त्सोल्कोव्स्की रॉकेट समीकरण

मौलिक राकेट समीकरण, या आदर्श रॉकेट समीकरण एक गणितीय समीकरण होता है जो रॉकेट के मूल सिद्धांत का पालन करने वाले रॉकेटों की गति का वर्णन करता है: यह एक उपकरण होता जो उच्च वेग के साथ अपने द्रव्यमान का उपयोग करके त्वरण उपयुक्त कर सकता है। संवेग के संरक्षण के कारण इसका श्रेय रूसी वैज्ञानिक कॉन्स्टेंटिन त्सोल्कोव्स्की को दिया जाता है, जिन्होंने स्वतंत्र रूप से इसे प्राप्त किया था और इसे 1903 में प्रकाशित किया था, चूंकि इसे ब्रिटिश गणितज्ञ विलियम मूर द्वारा स्वतंत्र रूप से प्राप्त और प्रकाशित किया गया था। 1810, में और 1813 में एक अलग पुस्तक में प्रकाशित हुआ था। अमेरिकी रॉबर्ट गोडार्ड ने भी इसे 1912 में स्वतंत्र रूप से विकसित किया था, और जर्मन हरमन ओबर्थ ने इसे 1920 के आसपास स्वतंत्र रूप से प्राप्त किया था।

रॉकेट के वेग में अधिकतम परिवर्तन, $$\Delta v$$ (बिना किसी बाहरी ऊर्जा के कार्य करते हुए) है:

$$\Delta v = v_\text{e} \ln \frac{m_0}{m_f} = I_\text{sp} g_0 \ln \frac{m_0}{m_f},$$ जहाँ:
 * $$v_\text{e} = I_\text{sp} g_0$$ प्रभावी निकास वेग है,
 * $$I_\text{sp}$$ समय के आयाम में विशिष्ट आवेग है,
 * $$g_0$$ मानक गुरुत्व है,
 * $$\ln$$ प्राकृतिक लघुगणक फ़ंक्शन है,
 * $$m_0$$ प्रारंभिक कुल द्रव्यमान है, जिसमें प्रणोदक, अर्थात द्रव्यमान सम्मलित होता है,
 * $$m_f$$ प्रणोदक के बिना अंतिम कुल द्रव्यमान, अर्थात शुष्क द्रव्यमान होता है।

रॉकेट मोटर के डिज़ाइन, वांछित डेल्टा-वी, और दिए गए शुष्क द्रव्यमान द्वारा निर्धारित प्रभावी निकास वेग को देखते हुए $$m_f$$, आवश्यक प्रणोदक द्रव्यमान के लिए समीकरण को हल किया जा सकता है $$m_0 - m_f$$: $$m_0 = m_f e^{\Delta v / v_\text{e}}.$$ आवश्यक द्रव्यमान वांछित डेल्टा-वी के साथ तेजी से बढ़ता है।

इतिहास
इस समीकरण का नाम रूसी वैज्ञानिक कॉन्स्टेंटिन त्सोल्कोव्स्की के नाम पर रखा गया है जिन्होंने स्वतंत्र रूप से इसे प्राप्त किया और 1903 में प्रकाशित किया था।

यह समीकरण पहले संयुक्त राज्य अमेरिका के गणितज्ञ विलियम मूर (ब्रिटिश गणितज्ञ) द्वारा 1810 में प्रस्तावित किया गया था। और यह बाद में 1813 में एक अलग पुस्तक में प्रकाशित हुआ था।

अमेरिकी रॉबर्ट गोडार्ड ने 1912 में स्वतंत्र रूप से समीकरण विकसित किया था जब उन्होंने संभावित रॉकेट इंजन में सुधार के लिए अपना शोध प्रारंभ किया था। जर्मन अभियांत्रिकी हरमन ओबर्थ ने व्यवहार्यता का अध्ययन करते हुए स्वतंत्र रूप से 1920 में एक समीकरण प्राप्त किया था।

जबकि रॉकेट समीकरण की व्युत्पत्ति पर त्सोल्कोव्स्की को इस सवाल पर उपयुक्त करने वाले पहले व्यक्ति के रूप में सम्मानित किया जाता है कि क्या रॉकेट अंतरिक्ष उड़ान के लिए आवश्यक गति प्राप्त कर सकते है।

त्सोल्कोव्स्की द्वारा नाव का प्रयोग
रॉकेट प्रणोदन के सिद्धांत को समझने के लिए, कॉन्स्टेंटिन त्सोल्कोव्स्की ने नाव के प्रसिद्ध प्रयोग का प्रस्ताव रखा था। एक व्यक्ति किनारे से दूर बिना चप्पू वाली नाव में है। वे इस किनारे तक पहुंचना चाहता है, उन्होंने देखा कि नाव पर एक निश्चित मात्रा में पत्थर लदे हुए है और उन्होंने इन पत्थरों को एक-एक करके और जितनी जल्दी हो सके, किनारे की विपरीत दिशा में फेंकने का विचार किया। प्रभावी रूप से, एक दिशा में फेंके गए पत्थरों की गति की मात्रा दूसरी दिशा में नाव की गति की समान मात्रा से मेल खाती है।

सबसे लोकप्रिय व्युत्पत्ति
निम्नलिखित प्रणाली पर विचार करते है:

निम्नलिखित व्युत्पत्ति में, रॉकेट का अर्थ रॉकेट और उसके सभी अप्रयुक्त प्रणोदक से लिया गया है।

न्यूटन की गति का दूसरा नियम बाहरी उरजाओं से संबंधित है ($$F_i$$) पूरे प्रणाली (रॉकेट और निकास सहित) के रैखिक गति में परिवर्तन निम्नानुसार है: $$\sum_i F_i = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{P_2 - P_1}{\Delta t}$$ जहाँ $$P_1$$ रॉकेट की गति है $$t = 0$$: $$P_1 = \left( {m + \Delta m} \right)V$$ और $$P_2$$ रॉकेट का संवेग और द्रव्यमान है $$t = \Delta t$$: $$P_2 = m\left(V + \Delta V \right) + \Delta m V_\text{e}$$ और जहां, पर्यवेक्षक के संबंध में: निकास का वेग $$V_\text{e}$$ प्रेक्षक आलेख में रॉकेट आलेख में निकास के वेग से संबंधित है $$v_\text{e}$$ द्वारा (चूँकि निकास वेग ऋणात्मक दिशा में है) $$V_\text{e} = V - v_\text{e}$$ इसे हल करने से यह प्राप्त होता है: $$P_2 - P_1 = m\Delta V - v_\text{e}\Delta m$$ और, $$dm = -\Delta m$$, बाहर निकालने के बाद से $$\Delta m$$ समय के साथ द्रव्यमान में कमी आती है, $$\sum_i F_i = m \frac{dV}{dt} + v_\text{e} \frac{dm}{dt}$$ अगर कोई बाहरी उरजायें नहीं होती है तो $\sum_i F_i = 0$ (गति संरक्षण) और $$-m\frac{dV}{dt} = v_\text{e}\frac{dm}{dt}$$ ये मानते हुए $$v_\text{e}$$ स्थिर होती है (त्सोल्कोव्स्की की परिकल्पना के रूप में जाना जाता है)। ), इसलिए यह एकीकरण के अधीन नहीं होता है, तो उपरोक्त समीकरण को निम्नानुसार एकीकृत किया जा सकता है: $$-\int_{V}^{V + \Delta V} \, dV = {v_e} \int_{m_0}^{m_f} \frac{dm}{m} $$ इसके बाद उत्पन्न होती है $$\Delta V = v_\text{e} \ln \frac{m_0}{m_f}$$ या समकक्ष $$m_f = m_0 e^{-\Delta V\ / v_\text{e}}$$ या $$m_0 = m_f e^{\Delta V / v_\text{e}}$$ या $$m_0 - m_f = m_f \left(e^{\Delta V / v_\text{e}} - 1\right)$$ जहाँ $$m_0$$ प्रणोदक सहित प्रारंभिक कुल द्रव्यमान है, $$m_f$$ अंतिम द्रव्यमान, और $$v_\text{e}$$ रॉकेट के संबंध में रॉकेट निकास का वेग है (विशिष्ट आवेग, या, यदि समय में मापा जाता है, जो पृथ्वी पर गुरुत्वाकर्षण त्वरण से गुणा होता है)। अगर $$v_\text{e}$$ स्थिर नहीं है, तो रॉकेट समीकरण नहीं हो सकता है। कई रॉकेट गतिकी अनुसंधान त्सोल्कोवस्की स्थिरांक पर आधारित होते है $$v_\text{e}$$।
 * $$V$$ रॉकेट का वेग है $$t = 0$$
 * $$V + \Delta V$$ रॉकेट का वेग है $$t = \Delta t$$
 * $$V_\text{e}$$ द्रव्यमान का वेग है $$\Delta t$$
 * $$m + \Delta m$$ रॉकेट का द्रव्यमान है $$t = 0$$
 * $$m$$ रॉकेट का द्रव्यमान है $$t = \Delta t$$

मूल्य $$m_0 - m_f$$ व्यय किए गए प्रणोदक का कुल कार्यशील द्रव्यमान होता है।

$$\Delta V$$ (डेल्टा वी में) रॉकेट इंजन का उपयोग करके उत्पन्न त्वरण के परिमाण का समय के साथ एकीकरण होता है। मुक्त स्थान में, वेग की दिशा में त्वरण के स्थिति में, गति में वृद्धि होती है। विपरीत दिशा में त्वरण समाप्ति के स्थिति में गति में कमी होती है। परिणाम स्वरूप गुरुत्वाकर्षण और खिंचाव भी रॉकेट को गति देते है, और वह रॉकेट द्वारा अनुभव किए गए वेग में परिवर्तन को जोड़ या घटा सकते है। इसलिए डेल्टा-वी हमेशा रॉकेट की गति या वेग में वास्तविक परिवर्तन नहीं हो सकता है।

आवेग-आधारित
समीकरण को द्रव्यमान पर बल के रूप में त्वरण के मूल अभिन्न अंग से भी प्राप्त किया जा सकता है।

डेल्टा-वी समीकरण को निम्नलिखित के रूप में प्रस्तुत करते है: $$\Delta v = \int^{t_f}_{t_0} \frac{|T|}{{m_0}-{t} \Delta{m}} ~ dt$$ जहां T बल है, $$m_0$$ प्रारंभिक द्रव्यमान है और $$\Delta m$$ प्रारंभिक द्रव्यमान घटाकर अंतिम (शुष्क) द्रव्यमान है,

और समय के साथ परिणामी बल का अभिन्न अंग कुल आवेग है, $$\int^{t_f}_{t_0} F ~ dt = J$$ अभिन्न प्राप्त किया जाता है: $$J ~ \frac{\ln({m_0}) - \ln({m_f})}{\Delta m}$$ यह समझते हुए कि द्रव्यमान में परिवर्तन पर आवेग प्रणोदक द्रव्यमान प्रवाह (पी) बल के बराबर होता है, जो स्वयं निकास वेग के बराबर होता है, $$ \frac{J}{\Delta m} = \frac{F}{p} = V_\text{exh}$$ अभिन्न को बराबर किया जा सकता है $$\Delta v = V_\text{exh} ~ \ln\left({\frac{m_0}{m_f}}\right)$$

त्वरण-आधारित
कल्पना कीजिए कि अंतरिक्ष में एक रॉकेट स्थिर अवस्था में है और उस पर कोई बल नहीं लगाया गया है (न्यूटन के गति का प्रथम नियम)। जिस क्षण इसका इंजन चालू किया जाता है (घड़ी 0 पर सेट होती है) रॉकेट एक स्थिर द्रव्यमान प्रवाह दर r (किलो/सेकेंड) पर और रॉकेट ve के सापेक्ष निकास वेग पर गैस द्रव्यमान को बाहर निकालता है। यह रॉकेट को आगे बढ़ाने वाला एक स्थिर बल F बनाता है जो R × ve के बराबर होता है, रॉकेट एक निरंतर बल के अधीन होता है, लेकिन इसका कुल द्रव्यमान लगातार घट रहता है क्योंकि यह गैस को निकालता रहता है। न्यूटन के गति के नियमों के अनुसार, किसी भी समय इसका त्वरण t इसके प्रेरक बल F को इसके वर्तमान द्रव्यमान m से विभाजित किया जा सकता है: $$ ~ a = \frac{dv}{dt} = - \frac{F}{m(t)} = - \frac{R v_\text{e}}{m(t)}$$ रॉकेट में प्रारंभ में ईंधन का द्रव्यमान m0 के बराबर होता है - mf, इसलिए स्थिर द्रव्यमान प्रवाह दर R के लिए T = (m0) समय लगता है - mf)/R। 0 से t तक समय के संबंध में समीकरण के दोनों पक्षों को एकीकृत किया जाता है (और यह ध्यान में रखते हुए कि r = dm/dt प्रतिस्थापन की अनुमति देता है) यह प्राप्त होता है: $$ ~ \Delta v = v_f - v_0 = - v_\text{e} \left[ \ln m_f - \ln m_0 \right] = ~ v_\text{e} \ln\left(\frac{m_0}{m_f}\right).$$

परिमित द्रव्यमान निष्कासन की सीमा
रॉकेट समीकरण को एक रॉकेट के लिए गति परिवर्तन के सीमित स्थिति के रूप में भी प्राप्त किया जा सकता है जो इसके ईंधन को बाहर निकालता है $$N$$, जैसे $$N \to \infty$$, एक प्रभावी निकास गति के साथ $$v_\text{eff}$$ प्रति इकाई ईंधन द्रव्यमान प्राप्त यांत्रिक ऊर्जा देता है $\tfrac{1}{2} v_\text{eff}^2 $.

रॉकेट के द्रव्यमान के केंद्र आलेख में, यदि द्रव्यमान $$m_p$$ गति से बाहर निकाला जाता है $$u$$ और रॉकेट का शेष द्रव्यमान है $$m$$, रॉकेट की गतिज ऊर्जा को बढ़ाने के लिए परिवर्तित ऊर्जा की मात्रा होती है $$\tfrac{1}{2} m_p v_\text{eff}^2 = \tfrac{1}{2}m_p u^2 + \tfrac{1}{2}m (\Delta v)^2. $$ रॉकेट के आलेख में संवेग संरक्षण का उपयोग करते है, $ u = \Delta v \tfrac{m}{m_p}$, जिससे हम प्राप्त करते है $$\Delta v = v_\text{eff} \frac{m_p}{\sqrt{m(m+m_p)}}.$$ मान लेते है $$\phi$$ बोर्ड पर प्रारंभिक ईंधन का द्रव्यमान अंश है और $$ m_0$$ रॉकेट का आरंभिक ईंधनयुक्त द्रव्यमान है। ईंधन के कुल द्रव्यमान को विभाजित करते है $$\phi m_0$$ $$N$$ प्रत्येक द्रव्यमान $$m_p = \phi m_0/N$$. बाहर निकलने के बाद रॉकेट के शेष द्रव्यमान $$j$$ है $$m = m_0(1 - j\phi/N)$$ अंत में गति बदल जाती है $$j$$ $$ \Delta v = v_\text{eff} \sum ^{j=N}_{j=1} \frac{\phi/N}{\sqrt{(1-j\phi/N)(1-j\phi/N+\phi/N)}} $$ ध्यान दें कि बड़े स्तर पर $$N$$ में अंतिम पद $$\phi/N\ll 1$$ देने में उपेक्षा की जा सकती है $$ \Delta v \approx v_\text{eff} \sum^{j=N}_{j=1}\frac{\phi/N}{1-j\phi/N} = v_\text{eff} \sum ^{j=N}_{j=1} \frac{\Delta x}{1-x_j} $$ जहाँ $ \Delta x = \frac{\phi}{N}$ और $ x_j = \frac{j\phi}{N} $.

जैसा $$ N\rightarrow \infty$$ यह रीमैन योग निश्चित अभिन्न अंग बन जाता है $$ \lim_{N\to\infty}\Delta v = v_\text{eff} \int_{0}^{\phi} \frac{dx}{1-x} = v_\text{eff}\ln \frac{1}{1-\phi} = v_\text{eff} \ln \frac{m_0}{m_f} ,$$ चूँकि रॉकेट का अंतिम शेष द्रव्यमान है $$ m_f = m_0(1-\phi)$$.

विशेष सापेक्षता
यदि विशेष सापेक्षता को ध्यान में रखा जाता है, तो सापेक्षतावादी रॉकेट के लिए निम्नलिखित समीकरण प्राप्त किया जा सकता है, $$\Delta v$$ रॉकेट के अंतिम वेग के लिए सभी प्रतिक्रिया द्रव्यमान को बाहर निकाला जाता है। $$m_1$$के जड़त्वीय आलेख है: $$\frac{m_0}{m_1} = \left[\frac{1 + {\frac{\Delta v}{c}}}{1 - {\frac{\Delta v}{c}}}\right]^{\frac{c}{2v_\text{e}}}$$ $\frac{m_0}{m_1}$ जैसे $$R$$ इस समीकरण को इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित करने की अनुमति देता है $$\frac{\Delta v}{c} = \frac{R^{\frac{2v_\text{e}}{c}} - 1}{R^{\frac{2v_\text{e}}{c}} + 1}$$ फिर, $R^{\frac{2v_\text{e}}{c}} = \exp \left[ \frac{2v_\text{e}}{c} \ln R \right]$ और $\tanh x = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1}$  (अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य देखें), यह इसके बराबर है $$\Delta v = c \tanh\left(\frac {v_\text{e}}{c} \ln \frac{m_0}{m_1} \right)$$

डेल्टा-वी
डेल्टा-वी को 'Δv' के रूप में दर्शाया जाता है, जैसे कि इसे उड़ान गतिशीलता में उपयोग किया जाता है, आवेग (भौतिकी) का एक माप होता है जिसे निष्पादित करने के लिए एक युक्तिचालन जैसे कि किसी ग्रह या चंद्रमा को लॉन्च करना, या उस पर उतरना आवश्यक होता है। यह एक अदिश (गणित) होता है जिसमें गति की इकाइयाँ होती है। जैसा कि इस संदर्भ में उपयोग किया गया है, यह रॉकेट के डेल्टा-वी (भौतिकी) के समान नहीं होता है।

डेल्टा-वी का उत्पादन रॉकेट इंजन जैसे प्रतिक्रिया इंजनों द्वारा किया जाता है और यह प्रति यूनिट द्रव्यमान के बल और चलने के समय के समानुपाती होता है, और रॉकेट समीकरण के माध्यम से दिए गए युक्तिचालन के लिए आवश्यक रॉकेट प्रणोदक के द्रव्यमान को निर्धारित करने के लिए उपयोग किया जाता है।

एकाधिक के लिए, डेल्टा-वी का उपयोग रैखिक रूप से होता है।

अंतरग्रहीय मिशनों के लिए डेल्टा-वी को अधिकांशतः पोर्कचॉप पर नियुक्त किया जाता है जो लॉन्च तिथि के फ़ंक्शन के रूप में आवश्यक मिशन डेल्टा-वी को प्रदर्शित करता है।

द्रव्यमान अंश
अंतरिक्ष अभियांत्रिकी में, प्रणोदक द्रव्यमान अंश रॉकेट के द्रव्यमान का वह हिस्सा होता है जो गंतव्य तक नहीं पहुंचता है, सामान्यतः रॉकेट के प्रदर्शन के माप के रूप में उपयोग किया जाता है। दूसरे शब्दों में, प्रणोदक द्रव्यमान अंश प्रणोदक द्रव्यमान और रॉकेट के प्रारंभिक द्रव्यमान के बीच का अनुपात होता है। एक उच्च द्रव्यमान अंश किसी डिज़ाइन में कम वजन का प्रतिनिधित्व करता है। एक अन्य संबंधित माप पेलोड अंश होता है, जो प्रारंभिक वजन का अंश होता है।

प्रभावी निकास वेग
प्रभावी निकास वेग को अधिकांशतः एक विशिष्ट आवेग के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है और वे एक दूसरे से संबंधित होते है: $$v_\text{e} = g_0 I_\text{sp},$$ जहाँ
 * $$I_\text{sp}$$ सेकंड में विशिष्ट आवेग होता है,
 * $$v_\text{e}$$ विशिष्ट आवेग मीटर प्रति सेकंड एम/एस में मापा जाता है, जो एम/एस में मापा गया प्रभावी निकास वेग के समान होता है),
 * $$g_0$$ मानक गुरुत्व होता है, 9.80665

प्रयोज्यता
रॉकेट समीकरण रॉकेट उड़ान भौतिकी की अनिवार्यताओं को एक संक्षिप्त समीकरण में समाहित करता है। जब भी प्रभावी निकास वेग स्थिर होता है तो यह रॉकेट प्रतिक्रिया प्रभावी निकास वेग भिन्न होता है तो इसे सारांशित या एकीकृत किया जा सकता है। रॉकेट समीकरण केवल रॉकेट इंजन प्रतिक्रिया बल के लिए जिम्मेदार होता है, इसमें अन्य बल सम्मलित नहीं होते है जो रॉकेट पर कार्य कर सकते है, जैसे वायुगतिकीय बल या गुरुत्वाकर्षण बल। जैसे, किसी वायुमंडल वाले ग्रह से प्रक्षेपण (या संचालित वंश) के लिए प्रणोदक आवश्यकता की गणना करने के लिए इसका उपयोग करते समय, इन बलों के प्रभावों को डेल्टा-वी आवश्यकता में सम्मलित किया जाता है। उसमें पेलोड अंश की मात्रा की एक सीमा होती है। यह समीकरण गैर-रॉकेटअंतरिक्ष प्रणाली जैसे एयरोब्रेकिंग, लॉन्च लूप,प्रणोदन या सौर पाल पर उपयुक्त नहीं होते है।

रॉकेट समीकरण को युक्तिचालन पर उपयुक्त किया जा सकता है जिससे कि यह निर्धारित किया जा सकता है कि किसी विशेष युक्तिचालन में बदलने के लिए कितने प्रणोदक की आवश्यकता होती है, या किसी विशेष प्रणोदक के चलने के परिणामस्वरूप नए युक्तिचालन का पता लगाया जा सकता है। युक्तिचालन के लिए आवेदन करते समय, एक एकल युक्तिचालन को आवेगपूर्ण युक्तिचालन मान लिया जाता है, जिसमें प्रणोदक को मुक्त कर दिया जाता है और डेल्टा-वी को तुरंत उपयुक्त किया जाता है। यह धारणा छोटी अवधि के कहने के लिए अपेक्षाकृत त्रुटिहीन होती है। जैसे-जैसे चलने की अवधि बढ़ती है, युक्तिचाल की अवधि के समय रॉकेट पर गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव के कारण परिणाम कम त्रुटिहीन होता है। कम-बल, लंबी अवधि के प्रणोदन के लिए, जैसे कि विद्युत चालित अंतरिक्ष यान प्रणोदन, अंतरिक्ष यान के वेक्टर के प्रसार और बल के एकीकरण के आधार पर अधिक जटिल विश्लेषण का उपयोग युक्तिचाल गति की भविष्यवाणी करने के लिए किया जाता है।

उदाहरण
मान लेते है निकास वेग 4500 m/s और ए $$\Delta v$$ का 9700 m/s होता है।


 * एकल-चरण-रॉकेट: $$1-e^{-9.7/4.5}$$ = 0.884, प्रारंभिक कुल द्रव्यमान का 88.4% प्रणोदक होता है। शेष 11.6% इंजन और पेलोड के लिए होता है।
 * दो-चरण-रॉकेट: मान लेते है कि $$\Delta v$$ का 5000 m/s, $$1-e^{-5.0/4.5}$$ = 0.671 है, इसलिए प्रारंभिक कुल द्रव्यमान का 67.1% पहले चरण के लिए प्रणोदक होता है। शेष द्रव्यमान 32.9% होता है। पहले चरण के के बाद, एक द्रव्यमान 32.9% के बराबर होता है, पहले चरण के इंजन के द्रव्यमान को घटाकर मान लेते है कि यह आरंभिक कुल द्रव्यमान का 8% होता है, तो 24.9% बच जाता है। दूसरे चरण में $$\Delta v$$ का 4700 m/s, $$1-e^{-4.7/4.5}$$ = 0.648, शेष द्रव्यमान का 64.8% प्रणोदक होता है, जो मूल कुल द्रव्यमान का 16.2% होता है, और 8.7% दूसरे चरण के इंजन, पेलोड और अंतरिक्ष शटल के स्थिति में रहता है। इस प्रकार मूल लॉन्च द्रव्यमान का 16.7% सभी इंजनों और पेलोड के लिए उपलब्ध होता है।

चरण
क्रमिक रूप से क्षेपण (रॉकेटरी) के स्थिति में, समीकरण प्रत्येक चरण के लिए उपयुक्त होता है, जहां प्रत्येक चरण के लिए समीकरण में प्रारंभिक द्रव्यमान पिछले चरण को छोड़ने के बाद रॉकेट का कुल द्रव्यमान होता है, और समीकरण में अंतिम द्रव्यमान होता है और संबंधित चरण को समाप्त करने से पहले रॉकेट का कुल द्रव्यमान प्रत्येक चरण के लिए विशिष्ट आवेग से भिन्न हो सकता है।

उदाहरण के लिए, यदि किसी रॉकेट के द्रव्यमान का 80% पहले चरण का ईंधन है, और 10% पहले चरण का शुष्क द्रव्यमान है, और 10% शेष रॉकेट है, तो



\begin{align} \Delta v \ & = v_\text{e} \ln { 100 \over 100 - 80 }\\ & = v_\text{e} \ln 5 \\ & = 1.61 v_\text{e}. \\ \end{align} $$ तीन समान के साथ, बाद में समान के साथ छोटे चरण $$v_\text{e}$$ प्रत्येक चरण के लिए है:


 * $$\Delta v \ = 3 v_\text{e} \ln 5 \ = 4.83 v_\text{e} $$

और पेलोड प्रारंभिक द्रव्यमान का 10% × 10% × 10% = 0.1% है।

0.1% पेलोड के साथ एक तुलनीय एकल रॉकेट का द्रव्यमान ईंधन इंजन के लिए 11.1% और ईंधन के लिए 88.8% हो सकता है


 * $$\Delta v \ = v_\text{e} \ln(100/11.2) \ = 2.19 v_\text{e}. $$

यदि पिछले चरण को समाप्त करने से पहले एक नए चरण की मोटर को प्रज्वलित किया जाता है और साथ ही काम करने वाले मोटरों में एक अलग विशिष्ट आवेग होता है (जैसा कि अधिकांशतः ठोस रॉकेट बूस्टर और तरल-ईंधन चरण के स्थिति में होता है), तो स्थिति अधिक जटिल हो जाती है।

सामान्य धारणाएं
जब एक चर-द्रव्यमान प्रणाली के रूप में देखा जाता है, तो एक रॉकेट का न्यूटन के गति के दूसरे नियम के साथ सीधे विश्लेषण नहीं किया जा सकता है क्योंकि यह नियम केवल स्थिर-द्रव्यमान प्रणालियों के लिए मान्य होता है।  यह एक धारणा उत्पन्न कर सकता है कि त्सोल्कोवस्की रॉकेट समीकरण सापेक्षवादी यांत्रिकी गति के समान दिखता है $$F = dp/dt = m \; dv/dt + v \; dm/dt$$. इस सूत्र के प्रयोग के साथ $$m(t)$$ चूँकि रॉकेट के अलग-अलग द्रव्यमान से त्सोल्कोव्स्की रॉकेट समीकरण प्राप्त होता है, लेकिन यह व्युत्पत्ति सही नहीं है। ध्यान दें कि प्रभावी निकास वेग $$v_\text{e}$$ इस सूत्र में भी नहीं दिखता है।

यह भी देखें

 * डेल्टा-v बजट
 * जीप समस्या
 * द्रव्यमान अनुपात
 * गुरुत्वाकर्षण कुएं में डेल्टा-वी लगाने से ओबेरथ प्रभाव अंतिम वेग बढ़ जाता है
 * सापेक्ष रॉकेट
 * कक्षाओं की उत्क्रमणीयता
 * रॉबर्ट एच. गोडार्ड ने ऊर्ध्वाधर उड़ान में गुरुत्वाकर्षण और खिंचाव के लिए शब्द जोड़े
 * अंतरिक्ष यान प्रणोदन
 * स्टिगलर का नाम-नाम का नियम

बाहरी संबंध

 * How to derive the rocket equation
 * Relativity Calculator – Learn Tsiolkovsky's rocket equations
 * Tsiolkovsky's rocket equations plot and calculator in WolframAlpha