नियमित श्रृंखला

गणित में, और अधिक विशेष रूप से कंप्यूटर बीजगणित और विलोपन सिद्धांत में, एक नियमित श्रृंखला एक क्षेत्र पर  बहुभिन्नरूपी बहुपदों  का एक विशेष प्रकार का त्रिकोणीय सेट है, जहां एक त्रिकोणीय सेट बहुपदों का एक परिमित अनुक्रम होता है, जैसे कि प्रत्येक में पिछले वाले की तुलना में कम से कम एक अधिक अनिश्चित होता है। एक नियमित श्रृंखला होने के लिए एक त्रिकोणीय सेट को संतुष्ट करने वाली शर्त यह सुनिश्चित करती है कि, प्रत्येक के लिए $k$, प्रत्येक सामान्य शून्य (बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में)। $k$ पहले बहुपदों को एक सामान्य शून्य तक बढ़ाया जा सकता है $(k + 1)$वां बहुपद। दूसरे शब्दों में, नियमित शृंखला विभिन्न सम्मलित पर विचार किए बिना क्रमागत अविभाजित समीकरणों को हल करके बहुपद समीकरणों की प्रणाली को हल करने की अनुमति देती है।

नियमित श्रृंखलाएं WU के विशिष्ट सेटों की धारणा को इस अर्थ में बढ़ाती हैं कि वे संगणना की समान विधि के साथ बेहतर परिणाम प्रदान करते हैं।

परिचय
एक रैखिक प्रणाली को देखते हुए, इसे गॉसियन उन्मूलन के माध्यम से इसे त्रिकोणीय मैट्रिक्स में परिवर्तित किया जा सकता है। गैर-रैखिक स्थितियों के लिए, एक क्षेत्र पर एक बहुपद प्रणाली F में दिया जाता है, कोई इसे त्रिकोणीय सेटों के एक परिमित सेट में परिवर्तित (विघटित या त्रिकोणीय) कर सकता है, इस अर्थ में कि इन त्रिकोणीय सेटों द्वारा बीजगणितीय विविधता वी (एफ) का वर्णन किया गया हैं।

एक त्रिकोणीय सेट केवल खाली सेट का वर्णन कर सकता है। इस पतित स्थिति को ठीक करने के लिए, नियमित श्रृंखला की धारणा स्वतंत्र रूप से काल्कब्रेनर (1993), यांग और झांग (1994) द्वारा प्रस्तुत की गई थी। चाउ और गाओ (1992) में नियमित श्रृंखलाएं भी दिखाई देती हैं। नियमित श्रृंखलाएं विशेष त्रिकोणीय सेट हैं जो बीजगणितीय किस्मो के मिश्रित-आयामी अपघटन की गणना के लिए विभिन्न एल्गोरिदम में उपयोग किए जाते हैं। गुणनखंडन का उपयोग किए बिना, इन अपघटनों में बेहतर गुण होते हैं जो वू के एल्गोरिथम द्वारा निर्मित होते हैं। काल्कब्रेनर की मूल परिभाषा निम्नलिखित अवलोकन पर आधारित थी: प्रत्येक अलघुकरणीय किस्म विशिष्ट रूप से इसके एक सामान्य बिंदु द्वारा निर्धारित की जाती है और किस्मों को उनके अलघुकरणीय घटकों के सामान्य बिंदुओं का वर्णन करके दर्शाया जा सकता है। ये सामान्य बिंदु नियमित श्रृंखलाओं द्वारा दिए गए हैं।

उदाहरण
परिमेय संख्या क्षेत्र को निरूपित करें। Q[x1, x2, x3] परिवर्तनशील क्रम के साथ x1 < x2 < x3,
 * $$T = \{ x_2^2-x_1^2, x_2(x_3-x_1)\}$$

एक त्रिकोणीय सेट है और एक नियमित श्रृंखला भी है। T द्वारा दिए गए दो सामान्य बिंदु हैं (a, a, a) और (a, −a, a) हैं जहां a 'Q ' से अधिक अनुवांशिक होता है। इस प्रकार दो अलघुकरणीय घटक हैं, जो क्रमशः { x2 − x1, x3 − x1 }  और { x2 + x1, x3 − x1 },  द्वारा दिए गए हैं।

ध्यान दें कि: (1) दूसरे बहुपद की सामग्री x2 हैं। जो प्रतिनिधित्व किए गए सामान्य बिंदुओं में योगदान नहीं करती है और इस प्रकार इसे हटाया जा सकता है; (2) प्रत्येक घटक का आयाम 1 है, नियमित श्रृंखला में मुक्त चर की संख्या होती है।

औपचारिक परिभाषाएँ
बहुपद वलय में चर
 * $$R = k[x_1, \ldots, x_n]$$
 * सदैव x1 < ⋯ < xn  के रूप में क्रमबद्ध होते हैं। एक गैर-निरंतर बहुपद f में  $$R$$ को इसके सबसे बड़े चर में एक अविभाज्य बहुपद के रूप में देखा जा सकता है। f में सबसे बड़े चर को इसका मुख्य चर कहा जाता है, जिसे mvar(f) द्वारा निरूपित किया जाता है। u को f का मुख्य चर होने दें और इसे इस रूप में लिखें


 * $$f = a_eu^e + \cdots + a_0,$$

जहां e, u के संबंध में f कोण होता है और

$$a_e$$ u के संबंध में f का प्रमुख गुणांक है। तो f का प्रारंभिक है $$a_e$$ और e इसकी मुख्य कोण होता है।
 * त्रिकोणीय सेट

का एक गैर-रिक्त उपसमुच्चय T $$R$$ एक त्रिभुजाकार समुच्चय है, यदि T में बहुपद अस्थिर हैं और विशिष्ट मुख्य चर हैं। इसलिए, एक त्रिकोणीय समुच्चय परिमित है, और अधिक से अधिक n में कार्डिनैलिटी है।


 * नियमित श्रृंखला

मान लीजिए T = {t1, ..., Ts} एक त्रिभुजाकार समुच्चय है जैसे कि mvar(t1) < ⋯ < mvar(ts),

एक नियमित श्रृंखला का अर्ध-घटक और संतृप्त आदर्श होता है $$h_i$$'एस ti का आद्याक्षर होता और h $$h_i$$ का गुणनफल हो। तब T एक नियमित श्रृंखला है यदि
 * $$\mathrm{resultant}(h, T) = \mathrm{resultant}(\cdots(\mathrm{resultant}(h, t_s),\ldots, t_i)\cdots) \neq 0 ,$$

जहां प्रत्येक परिणामी की गणना क्रमशः ti  के मुख्य चर के संबंध में की जाती है। यह परिभाषा यांग और झांग से है, जो बहुत एल्गोरिथम फ्लेवर की है।


 * एक नियमित श्रृंखला का अर्ध-घटक और संतृप्त आदर्श

अर्ध-घटक W(T) नियमित श्रृंखला T द्वारा वर्णित है
 * $W(T) = V(T)\setminus V(h)$, वह है,

V(T) और V(h) किस्मों का निर्धारित अंतर। एक नियमित श्रृंखला की संलग्न बीजगणितीय वस्तु इसका संतृप्त आदर्श होता है
 * $$\mathrm{sat}(T) = (T):h^\infty .$$

एक उत्कृष्ट परिणाम यह है कि W(T) का ज़ारिस्की बंद होना sat(T) द्वारा परिभाषित विविधता के बराबर है, अर्थात,
 * $$\overline{W(T)} = V(\mathrm{sat}(T)) ,$$

और इसका आयाम n − |T| है, T में चरों की संख्या और बहुपदों की संख्या का अंतर होता है।


 * त्रिकोणीय अपघटन

सामान्यतः एक बहुपद प्रणाली एफ को विघटित करने के दो विधि हैं। सबसे पहले आलसी को विघटित करना है, जो कि (काल्कब्रेनर) अर्थों में केवल अपने सामान्य बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए है,
 * $$\sqrt{(F)} = \bigcap_{i=1}^e \sqrt{\mathrm{sat}(T_i)} .$$

दूसरा डेनियल लाजार्ड अर्थ में सभी शून्यों का वर्णन करना है,
 * $$V(F) = \bigcup_{i=1}^e W(T_i) .$$

किसी भी अर्थ में त्रिकोणीय अपघटन के लिए विभिन्न एल्गोरिदम उपलब्ध हैं।

गुण
बता दें कि T बहुपद वलय R में एक नियमित श्रृंखला होती है।


 * संतृप्त अनुकूल sat(T) आयाम n - |T| के साथ एक अमिश्रित आदर्श है।
 * एक नियमित श्रृंखला इस अर्थ में एक बल उन्मूलन गुण रखती है कि:
 * $$ \mathrm{sat}(T \cap k[x_1, \ldots, x_i]) = \mathrm{sat}(T) \cap k[x_1,\ldots , x_i] .$$


 * एक बहुपद p sat(T) में यदि और केवल p  को T द्वारा शून्य से कम किया जाता है, अर्थात,
 * $$p\in\mathrm{sat}(T)\iff \mathrm{prem}(p, T) = 0 .$$
 * इसलिए sat(T) के लिए सदस्यता परीक्षण एल्गोरिथम है।


 * एक बहुपद p एक शून्य-भाजक सापेक्ष sat(T) है यदि और केवल यदि $$\mathrm{prem}(p, T)\neq0$$ और $\mathrm{resultant}(p, T)=0$.
 * इसलिए sat(T) के लिए नियमितता परीक्षण एल्गोरिथम होता है।


 * एक प्रमुख आदर्श P दिया गया है, एक नियमित श्रृंखला C सम्मलित होता है  जैसे कि  P = sat(C)।
 * यदि एक नियमित श्रृंखला C का पहला तत्व एक अलघुकरणीय बहुपद है और अन्य अपने मुख्य चर में रैखिक हैं, तो sat(C) एक प्रमुख आदर्श है।
 * इसके विपरीत, यदि पी एक प्रमुख आदर्श है, तो चर के लगभग सभी रैखिक परिवर्तनों के बाद, पूर्ववर्ती आकार की एक नियमित श्रृंखला सी सम्मलित होती है जैसे कि P = sat(C)।
 * एक त्रिकोणीय सेट एक नियमित श्रृंखला है यदि और तब यह केवल अपने संतृप्त अनुकूल की रिट विशेषता सेट होती है।

यह भी देखें

 * वू की विशेषता सेट की विधि
 * ग्रोबनर आधार
 * नियमित अर्ध-बीजगणितीय प्रणाली
 * त्रिकोणीय अपघटन

आगे के संदर्भ

 * पी. ऑब्री, डी. लाज़ार्ड, एम. मोरेनो माज़ा। त्रिकोणीय सेट के सिद्धांतों पर। जर्नल ऑफ़ सिंबॉलिक कंप्यूटेशन, 28(1–2):105–124, 1999।
 * एफ. बाउलियर और एफ. लेमेयर और एम. मोरेनो माज़ा। त्रिकोणीय प्रणालियों और D5 सिद्धांत पर प्रसिद्ध प्रमेय। ट्रांसग्रेसिव कम्प्यूटिंग 2006, ग्रेनाडा, स्पेन।
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 * एम. कालब्रेनर: बहुपद वलयों के एल्गोरिद्मिक गुण। जे सिंब। गणना। 26(5): 525–581 (1998)।
 * एम. कालब्रेनर: एक सामान्यीकृत यूके कंप्यूटिंग त्रिकोणीय के लिए लिडियन एल्गोरिथम बीजगणितीय किस्मों का प्रतिनिधित्व। जे सिंब। गणना। 15(2): 143–167 (1993).
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 * यांग, एल., झांग, जे. (1994)। बीजगणितीय समीकरणों के बीच निर्भरता की खोज: स्वचालित तर्क पर लागू एल्गोरिदम। गणित में आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस, पीपी। 14715, ऑक्सफोर्ड यूनिवर्सिटी प्रेस।

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