गेरोनो का लेम्निस्केट

बीजगणितीय ज्यामितीय में, गेरोनो का लेम्निस्केट, या ह्यूजेन्स का लेम्निस्केट, या आकृति-आठ वक्र, डिग्री चार और जीनस शून्य का समतल बीजगणितीय वक्र है और लेम्निस्केट वक्र के आकार का है $$\infty$$ प्रतीक, या अंक आठ इसमें समीकरण है:


 * $$x^4-x^2+y^2 = 0.$$

इसका अध्ययन केमिली-क्रिस्टोफ़ गेरोनो ने किया था।

पैरामीटरीकरण
क्योंकि वक्र जीनस शून्य का है, इसे तर्कसंगत कार्यों द्वारा पैरामीट्रिज्ड किया जा सकता है; ऐसा करने का साधन है:


 * $$x = \frac{t^2-1}{t^2+1},\ y = \frac{2t(t^2-1)}{(t^2+1)^2}.$$

और प्रतिनिधित्व है:
 * $$x = \cos \varphi,\ y = \sin\varphi\,\cos\varphi = \sin(2\varphi)/2$$

जिससे ज्ञात होता है कि यह लेम्निस्केट लिसाजस आकृति की विशेष स्तिथि है।

ड्यूल वक्र
नीचे चित्रित ड्यूल वक्र (प्लुकर सूत्र देखें) का चरित्र कुछ भिन्न है। इसका समीकरण है:


 * $$(x^2-y^2)^3 + 8y^4+20x^2y^2-x^4-16y^2=0.$$