प्रक्षेप्य समष्टि

गणित में, प्रक्षेप्य समष्टि की अवधारणा परिप्रेक्ष्य संरचना के दृश्य प्रभाव से उत्पन्न हुई है, जहाँ समानांतर रेखाएं अनंत पर मिलती हुई प्रतीत होती हैं। इस प्रकार प्रक्षेप्य समष्टि को यूक्लिडियन समष्टि के विस्तार के रूप में देखा जा सकता है, इस प्रकार सामान्यतः अनंत बिंदुओं के साथ एफ़िन क्षेत्र को इस प्रकार प्रत्येक एफ़िन क्षेत्र समानांतर रेखाओं की दिशा के अनंत पर बिंदु होता है।

प्रक्षेप्य समष्टि की इस परिभाषा में समदैशिक न होने के लिए हानि को प्रकट करता है, इसमें दो अलग-अलग प्रकार के बिंदु होते हैं, जिन्हें प्रमाणों में अलग से माना जाना चाहिए। इसलिए सामान्यतः अन्य परिभाषाओं को प्राथमिकता दी जाती है। परिभाषाओं के दो वर्ग हैं। इस प्रकार सिंथेटिक ज्यामिति में, बिंदु और रेखा आदिम इकाइयां हैं जो घटना संबंध से संबंधित हैं, बिंदु रेखा पर है या रेखा बिंदु से गुजरती है, जो प्रक्षेप्य ज्यामिति के सिद्धांतों के अधीन है। ऐसे कुछ स्वयंसिद्ध समुच्चयों के लिए, परिभाषित किए गए प्रक्षेप्य समष्टि निम्नलिखित परिभाषा के परिणामस्वरूप उत्पन्न होने वाले समष्टियों के बराबर दिखाए गए हैं, जो आधुनिक पाठ्यपुस्तकों में अधिक बार सामने आते हैं।

रैखिक बीजगणित का उपयोग करना, आयाम का प्रक्षेप्य समष्टि $n$ को सदिश समष्टि में सदिश रेखाओं (अर्थात आयाम के सदिश उपसमष्टि) के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है, इस प्रकार $V$ आयाम का $n + 1$ समान रूप से, इसकी तुल्यता संबंध ही सदिश रेखा पर होने से यह $V \ \{0\}$ भागफल का समुच्चय है। जैसे सदिश रेखाएं मुख्य रूप से इकाई गोले को प्रतिच्छेदित करती है, उसी प्रकार $V$ दो एंटीपोडल बिंदुओं में प्रक्षेप्य समष्टियों को समान रूप से उन क्षेत्रों के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिनमें एंटीपोडल बिंदुओं की पहचान की जाती है। इस प्रकार आयाम 1 का प्रक्षेप्य समष्टि प्रक्षेप्य रेखा को प्रदर्शित करता है, और आयाम 2 का प्रक्षेप्य समष्टि प्रक्षेप्य तल को प्रदर्शित करता है।

सरल कथनों और सरल प्रमाणों की अनुमति के रूप में ज्यामिति संरचना में प्रक्षेप्य रिक्त समष्टि का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए एफ़िन ज्यामिति में, समतल में दो अलग-अलग रेखाएँ अधिकतम बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जबकि, प्रक्षेप्य ज्यामिति में ये बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। इसके अतिरिक्त, शंकुधारी वर्गों का केवल ही वर्ग है, जिसे इस प्रकार केवल अनंत पर रेखा के साथ उनके प्रतिच्छेदन द्वारा पहचाना जा सकता है: अतिशयोक्ति के लिए दो प्रतिच्छेदन बिंदु, परवलय के लिए, जो अनंत पर रेखा की स्पर्शरेखा है, और दीर्घवृत्त का कोई वास्तविक प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है।

टोपोलॉजी में, और इस प्रकार अधिक विशेष रूप से मैनिफोल्ड सिद्धांत में, प्रक्षेप्य समष्टि मौलिक भूमिका निभाते हैं, जो गैर-उन्मुख मैनिफोल्ड के विशिष्ट उदाहरण हैं।

प्रेरणा
जैसा कि ऊपर बताया गया है, इस प्रकार उक्त मतों को औपचारिक बनाने के लिए प्रक्षेप्य समष्टि प्रस्तुत किए गए थे, जैसे दो समतलीय रेखाएं बिल्कुल बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, और यदि रेखाएं समानांतर रेखाएं हैं, तो यह बिंदु अनंत पर है। इस प्रकार के मत परिप्रेक्ष्य ग्राफिकल अध्ययन द्वारा सुझाए जाते हैं, जिसे समतल ज्यामिति पर तीन आयामी अंतरिक्ष के केंद्रीय प्रक्षेपण के रूप में माना जा सकता है, इसके लिए पिनहोल कैमरा मॉडल देखें। इस प्रकार अधिक सटीक रूप से कैमरे या पर्यवेक्षक की आंख की प्रवेश पुतली प्रक्षेपण का केंद्र है, और प्रतिबिंब प्रक्षेपण तल पर बनती है।

गणितीय रूप से, प्रक्षेपण का केंद्र बिंदु है, इस प्रकार $O$ अंतरिक्ष का आकृति में अक्षों का प्रतिच्छेदन, प्रक्षेपण समतल $P2$, चित्र में नीले रंग में समतल है जो $O$ से होकर नहीं जाता है, जिसे अधिकांशतः $z = 1$,समीकरण का तल चुना जाता है, इस कारण जब कार्तीय निर्देशांक पर विचार किया जाता है। फिर, केंद्रीय प्रक्षेपण बिंदु को मैप करता है, इस प्रकार $P$ लाइन के प्रतिच्छेदन तक $OP$ प्रक्षेपण तल के साथ प्रकट होता हैं। इसे इस प्रकार मैप करते हैं, जिससे ऐसा प्रतिच्छेदन अस्तित्व में है, इस प्रकार यदि बिंदु $P$ समतल से संबंधित नहीं है, इस प्रकार $P1$, चित्र में हरे रंग में जो गुजरता है $O$ और के लिए $P2$.समानांतर क्रम में सुशोभित होता है ।

यह इस प्रकार है कि रेखाएँ $O$ से होकर गुजरती हैं, जो दो असंयुक्त उपसमुच्चयों में विभाजित करने पर पंक्तियाँ $P1$ज के लिए समाहित नहीं हैं, जो बिंदुओं के लिए $P2$ के साथ संयोजित होती हैं, और जो $P1$ में सम्मिलित हैं, जो समानांतर रेखाओं की दिशाओं के साथ से पत्राचार में हैं, इस प्रकार $P2$ यह प्रक्षेप्य तल के बिंदुओं की स्पष्टता के लिए यहां प्रक्षेप्य बिंदु कहा जाता है, जिसके लिए गुजरने वाली रेखाओं के रूप में परिभाषित करने का सुझाव देता है, इस प्रकार $O$ इस तल में प्रक्षेप्य रेखा में गुजरने वाले तल में निहित सभी प्रक्षेप्य बिंदु $O$ सम्मिलित होते हैं, जैसे कि गुजरने वाले दो समतलों का प्रतिच्छेदन $O$ रेखा है, जो गुजरती है $O$, दो अलग-अलग प्रक्षेप्य रेखाओं के प्रतिच्छेदन में एकल प्रक्षेप्य बिंदु होता है। इस प्रकार समतल $P1$ के लिए प्रक्षेप्य रेखा को परिभाषित करता है, जिसे $P2$ अनंत पर रेखा कहा जाता है, जिसके प्रत्येक बिंदु को पहचान कर $P2$ संगत प्रक्षेप्य बिंदु के साथ, कोई इस प्रकार कह सकता है कि प्रक्षेप्य तल का असंयुक्त संघ है, इस प्रकार $P2$ और अनंत पर (प्रक्षेप्य) रेखा प्राप्त होती हैं।

एक विशिष्ट बिंदु के साथ संबद्ध समष्टि के रूप में $O$ को इसके संबद्ध सदिश समष्टि से पहचाना जा सकता है। इस प्रकार ), पूर्ववर्ती निर्माण सामान्यतः सदिश समष्टि से प्रारंभ करके किया जाता है और इसे प्रक्षेपीकरण कहा जाता है। इसके अतिरिक्त, निर्माण किसी भी धनात्मक आयाम के सदिश समष्टि से प्रारंभ करके किया जा सकता है।

तो, आयाम का प्रक्षेप्य समष्टि $n$ को आयाम के सदिश समष्टि में सदिश रेखाओं आयाम के सदिश उपसमष्टि के समुच्चय $n + 1$ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, इस प्रकार प्रक्षेप्य समष्टि को किसी भी समुच्चय के तत्वों के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है जो सदिश रेखाओं के इस समुच्चय के साथ प्राकृतिक पत्राचार में है।

यह समुच्चय सदिश द्वारा परिभाषित सदिश के बीच तुल्यता संबंध के अनुसार तुल्यता वर्गों का समुच्चय हो सकता है, जो इस प्रकार गैर-शून्य स्केलर द्वारा दूसरे का उत्पाद है। दूसरे शब्दों में, यह प्रक्षेप्य समष्टि को सदिश रेखाओं के समुच्चय के रूप में परिभाषित करने के बराबर है जिसमें शून्य सदिश हटा दिया गया है।

तीसरी समतुल्य परिभाषा आयाम के प्रक्षेप्य समष्टि को परिभाषित करना है, इस प्रकार $n$ आयाम के क्षेत्र में एंटीपोडल बिंदुओं के जोड़े के समुच्चय के रूप में $n$ (आयाम के समष्टि में $n + 1$) प्राप्त होता हैं।

परिभाषा
एक सदिश समष्टि दिया गया है, इस प्रकार $V$ क्षेत्र पर (गणित) $K$, प्रक्षेप्य समष्टि $P(V)$ तुल्यता वर्गों का समुच्चय $V \ \{0\}$ है, इसके आधार पर तुल्यता संबंध के अनुसार $~$ द्वारा परिभाषित $x ~ y$ यदि कोई शून्येतर तत्व है, यहाँ पर $λ$ का $K$ ऐसा है कि $x = λy$ यदि $V$ टोपोलॉजिकल सदिश क्षेत्र, भागफल क्षेत्र है, इस प्रकार यहाँ पर $P(V)$ टोपोलॉजिकल क्षेत्र है, जो इस प्रकार सबक्षेत्र टोपोलॉजी के भागफल टोपोलॉजी $V \ \{0\}$से संपन्न है, ये तो तब की बात है जब $K$ फ़ील्ड है, जिसके कारण $$\mathbb R$$ वास्तविक संख्याओं या फ़ील्ड का $$\mathbb C$$ सम्मिश्र संख्याओं के लिए $V$ परिमित आयामी है, जिसका आयाम $P(V)$ का आयाम $V$ शून्य से कम है।

सामान्य स्थिति में जहाँ $V = Kn+1$, प्रक्षेप्य समष्टि $P(V)$ दर्शाया गया है, जिसके अनुसार $Pn(K)$ (साथ ही $KPn$ या $Pn(K)$, चूंकि यह संकेतन घातांक के साथ भ्रमित हो सकता है। इस प्रकार अंतरिक्ष $Pn(K)$ को अधिकांशतः आयाम का प्रक्षेप्य समष्टि कहा जाता है, जहाँ पर $n$ ऊपर $K$, या प्रक्षेप्य $n$-क्षेत्र, चूंकि आयाम के सभी प्रक्षेप्य समष्टि $n$ इसमें समरूपता है, क्योंकि प्रत्येक $K$ आयाम का सदिश समष्टि $n + 1$ समरूपी$Kn+1$ है।

प्रक्षेप्य समष्टि के तत्व $P(V)$ को सामान्यतः बिंदु (ज्यामिति) कहा जाता है। यदि आधार (सदिश समष्टि)। $V$ को चुना गया है, और इस प्रकार विशेष रूप से यदि $V = Kn+1$, किसी बिंदु P के प्रक्षेप्य निर्देशांक संगत तुल्यता वर्ग के किसी भी तत्व के आधार पर निर्देशांक होते हैं। ये निर्देशांक सामान्यतः दर्शाए जाते हैं $[x_{0} : ... : x_{n}]$, कोलन और ब्रैकेट का उपयोग सामान्य निर्देशांक से अलग करने के लिए किया जा रहा है, और इस बात पर बल दिया जा रहा है कि यह समतुल्य वर्ग है, जिसे गैर शून्य स्थिरांक द्वारा गुणा तक परिभाषित किया गया है। अर्थात इस प्रकार यदि $[x_{0} : ... : x_{n}]$ तो, बिंदु के प्रक्षेप्य निर्देशांक हैं $[λx_{0} : ... : λx_{n}]$ किसी भी अशून्य के लिए, उसी बिंदु के प्रक्षेप्य निर्देशांक $λ$ में $K$ भी हैं, इसके साथ ही उपरोक्त परिभाषा का तात्पर्य यह है कि $[x_{0} : ... : x_{n}]$ किसी बिंदु के प्रक्षेप्य निर्देशांक हैं यदि और केवल यदि कम से कम निर्देशांक शून्येतर है।

यदि $K$ वास्तविक या सम्मिश्र संख्याओं का क्षेत्र है, प्रक्षेप्य समष्टि को क्रमशः वास्तविक प्रक्षेप्य समष्टि या सम्मिश्र प्रक्षेप्य समष्टि कहा जाता है। यदि $n$ या दो है, आयाम का प्रक्षेप्य समष्टि $n$ को क्रमशः प्रक्षेप्य रेखा या प्रक्षेप्य तल कहा जाता है। इस प्रकार सम्मिश्र प्रक्षेप्य रेखा को रीमैन क्षेत्र भी कहा जाता है।

ये सभी परिभाषाएँ स्वाभाविक रूप से उस स्थिति तक विस्तारित हैं जहाँ $K$ विभाजन वलय है, उदाहरण के लिए, क्वाटरनियोनिक प्रक्षेप्य समष्टि देखें। इसके संकेतन $PG(n, K)$ का प्रयोग कभी-कभी किया जाता है $Pn(K)$. अगर $K$ परिमित क्षेत्र है, जहाँ पर $q$तत्व, $Pn(K)$ को अधिकांशतः $PG(n, q)$ (PG(3,2)दर्शाया जाता है ।

उपसमष्टि
इस प्रकार $P(V)$ प्रक्षेप्य समष्टि बनें, जहाँ $V$ क्षेत्र के ऊपर सदिश समष्टि $K$ है, इस प्रकार उक्त समीकरण प्राप्त होता है- $$p:V\to \mathbf P(V)$$ वह विहित मानचित्र हो जो गैर-शून्य सदिश को उसके समतुल्य वर्ग में मैप करता है, जो कि सदिश रेखा है, जहाँ पर $p$शून्य सदिश हटा दिया गया है।

प्रत्येक रैखिक उपसमष्टि $W$ का $V$ रेखाओं का संघ है. यह इस प्रकार है कि $p(W)$ प्रक्षेप्य समष्टि को प्रदर्शित करता है, जिससे $P(W)$प हचाना जा सकता है ।

एक प्रक्षेप्य उपसमष्टि इस प्रकार प्रक्षेप्य समष्टि है जो रैखिक उपसमष्टि तक सीमित करके प्राप्त किया जाता है, जो तुल्यता संबंध $P(V)$ को परिभाषित करता है।

अगर $p(v)$ और $p(w)$ के दो अलग-अलग बिंदु हैं, इस प्रकार $P(V)$, सदिश $v$ और $w$ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। यह इस प्रकार है कि:
 * बिल्कुल प्रक्षेप्य रेखा है जो दो अलग-अलग बिंदुओं $P(V)$ से होकर गुजरती है, और
 * का उपसमुच्चय $P(V)$ प्रक्षेप्य उपसमष्टि है यदि और केवल यदि, किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं को देखते हुए, इसमें इन बिंदुओं से गुजरने वाली पूरी प्रक्षेप्य रेखा सम्मिलित होता हैं।

सिंथेटिक ज्यामिति में, जहाँ प्रक्षेप्य रेखाएं आदिम वस्तुएं हैं, पहली संपत्ति स्वयंसिद्ध है, और दूसरी प्रक्षेप्य उप-समष्टि की परिभाषा है।

विस्तार
प्रक्षेप्य उपसमष्टियों का प्रत्येक समुच्चय प्रतिच्छेदन प्रक्षेप्य उपसमष्टि है। यह प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए इसका अनुसरण करता है, यहाँ पर $S$ प्रक्षेप्य समष्टि में, सबसे छोटा प्रक्षेप्य उपसमष्टि $S$ होता है, इस कारण युक्त सभी प्रक्षेप्य उप-समष्टियों का प्रतिच्छेदन $S$ इस प्रकार हैं कि प्रक्षेप्य उपसमष्टि को प्रक्षेप्य विस्तार कहा जाता है $S$, और $S$ इसके लिए स्पैनिंग समुच्चय है।

एक समुच्चय $S$ बिंदुओं का विस्तार प्रक्षेप्य रूप से स्वतंत्र है यदि इसका विस्तार किसी उचित उपसमुच्चय $S$ का विस्तार नहीं है, इस कारण यदि $S$ प्रक्षेप्य समष्टि का फैला हुआ समुच्चय है $P$, तो इसका उपसमुच्चय है $S$ वह फैला हुआ है $P$ और प्रक्षेप्य रूप से स्वतंत्र है, यह सदिश रिक्त समष्टि के लिए समान प्रमेय का परिणाम है। इस प्रकार यदि इसका आयाम $P$ $n$ है, ऐसा स्वतंत्र स्पैनिंग समुच्चय $n + 1$तत्व प्रकट करता हैं।

सदिश क्षेत्र और एफ़िन क्षेत्र की स्थितियों के विपरीत, स्वतंत्र स्पैनिंग समुच्चय निर्देशांक को परिभाषित करने के लिए पर्याप्त नहीं है। इस प्रकार बिंदु की आवश्यकता है, जिसके लिए इसका अगला भाग देखें।

फ़्रेम
प्रक्षेप्य फ़्रेम प्रक्षेप्य समष्टि में बिंदुओं का क्रमबद्ध समुच्चय है जो निर्देशांक को परिभाषित करने की अनुमति देता है। अधिक सटीक रूप से, A में $n$-आयामी प्रक्षेप्य समष्टि, प्रक्षेप्य फ़्रेम का टपल $n + 2$ है, जिसमें अंक ऐसे कि कोई भी $n + 1$ उनमें से स्वतंत्र हैं—अर्थात् हाइपरप्लेन में समाहित नहीं हैं।

अगर $V$ है, जहाँ पर$(n + 1)$-आयामी सदिश समष्टि, और $p$ से विहित प्रक्षेपण है, जहाँ पर $V$ को $P(V)$, तब $$(p(e_0),\dots, p(e_{n+1}))$$ प्रक्षेप्य फ्रेम है, यदि और केवल यदि $$(e_0, \dots, e_n)$$ का आधार है, इस कारण $V$, और के गुणांक $$e_{n+1}$$ इस आधार पर सभी अशून्य हैं। इस प्रकार पहले इसको पुनः स्केल करके $n$ सदिश, किसी भी फ्रेम को फिर से लिखा जा सकता है, इस प्रकार $$(p(e'_0),\dots, p(e'_{n+1}))$$ ऐसा है कि $$e'_{n+1} = e'_0 + \dots + e'_n;$$ यह निरूपण सभी के गुणन तक अद्वितीय है $$e'_i$$ सामान्य अशून्य कारक के साथ सम्मिलित हैं।

किसी बिंदु के प्रक्षेप्य निर्देशांक या सजातीय निर्देशांक $p(v)$ फ्रेम पर $$(p(e_0),\dots, p(e_{n+1}))$$ साथ $$e_{n+1}=e_0+\dots+ e_n$$ के निर्देशांक हैं, जहाँ पर $v$ आधार पर $$(e_0, \dots, e_n).$$ उन्हें फिर से केवल सामान्य गैर-शून्य कारक के साथ स्केलिंग तक परिभाषित किया गया है।

प्रक्षेप्य समष्टि का विहित संरचना $Pn(K)$ द्वारा प्रतिबिंबयां सम्मिलित हैं, और इसी प्रकार $p$ विहित आधार के तत्वों का $Kn + 1$ (केवल गैर-शून्य प्रविष्टि वाले टुपल्स, 1 के बराबर), और प्रतिबिंब द्वारा $p$ उनके योग का मान प्रकट करता हैं।

टोपोलॉजी
प्रोजेक्टिव क्षेत्र टोपोलॉजिकल क्षेत्र है, जो परिमित आयामी वास्तविक सदिश क्षेत्र की टोपोलॉजी के भागफल टोपोलॉजी से संपन्न है।

होने देना $S$ मानक सदिश समष्टि में इकाई क्षेत्र बनें $V$, और फ़ंक्शन पर विचार करें- $$\pi: S \to \mathbf P(V)$$ जो बिंदु को मैप करता है $S$ इससे होकर गुजरने वाली सदिश रेखा तक। यह फ़ंक्शन सतत और विशेषणात्मक है, जिसके प्रत्येक बिन्दु का व्युत्क्रम प्रतिबिम्ब $P(V)$ दो एंटीपोडल बिंदुओं से मिलकर बनता है। चूंकि गोले सघन समष्टि हैं, इसलिए यह इस प्रकार है:

हर बिंदु के लिए $P$ का $S$, का प्रतिबंध $\pi$के समीप $P$ इसकी प्रतिबिंब पर होमियोमोर्फिज्म है, इस प्रकार समीप बिंदु इतना छोटा हो कि इसमें एंटीपोडल बिंदुओं की कोई जोड़ी न हो। इससे पता चलता है कि प्रक्षेप्य समष्टि अनेक गुना है। सरल एटलस (टोपोलॉजी) निम्नानुसार प्रदान किया जा सकता है।

जैसे ही इसके लिए आधार चुना गया $V$, किसी भी सदिश को उसके निर्देशांक के आधार पर, और इस प्रकार किसी भी बिंदु से पहचाना जा सकता है $P(V)$ को इसके सजातीय निर्देशांक से पहचाना जा सकता है। जिसके लिए $i = 0, ..., n$, समुच्चय $$U_i = \{[x_0:\cdots: x_n], x_i \neq 0\}$$ का संवृत उपसमुच्चय $P(V)$ है, और $$\mathbf P(V) = \bigcup_{i=0}^n U_i$$ जिसके हर बिंदु से $P(V)$ में कम से कम अशून्य निर्देशांक है।

प्रत्येक के लिए $Ui$ चार्ट (टोपोलॉजी) से जुड़ा है, जो होमोमोर्फिज्म है $$\begin{align} \mathbb \varphi_i: R^n &\to U_i\\ (y_0,\dots,\widehat{y_i},\dots y_n)&\mapsto [y_0:\cdots:y_{i-1}:1:y_{i+1}:\cdots:y_n], \end{align}$$ ऐसा है कि $$\varphi_i^{-1}\left([x_0:\cdots x_n]\right) =\left (\frac{x_0}{x_i}, \dots, \widehat{\frac{x_i}{x_i}}, \dots, \frac{x_n}{x_i} \right ),$$ जहाँ कैप का अर्थ है कि संबंधित शब्द विलुप्त है। ये चार्ट एटलस (टोपोलॉजी) बनाते हैं, और, चूंकि संक्रमण मानचित्र विश्लेषणात्मक कार्य हैं, इसका परिणाम यह होता है कि प्रक्षेप्य समष्टि विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड हैं।

उदाहरण के लिए, के स्थिति में $n = 1$, वह प्रक्षेप्य रेखा है, केवल दो हैं, इस प्रकार $Ui$, जिनमें से प्रत्येक को वास्तविक लाइन की प्रति के रूप में पहचाना जा सकता है। दोनों पंक्तियों में, दो चार्टों का प्रतिच्छेदन गैर-शून्य वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, और संक्रमण मानचित्र है $$x\mapsto \frac 1 x$$ दोनों दिशाओं में. प्रतिबिंब प्रक्षेप्य रेखा को वृत्त के रूप में दर्शाती है जहाँ एंटीपोडल बिंदुओं की पहचान की जाती है, और प्रक्षेप्य रेखा के लिए वास्तविक रेखा की दो होमोमोर्फिज्म दिखाती है, जैसे ही एंटीपोडल बिंदुओं की पहचान की जाती है, प्रत्येक पंक्ति की प्रतिबिंब को खुले आधे वृत्त के रूप में दर्शाया जाता है, जिसे बिंदु को हटाकर प्रक्षेप्य रेखा से पहचाना जा सकता है।

सीडब्ल्यू सम्मिश्र संरचना
वास्तविक प्रक्षेप्य समष्टियों में सरल सीडब्ल्यू सम्मिश्र संरचना $P^{n}(R)$ होती है, जिससे $P^{n − 1}(R)$ का मान प्राप्त किया जा सकता है, जिसके लिए संलग्न इसे करके $n$-भागफल प्रक्षेपण के साथ सेल $S^{n−1} → P^{n−1}(R)$ संलग्न मानचित्र के रूप में प्राप्त होता हैं।

बीजगणितीय ज्यामिति
मूल रूप से, बीजगणितीय ज्यामिति बहुभिन्नरूपी बहुपदों के समुच्चय के सामान्य शून्य का अध्ययन था। ये सामान्य शून्य, जिन्हें बीजगणितीय प्रकार कहा जाता है, एफ़िन क्षेत्र से संबंधित हैं। शीघ्र ही यह सामने आया कि वास्तविक गुणांकों के स्थिति में, सटीक परिणाम प्राप्त करने के लिए सभी सम्मिश्र शून्यों पर विचार करना चाहिए। उदाहरण के लिए, बीजगणित का मौलिक प्रमेय दावा करता है कि डिग्री का अविभाज्य वर्ग-मुक्त बहुपद $n$ बिलकुल है, इस प्रकार यहाँ पर $n$ सम्मिश्र मूल बहुभिन्नरूपी स्थिति में, सम्मिश्र शून्य पर विचार करना भी आवश्यक है, अपितु पर्याप्त नहीं: किसी को अनंत पर शून्य पर भी विचार करना चाहिए। इस प्रकार उदाहरण के लिए, बेज़ाउट का प्रमेय दावा करता है कि संबंधित डिग्री के दो समतल बीजगणितीय वक्रों का प्रतिच्छेदन $d$ और $e$ बिल्कुल सम्मिलित है, जिसके आधार पर $de$ अंक यदि कोई प्रक्षेप्य तल में सम्मिश्र बिंदुओं पर विचार करता है, और यदि कोई बिंदुओं को उनकी बहुलता के साथ गिनता है। इस प्रकार इसके अन्य उदाहरण जीनस-डिग्री फॉर्मूला है, जो इस प्रकार सम्मिश्र प्रक्षेप्य समतल में वक्र के एकवचन बिंदु से समतल बीजगणितीय वक्र के जीनस की गणना करने की अनुमति देता है।

तो प्रक्षेप्य विविधता प्रक्षेप्य समष्टि में बिंदुओं का समूह है, जिसके सजातीय निर्देशांक सजातीय बहुपदों के समुच्चय के सामान्य शून्य होते हैं।

किसी भी एफ़िन को अनंत पर अपने बिंदुओं को जोड़कर भिन्न तरीको से, प्रक्षेप्य प्रकार में पूरा किया जा सकता है, जिसमें बहुपद को परिभाषित करने वाले बहुपद का समरूपीकरण होता है, और अनंत पर हाइपरप्लेन में निहित घटकों को संतृप्ति द्वारा हटा दिया जाता है, इस प्रकार क्रमविनिमेय बीजगणित के समरूपीकरण चर के संबंध में उपयुक्त किये जाते हैं।

प्रक्षेप्य रिक्त समष्टि और प्रक्षेप्य प्रकारों की महत्वपूर्ण संपत्ति यह है कि बीजगणितीय प्रकारों के रूपवाद के अनुसार प्रक्षेप्य विविधता की प्रतिबिंब ज़ारिस्की टोपोलॉजी के लिए बंद है (अर्थात, यह बीजगणितीय समुच्चय है)। यह वास्तविक और सम्मिश्र प्रक्षेप्य समष्टि की सघनता के प्रत्येक जमीनी क्षेत्र का सामान्यीकरण है।

एक प्रक्षेप्य समष्टि स्वयं प्रक्षेप्य विविधता है, जो शून्य बहुपद के शून्यों का समुच्चय है।

योजना सिद्धांत
20वीं शताब्दी के उत्तरार्ध के समय अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक द्वारा प्रस्तुत योजना सिद्धांत, बीजीय प्रकारों के सामान्यीकरण को परिभाषित करने की अनुमति देता है, जिसे स्कीम (गणित) कहा जाता है, छोटे टुकड़ों को साथ जोड़कर, जिन्हें एफ़िन योजनाएं कहा जाता है, उसी तरह जैसे खुले समुच्चयों को साथ जोड़कर कई गुना बनाया जा सकता है। इस प्रकार $$\R^n.$$ के लिए प्रोज निर्माण प्रक्षेप्य समष्टि की योजना का निर्माण है, और, सामान्यतः किसी भी प्रक्षेप्य प्रकार का, एफ़िन योजनाओं को साथ जोड़कर देखा जाता हैं। इस प्रकार प्रोजेक्टिव क्षेत्र के स्थिति में, कोई इन एफाइन योजनाओं के लिए प्रोजेक्टिव क्षेत्र के उपरोक्त विवरण के चार्ट (एफाइन क्षेत्र) से जुड़ी एफाइन योजनाओं को कई गुना के रूप में ले सकता है।

सिंथेटिक ज्यामिति
सिंथेटिक ज्यामिति में, प्रक्षेप्य समष्टि एस को स्वयंसिद्ध रूप से समुच्चय पी (बिंदुओं का समुच्चय) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, साथ में पी (द) के उपसमुच्चय के समुच्चय एल के साथ पंक्तियों का समुच्चय), इन सिद्धांतों को संतुष्ट करता है:
 * प्रत्येक दो अलग-अलग बिंदु p और q बिल्कुल पंक्ति में हैं।
 * ओसवाल्ड वेब्लेन का स्वयंसिद्ध कथन: यदि A, B, C, D के लिए अलग-अलग बिंदु हैं और AB और CD से होकर जाने वाली रेखाएं मिलती हैं, तो एसी और बीडी से गुजरने वाली रेखाएं भी मिलती हैं।
 * किसी भी रेखा पर कम से कम 3 बिंदु होते हैं।

अंतिम अभिगृहीत कम करने योग्य मामलों को समाप्त कर देता है, जिन्हें अलग-अलग प्रक्षेप्य समष्टियों में किन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ने वाली 2-बिंदु रेखाओं के साथ प्रक्षेप्य समष्टियों के असंयुक्त संघ के रूप में लिखा जा सकता है। अधिक संक्षेप में, इसे घटना संरचना के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, इस प्रकार $(P, L, I)$ जिसमें बिंदुओं का समुच्चय P, रेखाओं का समुच्चय L और घटना संबंध हैं। इसमें सम्मिलित है जो बताता है कि कौन से बिंदु किन रेखाओं पर स्थित हैं।

इन सिद्धांतों द्वारा परिभाषित संरचनाएं ऊपर दिए गए सदिश अंतरिक्ष निर्माण से प्राप्त संरचनाओं की तुलना में अधिक सामान्य हैं। यदि (प्रोजेक्टिव) आयाम कम से कम तीन है, तो इस प्रकार वेब्लेन-यंग प्रमेय के अनुसार, कोई अंतर नहीं है। चूंकि, आयाम दो के लिए ऐसे उदाहरण हैं जो इन सिद्धांतों को संतुष्ट करते हैं जिनका निर्माण सदिश रिक्त समष्टि या यहां तक ​​कि विभाजन के छल्ले पर मॉड्यूल से नहीं किया जा सकता है। ये उदाहरण डेसार्गेस के प्रमेय को संतुष्ट नहीं करते हैं, और इन्हें गैर-डेसार्गेसियन समतलों के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार के आयाम में, कम से कम तीन तत्वों वाला कोई भी समुच्चय स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है, इसलिए स्वयंसिद्ध रूप से परिभाषित प्रक्षेप्य रेखाओं के लिए अतिरिक्त संरचना ग्रहण करना सामान्य है।

प्रक्षेप्य समष्टि को परिभाषित करने वाले सिद्धांतों को जोड़कर या संशोधित करके कम आयामों में परेशानी वाले मामलों से बचना संभव है। इस प्रकार बैचमैन के कारण ऐसा विस्तार देता है। यह सुनिश्चित करने के लिए कि आयाम कम से कम दो है, उपरोक्त तीन बिंदु प्रति पंक्ति अभिगृहीत को प्रतिस्थापित करें, गैर-डेसार्गेसियन समतलों से बचने के लिए, स्वयंसिद्ध के रूप में पप्पस के षट्भुज प्रमेय|पप्पस के प्रमेय को सम्मिलित करें, और इस प्रकार यह सुनिश्चित करने के लिए कि सदिश क्षेत्र को ऐसे क्षेत्र पर परिभाषित किया गया है जिसमें विशेषता (फ़ील्ड) भी नहीं है जिसमें फ़ानो का स्वयंसिद्ध सम्मिलित है,
 * चार बिंदु उपस्थित हैं, जिनमें से कोई भी तीन संरेख नहीं हैं।
 * यदि किसी षट्भुज के छह शीर्ष बारी-बारी से दो रेखाओं पर स्थित हों, तो विपरीत भुजाओं के युग्मों के तीन प्रतिच्छेदन बिंदु संरेख होते हैं।
 * पूर्ण चतुर्भुज के तीन विकर्ण बिंदु कभी भी संरेख नहीं होते हैं।

प्रक्षेप्य समष्टि का उप-समष्टि उपसमुच्चय X है, जैसे कि X के दो बिंदुओं वाली कोई भी रेखा X का उपसमुच्चय है, अर्थात, X में पूर्ण रूप से समाहित है, इस प्रकार पूर्ण समष्टि और रिक्त समष्टि सदैव उपसमष्टि होते हैं।

अंतरिक्ष के ज्यामितीय आयाम को एन कहा जाता है यदि वह सबसे बड़ी संख्या है जिसके लिए इस रूप के उप-समष्टियों की सख्ती से आरोही श्रृंखला है: $$\varnothing = X_{-1}\subset X_{0}\subset \cdots X_{n}=P.$$ एक उपसमष्टि $$X_i$$ ऐसी श्रृंखला में (ज्यामितीय) आयाम कहा जाता है $$i$$. आयाम 0 के उप-समष्टियों को बिंदु कहा जाता है, आयाम 1 के उप-समष्टियों को रेखाएँ कहा जाता है। यदि पूर्ण समष्टि का आयाम है, इसके पश्चात $$n$$ फिर आयाम का कोई उपसमष्टि $$n-1$$ हाइपरप्लेन कहा जाता है.

प्रक्षेप्य समष्टि जाली (आदेश) सिद्धांत के संदर्भ में समतुल्य सूत्रीकरण स्वीकार करते हैं। इस प्रकार प्रोजेक्टिव क्षेत्र और जियो मॉड्यूलर जाली के बीच विशेषण पत्राचार है, अर्थात्, उप-प्रत्यक्ष रूप से इरेड्यूसिबल, कॉम्पैक्ट तत्व, पूरक जाली, मॉड्यूलर लैटिस हैं।

वर्गीकरण

 * आयाम 0 (कोई रेखा नहीं): समष्टि एकल बिंदु है।
 * आयाम 1 (बिल्कुल रेखा): सभी बिंदु अद्वितीय रेखा पर स्थित हैं।
 * आयाम 2: कम से कम 2 रेखाएँ हैं, और कोई भी दो रेखाएँ मिलती हैं। के लिए प्रक्षेप्य समष्टि $n = 2$ प्रक्षेप्य तल के समतुल्य है। इन्हें वर्गीकृत करना बहुत कठिन है, क्योंकि इनमें से सभी के साथ समरूपी नहीं हैं $PG(d, K)$. देसार्गुएसियन समतल जो इसके साथ समरूपी हैं, जिसमें $PG(2, K))$ डेसार्गेस के प्रमेय को संतुष्ट करते हैं और विभाजन के छल्ले पर प्रक्षेप्य समतल हैं, अपितु कई गैर-डेसार्गेसियन समतल भी हैं।
 * आयाम कम से कम 3: दो गैर-प्रतिच्छेदी रेखाएँ उपस्थित हैं। वेब्लेन-यंग प्रमेय को इस प्रभाव से सिद्ध किया कि आयाम का प्रत्येक प्रक्षेप्य समष्टि $n ≥ 3$ a के साथ समरूपी है $PG(n, K)$, कुछ डिवीजन रिंग K पर एन-आयामी प्रक्षेप्य समष्टि को प्रदर्शित करते हैं।

परिमित प्रक्षेप्य समष्टि और तल
परिमित प्रक्षेप्य समष्टि प्रक्षेप्य का ऐसा समष्टि है जहाँ P बिंदुओं का सीमित समूह है। किसी भी परिमित प्रक्षेप्य समष्टि में, प्रत्येक पंक्ति में समान संख्या में बिंदु होते हैं और समष्टि के क्रम को इस सामान्य संख्या से कम के रूप में परिभाषित किया जाता है। कम से कम तीन आयामों के परिमित प्रक्षेप्य समष्टियों के लिए, वेडरबर्न के छोटे प्रमेय या वेडरबर्न के प्रमेय का तात्पर्य है, कि विभाजन रिंग जिस पर प्रक्षेप्य समष्टि को परिभाषित किया गया है, परिमित क्षेत्र, जीएफ (q) होना चाहिए, जिसका क्रम (अर्थात, तत्वों की संख्या) के लिए q प्रमुख शक्ति हैं। इस प्रकार ऐसे परिमित क्षेत्र पर परिभाषित परिमित प्रक्षेप्य समष्टि है, जहाँ $q + 1$ रेखा पर बिंदु, इसलिए क्रम की दो अवधारणाएँ मेल खाती हैं। इस प्रकार सांकेतिक रूप से, $PG(n, GF(q))$ सामान्यतः $PG(n, q)$ प्रकार से लिखा जाता है।

एक ही क्रम के सभी परिमित क्षेत्र समरूपी होते हैं, इसलिए, समरूपता तक, किसी दिए गए परिमित क्षेत्र पर तीन से अधिक या उसके बराबर प्रत्येक आयाम के लिए केवल परिमित प्रक्षेप्य समष्टि होता है। चूंकि इस प्रकार आयाम दो में गैर-डेसार्गेसियन समतल हैं। समरूपता तक सीमित हैं, जो इस प्रकार हैं-

क्रमशः 2, 3, 4, ..., 10 क्रम के परिमित प्रक्षेप्य तल। इससे आगे की संख्याओं की गणना करना बहुत कठिन है और ब्रुक-राइसर-चौला प्रमेय|ब्रुक-राइसर प्रमेय के कारण कुछ शून्य मानों को छोड़कर निर्धारित नहीं किया जाता है।

सबसे छोटा प्रक्षेप्य समतल फ़ानो समतल है, $PG(2, 2)$ 7 बिंदुओं और 7 रेखाओं के साथ। सबसे छोटा 3-आयामी प्रक्षेप्य समष्टि PG(3,2) है, जिसमें 15 बिंदु, 35 रेखाएँ और 15 तल हैं।

रूपवाद
विशेषण रेखीय मानचित्र $T ∈ L(V, W)$ ही फ़ील्ड k पर दो सदिश क्षेत्र V और W के बीच संबंधित प्रोजेक्टिव क्षेत्र की मैपिंग प्रेरित करें $P(V) → P(W)$ के अनुसार:

जहाँ v, V का गैर-शून्य तत्व है, और [...] संबंधित प्रक्षेप्य समष्टियों की परिभाषित पहचान के अनुसार सदिश के समतुल्य वर्गों को दर्शाता है। चूँकि तुल्यता वर्ग के सदस्य अदिश कारक से भिन्न होते हैं, और रैखिक मानचित्र अदिश कारकों को संरक्षित करते हैं, इसलिए यह प्रेरित मानचित्र अच्छी तरह से परिभाषित है। यदि T इंजेक्शन नहीं है, तो इस प्रकार इसका शून्य समष्टि {0} से बड़ा है, इस स्थिति में T(v) के वर्ग का अर्थ समस्याग्रस्त है यदि v गैर-शून्य है और शून्य समष्टि में है। इस स्थिति में कोई प्राप्त करता है तथाकथित तर्कसंगत मानचित्र, द्विवार्षिक ज्यामिति भी देखें।

दो रेखीय मानचित्र S और T $[v] → [T(v)]$ P(V) और P(W) के बीच समान मानचित्र उत्पन्न करें यदि और केवल यदि वे अदिश गुणक से भिन्न हों, अर्थात यदि $L(V, W)$ कुछ के लिए $T = λS$. इस प्रकार यदि कोई अंतर्निहित फ़ील्ड K के साथ पहचान फ़ंक्शन के अदिश गुणकों की पहचान करता है, तो इस प्रकार 'P'(V) से 'P'(W) तक K-रैखिक आकारिकी का समुच्चय बस $λ ≠ 0$ हैं।

स्वचालितता $P(L(V, W))$ को अधिक ठोस रूप से वर्णित किया जा सकता है। हम केवल आधार क्षेत्र K को संरक्षित करने वाले ऑटोमोर्फिज्म से हल करते हैं। पर्याप्त लाइन समूह की धारणा का उपयोग करके, यह दिखाया जा सकता है कि कोई भी बीजगणितीय आवश्यक नहीं कि रैखिक ऑटोमोर्फिज्म रैखिक होना चाहिए, अर्ताथ, सदिश क्षेत्र वी के (रैखिक) ऑटोमोर्फिज्म से आ रहा है। बाद वाला समूह (गणित) सामान्य रैखिक बनाता है समूह|जीएल(वी). अदिश राशि से भिन्न मानचित्रों की पहचान करके, कोई यह निष्कर्ष निकाल सकता है-

जीएल (वी) मॉड्यूलो का भागफल समूह वे आव्यूह हैं जो पहचान के अदिश गुणज हैं। (ये आव्यूह ऑट (V) के समूह का केंद्र बनाते हैं।) समूह पीजीएल को प्रक्षेप्य रैखिक समूह कहा जाता है। सम्मिश्र प्रक्षेप्य रेखा 'P'1(C) की ऑटोमोर्फिज्म को मोबियस परिवर्तन कहा जाता है।

दोहरी प्रक्षेप्य समष्टि
जब उपरोक्त निर्माण को दोहरे समष्टि V पर लागू किया जाता है∗ V के अतिरिक्त, व्यक्ति को दोहरा प्रक्षेप्य समष्टि प्राप्त होता है, जिसे V की उत्पत्ति के माध्यम से हाइपरप्लेन के समष्टि के साथ विहित रूप से पहचाना जा सकता है। अर्थात, यदि V n आयामी है, तो 'P'(V)∗) का ग्रासमैनियन है, जो $P(V) → P(V)$ वी में समतल स्थिति में व्याप्त होता हैं।

बीजगणितीय ज्यामिति में, यह निर्माण प्रक्षेप्य समूहों के निर्माण में अधिक तन्यता की अनुमति देता है। कोई भी समष्टिीय रूप से मुक्त ही नहीं, बल्कि योजना Y पर प्रत्येक अर्ध-सुसंगत शीफ E के लिए प्रक्षेप्य समष्टि को जोड़ने में सक्षम होना चाहेगा। बीजगणितीय ज्यामिति के तत्व देखेंII, द्वितीय क्रम की अधिक जानकारी के लिए चित्र 4 देखे।

सामान्यीकरण

 * आयाम: प्रक्षेप्य समष्टि, किसी दिए गए सदिश समष्टि V के सभी एक-आयामी रैखिक उप-समष्टियों का समष्टि होने के अनुसार, ग्रासमैनियन मैनिफोल्ड के लिए सामान्यीकृत है, जो इस प्रकार V के उच्च-आयामी उप-समष्टियों के लिए कुछ निश्चित आयामों को पैरामीट्रिज़ कर रहा है।
 * उप-समष्टियों का क्रम: अधिक सामान्यतः यह ध्वज अनेक गुना झंडों का समष्टि है, अर्थात V के रैखिक उप-समष्टियों की श्रृंखलाएँ हैं।
 * अन्य उप-प्रकार: और भी सामान्यतः, मॉड्यूलि क्षेत्र किसी दिए गए प्रकार के अण्डाकार वक्र जैसी वस्तुओं को पैरामीरिज करता है।
 * अन्य वलय: साहचर्य वलय (गणित) का सामान्यीकरण (केवल फ़ील्ड के अतिरिक्त) उत्पन्न होता है, उदाहरण के लिए, वलय के ऊपर प्रक्षेप्य रेखा प्राप्त होती हैं।
 * पैचिंग: प्रोजेक्टिव क्षेत्र को साथ पैच करने से प्रक्षेप्य अंतरिक्ष समूह मिलते हैं।

सेवेरी-ब्राउर प्रकार या सेवेरी-ब्राउर प्रकार के क्षेत्र k पर बीजगणितीय प्रकार हैं, जो आधार क्षेत्र k के विस्तार के बाद प्रक्षेप्य समष्टियों के लिए समरूपी हो जाती हैं।

प्रक्षेप्य समष्टियों का और सामान्यीकरण भारित प्रक्षेप्य समष्टि है, ये स्वयं टॉरिक प्रकार के विशेष स्थिति हैं।

यह भी देखें

 * ज्यामितीय बीजगणित


 * सामान्यीकरण
 * ग्रासमैनियन मैनिफोल्ड
 * रिंग के ऊपर प्रक्षेप्य रेखा
 * अंतरिक्ष (गणित)


 * प्रोजेक्टिव ज्यामिति
 * प्रक्षेपी परिवर्तन
 * प्रक्षेपी प्रतिनिधित्व

संदर्भ

 * Greenberg, M.J., Euclidean and non-Euclidean geometries, 2nd ed. Freeman (1980).
 * , esp. chapters I.2, I.7, II.5, and II.7
 * Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S., Geometry and the imagination, 2nd ed. Chelsea (1999).
 * (Reprint of 1910 edition)
 * Greenberg, M.J., Euclidean and non-Euclidean geometries, 2nd ed. Freeman (1980).
 * , esp. chapters I.2, I.7, II.5, and II.7
 * Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S., Geometry and the imagination, 2nd ed. Chelsea (1999).
 * (Reprint of 1910 edition)
 * Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S., Geometry and the imagination, 2nd ed. Chelsea (1999).
 * (Reprint of 1910 edition)
 * (Reprint of 1910 edition)

बाहरी संबंध

 * Projective Planes of Small Order
 * Projective Planes of Small Order
 * Projective Planes of Small Order