गैलोइस कनेक्शन

गणित में, विशेष रूप से क्रम सिद्धांत में, गाल्वा संयोजन दो आंशिक रूप से क्रमित समुच्चय (क्रमित समुच्चय) के बीच एक विशेष संगति (सामान्यतः) होते है। गाल्वा संयोजन विभिन्न गणितीय सिद्धांतों में अनुप्रयोग खोजते हैं। वे उपसमूहों और क्षेत्र विस्तार के बीच संगति के वस्तु में गाल्वा सिद्धांत के मौलिक प्रमेय को सामान्यीकृत करते हैं, जिसे फ्रांसीसी गणितज्ञ इवरिस्टे गाल्वा द्वारा खोजा गया था।

गाल्वा संयोजन को पहले से क्रमित किए गए समुच्चय या पहले से क्रमित किए गए वर्ग पर भी परिभाषित किया जा सकता है; यह लेख क्रमित समुच्चयों के सामान्य स्थिति को प्रस्तुत करते है। साहित्य में गाल्वा संयोजन की दो निकट संबंधी धारणाएँ हैं। इस लेख में, हम उन्हें (एकदिष्ट) गाल्वा संयोजन और एंटीटोन गाल्वा संयोजन के रूप में संदर्भित करेंगे।

सम्मिलित क्रमित समुच्चयों के बीच एक क्रम समरूपता की तुलना में गाल्वा संयोजन अपेक्षाकृत दुर्बल है, परन्तु प्रत्येक गाल्वा संयोजन कुछ उप-क्रमित समुच्चयों के समरूपता को जन्म देता है, जैसा कि नीचे बताया जाएगा। गाल्वा संगति पद का प्रयोग कभी-कभी विशेषण गाल्वा संयोजन के अर्थ में किया जाता है; यह मात्र एक क्रम समरूपता है (या द्वैत क्रम समरूपता, इस पर निर्भर करते है कि क्या हम एकदिष्ट या एंटीटोन गाल्वा संयोजन लेते हैं)।

(एकदिष्ट) गाल्वा संयोजन
बता दें कि $(A, ≤)$ और $(B, ≤)$ दो आंशिक रूप से क्रमित किए गए समुच्चय हैं। इन क्रमित समुच्चयों के बीच एकदिष्ट गाल्वा संयोजन में दो एकदिष्ट फलन होते हैं फलन (गणित) : $x ≤ g(&thinsp;f&thinsp;(x))$ और $f&thinsp;(g(y)) ≤ y$, जैसे कि $x$ में सभी $A$ और $y$ में $B$ के लिए, अपने निकट


 * $F : A → B$ है यदि और मात्र यदि $G : B → A$ $F(a) ≤ b$।

इस स्थिति में, $A$ को $a$ का निम्नतर संलग्नक कहा जाता है और $B$ को F का उच्चतर संलग्नक कहा जाता है। स्मरणीय रूप से, उच्चतर/निचली पदावली से तात्पर्य है जहां फलन अनुप्रयोग ≤ के सापेक्ष प्रकट होते है। संलग्न पद इस तथ्य को संदर्भित करते है कि एकदिष्ट गाल्वा संयोजन श्रेणी सिद्धांत में संलग्न प्रकार्यक के संलग्नक की विशेष स्थिति हैं जैसा कि नीचे चर्चा की गई है। यहाँ अन्य पदावली का सामना निम्न (उत्तर. उच्चतर) संलग्न के लिए बाएँ संलग्न (उत्तर दाएँ संलग्न) से होता है।

गाल्वा संयोजन का आवश्यक गुण यह है कि गाल्वा संयोजन का एक उच्चतर / निम्नतर संलग्नक विशिष्ट दूसरे को निर्धारित करते है:


 * $a ≤ G(b)$ $a ≤ G(b)$ के साथ कम से कम अवयव $F(a)$ है, और
 * $a ≤ G(~ b)$ $~ b$ सबसे बड़ा अवयव $b$ है।

इसका परिणाम यह है कि यदि $F$ या $G$ व्युत्क्रमणीय है, तो प्रत्येक दूसरे का व्युत्क्रम है, अर्थात $G(b)$।

निम्नतर संलग्न के साथ गाल्वा संयोजन दिया गया $G$ और उच्चतर संलग्न $~ a$, हम फलन संरचना पर विचार कर सकते हैं $F(~ a) ≤ b$, जिसे संबद्ध संवरक संक्रियक के रूप में जाना जाता है, और $F = G^{ −1}$, संबद्ध मूल संक्रियक के रूप में जाना जाता है। दोनों एकदिष्ट और इदम्पोटेंट हैं, और हमारे निकट $F$ में सभी $G$ के लिए $GF : A → A$ और $F$ में सभी के लिए $G$ $FG : B → B$ सभी के लिए है।

$A$ में $a$ का गाल्वा सम्मिलन गाल्वा संयोजन है जिसमें मूल संक्रियक $B$ $b$ तत्समक फलन है, और इसलिए $A$, $B$ के संवृत अवयवों $FG$&hairsp;[$B$] के समुच्चय पर $G$ का एक क्रम समरूपता है।

एंटीटोन गाल्वा संयोजन
उपरोक्त परिभाषा आज कई अनुप्रयोगों में सामान्य है, और जालक (क्रम) और प्रांत सिद्धांत में प्रमुख है। यद्यपि गाल्वा सिद्धांत में मूल धारणा थोड़ी अलग है। इस वैकल्पिक परिभाषा में, गाल्वा संयोजन एंटीटोन की एक संलग्नक है, अर्थात क्रम-उत्क्रमणीय, फलन $a ≤ GF(a)$ और $FG(b) ≤ b$ दो क्रमित $A$ और $GF$ के बीच, जैसे कि


 * $F : A → B$ यदि और मात्र यदि $G : B → A$।

इस संस्करण में $A$ और $B$ की समरूपता उच्चतर और निम्नतर के बीच के अंतर को समाप्त कर देती है, और दो फलनों को फिर संलग्न के अतिरिक्त ध्रुवीकरण कहा जाता है। चूंकि प्रत्येक ध्रुवता विशिष्ट रूप से दूसरे को निर्धारित करती है


 * $b ≤ F(a)$ $a ≤ G(b)$ के साथ सबसे बड़ा अवयव $A$ है, और
 * $F(a)$ $a ≤ G(b)$ के साथ सबसे बड़ा अवयव $B$ है।

रचनाएँ $G(b)$ और $b ≤ F(a)$ संबंधित संवरक संक्रियक हैं; वे $F$ में सभी $G$ के लिए गुण $GF : A → A$ और $b$ में सभी $a$ के लिए $FG : B → B$ के साथ एकदिष्ट आदर्श इदम्पोटेंट प्रतिचित्र हैं।

गाल्वा संयोजन की दो परिभाषाओं के निहितार्थ बहुत समान हैं, क्योंकि $A$ और $a$ के बीच एंटीटोन गाल्वा संयोजन $B$ और $b$ द्वैत (क्रम सिद्धांत) $a ≤ GF(a)$ के बीच मात्र एकदिष्ट गाल्वा संयोजन है। गाल्वा संयोजन पर नीचे दिए गए सभी कथन इस प्रकार सरलता से एंटीटोन गाल्वा संयोजन के कथनों में परिवर्तित किए जा सकते हैं।

घात समुच्चय; निहितार्थ और संयोजन
क्रम-सैद्धांतिक उदाहरण के लिए, $A$ को कुछ समुच्चय (गणित) होने दें, और $B$ और $A$ दोनों को $B$ की घात समूहित होने दें, जो अंतर्वेश द्वारा क्रमित किया गया। $U$ का एक निश्चित उपसमुच्चय $A$ चुनें। फिर प्रतिचित्र $B$ और $U$, जहां $b ≤ FG(b)$, और $B^{op}$, एकदिष्ट गाल्वा संयोजन बनाते हैं, जिसमें $U$ निम्नतर संलग्न है। एक समान गाल्वा संयोजन जिसका निम्नतर संलग्न जोड़ (न्यूनतम) संचालन द्वारा दिया गया है, किसी भी हेटिंग बीजगणित में पाया जा सकता है। विशेष रूप से, यह किसी भी बूलियन बीजगणित (संरचना) में स्थित है, जहां दो प्रतिचित्रण को $F(M&hairsp;) = L ∩ M$ और $G(N&hairsp;) = N ∪ (U&thinsp;\&thinsp;L)$ द्वारा वर्णित किया जा सकता है। तार्किक पदों में: $L$ से निहितार्थ "$F$" के साथ संयोजन का उच्चतर संलग्नक है।

जालक
गाल्वा संयोजन के लिए और रुचिपूर्ण उदाहरण पूर्णता (क्रम सिद्धांत) पर लेख में वर्णित हैं। साधारणनिर्धारिता बोलते हुए, यह पता चला है कि सामान्य फलन ∨ और ∧ विकर्ण प्रतिचित्र $F(x) = (a ∧ x)$ के निम्नतर और उच्चतर भाग हैं। आंशिक क्रम के निम्नतम और सबसे बड़े अवयव अद्वितीय फलन $G(&hairsp;y) = (&hairsp;y ∨ ¬a) = (a ⇒ y)$ के निम्नतर और उच्चतर संलग्नक द्वारा दिए गए हैं। आगे जाकर, पूर्ण जालकों को भी उपयुक्त संलग्नकों के अस्तित्व द्वारा अभिलक्षित किया जा सकता है। ये विचार क्रम सिद्धांत में गाल्वा संयोजन की सर्वव्यापकता का कुछ अनुप्रभाव देते हैं।

संक्रामी समूह क्रियाएं
मान लीजिए कि $G$, $F$ पर समूह क्रिया से कार्य करता है और $a$ में कोई बिंदु $a$ चुनता है।


 * $$\mathcal{B} = \{B \subseteq X : x \in B; \forall g \in G, gB = B \ \mathrm{or} \ gB \cap B = \emptyset\},$$

पर विचार करें, $G$ युक्त कक्ष का समुच्चय। इसके अतिरिक्त, $$\mathcal{G}$$ में $X$ के उपसमूह होते हैं जिनमें $X$ के स्थिरक होते हैं।

फिर, संगति $$\mathcal{B} \to \mathcal{G}$$:
 * $$ B \mapsto H_B = \{g \in G : gx \in B\}$$

एकदिष्ट, अंतःक्षेप फलन गाल्वा संयोजन है। एक उपप्रमेय के रूप में, कोई यह स्थापित कर सकता है कि द्विगुणित संक्रामी क्रियाओं में साधारण लोगों (एकल या संपूर्ण $x$) के अतिरिक्त कोई कक्ष नहीं है: यह उस स्थिति में $x$ स्थिरक में अधिकतम होने के कारण होते है। आगे की चर्चा के लिए 2-संक्रामी समूह देखें।

प्रतिबिंब और प्रतिलोम प्रतिबिंब
यदि $X → X × X$ एक फलन (गणित) है, तो $G$ के किसी उपसमुच्चय $x$ के लिए का हम प्रतिबिंब $X → {1 }$ बना सकते हैं (गणित) और $X$ के किसी उपसमुच्चय $G$ के लिए हम प्रतिलोम प्रतिबिंब $&thinsp;f : X → Y$ बना सकते हैं। फिर $X$ और $M$, $Y$ की घात समुच्चय $N$ की घात समुच्चय के बीच एकदिष्ट गाल्वा संयोजन बनाते हैं और का घात समुच्चय, दोनों समावेशन ⊆ द्वारा क्रमित होते हैं। इस स्थिति में एक और संलग्न युग्म है: $F$ के उपसमुच्चय $G$ के लिए, $F(M&hairsp;) = &thinsp;f&thinsp;M = {&thinsp;f&thinsp;(m) | m ∈ M}$ परिभाषित करें। फिर $X$ और $Y$, $X$ की घात समुच्चय और $M$ की घात समुच्चय के बीच एकदिष्ट गाल्वा संयोजन बनाते हैं। पहले गाल्वा संयोजन में, $G$ उच्चतर संलग्नक है, जबकि दूसरे गाल्वा संयोजन में यह निम्नतर संलग्नक के रूप में कार्य करते है।

बीजगणितीय वस्तुओं (जैसे समूह (गणित) ) के बीच एक अंश समूह की स्थिति में, इस संयोजन को जालक प्रमेय कहा जाता है: $H$ के उपसमूह $G(N&hairsp;) = &thinsp;f ^{−1}N = {x ∈ X | &thinsp;f&thinsp;(x) ∈ N }$ के उपसमूहों से संबद्ध हैं, और $Y$ के उपसमूहों पर संवरक संक्रियक $H(M) = {y ∈ Y | &thinsp;f ^{−1}{y} ⊆ M }$ द्वारा दिया जाता है।

विस्तृति और संवरक
कुछ गणितीय वस्तु $X$ चुनें जिसमें एक अंतर्निहित समुच्चय हो, उदाहरण के लिए समूह, वलय (गणित), सदिश समष्टि इत्यादि। $G$ के किसी भी उपसमुच्चय $G$ के लिए, $G/N$ को $G$ का सबसे छोटा उपवस्तु होने दें जिसमें $X$ सम्मिलित हो, अर्थात $X$ द्वारा उत्पन्न उपसमूह, उपसमूह या उपसमष्टि। $S$ के किसी भी वस्तु $X$ के लिए, $\overline{H} = HN$ को $S$ का अंतर्निहित समुच्चय होने दें। (हम $S$ को एक सांस्थितिक समष्टि भी ले सकते हैं, $F(S&hairsp;)$ को $X$ के संवरक (सांस्थिति) होने दें, और $U$ के संवृत उपसमुच्चय $U$ के उपवस्तु के रूप में लें।) अब $X$ और $S$ $X$ के उपवस्तु के बीच एकदिष्ट गाल्वा संयोजन बनाते हैं, यदि दोनों को समावेशन द्वारा क्रमित किया गया है। $X$ निम्नतर सन्निकट है।

वाक्यविन्यास और शब्दार्थ
विलियम लॉवरे की एक बहुत ही सामान्य टिप्पणी यह है कि वाक्य रचना और शब्दार्थ संलग्न हैं: $F$ को सभी तार्किक सिद्धांतों (स्वयंसिद्धीकरण) के के रूप में लें, और $G$ को सभी गणितीय संरचनाओं के समुच्चय की घात समुच्चय मानें। सिद्धांत $G(U&hairsp;)$ के लिए, मान लीजिए $F(S&hairsp;)$ उन सभी संरचनाओं का समुच्चय है जो सिद्धांतों $X$ को संतुष्ट करते हैं; गणितीय संरचनाओं के एक समुच्चय $T ∈ A$ के लिए, $Mod(T&hairsp;)$ को कम से कम स्वयंसिद्धीकरण हो जो लगभग $F$ हो (प्रथम-क्रम तर्क में, यह वाक्यों का समुच्चय है जो $A$ में सभी संरचनाओं में सत्य हैं)। हम फिर कह सकते हैं कि $S ∈ B$ $B$ का उपसमुच्चय है यदि और मात्र यदि $T$ तार्किक रूप से $Th(S&hairsp;)$ का तात्पर्य है: स्मरणीय प्रकार्यक $Mod(T&hairsp;)$ और वाक्यविन्यास प्रकार्यक $Th(S&hairsp;)$ एकदिष्ट गाल्वा संयोजन बनाते हैं, जिसमें शब्दार्थ उच्चतर संलग्न होते है।

गाल्वा सिद्धांत
प्रेरक उदाहरण गाल्वा सिद्धांत से आता है: मान लीजिए $Mod$ एक क्षेत्र विस्तार है। मान लीजिए $S$, $S$ के सभी उपक्षेत्रों का समुच्चय हो जिसमें $S$ सम्मिलित है, समावेशन ⊆ द्वारा क्रमित। यदि एक $T$ ऐसा उपक्षेत्र है, तो $A$ के क्षेत्र स्वसमाकृतिकता के समूह के लिए $Th$ लिखें जो $L$ को स्थिर रखता है। $K$ को समावेशन ⊆ द्वारा क्रमित $L/K$ के उपसमूहों का समुच्चय होने दें। ऐसे उपसमूह $E$ के लिए, $Gal(L/E)$ को $L$ के सभी अवयवों से युक्त क्षेत्र के रूप में परिभाषित करें जो $E$ के सभी अवयवों द्वारा निर्धारित किए गए हैं। फिर प्रतिचित्र $Gal(L/K)$ और $Fix(G)$ एंटीटोन गाल्वा संयोजन बनाते हैं।

बीजगणितीय सांस्थिति: रिक्त समष्टि को आच्छादित करना
समान रूप से, एक पथ-संयोजित सांस्थितिक समष्टि $B$ दिया गया, मौलिक समूह $E Gal(L/E)$ के उपसमूहों और $G$ के पथ संबद्ध आच्छादित रिक्त समष्टि के बीच एक एंटीटोन गाल्वा संयोजन है। विशेष रूप से, यदि $L$ अर्ध- सांस्थितिक रूप से मात्र संयोजित है, तो $G Fix(G)$ के प्रत्येक उपसमूह $G$ के लिए, इसके मूलभूत समूह के रूप में $X$ के साथ एक आवरण समष्टि है।

रेखीय बीजगणित: समुच्छेदक और लाम्बिक पूरक
एक आंतरिक उत्पाद समष्टि $X$ दिया गया है, हम $X$ के किसी भी उप-समष्टि $G$ के लाम्बिक पूरक $π_{1}(X)$ बना सकते हैं। यह $G$ और स्वयं उप-समष्टि के समुच्चय के बीच एक एंटीटोन गाल्वा संयोजन उत्पन्न करते है, जो समावेशन द्वारा क्रमित होते है; दोनों ध्रुवताएं $V$ बराबर हैं।

सदिश समष्टि $V$ और $X$ का एक उपसमुच्चय $V$ दिया गया है, हम इसके समुच्छेदक $π_{1}(X)$ को परिभाषित कर सकते हैं, जिसमें $F$ के दोहरे समष्टि $F(X&hairsp;)$ के सभी अवयव सम्मिलित हैं जो $V$ पर गायब हो जाते हैं। इसी प्रकार, $F(X&hairsp;)$ का उपसमुच्चय $V$ दिया गया है, इसके समुच्छेदक $V&hairsp;^{∗}$ को परिभाषित करते। यह $X$ के उपसमुच्चय और $V&hairsp;^{∗}$ के उपसमुच्चय के बीच एक एंटीटोन गाल्वा संयोजन देते है।

बीजगणितीय ज्यामिति
बीजगणितीय ज्यामिति में, बहुपदों के समुच्चय और उनके शून्य समुच्चय के बीच का संबंध एंटीटोन गाल्वा संयोजन है।

एक प्राकृतिक संख्या $V$ और एक क्षेत्र (गणित) $X$ को ठीक करें और $Y$ को बहुपद वलय $G(Y&thinsp;) = {&hairsp;x ∈ V | φ(x) = 0 ∀φ ∈ Y&hairsp; }$ के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय होने दें, जो समावेशन ⊆ द्वारा क्रमित है, और $V$ को समावेशन ⊆ द्वारा क्रमित $V&hairsp;^{∗}$ के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय होने दें। यदि $n$ बहुपदों का एक समुच्चय है, तो विभिन्न प्रकार के शून्यों को


 * $$V(S) = \{x \in K^n : f(x) = 0 \mbox{ for all } f \in S\},$$

के रूप में परिभाषित करें, $K$ में बहुपदों के सामान्य शून्यों का समुच्चय है। यदि $A$, $K[X_{1}, ..., X_{n}]$ का उपसमुच्चय है, तो $K^{&hairsp;n}$ को $B$ पर लुप्त होने वाले बहुपदों के आदर्श (वलय सिद्धांत) के रूप में परिभाषित करें, जो कि


 * $$I(U) = \{f \in K[X_1,\dots,X_n] : f(x) = 0 \mbox{ for all } x \in U\}$$ है।

फिर $S$ और I एक एंटीटोन गाल्वा संयोजन बनाते हैं।

$K^{&hairsp;n}$ पर संवरक जरिस्की सांस्थिति में संवरक है, और यदि क्षेत्र $S$ बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र है, तो बहुपद वलय पर संवृत होना $U$ द्वारा उत्पन्न आदर्श का मूलांक है।

अधिक सामान्यतः, एक क्रमविनिमेय वलय $U$ (अनिवार्य रूप से एक बहुपद वलय) दिया गया हो, वलय में मूलांक आदर्शों और बीजगणितीय ज्यामिति के सजातीय उप-प्रकारों $I(U&hairsp;)$ के बीच एक एंटीटोन गाल्वा संयोजन होते है।

अधिक सामान्यतः, वलय में आदर्शों और संबंधित बीजगणितीय ज्यामिति सजातीय प्रकारों की उपयोजनाओं के बीच एक एंटीटोन गाल्वा संयोजन होते है।

बाइनरी संबंधों से उत्पन्न होने वाले घात समुच्चय पर संयोजन
मान लीजिए $V$ और $K$ स्वेच्छ समुच्चय हैं और $S$ और $R$ पर एक द्विआधारी संबंध $X$ दिया हुआ है। $Y$ के किसी उपसमुच्चय $X$ के लिए, हम $K^{&hairsp;n}$ परिभाषित करते हैं। इसी प्रकार, $Y$ के किसी उपसमुच्चय $R$ के लिए, $Spec(R)$ परिभाषित करना। फिर $X$ और $M$, $Y$ और $N$ की घात समुच्चय के बीच एक एंटीटोन गाल्वा संयोजन उत्पन्न करते हैं, दोनों समावेशन ⊆ द्वारा क्रमित होते हैं।

समरूपता तक घात समुच्चय के बीच सभी एंटीटोन गाल्वा संयोजन इस प्रकार से उत्पन्न होते हैं। यह अवधारणा जालक पर मूलभूत प्रमेय से आता है। औपचारिक अवधारणा विश्लेषण में द्विआधारी संबंधों से उत्पन्न होने वाले गाल्वा संयोजन के सिद्धांत और अनुप्रयोगों का अध्ययन किया जाता है। वह क्षेत्र गणितीय डेटा विश्लेषण के लिए गाल्वा संयोजन का उपयोग करते है। संबंधित साहित्य में गाल्वा संयोजन के लिए कई एल्गोरिदम पाए जा सकते हैं, उदाहरण के लिए।

गुण
निम्नलिखित में, हम एक (एकदिष्ट) गाल्वा संयोजन $F(M&hairsp;) = {&hairsp;y ∈ Y | mRy ∀m ∈ M&hairsp; }$ पर विचार करते हैं, जहां &thinsp;f ∗ : A → B जैसा कि ऊपर प्रस्तुत किया गया है, निम्नतर संलग्नक है। कुछ सहायक और शिक्षाप्रद मूलभूत गुणों को तुरंत प्राप्त किया जा सकता है। गाल्वा संयोजन के परिभाषित गुण द्वारा, $G(N&hairsp;) = {&hairsp;x ∈ X | xRn ∀n ∈ N&hairsp; }$, $&thinsp;f = (&thinsp;f ^{∗}, &thinsp;f_{∗})$ के बराबर है, $F$ में सभी $G$ के लिए। इसी प्रकार के तर्क से (या मात्र द्वैत (क्रम सिद्धांत) को लागू करके), कोई यह पाता है कि $&thinsp;f ^{∗}(x) ≤ &thinsp;f ^{∗}(x)$, $X$ में सभी $Y$ के लिए। संयुक्त $x ≤ &thinsp;f_{∗}(&thinsp;f ^{∗}(x))$ कहकर इन गुणों का वर्णन किया जा सकता है, जबकि $&thinsp;f ^{∗}(&thinsp;f_{∗}(y)) ≤ y$ स्फीति (या व्यापक) है।

अब $&thinsp;f ^{∗}∘&thinsp;f_{∗}$ पर विचार करें कि $&thinsp;f_{∗}∘&thinsp;f ^{∗}$। फिर उपरोक्त का उपयोग करके $x, y ∈ A$ प्राप्त होते है। गाल्वा संयोजन के मूल गुण को लागू करने से अब यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि $x ≤ y$। परन्तु यह मात्र यही दर्शाता है कि $x ≤ &thinsp;f_{∗}(&thinsp;f ^{∗}(y))$ किन्हीं भी दो अवयवों के क्रम को बनाए रखता है, अर्थात यह एकदिष्ट है। फिर से, इसी प्रकार के तर्क से $&thinsp;f ^{∗}(x) ≤ &thinsp;f ^{∗}(y)$ की एकरसता उत्पन्न होती है। इस प्रकार एकरसता को स्पष्ट रूप से परिभाषा में सम्मिलित करने की आवश्यकता नहीं है। यद्यपि, एकदिष्टता का उल्लेख करने से गाल्वा संयोजन की दो वैकल्पिक धारणाओं के विषय में भ्रम से बचने में सहायता मिलती है।

गाल्वा संयोजन का एक और मूलभूत गुण यह तथ्य है कि $&thinsp;f ^{∗}$, $A$ में सभी $x$ के लिए। स्पष्ट रूप से हम पाते हैं कि



क्योंकि $&thinsp;f_{∗}$ स्फीतिकारक है जैसा कि ऊपर दिखाया गया है। दूसरी ओर, चूंकि $&thinsp;f_{∗}(&thinsp;f ^{∗}(&thinsp;f_{∗}(x))) = &thinsp;f_{∗}(x)$ अपस्फीतिकारक है, जबकि $&thinsp;f_{∗}(&thinsp;f ^{∗}(&thinsp;f_{∗}(x))) ≥ &thinsp;f_{∗}(x)$ एकदिष्टता है, कोई पाता है कि



यह वांछित समानता दिखाता है। इसके अतिरिक्त, हम इस गुण का उपयोग यह निष्कर्ष निकालने के लिए कर सकते हैं कि



और



अर्थात, $&thinsp;f_{∗}∘&thinsp;f ^{∗}$ और $&thinsp;f ^{∗}∘&thinsp;f_{∗}$ इदम्पोटेंट हैं।

यह दिखाया जा सकता है (प्रमाण के लिए बेलीथ या एर्ने देखें) कि एक फलन $&thinsp;f_{∗}$ एक निम्नतर (प्रतिक्रिया उच्चतर) संलग्न है यदि और मात्र यदि $&thinsp;f_{∗}(&thinsp;f ^{∗}(&thinsp;f_{∗}(x))) ≤ &thinsp;f_{∗}(x)$ एक अवशिष्ट प्रतिचित्रण (प्रतिक्रिया अवशिष्ट प्रतिचित्रण) है। इसलिए, अवशिष्ट प्रतिचित्रण और एकदिष्ट गाल्वा संयोजन की धारणा अनिवार्य रूप से समान है।

संवरक संक्रियक और गाल्वा संयोजन
उपरोक्त निष्कर्षों को निम्नानुसार संक्षेपित किया जा सकता है: गाल्वा संयोजन के लिए, समग्र $&thinsp;f ^{∗}(&thinsp;f_{∗}(&thinsp;f ^{∗}(&thinsp;f_{∗}(x)))) = &thinsp;f ^{∗}(&thinsp;f_{∗}(x))$ एकदिष्ट है (एकदिष्ट फलनों का सम्मिश्रण होने के कारण), स्फीतिकारी और निष्क्रिय है। यह बताता है कि $&thinsp;f_{∗}(&thinsp;f ^{∗}(&thinsp;f_{∗}(&thinsp;f ^{∗}(x)))) = &thinsp;f_{∗}(&thinsp;f ^{∗}(x))$ वस्तुतः $B$ पर संवरक संक्रियक है। दैनिक रूप से, $&thinsp;f ^{∗}∘&thinsp;f_{∗}$ एकदिष्ट, अपस्फीति और इदम्पोटेंट है। ऐसे प्रतिचित्रण को कभी-कभी मूल संक्रियक कहा जाता है। फ्रेम और अवस्थिति के संदर्भ में, समग्र $&thinsp;f_{∗}∘&thinsp;f ^{∗}$ को $&thinsp;f&thinsp;$ द्वारा प्रेरित नाभिक कहा जाता है। नाभिक प्रेरित फ्रेम समरूपता; अवस्थिति के एक उपसमुच्चय को उपअवस्थिति कहा जाता है यदि यह एक नाभिक द्वारा दिया जाता है।

विरूपण (तर्क), किसी क्रमित समुच्चय $y$ पर कोई संवरक संक्रियक $B$ गाल्वा संयोजन को निम्नतर सन्निकट $&thinsp;f&thinsp;$ के साथ जन्म देते है, जो कि $x$ के प्रतिबिंब के लिए $A$ का सह प्रतिबंध है (अर्थात संवरक प्रणाली $&thinsp;f_{∗}∘&thinsp;f ^{∗}$ के एक विशेषण प्रतिचित्रण के रूप में)। उच्चतर संलग्नक $&thinsp;f_{∗}∘&thinsp;f ^{∗}$ फिर $&thinsp;f ^{∗}∘&thinsp;f_{∗}$ को $A$ में समावेशन करके दिया जाता है, जो प्रत्येक संवृत अवयव को $c$ के अवयव के रूप में माना जाता है। प्रत्येक दूसरे के एक उदाहरण को निर्दिष्ट करते है। इसी प्रकार के निष्कर्ष मूल संक्रियकों के लिए सत्य हैं।

उपरोक्त विचार यह भी दिखाते हैं कि $c$ के संवृत अवयव (अवयव $c$ के साथ $&thinsp;f_{∗}∘&thinsp;f ^{∗}$) मूल संक्रियक $&thinsp;f$ की सीमा के भीतर अवयवों के लिए प्रतिचित्रित किए गए हैं, और इसके विपरीत।

गाल्वा संयोजन का अस्तित्व और विशिष्टता
गाल्वा संयोजन की एक और महत्वपूर्ण गुण यह है कि निम्नतर संलग्न सीमा (क्रम सिद्धांत) को संरक्षित करते हैं जो कि एक फलन के अपने प्रांत के भीतर स्थित हैं। दैनिक रूप से, उच्चतर अनुलग्न सभी स्थिता निम्नतम को संरक्षित करते हैं। इन गुणों से, कोई भी तुरंत संलग्नों की एकरसता का निष्कर्ष निकाल सकता है। संलग्न प्रकार्यक प्रमेय (क्रम सिद्धांत) कहता है कि कुछ स्थितियों में व्युत्क्रमणीय निहितार्थ भी मान्य है: विशेष रूप से, पूर्ण जालक के बीच कोई प्रतिचित्रण जो सभी उच्चतम को संरक्षित करते है, गाल्वा संयोजन का निम्नतर संलग्न है।

इस स्थिति में, गाल्वा संयोजन की एक महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि एक संलग्न दूसरे को विशिष्ट रूप से निर्धारित करते है। इसलिए उपरोक्त कथन को दृढ करने के लिए यह गारंटी दी जा सकती है कि पूर्ण जालक के बीच कोई सर्वोच्च-संरक्षित प्रतिचित्र एक अद्वितीय गाल्वा संयोजन का निम्नतर भाग है। इस अद्वितीयता को प्राप्त करने की मुख्य विशेषता निम्नलिखित है: $A$ में प्रत्येक $A$ के लिए, $&thinsp;f ^{∗}$ $A$ का निम्नतम अवयव $x$ है जैसे कि $c(A)$। वस्तुतः, $A$ में प्रत्येक $x$ के लिए, $&thinsp;f_{∗}$ $B$ में सबसे बड़ा $y$ है जैसे कि ऐसा है कि $c(A)$। एक निश्चित गाल्वा संयोजन का अस्तित्व अब संबंधित निम्नतम या सबसे बड़े अवयवों के अस्तित्व का अर्थ है, चाहे संबंधित क्रमित समुच्चय किसी पूर्णता (क्रम सिद्धांत) को संतुष्ट करते हों। इस प्रकार, जब गाल्वा संयोजन का एक उच्चतर संलग्नक दिया जाता है, तो दूसरे उच्चतर संलग्नक को इसी गुण के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है।

दूसरी ओर, कुछ एकदिष्ट फलन $&thinsp;f_{∗}(&thinsp;f ^{∗}(x)) = x$ एक निम्नतर संलग्न है यदि और मात्र यदि प्रत्येक समुच्चय $&thinsp;f ^{∗}∘&thinsp;f_{∗}$ $B$ के लिए $y$ में, सबसे बड़ा अवयव होता है। दोबारा, यह उच्चतर संलग्न के लिए दोहरा हो सकता है।

गाल्वा संयोजन आकारिता के रूप में
गाल्वा संयोजन क्रमित समुच्चयों के बीच प्रतिचित्रण का एक रुचिपूर्ण वर्ग भी प्रदान करते है जिसका उपयोग क्रमित समुच्चयों की श्रेणी (गणित) प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। विशेष रूप से, गाल्वा संयोजन बनाना संभव है: दिए गए गाल्वा संयोजन $&thinsp;f ^{∗}(x)$ क्रमित समुच्चय $A$ और $x$ के बीच और $x ≤ &thinsp;f_{∗}(y)$ $b$ और $B$ बीच, समग्र $&thinsp;f_{∗}(y)$ भी गाल्वा संयोजन है। जब पूर्ण जालक की श्रेणियों पर विचार किया जाता है, तो इसे सभी उच्चतम (या, वैकल्पिक रूप से, निम्नतम) को संरक्षित करने वाले प्रतिचित्रण पर विचार करने के लिए सरल बनाया जा सकता है। अपने द्वैत के लिए पूर्ण जालक का प्रतिचित्रण, ये श्रेणियां स्वत: द्वैत (श्रेणी सिद्धांत) प्रदर्शित करती हैं, जो अन्य द्वैत प्रमेयों को प्राप्त करने के लिए अत्यधिक मौलिक हैं। अधिक विशेष प्रकार के आकारिता जो दूसरी दिशा में संलग्न प्रतिचित्रण को प्रेरित करते हैं वे आकारिता हैं जिन्हें सामान्यतः पूर्ण हेटिंग बीजगणित (या अवस्थिति) के लिए माना जाता है।

श्रेणी सिद्धांत से संबंध
प्रत्येक आंशिक रूप से क्रमित समुच्चय को प्राकृतिक तरीके से एक श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है: x से y तक एक अद्वितीय रूपवाद है यदि और मात्र यदि $&thinsp;f ^{∗}(x) ≤ y$। एकदिष्ट गाल्वा संयोजन फिर आंशिक रूप से क्रमित समुच्चय से उत्पन्न होने वाली दो श्रेणियों के बीच संलग्न प्रकार्यक की एक संलग्नक के अतिरिक्त कुछ भी नहीं है। इस संदर्भ में, उच्चतर संलग्नक दाहिनी ओर है जबकि निम्नतर संलग्नक बाएं संलग्न है। यद्यपि, इस पदावली को गाल्वा संयोजन के लिए टाला जाता है, क्योंकि एक समय था जब क्रमित समुच्चयों को दोहरी शैली में श्रेणियों में बदल दिया गया था, अर्थात विपरीत दिशा में संकेत करते हुए आकारिकी के साथ। इससे बाएँ और दाएँ सन्निकटों से संबंधित एक पूरक अंकन हुआ, जो आज अस्पष्ट है।

प्रोग्रामिंग के सिद्धांत में अनुप्रयोग
प्रोग्रामिंग भाषाओं की अमूर्त व्याख्या के सिद्धांत में अमूर्तता के कई रूपों का वर्णन करने के लिए गाल्वा संयोजन का उपयोग किया जा सकता है।

संदर्भ
The following books and survey articles include गाल्वा connections using the monotone definition:
 * Brian A। Davey and Hilary A। Priestley: Introduction to Lattices and Order, Cambridge University Press, 2002।
 * Gerhard Gierz, Karl H। Hofmann, Klaus Keimel, Jimmie D। Lawson, Michael W। Mislove, Dana S। Scott: Continuous Lattices and Domains, Cambridge University Press, 2003।
 * Marcel Erné, Jürgen Koslowski, Austin Melton, George E। Strecker, A primer on गाल्वा connections, in: Proceedings of the 1991 Summer Conference on General Topology and Applications in Honor of Mary Ellen Rudin and Her Work, Annals of the New York Academy of Sciences, Vol। 704, 1993, pp। 103–125। (Freely available online in various file formats PS।GZ PS, it presents many examples and results, as well as notes on the different notations and definitions that arose in this area।)

Some publications using the original (antitone) definition:
 * Thomas Scott Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures, Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5।
 * Nikolaos Galatos, Peter Jipsen, Tomasz Kowalski, and Hiroakira Ono (2007), Residuated Lattices। An Algebraic Glimpse at Substructural Logics, Elsevier, ISBN 978-0-444-52141-5।
 * Garrett Birkhoff: Lattice Theory, Amer। Math। Soc। Coll। Pub।, Vol 25, 1940
 * Garrett Birkhoff: Lattice Theory, Amer। Math। Soc। Coll। Pub।, Vol 25, 1940