अर्धवृत्ताकार वक्र



गणित में, एक अण्डाकार वक्र एक चिकनापन, प्रक्षेपी किस्म, बीजगणितीय वक्र के जीनस का बीजगणितीय वक्र होता है, जिस पर एक निर्दिष्ट बिंदु होता है $O$. एक अण्डाकार वक्र को एक क्षेत्र (गणित)  पर परिभाषित किया गया है $K$ और बिंदुओं का वर्णन करता है $x, y ∈ [−3,3]$, का कार्टेशियन उत्पाद $K$ खुद के साथ। यदि क्षेत्र की  विशेषता (बीजगणित)  2 और 3 से भिन्न है, तो वक्र को एक  समतल बीजीय वक्र  के रूप में वर्णित किया जा सकता है जिसमें समाधान होते हैं $(a, b) = (0, 0)$ के लिये:


 * $$y^2 = x^3 + ax + b$$

कुछ गुणांक के लिए $a$ तथा $b$ में $K$. वक्र को वक्र का एकवचन बिंदु  होना आवश्यक है | गैर-एकवचन, जिसका अर्थ है कि वक्र में कोई  पुच्छ (विलक्षण)  या आत्म-चौराहे | आत्म-चौराहे नहीं है। (यह शर्त के बराबर है $K$, यानी  वर्ग-मुक्त बहुपद  होने के नाते|वर्ग-मुक्त in $x$।) यह हमेशा समझा जाता है कि वक्र वास्तव में प्रक्षेप्य तल में बिंदु के साथ बैठा है $O$ अनंत पर अद्वितीय बिंदु होने के नाते। कई स्रोत एक अंडाकार वक्र को इस रूप के समीकरण द्वारा दिए गए वक्र के रूप में परिभाषित करते हैं। (जब  गुणांक क्षेत्र  में 2 या 3 की विशेषता होती है, तो उपरोक्त समीकरण सभी गैर-एकवचन घन विमान वक्र को शामिल करने के लिए पर्याप्त सामान्य नहीं है; देखें  नीचे।)

एक अण्डाकार वक्र एक अबेलियन किस्म  है - अर्थात, इसका एक समूह कानून है जिसे बीजगणितीय रूप से परिभाषित किया गया है, जिसके संबंध में यह एक  एबेलियन समूह  है - और $O$ पहचान तत्व के रूप में कार्य करता है।

यदि $(x, y)$, कहाँ पे $P$ डिग्री तीन इंच का कोई बहुपद है $x$ दोहराए गए जड़ों के साथ, समाधान सेट जीनस (गणित) का एक गैर-एकवचन विमान वक्र है, एक अंडाकार वक्र। यदि $P$ डिग्री चार है और वर्ग-मुक्त बहुपद है|वर्ग-मुक्त यह समीकरण फिर से जीनस एक के एक समतल वक्र का वर्णन करता है; हालाँकि, इसमें पहचान तत्व का कोई स्वाभाविक विकल्प नहीं है। अधिक आम तौर पर, जीनस वन का कोई बीजगणितीय वक्र, उदाहरण के लिए त्रि-आयामी प्रक्षेप्य स्थान में एम्बेडेड दो क्वाड्रिक (बीजगणितीय ज्यामिति)  का प्रतिच्छेदन, एक अण्डाकार वक्र कहलाता है, बशर्ते कि यह पहचान के रूप में कार्य करने के लिए एक चिह्नित बिंदु से सुसज्जित हो।

अण्डाकार कार्यों के सिद्धांत का उपयोग करते हुए, यह दिखाया जा सकता है कि जटिल संख्या ओं पर परिभाषित अण्डाकार वक्र जटिल प्रक्षेप्य तल में  टोरस्र्स  के एम्बेडिंग के अनुरूप होते हैं। टोरस भी एक एबेलियन समूह है, और यह पत्राचार भी एक  समूह समरूपता  है।

अण्डाकार वक्र संख्या सिद्धांत  में विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं, और वर्तमान अनुसंधान के एक प्रमुख क्षेत्र का गठन करते हैं; उदाहरण के लिए, वे विल्स के फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के प्रमाण में उपयोग किए गए थे | एंड्रयू विल्स के फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के प्रमाण में। वे  अण्डाकार वक्र क्रिप्टोग्राफी  (ईसीसी) और  पूर्णांक गुणनखंड  में भी आवेदन पाते हैं।

एक अण्डाकार वक्र एक प्रक्षेपी शंकु के अर्थ में एक दीर्घवृत्त नहीं है, जिसमें जीनस शून्य है: शब्द की उत्पत्ति के लिए अण्डाकार अभिन्न  देखें। हालांकि, आकार अपरिवर्तनीय के साथ वास्तविक अण्डाकार वक्रों का एक प्राकृतिक प्रतिनिधित्व है $4a^{3} + 27b^{2} ≠ 0$ अतिपरवलयिक तल में दीर्घवृत्त के रूप में $$\mathbb{H}^2$$. विशेष रूप से, एक निश्चित स्थिर-कोण संपत्ति की विशेषता वाले क्वाड्रिक सतहों के साथ मिंकोवस्की हाइपरबोलॉइड के चौराहे में स्टीनर अंडाकार उत्पन्न होते हैं $$\mathbb{H}^2$$ (अभिविन्यास-संरक्षण संयोजनों द्वारा उत्पन्न)। इसके अलावा, इन दीर्घवृत्तों के ओर्थोगोनल प्रक्षेप पथ में के साथ अण्डाकार वक्र शामिल होते हैं $y^{2} = P(x)$, और किसी भी दीर्घवृत्त में $$\mathbb{H}^2$$ दो foci के सापेक्ष एक स्थान के रूप में वर्णित विशिष्ट रूप से दो स्टीनर दीर्घवृत्त का अण्डाकार वक्र योग है, जो प्रत्येक ऑर्थोगोनल प्रक्षेपवक्र पर चौराहों के जोड़े को जोड़कर प्राप्त किया जाता है। यहां, हाइपरबोलाइड का शीर्ष प्रत्येक प्रक्षेपवक्र वक्र पर पहचान के रूप में कार्य करता है। सांस्थितिकी रूप से, एक जटिल अण्डाकार वक्र एक टोरस है, जबकि एक जटिल दीर्घ वृत्त  एक गोला है।

वास्तविक संख्याओं पर अण्डाकार वक्र
यद्यपि एक अंडाकार वक्र की औपचारिक परिभाषा के लिए बीजीय ज्यामिति  में कुछ पृष्ठभूमि की आवश्यकता होती है, केवल प्रारंभिक  बीजगणित  और ज्यामिति का उपयोग करके  वास्तविक संख्या ओं पर अंडाकार वक्र की कुछ विशेषताओं का वर्णन करना संभव है।

इस संदर्भ में, एक अण्डाकार वक्र एक समतल वक्र  होता है जिसे फ़ॉर्म के समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है


 * $$y^2 = x^3 + ax + b$$

चर के रैखिक परिवर्तन के बाद ($a$ तथा $b$ वास्तविक संख्याएँ हैं)। इस प्रकार के समीकरण को Weierstrass समीकरण कहा जाता है, और कहा जाता है कि Weierstrass रूप में, या Weierstrass सामान्य रूप में होता है।

अण्डाकार वक्र की परिभाषा के लिए यह भी आवश्यक है कि वक्र गैर-एकवचन हो। ज्यामितीय रूप से, इसका मतलब है कि ग्राफ में कोई पुच्छ (विलक्षणता), आत्म-चौराहे या पृथक बिंदु  नहीं है। बीजगणितीय रूप से, यह तब और केवल तभी मान्य होता है जब विवेचक


 * $$\Delta = -16\left(4a^3 + 27b^2\right)$$

शून्य के बराबर नहीं है। (यद्यपि कारक -16 वक्र के गैर-एकवचन होने या न होने के लिए अप्रासंगिक है, विवेचक की यह परिभाषा अण्डाकार वक्रों के अधिक उन्नत अध्ययन में उपयोगी है।) एक गैर-एकवचन वक्र के वास्तविक ग्राफ में दो घटक होते हैं यदि इसका विवेचक सकारात्मक है, और एक घटक यदि यह नकारात्मक है। उदाहरण के लिए, चित्र में दाईं ओर दिखाए गए ग्राफ़ में, पहले मामले में विवेचक 64 है, और दूसरे मामले में −368 है।

समूह कानून
प्रोजेक्टिव प्लेन में काम करते समय, हम किसी भी चिकने क्यूबिक कर्व पर एक ग्रुप (गणित) संरचना को परिभाषित कर सकते हैं। Weierstrass सामान्य रूप में, ऐसे वक्र का एक अतिरिक्त बिंदु होगा $O$ अनंत पर ( सजातीय निर्देशांक $j ≥ 1$), जो समूह की पहचान के रूप में कार्य करता है।

चूंकि वक्र के बारे में सममित है $x$-अक्ष, कोई भी बिंदु दिया गया $P$, हम ले सकते है $j ≤ 1$ इसके विपरीत बिंदु होना। $$ -O = O$$, क्योंकि यह पहचान तत्व है।

यदि $P$ तथा $Q$ वक्र पर दो बिंदु हैं, तो हम विशिष्ट रूप से तीसरे बिंदु का वर्णन कर सकते हैं $y^{2} = x^{3} − x$ इस अनुसार। सबसे पहले, वह रेखा खींचे जो प्रतिच्छेद करती है $P$ तथा $Q$. यह आम तौर पर घन को तीसरे बिंदु पर काटेगा, $R$. हम तब लेते हैं $y^{2} = x^{3} − x + 1$ होना $[0:1:0]$, विपरीत बिंदु $R$.

जोड़ के लिए यह परिभाषा अनंत और चौराहे बहुलता पर बिंदु से संबंधित कुछ विशेष मामलों को छोड़कर काम करती है। पहला तब होता है जब बिंदुओं में से एक ओ होता है। यहां, हम परिभाषित करते हैं $−P$, बनाना $O$ समूह की पहचान। अगला, अगर $P$ तथा $Q$ एक दूसरे के विपरीत हैं, हम परिभाषित करते हैं $P + Q$. अंत में, अगर $P + Q$ हमारे पास केवल एक बिंदु है, इस प्रकार हम उनके बीच की रेखा को परिभाषित नहीं कर सकते। इस मामले में, हम इस बिंदु पर वक्र के लिए स्पर्शरेखा रेखा का उपयोग अपनी रेखा के रूप में करते हैं। ज्यादातर मामलों में, स्पर्शरेखा दूसरे बिंदु को काटेगी $R$ और हम इसके विपरीत ले सकते हैं। हालांकि, यदि $P$ एक विभक्ति बिंदु होता है (एक बिंदु जहां वक्र की समतलता बदल जाती है), हम लेते हैं $R$ होना $P$ खुद और $−R$ बस बिंदु अपने आप में विपरीत है।



एक घन वक्र के लिए जो वीयरस्ट्रैस सामान्य रूप में नहीं है, हम अभी भी एक समूह संरचना को उसके नौ विभक्ति बिंदुओं में से एक को पहचान के रूप में निर्दिष्ट करके परिभाषित कर सकते हैं $O$. प्रक्षेप्य तल में, बहुलता का हिसाब लगाते समय प्रत्येक रेखा एक घन को तीन बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करेगी। एक बिंदु के लिए $P$, $P + O = P = O + P$ से गुजरने वाली रेखा पर अद्वितीय तीसरे बिंदु के रूप में परिभाषित किया गया है $O$ तथा $P$. फिर, किसी के लिए $P$ तथा $Q$, $P + Q = O$ की तरह परिभाषित किया गया है $P = Q$ कहाँ पे $R$ रेखा पर अद्वितीय तीसरा बिंदु है $P$ तथा $Q$.

होने देना $K$ एक ऐसा क्षेत्र हो जिस पर वक्र परिभाषित किया गया हो (अर्थात, परिभाषित करने वाले समीकरण के गुणांक या वक्र के समीकरणों में हैं $K$) और वक्र को द्वारा निरूपित करें $E$. फिर $K$- तर्कसंगत बिंदु $E$ बिंदु हैं $E$ जिसके सभी निर्देशांक में स्थित हैं $K$, अनंत पर बिंदु सहित। के समुच्चय $K$-तर्कसंगत बिंदुओं को द्वारा निरूपित किया जाता है $P + P$. $−P$ एक समूह है, क्योंकि बहुपद समीकरणों के गुण दर्शाते हैं कि यदि $P$ में है $P + Q$, फिर $−R$ में भी है $E(K)$, और यदि दो $P$, $Q$, $R$ में हैं $E(K)$, तो तीसरा है। इसके अतिरिक्त, यदि $K$ का एक उपक्षेत्र है $L$, फिर $E(K)$ का एक उपसमूह  है $−P$.

उपरोक्त समूहों को बीजगणितीय और साथ ही ज्यामितीय रूप से वर्णित किया जा सकता है। वक्र को देखते हुए $E(K)$ मैदान के ऊपर $K$ (जिसका प्राइम सबफील्ड  हम न तो 2 और न ही 3 मानते हैं), और अंक $E(K)$ तथा $E(K)$ वक्र पर, पहले मान लें कि $E(L)$ (मामला एक)। होने देना $y^{2} = x^{3} + ax + b$ प्रतिच्छेद करने वाली रेखा का समीकरण हो $P$ तथा $Q$, जिसमें निम्नलिखित ढलान है:


 * $$s = \frac{y_P - y_Q}{x_P - x_Q}$$

रेखा समीकरण और वक्र समीकरण बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं $x_{P}$, $x_{Q}$, तथा $x_{R}$, इसलिए समीकरण समान हैं $y$ मूल्य।


 * $$\left(s x + d\right)^2 = x^3 + ax + b$$

जो के बराबर है


 * $$x^3 - s^2 x^2 - 2sdx + ax + b - d^2 = 0$$

हम जानते हैं कि इस समीकरण की जड़ें बिल्कुल एक जैसी हैं $x$ मूल्यों के रूप में


 * $$(x - x_P) (x - x_Q) (x - x_R) = x^3 + x^2 (-x_P - x_Q - x_R) + x (x_P x_Q + x_P x_R + x_Q x_R) - x_P x_Q x_R $$

हम गुणांक के लिए समीकरण कर रहे हैं $P = (x_{P}, y_{P})$ और हल करें $x_{R}$.


 * $$x_R = s^2 - x_P - x_Q$$

$y_{R}$ रेखा समीकरण से निम्नानुसार है


 * $$y_R = y_P + s(x_R - x_P)$$

और का एक तत्व है $K$. इसलिए यह परिभाषित करता है $Q = (x_{Q}, y_{Q})$.

यदि $x_{P} ≠ x_{Q}$, तो दो विकल्प हैं: if $y = sx + d$ (केस 3), उस मामले सहित जहां $x^{2}$ (केस 4), तो योग को 0 के रूप में परिभाषित किया गया है; इस प्रकार, वक्र के प्रत्येक बिंदु का व्युत्क्रम वक्र के आर-पार परावर्तित करके पाया जाता है $x$-एक्सिस।

यदि $R = (x_{R}, y_{R}) = −(P + Q)$, फिर $x_{P} = x_{Q}$ तथा $y_{P} = −y_{Q}$ (केस 2 का उपयोग कर $P$ जैसा $R$) वक्र पर स्पर्शरेखा द्वारा ढलान (x .) पर दिया जाता हैP, यूP).


 * $$\begin{align}

s &= \frac{3{x_P}^2 + a}{2y_P}\\ x_R &= s^2 - 2x_P\\ y_R &= y_P + s(x_R - x_P) \end{align}$$

परिमेय संख्याओं पर अण्डाकार वक्र
परिमेय संख्याओं के क्षेत्र में परिभाषित एक वक्र E को वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में भी परिभाषित किया गया है। इसलिए, स्पर्शरेखा और सेकेंट विधि द्वारा जोड़ के नियम (वास्तविक निर्देशांक वाले बिंदुओं के) को ई पर लागू किया जा सकता है। स्पष्ट सूत्र बताते हैं कि तर्कसंगत निर्देशांक वाले दो बिंदुओं पी और क्यू के योग में फिर से तर्कसंगत निर्देशांक होते हैं, क्योंकि लाइन में शामिल होने के बाद से P और Q में परिमेय गुणांक हैं। इस तरह, कोई यह दर्शाता है कि E के परिमेय बिंदुओं का समूह E के वास्तविक बिंदुओं के समूह का एक उपसमूह बनाता है। इस समूह के रूप में, यह एक आबेलियन समूह है, अर्थात P + Q = Q + P।

अभिन्न अंक
यह खंड E के बिंदु P = (x, y) से इस प्रकार संबंधित है कि x एक पूर्णांक है।

उदाहरण के लिए, समीकरण y2 = x3 + 17 में y > 0 के साथ आठ अभिन्न समाधान हैं:
 * (x, y) = (-2, 3), (-1, 4), (2, 5), (4, 9), (8, 23), (43, 282), (52, 375), ($5,234$, $378,661$)

एक अन्य उदाहरण के रूप में, स्टेला ऑक्टांगुला संख्या | लजुंगग्रेन का समीकरण, एक वक्र जिसका वीयरस्ट्रैस रूप y है2 = x3 − 2x, y ≥ 0 के साथ केवल चार समाधान हैं:
 * (x, y) = (0, 0), (-1, 1), (2, 2), (338, $6,214$).

परिमेय बिंदुओं की संरचना
परिमेय बिंदुओं का निर्माण स्पर्शरेखा और सेकेंट की विस्तृत विधि द्वारा किया जा सकता है # समूह कानून, परिमेय बिंदुओं की एक सीमित संख्या से शुरू होता है। ज्यादा ठीक मोर्डेल-वील प्रमेय बताता है कि समूह ई ('क्यू') एक अंतिम रूप से उत्पन्न समूह  (एबेलियन) समूह है। इसलिए सूक्ष्म रूप से उत्पन्न अबेलियन समूहों के मौलिक प्रमेय द्वारा यह 'Z' और परिमित चक्रीय समूहों की प्रतियों का एक सीमित प्रत्यक्ष योग है।

प्रमेय का प्रमाण दो भागों को शामिल करता है। पहला भाग दर्शाता है कि किसी भी पूर्णांक m > 1 के लिए, भागफल समूह  E('Q')/mE('Q') परिमित है (यह कमजोर मोर्डेल-वेल प्रमेय है)। दूसरा, h(P .) द्वारा परिभाषित परिमेय बिंदुओं E('Q') पर ऊंचाई फलन h का परिचय देना0) = 0 और $y_{P} = y_{Q} = 0$ यदि P (अनंत P पर स्थित बिंदु के असमान हो)0) भुज के रूप में परिमेय संख्या x = p/q (सहअभाज्य p और q के साथ) है। इस ऊँचाई फ़ंक्शन h में यह गुण होता है कि h(mP) लगभग m के वर्ग की तरह बढ़ता है। इसके अलावा, किसी भी स्थिरांक से छोटी ऊंचाई वाले केवल बहुत से परिमेय बिंदु E पर मौजूद हैं।

इस प्रकार प्रमेय का प्रमाण अनंत वंश  की विधि का एक प्रकार है और ई पर  यूक्लिडियन एल्गोरिथम  के बार-बार आवेदन पर निर्भर करता है: पी ∈ ई ('क्यू') को वक्र पर एक तर्कसंगत बिंदु होने दें, पी को योग 2 पी के रूप में लिखें1 + क्यू1 जहां क्यू1 E('Q')/2E('Q'), P. की ऊंचाई में P का एक निश्चित प्रतिनिधि है1 के बारे में है $1⁄4$ P में से एक का (अधिक सामान्यतः, 2 को किसी m > 1 से प्रतिस्थापित करना, और $1⁄4$ द्वारा $1⁄m^{2}$) P. के साथ भी ऐसा ही करना1, यानी P1 = 2पी2 + क्यू2, फिर पी2 = 2पी3 + क्यू3, आदि अंत में P को बिंदुओं Q. के एक अभिन्न रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करते हैंiऔर उन बिंदुओं की जिनकी ऊंचाई पहले से चुने गए एक निश्चित स्थिरांक से घिरी हुई है: कमजोर मोर्डेल-वील प्रमेय द्वारा और ऊंचाई फ़ंक्शन पी की दूसरी संपत्ति इस प्रकार निश्चित बिंदुओं की एक सीमित संख्या के अभिन्न रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त की जाती है।

हालांकि प्रमेय E('Q')/mE('Q') के किसी भी प्रतिनिधि को निर्धारित करने के लिए कोई विधि प्रदान नहीं करता है।

ई ('क्यू') के एक एबेलियन समूह की रैंक, जो कि ई ('क्यू') में 'जेड' की प्रतियों की संख्या है या इसके बराबर, अनंत क्रम के स्वतंत्र बिंदुओं की संख्या को ई की रैंक कहा जाता है। बर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान रैंक निर्धारित करने से संबंधित है। एक अनुमान है कि यह मनमाने ढंग से बड़ा हो सकता है, भले ही अपेक्षाकृत छोटे रैंक वाले उदाहरण ही ज्ञात हों। वर्तमान में सबसे बड़ी ज्ञात रैंक वाला अण्डाकार वक्र है
 * y2 + xy + y = x3 x2 − 244 537  673  336  319  601  463  803  487  168  961  769  270  757  573  821  859  853  707एक्स + 961  710  182  053  183  034  546  222  979  258  806  817  743  270  682  028  964  434  238  957  830  989  898  438  151  121  499  931

इसकी रैंक 20 है, जिसे 2020 में नोआम एल्किज़  और ज़ेव क्लाग्सब्रन ने पाया है। 20 से अधिक रैंक के वक्र 1994 से ज्ञात हैं, उनकी रैंकों की निचली सीमा 21 से 28 तक है, लेकिन उनकी सटीक रैंक ज्ञात नहीं है और विशेष रूप से यह यह साबित नहीं होता है कि उनमें से किसके पास दूसरों की तुलना में उच्च रैंक है या कौन सा सच्चा वर्तमान चैंपियन है। E('Q') के मरोड़ उपसमूह  को बनाने वाले समूहों के लिए, निम्नलिखित ज्ञात है: E('Q') का मरोड़ उपसमूह निम्नलिखित 15 समूहों में से एक है ( बैरी मजुरू  के कारण मजूर का मरोड़ प्रमेय): N = 1, 2, ..., 10, या 12 के लिए 'Z'/N'Z', या 'Z'/2'Z' × 'Z'/2N'Z' N = 1, 2, 3, 4 के साथ। प्रत्येक मामले के उदाहरण ज्ञात हैं। इसके अलावा, अण्डाकार वक्र जिनके मोर्डेल-वील समूह 'क्यू' के ऊपर समान मरोड़ समूह हैं, एक पैरामीट्रिज्ड परिवार से संबंधित हैं।

बिर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान
द बिर्च एंड स्विनर्टन-डायर अनुमान (बीएसडी) क्ले गणित संस्थान  की  मिलेनियम समस्या ओं में से एक है। अनुमान प्रश्न में अंडाकार वक्र द्वारा परिभाषित विश्लेषणात्मक और अंकगणितीय वस्तुओं पर निर्भर करता है।

विश्लेषणात्मक पक्ष में, एक महत्वपूर्ण घटक एक जटिल चर, एल का एक कार्य है, जो 'क्यू' के ऊपर ई का हस्से-वील जेटा फ़ंक्शन है। यह फ़ंक्शन रीमैन जीटा फंक्शन  और  डिरिचलेट एल-फ़ंक्शन  का एक प्रकार है। इसे  यूलर उत्पाद  के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसमें प्रत्येक  अभाज्य संख्या  p के लिए एक कारक है।

एक न्यूनतम समीकरण द्वारा दिए गए 'Q' के ऊपर एक वक्र E के लिए
 * $$y^2 + a_1xy + a_3y = x^3 + a_2x^2 + a_4x + a_6$$

अभिन्न गुणांक के साथ $$a_i$$, गुणांक को कम करना मॉड्यूलर अंकगणित  p  परिमित क्षेत्र  'F' पर एक अण्डाकार वक्र को परिभाषित करता हैp (अभाज्य संख्या p की एक सीमित संख्या को छोड़कर, जहां घटे हुए वक्र में  गणितीय विलक्षणता  होती है और इस प्रकार अण्डाकार होने में विफल रहता है, इस स्थिति में E को p पर  खराब कमी  कहा जाता है)।

एक परिमित क्षेत्र 'F' पर अण्डाकार वक्र का जीटा फलनp कुछ अर्थों में, परिमित क्षेत्र एक्सटेंशन 'F' में मानों के साथ E के बिंदुओं की संख्या की जानकारी को एकत्रित करने वाला एक जनक कार्य है।pn बंदp. यह द्वारा दिया गया है
 * $$Z(E(\mathbf{F}_p)) = \exp\left(\sum \# \left[E({\mathbf F}_{p^n})\right]\frac{T^n}{n}\right)$$

घातांक का आंतरिक योग लघुगणक के विकास जैसा दिखता है और वास्तव में, तथाकथित ज़ेटा फ़ंक्शन एक तर्कसंगत कार्य  है:
 * $$Z(E(\mathbf{F}_p)) = \frac{1 - a_pT + pT^2}{(1 - T)(1 - pT)},$$

जहां 'फ्रोबेनियस का निशान' शब्द $$a_p$$ 'अपेक्षित' संख्या के बीच अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है $$p+1$$ और अण्डाकार वक्र पर बिंदुओं की संख्या $$E$$ ऊपर $$\mathbb{F}_p$$, अर्थात।

a_p = p + 1 - \#E(\mathbb{F}_p) $$ या समकक्ष,



\#E(\mathbb{F}_p) = 1 - a_p + p $$.

हम विशेषता के एक मनमाना परिमित क्षेत्र पर समान मात्राओं और कार्यों को परिभाषित कर सकते हैं $$p$$, साथ $$q = p^n$$ जगह $$p$$ हर जगह। Hasse-Weil zeta function#उदाहरण: Q|L-Function E के ऊपर 'Q' पर अण्डाकार वक्र को इस जानकारी को एक साथ एकत्रित करके परिभाषित किया जाता है, सभी primes p के लिए। इसे द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$L(E(\mathbf{Q}), s) = \prod_{p\not\mid N} \left(1 - a_p p^{-s} + p^{1 - 2s}\right)^{-1} \cdot \prod_{p\mid N} \left(1 - a_p p^{-s}\right)^{-1}$$

जहां N, E का कंडक्टर_ऑफ_एन_अण्डाकार_वक्र है, यानी खराब कमी वाले अभाज्यों का गुणनफल, जिस स्थिति में apऊपर दी गई विधि से भिन्न रूप से परिभाषित किया गया है: नीचे सिल्वरमैन (1986) देखें।

यह उत्पाद केवल Re(s) > 3/2 के लिए पूर्ण अभिसरण  है। हासे का अनुमान पुष्टि करता है कि एल-फ़ंक्शन पूरे जटिल विमान में एक  विश्लेषणात्मक निरंतरता  को स्वीकार करता है और किसी भी एस, एल (ई, एस) से एल (ई, 2 - एस) से संबंधित एक  कार्यात्मक समीकरण  को संतुष्ट करता है। 1999 में यह शिमुरा-तानियामा-वेइल अनुमान के प्रमाण के परिणाम के रूप में दिखाया गया था, जो दावा करता है कि क्यू पर प्रत्येक अंडाकार वक्र एक  मॉड्यूलर वक्र  है, जिसका अर्थ है कि इसका एल-फ़ंक्शन  मॉड्यूलर फॉर्म  का एल-फ़ंक्शन है। जिसका विश्लेषणात्मक निरंतरता ज्ञात है। इसलिए कोई भी किसी भी सम्मिश्र संख्या s पर L(E, s) के मानों के बारे में बात कर सकता है।

s=1 पर (परिमित होने पर कंडक्टर उत्पाद को त्याग दिया जा सकता है), एल-फ़ंक्शन बन जाता है


 * $$L(E(\mathbf{Q}), 1) = \prod_{p\not\mid N} \left(1 - a_p p^{-1} + p^{-1}\right)^{-1} = \prod_{p\not\mid N} \frac{p}{p - a_p + 1} = \prod_{p\not\mid N}\frac{p}{\#E(\mathbb{F}_p)}$$

बिर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान वक्र के अंकगणित को इस एल-फ़ंक्शन के व्यवहार के लिए एस = 1 से संबंधित करता है। यह पुष्टि करता है कि एल-फ़ंक्शन का लुप्त क्रम एस = 1 पर ई के रैंक के बराबर है और अग्रणी की भविष्यवाणी करता है एल (ई, एस) की लॉरेंट श्रृंखला की अवधि उस बिंदु पर अंडाकार वक्र से जुड़ी कई मात्राओं के संदर्भ में।

रीमैन परिकल्पना की तरह, बीएसडी अनुमान की सच्चाई के कई परिणाम होंगे, जिनमें निम्नलिखित दो शामिल हैं:
 * एक सर्वांगसम संख्या  को एक विषम  वर्ग-मुक्त पूर्णांक  n के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो परिमेय भुजाओं की लंबाई वाले समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल होता है। यह ज्ञात है कि n एक सर्वांगसम संख्या है यदि और केवल यदि अण्डाकार वक्र $$y^2 = x^3 - n^2x$$ अनंत क्रम का एक तर्कसंगत बिंदु है; बीएसडी मानते हुए, यह इसके एल-फ़ंक्शन के बराबर है जिसमें एस = 1 पर शून्य है। टनल के प्रमेय ने एक संबंधित परिणाम दिखाया है: बीएसडी मानते हुए, एन एक सर्वांगसम संख्या है यदि और केवल तभी पूर्णांक के ट्रिपलेट्स की संख्या (x, y, जेड) संतोषजनक $$2x^2 + y^2 + 8z^2 = n$$ संतोषजनक त्रिगुणों की संख्या का दोगुना है $$2x^2 + y^2 + 32z^2 = n$$. इस कथन में रुचि यह है कि स्थिति की जांच करना आसान है।
 * एक अलग दिशा में, कुछ विश्लेषणात्मक तरीके कुछ एल-फ़ंक्शंस के लिए महत्वपूर्ण पट्टी  के केंद्र में शून्य के क्रम के अनुमान के लिए अनुमति देते हैं। बीएसडी को स्वीकार करते हुए, ये अनुमान संबंधित अण्डाकार वक्रों के परिवारों के रैंक के बारे में जानकारी के अनुरूप हैं। उदाहरण के लिए:  सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना  और बीएसडी को मानते हुए, वक्रों की औसत रैंक $$y^2=x^3+ax+b$$ 2 से छोटा है।

परिमित क्षेत्रों पर अण्डाकार वक्र
चलो कश्मीर = 'एफ'q q तत्वों के साथ परिमित क्षेत्र हो और E K के ऊपर परिभाषित एक अण्डाकार वक्र हो। जबकि K के ऊपर अण्डाकार वक्र E पर सटीक गणना बिंदुओं की गणना करना सामान्य रूप से कठिन है, अण्डाकार वक्रों पर Hasse का प्रमेय निम्नलिखित असमानता देता है:
 * $$|\# E(K) - (q + 1)| \le 2\sqrt{q}$$

(जिसमें अनंत पर बिंदु शामिल है)।

दूसरे शब्दों में, वक्र पर बिंदुओं की संख्या क्षेत्र में तत्वों की संख्या के अनुपात में बढ़ती है। इस तथ्य को कुछ सामान्य सिद्धांत की सहायता से समझा और सिद्ध किया जा सकता है; उदाहरण के लिए स्थानीय जीटा फ़ंक्शन और étale cohomology#An_application_to_curves|étale cohomology देखें।

बिंदुओं का समुच्चय E('F'q) एक परिमित आबेलियन समूह है। यह हमेशा चक्रीय होता है या दो चक्रीय समूहों का गुणनफल होता है, यह निर्भर करता है कि q सम है या विषम। उदाहरण के लिए, वक्र द्वारा परिभाषित
 * $$y^2 = x^3 - x$$

F. के ऊपर71 इस क्षेत्र पर 72 अंक (71 एफ़िन स्पेस#एफ़िन निर्देशांक (0,0) और अनंत पर एक बिंदु) हैं, जिनकी समूह संरचना Z/2Z × Z/36Z द्वारा दी गई है। एक विशिष्ट वक्र पर अंकों की संख्या की गणना शूफ के एल्गोरिथ्म से की जा सकती है।

F. के क्षेत्र विस्तार पर वक्र का अध्ययनq 'एफ' पर ई के स्थानीय जेटा फ़ंक्शन की शुरूआत से सुगम हैq, एक जनरेटिंग श्रृंखला द्वारा परिभाषित (ऊपर भी देखें)
 * $$Z(E(K), T) = \exp \left(\sum_{n=1}^{\infty} \# \left[E(K_n)\right] {T^n\over n} \right)$$

जहां क्षेत्र KnK = 'F' का (समरूपता तक अद्वितीय) विस्तार हैq डिग्री n (अर्थात 'F')qn)

जीटा फलन टी में एक परिमेय फलन है। इसे देखने के लिए एक पूर्णांक है $$a_n$$ ऐसा है कि


 * $$\#E_q = 1 - a_n + q^n = 1 - \alpha^n - \bar\alpha^n + q^n$$

सम्मिश्र संख्या के साथ $$\alpha$$ और इसके जटिल संयुग्म। हम चुन सकते हैं $$\alpha$$ ताकि इसका निरपेक्ष मान हो $$\sqrt{q}$$, वह है $$\alpha = q^{\frac12}e^{i\theta}, \bar\alpha = q^{\frac12}e^{-i\theta}$$, और कि $$\cos\theta=\frac{a_n}{2\sqrt q}$$. इसका उपयोग हस्से के प्रमेय को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है, जैसा कि $$2\sqrt{q}$$ का न्यूनतम मान है $$q^n+q^{1-n}$$.

स्थानीय जीटा फ़ंक्शन तब बन जाता है


 * $$Z_E(T) = \exp \left(\sum_{n=1}^{\infty} \left(1 - \alpha^n - \bar\alpha^n + q^n\right){T^n\over n} \right)$$
 * $$Z_E(T) = \exp \left(\sum_{n=1}^{\infty} {T^n\over n} - \sum_{n=1}^{\infty}\alpha^n{T^n\over n} - \sum_{n=1}^{\infty}\bar\alpha^n{T^n\over n} + \sum_{n=1}^{\infty}q^n{T^n\over n} \right)$$
 * $$Z_E(T) = \exp \left(-\ln(1-T) + \ln(1-\alpha T) + \ln(1-\bar\alpha T) - \ln(1-qT) \right)$$
 * $$Z_E(T) = \exp \left(\ln\frac{(1-\alpha T)(1-\bar\alpha T)}{(1-T)(1-qT)} \right)$$
 * $$Z_E(T) =\frac{(1-\alpha T)(1-\bar\alpha T)}{(1-T)(1-qT)}$$

फिर $$(1 - \alpha T)(1 - \bar\alpha T) = 1 - aT + qT^2$$, तो अंत में


 * $$Z(E(K), T) = \frac{1 - aT + qT^2}{(1 - qT)(1 - T)}$$

उदाहरण के लिए, E का जीटा फलन : y2 + y = x3 मैदान के ऊपर F2 द्वारा दिया गया है
 * $$\frac{1 + 2T^2}{(1 - T)(1 - 2T)}$$

जो इस प्रकार है:
 * $$ \left| E(\mathbf{F}_{2^r}) \right| = \begin{cases} 2^r + 1 & r \text{ odd} \\ 2^r + 1 - 2(-2)^{\frac{r}{2}} & r \text{ even} \end{cases} $$

कार्यात्मक समीकरण है


 * $$Z \left(E(K), \frac{1}{qT} \right) = \frac{1 - a\frac{1}{qT} + q\left(\frac{1}{qT}\right)^2}{(1 - q\frac{1}{qT})(1 - \frac{1}{qT})}= \frac{q^2T^2 - aqT + q}{(qT - q)(qT - 1)} = Z(E(K), T)$$

सातो-टेट अनुमान इस बारे में एक बयान है कि त्रुटि शब्द कैसे होता है $$2\sqrt{q}$$ हासे के प्रमेय में अलग-अलग अभाज्य q के साथ भिन्न होता है, यदि 'Q' के ऊपर एक अण्डाकार वक्र E घटाया जाता है modulo q। 2006 में टेलर, हैरिस और शेफर्ड-बैरोन के परिणामों के कारण यह (लगभग सभी वक्रों के लिए) सिद्ध हो गया था, और कहता है कि त्रुटि शर्तें समान रूप से वितरित हैं।

परिमित क्षेत्रों पर अण्डाकार वक्र विशेष रूप से क्रिप्टोग्राफी  में और बड़े पूर्णांकों के  गुणन  के लिए लागू होते हैं। ये एल्गोरिदम अक्सर ई के बिंदुओं पर समूह संरचना का उपयोग करते हैं। एल्गोरिदम जो सामान्य समूहों पर लागू होते हैं, उदाहरण के लिए परिमित क्षेत्रों में उलटा तत्वों का समूह, 'एफ' *q, इस प्रकार एक अण्डाकार वक्र पर बिंदुओं के समूह पर लागू किया जा सकता है। उदाहरण के लिए,  असतत लघुगणक  एक ऐसा एल्गोरिथम है। इसमें रुचि यह है कि अण्डाकार वक्र चुनने से q (और इस प्रकार 'F' में इकाइयों का समूह) चुनने की तुलना में अधिक लचीलेपन की अनुमति मिलती हैq) इसके अलावा, अण्डाकार वक्रों की समूह संरचना आम तौर पर अधिक जटिल होती है।

एक सामान्य क्षेत्र पर अण्डाकार वक्र
अण्डाकार वक्रों को किसी भी क्षेत्र (गणित) K पर परिभाषित किया जा सकता है; अण्डाकार वक्र की औपचारिक परिभाषा K पर जीनस (गणित) 1 के साथ एक गैर-एकवचन प्रक्षेपी बीजगणितीय वक्र है और K पर परिभाषित एक विशिष्ट बिंदु के साथ संपन्न है।

यदि K की विशेषता (बीजगणित) न तो 2 और न ही 3 है, तो K के ऊपर प्रत्येक अण्डाकार वक्र को रूप में लिखा जा सकता है
 * $$y^2 = x^3 - px - q$$

चर के रैखिक परिवर्तन के बाद। यहाँ p और q, K के ऐसे अवयव हैं कि दायीं ओर बहुपद x3 − px − q का कोई दोहरा मूल नहीं है। यदि विशेषता 2 या 3 है, तो अधिक पदों को रखने की आवश्यकता है: विशेषता 3 में, सबसे सामान्य समीकरण रूप का है
 * $$y^2 = 4x^3 + b_2 x^2 + 2b_4 x + b_6$$

मनमाना स्थिरांक b. के लिए2, बी4, बी6 जैसे कि दायीं ओर बहुपद की अलग जड़ें हों (ऐतिहासिक कारणों से संकेतन चुना जाता है)। विशेषता 2 में, इतना भी संभव नहीं है, और सबसे सामान्य समीकरण है


 * $$y^2 + a_1 xy + a_3 y = x^3 + a_2 x^2 + a_4 x + a_6$$

बशर्ते कि यह जिस विविधता को परिभाषित करता है वह गैर-एकवचन है। यदि विशेषता एक बाधा नहीं थी, तो प्रत्येक समीकरण चर के उपयुक्त रैखिक परिवर्तन से पिछले वाले तक  कम हो जाएगा।

एक आम तौर पर वक्र को उन सभी बिंदुओं (x, y) का सेट मानता है जो उपरोक्त समीकरण को संतुष्ट करते हैं और जैसे कि x और y दोनों K के बीजगणितीय समापन के तत्व हैं। वक्र के बिंदु जिनके निर्देशांक दोनों K से संबंधित हैं, कहलाते हैं 'के-तर्कसंगत बिंदु'।

पिछले कई परिणाम तब मान्य होते हैं जब E की परिभाषा का क्षेत्र एक संख्या क्षेत्र  K होता है, अर्थात 'Q' का एक परिमित क्षेत्र विस्तार होता है। विशेष रूप से, K पर परिभाषित अण्डाकार वक्र E के K-तर्कसंगत बिंदुओं का समूह E(K) अंतिम रूप से उत्पन्न होता है, जो ऊपर दिए गए मोर्डेल-वेइल प्रमेय को सामान्य करता है। Loïc Merel के कारण एक प्रमेय से पता चलता है कि किसी दिए गए पूर्णांक d के लिए, (समरूपता तक) केवल अंतिम रूप से कई समूह होते हैं जो E(K) के मरोड़ समूहों के रूप में एक अण्डाकार वक्र के लिए हो सकते हैं, जो एक संख्या क्षेत्र K की डिग्री पर परिभाषित होता है। एक क्षेत्र विस्तार d. ज्यादा ठीक, एक संख्या बी (डी) है जैसे कि किसी भी अंडाकार वक्र ई के लिए डिग्री डी के संख्या क्षेत्र के पर परिभाषित किया गया है, ई (के) का कोई भी टोरसन बिंदु क्रम (समूह सिद्धांत) बी (डी) से कम है। प्रमेय प्रभावी है: d > 1 के लिए, यदि एक मरोड़ बिंदु क्रम p का है, p प्राइम के साथ, तो
 * $$p < d^{3d^2}$$

अभिन्न बिंदुओं के लिए, सीगल का प्रमेय निम्नलिखित के लिए सामान्यीकृत करता है: ई को एक अण्डाकार वक्र होने दें जो एक संख्या क्षेत्र K, x और y वीयरस्ट्रैस निर्देशांक पर परिभाषित है। तब E(K) के केवल ऐसे बहुत से बिंदु हैं जिनका x-निर्देशांक पूर्णांक O. के वलय में हैK.

हस्से-वील जेटा फ़ंक्शन और बिर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान के गुणों को भी इस अधिक सामान्य स्थिति तक बढ़ाया जा सकता है।

जटिल संख्याओं पर अण्डाकार वक्र
जटिल प्रोजेक्टिव प्लेन में टोरस के एम्बेडिंग के रूप में अण्डाकार वक्रों का निर्माण स्वाभाविक रूप से वीयरस्ट्रैस के अण्डाकार कार्यों की एक जिज्ञासु संपत्ति से होता है। ये फ़ंक्शन और उनका पहला व्युत्पन्न सूत्र द्वारा संबंधित हैं


 * $$\wp'(z)^2 = 4\wp(z)^3 -g_2\wp(z) - g_3$$

यहां, $y_{P} = y_{Q} ≠ 0$ तथा $Q = P$ स्थिरांक हैं; $R = (x_{R}, y_{R}) = −(P + P) = −2P = −2Q$ वीयरस्ट्रैस अण्डाकार फलन है और $p$ इसका व्युत्पन्न। यह स्पष्ट होना चाहिए कि यह संबंध एक अण्डाकार वक्र (जटिल संख्याओं के ऊपर) के रूप में है। Weierstrass फ़ंक्शन दोगुने आवधिक होते हैं; अर्थात्, वे एक जाली_(समूह) के संबंध में आवर्त की मौलिक जोड़ी हैं $Λ$; संक्षेप में, Weierstrass फ़ंक्शन स्वाभाविक रूप से एक टोरस पर परिभाषित होते हैं $ω_{1}$. इस टोरस को मानचित्र के माध्यम से जटिल प्रक्षेप्य तल में अंतःस्थापित किया जा सकता है


 * $$z \mapsto \left[1 : \wp(z) : \tfrac12\wp'(z)\right]$$

यह नक्शा घन वक्र पर तार और स्पर्शरेखा समूह कानून के साथ टोरस (इसकी प्राकृतिक समूह संरचना के साथ माना जाता है) का एक समूह समरूपता है जो इस मानचित्र की छवि है। यह टोरस से क्यूबिक वक्र तक रीमैन सतह ों का एक समरूपता भी है, इसलिए स्थलीय रूप से, एक अण्डाकार वक्र एक टोरस है। अगर जाली $ω_{2}$ एक गैर-शून्य सम्मिश्र संख्या से गुणा द्वारा संबंधित है $c$ एक जाली के लिए $1⁄4Λ$, तो संगत वक्र समरूपी होते हैं। अण्डाकार वक्रों के समरूपता वर्ग j-अपरिवर्तनीय द्वारा निर्दिष्ट किए जाते हैं|$j$अपरिवर्तनीय।

समरूपता वर्गों को सरल तरीके से भी समझा जा सकता है। स्थिरांक $Λ$ तथा $g_{2}$, जिसे जे-अपरिवर्तनीय  कहा जाता है, विशिष्ट रूप से जाली द्वारा, यानी टोरस की संरचना द्वारा निर्धारित किया जाता है। हालांकि, सभी वास्तविक बहुपद जटिल संख्याओं पर रैखिक कारकों में पूरी तरह से गुणनखंडित होते हैं, क्योंकि जटिल संख्याओं का क्षेत्र वास्तविक का बीजगणितीय बंद होता है। तो, अण्डाकार वक्र को इस प्रकार लिखा जा सकता है


 * $$y^2 = x(x - 1)(x - \lambda)$$

एक पाता है कि
 * $$\begin{align}

g_2' &= \frac{\sqrt[3]4}{3} \left(\lambda^2 - \lambda + 1\right) \\[4pt] g_3' &= \frac{1}{27} (\lambda + 1)\left(2\lambda^2 - 5\lambda + 2\right) \end{align}$$ तथा


 * $$j(\tau) = 1728\frac{{g_2'}^3}{{g_2'}^3 - 27{g_3'}^2} = 256\frac{ \left(\lambda^2 - \lambda + 1\right)^3}{\lambda^2\left(\lambda - 1\right)^2}$$

जे-इनवेरिएंट के साथ|$j$-अपरिवर्तनीय $g_{3}$ तथा $℘(z)$ कभी-कभी मॉड्यूलर लैम्ब्डा फ़ंक्शन  कहा जाता है। उदाहरण के लिए, चलो $℘(z)$, फिर $Λ$ जो ये दर्शाता हे $T = C/Λ$, $Λ$, और इसीलिए $cΛ$ उपरोक्त सूत्र के सभी  बीजीय संख्या एं हैं यदि $τ$ एक  काल्पनिक द्विघात क्षेत्र  शामिल है। वास्तव में, यह पूर्णांक उत्पन्न करता है $g_{2}$.

इसके विपरीत, मॉड्यूलर विवेचक
 * $$\Delta(\tau) = g_2(\tau)^3 - 27g_3(\tau)^2 = (2\pi)^{12}\,\eta^{24}(\tau)$$

आम तौर पर एक पारलौकिक संख्या  है। विशेष रूप से, Dedekind_eta_function#Special_values ​​का मान $g_{3}$ है


 * $$\eta(2i)=\frac{\Gamma \left(\frac14\right)}{2^\frac{11}{8} \pi^\frac34}$$

ध्यान दें कि एकरूपता प्रमेय  का तात्पर्य है कि जीनस की प्रत्येक  कॉम्पैक्ट स्पेस  रीमैन सतह को टोरस के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह एक अण्डाकार वक्र पर मरोड़ उपसमूह की आसान समझ की भी अनुमति देता है: यदि जाली $j(τ)$ मौलिक अवधियों द्वारा फैलाया गया है $λ(τ)$ तथा $τ = 2i$, फिर $n$-टॉर्सन पॉइंट फॉर्म के पॉइंट्स (समानता वर्ग) हैं
 * $$ \frac{a}{n} \omega_1 + \frac{b}{n} \omega_2$$

पूर्णांकों के लिए $a$ तथा $b$ सीमा में $λ(2i) = (−1 + √2)^{4}$.

यदि


 * $$E : y^2=4(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)$$

सम्मिश्र संख्याओं पर एक अण्डाकार वक्र है और


 * $$a_0=\sqrt{e_1-e_3}, \qquad b_0=\sqrt{e_1-e_2}, \qquad c_0=\sqrt{e_2-e_3},$$

फिर मौलिक अवधियों की एक जोड़ी $E$ द्वारा बहुत तेजी से गणना की जा सकती है


 * $$\omega_1=\frac{\pi}{\operatorname{M}(a_0,b_0)}, \qquad \omega_2=\frac{\pi}{\operatorname{M}(c_0,ib_0)}$$

$g_{2}$ का अंकगणित-ज्यामितीय माध्य है $w$ तथा $z$. अंकगणित-ज्यामितीय माध्य पुनरावृत्ति के प्रत्येक चरण पर, के चिह्न $z_{n}$ ज्यामितीय माध्य पुनरावृत्तियों की अस्पष्टता से उत्पन्न होने वाले को इस प्रकार चुना जाता है कि $g_{3}$ कहाँ पे $w_{n}$ तथा $z_{n}$ व्यक्तिगत अंकगणितीय माध्य और ज्यामितीय माध्य पुनरावृत्तियों को निरूपित करें $w$ तथा $z$, क्रमश। कब $g_{2}3 − 27g_{3}2$, एक अतिरिक्त शर्त है कि $j(2i) = 66^{3} = 287,496$. सम्मिश्र संख्याओं के ऊपर, प्रत्येक अण्डाकार वक्र में नौ विभक्ति बिंदु होते हैं। इनमें से दो बिंदुओं से होकर जाने वाली प्रत्येक रेखा भी एक तीसरे विभक्ति बिंदु से होकर गुजरती है; इस तरह से गठित नौ बिंदु और 12 रेखाएं हेस्से के विन्यास का बोध कराती हैं।

एल्गोरिदम जो अण्डाकार वक्रों का उपयोग करते हैं
परिमित क्षेत्रों पर अण्डाकार वक्रों का उपयोग कुछ क्रिप्टोग्राफी अनुप्रयोगों के साथ-साथ पूर्णांक गुणन के लिए भी किया जाता है। आम तौर पर, इन अनुप्रयोगों में सामान्य विचार यह है कि एक ज्ञात एल्गोरिदम जो कुछ सीमित समूहों का उपयोग करता है, अंडाकार वक्रों के तर्कसंगत बिंदुओं के समूहों का उपयोग करने के लिए फिर से लिखा जाता है। अधिक के लिए यह भी देखें:
 * अण्डाकार वक्र क्रिप्टोग्राफी
 * अण्डाकार-वक्र डिफी-हेलमैन कुंजी विनिमय
 * सुपरसिंगुलर आइसोजेनी कुंजी एक्सचेंज
 * अण्डाकार वक्र डिजिटल हस्ताक्षर कलन विधि
 * EdDSA डिजिटल सिग्नेचर एल्गोरिथम
 * दोहरी ईसी डीआरबीजी यादृच्छिक संख्या जनरेटर
 * लेनस्ट्रा अण्डाकार-वक्र गुणनखंड
 * अण्डाकार वक्र प्रारंभिकता सिद्ध करना

अण्डाकार वक्रों का वैकल्पिक निरूपण

 * अंडाकार वक्र का हेसियन रूप
 * एडवर्ड्स वक्र
 * कर्व्स के ट्विस्ट
 * ट्विस्टेड हेसियन कर्व्स
 * मुड़ एडवर्ड्स वक्र
 * दोहरीकरण-उन्मुख डोचे-इकार्ट-कोहेल वक्र
 * ट्रिपलिंग-ओरिएंटेड डोचे-इकार्ट-कोहेल कर्व
 * जैकोबियन वक्र
 * मांटगोमेरी वक्र

यह भी देखें

 * अंकगणितीय गतिकी
 * अण्डाकार बीजगणित
 * अण्डाकार सतह
 * कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों की तुलना
 * आइसोजेनी
 * जम्मू-लाइन
 * स्तर संरचना (बीजगणितीय ज्यामिति)
 * मॉड्यूलरिटी प्रमेय
 * अण्डाकार वक्रों का मोडुली ढेर
 * नागेल-लुत्ज़ प्रमेय
 * रीमैन-हर्विट्ज़ फॉर्मूला
 * फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का विल्स का प्रमाण

संदर्भ
Serge Lang, in the introduction to the book cited below, stated that "It is possible to write endlessly on elliptic curves. (This is not a threat.)" The following short list is thus at best a guide to the vast expository literature available on the theoretical, algorithmic, and cryptographic aspects of elliptic curves.
 * , winner of the MAA writing prize the George Pólya Award
 * Chapter XXV
 * Chapter XXV
 * Chapter XXV
 * Chapter XXV
 * Chapter XXV

बाहरी संबंध

 * LMFDB: Database of Elliptic Curves over Q
 * The Arithmetic of elliptic curves from PlanetMath
 * Interactive elliptic curve over R and over Zp – web application that requires HTML5 capable browser.
 * The Arithmetic of elliptic curves from PlanetMath
 * Interactive elliptic curve over R and over Zp – web application that requires HTML5 capable browser.