साइन फ़ंक्शन

गणित में, साइन फ़ंक्शन या साइनम फ़ंक्शन (विक्ट:साइनम#लैटिन से, साइन के लिए लैटिन भाषा) एक फ़ंक्शन (गणित) है जो वास्तविक संख्या का साइन (गणित) लौटाता है। गणितीय नोटेशन में साइन फ़ंक्शन को अक्सर इस प्रकार दर्शाया जाता है $$\sgn (x)$$.

परिभाषा
किसी वास्तविक संख्या का साइनम फ़ंक्शन $$x$$ एक टुकड़ा-वार फ़ंक्शन है जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है: $$ \sgn x :=\begin{cases} -1 & \text{if } x < 0, \\ 0 & \text{if } x = 0, \\ 1 & \text{if } x > 0. \end{cases}$$

गुण
किसी भी वास्तविक संख्या को उसके निरपेक्ष मान और उसके चिह्न फलन के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: $$ x = |x| \sgn x.$$ यह जब भी चलता है $$x$$ हमारे पास 0 के बराबर नहीं है $$ \sgn x = \frac{x}{|x|} = \frac{|x|}{x}\,.$$ इसी प्रकार, किसी भी वास्तविक संख्या के लिए $$x$$, $$ |x| = x\sgn x. $$ हम यह भी सुनिश्चित कर सकते हैं कि: $$\sgn x^n=(\sgn x)^n.$$ साइनम फ़ंक्शन शून्य पर अनिश्चितता तक (लेकिन शामिल नहीं) पूर्ण मान फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है। अधिक औपचारिक रूप से, एकीकरण सिद्धांत में यह एक कमजोर व्युत्पन्न है, और उत्तल कार्य सिद्धांत में 0 पर निरपेक्ष मान का उपविभेदक अंतराल है $$[-1,1]$$, साइन फ़ंक्शन भरना (पूर्ण मान का उप-अंतर 0 पर एकल-मान नहीं है)। ध्यान दें, की परिणामी शक्ति $$x$$ 0 है, जो सामान्य व्युत्पन्न के समान है $$x$$. संख्याएँ रद्द हो जाती हैं और हमारे पास केवल का चिह्न ही रह जाता है $$x$$. $$ \frac{\text{d} |x|}{\text{d}x} = \sgn x \text{ for } x \ne 0\,.$$ साइनम फ़ंक्शन 0 को छोड़कर हर जगह व्युत्पन्न 0 के साथ भिन्न होता है। यह सामान्य अर्थों में 0 पर भिन्न नहीं होता है, लेकिन वितरण (गणित) में भेदभाव की सामान्यीकृत धारणा के तहत, साइनम फ़ंक्शन का व्युत्पन्न डिराक डेल्टा फ़ंक्शन का दो गुना है, जिसे पहचान का उपयोग करके प्रदर्शित किया जा सकता है $$ \sgn x = 2 H(x) - 1 \,,$$ कहाँ $$H(x)$$ मानक का उपयोग करते हुए हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन है $$H(0)=\frac{1}{2}$$ औपचारिकता. इस पहचान का उपयोग करके, वितरणात्मक व्युत्पन्न प्राप्त करना आसान है: $$ \frac{\text{d}\sgn x}{\text{d}x} = 2 \frac{\text{d} H(x)}{\text{d}x} = 2\delta(x) \,.$$ साइनम फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण है $$\int_{-\infty}^\infty (\sgn x) e^{-ikx}\text{d}x = PV\frac{2}{ik},$$ कहाँ $$PV$$ इसका मतलब है कॉची प्रमुख मूल्य  लेना।

साइनम को इवरसन ब्रैकेट नोटेशन का उपयोग करके भी लिखा जा सकता है: $$\sgn x = -[x < 0] + [x > 0] \,.$$ साइनम को फर्श और छत के कार्य और निरपेक्ष मान फ़ंक्शंस का उपयोग करके भी लिखा जा सकता है: $$\sgn x = \Biggl\lfloor \frac{x}{|x|+1} \Biggr\rfloor - \Biggl\lfloor \frac{-x}{|x|+1} \Biggr\rfloor \,.$$साइनम फ़ंक्शन की एक बहुत ही सरल परिभाषा है यदि $$0^0$$ 1 के बराबर माना जाता है। तब साइनम को सभी वास्तविक संख्याओं के लिए इस प्रकार लिखा जा सकता है $$\sgn x = 0^ \left ( - x + \left\vert x \right\vert \right ) - 0^ \left ( x + \left\vert x \right\vert  \right ) \,.$$ साइनम फ़ंक्शन सीमाओं के साथ मेल खाता है $$\sgn x=\lim_{n\to\infty}\frac{1-2^{-nx}}{1+2^{-nx}}\,.$$ और $$\sgn x = \lim_{n\to\infty}\frac{2}{\pi}{\rm arctan}(nx)\, = \lim_{n\to\infty}\frac{2}{\pi}\tan^{-1}(nx)\,.$$साथ ही साथ,

$$\sgn x=\lim_{n\to\infty}\tanh(nx)\,.$$यहाँ, $$\tanh(x)$$ हाइपरबोलिक स्पर्शज्या है और इसके ऊपर -1 का सुपरस्क्रिप्ट, त्रिकोणमितीय कार्यों के व्युत्क्रम फलन, स्पर्शरेखा के लिए आशुलिपि संकेतन है।

के लिए $$k>1$$, साइन फ़ंक्शन का एक सहज सन्निकटन है $$\sgn x \approx \tanh kx \,.$$ एक और अनुमान है $$\sgn x \approx \frac{x}{\sqrt{x^2 + \varepsilon^2}} \,.$$ जो और भी तेज़ हो जाता है $$\varepsilon\to 0$$; ध्यान दें कि यह का व्युत्पन्न है $$\sqrt{x^2+\varepsilon ^2}$$. यह इस तथ्य से प्रेरित है कि उपरोक्त सभी गैर-शून्य के लिए बिल्कुल बराबर है $$x$$ अगर $$\varepsilon=0$$, और साइन फ़ंक्शन के उच्च-आयामी एनालॉग्स के लिए सरल सामान्यीकरण का लाभ है (उदाहरण के लिए, का आंशिक व्युत्पन्न) $$\sqrt{x^2+y^2}$$).

देखना.

जटिल साइनम
साइनम फ़ंक्शन को जटिल संख्याओं के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है: $$\sgn z = \frac{z}{|z|} $$ किसी भी सम्मिश्र संख्या के लिए $$z$$ के अलावा $$z=0$$. किसी दी गई सम्मिश्र संख्या का चिह्न $$z$$ जटिल तल के इकाई वृत्त पर वह बिंदु (ज्यामिति) है जो निकटतम है $$z$$. फिर, के लिए $$z\ne 0$$, $$\sgn z = e^{i\arg z}\,,$$ कहाँ $$\arg$$ तर्क (जटिल विश्लेषण) है.

समरूपता के कारणों के लिए, और इसे वास्तविक पर साइनम फ़ंक्शन का उचित सामान्यीकरण रखने के लिए, जटिल डोमेन में भी जिसे आमतौर पर परिभाषित किया जाता है, के लिए $$z=0$$: $$\sgn(0+0i)=0$$ वास्तविक और जटिल अभिव्यक्तियों के लिए संकेत फ़ंक्शन का एक और सामान्यीकरण है $$\text{csgn}$$, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है: $$ \operatorname{csgn} z= \begin{cases} 1 & \text{if } \mathrm{Re}(z) > 0, \\ -1 & \text{if } \mathrm{Re}(z) < 0, \\ \sgn \mathrm{Im}(z) & \text{if } \mathrm{Re}(z) = 0 \end{cases} $$ कहाँ $$\text{Re}(z)$$ का असली हिस्सा है $$z$$ और $$\text{Im}(z)$$ का काल्पनिक भाग है $$z$$.

फिर हमारे पास (के लिए) है $$z\ne 0$$): $$\operatorname{csgn} z = \frac{z}{\sqrt{z^2}} = \frac{\sqrt{z^2}}{z}. $$

सामान्यीकृत साइनम फ़ंक्शन
के वास्तविक मूल्यों पर $$x$$, साइनम फ़ंक्शन के सामान्यीकृत फ़ंक्शन-संस्करण को परिभाषित करना संभव है, $$\varepsilon (x)$$ ऐसा है कि $$\varepsilon (x)^2=1$$ बिंदु सहित, हर जगह $$x=0$$, विपरीत $$\sgn$$, जिसके लिए $$(\sgn 0)^2=0$$. यह सामान्यीकृत संकेत सामान्यीकृत कार्यों के बीजगणित के निर्माण की अनुमति देता है, लेकिन ऐसे सामान्यीकरण की कीमत क्रमपरिवर्तनशीलता की हानि है। विशेष रूप से, सामान्यीकृत साइनम डिराक डेल्टा फ़ंक्शन के साथ एंटीकम्यूट करता है $$\varepsilon (x) \delta(x)+\delta(x) \varepsilon(x) = 0 \, ;$$ इसके साथ ही, $$\varepsilon (x)$$ पर मूल्यांकन नहीं किया जा सकता $$x=0$$; और विशेष नाम, $$\varepsilon$$ इसे फ़ंक्शन से अलग करना आवश्यक है $$\sgn$$. ($$\varepsilon (0)$$ परिभाषित नहीं है, लेकिन $$\sgn 0=0$$.)

आव्यूहों का सामान्यीकरण
ध्रुवीय अपघटन प्रमेय, एक मैट्रिक्स के लिए धन्यवाद $$\boldsymbol A\in\mathbb K^{n\times n}$$ ($$n\in\mathbb N$$ और $$\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}$$) को एक उत्पाद के रूप में विघटित किया जा सकता है $$\boldsymbol Q\boldsymbol P$$ कहाँ $$\boldsymbol Q$$ एक एकात्मक मैट्रिक्स है और $$\boldsymbol P$$ एक स्व-सहायक, या हर्मिटियन, सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स है, दोनों में $$\mathbb K^{n\times n}$$. अगर $$\boldsymbol A$$ उलटा है तो ऐसा अपघटन अद्वितीय है और  $$\boldsymbol Q$$ की भूमिका निभाता है $$\boldsymbol A$$का साइनम. अपघटन द्वारा एक दोहरा निर्माण दिया जाता है $$\boldsymbol A=\boldsymbol S\boldsymbol R$$ कहाँ $$\boldsymbol R$$ एकात्मक है, लेकिन आम तौर पर इससे भिन्न है $$\boldsymbol Q$$. इससे प्रत्येक व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स में एक अद्वितीय बाएँ-हस्ताक्षर होता है $$\boldsymbol Q$$ और दायाँ-हस्ताक्षर $$\boldsymbol R$$.

विशेष मामले में जहां $$\mathbb K=\mathbb R,\ n=2,$$ और (उलटा) मैट्रिक्स $$\boldsymbol A = \left[\begin{array}{rr}a&-b\\b&a\end{array}\right]$$, जो (गैरशून्य) सम्मिश्र संख्या से पहचान करता है $$a+\mathrm i b=c$$, तो साइनम मैट्रिक्स संतुष्ट होते हैं $$\boldsymbol Q=\boldsymbol P=\left[\begin{array}{rr}a&-b\\b&a\end{array}\right]/|c|$$ और के जटिल संकेत से पहचानें $$c$$, $$\sgn c = c/|c|$$. इस अर्थ में, ध्रुवीय अपघटन जटिल संख्याओं के साइनम-मापांक अपघटन को मैट्रिक्स में सामान्यीकृत करता है।

यह भी देखें

 * निरपेक्ष मूल्य
 * हेविसाइड फ़ंक्शन
 * ऋणात्मक संख्या
 * आयताकार कार्य
 * सिग्मॉइड फ़ंक्शन (कठोर सिग्मॉइड)
 * चरण फ़ंक्शन (टुकड़े-टुकड़े स्थिर फ़ंक्शन)
 * तीनतरफा तुलना
 * जीबरा क्रोससिंग
 * ध्रुवीय अपघटन

टिप्पणियाँ
[Category:Unary operatio