कार्लिट्ज़ घातांक

गणित में, कार्लिट्ज़ घातांक वास्तविक और जटिल विश्लेषण में अध्ययन किए गए सामान्य घातीय फलन का विशिष्ट p एनालॉग है। इसका उपयोग कार्लित्ज़ मॉड्यूल की परिभाषा में किया जाता है यह ड्रिनफेल्ड मॉड्यूल का उदाहरण है।

परिभाषा
q एलिमेंट्स के साथ परिमित क्षेत्र Fq पर चर के बहुपद वलय Fq[T] पर कार्य करते हैं। T−1 में औपचारिक लॉरेंट श्रृंखला के क्षेत्र Fq((T−1)) के बीजगणितीय समापन का C∞ पूर्ण होना उपयोगी होगा। यह पूर्ण और बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है।

सबसे पहले भाज्य के एनालॉग्स की आवश्यकता है, जो सामान्य घातीय फलन की परिभाषा में दिखाई देते हैं। I > 0 के लिए हम परिभाषित करते हैं:


 * $$[i] := T^{q^i} - T, \, $$
 * $$D_i := \prod_{1 \le j \le i} [j]^{q^{i - j}}$$

और D0= 1 ध्यान दें कि सामान्य फैक्टोरियल यहां अनुपयुक्त है, क्योंकि n! Fq[T] में लुप्त हो जाता है जब तक कि n, Fq[T] की विशेषता से छोटा न हो।

इसका उपयोग करके हम अभिसरण योग द्वारा कार्लिट्ज़ घातांक eC:C∞ → C∞ को परिभाषित करते हैं।


 * $$e_C(x) := \sum_{i = 0}^\infty \frac{x^{q^i}}{D_i}.$$

कार्लित्ज़ मॉड्यूल से संबंध
कार्लिट्ज़ घातांक कार्यात्मक समीकरण को संतुष्ट करता है:


 * $$e_C(Tx) = Te_C(x) + \left(e_C(x)\right)^q = (T + \tau)e_C(x), \, $$

जहां हम देख सकते हैं $$ \tau $$ की शक्ति के रूप में $$ q $$ मानचित्र या वलय के एलिमेंट के रूप में $$ F_q(T)\{\tau\} $$ असंक्रमणीय बहुपदों का चर में बहुपद वलय की सार्वभौमिक गुण द्वारा यह वलय समरूपता ψ:Fq[T]→C∞{τ} तक विस्तारित होता है, जो C∞{τ} पर ड्रिनफेल्ड Fq[T]-मॉड्यूल को परिभाषित करता है। इसे कार्लिट्ज़ मॉड्यूल कहा जाता है।