जाल के प्रकार

बहुभुज जाल छोटे असतत कोशिकाओं द्वारा एक बड़े ज्यामितीय डोमेन का प्रतिनिधित्व है। मेश का उपयोग आमतौर पर आंशिक अंतर समीकरणों के समाधान की गणना करने और कंप्यूटर चित्रलेख  प्रस्तुत करने और भौगोलिक और कार्टोग्राफिक डेटा का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। एक जाल स्थान को तत्वों (या कोशिकाओं या क्षेत्रों) में विभाजित करता है, जिस पर समीकरणों को हल किया जा सकता है, जो तब बड़े डोमेन पर समाधान का अनुमान लगाता है। किसी मॉडल के भीतर तत्व की सीमाएँ आंतरिक या बाहरी सीमाओं पर स्थित होने के लिए बाध्य हो सकती हैं। उच्च गुणवत्ता वाले (बेहतर आकार वाले) तत्वों में बेहतर संख्यात्मक गुण होते हैं, जहां बेहतर तत्व का गठन सामान्य शासी समीकरणों और मॉडल उदाहरण के विशेष समाधान पर निर्भर करता है।

द्वि-आयामी
आमतौर पर दो प्रकार की द्वि-आयामी कोशिका आकृतियाँ उपयोग की जाती हैं। ये त्रिभुज और चतुर्भुज हैं।

कम्प्यूटेशनल रूप से खराब तत्वों में तेज आंतरिक कोण या छोटे किनारे या दोनों होंगे।

त्रिभुज
इस कोशिका के आकार में 3 भुजाएँ होती हैं और यह जाल के सबसे सरल प्रकारों में से एक है। एक त्रिकोणीय सतह जाल हमेशा त्वरित और आसान होता है। यह असंरचित ग्रिडों में सबसे आम है।

चतुर्भुज
जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, यह कोशिका का आकार मूल 4 पक्षीय है। यह संरचित ग्रिडों में सबसे आम है।

चतुर्भुज तत्वों को आमतौर पर अवतल होने या बनने से बाहर रखा जाता है।

त्रि-आयामी
मूल 3-आयामी तत्व चतुर्पाश्वीय, चतुर्भुज पिरामिड, त्रिकोणीय प्रिज्म और  षट्फलक  हैं। उन सभी के चेहरे त्रिकोणीय और चतुर्भुज हैं।

एक्सट्रूडेड 2-आयामी मॉडल को पूरी तरह से प्रिज्म और हेक्साहेड्रा द्वारा एक्सट्रूडेड त्रिकोण और चतुर्भुज के रूप में दर्शाया जा सकता है।

सामान्य तौर पर, 3-आयामों में चतुर्भुज फलक पूरी तरह से समतल नहीं हो सकते हैं। एक गैर-तलीय चतुर्भुज फलक को एक पतला चतुष्फलकीय आयतन माना जा सकता है जो दो पड़ोसी तत्वों द्वारा साझा किया जाता है।

चतुष्फलक
एक चतुष्फलक में 4 शीर्ष, 6 किनारे होते हैं और यह 4 त्रिकोणीय फलकों से घिरा होता है। अधिकांश मामलों में टेट्राहेड्रल वॉल्यूम जाल स्वचालित रूप से उत्पन्न किया जा सकता है।

पिरामिड
एक चतुर्भुज-आधारित वर्गाकार पिरामिड में 5 शीर्ष, 8 किनारे होते हैं, जो 4 त्रिकोणीय और 1 चतुर्भुज फलक से घिरा होता है। इन्हें प्रभावी ढंग से वर्गाकार और त्रिकोणीय चेहरे वाले तत्वों और अन्य संकर जालों और ग्रिडों के बीच संक्रमण तत्वों के रूप में उपयोग किया जाता है।

त्रिकोणीय प्रिज्म
एक त्रिकोणीय प्रिज्म में 6 शीर्ष, 9 किनारे हैं, जो 2 त्रिकोणीय और 3 चतुर्भुज फलकों से घिरा है। इस प्रकार की परत का लाभ यह है कि यह सीमा परत को कुशलतापूर्वक हल करती है।

हेक्साहेड्रोन
एक हेक्साहेड्रोन, एक टोपोलॉजिकल घनक्षेत्र, में 8 शीर्ष, 12 किनारे होते हैं, जो 6 चतुर्भुज चेहरों से घिरा होता है। इसे हेक्स या ईंट भी कहा जाता है। समान सेल मात्रा के लिए, हेक्साहेड्रल जाल में समाधान की सटीकता सबसे अधिक है।

पिरामिड और त्रिकोणीय प्रिज्म क्षेत्रों को कम्प्यूटेशनल रूप से पतित हेक्साहेड्रोन के रूप में माना जा सकता है, जहां कुछ किनारों को शून्य कर दिया गया है। हेक्साहेड्रोन के अन्य विकृत रूपों का भी प्रतिनिधित्व किया जा सकता है।

उन्नत कोशिकाएँ ( बहुतल )
एक बहुफलकीय (दोहरे) तत्व में किसी भी संख्या में शीर्ष, किनारे और फलक होते हैं। पड़ोसियों की संख्या (आमतौर पर 10) के कारण इसे आमतौर पर प्रति सेल अधिक कंप्यूटिंग संचालन की आवश्यकता होती है। हालाँकि इसकी भरपाई गणना की सटीकता से की जाती है।

संरचित ग्रिड
संरचित ग्रिडों की पहचान नियमित कनेक्टिविटी द्वारा की जाती है। संभावित तत्व विकल्प 2डी में चतुर्भुज और 3डी में हेक्साहेड्रा हैं। यह मॉडल अत्यधिक स्थान कुशल है, क्योंकि पड़ोस के रिश्ते भंडारण व्यवस्था द्वारा परिभाषित होते हैं। असंरचित ग्रिड की तुलना में संरचित ग्रिड के कुछ अन्य लाभ बेहतर अभिसरण और उच्च रिज़ॉल्यूशन हैं।

असंरचित ग्रिड
एक असंरचित ग्रिड की पहचान अनियमित कनेक्टिविटी से होती है। इसे आसानी से कंप्यूटर मेमोरी में द्वि-आयामी या त्रि-आयामी सरणी के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। यह किसी भी संभावित तत्व की अनुमति देता है जिसे एक सॉल्वर उपयोग करने में सक्षम हो सकता है। संरचित जालों की तुलना में, जिनके लिए पड़ोस के रिश्ते अंतर्निहित हैं, यह मॉडल अत्यधिक स्थान अक्षम हो सकता है क्योंकि इसमें पड़ोस के रिश्तों के स्पष्ट भंडारण की आवश्यकता होती है। हालाँकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि एक संरचित ग्रिड और एक असंरचित ग्रिड की भंडारण आवश्यकताएँ एक स्थिर कारक के भीतर हैं। ये ग्रिड आम तौर पर 2डी में त्रिकोण और 3डी में टेट्राहेड्रल का उपयोग करते हैं।

हाइब्रिड ग्रिड
एक हाइब्रिड ग्रिड में संरचित भागों और असंरचित भागों का मिश्रण होता है। यह संरचित जालों और असंरचित जालों को कुशल तरीके से एकीकृत करता है। ज्यामिति के वे हिस्से जो नियमित हैं उनमें संरचित ग्रिड हो सकते हैं और जो जटिल हैं उनमें असंरचित ग्रिड हो सकते हैं। ये ग्रिड गैर-अनुरूप हो सकते हैं जिसका अर्थ है कि ग्रिड लाइनों को ब्लॉक सीमाओं पर मेल खाने की आवश्यकता नहीं है।

मेष गुणवत्ता
यदि अधिक सटीक समाधान की गणना अधिक तेज़ी से की जाती है तो एक जाल को उच्च गुणवत्ता वाला माना जाता है। सटीकता और गति तनाव में हैं। जाल का आकार कम करने से हमेशा सटीकता बढ़ती है लेकिन कम्प्यूटेशनल लागत भी बढ़ जाती है।

सटीकता विवेकाधीन त्रुटि और समाधान त्रुटि दोनों पर निर्भर करती है। विवेकाधीन त्रुटि के लिए, एक दिया गया जाल अंतरिक्ष का एक अलग अनुमान है, और इसलिए केवल एक अनुमानित समाधान प्रदान कर सकता है, भले ही समीकरण बिल्कुल हल हो जाएं। (कंप्यूटर ग्राफिक्स रे ट्रेसिंग (ग्राफिक्स) में, दागी गई किरणों की संख्या विवेकाधीन त्रुटि का एक अन्य स्रोत है।) समाधान त्रुटि के लिए, पीडीई के लिए पूरे जाल पर कई पुनरावृत्तियों की आवश्यकता होती है। समीकरणों को सटीक रूप से हल करने से पहले, गणना जल्दी समाप्त कर दी जाती है। जाल तत्व प्रकार का चुनाव विवेकीकरण और समाधान त्रुटि दोनों को प्रभावित करता है।

सटीकता तत्वों की कुल संख्या और व्यक्तिगत तत्वों के आकार दोनों पर निर्भर करती है। प्रत्येक पुनरावृत्ति की गति तत्वों की संख्या के साथ (रैखिक रूप से) बढ़ती है, और आवश्यक पुनरावृत्तियों की संख्या स्थानीय तत्वों के आकार और आकार की तुलना में स्थानीय समाधान मूल्य और ढाल पर निर्भर करती है।

समाधान परिशुद्धता
यदि समाधान स्थिर है तो एक मोटा जाल एक सटीक समाधान प्रदान कर सकता है, इसलिए सटीकता विशेष समस्या उदाहरण पर निर्भर करती है। कोई उन क्षेत्रों में जाल को चुनिंदा रूप से परिष्कृत कर सकता है जहां समाधान प्रवणता अधिक है, इस प्रकार वहां निष्ठा बढ़ जाती है। किसी तत्व के भीतर प्रक्षेपित मूल्यों सहित सटीकता, तत्व के प्रकार और आकार पर निर्भर करती है।

अभिसरण की दर
प्रत्येक पुनरावृत्ति गणना और सही समाधान के बीच त्रुटि को कम करती है। अभिसरण (गणित) की तेज़ दर का अर्थ है कम पुनरावृत्तियों के साथ छोटी त्रुटि।

निम्न गुणवत्ता का जाल द्रव प्रवाह के लिए सीमा परत जैसी महत्वपूर्ण विशेषताओं को छोड़ सकता है। विवेकाधीन त्रुटि बड़ी होगी और अभिसरण की दर ख़राब हो जाएगी; समाधान बिल्कुल भी नहीं मिल सकता है।

ग्रिड स्वतंत्रता
एक समाधान को ग्रिड-स्वतंत्र माना जाता है यदि पर्याप्त पुनरावृत्तियों को देखते हुए विवेकीकरण और समाधान त्रुटि काफी छोटी हो। तुलनात्मक परिणामों के लिए यह जानना आवश्यक है। एक जाल अभिसरण अध्ययन में तत्वों को परिष्कृत करना और परिष्कृत समाधानों की मोटे समाधानों से तुलना करना शामिल है। यदि आगे परिशोधन (या अन्य परिवर्तन) से समाधान में महत्वपूर्ण परिवर्तन नहीं होता है, तो जाल एक स्वतंत्र ग्रिड है।

जाल का प्रकार तय करना
यदि सटीकता सबसे अधिक चिंता का विषय है तो हेक्साहेड्रल जाल सबसे बेहतर है। सभी प्रवाह सुविधाओं को कैप्चर करने के लिए जाल का घनत्व पर्याप्त रूप से उच्च होना आवश्यक है, लेकिन एक ही नोट पर, यह इतना अधिक नहीं होना चाहिए कि यह प्रवाह के अनावश्यक विवरणों को कैप्चर कर ले, इस प्रकार सीपीयू पर बोझ पड़ेगा और अधिक समय बर्बाद होगा। जब भी कोई दीवार मौजूद होती है, तो दीवार से सटा हुआ जाल सीमा परत के प्रवाह को हल करने के लिए काफी महीन होता है और आम तौर पर त्रिकोण, टेट्राहेड्रोन और पिरामिड की तुलना में क्वाड, हेक्स और प्रिज्म कोशिकाओं को प्राथमिकता दी जाती है। क्वाड और हेक्स कोशिकाओं को फैलाया जा सकता है जहां प्रवाह पूरी तरह से विकसित और एक-आयामी है। तिरछापन, चिकनापन और पहलू अनुपात के आधार पर, जाल की उपयुक्तता तय की जा सकती है।

तिरछापन
ग्रिड का तिरछापन जाल की गुणवत्ता और उपयुक्तता का एक उपयुक्त संकेतक है। बड़ा तिरछापन प्रक्षेपित क्षेत्रों की सटीकता से समझौता करता है। ग्रिड की विषमता निर्धारित करने की तीन विधियाँ हैं।

समबाहु आयतन के आधार पर
यह विधि केवल त्रिभुजों और चतुष्फलकीय पर लागू होती है और डिफ़ॉल्ट विधि है।
 * $$\text{ Skewness }=\frac{\text{ optimal cell size - cell size }}{\text{optimal cell size}}$$



सामान्यीकृत समबाहु कोण से विचलन के आधार पर
यह विधि सभी कोशिका और चेहरे के आकार पर लागू होती है और लगभग हमेशा प्रिज्म और पिरामिड के लिए उपयोग की जाती है
 * $$\text{ Skewness ( for a quad ) } = \max{ \left[\frac{\theta_\text{max} - 90}{90}, \frac{90 - \theta_\text{min}}{90}\right] }$$

समकोणीय तिरछा
गुणवत्ता का एक अन्य सामान्य माप समकोणीय तिरछापन पर आधारित है।
 * $$\text{ Equiangle Skew } =\max{ \left[\frac{\theta_\text{max} - \theta_e}{180 - \theta_e},\frac{\theta_e - \theta_\text{min}}{\theta_e} \right]}$$

कहाँ:
 * $$\theta_\text{max}\,$$ किसी फलक या कोशिका में सबसे बड़ा कोण है,
 * $$\theta_\text{min}\,$$ किसी फलक या कोशिका का सबसे छोटा कोण है,
 * $$\theta_{e}\,$$ समकोणीय फलक या कोशिका के लिए कोण है अर्थात त्रिभुज के लिए 60 और वर्ग के लिए 90।

0 का तिरछापन सर्वोत्तम संभव है और किसी एक का तिरछापन लगभग कभी भी पसंद नहीं किया जाता है। हेक्स और क्वाड कोशिकाओं के लिए, काफी सटीक समाधान प्राप्त करने के लिए तिरछापन 0.85 से अधिक नहीं होना चाहिए। त्रिकोणीय कोशिकाओं के लिए, तिरछापन 0.85 से अधिक नहीं होना चाहिए और चतुर्भुज कोशिकाओं के लिए, तिरछापन 0.9 से अधिक नहीं होना चाहिए।

चिकनापन
आकार में परिवर्तन भी सहज होना चाहिए। सेल के आकार में अचानक उछाल नहीं होना चाहिए क्योंकि इससे आस-पास के नोड्स पर गलत परिणाम हो सकते हैं।

पहलू अनुपात
यह किसी कोशिका में सबसे लंबी और सबसे छोटी भुजा का अनुपात है। सर्वोत्तम परिणाम सुनिश्चित करने के लिए आदर्श रूप से यह 1 के बराबर होना चाहिए। बहुआयामी प्रवाह के लिए यह एक के निकट होना चाहिए। इसके अलावा सेल आकार में स्थानीय भिन्नताएं न्यूनतम होनी चाहिए, यानी आसन्न सेल आकार में 20% से अधिक अंतर नहीं होना चाहिए। बड़े पहलू अनुपात होने से अस्वीकार्य परिमाण की इंटरपोलेशन त्रुटि हो सकती है।

मेष निर्माण और सुधार
जाल निर्माण और ग्रिड निर्माण के सिद्धांत भी देखें। दो आयामों में, फ़्लिपिंग और स्मूथिंग एक ख़राब जाल को अच्छे जाल में बदलने के लिए शक्तिशाली उपकरण हैं। फ़्लिपिंग में दो त्रिभुजों को मिलाकर एक चतुर्भुज बनाया जाता है, फिर चतुर्भुज को दूसरी दिशा में विभाजित करके दो नए त्रिभुज बनाए जाते हैं। फ़्लिपिंग का उपयोग तिरछापन जैसे त्रिभुज की गुणवत्ता माप में सुधार के लिए किया जाता है। मेश स्मूथनिंग मेश शीर्षों के स्थान को समायोजित करके तत्व के आकार और समग्र मेश गुणवत्ता को बढ़ाता है। मेश स्मूथिंग में, रैखिक प्रणाली के गैर-शून्य पैटर्न जैसी मुख्य विशेषताओं को संरक्षित किया जाता है क्योंकि मेश की टोपोलॉजी अपरिवर्तित रहती है। लाप्लासियन चौरसाई सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली स्मूथिंग तकनीक है।