एनआईपी (मॉडल सिद्धांत)

मॉडल सिद्धांत में, गणितीय तर्क की एक शाखा, एक पूर्ण सिद्धांत टी को 'एनआईपी' (स्वतंत्रता संपत्ति नहीं) को संतुष्ट करने के लिए कहा जाता है, यदि इसका कोई भी सूत्र 'स्वतंत्रता संपत्ति' को संतुष्ट नहीं करता है - अर्थात, यदि इसका कोई भी सूत्र मनमाने ढंग से बड़े परिमित सेट के किसी भी उपसमुच्चय को नहीं चुन सकता है।

परिभाषा
मान लीजिए T एक पूर्ण सिद्धांत L-सिद्धांत है। एक एल-सूत्र φ('x','y') को स्वतंत्रता संपत्ति कहा जाता है ('x', 'y' के संबंध में) यदि T के प्रत्येक मॉडल M में, प्रत्येक n = {0,1,…, n − 1} < ω के लिए, टुपल्स 'बी' का एक परिवार है0,…,बीn&minus;1 ऐसा कि दोनों में से प्रत्येक के लिएn n के उपसमुच्चय X के लिए M में एक टपल 'a' है
 * $$M\models\varphi(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}_i)\quad\Leftrightarrow\quad i\in X.$$

सिद्धांत टी को स्वतंत्रता संपत्ति कहा जाता है यदि किसी सूत्र में स्वतंत्रता संपत्ति है। यदि किसी एल-फॉर्मूले में स्वतंत्रता संपत्ति नहीं है तो टी को आश्रित कहा जाता है, या एनआईपी को संतुष्ट करने के लिए कहा जाता है। एक एल-संरचना को स्वतंत्रता संपत्ति (क्रमशः, एनआईपी) कहा जाता है यदि इसके सिद्धांत में स्वतंत्रता संपत्ति (क्रमशः, एनआईपी) होती है। यह शब्दावली बूलियन बीजगणित (संरचना) के अर्थ में स्वतंत्रता की धारणा से आती है।

वापनिक-चेर्वोनेंकिस सिद्धांत के नामकरण में, हम कह सकते हैं कि एक्स के उपसमुच्चय का एक संग्रह 'एस' एक सेट बी ⊆ एक्स को तोड़ देता है यदि बी का प्रत्येक उपसमुच्चय कुछ एस ∈ 'एस' के लिए बी ∩ एस के रूप का है। तब T के पास स्वतंत्रता संपत्ति है यदि T के कुछ मॉडल M में एक निश्चित परिवार (S) हैa | a∈Mn) ⊆एमकजो एम के मनमाने ढंग से बड़े परिमित उपसमुच्चय को तोड़ देता हैक. दूसरे शब्दों में, (एसa | a∈Mn) में अनंत वीसी आयाम है|वाप्निक-चेर्वोनेंकिस आयाम।

उदाहरण
कोई भी पूर्ण सिद्धांत T जिसमें स्वतंत्रता गुण हो वह स्थिर सिद्धांत है। अंकगणित में, i.s. संरचना (AND,+,·), सूत्र y विभाजित x में स्वतंत्रता गुण है। ये फार्मूला बिल्कुल सही है
 * $$(\exists k)(y\cdot k=x).$$

तो, किसी भी परिमित n के लिए हम n 1-टुपल्स b लेते हैंi पहले n अभाज्य संख्याएँ होना, और फिर {0,1,…,n − 1} के किसी भी उपसमुच्चय X के लिए हम a को उन b का गुणनफल मानते हैंi जैसे कि मैं एक्स में हूं। फिर बीi यदि और केवल यदि i∈X को विभाजित करता है।

प्रत्येक ओ-न्यूनतम सिद्धांत एनआईपी को संतुष्ट करता है। इस तथ्य का तंत्रिका नेटवर्क सीखने में अप्रत्याशित अनुप्रयोग हुआ है। एनआईपी सिद्धांतों के उदाहरणों में निम्नलिखित सभी संरचनाओं के सिद्धांत भी शामिल हैं: कुल क्रम, वृक्ष (सेट सिद्धांत), एबेलियन रैखिक रूप से आदेशित समूह, बीजगणितीय रूप से बंद मूल्य क्षेत्र, और किसी भी पी के लिए पी-एडिक संख्या | पी-एडिक फ़ील्ड।