नेटवर्क विश्लेषण

इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग और इलेक्ट्रॉनिक्स के संदर्भ में एक नेटवर्क, परस्पर जुड़े घटकों का एक संग्रह है। नेटवर्क विश्लेषण (network analysis) उस प्रक्रिया को कहते हैं जिसमें वोल्टास (voltages) का पता लगाया जाता है। इन मूल्यों की गणना के लिए कई तकनीकें हैं। हालांकि, अधिकांश भाग के लिए, तकनीक रैखिक घटकों को मान लेती है। जहां कहा गया है, इस आलेख में वर्णित विधियां केवल रैखिक नेटवर्क विश्लेषण पर लागू होती हैं।

परिभाषाएँ
 घटक  दो या अधिक टर्मिनल के साथ एक उपकरण जिसमें से धारा प्रवाहित हो सकती है।

नोड  एक बिंदु जिस पर दो से अधिक घटकों के टर्मिनल जुड़ते हैं। पर्याप्त शून्य प्रतिरोध वाले कंडक्टर को विश्लेषण के उद्देश्य के लिए एक नोड माना जाता है।

शाखा दो नोड्स में शामिल होने वाले घटक।

जाल (Mesh) एक नेटवर्क के भीतर शाखाओं का एक समूह एक पूर्ण लूप बनाने के लिए शामिल हो गया, जैसे कि इसके अंदर कोई अन्य लूप नहीं है।

पोर्ट दो टर्मिनल जहां एक में करंट दूसरे से करंट के समान होता है।

विद्युत परिपथ (सर्किट)  जनरेटर के एक टर्मिनल से लोड घटक के माध्यम से करंट दूसरे टर्मिनल में वापस होता है। इस अर्थ में, सर्किट एक पोर्ट नेटवर्क है और विश्लेषण करने के लिए छोटा कारक है। यदि किसी अन्य सर्किट से कोई संबंध है तो एक गैर ट्रिपियल नेटवर्क बनाया गया है और कम से कम दो पोर्ट मौजूद होने चाहिए। अक्सर, "विद्युत परिपथ" और "नेटवर्क" का एक-दूसरे के स्थान पर उपयोग किया जाता है, लेकिन कई विश्लेषक "नेटवर्क" को आदर्श घटकों से युक्त एक आदर्श मॉडल के रूप में सुरक्षित रखते हैं।

 ट्रांसफर फ़ंक्शन  दो पोर्ट के बीच धाराओं और वोल्टेज के संबंध। अक्सर, एक इनपुट पोर्ट और एक आउटपुट पोर्ट पर चर्चा की जाती है और ट्रांसफर फ़ंक्शन को लाभ या सत्यापन के रूप में वर्णित किया जाता है।

घटक ट्रांसफर फ़ंक्शन दो-टर्मिनल कंपोनेंट (यानी वन-पोर्ट कंपोनेंट) के लिए, करंट और वोल्टेज को इनपुट और आउटपुट के रूप में लिया जाता है और ट्रांसफर फंक्शन में प्रतिबाधा या प्रवेश की इकाइयाँ होंगी (यह आमतौर पर मनमानी सुविधा का मामला है चाहे वोल्टेज हो या करंट को इनपुट माना जाता है)। एक तीन (या अधिक) टर्मिनल घटक में प्रभावी रूप से दो (या अधिक) पोर्ट होते हैं और ट्रांसफर फ़ंक्शन को एकल प्रतिबाधा के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। सामान्य दृष्टिकोण ट्रांसफर फंक्शन को मापदंडों के मैट्रिक्स के रूप में व्यक्त करना है। ये पैरामीटर प्रतिबाधा हो सकते हैं, लेकिन बड़ी संख्या में अन्य दृष्टिकोण हैं (देखें दो-पोर्ट नेटवर्क )।

समकक्ष सर्किट


नेटवर्क विश्लेषण में एक उपयोगी प्रक्रिया घटकों की संख्या को कम करके नेटवर्क को सरल बनाना है। यह एक ही प्रभाव वाले अन्य काल्पनिक घटकों के साथ भौतिक घटकों को प्रतिस्थापित करके किया जा सकता है। एक विशेष तकनीक सीधे घटकों की संख्या को कम कर सकती है, उदाहरण के लिए श्रृंखला में प्रतिबाधाओं को मिलाकर। दूसरी ओर, यह केवल उस रूप को बदल सकता है जिसमें बाद के ऑपरेशन में घटकों को कम किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, नॉर्टन के प्रमेय का उपयोग करके एक वोल्टेज जनरेटर को वर्तमान जनरेटर में बदल सकता है ताकि बाद में समानांतर प्रतिबाधा भार के साथ जनरेटर के आंतरिक प्रतिरोध को संयोजित करने में सक्षम हो सके।

एक प्रतिरोधक सर्किट एक सर्किट है जिसमें केवल प्रतिरोध, अनुकूल धारा स्रोत और अनुकूल  वोल्टेज स्रोत  होते है। यदि स्रोत स्थिर (  DC ) स्रोत हैं, तो परिणाम  DC सर्किट है। एक सर्किट के विश्लेषण में सर्किट में मौजूद वोल्टेज और धाराओं को हल करना शामिल है। यहां उल्लिखित समाधान सिद्धांत AC सर्किट के चरण विश्लेषण पर भी लागू होते हैं।

दो सर्किट को टर्मिनलों की एक जोड़ी के संबंध में समकक्ष कहा जाता है, यदि नेटवर्क के लिए टर्मिनलों के माध्यम से वोल्टेज और धारा का संबंध दूसरे नेटवर्क के टर्मिनलों पर वोल्टेज और करंट के समान होता है।

अगर $$V_2=V_1$$ implies $$I_2=I_1$$ for all (real) values of $$V_1$$, फिर टर्मिनलों ab और xy के संबंध में सर्किट 1 और सर्किट 2 बराबर हैं।

उपरोक्त एक-पोर्ट नेटवर्क के लिए पर्याप्त परिभाषा है। एक से अधिक पोर्ट के लिए, यह परिभाषित किया जाना चाहिए कि संबंधित पोर्ट के सभी जोड़े के बीच धाराओं और वोल्टेज में समान संबंध होना चाहिए। उदाहरण के लिए, स्टार (star) और डेल्टा (delta) नेटवर्क प्रभावी रूप से तीन पोर्ट नेटवर्क हैं और इसलिए उनकी तुल्यता को पूरी तरह से निर्दिष्ट करने के लिए एक साथ तीन समीकरणों की आवश्यकता होती है।

श्रृंखला और समानांतर में प्रतिबाधा
कुछ दो टर्मिनल नेटवर्क के प्रतिबाधा अंततः श्रृंखला में प्रतिबाधा या समानांतर में प्रतिबाधा के लगातार अनुप्रयोगों द्वारा कम किया जा सकता है।

श्रृंखला में बाधाएं: $$Z_\mathrm{eq} = Z_1 + Z_2 + \,\cdots\, + Z_n .$$

समानांतर में बाधाएं: $$\frac{1}{Z_\mathrm{eq}} = \frac{1}{Z_1} +   \frac{1}{Z_2}  + \,\cdots\, +  \frac{1}{Z_n} .$$
 * समानांतर में केवल दो बाधाओं के लिए उपरोक्त सरल: $$Z_\mathrm{eq} = \frac{Z_1Z_2}{Z_1 + Z_2} .$$

डेल्टा-वी परिवर्तन


दो से अधिक टर्मिनलों के साथ प्रतिबाधा के एक नेटवर्क को एकल प्रतिबाधा समकक्ष सर्किट में कम नहीं किया जा सकता है। n-टर्मिनल नेटवर्क, सबसे अच्छा, n प्रतिबाधाओं (सबसे खराब nC2) तक कम किया जा सकता है। तीन टर्मिनल नेटवर्क के लिए, तीन बाधाओं को तीन नोड डेल्टा (Δ) नेटवर्क या चार नोड स्टार (वाई) नेटवर्क के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। ये दो नेटवर्क समान हैं और उनके बीच परिवर्तन नीचे दिए गए हैं। नोड्स की मनमानी संख्या के साथ एक सामान्य नेटवर्क को केवल श्रृंखला और समानांतर संयोजन का उपयोग करके प्रतिबाधा की न्यूनतम संख्या तक कम नहीं किया जा सकता है। सामान्य तौर पर, Y-Δ और Δ-Y परिवर्तनों का भी उपयोग किया जाना चाहिए। कुछ नेटवर्क के लिए Y-Δ से स्टार-बहुभुज (STAR-POLYGON) परिवर्तनों के विस्तार की भी आवश्यकता हो सकती है।

तुल्यता के लिए, किसी भी जोड़ी टर्मिनलों के बीच प्रतिबाधा दोनों नेटवर्क के लिए समान होना चाहिए, जिसके परिणामस्वरूप तीन एक साथ समीकरणों का एक सेट होता है। नीचे दिए गए समीकरणों को प्रतिरोध के रूप में व्यक्त किया गया है, लेकिन प्रतिबाधा के साथ सामान्य मामले पर समान रूप से लागू होता है।

डेल्टा-टू-स्टार परिवर्तन समीकरण
$$R_a = \frac{R_\mathrm{ac}R_\mathrm{ab}}{R_\mathrm{ac} + R_\mathrm{ab} + R_\mathrm{bc}} $$

$$R_b = \frac{R_\mathrm{ab}R_\mathrm{bc}}{R_\mathrm{ac} + R_\mathrm{ab} + R_\mathrm{bc}} $$

$$R_c = \frac{R_\mathrm{bc}R_\mathrm{ac}}{R_\mathrm{ac} + R_\mathrm{ab} + R_\mathrm{bc}} $$

स्टार-टू-डेल्टा परिवर्तन समीकरण
$$R_\mathrm{ac} = \frac{R_aR_b + R_bR_c + R_cR_a}{R_b}$$

$$R_\mathrm{ab} = \frac{R_aR_b + R_bR_c + R_cR_a}{R_c}$$

$$R_\mathrm{bc} = \frac{R_aR_b + R_bR_c + R_cR_a}{R_a}$$

नेटवर्क नोड उन्मूलन का सामान्य रूप
स्टार-टू-डेल्टा और श्रृंखला-प्रतिरोधी रूपांतरण सामान्य प्रतिरोध नेटवर्क नोड उन्मूलन एल्गोरिथ्म के विशेष मामले हैं। किसी भी नोड $$N$$ प्रतिरोधक ($$R_1$$ .. $$R_N$$) से नोड 1 से जुड़ा है। N को $${N \choose 2}$$ से बदला जा सकता है। प्रतिरोधक शेष $$N$$  नोड्स को आपस में जोड़ते हैं। किन्हीं दो नोड्स $$x$$ और $$y$$ के बीच प्रतिरोध निम्न द्वारा दिया जाता है:

$$R_\mathrm{xy} = R_xR_y\sum_{i=1}^N \frac{1}{R_i}$$

एक स्टार-टू-डेल्टा के लिए ($$N=3$$) यह कम कर देता है:

$$R_\mathrm{ab} = R_aR_b(\frac 1 R_a+\frac 1 R_b+\frac 1 R_c) = \frac{R_aR_b(R_aR_b+R_aR_c+R_bR_c)}{R_aR_bR_c}=\frac{R_aR_b + R_bR_c + R_cR_a}{R_c}$$

एक श्रृंखला में कमी के लिए ($$N=2$$) यह कम कर देता है:

$$R_\mathrm{ab} = R_aR_b(\frac 1 R_a+\frac 1 R_b) = \frac{R_aR_b(R_a+R_b)}{R_aR_b} = R_a+R_b$$

एक  निलंबित प्रतिरोधक के लिए ($$N=1$$) यह प्रतिरोध के उन्मूलन में परिणाम देता है क्योंकि $${1 \choose 2} = 0$$।

स्रोत परिवर्तन


एक आंतरिक प्रतिबाधा (यानी गैर- उपयुक्त जनरेटर) के साथ एक जनरेटर को एक उपयुक्त वोल्टेज जनरेटर या एक उपयुक्त धारा जनरेटर प्लस प्रतिबाधा के रूप में दर्शाया जा सकता है। ये दो रूप समतुल्य हैं और रूपांतरण नीचे दिए गए हैं। यदि दो नेटवर्क ab टर्मिनलों के बराबर हैं, तो V और I दोनों नेटवर्क के लिए समान होना चाहिए। इस प्रकार,$$V_\mathrm{s} = RI_\mathrm{s}\,\!$$ or $$I_\mathrm{s} = \frac{V_\mathrm{s}}{R}$$
 * नॉर्टन के प्रमेय में कहा गया है कि किसी भी दो-टर्मिनल रैखिक नेटवर्क को एक उपयुक्त धारा जनरेटर और समानांतर प्रतिबाधा में कम किया जा सकता है।
 * थेवेनिन के प्रमेय में कहा गया है कि किसी भी दो-टर्मिनल रैखिक नेटवर्क को एक उपयुक्त वोल्टेज जनरेटर और एक श्रृंखला प्रतिबाधा में कम किया जा सकता है।

सरल नेटवर्क
अधिक व्यवस्थित दृष्टिकोण लागू करने की आवश्यकता के बिना कुछ बहुत ही सरल नेटवर्क का विश्लेषण किया जा सकता है।

वोल्टेज डिवीजन ऑफ सीरीज़ कंपोनेंट्स
उन n प्रतिबाधाओं पर विचार करें जो श्रृंखला में जुड़े हुए हैं। वोल्टेज $$V_i$$ किसी भी प्रतिबाधा में $$Z_i$$ है

$$V_i = Z_iI = \left( \frac{Z_i}{Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_n} \right)V$$

समानांतर घटकों का विद्युत विभाजन
n प्रवेशों पर विचार करें जो समानांतर में जुड़े हुए हैं। विद्युत $$I_i$$ किसी भी प्रवेश के माध्यम से $$Y_i$$ है

$$I_i = Y_iV = \left( \frac{Y_i}{Y_1 + Y_2 + \cdots + Y_n} \right)I$$

के लिए $$i = 1,2,...,n.$$

==== विशेष मामला: दो समानांतर घटकों का वर्तमान विभाजन ====

$$I_1 = \left( \frac{Z_2}{Z_1 + Z_2} \right)I$$

$$I_2 = \left( \frac{Z_1}{Z_1 + Z_2} \right)I$$

नोडल विश्लेषण
1. सर्किट में सभी नोड्स को लेबल करें। संदर्भ में अव्यवस्थित रूप से किसी भी नोड का चयन करें।

2. संदर्भ के लिए प्रत्येक शेष नोड से परिवर्ती वोल्टेज को परिभाषित करें। इन परिवर्ती वोल्टेज को परिभाषित किया जाना चाहिए क्योंकि संदर्भ नोड के संबंध में वोल्टेज बढ़ता है।

3. संदर्भ को छोड़कर प्रत्येक नोड के लिए KCL समीकरण लिखें।

4. समीकरणों की परिणामी प्रणाली को हल करें।

जाल (Mesh) विश्लेषण
जाल - एक लूप जिसमें आंतरिक लूप नहीं होता है।

1. सर्किट में "विंडो पैन" की संख्या की गणना करें। प्रत्येक विंडो पैन में एक जाल धारा आबंटित करें।

2. प्रत्येक जाल के लिए KVL समीकरण लिखें जिसकी धारा अज्ञात है।

3. परिणामी समीकरणों को हल करें।

अधिस्थापन
इस पद्धति में, प्रत्येक जनरेटर के प्रभाव की गणना की जाती है। एक के अलावा अन्य सभी जनरेटर को हटा दिया जाता है और या तो वोल्टेज जनरेटर के मामले में शॉर्ट सर्किट या वर्तमान जनरेटर के मामले में सर्किट शुरु किया जाता है। किसी विशेष शाखा के माध्यम से कुल वर्तमान या कुल वोल्टेज की गणना सभी व्यक्तिगत धाराओं या वोल्टेज को जोड़कर की जाती है।

इस पद्धति के लिए एक अंतर्निहित धारणा है कि कुल धारा या वोल्टेज इसके भागों का एक रैखिक अधिस्थापन है। इसलिए, गैर-रैखिक घटक मौजूद होने पर विधि का उपयोग नहीं किया जा सकता है। रेखीय परिपथों में भी तत्वों द्वारा उपयोग की गई कुल शक्ति का पता लगाने के लिए शक्तियों के अधिस्थापन का उपयोग नहीं किया जा सकता है। कुल वोल्टेज या करंट के वर्ग के अनुसार शक्ति भिन्न होती है और योग का वर्ग आमतौर पर वर्गों के योग के बराबर नहीं होता है। एक तत्व में कुल शक्ति को वोल्टेज और वर्तमान में स्वतंत्र रूप से अधिस्थापन लागू करके और फिर कुल वोल्टेज और वर्तमान से शक्ति की गणना करके पाया जा सकता है।

विधि का चुनाव
विधि का चुनाव कुछ हद तक अनुभव की बात है। यदि नेटवर्क विशेष रूप से सरल है या केवल एक विशिष्ट धारा या वोल्टेज की आवश्यकता है तो कुछ सरल समकक्ष सर्किटों की पुनरावृत्ति के बिना उत्तर प्राप्त कर सकते हैं।
 * नोडल विश्लेषण : इसलिए एक साथ समीकरण हल करने के लिए, वोल्टेज चर की संख्या नोड्स की संख्या से घटा के बराबर होती है। संदर्भ नोड से जुड़ा प्रत्येक वोल्टेज स्रोत अज्ञात और समीकरणों की संख्या को एक से कम कर देता है।
 * जाल विश्लेषण: इसलिए एक साथ समीकरण हल करने के लिए, विद्युत धारा चर की संख्या, जाल की संख्या के बराबर होती है। जाल में प्रत्येक धारा स्रोत अज्ञात की संख्या को एक से कम कर देता है।मेष विश्लेषण का उपयोग केवल उन नेटवर्कों के साथ किया जा सकता है जिन्हें एक प्लानर के रूप में तैयार किया जा सकता है, अर्थात बिना क्रॉसिंग घटकों के।
 * अधिस्थापन सबसे अवधारणात्मक सरल तरीका है, लेकिन तेजी से बड़ी संख्या में समीकरणों और प्रतिबाधा संयोजनों की ओर जाता है क्योंकि नेटवर्क बड़ा हो जाता है।
 * प्रभावी मध्यम अनुमान: यादृच्छिक प्रतिरोधों के उच्च घनत्व वाले नेटवर्क के लिए, प्रत्येक व्यक्तिगत तत्व के लिए एक सटीक समाधान अव्यावहारिक या असंभव हो सकता है। इसके बजाय, प्रभावी प्रतिरोध और वर्तमान वितरण गुणों को ग्राफ उपायों और नेटवर्क के ज्यामितीय गुणों के संदर्भ में तैयार किया जा सकता है।

स्थानांतरण प्रकार्य
स्थानांतरण प्रकार्य किसी इनपुट और नेटवर्क के आउटपुट के बीच संबंध को व्यक्त करता है। प्रतिरोध नेटवर्क के लिए, यह हमेशा एक सरल वास्तविक संख्या या एक अभिव्यक्ति होगी जो एक वास्तविक संख्या तक नीचे आती है। प्रतिरोध नेटवर्क को बीजगणितीय समीकरणों के युगपत तंत्र द्वारा दर्शाया जाता है। हालांकि, रैखिक नेटवर्क के सामान्य मामले में, नेटवर्क को एक साथ रैखिक अवकल समीकरणों की एक प्रणाली द्वारा दर्शाया गया है। नेटवर्क विश्लेषण (network analysis) में, सीधे अंतर समीकरणों का उपयोग करने के बजाय, उन पर पहले एक लैपलेस (laplace) परिवर्तन करने के लिए आम तौर पर अभ्यास किया जाता है और फिर लैपलेस पैरामीटर s के संदर्भ में परिणाम व्यक्त करते हैं, जो सामान्य रूप से जटिल है। इसे s डोमेन में काम करने के रूप में वर्णित किया गया है। समीकरणों के साथ सीधे काम करने को समय (या t) डोमेन में काम करने के रूप में वर्णित किया जाएगा क्योंकि परिणामों को समय अलग मात्रा के रूप में व्यक्त किया जाएगा। लेप्लास ट्रांसफ़ॉर्म, s-डोमेन और टी-डोमैन के बीच परिवर्तन की गणितीय विधि है।

यह दृष्टिकोण नियंत्रण सिद्धांत में मानक है और एक प्रणाली के स्थिरता का निर्धारण करने के लिए उपयोगी है, उदाहरण के लिए, एक प्रवर्धक प्रतिक्रिया के साथ।

दो टर्मिनल घटक स्थानांतरण कार्य
दो टर्मिनल घटकों के लिए स्थानांतरण फ़ंक्शन, या अधिक सामान्यतः गैर-रैखिक तत्वों के लिए, संवैधानिक समीकरण ,उपकरण के लिए वर्तमान इनपुट और इसके परिणामस्वरूप वोल्टेज के बीच संबंध है। स्थानांतरण फ़ंक्शन, Z(s), इस प्रकार प्रतिबाधा की इकाइयाँ होंगी - ohms। विद्युत नेटवर्क में पाए जाने वाले तीन निष्क्रिय घटकों के लिए, स्थानांतरण कार्य हैं;

प्रतिरोधक $$Z(s)=R\,\!$$

प्रेरक    $$Z(s)=sL\,\!$$

संधारित्र  $$Z(s)=\frac{1}{sC}$$

एक नेटवर्क के लिए जिसमें केवल स्थिर एसी सिग्नल लागू होते हैं, s को jω से बदल दिया जाता है और ac नेटवर्क सिद्धांत परिणाम से अधिक परिचित मान होते हैं।

प्रतिरोधक $$Z(j\omega)=R\,\!$$

प्रेरक $$Z(j\omega)=j\omega L\,\!$$

संधारित्र $$Z(j\omega)=\frac{1}{j\omega C}$$

अंत में, एक नेटवर्क के लिए जिसमें केवल स्थिर dc लागू होता है, s को शून्य से बदल दिया जाता है और dc नेटवर्क सिद्धांत लागू होता है।

प्रतिरोधक $$Z=R\,\!$$

प्रेरक $$Z=0\,\!$$

संधारित्र $$Z=\infin \,\!$$

दो पोर्ट नेटवर्क स्थानांतरण कार्य
सामान्य रूप से, नियंत्रण सिद्धांत में हस्तांतरण कार्यों को प्रतीक h(s) दिया जाता है। अधिकांश आम तौर पर इलेक्ट्रॉनिक्स में, ट्रांसफर फ़ंक्शन को इनपुट वोल्टेज के लिए आउटपुट वोल्टेज के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है और प्रतीक a(s) या अधिक आम तौर पर दिया जाता है (क्योंकि विश्लेषण हमेशा साइन तरंग प्रतिक्रिया के संदर्भ में किया जाता है), a(jω), इसलिए वह;

$$A(j\omega)=\frac{V_o}{V_i}$$

संदर्भ के आधार पर A क्षीणन, या प्रवर्धन के लिए खड़ा है। सामान्य तौर पर, यह jω का एक जटिल कार्य होगा, जिसे नेटवर्क में बाधाओं और उनके व्यक्तिगत हस्तांतरण कार्यों के विश्लेषण से प्राप्त किया जा सकता है। कभी-कभी विश्लेषक केवल लाभ के परिमाण में रुचि रखता है, न कि चरण कोण में। इस मामले में सम्मिश्र संख्याओं को स्थानांतरण फ़ंक्शन से समाप्त किया जा सकता है और इसे तब लिखा जा सकता है;

$$A(\omega)=\left|{\frac{V_o}{V_i}}\right|$$

दो पोर्ट पैरामीटर
दो-पोर्ट नेटवर्क की अवधारणा विश्लेषण के लिए ब्लैक बॉक्स दृष्टिकोण के रूप में नेटवर्क विश्लेषण में उपयोगी हो सकती है। एक बड़े नेटवर्क में दो-पोर्ट नेटवर्क के व्यवहार को आंतरिक संरचना के बारे में कुछ भी बताए बिना पूरी तरह से चित्रित किया जा सकता है। हालाँकि, ऐसा करने के लिए ऊपर वर्णित A(jω) की तुलना में अधिक जानकारी होना आवश्यक है। यह दिखाया जा सकता है कि दो-पोर्ट नेटवर्क को पूरी तरह से चिह्नित करने के लिए ऐसे चार मापदंडों की आवश्यकता होती है। ये आगे हस्तांतरण कार्य, इनपुट प्रतिबाधा, विपरीत हस्तांतरण कार्य (यानी, आउटपुट पर वोल्टेज लागू होने पर इनपुट पर दिखाई देने वाला वोल्टेज) और आउटपुट प्रतिबाधा हो सकता है। कई अन्य हैं (पूरी सूची के लिए मुख्य लेख देखें), इनमें से एक सभी चार मापदंडों को प्रतिबाधा के रूप में व्यक्त करता है। चार मापदंडों को मैट्रिक्स के रूप में व्यक्त करना सामान्य है;

 \ {bmatrix} शुरू करें

V_1 \\ V_0

\ अंत {bmatrix} = \ {bmatrix} शुरू करें

z (j \ omega) _ {11} & z (j \ omega) _ {12} \\ z (j \ omega) _ {21} & z (j \ omega) _ {22}

\ अंत {bmatrix} \ {bmatrix} शुरू करें

I_1 \\ I_0

\ अंत {bmatrix} 

मैट्रिक्स को प्रतिनिधि तत्व में संक्षिप्त किया जा सकता है।

$$ \left [z(j\omega) \right] $$ या सिर्फ $$ \left [z \right] $$

ये अवधारणाएं दो से अधिक पोर्ट के नेटवर्क तक विस्तारित होने में सक्षम हैं। हालांकि, यह वास्तविकता में शायद ही कभी किया जाता है क्योंकि कई व्यावहारिक मामलों में, पोर्ट को या तो विशुद्ध रूप से इनपुट या विशुद्ध रूप से आउटपुट माना जाता है। यदि रिवर्स दिशा हस्तांतरण कार्यों की उपेक्षा की जाती है, तो एक बहु-पोर्ट नेटवर्क को हमेशा दो-पोर्ट नेटवर्क में विघटित किया जा सकता है।

वितरित घटक
जहां एक नेटवर्क असततत घटकों से बना होता है, दो-पोर्ट नेटवर्क का उपयोग करके विश्लेषण आवश्यक नहीं है। नेटवर्क को अपने व्यक्तिगत घटक हस्तांतरण कार्यों के संदर्भ में हमेशा वैकल्पिक रूप से विश्लेषण किया जा सकता है। हालांकि, यदि एक नेटवर्क में वितरित घटक होते हैं, जैसे कि ट्रांसमिशन लाइन के मामले में, तो व्यक्तिगत घटकों के संदर्भ में विश्लेषण करना संभव नहीं है क्योंकि वे मौजूद नहीं हैं। इसका सबसे आम तरीका दो-पोर्ट नेटवर्क के रूप में लाइन को मॉडल करना है और इसे दो-पोर्ट मापदंडों (या उनके समकक्ष कुछ) का उपयोग करके चित्रित करना है। इस तकनीक का एक और उदाहरण उच्च आवृत्ति ट्रांजिस्टर में आधार क्षेत्र को पार करने वाले वाहकों का मॉडलिंग है। आधार क्षेत्र को मिश्रित घटकों के बजाय वितरित प्रतिरोध और संधारिता के रूप में मॉडल किया जाना चाहिए।

छवि विश्लेषण
ट्रांसमिशन लाइनों और कुछ प्रकार के फिल्टर डिजाइन अपने हस्तांतरण मापदंडों को निर्धारित करने के लिए छवि विधि का उपयोग करते हैं। इस विधि में, समान नेटवर्क की असीम रूप से लंबे कैस्केड कनेक्टेड चेन के व्यवहार पर विचार किया जाता है। इनपुट और आउटपुट प्रतिबाधा और आगे और विपरीत संचरण कार्यों की गणना इस असीम लंबी श्रृंखला के लिए की जाती है। हालांकि इस प्रकार प्राप्त किए गए सैद्धांतिक मूल्यों को व्यवहार में कभी भी ठीक से महसूस नहीं किया जा सकता है, कई मामलों में वे एक परिमित श्रृंखला के व्यवहार के लिए बहुत अच्छा सन्निकटन के रूप में काम करते हैं, जब तक कि यह बहुत छोटा नहीं है।

गैर-रैखिक नेटवर्क
अधिकांश इलेक्ट्रॉनिकअधिकांश इलेक्ट्रॉनिक डिजाइन, वास्तव में, गैर-रैखिक हैं। बहुत कम ऐसे हैं जिनमें कुछ अर्धचालक उपकरण शामिल नहीं हैं। ये हमेशा गैर-रैखिक होते हैं, एक आदर्श अर्धचालक p-n जंक्शन का स्थानांतरण कार्य बहुत ही गैर-रैखिक संबंध द्वारा दिया जाता है;

$$i = I_o (e^{\frac{v}{V_T}}-1)$$

जहाँ पे;
 *  I  और  V  तात्कालिक धारा और वोल्टेज हैं।
 *  Io एक स् वच्छंद पैरामीटर है  जिसे रिवर्स लीकेज करंट कहा जाता है जिसका मूल्य उपकरण के निर्माण पर निर्भर करता है।
 * VT तापमा न के आनुपातिक एक पैरामीटर है जिसे थर्मल वोल्टेज कहा जाता है और कमरे के तापमान पर लगभग 25mV के बराबर होता है।

ऐसे कई अन्य तरीके हैं जिनसे एक नेटवर्क में गैर-रैखिकता प्रकट हो सकती है। गैर-रैखिक घटक मौजूद होने पर रैखिक अधिस्थापन का उपयोग करने वाली सभी विधियां विफल हो जाएंगी। सर्किट के प्रकार और विश्लेषक जो जानकारी प्राप्त करना चाहता है, उसके आधार पर गैर-रैखिकता से निपटने के लिए कई विकल्प हैं।

संवैधानिक समीकरण
उपरोक्त डायोड समीकरण सामान्य रूप के तत्व संवैधानिक समीकरण का एक उदाहरण है,

$$f(v,i) = 0 \,$$

इसे एक गैर-रैखिक अवरोधक के रूप में माना जा सकता है। गैर-रैखिक प्रेरक और संधनित्र के लिए संबंधित संवैधानिक समीकरण क्रमशः हैं;

$$f(v, \varphi) = 0 \,$$

$$f(v, q) = 0 \,$$

जहाँ f कोई मनमाना फलन है, संचित चुंबकीय फ्लक्स है और q संचित आवेश है।

अस्तित्व, विशिष्टता और स्थिरता
गैर-रैखिक विश्लेषण में एक महत्वपूर्ण विचार विशिष्टता का प्रश्न है। रैखिक घटकों से बने नेटवर्क के लिए हमेशा एक, और केवल एक, सीमा स्थितियों के दिए गए सेट के लिए अद्वितीय समाधान होगा। गैर-रैखिक सर्किट में हमेशा ऐसा नहीं होता है। उदाहरण के लिए, उस पर लागू एक निश्चित धारा के साथ एक रैखिक रोकनेवाला के पास वोल्टेज के लिए केवल एक ही समाधान होता है। दूसरी ओर, गैर-रैखिक सुरंग डायोड में किसी दिए गए वर्तमान के लिए वोल्टेज के लिए तीन समाधान होते हैं। यही है, डायोड के माध्यम से वर्तमान के लिए एक विशेष समाधान अद्वितीय नहीं है, अन्य भी हो सकते हैं, समान रूप से मान्य हैं। कुछ मामलों में समाधान बिल्कुल नहीं हो सकता है: समाधान के अस्तित्व के प्रश्न पर विचार किया जाना चाहिए।

एक अन्य महत्वपूर्ण विचार स्थिरता का प्रश्न है। एक विशेष समाधान मौजूद हो सकता है, लेकिन यह स्थिर नहीं हो सकता है, थोड़ी सी भी उत्तेजना पर उस बिंदु से तेजी से प्रस्थान कर सकता है। यह दिखाया जा सकता है कि एक नेटवर्क जो सभी स्थितियों के लिए बिल्कुल स्थिर है, उसके पास शर्तों के प्रत्येक सेट के लिए एक और केवल एक समाधान होना चाहिए।

स्विचिंग नेटवर्क का बूलियन विश्लेषण
एक स्विचिंग उपकरण वह है जहां गैर-रेखीयता का उपयोग दो विपरीत स्थिति के उत्पादन के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, डिजिटल सर्किट में CMOS उपकरणों का आउटपुट सकारात्मक या नकारात्मक आपूर्ति रेल से जुड़ा हुआ है और कभी भी बीच में किसी भी चीज पर नहीं पाया जाता है, सिवाय एक अस्थायी अवधि के दौरान जब उपकरण स्विच कर रहा है। यहाँ गैर-रेखीयता चरम होने के लिए डिज़ाइन की गई है, और विश्लेषक उस तथ्य का लाभ उठा सकते हैं।  बूलियन स्थिरांक "0" और "1" के लिए दो राज्यों ("चालू"/"बंद", "सकारात्मक"/"नकारात्मक" या जो भी राज्यों का उपयोग किया जा रहा है) निर्दिष्ट करके बूलियन बीजगणित का उपयोग करके इस प्रकार के नेटवर्क का विश्लेषण किया जा सकता है।

इस विश्लेषण में, उपकरण की स्थिति और बूलियन मान को निर्दिष्ट नाममात्र की स्थिति के बीच किसी भी मामूली विसंगति के साथ, इस विश्लेषण में ग्राहकों को अनदेखा किया जाता है। उदाहरण के लिए, बूलियन "1" को +5V की स्थिति में असाइन किया जा सकता है। उपकरण का आउटपुट +4.5V हो सकता है लेकिन विश्लेषक अभी भी इसे बूलियन "1" मानता है। उपकरण निर्माता आमतौर पर अपने डेटा शीट में मानों की एक श्रृंखला निर्दिष्ट करेंगे जिन्हें अपरिभाषित माना जाना चाहिए (यानी परिणाम अप्रत्याशित होगा)।

विश्लेषक के लिए ग्राहक पूरी तरह से रुचिकर नहीं हैं। स्विचिंग की अधिकतम दर एक स्थिति से दूसरे स्थिति में परिवर्तन की गति से निर्धारित होती है। विश्लेषक के लिए खुशी की बात है, कई उपकरणों के लिए अधिकांश स्थिति उपकरण ट्रांसफर फ़ंक्शन के रैखिक भाग में होता है और कम से कम अनुमानित उत्तर प्राप्त करने के लिए रैखिक विश्लेषण लागू किया जा सकता है।

दो से अधिक निर्धारित बूलियन बीजगणित को गणितीय रूप से प्राप्त करना संभव है। इलेक्ट्रॉनिक्स में इनके लिए बहुत अधिक उपयोग नहीं पाया जाता है, हालांकि तीन निर्धारित उपकरण पारित रूप से आम हैं।

पूर्वाग्रह और संकेत विश्लेषण का पृथक्करण
इस तकनीक का उपयोग किया जाता है जहां सर्किट का संचालन अनिवार्य रूप से रैखिक होना है, लेकिन इसे लागू करने के लिए उपयोग किए जाने वाले उपकरण गैर-रेखीय हैं। एक ट्रांजिस्टर प्रवर्धक इस प्रकार के नेटवर्क का एक उदाहरण है। इस तकनीक का सार है विश्लेषण को दो भागों में अलग करना। पहला, कुछ गैर-रेखीय विधि का उपयोग करके dc पूर्वाग्रह का विश्लेषण किया जाता है। यह सर्किट के मौन संचालन बिंदु को स्थापित करता है। दूसरे, रैखिक नेटवर्क विश्लेषण का उपयोग करके सर्किट की  छोटे सिग्नल विशेषताओं का विश्लेषण किया जाता है। इन दोनों चरणों के लिए उपयोग की जा सकने वाली विधियों के उदाहरण नीचे दिए गए हैं।

DC विश्लेषण की ग्राफिकल विधि
कई सर्किट डिजाइनों में, डीसी पूर्वाग्रह एक गैर-रैखिक घटक को एक रोकनेवाला (या संभवतः प्रतिरोधों का एक नेटवर्क) के माध्यम से संघबद्ध किया जाता है। चूंकि रेजिस्टर्स (resistors) रैखिक घटक हैं, इसलिए यह विशेष रूप से गैर-रेखीय उपकरण के क्विज़ेंट ऑपरेटिंग बिंदु को उसके स्थानांतरण फ़ंक्शन के ग्राफ से निर्धारित करना आसान है। पद्धति इस प्रकार है: रैखिक नेटवर्क विश्लेषण से आउटपुट ट्रांसफर फ़ंक्शन (जो आउटपुट करंट के खिलाफ आउटपुट वोल्टेज है) की गणना रेजिस्टर (s) के नेटवर्क और उन्हें चलाने वाले जनरेटर के लिए की जाती है। यह एक सीधी रेखा होगी (जिसे लोड लाइन कहा जाता है) और इसे आसानी से गैर-रेखीय उपकरण के ट्रांसफर फ़ंक्शन प्लॉट पर लगाया जा सकता है। वह बिंदु जहां रेखाएं पार करती हैं, मौन संचालन बिंदु है।

शायद सबसे आसान व्यावहारिक तरीका है (लिनियर) नेटवर्क ओपन सर्किट वोल्टेज और शॉर्ट सर्किट करंट की गणना करना और इन्हें गैर-रेखीय उपकरण के हस्तांतरण फ़ंक्शन पर प्लॉट करना। इन दो बिंदुओं को जोड़ने वाली सीधी रेखा नेटवर्क का स्थानांतरण कार्य है।

वास्तव में, सर्किट का डिजाइनर उस वर्णित विपरीत दिशा में आगे बढ़ेगा। गैर-रेखीय उपकरण के लिए निर्माता के डेटा शीट में दिए गए प्लॉट से शुरू, डिजाइनर वांछित ऑपरेटिंग बिंदु का चयन करेंगे और फिर इसे हासिल करने के लिए आवश्यक रैखिक घटक मूल्यों की गणना करेंगे।

इस विधि का उपयोग करना अभी भी संभव है यदि उपकरण के पक्षपाती होने के कारण एक अन्य उपकरण के माध्यम से अपने पूर्वाग्रह को पोषित किया जाता है जो स्वयं ही गैर-रेखीय है - उदाहरण के लिए एक डायोड है। हालांकि इस मामले में, उपकरण पर नेटवर्क ट्रांसफर फ़ंक्शन का प्लॉट पक्षपाती होने के कारण अब एक सीधी रेखा नहीं होगी और इसके परिणामस्वरूप ऐसा करना अधिक कठिन है।

छोटा सिग्नल समकक्ष सर्किट
इस विधि का उपयोग किया जा सकता है जहां एक नेटवर्क में इनपुट और आउटपुट संकेतों का विचलन गैर-रेखीय उपकरण हस्तांतरण फ़ंक्शन के एक पर्याप्त रूप से रैखिक हिस्से के भीतर रहता है, या अन्य इतने छोटे हैं कि हस्तांतरण फ़ंक्शन के वक्र को रैखिक माना जा सकता है। इन विशिष्ट परिस्थितियों के एक सेट के तहत, गैर-रेखीय उपकरण का प्रतिनिधित्व एक समतुल्य रैखिक नेटवर्क द्वारा किया जा सकता है। यह याद रखना चाहिए कि यह समकक्ष सर्किट पूरी तरह से काल्पनिक है और केवल छोटे संकेत विचलन के लिए मान्य है। यह उपकरण के DC अभिनतीकरण के लिए पूरी तरह से अनुपयुक्त है।

एक साधारण दो-टर्मिनल डिवाइस के लिए, छोटा सिग्नल समकक्ष सर्किट दो से अधिक घटक नहीं हो सकता है। ऑपरेटिंग बिंदु पर v/i वक्र के ढलान के बराबर एक प्रतिरोध (जिसे गतिशील प्रतिरोध कहा जाता है), और वक्र के स्पर्शरेखा। एक जनरेटर, क्योंकि यह स्पर्शरेखा, सामान्य रूप से, मूल से नहीं गुजरेगी। अधिक टर्मिनलों के साथ, अधिक जटिल समकक्ष सर्किट की आवश्यकता होती है।

ट्रांजिस्टर निर्माताओं के बीच छोटे सिग्नल समकक्ष सर्किट को निर्दिष्ट करने का एक लोकप्रिय रूप दो-पोर्ट नेटवर्क पैरामीटर का उपयोग करना है जिन्हें [h] पैरामीटर कहा जाता है। ये [z] मापदंडों के साथ चार मापदंडों का एक मैट्रिक्स हैं, लेकिन [h] मापदंडों के मामले में वे प्रतिबाधा, प्रवेश, वर्तमान लाभ और वोल्टेज लाभ का एक संकर मिश्रण हैं। इस मॉडल में तीन टर्मिनल ट्रांजिस्टर को दो पोर्ट नेटवर्क माना जाता है, इसका एक टर्मिनल दोनों बंदरगाहों के लिए सामान्य है। [एच] पैरामीटर काफी भिन्न होते हैं जो इस बात पर निर्भर करता है कि किस टर्मिनल को आम के रूप में चुना गया है। ट्रांजिस्टर के लिए सबसे महत्वपूर्ण पैरामीटर आम एमिटर कॉन्फ़िगरेशन में आम तौर पर आगे वर्तमान लाभ, एच 21 है। यह डेटा शीट पर H  Fe  निर्दिष्ट किया गया है।

दो-पोर्ट मापदंडों के संदर्भ में छोटे संकेत समकक्ष सर्किट निर्भर जनरेटर की अवधारणा की ओर ले जाता है। अर्थात, एक वोल्टेज या करंट जनरेटर का मान रैखिक रूप से एक वोल्टेज या सर्किट में कहीं और धारा पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए [z] पैरामीटर मॉडल निर्भर वोल्टेज जनरेटर की ओर जाता है जैसा कि इस आरेख में दिखाया गया है।

दिखा रहा है

एक दो-पोर्ट पैरामीटर समकक्ष सर्किट में हमेशा निर्भर जनरेटर होंगे। यह [h] मापदंडों के साथ-साथ [z] और किसी अन्य प्रकार के लिए लागू होता है। इन निर्भरता को एक बड़े रैखिक नेटवर्क विश्लेषण में समीकरण विकसित करते समय संरक्षित किया जाना चाहिए।

टुकड़े टुकड़े रैखिक विधि
इस पद्धति में, गैर-रेखीय उपकरण के स्थानांतरण कार्य को क्षेत्रों में विभाजित किया जाता है। इनमें से प्रत्येक क्षेत्र एक सीधी रेखा द्वारा अनुमानित है। इस प्रकार, स्थानांतरण कार्य एक विशेष बिंदु तक रैखिक होगा जहां एक असंतुलन होगा। इस बिंदु से पहले स्थानांतरण कार्य फिर से रैखिक होगा लेकिन एक अलग समतल के साथ।

इस पद्धति का एक प्रसिद्ध अनुप्रयोग पीएन जंक्शन डायोड के स्थानांतरण फ़ंक्शन का अनुमान है। इस (नॉन-लीनियर) सेक्शन के शीर्ष पर एक आदर्श डायोड का ट्रांसफर फंक्शन दिया गया है। हालांकि, नेटवर्क विश्लेषण में इस सूत्र का शायद ही कभी उपयोग किया जाता है, इसके बजाय एक टुकड़े-टुकड़े सन्निकटन का उपयोग किया जा रहा है। यह देखा जा सकता है कि वोल्टेज गिरने पर डायोड करंट तेजी से -Io तक कम हो जाता है।अधिकांश उद्देश्यों के लिए यह धारा इतनी छोटी है कि इसे अनदेखा किया जा सकता है। बढ़ते वोल्टेज के साथ, करंट तेजी से बढ़ता है। डायोड को घातीय वक्र के घुटने तक एक खुले सर्किट के रूप में तैयार किया जाता है, फिर इस बिंदु को अर्धचालक सामग्री के अधिकांश प्रतिरोध के बराबर प्रतिरोधी के रूप में अतीत में रखा जाता है।

परिवर्तन बिंदु वोल्टेज के लिए आमतौर पर स्वीकृत मान सिलिकॉन उपकरणों के लिए 0.7V और जर्मेनियम उपकरणों के लिए 0.3V हैं। डायोड का एक और भी सरल मॉडल, जिसे कभी-कभी स्विचिंग अनुप्रयोगों में उपयोग किया जाता है, फॉरवर्ड वोल्टेज के लिए शॉर्ट सर्किट और रिवर्स वोल्टेज के लिए ओपन सर्किट है।

लगभग स्थिर 0.7V वाले फॉरवर्ड अभिनत pn जंक्शन का मॉडल भी एम्पलीफायर डिजाइन में ट्रांजिस्टर बेस-एमिटर जंक्शन वोल्टेज के लिए एक बहुत अधिक उपयोग किया जाने वाला सन्निकटन है।

टुकड़े-टुकड़े की विधि छोटी सिग्नल विधि के समान है, उस रैखिक नेटवर्क विश्लेषण तकनीकों को केवल तभी लागू किया जा सकता है जब सिग्नल कुछ सीमाओं के भीतर रहता है। यदि संकेत एक असंततता बिंदु को पार करता है तो मॉडल अब रैखिक विश्लेषण उद्देश्यों के लिए मान्य नहीं है। मॉडल को छोटे सिग्नल पर लाभ होता है, हालांकि, यह सिग्नल और dc पूर्वाग्रह पर समान रूप से लागू होता है। इसलिए इन दोनों का एक ही संचालन में विश्लेषण किया जा सकता है और यह रैखिक रूप से अध्यारोपणीय (superimposable) होगा।

समय-सारणी घटक
रैखिक विश्लेषण में, नेटवर्क के घटकों को अपरिवर्तनीय माना जाता है, लेकिन कुछ सर्किटों में यह लागू नहीं होता है, जैसे स्वीप दोलक, वोल्टेज नियंत्रित एम्पलीफायर और परिवर्तनीय समानताऐ। कई परिस्थितियों में घटक मूल्य में परिवर्तन आवधिक है। एक आवधिक संकेत के साथ उत्साहित एक गैर-रेखीय घटक, उदाहरण के लिए, समय-समय पर अलग-अलग रैखिक घटक के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। सिडनी डार्लिंगटन ने इस तरह के आवधिक समय अलग-अलग सर्किटों का विश्लेषण करने की एक विधि का खुलासा किया। उन्होंने कैनोनिकल सर्किट फॉर्म विकसित किए जो रोनाल्ड एम. फोस्टर और विल्हेम कॉयर के परंपरागत रूपों के अनुरूप हैं, जिनका उपयोग रैखिक सर्किट के विश्लेषण के लिए किया जाता है।

वेक्टर सर्किट सिद्धांत
सदिश धाराओं के लिए स्केलर मात्रा के आधार पर सर्किट सिद्धांत का सामान्यीकरण नए विकसित सर्किट जैसे स्पिन सर्किट के लिए एक आवश्यकता है। सामान्यीकृत सर्किट चर में चार घटक होते हैं: स्केलर करंट और वेक्टर स्पिन करंट x, y और z दिशाओं में। वोल्टेज और धाराएं प्रत्येक 4x4 स्पिन चालन मैट्रिक्स के रूप में वर्णित चालकता के साथ वेक्टर मात्रा बन जाती हैं।