चोल्स्की अपघटन

रैखिक बीजगणित में, चोल्स्की अपघटन या चोल्स्की गुणनखंडन (उच्चारण /ʃəˈlɛski/ shə-LES-kee) एक हर्मिटियन, धनात्मक-निश्चित आव्यूह का एक निम्न त्रिभुजीय आव्यूह और उसके संयुग्मी स्थानान्तरण के उत्पाद में अपघटन है, जो दक्ष संख्यात्मक समाधान के लिए उपयोगी है, जैसे, मोंटे कार्लो अनुकरण होता है। वास्तविक आव्यूह के लिए इसकी खोज आंद्रे-लुई चोल्स्की ने की थी और इसे मरणोपरांत 1924 में प्रकाशित किया गया था। जब यह प्रयुक्त होता है, तो चोलेस्की अपघटन रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए एलयू अपघटन से लगभग दोगुना सक्षम होता है।

कथन
हर्मिटियन आव्यूह धनात्मक-निश्चित आव्यूह A का चोल्स्की अपघटन, प्ररूप का अपघटन है


 * $$\mathbf{A} = \mathbf{L L}^*,$$

जहाँ L वास्तविक और धनात्मक विकर्ण प्रविष्टियों के साथ एक निम्न त्रिभुजीय आव्यूह है, और L*, L के संयुग्मी स्थानांतरण को दर्शाता है। प्रत्येक हर्मिटियन धनात्मक-निश्चित आव्यूह (और इस प्रकार प्रत्येक वास्तविक-मान सममित धनात्मक-निश्चित आव्यूह) में एक अद्वितीय चोल्स्की अपघटन होता है।

उत्क्रम महत्वहीन है: यदि A को कुछ व्युत्क्रमणीय L, निम्न त्रिभुजीय या अन्यथा के लिए LL* के रूप में लिखा जा सकता है, तो A हर्मिटियन और धनात्मक निश्चित है।

जब A एक वास्तविक आव्यूह (इसलिए सममित धनात्मक-निश्चित) है, तो गुणनखंडन लिखा जा सकता है
 * $$\mathbf{A} = \mathbf{L L}^\mathsf{T},$$

जहां L धनात्मक विकर्ण प्रविष्टियों के साथ वास्तविक निम्न त्रिभुजीय आव्यूह है।

धनात्मक अर्ध निश्चित आव्यूह EDIT
यदि एक हर्मिटियन आव्यूह ए धनात्मक निश्चित के बजाय केवल धनात्मक अर्ध निश्चित है, तो इसमें अभी भी रूप का अपघटन है A = LL* जहाँ L की विकर्ण प्रविष्टियाँ शून्य होने की अनुमति है। अपघटन अद्वितीय नहीं होना चाहिए, उदाहरण के लिए:
 * $$\begin{bmatrix}0 & 0 \\0 & 1\end{bmatrix} = \mathbf L \mathbf L^*, \quad \quad \mathbf L=\begin{bmatrix}0 & 0\\ \cos \theta & \sin\theta\end{bmatrix}.$$

हालाँकि, यदि A का रैंक r है, तो बिल्कुल r धनात्मक विकर्ण तत्वों और n−r कॉलम के साथ एक अद्वितीय निम्न त्रिभुजीय L है जिसमें सभी शून्य हैं। वैकल्पिक रूप से, अपघटन को अद्वितीय बनाया जा सकता है जब एक पिवोटिंग विकल्प तय हो। औपचारिक रूप से, यदि A एक है n × n कोटि r का धनात्मक अर्द्धनिश्चित आव्यूह है, तो कम से कम एक क्रमचय आव्यूह 'P' ऐसा है कि P A PT रूप का एक अनूठा अपघटन है P A PT = L L* साथ $$ \mathbf L = \begin{bmatrix} \mathbf L_1 & 0 \\ \mathbf L_2 & 0\end{bmatrix} $$, जहां एल1 एक r × r धनात्मक विकर्ण के साथ निम्न त्रिभुजीय आव्यूह।

एलडीएल अपघटन
क्लासिकल चोलेस्की अपघटन का एक निकट संबंधी संस्करण एलडीएल अपघटन है,


 * $$\mathbf{A} = \mathbf{L D L}^*,$$

जहां L एक एकत्रिक आव्यूह है। लोअर यूनिट त्रिकोणीय (यूनिट्रायंगुलर) आव्यूह है, और D एक विकर्ण आव्यूह आव्यूह है। यही है, अपघटन में एक अतिरिक्त विकर्ण आव्यूह डी को पेश करने की कीमत पर L के विकर्ण तत्वों को 1 होना आवश्यक है। मुख्य लाभ यह है कि एलडीएल अपघटन की गणना की जा सकती है और अनिवार्य रूप से समान एल्गोरिदम के साथ उपयोग किया जा सकता है, लेकिन वर्गमूल निकालने से बचा जाता है। इस कारण से, एलडीएल अपघटन को अक्सर स्क्वायर-रूट-फ्री चोलस्की अपघटन कहा जाता है। वास्तविक मेट्रिसेस के लिए, गुणनखंड का रूप है A = LDLT और इसे अक्सर एलडीएलटी अपघटन (या एलडीएलT अपघटन, या LDL')। यह एक आव्यूह के eigendecomposition की याद दिलाता है # वास्तविक सममित मैट्रिसेस, A = QΛQT, लेकिन व्यवहार में काफी भिन्न है क्योंकि Λ और D समान आव्यूह नहीं हैं।

एलडीएल अपघटन LL* के शास्त्रीय चोलस्की अपघटन से संबंधित है:


 * $$\mathbf{A} = \mathbf{L D L}^* = \mathbf L \mathbf D^{1/2} \left(\mathbf D^{1/2} \right)^* \mathbf L^* =

\mathbf L \mathbf D^{1/2} \left(\mathbf L \mathbf D^{1/2}\right)^*.$$ इसके विपरीत, शास्त्रीय चोलस्की अपघटन दिया गया $$\mathbf A = \mathbf C \mathbf C^*$$ धनात्मक निश्चित आव्यूह का, यदि एस एक विकर्ण आव्यूह है जिसमें मुख्य विकर्ण होता है $$\mathbf C$$, तब A को विघटित किया जा सकता है $$\mathbf L \mathbf D \mathbf L^*$$ कहाँ
 * $$ \mathbf L = \mathbf C \mathbf S^{-1} $$ (यह विकर्ण तत्व 1 बनाने के लिए प्रत्येक स्तंभ को पुन: मापता है),
 * $$ \mathbf D = \mathbf S^2. $$

यदि A धनात्मक निश्चित है तो D के विकर्ण अवयव सभी धनात्मक हैं। धनात्मक अर्ध निश्चित ए के लिए, ए $$\mathbf L \mathbf D \mathbf L^*$$ अपघटन मौजूद है जहां विकर्ण डी पर गैर-शून्य तत्वों की संख्या बिल्कुल ए की रैंक है। कुछ अनिश्चित मैट्रिसेस जिनके लिए कोई चॉल्स्की अपघटन मौजूद नहीं है, डी में नकारात्मक प्रविष्टियों के साथ एलडीएल अपघटन होता है: यह पर्याप्त है कि पहला n−1 माइनर (रैखिक बीजगणित)#A के अन्य अनुप्रयोग गैर-एकवचन हैं।

उदाहरण
यहाँ एक सममित वास्तविक आव्यूह का चोल्स्की अपघटन है:


 * $$\begin{align}

\left( \begin{array}{*{3}{r}}      4 &  12 & -16 \\     12 &  37 & -43 \\    -16 & -43 &  98 \\  \end{array} \right) = \left( \begin{array}{*{3}{r}}     2 &  0 &  0 \\     6 &  1 &  0 \\    -8 &  5 &  3 \\  \end{array} \right) \left( \begin{array}{*{3}{r}}     2 &  6 & -8 \\     0 &  1 &  5 \\     0 &  0 &  3 \\  \end{array} \right). \end{align}$$ और यहाँ इसका एलडीएल है टी  अपघटन:


 * $$\begin{align}

\left( \begin{array}{*{3}{r}}      4 &  12 & -16 \\     12 &  37 & -43 \\    -16 & -43 &  98 \\  \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{*{3}{r}}     1 &  0 &  0 \\     3 &  1 &  0 \\    -4 &  5 &  1 \\  \end{array} \right) \left( \begin{array}{*{3}{r}}     4 &  0 &  0 \\     0 &  1 &  0 \\     0 &  0 &  9 \\  \end{array} \right) \left( \begin{array}{*{3}{r}}     1 &  3 & -4 \\     0 &  1 &  5 \\     0 &  0 &  1 \\  \end{array} \right). \end{align}$$

अनुप्रयोग
चोल्स्की अपघटन मुख्य रूप से रैखिक समीकरणों की प्रणाली के संख्यात्मक समाधान के लिए उपयोग किया जाता है $$\mathbf{Ax} = \mathbf{b}$$. यदि ए सममित और धनात्मक निश्चित है, तो हम हल कर सकते हैं $$\mathbf{Ax} = \mathbf{b}$$ पहले चोलस्की अपघटन की गणना करके  $$\mathbf{A} = \mathbf{LL}^\mathrm{*}$$, फिर हल करना $$\mathbf{Ly} = \mathbf{b}$$ आगे प्रतिस्थापन द्वारा y के लिए, और अंत में हल करना $$\mathbf{L^*x} = \mathbf{y}$$ एक्स के लिए वापस प्रतिस्थापन द्वारा।

में वर्गमूल निकालने का एक वैकल्पिक तरीका $$\mathbf{LL}^\mathrm{*}$$ अपघटन एलडीएल अपघटन की गणना करना है $$\mathbf{A} = \mathbf{LDL}^\mathrm{*}$$, फिर हल करना $$\mathbf{Ly} = \mathbf{b}$$ y के लिए, और अंत में हल करना $$\mathbf{DL}^\mathrm{*}\mathbf{x} = \mathbf{y}$$.

रैखिक प्रणालियों के लिए जिन्हें सममित रूप में रखा जा सकता है, बेहतर दक्षता और संख्यात्मक स्थिरता के लिए चॉल्स्की अपघटन (या इसका एलडीएल संस्करण) पसंद की विधि है। LU अपघटन की तुलना में, यह लगभग दोगुना उपयुक्त है।

सबसे कम रैखिक वर्ग
एक सममित और धनात्मक निश्चित के साथ Ax = b के रूप की प्रणालियाँ अक्सर अनुप्रयोगों में उत्पन्न होती हैं। उदाहरण के लिए, रैखिक न्यूनतम वर्गों (गणित) में सामान्य समीकरण इस रूप के होते हैं। ऐसा भी हो सकता है कि आव्यूह ए एक कार्यात्मक ऊर्जा से आता है, जो भौतिक विचारों से धनात्मक होना चाहिए; यह अक्सर आंशिक अंतर समीकरणों के संख्यात्मक समाधान में होता है।

गैर रेखीय अनुकूलन
गैर-रैखिक बहु-भिन्न कार्यों को न्यूटन की विधि के रूपों का उपयोग करके अर्ध-न्यूटन विधियों का उपयोग करके उनके पैरामीटर पर कम किया जा सकता है। पुनरावृत्ति k पर, खोज एक दिशा में कदम उठाती है $$ p_k $$ हल करके परिभाषित किया गया है $$ B_k p_k =  -g_k $$ के लिए $$ p_k $$, कहाँ $$ p_k $$ कदम दिशा है, $$ g_k $$ ढाल है, और $$ B_k $$ प्रत्येक पुनरावृति पर रैंक -1 अद्यतन दोहराकर गठित हेसियन आव्यूह का एक अनुमान है। डेविडॉन-फ्लेचर-पॉवेल (डीएफपी) और बीएफजीएस विधि | ब्रॉयडेन-फ्लेचर-गोल्डफार्ब-शन्नो (बीएफजीएस) नामक दो प्रसिद्ध अद्यतन सूत्र हैं। गोल-बंद त्रुटि के माध्यम से धनात्मक-निश्चित स्थिति के नुकसान से बचा जाता है यदि हेस्सियन के व्युत्क्रम के सन्निकटन को अद्यतन करने के बजाय, हेस्सियन आव्यूह के सन्निकटन के चोलेस्की अपघटन को अद्यतन करता है .

मोंटे कार्लो विधि
चॉल्स्की अपघटन का उपयोग आमतौर पर मोंटे कार्लो पद्धति में कई सहसंबद्ध चर वाले सिस्टम के अनुकरण के लिए किया जाता है। सहप्रसरण आव्यूह को निम्न-त्रिकोणीय L देने के लिए विघटित किया जाता है। इसे असंबद्ध नमूनों के एक सदिश पर प्रयुक्त करने से प्रणाली के सहप्रसरण गुणों के साथ एक नमूना सदिश Lu उत्पन्न होता है। निम्नलिखित सरलीकृत उदाहरण अर्थव्यवस्था को चॉल्स्की अपघटन से प्राप्त अर्थव्यवस्था को दर्शाता है: मान लीजिए कि लक्ष्य दो सहसंबद्ध सामान्य चर उत्पन्न करना है $$x_1$$ और $$x_2$$ दिए गए सहसंबंध गुणांक के साथ $$\rho$$. इसे पूरा करने के लिए, पहले दो असंबद्ध गाऊसी यादृच्छिक चर उत्पन्न करना आवश्यक है $$z_1$$ और $$z_2$$, जो बॉक्स-मुलर रूपांतरण का उपयोग करके किया जा सकता है। आवश्यक सहसंबंध गुणांक दिया गया है $$\rho$$, सहसंबद्ध सामान्य चर परिवर्तनों के माध्यम से प्राप्त किए जा सकते हैं $$x_1 = z_1$$ और $x_2 = \rho z_1 + \sqrt{1 - \rho^2} z_2$.

कलमन फ़िल्टर
तथाकथित सिग्मा बिंदुओं के एक सेट को चुनने के लिए असंतुलित कलमन फिल्टर आमतौर पर चोल्स्की अपघटन का उपयोग करते हैं। Kalman फ़िल्टर सिस्टम की औसत स्थिति को लंबाई N के सदिश x के रूप में और सहप्रसरण को N × N आव्यूह P के रूप में ट्रैक करता है। आव्यूह P हमेशा धनात्मक अर्ध-निश्चित होता है और कर सकता है एलएल में विघटित हो टी. 'सिग्मा पॉइंट्स' नामक 2N वैक्टर का एक सेट बनाने के लिए L के कॉलम को माध्य x से जोड़ा और घटाया जा सकता है। ये सिग्मा बिंदु सिस्टम स्थिति के माध्य और सहप्रसरण को पूरी तरह से पकड़ लेते हैं।

आव्यूह उलटा
हर्मिटियन आव्यूह के स्पष्ट व्युत्क्रम आव्यूह की गणना चॉल्स्की अपघटन द्वारा की जा सकती है, जो रैखिक प्रणालियों को हल करने के समान है, का उपयोग करके $$n^3$$ संचालन ($$\tfrac{1}{2} n^3$$ गुणन)। संपूर्ण उलटा भी कुशलता से जगह में किया जा सकता है।

एक गैर-हर्मिटियन आव्यूह बी को निम्नलिखित पहचान का उपयोग करके उलटा भी किया जा सकता है, जहां बीबी * हमेशा हर्मिटियन होगा:


 * $$\mathbf{B}^{-1} = \mathbf{B}^* (\mathbf{B B}^*)^{-1}.$$

गणना
चोल्स्की अपघटन की गणना के लिए विभिन्न विधियाँ हैं। आमतौर पर इस्तेमाल किए जाने वाले एल्गोरिदम की कम्प्यूटेशनल जटिलता हे (एन3) सामान्य तौर पर। नीचे वर्णित एल्गोरिदम में लगभग (1/3)n शामिल है3 FLOPs (nवास्तविक जायके के लिए 3/6 गुणन और समान संख्या में जोड़) और (4/3)n3 जटिल स्वादों के लिए FLOPs, जहाँ n आव्यूह 'A' का आकार है। इसलिए, उनके पास LU अपघटन की आधी लागत है, जो 2n का उपयोग करती है3/3 FLOPs (ट्रेफेथेन और बाऊ 1997 देखें)।

नीचे दिए गए एल्गोरिदम में से कौन सा तेज है कार्यान्वयन के विवरण पर निर्भर करता है। आम तौर पर, पहला एल्गोरिदम थोड़ा धीमा होगा क्योंकि यह डेटा को कम नियमित तरीके से एक्सेस करता है।

चोल्स्की एल्गोरिथम
अपघटन आव्यूह 'L' की गणना करने के लिए उपयोग किया जाने वाला चोल्स्की एल्गोरिदम, गॉसियन उन्मूलन का एक संशोधित संस्करण है।

पुनरावर्ती एल्गोरिदम i := 1 और से शुरू होता है
 * ए (1) := ए.

चरण i पर, आव्यूह A(i) का निम्न रूप है:
 * $$\mathbf{A}^{(i)}=

\begin{pmatrix} \mathbf{I}_{i-1} & 0             & 0 \\ 0               & a_{i,i}        & \mathbf{b}_{i}^{*} \\ 0               & \mathbf{b}_{i} & \mathbf{B}^{(i)} \end{pmatrix}, $$ जहां मैंi−1 आयाम i - 1 के पहचान आव्यूह को दर्शाता है।

यदि अब हम आव्यूह 'L' को परिभाषित करते हैंi द्वारा
 * $$\mathbf{L}_{i}:=

\begin{pmatrix} \mathbf{I}_{i-1} & 0                                 & 0 \\ 0               & \sqrt{a_{i,i}}           & 0 \\ 0               & \frac{1}{\sqrt{a_{i,i}}} \mathbf{b}_{i} & \mathbf{I}_{n-i} \end{pmatrix}, $$ (ध्यान दें कि एi,i > 0 ए के बाद से(i) धनात्मक निश्चित है), तो हम 'ए' लिख सकते हैं(i) के रूप में
 * $$\mathbf{A}^{(i)} = \mathbf{L}_{i} \mathbf{A}^{(i+1)} \mathbf{L}_{i}^{*}$$

कहाँ
 * $$\mathbf{A}^{(i+1)}=

\begin{pmatrix} \mathbf{I}_{i-1} & 0 & 0 \\ 0               & 1 & 0 \\ 0                & 0 & \mathbf{B}^{(i)} - \frac{1}{a_{i,i}} \mathbf{b}_{i} \mathbf{b}_{i}^{*} \end{pmatrix}.$$ ध्यान दें कि बीi बी*i एक बाहरी उत्पाद है, इसलिए इस एल्गोरिदम को (गोलूब और वैन लोन) में बाहरी उत्पाद संस्करण कहा जाता है।

हम इसे i के लिए 1 से n तक दोहराते हैं। n चरणों के बाद, हमें 'A' मिलता है(n+1) = 'मैं'। इसलिए, निम्न त्रिकोणीय आव्यूह L जिसकी हम तलाश कर रहे हैं, की गणना इस प्रकार की जाती है


 * $$\mathbf{L} := \mathbf{L}_{1} \mathbf{L}_{2} \dots \mathbf{L}_{n}.$$

चोल्स्की-बनाकिविज़ और चोल्स्की-क्राउट एल्गोरिदम
अगर हम समीकरण लिखते हैं
 * $$\begin{align}

\mathbf{A} = \mathbf{LL}^T & = \begin{pmatrix}  L_{11} & 0 & 0 \\ L_{21} & L_{22} & 0 \\ L_{31} & L_{32} & L_{33}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}  L_{11} & L_{21} & L_{31} \\ 0 & L_{22} & L_{32} \\ 0 & 0 & L_{33} \end{pmatrix} \\[8pt] & = \begin{pmatrix}  L_{11}^2 &   &(\text{symmetric})   \\ L_{21}L_{11} & L_{21}^2 + L_{22}^2& \\ L_{31}L_{11} & L_{31}L_{21}+L_{32}L_{22} & L_{31}^2 + L_{32}^2+L_{33}^2 \end{pmatrix}, \end{align}$$ हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं:


 * $$\begin{align}

\mathbf{L} = \begin{pmatrix} \sqrt{A_{11}} & 0 & 0  \\ A_{21}/L_{11} & \sqrt{A_{22} - L_{21}^2} & 0 \\ A_{31}/L_{11} & \left( A_{32} - L_{31}L_{21} \right) /L_{22}  &\sqrt{A_{33}- L_{31}^2 - L_{32}^2} \end{pmatrix} \end{align}$$ और इसलिए L की प्रविष्टियों के लिए निम्नलिखित सूत्र:


 * $$ L_{j,j} = (\pm)\sqrt{ A_{j,j} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{j,k}^2 }, $$
 * $$ L_{i,j} = \frac{1}{L_{j,j}} \left( A_{i,j} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{i,k} L_{j,k} \right) \quad \text{for } i>j. $$

जटिल और वास्तविक मैट्रिसेस के लिए, विकर्ण और संबंधित ऑफ-डायगोनल तत्वों के महत्वहीन मनमाना परिवर्तन की अनुमति है। यदि ए वास्तविक और धनात्मक-निश्चित है तो वर्गमूल के तहत अभिव्यक्ति हमेशा धनात्मक होती है।

जटिल हर्मिटियन आव्यूह के लिए, निम्न सूत्र प्रयुक्त होता है:


 * $$ L_{j,j} = \sqrt{ A_{j,j} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{j,k}L_{j,k}^* }, $$
 * $$ L_{i,j} = \frac{1}{L_{j,j}} \left( A_{i,j} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{i,k} L_{j,k}^* \right) \quad \text{for } i>j. $$

इसलिए हम (i, j) प्रविष्टि की गणना कर सकते हैं यदि हम बाईं और ऊपर की प्रविष्टियों को जानते हैं। गणना आमतौर पर निम्नलिखित में से किसी एक क्रम में व्यवस्थित की जाती है: एक्सेस का कोई भी पैटर्न वांछित होने पर पूरी गणना को इन-प्लेस करने की अनुमति देता है।
 * 'चोल्स्की-Banachiewicz एल्गोरिथ्म' आव्यूह L के ऊपरी बाएँ कोने से शुरू होता है और पंक्ति दर पंक्ति आव्यूह की गणना करने के लिए आगे बढ़ता है।
 * चोल्स्की-Crout एल्गोरिथम आव्यूह L के ऊपरी बाएँ कोने से शुरू होता है और कॉलम द्वारा आव्यूह कॉलम की गणना करने के लिए आगे बढ़ता है।

गणना की स्थिरता
मान लीजिए कि हम एक सशर्त संख्या | रैखिक समीकरणों की अच्छी तरह से अनुकूलित प्रणाली को हल करना चाहते हैं। यदि LU अपघटन का उपयोग किया जाता है, तो एल्गोरिथ्म तब तक अस्थिर होता है जब तक कि हम किसी प्रकार की धुरी रणनीति का उपयोग नहीं करते हैं। बाद के मामले में, त्रुटि आव्यूह के तथाकथित विकास कारक पर निर्भर करती है, जो आमतौर पर (लेकिन हमेशा नहीं) छोटी होती है।

अब, मान लीजिए कि चोल्स्की अपघटन प्रयुक्त होता है। जैसा ऊपर बताया गया है, एल्गोरिदम दो गुना तेज़ होगा। इसके अलावा, कोई धुरी तत्व आवश्यक नहीं है, और त्रुटि हमेशा छोटी होगी। विशेष रूप से, यदि हम Ax = b को हल करना चाहते हैं, और y परिकलित समाधान को दर्शाता है, तो y विकृत प्रणाली (A + E) y = b को हल करता है, जहाँ
 * $$ \|\mathbf{E}\|_2 \le c_n \varepsilon \|\mathbf{A}\|_2. $$

यहां ||·||2 आव्यूह मानदंड है | आव्यूह 2-मानदंड, सीnn के आधार पर एक छोटा स्थिरांक है, और ε यूनिट राउंड-ऑफ को दर्शाता है।

चॉल्स्की अपघटन के बारे में जागरूक होने के लिए एक चिंता वर्ग जड़ों का उपयोग है। यदि गुणनखंड किया जा रहा आव्यूह आवश्यक रूप से धनात्मक निश्चित है, तो वर्गमूल के अंतर्गत संख्याएँ सटीक अंकगणित में हमेशा धनात्मक होती हैं। दुर्भाग्य से, पूर्णांक त्रुटियों के कारण संख्याएँ ऋणात्मक हो सकती हैं, जिस स्थिति में एल्गोरिथम जारी नहीं रह सकता है। हालाँकि, यह केवल तभी हो सकता है जब आव्यूह बहुत खराब स्थिति में हो। इसे संबोधित करने का एक तरीका धनात्मक-निश्चितता को बढ़ावा देने के प्रयास में विघटित होने वाले आव्यूह में एक विकर्ण सुधार आव्यूह जोड़ना है। हालांकि यह अपघटन की सटीकता को कम कर सकता है, यह अन्य कारणों से बहुत अनुकूल हो सकता है; उदाहरण के लिए, अनुकूलन में न्यूटन की विधि का प्रदर्शन करते समय, एक विकर्ण आव्यूह जोड़ने से इष्टतम से दूर होने पर स्थिरता में सुधार हो सकता है।

एलडीएल अपघटन
एक वैकल्पिक रूप, वर्गमूल लेने की आवश्यकता को समाप्त करता है जब A सममित होता है, सममित अनिश्चित गुणनखंड है

\begin{align} \mathbf{A} = \mathbf{LDL}^\mathrm{T} & = \begin{pmatrix}  1 & 0 & 0 \\ L_{21} & 1 & 0 \\ L_{31} & L_{32} & 1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}  D_1 & 0 & 0 \\ 0 & D_2 & 0 \\ 0 & 0 & D_3\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}  1 & L_{21} & L_{31} \\ 0 & 1 & L_{32} \\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} \\[8pt] & = \begin{pmatrix}  D_1 &   &(\mathrm{symmetric})   \\ L_{21}D_1 & L_{21}^2D_1 + D_2& \\ L_{31}D_1 & L_{31}L_{21}D_{1}+L_{32}D_2 & L_{31}^2D_1 + L_{32}^2D_2+D_3. \end{pmatrix}. \end{align} $$ डी और L की प्रविष्टियों के लिए निम्नलिखित पुनरावर्ती संबंध प्रयुक्त होते हैं:
 * $$ D_j = A_{jj} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{jk}^2 D_k, $$
 * $$ L_{ij} = \frac{1}{D_j} \left( A_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{ik} L_{jk} D_k \right) \quad \text{for } i>j. $$

यह तब तक काम करता है जब तक डी में उत्पन्न विकर्ण तत्व गैर-शून्य रहते हैं। अपघटन तब अद्वितीय है। यदि A वास्तविक है तो D और L वास्तविक हैं।

जटिल हर्मिटियन आव्यूह ए के लिए, निम्न सूत्र प्रयुक्त होता है:


 * $$ D_{j} = A_{jj} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{jk}L_{jk}^* D_k, $$
 * $$ L_{ij} = \frac{1}{D_j} \left( A_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{ik} L_{jk}^* D_k \right) \quad \text{for } i>j. $$

दोबारा, पहुंच का पैटर्न वांछित होने पर पूरी गणना को जगह में करने की अनुमति देता है।

ब्लॉक संस्करण
जब अनिश्चित मैट्रिसेस पर उपयोग किया जाता है, तो एलडीएल* गुणनखंड सावधानीपूर्वक धुरी के बिना अस्थिर होने के लिए जाना जाता है; विशेष रूप से, गुणनखंड के तत्व मनमाने ढंग से बढ़ सकते हैं। एक संभावित सुधार ब्लॉक सब-मैट्रिसेस पर फैक्टराइजेशन करना है, आमतौर पर 2 × 2:
 * $$\begin{align}

\mathbf{A} = \mathbf{LDL}^\mathrm{T} & = \begin{pmatrix} \mathbf I & 0 & 0 \\ \mathbf L_{21} & \mathbf I & 0 \\ \mathbf L_{31} & \mathbf L_{32} & \mathbf I\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf D_1 & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf D_2 & 0 \\ 0 & 0 & \mathbf D_3\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf I & \mathbf L_{21}^\mathrm T & \mathbf L_{31}^\mathrm T \\ 0 & \mathbf I & \mathbf L_{32}^\mathrm T \\ 0 & 0 & \mathbf I\\ \end{pmatrix} \\[8pt] & = \begin{pmatrix} \mathbf D_1 &  &(\mathrm{symmetric})   \\ \mathbf L_{21} \mathbf D_1 & \mathbf L_{21} \mathbf D_1 \mathbf L_{21}^\mathrm T + \mathbf D_2& \\ \mathbf L_{31} \mathbf D_1 & \mathbf L_{31} \mathbf D_{1} \mathbf L_{21}^\mathrm T + \mathbf  L_{32} \mathbf D_2 & \mathbf L_{31} \mathbf D_1 \mathbf L_{31}^\mathrm T + \mathbf L_{32} \mathbf D_2 \mathbf L_{32}^\mathrm T + \mathbf D_3 \end{pmatrix}, \end{align} $$ जहां उपरोक्त मैट्रिसेस में प्रत्येक तत्व एक वर्ग सबमैट्रिक्स है। इससे, ये समान पुनरावर्ती संबंध अनुसरण करते हैं:


 * $$\mathbf D_j = \mathbf A_{jj} - \sum_{k=1}^{j-1} \mathbf L_{jk} \mathbf D_k \mathbf L_{jk}^\mathrm T,$$
 * $$\mathbf L_{ij} = \left(\mathbf A_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} \mathbf L_{ik} \mathbf D_k \mathbf L_{jk}^\mathrm T\right) \mathbf D_j^{-1}.$$

इसमें आव्यूह उत्पाद और स्पष्ट उलटा शामिल है, इस प्रकार व्यावहारिक ब्लॉक आकार को सीमित करता है।

अपघटन को अद्यतन करना
एक कार्य जो अक्सर अभ्यास में उत्पन्न होता है वह यह है कि किसी को चॉल्स्की अपघटन को अद्यतन करने की आवश्यकता होती है। अधिक विवरण में, पहले से ही चोलस्की अपघटन की गणना की जा चुकी है $$\mathbf{A} = \mathbf{L}\mathbf{L}^*$$ किसी आव्यूह का $$\mathbf{A}$$, फिर कोई आव्यूह बदलता है $$\mathbf{A}$$ किसी तरह दूसरे आव्यूह में, कहते हैं $$ \tilde{\mathbf{A}} $$, और कोई अद्यतन आव्यूह के चोल्स्की अपघटन की गणना करना चाहता है: $$ \tilde{\mathbf{A}} = \tilde{\mathbf{L}} \tilde{\mathbf{L}}^* $$. अब सवाल यह है कि क्या कोई चोलस्की अपघटन का उपयोग कर सकता है $$\mathbf{A}$$ के चोलस्की अपघटन की गणना करने से पहले इसकी गणना की गई थी $$ \tilde{\mathbf{A}} $$.

रैंक-वन अपडेट
विशिष्ट मामला, जहां अद्यतन आव्यूह $$ \tilde{\mathbf{A}} $$ आव्यूह से संबंधित है $$\mathbf{A}$$ द्वारा $$ \tilde{\mathbf{A}} = \mathbf{A} + \mathbf{x} \mathbf{x}^* $$, रैंक-वन अपडेट के रूप में जाना जाता है।

यहाँ एक समारोह है मैटलैब सिंटैक्स में लिखा गया है जो रैंक-वन अपडेट को महसूस करता है: एक रैंक-एन अपडेट वह है जहां आव्यूह के लिए $$\mathbf{M}$$ one अपघटन को इस तरह अद्यतन करता है $$ \tilde{\mathbf{A}} = \mathbf{A} + \mathbf{M} \mathbf{M}^* $$. के प्रत्येक कॉलम के लिए क्रमिक रूप से रैंक-वन अपडेट करके इसे प्राप्त किया जा सकता है $$\mathbf{M}$$.

रैंक-एक डाउनडेट
रैंक-वन डाउनडेट रैंक-वन अपडेट के समान है, सिवाय इसके कि जोड़ को घटाकर बदल दिया जाता है: $$ \tilde{\mathbf{A}} = \mathbf{A} - \mathbf{x} \mathbf{x}^* $$. यह केवल तभी काम करता है जब नया आव्यूह $$ \tilde{\mathbf{A}} $$ अभी भी धनात्मक निश्चित है।

ऊपर दिखाए गए रैंक-वन अपडेट के लिए कोड को आसानी से रैंक-वन डाउनडेट करने के लिए अनुकूलित किया जा सकता है: असाइनमेंट में केवल दो परिवर्धन को बदलने की आवश्यकता है  और   घटाव द्वारा।

पंक्तियों और स्तंभों को जोड़ना और हटाना
यदि हमारे पास एक सममित और धनात्मक निश्चित आव्यूह है $$ \mathbf A $$ के रूप में ब्लॉक रूप में दर्शाया गया है



\mathbf{A} = \begin{pmatrix} \mathbf A_{11} & \mathbf A_{13} \\ \mathbf A_{13}^{\mathrm{T}} & \mathbf A_{33} \\ \end{pmatrix} $$ और इसका ऊपरी चॉल्स्की कारक

\mathbf{L} = \begin{pmatrix} \mathbf L_{11} & \mathbf L_{13} \\ 0     & \mathbf L_{33} \\ \end{pmatrix}, $$ फिर एक नए आव्यूह के लिए $$ \tilde{\mathbf{A}} $$, जो समान है $$ \mathbf A $$ लेकिन नई पंक्तियों और स्तंभों के सम्मिलन के साथ,
 * $$\begin{align}

\tilde{\mathbf{A}} &= \begin{pmatrix} \mathbf A_{11} & \mathbf A_{12} & \mathbf A_{13} \\ \mathbf A_{12}^{\mathrm{T}} & \mathbf A_{22} & \mathbf A_{23} \\ \mathbf A_{13}^{\mathrm{T}} & \mathbf A_{23}^{\mathrm{T}} & \mathbf A_{33} \\ \end{pmatrix} \end{align} $$ हम चोलस्की गुणनखंड खोजने में रुचि रखते हैं $$ \tilde{\mathbf{A}} $$, जिसे हम कहते हैं $$ \tilde{\mathbf S} $$, पूरे अपघटन की सीधे गणना किए बिना।
 * $$\begin{align}

\tilde{\mathbf{S}} &= \begin{pmatrix} \mathbf S_{11} & \mathbf S_{12} & \mathbf S_{13} \\ 0 & \mathbf S_{22} & \mathbf S_{23} \\ 0 & 0 & \mathbf S_{33} \\ \end{pmatrix}. \end{align} $$ लिखना $$ \mathbf A \setminus \mathbf{b}$$ समाधान के लिए $$ \mathbf A \mathbf x = \mathbf b$$, जो त्रिकोणीय आव्यूहों के लिए आसानी से पाया जा सकता है, और $$ \text{chol} (\mathbf M)$$ चोलस्की अपघटन के लिए $$ \mathbf M $$, निम्नलिखित संबंध पाए जा सकते हैं:
 * $$\begin{align}

\mathbf S_{11} &= \mathbf L_{11}, \\ \mathbf S_{12} &= \mathbf L_{11}^{\mathrm{T}} \setminus \mathbf A_{12}, \\ \mathbf S_{13} &= \mathbf L_{13}, \\ \mathbf S_{22} &= \mathrm{chol} \left(\mathbf A_{22} - \mathbf S_{12}^{\mathrm{T}} \mathbf S_{12}\right), \\ \mathbf S_{23} &= \mathbf S_{22}^{\mathrm{T}} \setminus \left(\mathbf A_{23} - \mathbf S_{12}^{\mathrm{T}} \mathbf S_{13}\right), \\ \mathbf S_{33} &= \mathrm{chol} \left(\mathbf L_{33}^{\mathrm{T}} \mathbf L_{33} - \mathbf S_{23}^{\mathrm{T}} \mathbf S_{23}\right). \end{align} $$ इन सूत्रों का उपयोग किसी भी स्थिति में पंक्तियों या स्तंभों के सम्मिलन के बाद चोल्स्की कारक को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है, यदि हम पंक्ति और स्तंभ आयामों को उचित रूप से सेट करते हैं (शून्य सहित)। उलटा समस्या, जब हमारे पास है


 * $$\begin{align}

\tilde{\mathbf{A}} &= \begin{pmatrix} \mathbf A_{11} & \mathbf A_{12} & \mathbf A_{13} \\ \mathbf A_{12}^{\mathrm{T}} & \mathbf A_{22} & \mathbf A_{23} \\ \mathbf A_{13}^{\mathrm{T}} & \mathbf A_{23}^{\mathrm{T}} & \mathbf A_{33} \\ \end{pmatrix} \end{align} $$ ज्ञात चोल्स्की अपघटन के साथ
 * $$\begin{align}

\tilde{\mathbf{S}} &= \begin{pmatrix} \mathbf S_{11} & \mathbf S_{12} & \mathbf S_{13} \\ 0 & \mathbf S_{22} & \mathbf S_{23} \\ 0 & 0 & \mathbf S_{33} \\ \end{pmatrix} \end{align} $$ और चोल्स्की फ़ैक्टर का निर्धारण करना चाहते हैं
 * $$\begin{align}

\mathbf{L} &= \begin{pmatrix} \mathbf L_{11} & \mathbf L_{13} \\ 0     & \mathbf L_{33} \\ \end{pmatrix} \end{align} $$ आव्यूह का $$ \mathbf A $$ पंक्तियों और स्तंभों को हटाकर,
 * $$\begin{align}

\mathbf{A} &= \begin{pmatrix} \mathbf A_{11} & \mathbf A_{13} \\ \mathbf A_{13}^{\mathrm{T}} & \mathbf A_{33} \\ \end{pmatrix}, \end{align} $$ निम्नलिखित नियम उत्पन्न करता है:
 * $$\begin{align}

\mathbf L_{11} &= \mathbf S_{11}, \\ \mathbf L_{13} &= \mathbf S_{13}, \\ \mathbf L_{33} &= \mathrm{chol} \left(\mathbf S_{33}^{\mathrm{T}} \mathbf S_{33} + \mathbf S_{23}^{\mathrm{T}} \mathbf S_{23}\right). \end{align} $$ ध्यान दें कि उपरोक्त सभी समीकरणों में एक नए आव्यूह के चोलस्की अपघटन को खोजना शामिल है $$ \tilde{\mathbf{A}} = \mathbf{A} \pm \mathbf{x} \mathbf{x}^* $$, जो उन्हें पिछले अनुभाग में विस्तृत अद्यतन और डाउनडेट प्रक्रियाओं का उपयोग करके कुशलतापूर्वक गणना करने की अनुमति देता है।

तर्क को सीमित करके सबूत
उपरोक्त एल्गोरिदम दिखाते हैं कि प्रत्येक धनात्मक निश्चित आव्यूह $$ \mathbf{A} $$ चोलेस्की अपघटन है। यह परिणाम सीमित तर्क द्वारा धनात्मक अर्ध-निश्चित मामले तक बढ़ाया जा सकता है। तर्क पूरी तरह से रचनात्मक नहीं है, यानी, यह चोल्स्की कारकों की गणना के लिए कोई स्पष्ट संख्यात्मक एल्गोरिदम नहीं देता है।

अगर $$ \mathbf{A} $$ एक $$ n \times n $$ धनात्मक-निश्चित आव्यूह | धनात्मक अर्ध-निश्चित आव्यूह, फिर अनुक्रम $ \left(\mathbf{A}_k\right)_k := \left(\mathbf{A} + \frac{1}{k} \mathbf{I}_n\right)_k $ धनात्मक-निश्चित आव्यूह के होते हैं। (उदाहरण के लिए, यह बहुपद कार्यात्मक कलन के लिए वर्णक्रमीय मानचित्रण प्रमेय का एक तात्कालिक परिणाम है।) साथ ही,

\mathbf{A}_k \rightarrow \mathbf{A} \quad \text{for} \quad k \rightarrow \infty $$ ऑपरेटर मानदंड में। धनात्मक निश्चित मामले से, प्रत्येक $$ \mathbf{A}_k $$ चोल्स्की अपघटन है $$ \mathbf{A}_k = \mathbf{L}_k\mathbf{L}_k^* $$. ऑपरेटर मानदंड की संपत्ति से,


 * $$\| \mathbf{L}_k \|^2 \leq \| \mathbf{L}_k \mathbf{L}_k^* \| = \| \mathbf{A}_k \| \,.$$

$$\leq$$ h> रखता है क्योंकि $$M_n(\mathbb{C})$$ ऑपरेटर मानदंड से लैस एक सी * बीजगणित है। इसलिए $$ \left(\mathbf{L}_k \right)_k$$ ऑपरेटरों के बनच स्थान में एक घिरा हुआ सेट है, इसलिए अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट (क्योंकि अंतर्निहित वेक्टर स्थान परिमित-आयामी है)। नतीजतन, इसका एक अभिसारी परिणाम है, जिसे इसके द्वारा भी निरूपित किया जाता है $$ \left( \mathbf{L}_k \right)_k$$, सीमा के साथ $$ \mathbf{L}$$. इसे आसानी से चेक किया जा सकता है $$ \mathbf{L}$$ वांछित गुण हैं, अर्थात $$ \mathbf{A} = \mathbf{L}\mathbf{L}^* $$, और $$ \mathbf{L}$$ गैर-नकारात्मक विकर्ण प्रविष्टियों के साथ निम्न त्रिकोणीय है: सभी के लिए $$ x$$ और $$ y$$,



\langle \mathbf{A} x, y \rangle = \left\langle \lim \mathbf{A}_k x, y \right\rangle = \langle \lim \mathbf{L}_k \mathbf{L}_k^* x, y \rangle = \langle \mathbf{L} \mathbf{L}^*x, y \rangle \,. $$ इसलिए, $$ \mathbf{A} = \mathbf{L}\mathbf{L}^* $$. क्योंकि अंतर्निहित सदिश स्थान परिमित-आयामी है, ऑपरेटरों के स्थान पर सभी टोपोलॉजी समकक्ष हैं। इसलिए $$ \left( \mathbf{L}_k \right)_k$$ आदत है $$ \mathbf{L}$$ आदर्श रूप में $$ \left( \mathbf{L}_k \right)_k$$ आदत है $$ \mathbf{L}$$ प्रवेशवार। यह बदले में इसका तात्पर्य है कि, प्रत्येक के बाद से $$ \mathbf{L}_k$$ गैर-ऋणात्मक विकर्ण प्रविष्टियों के साथ निम्न त्रिभुजीय है, $$ \mathbf{L}$$ ई आल्सो।

क्यूआर अपघटन द्वारा प्रमाण
होने देना $$\mathbf{A}$$ धनात्मक-निश्चित आव्यूह बनें | धनात्मक अर्ध-निश्चित हर्मिटियन आव्यूह। तब इसे आव्यूह के वर्गमूल के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है, $$\mathbf{A} = \mathbf{B} \mathbf{B}^*$$. अब क्यूआर अपघटन प्रयुक्त किया जा सकता है $$\mathbf{B}^*$$, जिसके परिणामस्वरूप $$\mathbf{B}^* = \mathbf{Q}\mathbf{R}$$ , कहाँ $$\mathbf{Q}$$ एकात्मक है और $$\mathbf{R}$$ उपरी त्रिकोण है। अपघटन को मूल समानता पैदावार में सम्मिलित करना $$A = \mathbf{B} \mathbf{B}^* = (\mathbf{QR})^*\mathbf{QR} = \mathbf{R}^*\mathbf{Q}^*\mathbf{QR} = \mathbf{R}^*\mathbf{R}$$. सेटिंग $$\mathbf{L} = \mathbf{R}^*$$ प्रमाण पूरा करता है।

सामान्यीकरण
चोल्स्की गुणनखंड को सामान्यीकृत किया जा सकता है से (आवश्यक रूप से परिमित नहीं) ऑपरेटर प्रविष्टियों के साथ मेट्रिसेस। होने देना $$\{\mathcal{H}_n \}$$ हिल्बर्ट रिक्त स्थान का अनुक्रम बनें। ऑपरेटर आव्यूह पर विचार करें



\mathbf{A} = \begin{bmatrix} \mathbf{A}_{11}  & \mathbf{A}_{12}   & \mathbf{A}_{13} & \; \\ \mathbf{A}_{12}^* & \mathbf{A}_{22}  & \mathbf{A}_{23} & \; \\ \mathbf{A} _{13}^* & \mathbf{A}_{23}^* & \mathbf{A}_{33} & \; \\ \;      & \;       & \;     & \ddots \end{bmatrix} $$ प्रत्यक्ष योग पर अभिनय


 * $$\mathcal{H} = \bigoplus_n \mathcal{H}_n,$$

जहां प्रत्येक


 * $$\mathbf{A}_{ij} : \mathcal{H}_j \rightarrow \mathcal{H} _i$$

एक परिबद्ध संकारक है। यदि A धनात्मक (अर्द्धपरिमित) इस अर्थ में है कि सभी परिमित k और किसी के लिए


 * $$h \in \bigoplus_{n = 1}^k \mathcal{H}_k ,$$

अपने पास $$\langle h, \mathbf{A} h\rangle \ge 0$$, तो एक निम्न त्रिभुजीय ऑपरेटर आव्यूह L मौजूद है जैसे कि A = LL*। कोई भी L की विकर्ण प्रविष्टियों को धनात्मक मान सकता है।

प्रोग्रामिंग पुस्तकालयों में कार्यान्वयन

 * सी प्रोग्रामिंग भाषा: जीएनयू वैज्ञानिक पुस्तकालय चोल्स्की अपघटन के कई कार्यान्वयन प्रदान करती है।
 * मैक्सिमा (सॉफ्टवेयर) कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली: कार्य  चोल्स्की अपघटन की गणना करता है।
 * जीएनयू ऑक्टेव न्यूमेरिकल कंप्यूटेशंस सिस्टम एक चोल्स्की अपघटन की गणना, अद्यतन और प्रयुक्त करने के लिए कई कार्य प्रदान करता है।
 * LAPACK पुस्तकालय चोलस्की अपघटन का एक उच्च प्रदर्शन कार्यान्वयन प्रदान करता है जिसे फोरट्रान, सी (प्रोग्रामिंग भाषा) और अधिकांश भाषाओं से एक्सेस किया जा सकता है।
 * पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा) में, function  से   मॉड्यूल चोल्स्की अपघटन करता है।
 * मैटलैब में,  फ़ंक्शन चोलस्की अपघटन देता है। ध्यान दें कि   डिफ़ॉल्ट रूप से इनपुट आव्यूह के ऊपरी त्रिकोणीय कारक का उपयोग करता है, अर्थात यह गणना करता है $$A = R^* R$$ कहाँ $$R$$ उपरी त्रिकोण है। इसके बजाय निम्न त्रिभुजीय कारक का उपयोग करने के लिए एक ध्वज पारित किया जा सकता है।
 * आर (प्रोग्रामिंग भाषा) में,  फ़ंक्शन चोलस्की अपघटन देता है।
 * जूलिया (प्रोग्रामिंग भाषा) में,  समारोह से   मानक पुस्तकालय चोलस्की अपघटन देता है।
 * गणित में, function मैट्रिक्स पर प्रयुक्त किया जा सकता है।
 * सी ++ में, कई रैखिक बीजगणित पुस्तकालय इस अपघटन का समर्थन करते हैं:
 * अर्माडिलो (C++ लाइब्रेरी) कमांड की आपूर्ति करता है  चोल्स्की अपघटन करने के लिए।
 * Eigen (C++ लाइब्रेरी) स्पार्स और डेंस मैट्रिसेस दोनों के लिए चोल्स्की गुणनखंडों की आपूर्ति करता है।
 * जड़ पैकेज में,   वर्ग उपलब्ध है।


 * एनालिटिका (सॉफ्टवेयर) में, फ़ंक्शन  चोल्स्की अपघटन देता है।
 * Apache Commons Math लाइब्रेरी में कार्यान्वयन है जिसका उपयोग किया जा सकता है जावा, स्काला और किसी अन्य जेवीएम भाषा में।

यह भी देखें

 * साइकिल रैंक
 * अधूरा चॉल्स्की गुणनखंडन
 * आव्यूह अपघटन
 * न्यूनतम डिग्री एल्गोरिदम
 * एक आव्यूह का वर्गमूल
 * सिल्वेस्टर का जड़त्व का नियम
 * प्रतीकात्मक चॉल्स्की अपघटन

संदर्भ

 * S. J. Julier and J. K. Uhlmann. "A General Method for Approximating Nonlinear Transformations of ProbabilityDistributions".
 * S. J. Julier and J. K. Uhlmann, "A new extension of the Kalman filter to nonlinear systems", in Proc. AeroSense: 11th Int. Symp. Aerospace/Defence Sensing, Simulation and Controls, 1997, pp. 182–193.
 * Ruschel, João Paulo Tarasconi, Bachelor degree "Parallel Implementations of the चोल्स्की Decomposition on CPUs and GPUs" Universidade Federal Do Rio Grande Do Sul, Instituto De Informatica, 2016, pp. 29-30.
 * S. J. Julier and J. K. Uhlmann. "A General Method for Approximating Nonlinear Transformations of ProbabilityDistributions".
 * S. J. Julier and J. K. Uhlmann, "A new extension of the Kalman filter to nonlinear systems", in Proc. AeroSense: 11th Int. Symp. Aerospace/Defence Sensing, Simulation and Controls, 1997, pp. 182–193.
 * Ruschel, João Paulo Tarasconi, Bachelor degree "Parallel Implementations of the चोल्स्की Decomposition on CPUs and GPUs" Universidade Federal Do Rio Grande Do Sul, Instituto De Informatica, 2016, pp. 29-30.
 * Ruschel, João Paulo Tarasconi, Bachelor degree "Parallel Implementations of the चोल्स्की Decomposition on CPUs and GPUs" Universidade Federal Do Rio Grande Do Sul, Instituto De Informatica, 2016, pp. 29-30.
 * Ruschel, João Paulo Tarasconi, Bachelor degree "Parallel Implementations of the चोल्स्की Decomposition on CPUs and GPUs" Universidade Federal Do Rio Grande Do Sul, Instituto De Informatica, 2016, pp. 29-30.

विज्ञान का इतिहास

 * रेखीय समीकरणों की प्रणालियों के संख्यात्मक विभेदन पर, चोल्स्की की 1910 की पांडुलिपि, ऑनलाइन और पर विश्लेषण - रैखिक बिबनम [for English, click 'A télécharger']

जानकारी

 * चोल्स्की अपघटन, डेटा विश्लेषण संक्षिप्त पुस्तक
 * चोल्स्की Decomposition www.math-linux.com पर
 * चोल्स्की Decomposition Made Simple विज्ञान मीएंडरथल पर
 * चोल्स्की Decomposition Made Simple विज्ञान मीएंडरथल पर

कंप्यूटर कोड

 * LAPACK सघन रैखिक बीजगणित समस्याओं (DPOTRF, DPOTRF2, html विवरण प्रदर्शन)
 * ALGLIB में LAPACK से C++, C#, डेल्फी, विजुअल बेसिक, आदि का आंशिक पोर्ट शामिल है। (spdmatrixcholesky, hpdmatrixchholesky)
 * libflame LAPACK कार्यक्षमता वाली एक C लाइब्रेरी है।
 * नोट्स और चोलस्की फैक्टराइजेशन के उच्च-प्रदर्शन कार्यान्वयन पर वीडियो ऑस्टिन में टेक्सास विश्वविद्यालय में।
 * चोल्स्की : TBB + थ्रेड्स + SSE एक किताब है जो TBB, थ्रेड्स और SSE (स्पैनिश में) के साथ CF के कार्यान्वयन की व्याख्या करती है।
 * पुस्तकालय सेरेस सॉल्वर गूगल द्वारा।
 * LDL अपघटन मैटलैब में रूटीन।
 * Armadillo एक C++ रैखिक बीजगणित पैकेज है
 * Rosetta Code एक प्रोग्रामिंग क्रिस्टोमैथी साइट है। पृष्ठ विषय पर।
 * AlgoWiki एल्गोरिदम के गुणों और उनके कार्यान्वयन की विशेषताओं का एक खुला विश्वकोश है on pageविषय
 * Intel® oneAPI मैथ कर्नेल लाइब्रेरी न्यूमेरिकल कंप्यूटिंग के लिए Intel-Optimized मैथ लाइब्रेरी [https:/ /software.intel.com/content/www/us/en/develop/documentation/onemkl-developer-reference-c/top/lapack-routines/lapack-linear-equation-routines/lapack-linear-equation-computational-routines /आव्यूह-फैक्टराइजेशन-लैपैक-कम्प्यूटेशनल-रूटीन/potrf.html#potrf?potrf], /top/lapack-routines/lapack-linear-equation-routines/lapack-linear-equation-computational-routines/solving-systems-of-linear-equations-lapack-computational-routines/potrs.html#potrs ?potrs

अनुकरण में आव्यूह का उपयोग

 * जनरेटिंग कोरिलेटेड रैंडम वेरिएबल्स और स्टोचैस्टिक प्रोसेस, मार्टिन हौ, कोलम्बिया विश्वविद्यालय

ऑनलाइन कैलकुलेटर

 * ऑनलाइन आव्यूह कैलकुलेटर मेट्रिसेस का चोल्स्की अपघटन ऑनलाइन करता है।

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