अवास्तविक संख्या

गणित में, वास्तविक संख्या प्रणाली एक कुल क्रम उचित वर्ग है जिसमें न केवल वास्तविक संख्याएं होती हैं, बल्कि अनंत और असीम भी होती हैं, जो किसी भी सकारात्मक वास्तविक संख्या की समानता में निरपेक्ष मान में क्रमशः बड़ी या छोटी होती हैं। जॉन हॉर्टन कॉनवे द्वारा एंडगेम जाओ पर किए गए शोध ने वास्तविक संख्याओं की मूल परिभाषा और निर्माण का नेतृत्व किया। कॉनवे के निर्माण की शुरुआत डोनाल्ड नुथ की 1974 की किताब 'सरियल नंबर्स: हाउ टू एक्स-स्टूडेंट्स टर्न ऑन टू प्योर अंक शास्त्र एंड फाउंड टोटल हैप्पीनेस' में की गई थी।

असली असली के साथ कई गुण साझा करते हैं, जिसमें सामान्य अंकगणितीय संचालन (जोड़, घटाव, गुणा और भाग) सम्मलित हैं; इस प्रकार, वे एक आदेशित फ़ील्ड बनाते हैं। यदि वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट सिद्धांत में तैयार किया गया है, तो वास्तविक संख्याएँ इस अर्थ में एक सार्वभौमिक आदेशित क्षेत्र हैं कि अन्य सभी आदेशित क्षेत्र, जैसे कि तर्कसंगत, वास्तविक, तर्कसंगत कार्य, लेवी-सिविता क्षेत्र, सुपररियल संख्याओं (अति वास्तविक संख्या सहित) को असली के उपक्षेत्रों के रूप में महसूस किया जा सकता है। अतियथार्थियों में सभी परासीमित क्रमवाचक संख्याएँ भी होती हैं; उन पर अंकगणित साधारण अंकगणित#प्राकृतिक संक्रियाओं द्वारा दिया जाता है। यह भी दिखाया गया है (वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट थ्योरी में) कि अधिकतम वर्ग अतियथार्थवादी क्षेत्र अधिकतम वर्ग वास्तविक क्षेत्र के लिए समरूप है।

अवधारणा का इतिहास
जॉन हॉर्टन कॉनवे द्वारा गो रणनीति और रणनीति पर किए गए शोध ने वास्तविक संख्याओं की मूल परिभाषा और निर्माण का नेतृत्व किया। कॉनवे के निर्माण को डोनाल्ड नुथ की 1974 की पुस्तक सुरियल नंबर्स: हाउ टू एक्स-स्टूडेंट्स टर्न ऑन टू प्योर मैथमेटिक्स एंड फाउंड टोटल हैप्पीनेस में पेश किया गया था। अपनी पुस्तक में, जो एक संवाद का रूप लेती है, नुथ ने कॉनवे द्वारा केवल संख्याओं को बुलाए जाने के लिए असली संख्या शब्द गढ़ा। कॉनवे ने बाद में नुथ के शब्द को अपनाया, और अपनी 1976 की पुस्तक संख्या और खेल पर में खेलों के विश्लेषण के लिए अतियथार्थवाद का उपयोग किया।

अतियथार्थवाद को परिभाषित करने के लिए एक अलग मार्ग 1907 में प्रारंभ हुआ, जब हंस हैन (गणितज्ञ) ने औपचारिक शक्ति श्रृंखला के सामान्यीकरण के रूप में हैन श्रृंखला की शुरुआत की, और फेलिक्स हॉसडॉर्फ ने η सेट|η नामक कुछ आदेशित सेट पेश किए।α-ऑर्डिनल्स α के लिए सेट और पूछा कि क्या एक संगत आदेशित समूह या फ़ील्ड संरचना खोजना संभव है। 1962 में, नॉर्मन एलिंग ने कुछ ऑर्डिनल्स α से जुड़े ऐसे ऑर्डर किए गए फ़ील्ड्स के निर्माण के लिए हैन सीरीज़ के एक संशोधित रूप का इस्तेमाल किया और 1987 में, उन्होंने दिखाया कि α को अपने निर्माण में सभी ऑर्डिनल्स की क्लास लेने से एक क्लास मिलती है जो एक ऑर्डरेड फ़ील्ड है। असली संख्या के लिए आइसोमोर्फिक। यदि अतियथार्थियों को एक उचित-वर्ग-आकार के वास्तविक बंद क्षेत्र के रूप में 'न्यायसंगत' माना जाता है, तो एलींग का 1962 का पेपर दुर्गम कार्डिनल कार्डिनल्स के स्थितियों को संभालता है, जिसे स्वाभाविक रूप से कार्डिनल के ऊपर वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड को काटकर उचित वर्ग माना जा सकता है। और Alling तदनुसार इस अर्थ में अतियथार्थियों की खोज/आविष्कार के लिए बहुत अधिक श्रेय का हकदार है। असली पर एक महत्वपूर्ण अतिरिक्त क्षेत्र संरचना है जो इस लेंस के माध्यम से दिखाई नहीं दे रही है, अर्थात् 'जन्मदिन' की धारणा और उनके जन्मदिन के साथ-साथ कट-फिलिंग प्रक्रिया के परिणाम के रूप में असली का प्राकृतिक वर्णन कोनवे। यह अतिरिक्त संरचना वास्तविक संख्याओं की एक आधुनिक समझ के लिए मौलिक बन गई है, और इस प्रकार कॉनवे को असली की खोज के लिए श्रेय दिया जाता है जैसा कि हम उन्हें आज जानते हैं - इस विषय पर अपनी पुस्तक से पहले 1985 के पेपर में खुद एलींग ने कॉनवे को पूरा श्रेय दिया।

विवरण
कॉनवे निर्माण में, वास्तविक संख्याएँ चरणों में निर्मित की जाती हैं, साथ ही एक क्रम ≤ के साथ कि किन्हीं भी दो वास्तविक संख्याओं a और b के लिए, a ≤ b या b ≤ a. (दोनों धारण कर सकते हैं, जिस स्थिति में a और b समतुल्य हैं और समान संख्या को निरूपित करते हैं।) प्रत्येक संख्या पहले से निर्मित संख्याओं के उपसमुच्चय के एक क्रमबद्ध युग्म से बनती है: दिए गए उपसमुच्चय L और R संख्याओं के ऐसे हैं कि L के सभी सदस्य हैं R के सभी सदस्यों से सख्ती से कम, फिर जोड़ी {{nowrap begin}{एल | आर } एल के सभी सदस्यों और आर के सभी सदस्यों के बीच मूल्य में मध्यवर्ती संख्या का प्रतिनिधित्व करता है।

अलग-अलग उपसमुच्चय एक ही संख्या को परिभाषित कर सकते हैं: {{nowrap begin}{एल | आर } और {{nowrap begin}{एल' | आर' } समान संख्या परिभाषित कर सकता है भले ही L ≠ L' और R ≠ R' हो। (एक समान घटना तब होती है जब परिमेय संख्याओं को पूर्णांकों के भागफल के रूप में परिभाषित किया जाता है: $1⁄2$ और $2⁄4$ एक ही परिमेय संख्या के विभिन्न निरूपण हैं।) इसलिए सख्ती से बोलना, अवास्तविक संख्याएँ प्रपत्र के निरूपण के तुल्यता वर्ग हैं {{nowrap begin}{एल | आर } जो समान संख्या निर्दिष्ट करते हैं।

निर्माण के पहले चरण में, पहले से उपस्थित संख्याएँ नहीं हैं इसलिए केवल प्रतिनिधित्व को खाली सेट का उपयोग करना चाहिए: { | }. यह प्रतिनिधित्व, जहां एल और आर दोनों खाली हैं, को 0. कहा जाता है


 * { 0 | } = 1


 * { 1 | } = 2


 * { 2 | } = 3

और


 * { | 0 } = −1


 * { | −1 } = −2


 * { | −2 } = -3

पूर्णांक इस प्रकार असली संख्या के भीतर समाहित हैं। (उपरोक्त सर्वसमिकाएं परिभाषाएं हैं, इस अर्थ में कि दाहिनी ओर बाईं ओर का एक नाम है। नाम वास्तव में उपयुक्त हैं, यह तब स्पष्ट होगा जब वास्तविक संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाएं परिभाषित की गई हैं, जैसा कि नीचे दिए गए खंड में है। ). इसी तरह, प्रतिनिधित्व जैसे


 * { 0 | 1 } = $1⁄2$


 * { 0 | $1⁄2$ } = $1⁄4$


 * { $1⁄2$ | 1 } = $3⁄4$

उत्पन्न होती हैं, जिससे द्विअर्थी परिमेय (परिमेय संख्याएँ जिनके हर 2 की घातें हों) वास्तविक संख्याओं में निहित हैं।

चरणों की अनंत संख्या के बाद, अनंत उपसमुच्चय उपलब्ध हो जाते हैं, जिससे किसी भी वास्तविक संख्या को a द्वारा प्रदर्शित किया जा सके {{nowrap begin}{एल a| आरa}, जहां एलaएक और से कम सभी द्विअर्थी परिमेय संख्याओं का समुच्चय है आरaa से अधिक सभी डाइएडिक परिमेय संख्याओं का समुच्चय है (डेडेकाइंड कट की याद ताजा करती है)। इस प्रकार वास्तविक संख्याएँ भी वास्तविक के भीतर सन्निहित हैं।

जैसे अभ्यावेदन भी हैं


 * { 0, 1, 2, 3, ... | } = ω


 * { 0 | 1, $1⁄2$, $1⁄4$, $1⁄8$, ... } = ε

जहां ω सभी पूर्णांकों से अधिक एक परासीमित संख्या है और ε 0 से अधिक एक अपरिमेय संख्या है किन्तु किसी भी सकारात्मक वास्तविक संख्या से कम है। इसके अतिरिक्त, मानक अंकगणितीय संचालन (जोड़, घटाव, गुणा और भाग) को इन गैर-वास्तविक संख्याओं तक इस विधि से बढ़ाया जा सकता है जो वास्तविक संख्याओं के संग्रह को एक आदेशित क्षेत्र में बदल देता है, जिससे कोई 2ω या ω के बारे में बात कर सके - 1 और आगे।

निर्माण
वास्तविक संख्याएँ आगमनात्मक परिभाषाएँ हैं जो वास्तविक संख्याओं के सेटों के क्रमित युग्मों के तुल्यता वर्गों के रूप में हैं, इस शर्त से प्रतिबंधित है कि पहले सेट का प्रत्येक तत्व दूसरे सेट के प्रत्येक तत्व से छोटा है। निर्माण में तीन अन्योन्याश्रित भाग होते हैं: निर्माण नियम, समानता नियम और तुल्यता नियम।

फॉर्म
एक रूप वास्तविक संख्याओं के सेट का एक जोड़ा है, जिसे इसका बायाँ सेट और इसका दायाँ सेट कहा जाता है। लेफ्ट सेट L और राइट सेट R के साथ एक फॉर्म लिखा जाता है {{nowrap begin}{एल | आर }. जब एल और आर को तत्वों की सूची के रूप में दिया जाता है, तो उनके चारों ओर कोष्ठक छोड़े जाते हैं।

प्रपत्र के बाएँ और दाएँ सेट में से कोई एक या दोनों खाली सेट हो सकते हैं। फार्म { { } | { } } बाएँ और दाएँ दोनों सेट के साथ खाली भी लिखा जाता है { | }.

संख्यात्मक रूप और उनके समकक्ष वर्ग
निर्माण नियम
 * एक फॉर्म {एल | R} संख्यात्मक है यदि L और R का चौराहा खाली सेट है और R का प्रत्येक तत्व L' के प्रत्येक तत्व से बड़ा है ', आदेश सिद्धांत के अनुसार ≤ नीचे समानता नियम द्वारा दिया गया।

सांख्यिक रूपों को तुल्यता वर्गों में रखा जाता है; ऐसा प्रत्येक तुल्यता वर्ग एक अवास्तविक संख्या है। एक रूप के बाएँ और दाएँ सेट के तत्व वास्तविक संख्याओं के ब्रह्मांड से लिए गए हैं ("रूपों" के नहीं, बल्कि उनके "समतुल्य वर्गों") के।

तुल्यता नियम
 * दो संख्यात्मक रूप x और y एक ही संख्या के रूप हैं (समान समतुल्य वर्ग में स्थित हैं) यदि और केवल यदि दोनों x ≤ y और y' ' ≤ एक्स''।

एक ऑर्डर सिद्धांत विषम संबंध होना चाहिए, यानी, इसमें संपत्ति होनी चाहिए कि x = y (यानी, x ≤ y और y ≤ x दोनों सत्य हैं) केवल तभी जब x और y एक ही वस्तु हों। यह वास्तविक संख्या रूपों के स्थितियों में नहीं है, किन्तु वास्तविक संख्याओं (तुल्यता वर्ग) के लिए निर्माण द्वारा सत्य है।

समतुल्य वर्ग युक्त { | } को 0 लेबल किया गया है; दूसरे शब्दों में, { | } वास्तविक संख्या 0 का एक रूप है।

आदेश
अवास्तविक संख्याओं की पुनरावर्ती परिभाषा समानता को परिभाषित करके पूरी की जाती है:

दिए गए सांख्यिक रूप x = { XL| एक्सR} और वाई = {वाईL| औरR}, x ≤ y यदि और केवल यदि दोनों: प्रत्येक असली संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए अपने समतुल्य वर्ग से एक संख्यात्मक रूप का चयन करके वास्तविक संख्याओं की समानता एक दूसरे से (या संख्यात्मक रूपों में) की जा सकती है।
 * कोई एक्स नहीं हैL∈ एक्सLऐसा है कि y ≤ xL. अर्थात्, x के बाएँ भाग में प्रत्येक तत्व y से सख्ती से छोटा है।
 * कोई वाई नहीं हैR∈वाईRऐसा है कि वाईR≤ एक्स। अर्थात्, y के दाहिने भाग में प्रत्येक तत्व x से सख्ती से बड़ा है।

प्रेरण
परिभाषाओं का यह समूह पुनरावर्तन है, और उनमें होने वाली वस्तुओं (रूपों और संख्याओं) के ब्रह्मांड को परिभाषित करने के लिए गणितीय प्रेरण के कुछ रूप की आवश्यकता होती है। परिमित प्रेरण के माध्यम से पहुंचने योग्य एकमात्र वास्तविक संख्या डायाडिक तर्कसंगत हैं; ट्रांसफिनिट इंडक्शन के किसी रूप को देखते हुए एक व्यापक ब्रह्मांड पहुंच योग्य है।

प्रेरण नियम

 * एक पीढ़ी एस है0 = {0}, जिसमें 0 में एक ही रूप { | है }.
 * किसी भी क्रमिक संख्या n को देखते हुए, पीढ़ी Sn के सबसेट से निर्माण नियम द्वारा उत्पन्न सभी असली संख्याओं का सेट है $\bigcup_{i < n} S_i$.

आधार मामला वास्तव में प्रेरण नियम का एक विशेष मामला है, जिसमें 0 को कम से कम क्रमसूचक के लिए एक लेबल के रूप में लिया गया है। चूंकि कोई एस उपस्थित नहीं हैiमैं <0, अभिव्यक्ति के साथ $\bigcup_{i < 0} S_i$ खाली सेट है; रिक्त समुच्चय का एकमात्र उपसमुच्चय रिक्त समुच्चय होता है, और इसलिए S0 एक एकल असली रूप { | } एकल समतुल्य वर्ग 0 में स्थित है।

प्रत्येक परिमित क्रमिक संख्या n के लिए, Snवास्तविक संख्याओं पर समानता नियम द्वारा प्रेरित क्रम द्वारा सुव्यवस्थित है।

आगमन नियम का पहला पुनरावृत्ति तीन संख्यात्मक रूप उत्पन्न करता है { | 0} <{ | } <{ 0 | } (रूप {0 | 0} गैर-संख्यात्मक है क्योंकि 0 ≤ 0)। समतुल्यता वर्ग जिसमें {0 | } को 1 लेबल किया गया है और तुल्यता वर्ग { | 0} को -1 लेबल किया गया है। रिंग (गणित) को परिभाषित करने वाले सिद्धांतों में इन तीन लेबलों का विशेष महत्व है; वे योगात्मक पहचान (0), गुणात्मक पहचान (1), और 1 (-1) के योगात्मक व्युत्क्रम हैं। नीचे परिभाषित अंकगणितीय संक्रियाएं इन लेबलों के अनुरूप हैं।

प्रत्येक i < n के लिए, क्योंकि S में प्रत्येक वैध रूपi S में भी एक वैध रूप हैn, S में सभी संख्याएँiS में भी दिखाई देते हैंn(एस में उनके प्रतिनिधित्व के सुपरसेट के रूप मेंi). (सेट यूनियन एक्सप्रेशन हमारे निर्माण नियम में दिखाई देता है, सरल फॉर्म एस के अतिरिक्त n−1, जिससे परिभाषा भी समझ में आए जब n एक सीमा क्रमसूचक हो।) S में संख्याएँnजो S में किसी संख्या का सुपरसेट हैiकहा जाता है कि उन्हें पीढ़ी I से विरासत में मिला है। α का सबसे छोटा मान जिसके लिए दी गई वास्तविक संख्या S में प्रकट होती हैα उसका जन्मदिन कहा जाता है। उदाहरण के लिए, 0 का जन्मदिन 0 है और -1 का जन्मदिन 1 है।

निर्माण नियम का एक दूसरा पुनरावृत्ति तुल्यता वर्गों के निम्नलिखित क्रम को उत्पन्न करता है:


 * { | −1} = { | -1, 0} = { | -1, 1} = { | −1, 0, 1}
 * < { | 0} = { | 0, 1}
 * < { -1 | 0} = {−1 | 0, 1}
 * < { | } = {−1 | } = { | 1 } = {−1 | 1}
 * < { 0 | 1 } = { -1, 0 | 1}
 * < { 0 | } = { -1, 0 | }
 * < { 1 | } = { 0, 1 | } = { -1, 1 | } = { -1, 0, 1 | }

इन तुल्यता वर्गों की समानता सुसंगत है, भले ही फॉर्म का चुनाव कुछ भी हो। तीन प्रेक्षण अनुसरण करते हैं:
 * 1) एस2 इसमें चार नए असली नंबर सम्मलित हैं। दो में चरम रूप हैं: { | −1, 0, 1 } में पिछली पीढ़ी के सभी नंबर सही सेट में सम्मलित हैं, और { −1, 0, 1 | } इसके बाएं सेट में पिछली पीढ़ियों के सभी नंबर सम्मलित हैं। दूसरों के पास एक ऐसा रूप है जो पिछली पीढ़ियों से सभी संख्याओं को दो गैर-खाली सेटों में विभाजित करता है।
 * 2) पिछली पीढ़ी में उपस्थित प्रत्येक वास्तविक संख्या x इस पीढ़ी में भी उपस्थित है, और इसमें कम से कम एक नया रूप सम्मलित है: पिछली पीढ़ियों से x के अतिरिक्त सभी संख्याओं का विभाजन एक बाएं सेट (सभी संख्या x से कम) और एक दायां सेट सेट (x से अधिक सभी संख्याएँ)।
 * 3) किसी संख्या का समतुल्य वर्ग केवल उसके बाएं सेट के अधिकतम तत्व और दाएं सेट के न्यूनतम तत्व पर निर्भर करता है।

{1 | की अनौपचारिक व्याख्या } और { | −1 } क्रमशः 1 के ठीक बाद की संख्या और −1 के ठीक पहले की संख्या है; उनके तुल्यता वर्गों को 2 और -2 नाम दिया गया है। {0 | की अनौपचारिक व्याख्या 1} और {−1 | 0} 0 और 1 के बीच की आधी संख्या है और क्रमशः -1 और 0 के बीच की आधी संख्या है; उनके समकक्ष वर्ग लेबल किए गए हैं $1⁄2$ और -$1⁄2$. ये लेबल नीचे वास्तविक जोड़ और गुणा के नियमों द्वारा भी उचित होंगे।

इंडक्शन के प्रत्येक चरण n पर समतुल्य वर्ग को उनके n-पूर्ण रूपों (प्रत्येक में इसके बाएं और दाएं सेट में पिछली पीढ़ियों के जितना संभव हो उतने तत्व सम्मलित हैं) द्वारा चित्रित किया जा सकता है। या तो इस पूर्ण रूप में पिछली पीढ़ियों से इसके बाएं या दाएं सेट में प्रत्येक संख्या सम्मलित है, इस स्थितियों में यह पहली पीढ़ी है जिसमें यह संख्या होती है; या इसमें एक को छोड़कर पिछली पीढ़ियों की सभी संख्याएँ सम्मलित हैं, जिस स्थिति में यह इस एक संख्या का एक नया रूप है। हम इन पुराने नंबरों के लिए पिछली पीढ़ी के लेबल को बनाए रखते हैं, और पुराने और नए लेबल का उपयोग करके ऊपर दिए गए क्रम को लिखते हैं:
 * -2 <-1 <-$1⁄2$ < 0 < $1⁄2$ <1 <2।

तीसरा अवलोकन परिमित बाएँ और दाएँ सेट के साथ सभी वास्तविक संख्याओं तक फैला हुआ है। (अनंत बाएँ या दाएँ सेट के लिए, यह एक परिवर्तित रूप में मान्य है, क्योंकि अनंत सेट में अधिकतम या न्यूनतम तत्व नहीं हो सकता है।) संख्या { 1, 2 | 5, 8} इसलिए {2 | के बराबर है 5}; कोई यह स्थापित कर सकता है कि ये जन्मदिन की संपत्ति का उपयोग करके 3 के रूप हैं, जो उपरोक्त नियमों का परिणाम है।

जन्मदिन की संपत्ति
एक रूप x = {एल | R} पीढ़ी n में होने वाली पिछली पीढ़ी i <n से विरासत में मिली संख्या का प्रतिनिधित्व करती है यदि और केवल यदि S में कुछ संख्या हैiजो L के सभी तत्वों से अधिक है और R के सभी तत्वों से कम है। (दूसरे शब्दों में, यदि L और R पहले से ही पहले चरण में बनाई गई संख्या से अलग हो गए हैं, तो x एक नई संख्या का प्रतिनिधित्व नहीं करता है, किन्तु एक पहले से निर्मित है ।) यदि x n से पहले की किसी भी पीढ़ी से एक संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, तो कम से कम ऐसी पीढ़ी i है, और ठीक एक संख्या c है जिसके साथ कम से कम i उसका जन्मदिन है जो L और R के बीच स्थित है; एक्स इस सी का एक रूप है। दूसरे शब्दों में, यह S के तुल्यता वर्ग में स्थित हैnयह जनरेशन i में c के प्रतिनिधित्व का सुपरसेट है।

अंकगणित
जोड़, ऋणात्मक (योगात्मक व्युत्क्रम), और वास्तविक संख्याओं का गुणा x = { XL| एक्सR} और वाई = {वाईL| औरR} को तीन पुनरावर्ती सूत्रों द्वारा परिभाषित किया गया है।

नकार
किसी दी गई संख्या का निषेध {{nowrap begin}एक्स = {एक्स L| एक्सR} द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$-x = - \{ X_L \mid X_R \} = \{ -X_R \mid -X_L \},$$

जहां एस के अस्वीकृत तत्वों के सेट द्वारा संख्याओं के सेट एस की अस्वीकृति दी जाती है:
 * $$-S = \{ -s: s \in S \}.$$

इस सूत्र में x के बाएँ और दाएँ सेट में दिखाई देने वाली वास्तविक संख्याओं का निषेध सम्मलित है, जिसे संख्या के एक रूप को चुनने, इस रूप के निषेध का मूल्यांकन करने और परिणामी के तुल्यता वर्ग को लेने के परिणाम के रूप में समझा जाना है। प्रपत्र। यह केवल तभी समझ में आता है जब ऑपरेंड के रूप की पसंद के बावजूद परिणाम समान हो। इस तथ्य का उपयोग करके इसे आगमनात्मक रूप से सिद्ध किया जा सकता है कि X में आने वाली संख्याएँLऔर एक्सRपीढ़ियों से पहले की समानता में तैयार किए गए हैं, जिसमें x पहले होता है, और विशेष स्थितियों को देखते हुए:
 * $$-0 = - \{ {}\mid{} \} = \{ {}\mid{} \} = 0.$$

जोड़
जोड़ की परिभाषा भी एक पुनरावर्ती सूत्र है:
 * $$x + y = \{ X_L \mid X_R \} + \{ Y_L \mid Y_R \} = \{ X_L + y, x + Y_L \mid X_R + y, x + Y_R \}, $$

कहाँ


 * $$X + y = \{ x + y: x \in X \}, x + Y = \{ x + y: y \in Y \}$$.

इस सूत्र में मूल संकार्यों में से एक का योग और दूसरे के बाएँ या दाएँ सेट से ली गई एक वास्तविक संख्या सम्मलित है। इसे विशेष मामलों के साथ आगमनात्मक रूप से सिद्ध किया जा सकता है:
 * $$0 + 0 = \{ {}\mid{} \} + \{ {}\mid{} \} = \{ {}\mid{} \} = 0$$
 * $$x + 0 = x + \{ {}\mid{} \} = \{ X_L + 0 \mid X_R + 0 \} = \{ X_L \mid X_R \} = x $$
 * $$0 + y = \{ {}\mid{} \} + y = \{ 0 + Y_L \mid 0 + Y_R \} = \{ Y_L \mid Y_R \} = y$$

उदाहरण के लिए:
 * $1⁄2$ + $1⁄2$ = { 0 | 1 } + { 0 | 1 } = { $1⁄2$ | $3⁄2$ },

जो जन्मदिन की संपत्ति द्वारा 1 का एक रूप है। यह पिछले अनुभाग में उपयोग किए गए लेबल को सही ठहराता है।

गुणन
गुणन को पुनरावर्ती रूप से भी परिभाषित किया जा सकता है, विशेष मामलों से प्रारंभ होता है जिसमें 0, गुणक पहचान 1 और इसके योगात्मक व्युत्क्रम -1 सम्मलित हैं:
 * $$\begin{align}

xy & = \{ X_L \mid X_R \} \{ Y_L \mid Y_R \} \\ & = \left\{ X_L y + x Y_L - X_L Y_L, X_R y + x Y_R - X_R Y_R \mid X_L y + x Y_R - X_L Y_R, x Y_L + X_R y - X_R Y_L \right\} \\ \end{align}$$ सूत्र में अंकगणितीय अभिव्यक्तियाँ सम्मलित हैं जिनमें ऑपरेंड और उनके बाएँ और दाएँ सेट सम्मलित हैं, जैसे कि अभिव्यक्ति $$X_R y + x Y_R - X_R Y_R$$ जो x और y के गुणनफल के बाएँ सेट में प्रकट होता है। इसे सदस्यों के सभी संभावित संयोजनों को चुनकर उत्पन्न संख्याओं के समूह के रूप में समझा जाता है $$X_R$$ और $$Y_R$$, और उन्हें व्यंजक में प्रतिस्थापित करना।

उदाहरण के लिए, यह दिखाने के लिए कि का वर्ग $1⁄2$ है $1⁄4$:
 * $1⁄2$ ⋅ $1⁄2$ = { 0 | 1 } ⋅ { 0 | 1 } = { 0 | $1⁄2$ } = $1⁄4$.

विभाग
विभाजन की परिभाषा व्युत्क्रम और गुणन के संदर्भ में की जाती है:


 * $$\frac xy = x \cdot \frac 1y $$

कहाँ


 * $$\frac 1y = \left\{\left.0, \frac{1+(y_R-y)\left(\frac1y\right)_L}{y_R}, \frac{1+\left(y_L-y\right)\left(\frac1y\right)_R}{y_L} \,\,\right|\,\, \frac{1+(y_L-y)\left(\frac1y\right)_L}{y_L}, \frac{1+(y_R-y)\left(\frac1y\right)_R}{y_R} \right\}$$

सकारात्मक वाई के लिए। केवल सकारात्मक वाईLसूत्र में अनुमत हैं, किसी भी गैर-सकारात्मक शर्तों को अनदेखा किया जा रहा है (और yRहमेशा सकारात्मक होते हैं)। इस सूत्र में न केवल y के बाएँ और दाएँ सेट से संख्याओं को विभाजित करने में सक्षम होने के संदर्भ में पुनरावृत्ति सम्मलित है, बल्कि इसमें भी पुनरावृत्ति सम्मलित है कि बाएँ और दाएँ सेट के सदस्य $1⁄y$ अपने आप। 0 हमेशा के बाएं सेट का सदस्य होता है $1⁄y$, और इसका उपयोग पुनरावर्ती विधि से अधिक शब्द खोजने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि y = 3 = { 2 | }, तो हम का बायाँ पद जानते हैं $1⁄3$ 0 होगा। इसका बदले में मतलब है $1 + (2 − 3)0⁄2$ = $1⁄2$ सही पद है। इसका मतलब यह है
 * $$\frac{1+(2-3)\left(\frac12\right)}2=\frac14$$

वाम पद है। इसका मतलब यह है
 * $$\frac{1+(2-3)\left(\frac14\right)}2 = \frac 38$$

सही शब्द होगा। जारी है, यह देता है
 * $$\frac13 = \left\{\left. 0, \frac14, \frac5{16}, \ldots \,\right|\, \frac12, \frac38, \ldots\right\}$$

नकारात्मक वाई के लिए, $1⁄y$ द्वारा दिया गया है
 * $$\frac1y=-\left(\frac1{-y}\right)$$

यदि वाई = 0, तो $1⁄y$ अपरिभाषित है।

संगति
यह दिखाया जा सकता है कि नकारात्मकता, जोड़ और गुणा की परिभाषाएँ सुसंगत हैं, इस अर्थ में कि:
 * जोड़ और निषेध को पुनरावर्ती रूप से सरल जोड़ और निषेध चरणों के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, जिससे जन्मदिन एन के साथ संख्याओं पर संचालन अंततः पूरी प्रकार से एन से कम जन्मदिन वाले नंबरों पर संचालन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सके;
 * गुणन को पुनरावर्ती रूप से जोड़, निषेध और सरल गुणन चरणों के रूप में परिभाषित किया गया है, जिससे जन्मदिन n वाली संख्याओं का गुणनफल अंततः n से कम जन्मदिन वाली संख्याओं के गुणनफल के योग और अंतर के रूप में पूरी प्रकार से व्यक्त किया जा सके;
 * जब तक ऑपरेंड अच्छी प्रकार से परिभाषित वास्तविक संख्या रूप हैं (बाएं सेट का प्रत्येक तत्व दाएं सेट के प्रत्येक तत्व से कम है), परिणाम फिर से अच्छी प्रकार से परिभाषित वास्तविक संख्या रूप हैं;
 * संक्रियाओं को संख्याओं तक बढ़ाया जा सकता है (रूपों की तुल्यता वर्ग): x को नकारने या x और y को जोड़ने या गुणा करने का परिणाम x और y के रूप की पसंद की परवाह किए बिना समान संख्या का प्रतिनिधित्व करेगा; और
 * ये संक्रियाएं योगात्मक पहचान 0 = { | } और गुणक सर्वसमिका 1 = { 0 | }.

इन नियमों से अब कोई यह सत्यापित कर सकता है कि पहली कुछ पीढ़ियों में पाई गई संख्याओं को ठीक से लेबल किया गया था। अतियथार्थ की अधिक पीढ़ियों को प्राप्त करने के लिए निर्माण नियम को दोहराया जाता है:


 * एस0 = { 0 }
 * एस1 = {−1 <0 <1}
 * एस2 = { −2 < −1 < −$1⁄2$ < 0 < $1⁄2$ < 1 < 2}
 * एस3 = { −3 < −2 < −$3⁄2$ < −1 < −$3⁄4$ < −$1⁄2$ < −$1⁄4$ < 0 < $1⁄4$ < $1⁄2$ < $3⁄4$ < 1 < $3⁄2$ < 2 < 3 }
 * एस4 = { −4 < −3 < ... < −$1⁄8$ < 0 < $1⁄8$ < $1⁄4$ < $3⁄8$ < $1⁄2$ < $5⁄8$ < $3⁄4$ < $7⁄8$ < 1 < $5⁄4$ < $3⁄2$ < $7⁄4$ < 2 < $5⁄2$ < 3 < 4 }

अंकगणित बंद
प्रत्येक प्राकृतिक संख्या (परिमित क्रमिक) n के लिए, सभी संख्याएँ S में उत्पन्न होती हैंnडाइअडिक भिन्न हैं, अर्थात, एक अलघुकरणीय भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है $a⁄2^{b}$, जहां a और b पूर्णांक हैं और 0 ≤ b < n.

कुछ एस में उत्पन्न होने वाली सभी वास्तविक संख्याओं का सेटnपरिमित n के रूप में निरूपित किया जा सकता है $S_* = \bigcup_{n \in N} S_n$. कोई तीन वर्ग बना सकता है
 * $$\begin{align}

S_{0} &= \{ 0 \} \\ S_{+} &= \{ x \in S_*: x > 0 \} \\ S_{-} &= \{ x \in S_*: x < 0 \} \end{align}$$ जिनमें से एस∗संघ है। कोई व्यक्ति एसnजोड़ और गुणा के अनुसार बंद है (एस को छोड़कर0), किन्तु एस∗ है; यह सभी डाइडिक अंशों से युक्त परिमेय का उपसमूह है।

अनंत क्रमिक संख्याएं हैं जिनके लिए β से कम जन्मदिन वाले वास्तविक संख्याओं का सेट विभिन्न अंकगणितीय परिचालनों के अनुसार बंद है। किसी भी क्रमिक α के लिए, β = ω से कम जन्मदिन के साथ असली संख्याओं का सेटα (ω की #शक्तियों का उपयोग करके | ω की घातों का उपयोग करके) जोड़ के अंतर्गत संवृत होता है और एक समूह बनाता है; ω से कम जन्मदिन के लिएω α यह गुणा के अनुसार बंद है और एक अंगूठी बनाता है; और एक (क्रमसूचक) एप्सिलॉन संख्या (गणित) ε से कम जन्मदिन के लिएα यह गुणात्मक व्युत्क्रम के अनुसार बंद है और एक क्षेत्र बनाता है। क्रुस्कल और गोनशोर द्वारा परिभाषित एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन के अनुसार बाद के सेट भी बंद हैं।

चूंकि, एक वास्तविक संख्या का निर्माण करना हमेशा संभव होता है जो कि वास्तविक के सेट के किसी भी सदस्य से अधिक होता है (निर्माणकर्ता के बाईं ओर सेट को सम्मलित करके) और इस प्रकार वास्तविक संख्याओं का संग्रह एक उचित वर्ग है। उनके आदेश और बीजगणितीय संचालन के साथ वे एक आदेशित क्षेत्र का गठन करते हैं, इस चेतावनी के साथ कि वे एक सेट (गणित) नहीं बनाते हैं। वास्तव में यह सबसे बड़ा क्रमित क्षेत्र है, जिसमें प्रत्येक क्रमित क्षेत्र वास्तविक संख्याओं का एक उपक्षेत्र है। सभी वास्तविक संख्याओं के वर्ग को प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है $$\mathbb{No}$$.

अनंत
एस परिभाषित करेंω एस के सबसेट से निर्माण नियम द्वारा उत्पन्न सभी वास्तविक संख्याओं के सेट के रूप में∗. (यह पहले की प्रकार ही आगमनात्मक कदम है, क्योंकि क्रमिक संख्या ω सबसे छोटी क्रमसूचक है जो सभी प्राकृतिक संख्याओं से बड़ी है; चूंकि, आगमनात्मक चरण में दिखाई देने वाला सेट संघ अब परिमित सेटों का एक अनंत संघ है, और इसलिए यह चरण केवल एक सेट सिद्धांत में किया जा सकता है जो इस प्रकार के संघ की अनुमति देता है।) एस में एक अद्वितीय असीमित बड़ी सकारात्मक संख्या होती हैω:
 * $$ \omega = \{ S_* \mid{} \} = \{ 1, 2, 3, 4, \ldots \mid{} \}. $$

Sω इसमें वे वस्तुएँ भी सम्मलित हैं जिन्हें परिमेय संख्याओं के रूप में पहचाना जा सकता है। उदाहरण के लिए, भिन्न का ω-पूर्ण रूप $1⁄3$ द्वारा दिया गया है:
 * $$ \tfrac{1} {3} = \{ y \in S_*: 3 y < 1 \mid y \in S_*: 3 y > 1 \}.$$

इस रूप का उत्पाद $1⁄3$ 3 के किसी भी रूप के साथ एक ऐसा रूप है जिसके बाएँ सेट में केवल 1 से कम संख्याएँ होती हैं और जिसके दाहिने सेट में केवल 1 से अधिक संख्याएँ होती हैं; जन्मदिन की संपत्ति का अर्थ है कि यह उत्पाद 1 का एक रूप है।

इतना ही नहीं बाकी सभी परिमेय संख्याएँ S में दिखाई देती हैंω; शेष परिमित वास्तविक संख्याएँ भी ऐसा करती हैं। उदाहरण के लिए,
 * $$ \pi = \left\{ 3, \tfrac{25}{8},\tfrac{201}{64}, \ldots \mid 4, \tfrac{7}{2}, \tfrac{13}{4}, \tfrac{51}{16},\ldots \right\}. $$

S में एकमात्र अनन्तताएँω ω और −ω हैं; परंतु S में अन्य अवास्तविक संख्याएँ हैंω असली के बीच। एस में सबसे छोटी सकारात्मक संख्या पर विचार करेंω:
 * $$ \varepsilon = \{ S_- \cup S_0 \mid S_+ \} = \left\{ 0 \mid 1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \ldots \right\} = \{ 0 \mid y \in S_* : y > 0 \}$$.

यह संख्या शून्य से बड़ी है किन्तु सभी धनात्मक द्विअंशों से कम है। इसलिए यह एक अपरिमेय संख्या है, जिसे अधिकांशतः ε लेबल किया जाता है। ε का ω-पूर्ण रूप (क्रमशः −ε) 0 के ω-पूर्ण रूप के समान है, अतिरिक्त इसके कि 0 बाएं (क्रमशः दाएं) सेट में सम्मलित है। एस में एकमात्र शुद्ध अपरिमेयω ε हैं और इसका योज्य व्युत्क्रम −ε; उन्हें किसी भी डायाडिक भिन्न y में जोड़ने से संख्या y ± ε बनती है, जो S में भी होती हैω.

प्राप्त करने के लिए उनमें से विशेष रूपों को गुणा करके ω और ε के बीच संबंध निर्धारित कर सकते हैं:
 * ω · ε = { ε · एस+ | ओह एस+ + एस∗ + ई · एस∗ }.

यह अभिव्यक्ति केवल एक सेट थ्योरी में अच्छी प्रकार से परिभाषित है जो एस तक ट्रांसफिनिट इंडक्शन की अनुमति देती हैω2. ऐसी प्रणाली में, कोई यह प्रदर्शित कर सकता है कि ωS के बाएँ सेट के सभी तत्वω·एसωε धनात्मक अपरिमित हैं और सही समुच्चय के सभी अवयव धनात्मक अनंत हैं, और इसलिए ωSω·एसωε सबसे पुरानी सकारात्मक परिमित संख्या है, 1. नतीजतन, $1⁄ε$ = ω. कुछ लेखक व्यवस्थित रूप से ω का उपयोग करते हैं−1 प्रतीक ε के स्थान पर।

Sω की सामग्री
कोई भी x = { L | दिया गया है आर} Sωमें, निम्न में से कोई एक सत्य है:
 * L और R दोनों रिक्त हैं, इस स्थिति में x = 0;
 * R रिक्त है और कुछ पूर्णांक n ≥ 0, L के प्रत्येक अवयव से बड़ा है, इस स्थिति में x ऐसे सबसे छोटे पूर्णांक n के बराबर है;
 * R रिक्त है और कोई भी पूर्णांक n, L के प्रत्येक अवयव से बड़ा नहीं है, इस स्थिति में x +ω के बराबर है;
 * L रिक्त है और कुछ पूर्णांक n ≤ 0, R के प्रत्येक अवयव से कम है, इस स्थिति में x ऐसे सबसे बड़े पूर्णांक n के बराबर है;
 * L रिक्त है और कोई भी पूर्णांक n, R के प्रत्येक अवयव से कम नहीं है, इस स्थिति में x −ω के बराबर है;
 * L और R दोनों खाली नहीं हैं, और:
 * कुछ डायाडिक अंश y सख्ती से L और R (L के सभी तत्वों से अधिक और R के सभी तत्वों से कम) के बीच है, इस स्थितियों में x सबसे पुराने डायाडिक अंश y के बराबर है;
 * एल और आर के बीच कोई डायाडिक अंश y नहीं है, किन्तु कुछ डायाडिक अंश हैं $$ y \in L$$ एल के सभी तत्वों से अधिक या बराबर है और आर के सभी तत्वों से कम है, इस स्थितियों में एक्स y + ε के बराबर है;
 * एल और आर के बीच कोई डायाडिक अंश y नहीं है, किन्तु कुछ डायाडिक अंश हैं $$ y \in R$$ एल के सभी तत्वों से अधिक है और आर के सभी तत्वों से कम या बराबर है, इस स्थिति में x बराबर y − ε है;
 * प्रत्येक डायाडिक अंश या तो R के किसी तत्व से अधिक है या L के किसी तत्व से कम है, इस स्थितियों में x कुछ वास्तविक संख्या है जिसका डायाडिक अंश के रूप में कोई प्रतिनिधित्व नहीं है।

Sω एक बीजगणितीय क्षेत्र नहीं है, क्योंकि यह अंकगणितीय संक्रियाओं के अनुसार बंद नहीं है; ω+1 पर विचार करें, जिसका रूप
 * $$\omega + 1 = \{ 1, 2, 3, 4, ... \mid {} \} + \{ 0 \mid{} \} = \{ 1, 2, 3, 4, \ldots, \omega \mid {} \}$$

Sω में किसी भी संख्या में नहीं आता है. S का अधिकतम उपसमुच्चयω अंकगणितीय संक्रियाओं की (परिमित श्रृंखला) के अनुसार बंद किया गया वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र है, जो अनंत ±ω, अत्यल्प ±ε, और अत्यल्प पड़ोसी y ± ε प्रत्येक गैर-शून्य डाईडिक अंश y को छोड़कर प्राप्त किया जाता है।

वास्तविक संख्याओं का यह निर्माण वास्तविक विश्लेषण के डेडेकिंड कट्स से अलग है जिसमें यह सामान्य परिमेय के अतिरिक्त डाइएडिक अंशों से प्रारंभ होता है और स्वाभाविक रूप से Sωमें प्रत्येक डायडिक अंश की पहचान करता है। पिछली पीढ़ियों में इसके रूपों के साथ। (Sω के वास्तविक तत्वों के ω-पूर्ण रूपω डेडेकाइंड कट्स द्वारा प्राप्त वास्तविकताओं के साथ एक-से-एक पत्राचार में हैं, परंतुक के अनुसार कि तर्कसंगत संख्याओं के अनुरूप डेडेकाइंड रियल को उस रूप में दर्शाया जाता है जिसमें कट पॉइंट को बाएं और दाएं दोनों सेटों से हटा दिया जाता है।) परिमेय नहीं हैं। असली निर्माण में एक पहचान योग्य चरण; वे केवल S के उपसमुच्चय Qω हैं जिसमें सभी अवयव x हैं जैसे कि x b = a कुछ a और कुछ अशून्य b के लिए, दोनों को S से लिया गया है∗. यह प्रदर्शित करके कि क्यू वास्तविक अंकगणितीय संक्रियाओं के व्यक्तिगत दोहराव के अनुसार बंद है, कोई यह दिखा सकता है कि यह एक क्षेत्र है; और यह दिखा कर कि Q का हर तत्व एस से पहुंचा जा सकता है∗ गुणात्मक व्युत्क्रम सहित अंकगणितीय संक्रियाओं की एक परिमित श्रृंखला (वास्तव में दो से अधिक नहीं) द्वारा, कोई यह दिखा सकता है कि Q, Sω के सबसेट से सख्ती से छोटा है यथार्थ से पहचाना जाता है।

सेट Sω वास्तविक संख्या R के समान प्रमुखता है। इसे Sω से विशेषण मैपिंग प्रदर्शित करके प्रदर्शित किया जा सकता है R के बंद इकाई अंतराल I और इसके विपरीत। मैपिंग Sω I नियमित है; नक्शा संख्या ε से कम या बराबर (−ω सहित) से 0 तक, संख्या 1 से अधिक या बराबर − ε (ω सहित) से 1 तक, और ε और 1 − ε के बीच की संख्या I में उनके समकक्ष के लिए (अत्यधिक पड़ोसियों को मैप करना) y±ε प्रत्येक युग्मक भिन्न y का, स्वयं y के साथ, y तक)। I को Sω पर मैप करने के लिए, (खुले) केंद्रीय तीसरे को मैप करें ($1⁄3$, $2⁄3$) का I पर { | } = 0; केंद्रीय तीसरा ($7⁄9$, $8⁄9$) ऊपरी तीसरे से { 0 | } = 1; इत्यादि। यह S के प्रत्येक तत्व पर I के एक गैर-खाली खुले अंतराल को मैप करता है∗, नीरस। I के अवशेषों में कैंटर सेट 2ω होता है, जिनमें से प्रत्येक बिंदु को केंद्रीय-तीसरे अंतराल के बाएँ और दाएँ सेट में एक विभाजन द्वारा विशिष्ट रूप से पहचाना जाता है, ठीक एक रूप के अनुरूप { L Sω. यह कैंटर सेट को जन्मदिन ω के साथ वास्तविक संख्याओं के सेट के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखता है।

ट्रांसफिनिट इंडक्शन
एस से परे ट्रांसफिनिट इंडक्शन करना जारी रखनाω अधिक क्रमिक संख्या α उत्पन्न करता है, प्रत्येक जन्मदिन α वाले सबसे बड़े वास्तविक संख्या के रूप में दर्शाया जाता है। (यह अनिवार्य रूप से ट्रांसफिनिट इंडक्शन से उत्पन्न क्रमिक संख्याओं की परिभाषा है।) ऐसा पहला क्रमसूचक है ω+1 = { ω | }. पीढ़ी ω+1 में एक और सकारात्मक अनंत संख्या है:
 * ω − 1 = { 1, 2, 3, 4, ... | ω}.

वास्तविक संख्या ω − 1 एक क्रमसूचक नहीं है; क्रमसूचक ω किसी भी क्रमसूचक का उत्तराधिकारी नहीं है। यह जन्मदिन ω+1 के साथ एक अवास्तविक संख्या है, जिसे ω − 1 लेबल किया जाता है, इस आधार पर कि यह योग के साथ मेल खाता है } और −1 = {. इसी तरह, जनरेशन ω + 1 में दो नई अपरिमेय संख्याएँ हैं:
 * 2ε = ε + ε = { ε | 1 + ई, $1⁄2$ + ई, $1⁄4$ + ई, $1⁄8$ + ई, ...} और
 * $ε⁄2$ = ई · $1⁄2$ = { 0 | ε}.

ट्रांसफिनिट इंडक्शन के बाद के चरण में, सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए ω + k से बड़ी संख्या होती है:
 * 2ω = ω + ω = { ω+1, ω+2, ω+3, ω+4, ... | }

इस संख्या को ω + ω दोनों के रूप में लेबल किया जा सकता है क्योंकि इसका जन्मदिन ω + ω है (पहला क्रमिक संख्या ω से उत्तराधिकारी संक्रिया द्वारा प्राप्त नहीं की जा सकती) और क्योंकि यह ω और ω के वास्तविक योग के साथ मेल खाता है; इसे 2ω भी लेबल किया जा सकता है क्योंकि यह के उत्पाद के साथ मेल खाता है } और }. यह दूसरी सीमा क्रमसूचक है; निर्माण चरण के माध्यम से इसे ω से प्राप्त करने के लिए एक ट्रांसफिनिट प्रेरण की आवश्यकता होती है
 * $$\bigcup_{k < \omega} S_{\omega + k}$$

इसमें अनंत सेटों का एक अनंत मिलन सम्मलित है, जो कि आवश्यक पिछले ट्रांसफिनिट इंडक्शन की समानता में एक मजबूत सेट सैद्धांतिक ऑपरेशन है।

ध्यान दें कि पारंपरिक जोड़ और अध्यादेशों का गुणन हमेशा इन परिचालनों के साथ उनके असली प्रतिनिधित्व पर मेल नहीं खाता है। ऑर्डिनल्स 1 + ω का योग ω के बराबर है, किन्तु वास्तविक योग क्रमविनिमेय है और 1 + ω = ω + 1 > ω उत्पन्न करता है। क्रमसूचकों से जुड़ी अवास्तविक संख्याओं का जोड़ और गुणन, क्रमवाचक अंकगणित क्रमसूचकों की प्राकृतिक संक्रियाओं के साथ मेल खाता है।

जिस प्रकार किसी प्राकृतिक संख्या n के लिए 2ω ω+n से बड़ा है, उसी प्रकार एक असली संख्या भी है $ω⁄2$ जो अनंत है किन्तु किसी प्राकृतिक संख्या n के लिए ω − n से छोटा है। वह है, $ω⁄2$ द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $ω⁄2$ = { एस∗ | ω - एस∗ }

जहाँ दायीं ओर अंकन x - Y का अर्थ करने के लिए प्रयोग किया जाता है { x − y : y ∈ Y }. इसे ω के गुणनफल और { 0 | के रूप में पहचाना जा सकता है 1 } का $1⁄2$. का जन्मदिन $ω⁄2$ सीमा क्रमसूचक ω2 है।

ω की शक्तियाँ और कॉनवे सामान्य रूप
अनंत और अतिसूक्ष्म वास्तविक संख्याओं के क्रम को वर्गीकृत करने के लिए, जिसे आर्किमिडीयन संपत्ति वर्ग के रूप में भी जाना जाता है, कॉनवे प्रत्येक वास्तविक संख्या x वास्तविक संख्या से जुड़ा हुआ है जहाँ r और s का परिधि धनात्मक वास्तविक संख्याओं से अधिक है। यदि x < y तो ωy ω से अपरिमित रूप से बड़ा हैx, इसमें यह r ωx से बड़ा है सभी वास्तविक संख्याओं के लिए r. ωx की घातें भी शर्तों को पूरा करती हैं इसलिए वे उस प्रकार से व्यवहार करते हैं जिस प्रकार से शक्तियों से व्यवहार की अपेक्षा की जाती है।
 * ωx = { 0, r ω xL | इसलिए xR },
 * ωएक्स  ओ वाई = ω एक्स+वाई,
 * ओह−x = $1⁄ω^{x}$,

ω की प्रत्येक शक्ति में अपने आर्किमिडीयन वर्ग में सबसे सरल असली संख्या होने की रिडीमिंग सुविधा भी है; इसके विपरीत, वास्तविक संख्या के भीतर प्रत्येक आर्किमिडीयन वर्ग में एक अद्वितीय सरलतम सदस्य होता है। इस प्रकार, प्रत्येक सकारात्मक वास्तविक संख्या x के लिए हमेशा कुछ सकारात्मक वास्तविक संख्या r और कुछ वास्तविक संख्या y उपस्थित रहेगी जिससे x − rωy x से असीम रूप से छोटा है। घातांक y, x का आधार ω लघुगणक है, जो धनात्मक अतियथार्थियों पर परिभाषित है; यह प्रदर्शित किया जा सकता है कि logω सकारात्मक अतियथार्थियों को अतियथार्थियों पर मानचित्रित करता है और वह भी
 * लकड़ी का लट्ठाω(xy) = लॉगω(एक्स) + लॉगω(य).

यह ट्रांसफिनिट इंडक्शन द्वारा विस्तारित हो जाता है जिससे प्रत्येक वास्तविक संख्या में क्रमिक अंकगणित के अनुरूप सामान्य रूप हो ऑर्डिनल संख्याओं के लिए सामान्य रूप। यह कॉनवे सामान्य रूप है: प्रत्येक वास्तविक संख्या x को विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है
 * एक्स = आर0ωy0 + आर1ω y1 + ...,

जहां हर Rα एक अशून्य वास्तविक संख्या है और yαअसली संख्या का एक सख्ती से घटता क्रम बनाते हैं। चूंकि, इस राशि में अपरिमित रूप से कई पद हो सकते हैं, और सामान्यतः एक इच्छानुसार क्रमिक संख्या की लंबाई होती है। (शून्य निश्चित रूप से एक खाली अनुक्रम के स्थितियों से मेल खाता है, और बिना किसी प्रमुख प्रतिपादक के एकमात्र वास्तविक संख्या है।)

इस विधि से देखा गया, वास्तविक संख्या एक औपचारिक शक्ति श्रृंखला के समान है, अतिरिक्त इसके कि घातांकों के घटते क्रम को एक क्रमसूचक द्वारा लंबाई में बांधा जाना चाहिए और उन्हें ऑर्डिनल्स के वर्ग के रूप में लंबे समय तक रहने की अनुमति नहीं है। यह हान श्रृंखला के रूप में वास्तविक संख्याओं के सूत्रीकरण का आधार है।

अंतराल और निरंतरता
वास्तविक संख्याओं के विपरीत, वास्तविक संख्याओं के एक (उचित) उपसमुच्चय में कम से कम ऊपरी (या निचला) बाउंड नहीं होता है जब तक कि इसमें अधिकतम (न्यूनतम) तत्व न हो। कॉनवे परिभाषित करता है { L | के रूप में एक अंतर R } ऐसा है कि L का प्रत्येक अवयव R के प्रत्येक अवयव से कम है, और $$ L \cup R = \mathbb{No}$$; यह कोई संख्या नहीं है क्योंकि कम से कम एक भुजा एक उचित वर्ग है। चूंकि समान, अंतराल देदेकिंड कटौती के समान नहीं हैं, किन्तु हम अभी भी पूर्णता के बारे में बात कर सकते हैं $$\mathbb{No}_\mathfrak{D}$$ प्राकृतिक क्रम के साथ असली संख्या जो एक (उचित वर्ग-आकार) रैखिक सातत्य है।

उदाहरण के लिए कम से कम सकारात्मक अनंत असली नहीं है, किन्तु अंतराल है


 * $$ \{ x : \exists n \in \mathbb N : x < n\mid x : \forall n\in \mathbb N : x > n \} $$

सभी वास्तविक संख्याओं से अधिक है और सभी सकारात्मक अनंत अतियथार्थियों से कम है, और इस प्रकार वास्तविकताओं की सबसे कम ऊपरी सीमा है $$\mathbb{No}_\mathfrak{D}$$. इसी प्रकार अंतराल $$\mathbb{On} = \{ \mathbb{No} \mid{} \} $$ सभी अवास्तविक संख्याओं से बड़ा है। (यह एक पश्चिमी गूढ़वाद गणितीय मजाक है: अध्यादेशों के सामान्य निर्माण में, α, α से छोटे अध्यादेशों का समूह है, और हम इस तुल्यता का उपयोग लिखने के लिए कर सकते हैं } असली में; $$\mathbb{On}$$ क्रमिक संख्याओं के वर्ग को दर्शाता है, और क्योंकि $$\mathbb{On}$$ कोफिनल (गणित) में है $$\mathbb{No}$$ अपने पास $$ \{ \mathbb{No} \mid {} \} = \{ \mathbb{On} \mid {} \} = \mathbb{On}$$ विस्तारण द्वारा।)

थोड़ी सी सेट-सैद्धांतिक देखभाल के साथ, $$\mathbb{No}$$ एक टोपोलॉजी से लैस किया जा सकता है जहां खुले सेट खुले अंतराल के संघ होते हैं (उचित सेटों द्वारा अनुक्रमित) और निरंतर कार्यों को परिभाषित किया जा सकता है। कॉची अनुक्रम के समतुल्य को भी परिभाषित किया जा सकता है, चूंकि उन्हें क्रमसूचकों के वर्ग द्वारा अनुक्रमित किया जाना है; ये हमेशा अभिसरण करेंगे, किन्तु सीमा या तो एक संख्या या अंतर हो सकती है जिसे व्यक्त किया जा सकता है
 * $$\sum_{\alpha\in\mathbb{No}} r_\alpha \omega^{a_\alpha}$$

के साथα कम हो रहा है और इसमें कोई निचली सीमा नहीं है $$\mathbb{No}$$. (ऐसे सभी अंतरालों को स्वयं कॉची अनुक्रमों के रूप में समझा जा सकता है, किन्तु अन्य प्रकार के अंतराल भी हैं जो सीमा नहीं हैं, जैसे कि ∞ और $$\mathbb{On}$$).

घातीय कार्य
मार्टिन डेविड क्रुस्कल द्वारा अप्रकाशित कार्य के आधार पर, एक निर्माण (ट्रांसफिनिट इंडक्शन द्वारा) जो वास्तविक घातांक प्रकार्य ऍक्स्प (x) (आधार ई के साथ) को अवास्तविक तक बढ़ाता है, गोनशोर द्वारा किया गया था।

अन्य घातांक
ω की शक्तियाँ | ω फलन की शक्तियाँ भी एक चरघातांकी फलन है, किन्तु वास्तविक पर फलन के विस्तार के लिए वांछित गुण नहीं हैं। चूंकि, बेस-ई एक्सपोनेंशियल के विकास में इसकी आवश्यकता होगी, और यह वह कार्य है जिसका अर्थ है जब भी संकेतन ωx का प्रयोग निम्नलिखित में किया जाता है।

जब y एक द्विअर्थी अंश है, तो शक्ति कार्य करती है x ∈ $\mathbb{No}$, x ↦ xy गुणन, गुणक व्युत्क्रम और वर्गमूल से बना हो सकता है, जिनमें से सभी को आगमनात्मक रूप से परिभाषित किया जा सकता है। इसके मूल्य पूरी प्रकार से बुनियादी संबंध से निर्धारित होते हैं xy+z = xy · xz, और जहां परिभाषित किया गया है, यह आवश्यक रूप से किसी भी अन्य घातांक से सहमत है जो उपस्थित हो सकता है।

बेसिक इंडक्शन
असली एक्सपोनेंशियल के लिए इंडक्शन चरण वास्तविक एक्सपोनेंशियल के लिए श्रृंखला विस्तार पर आधारित हैं,
 * $$\exp x = \sum_{n\ge 0} \frac{x^n}{n!}$$

अधिक विशिष्ट रूप से वे आंशिक योग जिन्हें बुनियादी बीजगणित द्वारा सकारात्मक दिखाया जा सकता है किन्तु बाद के सभी योगों से कम। x धनात्मक के लिए इन्हें [x]n निरूपित किया जाता हैऔर सभी आंशिक रकम सम्मलित करें; x ऋणात्मक किन्तु परिमित के लिए, [x]2n+1 सकारात्मक वास्तविक भाग (जो हमेशा उपस्थित है) के साथ पहले चरण से प्रारंभ होने वाली श्रृंखला में विषम चरणों को दर्शाता है। एक्स ऋणात्मक अनंत के लिए विषम संख्या वाले आंशिक योग सख्ती से घट रहे हैं और [x]2n+1 नोटेशन खाली सेट को दर्शाता है, किन्तु यह पता चला है कि इंडक्शन में संबंधित तत्वों की आवश्यकता नहीं है।

रिश्ते जो वास्तविक होते हैं x < y फिर वे
 * exp x · [y – x]n < exp y

और
 * exp y · [x – y]2n + 1 < exp x,

और इसे परिभाषा के साथ अतियथार्थियों तक बढ़ाया जा सकता है


 * $$ \exp z = \{0, \exp z_L \cdot [z-z_L]_n, \exp z_R\cdot[z-z_R]_{2n+1} \mid \exp z_R/[z_R-z]_n, \exp z_L/[z_L-z]_2n+1 \}. $$

यह सभी वास्तविक तर्कों के लिए अच्छी प्रकार से परिभाषित है (मान उपस्थित है और z की पसंद पर निर्भर नहीं करता हैL और ZR).

परिणाम
इस परिभाषा का उपयोग करते हुए, निम्नलिखित धारण करता है:
 * ऍक्स्प एक सख्ती से बढ़ता सकारात्मक कार्य है, x < y ⇒ 0 < exp x < exp y
 * ऍक्स्प संतुष्ट exp(x+y) = exp x · exp y
 * ऍक्स्प एक अनुमान है (onto $$\mathbb{No}_+$$) और एक अच्छी प्रकार से परिभाषित प्रतिलोम है, log = exp–1
 * ऍक्स्प वास्तविक पर सामान्य घातीय कार्य के साथ मेल खाता है (और इस प्रकार exp 0 = 1, exp 1 = e)
 * एक्स इनफिनिटसिमल के लिए, ऍक्स्प की औपचारिक शक्ति श्रृंखला (टेलर विस्तार) का मूल्य अच्छी प्रकार से परिभाषित है और आगमनात्मक परिभाषा के साथ मेल खाता है
 * जब x को कॉनवे सामान्य रूप में दिया जाता है, तो परिणाम में घातांकों का सेट सुव्यवस्थित होता है और गुणांक परिमित योग होते हैं, सीधे परिणाम का सामान्य रूप देते हैं (जिसमें एक अग्रणी 1 होता है)
 * इसी प्रकार, x के लिए असीम रूप से 1 के निकट, log x की शक्ति श्रृंखला विस्तार द्वारा दिया जाता है x – 1
 * धनात्मक अपरिमित x के लिए, ऍक्स्प x भी अपरिमित है
 * यदि x का रूप ω हैα (α > 0), ऍक्स्प x का रूप ω हैω β जहां β α का सख्ती से बढ़ता हुआ कार्य है। वास्तव में एक आगमनात्मक रूप से परिभाषित आक्षेप है g: $\mathbb{No}_+$ → $\mathbb{No}$ : α ↦ β जिसका व्युत्क्रम भी आगमनात्मक रूप से परिभाषित किया जा सकता है
 * यदि x सामान्य रूप से शुद्ध अनंत है x = Σα<βrαωaα कहां कहां aα > 0, तब exp x = ωΣα<βrαω g(aα)
 * इसी प्रकार, के लिए x = ωΣα<βrαω bα, व्युत्क्रम द्वारा दिया गया है log x = Σα<βrαωg –1(bα)
 * किसी भी वास्तविक संख्या को एक शुद्ध अनंत, एक वास्तविक और एक अतिसूक्ष्म भाग के योग के रूप में लिखा जा सकता है, और घातीय ऊपर दिए गए आंशिक परिणामों का उत्पाद है
 * सामान्य रूप को अनंत भाग (ω की एक एकल शक्ति) को गुणा करके लिखा जा सकता है और वास्तविक घातीय शक्ति श्रृंखला में असीम रूप से परिणामित किया जा सकता है
 * इसके विपरीत, सामान्य रूप के अग्रणी पद को विभाजित करने से कोई भी वास्तविक संख्या रूप में आ जाएगी (ωΣγ<δtγω bγ )·r·(1 + Σα<βsαωaα), के लिए aα < 0, जहां प्रत्येक कारक का एक रूप है जिसके लिए लघुगणक की गणना करने का एक विधि ऊपर दिया गया है; योग तो सामान्य लघुगणक है
 * जबकि लॉग की कोई सामान्य आगमनात्मक परिभाषा नहीं है (एक्सप के विपरीत), ऐसी परिभाषाओं के संदर्भ में आंशिक परिणाम दिए गए हैं। इस तरह, लघुगणक की स्पष्ट रूप से गणना की जा सकती है, इस तथ्य के संदर्भ के बिना कि यह घातांक का व्युत्क्रम है।
 * चरघातांकी फलन किसी परिमित शक्ति से कहीं अधिक होता है
 * किसी भी सकारात्मक अनंत x और किसी परिमित n के लिए, exp(x)/xn अनंत है
 * किसी भी पूर्णांक n और वास्तविक x > n के लिए2, ऍक्स्प(x) > xn. यह मजबूत बाधा वास्तविक घातीय क्षेत्र के लिए रिसेयरे स्वयंसिद्धों में से एक है * ऍक्स्प वास्तविक चरघातांकी क्षेत्र के लिए सभी रिसेयरे स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है ** घातीय के साथ अतियथार्थवादी वास्तविक घातीय क्षेत्र का एक प्रारंभिक विस्तार है
 * ε के लिएβ एक क्रमसूचक एप्सिलॉन संख्या, εβ से कम जन्मदिन वाली वास्तविक संख्याओं का समूह एक ऐसे क्षेत्र का गठन करें जो चरघातांकियों के अंतर्गत बंद है, और इसी प्रकार वास्तविक चरघातांकी क्षेत्र का प्राथमिक विस्तार है

उदाहरण
असली एक्सपोनेंशियल अनिवार्य रूप से ω की सकारात्मक शक्तियों पर इसके व्यवहार द्वारा दिया जाता है, यानी, फ़ंक्शन जी (ए), परिमित संख्याओं पर जाने-माने व्यवहार के साथ संयुक्त। केवल पूर्व के उदाहरण दिए जाएंगे। इसके साथ ही, g(a) = a अपनी सीमा के एक बड़े हिस्से के लिए धारण करता है, उदाहरण के लिए सकारात्मक वास्तविक भाग के साथ किसी भी परिमित संख्या और किसी भी अनंत संख्या के लिए जो ω की कुछ पुनरावृत्त शक्ति से कम है (ωω · · ω कुछ स्तरों के लिए)।
 * ऍक्स्प ω = ωओह
 * ऍक्स्प ओ1/ω = ω और लॉग ω = ω1/ω
 * ऍक्स्प (ω · लॉग ω) = ऍक्स्प (ω · ω1/ω) = ωω (1 + 1/ω)
 * इससे पता चलता है कि ω फलन की शक्ति ऍक्स्प के साथ संगत नहीं है, क्योंकि संगतता ω के मान की मांग करेगी ओह यहाँ
 * ऍक्स्प ई0 = ओω ε0 + 1
 * लॉग ई0 = ई0 / ओ

घातांक
एक सामान्य घातांक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है xy = exp(y · log x), जैसे भावों की व्याख्या देना 2ω = exp(ω · log 2) = ωlog 2 · ω. फिर से इस परिभाषा को ω फलन की घातों से अलग करना आवश्यक है, खासकर यदि ω आधार के रूप में हो सकता है।

सरकॉम्प्लेक्स नंबर
एक जटिल संख्या एक रूप की संख्या है $a + bi$, जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं और $i$ का वर्गमूल है $−1$. सर्कॉम्प्लेक्स संख्या बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड (गणित) (एक उचित वर्ग होने के अतिरिक्त ), समाकृतिकता (गणित) को बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र ट्रान्सेंडैंटल (गणित) तत्वों के उचित वर्ग द्वारा तर्कसंगत संख्याओं को विस्तारित करके उत्पन्न क्षेत्र के बीजगणितीय बंद करने के लिए बनाती है। क्षेत्र समरूपता तक, यह तथ्य किसी भी निश्चित सेट सिद्धांत के भीतर सर्कम्प्लेक्स संख्याओं के क्षेत्र को दर्शाता है।

गेम्स
वास्तविक संख्याओं की परिभाषा में एक प्रतिबंध है: L का प्रत्येक तत्व R के प्रत्येक तत्व से सख्ती से कम होना चाहिए। यदि यह प्रतिबंध हटा दिया जाता है तो हम खेलों के रूप में जाना जाने वाला एक अधिक सामान्य वर्ग उत्पन्न कर सकते हैं। सभी खेलों का निर्माण इस नियम के अनुसार किया जाता है:


 * निर्माण नियम: यदि 'एल' और 'आर' खेल के दो सेट हैं तो {एल | आर} एक खेल है।

जोड़, निषेध और समानता सभी वास्तविक संख्याओं और खेलों दोनों के लिए समान रूप से परिभाषित किए गए हैं।

प्रत्येक वास्तविक संख्या एक खेल है, किन्तु सभी खेल वास्तविक संख्या नहीं हैं, उदा. गेम स्टार (गेम थ्योरी)|{0 | 0} अवास्तविक संख्या नहीं है। खेलों का वर्ग असली की समानता में अधिक सामान्य है, और इसकी एक सरल परिभाषा है, किन्तु वास्तविक संख्याओं के कुछ अच्छे गुणों का अभाव है। वास्तविक संख्याओं का वर्ग एक क्षेत्र (गणित) बनाता है, किन्तु खेलों का वर्ग ऐसा नहीं करता है। अतियथार्थियों का कुल क्रम होता है: किन्हीं भी दो अतियथार्थियों को देखते हुए, वे या तो बराबर हैं, या एक दूसरे से बड़ा है। खेलों में केवल एक आंशिक क्रम होता है: ऐसे खेलों के जोड़े उपस्थित होते हैं जो न तो बराबर होते हैं, न ही एक दूसरे से बड़े और न ही कम। प्रत्येक अवास्तविक संख्या या तो धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य होती है। प्रत्येक खेल या तो सकारात्मक, नकारात्मक, शून्य खेल, या अस्पष्ट खेल (शून्य के साथ अतुलनीय, जैसे {1 | −1}) है।

एक खेल में एक चाल में वह खिलाड़ी सम्मलित होता है जिसकी चाल में एल (बाएं खिलाड़ी के लिए) या आर (दाएं खिलाड़ी के लिए) में उपलब्ध खेल में से एक खेल चुनना होता है और फिर इस चुने हुए खेल को दूसरे खिलाड़ी को पास करना होता है। एक खिलाड़ी जो हिल नहीं सकता क्योंकि पसंद खाली सेट से है वह हार गया है। एक सकारात्मक खेल बाएं खिलाड़ी के लिए एक जीत का प्रतिनिधित्व करता है, सही खिलाड़ी के लिए एक नकारात्मक खेल, दूसरे खिलाड़ी के लिए एक शून्य खेल और पहले खिलाड़ी के लिए एक अस्पष्ट खेल खेलता है।

यदि x, y, और z अवास्तविक हैं, और x = y, तो x z = y ज़। चूंकि, यदि x, y, और z खेल हैं, और x = y, तो यह हमेशा सत्य नहीं है कि x ' 'z = y z''. ध्यान दें कि = यहाँ समानता का मतलब है, पहचान नहीं।

कॉम्बिनेटरियल गेम थ्योरी के लिए आवेदन
वास्तविक संख्याएँ मूल रूप से गेम जाओ (बोर्ड गेम) के अध्ययन से प्रेरित थीं, और लोकप्रिय खेलों और असली चीजों के बीच कई संबंध हैं। इस खंड में, हम गणितीय वस्तु {L | के लिए बड़े अक्षरों वाले गेम का उपयोग करेंगे R}, और शतरंज या गो (बोर्ड गेम) जैसे मनोरंजक खेलों के लिए लोअरकेस गेम।

हम इन गुणों वाले खेलों पर विचार करते हैं:
 * दो खिलाड़ी (नाम बाएँ और दाएँ)
 * नियतात्मक (प्रत्येक चरण पर खेल पूरी प्रकार से खिलाड़ियों द्वारा चुने गए विकल्पों पर निर्भर करेगा, अतिरिक्त एक यादृच्छिक कारक के)
 * कोई छिपी हुई जानकारी नहीं (जैसे कार्ड या टाइल जो एक खिलाड़ी छुपाता है)
 * खिलाड़ी वैकल्पिक रूप से करवट लेते हैं (खेल एक बारी में कई चालों की अनुमति दे भी सकता है और नहीं भी)
 * हर खेल को सीमित संख्या में चालों के साथ समाप्त होना चाहिए
 * जैसे ही किसी खिलाड़ी के लिए कोई कानूनी चाल बाकी नहीं रह जाती, खेल समाप्त हो जाता है और वह खिलाड़ी हार जाता है

अधिकांश खेलों के लिए, प्रारंभिक बोर्ड की स्थिति किसी भी खिलाड़ी को कोई बड़ा लाभ नहीं देती है। जैसे-जैसे खेल आगे बढ़ता है और एक खिलाड़ी जीतना प्रारंभ करता है, बोर्ड की स्थितियाँ होंगी जिसमें उस खिलाड़ी को स्पष्ट लाभ होगा। खेलों का विश्लेषण करने के लिए, बोर्ड की प्रत्येक स्थिति के साथ एक खेल को जोड़ना उपयोगी होता है। किसी दिए गए स्थान का मान खेल {L|R} होगा, जहां L उन सभी पदों के मानों का समूह है, जिन पर बाएं से एक चाल में पहुंचा जा सकता है। इसी तरह, आर उन सभी पदों के मूल्यों का समूह है, जिन तक दायें द्वारा एक ही चाल में पहुँचा जा सकता है।

शून्य गेम (जिसे 0 कहा जाता है) वह गेम है जहां एल और आर दोनों खाली हैं, इसलिए आगे बढ़ने वाला खिलाड़ी (एल या आर) तुरंत हार जाता है। दो खेलों का योग G = { L1 | आर1} और एच = {एल2 | R2 } को गेम G + H = { L1 + H, G + L2 | के रूप में परिभाषित किया गया है R1 + H, G + R2} जहां स्थानांतरित करने वाला खिलाड़ी चुनता है कि प्रत्येक चरण में कौन सा खेल खेलना है, और हारने वाला अभी भी वह खिलाड़ी है जो बिना किसी कानूनी चाल के समाप्त होता है। दो खिलाड़ियों के बीच दो शतरंज बोर्डों की कल्पना की जा सकती है, जिसमें खिलाड़ी बारी-बारी से चाल चलते हैं, किन्तु पूरी स्वतंत्रता के साथ कि किस बोर्ड पर खेलना है। यदि जी खेल है {एल | आर}, -जी खेल है {-आर | −L}, यानी दो खिलाड़ियों की भूमिका उलट गई। सभी खेलों G के लिए G - G = 0 दिखाना आसान है (जहाँ G - H को G + (-H) के रूप में परिभाषित किया गया है)।

खेलों को खेलों से जोड़ने का यह सरल विधि एक बहुत ही रोचक परिणाम देता है। मान लीजिए कि दो पूर्ण खिलाड़ी दी गई स्थिति से प्रारंभ करते हुए एक खेल खेलते हैं जिसका संबद्ध खेल x है। हम सभी खेलों को चार वर्गों में इस प्रकार वर्गीकृत कर सकते हैं:


 * यदि x > 0 तो वामपंथी जीतेंगे, इससे कोई भेद नहीं पड़ता कि कौन पहले खेलता है।
 * यदि x < 0 तो राइट जीतेगा, इससे कोई भेद नहीं पड़ता कि कौन पहले खेलता है।
 * यदि x = 0 तो दूसरे स्थान पर जाने वाला खिलाड़ी जीत जाएगा।
 * यदि एक्स || 0 तो पहले जाने वाला खिलाड़ी जीत जाएगा।

अधिक सामान्यतः, हम G > H को G – H > 0 के रूप में परिभाषित कर सकते हैं, और इसी प्रकार <, = और || के लिए।

अंकन जी || H का अर्थ है कि G और H अतुलनीय हैं। जी || एच जी के बराबर है - एच || 0, यानी कि G > H, G < H और G = H सभी असत्य हैं। अतुलनीय खेलों को कभी-कभी एक-दूसरे के साथ भ्रमित करने वाला कहा जाता है, क्योंकि इसमें जो जोड़ा जाता है, उसके आधार पर एक खिलाड़ी द्वारा एक या दूसरे को पसंद किया जा सकता है। साइन (गणित) | धनात्मक, ऋणात्मक, या शून्य के विपरीत शून्य के साथ उलझे हुए गेम को फ़ज़ी गेम कहा जाता है। फ़ज़ी गेम का एक उदाहरण है स्टार (गेम थ्योरी)|स्टार (*)।

कभी-कभी जब कोई खेल अंत के निकट होता है, तो यह कई छोटे खेलों में विघटित हो जाता है जो परस्पर क्रिया नहीं करते हैं, अतिरिक्त इसके कि प्रत्येक खिलाड़ी की बारी उनमें से केवल एक में जाने की अनुमति देती है। उदाहरण के लिए, गो में, बोर्ड धीरे-धीरे टुकड़ों से भर जाएगा, जब तक कि खाली जगह के कुछ छोटे द्वीप न रह जाएं जहां एक खिलाड़ी चल सके। प्रत्येक द्वीप गो के एक अलग खेल की प्रकार है, जो बहुत छोटे बोर्ड पर खेला जाता है। यह उपयोगी होगा यदि प्रत्येक सबगेम का अलग-अलग विश्लेषण किया जा सके, और फिर परिणाम पूरे गेम का विश्लेषण देने के लिए संयुक्त हो। ऐसा करना आसान नहीं लगता। उदाहरण के लिए, दो उप खेल हो सकते हैं जहां जो भी पहले चलता है वह जीत जाता है, किन्तु जब उन्हें एक बड़े खेल में जोड़ दिया जाता है, तो यह अब पहला खिलाड़ी नहीं रह जाता है जो जीतता है। सौभाग्य से, इस विश्लेषण को करने का एक विधि है। निम्नलिखित प्रमेय लागू किया जा सकता है:


 * यदि कोई बड़ा खेल टूटता हैदो छोटे खेलों के लिए, और छोटे खेलों में x और y के खेल संबद्ध हैं, तो बड़े खेल में x + y का संबद्ध खेल होगा।

छोटे खेलों से बना एक खेल उन छोटे खेलों का वियोगात्मक योग कहलाता है, और प्रमेय कहता है कि हमारे द्वारा परिभाषित योग की विधि योगों के वियोगात्मक योग को लेने के बराबर है।

ऐतिहासिक रूप से, कॉनवे ने अतियथार्थवादी संख्याओं के सिद्धांत को उलटे क्रम में विकसित किया कि इसे यहां कैसे प्रस्तुत किया गया है। वह गो टर्म्स #Yose का विश्लेषण कर रहा था, और अनुभूत किया कि गैर-अंतःक्रियात्मक सबगेम्स के विश्लेषणों को उनके वियोगात्मक योग के विश्लेषण में संयोजित करने का कोई विधि उपयोगी होगा। इससे उन्होंने एक गेम की अवधारणा और इसके लिए अतिरिक्त ऑपरेटर का आविष्कार किया। वहां से वे निषेध और समानता की परिभाषा विकसित करने के लिए आगे बढ़े। फिर उन्होंने देखा कि खेलों के एक निश्चित वर्ग में दिलचस्प गुण थे; यह वर्ग वास्तविक संख्या बन गया। अंत में, उन्होंने गुणा ऑपरेटर विकसित किया, और सिद्ध किया कि असली वास्तव में एक क्षेत्र है, और इसमें वास्तविक और क्रम दोनों सम्मलित हैं।

वैकल्पिक अहसास
असली संख्या के लिए वैकल्पिक दृष्टिकोण खेल के संदर्भ में कॉनवे की प्रदर्शनी का पूरक है।

परिभाषाएं
जिसे अब वास्तविक संख्या का साइन-विस्तार या साइन-सीक्वेंस कहा जाता है, एक वास्तविक संख्या एक फ़ंक्शन (गणित) है जिसका फ़ंक्शन का डोमेन एक क्रमिक संख्या है और जिसका कोडोमेन {−1, +1} है। यह कॉनवे के L-R अनुक्रमों के समतुल्य है।

यदि x, y का एक उपसमुच्चय है, अर्थात यदि dom(x) < dom(y) और x(α) = y(α) सभी α < dom(x) के लिए है, तो x द्वारा संख्याओं की समानता में सरल द्विआधारी विधेय को y से सरल परिभाषित करें। ).

वास्तविक संख्याओं के लिए बाइनरी रिलेशन < को कोषगत आदेश के रूप में परिभाषित करें (सम्मेलन के साथ कि अपरिभाषित मान -1 से अधिक और 1 से कम हैं)। तो x < y यदि निम्न में से कोई एक धारण करता है:
 * x, y और y(dom(x)) = +1 से सरल है;
 * y, x और x(dom(y)) = −1 से आसान है;
 * एक संख्या z उपस्थित है जैसे कि z, x से सरल है, z, y से सरल है, x(dom(z)) = - 1 और y(dom(z)) = +1।

समान रूप से, मान लीजिए δ(x,y) = min({ dom(x), dom(y)} ∪ { α : α <डोम (एक्स) ∧ α <डोम (वाई) ∧ एक्स (α) ≠ वाई (α)}), जिससे x = y यदि और केवल यदि δ(x,y) = dom(x) = dom(y). फिर, संख्या x और y के लिए, x < y यदि और केवल यदि निम्न में से कोई एक धारण करता है:
 * δ(x,y) = डोम(x) ∧ δ(x,y) <डोम(y) ∧ y(δ(x,y)) = +1;
 * δ(x,y) <डोम(x) ∧ δ(x,y) = डोम(y) ∧ x(δ(x,y)) = -1;
 * δ(x,y) < dom(x) ∧ δ(x,y) < dom(y) ∧ x(δ(x,y)) = −1 ∧ y(δ(x,y)) = +1.

संख्या x और y के लिए, x ≤ y यदि और केवल यदि x < y ∨ x = y, और x > y यदि और केवल यदि y < x। साथ ही x ≥ y यदि और केवल यदि y ≤ x.

संबंध < सकर्मक संबंध है, और सभी संख्याओं x और y के लिए, x  y में से कोई एक, धारण करता है (ट्राइकोटॉमी का नियम (गणित))। इसका अर्थ है कि < एक रैखिक क्रम है (अतिरिक्त इसके कि < एक उचित वर्ग है)।

संख्याओं के सेट के लिए, L और R जैसे कि ∀x ∈ L ∀y ∈ R (x < y), एक अद्वितीय संख्या z उपस्थित है जैसे कि
 * ∀x ∈ एल (एक्स <जेड) ∧ ∀y ∈ आर (जेड <वाई),
 * किसी भी संख्या w के लिए जैसे कि ∀x ∈ L (x <w) ∧ ∀y ∈ R (w < y), w = z या z, w से सरल है।

इसके अतिरिक्त, z ट्रांसफिनिट इंडक्शन द्वारा L और R से रचनात्मक है। z, L और R के बीच सबसेट सरल संख्या है। अद्वितीय संख्या z को σ(L,R) द्वारा दर्शाया जाता है।

एक संख्या x के लिए, इसके बाएँ समुच्चय L(x) और दाएँ समुच्चय R(x) को परिभाषित करें
 * एल (एक्स) = {एक्स |α : α <डोम (एक्स) ∧ एक्स (α) = +1};
 * आर (एक्स) = {एक्स |α : α <डोम(x) ∧ x(α) = -1},

फिर σ(एल(एक्स),आर(एक्स)) = एक्स।

इस वैकल्पिक बोध का एक लाभ यह है कि समानता एक पहचान है, न कि आगमनात्मक रूप से परिभाषित संबंध। कॉनवे की वास्तविक संख्याओं की प्राप्ति के विपरीत, चूंकि, साइन-विस्तार के लिए अध्यादेशों के पूर्व निर्माण की आवश्यकता होती है, जबकि कॉनवे की प्राप्ति में, अध्यादेशों का निर्माण वास्तविक मामलों के विशेष मामलों के रूप में किया जाता है।

चूंकि, समान परिभाषाएं बनाई जा सकती हैं जो अध्यादेशों के पूर्व निर्माण की आवश्यकता को समाप्त करती हैं। उदाहरण के लिए, हम अतियथार्थ को कार्यों का (पुनरावर्ती रूप से परिभाषित) वर्ग होने दे सकते हैं जिसका डोमेन सकर्मक नियम को संतुष्ट करने वाले अतियथार्थियों का एक उपसमुच्चय है ∀g ∈ dom f (∀h ∈ dom g (h ∈ dom f )) और जिसका परिसर {-, +} है। सरल से अब बहुत सरल रूप से परिभाषित किया गया है- x y से सरल है यदि x ∈ dom y। कुल ऑर्डरिंग को Xऔर Y को ऑर्डर किए गए जोड़े के सेट के रूप में परिभाषित किया गया है (जैसा कि फ़ंक्शन सामान्य रूप से परिभाषित होता है): या तो x = y, या फिर वास्तविक संख्या z = x ∩ y x के डोमेन या y के डोमेन में है (या दोनों, किन्तु इस स्थितियों में संकेतों को असहमत होना चाहिए)। फिर हमारे पास x < y है यदि x(z) = - या y(z) = + (या दोनों)। इन कार्यों को साइन अनुक्रमों में परिवर्तित करना एक सीधा कार्य है; सरलता (अर्थात् समावेशन) के क्रम में डोम f के तत्वों को व्यवस्थित करें, और फिर उन संकेतों को लिखें जो इन तत्वों में से प्रत्येक को f असाइन करते हैं। क्रमसूचक तब स्वाभाविक रूप से उन वास्तविक संख्याओं के रूप में होते हैं जिनकी सीमा {+} है।

जोड़ और गुणा
दो संख्याओं का योग x + y, x और y, dom(x) और dom(y) पर x + y = σ(L,R) द्वारा आगमन द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां
 * एल = {यू + वाई: यू ∈ एल (एक्स)} ∪{ x + वी: वी ∈ एल (वाई)},
 * आर = {यू + वाई: यू ∈ आर(एक्स)} ∪{एक्स + वी: वी ∈ आर(वाई)}।

योज्य पहचान संख्या 0 = { } द्वारा दी गई है, यानी संख्या 0 अद्वितीय कार्य है जिसका डोमेन क्रमसूचक 0 है, और संख्या x का योगात्मक व्युत्क्रम संख्या -x है, जो dom(−x) = द्वारा दिया गया है dom(x), और, α < dom(x), (−x)(α) = −1 के लिए यदि x(α) = +1, और (−x)(α) = +1 यदि x(α) = -1।

यह इस प्रकार है कि एक संख्या x धनात्मक संख्या है यदि और केवल यदि 0 < dom(x) और x(0) = +1, और x ऋणात्मक संख्या है यदि और केवल यदि 0 < dom(x) और x(0) = - 1.

दो संख्याओं का उत्पाद xy, x और y, xy = σ(L,R) द्वारा dom(x) और dom(y) पर आगमन द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां
 * L = { uy + xv - uv : u ∈ L(x), v ∈ L(y) } ∪ { uy + xv - uv : u ∈ R(x), v ∈ R(y) },
 * R = {uy + xv - uv : u ∈ L(x), v ∈ R(y) } ∪ { uy + xv - uv : u ∈ R(x), v ∈ L(y)}।

गुणात्मक पहचान संख्या 1 = {(0,+1)} द्वारा दी गई है, यानी संख्या 1 में क्रमसूचक 1 के बराबर डोमेन है, और 1(0) = +1 है।

कॉनवे की प्राप्ति के साथ पत्राचार
कॉनवे के स्वाभिमानी संकेत विस्तार तक का नक्शा f({ L | R }) = σ(M,S), जहां M = { f(x) : x ∈ L } और S = { f(x) : x द्वारा दिया गया है ∈ आर}।

कॉनवे की प्राप्ति के लिए वैकल्पिक प्राप्ति से व्युत्क्रम मानचित्र g(x) = { L | द्वारा दिया गया है R }, जहाँ L = { g(y) : y ∈ L(x) } और R = { g(y) : y ∈ R(x)}।

स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण
अलिंग द्वारा दिए गए अतियथार्थियों के लिए एक अन्य दृष्टिकोण में, स्पष्ट निर्माण को पूरी प्रकार से दरकिनार कर दिया गया है। इसके अतिरिक्त, स्वयंसिद्धों का एक सेट दिया गया है कि अतियथार्थियों के लिए किसी विशेष दृष्टिकोण को संतुष्ट करना चाहिए। वास्तविक संख्याओं की प्रकार वास्तविक के लिए स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण, ये स्वयंसिद्ध समरूपता तक विशिष्टता की गारंटी देते हैं।

एक ट्रिपल $$\langle \mathbb{No}, \mathrm{<}, b \rangle$$ एक वास्तविक संख्या प्रणाली है यदि और केवल यदि निम्नलिखित हो:


 * < कुल ऑर्डर ओवर है $$\mathbb{No}$$
 * b एक फंक्शन है $$\mathbb{No}$$ सभी अध्यादेशों की कक्षा पर (बी को जन्मदिन समारोह कहा जाता है $$\mathbb{No}$$).
 * माना A और B इसके उपसमुच्चय हैं $$\mathbb{No}$$ जैसे कि सभी x ∈ A और y ∈ B के लिए, x < y (एलिंग की शब्दावली का प्रयोग करके, 〈 A,B 〉 का एक कॉनवे कट है $$\mathbb{No}$$). फिर एक अद्वितीय z ∈ उपस्थित है $$\mathbb{No}$$ जैसे कि b(z) न्यूनतम है और सभी x ∈ A और सभी y ∈ B के लिए, x < z < y। (इस स्वयंसिद्ध को अधिकांशतः कॉनवे की सरलता प्रमेय के रूप में जाना जाता है।)
 * इसके अतिरिक्त, यदि सभी x ∈ A, B के लिए कोई क्रमसूचक α b(x) से अधिक है, तो b(z) ≤ α। (एलिंग उस प्रणाली को कहते हैं जो इस स्वयंसिद्ध को पूर्ण वास्तविक संख्या प्रणाली को संतुष्ट करती है।)

कॉनवे के मूल निर्माण और अतियथार्थवाद के साइन-विस्तार निर्माण दोनों ही इन स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करते हैं।

इन स्वयंसिद्धों को देखते हुए, एलिंग कॉनवे की ≤ की मूल परिभाषा प्राप्त करता है और असली अंकगणित विकसित करता है।

सादगी पदानुक्रम
सादगी (पूर्वज) और ऑर्डरिंग संबंधों के साथ एक अधिकतम द्विआधारी छद्म वृक्ष के रूप में असली संख्या का निर्माण फिलिप एर्लिच के कारण है, एक पेड़ की सामान्य परिभाषा से अंतर यह है कि एक शीर्ष के पूर्वजों का सेट सुव्यवस्थित है, किन्तु इसमें एक अधिकतम तत्व (तत्काल पूर्ववर्ती) नहीं हो सकता है; दूसरे शब्दों में, उस सेट का क्रम प्रकार एक सामान्य क्रमिक संख्या है, न कि केवल एक प्राकृतिक संख्या। यह निर्माण एलिंग के स्वयंसिद्धों को भी पूरा करता है और आसानी से साइन-सीक्वेंस प्रतिनिधित्व के लिए मैप किया जा सकता है।

हैन श्रृंखला
एलिंग यह भी सिद्ध करता है कि वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र वास्तविक संख्याओं के मूल्य समूह पर वास्तविक गुणांकों के साथ हैन श्रृंखला के क्षेत्र में आइसोमॉर्फिक (एक आदेशित क्षेत्र के रूप में) है (एक असली संख्या के सामान्य रूप से संबंधित श्रृंखला प्रतिनिधित्व, परिभाषित के रूप में) ऊपर)। यह आदेशित क्षेत्र सिद्धांत के लिए वास्तविक संख्या और अधिक पारंपरिक गणितीय दृष्टिकोण के बीच एक संबंध प्रदान करता है।

यह समरूपता वास्तविक संख्याओं को एक मूल्यवान क्षेत्र में बनाती है जहां मूल्यांकन कॉनवे सामान्य रूप में अग्रणी शब्द के प्रतिपादक का योगात्मक व्युत्क्रम होता है, उदाहरण के लिए, ν(ω) = -1। वैल्यूएशन रिंग में परिमित वास्तविक संख्याएँ होती हैं (वास्तविक और/या एक असीम भाग वाली संख्याएँ)। संकेत व्युत्क्रम का कारण यह है कि कॉनवे सामान्य रूप में प्रतिपादक एक रिवर्स सुव्यवस्थित सेट का गठन करते हैं, जबकि हैन श्रृंखला मूल्य समूह के (गैर-उलट) सुव्यवस्थित उपसमुच्चय के रूप में तैयार की जाती है।

हाइपररियल्स से संबंध
फिलिप एर्लिच ने कॉनवे के अधिकतम वास्तविक संख्या क्षेत्र और वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट सिद्धांत में अधिकतम अतिवास्तविक क्षेत्र के बीच एक समरूपता का निर्माण किया है।

यह भी देखें

 * हाइपररियल नंबर
 * गैर मानक विश्लेषण

अग्रिम पठन

 * Donald Knuth's original exposition: Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness, 1974, ISBN 0-201-03812-9. More information can be found at the book's official homepage.
 * An update of the classic 1976 book defining the surreal numbers, and exploring their connections to games: John Conway, On Numbers And Games, 2nd ed., 2001, ISBN 1-56881-127-6.
 * An update of the first part of the 1981 book that presented surreal numbers and the analysis of games to a broader audience: Berlekamp, Conway, and Guy, Winning Ways for Your Mathematical Plays, vol. 1, 2nd ed., 2001, ISBN 1-56881-130-6.
 * Martin Gardner, Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers, W. H. Freeman & Co., 1989, ISBN 0-7167-1987-8, Chapter 4. A non-technical overview; reprint of the 1976 Scientific American article.
 * Polly Shulman, "Infinity Plus One, and Other Surreal Numbers", Discover, December 1995.
 * A detailed treatment of surreal numbers: Norman L. Alling, Foundations of Analysis over Surreal Number Fields, 1987, ISBN 0-444-70226-1.
 * A treatment of surreals based on the sign-expansion realization: Harry Gonshor, An Introduction to the Theory of Surreal Numbers, 1986, ISBN 0-521-31205-1.
 * A detailed philosophical development of the concept of surreal numbers as a most general concept of number: Alain Badiou, Number and Numbers, New York: Polity Press, 2008, ISBN 0-7456-3879-1 (paperback), ISBN 0-7456-3878-3 (hardcover).
 * The surreal numbers are studied in the context of homotopy type theory in section 11.6.

बाहरी संबंध

 * Hackenstrings, and the 0.999... ?= 1 FAQ, by A. N. Walker, an archive of the disappeared original
 * A gentle yet thorough introduction by Claus Tøndering
 * Good Math, Bad Math: Surreal Numbers, a series of articles about surreal numbers and their variations
 * Conway's Mathematics after Conway, survey of Conway's accomplishments in the AMS Notices, with a section on surreal numbers