नॉन-यूनिफार्म सैंपलिंग

गैर-समान प्रतिदर्श एक ऐसे प्रतिदर्श सिद्धांत की एक शाखा है जिसमें नाइक्विस्ट-शैनन सिद्धांत से संबंधित परिणाम सम्मिलित होते हैं। गैर-समान प्रतिदर्श लैग्रेंज सिद्धांत और प्रतिदर्श सिद्धांत के बीच के संबंध पर आधारित है। गैर-समान प्रतिदर्श व्हिटेकर शैनन-कोटेलनिकोव (डब्ल्यूएसके) सिद्धांत का एक सामान्यीकरण है।

शैनन के प्रतिदर्श सिद्धांत को गैर-समान प्रतिदर्श की स्थिति में सामान्यीकृत किया जा सकता है जो कि एक निश्चित समय में समान दूरी पर लिए गए प्रतिदर्श हैं। गैर-समान प्रतिदर्श के लिए शैनन प्रतिदर्श सिद्धांत बताता है कि एक बैंड-सीमित संकेत से उसके प्रतिदर्श को पूरी तरह से पुनर्निर्मित किया जा सकता है यदि औसत प्रतिदर्श दर नाइक्विस्ट स्थिति को संतुष्ट करती है। हालांकि एक समान रूप से दूरी वाले प्रतिदर्श के परिणामस्वरूप सरल पुनर्निर्मित संरचना हो सकती है। सामान्यतः यह पुनर्निर्माण के लिए एक आवश्यक शर्त नहीं है।

गैर-बेसबैंड और गैर-समान प्रतिदर्श के लिए सामान्य सिद्धांत 1967 में हेनरी लैंडौ द्वारा विकसित किया गया था। उन्होंने सिद्ध किया कि औसत प्रतिदर्श दर (समान या अन्य) अधिकृत चौड़ाई से दोगुना होना चाहिए, यह मानते हुए कि यह पहले से ज्ञात है कि स्पेक्ट्रम के किस भाग पर अधिकृत किया गया था। 1990 के दशक के उत्तरार्ध में इस कार्य को आंशिक रूप से उन संकेतों को अधिकृत करने के लिए विकसित किया गया था जिनके लिए व्याप्त बैंड-चौड़ाई की मात्रा ज्ञात थी, लेकिन स्पेक्ट्रम का वास्तविक व्याप्त भाग अज्ञात था। 2000 के दशक में संपीड़ित संवेदन का उपयोग करके एक संपूर्ण सिद्धांत विकसित किया गया था।(नीचे नाइक्विस्ट का अनुभाग देखें)। विशेष रूप से संकेतन प्रौद्योगिकी का उपयोग करते हुए सिद्धांत का वर्णन 2009 के पेपर में किया गया था। इसके अतिरिक्त वे प्रदर्शित करते हैं कि यदि आवृत्ति समष्टि अज्ञात हैं, तो कम से कम दो बार नाइक्विस्ट मानदंड का प्रतिदर्श लेना आवश्यक है। दूसरे शब्दों में स्पेक्ट्रम की स्थिति न जानने के लिए आपको कम से कम 2 का नाइक्विस्ट मानदंड लेना आवश्यक होता है। ध्यान दें कि न्यूनतम प्रतिदर्श आवश्यकताएँ आवश्यक रूप से संख्यात्मक स्थिरता का दायित्व नहीं करती हैं।

लैग्रेंज (बहुपद) प्रक्षेप
किसी दिए गए फलन के लिए घात n का एक बहुपद बनाना संभव है जिसका मान n + 1 बिंदुओं पर फलन के साथ समान हो।

माना कि n + 1 का बहुपद $$z_0, z_1, \ldots, z_n$$ है और n + 1 का मान $$w_0, w_1, \ldots, w_n$$ है। इस प्रकार एक अद्वितीय बहुपद $$p_n(z)$$सम्मिलित है:


 * $$p_n(z_i) = w_i, \text{ where }i = 0, 1, \ldots, n.$$

इसके अतिरिक्त लैग्रेंज बहुपद के प्रक्षेपीय बहुपदों का उपयोग करके $$p_n(z)$$ के प्रतिनिधित्व को सरल बनाना संभव है:


 * $$I_k(z) = \frac{(z-z_0)(z-z_1)\cdots(z-z_{k-1})(z-z_{k+1})\cdots(z-z_n)}{(z_k-z_0)(z_k-z_1)\cdots(z_k-z_{k-1})(z_k-z_{k+1})\cdots(z_k-z_n)}$$

उपरोक्त समीकरण से:



I_k(z_j) = \delta_{k,j} = \begin{cases} 0, & \text{if }k\ne j \\ 1, & \text{if }k = j \end{cases} $$ जिसके परिणामस्वरूप


 * $$p_n(z) = \sum_{k=0}^n w_kI_k(z)$$, $$p_n(z_j) = w_j, j = 0, 1, \ldots, n$$

बहुपद रूप को अधिक उपयोगी बनाने के लिए:


 * $$G_n(z) = (z-z_0)(z-z_1)\cdots(z-z_n)$$

इस प्रकार लैग्रेंज बहुपद का सूत्र है:


 * $$p_n(z) = \sum_{k=0}^n w_k\frac{G_n(z)}{(z-z_k)G'_n(z_k)}$$

ध्यान दें कि यदि $$f(z_j)=p_n(z_j), j=0, 1, \ldots, n,$$ हैं तब उपरोक्त सूत्र बन जाता है:


 * $$f(z) = \sum_{k=0}^n f(z_k)\frac{G_n(z)}{(z-z_k)G'_n(z_k)}$$

व्हिटेकर शैनन-कोटेलनिकोव (डब्लूएसके) सिद्धांत
व्हिटेकर ने लैग्रेंज बहुपद को बहुपदों से संपूर्ण फलनों तक विस्तारित करने का प्रयास किया है उन्होंने दिखाया कि संपूर्ण फलन का निर्माण करना संभव है:
 * $$C_f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty f(a+nW)\frac{\sin[\pi(z-a-nW)/W]}{[\pi(z-a-nW)/W]}$$

जिसका मान बिंदु $$z_n = a + nW$$ पर $$f(z)$$ के साथ समान है।

इसके अतिरिक्त $$C_f(z)$$ को पिछले समीकरण में अंतिम समीकरण के समान रूप में लिखा जा सकता है:


 * $$C_f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}f(z_n)\frac{G(z)}{G'(z_n)(z-z_n)},\text{ where }G(z)=\sin[\pi(z-z_n)/W]\text{ and }z_n=a+nW$$

जब a = 0 और W = 1, तो उपरोक्त समीकरण लगभग व्हिटेकर शैनन-कोटेलनिकोव सिद्धान्त के समान हो जाता है:

यदि किसी फलन f को निम्न के रूप में दर्शाया जा सकता है:
 * $$f(t) = \int_{-\sigma}^\sigma e^{jxt}g(x)\, dx \qquad (t\in \mathbb{R}), \qquad \forall g\in L^2(-\sigma,\sigma),$$

इसके अतिरिक्त f को इसके प्रतिदर्श से निम्नानुसार पुनर्निर्मित किया जा सकता है:


 * $$f(t) = \sum_{k=-\infty}^\infty f\left(\frac{k\pi}{\sigma}\right)\frac{\sin(\sigma t-k\pi)}{\sigma t-k\pi} \qquad (t\in \mathbb{R})$$

गैर-समान प्रतिदर्श
एक अनुक्रम के लिए $$\{t_k\}_{k\in \mathbb{Z}}$$ संतुष्टि हो सकता है यदि:
 * $$D=\sup_{k\in\mathbb{Z}}|t_k-k|<\frac{1}{4},$$

तब
 * $$f(t) = \sum_{k=-\infty}^\infty f(t_k)\frac{G(t)}{G'(t_k)(t-t_k)},\qquad \forall{}f\in B^2_\pi,\qquad (t\in \mathbb{R}),$$

जहाँ, उपरोक्त को पैली वीनर-लेविंसन सिद्धांत कहा जाता है जो कि व्हिटेकर शैनन-कोटेलनिकोव सिद्धांत को समान प्रतिदर्श से गैर-समान प्रतिदर्श तक सामान्यीकृत करता है। ये दोनों सिद्धांत क्रमशः उन प्रतिदर्शों से एक सीमित प्रतिदर्श को पुनर्निर्मित कर सकते हैं।
 * $$\textstyle G(t)=(t-t_0)\prod_{k=1}^\infty \left(1-\frac{t}{t_k}\right)\left(1-\frac{t}{t_{-k}}\right),$$
 * $$B^2_\sigma$$ बर्नस्टीन समष्टि है।
 * $$f(t)$$ सघन (कॉम्पैक्ट) समुच्चय पर समान रूप से निर्भर है।

संदर्भ

 * F. Marvasti, Nonuniform sampling: Theory and Practice. Plenum Publishers Co., 2001, pp. 123–140.