समतुल्य प्रतिबाधा रूपांतरण



समतुल्य प्रतिबाधा विद्युत प्रतिबाधा तत्वों के विद्युत नेटवर्क का समतुल्य परिपथ है। जो टर्मिनलों के सभी युग्मों के बीच समान प्रतिबाधा प्रस्तुत करता है जैसा कि दिए गए नेटवर्क ने किया था। यह लेख कुछ निष्क्रियता (इंजीनियरिंग), रैखिक प्रतिबाधा नेटवर्क के बीच परिवर्तन (ज्यामिति) का वर्णन करता है जो सामान्यतः इलेक्ट्रॉनिक सर्किट में पाया जाता है।

रैखिक नेटवर्क विश्लेषण (विद्युत सर्किट) में बहुत प्रसिद्ध और अधिकांशतः उपयोग किए जाने वाले समतुल्य सर्किट हैं। इनमें श्रृंखला में प्रतिरोधक, समानांतर में प्रतिरोध और संधारित्र, प्रेरकों और सामान्य प्रतिबाधाओं के लिए श्रृंखला और समानांतर सर्किट का विस्तार सम्मलित है। नॉर्टन के प्रमेय और थेवेनिन के प्रमेय भी प्रसिद्ध हैं। क्रमशः थेवेनिन समतुल्य वर्तमान जनरेटर और वोल्टेज जनरेटर सर्किट, जैसा कि वाई-Δ रूपांतरण है। इनमें से किसी पर भी यहाँ विस्तार से चर्चा नहीं की गई है; अलग-अलग लिंक किए गए लेखों से परामर्श किया जाना चाहिए।

समतुल्य परिपथों की संख्या जिन्हें  रेखीय नेटवर्क में रूपांतरित किया जा सकता है, असीमित है। यहां तक ​​​​कि सबसे तुच्छ स्थितियों में इसे सच माना जा सकता है, उदाहरण के लिए, यह पूछकर कि समानांतर में प्रतिरोधों के कितने अलग-अलग संयोजन दिए गए संयुक्त प्रतिरोधी के बराबर हैं। श्रृंखला और समांतर संयोजनों की संख्या जो बनाई जा सकती है, प्रतिरोधों की संख्या, n के साथ चरघातांकी रूप से बढ़ती है। बड़े एन के लिए सेट का आकार संख्यात्मक तकनीकों द्वारा लगभग 2.53 पाया गया हैn और विश्लेषणात्मक रूप से कठोर सीमाएँ फाइबोनैचि संख्याओं के फ़ेयरी अनुक्रम द्वारा दी गई हैं। यह लेख कभी भी व्यापक होने की उम्मीद नहीं कर सकता, लेकिन कुछ सामान्यीकरण संभव हैं। विल्हेम कॉयर ने   परिवर्तन पाया जो किसी दिए गए तर्कसंगत के सभी संभावित समकक्षों को उत्पन्न कर सकता है, निष्क्रिय, रैखिक   बंदरगाह, या दूसरे शब्दों में, कोई भी दो-टर्मिनल प्रतिबाधा। 4-टर्मिनल, विशेष रूप से दो-पोर्ट नेटवर्क|2-पोर्ट, नेटवर्क के रूपांतरण भी सामान्यतः पाए जाते हैं और अभी तक अधिक जटिल नेटवर्क के परिवर्तन संभव हैं।

सिडनी डार्लिंगटन द्वारा बताई गई  कहानी में समतुल्य सर्किट के विषय के विशाल पैमाने को रेखांकित किया गया है। डार्लिंगटन के अनुसार, गैर-विघटनकारी चार-बंदरगाहों पर उनके और जॉर्ज एशले कैंपबेल | जॉर्ज कैंपबेल के 1920 के पेपर के बाद, रोनाल्ड एम. फोस्टर द्वारा बड़ी संख्या में समतुल्य सर्किट पाए गए। इस काम के दौरान उन्होंने उन तरीकों पर ध्यान दिया, जिनसे आदर्श ट्रांसफॉर्मर के साथ चार बंदरगाहों को आपस में जोड़ा जा सकता है और अधिकतम शक्ति हस्तांतरण। उन्हें कई संयोजन मिले जिनके व्यावहारिक अनुप्रयोग हो सकते हैं और उन्होंने AT&T Corp.|AT&T पेटेंट विभाग से उन्हें पेटेंट कराने के लिए कहा। पेटेंट विभाग ने उत्तर दिया कि केवल कुछ सर्किटों का पेटेंट कराना व्यर्थ है यदि कोई प्रतियोगी पेटेंट प्राप्त करने के लिए समतुल्य सर्किट का उपयोग कर सकता है; उन्हें उन सभी को पेटेंट कराना चाहिए या परेशान नहीं होना चाहिए। फोस्टर इसलिए उनमें से हर आखिरी की गणना करने के लिए काम करने के लिए तैयार है। वह कुल मिलाकर 83,539 समतुल्य (577,722 यदि अलग-अलग आउटपुट अनुपात सम्मलित हैं) पर पहुंचे। पेटेंट के लिए यह बहुत अधिक था, इसलिए एटी एंड टी के किसी भी प्रतियोगी को भविष्य में पेटेंट कराने से रोकने के लिए सूचना को सार्वजनिक डोमेन में जारी किया गया था।

2-टर्मिनल, 2-तत्व-प्रकार के नेटवर्क
ल प्रतिबाधा में बाहरी दुनिया से जुड़ने के लिए दो टर्मिनल होते हैं, इसलिए इसे 2-टर्मिनल, या -पोर्ट, नेटवर्क के रूप में वर्णित किया जा सकता है। सरल वर्णन के बावजूद, जालों की संख्या की कोई सीमा नहीं है, और इसलिए जटिलता और तत्वों की संख्या, जो प्रतिबाधा नेटवर्क में हो सकती है। 2-तत्व-प्रकार सर्किट डिजाइन में नेटवर्क आम हैं; फिल्टर, उदाहरण के लिए, अधिकांशतः एलसी सर्किट-प्रकार के नेटवर्क होते हैं और मुद्रित सर्किट बोर्ड डिजाइनर आरसी सर्किट-प्रकार के नेटवर्क का पक्ष लेते हैं क्योंकि इंडक्टर्स निर्माण के लिए कम सरल  होते हैं। 3-तत्व-प्रकार के नेटवर्क की तुलना में परिवर्तन सरल और सरल  हैं।  -तत्व-प्रकार के नेटवर्क को दो-तत्व-प्रकार के विशेष स्थितियों  के रूप में माना जा सकता है। तत्व Z के लिए तत्वों के नेटवर्क को प्रतिस्थापित करके कुछ 3-तत्व-प्रकार के नेटवर्क पर इस खंड में परिवर्तनों का उपयोग करना संभव हैn. हालाँकि, यह प्रतिस्थापित किए जा रहे अधिकतम दो प्रतिबाधाओं तक सीमित है; शेष  स्वतंत्र विकल्प नहीं होगा। इस खंड में दिए गए सभी परिवर्तन समीकरण ओटो ज़ोबेल के कारण हैं।

3-एलिमेंट नेटवर्क
-तत्व नेटवर्क तुच्छ और दो-तत्व नेटवर्क हैं, दो-टर्मिनल नेटवर्क श्रृंखला में या तो दो तत्व हैं या समानांतर में दो तत्व भी तुच्छ हैं। गैर-तुच्छ तत्वों की सबसे छोटी संख्या तीन है, और दो 2-तत्व-प्रकार के गैर-तुच्छ परिवर्तन संभव हैं,  रिवर्स परिवर्तन और टोपोलॉजिकल दोहरी प्रतिबाधा दोनों हैं।

4-तत्व नेटवर्क
2-तत्व-प्रकार के नेटवर्क के लिए चार गैर-तुच्छ 4-तत्व रूपांतरण हैं। इनमें से दो अन्य दो के विपरीत परिवर्तन हैं और दो अन्य दो के दोहरे हैं। Z के विशेष स्थितियों में और परिवर्तन संभव हैं2 Z के समान तत्व प्रकार बनाया जा रहा है1, अर्थात जब नेटवर्क को  -तत्व-प्रकार में घटाया जाता है। जैसे-जैसे तत्वों की संख्या बढ़ती है, संभावित नेटवर्क की संख्या बढ़ती रहती है। निम्न तालिका में सभी प्रविष्टियों के लिए इसे परिभाषित किया गया है:

2-टर्मिनल, एन-तत्व, 3-तत्व-प्रकार के नेटवर्क
किरचॉफ के सर्किट कानूनों | किरचॉफ के कानूनों जैसे सरल नेटवर्क प्रमेयों के अनुप्रयोग के साथ हाथ से नेटवर्क समीकरणों को तैयार करके केवल कुछ तत्वों वाले सरल नेटवर्क से निपटा जा सकता है। समीकरणों के दो सेटों और समीकरण गुणांकों की सीधे तुलना करके दो नेटवर्कों के बीच समानता सिद्ध की जाती है। बड़े नेटवर्क के लिए अधिक शक्तिशाली तकनीकों की आवश्यकता होती है। मैट्रिक्स (गणित) के रूप में प्रतिबाधाओं के नेटवर्क को व्यक्त करके प्रारंभ करना   सामान्य दृष्टिकोण है। यह दृष्टिकोण केवल तर्कसंगत के लिए अच्छा है नेटवर्क। कोई भी नेटवर्क जिसमें वितरित तत्व सम्मलित हैं, जैसे संचरण लाइन, को परिमित मैट्रिक्स द्वारा प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। सामान्यतः,   एन-जाल नेटवर्क को इसका प्रतिनिधित्व करने के लिए   nxn मैट्रिक्स की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए 3-जाल नेटवर्क के लिए मैट्रिक्स ऐसा दिख सकता है


 * $$ \mathbf{[Z]}=\begin{bmatrix} Z_{11} & Z_{12} & Z_{13} \\ Z_{21} & Z_{22} & Z_{23} \\ Z_{31} & Z_{32} & Z_{33} \end{bmatrix}$$

मैट्रिक्स की प्रविष्टियों को चुना जाता है ताकि मैट्रिक्स जाल वोल्टेज और धाराओं में रैखिक समीकरणों की  प्रणाली बना सके (जैसा कि जाल विश्लेषण के लिए परिभाषित किया गया है):


 * $$ \mathbf{[V]}= \mathbf{[Z][I]} $$

चित्र 1 में उदाहरण आरेख, उदाहरण के लिए,  प्रतिबाधा मैट्रिक्स के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है


 * $$ \mathbf{[Z]}=\begin{bmatrix} R_1+R_2 & -R_2 \\ -R_2 & R_2+R_3 \end{bmatrix}$$

और रैखिक समीकरणों की संबद्ध प्रणाली है


 * $$ \begin{bmatrix} V_1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1+R_2 & -R_2 \\  -R_2 & R_2+R_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_1 \\  I_2 \end{bmatrix}$$

सबसे सामान्य स्थितियों में, प्रत्येक शाखा साथp नेटवर्क तीन तत्वों से बना हो सकता है ताकि


 * $$Z_\mathrm{p} = sL_\mathrm{p} + R_\mathrm{p} + {1 \over sC_\mathrm{p}}$$

जहां एल, आर और सी क्रमशः अधिष्ठापन, विद्युत प्रतिरोध और समाई का प्रतिनिधित्व करते हैं और एस जटिल आवृत्ति ऑपरेटर है $$\scriptstyle s=\sigma+i\omega$$.

यह  सामान्य प्रतिबाधा का प्रतिनिधित्व करने का पारंपरिक विधि  है लेकिन इस लेख के प्रयोजनों के लिए गणितीय रूप से elastance, डी, कैपेसिटेंस के व्युत्क्रम, सी से निपटना अधिक सुविधाजनक है। उन शब्दों में सामान्य शाखा प्रतिबाधा का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है


 * $$sZ_\mathrm{p} = s^2L_\mathrm{p} + sR_\mathrm{p} + D_\mathrm{p} \,\!$$

इसी तरह, प्रतिबाधा मैट्रिक्स की प्रत्येक प्रविष्टि में तीन तत्वों का योग हो सकता है। परिणाम स्वरुप, मैट्रिक्स को तीन एन ्सएन मैट्रिक्स में विघटित किया जा सकता है, प्रत्येक तीन तत्व प्रकारों में से  के लिए:


 * $$s \mathbf{[Z]}= s^2 \mathbf{[L]} + s \mathbf{[R]} + \mathbf{[D]} $$

यह वांछित है कि मैट्रिक्स [Z]  प्रतिबाधा का प्रतिनिधित्व करता है, Z(s)। इस उद्देश्य के लिए,   मेश का लूप काटा जाता है और Z(s) काटे गए बिंदुओं के बीच मापा जाने वाला प्रतिबाधा है। यह मान लेना पारंपरिक है कि बाहरी कनेक्शन पोर्ट मेश 1 में है, और इसलिए मैट्रिक्स प्रविष्टि Z से जुड़ा है।11, चूंकि इसे किसी भी वांछित नोड्स के कनेक्शन के साथ तैयार करना पूरी तरह से संभव होगा। निम्नलिखित चर्चा में Z(s) को Z के पार लिया गया है11 ऐसा माना जाता है। Z(s) की गणना ['Z'] द्वारा की जा सकती है
 * $$Z(s)=\frac{| \mathbf Z|}{z_{11}}$$

जहां जेड11 माइनर (रैखिक बीजगणित) # Z का पूरक है11 और | Z का [Z]।

उपरोक्त उदाहरण नेटवर्क के लिए, 
 * $$| \mathbf Z| = (R_1+R_2)(R_2+R_3) - {R_2}^2 = R_1R_2 + R_1R_3 + R_2R_3 \ ,$$
 * $$z_{11} = Z_{22} = R_2 + R_3 \ ,$$ और,
 * $$Z(s) = R_1 + \frac {R_2R_3}{R_2 + R_3} \ .$$

श्रृंखला और समानांतर में प्रतिरोधों की अधिक प्रत्यक्ष विधि द्वारा इस परिणाम को सरल ी से सही होने के लिए सत्यापित किया जाता है। चूंकि, विश्लेषण के अनुसार नेटवर्क के आकार और जटिलता में वृद्धि के साथ ऐसे तरीके तेजी से थकाऊ और बोझिल हो जाते हैं।

[आर], [एल] और [डी] की प्रविष्टियां मनमाने ढंग से सेट नहीं की जा सकतीं। [Z] के लिए प्रतिबाधा Z(s) को महसूस करने में सक्षम होने के लिए [R],[L] और [D] सभी को सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स होना चाहिए। सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स। फिर भी, Z(s) की प्राप्ति, सामान्यतः, आदर्श ट्रांसफॉर्मर होते हैं नेटवर्क के भीतर। केवल उन्हीं रूपांतरणों को खोजना जिन्हें अधिष्ठापन की आवश्यकता नहीं है#म्यूचुअल प्रेरकत्व या आदर्श ट्रांसफार्मर अधिक कठिन कार्य है। इसी तरह, यदि दूसरे छोर से प्रारंभ करके Z(s) के लिए   व्यंजक निर्दिष्ट किया जाता है, तो इसे फिर से मनमाने ढंग से नहीं किया जा सकता है। तर्कसंगत प्रतिबाधा के रूप में वसूली योग्य होने के लिए, Z(s) सकारात्मक-वास्तविक होना चाहिए। सकारात्मक-वास्तविक (PR) स्थिति आवश्यक और पर्याप्त दोनों है लेकिन कुछ टोपोलॉजी (इलेक्ट्रॉनिक्स) को अस्वीकार करने के व्यावहारिक कारण हो सकते हैं।

[Z] के दिए गए उदाहरण से समतुल्य तर्कसंगत -बंदरगाहों को खोजने के लिए   सामान्य प्रतिबाधा परिवर्तन विल्हेम कॉयर के कारण है। वास्तविक affine परिवर्तन का समूह


 * $$\mathbf{[Z']} = \mathbf{[T]}^T \mathbf{[Z]} \mathbf{[T]} $$
 * कहाँ
 * $$ \mathbf{[T]}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \cdots 0 \\ T_{21} & T_{22} \cdots T_{2n} \\ \cdot & \cdots \\  T_{n1} & T_{n2} \cdots T_{nn}\end{bmatrix}$$

Z(s) में अपरिवर्तनीय है। अर्थात्, सभी रूपांतरित नेटवर्क यहाँ दी गई परिभाषा के अनुसार समतुल्य हैं। यदि प्रारंभिक दिए गए मैट्रिक्स के लिए जेड (एस) वसूली योग्य है, अर्थात यह पीआर स्थिति को पूरा करता है, तो इस परिवर्तन द्वारा उत्पादित सभी रूपांतरित नेटवर्क भी पीआर शर्त को पूरा करेंगे।

3 और 4-टर्मिनल नेटवर्क
4-टर्मिनल नेटवर्क पर चर्चा करते समय, नेटवर्क विश्लेषण अधिकांशतः 2-पोर्ट नेटवर्क के संदर्भ में आगे बढ़ता है, जिसमें व्यावहारिक रूप से उपयोगी सर्किटों की  विस्तृत श्रृंखला सम्मलित होती है। 2-पोर्ट, संक्षेप में, उस तरीके को संदर्भित करता है जिस तरह से नेटवर्क को बाहरी दुनिया से जोड़ा गया है: टर्मिनलों को जोड़े में   स्रोत या लोड से जोड़ा गया है। ठीक उसी नेटवर्क को लेना और इसे बाहरी सर्किटरी से इस तरह से जोड़ना संभव है कि यह अब 2-पोर्ट के रूप में व्यवहार नहीं कर रहा है। यह विचार चित्र 2 में प्रदर्शित किया गया है।

3-टर्मिनल नेटवर्क का उपयोग 2-पोर्ट के रूप में भी किया जा सकता है। इसे प्राप्त करने के लिए, टर्मिनलों में से  को दोनों बंदरगाहों के   टर्मिनल से सामान्यतः जोड़ा जाता है। दूसरे शब्दों में,   टर्मिनल को दो टर्मिनलों में विभाजित कर दिया गया है और नेटवर्क को प्रभावी रूप से 4-टर्मिनल नेटवर्क में बदल दिया गया है। इस टोपोलॉजी को असंतुलित लाइन टोपोलॉजी के रूप में जाना जाता है और यह संतुलित टोपोलॉजी का विरोध करती है। टोपोलॉजी (इलेक्ट्रॉनिक्स)#सरल फिल्टर टोपोलॉजी की आवश्यकता है, चित्र 3 का संदर्भ देते हुए, कि टर्मिनल 1 और 3 के बीच मापी गई प्रतिबाधा 2 और 4 के बीच मापी गई प्रतिबाधा के बराबर है। यह टर्मिनलों के जोड़े हैं जो बंदरगाह नहीं बनाते हैं: ऐसे स्थितियों  जहां जोड़े पोर्ट बनाने वाले टर्मिनलों की समान प्रतिबाधा को एंटीमेट्रिक (विद्युत नेटवर्क) कहा जाता है। सख्ती से बोलना, कोई भी नेटवर्क जो संतुलन की स्थिति को पूरा नहीं करता है, असंतुलित है, लेकिन यह शब्द अधिकांशतः ऊपर वर्णित 3-टर्मिनल टोपोलॉजी और चित्र 3 में संदर्भित होता है। असंतुलित 2-पोर्ट नेटवर्क को   संतुलित नेटवर्क में बदलना सामान्यतः काफी सीधा होता है : सभी श्रृंखला से जुड़े तत्वों को आधे हिस्से में विभाजित किया गया है और आधे हिस्से को सामान्य शाखा में स्थानांतरित किया जा रहा है। संतुलित से असंतुलित टोपोलॉजी में रूपांतरण अधिकांशतः रिवर्स ट्रांसफ़ॉर्मेशन के साथ संभव होगा लेकिन कुछ टोपोलॉजी के कुछ स्थितियों  ऐसे होते हैं जिन्हें इस तरह से ट्रांसफ़ॉर्म नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, लैटिस ट्रांसफॉर्म की चर्चा नीचे देखें।

3-टर्मिनल नेटवर्क ट्रांसफ़ॉर्म का  उदाहरण जो 2-पोर्ट तक सीमित नहीं है, Y-Δ ट्रांसफ़ॉर्म है। समतुल्य प्रतिबाधाओं को खोजने के लिए यह   विशेष रूप से महत्वपूर्ण परिवर्तन है। इसका महत्व इस तथ्य से उत्पन्न होता है कि नेटवर्क के   निश्चित प्रतिबंधित वर्ग को छोड़कर दो टर्मिनलों के बीच कुल प्रतिबाधा को केवल श्रृंखला और समानांतर संयोजनों की गणना करके निर्धारित नहीं किया जा सकता है। सामान्य स्थिति में अतिरिक्त परिवर्तनों की आवश्यकता होती है। Y-Δ रूपांतरण, इसका व्युत्क्रम Δ-Y रूपांतरण, और इन दो रूपांतरणों के n-टर्मिनल एनालॉग्स (नेटवर्क विश्लेषण (इलेक्ट्रिकल सर्किट) # नेटवर्क नोड उन्मूलन का सामान्य रूप | स्टार-पॉलीगॉन ट्रांसफ़ॉर्म) आवश्यक न्यूनतम अतिरिक्त रूपांतरणों का प्रतिनिधित्व करते हैं सामान्य स्थितियों  को हल करने के लिए। श्रृंखला और समांतर, वास्तव में, स्टार और बहुभुज टोपोलॉजी के 2-टर्मिनल संस्करण हैं।   सामान्य सरल टोपोलॉजी जिसे श्रृंखला और समानांतर संयोजनों द्वारा हल नहीं किया जा सकता है,   ब्रिज नेटवर्क के लिए इनपुट प्रतिबाधा है (विशेष स्थितियों  को छोड़कर जब ब्रिज संतुलन में हो)। इस खंड के बाकी परिवर्तन केवल 2-पोर्ट के साथ उपयोग करने के लिए प्रतिबंधित हैं।

जाली रूपांतरित
सममित 2-पोर्ट नेटवर्क को बार्टलेट के द्विभाजन प्रमेय का उपयोग करके जाली नेटवर्क में बदला जा सकता है। विधि सममित नेटवर्क तक सीमित है लेकिन इसमें सामान्यतः फिल्टर, एटेन्यूएटर (इलेक्ट्रॉनिक्स) और इक्वलाइजेशन (संचार) में पाए जाने वाले कई टोपोलॉजी सम्मलित हैं। जाली टोपोलॉजी आंतरिक रूप से संतुलित है, जाली के लिए कोई असंतुलित प्रतिरूप नहीं है और इसे सामान्यतः रूपांतरित नेटवर्क की तुलना में अधिक घटकों की आवश्यकता होगी।

निष्क्रिय घटकों के संदर्भ में जाली से असंतुलित टोपोलॉजी में रिवर्स परिवर्तन हमेशा संभव नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, यह परिवर्तन:

रूपांतरित सर्किट में उत्पन्न होने वाले नकारात्मक मूल्यों के कारण निष्क्रिय घटकों के साथ महसूस नहीं किया जा सकता है। चूंकि यह महसूस किया जा सकता है कि पारस्परिक प्रेरकत्व और आदर्श ट्रांसफार्मर की अनुमति दी जाती है, उदाहरण के लिए, जाली चरण तुल्यकारक#असंतुलित टोपोलॉजी में।  और संभावना सक्रिय घटकों के उपयोग की अनुमति देना है जो नकारात्मक प्रतिबाधा कनवर्टर को सीधे सर्किट घटकों के रूप में महसूस करने में सक्षम बनाता है। यह कभी-कभी ऐसा परिवर्तन करने के लिए उपयोगी हो सकता है, वास्तव में रूपांतरित सर्किट के निर्माण के उद्देश्यों के लिए नहीं, बल्कि मूल सर्किट कैसे काम कर रहा है, यह समझने में सहायता के प्रयोजनों के लिए। ब्रिजेड-टी टोपोलॉजी में निम्नलिखित सर्किट  मध्य-श्रृंखला एम-व्युत्पन्न फ़िल्टर टी-सेक्शन का   संशोधन है। सर्किट हेनरी बोडे के कारण है जो दावा करता है कि उपयुक्त मूल्य के ब्रिजिंग प्रतिरोधी के अतिरिक्त शंट प्रारंभ करनेवाला के परजीवी प्रतिरोध को रद्द कर देगा। इस सर्किट की कार्रवाई स्पष्ट है यदि इसे टी टोपोलॉजी में बदल दिया जाए - इस रूप में शंट शाखा में   नकारात्मक प्रतिरोध होता है जिसे प्रारंभ करनेवाला के सकारात्मक परजीवी प्रतिरोध के बराबर बनाया जा सकता है।

किसी भी सममित नेटवर्क को उसी विधि से किसी भी अन्य सममित नेटवर्क में परिवर्तित किया जा सकता है, अर्थात, पहले मध्यवर्ती जाली रूप में परिवर्तित करके (उपरोक्त उदाहरण परिवर्तन से स्पष्टता के लिए छोड़ा गया) और जाली रूप से आवश्यक लक्ष्य रूप में परिवर्तित किया जा सकता है। उदाहरण के साथ, विशेष स्थितियों को छोड़कर इसका परिणाम सामान्यतः नकारात्मक तत्वों में होगा।

प्रतिरोधों को हटाना
सिडनी डार्लिंगटन के कारण  प्रमेय कहता है कि किसी भी पीआर फ़ंक्शन जेड (एस) को सकारात्मक प्रतिरोधी आर में समाप्त दोषरहित दो-पोर्ट के रूप में महसूस किया जा सकता है। प्रतिबाधा नेटवर्क,   परिवर्तन पाया जा सकता है जो आउटपुट पोर्ट (जो सामान्य रूप से लोड का प्रतिनिधित्व करेगा) में केवल   अवरोधक के साथ एलसी-प्रकार के नेटवर्क के रूप में नेटवर्क को पूरी तरह से महसूस करेगा। निर्दिष्ट प्रतिक्रिया का एहसास करने के लिए नेटवर्क के भीतर कोई प्रतिरोध आवश्यक नहीं है। परिणाम स्वरुप, 3-तत्व-प्रकार 2-पोर्ट नेटवर्क को 2-तत्व-प्रकार (एलसी) 2-पोर्ट नेटवर्क में कम करना हमेशा संभव होता है, बशर्ते आउटपुट पोर्ट आवश्यक मूल्य के प्रतिरोध में समाप्त हो।

आदर्श ट्रांसफॉर्मर को खत्म करना
प्राथमिक परिवर्तन जो आदर्श ट्रांसफॉर्मर और कुछ अन्य प्रतिबाधा तत्व के साथ किया जा सकता है, ट्रांसफॉर्मर के दूसरी तरफ प्रतिबाधा को स्थानांतरित करना है। निम्नलिखित सभी परिवर्तनों में, r ट्रांसफॉर्मर का घुमाव अनुपात है।

ये परिवर्तन केवल  तत्व पर लागू नहीं होते; पूरे नेटवर्क को ट्रांसफॉर्मर के माध्यम से पारित किया जा सकता है। इस तरह, ट्रांसफॉर्मर को नेटवर्क के चारों ओर अधिक सुविधाजनक स्थान पर स्थानांतरित किया जा सकता है।{{Clear}डार्लिंगटन   समान परिवर्तन देता है जो   आदर्श ट्रांसफार्मर को पूरी तरह से समाप्त कर सकता है। इस तकनीक के लिए आवश्यक है कि ट्रांसफॉर्मर उसी तरह के प्रतिबाधाओं के एल नेटवर्क के बगल में (या आगे ले जाने में सक्षम) हो। सभी वेरिएंट में परिवर्तन के परिणामस्वरूप L नेटवर्क विपरीत दिशा में होता है, जो कि स्थैतिक रूप से प्रतिबिंबित होता है।

उदाहरण 3 दिखाता है कि परिणाम एल-नेटवर्क के अतिरिक्त Π-नेटवर्क है। इसका कारण यह है कि शंट तत्व में परिवर्तन की आवश्यकता से अधिक समाई होती है, इसलिए परिवर्तन लागू करने के बाद भी कुछ बचा रहता है। यदि ट्रांसफॉर्मर के निकटतम तत्व में अतिरिक्त थे, तो ट्रांसफॉर्म करने से पहले ट्रांसफॉर्मर के दूसरी तरफ अतिरिक्त स्थानांतरित करके इससे निपटा जा सकता है।

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