श्रृंखला (गणित)

गणित में, एक श्रृंखला मोटे तौर पर बोलती है, एक दी गई प्रारंभिक मात्रा में एक के बाद एक अपरिमित रूप से कई मात्राओं को योग की क्रिया का वर्णन है। श्रृंखला का अध्ययन कैलकुलस और इसके सामान्यीकरण, गणितीय विश्लेषण का एक प्रमुख हिस्सा है। श्रृंखला का उपयोग गणित के अधिकांश क्षेत्रों में किया जाता है, यहां तक कि परिमित संरचनाओं (जैसे संयोजन विज्ञान में) का अध्ययन कार्यों के माध्यम से करने के लिए भी किया जाता है। गणित में उनकी सर्वव्यापकता के अलावा, अनंत श्रृंखलाओं का व्यापक रूप से अन्य मात्रात्मक विषयों जैसे कि भौतिकी, कंप्यूटर विज्ञान, सांख्यिकी और वित्त में भी उपयोग किया जाता है।

एक लंबे समय के लिए, यह विचार कि इस तरह के संभावित अनंत योग एक परिमित परिणाम उत्पन्न कर सकते हैं, विरोधाभासी माना जाता था। 17वीं शताब्दी के दौरान एक सीमा की अवधारणा का उपयोग करके इस विरोधाभास को हल किया गया था। एच्लीस और कछुआ के ज़ेनो का विरोधाभास अनंत राशियों की इस प्रतिगामी संपत्ति को दर्शाता है: अकिलिस कछुए के पीछे दौड़ता है, लेकिन जब वह दौड़ की शुरुआत में कछुए की स्थिति तक पहुँचता है, तो कछुआ दूसरे स्थान पर पहुँच जाता है; जब वह इस दूसरे स्थान पर पहुंचता है, तो कछुआ तीसरे स्थान पर होता है, और इसी तरह आगे भी। ज़ेनो ने निष्कर्ष निकाला कि अकिलिस कभी भी कछुए तक नहीं पहुँच सकता, और इस तरह वह गति मौजूद नहीं है। ज़ेनो ने दौड़ को असीम रूप से कई उप-दौड़ों में विभाजित किया, जिनमें से प्रत्येक को एक सीमित समय की आवश्यकता थी, ताकि अकिलिस को कछुए को पकड़ने का कुल समय एक श्रृंखला द्वारा दिया जा सके। विरोधाभास का समाधान यह है कि, हालांकि श्रृंखला में शब्दों की अनंत संख्या है, इसकी एक परिमित राशि है, जो अकिलिस को कछुए के साथ पकड़ने के लिए आवश्यक समय देती है।

आधुनिक शब्दावली में, कोई भी (आदेशित) शब्दों का अनंत अनुक्रम $$(a_1,a_2,a_3,\ldots)$$ (अर्थात, संख्याएँ, कार्य, या कुछ भी जो जोड़ा जा सकता है) एक श्रृंखला को परिभाषित करता है, जो कि एक के बाद एक जोड़ने का संचालन है। इस बात पर बल देने के लिए कि पदों की संख्या अपरिमित है, एक श्रंखला को अपरिमित श्रंखला कहा जा सकता है। इस तरह की श्रृंखला को एक अभिव्यक्ति द्वारा दर्शाया गया है (या निरूपित)।$$a_1+a_2+a_3+\cdots,$$या, योग चिह्न का उपयोग करके,$$\sum_{i=1}^\infty a_i.$$एक श्रृंखला द्वारा निहित परिवर्धन के अनंत क्रम को प्रभावी ढंग से नहीं चलाया जा सकता (कम से कम समय की सीमित मात्रा में)। हालाँकि, यदि वह सेट जिसमें पद और उनके परिमित योग हैं, की सीमा की धारणा है, तो कभी-कभी किसी श्रृंखला के लिए एक मान निर्दिष्ट करना संभव होता है, जिसे श्रृंखला का योग कहा जाता है। यह मान सीमा है क्योंकि $n$ श्रृंखला के पहले $n$ पदों के परिमित योगों की अनंतता (यदि सीमा मौजूद है) की ओर जाता है, जिसे श्रृंखला के $n$वें आंशिक योग कहा जाता है। अर्थात्,

$$\sum_{i=1}^\infty a_i = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n a_i.$$जब यह सीमा मौजूद होती है, तो कोई कहता है कि श्रृंखला अभिसारी या योग करने योग्य है, या यह कि अनुक्रम $$(a_1,a_2,a_3,\ldots)$$ योग करने योग्य है। इस मामले में, सीमा को श्रृंखला का योग कहा जाता है। अन्यथा, श्रृंखला को भिन्न कहा जाता है। अंकन $\sum_{i=1}^\infty a_i$ दोनों श्रृंखलाओं को दर्शाता है- जो एक के बाद एक अनिश्चित काल के लिए शब्दों को जोड़ने की अंतर्निहित प्रक्रिया है- और, यदि श्रृंखला अभिसारी है, तो श्रृंखला का योग-प्रक्रिया का परिणाम है। यह $$a+b$$ के जोड़-जोड़ने की प्रक्रिया—और उसके परिणाम—$a$ और $b$ के योग दोनों को दर्शाने के समान सम्मेलन का सामान्यीकरण है।

आम तौर पर, एक श्रृंखला की शर्तें एक रिंग से आती हैं, अक्सर वास्तविक संख्याओं का फ़ील्ड $$\mathbb R$$ या जटिल संख्याओं का फ़ील्ड $$\mathbb C$$ । इस मामले में, सभी श्रृंखलाओं का सेट अपने आप में एक वलय (और यहां तक कि एक साहचर्य बीजगणित) है, जिसमें जोड़ में शब्द द्वारा श्रृंखला शब्द को जोड़ना शामिल है, और गुणन कॉची उत्पाद है।

मूल गुण
एक अनंत श्रृंखला या केवल एक श्रृंखला एक अनंत राशि है, जिसे प्रपत्र की अनंत अभिव्यक्ति द्वारा दर्शाया गया है $$a_0 + a_1 + a_2 + \cdots, $$

जहां $$(a_n)$$ शब्दों का कोई क्रमबद्ध क्रम है, जैसे कि संख्याएँ, कार्य, या कुछ और जो जोड़ा जा सकता है (एक एबेलियन समूह)। यह एक अभिव्यक्ति है जो $$a_0,a_1,\dots$$ शब्दों की सूची से उन्हें एक साथ रखकर और उन्हें प्रतीक "+" के साथ जोड़कर प्राप्त किया जाता है। योग संकेतन का उपयोग करके एक श्रृंखला का भी प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, जैसे$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n. $$

यदि शर्तों के एबेलियन समूह $A$ में सीमा की अवधारणा है (उदाहरण के लिए, यदि यह एक मीट्रिक स्थान है), तो कुछ श्रृंखला, अभिसरण श्रृंखला, को $A$ में मान होने के रूप में व्याख्या की जा सकती है, जिसे श्रृंखला का योग कहा जाता है। इसमें कैलकुलस के सामान्य मामले शामिल हैं, जिसमें समूह वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र है या जटिल संख्याओं का क्षेत्र है। एक श्रृंखला $s=\sum_{n=0}^\infty a_n$ को देखते हुए, इसका $k$वाँ आंशिक योग है

$$s_k = \sum_{n=0}^{k}a_n = a_0 + a_1 + \cdots + a_k.$$ परिभाषा के अनुसार, श्रृंखला $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ सीमा $L$ तक अभिसरित होती है (या केवल $L$ का योग), यदि इसके आंशिक योग के अनुक्रम की सीमा $L$ है। इस मामले में, आमतौर पर लिखा जाता है

$$L = \sum_{n=0}^{\infty}a_n.$$ एक श्रृंखला को अभिसरण कहा जाता है यदि यह किसी सीमा तक अभिसरण करता है, या जब यह नहीं होता है तो विचलन होता है। इस सीमा का मान, यदि यह अस्तित्व में है, तब श्रृंखला का मान है।

अभिसरण श्रृंखला
एक श्रेणी $Σa_{n}$ को अभिसारी या अभिसारी होना तब कहा जाता है जब आंशिक योगों के अनुक्रम $(s_{k})$ की एक सीमित सीमा होती है। यदि $s_{k}$ की सीमा अनंत है या अस्तित्व में नहीं है, तो श्रृंखला को अपसारी कहा जाता है। जब आंशिक योग की सीमा मौजूद होती है, तो इसे श्रृंखला का मान (या योग) कहा जाता है$$\sum_{n=0}^\infty a_n = \lim_{k\to\infty} s_k = \lim_{k\to\infty} \sum_{n=0}^k a_n.$$

एक आसान तरीका है कि एक अनंत श्रृंखला अभिसरण कर सकती है यदि पर्याप्त रूप से बड़े $n$ के लिए सभी $a_{n}$ शून्य हैं। इस तरह की श्रृंखला को परिमित योग के साथ पहचाना जा सकता है, इसलिए यह केवल एक तुच्छ अर्थ में अनंत है।

श्रृंखला के गुणों का पता लगाना जो अभिसरण करते हैं, भले ही असीम रूप से कई पद गैर-शून्य हों, श्रृंखला के अध्ययन का सार है। मिसाल पर विचार करें

$$ 1 + \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+\cdots+ \frac{1}{2^n}+\cdots.$$ वास्तविक संख्या रेखा पर इसके अभिसरण की "कल्पना" करना संभव है: हम लंबाई 2 की एक रेखा की कल्पना कर सकते हैं, जिसमें लगातार खंड 1, 1/2, 1/4, आदि की लंबाई से चिह्नित हैं। चिह्नित करने के लिए हमेशा जगह होती है अगला खंड, क्योंकि शेष रेखा की मात्रा हमेशा अंतिम खंड के रूप में चिह्नित होती है: जब हमने 1/2 को चिन्हित कर लिया है, तब भी हमारे पास 1/2 लंबाई का एक टुकड़ा है, इसलिए हम निश्चित रूप से अगले 1/4 को चिह्नित कर सकते हैं। यह तर्क यह साबित नहीं करता है कि योग 2 के बराबर है (हालांकि यह है), लेकिन यह साबित करता है कि यह अधिक से अधिक 2 है। दूसरे शब्दों में, श्रृंखला की ऊपरी सीमा होती है। यह देखते हुए कि श्रृंखला अभिसरण करती है, यह साबित करते हुए कि यह 2 के बराबर है, केवल प्राथमिक बीजगणित की आवश्यकता है। यदि श्रृंखला को $S$ के रूप में निरूपित किया जाता है, तो यह देखा जा सकता है

$$S/2 = \frac{1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+\cdots}{2} = \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{16} +\cdots.$$ इसलिए,

$$S-S/2 = 1 \Rightarrow S = 2.$$ मुहावरे को श्रृंखला के अन्य समकक्ष विचारों तक बढ़ाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक दोहराए जाने वाला दशमलव, जैसा कि

$$x = 0.111\dots, $$ श्रृंखला को एनकोड करता है

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{10^n}.$$ चूँकि ये श्रृंखलाएँ हमेशा वास्तविक संख्याओं में परिवर्तित होती हैं (क्योंकि जिसे वास्तविक संख्याओं की पूर्णता संपत्ति कहा जाता है), इस तरह से श्रृंखला के बारे में बात करना उसी तरह है जैसे उन संख्याओं के बारे में बात करना जिनके लिए वे खड़े होते हैं। विशेष रूप से, दशमलव विस्तार 0.111... की पहचान 1/9 से की जा सकती है। यह एक तर्क की ओर ले जाता है कि 9 × 0.111... = 0.999... = 1, जो केवल इस तथ्य पर निर्भर करता है कि श्रृंखला के लिए सीमा नियम अंकगणितीय संक्रियाओं को संरक्षित करते हैं; इस तर्क पर अधिक विवरण के लिए, 0.999 देखें ....

संख्यात्मक श्रृंखला के उदाहरण

 * एक ज्यामितीय श्रृंखला वह है जहां प्रत्येक क्रमिक पद पिछले पद को एक स्थिरांक संख्या से गुणा करके निर्मित किया जाता है (इस संदर्भ में सामान्य अनुपात कहा जाता है)। उदाहरण के लिए: $$1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty{1 \over 2^n} = 2.$$ सामान्य तौर पर, ज्यामितीय श्रृंखला $$\sum_{n=0}^\infty z^n$$ अभिसरण करता है अगर और केवल अगर $|z| < 1$, जिस स्थिति में यह $ {1 \over 1 - z}$ में परिवर्तित हो जाता है।
 * हार्मोनिक श्रृंखला एक श्रृंखला है $$1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty {1 \over n}.$$ हार्मोनिक श्रृंखला अपसारी है।
 * एक वैकल्पिक श्रृंखला एक ऐसी श्रृंखला है जहां पद वैकल्पिक संकेत हैं। उदाहरण:$$1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots =\sum_{n=1}^\infty {\left(-1\right)^{n-1} \over n}=\ln(2) \quad $$ (वैकल्पिक हार्मोनिक श्रृंखला) और $$-1+\frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty \frac{\left(-1\right)^n}{2n-1} = -\frac{\pi}{4}$$
 * एक दूरबीन श्रृंखला $$\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})$$ अभिसरित होता है यदि अनुक्रम bn एक सीमा L तक अभिसरित होता है—जैसा कि n अनंत तक जाता है। श्रृंखला का मान तब b1 − L है।
 * एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रृंखला ज्यामितीय श्रृंखला का एक सामान्यीकरण है, जिसमें अंकगणितीय अनुक्रम में शर्तों के बराबर सामान्य अनुपात के गुणांक होते हैं। उदाहरण :$$3 + {5 \over 2} + {7 \over 4} + {9 \over 8} + {11 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty{(3+2n) \over 2^n}.$$
 * पी-श्रृंखला$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}$$ यदि p > 1 अभिसरित होता है और p ≤ 1 के लिए अपसरित होता है, जिसे अभिसरण परीक्षण में नीचे वर्णित समाकल मानदंड के साथ दिखाया जा सकता है। पी के एक समारोह के रूप में, इस श्रृंखला का योग रीमैन का जेटा फ़ंक्शन है।
 * हाइपरज्यामितीय श्रृंखला: $$_rF_s \left[ \begin{matrix}a_1, a_2, \dotsc, a_r \\ b_1, b_2, \dotsc, b_s \end{matrix}; z \right] := \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a_1)_n (a_2)_n \dotsb (a_r)_n}{(b_1)_n (b_2)_n \dotsb (b_s)_n \; n!} z^n$$ और उनके सामान्यीकरण (जैसे बुनियादी हाइपरज्यामितीय श्रृंखला और दीर्घवृत्तीय अतिज्यामितीय श्रृंखला) अक्सर समाकलनीय प्रणालियों और गणितीय भौतिकी में दिखाई देते हैं।
 * कुछ प्राथमिक श्रंखलाएँ ऐसी हैं जिनका अभिसरण अभी तक ज्ञात/सिद्ध नहीं है। उदाहरण के लिए, यह ज्ञात नहीं है कि फ्लिंट हिल्स श्रृंखला$$\sum_{n=1}^\infty \frac{\csc^{2} n}{n^{3}}$$ जुड़ता है या नहीं। अभिसरण इस बात पर निर्भर करता है कि $$\pi$$ को परिमेय संख्याओं (जो अभी तक अज्ञात है) के साथ कितनी अच्छी तरह अनुमानित किया जा सकता है। अधिक विशिष्ट रूप से, योग में बड़े संख्यात्मक योगदान के साथ n के मान $$\pi$$ के सतत अंश अभिसरण के अंश हैं, 1, 3, 22, 333, 355, 103993, ... से शुरू होने वाला एक अनुक्रम। ये पूर्णांक हैं जो कुछ पूर्णांक n के लिए $$n\pi$$ के करीब हैं, ताकि $$\sin n\pi$$ 0 के करीब हो और इसका पारस्परिक बड़ा हो। अलेक्सेयेव (2011) ने साबित किया कि यदि श्रृंखला अभिसरित होती है, तो 55 की अपरिमेयता माप 2.5 से छोटी होती है, जो कि 7.10320533 की वर्तमान ज्ञात सीमा से बहुत छोटी है....

पाई
=== $$ \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$$$$ \sum_{i=1}^\infty \frac{(-1)^{i+1}(4)}{2i-1} = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \frac{4}{11} + \frac{4}{13} - \cdots = \pi$$2 का प्राकृतिक लघुगणक ===

$$\sum_{i=1}^\infty \frac{(-1)^{i+1}}{i} = \ln 2$$

$$\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{(2i+1)(2i+2)} = \ln 2$$$$\sum_{i=0}^\infty \frac{(-1)^i}{(i+1)(i+2)} = 2\ln(2) -1$$$$\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i \left(4i^2-1\right)} = 2\ln(2) -1$$$$ \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{2^{i}i} = \ln 2$$$$ \sum_{i=1}^\infty \left(\frac{1}{3^i}+\frac{1}{4^i}\right)\frac{1}{i} = \ln 2$$$$ \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{2i(2i-1)} = \ln 2$$

प्राकृतिक लघुगणक का आधार ई
$$\sum_{i = 0}^\infty \frac{(-1)^i}{i!} = 1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots = \frac{1}{e}$$$$ \sum_{i = 0}^\infty \frac{1}{i!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots = e $$

अनुक्रमों पर एक ऑपरेशन के रूप में पथरी और आंशिक योग
आंशिक योग एक अनुक्रम इनपुट के रूप में लेता है, (ए), और आउटपुट के रूप में एक और अनुक्रम देता है, (एसएन)। इस प्रकार यह अनुक्रमों पर एक एकात्मक संक्रिया है। इसके अलावा, यह फ़ंक्शन रैखिक है, और इस प्रकार अनुक्रमों के सदिश स्थल पर एक रैखिक ऑपरेटर है, जिसे Σ निरूपित किया गया है। उलटा ऑपरेटर परिमित अंतर ऑपरेटर है, जिसे Δ दर्शाया गया है। ये एक वास्तविक चर के कार्यों के बजाय केवल श्रृंखला (एक प्राकृतिक संख्या के कार्यों) के लिए अभिन्न और व्युत्पन्न के असतत अनुरूप व्यवहार करते हैं। उदाहरण के लिए, अनुक्रम (1, 1, 1, ...) में आंशिक योग के रूप में श्रृंखला (1, 2, 3, 4, ...) है, जो कि $\int_0^x 1\,dt = x$ के तथ्य के अनुरूप है।

कंप्यूटर विज्ञान में इसे उपसर्ग योग के नाम से जाना जाता है।

श्रृंखला के गुण
श्रृंखला को न केवल अभिसरण या विचलन द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, बल्कि शर्तों के गुणों द्वारा भी (पूर्ण या सशर्त अभिसरण); श्रृंखला के अभिसरण का प्रकार (बिंदुवार, वर्दी); शब्द a का वर्ग (चाहे वह एक वास्तविक संख्या हो, अंकगणितीय प्रगति हो, त्रिकोणमितीय फलन हो); आदि।

गैर-नकारात्मक शब्द
जब प्रत्येक एन के लिए एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या होती है, तो आंशिक योगों का अनुक्रम एसएन गैर-घटता है। यह इस प्रकार है कि गैर-नकारात्मक शर्तों के साथ एक श्रृंखला Σan अभिसरण करती है अगर और केवल अगर आंशिक रकम का अनुक्रम SN परिबद्ध है।

उदाहरण के लिए, श्रृंखला

$$\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^2}$$ अभिसरण है, क्योंकि असमानता

$$\frac1 {n^2} \le \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}, \quad n \ge 2,$$ और टेलीस्कोपिक योग तर्क का तात्पर्य है कि आंशिक योग 2 से घिरा है। मूल श्रृंखला का सटीक मान बेसल समस्या है।

ग्रुपिंग
जब आप किसी श्रृंखला का समूह बनाते हैं तो श्रृंखला का पुनर्क्रमण नहीं होता है, इसलिए रीमैन श्रृंखला प्रमेय लागू नहीं होता है। एक नई श्रृंखला का आंशिक योग मूल श्रृंखला के अनुवर्ती होगा, जिसका अर्थ है कि यदि मूल श्रृंखला अभिसरित होती है, तो नई श्रृंखला भी अभिसरित होती है। लेकिन अपसारी श्रृंखला के लिए जो सत्य नहीं है, उदाहरण के लिए 1-1+1-1+... प्रत्येक दो तत्वों को समूहीकृत करने से 0+0+0+... श्रृंखला बनेगी, जो अभिसारी है। दूसरी ओर, नई श्रृंखला के विचलन का अर्थ है कि मूल श्रृंखला केवल भिन्न हो सकती है जो कभी-कभी उपयोगी होती है, जैसे कि ओरेस्मे सबूत।

पूर्ण अभिसरण
एक श्रृंखला

$$\sum_{n=0}^\infty a_n$$ निरपेक्ष मूल्यों की श्रृंखला अगर बिल्कुल अभिसरण करती है

$$\sum_{n=0}^\infty \left|a_n\right|$$ अभिसरण। यह न केवल यह गारंटी देने के लिए पर्याप्त है कि मूल श्रृंखला एक सीमा तक अभिसरण करती है, बल्कि यह भी कि इसका कोई भी पुनर्क्रमण उसी सीमा तक परिवर्तित हो जाता है।

सशर्त अभिसरण
वास्तविक या जटिल संख्याओं की एक श्रृंखला को सशर्त रूप से अभिसारी (या अर्ध-अभिसरण) कहा जाता है यदि यह अभिसरण है लेकिन पूर्ण अभिसरण नहीं है। एक प्रसिद्ध उदाहरण एकांतर श्रृंखला है

$$\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \over n} = 1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots,$$ जो अभिसारी है (और इसका योग $$\ln 2$$ के बराबर है), लेकिन प्रत्येक पद का निरपेक्ष मान लेकर बनाई गई श्रृंखला अपसारी हार्मोनिक श्रृंखला है। रीमैन श्रृंखला प्रमेय का कहना है कि किसी भी सशर्त रूप से अभिसरण श्रृंखला को अलग-अलग श्रृंखला बनाने के लिए पुन: व्यवस्थित किया जा सकता है, और इसके अलावा, यदि $$a_{n}$$ वास्तविक हैं और $$S$$ कोई वास्तविक संख्या है, तो कोई पुनर्क्रमित कर सकता है ताकि पुनर्क्रमित श्रृंखला $$S$$ के बराबर योग के साथ अभिसरण हो।

हाबिल का परीक्षण अर्ध-अभिसरण श्रृंखला को संभालने के लिए एक महत्वपूर्ण उपकरण है। यदि किसी श्रृंखला का रूप है

$$\sum a_n = \sum \lambda_n b_n$$ जहां आंशिक योग $$B_{n} = b_{0} + \cdots + b_{n}$$ परिबद्ध हैं, $$\lambda_{n}$$ परिबद्ध विचरण है, और $$\lim \lambda_{n} b_{n}$$ मौजूद है:

$$\sup_N \left| \sum_{n=0}^N b_n \right| < \infty, \ \ \sum \left|\lambda_{n+1} - \lambda_n\right| < \infty\ \text{and} \ \lambda_n B_n \ \text{converges,}$$ फिर श्रृंखला $\sum a_{n}$ अभिसारी है। यह कई त्रिकोणमितीय श्रृंखलाओं के बिंदु-वार अभिसरण पर लागू होता है, जैसे कि

$$\sum_{n=2}^\infty \frac{\sin(n x)}{\ln n}$$ $$0 < x < 2\pi$$ के साथ। एबेल की विधि में $$b_{n+1}=B_{n+1}-B_{n}$$ लिखना शामिल है, और भागों द्वारा एकीकरण के समान परिवर्तन करने में (भागों द्वारा योग कहा जाता है), जो दी गई श्रृंखला $\sum a_{n}$ को बिल्कुल अभिसरण श्रृंखला से संबंधित करता है।

$$ \sum (\lambda_n - \lambda_{n+1}) \, B_n.$$

ट्रंकेशन त्रुटियों का मूल्यांकन
ट्रंकेशन त्रुटियों का मूल्यांकन संख्यात्मक विश्लेषण (विशेष रूप से मान्य संख्यात्मक और कंप्यूटर-सहायता प्रमाण) में एक महत्वपूर्ण प्रक्रिया है।

वैकल्पिक श्रृंखला
जब वैकल्पिक श्रृंखला परीक्षण की स्थितियाँ $S:=\sum_{m=0}^\infty(-1)^m u_m$ से संतुष्ट होती हैं, तो एक सटीक त्रुटि मूल्यांकन होता है। $$s_n$$ को दी गई वैकल्पिक श्रृंखला $$S$$ का आंशिक योग $s_n:=\sum_{m=0}^n(-1)^m u_m$  के रूप में सेट करें। फिर अगली असमानता रखती है। $$|S-s_n|\leq u_{n+1}.$$

टेलर सीरीज
टेलर का प्रमेय एक ऐसा कथन है जिसमें टेलर श्रृंखला को छोटा किए जाने पर त्रुटि शब्द का मूल्यांकन शामिल है।

हाइपरज्यामितीय श्रृंखला
अनुपात का उपयोग करके, हम त्रुटि शब्द का मूल्यांकन प्राप्त कर सकते हैं जब हाइपरज्यामितीय श्रृंखला को छोटा कर दिया जाता है।

मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल
मैट्रिक्स घातीय के लिए:

$$\exp(X) := \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}X^k,\quad X\in\mathbb{C}^{n\times n},$$ निम्नलिखित त्रुटि मूल्यांकन धारण करता है (स्केलिंग और स्क्वायरिंग विधि):

$$T_{r,s}(X) := \left[\sum_{j=0}^r\frac{1}{j!}(X/s)^j\right]^s,\quad \|\exp(X)-T_{r,s}(X)\|\leq\frac{\|X\|^{r+1}}{s^r(r+1)!}\exp(\|X\|).$$

अभिसरण परीक्षण
ऐसे कई परीक्षण मौजूद हैं जिनका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि कोई विशेष श्रृंखला अभिसरण या विचलन करती है या नहीं।
 * n-वाँ पद परीक्षण: यदि $\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$ है, तो श्रंखला अपसारी होती है; यदि $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$, तो परीक्षण अनिर्णायक है।
 * तुलना परीक्षण 1 (प्रत्यक्ष तुलना परीक्षण देखें): यदि $\sum b_n$ पूर्ण अभिसरण श्रृंखला है जैसे कि $$\left\vert a_n \right\vert \leq C \left\vert b_n \right\vert$$ किसी संख्या $$C$$ के लिए और पर्याप्त रूप से बड़े $$n$$ के लिए, तो $\sum a_n$ बिल्कुल भी अभिसरण करता है। यदि $\sum \left\vert b_n \right\vert$  विचलन करते हैं, और $$\left\vert a_n \right\vert \geq \left\vert b_n \right\vert$$ सभी के लिए पर्याप्त रूप से बड़ा $$n$$ है, तो $\sum a_n$  भी पूरी तरह से अभिसरण करने में विफल रहता है (हालांकि यह अभी भी सशर्त रूप से अभिसरण हो सकता है, उदाहरण के लिए, यदि $$a_n$$)।
 * तुलना परीक्षण 2 (सीमा तुलना परीक्षण देखें): यदि $\sum b_n$ पूरी तरह से अभिसरण श्रृंखला है जैसे कि $$\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right\vert \leq \left\vert \frac{b_{n+1}}{b_{n}} \right\vert$$ पर्याप्त रूप से बड़े $$n$$ के लिए है, तो $\sum a_n$  भी पूरी तरह से अभिसरण करता है। यदि $\sum \left| b_n \right|$  विचलन करते हैं, और $$\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right\vert \geq \left\vert \frac{b_{n+1}}{b_{n}} \right\vert$$ सभी के लिए पर्याप्त रूप से बड़ा $$n$$ है, तो $\sum a_n$  भी पूरी तरह से अभिसरण करने में विफल रहता है (हालांकि यह अभी भी सशर्त रूप से अभिसरण हो सकता है, उदाहरण के लिए, यदि $$a_n$$ वैकल्पिक रूप से साइन में हैं)।
 * अनुपात परीक्षण: यदि कोई स्थिरांक $$C < 1$$ मौजूद है जैसे कि $$\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right\vert < C$$ सभी के लिए पर्याप्त रूप से बड़ा $$n$$ है, तो $\sum a_{n}$ बिल्कुल अभिसरण करता है। जब अनुपात $$1$$ से कम है, लेकिन $$1$$ से कम स्थिरांक से कम नहीं है, तो अभिसरण संभव है लेकिन यह परीक्षण इसे स्थापित नहीं करता है।
 * मूल परीक्षण: यदि कोई स्थिरांक $$C < 1$$ मौजूद है जैसे कि $$\left\vert a_{n} \right\vert^{\frac{1}{n}} \leq C$$ सभी के लिए पर्याप्त रूप से बड़ा $$n$$ है, तो $\sum a_{n}$ पूरी तरह से अभिसरण करता है।
 * इंटीग्रल टेस्ट: यदि $$f(x)$$ एक सकारात्मक मोनोटोन घटता हुआ कार्य है जो अंतराल $$[1,\infty)$$ पर सभी $\sum a_{n}$ के लिए $$f(n)=a_{n}$$ के साथ परिभाषित किया गया है, तो $$n$$ अभिसरण करता है और केवल अगर इंटीग्रल $\int_{1}^{\infty} f(x) \, dx$  सीमित है।
 * कौशी का संघनन परीक्षण: यदि $$a_{n}$$ गैर-ऋणात्मक और गैर-बढ़ता हुआ है, तो दो श्रृंखला $\sum a_{n}$ और $\sum 2^{k} a_{(2^{k})}$  एक ही प्रकृति के हैं: दोनों अभिसरण, या दोनों विचलन।
 * अल्टरनेटिंग सीरीज़ टेस्ट: फॉर्म $\sum (-1)^{n} a_{n}$ ($$a_{n} > 0$$ के साथ) की एक सीरीज़ को अल्टरनेटिंग कहा जाता है। इस तरह की श्रृंखला अभिसरण करती है यदि अनुक्रम $$a_{n}$$ मोनोटोन कम हो रहा है और $$0$$ में अभिसरण करता है। विपरीत सामान्य रूप से सत्य नहीं है।
 * कुछ विशिष्ट प्रकार की श्रृंखलाओं के लिए अधिक विशिष्ट अभिसरण परीक्षण होते हैं, उदाहरण के लिए फूरियर श्रृंखला के लिए दीनी परीक्षण होता है।

कार्यों की श्रृंखला
वास्तविक- या जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन की एक श्रृंखला

$$\sum_{n=0}^\infty f_n(x)$$ एक सेट E पर बिंदुवार अभिसरण करता है, यदि श्रृंखला E में प्रत्येक x के लिए वास्तविक या जटिल संख्याओं की एक सामान्य श्रृंखला के रूप में अभिसरण करती है। समान रूप से, आंशिक रकम

$$s_N(x) = \sum_{n=0}^N f_n(x)$$ प्रत्येक x ∈ E के लिए ƒ(x) को N → ∞ के रूप में परिवर्तित करें।

कार्यों की एक श्रृंखला के अभिसरण की एक मजबूत धारणा एकसमान अभिसरण है। एक श्रृंखला समान रूप से अभिसरण करती है यदि यह बिंदुवार फ़ंक्शन ƒ(x) में परिवर्तित होती है, और Nth आंशिक योग द्वारा सीमा का अनुमान लगाने में त्रुटि होती है,

$$|s_N(x) - f(x)|$$ पर्याप्त रूप से बड़ा N चुनकर x से स्वतंत्र रूप से न्यूनतम बनाया जा सकता है।

एक श्रृंखला के लिए समान अभिसरण वांछनीय है क्योंकि श्रृंखला की शर्तों के कई गुण तब सीमा द्वारा बनाए रखा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि निरंतर कार्यों की एक श्रृंखला समान रूप से अभिसरण करती है, तो सीमा कार्य भी निरंतर होता है। इसी तरह, यदि ƒn एक बंद और परिबद्ध अंतराल I पर पूर्णांक हैं और समान रूप से अभिसरित होते हैं, तो श्रृंखला I पर भी पूर्णांकित होती है और टर्म-दर-टर्म एकीकृत हो सकती है। एकसमान अभिसरण के लिए परीक्षणों में वीयरस्ट्रास का एम-परीक्षण, एबेल का समान अभिसरण परीक्षण, दीनी का परीक्षण और कॉची अनुक्रम शामिल हैं।

कार्यों की एक श्रृंखला के अधिक परिष्कृत प्रकार के अभिसरण को भी परिभाषित किया जा सकता है। माप सिद्धांत में, उदाहरण के लिए, कार्यों की एक श्रृंखला लगभग हर जगह अभिसरण करती है यदि यह शून्य माप के एक निश्चित सेट को छोड़कर बिंदुवार अभिसरण करती है। अभिसरण के अन्य तरीके विचाराधीन कार्यों के स्थान पर एक अलग मीट्रिक अंतरिक्ष संरचना पर निर्भर करते हैं। उदाहरण के लिए, कार्यों की एक श्रृंखला एक सेट ई पर एक सीमित फ़ंक्शन ƒ प्रदान करने के लिए माध्य में परिवर्तित होती है

$$\int_E \left|s_N(x)-f(x)\right|^2\,dx \to 0$$ जब N→ ∞।

शक्ति श्रृंखला


एक शक्ति श्रृंखला प्रपत्र की एक श्रृंखला है

$$\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n.$$ फ़ंक्शन के बिंदु c पर टेलर श्रृंखला एक शक्ति श्रृंखला है, जो कई मामलों में, c के पड़ोस में फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाती है। उदाहरण के लिए श्रृंखला

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$$ की टेलर श्रृंखला है $$e^x$$ मूल बिंदु पर और प्रत्येक x के लिए इसमें परिवर्तित होता है।

जब तक यह केवल x = c पर अभिसरण नहीं करता है, ऐसी श्रृंखला जटिल विमान में बिंदु सी पर केंद्रित अभिसरण के एक निश्चित खुले डिस्क पर अभिसरण करती है, और डिस्क की सीमा के कुछ बिंदुओं पर भी अभिसरण कर सकती है। इस डिस्क की त्रिज्या को अभिसरण की त्रिज्या के रूप में जाना जाता है, और सिद्धांत रूप में गुणांक के asymptotics से निर्धारित किया जा सकता है। अभिसरण की डिस्क के आंतरिक भाग के बंद और परिबद्ध (अर्थात, कॉम्पैक्ट) उपसमुच्चय पर अभिसरण समान है: बुद्धि के लिए, यह कॉम्पैक्ट सेट पर समान रूप से अभिसरण है।

ऐतिहासिक रूप से, लियोनहार्ड यूलर जैसे गणितज्ञों ने अनंत श्रृंखलाओं के साथ उदारतापूर्वक संचालन किया, भले ही वे अभिसरण न हों। उन्नीसवीं शताब्दी में जब कैलकुलस को एक ठोस और सही नींव पर रखा गया था, तो श्रृंखला के अभिसरण के कठोर प्रमाण की हमेशा आवश्यकता थी।

औपचारिक शक्ति श्रृंखला
जबकि शक्ति श्रृंखला के कई उपयोग उनके योगों को संदर्भित करते हैं, यह भी संभव है कि शक्ति श्रृंखला को औपचारिक राशियों के रूप में माना जाए, जिसका अर्थ है कि वास्तव में कोई जोड़ संचालन नहीं किया जाता है, और प्रतीक "+" संयुग्मन का एक सार प्रतीक है जिसे आवश्यक रूप से जोड़ के अनुरूप नहीं समझा जाता है। इस सेटिंग में, श्रृंखला के अभिसरण के बजाय स्वयं गुणांकों का अनुक्रम रुचिकर है। औपचारिक शक्ति श्रृंखला का उपयोग कॉम्बिनेटरिक्स में उन अनुक्रमों का वर्णन और अध्ययन करने के लिए किया जाता है जो अन्यथा संभालना मुश्किल होता है, उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन उत्पन्न करने की विधि का उपयोग करना। हिल्बर्ट-पोंकेयर श्रृंखला एक औपचारिक शक्ति श्रृंखला है जिसका उपयोग श्रेणीबद्ध बीजगणित का अध्ययन करने के लिए किया जाता है।

भले ही शक्ति श्रृंखला की सीमा पर विचार नहीं किया गया हो, यदि शब्द उचित संरचना का समर्थन करते हैं तो "औपचारिक रूप से" शक्ति श्रृंखला के लिए अतिरिक्त, गुणा, व्युत्पन्न, प्रतिपक्षी जैसे कार्यों को परिभाषित करना संभव है, प्रतीक "+" का इलाज करना जैसे कि यह अतिरिक्त के अनुरूप है। सबसे आम सेटिंग में, शब्द एक क्रमविनिमेय अंगूठी से आते हैं, ताकि औपचारिक शक्ति श्रृंखला को टर्म-दर-टर्म जोड़ा जा सके और कॉची उत्पाद के माध्यम से गुणा किया जा सके। इस मामले में औपचारिक शक्ति श्रृंखला का बीजगणित अंतर्निहित शब्द वलय पर प्राकृतिक संख्याओं के मोनोइड का कुल बीजगणित है। यदि अंतर्निहित टर्म रिंग एक डिफरेंशियल बीजगणित है, तो औपचारिक शक्ति श्रृंखला का बीजगणित भी एक डिफरेंशियल बीजगणित है, जिसमें टर्म-बाय-टर्म भेदभाव किया जाता है।

लॉरेंट श्रृंखला
लॉरेंट श्रृंखला नकारात्मक और साथ ही सकारात्मक घातांक के साथ श्रृंखला में शर्तों को स्वीकार करके शक्ति श्रृंखला का सामान्यीकरण करती है। एक लॉरेंट श्रृंखला इस प्रकार किसी भी प्रकार की श्रृंखला है

$$\sum_{n=-\infty}^\infty a_n x^n.$$यदि ऐसी श्रृंखला अभिसरण करती है, तो सामान्य तौर पर यह एक डिस्क के बजाय एक वलय में होती है, और संभवतः कुछ सीमा बिंदुओं पर। श्रृंखला अभिसरण के वलय के आंतरिक भाग के कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय पर समान रूप से अभिसरित होती है।

डिरिचलेट श्रृंखला


एक डिरिचलेट श्रृंखला एक रूप है

$$\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n^s},$$ जहाँ s एक सम्मिश्र संख्या है। उदाहरण के लिए, यदि सभी एn 1 के बराबर हैं, तो डिरिचलेट श्रृंखला रीमैन जीटा फ़ंक्शन है

$$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}.$$ जेटा फ़ंक्शन की तरह, डिरिचलेट श्रृंखला सामान्य रूप से विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। आम तौर पर एक डिरिचलेट श्रृंखला अभिसरण करती है यदि s का वास्तविक भाग एक संख्या से अधिक होता है जिसे अभिसरण का भुज कहते हैं। कई मामलों में, एक डिरिचलेट श्रृंखला को विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा अभिसरण के डोमेन के बाहर एक विश्लेषणात्मक कार्य में विस्तारित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, ज़ेटा फ़ंक्शन के लिए डिरिचलेट श्रृंखला पूरी तरह से अभिसरण करती है जब Re(s)> 1, लेकिन ज़ेटा फ़ंक्शन को $$\Complex\setminus\{1\}$$ पर परिभाषित एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन तक बढ़ाया जा सकता है, जिसमें 1 पर एक साधारण पोल होता है।

इस श्रृंखला को सीधे सामान्य डिरिचलेट श्रृंखला के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

त्रिकोणमितीय श्रृंखला
कार्यों की एक श्रृंखला जिसमें शब्द त्रिकोणमितीय कार्य होते हैं, त्रिकोणमितीय श्रृंखला कहलाती है:

$$\frac12 A_0 + \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos nx + B_n \sin nx\right).$$ त्रिकोणमितीय श्रृंखला का सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण एक फ़ंक्शन की फूरियर श्रृंखला है।

अनंत श्रृंखला का विकास
ग्रीक गणितज्ञ आर्किमिडीज़ ने एक विधि के साथ एक अनंत श्रृंखला का पहला ज्ञात योग तैयार किया जो आज भी कैलकुलस के क्षेत्र में उपयोग किया जाता है। उन्होंने एक अनंत श्रृंखला के योग के साथ एक परवलय के चाप के नीचे के क्षेत्र की गणना करने के लिए थकावट की विधि का उपयोग किया, और π का उल्लेखनीय रूप से सटीक अनुमान लगाया।

केरल, भारत के गणितज्ञों ने 1350 CE के आस-पास अनंत श्रृंखला का अध्ययन किया।

17वीं शताब्दी में, जेम्स ग्रेगोरी ने नई दशमलव प्रणाली में अनंत श्रृंखला पर काम किया और कई मैकलॉरिन श्रृंखला प्रकाशित कीं। 1715 में, सभी कार्यों के लिए टेलर श्रृंखला के निर्माण के लिए एक सामान्य विधि, जिसके लिए वे मौजूद हैं, ब्रुक टेलर द्वारा प्रदान की गई थी। 18वीं शताब्दी में लियोनहार्ड यूलर ने हाइपरज्यामितीय श्रृंखला और क्यू-श्रृंखला के सिद्धांत को विकसित किया।

अभिसरण मानदंड
अपरिमित श्रेणी की वैधता की जांच 19वीं शताब्दी में गॉस से शुरू मानी जाती है। यूलर ने पहले से ही हाइपरजियोमेट्रिक श्रृंखला पर विचार किया था

$$1 + \frac{\alpha\beta}{1\cdot\gamma}x + \frac{\alpha(\alpha+1)\beta(\beta+1)}{1 \cdot 2 \cdot \gamma(\gamma+1)}x^2 + \cdots$$ जिस पर 1812 में गॉस ने एक संस्मरण प्रकाशित किया। इसने अभिसरण के सरल मानदंड, और अवशेषों के प्रश्न और अभिसरण की सीमा को स्थापित किया।

कॉची (1821) ने अभिसरण के कठोर परीक्षण पर जोर दिया; उन्होंने दिखाया कि यदि दो श्रृंखलाएं अभिसारी हैं तो उनका उत्पाद आवश्यक रूप से ऐसा नहीं है, और उसके साथ प्रभावी मानदंडों की खोज शुरू होती है। ग्रेगरी (1668) द्वारा अभिसरण और विचलन शब्द बहुत पहले पेश किए गए थे। लिओनहार्ड यूलर और गॉस ने विभिन्न मापदंड दिए थे, और कॉलिन मैकलॉरिन ने कॉची की कुछ खोजों का अनुमान लगाया था। कॉची ने इस तरह के रूप में एक जटिल कार्य के विस्तार के द्वारा शक्ति श्रृंखला के सिद्धांत को आगे बढ़ाया।

नील्स हेनरिक एबेल (1826) द्विपद श्रृंखला पर अपने संस्मरण में

$$1 + \frac{m}{1!}x + \frac{m(m-1)}{2!}x^2 + \cdots$$ कॉची के कुछ निष्कर्षों को सही किया, और $$m$$ और $$x$$ के जटिल मानों के लिए श्रृंखला का एक पूर्ण वैज्ञानिक योग दिया। उन्होंने अभिसरण के प्रश्नों में निरंतरता के विषय पर विचार करने की आवश्यकता को दिखाया।

कॉची के तरीकों ने सामान्य मानदंडों के बजाय विशेष का नेतृत्व किया, और राबे (1832) के बारे में भी यही कहा जा सकता है, जिन्होंने डी मॉर्गन (1842 से) के विषय की पहली विस्तृत जांच की, जिनके लॉगरिदमिक टेस्ट डुबोइस-रेमंड (1873) और प्रिंगशाइम (1889) ने एक निश्चित क्षेत्र में विफल होने को दिखाया है; बर्ट्रेंड (1842), बोनट (1843), मालमस्टन (1846, 1847, एकीकरण के बिना बाद वाला); स्टोक्स (1847), पॉकर (1852), चेबिशेव (1852), और अरंड्ट (1853)।

सामान्य मानदंड कुमेर (1835) के साथ शुरू हुआ, और ईसेनस्टीन (1847), वेइरस्ट्रास द्वारा कार्यों के सिद्धांत, दीनी (1867), डुबोइस-रेमंड (1873), और कई अन्य लोगों के लिए उनके विभिन्न योगदानों का अध्ययन किया गया है। प्रिंग्सहाइम के संस्मरण (1889) सबसे पूर्ण सामान्य सिद्धांत प्रस्तुत करते हैं।

एक समान अभिसरण
कॉची (1821) द्वारा समान अभिसरण के सिद्धांत का इलाज किया गया था, उसकी सीमाओं को हाबिल ने इंगित किया था, लेकिन सबसे पहले इस पर सफलतापूर्वक हमला करने वाले सेडेल और स्टोक्स (1847-48) थे। कॉची ने समस्या को फिर से उठाया (1853), एबेल की आलोचना को स्वीकार करते हुए, और उसी निष्कर्ष पर पहुंचे जो स्टोक्स पहले ही पा चुके थे। थोमे ने सिद्धांत (1866) का इस्तेमाल किया, लेकिन कार्यों के सिद्धांत की मांग के बावजूद, वर्दी और गैर-समान अभिसरण के बीच अंतर करने के महत्व को पहचानने में बहुत देरी हुई।

अर्ध-अभिसरण
एक श्रृंखला को अर्ध-अभिसरण (या सशर्त रूप से अभिसारी) कहा जाता है यदि यह अभिसरण है लेकिन पूर्ण अभिसरण नहीं है।

अर्ध-अभिसरण श्रृंखला का अध्ययन पोइसन (1823) द्वारा किया गया, जिन्होंने मैकलॉरिन सूत्र के शेष भाग के लिए एक सामान्य रूप भी दिया। हालाँकि, समस्या का सबसे महत्वपूर्ण समाधान जैकोबी (1834) के कारण है, जिन्होंने एक अलग दृष्टिकोण से शेष के प्रश्न पर हमला किया और एक अलग सूत्र पर पहुँचे। इस अभिव्यक्ति पर भी काम किया गया था, और एक अन्य माल्मस्टेन (1847) द्वारा दिया गया था। Schlömilch (Zeitschrift, Vol.I, पृष्ठ 192, 1856) ने भी जैकोबी के शेष में सुधार किया, और शेष और Bernoulli के कार्य के बीच के संबंध को दिखाया

$$F(x) = 1^n + 2^n + \cdots + (x - 1)^n.$$ एंजेलो जेनोची (1852) ने सिद्धांत में और योगदान दिया है।

शुरुआती लेखकों में व्रोनस्की थे, जिनके "लोई सुप्रीम" (1815) को केली (1873) ने इसे प्रमुखता में लाने तक मुश्किल से पहचाना था।

फूरियर श्रृंखला
भौतिक विचारों के परिणाम के रूप में फूरियर श्रृंखला की जांच की जा रही थी, उसी समय जब गॉस, एबेल और कौची अनंत श्रृंखला के सिद्धांत पर काम कर रहे थे। ज्या और कोसाइन के विस्तार के लिए श्रृंखला, चाप की ज्या और कोज्या की शक्तियों में कई चापों का उपचार जैकब बर्नौली (1702) और उनके भाई जोहान बर्नौली (1701) द्वारा किया गया था और इससे भी पहले विएटा द्वारा। यूलर और लाग्रेंज ने इस विषय को सरल बनाया, जैसा कि पॉइन्सॉट, श्रोटर, ग्लैशर और कुमेर ने किया।

फूरियर (1807) ने खुद के लिए एक अलग समस्या निर्धारित की, एक्स के गुणकों के ज्या या कोज्या के संदर्भ में एक्स के दिए गए फ़ंक्शन का विस्तार करने के लिए, एक समस्या जिसे उन्होंने अपने थ्योरी एनालिटिक डे ला चालेर (1822) में शामिल किया। श्रृंखला में गुणांकों के निर्धारण के लिए यूलर ने सूत्र पहले ही दे दिए थे; फूरियर पहले व्यक्ति थे जिन्होंने सामान्य प्रमेय को प्रमाणित करने का प्रयास किया। प्वासों (1820-23) ने भी समस्या पर एक भिन्न दृष्टिकोण से आक्रमण किया। फूरियर ने, हालांकि, अपनी श्रृंखला के अभिसरण के प्रश्न का समाधान नहीं किया, यह मामला कॉची (1826) के लिए प्रयास करने के लिए और डिरिचलेट (1829) के लिए पूरी तरह से वैज्ञानिक तरीके से संभालने के लिए छोड़ दिया गया था (फूरियर श्रृंखला का अभिसरण देखें)। त्रिकोणमितीय श्रृंखला का डिरिचलेट का उपचार (क्रेले, 1829), रीमैन (1854), हेइन, लिपशिट्ज, श्लाफली और डु बोइस-रेमंड द्वारा आलोचना और सुधार का विषय था। त्रिकोणमितीय और फूरियर श्रृंखला के सिद्धांत के अन्य प्रमुख योगदानकर्ताओं में दीनी, हर्मिट, हलफेन, क्रूस, बायरली और अपेल थे।

स्पर्शोन्मुख श्रृंखला
स्पर्शोन्मुख श्रृंखला, अन्यथा स्पर्शोन्मुख विस्तार, अनंत श्रृंखलाएँ हैं जिनके आंशिक योग डोमेन के कुछ बिंदुओं की सीमा में अच्छे सन्निकटन बन जाते हैं। सामान्य तौर पर वे अभिसरण नहीं करते हैं, लेकिन वे सन्निकटन के अनुक्रम के रूप में उपयोगी होते हैं, जिनमें से प्रत्येक शब्दों की सीमित संख्या के लिए वांछित उत्तर के करीब एक मूल्य प्रदान करता है। अंतर यह है कि एक स्पर्शोन्मुख श्रृंखला को वांछित के रूप में सटीक उत्तर देने के लिए नहीं बनाया जा सकता है, जिस तरह से अभिसारी श्रृंखला हो सकती है। वास्तव में, शब्दों की एक निश्चित संख्या के बाद, एक विशिष्ट स्पर्शोन्मुख श्रृंखला अपने सर्वोत्तम सन्निकटन तक पहुँचती है; यदि अधिक शर्तें शामिल की जाती हैं, तो ऐसी अधिकांश श्रृंखलाएं खराब उत्तर उत्पन्न करेंगी।

अपसारी श्रृंखला
कई परिस्थितियों में, एक श्रृंखला के लिए एक सीमा निर्धारित करना वांछनीय है जो सामान्य अर्थों में अभिसरण करने में विफल रहता है। एक संकलनीयता विधि अपसारी श्रृंखला के समुच्चय के एक उपसमुच्चय की सीमा का एक ऐसा नियतन है जो अभिसरण की शास्त्रीय धारणा को उचित रूप से विस्तारित करता है। संक्षेपण विधियों में सामान्यता के बढ़ते क्रम में सिसैरा योग, (सी, के) योग, बोरेल योग और बोरेल योग शामिल हैं (और इसलिए उत्तरोत्तर अपसारी श्रृंखला पर लागू होते हैं)।

संभव संकलनीयता पद्धतियों से संबंधित विभिन्न प्रकार के सामान्य परिणाम ज्ञात हैं। सिल्वरमैन-टूप्लेट्ज़ प्रमेय मैट्रिक्स सारांश विधियों की विशेषता है, जो गुणांक के सदिश के लिए एक अनंत मैट्रिक्स को लागू करके एक भिन्न श्रृंखला को योग करने के तरीके हैं। अपसारी श्रंखला के योग के लिए सबसे सामान्य विधि गैर-रचनात्मक है, और बानाच सीमाओं से संबंधित है।

स्वैच्छिक सूचकांक सेट पर योग
एक मनमाना सूचकांक सेट $$I$$ पर राशियों के लिए परिभाषाएँ दी जा सकती हैं। श्रृंखला की सामान्य धारणा के साथ दो मुख्य अंतर हैं: पहला, सेट $$I$$ पर कोई विशिष्ट क्रम नहीं दिया गया है; दूसरा, यह समुच्चय $$I$$ बेशुमार हो सकता है। अभिसरण की धारणा को मजबूत करने की आवश्यकता है, क्योंकि सशर्त अभिसरण की अवधारणा सूचकांक सेट के क्रम पर निर्भर करती है।

यदि $$a : I \mapsto G$$ एक सूचकांक सेट $$I$$ से एक सेट $$G$$ तक का एक फ़ंक्शन है, तो $$a$$ से जुड़ी "श्रृंखला" इंडेक्स एलिमेंट्स $$x \in I$$ पर $$a(x) \in G $$ तत्वों का औपचारिक योग है जिसे निरूपित किया गया है

$$\sum_{x \in I} a(x).$$ जब सूचकांक सेट प्राकृतिक संख्या $$I=\N,$$ है, तो फ़ंक्शन $$a : \N \mapsto G,$$ $$a(n) = a_n$$ द्वारा चिह्नित अनुक्रम है। प्राकृतिक संख्याओं पर अनुक्रमित एक श्रृंखला एक आदेशित औपचारिक योग है और इसलिए हम प्राकृतिक संख्याओं द्वारा प्रेरित क्रम पर जोर देने के लिए $\sum_{n \in \N}$ को $\sum_{n=0}^{\infty}$  के रूप में फिर से लिखते हैं। इस प्रकार, हम प्राकृतिक संख्याओं द्वारा अनुक्रमित एक श्रृंखला के लिए सामान्य संकेतन प्राप्त करते हैं

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots.$$गैर-ऋणात्मक संख्याओं के परिवार
जब एक परिवार का योग $$\left\{a_i : i \in I\right\}$$ गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं की, परिभाषित करें

$$\sum_{i\in I}a_i = \sup \left\{ \sum_{i\in A} a_i\, : A \subseteq I, A \text{ finite}\right\} \in [0, +\infty].$$ जब सुप्रीमम परिमित होता है तो का सेट $$i \in I$$ ऐसा है कि $$a_i > 0$$ गणनीय है। वास्तव में, प्रत्येक के लिए $$n \geq 1,$$ प्रमुखता $$\left|A_n\right|$$ सेट का $$A_n = \left\{i \in I : a_i > 1/n\right\}$$ परिमित है क्योंकि

$$\frac{1}{n} \, \left|A_n\right| = \sum_{i \in A_n} \frac{1}{n} \leq \sum_{i \in A_n} a_i \leq \sum_{i \in I} a_i < \infty.$$ यदि $$I$$ गणनीय रूप से अनंत है और इस रूप में गिना जाता है $$I = \left\{i_0, i_1, \ldots\right\}$$ तब उपरोक्त परिभाषित राशि संतुष्ट होती है

$$\sum_{i \in I} a_i = \sum_{k=0}^{+\infty} a_{i_k},$$ मूल्य प्रदान किया $$\infty$$ श्रृंखला के योग के लिए अनुमति है।

गैर-नकारात्मक वास्तविक पर किसी भी राशि को गिनती के माप के संबंध में एक गैर-नकारात्मक कार्य के अभिन्न अंग के रूप में समझा जा सकता है, जो दो निर्माणों के बीच कई समानताएं रखता है।

एबेलियन सामयिक समूह
$$a : I \to X$$ को एक मानचित्र होने दें, जिसे $$\left(a_i\right)_{i \in I},$$ से भी दर्शाया गया है, कुछ गैर-खाली सेट $$I$$ से हॉसडॉर्फ एबेलियन टोपोलॉजिकल ग्रुप $$X$$ में। $$\operatorname{Finite}(I)$$ को $$I,$$ के सभी परिमित उपसमुच्चय का संग्रह होने दें, जिसमें $$\operatorname{Finite}(I)$$ को एक निर्देशित सेट के रूप में देखा गया है, जिसे $$\,\subseteq\,$$ में शामिल किया गया है। शामिल होने के रूप में संघ के साथ। परिवार $$\left(a_i\right)_{i \in I},$$ को कहा जाता है यदि निम्नलिखित सीमा, जिसे $$\sum_{i\in I} a_i$$ द्वारा निरूपित किया जाता है और $$\left(a_i\right)_{i \in I},$$ का योग कहा जाता है, $$X$$ में मौजूद है:$$\sum_{i\in I} a_i := \lim_{A \in \operatorname{Finite}(I)} \ \sum_{i\in A} a_i = \lim \left\{\sum_{i\in A} a_i \,: A \subseteq I, A \text{ finite }\right\}$$

यह कहते हुए योग $$S := \sum_{i\in I} a_i$$ परिमित आंशिक रकम की सीमा है जिसका मतलब है कि हर पड़ोस के लिए $$V$$ मूल में $$X,$$ एक परिमित उपसमुच्चय मौजूद है $$A_0$$ का $$I$$ ऐसा है कि

$$S - \sum_{i \in A} a_i \in V \qquad \text{ for every finite superset} \; A \supseteq A_0.$$ इसलिये $$\operatorname{Finite}(I)$$ कुल आदेश नहीं है, यह आंशिक रकम के अनुक्रम की सीमा नहीं है, बल्कि नेट (गणित) की है।

$$X,$$ में उत्पत्ति के प्रत्येक पड़ोस $$W$$ के लिए, एक छोटा पड़ोस $$V$$ ऐसा है कि $$V - V \subseteq W$$ है। यह इस प्रकार है कि एक बिना शर्त योग करने योग्य परिवार $$\left(a_i\right)_{i \in I},$$ के परिमित आंशिक योग, एक बनाते हैं, जो कि प्रत्येक पड़ोस के $$W$$ में मूल के लिए है। $$X,$$ $$I$$ में से एक परिमित उपसमुच्चय $$A_0$$ का अस्तित्व है, जैसे कि

$$\sum_{i \in A_1} a_i - \sum_{i \in A_2} a_i \in W \qquad \text{ for all finite supersets } \; A_1, A_2 \supseteq A_0,$$ जिसका तात्पर्य है $$a_i \in W$$ हरएक के लिए $$i \in I \setminus A_0$$ (ले कर $$A_1 := A_0 \cup \{i\}$$ तथा $$A_2 := A_0$$).

जब $$X$$ पूर्ण हो जाता है, तो एक परिवार $$\left(a_i\right)_{i \in I}$$ बिना शर्त के $$X$$ में योग करने योग्य होता है यदि और केवल अगर परिमित राशि बाद की कॉची शुद्ध स्थिति को पूरा करती है। जब $$X$$ पूर्ण होता है और $$\left(a_i\right)_{i \in I},$$ $$X,$$में बिना शर्त योग योग्य होता है, तो प्रत्येक उपसमुच्चय $$J \subseteq I,$$ के लिए, संबंधित उपपरिवार $$\left(a_j\right)_{j \in J},$$ $$X$$में भी बिना शर्त योग योग्य होता है।

जब गैर-ऋणात्मक संख्याओं के परिवार का योग, पहले परिभाषित विस्तारित अर्थ में, परिमित है, तो यह सामयिक समूह में योग के साथ मेल खाता है $$X = \R.$$

यदि $$X$$ में एक परिवार $$\left(a_i\right)_{i \in I}$$ बिना शर्त के योग करने योग्य है, तो $$X$$ में मूल के प्रत्येक पड़ोस $$W$$ के लिए, एक परिमित उपसमुच्चय $$A_0 \subseteq I$$ है जैसे कि $$a_i \in W$$ प्रत्येक सूचकांक $$i$$ के लिए $$A_0$$ में नहीं। यदि $$X$$ प्रथम-गणनीय स्थान है तो इसका पालन होता है कि $$i \in I$$ का सेट ऐसा है कि $$a_i \neq 0$$ गणनीय है। यह एक सामान्य एबेलियन टोपोलॉजिकल समूह (नीचे उदाहरण देखें) में सच नहीं होना चाहिए।

बिना शर्त अभिसरण श्रृंखला
मान लीजिए कि $$I = \N$$। यदि एक परिवार $$a_n, n \in \N,$$ हॉसडॉर्फ एबेलियन टोपोलॉजिकल ग्रुप $$X,$$ में बिना शर्त योग योग्य है, तो सामान्य अर्थों में श्रृंखला अभिसरण करती है और इसका योग समान होता है,$$\sum_{n=0}^\infty a_n = \sum_{n \in \N} a_n.$$

स्वभावतः, बिना शर्त संकलन की परिभाषा योग के क्रम के प्रति असंवेदनशील है। जब $$\sum a_n$$ बिना किसी शर्त के योग करने योग्य होता है, तो अनुक्रमों के सेट $$\N$$ में से किसी भी क्रमचय $$\sigma : \N \to \N$$ के बाद श्रृंखला अभिसरण बनी रहती है, समान योग के साथ,

$$\sum_{n=0}^\infty a_{\sigma(n)} = \sum_{n=0}^\infty a_n.$$ इसके विपरीत, यदि किसी श्रृंखला $$\sum a_n$$ का प्रत्येक क्रमचय अभिसरण करता है, तो श्रृंखला बिना शर्त अभिसरण होती है। जब $$X$$ पूर्ण हो जाता है तो बिना शर्त अभिसरण भी इस तथ्य के समतुल्य होता है कि सभी उपश्रेणियाँ अभिसरण हैं; यदि $$X$$ एक बनच स्थान है, तो यह कहने के बराबर है कि संकेतों के प्रत्येक अनुक्रम के लिए $$\varepsilon_n = \pm 1$$, श्रृंखला

$$\sum_{n=0}^\infty \varepsilon_n a_n$$$$X$$ में अभिसरित होता है।

टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस में सीरीज
यदि $$X$$ एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (टीवीएस) है और $$\left(x_i\right)_{i \in I}$$ $$X$$ में एक (संभवत: बेशुमार) परिवार है तो यह परिवार सारांश योग्य है यदि शुद्ध $$\left(x_A\right)_{A \in \operatorname{Finite}(I)}$$ की सीमा $$\lim_{A \in \operatorname{Finite}(I)} x_A$$ $$X,$$ में मौजूद है, जहां $$\operatorname{Finite}(I)$$ $$\,\subseteq\,$$ और $x_A := \sum_{i \in A} x_i$ को शामिल करके निर्देशित $$I$$ के सभी परिमित उपसमुच्चयों का निर्देशित सेट है।

इसे पूर्णतः योग्य कहा जाता है यदि इसके अलावा, $$X,$$ पर प्रत्येक सतत सेमिनोर्म $$p$$ के लिए, कुल $$\left(p\left(x_i\right)\right)_{i \in I}$$ योग योग्य है। यदि $$X$$ एक सामान्य स्थान है और यदि $$\left(x_i\right)_{i \in I}$$ $$X,$$ में एक पूर्ण योग योग्य परिवार है, तो आवश्यक रूप से $$x_i$$ के एक गणनीय संग्रह के अलावा सभी शून्य हैं। इसलिए, आदर्श स्थानों में, आमतौर पर केवल कई शर्तों के साथ श्रृंखला पर विचार करना हमेशा आवश्यक होता है।

सारांशित परिवार परमाणु रिक्त स्थान के सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

बनच और सेमिनोर्म्ड स्थानों में श्रृंखला
श्रृंखला की धारणा को सेमीनॉर्मड स्पेस के मामले में आसानी से बढ़ाया जा सकता है। यदि $$x_n$$ एक आदर्श स्थान $$X$$ के तत्वों का एक क्रम है और यदि $$x \in X$$ है तो श्रृंखला $$\sum x_n$$ $$X$$ में $$x$$ में परिवर्तित हो जाती है यदि श्रृंखला $\left(\sum_{n=0}^N x_n\right)_{N=1}^{\infty}$ के आंशिक योग का क्रम $$X$$ में $$x$$ में परिवर्तित हो जाता है; अर्थात्,$$\left\|x - \sum_{n=0}^N x_n\right\| \to 0 \quad \text{ as } N \to \infty.$$

अधिक आम तौर पर, श्रृंखला के अभिसरण को किसी भी एबेलियन हौसडॉर्फ टोपोलॉजिकल समूह में परिभाषित किया जा सकता है। विशेष रूप से, इस मामले में, $$\sum x_n,$$ $$x$$ में अभिसरण करता है यदि आंशिक योगों का क्रम $$x$$ में परिवर्तित हो जाता है।

यदि $$(X, |\cdot|)$$ एक सेमिनोर्म्ड स्थान है, तो पूर्ण अभिसरण की धारणा बन जाती है: $$X$$ में सदिशों की श्रृंखला $\sum_{i \in I} x_i$ पूरी तरह से अभिसरण करती है

$$ \sum_{i \in I} \left|x_i\right| < +\infty$$ इस मामले में सभी लेकिन अधिक से अधिक गणनीय रूप से $$\left|x_i\right|$$ के कई मूल्य आवश्यक रूप से शून्य हैं।

यदि एक बनच स्थान में सदिशों की एक गणनीय श्रृंखला पूरी तरह से अभिसरण करती है तो यह बिना शर्त के अभिसरण करती है, लेकिन इसका विलोम केवल परिमित-आयामी बानाच रिक्त स्थान ( का प्रमेय) में होता है।

सुव्यवस्थित योग
सशर्त रूप से अभिसरण श्रृंखला पर विचार किया जा सकता है यदि $$I$$ एक सुव्यवस्थित सेट है, उदाहरण के लिए, एक क्रमिक संख्या $$\alpha_0$$। इस मामले में, ट्रांसफिनिट पुनरावर्तन द्वारा परिभाषित करें:

$$\sum_{\beta < \alpha + 1} a_\beta = a_{\alpha} + \sum_{\beta < \alpha} a_\beta$$ और एक सीमा के लिए $$\alpha,$$

$$\sum_{\beta < \alpha} a_\beta = \lim_{\gamma\to\alpha} \sum_{\beta < \gamma} a_\beta$$ यदि यह सीमा मौजूद है। यदि सभी सीमाएं मौजूद हैं $$\alpha_0,$$ फिर श्रृंखला अभिसरण करती है।

उदाहरण
\begin{cases} 0 & x\neq a, \\ f(a) & x=a, \\ \end{cases} $$ एक फ़ंक्शन जिसका समर्थन (गणित) एक सिंगलटन (गणित) है $$\{a\}.$$ फिर $$f = \sum_{a \in X}f_a$$ बिन्दुवार अभिसरण की टोपोलॉजी में (अर्थात, योग को अनंत उत्पाद समूह में लिया जाता है $$Y^X$$).
 * 1) एक समारोह दिया $$f : X \to Y$$ एक एबेलियन टोपोलॉजिकल समूह में $$Y,$$ प्रत्येक के लिए परिभाषित करें $$a \in X,$$ $$f_a(x)=
 * 1) एकता के विभाजन की परिभाषा में, एक मनमाना सूचकांक सेट पर कार्यों के योग का निर्माण करता है $$I,$$ $$ \sum_{i \in I} \varphi_i(x) = 1.$$ जबकि, औपचारिक रूप से, इसके लिए बेशुमार श्रृंखलाओं के योगों की धारणा की आवश्यकता होती है, निर्माण के द्वारा, प्रत्येक दिए गए $$x,$$ के लिए, योग में केवल बहुत से गैर-शून्य शब्द होते हैं, इसलिए ऐसी राशियों के अभिसरण के संबंध में कोई समस्या उत्पन्न नहीं होती है। वास्तव में, कोई आमतौर पर अधिक मानता है: कार्यों का परिवार स्थानीय रूप से परिमित है, अर्थात, प्रत्येक $$x$$ के लिए $$x$$ का एक पड़ोस है जिसमें कार्यों की एक सीमित संख्या के अलावा सभी गायब हो जाते हैं। $$\varphi_i,$$ की कोई भी नियमितता संपत्ति, जैसे कि निरंतरता, भिन्नता, जो परिमित राशि के तहत संरक्षित है, कार्यों के इस परिवार के किसी भी उपसंग्रह के योग के लिए संरक्षित की जाएगी।
 * 2) पहले बेशुमार अध्यादेश पर $$\omega_1$$ आदेश टोपोलॉजी, निरंतर कार्य में एक टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में देखा जाता है $$f : \left[0, \omega_1\right) \to \left[0, \omega_1\right]$$ के द्वारा दिया गया $$f(\alpha) = 1$$ संतुष्ट $$\sum_{\alpha \in [0,\omega_1)}f(\alpha) = \omega_1$$ (दूसरे शब्दों में, $$\omega_1$$ 1 की प्रतियां हैं $$\omega_1$$) केवल तभी जब कोई परिमित आंशिक योगों के बजाय सभी गणनीय आंशिक योगों पर एक सीमा लेता है। यह स्थान वियोज्य नहीं है।

यह भी देखें

 * निरंतर अंश
 * अभिसरण परीक्षण
 * अभिसरण श्रृंखला
 * अलग श्रृंखला
 * विश्लेषणात्मक कार्यों की अनंत रचनाएँ
 * अनंत अभिव्यक्ति (गणित)
 * अनंत उत्पाद
 * पुनरावृत्त बाइनरी ऑपरेशन
 * गणितीय श्रृंखला की सूची
 * उपसर्ग राशि
 * अनुक्रम परिवर्तन
 * श्रृंखला विस्तार

ग्रन्थसूची

 * Bromwich, T. J. An Introduction to the Theory of Infinite Series MacMillan & Co. 1908, revised 1926, reprinted 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.
 * Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (McGraw-Hill: New York, 1964).
 * Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (McGraw-Hill: New York, 1964).
 * Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (McGraw-Hill: New York, 1964).
 * Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (McGraw-Hill: New York, 1964).

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