वैन कम्पेन आरेख

ज्यामितीय समूह सिद्धांत के गणित क्षेत्र में, एक वान कम्पेन आरेख (कभी-कभी इसे लिंडन-वान कम्पेन आरेख भी कहा जाता है)  ) एक प्लानर आरेख है जो इस तथ्य का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रयोग किया जाता है कि समूह प्रस्तुति द्वारा दिए गए समूह (गणित) के समूह के उत्पन्न सेट में एक विशेष शब्द (समूह सिद्धांत) उस समूह में पहचान तत्व का प्रतिनिधित्व करता है।

इतिहास
1933 में एगबर्ट वैन कम्पेन द्वारा वैन कम्पेन आरेख की धारणा पेश की गई थी। यह पेपर अमेरिकन जर्नल ऑफ मैथमेटिक्स के उसी अंक में वैन कम्पेन के एक अन्य पेपर के रूप में दिखाई दिया, जहां उन्होंने साबित किया कि अब सीफर्ट-वैन कैम्पेन प्रमेय के रूप में जाना जाता है। वान कम्पेन आरेखों पर पेपर का मुख्य परिणाम, जिसे अब वैन कम्पेन लेम्मा के रूप में जाना जाता है, को सेफ़र्ट-वैन कैम्पेन प्रमेय से बाद में एक समूह के प्रस्तुति परिसर में लागू करके प्राप्त किया जा सकता है। हालाँकि, वैन कम्पेन ने उस समय इस पर ध्यान नहीं दिया और यह तथ्य केवल बहुत बाद में स्पष्ट किया गया (देखें, उदा। ). 1960 के दशक में छोटे रद्दीकरण सिद्धांत के आगमन तक वैन कम्पेन आरेख समूह सिद्धांत में लगभग तीस वर्षों तक एक कम उपयोग किया जाने वाला उपकरण बना रहा, जहाँ वैन कम्पेन आरेख एक केंद्रीय भूमिका निभाते हैं। वर्तमान में वैन कम्पेन आरेख ज्यामितीय समूह सिद्धांत में एक मानक उपकरण हैं। उनका उपयोग, विशेष रूप से, समूहों में आइसोपेरिमेट्रिक कार्यों के अध्ययन के लिए किया जाता है, और उनके विभिन्न सामान्यीकरण जैसे कि आइसोडायमेट्रिक फ़ंक्शंस, लंबाई कार्यों को भरना, और इसी तरह।

औपचारिक परिभाषा
नीचे दी गई परिभाषाएँ और संकेतन काफी हद तक लिंडन और शूप का अनुसरण करते हैं। होने देना
 * $$G=\langle A | R\, \rangle$$(†)

एक समूह प्रस्तुति हो जहां सभी r∈R मुक्त समूह F(A) में चक्रीय रूप से कम किए गए शब्द हैं। वर्णमाला A और परिभाषित संबंधों के समुच्चय को अक्सर परिमित माना जाता है, जो एक परिमित समूह प्रस्तुति से मेल खाता है, लेकिन वैन कम्पेन आरेख की सामान्य परिभाषा के लिए यह धारणा आवश्यक नहीं है। आर∗ R का सममित समापन हो, अर्थात R को छोड़ दें∗ R के तत्वों और उनके व्युत्क्रमों के सभी चक्रीय क्रमपरिवर्तनों को जोड़कर R से प्राप्त किया जा सकता है।

प्रस्तुति पर एक वैन कम्पेन आरेख (†) एक प्लानर परिमित कोशिका परिसर है $$\mathcal D\,$$, एक विशिष्ट एम्बेडिंग के साथ दिया गया $$\mathcal D\subseteq \mathbb R^2\,$$ निम्नलिखित अतिरिक्त डेटा के साथ और निम्नलिखित अतिरिक्त गुणों को संतुष्ट करना:


 * 1) द कॉम्प्लेक्स $$\mathcal D\,$$ जुड़ा हुआ है और बस जुड़ा हुआ है।
 * 2) का प्रत्येक किनारा (एक-कोशिका)। $$\mathcal D\,$$ एक तीर और एक अक्षर a∈A द्वारा लेबल किया गया है।
 * 3) कुछ शीर्ष (शून्य-कोशिका) जो की स्थलाकृतिक सीमा से संबंधित है $$\mathcal D\subseteq \mathbb R^2\,$$ बेस-वर्टेक्स के रूप में निर्दिष्ट किया गया है।
 * 4) प्रत्येक क्षेत्र (दो सेल) के लिए $$\mathcal D$$, उस क्षेत्र के सीमा चक्र पर प्रत्येक शीर्ष के लिए, और दिशा के दो विकल्पों में से प्रत्येक के लिए (दक्षिणावर्त या वामावर्त), क्षेत्र के सीमा चक्र का लेबल उस शीर्ष से पढ़ा जाता है और उस दिशा में स्वतंत्र रूप से घटाया जाता है एफ (ए) में शब्द जो आर से संबंधित है∗.

इस प्रकार 1-कंकाल का $$\mathcal D\,$$ एक परिमित जुड़ा हुआ प्लानर ग्राफ है जिसमें एम्बेडेड है $$\mathbb R^2\,$$ और की दो-कोशिकाएँ $$\mathcal D\,$$ इस ग्राफ के लिए निश्चित रूप से परिबद्ध पूरक क्षेत्र हैं।

आर की पसंद से∗ शर्त 4 के प्रत्येक क्षेत्र के लिए आवश्यकता के बराबर है $$\mathcal D\,$$ उस क्षेत्र का कुछ बाउंड्री वर्टेक्स है और दिशा का कुछ विकल्प (क्लॉकवाइज़ या काउंटर-क्लॉकवाइज़) ऐसा है कि क्षेत्र का बाउंड्री लेबल उस वर्टेक्स से पढ़ा जाता है और उस दिशा में स्वतंत्र रूप से घटाया जाता है और R से संबंधित होता है।

एक वैन कम्पेन आरेख $$\mathcal D\,$$ सीमा चक्र भी है, निरूपित $$\partial\mathcal D\,$$, जो चारों ओर जाने के अनुरूप ग्राफ Γ में एक बढ़त-पथ है $$\mathcal D\,$$ Γ के असीमित पूरक क्षेत्र की सीमा के साथ दक्षिणावर्त दिशा में एक बार, के आधार-शीर्ष पर शुरू और समाप्त $$\mathcal D\,$$. उस सीमा चक्र का लेबल अक्षर A ∪ A में एक शब्द w है−1 (जो आवश्यक रूप से स्वतंत्र रूप से कम नहीं किया गया है) जिसे की सीमा लेबल कहा जाता है $$\mathcal D\,$$.

आगे की शब्दावली

 * एक वैन कम्पेन आरेख $$\mathcal D\,$$ डिस्क आरेख कहा जाता है यदि $$\mathcal D\,$$ एक टोपोलॉजिकल डिस्क है, यानी जब इसका हर किनारा $$\mathcal D\,$$ के किसी क्षेत्र की सीमा रेखा है $$\mathcal D\,$$ और जब $$\mathcal D\,$$ कोई कटा हुआ शीर्ष नहीं है।
 * एक वैन कम्पेन आरेख $$\mathcal D\,$$ गैर-कम किया हुआ कहा जाता है अगर इसमें कमी जोड़ी मौजूद है $$\mathcal D\,$$, वह अलग-अलग क्षेत्रों की एक जोड़ी है $$\mathcal D\,$$ जैसे कि उनके सीमा चक्र एक सामान्य किनारे को साझा करते हैं और इस तरह कि उनके सीमा चक्र, उस किनारे से शुरू होकर पढ़ते हैं, एक क्षेत्र के लिए घड़ी की दिशा में और दूसरे के लिए विपरीत दिशा में, ए ∪ ए में शब्दों के बराबर हैं-1. यदि क्षेत्र का ऐसा कोई युग्म मौजूद नहीं है, $$\mathcal D\,$$ घटा कहा जाता है।
 * क्षेत्रों की संख्या (दो-कोशिकाएँ)। $$\mathcal D\,$$ का क्षेत्र कहा जाता है $$\mathcal D\,$$ लक्षित $${\rm Area}(\mathcal D)\,$$.

सामान्य तौर पर, एक वैन कम्पेन आरेख में कैक्टस जैसी संरचना होती है, जहां एक या अधिक डिस्क-घटक (संभवतः पतित) चाप से जुड़ते हैं, नीचे चित्र देखें:



उदाहरण
निम्नलिखित आंकड़ा रैंक दो के मुक्त एबेलियन समूह के लिए वैन कम्पेन आरेख का एक उदाहरण दिखाता है
 * $$G=\langle a, b| ab a^{-1}b^{-1}\rangle.$$

इस आरेख का सीमा लेबल शब्द है
 * $$w=b^{-1}b^3a^{-1}b^{-2}ab^{-1}ba^{-1}ab^{-1}ba^{-1}a.$$

इस आरेख का क्षेत्रफल 8 के बराबर है।

वैन कम्पेन लेम्मा
सिद्धांत में एक प्रमुख मूल परिणाम तथाकथित वान कम्पेन लेम्मा है जो निम्नलिखित बताता है:


 * 1) होने देना $$\mathcal D\,$$ प्रस्तुतीकरण (†) पर सीमा लेबल w के साथ एक वैन कम्पेन आरेख बनें जो वर्णमाला A ∪ A में एक शब्द है (आवश्यक रूप से मुक्त रूप से कम नहीं किया गया है)-1. फिर डब्ल्यू = 1 जी में।
 * 2) चलो w अक्षर A ∪ A में स्वतंत्र रूप से घटाया गया शब्द है−1 ऐसा है कि w=1 जी में। फिर एक घटा हुआ वैन कम्पेन आरेख मौजूद है $$\mathcal D\,$$ प्रस्तुति पर (†) जिसकी सीमा लेबल स्वतंत्र रूप से कम हो गई है और डब्ल्यू के बराबर है।

प्रमाण का रेखाचित्र
पहले ध्यान दें कि एक तत्व w ∈ F(A) के लिए हमारे पास G में w = 1 है अगर और केवल अगर w F(A) में R के सामान्य क्लोजर (समूह सिद्धांत) से संबंधित है, अगर और केवल अगर w हो सकता है के रूप में प्रतिनिधित्व किया


 * $$w=u_1s_1u_1^{-1}\cdots u_n s_nu_{n}^{-1} \text{ in } F(A),$$(♠)

कहाँ n ≥ 0 और कहाँ si∈ आर∗ i = 1, ..., n के लिए।

वैन कम्पेन के लेम्मा का भाग 1 के क्षेत्र पर प्रेरण द्वारा सिद्ध किया गया है $$\mathcal D\,$$. आगमनात्मक कदम में सीमा क्षेत्रों में से एक को छीलना शामिल है $$\mathcal D\,$$ वैन कम्पेन आरेख प्राप्त करने के लिए $$\mathcal D'\,$$ सीमा चक्र w के साथ और यह देखते हुए कि F(A) में हमारे पास है
 * $$w=usu^{-1} w',\,$$

जहां s∈R∗ क्षेत्र का सीमा चक्र है जिसे प्राप्त करने के लिए निकाला गया था $$\mathcal D'\,$$ से $$\mathcal D\,$$.

वैन कम्पेन के लेम्मा के भाग दो का प्रमाण अधिक सम्मिलित है। सबसे पहले, यह देखना आसान है कि यदि w मुक्त रूप से घटाया जाता है और w = 1 G में होता है तो कुछ वान कम्पेन आरेख मौजूद होते हैं $$\mathcal D_0\,$$ सीमा लेबल डब्ल्यू के साथ0 ऐसा है कि w = w0 एफ (ए) में (संभवतः स्वतंत्र रूप से डब्ल्यू को कम करने के बाद0). अर्थात् उपरोक्त फॉर्म (♠) के डब्ल्यू के प्रतिनिधित्व पर विचार करें। फिर बनाएँ $$\mathcal D_0\,$$ यू द्वारा लेबल किए गए तनों के साथ n लॉलीपॉप का एक कील होनाiऔर एस द्वारा लेबल की गई कैंडी (2-कोशिकाओं) के साथi. फिर की सीमा लेबल $$\mathcal D_0\,$$ एक शब्द डब्ल्यू है0 ऐसा है कि w = w0 एफ (ए) में। हालाँकि, यह संभव है कि शब्द w0 स्वतंत्र रूप से कम नहीं किया जाता है। वन कम्पेन आरेखों का एक क्रम प्राप्त करने के लिए एक फिर फोल्डिंग मूव्स करना शुरू करता है $$\mathcal D_0, \mathcal D_1, \mathcal D_2,\dots\,$$ उनके सीमा लेबल को अधिक से अधिक स्वतंत्र रूप से कम करके और यह सुनिश्चित करते हुए कि प्रत्येक चरण पर अनुक्रम में प्रत्येक आरेख का सीमा लेबल F(A) में w के बराबर है। अनुक्रम वैन कम्पेन आरेख के साथ सीमित संख्या में चरणों में समाप्त होता है $$\mathcal D_k\,$$ जिसका सीमा लेबल स्वतंत्र रूप से कम किया गया है और इस प्रकार एक शब्द के रूप में डब्ल्यू के बराबर है। रेखाचित्र $$\mathcal D_k\,$$ कम नहीं किया जा सकता। यदि ऐसा होता है, तो हम सीमा लेबल को प्रभावित किए बिना एक साधारण सर्जरी ऑपरेशन द्वारा इस आरेख से कमी जोड़े को हटा सकते हैं। आखिरकार यह एक कम वैन कम्पेन आरेख का उत्पादन करता है $$\mathcal D\,$$ जिसका सीमा चक्र स्वतंत्र रूप से घटाया गया है और w के बराबर है।

वैन कम्पेन की लेम्मा
का मजबूत संस्करण इसके अलावा, उपरोक्त प्रमाण से पता चलता है कि वैन कम्पेन के लेम्मा के निष्कर्ष को निम्नानुसार मजबूत किया जा सकता है। यह कहने के लिए भाग 1 को मजबूत किया जा सकता है कि यदि $$\mathcal D\,$$ सीमा लेबल w के साथ क्षेत्र n का एक वैन कम्पेन आरेख है तो R के तत्वों के बिल्कुल n संयुग्मों के F(A) में एक उत्पाद के रूप में w के लिए प्रतिनिधित्व (♠) मौजूद है∗. भाग 2 को यह कहने के लिए मजबूत किया जा सकता है कि यदि डब्ल्यू स्वतंत्र रूप से कम हो जाता है और आर के तत्वों के एन संयुग्मों के एफ (ए) में उत्पाद के रूप में एक प्रतिनिधित्व (♠) स्वीकार करता है∗ तो सीमा लेबल w और अधिक से अधिक n क्षेत्र के साथ एक कम वैन कम्पेन आरेख मौजूद है।

पहचान का प्रतिनिधित्व करने वाले शब्द का क्षेत्रफल
मान लीजिए w ∈ F(A) ऐसा है कि w = 1 in G. फिर w का क्षेत्र, निरूपित क्षेत्र (w), को सीमा लेबल वाले सभी वैन कम्पेन आरेखों के न्यूनतम क्षेत्रों के रूप में परिभाषित किया गया है (वैन कैम्पेन की लेम्मा कहती है कम से कम एक ऐसा आरेख मौजूद है)।

कोई यह दिखा सकता है कि डब्ल्यू के क्षेत्र को समान रूप से सबसे छोटे n≥0 के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जैसे परिभाषित रिलेटर्स के एन संयुग्मों के एफ (ए) में एक उत्पाद के रूप में डब्ल्यू को व्यक्त करने वाला एक प्रतिनिधित्व (♠) मौजूद है।

आइसोपेरिमेट्रिक फ़ंक्शन और डीएचएन फ़ंक्शन
एक गैर-ऋणात्मक मोनोटोन समारोह फ़ंक्शन f(n) को प्रस्तुति के लिए एक आइसोपेरिमेट्रिक फ़ंक्शन कहा जाता है (†) यदि प्रत्येक स्वतंत्र रूप से घटाए गए शब्द w के लिए ऐसा है कि G में w = 1 हमारे पास है


 * $${\rm Area}(w)\le f(|w|),$$

कहाँ | डब्ल्यू | शब्द डब्ल्यू की लंबाई है।

अब मान लीजिए कि (†) में अक्षर A परिमित है। तब (†) के देहं फलन को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है


 * $${\rm Dehn}(n)=\max\{{\rm Area}(w): w=1 \text{ in } G, |w|\le n, w \text{ freely reduced}.\} $$

यह देखना आसान है कि Dehn(n) (†) के लिए एक समपरिमितीय फलन है और इसके अलावा, यदि f(n) (†) के लिए कोई अन्य समपरिमितीय फलन है तो प्रत्येक n ≥ के लिए Dehn(n) ≤ f(n) 0.

चलो w ∈ F(A) एक स्वतंत्र रूप से कम किया गया शब्द है जैसे कि जी में w = 1। एक वैन कम्पेन आरेख $$\mathcal D\,$$ सीमा लेबल के साथ w को न्यूनतम कहा जाता है $${\rm Area}(\mathcal D)={\rm Area}(w).$$ मिनिमल वैन कम्पेन डायग्राम रीमैनियन ज्यामिति में न्यूनतम सतहों के असतत अनुरूप हैं।

सामान्यीकरण और अन्य अनुप्रयोग

 * वैन-कैम्पन आरेखों के कई सामान्यीकरण हैं जहां समतलीय होने के बजाय जुड़ा हुआ है और बस जुड़ा हुआ है (जिसका अर्थ है डिस्क के लिए होमोटोपी समतुल्यता होना) आरेख किसी अन्य सतह पर या होमोटोपी समकक्षता पर खींचा जाता है। यह पता चला है कि सतह की ज्यामिति और कुछ समूह सैद्धांतिक धारणाओं के बीच घनिष्ठ संबंध है। इनमें से एक विशेष रूप से महत्वपूर्ण एक वलयाकार वैन कम्पेन आरेख की धारणा है, जो एक वलय (गणित) के लिए होमोटॉपी तुल्यता है। कुंडलाकार आरेख, जिसे संयुग्मी आरेख के रूप में भी जाना जाता है, का उपयोग समूह प्रस्तुतियों द्वारा दिए गए समूहों में संयुग्मन वर्ग का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जा सकता है। साथ ही गोलाकार वैन कैम्पेन आरेख समूह-सैद्धांतिक एस्फेरिकल स्पेस के कई संस्करणों और व्हाइटहेड अनुमान से संबंधित हैं। व्हाइटहेड की एस्फेरिसिटी अनुमान, टोरस पर वैन कम्पेन आरेख आने वाले तत्वों से संबंधित हैं, वास्तविक प्रोजेक्टिव विमान पर आरेख समूह में शामिल होने से संबंधित हैं और क्लेन की बोतल पर आरेख उन तत्वों से संबंधित हैं जो अपने स्वयं के व्युत्क्रम से संयुग्मित हैं।
 * 1960-1970 के दशक में ग्रीन्डलिंगर, लिंडन और शूप द्वारा विकसित छोटे रद्दीकरण सिद्धांत में वैन कम्पेन आरेख केंद्रीय वस्तुएं हैं। छोटा रद्दीकरण सिद्धांत समूह प्रस्तुतियों से संबंधित है जहां परिभाषित संबंधों में एक दूसरे के साथ छोटे ओवरलैप होते हैं। यह स्थिति छोटे रद्दीकरण प्रस्तुतियों पर कम वैन कम्पेन आरेखों की ज्यामिति में परिलक्षित होती है, जो कुछ प्रकार के गैर-सकारात्मक रूप से घुमावदार या नकारात्मक रूप से घुमावदार व्यवहार को मजबूर करती है। यह व्यवहार विशेष रूप से शब्द और संयुग्मन समस्याओं के संबंध में छोटे रद्दीकरण समूहों के बीजगणितीय और एल्गोरिथम गुणों के बारे में उपयोगी जानकारी प्राप्त करता है। लघु रद्दीकरण सिद्धांत ज्यामितीय समूह सिद्धांत के प्रमुख अग्रदूतों में से एक था, जो 1980 के दशक के अंत में एक विशिष्ट गणितीय क्षेत्र के रूप में उभरा और यह ज्यामितीय समूह सिद्धांत का एक महत्वपूर्ण हिस्सा बना हुआ है।
 * 1987 में मिखाइल ग्रोमोव (गणितज्ञ) द्वारा पेश किए गए शब्द-अतिशयोक्तिपूर्ण समूहों के सिद्धांत में वैन कम्पेन आरेख एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। विशेष रूप से, यह पता चला है कि एक अंतिम रूप से प्रस्तुत समूह शब्द-अतिशयोक्तिपूर्ण समूह है| इसके अलावा, सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत समूहों के लिए आइसोपेरिमेट्रिक कार्यों के संभावित स्पेक्ट्रम में एक आइसोपेरिमेट्रिक गैप है: किसी भी अंतिम रूप से प्रस्तुत समूह के लिए या तो यह अतिशयोक्तिपूर्ण है और एक रेखीय आइसोपेरिमेट्रिक असमानता को संतुष्ट करता है या फिर डीएचएन फ़ंक्शन कम से कम द्विघात है।
 * ज्यामितीय समूह सिद्धांत में सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत समूहों के लिए आइसोपेरिमेट्रिक कार्यों का अध्ययन एक महत्वपूर्ण सामान्य विषय बन गया है जहां पर्याप्त प्रगति हुई है। भिन्नात्मक Dehn फ़ंक्शन वाले समूहों के निर्माण में बहुत काम चला गया है (अर्थात, Dehn फ़ंक्शन गैर-पूर्णांक डिग्री के बहुपद हैं)। एलियाहू चीरता है, ओलशांस्की, बिरगेट और सपीर का काम ट्यूरिंग मशीनों के डीएचएन कार्यों और समय जटिलता कार्यों के बीच संबंधों की खोज की और दिखाया कि एक मनमाने ढंग से उचित समय समारोह को कुछ सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत समूह के डीएचएन समारोह के रूप में महसूस किया जा सकता है।
 * इस विषय में वैन कम्पेन आरेखों के विभिन्न स्तरीकृत और सापेक्षिक संस्करणों का भी पता लगाया गया है। विशेष रूप से, ओल्शांस्की द्वारा विकसित छोटे निरस्तीकरण सिद्धांत के एक स्तरीकृत संस्करण के परिणामस्वरूप विभिन्न समूह-सैद्धांतिक राक्षसों का निर्माण हुआ, जैसे तार्स्की राक्षस, और बड़े घातांक के आवधिक समूहों के लिए बर्नसाइड समस्या के ज्यामितीय समाधान में। वान कम्पेन आरेखों के सापेक्ष संस्करण (उपसमूहों के संग्रह के संबंध में) ओसिन द्वारा अपेक्षाकृत हाइपरबॉलिक समूहों के सिद्धांत के लिए एक आइसोपेरिमेट्रिक फ़ंक्शन दृष्टिकोण विकसित करने के लिए उपयोग किया गया था।

यह भी देखें

 * ज्यामितीय समूह सिद्धांत
 * समूह की प्रस्तुति
 * सीफर्ट-वैन कम्पेन प्रमेय

मूल संदर्भ

 * अलेक्जेंडर यू. ओलशांस्की। समूहों में संबंधों को परिभाषित करने की ज्यामिति। 1989 के रूसी मूल से यू द्वारा अनुवादित। ए बख्तूरिन। गणित और इसके अनुप्रयोग (सोवियत श्रृंखला), 70। क्लूवर शैक्षणिक प्रकाशक समूह, डॉर्ड्रेक्ट, 1991। ISBN 0-7923-1394-1
 * रोजर सी. लिंडन और पॉल ई. शूप। कॉम्बिनेटरियल ग्रुप थ्योरी। स्प्रिंगर-वेरलाग, न्यूयॉर्क, 2001। क्लासिक्स इन मैथमेटिक्स सीरीज़, 1977 संस्करण का पुनर्मुद्रण। ISBN 978-3-540-41158-1; च। वी। लघु रद्दीकरण सिद्धांत। पीपी। 235–294।

बाहरी संबंध

 * Van Kampen diagrams from the files of David A. Jackson