रीमैन जीटा फलन

रीमैन जीटा फलन या यूलर-रीमैन जीटा फलन, जिसे ग्रीक वर्णमाला $ζ(z)$ (जीटा) द्वारा दर्शाया गया है, यह एक ऐसा सम्मिश्र चर का फलन (गणित) है जिसे $$\operatorname{Re}(s) > 1$$ के लिए$$ \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots$$ रूप में परिभाषित किया गया है, और इसकी विश्लेषणात्मक निरंतरता अन्यत्र है। रीमैन जीटा फलन विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, और इसमें भौतिकी, संभाव्यता सिद्धांत और अनुप्रयुक्त सांख्यिकी में अनुप्रयोग हैं।

इस प्रकार से लियोनहार्ड यूलर ने पहली बार अठारहवीं शताब्दी के पूर्वार्द्ध में वास्तविक संख्याओं पर फलन का परिचय दिया और उसका अध्ययन किया। बर्नहार्ड रीमैन के 1859 के लेख किसी दिए गए परिमाण से कम अभाज्य की संख्या ने यूलर की परिभाषा को सम्मिश्र संख्या चर तक विस्तारित किया, इसकी मेरोमोर्फिक निरंतरता और फलनात्मक समीकरण को सिद्ध किया, और इसके फलन के मूल अभाज्य संख्या प्रमेय के बीच संबंध स्थापित किया था। अतः इस लेख में रीमैन परिकल्पना भी सम्मिलित है, रीमैन जीटा फलन के सम्मिश्र शून्य के वितरण के विषय में अनुमान है जिसे कई गणितज्ञों द्वारा शुद्ध गणित में सबसे महत्वपूर्ण अनसुलझी समस्या माना जाता है।

सम धनात्मक पूर्णांकों पर रीमैन जीटा फलन के मानों की गणना यूलर द्वारा की गई थी। उनमें से पहला, $ζ$, बेसल समस्या का हल प्रदान करता है। 1979 में रोजर एपेरी ने $ζ(2)$ की तर्कहीनता को सिद्ध किया। इस प्रकार से ऋणात्मक पूर्णांक बिंदुओं पर मान, जो यूलर द्वारा भी पाया जाता है, परिमेय संख्याएँ हैं और मॉड्यूलर रूपों के सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। रीमैन जीटा फलन के कई सामान्यीकरण, जैसे डिरिचलेट श्रृंखला, डिरिचलेट $L$-फलन और $L$- फलन, ज्ञात हैं।

परिभाषा
फ़ाइल: दिए गए परिमाण के नीचे अभाज्य की संख्या के विषय में। पीडीएफ|थंब|अपराइट|बर्नहार्ड रीमैन का लेख किसी दिए गए परिमाण के नीचे अभाज्य की संख्या पर

इस प्रकार से रीमैन जीटा फलन $ζ(3)$ सम्मिश्र चर $ζ(s)$ का फलन है, जहाँ जहां σ और t वास्तविक संख्याएं हैं। (अंकन $s$, $σ$, और $t$ पारंपरिक रूप से रीमैन के बाद, जीटा फलन के अध्ययन में उपयोग किया जाता है।) जब $s = σ + it$, फलन को अभिसारी योग या समाकल के रूप में लिखा जा सकता है:
 * $$\zeta(s) =\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s} = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty \frac{x ^ {s-1}}{e ^ x - 1} \, \mathrm{d}x\,,$$

जहाँ
 * $$\Gamma(s) = \int_0^\infty x^{s-1}\,e^{-x} \, \mathrm{d}x $$

गामा फलन है। रीमैन जीटा फलन को $Re(s) = σ > 1$ के लिए परिभाषित की विश्लेषणात्मक निरंतरता के माध्यम से अन्य सम्मिश्र मानों के लिए परिभाषित किया गया है।

अतः लियोनहार्ड यूलर ने 1740 में $s$ के धनात्मक पूर्णांक मानों के लिए उपरोक्त श्रृंखला पर विचार किया और बाद में चेबीशेव ने परिभाषा को $$\operatorname{Re}(s) > 1$$ तक बढ़ा दिया। था

इस प्रकार से उपरोक्त श्रृंखला एक प्रोटोटाइपिकल डिरिचलेट श्रृंखला है जो $s$ के लिए विश्लेषणात्मक फलन में पूर्ण अभिसरण है जैसे कि $σ > 1$ और $s$ के अन्य सभी मानों के लिए विचलन करती है। रीमैन ने दिखाया कि अभिसरण के आधे-तल पर श्रृंखला द्वारा परिभाषित फलन को सभी सम्मिश्र मानों $σ > 1$ के लिए विश्लेषणात्मक रूप से जारी रखा जा सकता है। $s ≠ 1$ के लिए, श्रृंखला प्रसंवादी श्रृंखला (गणित) है जो $s = 1$, और$$ \lim_{s \to 1} (s - 1)\zeta(s) = 1$$ तक विचरण करती है।

अतः इस प्रकार रीमैन जीटा फलन पूर्ण सम्मिश्र तल पर मेरोमॉर्फिक फलन है, जो अवशेष $+∞$ के साथ $1$ पर साधारण ध्रुव को छोड़कर प्रत्येक स्थान होलोमॉर्फिक फलन है।

यूलर का गुणनफल सूत्र
इस प्रकार से 1737 में, यूलर द्वारा जीटा फलन और अभाज्य संख्याओं के बीच संबंध की खोज की गई, जिन्होंने रीमैन जीटा फलन के लिए यूलर गुणनफल सूत्र का प्रमाण


 * $$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s} = \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}$$

सिद्ध किया, जहां, परिभाषा के अनुसार, बायां ओर $s = 1$ है और दाईं ओर अनंत गुणनफल फैला हुआ है सभी अभाज्य संख्याएँ $p$ (ऐसी अभिव्यक्तियों को यूलर गुणनफल कहा जाता है):


 * $$\prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}} = \frac{1}{1-2^{-s}}\cdot\frac{1}{1-3^{-s}}\cdot\frac{1}{1-5^{-s}}\cdot\frac{1}{1-7^{-s}}\cdot\frac{1}{1-11^{-s}} \cdots \frac{1}{1-p^{-s}} \cdots$$

यूलर गुणनफल सूत्र के दोनों पक्ष $ζ(s)$ के लिए अभिसरण करते है। रीमैन जीटा फलन के लिए यूलर गुणनफल सूत्र का प्रमाण मात्र ज्यामितीय श्रृंखला के सूत्र और अंकगणित के मौलिक प्रमेय का उपयोग करता है। चूंकि प्रसंवादी श्रृंखला (गणित), जब $Re(s) > 1$ प्राप्त होती है, विचलन करती है, यूलर का सूत्र (जो $s = 1$ बन जाता है) का तात्पर्य है कि अनंत रूप से कई अभाज्य हैं। चूंकि $Π_{p} p⁄p − 1$ का लघुगणक लगभग $p⁄p − 1$ है, सूत्र का उपयोग इस दृढ परिणाम को सिद्ध करने के लिए भी किया जा सकता है कि अभाज्य संख्याओं के व्युत्क्रमों का योग अनंत है। इस प्रकार से दूसरी ओर, एरास्टोस्थनीज की चालनी के साथ संयोजन से पता चलता है कि धनात्मक पूर्णांकों के समुच्चय के भीतर अभाज्य के समुच्चय का घनत्व शून्य है।

अतः यूलर गुणनफल सूत्र का उपयोग स्पर्शोन्मुख घनत्व की गणना के लिए किया जा सकता है, कि $s$ यादृच्छिक रूप से चयनित पूर्णांक समुच्चय-वार सह अभाज्य हैं। सहज रूप से, किसी एकल संख्या के अभाज्य (या किसी पूर्णांक) $p$ से विभाज्य होने की प्रायिकता $1⁄p$ है। इसलिए सभी $s$ संख्याओं के इस अभाज्य से विभाज्य होने की इस प्रकार से प्रायिकता $1⁄p$ है, और उनमें से कम से कम एक के न विभाज्य होने की प्रायिकता $1⁄p$ है। अब, अलग-अलग अभाज्य संख्याओं के लिए, ये विभाज्यता घटनाएँ परस्पर स्वतंत्र हैं क्योंकि अपेक्षावार भाजक सहअभाज्य हैं (एक संख्या सहअभाज्य भाजक $n$ और $m$ द्वारा विभाज्य है यदि और मात्र यदि यह $nm$ द्वारा विभाज्य है, एक घटना जो प्रायिकता$1 − 1⁄p$ के साथ घटित होती है)। इस प्रकार यह स्पर्शोन्मुख प्रायिकता कि $s$ संख्याएँ सहअभाज्य हैं, सभी अभाज्यों,


 * $$\prod_{p \text{ prime}} \left(1-\frac{1}{p^s}\right) = \left( \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}} \right)^{-1} = \frac{1}{\zeta(s)} $$ पर एक गुणनफल द्वारा दी जाती हैं।

रीमैन का फलनात्मक समीकरण
इस प्रकार से यह जीटा फलन क्रियात्मक समीकरण Proof 1 कार्यात्मक समीकरण का प्रमाण इस प्रकार आगे बढ़ता है: We observe that if $$\sigma > 0$$, then $$\int_0^\infty x^{{1\over2}{s} - 1}e^{-n^2\pi x}\, dx = {\Gamma \left({s\over2}\right)\over{n^s\pi^{s \over 2}}}.$$ नतीजतन, if $$\sigma > 1$$ then $$ \frac{\Gamma\left(\frac s 2\right)\zeta(s)}{\pi^{s/2}} = \sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty x^{{s\over 2}-1} e^{-n^2 \pi x}\, dx = \int_0^\infty x^{{s\over 2}-1} \sum_{n=1}^\infty e^{-n^2 \pi x}\, dx,$$ पूर्ण अभिसरण द्वारा उचित सीमित प्रक्रियाओं के व्युत्क्रम के साथ (इसलिए सख्त आवश्यकता)। $$\sigma$$).

For convenience, let $$\psi(x) := \sum_{n=1}^\infty e^{-n^2 \pi x}$$

which is a special case of the theta function. Then $$\zeta(s) = {\pi^{s\over2}\over\Gamma({s \over 2})} \int_0^\infty x^{{1\over2}{s} - 1}\psi(x)\, dx.$$

By the Poisson summation formula we have $$\sum_{n=-\infty}^\infty {e^{-n^2 \pi x}} = {1 \over \sqrt x}\sum_{n=-\infty}^\infty {e^{-n^2 \pi \over x}},$$

so that $$2 \psi(x)+1 = {1\over \sqrt x} \left\{2\psi \left ( {1 \over x} \right )+1\right\}.$$

Hence $$\pi^{-{s \over 2}} \Gamma \left ( {s \over 2} \right ) \zeta (s) = \int_0^1 x^{{s\over 2}-1} \psi(x) \, dx + \int_1^\infty x^{{s\over 2}-1} \psi(x) \, dx.$$

This is equivalent to $$\int_0^1 x^{{s \over 2}-1} \left\{ {1\over \sqrt x} \psi \left ( {1 \over x} \right ) + {1\over 2 \sqrt x} - {1 \over 2} \right\} \, dx + \int_1^\infty x^{{s\over 2}-1} \psi(x) \, dx$$ or $$ {1 \over {s-1}} - {1\over s} + \int_0^1 x^{{s\over 2}-{3\over 2}} \psi \left ( {1 \over x} \right ) \, dx + \int_1^\infty x^{{s\over 2}-1} \psi(x) \, dx .$$

So $$ \pi^{-{s \over 2}} \Gamma \left ( {s \over 2} \right ) \zeta (s)={1 \over {s({s-1})}} + \int_1^\infty \left ({x^{-{{s}\over 2}-{1\over 2}} + x^{{{s}\over 2}-1}} \right ) \psi(x) \, dx $$

which is convergent for all s, so holds by analytic continuation. Furthermore, the RHS is unchanged if s is changed to 1 − s. Hence $$\pi^{-{s \over 2}} \Gamma \left ( {s \over 2} \right ) \zeta (s) = \pi^{-{1 \over 2} + {s \over 2}} \Gamma \left ( {1 \over 2} - {s \over 2} \right ) \zeta (1-s)$$ which is the functional equation. Attributed to Bernhard Riemann.

Proof 2

which is convergent for all s, so holds by analytic continuation. Furthermore, the RHS is unchanged if s is changed to 1 − s. Hence $$\pi^{-{s \over 2}} \Gamma \left ( {s \over 2} \right ) \zeta (s) = \pi^{-{1 \over 2} + {s \over 2}} \Gamma \left ( {1 \over 2} - {s \over 2} \right ) \zeta (1-s)$$ which is the functional equation. Attributed to Bernhard Riemann. }}

इस प्रकार से फलनात्मक समीकरण की स्थापना रीमैन ने अपने 1859 के लेख "किसी दिए गए परिमाण से कम अभाज्य की संख्या पर" और पूर्व स्थान पर विश्लेषणात्मक निरंतरता का निर्माण किया था। सौ वर्ष पूर्व, 1749 में, डिरिचलेट और फलन (वैकल्पिक जीटा फलन) के लिए यूलर द्वारा समान संबंध का अनुमान लगाया गया था:$$\eta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s} = \left(1-{2^{1-s}}\right)\zeta(s).$$संयोगवश, यह संबंध क्षेत्र 0 < $1⁄nm$ <1, अर्थात$$\zeta(s)=\frac{1}{1-{2^{1-s}}} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s}$$में $Re(s)$ की गणना के लिए एक समीकरण देता है जहां η-श्रृंखला बड़े आधे-तल $ζ(s)$ अभिसरण श्रृंखला है (यद्यपि पूर्ण अभिसरण) है (कार्यात्मक समीकरण के इतिहास पर अधिक विस्तृत सर्वेक्षण के लिए, इस प्रकार से उदाहरण के लिए ब्लागौचिन देखें )।

इस प्रकार से रीमैन ने एक्स-फलन पर लागू होने वाले फलनात्मक समीकरण का समरूपता संस्करण भी पाया:$$\xi(s) = \frac{1}{2} \pi^{-\frac{s}{2}}s(s-1)\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s),$$जो संतुष्ट करता है:$$\xi(s) = \xi(1 - s).$$ (रीमैन का मूल $s > 0$थोड़ा अलग था।)

जॉन टेट (गणितज्ञ) (1950) टेट की थीसिस तक रीमैन के समय में $$\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)$$ कारक को ठीक रूप से समझा नहीं गया था, जिसमें यह दिखाया गया था कि यह तथाकथित "गामा कारक" वस्तुतः आर्किमिडीयन स्थान के अनुरूप स्थानीय एल-कारक है, यूलर गुणनफल विस्तार में अन्य कारक गैर-आर्किमिडीयन स्थानों के स्थानीय एल-कारक हैं।

शून्य, महत्वपूर्ण रेखा, और रीमैन परिकल्पना
इस प्रकार से फलनात्मक समीकरण से पता चलता है कि रीमैन जीटा फलन −2, −4,... पर शून्य हैं। इन्हें तुच्छ शून्य कहा जाता है। वे इस अर्थ में तुच्छ हैं कि उनका अस्तित्व साबित करना अपेक्षाकृत सरल है, इस प्रकार से उदाहरण के लिए, कार्यात्मक समीकरण में $ξ(t)$ 0 है। गैर-तुच्छ शून्यों ने अधिक ध्यान आकर्षित किया है क्योंकि उनका वितरण न मात्र बहुत कम समझा गया है, यद्यपि इससे भी महत्वपूर्ण बात यह है कि उनके अध्ययन से संख्या सिद्धांत में अभाज्य संख्याओं और संबंधित वस्तुओं से संबंधित महत्वपूर्ण परिणाम प्राप्त होते हैं। यह ज्ञात है कि कोई भी गैर-तुच्छ शून्य विवृत पट्टी$$\{s \in \mathbb{C} : 0 < \operatorname{Re}(s) < 1\}$$ में स्थित होता है, जिसे क्रांतिक पट्टी कहा जाता है। समुच्चय $$\{s \in \mathbb{C} : \operatorname{Re}(s) = 1/2\}$$ को क्रान्तिक रेखा कहा जाता है। गणित में सबसे बड़ी अनसुलझी समस्याओं में से मानी जाने वाली रीमैन परिकल्पना, अनुरोध करती है कि सभी गैर-तुच्छ शून्य महत्वपूर्ण रेखा पर हैं। 1989 में, कॉनरे ने सिद्ध किया कि रीमैन जीटा फलन के 40% से अधिक गैर-तुच्छ शून्य महत्वपूर्ण रेखा पर हैं। इस प्रकार से क्रान्तिक रेखा पर रिमेंन जीटा फलन के लिए, $Z$ फलन देखें।

महत्वपूर्ण पट्टी में शून्य की संख्या
अतः मान लीजिए $$N(T)$$ क्रान्तिक पट्टी $$0 < \operatorname{Re}(s) < 1$$ में $$\zeta(s)$$ के शून्यों की संख्या है, जिसके काल्पनिक भाग अंतराल $$0 < \operatorname{Im}(s) < T$$ में हैं। ट्रुडजियन ने सिद्ध किया कि, यदि $$T > e$$, तो
 * $$|N(T) - \frac{T}{2\pi} \log{\frac{T}{2\pi e}}| \leq 0.112 \log T + 0.278 \log\log T + 3.385 + \frac{0.2}{T}$$.

हार्डी-लिटिलवुड अनुमान
इस प्रकार से 1914 में जी. एच. हार्डी ने यह सिद्ध किया कि $σ = 1⁄2$ मेंमें अनंत रूप से कई वास्तविक शून्य हैं।

हार्डी और जॉन एडेंसर लिटिलवुड ने बड़े धनात्मक वास्तविक संख्याओं के अंतराल पर $σ = 1⁄2$ के शून्य के बीच घनत्व और दूरी पर दो अनुमान तैयार किए। निम्नलिखित में, $sin πs⁄2$ वास्तविक शून्यों की कुल संख्या है और $ζ (1⁄2 + it)$ अंतराल $ζ (1⁄2 + it)$ में स्थित फलन $N(T)$ के विषम क्रम के शून्यों की कुल संख्या है।

इस प्रकार से इन दो अनुमानों ने रीमैन जीटा फलन की जाँच में नवीन दिशाएँ खोलीं थी।

शून्य मुक्त क्षेत्र
संख्या सिद्धांत में रीमैन जीटा फलन के शून्य का स्थान बहुत महत्वपूर्ण है। अभाज्य संख्या प्रमेय इस तथ्य के समतुल्य है कि $N_{0}(T)$ रेखा पर जीटा फलन का कोई शून्य नहीं है। विनोग्रादोव के माध्य-मान प्रमेय प्रभावी रूप से निकलने वाला एक ठीक परिणाम यह है कि $(0, T]$ जब भी $$\sigma\ge 1-\frac{1}{57.54(\log{|t|})^\frac23(\log{\log{|t|}})^\frac13}$$ और $ζ (1⁄2 + it)$ होता है।

2015 में, मॉसिंगहॉफ और ट्रुडजियन ने सिद्ध किया कि $ε > 0$ के लिए क्षेत्र
 * $$\sigma\ge 1 - \frac{1}{5.573412 \log|t|}$$

में जीटा का कोई शून्य नहीं है। यह $$3.06 \cdot 10^{10} < |t| < \exp(10151.5) \approx 5.5 \cdot 10^{4408} $$ के लिए महत्वपूर्ण पट्टी में यह सबसे बड़ा ज्ञात शून्य-मुक्त क्षेत्र है।

इस प्रकार का सबसे दृढ परिणाम रीमैन परिकल्पना की सत्यता की अपेक्षा कर सकता है, जिसमें संख्या के सिद्धांत में कई गहन रीमैन परिकल्पना परिणाम होंगे।

अन्य परिणाम
यह ज्ञात है कि क्रांतिक रेखा पर अपरिमित रूप से अनेक शून्य होते हैं। जॉन एडेंसर लिटलवुड ने दिखाया कि यदि अनुक्रम ($T_{0}(ε) > 0$) में ऊपरी आधे तल में सभी शून्यों के काल्पनिक भाग आरोही क्रम में हैं, तो


 * $$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\gamma_{n+1}-\gamma_n\right)=0.$$

इस प्रकार से महत्वपूर्ण रेखा प्रमेय का अनुरोध है कि गैर-तुच्छ शून्यों का धनात्मक अनुपात महत्वपूर्ण रेखा पर स्थित है। (रीमैन परिकल्पना का अर्थ होगा कि यह अनुपात 1 है।)

क्रान्तिक पट्टी में, सबसे छोटा गैर-ऋणात्मक काल्पनिक भाग वाला शून्य $(T, T + H]$ है। तथ्य यह है कि सभी सम्मिश्र $ε > 0$ के लिए
 * $$\zeta(s)=\overline{\zeta(\overline{s})}$$

का तात्पर्य है कि रीमैन जीटा फलन के शून्य वास्तविक अक्ष के विषय में सममित हैं। इसके अतिरिक्त, इस समरूपता को कार्यात्मक समीकरण के साथ जोड़कर, कोई यह देख सकता है कि गैर-तुच्छ शून्य महत्वपूर्ण रेखा $T_{0}(ε) > 0$ के विषय में सममित हैं।

यह भी ज्ञात है कि कोई भी शून्य वास्तविक भाग 1 वाली रेखा पर नहीं होता है।


 * $$\gamma_n \approx 2 \pi \frac{n-\frac{11}{8}}{W(\frac{n-\frac{11}{8}}{e})}$$
 * $$\gamma_n \approx 2 \pi \frac{n-\frac{11}{8}}{W(\frac{n-\frac{11}{8}}{e})}$$

जहाँ $$W(x)$$ लैम्बर्ट डब्ल्यू फलन है।

विशिष्ट मान
इस प्रकार से किसी भी धनात्मक सम पूर्णांक $c_{ε} > 0$,$$ \zeta(2n) = \frac{(-1)^{n+1}B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!},$$के लिए, जहाँ $Re(s) = 1$ $ζ (σ + it) ≠ 0$-वीं बरनौली संख्या है। विषम धनात्मक पूर्णांकों के लिए, ऐसी कोई सरल अभिव्यक्ति ज्ञात नहीं है, यद्यपि इन मानों को पूर्णांकों के बीजगणितीय $K$-सिद्धांत से संबंधित माना जाता है; L- $L$-फलन के विशेष मान देखें।

इस प्रकार से गैर-धनात्मक पूर्णांकों के लिए, किसी के निकट $|t| ≥ 3$ के लिए$$\zeta(-n)= (-1)^n\frac{B_{n+1}}{n+1}$$है (इस परिपाटी का उपयोग करते हुए कि $|t| ≥ 2$)। विशेष रूप से, ζ ऋणात्मक सम पूर्णांकों पर लुप्त हो जाता है क्योंकि 1 के अतिरिक्त सभी विषम m के लिए $γ_{n}$ है। ये जीटा फलन के तथाकथित तुच्छ शून्य हैं।

विश्लेषणात्मक निरंतरता के माध्यम से, कोई यह दिखा सकता है$$\zeta(-1) = -\tfrac{1}{12}$$ अतः यह अपसारी श्रृंखला 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ को एक सीमित मान निर्दिष्ट करने का बहाना देता है, जिसका उपयोग स्ट्रिंग सिद्धांत जैसे कुछ संदर्भों (रामानुजन योग) में किया गया है। अनुरूप रूप से, विशेष मान$$\zeta(0) = -\tfrac{1}{2}$$को अपसारी श्रृंखला 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ के लिए एक सीमित परिणाम निर्दिष्ट करने के रूप में देखा जा सकता है।

मान$$\zeta\bigl(\tfrac12\bigr) = -1.46035450880958681288\ldots$$का उपयोग रैखिक गतिज समीकरणों की गतिज सीमा परत समस्याओं की गणना में किया जाता है।

यद्यपि$$\zeta(1) = 1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} + \cdots$$

विचलन करता है, इसका कॉची प्रमुख मान$$ \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\zeta(1+\varepsilon)+\zeta(1-\varepsilon)}{2}$$

स्थित है और यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक $1⁄2 + 14.13472514...i$. के बराबर है

विशेष मान$$\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$$के निष्पादन को बेसल समस्या के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार से इस योग का व्युत्क्रम प्रश्न का उत्तर देता है: क्या प्रायिकता है कि यादृच्छिक रूप से चुनी गई दो संख्याएँ सहअभाज्य हैं? मान $$\zeta(3) = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \cdots = 1.202056903159594285399...$$एपेरी का स्थिरांक है।

वास्तविक संख्याओं के माध्यम से सीमा $$s \rightarrow +\infty$$ लेने पर, व्यक्ति को $$\zeta (+\infty) = 1$$ प्राप्त होता है। परन्तु रीमैन क्षेत्र पर सम्मिश्र अनंतता में जीटा फलन में आवश्यक विलक्षणता है।

विभिन्न गुण
इस प्रकार से पूर्णांक और अर्ध-पूर्णांक मानों पर जीटा फलन को सम्मिलित करने वाली राशियों के लिए, परिमेय जीटा श्रृंखला देखें।

पारस्परिक
अतः जीटा फलन के व्युत्क्रम को मोबियस फलन $s ≠ 1$ पर डिरिचलेट श्रृंखला के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: 1 से अधिक वास्तविक भाग वाले प्रत्येक जटिल संख्या s के लिए
 * $$\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^s}$$

इस प्रकार से ऐसे कई समान संबंध हैं जिनमें विभिन्न प्रसिद्ध गुणात्मक फलन सम्मिलित हैं; ये डिरिचलेट श्रृंखला पर लेख में दिए गए हैं।

अतः रीमैन परिकल्पना इस अनुरोधके समतुल्य है कि यह अभिव्यक्ति तब मान्य है जब $s$ का वास्तविक भाग $1⁄2$ से अधिक है।

सार्वभौमिकता
रीमैन जीटा फलन की महत्वपूर्ण पट्टी में सार्वभौमिकता का उल्लेखनीय गुण है। यह जीटा फलन सार्वभौमिकता बताता है कि महत्वपूर्ण पट्टी पर कुछ स्थान स्थित है जो किसी भी होलोमोर्फिक फलन को यादृच्छिक रूप से ठीक रूप से अनुमानित करता है। चूंकि होलोमोर्फिक फलन बहुत सामान्य हैं, यह गुण अत्यधिक उल्लेखनीय है। सार्वभौमिकता का पहला प्रमाण 1975 में सर्गेई मिखाइलोविच वोरोनिन द्वारा प्रदान किया गया था। वर्तमान कार्यों में वोरोनिन के प्रमेय के प्रभावी संस्करणों को सम्मिलित किया गया है और इसे डिरिचलेट एल-फलन तक विस्तारित किया गया है।

जीटा फलन के अधिकतम मापांक का अनुमान
मान लीजिए कि फलन $Re(s) = 1⁄2$ और $2n$ को समानता


 * $$ F(T;H) = \max_{|t-T|\le H}\left|\zeta\left(\tfrac{1}{2}+it\right)\right|,\qquad G(s_{0};\Delta) = \max_{|s-s_{0}|\le\Delta}|\zeta(s)| $$ द्वारा परिभाषित किया गया है।

यहाँ $T$ एक पर्याप्त बड़ी धनात्मक संख्या, $B_{2n}$, $2n$, $n ≥ 0$, $B_{1} = &minus;1⁄2$ है। नीचे दिए गए F और G मानों का अनुमान लगाने से पता चलता है कि क्रांतिक फलन के छोटे अंतराल पर या क्रांतिक पट्टी $B_{m} = 0$ में स्थित बिंदुओं के छोटे निकटवर्ती में कितने बड़े (मापांक में) मान ζ(s) ले सकते हैं।

इस प्रकार से स्थिति $γ = 0.5772...$ का अध्ययन कनकनहल्ली रामचंद्र द्वारा किया गया था; स्थिति $μ(n)$, जहाँ $F(T;H)$ पर्याप्त रूप से बड़ा स्थिरांक है, तुच्छ है।

अनातोली अलेक्सेविच करत्सुबा ने, विशेष रूप से, सिद्ध किया कि यदि मान $H$ और $G(s_{0};Δ)$ कुछ पर्याप्त रूप से छोटे स्थिरांक से अधिक हैं, तो अनुमान


 * $$ F(T;H) \ge T^{- c_1},\qquad G(s_0; \Delta) \ge T^{-c_2}, $$

मान्य है, जहां $0 < H ≪ log log T$ और $s_{0} = σ_{0} + iT$ निश्चित पूर्ण स्थिरांक हैं।

रीमैन जीटा फलन का तर्क
फलन
 * $$S(t) = \frac{1}{\pi}\arg{\zeta\left(\tfrac12+it\right)}$$

को रीमैन जीटा फलन का सम्मिश्र तर्क कहा जाता है। यहाँ, $1⁄2 ≤ σ_{0} ≤ 1$ बिंदुओं $0 < Δ < 1⁄3$, $0 ≤ Re(s) ≤ 1$ और $H ≫ log log T$ को जोड़ने वाली टूटी हुई रेखा के साथ $Δ > c$ एक यादृच्छिक निरंतर शाखा की वृद्धि है।

फलन $c$ के गुणों पर कुछ प्रमेय हैं। उन परिणामों में $ζ(s)$ के लिए माध्य मान प्रमेय और वास्तविक रेखा के इसके पहले समाकल
 * $$S_1(t) = \int_0^t S(u) \, \mathrm{d}u$$

आयन अंतराल हैं, और यह अनुरोध करने वाला प्रमेय भी है कि
 * $$H \ge T^{\frac{27}{82}+\varepsilon}$$

के लिए प्रत्येक अंतराल $Δ$ में कम से कम
 * $$ H\sqrt[3]{\ln T}e^{-c\sqrt{\ln\ln T}} $$

बिंदु होते हैं जहां फलन $c_{1}$ चिह्न बदलता है। इससे पूर्व इसी प्रकार के परिणाम एटले सेलबर्ग द्वारा स्थिति
 * $$H\ge T^{\frac12+\varepsilon}$$ के लिए प्राप्त किए गए थे।

डिरिचलेट श्रृंखला
इस प्रकार से मूल श्रृंखला को पुनर्व्यवस्थित करके अभिसरण के क्षेत्र का विस्तार प्राप्त किया जा सकता है। श्रृंखला
 * $$\zeta(s)=\frac{1}{s-1}\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{n}{(n+1)^s}-\frac{n-s}{n^s}\right)$$

$c_{2}$ लिए अभिसरण करती है, जबकि
 * $$\zeta(s) =\frac{1}{s-1}\sum_{n=1}^\infty\frac{n(n+1)}{2}\left(\frac{2n+3+s}{(n+1)^{s+2}}-\frac{2n-1-s}{n^{s+2}}\right)$$

$arg ζ(1⁄2 + it)$ के लिए भी अभिसरण करती है। इस प्रकार, किसी भी ऋणात्मक पूर्णांक -k के लिए अभिसरण का क्षेत्र $2$ तक बढ़ाया जा सकता है।

मेलिन-प्रकार समाकल
अतः किसी फलन $2 + it$ मेलिन परिवर्तन को उस क्षेत्र में
 * $$ \int_0^\infty f(x)x^s\, \frac{\mathrm{d}x}{x} $$

के रूप में परिभाषित किया गया है जहां समाकल को परिभाषित किया गया है। मेलिन परिवर्तन-जैसे समाकल के रूप में जीटा फलन के लिए विभिन्न अभिव्यक्तियाँ हैं। यदि $s$ का वास्तविक भाग एक से अधिक है, तो हमारे निकट


 * $$\Gamma(s)\zeta(s) =\int_0^\infty\frac{x^{s-1}}{e^x-1} \,\mathrm{d}x \quad$$ और $$\quad\Gamma(s)\zeta(s) =\frac1{2s}\int_0^\infty\frac{x^{s}}{\cosh(x)-1} \,\mathrm{d}x$$,

है जहां $1⁄2 + it$ गामा फलन को दर्शाता है। समोच्च समाकलन को संशोधित करके, रीमैन ने दिखाया कि सभी $s$ के लिए


 * $$2\sin(\pi s)\Gamma(s)\zeta(s) =i\oint_H \frac{(-x)^{s-1}}{e^x-1}\,\mathrm{d}x $$

(जहाँ $H$ हैंकेल समोच्च को दर्शाता है)।

इस प्रकार से हम ऐसे व्यंजक भी खोज सकते हैं जो अभाज्य संख्याओं और अभाज्य संख्या प्रमेय से संबंधित हों। यदि $arg ζ(s)$ अभाज्य-गणना फलन है, तो $S(t)$ वाले मानों के लिए


 * $$\ln \zeta(s) = s \int_0^\infty \frac{\pi(x)}{x(x^s-1)}\,\mathrm{d}x,$$

एक समान मेलिन परिवर्तन में रीमैन फलन $S(t)$ सम्मिलित है, जो $S(t)$ के भार के साथ अभाज्य घातों $(T, T + H]$ की गणना करता है, ताकि


 * $$J(x) = \sum \frac{\pi\left(x^\frac{1}{n}\right)}{n}.$$

अब


 * $$\ln \zeta(s) = s\int_0^\infty J(x)x^{-s-1}\,\mathrm{d}x. $$

इस प्रकार से इन अभिव्यक्तियों का उपयोग व्युत्क्रम मेलिन परिवर्तन के माध्यम से अभाज्य संख्या प्रमेय को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है। रीमैन के अभाज्य-गणना फलन के साथ कार्य करना सरल है, और मोबियस व्युत्क्रम द्वारा $S(t)$ को इससे पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।

थीटा फलन
रीमैन जीटा फलन को जैकोबी के थीटा फलन मेलिन परिवर्तन द्वारा दिया जा सकता है
 * $$\theta(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2\tau}$$
 * के संदर्भ में मेलिन परिवर्तन
 * $$2\pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s) = \int_0^\infty \bigl(\theta(it)-1\bigr)t^{\frac{s}{2}-1}\,\mathrm{d}t,$$

द्वारा दिया जा सकता है।

यद्यपि, यह अभिन्न अंग मात्र तभी परिवर्तित होता है जब s का वास्तविक भाग 1 से अधिक हो, परन्तु इसे नियमित किया जा सकता है। यह जीटा फलन के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति देता है, जो 0 और 1 को छोड़कर सभी s के लिए ठीक रूप से परिभाषित है:


 * $$ \pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2} \int_0^1 \left(\theta(it)-t^{-\frac12}\right)t^{\frac{s}{2}-1}\,\mathrm{d}t + \frac{1}{2}\int_1^\infty \bigl(\theta(it)-1\bigr)t^{\frac{s}{2}-1}\,\mathrm{d}t.$$

लॉरेंट श्रृंखला
इस प्रकार से रीमैन जीटा फलन $Re(s) > 0$ पर क्रम एक के एकल ध्रुव के साथ मेरोमोर्फिक है। इसलिए इसे $Re(s) > −1$ के विषय में लॉरेंट श्रृंखला के रूप में विस्तारित किया जा सकता है; श्रृंखला का विकास तब
 * $$\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{\gamma_n}{n!}(1-s)^n$$ है।

यह स्थिरांक $Re(s) > −k$ को स्टिल्टजेस स्थिरांक कहा जाता है और इसे अनुक्रम की सीमा

$$ \gamma_n = \lim_{m \rightarrow \infty}{\left(\left(\sum_{k = 1}^m \frac{(\ln k)^n}{k}\right) - \frac{(\ln m)^{n+1}}{n+1}\right)}$$ द्वारा परिभाषित किया जा सकता है।

स्थिरांक पद $f(x)$ यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक है।

समाकल
सभी $Γ$, $π(x)$ के लिए, समाकल संबंध (सीएफ. एबेल-प्लाना सूत्र)
 * $$\zeta(s) = \frac{1}{s-1} + \frac{1}{2} + 2\int_0^{\infty} \frac{\sin(s\arctan t)}{\left(1+t^2\right)^{s/2}\left(e^{2\pi t}-1\right)}\,\mathrm{d}t$$

सत्य है, जिसका उपयोग जीटा फलन के संख्यात्मक मूल्यांकन के लिए किया जा सकता है।

बढ़ती भाज्यता
अतः इस प्रकार से पूर्ण सम्मिश्र विमान के लिए वैध पोचममेर प्रतीक का उपयोग करते हुए और श्रृंखला का विकास
 * $$\zeta(s) = \frac{s}{s-1} - \sum_{n=1}^\infty \bigl(\zeta(s+n)-1\bigr)\frac{s(s+1)\cdots(s+n-1)}{(n+1)!}$$ है।

इसे सभी सम्मिश्र संख्याओं के लिए डिरिचलेट श्रृंखला परिभाषा का विस्तार करने के लिए पुनरावर्ती रूप से उपयोग किया जा सकता है।

रीमैन जीटा फलन भी $Re(s) > 1$ पर क्रिया करने वाले गॉस-कुज़मिन-विर्सिंग संक्रियक पर एक अभिन्न अंग में मेलिन परिवर्तन के समान रूप में प्रकट होता है; वह संदर्भ घटते अंश के संदर्भ में एक श्रृंखला विस्तार को जन्म देता है।

हैडमार्ड गुणनफल
इस प्रकार से वीयरस्ट्रैस के गुणनखंडन प्रमेय के आधार पर, हैडामर्ड ने अनंत गुणनफल विस्तार


 * $$\zeta(s) = \frac{e^{\left(\log(2\pi)-1-\frac{\gamma}{2}\right)s}}{2(s-1)\Gamma\left(1+\frac{s}{2}\right)} \prod_\rho \left(1 - \frac{s}{\rho} \right) e^\frac{s}{\rho}$$

दिया, जहां गुणनफल ζ के गैर-तुच्छ शून्य ρ से अधिक है और अक्षर γ फिर से यूलर-माशेरोनी स्थिरांक को दर्शाता है। एक सरल अनंत गुणनफल विस्तार


 * $$\zeta(s) = \pi^\frac{s}{2} \frac{\prod_\rho \left(1 - \frac{s}{\rho} \right)}{2(s-1)\Gamma\left(1+\frac{s}{2}\right)}$$ है।

यह रूप स्पष्ट रूप से $J(x)$, पर सरल ध्रुव, हर में गामा फलन पद के कारण −2, −4, ... पर तुच्छ शून्य और $1⁄n$ पर गैर-तुच्छ शून्य प्रदर्शित करता है। (बाद वाले सूत्र में अभिसरण सुनिश्चित करने के लिए, गुणनफल को शून्य के "मिलान युग्म" पर लिया जाना चाहिए, अर्थात रूप ρ और 1 - ρ के शून्य के युग्म के लिए कारकों को संयोजित किया जाना चाहिए।)

विश्व स्तर पर अभिसरण श्रृंखला
इस प्रकार से जीटा फलन के लिए एक विश्व स्तर पर अभिसरण श्रृंखला, कुछ पूर्णांक n के लिए $p^{n}$ को छोड़कर सभी जटिल संख्याओं के लिए मान्य, 1926 में कोनराड नोप द्वारा अनुमान लगाया गया था और 1930 में हेल्मुट हस्से द्वारा सिद्ध किया गया था (cf. यूलर सारांश):


 * $$\zeta(s)=\frac{1}{1-2^{1-s}} \sum_{n=0}^\infty \frac {1}{2^{n+1}} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{(-1)^k}{(k+1)^{s}}.$$

श्रृंखला हस्से के लेख के परिशिष्ट में दिखाई दी, और 1994 में जोनाथन सोंडो द्वारा दूसरी बार प्रकाशित की गई।

हस्से ने उसी प्रकाशन में विश्व स्तर पर अभिसरण श्रृंखला
 * $$\zeta(s)=\frac 1{s-1}\sum_{n=0}^\infty \frac 1{n+1}\sum_{k=0}^n\binom {n}{k}\frac{(-1)^k}{(k+1)^{s-1}}$$

को भी सिद्ध किया। इरोस्लाव ब्लागौचिन के शोध में पाया गया है कि एक समान, समकक्ष श्रृंखला 1926 में जोसेफ सेर द्वारा प्रकाशित की गई थी।

पीटर बोरवीन ने एल्गोरिद्म विकसित किया है जो डिरिचलेट ईटा फलन बोरवीन की विधि बनाने के लिए डिरिचलेट ईटा फलन पर चेबीशेव बहुपदों को लागू करता है।

प्रारंभिक के माध्यम से धनात्मक पूर्णांकों पर श्रृंखला का प्रतिनिधित्व

 * $$ \zeta(k)=\frac{2^k}{2^k-1}+\sum_{r=2}^\infty\frac{(p_{r-1}\#)^k}{J_k(p_r\#)}\qquad k=2,3,\ldots.$$

इस प्रकार से यहाँ $π(x)$ आदिम क्रम है और $s = 1$ यह जॉर्डन का संपूर्ण फलन है।

अपूर्ण पॉली-बर्नौली संख्याओं द्वारा श्रृंखला प्रतिनिधित्व
अतः फलनक्रम $ζ$ को $s = 1$ के लिए, अनंत श्रृंखला
 * $$\zeta(s)=\sum_{n=0}^\infty B_{n,\ge2}^{(s)}\frac{(W_k(-1))^n}{n!}$$

द्वारा दर्शाया जा सकता है, जहां k ∈ {−1, 0$)$}}, $γ_{n}$ लैम्बर्ट $W$-फलन की $k$वीं शाखा है, और $γ_{0}$ एक अपूर्ण पॉली-बर्नौली संख्या है।

एंगेल प्रतिचित्र का मेलिन परिवर्तन
एंगेल विस्तार में प्रदर्शित होने वाले गुणांकों को खोजने के लिए फलन $$g(x) = x \left( 1+\left\lfloor x^{-1}\right\rfloor \right) -1$$ को पुनरावृत्त किया जाता है।

मानचित्र $$g(x)$$ का मेलिन परिवर्तन सूत्र
 * $$ \begin{align}

\int_0^1 g (x) x^{s - 1} \, dx & = \sum_{n = 1}^\infty \int_{\frac{1}{n + 1}}^{\frac{1}{n}} (x (n + 1) - 1) x^{s - 1} \, d x\\[6pt] & = \sum_{n = 1}^\infty \frac{n^{- s} (s - 1) + (n + 1)^{- s - 1} (n^2 + 2 n + 1) + n^{- s - 1} s - n^{1 - s}}{(s + 1) s (n + 1)}\\[6pt] & = \frac{\zeta (s + 1)}{s + 1} - \frac{1}{s (s + 1)} \end{align}$$ द्वारा रीमैन जीटा फलन से संबंधित है।

थू-मोर्स क्रम
अतः डिरिचलेट श्रृंखला के कुछ रैखिक संयोजन जिनके गुणांक थ्यू-मोर्स अनुक्रम की प्रतिबन्धे हैं, रीमैन जीटा फलन (टोथ, 2022) से संबंधित पहचान को जन्म देते हैं । इस प्रकार से उदाहरण के लिए:
 * $$ \begin{align}

\sum_{n\geq1} \frac{5 t_{n-1} + 3 t_n}{n^2} &= 4 \zeta(2) = \frac{2 \pi^2}{3}, \\ \sum_{n\geq1} \frac{9 t_{n-1} + 7 t_n}{n^3} &= 8 \zeta(3),\end{align}$$ जहाँ $$(t_n)_{n\geq0}$$ थ्यू-मोर्स अनुक्रम का $$n^{\rm th}$$ पद है। वस्तुतः, $$1$$ से अधिक वास्तविक भाग वाले सभी $$s$$ के लिए, हमारे निकट
 * $$ (2^s+1) \sum_{n\geq1} \frac{t_{n-1}}{n^s} + (2^s-1) \sum_{n\geq1} \frac{t_{n}}{n^s} = 2^s \zeta(s)$$ है।

संख्यात्मक एल्गोरिदम
इस प्रकार से 1930 से पहले उपयोग में आने वाला एक शास्त्रीय एल्गोरिदम, n और m धनात्मक पूर्णांक,


 * $$\zeta(s) = \sum_{j=1}^{n-1}j^{-s} + \tfrac12 n^{-s} + \frac{n^{1-s}}{s-1} + \sum_{k=1}^m T_{k,n}(s) + E_{m,n}(s)$$

प्राप्त करने के लिए यूलर-मैकलॉरिन सूत्र लागू करके आगे बढ़ता है, जहां $$B_{2k}$$ संकेतित बर्नौली संख्या,


 * $$T_{k,n}(s) = \frac{B_{2k}}{(2k)!} n^{1-s-2k}\prod_{j=0}^{2k-2}(s+j)$$

को दर्शाता है और त्रुटि σ = Re(s) के साथ


 * $$|E_{m,n}(s)| < \left|\frac{s+2m+1}{\sigma + 2m + 1}T_{m+1,n}(s)\right|,$$

को संतुष्ट करती है।

एक आधुनिक संख्यात्मक एल्गोरिदम ओडलीज़को-शॉनहेज एल्गोरिदम है।

अनुप्रयोग
इस प्रकार से जीटा फलन लागू आँकड़ों में होता है (जिपफ का नियम और जिपफ-मेंडेलब्रॉट नियम देखें)।

जीटा फलन नियमितीकरण का उपयोग क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में अपसारी श्रंखला और भिन्न समाकल के नियमितीकरण (भौतिकी) के संभावित साधन के रूप में किया जाता है। उल्लेखनीय उदाहरण में, कासिमिर प्रभाव की गणना करने की विधि में रीमैन जीटा फलन स्पष्ट रूप से दिखाई देता है। गतिशील प्रणालियों के विश्लेषण के लिए जीटा फलन भी उपयोगी है।

संगीतमय ट्यूनिंग
अतः संगीतमय ट्यूनिंग के सिद्धांत में, जीटा फलन का उपयोग समान स्वभाव (ईडीओ) को खोजने के लिए किया जा सकता है जो प्रसंवादी श्रृंखला (संगीत) के अंतराल को करीब से अनुमानित करता है। $$t \in \mathbb{R}$$ के बढ़ते मानों के लिए,


 * $$\left\vert \zeta \left( \frac{1}{2} + \frac{2\pi{i}}{\ln{(2)}}t \right) \right\vert$$

का मान ऐसे ईडीओ के अनुरूप पूर्णांकों के निकट होता है। उदाहरणों में 12, 19 और 53 जैसे लोकप्रिय विकल्प सम्मिलित हैं।

अनंत श्रृंखला
अतः समदूरस्थ धनात्मक पूर्णांकों पर मूल्यांकन किया गया जीटा फलन कई स्थिरांकों की अनंत श्रृंखला निरूपण में प्रकट होता है।


 * $$\sum_{n=2}^\infty\bigl(\zeta(n)-1\bigr) = 1$$

वस्तुतः सम और विषम पद दो योग और
 * $$\sum_{n=1}^\infty\bigl(\zeta(2n)-1\bigr)=\frac{3}{4}$$

उपरोक्त योगों के पैरामीट्रिज्ड संस्करण $$|t|<2$$ के साथ
 * $$\sum_{n=1}^\infty\bigl(\zeta(2n+1)-1\bigr)=\frac{1}{4}$$ देते हैं

और
 * $$\sum_{n=1}^\infty(\zeta(2n)-1)\,t^{2n} = \frac{t^2}{t^2-1} + \frac{1}{2} \left(1- \pi t\cot(t\pi)\right)$$

द्वारा दिए गए हैं, और जहां $$\psi$$ और $$\gamma$$ क्रमशः बहुविवाह फ़ंक्शन और यूलर स्थिरांक हैं, साथ ही
 * $$\sum_{n=1}^\infty(\zeta(2n+1)-1)\,t^{2n} = \frac{t^2}{t^2-1} -\frac{1}{2}\left(\psi^0(t)+\psi^0(-t) \right) - \gamma$$

भी हैं जो $$t=1$$ पर निरंतर हैं। अन्य योगों में
 * $$\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)-1}{n}\,t^{2n} = \log\left(\dfrac{1-t^2}{\operatorname{sinc}(\pi\,t)}\right)$$

सम्मिलित है जहां $s ∈ C$ सम्मिश्र संख्या के काल्पनिक भाग को दर्शाता है।
 * $$\sum_{n=2}^\infty\frac{\zeta(n)-1}{n} = 1-\gamma$$
 * $$\sum_{n=2}^\infty\frac{\zeta(n)-1}{n} \left(\left(\tfrac{3}{2}\right)^{n-1}-1\right) = \frac{1}{3} \ln \pi$$
 * $$\sum_{n=1}^\infty\bigl(\zeta(4n)-1\bigr) = \frac78-\frac{\pi}{4}\left(\frac{e^{2\pi}+1}{e^{2\pi}-1}\right).$$
 * $$\sum_{n=2}^\infty\frac{\zeta(n)-1}{n}\operatorname{Im}\bigl((1+i)^n-(1+i^n)\bigr) = \frac{\pi}{4}$$

इस प्रकार से प्रसंवादी संख्या लेख में और भी सूत्र हैं।

सामान्यीकरण
अतः ऐसे कई संबंधित जीटा फलन हैं जिन्हें रिमेंन जीटा फलन के सामान्यीकरण के रूप में माना जा सकता है। इनमें हर्विट्ज़ जीटा फलन


 * $$\zeta(s,q) = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(k+q)^s}$$

(अभिसरण श्रृंखला प्रतिनिधित्व 1930 में हेल्मुट हस्से द्वारा दिया गया था, सी एफ हर्विट्ज़ जीटा फलन) सम्मिलित है, जो $s ≠ 1$ (हर्विट्ज़ जीटा फलन में योग की निम्न सीमा 0 है, 1 नहीं) रीमैन जीटा फलन $ζ$-फलन और डेडेकाइंड जीटा फलन के साथ मेल खाता है। अन्य संबंधित फलन के लिए लेख जीटा फलन और एल-फलन देखें।

बहुलघुगणक


 * $$\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty \frac{z^k}{k^s}$$

द्वारा दिया जाता है जो $x^{s − 1}$ होने पर रीमैन जीटा फलन के साथ मेल खाता है। क्लॉसन फलन $s = 1$ को $s = ρ$ के वास्तविक या काल्पनिक भाग के रूप में चुना जा सकता है।

लर्च उत्कृष्ट को
 * $$\Phi(z, s, q) = \sum_{k=0}^\infty\frac { z^k} {(k+q)^s}$$

द्वारा दिया जाता है जो रीमैन जीटा फलन के साथ मेल खाता है जब $s = 1 + 2πi⁄ln 2n$ और $p_{n}#$ होता है (लेर्च उत्कृष्ट में योग की निम्न सीमा 0 है, न कि 1)।

इस प्रकार से एकाधिक जीटा फलन को


 * $$\zeta(s_1,s_2,\ldots,s_n) = \sum_{k_1>k_2>\cdots>k_n>0} {k_1}^{-s_1}{k_2}^{-s_2}\cdots {k_n}^{-s_n}$$ द्वारा परिभाषित किया गया है।

कोई व्यक्ति विश्लेषणात्मक रूप से इन फलनों को एन-विमीय सम्मिश्र समष्टि पर जारी रख सकता है। धनात्मक पूर्णांक तर्कों पर इन फलनों द्वारा लिए गए विशेष मानों को संख्या सिद्धांतकारों द्वारा एकाधिक जीटा मान कहा जाता है और गणित और भौतिकी में कई अलग-अलग शाखाओं से जुड़ा हुआ है।

यह भी देखें

 * 1 + 2 + 3 + 4 + ···
 * अंकगणित जीटा फलन
 * सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना
 * लेहमर युग्म
 * अभाज्य जीटा फलन
 * रीमैन शी फलन
 * पुनर्सामान्यीकरण
 * रीमैन-सीगल थीटा फलन
 * जीटाग्रिड

संदर्भ

 * Has an English translation of Riemann's paper.
 * (Globally convergent series expression.)
 * . In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
 * Has an English translation of Riemann's paper.
 * (Globally convergent series expression.)
 * . In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
 * (Globally convergent series expression.)
 * . In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
 * . In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
 * . In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
 * . In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
 * . In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
 * . In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
 * . In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
 * . In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
 * . In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).

बाहरी संबंध

 * रीमैन जीटा Function, in Wolfram Mathworld — an explanation with a more mathematical approach
 * Tables of selected zeros
 * Prime Numbers Get Hitched A general, non-technical description of the significance of the zeta function in relation to prime numbers.
 * X-Ray of the Zeta Function Visually oriented investigation of where zeta is real or purely imaginary.
 * Formulas and identities for the रीमैन जीटा function functions.wolfram.com
 * रीमैन जीटा Function and Other Sums of Reciprocal Powers, section 23.2 of Abramowitz and Stegun
 * Mellin transform and the functional equation of the रीमैन जीटा function—Computational examples of Mellin transform methods involving the रीमैन जीटा Function
 * Visualizing the रीमैन जीटा function and analytic continuation a video from 3Blue1Brown
 * Mellin transform and the functional equation of the रीमैन जीटा function—Computational examples of Mellin transform methods involving the रीमैन जीटा Function
 * Visualizing the रीमैन जीटा function and analytic continuation a video from 3Blue1Brown
 * Visualizing the रीमैन जीटा function and analytic continuation a video from 3Blue1Brown