सुपरमैनफोल्ड

भौतिक विज्ञान और गणित में, सुपरमेनिफोल्ड्स सुपरसिमेट्री से आने वाले विचारों पर आधारित बहुआयामी अवधारणा के सामान्यीकरण से हैं। कई परिभाषाएँ उपयोग में हैं, जिनमें से कुछ का वर्णन नीचे किया गया है।

अनौपचारिक परिभाषा
भौतिक विज्ञान की पाठ्यपुस्तकों और परिचयात्मक व्याख्यानों में सामान्यतः अनौपचारिक परिभाषा का उपयोग किया जाता है। यह बोसोनिक और फर्मियोनिक निर्देशांक दोनों के साथ अनेको रूप में सुपरमनीफोल्ड को परिभाषित करता है। स्थानीय रूप से, यह समन्वय तालिका से बना है जो इसे एसपीट, "यूक्लिडियन" सुपरस्पेस जैसा दिखता है। इन स्थानीय निर्देशांकों को अधिकांशतः निरूपित किया जाता है


 * $$(x,\theta,\bar{\theta})$$

जहाँ x (वास्तविक-संख्या-मूल्यवान) स्पेसटाइम निर्देशांक है, और $$\theta\,$$ और $$\bar{\theta}$$ ग्रासमैन मूल्यवान स्थानिक "दिशाएं" हैं।

ग्रासमैन-मूल्यवान निर्देशांक की भौतिक व्याख्या बहस का विषय है; सुपरसिमेट्री के लिए स्पष्ट प्रायोगिक खोजों ने कोई सकारात्मक परिणाम नहीं दिया है। चूंकि, ग्रासमैन चरों का उपयोग कई महत्वपूर्ण गणितीय परिणामों के अतिबृहत सरलीकरण की अनुमति देता है। इसमें अन्य बातों के अतिरिक्त, कार्यात्मक समाकलों की संक्षिप्त परिभाषा, बीआरएसटी क्वांटिज़ेशन में आवांछित प्रतिबिम्ब का उचित उपचार, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में अनंत संख्या को निरस्तीकरण करना, अतियाह-सिंगर इंडेक्स प्रमेय पर विट्टन कार्य और समरूपता को प्रतिबिंबित करने के लिए अधिकांशतः अनुप्रयोग होते हैं।

ग्रासमैन-मूल्यवान निर्देशांकों के उपयोग ने सुपरमैथमैटिक्स के क्षेत्र को जन्म दिया है, जिसमें ज्यामिति के बड़े हिस्से को सुपर-समकक्षों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसमें अधिकांश रिमेंनियन ज्यामिति और लाई समूह और लाई बीजगणित (जैसे लाई सुपरलेजेब्रस, आदि) के अधिकांश सिद्धांत सम्मलित हैं।। चूँकि, मुद्दे बने हुए हैं, जिसमें डॉ राम कोहोलॉजी के सुपरमैनफोल्ड्स के उचित विस्तार अधिकांशतः हुआ हैं।

परिभाषा
सुपरमैनिफोल्ड्स की तीन अलग-अलग परिभाषाएं उपयोग में हैं। एक परिभाषा चक्राकार स्थान के ऊपर एक पूले के रूप में है; इसे कभी-कभी "बीजगणित-ज्यामितीय दृष्टिकोण" कहा जाता है। इस दृष्टिकोण में एक गणितीय लालित्य है, किन्तु विभिन्न गणनाओं और सहज ज्ञान युक्त समझ में समस्या हो सकती है। एक दूसरे दृष्टिकोण को ठोस दृष्टिकोण कहा जा सकता है, क्योंकि यह सामान्य गणित से अवधारणाओं की एक विस्तृत श्रेणी को आसानी से और स्वाभाविक रूप से सामान्यीकृत करने में सक्षम है। इसकी परिभाषा में असीमित संख्या में सुपरसिमेट्रिक जेनरेटर के उपयोग की आवश्यकता है; चूँकि, इन जनरेटर की सीमित संख्या के अतिरिक्त सभी में कोई सामग्री नहीं होती है, क्योंकि ठोस दृष्टिकोण के लिए अपरिष्कृत टोपोलॉजी के उपयोग की आवश्यकता होती है जो लगभग सभी को समकक्ष बनाती है। आश्चर्यजनक रूप से,ये दो परिभाषाएँ, एक सीमित संख्या में सुपरसिमेट्रिक जनरेटर के साथ, और एक अनंत संख्या में जनरेटर के साथ, समतुल्य हैं।

एक तीसरा दृष्टिकोण एक सुपरमनीफोल्ड को सुपरपॉइंट के आधार टोपोस के रूप में वर्णित करता है। यह दृष्टिकोण सक्रिय शोध का विषय बना हुआ है।

बीजगणित-ज्यामितीय: एक पूली के रूप में
चूँकि सुपरमैनिफोल्ड्स गैर-अनुवर्ती मैनिफोल्ड्स के विशेष स्थितिया हैं, किन्तु उनकी स्थानीय संरचना उन्हें मानक अंतर ज्यामिति और स्थानीय रूप से चक्राकार स्थानों के उपकरणों के साथ अध्ययन करने के लिए बेहतर बनाती है।

आयाम (p,q) का एक सुपरमैनीफोल्ड एम एक स्थलीय स्थान एम है जिसमें सुपरलेजब्रस का एक समूह होता है, जिसे सामान्यतः OM या C∞(M)कहा जाता है, जो कि स्थानीय रूप से आइसोमॉर्फिक को निरूपित किया जाता है, $$C^\infty(\mathbb{R}^p)\otimes\Lambda^\bullet(\xi_1,\dots\xi_q)$$, जहां बाद वाला q जनरेटर पर ग्रासमैन (बाहरी) बीजगणित होता है।

आयाम (1,1) के सुपरमैनिफोल्ड एम को कभी-कभी सुपर-रीमैन सतह कहा जाता है।

ऐतिहासिक रूप से, यह दृष्टिकोण फेलिक्स बेरेज़िन, दिमित्रिस वामपंथी और बर्ट्रम कॉन्स्टेंट से जुड़ा हुआ होता है।

कंक्रीट: एक समतल बहुआयामी के रूप में
एक अलग परिभाषा एक सुपरमैनिफोल्ड को इस रूप में वर्णित करती है जो की निष्कोण मैनिफोल्ड के समान होती है, सिवाय इसके कि मॉडल स्पेस $$\mathbb{R}^p$$ मॉडल सुपरस्पेस द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है $$\mathbb{R}^p_c\times\mathbb{R}^q_a$$.

इसे सही ढंग से परिभाषित करने के लिए, यह स्पष्ट करना आवश्यक है कि क्या है $$\mathbb{R}_c$$ और $$\mathbb{R}_a$$ हैं। इन्हें ग्रासमैन नंबरों के एक-आयामी स्थान के सम और विषम वास्तविक उप-स्थानों के रूप में दिया जाता है, जो सम्मेलन द्वारा, एंटी-कम्यूटिंग वेरिएबल्स की अनंत संख्या द्वारा उत्पन्न होते हैं: यानी एक-आयामी स्थान द्वारा दिया जाता है $$\mathbb{C}\otimes\Lambda(V),$$ जहां V अनंत-आयामी है। एक तत्व z को वास्तविक कहा जाता है यदि $$z=z^*$$; ग्रासमैन जेनरेटर की केवल एक समान संख्या वाले वास्तविक तत्व जगह बनाते हैं $$\mathbb{R}_c$$ सी-नंबरों का, जबकि वास्तविक तत्वों में केवल विषम संख्या में ग्रासमैन जनरेटर होते हैं जो की $$\mathbb{R}_a$$ a-संख्याओं में जगह बनाते हैं। ध्यान दें कि c-नंबर कम्यूट करते हैं, जबकि a-नंबर एंटी-कम्यूट करते हैं। रिक्त स्थान $$\mathbb{R}^p_c$$ और $$\mathbb{R}^q_a$$ को फिर पी-फोल्ड और क्यू-फोल्ड कार्तीय गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है $$\mathbb{R}_c$$ और $$\mathbb{R}_a$$.

साधारण मैनिफोल्ड की तरह ही, सुपरमैनीफोल्ड को अलग-अलग परिवर्ती कार्यों के साथ चिपके हुए तालिका के संग्रह के रूप में परिभाषित किया जाता है। जो अलग-अलग परिवर्ती कार्यो के साथ एक साथ चिपक जाता है। तालिका के संदर्भ में इस परिभाषा के लिए आवश्यक है कि परिवर्ती कार्यों में एक समतल संरचना और एक गैर-लुप्त होने वाला जैकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक हो। यह केवल तभी पूरा किया जा सकता है जब अलग-अलग चार्ट एक टोपोलॉजी का उपयोग करते हैं जो कि ग्रासमैन बीजगणित पर वेक्टर-स्पेस टोपोलॉजी की तुलना में काफी अपरिष्कृत होते हैं। यह टोपोलॉजी प्रक्षेपित करके प्राप्त की जाती है $$\mathbb{R}^p_c$$ नीचे $$\mathbb{R}^p$$ और फिर उस पर प्राकृतिक टोपोलॉजी का उपयोग करना। परिणामी टोपोलॉजी हॉसडॉर्फ नहीं है, लेकिन इसे "प्रोजेक्टिवली हॉसडॉर्फ" कहा जा सकता है।

यह कि यह परिभाषा पहली परिभाषा के समतुल्य है, पर बिल्कुल भी स्पष्ट नहीं है; चूँकि, यह अपरिष्कृत टोपोलॉजी का उपयोग करके, अधिकांश "बिंदुओं" को समान करके इसे बनाता है।, वह है, $$\mathbb{R}^p_c\times\mathbb{R}^q_a$$ अपरिष्कृत टोपोलॉजी के साथ अनिवार्य रूप से समरूपी होते है को $$\mathbb{R}^p\otimes\Lambda^\bullet(\xi_1,\dots\xi_q)$$

गुण
एक नियमित रूप से बहुरूपता के विपरीत, एक सुपरमैनिफोल्ड पूरी तरह से बिंदुओं के एक सेट से बना नहीं है। इसके अतिरिक्त, कोई दोहरा दृष्टिकोण लेता है कि सुपरमैनफोल्ड M की संरचना उसके "समतल कार्यों" के अपने शेफ OM में निहित है। दोहरे दृष्टिकोण में, एक अंतःक्षेपी मानचित्र ढेरों के प्रक्षेपण से मेल खाता है, और एक विशेषण मानचित्र ढेरों के अन्तःक्षेपण से मेल खाता है।

दोहरे दृष्टिकोण के लिए एक वैकल्पिक दृष्टिकोण बिंदुओं के घटको का उपयोग करना होता है।

यदि 'एम' आयाम (पी, क्यू) का एक सुपरमैनफोल्ड है, तो अंतर्निहित स्थान एम एक अलग-अलग बहुआयामी की संरचना को प्राप्त करता है जिसका समतल कार्यों का पूली ​​O M/I'है, जहां सभी विषम कार्यों द्वारा उत्पन्न आदर्श (रिंग थ्योरी) होती है। इस प्रकार M को 'M' का अंतर्निहित स्थान या पिंड कहा जाता है। भागफल मानचित्र OM → OM/I एक अंतःक्षेपी मानचित्र M → M' से संबंधित है; इस प्रकार M M ' का एक सबमनीफोल्ड है।

उदाहरण

 * लेट M अनेक होने दें। विषम स्पर्शरेखा बंडल ΠTM, M पर अवकल रूपों के पूली Ω(M) द्वारा दिया गया सुपरमैनिफोल्ड है।
 * सामान्यतः, E → M को सदिश बंडल होने दें। फिर ΠE शीफ Γ(ΛE*) द्वारा दिया गया एक सुपरमैनिफोल्ड है। वास्तव में, Π सदिश बंडलों की श्रेणी से सुपरमैनिफोल्ड्स की श्रेणी  का प्रकार्यक है।
 * लिये सुपरग्रुप सुपरमैनिफोल्ड्स के उदाहरण हैं।

स्नातक प्रमेय
बैचेलर के प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक सुपरमैनिफोल्ड फॉर्म ΠE के सुपरमैनफोल्ड के लिए गैर-कैनोनिक रूप से आइसोमॉर्फिक है। "गैर-प्रामाणिक रूप से" शब्द किसी को यह निष्कर्ष निकालने से रोकता है कि सुपरमैनिफोल्ड केवल सदिश बंडलों का महिमामंडन करते हैं; चूँकि फंक्टर Π विशेष रूप से सुपरमैनिफोल्ड्स के आइसोमोर्फिज्म वर्गों पर मानचित्रण करता है, यह श्रेणियों का समकक्ष नहीं है। यह 1979 में मार्जोरी बैचलर द्वारा प्रकाशित किया गया था।

बैथेलर के प्रमेय का गणितीय प्रमाण अनिवार्य रूप से एकता के विभाजन के आवश्यक विधि में निर्भर करता है, इसलिए यह जटिल या वास्तविक-विश्लेषणात्मक सुपरमैनिफोल्ड के लिए नहीं होता है।

विषम संसुघटित रूप
कई भौतिक और ज्यामितीय अनुप्रयोगों में, एक सुपरमैनफोल्ड ग्रासमैन-विषम संसुघटित संरचना से सुसज्जित होता है। सुपरमैनिफोल्ड पर सभी प्राकृतिक ज्यामितीय वस्तुओं को वर्गीकृत किया जाता है। विशेष रूप से, दो रूपों का बंडल ग्रेडिंग से लैस होता है। सुपरमैनिफोल्ड पर एक विषम संसुघटित रूप ω एक बंद, विषम रूप है, जो टीएम पर एक गैर-पतित जोड़ी को प्रेरित करता है। ऐसे सुपरमैनिफोल्ड को पी-मैनिफोल्ड कहा जाता है।इसका श्रेणीबद्ध आयाम आवश्यक रूप से (एन, एन) है, क्योंकि विषम संसुघटित रूप विषम और सम चरों की जोड़ी को प्रेरित करता है। पी-मैनिफोल्ड्स के लिए डार्बौक्स प्रमेय का एक संस्करण है, जो किसी को पी- बहुआयामी को स्थानीय रूप से निर्देशांक के एक सेट से लैस करने की अनुमति देता है जहां विषम संसुघटित रूप ω को लिखा जाता है
 * $$\omega = \sum_{i} d\xi_i \wedge dx_i, $$

जहाँ $$x_i$$सम निर्देशांक हैं, और और $$\xi_i$$ विषम निर्देशांक है। (एक विषम संसुघटित रूप को ग्रासमैन के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए - यहां तक ​​​​कि सुपरमैनफोल्ड पर भी संसुघटित रूप। इसके विपरीत, एक समान संसुघटित रूप का डार्बौक्स संस्करण है
 * $$\sum_i dp_i \wedge dq_i+\sum_j \frac{\varepsilon_j}{2}(d\xi_j)^2, $$

जहाँ $$p_i,q_i$$ सम निर्देशांक हैं, $$\xi_i$$ विषम निर्देशांक और $$\varepsilon_j$$ या तो +1 या -1 हैं।)

एंटीब्रैकेट
एक विषम संसुघटित 2-फॉर्म ω को देखते हुए एक पॉइसन ब्रैकेट को परिभाषित किया जा सकता है जिसे किसी भी दो कार्यों F  और G के एंटीब्रैकेट के रूप में जाना जाता है, जो सुपरमैनफोल्ड पर होता है।


 * $$\{F,G\}=\frac{\partial_rF}{\partial z^i}\omega^{ij}(z)\frac{\partial_lG}{\partial z^j}.$$

यहाँ $$\partial_r$$ और $$\partial_l$$ क्रमशः दाएं और बाएं यौगिक  हैं और z सुपरमैनिफोल्ड के निर्देशांक हैं। इस ब्रैकेट से लैस, सुपरमैनिफोल्ड पर कार्यों का बीजगणित एक एंटीब्रैकेट बीजगणित बन जाता है।

एक समन्वय परिवर्तन जो एंटीब्रैकेट को संरक्षित करता है उसे पी-रूपांतरण कहा जाता है। यदि किसी P-रूपांतरण का बेरेज़िनिया के बराबर है तो इसे SP-रूपांतरण कहा जाता है।

पी और एसपी- बहुआयामी
विषम संसुघटित रूपों के लिए डार्बौक्स प्रमेय का उपयोग करके कोई यह दिखा सकता है कि पी-मैनिफोल्ड सुपरस्पेस के खुले सेट से निर्मित होते हैं $${\mathcal{R}}^{n|n}$$ पी-रूपांतरणों द्वारा एक साथ चिपके हुए होते है। यदि इन परिवर्ती कार्यों को एसपी-रूपांतरण के रूप में चुना जा सकता है, तो बहुआयामी को एसपी- बहुआयामी कहा जाता है। समतुल्य रूप से एक एसपी- बहुआयामी को एक गैर-विषम विषम 2-रूप ω और एक घनत्व फलनρ के साथ एक एसपी- बहुआयामी के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जैसे कि प्रत्येक समन्वय पैच पर डार्बौक्स निर्देशांक सम्मलित होते हैं जिसमें ρ समान रूप से एक के बराबर होता है।

लाप्लासियन
कोई एसपी-मैनिफ़ोल्ड पर एक लाप्लासियन ऑपरेटर Δ को ऑपरेटर के रूप में परिभाषित कर सकता है जो संबंधित हैमिल्टनियन वेक्टर क्षेत्र के विचलन के आधे से एक फलन H को लेता है। स्पष्ट रूप से एक परिभाषित करता है


 * $$\Delta H=\frac{1}{2\rho}\frac{\partial_r}{\partial z^a}\left(\rho\omega^{ij}(z)\frac{\partial_l H}{\partial z^j}\right)$$.

डार्बौक्स निर्देशांक में यह परिभाषा कम हो जाती है
 * $$\Delta=\frac{\partial_r}{\partial x^a}\frac{\partial_l}{\partial \theta_a}$$

जहां xa और θa सम और विषम निर्देशांक हैं जैसे कि


 * $$\omega=dx^a\wedge d\theta_a$$.

लाप्लासियन विषम और निलपोटेंट है


 * $$\Delta^2=0$$.

लाप्लासियन के संबंध में H कार्यो के सह-समरूपता कोहोलॉजी को परिभाषित किया जा सकता है। बैटलिन-विल्कोविस्की क्वांटिज़ेशन की ज्यामिति में, अल्बर्ट श्वार्ज ने सिद्ध किया है, कि लैग्रैंगियन सबमेनिफोल्ड L पर फलन H का अभिन्न अंग केवल H के कोहोलॉजी वर्ग और परिवेशी सुपरमैनफोल्ड के  तत्व में L के  तत्व के समरूपता वर्ग पर निर्भर करता है।

सुसी
आयाम (एन, एम) के सुपरमैनफोल्ड पर एक पूर्व-सुसी-संरचना एक विषम एम-आयामी वितरण है $$P \subset TM$$ इस तरह के वितरण के साथ इसके फ्रोबेनियस टेन्सर को जोड़ा जाता है $$S^2 P \mapsto TM/P$$ (चूंकि P विषम है, तिरछा-सममित फ्रोबेनियस टेंसर एक सममित संक्रिया है)। यदि यह टेंसर गैर-पतित है, उदा, खुली कक्षा में स्थित है $$GL(P) \times GL(TM/P)$$, M को SUSY-मैनिफ़ोल्ड कहा जाता है। SUSY-संरचना आयाम (1, k) में विषम संपर्क संरचना के समान है।

यह भी देखें

 * सुपरस्पेस
 * सुपरसिमेट्री
 * सुपरज्यामिति
 * ग्रेडेड मैनिफोल्ड
 * बटालिन-विल्कोविस्की औपचारिकता

संदर्भ

 * Joseph Bernstein, "Lectures on Supersymmetry (notes by Dennis Gaitsgory)", Quantum Field Theory program at IAS: Fall Term
 * A. Schwarz, "Geometry of Batalin-Vilkovisky quantization", ArXiv hep-th/9205088
 * C. Bartocci, U. Bruzzo, D. Hernandez Ruiperez, The Geometry of Supermanifolds (Kluwer, 1991) ISBN 0-7923-1440-9
 * L. Mangiarotti, G. Sardanashvily, Connections in Classical and Quantum Field Theory (World Scientific, 2000) ISBN 981-02-2013-8

बाहरी संबंध

 * Super manifolds: an incomplete survey at the Manifold Atlas.