पास्कल आव्यूह

गणित में, विशेष रूप से मैट्रिक्स (गणित) और साहचर्य में, पास्कल मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स (गणित) (संभवतः मैट्रिक्स_(गणित)#अनंत_मैट्रिसेस) होता है जिसमें इसके तत्वों के रूप में द्विपद गुणांक होते हैं। इस प्रकार यह मैट्रिक्स रूप में पास्कल के त्रिकोण का एक एन्कोडिंग है। इसे प्राप्त करने के तीन प्राकृतिक तरीके हैं: निचले-त्रिकोणीय मैट्रिक्स, ऊपरी-त्रिकोणीय मैट्रिक्स, या सममित मैट्रिक्स के रूप में। उदाहरण के लिए, 5 × 5 आव्यूह हैं:

$$L_5 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 3 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 6 & 4 & 1 \end{pmatrix}\,\,\,$$$$U_5 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\,\,\,$$$$S_5 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 3 & 6 & 10 & 15 \\ 1 & 4 & 10 & 20 & 35 \\ 1 & 5 & 15 & 35 & 70 \end{pmatrix}=L_5 \times U_5$$ ऐसे अन्य तरीके हैं जिनसे पास्कल के त्रिकोण को मैट्रिक्स रूप में रखा जा सकता है, लेकिन इन्हें आसानी से अनंत तक विस्तारित नहीं किया जा सकता है।

परिभाषा
पास्कल मैट्रिक्स के गैर-शून्य तत्व द्विपद गुणांक द्वारा दिए गए हैं:

$$L_{ij} = {i \choose j} = \frac{i!}{j!(i-j)!}, j \le i$$ $$U_{ij} = {j \choose i} = \frac{j!}{i!(j-i)!}, i \le j$$ $$S_{ij} = {i+j \choose i} = {i+j \choose j} = \frac{(i+j)!}{i!j!}$$ जैसे कि सूचकांक i, j 0 से शुरू होते हैं, और ! भाज्य को दर्शाता है.

गुण
मेट्रिसेस का सुखद संबंध एस हैn = एलnUn. इससे यह आसानी से देखा जा सकता है कि सभी तीन आव्यूहों का निर्धारक 1 है, क्योंकि एक त्रिकोणीय आव्यूह का निर्धारक बस उसके विकर्ण तत्वों का गुणनफल है, जो दोनों एल के लिए सभी 1 हैंnऔर आपn. दूसरे शब्दों में, मैट्रिसेस एसn, एलn, और आपn एल के साथ यूनिमॉड्यूलर मैट्रिक्स हैंn और आपn मैट्रिक्स एन का निशान होना।

एस का निशानnद्वारा दिया गया है
 * $$\text{tr}(S_n) = \sum^n_{i=1} \frac{ [ 2(i-1) ] !}{[(i-1)!]^2} = \sum^{n-1}_{k=0} \frac{ (2k) !}{(k!)^2}$$

अनुक्रम 1, 3, 9, 29, 99, 351, 1275, ... द्वारा दिए गए पहले कुछ शब्दों के साथ.

निर्माण
पास्कल मैट्रिक्स का निर्माण वास्तव में एक विशेष डायगोनल#मैट्रिसेस या डायगोनल#मैट्रिसेस मैट्रिक्स के मैट्रिक्स घातांक को लेकर किया जा सकता है। नीचे दिया गया उदाहरण 7 × 7 पास्कल मैट्रिक्स का निर्माण करता है, लेकिन विधि किसी भी वांछित n × n पास्कल मैट्रिक्स के लिए काम करती है। निम्नलिखित मैट्रिक्स में बिंदु शून्य तत्वों का प्रतिनिधित्व करते हैं।



\begin{array}{lll} & L_7=\exp \left ( \left [ \begin{smallmatrix} . & . & . & . & . & . & . \\ 1 & . & . & . & . & . & . \\ . & 2 & . & . & . & . & . \\ . & . & 3 & . & . & . & . \\ . & . & . & 4 & . & . & . \\ . & . & . & . & 5 & . & . \\ . & . & . & . & . & 6 &.

\end{smallmatrix} \right ] \right ) = \left [ \begin{smallmatrix} 1  & .   & .   & .   & .   & .   & .   \\ 1   & 1   & .   & .   & .   & .   & .   \\ 1   & 2   & 1   & .   & .   & .   & .   \\ 1   & 3   & 3   & 1   & .   & .   & .   \\ 1   & 4   & 6   & 4   & 1   & .   & .   \\ 1   & 5   & 10  & 10  & 5   & 1   & .   \\ 1   & 6   & 15  & 20  & 15  & 6   & 1  \end{smallmatrix} \right ] \\ \\ & U_7=\exp \left ( \left [ \begin{smallmatrix} {\color{white}1}. & 1 & . & . & . & . & . \\ {\color{white}1}. & . & 2 & . & . & . & . \\ {\color{white}1}. & . & . & 3 & . & . & . \\ {\color{white}1}. & . & . & . & 4 & . & . \\ {\color{white}1}. & . & . & . & . & 5 & . \\ {\color{white}1}. & . & . & . & . & . & 6 \\ {\color{white}1}. & . & . & . & . & . & . \end{smallmatrix} \right ] \right ) = \left [ \begin{smallmatrix} 1  & 1   & 1   & 1   & 1   & 1   & 1   \\ .   & 1   & 2   & 3   & 4   & 5   & 6   \\ .   & .   & 1   & 3   & 6   & 10  & 15  \\ .   & .   & .   & 1   & 4   & 10  & 20  \\ .   & .   & .   & .   & 1   & 5   & 15  \\ .   & .   & .   & .   & .   & 1   & 6   \\ .   & .   & .   & .   & .   & .   & 1  \end{smallmatrix} \right ] \\ \\
 * \quad

\therefore & S_7 =\exp \left ( \left [ \begin{smallmatrix} . & . & . & . & . & . & . \\ 1 & . & . & . & . & . & . \\ . & 2 & . & . & . & . & . \\ . & . & 3 & . & . & . & . \\ . & . & . & 4 & . & . & . \\ . & . & . & . & 5 & . & . \\ . & . & . & . & . & 6 &.

\end{smallmatrix} \right ] \right ) \exp \left ( \left [ \begin{smallmatrix} {\color{white}i}. & 1 & . & . & . & . & . \\ {\color{white}i}. & . & 2 & . & . & . & . \\ {\color{white}i}. & . & . & 3 & . & . & . \\ {\color{white}i}. & . & . & . & 4 & . & . \\ {\color{white}i}. & . & . & . & . & 5 & . \\ {\color{white}i}. & . & . & . & . & . & 6 \\ {\color{white}i}. & . & . & . & . & . & . \end{smallmatrix} \right ] \right ) = \left [ \begin{smallmatrix} 1  & 1   & 1   & 1   & 1   & 1   & 1   \\ 1   & 2   & 3   & 4   & 5   & 6   & 7   \\ 1   & 3   & 6   & 10  & 15  & 21  & 28  \\ 1   & 4   & 10  & 20  & 35  & 56  & 84  \\ 1   & 5   & 15  & 35  & 70  & 126 & 210 \\ 1   & 6   & 21  & 56  & 126 & 252 & 462 \\ 1   & 7   & 28  & 84  & 210 & 462 & 924 \end{smallmatrix} \right ]. \end{array} $$ यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि n × n आव्यूह A और B के लिए कोई केवल exp(A) exp(B) = exp(A + B) नहीं मान सकता है; यह समानता केवल तब सत्य होती है जब AB = BA (अर्थात् जब आव्यूह A और B आव्यूहों का कम्यूट करते हैं)। उपरोक्त की तरह सममित पास्कल मैट्रिस के निर्माण में, उप- और सुपरडायगोनल मैट्रिस कम्यूट नहीं होते हैं, इसलिए मैट्रिसेस को जोड़ने वाला (शायद) आकर्षक सरलीकरण नहीं किया जा सकता है।

निर्माण के लिए उपयोग किए जाने वाले उप- और सुपरडायगोनल मैट्रिक्स की एक उपयोगी संपत्ति यह है कि दोनों शून्य-शक्तिशाली हैं; अर्थात्, जब पर्याप्त रूप से महान पूर्णांक घात तक बढ़ा दिया जाता है, तो वे शून्य मैट्रिक्स में परिवर्तित हो जाते हैं। (अधिक जानकारी के लिए शिफ्ट मैट्रिक्स देखें।) चूंकि हम जिस n × n सामान्यीकृत शिफ्ट मैट्रिक्स का उपयोग कर रहे हैं, वह घात n तक बढ़ाए जाने पर शून्य हो जाता है, मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल की गणना करते समय हमें केवल अनंत श्रृंखला के पहले n + 1 शब्दों पर विचार करने की आवश्यकता होती है। सटीक परिणाम.

वेरिएंट
मैट्रिक्स-लघुगणक पीएल के स्पष्ट संशोधन द्वारा दिलचस्प वेरिएंट प्राप्त किए जा सकते हैं7 और फिर मैट्रिक्स घातांक का अनुप्रयोग।

नीचे दिया गया पहला उदाहरण लॉग-मैट्रिक्स के मानों के वर्गों का उपयोग करता है और 7 × 7 लैगुएरे - मैट्रिक्स (या लैगुएरे बहुपदों के गुणांकों का मैट्रिक्स) बनाता है

\begin{array}{lll} & LAG_7=\exp \left ( \left [ \begin{smallmatrix} . & . & . & . & . & . & . \\ 1 & . & . & . & . & . & . \\ . & 4 & . & . & . & . & . \\ . & . & 9 & . & . & . & . \\ . & . & . & 16 & . & . & . \\ . & . & . & . & 25 & . & . \\ . & . & . & . & . & 36 & . \end{smallmatrix} \right ] \right ) = \left [ \begin{smallmatrix} 1 &     . &      . &      . &     . &    . &   .   \\    1 &      1 &      . &      . &     . &    . &   .   \\    2 &      4 &      1 &      . &     . &    . &   .   \\     6 &     18 &      9 &      1 &     . &    . &   .   \\    24 &     96 &     72 &     16 &     1 &    . &   .   \\   120 &    600 &    600 &    200 &    25 &    1 &   .   \\   720 &   4320 &   5400 &   2400 &   450 &   36 &   1 \end{smallmatrix} \right ] \end{array} $$ लैगुएरे-मैट्रिक्स का उपयोग वास्तव में कुछ अन्य स्केलिंग और/या वैकल्पिक संकेतों की योजना के साथ किया जाता है। (उच्च शक्तियों के सामान्यीकरण के बारे में साहित्य अभी तक नहीं मिला है)
 * \quad

नीचे दिया गया दूसरा उदाहरण लॉग-मैट्रिक्स के मानों के उत्पाद v(v+ 1) का उपयोग करता है और 7 × 7 लाह - मैट्रिक्स (या लाह संख्याओं के गुणांकों का मैट्रिक्स) बनाता है।


 * $$\begin{array}{lll}

& LAH_7 = \exp \left ( \left [ \begin{smallmatrix} . & . & . & . & . & . & . \\ 2 & . & . & . & . & . & . \\ . & 6 & . & . & . & . & . \\ . & . &12 & . & . & . & . \\ . & . & . & 20 & . & . & . \\ . & . & . & . & 30 & . & . \\ . & . & . & . & . & 42 & . \end{smallmatrix} \right ] \right ) = \left [ \begin{smallmatrix} 1 & . & . & . & . & . & . & . \\ 2 & 1 & . & . & . & . & . & . \\ 6 & 6 & 1 & . & . & . & . & . \\ 24 & 36 & 12 & 1 & . & . & . & . \\ 120 & 240 & 120 & 20 & 1 & . & . & . \\ 720 & 1800 & 1200 & 300 & 30 & 1 & . & . \\ 5040 & 15120 & 12600 & 4200 & 630 & 42 & 1 & . \\ 40320 & 141120 & 141120 & 58800 & 11760 & 1176 & 56 & 1 \end{smallmatrix} \right ] \end{array} $$ इसके बजाय v(v − 1) का उपयोग करने से विकर्ण को नीचे-दाईं ओर स्थानांतरित किया जा सकता है।
 * \quad

नीचे दिया गया तीसरा उदाहरण मूल पीएल के वर्ग का उपयोग करता है7-मैट्रिक्स, 2 से विभाजित, दूसरे शब्दों में: दूसरे उपविकर्ण में प्रथम-क्रम द्विपद (द्विपद(k,2)) और एक मैट्रिक्स का निर्माण करता है, जो गॉसियन त्रुटि फ़ंक्शन के यौगिक और अभिन्न के संदर्भ में होता है:



\begin{array}{lll} & GS_7 = \exp \left ( \left [ \begin{smallmatrix} . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . \\ 1 & . & . & . & . & . & . \\ . & 3 & . & . & . & . & . \\ . & . & 6 & . & . & . & . \\ . & . & . & 10 & . & . & . \\ . & . & . & . & 15 & . & . \end{smallmatrix} \right ] \right ) = \left [ \begin{smallmatrix} 1 &   . &    . &    . &    . &   . &   .   \\    . &    1 &    . &    . &    . &   . &   .   \\    1 &    . &    1 &    . &    . &   . &   .   \\    . &    3 &    . &    1 &    . &   . &   .   \\    3 &    . &    6 &    . &    1 &   . &   .   \\    . &   15 &    . &   10 &    . &   1 &   .   \\   15 &    . &   45 &    . &   15 &   . &   1 \end{smallmatrix} \right ] \end{array} $$ यदि यह मैट्रिक्स व्युत्क्रम मैट्रिक्स है (उदाहरण के लिए, नकारात्मक मैट्रिक्स-लघुगणक का उपयोग करके), तो उलटा मैट्रिक्स में वैकल्पिक संकेत हैं और गॉस के त्रुटि-फ़ंक्शन के डेरिवेटिव (और विस्तार से इंटीग्रल) के गुणांक देते हैं। (बड़ी शक्तियों के सामान्यीकरण के बारे में साहित्य अभी तक नहीं मिला है।)
 * \quad

मूल मैट्रिक्स को पास्कल के त्रिभुज#एक्सटेंशन तक विस्तारित करके एक अन्य संस्करण प्राप्त किया जा सकता है:

\begin{array}{lll} & \exp \left ( \left [ \begin{smallmatrix} . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ -5& . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ . &-4 & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . &-3 & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . &-2 & . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . &-1 & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & 0 & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & 1 & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . & 2 & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . & . & 3 & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . & . & . & 4 & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & 5 &.

\end{smallmatrix} \right ] \right ) = \left [ \begin{smallmatrix} 1  & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   \\ -5  & 1   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   \\ 10  & -4  & 1   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   \\ -10 & 6   & -3  & 1   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   \\ 5   & -4  & 3   & -2  & 1   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   \\ -1  & 1   & -1  & 1   & -1  & 1   & .   & .   & .   & .   & .   & .   \\ .   & .   & .   & .   & .   & 0   & 1   & .   & .   & .   & .   & .   \\ .   & .   & .   & .   & .   & .   & 1   & 1   & .   & .   & .   & .   \\ .   & .   & .   & .   & .   & .   & 1   & 2   & 1   & .   & .   & .   \\ .   & .   & .   & .   & .   & .   & 1   & 3   & 3   & 1   & .   & .   \\ .   & .   & .   & .   & .   & .   & 1   & 4   & 6   & 4   & 1   & .   \\ .   & .   & .   & .   & .   & .   & 1   & 5   & 10  & 10  & 5   & 1 \end{smallmatrix} \right ] . \end{array} $$

यह भी देखें

 * पास्कल का त्रिकोण
 * एलयू अपघटन

संदर्भ

 * G. S. Call and D. J. Velleman, "Pascal's matrices", American Mathematical Monthly, volume 100, (April 1993) pages 372–376

बाहरी संबंध

 * G. Helms Pascalmatrix in a project of compilation of facts about Numbertheoretical matrices
 * G. Helms Gauss-matrix
 * Weisstein, Eric W. Gaussian-function
 * Weisstein, Eric W. Erf-function
 * Weisstein, Eric W. "Hermite Polynomial". Hermite-polynomials
 * Endl, Kurt "Über eine ausgezeichnete Eigenschaft der Koeffizientenmatrizen des Laguerreschen und des Hermiteschen Polynomsystems". In: PERIODICAL VOLUME 65 Mathematische Zeitschrift Kurt Endl
 * (Related to Gauss-matrix).