सरल लाई बीजगणित

बीजगणित में, एक सरल लाई बीजगणित एक लाई बीजगणित है जो एबेलियन लाई बीजगणित गैर-अबेलियन है और इसमें कोई गैर-शून्य उचित आदर्श नहीं है। वास्तविक सरल लाई बीजगणित का वर्गीकरण विल्हेम किलिंग और एली कार्टन की प्रमुख उपलब्धियों में से एक है।

साधारण लाई बीजगणित के प्रत्यक्ष योग को अर्धसरल लाई बीजगणित कहा जाता है।

एक साधारण लाई समूह एक जुड़ा हुआ लाई समूह है जिसका लाई बीजगणित सरल है।

जटिल सरल लाई बीजगणित
एक परिमित-आयामी सरल जटिल बीजगणित निम्नलिखित में से किसी एक के लिए समरूपी है: $$\mathfrak{sl}_n \mathbb{C}$$, $$\mathfrak{so}_n \mathbb{C}$$, $$\mathfrak{sp}_{2n} \mathbb{C}$$ (शास्त्रीय लाई बीजगणित) या पाँच असाधारण लाई बीजगणित में से एक।

प्रत्येक परिमित-आयामी जटिल अर्ध-सरल बीजगणित $$\mathfrak{g}$$ के लिए, एक संबंधित आरेख मौजूद है (जिसे डायनकिन आरेख कहा जाता है) जहां नोड्स सरल जड़ों को निरूपित करते हैं, नोड्स सरल जड़ों के बीच के कोणों के आधार पर कई पंक्तियों द्वारा जोड़ा जाता है (या संयुक्त नहीं किआ जाता है) | सरल जड़ों और तीरों के बीच के कोणों के आधार पर  यह इंगित करने के लिए रखा जाता है  कि क्या जड़ें लंबी या छोटी हैं। $$\mathfrak{g}$$ का डायनकिन आरेख जुड़ा हुआ है अगर और केवल अगर  $$\mathfrak{g}$$ साधारण है। सभी संभव कनेक्टेड डाइकिन डायग्राम निम्नलिखित हैं:
 * Finite_Dynkin_diagrams.svgजहां n      जहां n नोड्स (सरल जड़ें) की संख्या है। आरेखों और जटिल सरल लाई बीजगणित का मिलान इस प्रकार है:
 * (एn) $$\quad \mathfrak{sl}_{n+1} \mathbb{C}$$
 * (बीn) $$\quad \mathfrak{so}_{2n+1} \mathbb{C}$$
 * (सीn) $$\quad \mathfrak{sp}_{2n} \mathbb{C}$$
 * (डीn) $$\quad \mathfrak{so}_{2n} \mathbb{C}$$
 * बाकी, असाधारण लाई बीजगणित।

वास्तविक सरल लाई बीजगणित
अगर $$\mathfrak{g}_0$$ एक परिमित-आयामी वास्तविक सरल लाई बीजगणित है, इसकी जटिलता या तो (1) सरल या (2) एक साधारण जटिल लाई बीजगणित का उत्पाद है और यह एक जटिल लाई बीजगणित का संयुग्म है। उदाहरण के लिए,$$\mathfrak{sl}_n \mathbb{C}$$ की जटिलता  वास्तविक लाई बीजगणित के रूप में सोचा जाता है $$\mathfrak{sl}_n \mathbb{C} \times \overline{\mathfrak{sl}_n \mathbb{C}}$$. इस प्रकार, एक वास्तविक सरल लाई बीजगणित को जटिल सरल लाई बीजगणित और कुछ अतिरिक्त जानकारी के वर्गीकरण द्वारा वर्गीकृत किया जा सकता है। यह दावा आरेखों द्वारा किया जा सकता है जो डाइंकिनआरेखों का सामान्यीकरण करते हैं। वास्तविक सरल लाई बीजगणित की आंशिक सूची के लिए लाई समूहों की तालिका असली लाई बीजगणित भी देखें।

एली कार्टन की प्रमुख उपलब्धियों में से एक है।

साधारण लाई बीजगणित के प्रत्यक्ष योग को अर्धसरल लाई बीजगणित कहा जाता है।

एक साधारण लाई समूह एक जुड़ा हुआ लाई समूह है जिसका लाई बीजगणित सरल है।

यह भी देखें

 * सरल लाई समूह
 * वोगेल विमान

संदर्भ

 * Jacobson, Nathan, Lie algebras, Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4; Chapter X considers a classification of simple Lie algebras over a field of characteristic zero.
 * Jacobson, Nathan, Lie algebras, Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4; Chapter X considers a classification of simple Lie algebras over a field of characteristic zero.