एम्पीयर का परिपथीय नियम

शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व में, एम्पीयर का परिपथीय नियम (एम्पीयर के बल नियम के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए) एक संवृत परिपथ के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र के परिसंचरण को परिपथ से गुजरने वाली विद्युत धारा से संबंधित करता है। जेम्स क्लर्क मैक्सवेल (एम्पीयर नहीं) ने अपने 1861 में प्रकाशित लेख्य में "बल की भौतिक रेखाओं पर" द्रवगतिकीय का उपयोग करके इसे प्राप्त किया था। 1865 में उन्होंने विस्थापन धारा पद को जोड़कर समय-भिन्न धाराओं पर अनुप्रयुक्त करने के लिए समीकरण को सामान्यीकृत किया, जिसके परिणामस्वरूप आधुनिक नियम का रूप, जिसे कभी-कभी एम्पीयर-मैक्सवेल नियम भी कहा जाता है,  जो मैक्सवेल के समीकरणों में से एक है जो शास्त्रीय भौतिकी विद्युत चुंबकत्व का आधार बनता है।

मैक्सवेल का मूल परिपथीय नियम
1820 में डेनिश भौतिक विज्ञानी हंस क्रिश्चियन ऑर्स्टेड ने पाया कि विद्युत धारा इसके चारों ओर एक चुंबकीय क्षेत्र बनाती है, जब उन्होंने देखा कि विद्युत प्रवाह ले जाने वाले तार के आसन्न में चुंबकीय दिक्सूचक की सुई इस तरह घूम गई कि सुई तार के लंबवत हो गई। उन्होंने जांच की और उन नियमों की खोज की जो सीधे विद्युत प्रवाहित तार के आसपास के क्षेत्र को नियंत्रित करते हैं: इसने विद्युत और चुंबकत्व के मध्य संबंध पर काफी शोध को बढ़ावा दिया। आंद्रे-मैरी एम्पीयर ने दो विद्युत धारा प्रवाहित तारों के मध्य चुंबकीय बल की जांच की और एम्पीयर के बल नियम की खोज की। 1850 के दशक में स्कॉटिश गणितीय भौतिक विज्ञानी जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने इन परिणामों और अन्य को एक एकल गणितीय नियम में सामान्यीकृत किया। मैक्सवेल के परिपथल नियम का मूल रूप, जिसे उन्होंने 1855 में अपने लेख्य में "बल की भौतिक रेखाओं पर" प्राप्त किया था, जो द्रवगतिकीय के सादृश्य पर आधारित है, चुंबकीय क्षेत्रों को विद्युत धाराओं से संबंधित करता है जो उन्हें उत्पन्न करते हैं। यह किसी दिए गए धारा से जुड़े चुंबकीय क्षेत्र, या किसी दिए गए चुंबकीय क्षेत्र से जुड़े धारा को निर्धारित करता है।
 * चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं धारा प्रवाहित तार को घेर लेती हैं।
 * चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं तार के लंबवत तल में स्थित होती हैं।
 * यदि धारा की दिशा प्रतिलोमित की जाए तो चुंबकीय क्षेत्र की दिशा उलट जाती है।
 * क्षेत्र का बल धारा के परिमाण के सीधे आनुपातिक है।
 * किसी भी बिंदु पर क्षेत्र का बल तार से बिंदु की दूरी के व्युत्क्रमानुपाती होती है।

मूल परिपथीय नियम केवल स्थिरचुंबकीय स्थिति पर, एक संवृत परिपथ में संतत स्थिर धाराओं पर अनुप्रयुक्त होता है। समय के साथ बदलने वाले विद्युत क्षेत्र वाले प्रणाली के लिए, मूल नियम (जैसा कि इस खंड में दिया गया है) को मैक्सवेल के सुधार (नीचे देखें) के रूप में जाना जाने वाला पद सम्मिलित करने के लिए संशोधित किया जाना चाहिए।

समतुल्य रूप
मूल परिपथीय नियम को कई अलग-अलग रूपों में लिखा जा सकता है, जो अंततः समतुल्य हैं:


 * एक "अभिन्न रूप" और एक "विभेदक रूप" हैं। रूप बिल्कुल समतुल्य हैं और केल्विन-स्टोक्स प्रमेय द्वारा संबंधित हैं (नीचे "प्रमाण" अनुभाग देखें)।
 * एसआई इकाइयों और सीजीएस इकाइयों का उपयोग करने वाले रूप है। अन्य इकाइयाँ संभव हैं, लेकिन दुर्लभ हैं। यह अनुभाग एसआई इकाइयों का उपयोग करेगा, सीजीएस इकाइयों पर बाद में चर्चा की जाएगी।
 * $B$ या $H$ चुंबकीय क्षेत्र का उपयोग करके रूप है। ये दोनों रूप क्रमशः कुल धारा घनत्व और मुक्त धारा घनत्व का उपयोग करते हैं। $B$ और $H$ क्षेत्र रचक समीकरण से संबंधित हैं: गैर-चुंबकीय सामग्रियों में $B = μ_{0}H$ जहां $μ_{0}$ चुंबकीय स्थिरांक है।

स्पष्टीकरण
मूल परिपथीय नियम का अभिन्न रूप किसी संवृत वक्र $C$ के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र का एक रेखा समतुल्य रूप है (यादृच्छिक लेकिन संवृत होना चाहिए)। वक्र $C$ बदले में दोनों सतह $S$ से बांधता है जिससे विद्युत धारा गुजरती है (पुनः, यादृच्छिक लेकिन संवृत नहीं - क्योंकि कोई त्रि-आयामी स्थान आयतन $S$ से घिरा नहीं है) और धारा को घेरता है। नियम का गणितीय कथन उस संवृत पथ (सतह अभिन्र) से गुजरने वाली धारा के कारण किसी पथ (रेखा अभिन्र) के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र के संचलन के मध्य एक संबंध है।

कुल धारा के संदर्भ में, (जो मुक्त धारा और परिबद्ध धारा दोनों का योग है) संवृत वक्र के चारों ओर चुंबकीय $B$-क्षेत्र (टेस्ला, T में) की रेखा अभिन्न सतह $S$ ($C$ द्वारा संलग्न) से गुजरने वाली कुल धारा $I_{enc}$ के समानुपाती होती है। मुक्त धारा के संदर्भ में, संवृत वक्र $C$ के चारों ओर चुंबकीय $H$-क्षेत्र (एम्पेयर प्रति मीटर में, A·m−1) का रेखा अभिन्न, सतह $S$ के माध्यम से मुक्त धारा $I_{f,enc}$ के समान होता है।


 * $B$ कुल धारा घनत्व है (एम्पीयर प्रति वर्ग मीटर में, A·m−2),
 * $H$ केवल मुक्त धारा घनत्व है,
 * $J$ संवृत वक्र $C$ के चारों ओर संवृत रेखा अभिन्न है,
 * $J_{f}$, $C$ से घिरे $S$ पर 2-D सतह अभिन्न को दर्शाता है,
 * $∮_{C}$ सदिश अदिश गुणनफल है,
 * $∬_{S}$ वक्र $C$ का एक अतिसूक्ष्म मूल (एक अंतर) है (अर्थात् एक सदिश जिसका परिमाण अतिसूक्ष्म रेखा मूल की लंबाई के बराबर है और दिशा $C$ की स्पर्शरेखा द्वारा दी गई है)
 * $·$ सतह $S$ के एक अतिसूक्ष्म मूल का सदिश क्षेत्र है (अर्थात्, एक सदिश जिसका परिमाण अतिसूक्ष्म सतह मूल के क्षेत्रफल के बराबर है और सतह $S$ के लिए सामान्य दिशा है। सामान्य की दिशा को $C$ के अभिविन्यास के अनुरूप होना चाहिए दाहिने हाथ का नियम), वक्र $C$ और सतह $S$ की अधिक व्याख्या के लिए नीचे देखें।
 * $dl$ कर्ल संचालक है।

अस्पष्टताएं और संकेत परिपाटी
उपरोक्त परिभाषाओं में कई अस्पष्टताएं हैं जिनके लिए स्पष्टीकरण और परिपाटी के विकल्प की आवश्यकता है।
 * 1) सर्वप्रथम, इनमें से तीन पद संकेत अस्पष्टताओं से जुड़े हैं: रेखा अभिन्न $dS$ किसी भी दिशा में परिपथ के चारों ओर घूम सकता है (दक्षिणावर्त या वामावर्त); सदिश क्षेत्र $∇ ×$ सतह के अभिलंब दो दिशाओं में से किसी एक की ओर इंगित कर सकता है; और $∮_{C}$ सतह $S$ से गुजरने वाली नेट धारा है, जिसका अर्थ है कि एक दिशा में प्रवाहित होने वाली धारा, दूसरी दिशा में धारा को घटाकर - लेकिन किसी भी दिशा को सकारात्मक के रूप में चुना जा सकता है। इन अस्पष्टताओं को दाहिने हाथ के नियम द्वारा हल किया जाता है: दाहिने हाथ की हथेली एकीकरण के क्षेत्र की ओर होती है, और तर्जनी रेखा-एकीकरण की दिशा की ओर संकेत करती है, फैला हुआ अंगूठा उस दिशा की ओर संकेत करता है जिसे सदिश क्षेत्र $dS$ के लिए चुना जाना चाहिए। साथ ही $I_{enc}$ के समान दिशा में प्रवाहित होने वाली धारा को भी धनात्मक माना जाना चाहिए। संकेतों को निर्धारित करने के लिए दाहिने हाथ की मूठ के नियम का भी उपयोग किया जा सकता है।
 * 2) दूसरा, अनंत रूप से कई संभावित सतहें $S$ हैं जिनकी सीमा वक्र $C$ है (एक तार के परिपथ पर साबुन की फिल्म की कल्पना करें, जिसे फिल्म पर फूंक मारकर विकृत किया जा सकता है)। इनमें से कौन सी सतह चुनी जानी है? उदाहरण के लिए, यदि परिपथ एक ही तल में नहीं है, तो कोई एक स्पष्ट विकल्प नहीं है। उत्तर यह है कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता: स्थिरचुंबकीय स्थिति में, धारा घनत्व कुण्डलिनी है (अगला भाग देखें), इसलिए अपसरण प्रमेय और सांतत्य समीकरण का अर्थ है कि सीमा के साथ किसी भी सतह के माध्यम से प्रवाह $C$, समान संकेत परिपाटी के साथ, वही है। व्यवहार में, व्यक्ति सामान्यतः एकीकृत करने के लिए सबसे सुविधाजनक सतह (दी गई सीमा के साथ) चुनता है।

मुक्त धारा बनाम परिबद्ध धारा
सबसे सरल पाठ्यपुस्तक स्थितियों में उत्पन्न होने वाली विद्युत धारा को मुक्त धारा के रूप में वर्गीकृत किया जाएगा - उदाहरण के लिए, वह धारा जो किसी तार या बैटरी से होकर गुजरती है। इसके विपरीत, "परिबद्ध धारा" थोक सामग्रियों के संदर्भ में उत्पन्न होती है जिन्हें चुंबकित और/या ध्रुवीकृत किया जा सकता है (सभी सामग्रियां कुछ सीमा तक हो सकती हैं)।

जब किसी पदार्थ को चुम्बकित किया जाता है (उदाहरण के लिए, इसे बाहरी चुंबकीय क्षेत्र में रखकर), तो इलेक्ट्रॉन अपने-अपने परमाणुओं से बंधे रहते हैं, लेकिन ऐसा व्यवहार करते हैं मानो वे एक विशेष दिशा में नाभिक की परिक्रमा कर रहे हों, जिससे एक सूक्ष्म धारा उत्पन्न होती है। जब इन सभी परमाणुओं की धाराओं को एक साथ रखा जाता है, तो वे एक स्थूल धारा के समान प्रभाव उत्पन्न करते हैं, जो चुंबकीय वस्तु के चारों ओर निरंतर घूमती रहती है। यह चुम्बकत्व धारा $dS$ "परिबद्ध धारा" में एक योगदान है।

परिबद्ध धारा का दूसरा स्रोत परिबद्ध आवेश है। जब एक विद्युत क्षेत्र अनुप्रयुक्त किया जाता है, तो धनात्मक और ऋणात्मक परिबद्ध आवेश ध्रुवीकरण घनत्व में परमाणु दूरी पर पृथक हो सकते हैं और जब परिबद्ध आवेश चलते हैं, तो ध्रुवीकरण बदल जाता है, जिससे "परिबद्ध धारा", ध्रुवीकरण धारा $dS$ में एक और योगदान होता है।

मुक्त और परिबद्ध आवेशों के कारण कुल धारा घनत्व $J_{M}$ तब है:


 * $$\mathbf{J} =\mathbf{J}_\mathrm{f} + \mathbf{J}_\mathrm{M} + \mathbf{J}_\mathrm{P} \,,$$

$J_{P}$  के साथ "मुक्त" या "चालन" धारा घनत्व है।

सूक्ष्म दृष्टि से सभी धाराएँ मूलतः एक समान हैं। फिर भी, परिबद्ध धारा को मुक्त धारा से भिन्न तरीके से व्यवहार करने की इच्छा के प्रायः व्यावहारिक कारण होते हैं। उदाहरण के लिए, परिबद्ध धारा सामान्यतः परमाणु आयामों से उत्पन्न होती है, और कोई बड़े आयामों के लिए सरल सिद्धांत का लाभ उठाना चाह सकता है। इसका परिणाम यह होता है कि अधिक सूक्ष्म एम्पीयर का परिपथीय नियम, जिसे $J$ और सूक्ष्म धारा (जिसमें मुक्त, चुंबकीयकरण और ध्रुवीकरण धाराएं सम्मिलित हैं) के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है, कभी-कभी केवल $J_{f}$ और मुक्त धारा के संदर्भ में नीचे समतुल्य रूप में रखा जाता है। मुक्त धारा और परिबद्ध धारा की विस्तृत परिभाषा के लिए, और इस प्रमाण के लिए कि दोनों सूत्र समतुल्य हैं, नीचे "प्रमाण" अनुभाग देखें।

परिपथीय नियम के मूल सूत्रीकरण की कमियाँ
परिपथीय नियम के संबंध में दो महत्वपूर्ण विवाद हैं जिनकी बारीकी से जांच की आवश्यकता है। सर्वप्रथम, विद्युत आवेश के लिए सातत्य समीकरण के संबंध में एक विवाद है। सदिश गणना में, कर्ल के अपसरण की पहचान बताती है कि सदिश क्षेत्र के कर्ल का अपसरण सदैव शून्य होना चाहिए। इस प्रकार


 * $$\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{B}) = 0 \,,$$

और इसलिए मूल एम्पीयर का परिपथल नियम इसका तात्पर्य है;


 * $$\nabla\cdot \mathbf{J} = 0\,, $$

अर्थात, धारा घनत्व कुण्डलिनी है।

लेकिन सामान्यतः, वास्तविकता विद्युत आवेश के लिए सातत्य समीकरण का अनुसरण करती है:


 * $$\nabla\cdot \mathbf{J} = -\frac{\partial \rho}{\partial t} \,,$$

जो समय-भिन्न आवेश घनत्व के लिए गैर-शून्य है। एक उदाहरण संधारित्र परिपथ में होता है जहां पट्टिकाओं पर समय-भिन्न आवेश घनत्व उपस्थित होते हैं।

दूसरा, विद्युत चुम्बकीय तरंगों के प्रसार से संबंधित एक विवाद है। उदाहरण के लिए, रिक्त स्थान में, जहाँ


 * $$\mathbf{J} = \mathbf{0}\,, $$

परिपथीय नियम का तात्पर्य यह हैː


 * $$\nabla\times\mathbf{B} = \mathbf{0}\,, $$

अर्थात चुंबकीय क्षेत्र अघूर्णी है, परन्तु विद्युत आवेश के लिए सातत्य समीकरण के साथ स्थिरता बनाए रखने के लिए, हमारे पास होना चाहिए।


 * $$\nabla\times\mathbf{B} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\,. $$

इन स्थितियों का विवेचन करने के लिए, विस्थापन धारा के योगदान को परिपथीय नियम में धारा पद में जोड़ा जाना चाहिए।

जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने परावैद्युत भ्रमिल जलंधर में एक ध्रुवीकरण धारा के रूप में विस्थापन धारा की कल्पना की, जिसका उपयोग उन्होंने चुंबकीय क्षेत्र को हाइड्रोडायनामिक और यांत्रिक रूप से मॉडल करने के लिए किया। उन्होंने इस विस्थापन धारा को अपने 1861 के लेख्य में "बल की भौतिक रेखाओं पर" समीकरण 112 पर एम्पीयर के परिपथीय नियम में जोड़ा है।

विस्थापन धारा
रिक्त स्थान में, विस्थापन धारा विद्युत क्षेत्र के परिवर्तन की समय दर से संबंधित होती है।

परावैद्युत में विस्थापन धारा में उपरोक्त योगदान भी उपस्थित है, परन्तु विस्थापन धारा में एक बड़ा योगदान परावैद्युत सामग्री के विशिष्ट अणुओं के ध्रुवीकरण से संबंधित है। भले ही आवेश परावैद्युत में स्वतंत्र रूप से प्रवाहित नहीं हो सकते हैं, अणुओं में आवेश विद्युत क्षेत्र के प्रभाव में थोड़ा आगे बढ़ सकते हैं। अणुओं में धनात्मक और ऋणात्मक आवेश अनुप्रयुक्त क्षेत्र के अंतर्गत पृथक हो जाते हैं, जिससे ध्रुवीकरण की स्थिति में वृद्धि होती है, जिसे ध्रुवीकरण घनत्व $B$ के रूप में व्यक्त किया जाता है। ध्रुवीकरण की परिवर्ती स्थिति धारा के समान होती है।

विस्थापन धारा में दोनों योगदानों को विस्थापन धारा को इस प्रकार परिभाषित करके संयोजित किया जाता है:


 * $$\mathbf{J}_\mathrm{D} = \frac {\partial}{\partial t} \mathbf{D} (\mathbf{r}, \, t) \,, $$

जहां विद्युत विस्थापन क्षेत्र को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:


 * $$ \mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P} = \varepsilon_0 \varepsilon_\mathrm{r} \mathbf{E} \, ,$$

जहाँ $H$ विद्युत स्थिरांक, $P$ सापेक्ष स्थैतिक पारगम्यता और $ε_{0}$ ध्रुवीकरण घनत्व है। विस्थापन धारा के व्यंजक में $ε_{r}$ के लिए इस रूप को प्रतिस्थापित करने पर, इसके दो घटक होते हैं:


 * $$ \mathbf{J}_\mathrm{D} = \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}\,.$$

दायीं ओर का पहला पद प्रत्येक स्थान पर उपस्थित है, यहां तक ​​कि शून्य में भी उपस्थित है। इसमें आवेश की कोई वास्तविक गति सम्मिलित नहीं है, लेकिन फिर भी इसमें एक संबद्ध चुंबकीय क्षेत्र है, जैसे कि यह एक वास्तविक धारा हो। कुछ लेखक केवल इस योगदान के लिए विस्थापन धारा नाम का प्रयोग करते हैं।

दायीं ओर दूसरा पद विस्थापन धारा है, जैसा कि मूल रूप से मैक्सवेल ने कल्पना की थी, जो परावैद्युत सामग्री के विशिष्ट अणुओं के ध्रुवीकरण से जुड़ा है।

विस्थापन धारा के लिए मैक्सवेल की मूल व्याख्या परावैद्युत माध्यम में होने वाली स्थिति पर केंद्रित थी। आधुनिक पोस्ट-ईथर युग में, इस अवधारणा को उन स्थितियों पर अनुप्रयुक्त करने के लिए विस्तारित किया गया है जहां कोई भौतिक माध्यम उपस्थित नहीं है, उदाहरण के लिए, आवेशन निर्वात संधारित्र की पट्टिकाओं के मध्य निर्वात हैं। विस्थापन धारा आज उचित है क्योंकि यह विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत की कई आवश्यकताओं को पूर्ण करती है: उन क्षेत्रों में चुंबकीय क्षेत्र की सही भविष्यवाणी जहां कोई मुक्त धारा प्रवाहित नहीं होती है; विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों के तरंग प्रसार की भविष्यवाणी और ऐसे स्थितियों में विद्युत आवेश का संरक्षण जहां आवेश घनत्व समय-परिवर्तनशील है। अधिक चर्चा के लिए विस्थापन धारा देखें।

मूल नियम का विस्तार: एम्पीयर-मैक्सवेल समीकरण
इसके बाद, ध्रुवीकरण धारा को सम्मिलित करके परिपथ समीकरण को बढ़ाया जाता है, जिससे मूल परिपथ नियम की सीमित प्रयोज्यता का हल होता है।

मुक्त आवेशों को परिबद्ध आवेशों से भिन्न मानते हुए, $P$-क्षेत्र के संदर्भ में मैक्सवेल के सुधार सहित समीकरण है ($D$-क्षेत्र का उपयोग किया जाता है क्योंकि इसमें चुंबकीयकरण धाराएँ सम्मिलित होती हैं, इसलिए $H$ स्पष्ट रूप से प्रकट नहीं होता है, $H$-क्षेत्र और टिप्पणी भी देखें):
 * $$\oint_C \mathbf{H} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l} = \iint_S \left( \mathbf{J}_\mathrm{f} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \right) \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}$$

(अभिन्न रूप), जहाँ $J_{M}$ चुंबकीय $H$ क्षेत्र है (जिसे "सहायक चुंबकीय क्षेत्र", "चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता" या केवल "चुंबकीय क्षेत्र" भी कहा जाता है), $H$ विद्युत विस्थापन क्षेत्र है और $H$ संलग्न चालन धारा या मुक्त धारा घनत्व है। विभेदक रूप में,


 * $$\mathbf{\nabla} \times \mathbf{H} = \mathbf{J}_\mathrm{f}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \, .$$

दूसरी ओर, सभी आवेशों को एक ही आधार पर मानते हुए (चाहे वे परिबद्ध या मुक्त आवेश हों), सामान्यीकृत एम्पीयर समीकरण, जिसे मैक्सवेल-एम्पीयर समीकरण भी कहा जाता है, अभिन्न रूप में है (नीचे "प्रमाण" अनुभाग देखें):

विभेदक रूप में,

दोनों रूपों में, $D$ में चुंबकीयकरण धारा घनत्व के साथ-साथ चालन और ध्रुवीकरण धारा घनत्व भी सम्मिलित है। अर्थात्, एम्पीयर-मैक्सवेल समीकरण के दाईं ओर धारा घनत्व है:


 * $$ \mathbf{J}_\mathrm{f}+\mathbf{J}_\mathrm{D} +\mathbf{J}_\mathrm{M} = \mathbf{J}_\mathrm{f}+\mathbf{J}_\mathrm{P} +\mathbf{J}_\mathrm{M} + \varepsilon_0 \frac {\partial \mathbf{E}}{\partial t} = \mathbf{J}+ \varepsilon_0 \frac {\partial \mathbf{E}}{\partial t} \, ,$$

जहां धारा घनत्व $J_{f}$ विस्थापन धारा है और $J$ वास्तव में मुक्त और परिबद्ध दोनों प्रकार के आवेशों की गति के कारण धारा घनत्व योगदान है।

क्योंकि $J_{D}$, एम्पीयर के मूल सूत्रीकरण के साथ आवेश क्रमबद्धता का विवाद अब कोई समस्या नहीं है। $J$ में पद के कारण, मुक्त स्थान में तरंग प्रसार अब संभव है।

विस्थापन धारा को जोड़ने के साथ, मैक्सवेल यह परिकल्पना (सही ढंग से) करने में सक्षम थे कि प्रकाश विद्युत चुम्बकीय तरंग का एक रूप था। इस महत्वपूर्ण खोज की चर्चा के लिए विद्युत चुम्बकीय तरंग समीकरण देखें।

समतुल्यता का प्रमाण
प्रमाण है कि मुक्त धारा के संदर्भ में परिक्रमी नियम के सूत्रीकरण कुल धारा से जुड़े सूत्रों के समान हैं।

इस प्रमाण में हम वह समीकरण दर्शाएंगेː
 * $$\nabla\times \mathbf{H} = \mathbf{J}_\mathrm{f} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$$

समीकरण के समतुल्य है;
 * $$\frac{1}{\mu_0}(\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B}) = \mathbf{J} + \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\,.$$

ध्यान दें कि हम केवल विभेदक रूपों से व्यवहार रहे हैं, अभिन्न रूपों से नहीं, परन्तु यह पर्याप्त है क्योंकि केल्विन-स्टोक्स प्रमेय के अनुसार, प्रत्येक स्थिति में अंतर और अभिन्न रूप समतुल्य हैं।

हम ध्रुवीकरण घनत्व $∇ ⋅ D = ρ$ का परिचय देते हैं, जिसका $ε_{0}∂E⁄∂t$ और $P$ से निम्नलिखित संबंध है:
 * $$\mathbf{D}=\varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}\,.$$

इसके बाद, हम चुंबकत्व घनत्व $E$ का परिचय देते हैं, जिसका $D$ और $M$ से निम्नलिखित संबंध है:
 * $$\frac{1}{\mu_0}\mathbf{B} = \mathbf{H} + \mathbf{M}$$

और परिबद्ध धारा से निम्नलिखित संबंध है:
 * $$\begin{align}

\mathbf{J}_\mathrm{bound} &= \nabla\times\mathbf{M} + \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t} \\ &=\mathbf{J}_\mathrm{M}+\mathbf{J}_\mathrm{P}, \end{align}$$ जहाँ
 * $$ \mathbf{J}_\mathrm{M} = \nabla\times\mathbf{M}, $$

चुम्बकत्व धारा घनत्व कहा जाता है और
 * $$ \mathbf{J}_\mathrm{P} = \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t},$$

ध्रुवीकरण धारा घनत्व है। $B$ के लिए समीकरण लेना:


 * $$\begin{align}

\frac{1}{\mu_0}(\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B}) &= \mathbf{\nabla} \times \left( \mathbf {H}+\mathbf{M} \right) \\ &=\mathbf{\nabla} \times \mathbf H + \mathbf{J}_{\mathrm{M}} \\ &= \mathbf{J}_\mathrm{f} + \mathbf{J}_\mathrm{P} +\varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf E}{\partial t} + \mathbf{J}_\mathrm{M}. \end{align}$$ परिणामस्वरूप, परिबद्ध धारा की परिभाषा का उल्लेख करते हुए:


 * $$\begin{align}

\frac{1}{\mu_0}(\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B}) &=\mathbf{J}_\mathrm{f}+ \mathbf{J}_\mathrm{bound} + \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \\ &=\mathbf{J} + \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf E}{\partial t} , \end{align}$$ जैसा कि दर्शाया जाना था।

सीजीएस इकाइयों में एम्पीयर का परिपथ नियम
सीजीएस इकाइयों में, मैक्सवेल के सुधार सहित समीकरण का अभिन्न रूप पढ़ा जाता है।
 * $$\oint_C \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} = \frac{1}{c} \iint_S \left(4\pi\mathbf{J}+\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right) \cdot \mathrm{d}\mathbf{S},$$

जहाँ $c$ प्रकाश की गति है।

समीकरण का विभेदक रूप (पुनः, मैक्सवेल के सुधार सहित) है।
 * $$\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} = \frac{1}{c}\left(4\pi\mathbf{J}+\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right).$$

यह भी देखें

 * बायोट-सावर्ट नियम
 * विस्थापन धारा
 * धारिता
 * एम्पीयरियन चुंबकीय द्विध्रुव प्रतिरूप
 * विद्युत चुम्बकीय तरंग समीकरण
 * मैक्सवेल के समीकरण
 * फैराडे का प्रेरण नियम
 * ध्रुवीकरण घनत्व
 * विद्युत धारा
 * सदिश कलन
 * स्टोक्स प्रमेय

बाहरी संबंध

 * MISN-0-138 Ampere's Law (PDF file) by Kirby Morgan for Project PHYSNET.
 * MISN-0-145 The Ampere–Maxwell Equation; Displacement Current (PDF file) by J. S. Kovacs for Project PHYSNET.
 * A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field Maxwell's paper of 1864
 * A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field Maxwell's paper of 1864