साहचर्य बीजगणित

गणित में, साहचर्य बीजगणित 'A ' बीजगणितीय संरचना है जिसमें जोड़, गुणन (सहयोगी गुण माना जाता है) के संगत संचालन होते हैं, और कुछ क्षेत्र (गणित) K में अवयव द्वारा अदिश गुणन होता है। जोड़ और गुणन संक्रियाएँ मिलकर A को वलय (गणित) की संरचना देती हैं; जोड़ और अदिश गुणन संक्रियाएँ मिलकर A को K के ऊपर सदिश स्थान की संरचना प्रदान करती हैं। इस लेख में हम क्षेत्र के ऊपर बीजगणित शब्द का भी उपयोग करते है। K-बीजगणित का मानक प्रथम उदाहरण सामान्य आव्युह गुणन के साथ K क्षेत्र पर स्क्वायर आव्युह का वलय है।

क्रमविनिमेय बीजगणित साहचर्य बीजगणित है जिसमें क्रमविनिमेय गुणन होता है, या, समकक्ष रूप से, साहचर्य बीजगणित होता है जो की क्रमविनिमेय वलय भी होता है।

इस लेख में साहचर्य बीजगणित को गुणात्मक पहचान माना जाता है, जिसे 1 दर्शाया गया है; स्पष्टीकरण के लिए उन्हें कभी-कभी एकात्मक साहचर्य बीजगणित कहा जाता है। गणित के कुछ क्षेत्रों में यह धारणा नहीं बनती है, और हम ऐसी संरचनाओं को एकात्मक बीजगणित गैर-एकात्मक साहचर्य बीजगणित कहलाते है। हम यह भी मानेंगे कि सभी वलय एकात्मक हैं, और सभी वलय समरूपताएँ एकात्मक हैं।

इस प्रकार से अनेक लेखक क्षेत्र के अतिरिक्त क्रमविनिमेय वलय R पर साहचर्य बीजगणित की अधिक सामान्य अवधारणा पर विचार करते हैं: R-बीजगणित मॉड्यूल (गणित) है। R-मॉड्यूल के साथ साहचर्य R-बिलिनियर बाइनरी ऑपरेशन, जिसमें गुणक पहचान भी सम्मिलित है। इस अवधारणा के उदाहरण के लिए, यदि S केंद्र (वलय थ्योरी) C के साथ कोई वलय है, तो S साहचर्य C''-बीजगणित है।

परिभाषा
मान लीजिए कि R क्रमविनिमेय वलय है (इसलिए R क्षेत्र हो सकता है)। 'सहयोगी आर-बीजगणित' (या अधिक सरलता रूप से, 'R-बीजगणित') वलय (गणित) है जो एक R-मॉड्यूल भी है इस तरह से है कि दो जोड़ (वलय जोड़ और मॉड्यूल जोड़) ही ऑपरेशन हैं, और अदिश गुणन संतुष्ट करता है
 * $$r\cdot(xy) = (r\cdot x)y = x(r\cdot y)$$

इस प्रकार से बीजगणित में r और x, y में सभी r के लिए। (इस परिभाषा का तात्पर्य है कि बीजगणित एकात्मक बीजगणित है, क्योंकि वलयो को गुणक पहचान माना जाता है।)

समतुल्य रूप से, एक साहचर्य बीजगणित A एक वलय है जिसमें R से A के केंद्र तक एक वलय समरूपता है।यदि f ऐसा समाकारिता है, तो अदिश गुणन $$(r,x)\mapsto f(r)x$$ है (यहाँ गुणन वलय गुणन है); यदि अदिश गुणन दिया गया है, तो वलय समरूपता $$r\mapsto r\cdot 1_A$$ द्वारा दिया जाता है (यह सभी देखें नीचे)।

हर वलय सहयोगी $$\mathbb Z$$-बीजगणित है, जहाँ $$\mathbb Z$$ पूर्णांक के वलय को दर्शाता है।

एक्रमविनिमेय बीजगणित साहचर्य बीजगणित है जो क्रमविनिमेय वलय भी है।

मॉड्यूल की श्रेणी में मोनोइड वस्तु के रूप में
परिभाषा यह कहने के समान है कि यूनिटल सहयोगी आर-बीजगणित मॉड्यूल की श्रेणी में मोनोइड (श्रेणी सिद्धांत) है। 'R-मॉड' (R-मॉड्यूल की मोनोइडल श्रेणी)। परिभाषा के अनुसार, एबेलियन समूहों की श्रेणी में वलय मोनोइड वस्तु है; इस प्रकार, मॉड्यूल की श्रेणी के साथ एबेलियन समूहों की श्रेणी को परिवर्तित करके सहयोगी बीजगणित की धारणा प्राप्त की जाती है।

इस विचार को आगे बढ़ाते हुए, कुछ लेखकों ने मॉड्यूल की श्रेणी की तरह व्यवहार करने वाली किसी अन्य श्रेणी में मोनोइड वस्तु के रूप में सामान्यीकृत वलय प्रस्तुत की है। इस प्रकार से, यह पुनर्व्याख्या बीजगणित A के अवयव के लिए स्पष्ट संदर्भ बनाने से बचने की अनुमति देती है। अतः उदाहरण के लिए, सहयोगीता निम्नानुसार व्यक्त की जा सकती है। मॉड्यूल के टेन्सर उत्पाद की सार्वभौमिक गुण द्वारा, गुणन (R-बिलिनियर मानचित्र) अद्वितीय R-रैखिक मानचित्र से मेल खाता है
 * $$m: A \otimes_R A \to A$$.

सहयोगीता तब पहचान को संदर्भित करती है:
 * $$m \circ ({\operatorname{id}} \otimes m) = m \circ (m \otimes \operatorname{id}).$$

वलय समरूपता से
साहचर्य बीजगणित वलय समरूपता के समान है जिसकी छवि वलय के केंद्र में स्थित है। दरअसल, वलय A और वलय होमोमोर्फिज्म $$\eta\colon R \to A$$ से प्रारंभ होता है जिसकी छवि A के केंद्र (वलय थ्योरी) में निहित है, हम परिभाषित करके A को R-बीजगणित बना सकते हैं
 * $$r\cdot x = \eta(r)x$$

सभी r ∈ R और x ∈ A के लिए। यदि A R-बीजगणित है, तो x = 1 लेते हुए, वही सूत्र वलय समरूपता $$\eta\colon R \to A$$ को परिभाषित करता है जिसकी छवि केंद्र में स्थित है।

यदि वलय क्रमविनिमेय है तो यह इसके केंद्र के समान है, जिससे क्रमविनिमेय R-बीजगणित को क्रमविनिमेय वलय A के रूप में क्रमविनिमेय वलय समरूपता $$\eta\colon R \to A$$ के साथ परिभाषित किया जा सकता है।

उपरोक्त में दिखाई देने वाली वलय समरूपता η को प्रायः संरचना मानचित्र कहा जाता है। इस प्रकार से क्रमविनिमेय स्तिथि में, कोई उस श्रेणी पर विचार कर सकता है जिसकी वस्तुएं वलय होमोमोर्फिज्म R→ A हैं; अर्थात, क्रमविनिमेय आर-बीजगणित और जिनकी आकारिकी वलय समरूपता A → A हैं'जो आर के अधीन हैं; अर्थात , R → A → A'  R → A' है'(अर्थात , R के अधीन कम्यूटेटिव वलय की श्रेणी की कोस्लिस श्रेणी।) प्रधान स्पेक्ट्रम फंक्शनल स्पेक तब इस श्रेणी की एंटी-समतुल्यता को स्पेक R पर एफ़िन योजनाओं की श्रेणी में निर्धारित करता है।

इस प्रकार से कम्यूटेटिविटी धारणा को कैसे निर्बल किया जाए, यह गैर-अनुमेय बीजगणितीय ज्यामिति का विषय है और वर्तमान में व्युत्पन्न बीजगणितीय ज्यामिति का विषय है। यह भी देखें: सामान्य आव्युह वलय है।

बीजगणित समरूपता
अर्थात दो R-बीजगणित के मध्य समरूपता मॉड्यूल समरूपता है। अतः R-रैखिक वलय समरूपता है। स्पष्ट रूप से, $$\varphi : A_1 \to A_2$$ साहचर्य बीजगणित समरूपता है यदि
 * $$\begin{align}

\varphi(r \cdot x) &= r \cdot \varphi(x) \\ \varphi(x + y) &= \varphi(x) + \varphi(y) \\ \varphi(xy) &= \varphi(x)\varphi(y) \\ \varphi(1) &= 1 \end{align}$$ चूंकि सभी R-अल्जेब्रा का वर्ग उनके मध्य बीजगणित समरूपता के साथ मिलकर श्रेणी (गणित) बनाता है, जिसे कभी-कभी 'R-एल्ग' कहा जाता है।

क्रमविनिमेय R-अल्जेब्रस की उपश्रेणी को कोस्लिस श्रेणी R/Cआवलय ' के रूप में चित्रित किया जा सकता है जहां 'Cआवलय ' क्रमविनिमेय वलय की श्रेणी है।

उदाहरण
अधिक मूलभूत उदाहरण वलय है; यह अपने केंद्र (वलय थ्योरी) यह अपने केंद्र या केंद्र में स्थित किसी उपवलय पर बीजगणित है। विशेष रूप से, कोई भी क्रमविनिमेय वलय इसके किसी भी उप-वलय पर बीजगणित है। अन्य उदाहरण बीजगणित और गणित के अन्य क्षेत्रों से प्रचुर मात्रा में हैं।

बीजगणित
G(A) \to A \\ 1 + \sum_{i > 0} a_i t^i \mapsto a_1 \end{cases}$$ दूसरी ओर, यदि A λ-वलय है, तो वलय समरूपता है $$ \begin{cases} A \to G(A) \\ a \mapsto 1 + \sum_{i > 0} \lambda^i(a)t^i \end{cases}$$ दे रही है $$G(A)$$ A-बीजगणित की संरचना है।
 * किसी भी वलय A को 'Z'-बीजगणित माना जा सकता है। 'Z' से A तक अद्वितीय वलय समरूपता इस तथ्य से निर्धारित होती है कि इसे A में पहचान के लिए 1 भेजना चाहिए। इसलिए, वलय और 'Z'-बीजगणित समकक्ष अवधारणाएं हैं, ठीक उसी प्रकार जैसे कि एबेलियन समूह और 'Z' -मॉड्यूल समकक्ष हैं।
 * विशेषता (बीजगणित) n का कोई भी वलय उसी तरह ('Z'/n'Z')-बीजगणित है।
 * R-मॉड्यूल M दिया गया है, एम की एंडोमोर्फिज्म वलय, निरूपित एंडR(M)) (r·φ)(x) = r·φ(x) को परिभाषित करके R-बीजगणित है।
 * कम्यूटेटिव वलय R में गुणांक के साथ आव्युह (गणित) की कोई भी वलय आव्युह जोड़ और गुणा के अधीन R-बीजगणित बनाती है। यह पूर्व के उदाहरण के साथ मेल खाता है जब M सूक्ष्म रूप से उत्पन्न, मुक्त मॉड्यूल R-मॉड्यूल है।
 * विशेष रूप से, वर्ग n-by-n वर्ग आव्युह क्षेत्र K से प्रविष्टियों के साथ K पर साहचर्य बीजगणित बनाता है।
 * सम्मिश्र संख्याएँ वास्तविक संख्याओं पर द्वि-आयामी क्रमविनिमेय बीजगणित बनाती हैं।
 * चतुष्कोण वास्तविक के ऊपर 4-आयामी साहचर्य बीजगणित बनाते हैं (किन्तु समष्टि संख्याओं पर बीजगणित नहीं, क्योंकि समष्टि संख्या चतुष्कोणों के केंद्र में नहीं हैं)।
 * वास्तविक गुणांक वाले बहुपद वास्तविक पर क्रमविनिमेय बीजगणित बनाते हैं।
 * प्रत्येक बहुपद वलय R[x1, ..., xn] क्रमविनिमेय R-बीजगणित है। वास्तव में, यह समुच्चय {x1, ..., xn} पर मुक्त क्रमविनिमेय R-बीजगणित है.
 * समुच्चय E पर मुक्त बीजगणित | मुक्त R-बीजगणित R में गुणांक वाले बहुपदों का बीजगणित है और समुच्चय E से लिया गया गैर-कम्यूटिंग अनिश्चित है।
 * R-मॉड्यूल का टेंसर बीजगणित स्वाभाविक रूप से सहयोगी R-बीजगणित है। बाहरी बीजगणित और सममित बीजगणित जैसे भागफलों के लिए भी यही सत्य है। स्पष्ट रूप से बोलते हुए, ऑपरेटर जो R-मॉड्यूल को अपने टेन्सर बीजगणित में मानचित्र करता है, फ़ंक्टर के पास छोड़ दिया जाता है जो R-बीजगणित को उसके अंतर्निहित R-मॉड्यूल (गुणात्मक संरचना को विस्मृतहोना) भेजता है।
 * इस प्रकार से निम्नलिखित वलय का उपयोग λ-वलय के सिद्धांत में किया जाता है। एक क्रमविनिमेय वलय A को देखते हुए, $$G(A) = 1 + tA[\![t]\!],$$ को निरंतर अवधि 1 के साथ औपचारिक शक्ति श्रृंखला का समुच्चय दें। यह समूह संचालन के साथ एक एबेलियन समूह है जो शक्ति श्रृंखला का गुणन है। फिर यह गुणन के साथ एक वलय है, जिसे $$\circ$$ द्वारा निरूपित किया जाता है, जैसे कि $$(1 + at) \circ (1 + bt) = 1 + abt,$$ इस स्थिति और वलय अभिगृहीतों द्वारा निर्धारित होता है। योगात्मक पहचान 1 है और गुणक पहचान $$1 + t$$ है, फिर $$A$$ में वलय होमोमोर्फिज्म द्वारा दी गई $$G(A)$$-बीजगणित की एक विहित संरचना है$$\begin{cases}

प्रतिनिधित्व सिद्धांत

 * लाई बीजगणित का सार्वभौमिक आवरण बीजगणित साहचर्य बीजगणित है जिसका उपयोग दिए गए लाई बीजगणित का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है।
 * यदि G समूह है और R क्रमविनिमेय वलय है, तो परिमित समर्थन वाले G से R तक के सभी कार्यों का समुच्चय R-बीजगणित बनाता है जिसमें गुणन के रूप में कनवल्शन होता है। इसे G का समूह वलय कहा जाता है। निर्माण (असतत) समूहों के अध्ययन के लिए आवेदन का प्रारंभिक बिंदु है।
 * यदि G बीजगणितीय समूह है (उदाहरण के लिए, अर्ध-सरल समष्टि लाई समूह), तो G का निर्देशांक वलय G के अनुरूप हॉफ बीजगणित A है। जहाँ G की अनेक संरचनाएँ A की उन संरचनाओं का अनुवाद करती हैं।
 * निर्देशित ग्राफ का तरकश बीजगणित (या पथ बीजगणित) ग्राफ में पथों द्वारा उत्पन्न क्षेत्र पर मुक्त साहचर्य बीजगणित है।

विश्लेषण

 * किसी भी बनच स्थान X को देखते हुए, निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) रैखिक ऑपरेटर A : X → X सहयोगी बीजगणित बनाते हैं (ऑपरेटरों की संरचना को गुणन के रूप में उपयोग करके); यह बनच बीजगणित है।
 * किसी भी टोपोलॉजी एक्स को देखते हुए, X पर निरंतर वास्तविक- या समष्टि -मूल्यवान कार्य वास्तविक या समष्टि साहचर्य बीजगणित बनाते हैं; यहाँ फलन को जोड़ा जाता है और बिंदुवार गुणा किया जाता है।
 * फिल्ट्रेशन (गणित) पर परिभाषित s|स्थान का समुच्चय या माप सिद्धांत (Ω, F, (Ft)t ≥ 0, P) स्टोचैस्टिक कैलकुलस के अधीन वलय बनाता है।
 * वीइल बीजगणित
 * अज़ुमाया बीजगणित

ज्यामिति और संयोजन विज्ञान

 * क्लिफोर्ड बीजगणित, जो ज्यामिति और भौतिकी में उपयोगी हैं।
 * आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए स्थानीय रूप से परिमित पोसमुच्चय के घटना बीजगणित साहचर्य बीजगणित हैं जिन्हें कॉम्बिनेटरिक्स में माना जाता है।
 * विभाजन बीजगणित और इसके उप-लजेब्रा, जिसमें ब्राउर बीजगणित और टेम्परले-लीब बीजगणित सम्मिलित हैं।

निर्माण
भागफल बीजगणित:
 * उप बीजगणित: R-बीजगणित A का सबलजेब्रा A का उपसमुच्चय है जो A का सबवलय और उपमॉड्यूल दोनों है। अर्थात, इसे जोड़, वलय गुणन, अदिश गुणन के अधीन संवृत किया जाना चाहिए, और इसमें ए का पहचान तत्व सम्मिलित होना चाहिए।

माना A एक R-बीजगणित है। A में कोई भी वलय -सैद्धांतिक आदर्श हैI स्वचालित रूप से एक R-मॉड्यूल है क्योंकि r · x = (r1A)x। यह भागफल वलय A / I को एक R-मॉड्यूल और वास्तव में, एक R-बीजगणित की संरचना देता है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि A की कोई भी वलय समरूपी छवि भी एक R-बीजगणित है।

प्रत्यक्ष उत्पाद:

R-अल्जेब्रस के वर्ग का प्रत्यक्ष उत्पाद वलय -सैद्धांतिक प्रत्यक्ष उत्पाद है। यह स्पष्ट अदिश गुणन के साथ R-बीजगणित बन जाता है।

नि: शुल्क उत्पाद:

समूह के मुक्त उत्पाद के समान विधि से R-एलजेब्रा के सहयोगी बीजगणित का मुफ्त उत्पाद बना सकते हैं। मुक्त उत्पाद R-अल्जेब्रा की श्रेणी में सह-उत्पाद है।

टेंसर उत्पाद:

इस प्रकार से दो R-बीजगणित का टेंसर उत्पाद भी प्राकृतिक विधि से एक R-बीजगणित है। अधिक विवरण के लिए बीजगणित का टेंसर उत्पाद देखते हुए। एक क्रमविनिमेय वलय R और किसी वलय A को देखते हुए टेंसर उत्पाद R ⊗Z A को r · (s ⊗ a) = (rs ⊗ a) परिभाषित करके R-बीजगणित की संरचना दी जा सकती है। अतः फ़ंक्टर जो A को R ⊗Z A भेजता है, उसे फ़ंक्टर के समीप में छोड़ दिया जाता है जो की R-बीजगणित को उसके अंतर्निहित वलय में भेजता है (मॉड्यूल संरचना को भूल जाता है)। यह भी देखें: वलयो का परिवर्तन किया जाता है.

निःशुल्क बीजगणित:

मुक्त बीजगणित प्रतीकों द्वारा उत्पन्न बीजगणित है। यदि कोई क्रमपरिवर्तनशीलता लगाता है; अर्थात, कम्यूटेटर द्वारा भागफल लें, तब बहुपद बीजगणित प्राप्त होता है।

वियोज्य बीजगणित
मान लीजिए A क्रमविनिमेय वलय R पर बीजगणित है। तब बीजगणित A अधिकार है मॉड्यूल ऊपर $$A^e := A^{op} \otimes_R A$$ क्रिया के साथ $$x \cdot (a \otimes b) = axb$$. फिर, परिभाषा के अनुसार, A को वियोज्य बीजगणित कहा जाता है यदि गुणन मानचित्र $$A \otimes_R A \to A, \, x \otimes y \mapsto xy$$ के रूप में $$A^e$$-रैखिक मानचित्र विभाजित करता है, जहाँ पर $$A \otimes A$$ है $$A^e$$-मॉड्यूल द्वारा $$(x \otimes y) \cdot (a \otimes b) = ax \otimes yb$$. समान रूप से प्राप्त होता है,

$$A$$ वियोज्य है यदि यह $$A^e$$ प्रक्षेपी मॉड्यूल ऊपर हो गया है ; इस प्रकार $$A^e$$ A का प्रक्षेपी आयाम, जिसे कभी-कभी A का 'बिडीमेंशन' कहा जाता है, पृथक्करणीयता की विफलता को मापता है।

परिमित-विम बीजगणित
मान लीजिए कि क्षेत्र k पर A परिमित-विमीय बीजगणित है। तब A आर्टिनियन वलय है।

क्रमविनिमेय स्तिथि
जैसा कि A आर्टिनियन है, यदि यह कम्यूटेटिव है, तो यह आर्टिनियन लोकल वलय का परिमित उत्पाद है, जिसके अवशेष क्षेत्र बेस फील्ड k पर बीजगणित हैं। अब, छोटा आर्टिनियन स्थानीय वलय क्षेत्र है और इस प्रकार निम्नलिखित समतुल्य हैं
 * 1) $$A$$ वियोज्य है।
 * 2) $$A \otimes \overline{k}$$ को घटाया गया है, जहां $$\overline{k}$$ k का कुछ बीजगणितीय समापन है।
 * 3) $$A \otimes \overline{k} = \overline{k}^n$$ कुछ n के लिए
 * 4) $$\dim_k A$$ की संख्या है $$k$$-बीजगणित समरूपता $$A \to \overline{k}$$. है

गैर-अनुवर्ती स्तिथि
चूँकि साधारण आर्टिनियन वलय विभाजन वलय के ऊपर (पूर्ण) आव्युह वलय है, यदि A साधारण बीजगणित है, तो A (पूर्ण) आव्युह बीजगणित है जो विभाजन बीजगणित D के ऊपर k है; अर्थात।, $$A = M_n(D)$$. अधिक सामान्यतः, यदि A अर्ध-सरल बीजगणित है, तो यह आव्युह बीजगणित (विभिन्न विभाजन के-बीजगणित पर) का परिमित उत्पाद है, इस तथ्य को आर्टिन-वेडरबर्न प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

तथ्य यह है कि A आर्टिनियन है, जैकबसन रेडिकल की धारणा को सरल करता है; आर्टिनियन वलय के लिए, A का जैकबसन रेडिकल सभी (दो तरफा) अधिकतम आदर्शों का प्रतिच्छेदन है (इसके विपरीत, सामान्य रूप से, जैकबसन रेडिकल सभी बाएं अधिकतम आदर्शों का प्रतिच्छेदन है या सभी सही अधिकतम आदर्शों का प्रतिच्छेदन है।)

इस प्रकार से 'वेडरबर्न प्रिंसिपल प्रमेय' कहता है: निलपोटेंट आदर्श I के साथ परिमित-आयामी बीजगणित A के लिए, यदि प्रक्षेपी आयाम $$A/I$$ के रूप में $$(A/I)^e$$-मॉड्यूल अधिक से अधिक है, फिर प्राकृतिक अनुमान $$p: A \to A/I$$ विभाजन; अर्थात, $$A$$ सबलजेब्रा सम्मिलित है $$B$$ ऐसा है कि $$p|_B : B \overset{\sim}\to A/I$$ समरूपता है। I को जैकबसन रेडिकल के रूप में लेते हुए, प्रमेय विशेष रूप से कहता है कि जैकबसन रेडिकल अर्ध-सरल बीजगणित द्वारा पूरक है। प्रमेय ली बीजगणित के लिए लेवी के प्रमेय का एनालॉग है।

जाली और आदेश
मान लें कि R अंश K के क्षेत्र के साथ नोथेरियन इंटीग्रल डोमेन है (उदाहरण $$\mathbb{Z}, \mathbb{Q}$$ के लिए, वे हो सकते हैं ). परिमित-आयामी K-सदिश अंतरिक्ष V में जाली (क्रम) L, V का सूक्ष्म रूप से उत्पन्न R-सबमॉड्यूल है जो V तक फैला है; दूसरे शब्दों में, $$L \otimes_R K = V$$.

होने देना $$A_K$$ परिमित-विमीय K-बीजगणित हो। आदेश (वलय थ्योरी) में $$A_K$$ R-उपबीजगणित है जो जाली है। सामान्य रूप से, लैटिस की तुलना में अधिक कम ऑर्डर होते हैं; जैसे, $${1 \over 2} \mathbb{Z}$$ में जाली $$\mathbb{Q}$$ है किन्तु आदेश नहीं (चूंकि यह बीजगणित नहीं है)।

अधिकतम आदेश आदेश है जो सभी आदेशों में अधिकतम है।

कोलजेब्रस
इस प्रकार से K पर एक साहचर्य बीजगणित एक K-सदिश स्थान A द्वारा दिया गया है जो एक द्विरेखीय मानचित्र A × A → A से युक्त है जिसमें दो इनपुट (गुणक और गुणक) और एक आउटपुट (उत्पाद) है, साथ ही एक रूपवाद K → A है जो गुणक पहचान के अदिश गुणकों की पहचान करता है। यदि द्विरेखीय मानचित्र A × A → A को एक रेखीय मानचित्र के रूप में पुनर्व्याख्या की जाती है (अर्थात, K-सदिश रिक्त स्थान की श्रेणी में रूपवाद) A ⊗ A → A (टेंसर उत्पाद की सार्वभौमिक संपत्ति द्वारा), तो हम K के ऊपर एक सहयोगी बीजगणित को K-सदिश स्थान A के रूप में देख सकते हैं जो दो आकारिकी (एक रूप A ⊗ A → A और एक रूप K → A) कुछ नियम को पूरा करना जो बीजगणित के सिद्धांतों पर आधारित हैं। बीजगणित के सिद्धांतों का वर्णन करने वाले क्रमविनिमेय आरेखों में सभी तीरों को उलट कर श्रेणीबद्ध द्वैत का उपयोग करके इन दो आकारिकी को द्वैत किया जा सकता है; यह कोलजेब्रा की संरचना को परिभाषित करता है।

अतः F-कोलजेब्रा की अमूर्त धारणा भी है, जहाँ F फ़ंक्टर है। यह अस्पष्ट रूप से ऊपर चर्चित कोलजेब्रा की धारणा से संबंधित है।

प्रतिनिधित्व
बीजगणित ए का प्रतिनिधित्व सिद्धांत बीजगणित समरूपता ρ है: A→ अंत (V) A से कुछ सदिश अंतरिक्ष (या मॉड्यूल) वी के एंडोमोर्फिज्म बीजगणित तक। बीजगणित समरूपता होने के ρ की गुण का अर्थ है कि ρ गुणक संचालन को संरक्षित करता है (अर्थात, ρ(xy) = ρ(x)ρ(y) सभी x और y के लिए A में), और यह कि ρ, A की इकाई को अंत (V) की इकाई को भेजता है (अर्थात, V की पहचान एंडोमोर्फिज्म के लिए)।

इस प्रकार से यदि A और B दो बीजगणित हैं, और ρ : A → अंत (V) और τ : B → अंत (W) दो अभ्यावेदन हैं, तो सदिश समष्टि V $$\otimes$$ W पर टेन्सर उत्पाद बीजगणित A $$\otimes$$ B का एक (विहित) निरूपण A $$\otimes$$ B → अंत (V $$\otimes$$ W) है। चूंकि, एकल साहचर्य बीजगणित के दो निरूपणों के टेन्सर उत्पाद को परिभाषित करने का कोई प्राकृतिक विधि नहीं है इस तरह कि परिणाम अभी भी उसी बीजगणित का प्रतिनिधित्व है (स्वयं के साथ इसके टेंसर उत्पाद का नहीं), बिना किसी अतिरिक्त नियम को प्रयुक्त किए है। यहां, अभ्यावेदन के टेंसर उत्पाद द्वारा, सामान्य अर्थ अभिप्रेत है: परिणाम उत्पाद सदिश स्थान पर समान बीजगणित का एक रैखिक प्रतिनिधित्व होना चाहिए। इस तरह की अतिरिक्त संरचना प्रयुक्त करने से सामान्यतः हॉपफ बीजगणित या लाई बीजगणित का विचार सामने आता है, जैसा कि नीचे दिखाया गया है।

हॉफ बीजगणित के लिए प्रेरणा
उदाहरण के लिए, दो अभ्यावेदन $$\sigma:A\rightarrow \mathrm{End}(V)$$ पर विचार करें और $$\tau:A\rightarrow \mathrm{End}(W)$$. कोई टेंसर उत्पाद प्रतिनिधित्व बनाने का प्रयास कर सकता है जहाँ $$\rho: x \mapsto \sigma(x) \otimes \tau(x)$$ यह उत्पाद सदिश स्थान पर कैसे कार्य करता है, उसके अनुसार


 * $$\rho(x)(v \otimes w) = (\sigma(x)(v)) \otimes (\tau(x)(w)).$$

चूंकि, ऐसा मानचित्र रैखिक नहीं होगा, क्योंकि ऐसा होगा

चूंकि k ∈ K के लिए। कोई इस प्रयास को बचा सकता है और अतिरिक्त संरचना लगाकर, बीजगणित समरूपता Δ: A → A ⊗ A को परिभाषित करके, और टेंसर उत्पाद प्रतिनिधित्व को इस प्रकार परिभाषित करके रैखिकता बहाल कर सकता है
 * $$\rho(kx) = \sigma(kx) \otimes \tau(kx) = k\sigma(x) \otimes k\tau(x) = k^2 (\sigma(x) \otimes \tau(x)) = k^2 \rho(x)$$


 * $$\rho = (\sigma\otimes \tau) \circ \Delta.$$

इस प्रकार से समाकारिता Δ को सहगुणन कहा जाता है यदि यह कुछ अभिगृहीतों को संतुष्ट करती है। परिणामी संरचना को बायलजेब्रा कहा जाता है। साहचर्य बीजगणित की परिभाषाओं के अनुरूप होने के लिए, कोलजेब्रा को सह-सहयोगी होना चाहिए, और, यदि बीजगणित एकात्मक है, तो सह-बीजगणित सह-एकात्मक भी होना चाहिए। हॉफ बीजगणित संरचना के अतिरिक्त टुकड़े (तथाकथित एंटीपोड) के साथ द्विबीजगणित है, जो न केवल दो अभ्यावेदन के टेंसर उत्पाद को परिभाषित करने की अनुमति देता है, किन्तु दो अभ्यावेदन के होम मॉड्यूल को भी परिभाषित करने की अनुमति देता है (फिर से, यह समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में कैसे किया जाता है)।

लाई बीजगणित के लिए प्रेरणा
टेंसर उत्पाद को परिभाषित करने में कोई और अधिक चालाक होने का प्रयास कर सकता है। उदाहरण के लिए विचार करें,


 * $$x \mapsto \rho (x) = \sigma(x) \otimes \mbox{Id}_W + \mbox{Id}_V \otimes \tau(x)$$

जिससे टेंसर उत्पाद स्थान पर क्रिया द्वारा दी गई हो


 * $$\rho(x) (v \otimes w) = (\sigma(x) v)\otimes w + v \otimes (\tau(x) w) $$.

यह मानचित्र x में स्पष्ट रूप से रैखिक है, और इसलिए इसमें पिछली परिभाषा की समस्या नहीं है। चूंकि, यह गुणन को संरक्षित करने में विफल रहता है:


 * $$\rho(xy) = \sigma(x) \sigma(y) \otimes \mbox{Id}_W + \mbox{Id}_V \otimes \tau(x) \tau(y)$$.

किन्तु, सामान्य रूप से, यह समान नहीं होता है


 * $$\rho(x)\rho(y) = \sigma(x) \sigma(y) \otimes \mbox{Id}_W + \sigma(x) \otimes \tau(y) + \sigma(y) \otimes \tau(x) + \mbox{Id}_V \otimes \tau(x) \tau(y)$$.

इससे पता चलता है कि टेंसर उत्पाद की यह परिभाषा अधिक सरल है; स्पष्ट सुधार इसे इस प्रकार से परिभाषित करना है कि यह एंटीसिमेट्रिक है, जिससे मध्य की दो नियम रद्द हो जाएं। यह लाई बीजगणित की अवधारणा की सामने आती है।

गैर-अनौपचारिक बीजगणित
कुछ लेखक "साहचर्य बीजगणित" शब्द का उपयोग उन संरचनाओं को संदर्भित करने के लिए करते हैं जिनकी आवश्यक रूप से गुणात्मक पहचान नहीं होती है, और इसलिए उन समरूपताओं पर विचार करते हैं जो आवश्यक रूप से इकाई नहीं हैं।

गैर-इकाई साहचर्य बीजगणित का उदाहरण सभी फलन f: 'R' → 'R' के समुच्चय द्वारा दिया गया है, जिसकी सीमा x अनंत के समीप के रूप में शून्य है।

और उदाहरण सवलन उत्पाद के साथ-साथ निरंतर आवधिक फलन का सदिश स्थान है।

यह भी देखें

 * सार बीजगणित
 * बीजगणितीय संरचना
 * क्षेत्र पर बीजगणित
 * बीजगणित का समूह, चक्राकार स्थान पर एक प्रकार का बीजगणित

संदर्भ

 * Nathan Jacobson, Structure of Rings
 * James Byrnie Shaw (1907) A Synopsis of Linear Associative Algebra, link from Cornell University Historical Math Monographs.
 * Ross Street (1998) Quantum Groups: an entrée to modern algebra, an overview of index-free notation.
 * Nathan Jacobson, Structure of Rings
 * James Byrnie Shaw (1907) A Synopsis of Linear Associative Algebra, link from Cornell University Historical Math Monographs.
 * Ross Street (1998) Quantum Groups: an entrée to modern algebra, an overview of index-free notation.