अप्रासंगिक विकल्पों की स्वतंत्रता

अप्रासंगिक विकल्पों की स्वतंत्रता (आईआईए), जिसे द्विआधारी स्वतंत्रता के रूप में भी जाना जाता है, या इसे स्वतंत्रता सिद्धांत, निर्णय सिद्धांत और विभिन्न सामाजिक विज्ञान का सिद्धांत है। इस शब्द का प्रयोग कई संदर्भों में अलग-अलग अर्थों के लिए भी किया जाता है। यद्यपि यह सदैव तर्कसंगत व्यक्तिगत व्यवहार या व्यक्तिगत प्राथमिकताओं के एकत्रीकरण का विवरण प्रदान करने का प्रयास करता है, इस प्रकार सटीक सूत्रीकरण भाषा और इसी के साथ प्राप्त होने वाले तत्वों के लिए दोनों में व्यापक रूप से भिन्नता होती है।

संभवतः इस सिद्धांत को समझने का सबसे साधारण तरीका यह है कि इसे चुन्ने के लिए इसे कैसे संबंधित करना है। यह सिद्धांत कहता है कि यदि चार्ली (अप्रासंगिक विकल्प) ऐलिस और बॉब के बीच प्रवेश करता है, जिसमें ऐलिस को बॉब (उपविजेता) से उत्तम स्थिति में चुना जाता है, तो व्यक्तिगत मतदाता जो चार्ली को ऐलिस से कम उपयोगी होते है, वह अपना वोट परिवर्तित नहीं करेंगे, इस प्रकार ऐलिस से बॉब तक इस कारण आईआईए के उल्लंघन को सामान्यतः वोट विभाजन स्पॉयलर प्रभाव के रूप में जाना जाता है: इस प्रकार चार्ली का समर्थन ऐलिस के चुनाव को खराब कर देता है, जबकि तार्किक रूप से ऐसा नहीं होना चाहिए। अंततः ऐलिस को बॉब से उत्तम रूप से उपयोग किया जाता हैं, और चार्ली को ऐलिस से कम उपयोग किया जाता हैं।

सामूहिक निर्णय लेने के संदर्भों में, स्वयंसिद्ध अधिक परिष्कृत रूप लेता है, और गणितीय रूप से कोंडोरसमुच्चय विधियों, गिबार्ड-सैटरथवेट प्रमेय और एरो असंभवता प्रमेय के साथ घनिष्ठ रूप से जुड़ा हुआ है। इन सभी का संबंध रैंक समुच्चय सिद्धांत के बीच चक्रीय प्रमुखताओं से है, और संबंधित प्रमाण समान मूल रूप लेते हैं। व्यवहारिक अर्थशास्त्र ने दर्शाया है कि मनुष्य द्वारा सामान्यतः इस सिद्धांत का उल्लंघन किया जाता है।

आईआईए के अनेक रूप
तर्कसंगत विकल्प सिद्धांत में, IIA कभी-कभी हरमन चेर्नॉफ़ की स्थिति या प्रकट वरीयता में द वीक एक्सिओम ऑफ़ रिवील प्रेफरेंस (WARP) या सेन के α (अल्फा) को संदर्भित करता है:

यदि समुच्चय T से कोई वैकल्पिक x चुना जाता है, और x भी T के उपसमुच्चय S का तत्व है, तो x को S से चुना जाना चाहिए। अर्थात कुछ अचयनित विकल्पों को समाप्त करने से सर्वोत्तम विकल्प के रूप में x के चयन पर कोई प्रभाव नहीं पड़ेगा।

सामाजिक चयन सिद्धांत में, एरो का IIA, एरो के असंभव प्रमेय की शर्तों में से है, जिसमें कहा गया है कि कुछ अन्य उचित शर्तों के अतिरिक्त IIA को संतुष्ट करने वाली व्यक्तिगत रैंक-ऑर्डर प्राथमिकताओं (वोट) को एकत्र करना असंभव है। एरो IIA को इस प्रकार परिभाषित करता है:
 * विकल्प x और y के बीच सामाजिक प्राथमिकताएँ केवल x और y के बीच की व्यक्तिगत प्राथमिकताओं पर निर्भर करती हैं।

सामाजिक चयन सिद्धांत में, IIA को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
 * यदि a, b और अनुपलब्ध तीसरे विकल्प x की दी गई मतदाता प्राथमिकताओं के लिए मतदान नियम द्वारा उपयोगी समुच्चय {a, b} में से a को b के ऊपर चुना जाता है, तो यदि केवल x के लिए प्राथमिकताएं परिवर्तित हो जाती हैं, तो मतदान नियम नहीं होना चाहिए जिसके परिणामस्वरूप B को A के स्थान पर चुना जाता हैं।

मतदान सिद्धांत में ऐसा अधिकांशतः मतदान पद्धति के कारण होने वाले विकृत प्रोत्साहन के कारण होता है। अपितु वास्तव में लोग मनोवैज्ञानिक कारणों से भी इस सिद्धांत का उल्लंघन करते हैं।

उदाहरण के लिए सूक्ष्मअर्थशास्त्र में, स्वयंसिद्ध आगे प्रकट वरीयता और औपचारिक वाद्य तर्कसंगतता के सिद्धांत से जुड़ा हुआ है: इस कारण नवशास्त्रीय अर्थशास्त्र में इसे सामान्यतः इसे सच माना जाता है, इसके स्वरुप के मौलिक, पूर्वानुमानित भाग के रूप में, और कुछ ऐसा जो सैद्धांतिक रूप से डच पुस्तकों जिसे घटित होने से पहले रोकता है, चूंकि यह अनुभवजन्य रूप से या तो सुदृढ़ता या जीवित मानव प्रकृति का कच्चा अनुमान बोल रहा है, यह स्वयंसिद्ध जीवंत वाद-विवाद को जन्म देता रहता है। इस प्रकार कम से कम नहीं क्योंकि यह आगे तर्क दिया जा सकता है कि किसी व्यक्ति को तर्कसंगत होने के लिए, उन्हें स्वयंसिद्ध का पालन करना चाहिए - इस प्रकार स्वयंसिद्ध को नैतिक दर्शन और सिद्धांत का विषय भी बनाना चाहिए।

मतदान सिद्धांत
मतदान प्रणालियों में, अप्रासंगिक विकल्पों से स्वतंत्रता की व्याख्या अधिकांशतः इस प्रकार की जाती है, यदि उम्मीदवार (x) चुनाव जीतेगा, और यदि मतपत्र में नया उम्मीदवार (y) जोड़ा जाता है, तो x या y चुनाव जीतेंगे।

अनुमोदन मतदान, रेंज वोटिंग और बहुमत निर्णय आईआईए मानदंड को पूरा करते हैं यदि यह माना जाता है कि मतदाता अपने स्वयं के पूर्ण पैमाने का उपयोग करके, चुनाव में उपलब्ध विकल्पों को जानने के अतिरिक्त व्यक्तिगत रूप से और स्वतंत्र रूप से उम्मीदवारों को रेट करते हैं। इस धारणा का तात्पर्य यह है कि केवल दो विकल्पों वाले चुनाव में सार्थक प्राथमिकताएं रखने वाले कुछ मतदाता आवश्यक रूप से ऐसा वोट डालेंगे जिसमें मतदान करने की शक्ति बहुत कम या बिल्कुल नहीं है, या अनिवार्य रूप से मतदान नहीं करेंगे। यदि यह कम से कम संभव मान लिया जाए कि प्राथमिकता रखने वाला कोई भी मतदाता वोट न दे, या अपने पसंदीदा और सबसे कम पसंदीदा उम्मीदवारों को क्रमशः शीर्ष और निचली रेटिंग पर वोट न दे, तो ये प्रणालियाँ IIA में विफल हो जाती हैं। इनमें से किसी भी शर्त को स्वीकार करना ही विफलता का कारण बनता है। अन्य कार्डिनल प्रणाली, संचयी मतदान, किसी भी धारणा की परवाह किए बिना मानदंड को पूरा नहीं करती है।

कार्डिनल स्थिति के लिए वैकल्पिक व्याख्या यह है कि मतपत्र स्वयं आईआईए पास करते हैं (अर्थात मतपत्र डालने के बाद उन्हें परिवर्तित करना आवश्यक होता हैं), अपितु आंतरिक मतदाता प्राथमिकताएं नहीं रहती हैं अर्थात उस संदर्भ को परिवर्तित करना जिसमें मतपत्र बनाए गए थे। इस प्रकार ईमानदारी की धारणा के अनुसार, रैंक किए गए मतपत्रों में रैंक की गई जानकारी और मतदाता का वरीयता क्रम समान है, इसलिए यह अंतर नहीं किया जाता है और रैंक की गई जानकारी के दोनों समुच्चयों को ही माना जाता है। इस प्रकार कार्डिनल वोटिंग परिदृश्य के अनुसार, चुनाव का संदर्भ और प्राथमिकताओं की सापेक्ष तीव्रता विशिष्ट कार्डिनल मतपत्र और पूर्ण पैमाने के लिए नहीं बल्कि इसकी ओर ले जाती है, और इस प्रकार इस संदर्भ को परिवर्तित करने से मतपत्र परिवर्तित हो जाएगा। इस व्याख्या के अनुसार, इस धारणा की कोई आवश्यकता नहीं है कि मतदाता ऐसे मतपत्र डालते हैं जो स्वतंत्र रूप से प्रत्येक उम्मीदवार का पूर्ण पैमाने पर मूल्यांकन करते हैं, क्योंकि कार्डिनल मतपत्र में जानकारी सापेक्ष तुलनात्मक पैमाने का प्रतिनिधित्व करती है। यह व्याख्या अनुभवजन्य रूप से समर्थित है कि व्यक्ति कार्डिनल तुलनात्मक मूल्यांकन पर कैसे प्रतिक्रिया देते हैं।

आईआईए के उल्लंघन को दर्शाने वाला यह भाग सिडनी मॉर्गनबेसर को दिया गया है:


 * रात का खाना खत्म करने के पश्चात, सिडनी मोर्गनबेसर ने मिठाई का ऑर्डर देने का निर्णय किया हैं। वेट्रेस उसे बताती है कि उसके पास दो विकल्प हैं: सेब पाई और ब्लूबेरी पाई। सिडनी ने सेब पाई का ऑर्डर दिया हैं। कुछ मिनटों के बाद वेट्रेस लौटती है और कहती है कि उनके पास चेरी पाई भी है, जिस पर मॉर्गनबेसर कहते हैं, उस स्थिति में मैं ब्लूबेरी पाई लूंगा।

सभी मतदान प्रणालियों में रणनीतिक नामांकन संबंधी विचारों के प्रति कुछ सीमा तक अंतर्निहित संवेदनशीलता होती है। कुछ लोग इन विचारों को कम गंभीर मानते हैं जब तक कि मतदान प्रणाली क्लोन मानदंड की साधारणी से संतुष्ट होने वाली स्वतंत्रता में विफल नहीं हो जाती।

स्थानीय स्वतंत्रता
एच. पीटन यंग और ए. लेवेंग्लिक द्वारा प्रस्तावित आईआईए से कमजोर मानदंड को अप्रासंगिक विकल्पों से स्थानीय स्वतंत्रता (एलआईआईए) कहा जाता है।

LIIA के लिए आवश्यक है कि निम्नलिखित दोनों स्थितियाँ सदैव बनी रहें:
 * यदि अंतिम स्थान पर समाप्त होने वाला विकल्प सभी वोटों से हटा दिया जाता है, तो शेष विकल्पों के समाप्त होने का क्रम परिवर्तित नहीं करना चाहिए। (विजेता को परिवर्तित नहीं करना चाहिए।)
 * यदि सभी मतों में से विजयी विकल्प हटा दिया जाता है, तो शेष विकल्पों के समाप्त होने का क्रम परिवर्तित नहीं करना चाहिए। (जो विकल्प दूसरे स्थान पर समाप्त होगा उसे विजेता बनना होगा।)

एलआईआईए को व्यक्त करने का समतुल्य तरीका यह है कि यदि विकल्पों का उपसमूह समाप्ति के क्रम में निरंतर स्थिति में है, तो वोटों से अन्य सभी विकल्प हटा दिए जाने पर उनके समाप्ति के सापेक्ष क्रम में परिवर्तित नहीं करना चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि तीसरे, चौथे और पांचवें स्थान को छोड़कर सभी विकल्प हटा दिए जाते हैं, तो तीसरे स्थान पर रहने वाले विकल्प को जीतना होगा, चौथे को दूसरे स्थान पर और पांचवें को तीसरे स्थान पर रहना होगा।

एलआईआईए को व्यक्त करने का और समकक्ष तरीका यह है कि यदि दो विकल्प समाप्ति के क्रम में निरंतर हैं, तो जो उच्चतर समाप्त होता है उसे जीतना होगा यदि उन दो को छोड़कर सभी विकल्प वोटों से हटा दिए जाते हैं।

LIIA IIA से कमज़ोर है, क्योंकि IIA की संतुष्टि का तात्पर्य LIIA की संतुष्टि से है, अपितु इसके विपरीत नहीं हैं।

IIA की तुलना में कमजोर मानदंड (अर्थात संतुष्ट करना साधारण) होने के अतिरिक्त, LIIA बहुत कम मतदान विधियों से संतुष्ट है। इनमें केमेनी-यंग विधि|केमेनी-यंग और रैंक वाले संयुग्म सम्मिलित हैं, अपितु शुल्ज़ विधि नहीं। IIA के समान, अनुमोदन वोटिंग, रेंज वोटिंग और बहुमत निर्णय जैसी रेटिंग विधियों के लिए LIIA अनुपालन के लिए इस धारणा की आवश्यकता होती है कि मतदाता प्रत्येक विकल्प को व्यक्तिगत रूप से और किसी भी अन्य विकल्प को जानने से स्वतंत्र रूप से पूर्ण पैमाने पर चुनाव से पहले कैलिब्रेटेड रेट करते हैं। यहां तक ​​​​कि जब यह धारणा यह दर्शाती है कि दो उम्मीदवारों के चुनाव में सार्थक प्राथमिकताएं रखने वाले मतदाता अनिवार्य रूप से चुनाव से दूर रहेंगे।

आईआईए की आलोचना
IIA बहुमत की कसौटी के साथ इस सीमा तक असंगत है जब तक कि केवल दो विकल्प न हों।

ऐसे परिदृश्य पर विचार करें जिसमें तीन उम्मीदवार A, B, और C हैं, और मतदाताओं की प्राथमिकताएँ इस प्रकार हैं:
 * 25% मतदाता A को B से अधिक और B को C से अधिक उपयोग करते हैं। (A>B>C)
 * 40% मतदाता C से अधिक B को और A से अधिक C को उपयोग करते हैं। (B>C>A)
 * 35% मतदाता A के मुकाबले C को और B के मुकाबले A को उपयोग करते हैं। (C>A>B)

(ये प्राथमिकताएँ हैं, वोट नहीं, और इस प्रकार मतदान पद्धति से स्वतंत्र हैं।)

75% a की तुलना में c को उपयोग करते हैं, 65% c की तुलना में b को उपयोग करते हैं, और 60% b की तुलना में a को उपयोग करते हैं। इस सामाजिक अकर्मण्यता की उपस्थिति मतदान विरोधाभास है। इस प्रकार मतदान पद्धति और वास्तविक वोटों के अतिरिक्त, विचार करने के लिए केवल तीन स्थिति हैं:
 * केस 1: a निर्वाचित है। आईआईए का उल्लंघन किया गया है, क्योंकि 75% जो a के स्थान पर c को उपयोग करते हैं वे c को चुनेंगे यदि b उम्मीदवार नहीं होता हैं।
 * केस 2: b निर्वाचित है। आईआईए का उल्लंघन किया गया है, क्योंकि 60% जो b के मुकाबले a को उपयोग करते हैं वे a को चुनेंगे यदि c उम्मीदवार नहीं होता हैं।
 * केस 3: c निर्वाचित है। आईआईए का उल्लंघन किया गया है क्योंकि 65% जो c के मुकाबले b को उपयोग करते हैं वे b को चुनेंगे यदि a उम्मीदवार नहीं होता हैं।

विफलता दिखाने के लिए, कम से कम यह केवल संभव माना जाता है कि बहुमत में पर्याप्त मतदाता अपने पसंदीदा उम्मीदवार के लिए न्यूनतम धनात्मक वोट दे सकते हैं जब केवल दो उम्मीदवार हों, न कि अनुपस्थित रहें। अधिकांश रैंक वाली मतपत्र पद्धतियाँ और बहुलता मतदान बहुमत मानदंड को पूरा करते हैं, और इसलिए उपरोक्त उदाहरण से स्वचालित रूप से IIA विफल हो जाते हैं। इस बीच, अनुमोदन और रेंज वोटिंग द्वारा आईआईए के पारित होने के लिए कुछ स्थितियों में आवश्यक है कि बहुमत में मतदाताओं को आवश्यक रूप से मतदान से बाहर रखा जाए (ऐसा माना जाता है कि विकल्पों के बीच सार्थक प्राथमिकता होने के अतिरिक्त, उन्हें दो उम्मीदवारों की दौड़ में अनिवार्य रूप से अनुपस्थित रहना होगा)।

इसलिए भले ही आईआईए वांछनीय है, इसकी संतुष्टि की आवश्यकता केवल मतदान के तरीकों की अनुमति देती है जो किसी अन्य तरीके से अवांछनीय हैं, जैसे कि मतदाताओं में से को इसके उत्तरदायी के रूप में मानना चाहिए। इस प्रकार लक्ष्य यह पता लगाना होना चाहिए कि कौन c मतदान विधियाँ सर्वोत्तम हैं, न कि कौन c उत्तम हैं।

इसका तर्क दिया जा सकता है कि आईआईए स्वयं अवांछनीय है। इस प्रकार आईआईए का मानना ​​है कि जब a के b से उत्तम होने की संभावना है या नहीं, तो c के संबंध में मतदाताओं की प्राथमिकताओं के बारे में जानकारी अप्रासंगिक है, और इससे कोई फर्क नहीं पड़ना चाहिए। चूंकि, केवल दो विकल्प होने पर बहुमत शासन की ओर ले जाने वाली अनुमान यह है कि जितने अधिक लोग सोचते हैं कि विकल्प दूसरे से उत्तम है, उतनी ही अधिक संभावना है कि यह उत्तम है, इसके अतिरिक्त सभी समान हैं, कॉनडोर्समुच्चय की जूरी देखें जिसकी प्रमेय को दोनों उम्मीदवारों में से कौन उत्तम है, इसके बारे में विरोधी अल्पसंख्यक की तुलना में बहुमत के सही होने की अधिक संभावना है, इसके अतिरिक्त सभी समान हैं, इसलिए बहुमत नियम का उपयोग किया जाता है।

समान अनुमान का तात्पर्य यह है कि बहुमत जितना बड़ा होगा, उतनी ही अधिक संभावना है कि वे सही हैं। ऐसा प्रतीत होता है कि जब से अधिक बहुमत होता है, तो छोटे बहुमत की तुलना में बड़े बहुमत के सही होने की अधिक संभावना होती है। ऐसा मानते हुए, 75% जो a के ऊपर c को उपयोग करते हैं और 65% जो c के ऊपर b को उपयोग करते हैं, उन 60% की तुलना में सही होने की अधिक संभावना है, जो b के ऊपर a को उपयोग करते हैं, और चूंकि तीनों बहुमत के लिए ऐसा होना संभव नहीं है। यह सही है कि छोटे बहुमत जो b के मुकाबले a को उपयोग करते हैं, उनके गलत होने की अधिक संभावना है, और उनके विरोधी अल्पसंख्यक की तुलना में सही होने की संभावना कम है। a b से उत्तम है या नहीं, इसके अप्रासंगिक होने के अतिरिक्त, c के संबंध में मतदाताओं की प्राथमिकताओं के बारे में अतिरिक्त जानकारी मजबूत संकेत प्रदान करती है कि यह ऐसी स्थिति है जहां इसके अतिरिक्त सब समान नहीं हैं।

सामाजिक चयन
केनेथ एरो से, समाज में प्रत्येक मतदाता के पास क्रमबद्ध ri है, यह सामाजिक चयन सिद्धांत की (कल्पना योग्य) वस्तुओं - सरलतम स्थिति में x, y, और z - को उच्च से निम्न तक रैंक करता है। एक एकत्रीकरण नियम (वोटिंग नियम) बदले में प्रत्येक प्रोफ़ाइल या टुपल (r1, ...,rn) को मैप करता है, इस प्रकार मतदाता की प्राथमिकताएं इसके आदेश पर सामाजिक क्रम 'r' के लिए जो x, y, और z की सामाजिक प्राथमिकता (रैंकिंग) निर्धारित करता है।

एरो की असंभवता प्रमेय या एरो के आईआईए के लिए आवश्यक है कि जब भी विकल्पों की संयुग्म को दो वरीयता प्रोफाइल को एक ही विकल्प समुच्चय पर इसके लिए सामान रूप से रैंक किया जाता है, तो एकत्रीकरण नियम को इन विकल्पों को दोनों प्रोफाइलों में समान रूप से क्रमबद्ध करना होगा। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एकत्रीकरण नियम द्वारा दी गई प्रोफ़ाइल पर a को b से ऊपर रैंक किया गया है अर्थात्, पहला व्यक्ति a को पहले, c को दूसरे, b को तीसरे, d को अंतिम पसंद करता है, दूसरा व्यक्ति d को पहले, ..., और c को अंतिम पसंद करता है। फिर, यदि यह आईआईए को संतुष्ट करता है, तो इसे निम्नलिखित तीन प्रोफाइलों में b से ऊपर रैंक करना होगा: प्रोफाइल के अंतिम दो रूप दोनों को शीर्ष पर रखना, और दोनों को ऊपर और नीचे रखना विशेष रूप से उपयोगी हैं,
 * (acbd, dbac),
 * (a b c d,bdca)
 * (a b c d,bacd)
 * (acdb,bcda).

आईआईए से जुड़े प्रमेयों के प्रमाण में करते हैं।

एरो की सामाजिक पसंद और व्यक्तिगत मान शर्तें और प्रमेय इस लेख के शीर्ष पर दिए गए आईआईए से भिन्न आईआईए का संकेत नहीं देते हैं और न ही इसके विपरीत हैं।

अपनी पुस्तक के पहले संस्करण में, एरो ने विचार समुच्चय से विकल्प को हटाने पर विचार करके आईआईए की गलत व्याख्या की। पसंद की वस्तुओं में से, उन्होंने उन वस्तुओं को अलग किया जिन्हें परिकल्पना द्वारा इस प्रकार व्यवहार्य और अव्यवहार्य के रूप में निर्दिष्ट किया गया है। इसके लिए मतदाता आदेशों के दो संभावित समुच्चयों पर विचार करें, जिसके लिए ($$R_1$$, ...,$$R_n$$ ) और ($$R_1'$$, ...,$$R_n'$$) इस प्रकार कि प्रत्येक मतदाता i के लिए X और Y की रैंकिंग $$R_i$$और$$R_i'$$ के समान होता हैं, इस प्रकार मतदान नियम संगत सामाजिक आदेश R और R' उत्पन्न करता है। अब मान लीजिए कि X और Y व्यवहार्य हैं, अपितु Z अव्यवहार्य है, इस प्रकार मान लीजिए, उम्मीदवार मतपत्र पर नहीं है या सामाजिक स्थिति उत्पादन संभावना सीमा से बाहर है। इसके आधार पर एरो के लिए आवश्यक है कि मतदान नियम यह है कि r और r 'संभावित समुच्चय (x, y) से समान शीर्ष-रैंक वाली सामाजिक पसंद का चयन करें, और यह आवश्यकता कोई फर्क नहीं पड़ता कि x और y के सापेक्ष अव्यवहार्य जेड की रैंकिंग क्या है, इस ऑर्डर के दो समुच्चयों में आईआईए उपलब्ध समुच्चय (मतपत्र से उम्मीदवार) से किसी विकल्प को हटाने की अनुमति नहीं देता है, और यह इस बारे में कुछ नहीं कहता है कि ऐसे स्थिति में क्या होगा: सभी विकल्पों को व्यवहार्य माना जाता है।

किनारों की गिनती
बोर्डा गिनती चुनाव में, 5 मतदाता 5 विकल्पों [a, b, c, d, e] को रैंक करते हैं।

3 मतदाता रैंक [a>b>c>d>e] मुख्य रूप से 1 मतदाता रैंक [c>d>e>b>a] के लिए की जाती हैं। इस प्रकार 1 मतदाता रैंक [e>c>d>b>a] के समान हैं।

बोर्डा गिनती (a=0, b=1): c=13, a=12, b=11, d=8, e=6 में c जीतता है,

अब, जो मतदाता रैंक [c>d>e>b>a] में है, इसके अतिरिक्त [c>b>e>d>a] इसकी रैंक है, और जो मतदाता रैंक [e>c>d>b>a]  में है, इसके अतिरिक्त वह रैंक [e>c>b>d>a] में है। जो केवल संयुग्म [b, d], [b, e] और [d, e] पर अपनी प्राथमिकताएँ परिवर्तित कर देते हैं।

नई बोर्डा गिनती: b=14, c=13, a=12, e=6, d=5 में b जीतता है, इस प्रकार सामाजिक उपयोगिता में [b, a] और [b, c] की रैंकिंग परिवर्तित कर दी है। इस प्रकार सामाजिक विकल्प रैंकिंग में परिवर्तन वरीयता प्रोफ़ाइल में अप्रासंगिक परिवर्तनों पर निर्भर हैं। इसके लिए विशेष रूप से, अब C के अतिरिक्त B जीतता है, भले ही किसी भी मतदाता ने [B, C] पर अपनी प्राथमिकता परिवर्तित नहीं होती हैं।

बोर्डा गणना और रणनीतिक मतदान
एक ऐसे चुनाव पर विचार करें जिसमें तीन उम्मीदवार हैं, ए, b और सी, और केवल दो मतदाता उपलब्ध होते हैं। इसके प्रत्येक मतदाता उम्मीदवारों को वरीयता क्रम में रखता है। इस प्रकार मतदाता की प्राथमिकता में सर्वोच्च रैंक वाले उम्मीदवार को 2 अंक, दूसरे उच्चतम रैंक वाले को 1 और सबसे निचले रैंक वाले को 0 अंक दिए जाते हैं, किसी उम्मीदवार की समग्र रैंकिंग उसे प्राप्त कुल अंक से निर्धारित होती है, सर्वोच्च रैंक वाला उम्मीदवार जीतता है।

दो प्रोफ़ाइलों पर विचार करते हुए इसका ध्यान रखना आवश्यक होता हैं:
 * प्रोफाइल 1 और 2 में, पहला मतदाता बीएसी क्रम में अपना वोट डालता है, इसलिए b को 2 अंक मिलते हैं, a को 1 मिलता है, और c को इस मतदाता से 0 मिलता है।
 * प्रोफ़ाइल 1 में, दूसरा मतदाता एसीबी को वोट देता है, इसलिए a सीधे जीत जाएगा, जिसके लिए कुल स्कोर: a 3, b 2, c 1 के समान होता हैं।
 * प्रोफ़ाइल 2 में, दूसरा मतदाता एबीसी को वोट देता है, इसलिए a और b बराबर होंगे, जिसके लिए कुल स्कोर: a 3, b 3, c 0 के समान होता हैं।

इस प्रकार, यदि दूसरा मतदाता चाहता है कि a निर्वाचित हो, तो उसे c और b के बारे में उसकी वास्तविक राय के लिए सोचे बिना acb को उत्तम वोट मिला हैं। यह अप्रासंगिक विकल्पों से स्वतंत्रता के विचार का उल्लंघन करता है क्योंकि मतदाता की c और b के बारे में तुलनात्मक राय इस बात को प्रभावित करती है कि a चुना गया है या नहीं किया गया है। इसकी दोनों प्रोफाइलों में, b के सापेक्ष a की रैंकिंग प्रत्येक मतदाता के लिए समान है, अपितु b के सापेक्ष a की सामाजिक रैंकिंग अलग-अलग है।

कोपलैंड
यह उदाहरण दर्शाता है कि कोपलैंड की पद्धति IIA का उल्लंघन करती है। निम्नलिखित प्राथमिकताओं वाले 6 मतदाताओं के साथ चार उम्मीदवारों a, b, c और d पर विचार करें: परिणाम निम्नानुसार सारणीबद्ध होंगे:
 * [X] उन मतदाताओं को इंगित करता है जिन्होंने पंक्ति कैप्शन में दिए गए उम्मीदवार की तुलना में कॉलम कैप्शन में उम्मीदवार को प्राथमिकता दी जाती हैं।
 * [Y] उन मतदाताओं को इंगित करता है जिन्होंने कॉलम कैप्शन में दिए गए उम्मीदवार की तुलना में पंक्ति कैप्शन में उम्मीदवार को प्राथमिकता दी जाती हैं।

परिणाम: A की दो जीत और हार है, जबकि किसी अन्य उम्मीदवार की जीत हार से अधिक नहीं है। इस प्रकार, a कोपलैंड विजेता चुना गया है।

अप्रासंगिक प्राथमिकताओं का परिवर्तन
अब, मान लें कि सभी मतदाता a और डी के क्रम को बदले बिना डी को b और c से ऊपर उठा देंगे। मतदाताओं की प्राथमिकताएँ अब होंगी:

परिणाम निम्नानुसार सारणीबद्ध होंगे: परिणाम: D ने तीनों विरोधियों पर जीत प्राप्त की हैं। इस प्रकार, d कोपलैंड विजेता चुना गया है।

निष्कर्ष
मतदाताओं ने केवल b, c और d पर अपना वरीयता क्रम परिवर्तित कर दिया हैं। इसके परिणामस्वरूप, d और a का परिणाम क्रम परिवर्तित कर दिया हैं। इसके लिए a के संबंध में मतदाताओं की प्राथमिकताओं में कोई परिवर्तन किए बिना a विजेता से हारे हुए में परिवर्तित कर दिया हैं। इस प्रकार कोपलैंड की पद्धति आईआईए मानदंड में विफल रहती है।

त्वरित-अपवाह मतदान
त्वरित-अपवाह मतदान|तत्काल-अपवाह चुनाव में, 5 मतदाता 3 विकल्पों को रैंक करते हैं [ए, बी, सी]।

2 मतदाता रैंक [ए>बी>सी]। 2 मतदाता रैंक [सी>बी>ए]। 1 मतदाता रैंक [बी>ए>सी]।

राउंड 1: ए=2, बी=1, सी=2, b हटा दिया गया. राउंड 2: ए=3, सी=2, a जीतता है.

अब, दो मतदाता जो रैंक [सी>बी>ए] के अतिरिक्त रैंक करते हैं [बी>सी>ए]। वे केवल B और C पर अपनी प्राथमिकताएँ बदलते हैं।

राउंड 1: ए=2, बी=3, सी=0, b बहुमत से जीतता है।

[ए, बी] की सामाजिक पसंद रैंकिंग अप्रासंगिक विकल्पों [बी, सी] पर प्राथमिकताओं पर निर्भर है।

केमेनी-युवा विधि
यह उदाहरण दिखाता है कि केमेनी-यंग पद्धति आईआईए मानदंड का उल्लंघन करती है। इस प्रकार 7 मतदाताओं और निम्नलिखित प्राथमिकताओं वाले तीन उम्मीदवारों a, b और c पर विचार करें: केमेनी-यंग विधि संयुग्मवार तुलना गणनाओं को निम्नलिखित मिलान तालिका में व्यवस्थित करती है: सभी संभावित रैंकिंग के रैंकिंग स्कोर हैं: परिणाम: रैंकिंग a > b > c का रैंकिंग स्कोर उच्चतम है। इस प्रकार, A, B और C से आगे जीत जाता है।

अप्रासंगिक प्राथमिकताओं का परिवर्तन
अब, मान लें कि B > C > A वरीयता वाले दो मतदाता को बोल्ड चिह्नित करके संयुग्म B और C की तुलना में अपनी प्राथमिकताएँ परिवर्तन कर देंगे। इस स्थिति में मतदाताओं की प्राथमिकताएँ कुल मिलाकर होंगी: केमेनी-यंग विधि संयुग्मवार तुलना गणनाओं को निम्नलिखित मिलान तालिका में व्यवस्थित करती है: सभी संभावित रैंकिंग के रैंकिंग स्कोर हैं: परिणाम: रैंकिंग C > A > B का रैंकिंग स्कोर उच्चतम है। इस प्रकार, C, A और B से आगे जीत जाता है।

निष्कर्ष
दो मतदाताओं ने केवल b और c पर अपनी प्राथमिकताएं बदलीं, अपितु इसके परिणामस्वरूप परिणाम में a और c का क्रम बदल गया, a के संबंध में मतदाताओं की प्राथमिकताओं में कोई बदलाव किए बिना a विजेता से हार गया। इस प्रकार केमेनी -यंग विधि आईआईए मानदंड में विफल रहती है।

मिनिमैक्स
यह उदाहरण दिखाता है कि मिनिमैक्स विधि IIA मानदंड का उल्लंघन करती है। निम्नलिखित प्राथमिकताओं वाले चार उम्मीदवारों ए, b और c और 13 मतदाताओं को मान लें:

चूँकि सभी प्राथमिकताएँ सख्त रैंकिंग हैं, कोई समान उपस्थित नहीं है, सभी तीन मिनिमैक्स विधियाँ मुख्य रूप से जीतने वाले वोट, मार्जिन और संयुग्मवार विपरीत इसके समान विजेताओं का चुनाव करती हैं।

परिणाम निम्नानुसार सारणीबद्ध होंगे:
 * [X] उन मतदाताओं को इंगित करता है, जिन्होंने पंक्ति कैप्शन में दिए गए उम्मीदवार की तुलना में कॉलम कैप्शन में उम्मीदवार को प्राथमिकता दी है।
 * [Y] उन मतदाताओं को इंगित करता है, जिन्होंने कॉलम कैप्शन में दिए गए उम्मीदवार की तुलना में पंक्ति कैप्शन में उम्मीदवार को प्राथमिकता दी है।

परिणाम: A की निकटतम सबसे बड़ी हार है। इस प्रकार, a को मिनिमैक्स विजेता चुना गया है।

अप्रासंगिक प्राथमिकताओं का परिवर्तन
अब मान लें कि दो मतदाताओं (बोल्ड के रूप में चिह्नित) की प्राथमिकताएं B > A > C संयुग्म A और C की तुलना में प्राथमिकताओं को बदल देती हैं। तब मतदाताओं की प्राथमिकताएं कुल मिलाकर होंगी: परिणाम निम्नानुसार सारणीबद्ध होंगे: परिणाम: अब, b की निकटतम सबसे बड़ी हार है। इस प्रकार, b मिनिमैक्स विजेता चुना गया है।

निष्कर्ष
अत: कुछ मतदाताओं की प्राथमिकताओं में a और c का क्रम में परिवर्तित करने से परिणाम में a और b का क्रम परिवर्तित कर दिया गया हैं। इस प्रकार b के संबंध में मतदाताओं की प्राथमिकताओं में कोई मान परिवर्तित किए बिना b को हारने वाले से विजेता में परिवर्तित कर दिया जाता है। इस प्रकार, मिनिमैक्स विधि आईआईए मानदंड में विफल रहती है।

बहुलता मतदान प्रणाली
बहुलता मतदान प्रणाली में 7 मतदाता 3 विकल्पों (a, b, c) को रैंक करते हैं।


 * 3 मतदाता रैंक (a>b>c)
 * 2 मतदाता रैंक (b>a>c)
 * 2 मतदाता रैंक (c>b>a)

इसके चुनाव में प्रारंभ में केवल A और B ही दौड़ते हैं: B, A के 3 वोटों के अतिरिक्त 4 वोटों से जीतता है, अपितु इस मान में C के प्रवेश से A नया विजेता बन जाता है।

एक अप्रासंगिक विकल्प, c की शुरूआत से a और b की सापेक्ष स्थिति में व्युत्क्रम हो जाती है।

रैंक किए गए संयुग्म
यह उदाहरण दिखाता है कि रैंक किए गए संयुग्म विधि IIA मानदंड का उल्लंघन करती है। निम्नलिखित प्राथमिकताओं वाले तीन उम्मीदवारों ए, b और c और 7 मतदाताओं को मान लें: परिणाम निम्नानुसार सारणीबद्ध होंगे: जीतों की क्रमबद्ध सूची इस प्रकार होगी: परिणाम: a > b और b > c लॉक हो गए हैं (और c > a उसके बाद लॉक नहीं हो सकते हैं), इसलिए पूरी रैंकिंग a > b > c है। इस प्रकार, a को रैंक वाले संयुग्म का विजेता चुना गया है।

अप्रासंगिक प्राथमिकताओं का परिवर्तन
अब, मान लें कि B > C > A वरीयता वाले दो मतदाता (बोल्ड चिह्नित) संयुग्म B और C की तुलना में अपनी प्राथमिकताएँ बदल देते हैं। तब मतदाताओं की प्राथमिकताएँ कुल मिलाकर होंगी: परिणाम निम्नानुसार सारणीबद्ध होंगे: जीतों की क्रमबद्ध सूची इस प्रकार होगी: परिणाम: सभी तीन द्वंद्व लॉक हो गए हैं, इसलिए पूरी रैंकिंग c > a > b है। इस प्रकार, कॉन्डोर्समुच्चय विजेता c को रैंक संयुग्म विजेता चुना जाता है।

निष्कर्ष
इसलिए, b और c पर अपनी प्राथमिकताएं बदलकर, दो मतदाताओं ने परिणाम में a और c का क्रम बदल दिया, जिससे a के संबंध में मतदाताओं की प्राथमिकताओं में कोई बदलाव किए बिना a विजेता से हार गया। इस प्रकार, रैंक संयुग्म विधि विफल हो जाती है आईआईए मानदंड।

शुल्ज़ विधि
यह उदाहरण दिखाता है कि शुल्ज़ पद्धति IIA मानदंड का उल्लंघन करती है। निम्नलिखित प्राथमिकताओं वाले चार उम्मीदवारों ए, बी, c और डी और 12 मतदाताओं को मान लें: संयुग्मवार प्राथमिकताओं को निम्नानुसार सारणीबद्ध किया जाएगा: अब, सबसे मजबूत रास्तों की पहचान करनी होगी, उदा. पथ D > A > B सीधे पथ D > B से अधिक मजबूत है (जो रद्द कर दिया गया है, क्योंकि यह टाई है)। परिणाम: पूरी रैंकिंग c > डी > a > b है। इस प्रकार, c को शुल्ज़ विजेता चुना गया है और डी को a पर प्राथमिकता दी गई है।

अप्रासंगिक प्राथमिकताओं का परिवर्तन
अब, मान लें कि C > B > D > A वरीयता वाले दो मतदाता (बोल्ड चिह्नित) संयुग्म B और C की तुलना में अपनी प्राथमिकताएँ बदल देते हैं। तब मतदाताओं की प्राथमिकताएँ कुल मिलाकर होंगी: इसलिए, संयुग्मवार प्राथमिकताओं को निम्नानुसार सारणीबद्ध किया जाएगा: अब, सबसे मजबूत रास्तों की पहचान करनी होगी: परिणाम: अब, पूरी रैंकिंग a > b > c > डी है। इस प्रकार, a को शुल्ज़ विजेता चुना गया है और उसे डी पर प्राथमिकता दी गई है।

निष्कर्ष
इसलिए, b और c पर अपनी प्राथमिकताएं बदलकर, दो मतदाताओं ने परिणाम में a और डी का क्रम बदल दिया, जिससे a के संबंध में मतदाताओं की प्राथमिकताओं में कोई बदलाव किए बिना a हारे हुए से विजेता बन गया। इस प्रकार, शुल्ज़ पद्धति आईआईए को विफल कर देती है। कसौटी.

दो-चरण प्रणाली
इस कसौटी पर विफल रहने वाली दो दौर की प्रणाली का संभावित उदाहरण 2002 का फ्रांसीसी राष्ट्रपति चुनाव था। चुनाव से पहले के सर्वेक्षणों में केंद्र-दक्षिणपंथी उम्मीदवार जैक्स शिराक और केंद्र-वामपंथी उम्मीदवार लियोनेल जोस्पिन के बीच प्रतिस्पर्धा का सुझाव दिया गया है, जिसमें जोस्पिन के जीतने की उम्मीद है। चूंकि, पहले दौर में अभूतपूर्व 16 उम्मीदवारों ने चुनाव लड़ा था, जिनमें वामपंथी उम्मीदवार भी सम्मिलित थे, जो अपवाह में जोस्पिन का समर्थन करना चाहते थे, जिसके परिणामस्वरूप अंततः दूर-दराज़ उम्मीदवार, जीन मैरी ले पेन दूसरे स्थान पर रहे और इसके अतिरिक्त अपवाह में प्रवेश किया। जोस्पिन, जिसे शिराक ने बड़े अंतर से जीता। इस प्रकार, चुनाव में जीतने का इरादा नहीं रखने वाले कई उम्मीदवारों की उपस्थिति ने यह बदल दिया कि कौन सा उम्मीदवार जीता।

आईआईए धारणा की आलोचना
आईआईए का तात्पर्य है कि किसी अन्य विकल्प को जोड़ने या तीसरे विकल्प की विशेषताओं को बदलने से विचार किए गए दो विकल्पों के बीच सापेक्ष अंतर प्रभावित नहीं होता है। समान विकल्पों वाले अनुप्रयोगों के लिए यह निहितार्थ यथार्थवादी नहीं है। डैनियल मैकफैडेन के कारण रेड बस/ब्लू बस उदाहरण पर विचार करें। यात्री जॉन डो को कार या लाल बस लेने के बीच निर्णय का सामना करना पड़ता है। मान लीजिए कि वह किसी दिए गए दिन (मौसम या सनक के कारण) समान संभावना के साथ इन दो विकल्पों में से को चुनता है। कार और लाल बस के बीच अंतर अनुपात 1:1 के बराबर होता है। अब तीसरा विकल्प संयुग्मं: नीली बस। यदि डो को बस के रंग की परवाह नहीं है, तो हम उम्मीद करेंगे कि कार की संभावना .5 रहेगी, जबकि दोनों प्रकार की बसों में से प्रत्येक की संभावना 0.25 होगी। अपितु आईआईए इसे खारिज करता है। इसमें कहा गया है कि नई पसंद से कार और लाल बस के बीच 1:1 के अंतर अनुपात में बदलाव नहीं होना चाहिए। चूँकि रंग के प्रति डो की उदासीनता के लिए लाल और नीली बस की संभावनाएँ बराबर होनी आवश्यक हैं, इसलिए नई संभावनाएँ होनी चाहिए: कार 0.33, लाल बस 0.33, नीली बस 0.33। कार यात्रा की कुल संभावना .5 से गिरकर .33 हो गई है, जो बेतुका है। आईआईए सिद्धांत के साथ समस्या यह है कि इसमें इस तथ्य पर कोई ध्यान नहीं दिया गया है कि लाल बस और नीली बस सही विकल्प हैं। इस धारणा की विफलता व्यवहार में भी देखी गई है, उदाहरण के लिए यूनाइटेड किंगडम में 2019 के यूरोपीय चुनावों के लिए जनमत सर्वेक्षण में। सर्वेक्षण में, 21% संभावित मतदाताओं ने उस परिदृश्य में लेबर पार्टी के लिए समर्थन व्यक्त किया जहां चुनने के लिए तीन छोटी ब्रेक्सिट विरोधी पार्टियां थीं, अपितु ऐसे परिदृश्य में जहां उन तीन पार्टियों में से दो ने उम्मीदवार खड़े नहीं किए, लेबर के लिए समर्थन घटकर 18% रह गया। इसका मतलब यह है कि कम से कम 3% संभावित मतदाताओं ने अपनी पसंदीदा पार्टी का समर्थन करना बंद कर दिया जब कम पसंदीदा पार्टी बाहर हो गई।

अर्थमिति में
आईआईए अर्थमिति में बहुपद लॉगिट और सशर्त लॉगिट मॉडल में अंतर्निहित मान्यताओं का प्रत्यक्ष परिणाम है। यदि इन मॉडलों का उपयोग उन स्थितियों में किया जाता है जो वास्तव में स्वतंत्रता का उल्लंघन करती हैं (जैसे कि बहुउम्मीदवार चुनाव जिसमें प्राथमिकताएँ मतदान विरोधाभास प्रदर्शित करती हैं या ऊपर दिए गए रेड बस/ब्लू बस उदाहरण की नकल करने वाली स्थितियाँ) तो ये अनुमानक अमान्य हो जाते हैं।

कई मॉडलिंग प्रगति आईआईए द्वारा उठाई गई चिंताओं को कम करने की इच्छा से प्रेरित हुई हैं। सामान्यीकृत चरम मूल्य वितरण, बहुपदीय संभावना (जिसे सशर्त प्रोबिट भी कहा जाता है) और मिश्रित लॉगिट नाममात्र परिणामों के लिए मॉडल हैं जो आईआईए को आराम देते हैं, अपितु अधिकांशतः उनकी अपनी धारणाएं होती हैं जिन्हें पूरा करना मुश्किल हो सकता है या कम्प्यूटेशनल रूप से व्यवहार्य नहीं हो सकता है। IIA को पदानुक्रमित मॉडल निर्दिष्ट करके, पसंद के विकल्पों की रैंकिंग करके आराम दिया जा सकता है। इनमें से सबसे लोकप्रिय नेस्टेड लॉगिट मॉडल है। सामान्यीकृत चरम मूल्य और बहुपद प्रोबिट मॉडल में और संपत्ति होती है, प्रतिस्थापन का अपरिवर्तनीय अनुपात, जो समान रूप से प्रति-सहज ज्ञान युक्त व्यक्तिगत पसंद व्यवहार का सुझाव देता है।

अनिश्चितता के अनुसार विकल्प
वॉन न्यूमैन-मॉर्गनस्टर्न उपयोगिता प्रमेय के अपेक्षित उपयोगिता सिद्धांत में#स्वयंसिद्ध, चार स्वयंसिद्धों का साथ तात्पर्य यह है कि व्यक्ति जोखिम की स्थितियों में ऐसे कार्य करते हैं जैसे कि वे उपयोगिता फ़ंक्शन के अपेक्षित मूल्य को अधिकतम करते हैं। स्वयंसिद्धों में से IIA स्वयंसिद्ध के अनुरूप स्वतंत्रता स्वयंसिद्ध है:


 * अगर $$\,L\prec M$$, फिर किसी के लिए $$\,N$$ और $$\,p\in(0,1]$$,
 * $$\,pL+(1-p)N \prec pM+(1-p)N,$$

जहां p प्रायिकता है, pL+(1-p)N का अर्थ है जुआ जिसमें L प्राप्त करने की प्रायिकता p और N प्राप्त करने की प्रायिकता (1-p) है, और $$\,L\prec M$$ इसका मतलब है कि एम को एल से अधिक प्राथमिकता दी जाती है। यह सिद्धांत कहता है कि यदि परिणाम (या लॉटरी टिकट) एल को दूसरे (एम) जितना अच्छा नहीं माना जाता है, तो एन के अतिरिक्त एल प्राप्त करने की संभावना पी के साथ मौका माना जाता है। एन के अतिरिक्त एम प्राप्त करने की संभावना पी के साथ मौका मिलना उतना अच्छा नहीं होगा।

प्रकृति में
जनवरी 2014 में प्रकाशित अध्ययन के अनुसार, प्राकृतिक चयन जानवरों की गैर-आईआईए-प्रकार की पसंद का पक्ष ले सकता है, जो कि खाद्य पदार्थों की कभी-कभार उपलब्धता के कारण माना जाता है।

यह भी देखें

 * स्मिथ-प्रभुत्व वाले विकल्पों की स्वतंत्रता
 * लूस की पसंद का सिद्धांत
 * निश्चित बात सिद्धांत
 * मेनू निर्भरता
 * धोखा प्रभाव
 * अनुमानित रूप से अतार्किक#सापेक्षता के बारे में सच्चाई

संदर्भ

 * Discusses and deduces the not always recognized differences between various formulations of IIA.
 * Discusses and deduces the not always recognized differences between various formulations of IIA.
 * Discusses and deduces the not always recognized differences between various formulations of IIA.
 * Discusses and deduces the not always recognized differences between various formulations of IIA.
 * Discusses and deduces the not always recognized differences between various formulations of IIA.