सममित समूह



सार बीजगणित में, किसी भी  समुच्चय (गणित)  पर परिभाषित सममित समूह वह समूह (गणित)  है जिनका  तत्व (गणित) समुच्चय से ही सभी द्विभाजन हैं, और जिसका  समूह संचालन  कार्य रचना है। विशेष रूप से, परिमित सममित समूह $$\mathrm{S}_n$$ के एक परिमित सेट  पर परिभाषित किया गया है $$n$$ प्रतीकों में क्रम परिवर्तन होते हैं जिन्हें  $$n$$ प्रतीकों पर प्रस्तुत किया जा सकता है। क्योंकि वहां हैं $$n!$$ ($$n$$ क्रमगुणित ) ऐसे क्रमचय संचालन, सममित समूह के  क्रम(समूह सिद्धांत) (तत्वों की संख्या)। $$\mathrm{S}_n$$ है $$n!$$.

यद्यपि सममित समूहों को अनंत सेटों पर परिभाषित किया जा सकता है, यह लेख परिमित सममित समूहों पर केंद्रित है: उनके अनुप्रयोग, उनके तत्व, उनके संयुग्मन वर्ग, एक सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत समूह, उनके उपसमूह, उनके ऑटोमोर्फिज़्म समूह और उनके  समूह प्रतिनिधित्व  सिद्धांत। इस लेख के शेष भाग के लिए, सममित समूह का अर्थ परिमित समुच्चय  पर एक सममित समूह होगा।

सममित समूह गणित के विविध क्षेत्रों जैसे गैलोज़ सिद्धांत, अपरिवर्तनीय सिद्धांत, झूठ समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत और संयोजी विज्ञान के लिए महत्वपूर्ण है। केली के प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक समूह $$G$$ सममित समूह के एक उपसमूह के लिए समरूपीय है ( अंतर्निहित सेट ) $$G$$

परिभाषा और प्रथम गुण
परिमित समुच्चय $$X$$ पर सममित समूह वह समूह है जिसके तत्व $$X$$ से $$X$$ तक सभी द्विभाजित कार्य हैं और जिसका समूह कार्य विधि प्रकार्य रचना का होता है परिमित सेटों के लिए, क्रमपरिवर्तन और द्विभाजित कार्य एक ही कार्य विधि को संदर्भित करते हैं, अर्थात् पुनर्व्यवस्था। उपाधि का सममित समूह $$n$$ सेट पर सममित समूह$$X = \{1, 2, \ldots, n\}$$.है।

नियत समुच्चय पर सममित समूह $$X$$ सहित विभिन्न तरीकों से दर्शाया गया है $$\mathrm{S}_X$$, $$\mathfrak{S}_X$$, $$\Sigma_X$$, $$X!$$, तथा $$\operatorname{Sym}(X)$$. यदि $$X$$ समुच्चय है $$\{1, 2, \ldots, n\}$$ तो नाम संक्षिप्त किया जा सकता है $$\mathrm{S}_n$$, $$\mathfrak{S}_n$$, $$\Sigma_n$$, या $$\operatorname{Sym}(n)$$.

अनंत समुच्चयों पर सममित समूह परिमित समुच्चयों पर सममित समूहों से काफी भिन्न व्यवहार करते हैं, और इनकी चर्चा में की जाती है, , तथा.

के एक समुच्चय पर सममित समूह $$n$$ तत्वों का क्रम है (समूह सिद्धांत) $$n!$$ (का भाज्य $$n$$). यह एबेलियन समूह  है यदि और केवल यदि $$n$$ 2 से कम या बराबर है।  $$n=0$$ तथा $$n=1$$( खाली सेट और  सिंगलटन सेट )के लिये, सममित समूह  तुच्छ समूह हैं (उनके पास अनुक्रम$$0! = 1! = 1$$ है). समूह Sn समाधेय है यदि और केवल यदि $$n \leq 4$$. यह एबल-रफिनी प्रमेय के प्रमाण का एक अनिवार्य हिस्सा है जो दर्शाता है कि प्रत्येक के लिए $$n > 4$$ डिग्री के बहुपद  हैं $$n$$ जो मूलांकों द्वारा हल करने योग्य नहीं हैं, अर्थात्, बहुपद के गुणांकों पर जोड़, घटाव, गुणा, भाग और मूल निष्कर्षण की परिमित संख्या में संक्रियाएँ करके समाधानों को व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

अनुप्रयोग
आकार n के एक सेट पर सममित समूह उपाधि n के सामान्य बहुपद का गैलोइस समूह है और गैलोइस सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। अपरिवर्तनीय सिद्धांत में, सममित समूह एक बहु-चर प्रकार्य के चर पर कार्य करता है, और अपरिवर्तनीय छोड़े गए कार्य तथाकथित सममित कार्य हैं। झूठ समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में, सममित समूह का प्रतिनिधित्व सिद्धांत  शुर प्रकार्यक के विचारों के माध्यम से एक मौलिक भूमिका निभाता है।

कॉक्सटेर समूहों के सिद्धांत में, सममित समूह A. प्रकार का कॉक्सटेर समूह हैn और  सामान्य रैखिक समूह के  वेइल समूह के रूप में होता है। साहचर्य में, सममित समूह, उनके तत्व (क्रमपरिवर्तन), और उनके समूह का प्रतिनिधित्व युवा झांकी,  प्लैक्टिक  एकाभ और ब्रुहट क्रम से जुड़ी समस्याओं का एक समृद्ध स्रोत प्रदान करता है। सममित समूहों के उपसमूहों को क्रमचय समूह कहा जाता है और व्यापक रूप से अध्ययन किया जाता है क्योंकि  समूह क्रिया (गणित), सजातीय रिक्त स्थान, और आरेख के स्वसमाकृतिकता समूह, जैसे कि हिगमैन-सिम्स समूह और हिगमैन-सिम्स आरेख को समझने में उनके महत्व के कारण व्यापक रूप से अध्ययन किया जाता है। ।

समूह गुण और विशेष तत्व
समुच्चय X पर सममित समूह के तत्व X के क्रमपरिवर्तन हैं।

गुणा
एक सममित समूह में समूह संचालन कार्य रचना है, जिसे प्रतीक ∘ या केवल क्रमपरिवर्तन की एक संरचना द्वारा दर्शाया गया है। रचना f ∘ g क्रमचयों की संख्या f और g, उच्चारण f का g, X के किसी भी तत्व x से f(g(x)) में मैप करता है। निश्चित रूप से, चलो (संकेतन की व्याख्या के लिए क्रमचय देखें):


 * $$ f = (1\ 3)(4\ 5)=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 2 & 1 & 5 & 4\end{pmatrix} $$
 * $$ g = (1\ 2\ 5)(3\ 4)=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 5 & 4 & 3 & 1\end{pmatrix}.$$

g मानचित्रों के बाद f को पहले 2 को 1 और फिर 2 को स्वयं पर लागू करना; 2 से 5 और फिर 4 तक; 3 से 4 और फिर 5 तक, और आगे इसी तरह। तो f और g की रचना करने से
 * $$ fg = f\circ g = (1\ 2\ 4)(3\ 5)=\begin{pmatrix} 1 & 2 &3 & 4 & 5 \\ 2 & 4 & 5 & 1 & 3\end{pmatrix}.$$

लंबाई का एक चक्र  L = k · m, kth घात तक ले जाने पर, m लंबाई के k चक्रों में विघटित हो जाएगा: उदाहरण के लिए, (k = 2, m = 3),
 * $$ (1~2~3~4~5~6)^2 = (1~3~5) (2~4~6).$$

समूह सूक्तियों का सत्यापन
यह जाँचने के लिए कि समुच्चय X पर सममित समूह वास्तव में एक समूह (गणित) है, समापन, साहचर्य, पहचान और व्युत्क्रम के समूह सूक्तियों को सत्यापित करना आवश्यक है।
 * प्रकार्य रचना का संचालन दिए गए समुच्चय X के क्रमपरिवर्तन के समुच्चय में बंद है।
 * प्रकार्य रचना हमेशा साहचर्य होती है।
 * 1) तुच्छ आपत्ति जो X के प्रत्येक तत्व को खुद को सौंपती है, समूह के लिए एक पहचान के रूप में कार्य करती है।
 * 2) प्रत्येक आक्षेप में एक व्युत्क्रम कार्य होता है जो इसकी क्रिया को पूर्ववत करता है, और इस प्रकार एक सममित समूह के प्रत्येक तत्व का व्युत्क्रम होता है जो एक क्रमचय भी है।

स्थानान्तरण, संकेत, और वैकल्पिक समूह
एक स्थानान्तरण एक क्रमचय है जो दो तत्वों का आदान-प्रदान करता है और अन्य सभी को स्थिर रखता है; उदाहरण के लिए (1 3) एक स्थानान्तरण है। प्रत्येक क्रमचय को स्थानान्तरण के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है; उदाहरण के लिए, ऊपर से क्रमचय g को g = (1 2)(2 5)(3 4) के रूप में लिखा जा सकता है। चूँकि g को विषम संख्या में प्रतिस्थापन के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए इसे सम और विषम क्रमपरिवर्तन  कहा जाता है, जबकि f सम क्रमपरिवर्तन है।

स्थानान्तरण के उत्पाद के रूप में क्रमचय का निरूपण अद्वितीय नहीं है; हालाँकि, किसी दिए गए क्रमचय का प्रतिनिधित्व करने के लिए आवश्यक परिवर्तनों की संख्या या तो हमेशा सम या हमेशा विषम होती है। क्रमचय की इस समता के भिन्नता के कई छोटे प्रमाण हैं।

दो सम क्रमपरिवर्तनों का गुणनफल सम है, दो विषम क्रमपरिवर्तनों का गुणनफल सम है, और अन्य सभी गुणनफल विषम हैं। इस प्रकार हम एक क्रमचय के चिह्न को परिभाषित कर सकते हैं:


 * $$\operatorname{sgn}f = \begin{cases} +1, & \text{if }f\mbox { is even} \\ -1, & \text{if }f \text{ is odd}. \end{cases}$$

इस परिभाषा के साथ,
 * $$\operatorname{sgn}\colon \mathrm{S}_n \rightarrow \{+1, -1\}\ $$

एक समूह समरूपता  है ({+1, -1} गुणा के तहत एक समूह है, +1 जहां e है,  तटस्थ तत्व  है)। इस समरूपता का अष्ठि(बीजगणित), यानी सभी क्रमपरिवर्तनों का सेट,  वैकल्पिक समूह  An.कहा जाता है यह Sn,का एक सामान्य उपसमूह है और n ≥ 2 के लिए n!/2 तत्व है। समूह Sn A. का अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद  हैn और किसी भी उपसमूह को एकल प्रतिस्थापन द्वारा उत्पन्न किया जाता है।

इसके अलावा, प्रत्येक क्रमचय को आसन्न प्रतिस्थापन के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है, अर्थात, फॉर्म आसन्न प्रतिस्थापन (a a+1)है। उदाहरण के लिए, ऊपर से क्रमचय g को इस रूप में भी लिखा जा सकता है g = (4 5)(3 4)(4 5)(1 2)(2 3)(3 4)(4 5). छँटाई कलन विधि असार वर्गीकरण इस तथ्य का एक अनुप्रयोग है। आसन्न स्थिति अंतरण के उत्पाद के रूप में क्रमपरिवर्तन का प्रतिनिधित्व भी अद्वितीय नहीं है।

साइकिल
लंबाई k का एक चक्रीय क्रमपरिवर्तन एक क्रमचय f है जिसके लिए {1, ..., n} में एक तत्व x मौजूद है जैसे कि x, f(x), f2(x), ..., fk(x) = x केवल ऐसे तत्व हैं जिन्हें f द्वारा स्थानांतरित किया गया है; यह आवश्यक है k ≥ 2 चूंकि साथ k = 1 तत्व x स्वयं भी स्थानांतरित नहीं होगा। क्रमचय एच द्वारा परिभाषित


 * $$h = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 1 & 3 & 5\end{pmatrix}$$

लंबाई तीन का एक चक्र है, क्योंकि h(1) = 4, h(4) = 3 तथा h(3) = 1, 2 और 5 को अछूता छोड़कर। हम ऐसे चक्र को निरूपित करते हैं (1 4 3), लेकिन यह समान रूप से अच्छी तरह से लिखा जा सकता है (4 3 1) या (3 1 4) एक अलग बिंदु से शुरू करने पर। एक चक्र का क्रम उसकी लंबाई के बराबर होता है। लंबाई दो के चक्र स्थानान्तरण हैं। दो चक्र असंयुक्त होते हैं यदि उनमें तत्वों के असंयुक्त उपसमुच्चय हों। असंबद्ध चक्र रूपान्तरित होते हैं: उदाहरण के लिए, S6 में समानता है (4 1 3)(2 5 6) = (2 5 6)(4 1 3). S n का हर तत्व असंयुक्त चक्रों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है; यह प्रतिनिधित्व कारकों के क्रम तक  अद्वितीय है, और प्रत्येक चक्र को उसके शुरुआती बिंदु को चुनकर प्रतिनिधित्व करने में मौजूद स्वतंत्रता है।

चक्र किसी भी क्रमपरिवर्तन के साथ निम्नलिखित संयुग्मन गुण स्वीकार करते हैं $$\sigma$$, इस संपत्ति का उपयोग अक्सर इसके सममित समूह जनक और संबंधों को प्राप्त करने के लिए किया जाता है।


 * $$\sigma\begin{pmatrix} a & b & c & \ldots \end{pmatrix}\sigma^{-1}=\begin{pmatrix}\sigma(a) & \sigma(b) & \sigma(c) & \ldots\end{pmatrix}$$

विशेष तत्व
{1, 2, ..., n} के सममित समूह के कुछ तत्व विशेष रुचि के हैं (इन्हें किसी भी परिमित पूरी तरह से आदेशित सेट के सममित समूह के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, लेकिन एक अनियंत्रित सेट के लिए नहीं)।

'द्वारा दिया गया है:
 * $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n\\

n & n-1 & \cdots & 1\end{pmatrix}.$$
 * यह ब्रुहत क्रम के संबंध में अद्वितीय अधिकतम तत्व है और सममित समूह में सबसे लंबा तत्व है, जो आसन्न परिवर्तनों से मिलकर सेट उत्पन्न करने के संबंध में है।

(i i+1), 1 ≤ i ≤ n − 1.

यह एक समावेशन है, और इसमें शामिल है $$\lfloor n/2 \rfloor$$ (गैर-आसन्न) स्थानान्तरण
 * $$(1\,n)(2\,n-1)\cdots,\text{ or }\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{n(n-1)}{2}\text{ adjacent transpositions: }$$
 * $$(n\,n-1)(n-1\,n-2)\cdots(2\,1)(n-1\,n-2)(n-2\,n-3)\cdots,$$

तो यह इस प्रकार संकेत है:


 * $$\mathrm{sgn}(\rho_n) = (-1)^{\lfloor n/2 \rfloor} =(-1)^{n(n-1)/2} = \begin{cases}

+1 & n \equiv 0,1 \pmod{4}\\ -1 & n \equiv 2,3 \pmod{4} \end{cases}$$ जो n में 4-आवधिक है।

S2n, में आदर्श फेरबदल वह क्रमपरिवर्तन है जो सेट को 2 ढेरों में विभाजित करता है और उन्हें अंतरापत्रित करता है। इसकी निशानी भी है $$(-1)^{\lfloor n/2 \rfloor}.$$ ध्यान दें कि n तत्वों पर रिवर्स और 2n तत्वों पर सही फेरबदल का एक ही चिह्न है; ये क्लिफोर्ड बीजगणित के वर्गीकरण के लिए महत्वपूर्ण हैं, जो 8-आवधिक हैं।

संयोग वर्ग
Sn की संयुग्मता कक्षाएं क्रमपरिवर्तन के अनुरूप चक्र प्रकार के क्रमपरिवर्तन; यानी Sn के दो तत्व Sn में संयुग्मी हैं यदि और केवल यदि वे समान लंबाई के समान संख्या में असंबद्ध चक्रों से मिलकर बने हों। उदाहरण के लिए, S5, में (1 2 3)(4 5) और (1 4 3)(2 5) संयुग्मित हैं; (1 23)(45) और (1 2)(45) नहीं हैं। Sn का एक संयुग्मी तत्व दो संयुग्मी क्रमपरिवर्तनों के चक्र अंकन को एक दूसरे के ऊपर रखकर दो पंक्ति संकेतन में निर्मित किया जा सकता है। पिछले उदाहरण को जारी रखते हुए, $$k = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 4 & 3 & 2 & 5\end{pmatrix},$$ जिसे चक्रों के गुणनफल के रूप में (2 4) लिखा जा सकता है। यह क्रमपरिवर्तन तब (1 2 3)(4 5) और (1 4 3)(2 5) को संयुग्मन के माध्यम से संबंधित करता है, अर्थात, $$(2~4)\circ(1~2~3)(4~5)\circ(2~4)=(1~4~3)(2~5).$$ यह स्पष्ट है कि ऐसा क्रमचय अद्वितीय नहीं है।

$$S_n$$ की संयुग्मी कक्षाओं के पूर्णांक विभाजन  के अनुरूप है $$n$$: विभाजन के लिए $$\mu=(\mu_1,\mu_2,\dots, \mu_k)$$ साथ $$n=\sum_{i=1}^k \mu_i$$ तथा $$\mu_1\geq \mu_2\geq \cdots \geq \mu_k$$, सेट से जुड़ा हुआ है $$C_\mu$$ लंबाई के चक्र के साथ क्रमचय का $$\mu_1,\mu_2,\dots, \mu_k$$. फिर $$C_\mu$$ का संयुग्मी वर्ग है $$S_n$$, जिनके तत्व चक्र-प्रकार के $$\mu$$.कहे जाते हैं।

कम डिग्री समूह
निम्न-डिग्री सममित समूहों में सरल और असाधारण संरचना होती है, और अक्सर उन्हें अलग से व्यवहार किया जाना चाहिए।


 * S0 और S1: खाली समूह और एकाकी वस्तु समूह पर सममित समूह तुच्छ हैं, जो इससे मेल खाता है $0! = 1! = 1$. इस मामले में वैकल्पिक समूह इंडेक्स 2 उपसमूह होने के बजाय सममित समूह से सहमत है, और प्रतीक मानचित्र तुच्छ है। S0, के मामले में इसका एकमात्र सदस्य खाली प्रकार्य है।


 * S2: इस समूह में वास्तव में दो तत्व होते हैं: अस्मिता और क्रमचय दो बिंदुओं का गमागमन। यह एक चक्रीय समूह  है और इस प्रकार एबेलियन समूह है। गैलोज़ सिद्धांत में, यह इस तथ्य से मेल खाता है कि  द्विघात सूत्र  केवल एक जड़ निकालने के बाद सामान्य  द्विघात बहुपद  का सीधा समाधान देता है। अपरिवर्तनीय सिद्धांत में, दो बिंदुओं पर सममित समूह का प्रतिनिधित्व सिद्धांत काफी सरल है और इसके सममित और विरोधी सममित भागों के योग के रूप में दो चरों के एक कृत्य को लिखने के रूप में देखा जाता है: स्थापना $f_{s}(x, y) = f(x, y) + f(y, x)$, तथा $f_{a}(x, y) = f(x, y) − f(y, x)$, वह मिलता है $2⋅f = f_{s} + f_{a}$. इस प्रक्रिया को सममितीकरण के रूप में जाना जाता है।


 * S3: S3 पहला गैर-अबेलियन सममित समूह है। यह समूह क्रम 6 के द्वितल समूह के लिए समरूपी है, एक समबाहु त्रिभुज के प्रतिबिंब और घूर्णन समरूपता का समूह क्योंकि ये समरूपता त्रिभुज के तीन कोने को पार करती है। लंबाई दो के चक्र प्रतिबिंबों के अनुरूप होते हैं, और लंबाई तीन के चक्र वर्तन होते हैं। गाल्वा सिद्धांत में, साइन मैप S3 से S2     के लिए जेरोम कार्डानो  द्वारा खोजे गए  घन बहुपद  के लिए हल करने वाले द्विघात के अनुरूप है, जबकि A3 अष्ठि  लैग्रेंज विलायक  के रूप में समाधान में क्रम 3 के  असतत फूरियर रूपांतरण  के उपयोग से मेल खाता है।
 * S4: S4 घनक्षेत्र के विपरीत चेहरों, विपरीत विकर्णों और विपरीत किनारों 9, 8 और 6 क्रमपरिवर्तन के बारे में उचित घुमावों के समूह के लिए समरूप है। समूह से परे वैकल्पिक समूह A4, S4 एक उचित सामान्य उपसमूह के रूप में क्लेन चार-समूह V है, अर्थात् सम स्थानान्तरण ${(1), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)},$ भागफल S 3 के साथ गैलोइस सिद्धांत में, यह नक्शा चतुर्थक बहुपद के हल करने वाले घनाकार से मेल खाता है, जो  लोदोविको फेरारी  द्वारा स्थापित मौलिक द्वारा चतुर्थक को हल करने की अनुमति देता है। क्लेन समूह को चतुर्थक के लैग्रेंज विलायकों के संदर्भ में समझा जा सकता है। नक्शा S4 S3 के लिए एक 2-आयामी अलघुकरणीय  प्रतिनिधित्व भी प्राप्त करता है, जो नीचे आयाम के डिग्री n के सममित समूह का एक अलघुकरणीय   प्रतिनिधित्व है $n − 1$, जो केवल $n = 4$ के लिए घटित होता है।


 * S5: S5 पहला अघुलनशील सममित समूह है। विशेष रेखीय समूह के साथ $SL(2, 5)$ और  विंशफलकी समूह  $A_{5} × S_{2}$, S5 समरूपता तक क्रम 120 के तीन गैर-समाधानीय समूहों में से एक है। S5 सामान्य क्विंटिक समीकरण का गाल्वा समूह है, और तथ्य यह है कि S5 एक समाधेय करने योग्य समूह नहीं है, रेडिकल्स द्वारा  क्विंटिक बहुपद  को हल करने के लिए एक सामान्य सूत्र के गैर-अस्तित्व में अनुवाद करता है। एक विदेशी समावेशन मानचित्र है $S_{5} → S_{6}$   सकर्मक क्रिया उपसमूह के रूप में; स्पष्ट समावेशन मानचित्र $S_{n} → S_{n+1}$ एक बिंदु तय करता है और इस प्रकार संक्रमणीय नहीं है। इससे S6 का बाह्य स्वरूपता उत्पन्न होता है नीचे चर्चा की गई है, और क्विंटिक के विलायक पदार्थ सेक्स्टिक से मेल खाती है।


 * S6: अन्य सभी सममित समूहों के विपरीत, S6, एक बाहरी स्वसमाकृतिकता है। गैलोज़ सिद्धांत की भाषा का प्रयोग करते हुए इसे लैग्रेंज विलायकों के संदर्भ में भी समझा जा सकता है। क्विंटिक का विलायक पदार्थ डिग्री 6 का है- यह एक विदेशी समावेशन मानचित्र से मेल खाता है $S_{5} → S_{6}$ एक सकर्मक उपसमूह के रूप में (स्पष्ट समावेशन मानचित्र $S_{n} → S_{n+1}$ एक बिंदु को ठीक करता है और इस प्रकार संक्रमणीय नहीं है) और, जबकि यह नक्शा सामान्य क्विंटिक को हल करने योग्य नहीं बनाता है, यह S 6 के विदेशी बाहरी स्वसमाकृतिकता उत्पन्न करता है विवरण के लिए सममित और वैकल्पिक समूहों के स्वसमाकृतिकता  देखें।


 * ध्यान दें कि जबकि A6 और A7 एक असाधारण शूर गुणक  (तिहरे आवरण) है और ये S6  और S7, के तिहरे आवरण तक फैले हुए हैं ये सममित समूह के असाधारण शूर गुणक के अनुरूप नहीं हैं।

सममित समूहों के बीच मानचित्र
तुच्छ मानचित्र के अलावा $S_{n} → C_{1} ≅ S_{0} ≅ S_{1}$ और प्रतीक मानचित्र $S_{n} → S_{2}$, सापेक्ष आयाम  के क्रममें सममित समूहों के बीच सबसे उल्लेखनीय समरूपताएं हैं: कई अन्य समरूपताएं भी हैं $S_{4} → S_{3}$ जहाँ $V < A_{4} < S_{4}$. है।
 * $S_{6} → S_{6}$ असाधारण सामान्य उपसमूह के अनुरूप $S_{5} → S_{6}$;
 * $S_{m} → S_{n}$ (या वस्तुत, आंतरिक स्वसमाकृतिकता तक ऐसे नक्शों का एक वर्ग) S6. के बाहरी स्वसमाकृतिकता अनुरूप
 * $m < n$ एक सकर्मक उपसमूह के रूप में, S6 के बाहरी स्वसमाकृतिकता की उपज जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है।

वैकल्पिक समूह के साथ संबंध
n ≥ 5 के लिये वैकल्पिक समूह An सरल समूह है, और प्रेरित भागफल प्रतिक मानचित्र है: An → Sn → S2 जिसे दो तत्वों का स्थानान्तरण करके विभाजित किया जाता है। इस प्रकार Sn अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है An ⋊ S2, और कोई अन्य उचित प्रसामान्य उपसमूह नहीं है, क्योंकि वे An को प्रतिच्छेद करेंगे या तो पहचान में (और इस प्रकार स्वयं पहचान या 2-तत्व समूह, जो सामान्य नहीं है), या An में (और इस प्रकार स्वयं n या Sn).

Sn इसके उपसमूह A पर कार्य करता हैn संयुग्मन द्वारा, और के लिए n ≠ 6, Sn An: का पूर्ण स्वरूपता समूह है या (An) ≅ Sn. सम तत्वों द्वारा संयुग्मन An के आंतरिक स्वसमाकृतिकता हैं जबकि An का बाहरी स्वाकारीकरण क्रम 2 का एक विषम तत्व द्वारा संयुग्मन से मेल खाता है। n = 6 के लिये An के सममित और वैकल्पिक समूह असाधारण बाहरी स्वसमाकृतिकता का एक स्वसमाकृतिकता है तो Sn An का पूर्ण स्वरूपता समूह नहीं है।

इसके विपरीत, के लिए n ≠ 6, Sn कोई बाहरी स्वसमाकृतिकता नहीं है, और के लिए n ≠ 2 इसका कोई केंद्र नहीं है, इसलिए n ≠ 2, 6 यह एक पूर्ण समूह है, जैसा कि नीचे स्वसमाकृतिकता समूह में चर्चा की गई है।

n ≥ 5,के लिये Sn लगभग एक साधारण समूह है, क्योंकि यह साधारण समूह An और इसके स्वसमाकृतिकता के समूह के बीच स्थित है ।

Sn A में एम्बेड किया जा सकता हैn+2 स्थानान्तरण को जोड़कर (n + 1, n + 2) A में सन्निहित करते समय, सभी विषम क्रमपरिवर्तनों के लिएn+1 के लिए असम्भव है n > 1.

जेनरेटर और संबंध
सममित समूह पर $n$ अक्षर आसन्न स्थिति अंतरण द्वारा उत्पन्न होते हैं $$ \sigma_i = (i, i + 1)$$ वह $i$ तथा $i + 1$ का अंतर्गमागम करता है संग्रह $$\sigma_1, \ldots, \sigma_{n-1}$$ उत्पन्न करता है $S_{n}$ निम्नलिखित संबंधों के अधीन: जहां 1 पहचान क्रमपरिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। यह प्रतिनिधित्व सममित समूह को एक कॉक्सेटर समुच्चय समूह (और इसी तरह एक प्रतिबिंब समूह ) की संरचना के साथ संपन्न करता है।
 * $$\sigma_i^2 = 1,$$
 * $$\sigma_i\sigma_j = \sigma_j\sigma_i$$ के लिये $$|i-j| > 1$$, तथा
 * $$(\sigma_i\sigma_{i+1})^3 =1,$$

्य संभावित उत्पादक समूह में स्थिति अंतरण का समुच्चय शामिल होता है जो अंतर्गमागम करता है $1$ तथा $i$ के लिये $2 ≤ i ≤ n$, और एक समुच्चय जिसमें कोई भी हो $n$-चक्र और A $2$ में आसन्न तत्वों का चक्र $n$-चक्र।

उपसमूह संरचना
सममित समूह के एक उपसमूह को क्रमपरिवर्तन समूह कहा जाता है।

सामान्य उपसमूह
परिमित सममित समूहों के सामान्य उपसमूहों को अच्छी तरह से समझा जाता है। यदि n ≤ 2, Sn इसमें अधिकतम 2 तत्व होते हैं, और इसलिए कोई गैर-तुच्छ उचित उपसमूह नहीं है। डिग्री n का प्रत्यावर्ती समूह हमेशा एक सामान्य उपसमूह होता है, जो n ≥ 2 के लिए उपयुक्त होता है और गैर तुच्छ के लिए n ≥ 3; n ≥ 3 के लिये यह वास्तव में S का एकमात्र गैर-तुच्छ उचित सामान्य उपसमूह हैn, सिवाय कब n = 4 जहां एक अतिरिक्त ऐसा सामान्य उपसमूह है, जो  क्लेन चार समूह  के लिए समरूप है।

एक अनंत समुच्चय पर सममित समूह में अनुक्रमणिका 2 का उपसमूह नहीं होता है, जैसा कि विटाली (1915) ) ने सिद्ध किया कि प्रत्येक क्रमचय को तीन वर्गों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। हालाँकि इसमें क्रमपरिवर्तन के सामान्य उपसमूह S शामिल हैं जो सभी तत्वों को ठीक करते हैं, लेकिन कई तत्वों को ठीक करते हैं, जो स्थिति अंतरण द्वारा उत्पन्न होते हैं। S के वे तत्व जो एक समान संख्या में स्थिति अंतरण के उत्पाद हैं, S में अनुक्रमणिका 2 का एक उपसमूह बनाते हैं, जिसे वैकल्पिक उपसमूह A कहा जाता है। चूँकि A, S का एक विशिष्ट उपसमूह भी है, यह पूर्ण सममित समूह का अनंत समुच्चय एक सामान्य उपसमूह भी है । समूह A और S एक गणनात्मक अनंत सेट पर सममित समूह के एकमात्र गैर-तुच्छ उचित सामान्य उपसमूह हैं। यह पहली बार लुइगी_ओनोफ्री (1929 ) ने प्रमाणित की और स्वतंत्र रूप से श्रेयर-उलम(1934 )ने। अधिक विवरण के लिए देखें  या.

अधिकतम उपसमूह
Sn के अधिकतम उपसमूह तीन वर्गों में आते हैं: अकर्मक, आदिम और आदिम। अकर्मक अधिकतम उपसमूह ठीक उसी रूप के होते हैं Sk × Sn–k के लिये 1 ≤ k < n/2. अभेद्य अधिक से अधिक उपसमूह ठीक उसी रूप के होते हैं Sk wr Sn/k, कहाँ पे 2 ≤ k ≤ n/2 n का एक उचित भाजक है और wr पुष्पांजलि उत्पाद  को दर्शाता है। आदिम अधिकतम उपसमूहों की पहचान करना अधिक कठिन है, लेकिन ओ'नैन-स्कॉट प्रमेय और परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण की सहायता से,  इस प्रकार के अधिकतम उपसमूहों का काफी संतोषजनक विवरण दिया, के अनुसार.

सिलो उपसमूह
सममित समूहों के सिलो उपसमूह p-समूहों के महत्वपूर्ण उदाहरण हैं। उन्हें पहले विशेष मामलों में अधिक आसानी से वर्णित किया गया है:

डिग्री p के सममित समूह के सिलो p-उपसमूह p-चक्रों द्वारा उत्पन्न चक्रीय उपसमूह हैं। वहाँ हैं $(p − 1)!/(p − 1) = (p − 2)!$ इस तरह के उपसमूह केवल जनित्र की गिनती करके। सामान्यकर्ता के पास अनुक्रम है $p⋅(p − 1)$ और एक फ्रोबेनियस समूह  के रूप में जाना जाता है $F_{p(p−1)}$ (खासकर $p = 5$), और  आफाइन सामान्य रैखिक समूह है, $AGL(1, p)$.

अंशक P के सममित समूह के साइलो p-उपसमूह2 ऑर्डर P p2 चक्रीय समूहों के वलयित उत्पाद हैं। उदाहरण के लिए, जब $p = 3$, Sym(9) का एक सिलो 3-उपसमूह किसके द्वारा उत्पन्न होता है $a = (1 4 7)(2 5 8)(3 6 9)$ और तत्व $x = (1 2 3), y = (4 5 6), z = (7 8 9)$, और साइलो 3-उपसमूह के प्रत्येक तत्व का रूप है $a^{i}x^{j}y^{k}z^{l}$ के लिये $0 \le i,j,k,l \le 2$.

डिग्री पी के सममित समूह के सिलो p-उपसमूहn को कभी-कभी W से दर्शाया जाता हैp(n), और इस अंकन का उपयोग करके किसी के पास वह है $W_{p}(n + 1)$ W का पुष्पांजलि उत्पाद हैp(n) और Wp(1)।

सामान्य तौर पर, डिग्री n के सममित समूह के साइलो p-उपसमूह a. का प्रत्यक्ष उत्पाद हैंi W की प्रतियांp( जहाँ $0 ≤ a_{i} ≤ p − 1$ तथा $n = a_{0} + p⋅a_{1} + ... + p^{k}⋅a_{k}$ (n का आधार p विस्तार)।

उदाहरण के लिए, $W_{2}(1) = C_{2} and W_{2}(2) = D_{8}$, ऑर्डर 8 का द्वितल समूह, और इसलिए डिग्री 7 के सममित समूह का एक साइलो 2-उपसमूह किसके द्वारा उत्पन्न होता है ${ (1,3)(2,4), (1,2), (3,4), (5,6) }$ और समरूपी है $D_{8} × C_{2}$.

इन गणनाओं को जिम्मेदार ठहराया जाता है में और अधिक विस्तार से वर्णित है. हालांकि ध्यान दें परिणाम को  ऑगस्टिन-लुई कॉची  के 1844 के काम के लिए जिम्मेदार ठहराते हैं, और उल्लेख करते हैं कि इसे पाठ्यपुस्तक के रूप में भी शामिल किया गया है.

 सकर्मक उपसमूह
Sn का एक सकर्मक उपसमूह एक उपसमूह है जिसकी क्रिया {1, 2, ,..., n} पर सकर्मक क्रिया  है। उदाहरण के लिए, एक ( परिमित विस्तार ) गैलोइस विस्तार का गैलोइस समूह S n का एक संक्रमणीय उपसमूह है कुछ n के लिए।

केली की प्रमेय
केली के प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक समूह G कुछ सममित समूह के उपसमूह के लिए समरूप है। विशेष रूप से, कोई G के तत्वों पर सममित समूह का एक उपसमूह ले सकता है, क्योंकि प्रत्येक समूह (बाएं या दाएं) गुणन द्वारा स्वयं पर विश्वासपूर्वक कार्य करता है।

चक्रीय उपसमूह
चक्रीय समूह वे होते हैं जो एकल क्रमचय द्वारा उत्पन्न होते हैं। जब चक्र अंकन में एक क्रमचय का प्रतिनिधित्व किया जाता है, तो चक्रीय उपसमूह का क्रम जो इसे उत्पन्न करता है, वह इसके चक्रों की लंबाई का न्यूनतम सामान्य गुणक होता है। उदाहरण के लिए, S$5$, में क्रम 5 का एक चक्रीय उपसमूह (13254) द्वारा उत्पन्न होता है, जबकि S$5$ का सबसे बड़ा चक्रीय उपसमूह (123) (45) जैसे तत्वों द्वारा उत्पन्न होते हैं जिनकी लंबाई 3 का एक चक्र और लंबाई 2 का दूसरा चक्र होता है। यह किसी दिए गए आकार के सममित समूहों के संभावित उपसमूहों के रूप में कई समूहों को नियंत्रित करता है। उदाहरण के लिए$5$ क्रम 15 का कोई उपसमूह नहीं है (S$5$), क्योंकि क्रम 15 का एकमात्र समूह चक्रीय समूह है। एक चक्रीय उपसमूह का सबसे बड़ा संभव क्रम (समतुल्य, S में एक तत्व का सबसे बड़ा संभव क्रम$n$) लैंडौ के कार्य द्वारा दिया गया है।

स्वसमाकृतिकता समूह
n ≠ 2, 6,के लिये Sn एक पूर्ण समूह है: इसका केंद्र (समूह सिद्धांत)  और बाहरी स्वसमाकृतिकता समूह दोनों तुच्छ हैं।

n = 2, समूह तुच्छ है, लेकिन S2 तुच्छ नहीं है: यह C. के लिए समरूपी है2, जो आबेली है, और इसलिए केंद्र संपूर्ण समूह है।

के लिये n = 6, इसमें क्रम 2 का बाह्य स्वरूपता है: Out(S6) = C2, और स्वसमाकृतिकता समूह एक अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है Aut(S6) = S6 ⋊ C2.

वास्तव में, 6 के अलावा अन्य कार्डिनैलिटी के किसी भी सेट x के लिए, एक्सपर सममित समूह का प्रत्येक स्वसमाकृतिकता आंतरिक है, जिसके परिणामस्वरूप पहले परिणाम होता है  के अनुसार.

सजातीय
Sn का समूह सजातीय काफी नियमित और स्थिर है: पहला सजातीय (ठोस रूप से,  अबेलियनाइजेशन ) है:


 * $$H_1(\mathrm{S}_n,\mathbf{Z}) = \begin{cases} 0 & n < 2\\

\mathbf{Z}/2 & n \geq 2.\end{cases}$$ पहला सजातीय ग्रुप एबेलियनाइजेशन है, और चिह्न मानचित्र S से मेल खाता हैn → S2 जो n ≥ 2 के लिए अपभ्रंश है; n <2 के लिए सममित समूह तुच्छ है। इस सजातीय की गणना आसानी से इस प्रकार की जाती है: Sn प्रत्यावर्तन (2-चक्र, जिनके क्रम 2 हैं) द्वारा उत्पन्न होता है, इसलिए केवल गैर-तुच्छ मानचित्र Sn → Cp S2 के लिए हैं और सभी समावेशन संयुग्मित हैं, इसलिए अबेलियनकरण में एक ही तत्व के लिए मानचित्रण करें (चूंकि संयुग्मन एबेलियन समूहों में तुच्छ है)। इस प्रकार एकमात्र संभव मानचित्र Sn → S2 ≅ {±1} 1 (तुच्छ नक्शा) या -1 ( प्रतीक मानचित्र) पर एक आमंत्रण भेजें। किसी को यह भी दिखाना चाहिए कि चिह्न मानचित्र अच्छी तरह से परिभाषित है, लेकिन यह मानते हुए, यह S n का पहला सजातीय देता है

दूसरा गृहविज्ञान (वस्तुतः शूर गुणक) है:
 * $$H_2(\mathrm{S}_n,\mathbf{Z}) = \begin{cases} 0 & n < 4\\

\mathbf{Z}/2 & n \geq 4.\end{cases}$$ यह गणना  में की गई थी, और वैकल्पिक और सममित समूहों के  समुपयोग समूहों से मेल खाती है, 2 · Sn.

ध्यान दें कि वैकल्पिक समूह की असाधारण वस्तु  निम्न-आयामी समरूपता ($$H_1(\mathrm{A}_3)\cong H_1(\mathrm{A}_4) \cong \mathrm{C}_3,$$ गैर-तुच्छ अवहेलना के अनुरूप, और $$H_2(\mathrm{A}_6)\cong H_2(\mathrm{A}_7) \cong \mathrm{C}_6,$$ असाधारण 3-गुना आवरण के कारण) सममित समूह की समरूपता को नहीं बदलता है; प्रत्यावर्ती समूह परिघटनाएँ सममित समूह परिघटनाएँ उत्पन्न करती हैं - मानचित्र $$\mathrm{A}_4 \twoheadrightarrow \mathrm{C}_3$$ बढ़ा के $$\mathrm{S}_4 \twoheadrightarrow \mathrm{S}_3,$$ और - A6 और A7 के ट्रिपल कवर S6 और S7 के ट्रिपल कवर तक विस्तारित होते हैं - लेकिन ये अनुरूपता नहीं हैं $$\mathrm{S}_4 \twoheadrightarrow \mathrm{S}_3$$ S के एबेलियनाइजेशन को नहीं बदलता है4, और ट्रिपल कवर या तो समरूपता के अनुरूप नहीं हैं।

समरूपता स्थिर समरूप सिद्धांत के अर्थ में स्थिर होती है: एक समावेशन मानचित्र है Sn → Sn+1, और निश्चित k के लिए, होमोलॉजी पर प्रेरित मानचित्र Hk(Sn) → Hk(Sn+1) पर्याप्त रूप से उच्च n के लिए एक समरूपता है। यह लेट समूहों को स्थिर करने वाले परिवारों की समरूपता के अनुरूप है।

अनंत सममित समूह की समरूपता की गणना की जाती है, कोहोलॉजी बीजगणित के साथ एक हॉफ बीजगणित बनाता है।

प्रतिनिधित्व सिद्धांत
सममित समूह का प्रतिनिधित्व सिद्धांत परिमित समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत का एक विशेष मामला है, जिसके लिए एक ठोस और विस्तृत सिद्धांत प्राप्त किया जा सकता है। इसमें कई समरूप कड़ों के लिए सममित कार्य सिद्धांत से लेकर क्वांटम यांत्रिकी  की समस्याओं तक संभावित अनुप्रयोगों का एक बड़ा क्षेत्र है।

सममित समूह Sn आदेश n ! है। इसके संयुग्मन वर्गों को n के पूर्णांक विभाजन द्वारा वर्गीकरण किया जाता है। इसलिए, एक परिमित समूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के अनुसार, जटिल संख्या पर असमान अभ्यावेदन की संख्या, n के विभाजन की संख्या के बराबर है। परिमित समूहों के लिए सामान्य स्थिति के विपरीत, वास्तव में एक ही समुच्चय द्वारा अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व को प्राचलीकरण करने का एक प्राकृतिक तरीका है, जो कि संयुग्मी वर्गों को प्राचलीकरण  करता है, अर्थात् n के विभाजन या समान रूप से आकार n के  युवा आरेख ।

इस तरह के प्रत्येक अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व को पूर्णांकों पर महसूस किया जा सकता है (पूर्णांक गुणांक वाले मैट्रिक्स द्वारा अभिनय करने वाला प्रत्येक क्रमपरिवर्तन); यह स्पष्ट रूप से युवा आरेख द्वारा दी गई आकार की युवा झांकी द्वारा उत्पन्न स्थान पर अभिनय करने वाले  युवा सममिति  की गणना करके स्पष्ट रूप से निर्मित किया जा सकता है।

अन्य क्षेत्रों (गणित) की तुलना में स्थिति और अधिक जटिल हो सकती है। यदि क्षेत्र K में शून्य के बराबर या n से अधिक विशेषता (बीजगणित)  है, तो मास्के के प्रमेय के अनुसार समूह वलय KSn अर्धसरल है। इन मामलों में पूर्णांकों पर परिभाषित अलघुकरणीय अभ्यावेदन अलघुकरणीय निरूपणों का पूरा सेट देते हैं (यदि आवश्यक हो तो विशेषताओं को कम करने के बाद)।

हालाँकि, सममित समूह के अलघुकरणीय अभ्यावेदन मनमाना विशेषता में ज्ञात नहीं हैं। इस संदर्भ में प्रतिनिधित्व के बजाय अनुखंड (गणित) की भाषा का उपयोग करना अधिक सामान्य है। मॉडुलो को कम करके पूर्णांकों पर परिभाषित एक अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व से प्राप्त प्रतिनिधित्व सामान्य रूप से अप्रासंगिक नहीं होगा। इस तरह से बनाए गए मापदंड को  कठफोड़वा अनुखंड  कहा जाता है, और ऐसे मापदंड के अंदर हर अलघुकरणीय उत्पन्न होता है। अब बहुत कम अलघुकरणीय  हैं, और हालांकि उन्हें वर्गीकृत किया जा सकता है लेकिन उन्हें बहुत कम समझा जाता है। उदाहरण के लिए, यहां तक ​​कि उनके आयाम  सामान्य रूप से ज्ञात नहीं हैं।

एक मनमाना क्षेत्र पर सममित समूह के लिए अलघुकरणीय मॉड्यूल का निर्धारण व्यापक रूप से प्रतिनिधित्व सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण खुली समस्याओं में से एक माना जाता है।

यह भी देखें

 * चोटी समूह
 * समूह सिद्धांत का इतिहास
 * हस्ताक्षरित सममित समूह और  सामान्यीकृत सममित समूह
 * सममित प्रतिलोम अर्धसमूह
 * सममित शक्ति
 * सममित शक्ति

संदर्भ




बाहरी संबंध

 * Marcus du Sautoy: Symmetry, reality's riddle (video of a talk)
 * OEIS Entries dealing with the Symmetric Group
 * Marcus du Sautoy: Symmetry, reality's riddle (video of a talk)
 * OEIS Entries dealing with the Symmetric Group
 * OEIS Entries dealing with the Symmetric Group