विशेषता मोड विश्लेषण

विशेषता मोड (सीएम) कार्यों का एक सेट बनाते हैं, जो विशिष्ट सीमा स्थितियों के तहत, विद्युत क्षेत्र और प्रेरित विद्युत प्रवाह से संबंधित ऑपरेटर को विकर्ण करता है। कुछ शर्तों के तहत, सीएम का सेट अद्वितीय और पूर्ण है (कम से कम सैद्धांतिक रूप से) और इस तरह एक अध्ययन की गई वस्तु के व्यवहार का पूर्ण रूप से वर्णन करने में सक्षम है।

यह आलेख विद्युत चुम्बकीय  में विशेषता मोड अपघटन से संबंधित है, एक डोमेन जिसमें सीएम सिद्धांत मूल रूप से प्रस्तावित किया गया है।

पृष्ठभूमि
सीएम अपघटन मूल रूप से एक बिखरने वाले मैट्रिक्स को विकर्ण करने वाले मोड के सेट के रूप में पेश किया गया था। सिद्धांत, बाद में, एंटेना के लिए रोजर एफ। हैरिंगटन और माउटज़ द्वारा सामान्यीकृत किया गया है।  हैरिंगटन, मौत्ज़ और उनके छात्रों ने भी सिद्धांत के कई अन्य विस्तारों को क्रमिक रूप से विकसित किया।    भले ही कुछ अग्रदूत 1940 के दशक के अंत में वापस प्रकाशित किए गए थे, अतिरिक्त 40 वर्षों के लिए सीएम की पूरी क्षमता अपरिचित बनी हुई है। सीएम की क्षमताओं पर दोबारा गौर किया गया 2007 में और तब से, मुख्यमंत्री में रुचि नाटकीय रूप से बढ़ गई है। सीएम सिद्धांत का बाद का उछाल प्रमुख प्रकाशनों और अनुप्रयोगों की संख्या से परिलक्षित होता है।

परिभाषा
सादगी के लिए, केवल सीएम के मूल रूप - खालीपन  में  बिल्कुल सही इलेक्ट्रिक कंडक्टर  (पीईसी) निकायों के लिए तैयार - इस आलेख में इलाज किया जाएगा। विद्युत चुम्बकीय मात्रा केवल आवृत्ति डोमेन में फूरियर की छवियों के रूप में प्रदर्शित की जाएगी। लॉरेंज गेज | लॉरेंज गेज का प्रयोग किया जाता है। एक पीईसी निकाय पर एक विद्युत चुम्बकीय तरंग का प्रकीर्णन पीईसी निकाय पर एक सीमा स्थिति के माध्यम से दर्शाया जाता है, अर्थात्


 * $$ \boldsymbol{\hat{n}} \times \boldsymbol{E}^\mathrm{i} = -\boldsymbol{\hat{n}} \times \boldsymbol{E}^\mathrm{s}, $$

साथ $$\boldsymbol{\hat{n}}$$ पीईसी सतह पर सामान्य वेक्टर का प्रतिनिधित्व करना, $$\boldsymbol{E}^\mathrm{i}$$ घटना विद्युत क्षेत्र की तीव्रता का प्रतिनिधित्व करना, और $$\boldsymbol{E}^\mathrm{s}$$ बिखरे हुए विद्युत क्षेत्र की तीव्रता का प्रतिनिधित्व के रूप में परिभाषित किया गया है


 * $$\boldsymbol{E}^\mathrm{s} = -\mathrm{j}\omega\boldsymbol{A} - \nabla\varphi, $$

साथ $$\mathrm{j}$$ काल्पनिक इकाई होने के नाते, $$\omega$$ कोणीय आवृत्ति होने के नाते, $$\boldsymbol{A}$$ वेक्टर क्षमता होने के नाते


 * $$ \boldsymbol{A} \left(\boldsymbol{r}\right) = \mu_0 \int\limits_\Omega \boldsymbol{J} \left(\boldsymbol{r}'\right) G \left(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}'\right) \, \mathrm{d}S, $$

$$\mu_0$$ वैक्यूम पारगम्यता होने के नाते, $$\varphi$$ अदिश क्षमता होना


 * $$ \varphi \left(\boldsymbol{r}\right) = - \frac{1}{\mathrm{j}\omega\epsilon_0} \int\limits_\Omega \nabla\cdot\boldsymbol{J} \left(\boldsymbol{r}'\right) G \left(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}'\right) \, \mathrm{d}S, $$

$$\epsilon_0$$ वैक्यूम परमिटिटिविटी होना, $$G \left(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}'\right)$$ स्केलर ग्रीन का कार्य है


 * $$ G \left(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}'\right) = \frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{j}k\left|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}'\right|}}{4\pi \left|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}'\right|} $$

और $$k$$ तरंग संख्या होना। इंटीग्रो-डिफरेंशियल ऑपरेटर $$\boldsymbol{\hat{n}} \times \boldsymbol{E}^\mathrm{s} \left(\boldsymbol{J} \right)$$ विशेषता मोड के माध्यम से विकर्ण होना है।

सीएम अपघटन का शासी समीकरण है
 * $$ \mathcal{X} \left(\boldsymbol{J}_n\right) = \lambda_n \mathcal{R} \left(\boldsymbol{J}_n\right) \qquad\mathrm{(1)} $$

साथ $$\mathcal{R}$$ और $$\mathcal{X}$$ प्रतिबाधा ऑपरेटर के वास्तविक और काल्पनिक भाग होने के नाते, क्रमशः: $$\mathcal{Z}(\cdot) = \mathcal{R}(\cdot) + \mathrm{j}\mathcal{X}(\cdot)\,.$$ परिचालक, $$\mathcal{Z}$$ द्वारा परिभाषित किया गया है


 * $$ \mathcal{Z} \left(\boldsymbol{J}\right) = \boldsymbol{\hat{n}} \times \boldsymbol{\hat{n}} \times \boldsymbol{E}^\mathrm{s} \left(\boldsymbol{J}\right). \qquad\mathrm{(2)} $$

(1) का परिणाम विशिष्ट विधाओं का एक समूह है $$\left\{\boldsymbol{J}_n\right\}$$, $$n\in \left\{1,2,\dots\right\}$$, संबद्ध विशेषता संख्याओं के साथ $$\left\{\lambda_n\right\}$$. स्पष्ट रूप से, (1) एक सामान्यीकृत ईजेनवेल्यू समस्या है, जो, हालांकि, विश्लेषणात्मक रूप से हल नहीं की जा सकती (कुछ विहित निकायों को छोड़कर) ). इसलिए, निम्नलिखित पैराग्राफ में वर्णित संख्यात्मक समाधान आमतौर पर नियोजित होता है।

मैट्रिक्स फॉर्मूलेशन
विवेक $$\mathcal{D}$$ बिखरने वाले के शरीर का $$\Omega$$ में $$M$$ उपडोमेन के रूप में $$\Omega^M = \mathcal{D}\left(\Omega\right)$$ और रैखिक रूप से स्वतंत्र टुकड़ा-वार निरंतर कार्यों के एक सेट का उपयोग करना $$\left\{\boldsymbol{\psi}_n\right\}$$, $$n\in\left\{1,\dots,N\right\}$$, वर्तमान घनत्व की अनुमति देता है $$\boldsymbol{J}$$ के रूप में प्रतिनिधित्व करना :$$ \boldsymbol{J} \left(\boldsymbol{r}\right) \approx \sum\limits_{n=1}^N I_n \boldsymbol{\psi}_n \left(\boldsymbol{r}\right) $$ और गैलेरकिन विधि लागू करके, प्रतिबाधा संकारक (2)


 * $$ \mathbf{Z} = \mathbf{R} + \mathrm{j} \mathbf{X} = \left[Z_{uv}\right] = \left[\,\int\limits_\Omega \boldsymbol{\psi}_u^\ast \cdot \mathcal{Z} \left(\boldsymbol{\psi}_v\right) \, \mathrm{d}S\right]. $$

आइगेनवैल्यू प्रॉब्लम (1) को इसके मैट्रिक्स फॉर्म में फिर से ढाला जाता है


 * $$ \mathbf{X} \mathbf{I}_n = \lambda_n \mathbf{R}\mathbf{I}_n, $$

जिसे आसानी से हल किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, सामान्यीकृत शूर अपघटन या अर्नोल्डी पुनरावृत्ति विस्तार गुणांकों का एक सीमित सेट प्रदान करता है $$\left\{\mathbf{I}_n\right\}$$ और संबंधित विशेषता संख्याएँ $$\left\{\lambda_n\right\}$$. सीएम अपघटन के गुणों की जांच नीचे की गई है।



गुण
सीएम अपघटन के गुणों को इसके मैट्रिक्स रूप में प्रदर्शित किया जाता है।

सबसे पहले, याद रखें कि द्विरेखीय रूप


 * $$ P_\mathrm{r} \approx \frac{1}{2} \mathbf{I}^\mathrm{H} \mathbf{R} \mathbf{I} \geq 0 $$

और


 * $$ 2\omega\left(W_\mathrm{m} - W_\mathrm{e}\right) \approx \frac{1}{2} \mathbf{I}^\mathrm{H} \mathbf{X} \mathbf{I}, $$

जहां सुपरस्क्रिप्ट $$^\mathrm{H}$$ हर्मिटियन ट्रांसपोज़ और कहाँ को दर्शाता है $$\mathbf{I}$$ एक मनमाना सतह वर्तमान वितरण का प्रतिनिधित्व करता है, विकिरणित शक्ति और प्रतिक्रियाशील शुद्ध शक्ति के अनुरूप होता है, क्रमश। निम्नलिखित गुणों को आसानी से आसुत किया जा सकता है:
 * वेटिंग मैट्रिक्स $$\mathbf{R}$$ सैद्धांतिक रूप से सकारात्मक निश्चित है और $$\mathbf{X}$$ अनिश्चितकालीन है। रेले भागफल
 * $$	\lambda_n \approx \frac{\mathbf{I}_n^\mathrm{H}\mathbf{X}\mathbf{I}_n}{\mathbf{I}_n^\mathrm{H}\mathbf{R}\mathbf{I}_n} $$

फिर की संख्यात्मक सीमा तक फैला हुआ है $$-\infty \leq \lambda_n \leq \infty$$ और इंगित करता है कि विशेषता मोड कैपेसिटिव है ($$\lambda_n < 0$$आगमनात्मक ($$\lambda_n > 0$$), या अनुनाद में ($$\lambda_n = 0$$). वास्तव में, रेले भागफल उपयोग की गई मशीन की सटीकता की संख्यात्मक गतिशीलता द्वारा सीमित है और सही ढंग से पाए गए मोड की संख्या सीमित है।
 * विशेषता संख्याएँ आवृत्ति के साथ विकसित होती हैं, अर्थात, $$\lambda_n = \lambda_n \left(\omega\right)$$, वे एक-दूसरे को पार कर सकते हैं, या वे एक जैसे हो सकते हैं (अपक्षय के मामले में ). इस कारण से, चिकनी वक्र प्राप्त करने के लिए मोड की ट्रैकिंग अक्सर लागू होती है $$\lambda_n \left(\omega\right)$$.    दुर्भाग्य से, यह प्रक्रिया आंशिक रूप से अनुमानी है और ट्रैकिंग एल्गोरिदम अभी भी पूर्णता से दूर हैं। * विशेषता मोड को वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के रूप में चुना जा सकता है, $$\mathbf{I}_n \in \mathbb{R}^{N\times 1}$$. दूसरे शब्दों में, अभिलक्षणिक विधाएं समप्रावस्था धाराओं का एक समूह बनाती हैं।
 * विशेषता मोड के आयाम के संबंध में सीएम अपघटन अपरिवर्तनीय है। इस तथ्य का उपयोग वर्तमान को सामान्य करने के लिए किया जाता है ताकि वे एकात्मक विकिरणित शक्ति को विकीर्ण कर सकें
 * $$	\frac{1}{2} \mathbf{I}_m^\mathrm{H} \mathbf{Z} \mathbf{I}_n \approx \left(1 + \mathrm{j} \lambda_n\right) \delta_{mn}. $$

यह अंतिम संबंध प्रतिबाधा ऑपरेटर (2) को विकर्ण करने के लिए विशेषता मोड की क्षमता को प्रस्तुत करता है और दूर क्षेत्र की ओर्थोगोनालिटी को प्रदर्शित करता है, अर्थात,


 * $$	\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}} \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^\pi \boldsymbol{F}_m^\ast \cdot \boldsymbol{F}_n \sin \vartheta \, \mathrm{d} \vartheta \, \mathrm{d} \varphi = \delta_{mn}. $$

मोडल मात्रा
मोडल धाराओं का उपयोग उनके मोडल रूप में ऐन्टेना मापदंडों का मूल्यांकन करने के लिए किया जा सकता है, उदाहरण के लिए:
 * मोडल दूर-क्षेत्र $$\boldsymbol{F}_n \left(\boldsymbol{\hat{e}}, \boldsymbol{\hat{r}}\right)$$ ($$\boldsymbol{\hat{e}}$$ - ध्रुवीकरण (लहरें), $$\boldsymbol{\hat{r}}$$ - दिशा), * मोडल दिशिकता  $$\boldsymbol{D}_n \left(\boldsymbol{\hat{e}}, \boldsymbol{\hat{r}}\right)$$,
 * मोडल विकिरण दक्षता $$\eta_n$$, * मोडल गुणवत्ता कारक $$Q_n$$, * मोडल प्रतिबाधा $$Z_n$$.

इन मात्राओं का उपयोग विश्लेषण, फीडिंग सिंथेसिस, रेडिएटर के आकार अनुकूलन, या ऐन्टेना लक्षण वर्णन के लिए किया जा सकता है।

अनुप्रयोग और आगे का विकास
संभावित अनुप्रयोगों की संख्या बहुत अधिक है और अभी भी बढ़ रही है:
 * एंटीना विश्लेषण और संश्लेषण,  * MIMO एंटेना का डिज़ाइन,    * कॉम्पैक्ट एंटीना डिजाइन (आरएफआईडी, वाई-फाई),  * यूएवी एंटेना, * चेसिस और प्लेटफॉर्म का चयनात्मक उत्तेजना, * मॉडल ऑर्डर में कमी, * बैंडविड्थ वृद्धि,  * नैनोट्यूब और मेटामटेरियल्स,  * कम्प्यूटेशनल इलेक्ट्रोमैग्नेटिक्स कोड का सत्यापन।

संभावित विषयों में शामिल हैं
 * एमएलएफएमए का उपयोग करके विद्युत रूप से बड़ी संरचनाओं की गणना, * अचालक, * संयुक्त फील्ड इंटीग्रल समीकरण का उपयोग, * आवधिक संरचनाएं,
 * सरणियों के लिए सूत्रीकरण।

सॉफ्टवेयर
सीएम अपघटन हाल ही में प्रमुख विद्युत चुम्बकीय सिमुलेटरों में लागू किया गया है, अर्थात् एफईकेओ में, सीएसटी-मेगावाट, और डब्ल्यूआईपीएल-डी। अन्य पैकेज जल्द ही इसका समर्थन करने वाले हैं, उदाहरण के लिए एचएफएसएस और सीईएम वन। इसके अलावा, इन-हाउस और अकादमिक पैकेजों की अधिकता है जो सीएम और कई संबद्ध मापदंडों का मूल्यांकन करने में सक्षम हैं।

वैकल्पिक आधार
सीएम रेडिएटर के संचालन को बेहतर ढंग से समझने के लिए उपयोगी होते हैं। उनका उपयोग कई व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए बड़ी सफलता के साथ किया गया है। हालांकि, इस बात पर जोर देना महत्वपूर्ण है कि वे परिपूर्ण नहीं हैं और अक्सर अन्य योगों जैसे कि ऊर्जा मोड का उपयोग करना बेहतर होता है, विकिरण मोड, संग्रहीत ऊर्जा मोड या विकिरण दक्षता मोड।