लैंटर्न संबंध

ज्यामितीय टोपोलॉजी में, गणित की एक शाखा, लालटेन संबंध एक संबंध (समूह सिद्धांत) है जो सतह (टोपोलॉजी) के मानचित्रण वर्ग समूह में कुछ खिंचाव मोड़ के बीच प्रकट होता है। संबंध के सबसे सामान्य संस्करण में सात डेन ट्विस्ट शामिल हैं। इस संबंध की खोज 1979 में डेनिस जॉनसन ने की थी।

सामान्य प्रपत्र
लालटेन संबंध के सामान्य रूप में तीन छेद वाली डिस्क (गणित) के मैपिंग वर्ग समूह में सात डेन ट्विस्ट शामिल हैं, जैसा कि दाहिनी ओर चित्र में दिखाया गया है। रिश्ते के अनुसार,

कहाँ $D_{A} D_{B} D_{C} = D_{R} D_{S} D_{T} D_{U}$, $D_{A}$, और $D_{B}$ दाहिने हाथ के देहान नीले वक्रों के चारों ओर मुड़ते हैं $D_{C}$, $A$, और $B$, और $C$, $D_{R}$, $D_{S}$, $D_{T}$ चार लाल वक्रों के चारों ओर दाहिने हाथ के डेन मोड़ हैं।

ध्यान दें कि देहन मुड़ जाता है $D_{U}$, $D_{R}$, $D_{S}$, $D_{T}$ दायीं ओर सभी क्रमपरिवर्तनशीलता  (चूंकि वक्र असंयुक्त सेट हैं, इसलिए जिस क्रम में वे दिखाई देते हैं वह मायने नहीं रखता है। हालांकि, बाईं ओर तीन डेन ट्विस्ट का चक्रीय क्रम मायने रखता है:

साथ ही, ध्यान दें कि ऊपर लिखी समानताएं वास्तव में होमोटॉपी या होमोटॉपी#आइसोटोपी तक समानता हैं, जैसा कि मैपिंग क्लास समूह में सामान्य है।

सामान्य सतहें
यद्यपि हमने तीन छेद वाली डिस्क के लिए लालटेन संबंध बताया है, यह संबंध किसी भी सतह के मैपिंग क्लास समूह में दिखाई देता है जिसमें ऐसी डिस्क को गैर-तुच्छ तरीके से एम्बेडिंग किया जा सकता है। सेटिंग के आधार पर, लालटेन संबंध में दिखाई देने वाले कुछ डेन ट्विस्ट पहचान फ़ंक्शन के समरूप हो सकते हैं, जिस स्थिति में संबंध में सात से कम डेन ट्विस्ट शामिल होते हैं।

सतहों के वर्ग समूहों के मानचित्रण के लिए कई अलग-अलग प्रस्तुतियों में लालटेन संबंध का उपयोग किया जाता है।

बाहरी संबंध

 * Sketches of Topology – The Lantern Relation