ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज

यूक्लिडियन ज्यामिति में, लंब अक्ष विकर्ण चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसमें विकर्ण समकोण पर पार करते हैं। दूसरे शब्दों में, यह एक चार-पक्षीय आकृति है जिसमें गैर-आसन्न शीर्ष (ज्यामिति) के बीच के रेखा खंड एक दूसरे के लिए आयतीय (लंबवत) होते हैं।

विशेष स्तिथियाँ
एक पतंग (ज्यामिति) एक लंब अक्ष विकर्ण चतुर्भुज है जिसमें एक विकर्ण समरूपता की एक रेखा है। पतंग बिल्कुल लंब अक्ष विकर्ण चतुर्भुज होते हैं जिनमें उनके चारों तरफ एक स्पर्शरेखा होती है; अर्थात्, पतंग स्पर्शरेखा चतुर्भुज लंब अक्ष विकर्ण चतुर्भुज हैं। समचतुर्भुज समानांतर (ज्यामिति) भुजाओं के दो युग्मों वाला एक लंब अक्ष विकर्ण चतुर्भुज है (अर्थात, एक लंब अक्ष विकर्ण चतुर्भुज जो एक समांतर चतुर्भुज भी है)।

एक वर्ग (ज्यामिति) एक पतंग और एक विषमकोण दोनों की सीमित स्तिथि है।

लंब अक्ष विकर्ण इक्विडायगोनल चतुर्भुज जिसमें विकर्ण कम से कम उतने लंबे होते हैं जितने चतुर्भुज के सभी पक्षों में उनके व्यास के लिए अधिकतम क्षेत्र होते हैं, सबसे बड़ी छोटी बहुभुज समस्या के n = 4 स्तिथि को हल करते हैं। वर्ग ऐसा ही एक चतुर्भुज है, लेकिन वहाँ अपरिमित रूप से बहुत से अन्य भी हैं। एक लंब अक्ष विकर्ण चतुर्भुज, जो समविषम भी है, एक मिडस्क्वेयर चतुर्भुज है क्योंकि इसका वैरिग्नन समांतर चतुर्भुज एक वर्ग है। इसका क्षेत्रफल विशुद्ध रूप से इसकी भुजाओं के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है।

लक्षण वर्णन
किसी भी लंब अक्ष विकर्ण चतुर्भुज के लिए, दो विपरीत भुजाओं के वर्गों का योग अन्य दो विपरीत भुजाओं के बराबर होता है: क्रमिक भुजाओं a, b, c, और d के लिए, हमारे पास निम्न है
 * $$\displaystyle a^2+c^2=b^2+d^2 $$

यह पाइथागोरस प्रमेय से अनुसरण करता है, जिसके द्वारा दो वर्गों के इन दो योगों में से किसी एक को चतुर्भुज के शीर्षों से उस बिंदु तक चार वर्गों की दूरी के योग के बराबर विस्तारित किया जा सकता है जहां विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं। विलोम (तर्क), कोई भी चतुर्भुज जिसमें a2 + c2 = b2 + d2 लंब अक्ष विकर्ण होना चाहिए। यह कई तरीकों से गणितीय प्रमाण हो सकता है, जिसमें कोटिज्या के नियम, यूक्लिडियन सदिश, विरोधाभास द्वारा एक प्रमाण और जटिल संख्याएँ सम्मिलित हैं।

एक अवमुख वहुभुज चतुर्भुज के विकर्ण लंबवत होते हैं यदि और केवल यदि दो चतुर्भुज विशेष रेखा खंडों की लंबाई समान हो।

एक अन्य विशेषता के अनुसार, उत्तल चतुर्भुज ABCD के विकर्ण लंबवत होते हैं यदि और केवल यदि
 * $$\angle PAB + \angle PBA + \angle PCD + \angle PDC = \pi$$

जहाँ P विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है। इस समीकरण से यह लगभग तुरंत ही पता चलता है कि उत्तल चतुर्भुज के विकर्ण लंबवत होते हैं यदि और केवल यदि चतुर्भुज की भुजाओं पर विकर्ण प्रतिच्छेदन के प्रक्षेपण एक चक्रीय चतुर्भुज के शीर्ष हैं। एक उत्तल चतुर्भुज लंब अक्ष विकर्ण होता है यदि और केवल यदि इसका वैरिग्नन समांतर चतुर्भुज (जिसके कोने इसके पक्षों के मध्य बिंदु हैं) समकोण समानान्तर चतुर्भुज है। एक संबंधित विशेषता बताती है कि एक उत्तल चतुर्भुज लंब अक्ष विकर्ण है यदि और केवल यदि पक्षों के मध्य बिंदु और चार चतुर्भुज विशेष रेखा खंडों के पैर आठ चक्रीय बिंदु हैं। इस वृत्त का केंद्र चतुर्भुज का विशेष रेखाखंड है। गणों के पादों से बनने वाले चतुर्भुज को 'मुख्य ऑर्थोक चतुर्भुज' कहा जाता है। यदि विकर्ण प्रतिच्छेदनों के माध्यम से एक उत्तल चतुर्भुज ABCD के किनारों पर सामान्य (ज्यामिति) R, S, T, U, और K, L, M, N में विपरीत पक्षों को क्रमभंग करते हैं, तो ABCD लंब अक्ष विकर्ण है यदि और केवल यदि आठ बिंदु K, L, M, N, R, S, T और U चक्रीय हैं; दूसरा आठ बिंदु चक्र। एक संबंधित लक्षण वर्णन बताता है कि एक उत्तल चतुर्भुज लंब अक्ष विकर्ण है यदि और केवल यदि RSTU एक आयत है जिसका पक्ष ABCD के विकर्णों के समानांतर है।

विकर्ण प्रतिच्छेदन P और एक उत्तल चतुर्भुज ABCD के शीर्षों द्वारा गठित चार त्रिभुजों के संबंध में कई आव्यूह लक्षण वर्णन हैं। m1, m2, m3, m4 द्वारा चिह्नित त्रिभुज ABP, BCP, CDP, DAP में P से भुजाओं AB, BC, CD, DA में माध्यिका (ज्यामिति) है। यदि R1, R2, R3, R4 और h1, h2, h3, h4 इन त्रिभुजों के क्रमशः परिधि और ऊँचाई (त्रिकोण) की त्रिज्या को निरूपित करें, तो चतुर्भुज ABCD लंब अक्ष विकर्ण है यदि और केवल यदि निम्न में से कोई एक समानता रखती है:

इसके अतिरिक्त, विकर्णों के प्रतिच्छेदन P के साथ एक चतुर्भुज ABCD लंब अक्ष विकर्ण है यदि और केवल यदि त्रिभुज ABP, BCP, CDP और DAP के परिकेन्द्र चतुर्भुज की भुजाओं के मध्य बिंदु हैं।
 * $$R_1^2+R_3^2=R_2^2+R_4^2$$
 * $$\frac{1}{h_1^2}+\frac{1}{h_3^2}=\frac{1}{h_2^2}+\frac{1}{h_4^2}$$
 * $$m_1^2+m_3^2=m_2^2+m_4^2$$

एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज के साथ तुलना
स्पर्शरेखा चतुर्भुज और लंब अक्ष विकर्ण चतुर्भुज के कुछ मात्रिक लक्षण दिखने में बहुत समान हैं, जैसा कि इस तालिका में देखा जा सकता है। भुजाओं a, b, c, d, परित्रिज्या R पर R1, R2, R3, R4, और ऊंचाई h1, h2, h3, h4 दोनों प्रकार के चतुर्भुजों में उपरोक्त के समान हैं।

क्षेत्र
एक लंब अक्ष विकर्ण चतुर्भुज का क्षेत्रफल K, विकर्णों p और q की लंबाई के आधे गुणनफल के बराबर होता है:
 * $$K = \frac{pq}{2}.$$

इसके विपरीत, कोई भी उत्तल चतुर्भुज जहां इस सूत्र के साथ क्षेत्रफल की गणना की जा सकती है, लंब अक्ष विकर्ण होना चाहिए। दिए गए विकर्णों वाले सभी उत्तल चतुर्भुजों में लंब अक्ष विकर्ण चतुर्भुज का क्षेत्रफल सबसे बड़ा होता है।

अन्य गुण

 * लंब अक्ष विकर्ण चतुर्भुज एकमात्र ऐसा चतुर्भुज है जिसके लिए विकर्णों द्वारा निर्मित भुजाएँ और कोण विशिष्ट रूप से क्षेत्र का निर्धारण नहीं करते हैं। उदाहरण के लिए, दो समचतुर्भुज, दोनों की उभयनिष्ठ भुजा a (और, सभी समचतुर्भुजों की तरह, दोनों के विकर्णों के बीच एक समकोण है), लेकिन एक में दूसरे की तुलना में एक छोटा न्यून कोण है, और उसके अलग-अलग क्षेत्र हैं (पूर्व का क्षेत्रफल शून्य की ओर बढ़ रहा है जब न्यूनकोण शून्य की ओर अग्रसर होता है)।
 * यदि वर्ग किसी भी चतुर्भुज (उत्तल, अवतल, या पार) के किनारों पर बाहर की ओर खड़े होते हैं, तो उनका केंद्र (ज्यामिति) (केन्द्रक) एक लंब अक्ष विकर्ण चतुर्भुज के शीर्ष होते हैं जो समबाहु चतुर्भुज भी होता है (अर्थात् समान लंबाई के विकर्ण होते हैं)। इसे वैन औबेल प्रमेय कहा जाता है।
 * एक लंब अक्ष विकर्ण चतुर्भुज के प्रत्येक पक्ष में पास्कल बिंदु वृत्त के साथ कम से कम एक सामान्य बिंदु होता है।

परिधि और क्षेत्रफल
एक चक्रीय चतुर्भुज लंब अक्ष विकर्ण चतुर्भुज (जिसे एक वृत्त में अंकित किया जा सकता है) के लिए, मान लीजिए कि विकर्णों का प्रतिच्छेदन एक विकर्ण को लंबाई p1 और p2 के खंडों में विभाजित करता है और दूसरे विकर्ण को लंबाई q1 और q2 के खंडों में विभाजित करता है। तब (पहली समानता आर्किमिडीज़ की लेम्मास की पुस्तक में प्रस्ताव 11 है)
 * $$D^2=p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2=a^2+c^2=b^2+d^2$$

जहाँ D बाह्य वृत्त का व्यास है। यह मान्य है क्योंकि विकर्ण एक वृत्त की लंबवत जीवाएँ हैं। इन समीकरणों से परित्रिज्या व्यंजक प्राप्त होता है
 * $$R = \tfrac{1}{2}\sqrt{p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2}$$

या, चतुर्भुज की भुजाओं के संदर्भ में होता है, जैसे :$$R = \tfrac{1}{2}\sqrt{a^2+c^2}=\tfrac{1}{2}\sqrt{b^2+d^2}.$$

इसका अनुसरण भी करता है

\:$$a^2+b^2+c^2+d^2=8R^2.$$

इस प्रकार, यूलर के चतुर्भुज प्रमेय के अनुसार, परित्रिज्या को विकर्णों p और q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और विकर्णों के मध्यबिंदुओं के बीच की दूरी x के रूप में व्यक्त की जा सकती है
 * $$R = \sqrt{\frac{p^2+q^2+4x^2}{8}}\,.$$

टॉलेमी के प्रमेय और लंब अक्ष विकर्ण चतुर्भुज के क्षेत्र के सूत्र के संयोजन से चार भुजाओं के संदर्भ में एक चक्रीय लंब अक्ष विकर्ण चतुर्भुज के क्षेत्र K के लिए एक सूत्र सीधे प्राप्त होता है। परिणाम निम्नलिखित है
 * $$ K=\tfrac{1}{2}(ac+bd). $$

अन्य गुण

 * चक्रीय लंब अक्ष विकर्ण चतुर्भुज में, चक्रीय चतुर्भुज प्रतिकेंद्र और संरेखता उस बिंदु के साथ मेल खाते हैं जहां विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं।
 * ब्रह्मगुप्त के प्रमेय में कहा गया है कि एक चक्रीय लंब अक्ष विकर्ण चतुर्भुज के लिए, विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु के माध्यम से किसी भी ओर से लंबवत विपरीत दिशा को समद्विभाजित करता है।
 * यदि एक लंब अक्ष विकर्ण चतुर्भुज भी चक्रीय है, तो किसी भी पक्ष के परिकेंद्र (परिवृत्त वृत्त का केंद्र) से दूरी विपरीत दिशा की आधी लंबाई के बराबर होती है।
 * एक चक्रीय लंब अक्ष विकर्ण चतुर्भुज में, विकर्णों के मध्य बिंदुओं के बीच की दूरी परिकेन्द्र और उस बिंदु के बीच की दूरी के बराबर होती है जहां विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं।

उत्कीर्ण आयतों के अनंत सम्मुच्चय
प्रत्येक लंब अक्ष विकर्ण चतुर्भुज के लिए, हम आयतों के दो अनंत सम्मुच्चय लिख सकते हैं:
 * (i) आयतों का एक समूह जिसकी भुजाएँ चतुर्भुज के विकर्णों के समानांतर होती हैं
 * (ii) पास्कल-अंक वृत्त द्वारा परिभाषित आयतों का एक सम्मुच्चय।