डायोफैंटाइन सन्निकटन

संख्या सिद्धांत में, डायोफैंटाइन सन्निकटन का अध्ययन परिमेय संख्याओं द्वारा  वास्तविक संख्या ओं के सन्निकटन से संबंधित है। इसका नाम अलेक्जेंड्रिया के डायोफैंटस के नाम पर रखा गया है।

पहली समस्या यह जानने की थी कि परिमेय संख्याओं द्वारा वास्तविक संख्या का कितना अच्छा अनुमान लगाया जा सकता है। इस समस्या के लिए, परिमेय संख्या a/b वास्तविक संख्या α का अच्छा सन्निकटन है यदि a/b के बीच अंतर का निरपेक्ष मान और α कम नहीं हो सकता है अगर a/b को छोटे भाजक  के साथ किसी अन्य परिमेय संख्या से बदल दिया जाए। इस समस्या को 18वीं शताब्दी के दौरान  निरंतर अंश ों के माध्यम से हल किया गया था।

किसी दिए गए नंबर के सर्वोत्तम अनुमानों को जानने के बाद, क्षेत्र की मुख्य समस्या उपरोक्त अंतर की तेज ऊपरी और निचली सीमाओं को ढूंढना है, जो भाजक के कार्य के रूप में व्यक्त की जाती है। ऐसा प्रतीत होता है कि ये सीमाएं अनुमानित होने वाली वास्तविक संख्याओं की प्रकृति पर निर्भर करती हैं: किसी अन्य परिमेय संख्या द्वारा परिमेय संख्या के सन्निकटन के लिए निचली सीमा बीजगणितीय संख्या ओं के लिए निचली सीमा से बड़ी होती है, जो स्वयं निम्न सीमा से बड़ी होती है सभी वास्तविक संख्याएँ। इस प्रकार वास्तविक संख्या जो बीजगणितीय संख्याओं की सीमा से बेहतर अनुमानित हो सकती है, निश्चित रूप से  पारलौकिक संख्या  है।

इस ज्ञान ने 1844 में जोसेफ लिउविल  को पहली स्पष्ट पारलौकिक संख्या का उत्पादन करने में सक्षम बनाया। बाद में, सबूत है कि Pi|$\pi$और  ई (गणितीय स्थिरांक)  अनुवांशिक हैं समान विधि द्वारा प्राप्त किए गए थे।

डायोफैंटाइन सन्निकटन और अनुवांशिक संख्या सिद्धांत बहुत करीबी क्षेत्र हैं जो कई प्रमेयों और विधियों को साझा करते हैं। डायोफैंटाइन सन्निकटनों का भी डायोफैंटाइन समीकरण ों के अध्ययन में महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं।

2022 फील्ड मेडल   जेम्स मेनार्ड (गणितज्ञ)  को डायोफैंटाइन सन्निकटन पर उनके कार्य के लिए प्रदान किया गया।

वास्तविक संख्या का सर्वश्रेष्ठ डायोफैंटाइन सन्निकटन
वास्तविक संख्या दी गई है $α$, डायोफैंटाइन के सर्वोत्तम सन्निकटन को परिभाषित करने के दो तरीके हैं $α$. पहली परिभाषा के लिए, तर्कसंगत संख्या $p/q$ का सबसे अच्छा डायोफैंटाइन सन्निकटन है $α$ यदि
 * $$\left|\alpha -\frac{p}{q}\right | < \left|\alpha -\frac{p'}{q'}\right |,$$

प्रत्येक तर्कसंगत संख्या के लिए $p'/q'$ से अलग $p/q$ ऐसा है कि $0 < q&prime; ≤ q$.

दूसरी परिभाषा के लिए, उपरोक्त असमानता द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है
 * $$\left|q\alpha -p\right| < \left|q^\prime\alpha - p^\prime\right|.$$

दूसरी परिभाषा के लिए सर्वोत्तम सन्निकटन भी पहले के लिए सर्वोत्तम सन्निकटन है, लेकिन इसका विलोम सामान्य रूप से सत्य नहीं है। निरंतर अंशों का सिद्धांत हमें वास्तविक संख्या के सर्वोत्तम अनुमानों की गणना करने की अनुमति देता है: दूसरी परिभाषा के लिए, वे नियमित निरंतर अंश के रूप में इसकी अभिव्यक्ति के अभिसरण (निरंतर अंश)  हैं।  पहली परिभाषा के लिए, निरंतर भिन्न#अर्धअभिसरण पर भी विचार करना होगा।

उदाहरण के लिए, स्थिरांक e = 2.718281828459045235... का (नियमित) निरंतर अंश प्रतिनिधित्व है


 * $$[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,\ldots\;].$$

दूसरी परिभाषा के लिए इसके सर्वोत्तम सन्निकटन हैं
 * $$ 3, \tfrac{8}{3}, \tfrac{11}{4}, \tfrac{19}{7}, \tfrac{87}{32}, \ldots\, ,$$

जबकि, पहली परिभाषा के लिए, वे हैं
 * $$3, \tfrac{5}{2}, \tfrac{8}{3}, \tfrac{11}{4}, \tfrac{19}{7},

\tfrac{49}{18}, \tfrac{68}{25}, \tfrac{87}{32}, \tfrac{106}{39}, \ldots\, .$$

सन्निकटन की सटीकता का माप
वास्तविक संख्या के डायोफैंटाइन सन्निकटन की सटीकता का स्पष्ट माप $α$ परिमेय संख्या द्वारा $p/q$ है $\left|\alpha - \frac{p}{q}\right|.$ हालांकि, के पूर्ण मूल्यों को बढ़ाकर इस मात्रा को हमेशा मनमाने ढंग से छोटा किया जा सकता है $p$ और $q$; इस प्रकार सन्निकटन की सटीकता का अनुमान आमतौर पर इस मात्रा को किसी फ़ंक्शन से तुलना करके लगाया जाता है $φ$ भाजक का $q$, आमतौर पर इसकी नकारात्मक शक्ति।

ऐसी तुलना के लिए, किसी को सटीकता की ऊपरी सीमा या निचली सीमा की आवश्यकता हो सकती है। निचली सीमा को आमतौर पर प्रमेय द्वारा वर्णित किया जाता है जैसे प्रत्येक तत्व के लिए $α$ वास्तविक संख्याओं के कुछ सबसेट और प्रत्येक परिमेय संख्या का $p/q$, अपने पास $\left|\alpha - \frac{p}{q}\right|>\phi(q)$. कुछ मामलों में, प्रत्येक परिमेय संख्या को उनकी परिमित संख्या को छोड़कर सभी परिमेय संख्याओं द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जो गुणा करने के बराबर होती है $φ$ कुछ निरंतर के आधार पर $α$.

ऊपरी सीमा के लिए, किसी को यह ध्यान रखना होगा कि अभिसरण द्वारा प्रदान किए गए सभी सर्वोत्तम डायोफैंटाइन अनुमानों में वांछित सटीकता नहीं हो सकती है। इसलिए, प्रमेय हर तत्व के लिए रूप लेते हैं $α$ वास्तविक संख्याओं के कुछ उपसमुच्चय में अपरिमित रूप से अनेक परिमेय संख्याएँ होती हैं $p/q$ ऐसा है कि $\left|\alpha - \frac{p}{q}\right|<\phi(q)$.

बुरी तरह अनुमानित संख्या
बुरी तरह अनुमानित संख्या x है जिसके लिए सकारात्मक स्थिरांक c है जैसे कि सभी तर्कसंगत p/q के लिए हमारे पास है


 * $$\left|{ x - \frac{p}{q} }\right| > \frac{c}{q^2} \ . $$

बुरी तरह अनुमानित संख्याएं ठीक वही हैं जो प्रतिबंधित आंशिक भागफल  के साथ हैं। समतुल्य रूप से, संख्या बुरी तरह से सन्निकट है यदि और केवल यदि उसका मार्कोव स्थिरांक  परिबद्ध है।

अन्य परिमेय द्वारा परिमेय का सन्निकटन
तर्कसंगत संख्या $\alpha =\frac{a}{b}$ द्वारा स्पष्ट रूप से और पूरी तरह से अनुमानित किया जा सकता है $\frac{p_i}{q_i} = \frac{i\,a}{i \,b}$  प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक के लिए i.

यदि $\frac{p}{q} \not= \alpha = \frac{a}{b}\,,$ अपने पास
 * $$\left|\frac{a}{b} - \frac{p}{q}\right| = \left|\frac{aq - bp}{bq}\right| \ge \frac{1}{bq},$$

क्योंकि $$|aq - bp|$$ सकारात्मक पूर्णांक है और इस प्रकार 1 से कम नहीं है। इस प्रकार सन्निकटन की सटीकता अपरिमेय संख्याओं के सापेक्ष खराब है (अगले खंड देखें)।

यह टिप्पणी की जा सकती है कि पूर्ववर्ती सबूत कबूतर सिद्धांत के प्रकार का उपयोग करता है: गैर-नकारात्मक पूर्णांक जो 0 नहीं है, वह 1 से छोटा नहीं है। यह स्पष्ट रूप से तुच्छ टिप्पणी डायोफैंटाइन सन्निकटन के लिए निचली सीमा के लगभग हर प्रमाण में उपयोग की जाती है, यहां तक ​​कि सबसे परिष्कृत।

संक्षेप में, परिमेय संख्या अपने आप में पूरी तरह से अनुमानित है, लेकिन किसी अन्य परिमेय संख्या द्वारा बुरी तरह अनुमानित है।

बीजगणितीय संख्याओं का सन्निकटन, लिउविल का परिणाम
1840 के दशक में, जोसेफ लिउविल ने बीजगणितीय संख्याओं के सन्निकटन के लिए पहली निचली सीमा प्राप्त की: यदि x परिमेय संख्याओं पर घात n की अपरिमेय बीजगणितीय संख्या है, तो स्थिरांक मौजूद होता है c(x) > 0 ऐसा है कि


 * $$ \left| x- \frac{p}{q} \right| > \frac{c(x)}{q^n}$$

सभी पूर्णांकों p और q के लिए है जहाँ q > 0.

इस परिणाम ने उन्हें पारलौकिक संख्या, लिउविल स्थिरांक  का पहला सिद्ध उदाहरण प्रस्तुत करने की अनुमति दी

\sum_{j=1}^\infty 10^{-j!} = 0.110001000000000000000001000\ldots\,, $$ जो Liouville के प्रमेय को संतुष्ट नहीं करता है, जो भी डिग्री n चुना गया है।

डायोफैंटाइन सन्निकटन और अनुवांशिक संख्या सिद्धांत के बीच यह लिंक आज भी जारी है। कई सबूत तकनीकों को दो क्षेत्रों के बीच साझा किया जाता है।

बीजगणितीय संख्याओं का सन्निकटन, थू-सीगल-रोथ प्रमेय
सदी से भी अधिक समय में, लिउविल के प्रमेय को बेहतर बनाने के लिए कई प्रयास किए गए: बाउंड का हर सुधार हमें यह साबित करने में सक्षम बनाता है कि अधिक संख्याएं पारलौकिक हैं। मुख्य सुधार के कारण हैं, , , और , अंत में थू-सीगल-रोथ प्रमेय के लिए अग्रणी: यदि $x$ तर्कहीन बीजगणितीय संख्या है और $ε$ a (छोटा) सकारात्मक वास्तविक संख्या, तो सकारात्मक स्थिरांक मौजूद है $c(x, ε)$ ऐसा है कि

\left| x- \frac{p}{q} \right|>\frac{c(x, \varepsilon)}{q^{2+\varepsilon}} $$ प्रत्येक पूर्णांक के लिए धारण करता है $p$ और $q$ ऐसा है कि $q > 0$.

कुछ अर्थों में, यह परिणाम इष्टतम है, क्योंकि प्रमेय ε = 0 के साथ गलत होगा। यह नीचे वर्णित ऊपरी सीमा का तत्काल परिणाम है।

बीजगणितीय संख्याओं का युगपत सन्निकटन
इसके बाद, वोल्फगैंग एम. श्मिट ने साथ सन्निकटन के मामले में इसे सामान्यीकृत किया, यह साबित करते हुए कि: यदि $x_{1}, ..., x_{n}$ बीजगणितीय संख्याएँ हैं जैसे कि $1, x_{1}, ..., x_{n}$ परिमेय संख्याओं पर रैखिक स्वतंत्रता  हैं और $ε$ कोई भी दी हुई धनात्मक वास्तविक संख्या है, तो केवल परिमित संख्या में अनेक परिमेय संख्याएँ होती हैं $n$-टुपल्स $(p_{1}/q, ..., p_{n}/q)$ ऐसा है कि
 * $$\left|x_i - \frac{p_i}{q}\right| < q^{-(1 + 1/n + \varepsilon)},\quad i = 1, \ldots, n.$$

फिर से, यह परिणाम इस मायने में इष्टतम है कि कोई हटा नहीं सकता $ε$ प्रतिपादक से।

प्रभावी सीमा
सभी पिछली निचली सीमाएँ संख्या सिद्धांत में प्रभावी परिणाम  नहीं हैं, इस अर्थ में कि प्रमाण कथनों में निहित स्थिरांक की गणना करने का कोई तरीका प्रदान नहीं करते हैं। इसका मतलब यह है कि संबंधित डायोफैंटाइन समीकरणों के समाधान के आकार पर सीमा प्राप्त करने के लिए परिणाम या उनके प्रमाण का उपयोग नहीं किया जा सकता है। हालांकि, इन तकनीकों और परिणामों का उपयोग अक्सर ऐसे समीकरणों के समाधानों की संख्या को सीमित करने के लिए किया जा सकता है।

फिर भी, फेल्डमैन द्वारा बेकर के प्रमेय का परिशोधन प्रभावी सीमा प्रदान करता है: यदि x परिमेय संख्याओं पर डिग्री n की बीजगणितीय संख्या है, तो प्रभावी रूप से संगणनीय स्थिरांक c(x) > 0 और 0 < d(x) < n ऐसे मौजूद हैं वह


 * $$\left| x- \frac{p}{q} \right|>\frac{c(x)}{|q|^{d(x)}} $$

सभी परिमेय पूर्णांकों के लिए धारण करता है।

हालाँकि, बेकर के प्रमेय के प्रत्येक प्रभावी संस्करण के लिए, स्थिरांक d और 1/c इतने बड़े हैं कि इस प्रभावी परिणाम का व्यवहार में उपयोग नहीं किया जा सकता है।

सामान्य ऊपरी सीमा
डायोफैंटाइन सन्निकटन के लिए ऊपरी सीमा के बारे में पहला महत्वपूर्ण परिणाम डिरिचलेट का सन्निकटन प्रमेय है, जिसका अर्थ है कि, प्रत्येक अपरिमेय संख्या के लिए $α$, अपरिमित रूप से अनेक भिन्न हैं $$\tfrac{p}{q}\;$$ ऐसा है कि
 * $$\left|\alpha-\frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^2}\,.$$

इसका तात्पर्य यह है कि कोई दमन नहीं कर सकता $ε$ थू-सीगल-रोथ प्रमेय के कथन में।

एडॉल्फ हर्विट्ज़ (1891) इस परिणाम को मजबूत किया, यह साबित करते हुए कि प्रत्येक अपरिमेय संख्या के लिए $α$, अपरिमित रूप से अनेक भिन्न हैं $$\tfrac{p}{q}\;$$ ऐसा है कि
 * $$\left|\alpha-\frac{p}{q}\right| < \frac{1}{\sqrt{5}q^2}\,.$$

इसलिए, $$\frac{1}{\sqrt{5}\, q^2}$$ किसी भी अपरिमेय संख्या के डायोफैंटाइन सन्निकटन के लिए ऊपरी सीमा है। कुछ अपरिमेय संख्याओं को छोड़े बिना इस परिणाम में स्थिरांक में और सुधार नहीं किया जा सकता है (नीचे देखें)।

एमिल बोरेल (1903) दिखाया कि, वास्तव में, कोई अपरिमेय संख्या दी गई है $α$, और के लगातार तीन अभिसरण दिए हैं $α$, कम से कम किसी को हर्विट्ज़ के प्रमेय में दी गई असमानता को पूरा करना चाहिए।

समतुल्य वास्तविक संख्या
परिभाषा: दो वास्तविक संख्याएँ $$x,y$$ समतुल्य कहलाते हैं यदि पूर्णांक हैं $$a,b,c,d\;$$ साथ $$ad-bc = \pm 1\;$$ ऐसा है कि:
 * $$y = \frac{ax+b}{cx+d}\, .$$

तो समतुल्यता को वास्तविक संख्याओं पर पूर्णांक मोबियस परिवर्तन या मॉड्यूलर समूह  के सदस्य द्वारा परिभाषित किया गया है $$\text{SL}_2^{\pm}(\Z)$$, पूर्णांकों पर व्युत्क्रमणीय 2 × 2 आव्यूहों का समुच्चय। प्रत्येक परिमेय संख्या 0 के बराबर है; इस प्रकार परिमेय संख्याएँ इस संबंध के लिए  तुल्यता वर्ग  हैं।

तुल्यता को नियमित रूप से निरंतर अंश प्रतिनिधित्व पर पढ़ा जा सकता है, जैसा कि जोसेफ अल्फ्रेड सेरेट  के निम्नलिखित प्रमेय द्वारा दिखाया गया है:

प्रमेय: दो अपरिमेय संख्याएँ x और y समतुल्य हैं यदि और केवल यदि दो धनात्मक पूर्णांक h और k मौजूद हैं, जैसे कि x का नियमित निरंतर अंश निरूपण ' और 'वाई'
 * $$\begin{align}

x &= [u_0; u_1, u_2, \ldots]\,, \\ y &= [v_0; v_1, v_2, \ldots]\, , \end{align}$$ संतुष्ट करना
 * $$u_{h+i} = v_{k+i}$$

प्रत्येक गैर ऋणात्मक पूर्णांक के लिए i. इस प्रकार, परिमित प्रारंभिक अनुक्रम को छोड़कर, समतुल्य संख्याओं में ही निरंतर अंश का प्रतिनिधित्व होता है।

समतुल्य संख्याएं ही डिग्री के अनुमानित हैं, इस अर्थ में कि उनके पास समान मार्कोव स्थिरांक है।

लैग्रेंज स्पेक्ट्रम
जैसा कि ऊपर कहा गया है, बोरेल के प्रमेय में स्थिरांक में सुधार नहीं हो सकता है, जैसा कि 1891 में एडॉल्फ हर्विट्ज द्वारा दिखाया गया था। होने देना $$\phi = \tfrac{1+\sqrt{5}}{2}$$ सुनहरा अनुपात  हो। फिर किसी भी वास्तविक स्थिरांक c के साथ $$c > \sqrt{5}\;$$ परिमेय संख्याओं की केवल परिमित संख्या होती है $p/q$ ऐसा है कि
 * $$\left|\phi-\frac{p}{q}\right| < \frac{1}{c\, q^2}.$$

इसलिए सुधार केवल तभी प्राप्त किया जा सकता है, यदि संख्याएँ जो इसके समतुल्य हों $$\phi$$ निष्कासित हैं। ज्यादा ठीक: प्रत्येक अपरिमेय संख्या के लिए $$\alpha$$है, जो इसके समकक्ष नहीं है $$\phi$$, अनंत अनेक भिन्न हैं $$\tfrac{p}{q}\;$$ ऐसा है कि


 * $$\left|\alpha-\frac{p}{q}\right| < \frac{1}{\sqrt{8} q^2}.$$

क्रमिक बहिष्करण द्वारा - अगले को समतुल्य संख्याओं को बाहर करना चाहिए $$\sqrt 2$$ - तुल्यता के अधिक से अधिक वर्गों में, निचली सीमा को और बढ़ाया जा सकता है। इस तरह से उत्पन्न होने वाले मान लैग्रेंज संख्याएं हैं, जो मार्कोव स्पेक्ट्रम  का हिस्सा हैं। वे संख्या 3 पर अभिसरण करते हैं और मार्कोव संख्या  से संबंधित हैं।

मीट्रिक डायोफैंटाइन सन्निकटन और विस्तार पर खिनचिन की प्रमेय
होने देना $$\psi$$ सकारात्मक पूर्णांकों (यानी, सकारात्मक अनुक्रम) पर सकारात्मक वास्तविक-मूल्यवान कार्य हो जैसे कि $$q \psi(q)$$ नहीं बढ़ रहा है। वास्तविक संख्या x (आवश्यक रूप से बीजगणितीय नहीं) कहलाती है $$\psi$$-अनुमानित अगर वहाँ असीम रूप से कई परिमेय संख्याएँ p/q मौजूद हैं जैसे कि


 * $$\left| x- \frac{p}{q} \right| < \frac{\psi(q)}{|q|}.$$

अलेक्सांद्र खींचीं ने 1926 में साबित कर दिया कि यदि श्रृंखला $\sum_{q} \psi(q) $  विचलन करता है, तो लगभग हर वास्तविक संख्या (लेबेस्ग माप के अर्थ में) है $$\psi$$-अनुमानित, और यदि श्रृंखला अभिसरण करती है, तो लगभग हर वास्तविक संख्या नहीं होती है $$\psi$$-अनुमानित। इस प्रमेय और इसके संबंधियों के आसपास के विचारों के चक्र को मीट्रिक डायोफैंटाइन सन्निकटन या डायोफैंटाइन सन्निकटन के मीट्रिक सिद्धांत ( डायोफैंटाइन ज्यामिति  में ऊंचाई मैट्रिक्स के साथ भ्रमित नहीं होना) या मीट्रिक संख्या सिद्धांत के रूप में जाना जाता है।

खिनचिन के परिणाम का सामान्यीकरण साबित हुआ, और जिसे अब डफिन-शेफ़र अनुमान के रूप में जाना जाता है, वह सामान्य रूप से खिनचिन के द्विभाजन के अनुरूप है, जरूरी नहीं कि कम हो, अनुक्रम $$\psi$$. ने साबित किया कि डफिन-शेफ़र अनुमान का हॉसडॉर्फ माप एनालॉग मूल डफ़िन-शेफ़र अनुमान के बराबर है, जो प्राथमिक कमजोर है। जुलाई 2019 में, दिमित्रिस कौकुलोपोलोस  और जेम्स मेनार्ड (गणितज्ञ) ने अनुमान के प्रमाण की घोषणा की।

असाधारण सेटों का हौसडॉर्फ आयाम
समारोह का महत्वपूर्ण उदाहरण $$\psi$$ जिस पर खिनचिन की प्रमेय लागू की जा सकती है वह फलन है $$\psi_c(q) = q^{-c}$$, जहां c > 1 वास्तविक संख्या है। इस फलन के लिए, प्रासंगिक श्रृंखला अभिसरण करती है और इसलिए खिनचिन की प्रमेय हमें बताती है कि लगभग हर बिंदु नहीं है $$\psi_c$$-अनुमानित। इस प्रकार, संख्याओं का समूह जो हैं $$\psi_c$$-approximable Lebesgue माप शून्य की वास्तविक रेखा का सबसेट बनाता है। जर्निक-बेसिकोविच प्रमेय, वोजटेक जर्निक के कारण | वी। जार्निक और अब्राम समोइलोविच बेसिकोविच|ए. एस. बेसिकोविच, कहते हैं कि इस सेट का हॉसडॉर्फ आयाम  बराबर है $$1/c$$. विशेष रूप से, संख्याओं का समूह जो हैं $$\psi_c$$-कुछ के लिए अनुमानित $$c > 1$$ (बहुत अच्छी तरह से अनुमानित संख्याओं के सेट के रूप में जाना जाता है) हॉसडॉर्फ का आयाम है, जबकि संख्याओं का सेट जो हैं $$\psi_c$$- सभी के लिए अनुमानित $$c > 1$$ ( लिउविल संख्या ओं के समुच्चय के रूप में जाना जाता है) का हौसडॉर्फ आयाम शून्य है।

अन्य महत्वपूर्ण उदाहरण कार्य है $$\psi_\varepsilon(q) = \varepsilon q^{-1}$$, कहाँ पे $$\varepsilon > 0$$ वास्तविक संख्या है। इस फलन के लिए, संबंधित श्रृंखला अलग-अलग होती है और इसलिए खिनचिन की प्रमेय हमें बताती है कि लगभग हर संख्या है $$\psi_\varepsilon$$-अनुमानित। यह कहने के समान है कि ऐसी प्रत्येक संख्या अच्छी तरह से सन्निकट है, जहाँ संख्या को अच्छी तरह से सन्निकट कहा जाता है यदि यह बुरी तरह सन्निकट नहीं है। तो जार्निक-बेसिकोविच प्रमेय का उपयुक्त एनालॉग बुरी तरह अनुमानित संख्याओं के सेट के हौसडॉर्फ आयाम से संबंधित होना चाहिए। और वास्तव में, वी. जार्निक ने साबित किया कि इस सेट का हॉसडॉर्फ आयाम के बराबर है। इस परिणाम में वोल्फगैंग एम. श्मिट | डब्ल्यू द्वारा सुधार किया गया था। एम. श्मिट, जिन्होंने दिखाया कि बुरी तरह अनुमानित संख्याओं का सेट असम्पीडित है, जिसका अर्थ है कि यदि $$f_1,f_2,\ldots$$ Lipschitz continuity#Lipschitz manifolds|bi-Lipschitz मैप्स का क्रम है, फिर संख्याओं का सेट x जिसके लिए $$f_1(x),f_2(x),\ldots$$ हॉसडॉर्फ आयाम के साथ सभी बुरी तरह से अनुमानित हैं। श्मिट ने जर्निक के प्रमेय को उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत किया, महत्वपूर्ण उपलब्धि क्योंकि जार्निक का तर्क अनिवार्य रूप से एक-आयामी है, जो निरंतर अंशों के उपकरण पर निर्भर करता है।

समान वितरण
अन्य विषय जिसने गहन विकास देखा है वह है समवितरित अनुक्रम का सिद्धांत। अनुक्रम लें ए1, एक2, ... वास्तविक संख्याओं का और उनके भिन्नात्मक भागों पर विचार करें। यही है, अधिक संक्षेप में, अनुक्रम को देखें $$\mathbb{R}/\mathbb{Z}$$, जो वृत्त है। सर्कल पर किसी भी अंतराल I के लिए हम अनुक्रम के उन तत्वों के अनुपात को देखते हैं जो इसमें निहित हैं, कुछ पूर्णांक एन तक, और इसकी तुलना I द्वारा व्याप्त परिधि के अनुपात से करें। समान वितरण का अर्थ है कि सीमा में, N के रूप में बढ़ता है, अंतराल पर हिट का अनुपात 'अपेक्षित' मान की ओर जाता है। हरमन वेइल  ने वेइल की कसौटी साबित की, जिसमें दिखाया गया है कि यह अनुक्रम से बनने वाली घातीय रकम के लिए सीमा के बराबर था। इससे पता चला कि डायोफैंटाइन सन्निकटन परिणाम घातीय योगों में रद्दीकरण की सामान्य समस्या से निकटता से संबंधित थे, जो कि त्रुटि शब्दों की सीमा में पूरे  विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत  में होता है।

एकसमान वितरण से संबंधित वितरण की अनियमितताओं का विषय है, जो संयोजक प्रकृति का है।

अनसुलझी समस्याएं
डायोफैंटाइन सन्निकटन में अभी भी सरल रूप से बताई गई अनसुलझी समस्याएं शेष हैं, उदाहरण के लिए लिटिलवुड अनुमान  और  अकेला धावक अनुमान । यह भी अज्ञात है कि उनके निरंतर अंश विस्तार में असीमित गुणांक वाले बीजगणितीय संख्याएं हैं या नहीं।

हालिया घटनाक्रम
क्योटो (1990) में अंतर्राष्ट्रीय गणितीय कांग्रेस  में अपने पूर्ण संबोधन में,  ग्रिगोरी मार्गुलिस  ने  एर्गोडिक सिद्धांत  में निहित व्यापक कार्यक्रम की रूपरेखा तैयार की, जो सेमीसिम्पल लाइ समूहों के उपसमूहों के कार्यों के गतिशील और एर्गोडिक गुणों का उपयोग करके संख्या-सिद्धांत संबंधी परिणामों को साबित करने की अनुमति देता है। डी. क्लेनबॉक, जी. मार्गुलिस और उनके सहयोगियों के काम ने डायोफैंटाइन सन्निकटन में शास्त्रीय समस्याओं के लिए इस उपन्यास दृष्टिकोण की शक्ति का प्रदर्शन किया। इसकी उल्लेखनीय सफलताओं में मार्गुलिस द्वारा दशकों पुराने ओपेनहेम अनुमान  का प्रमाण है, दानी और मार्गुलिस और एस्किन-मार्गुलिस-मोज़ेस द्वारा बाद के विस्तार के साथ, और क्लेनबॉक और मार्गुलिस द्वारा मैनिफोल्ड्स पर डायोफैंटाइन सन्निकटन में बेकर और स्प्रिंदज़ुक अनुमानों का प्रमाण। मीट्रिक डायोफैंटाइन सन्निकटन में अलेक्जेंडर खिनचिन के उपरोक्त परिणामों के विभिन्न सामान्यीकरण भी इस ढांचे के भीतर प्राप्त किए गए हैं।

यह भी देखें

 * डेवनपोर्ट-श्मिट प्रमेय
 * डफिन-शेफ़र अनुमान
 * हेइलब्रोन सेट
 * कम विसंगति अनुक्रम

बाहरी कड़ियाँ

 * Diophantine Approximation: historical survey. From Introduction to Diophantine methods course by Michel Waldschmidt.