सदिश बंडल

गणित में, सदिश बंडल से एक टोपोलॉजी  निर्माण होता है जो किसी अन्य स्थान द्वारा पैरामीटर किए गए वेक्टर रिक्त स्थान के विचार को उपयुक्त बनाता है (उदाहरण: X  कई गुना या बीजगणितीय किस्म का  टोपोलॉजिकल स्पेस  हो सकता है) अंतरिक्ष X के प्रत्येक बिंदु x से एक सदिश समष्टि V(x) को इस तरह से जोड़ते हैं ये वेक्टर रिक्त स्थान पर एक साथ फिट होकर 'X (जैसे एक टोपोलॉजिकल स्पेस,  विविध, या बीजगणितीय किस्म) के समान स्थान बनाते हैं, जिसे  'X के ऊपर वेक्टर बंडल कहा जाता है।

उदाहरण यह है कि वेक्टर रिक्त स्थान का परिवार है, यानी, एक निश्चित सदिश स्थल  V ऐसा है कि V(x) = V सभी के लिए X में X: इस :घटना में X प्रत्येक x के लिए V की एक प्रति है और ये  प्रतियां X के ऊपर वेक्टर बंडल X × V बनाने के लिए एक साथ फिट होती हैं।. ऐसे सदिश बंडल फाइबर बंडल तुच्छ कहलाते है। उदाहरणों का एक अधिक जटिल चिकना कई गुना मैनिफोल्ड्स के स्पर्शरेखा बंडल हैं: इस तरह के कई गुना के हर बिंदु पर  स्पर्शरेखा स्थान  को उस बिंदु पर मैनिफोल्ड से जोड़ते हैं। स्पर्शरेखा बंडल समानता: तुच्छ बंडल नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए,  बालों वाली गेंद प्रमेय  द्वारा गोले का स्पर्शरेखा बंडल गैर-तुच्छ है। सामान्य तौर पर, मैनिफोल्ड को समानांतर मैनिफोल्ड कहा जाता है जब इसका  स्पर्शरेखा बंडल तुच्छ है।

हालांकि, वेक्टर बंडलों को हमेशा स्थानीय रूप से तुच्छ होने की आवश्यकता होती है, जिसका अर्थ है कि वे फाइबर बंडलों के उदाहरण हैं। साथ ही, वेक्टर रिक्त स्थान का आमतौर पर वास्तविक या जटिल संख्याओं पर होना आवश्यक है, इस मामले में सदिश बंडल को वास्तविक या जटिल वेक्टर बंडल  (क्रमशः) कहा जाता है। जटिल वेक्टर बंडलों को अतिरिक्त संरचना के साथ वास्तविक वेक्टर बंडलों के रूप में देखा जा सकता है। निम्नलिखित में, हम  टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी  में वास्तविक वेक्टर बंडलों पर ध्यान केंद्रित करते हैं।

परिभाषा और पहला परिणाम
एक वास्तविक सदिश बंडल में निम्नलिखित हैं:
 * 1) टोपोलॉजिकल स्पेस X और E
 * 2) एक सतत कार्य प्रक्षेपण $\pi$ : ई → एक्स (बंडल प्रक्षेपण)
 * 3) X में प्रत्येक x के लिए, परिमित-आयामी की संरचना फाइबर बंडल पर परिमित-आयामी  वास्तविक संख्या  वेक्टर स्थान π−1({x})

जहां निम्नलिखित संगतता स्थिति संतुष्ट है: एक्स में प्रत्येक बिंदु पी के लिए, पी का एक खुला पड़ोस यू ⊆ एक्स है, एक प्राकृतिक संख्या के, और होमियोमोर्फिज्म है:


 * $$\varphi\colon U \times \mathbf{R}^{k} \to \pi^{-1}(U) $$

इस प्रकार कि सभी x ∈ U के लिए,


 * $$ (\pi \circ \varphi)(x,v) = x $$ 'आर' में सभी वैक्टर वी के लिएकश्मीर, और
 * नक्शा $$ v \mapsto \varphi (x, v)$$ वेक्टर रिक्त स्थान आर के बीच एक रैखिक समरूपता हैकश्मीर और π-1({x})।

होमियोमॉर्फिज्म के साथ खुला पड़ोस यू एक साथ $$\varphi$$ वेक्टर बंडल का स्थानीय तुच्छीकरण कहा जाता है। स्थानीय तुच्छता से पता चलता है कि 'स्थानीय रूप से' मानचित्र π यू × 'आर' के प्रक्षेपण जैसा दिखता हैकश्मीर यू पर।

हर फाइबर π−1({x}) एक परिमित-विमीय वास्तविक सदिश समष्टि है और इसलिए इसका आयाम k हैx. स्थानीय तुच्छीकरण दर्शाता है कि फलन x kx स्थानीय रूप से स्थिर  है, और इसलिए X के प्रत्येक स्थानीय रूप से जुड़े हुए स्थान पर स्थिर है। यदि kxसभी X पर एक अचर k के बराबर है, तो k को सदिश बंडल का 'रैंक' कहा जाता है, और E को 'रैंक k का सदिश बंडल' कहा जाता है। अक्सर एक वेक्टर बंडल की परिभाषा में यह सम्मिलित होता है कि रैंक अच्छी तरह से परिभाषित है, ताकि kxस्थिर है। रैंक 1 के वेक्टर बंडलों को लाइन बंडल कहा जाता है, जबकि रैंक 2 के वेक्टर बंडलों को सामान्यतः समतल बंडल कहा जाता है।

कार्तीय गुणनफल X × 'R'k, प्रोजेक्शन X × 'R' से सुसज्जितk → X, को X के ऊपर रैंक k का 'तुच्छ बंडल' कहा जाता है।

संक्रमण कार्य
रैंक k का एक सदिश बंडल E → X दिया गया है, और पड़ोस का एक जोड़ा U और V दिया गया है, जिसके ऊपर बंडल तुच्छ बनाता है


 * $$\begin{align}

\varphi_U\colon U\times \mathbf{R}^k &\mathrel{\xrightarrow{\cong}} \pi^{-1}(U), \\ \varphi_V\colon V\times \mathbf{R}^k &\mathrel{\xrightarrow{\cong}} \pi^{-1}(V) \end{align}$$ समग्र कार्य
 * $$\varphi_U^{-1}\circ\varphi_V \colon (U\cap V)\times\mathbf{R}^k\to (U\cap V)\times\mathbf{R}^k$$

अंशतः समान रूप से परिभाषित और संतुष्ट करता है
 * $$\varphi_U^{-1}\circ\varphi_V (x,v) = \left (x,g_{UV}(x)v \right)$$

कुछ GL(k) -valued फ़ंक्शन के लिए
 * $$g_{UV}\colon U\cap V\to \operatorname{GL}(k).$$

इन्हें सदिश बंडल का संक्रमण फलन (या निर्देशांक परिवर्तन) कहा जाता है।

संक्रमण कार्यों का सेट इस अर्थ में एक चेक चक्र बनाता है
 * $$g_{UU}(x) = I, \quad g_{UV}(x)g_{VW}(x)g_{WU}(x) = I$$

सभी यू, वी, डब्ल्यू के लिए जिस पर बंडल संतोषजनक हो जाता है $$ U\cap V\cap W\neq \emptyset$$. इस प्रकार डेटा (ई, एक्स, π, आरk) फाइबर बंडल को परिभाषित करता है; जी का अतिरिक्त डेटाUV एक जीएल (के) संरचना समूह को निर्दिष्ट करता है जिसमें फाइबर पर क्रिया जीएल (के) की मानक क्रिया है।

इसके विपरीत, एक फाइबर बंडल (ई, एक्स, π, आरk) फाइबर 'R' पर मानक तरीके से अभिनय करने वाली GL(k) कोसाइकिल के साथk, वहाँ एक सदिश बंडल संबद्ध है। यह वेक्टर बंडलों के लिए फाइबर बंडल निर्माण प्रमेय  का एक उदाहरण है, और इसे वेक्टर बंडल की वैकल्पिक परिभाषा के रूप में लिया सकता है।

उपसमूह
वेक्टर बंडलों के निर्माण की एक सरल विधि अन्य वेक्टर बंडलों के सबबंडल्स लेना है। एक वेक्टर बंडल दिया गया $$\pi: E\to X$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस पर, एक सबबंडल बस एक सबस्पेस है $$F\subset E$$ जिसके लिए प्रतिबंध $$\left.\pi\right|_F$$ का $$\pi$$ प्रति $$F$$ देता है $$\left.\pi\right|_F: F \to X$$ एक वेक्टर बंडल की संरचना भी। इस मामले में फाइबर $$F_x\subset E_x$$ प्रत्येक के लिए सदिश उपसमष्टि है $$x\in X$$.

एक तुच्छ बंडल के एक उपसमूह को तुच्छ होने की आवश्यकता नहीं है, और वास्तव में प्रत्येक वास्तविक वेक्टर बंडल को पर्याप्त उच्च रैंक के तुच्छ बंडल के एक उपसमूह के रूप में देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए मोबियस बैंड, सर्कल के ऊपर एक गैर-तुच्छ लाइन बंडल, सर्कल के ऊपर तुच्छ रैंक 2 बंडल के एक सबबंडल के रूप में देखा जा सकता है।

वेक्टर बंडल
सदिश बंडल से आकारिकी π1: तथा1 → एक्स1 वेक्टर बंडल के लिए π2: तथा2 → एक्स2 निरंतर मानचित्र f: E की एक जोड़ी द्वारा दिया गया है1 → एंड2 और जी: एक्स1 → एक्स2 ऐसा है कि
 * जी ∘π1 = π2∘ च
 * [[File:BundleMorphism-01.png]]: एक्स में प्रत्येक एक्स के लिए1, नक्शा π1-1({x}) → π2−1({g(x)}) f द्वारा प्रेरित सदिश स्थानों के बीच एक रेखीय मानचित्र है।

ध्यान दें कि जी एफ द्वारा निर्धारित किया जाता है (क्योंकि π1 आच्छादक है), और f को फिर 'कवर g' कहा जाता है।

सभी वेक्टर बंडलों का वर्ग बंडल आकारिकी के साथ मिलकर एक श्रेणी (गणित)  बनाता है। वेक्टर बंडलों तक सीमित करना जिसके लिए रिक्त स्थान कई गुना हैं (और बंडल अनुमान चिकने नक्शे हैं) और चिकने बंडल मोर्फिज्म हम चिकने वेक्टर बंडलों की श्रेणी प्राप्त करते हैं। वेक्टर बंडल मॉर्फिज्म फाइबर बंडलों के बीच  बंडल नक्शा  की धारणा का एक विशेष मामला है, और इसे कभी-कभी होमोमोर्फिज्म' कहा जाता है।

ई से एक बंडल समरूपता1 यू2 एक व्युत्क्रम के साथ जो एक बंडल समरूप भी है (ई से2 यू1) को बंडल समरूपता कहा जाता है, और फिर E1 और ई2 आइसोमॉर्फिक वेक्टर बंडल कहा जाता है। तुच्छ बंडल के साथ (k) वेक्टर बंडल E ओवर X का एक आइसोमोर्फिज्म (रैंक k ओवर X) को 'का ट्रिवियलाइजेशन' कहा जाता है। 'ई', और 'ई' तब तुच्छ (या तुच्छ) कहा जाता है। वेक्टर बंडल की परिभाषा से पता चलता है कि कोई भी वेक्टर बंडल स्थानीय रूप से तुच्छ है।

हम एक निश्चित आधार स्थान X पर सभी सदिश बंडलों की श्रेणी पर भी विचार कर सकते हैं। इस श्रेणी में मोर्फिज्म के रूप में हम सदिश बंडलों के उन  मोर्फिज्म को लेते हैं जिनके आधार स्थान पर मानचित्र 'X' पर पहचान कार्य है। यही है, बंडल मोर्फिज्म जिसके लिए निम्न आरेख कम्यूटेटिव आरेख:
 * [[File:BundleMorphism-02.png]](ध्यान दें कि यह श्रेणी एबेलियन श्रेणी नहीं है; वेक्टर बंडलों के आकारिकी का कर्नेल (श्रेणी सिद्धांत) सामान्य रूप से किसी भी प्राकृतिक तरीके से वेक्टर बंडल नहीं है।)

सदिश बंडलों के बीच एक सदिश बंडल आकारिकी π1: तथा1 → एक्स1 तथा π2: तथा2 → एक्स2 X से मानचित्र g को कवर करना1 एक्स के लिए2 X पर वेक्टर बंडल आकारिकी के रूप में भी देखा जा सकता है1 ई से1 पुलबैक बंडल  g*E के लिए2.

सेक्शन और स्थानीय रूप से फ्री शेव
एक वेक्टर बंडल दिया गया π: E → X और X का एक खुला उपसमुच्चय U, हम 'सेक्शन' पर विचार कर सकते हैं π यू पर, यानी निरंतर कार्य एस: यू → ई जहां समग्र π∘ ऐसा है कि (π ∘ s)(u) = u यू में सभी यू के लिए। अनिवार्य रूप से, एक अनुभाग यू के प्रत्येक बिंदु को संलग्न वेक्टर अंतरिक्ष से बिना किसी अंतराल के असाइन करता है। एक उदाहरण के रूप में, डिफरेंशियल मैनिफोल्ड के स्पर्शरेखा बंडल के खंड कुछ और नहीं बल्कि उस मैनिफोल्ड पर वेक्टर क्षेत्र  हैं।

F(U) को U पर सभी वर्गों का सेट होने दें। F(U) में हमेशा कम से कम एक तत्व होता है, अर्थात् शून्य खंड: फ़ंक्शन s जो U के प्रत्येक तत्व x को सदिश स्थान π-1({x} के शून्य तत्व से मैप करता है। खंडों के बिंदुवार योग और अदिश गुणन के साथ, F(U) स्वयं एक वास्तविक सदिश समष्टि बन जाता है। इन वेक्टर रिक्त स्थान का संग्रह X पर वेक्टर रिक्त स्थान का एक शीफ समूह है।

यदि s, F(U) का एक अवयव है और α: U → 'R' एक सतत मानचित्र है, तो αs (बिंदुवार अदिश गुणन) F(U) में होता है। हम देखते हैं कि F(U) U पर निरंतर वास्तविक-मूल्यवान फलनों के वलय के ऊपर एक मॉड्यूल (गणित)  है। इसके अलावा, यदि OX एक्स पर निरंतर वास्तविक-मूल्यवान कार्यों की संरचना शीफ ​​को दर्शाता है, X-मॉड्यूल फिर एफ ओ का एक शीफ बन जाता है।

सदिश बंडल से X-मॉड्यूल का प्रत्येक शीफ इस तरह से उत्पन्न नहीं होता है: केवल स्थानीय रूप से मुक्त शीफ  ही करते हैं। (कारण: स्थानीय रूप से हम प्रक्षेपण यू × 'आर' के वर्गों की तलाश में हैंके  → यू; ये सटीक रूप से निरंतर कार्य हैं यू → 'आर' k, और ऐसा फलन निरंतर फलनों U → 'R' का k-tuple है)।

X-मॉड्यूल,इससे भी अधिक: एक्स पर वास्तविक वेक्टर बंडलों की श्रेणी ओ के स्थानीय रूप से मुक्त और सूक्ष्म रूप से उत्पन्न ढेरों की श्रेणी के लिए श्रेणी सिद्धांत है।

तो हम एक्स पर वास्तविक वेक्टर बंडलों की श्रेणी के बारे में सोच सकते हैं जैसे कि ओएक्स-मॉड्यूल के शीशों की श्रेणी के अंदर बैठे; यह बाद वाली श्रेणी एबेलियन है, इसलिए यह वह जगह है जहां हम वेक्टर बंडलों के आकारिकी के गुठली और कोकर्नेल की गणना कर सकते हैं।

एक रैंक n वेक्टर बंडल तुच्छ है यदि और केवल अगर इसमें n रैखिक रूप से स्वतंत्र वैश्विक खंड हैं।

वेक्टर बंडलों पर संचालन
सदिश रिक्त स्थान पर फाइबरवाइज करके अधिकांश संचालन सदिश बंडलों तक बढ़ाए जा सकते हैं।

उदाहरण के लिए, यदि E, X के ऊपर एक सदिश बंडल है, तो X के ऊपर एक बंडल E* है, जिसे ' दोहरी बंडल ' कहा जाता है, जिसका फाइबर x ∈ X पर दोहरी वेक्टर अंतरिक्ष  है (Ex)*. नियमित रूप से E* को जोड़े (x, φ) के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जहाँ x ∈ X और φ ∈ (Ex)*. दोहरी बंडल स्थानीय रूप से तुच्छ है क्योंकि ई के स्थानीय तुच्छीकरण के व्युत्क्रम का स्थानान्तरण ई * का एक स्थानीय तुच्छीकरण है: यहां मुख्य बिंदु यह है कि दोहरी सदिश स्थान लेने का संचालन कार्यात्मक  है।

कई कार्यात्मक संचालन हैं जो वेक्टर रिक्त स्थान के एक ही क्षेत्र पर किए जा सकते हैं, और ये सीधे वेक्टर बंडल ई, एफ पर एक्स जोड़े तक विस्तारित होते हैं और कुछ उदाहरण अनुसरण करते हैं।


 * ई और एफ का 'व्हिटनी योग' ( हस्लर व्हिटनी के लिए नामित) या 'प्रत्यक्ष योग बंडल' एक सदिश बंडल ई ⊕ एफ एक्स पर है जिसका फाइबर एक्स से अधिक मॉड्यूल ई का प्रत्यक्ष योग हैx⊕ एफxसदिश रिक्त स्थान E . काxऔर एफx.
 * 'टेंसर उत्पाद बंडल' E ⊗ F को इसी तरह से परिभाषित किया गया है, जिसमें वेक्टर स्पेस के फाइबरवाइज टेंसर उत्पाद का उपयोग किया जाता है।
 * 'होम-बंडल' होम (ई, एफ) एक वेक्टर बंडल है जिसका फाइबर एक्स पर ई से रैखिक मानचित्रों का स्थान हैxF . के लिएx(जिसे अक्सर होम के रूप में दर्शाया जाता हैx, एफx) या एल (ईx, एफx))। होम-बंडल और उपयोगी है क्योंकि वेक्टर बंडल होमोमोर्फिज्म के बीच ई से एफ से एक्स और एक्स के ऊपर होम (ई, एफ) के वर्गों के बीच एक विभाजन है।
 * पिछले उदाहरण पर निर्माण, एक एंडोमोर्फिज्म बंडल होम (ई, ई) और एक फ़ंक्शन एफ: एक्स → 'आर' के एक खंड को देखते हुए, कोई एक बिंदु x X पर फाइबर ले कर एक 'ईजेनबंडल' का निर्माण कर सकता है। f(x)-आइजन्वेक्टर, ईजेनस्पेस और रैखिक मानचित्र s(x) का स्पेक्ट्रम हो: Ex → एंडx. चूंकि यह निर्माण स्वाभाविक है, जब तक देखभाल नहीं की जाती है, परिणामी वस्तु में स्थानीय तुच्छता नहीं होगी। s के शून्य खंड होने और f के पृथक शून्य होने के घटना पर विचार करें। परिणामी ईजेनबंडल में इन शून्यों पर फाइबर ई में उनके ऊपर फाइबर के लिए आइसोमोर्फिक होगा, जबकि हर जगह फाइबर तुच्छ 0-आयामी वेक्टर स्थान है।
 * दोहरा बंडल E*, E के बंडल समरूपता का होम बंडल होम (E, 'R' × X) और तुच्छ बंडल 'R' × X है। एक कैनोनिकल वेक्टर बंडल आइसोमॉर्फिज़्म होम (E, F) = E*⊗F है।

इनमें से प्रत्येक ऑपरेशन बंडलों की एक सामान्य विशेषता का एक विशेष उदाहरण है: वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी पर किए जा सकने वाले कई ऑपरेशन वेक्टर बंडलों की श्रेणी पर एक कार्यात्मक तरीके से भी किए जा सकते हैं। यह चिकनी functor s की भाषा में उपयुक्त बनाया गया है। एक अलग प्रकृति का संचालन 'पुलबैक बंडल' निर्माण है। एक सदिश बंडल E → Y और एक  नक्शा f: X → Y दिया गया है, कोई E को X के ऊपर एक सदिश बंडल f * E पर वापस खींच सकता है। एक बिंदु x ∈ X पर फाइबर अनिवार्य रूप से केवल f(x) ∈ पर फाइबर है। वाई। इसलिए, व्हिटनी योग ई ⊕ एफ को एक्स से एक्स × एक्स के विकर्ण मानचित्र के पुलबैक बंडल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जहां एक्स × एक्स पर बंडल ई × × एफ है।

'टिप्पणी': मान लीजिए X एक सघन स्थान है। X के ऊपर कोई सदिश बंडल E एक तुच्छ बंडल का सीधा जोड़ है; यानी, एक बंडल ई मौजूद है' ऐसा है कि ई ⊕ ई' तुच्छ है। यह विफल हो जाता है यदि एक्स कॉम्पैक्ट नहीं है: उदाहरण के लिए, अनंत वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान पर  टॉटोलॉजिकल लाइन बंडल  में यह गुण नहीं है।

अतिरिक्त संरचनाएं और सामान्यीकरण
सदिश बंडलों को प्रायः अधिक संरचना दी जाती है। उदाहरण के लिए, सदिश बंडल एक मीट्रिक (वेक्टर बंडल)  से युक्त हो सकते हैं। सामान्यतः इस मीट्रिक को निश्चित बिलिनियर रूप की आवश्यकता होती है, इस स्थिति में E का प्रत्येक फाइबर एक यूक्लिडियन स्थान बन जाता है। एक  रैखिक जटिल संरचना  के साथ एक सदिश बंडल एक जटिल सदिश बंडल से मेल खाता है, जिसे जटिल वेक्टर के साथ परिभाषा में वास्तविक वेक्टर रिक्त स्थान को बदलकर प्राप्त किया जा सकता है और यह आवश्यक है कि सभी मैपिंग फाइबर में जटिल-रैखिक हों। सामान्यतः एक बंडल के संरचना समूह के परिणामी कमी के संदर्भ में एक वेक्टर बंडल पर लगाए गए अतिरिक्त संरचना को सामान्यतः समझ सकता है। अधिक सामान्य टोपोलॉजिकल क्षेत्रों पर वेक्टर बंडलों का भी उपयोग किया जा सकता है।

यदि एक परिमित-आयामी वेक्टर स्थान के जगह, यदि फाइबर F ​​को एक बनच स्थान  के रूप में लिया जाता है, तो एक ' बनच बंडल ' प्राप्त होता है। विशेष रूप से, यह आवश्यक होना चाहिए कि स्थानीय तुच्छीकरण प्रत्येक फाइबर पर बनच स्पेस आइसोमोर्फिज्म (रैखिक आइसोमोर्फिज्म के जगह) हों और इसके अतिरिक्त, संक्रमण
 * $$g_{UV} \colon U\cap V \to \operatorname{GL}(F)$$

बनच कई गुना की निरंतर मैपिंग कर रहे हैं। C. के संगत सिद्धांत मेंp बंडल, सभी मैपिंग का C होना आवश्यक हैपी.

वेक्टर बंडल विशेष फाइबर बंडल होते हैं, जिनके फाइबर वेक्टर रिक्त स्थान होते हैं और जिनके चक्र वेक्टर अंतरिक्ष संरचना का सम्मान करते हैं। अधिक सामान्य फाइबर बंडलों का निर्माण किया जा सकता है जिसमें फाइबर में अन्य संरचनाएं हो सकती हैं; उदाहरण के लिए गोले के बंडल गोले द्वारा रेशेदार होते हैं।

चिकना वेक्टर बंडल
एक सदिश बंडल (ई, पी, एम) 'चिकनी' है, यदि ई और एम कई गुना हैं, पी: ई → एम एक चिकना नक्शा है, और स्थानीय तुच्छीकरण भिन्नताएं हैं। चिकनाई की आवश्यक डिग्री के आधार पर, लगातार अलग-अलग होने की अलग-अलग धारणाएं होती हैं|सीp बंडल, असीम रूप से भिन्न  C∞-बंडल और  वास्तविक विश्लेषणात्मक  Cω-बंडल। इस खंड में हम C. पर ध्यान केंद्रित करेंगे∞-बंडल। सी. का सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण है∞-वेक्टर बंडल स्पर्शरेखा बंडल है (TM, πTM, एम) एक सी. के∞-कई गुना एम.

एक चिकने वेक्टर बंडल को इस तथ्य से चित्रित किया जा सकता है कि यह ऊपर वर्णित ट्रांज़िशन फ़ंक्शन को स्वीकार करता है जो तुच्छ चार्ट यू और वी के ओवरलैप पर सुचारू फ़ंक्शन हैं। यानी, एक वेक्टर बंडल ई चिकना है अगर यह खुले सेटों को तुच्छ बनाकर एक कवर को स्वीकार करता है जैसे कि किन्हीं दो ऐसे समुच्चयों U और V के लिए, संक्रमण फलन
 * $$g_{UV}: U\cap V \to \operatorname{GL}(k,\mathbb{R})$$

मैट्रिक्स समूह जीएल (के, आर) में एक सहज कार्य है, जो एक लाइ समूह है।

इसी प्रकार, यदि संक्रमण कार्य हैं:


 * ''सीr तो वेक्टर बंडल एक 'C' हैr वेक्टर बंडल',
 * वास्तविक विश्लेषणात्मक तो वेक्टर बंडल एक 'वास्तविक विश्लेषणात्मक वेक्टर बंडल' है (इसके लिए मैट्रिक्स समूह को वास्तविक विश्लेषणात्मक संरचना की आवश्यकता होती है),
 * होलोमोर्फिक तो वेक्टर बंडल एक ' होलोमॉर्फिक वेक्टर बंडल ' है (इसके लिए मैट्रिक्स समूह को एक जटिल झूठ समूह  होना आवश्यक है),
 * बीजगणितीय कार्य तब वेक्टर बंडल एक 'बीजगणितीय वेक्टर बंडल' होता है (इसके लिए मैट्रिक्स समूह को बीजगणितीय समूह होना आवश्यक है)।

सी∞-वेक्टर बंडल (ई, पी, एम) में एक बहुत ही महत्वपूर्ण संपत्ति है जो अधिक सामान्य सी द्वारा साझा नहीं की जाती हैundefined-फाइबर बंडल। अर्थात्, स्पर्शरेखा स्थान Tv(तथाx) किसी भी वी ∈ ई. परx फाइबर ई के साथ स्वाभाविक रूप से पहचाना जा सकता हैx अपने आप। यह पहचान ऊर्ध्वाधर लिफ्ट vl. के माध्यम से प्राप्त की जाती हैv: तथाx→ टीv(तथाx), के रूप में परिभाषित किया गया है


 * $$\operatorname{vl}_vw[f] := \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}f(v + tw), \quad f\in C^\infty(E_x).$$

लंबवत लिफ्ट को प्राकृतिक सी के रूप में भी देखा जा सकता है∞-वेक्टर बंडल समरूपता p*E → VE, जहां (p*E, p*p, E) E से p: E → M, के ऊपर (E, p, M) का पुल-बैक बंडल है। और वीई:= केर(पी*) TE ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा बंडल है, स्पर्शरेखा बंडल का एक प्राकृतिक वेक्टर उप-बंडल (TE, πTE, ई) कुल अंतरिक्ष ई की।

किसी भी चिकने वेक्टर बंडल का कुल स्थान E एक प्राकृतिक वेक्टर फ़ील्ड V को वहन करता हैv := वी.एलvv, विहित सदिश क्षेत्र के रूप में जाना जाता है। अधिक औपचारिक रूप से, वी (टीई, πTE, ई), और इसे लाइ-ग्रुप एक्शन के इन्फिनिटिमल जनरेटर के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है $$(t,v) \mapsto e^{tv}$$ फाइबरवाइज स्केलर गुणन द्वारा दिया गया। कैनोनिकल वेक्टर फ़ील्ड V निम्नलिखित तरीके से पूरी तरह से चिकनी वेक्टर बंडल संरचना की विशेषता है। एक तैयारी के रूप में, ध्यान दें कि जब एक्स एक चिकनी कई गुना एम और एक्स ∈ एम पर एक चिकनी वेक्टर फ़ील्ड है जैसे कि एक्सx = 0, रैखिक मानचित्रण
 * $$C_x(X): T_x M \to T_x M; \quad C_x(X) Y = (\nabla_Y X)_x$$

M पर रैखिक सहपरिवर्ती व्युत्पन्न ∇ के चयन पर निर्भर नहीं करता। E पर विहित सदिश क्षेत्र V अभिगृहीतों को संतुष्ट करता है


 * 1) प्रवाह (टी, वी) → ΦटीV(v) V विश्व स्तर पर परिभाषित है।
 * 2) प्रत्येक v ∈ V के लिए एक अद्वितीय लिम हैt→∞ ΦटीV(v) वी.
 * 3) सीv(वी)∘सीv(वी) = सीv(वी) जब भी वीv = 0।
 * 4) वी का शून्य सेट ई का एक चिकनी सबमनीफोल्ड है जिसका कोडिमेंशन सी के रैंक के बराबर हैv(वी)।

इसके विपरीत, यदि E कोई स्मूथ मैनिफोल्ड है और V E पर एक स्मूथ वेक्टर फील्ड है जो 1-4 को संतुष्ट करता है, तो E पर एक यूनिक वेक्टर बंडल स्ट्रक्चर है जिसका कैनोनिकल वेक्टर फील्ड V है।

किसी भी चिकने वेक्टर बंडल (E, p, M) के लिए उसके स्पर्शरेखा बंडल (TE, πTE, ई) में एक प्राकृतिक माध्यमिक वेक्टर बंडल संरचना  है (टीई, पी*, टीएम), जहां पी* विहित प्रक्षेपण p: E → M का पुश-फ़ॉरवर्ड है। इस द्वितीयक वेक्टर बंडल संरचना में वेक्टर बंडल संचालन पुश-फ़ॉरवर्ड हैं +*: टी (ई × ई) → टीई और λ*: TE → मूल जोड़ का TE +: E × E → E और अदिश गुणन λ: E → E।

के-सिद्धांत
के-सिद्धांत समूह, $K(X)$, एक कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ टोपोलॉजिकल स्पेस को आइसोमोर्फिज्म वर्गों द्वारा उत्पन्न एबेलियन समूह के रूप में परिभाषित किया गया है $[E]$ जटिल वेक्टर बंडलों के संबंध को मॉड्यूलो करते हैं कि जब भी हमारे पास एक उपयुक्त अनुक्रम होता है।


 * $$ 0 \to A \to B \to C \to 0 $$

फिर


 * $$ [B] = [A] + [C] $$

टोपोलॉजिकल केओ सिद्धांत  में। KO-सिद्धांत इस निर्माण का संस्करण है जो वास्तविक सदिश बंडलों पर विचार करता है।  कॉम्पैक्ट समर्थन  के साथ के-सिद्धांत को भी परिभाषित किया जा सकता है, साथ ही उच्च के-सिद्धांत समूहों को भी परिभाषित किया जा सकता है।

राउल बोत्तो ल की प्रसिद्ध बॉट आवधिकता  किसी भी स्थान के-सिद्धांत का दावा करती है $X$ के समरूपी है $S^{2}X$, का दोहरा निलंबन $X$.

बीजगणितीय ज्यामिति में,K -सिद्धांत समूहों पर विचार किया जाता है जिसमें एक योजना $X$ पर सुसंगत ढेर होते हैं, साथ ही उपरोक्त समतुल्य संबंध के साथ योजना पर वेक्टर बंडलों के K-सिद्धांत समूह होते हैं। दो निर्माण समान हैं, बशर्ते कि अंतर्निहित योजना सुचारू हो।

सामान्य धारणाएं

 * ग्रासमैनियन : वेक्टर बंडल के लिए रिक्त स्थान को वर्गीकृत करना, जिसमें लाइन बंडलों के लिए प्रक्षेप्य स्थान  शामिल हैं
 * विशेषता वर्ग
 * विभाजन सिद्धांत
 * स्थिर बंडल

टोपोलॉजी और डिफरेंशियल ज्योमेट्री

 * गेज सिद्धांत (गणित) : वेक्टर बंडलों और प्रमुख बंडलों पर कनेक्शन का सामान्य अध्ययन और भौतिकी के साथ उनका संबंध।
 * कनेक्शन (वेक्टर बंडल) : वेक्टर बंडलों के वर्गों को अलग करने के लिए आवश्यक धारणा।

बीजीय और विश्लेषणात्मक ज्यामिति

 * बीजीय वेक्टर बंडल
 * पिकार्ड समूह
 * होलोमोर्फिक वेक्टर बंडल

स्रोत

 * , खंड 1.5 देखें।
 * अध्याय 5 देखें
 * , खंड 1.5 देखें।
 * अध्याय 5 देखें
 * अध्याय 5 देखें
 * अध्याय 5 देखें

बाहरी संबंध
 * Why is it useful to study vector bundles ? on MathOverflow
 * Why is it useful to classify the vector bundles of a space ?
 * Why is it useful to classify the vector bundles of a space ?