स्पिन निरूपण

गणित में, स्पिन अभ्यावेदन मनमाने आयाम और मीट्रिक हस्ताक्षर (यानी, अनिश्चित ऑर्थोगोनल समूहों सहित) में ऑर्थोगोनल समूह या विशेष ऑर्थोगोनल समूहों के विशेष प्रक्षेपी प्रतिनिधित्व हैं। अधिक सटीक रूप से, वे स्पिन समूहों के लाई समूह के दो समकक्ष प्रतिनिधित्व हैं, जो विशेष ऑर्थोगोनल समूहों के डबल कवरिंग समूह हैं। इनका अध्ययन आमतौर पर वास्तविक संख्या या जटिल संख्याओं पर किया जाता है, लेकिन इन्हें अन्य क्षेत्रों (गणित) पर परिभाषित किया जा सकता है।

स्पिन प्रतिनिधित्व के तत्वों को स्पिनर कहा जाता है। वे इलेक्ट्रॉन जैसे फरमिओन्स के भौतिकी विवरण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

स्पिन अभ्यावेदन का निर्माण कई तरीकों से किया जा सकता है, लेकिन आम तौर पर निर्माण में समूह के वेक्टर प्रतिनिधित्व में अधिकतम आइसोट्रोपिक उप-स्थान का विकल्प शामिल होता है (शायद केवल अप्रत्यक्ष रूप से)। वास्तविक संख्याओं के मुकाबले, इसके लिए आमतौर पर वेक्टर प्रतिनिधित्व के जटिलीकरण का उपयोग करने की आवश्यकता होती है। इस कारण से, पहले जटिल संख्याओं पर स्पिन प्रतिनिधित्व को परिभाषित करना और वास्तविक संरचनाओं को पेश करके वास्तविक प्रतिनिधित्व प्राप्त करना सुविधाजनक है।

स्पिन प्रतिनिधित्व के गुण, सूक्ष्म तरीके से, ऑर्थोगोनल समूह के आयाम और हस्ताक्षर पर निर्भर करते हैं। विशेष रूप से, स्पिन प्रतिनिधित्व अक्सर अपरिवर्तनीय (गणित) द्विरेखीय रूपों को स्वीकार करते हैं, जिनका उपयोग स्पिन समूहों को शास्त्रीय झूठ समूहों में एम्बेड करने के लिए किया जा सकता है। निम्न आयामों में, ये एम्बेडिंग विशेषणात्मक होते हैं और स्पिन समूहों और अधिक परिचित लाई समूहों के बीच विशेष समरूपता निर्धारित करते हैं; यह इन आयामों में स्पिनरों के गुणों को स्पष्ट करता है।

सेट-अप
होने देना $V$ आयाम ([[सदिश स्थल)]] बनें|परिमित-आयामी वास्तविक या जटिल वेक्टर स्थान गैर-अपक्षयी रूप द्विघात रूप के साथ $Q$. (वास्तविक या जटिल) रैखिक मानचित्रों का संरक्षण $Q$ ऑर्थोगोनल समूह बनाएं $O(V, Q)$. समूह के पहचान घटक को विशेष ऑर्थोगोनल समूह कहा जाता है $SO(V, Q)$. (के लिए $V$ अनिश्चित द्विघात रूप के साथ वास्तविक, यह शब्दावली मानक नहीं है: विशेष ऑर्थोगोनल समूह को आमतौर पर इस मामले में दो घटकों के साथ उपसमूह के रूप में परिभाषित किया जाता है।) समूह समरूपता तक, $SO(V, Q)$ में अद्वितीय जुड़ा हुआ स्थान डबल कवरिंग ग्रुप, स्पिन ग्रुप है $Spin(V, Q)$. इस प्रकार समूह समरूपता है $h: Spin(V, Q) → SO(V, Q)$ जिसके कर्नेल (समूह सिद्धांत) में दो तत्व दर्शाए गए हैं ${1, −1}$, कहाँ $1$ पहचान तत्व है. इस प्रकार, समूह तत्व $g$ और $−g$ का $Spin(V, Q)$ समरूपता के बाद समतुल्य हैं $SO(V, Q)$; वह है, $h(g) = h(−g)$ किसी के लिए $g$ में $Spin(V, Q)$.

समूह $O(V, Q), SO(V, Q)$ और $Spin(V, Q)$ सभी झूठ समूह हैं, और निश्चित के लिए $(V, Q)$ उनके पास समान बीजगणित है, $so(V, Q)$. अगर $V$ तो फिर असली है $V$ इसकी जटिलता का वास्तविक वेक्टर उपस्थान है $V_{C} = V ⊗_{R} C$, और द्विघात रूप $Q$ स्वाभाविक रूप से द्विघात रूप तक विस्तारित होता है $Q_{C}$ पर $V_{C}$. यह एम्बेड करता है $SO(V, Q)$ के उपसमूह के रूप में $SO(V_{C}, Q_{C})$, और इसलिए हमें एहसास हो सकता है $Spin(V, Q)$ के उपसमूह के रूप में $Spin(V_{C}, Q_{C})$. आगे, $so(V_{C}, Q_{C})$ का जटिलीकरण है $so(V, Q)$.

जटिल मामले में, द्विघात रूपों को आयाम द्वारा समरूपता तक विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है $n$ का $V$. निश्चित रूप से, हम मान सकते हैं $V = C^{n}$ और
 * $$Q(z_1,\ldots, z_n) = z_1^2+ z_2^2+\cdots+z_n^2.$$

संबंधित झूठ समूहों को दर्शाया गया है $O(n, C), SO(n, C), Spin(n, C)$ और उनके झूठ बीजगणित के रूप में $so(n, C)$.

वास्तविक स्थिति में, द्विघात रूपों को गैर-नकारात्मक पूर्णांकों की जोड़ी द्वारा समरूपता तक निर्धारित किया जाता है $(p, q)$ कहाँ $n = p + q$ का आयाम है $V$, और $p − q$सिल्वेस्टर का जड़त्व का नियम है। निश्चित रूप से, हम मान सकते हैं $V = R^{n}$ और
 * $$Q(x_1,\ldots, x_n) = x_1^2+ x_2^2+\cdots+x_p^2-(x_{p+1}^2+\cdots +x_{p+q}^2).$$

संबंधित लाई समूह और लाई बीजगणित को दर्शाया गया है $O(p, q), SO(p, q), Spin(p, q)$ और $so(p, q)$. हम लिखते हैं $R^{p,q}$ की जगह $R^{n}$हस्ताक्षर को स्पष्ट बनाने के लिए।

स्पिन निरूपण, अर्थ में, झूठ समूहों का सबसे सरल प्रतिनिधित्व है $Spin(n, C)$ और $Spin(p, q)$ जो कि अभ्यावेदन से नहीं आते हैं $SO(n, C)$ और $SO(p, q)$. इसलिए, स्पिन प्रतिनिधित्व वास्तविक या जटिल वेक्टर स्थान है $S$ समूह समरूपता के साथ $ρ$ से $Spin(n, C)$ या $Spin(p, q)$ सामान्य रैखिक समूह के लिए $GL(S)$ ऐसा कि तत्व $−1$ के कर्नेल में नहीं है $ρ$.

अगर $S$ ऐसा प्रतिनिधित्व है, फिर लाई समूहों और लाई बीजगणित के बीच संबंध के अनुसार, यह लाई बीजगणित प्रतिनिधित्व को प्रेरित करता है, यानी, लाई बीजगणित समरूपता $so(n, C)$ या $so(p, q)$ लाई बीजगणित के लिए $gl(S)$रेखीय मानचित्र#एंडोमोर्फिज्म और ऑटोमोर्फिज्म का $S$ कम्यूटेटर#रिंग सिद्धांत के साथ।

स्पिन अभ्यावेदन का विश्लेषण निम्नलिखित रणनीति के अनुसार किया जा सकता है: यदि $S$ का वास्तविक स्पिन प्रतिनिधित्व है $Spin(p, q)$, तो इसका जटिलीकरण जटिल स्पिन प्रतिनिधित्व है $Spin(p, q)$; के प्रतिनिधित्व के रूप में $so(p, q)$, इसलिए इसका विस्तार जटिल प्रतिनिधित्व तक होता है $so(n, C)$. विपरीत दिशा में आगे बढ़ते हुए, हम पहले जटिल स्पिन निरूपण का निर्माण करते हैं $Spin(n, C)$ और $so(n, C)$, फिर उन्हें जटिल स्पिन अभ्यावेदन तक सीमित रखें $so(p, q)$ और $Spin(p, q)$, फिर अंततः वास्तविक स्पिन अभ्यावेदन में संभावित कटौती का विश्लेषण करें।

जटिल स्पिन प्रतिनिधित्व
होने देना $V = C^{n}$ मानक द्विघात रूप के साथ $Q$ ताकि
 * $$\mathfrak{so}(V,Q) = \mathfrak{so}(n,\mathbb C).$$

सममित द्विरेखीय रूप पर $V$ के लिए जुड़े $Q$ध्रुवीकरण पहचान द्वारा#सममित द्विरेखीय रूपों को दर्शाया जाता है $⟨.,.⟩$.

आइसोट्रोपिक उपस्थान और रूट सिस्टम
के स्पिन अभ्यावेदन का मानक निर्माण $so(n, C)$जोड़ी के चयन से शुरू होता है $(W, W^{∗})$ अधिकतम आइसोट्रोपिक द्विघात रूपों का (के संबंध में)। $Q$) का $V$ साथ $W ∩ W^{∗} = 0$. आइए हम ऐसा चुनाव करें. अगर $n = 2m$ या $n = 2m + 1$, तब $W$ और $W^{∗}$ दोनों का आयाम है $m$. अगर $n = 2m$, तब $V = W ⊕ W^{∗}$, जबकि यदि $n = 2m + 1$, तब $V = W ⊕ U ⊕ W^{∗}$, कहाँ $U$ 1-आयामी ऑर्थोगोनल पूरक है $W ⊕ W^{∗}$. द्विरेखीय रूप $⟨.,.⟩$ के लिए जुड़े $Q$ के बीच द्विरेखीय मानचित्र उत्पन्न करता है $W$ और $W^{∗}$, जो अविक्षिप्त होना चाहिए, क्योंकि $W$ और $W^{∗}$ पूरी तरह से आइसोट्रोपिक उप-स्थान हैं और $Q$ अविकृत है। इस तरह $W$ और $W^{∗}$ दोहरे सदिश स्थान हैं।

अधिक ठोस रूप से, आइए $a_{1}, &hellip; a_{m}$ के लिए आधार बनें $W$. फिर अनोखा आधार है $&alpha;_{1}, ... &alpha;_{m}$ का $W^{∗}$ ऐसा है कि
 * $$ \langle \alpha_i,a_j\rangle = \delta_{ij}.$$

अगर $A$ $m &times; m$ मैट्रिक्स, फिर $A$ की एंडोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है $W$ इस आधार और स्थानान्तरण के संबंध में $A^{T}$ के परिवर्तन को प्रेरित करता है $W^{∗}$ साथ
 * $$ \langle Aw, w^* \rangle = \langle w,A^\mathrm{T} w^*\rangle$$

सभी के लिए $w$ में $W$ और $w^{∗}$ में $W^{∗}$. यह इस प्रकार है कि एंडोमोर्फिज्म $&rho;_{A}$ का $V$, के बराबर $A$ पर $W$, $&minus;A^{T}$ पर $W^{∗}$ और शून्य पर $U$ (अगर $n$ विषम है), तिरछा है,
 * $$ \langle \rho_A u, v \rangle = -\langle u,\rho_A v\rangle$$

सभी के लिए $u, v$ में $V$, और इसलिए (शास्त्रीय समूह देखें) का तत्व $so(n, C) ⊂ End(V)$.

इस निर्माण में विकर्ण मैट्रिक्स का उपयोग कार्टन उपबीजगणित को परिभाषित करता है $h$ का $so(n, C)$: के झूठ समूह की रैंक $so(n, C)$ है $m$, और विकर्ण $n &times; n$ मैट्रिक्स निर्धारित करते हैं $m$-आयामी एबेलियन उपबीजगणित।

होने देना $ε_{1}, &hellip; ε_{m}$ का आधार बनें $h^{∗}$ ऐसा कि, विकर्ण मैट्रिक्स के लिए $A, ε_{k}(&rho;_{A})$ है $k$वें विकर्ण प्रविष्टि $A$. स्पष्टतः यह आधार है $h^{∗}$. चूँकि द्विरेखीय रूप से पहचान होती है $so(n, C)$ साथ $$\wedge^2 V$$, स्पष्ट रूप से,
 * $$x \wedge y \mapsto \varphi_{x \wedge y}, \quad \varphi_{x \wedge y}(v) = 2(\langle y, v\rangle x - \langle x, v\rangle y),\quad x \wedge y \in \wedge^2V,\quad x,y,v \in V, \quad \varphi_{x \wedge y} \in \mathfrak{so}(n, \mathbb{C}),$$

अब इससे संबंधित मूल प्रक्रिया का निर्माण करना आसान है $h$. मूल स्थान (क्रिया के लिए साथ eigenspaces)। $h$) निम्नलिखित तत्वों द्वारा फैले हुए हैं:
 * $$ a_i\wedge a_j,\; i\neq j,$$ जड़ प्रणाली के साथ (एक साथ eigenvalue) $$\varepsilon_i + \varepsilon_j$$
 * $$ a_i\wedge \alpha_j$$ (जो इसमें है $h$ अगर $i = j)$ जड़ के साथ $$ \varepsilon_i - \varepsilon_j$$
 * $$ \alpha_i\wedge \alpha_j,\; i\neq j,$$ जड़ के साथ $$ -\varepsilon_i - \varepsilon_j,$$

और अगर $n$ अजीब है, और $u$ का अशून्य तत्व है $U$,
 * $$ a_i\wedge u,$$ जड़ के साथ $$ \varepsilon_i $$
 * $$ \alpha_i\wedge u,$$ जड़ के साथ $$ -\varepsilon_i.$$

इस प्रकार, आधार के संबंध में $ε_{1}, &hellip; ε_{m}$, जड़ें सदिश हैं $h^{∗}$ जो कि क्रमपरिवर्तन हैं
 * $$(\pm 1,\pm 1, 0, 0, \dots, 0)$$

के क्रमपरिवर्तन के साथ
 * $$(\pm 1, 0, 0, \dots, 0)$$

अगर $n = 2m + 1$ अजीब है।

सकारात्मक जड़ों की प्रणाली दी गई है $ε_{i} + ε_{j} (i ≠ j), ε_{i} &minus; ε_{j} (i < j)$ और के लिए $n$ विषम) $ε_{i}$. संगत सरल जड़ (रूट सिस्टम) हैं
 * $$\varepsilon_1-\varepsilon_2, \varepsilon_2-\varepsilon_3, \ldots, \varepsilon_{m-1}-\varepsilon_m, \left\{\begin{matrix}

\varepsilon_{m-1}+\varepsilon_m& n=2m\\ \varepsilon_m & n=2m+1. \end{matrix}\right.$$ धनात्मक जड़ें सरल जड़ों के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक रैखिक संयोजन हैं।

स्पिन प्रतिनिधित्व और उनका वजन
के स्पिन अभ्यावेदन का निर्माण $so(n, C)$ बाहरी बीजगणित का उपयोग करता है
 * $$S=\wedge^\bullet W$$ और/या $$S'=\wedge^\bullet W^*.$$

की क्रिया है $V$ पर $S$ ऐसा कि किसी भी तत्व के लिए $v = w + w^{∗}$ में $W ⊕ W^{∗}$ और कोई भी $&psi;$ में $S$ कार्रवाई इस प्रकार दी गई है:
 * $$ v\cdot \psi = 2^{\frac{1}{2}}(w\wedge\psi+\iota(w^*)\psi), $$

जहां दूसरा पद संकुचन (आंतरिक गुणन) है जिसे द्विरेखीय रूप का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, जो जोड़े हैं $W$ और $W^{∗}$. यह कार्रवाई क्लिफोर्ड संबंधों का सम्मान करती है $v^{2} = Q(v)1$, और इसलिए क्लिफ़ोर्ड बीजगणित से समरूपता उत्पन्न होती है $Cl_{n}C$ का $V$ को $End(S)$. इसी तरह की कार्रवाई को परिभाषित किया जा सकता है $S&prime;$, ताकि दोनों $S$ और $S&prime;$ क्लिफोर्ड मॉड्यूल हैं।

झूठ बीजगणित $so(n, C)$ जटिल लाई बीजगणित के समरूपी है $spin_{n}^{C}$ में $Cl_{n}C$ कवरिंग द्वारा प्रेरित मैपिंग के माध्यम से $Spin(n) → SO(n)$
 * $$ v \wedge w \mapsto \tfrac14[v,w].$$

यह इस प्रकार है कि दोनों $S$ और $S&prime;$ का प्रतिनिधित्व हैं $so(n, C)$. वे वास्तव में समरूपता निरूपण हैं, इसलिए हम एस पर ध्यान केंद्रित करते हैं।

स्पष्ट विवरण से पता चलता है कि तत्व $&alpha;_{i} ∧ a_{i}$ कार्टन उपबीजगणित का $h$ पर कार्रवाई $S$ द्वारा
 * $$ (\alpha_i\wedge a_i) \cdot \psi = \tfrac14 (2^{\tfrac12})^{2} ( \iota(\alpha_i)(a_i\wedge\psi)-a_i\wedge(\iota(\alpha_i)\psi))

= \tfrac12 \psi - a_i\wedge(\iota(\alpha_i)\psi).$$ के लिए आधार $S$ प्रपत्र के तत्वों द्वारा दिया गया है
 * $$ a_{i_1}\wedge a_{i_2}\wedge\cdots\wedge a_{i_k}$$

के लिए $0 ≤ k ≤ m$ और $i_{1} < ... < i_{k}$. ये स्पष्ट रूप से कार्रवाई के लिए वेट स्पेस (प्रतिनिधित्व सिद्धांत) का विस्तार करते हैं $h$: $&alpha;_{i} ∧ a_{i}$ का दिए गए आधार वेक्टर पर eigenvalue -1/2 है यदि $i = i_{j}$ कुछ के लिए $j$, और इसका eigenvalue है $1/2$ अन्यथा।

यह इस प्रकार है कि वजन (प्रतिनिधित्व सिद्धांत) का $S$ के सभी संभावित संयोजन हैं
 * $$\bigl(\pm \tfrac12,\pm \tfrac12, \ldots \pm\tfrac12\bigr)$$

और प्रत्येक भार स्थान (प्रतिनिधित्व सिद्धांत) एक-आयामी है। घटक $S$डिराक स्पिनर कहलाते हैं।

कब $n$ सम है, $S$ अघुलनशील प्रतिनिधित्व नहीं है: $$S_+=\wedge^{\mathrm{even}} W$$ और $$S_-=\wedge^{\mathrm{odd}} W$$ अपरिवर्तनीय उपस्थान हैं. भारों को सम संख्या में ऋण चिह्नों वाले और विषम संख्या में ऋण चिह्नों वाले भारों में विभाजित किया जाता है। दोनों एस+ और एस&minus; आयाम 2 के अपरिवर्तनीय निरूपण हैंm−1जिनके तत्वों को वेइल स्पिनर्स कहा जाता है। उन्हें चिरल स्पिन अभ्यावेदन या अर्ध-स्पिन अभ्यावेदन के रूप में भी जाना जाता है। उपरोक्त सकारात्मक जड़ प्रणाली के संबंध में, एस का उच्चतम भार+ और एस&minus; हैं
 * $$\bigl(\tfrac12,\tfrac12, \ldots\tfrac12, \tfrac12\bigr)$$ और $$\bigl(\tfrac12,\tfrac12, \ldots\tfrac12, -\tfrac12\bigr)$$

क्रमश। क्लिफ़ोर्ड क्रिया सीएल की पहचान करती हैnएंड(एस) और क्लिफोर्ड बीजगणित के साथ सी की पहचान एस को संरक्षित करने वाले एंडोमोर्फिज्म से की जाती है+ और एस&minus;. इस मामले में अन्य क्लिफोर्ड मॉड्यूल S', S के समरूपता है।

जब n विषम है, तो S आयाम 2 के 'so'(n,'C') का अघुलनशील प्रतिनिधित्व हैम: इकाई वेक्टर की क्लिफोर्ड क्रिया यू ∈ यू द्वारा दी गई है
 * $$ u\cdot \psi = \left\{\begin{matrix}

\psi&\hbox{if } \psi\in \wedge^{\mathrm{even}} W\\ -\psi&\hbox{if } \psi\in \wedge^{\mathrm{odd}} W \end{matrix}\right.$$ और u∧w या u∧w रूप के so(n,C) के तत्व∗W के बाहरी बीजगणित के सम और विषम भागों को संरक्षित न करें। S का उच्चतम भार है
 * $$\bigl(\tfrac12,\tfrac12, \ldots \tfrac12\bigr).$$

क्लिफोर्ड की कार्रवाई S:Cl पर विश्वसनीय नहीं हैnC को End(S) ⊕ End(S′) से पहचाना जा सकता है, जहां u S पर विपरीत चिह्न के साथ कार्य करता है। अधिक सटीक रूप से, दो निरूपण सीएल की समता (गणित) इनवोल्यूशन (गणित) α'' से संबंधित हैंnसी (प्रमुख ऑटोमोर्फिज्म के रूप में भी जाना जाता है), जो सम उपबीजगणित पर पहचान है, और सीएल के विषम भाग पर पहचान घटा हैnसी. दूसरे शब्दों में, एस से एस'  तक रैखिक समरूपता है, जो सीएल में  ए की क्रिया की पहचान करती हैnS पर S' पर α(A) की क्रिया के साथ C।

द्विरेखीय रूप
यदि λ, S का भार है, तो −λ भी है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि S दोहरे निरूपण S का समरूपी है∗.

जब n = 2m + 1 विषम होता है, तो समरूपता B: S → S∗ शूर के लेम्मा द्वारा स्केल तक अद्वितीय है, क्योंकि एस अपरिवर्तनीय है, और यह एस के माध्यम से गैर-अपरिवर्तनीय अपरिवर्तनीय बिलिनियर फॉर्म β को परिभाषित करता है
 * $$\beta(\varphi,\psi) = B(\varphi)(\psi).$$

यहाँ अपरिवर्तनशीलता का अर्थ यह है
 * $$\beta(\xi\cdot\varphi,\psi) + \beta(\varphi,\xi\cdot\psi) = 0$$

'so'(n,'C') में सभी ξ और S में φ, ψ के लिए - दूसरे शब्दों में ξ की क्रिया β के संबंध में विषम है। वास्तव में, अधिक सत्य है: एस∗विपरीत श्रेणी क्लिफोर्ड बीजगणित का प्रतिनिधित्व है, और इसलिए, सीएल के बाद सेnसी में केवल दो गैर-तुच्छ सरल मॉड्यूल एस और एस हैं, जो समता इनवोल्यूशन α से संबंधित हैं, सीएल का एंटीऑटोमोर्फिज्म τ'' है।nसी ऐसे कि
 * $$\quad\beta(A\cdot\varphi,\psi) = \beta(\varphi,\tau(A)\cdot\psi)\qquad (1)$$

सीएल में किसी भी ए के लिएnसी. वास्तव में τ एम के लिए प्रत्यावर्तन (वी पर पहचान से प्रेरित एंटीऑटोमोर्फिज्म) है, और संयुग्मन (वी पर पहचान को घटाकर प्रेरित एंटीऑटोमोर्फिज्म) है एम के लिए विषम. ये दो एंटीऑटोमोर्फिज्म समता इनवोलुशन α से संबंधित हैं, जो कि वी पर पहचान को घटाकर प्रेरित ऑटोमोर्फिज्म है। दोनों τ(ξ) = −ξ को ξ के लिए इसलिए(n,C) में संतुष्ट करते हैं।

जब n = 2m, स्थिति अधिक संवेदनशील रूप से m की समता पर निर्भर करती है। m सम के लिए, भार λ में ऋण चिह्नों की सम संख्या होती है यदि और केवल यदि −λ होता है; इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि अलग-अलग समरूपताएं हैं बी±: एस± → एस±∗प्रत्येक अर्ध-स्पिन प्रतिनिधित्व अपने दोहरे के साथ, प्रत्येक विशिष्ट रूप से पैमाने तक निर्धारित होता है। इन्हें समरूपता बी: एस → एस में जोड़ा जा सकता है∗. m विषम के लिए, λ S का भार है+ यदि और केवल यदि −λ S का भार है&minus;; इस प्रकार एस से समरूपता है+ से एस&minus;∗, फिर से पैमाने तक अद्वितीय, और इसका दोहरा स्थान#रेखीय मानचित्र का स्थानांतरण एस से समरूपता प्रदान करता है&minus; से एस+∗. इन्हें फिर से समरूपता बी: एस → एस में जोड़ा जा सकता है∗.

एम सम और एम विषम दोनों के लिए, बी की पसंद में स्वतंत्रता को इस बात पर जोर देकर समग्र पैमाने तक सीमित किया जा सकता है कि बी के अनुरूप बिलिनियर फॉर्म β संतुष्ट करता है (1), जहां τ निश्चित एंटीऑटोमोर्फिज्म (या तो प्रत्यावर्तन या संयुग्मन) है।

समरूपता और टेंसर वर्ग
β: S ⊗ S → 'C' के समरूपता गुण क्लिफोर्ड बीजगणित या प्रतिनिधित्व सिद्धांत का उपयोग करके निर्धारित किए जा सकते हैं। वास्तव में और भी बहुत कुछ कहा जा सकता है: टेंसर वर्ग S ⊗ S को विभिन्न k के लिए V पर k-रूपों के प्रत्यक्ष योग में विघटित होना चाहिए, क्योंकि इसके भार 'h' में सभी तत्व हैं∗ जिसके घटक {−1,0,1} से संबंधित हैं। अब समतुल्य रैखिक मानचित्र S ⊗ S → ∧कवी∗ अपरिवर्तनीय मानचित्रों से विशेष रूप से मेल खाता है ∧kV ⊗ S ⊗ S → 'C' और गैर-शून्य ऐसे मानचित्रों का निर्माण ∧ को शामिल करके किया जा सकता हैक्लिफ़र्ड बीजगणित में kV। इसके अलावा, यदि β(φ,ψ) = ε β(ψ,φ) और τ का चिन्ह ε हैk पर ∧कवी तो
 * $$\beta(A\cdot\varphi,\psi) = \varepsilon\varepsilon_k \beta(A\cdot\psi,\varphi)$$

∧ में A के लिएकवी.

यदि n = 2m+1 विषम है तो यह शूर के लेम्मा से अनुसरण करता है
 * $$ S\otimes S \cong \bigoplus_{j=0}^{m} \wedge^{2j} V^*$$

(दोनों पक्षों का आयाम 2 है2mऔर दाईं ओर का प्रतिनिधित्व असमान है)। क्योंकि समरूपता इनवोल्यूशन τ द्वारा शासित होती है जो या तो संयुग्मन या प्रत्यावर्तन है, ∧ की समरूपता2वी∗घटक j के साथ वैकल्पिक होता है। प्राथमिक कॉम्बिनेटरिक्स देता है
 * $$ \sum_{j=0}^m (-1)^j \dim \wedge^{2j} \Complex^{2m+1} = (-1)^{\frac12 m(m+1)} 2^m = (-1)^{\frac12 m(m+1)}(\dim \mathrm S^2S-\dim \wedge^2 S)$$

और चिह्न यह निर्धारित करता है कि एस में कौन से निरूपण होते हैं2S और जो ∧ में होता है2एस. विशेष रूप से
 * $$ \beta(\phi,\psi)=(-1)^{\frac12 m(m+1)}\beta(\psi,\phi),$$ और
 * $$ \beta(v\cdot\phi,\psi) = (-1)^m(-1)^{\frac12 m(m+1)}\beta(v\cdot\psi,\phi) = (-1)^m \beta(\phi,v\cdot\psi)$$

v ∈ V के लिए (जो ∧ का समरूपी है2mV), पुष्टि करता है कि τ, m सम के लिए प्रत्यावर्तन है, और m विषम के लिए संयुग्मन है।

यदि n = 2m सम है, तो विश्लेषण अधिक शामिल है, लेकिन परिणाम अधिक परिष्कृत अपघटन है: S2एस±, ∧2एस± और एस+ ⊗ एस&minus; क्या प्रत्येक को k-रूपों के प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित किया जा सकता है (जहाँ k = m के लिए स्वद्वैत और प्रतिस्वद्वैत m-रूपों में और अपघटन होता है)।

मुख्य परिणाम निम्न तालिका के अनुसार, n मॉड्यूलो 8 के आधार पर, S पर शास्त्रीय झूठ बीजगणित के उपबीजगणित के रूप में 'so'(n,'C') की प्राप्ति है: n ≤ 6 के लिए, ये एम्बेडिंग समरूपताएं हैं (n = 6 के लिए 'gl' के बजाय 'sl' पर):
 * $$ \mathfrak{so}(2,\mathbb C) \cong \mathfrak{gl}(1,\mathbb C)\qquad(=\mathbb C)$$
 * $$ \mathfrak{so}(3,\mathbb C) \cong \mathfrak{sp}(2,\mathbb C)\qquad(=\mathfrak{sl}(2,\mathbb C))$$
 * $$ \mathfrak{so}(4,\mathbb C) \cong \mathfrak{sp}(2,\mathbb C)\oplus\mathfrak{sp}(2,\mathbb C)$$
 * $$ \mathfrak{so}(5,\mathbb C) \cong \mathfrak{sp}(4,\mathbb C)$$
 * $$ \mathfrak{so}(6,\mathbb C) \cong \mathfrak{sl}(4,\mathbb C).$$

वास्तविक प्रतिनिधित्व
so(n,C) के जटिल स्पिन निरूपण क्रिया को वास्तविक उपबीजगणित तक सीमित करके so(p,q) के वास्तविक निरूपण S उत्पन्न करते हैं। हालाँकि, अतिरिक्त वास्तविकता संरचनाएँ हैं जो वास्तविक झूठ बीजगणित की कार्रवाई के तहत अपरिवर्तनीय हैं। ये तीन प्रकार में आते हैं.
 * 1) अपरिवर्तनीय जटिल एंटीलीनियर मानचित्र r है: S → S r के साथ2=आईडीS. r का निश्चित बिंदु सेट तब वास्तविक वेक्टर उपसमष्टि S होता हैR S के साथ S काR ⊗ सी = एस। इसे वास्तविक संरचना कहा जाता है।
 * 2) अपरिवर्तनीय जटिल एंटीलीनियर मानचित्र j है: S → S j के साथ2 = −idS. यह इस प्रकार है कि त्रिक i, j और k:=ij S को चतुर्धातुक सदिश समष्टि S बनाते हैंH. इसे चतुर्धातुक संरचना कहा जाता है।
 * 3) अपरिवर्तनीय जटिल एंटीलीनियर मानचित्र बी है: एस → एस∗यह उलटा है। यह एस पर छद्महर्मिटियन बिलिनियर रूप को परिभाषित करता है और इसे 'हर्मिटियन संरचना' कहा जाता है।

'so'(p,q) के अंतर्गत अपरिवर्तनीय संरचना का प्रकार केवल हस्ताक्षर p - q modulo 8 पर निर्भर करता है, और निम्नलिखित तालिका द्वारा दिया गया है। यहां आर, सी और एच क्रमशः वास्तविक, हर्मिटियन और चतुर्धातुक संरचनाओं को दर्शाते हैं, और आर + आर और एच + एच इंगित करते हैं कि अर्ध-स्पिन प्रतिनिधित्व दोनों क्रमशः वास्तविक या चतुर्धातुक संरचनाओं को स्वीकार करते हैं।

विवरण और तालिकाएँ
वास्तविक प्रतिनिधित्व के विवरण को पूरा करने के लिए, हमें यह वर्णन करना होगा कि ये संरचनाएं अपरिवर्तनीय द्विरेखीय रूपों के साथ कैसे बातचीत करती हैं। चूँकि n = p + q ≅ p - q mod 2, दो मामले हैं: आयाम और हस्ताक्षर दोनों सम हैं, और आयाम और हस्ताक्षर दोनों विषम हैं।

अजीब मामला सरल है, केवल जटिल स्पिन प्रतिनिधित्व एस है, और हर्मिटियन संरचनाएं नहीं होती हैं। तुच्छ मामले n = 1 के अलावा, S हमेशा सम-आयामी होता है, मान लीजिए dim S = 2N। 'so'(2N,'C') के वास्तविक रूप 'so'(K,L) हैं, K + L = 2N और 'so' के साथ∗(N,'H'), जबकि 'sp'(2N,'C') के वास्तविक रूप 'sp'(2N,'R') और K के साथ 'sp'(K,L) हैं + एल = एन। एस पर वी की क्लिफोर्ड कार्रवाई की उपस्थिति दोनों मामलों में के = एल को मजबूर करती है जब तक कि पीक्यू = 0 नहीं, उस स्थिति में केएल = 0, जिसे बस 'तो' (2 एन) या 'एसपी' (एन) द्वारा दर्शाया जाता है ). इसलिए विषम स्पिन अभ्यावेदन को निम्नलिखित तालिका में संक्षेपित किया जा सकता है। (†) $N$ के लिए भी है $n > 3$ और के लिए $n = 3$, यह है $sp(1)$.

सम-आयामी मामला समान है। के लिए $n > 2$, जटिल अर्ध-स्पिन निरूपण सम-आयामी हैं। हमें अतिरिक्त रूप से हर्मिटियन संरचनाओं और वास्तविक रूपों से निपटना होगा $sl(2N, C)$, जो हैं $sl(2N, R)$, $su(K, L)$ साथ $K + L = 2N$, और $sl(N, H)$. परिणामी सम स्पिन अभ्यावेदन को निम्नानुसार संक्षेपित किया गया है। (*) के लिए $pq = 0$, हमारे पास इसके बजाय है $so(2N) + so(2N)$

(†) $N$ के लिए भी है $n > 4$ और के लिए $pq = 0$ (जो भी शामिल है $n = 4$ साथ $N = 1$), इसके बजाय हमारे पास है $sp(N) + sp(N)$

जटिल मामले में निम्न-आयामी समरूपता के निम्नलिखित वास्तविक रूप हैं। वास्तविक लाई बीजगणित की एकमात्र विशेष समरूपताएँ इस तालिका से गायब हैं $$\mathfrak{so}^*(3,\mathbb H) \cong \mathfrak{su}(3,1)$$ और $$\mathfrak{so}^*(4,\mathbb H)\cong\mathfrak{so}(6,2).$$

संदर्भ

 * . See also the programme website for a preliminary version.
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