संशोधित नोडल विश्लेषण

विद्युत अभियन्त्रण में संशोधित नोडल विश्लेषण या एमएनए नोडल विश्लेषण का एक विस्तार है जो न केवल परिपथ के नोड वोल्टेज (क्लासिकल नोडल विश्लेषण के अनुसार) को निर्धारित करता है किंतु कुछ शाखा धाराओं को भी निर्धारित करता है। नोडल विश्लेषण (जैसे वोल्टेज-नियंत्रित वोल्टेज स्रोत) में वोल्टेज-परिभाषित घटकों का प्रतिनिधित्व करने की कठिनाई को कम करने के लिए संशोधित नोडल विश्लेषण को एक औपचारिकता के रूप में विकसित किया गया था। यह एक ऐसी औपचारिकता है। अन्य जैसे विरल छवि सूत्रीकरण समान रूप से सामान्य हैं और आव्यूह परिवर्तनों के माध्यम से संबंधित हैं।

विधि
एमएनए तत्व के 'शाखा संवैधानिक समीकरण' या बीसीई का उपयोग करता है, अर्थात उनका वोल्टेज - विद्युत प्रवाह विशेषता और किरचॉफ के परिपथ नियम विधि अधिकांशतः चार चरणों में की जाती है किंतु इसे घटाकर तीन किया जा सकता है:

स्टेप 1

परिपथ के किरचॉफ के वर्तमान नियम समीकरण लिखिए। विद्युत परिपथ के प्रत्येक नोड पर नोड में आने और जाने वाली धाराओं को लिखें ध्यान रखें, चूंकि एमएनए पद्धति में, स्वतंत्र वोल्टेज स्रोतों की धारा प्लस से माइनस तक ली जाती है (चित्र 1 देखें) इसके अतिरिक्त ध्यान दें कि प्रत्येक समीकरण का दाहिना हाथ 'सदैव' शून्य के समान होता है, जिससे नोड में आने वाली शाखा धाराओं को ऋणात्मक संकेत दिया जाए और जो बाहर जाती हैं उन्हें सकारात्मक संकेत दिया जाए।

चरण दो

जितना संभव हो उतने शाखा धाराओं को समाप्त करने के लिए परिपथ के नोड वोल्टेज के संदर्भ में बीसीई का उपयोग करें। नोड वोल्टेज के संदर्भ में बीसीई लिखने से एक चरण की बचत होती है। यदि बीसीई को शाखा वोल्टेज के संदर्भ में लिखा गया था तो एक और कदम अर्थात नोड वाले के लिए शाखाओं के वोल्टेज को बदलना आवश्यक होगा। इस आलेख में अक्षर ई का उपयोग नोड वोल्टेज के नाम के लिए किया जाता है जबकि पत्र वी का उपयोग शाखा वोल्टेज के नाम के लिए किया जाता है।

चरण 3

अंत में, अप्रयुक्त समीकरण लिखिए।

उदाहरण
आंकड़ा एक आरसी श्रृंखला परिपथ दिखाता है और तालिका एक रैखिक प्रतिरोधी और एक रैखिक संधारित्र के बीसीई को दिखाती है। ध्यान दें कि प्रवेश अवरोध के स्थितियों में प्रवेश $$G$$ i, $$ G = 1/R$$ का उपयोग $$R$$ के अतिरिक्त किया जाता है।अब हम ऊपर बताए अनुसार आगे बढ़ते हैं।



स्टेप 1

इस स्थितियों में दो नोड हैं, $$e_1$$ और $$e_2$$. इसके अतिरिक्त तीन धाराएँ हैं: $$i_{V_s}$$, $$ i_{R}$$ और $$i_{C}$$हैं।

नोड e1 पर केसीएल का उत्पादन होता है:

$$i_{V_s} + i_R = 0$$

और नोड e2 पर:

$$-i_R + i_C = 0$$

चरण दो

तालिका में प्रदान किए गए बीसीई के साथ और यह देखते हुए कि:

$$ V_s = e_1 $$

$$ V_R = e_1 - e_2 $$

$$ V_C = e_2, $$

निम्नलिखित समीकरण परिणाम हैं:

$$G(e_1 - e_2) + i_{V_S} = 0$$

$$C\frac{de_2}{dt} + G(e_2 - e_1) = 0$$

चरण 3

ध्यान दें कि इस बिंदु पर दो समीकरण हैं किंतु तीन अज्ञात हैं। लापता समीकरण इस तथ्य से आता है कि

$$e_1 = V_s$$

और अंत में हमारे पास तीन समीकरण और तीन अज्ञात हैं, जो एक हल करने योग्य रैखिक प्रणाली की ओर ले जाते हैं।

संशोधित नोडल विश्लेषण और डीएई
यदि वेक्टर $$\mathbf{x} = \begin{pmatrix}e_1&e_2&i_{V_S}\end{pmatrix}^T$$ परिभाषित है, तो उपरोक्त समीकरणों को रूप में रखा जा सकता है

$$Ex'(t) + Ax(t) = f,$$

जहाँ $$A = \begin{pmatrix}G & -G& 1\\-G & G & 0\\1 & 0 & 0\end{pmatrix}$$, $$E = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0& C& 0\\ 0& 0& 0\end{pmatrix}$$ और $$f = \begin{pmatrix}0&0&V_s\end{pmatrix}^T$$.

यह एक रेखीय अवकल बीजगणितीय समीकरण (डीएई) है, क्योंकि $$E$$ एकवचन है। यह सिद्ध किया जा सकता है कि संशोधित नोडल विश्लेषण से आने वाले इस तरह के डीएई का विभेदन सूचकांक दो से कम या समान होगा जब तक कि केवल निष्क्रिय आरएलसी घटकों का उपयोग किया जाता है। सक्रिय घटकों का उपयोग करते समय जैसे परिचालन प्रवर्धक, विभेदन सूचकांक इच्छानुसार से उच्च हो सकता है।

गैर-स्मूथ विश्लेषण
डीएई व्यक्तिगत घटकों के लिए सुचारू कार्य विशेषताओं को मानता है; उदाहरण के लिए, डायोड या शॉकली डायोड समीकरण के माध्यम से डीएई के साथ एक डायोड को एमएनए में मॉडल/प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, किंतु एक स्पष्ट रूप से सरल (अधिक आदर्श) मॉडल का उपयोग नहीं किया जा सकता है वक्र के तेजी से घातीय आगे और टूटने वाले प्रवाहकत्त्व क्षेत्र सीधे सीधे लंबवत रेखाएं हैं। बाद के प्रकार के समीकरणों के साथ परिपथ विश्लेषण (एमएनए सहित) वास्तव में अधिक सम्मिलित है (डीएई का उपयोग करने से) और गैर-चिकनी गतिशील प्रणाली (एनएसडीएस) विश्लेषण का विषय है, जो अंतर समावेशन के सिद्धांत पर निर्भर करता है।