नॉर्मड वेक्टर स्पेस

गणित में, एक मानक सदिश स्थान या आदर्श स्थान वास्तविक संख्या या जटिल संख्या संख्याओं पर एक सदिश स्थान होता है, जिस पर एक मानक (गणित) परिभाषित किया जाता है। एक मानक वास्तविक (भौतिक) दुनिया में लंबाई की सहज धारणा के वास्तविक वेक्टर रिक्त स्थान के लिए औपचारिकता और सामान्यीकरण है। एक मानदंड एक वास्तविक-मूल्यवान कार्य है जो सदिश स्थान पर परिभाषित होता है जिसे आमतौर पर निरूपित किया जाता है $$x\mapsto \|x\|,$$ और निम्नलिखित गुण हैं:

मानदंड एक मीट्रिक (गणित) को प्रेरित करता है, जिसे इसका कहा जाता है, सूत्र द्वारा $$d(x,y) = \|y-x\|.$$ जो किसी भी नॉर्म्ड वेक्टर स्पेस को मेट्रिक स्पेस और टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस बनाता है। अगर यह मेट्रिक स्पेस पूर्ण मीट्रिक स्थान  है तो नॉर्म्ड स्पेस एक बनच स्पेस है। प्रत्येक मानक सदिश स्थान को विशिष्ट रूप से बनच स्थान तक विस्तारित किया जा सकता है, जो आदर्श स्थान को बनच स्थान से घनिष्ठ रूप से संबंधित बनाता है। प्रत्येक बनच स्थान एक आदर्श स्थान है लेकिन इसका विलोम सत्य नहीं है। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं के परिमित अनुक्रमों के सेट को यूक्लिडियन मानदंड के साथ आदर्श बनाया जा सकता है, लेकिन यह इस मानदंड के लिए पूर्ण नहीं है।
 * 1) यह नकारात्मक नहीं है, इसका मतलब है $$\|x\| \geq 0$$ प्रत्येक वेक्टर के लिए $$x.$$
 * 2) यह शून्येतर सदिशों पर धनात्मक है, अर्थात, $$\|x\| = 0 \text{ implies } x = 0.$$
 * 3) हर वेक्टर के लिए $$x,$$ और हर अदिश $$\alpha,$$ $$\|\alpha x\| = |\alpha| \, \|x\|.$$
 * 4) त्रिभुज असमानता रखती है; यानी हर वैक्टर के लिए $$x$$ और $$y,$$ $$\|x+y\| \leq \|x\| + \|y\|.$$

एक आंतरिक उत्पाद स्थान एक मानक सदिश स्थान है जिसका मानदंड एक सदिश और स्वयं के आंतरिक उत्पाद का वर्गमूल है। यूक्लिडियन सदिश स्थान का यूक्लिडियन मानदंड एक विशेष मामला है जो सूत्र द्वारा यूक्लिडियन दूरी को परिभाषित करने की अनुमति देता है $$d(A, B) = \|\overrightarrow{AB}\|.$$ नॉर्मड स्पेस और बनच स्पेस का अध्ययन कार्यात्मक विश्लेषण का एक मूलभूत हिस्सा है, जो गणित का एक प्रमुख उपक्षेत्र है।

परिभाषा
एक नॉर्म्ड वेक्टर स्पेस एक नॉर्म (गणित) से लैस एक वेक्टर स्पेस है। ए एक सदिश स्थान है जो एक सेमिनोर्म  से सुसज्जित है।

एक उपयोगी त्रिभुज असमानता#रिवर्स त्रिकोण असमानता है $$\|x-y\| \geq | \|x\| - \|y\| |$$ किसी भी वैक्टर के लिए $$x$$ और $$y.$$ इससे यह भी पता चलता है कि एक वेक्टर मानदंड एक (समान रूप से) निरंतर कार्य है।

संपत्ति 3 आदर्श की पसंद पर निर्भर करती है $$|\alpha|$$ स्केलर्स के क्षेत्र में। जब अदिश क्षेत्र है $$\R$$ (या अधिक आम तौर पर इसका एक सबसेट $$\Complex$$), इसे आमतौर पर सामान्य पूर्ण मान के रूप में लिया जाता है, लेकिन अन्य विकल्प संभव हैं। उदाहरण के लिए, एक सदिश स्थान के लिए $$\Q$$ कोई ले सकता है $$|\alpha|$$ पी-एडिक निरपेक्ष मान होना |$$p$$-एडिक निरपेक्ष मूल्य।

सामयिक संरचना
अगर $$(V, \|\,\cdot\,\|)$$ एक आदर्श सदिश स्थान है, आदर्श $$\|\,\cdot\,\|$$ एक मीट्रिक (गणित) (दूरी की एक धारणा) और इसलिए एक टोपोलॉजी को प्रेरित करता है $$V.$$ इस मीट्रिक को प्राकृतिक तरीके से परिभाषित किया गया है: दो सदिशों के बीच की दूरी $$\mathbf{u}$$ और $$\mathbf{v}$$ द्वारा दिया गया है $$\|\mathbf{u} - \mathbf{v}\|.$$ यह टोपोलॉजी सबसे कमजोर टोपोलॉजी है जो बनाती है $$\|\,\cdot\,\|$$ निरंतर और जो की रैखिक संरचना के अनुकूल है $$V$$ निम्नलिखित अर्थ में:


 * 1) वेक्टर जोड़ $$\,+\, : V \times V \to V$$ इस टोपोलॉजी के संबंध में संयुक्त रूप से निरंतर है। यह त्रिभुज असमानता से सीधे अनुसरण करता है।
 * 2) अदिश गुणन $$\,\cdot\, : \mathbb{K} \times V \to V,$$ कहाँ $$\mathbb{K}$$ का अंतर्निहित अदिश क्षेत्र है $$V,$$ संयुक्त रूप से निरंतर है। यह त्रिभुज असमानता और आदर्श की एकरूपता से अनुसरण करता है।

इसी प्रकार, किसी भी सेमिनोर्म्ड सदिश समष्टि के लिए हम दो सदिशों के बीच की दूरी को परिभाषित कर सकते हैं $$\mathbf{u}$$ और $$\mathbf{v}$$ जैसा $$\|\mathbf{u} - \mathbf{v}\|.$$ यह सेमीनॉर्मड स्पेस को एक स्यूडोमेट्रिक स्पेस में बदल देता है (ध्यान दें कि यह एक मीट्रिक से कमजोर है) और निरंतर फ़ंक्शन (टोपोलॉजी) और फ़ंक्शन की सीमा जैसे विचारों की परिभाषा की अनुमति देता है। इसे और अधिक सारगर्भित रूप से रखने के लिए प्रत्येक सेमीनॉर्मड वेक्टर स्पेस एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस है और इस प्रकार एक टोपोलॉजिकल संरचना होती है जो सेमी-नॉर्म से प्रेरित होती है।

विशेष रुचि पूर्ण स्थान मानक स्थान हैं, जिन्हें इस रूप में जाना जाता है. हर नॉर्म्ड वेक्टर स्पेस $$V$$ कुछ बनच अंतरिक्ष के अंदर घने उप-स्थान के रूप में बैठता है; यह बनच स्थान अनिवार्य रूप से विशिष्ट रूप से परिभाषित है $$V$$ और कहा जाता है का $$V.$$ एक ही वेक्टर स्पेस पर दो मानदंड कहलाते हैं यदि वे समान टोपोलॉजी (संरचना) को परिभाषित करते हैं। एक परिमित-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष पर, सभी मानदंड समान हैं लेकिन अनंत आयामी वेक्टर रिक्त स्थान के लिए यह सच नहीं है।

परिमित-आयामी सदिश स्थान पर सभी मानदंड एक टोपोलॉजिकल दृष्टिकोण से समतुल्य हैं क्योंकि वे समान टोपोलॉजी को प्रेरित करते हैं (हालांकि परिणामी मीट्रिक रिक्त स्थान समान होने की आवश्यकता नहीं है)। और चूंकि कोई भी यूक्लिडियन स्थान पूर्ण है, इसलिए हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सभी परिमित-आयामी आदर्श सदिश स्थान बनच स्थान हैं। एक नॉर्मड वेक्टर स्पेस $$V$$ स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है अगर और केवल अगर यूनिट बॉल $$B = \{ x : \|x\| \leq 1\}$$ कॉम्पैक्ट जगह  है, जो कि अगर और केवल अगर मामला है $$V$$ परिमित आयामी है; यह रिज्ज़ की लेम्मा का परिणाम है। (वास्तव में, एक अधिक सामान्य परिणाम सत्य है: एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है अगर और केवल अगर यह परिमित-आयामी है। यहां बिंदु यह है कि हम यह नहीं मानते हैं कि टोपोलॉजी एक मानक से आती है।)

सेमीनॉर्मड वेक्टर स्पेस की टोपोलॉजी में कई अच्छे गुण हैं। एक पड़ोस प्रणाली को देखते हुए $$\mathcal{N}(0)$$ 0 के आस-पास हम अन्य सभी नेबरहुड सिस्टम का निर्माण कर सकते हैं $$\mathcal{N}(x) = x + \mathcal{N}(0) := \{x + N : N \in \mathcal{N}(0)\}$$ साथ $$x + N := \{x + n : n \in N\}.$$ इसके अलावा, अवशोषक सेट और उत्तल सेटों की उत्पत्ति के लिए पड़ोस का आधार मौजूद है। चूंकि यह संपत्ति कार्यात्मक विश्लेषण में बहुत उपयोगी है, इस संपत्ति के साथ आदर्श वेक्टर रिक्त स्थान के सामान्यीकरण का अध्ययन स्थानीय रूप से उत्तल रिक्त स्थान के नाम से किया जाता है।

एक आदर्श (या सेमिनोर्म) $$\|\cdot\|$$ एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस पर $$(X, \tau)$$ निरंतर है अगर और केवल अगर टोपोलॉजी $$\tau_{\|\cdot\|}$$ वह $$\|\cdot\|$$ प्रवृत्त करता है $$X$$ की तुलना में टोपोलॉजी की तुलना है $$\tau$$ (अर्थ, $$\tau_{\|\cdot\|} \subseteq \tau$$), जो तब होता है जब कुछ खुली गेंद मौजूद होती है $$B$$ में $$(X, \|\cdot\|)$$ (जैसे शायद $$\{x \in X : \|x\| < 1\}$$ उदाहरण के लिए) जो में खुला है $$(X, \tau)$$ (अलग कहा, ऐसा है कि $$B \in \tau$$).

सामान्य स्थान
एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस $$(X, \tau)$$ मानक मौजूद होने पर सामान्य कहा जाता है $$\| \cdot \|$$ पर $$X$$ जैसे कि विहित मीट्रिक $$(x, y) \mapsto \|y-x\|$$ टोपोलॉजी को प्रेरित करता है $$\tau$$ पर $$X.$$ निम्नलिखित प्रमेय एंड्री कोलमोगोरोव के कारण है:

कोल्मोगोरोव की सामान्यता कसौटी: हॉउसडॉर्फ टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस नॉर्मल है अगर और केवल अगर कोई उत्तल मौजूद है, वॉन न्यूमैन बाउंडेड घिरा हुआ पड़ोस $$0 \in X.$$ सामान्य स्थानों के एक परिवार का एक उत्पाद सामान्य है अगर और केवल अगर बहुत से रिक्त स्थान गैर-तुच्छ हैं (अर्थात, $$\neq \{ 0 \}$$). इसके अलावा, एक सामान्य स्थान का भागफल $$X$$ एक बंद वेक्टर उप-स्थान द्वारा $$C$$ सामान्य है, और यदि इसके अतिरिक्त $$X$$की टोपोलॉजी एक मानक द्वारा दी गई है $$\|\,\cdot,\|$$ फिर नक्शा $$X/C \to \R$$ द्वारा दिए गए $x + C \mapsto \inf_{c \in C} \|x + c\|$ पर एक अच्छी तरह से परिभाषित मानदंड है $$X / C$$ जो भागफल टोपोलॉजी को प्रेरित करता है $$X / C.$$

अगर $$X$$ एक हॉसडॉर्फ स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस है तो निम्नलिखित समतुल्य हैं:


 * 1) $$X$$ सामान्य है।
 * 2) $$X$$ मूल का एक परिबद्ध पड़ोस है।
 * 3) मजबूत दोहरी जगह $$X^{\prime}_b$$ का $$X$$ सामान्य है।
 * 4) मजबूत दोहरी जगह $$X^{\prime}_b$$ का $$X$$ मेट्रिजेबल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस है।

आगे, $$X$$ परिमित आयामी है अगर और केवल अगर $$X^{\prime}_{\sigma}$$ सामान्य है (यहाँ $$X^{\prime}_{\sigma}$$ अर्थ है $$X^{\prime}$$ कमजोर- * टोपोलॉजी से संपन्न)।

टोपोलॉजी $$\tau$$ फ्रेचेट अंतरिक्ष की $$C^{\infty}(K),$$ जैसा कि परीक्षण कार्यों और वितरणों के रिक्त स्थान पर आलेख में परिभाषित किया गया है, मानदंडों के एक गणनीय परिवार द्वारा परिभाषित किया गया है लेकिन यह है एक सामान्य स्थान क्योंकि कोई मानदंड मौजूद नहीं है $$\|\cdot\|$$ पर $$C^{\infty}(K)$$ ऐसा है कि यह मानदंड प्रेरित करने वाली टोपोलॉजी के बराबर है $$\tau.$$ यहां तक ​​​​कि अगर एक मेट्रिजेबल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस में एक टोपोलॉजी है जो मानदंडों के एक परिवार द्वारा परिभाषित की जाती है, तो यह अभी भी आदर्श स्थान होने में विफल हो सकता है (जिसका अर्थ है कि इसकी टोपोलॉजी को किसी भी तरह से परिभाषित नहीं किया जा सकता है।  मानदंड)। ऐसी जगह का एक उदाहरण फ्रेचेट स्पेस है $$C^{\infty}(K),$$ जिसकी परिभाषा लेख में परीक्षण कार्यों और वितरण के स्थान पर पाई जा सकती है, क्योंकि इसकी टोपोलॉजी $$\tau$$ मानदंडों के एक गणनीय परिवार द्वारा परिभाषित किया गया है लेकिन यह है एक सामान्य स्थान क्योंकि कोई मानदंड मौजूद नहीं है $$\|\cdot\|$$ पर $$C^{\infty}(K)$$ ऐसा है कि यह मानदंड प्रेरित करने वाली टोपोलॉजी के बराबर है $$\tau.$$ वास्तव में, स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस की टोपोलॉजी $$X$$ के परिवार द्वारा परिभाषित किया जा सकता है  पर $$X$$ अगर और केवल अगर मौजूद है  निरंतर मानदंड $$X.$$

रेखीय मानचित्र और दोहरे स्थान
दो मानक सदिश स्थानों के बीच सबसे महत्वपूर्ण मानचित्र सतत कार्य (टोपोलॉजी) रैखिक परिवर्तन हैं। इन मानचित्रों के साथ, मानक सदिश स्थान एक श्रेणी सिद्धांत बनाते हैं।

मानदंड अपने सदिश स्थान पर एक सतत कार्य है। परिमित आयामी सदिश स्थानों के बीच सभी रेखीय मानचित्र भी निरंतर होते हैं।

दो आदर्श सदिश समष्टियों के बीच की सममिति एक रेखीय मानचित्र है $$f$$ जो आदर्श को संरक्षित करता है (अर्थ $$\|f(\mathbf{v})\| = \|\mathbf{v}\|$$ सभी वैक्टर के लिए $$\mathbf{v}$$). आइसोमेट्री हमेशा निरंतर और इंजेक्शन वाली होती है। आदर्श सदिश समष्टियों के बीच एक विशेषण समरूपता $$V$$ और $$W$$ एक आइसोमेट्रिक आइसोमोर्फिज्म कहा जाता है, और $$V$$ और $$W$$ आइसोमेट्रिक रूप से आइसोमोर्फिक कहलाते हैं। आइसोमेट्रिकली आइसोमोर्फिक नॉर्म्ड वेक्टर स्पेस सभी व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए समान हैं।

नॉर्म्ड वेक्टर स्पेस की बात करते समय, हम नॉर्म को ध्यान में रखने के लिए दोहरी जगह  की धारणा को बढ़ाते हैं। द्वैत $$V^{\prime}$$ एक नॉर्मड वेक्टर स्पेस का $$V$$ से सभी निरंतर रैखिक मानचित्रों का स्थान है $$V$$ आधार क्षेत्र के लिए (जटिल या वास्तविक) - ऐसे रैखिक मानचित्रों को कार्यात्मक कहा जाता है। एक कार्यात्मक का मानदंड $$\varphi$$ की सर्वोच्चता के रूप में परिभाषित किया गया है $$|\varphi(\mathbf{v})|$$ कहाँ $$\mathbf{v}$$ सभी यूनिट वैक्टर (यानी, आदर्श के वैक्टर) पर पर्वतमाला $$1$$) में $$V.$$ यह मुड़ता है $$V^{\prime}$$ एक नॉर्मड वेक्टर स्पेस में। मानक सदिश स्थानों पर निरंतर रैखिक क्रियाओं के बारे में एक महत्वपूर्ण प्रमेय हैन-बनाक प्रमेय है।

सेमिनोर्म्ड स्पेस के कोयंट स्पेस के रूप में नॉर्म्ड स्पेस
कई आदर्श स्थानों की परिभाषा (विशेष रूप से, बनच रिक्त स्थान) में एक सदिश स्थान पर परिभाषित एक सेमिनोर्म शामिल होता है और फिर आदर्श स्थान को सेमिनोर्म शून्य के तत्वों के उप-स्थान द्वारा कोटिएंट स्पेस (रैखिक बीजगणित) के रूप में परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, एलपी स्पेस | के साथ$$L^p$$ रिक्त स्थान, द्वारा परिभाषित फ़ंक्शन $$\|f\|_p = \left( \int |f(x)|^p \;dx \right)^{1/p}$$ सभी कार्यों के सदिश स्थान पर एक सेमिनोर्म है जिस पर दाहिने हाथ की ओर लेबेस्ग इंटीग्रल परिभाषित और परिमित है। हालांकि, लेबेस्ग उपाय शून्य के सेट पर किसी भी फ़ंक्शन समर्थन (गणित) के लिए सेमिनोर्म शून्य के बराबर है। ये फलन एक उपसमष्टि बनाते हैं जिसे हम भागफल देते हैं, जिससे वे शून्य फलन के तुल्य बन जाते हैं।

परिमित उत्पाद स्थान
दिया गया $$n$$ अर्धवृत्ताकार स्थान $$\left(X_i, q_i\right)$$ सेमिनोर्म्स के साथ $$q_i : X_i \to \R,$$ द्वारा उत्पाद स्थान को निरूपित करें $$X := \prod_{i=1}^n X_i$$ जहां वेक्टर जोड़ के रूप में परिभाषित किया गया है $$\left(x_1,\ldots,x_n\right) + \left(y_1,\ldots,y_n\right) := \left(x_1 + y_1, \ldots, x_n + y_n\right)$$ और अदिश गुणन के रूप में परिभाषित किया गया है $$\alpha \left(x_1,\ldots,x_n\right) := \left(\alpha x_1, \ldots, \alpha x_n\right).$$ एक नया कार्य परिभाषित करें $$q : X \to \R$$ द्वारा $$q\left(x_1,\ldots,x_n\right) := \sum_{i=1}^n q_i\left(x_i\right),$$ जो कि सेमीनार है $$X.$$ कार्यक्रम $$q$$ एक आदर्श है अगर और केवल अगर सभी $$q_i$$ मानदंड हैं।

अधिक आम तौर पर, प्रत्येक वास्तविक के लिए $$p \geq 1$$ वो नक्शा $$q : X \to \R$$ द्वारा परिभाषित $$q\left(x_1,\ldots,x_n\right) := \left(\sum_{i=1}^n q_i\left(x_i\right)^p\right)^{\frac{1}{p}}$$ एक अर्ध मानक है। प्रत्येक के लिए $$p$$ यह समान टोपोलॉजिकल स्पेस को परिभाषित करता है।

प्राथमिक रेखीय बीजगणित से जुड़े एक सीधे-सादे तर्क से पता चलता है कि केवल परिमित-आयामी सेमिनोर्म्ड रिक्त स्थान वे हैं जो एक आदर्श स्थान के उत्पाद स्थान के रूप में उत्पन्न होते हैं और तुच्छ सेमीनॉर्म के साथ एक स्थान है। नतीजतन, कई अधिक दिलचस्प उदाहरण और सेमिनोर्म्ड रिक्त स्थान के अनुप्रयोग अनंत-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान के लिए होते हैं।

यह भी देखें

 * बैनाच स्पेस, नॉर्म्ड वेक्टर स्पेस जो मानदंड से प्रेरित मीट्रिक के संबंध में पूर्ण हैं
 * फिन्सलर कई गुना, जहां प्रत्येक स्पर्शरेखा सदिश की लंबाई एक मानक द्वारा निर्धारित की जाती है
 * अंदरूनी प्रोडक्ट स्पेस, नॉर्म्ड वेक्टर स्पेस जहां एक आंतरिक उत्पाद द्वारा मानदंड दिया जाता है
 * स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस - उत्तल ओपन सेट द्वारा परिभाषित टोपोलॉजी के साथ एक वेक्टर स्पेस
 * अंतरिक्ष (गणित) - कुछ अतिरिक्त संरचना के साथ गणितीय सेट
 * स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस - उत्तल ओपन सेट द्वारा परिभाषित टोपोलॉजी के साथ एक वेक्टर स्पेस
 * अंतरिक्ष (गणित) - कुछ अतिरिक्त संरचना के साथ गणितीय सेट