ध्रुवण सर्वसमिका

रेखीय बीजगणित में, गणित की एक शाखा, ध्रुवीकरण की पहचान सूत्रों की फैमिली में से कोई एक है जो एक आदर्श सदिश स्थान के मानदंड के संदर्भ में दो सदिश के आंतरिक उत्पाद को व्यक्त करता है। यदि एक आंतरिक उत्पाद से एक मानदंड उत्पन्न होता है तो इस आंतरिक उत्पाद को पूरी तरह से मानदंड के रूप में व्यक्त करने के लिए ध्रुवीकरण पहचान का उपयोग किया जा सकता है।ध्रुवीकरण की पहचान दर्शाती है कि अधिकतम एक आंतरिक उत्पाद से एक मानक उत्पन्न हो सकता है; चूंकि, ऐसे मानक सम्मलित हैं जो किसी आंतरिक उत्पाद से उत्पन्न नहीं होते हैं।

किसी भी आंतरिक उत्पाद स्थान से जुड़ा मानदंड समांतर चतुर्भुज कानून को संतुष्ट करता है: $$\|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 = 2\|x\|^2 + 2\|y\|^2.$$ वास्तव में, जैसा कि जॉन वॉन न्यूमैन ने देखा, समांतर चतुर्भुज कानून उन मानदंडों को दर्शाता है जो आंतरिक उत्पादों से उत्पन्न होते हैं। एक मानक स्थान दिया गया $$(H, \|\cdot\|)$$, समांतर चतुर्भुज नियम $$\|\cdot\|$$ और केवल एक आंतरिक उत्पाद $$\langle \cdot, \cdot \rangle$$ $$H$$ पर सम्मलित है, जैसे कि $$\|x\|^2 = \langle x,\ x\rangle$$ सभी के लिए $$x \in H,$$ इस स्थिति में आंतरिक उत्पाद विशिष्ट रूप से ध्रुवीकरण पहचान के माध्यम से आदर्श द्वारा निर्धारित किया जाता है।

ध्रुवीकरण पहचान
सदिश स्थान पर कोई भी आंतरिक उत्पाद स्थान समीकरण द्वारा एक आदर्श को प्रेरित करता है $$\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}.$$ ध्रुवीकरण की पहचान इस संबंध को उलट देती है, आंतरिक उत्पाद को आदर्श से पुनर्प्राप्त करती है। प्रत्येक आंतरिक उत्पाद संतुष्ट करता है: $$\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 + 2\operatorname{Re}\langle x, y \rangle \qquad \text{ for all vectors } x, y.$$ $$\operatorname{Re}\langle x, y \rangle$$ को लिए हल करने पर सूत्र मिलता है $$\operatorname{Re}\langle x, y \rangle = \frac{1}{2} \left(\|x+y\|^2 - \|x\|^2 - \|y\|^2\right).$$ यदि आंतरिक उत्पाद वास्तविक है तो $$\operatorname{Re}\langle x, y \rangle = \langle x, y \rangle$$ और यह सूत्र वास्तविक आंतरिक उत्पादों के लिए एक ध्रुवीकरण पहचान बन जाता है।

वास्तविक सदिश स्थान
यदि सदिश स्थान वास्तविक संख्या से अधिक है तो ध्रुवीकरण सर्वसमिका हैं:

$$\begin{alignat}{4} \langle x, y \rangle &= \frac{1}{4} \left(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2\right) \\[3pt] &= \frac{1}{2} \left(\|x+y\|^2 - \|x\|^2 - \|y\|^2\right) \\[3pt] &= \frac{1}{2} \left(\|x\|^2 + \|y\|^2 - \|x-y\|^2\right). \\[3pt] \end{alignat}$$ ये विभिन्न रूप समांतर चतुर्भुज कानून के समतुल्य हैं:

$$2\|x\|^2 + 2\|y\|^2 = \|x+y\|^2 + \|x-y\|^2.$$ इसका अर्थ यह भी है $$L^p$$ कक्षा हिल्बर्ट स्थान नहीं है जब भी $$p\neq 2$$, क्योंकि समांतर चतुर्भुज नियम संतुष्ट नहीं होता है। प्रति उदाहरण के लिए, $$x=1_A$$ तथा $$y=1_B$$ पर विचार करें।सामान्य डोमेन के दो भिन्न उपसमुच्चय $$A,B$$, $$\Omega\subset\mathbb{R}^n$$ और समांतर चतुर्भुज नियम के अंतर्गत दोनों समुच्चयों की माप की गणना कर सकेंगे।।

जटिल वेक्टर रिक्त स्थान
जटिल संख्याओं वेक्टर रिक्त स्थान के लिए, उपरोक्त सूत्र बिल्कुल सही नहीं हैं क्योंकि वे (जटिल) आंतरिक उत्पाद के काल्पनिक भाग  का वर्णन नहीं करते हैं। चूंकि,एक समान अभिव्यक्ति यह सुनिश्चित करती है कि वास्तविक और काल्पनिक दोनों भागों को स्थिर रखा जाए। आंतरिक उत्पाद का जटिल हिस्सा इस बात पर निर्भर करता है कि यह पहले या दूसरे तर्क में एंटीलाइनर है या नहीं। अंकन $$\langle x | y \rangle,$$ जो सामान्यतः भौतिकी में उपयोग किया जाता है, पहले तर्क में प्रतिरेखीय माना जाएगा $$\langle x,\, y \rangle,$$जो सामान्यतः गणित में प्रयोग किया जाता है, इसके दूसरे तर्क को एंटीलीनियर माना जाएगा।वे सूत्र द्वारा संबंधित हैं: $$\langle x,\, y \rangle = \langle y \,|\, x \rangle \quad \text{ for all } x, y \in H.$$ किसी भी आंतरिक उत्पाद का वास्तविक भाग (इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कौन सा तर्क एंटीलीनियर है और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह असली या जटिल है) एक सममित बिलिनियर मानचित्र है जो किसी भी $$x, y \in H$$ हमेशा बराबर होता है: $$\begin{alignat}{4} R(x, y)
 * &= \operatorname{Re} \langle x \mid y \rangle = \operatorname{Re} \langle x, y \rangle \\

&= \frac{1}{4} \left(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2\right) \\ &= \frac{1}{2} \left(\|x+y\|^2 - \|x\|^2 - \|y\|^2\right) \\[3pt] &= \frac{1}{2} \left(\|x\|^2 + \|y\|^2 - \|x-y\|^2\right). \\[3pt] \end{alignat}$$ यह हमेशा एक सममित नक्शा होता है, जिसका अर्थ है $$R(x, y) = R(y, x) \quad \text{ for all } x, y \in H,$$ और यह भी संतुष्ट करता है: $$R(y, ix) = - R(x, iy) \quad \text{ for all } x, y \in H.$$ इस प्रकार $$R(ix, y) = - R(x, iy),$$ जो सादे अंग्रेजी में कहता है कि एक कारक को स्थानांतरित करना $$i = \sqrt{-1}$$ दूसरे तर्क के लिए, एक नकारात्मक चिह्न का परिचय दें।

होने देना $$R(x, y) := \frac{1}{4} \left(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2\right).$$ फिर $$2\|x\|^2 + 2\|y\|^2 = \|x+y\|^2 + \|x-y\|^2$$ तात्पर्य $$R(x, y) = \frac{1}{4} \left(\left(2\|x\|^2 + 2\|y\|^2 - \|x-y\|^2\right) - \|x-y\|^2\right) = \frac{1}{2} \left(\|x\|^2 + \|y\|^2 - \|x-y\|^2\right)$$ तथा $$R(x, y) = \frac{1}{4} \left(\|x+y\|^2 - \left(2\|x\|^2 + 2\|y\|^2 - \|x+y\|^2\right)\right) = \frac{1}{2} \left(\|x+y\|^2 - \|x\|^2 - \|y\|^2\right).$$ इसके अतिरिक्त, $$4R(x, y) = \|x+y\|^2 - \|x-y\|^2 = \|y+x\|^2 - \|y-x\|^2 = 4R(y, x),$$ जो यह सिद्ध करता है $$R(x, y) = R(y, x).$$ से $$1 = i (-i)$$ यह इस प्रकार है कि $$y-ix = i(-iy-x) = -i(x+iy)$$ तथा $$y+ix = i(-iy+x) = i(x-iy)$$ ताकि $$-4R(y, ix) = \|y-ix\|^2 - \|y+ix\|^2 = \|(-i)(x+iy)\|^2 - \|i(x-iy)\|^2 = \|x+iy\|^2 - \|x-iy\|^2 = 4R(x, iy),$$ जो यह सिद्ध करता है $$R(y, ix) = - R(x, iy).$$ $$\blacksquare$$

इसके वास्तविक भाग के विपरीत, एक जटिल आंतरिक उत्पाद का काल्पनिक हिस्सा इस बात पर निर्भर करता है कि कौन सा तर्क विरोधी है।

पहले तर्क में एंटीलाइनर

आंतरिक उत्पाद के लिए ध्रुवीकरण की पहचान $$\langle x \,|\, y \rangle,$$ जो पहले तर्क में एंटीलीनियर है,
 * $$\begin{alignat}{4}

\langle x \,|\, y \rangle &= \frac{1}{4} \left(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2 - i\|x + iy\|^2 + i\|x - iy\|^2\right) \\ &= R(x, y) - i R(x, iy) \\ &= R(x, y) + i R(ix, y) \\ \end{alignat}$$ जहाँ $$x, y \in H.$$ दूसरी से अंतिम समानता एक रैखिक कार्यात्मक $\varphi$ को इसके वास्तविक के संदर्भ में व्यक्त करने वाले सूत्र के समान है। भाग

$$\varphi(y) = \operatorname{Re} \varphi(y) - i (\operatorname{Re} \varphi)(i y).$$ दूसरे तर्क में एंटीलीनियर

आंतरिक उत्पाद के लिए ध्रुवीकरण की पहचान $$\langle x, \ y \rangle,$$ जो दूसरे तर्क में प्रतिरेखीय है, तर्क, का अनुसरण करता है $$\langle x \,|\, y \rangle$$ संबंध से: $$\langle x, \ y \rangle := \langle y \,|\, x \rangle = \overline{\langle x \,|\, y \rangle} \quad \text{ for all } x, y \in H.$$ तो किसी के लिए $$x, y \in H,$$
 * $$\begin{alignat}{4}

\langle x,\, y \rangle &= \frac{1}{4} \left(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2 + i\|x + iy\|^2 - i\|x - iy\|^2\right) \\ &= R(x, y) + i R(x, iy) \\ &= R(x, y) - i R(ix, y). \\ \end{alignat}$$ इस अभिव्यक्ति को सममित रूप से व्यक्त किया जा सकता है: $$\langle x, y \rangle = \frac{1}{4} \sum_{k=0}^3 i^k \left\|x + i^k y\right\|^2.$$ दोनों स्थिति का सारांश

इस प्रकार यदि $$R(x, y) + i I(x, y)$$ बिंदु पर कुछ आंतरिक उत्पाद के मूल्य के वास्तविक और काल्पनिक भागों को दर्शाता है $$(x, y) \in H \times H$$ तो इसका काल्पनिक हिस्सा होगा: $$I(x, y) ~=~ \begin{cases} ~R({\color{red}i} x, y) & \qquad \text{ if antilinear in the } {\color{red}1} \text{st argument} \\ ~R(x, {\color{blue}i} y) & \qquad \text{ if antilinear in the } {\color{blue}2} \text{nd argument} \\ \end{cases}$$ जहां अदिश $$i$$ हमेशा एक ही तर्क में स्थित होता है कि आंतरिक उत्पाद एंटीलीनियर होता है।

$$R(ix, y) = - R(x, iy),$$का उपयोग करके काल्पनिक भाग के लिए उपरोक्त सूत्र बन जाता है: $$I(x, y) ~=~ \begin{cases} -R(x, {\color{black}i} y) & \qquad \text{ if antilinear in the } {\color{black}1} \text{st argument} \\ -R({\color{black}i} x, y) & \qquad \text{ if antilinear in the } {\color{black}2} \text{nd argument} \\ \end{cases}$$

आंतरिक उत्पाद का पुनर्निर्माण
एक आदर्श स्थान में $$(H, \|\cdot\|),$$ यदि समानांतर चतुर्भुज कानून $$\|x+y\|^2 ~+~ \|x-y\|^2 ~=~ 2\|x\|^2+2\|y\|^2$$ धारण करता है, तो एक अद्वितीय आंतरिक उत्पाद मौजूद होता है $$\langle \cdot,\ \cdot\rangle$$ पर $$H$$ ऐसा है कि $$\|x\|^2 = \langle x,\ x\rangle$$ सभी के लिए $$x \in H.$$

$$ एक आंतरिक उत्पाद सम्मलित होने के लिए एक और आवश्यक और पर्याप्त शर्त जो किसी दिए गए मानदंड को प्रेरित करती है $$\|\cdot\|$$ टॉलेमी की असमानता को संतुष्ट करने के लिए मानदंड है, जो है: $$\|x - y\| \, \|z\| ~+~ \|y - z\| \, \|x\| ~\geq~ \|x - z\| \, \|y\| \qquad \text{ for all vectors } x, y, z.$$

अनुप्रयोग और परिणाम
यदि $$H$$ तब एक जटिल हिल्बर्ट स्थान है $$\langle x \mid y \rangle$$ वास्तविक है यदि केवल इसका काल्पनिक भाग $$0 = R(x, iy) = \frac{1}{4} \left(\|x+iy\|^2 - \|x-iy\|^2\right),$$जो होता है और केवल

$$\|x+iy\| = \|x-iy\|.$$ इसी प्रकार, $$\langle x \mid y \rangle$$ (विशुद्ध रूप से) काल्पनिक है यदि और केवल $$\|x+y\| = \|x-y\|.$$ उदाहरण के लिए, से $$\|x+ix\| = |1+i| \|x\| = \sqrt{2} \|x\| = |1-i| \|x\| = \|x-ix\|$$ यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है $$\langle x | x \rangle$$ वास्तविक है और वह $$\langle x | ix \rangle$$ विशुद्ध काल्पनिक है।

आइसोमेट्रिज
यदि $$A : H \to Z$$ दो हिल्बर्ट रिक्त स्थान के बीच एक रैखिक नक्शा आइसोमेट्री है (इसलिए $$\|A h\| = \|h\|$$ सभी के लिए $$h \in H$$) फिर $$\langle A h, A k \rangle_Z = \langle h, k \rangle_H \quad \text{ for all } h, k \in H;$$ अर्थात्, रैखिक आइसोमेट्री आंतरिक उत्पादों को संरक्षित करती है।

यदि $$A : H \to Z$$ इसके अतिरिक्तएक एंटीलीनियर मैप आइसोमेट्री है $$\langle A h, A k \rangle_Z = \overline{\langle h, k \rangle_H} = \langle k, h \rangle_H \quad \text{ for all } h, k \in H.$$

कोसाइन के नियम से संबंध
ध्रुवीकरण पहचान का दूसरा रूप इस रूप में लिखा जा सकता है $$\|\textbf{u}-\textbf{v}\|^2 = \|\textbf{u}\|^2 + \|\textbf{v}\|^2 - 2(\textbf{u} \cdot \textbf{v}).$$ यह अनिवार्य रूप से सदिशों द्वारा गठित त्रिभुज के लिए कोसाइन के नियम का सदिश रूप है $$\textbf{u}, \textbf{v},$$ तथा $$\textbf{u}-\textbf{v}.$$ विशेष रूप से, $$\textbf{u}\cdot\textbf{v} = \|\textbf{u}\|\,\|\textbf{v}\| \cos\theta,$$ जहाँ पर $$\theta$$ वैक्टर के बीच का कोण है $$\textbf{u}$$ तथा $$\textbf{v}.$$

व्युत्पत्ति
मानदंड और डॉट उत्पाद के बीच मूल संबंध समीकरण द्वारा दिया गया है $$\|\textbf{v}\|^2 = \textbf{v} \cdot \textbf{v}.$$ फिर $$\begin{align} \|\textbf{u} + \textbf{v}\|^2 &= (\textbf{u} + \textbf{v}) \cdot (\textbf{u} + \textbf{v}) \\[3pt] &= (\textbf{u} \cdot \textbf{u}) + (\textbf{u} \cdot \textbf{v}) + (\textbf{v} \cdot \textbf{u}) + (\textbf{v} \cdot \textbf{v}) \\[3pt] &= \|\textbf{u}\|^2 + \|\textbf{v}\|^2 + 2(\textbf{u} \cdot \textbf{v}), \end{align}$$ और इसी प्रकार $$\|\textbf{u} - \textbf{v}\|^2 = \|\textbf{u}\|^2 + \|\textbf{v}\|^2 - 2(\textbf{u} \cdot \textbf{v}).$$ ध्रुवीकरण पहचान के रूप (1) और (2) अब इन समीकरणों का समाधान करके अनुसरण करते हैं $$\textbf{u} \cdot \textbf{v},$$ जबकि फॉर्म (3) इन दो समीकरणों को घटाने के बाद आता है। (इन दोनों समीकरणों को एक साथ जोड़ने पर समांतर चतुर्भुज नियम प्राप्त होता है।)

सममित द्विरेखीय रूप
ध्रुवीकरण की पहचान आंतरिक उत्पादों तक ही सीमित नहीं है। यदि $$B$$ सदिश स्थान पर कोई भी सममित द्विरेखीय रूप है, और $$Q$$ द्वारा परिभाषित द्विघात रूप है $$Q(v) = B(v, v),$$ फिर $$\begin{align} 2 B(u, v) &= Q(u + v) - Q(u) - Q(v), \\ 2 B(u, v) &= Q(u)    + Q(v) - Q(u - v), \\ 4 B(u, v) &= Q(u + v)       - Q(u - v). \end{align}$$ तथाकथित सजातीय बहुपद बाद के सूत्र को सामान्य करता है, $$Q$$ को $$Q(v) = B(v, \ldots, v),$$ द्वारा परिभाषित डिग्री $$k$$ केएक सजातीय बहुपद द्वारा प्रतिस्थापित करता है।जहां $$B$$ एक सममित  $$k$$-रैखिक नक्शा है। ऊपर दिए गए सूत्र उस स्तिथि में भी लागू होते हैं जहां अदिश के क्षेत्र में विशेषता दो होती हैं, चूंकि इस स्तिथि में बाएं हाथ के पक्ष सभी शून्य हैं। परिणामस्वरूप ,विशेषता दो में द्विघात रूप के संदर्भ में एक सममित द्विरेखीय रूप के लिए कोई सूत्र नहीं है, और वे वास्तव में भिन्न धारणाएं हैं, एक तथ्य जिसका L-सिद्धांत में महत्वपूर्ण परिणाम हैं; संक्षिप्तता के लिए, इस संदर्भ में "सममित द्विरेखीय रूपों" को प्रायः"सममित रूपों" के रूप में संदर्भित किया जाता है।

ये सूत्र एक क्रमविनिमेय छल्ले पर मापांक द्वारा द्विरेखीय रूपों पर भी लागू होते हैं, चूंकि फिर से कोई केवल $$B(u, v)$$ समाधान कर सकता है यदि 2 छल्ले में उलटा है, और अन्यथा ये भिन्न-भिन्न धारणाएं हैं।

उदाहरण के लिए, पूर्णांकों पर, अभिन्न द्विघात रूपों को अभिन्न सममित रूपों से भिन्न करता है, जो एक संकीर्ण धारणा है।।

अधिक सामान्यतः, एक छल्ले घुमावदार होने का भाव की उपस्थिति में या जहां 2 व्युत्क्रमणीय नहीं है, कोई ε-रूपों और ε-सममित रूपों को भिन्न करता है| एक सममित रूप एक द्विघात रूप को परिभाषित करता है, और ध्रुवीकरण पहचान (2 के एक कारक के बिना) एक द्विघात रूप से एक सममित रूप को "समरूपता मानचित्र" कहा जाता है,और सामान्य रूप से एक समरूपता नहीं है। यह ऐतिहासिक रूप से एक सूक्ष्म अंतर रहा है: पूर्णांकों पर यह 1950 के दशक तक नहीं था कि दो बाहर (अभिन्न द्विघात रूप) और दो में (अभिन्न सममित रूप) के बीच के संबंध को समझा गया था - अभिन्न द्विघात रूप में चर्चा देखें; और ऑपरेशन सिद्धांत के बीजगणित में, मिशचेंको ने मूल रूप से सही  L-समूहों, के अतिरिक्त  L-समूहों का उपयोग किया (जैसा कि वॉल और रानिकी में) L- सिद्धांत पर चर्चा देखें।

उच्च डिग्री के सजातीय बहुपद
अंत में, इनमें से किसी भी संदर्भ में इन सर्वसमिकाओं को एक बहुपद की मनमानी डिग्री के सजातीय बहुपदों (अर्थात, बीजगणितीय रूप) तक बढ़ाया जा सकता है, जहां इसे ध्रुवीकरण सूत्र के रूप में जाना जाता है, और ध्रुवीकरण पर लेख में अधिक विस्तार से समीक्षा की जाती है।