फ़ज़ी माप सिद्धांत

गणित में, अस्पष्ट माप सिद्धांत सामान्यीकृत उपायों, माप (गणित) पर विचार करता है जिसमें योगात्मक गुण को एकरसता की कमजोर गुण द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। अस्पष्ट माप सिद्धांत की केंद्रीय अवधारणा अस्पष्ट माप ('क्षमता' भी ) है। देखें ) डेम्पस्टर-शेफ़र सिद्धांत, जिसे 1953 में गुस्ताव चॉक्वेट द्वारा प्रस्तुत किया गया था और संपूर्ण सुगेनो के संदर्भ में 1974 में सुगेनो द्वारा स्वतंत्र रूप से परिभाषित किया गया था। संभाव्यता/विश्वास उपायों सहित अस्पष्ट उपायों के कई अलग-अलग वर्ग उपस्थित हैं; संभावना सिद्धांत/आवश्यकता उपाय और संभाव्यता माप उपाय, जो माप (गणित) उपायों का एक उपसमूह हैं।

परिभाषाएँ
मान लीजिए कि एक कार्य (गणित) $$g:\mathcal{C}\to\mathbb{R}$$ जहां, $$\mathbf{X}$$ प्रवचन का एक ब्रह्मांड बनें, $$\mathcal{C}$$ के उपसमुच्चय का एक वर्ग (गणित) बनें $$\mathbf{X}$$, और $$E,F\in\mathcal{C}$$. जहां

अस्पष्ट माप कहा जाता है.
 * 1) $$\emptyset \in \mathcal{C} \Rightarrow g(\emptyset)=0$$
 * 2) $$E \subseteq F \Rightarrow g(E)\leq g(F)$$

एक अस्पष्ट माप को सामान्यीकृत या नियमित कहा जाता है अगर $$g(\mathbf{X})=1$$.

अस्पष्ट मापों के गुण
एक अस्पष्ट उपाय है:


 * योजक यदि किसी के लिए $$ E,F \in \mathcal{C} $$ ऐसा है कि $$ E \cap F = \emptyset $$, अपने पास $$ g(E \cup F) = g(E) + g(F). $$;
 * यदि किसी के लिए सुपरमॉड्यूलर $$ E,F \in \mathcal{C} $$, अपने पास $$g(E \cup F) + g(E \cap F) \geq g(E) + g(F)$$;
 * यदि किसी के लिए सबमॉड्यूलर $$ E,F \in \mathcal{C} $$, अपने पास $$g(E \cup F) + g(E \cap F) \leq g(E) + g(F)$$;
 * यदि किसी के लिए सुपरएडिटिव है $$ E,F \in \mathcal{C} $$ ऐसा है कि $$ E \cap F = \emptyset $$, अपने पास $$g(E \cup F) \geq g(E) + g(F)$$;
 * उपयोज्य यदि किसी के लिए $$ E,F \in \mathcal{C} $$ ऐसा है कि $$ E \cap F = \emptyset $$, अपने पास $$g(E \cup F) \leq g(E) + g(F)$$;
 * सममित यदि किसी के लिए $$ E,F \in \mathcal{C} $$, अपने पास $$|E| = |F|$$ तात्पर्य $$ g(E) = g(F)$$;
 * बूलियन यदि किसी के लिए $$ E \in \mathcal{C} $$, अपने पास $$ g(E) = 0 $$ या $$ g(E) = 1 $$.

अस्पष्ट   मापों के गुणों को समझना अनुप्रयोग में उपयोगी है। जब सुगेनो इंटीग्रल या इंटीग्रल चोक्वेट जैसे कार्य    को परिभाषित करने के लिए अस्पष्ट    माप का उपयोग किया जाता है, तो ये गुण कार्य    के व्यवहार को समझने में महत्वपूर्ण होंगे। उदाहरण के लिए, एक योगात्मक अस्पष्ट    माप के संबंध में चॉक्वेट इंटीग्रल, लेब्सग इंटीग्रल में कम हो जाता है। अलग-अलग मामलों में, एक सममित अस्पष्ट माप के परिणामस्वरूप ऑर्डर किए गए भारित औसत एकत्रीकरण ऑपरेटर (ओडब्ल्यूए) ऑपरेटर का परिणाम होगा। सबमॉड्यूलर अस्पष्ट    मापों के परिणामस्वरूप उत्तल कार्य होते हैं, जबकि सुपरमॉड्यूलर अस्पष्ट    मापों के परिणामस्वरूप अवतल कार्य होते हैं, जब चॉक्वेट इंटीग्रल को परिभाषित करने के लिए उपयोग किया जाता है।

मोबियस प्रतिनिधित्व
मान लीजिए कि g एक अस्पष्ट माप है। g का मोबियस प्रतिनिधित्व सेट कार्य M द्वारा दिया गया है, जहां प्रत्येक के लिए $$ E,F \subseteq X $$,
 * $$M(E) = \sum_{F \subseteq E} (-1)^{|E \backslash F|} g(F).$$

मोबियस प्रतिनिधित्व में समतुल्य स्वयंसिद्ध शब्द हैं:

मोबियस प्रतिनिधित्व एम में एक अस्पष्ट माप को सामान्यीकृत कहा जाता है
 * 1) $$ M(\emptyset)=0$$.
 * 2) $$ \sum_{F \subseteq E|i \in F} M(F) \geq 0$$, सभी के लिए $$ E \subseteq \mathbf{X} $$ और सभी $$ i \in E $$

अगर $$\sum_{E \subseteq \mathbf{X}}M(E)=1.$$

मोबियस प्रतिनिधित्व का उपयोग यह संकेत देने के लिए किया जा सकता है कि एक्स के कौन से सबसेट एक दूसरे के साथ बातचीत करते हैं। उदाहरण के लिए, एक योगात्मक अस्पष्ट माप में सिंगलटन को छोड़कर सभी मोबियस मान शून्य के बराबर हैं। मानक प्रतिनिधित्व में अस्पष्ट माप g को ज़ेटा ट्रांसफॉर्म का उपयोग करके मोबियस फॉर्म से पुन:र्प्राप्त किया जा सकता है:


 * $$ g(E) = \sum_{F \subseteq E} M(F), \forall E \subseteq \mathbf{X} .$$

अस्पष्ट उपायों के लिए सरलीकरण धारणाएँ
अस्पष्ट मापों को सेट की सेमीरिंग या मोनोटोन वर्ग पर परिभाषित किया गया है, जो एक्स के सत्ता स्थापित  के समान दानेदार हो सकता है, और अलग-अलग घटनाओ में भी चर की संख्या 2undefined जितनी बड़ी हो सकती है. इस कारण से, बहु-मानदंड निर्णय विश्लेषण और अन्य विषयों के संदर्भ में, अस्पष्ट माप पर सरलीकरण धारणाएं प्रस्तुत की गई हैं ताकि इसे निर्धारित करना और उपयोग करना कम्प्यूटेशनल रूप से कम महंगा हो। उदाहरण के लिए, जब यह मान लिया जाता है कि अस्पष्ट माप योगात्मक है, तो यह उसे धारण करेगा $$ g(E) = \sum_{i \in E} g(\{i\}) $$ और अस्पष्ट माप के मानों का मूल्यांकन X के मानों से किया जा सकता है। इसी प्रकार, एक सममित अस्पष्ट माप को |X| द्वारा विशिष्ट रूप से परिभाषित किया जाता है। मूल्य. दो महत्वपूर्ण अस्पष्ट उपाय जिनका उपयोग किया जा सकता है वे हैं सुगेनो- या $$\lambda$$-फजी माप और के-एडिटिव उपाय, सुगेनो द्वारा प्रस्तुत किए गए और ग्रेबिस्क क्रमश।

सुगेनो λ-माप
सुगेनो $$\lambda$$-माप पुनरावृत्त रूप से परिभाषित अस्पष्ट मापों का एक विशेष घटना है। इसकी निम्नलिखित परिभाषा है:

परिभाषा
मान लीजिये  $$\mathbf{X} = \left\lbrace x_1,\dots,x_n  \right\rbrace $$ एक परिमित समुच्चय है और मान लीजिये $$\lambda \in (-1,+\infty)$$. सुगेनो को $$\lambda$$-माप एक कार्य   है $$g:2^X\to[0,1]$$ ऐसा है कि


 * 1) $$g(X) = 1$$.
 * 2) अगर $$A, B\subseteq \mathbf{X}$$ (वैकल्पिक रूप से $$A, B\in 2^{\mathbf{X}}$$) साथ $$A \cap B = \emptyset$$ तब $$g(A \cup B) =g(A)+g(B)+\lambda g(A)g(B)$$.

एक परिपाटी के रूप में, एक सिंगलटन सेट पर g का मान

घनत्व कहा जाता है और इसे द्वारा निरूपित किया जाता है $$g_i = g(\left\lbrace x_i \right\rbrace)$$. इसके अलावा, हमारे पास वह है $$\lambda$$ संपत्ति को संतुष्ट करता है


 * $$ \lambda +1 = \prod_{i=1}^n (1+\lambda g_i) $$.

टहनि एंड केल्लेर साथ ही वांग और क्लिर ने दिखाया है कि एक बार घनत्व ज्ञात हो जाने पर, मान प्राप्त करने के लिए पिछले बहुपद का उपयोग करना संभव है $$\lambda$$ विशिष्ट रूप से.

k-एडिटिव अस्पष्ट माप
K-एडिटिव अस्पष्ट माप उपसमुच्चय के बीच परस्पर क्रिया को सीमित करता है $$ E \subseteq X $$ आकार देना $$|E|=k$$. यह अस्पष्ट   माप को परिभाषित करने के लिए आवश्यक चर की संख्या को बहुत कम कर देता है, और चूँकि k 1 से कुछ भी हो सकता है (जिस स्थिति में अस्पष्ट माप योगात्मक है) से 'X' तक, यह मॉडलिंग क्षमता और सरलता के बीच एक समझौते की अनुमति देता है।

परिभाषा
समुच्चय 'X' पर एक पृथक अस्पष्ट माप g को k-योजक कहा जाता है ($$ 1 \leq k \leq |\mathbf{X}|$$) यदि इसका मोबियस प्रतिनिधित्व सत्यापित करता है $$M(E) = 0 $$, जब कभी भी $$ |E| > k $$ किसी के लिए $$ E \subseteq \mathbf{X} $$, और k तत्वों के साथ एक उपसमुच्चय F उपस्थित है जैसे कि $$ M(F) \neq 0 $$.

शेपली और इंटरेक्शन सूचकांक
खेल सिद्धांत में, शेपली मूल्य या शेपली सूचकांक का उपयोग गेम के वजन को इंगित करने के लिए किया जाता है। प्रत्येक सिंगलटन के महत्व का कुछ संकेत देने के लिए अस्पष्ट मापों के लिए शेपली मूल्यों की गणना की जा सकती है। योगात्मक अस्पष्ट    मापों के घटना  में, शेपली मान प्रत्येक सिंगलटन के समान होगा।

किसी दिए गए अस्पष्ट माप g, $$|\mathbf{X}|=n$$, प्रत्येक के लिए शेपली सूचकांक $$ i,\dots,n \in X $$ है:


 * $$ \phi (i) = \sum_{E \subseteq \mathbf{X} \backslash \{i\}} \frac{(n-|E|-1)!|E|!}{n!} [g(E \cup \{i\}) - g(E)]. $$

शेपली मान सदिश है $$ \mathbf{\phi}(g) = (\psi(1),\dots,\psi(n)).$$

यह भी देखें

 * सिद्धांत संभावना
 * संभावना सिद्धांत

संदर्भ
अग्रिम पठन
 * बेलियाकोव, प्रेडेरा और कैल्वो, एग्रीगेशन फ़ंक्शंस: ए गाइड फॉर प्रैक्टिशनर्स, स्प्रिंगर, न्यूयॉर्क 2007.
 * वांग, झेनयुआन, और, जॉर्ज जे. क्लिर, अस्पष्ट   मेज़र थ्योरी, प्लेनम प्रेस, न्यूयॉर्क, 1991।

बाहरी संबंध

 * अस्पष्ट   इमेज प्रोसेसिंग पर अस्पष्ट    माप सिद्धांत