वन-वे वेव समीकरण

एक तरफ़ा तरंग समीकरण एक प्रथम-क्रम आंशिक अंतर समीकरण है जो सदिश तरंग वेग द्वारा परिभाषित दिशा में यात्रा करने वाली एक तरंग का वर्णन करता है। यह दूसरे क्रम के दो-तरफ़ा तरंग समीकरण के विपरीत है, जो विपरीत दिशाओं में दो तरंगों के सुपरपोज़िशन से उत्पन्न एक स्थायी तरंग क्षेत्र का वर्णन करता है। एक-आयामी मामले में, एक-तरफ़ा तरंग समीकरण, दूसरे क्रम के अंतर समीकरण को हल करने की गणितीय जटिलता के बिना तरंग प्रसार की गणना करने की अनुमति देता है। इस तथ्य के कारण कि पिछले दशकों में कोई 3डी वन-वे वेव समीकरण नहीं पाया जा सका, 1डी वन-वे वेव समीकरण के आधार पर कई सन्निकटन विधियों का उपयोग 3डी भूकंपीय और अन्य भूभौतिकीय गणनाओं के लिए किया जाता है, यह भी अनुभाग देखें.

एक आयामी मामला
अदिश तरंग समीकरण | द्वितीय-क्रम (दो-तरफ़ा) तरंग समीकरण एक स्थायी तरंग क्षेत्र का वर्णन करते हुए लिखा जा सकता है: $$\frac{\partial^2 s}{\partial t^2} - c^2 \frac{\partial^2 s}{\partial x^2} = 0,$$ कहाँ $$x$$ निर्देशांक है, $$t$$ यह समय है, $$s=s(x,t)$$ विस्थापन है, और $$c$$ तरंग वेग है।

तरंग वेग की दिशा में अस्पष्टता के कारण, $$c^2=(+c)^2=(-c)^2$$, समीकरण में तरंग की दिशा के बारे में जानकारी नहीं है और इसलिए आगे दोनों में प्रसार करने वाले समाधान हैं ($$+x$$) और पिछड़े ($$-x$$) निर्देश। समीकरण का सामान्य समाधान इन दो दिशाओं में समाधानों का योग है: $$s(x,t)=s_{+}(t -x/c) + s_{-} (t +x/c)$$ कहाँ $$s_{+}$$ और $$s_{-}$$ चल रही तरंगों के विस्थापन आयाम हैं $$+c$$ और $$-c$$ दिशा।

जब एक तरफ़ा तरंग समस्या तैयार की जाती है, तो तरंग प्रसार दिशा को सामान्य समाधान में दो शब्दों में से एक को रखकर (मैन्युअल रूप से) चुना जाना होता है।

समीकरण के बाईं ओर संकारक को गुणनखंडित करने से एक तरफ़ा तरंग समीकरणों का एक युग्म प्राप्त होता है, एक समाधान के साथ जो आगे की ओर फैलता है और दूसरा समाधानों के साथ जो पीछे की ओर फैलता है।

$$\left({\partial^2\over\partial t^2}-c^2{\partial^2\over\partial x^2}\right)s= \left({\partial\over\partial t}-c{\partial\over\partial x}\right) \left({\partial\over\partial t}+c{\partial\over\partial x}\right)s=0,$$ आगे और पीछे की ओर यात्रा करने वाली तरंगों का वर्णन क्रमशः किया गया है, $$ \begin{align} & {\frac{\partial s}{\partial t} - c \frac{\partial s}{\partial x} = 0} \\[6pt] & {\frac{\partial s}{\partial t} + c \frac{\partial s}{\partial x} = 0} \end{align} $$ एक तरफ़ा तरंग समीकरण भी भौतिक रूप से सीधे विशिष्ट ध्वनिक प्रतिबाधा से प्राप्त किए जा सकते हैं।

एक अनुदैर्ध्य समतल तरंग में, विशिष्ट प्रतिबाधा दबाव के स्थानीय आनुपातिकता को निर्धारित करती है $$p= p(x,t)$$ और कण वेग $$v= v(x,t)$$:

$$\frac{p}{v}=\rho c ,$$ साथ $$\rho$$ = घनत्व।

प्रतिबाधा समीकरण के रूपांतरण की ओर जाता है:

कोणीय आवृत्ति की एक अनुदैर्ध्य समतल तरंग $$\omega$$ विस्थापन है $$s = s(x,t)$$.

दबाव $$p$$ और कण वेग $$v$$ विस्थापन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$s$$ ($$E$$: लोचदार मापांक) :

$$p:=E {\partial s\over\partial x}$$ 1D मामले के लिए यह तनाव (यांत्रिकी) के पूर्ण सादृश्य में है $$\sigma$$ यांत्रिकी में: $$\sigma = E \varepsilon$$विरूपण (यांत्रिकी) के रूप में परिभाषित किया जा रहा है $$\varepsilon = \frac{\Delta L}{L}$$ $$v = {\partial s \over\partial t}$$ उपरोक्त समीकरण में इन संबंधों को सम्मिलित किया गया ($$) उपज:

$${\partial s \over\partial t} - {E\over \rho c} {\partial s\over\partial x} = 0 $$ स्थानीय तरंग वेग परिभाषा (ध्वनि) के साथ:

$$c=\sqrt{E(x) \over \rho(x)}  \Leftrightarrow  c = {E\over \rho c}$$ सीधे (!) एक तरफ़ा तरंग समीकरण के प्रथम-क्रम आंशिक अंतर समीकरण का अनुसरण करता है:

$${\frac{\partial s}{\partial t}-c \frac{\partial s}{\partial x} = 0}$$ तरंग वेग $$c$$ इस तरंग समीकरण के भीतर सेट किया जा सकता है $$+c$$ या $$-c$$ तरंग प्रसार की दिशा के अनुसार।

की दिशा में तरंग प्रसार के लिए $$+c$$ अनूठा उपाय है

$$s(x,t)=s_{+}(t -x/c) $$ और में तरंग प्रसार के लिए $$-c$$ दिशा संबंधित समाधान है $$s(x,t)=s_{-}(t+x/c) $$ गोलाकार एक तरफ़ा तरंग समीकरण भी मौजूद है जो गोलाकार निर्देशांक में एक मोनोपोल ध्वनि स्रोत के तरंग प्रसार का वर्णन करता है, अर्थात, रेडियल दिशा में। रेडियल की  ऑपरेटर के एक संशोधन से गोलाकार विचलन और लाप्लास ऑपरेटरों के बीच एक असंगति हल हो जाती है और परिणामी समाधान बेसेल समारोह नहीं दिखाता है (पारंपरिक दो-तरफा दृष्टिकोण के ज्ञात समाधान के विपरीत)।

त्रि-आयामी मामला
त्रि-आयामी मामले में एक-तरफ़ा समीकरण और समाधान को एक-आयामी मामले के लिए एक दूसरे क्रम के अंतर समीकरण के गणितीय अपघटन (गुणनखंड) के समान माना गया था। वास्तव में, 3डी वन-वे वेव समीकरण पहले सिद्धांतों से प्राप्त किया जा सकता है: ए) प्रतिबाधा प्रमेय से व्युत्पत्ति और बी) एक क्षेत्र बिंदु में एक तन्य आवेग प्रवाह संतुलन से व्युत्पत्ति।

अमानवीय मीडिया
स्थान-निर्भर लोच मॉड्यूल के साथ अमानवीय मीडिया के लिए $$E(x)$$, घनत्व $$\rho(x)$$ और तरंग वेग $$c(x)$$ एक तरफ़ा तरंग समीकरण का एक विश्लेषणात्मक समाधान एक नए क्षेत्र चर के परिचय द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।

आगे यांत्रिक और विद्युत चुम्बकीय तरंगें
PDE गुणनखंडन की विधि को अन्य 2 या 4 क्रम तरंग समीकरणों में भी स्थानांतरित किया जा सकता है, उदा। ट्रांसवर्सल, और स्ट्रिंग, मोएन्स/कोर्टवेग, बेंडिंग, और विद्युत चुम्बकीय तरंग समीकरण और विद्युत चुम्बकीय तरंगें।