रीमैन जीटा फलन

रीमैन जीटा फलन या यूलर-रिमैन जीटा फलन, जिसे ग्रीक वर्णमाला $ζ(z)$ (जीटा) द्वारा दर्शाया गया है, यह एक ऐसा जटिल चर का फलन (गणित) है जिसे $$\operatorname{Re}(s) > 1$$ के लिए$$ \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots$$ रूप में परिभाषित किया गया है, और इसकी विश्लेषणात्मक निरंतरता अन्यत्र है। रीमैन जीटा फलन विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, और इसमें भौतिकी, संभाव्यता सिद्धांत और अनुप्रयुक्त सांख्यिकी में अनुप्रयोग हैं।

लियोनहार्ड यूलर ने पहली बार अठारहवीं शताब्दी के पूर्वार्द्ध में वास्तविक संख्याओं पर फलन का परिचय दिया और उसका अध्ययन किया। बर्नहार्ड रीमैन के 1859 के लेख किसी दिए गए परिमाण से कम अभाज्य की संख्या ने यूलर की परिभाषा को जटिल संख्या चर तक विस्तारित किया, इसकी मेरोमोर्फिक निरंतरता और फलनात्मक समीकरण को सिद्ध किया, और इसके फलन के मूल प्रधान संख्या प्रमेय के बीच संबंध स्थापित किया था। इस लेख में रीमैन परिकल्पना भी सम्मिलित है, रीमैन जीटा फलन के जटिल शून्य के वितरण के विषय में अनुमान है जिसे कई गणितज्ञों द्वारा शुद्ध गणित में सबसे महत्वपूर्ण अनसुलझी समस्या माना जाता है।

सम धनात्मक पूर्णांकों पर रीमैन जीटा फलन के मानों की गणना यूलर द्वारा की गई थी। उनमें से पहला, $ζ$, बेसल समस्या का हल प्रदान करता है। 1979 में रोजर एपेरी ने $ζ(2)$ की तर्कहीनता को सिद्ध किया। ऋणात्मक पूर्णांक बिंदुओं पर मान, जो यूलर द्वारा भी पाया जाता है, परिमेय संख्याएँ हैं और मॉड्यूलर रूपों के सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। रीमैन जीटा फलन के कई सामान्यीकरण, जैसे डिरिचलेट श्रृंखला, डिरिचलेट $L$-फलन और $L$- फलन, ज्ञात हैं।

परिभाषा
फ़ाइल: दिए गए परिमाण के नीचे अभाज्य की संख्या के विषय में। पीडीएफ|थंब|अपराइट|बर्नहार्ड रीमैन का लेख किसी दिए गए परिमाण के नीचे अभाज्य की संख्या पर

रीमैन जीटा फलन $ζ(3)$ जटिल चर $ζ(s)$ का फलन है, जहाँ जहां σ और t वास्तविक संख्याएं हैं। (अंकन $s$, $σ$, और $t$ पारंपरिक रूप से रीमैन के बाद, जीटा फलन के अध्ययन में उपयोग किया जाता है।) जब $s = σ + it$, फलन को अभिसारी योग या अभिन्न के रूप में लिखा जा सकता है:
 * $$\zeta(s) =\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s} = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty \frac{x ^ {s-1}}{e ^ x - 1} \, \mathrm{d}x\,,$$

जहाँ
 * $$\Gamma(s) = \int_0^\infty x^{s-1}\,e^{-x} \, \mathrm{d}x $$

गामा फलन है। रीमैन जीटा फलन को $Re(s) = σ > 1$ के लिए परिभाषित की विश्लेषणात्मक निरंतरता के माध्यम से अन्य जटिल मानों के लिए परिभाषित किया गया है।

लियोनहार्ड यूलर ने 1740 में $s$ के धनात्मक पूर्णांक मानों के लिए उपरोक्त श्रृंखला पर विचार किया और बाद में चेबीशेव ने परिभाषा को $$\operatorname{Re}(s) > 1$$ तक बढ़ा दिया। था

उपरोक्त श्रृंखला एक प्रोटोटाइपिकल डिरिचलेट श्रृंखला है जो $s$ के लिए विश्लेषणात्मक फलन में पूर्ण अभिसरण है जैसे कि $σ > 1$ और $s$ के अन्य सभी मानों के लिए विचलन करती है। रीमैन ने दिखाया कि अभिसरण के आधे-तल पर श्रृंखला द्वारा परिभाषित फलन को सभी जटिल मानों $σ > 1$ के लिए विश्लेषणात्मक रूप से जारी रखा जा सकता है। $s ≠ 1$ के लिए, श्रृंखला प्रसंवादी श्रृंखला (गणित) है जो $s = 1$, और$$ \lim_{s \to 1} (s - 1)\zeta(s) = 1$$ तक विचरण करती है।

इस प्रकार रीमैन जीटा फलन पूर्ण जटिल तल पर मेरोमॉर्फिक फलन है, जो अवशेष $+∞$ के साथ $1$ पर साधारण ध्रुव को छोड़कर प्रत्येक स्थान होलोमॉर्फिक फलन है।

यूलर का गुणनफल सूत्र
1737 में, यूलर द्वारा जीटा फलन और अभाज्य संख्याओं के बीच संबंध की खोज की गई, जिन्होंने रीमैन जीटा फलन के लिए यूलर गुणनफल सूत्र का प्रमाण


 * $$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s} = \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}$$

सिद्ध किया, जहां, परिभाषा के अनुसार, बायां ओर $s = 1$ है और दाईं ओर अनंत गुणनफल फैला हुआ है सभी अभाज्य संख्याएँ $p$ (ऐसी अभिव्यक्तियों को यूलर गुणनफल कहा जाता है):


 * $$\prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}} = \frac{1}{1-2^{-s}}\cdot\frac{1}{1-3^{-s}}\cdot\frac{1}{1-5^{-s}}\cdot\frac{1}{1-7^{-s}}\cdot\frac{1}{1-11^{-s}} \cdots \frac{1}{1-p^{-s}} \cdots$$

यूलर गुणनफल सूत्र के दोनों पक्ष $ζ(s)$ के लिए अभिसरण करते है। रीमैन जीटा फलन के लिए यूलर गुणनफल सूत्र का प्रमाण मात्र ज्यामितीय श्रृंखला के सूत्र और अंकगणित के मौलिक प्रमेय का उपयोग करता है। चूंकि प्रसंवादी श्रृंखला (गणित), जब $Re(s) > 1$ प्राप्त होती है, विचलन करती है, यूलर का सूत्र (जो $s = 1$ बन जाता है) का तात्पर्य है कि अनंत रूप से कई अभाज्य हैं। चूंकि $Π_{p} p⁄p − 1$ का लघुगणक लगभग $p⁄p − 1$ है, सूत्र का उपयोग इस दृढ परिणाम को सिद्ध करने के लिए भी किया जा सकता है कि अभाज्य संख्याओं के व्युत्क्रमों का योग अनंत है। दूसरी ओर, एरास्टोस्थनीज की चालनी के साथ संयोजन से पता चलता है कि धनात्मक पूर्णांकों के समुच्चय के भीतर अभाज्य के समुच्चय का घनत्व शून्य है।

यूलर गुणनफल सूत्र का उपयोग स्पर्शोन्मुख घनत्व की गणना के लिए किया जा सकता है, कि $s$ यादृच्छिक रूप से चयनित पूर्णांक समुच्चय-वार सह अभाज्य हैं। सहज रूप से, किसी एकल संख्या के अभाज्य (या किसी पूर्णांक) $p$ से विभाज्य होने की प्रायिकता $1⁄p$ है। इसलिए सभी $s$ संख्याओं के इस अभाज्य से विभाज्य होने की प्रायिकता $1⁄p$ है, और उनमें से कम से कम एक के न विभाज्य होने की प्रायिकता $1⁄p$ है। अब, अलग-अलग अभाज्य संख्याओं के लिए, ये विभाज्यता घटनाएँ परस्पर स्वतंत्र हैं क्योंकि उम्मीदवार भाजक सहअभाज्य हैं (एक संख्या सहअभाज्य भाजक $n$ और $m$ द्वारा विभाज्य है यदि और मात्र यदि यह $nm$ द्वारा विभाज्य है, एक घटना जो प्रायिकता$1 − 1⁄p$ के साथ घटित होती है)। इस प्रकार यह स्पर्शोन्मुख प्रायिकता कि $s$ संख्याएँ सहअभाज्य हैं, सभी अभाज्यों,


 * $$\prod_{p \text{ prime}} \left(1-\frac{1}{p^s}\right) = \left( \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}} \right)^{-1} = \frac{1}{\zeta(s)} $$ पर एक गुणनफल द्वारा दी जाती हैं।

रीमैन का फलनात्मक समीकरण
यह जीटा फलन क्रियात्मक समीकरण $$\zeta(s) = 2^s \pi^{s-1}\ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s)$$ को संतुष्ट करता है, जहां $1⁄nm$ गामा फलन है। यह संपूर्ण जटिल तल पर मान्य मेरोमोर्फिक फलनों की समानता है। समीकरण बिंदुओं $s$ और $Γ(s)$ पर रीमैन जीटा फलन के मानों से संबंधित है, विशेष रूप से विषम ऋणात्मक पूर्णांक के साथ सम धनात्मक पूर्णांकों से संबंधित है। ज्या फलन के शून्य के कारण, फलनात्मक समीकरण का तात्पर्य है, कि $1 − s$ में प्रत्येक सम ऋणात्मक पूर्णांक $ζ(s)$ पर साधारण शून्य होता है, जिसे $s = −2n$ के तुच्छता (गणित) के शून्य के रूप में जाना जाता है। जब $s$ सम धनात्मक पूर्णांक होता है, तो दाईं ओर का गुणनफल $ζ(s)$ गैर-शून्य होता है क्योंकि $sin(πs⁄2)Γ(1 − s)$ में साधारण ध्रुव (जटिल विश्लेषण) होता है, जो ज्या कारक के सरल शून्य को निरस्त कर देता है।

$$

फलनात्मक समीकरण की स्थापना रीमैन ने अपने 1859 के पेपर किसी दिए गए परिमाण से कम अभाज्य की संख्या पर में की थी और पहले स्थान पर विश्लेषणात्मक निरंतरता का निर्माण किया था। सौ साल पहले, 1749 में, डिरिचलेट और फलन (वैकल्पिक जीटा फलन) के लिए यूलर द्वारा समान संबंध का अनुमान लगाया गया था:$$\eta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s} = \left(1-{2^{1-s}}\right)\zeta(s).$$ संयोगवश, यह संबंध परिकलन के लिए समीकरण देता है $Γ(1 − s)$ क्षेत्र में 0 < $ζ(s)$ <1, यानी $$\zeta(s)=\frac{1}{1-{2^{1-s}}} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s}$$ जहां η-श्रृंखला अभिसरण श्रृंखला है (यद्यपि पूर्ण अभिसरण | गैर-बिल्कुल) बड़े आधे विमान में $Re(s)$ (फलनात्मक समीकरण के इतिहास पर अधिक विस्तृत सर्वेक्षण के लिए, उदाहरण के लिए ब्लागौचाइन देखें ).

रीमैन ने एक्स-फलन पर लागू होने वाले फलनात्मक समीकरण का समरूपता संस्करण भी पाया: $$\xi(s) = \frac{1}{2} \pi^{-\frac{s}{2}}s(s-1)\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s),$$ जो संतुष्ट करता है:$$\xi(s) = \xi(1 - s).$$

(रिमैन का रीमैन Ξ फलन | मूल $s > 0$थोड़ा अलग था।) $$\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)$$ जॉन टेट (गणितज्ञ) (1950) टेट की थीसिस तक रीमैन के समय में h> कारक अच्छी तरह से समझा नहीं गया था, जिसमें यह दिखाया गया था कि यह तथाकथित गामा कारक वास्तव में स्थानीय एल-कारक है आर्किमिडीज़ स्थान, यूलर गुणनफल विस्तार में अन्य कारक गैर-आर्किमिडीज़ स्थानों के स्थानीय एल-कारक हैं।

शून्य, महत्वपूर्ण रेखा, और रीमैन परिकल्पना
फलनात्मक समीकरण से पता चलता है कि रीमैन जीटा फलन में शून्य है −2, −4,.... इन्हें तुच्छ शून्य कहा जाता है। वे इस मायने में तुच्छ हैं कि उनके अस्तित्व को सिद्ध करना अपेक्षाकृत आसान है, उदाहरण के लिए, से $ξ(t)$ क्रियात्मक समीकरण में 0 होना। गैर-तुच्छ शून्यों ने अधिक ध्यान आकर्षित किया है क्योंकि उनका वितरण न मात्र बहुत कम समझा गया है, बल्कि इससे भी महत्वपूर्ण बात यह है कि उनके अध्ययन से संख्या सिद्धांत में अभाज्य संख्याओं और संबंधित वस्तुओं से संबंधित महत्वपूर्ण परिणाम प्राप्त होते हैं। यह ज्ञात है कि कोई भी गैर-तुच्छ शून्य खुली पट्टी में स्थित है $$\{s \in \mathbb{C} : 0 < \operatorname{Re}(s) < 1\}$$, जिसे क्रिटिकल स्ट्रिप कहा जाता है। समुच्चय $$\{s \in \mathbb{C} : \operatorname{Re}(s) = 1/2\}$$ क्रान्तिक रेखा कहलाती है। गणित में सबसे बड़ी अनसुलझी समस्याओं में से मानी जाने वाली रीमैन परिकल्पना, दावा करती है कि सभी गैर-तुच्छ शून्य महत्वपूर्ण रेखा पर हैं। 1989 में, कॉनरे ने सिद्ध किया कि रीमैन जीटा फलन के 40% से अधिक गैर-तुच्छ शून्य महत्वपूर्ण रेखा पर हैं। क्रिटिकल लाइन पर रिमेंन जीटा फलन के लिए, Z फलन | देखें$t$-फलन।

महत्वपूर्ण पट्टी में शून्य की संख्या
होने देना $$N(T)$$ के शून्यों की संख्या हो $$\zeta(s)$$ क्रिटिकल स्ट्रिप में $$0 < \operatorname{Re}(s) < 1$$, जिनके काल्पनिक भाग अंतराल में हैं $$0 < \operatorname{Im}(s) < T$$. ट्रुडगियन ने सिद्ध किया कि, यदि $$T > e$$, तब
 * $$|N(T) - \frac{T}{2\pi} \log{\frac{T}{2\pi e}}| \leq 0.112 \log T + 0.278 \log\log T + 3.385 + \frac{0.2}{T}$$.

हार्डी-लिटिलवुड अनुमान
1914 में जी. एच. हार्डी ने यह सिद्ध किया $σ = 1$ अपरिमित रूप से अनेक वास्तविक शून्य होते हैं। हार्डी और जॉन एडेंसर लिटिलवुड ने शून्य के बीच घनत्व और दूरी पर दो अनुमान तैयार किए $σ = 0$ बड़ी धनात्मक वास्तविक संख्याओं के अंतराल पर। निम्नांकित में, $σ = 1⁄2$ वास्तविक शून्यों की कुल संख्या है और $σ = 1⁄2$ फलन के विषम क्रम के शून्यों की कुल संख्या $sin πs⁄2$ अंतराल में पड़ा हुआ $ζ (1⁄2 + it)$.

इन दो अनुमानों ने रीमैन जीटा फलन की जाँच में नई दिशाएँ खोलीं।

शून्य मुक्त क्षेत्र
संख्या सिद्धांत में रीमैन जीटा फलन के शून्य का स्थान बहुत महत्वपूर्ण है। अभाज्य संख्या प्रमेय इस तथ्य के समतुल्य है कि पर जीटा फलन का कोई शून्य नहीं है $ζ (1⁄2 + it)$ पंक्ति। बेहतर परिणाम विनोग्रादोव के माध्य-मान प्रमेय के प्रभावी रूप से अनुसरण करता है $N(T)$ जब कभी भी $$\sigma\ge 1-\frac{1}{57.54(\log{|t|})^\frac23(\log{\log{|t|}})^\frac13}$$ और $N_{0}(T)$.

2015 में, Mossinghoff और Trudgian सिद्ध हुए उस जीटा का इस क्षेत्र में कोई शून्य नहीं है
 * $$\sigma\ge 1 - \frac{1}{5.573412 \log|t|}$$

के लिए $ζ (1⁄2 + it)$. के लिए महत्वपूर्ण पट्टी में यह सबसे बड़ा ज्ञात शून्य-मुक्त क्षेत्र है $$3.06 \cdot 10^{10} < |t| < \exp(10151.5) \approx 5.5 \cdot 10^{4408} $$.

इस तरह का सबसे दृढ परिणाम रिमैन परिकल्पना की सच्चाई की उम्मीद कर सकता है, जिसमें संख्या के सिद्धांत में कई गहन रीमैन परिकल्पना #परिणाम होंगे।

अन्य परिणाम
यह ज्ञात है कि क्रांतिक रेखा पर अपरिमित रूप से अनेक शून्य होते हैं। जॉन एडेंसर लिटलवुड ने दिखाया कि यदि अनुक्रम ($(0, T]$) ऊपरी अर्ध-तल में सभी शून्यों के काल्पनिक भागों को आरोही क्रम में समाहित करता है


 * $$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\gamma_{n+1}-\gamma_n\right)=0.$$

महत्वपूर्ण रेखा प्रमेय का दावा है कि गैर-तुच्छ शून्यों का धनात्मक अनुपात महत्वपूर्ण रेखा पर स्थित है। (रीमैन परिकल्पना का अर्थ होगा कि यह अनुपात 1 है।)

क्रिटिकल स्ट्रिप में, सबसे छोटा गैर-ऋणात्मक काल्पनिक भाग वाला शून्य है $ε > 0$. यह तथ्य कि
 * $$\zeta(s)=\overline{\zeta(\overline{s})}$$

सभी जटिल के लिए $T_{0}(ε) > 0$ तात्पर्य यह है कि रीमैन जीटा फलन के शून्य वास्तविक अक्ष के विषय में सममित हैं। इस समरूपता को फलनात्मक समीकरण के साथ जोड़कर, इसके अलावा, कोई यह देखता है कि गैर-तुच्छ शून्य महत्वपूर्ण रेखा के विषय में सममित हैं $(T, T + H]$.

यह भी ज्ञात है कि कोई भी शून्य वास्तविक भाग 1 वाली रेखा पर नहीं होता है।


 * $$\gamma_n \approx 2 \pi \frac{n-\frac{11}{8}}{W(\frac{n-\frac{11}{8}}{e})}$$
 * $$\gamma_n \approx 2 \pi \frac{n-\frac{11}{8}}{W(\frac{n-\frac{11}{8}}{e})}$$

जहाँ $$W(x)$$ लैम्बर्ट डब्ल्यू फलन है।

विशिष्ट मान
किसी भी धनात्मक सम पूर्णांक के लिए $ε > 0$, $$ \zeta(2n) = \frac{(-1)^{n+1}B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!},$$ जहाँ $T_{0}(ε) > 0$ है $c_{ε} > 0$-वें बरनौली संख्या। विषम धनात्मक पूर्णांकों के लिए, ऐसी कोई सरल अभिव्यक्ति ज्ञात नहीं है, हालांकि इन मानों को बीजगणितीय से संबंधित माना जाता है $Z$-पूर्णांकों का सिद्धांत; L-फ़ंक्शंस के विशेष मान देखें|के विशेष मान $K$-फलन।

गैर-धनात्मक पूर्णांकों के लिए, के पास है$$\zeta(-n)= (-1)^n\frac{B_{n+1}}{n+1}$$ के लिए $Re(s) = 1$ (सम्मेलन का उपयोग करते हुए कि $ζ (σ + it) ≠ 0$). विशेष रूप से, $L$ ऋणात्मक सम पूर्णांकों पर लुप्त हो जाता है क्योंकि $|t| ≥ 3$ सभी विषम के लिए $ζ$ 1 के अलावा अन्य। ये जीटा फलन के तथाकथित तुच्छ शून्य हैं।

विश्लेषणात्मक निरंतरता के माध्यम से, कोई यह दिखा सकता है$$\zeta(-1) = -\tfrac{1}{12}$$ यह अलग-अलग श्रृंखला 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ के लिए परिमित मान निर्दिष्ट करने के लिए बहाना देता है, जिसका प्रयोग स्ट्रिंग सिद्धांत जैसे कुछ संदर्भों (रामानुजन योग) में किया गया है। अनुरूप, विशेष मान$$\zeta(0) = -\tfrac{1}{2}$$ अपसारी श्रृंखला 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ को परिमित परिणाम देने के रूप में देखा जा सकता है।

मान$$\zeta\bigl(\tfrac12\bigr) = -1.46035450880958681288\ldots$$ रैखिक गतिज समीकरणों की गतिज सीमा परत समस्याओं की गणना में फलनरत है। यद्यपि$$\zeta(1) = 1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} + \cdots$$ विचलन, इसका कॉची प्रमुख मान$$ \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\zeta(1+\varepsilon)+\zeta(1-\varepsilon)}{2}$$ मौजूद है और यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक के बराबर है $|t| ≥ 2$. विशेष मान का प्रदर्शन$$\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$$ बेसल समस्या के रूप में जाना जाता है। इस योग का व्युत्क्रम प्रश्न का उत्तर देता है: क्या प्रायिकता है कि यादृच्छिक रूप से चुनी गई दो संख्याएँ सहअभाज्य हैं? मान$$\zeta(3) = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \cdots = 1.202056903159594285399...$$ एपेरी स्थिरांक है।

हद कर रहा है $$s \rightarrow +\infty$$ वास्तविक संख्या के माध्यम से, प्राप्त करता है $$\zeta (+\infty) = 1$$. लेकिन रीमैन क्षेत्र पर जटिल अनंतता में जीटा फलन में आवश्यक विलक्षणता है।

विभिन्न गुण
पूर्णांक और अर्ध-पूर्णांक मानों पर जीटा फलन को सम्मिलित करने वाली राशियों के लिए, परिमेय जीटा श्रृंखला देखें।

पारस्परिक
जीटा फलन के व्युत्क्रम को मोबियस फलन पर डिरिचलेट श्रृंखला के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $γ_{n}$:
 * $$\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^s}$$

हर जटिल संख्या के लिए $m$ 1 से अधिक वास्तविक भाग के साथ। ऐसे कई समान संबंध हैं जिनमें विभिन्न प्रसिद्ध गुणात्मक फलन सम्मिलित हैं; ये डिरिचलेट श्रृंखला पर लेख में दिए गए हैं।

रीमैन परिकल्पना इस दावे के समतुल्य है कि यह अभिव्यक्ति वास्तविक भाग होने पर मान्य है $s$ से बड़ा है $s$.

सार्वभौमिकता
रीमैन जीटा फलन की महत्वपूर्ण पट्टी में सार्वभौमिकता का उल्लेखनीय गुण है। यह जीटा फलन सार्वभौमिकता बताता है कि महत्वपूर्ण पट्टी पर कुछ स्थान मौजूद है जो किसी भी होलोमोर्फिक फलन को मनमाने ढंग से अच्छी तरह से अनुमानित करता है। चूंकि होलोमोर्फिक फलन बहुत सामान्य हैं, यह गुण काफी उल्लेखनीय है। सार्वभौमिकता का पहला प्रमाण 1975 में सर्गेई मिखाइलोविच वोरोनिन द्वारा प्रदान किया गया था। अधिक हाल के काम में जीटा फलन सार्वभौमिकता # वोरोनिन के प्रमेय के प्रभावी सार्वभौमिकता संस्करण सम्मिलित हैं और जीटा फलन सार्वभौमिकता # अन्य जीटा फलनों की सार्वभौमिकता इसे डिरिचलेट एल-फलन के लिए फलन करती है।

जीटा फलन के अधिकतम मापांक का अनुमान
फलनों को करने दें $1⁄2 + 14.13472514...i$ और $s ≠ 1$ समानता द्वारा परिभाषित किया जाना चाहिए


 * $$ F(T;H) = \max_{|t-T|\le H}\left|\zeta\left(\tfrac{1}{2}+it\right)\right|,\qquad G(s_{0};\Delta) = \max_{|s-s_{0}|\le\Delta}|\zeta(s)|. $$

यहाँ $1⁄2$ पर्याप्त रूप से बड़ी धनात्मक संख्या है, $Re(s) = 1⁄2$, $2n$, $B_{2n}$, $2n$. मानों का अनुमान लगाना $T$ और $F$ नीचे से पता चलता है कि कितने बड़े (मॉड्यूलस में) मान हैं $n ≥ 0$ महत्वपूर्ण रेखा के छोटे अंतराल या महत्वपूर्ण पट्टी में स्थित बिंदुओं के छोटे पड़ोस में ले जा सकते हैं $B_{1} = &minus;1⁄2$.

मामला $B_{m} = 0$ कनकनहल्ली रामचंद्र द्वारा अध्ययन किया गया था; मामला $γ = 0.5772...$, जहाँ $μ(n)$ पर्याप्त रूप से बड़ा स्थिरांक है, तुच्छ है।

अनातोली अलेक्सेविच करत्सुबा ने सिद्ध किया, विशेष रूप से, कि यदि मान $G$ और $F(T;H)$ कुछ पर्याप्त रूप से छोटे स्थिरांक से अधिक, फिर अनुमान


 * $$ F(T;H) \ge T^{- c_1},\qquad G(s_0; \Delta) \ge T^{-c_2}, $$

पकड़ो, जहाँ $G(s_{0};Δ)$ और $0 < H ≪ log log T$ कुछ पूर्ण स्थिरांक हैं।

रीमैन जीटा फलन का तर्क
फलनक्रम
 * $$S(t) = \frac{1}{\pi}\arg{\zeta\left(\tfrac12+it\right)}$$

रीमैन जीटा फलन का जटिल तर्क कहा जाता है। यहाँ $s_{0} = σ_{0} + iT$ की मनमाना निरंतर शाखा की वृद्धि है $1⁄2 ≤ σ_{0} ≤ 1$ बिंदुओं को जोड़ने वाली टूटी रेखा के साथ $0 < Δ < 1⁄3$, $ζ(s)$ और $0 ≤ Re(s) ≤ 1$.

फलन के गुणों पर कुछ प्रमेय हैं $H ≫ log log T$. उन परिणामों में के लिए निश्चित अभिन्न के लिए औसत मान प्रमेय हैं $Δ > c$ और इसका पहला अभिन्न
 * $$S_1(t) = \int_0^t S(u) \, \mathrm{d}u$$

वास्तविक रेखा के अंतराल पर, और प्रमेय भी दावा करता है कि प्रत्येक अंतराल $c$ के लिए
 * $$H \ge T^{\frac{27}{82}+\varepsilon}$$

कम से कम सम्मिलित है
 * $$ H\sqrt[3]{\ln T}e^{-c\sqrt{\ln\ln T}} $$

बिंदु जहां फलन $ζ(s)$ परिवर्तन का चिह्न। पहले इसी तरह के परिणाम मामले के लिए एटले सेलबर्ग द्वारा प्राप्त किए गए थे
 * $$H\ge T^{\frac12+\varepsilon}.$$

डिरिचलेट श्रृंखला
मूल श्रृंखला को पुनर्व्यवस्थित करके अभिसरण के क्षेत्र का विस्तार प्राप्त किया जा सकता है। श्रृंखला
 * $$\zeta(s)=\frac{1}{s-1}\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{n}{(n+1)^s}-\frac{n-s}{n^s}\right)$$

के लिए जुट जाता है $Δ$, जबकि
 * $$\zeta(s) =\frac{1}{s-1}\sum_{n=1}^\infty\frac{n(n+1)}{2}\left(\frac{2n+3+s}{(n+1)^{s+2}}-\frac{2n-1-s}{n^{s+2}}\right)$$

के लिए भी अभिसरण करता है $c_{1}$. इस तरह, अभिसरण के क्षेत्र को बढ़ाया जा सकता है $c_{2}$ किसी भी ऋणात्मक पूर्णांक के लिए $arg ζ(1⁄2 + it)$.

मेलिन-टाइप इंटीग्रल
एक फलन का मेलिन रूपांतरण $arg ζ(s)$ परिभाषित किया जाता है
 * $$ \int_0^\infty f(x)x^s\, \frac{\mathrm{d}x}{x} $$

उस क्षेत्र में जहां अभिन्न परिभाषित किया गया है। मेलिन ट्रांसफ़ॉर्म-जैसे इंटीग्रल के रूप में जीटा फलन के लिए विभिन्न अभिव्यक्तियाँ हैं। अगर का असली हिस्सा $H$ से बड़ा है, हमारे पास है


 * $$\Gamma(s)\zeta(s) =\int_0^\infty\frac{x^{s-1}}{e^x-1} \,\mathrm{d}x \quad$$ और $$\quad\Gamma(s)\zeta(s) =\frac1{2s}\int_0^\infty\frac{x^{s}}{\cosh(x)-1} \,\mathrm{d}x$$,

जहाँ $2$ गामा फलन को दर्शाता है। कंटूर एकीकरण को संशोधित करके, रीमैन ने दिखाया


 * $$2\sin(\pi s)\Gamma(s)\zeta(s) =i\oint_H \frac{(-x)^{s-1}}{e^x-1}\,\mathrm{d}x $$

सभी के लिए $s$ (जहाँ $s$ हैंकेल समोच्च को दर्शाता है)।

हम ऐसे व्यंजक भी खोज सकते हैं जो अभाज्य संख्याओं और अभाज्य संख्या प्रमेय से संबंधित हों। अगर $2 + it$ प्राइम-काउंटिंग फलन है, फिर


 * $$\ln \zeta(s) = s \int_0^\infty \frac{\pi(x)}{x(x^s-1)}\,\mathrm{d}x,$$

मानों के लिए $1⁄2 + it$.

एक समान मेलिन रूपांतरण में रीमैन फलन सम्मिलित है $S(t)$, जो प्रमुख शक्तियों की गणना करता है $S(t)$ के वजन के साथ $S(t)$, ताकि


 * $$J(x) = \sum \frac{\pi\left(x^\frac{1}{n}\right)}{n}.$$

अब


 * $$\ln \zeta(s) = s\int_0^\infty J(x)x^{-s-1}\,\mathrm{d}x. $$

इन अभिव्यक्तियों का उपयोग व्युत्क्रम मेलिन रूपांतरण के माध्यम से अभाज्य संख्या प्रमेय को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है। रीमैन के प्राइम-काउंटिंग फलन के साथ काम करना आसान है, और $(T, T + H]$ मोबियस इनवर्जन फॉर्मूला | मोबियस इनवर्जन द्वारा इससे पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।

थीटा फलन
रीमैन जीटा फलन मेलिन ट्रांसफ़ॉर्म द्वारा दिया जा सकता है
 * $$2\pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s) = \int_0^\infty \bigl(\theta(it)-1\bigr)t^{\frac{s}{2}-1}\,\mathrm{d}t,$$

थीटा प्रफलन के संदर्भ में| जैकोबी का थीटा फलन


 * $$\theta(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2\tau}.$$

हालाँकि, यह अभिन्न तभी अभिसरित होता है जब इसका वास्तविक भाग होता है $H$ 1 से अधिक है, लेकिन इसे नियमित किया जा सकता है। यह जीटा फलन के लिए निम्नलिखित व्यंजक देता है, जो सभी के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है $s$ 0 और 1 को छोड़कर:


 * $$ \pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2} \int_0^1 \left(\theta(it)-t^{-\frac12}\right)t^{\frac{s}{2}-1}\,\mathrm{d}t + \frac{1}{2}\int_1^\infty \bigl(\theta(it)-1\bigr)t^{\frac{s}{2}-1}\,\mathrm{d}t.$$

लॉरेंट श्रृंखला
रीमैन जीटा फलन मेरोमोर्फिक है जिसमें ऑर्डर के ध्रुव (जटिल विश्लेषण) है $S(t)$. इसलिए इसे लॉरेंट श्रृंखला के रूप में विस्तारित किया जा सकता है $Re(s) > 0$; श्रृंखला विकास तब है
 * $$\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{\gamma_n}{n!}(1-s)^n.$$

स्थिरांक $Re(s) > −1$ यहाँ स्टिल्टजेस स्थिरांक कहलाते हैं और इसे अनुक्रम की सीमा द्वारा परिभाषित किया जा सकता है


 * $$ \gamma_n = \lim_{m \rightarrow \infty}{\left(\left(\sum_{k = 1}^m \frac{(\ln k)^n}{k}\right) - \frac{(\ln m)^{n+1}}{n+1}\right)}.$$

स्थिर पद $Re(s) > −k$ यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक है।

इंटीग्रल
सभी के लिए $−k$, $f(x)$, अभिन्न संबंध (cf. एबेल-प्लाना सूत्र)
 * $$\zeta(s) = \frac{1}{s-1} + \frac{1}{2} + 2\int_0^{\infty} \frac{\sin(s\arctan t)}{\left(1+t^2\right)^{s/2}\left(e^{2\pi t}-1\right)}\,\mathrm{d}t$$

सत्य है, जिसका उपयोग जीटा फलन के संख्यात्मक मानांकन के लिए किया जा सकता है।

बढ़ती भाज्य
पूर्ण जटिल विमान के लिए वैध पोचममेर प्रतीक का उपयोग करते हुए और श्रृंखला का विकास है
 * $$\zeta(s) = \frac{s}{s-1} - \sum_{n=1}^\infty \bigl(\zeta(s+n)-1\bigr)\frac{s(s+1)\cdots(s+n-1)}{(n+1)!}.$$

इसे सभी सम्मिश्र संख्याओं के लिए डिरिचलेट श्रृंखला परिभाषा का विस्तार करने के लिए पुनरावर्ती रूप से उपयोग किया जा सकता है।

रीमैन जीटा फलन गॉस-कुज़मिन-विर्सिंग ऑपरेटर पर फलन करने वाले अभिन्न अंग में मेलिन परिवर्तन के समान रूप में प्रकट होता है। $Γ$; वह संदर्भ घटते फैक्टोरियल के संदर्भ में श्रृंखला विस्तार को जन्म देता है।

हैडमार्ड गुणनफल
Weierstrass गुणनखंड प्रमेय के आधार पर | Weierstrass गुणनखंड प्रमेय, Hadamard ने अनंत गुणनफल विस्तार दिया


 * $$\zeta(s) = \frac{e^{\left(\log(2\pi)-1-\frac{\gamma}{2}\right)s}}{2(s-1)\Gamma\left(1+\frac{s}{2}\right)} \prod_\rho \left(1 - \frac{s}{\rho} \right) e^\frac{s}{\rho},$$

जहां गुणनफल गैर-तुच्छ शून्य से अधिक है $s$ का $π(x)$ और लेख $ρ$ फिर से यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक को दर्शाता है। सरल अनंत गुणनफल विस्तार है


 * $$\zeta(s) = \pi^\frac{s}{2} \frac{\prod_\rho \left(1 - \frac{s}{\rho} \right)}{2(s-1)\Gamma\left(1+\frac{s}{2}\right)}.$$

यह प्रलेख स्पष्ट रूप से साधारण ध्रुव को प्रदर्शित करता है $Re(s) > 1$, −2, −4, ... पर मामूली शून्य प्रत्येक में गामा फलन शब्द के कारण, और गैर-तुच्छ शून्य पर $J(x)$. (बाद वाले सूत्र में अभिसरण सुनिश्चित करने के लिए, गुणनफल को शून्य के मिलान जोड़े पर ले जाना चाहिए, यानी फॉर्म के शून्य की जोड़ी के कारक $γ$ और $p^{n}$ संयुक्त होना चाहिए।)

विश्व स्तर पर अभिसरण श्रृंखला
जीटा फलन के लिए विश्व स्तर पर अभिसरण श्रृंखला, सभी सम्मिश्र संख्याओं के लिए मान्य $ρ$ के अलावा $1⁄n$ कुछ पूर्णांक के लिए $s$, 1926 में कोनराड नोप द्वारा अनुमान लगाया गया था और 1930 में हेल्मुट हासे द्वारा सिद्ध किया गया (cf. यूलर सारांश):


 * $$\zeta(s)=\frac{1}{1-2^{1-s}} \sum_{n=0}^\infty \frac {1}{2^{n+1}} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{(-1)^k}{(k+1)^{s}}.$$

श्रृंखला हस्से के पेपर के परिशिष्ट में दिखाई दी, और 1994 में जोनाथन सोंडो द्वारा दूसरी बार प्रकाशित की गई। विश्व स्तर पर अभिसरण श्रृंखला भी सिद्ध हुई है
 * $$\zeta(s)=\frac 1{s-1}\sum_{n=0}^\infty \frac 1{n+1}\sum_{k=0}^n\binom {n}{k}\frac{(-1)^k}{(k+1)^{s-1}}$$

उसी प्रकाशन में। इरोस्लाव ब्लागौचिन द्वारा शोध ने पाया है कि समान, समतुल्य श्रृंखला 1926 में जोसेफ सेर द्वारा प्रकाशित की गई थी। पीटर बोरवीन ने एल्गोरिद्म विकसित किया है जो डिरिचलेट ईटा फलन#बोरवीन की विधि बनाने के लिए डिरिचलेट ईटा फलन पर चेबीशेव बहुपदों को लागू करता है।

प्रारंभिक
के माध्यम से धनात्मक पूर्णांकों पर श्रृंखला का प्रतिनिधित्व
 * $$ \zeta(k)=\frac{2^k}{2^k-1}+\sum_{r=2}^\infty\frac{(p_{r-1}\#)^k}{J_k(p_r\#)}\qquad k=2,3,\ldots.$$

यहाँ $π(x)$ आदिम क्रम है और $s = 1$ यह जॉर्डन का संपूर्ण फलन है।

अधूरी पॉली-बर्नौली संख्या
द्वारा श्रृंखला का प्रतिनिधित्व फलनक्रम $n$ प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, के लिए $s = 1$, अनंत श्रृंखला द्वारा
 * $$\zeta(s)=\sum_{n=0}^\infty B_{n,\ge2}^{(s)}\frac{(W_k(-1))^n}{n!},$$

जहाँ k ∈ {−1, 0$)$}}, $γ_{n}$ है $ζ$लैम्बर्ट डब्ल्यू फलन की वीं शाखा | लैम्बर्ट $k$-फलन, और $γ_{0}$ अपूर्ण पॉली-बर्नौली संख्या है।

एंगेल मैप का मेलिन रूपांतरण
फलनक्रम $$g(x) = x \left( 1+\left\lfloor x^{-1}\right\rfloor \right) -1$$ एंगेल विस्तार में दिखाई देने वाले गुणांकों को खोजने के लिए पुनरावृत्त किया जाता है। मानचित्र का मेलिन परिवर्तन $$g(x)$$ सूत्र द्वारा रीमैन जीटा फलन से संबंधित है
 * $$ \begin{align}

\int_0^1 g (x) x^{s - 1} \, dx & = \sum_{n = 1}^\infty \int_{\frac{1}{n + 1}}^{\frac{1}{n}} (x (n + 1) - 1) x^{s - 1} \, d x\\[6pt] & = \sum_{n = 1}^\infty \frac{n^{- s} (s - 1) + (n + 1)^{- s - 1} (n^2 + 2 n + 1) + n^{- s - 1} s - n^{1 - s}}{(s + 1) s (n + 1)}\\[6pt] & = \frac{\zeta (s + 1)}{s + 1} - \frac{1}{s (s + 1)} \end{align}$$

थू-मोर्स क्रम
डिरिचलेट श्रृंखला के कुछ रैखिक संयोजन जिनके गुणांक थ्यू-मोर्स अनुक्रम की शर्तें हैं, रीमैन जीटा फलन (टोथ, 2022) से संबंधित पहचान को जन्म देते हैं ). उदाहरण के लिए:
 * $$ \begin{align}

\sum_{n\geq1} \frac{5 t_{n-1} + 3 t_n}{n^2} &= 4 \zeta(2) = \frac{2 \pi^2}{3}, \\ \sum_{n\geq1} \frac{9 t_{n-1} + 7 t_n}{n^3} &= 8 \zeta(3),\end{align}$$ जहाँ $$(t_n)_{n\geq0}$$ है $$n^{\rm th}$$ थ्यू-मोर्स अनुक्रम की अवधि। वास्तव में, सभी के लिए $$s$$ से अधिक वास्तविक भाग के साथ $$1$$, अपने पास
 * $$ (2^s+1) \sum_{n\geq1} \frac{t_{n-1}}{n^s} + (2^s-1) \sum_{n\geq1} \frac{t_{n}}{n^s} = 2^s \zeta(s).$$

संख्यात्मक एल्गोरिदम
लगभग 1930 से पहले उपयोग में आने वाला शास्त्रीय एल्गोरिथम, n और m धनात्मक पूर्णांकों के लिए, प्राप्त करने के लिए Euler-Maclaurin सूत्र को लागू करके आगे बढ़ता है,


 * $$\zeta(s) = \sum_{j=1}^{n-1}j^{-s} + \tfrac12 n^{-s} + \frac{n^{1-s}}{s-1} + \sum_{k=1}^m T_{k,n}(s) + E_{m,n}(s)$$

जहाँ, दे रहा है $$B_{2k}$$ संकेतित बर्नौली संख्या को निरूपित करें,


 * $$T_{k,n}(s) = \frac{B_{2k}}{(2k)!} n^{1-s-2k}\prod_{j=0}^{2k-2}(s+j)$$

और त्रुटि संतुष्ट करती है


 * $$|E_{m,n}(s)| < \left|\frac{s+2m+1}{\sigma + 2m + 1}T_{m+1,n}(s)\right|,$$

σ = रे (एस) के साथ। एक आधुनिक संख्यात्मक एल्गोरिथम Odlyzko-Schönhage एल्गोरिथ्म है।

अनुप्रयोग
अनुप्रयुक्त आँकड़ों में जीटा फलन होता है (देखें जिपफ का नियम और जिपफ-मेंडेलब्रॉट नियम)।

जीटा फलन नियमितीकरण का उपयोग क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में डाइवर्जेंट सीरीज़ और भिन्न अभिन्न के नियमितीकरण (भौतिकी) के संभावित साधन के रूप में किया जाता है। उल्लेखनीय उदाहरण में, कासिमिर प्रभाव की गणना करने की विधि में रीमैन जीटा फलन स्पष्ट रूप से दिखाई देता है। गतिशील प्रणालियों के विश्लेषण के लिए जीटा फलन भी उपयोगी है।

संगीतमय ट्यूनिंग
म्यूजिकल ट्यूनिंग के सिद्धांत में, जीटा फलन का उपयोग समान स्वभाव (ईडीओ) को खोजने के लिए किया जा सकता है जो प्रसंवादी श्रृंखला (संगीत) के अंतराल को करीब से अनुमानित करता है। के बढ़ते मानों के लिए $$t \in \mathbb{R}$$, का मान है


 * $$\left\vert \zeta \left( \frac{1}{2} + \frac{2\pi{i}}{\ln{(2)}}t \right) \right\vert$$

ऐसे ईडीओ के अनुरूप पूर्णांकों के पास की चोटियाँ। उदाहरणों में 12, 19 और 53 जैसे लोकप्रिय विकल्प सम्मिलित हैं।

अनंत श्रृंखला
समदूरस्थ धनात्मक पूर्णांकों पर मानांकन किया गया जीटा फलन कई स्थिरांकों की अनंत श्रृंखला निरूपण में प्रकट होता है। *$$\sum_{n=2}^\infty\bigl(\zeta(n)-1\bigr) = 1$$ वास्तव में सम और विषम पद दो योग देते हैं और
 * $$\sum_{n=1}^\infty\bigl(\zeta(2n)-1\bigr)=\frac{3}{4}$$

उपरोक्त राशियों के पैरामीट्रिज्ड संस्करण द्वारा दिए गए हैं
 * $$\sum_{n=1}^\infty\bigl(\zeta(2n+1)-1\bigr)=\frac{1}{4}$$

और
 * $$\sum_{n=1}^\infty(\zeta(2n)-1)\,t^{2n} = \frac{t^2}{t^2-1} + \frac{1}{2} \left(1- \pi t\cot(t\pi)\right)$$

साथ $$|t|<2$$ और जहाँ $$\psi$$ और $$\gamma$$ बहुविवाह फलन और यूलर की स्थिरांक क्रमशः, साथ ही साथ हैं
 * $$\sum_{n=1}^\infty(\zeta(2n+1)-1)\,t^{2n} = \frac{t^2}{t^2-1} -\frac{1}{2}\left(\psi^0(t)+\psi^0(-t) \right) - \gamma$$

जो सभी पर निरंतर हैं $$t=1$$. अन्य रकम सम्मिलित हैं
 * $$\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)-1}{n}\,t^{2n} = \log\left(\dfrac{1-t^2}{\operatorname{sinc}(\pi\,t)}\right)$$

जहाँ $s ∈ C$ जटिल संख्या के काल्पनिक भाग को दर्शाता है।
 * $$\sum_{n=2}^\infty\frac{\zeta(n)-1}{n} = 1-\gamma$$
 * $$\sum_{n=2}^\infty\frac{\zeta(n)-1}{n} \left(\left(\tfrac{3}{2}\right)^{n-1}-1\right) = \frac{1}{3} \ln \pi$$
 * $$\sum_{n=1}^\infty\bigl(\zeta(4n)-1\bigr) = \frac78-\frac{\pi}{4}\left(\frac{e^{2\pi}+1}{e^{2\pi}-1}\right).$$
 * $$\sum_{n=2}^\infty\frac{\zeta(n)-1}{n}\operatorname{Im}\bigl((1+i)^n-(1+i^n)\bigr) = \frac{\pi}{4}$$

लेख में अभी और सूत्र हैं प्रसंवादी संख्या # Riemann जीटा फलन से संबंध | प्रसंवादी संख्या।

सामान्यीकरण
ऐसे कई संबंधित जीटा फलन हैं जिन्हें रिमेंन जीटा फलन के सामान्यीकरण के रूप में माना जा सकता है। इनमें हर्विट्ज़ जीटा फलन सम्मिलित है


 * $$\zeta(s,q) = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(k+q)^s}$$

(1930 में हेल्मुट हासे द्वारा अभिसरण श्रृंखला प्रतिनिधित्व दिया गया था, सी एफ हर्विट्ज़ जीटा फलन), जो रीमैन जीटा फलन के साथ मेल खाता है $s ≠ 1$ (Hurwitz जीटा फलन में योग की निचली सीमा 0 है, 1 नहीं), Dirichlet L-function|Dirichlet $W$-फलन और डेडेकाइंड जीटा फलन अन्य संबंधित फलनों के लिए जीटा फलन और एल-फलन लेख देखें$ζ$-फलन।

बहुलघुगणक द्वारा दिया जाता है


 * $$\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty \frac{z^k}{k^s}$$

जो रीमैन जीटा फलन के साथ मेल खाता है जब $x^{s − 1}$. क्लॉसन फलन $ζ$ के वास्तविक या काल्पनिक भाग के रूप में चुना जा सकता है $s = 1$.

लर्च उत्कृष्ट द्वारा दिया गया है
 * $$\Phi(z, s, q) = \sum_{k=0}^\infty\frac { z^k} {(k+q)^s}$$

जो रीमैन जीटा फलन के साथ मेल खाता है जब $s = ρ$ और $1 − ρ$ (लेर्च ट्रांसेंडेंट में योग की निचली सीमा 0 है, न कि 1)।

एकाधिक जीटा फलनों द्वारा परिभाषित किया गया है


 * $$\zeta(s_1,s_2,\ldots,s_n) = \sum_{k_1>k_2>\cdots>k_n>0} {k_1}^{-s_1}{k_2}^{-s_2}\cdots {k_n}^{-s_n}.$$

कोई विश्लेषणात्मक रूप से इन फलनों को जारी रख सकता है $L$-आयामी जटिल स्थान। धनात्मक पूर्णांक तर्कों पर इन फलनों द्वारा लिए गए विशेष मानों को संख्या सिद्धांतकारों द्वारा एकाधिक जीटा मान कहा जाता है और गणित और भौतिकी में कई अलग-अलग शाखाओं से जुड़ा हुआ है।

यह भी देखें

 * 1 + 2 + 3 + 4 + ···
 * अंकगणित जीटा फलन
 * सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना
 * लेहमर जोड़ी
 * प्रधान जीटा फलन
 * रीमैन शी फलन
 * पुनर्सामान्यीकरण
 * रीमैन-सीगल थीटा फलन
 * जीटाग्रिड

संदर्भ

 * Has an English translation of Riemann's paper.
 * (Globally convergent series expression.)
 * . In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
 * Has an English translation of Riemann's paper.
 * (Globally convergent series expression.)
 * . In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
 * (Globally convergent series expression.)
 * . In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
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 * . In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
 * . In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
 * . In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
 * . In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
 * . In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
 * . In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
 * . In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).

बाहरी संबंध

 * रीमैन जीटा Function, in Wolfram Mathworld — an explanation with a more mathematical approach
 * Tables of selected zeros
 * Prime Numbers Get Hitched A general, non-technical description of the significance of the zeta function in relation to prime numbers.
 * X-Ray of the Zeta Function Visually oriented investigation of where zeta is real or purely imaginary.
 * Formulas and identities for the रीमैन जीटा function functions.wolfram.com
 * रीमैन जीटा Function and Other Sums of Reciprocal Powers, section 23.2 of Abramowitz and Stegun
 * Mellin transform and the functional equation of the रीमैन जीटा function—Computational examples of Mellin transform methods involving the रीमैन जीटा Function
 * Visualizing the रीमैन जीटा function and analytic continuation a video from 3Blue1Brown
 * Mellin transform and the functional equation of the रीमैन जीटा function—Computational examples of Mellin transform methods involving the रीमैन जीटा Function
 * Visualizing the रीमैन जीटा function and analytic continuation a video from 3Blue1Brown
 * Visualizing the रीमैन जीटा function and analytic continuation a video from 3Blue1Brown