मध्य केन्द्रीयता

ग्राफ सिद्धांत में, बीचनेस  केन्द्रीयता  सबसे छोटा पथ समस्या पर आधारित ग्राफ (असतत गणित) में केंद्रीयता का एक उपाय है। कनेक्टेड ग्राफ़ में हर जोड़े के कोने के लिए, वर्टिकल के बीच कम से कम एक सबसे छोटा रास्ता मौजूद होता है जैसे कि या तो किनारों की संख्या जिससे रास्ता गुजरता है (अनवेटेड ग्राफ़ के लिए) या किनारों के वज़न का योग (भारित ग्राफ़ के लिए) ) न्यूनतम किया गया है। प्रत्येक वर्टेक्स (ग्राफ़ सिद्धांत) के लिए बीच की केंद्रीयता इन सबसे छोटे रास्तों की संख्या है जो शीर्ष से होकर गुजरती हैं।

बीच की केंद्रीयता को केंद्रीयता के सामान्य उपाय के रूप में तैयार किया गया था: यह नेटवर्क सिद्धांत  में समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला पर लागू होता है, जिसमें सोशल नेटवर्क थ्योरी, जीव विज्ञान, परिवहन और वैज्ञानिक सहयोग से संबंधित समस्याएं शामिल हैं। हालांकि पहले के लेखकों ने सहज रूप से केंद्रीयता को बीच के आधार पर वर्णित किया है,  ने बीच की केंद्रीयता की पहली औपचारिक परिभाषा दी।

बीच की केंद्रीयता को नेटवर्क सिद्धांत में व्यापक अनुप्रयोग मिलता है; यह उस डिग्री का प्रतिनिधित्व करता है जिस पर नोड्स एक दूसरे के बीच खड़े होते हैं। उदाहरण के लिए, एक दूरसंचार नेटवर्क में, उच्च केंद्रीयता वाले नोड का नेटवर्क पर अधिक नियंत्रण होगा, क्योंकि अधिक जानकारी उस नोड से होकर गुजरेगी।

परिभाषा
एक नोड की बीच की केंद्रीयता $$v$$ अभिव्यक्ति द्वारा दिया गया है:


 * $$g(v)= \sum_{s \neq v \neq t}\frac{\sigma_{st}(v)}{\sigma_{st}}$$

कहाँ $$\sigma_{st}$$ नोड से सबसे छोटे रास्तों की कुल संख्या है $$s$$ नोड करने के लिए $$t$$ और $$\sigma_{st}(v)$$ उन रास्तों की संख्या है जिनसे होकर गुजरना पड़ता है $$v$$ (कहां नहीं $$v$$ एक अंत बिंदु है)। ध्यान दें कि एक नोड की बीच की केंद्रीयता, नोड्स के जोड़े की संख्या के साथ मापी जाती है, जैसा कि योग सूचकांकों द्वारा सुझाया गया है। इसलिए, गणना को शामिल नहीं करने वाले नोड्स के जोड़े की संख्या से विभाजित करके गणना को फिर से बढ़ाया जा सकता है $$v$$, ताकि $$g \in [0,1]$$. विभाजन द्वारा किया जाता है $$(N-1)(N-2)$$ निर्देशित रेखांकन के लिए और $$(N-1)(N-2)/2$$ अप्रत्यक्ष रेखांकन के लिए, जहाँ $$N$$ विशाल घटक में नोड्स की संख्या है। ध्यान दें कि यह उच्चतम संभव मान के लिए मापता है, जहां प्रत्येक सबसे छोटे पथ द्वारा एक नोड को पार किया जाता है। यह अक्सर मामला नहीं होता है, और सटीकता के नुकसान के बिना एक सामान्यीकरण किया जा सकता है
 * $$\mbox{normal}(g(v)) = \frac{g(v) - \min(g)}{\max(g) - \min(g)}$$

जिसके परिणामस्वरूप:
 * $$\max(normal) = 1$$
 * $$\min(normal) = 0$$

ध्यान दें कि यह हमेशा एक छोटी श्रेणी से बड़ी श्रेणी में स्केलिंग होगी, इसलिए कोई सटीकता नहीं खोती है। <!--

भारित नेटवर्क
भारित नेटवर्क में नोड्स को जोड़ने वाले लिंक को अब बाइनरी इंटरैक्शन के रूप में नहीं माना जाता है, लेकिन उनकी क्षमता, प्रभाव, आवृत्ति आदि के अनुपात में भारित किया जाता है, जो टोपोलॉजिकल प्रभावों से परे नेटवर्क के भीतर विषमता का एक और आयाम जोड़ता है। भारित नेटवर्क में एक नोड की ताकत उसके आसन्न किनारों के भार के योग द्वारा दी जाती है।


 * $$s_{i} = \sum_{j=1}^{N} a_{ij}w_{ij}$$

साथ $$a_{ij}$$ और $$w_{ij}$$ नोड्स के बीच आसन्नता और भार मैट्रिसेस होना $$i$$ और $$j$$, क्रमश। स्केल फ्री नेटवर्क में पाए जाने वाले डिग्री के पावर लॉ डिस्ट्रीब्यूशन के अनुरूप, किसी दिए गए नोड की ताकत पावर लॉ डिस्ट्रीब्यूशन का भी पालन करती है।


 * $$s(k) \approx k^\beta $$

औसत मूल्य का अध्ययन $$s(b)$$ बीच के साथ शिखर के लिए ताकत का $$b$$ दिखाता है कि कार्यात्मक व्यवहार को स्केलिंग फॉर्म द्वारा अनुमानित किया जा सकता है:

$$s(b)\approx b^{\alpha} $$

परकोलेशन सेंट्रलिटी
परकोलेशन सेंट्रलिटी भारित बीच की केंद्रीयता का एक संस्करण है, लेकिन यह इस वजन की गणना में प्रत्येक सबसे छोटे पथ के स्रोत और लक्ष्य नोड्स की 'स्थिति' पर विचार करता है। कई परिदृश्यों में जटिल नेटवर्क में 'संक्रमण' का प्रसार होता है। उदाहरण के लिए, वायरल या बैक्टीरियल संक्रमण लोगों के सामाजिक नेटवर्क पर फैल सकता है, जिसे संपर्क नेटवर्क के रूप में जाना जाता है। सड़क, रेल या हवाई संपर्क से जुड़े कस्बों या जनसंख्या केंद्रों के नेटवर्क पर विचार करके बीमारी के प्रसार को अमूर्तता के उच्च स्तर पर भी माना जा सकता है। कंप्यूटर वायरस कंप्यूटर नेटवर्क पर फैल सकते हैं। व्यावसायिक प्रस्तावों और सौदों के बारे में अफ़वाहें या समाचार लोगों के सामाजिक नेटवर्क के माध्यम से भी फैल सकते हैं। इन सभी परिदृश्यों में, एक 'छूत' एक जटिल नेटवर्क के लिंक पर फैलता है, नोड्स के 'राज्यों' को बदलते हुए, या तो ठीक हो जाता है या अन्यथा। उदाहरण के लिए, एक महामारी विज्ञान परिदृश्य में, संक्रमण फैलते ही व्यक्ति 'अतिसंवेदनशील' से 'संक्रमित' अवस्था में चला जाता है। उपरोक्त उदाहरणों में अलग-अलग नोड जिन राज्यों को ले सकते हैं, वे बाइनरी हो सकते हैं (जैसे कि समाचार का एक टुकड़ा प्राप्त / प्राप्त नहीं हुआ), असतत (अतिसंवेदनशील / संक्रमित / बरामद), या यहां तक ​​​​कि निरंतर (जैसे किसी शहर में संक्रमित लोगों का अनुपात) ), जैसे-जैसे संक्रमण फैलता है। इन सभी परिदृश्यों में सामान्य विशेषता यह है कि संक्रमण के प्रसार के परिणामस्वरूप नेटवर्क में नोड स्थिति में परिवर्तन होता है। परकोलेशन सेंट्रलिटी (पीसी) को इस बात को ध्यान में रखते हुए प्रस्तावित किया गया था, जो विशेष रूप से नेटवर्क के माध्यम से परकोलेशन की सहायता के संदर्भ में नोड्स के महत्व को मापता है। यह उपाय द्वारा प्रस्तावित किया गया था.

परकोलेशन सेंट्रलिटी को किसी दिए गए नोड के लिए परिभाषित किया जाता है, एक निश्चित समय पर, उस नोड से गुजरने वाले 'परकोलेटेड पाथ्स' के अनुपात के रूप में। एक 'परकोलेटेड पाथ' नोड्स की एक जोड़ी के बीच सबसे छोटा रास्ता है, जहां स्रोत नोड रिसता है (जैसे, संक्रमित)। लक्ष्य नोड को छिद्रित या गैर-छिद्रित या आंशिक रूप से छिद्रित अवस्था में किया जा सकता है।


 * $$PC^t(v)= \frac{1}{N-2}\sum_{s \neq v \neq r}\frac{\sigma_{sr}(v)}{\sigma_{sr}}\frac{{x^t}_s}{{\sum {[{x^t}_i}]}-{x^t}_v}$$

कहाँ $$\sigma_{sr}$$ नोड से सबसे छोटे पथों की कुल संख्या है $$s$$ नोड करने के लिए $$r$$ और $$\sigma_{sr}(v)$$ उन रास्तों की संख्या है जिनसे होकर गुजरना पड़ता है $$v$$. नोड की परकोलेशन स्थिति $$i$$ समय पर $$t$$ द्वारा निरूपित किया जाता है $${x^t}_i$$ और दो विशेष मामले हैं जब $${x^t}_i=0$$ जो समय पर एक गैर-छिद्रित अवस्था को इंगित करता है $$t$$ जबकि कब $${x^t}_i=1$$ जो समय पर पूरी तरह से छिद्रित अवस्था को इंगित करता है $$t$$. बीच के मान आंशिक रूप से रिस चुके राज्यों को इंगित करते हैं (उदाहरण के लिए, टाउनशिप के एक नेटवर्क में, यह उस शहर में संक्रमित लोगों का प्रतिशत होगा)।

अंत:स्रवण पथों से जुड़ा भार स्रोत नोड्स को सौंपे गए अंत:स्रवण स्तर पर निर्भर करता है, इस आधार पर कि स्रोत नोड का अंतःस्रवण स्तर जितना अधिक होता है, उस नोड से निकलने वाले पथ उतने ही अधिक महत्वपूर्ण होते हैं। अत्यधिक छिद्रित नोड्स से उत्पन्न होने वाले सबसे छोटे रास्तों पर स्थित नोड्स इसलिए संभावित रूप से रिसाव के लिए अधिक महत्वपूर्ण हैं। लक्ष्य नोड भार को भी शामिल करने के लिए पीसी की परिभाषा को भी बढ़ाया जा सकता है। परकोलेशन सेंट्रलिटी कैलकुलेशन बिग ओ नोटेशन में चलता है$$O(NM)$$समय ब्रांड्स के तेज़ एल्गोरिदम से अपनाए गए एक कुशल कार्यान्वयन के साथ और यदि गणना को लक्ष्य नोड्स भार पर विचार करने की आवश्यकता है, तो सबसे खराब स्थिति का समय बिग ओ नोटेशन है|$$O(N^3)$$.

एल्गोरिदम
एक ग्राफ में सभी वर्टेक्स (ग्राफ थ्योरी) की बीचनेस और निकटता केंद्रीयता  की गणना करने में ग्राफ पर सभी जोड़े के बीच सबसे छोटे रास्तों की गणना करना शामिल है, जो बड़ा थीटा लेता है|$$\Theta(|V|^3)$$फ़्लॉइड-वॉर्शल एल्गोरिथम के साथ समय, न केवल एक को खोजने बल्कि दो नोड्स के बीच सभी सबसे छोटे रास्तों को गिनने के लिए संशोधित किया गया। विरल ग्राफ पर, जॉनसन का एल्गोरिथम या ब्रैंड्स का एल्गोरिथम अधिक कुशल हो सकता है, दोनों बिग ओ नोटेशन ले रहे हैं।$$O(|V|^2 \log |V| + |V| |E|)$$समय। अनवेटेड ग्राफ़ पर, बीच की केंद्रीयता की गणना करने के लिए बिग ओ नोटेशन की आवश्यकता होती है$$O(|V| |E|)$$ब्रांड्स के एल्गोरिथम का उपयोग करते हुए समय।

एक ग्राफ़ में सभी शीर्षों के मध्य और निकटता की गणना में, यह माना जाता है कि ग्राफ़ अप्रत्यक्ष हैं और लूप और कई किनारों की अनुमति से जुड़े हैं। जब विशेष रूप से नेटवर्क ग्राफ़ के साथ काम करते हैं, तो अक्सर ग्राफ़ सरल संबंधों को बनाए रखने के लिए लूप या एकाधिक किनारों के बिना होते हैं (जहां किनारे दो लोगों या शिखर के बीच कनेक्शन का प्रतिनिधित्व करते हैं)। इस मामले में, ब्रांड्स के एल्गोरिदम का उपयोग करके प्रत्येक सबसे छोटे पथ को दो बार गिने जाने के लिए अंतिम केंद्रीयता स्कोर को 2 से विभाजित किया जाएगा।

एक अन्य एल्गोरिथ्म अन्वेषण और शोषण के बीच व्यापार-बंद को नियंत्रित करने वाले एक हाइपर-पैरामीटर को शुरू करके, जियोडेसिक्स पर गणना की गई फ्रीमैन की समानता और सभी रास्तों पर गणना की गई न्यूमैन की समानता को सामान्य करता है। समय जटिलता ग्राफ में नोड्स की संख्या के किनारों की संख्या गुणा है।

एक द्विदिश चौड़ाई-प्रथम खोज का उपयोग करके पथों का नमूना लेकर बीच की केंद्रीयताओं का एक अनुमानित, संभाव्य अनुमान बहुत तेजी से प्राप्त किया जा सकता है।

सामाजिक नेटवर्क
सामाजिक नेटवर्क विश्लेषण में, बीच की केंद्रीयता के अलग-अलग प्रभाव हो सकते हैं। मैक्रोस्कोपिक दृष्टिकोण से, ब्रिजिंग पोजीशन या स्ट्रक्चरल होल (उच्च बीचनेस सेंट्रलिटी द्वारा इंगित) शक्ति को दर्शाते हैं, क्योंकि वे ब्रिजिंग पोजीशन पर मौजूद व्यक्ति को उन व्यक्तियों पर नियंत्रण करने की अनुमति देते हैं (जैसे, यह तय करना कि जानकारी साझा करना है या नहीं) जिनके बीच यह जुड़ता है। ईगो नेटवर्क के सूक्ष्म दृष्टिकोण से (अर्थात, केवल प्रथम-डिग्री कनेक्शन पर विचार करते हुए), ऑनलाइन सामाजिक नेटवर्क  में एक उच्च समानता केंद्रीयता निकटतम मित्रों (यानी, मजबूत पारस्परिक संबंधों) के नामांकन के साथ मेल खाती है, क्योंकि यह रिश्ते में सामाजिक पूंजी निवेश को दर्शाता है जब दूर के सामाजिक घेरे (जैसे, परिवार और विश्वविद्यालय) को पाट दिया जाता है (अक्सर अहंकार द्वारा परिचय के परिणामस्वरूप)।

नदी नेटवर्क
बीच की केंद्रीयता का उपयोग स्ट्रालर संख्या # नदी नेटवर्क की सांस्थितिकीय जटिलता के विश्लेषण के साथ-साथ समुद्री व्यापार में उनके उपयोग के लिए किया गया है।

संबंधित अवधारणाएं
बीच की केंद्रीयता एक नेटवर्क की कनेक्टिविटी (ग्राफ़ सिद्धांत) से संबंधित है, इसलिए उच्च समानता के शीर्षों में हटाए जाने पर ग्राफ़ को डिस्कनेक्ट करने की क्षमता होती है (देखें कट (ग्राफ़ सिद्धांत))।

यह भी देखें

 * केंद्रीयता