बाहरी कलन पहचान

यह आलेख बाह्य कलन में कई समरूपताओं (गणित) का सारांश प्रस्तुत करता है।

संकेतन
इस प्रकार से निम्नलिखित संक्षिप्त परिभाषाओं और संकेतनों का सारांश प्रस्तुत करता है जिनका उपयोग इस आलेख में किया गया है।

मैनिफोल्ड
$$M$$, $$N$$ $$n$$-विमीय समतल (स्मूथ) मैनिफोल्ड हैं, जहां $$ n\in \mathbb{N} $$। अर्थात्, भिन्न-भिन्न मैनिफोल्ड जिन्हें इस पृष्ठ पर प्रयोजनों के लिए पर्याप्त एक बार विभेदित किया जा सकता है।

इस प्रकार से $$ p \in M $$, $$ q \in N $$ प्रत्येक मैनिफोल्ड पर एक बिंदु दर्शाता है।

मैनिफोल्ड $$ M $$ की सीमा मैनिफोल्ड $$ \partial M $$ है, जिसकी विमा $$ n - 1 $$ है। $$ M $$ पर एक अभिविन्यास $$ \partial M $$ पर एक अभिविन्यास प्रेरित करता है।

अतः हम सामान्यतः उपमैनिफोल्ड को $$\Sigma \subset M$$ से निरूपित करते हैं।

स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श रेखा बंडल
इस प्रकार से $$TM$$, $$T^{*}M$$ समतल मैनिफोल्ड $$M$$ के क्रमशः स्पर्शरेखा बंडल और कोटिस्पर्श रेखा बंडल को दर्शाता है।

अतः $$ T_p M $$, क्रमशः बिंदु $$p$$, $$q$$, पर $$M$$, $$N$$ के स्पर्शरेखा समष्टि को दर्शाता है। $$ T^{*}_p M $$ बिंदु $$p$$ पर $$M$$ के कोटिस्पर्श रेखा समष्टि को दर्शाता है।

स्पर्शरेखा बंडलों का खंड (फाइबर बंडल), जिसे सदिश क्षेत्र के रूप में भी जाना जाता है, इसको सामान्यतः $$X, Y, Z \in \Gamma(TM)$$ के रूप में दर्शाया जाता है जैसे कि बिंदु $$ p \in M $$ पर हमारे निकट $$ X|_p, Y|_p, Z|_p \in T_p M $$ है। इस प्रकार से कोटिस्पर्श रेखा बंडल के अनुभाग, जिन्हें विभेदक रूप (या सहसदिश क्षेत्र) के रूप में भी जाना जाता है, इसको सामान्यतः $$\alpha, \beta \in \Gamma(T^{*}M)$$ के रूप में दर्शाया जाता है जैसे कि बिंदु $$ p \in M $$ पर हमारे निकट $$ \alpha|_p, \beta|_p \in T^{*}_p M $$ है। $$\Gamma(T^{*}M)$$ के लिए एक वैकल्पिक संकेतन $$\Omega^1(M)$$ है।

विभेदक k-रूप
विभेदक $$k$$-रूप, जिसे हम यहां मात्र $$k$$-रूप के रूप में संदर्भित करते हैं, $$TM$$ पर परिभाषित विभेदक रूप हैं। हम सभी $$k$$-रूपों के समुच्चय को $$\Omega^k(M)$$ के रूप में निरूपित करते हैं। $$ 0\leq k,\ l,\ m\leq n $$ के लिए हम सामान्यतः $$\alpha\in\Omega^k(M)$$, $$\beta\in\Omega^l(M)$$, $$\gamma\in\Omega^m(M)$$ लिखते हैं।

इस प्रकार से $$0$$-रूप $$f\in\Omega^0(M)$$ $$M$$ पर मात्र अदिश फलन $$C^{\infty}(M)$$ हैं। $$\mathbf{1}\in\Omega^0(M)$$ प्रत्येक समष्टि 1 के बराबर स्थिरांक 0-रूप को दर्शाता है।

अनुक्रम के छोड़े गए अवयव
जब हमें $$(k+1)$$ निवेश $$X_0,\ldots,X_k$$ और $$k$$-रूप $$\alpha\in\Omega^k(M)$$ दिया जाता है तो हम


 * $$\alpha(X_0,\ldots,\hat{X}_i,\ldots,X_k):=\alpha(X_0,\ldots,X_{i-1},X_{i+1},\ldots,X_k) $$ लिखकर $$i$$वीं प्रविष्टि के लोप को दर्शाते हैं।

बाह्य गुणनफल
इस प्रकार से बाह्य गुणनफल को वेज गुणनफल के रूप में भी जाना जाता है। इसे $$ \wedge : \Omega^k(M) \times \Omega^l(M) \rightarrow \Omega^{k+l}(M)$$ से दर्शाया जाता है। अतः $$k$$-रूप $$\alpha\in\Omega^k(M)$$ और $$l$$-रूप $$\beta\in\Omega^l(M)$$ का बाह्य गुणनफल $$(k+l)$$-रूप $$\alpha\wedge\beta \in\Omega^{k+l}(M)$$ उत्पन्न करता है। इसे $$\{1,\ldots,n\}$$ के सभी क्रमपरिवर्तन $$\sigma$$ के समुच्चय $$S(k,k+l)$$ का उपयोग करके लिखा जा सकता है जैसे कि $$\sigma(1)<\ldots <\sigma(k), \ \sigma(k+1)<\ldots <\sigma(k+l) $$ को


 * $$(\alpha\wedge\beta)(X_1,\ldots,X_{k+l})=\sum_{\sigma\in S(k,k+l)}\text{sign}(\sigma)\alpha(X_{\sigma(1)},\ldots,X_{\sigma(k)})\otimes\beta(X_{\sigma(k+1)},\ldots,X_{\sigma(k+l)}) $$ के रूप में है।

दिशात्मक व्युत्पन्न
इस प्रकार से अनुभाग $$X\in\Gamma(TM)$$ के अनुदिश 0-रूप $$f\in\Omega^0(M)$$ का दिशात्मक व्युत्पन्न 0-रूप निरूपित $$\partial_X f $$ है।

बाह्य व्युत्पन्न
अतः बाह्य व्युत्पन्न $$d_k : \Omega^k(M) \rightarrow \Omega^{k+1}(M) $$ को सभी $$ 0 \leq k\leq n$$ के लिए परिभाषित किया गया है। हम सामान्यतः सबस्क्रिप्ट को तब छोड़ देते हैं जब वह संदर्भ से स्पष्ट हो।

$$0$$-रूप $$f\in\Omega^0(M)$$ के लिए हमारे निकट $$1$$-रूप के रूप में $$d_0f\in\Omega^1(M)$$ है जो दिशात्मक व्युत्पन्न देता है, अर्थात, अनुभाग $$X\in \Gamma(TM)$$ के लिए हमारे निकट $$(d_0f)(X) = \partial_X f$$ है, जो $$X$$ के साथ $$f$$ का दिशात्मक व्युत्पन्न है।

$$ 0 < k\leq n$$ के लिए,


 * $$ (d_k\omega)(X_0,\ldots,X_k)=\sum_{0\leq j\leq k}(-1)^jd_{0}(\omega(X_0,\ldots,\hat{X}_j,\ldots,X_k))(X_j) + \sum_{0\leq i < j\leq k}(-1)^{i+j}\omega([X_i,X_j],X_0,\ldots,\hat{X}_i,\ldots,\hat{X}_j,\ldots,X_k) .$$

लाई कोष्ठक
इस प्रकार से अनुभागों $$X,Y \in \Gamma(TM)$$ के लाई कोष्ठक को अद्वितीय अनुभाग $$[X,Y] \in \Gamma(TM)$$ के रूप में परिभाषित किया गया है जो



\forall f\in\Omega^0(M) \Rightarrow \partial_{[X,Y]}f = \partial_X \partial_Y f - \partial_Y \partial_X f $$ को संतुष्ट करता है।

स्पर्शरेखा प्रतिचित्र
यदि $$ \phi : M \rightarrow N $$ एक समतल प्रतिचित्र है, तो $$d\phi|_p:T_pM\rightarrow T_{\phi(p)}N$$ $$M$$ से $$N$$ तक एक स्पर्श रेखा प्रतिचित्र को परिभाषित करता है। अतः इसे व्युत्पन्न $$\gamma'(0)=X\in T_pM$$ के साथ $$M$$ पर वक्र $$\gamma$$ के माध्यम से परिभाषित किया गया है जैसे कि


 * $$d\phi(X):=(\phi\circ\gamma)' .$$

ध्यान दें कि $$\phi$$ $$N$$ में मानों के साथ $$0$$-रूप है।

पुल-बैक
यदि $$ \phi : M \rightarrow N $$ समतल प्रतिचित्र है, तो $$k$$-रूप $$ \alpha\in \Omega^k(N) $$ का पुलबैक (विभेदक ज्यामिति) इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि किसी भी $$k$$-विमीय उपमैनिफोल्ड $$\Sigma\subset M$$
 * $$ \int_{\Sigma} \phi^*\alpha = \int_{\phi(\Sigma)} \alpha $$ के लिए है।

इस प्रकार से पुल-बैक को


 * $$(\phi^*\alpha)(X_1,\ldots,X_k)=\alpha(d\phi(X_1),\ldots,d\phi(X_k)) $$ के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।

आंतरिक गुणनफल
आंतरिक व्युत्पन्न के रूप में भी जाना जाता है, अनुभाग $$ Y\in \Gamma(TM) $$ दिया गया आंतरिक गुणनफल एक प्रतिचित्र $$\iota_Y:\Omega^{k+1}(M) \rightarrow \Omega^k(M)$$ है जो प्रभावी रूप से $$Y$$ के साथ $$(k+1)$$-रूप के पहले निवेश को प्रतिस्थापित करता है। इस प्रकार से यदि $$\alpha\in\Omega^{k+1}(M)$$ और $$X_i\in \Gamma(TM)$$ है, तो


 * $$ (\iota_Y\alpha)(X_1,\ldots,X_k) = \alpha(Y,X_1,\ldots,X_k) $$।

मापन टेंसर
प्रत्येक $$ T_p M $$ पर एक गैर-अपक्षयी द्विरेखीय रूप $$ g_p( \cdot, \cdot ) $$ दिया गया है जो कि $$M$$ पर सतत है, मैनिफोल्ड एक छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड बन जाता है। हम मापन टेंसर $$g$$ को निरूपित करते हैं, जिसे $$ g( X , Y )|_p = g_p( X|_p , Y|_p ) $$ द्वारा बिंदुवार परिभाषित किया गया है। इस प्रकार से हम $$s=\operatorname{sign}(g)$$ को मापन का संकेत कहते हैं। अतः रीमैनियन मैनिफोल्ड में $$s=1$$ है, जबकि मिन्कोवस्की समष्टि में $$s=-1$$ है।

संगीत समरूपता
मापन टेंसर $$g(\cdot,\cdot)$$ सदिश क्षेत्र और एक-रूपों के बीच द्वंद्व प्रतिचित्रण को प्रेरित करता है: ये संगीतमय समरूपताएं समतल $$\flat$$ और तीव्र $$\sharp$$ हैं। एक अनुभाग $$ A \in \Gamma(TM)$$ अद्वितीय एक-रूप $$A^{\flat}\in\Omega^1(M)$$ से मेल खाता है जैसे कि सभी अनुभागों $$X \in \Gamma(TM)$$ के लिए, हमारे निकट:


 * $$ A^{\flat}(X) = g(A,X) $$ है।

एक रूप $$\alpha\in\Omega^1(M)$$ अद्वितीय सदिश क्षेत्र $$ \alpha^{\sharp}\in \Gamma(TM)$$ से मेल खाता है जैसे कि सभी $$X \in \Gamma(TM)$$ के लिए, हमारे निकट:


 * $$ \alpha(X) = g(\alpha^\sharp,X) $$ है।

इस प्रकार से ये प्रतिचित्रण बहुरेखीयता के माध्यम से $$k$$-सदिश क्षेत्र से $$k$$-रूप और $$k$$-रूप से $$k$$-सदिश क्षेत्र तक


 * $$ (A_1 \wedge A_2 \wedge \cdots \wedge A_k)^{\flat} = A_1^{\flat} \wedge A_2^{\flat} \wedge \cdots \wedge A_k^{\flat}$$
 * $$ (\alpha_1 \wedge \alpha_2 \wedge \cdots \wedge \alpha_k)^{\sharp} = \alpha_1^{\sharp} \wedge \alpha_2^{\sharp} \wedge \cdots \wedge \alpha_k^{\sharp}$$ के माध्यम से प्रतिचित्रण तक विस्तारित होती है।

हॉज स्टार
इस प्रकार से एन-मैनिफोल्ड M के लिए, हॉज स्टार संक्रियक $${\star}:\Omega^k(M)\rightarrow\Omega^{n-k}(M)$$ एक द्वैत प्रतिचित्रण है, जो $$k$$-रूप $$\alpha \in \Omega^k(M)$$ को $$(n{-}k)$$-रूप $$({\star}\alpha) \in \Omega^{n-k}(M)$$ में ले जाता है।

अतः इसे $$TM$$ के लिए अभिविन्यस्त संरचना $$(X_1,\ldots,X_n)$$ के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है, जो दिए गए मापन टेंसर $$g$$:



({\star}\alpha)(X_1,\ldots,X_{n-k})=\alpha(X_{n-k+1},\ldots,X_n) $$ के संबंध में प्रसामान्य लांबिक है।

सह-विभेदक संक्रियक
इस प्रकार से $$n$$ विमीय मैनिफोल्ड $$M$$ पर हॉज स्टार संक्रियक $$\delta:\Omega^k(M)\rightarrow\Omega^{k-1}(M)$$ को


 * $$\delta := (-1)^{k} {\star}^{-1} d {\star} = (-1)^{nk+n+1}{\star} d {\star} $$ द्वारा परिभाषित किया गया है।

अतः हॉज-डिरैक संक्रियक, $$d+\delta$$, एक डिरैक संक्रियक है जिसका अध्ययन क्लिफोर्ड विश्लेषण में किया गया है।

अभिविन्यस्त मैनिफोल्ड
एक $$n$$-विमीय अभिविन्यसनीय मैनिफोल्ड $M$ एक ऐसा मैनिफोल्ड है जिसे $n$-रूप $$\mu\in\Omega^n(M)$$ के विकल्प से संगत किया जा सकता है जो $M$ पर प्रत्येक समष्टि सतत और गैर-शून्य है।

आयतन रूप
इस प्रकार से एक अभिविन्यसनीय मैनिफोल्ड $$M$$ पर मापन टेंसर $$g$$ दिए गए आयतन रूप के विहित चयन और अभिविन्यास (सदिश समष्टि) से मेल खाने के लिए किसी भी आधार $$dX_1,\ldots, dX_n$$ के लिए अभिविन्यास $$\mathbf{det}:=\sqrt{|\det g|}\;dX_1^{\flat}\wedge\ldots\wedge dX_n^{\flat}$$ है।

क्षेत्रफल
अतः एक आयतन रूप $$\mathbf{det}$$ और इकाई सामान्य सदिश $$N$$ को देखते हुए हम boundary $\partial M$ पर एक क्षेत्र रूप $$\sigma:=\iota_N\textbf{det}$$ को भी परिभाषित कर सकते हैं।

$$k$$-रूप पर द्विरैखिक रूप
इस प्रकार से मापन टेंसर का सामान्यीकरण, दो $$k$$-रूप $$\alpha,\beta\in\Omega^k(M)$$ के बीच सममित द्विरेखीय रूप, $$M$$ पर



\langle\alpha,\beta\rangle|_p := {\star}(\alpha\wedge {\star}\beta )|_p $$ द्वारा बिंदुवार परिभाषित किया गया है।

$$k$$-रूप $$\Omega^k(M)$$ की समष्टि के लिए $$L^2$$ द्विरेखीय रूप को



\langle\!\langle\alpha,\beta\rangle\!\rangle:= \int_M\alpha\wedge {\star}\beta $$ द्वारा परिभाषित किया गया है। अतः रीमैनियन मैनिफोल्ड की स्थिति में, प्रत्येक आंतरिक गुणनफल है (अर्थात धनात्मक-निश्चित है)।

लाई व्युत्पन्न
हम किसी दिए गए खंड $$X\in \Gamma(TM)$$ के लिए कार्टन के अवधि सूत्र के माध्यम से लाइ व्युत्पन्न $$\mathcal{L}:\Omega^k(M)\rightarrow\Omega^k(M)$$ को



\mathcal{L}_X = d \circ \iota_X + \iota_X \circ d $$ के रूप में परिभाषित करते हैं। इस प्रकार से यह अनुभाग $$X$$ से सम्बद्ध प्रवाह $$\phi_t$$ के साथ $$k$$-रूप (गणित) के परिवर्तन का वर्णन करता है।

पुल-बैक गुण


d(\phi^*\alpha) = \phi^*(d\alpha) $$ ($$d$$ के साथ क्रमविनिमेय)



\phi^*(\alpha\wedge\beta) = (\phi^*\alpha)\wedge(\phi^*\beta) $$ ($$\wedge$$ पर वितरित करता है)



(\phi_1\circ\phi_2)^* = \phi_2^*\phi_1^* $$ (विपरीत)


 * $$f\in\Omega^0(N)$$ के लिए $$

\phi^*f=f\circ\phi $$ (फलन रचना)

संगीत समरूपता गुण


(X^{\flat})^{\sharp}=X $$

(\alpha^{\sharp})^{\flat}=\alpha $$

आंतरिक गुणनफल गुण


\iota_X \circ \iota_X = 0 $$ (निलपोटेंट)



\iota_X \circ \iota_Y = - \iota_Y \circ \iota_X $$

\iota_X (\alpha \wedge \beta ) = (\iota_X\alpha)\wedge\beta + (-1)^k\alpha\wedge(\iota_X \beta ) $$ के लिए $$\alpha\in\Omega^k(M), \ \beta\in\Omega^l(M)$$ (लीबनिज नियम)


 * $$\alpha\in\Omega^1(M)$$ के लिए $$

\iota_X\alpha = \alpha(X) $$
 * $$f \in \Omega^0(M)$$ के लिए $$

\iota_X f = 0 $$
 * $$f \in \Omega^0(M)$$ के लिए $$

\iota_X(f\alpha) = f \iota_X\alpha $$

हॉज स्टार गुण

 * $$\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R}$$ के लिए $$

{\star}(\lambda_1\alpha + \lambda_2\beta) = \lambda_1({\star}\alpha) + \lambda_2({\star}\beta) $$ (रैखिकता)


 * $$\alpha\in \Omega^k(M)$$ के लिए $$

{\star}{\star}\alpha = s(-1)^{k(n-k)}\alpha $$, $$n=\dim(M)$$, और मापन का संकेत $$s = \operatorname{sign}(g)$$



{\star}^{(-1)} = s(-1)^{k(n-k)}{\star} $$ (व्युत्क्रम)


 * $$f\in\Omega^0(M)$$ के लिए $$

{\star}(f\alpha)=f({\star}\alpha) $$ ($$0$$-रूपों के साथ क्रमविनिमेय)


 * $$\alpha\in\Omega^1(M)$$ के लिए $$

\langle\!\langle\alpha,\alpha\rangle\!\rangle = \langle\!\langle{\star}\alpha,{\star}\alpha\rangle\!\rangle $$ (हॉज स्टार $$1$$-रूप मानदंड को संरक्षित रखता है)



{\star} \mathbf{1} = \mathbf{det} $$ (स्थिर फलन 1 का हॉज द्वैत आयतन रूप है)

सह-विभेदक संक्रियक गुण


\delta\circ\delta = 0 $$ (निलपोटेंट)



{\star}\delta=(-1)^kd{\star} $$ और $${\star} d = (-1)^{k+1}\delta{\star}$$ (हॉज $$d$$ से सम्बद्ध है)



\langle\!\langle d\alpha,\beta\rangle\!\rangle = \langle\!\langle \alpha,\delta\beta\rangle\!\rangle $$ यदि $$\partial M=0$$ ($$\delta$$ $$d$$ से सम्बद्ध है)


 * सामान्य रूप में, $$\int_M d\alpha \wedge \star \beta = \int_{\partial M} \alpha \wedge \star \beta + \int_M \alpha\wedge\star\delta\beta $$
 * $$f \in \Omega^0(M)$$ के लिए $$

\delta f = 0 $$

लाई व्युत्पन्न गुण


d\circ\mathcal{L}_X = \mathcal{L}_X\circ d $$ ($$d$$ के साथ क्रमविनिमेय)



\iota_X \circ\mathcal{L}_X = \mathcal{L}_X\circ \iota_X $$ ($$\iota_X$$ के साथ क्रमविनिमेय)



\mathcal{L}_X(\iota_Y\alpha) = \iota_{[X,Y]}\alpha + \iota_Y\mathcal{L}_X\alpha $$

\mathcal{L}_X(\alpha\wedge\beta) = (\mathcal{L}_X\alpha)\wedge\beta + \alpha\wedge(\mathcal{L}_X\beta) $$ (लीबनिज नियम) <!--

बाहरी कलन पहचान


\iota_X({\star}\mathbf{1}) = {\star} X^{\flat} $$

\iota_X({\star}\alpha) = (-1)^k{\star}(X^{\flat}\wedge\alpha) $$ अगर $$\alpha\in\Omega^k(M)$$

\iota_X(\phi^*\alpha)=\phi^*(\iota_{d\phi(X)}\alpha) $$

\nu,\mu\in\Omega^n(M), \mu \text{ non-zero } \ \Rightarrow \ \exist \ f\in\Omega^0(M): \ \nu=f\mu $$

X^{\flat}\wedge{\star} Y^{\flat} = g(X,Y)( {\star} \mathbf{1}) $$ (द्विरेखीय रूप)



[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]] = 0 $$ ( जैकोबी पहचान )

आयाम
अगर $$n=\dim M$$

\dim\Omega^k(M) = \binom{n}{k} $$ के लिए $$0\leq k\leq n$$

\dim\Omega^k(M) = 0 $$ के लिए $$k < 0, \ k > n$$ अगर $$X_1,\ldots,X_n\in \Gamma(TM)$$ एक आधार है, तो एक आधार है $$\Omega^k(M)$$ है



\{X_{\sigma(1)}^{\flat}\wedge\ldots\wedge X_{\sigma(k)}^{\flat} \ : \ \sigma\in S(k,n)\} $$

बाहरी उत्पाद
होने देना $$\alpha, \beta, \gamma,\alpha_i\in \Omega^1(M)$$ और $$X,Y,Z,X_i$$ वेक्टर फ़ील्ड बनें.



\alpha(X) = \det \begin{bmatrix} \alpha(X) \\ \end{bmatrix} $$

(\alpha\wedge\beta)(X,Y) = \det \begin{bmatrix} \alpha(X) & \alpha(Y) \\ \beta(X) & \beta(Y) \\ \end{bmatrix} $$

(\alpha\wedge\beta\wedge\gamma)(X,Y,Z) = \det \begin{bmatrix} \alpha(X) & \alpha(Y) & \alpha(Z) \\ \beta(X) & \beta(Y)  & \beta(Z) \\ \gamma(X) & \gamma(Y) & \gamma(Z) \end{bmatrix} $$

(\alpha_1\wedge\ldots\wedge\alpha_l)(X_1,\ldots,X_l) = \det \begin{bmatrix} \alpha_1(X_1) & \alpha_1(X_2) & \dots & \alpha_1(X_l) \\ \alpha_2(X_1) & \alpha_2(X_2) & \dots & \alpha_2(X_l) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_l(X_1) & \alpha_l(X_2) & \dots & \alpha_l(X_l) \end{bmatrix} $$

प्रक्षेपण और अस्वीकृति


(-1)^k\iota_X{\star}\alpha = {\star}(X^{\flat}\wedge\alpha) $$ (आंतरिक उत्पाद $$\iota_X{\star}$$ दोहरी से पच्चर $$X^{\flat}\wedge$$)



(\iota_X\alpha)\wedge{\star}\beta =\alpha\wedge{\star}(X^{\flat}\wedge\beta) $$ के लिए $$\alpha\in\Omega^{k+1}(M),\beta\in\Omega^k(M)$$ अगर $$|X|=1, \ \alpha\in\Omega^k(M)$$, तब


 * $$\iota_X\circ (X^{\flat}\wedge ):\Omega^k(M)\rightarrow\Omega^k(M)$$ का प्रक्षेपण है $$\alpha$$ के ऑर्थोगोनल पूरक पर $$X$$.
 * $$(X^{\flat}\wedge )\circ \iota_X:\Omega^k(M)\rightarrow\Omega^k(M)$$ की अस्वीकृति है $$\alpha$$, प्रक्षेपण का शेष भाग।
 * इस प्रकार $$ \iota_X \circ (X^{\flat}\wedge ) + (X^{\flat}\wedge)\circ\iota_X = \text{id} $$ (प्रक्षेपण-अस्वीकृति अपघटन)

सीमा दी गई है $$\partial M$$ यूनिट सामान्य वेक्टर के साथ $$N$$
 * $$\mathbf{t}:=\iota_N\circ (N^{\flat}\wedge )$$ सीमा के स्पर्शरेखीय घटक को निकालता है।
 * $$\mathbf{n}:=(\text{id}-\mathbf{t})$$ सीमा का सामान्य घटक निकालता है।

योग भाव


(d\alpha)(X_0,\ldots,X_k)=\sum_{0\leq j\leq k}(-1)^jd(\alpha(X_0,\ldots,\hat{X}_j,\ldots,X_k))(X_j) + \sum_{0\leq i < j\leq k}(-1)^{i+j}\alpha([X_i,X_j],X_0,\ldots,\hat{X}_i,\ldots,\hat{X}_j,\ldots,X_k) $$

(d\alpha)(X_1,\ldots,X_k) =\sum_{i=1}^k(-1)^{i+1}(\nabla_{X_i}\alpha)(X_1,\ldots,\hat{X}_i,\ldots,X_k) $$

(\delta\alpha)(X_1,\ldots,X_{k-1})=-\sum_{i=1}^n(\iota_{E_i}(\nabla_{E_i}\alpha))(X_1,\ldots,\hat{X}_i,\ldots,X_k) $$ को धनात्मक रूप से अभिविन्यस्त प्रसामान्य लांबिक संरचना$$E_1,\ldots,E_n$$ दिया गया है।



(\mathcal{L}_Y\alpha)(X_1,\ldots,X_k) =(\nabla_Y\alpha)(X_1,\ldots,X_k) - \sum_{i=1}^k\alpha(X_1,\ldots,\nabla_{X_i}Y,\ldots,X_k) $$

हॉज अपघटन
यदि $$\partial M =\empty$$, $$\omega\in\Omega^k(M) \Rightarrow \exists \alpha\in\Omega^{k-1}, \ \beta\in\Omega^{k+1}, \ \gamma\in\Omega^k(M), \ d\gamma=0, \ \delta\gamma = 0$$ जैसे कि



\omega = d\alpha + \delta\beta + \gamma $$

पोंकारे लेम्मा
इस प्रकार से यदि एक सीमाहीन मैनिफोल्ड $$M$$ में तुच्छ सह समरूपता $$H^k(M)=\{0\}$$ है, तो कोई भी संवृत $$\omega\in\Omega^k(M)$$ यथार्थ है। अतः यह स्थिति है यदि M अनुबंध योग्य समष्टि है।

यूक्लिडियन 3-समष्टि में समरूपता
मान लीजिए यूक्लिडियन मापन $$g(X,Y):=\langle X,Y\rangle = X\cdot Y$$।

अतः इस प्रकार से हम $$\alpha\in\Omega^1(M)$$ के लिए $$ \nabla = \left( {\partial \over \partial x}, {\partial \over \partial y}, {\partial \over \partial z} \right) $$ डेल $$\mathbb{R}^3$$

\iota_X\alpha = g(X,\alpha^{\sharp}) = X\cdot \alpha^{\sharp} $$ का उपयोग करते हैं।



\mathbf{det}(X,Y,Z)=\langle X,Y\times Z\rangle = \langle X\times Y,Z\rangle $$ (अदिश त्रिगुण गुणनफल)



X\times Y = ({\star}(X^{\flat}\wedge Y^{\flat}))^{\sharp} $$ (अनुप्रस्थ गुणनफल)



\iota_X\alpha=-(X\times A)^{\flat} $$ यदि $$\alpha\in\Omega^2(M),\ A=({\star}\alpha)^{\sharp}$$

X\cdot Y = {\star}(X^{\flat}\wedge {\star} Y^{\flat}) $$ (अदिश गुणनफल)



\nabla f=(df)^{\sharp} $$ (प्रवणता)



X\cdot\nabla f=df(X) $$ (दिशात्मक व्युत्पन्न)



\nabla\cdot X = {\star} d {\star} X^{\flat} = -\delta X^{\flat} $$ (विचलन)



\nabla\times X = ({\star} d X^{\flat})^{\sharp} $$ (कर्ल (गणित))



\langle X,N\rangle\sigma = {\star} X^\flat $$ जहाँ $$N$$, $$\partial M$$ का इकाई सामान्य सदिश है और $$\sigma=\iota_{N}\mathbf{det}$$, $$\partial M$$ पर क्षेत्र का रूप है।



\int_{\Sigma} d{\star} X^{\flat} = \int_{\partial\Sigma}{\star} X^{\flat} = \int_{\partial\Sigma}\langle X,N\rangle\sigma $$ (विचलन प्रमेय)

लाई व्युत्पन्न


\mathcal{L}_X f =X\cdot \nabla f $$ ($$0$$-रूप)



\mathcal{L}_X \alpha = (\nabla_X\alpha^{\sharp})^{\flat} +g(\alpha^{\sharp},\nabla X) $$ ($$1$$-रूप)



{\star}\mathcal{L}_X\beta = \left( \nabla_XB - \nabla_BX + (\text{div}X)B \right)^{\flat} $$ यदि $$B=({\star}\beta)^{\sharp}$$ ($$2$$-रूप $$3$$-मैनिफोल्ड पर)



{\star}\mathcal{L}_X\rho = dq(X)+(\text{div}X)q $$ यदि $$\rho={\star} q \in \Omega^0(M)$$ ($$n$$-रूप)



\mathcal{L}_X(\mathbf{det})=(\text{div}(X))\mathbf{det} $$