इकोसिट्रिगोन

ज्यामिति में, इकोसिट्रिगोन (या इकोसिकाइट्रिगोन) या 23-गॉन 23-पक्षीय बहुभुज है। आईकोसिट्रिगोन को सबसे छोटा नियमित बहुभुज होने का गौरव प्राप्त है जो न्यूसिस निर्माण नहीं है।

नियमित इकोसिट्रिगोन
नियमित बहुभुज इकोसिट्रिगोन को श्लाफली प्रतीक {23} द्वारा दर्शाया गया है।

नियमित इकोसिट्रिगोन में $A = \frac{23}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{23} = 23r^2 \tan \frac{\pi}{23} \simeq 41.8344\,a^2$ के क्षेत्र के साथ $\frac{3780}{23}$  घात के आंतरिक कोण होते हैं, जहाँ $$a$$ पक्ष की लंबाई है और $$r$$ अंतःत्रिज्या, या अंतःत्रिज्या है।

23 (संख्या) न तो फर्मेट प्राइम और न ही पियरपोंट प्राइम होने के कारण नियमित इकोसिट्रिगोन एक कम्पास और स्ट्रेटेज या कोण त्रिभाजन के साथ रचनात्मक नहीं है। इसके अतिरिक्त, नियमित आईकोसिट्रिगोन सबसे छोटा नियमित बहुभुज है जो न्यूसिस के साथ भी रचनात्मक नहीं है।

नियमित इकोसिट्रिगोन की गैर-संरचनात्मकता के संबंध में, ए बारागर (2002) ने दिखाया कि केवल एक कम्पास और दो-नुकीला सीधा किनारा का उपयोग करके नियमित 23-गॉन का निर्माण करना संभव नहीं है, यह प्रदर्शित करते हुए कि उक्त विधि से निर्मित प्रत्येक बिंदु क्षेत्र के टॉवर में स्थित है। $$\Q$$ पर ऐसा है कि $$\Q = K_0 \subset K_1 \subset \dots \subset K_n = K$$, नेस्टेड क्षेत्र का अनुक्रम होना जिसमें प्रत्येक चरण पर विस्तार की घात 2, 3, 5, या 6 है।

मान लीजिए $$\alpha$$ में $$\Complex$$ कम्पास और दो बार नोकदार सीधा किनारा का उपयोग करके निर्माण किया जा सकता है। तब $$\alpha$$ क्षेत्र $$K$$ से संबंधित है जो क्षेत्र

$$\Q = K_0 \subset K_1 \subset \dots \subset K_n = K$$

के टॉवर में स्थित है लिए प्रत्येक चरण में सूचकांक $$[K_j: K_{j - 1}]$$ 2, 3, 5, या 6 है। विशेष रूप से, यदि $$N = [K : \Q]$$, तो $$N$$ को विभाजित करने वाले एकमात्र प्राइम 2, 3 और 5 (प्रमेय 5.1) हैं।

यदि हम नियमित p-गॉन का निर्माण कर सकते हैं, तो हम $$\zeta_p = e^\frac{2\pi i}{p}$$का निर्माण कर सकते हैं, जो कि घात $$p - 1$$ के एक अलघुकरणीय बहुपद का मूल हैं। प्रमेय 5.1 के अनुसार, $$\zeta_p$$ $$\Q$$ के ऊपर घात $$N$$ के एक क्षेत्र $$K$$ में निहित है, जहाँ $$N$$ को विभाजित करने वाले एकमात्र अभाज्य 2, 3 और 5 हैं। किन्तु $$\Q[\zeta_p]$$, $$K$$ का उपक्षेत्र है, इसलिए $$p - 1$$, $$N$$ को विभाजित करता है। विशेष रूप से, के लिए $$p = 23$$, $$N$$ 11 से विभाज्य होना चाहिए, और के लिए $$p = 29$$, N को 7 से विभाज्य होना चाहिए।

यह परिणाम 100-गॉन के नीचे अभाज्य-घात नियमित बहुभुजों पर विचार करते हुए स्थापित करता है, कि 23-, 29-, 43-, 47-, 49-, 53-, 59-, 67-, 71-, 79-, 83-, और 89-गोंन्स नेसिस के साथ का निर्माण करना असंभव है। किन्तु यह इतना शक्तिशाली नहीं है कि 11-, 25-, 31-, 41- और 61-गोंन्स के स्थितियों का फैसला कर सके। इलियट बेंजामिन और चिप स्नाइडर ने 2014 में पता लगाया कि नियमित हेंडेकैगन (11-गॉन) न्यूसिस रचनात्मक है; शेष स्थितियाँ अभी भी खुली हैं।

इकोसिट्रिगोन ओरिगैमी रचनात्मक भी नहीं है, क्योंकि 23 पियरपोंट प्राइम नहीं है, न ही दो या तीन की घात हैं। इसका निर्माण हिप्पियास, आर्किमिडीयन सर्पिल, और अन्य सहायक वक्रों के चतुर्भुज का उपयोग करके किया जा सकता है; फिर भी यह सभी नियमित बहुभुजों के लिए सत्य है।

संबंधित आंकड़े
नीचे दस नियमित आईकोसिट्रिग्राम, या स्टार बहुभुज 23-गोंन्स की तालिका है, जो उनके संबंधित श्लाफली प्रतीक {23/q}, 2 ≤ q ≤ 11 के साथ लेबल की गई है।

बाहरी संबंध

 * Automated Detection of Interesting Properties in Regular Polygons