टेंसर व्युत्पन्न (सातत्य यांत्रिकी)

दूसरे क्रम के टेंसरों के संबंध में अदिश (गणित), यूक्लिडियन सदिश और दूसरे क्रम के टेंसर के दिशात्मक व्युत्पन्न का सातत्य यांत्रिकी में अधिक उपयोग होता हैं। इन व्युत्पन्न का उपयोग अरेखीय लोच और प्लास्टिसिटी (भौतिकी) के सिद्धांतों में किया जाता है, विशेष रूप से संख्यात्मक अनुकरण के लिए एल्गोरिदम के डिजाइन में उपयोग किया जाता है।

इस प्रकार दिशात्मक व्युत्पन्न इन व्युत्पन्नों को खोजने की व्यवस्थित विधि प्रदान करते है।

सदिश और दूसरे क्रम के टेंसर के संबंध में व्युत्पन्न
विभिन्न स्थितियों के लिए दिशात्मक व्युत्पन्न की परिभाषाएँ नीचे दी गई हैं। अतः यह माना जाता है कि कार्य पर्याप्त रूप से सुचारू होते हैं कि व्युत्पन्न लिया जा सकता है।

सदिशों के अदिश मान वाले कार्यों के व्युत्पन्न
मान लीजिए कि f('v') सदिश 'v' का वास्तविक मान फलन है। फिर 'v' (या 'v' पर) के संबंध में f('v') का व्युत्पन्न 'सदिश' अपने बिंदु उत्पाद के माध्यम से किसी भी सदिश यू के साथ परिभाषित किया गया है।

$$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = Df(\mathbf{v})[\mathbf{u}] = \left[\frac{d}{d\alpha}~f(\mathbf{v} + \alpha~\mathbf{u})\right]_{\alpha=0}$$ सभी सदिश यू के लिए उपरोक्त बिंदु उत्पाद अदिश उत्पन्न करता है और यदि यू इकाई सदिश होती है तब यू दिशा में वी पर 'एफ' का दिशात्मक व्युत्पन्न देता है।

गुण:
 * 1) यदि $$f(\mathbf{v}) = f_1(\mathbf{v}) + f_2(\mathbf{v})$$ तब $$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = \left(\frac{\partial f_1}{\partial \mathbf{v}} + \frac{\partial f_2}{\partial \mathbf{v}}\right)\cdot\mathbf{u}$$
 * 2) यदि $$f(\mathbf{v}) = f_1(\mathbf{v})~ f_2(\mathbf{v})$$ तब $$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = \left(\frac{\partial f_1}{\partial \mathbf{v}} \cdot \mathbf{u} \right)~f_2(\mathbf{v}) + f_1(\mathbf{v})~\left(\frac{\partial f_2}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} \right)$$
 * 3) यदि $$f(\mathbf{v}) = f_1(f_2(\mathbf{v}))$$ तब $$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = \frac{\partial f_1}{\partial f_2}~\frac{\partial f_2}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u}$$

सदिशों के सदिश मूल्यवान कार्यों के व्युत्पन्न
चूँकि f(v) सदिश v का सदिश मान फलन होता है। फिर v (या v पर) के संबंध में f(v) का व्युत्पन्न दूसरा क्रम टेन्सर है जो इसके बिंदु उत्पाद के माध्यम से किसी भी सदिश यू के साथ परिभाषित किया गया है।

$$ \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = D\mathbf{f}(\mathbf{v})[\mathbf{u}] = \left[\frac{d}{d\alpha}~\mathbf{f}(\mathbf{v} + \alpha~\mathbf{u} ) \right]_{\alpha = 0}$$ सभी सदिश यू के लिए उपरोक्त बिंदु उत्पाद सदिश उत्पन्न करता है और यदि यू इकाई सदिश होता है, तब दिशात्मक यू में, v पर f का व्युत्पन्न देता है।

गुण:
 * 1) यदि $$\mathbf{f}(\mathbf{v}) = \mathbf{f}_1(\mathbf{v}) + \mathbf{f}_2(\mathbf{v})$$ तब $$\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = \left(\frac{\partial \mathbf{f}_1}{\partial \mathbf{v}} + \frac{\partial \mathbf{f}_2}{\partial \mathbf{v}}\right)\cdot\mathbf{u} $$
 * 2) यदि $$\mathbf{f}(\mathbf{v}) = \mathbf{f}_1(\mathbf{v})\times\mathbf{f}_2(\mathbf{v})$$ तब $$\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = \left(\frac{\partial \mathbf{f}_1}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u}\right)\times\mathbf{f}_2(\mathbf{v}) + \mathbf{f}_1(\mathbf{v})\times\left(\frac{\partial \mathbf{f}_2}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} \right)$$
 * 3) यदि $$\mathbf{f}(\mathbf{v}) = \mathbf{f}_1(\mathbf{f}_2(\mathbf{v}))$$ तब $$\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = \frac{\partial \mathbf{f}_1}{\partial \mathbf{f}_2}\cdot\left(\frac{\partial \mathbf{f}_2}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} \right)$$

दूसरे क्रम के टेंसरों के अदिश मान वाले कार्यों के व्युत्पन्न
इस प्रकार $$f(\boldsymbol{S})$$ दूसरे क्रम के टेंसर का वास्तविक मूल्यवान कार्य होने देना है, फिर $$\boldsymbol{S}$$ की व्युत्पत्ति $$f(\boldsymbol{S})$$ होती है इसके संबंध में $$\boldsymbol{S}$$ (या $$\boldsymbol{S}$$) की दिशा में $$\boldsymbol{T}$$ दूसरे क्रम के टेंसर के रूप में परिभाषित किया गया है। $$\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = Df(\boldsymbol{S})[\boldsymbol{T}] = \left[\frac{d}{d\alpha}~f(\boldsymbol{S} + \alpha~\boldsymbol{T})\right]_{\alpha = 0}$$ सभी दूसरे क्रम के टेंसरों के लिए $$\boldsymbol{T}$$,

गुण:
 * 1) यदि $$f(\boldsymbol{S}) = f_1(\boldsymbol{S}) + f_2(\boldsymbol{S})$$ तब $$ \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = \left(\frac{\partial f_1}{\partial \boldsymbol{S}} + \frac{\partial f_2}{\partial \boldsymbol{S}}\right):\boldsymbol{T} $$
 * 2) यदि $$f(\boldsymbol{S}) = f_1(\boldsymbol{S})~ f_2(\boldsymbol{S})$$ तब $$ \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = \left(\frac{\partial f_1}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T}\right)~f_2(\boldsymbol{S}) + f_1(\boldsymbol{S})~\left(\frac{\partial f_2}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} \right) $$
 * 3) यदि $$f(\boldsymbol{S}) = f_1(f_2(\boldsymbol{S}))$$ तब $$ \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = \frac{\partial f_1}{\partial f_2}~\left(\frac{\partial f_2}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} \right) $$

दूसरे क्रम के टेंसर के टेन्सर मूल्यवान कार्यों के व्युत्पन्न
इस प्रकार $$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S})$$ दूसरे क्रम के टेंसर का दूसरे क्रम के टेन्सर मान फंक्शन होने देता है, फिर $$\boldsymbol{S}$$ की व्युत्पत्ति $$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S})$$ होती है इसके संबंध में $$\boldsymbol{S}$$ (या $$\boldsymbol{S}$$) की दिशा में $$\boldsymbol{T}$$ चौथे क्रम के टेन्सर के रूप में परिभाषित किया गया है। $$\frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = D\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S})[\boldsymbol{T}] = \left[\frac{d}{d\alpha}~\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S} + \alpha~\boldsymbol{T})\right]_{\alpha = 0}$$ सभी दूसरे क्रम के टेंसरों के लिए $$\boldsymbol{T}$$,

गुण:
 * 1) यदि $$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S}) = \boldsymbol{F}_1(\boldsymbol{S}) + \boldsymbol{F}_2(\boldsymbol{S})$$ तब $$ \frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = \left(\frac{\partial \boldsymbol{F}_1}{\partial \boldsymbol{S}} + \frac{\partial \boldsymbol{F}_2}{\partial \boldsymbol{S}}\right):\boldsymbol{T} $$
 * 2) यदि $$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S}) = \boldsymbol{F}_1(\boldsymbol{S})\cdot\boldsymbol{F}_2(\boldsymbol{S})$$ तब $$ \frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = \left(\frac{\partial \boldsymbol{F}_1}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T}\right)\cdot\boldsymbol{F}_2(\boldsymbol{S}) + \boldsymbol{F}_1 (\boldsymbol{S}) \cdot\left(\frac{\partial \boldsymbol{F}_2}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} \right) $$
 * 3) यदि $$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S}) = \boldsymbol{F}_1(\boldsymbol{F}_2(\boldsymbol{S}))$$ तब $$ \frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = \frac{\partial \boldsymbol{F}_1}{\partial \boldsymbol{F}_2}:\left(\frac{\partial \boldsymbol{F}_2}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} \right) $$
 * 4) यदि $$f(\boldsymbol{S}) = f_1(\boldsymbol{F}_2(\boldsymbol{S}))$$ तब $$ \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = \frac{\partial f_1}{\partial \boldsymbol{F}_2}:\left(\frac{\partial \boldsymbol{F}_2}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} \right) $$

टेंसर क्षेत्र की प्रवणता
प्रवणता, $$\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{T}$$, टेंसर क्षेत्र का $$\boldsymbol{T}(\mathbf{x})$$ अनैतिक स्थिर सदिश c की दिशा में इस प्रकार परिभाषित किया गया है। $$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{T}\cdot\mathbf{c} = \lim_{\alpha \rightarrow 0} \quad \cfrac{d}{d\alpha}~\boldsymbol{T}(\mathbf{x}+\alpha\mathbf{c})$$

अतः n क्रम के टेंसर क्षेत्र की प्रवणता क्रम n+1 का टेंसर क्षेत्र होता है।

कार्तीय निर्देशांक
यदि $$\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3$$ कार्तीय समन्वय प्रणाली में आधार सदिश होता हैं, जो बिंदुओं के निर्देशांक के साथ निरूपित होता है ($$x_1, x_2, x_3$$), फिर टेंसर क्षेत्र की प्रवणता $$\boldsymbol{T}$$ द्वारा दिया गया है। $$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{T} = \cfrac{\partial{\boldsymbol{T}}}{\partial x_i} \otimes \mathbf{e}_i $$

$$ चूंकि कार्तीय समन्वय प्रणाली में आधार सदिश भिन्न नहीं होते हैं, हमारे समीप अदिश क्षेत्र की प्रवणता के लिए निम्नलिखित संबंध होते हैं, $$\phi$$, सदिश क्षेत्र v, और दूसरे क्रम का टेंसर क्षेत्र $$\boldsymbol{S}$$ होता है। $$ \begin{align} \boldsymbol{\nabla}\phi & = \cfrac{\partial\phi}{\partial x_i}~\mathbf{e}_i = \phi_{,i} ~\mathbf{e}_i \\ \boldsymbol{\nabla}\mathbf{v} & = \cfrac{\partial (v_j \mathbf{e}_j)}{\partial x_i}\otimes\mathbf{e}_i = \cfrac{\partial v_j}{\partial x_i}~\mathbf{e}_j\otimes\mathbf{e}_i = v_{j,i}~\mathbf{e}_j\otimes\mathbf{e}_i \\ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{S} & = \cfrac{\partial (S_{jk} \mathbf{e}_j\otimes\mathbf{e}_k)}{\partial x_i}\otimes\mathbf{e}_i = \cfrac{\partial S_{jk}}{\partial x_i}~\mathbf{e}_j\otimes\mathbf{e}_k\otimes\mathbf{e}_i = S_{jk,i}~\mathbf{e}_j\otimes\mathbf{e}_k\otimes\mathbf{e}_i \end{align} $$

वक्रीय निर्देशांक
यदि $$\mathbf{g}^1,\mathbf{g}^2,\mathbf{g}^3$$ वक्रीय निर्देशांक प्रणाली में सदिशों के आधार वाले सदिशों के सहप्रसरण और विपरीतप्रसरण होते हैं, जिन्हें बिंदुओं के निर्देशांक द्वारा निरूपित किया जाता है ($$\xi^1, \xi^2, \xi^3$$), फिर टेंसर क्षेत्र का प्रवणता $$\boldsymbol{T}$$ द्वारा दिया गया है। (देखें प्रमाण के लिए) $$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{T} = \frac{\partial{\boldsymbol{T}}}{\partial \xi^i}\otimes\mathbf{g}^i $$ इस परिभाषा से हमारे समीप अदिश क्षेत्र के प्रवणता के लिए निम्नलिखित संबंध होते हैं $$\phi$$, सदिश क्षेत्र v और दूसरे क्रम का टेंसर क्षेत्र $$\boldsymbol{S}$$ होता है। $$\begin{align} \boldsymbol{\nabla}\phi & = \frac{\partial\phi}{\partial\xi^i}~\mathbf{g}^i \\ \boldsymbol{\nabla}\mathbf{v} & = \frac{\partial\left(v^j \mathbf{g}_j\right)}{\partial\xi^i}\otimes\mathbf{g}^i = \left(\frac{\partial v^j}{\partial\xi^i} + v^k~\Gamma_{ik}^j\right)~\mathbf{g}_j\otimes\mathbf{g}^i = \left(\frac{\partial v_j}{\partial\xi^i} - v_k~\Gamma_{ij}^k\right)~\mathbf{g}^j\otimes\mathbf{g}^i \\ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{S} & = \frac{\partial\left(S_{jk}~\mathbf{g}^j\otimes\mathbf{g}^k\right)}{\partial\xi^i}\otimes\mathbf{g}^i = \left(\frac{\partial S_{jk}}{\partial\xi_i} - S_{lk}~\Gamma_{ij}^l - S_{jl}~\Gamma_{ik}^l\right)~\mathbf{g}^j\otimes\mathbf{g}^k\otimes\mathbf{g}^i \end{align}$$ जहां क्रिस्टोफेल प्रतीक $$\Gamma_{ij}^k$$ है, इसका प्रयोग करके इसे परिभाषित किया गया है। $$ \Gamma_{ij}^k~\mathbf{g}_k = \frac{\partial\mathbf{g}_i}{\partial\xi^j} \quad \implies \quad \Gamma_{ij}^k = \frac{\partial\mathbf{g}_i}{\partial\xi^j}\cdot\mathbf{g}^k = -\mathbf{g}_i\cdot\frac{\partial \mathbf{g}^k}{\partial\xi^j} $$

बेलनाकार ध्रुवीय निर्देशांक
बेलनाकार निर्देशांक में, प्रवणता द्वारा दिया जाता है। $$\begin{align} \boldsymbol{\nabla}\phi ={}\quad &\frac{\partial\phi}{\partial r}~\mathbf{e}_r +   \frac{1}{r}~\frac{\partial \phi}{\partial \theta}~\mathbf{e}_\theta +   \frac{\partial\phi}{\partial z}~\mathbf{e}_z \\

\boldsymbol{\nabla}\mathbf{v} ={}\quad &\frac{\partial v_r}{\partial r}~\mathbf{e}_r \otimes \mathbf{e}_r +   \frac{1}{r}\left(\frac{\partial v_r}{\partial\theta} - v_\theta\right)~\mathbf{e}_r \otimes \mathbf{e}_\theta +   \frac{\partial v_r}{\partial z}~\mathbf{e}_r \otimes \mathbf{e}_z \\ {}+{} &\frac{\partial v_\theta}{\partial r}~\mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_r +   \frac{1}{r}\left(\frac{\partial v_\theta}{\partial\theta} + v_r\right)~\mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_\theta +   \frac{\partial v_\theta}{\partial z}~\mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_z \\ {}+{} &\frac{\partial v_z}{\partial r}~\mathbf{e}_z\otimes\mathbf{e}_r +   \frac{1}{r}\frac{\partial v_z}{\partial\theta}~\mathbf{e}_z \otimes\mathbf{e}_\theta +   \frac{\partial v_z}{\partial z}~\mathbf{e}_z\otimes\mathbf{e}_z \\

\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{S} ={}\quad &\frac{\partial S_{rr}}{\partial r}~\mathbf{e}_r\otimes\mathbf{e}_r\otimes\mathbf{e}_r +   \frac{\partial S_{rr}}{\partial z}~\mathbf{e}_r \otimes \mathbf{e}_r \otimes \mathbf{e}_z +   \frac{1}{r}\left[\frac{\partial S_{rr}}{\partial\theta} - (S_{\theta r} + S_{r\theta})\right]~\mathbf{e}_r \otimes \mathbf{e}_r\otimes\mathbf{e}_\theta \\ {}+{} &\frac{\partial S_{r\theta}}{\partial r}~\mathbf{e}_r \otimes \mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_r +   \frac{\partial S_{r\theta}}{\partial z}~\mathbf{e}_r \otimes \mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_z +   \frac{1}{r}\left[\frac{\partial S_{r\theta}}{\partial\theta} + (S_{rr} - S_{\theta\theta})\right]~\mathbf{e}_r \otimes \mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_\theta \\ {}+{} &\frac{\partial S_{rz}}{\partial r}~\mathbf{e}_r \otimes \mathbf{e}_z \otimes \mathbf{e}_r +   \frac{\partial S_{rz}}{\partial z}~\mathbf{e}_r \otimes \mathbf{e}_z \otimes \mathbf{e}_z +   \frac{1}{r}\left[\frac{\partial S_{rz}}{\partial \theta} - S_{\theta z}\right]~\mathbf{e}_r \otimes \mathbf{e}_z \otimes \mathbf{e}_\theta \\ {}+{} &\frac{\partial S_{\theta r}}{\partial r}~\mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_r \otimes \mathbf{e}_r +   \frac{\partial S_{\theta r}}{\partial z}~\mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_r \otimes \mathbf{e}_z +   \frac{1}{r}\left[\frac{\partial S_{\theta r}}{\partial\theta} + (S_{rr} - S_{\theta\theta})\right]~\mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_r \otimes \mathbf{e}_\theta \\ {}+{} &\frac{\partial S_{\theta\theta}}{\partial r}~\mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_r +   \frac{\partial S_{\theta\theta}}{\partial z}~\mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_z +   \frac{1}{r}\left[\frac{\partial S_{\theta\theta}}{\partial\theta} + (S_{r\theta} + S_{\theta r})\right]~\mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_\theta \\ {}+{} &\frac{\partial S_{\theta z}}{\partial r}~\mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_z \otimes \mathbf{e}_r +   \frac{\partial S_{\theta z}}{\partial z}~\mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_z \otimes \mathbf{e}_z +   \frac{1}{r}\left[\frac{\partial S_{\theta z}}{\partial\theta} + S_{rz}\right]~\mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_z \otimes \mathbf{e}_\theta \\ {}+{} &\frac{\partial S_{zr}}{\partial r}~\mathbf{e}_z \otimes \mathbf{e}_r \otimes \mathbf{e}_r +   \frac{\partial S_{zr}}{\partial z}~\mathbf{e}_z \otimes \mathbf{e}_r \otimes \mathbf{e}_z +   \frac{1}{r}\left[\frac{\partial S_{zr}}{\partial \theta} - S_{z\theta}\right]~\mathbf{e}_z \otimes \mathbf{e}_r \otimes \mathbf{e}_\theta \\ {}+{} &\frac{\partial S_{z\theta}}{\partial r}~\mathbf{e}_z \otimes \mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_r +   \frac{\partial S_{z\theta}}{\partial z}~\mathbf{e}_z \otimes \mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_z +   \frac{1}{r}\left[\frac{\partial S_{z\theta}}{\partial\theta} + S_{zr}\right]~\mathbf{e}_z \otimes \mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_\theta \\ {}+{} &\frac{\partial S_{zz}}{\partial r}~\mathbf{e}_z \otimes \mathbf{e}_z \otimes \mathbf{e}_r +   \frac{\partial S_{zz}}{\partial z}~\mathbf{e}_z \otimes \mathbf{e}_z \otimes \mathbf{e}_z +   \frac{1}{r}~\frac{\partial S_{zz}}{\partial\theta}~ \mathbf{e}_z \otimes \mathbf{e}_z \otimes \mathbf{e}_\theta \end{align}$$

टेंसर क्षेत्र का विचलन
टेंसर क्षेत्र का विचलन $$\boldsymbol{T}(\mathbf{x})$$ को पुनरावर्ती संबंध का उपयोग करके परिभाषित किया गया है। $$ (\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{T})\cdot\mathbf{c} = \boldsymbol{\nabla}\cdot\left(\mathbf{c}\cdot\boldsymbol{T}^\textsf{T}\right) ~;\qquad \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{v} = \text{tr}(\boldsymbol{\nabla}\mathbf{v}) $$ जहाँ c स्वेच्छ अचर सदिश है और v सदिश क्षेत्र है। यदि $$\boldsymbol{T}$$ क्रम n > 1 का टेन्सर क्षेत्र होता है तब क्षेत्र का विचलन क्रम n− 1 का टेन्सर होता है।

कार्तीय निर्देशांक
कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में सदिश क्षेत्र v और दूसरे क्रम के टेंसर क्षेत्र $$\boldsymbol{S}$$ के लिए हमारे समीप निम्नलिखित संबंध होते हैं। $$\begin{align} \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{v} &= \frac{\partial v_i}{\partial x_i} = v_{i,i} \\ \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{S} &= \frac{\partial S_{ik}}{\partial x_i}~\mathbf{e}_k = S_{ik, i}~\mathbf{e}_k \end{align}$$ जहां आंशिक व्युत्पन्न के लिए टेन्सर उचित अंकन का उपयोग सबसे उचित अभिव्यक्तियों में किया जाता है। ध्यान दीजिए कि $$\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{S} \neq \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{S}^\textsf{T}.$$ सामान्यतः सममित दूसरे क्रम के टेंसर के लिए, विचलन को अधिकांशतः इस रूप में भी लिखा जाता है।

$$\begin{align} \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{S} &= \cfrac{\partial S_{ki}}{\partial x_i}~\mathbf{e}_k = S_{ki,i}~\mathbf{e}_k \end{align}$$ उपरोक्त अभिव्यक्ति को कभी-कभी परिभाषा के रूप में प्रयोग किया जाता है $$\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{S}$$ कार्तीय घटक के रूप में (अधिकांशतः इसे भी लिखा जाता है $$\operatorname{div}\boldsymbol{S}$$). ध्यान दीजिए कि इस प्रकार की परिभाषा इस लेख के उपरोक्त भागों के अनुरूप नहीं होता है। (वक्रीय निर्देशांक पर अनुभाग देखें)

इसका अंतर इस बात से उपजा है कि क्या भेदभाव पंक्तियों या स्तंभों के संबंध में किया जाता है अतः $$\boldsymbol{S}$$ और $$\mathbf{v}$$ पारंपरिक है। यह उदाहरण द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। इस प्रकार कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में द्वितीय कोटि का टेंसर (मैट्रिक्स) $$\mathbf{S}$$ सदिश फ़ंक्शन की प्रवणता होती है।

$$\begin{align} \boldsymbol{\nabla} \cdot \left( \boldsymbol{\nabla} \mathbf{v} \right) &= \boldsymbol{\nabla} \cdot \left( v_{i,j} ~\mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j \right) = v_{i,ji} ~\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j = \left( \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{v} \right)_{,j} ~\mathbf{e}_j = \boldsymbol{\nabla} \left( \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{v} \right) \\

\boldsymbol{\nabla} \cdot \left[ \left( \boldsymbol{\nabla} \mathbf{v} \right)^\textsf{T} \right] &= \boldsymbol{\nabla} \cdot \left( v_{j,i} ~\mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j \right) = v_{j,ii} ~\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j = \boldsymbol{\nabla}^{2} v_{j} ~\mathbf{e}_j = \boldsymbol{\nabla}^{2} \mathbf{v} \end{align}$$ अंतिम समीकरण वैकल्पिक परिभाषा/व्याख्या के समतुल्य होता है।

$$\begin{align} \left( \boldsymbol{\nabla} \cdot \right)_\text{alt} \left( \boldsymbol{\nabla} \mathbf{v} \right) = \left( \boldsymbol{\nabla} \cdot \right)_\text{alt} \left( v_{i,j} ~\mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j \right) = v_{i,jj} ~\mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j \cdot \mathbf{e}_j = \boldsymbol{\nabla}^2 v_i ~\mathbf{e}_i = \boldsymbol{\nabla}^2 \mathbf{v} \end{align}$$

वक्रीय निर्देशांक
सामान्यतः घुमावदार निर्देशांक में, सदिश क्षेत्र v और दूसरे क्रम के टेंसर क्षेत्र का विचलन $$\boldsymbol{S}$$ होता हैं। $$\begin{align} \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{v} &= \left(\cfrac{\partial v^i}{\partial \xi^i} + v^k~\Gamma_{ik}^i\right)\\ \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{S} &= \left(\cfrac{\partial S_{ik}}{\partial \xi_i}- S_{lk}~\Gamma_{ii}^l - S_{il}~\Gamma_{ik}^l\right)~\mathbf{g}^k \end{align}$$ सामान्यतः अधिक, $$ \begin{align} \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{S} & = \left[\cfrac{\partial S_{ij}}{\partial q^k} - \Gamma^l_{ki}~S_{lj} - \Gamma^l_{kj}~S_{il}\right]~g^{ik}~\mathbf{b}^j \\[8pt] & = \left[\cfrac{\partial S^{ij}}{\partial q^i} + \Gamma^i_{il}~S^{lj} + \Gamma^j_{il}~S^{il}\right]~\mathbf{b}_j \\[8pt] & = \left[\cfrac{\partial S^i_{~j}}{\partial q^i} + \Gamma^i_{il}~S^l_{~j} - \Gamma^l_{ij}~S^i_{~l}\right]~\mathbf{b}^j \\[8pt] & = \left[\cfrac{\partial S_i^{~j}}{\partial q^k} - \Gamma^l_{ik}~S_l^{~j} + \Gamma^j_{kl}~S_i^{~l}\right]~g^{ik}~\mathbf{b}_j \end{align} $$

बेलनाकार ध्रुवीय निर्देशांक
बेलनाकार ध्रुवीय निर्देशांक में, $$\begin{align} \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{v} =\quad &\frac{\partial v_r}{\partial r}   +    \frac{1}{r}\left(\frac{\partial v_\theta}{\partial\theta} + v_r \right) +   \frac{\partial v_z}{\partial z}\\

\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{S} =\quad &\frac{\partial S_{rr}}{\partial r}~\mathbf{e}_r +   \frac{\partial S_{r\theta}}{\partial r}~\mathbf{e}_\theta +   \frac{\partial S_{rz}}{\partial r}~\mathbf{e}_z \\

{}+{} &\frac{1}{r}\left[\frac{\partial S_{\theta r}}{\partial \theta} +   (S_{rr} - S_{\theta\theta})\right]~\mathbf{e}_r +   \frac{1}{r}\left[\frac{\partial S_{\theta\theta}}{\partial\theta} +   (S_{r\theta} + S_{\theta r})\right]~\mathbf{e}_\theta +   \frac{1}{r}\left[\frac{\partial S_{\theta z}}{\partial\theta} + S_{rz}\right]~\mathbf{e}_z \\

{}+{} &\frac{\partial S_{zr}}{\partial z}~\mathbf{e}_r +   \frac{\partial S_{z\theta}}{\partial z}~\mathbf{e}_\theta +   \frac{\partial S_{zz}}{\partial z}~\mathbf{e}_z \end{align}$$

टेंसर क्षेत्र का कर्ल
ऑर्डर-एन > 1 टेन्सर क्षेत्र का कर्ल (गणित) $$\boldsymbol{T}(\mathbf{x})$$ पुनरावर्ती संबंध का उपयोग करके भी परिभाषित किया गया है। $$(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{T})\cdot\mathbf{c} = \boldsymbol{\nabla}\times(\mathbf{c}\cdot\boldsymbol{T}) ~;\qquad (\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{c} = \boldsymbol{\nabla}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{c})$$ जहाँ c स्वेच्छ अचर सदिश है और v सदिश क्षेत्र होता है।

प्रथम-क्रम टेंसर (सदिश) क्षेत्र का कर्ल
सदिश क्षेत्र v और स्वेच्छ अचर सदिश c पर विचार कर सकते है। इस प्रकार सूचकांक संकेतन में क्रॉस उत्पाद इसके द्वारा दिया जाता है। $$ \mathbf{v} \times \mathbf{c} = \varepsilon_{ijk}~v_j~c_k~\mathbf{e}_i $$ जहाँ $$\varepsilon_{ijk}$$ क्रमचय प्रतीक है, अर्थात् लेवी-सिविता प्रतीक के रूप में जाना जाता है। तब, $$ \boldsymbol{\nabla}\cdot(\mathbf{v} \times \mathbf{c}) = \varepsilon_{ijk}~v_{j,i}~c_k = (\varepsilon_{ijk}~v_{j,i}~\mathbf{e}_k)\cdot\mathbf{c} = (\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{c} $$ इसलिए, $$\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{v} = \varepsilon_{ijk}~v_{j,i}~\mathbf{e}_k$$

दूसरे क्रम के टेंसर क्षेत्र का कर्ल
दूसरे क्रम के टेंसर के लिए $$\boldsymbol{S}$$, $$ \mathbf{c}\cdot\boldsymbol{S} = c_m~S_{mj}~\mathbf{e}_j $$ अतः, प्रथम-क्रम टेन्सर क्षेत्र के कर्ल की परिभाषा का उपयोग करते हुए, $$ \boldsymbol{\nabla}\times(\mathbf{c}\cdot\boldsymbol{S}) = \varepsilon_{ijk}~c_m~S_{mj,i}~\mathbf{e}_k = (\varepsilon_{ijk}~S_{mj,i}~\mathbf{e}_k\otimes\mathbf{e}_m)\cdot\mathbf{c} = (\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{S}) \cdot \mathbf{c} $$ अतः, यह हमारे समीप होता है। $$ \boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{S} = \varepsilon_{ijk}~S_{mj,i}~\mathbf{e}_k\otimes\mathbf{e}_m $$

टेंसर क्षेत्र के कर्ल से संबंधित पहचान
टेंसर क्षेत्र के कर्ल से संबंधित सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली पहचान $$\boldsymbol{T}$$ होती है। $$ \boldsymbol{\nabla}\times(\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{T}) = \boldsymbol{0} $$ यह पहचान सभी आदेशों के टेन्सर क्षेत्रों के लिए होती है। इस प्रकार दूसरे क्रम के टेंसर महत्वपूर्ण स्थितियों के लिए, $$\boldsymbol{S}$$, इस पहचान का तात्पर्य है। $$  \boldsymbol{\nabla}\times(\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{S}) = \boldsymbol{0} \quad \implies \quad S_{mi,j} - S_{mj,i} = 0 $$

दूसरे क्रम के टेंसर के निर्धारक का व्युत्पन्न
दूसरे क्रम के टेंसर के निर्धारक का व्युत्पन्न $$\boldsymbol{A}$$ द्वारा दिया गया है। $$ \frac{\partial}{\partial\boldsymbol{A}}\det(\boldsymbol{A}) = \det(\boldsymbol{A})~\left[\boldsymbol{A}^{-1}\right]^\textsf{T} ~. $$ असामान्य आधार में, $$\boldsymbol{A}$$ के घटक को मैट्रिक्स $$\boldsymbol{A}$$ के रूप में लिखा जा सकता है। उस स्थिति में, दाहिने हाथ की ओर मैट्रिक्स के कॉफ़ैक्टर्स से मेल खाती है।

$$

दूसरे क्रम के टेंसर के आक्रमणकारियों के व्युत्पन्न
दूसरे क्रम के टेंसर के प्रमुख आविष्कार हैं। $$ \begin{align} I_1(\boldsymbol{A}) & = \text{tr}{\boldsymbol{A}} \\ I_2(\boldsymbol{A}) & = \frac{1}{2} \left[ (\text{tr}{\boldsymbol{A}})^2 - \text{tr}{\boldsymbol{A}^2} \right] \\ I_3(\boldsymbol{A}) & = \det(\boldsymbol{A}) \end{align} $$ इसके संबंध में तीन अपरिवर्तनीयों के व्युत्पन्न $$\boldsymbol{A}$$ हैं। $$ \begin{align} \frac{\partial I_1}{\partial\boldsymbol{A}} & = \boldsymbol{\mathit{1}} \\[3pt] \frac{\partial I_2}{\partial\boldsymbol{A}} & = I_1~\boldsymbol{\mathit{1}} - \boldsymbol{A}^\textsf{T} \\[3pt] \frac{\partial I_3}{\partial\boldsymbol{A}} & = \det(\boldsymbol{A})~\left[\boldsymbol{A}^{-1}\right]^\textsf{T} = I_2~\boldsymbol{\mathit{1}} - \boldsymbol{A}^\textsf{T}~\left(I_1~\boldsymbol{\mathit{1}} - \boldsymbol{A}^\textsf{T}\right) = \left(\boldsymbol{A}^2 - I_1~\boldsymbol{A} + I_2~\boldsymbol{\mathit{1}}\right)^\textsf{T} \end{align} $$

$$

दूसरे क्रम की पहचान टेंसर का व्युत्पन्न
सामान्यतः $$\boldsymbol{\mathit{1}}$$ दूसरे क्रम की पहचान होने देने का टेंसर बनता है। अतः फिर दूसरे क्रम के टेंसर के संबंध में इस टेंसर की व्युत्पत्ति $$\boldsymbol{A}$$ द्वारा दिया गया है $$ \frac{\partial \boldsymbol{\mathit{1}}}{\partial \boldsymbol{A}}:\boldsymbol{T} = \boldsymbol{\mathsf{0}}:\boldsymbol{T} = \boldsymbol{\mathit{0}}$$ अतः जिससे कि यह $$\boldsymbol{\mathit{1}}$$ से स्वतंत्र $$\boldsymbol{A}$$ होता है।

स्वयं के संबंध में दूसरे क्रम के टेंसर का व्युत्पन्न
इस प्रकार यह $$\boldsymbol{A}$$ दूसरे क्रम का टेंसर होता है। तब, $$ \frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial \boldsymbol{A}}:\boldsymbol{T} = \left[\frac{\partial }{\partial \alpha} (\boldsymbol{A} + \alpha~\boldsymbol{T})\right]_{\alpha = 0} = \boldsymbol{T} = \boldsymbol{\mathsf{I}}:\boldsymbol{T} $$ इसलिए, $$ \frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial \boldsymbol{A}} = \boldsymbol{\mathsf{I}}$$ यहाँ $$\boldsymbol{\mathsf{I}}$$ चौथा क्रम पहचान टेन्सर होता है। इस प्रकार ऑर्थोनॉर्मल आधार के संबंध में सूचकांक अंकन में, $$ \boldsymbol{\mathsf{I}} = \delta_{ik}~\delta_{jl}~\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j\otimes\mathbf{e}_k\otimes\mathbf{e}_l $$ यह इस परिणाम का तात्पर्य होता है। $$  \frac{\partial \boldsymbol{A}^\textsf{T}}{\partial \boldsymbol{A}}:\boldsymbol{T} = \boldsymbol{\mathsf{I}}^\textsf{T}:\boldsymbol{T} = \boldsymbol{T}^\textsf{T} $$ जहाँ $$ \boldsymbol{\mathsf{I}}^\textsf{T} = \delta_{jk}~\delta_{il}~\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j\otimes\mathbf{e}_k\otimes\mathbf{e}_l $$ इसलिए, यदि टेंसर $$\boldsymbol{A}$$ सममित होता है, तब व्युत्पन्न भी सममित होता है और हम इसे प्राप्त करते हैं। $$  \frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial \boldsymbol{A}} = \boldsymbol{\mathsf{I}}^{(s)} = \frac{1}{2}~\left(\boldsymbol{\mathsf{I}} + \boldsymbol{\mathsf{I}}^\textsf{T}\right) $$ जहां सममित चौथे क्रम की पहचान टेन्सर है। $$ \boldsymbol{\mathsf{I}}^{(s)} = \frac{1}{2}~(\delta_{ik}~\delta_{jl} + \delta_{il}~\delta_{jk}) ~\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j\otimes\mathbf{e}_k\otimes\mathbf{e}_l $$

दूसरे क्रम के टेंसर के व्युत्क्रम का व्युत्पन्न
इस प्रकार $$\boldsymbol{A}$$ और $$\boldsymbol{T}$$ दोनो दूसरे क्रम के टेंसर बनें होते है, फिर $$ \frac{\partial }{\partial \boldsymbol{A}} \left(\boldsymbol{A}^{-1}\right) : \boldsymbol{T} = - \boldsymbol{A}^{-1}\cdot\boldsymbol{T}\cdot\boldsymbol{A}^{-1} $$ ऑर्थोनॉर्मल आधार के संबंध में सूचकांक अंकन में, $$ \frac{\partial A^{-1}_{ij}}{\partial A_{kl}}~T_{kl} = - A^{-1}_{ik}~T_{kl}~A^{-1}_{lj} \implies \frac{\partial A^{-1}_{ij}}{\partial A_{kl}} = - A^{-1}_{ik}~A^{-1}_{lj} $$ हमारे समीप यह भी है। $$ \frac{\partial }{\partial \boldsymbol{A}} \left(\boldsymbol{A}^{-\textsf{T}}\right) : \boldsymbol{T} = - \boldsymbol{A}^{-\textsf{T}}\cdot\boldsymbol{T}^\textsf{T}\cdot\boldsymbol{A}^{-\textsf{T}} $$ सूचकांक अंकन में, $$ \frac{\partial A^{-1}_{ji}}{\partial A_{kl}}~T_{kl} = - A^{-1}_{jk}~T_{lk}~A^{-1}_{li} \implies \frac{\partial A^{-1}_{ji}}{\partial A_{kl}} = - A^{-1}_{li}~A^{-1}_{jk} $$ यदि टेंसर $$\boldsymbol{A}$$ तब सममित होता है। $$ \frac{\partial A^{-1}_{ij}}{\partial A_{kl}} = -\cfrac{1}{2}\left(A^{-1}_{ik}~A^{-1}_{jl} + A^{-1}_{il}~A^{-1}_{jk}\right) $$

$$

भागों द्वारा एकीकरण
सातत्य यांत्रिकी में टेंसर व्युत्पन्न से संबंधित अन्य महत्वपूर्ण ऑपरेशन भागों द्वारा एकीकरण होता है। अतः भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र को इस प्रकार लिखा जा सकता है। $$  \int_{\Omega} \boldsymbol{F}\otimes\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{G}\,d\Omega = \int_{\Gamma} \mathbf{n} \otimes (\boldsymbol{F}\otimes\boldsymbol{G})\,d\Gamma - \int_{\Omega} \boldsymbol{G}\otimes\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{F}\,d\Omega $$ जहाँ $$\boldsymbol{F}$$ और $$\boldsymbol{G}$$ अनैतिक क्रम के अवकलनीय टेन्सर क्षेत्र हैं, $$\mathbf{n}$$ उस डोमेन के लिए बाहरी सामान्य इकाई है जिस पर टेंसर क्षेत्र परिभाषित होता हैं, $$\otimes$$ सामान्यीकृत टेंसर उत्पाद ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करता है और $$\boldsymbol{\nabla}$$ सामान्यीकृत ढाल ऑपरेटर होता है। तब $$\boldsymbol{F}$$ पहचान टेन्सर के समान्तर होता है,अतः हमें विचलन प्रमेय मिलता है। $$ \int_{\Omega}\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{G}\,d\Omega = \int_{\Gamma} \mathbf{n}\otimes\boldsymbol{G}\,d\Gamma \,. $$ हम कार्तीय सूचकांक अंकन में भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र को व्यक्त कर सकते हैं। $$  \int_{\Omega} F_{ijk....}\,G_{lmn...,p}\,d\Omega = \int_{\Gamma} n_p\,F_{ijk...}\,G_{lmn...}\,d\Gamma - \int_{\Omega} G_{lmn...}\,F_{ijk...,p}\,d\Omega \,. $$ विशेष स्थितियों के लिए जहां टेन्सर उत्पाद संचालन सूचकांक का संकुचन होता है और ढाल संचालन विचलन होता है और दोनों $$\boldsymbol{F}$$ और $$\boldsymbol{G}$$ दूसरे क्रम के टेंसर हैं, अतः हमारे समीप हैं। $$ \int_{\Omega} \boldsymbol{F}\cdot(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{G})\,d\Omega = \int_{\Gamma} \mathbf{n}\cdot\left(\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{F}^\textsf{T}\right)\,d\Gamma - \int_{\Omega} (\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{F}):\boldsymbol{G}^\textsf{T}\,d\Omega \,. $$ सूचकांक अंकन में, $$ \int_{\Omega} F_{ij}\,G_{pj,p}\,d\Omega = \int_{\Gamma} n_p\,F_{ij}\,G_{pj}\,d\Gamma - \int_{\Omega} G_{pj}\,F_{ij,p}\,d\Omega \,. $$

यह भी देखें

 * सहपरिवर्ती व्युत्पन्न
 * घुंघराले पथरी