रॉबिन सीमा स्थिति

गणित में, रॉबिन सीमा स्थिति (अच्छी तरह से ), या तीसरे प्रकार की सीमा स्थिति, एक प्रकार की सीमा स्थिति है, जिसका नाम विक्टर गुस्ताव रॉबिन (1855-1897) के नाम पर रखा गया है। जब एक साधारण अंतर समीकरण या आंशिक अंतर समीकरण पर लगाया जाता है, तो यह एक फ़ंक्शन (गणित) के मूल्यों और डोमेन की सीमा (टोपोलॉजी) पर इसके व्युत्पन्न के मूल्यों के रैखिक संयोजन का एक विनिर्देश है। उपयोग में आने वाले अन्य समकक्ष नाम 'फूरियर-प्रकार की स्थिति' और 'विकिरण स्थिति' हैं।

परिभाषा
रॉबिन सीमा स्थितियाँ डिरिचलेट सीमा स्थितियों और न्यूमैन सीमा स्थितियों का एक भारित संयोजन हैं। यह मिश्रित सीमा स्थितियों के विपरीत है, जो सीमा के विभिन्न उपसमूहों पर निर्दिष्ट विभिन्न प्रकार की सीमा स्थितियां हैं। रॉबिन सीमा स्थितियों को विद्युत चुंबकत्व समस्याओं में उनके अनुप्रयोग से, या गर्मी हस्तांतरण समस्याओं में उनके अनुप्रयोग से संवहनी सीमा स्थितियों को प्रतिबाधा सीमा स्थितियां भी कहा जाता है (हैन, 2012)।

यदि Ω वह डोमेन है जिस पर दिए गए समीकरण को हल किया जाना है और ∂Ω इसकी सीमा (टोपोलॉजी) को दर्शाता है, तो रॉबिन सीमा स्थिति है:
 * $$a u + b \frac{\partial u}{\partial n} =g \qquad \text{on } \partial \Omega$$

कुछ गैर-शून्य स्थिरांक a और b और ∂Ω पर परिभाषित दिए गए फ़ंक्शन g के लिए। यहाँ, u Ω और पर परिभाषित अज्ञात समाधान है $∂u⁄∂n$ सीमा पर सामान्य व्युत्पन्न को दर्शाता है। अधिक आम तौर पर, ए और बी को स्थिरांक के बजाय (दिए गए) फ़ंक्शन होने की अनुमति है।

एक आयाम में, यदि, उदाहरण के लिए, Ω= [0,1], रॉबिन सीमा स्थिति बन जाती है:
 * $$\begin{align} a u(0) - bu'(0) &=g(0) \\ a u(1) + bu'(1) &=g(1) \end{align}$$

व्युत्पन्न से जुड़े पद के सामने चिह्न के परिवर्तन पर ध्यान दें: ऐसा इसलिए है क्योंकि 0 बिंदु पर सामान्य [0,1] नकारात्मक दिशा में है, जबकि 1 पर यह सकारात्मक दिशा में इंगित करता है।

आवेदन
रॉबिन सीमा स्थितियों का उपयोग आमतौर पर स्टर्म-लिउविले समस्याओं को हल करने में किया जाता है जो विज्ञान और इंजीनियरिंग में कई संदर्भों में दिखाई देते हैं।

इसके अलावा, रॉबिन सीमा स्थिति संवहन-प्रसार समीकरणों के लिए इन्सुलेट सीमा स्थिति का एक सामान्य रूप है। यहां, सीमा पर संवहन और विसरित प्रवाह का योग शून्य है:


 * $$u_x(0)\,c(0) -D \frac{\partial c(0)}{\partial x}=0$$

जहाँ D विवर्तनशील स्थिरांक है, u सीमा पर संवहन वेग है और c सांद्रता है। दूसरा पद फ़िक के प्रसार के नियम का परिणाम है।

ग्रन्थसूची

 * Gustafson, K. and T. Abe, (1998a). The third boundary condition – was it Robin's?, The Mathematical Intelligencer, 20, #1, 63–71.
 * Gustafson, K. and T. Abe, (1998b). (Victor) Gustave Robin: 1855–1897, The Mathematical Intelligencer, 20, #2, 47–53.