फाइबोनैचि बहुपद

गणित में, फाइबोनैचि बहुपद एक बहुपद अनुक्रम है जिसे फाइबोनैचि संख्याओं के सामान्यीकरण के रूप में माना जा सकता है। लुकास संख्या से समान तरीके से उत्पन्न बहुपदों को लुकास बहुपद कहा जाता है।

परिभाषा
ये फाइबोनैचि बहुपद एक पुनरावृत्ति संबंध द्वारा परिभाषित किए गए हैं:
 * $$F_n(x)= \begin{cases}

0, & \mbox{if } n = 0\\ 1, & \mbox{if } n = 1\\ x F_{n - 1}(x) + F_{n - 2}(x),& \mbox{if } n \geq 2 \end{cases}$$ लुकास बहुपद अलग-अलग शुरुआती मूल्यों के साथ समान पुनरावृत्ति का उपयोग करते हैं:
 * $$L_n(x) = \begin{cases}

2, & \mbox{if } n = 0 \\ x, & \mbox{if } n = 1 \\ x L_{n - 1}(x) + L_{n - 2}(x), & \mbox{if } n \geq 2. \end{cases}$$ उन्हें नकारात्मक सूचकांकों के लिए परिभाषित किया जा सकता है
 * $$F_{-n}(x)=(-1)^{n-1}F_{n}(x),$$
 * $$L_{-n}(x)=(-1)^nL_{n}(x).$$

फाइबोनैचि बहुपद के साथ ओर्थोगोनल बहुपद पुनरावृत्ति संबंध का एक अनुक्रम बनाते हैं $$A_n=C_n=1$$ और $$B_n=0$$.

उदाहरण
पहले कुछ फाइबोनैचि बहुपद हैं:
 * $$F_0(x)=0 \,$$
 * $$F_1(x)=1 \,$$
 * $$F_2(x)=x \,$$
 * $$F_3(x)=x^2+1 \,$$
 * $$F_4(x)=x^3+2x \,$$
 * $$F_5(x)=x^4+3x^2+1 \,$$
 * $$F_6(x)=x^5+4x^3+3x \,$$

पहले कुछ लुकास बहुपद हैं:
 * $$L_0(x)=2 \,$$
 * $$L_1(x)=x \,$$
 * $$L_2(x)=x^2+2 \,$$
 * $$L_3(x)=x^3+3x \,$$
 * $$L_4(x)=x^4+4x^2+2 \,$$
 * $$L_5(x)=x^5+5x^3+5x \,$$
 * $$L_6(x)=x^6+6x^4+9x^2 + 2. \,$$

गुण

 * Fn की डिग्री n − 1 है और Ln की डिग्री n है


 * x = 1 पर बहुपदों का मूल्यांकन करके फाइबोनैचि और लुकास संख्याएं पुनर्प्राप्त की जाती हैं; पेल संख्याएँ Fn का मूल्यांकन करके प्राप्त की जाती हैं Fn पर x = 2 हैं।


 * अनुक्रमों के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शन, साधारण जनरेटिंग फ़ंक्शन हैं:
 * $$ \sum_{n=0}^\infty F_n(x) t^n = \frac{t}{1-xt-t^2}$$
 * $$ \sum_{n=0}^\infty L_n(x) t^n = \frac{2-xt}{1-xt-t^2}.$$
 * बहुपदों को लुकास अनुक्रमों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
 * $$F_n(x) = U_n(x,-1),\,$$
 * $$L_n(x) = V_n(x,-1).\,$$
 * उन्हें चेबिशेव बहुपदों के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है $$\mathcal{T}_n(x)$$ और $$\mathcal{U}_n(x)$$ जैसा
 * $$F_n(x) = i^{n-1}\cdot\mathcal{U}_{n-1}(\tfrac{-ix}2),\,$$
 * $$L_n(x) = 2\cdot i^n\cdot\mathcal{T}_n(\tfrac{-ix}2),\,$$
 * जहाँ $$i$$ काल्पनिक इकाई है।

पहचान
लुकास अनुक्रमों के विशेष मामलों के रूप में, फाइबोनैचि बहुपद कई सर्वसमिकाओं को संतुष्ट करते हैं, जैसे :$$F_{m+n}(x)=F_{m+1}(x)F_n(x)+F_m(x)F_{n-1}(x)\,$$
 * $$L_{m+n}(x)=L_m(x)L_n(x)-(-1)^nL_{m-n}(x)\,$$
 * $$F_{n+1}(x)F_{n-1}(x)- F_n(x)^2=(-1)^n\,$$
 * $$F_{2n}(x)=F_n(x)L_n(x).\,$$

बिनेट के फार्मूले के समान क्लोज्ड फॉर्म एक्सप्रेशन हैं: :$$F_n(x)=\frac{\alpha(x)^n-\beta(x)^n}{\alpha(x)-\beta(x)},\,L_n(x)=\alpha(x)^n+\beta(x)^n,$$

जहाँ
 * $$\alpha(x)=\frac{x+\sqrt{x^2+4}}{2},\,\beta(x)=\frac{x-\sqrt{x^2+4}}{2}$$

के समाधान (t में) हैं
 * $$t^2-xt-1=0.\,$$

लुकास बहुपद n > 0 के लिए, हमारे पास है
 * $$L_n(x)=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \frac{n}{n-k} \binom{n-k}{k} x^{n-2k}.$$

फाइबोनैचि बहुपदों और मानक आधार बहुपदों के बीच संबंध निम्न द्वारा दिया जाता है
 * $$x^n=F_{n+1}(x)+\sum_{k=1}^{\lfloor n/2\rfloor}(-1)^k\left[\binom nk-\binom n{k-1}\right]F_{n+1-2k}(x).$$

उदाहरण के लिए,
 * $$x^4 = F_5(x)-3F_3(x)+2F_1(x)\,$$
 * $$x^5 = F_6(x)-4F_4(x)+5F_2(x)\,$$
 * $$x^6 = F_7(x)-5F_5(x)+9F_3(x)-5F_1(x)\,$$
 * $$x^7 = F_8(x)-6F_6(x)+14F_4(x)-14F_2(x)\,$$

मिश्रित व्याख्या
यदि F(n,k) xk का गुणांक है Fn(x) में अर्थात्
 * $$F_n(x)=\sum_{k=0}^n F(n,k)x^k,\,$$

फिर F(n,k) तरीकों की संख्या है n−1 बटा 1 आयत को 2 बटा 1 डॉमिनोज़ और 1 बटा 1 वर्ग के साथ टाइल किया जा सकता है ताकि बिल्कुल k वर्गों का उपयोग किया जाए। समान रूप से, F(n,k) केवल 1 और 2 को सम्मिलित करने वाली संरचना (संख्या सिद्धांत) के रूप में n−1 लिखने के तरीकों की संख्या है, ताकि 1 का उपयोग ठीक k बार किया जा सके। उदाहरण के लिए F(6,3)=4 और 5 को 4 तरह से लिखा जा सकता है, 1+1+1+2, 1+1+2+1, 1+2+1+1, 2+1+1+1, केवल 1 और 2 वाली राशि के रूप में 1 के साथ 3 बार उपयोग किया जाता है। इस तरह की राशि में 1 और 2 दोनों का उपयोग कितनी बार किया जाता है, इसकी संख्या की गणना करने से यह स्पष्ट होता है $$F(n, k)=\begin{cases}\displaystyle\binom{\frac12(n+k-1)}{k} &\text{if }n \not\equiv k \pmod 2,\\[12pt] 0 &\text{else}. \end{cases}$$ यह पास्कल के त्रिकोण से गुणांकों को पढ़ने का एक तरीका देता है जैसा कि दाईं ओर दिखाया गया है।

संदर्भ

 * Jin, Z. On the Lucas polynomials and some of their new identities. Advances in Differential Equations 2018, 126 (2018). https://doi.org/10.1186/s13662-018-1527-9
 * Jin, Z. On the Lucas polynomials and some of their new identities. Advances in Differential Equations 2018, 126 (2018). https://doi.org/10.1186/s13662-018-1527-9
 * Jin, Z. On the Lucas polynomials and some of their new identities. Advances in Differential Equations 2018, 126 (2018). https://doi.org/10.1186/s13662-018-1527-9
 * Jin, Z. On the Lucas polynomials and some of their new identities. Advances in Differential Equations 2018, 126 (2018). https://doi.org/10.1186/s13662-018-1527-9