टेन्सर रैंक अपघटन

बहुरेखीय बीजगणित में, टेंसर रैंक अपघटन या $$rank-R$$ टेंसर का अपघटन न्यूनतम योग के संदर्भ में टेंसर का अपघटन $$R$$ $$rank-1$$ टेंसर है। यह मुख्य रूप से संवृत समस्या है।

कैनोनिकल पॉलीडिक अपघटन (सीपीडी) रैंक अपघटन का प्रकार है, जो सर्वोत्तम फिटिंग की गणना करता है, इसके लिए $$K$$ $$rank-1$$ निर्दिष्ट उपयोगकर्ता के लिए शर्तें $$K$$ के लिए सीपी अपघटन को भाषा विज्ञान और रसायन विज्ञान में कुछ अनुप्रयोग मिलते हैं। इस प्रकार सीपी रैंक की शुरुआत 1927 में फ्रैंक लॉरेन हिचकॉक द्वारा की गई थी और इसके पश्चात कई बार पुनः इसे खोजा गया था, इस प्रकार विशेष रूप से साइकोमेट्रिक्स में किया जाता हैं। इस प्रकार CP अपघटन को CANDECOMP कहा जाता है, जिसका कारण पैराफैक, या कैंडेकॉम्प/पैराफैक (सीपी) हैं। इस प्रकार PARAFAC2 रैंक अपघटन का पता लगाना अभी अतिरिक्त है।

आव्यूह एसवीडी का और लोकप्रिय सामान्यीकरण जिसे उच्च-क्रम एकवचन मूल्य अपघटन के रूप में जाना जाता है, इस प्रकार ऑर्थोनॉर्मल मोड आव्यूह की गणना करता है और इसे अर्थमिति, संकेत आगे बढ़ाना, कंप्यूटर दृष्टि, कंप्यूटर चित्रलेख , साइकोमेट्रिक्स में अनुप्रयोग मिला है।

संकेतन
यह मुख्य रूप से अदिश चर को छोटे इटैलिक अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है, इस प्रकार $$ a$$ और ऊपरी बाउंड स्केलर को अपरकेस इटैलिक अक्षर $$ A $$ द्वारा दर्शाया जाता है,

सूचकांकों को लोअरकेस और अपरकेस इटैलिक अक्षरों के संयोजन $$1 \le i \le I$$ से दर्शाया जाता है, इस प्रकार किसी टेंसर के एकाधिक मोड का संदर्भ देते समय कई सूचकांकों का सामना करना पड़ सकता है, जिन्हें सरलता से दर्शाया जा सकता है $$1\le i_m \le I_m$$ जहाँ $$1\le m \le M$$ के समान हैं।

एक सदिश को लोअर केस बोल्ड टाइम्स रोमन द्वारा दर्शाया जाता है, इस प्रकार $$\mathbf a$$ और आव्यूह को बोल्ड अपर केस अक्षरों $$ \mathbf A$$ द्वारा दर्शाया जाता है।

एक उच्च क्रम वाले टेंसर को सुलेख अक्षरों $$\mathcal A$$ द्वारा दर्शाया जाता है, जिसके लिए तत्व $$M$$-आदेश टेंसर $$ \mathcal A \in \mathbb C^{I_1 \times I_2 \times \dots I_m \times \dots I_M}$$ द्वारा निरूपित किया जाता है, जो इस प्रकार हैं-

$$ a_{i_1, i_2,\dots,i_m,\dots i_M}$$ या $$ \mathcal A_{i_1, i_2,\dots,i_m,\dots i_M}$$

परिभाषा
एक डेटा टेंसर $${\mathcal A}\in {\mathbb F}^{I_0 \times I_1 \times \ldots \times I_C}$$ बहुभिन्नरूपी प्रेक्षणों का संग्रह है, जिसे में व्यवस्थित किया गया है, इस प्रकार $M$-वे ऐरे के लिए जहां $M$=$C$+1. प्रत्येक टेंसर को उपयुक्त रूप से बड़े आकार के साथ दर्शाया जा सकता है, इसके लिए $$R$$ के रैखिक संयोजन के रूप में $$r$$ रैंक-1 टेंसर द्वारा दर्शाया जाता हैं:


 * $$\mathcal{A} = \sum_{r=1}^{R} \lambda_r \mathbf{a}_{0,r} \otimes\mathbf{a}_{1,r} \otimes \mathbf{a}_{2,r} \dots \otimes \mathbf{a}_{c,r}\otimes \cdots \otimes \mathbf{a}_{C,r},$$

जहाँ $$\lambda_r \in {\mathbb R}$$ और $$\mathbf{a}_{m,r} \in {\mathbb F}^{I_m}$$ जहाँ $$ 1\le m\le M$$. जब पदों की संख्या $$R$$ हो तो, उपरोक्त अभिव्यक्ति में न्यूनतम है, इस प्रकार $$R$$ को टेंसर से जुड़ी हुई रैंक के रूप में प्रकट किया जाता है, और अपघटन को सामान्यतः (टेंसर) रैंक अपघटन, न्यूनतम सीपी अपघटन, या कैनोनिकल पॉलीएडिक अपघटन (सीपीडी) के रूप में जाना जाता है। यदि शब्दों की संख्या न्यूनतम नहीं है, तो उपरोक्त अपघटन को सामान्यतः CANDECOMP/PARAFAC, पॉलीडिक अपघटन के रूप में जाना जाता है।

टेंसर रैंक
आव्यूह की इस स्थिति के विपरीत, टेंसर की रैंक की गणना करना एनपी कठिन है। इसका एकमात्र उल्लेखनीय अच्छी तरह से समझे जाने वाले स्थिति में टेंसर उपस्थित हैं, इसके लिए $$F^{I_m} \otimes F^{I_n} \otimes F^2$$, जिसकी रैंक लियोपोल्ड क्रोनकर-वीयरस्ट्रैस के रैखिक आव्यूह पेंसिल के सामान्य रूप से प्राप्त की जा सकती है जो टेंसर का प्रतिनिधित्व करता है। यह प्रमाणित करने के लिए सरल बहुपद-समय एल्गोरिथ्म उपस्थित है कि टेंसर रैंक 1 का है, अर्थात् उच्च-क्रम एकवचन मूल्य अपघटन करता हैं।

परंपरा के अनुसार शून्य के टेंसर की रैंक शून्य होती है। इसके टेंसर की रैंक $$\mathbf{a}_1 \otimes \cdots \otimes \mathbf{a}_M $$ है, जिसके लिए $$ \mathbf{a}_m \in F^{I_m}\setminus\{0\} $$ का मान समान रहता हैं।

क्षेत्र निर्भरता
टेंसर की रैंक उस क्षेत्र पर निर्भर करती है जिस पर टेंसर विघटित होता है। यह ज्ञात है कि कुछ वास्तविक टेंसर जटिल अपघटन को स्वीकार कर सकते हैं जिनकी रैंक उसी टेंसर के वास्तविक अपघटन की रैंक से बिल्कुल कम है। उदहारण के लिए, निम्नलिखित वास्तविक टेंसर पर विचार करते हैं।


 * $$ \mathcal{A} = \mathbf{x}_1 \otimes \mathbf{x}_2 \otimes \mathbf{x}_3 + \mathbf{x}_1 \otimes \mathbf{y}_2 \otimes \mathbf{y}_3 - \mathbf{y}_1 \otimes \mathbf{x}_2 \otimes \mathbf{y}_3 + \mathbf{y}_1 \otimes \mathbf{y}_2 \otimes \mathbf{x}_3, $$

जहाँ $$\mathbf{x}_i, \mathbf{y}_j \in \mathbb{R}^2$$ के वास्तविक रूप के लिए इस टेंसर की रैंक 3 मानी जाती है, जबकि इसकी जटिल रैंक केवल 2 है क्योंकि यह जटिल रैंक-1 टेंसर का उसके जटिल संयुग्म के साथ योग है, अर्थात्


 * $$ \mathcal{A} = \frac{1}{2}( \bar{\mathbf{z}}_1 \otimes \mathbf{z}_2 \otimes \bar{\mathbf{z}}_3 + \mathbf{z}_1 \otimes \bar{\mathbf{z}}_2 \otimes \mathbf{z}_3),$$

जहाँ $$ \mathbf{z}_k=\mathbf{x}_k + i\mathbf{y}_k$$.

इसके विपरीत, फ़ील्ड विस्तार के अनुसार वास्तविक आव्यूह की रैंक कभी कम नहीं होगी $$\mathbb{C}$$: वास्तविक आव्यूह रैंक और जटिल आव्यूह रैंक वास्तविक आव्यूह के लिए मेल खाते हैं।

सामान्य रैंक
सामान्य पद $$r(I_1,\ldots,I_M)$$ न्यूनतम रैंक के रूप में परिभाषित किया गया है, इस प्रकार $$r$$ को मुख्य रूप से इस प्रकार कि ज़ारिस्की टोपोलॉजी में अधिकतम रैंक के टेंसरों के समुच्चय को विवृत कर दिया जाए, जिसके लिए $$r$$ संपूर्ण स्थान $$F^{I_1} \otimes \cdots \otimes F^{I_M}$$ है। इस प्रकार की जटिल टेंसर की स्थिति में, अधिकतम रैंक के टेंसर $$r(I_1,\ldots,I_M)$$ सघन समुच्चय बनाएं $$S$$: उपर्युक्त स्थान में प्रत्येक टेंसर या तो सामान्य रैंक से कम रैंक का है, या यह टेंसरों के अनुक्रम की यूक्लिडियन टोपोलॉजी में सीमा $$S$$ है। इस प्रकार वास्तविक टेंसर के स्थिति में, अधिकतम रैंक के टेंसर का समुच्चय $$r(I_1,\ldots,I_M)$$ यूक्लिडियन टोपोलॉजी में केवल धनात्मक माप का खुला समुच्चय बनता है। जिसका सामान्य रैंक से सख्ती से अधिक रैंक के टेंसरों के यूक्लिडियन-ओपन समुच्चय उपस्थित हो सकते हैं। इस प्रकार यूक्लिडियन टोपोलॉजी में खुले समुच्चय पर दिखाई देने वाली सभी रैंकों को विशिष्ट रैंक कहा जाता है। सबसे छोटी विशिष्ट रैंक को सामान्य रैंक कहा जाता है, इस प्रकार यह परिभाषा जटिल और वास्तविक दोनों टेंसरों पर लागू होती है। जिसके लिए टेन्सर स्पेस की सामान्य रैंक का अध्ययन सबसे पहले 1983 में वोल्कर स्ट्रैसन द्वारा किया गया था।

उपरोक्त अवधारणाओं के उदाहरण के रूप में, यह ज्ञात है कि 2 और 3 दोनों विशिष्ट रैंक $$\mathbb{R}^2 \otimes \mathbb{R}^2 \otimes \mathbb{R}^2$$ हैं, जबकि सामान्य रैंक $$\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2$$ 2 है। व्यावहारिक रूप से, इसका अर्थ है कि आकार का यादृच्छिक रूप से प्रमाण लिया गया वास्तविक टेंसर के स्थान पर निरंतर संभाव्यता माप से $$2 \times 2 \times 2$$ संभाव्यता शून्य के साथ रैंक-1 टेंसर होगा, जिसके लिए धनात्मक संभावना के साथ रैंक-2 टेंसर होगा, और धनात्मक संभावना के साथ रैंक-3 होगा। दूसरी ओर, समान आकार का यादृच्छिक रूप से प्रमाणित किया गया जटिल टेंसर प्रायिकता शून्य के साथ रैंक-1 टेंसर होगा, इसकी प्रायिकता के साथ रैंक-2 टेंसर होगा, और प्रायिकता शून्य के साथ रैंक-3 टेंसर होगा। यह भी ज्ञात है कि सामान्य रैंक-3 वास्तविक टेंसर है $$\mathbb{R}^2 \otimes \mathbb{R}^2 \otimes \mathbb{R}^2$$ 2 के समान जटिल रैंक का होगा।

टेंसर रिक्त स्थान की सामान्य रैंक संतुलित और असंतुलित टेंसर रिक्त स्थान के बीच अंतर पर निर्भर करती है। टेंसर स्पेस $$F^{I_1} \otimes \cdots \otimes F^{I_M}$$, जहाँ $$I_1 \ge I_2 \ge \cdots \ge I_M$$, जब भी असंतुलित कहा जाता है


 * $$I_1 > 1 + \prod_{m=2}^M I_m - \sum_{m=2}^M (I_m-1), $$

और इसे अन्यथा संतुलित कहा जाता है।

असंतुलित टेंसर स्थान
जब टेंसर उत्पाद में अन्य कारकों के संबंध में पहला कारक बहुत बड़ा होता है, तो टेंसर स्पेस अनिवार्य रूप से आव्यूह स्पेस के रूप में व्यवहार करता है। असंतुलित टेंसर स्थानों में रहने वाले टेंसरों की सामान्य रैंक के समान मानी जाती है।


 * $$ r(I_1,\ldots,I_M) = \min\left\{ I_1, \prod_{m=2}^M I_m \right\} $$

लगभग हर स्थान पर अधिक सटीक रूप से, असंतुलित टेंसर स्थान में प्रत्येक टेंसर की रैंक $$F^{I_1 \times \cdots \times I_M} \setminus Z$$, जहाँ $$Z$$ ज़ारिस्की टोपोलॉजी में कुछ अनिश्चित विवृत समुच्चय है, जो उपरोक्त मान के समान है।

संतुलित टेंसर स्थान
संतुलित टेंसर स्पेस में रहने वाले टेंसरों की अपेक्षित सामान्य रैंक के समान है-


 * $$ r_E(I_1,\ldots,I_M) = \left\lceil \frac{\Pi}{\Sigma+1} \right\rceil $$

जटिल टेंसरों के लिए लगभग हर जगह और वास्तविक टेंसरों के लिए यूक्लिडियन-ओपन समुच्चय पर, जहां


 * $$ \Pi = \prod_{m=1}^{M} I_m \quad\text{and}\quad \Sigma = \sum_{m=1}^{M} (I_m - 1). $$

अधिक सटीक रूप से, प्रत्येक टेंसर की रैंक $$\mathbb{C}^{I_1 \times \cdots \times I_M} \setminus Z$$ के समान हैं। जहाँ $$Z$$ ज़ारिस्की टोपोलॉजी में कुछ अनिश्चित विवृत समुच्चय है, उपरोक्त मूल्य के समान होने की संभावना है। इस प्रकार वास्तविक टेंसरों के लिए, $$r_E(I_1,\ldots,I_M)$$ वह न्यूनतम रैंक है जो धनात्मक यूक्लिडियन माप के समुच्चय पर होने की उम्मीद है। इसके मान $$r_E(I_1,\ldots,I_M)$$ को सामान्यतः टेंसर स्पेस की अपेक्षित सामान्य रैंक के रूप में जाना जाता है $$F^{I_1 \times \cdots \times I_M}$$ क्योंकि यह केवल अनुमानतः सही है। यह ज्ञात है कि सच्ची सामान्य रैंक सदैव संतुष्ट करती है-


 * $$ r(I_1, \ldots, I_M) \ge r_E(I_1, \ldots, I_M). $$

अबो-ओटाविअर्ताथ-पीटरसन अनुमान बताता है कि समानता अपेक्षित है, अर्थात, $$r(I_1,\ldots,I_M) = r_E(I_1,\ldots,I_M)$$, निम्नलिखित असाधारण स्थितियों के साथ:

इनमें से प्रत्येक असाधारण स्थिति में, सामान्य रैंक $$r(I_1,\ldots,I_m,\ldots,I_M) = r_E(I_1,\ldots,I_M)+1$$ ज्ञात है। यहाँ पर ध्यान दें कि रैंक 3 इंच के टेंसर का समुच्चय $$F^{2 \times 2 \times 2 \times 2} $$ दोषपूर्ण है (13 और अपेक्षित 14 नहीं), उस स्थान में सामान्य रैंक अभी भी 4 अपेक्षित है। इसी प्रकार रैंक 5 के टेंसरों का समुच्चय $$F^{4 \times 4 \times 3}$$ दोषपूर्ण है, जहाँ मुख्य रूप से 44 और अपेक्षित 45 नहीं हैं, अपितु उस स्थान में सामान्य रैंक अभी भी अपेक्षित 6 है।
 * $$ F^{(2m+1) \times (2m+1) \times 3} \text{ with } m = 1, 2, \ldots$$
 * $$ F^{(m+1) \times (m+1) \times 2 \times 2} \text{ with } m = 2,3, \ldots$$

AOP अनुमान कई विशेष स्थितियों में पूर्ण रूप से सिद्ध हो चुका है। लिकटेग ने 1985 में ही यह दिखा दिया था $$r(n,n,n) = r_E(n,n,n)$$, उसे उपलब्ध कराया $$n \ne 3$$. 2011 में, कैटालिसानो, गेरामिता और जिमिग्लिआनो द्वारा बड़ी सफलता स्थापित की गई, जिन्होंने प्रमाणित किया कि रैंक के समुच्चय का अपेक्षित आयाम $$s$$ प्रारूप के टेंसर $$2\times 2\times \cdots \times 2$$ 4 कारक स्थिति में रैंक 3 टेंसरों को छोड़कर अपेक्षित है, फिर भी उस स्थिति में अपेक्षित रैंक अभी भी 4 है। जिसके परिणामस्वरूप, $$r(2,2,\ldots,2) = r_E(2,2,\ldots,2)$$ सभी बाइनरी टेंसरों के लिए उपयोगी हैं।

अधिकतम रैंक
टेंसर स्पेस में किसी भी टेंसर द्वारा स्वीकार की जा सकने वाली अधिकतम रैंक सामान्य रूप से अज्ञात है, यहां तक ​​कि इस अधिकतम रैंक के बारे में कोई अनुमान भी विलुप्त हो जाता हैं। वर्तमान समय में, सर्वोत्तम सामान्य ऊपरी सीमा बताती है कि अधिकतम रैंक $$r_\mbox{max}(I_1,\ldots,I_M)$$ का $$F^{I_1} \otimes \cdots \otimes F^{I_M}$$, जहाँ $$I_1 \ge I_2 \ge \cdots \ge I_M$$, संतुष्ट करता है


 * $$r_\mbox{max}(I_1,\ldots,I_M) \le \min\left\{ \prod_{m=2}^M I_m, 2 \cdot r(I_1,\ldots,I_M) \right\},$$

जहाँ $$r(I_1,\ldots,I_M)$$ की (न्यूनतम) सामान्य रैंक $$F^{I_1} \otimes \cdots \otimes F^{I_M}$$ है।

यह सर्वविदित है कि पूर्वगामी असमानता कठोर हो सकती है। उदाहरण के लिए, टेंसरों की सामान्य रैंक $$\mathbb{R}^{2\times 2 \times 2}$$ दो है, ताकि उपरोक्त बाध्यता प्राप्त हो $$r_\mbox{max}(2,2,2) \le 4$$, जबकि यह ज्ञात है कि अधिकतम रैंक 3 के समान है।

सीमा रैंक
एक रैंक-$$s$$ टेन्सर $$\mathcal{A}$$ यदि अधिकतम रैंक के टेंसरों का क्रम उपस्थित है तो उसे बॉर्डर टेंसर $$r < s$$ कहा जाता है, जिसकी सीमा $$\mathcal{A}$$ है, इस प्रकार यदि $$r$$ वह न्यूनतम मान है जिसके लिए ऐसा अभिसरण अनुक्रम उपस्थित है, तो इसे सीमा रैंक $$\mathcal{A}$$ कहा जाता है, इस प्रकार ऑर्डर-2 टेंसर के लिए, अर्ताथ, आव्यूह, रैंक और बॉर्डर रैंक सदैव मेल खाते हैं, चूंकि, ऑर्डर के टेंसर के लिए $$\ge3$$ वे भिन्न हो सकते हैं. बॉर्डर टेंसर का अध्ययन पहली बार 1980 में बिनी, लोटी और रोमानी द्वारा तेजी से अनुमानित आव्यूह गुणन कलन विधि के संदर्भ में किया गया था।

बॉर्डर टेंसर का उत्कृष्ट उदाहरण रैंक-3 टेंसर है


 * $$\mathcal{A} = \mathbf{u} \otimes \mathbf{u} \otimes \mathbf{v} + \mathbf{u} \otimes \mathbf{v} \otimes \mathbf{u} + \mathbf{v} \otimes \mathbf{u} \otimes \mathbf{u}, \quad \text{with } \|\mathbf{u}\| = \|\mathbf{v}\| = 1 \text{ and } \langle \mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle \ne 1.$$

इसे रैंक-2 टेंसर के निम्नलिखित अनुक्रम द्वारा नियमित विधि से अच्छी तरह से अनुमानित किया जा सकता है


 * $$\begin{align}

\mathcal{A}_m &= m (\mathbf{u} + \frac{1}{m} \mathbf{v}) \otimes (\mathbf{u} + \frac{1}{m} \mathbf{v}) \otimes (\mathbf{u} + \frac{1}{m} \mathbf{v}) - m \mathbf{u}\otimes\mathbf{u}\otimes\mathbf{u} \\ &= \mathbf{u} \otimes \mathbf{u} \otimes \mathbf{v} + \mathbf{u} \otimes \mathbf{v} \otimes \mathbf{u} + \mathbf{v} \otimes \mathbf{u} \otimes \mathbf{u} + \frac{1}{m} (\mathbf{u}\otimes\mathbf{v}\otimes\mathbf{v} + \mathbf{v}\otimes\mathbf{u}\otimes\mathbf{v} + \mathbf{v}\otimes\mathbf{v}\otimes\mathbf{u}) + \frac{1}{m^2} \mathbf{v}\otimes\mathbf{v}\otimes\mathbf{v} \end{align}$$ जैसा $$m \to \infty$$. इसलिए, इसकी सीमा रैंक 2 है, जो कि इसकी रैंक से बिल्कुल कम है। जब दो सदिश ऑर्थोगोनल होते हैं, तो इस उदाहरण को W स्थिति के रूप में भी जाना जाता है।

पहचान योग्यता
यह शुद्ध टेंसर की परिभाषा $$\mathcal{A} = \mathbf{a}_1 \otimes \mathbf{a}_2 \otimes \cdots \otimes \mathbf{a}_M = \mathbf{b}_1 \otimes \mathbf{b}_2 \otimes \cdots \otimes \mathbf{b}_M$$ से अनुसरण करता है, इस प्रकार यदि इसका मान $$\lambda_k$$ है जिसका मान इस  प्रकार हैं कि $$\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_M = 1$$ और $$\mathbf{a}_m = \lambda_m \mathbf{b}_m$$ सभी के लिए एम. इस कारण से, पैरामीटर $$\{ \mathbf{a}_m \}_{m=1}^M$$ रैंक-1 टेंसर का $$\mathcal{A}$$ पहचाने जाने योग्य या अनिवार्य रूप से अद्वितीय कहलाते हैं। जिसके लिए रैंक-$$r$$ टेन्सर $$\mathcal{A} \in F^{I_1} \otimes F^{I_2} \otimes \cdots \otimes F^{I_M}$$ पहचाने जाने योग्य कहा जाता है यदि इसका प्रत्येक टेंसर रैंक अपघटन उसी समुच्चय का योग हो $$r$$ विशिष्ट टेंसर $$\{ \mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2, \ldots, \mathcal{A}_r \}$$ जहां $$\mathcal{A}_i$$रैंक 1 के हैं। पहचान योग्य रैंक-$$r$$ इस प्रकार केवल अनिवार्य रूप से अद्वितीय अपघटन होता है $$\mathcal{A} = \sum_{i=1}^r \mathcal{A}_i,$$और सभी $$r!$$ टेंसर रैंक का विघटन $$\mathcal{A}$$ सारांश के क्रम को परिवर्तित करके प्राप्त किया जा सकता है। निरीक्षण करें कि टेंसर रैंक में सभी का अपघटन होता है $$\mathcal{A}_i$$अलग हैं, अन्यथा की रैंक के लिए $$\mathcal{A}$$ अधिक से अधिक होगा $$r-1$$.

सामान्य पहचान
ऑर्डर-2 टेंसर में $$F^{I_1} \otimes F^{I_2} \simeq F^{I_1 \times I_2}$$, अर्ताथ, आव्यूह, के लिए पहचाने जाने योग्य नहीं हैं $$r > 1$$. यह मूलतः अवलोकन से अनुसरण करता है $$\mathcal{A} = \sum_{i=1}^r \mathbf{a}_i \otimes \mathbf{b}_i = \sum_{i=1}^r \mathbf{a}_i \mathbf{b}_i^T = A B^T = (A X^{-1}) (B X^T)^T = \sum_{i=1}^r \mathbf{c}_i \mathbf{d}_i^T = \sum_{i=1}^r \mathbf{c}_i \otimes \mathbf{d}_i,$$जहाँ $$X \in \mathrm{GL}_{r}(F)$$ उलटा है $$r \times r$$ आव्यूह, $$A = [\mathbf{a}_i]_{i=1}^r$$, $$B = [\mathbf{b}_i]_{i=1}^r$$, $$A X^{-1} = [\mathbf{c}_i]_{i=1}^r$$ और $$B X^T = [\mathbf{d}_i]_{i=1}^r$$ को इसे दिखाया जा सकता है, इसका मान सभी के लिए $$X \in \mathrm{GL}_n(F)\setminus Z$$, जहाँ $$Z$$ ज़रिस्की टोपोलॉजी में विवृत समुच्चय है, दाईं ओर का अपघटन बाईं ओर के अपघटन की तुलना में रैंक -1 टेंसर के अलग समुच्चय का योग है, जिसमें रैंक के ऑर्डर -2 टेंसर उपस्थित होते हैं $$r>1$$ सामान्यतः पहचाने जाने योग्य नहीं हैं।

उच्च-क्रम वाले टेंसरों के लिए स्थिति पूर्ण रूप से परिवर्तित हो जाती है, इस प्रकार $$F^{I_1} \otimes F^{I_2} \otimes \cdots \otimes F^{I_M}$$ साथ $$M > 2$$ और सभी $$I_m \ge 2$$. अंकन में सरलता के लिए, व्यापकता की हानि के बिना मान लें कि कारकों को इस प्रकार क्रमित किया गया है, इसके कारण $$I_1 \ge I_2 \ge \cdots \ge I_M \ge 2$$. होने देना $$S_r \subset F^{I_1} \otimes \cdots F^{I_m}\otimes \cdots \otimes F^{I_M}$$से घिरे रैंक के टेंसरों के समुच्चय $$r$$ को निरूपित करें। इसके पश्चात आयाम के सभी स्थानों के लिए कंप्यूटर-समर्थित प्रमाण का उपयोग करके निम्नलिखित कथन $$\Pi < 15000 $$ सही प्रमाणित हुआ हैं, और इसे सामान्यतः मान्य माना जाता है:

वहां विवृत समुच्चय उपस्थित है $$Z_r$$ ज़ारिस्की टोपोलॉजी में ऐसा कि हर टेंसर $$\mathcal{A} \in S_r\setminus Z_r$$पहचाने जाने योग्य है, जिसके लिए $$S_r$$ को इस स्थिति में सामान्य रूप से पहचाने जाने योग्य कहा जाता है, जब तक कि निम्नलिखित असाधारण स्थितियों में से कोई न हो: इन असाधारण स्थितियों में, जटिल अपघटनों की सामान्य (और न्यूनतम भी) संख्या है $$ पहले 4 स्थितियों में, $$ और $$F^3 \otimes F^2 \otimes F^2 \otimes F^2 $$ होना चाहिए। संक्षेप में, आदेश का सामान्य टेंसर $$M > 2 $$ और रैंक $r < \frac{\Pi}{\Sigma+1} $ जो पहचान योग्य नहीं है- इस कारण यह असंतुलित है, उसे पहचाने जाने योग्य होने की उम्मीद है, जो इस प्रकार छोटे स्थानों में असाधारण स्थितियों को ध्यान में रखते हुए उपयोग किया जाता हैं।
 * 1) रैंक बहुत बड़ी है: $$r > r_E(I_1, I_2, \ldots, I_M)$$,
 * 2) स्थान पहचान-असंतुलित है, अर्ताथ, $I_1 > \prod_{m=2}^M i_m - \sum_{m=2}^M (I_m - 1)$, और रैंक बहुत बड़ी है: $r \ge \prod_{m=2}^M I_m - \sum_{m=2}^M (I_m-1)$ ,
 * 3) स्थान दोषपूर्ण स्थिति $$F^4 \otimes F^4 \otimes F^3$$ है, और रैंक $$r=5$$ है,
 * 4) स्थान दोषपूर्ण स्थिति $$F^n \otimes F^n \otimes F^2 \otimes F^2$$ है, जहाँ $$n \ge 2$$, और रैंक है $$r = 2n-1$$,
 * 5) समतल $$F^4 \otimes F^4 \otimes F^4$$ है, और रैंक $$r=6$$ है,
 * 6) समतल $$F^6 \otimes F^6 \otimes F^3$$ है, और रैंक $$r = 8$$ है, या
 * 7) समतल $$F^2 \otimes F^2 \otimes F^2 \otimes F^2 \otimes F^2$$ है, और रैंक है $$r=5$$.
 * 8) जगह एकदम सही है, अर्ताथ, $r_E(I_1,I_2,\ldots,I_M) = \frac{\Pi}{\Sigma+1}$  पूर्णांक है, और रैंक है $r = r_E(I_1,I_2,\ldots,I_M)$.
 * प्रमाणित हुई $$\infty
 * स्थिति 5 में दो प्रमाणित हुए,
 * अपेक्षित स्थिति 6 में छह होना,
 * स्थिति 7 में दो प्रमाणित हुए, और
 * अपेक्षित दो पहचाने जाने योग्य स्थितियों को छोड़कर, स्थिति 8 में कम से कम दो मान $$F^5 \otimes F^4 \otimes F^3

मानक सन्निकटन समस्या की गलत व्याख्या
रैंक सन्निकटन समस्या रैंक पूछती है-$$r$$ कुछ रैंक के निकटतम अपघटन (सामान्य यूक्लिडियन टोपोलॉजी में)-$$s$$ टेन्सर $$\mathcal{A}$$, जहाँ $$r < s$$. अर्थात् कोई समाधान चाहता है


 * $$ \min_{\mathbf{a}_i^m \in F^{I_m}} \| \mathcal{A} - \sum_{i=1}^{r} \mathbf{a}_i^1 \otimes \mathbf{a}_i^2 \otimes \cdots \otimes \mathbf{a}_i^M \|_F, $$

जहाँ $$\|\cdot\|_F$$ फ्रोबेनियस मानदंड है.

इसे डी सिल्वा और लिम द्वारा 2008 के पेपर में दिखाया गया था, इसके कारण उपरोक्त मानक सन्निकटन समस्या ग़लत हो सकती है। उपर्युक्त समस्या का समाधान कभी-कभी उपस्थित नहीं हो सकता है क्योंकि जिस समुच्चय पर कोई अनुकूलन करता है वह विवृत नहीं होता है। इस प्रकार, मिनिमाइज़र उपस्थित नहीं हो सकता है, भले ही न्यूनतम उपस्थित होती हैं। इस प्रकार विशेष रूप से, यह ज्ञात है कि कुछ तथाकथित सीमा टेंसरों को अधिकतम रैंक के टेंसर के अनुक्रम द्वारा मनमाने ढंग से अनुमानित किया जा सकता है $$r$$, भले ही अनुक्रम की सीमा सख्ती से उच्चतर रैंक के टेंसर $$r$$ रैंक-3 टेंसर में परिवर्तित हो जाती है।


 * $$\mathcal{A} = \mathbf{u} \otimes \mathbf{u} \otimes \mathbf{v} + \mathbf{u} \otimes \mathbf{v} \otimes \mathbf{u} + \mathbf{v} \otimes \mathbf{u} \otimes \mathbf{u}, \quad \text{with } \|\mathbf{u}\| = \|\mathbf{v}\| = 1 \text{ and } \langle \mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle \ne 1$$

रैंक-2 टेंसर के निम्नलिखित अनुक्रम द्वारा मनमाने ढंग से अच्छी तरह से अनुमान लगाया जा सकता है-


 * $$ \mathcal{A}_n = n (\mathbf{u} + \frac{1}{n} \mathbf{v}) \otimes (\mathbf{u} + \frac{1}{n} \mathbf{v}) \otimes (\mathbf{u} + \frac{1}{n} \mathbf{v}) - n \mathbf{u}\otimes\mathbf{u}\otimes\mathbf{u} $$

जैसा $$n \to \infty$$. यह उदाहरण सामान्य सिद्धांत को स्पष्ट रूप से दर्शाता है कि रैंक का क्रम-$$r$$ जो टेंसर कठोरता से उच्च रैंक के टेंसर में परिवर्तित होते हैं, उन्हें कम से कम दो व्यक्तिगत रैंक -1 शब्दों को स्वीकार करने की आवश्यकता होती है, जिनके मानदंड असीमित हो जाते हैं। औपचारिक रूप से कहा गया है, जब भी अनुक्रम


 * $$ \mathcal{A}_n = \sum_{i=1}^r \mathbf{a}^1_{i,n} \otimes \mathbf{a}^2_{i,n} \otimes \cdots \otimes \mathbf{a}^M_{i,n} $$

उसके पास वह मान यूक्लिडियन टोपोलॉजी में $$\mathcal{A}_n \to \mathcal{A}$$ है, जैसे $$n\to\infty$$, तो कम से कम मान $$1 \le i \ne j \le r$$ तक होना ही चाहिए, इस कारण उक्त समीकरण प्राप्त होता हैं-


 * $$ \| \mathbf{a}^1_{i,n} \otimes \mathbf{a}^2_{i,n} \otimes \cdots \otimes \mathbf{a}^M_{i,n} \|_F \to \infty \text{ and  } \| \mathbf{a}^1_{j,n} \otimes \mathbf{a}^2_{j,n} \otimes \cdots \otimes \mathbf{a}^M_{j,n} \|_F \to \infty$$

जैसा $$n\to\infty$$. संख्यात्मक अनुकूलन कलन विधि का उपयोग करके टेंसर का अनुमान लगाने का प्रयास करते समय यह घटना सामान्यतः सामने आती है। इसे कभी-कभी अपसारी घटकों की समस्या भी कहा जाता है। इसके अतिरिक्त, यह दिखाया गया कि वास्तविकताओं पर यादृच्छिक निम्न-रैंक टेंसर धनात्मक संभावना के साथ रैंक -2 सन्निकटन को स्वीकार नहीं कर सकता है, जिससे इस प्रकार हम यह समझ सकते हैं कि टेंसर रैंक अपघटन को नियोजित करते समय खराब स्थिति की समस्या महत्वपूर्ण विचार है।

खराब स्थिति की समस्या के सामान्य आंशिक समाधान में अतिरिक्त असमानता बाधा लागू करना उपस्थित है जो व्यक्तिगत रैंक -1 शर्तों के मानदंड को कुछ स्थिरांक से सीमित करता है। अन्य बाधाएँ जो विवृत समुच्चय में परिणत होती हैं, और, इस प्रकार, अच्छी तरह से प्रस्तुत अनुकूलन समस्या में धनात्मकता लगाना या सीमित आंतरिक उत्पाद उपस्थित होता है जो मांगे गए अपघटन में दिखाई देने वाले रैंक -1 शब्दों के बीच एकीकरण करने से कम होता है।

सीपीडी की गणना
वैकल्पिक कलन विधि:
 * वैकल्पिक न्यूनतम वर्ग (ALS)
 * वैकल्पिक स्लाइस-वार विकर्णीकरण (एएसडी)

प्रत्यक्ष कलन विधि: सामान्य अनुकूलन कलन विधि:
 * पेंसिल-आधारित कलन विधि
 * क्षण-आधारित कलन विधि
 * एक साथ विकर्णीकरण (एसडी)
 * एक साथ सामान्यीकृत शूर अपघटन (एसजीएसडी)
 * लेवेनबर्ग-मार्क्वार्ड (एलएम)
 * अरैखिक संयुग्मी प्रवणता (एनसीजी)
 * एल-बीएफजीएस (एल-बीएफजीएस)

सामान्य बहुपद प्रणाली को हल करने के लिए कलन विधि:


 * बहुपद समीकरणों की प्रणाली के लिए संख्यात्मक रूप से हल करने के लिए कलन विधि का उपयोग किया जाता हैं।

अनुप्रयोग
मशीन लर्निंग में, सीपी-अपघटन क्षण-मिलान की तकनीक के माध्यम से संभाव्य अव्यक्त चर (वैरियेबल) प्रारूप सीखने में केंद्रीय घटक है। उदाहरण के लिए, मल्टी-व्यू प्रारूप पर विचार करें, जो संभाव्य अव्यक्त चर प्रारूप है। इस प्रारूप में, नमूनों की पीढ़ी इस प्रकार प्रस्तुत की जाती है: इस प्रकार विलुप्त होने वाले यादृच्छिक चर इसमें उपस्थित होते हैं, जिसे सीधे नहीं देखा जाता है, जिसे देखते हुए कई सशर्त स्वतंत्र यादृच्छिक चर होते हैं जिन्हें छिपे हुए चर के विभिन्न दृश्यों के रूप में जाना जाता है। सरलता के लिए, मान लें कि तीन सममित दृश्य हैं $$x$$ का $$k$$-श्रेणीबद्ध छिपे हुए चर $$h$$ को परिभाषित किया गया हैं। इसके पश्चात इस अव्यक्त चर प्रारूप का अनुभवजन्य तीसरा क्षण इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$T=\sum_{i=1}^{k}Pr(h=i) E[x|h=i]^{\otimes 3}$$.

विषय प्रारूपिंग जैसे अनुप्रयोगों में, इसकी व्याख्या किसी विवरण में शब्दों की सह-घटना के रूप में की जा सकती है। फिर इस अनुभवजन्य क्षण टेंसर के आइजन मान ​​​​को विशिष्ट विषय और कारक आव्यूह के प्रत्येक कॉलम को चुनने की संभावना के रूप में व्याख्या किया जा सकता है, इस प्रकार $$E[x|h=k]$$ संबंधित विषय की शब्दावली में शब्दों की संभावनाओं से मेल खाता है।

यह भी देखें

 * अव्यक्त वर्ग विश्लेषण
 * मल्टीलिनियर सबस्पेस लर्निंग
 * विलक्षण मान अपघटन
 * टकर अपघटन
 * उच्च-क्रम एकवचन मूल्य अपघटन
 * टेंसर अपघटन

बाहरी संबंध

 * PARAFAC Tutorial
 * Parallel Factor Analysis (PARAFAC)
 * FactoMineR (free exploratory multivariate data analysis software linked to R)