सिग्मॉइड फ़ंक्शन

एक सिग्माभ फलन एक गणितीय फलन है जिसमें एक विशेषता एस-आकार का वक्र या सिग्माभ वक्र होता है।

सिग्माभ फलन का सामान्य उदाहरण तर्कगणित फलन है जो पहले चित्र में दिखाया गया है और सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है:

$$S(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} = \frac{e^x}{e^x + 1}=1-S(-x).$$

अन्य मानक सिग्माभ फलन उदाहरण अनुभाग में दिए गए हैं। कुछ क्षेत्रों में, विशेष रूप से कृत्रिम तंत्रिका नेटवर्क के संदर्भ में, सिग्माभ फलन शब्द का उपयोग तर्कगणित फलन के लिए उपनाम के रूप में किया जाता है।

सिग्माभ फलन के विशेष स्थितियों में गोम्पर्ट्ज़ वक्र (मॉडलिंग प्रणाली में उपयोग किया जाता है जो x के बड़े मानों पर संतृप्त होते है) और ओगी वक्र (कुछ बांधों के अधिप्लव मार्ग में उपयोग किया जाता है) सम्मिलित हैं। सिग्माभ फलनों में सभी वास्तविक संख्याओं का प्रांत होता है, पुनरावृत्ति (प्रतिक्रिया) मान के साथ सामान्यतः एकदिष्‍ट रूप से बढ़ता है परन्तु घट सकता है। सिग्माभ फलनों प्रायः 0 से 1 की सीमा में पुनरावृत्ति मान (y अक्ष) दिखाते हैं। एक और सामान्यतः उपयोग की जाने वाली सीमा -1 से 1 तक होती है।

कृत्रिम न्यूरॉन के सक्रियण फलन के रूप में तर्कगणित और अतिपरवलय स्पर्शरेखीय फलनों सहित सिग्माभ फलनों की एक विस्तृत विविधता का उपयोग किया गया है। सिग्माभ वक्र आँकड़ों में संचयी बंटन फलनों (जो 0 से 1 तक जाते हैं) के रूप में भी सामान्य हैं, जैसे कि तर्कगणित घनत्व के अभिन्न अंग, सामान्य घनत्व और छात्र का t संचय घनत्व फलन। तर्कगणित सिग्माभ फलन व्युत्क्रमणीय है, और इसका व्युत्क्रम लॉजिट फलन है।

परिभाषा
सिग्माभ फलन एक परिबद्ध फलन, विभेदक, वास्तविक फलन है जो सभी वास्तविक निविष्ट मानों के लिए परिभाषित किया गया है और प्रत्येक बिंदु पर एक गैर-ऋणात्मक व्युत्पन्न है और ठीक एक नतिपरिवर्तन बिंदु है। सिग्माभ फलन और सिग्माभ वक्र एक ही वस्तु को संदर्भित करते हैं।

गुण
सामान्यतः, एक सिग्माभ फलन एकदिष्ट फलन होता है, और इसका पहला व्युत्पन्न होता है जो घंटाकार फलन होता है। इसके विपरीत, किसी भी निरंतर, गैर-ऋणात्मक, घंटाकार फलन (एक स्थानीय अधिकतम और कोई स्थानीय न्यूनतम, जब तक पतित न हो) सिग्माभी होगा। इस प्रकार कई सामान्य संचय बंटन के लिए संचयी बंटन फलन सिग्माभी हैं। ऐसा ही एक उदाहरण त्रुटि फलन है, जो सामान्य बंटन के संचयी बंटन फलन से संबंधित है; दूसरा चाप स्पर्शरेखा फलन है, जो कॉची बंटन के संचयी बंटन फलन से संबंधित है।

सिग्माभ फलन क्षैतिज स्पर्शोन्मुख की एक युग्म द्वारा $$x \rightarrow \pm \infty$$ के रूप में व्यवरूद्ध है।

सिग्माभ फलन किसी विशेष बिंदु से कम मानों के लिए उन्मुख फलन है, और यह उस बिंदु से अधिक मानों के लिए अवमुख फलन है: यहां कई उदाहरणों में, वह बिंदु 0 है।

उदाहरण
* तर्कगणित फलन $$ f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} $$ {\displaystyle \left( \int_0^1 \left(1 - u^2\right)^N du \right)^{-1} \int_0^x \left( 1 - u^2 \right)^N \ du}, & |x| \le 1 \\ \\ \sgn(x) & |x| \ge 1 \\ \end{cases} \quad N \in \mathbb{Z} \ge 1 $$ $$\begin{align}f(x) &= \begin{cases} {\displaystyle \frac{2}{1+e^{2n\frac{x}{(x+1)(x-1)}}} - 1}, n=2 & |x| < 1 \\ \\ \sgn(x) & |x| \ge 1 \\ \end{cases} \\ &= \begin{cases} {\displaystyle \tanh\left(n\frac{x}{1-x^2}\right)}, n=2 & |x| < 1 \\ \\ \sgn(x) & |x| \ge 1 \\ \end{cases}\end{align}$$ ऊपर उल्लिखित अतिपरवलय स्पर्शरेखीय का उपयोग कर रहा है।
 * अतिपरवलय स्पर्शरेखीय (उपरोक्त तर्कगणित फलन का स्थानांतरित और सोपानी किया गया संस्करण) $$ f(x) = \tanh x = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} $$
 * चाप स्पर्शरेखा फलन $$ f(x) = \arctan x $$
 * गुडरमैनियन फलन $$ f(x) = \operatorname{gd}(x) = \int_0^x \frac{dt}{\cosh t} = 2\arctan\left(\tanh\left(\frac{x}{2}\right)\right) $$
 * त्रुटि फलन $$ f(x) = \operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2} \, dt $$
 * सामान्यीकृत तर्कगणित फलन $$ f(x) = \left(1 + e^{-x} \right)^{-\alpha}, \quad \alpha > 0 $$
 * मृदु चरण फलन $$ f(x) = \begin{cases}
 * कुछ बीजगणितीय फलन, उदाहरण के लिए $$ f(x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} $$
 * और अधिक सामान्य रूप में $$ f(x) = \frac{x}{\left(1 + |x|^{k}\right)^{1/k}} $$
 * शिफ्ट और सोपानी तक, कई सिग्माभ$$ f(x) = \varphi(\varphi(x, \beta), \alpha), $$की विशेष स्थिति हैं जहां$$ \varphi(x, \lambda) = \begin{cases} (1 - \lambda x)^{1/\lambda} & \lambda \ne 0 \\e^{-x} & \lambda = 0 \\ \end{cases} $$ऋणात्मक शक्ति परिवर्तन का व्युत्क्रम है, और $$\alpha < 1$$ और $$\beta < 1$$ आकार पैरामीटर हैं।
 * समतल अंतर्वेशन को (-1,1) के लिए सामान्यीकृत किया गया है और $$n$$ शून्य पर प्रवणता है:

अनुप्रयोग
कई प्राकृतिक प्रक्रियाएं, जैसे कि जटिल प्रणाली अधिगमन वक्र, लघु प्रारम्भ से प्रगति प्रदर्शित करती हैं जो समय के साथ एक चरमोत्कर्ष को गति देती है और पहुंचती है। जब एक विशिष्ट गणितीय मॉडल की कमी होती है, तो सिग्माभ फलन का उपयोग प्रायः किया जाता है।

वैन जेनुचटेन-गुप्ता मॉडल एक प्रतिलोमित एस-वक्र पर आधारित है और मृदा लवणता के लिए फसल की उपज की प्रतिक्रिया पर लागू होते है।

कृषि में मॉडलिंग फसल प्रतिक्रिया में मृदा लवणता और मृदा में भौम जलस्तर की गहराई दोनों के लिए फसल उपज (गेहूं) की प्रतिक्रिया के लिए तर्कगणित एस-वक्र के अनुप्रयोग के उदाहरण दिखाए गए हैं।

कृत्रिम तंत्रिका नेटवर्क में, दक्षता के अतिरिक्त कभी-कभी गैर-मृदु फलनों का उपयोग किया जाता है; इन्हें जटिल सिग्माभ के रूप में जाना जाता है।

श्रव्य संकेत प्रक्रमण में, सिग्माभ फलनों का उपयोग अनुरूप परिपथिकी कर्तन (श्रव्य) की ध्वनि का अनुकरण करने के लिए तरंग संरूपित्र स्थानांतरण प्रफलन के रूप में किया जाता है।

जीव रसायन और औषध विज्ञान में, हिल समीकरण (जैव रसायन) और हिल-लैंगमुइर समीकरण सिग्माभ फलन हैं।

कंप्यूटर आलेख और वास्तविक समय प्रतिपादन में, कुछ सिग्माभ फलनों का उपयोग रंगों या ज्यामिति को दो मानों के बीच सुचारू रूप से और प्रत्यक्ष सन्धि या असंततता के बिना मिश्रित करने के लिए किया जाता है।

पीएच पैमाने की लघुगणकीय प्रकृति के कारण प्रबल अम्ल और प्रबल आधारों के बीच अनुमापन वक्र सिग्माभ आकार के होते है।

प्रकार 3 का उपयोग करके तर्कगणित फलन की कुशलता से गणना की जा सकती है।

यह भी देखें

 * चरण फलन
 * संकेत फलन
 * हैविसाइड चरण फलन
 * तर्कगणित प्रतिक्रमण
 * लॉजिट
 * निष्कोण फलन
 * सोबोलेवा संशोधित अतिपरवलय स्पर्शरेखीय
 * निष्कोण अधिकतम फलन
 * स्विश फलन
 * वीबुल बंटन
 * फर्मी-डिराक सांख्यिकी

अग्रिम पठन

 * . (NB. In particular see "Chapter 4: Artificial Neural Networks" (in particular pp. 96–97) where Mitchell uses the word "logistic function" and the "sigmoid function" synonymously – this function he also calls the "squashing function" – and the sigmoid (aka logistic) function is used to compress the outputs of the "neurons" in multi-layer neural nets.)
 * (NB. Properties of the sigmoid, including how it can shift along axes and how its domain may be transformed.)