फ्रेडहोम संचालक

गणित में, फ्रेडहोम ऑपरेटर्स कुछ ऑपरेटर (गणित) हैं जो इंटीग्रल समीकरणों के फ्रेडहोम सिद्धांत में उत्पन्न होते हैं। इनका नाम एरिक इवर फ्रेडहोम के सम्मान में रखा गया है। परिभाषा के अनुसार, एक फ्रेडहोम ऑपरेटर परिमित-आयामी कर्नेल (बीजगणित) के साथ दो बैनाच स्थानों के बीच एक घिरा हुआ रैखिक ऑपरेटर टी : एक्स → वाई है। $$\ker T$$ और परिमित-आयामी (बीजगणितीय) कोकर्नेल $$\mathrm{coker}\,T = Y/\mathrm{ran}\,T$$, और किसी फ़ंक्शन की बंद सीमा के साथ $$\mathrm{ran}\,T$$. आख़िरी शर्त वास्तव में बेमानी है. फ्रेडहोम ऑपरेटर का रैखिक परिवर्तन#सूचकांक पूर्णांक है


 * $$ \mathrm{ind}\,T := \dim \ker T - \mathrm{codim}\,\mathrm{ran}\,T $$

या दूसरे शब्दों में,


 * $$ \mathrm{ind}\,T := \dim \ker T - \mathrm{dim}\,\mathrm{coker}\,T.$$

गुण
सहज रूप से, फ्रेडहोम ऑपरेटर वे ऑपरेटर हैं जो परिमित-आयामी प्रभावों को नजरअंदाज करने पर उलटे हो जाते हैं। औपचारिक रूप से सही कथन इस प्रकार है। बानाच स्पेस एक्स और वाई के बीच एक परिबद्ध ऑपरेटर टी: एक्स → वाई फ्रेडहोम है यदि और केवल यदि यह उलटा भागफल रिंग कॉम्पैक्ट ऑपरेटर है, यानी, यदि कोई परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर मौजूद है


 * $$S: Y\to X$$

ऐसा है कि


 * $$ \mathrm{Id}_X - ST \quad\text{and}\quad \mathrm{Id}_Y - TS $$

क्रमशः X और Y पर कॉम्पैक्ट ऑपरेटर हैं।

यदि फ्रेडहोम ऑपरेटर को थोड़ा संशोधित किया जाता है, तो यह फ्रेडहोम ही रहता है और इसका सूचकांक भी वही रहता है। औपचारिक रूप से: एक्स से वाई तक फ्रेडहोम ऑपरेटरों का सेट परिबद्ध रैखिक ऑपरेटरों के बानाच स्पेस एल (एक्स, वाई) में खुला है, जो ऑपरेटर मानदंड से सुसज्जित है, और सूचकांक स्थानीय रूप से स्थिर है। अधिक सटीक रूप से, यदि टी0 X से Y तक फ्रेडहोम है, वहां ε > 0 मौजूद है जैसे कि L(X,Y) में प्रत्येक T ||टी − टी0|| <ई फ्रेडहोम है, जिसका सूचकांक टी के समान है0.

जब T, X से Y तक फ़्रेडहोम है और Y से Z तक U फ़्रेडहोम है, तो रचना $$U \circ T$$ X से Z तक फ़्रेडहोम है और


 * $$\mathrm{ind} (U \circ T) = \mathrm{ind}(U) + \mathrm{ind}(T).$$

जब टी फ्रेडहोम है, तो एक सतत रेखीय मानचित्र (या आसन्न) ऑपरेटर का दोहरा स्थान#ट्रांसपोज़ T&thinsp;&prime; फ्रेडहोम से है Y&thinsp;&prime; को X&thinsp;&prime;, और ind(T&thinsp;&prime;) = &minus;ind(T). जब एक्स और वाई हिल्बर्ट स्थान हैं, तो वही निष्कर्ष हर्मिटियन सहायक टी के लिए लागू होता है∗.

जब T फ्रेडहोम है और K एक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर है, तो T + K फ्रेडहोम है। T का सूचकांक T के ऐसे सघन विक्षोभों के तहत अपरिवर्तित रहता है। यह इस तथ्य से पता चलता है कि सूचकांक i(s) है T + s&thinsp;K [0, 1] में प्रत्येक s के लिए परिभाषित एक पूर्णांक है, और i(s) स्थानीय रूप से स्थिर है, इसलिए i(1) = i(0)।

कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों के वर्ग की तुलना में बड़े वर्गों के लिए गड़बड़ी द्वारा अपरिवर्तनीयता सत्य है। उदाहरण के लिए, जब यू फ्रेडहोम है और टी एक पूर्ण रूप से एकवचन ऑपरेटर है, तो टी + यू समान सूचकांक के साथ फ्रेडहोम है। कड़ाई से एकवचन ऑपरेटर#परिभाषाओं का वर्ग, जिसमें सख्ती से एकवचन ऑपरेटरों का वर्ग ठीक से शामिल होता है, फ्रेडहोम ऑपरेटरों के लिए गड़बड़ी वर्ग है। इसका मतलब ऑपरेटर है $$T\in B(X,Y)$$ यह अनिवार्य है यदि और केवल यदि T+U प्रत्येक फ्रेडहोम ऑपरेटर के लिए फ्रेडहोम है $$U\in B(X,Y)$$.

उदाहरण
होने देना $$H$$ लम्बवत आधार वाला हिल्बर्ट स्थान बनें $$\{e_n\}$$ गैर-नकारात्मक पूर्णांकों द्वारा अनुक्रमित। एच पर (दाएं) शिफ्ट ऑपरेटर एस द्वारा परिभाषित किया गया है


 * $$S(e_n) = e_{n+1}, \quad n \ge 0. \,$$

यह ऑपरेटर S इंजेक्टिव (वास्तव में, आइसोमेट्रिक) है और इसमें कोडिमेंशन 1 की एक बंद सीमा है, इसलिए S फ्रेडहोम है $$\mathrm{ind}(S)=-1$$. शक्तियां $$S^k$$, $$k\geq0$$, सूचकांक के साथ फ्रेडहोम हैं $$-k$$. निकटवर्ती S* बाईं ओर की शिफ्ट है,


 * $$S^*(e_0) = 0, \ \ S^*(e_n) = e_{n-1}, \quad n \ge 1. \,$$

बाईं ओर की शिफ्ट S* इंडेक्स 1 के साथ फ्रेडहोम है।

यदि H शास्त्रीय हार्डी स्पेस है $$H^2(\mathbf{T})$$ जटिल विमान में यूनिट सर्कल टी पर, फिर जटिल घातांक के ऑर्थोनॉर्मल आधार के संबंध में शिफ्ट ऑपरेटर


 * $$e_n : \mathrm{e}^{\mathrm{i} t} \in \mathbf{T} \mapsto

\mathrm{e}^{\mathrm{i} n t}, \quad n \ge 0, \, $$ गुणन संचालिका M हैφ फ़ंक्शन के साथ $$\varphi=e_1$$. अधिक सामान्यतः, मान लीजिए कि φ 'T' पर एक जटिल सतत फलन है जो लुप्त नहीं होता है $$\mathbf{T}$$, और चलो टीφ Toeplitz ऑपरेटर को प्रतीक φ से निरूपित करें, जो φ से गुणन के बराबर है और उसके बाद ओर्थोगोनल प्रक्षेपण है $$P:L^2(\mathbf{T})\to H^2(\mathbf{T})$$:


 * $$ T_\varphi : f \in H^2(\mathrm{T}) \mapsto P(f \varphi) \in H^2(\mathrm{T}). \, $$

फिर टीφ फ्रेडहोम ऑपरेटर है $$H^2(\mathbf{T})$$, बंद पथ के 0 के आसपास घुमावदार संख्या से संबंधित सूचकांक के साथ $$t\in[0,2\pi]\mapsto \varphi(e^{it})$$: टी का सूचकांकφ, जैसा कि इस आलेख में परिभाषित किया गया है, इस घुमावदार संख्या के विपरीत है।

अनुप्रयोग
किसी भी अण्डाकार ऑपरेटर को फ्रेडहोम ऑपरेटर तक बढ़ाया जा सकता है। आंशिक अंतर समीकरणों में फ्रेडहोम ऑपरेटरों का उपयोग पैरामीट्रिक्स विधि का एक अमूर्त रूप है।

अतियाह-गायक सूचकांक प्रमेय कई गुना पर कुछ ऑपरेटरों के सूचकांक का एक टोपोलॉजिकल लक्षण वर्णन देता है।

अतियाह-जानिच प्रमेय एक कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स के टोपोलॉजिकल के-सिद्धांत |

बी-फ्रेडहोम ऑपरेटर्स
प्रत्येक पूर्णांक के लिए $$n$$, परिभाषित करना $$ T_{n} $$ का प्रतिबंध होना  $$T$$ को $$ R(T^{n}) $$ से मानचित्र के रूप में देखा गया $$ R(T^{n}) $$ में $$ R(T^{n}) $$ (  विशेष रूप से  $$ T_{0} = T$$). यदि किसी पूर्णांक के लिए $$n$$ अंतरिक्ष $$ R(T^{n}) $$ बंद है और $$ T_{n} $$ तो, एक फ्रेडहोम ऑपरेटर है $$T $$ बी-फ्रेडहोम ऑपरेटर कहा जाता है। बी-फ्रेडहोम ऑपरेटर का सूचकांक $$T$$ फ्रेडहोम ऑपरेटर के सूचकांक के रूप में परिभाषित किया गया है $$ T_n $$. यह दिखाया गया है कि सूचकांक पूर्णांक से स्वतंत्र है $$ n$$. . . . बी-फ्रेडहोम ऑपरेटरों को एम. बर्कानी द्वारा 1999 में फ्रेडहोम ऑपरेटरों के सामान्यीकरण के रूप में पेश किया गया था।

सेमी-फ़्रेडहोम ऑपरेटर्स
एक परिबद्ध रैखिक संचालिका T को 'सेमी-फ़्रेडहोम' कहा जाता है यदि इसकी सीमा बंद हो और इनमें से कम से कम एक हो $$\ker T$$, $$\mathrm{coker}\,T$$ परिमित-आयामी है. सेमी-फ़्रेडहोम ऑपरेटर के लिए, सूचकांक को परिभाषित किया गया है



\mathrm{ind}\,T=\begin{cases} +\infty,&\dim\ker T=\infty; \\ \dim\ker T-\dim\mathrm{coker}\,T,&\dim\ker T+\dim\mathrm{coker}\,T<\infty; \\ -\infty,&\dim\mathrm{coker}\,T=\infty. \end{cases} $$

अनबाउंड ऑपरेटर्स
कोई अनबाउंडेड फ्रेडहोम ऑपरेटरों को भी परिभाषित कर सकता है। माना कि X और Y दो बैनाच स्थान हैं।


 * 1) अनबाउंडेड_ऑपरेटर#क्लोज्ड_लीनियर_ऑपरेटर्स $$T:\,X\to Y$$ यदि इसका डोमेन फ्रेडहोम कहलाता है $$\mathfrak{D}(T)$$ में सघन है $$X$$, इसकी सीमा बंद है, और टी के कर्नेल और कोकर्नेल दोनों परिमित-आयामी हैं।
 * $$T:\,X\to Y$$ यदि इसका डोमेन सेमी-फ़्रेडहोम कहलाता है $$\mathfrak{D}(T)$$ में सघन है $$X$$, इसकी सीमा बंद है, और टी (या दोनों) का कर्नेल या कोकर्नेल परिमित-आयामी है।

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया था, एक बंद ऑपरेटर की सीमा तब तक बंद रहती है जब तक कोकर्नेल परिमित-आयामी है (एडमंड्स और इवांस, प्रमेय I.3.2)।

संदर्भ

 * D.E. Edmunds and W.D. Evans (1987), Spectral theory and differential operators, Oxford University Press. ISBN 0-19-853542-2.
 * A. G. Ramm, "A Simple Proof of the Fredholm Alternative and a Characterization of the Fredholm Operators", American Mathematical Monthly, 108 (2001) p. 855 (NB: In this paper the word "Fredholm operator" refers to "Fredholm operator of index 0").
 * Bruce K. Driver, "Compact and Fredholm Operators and the Spectral Theorem", Analysis Tools with Applications, Chapter 35, pp. 579–600.
 * Robert C. McOwen, "Fredholm theory of partial differential equations on complete Riemannian manifolds", Pacific J. Math. 87, no. 1 (1980), 169–185.
 * Tomasz Mrowka, A Brief Introduction to Linear Analysis: Fredholm Operators, Geometry of Manifolds, Fall 2004 (Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCouseWare)
 * Robert C. McOwen, "Fredholm theory of partial differential equations on complete Riemannian manifolds", Pacific J. Math. 87, no. 1 (1980), 169–185.
 * Tomasz Mrowka, A Brief Introduction to Linear Analysis: Fredholm Operators, Geometry of Manifolds, Fall 2004 (Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCouseWare)