स्पर्शरेखा चतुर्भुज

यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज (कभी-कभी सिर्फ स्पर्शरेखा चतुर्भुज) या परिबद्ध चतुर्भुज एक उत्तल बहुभुज चतुर्भुज होता है, जिसकी सभी भुजाएँ चतुर्भुज के अंदर एक वृत्त पर स्पर्शरेखा हो सकती हैं। इस वृत्त को अंतर्वृत्त कहा जाता है और चतुर्भुज या इसके उत्कीर्ण वृत्त के त्रिकोण का अंतःवृत्त, इसका केंद्र अंतःकेंद्र है और इसकी त्रिज्या को अंतःत्रिज्या कहा जाता है। चूँकि इन चतुर्भुजों को उनके घेरे के चारों ओर या परिचालित किया जा सकता है, इसलिए उन्हें परिवृत्त चतुर्भुज, परिवृत्त चतुर्भुज, और परिवृत्त चतुर्भुज भी कहा गया है। स्पर्शरेखा चतुर्भुज स्पर्शरेखा बहुभुजों का विशेष स्थिति है।

चतुर्भुजों के इस वर्ग के लिए अन्य कम अधिकांश उपयोग किए जाने वाले नाम, शिलालेख योग्य चतुर्भुज, शिलालेखीय चतुर्भुज, अलेखनीय चतुर्भुज, परिचक्रीय चतुर्भुज, और सह-चक्रीय चतुर्भुज हैं। एक परिधि वाले चतुर्भुज के साथ भ्रम के जोखिम के कारण, जिसे चक्रीय चतुर्भुज या खुदा हुआ चतुर्भुज कहा जाता है, अंतिम पांच नामों में से किसी का उपयोग नहीं करना उत्तम होता है।

सभी त्रिभुजों में एक अंतःवृत्त हो सकता है, किन्तु सभी चतुर्भुजों में ऐसा नहीं होता है। चतुर्भुज का एक उदाहरण जो स्पर्शरेखा नहीं हो सकता है, एक गैर-वर्ग आयत है। नीचे दिए गए खंड के लक्षण वर्णन करते हैं कि एक चतुर्भुज को एक अंतःवृत्त बनाने में सक्षम होने के लिए किन आवश्यक और पर्याप्त शर्तों को पूरा करना चाहिए।

विशेष मामले
स्पर्शरेखा चतुर्भुज के उदाहरण पतंग (ज्यामिति) हैं, जिसमें समचतुर्भुज सम्मिलित है, जो बदले में वर्गों को सम्मिलित हैं। पतंग बिल्कुल स्पर्शरेखा चतुर्भुज हैं जो लंब अक्ष विकर्ण चतुर्भुज भी हैं। एक सही पतंग एक परिधि वाली पतंग है। यदि चतुर्भुज स्पर्शरेखा और चक्रीय चतुर्भुज दोनों है, तो इसे द्विकेंद्रित चतुर्भुज कहा जाता है, और यदि यह स्पर्शरेखा और समलम्बाकार दोनों है, तो इसे स्पर्शरेखा चतुर्भुज कहा जाता है।

लक्षण वर्णन
स्पर्शरेखा चतुर्भुज में, चार कोण द्विभाजक अंतर्वृत्त के केंद्र में मिलते हैं। इसके विपरीत, उत्तल चतुर्भुज जिसमें चार कोण समद्विभाजक बिंदु पर मिलते हैं, स्पर्शरेखा होना चाहिए और उभयनिष्ठ बिंदु अंत:केंद्र होना चाहिए।

पिटोट प्रमेय के अनुसार, स्पर्शरेखा चतुर्भुज में विपरीत भुजाओं के दो जोड़े समान कुल लंबाई तक जोड़ते हैं, जो चतुर्भुज के अर्धपरिमाप के बराबर होता है:
 * $$a + c = b + d = \frac{a + b + c + d}{2} = s.$$

इसके विपरीत उत्तल चतुर्भुज जिसमें a + c = b + d स्पर्शरेखा होना चाहिए।

यदि उत्तल चतुर्भुज ABCD (जो समलंब नहीं है) में विपरीत भुजाएँ E और F पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो यह स्पर्शरेखा है यदि और केवल यदि इनमें से कोई भी
 * $$\displaystyle BE+BF=DE+DF$$

या


 * $$\displaystyle AE-EC=AF-FC:$$

अन्य आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि उत्तल चतुर्भुज ABCD स्पर्शरेखा है यदि और केवल यदि दो त्रिभुजों ABC और ADC के अंत:वृत्त दूसरे के स्पर्शरेखा हैं।

विकर्ण BD और चतुर्भुज ABCD की चारों भुजाओं द्वारा बनाए गए कोणों के बारे में लक्षण वर्णन इओसिफेस्कु के कारण है। उन्होंने 1954 में सिद्ध किया कि उत्तल चतुर्भुज का अंत:वृत्त होता है यदि और केवल यदि
 * $$\tan{\frac{\angle ABD}{2}}\cdot\tan{\frac{\angle BDC}{2}}=\tan{\frac{\angle ADB}{2}}\cdot\tan{\frac{\angle DBC}{2}}.$$

इसके अतिरिक्त, उत्तरोत्तर भुजाओं a, b, c, d वाला उत्तल चतुर्भुज स्पर्शरेखा है यदि और केवल यदि
 * $$R_aR_c=R_bR_d$$

जहां Ra, Rb, Rc, Rd वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमश: भुजाओं a, b, c, d की बाहरी स्पर्शरेखा हैं और प्रत्येक भुजा के लिए आसन्न दो भुजाओं का विस्तार है।

चार उपत्रिकोणों में कई लक्षणों को विकर्णों द्वारा गठित चार उपत्रिकोणों में जाना जाता है।

संपर्क बिंदु और स्पर्शरेखा की लंबाई
अंतर्वृत्त संपर्क के बिंदु पर प्रत्येक पक्ष के लिए स्पर्शरेखा है। ये चार बिंदु प्रारंभिक चतुर्भुज के अंदर नए चतुर्भुज को परिभाषित करते हैं: संपर्क चतुर्भुज, जो चक्रीय है क्योंकि यह प्रारंभिक चतुर्भुज के अंतर्वृत्त में अंकित है।

स्पर्शरेखा चतुर्भुज की आठ स्पर्शरेखा लंबाई (e, f, g, h चित्र में दाईं ओर) शीर्ष (ज्यामिति) से संपर्क के बिंदु तक रेखा खंड हैं। प्रत्येक शीर्ष से, दो सर्वांगसमता (ज्यामिति) स्पर्श रेखाएँ होती हैं।

स्पर्शरेखा चतुर्भुज के दो स्पर्शरेखा तार (चित्र में k और l) रेखा खंड हैं जो विपरीत पक्षों पर संपर्क बिंदुओं को जोड़ते हैं। ये भी संपर्क चतुर्भुज के विकर्ण हैं।

गैर-त्रिकोणमितीय सूत्र
स्पर्शरेखा चतुर्भुज का क्षेत्रफल K द्वारा दिया जाता है
 * $$\displaystyle K = r \cdot s,$$

जहाँ s अर्द्धपरिधि है और r अंत:त्रिज्या है। और सूत्र है :$$\displaystyle K = \tfrac{1}{2}\sqrt{p^2q^2-(ac-bd)^2}$$

जो स्पर्शरेखा चतुर्भुज के विकर्णों p, q और भुजाओं a, b, c, d के संदर्भ में क्षेत्रफल देता है।

क्षेत्र को सिर्फ चार विशेष रेखा खंडों के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। यदि ये e, f, g, h हैं, तो स्पर्शरेखा चतुर्भुज का क्षेत्रफल होता है :$$\displaystyle K=\sqrt{(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}.$$

इसके अतिरिक्त, स्पर्शरेखा चतुर्भुज का क्षेत्रफल पक्षों a, b, c, d और क्रमिक स्पर्शरेखा लंबाई e, f, g, h के रूप में व्यक्त किया जा सकता है


 * $$K=\sqrt{abcd-(eg-fh)^2}.$$

चूँकि उदाहरण = fh यदि और केवल यदि स्पर्शरेखा चतुर्भुज भी चक्रीय है और इसलिए द्विकेंद्रित है, इससे पता चलता है कि अधिकतम क्षेत्र $$\sqrt{abcd}$$ होता है यदि और केवल यदि स्पर्शरेखा चतुर्भुज द्विकेंद्रित है।

त्रिकोणमितीय सूत्र
भुजाओं a, b, c, d और दो विपरीत कोणों के संदर्भ में क्षेत्रफल के लिए त्रिकोणमिति सूत्र है :$$\displaystyle K = \sqrt{abcd} \sin \frac{A+C}{2} = \sqrt{abcd} \sin \frac{B+D}{2}.$$

दी गई भुजाओं की लंबाई के लिए, क्षेत्रफल मैक्सिमा और मिनिमा होता है जब चतुर्भुज भी चक्रीय चतुर्भुज होता है और इसलिए द्विकेंद्रित चतुर्भुज होता है। तब $$K = \sqrt{abcd}$$ क्योंकि सम्मुख कोण संपूरक कोण होते हैं। इसे दूसरे तरीके से गणना का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है।

स्पर्शरेखा चतुर्भुज ABCD के क्षेत्र के लिए अन्य सूत्र जिसमें दो विपरीत कोण सम्मिलित हैं
 * $$K=\left(IA\cdot IC+IB\cdot ID\right)\sin\frac{A+C}{2}$$

जहां I केंद्र हैं।

वास्तव में, क्षेत्र को केवल दो आसन्न भुजाओं और दो विपरीत कोणों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है :$$K=ab\sin{\frac{B}{2}}\csc{\frac{D}{2}}\sin \frac{B+D}{2}.$$

अभी भी अन्य क्षेत्र सूत्र है
 * $$K=\tfrac{1}{2}|(ac-bd)\tan{\theta}|,$$

जहाँ θ विकर्णों के बीच का कोण है। इस सूत्र का उपयोग तब नहीं किया जा सकता जब स्पर्शरेखा चतुर्भुज पतंग हो, तब से θ 90° है और स्पर्शरेखा फलन परिभाषित नहीं है।

असमानताएं
जैसा कि अप्रत्यक्ष रूप से ऊपर उल्लेख किया गया है, ए, बी, सी, डी के साथ स्पर्शरेखा चतुर्भुज का क्षेत्रफल संतुष्ट करता है
 * $$K\le\sqrt{abcd}$$

समानता के साथ यदि और केवल यदि यह द्विकेंद्रित चतुर्भुज है।

टीए इवानोवा (1976 में) के अनुसार, स्पर्शरेखा चतुर्भुज की अर्धपरिधि संतुष्ट करती है
 * $$s\ge 4r$$

जहां r अंतःत्रिज्या है। समानता है यदि और केवल यदि चतुर्भुज वर्ग (ज्यामिति) है। इसका अर्थ है कि क्षेत्रफल K = rs के लिए असमानता (गणित) है
 * $$K\ge 4r^2$$

समानता के साथ यदि और केवल यदि स्पर्शरेखा चतुर्भुज वर्ग है।

विभाजन गुण
अंतःवृत्त के केंद्र और उन बिंदुओं के बीच चार रेखा खंड जहां यह चतुर्भुज विभाजन के लिए स्पर्शरेखा है, चतुर्भुज को चार सही पतंगों में बांटा गया है।

यदि रेखा स्पर्शरेखा चतुर्भुज को समान क्षेत्रफलों और समान परिमाप वाले दो बहुभुजों में काटती है, तो वह रेखा अंत:केंद्र से होकर गुजरती है।

इन्रेडियस
लगातार पक्षों ए, बी, सी, डी के साथ स्पर्शरेखा चतुर्भुज में अंतःत्रिज्या द्वारा दिया गया है :$$r=\frac{K}{s}=\frac{K}{a+c}=\frac{K}{b+d}$$ जहाँ K चतुर्भुज का क्षेत्रफल है और s इसका अर्धपरिमाप है। दिए गए पक्षों के साथ स्पर्शरेखा चतुर्भुज के लिए, अंतःत्रिज्या मैक्सिमा और मिनिमा है जब चतुर्भुज भी चक्रीय चतुर्भुज (और इसलिए द्विकेंद्रित चतुर्भुज) है।


 * 1) विशेष रेखा खंडों के संदर्भ में, अंतर्वृत्त की त्रिज्या होती है
 * $$\displaystyle r=\sqrt{\frac{efg+fgh+ghe+hef}{e+f+g+h}}.$$

अंतर्त्रिज्या को केंद्र I से स्पर्शरेखा चतुर्भुज ABCD के शीर्षों तक की दूरी के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है। यदि u = AI, v = BI, x = CI और y = DI, तब
 * $$r=2\sqrt{\frac{(\sigma-uvx)(\sigma-vxy)(\sigma-xyu)(\sigma-yuv)}{uvxy(uv+xy)(ux+vy)(uy+vx)}}$$

जहाँ $$\sigma=\tfrac{1}{2}(uvx+vxy+xyu+yuv)$$.

यदि त्रिभुज ABC, BCD, CDA, DAB के अंत:वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः $$r_1, r_2, r_3, r_4$$ हैं, फिर स्पर्शरेखा चतुर्भुज ABCD का अंतःत्रिज्या द्वारा दिया जाता है
 * $$r=\frac{G+\sqrt{G^2-4r_1r_2r_3r_4(r_1r_3+r_2r_4)}}{2(r_1r_3+r_2r_4)}$$

जहाँ $$G=r_1r_2r_3+r_2r_3r_4+r_3r_4r_1+r_4r_1r_2$$.

कोण सूत्र
यदि ई, एफ, जी और एच क्रमशः ए, बी, सी और डी के कोने से #विशेष रेखा खंड हैं, जहां अंतःवृत्त स्पर्शरेखा चतुर्भुज ABCD के किनारों पर स्पर्शरेखा है, तो चतुर्भुज के कोण हो सकते हैं से गणना की गई :$$ \sin{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{efg + fgh + ghe + hef}{(e + f)(e + g)(e + h)}},$$
 * $$ \sin{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{efg + fgh + ghe + hef}{(f + e)(f + g)(f + h)}},$$
 * $$ \sin{\frac{C}{2}}=\sqrt{\frac{efg + fgh + ghe + hef}{(g + e)(g + f)(g + h)}},$$
 * $$ \sin{\frac{D}{2}}=\sqrt{\frac{efg + fgh + ghe + hef}{(h + e)(h + f)(h + g)}}.$$


 * 1) विशेष रेखाखंड k और l के बीच का कोण दिया जाता है :$$ \sin{\varphi}=\sqrt{\frac{(e + f + g + h)(efg + fgh + ghe + hef)}{(e + f)(f + g)(g + h)(h + e)}}.$$

विकर्ण
यदि e, f, g और h क्रमशः A, B, C और D से विशेष रेखा खंड हैं, जहां अंतःवृत्त स्पर्शरेखा चतुर्भुज ABCD के किनारों पर स्पर्शरेखा है, तो विकर्णों की लंबाई p = AC और q = BD हैं
 * $$\displaystyle p=\sqrt{\frac{e+g}{f+h}\Big((e+g)(f+h)+4fh\Big)},$$
 * $$\displaystyle q=\sqrt{\frac{f+h}{e+g}\Big((e+g)(f+h)+4eg\Big)}.$$

स्पर्शरेखा तार
यदि ई, एफ, जी और एच स्पर्शरेखा चतुर्भुज के विशेष रेखा खंड हैं, तो विशेष रेखा खंडों की लंबाई हैं :$$\displaystyle k=\frac{2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt{(e+f)(g+h)(e+g)(f+h)}},$$
 * $$\displaystyle l=\frac{2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt{(e+h)(f+g)(e+g)(f+h)}}$$

जहां लंबाई k की स्पर्शरेखा जीवा लंबाई a = e + f और c = g + h की भुजाओं को जोड़ती है, और लंबाई l की लंबाई b = f + g और d = h + e की भुजाओं को जोड़ती है। स्पर्शरेखा जीवाओं का वर्ग अनुपात संतुष्ट करता है :$$\frac{k^2}{l^2} = \frac{bd}{ac}.$$

दो स्पर्शरेखा राग
 * लम्बवत हैं यदि और केवल यदि स्पर्शरेखा चतुर्भुज में भी परिवृत्त है (यह द्विकेंद्रित चतुर्भुज है)।
 * समान लंबाई होती है यदि और केवल यदि स्पर्शरेखा चतुर्भुज पतंग (ज्यामिति) है।

एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज ABCD में भुजाओं AB और CD के बीच की स्पर्शरेखा जीवा भुजा BC और DA के बीच की तुलना में अधिक लंबी होती है यदि और केवल यदि भुजाओं AB और CD के बीच की द्विमाध्यिका भुजा BC और DA के बीच की तुलना में छोटी होती है।।

यदि स्पर्शरेखा चतुर्भुज ABCD में AB पर स्पर्श बिंदु W और CD पर Y है, और यदि स्पर्शरेखा जीवा WY विकर्ण BD को M पर प्रतिच्छेद करती है, तो स्पर्शरेखा की लंबाई का अनुपात $$\tfrac{BW}{DY}$$ विकर्ण BD के खंडों के अनुपात $$\tfrac{BM}{DM}$$ के बराबर है।

समरेख बिंदु
यदि M1 और M2 विकर्णों AC और BD के मध्य बिंदु हैं, जो क्रमशः I केंद्र के साथ एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज ABCD में हैं, और यदि विपरीत भुजाओं के जोड़े J और K पर मिलते हैं, तो M3 JK का मध्य बिंदु है, तो बिंदु M3, M1, I, और M2 संरेखता हैं।   उन्हें समाविष्ट करने वाली रेखा चतुर्भुज की न्यूटन रेखा है।

यदि स्पर्शरेखा चतुर्भुज में विपरीत भुजाओं का विस्तार J और K पर प्रतिच्छेद करता है, और इसके संपर्क चतुर्भुज में विपरीत भुजाओं का विस्तार L और M पर प्रतिच्छेद करता है, तो चार बिंदु J, L, K और M संरेखी होते हैं। यदि अंतर्वृत्त T1 पर AB, BC, CD, DA की भुजाओं को स्पर्श करता है, T2, T3, T4क्रमशः, और यदि N1, N2, N3, N4संगत भुजाओं के संबंध में इन बिंदुओं के समस्थानिक संयुग्म हैं (अर्थात, AT1 = BN1और इसी प्रकार), तो स्पर्शरेखा चतुर्भुज के नागल बिंदु को लाइनों N1N3और N2N4 के प्रतिच्छेद के रूप में परिभाषित किया गया है। ये दोनों रेखाएँ चतुर्भुज की परिधि को दो समान भागों में विभाजित करती हैं। इससे भी महत्वपूर्ण बात, नागल बिंदु N, चतुर्भुज उत्तल चतुर्भुज में उल्लेखनीय बिंदु और रेखाएँ क्षेत्र केन्द्रक G, और अंत: केंद्र I इस क्रम, और NG = 2GI में संरेख हैं। इस रेखा को स्पर्शरेखा चतुर्भुज की नागल रेखा कहा जाता है। स्पर्शरेखा चतुर्भुज ABCD में जिसका केंद्र I है और जहाँ विकर्ण P पर प्रतिच्छेद करते हैं, मान लीजिए HX, HY, HZ, HW त्रिभुजों AIB, BIC, CID, DIA के लंबकेन्द्र हैं। फिर बिंदु P, HX, HY, HZ, HWसंरेख हैं।

समवर्ती और लंबवत रेखाएँ
दो विकर्ण और दो स्पर्शरेखा जीवाएँ समवर्ती रेखाएँ हैं।  इसे देखने का तरीका ब्रायनचोन के प्रमेय के सीमित मामले के रूप में है, जिसमें कहा गया है कि षट्भुज जिसकी सभी भुजाएँ एकल शंकु खंड की स्पर्शरेखा हैं, में तीन विकर्ण हैं जो बिंदु पर मिलते हैं। स्पर्शरेखा चतुर्भुज से, स्पर्शरेखा के दो विपरीत बिंदुओं पर दो नए शीर्ष रखकर, दो 180° कोणों के साथ षट्भुज बनाया जा सकता है; इस षट्भुज की सभी छह भुजाएँ खुदे हुए वृत्त की स्पर्श रेखाओं पर स्थित हैं, इसलिए इसके विकर्ण बिंदु पर मिलते हैं। किन्तु इनमें से दो विकर्ण स्पर्शरेखा चतुर्भुज के विकर्णों के समान हैं, और षट्भुज का तीसरा विकर्ण स्पर्शरेखा के दो विपरीत बिंदुओं से होकर जाने वाली रेखा है। स्पर्शरेखा के अन्य दो बिंदुओं के साथ इसी तर्क को दोहराने से परिणाम का प्रमाण पूरा हो जाता है।

यदि स्पर्शरेखा चतुर्भुज में विपरीत भुजाओं का विस्तार J और K पर प्रतिच्छेद करता है, और विकर्ण P पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो JK, IP के विस्तार के लिए लंबवत है जहाँ I अंत:केंद्र है।

केंद्र में
स्पर्शरेखा चतुर्भुज का अंतःकेंद्र उसकी न्यूटन रेखा (जो विकर्णों के मध्यबिंदुओं को जोड़ता है) पर स्थित होता है।

स्पर्शरेखा चतुर्भुज में दो विपरीत भुजाओं के अनुपात को केंद्र I और शीर्षों के बीच की दूरी के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
 * $$\frac{AB}{CD}=\frac{IA\cdot IB}{IC\cdot ID},\quad\quad \frac{BC}{DA}=\frac{IB\cdot IC}{ID\cdot IA}.$$

केंद्र I के साथ स्पर्शरेखा चतुर्भुज ABCD में दो आसन्न पक्षों का उत्पाद संतुष्ट करता है
 * $$AB\cdot BC=IB^2+\frac{IA\cdot IB\cdot IC}{ID}.$$

यदि I स्पर्शरेखा चतुर्भुज ABCD का केंद्र है, तो
 * $$IA\cdot IC+IB\cdot ID=\sqrt{AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA}.$$

स्पर्शरेखा चतुर्भुज ABCD में अंत: केंद्र I चतुर्भुज के उत्तल चतुर्भुज में उल्लेखनीय बिंदु और रेखाएँ के साथ मेल खाता है | चतुर्भुज का शीर्ष केन्द्रक यदि और केवल यदि
 * $$IA\cdot IC=IB\cdot ID.$$

यदि Mpऔर Mqकेंद्र I के साथ स्पर्शरेखा चतुर्भुज ABCD में क्रमशः विकर्ण AC और BD के मध्य बिंदु हैं, फिर
 * $$\frac{IM_p}{IM_q}=\frac{IA\cdot IC}{IB\cdot ID}=\frac{e+g}{f+h}$$

जहां e, f, g और h क्रमशः A, B, C और D पर स्पर्शरेखा की लंबाई हैं। पिछली संपत्ति के साथ पहली समानता को मिलाकर, स्पर्शरेखा चतुर्भुज का शीर्ष केन्द्रक केंद्र में के साथ मेल खाता है यदि और केवल यदि केंद्र में विकर्णों के मध्यबिंदुओं को जोड़ने वाले रेखा खंड का मध्यबिंदु है।

यदि चार-बार लिंकेज को स्पर्शरेखा चतुर्भुज के रूप में बनाया जाता है, तो लिंकेज को कैसे भी फ्लेक्स किया जाए, यह स्पर्शरेखा बना रहेगा, किन्तु चतुर्भुज उत्तल बना रहे। (इस प्रकार, उदाहरण के लिए यदि एक वर्ग को एक समचतुर्भुज में विकृत किया जाता है तो यह एक छोटे अंतःवृत्त के लिए स्पर्शरेखा बना रहता है)। यदि पक्ष को निश्चित स्थिति में रखा जाता है, तो जैसे-जैसे चतुर्भुज को मोड़ा जाता है, अंत:केंद्र त्रिज्या के वृत्त का पता लगाता है $$\sqrt{abcd}/s$$ जहाँ a,b,c,d क्रम में भुजाएँ हैं और s अर्धपरिमाप है।

चार उप त्रिकोणों में लक्षण वर्णन
उत्तल चतुर्भुज ABCD में विकर्णों द्वारा गठित गैर-अतिव्यापी त्रिभुज APB, BPC, CPD, DPA में, जहाँ विकर्ण P पर प्रतिच्छेद करते हैं, स्पर्शरेखा चतुर्भुज के निम्नलिखित लक्षण हैं।

चलो r1,  r2,  r3, और  r4 क्रमशः चार त्रिकोण APB, BPC, CPD और DPA में अंतःवृत्त की त्रिज्या को निरूपित करें। चाओ और शिमोनोव ने सिद्ध किया कि चतुर्भुज स्पर्शरेखीय है यदि और केवल यदि
 * $$\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_3}=\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_4}.$$

यह चरित्र-चित्रण पाँच साल पहले ही वायनशेत्जन द्वारा सिद्ध किया जा चुका था।

उनकी समस्या के समाधान में इसी तरह का लक्षण वर्णन वसीलीव और सेंडेरोव द्वारा दिया गया था। यदि h1, h2, h3, और h4 समान चार त्रिभुजों (विकर्ण प्रतिच्छेद से चतुर्भुज की भुजाओं तक) में ऊँचाई (त्रिकोण) को निरूपित करें, तो चतुर्भुज स्पर्शरेखा है यदि और केवल यदि :$$\frac{1}{h_1}+\frac{1}{h_3}=\frac{1}{h_2}+\frac{1}{h_4}.$$

इसी प्रकार का और लक्षण त्रिकोण के अंतःवृत्त और बहिर्वृत्त ra, rb, rc, और rd से (त्रिकोण के चार अंतःवृत्त और बहिर्वृत्त प्रत्येक चतुर्भुज के तरफ और उसके विकर्णों के विस्तार पर स्पर्शरेखा हैं) संबंधित है। एक चतुर्भुज स्पर्शरेखा है यदि और केवल यदि
 * $$\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_c}=\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_d}.$$

यदि R1, R2, R3, और R4 क्रमशः त्रिभुजों APB, BPC, CPD और DPA के परिवृत्तों में त्रिज्याओं को निरूपित करें, तो चतुर्भुज ABCD स्पर्शरेखा है यदि और केवल यदि
 * $$R_1+R_3=R_2+R_4.$$

1996 में, स्पर्शरेखा चतुर्भुजों के और सुंदर लक्षण वर्णन को साबित करने वाले संभवत: वेनशेत्जन पहले थे, जो बाद में कई पत्रिकाओं और वेबसाइटों में दिखाई दिए। इसमें कहा गया है कि जब उत्तल चतुर्भुज को उसके दो विकर्णों द्वारा चार गैर-अतिव्यापी त्रिभुजों में विभाजित किया जाता है, तो चार त्रिभुजों के अंतःकेन्द्र चक्रीय होते हैं यदि और केवल यदि चतुर्भुज स्पर्शरेखा है। वास्तविक में, अंतःकेन्द्र चक्रीय चतुर्भुज लंब अक्ष विकर्ण केस बनाते हैं।  संबंधित परिणाम यह है कि अंतःवृत्तों को समान त्रिभुजों के बाह्यवृत्तों (चतुर्भुज की भुजाओं की स्पर्शरेखा और इसके विकर्णों के विस्तार) से बदला जा सकता है। इस प्रकार उत्तल चतुर्भुज स्पर्शरेखीय होता है यदि और केवल यदि इन चार त्रिभुजों के अंत:वृत्त और बहिर्वृत्त चक्रीय चतुर्भुज के शीर्ष हों।

उत्तल चतुर्भुज ABCD, जिसके विकर्ण P पर प्रतिच्छेद करते हैं, स्पर्शरेखा है यदि और केवल यदि त्रिभुज APB, BPC, CPD, और DPA में चार एक्सेंटर्स B और D के शीर्षों के विपरीत चक्रीय हैं। यदि Ra, Rb, Rc, और Rdत्रिभुजों APB, BPC, CPD, और DPA में क्रमश: शीर्ष B और D के विपरीत एक्सराडी हैं, तो दूसरी शर्त यह है कि चतुर्भुज स्पर्शरेखा है यदि और केवल यदि
 * $$\frac{1}{R_a}+\frac{1}{R_c}=\frac{1}{R_b}+\frac{1}{R_d}.$$

इसके अतिरिक्त, P पर प्रतिच्छेद करने वाले विकर्णों वाला उत्तल चतुर्भुज ABCD स्पर्शरेखा है यदि और केवल यदि :$$\frac{a}{\triangle(APB)}+\frac{c}{\triangle(CPD)}=\frac{b}{\triangle(BPC)}+\frac{d}{\triangle(DPA)}$$ जहाँ ∆(APB) त्रिभुज APB का क्षेत्रफल है।

खंडों को निरूपित करें कि विकर्ण प्रतिच्छेद P, विकर्ण AC को AP = p1 और PC = p2 में विभाजित करता है, और इसी प्रकार P विकर्ण BD को खंडों BP = q1 और PD = q2 में विभाजित करता है। फिर चतुर्भुज स्पर्शरेखा है यदि और केवल यदि निम्न समानताएं सत्य हैं:
 * $$ap_2q_2 + cp_1q_1 = bp_1q_2 + dp_2q_1$$

या
 * $$\frac{(p_1+q_1-a)(p_2+q_2-c)}{(p_1+q_1+a)(p_2+q_2+c)}=\frac{(p_2+q_1-b)(p_1+q_2-d)}{(p_2+q_1+b)(p_1+q_2+d)}$$

या
 * $$\frac{(a+p_1-q_1)(c+p_2-q_2)}{(a-p_1+q_1)(c-p_2+q_2)}=\frac{(b+p_2-q_1)(d+p_1-q_2)}{(b-p_2+q_1)(d-p_1+q_2)}.$$

समचतुर्भुज
स्पर्शरेखा चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है यदि और केवल यदि इसके सम्मुख कोण बराबर हों।

पतंग
स्पर्शरेखा चतुर्भुज पतंग (ज्यामिति) है यदि और केवल यदि निम्न स्थितियों में से कोई सत्य है:
 * क्षेत्रफल विकर्णों के उत्पाद का आधा है।
 * विकर्ण लंबवत हैं।
 * स्पर्शरेखा के विपरीत बिंदुओं को जोड़ने वाले दो रेखा खंडों की लंबाई समान होती है।
 * विपरीत विशेष रेखाखंडों के जोड़े की लंबाई समान होती है।
 * चतुर्भुज विशेष रेखाखंडों की लंबाई समान होती है।
 * विपरीत भुजाओं का गुणनफल बराबर होता है।
 * अंतर्वृत्त का केंद्र विकर्ण पर स्थित है जो समरूपता की धुरी है।

द्विकेंद्रीय चतुर्भुज
यदि अंतर्वृत्त क्रमशः W, X, Y, Z पर AB, BC, CD, DA की भुजाओं को स्पर्श करता है, तो स्पर्शरेखा चतुर्भुज ABCD भी चक्रीय चतुर्भुज (और इसलिए द्विकेंद्रित चतुर्भुज) है यदि और केवल यदि निम्न स्थितियों में से कोई एक हो: इन तीनों में से पहले का अर्थ है कि संपर्क चतुर्भुज WXYZ लंब अक्ष विकर्ण चतुर्भुज है।
 * WY, XZ के लंबवत है
 * $$AW\cdot CY=BW\cdot DY$$
 * $$\frac{AC}{BD}=\frac{AW+CY}{BX+DZ}$$

स्पर्शरेखा चतुर्भुज द्विकेन्द्रीय होता है यदि और केवल यदि इसकी अंतःत्रिज्या पार्श्व लंबाई के समान अनुक्रम वाले किसी भी अन्य स्पर्शरेखा चतुर्भुज से अधिक हो।

स्पर्शरेखा चतुर्भुज
यदि अंतर्वृत्त क्रमशः AB और CD की W और Y पर स्पर्शरेखा है, तो स्पर्शरेखा चतुर्भुज ABCD भी समांतर भुजाओं AB और CD के साथ समलंब है यदि और केवल यदि
 * $$AW\cdot DY=BW\cdot CY$$

और AD और BC समलंब चतुर्भुज की समानांतर भुजाएँ हैं यदि और केवल यदि
 * $$AW\cdot BW=CY\cdot DY.$$

यह भी देखें

 * परिमित घेरा
 * भूतपूर्व स्पर्शरेखा चतुर्भुज
 * स्पर्शरेखा त्रिभुज
 * स्पर्शरेखा बहुभुज