गुणांक का प्रदिश गुणनफल

गणित में, मॉड्यूल का टेंसर उत्पाद एक निर्माण है जो मॉड्यूल समरूपता के संदर्भ में बिलिनियर मानचित्र मानचित्रों (जैसे गुणा) के बारे में तर्क करने की अनुमति देता है। मॉड्यूल निर्माण वेक्टर रिक्त स्थान के टेंसर उत्पाद के निर्माण के समान है, लेकिन एक क्रमविनिमेय वलय  पर मॉड्यूल (गणित) की एक जोड़ी के लिए किया जा सकता है जिसके परिणामस्वरूप तीसरा मॉड्यूल होता है, और दाएं-मॉड्यूल की एक जोड़ी के लिए भी किया जा सकता है और किसी भी रिंग (गणित) पर एक बायाँ-मॉड्यूल, जिसके परिणामस्वरूप एक एबेलियन समूह होता है। टेन्सर उत्पाद अमूर्त बीजगणित, होमोलॉजिकल बीजगणित, बीजगणितीय टोपोलॉजी, बीजगणितीय ज्यामिति, ऑपरेटर बीजगणित और गैर-अनुवांशिक ज्यामिति के क्षेत्रों में महत्वपूर्ण हैं। वेक्टर स्थानों के टेंसर उत्पाद की सार्वभौमिक संपत्ति अमूर्त बीजगणित में अधिक सामान्य स्थितियों तक फैली हुई है। बीजगणित और मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद का उपयोग अदिश के विस्तार के लिए किया जा सकता है। एक क्रमविनिमेय रिंग के लिए, मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद को मॉड्यूल के टेंसर बीजगणित बनाने के लिए पुनरावृत्त किया जा सकता है, जिससे किसी को सार्वभौमिक तरीके से मॉड्यूल में गुणन को परिभाषित करने की अनुमति मिलती है।

संतुलित उत्पाद
एक रिंग आर, एक दाएं आर-मॉड्यूल एम, एक बाएं आर-मॉड्यूल एन और एक एबेलियन समूह जी के लिए, एक नक्शा $φ: M × N → G$ को आर-संतुलित, आर-मध्य-रैखिक या आर-संतुलित उत्पाद कहा जाता है यदि सभी एम, एम' के लिए  एन में एम, एन, एन' और आर में आर निम्नलिखित हैं:

$$\begin{align} \varphi (m, n+n') &= \varphi (m, n) + \varphi (m, n') && \text{Dl}_{\varphi} \\ \varphi (m +m', n) &= \varphi (m, n) + \varphi (m', n) && \text{Dr}_{\varphi} \\ \varphi (m \cdot r, n) &= \varphi (m, r \cdot n) && \text{A}_{\varphi} \\ \end{align}$$ आर से ऐसे सभी संतुलित उत्पादों का सेट $M × N$ से G को दर्शाया जाता है $L_{R}(M, N; G)$.

यदि φ, ψ संतुलित उत्पाद हैं, तो प्रत्येक ऑपरेशन $φ + ψ$ और −φ बिंदुवार परिभाषित एक संतुलित उत्पाद है। इससे सेट पलट जाता है $L_{R}(M, N; G)$ एक एबेलियन समूह में।

एम और एन के लिए तय, नक्शा $G ↦ L_{R}(M, N; G)$ एबेलियन समूहों की श्रेणी से स्वयं एक फ़नकार है। रूपवाद भाग एक समूह समरूपता का मानचित्रण करके दिया जाता है $g : G → G′$ समारोह के लिए $φ ↦ g ∘ φ$, जो से जाता है $L_{R}(M, N; G)$ को $L_{R}(M, N; G′)$.


 * टिप्पणी:
 * 1) गुण (डीएल) और (डॉ) φ के योगात्मक मानचित्र को व्यक्त करते हैं, जिसे योग पर φ का वितरण गुण माना जा सकता है।
 * 2) संपत्ति (ए) φ के कुछ साहचर्य गुण से मिलती जुलती है।
 * 3) प्रत्येक रिंग R एक R-बिमॉड्यूल है। तो वलय गुणन $(r, r′) ↦ r ⋅ r′$ R में एक R-संतुलित उत्पाद है $R × R → R$.

परिभाषा
रिंग आर के लिए, दाएं आर-मॉड्यूल एम, बाएं आर-मॉड्यूल एन, आर पर 'टेंसर उत्पाद'

$$M \otimes_R N$$ एक संतुलित उत्पाद के साथ एक एबेलियन समूह है (जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है)

$$\otimes : M \times N \to M \otimes_{R} N$$ जो निम्नलिखित अर्थों में सार्वभौमिक संपत्ति है:

सभी सार्वभौमिक संपत्ति#अस्तित्व और विशिष्टता की तरह, उपरोक्त संपत्ति एक अद्वितीय समरूपता तक टेंसर उत्पाद को विशिष्ट रूप से परिभाषित करती है: समान गुणों वाला कोई भी अन्य एबेलियन समूह और संतुलित उत्पाद समरूपी होगा $M ⊗_{R} N$ और ⊗. दरअसल, मैपिंग ⊗ को कैनोनिकल कहा जाता है, या अधिक स्पष्ट रूप से: टेंसर उत्पाद का कैनोनिकल मैपिंग (या संतुलित उत्पाद)। परिभाषा के अस्तित्व को सिद्ध नहीं करती $M ⊗_{R} N$; निर्माण के लिए नीचे देखें.

टेंसर उत्पाद को फ़नकार के लिए एक प्रतिनिधित्व योग्य फ़नकार के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है $G → L_{R}(M,N;G)$; स्पष्ट रूप से, इसका मतलब है कि एक प्राकृतिक समरूपता है:

$$\begin{cases}\operatorname{Hom}_{\Z} (M \otimes_R N, G) \simeq \operatorname{L}_R(M, N; G) \\ g \mapsto g \circ \otimes \end{cases}$$ यह ऊपर दी गई सार्वभौमिक मानचित्रण संपत्ति को बताने का एक संक्षिप्त तरीका है। (यदि किसी प्राथमिकता को यह प्राकृतिक समरूपता दी गई है, तो $$\otimes$$ लेकर पुनः प्राप्त किया जा सकता है $$G = M \otimes_R N$$ और फिर पहचान मानचित्र मैप करना।)

इसी प्रकार, प्राकृतिक पहचान दी गई है $$\operatorname{L}_R(M, N; G) = \operatorname{Hom}_R(M, \operatorname{Hom}_{\Z}(N, G))$$, कोई परिभाषित भी कर सकता है $M ⊗_{R} N$ सूत्र द्वारा

$$\operatorname{Hom}_{\Z} (M \otimes_R N, G) \simeq \operatorname{Hom}_R(M, \operatorname{Hom}_{\Z}(N, G)).$$ इसे टेंसर-होम एडजंक्शन के रूप में जाना जाता है; यह सभी देखें.

एम में प्रत्येक एक्स, एन में वाई के लिए, एक लिखता है

विहित मानचित्र के अंतर्गत (x, y) की छवि के लिए $$\otimes: M \times N \to M \otimes_R N$$. इसे अक्सर शुद्ध टेंसर कहा जाता है। कड़ाई से बोलते हुए, सही संकेतन x ⊗ होगाR y लेकिन यहां R को छोड़ना पारंपरिक है। फिर, परिभाषा से तुरंत, संबंध हैं: टेंसर उत्पाद की सार्वभौमिक संपत्ति के निम्नलिखित महत्वपूर्ण परिणाम होते हैं:

प्रमाण: पहले कथन के लिए, मान लीजिए कि L का उपसमूह है $$M \otimes_R N$$ प्रश्नगत प्रपत्र के तत्वों द्वारा उत्पन्न, $$Q = (M \otimes_R N) / L$$ और q, Q का भागफल मानचित्र है। हमारे पास है: $$0 = q \circ \otimes$$ साथ ही $$0 = 0 \circ \otimes$$. इसलिए, सार्वभौमिक संपत्ति के विशिष्टता भाग द्वारा, q = 0. दूसरा कथन यह है कि एक मॉड्यूल समरूपता को परिभाषित करने के लिए, इसे मॉड्यूल के जेनरेटिंग सेट पर परिभाषित करना पर्याप्त है। $$\square$$

यह निर्धारित करना कि मॉड्यूल का टेंसर उत्पाद शून्य है
व्यवहार में, कभी-कभी यह दिखाना अधिक कठिन होता है कि आर-मॉड्यूल का एक टेंसर उत्पाद $$ M \otimes_R N $$ यह दिखाने के लिए कि यह शून्य नहीं है, यह 0 है। सार्वभौमिक गुण इसे जाँचने का एक सुविधाजनक तरीका देता है।

यह जाँचने के लिए कि एक टेंसर उत्पाद $$ M \otimes_R N $$ शून्येतर है, तो कोई आर-बिलिनियर मानचित्र का निर्माण कर सकता है $$ f:M \times N \rightarrow G $$ एक एबेलियन समूह के लिए $$ G $$ ऐसा है कि $$ f(m,n) \neq 0 $$. इस काम की वजह से $$ m \otimes n = 0 $$, तब $$ f(m,n) = \bar{f}(m \otimes n) = \bar{(f)}(0) = 0$$.

उदाहरण के लिए, उसे देखने के लिए $$ \Z/p\Z \otimes_Z \Z/p\Z $$, शून्येतर है, लीजिए $$ G $$ होना $$ \Z / p\Z $$ और $$ (m,n) \mapsto mn $$. यह कहता है कि शुद्ध टेंसर $$ m \otimes n \neq 0$$ जब तक कि $$ mn $$ में शून्येतर है $$ \Z / p\Z$$.

समतुल्य मॉड्यूल के लिए
प्रस्ताव कहता है कि कोई भी हर बार सीधे सार्वभौमिक संपत्ति का आह्वान करने के बजाय टेंसर उत्पादों के स्पष्ट तत्वों के साथ काम कर सकता है। यह व्यवहार में बहुत सुविधाजनक है. उदाहरण के लिए, यदि R क्रमविनिमेय है और मॉड्यूल पर R द्वारा बाएँ और दाएँ कार्यों को समतुल्य माना जाता है $$M \otimes_R N $$ स्वाभाविक रूप से विस्तार करके आर-स्केलर गुणन से सुसज्जित किया जा सकता है

$$r \cdot (x \otimes y) := (r \cdot x) \otimes y = x \otimes (r \cdot y)$$ संपूर्ण को $$M \otimes_R N$$ पिछले प्रस्ताव के अनुसार (सख्ती से कहें तो, जो आवश्यक है वह एक द्विमॉड्यूल संरचना है न कि कम्यूटेटिविटी; नीचे एक पैराग्राफ देखें)। इस आर-मॉड्यूल संरचना से सुसज्जित, $$M \otimes_R N$$ उपरोक्त के समान एक सार्वभौमिक संपत्ति को संतुष्ट करता है: किसी भी आर-मॉड्यूल जी के लिए, एक प्राकृतिक समरूपता है:

$$\begin{cases} \operatorname{Hom}_R(M \otimes_R N, G) \simeq \{R\text{-bilinear maps } M \times N \to G \}, \\ g \mapsto g \circ \otimes \end{cases}$$ यदि R आवश्यक रूप से क्रमविनिमेय नहीं है, लेकिन यदि M के पास वलय S (उदाहरण के लिए, R) द्वारा बायीं ओर क्रिया है, तो $$M \otimes_R N$$ ऊपर की तरह, सूत्र द्वारा बाईं एस-मॉड्यूल संरचना दी जा सकती है

$$s \cdot (x \otimes y) := (s \cdot x) \otimes y.$$ अनुरूप रूप से, यदि एन की रिंग एस द्वारा सही कार्रवाई होती है, तो $$M \otimes_R N$$ एक सही एस-मॉड्यूल बन जाता है।

रैखिक मानचित्रों का टेंसर उत्पाद और बेस रिंग का परिवर्तन
रेखीय मानचित्र दिए गए $$f: M \to M'$$ एक रिंग आर पर सही मॉड्यूल की और $$g: N \to N'$$ बाएँ मॉड्यूल में, एक अद्वितीय समूह समरूपता है

$$\begin{cases}f \otimes g: M \otimes _R N \to M' \otimes_R N' \\ x \otimes y \mapsto f(x) \otimes g(y) \end{cases}$$ निर्माण का परिणाम यह है कि टेंसरिंग एक फ़नकार है: प्रत्येक सही आर-मॉड्यूल एम फ़नकार को निर्धारित करता है

$$M \otimes_R -: R\text{-Mod} \longrightarrow \text{Ab}$$ मॉड्यूल की श्रेणी से लेकर एबेलियन समूहों की श्रेणी तक जो एन को भेजता है $R ⊗_{R} R$ और समूह समरूपता के लिए एक मॉड्यूल समरूपता एफ $R ⊗_{Z} R$. अगर $$f: R \to S$$ एक रिंग समरूपता है और यदि एम एक दायां एस-मॉड्यूल है और एन एक बायां एस-मॉड्यूल है, तो विहित विशेषण समरूपता है:

$$M \otimes_R N \to M \otimes_S N$$ प्रेरक

$$M \times N \overset{\otimes_S} \longrightarrow M \otimes_S N.$$ परिणामी नक्शा शुद्ध टेंसर के बाद से विशेषण है $M ⊗ N$ संपूर्ण मॉड्यूल उत्पन्न करें। विशेष रूप से, R को मानते हुए $$\Z$$ इससे पता चलता है कि मॉड्यूल का प्रत्येक टेंसर उत्पाद एबेलियन समूहों के टेंसर उत्पाद का भागफल है।

कई मॉड्यूल
(इस अनुभाग को अद्यतन करने की आवश्यकता है। अभी के लिए, देखें अधिक सामान्य चर्चा के लिए।)

एक ही क्रमविनिमेय रिंग पर किसी भी संख्या में मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद तक परिभाषा का विस्तार करना संभव है। उदाहरण के लिए, की सार्वभौमिक संपत्ति

क्या वह प्रत्येक त्रिरेखीय मानचित्र पर है

एक अद्वितीय रेखीय मानचित्र से मेल खाता है

बाइनरी टेंसर उत्पाद साहचर्य है: (एम1 ⊗ एम2) ⊗ एम3 एम के लिए स्वाभाविक रूप से आइसोमोर्फिक है1 ⊗ (एम2 ⊗ एम3). त्रिरेखीय मानचित्रों की सार्वभौमिक संपत्ति द्वारा परिभाषित तीन मॉड्यूल का टेंसर उत्पाद इन दोनों पुनरावृत्त टेंसर उत्पादों के लिए आइसोमोर्फिक है।

सामान्य रिंगों पर मॉड्यूल
चलो आर1, आर2, आर3, R वलय हो, आवश्यक नहीं कि क्रमविनिमेय हो।


 * आर के लिए1-आर2-बिमॉड्यूल एम12 और एक बायां आर2-मॉड्यूल एम20, $$M_{12}\otimes_{R_2} M_{20}$$ एक बायाँ R है1-मापांक।
 * एक सही आर के लिए2-मॉड्यूल एम02 और एक आर2-आर3-बिमॉड्यूल एम23, $$M_{02}\otimes_{R_2} M_{23}$$ एक सही आर है3-मापांक।
 * (साहचर्य) एक सही आर के लिए1-मॉड्यूल एम01, एक आर1-आर2-बिमॉड्यूल एम12, और एक बायां आर2-मॉड्यूल एम20 हमारे पास है: $$\left (M_{01} \otimes_{R_1} M_{12} \right ) \otimes_{R_2} M_{20} = M_{01} \otimes_{R_1} \left (M_{12} \otimes_{R_2} M_{20} \right ).$$
 * चूँकि R एक R-R-बिमॉड्यूल है, हमारे पास है $$R\otimes_R R = R$$ वलय गुणन के साथ $$mn =: m \otimes_R n$$ इसके विहित संतुलित उत्पाद के रूप में।

क्रमविनिमेय वलय पर मॉड्यूल
मान लीजिए R एक क्रमविनिमेय वलय है, और M, N और P R-मॉड्यूल हैं। तब
 * पहचान :$$R \otimes_R M = M.$$
 * साहचर्य :$$(M \otimes_R N) \otimes_R P = M \otimes_R (N \otimes_R P).$$ पहले तीन गुण (आकारवाद पर प्लस पहचान) कहते हैं कि आर-मॉड्यूल की श्रेणी, आर कम्यूटेटिव के साथ, एक सममित मोनोइडल श्रेणी बनाती है। इस प्रकार $$M \otimes_R N \otimes_R P$$ अच्छी तरह से परिभाषित है.
 * समरूपता :$$M \otimes_R N = N \otimes_R M.$$ वास्तव में, सेट {1, ..., n} के किसी भी क्रमपरिवर्तन σ के लिए, एक अद्वितीय समरूपता है: $$\begin{cases} M_1 \otimes_R \cdots \otimes_R M_n \longrightarrow M_{\sigma(1)} \otimes_R \cdots \otimes_R M_{\sigma(n)} \\ x_1 \otimes \cdots \otimes x_n \longmapsto x_{\sigma(1)} \otimes \cdots \otimes x_{\sigma(n)} \end{cases}$$
 * प्रत्यक्ष राशियों पर वितरण :$$M \otimes_R (N \oplus P) = (M \otimes_R N) \oplus (M \otimes_R P).$$ वास्तव में, $$M \otimes_R \left (\bigoplus\nolimits_{i \in I} N_i \right ) = \bigoplus\nolimits_{i \in I} \left ( M \otimes_R N_i \right ),$$ मनमानी प्रमुखता के सूचकांक सेट I के लिए। चूँकि परिमित उत्पाद परिमित प्रत्यक्ष योगों से मेल खाते हैं, इसका अर्थ यह है:
 * परिमित उत्पादों पर वितरण: किसी भी परिमित अनेक के लिए $$N_i$$, $$M \otimes_R \prod_{i = 1}^n N_i = \prod_{i = 1}^nM \otimes_R N_i.$$
 * आधार विस्तार: यदि S एक R-बीजगणित है, तो लेखन $$-_{S} = S \otimes_R -$$, $$(M \otimes_R N)_S = M_S \otimes_S N_S;$$ सी एफ . एक परिणाम यह है:
 * एक मॉड्यूल के स्थानीयकरण पर वितरण: आर के किसी भी गुणात्मक रूप से बंद उपसमुच्चय एस के लिए, $$S^{-1}(M \otimes_R N) = S^{-1}M \otimes_{S^{-1}R} S^{-1}N$$ एक के रूप में $$S^{-1} R$$-मापांक। तब से $$S^{-1} R$$ एक आर-बीजगणित है और $$S^{-1} - = S^{-1} R \otimes_R -$$, यह एक विशेष मामला है:
 * प्रत्यक्ष सीमा के साथ रूपान्तरण: आर-मॉड्यूल एम की किसी भी प्रत्यक्ष प्रणाली के लिएi, $$(\varinjlim M_i) \otimes_R N = \varinjlim (M_i \otimes_R N).$$
 * टेंसर-होम एडजंक्शन:$$\operatorname{Hom}_R(M \otimes_R N, P) = \operatorname{Hom}_R(M, \operatorname{Hom}_R(N, P))\text{.}$$ एक परिणाम यह है:
 * सही-सटीकता: यदि $$0 \to N' \overset{f}\to N \overset{g}\to N \to 0$$ तो, आर-मॉड्यूल का एक सटीक अनुक्रम है $$M \otimes_R N' \overset{1 \otimes f}\to M \otimes_R N \overset{1 \otimes g}\to M \otimes_R N \to 0$$ आर-मॉड्यूल का एक सटीक अनुक्रम है, जहां $$(1 \otimes f)(x \otimes y) = x \otimes f(y).$$ ; टेन्सर-होम संबंध: एक विहित आर-रेखीय मानचित्र है: $$\operatorname{Hom}_R(M, N) \otimes P \to \operatorname{Hom}_R(M, N \otimes P),$$ जो एक समरूपता है यदि एम या पी एक अंतिम रूप से उत्पन्न प्रक्षेप्य मॉड्यूल है (देखें)।  गैर-कम्यूटेटिव मामले के लिए); अधिक सामान्यतः, एक विहित आर-रैखिक मानचित्र है: $$\operatorname{Hom}_R(M, N) \otimes \operatorname{Hom}_R(M', N') \to \operatorname{Hom}_R(M \otimes M', N \otimes N')$$ जो कि एक समरूपता है यदि दोनों में से कोई एक है $$(M, N)$$ या $$(M, M')$$ परिमित रूप से उत्पन्न प्रोजेक्टिव मॉड्यूल की एक जोड़ी है।

एक व्यावहारिक उदाहरण देने के लिए, मान लीजिए कि एम, एन आधार के साथ मुक्त मॉड्यूल हैं $$e_i, i \in I$$ और $$f_j, j \in J$$. तब M मॉड्यूल का सीधा योग है $$M = \bigoplus_{i \in I} R e_i$$ और एन के लिए भी यही बात वितरणात्मक संपत्ति के अनुसार, किसी के पास है:

$$M \otimes_R N = \bigoplus_{i, j} R(e_i \otimes f_j);$$ अर्थात।, $$e_i \otimes f_j, \, i \in I, j \in J$$ के आर-आधार हैं $$M \otimes_R N$$. भले ही एम मुफ़्त नहीं है, एम की एक मुफ़्त प्रस्तुति का उपयोग टेंसर उत्पादों की गणना के लिए किया जा सकता है।

टेंसर उत्पाद, सामान्य तौर पर, व्युत्क्रम सीमा के साथ आवागमन नहीं करता है: एक ओर,

$$\Q \otimes_{\Z} \Z /p^n = 0$$ (सीएफ. उदाहरण ). वहीं दूसरी ओर,

$$ \left (\varprojlim \Z /p^n \right ) \otimes_{\Z} \Q = \Z_p \otimes_{\Z} \Q = \Z_p \left [p^{-1} \right ] = \Q_p$$ कहाँ $$\Z_p, \Q_p$$ पी-एडिक पूर्णांकों का वलय और पी-एडिक संख्याओं का क्षेत्र हैं। समान भावना में एक उदाहरण के लिए अनंत पूर्णांक भी देखें।

यदि R क्रमविनिमेय नहीं है, तो टेंसर उत्पादों का क्रम निम्नलिखित तरीके से मायने रख सकता है: हम टेंसर उत्पाद बनाने के लिए M की दाईं क्रिया और N की बाईं क्रिया का उपयोग करते हैं। $$M \otimes_R N$$; विशेष रूप से, $$N \otimes_R M$$ परिभाषित भी नहीं किया जाएगा. यदि एम, एन द्वि-मॉड्यूल हैं, तो $$M \otimes_R N$$ बाईं क्रिया M की बाईं क्रिया से आ रही है और दाहिनी क्रिया N की दाईं क्रिया से आ रही है; उन क्रियाओं का बाएँ और दाएँ कार्यों के समान होना आवश्यक नहीं है $$N \otimes_R M$$.

साहचर्यता गैर-कम्यूटेटिव रिंगों के लिए अधिक सामान्यतः लागू होती है: यदि एम एक दायां आर-मॉड्यूल है, एन ए (आर, एस)-मॉड्यूल और पी एक बायां एस-मॉड्यूल है, तो

$$(M \otimes_R N) \otimes_S P = M \otimes_R (N \otimes_S P)$$ एबेलियन समूह के रूप में।

टेंसर उत्पादों के सहायक संबंध का सामान्य रूप कहता है: यदि R आवश्यक रूप से क्रमविनिमेय नहीं है, M एक सही R-मॉड्यूल है, N एक (R, S)-मॉड्यूल है, P एक सही S-मॉड्यूल है, तो एबेलियन समूह के रूप में

$$\operatorname{Hom}_S(M \otimes_R N, P) = \operatorname{Hom}_R(M, \operatorname{Hom}_S(N, P)), \, f \mapsto f'$$ कहाँ $$f'$$ द्वारा दिया गया है $$f'(x)(y) = f(x \otimes y).$$

अंश क्षेत्र के साथ आर-मॉड्यूल का टेंसर उत्पाद
मान लीजिए कि R, भिन्न K के क्षेत्र के साथ एक अभिन्न डोमेन है।


 * किसी भी आर-मॉड्यूल एम के लिए, $$K \otimes_R M \cong K \otimes_R (M / M_{\operatorname{tor}})$$ आर-मॉड्यूल के रूप में, जहां $$M_{\operatorname{tor}}$$ एम का मरोड़ उपमॉड्यूल है।
 * यदि एम एक मरोड़ आर-मॉड्यूल है तो $$K \otimes_R M = 0$$ और यदि एम एक मरोड़ मॉड्यूल नहीं है तो $$K \otimes_R M \ne 0$$.
 * यदि N, M का एक सबमॉड्यूल है जैसे कि $$M/N$$ तो फिर एक मरोड़ मॉड्यूल है $$K \otimes_R N \cong K \otimes_R M$$ आर-मॉड्यूल के रूप में $$x \otimes n \mapsto x \otimes n$$.
 * में $$K \otimes_R M$$, $$x \otimes m = 0$$ अगर और केवल अगर $$x = 0$$ या $$m \in M_{\operatorname{tor}}$$. विशेष रूप से, $$M_{\operatorname{tor}} = \operatorname{ker}(M \to K \otimes_R M)$$ कहाँ $$m \mapsto 1 \otimes m$$.
 * $$K \otimes_R M \cong M_{(0)}$$ कहाँ $$M_{(0)}$$ एक मॉड्यूल का स्थानीयकरण है $$M$$ प्रमुख आदर्श पर $$(0)$$ (यानी, गैर-शून्य तत्वों के संबंध में स्थानीयकरण)।

अदिशों का विस्तार
सामान्य रूप में संयुक्त संबंध में एक महत्वपूर्ण विशेष मामला है: किसी भी आर-बीजगणित एस के लिए, एम एक सही आर-मॉड्यूल, पी एक सही एस-मॉड्यूल, का उपयोग कर $$\operatorname{Hom}_S (S, -) = -$$, हमारे पास प्राकृतिक समरूपता है:

$$\operatorname{Hom}_S (M \otimes_R S, P) = \operatorname{Hom}_R (M, \operatorname{Res}_R(P)).$$ यह कहता है कि फनकार $$-\otimes_R S$$ भुलक्कड़ फ़नकार का बायां जोड़ है $$\operatorname{Res}_R$$, जो S-क्रिया को R-क्रिया तक सीमित करता है। इसके कारण, $$- \otimes_R S$$ इसे अक्सर R से S तक अदिशों का विस्तार कहा जाता है। प्रतिनिधित्व सिद्धांत में, जब R, S समूह बीजगणित होते हैं, तो उपरोक्त संबंध फ्रोबेनियस पारस्परिकता बन जाता है।

उदाहरण

 * $$R^n \otimes_R S = S^n,$$ किसी भी आर-बीजगणित एस के लिए (यानी, स्केलर का विस्तार करने के बाद एक मुक्त मॉड्यूल मुक्त रहता है।)
 * एक क्रमविनिमेय वलय के लिए $$R$$ और एक क्रमविनिमेय आर-बीजगणित एस, हमारे पास है: $$S \otimes_R R[x_1, \dots, x_n] = S[x_1, \dots, x_n];$$ वास्तव में, अधिक सामान्यतः, $$S \otimes_R (R[x_1, \dots, x_n]/I) = S[x_1, \dots, x_n]/ IS[x_1, \dots, x_n],$$ कहाँ $$I$$ एक आदर्श है.
 * उपयोग करना $$\Complex = \R [x]/(x^2 + 1),$$ पिछला उदाहरण और चीनी शेषफल प्रमेय, हमारे पास छल्ले के रूप में हैं $$\Complex \otimes_{\R} \Complex = \Complex [x]/(x^2 + 1) = \Complex [x]/(x+i) \times \Complex[x]/(x-i) = \Complex^2.$$ यह एक उदाहरण देता है जब एक टेंसर उत्पाद एक प्रत्यक्ष उत्पाद होता है।
 * $$\R \otimes_{\Z} \Z[i] = \R[i] = \Complex.$$

उदाहरण
बिल्कुल सामान्य मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद की संरचना अप्रत्याशित हो सकती है।

मान लीजिए G एक एबेलियन समूह है जिसमें प्रत्येक तत्व का क्रम सीमित है (अर्थात् G एक मरोड़ वाला एबेलियन समूह है; उदाहरण के लिए G एक परिमित एबेलियन समूह हो सकता है या $$\Q/\Z$$). तब: $$\Q \otimes_{\Z} G = 0.$$ वास्तव में, कोई भी $$x \in \Q \otimes_{\Z} G$$ स्वरूप का है $$x = \sum_i r_i \otimes g_i, \qquad r_i \in \Q, g_i \in G.$$ अगर $$n_i$$ का क्रम है $$g_i$$, तो हम गणना करते हैं: $$x = \sum (r_i / n_i )n_i \otimes g_i = \sum r_i / n_i \otimes n_i g_i = 0.$$ वैसे ही कोई देखता है $$\Q /\Z \otimes_{\Z} \Q /\Z = 0.$$ यहां गणना के लिए उपयोगी कुछ पहचान दी गई हैं: मान लीजिए कि R एक क्रमविनिमेय वलय है, I, J आदर्श, M, N R-मॉड्यूल हैं। तब उदाहरण: यदि जी एक एबेलियन समूह है, $$G \otimes_{\Z } \Z /n = G/nG$$; यह 1 से अनुसरण करता है।
 * 1) $$R/I \otimes_R M = M/IM$$. यदि एम फ्लैट मॉड्यूल है, $$IM = I \otimes_R M$$.
 * 2) $$M/IM \otimes_{R/I} N/IN = M \otimes_R N \otimes_R R/I$$ (क्योंकि टेंसरिंग बेस एक्सटेंशन के साथ चलती है)
 * 3) $$R/I \otimes_R R/J = R/(I + J)$$.

उदाहरण: $$\Z /n \otimes_{\Z } \Z /m = \Z /{\gcd(n, m)}$$; यह 3 से अनुसरण करता है। विशेष रूप से, विशिष्ट अभाज्य संख्याओं के लिए p, q, $$\Z / p\Z \otimes \Z / q\Z=0.$$ समूहों के तत्वों के क्रम को नियंत्रित करने के लिए टेंसर उत्पादों को लागू किया जा सकता है। मान लीजिए G एक एबेलियन समूह है। फिर 2 इंच के गुणज $$G \otimes \Z / 2\Z$$ शून्य हैं.

उदाहरण: चलो $$\mu_n$$ एकता की n-वीं जड़ों का समूह बनें। यह एक चक्रीय समूह है और चक्रीय समूहों को क्रम के अनुसार वर्गीकृत किया जाता है। इस प्रकार, गैर-विहित रूप से, $$\mu_n \approx \Z /n$$ और इस प्रकार, जब g, n और m की gcd है, $$\mu_n \otimes_{\Z } \mu_m \approx \mu_g.$$ उदाहरण: विचार करें $$\Q \otimes_{\Z} \Q.$$ तब से $$\Q \otimes_{\Q } \Q$$ से प्राप्त किया जाता है $$\Q \otimes_{\Z } \Q $$ थोप कर $$\Q $$-मध्य पर रैखिकता, हमारे पास अनुमान है

$$\Q \otimes_{\Z } \Q \to \Q \otimes_{\Q } \Q $$ जिसका कर्नेल प्रपत्र के तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है $${r \over s} x \otimes y - x \otimes {r \over s} y$$ जहाँ r, s, x, u पूर्णांक हैं और s अशून्य है। तब से

$${r \over s} x \otimes y = {r \over s} x \otimes {s \over s} y = x \otimes {r \over s} y,$$ कर्नेल वास्तव में गायब हो जाता है; इस तरह, $$\Q \otimes_{\Z } \Q = \Q \otimes_{\Q } \Q = \Q .$$ हालाँकि, विचार करें $$\C \otimes_{\R} \C $$ और $$\C \otimes_{\C } \C $$. जैसा $$\R$$-सदिश स्थल, $$\C \otimes_{\R} \C $$ आयाम 4 है, लेकिन $$\C \otimes_{\C } \C $$ आयाम 2 है.

इस प्रकार, $$\C \otimes_{\R} \C $$ और $$\C \otimes_{\C } \C $$ समरूपी नहीं हैं.

उदाहरण: हम तुलना करने का प्रस्ताव करते हैं $$\R \otimes_{\Z} \R $$ और $$\R \otimes_{\R } \R $$. पिछले उदाहरण की तरह, हमारे पास है: $$\R \otimes_{\Z} \R = \R \otimes_{\Q} \R $$ एबेलियन समूह के रूप में और इस प्रकार $$\Q$$-वेक्टर स्पेस (कोई भी) $$\Z$$-के बीच रेखीय मानचित्र $$\Q$$-वेक्टर रिक्त स्थान है $$\Q$$-रेखीय). जैसा $$\Q$$-सदिश स्थल, $$\R $$ सातत्य की कार्डिनैलिटी का आयाम (आधार की कार्डिनैलिटी) है। इस तरह, $$\R \otimes_{\Q } \R $$ एक $$\Q$$-सातत्य के उत्पाद द्वारा अनुक्रमित आधार; इस प्रकार यह $$\Q$$-आयाम सातत्य है. इसलिए, आयाम कारण के लिए, एक गैर-विहित समरूपता है $$\Q$$-वेक्टर रिक्त स्थान:

$$\R \otimes_{\Z } \R \approx \R \otimes_{\R } \R .$$

मॉड्यूल पर विचार करें $$M=\Complex [x,y,z]/(f),N=\Complex [x,y,z]/(g)$$ के लिए $$f,g\in \Complex[x,y,z]$$ अघुलनशील बहुपद जैसे कि $$\gcd(f,g)=1.$$ तब,

$$\frac{\Complex [x,y,z]}{(f)}\otimes_{\Complex [x,y,z]}\frac{\Complex [x,y,z]}{(g)} \cong \frac{\Complex [x,y,z]}{(f,g)}$$ उदाहरणों का एक और उपयोगी परिवार अदिश परिवर्तन से आता है। नोटिस जो

$$\frac{\Z [x_1,\ldots,x_n]}{(f_1,\ldots,f_k)} \otimes_\Z R \cong \frac{R[x_1,\ldots,x_n]}{(f_1,\ldots,f_k)}$$ इस घटना के अच्छे उदाहरण कब देखने लायक हैं $$R = \Q, \Complex, \Z/(p^k), \Z_p, \Q_p.$$

निर्माण
का निर्माण $1 ⊗ f$ प्रतीकों के आधार पर एक मुक्त एबेलियन समूह का भागफल लेता है $x ⊗ y$, यहां ऑर्डर किए गए जोड़े को दर्शाने के लिए उपयोग किया जाता है $B : Q × Z_{n} → M$, फॉर्म के सभी तत्वों द्वारा उत्पन्न उपसमूह द्वारा एम में एम और एन में एन के लिए जहां एम में एम, एम', एन में एन, एन' और आर में आर। भागफल मानचित्र जो लेता है $B(q, k) = B(q/n, nk) = B(q/n, 0) = 0$ युक्त कोसेट के लिए $Q ⊗_{Z} Z_{n}$; वह है,
 * 1) −m * (n + n′) + m * n + m * n′
 * 2) −(एम + एम′) * एन + एम * एन + एम′ * एन
 * 3) (एम · आर) * एन - एम * (आर · एन)

$$\otimes: M \times N \to M \otimes_R N, \, (m, n) \mapsto [m * n]$$ संतुलित है, और उपसमूह को न्यूनतम रूप से चुना गया है ताकि यह मानचित्र संतुलित हो। ⊗ का सार्वभौमिक गुण एक मुक्त एबेलियन समूह और एक भागफल के सार्वभौमिक गुणों से अनुसरण करता है।

यदि S, वलय R का एक उप-वलय है, तो $$M \otimes_R N$$ का भागफल समूह है $$M \otimes_S N$$ द्वारा उत्पन्न उपसमूह द्वारा $$xr \otimes_S y - x \otimes_S ry, \, r \in R, x \in M, y \in N$$, कहाँ $$x \otimes_S y$$ की छवि है $$(x, y)$$ अंतर्गत $$\otimes: M \times N \to M \otimes_{S} N.$$ विशेष रूप से, आर-मॉड्यूल के किसी भी टेंसर उत्पाद का निर्माण, यदि वांछित हो, आर-संतुलित उत्पाद संपत्ति को लागू करके एबेलियन समूहों के टेंसर उत्पाद के भागफल के रूप में किया जा सकता है।

अधिक श्रेणी-सैद्धांतिक रूप से, मान लीजिए कि M पर R की दी गई सही क्रिया σ है; यानी, σ(m, r) = m · r और τ N के R की बाईं क्रिया। फिर, बशर्ते कि एबेलियन समूहों का टेंसर उत्पाद पहले से ही परिभाषित हो, R पर M और N के टेंसर उत्पाद को सहतुल्यकारक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है : $$M \otimes R \otimes N {{{} \atop \overset{\sigma \times 1}\to}\atop{\underset{1 \times \tau} \to \atop {}}} M \otimes N \to M \otimes_R N$$ कहाँ $$\otimes$$ बिना सबस्क्रिप्ट के एबेलियन समूहों के टेंसर उत्पाद को संदर्भित करता है।

एक क्रमविनिमेय रिंग आर पर टेंसर उत्पाद के निर्माण में, सामान्य निर्माण के लिए ऊपर दिए गए तत्वों द्वारा उत्पन्न सबमॉड्यूल द्वारा एक मुक्त आर-मॉड्यूल के भागफल का निर्माण करके आर-मॉड्यूल संरचना को शुरू से ही बनाया जा सकता है। तत्वों द्वारा $M ⊗ N$. वैकल्पिक रूप से, स्केलर क्रिया को परिभाषित करके सामान्य निर्माण को Z(R)-मॉड्यूल संरचना दी जा सकती है $m ∗ n$ जब यह अच्छी तरह से परिभाषित होता है, जो ठीक तब होता है जब r ∈ Z(R), R का केंद्र (रिंग सिद्धांत)।

एम और एन का प्रत्यक्ष उत्पाद एम और एन के टेंसर उत्पाद के लिए शायद ही कभी आइसोमॉर्फिक होता है। जब आर क्रमविनिमेय नहीं होता है, तो टेंसर उत्पाद के लिए आवश्यक है कि एम और एन विपरीत दिशाओं में मॉड्यूल हों, जबकि प्रत्यक्ष उत्पाद के लिए आवश्यक है कि वे मॉड्यूल हों। उसी तरफ़। सभी मामलों में एकमात्र कार्य $(m, n)$जी के लिए जो रैखिक और द्विरेखीय दोनों है, शून्य मानचित्र है।

रैखिक मानचित्रों के रूप में
सामान्य स्थिति में, वेक्टर रिक्त स्थान के टेंसर उत्पाद के सभी गुण मॉड्यूल तक विस्तारित नहीं होते हैं। फिर भी, टेंसर उत्पाद के कुछ उपयोगी गुण, जिन्हें मॉड्यूल होमोमोर्फिज्म माना जाता है, बने हुए हैं।

दोहरा मॉड्यूल
दाएं आर-मॉड्यूल ई के दोहरे मॉड्यूल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है $m ∗ n = (m, n)$ विहित बाएँ R-मॉड्यूल संरचना के साथ, और इसे E दर्शाया गया है∗. विहित संरचना जोड़ और अदिश गुणन की बिंदुवार संक्रिया है। इस प्रकार, ई∗सभी आर-रेखीय मानचित्रों का सेट है $m ∗ n$ (जिसे रैखिक रूप भी कहा जाता है), संचालन के साथ $$(\phi + \psi)(u) = \phi(u) + \psi(u), \quad \phi, \psi \in E^*, u \in E$$ $$(r \cdot \phi) (u) = r \cdot \phi(u), \quad \phi \in E^*, u \in E, r \in R,$$ बाएं आर-मॉड्यूल के दोहरे को समान नोटेशन के साथ अनुरूप रूप से परिभाषित किया गया है।

हमेशा एक विहित समरूपता होती है $r ⋅ (m ∗ n) − m ∗ (r ⋅ n)$ई से इसके दूसरे दोहरे तक। यदि E परिमित रैंक का एक मुक्त मॉड्यूल है तो यह एक समरूपता है। सामान्य तौर पर, ई को रिफ्लेक्सिव मॉड्यूल कहा जाता है यदि कैनोनिकल होमोमोर्फिज्म एक आइसोमोर्फिज्म है।

द्वैत युग्म
हम इसके दोहरे E के प्राकृतिक युग्म को निरूपित करते हैं∗ और एक दायां आर-मॉड्यूल ई, या एक बायां आर-मॉड्यूल एफ और इसका दोहरा एफ∗जैसे $$ \langle \cdot, \cdot \rangle : E^* \times E \to R : (e', e) \mapsto \langle e', e \rangle = e'(e) $$ $$ \langle \cdot, \cdot \rangle : F \times F^* \to R : (f, f') \mapsto \langle f, f' \rangle = f'(f) .$$ यह युग्मन अपने बाएँ तर्क में बाएँ R-रैखिक है, और दाएँ तर्क में दाएँ R-रैखिक है: $$ \langle r \cdot g, h \cdot s \rangle = r \cdot \langle g, h \rangle \cdot s, \quad r, s \in R .$$

एक (द्वि)रेखीय मानचित्र के रूप में एक तत्व
सामान्य स्थिति में, मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद का प्रत्येक तत्व एक बाएं आर-रेखीय मानचित्र, एक दाएं आर-रेखीय मानचित्र और एक आर-बिलिनियर फॉर्म को जन्म देता है। क्रमविनिमेय मामले के विपरीत, सामान्य मामले में टेंसर उत्पाद एक आर-मॉड्यूल नहीं है, और इस प्रकार स्केलर गुणन का समर्थन नहीं करता है।

दोनों मामले सामान्य मॉड्यूल के लिए हैं, और समरूपता बन जाते हैं यदि मॉड्यूल ई और एफ को सीमित रूप से उत्पन्न प्रोजेक्टिव मॉड्यूल (विशेष रूप से परिमित रैंक के मुक्त मॉड्यूल) तक सीमित कर दिया जाता है। इस प्रकार, रिंग आर पर मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद का एक तत्व आर-रैखिक मानचित्र पर कैनोनिक रूप से मैप होता है, हालांकि वेक्टर रिक्त स्थान के साथ, ऐसे रैखिक मानचित्रों के पूर्ण स्थान के बराबर होने के लिए मॉड्यूल पर बाधाएं लागू होती हैं।
 * दाएं आर-मॉड्यूल ई और दाएं आर-मॉड्यूल एफ को देखते हुए, एक विहित समरूपता है $r ⋅ (m ⊗ n) = m ⊗ (r ⋅ n)$ ऐसा है कि $M × N$ नक्शा है $Hom_{R}(E, R)$.
 * बाएं आर-मॉड्यूल ई और दाएं आर-मॉड्यूल एफ को देखते हुए, एक विहित समरूपता है $E → R$ ऐसा है कि $E → E^{∗∗}$ नक्शा है $θ : F ⊗_{R} E^{∗} → Hom_{R}(E, F)$.


 * दाएं आर-मॉड्यूल ई और बाएं आर-मॉड्यूल एफ को देखते हुए, एक विहित समरूपता है $θ(f ⊗ e′)$ ऐसा है कि $e ↦ f ⋅ ⟨e′, e⟩$ नक्शा है $θ : F ⊗_{R} E → Hom_{R}(E^{∗}, F)$. इस प्रकार, एक टेंसर उत्पाद का एक तत्व ξ ∈ F∗ ⊗R E∗ को आर-बिलिनियर मानचित्र को जन्म देने या उसके रूप में कार्य करने के बारे में सोचा जा सकता है $θ(f ⊗ e)$.

ट्रेस
माना R एक क्रमविनिमेय वलय है और ई एक आर-मॉड्यूल। फिर एक विहित आर-रेखीय मानचित्र है:

$$E^* \otimes_R E \to R$$ द्वारा रैखिकता के माध्यम से प्रेरित $$\phi \otimes x \mapsto \phi(x)$$; यह प्राकृतिक युग्मन के अनुरूप अद्वितीय आर-रैखिक मानचित्र है।

यदि ई एक अंतिम रूप से उत्पन्न प्रक्षेप्य आर-मॉड्यूल है, तो कोई पहचान सकता है $$E^* \otimes_R E = \operatorname{End}_R(E)$$ ऊपर उल्लिखित विहित समरूपता के माध्यम से और फिर ऊपर ट्रेस मानचित्र है:

$$\operatorname{tr}: \operatorname{End}_R(E) \to R.$$ जब R एक फ़ील्ड है, तो यह एक रैखिक परिवर्तन का सामान्य ट्रेस (रैखिक बीजगणित) है।

विभेदक ज्यामिति से उदाहरण: टेंसर फ़ील्ड
विभेदक ज्यामिति में मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद का सबसे प्रमुख उदाहरण वेक्टर फ़ील्ड और विभेदक रूपों के रिक्त स्थान का टेंसर उत्पाद है। अधिक सटीक रूप से, यदि आर एक चिकनी मैनिफोल्ड एम पर चिकनी कार्यों की (कम्यूटिव) अंगूठी है, तो कोई डालता है

$$\mathfrak{T}^p_q = \Gamma(M, T M)^{\otimes p} \otimes_R \Gamma(M, T^* M)^{\otimes q}$$ जहां Γ का अर्थ अनुभागों का स्थान और सुपरस्क्रिप्ट है $$\otimes p$$ इसका अर्थ है R पर p को कई बार टेंसर करना। परिभाषा के अनुसार, का एक तत्व $$\mathfrak{T}^p_q$$ (p, q) प्रकार का एक टेंसर फ़ील्ड है।

आर-मॉड्यूल के रूप में, $$\mathfrak{T}^q_p$$ का दोहरा मॉड्यूल है $$\mathfrak{T}^p_q.$$ नोटेशन को हल्का करने के लिए लगाएं $$E = \Gamma(M, T M)$$ इसलिए $$E^* = \Gamma(M, T^* M)$$. जब p, q ≥ 1, प्रत्येक (k, l) के लिए 1 ≤ k ≤ p, 1 ≤ l ≤ q के साथ, एक R-बहुरेखीय मानचित्र होता है:

$$E^p \times {E^*}^q \to \mathfrak{T}^{p-1}_{q-1}, \, (X_1, \dots, X_p, \omega_1, \dots, \omega_q) \mapsto \langle X_k, \omega_l \rangle X_1\otimes \cdots\otimes \widehat{X_l}\otimes \cdots\otimes X_p \otimes \omega_1\otimes \cdots \widehat{\omega_l}\otimes \cdots\otimes \omega_q$$ कहाँ $$E^p$$ मतलब $$\prod_1^p E$$ और टोपी का मतलब है कि एक शब्द छोड़ा गया है। सार्वभौमिक संपत्ति के अनुसार, यह एक अद्वितीय आर-रेखीय मानचित्र से मेल खाता है:

$$C^k_l: \mathfrak{T}^p_q \to \mathfrak{T}^{p-1}_{q-1}.$$ इसे सूचकांक (k, l) में टेंसरों का टेंसर संकुचन कहा जाता है। सार्वभौमिक संपत्ति जो कहती है उसे खोलकर कोई देखता है:

$$C^k_l(X_1 \otimes \cdots \otimes X_p \otimes \omega_1 \otimes \cdots \otimes \omega_q) = \langle X_k, \omega_l \rangle X_1 \otimes \cdots \widehat{X_l} \cdots \otimes X_p \otimes \omega_1 \otimes \cdots \widehat{\omega_l} \cdots \otimes \omega_q.$$ टिप्पणी: पूर्ववर्ती चर्चा विभेदक ज्यामिति पर पाठ्यपुस्तकों में मानक है (उदाहरण के लिए, हेल्गासन)). एक तरह से, शीफ-सैद्धांतिक निर्माण (यानी, मॉड्यूल के शीफ की भाषा) अधिक प्राकृतिक और तेजी से अधिक सामान्य है; उसके लिए, अनुभाग देखें.

फ्लैट मॉड्यूल से संबंध
सामान्य रूप में,

$$-\otimes_R-:\text{Mod-}R\times R\text{-Mod}\longrightarrow \mathrm{Ab}$$ एक द्विभाजक है जो दाएं और बाएं आर मॉड्यूल जोड़ी को इनपुट के रूप में स्वीकार करता है, और उन्हें एबेलियन समूहों की श्रेणी में टेंसर उत्पाद को असाइन करता है।

एक सही आर मॉड्यूल एम, एक फ़ंक्टर को ठीक करके

$$M\otimes_R-:R\text{-Mod} \longrightarrow \mathrm{Ab}$$ उत्पन्न होता है, और एक फ़नकार बनाने के लिए सममित रूप से एक बाएं आर मॉड्यूल एन को तय किया जा सकता है

$$-\otimes_R N:\text{Mod-}R \longrightarrow \mathrm{Ab}.$$ होम बिफंक्टर के विपरीत $$\mathrm{Hom}_R(-,-),$$ टेंसर फ़ैक्टर दोनों इनपुट में सहसंयोजक फ़ैक्टर है।

ऐसा दिखाया जा सकता है $$M\otimes_R-$$ और $$-\otimes_R N$$ हमेशा सही सटीक फ़ैक्टर होते हैं, लेकिन जरूरी नहीं कि सटीक बाईं ओर हों ($$0\to \Z\to \Z\to \Z_n\to 0,$$ जहां पहला नक्शा गुणा है $$n$$, सटीक है लेकिन टेंसर को साथ लेने के बाद नहीं $$\Z_n$$). परिभाषा के अनुसार, एक मॉड्यूल टी एक फ्लैट मॉड्यूल है यदि $$T\otimes_R-$$ एक सटीक फ़नकार है.

अगर $$ \{m_i \mid i\in I \}$$ और $$ \{n_j \mid j \in J\}$$ तो, क्रमशः एम और एन के लिए सेट तैयार कर रहे हैं $$ \{m_i \otimes n_j \mid i\in I, j \in J\}$$ के लिए एक जनरेटिंग सेट होगा $$M\otimes_R N.$$ क्योंकि टेंसर फ़ैक्टर $$M\otimes_R-$$ कभी-कभी सटीक छोड़े जाने में विफल रहता है, यह न्यूनतम जनरेटिंग सेट नहीं हो सकता है, भले ही मूल जनरेटिंग सेट न्यूनतम हों। यदि एम एक फ्लैट मॉड्यूल है, तो फ़ैक्टर $$M\otimes_R-$$ फ्लैट मॉड्यूल की परिभाषा के अनुसार सटीक है। यदि टेंसर उत्पादों को फ़ील्ड F पर लिया जाता है, तो हम ऊपर दिए गए वेक्टर रिक्त स्थान के मामले में हैं। चूँकि सभी F मॉड्यूल समतल हैं, द्विभाजक $$-\otimes_R-$$ दोनों स्थितियों में सटीक है, और दिए गए दो जनरेटिंग सेट आधार हैं $$ \{m_i \otimes n_j \mid i\in I, j \in J\}$$ वास्तव में एक आधार बनता है $$M\otimes_F N.$$

अतिरिक्त संरचना
यदि एस और टी क्रमविनिमेय आर-बीजगणित हैं, तो #समतुल्य मॉड्यूल के समान, $e′ ↦ f ⋅ ⟨e, e′⟩$ गुणन मानचित्र द्वारा परिभाषित होने के साथ-साथ एक क्रमविनिमेय आर-बीजगणित भी होगा $θ : F^{∗} ⊗_{R} E^{∗} → L_{R}(F × E, R)$ और रैखिकता द्वारा विस्तारित। इस सेटिंग में, टेंसर उत्पाद क्रमविनिमेय आर-बीजगणित की श्रेणी में एक फाइबरयुक्त सहउत्पाद बन जाता है। (लेकिन यह आर-बीजगणित की श्रेणी में एक सहउत्पाद नहीं है।) यदि एम और एन दोनों एक क्रमविनिमेय रिंग पर आर-मॉड्यूल हैं, तो उनका टेंसर उत्पाद फिर से एक आर-मॉड्यूल है। यदि R एक वलय है,Rएम एक बायां आर-मॉड्यूल और कम्यूटेटर है

R के किन्हीं दो तत्वों r और s, M के एनीहिलेटर (रिंग सिद्धांत) में हैं, तो हम सेटिंग करके M को एक सही R मॉड्यूल में बना सकते हैं

एम पर आर की कार्रवाई भागफल क्रमविनिमेय रिंग की कार्रवाई के माध्यम से होती है। इस मामले में R के ऊपर M का टेंसर उत्पाद फिर से एक R-मॉड्यूल है। क्रमविनिमेय बीजगणित में यह एक बहुत ही सामान्य तकनीक है।

मॉड्यूल के कॉम्प्लेक्स का टेंसर उत्पाद
यदि एक्स, वाई आर-मॉड्यूल (आर एक क्रमविनिमेय रिंग) के कॉम्प्लेक्स हैं, तो उनका टेंसर उत्पाद द्वारा दिया गया कॉम्प्लेक्स है $$(X \otimes_R Y)_n = \sum_{i + j = n} X_i \otimes_R Y_j,$$ दिए गए अंतर के साथ: एक्स में एक्स के लिएi और Y में Yj, $$d_{X \otimes Y} (x \otimes y) = d_X(x) \otimes y + (-1)^i x \otimes d_Y(y).$$ उदाहरण के लिए, यदि C फ्लैट एबेलियन समूहों का एक श्रृंखला परिसर है और यदि G एक एबेलियन समूह है, तो होमोलॉजी समूह $$C \otimes_{\Z } G$$ जी में गुणांक के साथ सी का समरूपता समूह है (यह भी देखें: सार्वभौमिक गुणांक प्रमेय।)

मॉड्यूल के ढेरों का टेंसर उत्पाद
मॉड्यूल के शीव्स का टेंसर उत्पाद खुले उपसमुच्चय पर अनुभागों के मॉड्यूल के टेंसर उत्पादों के प्री-शीफ से जुड़ा शीफ ​​है।

इस सेटअप में, उदाहरण के लिए, कोई एक स्मूथ मैनिफोल्ड एम पर एक टेंसर फ़ील्ड को टेंसर उत्पाद के (वैश्विक या स्थानीय) अनुभाग के रूप में परिभाषित कर सकता है (जिसे 'टेंसर बंडल' कहा जाता है) $$(T M)^{\otimes p} \otimes_{O} (T^* M)^{\otimes q}$$ जहां O, M और बंडलों पर चिकने कार्यों के छल्लों का समूह है $$TM, T^*M$$ एम पर स्थानीय रूप से मुक्त शीफ के रूप में देखा जाता है। एम पर बाहरी सबबंडल टेंसर बंडल का उपबंडल है जिसमें सभी एंटीसिमेट्रिक सहसंयोजक टेंसर शामिल हैं। बाहरी बंडल का खंड (फाइबर बंडल) एम पर भिन्न रूप हैं।

एक महत्वपूर्ण मामला जब कोई गैर-कम्यूटेटिव रिंगों के एक समूह पर एक टेंसर उत्पाद बनाता है तो डी-मॉड्यूल|डी-मॉड्यूल के सिद्धांत में प्रकट होता है; यानी, डिफरेंशियल ऑपरेटरों के शीफ पर टेंसर उत्पाद।

यह भी देखें

 * टोर काम करता है
 * बीजगणित का टेंसर उत्पाद
 * क्षेत्रों का टेंसर उत्पाद
 * व्युत्पन्न टेंसर उत्पाद