गेल-मान मैट्रिसेस

मुर्रे गेल-मैन द्वारा विकसित गेल-मैन मैट्रिसेस, कण भौतिकी में प्रबल अन्योन्य क्रिया के अध्ययन में उपयोग किए जाने वाले आठ रेखीयस्वतंत्र 3×3 आव्यूह ट्रेस हर्मिटियन मैट्रिसेस का एक सेट है। वे परिभाषित प्रतिनिधित्व में SU(3) समूह के लाई बीजगणित का विस्तार करते हैं।

मैट्रिसेस

 * {| border="0" cellpadding="8" cellspacing="0"


 * $$\lambda_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
 * $$\lambda_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
 * $$\lambda_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
 * $$\lambda_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
 * $$\lambda_5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
 * $$\lambda_6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$
 * $$\lambda_7 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}$$
 * $$\lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} .$$
 * }
 * $$\lambda_7 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}$$
 * $$\lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} .$$
 * }

गुण
ये आव्यूह ट्रेसलेस, हर्मिटियन आव्यूह हैं, और अतिरिक्त ट्रेस ऑर्थोनॉर्मलिटी रिलेशन का पालन करते हैं (जिससे कि वे घातांक के माध्यम से SU(3) के ऐकिक आव्यूह समूह तत्वों को उत्पन्न कर सकें)। इन गुणों को गेल-मैन द्वारा चुना गया था क्योंकि वे तब स्वाभाविक रूप से SU(2) से SU(3) के लिए पाउली आव्यूह को सामान्यीकृत करते थे, जिसने गेल-मैन के क्वार्क मॉडल का आधार बनाया था। गेल-मैन का सामान्यीकरण आगे सामान्य SU(n) तक फैला हुआ है। लाई बीजगणित के मानक आधार से उनके संबंध के लिए, वेइल-कार्टन आधार देखें।

ट्रेस ऑर्थोनोर्मैलिटी
गणित में, ऑर्थोनोर्मैलिटी का तात्पर्य सामान्यतः एक मानदंड से होता है जिसका मान इकाई (1) होता है। चूंकि, गेल-मैन मैट्रिसेस को 2 के मान पर सामान्यीकृत किया जाता है। इस प्रकार, युग्‍मानूसार उत्पाद के ट्रेस (रैखिक बीजगणित) के परिणामस्वरूप ऑर्थो-नॉर्मलाइज़ेशन की स्थिति होती है


 * $$\operatorname{tr}(\lambda_i \lambda_j) = 2\delta_{ij},$$

जहाँ $$\delta_{ij}$$ क्रोनकर डेल्टा है।

ऐसा इसलिए है कि SU(2) के तीन अंत:स्थापित उपबीजगणित के अनुरूप अंत:स्थापित पाउली मैट्रिसेस पारंपरिक रूप से सामान्यीकृत हैं। इस त्रि-आयामी आव्यूह प्रतिनिधित्व में, कार्टन उपबीजगणित दो आव्यूह के रैखिक संयोजन (वास्तविक गुणांक के साथ) का सेट है $$\lambda_3$$ और $$\lambda_8$$, जो एक दूसरे के साथ आवागमन करते हैं।

तीन महत्वपूर्ण SU(2) उपबीजगणित हैं:

जहां $x$ और $y$, $$\lambda_3$$ और $$\lambda_8$$के रैखिक संयोजन हैं। इन उपबीजगणित के SU(2) कासिमिर परस्पर विनिमय करते हैं।
 * $$\{\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\}$$
 * $$\{\lambda_4, \lambda_5, x\},$$ और
 * $$\{\lambda_6, \lambda_7, y\},$$

चूंकि, इन उपबीजगणितों के किसी भी एकात्मक समानता परिवर्तन से SU(2) उपबीजगणित प्राप्त होंगे। ऐसे परिवर्तनों की संख्या अनगिनत है।

संपरिवर्तन संबंध
SU(3) के 8 जनरेटर कम्यूटेशन और एंटी-कम्यूटेशन संबंधों को पूर्ति करते हैं
 * $$ \begin{align}

\left[ \lambda_a, \lambda_b \right] &= 2 i \sum_c f^{abc} \lambda_c, \\ \{ \lambda_a, \lambda_b \} &= \frac{4}{3} \delta_{ab} I + 2 \sum_c d^{abc} \lambda_c, \end{align} $$ संरचना स्थिरांक के साथ


 * $$ \begin{align}

f^{abc} &= -\frac{1}{4} i \operatorname{tr}(\lambda_a [ \lambda_b, \lambda_c ]), \\ d^{abc} &= \frac{1}{4} \operatorname{tr}(\lambda_a \{ \lambda_b, \lambda_c \}). \end{align} $$ संरचना स्थिरांक $$f^{abc}$$ तीन सूचकांकों में पूरी तरह से प्रतिसममित हैं, जो $SU(2)$ के लेवी-सिविटा प्रतीक $$\epsilon_{jkl}$$ की प्रतिसममित को सामान्य बनाते हैं। गेल-मैन मैट्रिसेस के वर्तमान क्रम के लिए वे मान लेते हैं


 * $$f^{123} = 1 \, \quad f^{147} = f^{165} = f^{246} = f^{257} = f^{345} = f^{376} = \frac{1}{2} \ , \quad f^{458} = f^{678} = \frac{\sqrt{3}}{2} \ . $$

सामान्य तौर पर, वे शून्य का मूल्यांकन करते हैं, जब तक कि उनमें प्रतिसममित (काल्पनिक) $λ$s के अनुरूप सेट {2,5,7} से सूचकांकों की एक विषम गिनती न हो।

इन कम्यूटेशन संबंधों का उपयोग करते हुए, गेल-मैन मैट्रिसेस के उत्पाद को इस प्रकार लिखा जा सकता है


 * $$ \lambda_a \lambda_b

= \frac{1}{2} ([\lambda_a,\lambda_b] + \{\lambda_a,\lambda_b\}) = \frac{2}{3} \delta_{ab} I + \sum_c \left(d^{abc} + i f^{abc}\right) \lambda_c, $$ जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है.

फिर्ज़ पूर्णता संबंध
चूँकि आठ आव्यूह और तत्समक सभी 3×3 आव्यूहों में फैला हुआ पूर्ण ट्रेस-ऑर्थोगोनल सेट है, इसलिए दो फ़िएर्ज़ पूर्णता संबंध, (ली और चेंग, 4.134) प्राप्त करना आसान है, जो पाउली आव्यूहों के अनुरूप है। अर्थात्, आठ आव्यूहों का योग करने के लिए बिंदु का उपयोग करना और उनकी पंक्ति/स्तंभ सूचकांकों के लिए ग्रीक सूचकांकों का उपयोग करना, निम्नलिखित तत्समक रखता है,
 * $$\delta^\alpha _\beta \delta^\gamma  _\delta   = \frac{1}{3} \delta^\alpha_\delta  \delta^\gamma _\beta  +\frac{1}{2} \lambda^\alpha _\delta \cdot \lambda^\gamma _\beta $$

और
 * $$\lambda^\alpha _\beta \cdot \lambda^\gamma  _\delta   = \frac{16}{9} \delta^\alpha_\delta  \delta^\gamma _\beta  -\frac{1}{3} \lambda^\alpha _\delta \cdot \lambda^\gamma _\beta ~.$$

उपरोक्त के रैखिक संयोजन से उत्पन्न पुनर्रचना संस्करण को कोई वरीयता दे सकता है,
 * $$\lambda^\alpha _\beta \cdot \lambda^\gamma  _\delta   = 2 \delta^\alpha_\delta  \delta^\gamma _\beta  -\frac{2}{3}  \delta^\alpha_\beta  \delta^\gamma _\delta    ~.$$

प्रतिनिधित्व सिद्धांत
आव्यूह की एक विशेष पसंद को समूह प्रतिनिधित्व कहा जाता है, क्योंकि SU(3) के किसी भी तत्व को आइंस्टीन संकेतन का उपयोग करके फॉर्म $$\mathrm{exp}(i \theta^j g_j)$$ में लिखा जा सकता है, जहां आठ $$\theta^j$$ वास्तविक संख्याएँ हैं और सूचकांक $j$ पर एक योग निहित है। एक प्रतिनिधित्व को देखते हुए, समतुल्य एक यादृच्छिक एकात्मक समानता परिवर्तन द्वारा प्राप्त किया जा सकता है, क्योंकि इससे क्रमविनिमेयक अपरिवर्तित रहता है।

आव्यूहों को SU(3) नामक विशेष एकात्मक समूह के अतिसूक्ष्म जनरेटरों के प्रतिनिधित्व के रूप में सिद्ध किया जा सकता है। इस समूह के लाई बीजगणित (वास्तव में एक वास्तविक लाई बीजगणित) का आयाम आठ है और इसलिए इसमें आठ रेखीयस्वतंत्र जनरेटर के साथ कुछ सेट हैं, जिन्हें $$g_i$$ के रूप में लिखा जा सकता है, जिसमें i, 1 से 8 तक तक मान लेता है।

कैसिमिर ऑपरेटर और अपरिवर्तनीय
गेल-मैन आव्यूह का वर्ग योग द्विघात कासिमिर ऑपरेटर, एक समूह अपरिवर्तनीय देता है,
 * $$ C = \sum_{i=1}^8 \lambda_i \lambda_i = \frac{16} 3 I $$

जहाँ $$ I\, $$3×3 तत्समक आव्यूह है। एक अन्य, स्वतंत्र, क्यूबिक कासिमिर ऑपरेटर भी है।

क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स पर अनुप्रयोग
ये आव्यूह क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स (cf. ग्लूऑन के वर्ण) के वर्ण क्वार्क से जुड़े ग्लूऑन क्षेत्रों के आंतरिक (वर्ण) घूर्णन का अध्ययन करने के लिए काम करते हैं। गेज वर्ण घूर्णन एक अवकाशकालीन-निर्भर SU(3) समूह तत्व है

$$\; U = \exp (\frac{\ i\ }{2}\ \theta^k({\mathbf r},t)\ \lambda_k) \;,$$ जहां आठ सूचकांकों का योग $k$ निहित है.

यह भी देखें

 * कासिमिर तत्व
 * SU(3) के लिए क्लेबश-गॉर्डन गुणांक
 * पाउली मैट्रिसेस का सामान्यीकरण
 * समूह प्रतिनिधित्व
 * किलिंग रूप
 * पाउली मैट्रिसेस
 * कुट्रिट
 * SU(3)