सेप्स्ट्रम

फूरियर विश्लेषण में, सेप्स्ट्रम (बहुवचन सेपस्ट्रा, विशेषण सेप्स्ट्रल) अनुमानित सिग्नल स्पेक्ट्रम के लघुगणक के व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण (IFT) की गणना का परिणाम है। आवृत्ति स्पेक्ट्रा में आवधिक संरचनाओं की जांच के लिए विधि एक उपकरण है। मानव भाषण के विश्लेषण में पावर सेप्स्ट्रम के अनुप्रयोग हैं।

सेप्स्ट्रम शब्द स्पेक्ट्रम के पहले चार अक्षरों को उलट कर प्राप्त किया गया था। सेप्स्ट्रा के संचालन को क्वेफ्रेन्सी विश्लेषण (या क्वेफ्रेन्सी एलानेसिस ), भारोत्तोलन, या सेप्स्ट्रल विश्लेषण लेबल किया जाता है। इसका उच्चारण दो तरह से किया जा सकता है, दूसरा केपस्ट्रम के साथ भ्रम से बचने का फायदा है।



उत्पत्ति
सेपस्ट्रम की अवधारणा 1963 में बी. पी. बोगर्ट, एम. जे. हीली और जे. डब्ल्यू. तुकी द्वारा पेश की गई थी। यह आवृत्ति स्पेक्ट्रा में आवधिक संरचनाओं की जांच करने के लिए एक उपकरण के रूप में कार्य करता है। इस तरह के प्रभाव संकेत में ध्यान देने योग्य प्रतिध्वनियों या प्रतिबिंबों से संबंधित होते हैं, या हार्मोनिक आवृत्तियों (आंशिक, ओवरटोन) की घटना से संबंधित होते हैं। गणितीय रूप से यह फ़्रीक्वेंसी स्पेस में सिग्नलों के विघटन की समस्या से निपटता है।

ग्रंथ सूची में बोगर्ट पेपर के सन्दर्भों को अक्सर गलत तरीके से संपादित किया जाता है। आवृत्ति, विश्लेषण, स्पेक्ट्रम और चरण में अक्षरों को पुनर्व्यवस्थित करके लेखकों द्वारा "क्वेफ्रेन्सी", "एलेनिसिस", "सेप्स्ट्रम" और "सेफे" शब्दों का आविष्कार किया गया था। आविष्कृत शब्दों को पुराने शब्दों के अनुरूप परिभाषित किया जाता है।

सामान्य परिभाषा
सेप्स्ट्रम गणितीय संक्रियाओं के निम्नलिखित क्रम का परिणाम है:
 * समय डोमेन से आवृत्ति डोमेन में सिग्नल का परिवर्तन
 * स्पेक्ट्रल आयाम के लघुगणक की गणना
 * क्वेफ़्रेंसी डोमेन में परिवर्तन, जहाँ अंतिम स्वतंत्र चर, क्वेफ़्रेंसी, का एक समय पैमाना है।

प्रकार
सेपस्ट्रम का इस्तेमाल कई रूपों में किया जाता है। सर्वाधिक महत्वपूर्ण हैं:
 * पावर सेपस्ट्रम: लघुगणक "पावर स्पेक्ट्रम" से लिया गया है
 * जटिल सेपस्ट्रम: लघुगणक स्पेक्ट्रम से लिया जाता है, जिसकी गणना फूरियर विश्लेषण के माध्यम से की जाती है

सेप्स्ट्रम को समझाने के लिए सूत्रों में निम्नलिखित संक्षिप्त रूपों का उपयोग किया जाता है:

पावर सेपस्ट्रम
"सेप्स्ट्रम" को मूल रूप से निम्नलिखित संबंधों द्वारा पावर सेप्स्ट्रम के रूप में परिभाषित किया गया था:


 * $$C_{p}=\left|\mathcal{F}^{-1}\left\{\log\left(\left|\mathcal{F}\{f(t)\}\right|^2\right)\right\}\right|^2$$

पावर सेप्स्ट्रम में ध्वनि और कंपन संकेतों के विश्लेषण में मुख्य अनुप्रयोग हैं। यह वर्णक्रमीय विश्लेषण के लिए एक पूरक उपकरण है।

कभी-कभी इसे इस रूप में भी परिभाषित किया जाता है:


 * $$C_{p}=\left|\mathcal{F}\left\{\log\left(\left|\mathcal{F}\{f(t)\}\right|^2\right)\right\}\right|^2$$

इस सूत्र के कारण, सेपस्ट्रम को कभी-कभी किसी स्पेक्ट्रम का स्पेक्ट्रम भी कहा जाता है। यह दिखाया जा सकता है कि दोनों सूत्र एक-दूसरे के अनुरूप हैं क्योंकि आवृत्ति वर्णक्रमीय वितरण समान रहता है, केवल अंतर एक स्केलिंग कारक है जिसे बाद में लागू किया जा सकता है। कुछ लेख दूसरे सूत्र को पसंद करते हैं।

अन्य संकेतन इस तथ्य के कारण संभव हैं कि यदि स्केलिंग कारक 2 लागू किया जाता है तो पावर स्पेक्ट्रम का लॉग स्पेक्ट्रम के लॉग के बराबर होता है:

$$\log |\mathcal{F}|^2 = 2 \log |\mathcal{F}| $$

और इसीलिए:
 * $$C_{p}=\left|\mathcal{F}^{-1}\left\{2\log |\mathcal{F}|\right\}\right|^2, \text{ or} $$
 * $$C_{p}=4\cdot\left|\mathcal{F}^{-1}\left\{\log |\mathcal{F}| \right\}\right|^2,$$

जो वास्तविक सेप्स्ट्रम के साथ संबंध प्रदान करता है (नीचे देखें)।

इसके अलावा, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पावर स्पेक्ट्रम $$C_{p}$$ के लिए सूत्र में अंतिम स्क्वेरिंग ऑपरेशन को कभी-कभी अनावश्यक कहा जाता है और इसलिए कभी-कभी छोड़ दिया जाता है।

असली सेपस्ट्रम सीधे तौर पर पावर सेप्स्ट्रम से संबंधित है:


 * $$C_{p}=4\cdot C_{r}^2$$

यह चरण जानकारी (जटिल लघुगणक के काल्पनिक भाग में निहित) को त्यागकर जटिल सेप्स्ट्रम (नीचे परिभाषित) से प्राप्त होता है। इसका फोकस स्पेक्ट्रम के आयामों में आवधिक प्रभावों पर है:
 * $$C_{r}=\mathcal{F}^{-1}\left\{\log(\mathcal{|\mathcal{F}\{f(t) \}|})\right\}$$

जटिल सेप्स्ट्रम
जटिल सेप्स्ट्रम को होमोमोर्फिक प्रणाली सिद्धांत के अपने विकास में ओपेनहेम द्वारा परिभाषित किया गया था। सूत्र अन्य साहित्य में भी उपलब्ध कराया गया है।
 * $$C_{c}=\mathcal{F}^{-1}\left\{\log( \mathcal{F}\{f(t) \})\right\}$$

जैसा कि $$\mathcal{F}$$ जटिल है, लॉग-टर्म को $$\mathcal{F}$$ के साथ परिमाण और चरण के उत्पाद के रूप में और बाद में योग के रूप में भी लिखा जा सकता है। इसके अलावा सरलीकरण स्पष्ट है, अगर लॉग आधार ई के साथ एक प्राकृतिक लघुगणक है:


 * $$\log(\mathcal{F}) = \log(\mathcal{|F| \cdot e^{i\varphi}})$$
 * $$\log_e(\mathcal{F}) = \log_e(\mathcal{|F|}) + \log_e(e^{i\varphi}) = \log_e(\mathcal{|F|}) + i\varphi$$

इसलिए: कॉम्प्लेक्स सेप्स्ट्रम को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:


 * $$C_{c}=\mathcal{F}^{-1}\left\{\log_e(\mathcal{|F|}) + i\varphi\right\}$$

जटिल सेप्स्ट्रम चरण के बारे में जानकारी को बरकरार रखता है। इस प्रकार व्युत्क्रम संचालन द्वारा क्वेफ्रेन्सी डोमेन से टाइम डोमेन पर वापस आना हमेशा संभव है:
 * $$f(t)=\mathcal{F}^{-1}\left\{b^\left(\mathcal{F}\{C_c\}\right)\right\},$$

जहां बी प्रयुक्त लॉगरिदम का आधार है।

मुख्य अनुप्रयोग वर्णक्रमीय आवृत्ति डोमेन में फ़िल्टरिंग के लिए एक एनालॉग ऑपरेशन के रूप में क्वेफ्रेंसी डोमेन (लिफ्टिंग) में सिग्नल का संशोधन है। एक उदाहरण कुछ विशिष्टताओं के दमन द्वारा प्रतिध्वनि प्रभावों का दमन है।

फेज सेप्स्ट्रम (फेज स्पेक्ट्रम के बाद) कॉम्प्लेक्स सेप्स्ट्रम से संबंधित है:
 * चरण स्पेक्ट्रम = (जटिल सेप्स्ट्रम - जटिल सेप्स्ट्रम का समय उलटा)2।

संबंधित अवधारणाएं
सेप्स्ट्रल ग्राफ के स्वतंत्र चर को क्वेफ्रेन्सी कहा जाता है। क्वेफ़्रेंसी समय का एक माप है, हालांकि समय डोमेन में एक संकेत के अर्थ में नहीं। उदाहरण के लिए, यदि किसी ऑडियो सिग्नल की सैंपलिंग दर 44100 हर्ट्ज़ है और सेपस्ट्रम में एक बड़ी चोटी है, जिसकी क्वफ़्रेंसी 100 नमूने है, तो शिखर एक मौलिक आवृत्ति की उपस्थिति को इंगित करता है जो 44100/100 = 441 हर्ट्ज है। यह शिखर सेपस्ट्रम में होता है क्योंकि स्पेक्ट्रम में हार्मोनिक्स आवधिक होते हैं और अवधि मौलिक आवृत्ति से मेल खाती है, क्योंकि हार्मोनिक्स मौलिक आवृत्ति के पूर्णांक गुणक होते हैं।

केपस्ट्रम, जो "कोलमोगोरोव-समीकरण शक्ति-श्रृंखला समय प्रतिक्रिया" के लिए खड़ा है, सेपस्ट्रम के समान है और इसके साथ वही संबंध है जो अपेक्षित मूल्य का सांख्यिकीय औसत है, यानी सेपस्ट्रम अनुभवजन्य रूप से मापी गई मात्रा है, जबकि केपस्ट्रम सैद्धांतिक मात्रा है। यह सेपस्ट्रम से पहले प्रयोग में था।

ऑटोसेप्स्ट्रम को ऑटोसहसंबंध के सेप्स्ट्रम के रूप में परिभाषित किया गया है। गूँज के साथ डेटा के विश्लेषण में ऑटोसेप्स्ट्रम, सेप्स्ट्रम की तुलना में अधिक सटीक है।

विपर्यय विषय पर आगे खेलते हुए, एक फिल्टर जो एक सेपस्ट्रम पर काम करता है उसे एक लिफ्टर कहा जा सकता है। लो-पास लिफ्टर फ़्रीक्वेंसी डोमेन में लो-पास फ़िल्टर के समान होता है। इसे क्वेफ्रेंसी डोमेन में एक विंडो से गुणा करके और फिर फ़्रीक्वेंसी डोमेन में वापस कनवर्ट करके कार्यान्वित किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप एक संशोधित सिग्नल होता है, यानी सिग्नल इको कम हो जाता है।

व्याख्या
सेपस्ट्रम को विभिन्न स्पेक्ट्रम बैंडों में परिवर्तन की दर के बारे में सूचना के रूप में देखा जा सकता है। इसका आविष्कार मूल रूप से भूकंप और बम विस्फोटों से उत्पन्न भूकंपीय गूँज को चिह्नित करने के लिए किया गया था। इसका उपयोग मानव भाषण की मूलभूत आवृत्ति को निर्धारित करने और रडार सिग्नल रिटर्न का विश्लेषण करने के लिए भी किया गया है। सेपस्ट्रम पिच निर्धारण विशेष रूप से प्रभावी है क्योंकि वोकल उत्तेजना (पिच) और वोकल ट्रैक्ट (फॉर्मेंट) के प्रभाव पावर स्पेक्ट्रम के लॉगरिदम में योगात्मक होते हैं और इस प्रकार स्पष्ट रूप से अलग होते हैं।

सेप्स्ट्रम एक प्रतिनिधित्व है जिसका उपयोग होमोमोर्फिक सिग्नल प्रोसेसिंग में किया जाता है, जो कि कनवल्शन (जैसे एक स्रोत और फिल्टर) द्वारा संयुक्त संकेतों को रैखिक पृथक्करण के लिए उनके सेपस्ट्रा के योग में परिवर्तित करता है। विशेष रूप से, पावर सेपस्ट्रम को अक्सर मानव आवाज और संगीत संकेतों का प्रतिनिधित्व करने के लिए फीचर वेक्टर के रूप में उपयोग किया जाता है। इन अनुप्रयोगों के लिए, आमतौर पर स्पेक्ट्रम को पहले मेल स्केल का उपयोग करके रूपांतरित किया जाता है। परिणाम को मेल-फ़्रीक्वेंसी सेप्स्ट्रम या MFC (इसके गुणांकों को मेल-फ़्रीक्वेंसी सेप्स्ट्रल गुणांक, या MFCCs कहा जाता है) कहा जाता है। इसका उपयोग आवाज की पहचान, पिच पहचान और बहुत कुछ के लिए किया जाता है। सेपस्ट्रम इन अनुप्रयोगों में उपयोगी है क्योंकि मुखर रस्सियों से कम आवृत्ति आवधिक उत्तेजना और मुखर पथ के फॉर्मेंट फ़िल्टरिंग, जो समय डोमेन में घूमते हैं और आवृत्ति डोमेन में गुणा करते हैं, योगात्मक होते हैं और क्वेफ्रेन्सी डोमेन में विभिन्न क्षेत्रों में होते हैं।

ध्यान दें कि एक शुद्ध साइन वेव का उपयोग सेप्स्ट्रम के परीक्षण के लिए क्वेफ्रेन्सी से इसकी पिच निर्धारण के लिए नहीं किया जा सकता है क्योंकि शुद्ध साइन वेव में कोई हार्मोनिक्स नहीं होता है और यह क्वेफ्रेन्सी चोटियों तक नहीं ले जाता है। बल्कि, हार्मोनिक्स युक्त एक परीक्षण संकेत का उपयोग किया जाना चाहिए (जैसे कम से कम दो साइन का योग जहां दूसरी साइन पहली साइन के कुछ हार्मोनिक (एकाधिक) है, या बेहतर, एक वर्ग या त्रिकोण तरंग के साथ एक संकेत, क्योंकि ऐसे सिग्नल स्पेक्ट्रम में कई ओवरटोन प्रदान करते हैं।)

सेप्स्ट्रल डोमेन की एक महत्वपूर्ण संपत्ति यह है कि दो संकेतों के कनवल्शन को उनके जटिल सेपस्ट्रा के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$x_1 * x_2 \mapsto x'_1 + x'_2.$$

आवेदन
सेपस्ट्रम की अवधारणा ने कई अनुप्रयोगों को जन्म दिया है: हाल ही में सेप्स्ट्रम आधारित डीकोनवोल्यूशन का उपयोग स्टोकेस्टिक इम्पल्स ट्रेनों के प्रभाव को दूर करने के लिए किया गया था, जो कि एसईएमजी सिग्नल के पावर स्पेक्ट्रम से ही एक एसईएमजी सिग्नल उत्पन्न करता है। इस तरह, केवल मोटर यूनिट एक्शन पोटेंशिअल (MUAP) के आकार और आयाम की जानकारी को बनाए रखा जाता था, और फिर, MUAP के टाइम-डोमेन मॉडल के मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए इस्तेमाल किया जाता था।
 * परावर्तन अनुमान (रडार, सोनार अनुप्रयोग, पृथ्वी भूकंप विज्ञान) से निपटना
 * स्पीकर की मौलिक आवृत्ति (पिच) का आकलन
 * भाषण विश्लेषण और पहचान
 * इलेक्ट्रोएन्सेफ्लोग्राम (ईईजी) और मस्तिष्क तरंगों के विश्लेषण में चिकित्सा अनुप्रयोग
 * हार्मोनिक पैटर्न के आधार पर मशीन कंपन विश्लेषण (गियरबॉक्स दोष, टरबाइन ब्लेड विफलता, ...)

मानव भाषण के पिच निर्धारण के लिए आवेदन के लिए श्रोएडर और नोल द्वारा एक लघु-समय के सेपस्ट्रम विश्लेषण का प्रस्ताव किया गया था।

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 * "Speech Signal Analysis"
 * "Speech analysis: Cepstral analysis vs. LPC", www.advsolned.com
 * "A tutorial on Cepstrum and LPCCs"
 * "Speech analysis: Cepstral analysis vs. LPC", www.advsolned.com
 * "A tutorial on Cepstrum and LPCCs"