बाइनरी संबंध

गणित में, एक द्विआधारी संबंध एक सेट के तत्वों को जोड़ता है, जिसे डोमेन कहा जाता है, दूसरे सेट के तत्वों के साथ, कोडोमेन कहलाता है। सेट $X$ और $Y$ पर एक द्विआधारी संबंध आदेशित जोड़े $(x, y)$ का एक नया सेट है जिसमें $x$ में $X$ और $y$ में $Y$ शामिल हैं। यह एक एकल कार्य के अधिक व्यापक रूप से समझे जाने वाले विचार का सामान्यीकरण है, लेकिन कम प्रतिबंधों के साथ। यह संबंध की सामान्य अवधारणा को कूटबद्ध करता है: एक तत्व $x$ एक तत्व $y$ से संबंधित है, अगर और केवल अगर जोड़ी $(x, y)$ आदेशित जोड़े के सेट से संबंधित है जो बाइनरी संबंध को परिभाषित करता है। एक द्विआधारी संबंध सेट $X_{1}, ..., X_{n}$ पर एक $n$-आर्य संबंध का सबसे अधिक अध्ययन किया गया विशेष मामला $n = 2$ है, जो कार्तीय गुणनफल $$X_1 \times \cdots \times X_n$$ का एक उपसमुच्चय है।

द्विआधारी संबंध का एक उदाहरण अभाज्य संख्या $$\mathbb{P}$$ के सेट और पूर्णांक $$\mathbb{Z}$$ के सेट पर "विभाजित" संबंध है, जिसमें प्रत्येक अभाज्य $p$ प्रत्येक पूर्णांक $z$ से संबंधित है जो कि $p$ का गुणज है, लेकिन उस पूर्णांक से नहीं जो $p$ का गुणज नहीं है। इस संबंध में, उदाहरण के लिए, अभाज्य संख्या 2 -11 जैसी संख्याओं से संबंधित है, लेकिन 1 या 9 से नहीं, ठीक वैसे ही जैसे अभाज्य संख्या 3 0, 6 और 9 से संबंधित है, लेकिन 4 या 13 से नहीं।

विभिन्न प्रकार की अवधारणाओं को प्रतिरूपित करने के लिए गणित की कई शाखाओं में द्विआधारी संबंध का उपयोग किया जाता है। इनमें अन्य बातों के साथ-साथ शामिल हैं:
 * असमानता (गणित), समानता (गणित), और अंकगणित में संबंधों को विभाजित करता है;
 * ज्यामिति में सर्वांगसमता (ज्यामिति) संबंध;
 * ग्राफ सिद्धांत में संबंध के निकट है;
 * रैखिक बीजगणित में संबंध के लिए ओर्थोगोनल है।

एक फ़ंक्शन को एक विशेष प्रकार के बाइनरी संबंध के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। कंप्यूटर विज्ञान में द्विआधारी संबंधों का भी अत्यधिक उपयोग किया जाता है।

सेट $X$ और $Y$ पर एक बाइनरी रिलेशन $$X \times Y$$ के पावर सेट का एक तत्व है क्योंकि बाद वाले सेट को समावेशन (⊆) द्वारा आदेश दिया जाता है, प्रत्येक संबंध को $$X \times Y$$ के उपसमुच्चयों के जालक में एक स्थान प्राप्त होता है जब X = Y होता है तो एक द्विआधारी संबंध को समांगी संबंध कहा जाता है। एक द्विपदीय संबंध को विषमांगी संबंध भी कहा जाता है जब यह आवश्यक नहीं है कि X = Y।

चूंकि संबंध सेट हैं, उन्हें सेट संचालन का उपयोग करके जोड़-तोड़ किया जा सकता है, जिसमें संघ, इंटरसेक्शन और पूरक शामिल है, और सेट के बीजगणित के नियमों को संतुष्ट करना। इसके अलावा, संबंध के विलोम और संबंधों की संरचना जैसे संक्रियाएं उपलब्ध हैं, जो संबंधों की कलन के नियमों को संतुष्ट करती हैं, जिसके लिए अर्नस्ट श्रोडर, क्लेरेंस लुईस, और गुंथर श्मिट द्वारा पाठ्यपुस्तकें हैं। संबंधों के गहन विश्लेषण में उन्हें अवधारणाओं नामक उपसमुच्चय में विघटित करना और उन्हें एक पूर्ण जाल में रखना शामिल है।

स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत की कुछ प्रणालियों में, संबंधों को वर्गों तक विस्तारित किया जाता है, जो समुच्चयों का सामान्यीकरण है। रसेल के विरोधाभास जैसे तार्किक विसंगतियों में भाग लिए बिना, अन्य बातों के अलावा, इस विस्तार की आवश्यकता सेट सिद्धांत में "का एक तत्व है" या "का एक उपसमुच्चय है" की अवधारणाओं को मॉडलिंग करने के लिए है।

शर्तें पत्राचार, डायाडिक संबंध और दो-स्थान संबंध द्विआधारी संबंध के लिए समानार्थी हैं, हालांकि कुछ लेखक $X$ और $Y$ के संदर्भ के बिना कार्टेशियन उत्पाद $$X \times Y$$ के किसी भी उपसमूह के लिए "द्विआधारी संबंध" शब्द का उपयोग करते हैं, और शब्द "बाइनरी रिलेशन" का उपयोग करते हैं। पत्राचार" $X$ और $Y$ के संदर्भ में एक द्विआधारी संबंध के लिए।

परिभाषा
दिए गए समुच्चय X और Y, कार्तीय गुणनफल $$X \times Y$$ को $$\{ (x, y) : x \in X \text{ and } y \in Y \},$$ के रूप में परिभाषित किया गया है और इसके तत्वों को क्रमित युग्म कहा जाता है।

सेट एक्स और वाई पर एक द्विआधारी संबंध आर $$X \times Y$$ का एक उपसमुच्चय है, सेट एक्स को डोमेन या आर के प्रस्थान का सेट कहा जाता है, और सेट वाई को कोडोमेन या आर के गंतव्य का सेट कहा जाता है। सेट एक्स और वाई के विकल्पों को निर्दिष्ट करने के लिए, कुछ लेखक द्विआधारी संबंध या पत्राचार को एक आदेशित ट्रिपल $(X, Y, G)$ के रूप में परिभाषित करते हैं, जहां जी $$X \times Y$$ का एक उपसमुच्चय है जिसे द्विआधारी संबंध का ग्राफ कहा जाता है। बयान $$(x, y) \in R$$ पढ़ता है "x आर से संबंधित है" और xRy द्वारा चिह्नित किया गया है।  परिभाषा का डोमेन या आर का सक्रिय डोमेन सभी एक्स का सेट है जैसे कम से कम एक वाई के लिए एक्सआरवाई। परिभाषा का कोडोमेन, सक्रिय कोडोमेन, छवि या R की श्रेणी सभी y का सेट है जैसे कम से कम एक x के लिए xRy। R का क्षेत्र इसके परिभाषा के डोमेन और परिभाषा के इसके कोडोमेन का मिलन है।

जब $$X = Y,$$ एक द्विआधारी संबंध को एक (या अंतःकरण) कहा जाता है। इस तथ्य पर जोर देने के लिए कि एक्स और वाई को अलग-अलग होने की अनुमति है, एक द्विआधारी संबंध को विषम संबंध भी कहा जाता है।

द्विआधारी संबंध में, तत्वों का क्रम महत्वपूर्ण है; यदि $$x \neq y$$ है तो yRx xRy से स्वतंत्र रूप से सत्य या असत्य हो सकता है। उदाहरण के लिए, 3, 9 को विभाजित करता है, लेकिन 9, 3 को विभाजित नहीं करता।

उदाहरण
1) निम्नलिखित उदाहरण से पता चलता है कि कोडोमेन का चुनाव महत्वपूर्ण है। मान लीजिए कि चार वस्तुएं $$A = \{ \text{ball, car, doll, cup} \}$$ और चार लोग $$B = \{ \text{John, Mary, Ian, Venus} \}$$ हैं। ए और बी पर एक संभावित संबंध $$R = \{ (\text{ball, John}), (\text{doll, Mary}), (\text{car, Venus}) \}$$ द्वारा दिया गया संबंध "के स्वामित्व में है" है। यानी, जॉन गेंद का मालिक है, मैरी गुड़िया का मालिक है, और वीनस कार का मालिक है। कोई भी कप का मालिक नहीं है और इयान के पास कुछ भी नहीं है; पहला उदाहरण देखें। एक समुच्चय के रूप में, R में इयान शामिल नहीं है, और इसलिए R को $$A \times \{ \text{John, Mary, Venus} \},$$ के उपसमुच्चय के रूप में देखा जा सकता था, यानी A और $$\{ \text{John, Mary, Venus} \};$$ पर एक संबंध, दूसरा उदाहरण देखें। जबकि दूसरा उदाहरण सम्बन्ध आच्छादक है (नीचे देखें), पहला नहीं है।

2) मान लीजिए कि A = {भारतीय, आर्कटिक, अटलांटिक, प्रशांत}, विश्व के महासागर, और B = {NA, SA, AF, EU, AS, AU, AA}, महाद्वीप हैं। माना aRb उस महासागर को निरूपित करता है जो महाद्वीप b की सीमा बनाता है। तब इस संबंध के लिए तार्किक आव्यूह है:




 * $$R = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} .$$

ग्रह पृथ्वी की संयोजकता को आर आरटी और आरटी आर के माध्यम से देखा जा सकता है, पूर्व में ए पर $$4 \times 4$$ संबंध है, जो सार्वभौमिक संबंध ($$A \times A$$ या सभी का एक तार्किक मैट्रिक्स) है। यह सार्वभौमिक संबंध इस तथ्य को दर्शाता है कि प्रत्येक महासागर दूसरे महाद्वीपों से अधिक से अधिक एक महाद्वीप से अलग होता है। दूसरी ओर, आरटी आर $$B \times B$$ पर एक संबंध है जो सार्वभौमिक होने में विफल रहता है क्योंकि यूरोप से ऑस्ट्रेलिया तक यात्रा करने के लिए कम से कम दो महासागरों की यात्रा करनी चाहिए।

3) संबंधों का चित्रण ग्राफ सिद्धांत पर निर्भर करता है: एक सेट (सजातीय संबंध) पर संबंधों के लिए, एक निर्देशित ग्राफ एक संबंध और एक ग्राफ एक सममित संबंध दिखाता है। विषम संबंधों के लिए एक हाइपरग्राफ के किनारे संभवतः दो से अधिक नोड्स के साथ होते हैं, और एक द्विपक्षीय ग्राफ द्वारा चित्रित किया जा सकता है।

जिस प्रकार गुट एक सेट पर संबंधों का अभिन्न अंग है, उसी प्रकार विषम संबंधों का वर्णन करने के लिए द्विगुणित का उपयोग किया जाता है; वास्तव में, वे "अवधारणाएँ" हैं जो एक संबंध से जुड़ी एक जाली उत्पन्न करती हैं।4) अतिपरवलयिक रूढ़िवादिता: समय और स्थान विभिन्न श्रेणियां हैं, और लौकिक गुण स्थानिक गुणों से अलग हैं। समकालिक घटनाओं का विचार निरपेक्ष समय और स्थान में सरल है क्योंकि हर बार t उस ब्रह्माण्ड विज्ञान में एक साथ होने वाले हाइपरप्लेन को निर्धारित करता है। हरमन मिन्कोव्स्की ने इसे बदल दिया जब उन्होंने सापेक्ष समकालिकता की धारणा को व्यक्त किया, जो कि तब मौजूद होता है जब स्थानिक घटनाएं एक वेग की विशेषता वाले समय के लिए "सामान्य" होती हैं। उन्होंने एक अनिश्चित आंतरिक उत्पाद का उपयोग किया, और निर्दिष्ट किया कि एक समय वेक्टर एक अंतरिक्ष वेक्टर के लिए सामान्य होता है जब वह उत्पाद शून्य होता है। रचना बीजगणित में अनिश्चित आंतरिक उत्पाद किसके द्वारा दिया जाता है
 * $$ \ =\ x \bar{z} + \bar{x}z\;$$ जहां ओवरबार संयुग्मन को दर्शाता है।

कुछ लौकिक घटनाओं और कुछ स्थानिक घटनाओं के बीच संबंध के रूप में, अतिशयोक्तिपूर्ण ओर्थोगोनलिटी (जैसा कि विभाजित-जटिल संख्याओं में पाया जाता है) एक विषम संबंध है।

5) एक ज्यामितीय विन्यास को उसके बिंदुओं और उसकी रेखाओं के बीच के संबंध के रूप में माना जा सकता है। संबंध को घटना के रूप में व्यक्त किया जाता है। परिमित और अनंत प्रक्षेपी और एफ़ाइन विमान शामिल हैं। जैकब स्टेनर ने स्टेनर प्रणाली $$\text{S}(t, k, n)$$ के साथ विन्यासों की सूची बनाने का बीड़ा उठाया है जिसमें एक एन-एलिमेंट सेट एस और के-एलिमेंट उपसमुच्चय का एक सेट है जिसे ब्लॉक कहा जाता है, जैसे कि टी तत्वों वाला एक उपसमुच्चय सिर्फ एक ब्लॉक में निहित है। इन आपतन संरचनाओं को ब्लॉक अभिकल्पनाओं के साथ सामान्यीकृत किया गया है। इन ज्यामितीय संदर्भों में प्रयुक्त घटना मैट्रिक्स आम तौर पर बाइनरी संबंधों के साथ उपयोग किए जाने वाले तार्किक मैट्रिक्स से मेल खाती है।
 * एक घटना संरचना एक ट्रिपल डी = (वी, बी, आई) है जहां वी और बी कोई भी दो अलग सेट हैं और मैं वी और बी के बीच एक द्विआधारी संबंध है, यानी $$I \subseteq V \times \textbf{B}$$। वी के तत्वों को बिंदु कहा जाएगा, जो बी के हैं ब्लॉक और I के झंडे।

विशेष प्रकार के द्विआधारी संबंध
सेट X और Y पर कुछ महत्वपूर्ण प्रकार के द्विआधारी संबंध R नीचे सूचीबद्ध हैं।

विशिष्टता गुण:
 * विशेषण (लेफ्ट-यूनिक भी कहा जाता है): सभी $$x, z \in X$$ और सभी $$y \in Y,$$ के लिए, यदि $B$ और $A$ तो $B$। ऐसे संबंध के लिए, {Y} को R की प्राथमिक कुंजी कहते हैं। उदाहरण के लिए, आरेख में हरे और नीले रंग के द्विआधारी संबंध इंजेक्शन हैं, लेकिन लाल वाला (क्योंकि यह -1 और 1 से 1 दोनों को संबंधित करता है), और न ही काला वाला है (क्योंकि यह -1 और 1 से 0 दोनों से संबंधित है)।
 * कार्यात्मक (जिसे राइट-यूनीक भी कहा जाता है, राइट-डेफिनिट या यूनिवेलेंट): सभी $$x \in X$$ और सभी $$y, z \in Y,$$ के लिए, यदि $A$ और $xRy$ तो $zRy$। ऐसे द्विआधारी संबंध को कहते हैं। ऐसे संबंध के लिए, $$\{ X \}$$ को R की प्राथमिक कुंजी कहा जाता है। उदाहरण के लिए, आरेख में लाल और हरे रंग के द्विआधारी संबंध कार्यात्मक हैं, लेकिन नीला वाला (क्योंकि यह 1 को -1 और 1 दोनों से जोड़ता है), और न ही काला वाला है (क्योंकि यह 0 से संबंधित है -1 और 1)।
 * वन-टू-वन: इंजेक्शन और कार्यात्मक। उदाहरण के लिए, आरेख में हरे रंग का द्विआधारी संबंध एक-से-एक है, लेकिन लाल, नीला और काला नहीं है।
 * एक-से-कई: इंजेक्शन और क्रियाशील नहीं। उदाहरण के लिए, आरेख में नीला बाइनरी संबंध एक-से-कई है, लेकिन लाल, हरे और काले वाले नहीं हैं।
 * मैनी-टू-वन: कार्यात्मक और इंजेक्शन नहीं। उदाहरण के लिए, आरेख में लाल बाइनरी संबंध कई-से-एक है, लेकिन हरे, नीले और काले रंग नहीं हैं।
 * मैनी-टू-मैनी: इंजेक्शन नहीं और न ही कार्यात्मक। उदाहरण के लिए, आरेख में काला बाइनरी संबंध कई-से-कई है, लेकिन लाल, हरे और नीले रंग नहीं हैं।

संपूर्णता गुण (केवल डोमेन एक्स और कोडोमेन वाई निर्दिष्ट होने पर ही परिभाषित किया जा सकता है):
 * कुल (जिसे लेफ्ट-टोटल भी कहा जाता है): X में सभी x के लिए Y में एक y मौजूद है जैसे कि $x = z$। दूसरे शब्दों में, R की परिभाषा का क्षेत्र X के बराबर है। यह गुण गुण में संबद्ध (कुछ लेखकों द्वारा कुल भी कहा जाता है) की परिभाषा से भिन्न है। इस तरह के बाइनरी रिलेशन को कहा जाता है। उदाहरण के लिए, आरेख में लाल और हरे रंग के द्विआधारी संबंध कुल हैं, लेकिन नीला वाला (क्योंकि यह -1 को किसी भी वास्तविक संख्या से संबंधित नहीं करता है), और न ही काला है (क्योंकि यह किसी भी वास्तविक संख्या से 2 को संबंधित नहीं करता है)। एक अन्य उदाहरण के रूप में, > पूर्णांकों पर कुल संबंध है। लेकिन यह सकारात्मक पूर्णांकों पर कुल संबंध नहीं है, क्योंकि धनात्मक पूर्णांकों में ऐसा कोई y नहीं है कि $xRy$। हालाँकि, < सकारात्मक पूर्णांकों, परिमेय संख्याओं और वास्तविक संख्याओं पर कुल संबंध है। प्रत्येक स्वतुल्य संबंध पूर्ण होता है: किसी दिए गए $x$ के लिए, $xRz$ चुनें।
 * विशेषण (जिसे राइट-टोटल या ऑनटोटल भी कहा जाता है): Y में सभी y के लिए, X में एक x मौजूद है जैसे xRy। दूसरे शब्दों में, R की परिभाषा का कोड डोमेन Y के बराबर है। उदाहरण के लिए, आरेख में हरे और नीले रंग के द्विआधारी संबंध विशेषण हैं, लेकिन लाल वाला (क्योंकि यह -1 से किसी भी वास्तविक संख्या को संबंधित नहीं करता है), और न ही काला वाला है (क्योंकि यह किसी वास्तविक संख्या को 2 से संबंधित नहीं करता है)।

अद्वितीयता और समग्रता गुण (केवल तभी परिभाषित किया जा सकता है जब डोमेन X और कोडोमेन Y निर्दिष्ट किए गए हों):
 * एक : एक द्विआधारी संबंध जो कार्यात्मक और समग्र है। उदाहरण के लिए, आरेख में लाल और हरे रंग के द्विआधारी संबंध कार्य हैं, लेकिन नीले और काले रंग के नहीं हैं।
 * एक : एक कार्य जो इंजेक्शन है। उदाहरण के लिए, आरेख में हरे रंग का बाइनरी संबंध एक इंजेक्शन है, लेकिन लाल, नीला और काला नहीं है।
 * एक : एक कार्य जो विशेषण है। उदाहरण के लिए, आरेख में हरे रंग का बाइनरी संबंध एक विशेषण है, लेकिन लाल, नीला और काला नहीं है।
 * एक : एक कार्य जो अंतःक्षेपी और विशेषण है। उदाहरण के लिए, आरेख में हरे रंग का द्विआधारी संबंध एक आक्षेप है, लेकिन लाल, नीला और काला नहीं है।

यदि उचित वर्गों पर संबंधों की अनुमति है:
 * सेट-लाइक (या स्थानीय): $x$ में सभी $X$ के लिए, $y$ में सभी $Y$ की कक्षा जैसे कि $y = z$, अर्थात $$\{y\in Y : yRx\}$$, एक सेट है। उदाहरण के लिए, संबंध $$\in$$ सेट-लाइक है, और दो सेट पर प्रत्येक संबंध सेट-लाइक है। सामान्य क्रम < क्रमसूचक संख्याओं के वर्ग के ऊपर एक समुच्चय जैसा संबंध होता है, जबकि इसका प्रतिलोम > नहीं होता है।

संघ
यदि आर और एस सेट एक्स और वाई पर बाइनरी संबंध हैं तो $$R \cup S = \{ (x, y) : xRy \text{ or } xSy \}$$ एक्स और वाई पर आर और एस का संघ संबंध है।

पहचान तत्व खाली रिश्ता है। उदाहरण के लिए, $$\,\leq\,$$ < और = का संघ है, और $$\,\geq\,$$ > और = का संघ है।

प्रतिच्छेदन
यदि आर और एस सेट एक्स और वाई पर द्विआधारी संबंध हैं तो $$R \cap S = \{ (x, y) : xRy \text{ and } xSy \}$$ एक्स और वाई पर आर और एस का प्रतिच्छेदन संबंध है।

पहचान तत्व सार्वत्रिक संबंध है। उदाहरण के लिए, संबंध "6 से विभाज्य है" "3 से विभाज्य है" और "2 से विभाज्य है" संबंधों का प्रतिच्छेदन है।

रचना
यदि आर सेट एक्स और वाई पर एक द्विआधारी संबंध है, और एस सेट वाई और जेड पर एक द्विआधारी संबंध है तो $$S \circ R = \{ (x, z) : \text{ there exists } y \in Y \text{ such that } xRy \text{ and } ySz \}$$ (आर द्वारा भी निरूपित किया जाता है; एस) एक्स और जेड से अधिक आर और एस का संरचना संबंध है।

पहचान तत्व पहचान का संबंध है। नोटेशन $$S \circ R,$$ में आर और एस का क्रम, यहां इस्तेमाल किए गए कार्यों की संरचना के लिए मानक नोटेशन ऑर्डर से सहमत हैं। उदाहरण के लिए, रचना (की जनक है)22(की माता है) पैदावार (की नानी है), जबकि रचना (की माता है)33(की जनक है) उपज (की दादी है)। पूर्व मामले के लिए, यदि x, y का माता-पिता है और y, z की माँ है, तो x, z का दादा-दादी है।

विपरीत
यदि R समुच्चय X और Y पर एक द्विआधारी संबंध है तो $$R^\textsf{T} = \{ (y, x) : xRy \}$$, Y और X के ऊपर R का विलोम संबंध है।

उदाहरण के लिए, = स्वयं का विलोम है, जैसे $$\,\neq,\,$$$$\,<\,$$ तथा $$\,>\,$$ एक-दूसरे के विलोम हैं, जैसे $$\,\leq\,$$ और $$\,\geq\,$$ हैं। एक द्विआधारी संबंध इसके विलोम के बराबर होता है यदि और केवल यदि यह सममित है।

पूरक
यदि R समुच्चय X और Y पर एक द्विआधारी संबंध है तो $$\overline{R} = \{ (x, y) : \text{ not } xRy \}$$ (जिसे R या $xRy$ द्वारा भी निरूपित किया जाता है) X और Y के ऊपर R का पूरक संबंध है।

उदाहरण के लिए, $$\,=\,$$ और $$\,\neq\,$$ एक दूसरे के पूरक हैं, जैसे $$\,\subseteq\,$$ और $$\,\not\subseteq,\,$$ और $$\,\supseteq\,$$ और $$\,\not\supseteq,\,$$ और $$\,\in\,$$ और $$\,\not\in,\,$$ कुल ऑर्डर के लिए, < और $$\,\geq,\,$$ और > और $$\,\leq\,$$ भी।

विपरीत संबंध $$R^\textsf{T}$$ का पूरक पूरक का विलोम है: $$\overline{R^\mathsf{T}} = \bar{R}^\mathsf{T}$$।

यदि $$X = Y,$$ के पूरक में निम्नलिखित गुण हैं:
 * यदि कोई संबंध सममित है, तो पूरक भी सममित है।
 * एक प्रतिवर्त संबंध का पूरक अप्रतिवर्ती है—और इसके विपरीत।
 * एक सख्त कमजोर आदेश का पूरक कुल पूर्व आदेश है - और इसके विपरीत।

प्रतिबंध
यदि R एक सेट X पर एक बाइनरी सजातीय संबंध है और S, X का एक उपसमुच्चय है तो $$R_{\vert S} = \{ (x, y) \mid xRy \text{ and } x \in S \text{ and } y \in S \}$$, R से S के ऊपर X का प्रतिबंध संबंध है।

यदि R, X और Y के सेट पर एक द्विआधारी संबंध है और यदि S, X का एक उपसमुच्चय है तो $$R_{\vert S} = \{ (x, y) \mid xRy \text{ and } x \in S \}$$ X और Y पर R से S का बायाँ-प्रतिबंध संबंध है। [reference missing स्पष्टीकरण की आवश्यकता]

यदि R सेट X और Y पर एक द्विआधारी संबंध है और यदि S, Y का एक उपसमुच्चय है तो $$R^{\vert S} = \{ (x, y) \mid xRy \text{ and } y \in S \}$$ X और Y के ऊपर R से S का सही-प्रतिबंध संबंध है।

यदि कोई संबंध प्रतिवर्ती, अप्रतिवर्ती, सममित, असममित, असममित, सकर्मक, कुल, त्रिकोटोमस, एक आंशिक क्रम, कुल आदेश, सख्त कमजोर आदेश, कुल पूर्ववर्ती (कमजोर आदेश), या एक तुल्यता संबंध है, तो उसके प्रतिबंध भी हैं।

हालांकि, एक प्रतिबंध का सकर्मक समापन सकर्मक बंद होने के प्रतिबंध का एक उपसमुच्चय है, अर्थात सामान्य रूप से बराबर नहीं है। उदाहरण के लिए, महिलाओं के लिए "x, y का जनक है" संबंध को प्रतिबंधित करने से संबंध "x, महिला y की मां है" उत्पन्न होता है; इसका सकर्मक बंद होना एक महिला को उसकी नानी के साथ नहीं जोड़ता है। दूसरी ओर, "के माता-पिता है" का सकर्मक समापन "का पूर्वज है"; महिलाओं के लिए इसका प्रतिबंध एक महिला को उसकी नानी से संबंधित करता है।

इसके अलावा, पूर्णता की विभिन्न अवधारणाएं ("कुल" होने के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए) प्रतिबंधों पर निर्भर नहीं हैं। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं पर संबंध $$\,\leq\,$$ की एक संपत्ति यह है कि $$\R$$ में ऊपरी सीमा के साथ प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमुच्चय $$S \subseteq \R$$ में $$\R$$ में सबसे कम ऊपरी सीमा (जिसे सुप्रीमम भी कहा जाता है) है। हालांकि, परिमेय संख्याओं के लिए यह सर्वोच्चता आवश्यक रूप से परिमेय नहीं है, इसलिए समान गुण परिमेय संख्याओं के संबंध $$\,\leq\,$$ के प्रतिबंध पर नहीं टिकता है।

सेट X और Y पर एक द्विआधारी संबंध R को X और Y के ऊपर एक संबंध S में निहित कहा जाता है, जिसे $$R \subseteq S,$$ लिखा जाता है, यदि R, S का एक उपसमुच्चय है, यानी सभी $$x \in X$$ और $$y \in Y,$$ के लिए, यदि xRy, तो xSy। यदि R, S में समाहित है और S, R में समाहित है, तो R और S को बराबर लिखित R = S कहते हैं। यदि R, S में निहित है, लेकिन S, R में समाहित नहीं है, तो R को S से छोटा कहा जाता है, जिसे $$R \subsetneq S$$ लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, परिमेय संख्याओं पर, संबंध $$\,>\,$$, $$\,\geq,\,$$से छोटा और संघटन $$\,>\,\circ\,>\,$$ के बराबर है।

मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व
सेट एक्स और वाई पर द्विआधारी संबंधों को एक्स और वाई द्वारा अनुक्रमित तार्किक मैट्रिक्स द्वारा बूलियन सेमिरिंग में प्रविष्टियों के साथ बीजगणितीय रूप से प्रदर्शित किया जा सकता है (इसके अलावा OR और गुणन से मेल खाता है) जहां मैट्रिक्स जोड़ संबंधों के मिलन से मेल खाता है, मैट्रिक्स गुणन संबंधों की संरचना से मेल खाता है (X और Y के ऊपर एक संबंध और Y और Z के ऊपर एक संबंध), हैडमार्ड उत्पाद संबंधों के प्रतिच्छेदन से मेल खाता है, शून्य मैट्रिक्स खाली संबंध से मेल खाता है, और लोगों का मैट्रिक्स का सार्वभौमिक संबंध से मेल खाता है। सजातीय संबंध (जब $1 > y$) एक मैट्रिक्स सेमीरिंग बनाते हैं (वास्तव में, बूलियन सेमीरिंग के ऊपर एक मैट्रिक्स अर्ध बीजगणित) जहां पहचान मैट्रिक्स पहचान संबंध से मेल खाती है।

सेट बनाम कक्षाएं
कुछ गणितीय "संबंध", जैसे "बराबर", "उपसमुच्चय", और "सदस्य", को बाइनरी संबंध नहीं समझा जा सकता है जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, क्योंकि उनके डोमेन और कोडोमेन को स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत की सामान्य प्रणालियों में समुच्चय नहीं माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, "समानता" की सामान्य अवधारणा को एक द्विआधारी संबंध $$\,=,$$ के रूप में मॉडल करने के लिए डोमेन और कोडोमेन को "सभी सेटों का वर्ग" लें, जो सामान्य सेट सिद्धांत में एक सेट नहीं है।

अधिकांश गणितीय संदर्भों में, समानता, सदस्यता और उपसमुच्चय के संबंधों के संदर्भ हानिरहित होते हैं क्योंकि उन्हें संदर्भ में कुछ सेट तक ही सीमित रूप से समझा जा सकता है। इस समस्या का सामान्य वर्क-अराउंड एक "पर्याप्त बड़ा" सेट A का चयन करना है, जिसमें रुचि के सभी ऑब्जेक्ट शामिल हैं, और = के बजाय प्रतिबंध =A के साथ कार्य करना है। इसी तरह, संबंध $$\,\subseteq\,$$ के "उपसमुच्चय" को डोमेन और कोडोमेन P(A) (एक विशिष्ट सेट A का पावर सेट) के लिए प्रतिबंधित करने की आवश्यकता है: परिणामी सेट संबंध को $$\,\subseteq_A\,$$ द्वारा निरूपित किया जा सकता है। इसके अलावा, "सदस्य" संबंध को एक बाइनरी संबंध $$\,\in\,$$ प्राप्त करने के लिए डोमेन ए और कोडोमेन पी (ए) तक सीमित होना चाहिए जो एक सेट है। बर्ट्रेंड रसेल ने दिखाया है कि $$\,\in_A\,$$ को सभी सेटों पर परिभाषित करने के लिए सहज सेट सिद्धांत में एक विरोधाभास होता है, रसेल के विरोधाभास को देखें।

इस समस्या का एक अन्य समाधान उचित वर्गों के साथ एक सेट सिद्धांत का उपयोग करना है, जैसे कि एनबीजी या मोर्स-केली सेट सिद्धांत, और डोमेन और कोडोमेन (और इसलिए ग्राफ़) को उचित वर्ग होने दें: ऐसे सिद्धांत में, समानता, सदस्यता, और उपसमुच्चय बिना किसी विशेष टिप्पणी के द्विआधारी संबंध हैं। (आदेशित ट्रिपल $y = x$ की अवधारणा के लिए एक मामूली संशोधन की आवश्यकता है, क्योंकि आम तौर पर एक उचित वर्ग एक आदेशित टपल का सदस्य नहीं हो सकता है; या निश्चित रूप से कोई इस संदर्भ में इसके ग्राफ के साथ द्विआधारी संबंध की पहचान कर सकता है।) इस परिभाषा के साथ, उदाहरण के लिए, प्रत्येक सेट और उसके पावर सेट पर एक द्विआधारी संबंध को परिभाषित कर सकते हैं।

सजातीय संबंध
एक समुच्चय X पर एक सजातीय संबंध, X और स्वयं के ऊपर एक द्विआधारी संबंध है, अर्थात यह कार्तीय गुणनफल $$X \times X$$ का एक उपसमुच्चय है। इसे केवल X पर एक (द्विआधारी) संबंध भी कहा जाता है।

एक सेट एक्स पर एक सजातीय संबंध आर को एक निर्देशित सरल ग्राफ अनुमति लूप के साथ पहचाना जा सकता है, जहां एक्स वर्टेक्स सेट है और आर किनारे का सेट (एक शीर्ष x से एक शीर्ष y तक एक किनारा है यदि और केवल यदि $yRx$) है। सेट एक्स पर सभी सजातीय संबंधों का सेट $$\mathcal{B}(X)$$ पावर सेट $$2^{X \times X}$$ है जो एक बूलियन बीजगणित है जो इसके विपरीत संबंध के संबंध के मानचित्रण के समावेशन के साथ बढ़ाया गया है। $$\mathcal{B}(X)$$ पर एक बाइनरी ऑपरेशन के रूप में संबंधों की संरचना पर विचार करते हुए, यह शामिल होने के साथ एक अर्धसमूह बनाता है।

सजातीय संबंध के कुछ महत्वपूर्ण गुण $R$ एक सेट पर $X$ हो सकता है:
 * : सभी $$x \in X,$$ $&not; R$ के लिए। उदाहरण के लिए, $$\,\geq\,$$ एक प्रतिवर्त संबंध है लेकिन > नहीं है।
 * सभी $$x \in X,$$ के लिए नहीं $X = Y$। उदाहरण के लिए, $$\,>\,$$ एक अपरिवर्तनीय संबंध है, लेकिन $$\,\geq\,$$ नहीं है।
 * : सभी के लिए $$x, y \in X,$$ यदि $(X, Y, G)$ तो $xRy$। उदाहरण के लिए, "का रक्त संबंधी है" एक सममित संबंध है।
 * : सभी $$x, y \in X,$$ के लिए यदि $xRx$ और $xRx$ तो $$x = y$$। उदाहरण के लिए, $$\,\geq\,$$ एक एंटीसिमेट्रिक संबंध है।
 * : सभी $$x, y \in X,$$ के लिए यदि $xRy$ है तो $yRx$ नहीं है। एक संबंध असममित होता है यदि और केवल यदि यह असममित और अपरिवर्तनशील दोनों हो। उदाहरण के लिए, > एक असममित संबंध है, परन्तु $$\,\geq\,$$ नहीं है।
 * : सभी $$x, y, z \in X,$$ के लिए अगर $xRy$ और $yRx$ तो $xRy$। एक सकर्मक संबंध अपरिवर्तनीय होता है यदि और केवल यदि यह असममित हो। उदाहरण के लिए, "का पूर्वज है" एक सकर्मक संबंध है, जबकि "का माता-पिता है" नहीं है।
 * : सभी $$x, y \in X,$$ के लिए यदि $$x \neq y$$ तो $yRx$ या $xRy$।
 * : सभी $$x, y \in X,$$ $yRz$ या $xRz$ के लिए।

एक एक ऐसा संबंध है जो प्रतिवर्त, प्रतिसममित और सकर्मक होता है। एक  एक ऐसा संबंध है जो अप्रतिवर्ती, प्रतिसममित और सकर्मक होता है।  एक ऐसा संबंध है जो प्रतिवर्ती, प्रतिसममित, संक्रामक और जुड़ा हुआ है। एक  एक ऐसा संबंध है जो अप्रतिवर्ती, प्रतिसममित, संक्रामक और जुड़ा हुआ है। एक  एक ऐसा संबंध है जो प्रतिवर्ती, सममित और सकर्मक है। उदाहरण के लिए, "x विभाजित करता है y" एक आंशिक है, लेकिन प्राकृतिक संख्या $$\N,$$ पर कुल क्रम नहीं "x < y" $$\N,$$ पर एक सख्त कुल आदेश है और "x y के समानांतर है" यूक्लिडियन विमान में सभी रेखाओं के सेट पर एक समानता संबंध है।

अनुभाग में परिभाषित सभी ऑपरेशन बाइनरी संबंधों पर संचालन भी सजातीय संबंधों पर लागू होते हैं। इसके अलावा, एक सेट एक्स पर एक सजातीय संबंध को क्लोजर ऑपरेशन के अधीन किया जा सकता है जैसे:
 * : एक्स युक्त आर पर सबसे छोटा रिफ्लेक्सिव संबंध,
 * : R युक्त X पर सबसे छोटा सकर्मक संबंध,
 * : R युक्त X पर सबसे छोटा समतुल्य संबंध।

विषम संबंध
गणित में, एक विषम संबंध एक द्विआधारी संबंध है, जो कार्तीय उत्पाद $$A \times B,$$ का एक उपसमुच्चय है जहां ए और बी संभवतः भिन्न सेट हैं। उपसर्ग हेटेरो ग्रीक ἕτερος (विषमलैंगिक, "अन्य, अन्य, भिन्न") से है।

एक विषम संबंध को एक आयताकार संबंध कहा गया है, यह सुझाव देते हुए कि इसमें एक सेट पर समरूप संबंध का वर्ग-समरूपता नहीं है जहां $$A = B$$। सजातीय संबंधों से परे द्विआधारी संबंधों के विकास पर टिप्पणी करते हुए, शोधकर्ताओं ने लिखा, "... सिद्धांत का एक प्रकार विकसित हुआ है जो संबंधों को शुरुआत से ही विषम या आयताकार मानता है, यानी संबंधों के रूप में जहां सामान्य मामला यह है कि वे अलग-अलग सेटों के बीच संबंध हैं।"

संबंधों की गणना
बीजगणितीय तर्कशास्त्र में विकास ने द्विआधारी संबंधों के उपयोग को सुगम बनाया है। संबंधों की गणना में सेटों का बीजगणित शामिल है, संबंधों की संरचना और विपरीत संबंधों के उपयोग द्वारा विस्तारित। समावेशन $$R \subseteq S,$$ का अर्थ है कि aRb का तात्पर्य aSb से है, जो संबंधों के जाल में दृश्य को सेट करता है। लेकिन $$P \subseteq Q \equiv (P \cap \bar{Q} = \varnothing ) \equiv (P \cap Q = P),$$ के बाद से शामिल किए जाने का प्रतीक अनावश्यक है। फिर भी, श्रोडर नियमों के अनुसार ऑपरेटरों के संबंधों और हेरफेर की संरचना, $$A \times B$$ की शक्ति सेट में काम करने के लिए एक कलन प्रदान करती है। समरूप संबंधों के विपरीत, संबंधों के संचालन की संरचना केवल एक आंशिक कार्य है। रचित संबंधों के डोमेन के लिए सीमा के मिलान की आवश्यकता ने सुझाव दिया है कि विषम संबंधों का अध्ययन श्रेणी सिद्धांत का एक अध्याय है, जैसा कि सेट की श्रेणी में होता है, सिवाय इसके कि इस श्रेणी के आकारिकी संबंध हैं। Rel श्रेणी के ऑब्जेक्ट सेट होते हैं, और संबंध-रूपवाद एक श्रेणी में आवश्यक रूप से बनते हैं।

प्रेरित अवधारणा जाल
द्विआधारी संबंधों को उनकी प्रेरित अवधारणा जाल के माध्यम से वर्णित किया गया है: एक अवधारणा C ⊂ R दो गुणों को संतुष्ट करती है: (1) C का तार्किक मैट्रिक्स तार्किक वैक्टर का बाहरी उत्पाद है
 * $$C_{i j} \ = \ u_i v_j, \quad u, v$$ तार्किक वैक्टर। (2) सी अधिकतम है, किसी अन्य बाहरी उत्पाद में निहित नहीं है। इस प्रकार C को एक गैर-विस्तार योग्य आयत के रूप में वर्णित किया गया है।

किसी दिए गए संबंध $$R \subseteq X \times Y,$$ के लिए, अवधारणाओं का सेट, उनके जुड़ने और मिलने से बढ़ा हुआ, एक "अवधारणाओं का प्रेरित जाल" बनाता है, जिसमें $$\sqsubseteq$$ को शामिल करने से एक पूर्व आदेश बनता है।

MacNeille पूर्णता प्रमेय (1937) (कि किसी भी आंशिक क्रम को एक पूर्ण जाली में एम्बेड किया जा सकता है) को 2013 के एक सर्वेक्षण लेख "अवधारणा जाली पर संबंधों का विघटन" में उद्धृत किया गया है। अपघटन होता है
 * $$R \ = \ f \ E \ g^\textsf{T} ,$$ जहां f और g कार्य हैं, जिन्हें इस संदर्भ में मैपिंग या बाएं-कुल, असमान संबंध कहा जाता है। "प्रेरित अवधारणा जाली आंशिक आदेश ई के कट पूर्णता के लिए आइसोमोर्फिक है जो संबंध आर के न्यूनतम अपघटन (एफ, जी, ई) से संबंधित है।"

विशेष मामलों पर नीचे विचार किया गया है: ई कुल आदेश फेरर्स प्रकार से मेल खाता है, और ई पहचान अलग-अलग, एक सेट पर समानता संबंध का एक सामान्यीकरण से मेल खाती है।

संबंधों को स्कीन रैंक द्वारा रैंक किया जा सकता है जो एक संबंध को कवर करने के लिए आवश्यक अवधारणाओं की संख्या की गणना करता है। अवधारणाओं के साथ संबंधों का संरचनात्मक विश्लेषण डाटा माइनिंग के लिए एक दृष्टिकोण प्रदान करता है।

विशेष संबंध

 * प्रस्ताव: यदि R एक क्रमिक संबंध है और RT इसका स्थानांतरण है, तो $$I \subseteq R^\textsf{T} R$$ जहां $$I$$ m × m पहचान संबंध है।
 * तर्कवाक्य: यदि R एक विशेषण संबंध है, तो $$I \subseteq R R^\textsf{T}$$ जहां $$I$$ $$n \times n$$ पहचान संबंध है।

द्विक्रियात्मक
तुल्यता संबंध की अवधारणा के सामान्यीकरण के रूप में, भिन्नात्मक संबंधों का विचार अलग-अलग विशेषताओं द्वारा वस्तुओं को विभाजित करना है। एक तरीका यह किया जा सकता है संकेतक के बीच के सेट $$Z = \{ x, y, z, \ldots \}$$ के साथ। विभाजन संबंध $$R = F G^\textsf{T}$$, असमान संबंधों $$F \subseteq A \times Z \text{ and } G \subseteq B \times Z$$ का उपयोग करते हुए संबंधों की एक संरचना है। जैक्स रिगुएट ने इन संबंधों को कार्यात्मक नाम दिया है क्योंकि संरचना F GT में असमान संबंध शामिल हैं, जिन्हें आमतौर पर आंशिक कार्य कहा जाता है।

1950 में रिगुट ने दिखाया कि ऐसे संबंध समावेशन को संतुष्ट करते हैं: $$R \ R^\textsf{T} \ R \ \subseteq \ R$$ऑटोमेटा सिद्धांत में, आयताकार संबंध शब्द का उपयोग एक भिन्नात्मक संबंध को निरूपित करने के लिए भी किया गया है। यह शब्दावली इस तथ्य की याद दिलाती है कि, जब एक तार्किक मैट्रिक्स के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, तो एक द्विक्रियात्मक संबंध के स्तंभों और पंक्तियों को एक ब्लॉक मैट्रिक्स के रूप में व्यवस्थित किया जा सकता है, जिसमें (असममित) मुख्य विकर्ण पर आयताकार ब्लॉक होते हैं। अधिक औपचारिक रूप से, $$X \times Y$$ पर एक संबंध $$R$$ क्रियात्मक है अगर और केवल अगर इसे कार्तीय उत्पादों $$A_i \times B_i$$ के संघ के रूप में लिखा जा सकता है, जहां $$A_i$$ $$X$$ के एक उपसमुच्चय का विभाजन है और $$B_i$$ इसी तरह $$Y$$ के एक उपसमुच्चय का विभाजन है।

संकेतन {y: xRy} = xR का उपयोग करते हुए, एक द्विभाजित संबंध को एक संबंध R के रूप में भी चित्रित किया जा सकता है जैसे कि जहां कहीं भी x1R और x2R में एक गैर-रिक्त चौराहा है, तो ये दो सेट मेल खाते हैं; औपचारिक रूप से $$x_1 \cap x_2 \neq \varnothing$$ का मतलब $$x_1 R = x_2 R$$ होता है।

1997 में शोधकर्ताओं ने "डेटाबेस प्रबंधन में विविध निर्भरताओं पर आधारित द्विआधारी अपघटन की उपयोगिता" को पाया। इसके अलावा, बिसिमुलेशन के अध्ययन में विविधात्मक संबंध मौलिक हैं।

सजातीय संबंधों के संदर्भ में, एक आंशिक तुल्यता संबंध भिन्नात्मक होता है।

फेरर्स प्रकार
एक सेट पर एक सख्त आदेश ऑर्डर थ्योरी में उत्पन्न होने वाला एक सजातीय संबंध है। 1951 में जैक्स रिगुएट ने एक पूर्णांक के विभाजन के क्रम को अपनाया, जिसे फेरर्स आरेख कहा जाता है, ताकि सामान्य रूप से द्विआधारी संबंधों के क्रम का विस्तार किया जा सके।

एक सामान्य बाइनरी रिलेशन के संबंधित लॉजिकल मैट्रिक्स में पंक्तियाँ होती हैं जो एक के अनुक्रम के साथ समाप्त होती हैं। इस प्रकार फेरर के आरेख के बिंदुओं को बदल दिया जाता है और मैट्रिक्स में दाईं ओर संरेखित किया जाता है। फेरर्स प्रकार के संबंध R के लिए आवश्यक एक बीजीय कथन है$$R \bar{R}^\textsf{T} R \subseteq R.$$अगर कोई एक रिश्ता $$R, \ \bar{R}, \ R^\textsf{T}$$ फेरर्स प्रकार का है, तो वे सभी हैं।

संपर्क
मान लीजिए B, A का घात समुच्चय है, A के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय। फिर संबंध g एक संपर्क संबंध है यदि यह तीन गुणों को संतुष्ट करता है: सेट सदस्यता संबंध, ε = "का एक तत्व है", इन गुणों को संतुष्ट करता है इसलिए ε एक संपर्क संबंध है। 1970 में जॉर्ज ऑमन द्वारा एक सामान्य संपर्क संबंध की धारणा पेश की गई थी। संबंधों की गणना के संदर्भ में संपर्क संबंध के लिए पर्याप्त शर्तें शामिल हैं$$C^\textsf{T} \bar{C} \ \subseteq \ \ni \bar{C} \ \ \equiv \ C \ \overline{\ni \bar{C}} \ \subseteq \ C,$$जहाँ $$\ni$$ सेट सदस्यता (∈) का विलोम है।
 * 1) $$\text{for all } x \in A, Y = \{ x \} \text{ implies } xgY.$$
 * 2) $$Y \subseteq Z \text{ and } xgY \text{ implies } xgZ.$$
 * 3) $$\text{for all } y \in Y, ygZ \text{ and } xgY \text{ implies } xgZ.$$

अग्रिम आदेश आर \ आर
प्रत्येक संबंध R एक पूर्व-आदेश $$R \backslash R$$ उत्पन्न करता है जो बायां अवशिष्ट है। बातचीत और पूरक के मामले में, $$R \backslash R \ \equiv \ \overline{R^\textsf{T} \bar{R}}$$। $$R^\textsf{T} \bar{R}$$ का विकर्ण बनाना, $$R^{\text{T}}$$ की संगत पंक्ति और $$\bar{R}$$ का स्तंभ विपरीत तार्किक मानों का होगा, इसलिए विकर्ण सभी शून्य है। फिर
 * $$R^\textsf{T} \bar{R} \subseteq \bar{I} \ \implies \ I \subseteq \overline{R^\textsf{T} \bar{R}} \ = \ R \backslash R ,$$ ताकि $$R \backslash R$$ प्रतिवर्त संबंध है।

सकर्मक संबंध दिखाने के लिए, इसकी आवश्यकता होती है $$(R\backslash R)(R\backslash R) \subseteq R \backslash R.$$ याद करें कि $$X = R \backslash R$$ सबसे बड़ा संबंध ऐसा है $$R X \subseteq R.$$ फिर
 * $$R(R\backslash R) \subseteq R$$
 * $$R(R\backslash R) (R\backslash R )\subseteq R$$ (दोहराना)
 * $$\equiv R^\textsf{T} \bar{R} \subseteq \overline{(R \backslash R)(R \backslash R)}$$ (श्रोडर का नियम)
 * $$\equiv (R \backslash R)(R \backslash R) \subseteq \overline{R^\textsf{T} \bar{R}}$$ (पूरक)
 * $$\equiv (R \backslash R)(R \backslash R) \subseteq R \backslash R.$$ (परिभाषा)

यू के पावर सेट पर समावेशन (सेट सिद्धांत) संबंध Ω तत्व (गणित) से इस तरह प्राप्त किया जा सकता है $$\,\in\,$$ यू के उपसमुच्चय पर:
 * $$\Omega \ = \ \overline{\ni \bar{\in}} \ = \ \in \backslash \in .$$

एक रिश्ते की सीमा
एक संबंध R दिया गया है, एक उप-संबंध जिसे उसकी सीमा कहा जाता है, को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है$$\operatorname{fringe}(R) = R \cap \overline{R \bar{R}^\textsf{T} R}.$$जब R एक आंशिक पहचान संबंध, द्विक्रियात्मक, या एक ब्लॉक विकर्ण संबंध है, तो फ्रिंज (R) = R। अन्यथा फ्रिंज ऑपरेटर अपने लॉजिकल मैट्रिक्स के संदर्भ में वर्णित एक सीमा उप-संबंध का चयन करता है: फ्रिंज (आर) साइड विकर्ण है यदि आर एक ऊपरी दायां त्रिकोणीय रैखिक क्रम या सख्त क्रम है। फ्रिंज (आर) ब्लॉक फ्रिंज है यदि आर अपरिवर्तनीय ($$R \subseteq \bar{I}$$) या ऊपरी दायां ब्लॉक त्रिभुज है। फ्रिंज (आर) सीमा आयतों का एक क्रम है जब आर फेरर्स प्रकार का है।

दूसरी ओर, फ्रिंज (आर) = ∅ जब आर एक सघन, रैखिक, सख्त आदेश है।

गणितीय ढेर
दो सेट ए और बी दिए गए हैं, उनके बीच बाइनरी संबंधों का सेट $$\mathcal{B}(A,B)$$ एक टर्नरी ऑपरेशन $$[a, \ b,\ c] \ = \ a b^\textsf{T} c$$ से सुसज्जित हो सकता है जहां बीटी बी के विपरीत संबंध को दर्शाता है। 1953 में विक्टर वैगनर ने सेमीहीप्स, हीप्स और सामान्यीकृत हीप्स को परिभाषित करने के लिए इस टर्नरी ऑपरेशन के गुणों का इस्तेमाल किया। विषम और सजातीय संबंधों के विपरीत इन परिभाषाओं द्वारा उजागर किया गया है: "वैगनर के काम में ढेर, अर्ध-ढेर और सामान्यीकृत ढेर के बीच एक सुखद समरूपता है, और दूसरी ओर समूह, अर्ध-समूह और सामान्यीकृत समूह। अनिवार्य रूप से, जब भी हम विभिन्न सेट ए और बी के बीच द्विआधारी संबंधों (और आंशिक एक-एक मैपिंग) पर विचार करते हैं, तो विभिन्न प्रकार के सेमीहिप्स दिखाई देते हैं, जबकि विभिन्न प्रकार के सेमिग्रुप उस मामले में प्रकट होते हैं जहां ए = बी।"

यह भी देखें

 * सार पुनर्लेखन प्रणाली
 * योज्य संबंध, मॉड्यूल के बीच एक बहु-मूल्यवान समरूपता
 * रूपक (श्रेणी सिद्धांत)
 * संबंधों की श्रेणी, वस्तुओं के रूप में सेट वाली श्रेणी और आकारिकी के रूप में द्विआधारी संबंध
 * संगम (शब्द पुनर्लेखन), द्विआधारी संबंधों के कई असामान्य लेकिन मौलिक गुणों पर चर्चा करता है
 * पत्राचार (बीजीय ज्यामिति), बीजगणितीय समीकरणों द्वारा परिभाषित एक द्विआधारी संबंध
 * हस्स आरेख, एक ग्राफिक का मतलब ऑर्डर संबंध प्रदर्शित करना है
 * घटना संरचना, बिंदुओं और रेखाओं के सेट के बीच एक विषम संबंध
 * रिश्तेदारों का तर्क, चार्ल्स सैंडर्स पियर्स द्वारा संबंधों का एक सिद्धांत
 * आदेश सिद्धांत, आदेश संबंधों के गुणों की जांच करता है

ग्रन्थसूची

 * Ernst Schröder (1895) Algebra der Logik, Band III, via Internet Archive
 * Ernst Schröder (1895) Algebra der Logik, Band III, via Internet Archive

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