सरल क्षेत्र

ज्यामिति और साहचर्य में, एक प्रतिसमुच्‍चीय (या संयोg) डी- गोला, डी-आयामी क्षेत्र के लिए एक प्रतिसमुच्‍चीयसंकुल होम्योमॉर्फिक है। कुछ प्रतिसमुच्‍चीय गोले उत्तल बहुतलीय की सीमाओं के रूप में उत्पन्न होते हैं, हालाँकि, उच्च आयामों में अधिकांश प्रतिसमुच्‍चीय गोले इस तरह से प्राप्त नहीं किए जा सकते हैं।

इस क्षेत्र में एक महत्वपूर्ण विवृत प्रश्न पीटर मैकमुलेन द्वारा तैयार किया गया g-अनुमान था, जो एक प्रतिसमुच्‍चीय गोला के विभिन्न आयामों के फलको की संभावित संख्या के बारे में पता लगता है। दिसंबर 2018 में, तर्कसंगत समजातता क्षेत्रों के अधिक सामान्य संदर्भ में g-अनुमान को करीम एडिप्रासिटो द्वारा सिद्ध किया गया था।

उदाहरण

 * किसी भी n ≥ 3 के लिए, प्रतिसमुच्‍चीय n-चक्र Cn एक प्रतिसमुच्‍चीय वृत्त है, अर्थात आयाम 1 का एक प्रतिसमुच्‍चीय गोला है। यह निर्माण सभी प्रतिसमुच्‍चीय वृत्तों का निर्माण करता है।
 * R3 में त्रिकोणीय फलकों वाले उत्तल बहुफलक की सीमा, जैसे अष्टफलक या विंशतिफलक, एक प्रतिसमुच्‍चीय 2-गोला है।
 * सामान्य रूप से, यूक्लिडियन समष्टि में किसी भी (d+1)-आयामी सघन (या परिबद्ध) प्रतिसमुच्‍चीय उत्तल बहुतलीय की सीमा एक प्रतिसमुच्‍चीय d-गोला है।

गुण
यूलर के सूत्र से यह पता चलता है कि n शीर्षों वाले किसी भी प्रतिसमुच्‍चीय 2-गोले में 3n - 6 किनारे और 2n - 4 फलक होते हैं। n = 4 की स्थिति चतुष्फलक द्वारा संपादित होती है। बैरीसेंट्रिक उपखंड को बार-बार निष्पादित करके, किसी भी n ≥ 4 के लिए एक प्रतिसमुच्‍चीय गोले का निर्माण करना आसान है। इसके अलावा, अर्नेस्ट स्टीनिट्ज़ ने 'R3' में उत्तल बहुतलीय के 1-स्केलेटा (या किनारे ग्राफ) का एक लक्षण वर्णन दिया, इसका अर्थ यह है कि कोई भी प्रतिसमुच्‍चीय 2-गोला एक उत्तल बहुतलीय की सीमा है।

ब्रैंको ग्रुनबाम ने एक गैर-बहुपद प्रतिसमुच्‍चीय गोले का एक उदाहरण बनाया (अर्थात, एक प्रतिसमुच्‍चीय गोला जो एक पॉलीटोप की सीमा नहीं है)। गिल कलाई ने साबित किया कि, वास्तव में, अधिकांश  प्रतिसमुच्‍चीय गोले गैर-बहुपद हैं। सबसे छोटा उदाहरण आयाम d = 4 का है और इसमें f0 = 8 शीर्ष हैं।

ऊपरी सीमा प्रमेय f0 = n शीर्षों के साथ किसी भी प्रतिसमुच्‍चीय d-गोले के i-फलक की फाई के लिए ऊपरी सीमाएं देता है। इस अनुमान को 1970 में पीटर मैकमुलेन द्वारा  प्रतिसमुच्‍चीय उत्तल बहुतलीय के लिए और 1975 में सामान्य प्रतिसमुच्‍चीय गोलाों के लिए रिचर्ड स्टेनली द्वारा सिद्ध किया गया था।

1970 में मैकमुलेन द्वारा तैयार किया गया g-अनुमान, प्रतिसमुच्‍चीय d-गोला के f-सदिशो के संपूर्ण लक्षण वर्णन के लिए कहता है। दूसरे शब्दों में, एक प्रतिसमुच्‍चीय d-गोले के लिए प्रत्येक आयाम के फलको की संख्या का संभावित क्रम क्या है? बहुपदीय गोलों की स्थिति में, उत्तर g-प्रमेय द्वारा दिया गया है, जिसे 1979 में बिलेरा और ली (अस्तित्व) और स्टेनली (आवश्यकता) द्वारा सिद्ध किया गया था। यह अनुमान लगाया गया है कि सामान्य प्रतिसमुच्‍चीय गोलाों के लिए समान स्थितियाँ आवश्यक हैं। यह अनुमान दिसंबर 2018 में करीम एडिप्रासिटो द्वारा सिद्ध किया गया था।

यह भी देखें

 * डेन-सोमरविले समीकरण