पूर्णांक मॉड्यूलो n का गुणक समूह

मॉड्यूलर अंकगणित में, गैर-नकारात्मक पूर्णांक के समुच्चय $$\{0,1,\dots,n-1\}$$ से n तक पूर्णांक सहप्रमुख (अपेक्षाकृत प्रधान) गुणा मॉड्यूल n के अनुसार एक समूह (गणित) बनाते हैं । जिसे गुणक कहा जाता है । पूर्णांक मॉड्यूलो n का समूह है। समतुल्य रूप से, इस समूह के तत्वों को सर्वांगसमता वर्गों के रूप में माना जा सकता है । जिन्हें अवशेष मॉडुलो n के रूप में भी जाना जाता है जो कि n के लिए कोप्राइम हैं। इसलिए एक अन्य नाम आदिम अवशेष वर्गों के समूह मॉड्यूलो n है। वलयो के सिद्धांत में अमूर्त बीजगणित की एक शाखा को पूर्णांक मॉड्यूलो n की रिंग की इकाइयों के समूह के रूप में वर्णित किया गया है। यहां इकाइयां गुणक व्युत्क्रम वाले तत्वों को संदर्भित करती हैं । जो इस वलय में वास्तव में n के समान सहअभाज्य हैं।

यह भागफल समूह सामान्यतः निरूपित किया जाता है । $$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$$, संख्या सिद्धांत में मौलिक है। इसका उपयोग क्रिप्टोग्राफी, पूर्णांक गुणनखंडन और प्रारंभिक परीक्षण में किया जाता है। यह एबेलियन समूह है । परिमित समूह समूह जिसका क्रम यूलर के टोटेंट फलन $$|(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times|=\varphi(n).$$ द्वारा दिया गया है । प्राइम n के लिए समूह चक्रीय समूह है और सामान्य रूप से संरचना का वर्णन करना सरल है । चूंकि प्राइम n के लिए भी समूह के जनरेटिंग समुच्चय को खोजने के लिए कोई सामान्य सूत्र ज्ञात नहीं है।

समूह स्वयंसिद्ध
यह दिखाने के लिए सीधा अभ्यास है कि, गुणन के अनुसार, सर्वांगसमता वर्ग मॉड्यूलो n का समुच्चय है जो एबेलियन समूह के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करने के लिए n के सहअभाज्य हैं।

वास्तव में a, n का सहअभाज्य है । यदि और केवल यदि gcd(a, n) = 1 समान सर्वांगसमता वर्ग a ≡ b (mod n) में पूर्णांक gcd(a, n) = gcd(b, n) को संतुष्ट करते हैं इसलिए एक सहअभाज्य है । n को यदि और केवल यदि दूसरा है। इस प्रकार सर्वांगसमता वर्ग मॉड्यूलो n की धारणा जो n के लिए सहअभाज्य है, अच्छी तरह से परिभाषित है।

तब से gcd(a, n) = 1 और gcd(b, n) = 1 तात्पर्य gcd(ab, n) = 1, कोप्राइम से n तक की कक्षाओं का समुच्चय गुणन के अनुसार बंद है।

पूर्णांक गुणन सर्वांगसमता वर्गों का सम्मान करता है, अर्थात, a ≡ a' और b ≡ b'  (mod n) तात्पर्य ab ≡ a'b'  (mod n). है । इसका तात्पर्य है कि गुणन साहचर्य, क्रमविनिमेय है, और यह कि 1 का वर्ग अद्वितीय गुणक पहचान है।

अंत में एक मापांक n का गुणात्मक व्युत्क्रम एक पूर्णांक x संतोषजनक ax ≡ 1 (mod n) है। यह तब उपस्थित होता है । जब a, n के साथ सहअभाज्य होता है । क्योंकि उस स्थिति में gcd(a, n) = 1 और बेज़ाउट लेम्मा द्वारा पूर्णांक x और y संतोषजनक ax + ny = 1 होते हैं। ध्यान दें कि समीकरण ax + ny = 1 का अर्थ है कि x n के लिए सहअभाज्य है इसलिए गुणनात्मक व्युत्क्रम समूह से संबंधित है।

टिप्पणी
जोड़ और गुणन के संचालन के साथ पूर्णांक मॉड्यूलो n का (सर्वांगसमता वर्ग) का समुच्चय रिंग (गणित) है। इसे $$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$या $$\mathbb{Z}/(n)$$ के रूप में निरूपित है । (संकेतन का तात्पर्य पूर्णांक मॉडुलो द आदर्श (रिंग सिद्धांत) के भागफल वलय $$n\mathbb{Z}$$ या $$(n)$$ n के गुणकों से मिलकर) बनता है। संख्या सिद्धांत के बाहर सरल अंकन $$\mathbb{Z}_n$$ का प्रयोग अधिकांशतः किया जाता है । चूंकि इसे $p$-adic पूर्णांक संख्या के साथ भ्रमित किया जा सकता है । जब n अभाज्य संख्या है।

पूर्णांक मॉड्यूलो n का गुणात्मक समूह, जो इस रिंग में इकाइयों का समूह है, को (लेखक के आधार पर) लिखा जा सकता है। $$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times,$$ $$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*,$$ $$\mathrm{U}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}),$$ $$\mathrm{E}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$$ (जर्मन इनहाइट के लिए, जो इकाई के रूप में अनुवादित है), $$\mathbb{Z}_n^*$$, या समान अंकन होता है। यह लेख $$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times.$$ का उपयोग करता है ।

अंकन $$\mathrm{C}_n$$ क्रम n के चक्रीय समूह को संदर्भित करता है। यह योग के अनुसार पूर्णांक मॉड्यूलो n के समूह के लिए समूह समरूपता है। ध्यान दें कि $$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$ या $$\mathbb{Z}_n$$ अतिरिक्त के अनुसार समूह को भी संदर्भित कर सकते हैं।उदाहरण के लिए, गुणक समूह $$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$$ अभाज्य p के लिए चक्रीय है और इसलिए योज्य समूह के लिए आइसोमोर्फिक है । $$\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}$$, किंतु समरूपता स्पष्ट नहीं है।

संरचना
पूर्णांक मॉड्यूलो n के गुणक समूह का क्रम $$\{0,1,\dots,n-1\}$$ कोप्राइम से n पूर्णांकों की संख्या है । यह यूलर के कुल कार्य $$| (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times|=\varphi(n)$$. द्वारा दिया गया है । प्राइम पी $$\varphi(p)=p-1$$ के लिए,

चक्रीय प्रकरण
समूह $$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$$ चक्रीय समूह है । यदि और केवल यदि n 1, 2, 4, pk या 2pk है, जहाँ p विषम अभाज्य संख्या है और k > 0. n के अन्य सभी मानों के लिए समूह चक्रीय नहीं है। यह सर्वप्रथम कार्ल फ्रेडरिक गॉस द्वारा सिद्ध किया गया था।

इसका कारण है कि इन n के लिए:
 * $$ (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times \cong \mathrm{C}_{\varphi(n)},$$ जहाँ $$\varphi(p^k)=\varphi(2 p^k)=p^k - p^{k-1}.$$

परिभाषा के अनुसार, समूह चक्रीय है । यदि और केवल यदि उसके पास समूह जी का जनरेटिंग समुच्चय है । (आकार एक के समूह {जी} का एक जनरेटिंग समुच्चय), अर्थात घातें $$g^0,g^1,g^2,\dots,$$ n को सभी संभावित अवशेष मॉड्यूलो n कोप्राइम दें । (पहला $$\varphi(n)$$ पॉवर्स $$g^0,\dots,g^{\varphi(n)-1}$$ प्रत्येक को एक बार दें)। $$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$$ प्रिमिटिव रूट मोडुलो n|प्रिमिटिव रूट मॉड्यूलो n कहलाता है। यदि कोई जनरेटर है तो उनमें से $$\varphi(\varphi(n))$$ है।

2 की घात
मोडुलो 1 कोई भी दो पूर्णांक सर्वांगसम हैं, अर्थात, केवल सर्वांगसमता वर्ग है, [0], कोप्राइम टू 1. इसलिए, $$(\mathbb{Z}/1\,\mathbb{Z})^\times \cong \mathrm{C}_1$$ के साथ ट्राईवल समूह है । φ(1) = 1 तत्व इसकी ट्राईवल प्रकृति के कारण, सर्वांगसमता मॉडुलो 1 के स्थिति को सामान्यतः अनदेखा कर दिया जाता है और कुछ लेखक प्रमेय बयानों में n = 1 के स्थिति को सम्मिलित नहीं करना चुनते हैं।

मॉडुलो 2 केवल सहप्रमुख सर्वांगसमता वर्ग है, [1], इसलिए $$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^\times \cong \mathrm{C}_1$$ ट्राईवल समूह है।

मॉडुलो 4 में दो परस्पर सर्वांगसमता वर्ग हैं, [1] और [3], इसलिए $$(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times \cong \mathrm{C}_2,$$ दो तत्वों के साथ चक्रीय समूह है।

मॉडुलो 8 में चार सहप्रमुख सर्वांगसमता वर्ग हैं, [1], [3], [5] और [7]। इनमें से प्रत्येक का वर्ग 1 है, इसलिए $$(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^\times \cong \mathrm{C}_2 \times \mathrm{C}_2,$$ क्लेन चार-समूह है।

मोडुलो 16 में आठ सहप्रमुख सर्वांगसमता वर्ग हैं [1], [3], [5], [7], [9], [11], [13] और [15]। $$\{\pm 1, \pm 7\}\cong \mathrm{C}_2 \times \mathrm{C}_2,$$ 2-टोशन उपसमूह है । (अर्थात, प्रत्येक तत्व का वर्ग 1 है), इसलिए $$(\mathbb{Z}/16\mathbb{Z})^\times$$ चक्रीय नहीं है। 3 की घातें, $$\{1, 3, 9, 11\}$$ क्रम 4 का उपसमूह है, जैसा कि 5 की $$\{1, 5, 9, 13\}.$$ घात हैं, इस प्रकार $$(\mathbb{Z}/16\mathbb{Z})^\times \cong \mathrm{C}_2 \times \mathrm{C}_4.$$ 8 और 16 द्वारा दिखाया गया पैटर्न उच्च घातो के लिए 2k k > 2 धारण करता है । $$\{\pm 1, 2^{k-1} \pm 1\}\cong \mathrm{C}_2 \times \mathrm{C}_2,$$ 2-टोशन उपसमूह है (इसलिए $$(\mathbb{Z}/2^k\mathbb{Z})^\times $$ चक्रीय नहीं है) और 3 की घात क्रम के चक्रीय उपसमूह हैं । 2k &minus; 2, इसलिए $$(\mathbb{Z}/2^k\mathbb{Z})^\times \cong \mathrm{C}_2 \times \mathrm{C}_{2^{k-2}}.$$ है ।

सामान्य मिश्रित संख्याएँ
परिमित एबेलियन समूहों के मौलिक प्रमेय द्वारा, समूह $$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$$ प्राइम पावर ऑर्डर के चक्रीय समूहों के समूहों के प्रत्यक्ष उत्पाद के लिए आइसोमोर्फिक है।

अधिक विशेष रूप से, चीनी शेष प्रमेय कहते हैं । कि यदि $$\;\;n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}p_3^{k_3}\dots, \;$$ फिर रिंग $$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$ इसके प्रत्येक प्रमुख घात कारकों के अनुरूप वलयो के वलयो का उत्पाद है ।


 * $$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/{p_1^{k_1}}\mathbb{Z}\; \times \;\mathbb{Z}/{p_2^{k_2}}\mathbb{Z} \;\times\; \mathbb{Z}/{p_3^{k_3}}\mathbb{Z}\dots\;\;$$

इसी प्रकार, इकाइयों का समूह $$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$$ प्रत्येक प्रमुख घात कारकों के अनुरूप समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद है:


 * $$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\cong (\mathbb{Z}/{p_1^{k_1}}\mathbb{Z})^\times \times (\mathbb{Z}/{p_2^{k_2}}\mathbb{Z})^\times \times (\mathbb{Z}/{p_3^{k_3}}\mathbb{Z})^\times \dots\;.$$

प्रत्येक विषम प्रधान घात के लिए $$p^{k}$$ संबंधित कारक $$(\mathbb{Z}/{p^{k}}\mathbb{Z})^\times$$ क्रम का $$\varphi(p^k)=p^k - p^{k-1}$$ चक्रीय समूह है । जो प्राइम-पावर ऑर्डर के चक्रीय समूहों में आगे बढ़ सकता है।

2 कारक की घातो के लिए $$(\mathbb{Z}/{2^{k}}\mathbb{Z})^\times$$ k = 0, 1, 2 तक चक्रीय नहीं है । किंतु ऊपर वर्णित अनुसार चक्रीय समूहों में कारक हैं।

समूह का क्रम $$\varphi(n)$$ प्रत्यक्ष उत्पाद में चक्रीय समूहों के आदेशों का उत्पाद है।

समूह के समूह का प्रतिपादक, जो कि चक्रीय समूहों में आदेशों का सबसे कम सामान्य गुणक है । कारमाइकल फलन $$\lambda(n)$$. द्वारा दिया जाता है ।

दूसरे शब्दों में, $$\lambda(n)$$ सबसे छोटी संख्या है । जैसे प्रत्येक के लिए n के लिए एक कोप्राइम, $$a^{\lambda(n)} \equiv 1 \pmod n$$ रखती है।

यह बांटता है $$\varphi(n)$$ और इसके समान है यदि और केवल यदि समूह चक्रीय है।

गलत प्रमाण का उपसमूह
यदि n संमिश्र है, तो गुणात्मक समूह का उपसमूह उपस्थित होता है । जिसे गलत प्रमाण का समूह कहा जाता है, जिसमें तत्व, जब सत्ता में आ जाते हैं तो n − 1, 1 मॉड्यूलो n के सर्वांगसम हैं। (चूंकि अवशेष 1 जब किसी भी घात के लिए उठाया जाता है तो 1 मॉड्यूलो n के अनुरूप होता है । ऐसे तत्वों का समुच्चय खाली नहीं होता है।) फर्मेट के लिटिल प्रमेय के कारण कोई कह सकता है कि इस तरह के अवशेष गलत सकारात्मक हैं या n की प्रारंभिकता के लिए गलत प्रमाण हैं। नंबर 2 इस मूल प्रारंभिक जाँच में सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला अवशेष है । इसलिए 341 = 11 × 31 से प्रसिद्ध है । क्योकि 2340 1 मॉड्यूल 341 के अनुरूप है, और 341 सबसे छोटी ऐसी समग्र संख्या है (2 के संबंध में)। 341 के लिए, गलत प्रमाण के उपसमूह में 100 अवशेष होते हैं और ऐसा ही 300 तत्व गुणात्मक समूह मॉड 341 के अंदर संकेत 3 का होता है।

n = 9
गलत प्रमाण के गैर-ट्राईवल उपसमूह के साथ सबसे छोटा उदाहरण 9 = 3 × 3. 9: 1, 2, 4, 5, 7, 8 के लिए 6 अवशेष सहअभाज्य हैं। चूँकि 8 −1 मॉड्यूलो 9 सर्वांगसम है ।यह इस प्रकार है 88 1 मॉड्यूल 9 के अनुरूप है। इसलिए 1 और 8 9 की प्राथमिकता के लिए गलत सकारात्मक हैं (चूंकि 9 वास्तव में अभाज्य नहीं है)। वास्तव में ये केवल एक ही हैं, इसलिए उपसमूह {1,8} गलत प्रमाण का उपसमूह है। वही तर्क यह दर्शाता है n − 1 किसी भी विषम सम्मिश्र n के लिए गलत प्रमाण है।

n = 91
n = 91 (= 7 × 13) के लिए, $$\varphi(91)=72$$ अवशेष 91 के अनुरूप हैं, उनमें से आधे (अर्थात, उनमें से 36) 91 के गलत प्रमाण हैं, अर्थात् 1, 3, 4, 9, 10, 12, 16, 17, 22, 23, 25, 27, 29, 30, 36, 38, 40, 43, 48, 51, 53, 55, 61, 62, 64, 66, 68, 69, 74, 75, 79, 81, 82, 87, 88, और 90, क्योंकि इन मूल्यों के लिए x, x90 1 मॉड 91 के अनुरूप है।

n = 561
n = 561 (= 3 × 11 × 17) कार्मिकेल संख्या है,। इस प्रकार s560 561 के किसी भी पूर्णांक सह अभाज्य के लिए 1 मॉड्यूल 561 के अनुरूप है। गलत प्रमाण का उपसमूह इस स्थिति में उचित नहीं है । यह गुणनात्मक इकाइयों मॉड्यूलो 561 का संपूर्ण समूह है । जिसमें 320 अवशेष सम्मिलित हैं।

उदाहरण
यह तालिका $$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$$ चक्रीय अपघटन और n ≤ 128 के लिए समूह का जनरेटिंग समुच्चय को दर्शाती है। अपघटन और जनरेटिंग समुच्चय अद्वितीय नहीं हैं; उदाहरण के लिए,

$$ \displaystyle \begin{align}(\mathbb{Z}/35\mathbb{Z})^\times & \cong (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^\times \times (\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})^\times \cong \mathrm{C}_4 \times \mathrm{C}_6 \cong \mathrm{C}_4 \times \mathrm{C}_2 \times \mathrm{C}_3 \cong \mathrm{C}_2 \times \mathrm{C}_{12} \cong (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times \times (\mathbb{Z}/13\mathbb{Z})^\times  \\ & \cong (\mathbb{Z}/52\mathbb{Z})^\times \end{align} $$ (किंतु $$\not\cong \mathrm{C}_{24} \cong \mathrm{C}_8 \times \mathrm{C}_3$$). नीचे दी गई तालिका सबसे छोटी अपघटन सूचीबद्ध करती है (उनमें से, लेक्सिकोग्राफ़िक रूप से पहले चुना जाता है - यह गारंटी देता है कि आइसोमोर्फिक समूह समान अपघटन के साथ सूचीबद्ध हैं)। जनरेटिंग समुच्चय को जितना संभव हो उतना छोटा चुना जाता है, और n के लिए आदिम रूट के साथ, सबसे छोटा आदिम रूट मॉड्यूलो n सूचीबद्ध होता है।

उदाहरण के लिए, माना $$(\mathbb{Z}/20\mathbb{Z})^\times$$. तब $$\varphi(20)=8$$ इसका अर्थ है कि समूह का क्रम 8 है (अर्थात, 20 से कम 8 संख्याएँ हैं और इसका सहअभाज्य है); $$\lambda(20)=4$$ इसका कारण है कि प्रत्येक तत्व का क्रम 4 को विभाजित करता है, अर्थात, 20 से किसी भी संख्या की चौथी घात 1 (मॉड 20) के अनुरूप है। समुच्चय {3,19} समूह उत्पन्न करता है । जिसका अर्थ है कि प्रत्येक तत्व $$(\mathbb{Z}/20\mathbb{Z})^\times$$ स्वरूप का है । 3a × 19b (जहाँ a 0, 1, 2, या 3 है, क्योंकि तत्व 3 का क्रम 4 है, और इसी तरह b 0 या 1 है, क्योंकि तत्व 19 का क्रम 2 है)।

सबसे छोटा प्रिमिटिव रूट मॉड n हैं (0 यदि कोई रूट उपस्थित नहीं है)
 * 0, 1, 2, 3, 2, 5, 3, 0, 2, 3, 2, 0, 2, 3, 0, 0, 3, 5, 2, 0, 0, 7, 5, 0, 2, 7, 2, 0, 2, 0, 3, 0, 0, 3, 0, 0, 2, 3, 0, 0, 6, 0, 3, 0, 0, 5, 5, 0, 3, 3 , 0, 0, 2, 5, 0, 0, 0, 3, 2, 0, 2, 3, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 7, 0, 5, 5, 0 , 0, 0, 0, 3, 0, 2, 7, 2, 0, 0, 3, 0, 0, 3, 0, ...

मॉड n के न्यूनतम जनरेटिंग समुच्चय में तत्वों की संख्या है
 * 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 1 , 2, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 2 , 2, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 2, 3, 1, 2, ...



यह भी देखें

 * लेनस्ट्रा अण्डाकार वक्र गुणनखंड

संदर्भ
The Disquisitiones Arithmeticae has been translated from Gauss's Ciceronian Latin into English and German. The German edition includes all of his papers on number theory: all the proofs of quadratic reciprocity, the determination of the sign of the Gauss sum, the investigations into biquadratic reciprocity, and unpublished notes.



बाहरी संबंध

 * Web-based tool to interactively compute group tables by John Jones
 * Web-based tool to interactively compute group tables by John Jones
 * Web-based tool to interactively compute group tables by John Jones