द्वि-आयामी क्रिटिकल आइसिंग मॉडल

द्वि-आयामी क्रिटिकल आइसिंग मॉडल दो आयामों में आइसिंग मॉडल का महत्वपूर्ण बिंदु है। यह द्वि-आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत है जिसका समरूपता बीजगणित केंद्रीय प्रभार के साथ विरासोरो बीजगणित $$c=\tfrac12$$ है। स्पिन और ऊर्जा ऑपरेटरों के सहसंबंध फलन $$(4, 3)$$ न्यूनतम मॉडल का वर्णन किया गया है। जबकि न्यूनतम मॉडल हल कर लिया गया है, यह भी देखें, उदाहरण के लिए, आइसिंग क्रिटिकल एक्सपोनेंट्स पर आलेख, समाधान क्लस्टर की कनेक्टिविटी जैसे अन्य अवलोकनों को कवर नहीं करता है।

अवस्था की समष्टि और अनुरूप आयाम
केएसी टेबल $$(4, 3)$$ की न्यूनतम मॉडल है:

\begin{array}{c|ccc} 2 & \frac{1}{2} & \frac{1}{16} & 0 \\ 1 & 0 & \frac{1}{16} & \frac{1}{2} \\ \hline & 1 & 2 & 3 \end{array} $$ इसका तात्पर्य यह है कि अवस्था की समष्टि तीन प्राथमिक अवस्थाओं द्वारा उत्पन्न होती है, जो तीन प्राथमिक क्षेत्रों या ऑपरेटरों के अनुरूप होते हैं:

$$ \begin{array}{cccc} \hline \text{Kac table indices} & \text{Dimension} & \text{Primary field} & \text{Name} \\ \hline (1,1) \text{ or } (3,2) & 0 & \mathbf{1} & \text{Identity} \\ (2,1) \text{ or } (2,2) & \frac{1}{16} & \sigma & \text{Spin} \\ (1,2) \text{ or } (3,1) & \frac12  & \epsilon  & \text{Energy} \\ \hline \end{array} $$

बाएँ और दाएँ गति वाले विरासोरो बीजगणित के उत्पाद के अपरिवर्तनीय निरूपण में अवस्थाओं की समष्टि का अपघटन इस प्रकार है:

\mathcal{S} = \mathcal{R}_{0} \otimes \bar{\mathcal{R}}_0 \oplus \mathcal{R}_{\frac{1}{16}} \otimes \bar{\mathcal{R}}_\frac{1}{16} \oplus \mathcal{R}_\frac12 \otimes \bar{\mathcal{R}}_\frac12 $$ जहाँ $$\mathcal{R}_\Delta$$ अनुरूप आयाम के साथ विरासोरो बीजगणित का अपरिवर्तनीय उच्चतम-वजन प्रतिनिधित्व $$\Delta$$ है। विशेष रूप से, आइसिंग मॉडल विकर्ण और एकात्मक है।

वर्ण और विभाजन फलन
विरासोरो बीजगणित के तीन अभ्यावेदन के वर्ण जो अवस्थाओं की समष्टि में दिखाई देते हैं:

\begin{align} \chi_0(q) &= \frac{1}{\eta(q)} \sum_{k\in\mathbb{Z}}\left( q^\frac{(24k+1)^2}{48} -q^\frac{(24k+7)^2}{48}\right) = \frac{1}{2\sqrt{\eta(q)}}\left(\sqrt{\theta_3(0|q)} + \sqrt{\theta_4(0|q)}\right) \\ \chi_{\frac{1}{16}}(q) &= \frac{1}{\eta(q)} \sum_{k\in\mathbb{Z}}\left( q^\frac{(24k+2)^2}{48} -q^\frac{(24k+10)^2}{48}\right) = \frac{1}{2\sqrt{\eta(q)}}\left(\sqrt{\theta_3(0|q)} - \sqrt{\theta_4(0|q)}\right) \\ \chi_{\frac12}(q) &= \frac{1}{\eta(q)} \sum_{k\in\mathbb{Z}}\left( q^\frac{(24k+5)^2}{48} -q^\frac{(24k+11)^2}{48}\right) = \frac{1}{\sqrt{2\eta(q)}}\sqrt{\theta_2(0|q)} \end{align} $$ जहाँ $$\eta(q)$$ डेडेकाइंड एटा फलन है, और $$\theta_i(0|q)$$ नोम के थीटा फलन $$q=e^{2\pi i\tau}$$ हैं, उदाहरण के लिए $$\theta_3(0|q)=\sum_{n\in\mathbb{Z}} q^{\frac{n^2}{2}}$$मॉड्यूलर S-आव्यूह, अर्थात आव्यूह $$\mathcal{S}$$ इस प्रकार $$\chi_i(-\tfrac{1}{\tau}) = \sum_j \mathcal{S}_{ij}\chi_j(\tau)$$, है: $$ \mathcal{S} = \frac12 \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & \sqrt{2}\\ 1  & 1 & -\sqrt{2} \\ \sqrt{2} & -\sqrt{2} & 0 \end{array}\right) $$

जहां क्षेत्र को इस प्रकार $$1,\epsilon, \sigma$$ क्रमबद्ध किया गया है। मॉड्यूलर अपरिवर्तनीय विभाजन फलन इस प्रकार है:

Z(q) = \left|\chi_0(q)\right|^2 + \left|\chi_{\frac{1}{16}}(q)\right|^2 + \left|\chi_\frac12(q)\right|^2 = \frac{|\theta_2(0|q)|+ |\theta_3(0|q)|+|\theta_4(0|q)|}{2|\eta(q)|} $$

फ़्यूज़न नियम और ऑपरेटर उत्पाद विस्तार

मॉडल के फ़्यूज़न नियम इस प्रकार हैं:

\begin{align} \mathbf{1}\times \mathbf{1} &= \mathbf{1} \\ \mathbf{1}\times \sigma &= \sigma \\ \mathbf{1}\times \epsilon &= \epsilon \\ \sigma \times \sigma &= \mathbf{1} + \epsilon \\ \sigma \times \epsilon &= \sigma \\ \epsilon \times \epsilon &= \mathbf{1} \end{align} $$ $$\mathbb{Z}_2$$ के अंतर्गत संलयन नियम अपरिवर्तनीय हैं, जिसकी समरूपता $$\sigma \to -\sigma$$ है। तीन-बिंदु संरचना स्थिरांक इस प्रकार हैं:

C_{\mathbf{1}\mathbf{1}\mathbf{1}} = C_{\mathbf{1}\epsilon\epsilon} = C_{\mathbf{1}\sigma\sigma} = 1 \quad, \quad C_{\sigma\sigma\epsilon} = \frac12 $$ उदाहरण के लिए, फ़्यूज़न नियमों और तीन-बिंदु संरचना स्थिरांक को जानने के पश्चात, ऑपरेटर उत्पाद विस्तार लिखना संभव है।

\begin{align} \sigma(z)\sigma(0) &= |z|^{2\Delta_\mathbf{1} - 4\Delta_\sigma} C_{\mathbf{1}\sigma\sigma}\Big(\mathbf{1}(0) + O(z)\Big) + |z|^{2\Delta_\epsilon -4\Delta_\sigma} C_{\sigma\sigma\epsilon} \Big(\epsilon(0) + O(z)\Big) \\ &= |z|^{-\frac14} \Big(\mathbf{1}(0) + O(z)\Big) +\frac12 |z|^\frac34 \Big(\epsilon(0) + O(z)\Big) \end{align} $$ जहाँ $$\Delta_\mathbf{1},\Delta_\sigma,\Delta_\epsilon$$ प्राथमिक क्षेत्रों के अनुरूप आयाम और त्यागे गए पद हैं $$O(z)$$ अवरोही-क्षेत्रके योगदान हैं।

वृत्त पर सहसंबंध फलन
प्राथमिक क्षेत्रों का कोई भी एक-, दो- और तीन-बिंदु फलन गुणात्मक स्थिरांक तक अनुरूप समरूपता द्वारा निर्धारित किया जाता है। क्षेत्र सामान्यीकरण के विकल्प द्वारा यह स्थिरांक एक- और दो-बिंदु फलनों के लिए निर्धारित किया गया है। एकमात्र गैर-तुच्छ गतिशील मात्राएँ तीन-बिंदु संरचना स्थिरांक हैं, जो ऑपरेटर उत्पाद विस्तार के संदर्भ में ऊपर दिए गए थे।

\left\langle \mathbf{1}(z_1)\right\rangle = 1 \, \ \left\langle\sigma(z_1)\right\rangle = 0 \, \ \left\langle\epsilon(z_1)\right\rangle = 0 $$

\left\langle \mathbf{1}(z_1)\mathbf{1}(z_2)\right\rangle = 1 \, \ \left\langle\sigma(z_1)\sigma(z_2)\right\rangle = |z_{12}|^{-\frac14} \ , \ \left\langle\epsilon(z_1)\epsilon(z_2)\right\rangle = |z_{12}|^{-2} $$ साथ $$ z_{ij} = z_i-z_j$$



\langle \mathbf{1}\sigma \rangle = \langle \mathbf{1}\epsilon\rangle = \langle \sigma \epsilon \rangle = 0 $$

\left\langle \mathbf{1}(z_1)\mathbf{1}(z_2)\mathbf{1}(z_3)\right\rangle = 1 \, \ \left\langle\sigma(z_1)\sigma(z_2)\mathbf{1}(z_3)\right\rangle = |z_{12}|^{-\frac14} \, \ \left\langle\epsilon(z_1)\epsilon(z_2)\mathbf{1}(z_3)\right\rangle = |z_{12}|^{-2} $$

\left\langle \sigma(z_1)\sigma(z_2)\epsilon(z_3)\right\rangle = \frac12 |z_{12}|^{\frac34} |z_{13}|^{-1} |z_{23}|^{-1} $$

\langle \mathbf{1}\mathbf{1}\sigma \rangle = \langle \mathbf{1}\mathbf{1}\epsilon \rangle = \langle \mathbf{1}\sigma\epsilon \rangle = \langle \sigma\epsilon\epsilon \rangle = \langle \sigma \sigma \sigma \rangle = \langle \epsilon \epsilon\epsilon \rangle = 0 $$ तीन गैर-तुच्छ चार-बिंदु फलन प्रकार $$\langle \sigma^4\rangle, \langle \sigma^2\epsilon^2\rangle, \langle \epsilon^4\rangle$$हैं। चार-बिंदु फलन के लिए $$ \left\langle\prod_{i=1}^4 V_i(z_i)\right\rangle$$ हैं, मान लीजिये कि $$\mathcal{F}^{(s)}_j$$ और $$\mathcal{F}^{(t)}_j$$ s- और t-चैनल विरासोरो कंफर्मल ब्लॉक हैं, जो क्रमशः $$V_j(z_2)$$ के योगदान के अनुरूप हैं (और उसके डेस्केन्डेंट्स) ऑपरेटर उत्पाद विस्तार में $$V_1(z_1)V_2(z_2)$$, और $$V_1(z_1)V_4(z_4)$$ का $$V_j(z_4)$$ है। मान लीजिये कि $$ x=\frac{z_{12}z_{34}}{z_{13}z_{24}}$$ क्रॉस-अनुपात है।

$$\langle \epsilon^4\rangle$$की स्थिति में, फ़्यूज़न नियम सभी चैनलों में केवल प्राथमिक क्षेत्र, अर्थात् आइडेंटिटी क्षेत्र की अनुमति देते हैं।



\begin{align} & \langle \epsilon^4\rangle = \left|\mathcal{F}^{(s)}_\textbf{1}\right|^2 = \left|\mathcal{F}^{(t)}_\textbf{1}\right|^2 \\ & \mathcal{F}^{(s)}_\textbf{1} = \mathcal{F}^{(t)}_\textbf{1} = \left[\prod_{1\leq i<j\leq 4} z_{ij}^{-\frac13}\right] \frac{1-x+x^2}{x^\frac23(1-x)^\frac23} \ \underset{(z_i)=(x, 0,\infty, 1)}{=}\ \frac{1}{x(1-x)} -1 \end{align} $$ $$\langle \sigma^2\epsilon^2\rangle$$ की स्थिति में, फ़्यूज़न नियम केवल s-चैनल में आइडेंटिटी क्षेत्र और t-चैनल में स्पिन क्षेत्र की अनुमति देते हैं।



\begin{align} & \langle \sigma^2\epsilon^2\rangle = \left|\mathcal{F}^{(s)}_\textbf{1}\right|^2 = C_{\sigma\sigma\epsilon}^2\left|\mathcal{F}^{(t)}_\sigma\right|^2 = \frac14\left|\mathcal{F}^{(t)}_\sigma\right|^2 \\ & \mathcal{F}^{(s)}_\textbf{1} = \frac12 \mathcal{F}^{(t)}_\sigma =\left[z_{12}^\frac14 z_{34}^{-\frac58}\left(z_{13}z_{24}z_{14}z_{23}\right)^{-\frac{3}{16}} \right]\frac{1-\frac{x}{2}}{x^\frac38(1-x)^\frac{5}{16}} \ \underset{(z_i)=(x, 0,\infty, 1)}{=}\ \frac{1-\frac{x}{2}}{x^\frac18(1-x)^\frac12} \end{align} $$ $$\langle \sigma^4\rangle$$ की स्थिति में, फ़्यूज़न नियम सभी चैनलों में दो प्राथमिक क्षेत्रों की अनुमति देते हैं: जो आइडेंटिटी क्षेत्र और ऊर्जा क्षेत्र हैं। इस स्थिति में हम स्थिति $$(z_1,z_2,z_3,z_4)=(x,0,\infty,1)$$ में केवल अनुरूप ब्लॉक लिखते हैं: सामान्य स्थिति प्रीफैक्टर सम्मिलित करके $$x^\frac{1}{24}(1-x)^\frac{1}{24}\prod_{1\leq i<j\leq 4} z_{ij}^{-\frac{1}{24}}$$ प्राप्त किया जाता है, और आइडेंटिटी $$x$$ क्रॉस-अनुपात के साथ प्राप्त किया जाता है।



\begin{align} \langle \sigma^4\rangle &= \left|\mathcal{F}_\textbf{1}^{(s)}\right|^2 + \frac14 \left|\mathcal{F}_{\epsilon}^{(s)}\right|^2 = \left|\mathcal{F}_\textbf{1}^{(t)}\right|^2 + \frac14 \left|\mathcal{F}_{\epsilon}^{(t)}\right|^2 \\ &= \frac{|1+\sqrt{x}|+|1-\sqrt{x}|}{2|x|^\frac14 |1-x|^\frac14} \ \underset{x\in (0, 1)}{=}\ \frac{1}{|x|^\frac14 |1-x|^\frac14} \end{align} $$ $$\langle \sigma^4\rangle$$ की स्थिति में, अनुरूप ब्लॉक हैं:



\begin{align} & \mathcal{F}_\textbf{1}^{(s)} = \frac{\sqrt{\frac{1+\sqrt{1-x}}{2}}}{x^\frac18(1-x)^\frac18} \ ,\;\; \mathcal{F}_{\epsilon}^{(s)} = \frac{\sqrt{2-2\sqrt{1-x}}}{x^\frac18(1-x)^\frac18} \\ & \mathcal{F}_\textbf{1}^{(t)} = \frac{\mathcal{F}^{(s)}_\textbf{1}}{\sqrt{2}} + \frac{\mathcal{F}^{(s)}_\epsilon}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{\frac{1+\sqrt{x}}{2}}}{x^\frac18(1-x)^\frac18} \ ,\;\; \mathcal{F}_{\epsilon}^{(t)} = \sqrt{2}\mathcal{F}^{(s)}_\textbf{1} - \frac{\mathcal{F}^{(s)}_\epsilon}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2-2\sqrt{x}}}{x^\frac18(1-x)^\frac18} \end{align} $$ डिराक फर्मियन के संदर्भ में मॉडल के प्रतिनिधित्व से, किसी भी संख्या में स्पिन या ऊर्जा ऑपरेटरों के सहसंबंध फलनों की गणना करना संभव है:

$$ \left\langle \prod_{i=1}^{2n} \epsilon(z_i)\right\rangle^2 = \left| \det\left(\frac{1}{z_{ij}}\right)_{1\leq i\neq j\leq 2n} \right|^2 $$

\left\langle \prod_{i=1}^{2n} \sigma(z_i)\right\rangle^2 = \frac{1}{2^n}\sum_{\begin{array}{c}\epsilon_i=\pm 1 \\ \sum_{i=1}^{2n}\epsilon_i=0\end{array}} \prod_{1\leq i<j\leq 2n} |z_{ij}|^{\frac{\epsilon_i\epsilon_j}{2}} $$ इन सूत्रों में टोरस पर सहसंबंध फलनों का सामान्यीकरण है, जिसमें थीटा फलन सम्मिलित हैं।

डिसऑर्डर ऑपरेटर
द्वि-आयामी आइसिंग मॉडल को उच्च-निम्न तापमान द्वंद्व द्वारा स्वयं मैप किया जाता है। स्पिन ऑपरेटर की छवि इस डुअलिटी $$\sigma$$ के अंतर्गत डिसऑर्डर ऑपरेटर $$\mu$$ है, जिसके बाएँ और दाएँ अनुरूप आयाम $$(\Delta_\mu,\bar\Delta_\mu) = (\Delta_\sigma,\bar \Delta_\sigma)=(\tfrac{1}{16},\tfrac{1}{16})$$ समान हैं। यद्यपि डिसऑर्डर ऑपरेटर न्यूनतम मॉडल से संबंधित नहीं है, उदाहरण के लिए, डिसऑर्डर ऑपरेटर से जुड़े सहसंबंध फलनों की त्रुटिहीन गणना की जा सकती है:

\left\langle \sigma(z_1)\mu(z_2)\sigma(z_3)\mu(z_4)\right\rangle^2 = \frac12 \sqrt{\frac{|z_{13}z_{24}|}{|z_{12}z_{34}z_{23}z_{14}|}} \Big( |x|+|1-x|-1 \Big) $$ जबकि;

\left\langle \prod_{i=1}^4\mu(z_i)\right\rangle^2 = \left\langle \prod_{i=1}^4\sigma(z_i)\right\rangle^2 = \frac12 \sqrt{\frac{|z_{13}z_{24}|}{|z_{12}z_{34}z_{23}z_{14}|}} \Big( |x|+|1-x|+1 \Big) $$

क्लस्टरों की कनेक्टिविटी
फोर्टुइन और कस्टेलिन के कारण इज़िंग मॉडल का वर्णन यादृच्छिक क्लस्टर मॉडल के रूप में किया गया है। इस विवरण में, प्राकृतिक अवलोकन क्लस्टरों की कनेक्टिविटी हैं, अर्थात संभावनाएँ यह है कि कई बिंदु एक ही क्लस्टर से संबंधित हैं।आइसिंग मॉडल को तब स्थिति $$q=2$$ की $$q$$-स्टेट पॉट्स मॉडल, के रूप में देखा जा सकता है, जिसका पैरामीटर $$q$$ निरंतर भिन्न हो सकता है, और विरासोरो बीजगणित के केंद्रीय प्रभार से संबंधित है।

महत्वपूर्ण सीमा में, क्लस्टरों की कनेक्टिविटी का व्यवहार स्पिन ऑपरेटर के सहसंबंध फलनों के अनुरूप परिवर्तनों के अंतर्गत समान होता है। फिर भी, कनेक्टिविटी स्पिन सहसंबंध फलनों के साथ युग्मित नहीं होती है: उदाहरण के लिए, तीन-बिंदु कनेक्टिविटी $$\langle\sigma\sigma\sigma\rangle=0$$ लुप्त नहीं होती है। चार स्वतंत्र चार-बिंदु कनेक्टिविटी $$\langle\sigma\sigma\sigma\sigma\rangle$$ हैं, और उनका योग युग्मित होता है। चार-बिंदु कनेक्टिविटी के अन्य संयोजन विश्लेषणात्मक रूप से ज्ञात नहीं हैं। विशेष रूप से वे न्यूनतम मॉडल के सहसंबंध फलनों से संबंधित नहीं हैं, चूँकि वे इससे संबंधित हैं $$ q\to 2$$ में स्पिन सहसंबंधकों की सीमा $$q$$-स्टेट पॉट्स मॉडल है।