द्विसदिश

गणित में, एक बायवेक्टर या 2-वेक्टर बाहरी बीजगणित  या  ज्यामितीय बीजगणित  में एक मात्रा है जो स्केलर (गणित) और  यूक्लिडियन वेक्टर  के विचार को बढ़ाता है। यदि एक अदिश को डिग्री-शून्य मात्रा माना जाता है, और एक वेक्टर एक डिग्री-एक मात्रा है, तो एक द्विभाजक को डिग्री दो के रूप में माना जा सकता है। गणित और भौतिकी के कई क्षेत्रों में बायवेक्टर के अनुप्रयोग हैं। वे दो आयामों में  जटिल संख्या ओं से और तीन आयामों में छद्मवेक्टर और चतुर्धातुक दोनों से संबंधित हैं। उनका उपयोग किसी भी आयाम में  रोटेशन (गणित)  उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है, और ऐसे घूर्णन को वर्गीकृत करने के लिए एक उपयोगी उपकरण है। उनका उपयोग भौतिकी में भी किया जाता है, जो कई अन्य असंबंधित मात्राओं को एक साथ जोड़ते हैं।

वैक्टर पर बाहरी उत्पाद  द्वारा बायवेक्टर उत्पन्न होते हैं: दो वैक्टर ए और बी दिए गए, उनके बाहरी उत्पाद a ∧ b एक द्विभाजक है, जैसा कि किसी भी द्विभाजक का योग है। सभी बायवेक्टरों को एक बाहरी उत्पाद के रूप में उत्पन्न नहीं किया जा सकता है। अधिक सटीक रूप से, एक बाइवेक्टर जिसे बाहरी उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, सरल कहलाता है; तीन आयामों तक सभी द्विभाजक सरल होते हैं, लेकिन उच्च आयामों में ऐसा नहीं होता है। दो सदिशों का बाह्य गुणनफल बहुरेखीय मानचित्र का प्रत्यावर्ती गुणन है, इसलिए b ∧ a बाइवेक्टर का निषेध है a ∧ b, विपरीत दिशा का निर्माण, और a ∧ a शून्य बाइवेक्टर है।

ज्यामितीय रूप से, एक साधारण बायवेक्टर को एक उन्मुख विमान (ज्यामिति) खंड के रूप में व्याख्या किया जा सकता है, जितना कि यूक्लिडियन वैक्टर को निर्देशित रेखा खंड ों के रूप में माना जा सकता है। बाइवेक्टर a ∧ b किनारों 'ए' और 'बी' के साथ समांतरोग्राम के क्षेत्र के बराबर एक परिमाण (गणित) है, 'ए' और 'बी' द्वारा फैला हुआ विमान का रवैया (ज्यामिति) है, और अभिविन्यास का अर्थ है रोटेशन जो 'ए' को 'बी' के साथ संरेखित करेगा।

आम शब्दों में, कोई भी सतह एक ही द्विभाजक होती है, यदि उसका क्षेत्रफल समान है, और एक ही तल के समानांतर है (आकृति देखें)।

इतिहास
बाइवेक्टर को पहली बार 1844 में जर्मन गणितज्ञ हरमन ग्रासमैन  द्वारा बाहरी बीजगणित में बाहरी बीजगणित # औपचारिक परिभाषाओं और दो वैक्टरों के बीजगणितीय गुणों के परिणाम के रूप में परिभाषित किया गया था। अभी पिछले साल, आयरलैंड में,  विलियम रोवन हैमिल्टन  ने चतुष्कोणों की खोज की थी। हैमिल्टन ने वेक्टर और बाइवेक्टर दोनों को गढ़ा, बाद में अपने लेक्चर्स ऑन  quaternions  (1853) में उन्होंने बाइ biquaternion  को पेश किया, जिसमें उनके वेक्टर भागों के लिए  बाइवेक्टर (जटिल)  हैं। यह तब तक नहीं था जब तक कि 1888 में अंग्रेजी गणितज्ञ  विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड  ने ग्रासमैन के बीजगणित में ज्यामितीय उत्पाद को जोड़ा, हैमिल्टन और ग्रासमान दोनों के विचारों को शामिल किया, और  क्लिफर्ड बीजगणित  की स्थापना की, कि इस लेख के बायवेक्टर का उदय हुआ।  हेनरी फोर्डर  ने 1941 में बाहरी बीजगणित विकसित करने के लिए बाइवेक्टर शब्द का इस्तेमाल किया। 1890 के दशक में योशिय्याह विलार्ड गिब्स  और  ओलिवर हीविसाइड  ने सदिश कैलकुलस विकसित किया, जिसमें अलग-अलग क्रॉस उत्पाद और  डॉट उत्पाद  शामिल थे जो चतुर्धातुक गुणन से प्राप्त हुए थे।   वेक्टर कैलकुलस और गिब्स और  एडविन बिडवेल विल्सन  की पुस्तक  वेक्टर विश्लेषण  की सफलता का प्रभाव था कि हैमिल्टन और क्लिफोर्ड की अंतर्दृष्टि को लंबे समय तक अनदेखा किया गया था, क्योंकि 20वीं शताब्दी के अधिकांश गणित और भौतिकी वेक्टर शब्दों में तैयार किए गए थे। गिब्स ने तीन आयामों में बायवेक्टर की भूमिका को भरने के लिए वैक्टर का इस्तेमाल किया, और हैमिल्टन के अर्थ में बाइवेक्टर (कॉम्प्लेक्स) का इस्तेमाल किया, एक ऐसा प्रयोग जिसे कभी-कभी कॉपी किया गया है। आज बाइवेक्टर का व्यापक रूप से ज्यामितीय बीजगणित में एक विषय के रूप में अध्ययन किया जाता है, वास्तविक संख्या  पर क्लिफर्ड बीजगणित या  द्विघात रूप  के साथ जटिल संख्या वेक्टर रिक्त स्थान। इसके पुनरुत्थान का नेतृत्व  डेविड हेस्टेन्स  ने किया, जिन्होंने अन्य लोगों के साथ, भौतिकी में कई नए अनुप्रयोगों के लिए ज्यामितीय बीजगणित लागू किया।

व्युत्पत्ति
इस लेख के लिए बायवेक्टर को केवल वास्तविक ज्यामितीय बीजगणित में माना जाएगा। यह व्यवहार में बहुत अधिक प्रतिबंध नहीं है, क्योंकि सभी उपयोगी अनुप्रयोग ऐसे बीजगणित से लिए गए हैं। साथ ही जब तक अन्यथा न कहा जाए, सभी उदाहरणों में एक मीट्रिक टेन्सर #यूक्लिडियन मीट्रिक और इसलिए एक सकारात्मक-निश्चित द्विघात रूप है।

ज्यामितीय बीजगणित और ज्यामितीय गुणनफल
द्विभाजक ज्यामितीय बीजगणित की परिभाषा से उत्पन्न होता है# परिभाषा और सदिश स्थान पर अंकन। वैक्टर ए, बी और सी के लिए, वैक्टर पर ज्यामितीय उत्पाद निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

साहचर्य: $$ (\mathbf{ab})\mathbf{c} = \mathbf{a}(\mathbf{bc}) $$ बाएँ और दाएँ वितरण : $$\begin{align} \mathbf{a}(\mathbf{b} + \mathbf{c}) &= \mathbf{ab} + \mathbf{ac} \\ (\mathbf{b} + \mathbf{c})\mathbf{a} &= \mathbf{ba} + \mathbf{ca} \end{align}$$
 * सिकुड़न: $$ {\mathbf{a}}^2 = Q(\mathbf{a}) = \epsilon_{\mathbf{a}}{\left |\mathbf{a}\right|}^2$$ जहाँ Q द्विघात रूप है, |'a'| 'ए' और . का मानदंड (गणित)  हैa  मीट्रिक हस्ताक्षर  है। यूक्लिडियन मीट्रिक . वाले स्थान के लिएa 1 है इसलिए छोड़ा जा सकता है, और संकुचन की स्थिति बन जाती है: $$ {\mathbf{a}}^2 = {\left |\mathbf{a}\right|}^2$$

स्केलर उत्पाद
साहचर्य से,, एक अदिश काल b. जब b समांतर नहीं है और इसलिए a का अदिश गुणज नहीं है, ab एक अदिश नहीं हो सकता। परंतु


 * $$ \frac{1}{2}(\mathbf{ab} + \mathbf{ba}) = \frac{1}{2} \left((\mathbf{a} + \mathbf{b})^2 - \mathbf{a}^2 - \mathbf{b}^2\right)$$

अदिशों का योग है और इसलिए अदिश है। सदिशों द्वारा बने त्रिभुज पर कोसाइन के नियम से इसका मान है $|a|$ $|b|$ cos θ, जहां θ सदिशों के बीच का कोण है। इसलिए यह दो सदिशों के बीच अदिश गुणनफल के समान है, और उसी तरह लिखा जाता है,


 * $$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \frac{1}{2}(\mathbf{ab} + \mathbf{ba}).$$

यह सममित, अदिश-मूल्यवान है, और इसका उपयोग दो सदिशों के बीच के कोण को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है: विशेष रूप से यदि a और b ओर्थोगोनल हैं तो गुणनफल शून्य होता है।

बाहरी उत्पाद
जिस तरह स्केलर उत्पाद को किसी अन्य मात्रा के ज्यामितीय उत्पाद के सममित भाग के रूप में तैयार किया जा सकता है, बाहरी उत्पाद (कभी-कभी पच्चर या प्रगतिशील उत्पाद के रूप में जाना जाता है) को इसके वैकल्पिककरण के रूप में तैयार किया जा सकता है:


 * $$ \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = \frac{1}{2}(\mathbf{ab} - \mathbf{ba})$$

यह ए और बी. में एंटीसिमेट्रिक है
 * $$ \mathbf{b} \wedge \mathbf{a} = \frac{1}{2}(\mathbf{ba} - \mathbf{ab}) = -\frac{1}{2}(\mathbf{ab} - \mathbf{ba}) = -\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}$$

और इसके अलावा:


 * $$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = \frac{1}{2}(\mathbf{ab} + \mathbf{ba}) + \frac{1}{2}(\mathbf{ab} - \mathbf{ba}) = \mathbf{ab}$$

यही है, ज्यामितीय उत्पाद सममित स्केलर उत्पाद और वैकल्पिक बाहरी उत्पाद का योग है।

की प्रकृति का परीक्षण करना a ∧ b, सूत्र पर विचार करें
 * $$(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 - (\mathbf{a} \wedge \mathbf{b})^2 = \mathbf{a}^2\mathbf{b}^2 ,$$

जो पाइथागोरस त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करके का मान देता है (a ∧ b)2
 * $$ (\mathbf{a} \wedge \mathbf{b})^2 = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 - \mathbf{a}^2\mathbf{b}^2 = \left|\mathbf{a}\right|^2\left|\mathbf{b}\right|^2( \cos^2 \theta - 1) = -\left|\mathbf{a}\right|^2\left|\mathbf{b}\right|^2\sin^2 \theta$$

एक ऋणात्मक वर्ग के साथ यह एक अदिश या सदिश राशि नहीं हो सकती है, इसलिए यह एक नए प्रकार की वस्तु, एक द्विभाजक है। इसमें परिमाण (गणित)  है $|a|$ $|b||$ $|sin θ||$, जहां θ सदिशों के बीच का कोण है, और ऐसा ही समांतर सदिशों के लिए शून्य है।

उन्हें सदिशों से अलग करने के लिए, द्विभाजकों को बोल्ड कैपिटल के साथ यहां लिखा गया है, उदाहरण के लिए:


 * $$\mathbf{A} = \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = -\mathbf{b} \wedge \mathbf{a} \ ,$$

हालाँकि अन्य परिपाटियों का उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से क्योंकि सदिश और द्विभाजक ज्यामितीय बीजगणित के दोनों तत्व हैं।

अंतरिक्ष ⋀2आर एन
ज्यामितीय उत्पाद द्वारा उत्पन्न बीजगणित सदिश स्थान पर ज्यामितीय बीजगणित है। एक यूक्लिडियन सदिश समष्टि के लिए इसे लिखा जाता है $$\mathcal{G}_n$$ या क्लूn(आर), जहां 'एन' सदिश स्थान आर का आयाम हैएन. क्लोरीनn(आर) आर में वैक्टर के बीच सभी उत्पादों द्वारा उत्पन्न एक वेक्टर अंतरिक्ष और बीजगणित दोनों हैn, इसलिए इसमें सभी सदिश और द्विभाजक शामिल हैं। अधिक सटीक रूप से एक सदिश स्थान के रूप में इसमें रैखिक उप-स्थानों के रूप में वैक्टर और बायवेक्टर होते हैं, हालांकि उप-बीजगणित नहीं (चूंकि दो वैक्टरों का ज्यामितीय उत्पाद आम तौर पर एक और वेक्टर नहीं होता है)। सभी द्विभाजक का स्थान. लिखा जाता है2Rएन.

सम सबलजेब्रा
बाइवेक्टर द्वारा उत्पन्न सबलजेब्रा ज्यामितीय बीजगणित का सम सबलजेब्रा है, जिसे सीएल लिखा गया है$+ n$(आर)। यह बीजगणित ज्यामितीय उत्पाद द्वारा उत्पन्न स्केलर और बायवेक्टर के सभी उत्पादों पर विचार करने का परिणाम है। इसका आयाम है 2n−1, और इसमें ⋀ शामिल है2आर n आयाम के साथ एक रेखीय उपसमष्टि के रूप में $1⁄2$n(n − 1) ( त्रिकोणीय संख्या )। दो और तीन आयामों में सम उप-बीजगणित में केवल अदिश और द्विभाजक होते हैं, और प्रत्येक विशेष रुचि का होता है। दो आयामों में सम उप-बीजगणित जटिल संख्याओं के समरूपी  है, सी, जबकि तीन में यह चतुर्धातुक के लिए समरूप है, एच। अधिक सामान्यतः सम उप-बीजगणित का उपयोग किसी भी आयाम में रोटेशन (गणित) उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है, और इसे उत्पन्न किया जा सकता है बीजगणित में द्विभाजक द्वारा।

परिमाण
जैसा कि पिछले खंड में उल्लेख किया गया है कि एक साधारण बाइवेक्टर का परिमाण, जो कि दो वैक्टर ए और बी का बाहरी उत्पाद है, है $|a|$ $|b|$ sin θ, जहां θ सदिशों के बीच का कोण है। यह लिखा है $|B|$, जहाँ B द्विभाजक है।

सामान्य द्विभाजक के लिए परिमाण की गणना अंतरिक्ष में एक वेक्टर के रूप में माने जाने वाले द्विभाजक की यूक्लिडियन दूरी  को लेकर की जा सकती है2आर एन. यदि परिमाण शून्य है तो सभी बाइवेक्टर के घटक शून्य हैं, और बायवेक्टर शून्य बायवेक्टर है जो ज्यामितीय बीजगणित के एक तत्व के रूप में स्केलर शून्य के बराबर है।

यूनिट बाइवेक्टर्स
एक इकाई द्विभाजक एक इकाई परिमाण के साथ एक है। यह द्विभाजक को उसके परिमाण द्वारा विभाजित करके किसी भी गैर-शून्य द्विभाजक से प्राप्त किया जा सकता है, अर्थात


 * $$\frac{\mathbf{B}}{\left|\mathbf{B}\right|}.$$

विशेष रुचि के मानक आधार  के उत्पादों से बने यूनिट बाइवेक्टर हैं। अगर ईi और ईj अलग-अलग आधार वैक्टर हैं तो उत्पाद  ei ∧ ej एक बायवेक्टर है। चूंकि वैक्टर ऑर्थोगोनल हैं, यह सिर्फ ई हैiej, लिखित ईij, इकाई परिमाण के साथ क्योंकि वैक्टर इकाई वैक्टर हैं। ऐसे सभी द्विभाजकों का सेट ⋀ के लिए आधार बनाता है2आर एन. उदाहरण के लिए चार आयामों में. का आधार2आर 4 है (ई1e2, तथा1e3, तथा1e4, तथा2e3, तथा2e4, तथा3e4) या (ई12, तथा13, तथा14, तथा23, तथा24, तथा34).

सरल द्विभाजक
दो वैक्टरों का बाहरी उत्पाद एक बायवेक्टर है, लेकिन सभी बायवेक्टर दो वैक्टरों के बाहरी उत्पाद नहीं हैं। उदाहरण के लिए, चार आयामों में बाइवेक्टर


 * $$ \mathbf{B} = \mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3 \wedge \mathbf{e}_4 = \mathbf{e}_1\mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3\mathbf{e}_4 = \mathbf{e}_{12} + \mathbf{e}_{34}$$

दो वैक्टर के बाहरी उत्पाद के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। एक द्विभाजक जिसे दो सदिशों के बाह्य गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है, सरल है। दो और तीन आयामों में सभी द्विभाजक सरल होते हैं, लेकिन चार या अधिक आयामों में नहीं; चार आयामों में प्रत्येक बायवेक्टर अधिकतम दो बाहरी उत्पादों का योग होता है। एक द्विभाजक का एक वास्तविक वर्ग होता है यदि और केवल यदि यह सरल है, और केवल साधारण द्विभाजक को एक उन्मुख समतल क्षेत्र द्वारा ज्यामितीय रूप से दर्शाया जा सकता है।

दो बाइवेक्टरों का गुणनफल
दो बायवेक्टर, ए और बी का ज्यामितीय उत्पाद है


 * $$ \mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} + \mathbf{A} \times \mathbf{B}  + \mathbf{A} \wedge \mathbf{B}.  $$

मात्रा A · B अदिश-मूल्यवान अदिश उत्पाद है, जबकि A ∧ B ग्रेड 4 बाहरी उत्पाद है जो चार या अधिक आयामों में उत्पन्न होता है। मात्रा A × B द्वारा दिया गया बाइवेक्टर-वैल्यू कम्यूटेटर  उत्पाद है

बाइवेक्टर्स का स्थान ⋀2Rn 'R' के ऊपर एक लाई बीजगणित है, जिसमें कम्यूटेटर उत्पाद लाई ब्रैकेट के रूप में है। द्विभाजक का पूर्ण ज्यामितीय गुणनफल सम उप-बीजगणित उत्पन्न करता है।
 * $$ \mathbf{A} \times \mathbf{B} = \frac{1}{2}(\mathbf{AB} - \mathbf{BA}),$$

विशेष रूप से रुचि स्वयं के साथ एक बायवेक्टर का उत्पाद है। चूंकि कम्यूटेटर उत्पाद एंटीसिमेट्रिक है, इसलिए उत्पाद को सरल करता है


 * $$ \mathbf{A}\mathbf{A} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A} + \mathbf{A} \wedge \mathbf{A}. $$

यदि बायवेक्टर सरल है तो अंतिम शब्द शून्य है और उत्पाद स्केलर-वैल्यू है A · A, जिसका उपयोग सरलता के लिए जाँच के रूप में किया जा सकता है। विशेष रूप से बाइवेक्टर्स का बाहरी उत्पाद केवल चार या अधिक आयामों में मौजूद होता है, इसलिए दो और तीन आयामों में सभी बायवेक्टर सरल होते हैं।

सामान्य द्विभाजक और आव्यूह
बायवेक्टर तिरछा-सममित मैट्रिक्स  के लिए आइसोमॉर्फिक हैं। तिरछा-सममित मैट्रिक्स; सामान्य बायवेक्टर B23e23 + B31e31 + B12e12 मैट्रिक्स के लिए मानचित्र


 * $$M_B = \begin{pmatrix} 0 & B_{12} & -B_{31} \\ -B_{12} & 0 & B_{23}\\ B_{31} & -B_{23} & 0  \end{pmatrix}.$$

यह दोनों पक्षों पर वैक्टर द्वारा गुणा किया जाता है, वही वेक्टर देता है जो वेक्टर के उत्पाद के रूप में होता है और बाइवेक्टर माइनस बाहरी उत्पाद होता है; एक उदाहरण कोणीय वेग टेन्सर है।

तिरछा सममित मैट्रिक्स घातीय मानचित्र के माध्यम से निर्धारक 1 के साथ ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स  उत्पन्न करता है। विशेष रूप से, एक रोटेशन से जुड़े बायवेक्टर का एक्सपोनेंट एक  रोटेशन मैट्रिक्स  है, जो कि रोटेशन मैट्रिक्स एम हैR उपरोक्त तिरछा-सममित मैट्रिक्स द्वारा दिया गया है


 * $$M_R = e^{M_B}.$$

M. द्वारा वर्णित घूर्णनR रोटर आर द्वारा वर्णित के समान है


 * $$ R = e^{\frac{B}{2}},$$

और मैट्रिक्स एमR सीधे रोटर आर से भी गणना की जा सकती है:


 * $$M_R = \begin{pmatrix} (R\mathbf{e}_1R^{-1}) \cdot \mathbf{e}_1 & (R\mathbf{e}_2R^{-1}) \cdot \mathbf{e}_1 & (R\mathbf{e}_3R^{-1}) \cdot \mathbf{e}_1 \\ (R\mathbf{e}_1R^{-1}) \cdot \mathbf{e}_2 & (R\mathbf{e}_2R^{-1}) \cdot \mathbf{e}_2 & (R\mathbf{e}_3R^{-1}) \cdot \mathbf{e}_2 \\ (R\mathbf{e}_1R^{-1}) \cdot \mathbf{e}_3 & (R\mathbf{e}_2R^{-1}) \cdot \mathbf{e}_3 & (R\mathbf{e}_3R^{-1}) \cdot \mathbf{e}_3 \end{pmatrix}.$$

बायवेक्टर एक रोटेशन मैट्रिक्स के eigenvalue s ​​​​से संबंधित हैं। एक रोटेशन मैट्रिक्स एम को देखते हुए आइगेनवैल्यू की गणना उस मैट्रिक्स के लिए विशेषता बहुपद # विशेषता समीकरण को हल करके की जा सकती है 0 = det(M − λI). बीजगणित के मूल प्रमेय के अनुसार इसकी तीन जड़ें होती हैं (जिनमें से केवल एक ही वास्तविक है क्योंकि केवल एक eigenvector है, यानी रोटेशन की धुरी)। अन्य जड़ें एक जटिल संयुग्मी जोड़ी होनी चाहिए। उनके पास इकाई परिमाण इतना विशुद्ध रूप से काल्पनिक लघुगणक है, जो रोटेशन से जुड़े द्विभाजक के परिमाण के बराबर है, जो कि रोटेशन का कोण भी है। जटिल eigenvalues ​​​​के साथ जुड़े eigenvectors द्विभाजक के विमान में हैं, इसलिए दो गैर-समानांतर eigenvectors के बाहरी उत्पाद का परिणाम bivector (या उसके एक गुणक) में होता है।

दो आयाम
ज्यामितीय बीजगणित में निर्देशांक के साथ काम करते समय आधार वैक्टर  को लिखना सामान्य होता है (ई1, तथा2, ...), एक सम्मेलन जिसका उपयोग यहां किया जाएगा।

वास्तविक द्वि-आयामी अंतरिक्ष में एक यूक्लिडियन वेक्टर R2 लिखा जा सकता है, जहाँ एक1 और एक2 वास्तविक संख्याएँ हैं, ई1 और ई2 ऑर्थोनॉर्मल  आधार वैक्टर हैं। ऐसे दो सदिशों का ज्यामितीय गुणनफल है


 * $$ \begin{align} \mathbf{a}\mathbf{b} &= (a_1\mathbf{e}_1 + a_2\mathbf{e}_2)(b_1\mathbf{e}_1 + b_2\mathbf{e}_2) \\&= a_1b_1\mathbf{e}_1\mathbf{e}_1 + a_1b_2\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2 + a_2b_1\mathbf{e}_2\mathbf{e}_1 + a_2b_2\mathbf{e}_2\mathbf{e}_2 \\&= a_1b_1 + a_2b_2 + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2. \end{align}$$

इसे सममित, अदिश-मूल्यवान, अदिश उत्पाद और एक एंटीसिमेट्रिक, बायवेक्टर-मूल्यवान बाहरी उत्पाद में विभाजित किया जा सकता है:


 * $$\begin{align} \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} &= a_1b_1 + a_2b_2, \\ \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} &= (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2 = (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{e}_{12}. \end{align}$$

दो आयामों में सभी द्विभाजक इस रूप के होते हैं, जो द्विभाजक ई के गुणक होते हैं1e2, लिखित ई12 इस पर जोर देना एक वेक्टर के बजाय एक द्विभाजक है। ई. का परिमाण12 1 है, साथ


 * $$\mathbf{e}_{12}^2 = -1, $$

इसलिए इसे यूनिट बायिवेक्टर कहा जाता है। शब्द इकाई द्विभाजक का उपयोग अन्य आयामों में किया जा सकता है लेकिन यह केवल दो आयामों में विशिष्ट रूप से परिभाषित (एक संकेत तक) है और सभी द्विभाजक ई के गुणक हैं12. बीजगणित के उच्चतम ग्रेड तत्व के रूप में e12 स्यूडोस्केलर (क्लिफर्ड बीजगणित) भी है जिसे प्रतीक i दिया गया है।

जटिल संख्या
नकारात्मक वर्ग और इकाई परिमाण के गुणों के साथ, यूनिट बाइवेक्टर को जटिल संख्याओं से काल्पनिक इकाई  के साथ पहचाना जा सकता है। द्विभाजक और अदिश मिलकर ज्यामितीय बीजगणित का सम उप बीजगणित बनाते हैं, जो सम्मिश्र संख्या C के लिए समरूप है। सम उप बीजगणित का आधार (1, e) है।12), पूरे बीजगणित का आधार (1, e .) होता है1, तथा2, तथा12)

जटिल संख्याओं को आमतौर पर कार्टेशियन समन्वय प्रणाली और द्वि-आयामी वैक्टर के साथ पहचाना जाता है, जिसका अर्थ है कि उन्हें ज्यामितीय बीजगणित के वेक्टर तत्वों के साथ जोड़ना होगा। इसमें कोई विरोधाभास नहीं है, क्योंकि एक सामान्य वेक्टर से एक जटिल संख्या तक पहुंचने के लिए एक अक्ष को वास्तविक अक्ष के रूप में पहचाना जाना चाहिए, ई1 कहो। यह सभी सदिशों द्वारा गुणा करके सम उप-बीजगणित के तत्व उत्पन्न करता है।

सम्मिश्र संख्याओं के सभी गुण द्विभाजक से प्राप्त किए जा सकते हैं, लेकिन दो विशेष रुचि के हैं। पहले के रूप में द्विभाजक के जटिल संख्या उत्पादों के साथ और इसलिए भी उप-बीजगणित कम्यूटिव हैं। यह केवल दो आयामों में सच है, इसलिए दो आयामों में द्विभाजक के गुण जो विनिमेय िटी पर निर्भर करते हैं, आमतौर पर उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत नहीं होते हैं।

दूसरा एक सामान्य बायवेक्टर लिखा जा सकता है


 * $$\theta\mathbf{e}_{12} = i\theta,$$

जहाँ एक वास्तविक संख्या है। घातांक फलन के लिए इसे टेलर श्रृंखला  में रखना और 'e' गुण का उपयोग करना122 = -1 का परिणाम यूलर के सूत्र के बायवेक्टर संस्करण में होता है,


 * $$e^{\theta\mathbf{e}_{12}} = e^{i\theta} = \cos{\theta} + i\sin{\theta},$$

जो जब किसी सदिश से गुणा किया जाता है तो मूल के बारे में कोण θ के माध्यम से इसे घुमाता है:


 * $$ (x'\mathbf{e}_1 + y'\mathbf{e}_2) = (x\mathbf{e}_1 + y\mathbf{e}_2)e^{i\theta}.$$

दो आयामों में एक बायवेक्टर के साथ एक वेक्टर का उत्पाद प्रतिकम्यूटेटिव  है, इसलिए निम्नलिखित उत्पाद सभी एक ही रोटेशन उत्पन्न करते हैं


 * $$ \mathbf{v}' = \mathbf{v}e^{i\theta}  = e^{-i\theta}\mathbf{v} = e^{\frac{-i\theta}{2}} \mathbf{v}e^{\frac{i\theta}{2}}.$$

इनमें से अंतिम उत्पाद वह है जो उच्च आयामों में सामान्यीकृत होता है। आवश्यक मात्रा को रोटर (गणित)  कहा जाता है और इसे प्रतीक R दिया जाता है, इसलिए दो आयामों में एक रोटर जो कोण θ से घूमता है, लिखा जा सकता है


 * $$ R = e^{\frac{-i\theta}{2}} = e^{\frac{-\theta\mathbf{e}_{12}}{2}}, $$

और यह जो घुमाव उत्पन्न करता है वह है
 * $$\mathbf{v}' = R\mathbf{v}R^{-1}.\,$$

तीन आयाम
तीन विमाओं में दो सदिशों का गुणोत्तर गुणनफल होता है
 * $$ \begin{align} \mathbf{ab} &= (a_1\mathbf{e}_1 + a_2\mathbf{e}_2 + a_3\mathbf{e}_3)(b_1\mathbf{e}_1 + b_2\mathbf{e}_2 + b_3\mathbf{e}_3) \\ &= a_1 b_1{\mathbf{e}_1}^2 + a_2 b_2{\mathbf{e}_2}^2 + a_3 b_3{\mathbf{e}_3}^2 + (a_2 b_3 - a_3 b_2)\mathbf{e}_2\mathbf{e}_3  + (a_3 b_1 - a_1 b_3)\mathbf{e}_3\mathbf{e}_1 + (a_1 b_2 - a_2 b_1)\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2. \end{align}$$

इसे सममित, अदिश-मूल्यवान, अदिश उत्पाद और एंटीसिमेट्रिक, बाइवेक्टर-मूल्यवान, बाहरी उत्पाद में विभाजित किया जा सकता है:


 * $$\begin{align} \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} &= a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \\ \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} &= (a_2 b_3 - a_3 b_2)\mathbf{e}_{23} + (a_3 b_1 - a_1 b_3)\mathbf{e}_{31} + (a_1 b_2 - a_2 b_1)\mathbf{e}_{12}. \end{align}$$

तीन आयामों में सभी द्विभाजक सरल हैं और इसलिए बाहरी उत्पाद का नतीजा है। यूनिट बायवेक्टर ई23, तथा31 और ई12 बाइवेक्टर्स के स्थान के लिए एक आधार बनाएं ⋀2R3, जो अपने आप में एक त्रि-आयामी रैखिक स्थान है। तो अगर एक सामान्य बायवेक्टर है:


 * $$\mathbf{A} = A_{23}\mathbf{e}_{23} + A_{31}\mathbf{e}_{31} + A_{12}\mathbf{e}_{12}, $$

उन्हें वैक्टर की तरह जोड़ा जा सकता है


 * $$\mathbf{A} + \mathbf{B} = (A_{23} + B_{23})\mathbf{e}_{23} + (A_{31} + B_{31})\mathbf{e}_{31} + (A_{12} + B_{12})\mathbf{e}_{12}. $$

जब गुणा किया जाता है तो वे निम्नलिखित का उत्पादन करते हैं


 * $$\mathbf{A} \mathbf{B} = -A_{23}B_{23} - A_{31}B_{31} - A_{12}B_{12} + (A_{12}B_{31} - A_{31}B_{12})\mathbf{e}_{23} + (A_{23}B_{12} - A_{12}B_{23})\mathbf{e}_{31} + (A_{31}B_{23} - A_{23}B_{31})\mathbf{e}_{12} $$

जिसे सममित स्केलर और एंटीसिमेट्रिक बायवेक्टर भागों में निम्नानुसार विभाजित किया जा सकता है


 * $$\begin{align} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} &= -A_{12}B_{12} - A_{31}B_{31} - A_{23}B_{23} \\ \mathbf{A} \times \mathbf{B} &= (A_{23}B_{31} - A_{31}B_{23})\mathbf{e}_{12} + (A_{12}B_{23} - A_{23}B_{12})\mathbf{e}_{13} + (A_{31}B_{12} - A_{12}B_{31})\mathbf{e}_{23}. \end{align}$$

तीन आयामों में दो द्विभाजक का बाह्य गुणनफल शून्य होता है।

एक द्विभाजक B को उसके परिमाण और एक इकाई द्विभाजक के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए |B| के लिए β लिखा जा सकता है। और घातांक मानचित्र के लिए टेलर श्रृंखला का उपयोग करके यह दिखाया जा सकता है कि


 * $$e^\mathbf{B} = e^{\beta\frac{\mathbf{B}}{\beta}} = \cos{\beta} + \frac{\mathbf{B}}{\beta}\sin{\beta}.$$

यह यूलर के सूत्र का एक और संस्करण है, लेकिन तीन आयामों में एक सामान्य बाइवेक्टर के साथ। दो आयामों के विपरीत द्विभाजक क्रमविनिमेय नहीं होते हैं इसलिए क्रमविनिमेयता पर निर्भर गुण तीन आयामों में लागू नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, सामान्य तौर पर eA+B ≠ eAeB तीन (या अधिक) आयामों में। तीन आयामों में पूर्ण ज्यामितीय बीजगणित, सीएल3(आर), आधार है (1, ई1, तथा2, तथा3, तथा23, तथा31, तथा12, तथा123) तत्व ई123 ज्यामिति के लिए एक ट्राइवेक्टर और स्यूडोस्केलर  है। तीन आयामों में बायवेक्टरों को कभी-कभी स्यूडोवैक्टरों के साथ पहचाना जाता है जिससे वे संबंधित हैं, #अक्षीय वैक्टर के रूप में।

चतुष्कोण
जियोमेट्रिक उत्पाद के तहत बायवेक्टर बंद नहीं होते हैं, लेकिन यहां तक ​​​​कि सबलजेब्रा भी है। तीन आयामों में इसमें ज्यामितीय बीजगणित के सभी अदिश और द्विभाजक तत्व होते हैं, इसलिए एक सामान्य तत्व को उदाहरण के लिए a + 'A' लिखा जा सकता है, जहाँ a अदिश भाग है और 'A' द्विभाजक भाग है। Cl' लिखा है$+ 3$ और इसका आधार है (1, e23, तथा31, तथा12) सम उप-बीजगणित के दो सामान्य तत्वों का गुणनफल होता है


 * $$(a + \mathbf{A})(b + \mathbf{B}) = ab + a\mathbf{B} + b\mathbf{A} + \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} + \mathbf{A} \times \mathbf{B}.$$

सम सबलजेब्रा, यानी बीजगणित जिसमें स्केलर और बाइवेक्टर होते हैं, चतुष्कोणों, एच के लिए आइसोमोर्फिक है। इसे क्वाटरनियन आधार के आधार की तुलना करके या उपरोक्त उत्पाद से देखा जा सकता है, जो क्वाटरनियन उत्पाद के समान है, को छोड़कर बायवेक्टर स्केलर उत्पाद में नकारात्मक उत्पादों से संबंधित संकेत का परिवर्तन A · B. अन्य चतुर्धातुक गुण समान रूप से ज्यामितीय बीजगणित से संबंधित या व्युत्पन्न हो सकते हैं।

इससे पता चलता है कि एक चतुर्भुज का अदिश और सदिश भागों में सामान्य विभाजन को अदिश और द्विभाजक भागों में विभाजन के रूप में बेहतर ढंग से दर्शाया जाएगा; यदि ऐसा किया जाता है तो चतुर्धातुक गुणनफल केवल ज्यामितीय गुणनफल होता है। यह तीन आयामों में चतुर्भुजों को दो में जटिल संख्याओं से भी संबंधित करता है, क्योंकि प्रत्येक आयाम के लिए सम उप-बीजगणित के लिए समरूप है, एक संबंध जो उच्च आयामों को सामान्यीकृत करता है।

रोटेशन वेक्टर
रोटेशन वेक्टर, रोटेशन के अक्ष - कोण  प्रतिनिधित्व से, तीन आयामों में रोटेशन का प्रतिनिधित्व करने का एक कॉम्पैक्ट तरीका है। अपने सबसे कॉम्पैक्ट रूप में, इसमें एक वेक्टर होता है, एक यूनिट वेक्टर ω का उत्पाद जो रोटेशन के (हस्ताक्षरित) कोण के साथ रोटेशन की धुरी है, ताकि समग्र रोटेशन वेक्टर θω का परिमाण (अहस्ताक्षरित) के बराबर हो वर्तन कोण।

रोटेशन से जुड़ा चतुर्धातुक है


 * $$q = \left(\cos\left(\frac{\theta}{2}\right), \omega \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)$$

ज्यामितीय बीजगणित में घुमाव को द्विभाजक द्वारा दर्शाया जाता है। इसे चतुष्कोणों के संबंध में देखा जा सकता है। चलो Ω रोटेशन के विमान में एक यूनिट बाइवेक्टर बनें, और θ को रोटेशन के कोण होने दें। फिर रोटेशन बाइवेक्टर Ωθ है। चतुष्कोणीय द्विभाजक Ωθ के आधे के घातांक के साथ निकटता से मेल खाता है। यही है, चतुर्धातुक के घटक निम्नलिखित अभिव्यक्ति के अदिश और द्विभाजक भागों के अनुरूप हैं: $$e^{\frac{\Omega\theta}{2}} = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + \Omega\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) $$ घातांक को इसकी शक्ति श्रृंखला के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है, और इस तथ्य का उपयोग करके आसानी से मूल्यांकन किया जा सकता है कि वर्ग -1 है।

तो घुमावों को द्विभाजक द्वारा दर्शाया जा सकता है। जैसे चतुर्भुज ज्यामितीय बीजगणित के तत्व हैं, वे उस बीजगणित में घातीय मानचित्र से संबंधित हैं।

रोटर्स
द्विभाजक θ घातांक मानचित्र के माध्यम से एक घूर्णन उत्पन्न करता है। सम तत्व उत्पन्न एक सामान्य वेक्टर को तीन आयामों में उसी तरह घुमाते हैं जैसे कि चतुर्धातुक: $$\mathbf{v}' = e^{-\frac{\boldsymbol{\Omega}\theta}{2}}\mathbf{v}e^{\frac{\boldsymbol{\Omega}\theta}{2}}.$$ दो आयामों के रूप में, मात्रा ई-Ωθ/2 को रोटर (गणित) कहा जाता है और इसे R लिखा जाता है। मात्रा ईΩθ/2 फिर आर है-1, और वे घुमाव उत्पन्न करते हैं यह दो आयामों के समान है, सिवाय इसके कि रोटर चतुष्कोणों के लिए चार-आयामी वस्तुएं आइसोमॉर्फिक हैं। यह सभी आयामों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, रोटर्स के साथ, यूनिट परिमाण के साथ सम सबलजेब्रा के तत्व, बायवेक्टरों से घातीय मानचित्र द्वारा उत्पन्न किया जा रहा है। वे रोटेशन समूह पर एक  डबल कवरिंग ग्रुप  बनाते हैं, इसलिए रोटर्स आर और -आर एक ही रोटेशन का प्रतिनिधित्व करते हैं।

अक्षीय वैक्टर
रोटेशन वेक्टर एक अक्षीय वेक्टर का एक उदाहरण है। अक्षीय वैक्टर, या स्यूडोवेक्टर, विशेष विशेषता वाले वैक्टर हैं कि उनके निर्देशांक सामान्य वैक्टर (जिसे ध्रुवीय वैक्टर भी कहा जाता है) के सापेक्ष एक संकेत परिवर्तन से गुजरते हैं, मूल के माध्यम से उलटा, एक विमान में प्रतिबिंब, या अन्य अभिविन्यास-रिवर्सिंग रैखिक परिवर्तन। उदाहरणों में टोक़, कोणीय गति  और वेक्टर  चुंबकीय क्षेत्र  जैसी मात्राएँ शामिल हैं। सदिश बीजगणित में अक्षीय वैक्टर का उपयोग करने वाली मात्राएँ ज्यामितीय बीजगणित में द्विभाजकों द्वारा ठीक से प्रदर्शित की जाती हैं। अधिक सटीक रूप से, यदि एक अंतर्निहित अभिविन्यास चुना जाता है, तो अक्षीय वैक्टर सामान्य वैक्टर के साथ स्वाभाविक रूप से पहचाने जाते हैं; हॉज दोहरे # त्रि-आयामी उदाहरण तब अक्षीय वैक्टर और द्विवार्षिक के बीच समरूपता देता है, इसलिए प्रत्येक अक्षीय वेक्टर एक बायवेक्टर और इसके विपरीत जुड़ा होता है; वह है


 * $$\mathbf{A} = * \mathbf{a} \,,\quad \mathbf{a} = * \mathbf{A}$$

जहां ∗ हॉज दोहरे को इंगित करता है। ध्यान दें कि यदि अंतर्निहित अभिविन्यास मूल के माध्यम से व्युत्क्रम द्वारा उलटा हो जाता है, तो सामान्य वैक्टर और हॉज दोहरे परिवर्तन चिह्न के साथ अक्षीय वैक्टर की पहचान दोनों, लेकिन बाइवेक्टर हिलते नहीं हैं। वैकल्पिक रूप से, स्यूडोस्केलर (क्लिफर्ड बीजगणित)#Cl में स्यूडोस्केलर यूनिट का उपयोग करना3(आर), i = e1e2e3 देता है


 * $$\mathbf{A} = \mathbf{a}i \,,\quad \mathbf{a} = - \mathbf{A} i. $$

इसका उपयोग करना आसान है क्योंकि उत्पाद केवल ज्यामितीय उत्पाद है। लेकिन यह एंटीसिमेट्रिक है क्योंकि (दो आयामों के रूप में) यूनिट स्यूडोस्केलर i वर्ग -1 है, इसलिए उत्पादों में से एक में नकारात्मक की आवश्यकता है।

यह संबंध सदिश-मूल्यवान क्रॉस उत्पाद और बाइवेक्टर-मूल्यवान बाहरी उत्पाद जैसे संचालन तक फैला हुआ है, जब निर्धारक के रूप में लिखा जाता है तो उनकी गणना उसी तरह की जाती है:


 * $$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \mathbf{e}_3\\a_1 & a_2 & a_3\\b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} \,,\quad \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{e}_{23} & \mathbf{e}_{31} & \mathbf{e}_{12}\\a_1 & a_2 & a_3\\b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}\ ,$$

तो हॉज डुअल से संबंधित हैं:


 * $${* (\mathbf a \wedge \mathbf b )} = \mathbf {a \times b} \,,\quad {* (\mathbf {a \times b} )} = \mathbf a \wedge \mathbf b . $$

अक्षीय सदिशों की तुलना में बाइवेक्टरों के कई लाभ हैं। वे अक्षीय और ध्रुवीय सदिशों को बेहतर ढंग से अलग करते हैं, जो कि उनके द्वारा दर्शाई गई मात्राएँ हैं, इसलिए यह स्पष्ट है कि कौन से संचालन की अनुमति है और उनके परिणाम क्या हैं। उदाहरण के लिए, एक ध्रुवीय वेक्टर के आंतरिक उत्पाद और ट्रिपल उत्पाद  में क्रॉस उत्पाद से उत्पन्न एक अक्षीय वेक्टर का परिणाम स्यूडोस्केलर में होना चाहिए, एक परिणाम जो अधिक स्पष्ट है यदि गणना को वेक्टर और बाइवेक्टर के बाहरी उत्पाद के रूप में तैयार किया जाता है। वे अन्य आयामों के लिए सामान्यीकरण करते हैं; विशेष रूप से बायवेक्टर का उपयोग दो और साथ ही तीन आयामों में टोक़ और कोणीय गति जैसी मात्राओं का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है। इसके अलावा, वे कई तरह से ज्यामितीय अंतर्ज्ञान से मेल खाते हैं, जैसा कि अगले भाग में देखा गया है।

ज्यामितीय व्याख्या
जैसा कि उनके और बीजगणित के नाम से पता चलता है, द्विभाजक के आकर्षण में से एक यह है कि उनके पास एक प्राकृतिक ज्यामितीय व्याख्या है। यह किसी भी आयाम में वर्णित किया जा सकता है लेकिन तीन में सबसे अच्छा किया जाता है जहां उच्च आयामों पर लागू होने से पहले अधिक परिचित वस्तुओं के साथ समानताएं खींची जा सकती हैं। दो आयामों में ज्यामितीय व्याख्या तुच्छ है, क्योंकि अंतरिक्ष द्वि-आयामी है, इसलिए इसमें केवल एक ही तल है, और सभी द्विभाजक इसके साथ जुड़े हुए हैं जो केवल एक पैमाने कारक से भिन्न होते हैं।

सभी द्विभाजकों को विमान (ज्यामिति) के रूप में व्याख्या किया जा सकता है, या अधिक सटीक रूप से निर्देशित विमान खंडों के रूप में। तीन आयामों में एक बायवेक्टर के तीन गुण होते हैं जिन्हें ज्यामितीय रूप से व्याख्या किया जा सकता है:
 * अंतरिक्ष में विमान की व्यवस्था, विमान के सटीक दृष्टिकोण (ज्यामिति) (या वैकल्पिक रूप से रोटेशन (गणित), ओरिएंटेशन (ज्यामिति) या विमान के ढाल ), बायवेक्टर घटकों के अनुपात से जुड़ा हुआ है। विशेष रूप से तीन आधार बायवेक्टर, ई23, तथा31 और ई12, या उनमें से अदिश गुणज क्रमशः yz-प्लेन, zx-प्लेन और xy-प्लेन से जुड़े होते हैं।
 * द्विभाजक का परिमाण (गणित) समतल खंड के क्षेत्र फल से जुड़ा होता है। क्षेत्र का कोई विशेष आकार नहीं है इसलिए किसी भी आकार का उपयोग किया जा सकता है। इसे अन्य तरीकों से भी दर्शाया जा सकता है, जैसे कि कोणीय माप द्वारा। लेकिन अगर वैक्टर की व्याख्या लंबाई के रूप में की जाती है, तो आमतौर पर बायवेक्टर की व्याख्या समान इकाइयों वाले क्षेत्र के रूप में की जाती है, जैसा कि निम्नानुसार है।
 * एक यूक्लिडियन वेक्टर की दिशा की तरह एक बायवेक्टर से जुड़े एक विमान में विमान में एक दिशा, एक परिसंचरण या घूर्णन की भावना होती है, जो विमान में नहीं देखने के दृष्टिकोण से देखे जाने पर दक्षिणावर्त और वामावर्त  के रूप में देखे जाने वाले दो मान लेता है। यह द्विभाजक में संकेत के परिवर्तन के साथ जुड़ा हुआ है, अर्थात यदि दिशा उलट जाती है तो द्विभाजक नकारा जाता है। वैकल्पिक रूप से यदि दो द्विभाजक का दृष्टिकोण और परिमाण समान लेकिन विपरीत दिशाएं हैं तो एक दूसरे का ऋणात्मक है।
 * यदि एक समांतर चतुर्भुज के रूप में कल्पना की जाती है, जिसकी उत्पत्ति 0 पर वैक्टर के लिए होती है, तो हस्ताक्षरित क्षेत्र वैक्टर के कार्टेशियन निर्देशांक के निर्धारक#2.C2.A0.C3.97.C2.A02 मैट्रिक्स है (ax by − bxay).

तीन आयामों में सभी बायवेक्टर दो वैक्टर के बाहरी उत्पाद द्वारा उत्पन्न किए जा सकते हैं। अगर बायवेक्टर B = a ∧ b तो B का परिमाण है


 * $$\left|\mathbf{B}\right| = \left|\mathbf{a}\right|\left|\mathbf{b}\right|\sin{\theta},$$

जहाँ सदिशों के बीच का कोण है। यह 'a' और 'b' किनारों वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। एक व्याख्या यह है कि क्षेत्र 'बी' से बह जाता है क्योंकि यह 'ए' के ​​साथ चलता है। बाहरी उत्पाद एंटीसिमेट्रिक है, इसलिए 'ए' और 'बी' के क्रम को उलटने से 'ए' को 'बी' के साथ ले जाने के लिए विपरीत दिशा के साथ एक द्विभाजक में परिणाम होता है जो कि पहले का नकारात्मक है। बायवेक्टर का विमान a ∧ b इसमें ए और बी दोनों शामिल हैं इसलिए वे दोनों विमान के समानांतर हैं।

बायवेक्टर और अक्षीय वैक्टर हॉज दोहरे # त्रि-आयामी उदाहरण से संबंधित हैं। एक वास्तविक सदिश स्थान में हॉज दोहरी एक उप-स्थान को अपने ऑर्थोगोनल पूरक  से संबंधित करता है, इसलिए यदि एक बायवेक्टर को एक विमान द्वारा दर्शाया जाता है तो इसके साथ जुड़े अक्षीय सदिश केवल विमान की  सतह सामान्य  है। विमान में दो मानक होते हैं, प्रत्येक तरफ एक, विमान और बायवेक्टर के लिए दो संभावित अभिविन्यास (ज्यामिति) देता है।

यह क्रॉस उत्पाद को बाहरी उत्पाद से संबंधित करता है। इसका उपयोग भौतिक मात्राओं, जैसे टोक़ और कोणीय गति का प्रतिनिधित्व करने के लिए भी किया जा सकता है। वेक्टर बीजगणित में वे आमतौर पर वैक्टर द्वारा दर्शाए जाते हैं, बल के विमान के लंबवत, रैखिक गति या विस्थापन जिससे उनकी गणना की जाती है। लेकिन अगर इसके बजाय एक बाइवेक्टर का उपयोग किया जाता है, तो प्लेन बाइवेक्टर का प्लेन है, इसलिए मात्राओं और जिस तरह से वे कार्य करते हैं, उसका प्रतिनिधित्व करने का एक अधिक प्राकृतिक तरीका है। यह सदिश प्रतिनिधित्व के विपरीत भी अन्य आयामों में सामान्यीकरण करता है।

दो बायवेक्टरों के उत्पाद की ज्यामितीय व्याख्या है। गैर-शून्य बाइवेक्टर ए और बी के लिए उत्पाद को सममित और एंटीसिमेट्रिक भागों में विभाजित किया जा सकता है:


 * $$ \mathbf{AB} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} + \mathbf{A} \times \mathbf{B}.$$

सदिशों की भाँति इनमें भी परिमाण होते हैं $|A · B|$ = $|A|$ $|B|$ cos θ तथा $|A × B|$ = $|A|$ $|B|$ sin θ, जहां θ समतलों के बीच का कोण है। तीन आयामों में यह विमानों के दोहरे सामान्य वैक्टरों के बीच के कोण के समान है, और यह कुछ हद तक उच्च आयामों में सामान्यीकरण करता है।

क्षेत्रों के रूप में बीवेटर्स को एक साथ जोड़ा जा सकता है। तीन आयामों में दो गैर-शून्य द्विभाजक बी और सी को देखते हुए हमेशा एक वेक्टर ढूंढना संभव होता है जो दोनों में निहित होता है, इसलिए द्विभाजक को बाहरी उत्पादों के रूप में लिखा जा सकता है जिसमें शामिल हैं:


 * $$\begin{align}\mathbf{B} &= \mathbf{a} \wedge \mathbf{b}\\ \mathbf{C} &= \mathbf{a} \wedge \mathbf{c}\end{align}$$

इसे ज्यामितीय रूप से समझा जा सकता है जैसा कि आरेख में देखा गया है: दो क्षेत्रों का योग एक तिहाई देता है, तीन क्षेत्रों के साथ एक प्रिज्म (ज्यामिति)  के चेहरे बनाते हैं जिसमें ए, बी, सी और b + c किनारों के रूप में। यह बाहरी उत्पाद की वितरणता का उपयोग करके क्षेत्र की गणना करने के दो तरीकों से मेल खाता है:


 * $$ \begin{align} \mathbf{B} + \mathbf{C} &= \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} + \mathbf{a} \wedge \mathbf{c} \\ &= \mathbf{a} \wedge (\mathbf{b} + \mathbf{c}).\end{align}$$

यह केवल तीन आयामों में काम करता है क्योंकि यह एकमात्र आयाम है जहां दोनों बायवेक्टरों के समानांतर एक वेक्टर मौजूद होना चाहिए। उच्च आयामों में द्विभाजक आम तौर पर एक ही विमान से जुड़े नहीं होते हैं, या यदि वे (सरल द्विभाजक) हैं तो दो द्विभाजकों में कोई सदिश सामान्य नहीं हो सकता है, और इसलिए एक गैर-साधारण द्विभाजक के योग।

चार आयाम
चार आयामों में अंतरिक्ष के लिए आधार तत्व ⋀2R4 द्विभाजक हैं (e12, तथा13, तथा14, तथा23, तथा24, तथा34), इसलिए एक सामान्य बायवेक्टर फॉर्म का है


 * $$ \mathbf{A} = a_{12}\mathbf{e}_{12} + a_{13}\mathbf{e}_{13} + a_{14}\mathbf{e}_{14} + a_{23}\mathbf{e}_{23} + a_{24}\mathbf{e}_{24} + a_{34}\mathbf{e}_{34}.$$

ऑर्थोगोनलिटी
चार आयामों में एक बाइवेक्टर का हॉज डुअल एक बाइवेक्टर है, और स्पेस ⋀2R4 स्वयं से द्वैत है। सामान्य वैक्टर अद्वितीय नहीं हैं, इसके बजाय प्रत्येक विमान अपने हॉज दोहरे स्थान में सभी वैक्टरों के लिए ऑर्थोगोनल है। इसका उपयोग बाइवेक्टरों को दो 'हिस्सों' में विभाजित करने के लिए निम्न तरीके से किया जा सकता है। हमारे पास ऑर्थोगोनल बायवेक्टर के तीन जोड़े हैं: (ई12, तथा34), (तथा13, तथा24) और (ई14, तथा23). पहले दो जोड़ियों में से प्रत्येक में से एक बाइवेक्टर चुनने के चार अलग-अलग तरीके हैं, और एक बार जब इन पहले दो को चुना जाता है तो दूसरी जोड़ी से तीसरा बाइवेक्टर प्राप्त होता है। उदाहरण के लिए, (ई12, तथा13, तथा14) और (ई23, तथा24, तथा34).

4D
में सरल द्विभाजक आर में वैक्टर के बाहरी उत्पाद द्वारा चार आयामों में बाइवेक्टर उत्पन्न होते हैं4, लेकिन R. से एक महत्वपूर्ण अंतर के साथ3 और आर 2. चार आयामों में सभी द्विभाजक सरल नहीं होते हैं। बाइवेक्टर हैं जैसे e12 + e34 जो दो सदिशों के बाह्य उत्पाद द्वारा उत्पन्न नहीं किया जा सकता है। इसका यह भी अर्थ है कि उनके पास वास्तविक, यानी अदिश, वर्ग नहीं है। इस मामले में


 * $$(\mathbf{e}_{12} + \mathbf{e}_{34})^2 =\mathbf{e}_{12} \mathbf{e}_{12} + \mathbf{e}_{12} \mathbf{e}_{34} + \mathbf{e}_{34} \mathbf{e}_{12} + \mathbf{e}_{34} \mathbf{e}_{34} = -2 + 2 \mathbf{e}_{1234}.$$

तत्व ई1234 Cl में स्यूडोस्केलर है4, अदिश से भिन्न है, इसलिए वर्ग अदिश है।

अधिकतम दो बाहरी उत्पादों और चार वैक्टरों का उपयोग करके चार आयामों में सभी बायवेक्टर उत्पन्न किए जा सकते हैं। उपरोक्त बाइवेक्टर के रूप में लिखा जा सकता है


 * $$\mathbf{e}_{12} + \mathbf{e}_{34} = \mathbf{e}_{1} \wedge \mathbf{e}_{2} + \mathbf{e}_{3} \wedge \mathbf{e}_{4}.$$

इसी तरह, प्रत्येक द्विभाजक को दो साधारण द्विभाजकों के योग के रूप में लिखा जा सकता है। इसके लिए दो ऑर्थोगोनल बाइवेक्टर चुनना उपयोगी होता है, और ऐसा करना हमेशा संभव होता है। इसके अलावा, एक सामान्य बायवेक्टर के लिए साधारण बायवेक्टर का विकल्प अद्वितीय है, अर्थात, ऑर्थोगोनल बायवेक्टर में विघटित होने का केवल एक ही तरीका है; एकमात्र अपवाद तब होता है जब दो ऑर्थोगोनल द्विभाजकों का परिमाण समान होता है (जैसा कि उपरोक्त उदाहरण में है): इस मामले में अपघटन अद्वितीय नहीं है। सरल बायवेक्टर के मामले में अपघटन हमेशा अद्वितीय होता है, अतिरिक्त बोनस के साथ कि ऑर्थोगोनल भागों में से एक शून्य है।

आर में घूर्णन4
जैसा कि तीन आयामों में चार आयामों में बायवेक्टर घातीय मानचित्र के माध्यम से घुमाव उत्पन्न करते हैं, और सभी घुमाव इस तरह से उत्पन्न किए जा सकते हैं। जैसे तीन आयामों में यदि B एक द्विभाजक है तो रोटर R e हैB/2 और घुमाव एक ही तरह से उत्पन्न होते हैं:


 * $$v' = RvR^{-1}.\,$$

हालांकि उत्पन्न घुमाव अधिक जटिल हैं। उन्हें निम्नानुसार वर्गीकृत किया जा सकता है:
 * SO(4)#सरल घुमाव घुमाव वे हैं जो एक विमान को 4D में ठीक करते हैं, और इस विमान के बारे में एक कोण से घुमाते हैं।
 * SO(4)#डबल रोटेशन रोटेशन में केवल एक निश्चित बिंदु, मूल होता है, और दो कोणों के माध्यम से दो ऑर्थोगोनल विमानों के माध्यम से घूमता है। आम तौर पर कोण अलग होते हैं और विमान विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट होते हैं
 * SO(4)#आइसोक्लिनिक घुमाव घुमाव दोहरे घुमाव होते हैं जहां रोटेशन के कोण बराबर होते हैं। इस मामले में जिन तलों के बारे में घूर्णन हो रहा है वे अद्वितीय नहीं हैं।

ये बायवेक्टर्स द्वारा सीधे तरीके से उत्पन्न होते हैं। साधारण घुमाव साधारण बायवेक्टर द्वारा उत्पन्न होते हैं, फिक्स्ड प्लेन के साथ बाइवेक्टर के प्लेन के लिए डुअल या ऑर्थोगोनल। बायवेक्टर के तल में उस तल के बारे में घूर्णन कहा जा सकता है। अन्य सभी द्विभाजक दोहरे घुमाव उत्पन्न करते हैं, घूर्णन के दो कोणों के साथ गैर-साधारण द्विभाजक दो सरल द्विभाजकों के परिमाण के बराबर होते हैं। जब ये परिमाण समान होते हैं, तो आइसोकलिनिक घुमाव उत्पन्न होते हैं, इस मामले में दो साधारण बायवेक्टरों में अपघटन अद्वितीय नहीं होता है। सामान्य रूप से द्विभाजक कम्यूट नहीं करते हैं, लेकिन एक अपवाद ऑर्थोगोनल द्विभाजक और उनके प्रतिपादक हैं। तो अगर बायवेक्टर, जहां बी1 और बी2 ऑर्थोगोनल सरल बायवेक्टर हैं, इसका उपयोग एक रोटेशन उत्पन्न करने के लिए किया जाता है जो इसे दो सरल घुमावों में विघटित करता है जो निम्नानुसार है:


 * $$ R = e^{\frac{\mathbf{B}_1 + \mathbf{B}_2}{2}} = e^{\frac{\mathbf{B}_1}{2}}e^{\frac{\mathbf{B}_2}{2}} = e^{\frac{\mathbf{B}_2}{2}}e^{\frac{\mathbf{B}_1}{2}}$$

ऐसा करना हमेशा संभव है क्योंकि सभी वैक्टरों को ऑर्थोगोनल वैक्टरों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

अंतरिक्ष समय रोटेशन
स्पेसटाइम हमारे ब्रह्मांड के लिए एक गणितीय मॉडल है जिसका उपयोग विशेष सापेक्षता में किया जाता है। इसमें तीन यूक्लिडियन अंतरिक्ष  आयाम और भौतिकी आयाम में एक बार एक चार-आयामी अंतरिक्ष में संयुक्त होते हैं। यह स्वाभाविक रूप से ज्यामितीय बीजगणित और बायवेक्टरों का उपयोग करके वर्णित किया गया है,  यूक्लिडियन मीट्रिक  को  मिंकोव्स्की मीट्रिक  द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है। वह बीजगणित यूक्लिडियन अंतरिक्ष के समान है, सिवाय इसके कि मीट्रिक हस्ताक्षर बदल दिया गया है, इसलिए


 * $$ {\mathbf{e}_i}^2 = \begin{cases} 1, & i = 1, 2, 3 \\  -1, & i = 4 \end{cases} $$

(ध्यान दें कि उपरोक्त क्रम और सूचकांक सार्वभौमिक नहीं हैं - यहां ई4 समय जैसा आयाम है)। ज्यामितीय बीजगणित Cl. है3,1(आर), और बायवेक्टर का उप-स्थान ⋀ है2आर 3,1.

साधारण द्विभाजक दो प्रकार के होते हैं। साधारण बायवेक्टर ई23, तथा31 और ई12 ऋणात्मक वर्ग हैं और यूक्लिडियन अंतरिक्ष, R. के अनुरूप त्रि-आयामी उप-स्थान के द्विभाजक हैं 3। ये द्विभाजक आर में साधारण घुमाव उत्पन्न करते हैं 3।

साधारण बायवेक्टर ई14, तथा24 और ई34 सकारात्मक वर्ग हैं और जैसे ही विमान एक अंतरिक्ष आयाम और समय आयाम फैलाते हैं। ये घातांक मानचित्र के माध्यम से भी घुमाव उत्पन्न करते हैं, लेकिन त्रिकोणमितीय कार्यों के बजाय, अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों की आवश्यकता होती है, जो निम्नानुसार एक रोटर उत्पन्न करता है:


 * $$e^{\frac{\boldsymbol{\Omega}\theta}{2}} = \cosh\left(\frac{\theta}{2}\right) + \boldsymbol{\Omega}\sinh\left(\frac{\theta}{2}\right), $$

जहां द्विभाजक है ('ई'14, आदि), आर के एक एंटीसिमेट्रिक रैखिक परिवर्तन के साथ मीट्रिक के माध्यम से पहचाना गया3,1. ये लोरेंत्ज़ रूपांतरण हैं # किसी भी दिशा में बढ़ावा, एक विशेष रूप से कॉम्पैक्ट तरीके से व्यक्त किया गया है, उसी तरह के बीजगणित का उपयोग करके जैसा कि आर में है3 और आर 4.

सामान्य तौर पर सभी स्पेसटाइम रोटेशन बायवेक्टर से घातीय मानचित्र के माध्यम से उत्पन्न होते हैं, अर्थात, बायवेक्टर ए द्वारा उत्पन्न एक सामान्य रोटर फॉर्म का होता है


 * $$R = e^{\frac{\mathbf{A}}{2}}.$$

स्पेसटाइम में सभी घुमावों का सेट लोरेंत्ज़ समूह  बनाता है, और उनमें से विशेष सापेक्षता के अधिकांश परिणाम निकाले जा सकते हैं। आम तौर पर यह दिखाता है कि यूक्लिडियन स्पेस और स्पेसटाइम में सभी परिवर्तनों को एक ही तरह के बीजगणित का उपयोग करके कैसे वर्णित किया जा सकता है।

मैक्सवेल के समीकरण
(नोट: इस खंड में पारंपरिक 3-वैक्टर को प्रतीकों और स्पेसटाइम वेक्टर और बायवेक्टर के ऊपर की रेखाओं द्वारा बोल्ड प्रतीकों द्वारा दर्शाया गया है, वेक्टर जे और ए के साथ अपरकेस में असाधारण रूप से)

मैक्सवेल के समीकरणों का उपयोग भौतिकी में विद्युत क्षेत्र  और चुंबकीय क्षेत्र क्षेत्रों के बीच संबंधों का वर्णन करने के लिए किया जाता है। आम तौर पर चार अंतर समीकरणों के रूप में दिए जाने पर उनके पास एक विशेष रूप से कॉम्पैक्ट रूप होता है जब फ़ील्ड को से स्पेसटाइम बायवेक्टर के रूप में व्यक्त किया जाता है।2आर 3,1. यदि R. में विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र3 हैं $\overline{E}$ तथा $\overline{B}$ तब विद्युत चुम्बकीय द्विभाजक है


 * $$ \mathbf{F} = \frac{1}{c}\overline{E}\mathbf{e}_4 + \overline{B}\mathbf{e}_{123},$$

जहां ई4 समय जैसे आयाम के लिए फिर से आधार सदिश है और c प्रकाश की गति है। उत्पाद $\overline{B}$e123 हॉज ड्यूल टू बाईवेक्टर उत्पन्न करता है $\overline{B}$ तीन आयामों में, #अक्षीय सदिशों के रूप में, जबकि $\overline{E}$e4 ऑर्थोगोनल वैक्टर के उत्पाद के रूप में भी बाइवेक्टर-वैल्यू है। समग्र रूप से यह विद्युतचुंबकीय टेंसर  है जो एक द्विभाजक के रूप में अधिक सघन रूप से व्यक्त किया जाता है, और इसका उपयोग निम्नानुसार किया जाता है। सबसे पहले यह  4-वर्तमान  J से संबंधित है, जो द्वारा दी गई एक सदिश राशि है


 * $$ \mathbf{J} = \overline{j} + c\rho\mathbf{e}_4,$$

कहाँ पे $\overline{j}$ वर्तमान घनत्व  है और ρ आवेश घनत्व है। वे एक अंतर ऑपरेटर ∂ से संबंधित हैं, जो है


 * $$\partial = \nabla - \mathbf{e}_4\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}.$$

ऑपरेटर ∇ ज्यामितीय बीजगणित में एक विभेदक ऑपरेटर है, जो अंतरिक्ष आयामों पर कार्य करता है और इसके द्वारा दिया जाता है ∇M = ∇·M + ∇∧M. जब सदिशों पर लागू किया जाता है तो ·M विचलन  होता है और ∇∧M  कर्ल (गणित)  होता है, लेकिन वेक्टर परिणाम के बजाय एक द्विभाजक के साथ, जो कर्ल के तीन आयामों में दोहरा होता है। सामान्य मात्रा एम के लिए वे ग्रेड कम करने और अंतर ऑपरेटरों को बढ़ाने के रूप में  का र्य करते हैं। विशेष रूप से यदि एम एक स्केलर है तो यह ऑपरेटर केवल ढाल है, और इसे ज्यामितीय बीजगणितीय डेल ऑपरेटर के रूप में माना जा सकता है।

इन्हें मिलाकर मैक्सवेल के स्रोतों के साथ समीकरणों के लिए एक विशेष रूप से कॉम्पैक्ट रूप देने के लिए उपयोग किया जा सकता है:


 * $$ \partial\mathbf{F} = \mathbf{J}.$$

यह समीकरण, जब ज्यामितीय बीजगणित के अनुसार विघटित हो जाता है, तो ज्यामितीय उत्पादों का उपयोग करते हुए, जिनमें ग्रेड बढ़ाने और ग्रेड कम करने के प्रभाव दोनों होते हैं, मैक्सवेल के चार समीकरणों के बराबर होते हैं। यह विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता  से भी संबंधित है, एक वेक्टर ए द्वारा दिया गया है


 * $$ \mathbf{A} = \overline{A} + \frac{1}{c}V\mathbf{e}_4,$$

कहाँ पे $\overline{A}$ वेक्टर चुंबकीय क्षमता है और V विद्युत क्षमता है। यह इलेक्ट्रोमैग्नेटिक बायवेक्टर से निम्नानुसार संबंधित है


 * $$ \partial\mathbf{A} = -\mathbf{F},$$

एक ही अंतर ऑपरेटर ∂ का उपयोग करना।

उच्च आयाम
जैसा कि पिछले खंडों में सुझाव दिया गया है कि ज्यामितीय बीजगणित का अधिकांश भाग उच्च आयामों में अच्छी तरह से सामान्य हो जाता है। वास्तविक स्थान R के लिए ज्यामितीय बीजगणितn Cl हैn(आर), और बायवेक्टर का उप-स्थान ⋀ है2आर एन.

एक सामान्य द्विभाजक बनाने के लिए आवश्यक साधारण द्विभाजकों की संख्या आयाम के साथ बढ़ती है, इसलिए n विषम के लिए यह है (n − 1) / 2, n के लिए भी यह है n / 2. तो चार और पांच-आयामी अंतरिक्ष आयामों के लिए केवल दो सरल बायवेक्टरों की आवश्यकता होती है, लेकिन छह-आयामी अंतरिक्ष और सात-आयामी अंतरिक्ष आयामों के लिए तीन की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, मानक आधार के साथ छह आयामों में (उदा1, तथा2, तथा3, तथा4, तथा5, तथा6) बायवेक्टर


 * $$ \mathbf{e}_{12} + \mathbf{e}_{34} + \mathbf{e}_{56} $$

तीन साधारण द्विभाजकों का योग है लेकिन कम नहीं। जैसा कि चार आयामों में इस राशि के लिए ऑर्थोगोनल सरल बाइवेक्टरों को खोजना हमेशा संभव होता है।

उच्च आयामों में घुमाव
जैसा कि तीन और चार आयामों में रोटार घातीय मानचित्र द्वारा उत्पन्न होते हैं, इसलिए


 * $$e^{\frac{\mathbf{B}}{2}}$$

बायवेक्टर बी द्वारा उत्पन्न रोटर है। सरल घुमाव, जो आयाम के एक निश्चित ब्लेड (ज्यामिति)  के चारों ओर रोटेशन के विमान में होता है (n − 2) साधारण द्विभाजकों द्वारा उत्पन्न होते हैं, जबकि अन्य द्विभाजक अधिक जटिल घुमाव उत्पन्न करते हैं, जिन्हें साधारण द्विभाजकों के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है, प्रत्येक रोटेशन के विमान से संबंधित हैं। सभी बायवेक्टरों को ऑर्थोगोनल और कम्यूटेटिव सरल बायवेक्टरों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, इसलिए इन बायवेक्टरों से जुड़े विमानों के बारे में रोटेशन को हमेशा कम्यूटेटिव रोटेशन के सेट में विघटित किया जा सकता है। एन आयामों में रोटर्स का समूह  स्पिन समूह, स्पिन (एन) है।

एक उल्लेखनीय विशेषता, साधारण द्विभाजकों की संख्या और इस प्रकार घूर्णन विमानों से संबंधित है, यह है कि विषम आयामों में प्रत्येक घुमाव में एक निश्चित धुरी होती है - इसे रोटेशन की धुरी कहना भ्रामक है क्योंकि उच्च आयामों में घुमाव कई विमानों में ऑर्थोगोनल हो रहे हैं। इसे। यह बाइवेक्टर्स से संबंधित है, क्योंकि विषम आयामों में बायवेक्टर्स नीचे के समान आयामों के समान संख्या में बाइवेक्टर्स में विघटित होते हैं, इसलिए विमानों की संख्या समान होती है, लेकिन एक अतिरिक्त आयाम होता है। जैसा कि प्रत्येक विमान विषम आयामों में दो आयामों में घुमाव उत्पन्न करता है, एक आयाम होना चाहिए, वह एक अक्ष है, जिसे घुमाया नहीं जा रहा है। बायवेक्टर n आयामों में रोटेशन मैट्रिक्स से भी संबंधित हैं। जैसा कि तीन आयामों में अभिलक्षणिक बहुपद# मैट्रिक्स के अभिलक्षणिक समीकरण को eigenvalues  ​​खोजने के लिए हल किया जा सकता है। विषम आयामों में इसकी एक वास्तविक जड़ होती है, eigenvector निश्चित अक्ष के साथ, और यहां तक ​​कि आयामों में इसकी कोई वास्तविक जड़ें नहीं होती हैं, इसलिए या तो सभी या सभी लेकिन जड़ों में से एक जटिल संयुग्म जोड़े हैं। प्रत्येक जोड़ी रोटेशन से जुड़े बायवेक्टर के एक साधारण घटक से जुड़ी होती है। विशेष रूप से प्रत्येक जोड़ी का लॉग ± परिमाण है, जबकि जड़ों से उत्पन्न eigenvectors समानांतर हैं और इसलिए इसका उपयोग बायवेक्टर उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है। सामान्य तौर पर eigenvalues ​​और bivectors अद्वितीय होते हैं, और eigenvalues ​​का समुच्चय सरल bivectors में पूर्ण अपघटन देता है; यदि जड़ों को दोहराया जाता है तो द्विभाजक का सरल द्विभाजक में अपघटन अद्वितीय नहीं है।

प्रोजेक्टिव ज्योमेट्री
ज्यामितीय बीजगणित को प्रक्षेपी ज्यामिति  पर सीधे तरीके से लागू किया जा सकता है। प्रयुक्त ज्यामितीय बीजगणित है Cln(R), n ≥ 3, वास्तविक सदिश समष्टि R का बीजगणितएन. इसका उपयोग वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान  'आरपी' में वस्तुओं का वर्णन करने के लिए किया जाता हैn−1. Cl. में शून्येतर सदिशn(आर) या आरn प्रोजेक्टिव स्पेस में बिंदुओं से जुड़े होते हैं, इसलिए वेक्टर जो केवल स्केल फ़ैक्टर से भिन्न होते हैं, इसलिए उनका बाहरी उत्पाद शून्य है, उसी बिंदु पर मैप करें। ⋀ में गैर-शून्य सरल द्विभाजक2आर n 'RP' में पंक्तियों का प्रतिनिधित्व करता हैn−1, द्विभाजक केवल एक ही रेखा का प्रतिनिधित्व करने वाले (सकारात्मक या नकारात्मक) स्केल कारक से भिन्न होते हैं।

बुनियादी संचालन का उपयोग करके ज्यामितीय बीजगणित में प्रोजेक्टिव ज्यामिति का विवरण बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 'RP' में दो अलग-अलग बिंदु दिए गए हैंn−1 को सदिशों 'a' और 'b' द्वारा प्रदर्शित किया जाता है, जिसमें वे रेखाएँ होती हैं a ∧ b (या b ∧ a) दो रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं यदि A ∧ B = 0 उनके द्विभाजक ए और बी के लिए। यह बिंदु वेक्टर द्वारा दिया गया है


 * $$ \mathbf{p} = \mathbf{A} \lor \mathbf{B} = (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) J^{-1}.$$

ऑपरेशन ∨ मीट है, जिसे ज्वाइन के संदर्भ में ऊपर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है,  गैर शून्य के लिए A ∧ B. इन संक्रियाओं का उपयोग करते हुए प्रक्षेपी ज्यामिति को ज्यामितीय बीजगणित के रूप में तैयार किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक तीसरा (गैर-शून्य) बायवेक्टर सी दिया गया बिंदु पी सी द्वारा दी गई रेखा पर स्थित है यदि और केवल यदि


 * $$ \mathbf{p} \land \mathbf{C} = 0. $$

अत: A, B और C द्वारा दी गई रेखाओं के संरेख होने की शर्त है


 * $$ (\mathbf{A} \lor \mathbf{B}) \land \mathbf{C} = 0, $$

जो सीएल में3(आर) और आरपी2 को सरल करता है


 * $$ \langle \mathbf{ABC} \rangle = 0,$$

जहाँ कोण कोष्ठक ज्यामितीय उत्पाद के अदिश भाग को दर्शाते हैं। उसी तरह सभी प्रोजेक्टिव स्पेस ऑपरेशंस को ज्यामितीय बीजगणित के संदर्भ में लिखा जा सकता है, जिसमें बायवेक्टर प्रोजेक्टिव स्पेस में सामान्य रेखाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, इसलिए ज्यामितीय बीजगणित का उपयोग करके पूरी ज्यामिति विकसित की जा सकती है।

टेंसर और मेट्रिसेस

 * 1) मैट्रिसेस के रूप में एक बायवेक्टर को तिरछा-सममित मैट्रिक्स के रूप में लिखा जा सकता है, जो घातीय मानचित्र के माध्यम से एक रोटेशन मैट्रिक्स उत्पन्न करता है जो रोटर के समान रोटेशन का वर्णन करता है, जो घातीय मानचित्र द्वारा भी उत्पन्न होता है लेकिन वेक्टर पर लागू होता है। लेकिन इसका उपयोग अन्य द्विभाजक जैसे कोणीय वेग टेन्सर और इलेक्ट्रोमैग्नेटिक टेंसर के साथ भी किया जाता है, क्रमशः 3×3 और 4×4 तिरछा-सममित मैट्रिक्स या टेंसर।

⋀ में वास्तविक द्विभाजक2Rn n×n तिरछा-सममित मैट्रिसेस के लिए आइसोमॉर्फिक हैं, या वैकल्पिक रूप से 'R' पर डिग्री 2 के एंटीसिमेट्रिक टेन्सर  के लिए हैं।एन. जबकि बायवेक्टर तीन आयामों में वैक्टर (दोहरे के माध्यम से) के लिए आइसोमॉर्फिक होते हैं, उन्हें किसी भी आयाम में तिरछा-सममित मैट्रिक्स द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है। यह बाइवेक्टर्स को मैट्रिसेस द्वारा वर्णित समस्याओं से संबंधित करने के लिए उपयोगी है, इसलिए उन्हें बायोएक्टर्स के संदर्भ में फिर से कास्ट किया जा सकता है, एक ज्यामितीय व्याख्या दी जाती है, फिर अक्सर अधिक आसानी से या अन्य बायोवेक्टर समस्याओं से संबंधित ज्यामितीय रूप से हल किया जाता है। आम तौर पर हर वास्तविक ज्यामितीय बीजगणित क्लिफोर्ड बीजगणित का वर्गीकरण#वर्गीकरण है। इनमें द्विभाजक एक उप-स्थान के रूप में होते हैं, हालांकि अक्सर एक तरह से जो विशेष रूप से उपयोगी नहीं होता है। क्लिफोर्ड बीजगणित को वर्गीकृत करने के तरीके के रूप में ये मैट्रिक्स मुख्य रूप से रुचि रखते हैं।

यह भी देखें

 * मल्टीवेक्टर
 * बहुरेखीय बीजगणित
 * डायैडिक्स

सामान्य संदर्भ


श्रेणी:क्लिफर्ड बीजगणित|* श्रेणी:ज्यामितीय बीजगणित श्रेणी:बहुरेखीय बीजगणित श्रेणी:वेक्टर कलन श्रेणी:टेंसर