गणितीय सर्वसमिका

गणित में, एक पहचान एक गणितीय अभिव्यक्ति A से दूसरे गणितीय अभिव्यक्ति B से संबंधित एक समानता है, जैसे कि A और B (जिसमें कुछ चर शामिल हो सकते हैं) वैधता की एक निश्चित सीमा के भीतर चर के सभी मूल्यों के लिए समान मूल्य देते हैं। दूसरे शब्दों में, A = B एक पहचान है यदि ए और बी एक ही कार्य को परिभाषित करते हैं, और एक पहचान भिन्न रूप से परिभाषित कार्यों के बीच एक समानता है। उदाहरण  के लिए $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ और $$\cos^2\theta + \sin^2\theta =1$$ तत्समक हैं। पहचान को कभी-कभी ट्रिपल बार प्रतीक ≡ के बजाय बराबर का चिह्न = द्वारा दर्शाया जाता है।

बीजगणितीय सर्वसमिका
कुछ सर्वसमिकाएँ, जैसे $$a+0=a$$ और $$a+(-a)=0$$ बीजगणित का आधार बनती हैं, जबकि अन्य, जैसे $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab +b^2$$ और $$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$$ बीजीय व्यंजकों को सरल और विस्तृत करने के लिए उपयोगी हो सकता है।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ
ज्यामितीय रूप से, त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ एक या अधिक कोणों से कुछ कार्यों से संबंधित पहचान हैं। वे त्रिभुजों की सर्वसमिकाओं से भिन्न होते हैं, जो एक त्रिभुज के दो कोणों और भुजाओं की लंबाई की पहचान होती हैं। यह लेख केवल पूर्व को कवर करता है।

जब भी त्रिकोणमितीय कार्यों को सम्मिलित करने वाले भावों को सरल बनाने की आवश्यकता होती है, तब ये सर्वसमिकाएँ उपयोगी होती हैं। एक अन्य महत्वपूर्ण अनुप्रयोग गैर-त्रिकोणमितीय कार्यों का एकीकरण है: एक सामान्य तकनीक जिसमें पहले त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के साथ प्रतिस्थापन नियम का उपयोग करना और फिर त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के साथ परिणामी अभिन्न को सरल बनाना सम्मिलित है।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के सबसे प्रमुख उदाहरणों में समीकरण $$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1,$$ शामिल है, जो $$\theta$$ के सभी वास्तविक मूल्यों के लिए सत्य है। दूसरी ओर समीकरण
 * $$\cos\theta = 1$$

केवल $$\theta$$ के कुछ मानों के लिए सत्य है, सभी के लिए नहीं। उदाहरण के लिए, यह समीकरण तब सत्य होता है जब $$\theta = 0,$$ होता है, लेकिन असत्य होता है जब $$\theta = 2$$ होता है।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का एक अन्य समूह तथाकथित जोड़/घटाव सूत्रों से संबंधित है (उदाहरण के लिए द्वि-कोण पहचान $$\sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta$$ $$\tan(x + y)$$, के लिए अतिरिक्त सूत्र जिसका उपयोग बड़े कोणों के व्यंजकों को छोटे घटकों वाले व्यंजकों में विभाजित करने के लिए किया जा सकता है।

घातीय सर्वसमिका
निम्नलिखित सर्वसमिकाएं सभी पूर्णांक घातांकों के लिए मान्य हैं, बशर्ते आधार शून्य न हो:
 * $$\begin{align}

b^{m + n} &= b^m \cdot b^n \\ (b^m)^n &= b^{m\cdot n} \\ (b \cdot c)^n &= b^n \cdot c^n \end{align}$$ जोड़ और गुणा के विपरीत, घातांक विनिमेय नहीं है। उदाहरण के लिए, 2 + 3 = 3 + 2 = 5 और 2 · 3 = 3 · 2 = 6 परंतु 23 = 8 जबकि 32 = 9।

योग और गुणन के विपरीत, घातांक भी साहचर्य नहीं है। उदाहरण के लिए, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 और (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24, लेकिन 23 से 4 है 84 (या 4,096)। जबकि 2 से 34 है 281 (या 2,417,851,639,229,258,349,412,352)। जब किसी कोष्ठक का उपयोग नहीं किया जाता है, तो परंपरा के अनुसार क्रम ऊपर-नीचे होता है, न कि नीचे-ऊपर:
 * $$b^{p^q} := b^{(p^q)} ,$$ जबकि $$(b^p)^q = b^{p \cdot q}.$$

लघुगणकीय सर्वसमिकाएँ
कई महत्वपूर्ण सूत्र, जिन्हें कभी-कभी लघुगणकीय पहचान या लॉग कानून कहा जाता है, लघुगणक को एक दूसरे से संबंधित करते हैं:

गुणनफल, भागफल, शक्ति और मूल
किसी गुणनफल का लघुगणक गुणित की जाने वाली संख्याओं के लघुगणकों का योग होता है; दो संख्याओं के अनुपात का लघुगणक, लघुगणकों के बीच का अंतर है। किसी संख्या का $p$th घात का लघुगणक स्वयं संख्या के लघुगणक का $p$ गुना है; $p$th मूल का लघुगणक $p$ से विभाजित संख्या का लघुगणक है। निम्नलिखित तालिका उदाहरणों के साथ इन सर्वसमिकाओं को सूचीबद्ध करती है। बाईं ओर लॉगरिदमिक परिभाषा $$x=b^{\log_b x},$$ और/या $$y=b^{\log_b y},$$को प्रतिस्थापित करके प्रत्येक पहचान प्राप्त की जा सकती है।

आधार परिवर्तन
लघुगणक logb(x) की गणना x और b के लघुगणक से की जा सकती है, जो कि निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके एक मनमाना आधार k के संबंध में है:
 * $$ \log_b(x) = \frac{\log_k(x)}{\log_k(b)}.$$

विशिष्ट वैज्ञानिक कैलकुलेटर 10 और e के आधार पर लघुगणक की गणना करते हैं। किसी भी आधार b के संबंध में लघुगणक इन दो लघुगणकों में से किसी एक का उपयोग करके पिछले सूत्र द्वारा निर्धारित किया जा सकता है:
 * $$ \log_b (x) = \frac{\log_{10} (x)}{\log_{10} (b)} = \frac{\log_{e} (x)}{\log_{e} (b)}. $$

किसी अज्ञात आधार b को एक संख्या x और उसका लघुगणक logb(x) दिया गया है, तो आधार इस प्रकार दिया गया है:
 * $$ b = x^\frac{1}{\log_b(x)}.$$

हाइपरबोलिक फ़ंक्शन सर्वसमिका
अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य कई सर्वसमिकाओं को संतुष्ट करते हैं, उनमें से सभी त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के समान रूप में हैं। वास्तव में, ओसबोर्न के नियम में कहा गया है कि किसी भी त्रिकोणमितीय पहचान को ज्या और कोज्या की पूर्णांक शक्तियों के संदर्भ में पूरी तरह से विस्तारित किया जा सकता है, साइन को sinh और कोसाइन को cosh में बदलना और प्रत्येक पद के चिह्न को बदलना। एक अतिपरवलयिक पहचान में परिवर्तित किया जा सकता है जिसमें अतिशयोक्तिपूर्ण साइन की संख्या भी गुणा की जाती है।

गुडरमेनियन फ़ंक्शन त्रिकोणमितीय फ़ंक्शंस और हाइपरबोलिक कार्यों के बीच सीधा संबंध देता है जिसमें जटिल संख्याएं सम्मिलित नहीं होती हैं।

तर्क और सार्वत्रिक बीजगणित
औपचारिक रूप से, एक सर्वसमिका एक वास्तविक सार्वत्रिक परिमाणक है जो अच्छी तरह से निर्मित सूत्र रूप का विधेय तर्क है $$\forall x_1,\ldots,x_n: s=t,$$ जहाँ पे $s$ तथा $t$ शब्द (तर्क) हैं जिनके अलावा कोई अन्य मुक्त चर नहीं है $$x_1,\ldots,x_n.$$ क्वांटिफायर उपसर्ग $$\forall x_1,\ldots,x_n$$ अक्सर अस्पष्ट छोड़ दिया जाता है, जब यह कहा जाता है कि सूत्र एक पहचान है। उदाहरण के लिए एक मोनोइड के सिद्धांतों को अक्सर सूत्रों के रूप में दिया जाता है
 * $$\forall x,y,z: x*(y*z)=(x*y)*z,\quad \forall x: x*1=x, \quad \forall x: 1*x=x,$$

या जल्द ही,
 * $$x*(y*z)=(x*y)*z,\qquad x*1=x, \qquad 1*x=x.$$

तो, ये सूत्र प्रत्येक मोनॉइड में सर्वसमिका हैं। किसी भी समानता के लिए, क्वांटिफायर के बिना सूत्रों को अक्सर समीकरण कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, एक सर्वसमिका एक समीकरण है जो चरों के सभी मानों के लिए सत्य है।

यह भी देखें

 * लेखा पहचान
 * गणितीय पहचान की सूची

बाहरी संबंध

 * The Encyclopedia of Equation  Online encyclopedia of mathematical identities (archived)
 * A Collection of Algebraic Identities