प्वासों बिंदु प्रक्रिया

प्रायिकता, सांख्यिकी और संबंधित क्षेत्रों में, पॉयसन बिंदु प्रक्रिया एक प्रकार का यादृच्छिक गणितीय प्रयोजन है जो गणितीय समष्टि पर यादृच्छिक रूप से स्थानांतरित होने वाले बिन्दुओं से मिलकर बनता है, जहां महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि ये बिन्दु एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से होते हैं। पॉयसन बिंदु प्रक्रिया को सामान्यतः पॉयसन प्रक्रिया कहा जाता है, लेकिन इसे पॉयसन यादृच्छिक माप, पॉयसन यादृच्छिक बिन्दु क्षेत्र या पॉयसन बिंदु फ़ील्ड भी कहा जाता है। यह बिंदु प्रक्रिया उचित गणितीय गुणों के साथ होती है, जिसके कारण इसे यूक्लिडीयन समष्टि में प्रायः परिभाषित किया जाता है और यह खगोल शास्त्र, जीव-विज्ञान, पारिस्थितिकी, भूविज्ञान, भूकंप विज्ञान, भौतिक विज्ञान, अर्थशास्त्र, छवि प्रसंस्करण, और दूरसंचार जैसे विभिन्न शास्त्रों में आपूर्ति-मांग मॉडल के रूप में उपयोग किया जाता है। यह प्रक्रिया फ्रांसीसी गणितज्ञ शिमोन डेनिस पॉयसन के नाम पर रखी गई है, हालांकि पॉयसन ने कभी इस प्रक्रिया का अध्ययन नहीं किया। इसका नाम इस तथ्य से जुड़ा है कि यदि किसी स्थान में यादृच्छिक बिन्दुओं का संग्रह पॉयसन प्रक्रिया बनाता है, तो एक परिमित आकार क्षेत्र में बिन्दुओं की संख्या यादृच्छिक प्रायस्थानिकी संगणना के साथ पॉयसन बंटन होती है। इस प्रक्रिया की खोज अलग-अलग सेटिंग्स पर स्वतंत्र रूप से और अनेक बार की गई, जिसमें रेडियोधर्मी क्षय, टेलीफोन कॉल आगमन और इनश्योरेंस गणित पर प्रयोग सम्मिलित हैं।

पॉयसन बिंदु प्रक्रिया सामान्यतः वास्तविक रेखा पर परिभाषित की जाती है, जहां इसे प्रसंभाव्य प्रक्रम (स्टोकेस्टिक प्रोसेस) के रूप में माना जा सकता है। इस सेटिंग में, यह उदाहरण के लिए, कतारबद्ध सिद्धांत में उपयोग होती है जहां यादृच्छिक घटनाओं का मॉडलिंग किया जाता है, जैसे कि किसी संग्रहागार में ग्राहकों के आगमन, प्रतिदान में फोन कॉल, या भूकंप की घटना, जो समय के आधार पर वितरित होती हैं। समतल में, बिन्दु प्रक्रिया, जिसे स्थानिक पॉयसन प्रक्रिया भी कहा जाता है, प्रकीर्णित वायरलेस नेटवर्क में प्रेषकों के स्थानों,  संवेदक में टकराने वाले कणों के, या जंगल में पेड़ों के आवास के स्थानों का प्रतिनिधित्व कर सकती है। इस संदर्भ में, प्रक्रिया प्रायः गणितीय मॉडलों में और स्थानिक बिन्दु प्रक्रियाओं, प्रसंभाव्य ज्यामिति, स्थानिक सांख्यिकी और नियतांत्रण प्रक्षेपण सिद्धांत के संबंधित क्षेत्रों में उपयोग होती है। पॉयसन बिंदु प्रक्रिया को अधिक एब्स्ट्रैक्ट समष्टि पर परिभाषित किया जा सकता है। अनुप्रयोगों से परे, पॉयसन बिंदु प्रक्रिया स्वयं में गणितीय अध्ययन का विषय है। सभी सेटिंग में, पॉयसन बिंदु प्रक्रिया का एक मुख्य गुण यह है कि प्रत्येक बिंदु प्रक्रिया में सभी अन्य बिंदुओं के प्रति यादृच्छिक रूप से अव्यवस्थित होता है, इसलिए कभी-कभी इसे पूरी रूप से या पूर्णतः यादृच्छिक प्रक्रिया कहा जाता है। किसी प्रणाली को पॉयसन प्रक्रिया के रूप मॉडलिंग करना पर्याप्त नहीं होता है जब बिंदु से बिंदु के संवेदनशील संबंध अत्यधिक प्रबल होते हैं (अर्थात बिंदु प्रसंभाव्य रूप से स्वतंत्र नहीं हैं)। ऐसी प्रणाली को भिन्न बिंदु प्रक्रिया के साथ अपेक्षाकृत अधिक श्रेष्ठता से मॉडलिंग किया जा सकता है।

बिंदु प्रक्रिया एकल गणितीय प्रयोजन पर निर्भर करती है, जो परिस्थिति के आधार पर किसी स्थिरांक, स्थानिक समाकलित फलन या अधिक सामान्य संदर्भ में रेडॉन माप हो सकती है। प्राथमिक स्थिति में, जिसे दर या इंटेंसिटी कहा जाता है, समष्टि के किसी क्षेत्र में पॉयसन प्रक्रिया के बिंदुओं की औसत घनत्व होती है। इस परिणामक बिंदु प्रक्रिया को समांगी या स्थिर पॉयसन बिंदु प्रक्रिया कहा जाता है। द्वितीय स्थिति में, बिंदु प्रक्रिया को विषम या असमान पॉयसन बिंदु प्रक्रिया कहा जाता है, और बिंदु प्रक्रिया की मूलभूत स्थान के स्थान पर बिंदुओं की औसत घनत्व पर निर्भर करती है। शब्द "बिंदु" प्रायः छोड़ दिया जाता है, लेकिन वस्तुओं की अन्य पॉयसन प्रक्रियाएं भी होती हैं, जिनमें बिंदुओं की बजाय रेखाएं और बहुभुज जैसी जटिल गणितीय प्रयोजन सम्मिलित होते हैं, और ऐसी प्रक्रियाएं पॉयसन बिंदु प्रक्रिया पर आधारित हो सकती हैं। समघाती और असमघाती पॉयसन बिंदु प्रक्रियाएँ विशेषित मुद्रण प्रक्रिया की विशेष स्थिति हैं।

परिभाषाओं का अवलोकन
सेटिंग के आधार पर, इस प्रक्रिया के कई समकक्ष परिभाषाएं हो सकती हैं, साथ ही इसके कई अनुप्रयोगों और विशेषताओं के कारण विभिन्न व्यापकता की परिभाषाएं भी हो सकती हैं। पॉयसन बिंदु प्रक्रिया को एक विमा में परिभाषित, अध्ययन और उपयोग किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, वास्तविक रेखा पर, जहां इसे गणना प्रक्रिया या कतारबद्ध मॉडल के भाग के रूप में व्याख्या किया जा सकता है; उच्च विमाओं में जैसे कि समतल जहां इसकी प्रसंभाव्य ज्यामिति और स्थानिक सांख्यिकी में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है; या और अधिक सामान्य गणितीय समष्टि पर। इसलिए, पॉयसन बिंदु प्रक्रिया और बिंदु प्रक्रियाओं की परिभाषा और अध्ययन करने के लिए उपयोग की जाने वाली नोटेशन, शब्दावली और गणितीय सावधानी का स्तर आधार के अनुसार भिन्न होते हैं।

इसके अतिरिक्त, पॉयसन बिंदु प्रक्रिया में दो प्रमुख गुण हैं- पॉयसन गुणधर्म और स्वतंत्रता गुणधर्म- जो सभी सेटिंग्स में एक आवश्यक भूमिका निभाती है जहां पॉयसन बिंदु प्रक्रिया का उपयोग किया जाता है। दो गुणधर्म तार्किक रूप से स्वतंत्र नहीं होते हैं; वास्तव में, स्वतंत्रता का तात्पर्य बिंदु गणना के पॉयसन बंटन से है, लेकिन इसके विपरीत नहीं।

बिंदु संख्या का पॉयसन बंटन
पॉयसन बिंदु प्रक्रिया को पॉयसन बंटन के माध्यम से अभिलक्षित किया जाता है। पॉयसन बंटन यादृच्छिक चर $ N$ का (पॉयसन यादृच्छिक चर के नाम से जाना जाता है) प्रायिकता बंटन होता है, जिसमें $$\textstyle N$$ बराबर $$\textstyle n$$ होने की प्रायिकता निम्नलिखित प्राप्त होती है:


 * $$ \Pr \{N=n\}=\frac{\Lambda^n}{n!} e^{-\Lambda} $$

जहाँ $ n!$ गुणांक को क्रमगुणितअ (फैक्टोरियल) को दर्शाने के लिए है और पैरामीटर $ \Lambda$  बंटन के आकार को निर्धारित करता है। (वास्तव में, $ \Lambda$  को $ N$  की प्रत्याशित मान के बराबर होने वाले मान के रूप में लिया जाता है।)

परिभाषा के अनुसार, पॉयसन बिंदु प्रक्रिया का एक गुण है कि प्रक्रिया के अन्तर्निहित समष्टि के सीमित क्षेत्र में बिंदुओं की संख्या पॉयसन बंटन का यादृच्छिक चर होती है।

पूर्ण स्वतंत्रता
अंतर्निहित समष्टि के असंयुक्त और परिबद्ध उपक्षेत्रों के संग्रह पर विचार करें। परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक परिबद्ध उपक्षेत्र में पॉयसन बिंदु प्रक्रिया के बिंदुओं की संख्या सभी अन्य से पूर्णतः स्वतंत्र होगी।

इस गुणधर्म को कई नामों से जाना जाता है जैसे पूर्ण यादृच्छिकता, पूर्ण स्वतंत्रता, या स्वतंत्र प्रकीर्णन और यह सभी पॉयसन बिंदु प्रक्रियाओं में सामान्य होता है। दूसरे शब्दों में, विभिन्न क्षेत्रों और बिंदुओं के बीच परस्पर क्रिया की कमी होती है, जिसके कारण पॉयसन प्रक्रिया को कभी-कभी पूर्णतः या पूर्ण रूप से यादृच्छिक प्रक्रिया कहा जाता है।

समघाती पॉयसन बिंदु प्रक्रिया
यदि किसी पॉयसन बिंदु प्रक्रिया का पैरामीटर $ \Lambda=\nu \lambda$ के रूप में होता है, जहां $ \nu $  लेबेस्ग माप होती है (अर्थात, यह समुच्चय के लिए लम्बाई, क्षेत्रफल या आयतन निर्दिष्ट करता है) और $ \lambda$  एक स्थिरांक होता है, तो बिंदु प्रक्रिया को समघाती या स्थायी पॉयसन बिंदु प्रक्रिया कहा जाता है। इस पैरामीटर को दर या उग्रता कहा जाता है और यह किसी सीमित क्षेत्र में विद्यमान पॉयसन बिंदुओं की अपेक्षित (या औसत) संख्या से संबंधित होता है,  जहां दर उस अंतर्निहित समष्टि के लिए उपयोग होती है जिसके एक विमा होती है। पैरामीटर $ \lambda$  को मानचित्रित किया जा सकता है जैसे कि लंबाई, क्षेत्रफल, आयतन या समय के कुछ इकाई पर प्रति औसत बिंदुओं की औसत संख्या, यहां तक कि इसे माध्य घनत्व या माध्य दर भी कहा जाता है; टर्मिनोलॉजी देखें।

गणना प्रक्रिया के रूप में व्याख्या
धनात्मक अर्ध-रेखा पर विचारित होने पर, समघाती पॉयसन बिंदु प्रक्रिया को गणना प्रक्रिया के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो एक प्रकार की प्रसंभाव्य प्रक्रिया होती है, जिसे $ \{N(t), t\geq 0\}$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।  गणना प्रक्रिया समय $ t$  तक हुए घटनाओं की कुल संख्या का प्रतिनिधित्व करती है। यदि गणना प्रक्रिया में निम्नलिखित तीन गुण हों, तो वह समघाती पॉयसन गणना प्रक्रिया दर $ \lambda>0$  के साथ होती है, तीन गुण निम्नलिखित है:
 * $ N(0)=0;$
 * स्वतंत्र वृद्धि होती है; और
 * लंबाई $ t$ के किसी भी अंतराल में घटनाओं (या अंक) की संख्या पैरामीटर (या माध्य) $ \lambda t$  के साथ पॉयसन यादृच्छिक चर है।

अंतिम गुणधर्म का अर्थ है:


 * $$ \operatorname E[N(t)]=\lambda t. $$

दूसरे शब्दों में, यादृच्छिक चर $ N(t)$ के $ n$  के बराबर होने की प्रायिकता निम्नलिखित प्रकार दी गई है:


 * $$ \Pr \{N(t)=n\}=\frac{(\lambda t)^n}{n!} e^{-\lambda t}. $$

पॉयसन गणना प्रक्रिया को यह कहते हुए भी परिभाषित किया जा सकता है कि गणना प्रक्रिया की घटनाओं के बीच समय का अंतर माध्य $ 1/\lambda$ के साथ घातांकी चर होता हैं। घटनाओं या आमंद के बीच समय के अंतर को अंतर आमंद या अंतःक्रिया समय के रूप में जाना जाता है।

वास्तविक रेखा पर एक बिंदु प्रक्रिया के रूप में व्याख्या
पॉयसन बिंदु प्रक्रिया को वास्तविक रेखा पर परिभाषित किया जा सकता है इस प्रक्रिया के बिंदुओं की संख्या को $ (a,b]$ के अंतराल में विचार करके, बिंदु प्रक्रिया के रूप में व्याख्या किया जाता है। वास्तविक रेखा पर सामान्य पॉयसन बिंदु प्रक्रिया के पैरामीटर $ \lambda>0$  के साथ, इस यादृच्छिक संख्या के बिंदुओं की संख्या, जिसे यहां $ N(a,b]$  के रूप में लिखा गया है, किसी गणना संख्या $ n$  के बराबर होने की प्रायिकता निम्नलिखित रूप में दी गई है:
 * $$ \Pr \{N(a,b]=n\}=\frac{[\lambda(b-a)]^n}{n!} e^{-\lambda (b-a)}, $$

कुछ धनात्मक पूर्णांक 11 के लिए, समघाती पॉयसन बिंदु प्रक्रिया का परिमित-विमीय बंटन होता है:


 * $$ \Pr \{N(a_i,b_i]=n_i, i=1, \dots, k\} = \prod_{i=1}^k\frac{[\lambda(b_i-a_i)]^{n_i}}{n_i!} e^{-\lambda(b_i-a_i)}, $$

जहाँ वास्तविक संख्याएँ $ a_i<b_i\leq a_{i+1}$ हैं।

दूसरे शब्दों में, $ N(a,b]$ माध्य $ \lambda(b-a)$  के साथ पॉयसन यादृच्छिक चर होता है, जहां $ a\le b$  है। इसके अतिरिक्त, किन्हीं दो असंयुक्त अंतरालों में बिंदुओं की संख्या, मान लीजिए, $ (a_1,b_1]$  और $ (a_2,b_2]$, एक-दूसरे के स्वतंत्र हैं, और यह असंयुक्त अंतरालों की किसी भी परिमित संख्या तक विस्तारित होता है। कतारबद्ध सिद्धांत के संदर्भ में, एक बिंदु अस्तित्व (एक अंतराल में) होने को किसी घटना के रूप में विचार किया जा सकता है, लेकिन यह प्रायिकता सिद्धांत के अर्थ में घटना शब्द से भिन्न होता है। यह इस प्रकार है कि $ \lambda$  एराइवल की अपेक्षित संख्या है जो प्रति इकाई समय में होती है।

प्रमुख गुण
पूर्व परिभाषा के अनुसार सामान्यतः पॉयसन बिंदु प्रक्रियाओं के समग्र में दो महत्वपूर्ण विशेषताएं हैं जो निम्नलिखित है:


 * प्रत्येक परिमित अंतराल में होने वाले एराइवल की संख्या में पॉयसन बंटन होता है।
 * असयुंक्त अंतरालों में होने वाले एराइवल की संख्या एक-दूसरे के निर्पेक्ष यादृच्छिक चर होते हैं।

इसके अतिरिक्त, इसमें केवल समान्य पॉयसन बिंदु प्रक्रिया से संबंधित तृतीय विशेषता निम्नलिखित है:


 * प्रत्येक अंतराल $ (a+t,b+t]$ में एराइवल की संख्या का पॉयसन बंटन केवल अंतराल की लंबाई $ b-a$  पर निर्भर करता है।

दूसरे शब्दों में, किसी भी परिमित $ t>0$ के लिए, यादृच्छिक चर $ N(a+t,b+t]$  और $ t$  स्वयं में स्वतंत्र होते हैं, अतः इसे स्थायी पॉयसन प्रक्रिया भी कहा जाता है।

बड़ी संख्याओं का नियम
मात्रा $ \lambda(b_i-a_i)$ की व्याख्या अंतराल $ (a_i,b_i]$  में होने वाली अपेक्षित या औसत बिंदुओं  की संख्या के रूप में की जा सकती है, अर्थात्:


 * $$ \operatorname E[N(a_i,b_i]] =\lambda(b_i-a_i), $$

जहाँ $$\operatorname E$$ अपेक्षाओं के ऑपरेटर को दर्शाता है। दूसरे शब्दों में, पॉयसन प्रक्रिया के पैरामीटर $ \lambda$ बिंदुओं की घनत्व के सामान होता है। इसके अतिरिक्त, समान्य पॉयसन बिंदु प्रक्रिया (प्रबल) बड़े आंकड़ों के नियम का अनुपालन करती है। अधिक विशेष रूप से, एक प्रायिकता के साथ:


 * $$ \lim_{t\rightarrow \infty} \frac{N(t)}{t} =\lambda, $$

जहां $ \lim$ एक फलन की सीमा को दर्शाता है, और $$ \lambda $$ समय की प्रति यूनिट एराइवल अपेक्षित संख्या है।

मेमोरीलेस गुणधर्म
वास्तविक रेखा पर बिंदु प्रक्रिया के दो क्रमागत बिंदुओं के बीच की दूरी घातांकी यादृच्छिक चर होगा जिसका पैरामीटर $ \lambda$ होता है (अथवा समानांतर, औसत $ 1/\lambda$  होता है)। इसका तात्पर्य है कि बिंदुओं का मेमोरीलेस गुणधर्म होता है: किसी परिमित अंतराल में किसी बिंदु का अस्तित्व, अन्य बिंदुओं के अस्तित्व की प्रायिकता (बंटन) प्रासंगिकता को प्रभावित नहीं करता है,  लेकिन जब पॉयसन प्रक्रिया को उच्चतम विमाओं वाले समष्टि पर परिभाषित किया जाता है, अतः इस गुणधर्म का कोई प्राकृतिक समरूपता नहीं होती है।

क्रमबद्धता और सरलता
स्थैतिक वृद्धियों वाली एक बिंदु प्रक्रिया को कभी-कभी क्रमित या नियमित कहा जाता है, यदि:
 * $$ \Pr \{ N(t,t+\delta]>1 \} = o(\delta), $$

यहां छोटे-o संकेतन का उपयोग किया जा रहा है। जब किसी बिंदु प्रक्रिया में दो बिंदुओं का अंतर्निहित समष्टि पर एक ही स्थिति में संयोग की प्रायिकता शून्य होती है, अतः उसे एक साधारण बिंदु प्रक्रिया कहा जाता है। वास्तविक रेखा पर सामान्य बिंदु प्रक्रियाओं के लिए, क्रमबद्धता की गुणवत्ता यह सिद्ध करती है कि प्रक्रिया सरल होती है, जो समघाती पॉयसन बिंदु प्रक्रिया के लिए सत्य होता है।

मार्टिंगेल विशेषण
वास्तविक रेखा पर, समघाती पॉयसन बिंदु प्रक्रिया का मार्टिंगेल सिद्धांत के साथ एक संबंध होता है निम्नलिखित विशेषण के माध्यम से: बिंदु प्रक्रिया समघाती पॉयसन बिंदु प्रक्रिया होती है यदि और केवल यदि


 * $$ N(-\infty,t]-\lambda t, $$

मार्टिंगेल है।

अन्य प्रक्रियाओं से संबंध
वास्तविक रेखा पर, पॉयसन प्रक्रिया एक प्रकार की सतत-समय मार्कोव प्रक्रिया है जिसे जन्म प्रक्रिया के रूप में जाना जाता है, जन्म-मृत्यु प्रक्रिया के एक विशेष प्रकार (केवल जन्म और शून्य मृत्यु के साथ)। मार्कोव गुणधर्म के साथ अधिक जटिल प्रक्रियाएँ, जैसे मार्कोव एराइवल प्रक्रियाएँ, परिभाषित की गई हैं जहां पॉयसन प्रक्रिया एक विशेष स्थिति हैं।

अर्ध-रेखा पर प्रतिबंध
यदि समघाती पॉयसन प्रक्रिया केवल अर्ध-रेखा पर $ [0,\infty)$ के रूप में विचार की जाती है, जब $ t$  समय को दर्शाता है, अतः परिणामस्वरूप प्रक्रिया स्थानांतरण के अंतर्गत वास्तव में स्थानांतरण के प्रति समान नहीं होती है। उस स्थिति में, कुछ स्थानिकता की परिभाषाओं के अनुसार पॉयसन प्रक्रिया स्थायी नहीं रहती है।

अनुप्रयोग
समघाती पॉयसन प्रक्रिया का वास्तविक रेखा पर कई अनुप्रयोग हुए हैं जो प्रतीत होने वाले यादृच्छिक और स्वतंत्र घटनाओं के मॉडलिंग का प्रयास करते हैं। यह कतारबद्ध सिद्धांत में मौलिक भूमिका निभाता है, जो कुछ घटनाओं के यादृच्छिक एराइवल और अपक्रम को प्रतिष्ठानुसार प्रतिष्ठापित करने के लिए उपयुक्त प्रसंभाव्य मॉडल विकसित करने का प्रायिकता क्षेत्र है। उदाहरण के लिए, कतारबद्ध सिद्धांत के तकनीकों का उपयोग करके ग्राहकों के आगमन और सेवा प्राप्ति या फोन कॉल के आगमन का अध्ययन किया जा सकता है जो फोन विनियम में होते हैं।

सामान्यीकरण
वास्तविक रेखा पर, समघाती पॉयसन प्रक्रिया को यादृच्छिक बिंदुओं की संख्या की गणना के लिए सरलतम प्रसंभाव्य प्रक्रियाओं में से एक माना जाता है। इस प्रक्रिया को कई विधियों से सामान्यीकृत किया जा सकता है। संभावित सामान्यीकरण है कि अंतर-आगमन समय के बंटन को घातांकी बंटन से अन्य बंटनों  तक विस्तारित किया जाए, जो पुनर्नवीनीकरण प्रक्रिया के रूप में जानी जाती है। एक अन्य सामान्यीकरण यह है कि पॉयसन बिंदु प्रक्रिया को समतल जैसे उच्च विमीय समष्टियों पर परिभाषित किया जाए।

स्थानिक पॉयसन बिंदु प्रक्रिया
स्थानिक पॉयसन प्रक्रिया समतल $$\textstyle \mathbb{R}^2$$ में परिभाषित पॉयसन बिंदु प्रक्रिया है। इसकी गणितीय परिभाषा के लिए, सबसे पहले समतल के परिबद्ध, विवृत या संवृत (या अधिक यथार्थ रूप से, बोरेल मापनीय) क्षेत्र $ B$ पर विचार किया जाता है। इस क्षेत्र $$\textstyle B\subset \mathbb{R}^2$$ में विद्यमान बिंदु प्रक्रिया $$\textstyle N$$ के बिंदुओं की संख्या एक यादृच्छिक चर है, जिसे $$\textstyle N(B)$$ द्वारा निरूपित किया जाता है। यदि अंक $$\textstyle \lambda>0$$ के पैरामीटर के साथ एक समघाती पॉयसन प्रक्रिया से संबंधित हैं, तो $$\textstyle B$$ में विद्यमान $$\textstyle n$$ बिंदुओं की प्रायिकता निम्न द्वारा दी गई है:


 * $$ \Pr \{N(B)=n\}=\frac{(\lambda|B|)^n}{n!} e^{-\lambda|B|} $$

जहाँ $$\textstyle |B|$$ के क्षेत्र को दर्शाता है $$\textstyle B$$.

कुछ परिमित पूर्णांक $$\textstyle k\geq 1$$ के लिए, हम पहले असम्बद्ध, परिबद्ध बोरेल (मापने योग्य) सेट $$\textstyle B_1,\dots,B_k$$ के संग्रह पर विचार करके समघाती पॉयसन बिंदु प्रक्रिया का परिमित-विमीय बंटन प्रदान कर सकते हैं। बिंदु प्रक्रिया के बिंदुओं की संख्या $$\textstyle N $$ $$\textstyle B_i$$ में विद्यमान $$\textstyle N(B_i)$$ के रूप में लिखी जा सकती है। अतः पैरामीटर $$\textstyle \lambda>0$$ के साथ समघाती पॉयसन बिंदु प्रक्रिया का परिमित-विमीय बंटन है:
 * $$ \Pr \{N(B_i)=n_i, i=1, \dots, k\}=\prod_{i=1}^k\frac{(\lambda|B_i|)^{n_i}}{n_i!}e^{-\lambda|B_i|}. $$

अनुप्रयोग
स्थानिक पॉयसन बिंदु प्रक्रिया स्थानिक सांख्यिकी में प्रमुखता से दिखाई देती है, प्रसंभाव्य ज्यामिति, और सातत्य सिद्धांत। इस बिंदु प्रक्रिया को विभिन्न भौतिक विज्ञानों में लागू किया जाता है जैसे अल्फा कणों का पता लगाने के लिए विकसित एक मॉडल होता है। हाल के वर्षों में, यह प्रायः कुछ वायरलेस संचार नेटवर्कों के प्रतीत होने वाले अव्यवस्थित स्थानिक विन्यासों के मॉडल के लिए उपयोग किया गया है।  उदाहरण के लिए, सेलुलर या मोबाइल फोन नेटवर्क के मॉडल विकसित किए गए हैं जहां यह माना जाता है कि फोन नेटवर्क ट्रांसमीटर, जिन्हें बेस स्टेशन के रूप में जाना जाता है, समघाती पॉयसन बिंदु प्रक्रिया के अनुसार स्थित हैं।

उच्च विमाओं में परिभाषित
पूर्व समघाती पॉयसन बिंदु प्रक्रिया को क्षेत्र की धारणा को (उच्च विमीय) आयतन के साथ बदलकर उच्च विमाओं में विस्तारित किया जाता है। यदि यूक्लिडियन समष्टि $$\textstyle \mathbb{R}^d$$, के किसी परिबद्ध क्षेत्र $$\textstyle B$$ के बिंदु एक समघाती पॉयसन प्रक्रिया बनाते हैं जिसका पैरामीटर $$\textstyle \lambda>0$$ होता है, अतः $$\textstyle B\subset \mathbb{R}^d$$ में विद्यमान $$\textstyle n$$ बिंदुओं की प्रायिकता निम्नलिखित होती है:


 * $$ \Pr \{N(B)=n\}=\frac{(\lambda|B|)^n}{n!}e^{-\lambda|B|} $$

जहां $$\textstyle |B|$$ अब $$\textstyle B$$ के $$\textstyle d$$-विमीय आयतन को दर्शाता है। इसके अतिरिक्त, असंयुक्त, परिबद्ध बोरेल समुच्चय $$\textstyle B_1,\dots,B_k \subset \mathbb{R}^d$$ के संग्रह के लिए, $$\textstyle N(B_i)$$ को $$\textstyle B_i$$ में विद्यमान $$\textstyle N$$ के बिंदुओं की संख्या को दर्शाता है। फिर पैरामीटर $$\textstyle \lambda>0$$ के साथ संबंधित समघाती पॉयसन बिंदु प्रक्रिया का परिमित-विमीय बंटन होता है:
 * $$ \Pr \{N(B_i)=n_i, i=1, \dots, k\}=\prod_{i=1}^k\frac{(\lambda|B_i|)^{n_i}}{n_i!} e^{-\lambda|B_i|}. $$

समघाती पॉयसन बिंदु प्रक्रियाएँ स्वयं के पैरामीटर $$\textstyle \lambda$$ के माध्यम से अंतर्निहित समष्टि की स्थिति पर निर्भर नहीं होती हैं, जिससे यह स्पष्ट होता है कि यह एक स्थिर प्रक्रिया (स्थानांतरण के लिए अपरिवर्तनीय) और आइसोट्रोपिक (घूर्णन के लिए अपरिवर्तनीय) प्रसंभाव्य प्रक्रिया है। एकल-विमीय स्थिति की तरह, समघाती बिंदु प्रक्रिया को कुछ परिबद्ध उपसमुच्चय $ \mathbb{R}^d$ के लिए प्रतिबंधित किया जाता है, अतः स्थिरता की कुछ परिभाषाओं के अनुसार, प्रक्रिया अब स्थायी नहीं रहती है।

बिंदुओं का समान रूप से बंटन
यदि समघाती बिंदु प्रक्रिया को वास्तविक रेखा पर किसी प्रयोजन की घटनाओं के लिए गणितीय मॉडल के रूप में परिभाषित किया जाता है, अतः इसकी विशेषताऐं इस प्रकार है कि वास्तविक रेखा पर इन घटनाओं की स्थितियों का बंटन समानतापूर्व होता है (जिसे प्रायः समय के रूप में व्याख्या किया जाता है)। विशेष रूप से, यदि किसी घटना (इस प्रक्रिया के अनुसार) किसी अंतराल $$\textstyle (a,b]$$ में होती है जहां $$\textstyle a \leq b$$ है, तो उसकी स्थानांतरिता उस अंतराल पर परिभाषित एक समान यादृच्छिक चर होगा। इसके अतिरिक्त, समघाती बिंदु प्रक्रिया को कभी-कभी समान पॉयसन बिंदु प्रक्रिया भी कहा जाता है (टर्मिनोलॉजी देखें)। यह समानता गुण कार्तीय निर्देशांक में उच्च विमाओं तक विस्तारित होता है, लेकिन उदाहरण के लिए ध्रुवीय निर्देशांक में नहीं होता है।

असमघाती पॉयसन बिंदु प्रक्रिया
विषम या गैर-समरूप पॉइसन बिंदु प्रक्रिया (शब्दावली देखें) एक पॉइसन बिंदु प्रक्रिया है जिसमें पॉइसन पैरामीटर अंतर्निहित स्थान में कुछ स्थान-निर्भर फलन के रूप में सेट किया गया है, जिस पर पॉइसन प्रक्रिया परिभाषित है। यूक्लिडियन समष्टि $$\textstyle \mathbb{R}^d$$ के लिए, यह स्थानीय रूप से पूर्णांक धनात्मक फलन $$\lambda\colon\mathbb{R}^d\to[0,\infty)$$ को शुरू करके प्राप्त किया जाता है, जैसे कि प्रत्येक परिबद्ध क्षेत्र $$\textstyle B$$ के लिए ($$\textstyle d$$-विमीय) आयतन $$\textstyle \lambda (x)$$ से अधिक क्षेत्र $$\textstyle B$$ का समाकल भाग है। दूसरे शब्दों में, यदि यह समाकल, $$\textstyle \Lambda (B)$$ द्वारा निरूपित किया जाता है, अतः यह निम्न प्रकार है:


 * $$ \Lambda (B)=\int_B \lambda(x)\,\mathrm dx < \infty, $$

जहां $$\textstyle{\mathrm dx}$$, ($$\textstyle d$$-विमीय) आयतन अंश है, फिर असंयुक्त परिबद्ध बोरेल मापने योग्य समुच्चयों $$\textstyle B_1,\dots,B_k$$ के प्रत्येक संग्रह के लिए, (इंटेंसिटी) फलन $$\textstyle \lambda(x)$$ के साथ असमघातीय पॉयसन प्रक्रिया का परिमित-विमीय बंटन है:


 * $$ \Pr \{N(B_i)=n_i, i=1, \dots, k\}=\prod_{i=1}^k\frac{(\Lambda(B_i))^{n_i}}{n_i!} e^{-\Lambda(B_i)}. $$

इसके अतिरिक्त, $$\textstyle \Lambda (B)$$ की व्याख्या परिबद्ध क्षेत्र $$\textstyle B$$ में स्थित पॉयसन प्रक्रिया के बिंदुओं की अपेक्षित संख्या होने की है, अर्थात्


 * $$ \Lambda (B)= \operatorname E[N(B)] . $$

वास्तविक रेखा पर परिभाषित
वास्तविक रेखा पर, गैर-समघातीय या असमघातीय पॉयसन बिंदु प्रक्रिया का औसत माप एकल विमीय समाकल योग के द्वारा दी जाती है। दो वास्तविक संख्याओं $$\textstyle a$$ और $$\textstyle b$$ के लिए, जहां $$\textstyle a\leq b$$, $$\textstyle (a,b]$$ में होने वाले असमघातीय पॉयसन प्रक्रिया के संख्या बिंदु को $$\textstyle N(a,b]$$ द्वारा चिह्नित किया जाता है, जिसमें उग्रता फलन $$\textstyle \lambda(t)$$ सम्मिलित होता है।उपरोक्त अंतराल $$\textstyle (a,b]$$ में विद्यमान $$\textstyle n$$ बिंदुओं की प्रायिकता निम्न द्वारा दिया गया है:


 * $$ \Pr \{N(a,b]=n\}=\frac{[\Lambda(a,b)]^n}{n!} e^{-\Lambda(a,b)}. $$

जहां माध्य या इंटेंसिटी माप है:


 * $$ \Lambda(a,b)=\int_a^b \lambda (t)\,\mathrm dt, $$

जिसका अर्थ है कि यादृच्छिक चर $$\textstyle N(a,b]$$ माध्य $$\textstyle \operatorname E[N(a,b]] = \Lambda(a,b)$$ के साथ एक पॉयसन यादृच्छिक चर है।

एक-विमा सेटिंग की एक विशेषता यह है कि किसी असमघातीय पॉयसन प्रक्रिया को एकदिष्ट (मोनोटोन) परिवर्तन या मानचित्रण द्वारा सजातीय में रूपांतरित किया जा सकता है, जिसे $$\textstyle \Lambda $$ के प्रतिलोम के साथ प्राप्त किया जाता है।

गणना प्रक्रिया की व्याख्या
जब धनात्मक अर्ध-रेखा पर विचार किया जाता है, अतः असमघातीय पॉयसन बिंदु प्रक्रिया को कई बार गणना प्रक्रिया के रूप में भी परिभाषित किया जाता है। इस व्याख्यान के साथ, प्रक्रिया, जिसे कभी-कभी $$\textstyle \{N(t), t\geq 0\}$$ के रूप में लिखा जाता है, $$\textstyle t$$ समय तक हुई प्रत्येक घटनाओं की कुल संख्या का प्रतिनिधित्व किया जाता है। गणना प्रक्रिया को असमघातीय पॉयसन गणना प्रक्रिया कहा जाता है यदि इसके चार गुण होते हैं: यहां $$\textstyle o(h)$$, $$\textstyle h\rightarrow 0$$ के लिए $$\textstyle o(h)/h\rightarrow 0$$ के अनन्तस्पर्शी या छोटे-o नोटेशन है। अपवर्तकता के साथ बिंदु प्रक्रियाओं की स्थिति में (जैसे कि न्यूरल स्पाइक ट्रेन), प्रगुण 4 का एक अन्य प्रबल संस्करण लागू होता है: $$\Pr \{N(t+h)-N(t) \ge 2\} = o(h^2)$$.
 * $$\textstyle N(0)=0;$$
 * स्वतंत्र वृद्धि होती है;
 * $$\textstyle \Pr\{ N(t+h) - N(t)=1 \} =\lambda(t)h + o(h);$$ और
 * $$\textstyle \Pr \{ N(t+h) - N(t)\ge 2 \} = o(h),$$

उपरोक्त गुणों का अर्थ है कि $$\textstyle N(t+h) - N(t)$$ पैरामीटर (या माध्य) के साथ एक पॉयसन यादृच्छिक चर है।


 * $$ \operatorname E[N(t+h) - N(t)] = \int_t^{t+h}\lambda (s) \, ds, $$

जो ये दर्शाता हे


 * $$ \operatorname E[N(h)]=\int_0^h \lambda (s) \, ds. $$

स्थानिक पॉयसन प्रक्रिया
समतल $$\textstyle \mathbb{R}^2$$ में परिभाषित असमघातीय पॉयसन प्रक्रिया को स्थानिक पॉयसन प्रक्रिया कहा जाता है इसे तीव्रता फलन के साथ परिभाषित किया जाता है और इसकी तीव्रता की माप कुछ क्षेत्र में इसकी इंटेंसिटी फलन का सतह समाकलन करके प्राप्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, इसका इंटेंसिटी फलन (कार्तीय निर्देशांक $ x$ और $$\textstyle y$$ के एक फलन के रूप में) हो सकता है


 * $$ \lambda(x,y)= e^{-(x^2+y^2)}, $$

इसलिए संगत इंटेंसिटी माप सतह समाकल द्वारा निम्नलिखित रूप दिया जाता है


 * $$ \Lambda(B)= \int_B e^{-(x^2+y^2)}\,\mathrm dx\,\mathrm dy, $$

जहाँ $ B$ समतल $ \mathbb{R}^2$  में कुछ घिरा क्षेत्र है।

उच्च विमाओं में
समतल में, $ \Lambda(B)$ सतह समाकलन के सामान प्रतीत होता है जबकि $ \mathbb{R}^d$  में ($ d$ -विमीय) आयतन समाकलन में परिवर्तित हो जाता है।

अनुप्रयोग
जब वास्तविक रेखा को समय के रूप में व्याख्या किया जाता है, अतः असमान्य प्रक्रिया को गणना प्रक्रियाओं और कतारबद्ध सिद्धांत के क्षेत्रों में उपयोग किया जाता है। असमान्य पॉयसन बिंदु प्रक्रिया द्वारा प्रतिष्ठित या अपेक्षित होने वाली घटनाओं के उदाहरणों में निम्नलिखित सम्मिलित होते हैं: समतल में, प्रसंभाव्य ज्यामिति और स्थानिक आंकड़ों के संबंधित शाखाओं में महत्वपूर्ण होती है। इस बिंदु प्रक्रिया की इंटेंसिटी माप अंतर्निहित समष्टि के स्थान पर निर्भर करती है, जिसका तात्पर्य है कि इसका उपयोग किसी क्षेत्र में भिन्नता वाली घटनाओं के मॉडलिंग के लिए किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, ये घटनाएं ऐसे बिंदुओं के रूप में प्रतिष्ठित की जा सकती हैं जिनका स्थान-निर्भर घनत्व है। यह प्रक्रियाएँ विभिन्न क्षेत्रों में उपयोग की जाती हैं और उनमें महासागरों में सैल्मन और समुद्री जीवाणुओं का अध्ययन, वानिकी, और खोज समस्याओं का अध्ययन सम्मिलित होता है।
 * फ़ुटबॉल के खेल में किए जा रहे  गोल।
 * सर्किट बोर्ड में दोष

इंटेंसिटी फलन की व्याख्या
पॉयसन इंटेंसिटी फलन $ \lambda(x)$ की व्याख्या, जो सहज रूप में मानी जाती है, अत्यल्पिक रूप में आयतन घटक $\mathrm dx$  के साथ संबंधित होती है: $ \lambda(x)\,\mathrm dx$  पॉयसन बिंदु प्रक्रिया के किसी बिंदु की अत्यल्पिक प्रायिकता है जो समष्टि के किसी क्षेत्र में विद्यमान होता है और जिसका आयतन $\mathrm dx$  पर नियत होता है। यह क्षेत्र $ x$  पर नियत होता है। इस व्याख्या से पॉयसन प्रक्रिया में बिंदुओं का अस्तित्व और बंटन का ज्ञान प्राप्त होता है।

उदाहरण के लिए, वास्तविक रेखा पर किसी सजातीय पॉयसन बिंदु प्रक्रिया को देखते हुए, चौड़ाई $ \delta$ के एक छोटे अंतराल में प्रक्रिया के एक बिंदु को प्राप्त करने की प्रायिकता लगभग $ \lambda \delta$  है। वास्तव में, इस तरह के अंतर्ज्ञान से पॉयसन बिंदु प्रक्रिया को कभी-कभी प्रस्तुत किया जाता है और इसका बंटन प्राप्त होता है।

सरल बिंदु प्रक्रिया
यदि किसी पॉयसन बिंदु प्रक्रिया में इंटेंसिटी माप स्थानिक रूप से परिमित और असंगठित (या गैर-परमाणु) होती है, अतः वह एक सरल बिंदु प्रक्रिया होती है। सरल बिंदु प्रक्रिया के लिए, अंतर्निहित (स्थिति) समष्टि में एकल बिंदु या स्थान पर बिंदु के अस्तित्व की प्रायिकता शून्य या एक होती है। इसका अर्थ है कि पॉयसन बिंदु प्रक्रिया के दो (या अधिक) बिंदु अंतर्निहित समष्टि में स्थान के सामान होता हैं।

अनुकरण
कंप्यूटर पर पॉयसन बिंदु प्रक्रिया का अनुकरण करना सामान्यतः किसी परिमित स्थानिक क्षेत्र में, जिसे अनुकरण विंडो के रूप में जाना जाता है, किया जाता है और इसके लिए दो चरणों की आवश्यक होती हैं: उचित रूप से किसी यादृच्छिक संख्या के बिंदुओं को बनाना और फिर उन बिंदुओं को एक यादृच्छिक विधि से उचित रूप से स्थानित करना। दोनों इन दो चरणों का प्रयोग किए जाने वाली अनुकरण प्रक्रिया पर निर्भर करते हैं जो वर्तमान में अनुकरणित की जा रही है।

चरण 1: बिंदुओं की संख्या
विंडो में बिंदुओं की संख्या $ N$, जिसे यहां $ W$ से चिह्नित किया गया है, को अनुकरणित करने की आवश्यकता है, जो एक (छद्म)-यादृच्छिक संख्या उत्पन्न करने वाले फलन का उपयोग करके किया जाता है जो पॉयसन यादृच्छिक चर का अनुकरण करने में सक्षम है।

समघाती स्थिति
समघातीय स्थिति के लिए नियतांक $ \lambda$ के साथ, पॉयसन यादृच्छिक परिमाण $ N$  का औसत $ \lambda |W|$  पर सेट किया जाता है जहां $ |W|$  लंबाई, क्षेत्रफल या ( $ d$ -विमीय) आयतन $ W$  है।

असमान स्थिति
विषम स्थितियों के लिए, $ \lambda |W|$ के साथ प्रतिस्थापित किया गया है ($ d$ -विमीय) आयतन समाकल


 * $$ \Lambda(W)=\int_W\lambda(x)\,\mathrm dx $$

चरण 2: बिंदुओं की स्थिति
दूसरे चरण में, विंडो $$\textstyle W$$ में $$\textstyle N$$ बिंदुओं को यादृच्छिक रूप से स्थानित करना आवश्यक होता है।

समघाती स्थिति
एकल विमा में समघातीय स्थिति के लिए, सभी बिंदुओं को विंडो या अंतराल $$\textstyle W$$ में एकसमान और स्वतंत्र रूप से स्थानित किया जाता है। कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में अधिकतर विमाओं के लिए, प्रत्येक निर्देशांक को एकसमान और स्वतंत्र रूप से विंडो $$\textstyle W$$ में स्थानित किया जाता है। तथापि, यदि विंडो कार्तीय समष्टि का उपअंश नहीं है (उदाहरण के लिए, किसी इकाई स्फीयर के अंदर या किसी इकाई स्फीयर की सतह पर), अतः बिंदुओं को $$\textstyle W$$ में एकसमान रूप से नहीं रखा जाएगा, और ऐसे स्थितियों में कार्तीय से उचित निर्देशांकों की आवश्यकता होती है।

असमान स्थिति
असमघातीय स्थानिकता वाली स्थितियों में, इंटेंसिटी फलन की प्रकृति पर निर्भर करते हुए कुछ अलग-अलग विधियाँ उपयोग की जा सकती हैं जो इंटेंसिटी फलन $$\textstyle \lambda(x)$$ की प्रकृति पर निर्भर करती हैं। यदि इंटेंसिटी फलन पर्याप्त रूप से सरल हो, तो बिना एक-दूसरे के स्वतंत्र और यादृच्छिक असमान (कार्तीय या अन्य) निर्देशांकों को उत्पन्न किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, वृत्ताकार विंडो पर पॉयसन बिंदु प्रक्रिया का अनुकरण एक ऐसी आइसोटोपिक इंटेंसिटी फलन (ध्रुवीय निर्देशांकों $$\textstyle r$$ और $$\textstyle \theta$$ में) के लिए किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि यह घूर्णी रूप से भिन्न या $$\textstyle \theta$$ से स्वतंत्र है, लेकिन $$\textstyle r$$ पर निर्भर होती है, $$\textstyle r$$ में चर के परिवर्तन के द्वारा यदि इंटेंसिटी फलन पर्याप्त रूप से सरल होता है।

अधिक जटिल इंटेंसिटी फलनों के लिए, स्वीकृति-अस्वीकृति पद्धति का उपयोग किया जा सकता है, जिसमें अनुपात के आधार पर केवल कुछ यादृच्छिक बिंदुओं का उपयोग (या 'स्वीकार') करना और अन्य बिंदुओं का उपयोग नहीं करना (या 'अस्वीकार करना') सम्मिलित है:
 * $$ \frac{\lambda(x_i)}{\Lambda(W)}=\frac{\lambda(x_i)}{\int_W\lambda(x)\,\mathrm dx. } $$

जहाँ $$\textstyle x_i$$ स्वीकृति या अस्वीकृति के लिए विचाराधीन बिंदु है।

सामान्य पॉयसन बिंदु प्रक्रिया
रेडॉन माप $$\textstyle \Lambda$$ का उपयोग करके पॉयसन बिंदु प्रक्रिया को कभी-कभी सामान्य पॉइसन बिंदु प्रक्रिया या सामान्य पॉइसन प्रक्रिया के रूप में जाना जाता है, जो कि स्थानीय-परिमित माप है। सामान्य तौर पर, यह रेडॉन माप $$\textstyle \Lambda$$ परमाणु हो सकता है, जिसका अर्थ है कि पॉसों बिंदु प्रक्रिया के कई बिंदु अंतर्निहित समष्टि के एक ही स्थान पर विद्यमान हो सकते हैं। इस स्थिति में, $$\textstyle x $$ पर बिंदुओं की संख्या $$\textstyle \Lambda({x})$$ माध्य के साथ एक पॉयसन यादृच्छिक चर होता है। लेकिन कभी-कभी विपरीत मान लिया जाता है, इसलिए रेडॉन माप $$\textstyle \Lambda$$ विसरित या गैर-परमाणु है।

बिंदु प्रक्रिया $$\textstyle {N}$$, इंटेंसिटी $$\textstyle \Lambda$$ के साथ सामान्य पॉइसन बिंदु प्रक्रिया है, यदि इसमें निम्नलिखित दो गुण हैं:


 * परिबद्ध बोरेल समुच्चय $$\textstyle B$$ में अंकों की संख्या माध्य $$\textstyle \Lambda(B)$$ के साथ एक पॉयसन यादृच्छिक चर है। दूसरे शब्दों में, $$\textstyle {N}(B)$$ द्वारा $$\textstyle B$$ में स्थित अंकों की कुल संख्या को निरूपित करें, फिर यादृच्छिक चर $$\textstyle {N}(B)$$ के $$\textstyle n$$ के बराबर होने की प्रायिकता इस प्रकार दी गई है:
 * $$ \Pr \{ N(B)=n\}=\frac{(\Lambda(B))^n}{n!} e^{-\Lambda(B)} $$


 * $$\textstyle n$$ असंयुक्त बोरेल समुच्चय में बिंदुओं की संख्या $$\textstyle n$$ स्वतंत्र यादृच्छिक चर बनाती है।

राडोन माप $$\textstyle \Lambda$$ परिबद्ध क्षेत्र $$\textstyle B$$ में स्थित $$\textstyle {N}$$ के बिंदुओं की अपेक्षित संख्या होने की अपनी पूर्व व्याख्या को बनाए रखता है, अर्थात्


 * $$ \Lambda (B)= \operatorname E[N(B)] . $$

इसके अतिरिक्त, यदि $$\textstyle \Lambda$$ पूरी तरह से सतत होता है जैसे कि लेबेस्गु माप के संबंध में इसका घनत्व (जो रेडॉन-निकोडीम घनत्व या व्युत्पन्न है) है, तो सभी बोरेल समुच्चय $$\textstyle B$$ के लिए इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:


 * $$ \Lambda (B)=\int_B \lambda(x)\,\mathrm dx, $$

जहां घनत्व $$\textstyle \lambda(x)$$ को अन्य पदों के साथ-साथ इंटेंसिटी फलन के रूप में जाना जाता है।

पॉयसन बंटन
इसके नाम के अतिरिक्त, पॉयसन बिंदु प्रक्रिया की न तो खोज की गई और न ही फ्रांसीसी गणितज्ञ सिमोन डेनिस पॉइसन द्वारा इसका अध्ययन किया गया; स्टिग्लर के नियम के उदाहरण के रूप में नाम का उल्लेख किया गया है। यह नाम पॉयसन बंटन के साथ इसके अंतर्निहित संबंध से प्राप्त हुआ, जो पॉयसन द्वारा द्विपद बंटन के किसी परिमित स्थिति के रूप में प्राप्त किया गया है। यह प्रायिकता $$\textstyle p$$ के साथ $$\textstyle n$$ बर्नौली परीक्षणों के योग की प्रायिकता का वर्णन करता है, जिसकी तुलना प्रायः हेड (या टेल) की संख्या के साथ की जाती है, जो एक सिक्के के $$\textstyle n$$ पक्षपाती फ़्लिप के बाद हेड (या टेल) की प्रायिकता $$\textstyle p$$ होती है। कुछ धनात्मक नियतांक $$\textstyle \Lambda>0$$ के लिए, जैसे-जैसे $$\textstyle n$$ अनंत की ओर बढ़ता है और $$\textstyle p$$ शून्य की ओर घटता जाता है जैसे कि उत्पाद $$\textstyle np=\Lambda$$ नियत हो जाता है, पॉयसन बंटन द्विपद के अधिक निकट आ जाता है।

पॉयसन ने $$\textstyle p$$ (शून्य से) और $$\textstyle n$$ (अनंत तक) की सीमा में द्विपद बंटन की जांच करके, 1841 में प्रकाशित, पॉयसन बंटन को व्युत्पन्न किया। पॉयसन के सभी फलनों में यह केवल एक बार प्रकट होता है, और उनके समय में परिणाम अच्छी तरह से ज्ञात नहीं था। बाद के वर्षों में फिलिप लुडविग वॉन सेडेल और अर्नेस्ट अब्बे सहित कई लोगों ने पॉयसन का हवाला दिए बिना बंटन का उपयोग किया। उन्नीसवीं शताब्दी के अंत में, लैडिसलॉस बोर्टकिविक्ज़ बंटन का फिर से अलग सेटिंग में अध्ययन करेगा (पॉयसन का उल्लेखन करते हुए), वास्तविक डेटा के साथ बंटन का उपयोग करके प्रशिया सेना में हॉर्स किक से होने वाली मौतों की संख्या का अध्ययन करने के लिए।

खोज
पॉयसन बिंदु प्रक्रिया के पहले उपयोग या खोज के लिए कई दावे हैं। उदाहरण के लिए, 1767 में पॉयसन के जन्म से दस साल पहले, जॉन मिशेल ने एक सितारे के एक निश्चित क्षेत्र में दूसरे सितारे की प्रायिकता की रुपरेखा के बारे में रुचि दिखाई, असुमंगल या "केवल संयोग के द्वारा बिखेरे गए" सितारों की अनुमानित संख्या का अध्ययन किया और प्लेयडीज़ में छह सबसे चमकदार सितारों, पॉयसन बंटन प्राप्त किए बिना। इस काम ने साइमन न्यूकॉम्ब को प्रभावित किया और उन्हें समस्या का अध्ययन करने और 1860 में बाइनोमियल वितरण के लिए वर्गीकरण के रूप में पॉयसन बंटन की गणना करने के लिए प्रेरित किया।

20वीं शताब्दी की शुरुआत में पोइसन प्रक्रिया (एक आयाम में) विभिन्न स्थितियों में स्वतंत्र रूप से उत्पन्न होगी। स्वीडन 1903 में, फिलिप लुंडबर्ग ने एक थीसिस प्रकाशित की जिसमें कार्य शामिल था, जिसे अब मौलिक और अग्रणी माना जाता है, जहां उन्होंने एक सजातीय पॉइसन प्रक्रिया के साथ बीमा दावों को मॉडल करने का प्रस्ताव दिया।

1909 में डेनमार्क में एक अन्य खोज हुई जब ए.के. अर्लांग ने सीमित समय अंतराल में आने वाले फोन कॉलों की संख्या के लिए एक गणितीय मॉडल विकसित करते समय पॉयसन बंटन की खोज की। उस समय अर्लांग को पॉयसन के पहले के काम की जानकारी नहीं थी और उन्होंने माना कि प्रत्येक समय अंतराल में आने वाले फोन कॉलों की संख्या एक दूसरे के अन्यान्य हैं। फिर उन्होंने सीमित स्थिति को खोजा, जो प्रभावी रूप से पॉयसन बंटन को बाइनोमियल बंटन की सीमा के रूप में पुनर्स्थापित कर रही है।

1910 में अर्नेस्ट रदरफोर्ड और हंस गीजर ने अल्फा कणों की गणना पर प्रयोगात्मक परिणाम प्रकाशित किए। उनके प्रायोगिक कार्य में हैरी बेटमैन से गणितीय योगदान था, जिन्होंने अंतर समीकरणों के परिवार के समाधान के रूप में पॉयसन प्रायिकताओं को व्युत्पन्न किया था, हालांकि समाधान पहले प्राप्त किया गया था, जिसके परिणामस्वरूप पॉइसन प्रक्रिया की स्वतंत्र खोज हुई। इस समय के बाद पॉयसन प्रक्रिया के कई अध्ययन और अनुप्रयोग हुए, लेकिन इसका प्रारंभिक इतिहास जटिल है, जिसे जीवविज्ञानियों, पारिस्थितिकीविदों, इंजीनियरों और विभिन्न भौतिक वैज्ञानिकों द्वारा कई क्षेत्रों में प्रक्रिया के विभिन्न अनुप्रयोगों द्वारा समझाया गया है।

प्रारंभिक अनुप्रयोग
1909 के बाद के वर्षों में पॉयसन बिंदु प्रक्रिया के कई अध्ययन और अनुप्रयोग हुए, हालांकि, इसका प्रारंभिक इतिहास जटिल है, जिसे बायोलॉजिस्ट, पारिस्थितिकीविद, अभियंता और अन्य भौतिक विज्ञान में काम करने वाले लोगों ने इस प्रक्रिया के कई क्षेत्रों में अनेक अनुप्रयोगों के द्वारा समझाया है। प्रारंभिक परिणामों को विभिन्न भाषाओं और विभिन्न संस्करणों में प्रकाशित किया गया, जहां कोई मानक शब्दावली और नोटेशन का उपयोग नहीं हुआ। उदाहरण के लिए, 1922 में स्वीडिश रसायनविद और नोबेल पुरस्कार प्राप्तकर्ता थिओडोर स्वेडबर्ग ने एक मॉडल प्रस्तावित किया, जिसमें एक स्थानिक पॉयसन बिंदु प्रक्रिया पौधों को अध्ययन करने के लिए उपयोगी है जो वनस्पति समुदायों में वितरित होते हैं। कई गणितज्ञों ने 1930 के दशक में प्रक्रिया का अध्ययन शुरू किया और इसमें एंड्री कोलमोगोरोव, विलियम फेलर और अलेक्सांद्र खींचीं, सहित अन्यों ने महत्वपूर्ण योगदान दिया। टेलीट्रैफिक अभियतंत्रिकी के क्षेत्र में, गणितज्ञों और सांख्यिकीयज्ञों ने पॉयसन और अन्य बिंदु प्रक्रियाओं का अध्ययन किया और उन्हें उपयोग किया।

शब्दावली का इतिहास
1943 में स्वीडिश विद्वान कोनी पाम ने अपने विधानिका में एक विमीय स्थानिकता में पॉयसन और अन्य बिंदु प्रक्रियाओं का अध्ययन किया, जहां उन्होंने समय के संबंध में बिंदु के बीच आपसी सांख्यिक या स्टोकास्टिक आधिपत्य की परीक्षा की।। उनके कार्य में पहली ज्ञात रूप से टर्म बिंदु प्रक्रियाओं का प्रयोग हुआ, जैसे कि जर्मन में पंकटप्रोज़ेस के रूप में शब्द बिंदु प्रक्रियाओं का पहला ज्ञात रिकॉर्ड विद्यमान है।

यह माना जाता है कि 1940 में विलियम फेलर ने इसे पॉयसन प्रक्रिया के रूप में प्रिंट में पहली बार संदर्भित किया था। हालांकि, स्वीडिश विद्वान ओवे लुंडबर्ग ने अपने 1940 के डॉक्टरेट पेपर में भी इस शब्द का प्रयोग किया था, जिसमें फेलर को प्रभावित करने के रूप में स्वीकार किया गया था, लेकिन कहा गया है कि फेलर ने 1940 से पहले ही इस शब्द की सृजनशीलता की थी। यह बात बताई गई है कि फेलर और लुंडबर्ग दोनों ने इस शब्द का उपयोग ऐसे किया, जैसे यह पहले से प्रसिद्ध हो, इससे इसका अर्थ है कि यह तब से पहले ही बोली जाने वाली थी। फेलर 1936 से 1939 तक स्टॉकहोम विश्वविद्यालय में हराल्ड क्रामर के साथ काम कर रहे थे, जहां लुंडबर्ग क्रामर के निर्देशन में एक डॉक्टरेट छात्र थे, जिन्होंने इस शब्द का उपयोग नहीं किया था, जिसकी पुस्तक को वे 1936 में पूरा कर चुके थे, लेकिन इसके बाद की संस्करणों में किया, जिससे यह संकेत मिला है कि पॉयसन प्रक्रिया शब्द का निर्माण स्टॉकहोम विश्वविद्यालय में 1936 से 1939 के बीच किया गया था।

शब्दावली
बिंदु प्रक्रिया सिद्धांत की शब्दावली सामान्य रूप से बहुत असमघातीय मानी जाती है। बिंदु शब्द को छोड़ दिया जाना एक साधारण बात है, समान पॉयसन (बिंदु) प्रक्रिया को समघातीय पॉयसन (बिंदु) प्रक्रिया के रूप में भी कहा जाता है, साथ ही यह समान पॉयसन (बिंदु) प्रक्रिया भी कहलाती है। असमघातीय पॉयसन बिंदु प्रक्रिया, असमघातीय के रूप के साथ ही, असमघातीय पॉयसन प्रक्रिया के रूप में भी उल्लेख की जाती है।

शब्द बिंदु प्रक्रिया की आलोचना की गई है, क्योंकि शब्द प्रक्रिया समय और स्थान के साथ सुझाव दे सकती है, इसलिए यादृच्छिक बिंदु क्षेत्र, जिसके परिणामस्वरूप पोइसन यादृच्छिक बिंदु क्षेत्र या पॉइसन बिंदु क्षेत्र का भी उपयोग किया जाता है। एक बिंदु प्रक्रिया को माना जाता है, और कभी-कभी इसे एक यादृच्छिक गिनती माप कहा जाता है, इसलिए पॉसॉन बिंदु प्रक्रिया को एक पॉइसन यादृच्छिक माप के रूप में भी जाना जाता है, लेवी प्रक्रियाओं के अध्ययन में प्रयुक्त शब्द, लेकिन कुछ लोग दो अलग-अलग अंतर्निहित स्थानों पर परिभाषित प्वासों बिंदु प्रक्रियाओं के लिए दो शब्दों का उपयोग करना चुनते हैं।

पॉयसन बिंदु प्रक्रिया की आधारभूत गणितीय स्थान को "कैरियर स्थान", या "स्थिति समष्टि" कहा जाता है, हालांकि इस्पात संदर्भ में दूसरा शब्द अलग अर्थ रखता है। बिंदु प्रक्रियाओं के संदर्भ में, "स्थिति समष्टि" शब्द का उपयोग बिंदु प्रक्रिया के परिभाषित स्थान को दर्शाने के लिए किया जा सकता है, जैसे वास्तविक रेखा,  जो प्रसंभाव्य प्रक्रिया की शब्दावली में अनुक्रमणिका समुच्चय या पैरामीटर समुच्चय के समर्थन स्थान के तौर पर प्रतिष्ठित होती है।

माप $$\textstyle \Lambda$$ को इंटेंसिटी माप कहा जाता है, औसत माप, या पैरामीटर माप, क्योंकि इसमें कोई मानक शब्द नहीं हैं। यदि $$\textstyle \Lambda$$ का व्युत्पन्न या घनत्व है, जिसे $$\textstyle \lambda(x)$$ द्वारा निरूपित किया जाता है, तो पॉइसन बिंदु प्रक्रिया का इंटेंसिटी फलन कहा जाता है। समघातीय पोइसन बिंदु प्रक्रिया के लिए, तीव्रता माप का व्युत्पन्न केवल स्थिर $$\textstyle \lambda>0$$ है, जिसे दर के रूप में संदर्भित किया जा सकता है, आमतौर पर जब अंतर्निहित समष्टि वास्तविक रेखा या इंटेंसिटी होती है। इसे औसत दर या औसत घनत्व या दर भी कहा जाता है। $$\textstyle \lambda=1$$ के लिए, संबंधित प्रक्रिया को कभी-कभी मानक पॉइसन (बिंदु) प्रक्रिया के रूप में जाना जाता है।

पॉयसन बिंदु प्रक्रिया की सीमा को कभी-कभी "एक्सपोजर" कहा जाता है।

अंकन (नोटेशन)
पॉयसन बिंदु प्रक्रिया की नोटेशन इसकी स्थापना और उस क्षेत्र पर निर्भर करती है जिसमें इसका उपयोग हो रहा है। उदाहरण के लिए, वास्तविक रेखा पर, पॉयसन प्रक्रिया, समरूपी या असमरूपी दोनों, कभी-कभी एक गिनती प्रक्रिया के रूप में व्याख्या की जाती है, और नोटेशन $$\textstyle \{N(t), t\geq 0\}$$ का प्रयोग पॉयसन प्रक्रिया को प्रतिष्ठान करने के लिए किया जाता है।

विभिन्न नोटेशन के लिए एक अन्य कारण बिंदु प्रक्रिया के सिद्धांत का हो सकता है, जिसके कुछ गणितीय व्याख्यान होते हैं। उदाहरण के लिए, सरल पॉयसन बिंदु प्रक्रिया को किसी यादृच्छिक समुच्चय के रूप में विचार किया जा सकता है, जिससे संकेतन $$\textstyle x\in N$$ दर्शाते है, जो प्रस्तावित करता है कि $$\textstyle x$$ पॉयसन बिंदु प्रक्रिया $$\textstyle N$$ का एक यादृच्छिक बिंदु होता है या इसका तत्व होता है। एक अन्य अधिक सामान्य, व्याख्या यह है कि पॉयसन या किसी अन्य बिंदु प्रक्रिया को किसी यादृच्छिक गणना माप के रूप में विचार किया जा सकता है, ताकि हम किसी (बोरेल माप्य) क्षेत्र $$\textstyle B$$ में पाए जाने वाले बिंदुओं की संख्या $$\textstyle {N}$$ को $$\textstyle N(B)$$ के रूप में लिख सकें, जो एक यादृच्छिक परिवर्तन है। इन विभिन्न व्याख्याओं के परिणामस्वरूप गणितीय क्षेत्रों जैसे माप सिद्धांत और सेट सिद्धांत से संकेतन का उपयोग किया जाता है।

सामान्य बिंदु प्रक्रियाओं के लिए, कभी-कभी बिंदु प्रतीक पर सबस्क्रिप्ट, उदाहरण के लिए $$\textstyle x$$, सम्मिलित होता है अतः किसी व्यष्टि बिंदु को इसे छोड़कर (समुच्चय अंकन के साथ) $$\textstyle x_i\in N$$ के स्थान पर $$\textstyle x\in N$$ के रूप में लिखा जाता है, और ऐसे समाकल व्यंजकों में परिमित चर के लिए $$\textstyle x$$ का प्रयोग किया जा सकता है, जैसे कैम्पबेल के सिद्धांत में, जो यादृच्छिक बिंदुओं का प्रतिनिधित्व नहीं करता है। कभी-कभी बड़ा अक्षर बिंदु प्रक्रिया को दर्शाता है, जबकि छोटा अक्षर प्रक्रिया से एक बिंदु को दर्शाता है, इसलिए, उदाहरण के लिए, बिंदु $$\textstyle x$$ या $$\textstyle x_i$$ बिंदु प्रक्रिया $$\textstyle X$$ का भाग होता है या उसका बिंदु होता है, और समुच्चय अंकन के साथ $$\textstyle x\in X$$ या $$\textstyle x_i\in X$$ के रूप में लिखा जा सकता है।

इसके अतिरिक्त, समुच्चय सिद्धांत और समाकल या माप सिद्धांत अंकन का परस्पर उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन स्टेट स्पेस $$\textstyle {\mathbb{R}^d} $$ पर परिभाषित बिंदु प्रक्रिया $$\textstyle N$$ और $$\textstyle \mathbb{R}^d$$ पर (मापने योग्य) फलन $$\textstyle f$$ के लिए, व्यंजक


 * $$ \int_{\mathbb{R}^d} f(x)\,\mathrm dN(x)=\sum\limits_{x_i\in N} f(x_i), $$

दो विभिन्न विधियों को दिखाता है बिंदु प्रक्रिया पर एक योग को लिखने के लिए (कैम्पबेल की प्रमेय भी देखें (प्रायिकता))। अधिक विशेष रूप से, बाएं हाथ की ओर समाकल अंकन बिंदु प्रक्रिया को यादृच्छिक गणना माप के रूप में व्याख्या कर रहा है जबकि दाएं हाथ की ओर सम किसी यादृच्छिक समुच्चय व्याख्या प्रस्तावित करता है।

प्रकार्य और मोमेंट माप
प्रायिकता सिद्धांत में, विभिन्न उद्देश्यों के लिए यादृच्छिक संख्याओं पर संचालित किए जाते हैं। कभी-कभी ये संक्रियाएँ नियमित आपेक्षिक होती हैं जो किसी यादृच्छिक संख्या के औसत या प्रसारण का निर्माण करते हैं। अन्य, यादृच्छिक संख्या की विशेषता-कारक (या लाप्लास रूपांतरण) के रूप में उपयोग किए जा सकते हैं, जो यादृच्छिक संख्याओं की अद्वितीय पहचान करने या वर्गमूल सीमा सिद्धांत जैसे परिणामों को सिद्ध करने में सहायता प्रदान करते हैं। बिंदु प्रक्रिया के सिद्धांत में, इसी तरह के गणितीय साधन होते हैं जो सामान्यतः किसी माप और कार्यात्मक के रूप में होते हैं और किसी भी प्रकार के मोमेंट और फलन के के स्थान पर विद्यमान होते हैं।

लाप्लास प्रकार्य
किसी स्थान $$X$$ पर इंटेंसिटी माप $$\textstyle \Lambda$$ के साथ किसी पॉयसन बिंदु प्रक्रिया $$\textstyle N$$ के लिए, लाप्लास प्रकार्य निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:


 * $$ L_N(f)= \mathbb{E} e^{-\int_X f(x)\, N(\mathrm dx)} = e^{-\int_{X}(1-e^{-f(x)})\Lambda(\mathrm dx)}, $$

कैंपबेल के प्रमेय के एक संस्करण में पॉयसन बिंदु प्रक्रिया के लाप्लास प्रकार्य सम्मिलित है।

प्रायिकता जनित्र फलन
गैर-ऋणात्मक पूर्णांक-मूल्यवान यादृच्छिक चर का प्रायिकता जनित्र फलन किसी भी गैर-नकारात्मक परिबद्ध फलन $$\textstyle v$$ पर $$\textstyle \mathbb{R}^d$$ जैसे कि $$\textstyle 0\leq v(x) \leq 1$$ के संबंध में समान रूप से परिभाषित प्रायिकता जनित्र फलन की ओर जाता है। किसी बिंदु प्रक्रिया के लिए $$\textstyle {N}$$ प्रायिकता जनित्र फलन को परिभाषित किया गया है :
 * $$ G(v)=\operatorname E \left[\prod_{x\in N} v(x) \right] $$

जहां गुणनफल $ N $ में सभी बिंदुओं के लिए किया जाता है। यदि $$\textstyle {N}$$ की इंटेंसिटी माप $$\textstyle \Lambda$$ स्थानीय रूप से परिमित है, अतः $ G$, $$\textstyle \mathbb{R}^d$$ पर किसी भी मापनीय फलन $$\textstyle u$$ के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है। इंटेंसिटी माप $$\textstyle \Lambda$$ के साथ किसी पॉयसन बिंदु प्रक्रिया के लिए जनित्र फलन द्वारा दिया गया है:


 * $$ G(v)=e^{-\int_{\mathbb{R}^d} [1-v(x)]\,\Lambda(\mathrm dx)}, $$

जो समघाती स्थितियों में कम हो जाता है


 * $$ G(v)=e^{-\lambda\int_{\mathbb{R}^d} [1-v(x)]\,\mathrm dx}. $$

मोमेंट माप
इंटेंसिटी माप $$\textstyle \Lambda$$ के साथ एक सामान्य पॉयसन बिंदु प्रक्रिया के लिए प्रथम मोमेंट माप इसकी इंटेंसिटी माप है:


 * $$ M^1(B)=\Lambda(B), $$

जो सतत इंटेंसिटी $$\textstyle \lambda$$ के साथ समघातीय पॉयसन बिंदु प्रक्रिया के लिए है:


 * $$ M^1(B)=\lambda|B|, $$

जहां $$\textstyle |B|$$, $$\textstyle B$$ की लंबाई, क्षेत्रफल या आयतन (या अधिक सामान्यतः, लेबेस्ग माप) है।

मेके समीकरण
मेके समीकरण पॉयसन बिंदु प्रक्रिया की विशेषता बताता है। $$\mathbb{N}_\sigma$$ को कुछ सामान्य स्थान $$\mathcal{Q}$$ पर सभी $$\sigma$$-परिमित उपायों का स्थान दें। $$\mathcal{Q}$$ पर इंटेंसिटी $$\lambda$$ के साथ बिंदु प्रक्रिया $$\eta$$ पॉयसन बिंदु प्रक्रिया है यदि और केवल यदि सभी मापनीय फलनों के लिए $$f:\mathcal{Q}\times\mathbb{N}_\sigma\to \mathbb{R}_+$$ निम्नलिखित धारण करता है
 * $$\Pr \left[\int f(x,\eta)\eta(\mathrm{d}x)\right]=\int \Pr \left[ f(x,\eta+\delta_x) \right] \lambda(\mathrm{d}x)$$

अधिक जानकारी के लिए देखें।

क्रमगुणित मोमेंट माप
इंटेंसिटी माप $$\textstyle \Lambda$$ के साथ सामान्य पॉयसन बिंदु प्रक्रिया के लिए $$\textstyle n$$-वाँ तथ्यात्मक मोमेंट माप व्यंजक द्वारा दिया जाता है:
 * $$ M^{(n)}(B_1\times\cdots\times B_n)=\prod_{i=1}^n[\Lambda(B_i)], $$

जहां $$\textstyle \Lambda$$ इंटेंसिटी माप या $$\textstyle {N}$$ का प्रथम मोमेंट माप है, जो कि कुछ बोरेल समुच्चय $$\textstyle B$$ के द्वारा दिया जाता है
 * $$ \Lambda(B)=M^1(B)=\operatorname E[N(B)]. $$

किसी समघातीय पॉयसन बिंदु प्रक्रिया के लिए $$\textstyle n$$-वां क्रमगुणित मोमेंट मात्र है:


 * $$ M^{(n)}(B_1\times\cdots\times B_n)=\lambda^n \prod_{i=1}^n |B_i|, $$

जहां $$\textstyle |B_i|$$, $$\textstyle B_i$$ की लंबाई, क्षेत्रफल, या आयतन (या अधिक सामान्य रूप से, लेबेस्ग माप) है। इसके अतिरिक्त, $$\textstyle n$$-वां क्रमगुणित मोमेंट घनत्व है:


 * $$ \mu^{(n)}(x_1,\dots,x_n)=\lambda^n. $$

परिवर्जन फलन
परिवर्जन फलन या शून्य प्रायिकता $$\textstyle v$$ एक बिंदु प्रक्रिया का $$\textstyle {N}$$ कुछ सेट के संबंध में परिभाषित किया गया है $$\textstyle B$$, जो अंतर्निहित स्थान का सबसेट है $$\textstyle \mathbb{R}^d$$, बिना अंक की प्रायिकता के रूप में $$\textstyle {N}$$ में विद्यमान है $$\textstyle B$$. ज्यादा ठीक, एक परीक्षण सेट के लिए $$\textstyle B$$ परिवर्जन फलन द्वारा दिया जाता है:


 * $$ v(B)=\Pr \{N(B)=0\}. $$

इंटेंसिटी माप $$\textstyle \Lambda$$ के साथ एक सामान्य पॉयसन बिंदु प्रक्रिया $$\textstyle {N}$$ के लिए, इसका परिवर्जन फलन निम्न द्वारा दिया जाता है:


 * $$ v(B)=e^{-\Lambda(B)} $$

रेनी की प्रमेय
सरल बिंदु प्रक्रियाएं अपनी शून्यता प्रायिकताओं द्वारा पूर्ण रूप से वर्णीय होती हैं। अन्य शब्दों में, सरल बिंदु प्रक्रिया की पूर्ण जानकारी शून्यता प्रायिकताओं में पूरी तरह से प्रतिष्ठित होती है, और यदि और केवल यदि दो सरल बिंदु प्रक्रियाएं एक ही बिंदु प्रक्रियाएं हैं तो वे एक ही शून्यता प्रायिकताएं रखती हैं। पॉयसन प्रक्रिया के लिए स्थिति को कभी-कभी रेनी के सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, जो अल्फ्रेड रेनी द्वारा एक-विमा में समान प्रकार की किसी समानांतर बिंदु प्रक्रिया के स्थिति के लिए परिणाम की खोज करने के बाद नामित किया गया है।

एक रूप में, रेनी के सिद्धांत के अनुसार किसी विस्तरित (या गैर-अणुगत) रेडोन माप $$\textstyle \Lambda$$ पर $$\textstyle \mathbb{R}^d$$ और एक समुच्चय $$\textstyle A$$ है जो वर्गों के परिमित संघ है (इसलिए बोरेल नहीं है) तब यदि $$\textstyle N$$ ऐसा एक गणनीय उपसमुच्चय है जो $$\textstyle \mathbb{R}^d$$ का एक संख्यात्मक उपसमुच्चय होता है, जिसकी शर्तें हैं:


 * $$ \Pr \{N(A)=0\} = v(A) = e^{-\Lambda(A)} $$

तो $$\textstyle {N}$$ इंटेंसिटी माप $$\textstyle \Lambda$$ के साथ पॉयसन बिंदु प्रक्रिया है।

बिंदु प्रक्रिया संक्रियाएँ
नई बिंदु प्रक्रियाओं को प्राप्त करने और कुछ वस्तुओं के स्थानों के लिए नए गणितीय मॉडल विकसित करने के लिए गणितीय संक्रिया बिंदु प्रक्रियाओं पर किया जा सकता है। ऑपरेशन के एक उदाहरण को थिनिंग के रूप में जाना जाता है, जिसमें एक नियम के अनुसार कुछ बिंदु प्रक्रिया के बिंदुओं को हटाना सम्मिलित है, शेष बिंदुओं के साथ नई प्रक्रिया का निर्माण करना (हटाए गए बिंदु भी एक बिंदु प्रक्रिया बनाते हैं)।

विरलन
पॉयसन प्रक्रिया के लिए, स्वतंत्र $$\textstyle p(x)$$-विरलन संक्रिया के परिणामस्वरूप एक और पॉयसन बिंदु प्रक्रिया होती है। अधिक विशेष रूप से, इंटेंसिटी माप $$\textstyle \Lambda$$ के साथ एक पॉयसन बिंदु प्रक्रिया पर लागू एक $$\textstyle p(x)$$-विरलन संक्रिया हटाए गए बिंदुओं की एक बिंदु प्रक्रिया देता है जो पॉयसन बिंदु प्रक्रिया $$\textstyle {N}_p$$ की इंटेंसिटी माप $$\textstyle \Lambda_p$$ के साथ भी है, जो परिबद्ध बोरेल समुच्चय $$\textstyle B$$ के लिए दिया गया है:


 * $$ \Lambda_p(B)= \int_B p(x)\,\Lambda(\mathrm dx) $$

यह पॉयसन बिंदु प्रक्रिया के विरलन का परिणाम कभी-कभी प्रेकोपा के सिद्धांत के रूप में जाना जाता है। इसके अतिरिक्त, पॉयसन बिंदु प्रक्रिया को यादृच्छिक रूप से विरलन के बाद, शेष बिंदुओं भी पॉयसन बिंदु प्रक्रिया बनाते हैं, जिसका इंटेंसिटी माप है


 * $$ \Lambda_p(B)= \int_B (1-p(x))\,\Lambda(\mathrm dx). $$

हटाए गए और रखे गए बिंदुओं से क्रमशः बनने वाली दो अलग-अलग पॉयसन बिंदु प्रक्रियाएं एक दूसरे से प्रसंभाव्य रूप से स्वतंत्र हैं। दूसरे शब्दों में, यदि किसी क्षेत्र को $$\textstyle n$$ रखे हुए बिंदुओं (मूल पॉयसन बिंदु प्रक्रिया से) के लिए जाना जाता है, तो उसी क्षेत्र में हटाए गए बिंदुओं की यादृच्छिक संख्या पर इसका कोई प्रभाव नहीं पड़ेगा। यादृच्छिक रूप से एक से दो स्वतंत्र पॉयसन बिंदु प्रक्रियाओं को बनाने की इस क्षमता को कभी-कभी विभाजन पॉयसन बिंदु प्रक्रिया के रूप में जाना जाता है।

अध्यारोपण
यदि बिंदु प्रक्रियाओं $$\textstyle N_1,N_2,\dots$$ का गणनीय संग्रह है, तो उनका अध्यारोपण, या, समुच्चय सिद्धांत लैंग्वेज में, उनका संघ, जो निम्नलिखित है
 * $$ N=\bigcup_{i=1}^\infty N_i, $$

बिंदु प्रक्रिया भी बनाता है। दूसरे शब्दों में, किसी भी बिंदु प्रक्रिया $$\textstyle N_1,N_2\dots$$ में स्थित कोई भी बिंदु इन बिंदु प्रक्रियाओं $$\textstyle {N}$$ के अध्यारोपण में स्थित होगा।

अध्यारोपण प्रमेय
पॉयसन बिंदु प्रक्रिया के अध्यारोपण प्रमेय का कहना है कि औसत माप $$\textstyle \Lambda_1,\Lambda_2,\dots$$ के साथ स्वतंत्र पॉयसन बिंदु प्रक्रिया $$\textstyle N_1,N_2\dots$$ का अध्यारोपण भी औसत माप के साथ एक पॉयसन बिंदु प्रक्रिया होगी


 * $$ \Lambda=\sum_{i=1}^\infty \Lambda_i. $$

दूसरे शब्दों में, दो (या गणनीय रूप से अधिक) पॉयसन प्रक्रियाओं का यूनियन अन्य पॉयसन प्रक्रिया है। यदि बिंदु $ x$ को पॉयसन प्रक्रियाओं के गणनीय $ n$  यूनियन से सैंपल लिया जाता है, अतः प्रायिकता है कि बिंदु $$\textstyle x$$, $ j$  यूनियन प्रक्रिया $ N_j$  के अंतर्गत आता है:


 * $$ \Pr \{x\in N_j\}=\frac{\Lambda_j}{\sum_{i=1}^n\Lambda_i}. $$

इंटेंसिटी $ \lambda_1,\lambda_2\dots$ के साथ दो समघातीय पॉयसन प्रक्रियाओं के लिए, पूर्व दो व्यंजक निम्नलिखित परिवर्तित हो जाते है


 * $$ \lambda=\sum_{i=1}^\infty \lambda_i, $$

और


 * $$ \Pr \{x\in N_j\}=\frac{\lambda_j}{\sum_{i=1}^n \lambda_i}. $$

क्लस्टरिंग
जब किसी बिंदु प्रक्रिया $$\textstyle {N}$$ के प्रत्येक बिंदु $$\textstyle x$$ को दूसरे (संभवतः अलग) बिंदु प्रक्रिया से प्रतिस्थापित किया जाता है, तब ऑपरेशन क्लस्टरिंग का उपयोग किया जाता है। यदि मूल प्रक्रिया $$\textstyle {N}$$ पॉयसन बिंदु प्रक्रिया है, तो परिणामस्वरूपी प्रक्रिया $$\textstyle {N}_c$$ को पॉयसन क्लस्टर बिंदु प्रक्रिया कहा जाता है।

यादृच्छिक विस्थापन
गणितीय मॉडल को कभी-कभी यादृच्छिक रूप से गतिमान बिंदुओं की आवश्यकता होती है ताकि उन्हें मूल गणितीय समष्टि पर अन्य स्थानों पर ले जाया जा सके, जिससे बिंदु प्रक्रिया संक्रिया का उत्पन्न होता है जिसे 'स्थानांतरण' या 'स्थानांकन' के नाम से जाना जाता है। पॉयसन बिंदु प्रक्रिया का उपयोग करके, उदाहरण के लिए, पौधों के पीढ़ियों के बीच चलने का मॉडल बनाने के लिए उपयोग किया गया है, जो 'स्थानांतरण सिद्धांत' के कारण है, जिसका ठीक-ठीक अर्थ होता है कि पॉयसन बिंदु प्रक्रिया के बिंदुओं का यादृच्छिक स्वतंत्र स्थानांतरण (एक ही मूल समष्टि पर) दूसरी पॉयसन बिंदु प्रक्रिया बनाता है।

विस्थापन प्रमेय
किसी संस्करण में, स्थानांतरण सिद्धांत में पॉयसन बिंदु प्रक्रिया $$\textstyle {N}$$ को $$\textstyle \mathbb{R}^d$$ पर इंटेंसिटी फलन $$\textstyle \lambda(x)$$ के साथ निर्धारित किया जाता है। इसके बाद माना जाता है कि $$\textstyle {N}$$ के बिंदुओं को यादृच्छिक रूप से $$\textstyle \mathbb{R}^d$$ में कहीं और स्थानांतरित किया जाता है, जिससे प्रत्येक बिंदु का स्थानांतरण स्वतंत्र होता है और एक का विस्थापन पूर्व में $$\textstyle x$$ पर बिंदु प्रायिकता घनत्व $$\textstyle \rho(x,\cdot)$$ के साथ यादृच्छिक सदिश होता है। इसके बाद स्थानांतरण से प्राप्त होने वाली नई बिंदु प्रक्रिया, जिसे $$\textstyle N_D$$ के रूप में चिह्नित किया जाता है, भी पॉयसन बिंदु प्रक्रिया होती है जिसका इंटेंसिटी फलन


 * $$ \lambda_D(y)=\int_{\mathbb{R}^d} \lambda(x) \rho(x,y)\,\mathrm dx. $$

यदि पॉयसन प्रक्रिया $$\textstyle\lambda(x) = \lambda > 0$$ के साथ समघातीय है और यदि $$\rho(x, y)$$, $$y-x$$ का फलन है, अतः


 * $$ \lambda_D(y)=\lambda. $$

दूसरे शब्दों में, बिंदुओं के प्रत्येक यादृच्छिक और स्वतंत्र विस्थापन के बाद, मूल पॉयसन बिंदु प्रक्रिया अभी भी विद्यमान है।

विस्थापन प्रमेय को विस्थापित किया जा सकता है ताकि पॉयसन बिंदुओं को यूक्लिडियन समष्टि $$\textstyle \mathbb{R}^d$$ से यूक्लिडियन समष्टि $$\textstyle \mathbb{R}^{d'}$$ में यादृच्छिक रूप से विस्थापित किया जाए, जहां $$\textstyle d'\geq 1$$, $$\textstyle d$$ के बराबर नहीं होता है।

मैपिंग
अन्य गुणधर्म जिसे उपयोगी माना जाता है वह अंतर्निहित समष्टि से दूसरे स्थान पर पॉयसन बिंदु प्रक्रिया को मैप करने की क्षमता है।

मैपिंग प्रमेय
यदि मैपिंग (या परिवर्तन) कुछ शर्तों का पालन करता है, तो परिणामस्वरूप मैप किए गए (या परिवर्तित) बिंदुओं का संग्रह भी पॉयसन बिंदु प्रक्रिया बनाता है, और इस परिणाम को कभी-कभी मैपिंग सिद्धांत के रूप में संदर्भित किया जाता है। यह सिद्धांत किसी मूलभूत स्थान पर कुछ पॉयसन बिंदु प्रक्रिया के साथ संबंधित होता है जिसमें माध्यम माप $$\textstyle \Lambda$$ होती है। यदि बिंदुओं की स्थानों को किसी फलन के अनुसार (अर्थात बिंदु प्रक्रिया परिवर्तित की जाती है) किसी अन्य मूलभूत स्थान में मैप किया जाता है, तो परिणामस्वरूप बिंदु प्रक्रिया भी एक पॉयसन बिंदु प्रक्रिया होती है, लेकिन एक अलग माध्यम माप $$\textstyle \Lambda'$$ के साथ।

अधिक विशेष रूप से, (बोरेल मापने योग्य) फलन $$\textstyle f$$ पर विचार किया जा सकता है जो बिंदु प्रक्रिया $$\textstyle {N}$$ को इंटेंसिटी माप $$\textstyle \Lambda$$ के साथ किसी स्थान $$\textstyle S$$ से दूसरे स्थान $$\textstyle T$$ तक इस तरह से मैप करता है ताकि नई बिंदु प्रक्रिया $$\textstyle {N}'$$ में इंटेंसिटी का माप हो:


 * $$ \Lambda(B)'=\Lambda(f^{-1}(B)) $$

जहां $$\textstyle B$$ बोरेल समुच्चय है और $$\textstyle f^{-1}$$ फलन $$\textstyle f$$ का व्युत्क्रम होता है, जहाँ कोई अणु नहीं होते हैं। यदि $$\textstyle {N}$$ पॉयसन बिंदु प्रक्रिया है, तो नवीन प्रक्रिया $$\textstyle {N}'$$ भी पॉयसन बिंदु प्रक्रिया है जिसमें घनत्व माप $$\textstyle \Lambda'$$ होती है।

पॉयसन बिंदु प्रक्रियाओं के साथ सन्निकटन
पॉयसन प्रक्रिया की सुवाह्यता का मतलब है कि कभी-कभी एक पॉयसन के साथ एक गैर-पॉयसन बिंदु प्रक्रिया का अनुमान लगाना सुविधाजनक होता है। समग्र उद्देश्य किसी बिंदु प्रक्रिया के अंकों की संख्या और प्रत्येक बिंदु के स्थान को एक पॉयसन बिंदु प्रक्रिया द्वारा अनुमानित करना है। ऐसी कई विधियाँ हैं जिनका उपयोग अनौपचारिक रूप से या कठोर रूप से उचित पॉयसन बिंदु प्रक्रियाओं के साथ यादृच्छिक घटनाओं या घटनाओं की घटना का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है। अधिक कठोर तरीकों में पॉसों और गैर-पॉयसन बिंदु प्रक्रियाओं के बीच प्रायिकता मेट्रिक्स पर ऊपरी सीमा प्राप्त करना शामिल है, जबकि अन्य तरीकों को कम औपचारिक अनुमानों द्वारा उचित ठहराया जा सकता है।

क्लंपिंग ह्यूरिस्टिक
पॉयसन प्रक्रियाओं के साथ यादृच्छिक घटनाओं या परिघटनाओं का अनुमान लगाने की एक विधि को क्लंपिंग ह्यूरिस्टिक कहा जाता है। सामान्य हेयुरिस्टिक या सिद्धांत में पॉयसन बिंदु प्रक्रिया (या पॉयसन बंटन) का उपयोग अनुमानित घटनाओं के लिए करना शामिल है, जिन्हें कुछ स्टोकास्टिक प्रक्रिया के दुर्लभ या असंभव माना जाता है। कुछ मामलों में ये दुर्लभ घटनाएँ स्वतंत्र होने के करीब हैं, इसलिए पॉसों बिंदु प्रक्रिया का उपयोग किया जा सकता है। जब घटनाएँ स्वतंत्र नहीं होती हैं, लेकिन समूहों या गुच्छों में घटित होती हैं, तो यदि इन गुच्छों को उपयुक्त रूप से इस तरह परिभाषित किया जाता है कि वे लगभग एक दूसरे से स्वतंत्र हैं, तो घटित होने वाले गुच्छों की संख्या पॉयसन यादृच्छिक चर के करीब होगी और गुच्छों के स्थान पॉयसन प्रक्रिया के करीब होंगे।

स्टीन की विधि
स्टीन की विधि एक गणितीय तकनीक है जिसे मूल रूप से गाऊसी  और पॉयसन चर जैसे यादृच्छिक चर के अनुमान के लिए विकसित किया गया है, जिसे बिंदु प्रक्रियाओं पर भी लागू किया गया है। स्टीन की विधि का उपयोग प्रायिकता मेट्रिक्स पर ऊपरी सीमा को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है, जो यह निर्धारित करने का तरीका देता है कि दो अलग-अलग यादृच्छिक गणितीय वस्तुएं प्रसंभाव्य रूप से भिन्न होती हैं। प्रायिकता मेट्रिक्स जैसे कि कुल भिन्नता और वासेरस्टीन दूरी पर ऊपरी सीमाएं निकाली गई हैं।

शोधकर्ताओं ने स्टीन की विधि को पॉयसन बिंदु प्रक्रियाओं में कई तरीकों से लागू किया है, जैसे हथेली की पथरी का उपयोग करना। स्टीन की विधि पर आधारित तकनीकों को ऊपरी सीमा में कारक बनाने के लिए विकसित किया गया है, जैसे कि थिनिंग और अध्यारोपण जैसे कुछ बिंदु प्रक्रिया संक्रियाएँ के प्रभाव। स्टीन की विधि का उपयोग पॉयसन के मेट्रिक्स और अन्य प्रक्रियाओं जैसे कि कॉक्स प्वाइंट प्रक्रिया पर ऊपरी सीमा को प्राप्त करने के लिए भी किया गया है, जो कि यादृच्छिक इंटेंसिटी माप के साथ पॉयसन प्रक्रिया है।

एक पॉयसन बिंदु प्रक्रिया के लिए अभिसरण
सामान्य तौर पर, जब एक ऑपरेशन को एक सामान्य बिंदु प्रक्रिया पर लागू किया जाता है, तो परिणामी प्रक्रिया आमतौर पर पॉयसन बिंदु प्रक्रिया नहीं होती है। उदाहरण के लिए, यदि पॉयसन के अलावा एक बिंदु प्रक्रिया के अंक यादृच्छिक रूप से और स्वतंत्र रूप से विस्थापित हो जाते हैं, तो प्रक्रिया जरूरी नहीं कि एक पॉयसन बिंदु प्रक्रिया हो। हालाँकि, मूल बिंदु प्रक्रिया और यादृच्छिक विस्थापन दोनों के लिए कुछ गणितीय स्थितियों के तहत, यह सीमा प्रमेय के माध्यम से दिखाया गया है कि यदि एक बिंदु प्रक्रिया के बिंदुओं को बार-बार यादृच्छिक और स्वतंत्र तरीके से विस्थापित किया जाता है, तो बिंदु का परिमित-बंटन प्रक्रिया (कमजोर रूप से) पॉसों बिंदु प्रक्रिया में परिवर्तित हो जाएगी। इसी तरह के अभिसरण परिणाम थिनिंग और सुपरपोजिशन ऑपरेशंस के लिए विकसित किए गए हैं जो दर्शाता है कि बिंदु प्रक्रियाओं पर इस तरह के दोहराए गए संक्रियाएँ, कुछ शर्तों के तहत, एक पॉयसन बिंदु प्रक्रियाओं में परिवर्तित होने वाली प्रक्रिया में परिणाम कर सकते हैं, बशर्ते कि इंटेंसिटी माप का एक उपयुक्त पुनर्विक्रय किया जाए (अन्यथा परिणामी बिंदु प्रक्रियाओं की इंटेंसिटी माप के मान शून्य तक पहुंच जाएंगे या अनंतता)। इस तरह के अभिसरण कार्य सीधे पाम-खिनचिन के नाम से जाने जाने वाले परिणामों से संबंधित हैं समीकरण, जिसकी उत्पत्ति कोनी पाम और अलेक्सांद्र खिनचिन के कार्यों में हुई है, और यह समझाने में मदद करता है कि पॉसों प्रक्रिया को अक्सर विभिन्न यादृच्छिक घटनाओं के गणितीय मॉडल के रूप में क्यों उपयोग किया जा सकता है।

पॉयसन बिंदु प्रक्रियाओं का सामान्यीकरण
पॉयसन बिंदु प्रक्रिया को सामान्यीकृत किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, इसकी इंटेंसिटी माप को बदलकर या अधिक सामान्य गणितीय रिक्त स्थान पर परिभाषित करके। इन सामान्यीकरणों का गणितीय रूप से अध्ययन किया जा सकता है और साथ ही गणितीय रूप से मॉडल या भौतिक घटनाओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जा सकता है।

पॉयसन-प्रकार के यादृच्छिक उपाय
पॉयसन-प्रकार के यादृच्छिक उपाय (पीटी) तीन यादृच्छिक गणना उपायों का एक परिवार है जो एक उप-स्थान के प्रतिबंध के तहत बंद होते हैं, अर्थात प्वाइंट प्रोसेस ऑपरेशन # थिनिंग के तहत बंद होते हैं। ये यादृच्छिक उपाय मिश्रित द्विपद प्रक्रिया के उदाहरण हैं और पॉयसन यादृच्छिक माप की बंटनात्मक स्व-समानता संपत्ति को साझा करते हैं। वे इस संपत्ति के अधिकारी होने के लिए बंटन के विहित गैर-नकारात्मक शक्ति श्रृंखला परिवार के एकमात्र सदस्य हैं और इसमें पॉसों बंटन, नकारात्मक द्विपद बंटन और द्विपद बंटन शामिल हैं। पॉयसन यादृच्छिक माप असम्बद्ध उप-स्थानों पर स्वतंत्र है, जबकि अन्य पीटी यादृच्छिक उपायों (नकारात्मक द्विपद और द्विपद) में धनात्मक और ऋणात्मक सहप्रसरण होते हैं। पीटी यादृच्छिक उपायों पर चर्चा की जाती है और पॉयसन यादृच्छिक माप, ऋणात्मक द्विपद यादृच्छिक माप, और द्विपद यादृच्छिक माप शामिल करें।

अधिक सामान्य स्थानों पर पॉयसन बिंदु प्रक्रियाएं
गणितीय मॉडल के लिए पॉयसन बिंदु प्रक्रिया को अक्सर यूक्लिडियन अंतरिक्ष में परिभाषित किया जाता है, लेकिन अधिक अमूर्त स्थानों के लिए सामान्यीकृत किया गया है और यादृच्छिक उपायों के अध्ययन में मौलिक भूमिका निभाता है,  जिसके लिए प्रायिकता सिद्धांत, माप सिद्धांत और टोपोलॉजी जैसे गणितीय क्षेत्रों की समझ की आवश्यकता होती है। सामान्य तौर पर, दूरी की अवधारणा अनुप्रयोगों के लिए व्यावहारिक रुचि की है, जबकि पाम बंटन के लिए टोपोलॉजिकल संरचना की आवश्यकता होती है, जिसका अर्थ है कि बिंदु प्रक्रियाओं को आमतौर पर मेट्रिक्स के साथ गणितीय रिक्त स्थान पर परिभाषित किया जाता है। इसके अलावा, एक बिंदु प्रक्रिया की प्राप्ति को गिनती के उपाय के रूप में माना जा सकता है, इसलिए बिंदु प्रक्रियाएं यादृच्छिक उपायों के प्रकार हैं जिन्हें यादृच्छिक गिनती उपायों के रूप में जाना जाता है। इस संदर्भ में, पॉयसन और अन्य बिंदु प्रक्रियाओं का स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट दूसरे गणनीय हौसडॉर्फ स्पेस पर अध्ययन किया गया है।

कॉक्स प्वाइंट प्रक्रिया
एक कॉक्स बिंदु प्रक्रिया, कॉक्स प्रक्रिया या दोगुनी प्रसंभाव्य पॉयसन प्रक्रिया पॉयसन बिंदु प्रक्रिया का एक सामान्यीकरण है जो इसकी इंटेंसिटी माप देती है। $$\textstyle \Lambda$$ अंतर्निहित पॉयसन प्रक्रिया से भी यादृच्छिक और स्वतंत्र होना। इस प्रक्रिया का नाम डेविड कॉक्स (सांख्यिकीविद) के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इसे 1955 में पेश किया था, हालांकि यादृच्छिक इंटेंसिटी वाली अन्य पॉयसन प्रक्रियाओं को स्वतंत्र रूप से पहले लुसिएन ले कैम और मौरिस क्वेनौली द्वारा पेश किया गया था। इंटेंसिटी माप यादृच्छिक चर या यादृच्छिक क्षेत्र का अहसास हो सकता है। उदाहरण के लिए, यदि इंटेंसिटी माप का प्राकृतिक लघुगणक गॉसियन यादृच्छिक क्षेत्र है, तो परिणामी प्रक्रिया को लॉग गॉसियन कॉक्स प्रक्रिया के रूप में जाना जाता है। अधिक आम तौर पर, इंटेंसिटी के उपाय एक गैर-नकारात्मक स्थानीय परिमित यादृच्छिक माप की प्राप्ति है। कॉक्स बिंदु प्रक्रियाएं बिंदुओं के क्लस्टरिंग को प्रदर्शित करती हैं, जिसे गणितीय रूप से पॉयसन बिंदु प्रक्रियाओं की तुलना में बड़ा दिखाया जा सकता है। कॉक्स प्रक्रियाओं की व्यापकता और सुवाह्यता के परिणामस्वरूप उन्हें स्थानिक सांख्यिकी जैसे क्षेत्रों में मॉडल के रूप में उपयोग किया जा रहा है और वायरलेस नेटवर्क।

चिह्नित पॉयसन बिंदु प्रक्रिया
किसी दिए गए बिंदु प्रक्रिया के लिए, बिंदु प्रक्रिया के प्रत्येक यादृच्छिक बिंदु में एक यादृच्छिक गणितीय वस्तु हो सकती है, जिसे चिह्न के रूप में जाना जाता है, इसे यादृच्छिक रूप से असाइन किया जाता है। ये चिह्न पूर्णांक, वास्तविक संख्या, रेखाएँ, ज्यामितीय वस्तुएँ या अन्य बिंदु प्रक्रियाओं के रूप में विविध हो सकते हैं। बिंदु प्रक्रिया के एक बिंदु और उसके संबंधित चिह्न वाली जोड़ी को एक चिह्नित बिंदु कहा जाता है, और सभी चिह्नित बिंदु एक चिह्नित बिंदु प्रक्रिया बनाते हैं। अक्सर यह माना जाता है कि यादृच्छिक अंक एक दूसरे से स्वतंत्र होते हैं और समान रूप से वितरित होते हैं, फिर भी एक बिंदु का निशान अंतर्निहित (राज्य) स्थान में इसके संबंधित बिंदु के स्थान पर निर्भर हो सकता है। रेफरी नाम= किंगमैन 1992पृष्ठ55 >{{cite book|author=J. F. C. Kingman|title=पोइसन प्रक्रियाएं|url=https://books.google.com/books?id=VEiM-OtwDHkC|date=17 December 1992|publisher=Clarendon Press|isbn=978-0-19-159124-2|page=55} यदि अंतर्निहित बिंदु प्रक्रिया एक प्वॉइसन बिंदु प्रक्रिया है, तो परिणामी बिंदु प्रक्रिया एक चिन्हित पॉइसन बिंदु प्रक्रिया है। रेफ नाम = बेसेलीब्लास्ज़ज़ीस्ज़िन2009पृष्ठ291 >

अंकन प्रमेय
यदि एक सामान्य बिंदु प्रक्रिया को कुछ गणितीय स्थान पर परिभाषित किया जाता है और यादृच्छिक चिह्नों को किसी अन्य गणितीय स्थान पर परिभाषित किया जाता है, तो चिह्नित बिंदु प्रक्रिया को इन दो स्थानों के कार्टेशियन उत्पाद पर परिभाषित किया जाता है। स्वतंत्र और समान रूप से वितरित अंकों के साथ चिन्हित पॉयसन बिंदु प्रक्रिया के लिए, अंकन प्रमेय बताता है कि यह चिह्नित बिंदु प्रक्रिया भी एक (गैर-चिह्नित) पॉयसन बिंदु प्रक्रिया है जो दो गणितीय रिक्त स्थान के पूर्वोक्त कार्तीय उत्पाद पर परिभाषित है, जो सामान्य बिंदु प्रक्रियाओं के लिए सही नहीं है।

कंपाउंड पॉयसन बिंदु प्रक्रिया
यौगिक पॉयसन बिंदु प्रक्रिया या यौगिक पॉयसन प्रक्रिया कुछ अंतर्निहित स्थान पर परिभाषित पॉयसन बिंदु प्रक्रिया के प्रत्येक बिंदु पर यादृच्छिक मान या भार जोड़कर बनाई जाती है, इसलिए प्रक्रिया एक चिह्नित पॉयसन बिंदु प्रक्रिया से निर्मित होती है, जहां निशान स्वतंत्र का एक संग्रह बनाते हैं। और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर गैर-नकारात्मक यादृच्छिक चर। दूसरे शब्दों में, मूल पॉयसन प्रक्रिया के प्रत्येक बिंदु के लिए, एक स्वतंत्र और समान रूप से वितरित गैर-नकारात्मक यादृच्छिक चर होता है, और फिर पॉसों प्रक्रिया के बिंदुओं के अनुरूप सभी यादृच्छिक चर के योग से यौगिक पॉयसन प्रक्रिया बनती है। अंतर्निहित गणितीय स्थान के कुछ क्षेत्र में।

यदि पॉसों बिंदु प्रक्रिया से गठित एक चिह्नित पॉसॉन बिंदु प्रक्रिया है $$\textstyle N$$ (पर परिभाषित, उदाहरण के लिए, $$\textstyle \mathbb{R}^d$$) और स्वतंत्र और समान रूप से वितरित गैर-नकारात्मक अंकों का संग्रह $$\textstyle \{M_i\}$$ ऐसा है कि प्रत्येक बिंदु के लिए $$\textstyle x_i$$ पॉयसन प्रक्रिया की $$\textstyle N$$ एक गैर-ऋणात्मक यादृच्छिक चर है $$\textstyle M_i$$, परिणामी यौगिक पॉयसन प्रक्रिया तब है:
 * $$ C(B)=\sum_{i=1}^{N(B)} M_i ,$$

जहाँ $$\textstyle B\subset \mathbb{R}^d$$ एक बोरेल मापने योग्य सेट है।

यदि सामान्य यादृच्छिक चर $$\textstyle \{M_i\}$$ मान लें, उदाहरण के लिए, $$\textstyle d$$-विमीय यूक्लिडियन अंतरिक्ष $$\textstyle \mathbb{R}^d$$, परिणामी यौगिक पॉयसन प्रक्रिया लेवी प्रक्रिया का एक उदाहरण है, बशर्ते कि यह एक समघाती बिंदु प्रक्रिया से बनाई गई हो $$\textstyle N$$ गैर-ऋणात्मक संख्याओं पर परिभाषित $$\textstyle [0, \infty) $$.

इंटेंसिटी कार्यों के घातीय चौरसाई के साथ विफलता प्रक्रिया
इंटेंसिटी कार्यों (एफपी-ईएसआई) के घातीय चौरसाई के साथ विफलता प्रक्रिया गैर-समरूप पॉयसन प्रक्रिया का विस्तार है। FP-ESI का इंटेंसिटी फंक्शन घटना घटित होने के अंतिम समय बिंदुओं पर इंटेंसिटी फंक्शन का एक्सपोनेंशियल स्मूथिंग फंक्शन है और 8 वास्तविक-विश्व विफलता डेटासेट पर अन्य नौ प्रसंभाव्य प्रक्रियाओं को मात देता है जब मॉडल डेटासेट को फिट करने के लिए उपयोग किए जाते हैं, जहां मॉडल के प्रदर्शन को एआईसी (एकाइक सूचना मानदंड) और बीआईसी (बायेसियन सूचना मानदंड) के संदर्भ में मापा जाता है।

यह भी देखें

 * बूलियन मॉडल (संभाव्यता सिद्धांत)
 * सातत्य रिसाव सिद्धांत
 * यौगिक पॉयसन प्रक्रिया
 * कॉक्स प्रक्रिया
 * बिंदु प्रक्रिया
 * स्टोकेस्टिक ज्यामिति
 * वायरलेस नेटवर्क के प्रसंभाव्य ज्यामिति मॉडल
 * मार्कोवियन आगमन प्रक्रियाएं

लेख


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