प्रसार स्थिरांक

साइनसोइडल विद्युत चुम्बकीय तरंग का प्रसार स्थिरांक तरंग के आयाम और चरण द्वारा किए गए परिवर्तन का एक उपाय है क्योंकि यह एक निश्चित दिशा में फैलता है। मापी जाने वाली मात्रा वोल्टेज, सर्किट में धारा, या फ़ील्ड वेक्टर जैसे विद्युत क्षेत्र की ताकत या प्रवाह घनत्व हो सकती है। विसरण स्थिरांक ही प्रति इकाई लंबाई में परिवर्तन को मापता है, लेकिन यह अन्यथा आयाम रहित है। दो-पोर्ट नेटवर्क और उनके कैस्केड के संदर्भ में, प्रसार स्थिरांक एक स्रोत मात्रा द्वारा किए गए परिवर्तन को मापता है क्योंकि यह एक पोर्ट से दूसरे तक फैलता है।

प्रसार स्थिरांक का मान अन्य स्थितियों में दूरसंचार में उपयोग किए जाने वाले अधिक सामान्य आधार 10 के बजाय लगभग सार्वभौमिक रूप से आधार e के लिए लघुगणकीय रूप से व्यक्त किया जाता है। मापी गई मात्रा, जैसे कि वोल्टेज, को साइनसोइडल फेजर के रूप में व्यक्त किया जाता है। साइनसॉइड का चरण दूरी के साथ बदलता रहता है जिसके परिणामस्वरूप प्रसार निरंतर जटिल संख्या होती है, चरण परिवर्तन के कारण होने वाला काल्पनिक हिस्सा है।

वैकल्पिक नाम
शब्द "प्रचार स्थिरांक" कुछ हद तक एक मिथ्या नाम है क्योंकि यह सामान्यतः ω के साथ दृढ़ता से भिन्न होता है। यह शायद सबसे व्यापक रूप से इस्तेमाल किया जाने वाला शब्द है, लेकिन इस मात्रा के लिए विभिन्न लेखकों द्वारा उपयोग किए जाने वाले वैकल्पिक नामों की एक विशाल विविधता है। इनमें ट्रांसमिशन पैरामीटर, ट्रांसमिशन फ़ंक्शंस, प्रचार पैरामीटर, प्रचार गुणांक और ट्रांसमिशन स्थिरांक सम्मिलित हैं। यदि बहुवचन का उपयोग किया जाता है, तो यह सुझाव देता है कि α और β को अलग-अलग संदर्भित किया जा रहा है, लेकिन सामूहिक रूप से संचरण पैरामीटर, प्रचार पैरामीटर आदि के रूप में प्राथमिक रेखा गुणांक के विपरीत है। प्राथमिक गुणांक लाइन के भौतिक गुण हैं, अर्थात् आर, सी, एल और जी, जिससे टेलीग्राफर के समीकरण का उपयोग करके द्वितीयक गुणांक प्राप्त किए जा सकते हैं। ध्यान दें कि संचरण लाइनों के क्षेत्र में, नाम की समानता के बावजूद शब्द संचरण गुणांक का एक अलग अर्थ है: यह प्रतिबिंब गुणांक का साथी है।

परिभाषा
प्रसार स्थिरांक, प्रतीक $γ$ किसी दिए गए सिस्टम के लिए तरंग के स्रोत पर जटिल आयाम के अनुपात से कुछ दूरी $x$ पर जटिल आयाम द्वारा परिभाषित किया जाता है, जैसे कि,


 * $$ \frac{A_0}{A_x} = e^{\gamma x} $$

चूँकि प्रसार स्थिरांक एक जटिल मात्रा है जिसे हम लिख सकते हैं:जहाँ पर
 * $α$, वास्तविक भाग, क्षीणन स्थिरांक कहलाता है।
 * $β$, काल्पनिक भाग को चरण स्थिर कहा जाता है।
 * $$i \equiv j \equiv \sqrt{ -1\ }\ $$अधिक बार $j$ का उपयोग विद्युत परिपथों के लिए किया जाता है।

वह $β$ वास्तव में चरण का प्रतिनिधित्व करता है जिसे यूलर के सूत्र से देखा जा सकता है:


 * $$ e^{i\theta} = \cos{\theta} + i \sin{\theta}\ $$

जो एक साइनसॉइड है जो $θ$ के रूप में चरण में भिन्न होता है लेकिन आयाम में भिन्न नहीं होता क्योंकि


 * $$ \left| e^{i\theta} \right| = \sqrt{ \cos^2{\theta} + \sin^2{\theta}\;} = 1 $$

आधार $e$ के इस्तेमाल का कारण भी अब स्पष्ट हो गया है। काल्पनिक चरण स्थिरांक, $i β$, को सीधे क्षीणन स्थिरांक, $α$ में जोड़ा जा सकता है, एक जटिल संख्या बनाने के लिए जिसे एक गणितीय ऑपरेशन में संभाला जा सकता है, बशर्ते वे एक ही आधार पर हों। रेडियन में मापे गए कोणों के लिए आधार $e$ की आवश्यकता होती है, इसलिए आधार $e$ में क्षीणन इसी तरह होता है।

रेखाओं के संचालन के लिए विसरण स्थिरांक की गणना प्रारंभिक रेखा गुणांकों से संबंध के माध्यम से की जा सकती है


 * $$ \gamma= \sqrt{ Z Y\ }$$

जहाँ पर


 * $$ Z = R + i\ \omega L\ ,$$ प्रति इकाई लंबाई की रेखा की श्रृंखला प्रतिबाधा और,

$$ Y = G + i\ \omega C\ ,$$ प्रति इकाई लंबाई में लाइन का शंट प्रवेश।

समतल तरंग
$x$ दिशा में एक रैखिक मीडिया में यात्रा करने वाली एक समतल तरंग का प्रसार कारक द्वारा दिया जाता है$$ P = e^{-\gamma x} $$जहाँ पर हानिपूर्ण माध्यम में प्रसार के साथ संगति के लिए साइन अधिवेशन का चयन किया जाता है। यदि क्षीणन स्थिरांक धनात्मक है, तो तरंग का आयाम $x$ दिशा में प्रसार के साथ कम हो जाता है।
 * $\gamma = \alpha + i\ \beta = \sqrt{i\ \omega\ \mu\ (\sigma + i\ \omega \varepsilon)\ }\ $
 * $$ x = $$ $x$ दिशा में तय की गई दूरी
 * $$ \alpha =\ $$ नेपर्स/मीटर की इकाइयों में क्षीणन स्थिरांक
 * $$ \beta =\ $$ रेडियन / मीटर की इकाइयों में चरण स्थिरांक
 * $$ \omega=\ $$ रेडियन/सेकंड में आवृत्ति
 * $$ \sigma =\ $$ माध्यम की चालकता
 * $$\varepsilon = \varepsilon' - i\ \varepsilon'' \ $$ = माध्यम की जटिल पारगम्यता
 * $$\mu = \mu' - i\ \mu'' \;$$ = माध्यम की जटिल पारगम्यता
 * $$i \equiv \sqrt{-1\ }$$

तरंग दैर्ध्य, चरण वेग और उपरिस्तर गंभीरता की गहराई का प्रसार स्थिरांक के घटकों से सरल संबंध है:$$ \lambda = \frac {2 \pi}{\beta} \qquad v_p = \frac{\omega}{\beta}  \qquad   \delta =  \frac{1}{\alpha} $$

क्षीणन स्थिरांक
दूरसंचार में, शब्द क्षीणन स्थिरांक, जिसे क्षीणन पैरामीटर या क्षीणन गुणांक भी कहा जाता है, स्रोत से एक माध्यम प्रति इकाई दूरी के माध्यम से फैलने वाली विद्युत चुम्बकीय तरंग का क्षीणन है। यह प्रसार स्थिरांक का वास्तविक हिस्सा है और इसे प्रति मीटर नेपर में मापा जाता है। एक नेपर लगभग 8.7 डेसिबल (dB) है। क्षीणन स्थिरांक को आयाम अनुपात से परिभाषित किया जा सकता है


 * $$\left|\frac{A_0}{A_x}\right|=e^{\alpha x}$$

प्रति इकाई लंबाई प्रसार स्थिरांक को प्रेषण अंत वर्तमान या वोल्टेज को प्राप्त करने वाले अंत या वोल्टेज के अनुपात के प्राकृतिक लघुगणक के रूप में परिभाषित किया गया है।

प्रवाहकीय रेखाएँ
जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, प्रवाहकीय रेखाओं के लिए क्षीणन स्थिरांक की गणना प्राथमिक रेखा गुणांक से की जा सकती है। विरूपण रहित स्थिति को पूरा करने वाली रेखा के लिए, इन्सुलेटर में एक प्रवाहकत्त्व G के साथ, क्षीणन स्थिरांक द्वारा दिया जाता है


 * $$\alpha=\sqrt{RG}\,\!$$

हालांकि, लोडिंग कॉइल्स को सम्मिलित किए बिना वास्तविक रेखा इस स्थिति को पूरा करने की संभावना नहीं है और इसके अलावा, कुछ आवृत्ति-निर्भर प्रभाव प्राथमिक "स्थिरांक" पर काम कर रहे हैं जो हानि की आवृत्ति निर्भरता का कारण बनते हैं। इन हानियों के दो मुख्य घटक हैं, धातु हानि और परावैद्युत हानि।

अधिकांश संचरण लाइनों का नुकसान धातु के नुकसान से प्रभावित होता है, जो धातुओं की परिमित चालकता और संवाहक  के अंदर त्वचा के प्रभाव के कारण आवृत्ति निर्भरता का कारण बनता है। संवाहक के साथ त्वचा का प्रभाव R के अनुसार आवृत्ति पर लगभग निर्भर करता है


 * $$R \propto \sqrt{\omega}$$

परावैद्युत में हानियाँ संकेत की तरंगदैर्घ्य से विभाजित सामग्री की स्पर्शरेखा (tan δ) की हानि पर निर्भर करती हैं। इस प्रकार वे आवृत्ति के सीधे आनुपातिक हैं।


 * $$\alpha_d={{\pi}\sqrt{\varepsilon_r}\over{\lambda}}{\tan \delta}$$

ऑप्टिकल फाइबर
ऑप्टिकल फाइबर में विशेष प्रसार मोड के लिए क्षीणन स्थिरांक अक्षीय प्रसार स्थिरांक का वास्तविक भाग है।

प्रावस्था नियतांक
विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत में, चरण स्थिरांक को चरण परिवर्तन स्थिरांक भी कहा जाता है, पैरामीटर या गुणांक एक विमान तरंग के प्रसार स्थिरांक का काल्पनिक घटक है। यह किसी भी समय तरंग द्वारा यात्रा किए गए पथ के साथ प्रति इकाई लंबाई में चरण में परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है और लहर के कोणीय तरंग संख्या के वास्तविक भाग के बराबर होता है। यह प्रतीक β द्वारा दर्शाया गया है और प्रति इकाई लंबाई रेडियन की इकाइयों में मापा जाता है।

दोषरहित मीडिया में टीईएम तरंगों के लिए (कोणीय) तरंग संख्या की परिभाषा से:


 * $$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \beta$$

संचरण रेखा के लिए, टेलीग्राफर के समीकरण की हीविसाइड स्थिति हमें बताती है कि तरंग के संचरण के लिए तरंग संख्या को आवृत्ति के समानुपातिक होना चाहिए ताकि समय डोमेन में अविकृत हो सके। इसमें दोषरहित रेखा का आदर्श मामला सम्मिलित है, लेकिन यह यहीं तक सीमित नहीं है। इस स्थिति का कारण यह विचार करके देखा जा सकता है कि उपयोगी संकेत आवृत्ति डोमेन में कई अलग-अलग तरंग दैर्ध्य से बना होता है। तरंग रूप में कोई विकृति न हो, इसके लिए इन सभी तरंगों को एक ही वेग से यात्रा करनी चाहिए ताकि वे समूह के रूप में एक ही समय में रेखा के दूर अंत तक पहुंचें। चूंकि तरंग चरण वेग द्वारा दिया जाता है


 * $$v_p = \frac{\lambda}{T} = \frac{f}{\tilde{\nu}} = \frac{\omega}{\beta},$$

यह सिद्ध हो गया है कि β को ω के समानुपाती होना आवश्यक है। रेखा के प्राथमिक गुणांकों के संदर्भ में, यह टेलीग्राफर के समीकरण से विरूपण रहित रेखा की स्थिति के लिए उपज देता है
 * $$\beta = \omega \sqrt{LC},$$

जहां L और C लाइन की प्रति यूनिट लंबाई क्रमशः अधिष्ठापन और समाई हैं। हालाँकि, व्यावहारिक रेखाओं से केवल सीमित आवृत्ति बैंड पर लगभग इस शर्त को पूरा करने की उम्मीद की जा सकती है।

विशेष रूप से, चरण स्थिर $$ \beta $$ हमेशा तरंग संख्या के समतुल्य नहीं होता है $$k$$. सामान्यतया, निम्नलिखित संबंध


 * $$ \beta = k $$

टीईएम तरंग (अनुप्रस्थ विद्युत चुम्बकीय तरंग) के लिए उपयुक्त है जो मुक्त स्थान या टीईएम-उपकरणों जैसे कि समाक्षीय केबल और दो समानांतर तारों की संचरण लाइनों में यात्रा करता है। फिर भी, यह TE वेव (अनुप्रस्थ विद्युत तरंग) और TM वेव (अनुप्रस्थ चुंबकीय तरंग) के लिए अमान्य है। उदाहरण के लिए, [2] एक खोखले वेवगाइड में जहां टीईएम तरंग मौजूद नहीं हो सकती है लेकिन टीई और टीएम तरंगें फैल सकती हैं,


 * $$k=\frac{\omega}{c} $$
 * $$\beta=k\sqrt{1-\frac{\omega_c^2}{\omega^2}}$$

यहां $$ \omega_{c} $$ कटऑफ आवृत्ति है। एक आयताकार वेवगाइड में, कटऑफ आवृत्ति होती है


 * $$ \omega_{c} = c \sqrt{\left(\frac{n \pi}{a}\right)^2 + \left(\frac{m \pi}{b}\right) ^2}, $$

जहाँ पर $$m,n \ge 0$$ आयत की लंबाई की भुजाओं के लिए बहुलक संख्याएँ हैं $$a$$ और $$b$$ क्रमश। टीई मोड के लिए, $$ m,n \ge 0$$ (लेकिन $$ m = n = 0$$ अनुमति नहीं है), जबकि टीएम मोड के लिए $$ m,n \ge 1 $$.

चरण वेग बराबर होता है


 * $$v_p=\frac{\omega}{\beta}=\frac{c}{\sqrt{1-\frac{\omega_\mathrm{c}^2}{\omega^2}}}>c $$

क्वांटम यांत्रिकी में चरण स्थिरांक भी महत्वपूर्ण अवधारणा है क्योंकि संवेग $$ p$$ मात्रा का इसके सीधे आनुपातिक है,  अर्थात:


 * $$ p = \hbar \beta$$

जहाँ पर $ħ$ कम प्लैंक स्थिरांक कहा जाता है (उच्चारण एच-बार)। यह $2π$ द्वारा विभाजित प्लैंक स्थिरांक के बराबर है।

फिल्टर और टू-पोर्ट नेटवर्क
प्रचार प्रसार स्थिरांक या प्रसार फ़ंक्शन शब्द फ़िल्टर और सिग्नल प्रोसेसिंग के लिए उपयोग किए जाने वाले अन्य दो-पोर्ट नेटवर्क पर लागू होता है। इन मामलों में, हालांकि, क्षीणन और चरण गुणांक प्रति इकाई लंबाई के बजाय नेपर और रेडियन प्रति नेटवर्क अनुभाग के रूप में व्यक्त किए जाते हैं। कुछ लेखक प्रति इकाई लंबाई माप (जिसके लिए "स्थिर" का उपयोग किया जाता है) और प्रति अनुभाग माप (जिसके लिए "फ़ंक्शन" का उपयोग किया जाता है) के बीच अंतर करते हैं।

प्रसार स्थिरांक फिल्टर डिजाइन में एक उपयोगी अवधारणा है जो हमेशा एक कैस्केड सेक्शन टोपोलॉजी का उपयोग करता है। कैस्केड टोपोलॉजी में, कुल प्रसार स्थिरांक आदि को खोजने के लिए अलग-अलग वर्गों के प्रसार स्थिरांक, क्षीणन स्थिरांक और चरण स्थिरांक को जोड़ा जा सकता है।

कैस्केड नेटवर्क
प्रत्येक नेटवर्क के लिए आउटपुट से इनपुट वोल्टेज का अनुपात दिया जाता है
 * $$\frac{V_1}{V_2}=\sqrt{\frac{Z_{I1}}{Z_{I2}}}e^{\gamma_1}$$
 * $$\frac{V_2}{V_3}=\sqrt{\frac{Z_{I2}}{Z_{I3}}}e^{\gamma_2}$$
 * $$\frac{V_3}{V_4}=\sqrt{\frac{Z_{I3}}{Z_{I4}}}e^{\gamma_3}$$

शर्तें $$\sqrt{\frac{Z_{In}}{Z_{Im}}}$$ प्रतिबाधा स्केलिंग शर्तें हैं और उनके उपयोग को छवि प्रतिबाधा लेख में समझाया गया है।

समग्र वोल्टेज अनुपात द्वारा दिया जाता है


 * $$\frac{V_1}{V_4}=\frac{V_1}{V_2}\cdot\frac{V_2}{V_3}\cdot\frac{V_3}{V_4}=\sqrt{\frac{Z_{I1}}{Z_{I4}}}e^{\gamma_1+\gamma_2+\gamma_3}$$

इस प्रकार n कैस्केड वर्गों के लिए सभी एक दूसरे का सामना करने वाले मिलान प्रतिबाधाओं के लिए, समग्र प्रसार स्थिरांक द्वारा दिया जाता है


 * $$\gamma_\mathrm{total}=\gamma_1 + \gamma_2 + \gamma_3 + \cdots + \gamma_n$$

यह भी देखें
वेधन गहराई की अवधारणा विद्युत चुम्बकीय तरंगों के अवशोषण का वर्णन करने के कई तरीकों में से एक है। दूसरों के लिए, और उनके अंतर्संबंधों के लिए, लेख देखें: अस्पष्टता का गणितीय विवरण।
 * प्रसार गति

संदर्भ

 * Matthaei, Young, Jones Microwave Filters, Impedance-Matching Networks, and Coupling Structures McGraw-Hill 1964.
 * Matthaei, Young, Jones Microwave Filters, Impedance-Matching Networks, and Coupling Structures McGraw-Hill 1964.

बाहरी कड़ियाँ

 * Free PDF download is available. There is an updated version dated August 6, 2002.
 * Free PDF download is available. There is an updated version dated August 6, 2002.
 * Free PDF download is available. There is an updated version dated August 6, 2002.