प्लेटो की समस्या



गणित में, प्लेटो की समस्या एक निश्चित सीमा के साथ एक न्यूनतम सतह के अस्तित्व को दर्शाने की है, यह समस्या 1760 में जोसेफ-लुई लाग्रेंज द्वारा उठाई गई थी। चूंकि, इसका नाम जोसेफ प्लेटो के नाम पर रखा गया है जिन्होंने साबुन फिल्म के साथ प्रयोग किया था। समस्या को विविधताओं की गणना का भाग माना जाता है। अस्तित्व और नियमितता की समस्याएं ज्यामितीय माप सिद्धांत का भाग हैं।

इतिहास
समस्या के विभिन्न विशिष्ट रूपों को हल किया गया था, किंतु केवल 1930 में जेसी डगलस और टिबोर राडो द्वारा स्वतंत्र रूप से मैपिंग (निमज्जन) के संदर्भ में सामान्य समाधान खोजे गए थे। उनके विधि अधिक अलग थे; रैडो का काम रेने गार्नियर के पिछले काम पर बनाया गया था और केवल सुधार योग्य वक्र सरल बंद वक्रों के लिए आयोजित किया गया था, जबकि डगलस ने अपने परिणाम के साथ पूरी तरह से नए विचारों का उपयोग किया था, जो एक इच्छानुसार सरल बंद वक्र था। दोनों न्यूनीकरण समस्याओं को स्थापित करने पर निर्भर थे; डगलस ने अब के नाम वाले डगलस अविभाज्य को कम कर दिया जबकि राडो ने ऊर्जा को कम कर दिया। डगलस को उनके प्रयासों के लिए 1936 में क्षेत्र मेडल से सम्मानित किया गया है ।

उच्च आयामों में
उच्च आयामों के लिए समस्या का विस्तार (अर्थात, for $$k$$-आयामी सतहों में $$n$$-आयामी स्थान ) का अध्ययन करना अधिक कठिन हो जाता है। इसके अतिरिक्त, जबकि मूल समस्या के समाधान सदैव नियमित होते हैं, यह पता चलता है कि विस्तारित समस्या के समाधान में गणितीय विलक्षणता हो सकती है यदि $$k \leq n - 2$$. ऊनविम पृष्ठ स्थिति में जहां $$k = n - 1$$, विलक्षणता केवल के लिए होती है $$n \geq 8$$. प्लेटो की समस्या के इस तरह के एकवचन समाधान का एक उदाहरण सिमन्स शंकु है $$ S^3 \times S^3 $$ में $$\mathbb{R}^8$$ यह पहली बार जिम सिमंस (गणितज्ञ) द्वारा वर्णित किया गया था और हेनरी बोम्बिएरी, एननियो डी जियोर्गी और एनरिको गिउस्टी द्वारा एक क्षेत्र न्यूनतम दिखाया गया था। कुछ विशेष स्थिति में विस्तारित समस्या को हल करने के लिए, कोडिमेंशन 1 के लिए कैसीओपोली समूह या डी जियोर्गी परिभाषा (एन्नियो डी जियोर्गी) और उच्च कोडिमेंशन के लिए सुधार योग्य धाराओं (हर्बर्ट फेडरर और फ्लेमिंग) के सिद्धांत को विकसित किया गया है। सिद्धांत कोडिमेंशन 1 समाधानों के अस्तित्व की आश्वासन देता है जो हौसडॉर्फ आयाम के एक बंद समूह से आसानी से दूर होते हैं $$n-8$$. उच्च कोडिमेंशन के स्थिति में फ्रेडरिक जे. अल्मग्रेन, जूनियर ने आयाम के एकवचन समूह के साथ समाधान के अस्तित्व को सिद्ध किया $$k-2$$ उनके अल्मग्रेन नियमितता प्रमेय में S. X. चांग, ​​​​ए अल्मग्रेन के छात्र, अल्मग्रेन के काम पर निर्मित, यह दिखाने के लिए कि 2-आयामी क्षेत्र की विलक्षणताएँ अभिन्न धाराओं को कम करना (इच्छानुसार कोडिमेंशन में) एक परिमित असतत समूह बनाता है।

जेनी हैरिसन और हैरिसन प्यूघ का स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण विभिन्न प्रकार के विशेष स्थिति का उपचार करता है। विशेष रूप से, वे सामान्य होमोलॉजिकल, कोहोमोलॉजिकल या होमोटोपिकल स्पैनिंग स्थितियों के संयोजन को संतुष्ट करने वाले सुधार योग्य समूहों के किसी भी संग्रह के लिए इच्छानुसार आयाम और कोडिमेंशन में अनिसोट्रोपिक प्लेटो समस्या को हल करते हैं। कैमिलो डी लेलिस, फ्रांसेस्को घेराल्डिन और फ्रांसेस्को मैगी द्वारा हैरिसन-पुघ के परिणामों का एक अलग प्रमाण प्राप्त किया गया है।

भौतिक अनुप्रयोग
भौतिक साबुन फिल्म किसके द्वारा अधिक स्पष्ट रूप से प्रतिरूपित की जाती है $$(M, 0, \Delta)$$-फ्रेडरिक अल्मग्रेन के न्यूनतम समूह, किंतु एक कॉम्पैक्टनेस प्रमेय की कमी से एक एरिया मिनिमाइज़र के अस्तित्व को सिद्ध करना कठिन हो जाता है। इस संदर्भ में, एक सतत खुला प्रश्न एक न्यूनतम-क्षेत्रीय साबुन फिल्म के अस्तित्व का रहा है। अर्नेस्ट रॉबर्ट रीफेनबर्ग ने सीमाओं के लिए ऐसी सार्वभौमिक प्लेटो की समस्या को हल किया जो एकल एम्बेडेड क्षेत्रों के लिए होमोमोर्फिक हैं।

यह भी देखें

 * डबल बबल अनुमान
 * डिरिचलेट सिद्धांत
 * प्लेटो के नियम
 * तनी हुई ग्रिड विधि
 * बर्नस्टीन की समस्या

संदर्भ