चीनी शेषफल प्रमेय

गणित में, चीनी शेषफल प्रमेय कहता है कि यदि कोई पूर्णांक n के यूक्लिडियन प्रभाग के शेषफल को कई पूर्णांकों द्वारा जानता है, तो वह n के गुणनफल द्वारा विशिष्ट रूप से विभाजन के शेष भाग को निर्धारित कर सकता है। ये पूर्णांक, इस प्रतिबन्ध के अंतर्गत कि भाजक युग्‍मानूसार सहअभाज्य हैं (1 के अतिरिक्त कोई भी दो भाजक सामान्य कारक साझा नहीं करते हैं)।

उदाहरण के लिए, यदि हम जानते हैं कि n को 3 से विभाजित करने पर शेषफल 2 है, n को 5 से विभाजित करने पर शेषफल 3 है, और n को 7 से विभाजित करने पर शेषफल 2 है, फिर n का मान जाने बिना, हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि n को 105 (3, 5, और 7 का गुणनफल) से विभाजित करने पर शेषफल 23 है। महत्वपूर्ण रूप से, यह हमें बताता है कि यदि n 105 से कम प्राकृतिक संख्या है, तो 23 n का एकमात्र संभावित मान है।

प्रमेय का सबसे पहला ज्ञात कथन चीनी गणितज्ञ सुन्ज़ी द्वारा तीसरी शताब्दी ई.पू. में सुन्ज़ी सुआन्ज्निन में दिया गया है।

चीनी शेषफल प्रमेय का व्यापक रूप से बड़े पूर्णांकों के साथ कंप्यूटिंग के लिए उपयोग किया जाता है, क्योंकि यह गणना को प्रतिस्थापित करने की अनुमति देता है जिसके लिए कई छोटे पूर्णांकों पर कई समान गणनाओं द्वारा परिणाम के आकार पर सीमा जानता है।

चीनी शेषफल प्रमेय (मॉड्यूलर अंकगणित सर्वांगसमता के संदर्भ में व्यक्त) प्रत्येक प्रमुख आदर्श डोमेन पर सत्य है। इसे किसी भी वलय (गणित) के लिए सामान्यीकृत किया गया है, जिसमें दो-पक्षीय आदर्श सम्मिलित हैं।

इतिहास
विशिष्ट संख्याओं की समस्या के रूप में प्रमेय का सबसे पहला ज्ञात कथन, चीनी गणितज्ञ सुन्ज़ी द्वारा तीसरी शताब्दी की पुस्तक सनज़ी सुआनजिंग में दिखाई देता है:

"कुछ वस्तुएं ऐसी हैं जिनकी संख्या अज्ञात है। यदि हम उन्हें तीन से गिनें, तो हमारे निकट दो बचे हैं; पाँचों तक, हमारे निकट तीन बचे हैं; और सात बजते-बजते दो बच जाते हैं। कितनी वस्तुएं हैं?"

सुन्ज़ी के कार्य में न तो कोई गणितीय प्रमाण है और न ही कोई पूर्ण एल्गोरिथम। इस समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिदम कितना महत्वपूर्ण है इसका वर्णन आर्यभट्ट (छठी शताब्दी) ने किया था। चीनी शेषफल प्रमेय की विशेष स्थिति ब्रह्मगुप्त (7वीं शताब्दी) को भी ज्ञात थे, और फाइबोनैचि के अबेकस की पुस्तक (1202) में दिखाई देते हैं। परिणाम को बाद में किन जिउशाओ के 1247 गणितीय ग्रंथ में नौ खंडों में दा-यान-शू (大衍術) नामक पूर्ण हल के साथ सामान्यीकृत किया गया था, जिसका 19वीं शताब्दी के प्रारंभ में ब्रिटिश मिशनरी अलेक्जेंडर वाइली (मिशनरी) द्वारा अंग्रेजी में अनुवाद किया गया था।

सर्वांगसमता की धारणा को सबसे पहले कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने 1801 के अपने डिस्क्विज़िशन्स अरिथमेटिके में प्रस्तुत और उपयोग किया था। गॉस ने कैलेंडरों से जुड़ी समस्या पर चीनी शेषफल प्रमेय का उदाहरण दिया है, अर्थात्, उन वर्षों को ढूंढना जिनकी सौर और चंद्र चक्र और रोमन संकेत के संबंध में निश्चित अवधि संख्या होती है। गॉस ने समस्या को हल करने के लिए प्रक्रिया का परिचय दिया जिसका उपयोग पहले से ही लियोनहार्ड यूलर द्वारा किया गया था परन्तु वस्तुतः यह प्राचीन विधि थी जो कई बार सामने आई थी।

कथन
चलो एन1, ..., एनk 1 से बड़े पूर्णांक हों, जिन्हें अक्सर मॉड्यूलर अंकगणित या यूक्लिडियन डिवीजन कहा जाता है। आइए हम n के गुणनफल को N से निरूपित करेंi.

चीनी शेषफल प्रमेय का दावा है कि यदि ni जोड़ीवार सहअभाज्य हैं, और यदि ए1, ..., एk ऐसे पूर्णांक हैं कि 0 ≤ ai < एनi प्रत्येक i के लिए, तब और केवल पूर्णांक x होता है, जैसे कि 0 ≤ x < N और x के यूक्लिडियन विभाजन का शेष n द्वाराi हैi प्रत्येक i के लिए

मॉड्यूलर अंकगणित के संदर्भ में इसे इस प्रकार दोहराया जा सकता है: यदि $$n_i$$ जोड़ीवार सहअभाज्य हैं, और यदि ए1, ..., एk यदि कोई पूर्णांक है, तो सिस्टम


 * $$\begin{align}

x &\equiv a_1 \pmod{n_1} \\ &\,\,\,\vdots \\ x &\equiv a_k \pmod{n_k}, \end{align}$$ एक हल है, और कोई भी दो हल, मान लीजिए x1 और एक्स2, सर्वांगसम मॉड्यूलो एन हैं, अर्थात, $x_{1} ≡ x_{2} (mod N&hairsp;)$. अमूर्त बीजगणित में, प्रमेय को अक्सर इस प्रकार दोहराया जाता है: यदि ni जोड़ीवार सहअभाज्य, मानचित्र हैं
 * $$x \bmod N \;\mapsto\;(x \bmod n_1,\, \ldots,\, x \bmod n_k)$$

एक वलय समरूपता को परिभाषित करता है
 * $$\mathbb{Z}/N\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/n_1\mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}/n_k\mathbb{Z}$$

पूर्णांक मॉड्यूलो n के वलय (गणित) और पूर्णांक मॉड्यूलो n के वलय के वलय के गुणनफल के बीचi. इसका मतलब यह है कि अंकगणितीय संक्रियाओं का क्रम करने के लिए $$\mathbb{Z}/N\mathbb{Z},$$ प्रत्येक में कोई भी स्वतंत्र रूप से समान गणना कर सकता है $$\mathbb{Z}/n_i\mathbb{Z}$$ और फिर समरूपता (दाएं से बाएं) लागू करके परिणाम प्राप्त करें। यदि एन और संचालन की संख्या बड़ी है तो यह प्रत्यक्ष गणना से कहीं अधिक तेज़ हो सकती है। पूर्णांकों या परिमेय संख्याओं पर रैखिक बीजगणित के लिए, मल्टी-मॉड्यूलर गणना नाम के अंतर्गत इसका व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

प्रमेय को साहचर्य की भाषा में इस तथ्य के रूप में भी दोहराया जा सकता है कि पूर्णांकों की अनंत अंकगणितीय प्रगति हेली परिवार बनाती है।

प्रमाण
हल का अस्तित्व और विशिष्टता स्वतंत्र रूप से सिद्ध की जा सकती है। हालाँकि, नीचे दिया गया अस्तित्व का पहला प्रमाण, इस विशिष्टता का उपयोग करता है।

अद्वितीयता
लगता है कि $x$ और $y$ दोनों सभी सर्वांगसमताओं के हल हैं। जैसा $x$ और $y$ से भाग देने पर वही शेषफल मिलता है $n_{i}$, उनका अंतर $x − y$ प्रत्येक का गुणज है $n_{i}$. के रूप में $n_{i}$ जोड़ीवार सहअभाज्य हैं, उनका उत्पाद $N$ भी विभाजित करता है $x − y$, और इस तरह $x$ और $y$ मॉड्यूल के साथ संगत हैं $N$. अगर $x$ और $y$ को गैर-नकारात्मक और इससे कम माना जाता है $N$ (जैसा कि प्रमेय के पहले कथन में है), तो उनका अंतर का गुणज हो सकता है $N$ केवल $x = y$.

अस्तित्व (प्रथम प्रमाण)
वो नक्शा
 * $$x \bmod N \mapsto (x \bmod n_1, \ldots, x\bmod n_k)$$

मानचित्र सर्वांगसमता वर्ग मॉड्यूलो $N$ अनुरूपता वर्गों मॉड्यूलो के अनुक्रमों के लिए $n_{i}$. विशिष्टता के प्रमाण से पता चलता है कि यह मानचित्र अव्यय है। चूंकि किसी फ़ंक्शन के डोमेन और इस मानचित्र के कोडोमेन में तत्वों की संख्या समान है, इसलिए मानचित्र भी विशेषण है, जो हल के अस्तित्व को साबित करता है।

यह प्रमाण बहुत सरल है परन्तु हल की गणना के लिए कोई सीधा तरीका प्रदान नहीं करता है। इसके अतिरिक्त, इसे अन्य स्थितियों के लिए सामान्यीकृत नहीं किया जा सकता है जहां निम्नलिखित प्रमाण हो सकते हैं।

अस्तित्व (रचनात्मक प्रमाण)
के स्पष्ट निर्माण द्वारा अस्तित्व स्थापित किया जा सकता है $x$. इस निर्माण को दो चरणों में विभाजित किया जा सकता है, पहले दो मॉड्यूल के स्थिति में समस्या को हल करना, और फिर इस हल को मॉड्यूल की संख्या पर गणितीय प्रेरण द्वारा सामान्य स्थिति में विस्तारित करना।

दो मॉड्यूल का मामला
हम सिस्टम को हल करना चाहते हैं:

\begin{align} x &\equiv a_1 \pmod {n_1}\\ x &\equiv a_2 \pmod {n_2}, \end{align} $$ कहाँ $$n_1$$ और $$n_2$$ सहअभाज्य हैं.

बेज़ाउट की पहचान दो पूर्णांकों के अस्तित्व पर जोर देती है $$m_1$$ और $$m_2$$ ऐसा है कि
 * $$m_1n_1+m_2n_2=1.$$

पूर्णांक $$m_1$$ और $$m_2$$ विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म द्वारा गणना की जा सकती है।

द्वारा हल दिया गया है
 * $$x = a_1m_2n_2+a_2m_1n_1.$$

वस्तुतः,
 * $$\begin{align}

x&=a_1m_2n_2+a_2m_1n_1\\ &=a_1(1 - m_1n_1) + a_2m_1n_1 \\ &=a_1 + (a_2 - a_1)m_1n_1, \end{align}$$ इसका तात्पर्य यह है कि $$x \equiv a_1 \pmod {n_1}.$$ दूसरी सर्वांगसमता इसी प्रकार उपस्क्रिप्ट 1 और 2 के आदान-प्रदान से सिद्ध होती है।

सामान्य मामला
सर्वांगसम समीकरणों के अनुक्रम पर विचार करें:

\begin{align} x &\equiv a_1 \pmod{n_1} \\ &\vdots             \\ x &\equiv a_k \pmod{n_k}, \end{align} $$ जहां $$n_i$$ जोड़ीवार सहअभाज्य हैं। पहले दो समीकरणों का हल है $$a_{1,2}$$ पिछले अनुभाग की विधि द्वारा प्रदान किया गया। इन दो प्रथम समीकरणों के हलों का समुच्चय समीकरण के सभी हलों का समुच्चय है
 * $$x \equiv a_{1,2} \pmod{n_1n_2}.$$

दूसरे के रूप में $$n_i$$ के साथ सहप्रधान हैं $$n_1n_2,$$ इससे प्रारंभिक समस्या का हल कम हो जाता है $k$ समान समस्या के समीकरण $$k-1$$ समीकरण. प्रक्रिया को दोहराते रहने से अंततः प्रारंभिक समस्या का हल मिल जाता है।

अस्तित्व (प्रत्यक्ष निर्माण)
किसी हल के निर्माण के लिए, मॉड्यूल की संख्या पर प्रेरण बनाना आवश्यक नहीं है। हालाँकि, इस तरह के प्रत्यक्ष निर्माण में बड़ी संख्याओं के साथ अधिक गणना सम्मिलित होती है, जो इसे कम कुशल और कम उपयोग में लाती है। फिर भी, लैग्रेंज इंटरपोलेशन इस निर्माण का विशेष मामला है, जो पूर्णांकों के अतिरिक्त बहुपदों पर लागू होता है।

होने देना $$N_i = N/n_i$$ को छोड़कर सभी मॉड्यूल का उत्पाद बनें। के रूप में $$n_i$$ जोड़ीवार सहअभाज्य हैं, $$N_i$$ और $$n_i$$ सहअभाज्य हैं. इस प्रकार बेज़ाउट की पहचान लागू होती है, और पूर्णांक मौजूद होते हैं $$M_i$$ और $$m_i$$ ऐसा है कि
 * $$M_iN_i + m_in_i=1.$$

सर्वांगसमता प्रणाली का हल है
 * $$x=\sum_{i=1}^k a_iM_iN_i.$$

वस्तुतः, जैसे $$N_j$$ का गुणज है $$n_i$$ के लिए $$i\neq j,$$ अपने पास
 * $$x \equiv a_iM_iN_i \equiv a_i(1-m_in_i) \equiv a_i \pmod{n_i}, $$

हरएक के लिए $$i.$$

गणना
सर्वांगसमताओं की प्रणाली पर विचार करें:
 * $$\begin{align}

x &\equiv a_1 \pmod{n_1} \\ &\vdots            \\ x &\equiv a_k \pmod{n_k}, \\ \end{align}$$ जहां $$n_i$$ जोड़ीवार सहअभाज्य हैं, और चलो $$N=n_1 n_2\cdots n_k.$$ इस अनुभाग में अद्वितीय हल की गणना के लिए कई विधियों का वर्णन किया गया है $$x$$, ऐसा है कि $$0\le x<N,$$ और इन विधियों को उदाहरण पर लागू किया जाता है

\begin{align} x &\equiv 0 \pmod 3 \\ x &\equiv 3 \pmod 4 \\ x &\equiv 4 \pmod 5. \end{align} $$ गणना की अनेक विधियाँ प्रस्तुत हैं। पहले दो छोटे उदाहरणों के लिए उपयोगी हैं, परन्तु उत्पाद के स्थिति में बहुत अप्रभावी हो जाते हैं $$n_1\cdots n_k$$ बड़ी है। तीसरा इसमें दिए गए अस्तित्व प्रमाण का उपयोग करता है. उत्पाद होने पर यह सबसे सुविधाजनक होता है $$n_1\cdots n_k$$ बड़ा है, या कंप्यूटर गणना के लिए।

व्यवस्थित खोज
यह जांचना आसान है कि कोई मान है या नहीं $x$ हल है: यह यूक्लिडियन विभाजन के शेष भाग की गणना करने के लिए पर्याप्त है $x$ प्रत्येक द्वारा $n_{i}$. इस प्रकार, हल खोजने के लिए, क्रमिक रूप से पूर्णांकों की जाँच करना पर्याप्त है $0$ को $N$हल मिलने तक.

हालाँकि यह विधि बहुत सरल है, फिर भी यह बहुत अप्रभावी है। यहां माने गए सरल उदाहरण के लिए, $40$ पूर्णांक (सहित $0$) हल खोजने के लिए जाँच करनी होगी, जो है $39$. यह घातांकीय समय एल्गोरिथ्म है, क्योंकि इनपुट का आकार, स्थिर कारक तक, अंकों की संख्या है $N$, और संचालन की औसत संख्या के क्रम की है $N$.

इसलिए, इस पद्धति का उपयोग शायद ही कभी किया जाता है, न तो हस्तलिखित गणना के लिए और न ही कंप्यूटर पर।

छानकर खोजें
छानने से हल की खोज नाटकीय रूप से तेज हो सकती है। इस पद्धति के लिए, हम मानते हैं, व्यापकता की हानि के बिना, वह $$0\le a_i <n_i$$ (यदि ऐसा नहीं होता, तो प्रत्येक को प्रतिस्थापित करना पर्याप्त होगा $$a_i$$ इसके विभाजन के शेष भाग द्वारा $$n_i$$). इसका तात्पर्य यह है कि हल अंकगणितीय प्रगति से संबंधित है
 * $$a_1, a_1 + n_1, a_1+2n_1, \ldots$$

इन संख्याओं के मानों का मॉड्यूलो परीक्षण करके $$n_2,$$ को अंततः हल मिल ही जाता है $$x_2$$ दो प्रथम सर्वांगसमताओं में से. तब हल अंकगणितीय प्रगति से संबंधित है
 * $$x_2, x_2 + n_1n_2, x_2+2n_1n_2, \ldots$$

इन संख्याओं के मानों का मॉड्यूलो परीक्षण करना $$n_3,$$ और तब तक जारी रखना जब तक कि प्रत्येक मापांक का परीक्षण न हो जाए और अंततः हल न मिल जाए।

यदि मॉड्यूली को घटते मूल्य के अनुसार क्रमबद्ध किया गया है, तो यह विधि तेज़ है $$n_1>n_2> \cdots > n_k.$$ उदाहरण के लिए, यह निम्नलिखित गणना देता है। हम पहले उन संख्याओं पर विचार करते हैं जो 4 मॉड्यूल 5 (सबसे बड़ा मॉड्यूल) के अनुरूप हैं, जो 4 हैं, 9 = 4 + 5, 14 = 9 + 5, ... उनमें से प्रत्येक के लिए, 3 मॉड्यूल 4 के अनुरूप संख्या प्राप्त होने तक 4 (दूसरा सबसे बड़ा मापांक) द्वारा शेष की गणना करें। फिर कोई जोड़कर आगे बढ़ सकता है 20 = 5&thinsp;×&thinsp;4 प्रत्येक चरण पर, और केवल 3 से शेषफल की गणना करने पर यह प्राप्त होता है
 * 4 मॉड 4 → 0. जारी रखें
 * 4 + 5 = 9 मॉड 4 →1. जारी रखना
 * 9 + 5 = 14 मॉड 4 → 2. जारी रखें
 * 14 + 5 = 19 मॉड 4 → 3. ठीक है, शेष मॉड्यूल 3 पर विचार करके और हर बार 5 × 4 = 20 जोड़कर जारी रखें
 * 19 मॉड 3 → 1. जारी रखें
 * 19 + 20 = 39 मॉड 3 → 0. ठीक है, यह परिणाम है।

यह विधि मॉड्यूल के उत्पाद के साथ हस्तलिखित गणना के लिए अच्छी तरह से कार्य करती है जो बहुत बड़ी नहीं है। हालाँकि, मॉड्यूली के बहुत बड़े उत्पादों के लिए यह अन्य तरीकों की तुलना में बहुत धीमा है। यद्यपि व्यवस्थित खोज की तुलना में नाटकीय रूप से तेज़, इस पद्धति में घातीय समय जटिलता भी है और इसलिए इसका उपयोग कंप्यूटर पर नहीं किया जाता है।

अस्तित्व निर्माण का उपयोग करना
दो से अधिक मॉड्यूल के लिए, दो मॉड्यूल के लिए विधि मॉड्यूल के उत्पाद को एकल सर्वांगसम मॉड्यूल द्वारा किन्हीं दो सर्वांगसमताओं के प्रतिस्थापन की अनुमति देती है। इस प्रक्रिया को दोहराने से अंततः जटिलता के साथ हल मिलता है, जो सभी मॉड्यूल के उत्पाद के अंकों की संख्या में द्विघात है। यह द्विघात समय जटिलता उस क्रम पर निर्भर नहीं करती है जिसमें मॉड्यूल को पुन: समूहित किया जाता है। कोई पहले दो मापांकों को पुन: समूहित कर सकता है, फिर परिणामी मापांक को अगले मापांक के साथ पुन: समूहित कर सकता है, इत्यादि। इस रणनीति को लागू करना सबसे आसान है, परन्तु इसमें बड़ी संख्याओं को सम्मिलित करते हुए अधिक गणना की भी आवश्यकता होती है।
 * 1) अस्तित्व (रचनात्मक प्रमाण) से पता चलता है कि, दो मॉड्यूल के #स्थिति में, मॉड्यूल के बेज़आउट गुणांक की गणना के बाद हल प्राप्त किया जा सकता है, इसके बाद कुछ गुणन, जोड़ और मॉड्यूलो ऑपरेशन | कटौती मॉड्यूलो $$n_1n_2$$(अंतराल में परिणाम प्राप्त करने के लिए (गणित) $$(0, n_1n_2-1)$$). चूँकि बेज़आउट के गुणांकों की गणना विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म के साथ की जा सकती है, संपूर्ण गणना, अधिक से अधिक, द्विघात समय समय जटिलता है $$O((s_1+s_2)^2),$$ कहाँ $$s_i$$ के अंकों की संख्या को दर्शाता है $$n_i.$$

एक अन्य रणनीति में मॉड्यूल को उन जोड़ियों में विभाजित करना सम्मिलित है जिनके उत्पाद का आकार तुलनीय है (जितना संभव हो), समानांतर में, प्रत्येक जोड़ी के लिए दो मॉड्यूल की विधि को लागू करना, और कई मॉड्यूल को लगभग दो से विभाजित करके पुनरावृत्त करना। यह विधि एल्गोरिथम के आसान समानांतरकरण की अनुमति देती है। इसके अतिरिक्त, यदि बुनियादी संचालन के लिए तेज़ एल्गोरिदम (अर्थात, चतुर्रेखीय समय में कार्य करने वाले एल्गोरिदम) का उपयोग किया जाता है, तो यह विधि संपूर्ण गणना के लिए एल्गोरिदम प्रदान करती है जो क्वासिलिनियर समय में कार्य करती है।

वर्तमान उदाहरण पर (जिसमें केवल तीन मॉड्यूल हैं), दोनों रणनीतियाँ समान हैं और निम्नानुसार कार्य करती हैं।

3 और 4 के लिए बेज़ाउट की पहचान है
 * $$1\times 4 + (-1)\times 3 = 1.$$

अस्तित्व को सिद्ध करने के लिए दिए गए सूत्र में इसे डालने पर परिणाम मिलता है
 * $$0\times 1\times 4 + 3\times (-1)\times 3 =-9$$

दो प्रथम सर्वांगसमताओं के हल के लिए, अन्य हल −9 में किसी भी गुणज को जोड़कर प्राप्त किया जा सकता है 3&thinsp;×&thinsp;4 = 12. इनमें से कोई भी हल जारी रखा जा सकता है, परन्तु हल 3 = −9 +12 छोटा है (पूर्ण मान में) और इस प्रकार संभवतः आसान गणना की ओर ले जाता है

5 और 3 × 4 = 12 के लिए बेज़आउट पहचान है
 * $$5\times 5 +(-2)\times 12 =1.$$

उसी सूत्र को दोबारा लागू करने पर, हमें समस्या का हल मिलता है:
 * $$5\times 5 \times 3 + 12\times (-2)\times 4 = -21.$$

अन्य हल किसी भी गुणज को जोड़कर प्राप्त किए जाते हैं 3&thinsp;×&thinsp;4&thinsp;×&thinsp;5 = 60, और सबसे छोटा सकारात्मक हल है −21 + 60 = 39.

एक रैखिक डायोफैंटाइन प्रणाली के रूप में
चीनी शेषफल प्रमेय द्वारा हल की गई सर्वांगसमताओं की प्रणाली को डायोफैंटाइन समीकरण#रैखिक डायोफैंटाइन समीकरणों की प्रणाली के रूप में फिर से लिखा जा सकता है:
 * $$\begin{align}

x &= a_1 +x_1n_1\\ &\vdots  \\ x &=a_k+x_kn_k, \end{align}$$ जहां अज्ञात पूर्णांक हैं $$x$$ और यह $$x_i.$$ इसलिए, ऐसी प्रणालियों को हल करने के लिए प्रत्येक सामान्य विधि का उपयोग चीनी शेषफल प्रमेय का हल खोजने के लिए किया जा सकता है, जैसे कि सिस्टम के मैट्रिक्स (गणित) को स्मिथ सामान्य रूप या हर्मिट सामान्य रूप में कम करना। हालाँकि, हमेशा की तरह अधिक विशिष्ट समस्या के लिए सामान्य एल्गोरिदम का उपयोग करते समय, यह दृष्टिकोण बेज़ाउट की पहचान के प्रत्यक्ष उपयोग के आधार पर, पिछले अनुभाग की विधि की तुलना में कम कुशल है।

प्रमुख आदर्श डोमेन पर
में, चीनी शेषफल प्रमेय को तीन अलग-अलग तरीकों से कहा गया है: शेषफल के संदर्भ में, सर्वांगसमता के संदर्भ में, और वलय समरूपता के संदर्भ में। शेषफलों के संदर्भ में कथन, सामान्य तौर पर, प्रमुख आदर्श डोमेन पर लागू नहीं होता है, क्योंकि शेषफलों को ऐसी वलय (गणित) में परिभाषित नहीं किया जाता है। हालाँकि, दो अन्य संस्करण प्रमुख आदर्श डोमेन पर अर्थ रखते हैं $R$: यह डोमेन के तत्व द्वारा पूर्णांक को प्रतिस्थापित करने के लिए पर्याप्त है $$\mathbb Z$$ द्वारा $R$. प्रमेय के ये दो संस्करण इस संदर्भ में सत्य हैं, क्योंकि प्रमाण (पहले अस्तित्व प्रमाण को छोड़कर), यूक्लिड की लेम्मा और बेज़ाउट की पहचान पर आधारित हैं, जो प्रत्येक प्रमुख डोमेन पर सत्य हैं।

हालाँकि, सामान्य तौर पर, प्रमेय केवल अस्तित्व प्रमेय है और हल की गणना के लिए कोई तरीका प्रदान नहीं करता है, जब तक कि किसी के पास बेज़ाउट की पहचान के गुणांक की गणना के लिए एल्गोरिदम न हो।

एकविभिन्न बहुपद वलय और यूक्लिडियन डोमेन पर
विवरण शेषफल के संदर्भ में दिया गया है को किसी भी प्रमुख आदर्श डोमेन के लिए सामान्यीकृत नहीं किया जा सकता है, परन्तु यूक्लिडियन डोमेन के लिए इसका सामान्यीकरण सीधा है। क्षेत्र (गणित) पर अविभाज्य बहुपद यूक्लिडियन डोमेन का विशिष्ट उदाहरण है जो पूर्णांक नहीं है। इसलिए, हम वलय के स्थिति के लिए प्रमेय बताते हैं $$R=K[X]$$ क्षेत्र के लिए $$K.$$ सामान्य यूक्लिडियन डोमेन के लिए प्रमेय प्राप्त करने के लिए, यूक्लिडियन डोमेन के यूक्लिडियन फ़ंक्शन द्वारा बहुपद की डिग्री को प्रतिस्थापित करना पर्याप्त है।

बहुपदों के लिए चीनी शेषफल प्रमेय इस प्रकार है: चलो $$P_i(X)$$ (मोडुलि) हो, के लिए $$i = 1, \dots, k$$, जोड़ीवार सहअभाज्य बहुपद में $$R=K[X]$$. होने देना $$d_i =\deg P_i$$ की डिग्री हो $$P_i(X)$$, और $$D$$ का योग हो $$d_i.$$ अगर $$A_i(X), \ldots,A_k(X)$$ ऐसे बहुपद हैं $$A_i(X)=0$$ या $$\deg A_i<d_i$$ हरएक के लिए $i$, तो, वहाँ और केवल बहुपद है $$P(X)$$, ऐसा है कि $$\deg P<D$$ और यूक्लिडियन प्रभाग का शेष भाग $$P(X)$$ द्वारा $$P_i(X)$$ है $$A_i(X)$$ हरएक के लिए $i$.

हल का निर्माण इस प्रकार किया जा सकता है या. हालाँकि, बाद के निर्माण को विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिदम के अतिरिक्त आंशिक अंश अपघटन का उपयोग करके सरल बनाया जा सकता है।

इस प्रकार, हम बहुपद खोजना चाहते हैं $$P(X)$$, जो सर्वांगसमताओं को संतुष्ट करता है
 * $$P(X)\equiv A_i(X) \pmod {P_i(X)},$$

के लिए $$i=1,\ldots,k.$$ बहुपदों पर विचार करें
 * $$\begin{align}

Q(X) &= \prod_{i=1}^{k}P_i(X) \\ Q_i(X) &= \frac{Q(X)}{P_i(X)}. \end{align}$$ का आंशिक अंश अपघटन $$1/Q(X)$$ देता है $k$ बहुपद $$S_i(X)$$ डिग्री के साथ $$\deg S_i(X) < d_i,$$ ऐसा है कि
 * $$\frac{1}{Q(X)} = \sum_{i=1}^k \frac{S_i(X)}{P_i(X)},$$

और इस तरह
 * $$1 = \sum_{i=1}^{k}S_i(X) Q_i(X).$$

फिर बहुपद द्वारा साथ सर्वांगसमता प्रणाली का हल दिया जाता है
 * $$\sum_{i=1}^k A_i(X) S_i(X) Q_i(X).$$

वस्तुतः, हमारे पास है
 * $$\sum_{i=1}^k A_i(X) S_i(X) Q_i(X)= A_i(X)+ \sum_{j=1}^{k}(A_j(X) - A_i(X)) S_j(X) Q_j(X) \equiv A_i(X)\pmod{P_i(X)},$$

के लिए $$1 \leq i \leq k.$$ यह हल इससे डिग्री बड़ा हो सकता है $$D=\sum_{i=1}^k d_i.$$ से कम डिग्री का अनोखा हल $$D$$ शेष पर विचार करके निष्कर्ष निकाला जा सकता है $$B_i(X)$$ यूक्लिडियन डिवीजन के $$A_i(X)S_i(X)$$ द्वारा $$P_i(X).$$ ये हल है
 * $$P(X)=\sum_{i=1}^k B_i(X) Q_i(X).$$

लैग्रेंज इंटरपोलेशन
बहुपदों के लिए चीनी शेषफल प्रमेय का विशेष मामला लैग्रेंज इंटरपोलेशन है। इसके लिए विचार करें $k$ डिग्री के मोनिक बहुपद:


 * $$P_i(X)=X-x_i.$$

यदि वे जोड़ीवार सहअभाज्य हैं $$x_i$$ सभी अलग हैं. द्वारा विभाजन का शेष भाग $$P_i(X)$$ बहुपद का $$P(X)$$ है $$P(x_i)$$, बहुपद शेषफल प्रमेय द्वारा।

अब चलो $$A_1, \ldots, A_k$$ स्थिरांक बनें (घात 0 के बहुपद)। $$K.$$ लैग्रेंज इंटरपोलेशन और चीनी शेषफल प्रमेय दोनों अद्वितीय बहुपद के अस्तित्व पर जोर देते हैं $$P(X),$$ से कम डिग्री का $$k$$ ऐसा है कि


 * $$P(x_i)=A_i,$$

हरएक के लिए $$i.$$ लैग्रेंज इंटरपोलेशन फॉर्मूला, इस स्थिति में, हल के उपरोक्त निर्माण का बिल्कुल परिणाम है। अधिक सटीक रूप से, चलो


 * $$\begin{align}

Q(X) &= \prod_{i=1}^{k}(X-x_i) \\[6pt] Q_i(X) &= \frac{Q(X)}{X-x_i}. \end{align}$$ का आंशिक अंश अपघटन $$\frac{1}{Q(X)}$$ है


 * $$\frac{1}{Q(X)} = \sum_{i=1}^k \frac{1}{Q_i(x_i)(X-x_i)}.$$

वस्तुतः, दाहिनी ओर को कम करके सामान्य विभाजक प्राप्त होता है


 * $$ \sum_{i=1}^k \frac{1}{Q_i(x_i)(X-x_i)}= \frac{1}{Q(X)} \sum_{i=1}^k \frac{Q_i(X)}{Q_i(x_i)},$$

और अंश के बराबर है, क्योंकि यह से कम घात वाला बहुपद है $$k,$$ जो के लिए मान लेता है $$k$$ के विभिन्न मूल्य $$X.$$ उपरोक्त सामान्य सूत्र का उपयोग करते हुए, हमें लैग्रेंज इंटरपोलेशन सूत्र प्राप्त होता है:


 * $$P(X)=\sum_{i=1}^k A_i\frac{Q_i(X)}{Q_i(x_i)}.$$

हर्मिट ट्वीन
हर्माइट इंटरपोलेशन, अविभाज्य बहुपदों के लिए चीनी शेष प्रमेय का अनुप्रयोग है, जिसमें मनमानी डिग्री के मॉड्यूल सम्मिलित हो सकते हैं (लैग्रेंज इंटरपोलेशन में केवल डिग्री का मॉड्यूल सम्मिलित होता है)।

समस्या में न्यूनतम संभव डिग्री का बहुपद ढूंढना सम्मिलित है, जैसे कि बहुपद और उसके पहले व्युत्पन्न कुछ निश्चित बिंदुओं पर दिए गए मान लेते हैं।

अधिक सटीक रूप से, चलो $$x_1, \ldots, x_k$$ होना $$k$$ जमीनी क्षेत्र के तत्व (गणित) $$K,$$ और के लिए $$i=1,\ldots, k,$$ होने देना $$a_{i,0}, a_{i,1}, \ldots, a_{i,r_i-1}$$ पहले के मूल्य हो $$r_i$$ मांगे गए बहुपद के व्युत्पन्न $$x_i$$ (0वें अवकलज सहित, जो स्वयं बहुपद का मान है)। समस्या बहुपद ढूँढ़ने की है $$P(X)$$ इस प्रकार कि इसका j&hairsp;वां व्युत्पन्न मान लेता है $$a_{i,j} $$ पर $$x_i,$$ के लिए $$i=1,\ldots,k$$ और $$j=0,\ldots,r_j.$$ बहुपद पर विचार करें
 * $$P_i(X) = \sum_{j=0}^{r_i - 1}\frac{a_{i,j}}{j!}(X - x_i)^j.$$

यह क्रम का टेलर बहुपद है $$r_i-1$$ पर $$x_i$$, अज्ञात बहुपद का $$P(X).$$ इसलिए, हमारे पास होना ही चाहिए
 * $$P(X)\equiv P_i(X) \pmod {(X-x_i)^{r_i}}.$$

व्युत्क्रम (तर्क), कोई बहुपद $$P(X) $$ जो इन्हें संतुष्ट करता है $$k$$ सर्वांगसमताएँ, विशेष रूप से, किसी के लिए सत्यापित करती हैं $$i=1, \ldots, k$$
 * $$P(X)= P_i(X) +o(X-x_i)^{r_i-1} $$ इसलिए $$P_i(X)$$ इसका क्रम का टेलर बहुपद है $$ r_i - 1$$ पर $$x_i$$, वह है, $$P(X)$$ प्रारंभिक हर्मिट इंटरपोलेशन समस्या को हल करता है।

चीनी शेषफल प्रमेय का दावा है कि योग से कम घात वाला बहुपद मौजूद है $$r_i,$$ जो इन्हें संतुष्ट करता है $$k$$ सर्वांगसमताएँ

हल की गणना करने के कई तरीके हैं $$P(X).$$ कोई भी शुरुआत में वर्णित विधि का उपयोग कर सकता है. कोई इसमें दिए गए निर्माणों का भी उपयोग कर सकता है या.

गैर-कोप्राइम मॉड्यूल का सामान्यीकरण
चीनी शेषफल प्रमेय को गैर-कोप्राइम मॉड्यूली के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। होने देना $$m, n, a, b$$ कोई भी पूर्णांक हो, चलो $$g = \gcd(m,n)$$; $$M = \operatorname{lcm}(m,n)$$, और सर्वांगसमता प्रणाली पर विचार करें:

\begin{align} x &\equiv a \pmod m \\ x &\equiv b \pmod n, \end{align} $$ अगर $$a \equiv b \pmod g$$, तो इस प्रणाली में अद्वितीय हल मॉड्यूलो है $$M = mn/g$$. अन्यथा, इसका कोई हल नहीं है.

यदि कोई लिखने के लिए बेज़ाउट की पहचान का उपयोग करता है $$g = um + vn$$, तो हल द्वारा दिया जाता है
 * $$ x = \frac{avn+bum}{g}.$$

यह पूर्णांक को परिभाषित करता है, जैसे $g$ दोनों को विभाजित करता है $m$ और $n$. अन्यथा, प्रमाण कोप्राइम मॉड्यूली के समान ही है।

मनमाने छल्लों का सामान्यीकरण
चीनी शेषफल प्रमेय को किसी भी वलय (गणित) के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, वलय आदर्शों में कोप्राइम पूर्णांक#कोप्रिमैलिटी (जिसे आदर्श (वलय सिद्धांत)#आदर्शों के प्रकार भी कहा जाता है) का उपयोग करके। दो आदर्श (वलय सिद्धांत) $I$ और $J$ यदि तत्व हैं तो सहअभाज्य हैं $$i\in I$$ और $$j\in J$$ ऐसा है कि $$i+j=1.$$ यह संबंध इस सामान्यीकरण से संबंधित प्रमाणों में बेज़ाउट की पहचान की भूमिका निभाता है, जो अन्यथा बहुत समान हैं। सामान्यीकरण इस प्रकार बताया जा सकता है। होने देना $I_{1}, ..., I_{k}$ अंगूठी के दो-पक्षीय आदर्श बनें $$R$$ और जाने $I$ उनका प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) हो। यदि आदर्श जोड़ीवार सहअभाज्य हैं, तो हमारे पास वलय समरूपता है:
 * $$\begin{align}

R/I &\to (R/I_1) \times \cdots \times (R/I_k) \\ x \bmod I &\mapsto (x \bmod I_1,\, \ldots,\, x \bmod I_k), \end{align}$$ भागफल वलय के बीच $$R/I$$ और के छल्ले का उत्पाद $$R/I_i,$$ कहाँ$$x \bmod I$$तत्व की छवि (गणित) को दर्शाता है $$x$$ आदर्श द्वारा परिभाषित भागफल वलय में $$I.$$ इसके अतिरिक्त, यदि $$R$$ क्रमविनिमेय वलय है, तो जोड़ीवार सहअभाज्य आदर्शों का आदर्श प्रतिच्छेदन उनके आदर्शों के उत्पाद के बराबर होता है; वह है

I= I_1\cap I_2 \cap\cdots\cap I_k= I_1I_2\cdots I_k, $$ अगर $Ii$ और $Ij$ सभी के लिए सहअभाज्य हैं $i ≠ j$.

बेवकूफों के संदर्भ में व्याख्या
होने देना $$I_1, I_2, \dots, I_k$$ दोपक्षीय आदर्शों के साथ जोड़ीवार सहप्रधान बनें $$ \bigcap_{i = 1}^k I_i = 0,$$ और
 * $$\varphi:R\to (R/I_1) \times \cdots \times (R/I_k)$$

ऊपर परिभाषित समरूपता हो। होने देना $$f_i=(0,\ldots,1,\ldots, 0)$$ का तत्व हो $$(R/I_1) \times \cdots \times (R/I_k)$$ जिसके सभी घटक हैं $0$ अतिरिक्त $i$&hairsp;th जो है $1$, और $$e_i=\varphi^{-1}(f_i).$$

$$e_i$$ h> केंद्रीय निष्क्रिय हैं जो युग्‍मानूसार केंद्रीय निष्क्रिय हैं; इसका मतलब है, विशेष रूप से, वह $$e_i^2=e_i$$ और $$e_ie_j=e_je_i=0$$ हरएक के लिए $i$ और $j$. इसके अतिरिक्त, के पास है $e_1+\cdots+e_n=1,$ और $$I_i=R(1-e_i).$$ संक्षेप में, यह सामान्यीकृत चीनी शेषफल प्रमेय शून्य प्रतिच्छेदन के साथ जोड़ीवार सहअभाज्य दो-पक्षीय आदर्श देने और केंद्रीय और जोड़ीवार ऑर्थोगोनल इडेम्पोटेंट देने के बीच समानता है जिसका योग है $1$.

अनुक्रम क्रमांकन
चीनी शेषफल प्रमेय का उपयोग अनुक्रमों के लिए गोडेल क्रमांकन के निर्माण के लिए किया गया है, जो गोडेल की अपूर्णता प्रमेयों के प्रमाण में सम्मिलित है।

फास्ट फूरियर रूपांतरण
प्राइम-फैक्टर एफएफटी एल्गोरिदम (जिसे गुड-थॉमस एल्गोरिदम भी कहा जाता है) आकार के तेज़ फूरियर रूपांतरण की गणना को कम करने के लिए चीनी शेष प्रमेय का उपयोग करता है $$n_1n_2$$ छोटे आकार के दो तेज़ फूरियर परिवर्तनों की गणना के लिए $$n_1$$ और $$n_2$$ (प्राप्त कराना $$n_1$$ और $$n_2$$ सहअभाज्य हैं)।

एन्क्रिप्शन
अधिकांश आरएसए (क्रिप्टोसिस्टम)# HTTPS के प्रमाणपत्रों पर हस्ताक्षर करने और डिक्रिप्शन के दौरान चीनी शेष एल्गोरिथ्म का उपयोग करना।

चीनी शेषफल प्रमेय का उपयोग गुप्त साझाकरण में भी किया जा सकता है, जिसमें शेयरों का सेट लोगों के समूह के बीच वितरित करना सम्मिलित है, जो सभी साथ (परन्तु कोई भी अकेला नहीं), शेयरों के दिए गए सेट से निश्चित रहस्य पुनर्प्राप्त कर सकते हैं। प्रत्येक शेयर को सर्वांगसमता में दर्शाया गया है, और चीनी शेषफल प्रमेय का उपयोग करके सर्वांगसमता प्रणाली का हल पुनर्प्राप्त किया जाने वाला रहस्य है। चीनी शेषफल प्रमेय का उपयोग करते हुए गुप्त साझाकरण, चीनी शेषफल प्रमेय के साथ, पूर्णांकों के विशेष अनुक्रमों का उपयोग करता है जो निश्चित प्रमुखता से कम वाले शेयरों के सेट से रहस्य को पुनर्प्राप्त करने की असंभवता की गारंटी देता है।

सीमा अस्पष्टता संकल्प
मध्यम पल्स पुनरावृत्ति आवृत्ति रडार के साथ उपयोग की जाने वाली रेंज अस्पष्टता रिज़ॉल्यूशन तकनीकों को चीनी शेषफल प्रमेय के विशेष स्थिति के रूप में देखा जा सकता है।

परिमित एबेलियन समूहों के अनुमानों का अपघटन
एक विशेषण फलन दिया गया है $$\mathbb{Z}/n \to \mathbb{Z}/m$$ परिमित समूह एबेलियन समूहों के लिए, हम ऐसे किसी भी मानचित्र का संपूर्ण विवरण देने के लिए चीनी शेषफल प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं। सबसे पहले, प्रमेय समरूपता देता है
 * $$\begin{align}

\mathbb{Z}/n &\cong \mathbb{Z}/p_{n_1}^{a_1} \times \cdots \times \mathbb{Z}/p_{n_i}^{a_i} \\ \mathbb{Z}/m &\cong \mathbb{Z}/p_{m_1}^{b_1} \times \cdots \times \mathbb{Z}/p_{m_j}^{b_j} \end{align}$$ कहाँ $$\{p_{m_1},\ldots,p_{m_j} \} \subseteq \{ p_{n_1},\ldots, p_{n_i} \}$$. इसके अतिरिक्त, किसी भी प्रेरित मानचित्र के लिए
 * $$\mathbb{Z}/p_{n_k}^{a_k} \to \mathbb{Z}/p_{m_l}^{b_l}$$

मूल अनुमान से, हमारे पास है $$a_k \geq b_l$$ और $$p_{n_k} = p_{m_l},$$ चूंकि अभाज्य संख्या की जोड़ी के लिए $$p,q$$, एकमात्र गैर-शून्य अनुमान
 * $$\mathbb{Z}/p^a \to \mathbb{Z}/q^b$$

परिभाषित किया जा सकता है यदि $$p = q$$ और $$a \geq b$$.

ये अवलोकन अनंत पूर्णांकों के वलय के निर्माण के लिए महत्वपूर्ण हैं, जिन्हें ऐसे सभी मानचित्रों की व्युत्क्रम सीमा के रूप में दिया गया है।

डेडेकाइंड का प्रमेय
वर्णों की रैखिक स्वतंत्रता पर डेडेकाइंड का प्रमेय। होने देना $M$ मोनोइड बनें और $k$ अभिन्न डोमेन, गुणन पर विचार करके मोनोइड के रूप में देखा जाता है $k$. फिर कोई भी सीमित परिवार $( f_{i} )_{i∈I}$ विशिष्ट मोनॉयड समरूपताओं का $f_{i} : M → k$रेखीय रूप से स्वतंत्र है. दूसरे शब्दों में, प्रत्येक परिवार $(α_{i})_{i∈I}$तत्वों का $α_{i} ∈ k$ संतुष्टि देने वाला
 * $$\sum_{i \in I}\alpha_i f_i = 0$$

परिवार के बराबर होना चाहिए $(0)_{i∈I}$.

सबूत। पहले ये मान लीजिये $k$ फ़ील्ड (गणित) है, अन्यथा, इंटीग्रल डोमेन को प्रतिस्थापित करें $k$ इसके भागफल क्षेत्र द्वारा, और कुछ भी नहीं बदलेगा। हम मोनोइड समरूपताओं को रैखिक रूप से विस्तारित कर सकते हैं $f_{i} : M → k$ को $k$-बीजगणित समरूपताएँ $F_{i} : k[M] → k$, कहाँ $k[M]$ का मोनोइड वलय है $M$ ऊपर $k$. फिर, रैखिकता से, स्थिति
 * $$\sum_{i\in I}\alpha_i f_i = 0,$$

पैदावार
 * $$\sum_{i \in I}\alpha_i F_i = 0.$$

अगला, के लिए $i, j ∈ I; i ≠ j$ दो $k$-रैखिक मानचित्र $F_{i} : k[M] → k$ और $F_{j} : k[M] → k$ दूसरे के समानुपाती नहीं हैं। अन्यथा $f_{i}$ और $f_{j}$ आनुपातिक भी होगा, और इस प्रकार बराबर होगा क्योंकि मोनोइड समरूपता के रूप में वे संतुष्ट होते हैं: $f_{i}&hairsp;(1) = 1 = f_{j}&hairsp;(1)$, जो इस धारणा का खंडन करता है कि वे अलग हैं।

इसलिए, कर्नेल (बीजगणित) $Ker&thinsp;F_{i}$ और $Ker&thinsp;F_{j}$ अलग हैं. तब से $k[M]/Ker&thinsp;F_{i} ≅ F_{i}&hairsp;(k[M]) = k$ फ़ील्ड है, $Ker F_{i}$ का अधिकतम आदर्श है $k[M]$ हरएक के लिए $i$ में $I$. क्योंकि वे विशिष्ट और अधिकतम आदर्श हैं $Ker&thinsp;F_{i}$ और $Ker&thinsp;F_{j}$ जब भी सहअभाज्य होते हैं $i ≠ j$. चीनी शेष प्रमेय (सामान्य वलय के लिए) समरूपता उत्पन्न करता है:
 * $$\begin{align}

\phi: k[M] / K &\to \prod_{i \in I}k[M] / \mathrm{Ker} F_i \\ \phi(x + K) &= \left(x + \mathrm{Ker} F_i\right)_{i \in I} \end{align}$$ कहाँ
 * $$K = \prod_{i \in I}\mathrm{Ker} F_i = \bigcap_{i \in I}\mathrm{Ker} F_i.$$

नतीजतन, नक्शा
 * $$\begin{align}

\Phi: k[M] &\to \prod_{i \in I}k[M]/ \mathrm{Ker} F_i \\ \Phi(x) &= \left(x + \mathrm{Ker} F_i\right)_{i \in I} \end{align}$$ विशेषण है. समरूपता के अंतर्गत $k[M]/Ker&thinsp;F_{i} → F_{i}&hairsp;(k[M]) = k,$ वो नक्शा $Φ$ से मेल खाती है:
 * $$\begin{align}

\psi: k[M] &\to \prod_{i \in I}k \\ \psi(x) &= \left[F_i(x)\right]_{i \in I} \end{align}$$ अब,
 * $$\sum_{i \in I}\alpha_i F_i = 0$$

पैदावार
 * $$\sum_{i \in I}\alpha_i u_i = 0$$

प्रत्येक वेक्टर के लिए $(u_{i})_{i∈I}$ मानचित्र के किसी फ़ंक्शन की छवि में $ψ$. तब से $ψ$ विशेषण है, इसका मतलब यह है
 * $$\sum_{i \in I}\alpha_i u_i = 0$$

प्रत्येक वेक्टर के लिए
 * $$\left(u_i\right)_{i \in I} \in \prod_{i \in I}k.$$

फलस्वरूप, $(α_{i})_{i∈I} = (0)_{i∈I}$. है

यह भी देखें

 * आवरण प्रणाली
 * हस्से सिद्धांत
 * अवशेष संख्या प्रणाली

संदर्भ

 * . See in particular Section 2.5, "Helly Property", pp. 393–394.
 * . See in particular Section 2.5, "Helly Property", pp. 393–394.
 * . See in particular Section 2.5, "Helly Property", pp. 393–394.

अग्रिम पठन

 * . See Section 31.5: The Chinese remainder theorem, pp. 873–876.
 * . See Section 4.3.2 (pp. 286–291), exercise 4.6.2–3 (page 456).
 * . See Section 4.3.2 (pp. 286–291), exercise 4.6.2–3 (page 456).
 * . See Section 4.3.2 (pp. 286–291), exercise 4.6.2–3 (page 456).

बाहरी संबंध

 * Full text of the Sun-tzu Suan-ching (Chinese) – Chinese Text Project
 * Full text of the Sun-tzu Suan-ching (Chinese) – Chinese Text Project
 * Full text of the Sun-tzu Suan-ching (Chinese) – Chinese Text Project
 * Full text of the Sun-tzu Suan-ching (Chinese) – Chinese Text Project