दीर्घ विभाजन

अंकगणित में, दीर्घ विभाजन एक मानक विभाजन एल्गोरिथ्म है जो बहु-अंकीय हिंदू-अरबी अंक प्रणाली को विभाजित करने के लिए उपयुक्त है। हिंदू-अरबी अंक (स्थितीय अंकन) जो हाथ से प्रदर्शन करने के लिए काफी सरल है। यह विभाजन (गणित) की समस्या को आसान चरणों की एक श्रृंखला में तोड़ देता है।

जैसा कि सभी विभाजन समस्याओं में, एक संख्या, जिसे विभाजन (गणित) कहा जाता है, को दूसरे से विभाजित किया जाता है, जिसे विभाजक कहा जाता है, जिससे भागफल कहा जाता है। यह सरल चरणों की एक श्रृंखला का पालन करके मनमाने ढंग से बड़ी संख्या में गणना करने में सक्षम बनाता है। दीर्घ विभाजन के संक्षिप्त रूप को लघु विभाजन कहा जाता है, जिसका प्रयोग लगभग हमेशा दीर्घ विभाजन के स्थान पर किया जाता है जब भाजक में केवल एक अंक होता है। चंकिंग (विभाजन) (जिसे आंशिक उद्धरण विधि या जल्लाद विधि के रूप में भी जाना जाता है) यूके में प्रमुख लंबे विभाजन का एक कम यांत्रिक रूप है जो विभाजन प्रक्रिया की अधिक समग्र समझ में योगदान देता है।

जबकि संबंधित एल्गोरिद्म 12वीं शताब्दी से अस्तित्व में हैं, आधुनिक उपयोग में विशिष्ट एल्गोरिदम हेनरी ब्रिग्स (गणितज्ञ) द्वारा पेश किया गया था c. 1600.

शिक्षा
सस्ते कैलकुलेटर और कंप्यूटर विभाजन की समस्याओं को हल करने का सबसे आम तरीका बन गए हैं, एक पारंपरिक गणितीय अभ्यास को खत्म कर रहे हैं, और कागज और पेंसिल तकनीकों द्वारा ऐसा करने का तरीका दिखाने के शैक्षिक अवसर को कम कर रहे हैं। (आंतरिक रूप से, वे डिवाइस विभिन्न प्रकार के डिवीजन एल्गोरिदम में से एक का उपयोग करते हैं, जो तेजी से कार्यों को प्राप्त करने के लिए सन्निकटन और गुणन पर भरोसा करते हैं।) संयुक्त राज्य अमेरिका में, लंबे विभाजन को विशेष रूप से डी-जोर, या यहां तक ​​कि उन्मूलन के लिए लक्षित किया गया है। स्कूली पाठ्यक्रम, सुधार गणित द्वारा, हालांकि परंपरागत रूप से चौथी या पांचवीं कक्षा में शुरू किया गया था।

विधि
अंग्रेजी बोलने वाले देशों में, लंबे विभाजन में विभाजन स्लैश का उपयोग नहीं होता है या विभाजन चिह्न  प्रतीकों के बजाय एक झांकी का निर्माण करता है। भाजक को दाहिने कोष्ठक द्वारा लाभांश से अलग किया जाता है  या  ऊर्ध्वाधर बार  ; लाभांश को विंकुलम (प्रतीक) (यानी, एक  overbar ) द्वारा भागफल से अलग किया जाता है। इन दो प्रतीकों के संयोजन को कभी-कभी लंबे विभाजन प्रतीक या विभाजन कोष्ठक के रूप में जाना जाता है। यह 18वीं शताब्दी में पहले के एकल-पंक्ति संकेतन से विकसित हुआ था जो लाभांश को बाएं कोष्ठक द्वारा भागफल से अलग करता था। भाजक द्वारा लाभांश के सबसे बाएं अंक को विभाजित करके प्रक्रिया शुरू की जाती है। भागफल (एक पूर्णांक तक गोल) परिणाम का पहला अंक बन जाता है, और शेष की गणना की जाती है (यह चरण घटाव के रूप में नोट किया जाता है)। यह शेषफल तब आगे बढ़ता है जब प्रक्रिया को लाभांश के निम्नलिखित अंक पर दोहराया जाता है (शेष के अगले अंक को 'नीचे लाने' के रूप में नोट किया जाता है)। जब सभी अंक संसाधित हो जाते हैं और कोई शेष नहीं रहता है, तो प्रक्रिया पूरी हो जाती है।

एक उदाहरण नीचे दिखाया गया है, जो 500 को 4 से विभाजित करता है (परिणाम 125 के साथ)।  <विस्तार शैली = रंग: लाल; >1 2 5 (स्पष्टीकरण) 4)500     4 ( 4 × 1 = 4)      <अवधि शैली = रंग: गहरा नारंगी; >1 0 ( 5 - 4 = 1 )       8 ( 4 × 2 = 8)       <अवधि शैली = रंग: डार्कसियान; >2 0 (10 - 8 = 2 )       20 ( 4 × 5 = 20)        0 (20 - 20 = 0)

चरणों का अधिक विस्तृत विश्लेषण इस प्रकार है:


 * 1) डिविडेंड, 500 के बाएं छोर से शुरू होने वाले अंकों का सबसे छोटा क्रम ज्ञात करें, जिसमें भाजक 4 कम से कम एक बार जाता है। इस मामले में, यह केवल पहला अंक है, 5। भाजक 4 को 5 से अधिक किए बिना गुणा किया जा सकने वाला सबसे बड़ा नंबर 1 है, इसलिए भागफल का निर्माण शुरू करने के लिए अंक 1 को 5 से ऊपर रखा जाता है।
 * 2) अगला, 1 को भाजक 4 से गुणा किया जाता है, सबसे बड़ी पूर्ण संख्या प्राप्त करने के लिए जो 5 (इस मामले में 4) से अधिक के बिना भाजक 4 का गुणक है। इस 4 को फिर 5 के नीचे रखा जाता है और 5 से घटाया जाता है, शेष 1 प्राप्त करने के लिए, जिसे 4 के नीचे 5 के नीचे रखा जाता है।
 * 3) बाद में, लाभांश में पहले के रूप में अभी तक अप्रयुक्त अंक, इस मामले में 5 के बाद पहला अंक 0, सीधे उसके नीचे और शेष 1 के बगल में, संख्या 10 बनाने के लिए कॉपी किया जाता है।
 * 4) इस बिंदु पर स्टॉपिंग पॉइंट तक पहुंचने के लिए प्रक्रिया को पर्याप्त बार दोहराया जाता है: सबसे बड़ी संख्या जिसके द्वारा भाजक 4 को 10 से अधिक के बिना गुणा किया जा सकता है, 2 है, इसलिए 2 को दूसरे सबसे बाएं भागफल अंक के रूप में लिखा गया है। इस 2 को भाजक 4 से गुणा करके 8 प्राप्त किया जाता है, जो 4 का सबसे बड़ा गुणक है जो 10 से अधिक नहीं है; इसलिए 8 को 10 के नीचे लिखा जाता है, और शेष 2 प्राप्त करने के लिए घटाव 10 माइनस 8 किया जाता है, जिसे 8 के नीचे रखा जाता है।
 * 5) लाभांश के अगले अंक (500 में अंतिम 0) को सीधे उसके नीचे कॉपी किया जाता है और शेष 2 के बगल में 20 बनता है। तब सबसे बड़ी संख्या जिसके द्वारा भाजक 4 को 20 से अधिक किए बिना गुणा किया जा सकता है, जो कि 5 है, ऊपर तीसरे बाएँ भागफल अंक के रूप में रखा गया है। इस 5 को 20 प्राप्त करने के लिए भाजक 4 से गुणा किया जाता है, जिसे नीचे लिखा जाता है और शेष 0 प्राप्त करने के लिए मौजूदा 20 से घटाया जाता है, जिसे बाद में दूसरे 20 के नीचे लिखा जाता है।
 * 6) इस बिंदु पर, चूंकि लाभांश से नीचे लाने के लिए और अंक नहीं हैं और अंतिम घटाव परिणाम 0 था, हम आश्वस्त हो सकते हैं कि प्रक्रिया समाप्त हो गई है।

यदि अंतिम शेष जब हम लाभांश अंकों से बाहर निकलते हैं तो 0 के अलावा कुछ और होता, तो कार्रवाई के दो संभावित पाठ्यक्रम होते:


 * 1) हम बस यहीं रुक सकते हैं और कह सकते हैं कि भाजक द्वारा विभाजित लाभांश शीर्ष पर लिखा हुआ भागफल है और शेष तल पर लिखा है, और उत्तर को भागफल के रूप में लिखें, जिसके बाद भाजक द्वारा विभाजित शेषफल है।
 * 2) हम लाभांश को 500.000... के रूप में लिखकर बढ़ा सकते हैं और प्रक्रिया को जारी रख सकते हैं (लाभांश में सीधे दशमलव बिंदु के ऊपर भागफल में दशमलव बिंदु का उपयोग करके), दशमलव उत्तर प्राप्त करने के लिए, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण।

 31.75 4)127.00     12 (12 ÷ 4 = 3)       07 (0 शेष, अगला अंक नीचे लाएं)        4 (7 ÷ 4 = 1 r 3)        3.0 (0 और दशमलव बिंदु को नीचे लाएं)        2.8 (7 × 4 = 28, 30 ÷ 4 = 7 r 2)          20 (एक अतिरिक्त शून्य नीचे लाया जाता है)          20 (5 × 4 = 20)           0

इस उदाहरण में, परिणाम के दशमलव भाग की गणना इकाई अंक से परे प्रक्रिया को जारी रखकर की जाती है, शून्य को लाभांश के दशमलव भाग के रूप में नीचे लाया जाता है।

यह उदाहरण यह भी दर्शाता है कि, प्रक्रिया की शुरुआत में, शून्य पैदा करने वाले कदम को छोड़ा जा सकता है। चूँकि पहला अंक 1 भाजक 4 से छोटा है, इसके बजाय पहला चरण पहले दो अंकों 12 पर किया जाता है। इसी तरह, यदि भाजक 13 थे, तो कोई 12 या 1 के बजाय 127 पर पहला कदम उठाएगा।

n ÷ m
के लंबे विभाजन के लिए मूल प्रक्रिया


 * 1) लाभांश n और भाजक m में सभी दशमलव बिंदुओं का स्थान ज्ञात करें।
 * 2) यदि आवश्यक हो, तो भाजक के दशमलव और भाज्य को दशमलव स्थानों की समान संख्या से दाईं ओर (या बाईं ओर) ले जाकर दीर्घ विभाजन समस्या को सरल करें, ताकि भाजक का दशमलव अंतिम के दाईं ओर हो अंक।
 * 3) लंबा विभाजन करते समय झांकी के नीचे संख्याओं को ऊपर से नीचे की ओर सीधा पंक्तिबद्ध रखें।
 * 4) प्रत्येक चरण के बाद, सुनिश्चित करें कि उस चरण के लिए शेष भाजक से कम है। यदि यह नहीं है, तो तीन संभावित समस्याएं हैं: गुणा गलत है, घटाव गलत है, या अधिक भागफल की आवश्यकता है।
 * 5) अंत में, शेष, r, बढ़ते भागफल में एक अंश (गणित), r/m के रूप में जोड़ा जाता है।

अचल संपत्ति और शुद्धता
प्रक्रिया के चरणों की मूल प्रस्तुति (ऊपर) क्या कदम उठाए जाने हैं पर ध्यान दें, बजाय उन चरणों के गुणों के जो सुनिश्चित करते हैं कि परिणाम सही होगा (विशेष रूप से, वह q × m + r = n, जहाँ q अंतिम भागफल है और r अंतिम शेषफल है)। प्रस्तुति में थोड़े बदलाव के लिए अधिक लेखन की आवश्यकता होती है, और यह आवश्यक है कि हम भागफल के अंकों को अपडेट करने के बजाय बदलें, लेकिन इस पर अधिक प्रकाश डाल सकता है कि ये कदम वास्तव में सही उत्तर क्यों देते हैं प्रक्रिया में मध्यवर्ती बिंदुओं पर q × m + r के मूल्यांकन की अनुमति देकर। यह एल्गोरिथम की व्युत्पत्ति में उपयोग की जाने वाली प्रमुख संपत्ति को दिखाता है मनमाना आधार के लिए #Algorithm|(नीचे)।

विशेष रूप से, हम उपरोक्त मूल प्रक्रिया में संशोधन करते हैं ताकि हम निर्माणाधीन भागफल के अंकों के बाद के स्थान को 0 से भरते हैं, कम से कम 1 के स्थान तक, और उन 0 को उन संख्याओं में शामिल करें जिन्हें हम विभाजन कोष्ठक के नीचे लिखते हैं।

यह हमें हर कदम पर एक अपरिवर्तनीय (कंप्यूटर विज्ञान) बनाए रखने देता है: क्यू × एम + आर = एन, जहां क्यू आंशिक रूप से निर्मित भागफल है (विभाजन ब्रैकेट के ऊपर) और आर आंशिक रूप से निर्मित शेष (विभाजन ब्रैकेट के नीचे नीचे की संख्या)। ध्यान दें कि, प्रारंभ में q=0 और r=n, इसलिए यह गुण प्रारंभ में धारण करता है; प्रक्रिया r को कम करती है और प्रत्येक चरण के साथ q को बढ़ाती है, अंतत: रूक जाता है जब r <विस्तार शैली = रंग: लाल; >1 2 5 (q, 000 से बदलकर 100 से 1 20 से 1 2 5< /span> नीचे दिए गए नोट्स के अनुसार)    4)500 400 ( 4 × 100 = 400)     <अवधि शैली = रंग: गहरा नारंगी; >100 (500 - 400 = 100 ; अब q= 100, r=100 ; नोट q×4+r = 500.) 80 ( 4 × 20 = 80)      <अवधि शैली = रंग: डार्कसियान; > 20 (100 - 80 = 20 ; अब q= 1 20, r= 20 ; नोट q×4+r = 500.) 20 ( 4 × 5 = 20)       0 ( 20 - 20 = 0; अब q= 1 2 5< /span>, r= 0; ध्यान दें q×4+r = 500।)

बहु-अंकीय भाजक
का उदाहरण

किसी भी अंक के भाजक का उपयोग किया जा सकता है। इस उदाहरण में, 1260257 को 37 से विभाजित किया जाना है। पहले समस्या को इस प्रकार स्थापित किया गया है:

  37)1260257

संख्या 1260257 के अंक तब तक लिए जाते हैं जब तक कि 37 से बड़ी या उसके बराबर संख्या नहीं आ जाती। तो 1 और 12 37 से छोटे हैं, लेकिन 126 बड़ा है। अगला, 126 से कम या उसके बराबर 37 का सबसे बड़ा गुणज परिकलित किया जाता है। तो 3 × 37 = 111 < 126, लेकिन 4 × 37 > 126। गुणक 111 को 126 के नीचे लिखा जाता है और 3 को सबसे ऊपर लिखा जाता है जहां समाधान दिखाई देगा:

 3  37)1260257       111

ध्यान दें कि ये अंक किस स्थानीय मान वाले कॉलम में लिखे गए हैं। भागफल में 3 उसी कॉलम (दस-हजार स्थान) में जाता है, जो भाज्य 1260257 में 6 है, जो 111 के अंतिम अंक के समान कॉलम है।

111 को ऊपर की रेखा से घटाया जाता है, सभी अंकों को दाईं ओर अनदेखा करते हुए:

 3  37)1260257       111         15

अब भाज्य के अगले छोटे स्थानीय मान से अंक को नीचे कॉपी किया जाता है और परिणाम 15 में जोड़ा जाता है:

 3 </यू> 37)1260257       111</यू>         150

प्रक्रिया दोहराती है: 150 से कम या उसके बराबर 37 का सबसे बड़ा गुणक घटाया जाता है। यह 148 = 4 × 37 है, इसलिए भागफल के अगले अंक के रूप में शीर्ष पर एक 4 जोड़ा जाता है। तब घटाव का परिणाम लाभांश से लिए गए दूसरे अंक से बढ़ाया जाता है:

 34 </यू> 37)1260257       111</यू>         150         148</यू>           22

22 से कम या उसके बराबर 37 का सबसे बड़ा गुणक 0 × 37 = 0 है। 22 में से 0 घटाकर 22 देता है, हम अक्सर घटाव चरण नहीं लिखते हैं। इसके बजाय, हम केवल लाभांश से एक और अंक लेते हैं:

 340 </यू> 37)1260257       111</यू>         150         148</यू>           225

प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक कि 37 अंतिम पंक्ति को पूरी तरह से विभाजित नहीं कर देता:

 34061</यू> 37)1260257       <यू>111</यू>         150         <यू>148</यू>           225           <यू>222</यू>             37

मिश्रित मोड लंबा विभाजन
गैर-दशमलव मुद्राओं के लिए (जैसे कि 1971 से पहले ब्रिटिश £एसडी प्रणाली) और उपायों (जैसे avoirdupois) के लिए मिश्रित मोड विभाजन का उपयोग किया जाना चाहिए। 50 मील 600 गज को 37 टुकड़ों में विभाजित करने पर विचार करें:

मील - वाईडी - फीट - इन <यू> 1 - 634 1 9 आर। 15 </यू> 37) 50 - 600 - 0 - 0          37  22880  66  348            13 23480 66 348         1760  222  37  333         22880 128 <यू>29</यू> 15        == <यू>111</यू> 348 ==                    170 ===                    <यू>148</यू>                    <यू>22</यू>                    66                    ==

चार स्तंभों में से प्रत्येक पर बारी-बारी से काम किया जाता है। मील से शुरू: 50/37 = 1 शेष 13। आगे कोई विभाजन नहीं है संभव है, इसलिए मील को गज में बदलने के लिए 1,760 से लंबा गुणा करें, परिणाम 22,880 गज है। इसे यार्ड कॉलम के शीर्ष पर ले जाएं और इसे 23,480 देने वाले डिविडेंड में 600 यार्ड में जोड़ें। 23,480 / 37 का लंबा विभाजन अब 22 शेष के साथ सामान्य उपज 634 के रूप में आगे बढ़ता है। शेष को 3 से गुणा करके फीट प्राप्त किया जाता है और फीट कॉलम तक ले जाया जाता है। पैरों के लंबे विभाजन से 1 शेष 29 मिलता है जिसे बारह से गुणा करके 348 इंच प्राप्त होता है। परिणाम रेखा पर अंतिम शेष 15 इंच के साथ लंबा विभाजन जारी रहता है।

दशमलव परिणामों की व्याख्या
जब भागफल एक पूर्णांक नहीं है और विभाजन प्रक्रिया को दशमलव बिंदु से आगे बढ़ाया जाता है, तो दो चीजों में से एक हो सकता है:


 * 1) प्रक्रिया समाप्त हो सकती है, जिसका अर्थ है कि शेष 0 तक पहुँच गया है; या
 * 2) एक शेषफल प्राप्त किया जा सकता है जो दशमलव अंक लिखे जाने के बाद आने वाले पिछले शेष के समान है। बाद वाले मामले में, प्रक्रिया को जारी रखना व्यर्थ होगा, क्योंकि उस बिंदु से अंकों का एक ही क्रम भागफल में बार-बार दिखाई देगा। इसलिए दोहराए जाने वाले अनुक्रम पर एक बार खींचा जाता है ताकि यह इंगित किया जा सके कि यह हमेशा के लिए दोहराता है (यानी, दोहराए जाने वाला दशमलव # प्रत्येक परिमेय संख्या या तो एक समाप्ति या दोहराई जाने वाली दशमलव है)।

गैर-अंग्रेजी भाषी देशों में संकेतन
चीन, जापान, कोरिया भारत सहित अंग्रेजी बोलने वाले देशों के समान अंकन का उपयोग करते हैं। अन्यत्र, समान सामान्य सिद्धांतों का उपयोग किया जाता है, लेकिन आंकड़े अक्सर अलग तरीके से व्यवस्थित होते हैं।

लैटिन अमेरिका
लैटिन अमेरिका में (अर्जेंटीना, बोलीविया, मैक्सिको, कोलंबिया, परागुआ, वेनेजुएला, उरुग्वे और ब्राजील को छोड़कर), गणना लगभग समान है, लेकिन अलग-अलग नीचे लिखी गई है जैसा कि ऊपर इस्तेमाल किए गए दो उदाहरणों के साथ नीचे दिखाया गया है। आमतौर पर भाजक के नीचे खींची गई पट्टी के नीचे भागफल लिखा जाता है। कभी-कभी गणनाओं के दाईं ओर एक लंबी लंबवत रेखा खींची जाती है।

500 ÷ 4 = <अवधि शैली = रंग: लाल; >1 <span style= रंग: हरा; >2 <span style= रंग: नीला; >5 (स्पष्टीकरण) 4 ( 4 × 1 = 4)     <अवधि शैली = रंग: गहरा नारंगी; >1 0 ( 5 - 4 = 1 ) 8 ( 4 × 2 = 8)      <अवधि शैली = रंग: डार्कसियान; >2 0 (10 - 8 = 2 ) 20 ( 4 × 5 = 20)       0 (20 - 20 = 0)

और

127 ÷ 4 = 31.75     <यू>124</यू> 30 (0 नीचे लाएं; दशमलव से भागफल) <यू>28</यू> (7 × 4 = 28) 20 (एक अतिरिक्त शून्य जोड़ा जाता है) <यू>20</यू> (5 × 4 = 20) 0 मेक्सिको में, अंग्रेजी बोलने वाले विश्व संकेतन का उपयोग किया जाता है, सिवाय इसके कि केवल घटाव का परिणाम टिप्पणी किया जाता है और गणना मानसिक रूप से की जाती है, जैसा कि नीचे दिखाया गया है:

<यू> <विस्तार शैली = रंग: लाल; >1 <span style= रंग: हरा; >2 <span style= रंग: नीला; >5 (स्पष्टीकरण) 4)500     <अवधि शैली = रंग: गहरा नारंगी; >1 0 ( 5 - 4 = 1 )       <अवधि शैली = रंग: डार्कसियान; >2 0 (10 - 8 = 2 )        0 (20 - 20 = 0)

बोलिविया, ब्राज़िल, पैराग्वे, वेनेज़ुएला, फ्रेंच कनाडाई|फ़्रेंच-भाषी कनाडा, कोलंबिया और पेरू में, यूरोपीय संकेतन (नीचे देखें) का उपयोग किया जाता है, सिवाय इसके कि भागफल को एक ऊर्ध्वाधर रेखा से अलग नहीं किया जाता है, जैसा कि नीचे दिखाया गया है:

127| 4    − 124 31,75       30      − 28         20       − 20          0

मेक्सिको, उरुग्वे और अर्जेंटीना में एक ही प्रक्रिया लागू होती है, केवल घटाव का परिणाम एनोटेट किया जाता है और गणना मानसिक रूप से की जाती है।

यूरेशिया
स्पेन, इटली, फ्रांस, पुर्तगाल, लिथुआनिया, रोमानिया, तुर्की, ग्रीस, बेल्जियम, बेलारूस, यूक्रेन और रूस में, विभाजक लाभांश के दाईं ओर है, और एक ऊर्ध्वाधर बार द्वारा अलग किया गया है। विभाजन कॉलम में भी होता है, लेकिन भागफल (परिणाम) विभाजक के नीचे लिखा जाता है, और क्षैतिज रेखा से अलग किया जाता है। इसी पद्धति का उपयोग ईरान, वियतनाम और मंगोलिया में किया जाता है।

127| 4    − 124 |31,75       30      − 28         20       − 20          0

साइप्रस में, साथ ही साथ फ्रांस में, एक लंबा ऊर्ध्वाधर बार भागफल और भाजक से लाभांश और बाद के घटाव को अलग करता है, जैसा कि :fr:Poser une division#Méthode classique 6359 के नीचे 17 से विभाजित है, जो शेष के साथ 374 है 1 का।

6359| 17    − 51 |374     125 |    - 119 |       69|      - 68 |        1|

दशमलव संख्याओं को सीधे विभाजित नहीं किया जाता है, भाज्य और भाजक को दस की शक्ति से गुणा किया जाता है ताकि विभाजन में दो पूर्ण संख्याएँ शामिल हों। इसलिए, यदि कोई 12,7 को 0,4 से विभाजित कर रहा था (दशमलव बिंदुओं के बजाय अल्पविराम का उपयोग किया जा रहा है), लाभांश और भाजक को पहले 127 और 4 में बदल दिया जाएगा, और फिर विभाजन ऊपर की तरह आगे बढ़ेगा।

ऑस्ट्रिया, जर्मनी और स्विट्ज़रलैंड में, सामान्य समीकरण के सांकेतिक रूप का उपयोग किया जाता है। : =, कोलन के साथ: डिवीज़न ऑपरेटर के लिए एक बाइनरी इन्फिक्स सिंबल को दर्शाता है (/ या ÷ के अनुरूप)। इन क्षेत्रों में दशमलव विभाजक को अल्पविराम के रूप में लिखा जाता है। (cf. उपरोक्त लैटिन अमेरिकी देशों का पहला खंड, जहाँ यह वस्तुतः उसी तरह किया गया है):

127 : 4 = 31,75   -<यू>12</यू> 07     − 4        30      − 28         20       − 20          0

डेनमार्क, नॉर्वे, बुल्गारिया, उत्तर मैसेडोनिया, पोलैंड, क्रोएशिया, स्लोवेनिया, हंगरी, चेक गणराज्य, स्लोवाकिया, वियतनाम और सर्बिया में एक ही संकेतन अपनाया जाता है।

नीदरलैंड में, निम्नलिखित संकेतन का उपयोग किया जाता है:

12 / 135 \ 11,25        <यू>12</यू> 15         <यू>12</यू> 30          <यू>24</यू> 60           <यू>60</यू> 0

फिनलैंड में, ऊपर वर्णित इतालवी पद्धति को 1970 के दशक में एंग्लो-अमेरिकन द्वारा बदल दिया गया था। हालाँकि, 2000 के दशक की शुरुआत में, कुछ पाठ्यपुस्तकों ने जर्मन पद्धति को अपनाया है क्योंकि यह भाजक और भाज्य के बीच के क्रम को बनाए रखता है।

मनमाने आधार के लिए एल्गोरिथम
हर प्राकृतिक संख्या $$n$$ मनमाने ढंग से संख्या आधार में विशिष्ट रूप से प्रदर्शित किया जा सकता है $$b>1$$ संख्यात्मक अंक के अनुक्रम के रूप में $$n=\alpha_{0}\alpha_{1}\alpha_{2}...\alpha_{k-1}$$ कहाँ $$0\leq\alpha_{i}<b$$ सभी के लिए $$0\leq i<k$$, कहाँ $$k$$ में अंकों की संख्या है $$n$$. का मान है $$n$$ इसके अंकों और आधार के संदर्भ में है
 * $$n=\sum_{i=0}^{k-1}\alpha_{i}b^{k-i-1}$$

होने देना $$n$$ लाभांश हो और $$m$$ विभाजक हो, कहाँ $$l$$ में अंकों की संख्या है $$m$$. अगर $$k < l$$, फिर भागफल $$q = 0$$ और शेष $$r = n$$. अन्यथा, हम से पुनरावृति करते हैं $$0 \leq i \leq k - l$$, रुकने से पहले।

प्रत्येक पुनरावृत्ति के लिए $$i$$, होने देना $$q_{i}$$ अब तक निकाला गया भागफल हो, $$d_{i}$$ मध्यवर्ती लाभांश हो, $$r_{i}$$ मध्यवर्ती शेष हो, $$\alpha_{i}$$ मूल लाभांश का अगला अंक हो, और $$\beta_{i}$$ भागफल का अगला अंक हो। आधार में अंकों की परिभाषा के द्वारा $$b$$, $$0\leq\beta_{i}<b$$. शेष की परिभाषा के अनुसार, $$0\leq r_{i}<m$$. सभी मान प्राकृतिक संख्याएँ हैं। हम पहल करते हैं
 * $$q_{-1}=0$$
 * $$r_{-1}=\sum_{i=0}^{l-2}\alpha_{i}b^{l-2-i}$$

पहला $$l-1$$ के अंक $$n$$.

प्रत्येक पुनरावृत्ति के साथ, तीन समीकरण सत्य हैं:
 * $$d_{i}=br_{i-1}+\alpha_{i+l-1}$$
 * $$r_{i}=d_{i}-m\beta_{i}=br_{i-1}+\alpha_{i+l-1}-m\beta_{i}$$
 * $$q_{i}=bq_{i-1}+\beta_{i}$$

ऐसा केवल एक ही मौजूद है $$\beta_{i}$$ ऐसा है कि $$0\leq r_{i}<m$$.

$$ अंतिम अंश है $$q = q_{k-l}$$ और अंतिम शेष है $$r = r_{k-l}$$

उदाहरण
दशमलव में, उपरोक्त उदाहरण का उपयोग करके $$n = 1260257$$ और $$m = 37$$, प्रारंभिक मान $$q_{-1} = 0$$ और $$r_{-1} = 1$$.

इस प्रकार, $$q = 34061$$ और $$r = 0$$.

हेक्साडेसिमल में, के साथ $$n = \text{f412df}$$ और $$m = 12$$, प्रारंभिक मान हैं $$q_{-1} = 0$$ और $$r_{-1} = \text{f}$$.

इस प्रकार, $$q = \text{d8f45}$$ और $$r = \text{5}$$.

यदि किसी के पास आधार के लिए जोड़#तालिका, घटाव, या गुणन सारणी नहीं है $b$ याद किया जाता है, तो यह एल्गोरिथ्म तब भी काम करता है जब संख्याओं को दशमलव में बदल दिया जाता है और अंत में वापस आधार में बदल दिया जाता है $b$. उदाहरण के लिए, उपरोक्त उदाहरण के साथ,
 * $$n = \text{f412df}_{16} = 15 \cdot 16^5 + 4 \cdot 16^4 + 1 \cdot 16^3 + 2 \cdot 16^2 + 13 \cdot 16^1 + 15 \cdot 16^0$$

और
 * $$m = \text{12}_{16} = 1 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 = 18$$

साथ $$b = 16$$. प्रारंभिक मान हैं $$q_{-1} = 0$$ और $$r_{-1} = 15$$.

इस प्रकार, $$q = 16^4 \cdot 13 + 16^3 \cdot 8 + 16^2 \cdot 15 + 16^1 \cdot 4 + 5 = \text{d8f45}_{16}$$ और $$r = 5 = \text{5}_{16}$$.

यह एल्गोरिद्म उसी प्रकार के पेंसिल-एंड-पेपर नोटेशन का उपयोग करके किया जा सकता है जैसा कि उपरोक्त अनुभागों में दिखाया गया है।

<यू> डी8एफ45</यू> आर. 5    12) एफ412डीएफ          <यू>ई</यू>           ए 1           <यू>90</यू>           112           <यू>10ई</यू>             4घ             <यू>48</यू>              5f              <यू>5अ</यू>               5

तर्कसंगत भागफल
यदि भागफल एक पूर्णांक होने के लिए विवश नहीं है, तो एल्गोरिथम के लिए समाप्त नहीं होता है $$i>k-l$$. इसके बजाय, अगर $$i>k-l$$ तब $$\alpha_{i}=0$$ परिभाषा से। यदि शेष $$r_{i}$$ किसी भी पुनरावृति पर शून्य के बराबर है, तो भागफल एक द्विअर्थी परिमेय है$$b$$-adic अंश, और आधार में परिमित दशमलव विस्तार के रूप में दर्शाया गया है $$b$$ स्थितीय संकेतन। अन्यथा, यह अभी भी एक परिमेय संख्या है लेकिन a नहीं $$b$$-ऐडिक तर्कसंगत, और इसके बजाय आधार में अनंत दोहराए जाने वाले दशमलव विस्तार के रूप में दर्शाया गया है $$b$$ स्थितीय संकेतन।

बाइनरी डिवीजन
बाइनरी संख्या के भीतर गणना सरल है, क्योंकि पाठ्यक्रम में प्रत्येक अंक केवल 1 या 0 हो सकता है - पहचान तत्व या अवशोषित तत्व में परिणाम के गुणा के रूप में गुणा की आवश्यकता नहीं होती है।

यदि यह एक कंप्यूटर पर होता, तो 10 से गुणा को बाईं ओर 1 की थोड़ी सी शिफ्ट द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है, और ढूँढना $$\beta_{i}$$ तार्किक संचालन को कम करता है $$d_{i} \geq m$$, जहां सत्य = 1 और असत्य = 0. प्रत्येक पुनरावृत्ति के साथ $$0 \leq i \leq k - l$$, निम्नलिखित क्रियाएं की जाती हैं:
 * $$\begin{align}

\alpha_{i+l-1}\ &\mathtt{=}\ n\ \mathtt{\&}\ (1\ \mathtt{<<}\ (k+1-i-l))\\ d_{i}\ &\mathtt{=}\ r_{i-1}\ \mathtt{<<}\ 1 + \alpha_{i+l-1}\\ \beta_{i}\ &\mathtt{=}\ \mathtt{!}(d_{i} < m)\\ r_{i}\ &\mathtt{=}\ d_{i} - m\ \mathtt{\&}\ \beta_{I}\\ q_{i}\ &\mathtt{=}\ q_{i-1}\ \mathtt{<<}\ 1 + \beta_{I} \end{align}$$ उदाहरण के लिए, साथ $$n = 10111001$$ और $$m = 1101$$, प्रारंभिक मान हैं $$q_{-1} = 0$$ और $$r_{-1} = 101$$. इस प्रकार, $$q = 1110$$ और $$r = 11$$.

प्रदर्शन
प्रत्येक पुनरावृत्ति पर, सबसे अधिक समय लेने वाला कार्य चयन करना है $$\beta_{i}$$. हम जानते हैं कि हैं $$b$$ संभावित मूल्य, इसलिए हम पा सकते हैं $$\beta_{i}$$ बाइनरी सर्च एल्गोरिद्म|उपयोग करना $$O(\log(b))$$ तुलना। प्रत्येक तुलना के मूल्यांकन की आवश्यकता होगी $$d_{i}-m\beta_{i}$$. होने देना $$k$$ लाभांश में अंकों की संख्या हो $$n$$ और $$l$$ भाजक में अंकों की संख्या हो $$m$$. में अंकों की संख्या $$d_{i} \leq l + 1$$. का गुणन $$m\beta_{i}$$ इसलिए $$O(l)$$, और इसी तरह का घटाव $$d_{i}-m\beta_{i}$$. इस प्रकार यह लेता है $$O(l\log(b))$$ चयन करना $$\beta_{i}$$. एल्गोरिथ्म के शेष जोड़ और अंक-स्थानांतरण हैं $$q_{i}$$ और $$r_{i}$$ बाईं ओर एक अंक, और इसलिए समय लगता है $$O(k)$$ और $$O(l)$$ बेस में $$b$$, इसलिए प्रत्येक पुनरावृत्ति लेता है $$O(l\log(b) + k + l)$$, या केवल $$O(l\log(b) + k)$$. सभी के लिए $$k - l + 1$$ अंक, एल्गोरिदम में समय लगता है $$O((k - 1)(l\log(b) + k))$$, या $$O(kl\log(b) + k^2)$$ बेस में $$b$$.

परिमेय संख्या
जब तक वे तर्कसंगत संख्या हैं, तब तक पूर्णांकों के लंबे विभाजन को गैर-पूर्णांक लाभांशों को शामिल करने के लिए आसानी से बढ़ाया जा सकता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रत्येक परिमेय संख्या का आवर्ती दशमलव प्रसार होता है। इस प्रक्रिया को उन विभाजकों को शामिल करने के लिए भी बढ़ाया जा सकता है जिनका एक परिमित या समाप्ति दशमलव विस्तार (यानी दशमलव अंश) है। इस मामले में प्रक्रिया में भाजक और लाभांश को दस की उपयुक्त शक्ति से गुणा करना शामिल है ताकि नया भाजक एक पूर्णांक हो - इस तथ्य का लाभ उठाते हुए कि a ÷ b = (ca) ÷ (cb) - और फिर ऊपर के रूप में आगे बढ़ें।

बहुपद
इस पद्धति का एक सामान्यीकृत संस्करण जिसे बहुपद लंबा विभाजन कहा जाता है, का उपयोग बहुपदों को विभाजित करने के लिए भी किया जाता है (कभी-कभी सिंथेटिक विभाजन नामक आशुलिपि संस्करण का उपयोग करके)।

यह भी देखें

 * एल्गोरिज्म
 * मनमाना-सटीक अंकगणित
 * मिस्र गुणा और भाग
 * प्राथमिक अंकगणित
 * फूरियर डिवीजन
 * बहुपद लंबा विभाजन
 * nth रूट एल्गोरिथ्म को स्थानांतरित करना - किसी संख्या का वर्गमूल या कोई nth रूट खोजने के लिए
 * लघु विभाजन

बाहरी संबंध

 * Long Division Algorithm
 * Long Division and Euclid's Lemma