा की परिभाषा को दोहराकर कई अतिरिक्त गुण प्राप्त करता है।

विशेष मामले
उपरोक्त योजना से प्राप्त कुछ विशेष मामले या गुण अन्य नामों से जाने जाते हैं या आदेश सिद्धांत के कुछ क्षेत्रों के लिए विशेष महत्व रखते हैं। उदाहरण के लिए, वे फ़ंक्शन जो खाली सुप्रीम को संरक्षित करते हैं वे वे होते हैं जो सबसे कम तत्व को संरक्षित करते हैं। इसके अलावा, पहले बताई गई प्रेरणा के कारण, कई सीमा-संरक्षण कार्य कुछ ऑर्डर संरचनाओं के लिए विशेष समरूपता के रूप में दिखाई देते हैं। कुछ अन्य प्रमुख मामले नीचे दिये गये हैं।

सभी सीमाओं का संरक्षण
एक दिलचस्प स्थिति तब उत्पन्न होती है जब कोई फ़ंक्शन 'सभी सुप्रीमा को सुरक्षित रखता है' (या इन्फिमा)। अधिक सटीक रूप से, इसे यह कहकर व्यक्त किया जाता है कि एक फ़ंक्शन सभी मौजूदा सुप्रीमा (या इन्फिमा) को संरक्षित करता है, और यह अच्छी तरह से हो सकता है कि विचाराधीन पॉसेट पूर्ण लैटिस नहीं हैं। उदाहरण के लिए, (मोनोटोन) गैलोइस कनेक्शन में यह संपत्ति है। इसके विपरीत, ऑर्डर सैद्धांतिक एडजॉइंट फ़ैक्टर प्रमेय (ऑर्डर सिद्धांत) द्वारा, सभी सुप्रीमा/इन्फिमा को संरक्षित करने वाली मैपिंग को एक अद्वितीय गैलोज़ कनेक्शन का हिस्सा होने की गारंटी दी जा सकती है जब तक कि कुछ अतिरिक्त आवश्यकताएं पूरी हो जाती हैं।

वितरणशीलता
एक जाली (क्रम) L 'वितरणात्मक जाली' है, यदि L में सभी x, y और z के लिए, हम पाते हैं


 * $$x \wedge \left( y \vee z \right)

= \left( x \wedge y \right) \vee \left( x \wedge z \right) $$ लेकिन यह सिर्फ इतना कहता है कि मीट फ़ंक्शन ^: L -> L बाइनरी सुप्रीमा को संरक्षित करता है। जाली सिद्धांत में यह ज्ञात है, कि यह स्थिति इसके दोहरे के बराबर है, अर्थात फ़ंक्शन v: L -> L बाइनरी इन्फिमा को संरक्षित करता है। इसी प्रकार, कोई अनंत वितरण नियम को देखता है


 * $$x \wedge \bigvee S

= \bigvee \left \{ x \wedge s \mid s \in S \right \}$$ पूर्ण हेयटिंग अलजेब्रा ( व्यर्थ टोपोलॉजी भी देखें) मीट फ़ंक्शन ^ के बराबर है जो मनमाना सुप्रीमा को संरक्षित करता है। हालाँकि, यह स्थिति इसके दोहरे होने का संकेत नहीं देती है।

स्कॉट-निरंतरता
निर्देशित सुप्रीमा को संरक्षित करने वाले कार्यों को स्कॉट-निरंतर या कभी-कभी केवल निरंतर कहा जाता है, यदि इससे गणितीय विश्लेषण और टोपोलॉजी की अवधारणा के साथ भ्रम पैदा नहीं होता है। सीमाओं के संरक्षण के लिए निरंतर शब्द का समान उपयोग श्रेणी सिद्धांत में भी पाया जा सकता है।

महत्वपूर्ण गुण और परिणाम
सीमा संरक्षण की उपरोक्त परिभाषा काफी मजबूत है। वास्तव में, प्रत्येक फ़ंक्शन जो कम से कम दो-तत्व श्रृंखलाओं के सुप्रीमा या इन्फिमा को संरक्षित करता है, अर्थात दो तुलनीय तत्वों के सेट, आवश्यक रूप से मोनोटोन है। इसलिए, ऊपर बताए गए सभी विशेष संरक्षण गुण एकरसता उत्पन्न करते हैं।

इस तथ्य के आधार पर कि कुछ सीमाएं दूसरों के संदर्भ में व्यक्त की जा सकती हैं, कोई भी संरक्षण गुणों के बीच संबंध प्राप्त कर सकता है। उदाहरण के लिए, एक फ़ंक्शन f निर्देशित सर्वोच्चता को संरक्षित करता है यदि और केवल यदि यह सभी आदर्शों की सर्वोच्चता को संरक्षित करता है। इसके अलावा, एक पोसेट से मैपिंग एफ जिसमें प्रत्येक गैर-रिक्त परिमित सुप्रीम मौजूद है (एक तथाकथित सुपर-सेमिलैटिस) मनमाने ढंग से सुप्रीम को संरक्षित करता है यदि और केवल अगर यह निर्देशित और परिमित (संभवतः खाली) सुप्रीम को संरक्षित करता है।

हालाँकि, यह सच नहीं है कि एक फ़ंक्शन जो सभी सर्वोच्च को संरक्षित करता है, वह सभी इंफिमा को भी संरक्षित करेगा या इसके विपरीत।

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