प्राथमिक अपघटन

गणित में, लास्कर-नोएदर प्रमेय कहता है कि प्रत्येक नोथेरियन वलय एक लस्कर वलय है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक आदर्श को एक प्रतिच्छेदन के रूप में विघटित किया जा सकता है, जिसे प्राथमिक अपघटन कहा जाता है, जो कि बहुत से प्राथमिक आदर्शों (जो संबंधित हैं, लेकिन प्रधान आदर्शों की शक्तियों के समान नहीं)। प्रमेय सबसे पहले द्वारा बहुपद वलयों और अभिसारी शक्ति श्रृंखला वलयों के विशेष स्थिति के लिए, और .इसके द्वारा इसकी पूर्ण व्यापकता में सिद्ध किया गया था

लास्कर-नोएदर प्रमेय अंकगणित के मौलिक प्रमेय का विस्तार है, और सामान्यतः सभी नोथेरियन वलय के लिए अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूहों का मौलिक प्रमेय है। प्रमेय बीजगणितीय ज्यामिति में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, यह दावा करते हुए कि प्रत्येक बीजगणितीय समुच्चय विशिष्ट रूप से अप्रासंगिक घटकों के परिमित संघ में विघटित हो सकता है।

इसमें मॉड्यूल (गणित) के लिए एक सीधा विस्तार है, जिसमें कहा गया है कि नोथेरियन वलय पर एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल का प्रत्येक सबमॉड्यूल प्राथमिक सबमॉड्यूल का एक परिमित प्रतिच्छेदन है। इसमें एक विशेष स्थिति के रूप में वलय के लिए स्थिति सम्मिलित है, वलय को अपने आप में एक मॉड्यूल के रूप में देखते हुए, ताकि आदर्श सबमॉड्यूल हों। यह एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर सूक्ष्मता से उत्पन्न मॉड्यूल के लिए संरचना प्रमेय के प्राथमिक अपघटन रूप को भी सामान्य करता है, और एक क्षेत्र पर बहुपद के वलय के विशेष स्थिति के लिए, यह एक बीजगणितीय समुच्चय के अपघटन को (अप्रासंगिक) प्रकारों के परिमित संघ में सामान्यीकृत करता है।.

विशेषता 0 के एक क्षेत्र पर बहुपद वलय के लिए प्राथमिक अपघटन की गणना के लिए पहला एल्गोरिदम नोथेर के छात्र द्वारा प्रकाशित किया गया था. अपघटन सामान्य रूप से गैर-विनिमेय नोथेरियन वलय के लिए नहीं होता है। नोथेर ने एक गैर-कम्यूटेटिव नोथेरियन वलय का एक सही आदर्श के साथ उदाहरण दिया जो प्राथमिक आदर्शों का प्रतिच्छेदन नहीं है।

एक आदर्श का प्राथमिक अपघटन
होने देना $$R$$ एक नोथेरियन क्रमविनिमेय वलय हो। एक आदर्श $$I$$ का $$R$$ प्राथमिक आदर्श कहा जाता है यदि यह उचित आदर्श है और तत्वों की प्रत्येक जोड़ी के लिए है $$x$$ और $$y$$ में $$R$$ ऐसा है कि $$xy$$ में है $$I$$, दोनों में से एक $$x$$ या कुछ शक्ति $$y$$ में है $$I$$; समतुल्य, भागफल वलय में प्रत्येक शून्य-भाजक $$R/I$$ शक्तिहीन है। एक प्राथमिक आदर्श के एक आदर्श का कट्टरपंथी $$Q$$ एक प्रमुख आदर्श और है $$Q$$ बताया गया $$\mathfrak{p}$$- के लिए प्राथमिक $$\mathfrak{p} = \sqrt{Q}$$ है

माना $$I$$ में आदर्श बनो $$R$$. तब $$I$$ प्राथमिक आदर्शों में एक निरर्थक प्राथमिक अपघटन है:


 * $$I = Q_1 \cap \cdots \cap Q_n\ $$.

अतिरेक का अर्थ है:


 * किसी को हटाना $$Q_i$$ प्रतिच्छेदन को बदलता है, अर्थात प्रत्येक के लिए $$i$$ अपने पास: $$\cap_{j \ne i} Q_j \not\subset Q_i$$.
 * प्रमुख आदर्श $$\sqrt{Q_i}$$ सभी विशिष्ट हैं।

इसके अतिरिक्त, यह अपघटन दो तरह से अद्वितीय है: प्राथमिक आदर्श जो गैर-न्यूनतम प्रमुख आदर्शों के अनुरूप हैं $$I$$ सामान्यतः अद्वितीय नहीं हैं (नीचे एक उदाहरण देखें)। अपघटन के अस्तित्व के लिए, नीचे संबद्ध अभाज्य संख्याओं से # प्राथमिक अपघटन देखें।
 * समुच्चय $$\{ \sqrt{Q_i} \mid i \}$$ द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है $$I$$, और
 * अगर $$\mathfrak{p} = \sqrt{Q_i}$$ उपरोक्त समुच्चय का एक न्यूनतम तत्व है, तो $$Q_i$$ द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है $$I$$; वास्तव में, $$Q_i$$ की पूर्व छवि है $$I R_{\mathfrak{p}}$$ स्थानीयकरण मानचित्र के अंतर्गत $$R \to R_{\mathfrak{p}}$$.

के तत्व $$\{ \sqrt{Q_i} \mid i \}$$ के प्रमुख विभाजक कहलाते हैं $$I$$ या प्राइम्स से संबंधित है $$I$$. मॉड्यूल सिद्धांत की भाषा में, जैसा कि नीचे चर्चा की गई है, समुच्चय $$\{ \sqrt{Q_i} \mid i \}$$ की संबद्ध अभाज्य संख्याओं का समुच्चय भी है $$R$$-मापांक $$R/I$$. स्पष्ट रूप से, इसका मतलब है कि तत्व उपस्थित हैं $$g_1, \dots, g_n$$ में $$R$$ ऐसा है कि
 * $$\sqrt{Q_i} = \{ f \in R \mid fg_i \in I \}.$$

शॉर्टकट के माध्यम से, कुछ लेखक संबद्ध अभाज्य कहते हैं $$R/I$$ बस एक संबद्ध प्रधान $$I$$ (ध्यान दें कि यह अभ्यास मॉड्यूल सिद्धांत में उपयोग के साथ संघर्ष करेगा)।
 * के न्यूनतम तत्व $$\{ \sqrt{Q_i} \mid i \}$$ युक्त न्यूनतम प्रमुख आदर्शों के समान हैं $$I$$ और पृथक अभाज्य कहलाते हैं।
 * दूसरी ओर गैर-न्यूनतम तत्वों को एम्बेडेड प्राइम्स कहा जाता है।

पूर्णांकों की वलय के स्थिति में $$\mathbb Z$$, लस्कर-नोथेर प्रमेय अंकगणित के मौलिक प्रमेय के बराबर है। यदि एक पूर्णांक $$n$$ प्रधान गुणनखंड है $$n = \pm p_1^{d_1} \cdots p_r^{d_r}$$, फिर आदर्श का प्राथमिक अपघटन $$\langle n \rangle$$ द्वारा उत्पन्न $$n$$ में $$\mathbb Z$$, है


 * $$\langle n\rangle = \langle p_1^{d_1} \rangle \cap \cdots \cap \langle p_r^{d_r}\rangle.$$

इसी तरह, एक अद्वितीय गुणनखंड डोमेन में, यदि किसी तत्व का अभाज्य गुणनखंड है $$f = u p_1^{d_1} \cdots p_r^{d_r},$$ कहाँ $$u$$ एक इकाई (वलय सिद्धांत) है, तो द्वारा उत्पन्न प्रमुख आदर्श का प्राथमिक अपघटन $$f$$ है
 * $$\langle f\rangle = \langle p_1^{d_1} \rangle \cap \cdots \cap \langle p_r^{d_r}\rangle.$$

उदाहरण
खंड के उदाहरण प्राथमिक अपघटन के कुछ गुणों को दर्शाने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं, जो आश्चर्यजनक या प्रति-सहज के रूप में प्रकट हो सकते हैं। सभी उदाहरण एक क्षेत्र $k$ (गणित) पर एक बहुपद वलय में सभी उदाहरण आदर्श हैं $k$.

प्रतिच्छेदन बनाम उत्पाद
में प्राथमिक अपघटन $$k[x,y,z]$$ आदर्श का $$I=\langle x,yz \rangle$$ है
 * $$I = \langle x,yz \rangle = \langle x,y \rangle \cap \langle x,z \rangle.$$

डिग्री एक के जनरेटर की वजह से, $I$ दो बड़े आदर्शों का उत्पाद नहीं है। इसी तरह का एक उदाहरण दिया गया है, दो अनिश्चित में द्वारा
 * $$I = \langle x,y(y+1) \rangle = \langle x,y \rangle \cap \langle x,y+1 \rangle.$$

प्राथमिक बनाम प्रधान शक्ति
में $$k[x,y]$$, आदर्श $$\langle x,y^2 \rangle$$ एक प्राथमिक आदर्श है जो है $$\langle x,y \rangle$$ संबद्ध प्रधान के रूप में। यह इसके संबद्ध प्राइम की शक्ति नहीं है।

गैर-विशिष्टता और एम्बेडेड प्राइम
प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक के लिए $n$, में एक प्राथमिक अपघटन $$k[x,y]$$ आदर्श का $$I=\langle x^2, xy \rangle$$ है
 * $$I = \langle x^2,xy \rangle = \langle x \rangle \cap \langle x^2, xy, y^n \rangle.$$

संबद्ध अभाज्य हैं
 * $$\langle x \rangle \subset \langle x,y \rangle.$$

उदाहरण: मान लीजिए N = R = k[x, y] किसी फ़ील्ड k के लिए, और मान लीजिए M आदर्श (xy,  y2) है2). फिर M में दो अलग-अलग न्यूनतम प्राथमिक अपघटन होते हैं

M = (y) ∩ (x, y2) = (y) ∩ (x + y, y2)

न्यूनतम प्राइम (y) है और एम्बेडेड प्राइम (x, y) है।

दो संबद्ध अभाज्य संख्याओं के बीच असंबद्ध अभाज्य
में $$k[x,y,z],$$ आदर्श $$I=\langle x^2, xy, xz \rangle$$ (गैर-अद्वितीय) प्राथमिक अपघटन है
 * $$I = \langle x^2,xy, xz \rangle = \langle x \rangle \cap \langle x^2, y^2, z^2, xy, xz, yz \rangle.$$

संबद्ध प्रमुख आदर्श हैं $$\langle x \rangle \subset \langle x,y,z \rangle,$$ और $$\langle x, y \rangle$$ एक गैर संबद्ध प्रधान आदर्श है जैसे कि
 * $$\langle x \rangle \subset \langle x,y \rangle \subset \langle x,y,z \rangle.$$

एक जटिल उदाहरण
जब तक बहुत सरल उदाहरणों के लिए, एक प्राथमिक अपघटन की गणना करना कठिन हो सकता है और बहुत जटिल आउटपुट हो सकता है। निम्नलिखित उदाहरण इस तरह के एक जटिल आउटपुट प्रदान करने के लिए डिज़ाइन किया गया है, और फिर भी, हस्तलिखित गणना के लिए सुलभ है।

होने देना

\begin {align} P&=a_0x^m + a_1x^{m-1}y +\cdots +a_my^m \\ Q&=b_0x^n + b_1x^{n-1}y +\cdots +b_ny^n \end {align}$$ में दो सजातीय बहुपद हो $x, y$, जिनके गुणांक $$a_1, \ldots, a_m, b_0, \ldots, b_n$$ अन्य अनिश्चित में बहुपद हैं $$z_1, \ldots, z_h$$ एक मैदान के ऊपर $k$. वह है, $P$ और $Q$ के संबंधित $$R=k[x,y,z_1, \ldots, z_h],$$ और यह इस वलय में है कि आदर्श का प्राथमिक अपघटन $$I=\langle P,Q\rangle$$ खोजा जाता है। प्राथमिक अपघटन की गणना करने के लिए, हम पहले मानते हैं कि 1 बहुपद का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक है $P$ और $Q$. है

इस शर्त का तात्पर्य है $I$ में ऊंचाई (वलय सिद्धांत) का कोई प्राथमिक घटक नहीं है। जैसा $I$ दो तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है, इसका तात्पर्य है कि यह एक पूर्ण प्रतिच्छेदन है (अधिक सही रूप से, यह एक बीजगणितीय समुच्चय को परिभाषित करता है, जो एक पूर्ण प्रतिच्छेदन है), और इस प्रकार सभी प्राथमिक घटकों की ऊंचाई दो होती है। इसलिए, के संबंधित प्राइम $I$ वास्तव में ऊंचाई दो के अभाज्य आदर्श हैं जिनमें सम्मिलित हैं $I$.

यह इस प्रकार है कि $$\langle x,y\rangle$$ का संबद्ध प्रधान है $I$.

होने देना $$D\in k[z_1, \ldots, z_h]$$ परिणामी बनें # सजातीय परिणामी $x, y$ का $P$ और $Q$. के सबसे बड़े सामान्य विभाजक के रूप में $P$ और $Q$ एक स्थिर है, परिणामी है $D$ शून्य नहीं है, और परिणामी सिद्धांत का तात्पर्य है $I$ के सभी उत्पाद सम्मिलित हैं $D$ एक एकपद  द्वारा $x, y$ डिग्री $m + n – 1$. जैसा $$D\not\in \langle x,y\rangle,$$ ये सभी मोनोमियल इसमें निहित प्राथमिक घटक से संबंधित हैं $$\langle x,y\rangle.$$ इस प्राथमिक घटक में सम्मिलित है $P$ और $Q$, और एक वलय के स्थानीयकरण के अंतर्गत प्राथमिक अपघटन का व्यवहार दर्शाता है कि यह प्राथमिक घटक है
 * $$\{t|\exists e, D^et \in I\}.$$

संक्षेप में, हमारे पास एक प्राथमिक घटक है, बहुत ही सरल संबद्ध प्राइम के साथ $$\langle x,y\rangle,$$ ऐसे सभी जनरेटिंग समुच्चय में सभी अनिश्चित सम्मिलित होते हैं।

अन्य प्राथमिक घटक सम्मिलित हैं $D$. कोई साबित कर सकता है कि अगर $P$ और $Q$ पर्याप्त रूप से सामान्य गुण हैं (उदाहरण के लिए यदि गुणांक $P$ और $Q$ विशिष्ट अनिश्चित हैं), तो केवल एक अन्य प्राथमिक घटक है, जो एक प्रमुख आदर्श है, और इसके द्वारा उत्पन्न होता है $P$, $Q$ और $D$. होता है

ज्यामितीय व्याख्या
बीजगणितीय ज्यामिति में, एक सजातीय बीजगणितीय समुच्चय $V(I)$ को किसी आदर्श के फलन के उभयनिष्ठ शून्य के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है $I$ बहुपद वलय का $$R=k[x_1,\ldots, x_n].$$

एक बेतुका प्राथमिक अपघटन
 * $$I=Q_1\cap\cdots\cap Q_r$$

का $I$ के अपघटन को परिभाषित करता है $V(I)$ बीजगणितीय समुच्चयों के संघ में $V(Q_{i})$, जो अलघुकरणीय हैं, दो छोटे बीजगणितीय समुच्चयों का मिलन नहीं होने के कारण।

अगर $$P_i$$ का संबद्ध प्रधान है $$Q_i$$, तब $$V(P_i)=V(Q_i),$$ और लस्कर-नोथेर प्रमेय यह दर्शाता है $V(I)$ में अलघुकरणीय बीजगणितीय प्रकारों में एक अद्वितीय अप्रासंगिक अपघटन है
 * $$V(I)=\bigcup V(P_i),$$ जहां संघ न्यूनतम संबद्ध अभाज्य संख्या तक सीमित है। ये न्यूनतम संबद्ध अभाज्य एक आदर्श के मूलांक के प्राथमिक घटक हैं $I$. इस कारण से, के कट्टरपंथी का प्राथमिक अपघटन $I$ को कभी-कभी का प्रमुख अपघटन कहा जाता है $I$.

एक प्राथमिक अपघटन के घटक (साथ ही बीजगणितीय समुच्चय अपघटन के घटक) न्यूनतम अभाज्य संख्या के अनुरूप कहलाते हैं, और अन्य कहलाते हैंembedded.

बीजगणितीय प्रकारों के अपघटन के लिए, केवल न्यूनतम प्राइम दिलचस्प हैं, लेकिन प्रतिच्छेदन के सिद्धांत में, और अधिक सामान्यतः योजना सिद्धांत में, पूर्ण प्राथमिक अपघटन का एक ज्यामितीय अर्थ है।

संबद्ध प्राइम्स से प्राथमिक अपघटन
आजकल, संबद्ध प्राइम्स के सिद्धांत के भीतर आदर्शों और मॉड्यूलों का प्राथमिक अपघटन करना आम है। विशेष रूप से, निकोलस बोरबाकी की प्रभावशाली पाठ्यपुस्तक एल्गेब्रे कम्यूटेटिव, इस दृष्टिकोण को अपनाती है।

चलो 'आर' एक वलय और 'एम' उस पर एक मॉड्यूल हो। परिभाषा के अनुसार, एक संबद्ध अभाज्य एक प्रमुख आदर्श है जो 'M' के एक गैर-शून्य तत्व का सर्वनाश (वलय सिद्धांत) है; वह है, $$\mathfrak{p} = \operatorname{Ann}(m)$$ कुछ के लिए $$m\in M$$ (यह संकेत करता है $$m \ne 0$$). समतुल्य, एक प्रमुख आदर्श $$\mathfrak{p}$$ यदि आर-मॉड्यूल का इंजेक्शन है तो एम का एक संबद्ध प्राइम है $$R/\mathfrak{p} \hookrightarrow M$$.

एम के गैर-शून्य तत्वों के एनीहिलेटर्स के समुच्चय का एक अधिकतम तत्व एक प्रमुख आदर्श के रूप में दिखाया जा सकता है और इस प्रकार, जब आर एक नोथेरियन वलय है, तो एम का एक संबद्ध प्राइम उपस्थित होता है और केवल अगर एम गैर-शून्य होता है।

M के संबंधित अभाज्य संख्याओं के समुच्चय को इसके द्वारा निरूपित किया जाता है $$\operatorname{Ass}_R(M)$$ या $$\operatorname{Ass}(M)$$. सीधे परिभाषा से,
 * अगर $$M = \bigoplus_i M_i$$, तब $$\operatorname{Ass}(M) = \bigcup_i \operatorname{Ass}(M_i)$$.
 * सही अनुक्रम के लिए $$0 \to N \to M \to L \to 0$$, $$\operatorname{Ass}(N) \subset \operatorname{Ass}(M) \subset \operatorname{Ass}(N) \cup \operatorname{Ass}(L)$$.
 * यदि R एक नोथेरियन वलय है, तो $$\operatorname{Ass}(M) \subset \operatorname{Supp}(M)$$ कहाँ $$\operatorname{Supp}$$ एक मॉड्यूल के समर्थन को संदर्भित करता है। इसके अतिरिक्त, के न्यूनतम तत्वों का समुच्चय $$\operatorname{Ass}(M)$$ के न्यूनतम तत्वों के समुच्चय के समान है $$\operatorname{Supp}(M)$$.

यदि M, R के ऊपर एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल है, तो सबमॉड्यूल का एक सीमित आरोही क्रम है
 * $$0=M_0\subsetneq M_1\subsetneq\cdots\subsetneq M_{n-1}\subsetneq M_n=M\,$$

ऐसा है कि प्रत्येक भागफल एमi /एमi−1 के लिए आइसोमोर्फिक है $$R/\mathfrak{p}_i$$ कुछ प्रमुख आदर्शों के लिए $$\mathfrak{p}_i$$, जिनमें से प्रत्येक आवश्यक रूप से एम के समर्थन में है। इसके अतिरिक्त, M का प्रत्येक संबद्ध अभाज्य अभाज्य संख्याओं के समुच्चय में आता है $$\mathfrak{p}_i$$; अर्थात।,
 * $$\operatorname{Ass}(M) \subset \{ \mathfrak{p}_1, \dots, \mathfrak{p}_n \} \subset \operatorname{Supp}(M)$$.

(सामान्य तौर पर, ये समावेशन समानताएं नहीं हैं।) विशेष रूप से, $$\operatorname{Ass}(M)$$ एक परिमित समुच्चय है जब M सूक्ष्म रूप से उत्पन्न होता है।

होने देना $$M$$ नोएथेरियन वलय R और N के M. दिए गए एक सबमॉड्यूल पर एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल हो $$\operatorname{Ass}(M/N) = \{ \mathfrak{p}_1, \dots, \mathfrak{p}_n \}$$, के संबद्ध प्राइम्स का समुच्चय $$M/N$$, सबमॉड्यूल उपस्थित हैं $$Q_i \subset M$$ ऐसा है कि $$\operatorname{Ass}(M/Q_i) = \{ \mathfrak{p}_i \}$$ और एम के एक सबमॉड्यूल एन को कहा जाता है$$\mathfrak{p}$$-प्राथमिक अगर $$\operatorname{Ass}(M/N) = \{ \mathfrak{p} \}$$. आर-मॉड्यूल आर का एक सबमॉड्यूल है $$\mathfrak{p}$$-प्राथमिक एक सबमॉड्यूल के रूप में अगर और केवल अगर यह एक है $$\mathfrak{p}$$-प्राथमिक आदर्श; इस प्रकार, कब $$M = R$$, उपरोक्त अपघटन ठीक एक आदर्श का प्राथमिक अपघटन है।
 * $$N = \bigcap_{i=1}^n Q_i.$$

ले रहा $$N = 0$$, उपरोक्त अपघटन कहता है कि एक अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल M के संबद्ध प्राइम्स का समुच्चय समान है $$\{ \operatorname{Ass}(M/Q_i) | i \}$$ कब $$0 = \cap_1^n Q_i$$ (बिना परिमित पीढ़ी के, असीम रूप से कई संबद्ध अभाज्य हो सकते हैं।)

संबद्ध प्राइम्स के गुण
होने देना $$R$$ एक नोथेरियन वलय बनें। तब एक R-मॉड्यूल, एक सबमॉड्यूल उपस्थित है $$N \subset M$$ ऐसा है कि $$\operatorname{Ass}(N) = \operatorname{Ass}(M) - \Phi$$ और $$\operatorname{Ass}(M/N) = \Phi$$.
 * R पर शून्य-विभाजक का समुच्चय R के संबंधित प्राइम्स के संघ के समान है (ऐसा इसलिए है क्योंकि R के शून्य-विभाजक का समुच्चय गैर-शून्य तत्वों के विनाशकों के समुच्चय का संघ है, जिनमें से अधिकतम तत्व जुड़े हुए हैं प्राइम्स हैं)।
 * इसी कारण से, एक R-मॉड्यूल M के संबद्ध प्राइम्स का मिलन M पर शून्य-विभाजक का समुच्चय है, यानी एक तत्व R ऐसा है कि एंडोमोर्फिज्म $$m \mapsto rm, M \to M$$ इंजेक्शन नहीं है।
 * एक उपसमुच्चय दिया गया है $$\Phi \subset \operatorname{Ass}(M)$$,
 * माना $$S \subset R$$ गुणक उपसमुच्चय हो, $$M$$ एक $$R$$-मॉड्यूल और $$\Phi$$ के सभी प्रमुख आदर्शों का समुच्चय $$R$$ प्रतिच्छेदन नहीं $$S$$. तब $$\mathfrak{p} \mapsto S^{-1}\mathfrak{p}, \, \operatorname{Ass}_R(M)\cap \Phi \to \operatorname{Ass}_{S^{-1}R}(S^{-1} M)$$ एक आपत्ति है। भी, $$\operatorname{Ass}_R(M)\cap \Phi = \operatorname{Ass}_R(S^{-1}M)$$.
 * एक आदर्श J समाविष्ट करने के संबंध में कोई न्यूनतम अभाज्य गुणजावली में है $$\mathrm{Ass}_R(R/J).$$ ये अभाज्य ठीक पृथक अभाज्य संख्याएँ हैं।
 * R पर एक मॉड्यूल M की परिमित लंबाई होती है यदि और केवल यदि M परिमित रूप से उत्पन्न होता है और $$\mathrm{Ass}(M)$$ अधिकतम आदर्शों से युक्त है।
 * होने देना $$A \to B$$ नोथेरियन वलय्स और F a B-मॉड्यूल के बीच एक वलय होमोमोर्फिज्म हो जो A पर फ्लैट मॉड्यूल है। फिर, प्रत्येक A-मॉड्यूल E के लिए,
 * $$\operatorname{Ass}_B(E \otimes_A F) = \bigcup_{\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass}(E)} \operatorname{Ass}_B(F/\mathfrak{p}F)$$.

गैर-नोथेरियन स्थिति
अगला प्रमेय किसी वलय के आदर्शों के लिए प्राथमिक अपघटन के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें देता है।

अतियाह-मैकडॉनल्ड के अध्याय 4 में अभ्यासों की एक श्रृंखला के रूप में प्रमाण दिया गया है। प्राथमिक अपघटन वाले आदर्श के लिए निम्नलिखित अद्वितीयता प्रमेय है।

अब, किसी भी क्रमविनिमेय वलय R के लिए, एक आदर्श I और I के ऊपर एक न्यूनतम अभाज्य P, I की पूर्व-छवि स्थानीयकरण मानचित्र के अंतर्गत RP युक्त सबसे छोटा P-प्राथमिक आदर्श है। इस प्रकार, पूर्ववर्ती प्रमेय की स्थापना में, प्राथमिक आदर्श Q न्यूनतम प्रधान P के अनुरूप भी सबसे छोटा P-प्राथमिक आदर्श है जिसमें I है और इसे I का P-प्राथमिक घटक कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, यदि शक्ति Pn एक अभाज्य P का एक प्राथमिक अपघटन है, तो इसका P-प्राथमिक घटक P के एक अभाज्य आदर्श की n-वाँ सांकेतिक शक्ति है।

आदर्शों का योज्य सिद्धांत
यह परिणाम उस क्षेत्र में पहला है जिसे अब आदर्शों के योज्य सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, जो आदर्शों के एक विशेष वर्ग के प्रतिच्छेदन के रूप में एक आदर्श का प्रतिनिधित्व करने के तरीकों का अध्ययन करता है। विशेष वर्ग, जैसे प्राथमिक आदर्शों पर निर्णय अपने आप में एक समस्या है। गैर-कम्यूटेटिव वलय के स्थिति में, तृतीयक आदर्शों का वर्ग प्राथमिक आदर्शों के वर्ग के लिए एक उपयोगी विकल्प है।

संदर्भ

 * M. Atiyah, I.G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison–Wesley, 1994. ISBN 0-201-40751-5
 * Bourbaki, Algèbre commutative.
 * , esp. section 3.3.
 * . English translation in Communications in Computer Algebra 32/3 (1998): 8–30.
 * . English translation in Communications in Computer Algebra 32/3 (1998): 8–30.