परिमेय त्रिभुज

एक परिमेय त्रिभुज (Rational Triangles)को उस त्रिभुज के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसकी सभी भुजाएँ परिमेय लंबाई के साथ हों।

परिमेय समकोण त्रिभुज - प्रारंभिक समाधान
समीकरण के लिए शुल्बसूत्र (Śulba) समाधान में $$x^2+y^2=z^2 $$---(1) उपलब्ध है। बौधायन (सी 800 ईसा पूर्व), आपस्तंब और कात्यायन (सी 500 ईसा पूर्व) ने एक आयत को एक वर्ग में बदलने की एक विधि दी, जो बीजगणितीय पहचान के बराबर है।

$${\displaystyle mn = \left (m- \frac{m-n}{2} \right)^2 - \left (\frac{m-n}{2} \right)^2 } $$

जहाँ m, n कोई दो मनमानी संख्याएँ हैं। इस प्रकार हम प्राप्त करते हैं

$${\displaystyle =(\sqrt{mn})^2+\left ( \frac{m-n}{2} \right )^2= \left ( \frac{m+n}{2} \right )^2}$$

अपरिमेय मात्राओं को समाप्त करने के लिए क्रमशः m, n के लिए p2,q2 को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$${\displaystyle =p^2q^2+\left ( \frac{p^2-q^2}{2} \right )^2= \left ( \frac{p^2+q^2}{2} \right )^2}$$

जो (1) का तर्कसंगत समाधान देता है।

कात्यायन एक ही आकार के कई अन्य वर्गों के योग के बराबर एक वर्ग खोजने के लिए, एक बहुत ही सरल विधि देता है, जो हमें  परिमेय/तर्कसंगत समकोण त्रिभुज का एक और समाधान देता है।

कात्यायन कहते हैं: "जितने वर्ग (बराबर आकार के) आप एक में जोड़ना चाहते हैं, अनुप्रस्थ रेखा उससे एक कम (बराबर) होगी; दो बार अलग (बराबर) उससे एक अधिक होगा; (इस प्रकार) रूप (एक समद्विबाहु) त्रिभुज। इसका तीर (यानी, ऊंचाई) ऐसा करेगा।"

पक्षों के n वर्गों के संयोजन के लिए प्रत्येक हम समद्विबाहु त्रिभुज ABC इस प्रकार बनाते हैं कि $$AB=AC=\frac{(n+1)a}{2}$$ और $$BC=(n-1)a$$

फिर  $$AD^2=na^2$$  जो सूत्र देता है

$${\displaystyle =a^2(\sqrt{n})^2+a^2\left (\frac{n-1}{2} \right )^2= a^2\left ( \frac{n+1}{2} \right )^2}$$

करणी(radicals) के बिना समकोण त्रिभुज की भुजाएँ बनाने के लिए n के लिए m2 रखें, हमारे पास है

$${\displaystyle =m^2a^2+a^2\left (\frac{m^2-1}{2} \right )^2= a^2\left ( \frac{m^2+1}{2} \right )^2}$$ जो (1) का तर्कसंगत समाधान देता है।