सांस्थितिक वलय

गणित में, एक टोपोलॉजिकल वलय एक वलय (बीजगणित) $$R$$ होता है वह भी एक टोपोलॉजिकल क्षेत्र है जैसे कि जोड़ और गुणा दोनों नक्शे के रूप में निरंतरता (टोपोलॉजी) होते हैं: $$R \times R \to R$$ जहाँ $$R \times R$$ उत्पाद टोपोलॉजी वहन करती है। इसका मत $$R$$ एक योगात्मक टोपोलॉजिकल समूह और एक गुणक टोपोलॉजिकल अर्धसमूह है।

टोपोलॉजिकल वलय मूल रूप से टोपोलॉजिकल क्षेत्र  से संबंधित हैं और उनका अध्ययन करते समय स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं, उदाहरण के लिए एक टोपोलॉजिकल क्षेत्र का पूरा होना एक टोपोलॉजिकल वलय हो सकता है जो की क्षेत्र (गणित) नहीं है।

सामान्य टिप्पणियाँ
इकाइयों का समूह $$R^\times$$ एक टोपोलॉजिकल वलय $$R$$ का एक टोपोलॉजिकल समूह है जब एंबेडिंग या सामान्य टोपोलॉजी से आने वाली टोपोलॉजी से $$R^\times$$ उत्पाद में $$R \times R$$ जैसा $$\left(x, x^{-1}\right).$$संपन्न होता है  चूंकि, यदि इकाई समूह को उप-क्षेत्र टोपोलॉजी के उप-क्षेत्र के रूप में $$R,$$ संपन्न किया गया है  यह एक सामयिक समूह नहीं हो सकता है, क्योंकि $$R^\times$$ विपरीत है उपक्षेत्र टोपोलॉजी के संबंध में निरंतर होने की आवश्यकता नहीं है। इस स्थिति का एक उदाहरण वैश्विक क्षेत्र का एडेल वलय है; इसका इकाई समूह, जिसे आदर्श समूह कहा जाता है, उप-क्षेत्र टोपोलॉजी में एक सांस्थितिक समूह नहीं है। यदि $$R^\times$$ विपरीत  निरंतर है  तो  उपक्षेत्र टोपोलॉजी $$R$$ में निरंतर है  फिर यह दो टोपोलॉजी पर $$R^\times$$ समान हैं।

यदि किसी को एक इकाई होने के लिए वलय की आवश्यकता नहीं है, तो किसी को टोपोलॉजिकल वलय को एक वलय के रूप में परिभाषित करने के लिए एडिटिव व्युत्क्रम की निरंतरता या समकक्ष की आवश्यकता को जोड़ना होगा, जो कि एक टोपोलॉजिकल समूह है (के लिए) $$+$$) जिसमें गुणन भी निरंतर है।

उदाहरण
टोपोलॉजिकल वलय गणितीय विश्लेषण में होते हैं, उदाहरण के लिए कुछ टोपोलॉजिकल क्षेत्र पर निरंतर वास्तविक-मूल्यवान फलन (गणित) के वलय के रूप में (जहां टोपोलॉजी बिंदुवार अभिसरण द्वारा दी जाती है), या कुछ नॉर्म्ड वेक्टर क्षेत्र पर निरंतर रैखिक प्रचालक के वलय के रूप में; सभी बनच बीजगणित सांस्थितिक वलय हैं। परिमेय संख्या, वास्तविक संख्या, सम्मिश्र संख्या और p-ऐडिक संख्या |$$p$$-ऐडिक नंबर भी अपने मानक टोपोलॉजी के साथ टोपोलॉजिकल वलय्स (यहां तक ​​​​कि टोपोलॉजिकल क्षेत्र्स, नीचे देखें) हैं। समतल में, विभाजित-जटिल संख्याएँ और दोहरी संख्याएँ वैकल्पिक सांस्थितिक वलय बनाती हैं। अन्य निम्न-आयामी उदाहरणों के लिए हाइपरकॉम्प्लेक्स नंबर देखें।

सार बीजगणित में, निम्नलिखित निर्माण सामान्य है: एक क्रम विनिमेय वलय के साथ प्रारंभ होता है $$R$$ एक आदर्श (वलय) युक्त $$I,$$ और फिर एडिक टोपोलॉजी पर विचार करता है $$I$$-एडिक टोपोलॉजी ऑन $$R$$: उपसमुच्चय $$R=U$$ का $$R$$ यदि और केवल यदि प्रत्येक के लिए खुला है $$x \in U$$ एक प्राकृतिक संख्या उपस्तित है $$n$$ ऐसा है कि $$x + I^n \subseteq U.$$ यह मुड़ता है यह $$R$$ को एक टोपोलॉजिकल रिंग में बदल देता है। $$I$$-adic टोपोलॉजी हॉसडॉर्फ है केवल $$I$$ की सभी शक्तियों का प्रतिच्छेदन शून्य आदर्श $$(0).$$ है

$$p$$वें>-पूर्णांक पर ऐडिक टोपोलॉजी का एक उदाहरण है $$I$$-ऐडिक टोपोलॉजी (के साथ $$I = (p)$$).

समापन
प्रत्येक टोपोलॉजिकल वलय एक टोपोलॉजिकल ग्रुप (जोड़ के संबंध में) है और इसलिए प्राकृतिक विधि से एक समान क्षेत्र है। कोई इस प्रकार पूछ सकता है कि क्या दी गई टोपोलॉजिकल वलय है$$R$$ पूर्ण एकसमान क्षेत्र है। यदि यह नहीं है, तो इसे पूरा किया जा सकता है: एक अनिवार्य रूप से अद्वितीय पूर्ण टोपोलॉजिकल वलय $$S$$ मिल सकती है उसमें सम्मिलित $$R$$ है  एक सघन (टोपोलॉजी) सबवलय के रूप में दी गई टोपोलॉजी पर $$R$$ से उत्पन्न होने वाले उपक्षेत्र (टोपोलॉजी) $S.$ के समान है

यदि प्रारंभिक वलय $$R$$ मीट्रिक है, वलय $$S$$ में कॉची अनुक्रम के तुल्यता वर्गों के एक समूह के रूप में $$R,$$ निर्मित किया जा सकता है  यह तुल्यता संबंध वलय $$S$$ बनाता है  हॉसडॉर्फ और निरंतर अनुक्रमों (जो कॉची हैं) का उपयोग करके एक (समान रूप से) निरंतर आकारिकी (अगली कड़ी में सीएम) का एहसास होता है। $$c : R \to S$$ ऐसा है कि, सभी सीएम के लिए $$f : R \to T$$ जहाँ $$T$$ हॉसडॉर्फ और पूर्ण है, $$g : S \to T$$ ऐसा है कि एक अद्वितीय सीएम उपस्तित है $$f = g \circ c.$$ अगर $$R$$ मेट्रिक नहीं है (उदाहरण के लिए, सभी वास्तविक-चर तर्कसंगत मूल्यवान फलन का वलय, यानी सभी फलन $$f : \R \to \Q$$ बिंदुवार अभिसरण की टोपोलॉजी के साथ संपन्न) मानक निर्माण न्यूनतम कॉची फिल्टर का उपयोग करता है और उपरोक्त के समान सार्वभौमिक संपत्ति को संतुष्ट करता है (निकोलस बोरबाकी, सामान्य टोपोलॉजी, III.6.5 देखें)।

औपचारिक शक्ति श्रृंखला के छल्ले और |$$p$$-ऐडिक पूर्णांकों को सबसे अधिक स्वाभाविक रूप $$I$$-एडिक टोपोलॉजी से कुछ टोपोलॉजिकल वलयों के पूर्ण होने के रूप में परिभाषित किया जाता है

सामयिक क्षेत्र
सबसे महत्वपूर्ण उदाहरणों में से कुछ सामयिक क्षेत्र हैं। एक टोपोलॉजिकल क्षेत्र एक टोपोलॉजिकल वलय है जो एक क्षेत्र (गणित) भी है, और ऐसा है कि नॉन जीरो एलिमेंट्स का मल्टीप्लिकेटिव व्युत्क्रम एक निरंतर कार्य है। |$$p$$-आदिक क्षेत्र सबसे सामान्य उदाहरण सम्मिश्र संख्याएं और इसके सभी उपक्षेत्र (गणित) और मूल्यवान क्षेत्र हैं, जिनमें p-ऐडिक क्षेत्र सम्मिलित हैं।

संदर्भ

 * Vladimir I. Arnautov, Sergei T. Glavatsky and Aleksandr V. Michalev: Introduction to the Theory of Topological Rings and Modules. Marcel Dekker Inc, February 1996, ISBN 0-8247-9323-4.
 * N. Bourbaki, Éléments de Mathématique. Topologie Générale. Hermann, Paris 1971, ch. III §6
 * Vladimir I. Arnautov, Sergei T. Glavatsky and Aleksandr V. Michalev: Introduction to the Theory of Topological Rings and Modules. Marcel Dekker Inc, February 1996, ISBN 0-8247-9323-4.
 * N. Bourbaki, Éléments de Mathématique. Topologie Générale. Hermann, Paris 1971, ch. III §6
 * Vladimir I. Arnautov, Sergei T. Glavatsky and Aleksandr V. Michalev: Introduction to the Theory of Topological Rings and Modules. Marcel Dekker Inc, February 1996, ISBN 0-8247-9323-4.
 * N. Bourbaki, Éléments de Mathématique. Topologie Générale. Hermann, Paris 1971, ch. III §6