क्वांटम सापेक्ष एन्ट्रापी

क्वांटम सूचना सिद्धांत में, क्वांटम सापेक्ष एन्ट्रापी दो घनत्व मैट्रिक्स के बीच विभेदन का एक उपाय है। यह सापेक्ष एन्ट्रॉपी का क्वांटम मैकेनिकल एनालॉग है।

प्रेरणा
सरलता के लिए, यह मान लिया जाएगा कि लेख में सभी वस्तुएँ परिमित-विमीय हैं।

हम पहले शास्त्रीय मामले पर चर्चा करते हैं। मान लीजिए कि घटनाओं के परिमित क्रम की प्रायिकताएँ प्रायिकता बंटन P = {p1...पीn}, लेकिन किसी तरह हमने गलती से इसे Q = {q मान लिया1...क्यूn}. उदाहरण के लिए, हम एक अनुचित सिक्के को सही सिक्के की गलती कर सकते हैं। इस गलत धारणा के अनुसार, जे-वें घटना के बारे में हमारी अनिश्चितता, या समतुल्य, जे-वें घटना को देखने के बाद प्रदान की गई जानकारी की मात्रा है


 * $$\; - \log q_j.$$

सभी संभावित घटनाओं की (अनुमानित) औसत अनिश्चितता तब है


 * $$\; - \sum_j p_j \log q_j.$$

दूसरी ओर, प्रायिकता बंटन p की शैनन एंट्रॉपी, द्वारा परिभाषित


 * $$\; - \sum_j p_j \log p_j,$$

अवलोकन से पहले अनिश्चितता की वास्तविक मात्रा है। इसलिए इन दोनों मात्राओं के बीच का अंतर


 * $$\; - \sum_j p_j \log q_j - \left(- \sum_j p_j \log p_j\right) = \sum_j p_j \log p_j - \sum_j p_j \log q_j$$

दो प्रायिकता वितरण p और q की भिन्नता का एक उपाय है। यह शास्त्रीय सापेक्ष एंट्रॉपी, या कुल्बैक-लीब्लर विचलन है:


 * $$D_{\mathrm{KL}}(P\|Q) = \sum_j p_j \log \frac{p_j}{q_j} \!.$$

टिप्पणी
 * 1) ऊपर दी गई परिभाषाओं में, 0·log 0 = 0 माना जाता है, चूंकि $$\lim_{x \searrow 0} x \log(x) = 0$$. सहज रूप से, किसी को उम्मीद होगी कि शून्य प्रायिकता की घटना एन्ट्रापी की दिशा में कुछ भी योगदान नहीं देगी।
 * 2) सापेक्ष एन्ट्रापी एक मीट्रिक स्थान नहीं है। उदाहरण के लिए, यह सममित नहीं है। एक निष्पक्ष सिक्के को अनुचित मानने की अनिश्चितता की विसंगति विपरीत स्थिति के समान नहीं है।

परिभाषा
क्वांटम सूचना सिद्धांत में कई अन्य वस्तुओं के साथ, क्वांटम सापेक्ष एन्ट्रॉपी को संभाव्यता वितरण से घनत्व मैट्रिक्स तक शास्त्रीय परिभाषा का विस्तार करके परिभाषित किया गया है। चलो ρ एक घनत्व मैट्रिक्स हो। ρ का वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी, जो शैनन एंट्रॉपी का क्वांटम मैकेनिकल एनालॉग है, द्वारा दिया गया है


 * $$S(\rho) = - \operatorname{Tr} \rho \log \rho.$$

दो घनत्व आव्यूह ρ और σ के लिए, σ के संबंध में ρ की क्वांटम सापेक्ष एन्ट्रापी' द्वारा परिभाषित किया गया है



S(\rho \| \sigma) = - \operatorname{Tr} \rho \log \sigma - S(\rho) = \operatorname{Tr} \rho \log \rho - \operatorname{Tr} \rho \log \sigma = \operatorname{Tr}\rho (\log \rho - \log \sigma). $$ हम देखते हैं कि, जब राज्य शास्त्रीय रूप से संबंधित होते हैं, यानी ρσ = σρ, परिभाषा शास्त्रीय मामले के साथ मेल खाती है, इस अर्थ में कि यदि $$\rho = S D_1 S^{\mathsf{T}}$$ और $$\sigma = S D_2 S^{\mathsf{T}}$$ साथ $$D_1 = \text{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$$ और $$D_2 = \text{diag}(\mu_1, \ldots, \mu_n)$$ (क्योंकि $$\rho$$ और $$\sigma$$ आने वाले मैट्रिसेस, वे विकर्ण मैट्रिक्स हैं), फिर $$S(\rho \| \sigma) = \sum_{j = 1}^{n} \lambda_j \ln\left(\frac{\lambda_j}{\mu_j}\right)$$ प्रायिकता सदिश का केवल साधारण कुल्बैक-लीब्लर विचलन है $$(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$$ संभाव्यता वेक्टर के संबंध में $$(\mu_1, \ldots, \mu_n)$$.

गैर-परिमित (भिन्न) सापेक्ष एन्ट्रॉपी
सामान्य तौर पर, मैट्रिक्स एम का समर्थन इसके कर्नेल (मैट्रिक्स) का ऑर्थोगोनल पूरक है, यानी। $$\text{supp}(M) = \text{ker}(M)^\perp $$. क्वांटम सापेक्ष एंट्रॉपी पर विचार करते समय, हम मानते हैं कि −s · log 0 = ∞ किसी भी s > 0 के लिए। इससे यह परिभाषा मिलती है कि


 * $$S(\rho \| \sigma) = \infty$$

कब


 * $$\text{supp}(\rho) \cap \text{ker}(\sigma) \neq \{ 0 \}.$$

इसे निम्न प्रकार से समझा जा सकता है। अनौपचारिक रूप से, क्वांटम सापेक्ष एन्ट्रापी दो क्वांटम अवस्थाओं में अंतर करने की हमारी क्षमता का एक माप है जहां बड़े मान राज्यों को इंगित करते हैं जो अधिक भिन्न हैं। ऑर्थोगोनल होना सबसे अलग क्वांटम राज्यों का प्रतिनिधित्व करता है। यह ऑर्थोगोनल क्वांटम राज्यों के लिए गैर-परिमित क्वांटम सापेक्ष एन्ट्रापी द्वारा परिलक्षित होता है। मोटिवेशन सेक्शन में दिए गए तर्क का पालन करते हुए अगर हम गलती से स्टेट मान लेते हैं $$\rho$$ में समर्थन है $$\text{ker}(\sigma)$$, यह एक ऐसी त्रुटि है जिससे उबरना असंभव है।

हालांकि, किसी को सावधान रहना चाहिए कि यह निष्कर्ष न निकालें कि क्वांटम सापेक्ष एन्ट्रापी का विचलन $$S(\rho\|\sigma)$$ तात्पर्य यह है कि राज्य $$\rho$$ और $$\sigma$$ ऑर्थोगोनल हैं या अन्य उपायों से भी बहुत अलग हैं। विशेष रूप से, $$S(\rho\|\sigma)$$ कब अलग हो सकता है $$\rho$$ और $$\sigma$$ कुछ मानदंड द्वारा मापी गई एक लुप्त हो रही छोटी राशि से भिन्न होती है। उदाहरण के लिए, चलो $$\sigma$$ विकर्ण प्रतिनिधित्व है

$$\sigma=\sum_{n}\lambda_n|f_n\rangle\langle f_n|$$ साथ $$\lambda_n>0$$ के लिए $$n=0,1,2,\ldots$$ और $$\lambda_n=0$$ के लिए $$n=-1,-2,\ldots$$ कहाँ $$\{|f_n\rangle, n\in \Z\}$$ एक असामान्य सेट है। की गिरी $$\sigma$$ सेट द्वारा फैला हुआ स्थान है $$\{|f_{n}\rangle, n=-1,-2,\ldots\}$$. अगला चलो

$$   \rho=\sigma+\epsilon|f_{-1}\rangle\langle f_{-1}| - \epsilon|f_1\rangle\langle f_1|$$ एक छोटी सकारात्मक संख्या के लिए $$\epsilon$$. जैसा $$\rho$$ समर्थन है (अर्थात् राज्य $$|f_{-1}\rangle$$) के कर्नेल में $$\sigma$$, $$S(\rho\|\sigma)$$ अंतर के ट्रेस मानदंड के बावजूद भिन्न है $$(\rho-\sigma)$$ है $$2\epsilon$$. इसका मतलब है कि बीच का अंतर $$\rho$$ और $$\sigma$$ जैसा कि ट्रेस मानदंड द्वारा मापा जाता है, गायब होने के रूप में छोटा है $$\epsilon\to 0$$ चाहे $$S(\rho\|\sigma)$$ अपसारी है (अर्थात अनंत)। क्वांटम सापेक्ष एंट्रॉपी की यह संपत्ति देखभाल के साथ इलाज न किए जाने पर गंभीर कमी का प्रतिनिधित्व करती है।

शास्त्रीय कथन के अनुरूप
शास्त्रीय कुल्बैक-लीब्लर विचलन के लिए, यह दिखाया जा सकता है


 * $$D_{\mathrm{KL}}(P\|Q) = \sum_j p_j \log \frac{p_j}{q_j} \geq 0,$$

और समानता तब और केवल तभी लागू होती है जब P = Q. बोलचाल की भाषा में, इसका मतलब यह है कि गलत धारणाओं का उपयोग करके गणना की गई अनिश्चितता हमेशा अनिश्चितता की वास्तविक मात्रा से अधिक होती है।

असमानता दिखाने के लिए, हम फिर से लिखते हैं


 * $$D_{\mathrm{KL}}(P\|Q) = \sum_j p_j \log \frac{p_j}{q_j} = \sum_j (- \log \frac{q_j}{p_j})(p_j).$$

ध्यान दें कि log एक अवतल फलन है। अतः -log उत्तल फलन है। जेन्सेन की असमानता को लागू करते हुए, हम प्राप्त करते हैं



D_{\mathrm{KL}}(P\|Q) = \sum_j (- \log \frac{q_j}{p_j})(p_j) \geq - \log ( \sum_j \frac{q_j}{p_j} p_j ) = 0. $$ जेन्सेन की असमानता यह भी बताती है कि समानता केवल और केवल अगर, सभी i, q के लिए हैi= (क्यूj) पीi, यानी पी = क्यू।

परिणाम
ट्रेस असमानताएँ#Klein2016 10|क्लेन की असमानता बताती है कि क्वांटम सापेक्ष एन्ट्रापी



S(\rho \| \sigma) = \operatorname{Tr}\rho (\log \rho - \log \sigma). $$ सामान्य रूप से गैर-नकारात्मक है। यह शून्य है अगर और केवल अगर ρ = σ।

'सबूत'

चलो ρ और σ में वर्णक्रमीय अपघटन हैं


 * $$\rho = \sum_i p_i v_i v_i ^* \;, \; \sigma = \sum_i q_i w_i w_i ^*.$$

इसलिए


 * $$\log \rho = \sum_i (\log p_i) v_i v_i ^* \;, \; \log \sigma = \sum_i (\log q_i)w_i w_i ^*.$$

प्रत्यक्ष गणना देता है


 * $$S(\rho \| \sigma)= \sum_k p_k \log p_k - \sum_{i,j} (p_i \log q_j) | v_i ^* w_j |^2$$
 * $$\qquad \quad \; = \sum_i p_i ( \log p_i - \sum_j \log q_j | v_i ^* w_j |^2)$$
 * $$\qquad \quad \; = \sum_i p_i (\log p_i - \sum_j (\log q_j )P_{ij}),$$

जहां पीi j= |मेंi*मेंj| 2।

चूंकि मैट्रिक्स (पीi j)i jएक दोगुना स्टोकेस्टिक मैट्रिक्स है और -लॉग एक उत्तल कार्य है, उपरोक्त अभिव्यक्ति है


 * $$\geq \sum_i p_i (\log p_i - \log (\sum_j q_j P_{ij})).$$

आर परिभाषित करेंi = एसjqj Pi j. तब {आरi} एक प्रायिकता बंटन है। शास्त्रीय सापेक्ष एन्ट्रॉपी की गैर-नकारात्मकता से, हमारे पास है


 * $$S(\rho \| \sigma) \geq \sum_i p_i \log \frac{p_i}{r_i} \geq 0.$$

दावे का दूसरा भाग इस तथ्य से अनुसरण करता है कि, चूंकि -लॉग कड़ाई से उत्तल है, समानता प्राप्त की जाती है



\sum_i p_i (\log p_i - \sum_j (\log q_j )P_{ij}) \geq \sum_i p_i (\log p_i - \log (\sum_j q_j P_{ij})) $$ अगर और केवल अगर (पीi j) एक क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स है, जिसका अर्थ है ρ = σ, ईजेनवेक्टरों के उपयुक्त लेबलिंग के बाद {vi} और डब्ल्यूi}.

ट्रेस असमानताएं#संयुक्त उत्तलता 2016 10
सापेक्ष एन्ट्रॉपी ट्रेस असमानताएं # संयुक्त उत्तलता समारोह 2016 10 है। के लिए $$0\leq \lambda\leq 1$$ और राज्यों $$\rho_{1(2)}, \sigma_{1(2)}$$ अपने पास

$$D(\lambda\rho_1+(1-\lambda)\rho_2\|\lambda\sigma_1+(1-\lambda)\sigma_2)\leq \lambda D(\rho_1\|\sigma_1)+(1-\lambda)D(\rho_2\|\sigma_2)$$

क्वांटम एन्ट्रापी की मजबूत उप-विषमता # मोनो2016 10
पूरी तरह से सकारात्मक नक्शा ट्रेस (रैखिक बीजगणित) संरक्षण (सीपीटीपी) संचालन के तहत रिश्तेदार एंट्रॉपी मोनोटोनिक रूप से घट जाती है $$\mathcal{N}$$ घनत्व मैट्रिसेस पर,

$$S(\mathcal{N}(\rho)\|\mathcal{N}(\sigma))\leq S(\rho\|\sigma)$$.

इस असमानता को क्वांटम सापेक्ष एन्ट्रॉपी की मोनोटोनिकिटी कहा जाता है और इसे सबसे पहले Göran_Lindblad_(भौतिक विज्ञानी) द्वारा सिद्ध किया गया था।

एक उलझाव उपाय
बता दें कि एक कंपोजिट क्वांटम सिस्टम में स्टेट स्पेस होता है


 * $$H = \otimes _k H_k$$

और ρ H पर अभिनय करने वाला घनत्व मैट्रिक्स हो।

ρ की 'उलझन की सापेक्ष एन्ट्रापी' द्वारा परिभाषित किया गया है


 * $$\; D_{\mathrm{REE}} (\rho) = \min_{\sigma} S(\rho \| \sigma)$$

जहां अलग-अलग राज्यों के परिवार पर न्यूनतम लिया जाता है। मात्रा की एक भौतिक व्याख्या अलग-अलग राज्यों से राज्य ρ की इष्टतम भिन्नता है।

स्पष्ट रूप से, जब ρ क्वांटम उलझाव नहीं है


 * $$\; D_{\mathrm{REE}} (\rho) = 0$$

क्लेन की असमानता से।

अन्य क्वांटम सूचना मात्राओं से संबंध
क्वांटम सापेक्ष एन्ट्रापी उपयोगी होने का एक कारण यह है कि कई अन्य महत्वपूर्ण क्वांटम सूचना मात्राएँ इसके विशेष मामले हैं। अक्सर, प्रमेयों को क्वांटम सापेक्ष एन्ट्रॉपी के संदर्भ में कहा जाता है, जो अन्य मात्राओं के संबंध में तत्काल परिणाम की ओर ले जाता है। नीचे हम इनमें से कुछ संबंधों की सूची दे रहे हैं।

ρ चलोAB आयाम n के सबसिस्टम A के साथ द्विदलीय प्रणाली की संयुक्त स्थिति होA और आयाम n का BB. ρ चलोA, आरB संबंधित घटे हुए राज्य हों, और IA, मैंB संबंधित पहचान। अधिकतम मिश्रित अवस्थाएँ I हैंA/एनA और मैंB/एनB. तब प्रत्यक्ष संगणना से यह दिखाना संभव है कि


 * $$S(\rho_{A} || I_{A}/n_A) = \mathrm{log}(n_A)- S(\rho_{A}), \;$$
 * $$S(\rho_{AB} || \rho_{A} \otimes \rho_{B}) = S(\rho_{A}) + S(\rho_{B}) - S(\rho_{AB}) = I(A:B), $$
 * $$S(\rho_{AB} || \rho_{A} \otimes I_{B}/n_B) = \mathrm{log}(n_B) + S(\rho_{A}) - S(\rho_{AB}) = \mathrm{log}(n_B)- S(B|A), $$

जहां I(A:B) क्वांटम आपसी जानकारी है और S(B|A) क्वांटम सशर्त एन्ट्रॉपी है।

संदर्भ

 * Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang, "Quantum Computation and Quantum Information"
 * Marco Tomamichel, "Quantum Information Processing with Finite Resources -- Mathematical Foundations". arXiv:1504.00233
 * Marco Tomamichel, "Quantum Information Processing with Finite Resources -- Mathematical Foundations". arXiv:1504.00233