असोसिएहेड्रोन

गणित में, असोसिएहेड्रॉन K_n एक (n-2)-आयामी व्यासीय बहुभुज होता है जिसमें प्रत्येक शिखर n अक्षरों की एक शृंखला          में खोलने और बंद करने के सही ढंग को दर्शाता है, और एज को एसोसिएटिविटी नियम के एकल आवेदन के संबंध में दर्शाता है। समानता से, असोसिएहेड्रॉन के शिखर एक नियमित बहुभुज के n + 1 सिरों के त्रिकोणीकरणों के संबंधित होते हैं और एज एकल विकर्ण को त्रिकोणीकरण से हटाकर एक अलग विकर्ण से बदलने को दर्शाते हैं। जिम स्टाशेफ के कार्य के उपरांत, असोसिएहेड्रों को स्टाशेफ पॉलिटोप के रूप में भी जाना जाता है, जिन्हें  डोव तमारी द्वारा उन पर पहले कार्य किया गया था। जिम स्टाशेफ ने इन्हें 1960 के दशक की प्रारंभ में पुनः खोजा था।

उदाहरण
एक आयामी असोसिएहेड्रॉन K3 तीन चिह्नों के ((xy)z) और (x(yz)) दो बाल-बंद निर्देशिकरणों, या एक वर्ग के दो त्रिकोणीकरणों को दर्शाता है। यह अपने आप में एक रेखाखंड है।

द्वि-आयामी एसोसिएहेड्रोन K4 चार प्रतीकों के पाँच कोष्ठकों का प्रतिनिधित्व करता है, यह स्वयं एक पंचभुज है और मोनॉइडल श्रेणी के पंचभुज आरेख से संबंधित होता है।

त्रि-आयामीअसोसिएहेड्रॉन K5एक नौ-भुज होता है जिसमें नौ भुजाएं होती हैं (तीन अलग-अलग चतुर्भुज और छह पंचभुज) और चौदह कोण होते हैं, और इसका द्विपरावर्तक त्रिकोणीय नामक प्रिज्म होता है।

बोध
शुरुआत में जिम स्टाशेफ ने इन वस्तुओं को वक्रीय  पॉलीटोप्स के रूप में माना। इसके बाद, उन्हें कई अलग-अलग तरीकों से उत्तल पॉलीटोप्स के रूप में निर्देशांक दिए गए; का परिचय देखें  सर्वेक्षण के लिए। एसोसिएहेड्रोन को साकार करने का एक तरीका एक नियमित बहुभुज के ज्यामितीय ग्राफ सिद्धांत के रूप में है। इस निर्माण में, n + 1 भुजाओं वाले एक नियमित बहुभुज का प्रत्येक त्रिभुज (n + 1)-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक बिंदु से मेल खाता है, जिसका ith निर्देशांक बहुभुज के iवें शीर्ष पर त्रिभुजों का कुल क्षेत्रफल है। उदाहरण के लिए, इकाई वर्ग के दो त्रिकोण निर्देशांक (1, 1/2, 1, 1/2) और (1/2, 1, 1/2, 1) के साथ दो चार-आयामी बिंदुओं को इस तरह से जन्म देते हैं।. इन दो बिंदुओं का उत्तल हल एसोसिएहेड्रोन के की प्राप्ति है3. यद्यपि यह 4-आयामी स्थान में रहता है, यह उस स्थान के भीतर एक रेखा खंड (एक 1-आयामी पॉलीटॉप) बनाता है। इसी प्रकार, एसोसिएहेड्रोन के4 इस तरह से पांच-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक नियमित पेंटागन के रूप में महसूस किया जा सकता है, जिसके शीर्ष निर्देशांक वेक्टर के चक्रीय क्रमपरिवर्तन हैं (1, 2 + φ, 1, 1 + φ, 1 + φ) जहां φ सुनहरे अनुपात को दर्शाता है. क्योंकि एक नियमित षट्भुज के भीतर संभावित त्रिभुजों में ऐसे क्षेत्र होते हैं जो एक दूसरे के पूर्णांक गुणक होते हैं, इस निर्माण का उपयोग पूर्णांक निर्देशांक (छह आयामों में) को त्रि-आयामी एसोसिएहेड्रोन के देने के लिए किया जा सकता है।5; हालांकि (के के उदाहरण के रूप में4 पहले से ही दिखाता है) यह निर्माण सामान्य रूप से अपरिमेय संख्याओं को निर्देशांक के रूप में ले जाता है।

जीन लुइस लॉडे के कारण एक और अहसास, एन-लीफ जड़ वाला बाइनरी ट्री  के साथ एसोसियाहेड्रोन के कोने के पत्राचार पर आधारित है, और सीधे (n − 2)-आयामी अंतरिक्ष में पूर्णांक निर्देशांक उत्पन्न करता है। लोडे की प्राप्ति का iवां निर्देशांक है aibi, जहाँ एकiपेड़ के iवें आंतरिक नोड (बाएं से दाएं क्रम में) के बाएं बच्चे के पत्ते के वंशजों की संख्या है और बीiसही बच्चे के पत्ते के वंशजों की संख्या है। एसोसियाहेड्रॉन को सीधे (n − 2)-आयामी अंतरिक्ष में एक पॉलीटॉप के रूप में महसूस करना संभव है, जिसके लिए सभी सामान्य (ज्यामिति) में निर्देशांक हैं जो 0, +1, या -1 हैं। ऐसा करने के घातीय रूप से कई संयोजी रूप से भिन्न तरीके हैं।

क्योंकि के5 एक पॉलीहेड्रॉन है जिसमें केवल कोने होते हैं जिसमें 3 किनारे एक साथ आते हैं, हाइड्रोकार्बन के अस्तित्व के लिए संभव है (प्लेटोनिक हाइड्रोकार्बन के समान) जिसका रासायनिक संरचना के कंकाल द्वारा दर्शाया गया है5. यह "एसोसिएथेरेन" सी14H14 SMILES अंकन होगा: C12-C3-C4-C1-C5-C6-C2-C7-C3-C8-C4-C5-C6-C78। इसके किनारे लगभग समान लंबाई के होंगे, लेकिन प्रत्येक फलक के शीर्ष आवश्यक रूप से समतलीय नहीं होंगे।

दरअसल, के5 लगभग निकट-मिस जॉनसन ठोस है: ऐसा लगता है कि वर्गों और नियमित पेंटागन से बनाना संभव हो सकता है, लेकिन ऐसा नहीं है। या तो शीर्ष समतलीय नहीं होंगे, या चेहरों को नियमितता से थोड़ा दूर विकृत करना होगा।

के-चेहरों की संख्या
आदेश n के असोसिएहेड्रन (Kn+1) के (n-k) आयामी चेहरों की संख्या को संख्या त्रिज्या (n,k) द्वारा दी गई है, जो दाहिने तरफ दिखाई देती है।

K में शीर्षों की संख्याn+1 n-वें समुच्चयों की संख्या त्रिकोण में दायां विकर्ण है।

Kn+1 (n≥2 के लिए) में पहलुओं की संख्या n-वें त्रिकोणीय संख्या शून्य से एक (त्रिकोण में दूसरा स्तंभ) है, क्योंकि प्रत्येक पहलू n वस्तुओं के 2-उपसमूह से मेल खाता है जिनके समूह तामारी जाली बनाते हैं Tn, 2-उपसमुच्चय को छोड़कर जिसमें पहला और अंतिम तत्व होता है।

सभी आयामों के चेहरों की संख्या एक श्रोडर-हिप्पार्कस संख्या त्रिभुज की पंक्ति संख्या है।

व्यास
1980 के दशक के उत्तरार्ध में, रोटेशन दूरी की समस्या के संबंध में, डेनियल स्लेटर, रॉबर्ट टार्जन और विलियम थर्स्टन ने एक प्रमाण प्रदान किया कि एन-डायमेंशनल एसोसिएहेड्रोन के व्यासn + 2 अपरिमित रूप से कई n और n के सभी बड़े पर्याप्त मानों के लिए अधिक से अधिक 2n − 4 है। उन्होंने प्रमाणित किया कि n के लिए यह ऊपरी सीमा वही होती है जब n अधिक बड़ा होता है, और यह अनुमान लगाया गया था कि "अधिक बड़ा" का अर्थ "9 से तीव्र रूप से अधिक" होता है। यह अनुमान 2012 में लियोनेल पोर्निन द्वारा प्रमाणित किया गया।

प्रकीर्णन आयाम
2017 में, मिज़ेरा और अरकानी-हमीद एट अल ने दिखाया कि द्वि-आसन्न क्यूबिक स्केलर सिद्धांत के लिए स्कैटरिंग एम्पलीट्यूड के सिद्धांत में एसोसिएड्रॉन एक केंद्रीय भूमिका निभाता है। विशेष रूप से, बिखरने वाले कीनेमेटीक्स के स्थान में एक एसोसिएहेड्रोन उपस्थित है, और पेड़ के स्तर के बिखरने का द्विआयामी एसोसिएहेड्रोन का आयतन है। शृंखला सिद्धांत में खुले और बंद शृंखला के बिखरने वाले आयामों के बीच संबंधों को समझाने में एसोसिएड्रॉन भी सहायता करता है।

यह भी देखें

 * साइक्लोहेड्रॉन, एक पॉलीटॉप जिसकी परिभाषा कोष्ठकों को चक्रीय क्रम में चारों ओर लपेटने की अनुमति देती है।
 * फ्लिप ग्राफ, एन-कंकाल का एक सामान्यीकरण | एसोसिएहेड्रोन का 1-कंकाल।
 * Permutohedron, एक पॉलीटॉप जिसे क्रमविनिमेयता  से उसी तरह से परिभाषित किया जाता है जैसे कि एसोसिएटिविटी से एसोसिएशनहेड्रोन की परिभाषा।
 * परमुटोएसोसियाहेड्रोन, एक पॉलीटॉप जिसके शीर्ष कोष्ठक क्रमपरिवर्तन हैं।
 * तामरी जाली, एक जाली (क्रम) जिसका ग्राफ एसोसिएहेड्रोन का कंकाल है।

बाहरी संबंध

 * Strange Associations - AMS column about Associahedra
 * Ziegler's Lecture on the Associahedron. Notes from a lecture by Günter Ziegler at the Autonomous University of Barcelona, 2009.
 * Lecture on Associahedra and Cyclohedra. MSRI lecture notes.
 * Lecture on Associahedra and Cyclohedra. MSRI lecture notes.