एसवाईजेड अनुमान

एसवाईजेड कंजेक्टर मिरर सिमेट्री (स्ट्रिंग सिद्धांत) कंजेक्टर को समझने का एक प्रयास है, जो सैद्धांतिक भौतिकी और गणित में एक विवाद है। मूल कंजेक्टर एंड्रयू स्ट्रोमिंगर, शिंग-तुंग याउ और एरिक ज़स्लो द्वारा एक पेपर में प्रस्तावित किया गया था, जिसका शीर्षक मिरर सिमिट्री टी-डुअलिटी था।

होमोलॉजी मिरर सिमेट्री कंजेक्टर के साथ, यह गणितीय शब्दों में मिरर सिमेट्री को समझने के लिए उपयोग किए जाने वाले सबसे अधिक खोजे गए उपकरणों में से है। जबकि होमोलॉजिकल मिरर सिमेट्री होमोलॉजिकल बीजगणित पर आधारित है, एसवाईजेड कंजेक्टर मिरर सिमेट्री का ज्यामितीय अनुभव है।

सूत्रीकरण
स्ट्रिंग सिद्धांत में, मिरर सिमेट्री प्रकार IIA और प्रकार IIB सिद्धांतों से संबंधित है। यह भविष्यवाणी करता है कि प्रकार IIA और प्रकार IIB का प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत समान होना चाहिए यदि दोनों सिद्धांतों को मिरर जोड़ी मैनिफोल्ड्स पर संकुचित किया जाता है।

एसवाईजेड कंजेक्टर मिरर सिमेट्री का अनुभव करने के लिए इस तथ्य का उपयोग करता है। यह X पर संकलित प्रकार IIA सिद्धांतों की बीपीएस स्थितियों पर विचार करने से प्रारंभ होता है, विशेष रूप से 0-ब्रान जिनमें मॉड्यूलि स्पेस X होता है। यह ज्ञात है कि Y पर संकलित प्रकार IIB सिद्धांतों की सभी बीपीएस स्थितियां 3-ब्रान हैं। इसलिए, मिरर सिमेट्री प्रकार IIA सिद्धांतों के 0-ब्रान को प्रकार IIB सिद्धांतों के 3-ब्रान के उपसमूह में माप करेगी।

सुपरसिमेट्रिक स्थितियों पर विचार करके, यह दिखाया गया है कि ये 3-ब्रान विशेष लैग्रेंजियन सबमैनिफोल्ड्स होने चाहिए। दूसरी ओर, टी-डुअलिटी इस स्थिति में समान परिवर्तन करता है, इस प्रकार मिरर सिमेट्री टी-डुअलिटी है।

गणितीय कथन
स्ट्रोमिंगर, याउ और ज़ास्लो द्वारा एसवाईजेड कंजेक्टर का प्रारंभिक प्रस्ताव यथार्थ गणितीय कथन के रूप में नहीं दिया गया था। एसवाईजेड कंजेक्टर के गणितीय समाधान का एक भाग, कुछ अर्थों में, कंजेक्टर के कथन को सही प्रणाली से तैयार करना है। गणितीय साहित्य में कंजेक्टर के यथार्थ कथन पर कोई सहमति नहीं है, किन्तु यह एक सामान्य कथन है जिसके कंजेक्टर के सही सूत्रीकरण के निकट होने की अपेक्षा है, जिसे यहां प्रस्तुत किया गया है। यह कथन मिरर सिमेट्री की टोपोलॉजिकल छवि पर जोर देता है, किन्तु मिरर जोड़े की जटिल और सहानुभूतिपूर्ण संरचनाओं के बीच संबंधों को यथार्थ रूप से चित्रित नहीं करता है, या इसमें सम्मिलित संबंधित रीमैनियन मेट्रिक्स का संदर्भ नहीं देता है।

एसवाईजेड कंजेक्टर: प्रत्येक 6-आयामी कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड $$X$$ में एक मिरर 6-आयामी कैलाबी-यॉ मैनिफोल्ड $$\hat{X}$$ होता हैं जैसे कि आयाम 3 के एक कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड $$B$$ के लिए निरंतर प्रक्षेपण $$f: X\to B$$, $$\hat{f}:\hat{X} \to B$$ हैं, जैसे कि
 * 1) वहाँ एक सघन विवृत उपसमुच्चय $$B_{\text{reg}}\subset B$$ उपस्थित है जिस पर माप $$f,\hat{f}$$ नॉनसिंगुलर विशेष लैग्रेन्जियन 3-टोरी द्वारा फ़िब्रेशन हैं। इसके अतिरिक्त प्रत्येक बिंदु $$b\in B_{\text{reg}}$$ के लिए, टोरस फाइबर $$f^{-1}(b)$$ और $$\hat{f}^{-1}(b)$$ को एबेलियन प्रकारों के डुअलिटी के अनुरूप कुछ अर्थों में एक दूसरे के लिए डुअल होना चाहिए।
 * 2) प्रत्येक $$b\in B\backslash B_{\text{reg}}$$ के लिए, फाइबर $$f^{-1}(b)$$ और $$\hat f^{-1}(b)$$ क्रमशः $$X$$ और $$\hat{X}$$ के एकवचन 3-आयामी विशेष लैग्रेंजियन सबमैनिफोल्ड होने चाहिए।

वह स्थिति जिसमें $$B_{\text{reg}} = B$$ जिससे कोई एकवचन स्थान न हो, इसे एसवाईजेड कंजेक्टर की अर्ध-समतल सीमा कहा जाता है, और इसे अधिकांश टोरस फाइब्रेशन का वर्णन करने के लिए मॉडल स्थिति के रूप में उपयोग किया जाता है। एसवाईजेड कंजेक्टर को अर्ध-समतल सीमाओं के कुछ सरल स्थितियों में दिखाया जा सकता है, उदाहरण के लिए एबेलियन प्रकारों और K3 सतहों द्वारा दिया गया है जो अण्डाकार वक्रों द्वारा फाइबर हैं।

यह अपेक्षा की जाती है कि एसवाईजेड कंजेक्टर का सही सूत्रीकरण उपरोक्त कथन से कुछ भिन्न होगा। उदाहरण के लिए एकवचन समुच्चय $$B\backslash B_{\text{reg}}$$ के संभावित व्यवहार को अच्छी तरह से समझा नहीं गया है, और यह समुच्चय $$B$$ की तुलना में काफी बड़ा हो सकता है। मिरर सिमेट्री को भी अधिकांश एकल कैलाबी-याउ के अतिरिक्त कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड्स के पतित परिवारों के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है, और कोई इस लैंग्वेज में एसवाईजेड कंजेक्टर को अधिक यथार्थ रूप से सुधारे जाने की अपेक्षा कर सकता है।

होमोलोजिकल मिरर सिमेट्री कंजेक्टर से संबंध
एसवाईजेड मिरर सिमेट्री कंजेक्टर, मिरर कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड्स की हॉज संख्या से संबंधित मूल मिरर सिमेट्री कंजेक्टर का एक संभावित शोधन है। दूसरा कोंटसेविच का होमोलॉजिकल मिरर सिमेट्री कंजेक्टर (एचएमएस कंजेक्टर) है। ये दो कंजेक्टर भिन्न-भिन्न विधियो से मिरर सिमेट्री की भविष्यवाणियों को बीजगणितीय विधियां से होमोलॉजिकल मिरर सिमेट्री और ज्यामितीय विधि से एसवाईजेड कंजेक्टर को कूटबद्ध करते हैं।

मिरर सिमेट्री की इन तीन व्याख्याओं के बीच एक संबंध होना चाहिए, किन्तु यह अभी तक ज्ञात नहीं है कि क्या उन्हें समकक्ष होना चाहिए या प्रस्ताव दूसरे से अधिक मजबूत है। कुछ मान्यताओं के अनुसार यह दिखाने की दिशा में प्रगति हुई है कि होमोलॉजिकल मिरर सिमेट्री का तात्पर्य हॉज सिद्धांतिक मिरर सिमेट्री से है।

फिर भी, सरल सेटिंग्स में एसवाईजेड और एचएमएस कंजेक्टर्स को जोड़ने के स्पष्ट विधियां हैं। एचएमएस की मुख्य विशेषता यह है कि कंजेक्टर मिरर ज्यामितीय स्थानों पर वस्तुओं (या तो सबमैनिफोल्ड्स या शीव्स) से संबंधित है, इसलिए एचएमएस कंजेक्टर को समझने या सिद्ध करने के प्रयास करने के लिए आवश्यक इनपुट में ज्यामितीय स्थानों की मिरर जोड़ी सम्मिलित है। एसवाईजेड कंजेक्टर भविष्यवाणी करता है कि ये मिरर जोड़े कैसे उत्पन्न होने चाहिए, और इसलिए जब भी एसवाईजेड मिरर जोड़ी मिलती है, तो इस जोड़ी पर एचएमएस कंजेक्टर का अवलोकन और सिद्ध करने के लिए यह अच्छा उम्मीदवार है।

एसवाईजेड और एचएमएस कंजेक्टर्स को जोड़ने के लिए अर्ध-समतल सीमा में काम करना सुविधाजनक है। लैग्रेन्जियन टोरस फाइब्रेशन $$X,\hat X \to B$$ की एक जोड़ी की महत्वपूर्ण ज्यामितीय विशेषता जो मिरर सिमेट्री को एन्कोड करता है, वह फाइब्रेशन के दोहरे टोरस फाइबर है। लैग्रेंजियन टोरस $$T\subset X$$ को देखते हुए, डुअल टोरस $$T$$ की जैकोबियन किस्म द्वारा दिया जाता है, जिसे $$\hat T = \mathrm{Jac}(T)$$ द्वारा दर्शाया जाता है। यह फिर से उसी आयाम का टोरस है, और डुअलिटी इस तथ्य में कूटबद्ध है कि $$\mathrm{Jac}(\mathrm{Jac}(T)) = T$$ इसलिए इस निर्माण के अनुसार $$T$$ और $$\hat T$$ वास्तवविक में दोहरे हैं। जैकोबियन किस्म $$\hat T$$ की $$T$$ लाइन बंडलों के मॉड्यूलि स्पेस के रूप में महत्वपूर्ण व्याख्या है।

यह डुअलिटी और मूल टोरस पर शीव्स के मॉड्यूलि स्पेस के रूप में दोहरे टोरस की व्याख्या ही किसी को सबमैनिफोल्ड्स और सबशीव्स के डेटा को इंटरचेंज करने की अनुमति देती है। इस घटना के दो सरल उदाहरण हैं:


 * यदि $$p\in X$$ एक बिंदु है जो विशेष लैग्रेंजियन टोरस फाइब्रेशन के कुछ फाइबर $$p\in T\subset X$$ के अंदर स्थित है, तो $$T = \mathrm{Jac}(\hat T)$$ के बाद से, बिंदु $$p$$ $$\hat T \subset \hat X$$ पर समर्थित एक लाइन बंडल से मेल खाता है। यदि कोई लैग्रेंजियन अनुभाग $$s: B \to X$$ चुनता है जैसे कि $$s(B)=L$$ $$X$$ का एक लैग्रेंजियन सबमैनिफोल्ड है, तब से ठीक है क्योंकि $$s$$ एसवाईजेड फाइब्रेशन के प्रत्येक टोरस फाइबर में बिंदु चुनता है, यह लैग्रेंजियन अनुभाग मिरर मैनिफोल्ड $$\hat X$$ के प्रत्येक टोरस फाइबर पर समर्थित लाइन बंडल संरचना की पसंद के लिए मिरर डुअल है, और परिणामस्वरूप $$\hat X$$ के कुल स्थान पर लाइन बंडल, मिरर मैनिफोल्ड की व्युत्पन्न श्रेणी में दिखने वाले सुसंगत शीव्स का सबसे सरल उदाहरण हैं। यदि मिरर टोरस फ़ाइब्रेशन अर्ध-समतल सीमा में नहीं हैं, तो आधार $$B$$ के एकवचन समुच्चय को पार करते समय विशेष ध्यान रखा जाना चाहिए।


 * लैग्रैन्जियन सबमैनिफोल्ड का और उदाहरण टोरस फाइबर ही है, और कोई देखता है कि यदि पूरे टोरस को लैग्रैन्जियन $$T\subset X$$ के रूप में लिया जाता है, इसके ऊपर समतल एकात्मक रेखा बंडल के अतिरिक्त डेटा के साथ, जैसा कि होमोलॉजिकल मिरर सिमेट्री में अधिकांश आवश्यक होता है, फिर दोहरे टोरस में $$\hat T \subset \hat X$$ यह एकल बिंदु के सामान है जो टोरस पर उस रेखा बंडल का प्रतिनिधित्व करता है। यदि कोई दोहरे टोरस में उस बिंदु पर समर्थित गगनचुंबी इमारत शीव्स को लेता है, तो हम देखते हैं कि एसवाईजेड फाइब्रेशन के टोरस फाइबर मिरर टोरस फाइबर में बिंदुओं पर समर्थित गगनचुंबी इमारत शीव्स में भेजे जाते हैं।

ये दो उदाहरण सबसे चरम प्रकार के सुसंगत शीव्स, स्थानीय रूप से मुक्त शीव्स (रैंक 1 का) और बिंदुओं पर समर्थित टॉर्सियन शीव्स का उत्पादन करते हैं। अधिक सावधानी से निर्माण करके कोई सुसंगत शीव्स के अधिक जटिल उदाहरण बना सकता है, जो टॉर्सियन फिल्ट्रेशन का उपयोग करके सुसंगत शीव्स के निर्माण के समान है। सरल उदाहरण के रूप में, लैग्रैन्जियन मल्टीसेक्शन (k लैग्रैन्जियन सेक्शन का संघ) को मिरर मैनिफोल्ड पर एक रैंक के वेक्टर बंडल के लिए मिरर डुअल होना चाहिए, लेकिन होलोमोर्फिक डिस्क की गिनती करके इंस्टेंटन सुधारों को ध्यान में रखना चाहिए जो कि ग्रोमोव-विटन सिद्धांत के अर्थ में मल्टीसेक्शन से बंधे हैं। इस प्रकार से यह समझने के लिए गणनात्मक ज्यामिति महत्वपूर्ण हो जाती है कि मिरर सिमेट्री डुअल वस्तुओं को कैसे आपस में बदल देती है।

एसवाईजेड कंजेक्टर में मिरर फाइबर्स की ज्यामिति को गणनात्मक अपरिवर्तकों की विस्तृत समझ और आधार $$B$$ के एकवचन समुच्चय की संरचना के साथ जोड़कर, $$X$$ के लैग्रेंजियन सबमैनिफोल्ड्स से $$\hat X$$ मानचित्र $$\mathrm{Fuk}(X) \to \mathrm{D}^b \mathrm{Coh}(\hat X)$$ के सुसंगत शीव्स तक श्रेणियों के सिमेट्री का निर्माण करने के लिए फाइबर की ज्यामिति का उपयोग करना संभव है। टोरस फाइबर्स के डुअलिटी का उपयोग करके इसी चर्चा को विपरीत दोहराकर, कोई $$X$$ लैग्रेंजियन सबमैनिफोल्ड्स के संदर्भ में $$\hat X$$ सुसंगत शीव्स को समझ सकता है, और आशा है कि एचएमएस कंजेक्टर एसवाईजेड कंजेक्टर से कैसे संबंधित है, इसकी पूरी समझ प्राप्त करने की अपेक्षा करता है।