ईथर माध्यम की परिकल्पना

19वीं शताब्दी में, प्रकाश तरंगों के प्रसार के लिए काल्पनिक संचरण माध्यम के रूप में प्रकाशवाही ईथर के सिद्धांत पर व्यापक रूप से चर्चा की गई थी। ईथर परिकल्पना इसलिए उत्पन्न हुई क्योंकि उस युग के भौतिक विज्ञानी किसी भौतिक माध्यम के बिना प्रकाश तरंगों के प्रसार की कल्पना नहीं कर सकते थे। अतः जब प्रयोग परिकल्पित प्रकाशवाही ईथर को ज्ञात करने में विफल रहे, तो भौतिकविदों ने स्पष्टीकरण की कल्पना की, जिसने प्रयोगों द्वारा इसको ज्ञात करने में विफलता के लिए काल्पनिक ईथर के अस्तित्व को संरक्षित किया।

ईथर माध्यम (कर्षण) की परिकल्पना ने प्रस्तावित किया कि प्रकाशवाही ईथर को गतिशील पदार्थ द्वारा खींचा जाता है या उसके भीतर फंसाया जाता है। इस परिकल्पना के संस्करण के अनुसार, पृथ्वी और ईथर के बीच कोई सापेक्ष गति स्थित नहीं है। इस प्रकार से अन्य संस्करण के अनुसार, पृथ्वी ईथर के सापेक्ष गति करती है, और प्रकाश की मापी गई गति इस गति (ईथर पवन) की गति पर निर्भर होनी चाहिए, जिसे पृथ्वी की सतह पर विश्राम कर रहे उपकरणों द्वारा मापा जाना चाहिए। 1818 में, ऑगस्टिन-जीन फ्रेस्नेल ने प्रस्तावित किया कि ईथर आंशिक रूप से पदार्थ द्वारा फंसा हुआ है। 1845 में, सर जॉर्ज स्टोक्स, प्रथम बैरोनेट ने प्रस्तावित किया कि ईथर पूर्ण रूप से पदार्थ के भीतर या उसके निकट फंसा हुआ है।

यद्यपि फ़्रेज़नेल के लगभग-स्थिर सिद्धांत की स्पष्ट रूप से फ़िज़ो प्रयोग (1851) द्वारा पुष्टि की गई थी, स्टोक्स के सिद्धांत की स्पष्ट रूप से माइकलसन-मॉर्ले प्रयोग (1881, 1887) द्वारा पुष्टि की गई थी। इस प्रकार से हेंड्रिक लोरेंत्ज़ ने लोरेंत्ज़ ईथर सिद्धांत में इस विरोधाभासी स्थिति को हल किया, जिसने किसी भी प्रकार के ईथर माध्यम को समाप्त कर दिया। अल्बर्ट आइंस्टीन की विशेष सापेक्षता (1905) में ईथर को यांत्रिक माध्यम के रूप में सम्मिलित नहीं किया गया है।

आंशिक ईथर कर्षण
अतः 1810 में, फ्रांकोइस अरागो ने यह ज्ञात किया कि कणिका सिद्धांत द्वारा अनुमानित किसी पदार्थ के अपवर्तक सूचकांक में भिन्नता प्रकाश के वेग को मापने के लिए उपयोगी विधि प्रदान करेगी। ये भविष्यवाणियाँ इसलिए हुईं क्योंकि कांच जैसे पदार्थ का अपवर्तनांक वायु और कांच में प्रकाश के वेग के अनुपात पर निर्भर करता है। अरागो ने यह मापने का प्रयत्न किया कि दूरबीन के सामने कांच के प्रिज्म द्वारा प्रकाश की कणिकाएं किस श्रेणी तक अपवर्तित होंगी। उन्हें अपेक्षा थी कि दिन और वर्ष के अलग-अलग समय पर तारों के विभिन्न वेगों और पृथ्वी की गति की विविधता के कारण अपवर्तन के विभिन्न कोणों की श्रृंखला होगी। इस अपेक्षा के विपरीत, उन्होंने पाया कि तारों के बीच, दिन के समय के बीच या ऋतुओं के बीच अपवर्तन में कोई अंतर नहीं था। अरागो ने जो कुछ भी देखा वह प्रकाश का सामान्य विपथन था।

इस प्रकार से 1818 में, ऑगस्टिन-जीन फ्रेस्नेल ने प्रकाश के तरंग सिद्धांत का उपयोग करके अरागो के परिणामों की जांच की। उन्होंने यह ज्ञात किया कि यद्यपि प्रकाश को तरंगों के रूप में प्रसारित किया गया हो, कांच-वायु अंतराफलक का अपवर्तक सूचकांक अलग-अलग होना चाहिए क्योंकि जब पृथ्वी घूमती है और ऋतु परिवर्तित होते हैं तो कांच ईथर के माध्यम से अलग-अलग वेग से आने वाली तरंगों पर पूर्ण रूप से आक्षेप करता है। अतः फ्रेस्नेल ने प्रस्तावित किया कि कांच का प्रिज्म अपने साथ कुछ ईथर ले जाएगा जिससे कि प्रिज्म के भीतर ईथर अधिक मात्रा में रहे। उन्होंने यह समझा कि तरंगों के प्रसार का वेग माध्यम के घनत्व पर निर्भर करता है, इसलिए प्रस्तावित किया गया कि प्रिज्म में प्रकाश के वेग को 'कर्षण' की मात्रा से समायोजित करने की आवश्यकता होगी। इस प्रकार से बिना किसी समायोजन के कांच में प्रकाश का वेग $$ v_n$$ निम्न प्रकार दिया गया है:


 * $$ v_n = \frac{c}{n} $$

कर्षण (माध्यम) समायोजन $$ v_d$$ द्वारा दिया गया है:


 * $$ v_d = v \left(1 - \frac {\rho_e}{\rho_g} \right) $$

जहां $$ \rho_e$$ पर्यावरण में ईथर का घनत्व है, $$\rho_g$$ कांच में ईथर का घनत्व है और $$v$$ ईथर के संबंध में प्रिज्म का वेग है।

कारक $$\left(1 - \frac {\rho_e}{\rho_g}\right)$$ को $$ \left(1 - \frac{1}{n^2}\right)$$ के रूप में लिखा जा सकता है क्योंकि अपवर्तक सूचकांक, n, ईथर के घनत्व पर निर्भर होगा। इसे फ़्रेज़नेल माध्यम के गुणांक के रूप में जाना जाता है। फिर कांच में प्रकाश का वेग:


 * $$ V = \frac {c}{n} + v \left(1 - \frac{1}{n^2} \right) $$ द्वारा दिया जाता है।

अतः यह संशोधन अरागो के प्रयोग के शून्य परिणाम को समझाने में सफल रहा। यह बड़े पैमाने पर स्थिर ईथर की अवधारणा का परिचय देता है जिसे कांच जैसे पदार्थों द्वारा खींचा जाता है परंतु वायु द्वारा नहीं। इसकी सफलता ने पूर्व कणिका सिद्धांत की तुलना में प्रकाश के तरंग सिद्धांत को पूर्ण रूप से समर्थन दिया।

आंशिक ईथर माध्यम की समस्या
इस प्रकार से फ्रेस्नेल के माध्यम गुणांक की प्रत्यक्ष रूप से फ़िज़ो प्रयोग और इसकी पुनरावृत्ति द्वारा पुष्टि की गई थी। सामान्यतः, इस गुणांक की सहायता से सभी प्रकाशिक ईथर अपवहन प्रयोगों के ऋणात्मक परिणाम को पूर्व क्रम के प्रभावों को ज्ञात करने के लिए पर्याप्त रूप से संवेदनशील किया हैं (जैसे कि प्रकाशवाही ईथर या अरागो, फ़िज़ौ, होक, एअरी, मस्कार्ट के प्रयोग) । एक (लगभग) स्थिर ईथर की धारणा भी तारकीय विपथन के अनुरूप है। यद्यपि, इस सिद्धांत को निम्नलिखित कारणों से खंडित माना जाता है:


 * यह 19वीं शताब्दी में पूर्व से ही ज्ञात था, कि आंशिक ईथर माध्यम के लिए अलग-अलग रंगों के प्रकाश के लिए ईथर और पदार्थ के सापेक्ष वेग की आवश्यकता होती है - जो स्पष्ट रूप से घटना नहीं है।
 * फ़्रेज़नेल का (लगभग) स्थिर ईथर का सिद्धांत उन प्रयोगों द्वारा धनात्मक परिणामों की भविष्यवाणी करता है जो दूसरे क्रम के प्रभावों को ज्ञात करने के लिए पर्याप्त संवेदनशील हैं। यद्यपि, माइकलसन-मॉर्ले प्रयोग और ट्राउटन-नोबल प्रयोग जैसे प्रयोगों ने अपनी त्रुटि की सीमा के भीतर ऋणात्मक परिणाम दिए और इसलिए उन्हें फ्रेस्नेल के ईथर का खंडन माना जाता है।
 * 1935 में गुस्ताफ विल्हेम हैमर द्वारा आयोजित हैमर प्रयोग में, सामान्य-पथ व्यतिकरणमापी का उपयोग किया गया था। व्यतिकरणमापी के मात्र पैर के दोनों किनारों पर बड़े पैमाने पर मुख्य अवरोध स्थापित किए गए थे। इस व्यवस्था से अलग-अलग मात्रा में ईथर कर्षण होना चाहिए और इसलिए धनात्मक परिणाम उत्पन्न होना चाहिए। यद्यपि, परिणाम फिर से ऋणात्मक था।

पूर्ण ईथर कर्षण
अतः सर जॉर्ज स्टोक्स, प्रथम बैरोनेट (1845) के लिए ईथर का मॉडल जो पूर्ण रूप से अप्रभावित है या मात्र आंशिक रूप से गतिशील पदार्थ से प्रभावित है, अप्राकृतिक और असंबद्ध था, इसलिए उन्होंने मान लिया कि ईथर पूर्ण रूप से पदार्थ के भीतर और निकट कर्षित है, आंशिक रूप से खींचा गया है बड़ी दूरी पर, और मुक्त स्थान में स्थिरता से रहता है।  इसके अतिरिक्त हेनरिक रुडोल्फ हर्ट्ज़ (1890) ने मैक्सवेल के विद्युत चुंबकत्व के सिद्धांत के अपने विस्तार में पूर्ण ईथर माध्यम के मॉडल को सम्मिलित किया, जिससे कि इसे सापेक्षता के गैलिलियन सिद्धांत के अनुरूप लाया जा सके। अर्थात्, यदि यह मान लिया जाए कि ईथर संदर्भ संरचना में पदार्थ के भीतर स्थिरता पर है, तो गैलिलियन परिवर्तन परिणाम देता है कि पदार्थ और (प्रवेशित) ईथर संदर्भ के दूसरे संरचना में समान गति से यात्रा करते हैं।

पूर्ण ईथर माध्यम की समस्या
इस प्रकार से पूर्ण ईथर माध्यम सभी ईथर अपवहन प्रयोगों (जैसे माइकलसन-मॉर्ले प्रयोग) के ऋणात्मक परिणाम को समझा सकती है। यद्यपि, इस सिद्धांत को निम्नलिखित कारणों से असत्य माना जाता है:
 * फ़िज़ौ प्रयोग (1851) ने प्रकाश के एक मात्र आंशिक अवरोधन का संकेत दिया।
 * सैग्नैक प्रभाव से ज्ञात होता है कि ही प्रकाश स्रोत से घूर्णन मंच पर अलग-अलग दिशाओं में निकलने वाली प्रकाश की दो किरणों को प्रकाश स्रोत पर वापस आने के लिए अलग-अलग समय की आवश्यकता होती है। यद्यपि, यदि ईथर को प्लेटफ़ॉर्म द्वारा पूर्ण रूप से खींच लिया जाता है तो यह प्रभाव निश्चित ही नहीं होना चाहिए।
 * ओलिवर लॉज ने 1890 के दशक में पूर्ण रूप से प्रयोग किए, जिसमें इस बात का प्रमाण खोजा गया कि प्रकाश का प्रसार बड़े घूर्णन द्रव्यमानों की निकटता से प्रभावित होता है, और ऐसा कोई प्रभाव नहीं पाया गया।




 * यह तारकीय विपथन की घटना से असंगत है। तारकीय विपथन में किसी तारे की स्थिति जब दूरबीन से देखी जाती है तो वह प्रत्येक छह महीने में केंद्रीय स्थिति के प्रत्येक ओर लगभग 20.5 सेकंड के चाप में घूमती है। स्विंग की यह मात्रा पृथ्वी की अपनी कक्षा में यात्रा की गति पर विचार करते समय अपेक्षित मात्रा है। 1871 में जॉर्ज बिडेल एरी ने प्रदर्शित किया कि जब दूरबीन में जल भरा होता है तब भी तारकीय विपथन होता है। अतः ऐसा लगता है कि यदि ईथर माध्यम की परिकल्पना सत्य होती तो तारकीय विपथन घटित नहीं होता क्योंकि प्रकाश ईथर में यात्रा कर रहा होता जो दूरबीन के साथ गति कर रहा होता है। ट्रेन में बाल्टी पर विचार करें जो सुरंग में प्रवेश करने वाली है, और सुरंग के प्रवेश द्वार से जल की बूंद निश्चित केंद्र में बाल्टी में टपकती है। बूंद बाल्टी के निचले भाग के केंद्र पर नहीं पड़ेगी। बाल्टी दूरबीन की ट्यूब के समान है, बूंद फोटॉन है और ट्रेन पृथ्वी है। यदि ईथर को खींचा जाता है तो बूंद गिरने पर ट्रेन के साथ यात्रा करेगी और नीचे बाल्टी के केंद्र से टकराएगी। तारकीय विपथन की मात्रा, $$\alpha$$, द्वारा दी गई है:
 * $$\tan(\alpha) = \frac{v \delta t}{c \delta t}.$$ इसलिए: $$\tan(\alpha) = \frac{v}{c}$$
 * जिस गति से पृथ्वी सूर्य के चारों ओर घूमती है, v = 30 किमी/सेकेंड, और प्रकाश की गति c = 299,792,458 मीटर/सेकेंड है जो प्रत्येक छह महीने में $$\alpha$$ = 20.5 सेकंड चाप देती है। इस प्रकार से विपथन की यह मात्रा देखी गई है और यह संपूर्ण ईथर माध्यम की परिकल्पना का खंडन करती है।

उन समस्याओं पर स्टोक्स की प्रतिक्रियाएँ
अतः स्टोक्स ने अपने सिद्धांत को प्रायोगिक परिणामों के अनुरूप लाने के लिए 1845 में ही कुछ अतिरिक्त धारणाएँ प्रस्तुत कीं। विपथन की व्याख्या करने के लिए, उन्होंने मान लिया कि उनका असंपीड़ित ईथर भी अघूर्णी है, जो ईथर माध्यम के उनके विशिष्ट मॉडल के संबंध में, विपथन का उचित नियम देगा। इस प्रकार से फ़्रेज़नेल के माध्यम गुणांक को पुन: उत्पन्न करने के लिए (और इसलिए फ़िज़ो प्रयोग को समझाने के लिए) उन्होंने तर्क दिया कि ईथर पूर्ण रूप से माध्यम के भीतर खींचा जाता है - अर्थात जब ईथर माध्यम में प्रवेश करता है तो संघनित हो जाता है और जब वह इसे फिर से छोड़ता है तो दुर्लभ हो जाता है, जो कि गति को पूर्ण रूप से संशोधित करता है ईथर के साथ-साथ प्रकाश की भी और फ्रेस्नेल के जैसे ही अभिव्यक्ति की ओर ले जाता है।

यद्यपि स्टोक्स के विपथन सिद्धांत को कुछ समय के लिए व्यवहार्य माना गया था, परंतु इसे छोड़ना पड़ा क्योंकि लोरेंत्ज़ ने 1886 में तर्क दिया था कि जब ईथर स्टोक्स के सिद्धांत के अनुसार असम्पीडित होता है, और यदि ईथर में वेग का सामान्य घटक समान होता है पृथ्वी, इसमें वेग का समान स्पर्शरेखीय घटक नहीं होगा, अतः इसलिए स्टोक्स द्वारा प्रस्तुत सभी प्रतिबंधें एक ही समय में पूर्ण नहीं की जा सकतीं।

गुरुत्वाकर्षण ईथर कर्षण
इस प्रकार से स्टोक्स के मॉडल का एक और संस्करण थियोडोर देस कॉड्रेस और विल्हेम वियना (1900) द्वारा प्रस्तावित किया गया था। उन्होंने मान लिया कि ईथर का कर्षण गुरुत्वाकर्षण द्रव्यमान के समानुपाती होता है। अर्थात्, ईथर को पूर्ण रूप से पृथ्वी द्वारा खींचा जाता है, और मात्र आंशिक रूप से पृथ्वी पर छोटी वस्तुओं द्वारा खींचा जाता है। और स्टोक्स की विपथन की व्याख्या को बचाने के लिए, मैक्स प्लैंक (1899) ने लोरेंत्ज़ को लिखे पत्र में तर्क दिया, कि ईथर असम्पीडित नहीं हो सकता है, परंतु पृथ्वी के निकट गुरुत्वाकर्षण द्वारा संघनित हुआ, और इससे स्टोक्स के सिद्धांत ("स्टोक्स-प्लैंक सिद्धांत") के लिए आवश्यक प्रतिबंधे मिलेंगी। उपरोक्त प्रयोगों के साथ तुलना करने पर, यह मॉडल फ़िज़ो और सैग्नैक के प्रयोगों के धनात्मक परिणामों की व्याख्या कर सकता है, क्योंकि उन उपकरणों का छोटा द्रव्यमान मात्र आंशिक रूप से (या निश्चित नहीं) ईथर को खींच सकता है, और इसी कारण से यह लॉज के प्रयोगों के ऋणात्मक परिणाम की पूर्ण रूप से व्याख्या करता है। यह हैमर और माइकलसन-मॉर्ले प्रयोग के साथ भी संगत है, क्योंकि ईथर पूर्ण रूप से पृथ्वी के बड़े द्रव्यमान द्वारा खींचा जाता है।

यद्यपि, इस सिद्धांत का माइकलसन-गेल-पियर्सन प्रयोग (1925) द्वारा प्रत्यक्ष रूप से खंडन किया गया था। अतः सामान्य सैग्नैक प्रयोगों की अपेक्षा इस प्रयोग का बड़ा अंतर यह तथ्य है कि पृथ्वी के घूर्णन को स्वयं मापा गया था। यदि ईथर को पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र द्वारा पूर्ण रूप से खींच लिया जाता है, तो ऋणात्मक परिणाम की अपेक्षा की जानी चाहिए - परंतु परिणाम धनात्मक था।

और सैद्धांतिक पक्ष से यह हेंड्रिक एंटून लोरेंत्ज़ द्वारा नोट किया गया था, कि स्टोक्स-प्लैंक परिकल्पना के लिए आवश्यक है कि प्रकाश की गति ईथर के 50,000 गुना घनत्व में वृद्धि से प्रभावित न हो। इसलिए लोरेंत्ज़ और प्लैंक ने स्वयं इस परिकल्पना को असंभव बताकर निरस्त कर दिया।

लोरेंत्ज़ और आइंस्टीन
चूंकि लोरेंत्ज़ को स्टोक्स की परिकल्पना को छोड़ने के लिए विवश किया गया था, इसलिए उन्होंने फ्रेस्नेल के मॉडल को प्रारम्भिक बिंदु के रूप में चुना। वह 1892 में फ्रेस्नेल के माध्यम गुणांक को पुन: उत्पन्न करने में सक्षम था, यद्यपि लोरेंत्ज़ के सिद्धांत में यह प्रकाश तरंगों के प्रसार के संशोधन का प्रतिनिधित्व करता है, न कि किसी ईथर के प्रवेश का परिणाम। इसलिए, लोरेंत्ज़ ईथर सिद्धांत या लोरेंत्ज़ का ईथर पूर्ण रूप से स्थिर या स्थिर है। यद्यपि, यह उसी समस्या की ओर ले जाता है जो पूर्व से ही फ्रेस्नेल के मॉडल से पीड़ित थी: यह माइकलसन-मॉर्ले प्रयोग के साथ अंतर्विरोध में खड़ा था। इसलिए, जॉर्ज फ्रांसिस फिट्जगेराल्ड (1889) और लोरेंत्ज़ (1892) ने लंबाई संकुचन की प्रारंभ की, अर्थात,कारक $$\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}$$ द्वारा सभी पिंड गति की रेखा में सिकुड़ते हैं। अतः इसके अतिरिक्त, लोरेंत्ज़ के सिद्धांत में गैलीलियन परिवर्तन को लोरेंत्ज़ परिवर्तन द्वारा पूर्ण रूप से प्रतिस्थापित किया गया था।

यद्यपि, स्थिर ईथर अवधारणा को बचाने के लिए परिकल्पनाओं का संचय बहुत कृत्रिम माना जाता था। तो यह अल्बर्ट आइंस्टीन (1905) थे, जिन्होंने माना कि मात्र सापेक्षता के सिद्धांत को मानने की आवश्यकता है, और विशेष सापेक्षता के सिद्धांत को विकसित करने और संपूर्ण लोरेंत्ज़ परिवर्तन प्राप्त करने के लिए संदर्भ के सभी जड़त्वीय संरचनाओं में प्रकाश की गति की स्थिरता। यह सब स्थिर ईथर अवधारणा का उपयोग किए बिना किया गया था।

जैसा कि मैक्स वॉन लाउ (1907) द्वारा दिखाया गया है, एक विशेष सापेक्षता ईथर की आवश्यकता के बिना वेग जोड़ प्रमेय से फ़िज़ो प्रयोग के परिणाम की भविष्यवाणी करती है। इस प्रकार से यदि $$V$$ फ़िज़ौ उपकरण के सापेक्ष प्रकाश का वेग है और $$U$$ जल के सापेक्ष प्रकाश का वेग है और $$v$$ जल का वेग है:


 * $$ U = \frac {c}{n} $$
 * $$ V = \frac {c/n + v}{1 + v/nc}$$

जिसे, यदि v/c छोटा है तो द्विपद विस्तार का उपयोग करके विस्तारित किया जा सकता है:


 * $$ V \approx \frac {c}{n} + v \left(1 - \frac{1}{n^2} \right) $$

यह फ्रेस्नेल समीकरण के समान है।

अलैइस ईथर परिकल्पना
अतः मौरिस एलाइसमान ने 1959 में लगभग 8 किमी/सेकेंड की वायु की गति को सम्मिलित करते हुए एक ईथर परिकल्पना प्रस्तावित की, जो उन्नीसवीं शताब्दी के वैज्ञानिकों द्वारा समर्थित 30 किमी/सेकेंड के मानक मान से बहुत कम था, और माइकलसन-मॉर्ले और डेटन मिलर प्रयोगों के साथ-साथ सामान्य सापेक्षता द्वारा अप्रत्याशित विवादास्पद एलाइस प्रभाव के संबंध में अपने स्वयं के प्रयोगों के साथ संगत है। इस प्रकार से एक मान गुरुत्वाकर्षण के एक अन्य सिद्धांत की आवश्यकता की पक्षपोषित करने के अतिरिक्त, उनकी परिकल्पना को मुख्यधारा के वैज्ञानिकों के बीच महत्वपूर्ण लोकप्रियता नहीं मिली।

सारांश
आधुनिक भौतिकी में (जो सापेक्षता और क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांत पर आधारित है), गति की स्थिति वाले भौतिक पदार्थ के रूप में ईथर अब कोई भूमिका नहीं निभाता है। इसलिए संभावित ईथर माध्यम से संबंधित प्रश्नों को अब वैज्ञानिक समुदाय द्वारा सार्थक नहीं माना जाता है। यद्यपि, जैसा कि सामान्य सापेक्षता संरचना कर्षण, द्वारा भविष्यवाणी की गई थी, जिसमें घूमने वाले द्रव्यमान मापीयमान प्रदिश (सामान्य सापेक्षता) को विकृत करते हैं, जिससे निकट के कणों की कक्षा में प्रगति होती है, स्थित है। परंतु यह प्रभाव इस आलेख में चर्चा किए गए किसी भी ईथर माध्यम की तुलना में दुर्बल परिमाण का क्रम है।

यह भी देखें

 * विशेष सापेक्षता का इतिहास
 * विशेष सापेक्षता का परीक्षण
 * सामान्य सापेक्षता के परीक्षण
 * संरचना-कर्षण

ग्रंथ सूची और संदर्भ

 * विकीबुक: विशेष सापेक्षता
 * रेसनिक, रॉबर्ट, बेसिक कॉन्सेप्ट्स इन रिलेटिविटी एंड अर्ली क्वांटम थ्योरी, 1972, जॉन विले एंड संस इंक।

बाहरी संबंध

 * Mathpages: Stokes’ Mistake