द्वैत (प्रक्षेपी ज्यामिति)

ज्यामिति में, प्रक्षेपी तल की एक उल्लेखनीय विशेषता परिभाषाओं और प्रमेयों में बिंदु (ज्यामिति) और रेखा (ज्यामिति) द्वारा निभाई गई भूमिकाओं की समरूपता है, और (तल (ज्यामिति)) द्वैत इस अवधारणा की औपचारिकता है। द्वैत के विषय में दो दृष्टिकोण हैं, एक भाषा के माध्यम से और दूसरा विशेष मानचित्र (गणित) के माध्यम से अधिक कार्यात्मक दृष्टिकोण है। ये पूरी तरह से समतुल्य हैं और या तो उपचार के प्रारंभिक बिंदु के रूप में विचाराधीन ज्यामितीयों का स्वयंसिद्ध संस्करण है। कार्यात्मक दृष्टिकोण में संबंधित ज्यामिति के बीच मानचित्र होता है जिसे 'द्वैत' कहा जाता है। ऐसा मानचित्र कई प्रकार से बनाया जा सकता है। तल द्वैत की अवधारणा आसानी से अंतरिक्ष द्वैत तक फैली हुई है और इससे परे किसी भी परिमित-आयामी प्रक्षेपी ज्यामिति में द्वैत तक है।

द्वैत का सिद्धांत
प्रक्षेपी तल $C$ को बिंदुओ के एक समुच्चय $P$ रेखाओ के एक समुच्चय $L$ और घटना संबंध $I$ के संदर्भ में घटना संरचना के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो यह निर्धारित करता है कि कौन से बिंदु किस रेखा पर स्थित हैं। इन समुच्चयों का उपयोग समतल द्वैत संरचना को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है।

बिंदुओं और रेखाओं की भूमिका का आदान-प्रदान करें

द्वैत संरचना प्राप्त करने के लिए

जहाँ $C = (P, L, I)$ $C^{∗} = (L, P, I^{∗})$ का विलोम संबंध है | $I^{∗}$ भी एक प्रक्षेपी समतल है, जिसे $I$ द्वैत तल कहा जाता है.

यदि $C^{∗}$ और $C$ समरूप हैं, फिर $C$ को स्व-द्वैत कहा जाता है। प्रक्षेपी तल $C^{∗}$ किसी भी क्षेत्र के लिए (या, अधिक सामान्यतः, प्रत्येक विभाजन वलय (तिरछा क्षेत्र)के लिए इसके द्वैत के लिए समरूप ) $C$ स्व-द्वैत हैं। विशेष रूप से, परिमित क्रम के डेसार्गेसियन तल सदैव स्व-द्वैत होते हैं। चूँकि, गैर-डेसार्गेसियन तल हैं जो स्व-द्वैत नहीं हैं, जैसे कि हॉल तल और कुछ ऐसे हैं, जैसे ह्यूजेस तल है।

प्रक्षेपी तल में बिंदुओं, रेखाओं और उनके बीच आपतन को सम्मिलित करने वाला एक कथन जो बिंदु और रेखा शब्द को आपस में बदलकर और जो भी व्याकरणिक समायोजन आवश्यक है ऐसे अन्य कथन से प्राप्त होता है, जिसे पहले का समतल द्वैत कथन कहा जाता है। दो बिंदुओं अद्वितीय रेखा पर है जो समतल द्वैत कथन, दो रेखाएँ एक अद्वितीय बिंदु पर मिलती हैं। किसी कथन के तल को द्वैत बनाने को कथन का द्वैतकरण कहा जाता है।

यदि प्रक्षेपी तल $PG(2, K)$ में कोई कथन सत्य है, तो उस कथन का समतल द्वैत तल $K$ में सत्य होना चाहिए. यह इस प्रकार है क्योकि प्रमाण में प्रत्येक कथन को $C$ द्वैत करने से $C^{∗}$ में प्रमाण का संगत कथन देता है |

 समतल द्वैत का सिद्धांत कहता है कि स्व-द्वैत प्रक्षेपी तल $C$ में किसी भी प्रमेय को द्वैत करने से $C^{∗}$ में मान्य एक अन्य प्रमेय उत्पन्न करता है.

उपरोक्त अवधारणाओं को अंतरिक्ष द्वैत के बारे में बात करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जहां शब्द बिंदु और तलों का आदान-प्रदान होता है (और रेखाएं रहती हैं)। यह अंतरिक्ष द्वैत के सिद्धांत की ओर जाता है।

ये सिद्धांत घटना संबंध के लिए सममित शब्द का उपयोग करने को प्राथमिकता देने का अच्छा कारण प्रदान करते हैं। इस प्रकार यह कहने चाहिए कि बिंदु एक रेखा पर स्थित है, यह कहना चाहिए कि एक बिंदु रेखा के साथ घटना है क्योंकि उत्तरार्द्ध में केवल अंतर्विनिमय बिंदु और रेखा सम्मिलित है (रेखा एक बिंदु के साथ घटना है)।

समतल द्वैत के सिद्धांत की वैधता प्रक्षेपी तल की स्वयंसिद्ध परिभाषा से अनुसरण करती है। इस परिभाषा के तीन सिद्धांतों को लिखा जा सकता है जिससे वे स्व-द्वैत कथन हों, जिसका अर्थ है कि प्रक्षेपी तल का द्वैत भी एक प्रक्षेपी तल है। प्रक्षेपी तल में एक सही कथन का द्वैत इसलिए द्वैत प्रक्षेपी तल में सही कथन है और निहितार्थ यह है कि स्व-द्वैत तल के लिए, उस तल में सही कथन का द्वैत भी उस तल में एक सही कथन है।

द्वैत प्रमेय
वास्तविक प्रक्षेपी तल के रूप में, $C$, स्व-द्वैत है प्रसिद्ध परिणामों के कई जोड़े हैं जो एक-दूसरे के द्वैत हैं। इनमें से कुछ हैं:


 * डेसार्गेस प्रमेय ⇔ डेसार्गेस प्रमेय
 * पास्कल का प्रमेय ⇔ ब्रायनचोन का प्रमेय
 * मेनेलॉस प्रमेय ⇔ सेवा प्रमेय

द्वैत विन्यास
केवल कथन ही नहीं किंतु बिंदुओं और रेखाओं की प्रणाली को भी द्वैत किया जा सकता है।

$C$ बिंदु और $PG(2, R)$ रेखाएँ समुच्चय कों $m$ विन्यास(ज्यामिति) कहा जाता है यदि $n$ रेखाएँ का $(m_{c}, n_{d})$ प्रत्येक बिंदु से होकर निकलती हैं और $n$ बिंदु का $c$ की प्रत्येक रेखा पर स्थित हैं। एक $m$विन्यास का द्वैत का $d$ विन्यास, है। इस प्रकार, एक चतुर्भुज का द्वैत, a (43, 62) चार बिंदुओं और छह रेखाओं का विन्यास, एक चतुर्भुज है, छह बिंदुओं और चार रेखाओं का a (62, 43) विन्यास है।

एक रेखा पर सभी बिंदुओं का समुच्चय, जिसे प्रक्षेप्य सीमा कहा जाता है, इसकी द्वैत रेखाओ की पेंसिल (गणित) होती है, बिंदु पर सभी रेखाओं का समुच्चय है।

समतल द्वैत
समतल द्वैत एक प्रक्षेपी तल $(m_{c}, n_{d})$ से एक मानचित्र है इसके द्वैत तल $(n_{d}, m_{c})$ (देखना ऊपर) जो घटना संबंध को संरक्षित करता है। अर्थात् समतल द्वैत $C = (P, L, I)$ बिंदुओं को रेखाओं से और रेखाओं को बिंदुओं ($C^{∗} = (L, P, I^{∗})$ और $σ$) से नक्शा करेगा | इस तरह से कि यदि एक बिंदु $P^{σ} = L$ रेखा $L^{σ} = P$ पर है ($Q$ द्वारा चिह्नित ) तब $m$. एक समतल द्वैत जो तुल्याकारिता है, सहसंबंध (प्रक्षेपी ज्यामिति) कहलाता है। सहसंबंध के अस्तित्व का अर्थ है कि प्रक्षेपी तल $Q I m$ स्व-द्वैत है।

इस परिभाषा में प्रक्षेपी तल $Q I m ⇔ m^{σ} I^{∗}Q^{σ}$ कों डेसार्गेसियन तल होने की जरूरत नहीं है। चूँकि, यदि ऐसा है, अर्थात् $C$ साथ $C$ एक विभाजन वलय (तिरछा क्षेत्र), फिर द्वैत, जैसा कि सामान्य प्रक्षेपी स्थानों के लिए नीचे परिभाषित किया गया है, $C = PG(2, K)$ पर समतल द्वैत देता है जो उपरोक्त परिभाषा को संतुष्ट करता है।

सामान्य प्रक्षेप्य स्थानों में
प्रक्षेपी स्थान का द्वैत $K$ $C$ (($δ$ द्वारा भी दर्शाया गया है) के उपस्थानों का क्रमचय है जिसके $PG(n, K)$ क्षेत्र (गणित) (या अधिक सामान्यतः एक तिरछा क्षेत्र (विभाजन वलय)) सम्मिलित है जो समावेशन को विपरीत क़र देता है,
 * $KP^{n})$ $K$के सभी उप-स्थानों $S ⊆ T$ के लिए $PG(n, K)$ का तात्पर्य है.

परिणाम स्वरुप, द्वैत आयाम $S, T$ की वस्तुओं का आयाम $S^{δ} ⊇ T^{δ}$ (= आयाम $r$)की वस्तुओं के साथ आदान-प्रदान करता है अर्थात् आयाम $n − 1 − r$ के प्रक्षेपी स्थान में, बिंदु (आयाम 0) अधिसमतल (कोडिमेंशन 1) के अनुरूप हैं, दो बिंदुओं (आयाम 1) को जोड़ने वाली रेखाएं दो अधिसमतल (आयाम 2) के प्रतिच्छेदन के अनुरूप हैं, और इसी तरह है।

द्वैत का वर्गीकरण
तिरछा क्षेत्र $r + 1$ पर परिमित-आयामी (दाएं) सदिश स्थान का $n$ द्वैत $K$ को विपरीत तिरछा क्षेत्र $V$ रिंग के ऊपर समान आयाम के (दाएं) सदिश स्थान के रूप में माना जा सकता है. इस प्रकार प्रक्षेपी रिक्त स्थान $V^{∗}$ और $K^{o}$ के बीच समावेशन-उलटा आक्षेप है | यदि $PG(n, K)$ और $PG(n, K^{o})$ समरूप हैं तो वहां $K$ द्वैत उपस्थित है. इसके विपरीत यदि $K^{o}$$PG(n, K)$ के लिए द्वैत स्वीकार करता है, तब $PG(n, K)$ और $n > 1$ समरूप हैं।

$\pi$ कों $K$.के लिए $K^{o}$ π का द्वैत होने देना | यदि π $n > 1$ और $PG(n, K)$ बीच प्राकृतिक समरूपता से बना है, रचना $PG(n, K)$ एक घटना है जो PG के बीच आपत्ति को संरक्षित करती है $PG(n, K^{o})$ और $θ$. प्रक्षेपी ज्यामिति के मौलिक प्रमेय द्वारा $PG(n, K)$ सेमीलाइनर मानचित्र $PG(n, K^{o})$ संबद्ध समरूपता के साथ $θ$ से प्रेरित है, जिसे $T: V → V^{∗}$ एक एंटीऑटोमॉर्फिज्म के रूप में देखा जा सकता है. मौलिक साहित्य में, π को सामान्य रूप से पारस्परिकता कहा जाएगा, और यदि $σ: K → K^{o}$ इसे सहसंबंध कहा जाएगा (और $K$ अनिवार्य रूप से क्षेत्र (गणित) होगा)। कुछ लेखक प्राकृतिक समरूपता की भूमिका को दबाते हैं और कॉल करते हैं $σ = id$ कों द्वैत कहते है। जब यह किया जाता है, तो द्वैत को विशेष रूप से संबंधित प्रक्षेपीिटी रिक्त स्थान की एक जोड़ी के बीच संयोजन के रूप में माना जा सकता है और इसे पारस्परिकता कहा जाता है। यदि यह संरेखण प्रक्षेप्यता है तो इसे सहसंबंध कहा जाता है।

यदि $K$ में सदिश $θ$ से जुड़े $T_{w} = T(w)$ के रैखिक कार्य को निरूपित करता है | फॉर्म $w$ कों परिभाषित करे |


 * $$\varphi (v,w) = T_w (v).$$

$V^{∗}$ साथी एंटीऑटोमोर्फिज्म $φ: V × V → K$ के साथ एक गैर-डीजेनेरेट सेस्क्विलिनियर रूप है।

$φ$ के लिए $σ$ का कोई भी द्वैत अंतर्निहित सदिश स्थान (एक साथी एंटीऑटोमॉर्फिज्म के साथ) और इसके विपरीत नॉनडिजेनरेट सेस्क्विलिनियर फॉर्म से प्रेरित है।

सजातीय समन्वय सूत्रीकरण
द्वैत का बीजगणितीय विवरण देने के लिए सजातीय निर्देशांक का उपयोग किया जा सकता है। इस चर्चा को सरल बनाने के लिए हम मान लेंगे $n > 1$ एक क्षेत्र (गणित) है, किन्तु सब कुछ उसी तरह से किया जा सकता है जब $PG(n, K)$ एक तिरछा क्षेत्र है जब तक इस तथ्य पर ध्यान दिया जाता है कि गुणन को क्रमचयी गुणधर्म ऑपरेशन नहीं होना चाहिए।

$K$ के बिंदु को $K$ के ऊपर $PG(n, K)$विमीय सदिश स्थान में अशून्य सदिश के रूप में लिया जा सकता है, जहां हम दो सदिशों की पहचान करते हैं जो एक अदिश गुणक द्वारा भिन्न होते हैं। इसे लगाने का दूसरी विधि यह है कि के बिंदु $K$-आयामी प्रक्षेपी स्थान 1-आयामी सदिश रैखिक उप-स्थान हैं, जिन्हें $n + 1$ मूल के माध्यम से रेखाओं के रूप में देखा जा सकता है. यह भी $n$ के $K^{n+1}$- (सदिश) की आयामी उपसमष्टि $K^{n+1}$, अर्थात $n$ पर प्रक्षेपी n-अंतरिक्ष के (n − 1) (ज्यामितीय)आयामी अधिसमतल का प्रतिनिधित्व करते हैं |

$K$ में एक अशून्य सदिश $PG(n, K)$ भी $K^{n+1}$ - ज्यामितीय आयामी उप-स्थान (अधिसमतल) $u = (u_{0}, u_{1}, ..., u_{n})$, निर्धारित करता है |

जब सदिश $(n − 1)$ का उपयोग अधिसमतल को इस तरह परिभाषित करने के लिए किया जाता है कि इसे $H_{u}$ इसके द्वारा दर्शाया जाएगा, जबकि यदि यह एक बिंदु को निर्दिष्ट कर रहा है तो हम $H_{u} = {(x_{0}, x_{1}, ..., x_{n}) : u_{0}x_{0} + ... + u_{n}x_{n} = 0}$ इसका उपयोग करेंगे. उन्हें क्रमशः बिंदु निर्देशांक या अधिसमतल निर्देशांक कहा जाता है (महत्वपूर्ण द्वि-आयामी स्थितियों में, अधिसमतल निर्देशांक को रेखा निर्देशांक कहा जाता है)। कुछ लेखक अधिसमतल निर्देशांक को क्षैतिज (पंक्ति) सदिश के रूप में लिखकर सदिश की व्याख्या कैसे करते हैं, जबकि बिंदु निर्देशांक को लंबवत (स्तंभ ) सदिश के रूप में लिखा जाता है। इस प्रकार, यदि $u$ स्तंभ सदिश है जो हमारे पास होगा $u_{H}$ जबकि $u_{P}$. सामान्य डॉट उत्पाद के संदर्भ में, $u$. तब से $u_{P} = u$ क्षेत्र है, डॉट उत्पाद सममित है, जिसका अर्थ $u_{H} = u^{T}$. है|

मौलिक उदाहरण
साधारण पारस्परिकता (वास्तव में एक सहसंबंध) द्वारा दिया जा सकता है $H_{u} = {x_{P} : u_{H} ⋅ x_{P} = 0}$ बिंदुओं और अधिसमतल के बीच यह दो बिंदुओं द्वारा उत्पन्न रेखा और ऐसे दो अधिसमतल के प्रतिच्छेदन के बीच पारस्परिकता और आगे तक भी फैली हुई है, ।

विशेष रूप से, प्रक्षेपी तल में, $K$, साथ $u_{H} ⋅ x_{P} = u_{0}x_{0} + u_{1}x_{1} + ... + u_{n}x_{n} = x_{0}u_{0} + x_{1}u_{1} + ... + x_{n}u_{n} = x_{H} ⋅ u_{P}$ क्षेत्र, हमारे द्वारा दिया गया सहसंबंध है: सजातीय निर्देशांक में बिंदु $u_{P} ↔ u_{H}$ समीकरणों के साथ रेखाएँ $PG(2, K)$. प्रक्षेपी स्पेस में, $K$, सहसंबंध द्वारा दिया जाता है: सजातीय निर्देशांक में बिंदु $(a, b, c) ↔$ समीकरणों के साथ तल $ax + by + cz = 0$. यह सहसंबंध दो बिंदुओं द्वारा निर्धारित रेखा को भी नक्शा करेगा $PG(3, K)$ और $(a, b, c, d) ↔$ उस रेखा तक जो समीकरणों वाले दो तलों का प्रतिच्छेदन है $ax + by + cz + dw = 0$ और $(a_{1}, b_{1}, c_{1}, d_{1})$.

इस सहसंबंध के लिए संबंधित सेस्कुइलिनिअर रूप है:

जहां साथी एंटीऑटोमोर्फिज्म है $(a_{2}, b_{2}, c_{2}, d_{2})$. इसलिए यह द्विरेखीय रूप है (ध्यान दें कि $a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z + d_{1}w = 0$ क्षेत्र होना चाहिए)। इसे आव्युह रूप में (मानक आधार के संबंध में) इस प्रकार लिखा जा सकता है:

जहाँ $a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z + d_{2}w = 0$ है $φ(u, x) = u_{H} ⋅ x_{P} = u_{0}x_{0} + u_{1}x_{1} + ... + u_{n}x_{n}$ पहचान आव्युह, अधिवेशन का उपयोग करते हुए कि $σ = id$ पंक्ति सदिश है और $K$ स्तंभ सदिश है।

सहसंबंध द्वारा दिया गया है:
 * $$ \pi ( \mathbf{x}_P) = (G \mathbf{x}_P)^{\mathsf{T}} = (\mathbf{x}_P)^{\mathsf{T}} = \mathbf{x}_H.$$

वास्तविक प्रक्षेपी तल में ज्यामितीय व्याख्या
यह सहसंबंध $φ(u, x) = u_{H} G x_{P}$ को वास्तविक स्थितियों में प्रक्षेपी तल के गणितीय मॉडल का उपयोग करके ज्यामितीय रूप से वर्णित किया जा सकता है जो एंटीपोड्स के साथ इकाई क्षेत्र है पहचान, या समकक्ष, सदिश अंतरिक्ष की उत्पत्ति के माध्यम से रेखाओ और तलों का मॉडल $G$. मूल के माध्यम से किसी भी रेखा से जुड़ें मूल के माध्यम से अद्वितीय तल जो रेखा के लंबवत (ऑर्थोगोनल) है। जब, मॉडल में, इन रेखाओं को बिंदु माना जाता है और तलों को प्रक्षेपी तल की रेखाएँ माना जाता है $(n + 1) × (n + 1)$, यह जुड़ाव प्रक्षेपी तल का सहसंबंध (वास्तव में ध्रुवीयता) बन जाता है। मूल पर केन्द्रित इकाई गोले के साथ उत्पत्ति के माध्यम से रेखाओं और तलों को काटकर गोलाकार मॉडल प्राप्त किया जाता है। रेखाएँ एंटीपोडल बिंदुओं में गोले से मिलती हैं जिन्हें तब प्रक्षेपी तल का बिंदु प्राप्त करने के लिए पहचाना जाना चाहिए, और तल बड़े घेरे में गोले से मिलते हैं जो इस प्रकार प्रक्षेपी तल की रेखाएँ हैं।

यह संघ घटनाओं को संरक्षित करता है यह रेखाओ और तलों के मॉडल से सबसे आसानी से देखा जाता है। प्रक्षेपी तल में रेखा के साथ एक बिंदु घटना मॉडल में मूल के माध्यम से एक तल में स्थित उत्पत्ति के माध्यम से रेखा से मेल खाती है। साहचर्य को प्रयुक्त करते हुए, तल उस तल के मूल लम्बवत् से होकर रेखा बन जाता है जिससे वह जुड़ा हुआ है। यह छवि रेखा तल की प्रत्येक रेखा के लिए लंबवत है जो उत्पत्ति से होकर निकलती है, विशेष रूप से मूल रेखा (प्रक्षेपी तल का बिंदु)। सभी रेखाएँ जो मूल रेखा के लंबवत होती हैं, अद्वितीय तल में होती हैं, जो मूल रेखा के लिए ऑर्थोगोनल होती है, अर्थात संघ के तहत छवि तल। इस प्रकार, छवि रेखा छवि तल में स्थित है और संघ घटना को संरक्षित करता है।

आव्युह फॉर्म
जैसा कि ऊपर दिए गए उदाहरण में, आव्युह (गणित) का उपयोग द्वैत का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जा सकता है। π का द्वैत होना $u_{H}$ के लिए $x_{P}$ और जाने $PG(2, R)$ संबंधित सेस्कुइलिनिअर रूप हो (साथी एंटीऑटोमोर्फिज्म के साथ $R^{3}$) अंतर्निहित पर ($PG(2, R)$)-आयामी सदिश स्थान $PG(n, K)$. एक आधार दिया $n > 1$ का $φ$, हम इस फ़ॉर्म को निम्न द्वारा प्रदर्शित कर सकते हैं:
 * $$ \varphi(\mathbf{u}, \mathbf{x}) = \mathbf{u}^{\mathsf{T}} G (\mathbf{x}^{\sigma}),$$

जहाँ $σ$ विलक्षण है $n + 1$ आव्युह ओवर $V$ और सदिश को स्तंभ सदिश के रूप में लिखा जाता है। बिंदुन ${ e_{i} }$ का कारण है कि एंटीऑटोमोर्फिज्म $V$ सदिश $G$ के प्रत्येक निर्देशांक पर प्रयुक्त होता है.

अब बिंदु निर्देशांक के संदर्भ में द्वैत को परिभाषित करें:
 * $$ \pi ( \mathbf{x}) = (G (\mathbf{x}^{\sigma}))^{\mathsf{T}}.$$

ध्रुवीयता
द्वैत जो एक अंतर्वलन (गणित) है (क्रम दो है) को ध्रुवीयता कहा जाता है। सामान्य प्रक्षेपी रिक्त स्थान की ध्रुवीयता और जो तल द्वैत की थोड़ी अधिक सामान्य परिभाषा से उत्पन्न होती हैं, के बीच अंतर करना आवश्यक है। परिमित ज्यामिति के स्थितियों में अधिक स्पष्ट कथन देना भी संभव है, इसलिए हम परिमित प्रक्षेपी तलों में परिणामों पर जोर देंगे।

सामान्य प्रक्षेप्य रिक्त स्थान की ध्रुवीयता
यदि π का द्वैत है $(n + 1) × (n + 1)$, साथ $K$ एक तिरछा क्षेत्र, तो सामान्य संकेतन द्वारा परिभाषित किया गया है $x^{σ}$ उप-स्थान के लिए $σ$ का $x$. इसलिए, ध्रुवीयता एक द्वैत है जिसके लिए $PG(n, K)$ प्रत्येक उपस्थान के लिए $K$ का $\pi(S) = S^{⊥}$. यह भी सामान्य है कि द्वैत स्थान के उल्लेख को नज़रअंदाज़ कर दिया जाता है और संबंधित सेस्कुइलिनिअर रूप के संदर्भ में लिखा जाता है:
 * $$S^{\bot} = \{\mathbf{u} \text{ in }V \colon \varphi (\mathbf{u},\mathbf{x}) =0 \text{ for all }\mathbf{x} \text{ in } S \}.$$

यदि $S$ का तात्पर्य $PG(n, K)$ से है, तो एक सेस्क्विलिनियर फॉर्म $S^{⊥⊥} = S$ स्वतुल्य है।

द्वैत एक ध्रुवीयता है यदि और केवल यदि (नॉनडिजेनरेट) सेस्क्विलिनियर फॉर्म इसे परिभाषित करता है तो यह रिफ्लेक्सिव है।

ध्रुवीयताओं को वर्गीकृत किया गया है, जिसके परिणामस्वरूप जिसे कई बार खण्डन किया गया है।  होने देना $S$ तिरछा क्षेत्र के ऊपर एक (बाएं) सदिश स्थान हो $PG(n, K)$ और $φ(u, x) = 0$ रिफ्लेक्सिव नॉनडिजेनरेट सेस्क्विलिनियर फॉर्म ऑन हो $φ(x, u) = 0$ सहयोगी विरोधी ऑटोमोर्फिज्म के साथ $φ$. यदि $V$ ध्रुवीयता से जुड़ा सेस्क्विलिनियर रूप है तो या तो:
 * 1) $K$ (इस तरह, $φ$ क्षेत्र है) और $V$ सभी के लिए $σ$ में $φ$, वह है, $σ = id$ द्विरेखीय रूप है। इस स्थितियों में, ध्रुवीयता को ऑर्थोगोनल (या साधारण) कहा जाता है। यदि क्षेत्र की विशेषता $K$ दो है, तो इस स्थितियों में होने के लिए सदिश उपस्थित होना चाहिए $φ(u, x) = φ(x, u)$ साथ $u, x$, और ध्रुवीयता को छद्म ध्रुवीयता कहा जाता है।
 * 2) $V$ (इस तरह, $φ$ क्षेत्र है) और $K$ सभी के लिए $z$ में $φ(z, z) ≠ 0$. ध्रुवीयता को अशक्त ध्रुवीयता (या सहानुभूतिपूर्ण ध्रुवीयता) कहा जाता है और यह केवल तभी उपस्थित हो सकता है जब प्रक्षेपी आयाम $σ = id$ विचित्र है।
 * 3) $K$ (यहाँ $φ(u, u) = 0$ क्षेत्र नहीं होना चाहिए) और $u$ सभी के लिए $V$ में $n$. ऐसी ध्रुवीयता को एकात्मक ध्रुवीयता (या हर्मिटियन ध्रुवीयता) कहा जाता है।

$σ^{2} = id ≠ σ$ का एक बिंदु $K$ ध्रुवीयता $φ(u, x) = φ(x, u)^{σ}$ के संबंध में निरपेक्ष बिंदु (स्व-संयुग्म बिंदु) है यदि $u, x$. इसी तरह, एक अधिसमतल $V$ पूर्ण अधिसमतल (स्व-संयुग्मित अधिसमतल) है यदि $PG(n, K)$. दूसरे शब्दों में व्यक्त, बिंदु $P$ ध्रुवता का एक निरपेक्ष बिंदु है π संबद्ध सेस्कुइलिनिअर रूप के साथ $⊥$ यदि $P I P^{⊥}$ और यदि $H$ आव्युह $H^{⊥} I H$, $x$ के संदर्भ में लिखा गया है

प्रत्येक प्रकार की ध्रुवीयता के निरपेक्ष बिंदुओं के समुच्चय का वर्णन किया जा सकता है। हम फिर से चर्चा को उस स्थितियों तक ही सीमित रखते हैं $φ$ क्षेत्र है।
 * 1) यदि $φ(x, x) = 0$ ऐसा क्षेत्र है जिसकी विशेषता दो नहीं है, ऑर्थोगोनल ध्रुवीयता के पूर्ण बिंदुओं का समुच्चय नॉनसिंगुलर क्वाड्रिक (प्रक्षेपी ज्यामिति) बनाता है (यदि $φ$ अनंत है, यह खाली हो सकता है)। यदि विशेषता दो है, तो छद्म ध्रुवता के निरपेक्ष बिंदु अधिसमतल बनाते हैं।
 * 2) अंतरिक्ष के सभी बिंदु $G$ अशक्त ध्रुवता के निरपेक्ष बिंदु हैं।
 * 3) हर्मिटियन ध्रुवीयता के निरपेक्ष बिंदु एक हर्मिटियन किस्म का निर्माण करते हैं, जो खाली हो सकता है यदि $x^{T} G x^{σ} = 0$ अनंत है।

जब खुद से बना, सहसंबंध $K$ (किसी भी आयाम में) पहचान फलन उत्पन्न करता है, इसलिए यह ध्रुवीयता है। इस ध्रुवीयता के निरपेक्ष बिंदुओं का समुच्चय वे बिंदु होंगे जिनके सजातीय निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करते हैं:

इस बिंदु समुच्चय में कौन से बिंदु हैं यह क्षेत्र पर निर्भर करता है $K$. यदि $K$ तो समुच्चय खाली है, कोई पूर्ण बिंदु नहीं है (और कोई पूर्ण अधिसमतल नहीं है)। वहीं दूसरी ओर यदि $PG(2s + 1, K)$ निरपेक्ष बिंदुओं का समूह गैर-डीजेनरेट द्विघात (द्वि-आयामी स्थान में शंकु खंड) बनाता है। यदि $K$ विषम विशेषता (क्षेत्र) का परिमित क्षेत्र है, निरपेक्ष बिंदु भी चतुर्भुज बनाते हैं, किन्तु यदि विशेषता पूर्ण बिंदु भी है तो अधिसमतल बनता है (यह छद्म ध्रुवीयता का उदाहरण है)।

किसी भी द्वैत के तहत, बिंदु $φ(x_{P}) = x_{H}$ को अधिसमतल $x_{H} ⋅ x_{P} = x_{0}x_{0} + x_{1}x_{1} + ... + x_{n}x_{n} = x_{0}^{2} + x_{1}^{2} + ... + x_{n}^{2} = 0$ का पोल कहा जाता है, और इस अधिसमतल को बिंदु का ध्रुवीय कहा जाता है $K$. इस शब्दावली का उपयोग करते हुए, ध्रुवता के निरपेक्ष बिंदु वे बिंदु होते हैं जो उनके ध्रुवों के साथ आपतित होते हैं और निरपेक्ष अधिसमतल वे अधिसमतल होते हैं जो उनके ध्रुवों के साथ आपतित होते हैं।

परिमित प्रक्षेपी तलों में ध्रुवीयता
वेडरबर्न की छोटी प्रमेय द्वारा वेडरबर्न की प्रमेय प्रत्येक परिमित तिरछा क्षेत्र क्षेत्र है और क्रम दो (पहचान के अलावा) का एक ऑटोमोर्फिज्म केवल परिमित क्षेत्र में उपस्थित हो सकता है जिसका क्रम एक वर्ग है। ये तथ्य परिमित डेसार्गेसियन तलों के लिए सामान्य स्थिति को सरल बनाने में सहायता करते हैं। :

यदि π परिमित डेसार्गेसियन प्रक्षेपी तल की ध्रुवीयता है $K = R$ जहाँ $K = C$ कुछ प्राइम के लिए $K$, फिर के निरपेक्ष बिंदुओं की संख्या π है $P$ यदि π ओर्थोगोनल है या $P^{⊥}$ यदि π एकात्मक है। ऑर्थोगोनल स्थितियों में, निरपेक्ष बिंदु एक शांकव खंड पर स्थित होते हैं यदि $P$ विषम है या यदि एक रेखा बनाता है $PG(2, q)$. एकात्मक स्थितिा तभी हो सकता है जब $q = p^{e}$ एक वर्ग है; निरपेक्ष बिंदु और निरपेक्ष रेखाएँ इकाई (ज्यामिति) बनाती हैं।

सामान्य प्रक्षेपी समतल स्थितियों में जहाँ द्वैत का अर्थ समतल द्वैत है, ध्रुवता, निरपेक्ष तत्व, ध्रुव और ध्रुवीय की परिभाषाएँ समान रहती हैं।

होने देना $p$ क्रम के प्रक्षेपी तल को निरूपित करता है $q + 1$. गिनती के तर्क ध्रुवीयता के लिए स्थापित कर सकते हैं π का $q^{3/2} + 1$:

गैर-निरपेक्ष रेखा (बिंदु) के साथ गैर-पूर्ण बिंदुओं (रेखाओं) की घटना की संख्या सम है।

आगे,

ध्रुवीयता π कम से कम है $p$ पूर्ण बिंदु और यदि $p = 2$ बिल्कुल वर्ग नहीं है $q$ निरपेक्ष बिंदु। यदि π ठीक है $P$ पूर्ण बिंदु तो;
 * 1) यदि $n$ विषम है, निरपेक्ष बिंदु ओवल (प्रक्षेपी तल) बनाते हैं जिसकी स्पर्शरेखाएँ निरपेक्ष रेखाएँ हैं; या
 * 2) यदि $P$ सम है, निरपेक्ष बिंदु गैर-निरपेक्ष रेखा पर संरेख हैं।

स्थितियों में निरपेक्ष बिंदुओं की संख्या पर ऊपरी सीमा $n + 1$ सीब द्वारा दिया गया एक वर्ग है और विशुद्ध रूप से मिश्रित तर्क स्थापित कर सकते हैं:

ध्रुवीयता π वर्ग क्रम के प्रक्षेपी तल में $n$ अधिक से अधिक है $n + 1$ निरपेक्ष बिंदु। इसके अलावा, यदि पूर्ण बिंदुओं की संख्या है $n + 1$, तब निरपेक्ष बिंदु और निरपेक्ष रेखाएँ इकाई (ज्यामिति) बनाती हैं (अर्थात, समतल की प्रत्येक रेखा निरपेक्ष बिंदुओं के इस समुच्चय को या तो पूरा करती है $n$ या $n$ बिंदु)।

यूक्लिडियन तल में पारस्परिकता
विधि जिसका उपयोग वास्तविक प्रक्षेपी तल की ध्रुवीयता के निर्माण के लिए किया जा सकता है, इसके प्रारंभिक बिंदु के रूप में, यूक्लिडियन तल में आंशिक द्वैत का निर्माण होता है।

यूक्लिडियन विमान में, केंद्र $n$ और त्रिज्या $n = s^{2}$ के साथ एक वृत्त $s^{3} + 1$ को ठीक करें। $s^{3} + 1$ के अतिरिक्त प्रत्येक बिंदु $1$ के लिए एक छवि बिंदु $s + 1$ परिभाषित करें जिससे $O$ हो। $r$ द्वारा परिभाषित मानचित्रण को वृत्त $C$  के संबंध में व्युत्क्रम कहा जाता है। $O$ से होकर जाने वाली रेखा $P$ जो रेखा $Q$ के लंबवत है, वृत्त $OP ⋅ OQ = r^{2}$ के संबंध में बिंदु $P → Q$ का ध्रुवीय कहा जाता है।

होने देना $C$ से होकर न निकलने वाली रेखा हो $Q$. से लंब गिराएँ $P$ को $OP$, बैठक $C$ बिंदु पर $P$ (यह बिंदु है $q$ जो सबसे पास है $O$). छवि $O$ का $q$ उलटा के संबंध में $q$ ध्रुव कहलाता है का $P$. यदि एक बिंदु $q$ लाइन पर है $O$ (से नहीं निकल रहा है $Q$) तो की पोल $P$ के ध्रुवीय पर स्थित है $C$ और इसके विपरीत। आपतन संरक्षण प्रक्रिया, जिसमें बिंदुओं और रेखाओं को उनके ध्रुवों और ध्रुवों के संबंध में रूपांतरित किया जाता है $q$ को पारस्परिक कहा जाता है।

इस प्रक्रिया को सहसंबंध में बदलने के लिए, यूक्लिडियन तल (जो प्रक्षेपी तल नहीं है) को अनंत पर रेखा जोड़कर प्रक्षेपी तल तक विस्तारित करने की आवश्यकता है और इस रेखा पर स्थित अनंत पर बिंदु। इस विस्तारित तल में, हम बिंदु के ध्रुवीय को परिभाषित करते हैं $M$ अनंत पर रेखा होना (और $q$ अनंत पर रेखा का ध्रुव है), और रेखाओं का ध्रुव है $O$ अनंत के बिंदु हैं जहां, यदि रेखा में ढलान है $q$ इसका ध्रुव ढलान वाली रेखाओं के समांतर वर्ग से जुड़ा अनंत बिंदु है $M$. का ध्रुव $C$-अक्ष ऊर्ध्वाधर रेखाओं का अनंत बिंदु और ध्रुव का ध्रुव है $O$-अक्ष क्षैतिज रेखाओं का अनंत बिंदु है।

ऊपर दिए गए सर्कल में व्युत्क्रम के आधार पर सहसंबंध का निर्माण शांकव खंड (विस्तारित वास्तविक तल में) में व्युत्क्रम का उपयोग करके सामान्यीकृत किया जा सकता है। इस तरह से निर्मित सहसंबंध दो क्रम के होते हैं, अर्थात् ध्रुवीकरण है।

बीजगणितीय सूत्रीकरण
उपरोक्त निर्माण का अनुसरण करके हम इस ध्रुवीयता का बीजगणितीय रूप से वर्णन करेंगे $O$ इकाई वृत्त है (अर्थात, $O$) मूल पर केंद्रित है।

संबंध बिंदु $s (≠ 0)$, मूल के अलावा, कार्टेशियन निर्देशांक के साथ $−1/s$ इकाई वृत्त में इसके व्युत्क्रम के रूप में बिंदु है $x$ निर्देशांक के साथ,
 * $$\left ( \frac{a}{a^2 + b^2}, \frac{b}{a^2 + b^2} \right).$$

$y$ से गुजरने वाली रेखा जो रेखा के लंबवत है, का समीकरण $C$ है।

एम्बेडिंग का उपयोग करके सजातीय निर्देशांक पर स्विच करना $r = 1$, वास्तविक प्रक्षेपी तल का विस्तार अंतिम निर्देशांक को 0 होने की अनुमति देकर प्राप्त किया जाता है। यह याद करते हुए कि बिंदु निर्देशांक स्तंभ सदिश के रूप में लिखे गए हैं और पंक्ति सदिश के रूप में रेखा निर्देशांक हैं, हम इस ध्रुवीयता को निम्न द्वारा व्यक्त कर सकते हैं:


 * $$ \pi : \mathbb{R}P^2 \rightarrow \mathbb{R}P^2 $$

ऐसा है कि
 * $$ \pi \left ( (x,y,z)^{\mathsf{T}} \right ) = (x, y, -z).$$

या, वैकल्पिक संकेतन का उपयोग करते हुए, $P$. संबंधित सेस्कुइलिनिअर फॉर्म का आव्युह (मानक आधार के संबंध में) है:


 * $$ G = \left (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{matrix} \right ). $$

इस ध्रुवीयता के पूर्ण बिंदुओं के समाधान द्वारा दिए गए हैं:


 * $$ 0 = P^{\mathsf{T}} G P = x^2 + y^2 - z^2, $$

जहाँ $(a, b)$T$Q$. ध्यान दें कि यूक्लिडियन तल तक ही सीमित है (अर्थात, समुच्चय $Q$) यह केवल इकाई वृत्त है,

सिंथेटिक दृष्टिकोण
प्रक्षेपी तल में शंकु के ध्रुवों और ध्रुवों के सिद्धांत को निर्देशांक और अन्य मीट्रिक अवधारणाओं के उपयोग के बिना विकसित किया जा सकता है।

होने देना $OP$ में शंकु हो $ax + by = 1$ जहाँ $(a, b) ↦ (a, b, 1)$ विशेषता दो का क्षेत्र नहीं है, और चलो $\pi((x, y, z)_{P}) = (x, y, −z)_{L}$ इस तल का एक बिंदु हो पर नहीं $P$. शांकव के लिए दो अलग छेदक रेखाएँ, कहते हैं $\overline{$= (x, y, z)$}$ और $\overline{$z = 1$}$ शांकव पर चार बिंदु निर्धारित करें ($P, Q, R$) जो पूर्ण चतुर्भुज बनाता है। बिंदु $A, B, J, K$ इस चतुर्भुज के विकर्ण त्रिभुज का शीर्ष है। का ध्रुवीय $C$ इसके संबंध में $PG(2, F)$ विकर्ण त्रिभुज के विपरीत भुजा है $F$.

इस संबंध को परिभाषित करने के लिए रेखा पर बिंदुओं के प्रक्षेपी हार्मोनिक संयुग्मन के सिद्धांत का भी उपयोग किया जा सकता है। उपरोक्त के समान बिंदुन का उपयोग करता है;

यदि बिंदु के माध्यम से चर रेखा $P$ शंकु की छेदक रेखा है $C$, के हार्मोनिक संयुग्म $AB$ के दो बिंदुओं $JK$ के संबंध में $A, B, J, K$ सेकेंट पर सभी के ध्रुवीय पर स्थित हैं.

गुण
ऐसे कई गुण हैं जो प्रक्षेपी तल में ध्रुवीयता के होते हैं।

एक ध्रुवता π दी गई है, एक बिंदु $P$ रेखा $P$ पर स्थित है, बिंदु $C$ का ध्रुवीय यदि और केवल यदि $P$, $P$ पर स्थित है, तो $C$ का ध्रुवीय है।

बिंदु $P$ और $P$ जो इस संबंध में होते हैं, के संबंध में संयुग्मी बिंदु कहलाते हैं π. निरपेक्ष बिंदुओं को इस परिभाषा को ध्यान में रखते हुए स्व-संयुग्मी कहा जाता है क्योंकि वे अपने स्वयं के ध्रुवों के साथ घटित होते हैं। संयुग्मी रेखाओं को द्वैत रूप से परिभाषित किया गया है।

दो स्व-संयुग्मी बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा स्व-संयुग्मी रेखा नहीं हो सकती।

रेखा में दो से अधिक स्व-संयुग्मी बिंदु नहीं हो सकते।

ध्रुवीयता किसी भी रेखा पर संयुग्मी बिंदुओं के अंतर्वलन को प्रेरित करती है जो स्व-संयुग्मी नहीं है।

त्रिभुज जिसमें प्रत्येक शीर्ष विपरीत भुजा का ध्रुव होता है, स्वध्रुवीय त्रिभुज कहलाता है।

सहसंबंध जो एक त्रिभुज के तीन शीर्षों को क्रमशः उनके विपरीत पक्षों में नक्शा करता है, ध्रुवीयता है और यह त्रिकोण इस ध्रुवीयता के संबंध में स्व-ध्रुवीय है।

इतिहास
द्वैत का सिद्धांत जोसेफ डियाज गेरगोन (1771−1859) के कारण है जो विश्लेषणात्मक ज्यामिति के तत्कालीन उभरते हुए क्षेत्र के चैंपियन थे और पूरी तरह से गणित के लिए समर्पित पहली पत्रिका के संस्थापक और संपादक थे, एनालेस डी मैथमैटिक्स प्योर्स एट एप्लिकेस गर्गोन और चार्ल्स जूलियन ब्रायनचोन (1785−1864) ने समतल द्वैत की अवधारणा विकसित की। गर्गोन ने द्वैत और ध्रुवीय (किन्तु पोल फ्रांकोइस-जोसेफ सर्वोइस|एफ.-जे. सर्वोइस के कारण है) शब्दों को गढ़ा और अपनी पत्रिका में साथ-साथ द्वैत बयान लिखने की शैली को अपनाया था।

जीन-विक्टर पोंसेलेट (1788-1867) प्रक्षेपी ज्यामिति पर पहले पाठ के लेखक, ट्रेटे डेस प्रोप्राइट्स प्रक्षेपी्स डेस फिगर्स, सिंथेटिक ज्यामिति थे जिन्होंने शंकु के संबंध में ध्रुवों और ध्रुवों के सिद्धांत को व्यवस्थित रूप से विकसित किया था। पोंसेलेट ने कहा कि द्वैत का सिद्धांत ध्रुवों और ध्रुवों के सिद्धांत का परिणाम था।

जूलियस प्लकर (1801-1868) को द्वैत की अवधारणा को तीन और उच्च आयामी प्रक्षेपी स्पेस तक विस्तारित करने का श्रेय दिया जाता है।

पोंसेलेट और गेरगोन ने एनाल्स डी गेर्गोन में प्रदर्शित होने वाले पत्रों में अपने अलग-अलग दृष्टिकोण और विधि को प्रस्तुत करते हुए बयाना किन्तु मैत्रीपूर्ण प्रतिद्वैतियों के रूप में प्रारंभ की। द्वैत के सिद्धांत को अपना मानने में प्राथमिकता के मुद्दे पर विरोध बढ़ गया। युवा प्लकर इस झगड़े में फंस गया था, जब एक पेपर जो उसने गेर्गोन को जमा किया था, प्रकाशित होने तक इतना भारी संपादित किया गया था कि पोंसेलेट को यह विश्वास करने में गुमराह किया गया था कि प्लकर ने उसे चोरी कर लिया था। पोंसेलेट द्वारा किए गए विट्रियोलिक हमले को प्लकर द्वारा गेरगोन के समर्थन से मुकाबला किया गया था और अंततः गेर्गोन पर आरोप लगाया गया था। इस झगड़े में, पियरे सैमुअल ने चुटकी ली है कि चूंकि दोनों पुरुष फ्रांसीसी सेना में थे और पोंसलेट जनरल थे, जबकि गेर्गोन एक मात्र कप्तान थे, पोंसलेट का विचार कम से कम उनके फ्रांसीसी समकालीनों के बीच था।

यह भी देखें

 * द्वैत वक्र

अग्रिम पठन

 * F. Bachmann, 1959. Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff, Springer, Berlin.
 * Coxeter, H. S. M., 1995. The Real Projective Plane, 3rd ed. Springer Verlag.
 * Coxeter, H. S. M., 2003. Projective Geometry, 2nd ed. Springer Verlag. ISBN 978-0-387-40623-7.
 * Greenberg, M. J., 2007. Euclidean and non-Euclidean geometries, 4th ed. Freeman.
 * Hartshorne, Robin, 2000. Geometry: Euclid and Beyond. Springer.
 * Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S., 1999. Geometry and the imagination, 2nd ed. Chelsea.
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 * Coxeter, H. S. M., 2003. Projective Geometry, 2nd ed. Springer Verlag. ISBN 978-0-387-40623-7.
 * Greenberg, M. J., 2007. Euclidean and non-Euclidean geometries, 4th ed. Freeman.
 * Hartshorne, Robin, 2000. Geometry: Euclid and Beyond. Springer.
 * Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S., 1999. Geometry and the imagination, 2nd ed. Chelsea.
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 * Hartshorne, Robin, 2000. Geometry: Euclid and Beyond. Springer.
 * Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S., 1999. Geometry and the imagination, 2nd ed. Chelsea.
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