ग्रीडी कलरिंग

गणित और कंप्यूटर विज्ञान में ग्राफ रंग की समस्याओं के अध्ययन में, एक लालची रंग या अनुक्रमिक रंग एक लालची एल्गोरिथ्म द्वारा गठित एक अप्रत्यक्ष ग्राफ के वर्टेक्स (ग्राफ सिद्धांत) का रंग है जो ग्राफ के कोने को अनुक्रम में मानता है और प्रत्येक वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित को इसके मेक्स (गणित) रंग प्रदान करता है। लालची रंग रैखिक समय में पाए जा सकते हैं, लेकिन वे सामान्य रूप से संभव रंगों की न्यूनतम संख्या का उपयोग नहीं करते हैं।

कोने के अनुक्रम के विभिन्न विकल्प आम तौर पर दिए गए ग्राफ़ के अलग-अलग रंगों का उत्पादन करेंगे, लालची रंगों के बहुत से अध्ययन से संबंधित है कि एक अच्छा क्रम कैसे प्राप्त किया जाए। हमेशा एक ऐसा क्रम मौजूद होता है जो एक इष्टतम रंग का उत्पादन करता है, लेकिन हालांकि इस तरह के आदेश कई विशेष वर्गों के ग्राफ़ के लिए पाए जा सकते हैं, उन्हें सामान्य रूप से खोजना मुश्किल होता है। वर्टेक्स ऑर्डरिंग के लिए सामान्य रूप से उपयोग की जाने वाली रणनीतियों में निचले-डिग्री वर्टिकल की तुलना में पहले उच्च-डिग्री वर्टिकल रखना, या कम उपलब्ध रंगों के साथ वर्टिकल चुनना शामिल है, जो कम विवश हैं।

लालची रंग की विविधताएं एक ऑनलाइन एल्गोरिदम  में रंगों का चयन करती हैं, ग्राफ़ के बिना रंग वाले हिस्से की संरचना के बारे में कोई जानकारी के बिना, या रंगों की कुल संख्या को कम करने के लिए पहले उपलब्ध रंगों की तुलना में अन्य रंगों का चयन करें। लालची रंग एल्गोरिदम को शेड्यूलिंग और पंजीकरण आवंटन समस्याओं, संयोजी खेलों के विश्लेषण और रंग और डिग्री के बीच संबंध पर ब्रूक्स के प्रमेय सहित अन्य गणितीय परिणामों के प्रमाणों के लिए लागू किया गया है। लालची रंगों से प्राप्त ग्राफ सिद्धांत में अन्य अवधारणाओं में एक ग्राफ की ग्रंडी संख्या (रंगों की सबसे बड़ी संख्या जो एक लालची रंग द्वारा पाई जा सकती है) और अच्छी तरह से रंगीन रेखांकन शामिल हैं, ग्राफ जिसके लिए सभी लालची रंग समान संख्या का उपयोग करते हैं रंग की।

कलन विधि
किसी दिए गए शीर्ष क्रम के लिए लालची रंग की गणना एक एल्गोरिथ्म द्वारा की जा सकती है जो रैखिक समय में चलता है। एल्गोरिथम दिए गए क्रम में शीर्षों को संसाधित करता है, संसाधित होने पर प्रत्येक को एक रंग प्रदान करता है। रंगों को संख्याओं द्वारा दर्शाया जा सकता है $$0,1,2,\dots$$ और प्रत्येक शीर्ष को उसके एक पड़ोसी द्वारा मेक्स (गणित) के साथ रंग दिया गया है। सबसे छोटा उपलब्ध रंग खोजने के लिए, प्रत्येक रंग के पड़ोसियों की संख्या (या वैकल्पिक रूप से, पड़ोसियों के रंगों के सेट का प्रतिनिधित्व करने के लिए) की संख्या की गणना करने के लिए एक सरणी का उपयोग कर सकते हैं, और उसके पहले शून्य के सूचकांक को खोजने के लिए सरणी को स्कैन कर सकते हैं। पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा) में, एल्गोरिथ्म को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

ई> सबरूटीन अपनी तर्क सूची की लंबाई के अनुपात में समय लेता है, क्योंकि यह दो लूप करता है, एक सूची के ऊपर और एक समान लंबाई वाली गणनाओं की सूची पर। इस उपनेमका के लिए कॉल में समग्र रंग एल्गोरिथ्म का समय हावी है। ग्राफ़ में प्रत्येक किनारा इन कॉलों में से केवल एक में योगदान देता है, किनारे के अंत बिंदु के लिए एक जो बाद में वर्टेक्स ऑर्डरिंग में होता है। इसलिए, तर्क की लंबाई का योग सूचीबद्ध करता है, और एल्गोरिथ्म के लिए कुल समय, ग्राफ़ में किनारों की संख्या के समानुपाती होते हैं।

एक वैकल्पिक एल्गोरिद्म, समान रंग उत्पन्न करता है, एक समय में एक रंग, प्रत्येक रंग के साथ कोने के सेट का चयन करना है। इस विधि में, प्रत्येक रंग वर्ग $$C$$ दिए गए क्रम में कोने के माध्यम से स्कैन करके चुना जाता है। जब इस स्कैन का सामना एक बिना रंग वाले शीर्ष से होता है $$v$$ जिसका कोई पड़ोसी नहीं है $$C$$, यह जोड़ता है $$v$$ को $$C$$. इस प्रकार से, $$C$$ उन शीर्षों के बीच एक अधिकतम स्वतंत्र सेट बन जाता है जिन्हें पहले से छोटे रंग नहीं दिए गए थे। एल्गोरिथ्म बार-बार रंग वर्गों को इस तरह से ढूंढता है जब तक कि सभी कोने रंगीन न हो जाएं। हालाँकि, इसमें ग्राफ़ के कई स्कैन करना शामिल है, ऊपर उल्लिखित विधि के बजाय प्रत्येक रंग वर्ग के लिए एक स्कैन, जो केवल एक स्कैन का उपयोग करता है।

ऑर्डर करने का विकल्प
ग्राफ़ के शीर्षों के अलग-अलग क्रम के कारण लालची रंग रंगों की विभिन्न संख्याओं का उपयोग कर सकता है, रंगों की इष्टतम संख्या से लेकर, कुछ मामलों में, रंगों की संख्या जो ग्राफ़ में कोने की संख्या के अनुपात में होती है। उदाहरण के लिए, एक क्राउन ग्राफ (दो अलग-अलग सेटों से बना एक ग्राफ $n/2$ शिखर $n/2$ और ${a_{1}, a_{2}, ...}$ कनेक्ट करके ${b_{1}, b_{2}, ...}$ को $a_{i}$ जब कभी भी $b_{j}$) लालची रंग के लिए विशेष रूप से बुरा मामला हो सकता है। वर्टेक्स ऑर्डरिंग के साथ $i ≠ j$, एक लालची रंग का प्रयोग करेंगे $a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}, ...$ रंग, प्रत्येक जोड़ी के लिए एक रंग $n/2$. हालाँकि, इस ग्राफ के लिए रंगों की इष्टतम संख्या दो है, शीर्षों के लिए एक रंग $(a_{i}, b_{i})$ और दूसरा शिखरों के लिए $a_{i}$. ऐसे ग्राफ़ भी मौजूद हैं जैसे कि उच्च संभावना के साथ बेतरतीब ढंग से चुने गए वर्टेक्स ऑर्डरिंग से कई रंग न्यूनतम से बहुत बड़े हो जाते हैं। इसलिए, लालची रंग में यह कुछ महत्व रखता है कि शीर्ष क्रम को सावधानी से चुनें।

अच्छा आदेश
किसी भी ग्राफ़ के कोने हमेशा इस तरह से व्यवस्थित किए जा सकते हैं कि लालची एल्गोरिथम एक इष्टतम रंग उत्पन्न करता है। किसी भी इष्टतम रंग को देखते हुए, कोई भी शीर्षों को उनके रंगों के अनुसार क्रमित कर सकता है। फिर जब कोई इस क्रम के साथ लालची एल्गोरिदम का उपयोग करता है, तो परिणामी रंग स्वचालित रूप से इष्टतम होता है। हालांकि, क्योंकि इष्टतम ग्राफ रंग एनपी-पूर्ण है, कोई भी उप-समस्या जो इस समस्या को जल्दी से हल करने की अनुमति देगी, जिसमें लालची रंग के लिए एक इष्टतम आदेश खोजना शामिल है, एनपी कठिन  है।

अंतराल ग्राफ ़ और कॉर्डल ग्राफ़ में, यदि शीर्षों को पूर्ण विलोपन क्रम के विपरीत क्रम में लगाया जाता है, तो हर शीर्ष के पहले के पड़ोसी एक समूह (ग्राफ सिद्धांत) बनाएंगे। यह संपत्ति लालची रंग को एक इष्टतम रंग बनाने का कारण बनती है, क्योंकि यह इनमें से प्रत्येक क्लिक के लिए आवश्यक रंगों से अधिक रंगों का उपयोग नहीं करता है। एक विलोपन आदेश रैखिक समय में पाया जा सकता है, जब यह मौजूद हो।

अधिक दृढ़ता से, कोई भी पूर्ण उन्मूलन क्रम आनुवंशिक रूप से इष्टतम है, जिसका अर्थ है कि यह ग्राफ़ के लिए और इसके सभी प्रेरित उप-अनुच्छेदों के लिए इष्टतम है। पूरी तरह से ऑर्डर करने योग्य ग्राफ़ (जिसमें कॉर्डल ग्राफ़, तुलनीय ग्राफ़ और दूरी-वंशानुगत ग्राफ़ शामिल हैं) को ग्राफ़ के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसमें आनुवंशिक रूप से इष्टतम क्रम है। पूरी तरह से ऑर्डर करने योग्य ग्राफ को पहचानना भी एनपी-पूर्ण है।

खराब आदेश
किसी दिए गए ग्राफ के सबसे खराब क्रम के लिए लालची रंग द्वारा उत्पादित रंगों की संख्या को उसकी ग्रंडी संख्या कहा जाता है। जिस तरह लालची रंग के लिए एक अच्छा वर्टेक्स ऑर्डर करना मुश्किल है, उसी तरह एक खराब वर्टेक्स ऑर्डरिंग ढूंढना भी मुश्किल है। किसी दिए गए ग्राफ के लिए यह निर्धारित करने के लिए एनपी-पूर्ण है $n$ और संख्या $G$, क्या के शीर्षों का क्रम मौजूद है $k$ जो लालची एल्गोरिथम का उपयोग करने का कारण बनता है $G$ या अधिक रंग। विशेष रूप से, इसका मतलब यह है कि सबसे खराब ऑर्डर खोजना मुश्किल है $k$.

रेखांकन जिसके लिए आदेश अप्रासंगिक है
अच्छी तरह से रंगे हुए ग्राफ़ वे ग्राफ़ होते हैं जिनके लिए सभी वर्टेक्स ऑर्डरिंग रंगों की समान संख्या का उत्पादन करते हैं। इन ग्राफ़ में रंगों की यह संख्या, रंगीन संख्या और ग्रंडी संख्या दोनों के बराबर होती है। इनमें कोग्राफ शामिल हैं, जो वास्तव में ऐसे ग्राफ़ हैं जिनमें सभी प्रेरित सबग्राफ अच्छी तरह से रंगे हुए हैं। हालांकि, यह निर्धारित करने के लिए सह-एनपी-पूर्ण है कि कोई ग्राफ अच्छी तरह से रंगा हुआ है या नहीं।

यदि प्रत्येक किनारे को शामिल करने की निरंतर संभावना के साथ Erdős-Rényi मॉडल से एक यादृच्छिक ग्राफ तैयार किया जाता है, तो ग्राफ किनारों से स्वतंत्र रूप से चुने गए किसी भी वर्टेक्स ऑर्डरिंग से एक रंग निकलता है, जिसके रंगों की संख्या इष्टतम मान के दोगुने के करीब होती है, उच्च के साथ संभावना। यह अज्ञात रहता है कि क्या इन ग्राफ़ों के महत्वपूर्ण रूप से बेहतर रंगों को खोजने के लिए कोई बहुपद समय विधि है।

पतितता
क्योंकि इष्टतम वर्टेक्स क्रम खोजना मुश्किल है, अनुमानी का उपयोग किया गया है जो रंगों की इष्टतम संख्या की गारंटी न देते हुए रंगों की संख्या को कम करने का प्रयास करता है। लालची रंग भरने के लिए आमतौर पर इस्तेमाल किया जाने वाला क्रम एक शीर्ष चुनना है $G$ न्यूनतम डिग्री (ग्राफ सिद्धांत)  के साथ सबग्राफ ऑर्डर करें $v$ हटाए गए पुनरावर्तन (कंप्यूटर विज्ञान), और फिर जगह $v$ क्रम में अंतिम। हटाए गए वर्टेक्स की सबसे बड़ी डिग्री जो इस एल्गोरिथम का सामना करती है, उसे ग्राफ़ का डीजेनरेसी (ग्राफ़ सिद्धांत) कहा जाता है, जिसे निरूपित किया जाता है $v$. लालची रंग के संदर्भ में, उसी क्रम की रणनीति को सबसे छोटा अंतिम आदेश भी कहा जाता है। यह वर्टेक्स ऑर्डरिंग, और अध: पतन, रैखिक समय में गणना की जा सकती है। इसे पहले के वर्टेक्स ऑर्डरिंग मेथड के बेहतर संस्करण के रूप में देखा जा सकता है, जो सबसे बड़ा-पहला ऑर्डरिंग है, जो वर्टिकल को उनके डिग्रियों द्वारा अवरोही क्रम में सॉर्ट करता है। अध: पतन आदेश के साथ, लालची रंग अधिक से अधिक उपयोग करेंगे $b_{i}$ रंग की। ऐसा इसलिए है, क्योंकि रंगीन होने पर, प्रत्येक शीर्ष में अधिकतम होगा $d$ पहले से ही रंगीन पड़ोसी, इसलिए सबसे पहले में से एक $d + 1$ रंग इसके उपयोग के लिए निःशुल्क होंगे। अध: पतन आदेश के साथ लालची रंग पेड़ों, छद्म वनों और मुकुट रेखांकन सहित ग्राफ के कुछ वर्गों के लिए इष्टतम रंग पा सकते हैं। एक ग्राफ परिभाषित करें $$G$$ होना $$\beta$$-बिल्कुल सही अगर, के लिए $$G$$ और हर प्रेरित सबग्राफ $$G$$, रंगीन संख्या अध: पतन प्लस एक के बराबर होती है। इन रेखांकन के लिए, अध: पतन क्रम के साथ लालची एल्गोरिथ्म हमेशा इष्टतम होता है। प्रत्येक $$\beta$$-परफेक्ट ग्राफ़ एक सम-छिद्र-मुक्त ग्राफ़ होना चाहिए, क्योंकि यहां तक ​​कि चक्रों में रंगीन संख्या दो और अध: पतन दो होते हैं, जो परिभाषा में समानता से मेल नहीं खाते $$\beta$$- सही रेखांकन। यदि एक ग्राफ़ और उसका पूरक ग्राफ़ दोनों सम-छिद्र-मुक्त हैं, तो वे दोनों हैं $$\beta$$-उत्तम। रेखांकन जो दोनों सही रेखांकन हैं और $$\beta$$-परिपूर्ण रेखांकन बिलकुल तारकीय रेखांकन होते हैं। सम-छिद्र-मुक्त ग्राफ़ पर अधिक आम तौर पर, अध: पतन क्रम इष्टतम रंग को रंगों की इष्टतम संख्या के अधिकतम दोगुने के भीतर अनुमानित करता है; अर्थात्, इसका सन्निकटन अनुपात 2 है। यूनिट डिस्क ग्राफ़ पर इसका सन्निकटन अनुपात 3 है। त्रिकोणीय प्रिज्म सबसे छोटा ग्राफ़ है जिसके लिए इसकी एक डिजेनरेसी ऑर्डरिंग एक गैर-इष्टतम रंग की ओर ले जाती है, और स्क्वायर एंटीप्रिज्म सबसे छोटा ग्राफ़ है जिसे इसके किसी भी डिजनरेसी ऑर्डरिंग का उपयोग करके बेहतर ढंग से रंगा नहीं जा सकता है।

अनुकूली आदेश
लालची कलरिंग में वर्टेक्स ऑर्डरिंग के लिए DSatur नामक एक रणनीति प्रस्तावित करता है जो कलरिंग प्रक्रिया के साथ ऑर्डरिंग के निर्माण को इंटरलीव करता है। लालची रंग एल्गोरिथ्म के अपने संस्करण में, प्रत्येक चरण में रंग के अगले शीर्ष को उसके पड़ोस (ग्राफ सिद्धांत) में सबसे बड़ी संख्या में अलग-अलग रंगों के साथ चुना जाता है। संबंधों के मामले में, बिना रंग वाले शीर्षों के सबग्राफ में अधिकतम डिग्री का एक शीर्ष बंधे हुए शीर्षों से चुना जाता है। प्रत्येक चरण पर पड़ोसी रंगों के सेट और उनकी प्रमुखता का ध्यान रखते हुए, इस पद्धति को रैखिक समय में लागू करना संभव है। यह विधि द्विदलीय रेखांकन के लिए इष्टतम रंग खोज सकती है, सभी कैक्टस ग्राफ़, सभी पहिया ग्राफ ़, सभी ग्राफ़ ज़्यादा से ज़्यादा छह शीर्षों पर, और लगभग हर $$k$$-रंगीन ग्राफ। यद्यपि  ने मूल रूप से दावा किया था कि यह विधि मेयनियल ग्राफ के लिए इष्टतम रंग खोजती है, बाद में उन्हें इस दावे के लिए एक प्रति उदाहरण मिला।

वैकल्पिक रंग चयन योजनाएं
लालची रंग एल्गोरिथ्म की विविधताओं को परिभाषित करना संभव है जिसमें दिए गए ग्राफ के कोने दिए गए क्रम में रंगीन होते हैं लेकिन जिसमें प्रत्येक शीर्ष के लिए चुना गया रंग आवश्यक रूप से पहला उपलब्ध रंग नहीं होता है। इनमें ऐसी विधियाँ शामिल हैं जिनमें ग्राफ़ का बिना रंग वाला हिस्सा एल्गोरिथम के लिए अज्ञात है, या जिसमें एल्गोरिथम को बुनियादी लालची एल्गोरिथम की तुलना में बेहतर रंग विकल्प बनाने के लिए कुछ स्वतंत्रता दी जाती है।

ऑनलाइन चयन
ऑनलाइन एल्गोरिदम के ढांचे के भीतर वैकल्पिक रंग चयन रणनीतियों का अध्ययन किया गया है। ऑनलाइन ग्राफ़-कलरिंग समस्या में, ग्राफ़ के शीर्षों को एक रंग एल्गोरिथम के मनमाने क्रम में एक समय में एक के बाद एक प्रस्तुत किया जाता है; एल्गोरिथम को प्रत्येक शीर्ष के लिए एक रंग का चयन करना चाहिए, केवल पहले से संसाधित शीर्षों के बीच के रंगों और आसन्नताओं के आधार पर। इस संदर्भ में, एक रंग चयन रणनीति की गुणवत्ता को उसके प्रतिस्पर्धी विश्लेषण (ऑनलाइन एल्गोरिथम) द्वारा मापा जाता है, इसके द्वारा उपयोग किए जाने वाले रंगों की संख्या और दिए गए ग्राफ के लिए रंगों की इष्टतम संख्या के बीच का अनुपात।

यदि ग्राफ़ पर कोई अतिरिक्त प्रतिबंध नहीं दिया गया है, तो इष्टतम प्रतिस्पर्धी अनुपात केवल थोड़ा उपरैखिक है। हालांकि, अंतराल ग्राफ के लिए, एक निरंतर प्रतिस्पर्धी अनुपात संभव है, जबकि द्विदलीय रेखांकन और विरल रेखांकन के लिए एक लघुगणकीय अनुपात प्राप्त किया जा सकता है। दरअसल, विरल रेखांकन के लिए, पहले उपलब्ध रंग को चुनने की मानक लालची रंग रणनीति इस प्रतिस्पर्धी अनुपात को प्राप्त करती है, और किसी भी ऑनलाइन रंग एल्गोरिथ्म के प्रतिस्पर्धी अनुपात पर एक मिलान कम सीमा साबित करना संभव है।

पारसीमोनस रंग
किसी दिए गए ग्राफ़ और वर्टेक्स ऑर्डरिंग के लिए एक पारिश्रमिक रंग, एक लालची एल्गोरिथ्म द्वारा निर्मित रंग के रूप में परिभाषित किया गया है जो दिए गए क्रम में कोने को रंग देता है, और केवल एक नया रंग पेश करता है जब सभी पिछले रंग दिए गए शीर्ष के निकट होते हैं, लेकिन यह चुन सकता है कि किस रंग का उपयोग करना है (हमेशा सबसे छोटा चुनने के बजाय) जब वह किसी मौजूदा रंग का पुन: उपयोग करने में सक्षम हो। आदेशित रंगीन संख्या रंगों की सबसे छोटी संख्या है जो दिए गए क्रम के लिए इस तरह से प्राप्त की जा सकती है, और किसी दिए गए ग्राफ के सभी शीर्ष रंगों के बीच ओक्रोमैटिक संख्या सबसे बड़ी क्रम वाली रंगीन संख्या है। इसकी अलग-अलग परिभाषा के बावजूद, ओक्रोमैटिक संख्या हमेशा ग्रंडी संख्या के बराबर होती है।

अनुप्रयोग
क्योंकि यह तेज़ है और कई मामलों में कुछ रंगों का उपयोग कर सकता है, लालची रंग का उपयोग उन अनुप्रयोगों में किया जा सकता है जहाँ एक अच्छे लेकिन इष्टतम ग्राफ़ रंग की आवश्यकता नहीं है। लालची एल्गोरिथ्म के शुरुआती अनुप्रयोगों में से एक पाठ्यक्रम शेड्यूलिंग जैसी समस्याओं के लिए था, जिसमें कार्यों का एक संग्रह समय स्लॉट के दिए गए सेट को सौंपा जाना चाहिए, असंगत कार्यों को एक ही समय स्लॉट में असाइन किए जाने से बचना चाहिए। इसका उपयोग रजिस्टर आवंटन के लिए संकलक ्स में भी किया जा सकता है, इसे एक ग्राफ पर लागू करके जिसका शिखर रजिस्टरों को असाइन किए जाने वाले मानों का प्रतिनिधित्व करता है और जिनके किनारे दो मानों के बीच संघर्ष का प्रतिनिधित्व करते हैं जिन्हें एक ही रजिस्टर में असाइन नहीं किया जा सकता है। कई मामलों में, ये हस्तक्षेप ग्राफ कॉर्डल ग्राफ होते हैं, जो लालची रंग को एक इष्टतम रजिस्टर असाइनमेंट बनाने की अनुमति देते हैं।

संयोजी खेल सिद्धांत में, एक निष्पक्ष खेल के लिए एक निर्देशित विश्वकोश ग्राफ के रूप में स्पष्ट रूप में दिया गया है, जिसका शिखर खेल की स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है और जिसके किनारे एक स्थिति से दूसरे स्थान पर वैध चाल का प्रतिनिधित्व करते हैं, लालची रंग एल्गोरिथ्म (ग्राफ के एक सांस्थितिक क्रम के विपरीत का उपयोग करके) ) प्रत्येक स्थिति के निम-मूल्य की गणना करता है। इन मूल्यों का उपयोग किसी एक खेल या खेलों के किसी भी योग में इष्टतम खेल का निर्धारण करने के लिए किया जा सकता है। अधिकतम डिग्री के ग्राफ के लिए $d + 1$, कोई भी लालची रंग अधिक से अधिक उपयोग करेगा $Δ$ रंग की। ब्रूक्स प्रमेय बताता है कि अधिकतम दो अपवादों (पूर्ण ग्राफ और चक्र ग्राफ) के साथ $Δ + 1$ रंगों की जरूरत है। ब्रूक्स के प्रमेय के एक प्रमाण में शीर्ष क्रम को खोजना शामिल है जिसमें पहले दो शीर्ष अंतिम शीर्ष के निकट हैं लेकिन एक दूसरे के निकट नहीं हैं, और पिछले एक के अलावा प्रत्येक शीर्ष में कम से कम एक बाद का पड़ोसी है। इस संपत्ति के साथ एक आदेश देने के लिए, लालची रंग एल्गोरिथ्म का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है $Δ$ रंग की।

संदर्भ

 * . As cited by.
 * . As cited by.
 * . See also.
 * . As cited by.
 * . See also.
 * . As cited by.
 * . See also.
 * . As cited by.
 * . See also.
 * . As cited by.
 * . See also.
 * . See also.
 * . See also.
 * . See also.
 * . See also.