हैंडल अपघटन

गणित में, एम- कई गुना एम का एक हैंडल अपघटन एक संघ है $$\emptyset = M_{-1} \subset M_0 \subset M_1 \subset M_2 \subset \dots \subset M_{m-1} \subset M_m = M$$ जहां प्रत्येक $$M_i$$ से प्राप्त किया जाता है $$M_{i-1}$$ को संलग्न करके $$i$$-हैंडल. एक हैंडल अपघटन एक सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स के समान कई गुना है। सीडब्ल्यू-अपघटन एक टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए है - कई मामलों में एक हैंडल अपघटन का उद्देश्य सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्स के अनुरूप एक भाषा है, लेकिन चिकनी मैनिफोल्ड की दुनिया के लिए अनुकूलित है। इस प्रकार एक आई-हैंडल एक आई-सेल का सहज एनालॉग है। मोर्स सिद्धांत के माध्यम चिकनी कई गुना का हैंडल विघटन स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होता है। हैंडल संरचनाओं का संशोधन सेर्फ़ सिद्धांत से निकटता से जुड़ा हुआ है।



प्रेरणा
एक शून्य सेल और एक एन-सेल के साथ एन-गोले के मानक सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्स | सीडब्ल्यू-अपघटन पर विचार करें। चिकनी मैनिफोल्ड के दृष्टिकोण से, यह गोले का एक पतित अपघटन है, क्योंकि इसकी चिकनी संरचना को देखने का कोई प्राकृतिक तरीका नहीं है $$S^n$$ इस अपघटन की नजर से - विशेष रूप से 0-सेल के पास की चिकनी संरचना विशेषता मानचित्र के व्यवहार पर निर्भर करती है $$\chi : D^n \to S^n$$ के एक पड़ोस में $$S^{n-1}$$.

सीडब्ल्यू-डीकंपोजिशन के साथ समस्या यह है कि कोशिकाओं के लिए संलग्न मानचित्र मैनिफोल्ड्स के बीच चिकने मानचित्रों की दुनिया में नहीं रहते हैं। इस दोष को ठीक करने के लिए रोगाणु अंतर्दृष्टि ट्यूबलर पड़ोस है। मैनिफोल्ड एम में एक बिंदु पी दिया गया है, इसका बंद ट्यूबलर पड़ोस $$N_p$$ से भिन्न है $$D^m$$, इस प्रकार हमने एम को असंयुक्त संघ में विघटित कर दिया है $$N_p$$ और $$M \setminus \operatorname{int}(N_p)$$ उनकी सामान्य सीमा के साथ चिपका हुआ। यहां महत्वपूर्ण मुद्दा यह है कि चिपकाने वाला नक्शा एक भिन्नरूपता है। इसी तरह, एक चिकनी एम्बेडेड आर्क लें $$M \setminus \operatorname{int}(N_p)$$, इसका ट्यूबलर पड़ोस भिन्न-भिन्न है $$I \times D^{m-1}$$. यह हमें लिखने की अनुमति देता है $$M$$ तीन रूपों के मिलन के रूप में, उनकी सीमाओं के कुछ हिस्सों से चिपके हुए: 1) $$D^m$$ 2) $$I \times D^{m-1}$$ और 3) चाप के खुले ट्यूबलर पड़ोस का पूरक $$M \setminus \operatorname{int}(N_p)$$. ध्यान दें कि चिपकाने वाले सभी नक्शे चिकने नक्शे हैं—खासकर जब हम चिपकाते हैं $$I \times D^{m-1}$$ को $$D^m$$ तुल्यता संबंध एम्बेडिंग द्वारा उत्पन्न होता है $$(\partial I)\times D^{m-1}$$ में $$\partial D^m$$, जो ट्यूबलर पड़ोस द्वारा चिकना है।

हैंडल डीकंपोज़िशन स्टीफन स्माले का आविष्कार है। उनके मूल सूत्रीकरण में, एक j-हैंडल को m-मैनिफोल्ड M से जोड़ने की प्रक्रिया यह मानती है कि किसी के पास एक सहज एम्बेडिंग है $$f : S^{j-1} \times D^{m-j} \to \partial M$$. होने देना $$H^j = D^j \times D^{m-j}$$. अनेक गुना $$M \cup_f H^j$$ (शब्दों में, एम संघ ए जे-'एफ'' के साथ हैंडल) के असंयुक्त संघ को संदर्भित करता है $$M$$ और $$H^j$$ की पहचान के साथ $$S^{j-1} \times D^{m-j}$$ इसकी छवि के साथ $$\partial M$$, अर्थात।, $$ M \cup_f H^j = \left( M \sqcup (D^j \times D^{m-j}) \right) / \sim$$ जहां भागफल स्थान (टोपोलॉजी) $$\sim$$ द्वारा उत्पन्न होता है $$(p,x) \sim f(p,x)$$ सभी के लिए $$(p,x) \in S^{j-1} \times D^{m-j} \subset D^j \times D^{m-j}$$.

एक का कहना है कि जे-हैंडल संलग्न करके एम से एक मैनिफोल्ड एन प्राप्त किया जाता है यदि एम का बहुत सारे जे-हैंडल के साथ मिलन एन से भिन्न है। हैंडल अपघटन की परिभाषा तब परिचय के अनुसार है। इस प्रकार, एक मैनिफोल्ड में केवल 0-हैंडल के साथ एक हैंडल अपघटन होता है यदि यह गेंदों के असंयुक्त संघ के लिए भिन्न होता है। एक कनेक्टेड मैनिफोल्ड जिसमें केवल दो प्रकार के हैंडल होते हैं (यानी: 0-हैंडल और कुछ निश्चित जे के लिए जे-हैंडल) को हैंडलबॉडी कहा जाता है।

शब्दावली
एम यूनियन बनाते समय एक जे-हैंडल $$H^j$$ $$ M \cup_f H^j = \left( M \sqcup (D^j \times D^{m-j}) \right) / \sim$$

$$f(S^{j-1} \times \{0\}) \subset M$$ संलग्न क्षेत्र के रूप में जाना जाता है।

$$f$$ इसे कभी-कभी संलग्न क्षेत्र का फ़्रेमिंग कहा जाता है, क्योंकि यह अपने सामान्य बंडल का वेक्टर बंडल देता है।

$$\{0\}^j \times S^{m-j-1} \subset D^j \times D^{m-j} = H^j$$ हैंडल का बेल्ट क्षेत्र है $$H^j$$ में $$ M \cup_f H^j$$.

डिस्क पर जी के-हैंडल जोड़कर प्राप्त किया गया मैनिफोल्ड $$D^m$$ (m,k)-जीनस g का हैंडलबॉडी है।

कोबॉर्डिज़्म प्रस्तुतियाँ
कोबॉर्डिज्म की एक हैंडल प्रस्तुति में कोबॉर्डिज्म डब्ल्यू शामिल होता है $$\partial W = M_0 \cup M_1$$ और एक आरोही संघ $$W_{-1} \subset W_0 \subset W_1 \subset \cdots \subset W_{m+1} = W $$ कहाँ $M$ है $m$-आयामी, $W$ m+1-आयामी है, $$W_{-1}$$ से भिन्न है $$M_0 \times [0,1]$$ और $$W_i$$ से प्राप्त किया जाता है $$W_{i-1}$$ आई-हैंडल के लगाव से. जबकि हैंडल डीकंपोजिशन मैनिफोल्ड्स के लिए एनालॉग हैं, सेल डीकंपोजिशन टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए क्या हैं, कोबॉर्डिज्म की हैंडल प्रस्तुतियां सीमा के साथ मैनिफोल्ड्स के लिए हैं, जो रिक्त स्थान के जोड़े के लिए सापेक्ष सेल डीकंपोजिशन हैं।

मोर्स सैद्धांतिक दृष्टिकोण
मोर्स सिद्धांत दिया गया $$f : M \to \R$$ एक सघन सीमाहीन मैनिफोल्ड एम पर, जैसे कि महत्वपूर्ण बिंदु (गणित) $$\{p_1, \ldots, p_k\} \subset M$$ च की संतुष्टि $$f(p_1) < f(p_2) < \cdots < f(p_k) $$, और प्रदान किया गया $$t_0 < f(p_1) < t_1 < f(p_2) < \cdots < t_{k-1} < f(p_k) < t_k ,$$ फिर सभी j के लिए, $$f^{-1}[t_{j-1},t_{j}]$$ से भिन्न है $$(f^{-1}(t_{j-1}) \times [0,1]) \cup H^{I(j)}$$ जहां I(j) क्रांतिक बिंदु का सूचकांक है $$p_{j}$$. सूचकांक I(j) स्पर्शरेखा स्थान के अधिकतम उपस्थान के आयाम को संदर्भित करता है $$T_{p_j}M$$ जहां हेस्सियन मैट्रिक्स  नकारात्मक निश्चित है।

बशर्ते सूचकांक संतुष्ट हों $$I(1) \leq I(2) \leq \cdots \leq I(k)$$ यह एम का एक हैंडल अपघटन है, इसके अलावा, प्रत्येक मैनिफोल्ड में ऐसे मोर्स फ़ंक्शन होते हैं, इसलिए उनके पास हैंडल अपघटन होता है। इसी तरह, एक सह-बॉर्डिज्म दिया गया $$W$$ साथ $$ \partial W = M_0 \cup M_1$$ और एक समारोह $$ f: W \to \R$$ जो आंतरिक भाग पर मोर्स है और सीमा पर स्थिर है और बढ़ती सूचकांक संपत्ति को संतुष्ट करता है, कोबॉर्डिज्म डब्ल्यू की एक प्रेरित हैंडल प्रस्तुति है।

जब f, M पर एक मोर्स फ़ंक्शन है, तो -f भी एक मोर्स फ़ंक्शन है। संबंधित हैंडल अपघटन/प्रस्तुति को 'दोहरी अपघटन' कहा जाता है।

कुछ प्रमुख प्रमेय और अवलोकन

 * एक बंद, ओरिएंटेबल 3-मैनिफोल्ड का हीगार्ड विभाजन, 3-मैनिफोल्ड का उनकी सामान्य सीमा के साथ दो (3,1)-हैंडलबॉडी के मिलन में एक अपघटन है, जिसे हीगार्ड विभाजन सतह कहा जाता है। हीगार्ड विभाजन कई प्राकृतिक तरीकों से 3-मैनिफोल्ड के लिए उत्पन्न होता है: 3-मैनिफोल्ड के एक हैंडल अपघटन को देखते हुए, 0 और 1-हैंडल का मिलन एक (3,1)-हैंडलबॉडी है, और 3 और 2- का मिलन है। हैंडल भी एक (3,1)-हैंडलबॉडी है (दोहरे अपघटन के दृष्टिकोण से), इस प्रकार एक हीगार्ड विभाजन है। यदि 3-मैनिफोल्ड में त्रिकोणासन (टोपोलॉजी) टी है, तो एक प्रेरित हीगार्ड विभाजन होता है जहां पहला (3,1)-हैंडलबॉडी 1-कंकाल का एक नियमित पड़ोस है $$T^1$$, और दूसरा (3,1)-हैंडलबॉडी पोंकारे द्वैत|दोहरे 1-कंकाल का एक नियमित पड़ोस है।
 * लगातार दो हैंडल जोड़ते समय $$(M \cup_f H^i) \cup_g H^j$$, बशर्ते कि अनुलग्नक के क्रम को बदलना संभव हो $$j \leq i$$, यानी: यह मैनिफोल्ड फॉर्म के मैनिफोल्ड से भिन्न है $$(M \cup H^j) \cup H^i$$ उपयुक्त संलग्न मानचित्रों के लिए।
 * की सीमा $$M \cup_f H^j$$ से भिन्न है $$\partial M$$ फ़्रेमयुक्त गोले के साथ उछाल आया $$f$$. यह सर्जरी सिद्धांत, हैंडल और मोर्स फ़ंक्शन के बीच प्राथमिक लिंक है।
 * परिणामस्वरूप, एक एम-मैनिफोल्ड एम एक एम+1-मैनिफोल्ड डब्ल्यू की सीमा है यदि और केवल यदि एम से प्राप्त किया जा सकता है $$S^m$$ फ़्रेमयुक्त कड़ियों के संग्रह पर सर्जरी द्वारा $$S^m$$. उदाहरण के लिए, यह ज्ञात है कि एच-कोबॉर्डिज़्म के कारण प्रत्येक 3-मैनिफोल्ड 4-मैनिफोल्ड (इसी प्रकार उन्मुख और स्पिन 3-मैनिफोल्ड बाध्य ओरिएंटेड और स्पिन 4-मैनिफोल्ड क्रमशः) से बंधता है। रेने थॉम का कोबॉर्डिज्म पर काम। इस प्रकार प्रत्येक 3-मैनिफोल्ड को 3-गोले में फ़्रेम किए गए लिंक पर सर्जरी के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है। उन्मुख मामले में, इस फ़्रेम किए गए लिंक को मंडलियों के असंयुक्त संघ के फ़्रेमयुक्त एम्बेडिंग में कम करना पारंपरिक है।
 * एच-कोबॉर्डिज्म|एच-कोबॉर्डिज्म प्रमेय चिकनी मैनिफोल्ड्स के हैंडल डीकंपोजिशन को सरल बनाकर सिद्ध किया गया है।

यह भी देखें

 * कैसन हैंडल
 * कोबॉर्डिज्म सिद्धांत
 * सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स
 * हैण्डलबॉडी
 * किर्बी कैलकुलस
 * कई गुना अपघटन

सामान्य सन्दर्भ

 * ए. कोसिंस्की, डिफरेंशियल मैनिफोल्ड्स वॉल्यूम 138 प्योर एंड एप्लाइड मैथमेटिक्स, एकेडमिक प्रेस (1992)।
 * रॉबर्ट गोम्फ और एंड्रास स्टिप्सिक्ज़, 4-मैनिफोल्ड्स और किर्बी कैलकुलस, (1999) (गणित में स्नातक अध्ययन में खंड 20), अमेरिकन गणितीय सोसायटी, प्रोविडेंस, आरआई ISBN 0-8218-0994-6

श्रेणी:ज्यामितीय टोपोलॉजी