हिस्टोग्राम समीकरण

हिस्टोग्राम इक्वलाइजेशन (आयतचित्र तुल्यकरण) इमेज के इमेज हिस्टोग्राम का उपयोग करके कंट्रास्ट (दृष्टि) समायोजन की इमेज प्रोसेसिंग (प्रतिबिंब प्रक्रमण) में एक विधि है।



अवलोकन
यह विधि सामान्यतः कई इमेज के वैश्विक कंट्रास्ट (दृष्टि) को बढ़ाती है, खासकर जब इमेज को तीव्रता मूल्यों की एक संकीर्ण सीमा द्वारा दर्शाया जाता है। इस समायोजन के माध्यम से, तीव्रता की पूरी श्रृंखला का समान रूप से उपयोग करके तीव्रता को हिस्टोग्राम पर बेहतर ढंग से वितरित किया जा सकता है। यह निचले स्थानीय कंट्रास्ट वाले क्षेत्रों को उच्च कंट्रास्ट प्राप्त करने की अनुमति देता है। हिस्टोग्राम इक्वलाइज़ेशन अत्यधिक आबादी वाले तीव्रता मूल्यों को प्रभावी ढंग से फैलाकर इसे पूरा करता है जिसका उपयोग इमेज कंट्रास्ट को कम करने के लिए किया जाता है।

यह विधि उन इमेज में उपयोगी है जिनकी पृष्ठभूमि और अग्रभूमि दोनों ब्राइट (उज्ज्वल) या दोनों डार्क (अंधेरेI हैं। विशेष रूप से, यह विधि एक्स-रे इमेज में हड्डी की संरचना के बेहतर दृश्य और उन तस्वीरों में बेहतर विवरण प्रदान कर सकती है जो या तो अधिक या कम उजागर हैं। विधि का एक प्रमुख लाभ यह है कि यह इनपुट इमेज और एक उलटा ऑपरेटर (गणित) के अनुकूल एक काफी सरल तकनीक है। इसलिए सिद्धांत रूप में, यदि हिस्टोग्राम इक्वलाइज़ेशन फ़ंक्शन (गणित) ज्ञात है, तो मूल हिस्टोग्राम को पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। गणना कम्प्यूटेशनल रूप से गहन नहीं हैl इस पद्धति का एक हानि यह है कि यह अव्यवस्थित है। यह प्रयोग करने योग्य सिग्नल (सूचना सिद्धांत) को कम करते हुए पृष्ठभूमि सिग्नल नॉइज़ के कंट्रास्ट को बढ़ा सकता है।

वैज्ञानिक इमेजिंग में जहां स्थानिक सहसंबंध सिग्नल की तीव्रता से अधिक महत्वपूर्ण है (जैसे कि मात्राबद्ध लंबाई के डीएनए टुकड़े को अलग करना), छोटा सिग्नल-टू-नॉइज़ रेश्यो सामान्यतः दृश्य पहचान में बाधा डालता है।

हिस्टोग्राम इक्वलाइजेशन प्रायः तस्वीरों में अवास्तविक प्रभाव उत्पन्न करता है; हालाँकि यह थर्मोग्राफी, उपग्रह या एक्स-रे इमेज जैसी वैज्ञानिक इमेज के लिए बहुत उपयोगी है, प्रायः इमेज का एक ही वर्ग जिस पर कोई गलत रंग लागू कर सकता है। इसके अतिरिक्त निम्न रंग की गहराई वाली इमेज पर लागू होने पर हिस्टोग्राम इक्वलाइज़ेशन अवांछनीय प्रभाव (जैसे दृश्यमान इमेज ग्रेडिएंट) उत्पन्न कर सकता है। उदाहरण के लिए, यदि 8-बिट कंप्यूटर हार्डवेयर पैलेट की सूची, 8-बिट ग्रे-स्केल पैलेट की सूची के साथ प्रदर्शित 8-बिट इमेज पर लागू किया जाता है तो यह इमेज की रंग गहराई (ग्रे के अद्वितीय रंगों की संख्या) को और कम कर देगा। पैलेट (कंप्यूटिंग) आकार की तुलना में बहुत अधिक रंग गहराई वाली इमेज पर लागू होने पर हिस्टोग्राम इक्वलाइज़ेशन सबसे अच्छा काम करेगा, जैसे सतत फ़ंक्शन डेटा या 16-बिट ग्रे-स्केल छवियां है।

हिस्टोग्राम इक्वलाइजेशन के बारे में सोचने और लागू करने के दो तरीके हैं, या तो इमेज परिवर्तन के रूप में या पैलेट (कंप्यूटिंग) परिवर्तन के रूप में। ऑपरेशन को P(M(I)) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहां I मूल इमेज है, M हिस्टोग्राम इक्वलाइज़ेशन मैपिंग ऑपरेशन है और P एक पैलेट है। यदि हम एक नए पैलेट को P'=P(M) के रूप में परिभाषित करते हैं और इमेज I को अपरिवर्तित छोड़ते हैं तो हिस्टोग्राम इक्वलाइजेशन को पैलेट (कंप्यूटिंग) परिवर्तन या मैपिंग परिवर्तन के रूप में लागू किया जाता है। दूसरी ओर, यदि पैलेट P अपरिवर्तित रहता है और इमेज को I'=M(I) में संशोधित किया जाता है तो कार्यान्वयन इमेज परिवर्तन द्वारा पूरा किया जाता है। अधिकांश परिस्थितियों में पैलेट परिवर्तन बेहतर होता है क्योंकि यह मूल डेटा को सुरक्षित रखता है।

इस पद्धति के संशोधनों में समग्र वैश्विक कंट्रास्ट के अतिरिक्त स्थानीय कंट्रास्ट पर जोर देने के लिए कई हिस्टोग्राम का उपयोग किया जाता है, जिन्हें सबहिस्टोग्राम कहा जाता है। ऐसे तरीकों के उदाहरणों में अनुकूली हिस्टोग्राम इक्वलाइजेशन, कंट्रास्ट लिमिटिंग एडाप्टिव हिस्टोग्राम इक्वलाइजेशन या सीएलएएचई, मल्टीपीक हिस्टोग्राम इक्वलाइजेशन (एमपीएचई), और मल्टीपर्पज बीटा ऑप्टिमाइज्ड बिहिस्टोग्राम इक्वलाइजेशन (एमबीओबीएचई) सम्मिलित हैं। इन तरीकों का लक्ष्य, विशेष रूप से एमबीओबीएचई, एचई एल्गोरिदम को संशोधित करके चमक (ब्राइटनेस) माध्य-शिफ्ट और विस्तार हानि कलाकृतियों का उत्पादन किए बिना कंट्रास्ट में सुधार करना है।

हिस्टोग्राम इक्वलाइज़ेशन के समतुल्य एक सिग्नल परिवर्तन भी जैविक तंत्रिका नेटवर्क में होता प्रतीत होता है ताकि इनपुट आंकड़ों के एक फ़ंक्शन के रूप में न्यूरॉन की आउटपुट फायरिंग रेट को अधिकतम किया जा सके। यह विशेष रूप से फ्लाई रेटिना में सिद्ध हुआ है।

हिस्टोग्राम इक्वलाइजेशन हिस्टोग्राम रीमैपिंग विधियों के अधिक सामान्य वर्ग का एक विशिष्ट स्थिति है। ये विधियां विश्लेषण करना आसान बनाने या दृश्य गुणवत्ता में सुधार करने के लिए इमेज को समायोजित करने का प्रयास करती हैं (उदाहरण के लिए, रेटिनेक्स)

बैक प्रोजेक्शन
हिस्टोग्राम की इमेज का बैक प्रोजेक्शन (या  प्रोजेक्ट  ) मूल इमेज पर संशोधित हिस्टोग्राम का पुन: अनुप्रयोग है, जो पिक्सेल चमक मानों के लिए लुक-अप तालिका के रूप में कार्य करता है।

सभी इनपुट एकल-चैनल इमेज से समान स्थिति से लिए गए पिक्सेल के प्रत्येक समूह के लिए, फ़ंक्शन हिस्टोग्राम बिन मान को गंतव्य इमेज पर रखता है, जहां बिन के निर्देशांक इस इनपुट समूह में पिक्सेल के मान से निर्धारित होते हैं। आंकड़ों के संदर्भ में, प्रत्येक आउटपुट इमेज पिक्सेल का मूल्य इस संभावना को दर्शाता है कि संबंधित इनपुट पिक्सेल समूह उस ऑब्जेक्ट से संबंधित है जिसका हिस्टोग्राम उपयोग किया जाता है।

कार्यान्वयन
एक असतत ग्रेस्केल {x} पर विचार करें और ni ग्रे लेवल i की घटनाओं की संख्या हो। इमेज में स्तर i के पिक्सेल के घटित होने की प्रायिकता है
 * $$\ p_x(i) = p(x=i) = \frac{n_i}{n},\quad 0 \le i < L $$

$$\ L $$ इमेज में ग्रे स्तरों की कुल संख्या (सामान्यतः 256), n इमेज में पिक्सेल की कुल संख्या है, और $$p_x(i)$$ वास्तव में पिक्सेल मान i के लिए इमेज का हिस्टोग्राम, [0,1] पर सामान्यीकृत है।

आइए हम i के अनुरूप संचयी वितरण फ़ंक्शन को भी परिभाषित करें
 * $$\operatorname{cdf}_x(i) = \sum_{j=0}^i p_x(x=j)$$,

जो इमेज का संचित सामान्यीकृत हिस्टोग्राम भी है।

हम स्वरूप में परिवर्तन लाना चाहेंगे $$\ y=T(x) $$ एक फ्लैट हिस्टोग्राम के साथ एक नई इमेज {y} बनाने के लिए। ऐसी इमेज में मूल्य सीमा पर एक रैखिक संचयी वितरण फ़ंक्शन (सीडीएफ) होगा, अर्थात।
 * $$\operatorname{cdf}_y(i) = (i+1) K$$ के लिए $$ 0 \le i < L $$

कुछ स्थिरांक के लिए $$\ K $$. सीडीएफ के गुण हमें ऐसा परिवर्तन करने की अनुमति देते हैं (देखें संचयी वितरण फ़ंक्शन, व्युत्क्रम वितरण फ़ंक्शन (क्वांटाइल फ़ंक्शन)); इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 * $$\ y = T(k) = \operatorname{cdf}_x(k)$$

जहाँ $$\ k $$ के दायरे में है $$ [0,L-1]) $$. नोटिस जो $$\ T $$ स्तरों को [0,1] श्रेणी में मैप करता है, क्योंकि हमने {x} के सामान्यीकृत हिस्टोग्राम का उपयोग किया है। मानों को उनकी मूल सीमा में वापस मैप करने के लिए, परिणाम पर निम्नलिखित सरल परिवर्तन लागू करने की आवश्यकता है:
 * $$\ y^\prime = y \cdot(\max\{x\} - \min\{x\}) + \min\{x\}= y \cdot(L- 1)$$.

एक अधिक विस्तृत व्युत्पत्ति यहां उपलब्ध कराई गई है है।

$$\ y $$ जबकि एक वास्तविक मूल्य है $$\ y^\prime $$ एक पूर्णांक होना चाहिए. एक सहज और लोकप्रिय तरीका राउंड ऑपरेशन लागू कर रहा है:
 * $$\ y^\prime = \operatorname{round} (y \cdot(L- 1))$$.

हालाँकि, विस्तृत विश्लेषण से थोड़ा अलग सूत्रीकरण निकलता है। मैप किया गया मान $$\ y^\prime $$ की सीमा के लिए 0 होना चाहिए $$0<y \leq1/L$$. और $$\ y^\prime =1$$ के लिए $$1/L < y \leq 2/L$$, $$\ y^\prime = 2 $$ के लिए $$2/L < y \leq 3/L$$, ...., और अंत में $$\ y^\prime =L-1$$ के लिए $$(L-1)/L < y \leq 1$$. फिर परिमाणीकरण सूत्र से $$\ y$$ को $$\ y^\prime $$ होना चाहिए

$$y^\prime=\operatorname{ceil}(L \cdot y)-1 $$.

(टिप्पणी: $$y^\prime=-1 $$ जब $$\ y=0 $$ हालाँकि, यह सिर्फ इसलिए नहीं होता है $$\ y=0 $$ इसका तात्पर्य है कि उस मान के अनुरूप कोई पिक्सेल नहीं है।)

रंगीन इमेज का
उपरोक्त एक ग्रेस्केल इमेज पर हिस्टोग्राम इक्वलाइजेशन का वर्णन करता है। हालाँकि, इसका उपयोग इमेज के आरजीबी रंग मूल्यों के लाल, हरे और नीले घटकों पर अलग से एक ही विधि लागू करके रंगीन इमेज पर भी किया जा सकता है। हालाँकि, आरजीबी इमेज के लाल, हरे और नीले घटकों पर समान विधि लागू करने से इमेज के रंग संतुलन में नाटकीय परिवर्तन आ सकते हैं क्योंकि एल्गोरिदम लागू करने के परिणामस्वरूप रंग चैनलों के सापेक्ष वितरण बदल जाते हैं। हालाँकि, यदि इमेज को पहले किसी अन्य रंग स्थान, लैब रंग स्थान, या विशेष रूप से एचएसएल और एचएसवी, एचएसएल/एचएसवी रंग स्थान में परिवर्तित किया जाता है, तो एल्गोरिथ्म को रंग में परिवर्तन किए बिना ल्यूमिनेंस (ज्योतिर्मय) या वैल्यू चैनल पर लागू किया जा सकता है और इमेज की संतृप्ति. 3डी स्पेस में कई हिस्टोग्राम इक्वलाइजेशन विधियां हैं। ट्रैहानियास और वेनेत्सानोपोलोस ने 3डी कलर स्पेस में हिस्टोग्राम इक्वलाइजेशन लागू किया हालाँकि, इसका परिणाम सफ़ेद (व्हाइटनिंग) हो जाता है जहाँ चमकीले (ब्राइट) पिक्सेल की संभावना डार्क पिक्सेल की तुलना में अधिक होती है। हान एट अल. आइसो-ल्यूमिनेंस प्लेन द्वारा परिभाषित एक नए सीडीएफ का उपयोग करने का प्रस्ताव है, जिसके परिणामस्वरूप एक समान ग्रे वितरण होता है।

उदाहरण
सांख्यिकीय के उपयोग में स्थिरता के लिए, सीडीएफ (यानी संचयी वितरण फ़ंक्शन) को संचयी हिस्टोग्राम द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, खासकर जब से लेख संचयी वितरण फ़ंक्शन से लिंक होता है जो संचयी हिस्टोग्राम में मानों को पिक्सेल की कुल मात्रा से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है। समानीकृत सीडीएफ को रैंकिंग के संदर्भ में परिभाषित किया गया है $$rank/pixelcount$$.

छोटी इमेज
दिखाई गई 8-बिट ग्रेस्केल इमेज में निम्नलिखित मान हैं:

इस इमेज का हिस्टोग्राम निम्न तालिका में दिखाया गया है। जिन पिक्सेल मानों की संख्या शून्य है उन्हें संक्षिप्तता के लिए बाहर रखा गया है।
 * {| class="wikitable"

! वैल्यू !! काउंट ! वैल्यू !! काउंट ! वैल्यू !! काउंट ! वैल्यू !! काउंट ! वैल्यू !! काउंट संचयी वितरण फ़ंक्शन (सीडीएफ) नीचे दिखाया गया है। फिर, पिक्सेल मान जो सीडीएफ में वृद्धि में योगदान नहीं करते हैं उन्हें संक्षिप्तता के लिए बाहर रखा गया है।
 * 52 || 1
 * 64 || 2
 * 72 || 1
 * 85 || 2
 * 113 || 1
 * 55 || 3
 * 65 || 3
 * 73 || 2
 * 87 || 1
 * 122 || 1
 * 58 || 2
 * 66 || 2
 * 75 || 1
 * 88 || 1
 * 126 || 1
 * 59 || 3
 * 67 || 1
 * 76 || 1
 * 90 || 1
 * 144 || 1
 * 60 || 1
 * 68 || 5
 * 77 || 1
 * 94 || 1
 * 154 || 1
 * 61 || 4
 * 69 || 3
 * 78 || 1
 * 104 || 2
 * rowspan="3" colspan="2"|
 * 62 || 1
 * 70 || 4
 * 79 || 2
 * 106 || 1
 * 63 || 2
 * 71 || 2
 * 83 || 1
 * 109 || 1
 * }
 * 79 || 2
 * 106 || 1
 * 63 || 2
 * 71 || 2
 * 83 || 1
 * 109 || 1
 * }
 * }
 * {| class="wikitable"

! v, पिक्सेल  इंटेंसिटी !! cdf(v) !! h(v), एक्वालिज़ेड v
 * 52||1||0
 * 55||4||12
 * 58||6||20
 * 59||9||32
 * 60||10||36
 * 61||14||53
 * 62||15||57
 * 63||17||65
 * 64||19||73
 * 65||22||85
 * 66||24||93
 * 67||25||97
 * 68||30||117
 * 69||33||130
 * 70||37||146
 * 71||39||154
 * 72||40||158
 * 73||42||166
 * 75||43||170
 * 76||44||174
 * 77||45||178
 * 78||46||182
 * 79||48||190
 * 83||49||194
 * 85||51||202
 * 87||52||206
 * 88||53||210
 * 90||54||215
 * 94||55||219
 * 104||57||227
 * 106||58||231
 * 109||59||235
 * 113||60||239
 * 122||61||243
 * 126||62||247
 * 144||63||251
 * 154||64||255
 * } (कृपया ध्यान दें कि $$h(v)=\operatorname{ceil}(\operatorname{cdf}(v))-1 $$ संस्करण अभी तक सचित्र नहीं है।)
 * 76||44||174
 * 77||45||178
 * 78||46||182
 * 79||48||190
 * 83||49||194
 * 85||51||202
 * 87||52||206
 * 88||53||210
 * 90||54||215
 * 94||55||219
 * 104||57||227
 * 106||58||231
 * 109||59||235
 * 113||60||239
 * 122||61||243
 * 126||62||247
 * 144||63||251
 * 154||64||255
 * } (कृपया ध्यान दें कि $$h(v)=\operatorname{ceil}(\operatorname{cdf}(v))-1 $$ संस्करण अभी तक सचित्र नहीं है।)
 * 94||55||219
 * 104||57||227
 * 106||58||231
 * 109||59||235
 * 113||60||239
 * 122||61||243
 * 126||62||247
 * 144||63||251
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 * } (कृपया ध्यान दें कि $$h(v)=\operatorname{ceil}(\operatorname{cdf}(v))-1 $$ संस्करण अभी तक सचित्र नहीं है।)
 * 122||61||243
 * 126||62||247
 * 144||63||251
 * 154||64||255
 * } (कृपया ध्यान दें कि $$h(v)=\operatorname{ceil}(\operatorname{cdf}(v))-1 $$ संस्करण अभी तक सचित्र नहीं है।)
 * 154||64||255
 * } (कृपया ध्यान दें कि $$h(v)=\operatorname{ceil}(\operatorname{cdf}(v))-1 $$ संस्करण अभी तक सचित्र नहीं है।)
 * } (कृपया ध्यान दें कि $$h(v)=\operatorname{ceil}(\operatorname{cdf}(v))-1 $$ संस्करण अभी तक सचित्र नहीं है।)

यह सीडीएफ दर्शाता है कि उपछवि में न्यूनतम मान 52 है और अधिकतम मान 154 है। मान 154 के लिए 64 का सीडीएफ इमेज में पिक्सेल की संख्या के साथ मेल खाता है। सीडीएफ को सामान्यीकृत किया जाना चाहिए $$[0,255]$$. सामान्य हिस्टोग्राम इक्वलाइजेशन सूत्र है:



h(v) = \mathrm{round} \left(  \frac {\operatorname{cdf}(v) - \operatorname{cdf}_{\min}} {(M \times N) - \operatorname{cdf}_{\min}}   \times (L - 1) \right) $$ जहां cdfmin संचयी वितरण फ़ंक्शन का न्यूनतम गैर-शून्य मान है (इस मामले में 1), एम × एन इमेज के पिक्सेल की संख्या देता है (64 से ऊपर के उदाहरण के लिए, जहां M चौड़ाई है और N ऊंचाई है) और एल की संख्या है ग्रे स्तर का उपयोग किया गया (ज्यादातर परिस्थितियों में, इस तरह, 256)।

ध्यान दें कि मूल डेटा में मानों को स्केल करने के लिए जो 0 से ऊपर हैं, रेंज 1 से L-1 तक, समावेशी, इसके अतिरिक्त उपरोक्त समीकरण होगा:



h(v) = \mathrm{round} \left(  \frac {\operatorname{cdf}(v) - \operatorname{cdf}_{\min}} {(M \times N) - \operatorname{cdf}_{\min}}   \times (L - 2) \right) + 1 $$ ''जहां cdf(v) > 0. 1 से 255 तक स्केलिंग न्यूनतम मान की गैर-शून्यता को संरक्षित करती है।''

उदाहरण के लिए 0 से 255 तक स्केलिंग डेटा के लिए समीकरण (इक्वेलाइज़ेशन) सूत्र है:



h(v) = \mathrm{round} \left(  \frac {\operatorname{cdf}(v) - 1} {63}   \times 255 \right) $$ उदाहरण के लिए, 78 का सीडीएफ 46 है। (78 का मान 7वें कॉलम की निचली पंक्ति में उपयोग किया जाता है।) सामान्यीकृत मान बन जाता है



h(78) = \mathrm{round} \left(  \frac {46 - 1} {63}   \times 255 \right) = \mathrm{round} \left(  0.714286   \times 255 \right) = 182 $$ एक बार जब यह हो जाता है तो समान मान प्राप्त करने के लिए समतुल्य इमेज के मान सीधे सामान्यीकृत सीडीएफ से लिए जाते हैं:

ध्यान दें कि न्यूनतम मान (52) अब 0 है और अधिकतम मान (154) अब 255 है।




 * JPEG example subimage.svg
 * JPEG example subimage - equalized.svg
 * align="center"|ओरिजिनल
 * align="center"| समानीकृत
 * }
 * align="center"| समानीकृत
 * }


 * Plot for illustrating histogram equalization.svg
 * Histogram equalization.svg
 * align="center"| मूल चित्र का हिस्टोग्राम
 * align="center"| समतुल्य छवि का हिस्टोग्राम
 * }
 * align="center"| समतुल्य छवि का हिस्टोग्राम
 * }

यह भी देखें

 * हिस्टोग्राम सुमेलन
 * अनुकूली हिस्टोग्राम इक्वलाइजेशन
 * सामान्यीकरण (इमेज प्रोसेसिंग)

संदर्भ

 * Acharya and Ray, Image Processing: Principles and Applications, Wiley-Interscience 2005 ISBN 0-471-71998-6
 * Russ, The Image Processing Handbook: Fourth Edition, CRC 2002 ISBN 0-8493-2532-3
 * "Histogram Equalization" at Generation5 (archive)