समानांतर अक्ष प्रमेय

समांतर धुरी प्रमेय, जिसे ह्यूजेन्स-स्टाइनर प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है, या क्रिस्टियान ह्यूजेन्स और जैकब स्टेनर के नाम पर स्टेनर के प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है, का उपयोग जड़त्व के क्षण या कठोर शरीर के क्षेत्र के दूसरे क्षण को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है किसी भी अक्ष, वस्तु के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र और अक्षों के बीच लंबवत दूरी के माध्यम से एक समानांतर अक्ष के बारे में शरीर की जड़त्व का क्षण दिया गया है।

जड़त्व का द्रव्यमान क्षण
मान लीजिए m द्रव्यमान का एक पिंड पिंड के द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष z के चारों ओर घूमता है। इस अक्ष के संबंध में पिंड का जड़त्व आघूर्ण Icm है। समांतर अक्ष प्रमेय में कहा गया है कि यदि शरीर को एक नई धुरी z' के चारों ओर घुमाने के लिए बनाया जाता है, जो कि पहली धुरी के समानांतर है और दूरी डी से विस्थापित हो जाती है, तो नए धुरी के संबंध में जड़त्व का क्षण I है आईसीएम से संबंधित
 * $$ I = I_\mathrm{cm} + md^2.$$

स्पष्ट रूप से, d अक्षों z और z' के बीच लंबवत दूरी है।

समानांतर अक्ष प्रमेय को खिंचाव नियम और लम्बवत अक्ष प्रमेय के साथ विभिन्न आकारों के लिए जड़ता के क्षणों को खोजने के लिए लागू किया जा सकता है। समांतर अक्ष प्रमेय में कहा गया है कि, किसी धुरी के बारे में किसी पिंड की जड़ता का क्षण उसके द्रव्यमान के केंद्र के माध्यम से समानांतर अक्ष के बारे में जड़ता के क्षण के बराबर होता है और पिंड के द्रव्यमान के गुणनफल और बीच की लंबवत दूरी के वर्ग के बराबर होता है। दो समानांतर अक्ष।

व्युत्पत्ति
व्यापकता में कमी के बिना, हम यह मान सकते हैं कि कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में अक्षों के बीच लंबवत दूरी x-अक्ष के साथ होती है और द्रव्यमान का केंद्र मूल बिंदु पर होता है। Z- अक्ष के सापेक्ष जड़त्व का क्षण तब होता है


 * $$I_\mathrm{cm} = \int (x^2 + y^2) \, dm.$$

अक्ष के सापेक्ष जड़त्व का क्षण $z&prime;$, जो दूर है $D$ द्रव्यमान के केंद्र से x-अक्ष के अनुदिश है


 * $$I = \int \left[(x - D)^2 + y^2\right] \, dm.$$

कोष्ठक का विस्तार करने से प्राप्त होता है


 * $$I = \int (x^2 + y^2) \, dm + D^2 \int dm - 2D\int x\, dm.$$

पहला पद है $I_{cm}$ और दूसरा पद बन जाता है $mD^{2}$. अंतिम शब्द में अभिन्न द्रव्यमान के केंद्र के x-निर्देशांक का एक गुणक है – जो शून्य है क्योंकि द्रव्यमान का केंद्र मूल बिंदु पर स्थित है। तो, समीकरण बन जाता है:


 * $$ I = I_\mathrm{cm} + mD^2.$$

प्रदिश सामान्यीकरण
समांतर अक्ष प्रमेय को जड़त्व के क्षण # जड़त्व प्रदिश से जुड़ी गणनाओं के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। होने देना $I_{ij}$ द्रव्यमान के केंद्र पर गणना के अनुसार किसी पिंड के जड़त्व प्रदिश  को निरूपित करें। फिर जड़त्व प्रदिश  $J_{ij}$ के रूप में एक नए बिंदु के सापेक्ष गणना की जाती है


 * $$J_{ij}=I_{ij} + m\left(|\mathbf{R}|^2 \delta_{ij}-R_i R_j\right),$$

जहाँ $$\mathbf{R}=R_1\mathbf{\hat{x}}+R_2\mathbf{\hat{y}}+R_3\mathbf{\hat{z}}\!$$ द्रव्यमान के केंद्र से नए बिंदु तक विस्थापन सदिश है, और $δ_{ij}$ क्रोनकर डेल्टा है।

विकर्ण तत्वों के लिए (जब $i = j$), रोटेशन के अक्ष के लम्बवत विस्थापन समानांतर अक्ष प्रमेय के उपरोक्त सरलीकृत संस्करण में परिणत होते हैं।

समानांतर अक्ष प्रमेय के सामान्यीकृत संस्करण को टेंसरों के घटक-मुक्त उपचार के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। समन्वय-मुक्त संकेतन के रूप में


 * $$ \mathbf{J} = \mathbf{I} + m \left[\left(\mathbf{R} \cdot \mathbf{R}\right) \mathbf{E}_{3} - \mathbf{R} \otimes \mathbf{R} \right],$$

जहां E3 3 × 3 पहचान मैट्रिक्स है और ⊗\कभी-कभी बाहरी उत्पाद है।

समानांतर अक्ष प्रमेय के आगे के सामान्यीकरण से संदर्भ जड़त्व प्रदिश से जुड़े अक्षों x, y और z के संदर्भ सेट के समानांतर ओर्थोगोनल अक्षों के किसी भी सेट के बारे में जड़त्व प्रदिश  देता है, चाहे वे द्रव्यमान के केंद्र से गुजरते हों या नहीं।

क्षेत्र का दूसरा क्षण
समांतर अक्ष नियम एक विमान क्षेत्र डी के लिए क्षेत्र के दूसरे क्षण (जड़त्व का क्षेत्र पल) पर भी लागू होता है:


 * $$I_z = I_x + Ar^2,$$

कहाँ $I_{z}$ समांतर धुरी के सापेक्ष डी की जड़त्व का क्षेत्र क्षण है, $I_{x}$ इसके केन्द्रक के सापेक्ष D की जड़त्व का क्षेत्र क्षण है, $A$ समतल क्षेत्र D का क्षेत्रफल है, और $r$ नए अक्ष से दूरी है $z$ समतल क्षेत्र D के केन्द्रक के लिए। D का केन्द्रक समान घनत्व वाली भौतिक प्लेट के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के साथ मेल खाता है।

प्लानर गतिकी के लिए जड़त्व का ध्रुवीय क्षण
एक कठोर शरीर के द्रव्यमान गुण जो एक विमान के समानांतर चलने के लिए विवश हैं, इस विमान में इसके द्रव्यमान के केंद्र R = (x, y) और इसके जड़त्व के ध्रुवीय क्षण  द्वारा परिभाषित किए गए हैं। मैंR आर के माध्यम से एक अक्ष के चारों ओर जो विमान के लंबवत है। समांतर अक्ष प्रमेय जड़त्व I के क्षण के बीच एक सुविधाजनक संबंध प्रदान करता हैS एक मनमाना बिंदु S और जड़त्व का क्षण I के आसपासR द्रव्यमान के केंद्र के बारे में R.

याद कीजिए कि द्रव्यमान केंद्र R का गुण है


 * $$ \int_V \rho(\mathbf{r}) (\mathbf{r}-\mathbf{R}) \, dV=0, $$

जहाँ r शरीर के आयतन V पर एकीकृत है। समतलीय संचलन से गुजरने वाले पिंड की जड़त्व के ध्रुवीय क्षण की गणना किसी भी संदर्भ बिंदु S के सापेक्ष की जा सकती है,


 * $$ I_S = \int_V \rho(\mathbf{r}) (\mathbf{r}-\mathbf{S})\cdot (\mathbf{r}-\mathbf{S}) \, dV,$$

जहां S स्थिर है और r वॉल्यूम V पर एकीकृत है।

जड़त्व आघूर्ण I प्राप्त करने के लिएS जड़त्व I के क्षण के संदर्भ मेंR, सदिश d को S से द्रव्यमान R के केंद्र में पेश करें,



\begin{align} I_S & = \int_V \rho(\mathbf{r}) (\mathbf{r}-\mathbf{R}+\mathbf{d})\cdot (\mathbf{r}-\mathbf{R}+\mathbf{d}) \, dV \\ & = \int_V \rho(\mathbf{r}) (\mathbf{r}-\mathbf{R})\cdot (\mathbf{r}-\mathbf{R})dV + 2\mathbf{d}\cdot\left(\int_V \rho(\mathbf{r}) (\mathbf{r}-\mathbf{R}) \, dV\right) + \left(\int_V \rho(\mathbf{r}) \, dV\right)\mathbf{d}\cdot\mathbf{d}. \end{align} $$ पहला पद जड़त्व I का क्षण हैR, द्रव्यमान के केंद्र की परिभाषा के अनुसार दूसरा पद शून्य है, और अंतिम पद सदिश d के वर्ग परिमाण से पिंड का कुल द्रव्यमान है। इस प्रकार,


 * $$ I_S = I_R + Md^2, \, $$

जिसे समानांतर अक्ष प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

जड़त्व मैट्रिक्स का क्षण
कणों की एक कठोर प्रणाली की जड़त्व मैट्रिक्स संदर्भ बिंदु की पसंद पर निर्भर करती है। द्रव्यमान R के केंद्र के सापेक्ष जड़त्व मैट्रिक्स और दूसरे बिंदु S के सापेक्ष जड़त्व मैट्रिक्स के बीच एक उपयोगी संबंध है। इस संबंध को समानांतर अक्ष प्रमेय कहा जाता है।

जड़त्व मैट्रिक्स पर विचार करें [IS] द्वारा दिए गए एक संदर्भ बिंदु S के सापेक्ष मापे गए कणों की एक कठोर प्रणाली के लिए प्राप्त किया गया


 * $$ [I_S] = -\sum_{i=1}^n m_i[r_i-S][r_i-S],$$

जहां आरi कण P की स्थिति को परिभाषित करता हैi, आई = 1, ..., एन। स्मरण करो कि [आरi− एस] तिरछा-सममित मैट्रिक्स है जो क्रॉस उत्पाद करता है,
 * $$ [r_i -S]\mathbf{y} = (\mathbf{r}_i - \mathbf{S})\times \mathbf{y},$$

एक मनमाना सदिश y के लिए।

मान लीजिए कि R दृढ़ निकाय का द्रव्यमान केंद्र है, तब


 * $$ \mathbf{R} = (\mathbf{R}-\mathbf{S}) + \mathbf{S} = \mathbf{d} + \mathbf{S},$$

जहां डी संदर्भ बिंदु एस से द्रव्यमान आर के केंद्र तक सदिश है। जड़त्व मैट्रिक्स की गणना करने के लिए इस समीकरण का उपयोग करें,
 * $$ [I_S] = -\sum_{i=1}^n m_i[r_i- R + d][r_i - R+ d].$$

प्राप्त करने के लिए इस समीकरण का विस्तार करें


 * $$ [I_S] =  \left(-\sum_{i=1}^n m_i [r_i - R][r_i - R]\right) + \left(-\sum_{i=1}^n m_i[r_i - R]\right)[d] +  [d]\left(-\sum_{i=1}^n m_i[r_i - R]\right) + \left(-\sum_{i=1}^n m_i\right)[d][d].$$

पहला शब्द जड़त्व मैट्रिक्स है [IR] द्रव्यमान के केंद्र के सापेक्ष। द्रव्यमान R के केंद्र की परिभाषा के अनुसार दूसरा और तीसरा पद शून्य हैं,


 * $$ \sum_{i=1}^n m_i(\mathbf{r}_i -\mathbf{R}) = 0.$$

और अंतिम शब्द 'डी' से निर्मित तिरछा-सममित मैट्रिक्स [डी] के वर्ग से गुणा करके प्रणाली का कुल द्रव्यमान है।

परिणाम समानांतर अक्ष प्रमेय है,


 * $$ [I_S] = [I_R] - M[d]^2,$$

जहाँ d संदर्भ बिंदु S से द्रव्यमान R के केंद्र तक का सदिश है।

तिरछा-सममित मैट्रिक्स
के लिए पहचान तिरछा-सममित मैट्रिसेस और टेन्सर सूत्रीकरण का उपयोग करके समानांतर अक्ष प्रमेय के योगों की तुलना करने के लिए, निम्नलिखित सर्वसमिकाएं उपयोगी हैं।

मान लीजिए [R] स्थिति सदिश 'R' = (x, y, z) से जुड़ा तिरछा सममित मैट्रिक्स है, तो जड़त्व मैट्रिक्स में उत्पाद बन जाता है


 * $$ -[R][R]= -\begin{bmatrix} 0 & -z & y \\ z & 0 & -x \\ -y & x & 0 \end{bmatrix}^2 = \begin{bmatrix}

y^2+z^2 & -xy & -xz \\ -y x & x^2+z^2 & -yz \\ -zx & -zy & x^2+y^2 \end{bmatrix}.$$ इस उत्पाद की गणना बाहरी उत्पाद [आर आर द्वारा गठित मैट्रिक्स का उपयोग करके की जा सकती हैटी] पहचान का उपयोग कर


 * $$ -[R]^2 = |\mathbf{R}|^2[E_3] -[\mathbf{R}\mathbf{R}^T]=

\begin{bmatrix} x^2+y^2+z^2 & 0 & 0 \\ 0& x^2+y^2+z^2 & 0 \\0& 0& x^2+y^2+z^2 \end{bmatrix}- \begin{bmatrix}x^2 & xy & xz \\ yx & y^2 & yz \\ zx & zy & z^2\end{bmatrix},$$ जहां [ई3] 3 × 3 पहचान मैट्रिक्स है।

यह भी ध्यान दें, कि


 * $$ |\mathbf{R}|^2 = \mathbf{R}\cdot\mathbf{R} =\operatorname{tr}[\mathbf{R}\mathbf{R}^T],$$

जहाँ tr बाहरी उत्पाद मैट्रिक्स के विकर्ण तत्वों के योग को दर्शाता है, जिसे इसके ट्रेस के रूप में जाना जाता है।

यह भी देखें

 * क्रिस्टियान ह्यूजेंस
 * जैकब स्टेनर
 * निष्क्रियता के पल
 * लंब अक्ष प्रमेय
 * कठोर शरीर की गतिशीलता
 * स्ट्रेच नियम

बाहरी संबंध

 * Parallel axis theorem
 * Moment of inertia tensor
 * Video about the inertia tensor

Moment d'inertie