अवकल ज्यामिति



डिफरेंशियल ज्योमेट्री एक गणित  अनुशासन है जो चिकनी आकृतियों और चिकनी जगहों की  ज्यामिति  का अध्ययन करता है, अन्यथा चिकनी मैनिफोल्ड्स के रूप में जाना जाता है। इसमें अवकलन कलन, समाकलन कलन, रेखीय बीजगणित और बहुरेखीय बीजगणित की तकनीकों का उपयोग किया जाता है। शास्त्रीय पुरातनता के रूप में क्षेत्र की उत्पत्ति गोलाकार ज्यामिति के अध्ययन में हुई है। यह  खगोल  विज्ञान, पृथ्वी के भूगणित और बाद में  लोबचेव्स्की  द्वारा अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति के अध्ययन से भी संबंधित है। चिकने स्थानों के सबसे सरल उदाहरण  वक्रों की विभेदक ज्यामिति  और त्रि-आयामी  यूक्लिडियन अंतरिक्ष  में  सतहों की विभेदक ज्यामिति  हैं, और इन आकृतियों के अध्ययन ने 18वीं और 19वीं शताब्दियों के दौरान आधुनिक विभेदक ज्यामिति के विकास का आधार बनाया।

19वीं सदी के उत्तरार्ध के बाद से, डिफरेंशियल ज्योमेट्री अलग-अलग मैनिफोल्ड्स पर ज्यामितीय संरचनाओं के साथ अधिक सामान्यतः संबंधित क्षेत्र में विकसित हो गई है। एक ज्यामितीय संरचना वह है जो आकार, दूरी, आकार, आयतन या अन्य कठोर संरचना की कुछ धारणा को परिभाषित करती है। उदाहरण के लिए, रीमानियन ज्यामिति में दूरी और कोण निर्दिष्ट किए गए हैं, सहानुभूति ज्यामिति में मात्रा की गणना की जा सकती है, अनुरूप ज्यामिति  में केवल कोण निर्दिष्ट किए जाते हैं, और  गेज सिद्धांत (गणित)  में कुछ टेंसर फ़ील्ड अंतरिक्ष पर दिए जाते हैं। विभेदक ज्यामिति बारीकी से संबंधित है, और कभी-कभी  अंतर टोपोलॉजी  को शामिल करने के लिए लिया जाता है, जो अलग-अलग मैनिफोल्ड्स के गुणों से संबंधित होता है जो किसी भी अतिरिक्त ज्यामितीय संरचना पर भरोसा नहीं करते हैं (दो विषयों के बीच अंतर पर अधिक चर्चा के लिए लेख देखें)। विभेदक ज्यामिति भी  अंतर समीकरण ों के सिद्धांत के ज्यामितीय पहलुओं से संबंधित है, अन्यथा  ज्यामितीय विश्लेषण  के रूप में जाना जाता है।

डिफरेंशियल ज्योमेट्री गणित और प्राकृतिक विज्ञान ों में अनुप्रयोगों को खोजती है। सबसे प्रमुख रूप से विभेदक ज्यामिति की भाषा का उपयोग  अल्बर्ट आइंस्टीन  ने अपने सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत में और बाद में  भौतिकविदों  द्वारा  क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत  और कण भौतिकी के मानक मॉडल के विकास में किया था। भौतिकी के बाहर, डिफरेंशियल ज्योमेट्री का उपयोग  रसायन विज्ञान,  धरती शास्त्र,  अभियांत्रिकी ,  नियंत्रण सिद्धांत ,  कंप्यूटर ग्राफिक्स  और  कंप्यूटर दृष्टी  और हाल ही में  मशीन लर्निंग  में किया गया है।

इतिहास और विकास
एक विषय के रूप में विभेदक ज्यामिति का इतिहास और विकास कम से कम शास्त्रीय पुरातनता के रूप में शुरू होता है। यह अंतरिक्ष और आकार की धारणा, और टोपोलॉजी, विशेष रूप से विविध  के अध्ययन से अधिक आम तौर पर ज्यामिति के विकास से जुड़ा हुआ है। इस खंड में हम मुख्य रूप से ज्यामिति के लिए अतिसूक्ष्म तरीकों के अनुप्रयोग के इतिहास पर और बाद में स्पर्शरेखा रिक्त स्थान के विचारों पर ध्यान केंद्रित करते हैं, और अंततः टेंसर और टेंसर क्षेत्रों के संदर्भ में विषय की आधुनिक औपचारिकता के विकास पर ध्यान केंद्रित करते हैं।

पुनर्जागरण तक शास्त्रीय पुरातनता (300 ई.पू – 1600 ई.)
विभेदक ज्यामिति का अध्ययन, या कम से कम चिकनी आकृतियों की ज्यामिति का अध्ययन, कम से कम शास्त्रीय पुरातनता का पता लगाया जा सकता है। विशेष रूप से, प्राचीन यूनानी  गणितज्ञों के समय में, पृथ्वी की ज्यामिति, एक गोलाकार ज्यामिति के बारे में बहुत कुछ जाना जाता था। प्रसिद्ध रूप से, एराटोस्थनीज ने 200 ईसा पूर्व के आसपास पृथ्वी की  परिधि  की गणना की, और लगभग 150 ईस्वी  टॉलेमी  ने अपने भूगोल_ (टॉलेमी) में पृथ्वी के आकार के मानचित्रण के उद्देश्यों के लिए स्टीरियोग्राफिक प्रक्षेपण की शुरुआत की। स्पष्ट रूप से इस पूरे समय के सिद्धांत जो विभेदक ज्यामिति और कैलकुलस की नींव बनाते हैं, का उपयोग भूगणित में किया जाता था, हालांकि बहुत सरल रूप में। अर्थात्,  यूक्लिड  के यूक्लिड के तत्वों के रूप में यह समझा गया था कि एक सीधी रेखा को दो बिंदुओं के बीच सबसे छोटी दूरी प्रदान करने की अपनी संपत्ति से परिभाषित किया जा सकता है, और इसी सिद्धांत को पृथ्वी की सतह पर लागू करने से यह निष्कर्ष निकलता है कि बड़े वृत्त, जो केवल स्थानीय रूप से एक समतल तल में सीधी रेखाओं के समान होते हैं, पृथ्वी की सतह पर दो बिंदुओं के बीच सबसे छोटा रास्ता प्रदान करते हैं। वास्तव में एराटोस्थनीज और अन्य लोगों द्वारा इस तरह के  geodesic  पथों के साथ दूरी के मापन को वक्रों की चाप की लम्बाई का प्राथमिक माप माना जा सकता है, एक ऐसी अवधारणा जिसे 1600 के दशक तक कैलकुलस के संदर्भ में एक कठोर परिभाषा नहीं दिखाई देती थी।

इस समय के आसपास ज्यामिति के अध्ययन के लिए इनफिनिटिमल्स के सिद्धांत के केवल न्यूनतम प्रत्यक्ष अनुप्रयोग थे, जो विषय के आधुनिक कैलकुलस-आधारित अध्ययन का अग्रदूत था। यूक्लिड के यूक्लिड के तत्वों में एक वृत्त के लिए एक रेखा की स्पर्शरेखा की धारणा पर चर्चा की जाती है, और आर्किमिडीज ़ ने वृत्त जैसे चिकने आकार के क्षेत्रों की गणना करने के लिए थकावट की विधि लागू की, और गोले जैसे चिकने त्रि-आयामी ठोस के आयतन, शंकु, और सिलेंडर।

पुरातनता और पुनर्जागरण की शुरुआत के बीच अंतर ज्यामिति के सिद्धांत में बहुत कम विकास हुआ था। आइजैक न्यूटन  और  लाइबनिट्स  द्वारा कैलकुलस के विकास से पहले, अंतर ज्यामिति की समझ में सबसे महत्वपूर्ण विकास  जेरार्ड मर्केटर  के  मर्केटर प्रोजेक्शन  के विकास से पृथ्वी के मानचित्रण के तरीके के रूप में हुआ। मर्केटर को अपने नक्शा डिजाइन के फायदे और नुकसान की समझ थी, और विशेष रूप से उनके प्रक्षेपण के  अनुरूप नक्शा प्रक्षेपण  प्रकृति के साथ-साथ प्राग के बीच अंतर, पृथ्वी पर सबसे छोटी दूरी की रेखाएं, और दिशा के बारे में पता था, उसके नक्शे पर सीधी रेखा पथ। मर्केटर ने उल्लेख किया कि इस प्रक्षेपण में प्राग तिरछी वक्रता थी। यह तथ्य एक समतल तल पर पृथ्वी की सतह के एक  आइसोमेट्री  | मीट्रिक-संरक्षण मानचित्र की कमी को दर्शाता है, जो  गॉस  के बाद के प्रमेय एग्रेगियम का परिणाम है।

पथरी के बाद (1600-1800)
गणना से इनफिनिटिमल्स और धारणाओं के सिद्धांत का उपयोग करते हुए ज्यामिति का पहला व्यवस्थित या कठोर उपचार 1600 के दशक के आसपास शुरू हुआ जब कैलकुलस को पहली बार  गॉटफ्रीड लीबनिज  और आइजैक न्यूटन द्वारा विकसित किया गया था। इस समय, रेने डेसकार्टेस के हालिया काम ने ज्यामिति के लिए  विश्लेषणात्मक ज्यामिति  की शुरुआत की, जिससे बढ़ती जटिलता के ज्यामितीय आकृतियों को सख्ती से वर्णित किया जा सके। विशेष रूप से इस समय के आसपास  पियरे डी फ़र्माटा, न्यूटन और लाइबनिज़ ने  समतल वक्र ों का अध्ययन और अवधारणाओं की जांच शुरू की जैसे कि विभक्ति बिंदु और दोलन वृत्त के वृत्त, जो  वक्रता  के मापन में सहायता करते हैं। वास्तव में पहले से ही अपने  सबसे बड़े और सबसे छोटे के लिए एक नई विधि  में कैलकुलस की नींव पर, लाइबनिज ने नोट किया कि असीम स्थिति $$d^2 y = 0$$ एक मोड़ बिंदु के अस्तित्व को इंगित करता है। इस समय के कुछ ही समय बाद बर्नौली परिवार,  जैकब बर्नौली  और  जोहान बर्नौली  ने ज्यामिति का अध्ययन करने के लिए इनफिनिटिमल्स के उपयोग में महत्वपूर्ण प्रारंभिक योगदान दिया। उस समय जोहान बर्नौली के व्याख्यानों में, बाद में गुइलौमे डे ल'हॉपिटल | एल'हॉपिटल द्वारा एनालिसिस डेस इन्फिनिमेंट पेटिट्स पोर एल'इंटेलिजेंस डेस लिग्नेस कॉर्ब्स द्वारा संकलित, विभिन्न प्रकार के समतल वक्रों की स्पर्शरेखाओं की स्थिति का उपयोग करके गणना की जाती है। $$dy=0$$, और इसी तरह विभक्ति के बिंदुओं की गणना की जाती है। इसी समय एक समतल वक्र के दोलन वृत्तों और स्पर्शरेखा दिशाओं के बीच  ओर्थोगोनालिटी  का एहसास होता है, और एक ऑक्यूलेटिंग सर्कल की त्रिज्या के लिए पहला विश्लेषणात्मक सूत्र, अनिवार्य रूप से वक्रता की धारणा के लिए पहला विश्लेषणात्मक सूत्र, नीचे लिखा गया है।

एनालिटिक ज्योमेट्री और प्लेन कर्व्स के विकास के मद्देनजर, एलेक्सिस क्लेयरौट  ने सिर्फ 16 साल की उम्र में स्पेस कर्व्स का अध्ययन शुरू किया था। अपनी पुस्तक क्लेराट में अंतरिक्ष वक्रों के लिए स्पर्शरेखा और उपस्पर्श दिशाओं की धारणा को उन दिशाओं के संबंध में पेश किया जो उस सतह के साथ होती हैं जिस पर अंतरिक्ष वक्र स्थित होता है। इस प्रकार क्लेराट ने सतह के स्पर्शरेखा स्थान की एक अंतर्निहित समझ का प्रदर्शन किया और पहली बार कलन का उपयोग करके इस विचार का अध्ययन किया। महत्वपूर्ण रूप से क्लेराउट ने वक्रता और दोहरी वक्रता की शब्दावली पेश की, अनिवार्य रूप से मुख्य वक्रता की धारणा बाद में गॉस और अन्य लोगों द्वारा अध्ययन की गई।

इसी समय के आसपास, मूल रूप से जोहान बर्नौली के एक छात्र, लियोनहार्ड यूलर  ने न केवल ज्यामिति के विकास के लिए, बल्कि गणित के लिए और अधिक व्यापक रूप से कई महत्वपूर्ण योगदान दिए। डिफरेंशियल ज्योमेट्री के संबंध में, यूलर ने पहले विश्लेषणात्मक  जियोडेसिक समीकरण  को प्राप्त करने वाली सतह पर एक जियोडेसिक की धारणा का अध्ययन किया, और बाद में आंतरिक ज्यामिति के सिद्धांत की शुरुआत करते हुए एक सतह पर आंतरिक समन्वय प्रणाली का पहला सेट पेश किया, जिस पर आधुनिक ज्यामितीय विचार आधारित हैं।. लगभग इसी समय मैकेनिक में यांत्रिकी  के यूलर के अध्ययन से यह अहसास हुआ कि किसी सतह के साथ यात्रा करने वाला द्रव्यमान किसी भी बल के प्रभाव में नहीं आएगा, जो आइंस्टीन के  सामान्य सापेक्षता  के महत्वपूर्ण मूलभूत विचारों के प्रारंभिक अग्रदूत, और भी यूलर- लग्रेंज  समीकरण और विविधताओं के कलन का पहला सिद्धांत, जो आधुनिक विभेदक ज्यामिति में सहानुभूतिपूर्ण ज्यामिति और ज्यामितीय विश्लेषण में कई तकनीकों को रेखांकित करता है। यूलर-लैग्रेंज समीकरण के संदर्भ में एक  न्यूनतम सतह  का वर्णन करने वाले पहले अंतर समीकरण को प्राप्त करने के लिए, इस सिद्धांत का उपयोग विविधताओं के कलन के सह-विकासकर्ता लैग्रेंज द्वारा किया गया था। 1760 में यूलर ने एक प्रमेय सिद्ध किया जो एक सतह पर एक अंतरिक्ष वक्र की वक्रता को मुख्य वक्रता के संदर्भ में व्यक्त करता है, जिसे यूलर के प्रमेय_(अंतर_ज्यामिति)|यूलर के प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

बाद में 1700 के दशक में, गैसपार्ड मोंगे  के नेतृत्व में नए फ्रांसीसी स्कूल ने विभेदक ज्यामिति में योगदान देना शुरू किया। Monge ने समतल वक्रों, सतहों के सिद्धांत में महत्वपूर्ण योगदान दिया, और समतल वक्रों और अंतरिक्ष वक्रों के क्रांति और आवरण (गणित) की सतहों का अध्ययन किया। Monge के कई छात्रों ने इसी सिद्धांत में योगदान दिया, और उदाहरण के लिए  चार्ल्स डुपिन  ने सिद्धांत वक्रता के संदर्भ में यूलर के प्रमेय की एक नई व्याख्या प्रदान की, जो समीकरण का आधुनिक रूप है।

आंतरिक ज्यामिति और गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति (1800-1900)
1800 के दशक में, मुख्य रूप से कार्ल फ्रेडरिक गॉस  और  बर्नहार्ड रीमैन  के आधारभूत कार्य के माध्यम से, और महत्वपूर्ण योगदानों में, विभेदक ज्यामिति का क्षेत्र अपने आप में अध्ययन का एक क्षेत्र बन गया, जो विश्लेषणात्मक ज्यामिति के अधिक व्यापक विचार से अलग था। अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति और गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति पर  निकोलाई लोबचेव्स्की  और इसी अवधि के दौरान प्रक्षेपी ज्यामिति का विकास।

डिफरेंशियल ज्योमेट्री के इतिहास में एकल सबसे महत्वपूर्ण काम करार दिया, 1827 में गॉस ने घुमावदार सतहों के सामान्य सिद्धांत का विवरण देते हुए डिक्विजिशन जेनरल सरका सुपरफिसी कर्व्स का निर्माण किया। इस काम में और उनके बाद के कागजात और सतहों के सिद्धांत पर अप्रकाशित नोट्स में, गॉस को गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति का आविष्कारक और आंतरिक अंतर ज्यामिति का आविष्कारक करार दिया गया है। अपने मौलिक पेपर में गॉस ने  गॉस नक्शा,  गॉसियन वक्रता ,  पहला मौलिक रूप  और  दूसरा मौलिक रूप  पेश किया, प्रमेय एग्रेगियम को गॉसियन वक्रता की आंतरिक प्रकृति दिखाते हुए साबित किया, और भूगर्भ विज्ञान का अध्ययन किया, विभिन्न गैर-यूक्लिडियन में एक भूगर्भीय त्रिकोण के क्षेत्र की गणना की सतहों पर ज्यामिति।

इस समय गॉस का पहले से ही यह विचार था कि यूक्लिडियन ज्यामिति  के मानक प्रतिमान को त्याग दिया जाना चाहिए, और गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति पर निजी पांडुलिपियों के अधिकार में था, जिसने भूगणित त्रिकोणों के उनके अध्ययन की जानकारी दी। लगभग इसी समय जानोस बोल्याई और लोबचेव्स्की ने स्वतंत्र रूप से अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति की खोज की और इस प्रकार यूक्लिड के प्रतिमान के बाहर सुसंगत ज्यामिति के अस्तित्व का प्रदर्शन किया। 1860 के दशक में बाद में  यूजेनियो बेल्ट्रामी  द्वारा हाइपरबोलिक ज्यामिति के ठोस मॉडल तैयार किए गए, और  फेलिक्स क्लेन  ने 1871 में गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति शब्द गढ़ा, और  एर्लांगेन कार्यक्रम  के माध्यम से यूक्लिडियन और गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति को एक ही पायदान पर रखा। स्पष्ट रूप से, पृथ्वी की गोलाकार ज्यामिति जिसका प्राचीन काल से अध्ययन किया गया था, एक गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति, एक  अण्डाकार ज्यामिति  थी।

गॉस की भाषा में आंतरिक अंतर ज्यामिति का विकास उनके छात्र, बर्नहार्ड रीमैन ने अपनी आवास थीसिस  में, उन परिकल्पनाओं पर किया था जो ज्यामिति की नींव पर स्थित हैं। इस काम में रीमैन ने पहली बार एक  रीमैनियन मीट्रिक  और  रीमैनियन वक्रता टेंसर  की धारणा पेश की, और उच्च आयामों में डिफरेंशियल ज्योमेट्री का व्यवस्थित अध्ययन शुरू किया। रिमेंनियन मीट्रिक के संदर्भ में यह आंतरिक दृष्टिकोण, द्वारा निरूपित $$ds^2$$ रीमैन द्वारा, रैखिक तत्व के बारे में गॉस के एक विचार का विकास था $$ds$$ एक सतह का। इस समय रीमैन ने इस विषय में रेखीय बीजगणित और बहुरेखीय बीजगणित के व्यवस्थित उपयोग का परिचय देना शुरू किया, मेट्रिक्स और वक्रता की अपनी जांच में  द्विघात रूप ों के सिद्धांत का बहुत उपयोग किया। इस समय रीमैन ने अभी तक कई गुना आधुनिक धारणा विकसित नहीं की थी, क्योंकि एक टोपोलॉजिकल स्पेस की धारणा का भी सामना नहीं किया गया था, लेकिन उन्होंने प्रस्ताव दिया था कि स्पेसटाइम के मीट्रिक के गुणों की जांच या माप करना संभव हो सकता है अंतरिक्ष-समय के भीतर द्रव्यमान का विश्लेषण, यूलर के पहले के अवलोकन के साथ जोड़ना कि कोई भी बल के प्रभाव में द्रव्यमान सतहों पर जियोडेसिक्स के साथ यात्रा नहीं करेगा, और वैज्ञानिक साहित्य में प्रकट होने से पूरे 60 साल पहले आइंस्टीन के तुल्यता सिद्धांत के मौलिक अवलोकन की भविष्यवाणी करना।

रीमैन के नए विवरण के मद्देनजर, अलग-अलग ज्यामिति का अध्ययन करने के लिए उपयोग की जाने वाली तकनीकों का ध्यान वक्र और सतहों के अध्ययन के तदर्थ और बाहरी तरीकों से टेन्सर कैलकुलस और क्लेन के एर्लांगेन कार्यक्रम के संदर्भ में अधिक व्यवस्थित दृष्टिकोण में स्थानांतरित हो गया, और प्रगति में वृद्धि हुई क्षेत्र में। परिवर्तनों के समूहों की धारणा सोफस ली और जीन गैस्टन डारबौक्स  द्वारा विकसित की गई थी, जिससे झूठ समूहों और सहानुभूतिपूर्ण ज्यामिति के सिद्धांत में महत्वपूर्ण परिणाम सामने आए। घुमावदार स्थानों पर विभेदक कलन की धारणा का अध्ययन  एल्विन क्रिस्टोफर  द्वारा किया गया था, जिन्होंने 1868 में सहपरिवर्ती व्युत्पत्ति का वर्णन करने वाले क्रिस्टोफ़ेल प्रतीकों का परिचय दिया था, और यूजेनियो बेल्ट्रामी सहित अन्य लोगों द्वारा जिन्होंने कई गुना पर कई विश्लेषणात्मक प्रश्नों का अध्ययन किया था। 1899 में  लुइगी बियांची  ने डिफरेंशियल ज्योमेट्री पर अपने लेक्चर्स का निर्माण किया, जिसमें रीमैन के नजरिए से डिफरेंशियल ज्योमेट्री का अध्ययन किया गया था, और एक साल बाद टुल्लियो लेवी-सिविटा और  ग्रेगोरियो रिक्की-कर्बस्त्रो  ने अपनी पाठ्यपुस्तक को व्यवस्थित रूप से निरपेक्ष डिफरेंशियल कैलकुलस और टेंसर कैलकुलस के सिद्धांत को विकसित करते हुए तैयार किया। यह इस भाषा में था कि आइंस्टीन द्वारा सामान्य सापेक्षता और छद्म-रिमैनियन ज्यामिति के विकास में अंतर ज्यामिति का उपयोग किया गया था।

आधुनिक अवकल ज्यामिति (1900-2000)
आधुनिक डिफरेंशियल ज्योमेट्री का विषय टोपोलॉजी की नींव पर हेनरी पॉइनकेयर के महत्वपूर्ण विश्लेषण साइटस (पेपर) सहित कई गणितज्ञों के मूलभूत योगदान के जवाब में 1900 के दशक की शुरुआत में उभरा। 1900 के दशक की शुरुआत में गणित के भीतर एक प्रमुख आंदोलन था, जो कि हिल्बर्ट के कार्यक्रम के रूप में जाना जाने वाला कठोरता और सटीकता के संकट से बचने के लिए विषय के मूलभूत पहलुओं को औपचारिक रूप देने के लिए था। इस व्यापक आंदोलन के हिस्से के रूप में, 1914 में फ़ेलिक्स हॉसडॉर्फ़  द्वारा एक टोपोलॉजिकल स्पेस की धारणा को डिस्टिल्ड किया गया था, और 1942 तक एक कॉम्बीनेटरियल और डिफरेंशियल-ज्यामितीय प्रकृति के कई अलग-अलग विचार थे। इस विषय में रुचि आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत के उद्भव और आइंस्टीन फील्ड समीकरणों के महत्व से भी केंद्रित थी। आइंस्टीन के सिद्धांत ने रिक्की और लेवी-सिविटा के टेंसर कैलकुलस को लोकप्रिय बनाया और संकेतन की शुरुआत की $$g$$ रीमैनियन मीट्रिक के लिए, और $$\Gamma$$ क्रिस्टोफेल प्रतीकों के लिए, दोनों गुरुत्वाकर्षण में जी से आ रहे हैं। एली कार्टन ने बाहरी कैलकुलस और चलती फ्रेम  के सिद्धांत के संदर्भ में चिकनी मैनिफोल्ड्स के अंतर ज्यामिति की नींव को फिर से बनाने में मदद की, जिससे भौतिकी की दुनिया में आइंस्टीन-कार्टन सिद्धांत का नेतृत्व किया।

इस प्रारंभिक विकास के बाद, कई गणितज्ञों ने आधुनिक सिद्धांत के विकास में योगदान दिया, जिसमें जीन-लुई शर्ट्स  शामिल हैं, जिन्होंने  कनेक्शन (वेक्टर बंडल)  पेश किया,  शिंग-शेन चेर्नो  जिन्होंने विषय के लिए विशिष्ट वर्गों की शुरुआत की और  जटिल मैनिफोल्ड ्स का अध्ययन शुरू किया, डब्ल्यू.वी.डी. हॉज और गेर्गेस डी रहम  जिन्होंने  विभेदक रूप ों की समझ का विस्तार किया,  चार्ल्स एहरसमैन  जिन्होंने सिद्धांत फाइबर बंडलों और  एह्रेसमैन कनेक्शन, और अन्य को पेश किया।  विशेष महत्व का  हरमन वेयलो  था जिसने सामान्य सापेक्षता की नींव में महत्वपूर्ण योगदान दिया, वेइल टेंसर को अनुरूप ज्यामिति में अंतर्दृष्टि प्रदान की, और पहले  गेज (गणित)  की धारणा को परिभाषित किया जिससे भौतिकी और  गेज सिद्धांत  में गेज सिद्धांत के विकास की ओर अग्रसर हुआ। (अंक शास्त्र)।

मध्य और 20वीं सदी के अंत में एक विषय के रूप में विभेदक ज्यामिति का दायरा विस्तृत हुआ और गणित और भौतिकी के अन्य क्षेत्रों के साथ संबंध विकसित हुए। भौतिकी में गेज सिद्धांत और यांग-मिल्स सिद्धांत के विकास ने बंडलों और कनेक्शनों को फोकस में लाया, जिससे गेज सिद्धांत (गणित) में विकास हुआ। अतिया-गायक सूचकांक प्रमेय के प्रमाण सहित कई विश्लेषणात्मक परिणामों की जांच की गई। जटिल ज्यामिति  का विकास  बीजगणितीय ज्यामिति  में समानांतर परिणामों से प्रेरित था, और ज्यामिति और जटिल मैनिफोल्ड के वैश्विक विश्लेषण के परिणाम शिंग-तुंग याउ और अन्य द्वारा सिद्ध किए गए थे। 20 वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में  रिक्की प्रवाह  जैसे वक्रता प्रवाह के संबंध में नई विश्लेषणात्मक तकनीकों का विकास किया गया, जिसकी परिणति  त्वरित पेरेलमैन  के पॉइन्केयर अनुमान के प्रमाण में हुई। इसी अवधि के दौरान मुख्य रूप से  माइकल अतियाहो  के प्रभाव के कारण, सैद्धांतिक भौतिकी और अंतर ज्यामिति के बीच नए संबंध बने। यांग-मिल्स समीकरणों और गेज सिद्धांत के अध्ययन की तकनीकों का उपयोग गणितज्ञों द्वारा चिकने मैनिफोल्ड के नए आविष्कारों को विकसित करने के लिए किया गया था। भौतिकविदों जैसे  एडवर्ड विटन, एकमात्र भौतिक विज्ञानी जिन्हें  फील्ड मेडल  से सम्मानित किया गया, ने भविष्यवाणियां करने और नए कठोर गणित के लिए रूपरेखा प्रदान करने के लिए टोपोलॉजिकल क्वांटम फील्ड थ्योरी और स्ट्रिंग थ्योरी का उपयोग करके गणित में नए प्रभाव डाले, जिसके परिणामस्वरूप अनुमानात्मक दर्पण में उदाहरण के लिए समरूपता (स्ट्रिंग सिद्धांत) और सीबर्ग-विटन इनवेरिएंट।

रिमानियन ज्यामिति
रीमैनियन ज्यामिति रीमैनियन मैनिफोल्ड ्स का अध्ययन करती है,  रीमैनियन सममित स्थान  साथ स्मूथ मैनिफोल्ड्स। यह प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान पर परिभाषित एक चिकना कार्य सकारात्मक निश्चित बिलिनियर रूप सममित बिलिनियर रूप के माध्यम से व्यक्त की गई दूरी की एक अवधारणा है। रीमैनियन ज्यामिति यूक्लिडियन ज्यामिति को उन स्थानों पर सामान्यीकृत करती है जो आवश्यक रूप से समतल नहीं होते हैं, हालांकि वे अभी भी प्रत्येक बिंदु पर यूक्लिडियन स्थान के समान होते हैं, अर्थात सन्निकटन के पहले क्रम में। लंबाई के आधार पर विभिन्न अवधारणाएं, जैसे वक्रों की चाप की लंबाई, समतल  क्षेत्र ों का क्षेत्रफल, और ठोस पदार्थों का आयतन सभी में रीमैनियन ज्यामिति में प्राकृतिक अनुरूपता होती है।  बहुचरीय कलन  से किसी फ़ंक्शन के  दिशात्मक व्युत्पन्न  की धारणा को एक टेंसर के सहसंयोजक व्युत्पन्न की धारणा तक बढ़ाया गया है। विश्लेषण और अंतर समीकरणों की कई अवधारणाओं को रीमैनियन मैनिफोल्ड की स्थापना के लिए सामान्यीकृत किया गया है।

रीमैनियन मैनिफोल्ड्स के बीच एक दूरी-संरक्षण अंतर को एक आइसोमेट्री कहा जाता है। इस धारणा को स्थानीय रूप से भी परिभाषित किया जा सकता है, अर्थात बिंदुओं के छोटे पड़ोस के लिए। कोई भी दो नियमित वक्र स्थानीय रूप से सममितीय होते हैं। हालांकि, कार्ल फ्रेडरिक गॉस के प्रमेय एग्रेगियम ने दिखाया कि सतहों के लिए, एक स्थानीय आइसोमेट्री का अस्तित्व लागू करता है कि संबंधित बिंदुओं पर गाऊसी वक्रता समान होनी चाहिए। उच्च आयामों में, रिमेंन वक्रता टेंसर एक रिमेंनियन मैनिफोल्ड से जुड़ा एक महत्वपूर्ण बिंदुवार अपरिवर्तनीय है जो मापता है कि यह फ्लैट होने के कितना करीब है। रीमैनियन मैनिफोल्ड का एक महत्वपूर्ण वर्ग रीमैनियन सममित रिक्त स्थान है, जिसकी वक्रता आवश्यक रूप से स्थिर नहीं है। ये यूक्लिडियन और गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति में माने जाने वाले साधारण विमान और स्थान के निकटतम अनुरूप हैं।

छद्म-रीमैनियन ज्यामिति
छद्म रीमैनियन मैनिफोल्ड |स्यूडो-रीमैनियन ज्योमेट्री रीमैनियन ज्यामिति को उस मामले में सामान्यीकृत करती है जिसमें मीट्रिक टेंसर  को निश्चित  निश्चित द्विरेखीय रूप |सकारात्मक-निश्चित होने की आवश्यकता नहीं है। इसका एक विशेष मामला लोरेंट्ज़ियन कई गुना  है, जो आइंस्टीन की सामान्य सापेक्षता का गणितीय आधार है।

फिन्सलर ज्योमेट्री
Finsler ज्यामिति में Finsler कई गुना अध्ययन की मुख्य वस्तु के रूप में है। यह एक फिन्सलर मीट्रिक के साथ कई गुना अंतर है, जो कि प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान पर परिभाषित एक बैनाच मानदंड है। रीमैनियन मैनिफोल्ड्स अधिक सामान्य फिन्सलर मैनिफोल्ड्स के विशेष मामले हैं। कई गुना पर एक फिन्सलर संरचना $M$ एक समारोह है $F : TM → [0, ∞)$ ऐसा है कि:
 * 1) $F(x, my) = m F(x, y)$ सभी के लिए $(x, y)$ में $TM$ और सभी $m ≥ 0$,
 * 2) $F$ में असीम रूप से भिन्न है $TM ∖ {0}$,
 * 3) उर्ध्वाधर हेसियन $F^{2}$ सकारात्मक निश्चित है।

सहानुभूति ज्यामिति
सिम्प्लेक्टिक ज्योमेट्री सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड्स का अध्ययन है। एक लगभग सिम्प्लेक्सिक मैनिफोल्ड एक अलग-अलग मैनिफोल्ड है जो सुचारू रूप से अलग-अलग गैर-पतित तिरछा-सममित मैट्रिक्स से सुसज्जित है | प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान पर तिरछा-सममित द्विरेखीय रूप, यानी, एक  गैर पतित  2- विभेदक रूप   , जिसे  सिम्प्लेक्सिक  कहा जाता है। प्रपत्र। एक सहानुभूति कई गुना लगभग सहानुभूतिपूर्ण कई गुना है जिसके लिए सहानुभूति रूप ω'' बंद है:  dω = 0.

दो सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड्स के बीच एक भिन्नता जो सिम्प्लेक्टिक रूप को संरक्षित करती है, उसे सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म कहा जाता है। गैर-पतित तिरछा-सममित द्विरेखीय रूप केवल सम-विम सदिश स्थानों पर ही मौजूद हो सकते हैं, इसलिए सहानुभूतिपूर्ण मैनिफोल्ड में आवश्यक रूप से समान आयाम भी होते हैं। आयाम 2 में, एक सिम्पलेक्टिक मैनिफोल्ड सिर्फ एक सतह है जो एक क्षेत्र रूप से संपन्न है और एक सिम्पेक्टोमोर्फिज्म एक क्षेत्र-संरक्षण भिन्नता है। एक यांत्रिक प्रणाली का चरण स्थान  एक सहानुभूतिपूर्ण कई गुना है और उन्होंने पहले से ही  विश्लेषणात्मक यांत्रिकी  पर  जोसेफ लुई लैग्रेंज  के काम में और बाद में  कार्ल गुस्ताव जैकोबिक  और विलियम रोवन हैमिल्टन के  हैमिल्टनियन यांत्रिकी  में एक अंतर्निहित उपस्थिति बनायी।

रीमैनियन ज्योमेट्री के विपरीत, जहां वक्रता रीमैनियन मैनिफोल्ड्स का एक स्थानीय अपरिवर्तनीय प्रदान करती है, डार्बौक्स के प्रमेय में कहा गया है कि सभी सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड स्थानीय रूप से आइसोमोर्फिक हैं। सिम्पलेक्टिक मैनिफोल्ड के एकमात्र आविष्कार प्रकृति में वैश्विक हैं और सांस्थितिक पहलू सिम्पलेक्टिक ज्यामिति में एक प्रमुख भूमिका निभाते हैं। सिम्पलेक्टिक टोपोलॉजी में पहला परिणाम संभवतः पॉइनकेयर-बिरखॉफ प्रमेय है, जो हेनरी पॉइनकेयर द्वारा अनुमान लगाया गया था और फिर 1912 में जी.डी. बिरखॉफ द्वारा सिद्ध किया गया। यह दावा करता है कि यदि एक एनुलस (गणित) के मानचित्र को संरक्षित करने वाला क्षेत्र प्रत्येक सीमा घटक को विपरीत दिशाओं में घुमाता है, तो फिर मानचित्र में कम से कम दो निश्चित बिंदु होते हैं।

संपर्क ज्यामिति
संपर्क ज्यामिति विषम आयाम के कुछ कई गुना से संबंधित है। यह सहानुभूतिपूर्ण ज्यामिति के करीब है और बाद की तरह, यह शास्त्रीय यांत्रिकी के प्रश्नों में उत्पन्न हुआ। ए पर एक संपर्क संरचना (2n + 1)-डायमेंशनल मैनिफोल्ड एम को स्पर्शरेखा बंडल में एक चिकने हाइपरप्लेन फील्ड एच द्वारा दिया जाता है जो एम पर एक अलग-अलग फ़ंक्शन के स्तर सेट से जुड़ा होने से जितना संभव हो सके (तकनीकी शब्द पूरी तरह से गैर-इंटीग्रेबल टेंगेंट हाइपरप्लेन वितरण है)। प्रत्येक बिंदु p के पास, एक हाइपरप्लेन वितरण कहीं नहीं लुप्त होने वाले विभेदक रूप | 1-रूप द्वारा निर्धारित किया जाता है $$\alpha$$, जो कहीं न कहीं गायब होने वाले फ़ंक्शन द्वारा गुणा करने के लिए अद्वितीय है:


 * $$ H_p = \ker\alpha_p\subset T_{p}M.$$

एम पर एक स्थानीय 1-फॉर्म एक संपर्क फ़ॉर्म है यदि एच के बाहरी व्युत्पन्न  का प्रतिबंध एक गैर-पतित दो-रूप है और इस प्रकार एच पर एक सहानुभूति संरचना को प्रेरित करता हैp प्रत्येक बिंदु पर। यदि वितरण H को वैश्विक एक-रूप द्वारा परिभाषित किया जा सकता है $$\alpha$$ तो यह प्रपत्र संपर्क है यदि और केवल यदि शीर्ष-आयामी रूप


 * $$\alpha\wedge (d\alpha)^n$$

म पर आयतन रूप है, अर्थात् कहीं लुप्त नहीं होता। डार्बौक्स प्रमेय का एक संपर्क एनालॉग धारण करता है: विषम-आयामी मैनिफोल्ड पर सभी संपर्क संरचनाएं स्थानीय रूप से आइसोमॉर्फिक हैं और समन्वय प्रणाली के उपयुक्त विकल्प द्वारा एक निश्चित स्थानीय सामान्य रूप में लाया जा सकता है।

जटिल और काहलर ज्यामिति
कॉम्प्लेक्स डिफरेंशियल ज्योमेट्री जटिल मैनिफोल्ड्स  का अध्ययन है। एक लगभग जटिल मैनिफोल्ड एक वास्तविक मैनिफोल्ड है $$M$$, प्रकार (1, 1) के एक टेंसर के साथ संपन्न, यानी एक वेक्टर बंडल (जिसे लगभग जटिल संरचना  कहा जाता है)
 * $$ J:TM\rightarrow TM $$, ऐसा है कि $$J^2=-1. \,$$

यह इस परिभाषा से अनुसरण करता है कि लगभग जटिल कई गुना सम-विमीय है।

एक लगभग जटिल मैनिफोल्ड को जटिल कहा जाता है $$N_J=0$$, कहाँ पे $$N_J$$ से संबंधित प्रकार का एक टेंसर है (2, 1) $$J$$, जिसे निजेनहुइस टेंसर  (या कभी-कभी मरोड़) कहा जाता है। एक लगभग जटिल मैनिफोल्ड जटिल है अगर और केवल अगर यह एक होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन   एटलस (टोपोलॉजी)  को स्वीकार करता है। एक हर्मिटियन मैनिफोल्ड  एक लगभग जटिल संरचना जे द्वारा दिया जाता है, साथ ही रिमेंनियन मीट्रिक जी के साथ, अनुकूलता की स्थिति को संतुष्ट करता है
 * $$g(JX,JY)=g(X,Y). \,$$

एक लगभग हर्मिटियन संरचना स्वाभाविक रूप से एक विभेदक रूप को परिभाषित करती है। विभेदक दो-रूप
 * $$\omega_{J,g}(X,Y):=g(JX,Y). \,$$

निम्नलिखित दो शर्तें समतुल्य हैं:

कहाँ पे $$\nabla$$ का लेवी-सिविटा कनेक्शन  है $$g$$. इस मामले में, $$(J, g)$$ काहलर मैनिफोल्ड कहा जाता है | काहलर संरचना, और एक काहलर मैनिफोल्ड एक काहलर संरचना के साथ कई गुना संपन्न है। विशेष रूप से, एक काहलर मैनिफोल्ड एक जटिल और एक सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड दोनों है। काहलर मैनिफोल्ड्स ( हॉज कई गुना का वर्ग) का एक बड़ा वर्ग सभी चिकने बीजगणितीय ज्यामिति द्वारा दिया गया है।
 * 1) $$ N_J=0\mbox{ and }d\omega=0 \,$$
 * 2) $$\nabla J=0 \,$$

सीआर ज्यामिति
सीआर संरचना जटिल मैनिफोल्ड में डोमेन की सीमाओं की आंतरिक ज्यामिति का अध्ययन है।

अनुरूप ज्यामिति
अनुरूप ज्यामिति अंतरिक्ष पर कोण-संरक्षण (अनुरूप) परिवर्तनों के सेट का अध्ययन है।

विभेदक टोपोलॉजी
विभेदक टोपोलॉजी एक मीट्रिक या सहानुभूतिपूर्ण रूप के बिना वैश्विक ज्यामितीय आक्रमणकारियों का अध्ययन है।

डिफरेंशियल टोपोलॉजी प्राकृतिक संचालन से शुरू होती है जैसे कि प्राकृतिक वेक्टर बंडलों झूठ व्युत्पन्न  और डिफरेंशियल फॉर्म का एक्सटीरियर डेरिवेटिव। लाइ अलजेब्रॉइड्स के अलावा,  कूरेंट बीजगणित  भी अधिक महत्वपूर्ण भूमिका निभाने लगते हैं।

झूठ समूह
एक झूठ समूह चिकनी मैनिफोल्ड की श्रेणी में एक समूह (गणित)  है। बीजगणितीय गुणों के अलावा यह विभेदक ज्यामितीय गुणों का भी आनंद लेता है। सबसे स्पष्ट निर्माण एक झूठ बीजगणित का है जो बाएं-अपरिवर्तनीय वेक्टर क्षेत्रों के बीच झूठ ब्रैकेट के साथ संपन्न इकाई में स्पर्शरेखा स्थान है। संरचना सिद्धांत के अलावा एक झूठ समूह के प्रतिनिधित्व का व्यापक क्षेत्र भी है।

ज्यामितीय विश्लेषण
ज्यामितीय विश्लेषण एक गणितीय अनुशासन है जहां अंतर समीकरणों से उपकरण, विशेष रूप से अंडाकार आंशिक अंतर समीकरणों का उपयोग अंतर ज्यामिति और अंतर टोपोलॉजी में नए परिणाम स्थापित करने के लिए किया जाता है।

गेज सिद्धांत
गेज सिद्धांत वेक्टर बंडलों और प्रमुख बंडलों पर कनेक्शन का अध्ययन है, और गणितीय भौतिकी  और भौतिक गेज सिद्धांत में समस्याओं से उत्पन्न होता है जो कण भौतिकी के मानक मॉडल को रेखांकित करता है। गेज सिद्धांत बंडलों पर कनेक्शन के लिए अंतर समीकरणों के अध्ययन से संबंधित है, और इन समीकरणों के समाधान के परिणामी ज्यामितीय मॉड्यूल रिक्त स्थान के साथ-साथ उनसे प्राप्त होने वाले अपरिवर्तनीय भी हैं। ये समीकरण अक्सर यूलर-लैग्रेंज समीकरण के रूप में उत्पन्न होते हैं जो क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में कुछ भौतिक प्रणालियों की गति के समीकरणों का वर्णन करते हैं, और इसलिए उनका अध्ययन भौतिकी में काफी रुचि रखता है।

बंडल और कनेक्शन
बंडलों पर वेक्टर बंडलों, प्रमुख बंडलों और कनेक्शन (गणित)  का उपकरण आधुनिक अंतर ज्यामिति में असाधारण रूप से महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। एक चिकने मैनिफोल्ड में हमेशा एक प्राकृतिक वेक्टर बंडल, स्पर्शरेखा बंडल होता है। संक्षेप में, यह संरचना अपने आप में केवल कई गुना विश्लेषण विकसित करने के लिए पर्याप्त है, जबकि ज्यामिति करने के लिए, इसके अलावा, विभिन्न बिंदुओं पर स्पर्शरेखा रिक्त स्थान को जोड़ने के लिए किसी तरह की आवश्यकता होती है, यानी  समानांतर परिवहन  की धारणा। एक महत्वपूर्ण उदाहरण  एफ़िन कनेक्शन  द्वारा प्रदान किया जाता है। R. में एक सतह के लिए3, विभिन्न बिंदुओं पर स्पर्शरेखा विमानों की पहचान परिवेशी यूक्लिडियन अंतरिक्ष द्वारा प्रेरित एक प्राकृतिक पथ-वार समानता का उपयोग करके की जा सकती है, जिसमें मीट्रिक और समानांतरवाद की एक प्रसिद्ध मानक परिभाषा है। रीमैनियन ज्यामिति में, लेवी-सिविता कनेक्शन एक समान उद्देश्य प्रदान करता है। अधिक आम तौर पर, डिफरेंशियल जियोमीटर एक सदिश बंडल के साथ रिक्त स्थान और एक मनमाना संबंध संबंध पर विचार करते हैं जो एक मीट्रिक के संदर्भ में परिभाषित नहीं है। भौतिकी में, मैनिफोल्ड स्पेसटाइम हो सकता है और बंडल और कनेक्शन विभिन्न भौतिक क्षेत्रों से संबंधित हैं।

आंतरिक बनाम बाहरी
19वीं शताब्दी के आरंभ से और मध्य तक, बाहरी दृष्टिकोण से अंतर ज्यामिति का अध्ययन किया गया था: घटता और सतहों को उच्च आयाम के यूक्लिडियन स्थान में स्थित माना जाता था (उदाहरण के लिए तीन आयामों के परिवेश स्थान  में एक सतह). वक्रों की विभेदक ज्यामिति और सतहों की विभेदक ज्यामिति में सबसे सरल परिणाम हैं। बर्नहार्ड रीमैन के काम से शुरू करते हुए, आंतरिक दृष्टिकोण विकसित किया गया था, जिसमें कोई ज्यामितीय वस्तु के बाहर जाने की बात नहीं कर सकता क्योंकि इसे मुक्त रूप से दिया जाना माना जाता है। यहां मौलिक परिणाम गॉस की प्रमेय एग्रेगियम है, इस प्रभाव के लिए कि गॉसियन वक्रता एक आंतरिक अपरिवर्तनीय है।

आंतरिक दृष्टिकोण अधिक लचीला है। उदाहरण के लिए, यह सापेक्षता में उपयोगी है जहां अंतरिक्ष-समय को स्वाभाविक रूप से बाहरी रूप में नहीं लिया जा सकता है। हालांकि, तकनीकी जटिलता में भुगतान करने के लिए एक कीमत है: वक्रता और कनेक्शन (गणित) की आंतरिक परिभाषाएं दृष्टिगत रूप से बहुत कम सहज ज्ञान युक्त हो जाती हैं।

इन दो दृष्टिकोणों को समेटा जा सकता है, अर्थात बाह्य ज्यामिति को आंतरिक के अतिरिक्त एक संरचना के रूप में माना जा सकता है। ( नैश एम्बेडिंग प्रमेय देखें।) ज्यामितीय कैलकुलस की औपचारिकता में कई गुना के बाह्य और आंतरिक ज्यामिति दोनों को एक द्विभाजक-मूल्यवान एक-रूप द्वारा चित्रित किया जा सकता है जिसे  आकार संचालिका  कहा जाता है।

अनुप्रयोग
नीचे कुछ उदाहरण दिए गए हैं कि डिफरेंशियल ज्योमेट्री विज्ञान और गणित के अन्य क्षेत्रों में कैसे लागू होती है।
 * भौतिकी में, अवकल ज्यामिति के कई अनुप्रयोग हैं, जिनमें शामिल हैं:
 * डिफरेंशियल ज्योमेट्री वह भाषा है जिसमें अल्बर्ट आइंस्टीन के सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत को व्यक्त किया गया है। सिद्धांत के अनुसार, ब्रह्मांड एक स्मूथ मैनिफोल्ड है जो छद्म-रीमैनियन मीट्रिक से सुसज्जित है, जो स्पेसटाइम की वक्रता का वर्णन करता है। पृथ्वी के चारों ओर कक्षा में उपग्रहों  की स्थिति के लिए इस वक्रता को समझना आवश्यक है।  गुरुत्वाकर्षण लेंसिंग  और  ब्लैक होल्स  के अध्ययन में डिफरेंशियल ज्योमेट्री भी अपरिहार्य है।
 * विद्युत चुंबकत्व के अध्ययन में विभेदक रूपों का उपयोग किया जाता है।
 * विभेदक ज्यामिति में Lagrangian यांत्रिकी और हैमिल्टनियन यांत्रिकी दोनों के लिए अनुप्रयोग हैं। विशेष रूप से सिम्पलेक्टिक मैनिफोल्ड का उपयोग हैमिल्टनियन प्रणाली  का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है।
 * रिमेंनियन ज्यामिति और संपर्क ज्यामिति का उपयोग जियोमेट्रोथर्मोडायनामिक्स  की औपचारिकता के निर्माण के लिए किया गया है, जिसे शास्त्रीय संतुलन थर्मोडायनामिक्स में अनुप्रयोग मिला है।
 * रसायन विज्ञान और जैवभौतिकी में जब अलग-अलग दबाव में कोशिका झिल्ली संरचना की मॉडलिंग की जाती है।
 * अर्थशास्त्र में, डिफरेंशियल ज्योमेट्री का अर्थमिति  के क्षेत्र में अनुप्रयोग है।
 * ज्यामितीय मॉडलिंग (कंप्यूटर ग्राफिक्स सहित) और कंप्यूटर  कंप्यूटर एडेड ज्यामितीय डिजाइन  डिफरेंशियल ज्योमेट्री के विचारों पर आधारित हैं।
 * इंजीनियरिंग में, अंकीय संकेत प्रक्रिया  में समस्याओं को हल करने के लिए डिफरेंशियल ज्योमेट्री को लागू किया जा सकता है।
 * नियंत्रण सिद्धांत में, अंतर ज्यामिति का उपयोग गैर-रेखीय नियंत्रकों, विशेष रूप से ज्यामितीय नियंत्रण  का विश्लेषण करने के लिए किया जा सकता है
 * संभाव्यता, सांख्यिकी और सूचना सिद्धांत  में, कोई विभिन्न संरचनाओं को रीमैनियन मैनिफोल्ड के रूप में व्याख्या कर सकता है, जो विशेष रूप से  फिशर सूचना मीट्रिक  के माध्यम से  सूचना ज्यामिति  के क्षेत्र को उत्पन्न करता है।
 * संरचनात्मक भूविज्ञान में, भूगर्भीय संरचनाओं का विश्लेषण और वर्णन करने के लिए विभेदक ज्यामिति का उपयोग किया जाता है।
 * कंप्यूटर विज़न में, आकृतियों का विश्लेषण करने के लिए डिफरेंशियल ज्योमेट्री का उपयोग किया जाता है।
 * मूर्ति प्रोद्योगिकी में, नॉन-फ्लैट सतहों पर डेटा को प्रोसेस और विश्लेषण करने के लिए डिफरेंशियल ज्योमेट्री का उपयोग किया जाता है।
 * रिक्की फ्लो की तकनीकों का उपयोग करते हुए पोंकारे अनुमान के ग्रिगोरी पेरेलमैन के प्रमाण ने टोपोलॉजी में प्रश्नों के लिए अंतर-ज्यामितीय दृष्टिकोण की शक्ति का प्रदर्शन किया और इसके विश्लेषणात्मक तरीकों द्वारा निभाई गई महत्वपूर्ण भूमिका पर प्रकाश डाला।
 * वायरलेस में, MIMO  सिस्टम में  beamforming  तकनीकों के लिए  ग्रासमानियन  का उपयोग किया जाता है।

यह भी देखें

 * सार अंतर ज्यामिति
 * Affine अंतर ज्यामिति
 * फ्रैक्टल्स पर विश्लेषण
 * घुमावदार स्पेसटाइम के गणित का मूल परिचय
 * असतत अंतर ज्यामिति
 * गॉस
 * डिफरेंशियल ज्योमेट्री और टोपोलॉजी की शब्दावली
 * गणित में प्रकाशनों की सूची#विभेदक ज्यामिति
 * गणित में प्रकाशनों की सूची#विभेदक टोपोलॉजी
 * अभिन्न ज्यामिति
 * अंतर ज्यामिति विषयों की सूची
 * गैर अनुमेय ज्यामिति
 * प्रक्षेपी अंतर ज्यामिति
 * सिंथेटिक अंतर ज्यामिति
 * सिस्टोलिक ज्यामिति
 * गेज सिद्धांत (गणित)

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 * विभेदक ज्यामिति विषयों की सूची

बाहरी संबंध

 * B. Conrad. Differential Geometry handouts, Stanford University
 * Michael Murray's online differential geometry course, 1996
 * A Modern Course on Curves and Surfaces, Richard S Palais, 2003
 * Richard Palais's 3DXM Surfaces Gallery
 * Balázs Csikós's Notes on Differential Geometry
 * N. J. Hicks, Notes on Differential Geometry, Van Nostrand.
 * MIT OpenCourseWare: Differential Geometry, Fall 2008
 * MIT OpenCourseWare: Differential Geometry, Fall 2008