रैखिक सातत्य

क्रम सिद्धांत के गणित क्षेत्र में सातत्य या रैखिक सातत्य वास्तविक रेखा का सामान्यीकरण है। इसे औपचारिक रूप से रैखिक सातत्य से अधिक तत्वों का रैखिक रूप से क्रमित उपसमु्च्चय S के रूप में जाना जाता है, जो सघन क्रम को प्रदर्शित करता है, अर्थात किन्हीं दो अलग-अलग तत्वों के बीच और और इसलिए अनंत रूप से कई अन्य और पूर्णता आदेश सिद्धांत को प्रतिपादित करता है। अर्ताथ जिसमें इस अर्थ में अंतराल का अभाव होता है, कि ऊपरी सीमा वाले प्रत्येक रिक्त समुच्चय उपसमुच्चय में कम से कम ऊपरी सीमा होती है। अधिक प्रतीकात्मक रूप से:   S के पास सबसे कम ऊपरी सीमा होती है, और  S में प्रत्येक x और S में x < y के साथ प्रत्येक y के लिए, S में z इस प्रकार उपस्थित है कि x < z < y के समान हैं।  इस प्रकार किसी समुच्चय (गणित) में सबसे कम ऊपरी सीमा का जो मान होता है, यदि समुच्चय के प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमुच्चय जो कि ऊपर से घिरा हुआ है, इस प्रकार समुच्चय में कम से कम ऊपरी सीमा है। रैखिक सातत्य टोपोलॉजी के क्षेत्र में विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं जहां उनका उपयोग यह सत्यापित करने के लिए किया जा सकता है, जो इस प्रकार हैं कि ऑर्डर टोपोलॉजी को दिया गया कुल ऑर्डर जुड़ा हुआ स्थान है या नहीं इसका ध्यान रखना आवश्यक होता हैं। मानक वास्तविक रेखा के विपरीत, रैखिक सातत्य दोनों ओर से घिरा हो सकता है: उदाहरण के लिए, कोई भी (वास्तविक) विवृत अंतराल रैखिक सातत्य है।

उदाहरण

 * वास्तविक संख्याओं का क्रमबद्ध समुच्चय, R अपने सामान्य कुल क्रम के साथ रैखिक सातत्य है, और इस प्रकार यह इसका आदर्श उदाहरण है। इस प्रकार इसका मान B के लिए भिन्न है, और इसी प्रकार A मान के लिए केवल पूर्णता सिद्धांत का सुधार है।

वास्तविक संख्याओं के अतिरिक्त उदाहरण:
 * समुच्चय जो वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के लिए आदेश समरूपता या ऑर्डर-आइसोमोर्फिक का रूप प्रकट करता हैं, उदाहरण के लिए वास्तविक संवृत अंतराल, और आधे संवृत अंतराल के साथ समान रूप से ध्यान दें कि ये उपर्युक्त अर्थ में अंतराल नहीं हैं,
 * स्पष्ट रूप से विस्तारित वास्तविक संख्या प्रणाली और ऑर्डर-आइसोमोर्फिक समुच्चय, उदाहरण के लिए इकाई अंतराल इसका प्रमुख उदाहरण हैं।
 * वास्तविक संख्याओं का समुच्चय जिसमें केवल +∞ या केवल −∞ जोड़ा गया हो, और ऑर्डर-आइसोमोर्फिक समुच्चय, उदाहरण के लिए आधा संवृत अंतराल प्रकट करता हैं।
 * लंबी लाइन (टोपोलॉजी)
 * समुच्चय I × I (जहां × कार्टेशियन उत्पाद को दर्शाता है, और I = [0, 1]) शब्दावली क्रम में रैखिक सातत्य है। इसके लिए प्राप्त होना वाले B का मान भिन्न है, तथा इसी क्रम में A के मान की जांच करने के लिए, हम मानचित्र, π1 : I × I → I को परिभाषित करते हैं-
 * π1 (X, Y) = X
 * इस मानचित्र को प्रक्षेपण मानचित्र के नाम से जाना जाता है। प्रक्षेपण मानचित्र सतत कार्य (टोपोलॉजी) है, जहाँ I × I पर उत्पाद टोपोलॉजी के संबंध में और विशेषण है। मान लीजिए A, I × I का अरिक्त उपसमुच्चय है जो ऊपर परिबद्ध है। इस प्रकार π1(A) पर विचार करें। चूँकि इस प्रकार A ऊपर से घिरा रहता है, तथा π1(A) भी ऊपर से घिरा होना चाहिए। चूँकि, π1(A) का मान इस प्रकार हैं कि यह इसका उपसमुच्चय है, इसकी न्यूनतम ऊपरी सीमा होनी चाहिए, क्योंकि I के पास न्यूनतम ऊपरी सीमा वाला मान रहता है। इसलिए, हम b को π1(A) की सबसे छोटी ऊपरी सीमा मान सकते हैं। यदि b, π1(A) से संबंधित है, तो B × I कुछ सी ∈ I के लिए A को B × C पर काटेगा। ध्यान दें कि चूंकि B × I में I का समान ऑर्डर प्रकार है, इसलिए समुच्चय (B × I) ∩ A में वास्तव में न्यूनतम होगा ऊपरी सीमा b × c', जो A के लिए वांछित न्यूनतम ऊपरी सीमा है।
 * यदि b, π1(A) से संबंधित नहीं है, तो B × 0 A की सबसे छोटी ऊपरी सीमा है, यदि D < B, और D × E A की ऊपरी सीमा है, तो D π1(A) की छोटी ऊपरी सीमा होगी, इस प्रकार B की तुलना में, B की इसके भिन्न मानों का खंडन करता है।

गैर-उदाहरण

 * परिमेय संख्याओं का क्रमित समुच्चय Q रैखिक सातत्य नहीं है। इसके अनुसार भले ही B का मान संतुष्ट करता है, A का मान संतुष्ट नहीं है। उपसमुच्चय पर विचार करें


 * A = {X ∈ Q | X < $\sqrt{2}$}


 * इस प्रकार परिमेय संख्याओं के समुच्चय का मान इससे प्राप्त होता हैं। इसके लिए भले ही यह समुच्चय ऊपर किसी भी बड़ी परिमेय संख्या से घिरा हो, इसके अनुसार $\sqrt{2}$ (उदाहरण के लिए 3), परिमेय संख्याओं में इसकी कोई न्यूनतम ऊपरी सीमा नहीं है। विशेष रूप से, किसी तर्कसंगत ऊपरी सीमा r > के लिए $\sqrt{2}$, r/2 + 1/r निकटतम तर्कसंगत ऊपरी सीमा है, इसके विवरण पर का प्रयोग किया जाता हैं।


 * अपने सामान्य क्रम के साथ गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का क्रमबद्ध समुच्चय रैखिक सातत्य नहीं है। इस प्रकार A का मान संतुष्ट है, इस कारण मान लीजिए कि A धनात्मक पूर्णांकों के समुच्चय का उपसमुच्चय है, जो ऊपर से घिरा हुआ है। फिर A परिमित समुच्चय है इसलिए इसमें अधिकतम है, और यह अधिकतम A की वांछित न्यूनतम ऊपरी सीमा है। इस प्रकार दूसरी ओर यह B का मान नहीं है। इसके अनुसार 5 धनात्मक पूर्णांक है और इसी प्रकार 6 भी इसी क्रम में हैं, अपितु कोई भी धनात्मक पूर्णांक उपलब्ध नहीं है जो इसे पूर्ण रूप से उनके बीच स्थित रखते हो।
 * अशून्य वास्तविक संख्याओं का क्रमबद्ध समुच्चय A हैं।


 * A = (−∞, 0) ∪ (0, +∞)


 * इसका रैखिक सातत्य नहीं है, इस प्रकार B का मान तुच्छ रूप से संतुष्ट होता है। चूंकि यदि B ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है:


 * B = (−∞, 0)


 * तब B, A का उपसमुच्चय को प्रकट करता है, जो ऊपर 0 से अधिक A के किसी भी तत्व द्वारा उदाहरण के लिए 1 से घिरा हुआ है, अपितु इस प्रकार B में कोई न्यूनतम ऊपरी सीमा नहीं है। ध्यान दें कि 0, B के लिए कोई सीमा नहीं है क्योंकि 0 A का तत्व नहीं है।


 * मान लीजिए 'Z'− ऋणात्मक पूर्णांकों के समुच्चय को निरूपित करें और मान लें कि A = (0, 5) ∪ (5, +∞) के समान हैं।


 * S = 'Z'− ∪ A


 * तब S न तो A के मान और न ही B के मान को संतुष्ट करता है। इसके प्रमाण के लिए यह इसके पिछले उदाहरणों के समान है।

सामयिक गुण
भले ही रैखिक सातत्य कुल क्रम के अध्ययन में महत्वपूर्ण हैं, अपितु टोपोलॉजी के गणितीय क्षेत्र में उनका अनुप्रयोग होता है। वास्तव में यह हम प्रमाणित करेंगे कि ऑर्डर टोपोलॉजी में ऑर्डर किया गया समुच्चय संयोजित क्षेत्र को प्रदर्शित करता है, इस प्रकार यदि यह रैखिक सातत्य है। तब हम निहितार्थ को सिद्ध करेंगे, और इस प्रकार दूसरे को अभ्यास के रूप में छोड़ देंगे। जिसके अनुसार मुन्क्रेस प्रमाण के दूसरे भाग की व्याख्या करता है

प्रमेय

मान लीजिए X ऑर्डर टोपोलॉजी में ऑर्डर किया गया समुच्चय है। यदि X जुड़ा हुआ है, तो X रैखिक सातत्य है।

प्रमाण:

मान लीजिए कि x और y x < y के साथ X के तत्व हैं। यदि X में कोई z उपस्थित नहीं है जैसे कि x < z < y, तो समुच्चय पर विचार करें:


 * A = (−∞, y)


 * B = (X, +∞)

ये समुच्चय असंयुक्त समुच्चय हैं, इस प्रकार यदि A में है, तो A < Y के समान हैं, जिससे कि यदि A B में हो, A > x और a < y जो परिकल्पना द्वारा असंभव है, इसके गैर-रिक्त मान के लिए x A में है और y में B है, और संवृत समुच्चय (ऑर्डर टोपोलॉजी में), और उनका संघ (समुच्चय सिद्धांत) X के समान है। यह X'' की संबद्धता का खंडन करता है।

अब हम न्यूनतम ऊपरी सीमा वाले इस मान को सिद्ध करते हैं। जिसके लिए यदि C X का उपसमुच्चय है, जो ऊपर घिरा है और इसकी कोई न्यूनतम ऊपरी सीमा नहीं है, तो D फॉर्म के सभी ऑर्डर टोपोलॉजी का संघ है (b, + ∞) जहां b C के लिए ऊपरी सीमा है। फिर D संवृत प्रकार का है, क्योंकि यह संवृत समुच्चयों का संघ है, और विवृत समुच्चय इस प्रकार हैं कि यदि A, D में नहीं है, तो A < B C की सभी ऊपरी सीमाओं B के लिए ताकि हम Q > A इस प्रकार चुन सकें कि Q, C में हो, यदि ऐसा नहीं है तो इस स्थिति में q उपस्थित है, जिसके अनुसार a C की सबसे निचली ऊपरी सीमा को प्रदर्शित करता है, इस प्रकार फिर a युक्त ऑर्डर टोपोलॉजी चुनी जा सकती है जो D को नहीं काटती है। चूंकि इस प्रकार D गैर-रिक्त है, जो D की से अधिक ऊपरी सीमा है, यदि वास्तव में ऊपरी सीमा S होती हैं, तो S सबसे कम ऊपरी सीमा होती हैं। फिर यदि B1 और B2, B के साथ D1 <B2, B2 D से संबंधित होगा जिसके लिए यह इसकी दो ऊपरी सीमाएँ हैं, जो D और इसके पूरक मिलकर X पर अलग समुच्चय बनाते हैं। यह X की कनेक्टिविटी का खंडन करता है।

प्रमेय के अनुप्रयोग

 * 1) चूँकि क्रमित समुच्चय A = (−∞, 0) U (0,+∞) रैखिक सातत्य नहीं है, इसलिए यह विच्छेदित है।
 * 2) अभी सिद्ध प्रमेय को लागू करने पर यह तथ्य सामने आता है कि 'R' जुड़ा हुआ है। इस प्रकार वास्तव में 'R' में कोई अंतराल (गणित) या किरण भी जुड़ा हुआ है।
 * 3) पूर्णांकों का समुच्चय रैखिक सातत्य नहीं है और इसलिए इसे जोड़ा नहीं जा सकता।
 * 4) वास्तव में, यदि ऑर्डर टोपोलॉजी में ऑर्डर किया गया समुच्चय रैखिक सातत्य है, तो इसे जुड़ा होना चाहिए। चूँकि इस प्रकार इस समुच्चय में कोई भी अंतराल रैखिक सातत्य है, इसलिए यह इस प्रकार है कि यह स्थान स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ स्थान है, क्योंकि इस प्रकार इसमें आधार (टोपोलॉजी) है, जिसमें पूर्ण रूप से जुड़े हुए समुच्चय सम्मिलित हैं।
 * 5) इस प्रकार टोपोलॉजिकल स्पेस के उदाहरण के लिए जो रैखिक सातत्य है, जिसके लिए लंबी लाइन वाली टोपोलॉजी देखें।

यह भी देखें

 * कैंटर-डेडेकाइंड स्वयंसिद्ध
 * ऑर्डर टोपोलॉजी
 * न्यूनतम ऊपरी सीमा का मान
 * कुल ऑर्डर