क्रमसूचक सीमा

सेट सिद्धांत में, एक सीमा क्रमसूचक एक क्रमसूचक संख्या है जो न तो शून्य है और न ही उत्तराधिकारी क्रमसूचक है। वैकल्पिक रूप से, एक क्रमसूचक λ एक सीमा क्रमसूचक है यदि कोई क्रमसूचक λ से कम है, और जब भी β λ से कम एक क्रमसूचक है, तो एक क्रमसूचक γ मौजूद होता है जैसे कि β < γ < λ। प्रत्येक क्रमसूचक संख्या या तो शून्य है, या एक उत्तराधिकारी क्रमसूचक है, या एक सीमा क्रमसूचक है।

उदाहरण के लिए, ω (क्रमसूचक संख्या)|ω, प्रत्येक प्राकृतिक संख्या से बड़ा सबसे छोटा क्रमसूचक एक सीमा क्रमसूचक है क्योंकि किसी भी छोटे क्रमसूचक के लिए (यानी, किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए) n हम उससे बड़ी एक और प्राकृतिक संख्या पा सकते हैं (उदाहरण के लिए n+1), लेकिन फिर भी ω से कम।

ऑर्डिनल्स की वॉन न्यूमैन परिभाषा का उपयोग करते हुए, प्रत्येक ऑर्डिनल सभी छोटे ऑर्डिनल्स का सुव्यवस्थित सेट है। ऑर्डिनल्स के एक गैर-रिक्त सेट का संघ जिसमें कोई सबसे बड़ा तत्व नहीं है, हमेशा एक सीमा ऑर्डिनल होता है। वॉन न्यूमैन कार्डिनल असाइनमेंट का उपयोग करते हुए, प्रत्येक अनंत कार्डिनल संख्या भी एक सीमा क्रमसूचक है।

वैकल्पिक परिभाषाएँ
सीमा अध्यादेशों को परिभाषित करने के कई अन्य तरीके हैं:
 * यह इसके नीचे के सभी अध्यादेशों के सर्वोच्च के बराबर है, लेकिन शून्य नहीं है। (उत्तरवर्ती क्रमसूचक के साथ तुलना करें: इसके नीचे के क्रमादेशों के सेट में एक अधिकतम है, इसलिए सर्वोच्च यह अधिकतम है, पिछला क्रमवाचक।)
 * यह शून्य नहीं है और इसका कोई अधिकतम तत्व नहीं है।
 * इसे α > 0 के लिए ωα के रूप में लिखा जा सकता है। अर्थात्, क्रमवाचक अंकगणित#कैंटर सामान्य रूप में अंतिम पद के रूप में कोई परिमित संख्या नहीं है, और क्रमसूचक अशून्य है।
 * ऑर्डर टोपोलॉजी के संबंध में यह क्रमसूचक संख्याओं के वर्ग का एक सीमा बिंदु है। (अन्य क्रमसूचक पृथक बिंदु हैं।)

इस पर कुछ विवाद मौजूद है कि 0 को सीमा क्रमसूचक के रूप में वर्गीकृत किया जाना चाहिए या नहीं, क्योंकि इसका कोई तत्काल पूर्ववर्ती नहीं है; कुछ पाठ्यपुस्तकों में सीमा क्रमसूचक वर्ग में 0 शामिल है जबकि अन्य इसे बाहर रखते हैं।

उदाहरण
क्योंकि क्रमसूचक संख्याओं का वर्ग (सेट सिद्धांत) सुव्यवस्थित है, सबसे छोटी अनंत सीमा क्रमसूचक है; ω (ओमेगा) द्वारा निरूपित। क्रमसूचक ω सबसे छोटा अनंत क्रमसूचक (सीमा की परवाह किए बिना) भी है, क्योंकि यह प्राकृतिक संख्याओं की सबसे निचली ऊपरी सीमा है। इसलिए ω प्राकृतिक संख्याओं के क्रम प्रकार को दर्शाता है। पहले से ऊपर की अगली सीमा क्रमसूचक ω + ω = ω·2 है, जो किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए ω·n का सामान्यीकरण करता है। सभी ω·n का संघ (सेट सिद्धांत) (ऑर्डिनल्स के किसी भी सेट (गणित) पर सर्वोच्च संचालन) लेते हुए, हमें ω·ω = ω मिलता है2, जो ω का सामान्यीकरण करता हैnकिसी भी प्राकृत संख्या के लिए n. उत्पादन के लिए इस प्रक्रिया को आगे निम्नानुसार दोहराया जा सकता है:


 * $$\omega^3, \omega^4, \ldots, \omega^\omega, \omega^{\omega^\omega}, \ldots, \varepsilon_0 = \omega^{\omega^{\omega^{~\cdot^{~\cdot^{~\cdot}}}}}, \ldots$$

सामान्य तौर पर, गुणन, घातांक, बार-बार घातांक आदि के माध्यम से ये सभी पुनरावर्ती परिभाषाएँ सीमा क्रमसूचक उत्पन्न करती हैं। अब तक चर्चा किए गए सभी क्रमादेश अभी भी गणनीय क्रमादेश हैं। हालाँकि, चर्च-क्लीन ऑर्डिनल से कम के सभी ऑर्डिनल के लिए कोई पुनरावर्ती गणना योग्य योजना नहीं है, जो कि एक गणनीय ऑर्डिनल है।

गणनीय से परे, पहले बेशुमार क्रमसूचक को आमतौर पर ω से दर्शाया जाता है1. यह भी एक सीमा क्रमसूचक है.

जारी रखते हुए, कोई निम्नलिखित प्राप्त कर सकता है (जिनमें से सभी अब प्रमुखता में बढ़ रहे हैं):


 * $$\omega_2, \omega_3, \ldots, \omega_\omega, \omega_{\omega + 1}, \ldots, \omega_{\omega_\omega},\ldots$$

सामान्य तौर पर, हमें हमेशा एक सीमा क्रमसूचक मिलता है जब अध्यादेशों के एक गैर-रिक्त सेट का संघ लिया जाता है जिसमें कोई अधिकतम तत्व नहीं होता है।

α > 0 के लिए फॉर्म ω²α के ऑर्डिनल्स, सीमाओं की सीमाएं आदि हैं।

गुण
उत्तराधिकारी ऑर्डिनल्स और सीमा ऑर्डिनल्स (विभिन्न सह-अंतिमता के) के साथ-साथ शून्य, ऑर्डिनल्स के पूरे वर्ग को समाप्त कर देते हैं, इसलिए इन मामलों को अक्सर अनंत प्रेरण या ट्रांसफ़िनिट रिकर्सन द्वारा परिभाषाओं द्वारा प्रमाण में उपयोग किया जाता है। सीमा अध्यादेश ऐसी प्रक्रियाओं में एक प्रकार के महत्वपूर्ण मोड़ का प्रतिनिधित्व करते हैं, जिसमें किसी को सीमित संचालन का उपयोग करना चाहिए जैसे कि सभी पूर्ववर्ती अध्यादेशों पर संघ को ले जाना। सिद्धांत रूप में, कोई भी लिमिट ऑर्डिनल्स पर कुछ भी कर सकता है, लेकिन ऑर्डर टोपोलॉजी में यूनियन को लेना एक निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) है और यह आमतौर पर वांछनीय है।

यदि हम वॉन न्यूमैन कार्डिनल असाइनमेंट का उपयोग करते हैं, तो प्रत्येक अनंत कार्डिनल संख्या भी एक सीमा क्रमसूचक है (और यह एक उपयुक्त अवलोकन है, क्योंकि कार्डिनल लैटिन कार्डो से निकला है जिसका अर्थ है काज या मोड़): इस तथ्य का प्रमाण केवल दिखाकर किया जाता है ग्रैंड होटल तर्क के हिल्बर्ट विरोधाभास के माध्यम से प्रत्येक अनंत उत्तराधिकारी क्रमसूचक एक सीमा क्रमसूचक के बराबर है।

कार्डिनल नंबरों की उत्तराधिकार और सीमा (हर चीज़ को उच्च स्तर पर अपग्रेड किया जाना) की अपनी धारणा होती है।

अविभाज्य क्रम-वाचक
योगात्मक रूप से अविघट्य

एक सीमा क्रमसूचक α को योगात्मक रूप से अविभाज्य कहा जाता है यदि इसे α से कम β < α अध्यादेशों के योग के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। ये संख्याएँ किसी भी प्रकार के क्रमसूचक हैं $$\omega^\beta$$ β के लिए एक क्रमसूचक. सबसे छोटा लिखा है $$\gamma_0$$, दूसरा लिखा है $$\gamma_1$$, वगैरह। गुणात्मक रूप से अविभाज्य

एक सीमा क्रमसूचक α को गुणात्मक रूप से अविभाज्य कहा जाता है यदि इसे α से कम β < α अध्यादेशों के उत्पाद के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। ये संख्याएँ किसी भी प्रकार के क्रमसूचक हैं $$\omega^{\omega^\beta}$$ β के लिए एक क्रमसूचक. सबसे छोटा लिखा है $$\delta_0$$, दूसरा लिखा है $$\delta_1$$, वगैरह।

घातांकीय रूप से अविभाज्य और परे

घातीय रूप से अविभाज्य शब्द का तात्पर्य उन ऑर्डिनल्स से नहीं है जो β < α के घातीय उत्पाद (?) के रूप में अभिव्यक्त नहीं होते हैं, बल्कि α से कम के ऑर्डिनल्स हैं, बल्कि एप्सिलॉन संख्या (गणित), टेट्राशनल रूप से अविभाज्य जीटा संख्याओं को संदर्भित करता है, जो पंचम रूप से अविभाज्य हैं। ईटा संख्या आदि को संदर्भित करता है।

यह भी देखें

 * क्रमिक अंकगणित
 * कार्डिनल सीमित करें
 * मौलिक अनुक्रम (क्रमांक)

अग्रिम पठन

 * Cantor, G., (1897), Beitrage zur Begrundung der transfiniten Mengenlehre. II (tr.: Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers II), Mathematische Annalen 49, 207-246 English translation.
 * Conway, J. H. and Guy, R. K. "Cantor's Ordinal Numbers." In The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 266–267 and 274, 1996.
 * Sierpiński, W. (1965). Cardinal and Ordinal Numbers (2nd ed.). Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe. Also defines ordinal operations in terms of the Cantor Normal Form.