फैंगचेंग (गणित)

फ़ैंगचेंग (कभी-कभी ए-चेंग या समीकरण के ऊपर लिखा जाता है) चीनी गणित क्लासिक जे आईयू झांग अंकगणित (गणितीय कला पर नौ अध्याय) के आठवें अध्याय का शीर्षक है, जो 10वीं से दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व की अवधि के दौरान विकसित हुए विद्वानों की कई पीढ़ियों द्वारा रचित है। यह पाठ चीन के सबसे पुराने जीवित गणितीय ग्रंथों में से एक है। चीनी गणित के कई इतिहासकारों ने देखा है कि फैंगचेंग शब्द का सटीक अनुवाद करना आसान नहीं है।  हालाँकि, पहले सन्निकटन के रूप में इसका अनुवाद मैट्रिक्स (गणित) या वर्ग सारणी के रूप में किया गया है। इस शब्द का उपयोग नौ अध्याय पुस्तक के अध्याय 8 में चर्चा की गई समस्याओं के एक निश्चित वर्ग को हल करने के लिए एक विशेष प्रक्रिया को संदर्भित करने के लिए भी किया जाता है।

फैंगचेंग शब्द द्वारा संदर्भित और नौ अध्यायों के आठवें अध्याय में बताई गई प्रक्रिया अनिवार्य रूप से एन अज्ञात में एन समीकरणों की प्रणालियों का समाधान खोजने की एक प्रक्रिया है और आधुनिक रैखिक बीजगणित में कुछ समान प्रक्रियाओं के बराबर है। सबसे पहले दर्ज की गई फैंगचेंग प्रक्रिया उसी के समान है जिसे अब हम गाऊसी उन्मूलन कहते हैं।

फैंगचेंग प्रक्रिया प्राचीन चीन में लोकप्रिय थी और जापान तक प्रसारित की गई थी। यह संभव है कि यह प्रक्रिया यूरोप में भी प्रसारित की गई और मैट्रिक्स (गणित), गाऊसी उन्मूलन और निर्धारक के आधुनिक सिद्धांत के अग्रदूत के रूप में कार्य किया गया। यह सर्वविदित है कि 1678 में गॉटफ्राइड लीबनिज द्वारा उन्मूलन सिद्धांत और निर्धारकों के अध्ययन से पहले यूनान  या यूरोप में रैखिक बीजगणित पर बहुत अधिक काम नहीं हुआ था। इसके अलावा, लीबनिज एक सिनोफाइल थे और ऐसे चीनी ग्रंथों के अनुवाद में रुचि रखते थे जो उनके लिए उपलब्ध थे।

फैंगचेंग के अर्थ पर
प्रथम अक्षर फेंग के अर्थ में कोई अस्पष्टता नहीं है। इसका अर्थ है आयताकार या वर्गाकार. लेकिन दूसरे पात्र चेंग को अलग-अलग व्याख्याएँ दी गई हैं:

गणितीय कला पर #ली जी के नौ अध्याय: उच्चारण और अर्थ भी चेंग को माप के रूप में दर्शाते हैं, फिर से एक गैर-गणितीय शब्द, केलू का उपयोग करते हैं, जो आमतौर पर कराधान के लिए उपयोग किया जाता है। इस प्रकार ली जी फैंगचेंग को परिभाषित करते हैं: फैंग का अर्थ है [पर] बाएँ और दाएँ। चेंग का अर्थ है अनुपात की शर्तें। एक अनुपात की शर्तें [पर] बाएं और दाएं, कई वस्तुओं को एक साथ जोड़ते हुए, इसलिए [इसे] एक आयताकार सरणी कहा जाता है।
 * 1) सबसे पुरानी मौजूदा टिप्पणी, एल आईयू हुई  द्वारा, दिनांक 263 सीई, गैर-गणितीय शब्द केचेंग का हवाला देते हुए चेंग को उपायों के रूप में परिभाषित करती है, जिसका अर्थ है कर दरों के अनुसार कर एकत्र करना। लियू फिर फैंगचेंग को मापों के एक आयत के रूप में परिभाषित करता है। हालाँकि, केचेंग शब्द एक गणितीय शब्द नहीं है और यह नौ अध्यायों में कहीं और दिखाई नहीं देता है। गणित के अलावा, केचेंग एक शब्द है जिसका उपयोग कर एकत्र करने के लिए सबसे अधिक किया जाता है।
 * 1) यांग हुई के विस्तृत स्पष्टीकरण के साथ गणितीय कला पर नौ अध्याय चेंग को वजन, ऊंचाई और लंबाई मापने के लिए एक सामान्य शब्द के रूप में परिभाषित करते हैं। विस्तृत स्पष्टीकरण में कहा गया है: जिसे आयताकार (फैंग) कहा जाता है वह संख्याओं का आकार है; माप (चेंग) [सभी प्रकार के] माप के लिए सामान्य शब्द है, यह वजन, लंबाई और आयतन को बराबर करने की एक विधि भी है, विशेष रूप से स्पष्ट और स्पष्ट रूप से बड़े और छोटे को मापने का संदर्भ देता है।

19वीं सदी के अंत से, चीनी गणितीय साहित्य में फ़ैंगचेंग शब्द का उपयोग एक समीकरण को दर्शाने के लिए किया जाता रहा है। हालाँकि, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, शब्द का पारंपरिक अर्थ समीकरण से बहुत अलग है।

फैंगचेंग शीर्षक वाले अध्याय की सामग्री
नौ अध्यायों की पुस्तक के फांगचेंग नामक आठवें अध्याय में 18 समस्याएं हैं। (पूरी किताब में कुल 288 समस्याएं हैं।) इन 18 समस्याओं में से प्रत्येक एक साथ रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने की समस्या बन जाती है। एक समस्या, अर्थात् समस्या 13 को छोड़कर, सभी समस्याएँ इस अर्थ में निर्धारित हैं कि अज्ञात की संख्या समीकरणों की संख्या के समान है। 2, 3, 4 और 5 अज्ञातों से जुड़ी समस्याएं हैं। नीचे दी गई तालिका दर्शाती है कि विभिन्न समस्याओं में कितने अज्ञात हैं: सभी 18 समस्याओं की प्रस्तुतियाँ (समस्या 1 और समस्या 3 को छोड़कर) एक सामान्य पैटर्न का अनुसरण करती हैं:


 * सबसे पहले समस्या बताई गई है.
 * तब समस्या का उत्तर दिया जाता है।
 * अंत में उत्तर प्राप्त करने की विधि बताई गई है।

समस्या 1 पर

 * संकट:
 * उच्च गुणवत्ता वाले चावल के भूसे के 3 बंडल, मध्यम गुणवत्ता वाले चावल के भूसे के 2 बंडल और निम्न गुणवत्ता वाले चावल के भूसे के 1 बंडल से 39 यूनिट चावल का उत्पादन होता है।
 * उच्च गुणवत्ता वाले चावल के भूसे के 2 बंडल, मध्यम गुणवत्ता वाले चावल के भूसे के 3 बंडल और निम्न गुणवत्ता वाले चावल के भूसे के 1 बंडल से 34 यूनिट चावल का उत्पादन होता है।
 * उच्च गुणवत्ता वाले चावल के भूसे के 1 बंडल, मध्यम गुणवत्ता वाले चावल के भूसे के 2 बंडल और निम्न गुणवत्ता वाले चावल के भूसे के 3 बंडल से 26 यूनिट चावल का उत्पादन होता है।
 * प्रश्न: उच्च, मध्यम और निम्न गुणवत्ता वाले चावल के भूसे से क्रमशः कितनी इकाई चावल का उत्पादन किया जा सकता है?
 * समाधान:
 * उच्च गुणवत्ता वाले चावल के भूसे से प्रत्येक 9 + 1/4 यूनिट चावल का उत्पादन होता है
 * मध्यम गुणवत्ता वाले चावल के भूसे से प्रत्येक 4 + 1/4 यूनिट चावल का उत्पादन होता है
 * कम गुणवत्ता वाले चावल के भूसे से प्रत्येक 2 + 3/4 यूनिट चावल का उत्पादन होता है

समस्या 1 की प्रस्तुति में समाधान प्राप्त करने की प्रक्रिया का विवरण (स्पष्ट संकेत नहीं) शामिल है। इस प्रक्रिया को फैंगचेंग शू कहा गया है, जिसका अर्थ है फैंगचेंग प्रक्रिया। शेष सभी समस्याओं के लिए फैंगचेंग प्रक्रिया का पालन करने का निर्देश दिया जाता है, कभी-कभी सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं के लिए प्रक्रिया का उपयोग करने का निर्देश दिया जाता है।

समस्या 3 पर
नकारात्मक संख्याओं को संभालने के लिए एक विशेष प्रक्रिया भी है, जिसे सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं के लिए प्रक्रिया (झेंग फू शू) कहा जाता है। इस प्रक्रिया को समस्या 3 को हल करने की विधि के भाग के रूप में समझाया गया है।

समस्या 13 पर
इन 18 समस्याओं के संग्रह में समस्या 13 बहुत खास है। इसमें 6 अज्ञात हैं लेकिन केवल 5 समीकरण हैं और इसलिए समस्या 13 अनिश्चित है और इसका कोई अद्वितीय समाधान नहीं है। यह रैखिक समीकरणों की प्रणाली का सबसे पहला ज्ञात संदर्भ है जिसमें अज्ञात की संख्या समीकरणों की संख्या से अधिक है। चीनी गणित के इतिहासकार जीन-क्लाउड मार्टज़लॉफ़ के सुझाव के अनुसार, रोजर हार्ट ने इस समस्या को वेल समस्या का नाम दिया है।