परिभाषित समीकरण (भौतिकी)

भौतिकी में, समीकरणों को परिभाषित करने वाले समीकरण ऐसे समीकरण होते हैं जो आधार मात्राओं के संदर्भ में नई मात्राओं को परिभाषित करते हैं। यह लेख माप की इकाइयों की वर्तमान अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली (एसआई प्रणाली) का उपयोग करता है, न कि प्राकृतिक इकाइयों या विशिष्ट इकाइयों का उपयोग करता है।

इकाइयों और भौतिक मात्राओं का विवरण
भौतिक मात्राएँ और इकाइयाँ समान पदानुक्रम का पालन करती हैं; चुनी गई आधार मात्राओं ने आधार इकाइयों को परिभाषित किया है जिससे कोई अन्य मात्राएँ प्राप्त की जा सकती हैं और संबंधित व्युत्पन्न इकाइयाँ हो सकती हैं।

रंग मिश्रण सादृश्य
मात्राओं को परिभाषित करना रंगों के मिश्रण के समान है, और इसे इसी प्रकार से वर्गीकृत किया जा सकता है, चूंकि यह मानक नहीं है। प्राथमिक रंग मूल मात्रा के होते हैं; द्वितीयक (या तृतीयक आदि) रंगों के रूप में व्युत्पन्न मात्राएँ हैं। रंगों को मिलाना गणितीय संक्रियाओं का उपयोग करके मात्राओं के संयोजन के समान है। लेकिन रंग प्रकाश या पेंट के लिए हो सकते हैं, और समान रूप से इकाइयों की प्रणाली कई रूपों में से हो सकती है: जैसे एसआई (अब सबसे सामान्य), सेंटीमीटर ग्राम इकाइयों की दूसरी प्रणाली, गॉसियन इकाइयां, इंपीरियल इकाइयां, प्राकृतिक इकाइयों का विशिष्ट रूप या यहाँ तक कि स्वैच्छिक विधि से परिभाषित इकाइयां विचाराधीन भौतिक प्रणाली (गैर-विमीयकरण) की विशेषता हैं।

मात्राओं और इकाइयों की आधार प्रणाली का चुनाव स्वैच्छिक है; लेकिन बार चुने जाने के बाद इसे सभी विश्लेषणों में पालन किया जाना चाहिए जो स्थिरता के लिए अनुसरण करता है। इकाइयों की विभिन्न प्रणालियों को मिलाने का कोई अर्थ नहीं है। इकाइयों की प्रणाली का चयन करना, एसआई, सीजीएस आदि में से प्रणाली, पेंट या हल्के रंगों का चयन करने जैसा है।

इस सादृश्यता के प्रकाश में, प्राथमिक परिभाषाएँ आधार मात्राएँ हैं जिनमें कोई परिभाषित समीकरण नहीं है, लेकिन परिभाषित मानकीकृत स्थिति, द्वितीयक परिभाषाएँ आधार मात्राओं के संदर्भ में, आधार और द्वितीयक दोनों मात्राओं के संदर्भ में मात्राओं के लिए तृतीयक, मात्राओं के लिए चतुर्धातुक आधार, द्वितीयक और तृतीयक मात्राओं का, और इसी प्रकार विशुद्ध रूप से परिभाषित मात्राएँ हैं।

प्रेरणा
अधिकांश भौतिकी को समीकरणों को समझने के लिए परिभाषाओं की आवश्यकता होती है।

सैद्धांतिक निहितार्थ: परिभाषाएँ महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वे भौतिकी की शाखा की नई अंतर्दृष्टि में ले जा सकती हैं। शास्त्रीय भौतिकी में ऐसे दो उदाहरण सामने आये थे। जब एन्ट्रापी एस को परिभाषित किया गया था - ऑर्डर और डिसऑर्डर (भौतिकी) को संख्यात्मक मात्रा के साथ जोड़कर ऊष्मप्रवैगिकी की सीमा को बहुत बढ़ा दिया गया था, जो ऊर्जा और तापमान से संबंधित हो सकता है, जिससे ऊष्मप्रवैगिकी के दूसरे नियम को और सांख्यिकीय यांत्रिकी को समझने में सहायता मिली थी।

साथ ही एक्शन (भौतिकी) कार्यात्मक (गणित) (जिसे एस भी लिखा गया है) (सामान्यीकृत निर्देशांक और कैनोनिकल निर्देशांक और लैग्रैंगियन यांत्रिकी फ़ंक्शन के साथ), प्रारंभ में न्यूटन के नियमों के लिए शास्त्रीय यांत्रिकी का वैकल्पिक सूत्रीकरण, अब सामान्य रूप से क्वांटम यांत्रिकी, कण भौतिकी और सामान्य सापेक्षता में आधुनिक भौतिकी की सीमा का विस्तार करता है।

विश्लेषणात्मक सुविधा: वे अन्य समीकरणों को अधिक संक्षिप्त रूप से लिखने की अनुमति देते हैं और इसलिए आसान गणितीय हेरफेर की अनुमति देते हैं; परिभाषा में पैरामीटर को शामिल करके, पैरामीटर की घटनाओं को प्रतिस्थापित मात्रा में अवशोषित किया जा सकता है और समीकरण से हटाया जा सकता है।
 * उदाहरण

उदाहरण के रूप में एम्पीयर के सर्किटल नियम (मैक्सवेल के सुधार के साथ) को निर्वात में विद्युत चालक ले जाने के लिए अभिन्न रूप में विचार करें (इसलिए शून्य चुंबकीयकरण कारण माध्यम, अर्थात् एम = 0): $$ \oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l}= \mu_0 \oint_S \left ( \mathbf{J} + \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right ) \cdot d\mathbf{A} $$ संवैधानिक परिभाषा का उपयोग करना $$ \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{H}, $$ और वर्तमान घनत्व परिभाषा $$ I = \oint_S \mathbf{J} \cdot d \mathbf{A}, $$ इसी प्रकार विस्थापन वर्तमान घनत्व के लिए $$ \mathbf{J}_{\rm d} = \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} $$ विस्थापन धारा के लिए अग्रणी $$ I_d = \oint_S \mathbf{J}_\text{d} \cdot d\mathbf{A}, $$ अपने पास $$ \oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l}= \mu_0 \oint_S \mathbf{J} \cdot d\mathbf{A} + \mu_0 \oint_S \mathbf{J} _\text{d} \cdot d\mathbf{A}, $$$$ \oint_S \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = I + I_d,$$ जो समीकरण समान होने पर भी लिखना आसान है।

तुलना में आसानी: वे मापन की तुलना तब करने की अनुमति देते हैं जब वे अस्पष्ट और अन्यथा अस्पष्ट दिखाई दे सकते हैं।


 * उदाहरण

मूल उदाहरण द्रव्यमान घनत्व है। यह स्पष्ट नहीं है कि केवल उनके द्रव्यमान या केवल उनकी मात्राओं को देखते हुए कितने पदार्थ विभिन्न प्रकार के पदार्थों का गठन करते हैं, इसकी तुलना कैसे करें। प्रत्येक पदार्थ के लिए दोनों को देखते हुए, द्रव्यमान m प्रति इकाई आयतन V, या द्रव्यमान घनत्व ρ पदार्थों के बीच सार्थक तुलना प्रदान करता है, क्योंकि प्रत्येक के लिए, मात्रा की निश्चित मात्रा इसके अनुरूप होगी पदार्थ के आधार पर द्रव्यमान की मात्रा। इसका वर्णन करने के लिए; यदि दो पदार्थों A और B का द्रव्यमान 'm' हैAऔर एमBक्रमशः वॉल्यूम वी पर कब्जा कर रहा हैAऔर वीBक्रमशः द्रव्यमान घनत्व की परिभाषा का उपयोग करते हुए देता है:


 * ρA = मA / मेंA, आरB = मB / मेंB

इसके बाद देखा जा सकता है कि:


 * अगर मA > एमB या एमA <मB और वीA = वीB, फिर ρA > आरB या ρA < पृB,
 * अगर मA = मB और वीA > वीB या वीA <वीB, फिर ρA < पृB या ρA > आरB,
 * अगर पA = पीB, फिर एमA / मेंA = मB / मेंB तो एमA / एमB = वीA / मेंB, यह प्रदर्शित करते हुए कि यदि एमA > एमB या एमA <मB, फिर वीA > वीB या वीA <वीB.

गणित का इस प्रकार से तार्किक उपयोग किए बिना ऐसी तुलना करना उतना व्यवस्थित नहीं होगा।

परिभाषाओं का दायरा
अध्ययन और प्रस्तुति के स्तर, विषय की जटिलता और प्रयोज्यता के दायरे के आधार पर, प्राथमिक बीजगणित और गणना,  वेक्टर पथरी , या सबसे सामान्य अनुप्रयोगों टेन्सर के संदर्भ में परिभाषित समीकरण सामान्य रूप से तैयार किए जाते हैं। कार्यों को परिभाषा में शामिल किया जा सकता है, कलन के लिए यह आवश्यक है। सैद्धांतिक लाभ के लिए मात्राएं भी जटिल संख्या-मूल्यवान हो सकती हैं, लेकिन भौतिक माप के लिए वास्तविक भाग प्रासंगिक है, काल्पनिक भाग को त्याग दिया जा सकता है। अधिक उन्नत उपचार के लिए परिभाषा को उपयोगी बनाने के लिए अन्य परिभाषित समीकरणों का उपयोग करते हुए समीकरण को समकक्ष लेकिन वैकल्पिक रूप में लिखा जाना पड़ सकता है। अक्सर परिभाषाएं प्रारंभिक बीजगणित से प्रारंभ हो सकती हैं, फिर सदिशों में संशोधित हो सकती हैं, फिर सीमित मामलों में कलन का उपयोग किया जा सकता है। आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले गणित के विभिन्न स्तर इस पैटर्न का अनुसरण करते हैं।

आमतौर पर परिभाषाएँ स्पष्ट होती हैं, जिसका अर्थ है कि परिभाषित मात्रा समीकरण का विषय है, लेकिन कभी-कभी समीकरण स्पष्ट रूप से नहीं लिखा जाता है - चूंकि समीकरण को स्पष्ट करने के लिए परिभाषित मात्रा को हल किया जा सकता है। सदिश समीकरणों के लिए, कभी-कभी परिभाषित मात्रा क्रॉस या डॉट उत्पाद में होती है और सदिश के रूप में स्पष्ट रूप से हल नहीं किया जा सकता है, लेकिन घटक कर सकते हैं।

;उदाहरण

विद्युत प्रवाह घनत्व इन सभी विधियों में फैले उदाहरण है, कोणीय गति उदाहरण है जिसमें पथरी की आवश्यकता नहीं होती है। नामकरण और आरेखों के लिए दाईं ओर शास्त्रीय यांत्रिकी अनुभाग देखें।

प्राथमिक बीजगणित

संक्रियाएँ केवल गुणा और भाग हैं। समीकरण को उत्पाद या भागफल के रूप में लिखा जा सकता है, दोनों निश्चित रूप से समकक्ष।



! scope="col" width="100" | ! scope="col" width="100" | Angular momentum ! scope="col" width="100" | Electric current density वेक्टर बीजगणित
 * -valign="top"
 * -valign="top"
 * Quotient form
 * $$ p = \frac{L}{r} \,\!$$
 * $$ J = \frac{I}{A} \,\!$$
 * -valign="top"
 * Product form
 * $$ L = pr \,\!$$
 * $$ I = J A \,\!$$
 * }
 * }

सदिश को सदिश से विभाजित करने का कोई तरीका नहीं है, इसलिए कोई उत्पाद या भागफल रूप नहीं हैं।



! scope="col" width="100" | ! scope="col" width="350" | Angular momentum ! scope="col" width="150" | Electric current density
 * -valign="top"
 * -valign="top"
 * Quotient form
 * N/A
 * $$ \mathbf{J} \cdot \mathbf{\hat{n}} = \frac{I}{A} \,\!$$
 * -valign="top"
 * Product form
 * Starting from

$$ L = p r, \,\!$$

since L = 0 when p and r are parallel or antiparallel, and is a maximum when perpendicular, so that the only component of p which contributes to L is the tangential |p| sin θ, the magnitude of angular momentum L should be re-written as

$$ L = p r \sin \theta .\,\!$$

Since r, p and L form a right-hand triad, this leads to the vector form

$$ \mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} .\,\!$$
 * $$ \mathbf{J} \cdot \mathbf{\hat{n}} A = I ,\,\!$$

$$ \mathbf{J} \cdot\mathbf{A} = I, \,\!$$ प्राथमिक गणित
 * }
 * }


 * अंकगणितीय संक्रियाओं को विभेदीकरण और एकीकरण के सीमित मामलों में संशोधित किया जाता है। समीकरणों को इन समतुल्य और वैकल्पिक तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है।



! scope="col" width="100" | ! scope="col" width="200" | Current density
 * -valign="top"
 * Differential form
 * $$ J = \lim_{A \rightarrow 0} \frac{I}{A} = \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}A} \,\!$$
 * -valign="top"
 * Integral form
 * $$ I = \lim_{A_i \rightarrow 0} \sum_i J A_i = \int_S J {\mathrm{d} A} \,\!$$

where dA means a differential area element (see also surface integral).

Alternatively for integral form

$$ \mathrm{d} I = J {\mathrm{d} A}, \,\!$$

$$ I = \int_S J {\mathrm{d} A}. \,\!$$ वेक्टर कलन
 * }
 * }



! scope="col" width="100" | ! scope="col" width="150" | Current density where dA = ndA is the differential vector area. टेंसर विश्लेषण
 * -valign="top"
 * Differential form
 * $$ \mathbf{J} \cdot \mathbf{\hat{n}} = \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}A} \,\!$$
 * -valign="top"
 * Integral form
 * $$ I = \int_S \mathbf{J} \cdot \mathrm{d} \mathbf{A} \,\!$$
 * }
 * }

वेक्टर रैंक -1 टेंसर हैं। नीचे दिए गए सूत्र टेंसरों की भाषा में सदिश समीकरणों से अधिक नहीं हैं।

! scope="col" width="100" | ! scope="col" width="350" | Angular momentum ! scope="col" width="150" | Electric current density
 * -valign="top"
 * -valign="top"
 * Differential form
 * N/A
 * $$ J_i n_i = \frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} A} \,\!$$
 * -valign="top"
 * Product/integral form
 * Starting from

$$ \mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} \,\!$$

the components are Li, rj, pi, where i, j, k are each dummy indices each taking values 1, 2, 3, using the identity from tensor analysis

$$ \mathbf{a} = \mathbf{b} \times \mathbf{c}, \quad a_i = \epsilon_{ijk} b_j c_k ,\,\!$$

where εijk is the permutation/Levi-Cita tensor, leads to

$$ L_i = \epsilon_{ijk} r_j p_k .\,\!$$
 * Using the Einstein summation convention,

$$ J_i n_i \mathrm{d} A = \mathrm{d} I \,\!$$

$$ \int_S J_i \mathrm{d} A_i = I \,\!$$
 * }
 * }

बहुविकल्पी परिभाषाएँ
कभी-कभी चुनी हुई इकाई प्रणाली के भीतर या से अधिक मात्राओं को से अधिक तरीकों से परिभाषित करने की स्वतंत्रता होती है। स्थिति दो मामलों में विभाजित होती है: पारस्परिक रूप से अनन्य परिभाषाएं: दूसरों के संदर्भ में परिभाषित की जाने वाली मात्रा के लिए कई संभावित विकल्प हैं, लेकिन केवल का उपयोग किया जा सकता है और अन्य का नहीं। परिभाषा के लिए से अधिक अनन्य समीकरणों का चयन करने से विरोधाभास होता है - समीकरण मात्रा  X  की मांग कर सकता है जिसे  परिभाषित  किया जा सकता है, प्रकार से  दूसरे का उपयोग करके  मात्रा  Y , जबकि अन्य समीकरण के लिए रिवर्स की आवश्यकता है, Y को X का उपयोग करके परिभाषित किया जाना चाहिए, लेकिन फिर अन्य समीकरण X और Y दोनों के उपयोग को गलत साबित कर सकता है, और इसी प्रकार. आपसी असहमति यह कहना असंभव बना देती है कि कौन सा समीकरण किस मात्रा को परिभाषित करता है।

समतुल्य परिभाषाएँ: ऐसे समीकरणों को परिभाषित करना जो भौतिक सिद्धांत के भीतर अन्य समीकरणों और नियमों के समतुल्य और स्व-संगत हैं, बस अलग-अलग तरीकों से लिखे गए हैं।

प्रत्येक मामले के लिए दो संभावनाएँ हैं:

"परिभाषित समीकरण - परिभाषित मात्रा:" परिभाषित समीकरण का उपयोग कई अन्य के संदर्भ में मात्रा को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।

"परिभाषित समीकरण - कई परिभाषित मात्राएँ:" परिभाषित समीकरण का उपयोग कई अन्य मात्राओं के संदर्भ में कई मात्राओं को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। एकल परिभाषित समीकरण में मात्रा नहीं होनी चाहिए जो समान समीकरण में अन्य सभी मात्राओं को परिभाषित करती है, अन्यथा विरोधाभास फिर से उत्पन्न होते हैं। अलग-अलग परिभाषित मात्राओं की कोई परिभाषा नहीं है क्योंकि वे एकल समीकरण में एकल मात्रा द्वारा परिभाषित हैं। इसके अलावा, परिभाषित मात्राएँ पहले ही परिभाषित हो सकती हैं, इसलिए यदि कोई अन्य मात्रा इन्हें समान समीकरण में परिभाषित करती है, तो परिभाषाओं के बीच टकराव होता है।

मात्राओं को 'क्रमिक रूप से' परिभाषित करके विरोधाभासों से बचा जा सकता है; जिस 'आदेश' में मात्राओं को परिभाषित किया गया है, उसका हिसाब देना होगा। इन उदाहरणों में फैले उदाहरण विद्युत चुंबकत्व में होते हैं, और नीचे दिए गए हैं।

;उदाहरण

पारस्परिक रूप से अनन्य परिभाषाएँ:

चुंबकीय क्षेत्र B को विद्युत आवेश q या विद्युत धारा I के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है, और लोरेंत्ज़ बल (चुंबकीय शब्द) F क्षेत्र के कारण आवेश वाहकों द्वारा अनुभव किया जाता है,


 * $$ \begin{align} \mathbf{F} & = q \left ( \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right ) \\

& = \left ( \int I \mathrm{d} t \right ) \left ( \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d} t} \times \mathbf{B} \right ) \\ & = \left ( \int I \mathrm{d} t \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d} t} \right ) \times \mathbf{B} \\ & = I \left ( \int \mathrm{d}\mathbf{r} \right ) \times \mathbf{B} \\ & = I \left ( \mathbf{l} \times \mathbf{B} \right ), \end{align} \,\!$$ कहाँ $$ \mathbf{l} = \int \mathrm{d}\mathbf{r} \,\!$$ आवेश वाहकों द्वारा तय की गई स्थिति में परिवर्तन है (वर्तमान को स्थिति से स्वतंत्र मानते हुए, यदि ऐसा नहीं है तो वर्तमान के पथ के साथ लाइन इंटीग्रल किया जाना चाहिए) या चुंबकीय प्रवाह के संदर्भ में ΦBसतह एस के माध्यम से, जहां क्षेत्र को स्केलर ए और वेक्टर के रूप में उपयोग किया जाता है: $$ \mathbf{A} = A\mathbf{\hat{n}} \,\!$$ और $$ \mathbf{\hat{n}} \,\!$$ ए के लिए सामान्य इकाई है, या तो अंतर रूप में


 * $$ \mathbf{B} \cdot \mathbf{\hat{n}} = \frac{\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d}A} ,\,\!$$

या अभिन्न रूप,


 * $$ \mathbf{B} \cdot \mathbf{\hat{n}} \mathrm{d}A = \mathrm{d}\Phi_B  ,\,\!$$
 * $$ \Phi_B = \int_S \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} .\,\!$$

चूँकि, उपरोक्त समीकरणों में से केवल का उपयोग निम्नलिखित कारणों से B को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है, यह देखते हुए कि A, r, v, और F को कहीं और स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है (सबसे अधिक संभावना यांत्रिकी और यूक्लिडियन ज्यामिति)।

यदि बल समीकरण B को परिभाषित करता है, जहां q या I को पहले परिभाषित किया गया है, तो फ्लक्स समीकरण Φ को परिभाषित करता हैB, चूंकि बी को पहले स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है। अगर फ्लक्स समीकरण बी को परिभाषित करता है, जहां  ΦB, बल समीकरण I या q के लिए परिभाषित समीकरण हो सकता है। विरोधाभास पर ध्यान दें जब 'बी' दोनों समीकरण 'बी' को साथ परिभाषित करते हैं और जब 'बी' आधार मात्रा नहीं है; बल समीकरण मांग करता है कि q या I को कहीं और परिभाषित किया जाए जबकि उसी समय फ्लक्स समीकरण मांग करता है कि q या I को बल समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाए, इसी प्रकार बल समीकरण के लिए Φ की आवश्यकता होती हैB फ्लक्स समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाना है, उसी समय फ्लक्स समीकरण की मांग है कि ΦB अन्यत्र परिभाषित किया गया है। दोनों समीकरणों को साथ परिभाषाओं के रूप में उपयोग करने के लिए, B को आधार मात्रा होना चाहिए ताकि F और Φ होB'' बी से स्पष्ट रूप से स्टेम करने के लिए परिभाषित किया जा सकता है।

समतुल्य परिभाषाएँ:

अन्य उदाहरण इंडक्शन 'एल' है जिसकी परिभाषा के रूप में उपयोग करने के लिए दो समकक्ष समीकरण हैं। I और Φ के संदर्भ मेंB, अधिष्ठापन द्वारा दिया जाता है


 * $$ L = N \frac{\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d} I} ,\,\!$$

I और प्रेरित ईएमएफ वी के संदर्भ में


 * $$ V = - L \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d} t} .\,\!$$

ये दोनों फैराडे के आगमन के नियम के समतुल्य हैं:


 * $$ V = - N \frac{\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d} t}, \,\!$$
 * $$ V {\mathrm{d} t} = - N \mathrm{d}\Phi_B, \,\!$$

एल के लिए पहली परिभाषा में प्रतिस्थापन


 * $$ L = - V \frac{\mathrm{d} I} \,\!$$
 * $$ V = - L \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d} t} \,\!$$

और इसलिए वे परस्पर अनन्य नहीं हैं।

"परिभाषित समीकरण - कई परिभाषित मात्राएँ"

ध्यान दें कि L I और Φ' को परिभाषित नहीं कर सकता हैBसाथ - इसका कोई अर्थ नहीं है। मैं, ΦBऔर V सबसे अधिक संभावना है कि सभी को पहले परिभाषित किया गया है (ΦBफ्लक्स समीकरण में ऊपर दिया गया);


 * $$ V = \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d} q}, \quad I = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d} t} ,\,\!$$

जहाँ W = आवेश q पर किया गया कार्य। इसके अलावा, I या Φ की कोई परिभाषा नहीं हैBअलग-अलग - क्योंकि L उन्हें ही समीकरण में परिभाषित कर रहा है।

चूंकि, विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के लिए ई और बी की परिभाषा के रूप में लोरेंत्ज़ बल # लोरेंत्ज़ बल नियम का उपयोग करना:
 * $$ \mathbf{F} = q \left [ \mathbf{E} + \left ( \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right )\right ] ,\,\!$$

विद्युत क्षेत्र ई और चुंबकीय क्षेत्र बी के लिए एकल परिभाषित समीकरण के रूप में अनुमति दी जाती है, क्योंकि ई और बी को न केवल चर द्वारा परिभाषित किया जाता है, बल्कि  तीन ; बल F, वेग v और आवेश 'q। यह E और B की पृथक परिभाषाओं के अनुरूप है क्योंकि E को F और q'' का उपयोग करके परिभाषित किया गया है:


 * $$ \mathbf{E} = \mathbf{F}/q .\,\!$$

और B को F, v और q द्वारा परिभाषित किया गया है, जैसा कि ऊपर दिया गया है।

परिभाषाओं की सीमाएं
परिभाषाएँ बनाम फलन: मात्राओं को परिभाषित करना परिभाषा में दिए गए मापदंडों के अलावा अन्य मापदंडों के कार्य के रूप में भिन्न हो सकता है। परिभाषित समीकरण केवल परिभाषित मात्रा की गणना करने के तरीके को परिभाषित करता है, यह वर्णन नहीं कर सकता है कि मात्रा अन्य पैरामीटर के फ़ंक्शन के रूप में कैसे भिन्न होती है क्योंकि फ़ंक्शन एप्लिकेशन से दूसरे में भिन्न होता है। परिभाषित मात्रा कैसे भिन्न होती है क्योंकि अन्य मापदंडों के कार्य को संवैधानिक समीकरण या समीकरणों द्वारा वर्णित किया जाता है, क्योंकि यह आवेदन से दूसरे में और सन्निकटन (या सरलीकरण) से दूसरे में भिन्न होता है।


 * उदाहरण

द्रव्यमान घनत्व ρ को द्रव्यमान m और आयतन V द्वारा परिभाषित किया गया है, लेकिन यह तापमान T और दबाव p, ρ के कार्य के रूप में भिन्न हो सकता है = ρ(पी, टी)

तरंग प्रसार की कोणीय [[आवृत्ति]] ω को तरंग संख्या k, ω =  के कार्य के रूप में दोलन की आवृत्ति (या समकक्ष समय अवधि T) का उपयोग करके परिभाषित किया गया है। ω(के)। तरंग प्रसार के लिए यह 'फैलाव संबंध' है।

किसी वस्तु के टकराने के लिए पुनर्स्थापन के गुणांक को पृथक्करण की गति और टक्कर बिंदु के संबंध में दृष्टिकोण का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, लेकिन प्रश्न में सतहों की प्रकृति पर निर्भर करता है।

परिभाषा बनाम प्रमेय: परिभाषित समीकरणों और सामान्य या व्युत्पन्न परिणामों, प्रमेयों या नियमों के बीच बहुत ही महत्वपूर्ण अंतर है। भौतिक प्रणाली के बारे में समीकरणों को परिभाषित करते हुए कोई जानकारी नहीं मिलती, वे बस माप को दूसरे के संदर्भ में फिर से बताते हैं। दूसरी ओर, परिणाम, प्रमेय और नियम, 'डू' अर्थपूर्ण जानकारी प्रदान करते हैं, यदि केवल थोड़ी ही, क्योंकि वे सिस्टम के अन्य गुणों को दी गई मात्रा के लिए गणना का प्रतिनिधित्व करते हैं, और वर्णन करते हैं कि सिस्टम चर के रूप में कैसे व्यवहार करता है.


 * उदाहरण

एम्पीयर के नियम के लिए ऊपर उदाहरण दिया गया था। दूसरा 'एन' के लिए संवेग का संरक्षण है1 प्रारंभिक संवेग p वाले प्रारंभिक कणi जहां मैं = 1, 2 ... एन1, और n2 अंतिम कण जिनका अंतिम संवेग p होता हैi (कुछ कण फट सकते हैं या चिपक सकते हैं) जहाँ j = 1, 2 ... N2, संरक्षण का समीकरण पढ़ता है:


 * $$ \sum_i^{N_1}\mathbf{p}_{\rm i} = \sum_j^{N_2}\mathbf{p}_{\rm j} \,\!$$

वेग के संदर्भ में संवेग की परिभाषा का उपयोग करना:


 * $$ \mathbf{p} = m \mathbf{v} \,\!$$

ताकि प्रत्येक कण के लिए:


 * $$ \mathbf{p}_{\rm i} = m_i \mathbf{v}_{\rm i} \,\!$$ और $$ \mathbf{p}_{\rm j} = m_j \mathbf{v}_{\rm j} \,\!$$

संरक्षण समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है


 * $$ \sum_i^{N_1}m_i \mathbf{v}_{\rm i} = \sum_j^{N_2} m_i \mathbf{v}_{\rm i} .\,\!$$

यह पिछले संस्करण के समान है। परिभाषाओं को प्रतिस्थापित करने पर मात्राओं को बदलने से कोई जानकारी खो या प्राप्त नहीं होती है, लेकिन समीकरण ही प्रणाली के बारे में जानकारी देता है।

वन-ऑफ़ परिभाषाएँ
कुछ समीकरण, आमतौर पर व्युत्पत्ति से उत्पन्न होते हैं, इसमें उपयोगी मात्राएँ शामिल होती हैं जो इसके अनुप्रयोग के दायरे में एकबारगी परिभाषा के रूप में काम करती हैं।


 * उदाहरण

विशेष आपेक्षिकता में, विशेष आपेक्षिकता में द्रव्यमान#सापेक्षिक द्रव्यमान अवधारणा का इतिहास भौतिकविदों द्वारा समर्थन और विकर्षण है। इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:


 * $$ m = \gamma m_0 \,\!$$

जहां एम0 वस्तु का विराम द्रव्यमान है और γ लोरेंत्ज़ कारक है। यह गति में विशाल वस्तु के संवेग p और ऊर्जा E जैसी कुछ मात्राओं को सापेक्षिक द्रव्यमान का उपयोग करके अन्य समीकरणों से प्राप्त करना आसान बनाता है:


 * $$ \mathbf{p} = m\mathbf{v} \rightarrow \mathbf{p} = \gamma m_0 \mathbf{v} $$
 * $$ E = mc^2 \rightarrow E = \gamma m_0 c^2 $$

चूँकि, यह हमेशा लागू नहीं होता है, उदाहरण के लिए ही वस्तु की गतिज ऊर्जा T और बल 'F' निम्न द्वारा नहीं दिया जाता है:


 * $$ T = \frac{m}{2}\mathbf{v}\cdot\mathbf{v} \nrightarrow T = \frac{\gamma m_0}{2}\mathbf{v}\cdot\mathbf{v} $$
 * $$ \mathbf{F} = m\mathbf{a} \nrightarrow \mathbf{F} = \gamma m_0 \mathbf{a} $$

लोरेंत्ज़ कारक का गहरा महत्व और उत्पत्ति है, और इसका उपयोग उचित समय के संदर्भ में किया जाता है और चार-वैक्टरों के साथ समय का समन्वय करता है। उपरोक्त सही समीकरण सही क्रम में परिभाषाओं को लागू करने का परिणाम हैं।

विद्युत चुंबकत्व में, समान चुंबकीय क्षेत्र 'B' में आवेशित कण (द्रव्यमान m और आवेश q का) क्षेत्र द्वारा गोलाकार कुंडलाकार चाप में वेग 'v' और वक्रता त्रिज्या (गणित) 'r' से विक्षेपित होता है, जहाँ पेचदार प्रक्षेपवक्र कोण θ से 'B' पर झुका हुआ है। चुंबकीय बल अभिकेन्द्र बल है, अतः कण पर लगने वाला बल 'F' है;


 * $$ \mathbf{F} = - \frac{m \left ( \mathbf{v}\cdot{\mathbf{v}} \right ) \mathbf{\hat{r}} }{\left | \mathbf{r} \right |} = q \left ( \mathbf{v}\times \mathbf{B}\right ),\,\!$$

अदिश रूप में घटाना और हल करना |B||r|;


 * $$ \frac{m \left | \mathbf{v} \right |^2 }{\left | \mathbf{r} \right |} = q \left | \mathbf{v} \right | \left | \mathbf{B} \right | \sin \theta, \,\!$$
 * $$ \frac{m \left | \mathbf{v} \right | }{\left | \mathbf{r} \right |} = q \left | \mathbf{B} \right | \sin \theta, \,\!$$
 * $$ \left | \mathbf{B} \right | \left | \mathbf{r} \right | = \frac{m \left | \mathbf{v} \right | }{ q \sin \theta}, \,\!$$

कण की चुंबकीय कठोरता की परिभाषा के रूप में कार्य करता है। चूँकि यह कण के द्रव्यमान और आवेश पर निर्भर करता है, यह उस सीमा को निर्धारित करने के लिए उपयोगी होता है जो कण बी क्षेत्र में विक्षेपित होता है, जो मास स्पेक्ट्रोमेट्री और कण डिटेक्टरों में प्रयोगात्मक रूप से होता है।

यह भी देखें

 * संविधान समीकरण
 * परिभाषा समीकरण (भौतिक रसायन विज्ञान)
 * विद्युत चुंबकत्व समीकरणों की सूची
 * शास्त्रीय यांत्रिकी में समीकरणों की सूची
 * द्रव यांत्रिकी में समीकरणों की सूची
 * गुरुत्वाकर्षण में समीकरणों की सूची
 * परमाणु और कण भौतिकी में समीकरणों की सूची
 * क्वांटम यांत्रिकी में समीकरणों की सूची
 * प्रकाशिकी समीकरणों की सूची
 * आपेक्षिक समीकरणों की सूची
 * थर्मोडायनामिक समीकरणों की तालिका