डिराक समीकरण

कण भौतिकी में, डिराक समीकरण 1928 में ब्रिटिश भौतिक विज्ञानी पॉल डिराक द्वारा प्राप्त सापेक्षतावादी तरंग समीकरण है। अपने स्वतंत्र रूप या विद्युत चुम्बकीय अंतःक्रियाओं सहित, यह सभी प्रचक्रण-½ बड़े कणों का वर्णन करता है, जिन्हें "डायराक कण" कहा जाता है, जैसे इलेक्ट्रॉन और क्वार्क जिनके लिए समता (भौतिकी) समरूपता (भौतिकी) है। यह क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांतों और विशेष सापेक्षता के सिद्धांत दोनों के अनुरूप है, और क्वांटम यांत्रिकी के संदर्भ में विशेष सापेक्षता को पूरी तरह से ध्यान में रखने वाला पहला सिद्धांत था। इसे पूरी तरह से दृढ़ तरीके से हाइड्रोजन वर्णक्रमीय श्रृंखला की बारीक संरचना का लेखा-जोखा करके मान्य किया गया था।

समीकरण ने पदार्थ के एक नए रूप, प्रतिद्रव्य के अस्तित्व को भी दर्शाया, जो पहले से संदेहास्पद और अवलोकित था और जिसकी कई वर्षों बाद प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि की गई थी। इसने वोल्फगैंग पाउली के संवृतिशास्त्र (कण भौतिकी) प्रचक्रण (भौतिकी) सिद्धांत में कई घटक तरंग फलन के आरम्भ के लिए सैद्धांतिक औचित्य भी प्रदान किया। डिराक सिद्धांत में तरंग फलन चार समिश्र संख्याओं (बिस्पिनोर के रूप में जाना जाता है) के सदिश हैं, जिनमें से दो गैर-सापेक्षतावादी सीमा में पाउली समीकरण से मिलते जुलते हैं, श्रोडिंगर समीकरण के विपरीत जो केवल समिश्र मान के तरंग फलन का वर्णन करता है। इसके अलावा, शून्य द्रव्यमान की सीमा में, डिराक समीकरण वेइल समीकरण में कम हो जाता है।

हालाँकि डिराक ने पहले तो अपने परिणामों के महत्व को पूरी तरह से नहीं समझा, क्वांटम यांत्रिकी और सापेक्षता के मिलन के परिणामस्वरूप प्रचक्रण की विस्तृत व्याख्या - और पोजीट्रान की अंतिम खोज - सैद्धांतिक भौतिकी की महान अभिभूत में से एक का प्रतिनिधित्व करती है। इस उपलब्धि को उनसे पहले आइजैक न्यूटन, जेम्स क्लर्क मैक्सवेल और अल्बर्ट आइंस्टीन के फलन के बराबर बताया गया है। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में, प्रचक्रण-1⁄2 कण के अनुरूप क्वांटम क्षेत्रों का वर्णन करने के लिए डिराक समीकरण की पुनर्व्याख्या की गई है।

डिराक समीकरण वेस्टमिन्स्टर ऐबी के पृष्ठ पर पट्टिका पर अंकित है। 13 नवंबर 1995 को अनावरण किया गया, यह पट्टिका पॉल डिराक के जीवन का स्मरण कराती है।

गणितीय सूत्रीकरण
क्षेत्र सिद्धांत के लिए अपने आधुनिक सूत्रीकरण में, डिराक समीकरण को डिराक स्पिनर क्षेत्र के संदर्भ में लिखा गया है $$\psi$$ एक समिश्र वेक्टर स्थान में मान लेना, जिसे ठोस रूप से वर्णित किया गया है $$\mathbb{C}^4$$, समतल स्पेसटाइम (मिन्कोवस्की स्थान) पर परिभाषित $$\mathbb{R}^{1,3}$$. इसकी अभिव्यक्ति में गामा मैट्रिक्स और एक पैरामीटर भी शामिल है $$m > 0$$ द्रव्यमान के साथ-साथ अन्य भौतिक स्थिरांकों के रूप में व्याख्या की गई।

एक क्षेत्र के संदर्भ में $$\psi: \mathbb{R}^{1,3}\rightarrow \mathbb{C}^4$$, डिराक समीकरण तब है

और प्राकृतिक इकाइयों में, फेनमैन स्लैश नोटेशन के साथ,

गामा मैट्रिक्स चार का एक सेट है $$4 \times 4$$ समिश्र आव्यूह (तत्व) $$\text{Mat}_{4\times 4}(\mathbb{C})$$) जो परिभाषित विरोधी कम्यूटेशन संबंधों को संतुष्ट करते हैं: $$\{\gamma^\mu, \gamma^\nu\} = 2\eta^{\mu\nu}I_4$$ कहाँ $$\eta^{\mu\nu}$$ मिन्कोव्स्की मीट्रिक तत्व और सूचकांक है $$\mu, \nu$$ 0,1,2 और 3 पर चलाएँ। इन मैट्रिक्स को प्रतिनिधित्व के विकल्प के तहत स्पष्ट रूप से महसूस किया जा सकता है। दो सामान्य विकल्प डिराक प्रतिनिधित्व हैं $$ \gamma^0 = \begin{pmatrix} I_2 &       0 \\         0 & -I_2 \end{pmatrix},\quad \gamma^i = \begin{pmatrix}   0 & \sigma^i \\ -\sigma^i &    0 \end{pmatrix}, $$ कहाँ $$\sigma^i$$ पॉल के मैट्रिक्स और चिरल प्रतिनिधित्व हैं: द $$\gamma^i$$ वही हैं, लेकिन $$\gamma^0 = \begin{pmatrix} 0 &  I_2 \\         I_2 & 0 \end{pmatrix}.$$ स्लैश नोटेशन एक कॉम्पैक्ट नोटेशन है $$A\!\!\!/ := \gamma^\mu A_\mu$$ कहाँ $$A$$ एक चार-वेक्टर है (अक्सर यह चार-वेक्टर अंतर ऑपरेटर होता है $$\partial_\mu$$). सूचकांक पर योग $$\mu$$ निहित है.

डिराक एडजॉइंट और एडजॉइंट समीकरण
स्पिनर क्षेत्र का डायराक जोड़ $$\psi(x)$$ परिभाषित किया जाता है $$\bar\psi(x) = \psi(x)^\dagger \gamma^0.$$ गामा मैट्रिक्स की संपत्ति का उपयोग करना (जो सीधे हर्मिसिटी गुणों से अनुसरण करता है $$\gamma^\mu$$) वह $$(\gamma^\mu)^\dagger = \gamma^0\gamma^\mu\gamma^0,$$ कोई भी डायराक समीकरण के हर्मिटियन संयुग्म को लेकर और दाईं ओर गुणा करके आसन्न डायराक समीकरण प्राप्त कर सकता है $$\gamma^0$$: $$\bar\psi (x)( - i\gamma^\mu \partial_\mu - m) = 0$$ जहां आंशिक व्युत्पन्न दाईं ओर से फलन करता है $$\bar\psi(x)$$: व्युत्पन्न की बाईं क्रिया के संदर्भ में सामान्य तरीके से लिखा गया है, हमारे पास है $$- i\partial_\mu\bar\psi (x)\gamma^\mu - m\bar\psi (x) = 0.$$क्लेन-गॉर्डन समीकरण को लागू करने $$i\partial\!\!\!/ + m$$ डिराक समीकरण देता है $$(\partial_\mu\partial^\mu + m^2)\psi(x) = 0.$$ अर्थात्, डिराक स्पिनर क्षेत्र का प्रत्येक घटक क्लेन-गॉर्डन समीकरण को संतुष्ट करता है।

संरक्षित धारा
सिद्धांत की एक संरक्षित धारा है $$J^\mu = \bar{\psi}\gamma^\mu\psi.$$ $$

इस अभिव्यक्ति को प्राप्त करने का एक अन्य तरीका विभिन्न तरीकों से है, वैश्विक के लिए नोएदर के प्रमेय को लागू करना $$\text{U}(1)$$ संरक्षित धारा प्राप्त करने के लिए समरूपता $$J^\mu.$$

$$

समाधान
चूंकि डिराक ऑपरेटर वर्ग-अभिन्न फलन के 4-टुपल्स पर फलन करता है, इसलिए इसके समाधान समान हिल्बर्ट स्थान  के सदस्य होने चाहिए। यह तथ्य कि समाधानों की ऊर्जा की कोई निचली सीमा नहीं है, अप्रत्याशित है।

समतल-तरंग समाधान
प्लेन-वेव समाधान वे होते हैं जो एक एन्सैट्ज़ से उत्पन्न होते हैं $$\psi(x) = u(\mathbf{p})e^{-i p \cdot x}$$ जो एक कण को ​​निश्चित 4-संवेग के साथ मॉडल करता है $$p = (E_\mathbf{p}, \mathbf{p})$$ कहाँ $E_\mathbf{p} = \sqrt{m^2 + |\mathbf{p}|^2}.$ इस ansatz के लिए, डिराक समीकरण एक समीकरण बन जाता है $$u(\mathbf{p})$$: $$\left(\gamma^\mu p_\mu - m\right) u(\mathbf{p}) = 0.$$ गामा मैट्रिक्स के लिए एक प्रतिनिधित्व चुनने के बाद $$\gamma^\mu$$, इसे हल करना रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने का मामला है। यह गामा मैट्रिक्स की एक प्रतिनिधित्व-मुक्त संपत्ति है कि समाधान स्थान द्वि-आयामी है (गामा मैट्रिक्स#अन्य प्रतिनिधित्व-मुक्त गुण देखें)।

उदाहरण के लिए, चिरल प्रतिनिधित्व में $$\gamma^\mu$$, समाधान स्थान को a द्वारा पैरामीटराइज़ किया गया है $$\mathbb{C}^2$$ वेक्टर $$\xi$$, साथ $$u(\mathbf{p}) = \begin{pmatrix} \sqrt{\sigma^\mu p_\mu}\xi \\ \sqrt{\bar\sigma^\mu p_\mu}\xi \end{pmatrix}$$ कहाँ $$\sigma^\mu = (I_2, \sigma^i), \bar\sigma^\mu = (I_2, -\sigma^i)$$ और $$\sqrt{\cdot}$$ हर्मिटियन मैट्रिक्स वर्गमूल है।

ये समतल-तरंग समाधान विहित परिमाणीकरण के लिए एक प्रारंभिक बिंदु प्रदान करते हैं।

लैग्रेंजियन सूत्रीकरण
डिराक समीकरण और एडजॉइंट डिराक समीकरण दोनों को एक विशिष्ट लैग्रेन्जियन घनत्व के साथ क्रिया से (बदलते हुए) प्राप्त किया जा सकता है जो निम्न द्वारा दिया गया है: $$\mathcal{L} = i\hbar c\overline{\psi}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi - mc^2\overline{\psi}\psi$$ यदि कोई इसके संबंध में बदलता है $$\psi$$ किसी को संयुक्त डायराक समीकरण मिलता है। इस बीच, यदि कोई इसके संबंध में बदलता है $$\bar\psi$$ किसी को डिराक समीकरण मिलता है।

प्राकृतिक इकाइयों में और स्लैश नोटेशन के साथ, क्रिया तब होती है

इस क्रिया के लिए, संरक्षित धारा $$J^\mu$$ उपरोक्त वैश्विक के अनुरूप संरक्षित धारा के रूप में उत्पन्न होता है $$\text{U}(1)$$ क्षेत्र सिद्धांत के लिए नोएदर प्रमेय के माध्यम से समरूपता। समरूपता को स्थानीय, स्पेसटाइम बिंदु पर निर्भर में बदलकर इस क्षेत्र सिद्धांत का आकलन करने से गेज समरूपता (वास्तव में, गेज अतिरेक) मिलती है। परिणामी सिद्धांत क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स या QED है। अधिक विस्तृत चर्चा के लिए नीचे देखें।

लोरेंत्ज़ इनवेरिएंस
डिराक समीकरण लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय है, अर्थात लोरेंत्ज़ समूह की कार्रवाई के तहत $$\text{SO}(1,3)$$ या सख्ती से $$\text{SO}(1,3)^+$$, पहचान से जुड़ा घटक।

एक डिराक स्पिनर के लिए ठोस रूप से मूल्यों को लेने के रूप में देखा जाता है $$\mathbb{C}^4$$, लोरेंत्ज़ परिवर्तन के तहत परिवर्तन $$\Lambda$$ ए द्वारा दिया गया है $$4\times 4$$ समिश्र मैट्रिक्स $$S[\Lambda]$$. तदनुरूप को परिभाषित करने में कुछ सूक्ष्मताएँ हैं $$S[\Lambda]$$, साथ ही संकेतन का एक मानक दुरुपयोग।

अधिकांश उपचार लाई बीजगणित स्तर पर होते हैं। अधिक विस्तृत उपचार के लिए लोरेंत्ज़ समूह#लाई बीजगणित देखें। लोरेंत्ज़ समूह $$4 \times 4$$ वास्तविक मैट्रिक्स अभिनय कर रहे हैं $$\mathbb{R}^{1,3}$$ छह मैट्रिक्स के एक सेट द्वारा उत्पन्न होता है $$\{M^{\mu\nu}\}$$ घटकों के साथ $$(M^{\mu\nu})^\rho{}_\sigma = \eta^{\mu\rho}\delta^\nu{}_\sigma - \eta^{\nu\rho}\delta^\mu{}_\sigma.$$ जब दोनों $$\rho,\sigma$$ सूचकांकों को बढ़ाया या घटाया जाता है, ये केवल एंटीसिमेट्रिक मैट्रिक्स का 'मानक आधार' हैं।

ये लोरेंत्ज़ बीजगणित रूपान्तरण संबंधों को संतुष्ट करते हैं $$[M^{\mu\nu}, M^{\rho\sigma}] = M^{\mu\sigma}\eta^{\nu\rho} - M^{\nu\sigma}\eta^{\mu\rho} + M^{\nu\rho}\eta^{\mu\sigma} - M^{\mu\rho}\eta^{\nu\sigma}.$$ डिराक बीजगणित पर लेख में, यह भी पाया गया है कि प्रचक्रण जनरेटर $$S^{\mu\nu} = \frac{1}{4} [\gamma^\mu,\gamma^\nu]$$ लोरेंत्ज़ बीजगणित रूपान्तरण संबंधों को संतुष्ट करें।

एक लोरेंत्ज़ परिवर्तन $$\Lambda$$ के रूप में लिखा जा सकता है $$\Lambda = \exp\left(\frac{1}{2}\omega_{\mu\nu}M^{\mu\nu}\right)$$ जहां घटक $$\omega_{\mu\nu}$$ में एंटीसिमेट्रिक हैं $$\mu,\nu$$.

प्रचक्रण स्पेस पर संबंधित परिवर्तन है $$S[\Lambda] = \exp\left(\frac{1}{2}\omega_{\mu\nu}S^{\mu\nu}\right).$$ यह अंकन का दुरुपयोग है, लेकिन एक मानक है। कारण है $$S[\Lambda]$$ का एक सुपरिभाषित फलन नहीं है $$\Lambda$$, क्योंकि घटकों के दो अलग-अलग सेट हैं $$\omega_{\mu\nu}$$ (समतुल्यता तक) जो समान देता है $$\Lambda$$ लेकिन अलग $$S[\Lambda]$$. व्यवहार में हम स्पष्ट रूप से इनमें से एक को चुनते हैं $$\omega_{\mu\nu}$$ और तब $$S[\Lambda]$$ के संदर्भ में अच्छी तरह से परिभाषित है $$\omega_{\mu\nu}.$$ लोरेंत्ज़ परिवर्तन के तहत, डिराक समीकरण $$i\gamma^\mu\partial_\mu \psi(x) - m \psi(x)$$ बन जाता है $$i\gamma^\mu((\Lambda^{-1})_\mu{}^\nu\partial_\nu)S[\Lambda]\psi(\Lambda^{-1} x) - mS[\Lambda]\psi(\Lambda^{-1} x) = 0.$$

$$

लोरेंत्ज़ इनवेरिएंस से संबद्ध एक संरक्षित नोएथर धारा है, या यूं कहें कि संरक्षित नोएथर धाराओं का एक टेंसर है। $$(\mathcal{J}^{\rho\sigma})^\mu$$. इसी प्रकार, चूंकि अनुवाद के तहत समीकरण अपरिवर्तनीय है, इसलिए संरक्षित नोथर धाराओं का एक टेंसर है $$T^{\mu\nu}$$, जिसे सिद्धांत के तनाव-ऊर्जा टेंसर के रूप में पहचाना जा सकता है। लोरेंत्ज़ धारा $$(\mathcal{J}^{\rho\sigma})^\mu$$ आंतरिक कोणीय गति का प्रतिनिधित्व करने वाले टेंसर के अलावा तनाव-ऊर्जा टेंसर के संदर्भ में भी लिखा जा सकता है।

ऐतिहासिक विकास और आगे गणितीय विवरण
डिराक समीकरण का उपयोग (ऐतिहासिक रूप से) क्वांटम-मैकेनिकल सिद्धांत को परिभाषित करने के लिए भी किया गया था $$\psi(x)$$ इसके बजाय इसकी व्याख्या तरंग-फलन के रूप में की जाती है।

पॉल डिराक द्वारा मूल रूप से प्रस्तावित रूप में डिराक समीकरण है: $$\left(\beta mc^2 + c \sum_{n = 1}^{3}\alpha_n p_n\right) \psi (x,t) = i \hbar \frac{\partial\psi(x,t) }{\partial t} $$ कहाँ $ψ(x, t)$ विश्राम द्रव्यमान के इलेक्ट्रॉन के लिए तरंग फलन है $m$ अंतरिक्ष समय  निर्देशांक के साथ $x, t$. वह $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ संवेग के घटक हैं, जिन्हें श्रोडिंगर समीकरण में संवेग संचालक समझा जाता है। भी, $c$ प्रकाश की गति है, और $ħ$ घटा हुआ प्लैंक स्थिरांक है। ये मौलिक भौतिक स्थिरांक क्रमशः विशेष सापेक्षता और क्वांटम यांत्रिकी को दर्शाते हैं।

इस समीकरण को बनाने में डिराक का उद्देश्य सापेक्ष रूप से गतिमान इलेक्ट्रॉन के व्यवहार को समझाना था, और इस प्रकार परमाणु को सापेक्षता के अनुरूप तरीके से व्यवहार करने की अनुमति देना था। उनकी मामूली आशा यह थी कि इस तरह से पेश किए गए सुधारों का परमाणु स्पेक्ट्रा की समस्या पर असर पड़ सकता है।

उस समय तक, परमाणु के पुराने क्वांटम सिद्धांत को सापेक्षता के सिद्धांत के अनुकूल बनाने के प्रयास, जो परमाणु नाभिक के इलेक्ट्रॉन की संभवतः गैर-वृत्ताकार कक्षा में संग्रहीत कोणीय गति को अलग करने पर आधारित थे, विफल हो गए थे - और नया वर्नर हाइजेनबर्ग, वोल्फगैंग पाउली, पास्कल जॉर्डन, इरविन श्रोडिंगर|श्रोडिंगर और स्वयं डिराक के क्वांटम यांत्रिकी इस समस्या का इलाज करने के लिए पर्याप्त रूप से विकसित नहीं हुए थे। हालाँकि डिराक के मूल इरादे संतुष्ट थे, उनके समीकरण का पदार्थ की संरचना पर कहीं अधिक गहरा प्रभाव पड़ा और उन्होंने वस्तुओं की नई गणितीय कक्षाएं पेश कीं जो अब मौलिक भौतिकी के आवश्यक तत्व हैं।

इस समीकरण में नए तत्व चार हैं 4 × 4 मैट्रिक्स (गणित) $α_{1}$, $α_{2}$, $α_{3}$ और $β$, और चार-घटक तरंग फलन $ψ$. इसमें चार घटक हैं $ψ$ क्योंकि कॉन्फ़िगरेशन स्थान में किसी भी बिंदु पर इसका मूल्यांकन एक बिस्पिनर है। इसकी व्याख्या प्रचक्रण-1/2|प्रचक्रण-अप इलेक्ट्रॉन, प्रचक्रण-डाउन इलेक्ट्रॉन, प्रचक्रण-अप पॉज़िट्रॉन और प्रचक्रण-डाउन पॉज़िट्रॉन के सुपरपोज़िशन के रूप में की जाती है। वह 4 × 4 मैट्रिक्स $α_{k}$ और $β$ सभी हर्मिटियन मैट्रिक्स हैं और अनैच्छिक मैट्रिक्स हैं: $$\alpha_i^2 = \beta^2 = I_4$$ और वे सभी परस्पर विरोधी हैं: $$\begin{align} \alpha_i\alpha_j + \alpha_j\alpha_i &= 0\quad(i \neq j) \\ \alpha_i\beta + \beta\alpha_i &= 0 \end{align}$$ इन आव्यूहों और तरंग फलन के रूप का गहरा गणितीय महत्व है। गामा मैट्रिक्स द्वारा प्रस्तुत बीजगणितीय संरचना लगभग 50 वर्ष पहले अंग्रेजी गणितज्ञ विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड|डब्ल्यू द्वारा बनाई गई थी। के. क्लिफोर्ड. बदले में, क्लिफोर्ड के विचार 19वीं सदी के मध्य में जर्मन गणितज्ञ हरमन ग्रासमैन के लिनियर औस्देहनुंगस्लेह्रे (रैखिक विस्तार का सिद्धांत) के काम से उभरे थे। उत्तरार्द्ध को उनके अधिकांश समकालीनों द्वारा लगभग समझ से बाहर माना गया था। इतनी देर से, और इतने प्रत्यक्ष भौतिक तरीके से, इतनी अमूर्त प्रतीत होने वाली किसी चीज़ का प्रकट होना, भौतिकी के इतिहास में सबसे उल्लेखनीय अध्यायों में से एक है। (इससे भी अधिक, गणितज्ञ ग्रासमैन और क्लिफोर्ड द्वारा प्रदर्शित उत्कृष्ट अंतर्दृष्टि का सत्यापन।)

इस प्रकार एकल प्रतीकात्मक समीकरण तरंग फलन बनाने वाली चार मात्राओं के लिए चार युग्मित रैखिक प्रथम-क्रम आंशिक अंतर समीकरणों में सुलझता है। समीकरण को प्लैंक इकाइयों में अधिक स्पष्ट रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है: $$ i \partial_x \begin{bmatrix} -\psi_4 \\ -\psi_3 \\  -\psi_2 \\  -\psi_1 \end{bmatrix} + \partial_y \begin{bmatrix} -\psi_4 \\ +\psi_3 \\ -\psi_2 \\ +\psi_1 \end{bmatrix} + i \partial_z \begin{bmatrix} -\psi_3 \\ +\psi_4 \\ -\psi_1 \\ +\psi_2 \end{bmatrix} + m           \begin{bmatrix} +\psi_1 \\  +\psi_2 \\ -\psi_3 \\ -\psi_4 \end{bmatrix} = i \partial_t \begin{bmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \\  \psi_3 \\  \psi_4 \end{bmatrix} $$ जिससे यह स्पष्ट हो जाता है कि यह चार अज्ञात फलन के साथ चार आंशिक अंतर समीकरणों का एक सेट है।

श्रोडिंगर समीकरण को सापेक्ष बनाना
डिराक समीकरण सतही तौर पर एक विशाल मुक्त कण के लिए श्रोडिंगर समीकरण के समान है: $$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\phi = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\phi ~.$$ बाईं ओर द्रव्यमान के दोगुने से विभाजित संवेग संचालक के वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है, जो गैर-सापेक्षतावादी गतिज ऊर्जा है। क्योंकि सापेक्षता स्थान और समय को समग्र रूप से मानती है, इस समीकरण के सापेक्षतावादी सामान्यीकरण के लिए आवश्यक है कि स्थान और समय व्युत्पन्न को सममित रूप से दर्ज किया जाना चाहिए जैसा कि वे मैक्सवेल समीकरणों में करते हैं जो प्रकाश के व्यवहार को नियंत्रित करते हैं - समीकरणों को अंतरिक्ष और समय में समान क्रम का होना चाहिए। सापेक्षता में, गति और ऊर्जा एक स्पेसटाइम वेक्टर, चार-गति के स्थान और समय भाग हैं, और वे सापेक्ष रूप से अपरिवर्तनीय संबंध से संबंधित हैं $$E^2 = m^2c^4 + p^2c^2 $$ जो कहता है कि इस चार-वेक्टर की चार-संवेग#मिन्कोव्स्की मानदंड|लंबाई शेष द्रव्यमान के समानुपाती होती है $m$. श्रोडिंगर सिद्धांत से ऊर्जा और गति के ऑपरेटर समकक्षों को प्रतिस्थापित करने से क्लेन-गॉर्डन समीकरण उत्पन्न होता है जो सापेक्ष रूप से अपरिवर्तनीय वस्तुओं से निर्मित तरंगों के प्रसार का वर्णन करता है, $$\left(-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} + \nabla^2\right)\phi = \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\phi $$ तरंग फलन के साथ $ϕ$ एक सापेक्ष अदिश राशि होना: एक समिश्र संख्या जिसका संदर्भ के सभी फ़्रेमों में समान संख्यात्मक मान होता है। स्थान और समय व्युत्पन्न दोनों दूसरे क्रम में प्रवेश करते हैं। समीकरण की व्याख्या के लिए इसका स्पष्ट परिणाम है। चूँकि समीकरण समय व्युत्पन्न में दूसरे क्रम का है, इसलिए निश्चित समस्याओं को हल करने के लिए किसी को तरंग फलन और उसके पहले समय-व्युत्पन्न दोनों के प्रारंभिक मान निर्दिष्ट करने होंगे। चूंकि दोनों को अधिक या कम मनमाने ढंग से निर्दिष्ट किया जा सकता है, इसलिए तरंग फलन गति की दी गई स्थिति में इलेक्ट्रॉन को खोजने की संभाव्यता घनत्व फलन को निर्धारित करने की अपनी पूर्व भूमिका को बरकरार नहीं रख सकता है। श्रोडिंगर सिद्धांत में, संभाव्यता घनत्व सकारात्मक निश्चित अभिव्यक्ति द्वारा दिया जाता है $$\rho = \phi^*\phi $$ और यह घनत्व संभाव्यता धारा वेक्टर के अनुसार संवहित होता है $$J = -\frac{i\hbar}{2m}(\phi^*\nabla\phi - \phi\nabla\phi^*) $$ निरंतरता समीकरण से निम्नलिखित संभाव्यता वर्तमान और घनत्व के संरक्षण के साथ: $$\nabla\cdot J + \frac{\partial\rho}{\partial t} = 0~.$$ तथ्य यह है कि घनत्व सकारात्मक-निश्चित फलन है और इस निरंतरता समीकरण के अनुसार संवहन का अर्थ है कि कोई एक निश्चित डोमेन पर घनत्व को एकीकृत कर सकता है और कुल 1 पर सेट कर सकता है, और यह स्थिति संरक्षण कानून द्वारा बनाए रखी जाएगी। संभाव्यता घनत्व धारा के साथ एक उचित सापेक्षतावादी सिद्धांत को भी इस सुविधा को साझा करना चाहिए। संवहित घनत्व की धारणा को बनाए रखने के लिए, किसी को घनत्व और वर्तमान की श्रोडिंगर अभिव्यक्ति को सामान्य बनाना चाहिए ताकि अंतरिक्ष और समय व्युत्पन्न फिर से स्केलर तरंग फलन के संबंध में सममित रूप से प्रवेश कर सकें। श्रोडिंगर अभिव्यक्ति को वर्तमान के लिए रखा जा सकता है, लेकिन संभाव्यता घनत्व को सममित रूप से गठित अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए $$\rho = \frac{i\hbar}{2mc^2} \left(\psi^*\partial_t\psi - \psi\partial_t\psi^* \right) .$$ जो अब स्पेसटाइम वेक्टर का चौथा घटक बन गया है, और संपूर्ण संभाव्यता धारा | संभाव्यता 4-वर्तमान घनत्व में सापेक्ष रूप से सहसंयोजक अभिव्यक्ति है $$J^\mu = \frac{i\hbar}{2m} \left(\psi^*\partial^\mu\psi - \psi\partial^\mu\psi^* \right) .$$ निरंतरता समीकरण पहले जैसा है. अब सब कुछ सापेक्षता के अनुकूल है, लेकिन घनत्व के लिए अभिव्यक्ति अब सकारात्मक रूप से निश्चित नहीं है; दोनों के प्रारंभिक मान $ψ$ और $∂_{t}ψ$ को स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है, और घनत्व इस प्रकार नकारात्मक हो सकता है, कुछ ऐसा जो वैध संभाव्यता घनत्व के लिए असंभव है। इस प्रकार, किसी को इस भोली धारणा के तहत श्रोडिंगर समीकरण का सरल सामान्यीकरण नहीं मिल सकता है कि तरंग फलन एक सापेक्ष अदिश राशि है, और यह जिस समीकरण को संतुष्ट करता है, वह समय में दूसरे क्रम का है।

यद्यपि यह श्रोडिंगर समीकरण का एक सफल सापेक्षतावादी सामान्यीकरण नहीं है, इस समीकरण को क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में पुनर्जीवित किया गया है, जहां इसे क्लेन-गॉर्डन समीकरण के रूप में जाना जाता है, और एक स्पिनलेस कण क्षेत्र (उदाहरण के लिए सन मेसन या हिग्स बॉसन) का वर्णन करता है। ऐतिहासिक रूप से, श्रोडिंगर स्वयं अपने नाम वाले समीकरण से पहले इस समीकरण पर पहुंचे थे लेकिन जल्द ही इसे खारिज कर दिया। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में, अनिश्चित घनत्व को चार्ज घनत्व के अनुरूप समझा जाता है, जो सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है, न कि संभाव्यता घनत्व।

डिराक का तख्तापलट
इस प्रकार डिराक ने एक ऐसे समीकरण को आज़माने के बारे में सोचा जो स्थान और समय दोनों में प्रथम क्रम का हो। उदाहरण के लिए, कोई औपचारिक रूप से (अर्थात् संकेतन के दुरुपयोग से) ऊर्जा-संवेग संबंध ले सकता है $$E = c \sqrt{p^2 + m^2c^2} ~,$$ बदलना $p$ इसके ऑपरेटर समकक्ष द्वारा, व्युत्पन्न ऑपरेटरों की एक अनंत श्रृंखला में वर्गमूल का विस्तार करें, एक आइगेनवैल्यू समस्या स्थापित करें, फिर पुनरावृत्तियों द्वारा समीकरण को औपचारिक रूप से हल करें। अधिकांश भौतिकविदों को ऐसी प्रक्रिया पर बहुत कम विश्वास था, भले ही यह तकनीकी रूप से संभव हो।

कहानी के अनुसार, डिराक कैंब्रिज में चिमनी की ओर देख रहा था और इस समस्या पर विचार कर रहा था, तभी उसके मन में वेव ऑपरेटर का वर्गमूल निकालने का विचार इस प्रकार आया: $$\nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} = \left(A \partial_x + B \partial_y + C \partial_z + \frac{i}{c}D \partial_t\right)\left(A \partial_x + B \partial_y + C \partial_z + \frac{i}{c}D \partial_t\right)~.$$ दायीं ओर से गुणा करने पर यह स्पष्ट होता है कि, जैसे सभी क्रॉस-टर्म प्राप्त करने के लिए $∂_{x}∂_{y}$ गायब होने के लिए, किसी को मान लेना चाहिए $$AB + BA = 0, ~ \ldots ~$$ साथ $$A^2 = B^2 = \dots = 1~.$$ डिराक, जो उस समय हाइजेनबर्ग के मैट्रिक्स यांत्रिकी की नींव तैयार करने में गहनता से शामिल था, तुरंत समझ गया कि इन शर्तों को पूरा किया जा सकता है यदि $A$, $B$, $C$ और $D$ मैट्रिक्स हैं, इस निहितार्थ के साथ कि तरंग फलन में कई घटक होते हैं। इसने पॉली के प्रचक्रण (भौतिकी) के घटनात्मक सिद्धांत में दो-घटक तरंग फलन की उपस्थिति को तुरंत समझाया, कुछ ऐसा जो तब तक रहस्यमय माना जाता था, यहां तक ​​कि खुद पॉली के लिए भी। हालाँकि, किसी को कम से कम चाहिए 4 × 4 आवश्यक गुणों के साथ एक सिस्टम स्थापित करने के लिए मैट्रिक्स - इसलिए तरंग फलन में चार घटक थे, दो नहीं, जैसा कि पाउली सिद्धांत में था, या एक, जैसा कि नंगे श्रोडिंगर सिद्धांत में था। चार-घटक तरंग फलन भौतिक सिद्धांतों में गणितीय वस्तु के एक नए वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है जो यहां पहली बार दिखाई देता है।

इन आव्यूहों के संदर्भ में गुणनखंडन को देखते हुए, कोई भी अब तुरंत एक समीकरण लिख सकता है $$\left(A\partial_x + B\partial_y + C\partial_z + \frac{i}{c}D\partial_t\right)\psi = \kappa\psi $$ साथ $$\kappa$$ निर्धारित किए जाने हेतु। दोनों तरफ मैट्रिक्स ऑपरेटर को फिर से लागू करने से परिणाम मिलता है $$\left(\nabla^2 - \frac{1}{c^2}\partial_t^2\right)\psi = \kappa^2\psi ~.$$ ले रहा $$\kappa = \tfrac{mc}{\hbar}$$ दर्शाता है कि तरंग फलन के सभी घटक व्यक्तिगत रूप से सापेक्ष ऊर्जा-संवेग संबंध को संतुष्ट करते हैं। इस प्रकार वांछित समीकरण है जो स्थान और समय दोनों में प्रथम-क्रम है $$\left(A\partial_x + B\partial_y + C\partial_z + \frac{i}{c}D\partial_t - \frac{mc}{\hbar}\right)\psi = 0 ~.$$ सेटिंग $$A = i \beta \alpha_1 \,, \, B = i \beta \alpha_2 \, , \, C = i \beta \alpha_3 \, , \, D = \beta ~, $$ और क्योंकि $$D^2 = \beta^2 = I_4 $$जैसा कि ऊपर लिखा गया है, डिराक समीकरण तैयार किया गया है।

सहसंयोजक रूप और आपेक्षिक अपरिवर्तन
समीकरण के लोरेंत्ज़ सहप्रसरण को प्रदर्शित करने के लिए, इसे ऐसे रूप में ढालना फायदेमंद है जिसमें स्थान और समय व्युत्पन्न समान स्तर पर दिखाई देते हैं। नए मैट्रिक्स इस प्रकार पेश किए गए हैं: $$\begin{align} D &=  \gamma^0, \\ A &= i \gamma^1,\quad B = i \gamma^2,\quad C = i \gamma^3, \end{align}$$ और समीकरण रूप लेता है (4-ढाल के सहसंयोजक घटकों की परिभाषा को याद करते हुए और विशेष रूप से वह $∂_{0} = 1⁄c∂_{t}$)

जहां दो बार दोहराए गए सूचकांक के मूल्यों पर आइंस्टीन संकेतन है $μ = 0, 1, 2, 3$, और $∂_{μ}$ 4-ग्रेडिएंट है। व्यवहार में कोई अक्सर गामा मैट्रिक्स को पाउली मैट्रिक्स और 2 × 2 पहचान मैट्रिक्स से लिए गए 2 × 2 उप-मैट्रिसेस के संदर्भ में लिखता है। स्पष्ट रूप से गामा मैट्रिक्स#डिराक आधार है $$ \gamma^0 = \begin{pmatrix} I_2 &       0 \\         0 & -I_2 \end{pmatrix},\quad \gamma^1 = \begin{pmatrix}  0 & \sigma_x \\ -\sigma_x &    0 \end{pmatrix},\quad \gamma^2 = \begin{pmatrix}  0 & \sigma_y \\ -\sigma_y &    0 \end{pmatrix},\quad \gamma^3 = \begin{pmatrix}  0 & \sigma_z \\ -\sigma_z &    0 \end{pmatrix}. $$ फॉर्म में स्पेसटाइम पर मिन्कोवस्की मीट्रिक का उपयोग करके पूरी प्रणाली को संक्षेप में प्रस्तुत किया गया है $$\left\{\gamma^\mu, \gamma^\nu\right\} = 2 \eta^{\mu\nu} I_4$$ जहां कोष्ठक अभिव्यक्ति $$\{a, b\} = ab + ba$$ एंटीकम्यूटेटर को दर्शाता है। ये मीट्रिक हस्ताक्षर के साथ छद्म-ऑर्थोगोनल 4-आयामी स्थान पर क्लिफ़ोर्ड बीजगणित के परिभाषित संबंध हैं $(+ − − −)$. डिराक समीकरण में नियोजित विशिष्ट क्लिफ़ोर्ड बीजगणित को आज डिराक बीजगणित के रूप में जाना जाता है। हालाँकि समीकरण तैयार किए जाने के समय डिराक द्वारा इसे मान्यता नहीं दी गई थी, लेकिन बाद में इस ज्यामितीय बीजगणित के आरम्भ क्वांटम सिद्धांत के विकास में एक बड़ी प्रगति का प्रतिनिधित्व करती है।

डिराक समीकरण की व्याख्या अब एक eigenvalue समीकरण के रूप में की जा सकती है, जहां शेष द्रव्यमान 4-पल ऑपरेटर के आइगेनवैल्यू के समानुपाती होता है, आनुपातिकता स्थिरांक प्रकाश की गति होती है: $$P_\text{op}\psi = mc\psi \,.$$ का उपयोग करते हुए $${\partial\!\!\!/} \mathrel{\stackrel{\mathrm{def}}{=}} \gamma^\mu \partial_\mu$$ ($${\partial\!\!\!\big /}$$ इसका उच्चारण डी-स्लैश है), फेनमैन स्लैश नोटेशन के अनुसार, डिराक समीकरण बन जाता है: $$i \hbar {\partial\!\!\!\big /} \psi - m c \psi = 0 \,.$$ व्यवहार में, भौतिक विज्ञानी अक्सर माप की इकाइयों का उपयोग करते हैं जैसे कि $ħ = c = 1$, प्राकृतिक इकाइयों के रूप में जाना जाता है। तब समीकरण सरल रूप ले लेता है

एक मौलिक प्रमेय में कहा गया है कि यदि मैट्रिक्स के दो अलग-अलग सेट दिए गए हैं और दोनों क्लिफोर्ड बीजगणित को संतुष्ट करते हैं, तो वे मैट्रिक्स समानता द्वारा एक दूसरे से जुड़े हुए हैं: $$\gamma^{\mu\prime} = S^{-1} \gamma^\mu S \,.$$ यदि इसके अतिरिक्त मैट्रिक्स सभी एकात्मक परिवर्तन हैं, जैसे कि डिराक सेट हैं, तो $S$ स्वयं एकात्मक मैट्रिक्स है; $$\gamma^{\mu\prime} = U^\dagger \gamma^\mu U \,.$$ रूपान्तरण $U$ निरपेक्ष मान 1 के गुणक कारक तक अद्वितीय है। आइए अब कल्पना करें कि लोरेंत्ज़ परिवर्तन अंतरिक्ष और समय निर्देशांक और व्युत्पन्न ऑपरेटरों पर किया गया है, जो एक सहसंयोजक वेक्टर बनाते हैं। ऑपरेटर के लिए $γ^{μ}∂_{μ}$ अपरिवर्तनीय बने रहने के लिए, गामा को अपने स्पेसटाइम इंडेक्स के संबंध में एक कॉन्ट्रावेरिएंट वेक्टर के रूप में बदलना होगा। लोरेंत्ज़ परिवर्तन की रूढ़िवादिता के कारण, ये नए गामा स्वयं क्लिफोर्ड संबंधों को संतुष्ट करेंगे। मौलिक प्रमेय के अनुसार, कोई एकात्मक परिवर्तन के अधीन नए सेट को पुराने सेट से प्रतिस्थापित कर सकता है। नए फ्रेम में, यह याद रखते हुए कि शेष द्रव्यमान एक सापेक्षिक अदिश राशि है, डिराक समीकरण तब रूप लेगा $$\begin{align} \left(iU^\dagger \gamma^\mu U\partial_\mu^\prime - m\right)\psi\left(x^\prime, t^\prime\right) &= 0 \\ U^\dagger(i\gamma^\mu\partial_\mu^\prime - m)U \psi\left(x^\prime, t^\prime\right) &= 0 \,. \end{align}$$ यदि रूपांतरित स्पिनर को इस प्रकार परिभाषित किया गया है $$\psi^\prime = U\psi$$ तब रूपांतरित डिराक समीकरण इस तरह से निर्मित होता है जो प्रकट सहप्रसरण को प्रदर्शित करता है: $$\left(i\gamma^\mu\partial_\mu^\prime - m\right)\psi^\prime\left(x^\prime, t^\prime\right) = 0 \,.$$ इस प्रकार, गामा के किसी भी एकात्मक प्रतिनिधित्व पर निर्णय लेना अंतिम है, बशर्ते कि स्पिनर को एकात्मक परिवर्तन के अनुसार रूपांतरित किया जाए जो दिए गए लोरेंत्ज़ परिवर्तन से मेल खाता हो।

नियोजित डिराक मैट्रिसेस के विभिन्न निरूपण डिराक तरंग फलन में भौतिक सामग्री के विशेष पहलुओं पर ध्यान केंद्रित करेंगे। यहां दिखाए गए प्रतिनिधित्व को मानक प्रतिनिधित्व के रूप में जाना जाता है - इसमें, तरंग फलन के ऊपरी दो घटक प्रकाश की तुलना में कम ऊर्जा और छोटे वेग की सीमा में पाउली के 2 स्पिनर तरंग फलन में चले जाते हैं।

उपरोक्त विचार, ग्रासमैन की मूल प्रेरणा को ध्यान में रखते हुए, ज्यामिति में गामा की उत्पत्ति को प्रकट करते हैं; वे स्पेसटाइम में यूनिट सदिश के एक निश्चित आधार का प्रतिनिधित्व करते हैं। इसी प्रकार, गामा के उत्पाद जैसे $γ_{μ}γ_{ν}$ उन्मुख सतह तत्वों का प्रतिनिधित्व करते हैं, इत्यादि। इसे ध्यान में रखते हुए, कोई गामा के संदर्भ में स्पेसटाइम पर इकाई आयतन तत्व का रूप इस प्रकार पा सकता है। परिभाषा के अनुसार, यह है $$V = \frac{1}{4!}\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\alpha\gamma^\beta .$$ इसके अपरिवर्तनीय होने के लिए, लेवी-सिविटा प्रतीक को एक टेन्सर  होना चाहिए, और इसलिए इसमें एक कारक होना चाहिए $√g$, कहाँ $g$ मीट्रिक टेंसर का निर्धारक है। चूँकि यह नकारात्मक है, वह बात काल्पनिक है। इस प्रकार $$V = i \gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3 .$$ इस मैट्रिक्स को विशेष चिन्ह दिया गया है $γ^{5}$, इसके महत्व के कारण जब कोई अंतरिक्ष-समय के अनुचित परिवर्तनों पर विचार कर रहा है, यानी, जो आधार सदिश के अभिविन्यास को बदलते हैं। मानक प्रतिनिधित्व में, यह है $$\gamma_5 = \begin{pmatrix} 0 & I_{2} \\ I_{2} & 0 \end{pmatrix}.$$ यह मैट्रिक्स अन्य चार डिराक मैट्रिसेस के साथ एंटीकम्यूट के लिए भी पाया जाएगा: $$\gamma^5 \gamma^\mu + \gamma^\mu \gamma^5 = 0$$ जब समता (भौतिकी) के प्रश्न उठते हैं तो यह अग्रणी भूमिका निभाता है क्योंकि निर्देशित परिमाण के रूप में आयतन तत्व अंतरिक्ष-समय प्रतिबिंब के तहत संकेत बदलता है। इस प्रकार ऊपर सकारात्मक वर्गमूल लेने का मतलब स्पेसटाइम पर एक हैंडनेस परंपरा को चुनना है।

पाउली सिद्धांत
आधे-पूर्णांक प्रचक्रण (भौतिकी) को शुरू करने की आवश्यकता प्रयोगात्मक रूप से स्टर्न-गेरलाच प्रयोग के परिणामों पर आधारित है। परमाणुओं की एक किरण को एक मजबूत समरूपता और विषमता चुंबकीय क्षेत्र के माध्यम से चलाया जाता है, जो फिर विभाजित हो जाता है $N$परमाणुओं की प्रचक्रण (भौतिकी) के आधार पर भाग। यह पाया गया कि चांदी के परमाणुओं के लिए, किरण दो भागों में विभाजित थी; इसलिए जमीनी स्थिति पूर्णांक नहीं हो सकती, क्योंकि भले ही परमाणुओं की आंतरिक कोणीय गति यथासंभव छोटी हो, 1, किरण को परमाणुओं के अनुरूप तीन भागों में विभाजित किया जाएगा $L_{z} = −1, 0, +1$. निष्कर्ष यह है कि चांदी के परमाणुओं में शुद्ध आंतरिक कोणीय गति होती है $1/2$. वोल्फगैंग पाउली ने एक सिद्धांत स्थापित किया, जिसने हैमिल्टन के सिद्धांत में दो-घटक तरंग फलन और संबंधित सुधार शब्द को पेश करके इस विभाजन को समझाया, जो इस तरंग फलन के अर्ध-शास्त्रीय युग्मन को एक लागू चुंबकीय क्षेत्र में दर्शाता है, जैसा कि एसआई इकाइयों में होता है: (ध्यान दें कि बोल्ड चेहरे वाले अक्षर 3 आयामों में यूक्लिडियन सदिश दर्शाते हैं, जबकि मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष चार-वेक्टर $A_{μ}$ को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है $$A_\mu = (\phi/c,-\mathbf A)$$.) $$H = \frac{1}{2m}\left( \boldsymbol{\sigma}\cdot\left(\mathbf{p} - e \mathbf{A}\right)\right)^2 + e\phi ~.$$ यहाँ $A$ और $$\phi$$ उनके मानक एसआई इकाइयों में विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता के घटकों का प्रतिनिधित्व करते हैं, और तीन सिग्मा पाउली मैट्रिक्स हैं। पहले पद का वर्ग करने पर, चुंबकीय क्षेत्र के साथ एक अवशिष्ट अंतःक्रिया पाई जाती है, साथ ही सामान्य संवेग#क्षेत्र में कण एसआई इकाइयों में एक लागू क्षेत्र के साथ अंतःक्रिया करता है: $$H = \frac{1}{2m}\left(\mathbf{p} - e \mathbf{A}\right)^2 + e\phi - \frac{e\hbar}{2m} \boldsymbol{\sigma} \cdot \mathbf{B} ~.$$ यह हैमिल्टनियन अब एक है 2 × 2 मैट्रिक्स, इसलिए इस पर आधारित श्रोडिंगर समीकरण को दो-घटक तरंग फलन का उपयोग करना चाहिए। बाहरी विद्युत चुम्बकीय 4-वेक्टर क्षमता को डायराक समीकरण में एक समान तरीके से पेश करने पर, जिसे न्यूनतम युग्मन के रूप में जाना जाता है, यह रूप लेता है: $$\left(\gamma^\mu(i\hbar\partial_\mu - eA_\mu) - mc\right) \psi = 0 ~.$$ डिराक ऑपरेटर का दूसरा अनुप्रयोग अब पाउली शब्द को बिल्कुल पहले की तरह पुन: पेश करेगा, क्योंकि स्थानिक डिराक मैट्रिक्स को गुणा किया जाता है $i$, पाउली मैट्रिसेस के समान ही वर्ग और कम्यूटेशन गुण हैं। इससे भी अधिक, पाउली के नए शब्द के सामने खड़े इलेक्ट्रॉन के जाइरोमैग्नेटिक अनुपात के मान को पहले सिद्धांतों से समझाया गया है। यह डिराक समीकरण की एक बड़ी उपलब्धि थी और इससे भौतिकविदों को इसकी समग्र शुद्धता पर बहुत विश्वास हुआ। हालाँकि और भी बहुत कुछ है. पाउली सिद्धांत को निम्नलिखित तरीके से डिराक सिद्धांत की निम्न ऊर्जा सीमा के रूप में देखा जा सकता है। पहले समीकरण को एसआई इकाइयों के साथ 2-स्पिनर्स के लिए युग्मित समीकरणों के रूप में लिखा गया है: $$ \begin{pmatrix} mc^2 - E + e \phi & c\boldsymbol{\sigma}\cdot \left(\mathbf{p} - e \mathbf{A}\right) \\ -c\boldsymbol{\sigma}\cdot \left(\mathbf{p} - e \mathbf{A}\right) & mc^2 + E - e \phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \psi_{+} \\ \psi_{-} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} ~. $$ इसलिए $$\begin{align} (E - e\phi) \psi_{+} - c\boldsymbol{\sigma}\cdot \left(\mathbf{p} - e \mathbf{A}\right) \psi_{-} &= mc^2 \psi_{+} \\ -(E - e\phi) \psi_{-} + c\boldsymbol{\sigma}\cdot \left(\mathbf{p} - e \mathbf{A}\right) \psi_{+} &= mc^2 \psi_{-} \end{align}$$ यह मानते हुए कि क्षेत्र कमजोर है और इलेक्ट्रॉन की गति गैर-सापेक्षात्मक है, इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा लगभग उसकी बाकी ऊर्जा के बराबर है, और गति शास्त्रीय मान पर जा रही है, $$\begin{align} E - e\phi &\approx mc^2 \\ \mathbf{p} &\approx m \mathbf{v} \end{align}$$ और इसलिए दूसरा समीकरण लिखा जा सकता है $$\psi_- \approx \frac{1}{2mc} \boldsymbol{\sigma}\cdot \left(\mathbf{p} - e \mathbf{A}\right) \psi_{+} $$ जो सुव्यवस्थित है $v⁄c$ - इस प्रकार विशिष्ट ऊर्जाओं और वेगों पर, मानक प्रतिनिधित्व में डिराक स्पिनर के निचले घटक शीर्ष घटकों की तुलना में बहुत अधिक दबे हुए हैं। इस अभिव्यक्ति को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर कुछ पुनर्व्यवस्था के बाद प्राप्त होता है $$ \left(E - mc^2\right) \psi_{+} = \frac{1}{2m} \left[\boldsymbol{\sigma}\cdot \left(\mathbf{p} - e \mathbf{A}\right)\right]^2 \psi_{+} + e\phi \psi_{+} $$ बाईं ओर का ऑपरेटर अपनी शेष ऊर्जा द्वारा कम की गई कण ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करता है, जो कि सिर्फ शास्त्रीय ऊर्जा है, इसलिए कोई भी गैर-सापेक्षवादी सन्निकटन में डायराक स्पिनर के शीर्ष घटकों के साथ अपने 2-स्पिनर की पहचान करके पाउली के सिद्धांत को पुनर्प्राप्त कर सकता है। एक और सन्निकटन पाउली सिद्धांत की सीमा के रूप में श्रोडिंगर समीकरण देता है। इस प्रकार, श्रोडिंगर समीकरण को डिराक समीकरण के सुदूर गैर-सापेक्षवादी सन्निकटन के रूप में देखा जा सकता है जब कोई प्रचक्रण की उपेक्षा कर सकता है और केवल कम ऊर्जा और वेग पर काम कर सकता है। यह नए समीकरण के लिए भी एक बड़ी जीत थी, क्योंकि इसने रहस्यमय का पता लगा लिया $i$ जो इसमें दिखाई देता है, और एक समिश्र तरंग फलन की आवश्यकता, डिराक बीजगणित के माध्यम से स्पेसटाइम की ज्यामिति पर वापस आती है। यह इस बात पर भी प्रकाश डालता है कि श्रोडिंगर समीकरण, हालांकि सतही तौर पर प्रसार समीकरण के रूप में है, वास्तव में तरंगों के प्रसार का प्रतिनिधित्व करता है।

इस बात पर दृढ़ता से जोर दिया जाना चाहिए कि डिराक स्पिनर का बड़े और छोटे घटकों में पृथक्करण स्पष्ट रूप से कम-ऊर्जा सन्निकटन पर निर्भर करता है। संपूर्ण डिराक स्पिनर एक अघुलनशील संपूर्ण का प्रतिनिधित्व करता है, और पाउली सिद्धांत तक पहुंचने के लिए जिन घटकों को यहां उपेक्षित किया गया है, वे सापेक्षतावादी शासन में नई घटनाएं लाएंगे - एंटीमैटर और पदार्थ निर्माण और कणों के विनाश का विचार।

वेइल सिद्धांत
जनहीन मामले में $$m = 0$$, डिराक समीकरण वेइल समीकरण में बदल जाता है, जो सापेक्ष द्रव्यमान रहित प्रचक्रण का वर्णन करता है-$1/undefined$ कण. सिद्धांत एक सेकंड प्राप्त करता है $$\text{U}(1)$$ समरूपता: नीचे देखें.

अवलोकनीय वस्तुओं की पहचान
क्वांटम सिद्धांत में महत्वपूर्ण भौतिक प्रश्न यह है: सिद्धांत द्वारा परिभाषित भौतिक रूप से देखने योग्य मात्राएँ क्या हैं? क्वांटम यांत्रिकी के अभिधारणाओं के अनुसार, ऐसी मात्राएँ हर्मिटियन ऑपरेटरों द्वारा परिभाषित की जाती हैं जो किसी प्रणाली की संभावित अवस्थाओं के हिल्बर्ट स्थान पर फलन करती हैं। इन ऑपरेटरों के eigenvalues ​​​​तब संबंधित भौतिक मात्रा की माप समस्या के संभावित परिणाम होते हैं। श्रोडिंगर सिद्धांत में, ऐसी सबसे सरल वस्तु समग्र हैमिल्टनियन है, जो सिस्टम की कुल ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करती है। डिराक सिद्धांत को पारित करने पर इस व्याख्या को बनाए रखने के लिए, हैमिल्टनियन को लिया जाना चाहिए $$H = \gamma^0 \left[mc^2 + c \gamma^k \left(p_k - q A_k\right) \right] + c q A^0.$$ जहां, हमेशा की तरह, दो बार दोहराए गए सूचकांक पर आइंस्टीन अंकन है $k = 1, 2, 3$. यह आशाजनक लगता है, क्योंकि कोई भी कण की बाकी ऊर्जा का निरीक्षण करके देख सकता है और, इस मामले में $A = 0$, विद्युत विभव में रखे गए आवेश की ऊर्जा $cqA^{0}$. वेक्टर क्षमता से जुड़े शब्द के बारे में क्या? शास्त्रीय इलेक्ट्रोडायनामिक्स में, किसी लागू क्षमता में गतिमान आवेश की ऊर्जा होती है $$H = c\sqrt{\left(\mathbf{p} - q\mathbf{A}\right)^2 + m^2c^2} + qA^0.$$ इस प्रकार, डिराक हैमिल्टनियन मूल रूप से अपने शास्त्रीय समकक्ष से अलग है, और इस सिद्धांत में जो देखने योग्य है उसे सही ढंग से पहचानने के लिए बहुत सावधानी बरतनी चाहिए। डायराक समीकरण द्वारा निहित अधिकांश स्पष्ट रूप से विरोधाभासी व्यवहार इन अवलोकनों की गलत पहचान के बराबर है।

छिद्र सिद्धांत
नकारात्मक $E$ समीकरण के समाधान समस्याग्रस्त हैं, क्योंकि यह माना गया था कि कण में सकारात्मक ऊर्जा है। हालाँकि, गणितीय रूप से कहें तो, हमारे लिए नकारात्मक-ऊर्जा समाधानों को अस्वीकार करने का कोई कारण नहीं दिखता है। चूंकि वे मौजूद हैं, इसलिए उन्हें आसानी से नजरअंदाज नहीं किया जा सकता है, क्योंकि एक बार जब इलेक्ट्रॉन और विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के बीच बातचीत शामिल हो जाती है, तो सकारात्मक-ऊर्जा ईजेनस्टेट में रखा गया कोई भी इलेक्ट्रॉन क्रमिक रूप से कम ऊर्जा वाले नकारात्मक-ऊर्जा ईजेनस्टेट में क्षय हो जाएगा। वास्तविक इलेक्ट्रॉन स्पष्ट रूप से इस तरह से व्यवहार नहीं करते हैं, अन्यथा वे फोटॉन के रूप में ऊर्जा उत्सर्जित करके गायब हो जाएंगे।

इस समस्या से निपटने के लिए, डिराक सागर परिकल्पना पेश की, जिसे छेद सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, कि निर्वात कई-शरीर क्वांटम अवस्था है जिसमें सभी नकारात्मक-ऊर्जा इलेक्ट्रॉन ईजेनस्टेट्स का कब्जा है। इलेक्ट्रॉनों के समुद्र के रूप में निर्वात के इस वर्णन को डिराक समुद्र कहा जाता है। चूँकि पाउली अपवर्जन सिद्धांत इलेक्ट्रॉनों को एक ही अवस्था में रहने से रोकता है, किसी भी अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन को एक सकारात्मक-ऊर्जा आइजेनस्टेट पर कब्जा करने के लिए मजबूर किया जाएगा, और सकारात्मक-ऊर्जा इलेक्ट्रॉनों को नकारात्मक-ऊर्जा आइजेनस्टेट्स में क्षय होने से रोका जाएगा।

डिराक ने आगे तर्क दिया कि यदि नकारात्मक-ऊर्जा ईजेनस्टेट्स अपूर्ण रूप से भरे हुए हैं, तो प्रत्येक खाली ईजेनस्टेट - जिसे छेद कहा जाता है - एक सकारात्मक रूप से चार्ज किए गए कण की तरह व्यवहार करेगा। छेद में सकारात्मक ऊर्जा होती है क्योंकि निर्वात से कण-छेद जोड़ी बनाने के लिए ऊर्जा की आवश्यकता होती है। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, डिराक ने शुरू में सोचा था कि छेद प्रोटॉन हो सकता है, लेकिन हरमन वेइल ने बताया कि छेद को ऐसा व्यवहार करना चाहिए जैसे कि उसका द्रव्यमान इलेक्ट्रॉन के समान हो, जबकि प्रोटॉन 1800 गुना से अधिक भारी है। अंततः छेद की पहचान पॉज़िट्रॉन के रूप में की गई, जिसे 1932 में कार्ल डेविड एंडरसन द्वारा प्रयोगात्मक रूप से खोजा गया था। नकारात्मक-ऊर्जा इलेक्ट्रॉनों के अनंत समुद्र का उपयोग करके निर्वात का वर्णन करना पूरी तरह से संतोषजनक नहीं है। नकारात्मक-ऊर्जा इलेक्ट्रॉनों के समुद्र से असीम रूप से नकारात्मक योगदान को एक अनंत सकारात्मक नंगे ऊर्जा द्वारा रद्द किया जाना चाहिए और नकारात्मक-ऊर्जा इलेक्ट्रॉनों के समुद्र से आने वाले चार्ज घनत्व और वर्तमान में योगदान को एक अनंत सकारात्मक जेलियम पृष्ठभूमि द्वारा बिल्कुल रद्द कर दिया जाना चाहिए ताकि वैक्यूम का शुद्ध विद्युत चार्ज घनत्व शून्य हो। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, सृजन और विनाश ऑपरेटरों पर एक बोगोलीउबोव परिवर्तन (एक व्याप्त नकारात्मक-ऊर्जा इलेक्ट्रॉन राज्य को एक खाली सकारात्मक ऊर्जा पॉज़िट्रॉन राज्य में और एक खाली नकारात्मक-ऊर्जा इलेक्ट्रॉन राज्य को एक कब्जे वाली सकारात्मक ऊर्जा पॉज़िट्रॉन राज्य में बदलना) हमें डायराक समुद्री औपचारिकता को बायपास करने की अनुमति देता है, भले ही, औपचारिक रूप से, यह इसके बराबर है।

हालाँकि, संघनित पदार्थ भौतिकी के कुछ अनुप्रयोगों में, छिद्र सिद्धांत की अंतर्निहित अवधारणाएँ मान्य हैं। एक विद्युत चालक में प्रवाहकत्त्व इलेक्ट्रॉनों का समुद्र, जिसे कंपोजिट फ़र्मियन # फर्मी समुद्र कहा जाता है, में सिस्टम की रासायनिक क्षमता तक की ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन होते हैं। फर्मी सागर में एक खाली अवस्था एक सकारात्मक रूप से चार्ज किए गए इलेक्ट्रॉन की तरह व्यवहार करती है, और यद्यपि इसे भी चालन इलेक्ट्रॉन छेद के रूप में जाना जाता है, यह पॉज़िट्रॉन से अलग है। फर्मी समुद्र का ऋणात्मक आवेश पदार्थ के धनात्मक आवेशित आयनिक जाली द्वारा संतुलित होता है।

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में
क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत जैसे क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स में, डिराक क्षेत्र दूसरे परिमाणीकरण की प्रक्रिया के अधीन है, जो समीकरण की कुछ विरोधाभासी विशेषताओं को हल करता है।

डिराक समीकरण के लोरेंत्ज़ सहप्रसरण की आगे की चर्चा
डिराक समीकरण लोरेंत्ज़ सहसंयोजक है। इसे व्यक्त करने से न केवल डिराक समीकरण को उजागर करने में मदद मिलती है, बल्कि मेजराना स्पिनर और एल्को स्पिनर को भी उजागर करने में मदद मिलती है, जो हालांकि निकट से संबंधित हैं, लेकिन इनमें सूक्ष्म और महत्वपूर्ण अंतर हैं।

प्रक्रिया के ज्यामितीय चरित्र को ध्यान में रखते हुए लोरेंत्ज़ सहप्रसरण को समझना सरल बनाया गया है। होने देना $$a$$ स्पेसटाइम कई गुना  में एक एकल, निश्चित बिंदु बनें। इसका स्थान अनेक एटलस (टोपोलॉजी) में व्यक्त किया जा सकता है। भौतिकी साहित्य में इन्हें इस प्रकार लिखा गया है $$x$$ और $$x'$$, इस समझ के साथ कि दोनों $$x$$ और $$x'$$ उसी बिंदु का वर्णन करें $$a$$, लेकिन विभिन्न स्थानीय संदर्भ फ्रेम में (स्पेसटाइम के एक छोटे विस्तारित पैच पर संदर्भ का एक फ्रेम)। कोई कल्पना कर सकता है $$a$$ जैसे कि इसके ऊपर विभिन्न समन्वय फ़्रेमों का एक फाइबर (गणित) होता है। ज्यामितीय शब्दों में, कोई कहता है कि स्पेसटाइम को फाइबर बंडल और विशेष रूप से फ़्रेम बंडल  के रूप में वर्णित किया जा सकता है। दो बिंदुओं के बीच का अंतर $$x$$ और $$x'$$ एक ही फाइबर में घूर्णन और लोरेंत्ज़ बूस्ट का संयोजन होता है। समन्वय फ्रेम का एक विकल्प उस बंडल के माध्यम से एक (स्थानीय) अनुभाग (फाइबर बंडल) है।

फ़्रेम बंडल के साथ युग्मित एक दूसरा बंडल, स्पिनर बंडल है। स्पिनर बंडल के माध्यम से एक खंड सिर्फ कण क्षेत्र है (वर्तमान मामले में डायराक स्पिनर)। स्पिनर फाइबर में विभिन्न बिंदु एक ही भौतिक वस्तु (फर्मियन) से मेल खाते हैं लेकिन विभिन्न लोरेंत्ज़ फ्रेम में व्यक्त किए जाते हैं। स्पष्ट रूप से, लगातार परिणाम प्राप्त करने के लिए फ़्रेम बंडल और स्पिनर बंडल को एक सुसंगत तरीके से एक साथ बांधा जाना चाहिए; औपचारिक रूप से, कोई कहता है कि स्पिनर बंडल संबद्ध बंडल है; यह एक प्रमुख बंडल से जुड़ा है, जो वर्तमान मामले में फ्रेम बंडल है। फाइबर पर बिंदुओं के बीच अंतर सिस्टम की समरूपता के अनुरूप है। स्पिनर बंडल में समरूपता के दो अलग-अलग जनरेटर (गणित) हैं: कुल कोणीय गति और आंतरिक कोणीय गति। दोनों लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के अनुरूप हैं, लेकिन अलग-अलग तरीकों से।

यहां प्रस्तुति इत्ज़ीक्सन और ज़ुबेर की प्रस्तुति का अनुसरण करती है। यह लगभग ब्योर्केन और ड्रेल के समान है। सामान्य सापेक्षतावादी सेटिंग में एक समान व्युत्पत्ति वेनबर्ग में पाई जा सकती है। यहां हम अपने स्पेसटाइम को समतल तय करते हैं, यानी हमारा स्पेसटाइम मिन्कोव्स्की स्पेस है।

लोरेंत्ज़ परिवर्तन के तहत $$x \mapsto x',$$ डिराक स्पिनर के रूप में बदलने के लिए $$\psi'(x') = S \psi(x)$$ इसके लिए एक स्पष्ट अभिव्यक्ति दिखाई जा सकती है $$S$$ द्वारा दिया गया है $$S = \exp\left(\frac{-i}{4} \omega^{\mu\nu} \sigma_{\mu\nu}\right)$$ कहाँ $$\omega^{\mu\nu}$$ लोरेंत्ज़ परिवर्तन को मानकीकृत करता है, और $$\sigma_{\mu\nu}$$ क्या छह 4×4 मैट्रिक्स संतोषजनक हैं: $$\sigma^{\mu\nu} = \frac{i}{2} [\gamma^\mu,\gamma^\nu]~.$$ इस मैट्रिक्स की व्याख्या डिराक क्षेत्र के आंतरिक कोणीय गति के रूप में की जा सकती है। यह इस व्याख्या के योग्य है कि इसकी तुलना जेनरेटर से करने से उत्पन्न होती है $$J_{\mu\nu}$$ लोरेंत्ज़ परिवर्तनों का, रूप होना $$J_{\mu\nu} = \frac{1}{2} \sigma_{\mu\nu} + i (x_\mu\partial_\nu - x_\nu\partial_\mu)$$ इसे कुल कोणीय गति के रूप में समझा जा सकता है। यह स्पिनर क्षेत्र पर फलन करता है $$\psi^\prime(x) = \exp\left(\frac{-i}{2} \omega^{\mu\nu} J_{\mu\nu}\right) \psi(x)$$ ध्यान दें $$x$$ उपरोक्त में कोई प्राइम नहीं है: उपरोक्त को रूपांतरित करके प्राप्त किया जाता है $$x \mapsto x'$$ में परिवर्तन प्राप्त करना $$\psi(x)\mapsto \psi'(x')$$ और फिर मूल समन्वय प्रणाली पर वापस लौटना $$x' \mapsto x$$.

उपरोक्त की ज्यामितीय व्याख्या यह है कि फ़्रेम फ़ील्ड एफ़िन स्पेस है, जिसका कोई पसंदीदा मूल नहीं है। जेनरेटर $$J_{\mu\nu}$$ इस स्थान की समरूपता उत्पन्न करता है: यह एक निश्चित बिंदु की पुनः लेबलिंग प्रदान करता है $$x~.$$ जनरेटर $$\sigma_{\mu\nu}$$ तंतु में एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक गति उत्पन्न करता है: से एक गति $$x \mapsto x'$$ दोनों के साथ $$x$$ और $$x'$$ अभी भी उसी स्पेसटाइम बिंदु के अनुरूप है $$a.$$ इन संभवतः अस्पष्ट टिप्पणियों को स्पष्ट बीजगणित के साथ स्पष्ट किया जा सकता है।

होने देना $$x' = \Lambda x$$ लोरेंत्ज़ परिवर्तन बनें। डिराक समीकरण है $$i\gamma^\mu \frac{\partial}{\partial x^\mu} \psi(x) -m\psi(x)=0$$ यदि डिराक समीकरण को सहसंयोजक होना है, तो सभी लोरेंत्ज़ फ़्रेमों में इसका बिल्कुल समान रूप होना चाहिए: $$i\gamma^\mu \frac{\partial}{\partial x^{\prime\mu}} \psi^\prime(x^\prime) -m\psi^\prime(x^\prime)=0$$ दो स्पिनर $$\psi$$ और $$\psi^\prime$$ दोनों को एक ही भौतिक क्षेत्र का वर्णन करना चाहिए, और इसलिए एक परिवर्तन से संबंधित होना चाहिए जो किसी भी भौतिक अवलोकन (चार्ज, वर्तमान, द्रव्यमान इत्यादि) को नहीं बदलता है। परिवर्तन को केवल समन्वय फ्रेम के परिवर्तन को एन्कोड करना चाहिए। यह दिखाया जा सकता है कि ऐसा परिवर्तन एक 4×4 एकात्मक मैट्रिक्स है। इस प्रकार, कोई यह मान सकता है कि दोनों फ़्रेमों के बीच संबंध को इस प्रकार लिखा जा सकता है $$\psi^\prime(x^\prime) = S(\Lambda) \psi(x)$$ इसे परिवर्तित समीकरण में डालने पर परिणाम प्राप्त होता है $$i\gamma^\mu \frac{\partial x^\nu}{\partial x^{\prime\mu}} \frac{\partial}{\partial x^{\nu}} S(\Lambda)\psi(x) -mS(\Lambda)\psi(x) = 0$$ लोरेंत्ज़ परिवर्तन से संबंधित निर्देशांक संतुष्ट करते हैं: $$\frac{\partial x^\nu}{\partial x^{\prime\mu}} = {\left(\Lambda^{-1}\right)^\nu}_\mu$$ फिर मूल डिराक समीकरण पुनः प्राप्त हो जाता है $$S(\Lambda) \gamma^\mu S^{-1}(\Lambda) = {\left(\Lambda^{-1}\right)^\mu}_\nu \gamma^\nu$$ के लिए एक स्पष्ट अभिव्यक्ति $$S(\Lambda)$$ (ऊपर दी गई अभिव्यक्ति के बराबर) पहचान परिवर्तन के निकट अनंतिम घूर्णन के लोरेंत्ज़ परिवर्तन पर विचार करके प्राप्त किया जा सकता है: $${\Lambda^\mu}_\nu = {g^\mu}_\nu + {\omega^\mu}_\nu\ ,\ {(\Lambda^{-1})^\mu}_\nu = {g^\mu}_\nu - {\omega^\mu}_\nu$$ कहाँ $${g^\mu}_{\nu}$$ मीट्रिक टेंसर है: $${g^\mu}_{\nu}=g^{\mu\nu'}g_{\nu'\nu}={\delta^\mu}_{\nu}$$ और जबकि सममित है $$\omega_{\mu\nu}={\omega^{\alpha}}_{\nu} g_{\alpha\mu}$$ एंटीसिमेट्रिक है. प्लगिंग और चगिंग के बाद, एक प्राप्त होता है $$S(\Lambda) = I + \frac{-i}{4} \omega^{\mu\nu} \sigma_{\mu\nu} + \mathcal{O}\left(\Lambda^2\right)$$ जो कि (अनंतिमल) रूप है $$S$$ ऊपर और संबंध उत्पन्न करता है $$\sigma^{\mu\nu} = \frac{i}{2} [\gamma^\mu,\gamma^\nu]$$. एफ़िन रीलेबलिंग प्राप्त करने के लिए लिखें $$ \begin{align} \psi'(x') &= \left(I + \frac{-i}{4} \omega^{\mu\nu} \sigma_{\mu\nu} \right) \psi(x) \\ &= \left(I + \frac{-i}{4} \omega^{\mu\nu} \sigma_{\mu\nu} \right) \psi(x' + {\omega^\mu}_\nu \,x^{\prime\,\nu}) \\ &= \left(I + \frac{-i}{4} \omega^{\mu\nu} \sigma_{\mu\nu} - x^\prime_\mu \omega^{\mu\nu} \partial_\nu\right) \psi(x') \\ &= \left(I + \frac{-i}{2} \omega^{\mu\nu} J_{\mu\nu} \right) \psi(x') \\ \end{align}$$ ठीक से एंटीसिमेट्रिज़िंग के बाद, व्यक्ति को समरूपता का जनरेटर प्राप्त होता है $$J_{\mu\nu}$$ पहले दिया गया. इस प्रकार, दोनों $$J_{\mu\nu}$$ और $$\sigma_{\mu\nu}$$ लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के जनरेटर कहा जा सकता है, लेकिन एक सूक्ष्म अंतर के साथ: पहला एफ़िन फ्रेम बंडल पर बिंदुओं की रीलेबलिंग से मेल खाता है, जो प्रचक्रण बंडल पर स्पिनर के फाइबर के साथ अनुवाद को मजबूर करता है, जबकि दूसरा प्रचक्रण बंडल के फाइबर के साथ अनुवाद से मेल खाता है (एक आंदोलन के रूप में लिया गया) $$x \mapsto x'$$ फ्रेम बंडल के साथ-साथ एक आंदोलन भी $$\psi \mapsto \psi'$$ प्रचक्रण बंडल के फाइबर के साथ।) वेनबर्ग कुल और आंतरिक कोणीय गति के रूप में इनकी भौतिक व्याख्या के लिए अतिरिक्त तर्क प्रदान करता है।

अन्य सूत्रीकरण
डिराक समीकरण कई अन्य तरीकों से तैयार किया जा सकता है।

घुमावदार स्पेसटाइम
इस लेख ने विशेष सापेक्षता के अनुसार फ्लैट स्पेसटाइम में डिराक समीकरण विकसित किया है। घुमावदार स्पेसटाइम में डिराक समीकरण तैयार करना संभव है।

भौतिक स्थान का बीजगणित
इस लेख ने चार-वेक्टर और श्रोडिंगर ऑपरेटरों का उपयोग करके डिराक समीकरण विकसित किया। भौतिक स्थान के बीजगणित में डिराक समीकरण वास्तविक संख्याओं के स्थान पर क्लिफ़ोर्ड बीजगणित का उपयोग करता है, जो एक प्रकार का ज्यामितीय बीजगणित है।

युग्मित वेइल स्पिनर्स
जैसा कि उल्लेखित डिराक समीकरण#अक्षीय समरूपता है, द्रव्यमान रहित डिराक समीकरण तुरंत सजातीय वेइल समीकरण में कम हो जाता है। गामा मैट्रिक्स#वेइल (चिरल) आधार का उपयोग करके, गैर-द्रव्यमान समीकरण को मूल चार-घटक स्पिनर के सूचकांकों के पहले और आखिरी जोड़े पर फलन करने वाले युग्मित अमानवीय वेइल समीकरणों की एक जोड़ी में विघटित किया जा सकता है, यानी। $$\psi = \begin{pmatrix} \psi_L \\ \psi_R \end{pmatrix}$$, कहाँ $$\psi_L$$ और $$\psi_R$$ प्रत्येक दो-घटक वेइल स्पिनर हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि चिरल गामा मैट्रिक्स के तिरछे ब्लॉक रूप का मतलब है कि वे स्वैप करते हैं $$\psi_L$$ और $$\psi_R$$ और प्रत्येक पर दो-दो-दो पाउली मैट्रिसेस लागू करें:

$$\gamma^\mu \begin{pmatrix}\psi_L \\ \psi_R \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\sigma^\mu \psi_R \\ \overline{\sigma}^\mu \psi_L \end{pmatrix}$$.

तो डिराक समीकरण

$$ (i\gamma^\mu \partial_\mu - m)\begin{pmatrix} \psi_L \\ \psi_R \end{pmatrix} = 0 $$ बन जाता है

$$ i\begin{pmatrix} \sigma^\mu \partial_\mu \psi_R \\ \overline{\sigma}^\mu \partial_\mu \psi_L \end{pmatrix} = m\begin{pmatrix} \psi_L \\ \psi_R \end{pmatrix} $$ जो बदले में द्रव्यमान रहित बाएँ और दाएँ-हेलिसिटी (कण भौतिकी) स्पिनरों के लिए अमानवीय वेइल समीकरणों की एक जोड़ी के बराबर है, जहाँ युग्मन शक्ति द्रव्यमान के समानुपाती होती है:

$$ i\sigma^\mu \partial_\mu \psi_R = m \psi_L $$

$$ i\overline{\sigma}^\mu \partial_\mu \psi_L = m \psi_R $$.

इसे हिलाने की गति की सहज व्याख्या के रूप में प्रस्तावित किया गया है, क्योंकि ये द्रव्यमान रहित घटक प्रकाश की गति से फैलेंगे और विपरीत दिशाओं में आगे बढ़ेंगे, क्योंकि हेलीसिटी गति की दिशा पर प्रचक्रण का प्रक्षेपण है। यहां जनसमूह की भूमिका है $$m$$ वेग को प्रकाश की गति से कम नहीं करना है, बल्कि उस औसत दर को नियंत्रित करना है जिस पर ये उलटाव होते हैं; विशेष रूप से, उत्क्रमण को पॉइसन प्रक्रिया के रूप में तैयार किया जा सकता है।

यू(1) समरूपता
इस अनुभाग में प्राकृतिक इकाइयों का उपयोग किया जाता है। युग्मन स्थिरांक को परंपरा के अनुसार लेबल किया जाता है $$e$$: इस पैरामीटर को इलेक्ट्रॉन चार्ज के मॉडलिंग के रूप में भी देखा जा सकता है।

वेक्टर समरूपता
डिराक समीकरण और क्रिया स्वीकार करती है $$\text{U}(1)$$ समरूपता जहां फ़ील्ड $$\psi, \bar\psi$$ के रूप में रूपांतरित करें $$\begin{align} \psi(x) &\mapsto e^{i\alpha}\psi(x), \\ \bar\psi(x) &\mapsto e^{-i\alpha}\bar\psi(x). \end{align}$$ यह एक वैश्विक समरूपता है, जिसे के रूप में जाना जाता है $$\text{U}(1)$$ वेक्टर समरूपता (विपरीत) $$\text{U}(1)$$ अक्षीय समरूपता: नीचे देखें)। नोएथर के प्रमेय के अनुसार एक संगत संरक्षित धारा होती है: इसका उल्लेख पहले किया जा चुका है $$J^\mu(x) = \bar\psi(x)\gamma^\mu\psi(x).$$

समरूपता का आकलन
यदि हम वैश्विक समरूपता को 'बढ़ावा' देते हैं, जो स्थिरांक द्वारा परिचालित है $$\alpha$$, एक स्थानीय समरूपता के लिए, एक फलन द्वारा पैरामीटराइज़ किया गया $$\alpha:\mathbb{R}^{1,3} \to \mathbb{R}$$, या समकक्ष $$e^{i\alpha}: \mathbb{R}^{1,3} \to \text{U}(1),$$ डिराक समीकरण अब अपरिवर्तनीय नहीं है: इसका एक अवशिष्ट व्युत्पन्न है $$\alpha(x)$$.

स्केलर इलेक्ट्रोडायनामिक्स के अनुसार फिक्स आगे बढ़ता है: आंशिक व्युत्पन्न को सहसंयोजक व्युत्पन्न में बढ़ावा दिया जाता है $$D_\mu$$ $$D_\mu \psi = \partial_\mu \psi + i e A_\mu\psi,$$ $$D_\mu \bar\psi = \partial_\mu \bar\psi - i e A_\mu\bar\psi.$$ सहसंयोजक व्युत्पन्न उस क्षेत्र पर निर्भर करता है जिस पर फलन किया जा रहा है। नव परिचय $$A_\mu$$ इलेक्ट्रोडायनामिक्स से 4-वेक्टर क्षमता है, लेकिन इसे एक के रूप में भी देखा जा सकता है $$\text{U}(1)$$ गेज क्षेत्र, या ए $$\text{U}(1)$$ कनेक्शन (गणित)।

गेज परिवर्तन के तहत परिवर्तन कानून के लिए $$A_\mu$$ तो यह सामान्य है $$A_\mu(x) \mapsto A_\mu(x) + \frac{1}{e}\partial_\mu\alpha(x)$$ लेकिन यह पूछकर भी प्राप्त किया जा सकता है कि सहसंयोजक व्युत्पन्न एक गेज परिवर्तन के तहत रूपांतरित होते हैं $$D_\mu\psi(x) \mapsto e^{i\alpha(x)}D_\mu\psi(x),$$ $$D_\mu\bar\psi(x) \mapsto e^{-i\alpha(x)}D_\mu\bar\psi(x).$$ फिर हम एक सहसंयोजक के आंशिक व्युत्पन्न को बढ़ावा देकर एक गेज-अपरिवर्तनीय डायराक क्रिया प्राप्त करते हैं: $$S = \int d^4x\,\bar\psi\,(iD\!\!\!\!\big / - m)\,\psi = \int d^4x\,\bar\psi\,(i\gamma^\mu D_\mu - m)\,\psi.$$ गेज-अपरिवर्तनीय लैग्रैन्जियन को लिखने के लिए आवश्यक अंतिम चरण मैक्सवेल लैग्रैन्जियन शब्द जोड़ना है, $$S_{\text{Maxwell}} = \int d^4x\,-\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}.$$ इन्हें एक साथ रखने से लाभ मिलता है

सहसंयोजक व्युत्पन्न का विस्तार करने से क्रिया को दूसरे उपयोगी रूप में लिखा जा सकता है: $$S_{\text{QED}} = \int d^4x\,-\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} + \bar\psi\,(i\partial\!\!\!\big / - m)\,\psi - eJ^\mu A_\mu$$

अक्षीय समरूपता
द्रव्यमान रहित डिराक फर्मियन, अर्थात् खेत $$\psi(x)$$ डिराक समीकरण को संतुष्ट करना $$m = 0$$, एक दूसरे को स्वीकार करें, असमान $$\text{U}(1)$$ समरूपता

इसे चार-घटक डिराक फ़र्मियन लिखकर सबसे आसानी से देखा जा सकता है $$\psi(x)$$ दो-घटक वेक्टर फ़ील्ड की एक जोड़ी के रूप में, $$\psi(x) = \begin{pmatrix} \psi_1(x)\\ \psi_2(x) \end{pmatrix}, $$ और गामा मैट्रिक्स के लिए गामा मैट्रिक्स को अपनाना, ताकि $$i\gamma^\mu\partial_\mu$$ लिखा जा सकता है $$i\gamma^\mu\partial_\mu = \begin{pmatrix} 0 & i\sigma^\mu \partial_\mu\\ i\bar\sigma^\mu \partial_\mu\ & 0 \end{pmatrix} $$ कहाँ $$\sigma^\mu$$ घटक हैं $$(I_2, \sigma^i)$$ और $$\bar\sigma^\mu$$ घटक हैं $$(I_2, -\sigma^i)$$.

फिर डिराक क्रिया रूप धारण कर लेती है $$S = \int d^4x\, \psi_1^\dagger(i\sigma^\mu\partial_\mu)\psi_1 + \psi_2^\dagger(i\bar\sigma^\mu\partial_\mu) \psi_2.$$ अर्थात्, यह दो वेइल समीकरण या वेइल फ़र्मियन के सिद्धांत में विभाजित हो जाता है।

पहले वाली वेक्टर समरूपता अभी भी मौजूद है, जहां $$\psi_1$$ और $$\psi_2$$ समान रूप से घुमाएँ. क्रिया का यह रूप दूसरे को असमान बनाता है $$\text{U}(1)$$ समरूपता प्रकट: $$\begin{align} \psi_1(x) &\mapsto e^{i\beta} \psi_1(x), \\ \psi_2(x) &\mapsto e^{-i\beta}\psi_2(x). \end{align}$$ इसे डिराक फर्मियन के स्तर पर भी व्यक्त किया जा सकता है $$\psi(x) \mapsto \exp(i\beta\gamma^5) \psi(x)$$ कहाँ $$\exp$$ आव्यूहों के लिए घातीय मानचित्र है।

यह एकमात्र नहीं है $$\text{U}(1)$$ समरूपता संभव है, लेकिन यह पारंपरिक है। वेक्टर और अक्षीय समरूपता का कोई भी 'रैखिक संयोजन' भी एक है $$\text{U}(1)$$ समरूपता

शास्त्रीय रूप से, अक्षीय समरूपता एक अच्छी तरह से तैयार किए गए गेज सिद्धांत को स्वीकार करती है। लेकिन क्वांटम स्तर पर, एक विसंगति (भौतिकी) है, यानी, गेजिंग में बाधा है।

रंग समरूपता का विस्तार
हम इस चर्चा को एबेलियन से आगे बढ़ा सकते हैं $$\text{U}(1)$$ एक गेज समूह के अंतर्गत सामान्य गैर-एबेलियन समरूपता के लिए समरूपता $$G$$, एक सिद्धांत के लिए रंग आवेश का समूह।

ठोसता के लिए, हम ठीक करते हैं $$G = \text{SU}(N)$$, क्रियाशील आव्यूहों का विशेष एकात्मक समूह $$\mathbb{C}^N$$.

इस अनुभाग से पहले, $$\psi(x)$$ इसे मिन्कोव्स्की स्पेस पर एक स्पिनर फ़ील्ड के रूप में देखा जा सकता है, दूसरे शब्दों में एक फलन $$\psi: \mathbb{R}^{1,3}\mapsto \mathbb{C}^4$$, और इसके घटक $$\mathbb{C}^4$$ प्रचक्रण सूचकांकों द्वारा लेबल किए जाते हैं, पारंपरिक रूप से ग्रीक सूचकांक वर्णमाला की शुरुआत से लिए गए हैं $$\alpha,\beta,\gamma,\cdots$$.

अनौपचारिक रूप से सिद्धांत को गेज सिद्धांत के रूप में प्रचारित करना $$\psi$$ जैसे रूपांतरित होने वाला एक भाग प्राप्त करता है $$\mathbb{C}^N$$, और इन्हें रंग सूचकांकों, पारंपरिक रूप से लैटिन सूचकांकों द्वारा लेबल किया जाता है $$i,j,k,\cdots$$. कुल मिलाकर, $$\psi(x)$$ है $$4N$$ घटक, द्वारा सूचकांकों में दिए गए $$\psi^{i,\alpha}(x)$$. 'स्पिनर' केवल लेबल करता है कि स्पेसटाइम परिवर्तनों के तहत क्षेत्र कैसे बदलता है।

औपचारिक रूप से, $$\psi(x)$$ एक टेंसर उत्पाद में मूल्यवान है, अर्थात यह एक फलन है $$\psi:\mathbb{R}^{1,3} \to \mathbb{C}^4 \otimes \mathbb{C}^N.$$ गेजिंग एबेलियन के समान ही आगे बढ़ती है $$\text{U}(1)$$ मामला, कुछ मतभेदों के साथ। गेज परिवर्तन के तहत $$U:\mathbb{R}^{1,3} \rightarrow \text{SU}(N),$$ स्पिनर फ़ील्ड के रूप में रूपांतरित होते हैं $$\psi(x) \mapsto U(x)\psi(x)$$ $$\bar\psi(x)\mapsto \bar\psi(x)U^\dagger(x).$$ मैट्रिक्स-मूल्यवान गेज फ़ील्ड $$A_\mu$$ या $$\text{SU}(N)$$ कनेक्शन के रूप में बदल जाता है $$A_\mu(x) \mapsto U(x)A_\mu(x)U(x)^{-1} + \frac{1}{g}(\partial_\mu U(x))U(x)^{-1},$$ और सहसंयोजक व्युत्पन्न परिभाषित $$D_\mu\psi = \partial_\mu \psi + igA_\mu\psi,$$ $$D_\mu\bar\psi = \partial_\mu \bar\psi - ig\bar\psi A_\mu^\dagger$$ के रूप में रूपांतरित करें $$D_\mu\psi(x) \mapsto U(x)D_\mu\psi(x),$$ $$D_\mu\bar\psi(x) \mapsto (D_\mu\bar\psi(x))U(x)^\dagger.$$ गेज-अपरिवर्तनीय क्रिया को लिखना ठीक उसी तरह आगे बढ़ता है जैसे कि $$\text{U}(1)$$ मामला, मैक्सवेल लैग्रैन्जियन को यांग-मिल्स लैग्रैन्जियन से प्रतिस्थापित करना $$S_{\text{Y-M}} = \int d^4x \,-\frac{1}{4}\text{Tr}(F^{\mu\nu}F_{\mu\nu})$$ जहां यांग-मिल्स क्षेत्र की ताकत या वक्रता को यहां परिभाषित किया गया है $$F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu - ig\left[A_\mu,A_\nu\right]$$ और $$[\cdot,\cdot]$$ मैट्रिक्स कम्यूटेटर है.

कार्रवाई तो तब है

भौतिक अनुप्रयोग
भौतिक अनुप्रयोगों के लिए, मामला $$N=3$$ मानक मॉडल के क्वार्क सेक्टर का वर्णन करता है जो मजबूत इंटरैक्शन का मॉडल तैयार करता है। क्वार्क को डिराक स्पिनर्स के रूप में तैयार किया गया है; गेज क्षेत्र ग्लूऑन क्षेत्र है। मामला $$N=2$$ मानक मॉडल के विद्युत  क्षेत्र के भाग का वर्णन करता है। इलेक्ट्रॉन और न्यूट्रिनो जैसे लेप्टान डायराक स्पिनर हैं; गेज फ़ील्ड है $$W$$ गेज बोसोन.

सामान्यीकरण
इस अभिव्यक्ति को मनमाने ढंग से झूठ समूह के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है $$G$$ कनेक्शन के साथ $$A_\mu$$ और एक समूह प्रतिनिधित्व $$(\rho, G, V)$$, जहां का रंग भाग है $$\psi$$ में मूल्यवान है $$V$$. औपचारिक रूप से, डिराक फ़ील्ड एक फलन है $$\psi:\mathbb{R}^{1,3} \to \mathbb{C}^4\otimes V.$$ तब $$\psi$$ गेज परिवर्तन के तहत परिवर्तन होता है $$g:\mathbb{R}^{1,3} \to G$$ जैसा $$\psi(x) \mapsto \rho(g(x))\psi(x)$$ और सहसंयोजक व्युत्पन्न परिभाषित किया गया है $$D_\mu\psi = \partial_\mu\psi + \rho(A_\mu)\psi$$ हम यहां कहां देखते हैं $$\rho$$ झूठ बीजगणित के रूप में झूठ बीजगणित का प्रतिनिधित्व $$\mathfrak{g} = \text{L}(G)$$ के लिए जुड़े $$G$$.

इस सिद्धांत को घुमावदार स्पेसटाइम के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, लेकिन ऐसी सूक्ष्मताएं हैं जो सामान्य स्पेसटाइम (या अधिक आम तौर पर अभी भी, कई गुना) पर गेज सिद्धांत में उत्पन्न होती हैं, जिन्हें फ्लैट स्पेसटाइम पर नजरअंदाज किया जा सकता है। यह अंततः फ्लैट स्पेसटाइम के संकुचन के कारण है जो हमें वैश्विक स्तर पर परिभाषित गेज फ़ील्ड और गेज परिवर्तनों को देखने की अनुमति देता है $$\mathbb{R}^{1,3}$$.

डिराक समीकरण पर लेख

 * डिराक क्षेत्र
 * डिराक स्पिनर
 * गॉर्डन अपघटन
 * क्लेन विरोधाभास
 * नॉनलीनियर डायराक समीकरण

अन्य समीकरण

 * ब्रेइट समीकरण
 * डिराक-कैहलर समीकरण
 * क्लेन-गॉर्डन समीकरण
 * रारिटा-श्विंगर समीकरण
 * दो-निकाय डिराक समीकरण
 * वेइल समीकरण
 * मेजोराना समीकरण

अन्य विषय

 * फर्मिओनिक क्षेत्र
 * फेनमैन चेकरबोर्ड
 * फ़ोल्डी-वाउथ्यूसेन परिवर्तन
 * क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स
 * क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स

बाहरी संबंध

 * The history of the positron Lecture given by Dirac in 1975
 * The Dirac Equation at MathPages
 * The Nature of the Dirac Equation, its solutions, and Spin
 * Dirac equation for a spin 1⁄2 particle
 * Pedagogic Aids to Quantum Field Theory click on Chap. 4 for a step-by-small-step introduction to the Dirac equation, spinors, and relativistic spin/helicity operators.