कॉम्पैक्ट-ओपन टोपोलॉजी

गणित में, कॉम्पैक्ट-ओपन टोपोलॉजी दो टोपोलॉजिकल स्पेस के बीच निरंतर फलन के समुच्चय (गणित) पर परिभाषित टोपोलॉजिकल स्पेस है। कॉम्पैक्ट-ओपन टोपोलॉजी फलन स्पेस पर सामान्यतः उपयोग की जाने वाली टोपोलॉजी में से है, और इसे होमोटॉपी सिद्धांत और कार्यात्मक विश्लेषण में प्रयुक्त किया जाता है। इसे 1945 में राल्फ फॉक्स द्वारा प्रस्तुत किया गया था।

यदि विचाराधीन फलन (गणित) के कोडोमेन में समान स्पेस या मीट्रिक स्पेस है तो कॉम्पैक्ट-ओपन टोपोलॉजी कॉम्पैक्ट समुच्चय पर समान अभिसरण की टोपोलॉजी है। कहने का तात्पर्य यह है कि, कॉम्पैक्ट-ओपन टोपोलॉजी में फलन का क्रम (गणित) ठीक उसी समय सीमित होता है जब यह किसी फलन के डोमेन के प्रत्येक कॉम्पैक्ट सबसमुच्चय पर समान रूप से परिवर्तित होता है।

== परिभाषा                                                                                                                                                                                                                                == होने देना $X$ और $Y$ दो टोपोलॉजिकल स्पेस हों, और चलो $C(X, Y)$ के बीच सभी सतत मानचित्रों के समुच्चय को निरूपित करें $X$ और $Y$. कॉम्पैक्ट समुच्चय दिया गया $K$ का $X$ और खुला समुच्चय $U$ का $Y$, होने देना $V(K, U)$ सभी कार्यों के समुच्चय को निरूपित करें $&thinsp;f&thinsp; ∈ C(X, Y)$ ऐसा है कि $&thinsp;f&thinsp;(K) ⊆ U.$ दूसरे शब्दों में, $$V(K, U) = C(K, U) \times_{C(K, Y)} C(X, Y)$$. फिर ऐसे सभी का संग्रह $V(K, U)$ कॉम्पैक्ट-ओपन टोपोलॉजी के लिए उपआधार है $C(X, Y)$. (यह संग्रह हमेशा टोपोलॉजी के लिए आधार (टोपोलॉजी) नहीं बनाता है $C(X, Y)$.)

सघन रूप से उत्पन्न स्पेसों की श्रेणी (गणित) में काम करते समय, उनसे बने उपआधार तक सीमित करके इस परिभाषा को संशोधित करना आम बात है $K$ यह कॉम्पैक्ट समुच्चय हॉसडॉर्फ़ स्पेस की छवि है। बेशक अगर $X$ कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न होता है और हॉसडॉर्फ, यह परिभाषा पिछले के साथ मेल खाती है। हालाँकि, संशोधित परिभाषा महत्वपूर्ण है यदि कोई अन्य उपयोगी गुणों के बीच कमजोर हॉसडॉर्फ अंतरिक्ष स्पेसों की सुविधाजनक श्रेणी को कार्टेशियन बंद श्रेणी में रखना चाहता है।  इस परिभाषा और उपरोक्त परिभाषा के बीच भ्रम कॉम्पैक्ट समुच्चय शब्द के अलग-अलग उपयोग के कारण होता है।

अगर $X$ तो स्पेसीय रूप से कॉम्पैक्ट है $$ X \times - $$ टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी से हमेशा दायां जोड़ होता है $$ Hom(X, -) $$. यह जोड़ कॉम्पैक्ट-ओपन टोपोलॉजी से मेल खाता है और इसे विशिष्ट रूप से परिभाषित करने के लिए इसका उपयोग किया जा सकता है। कॉम्पैक्टली जेनरेटेड स्पेस की परिभाषा में संशोधन को उत्पाद के एडजॉइंट को टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी के बजाय कॉम्पैक्टली जेनरेटेड स्पेस की श्रेणी में लेने के रूप में देखा जा सकता है, जो यह सुनिश्चित करता है कि सही एडजॉइंट हमेशा मौजूद रहे।

== गुण                                                                                                                                                                                                                 ==
 * अगर $$ एक-बिंदु स्पेस है तो कोई पहचान सकता है $C(*, Y)$ साथ $Y$, और इस पहचान के तहत कॉम्पैक्ट-ओपन टोपोलॉजी टोपोलॉजी से सहमत है $Y$. अधिक सामान्यतः, यदि $X$ तो फिर पृथक स्पेस है $C(X, Y)$ की पहचान कार्तीय गुणनफल से की जा सकती है $|X|$ की प्रतियां $Y$ और कॉम्पैक्ट-ओपन टोपोलॉजी उत्पाद टोपोलॉजी से सहमत है।
 * अगर $Y$ है $T_{0}$, $T_{1}$, हॉसडॉर्फ़ स्पेस, नियमित स्पेस, या टाइकोनोफ़ स्पेस, तो कॉम्पैक्ट-ओपन टोपोलॉजी में संबंधित पृथक्करण सिद्धांत होता है।
 * अगर $X$ हॉसडॉर्फ और है $S$ के लिए उपआधार है $Y$, फिर संग्रह ${V(K, U) : U ∈ S, K compact}$कॉम्पैक्ट-ओपन टोपोलॉजी के लिए उपआधार है $C(X, Y)$.
 * अगर $Y$ मीट्रिक स्पेस (या अधिक सामान्यतः, समान स्पेस) है, तो कॉम्पैक्ट-ओपन टोपोलॉजी कॉम्पैक्ट अभिसरण की टोपोलॉजी के बराबर है। दूसरे शब्दों में, यदि $Y$ मीट्रिक स्पेस है, फिर अनुक्रम ${&thinsp;f_{n}&thinsp;}$सीमा (गणित)s तक $&thinsp;f&thinsp;$ कॉम्पैक्ट-ओपन टोपोलॉजी में यदि और केवल यदि प्रत्येक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय के लिए $K$ का $X$, ${&thinsp;f_{n}&thinsp;}$समान रूप से अभिसरित होता है $&thinsp;f&thinsp;$ पर $K$. अगर $X$ सघन है और $Y$ समान स्पेस है, तो कॉम्पैक्ट-ओपन टोपोलॉजी एकसमान अभिसरण की टोपोलॉजी के बराबर है।
 * अगर $X, Y$ और $Z$ टोपोलॉजिकल स्पेस हैं, साथ में $Y$ स्पेसीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ (या यहां तक ​​कि केवल स्पेसीय रूप से कॉम्पैक्ट पूर्व नियमित स्पेस), फिर फलन संरचना $C(Y, Z)&thinsp;×&thinsp;C(X, Y) → C(X, Z),$ द्वारा दिए गए $(&thinsp;f&thinsp;, g) ↦ &thinsp;f&thinsp;∘&thinsp;g,$ निरंतर है (यहां सभी फलन स्पेस को कॉम्पैक्ट-ओपन टोपोलॉजी दी गई है और $C(Y, Z)&thinsp;×&thinsp;C(X, Y)$ उत्पाद टोपोलॉजी दी गई है)।
 * अगर $X$ स्पेसीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ (या प्रीरेगुलर) स्पेस है, फिर मूल्यांकन मानचित्र $e : C(X, Y) × X → Y$, द्वारा परिभाषित $e(&thinsp;f&thinsp;, x) = &thinsp;f&thinsp;(x)$, सतत है. इसे उपरोक्त विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है $X$ बिंदु वाला स्पेस है.
 * अगर $X$ सघन है, और $Y$ मीट्रिक (गणित) के साथ मीट्रिक स्पेस है $d$, फिर कॉम्पैक्ट-ओपन टोपोलॉजी चालू $C(X, Y)$ मेट्रिसेबल स्पेस  है, और इसके लिए मीट्रिक इसके द्वारा दिया गया है $e(&thinsp;f&thinsp;, g) = sup{d(&thinsp;f&thinsp;(x), g(x)) : x in X},$ के लिए $&thinsp;f&thinsp;, g$ में $C(X, Y)$.

अनुप्रयोग
कॉम्पैक्ट ओपन टोपोलॉजी का उपयोग निम्नलिखित समुच्चयों को टोपोलॉजी बनाने के लिए किया जा सकता है:
 * $$\Omega(X,x_0) = \{ f: I \to X : f(0) = f(1) = x_0 \}$$, का लूप स्पेस $$X$$ पर $$x_0$$,
 * $$E(X, x_0, x_1) = \{ f: I \to X : f(0) = x_0 \text{ and } f(1) = x_1 \}$$,
 * $$E(X, x_0) = \{ f: I \to X : f(0) = x_0 \}$$.

इसके अलावा, रिक्त स्पेस के बीच Homotopy#Homotopy तुल्यता है $$C(\Sigma X, Y) \cong C(X, \Omega Y)$$. ये टोपोलॉजिकल स्पेस, $$C(X,Y)$$ होमोटोपी सिद्धांत में उपयोगी हैं क्योंकि इसका उपयोग टोपोलॉजिकल स्पेस बनाने और मानचित्रों के होमोटॉपी वर्गों के समुच्चय के होमोटॉपी प्रकार के लिए मॉडल बनाने के लिए किया जा सकता है।
 * $$\pi(X,Y) = \{[f]: X \to Y | f \text{ is a homotopy class} \}.$$

यह है क्योंकि $$\pi(X,Y)$$ में पथ घटकों का समुच्चय है $$C(X,Y)$$, अर्थात्, समुच्चयों की समरूपता है
 * $$\pi(X,Y) \to C(I, C(X, Y))/\sim$$

कहाँ $$\sim$$ समरूप समतुल्यता है।

फ़्रेचेट अवकलनीय फलन
होने देना $X$ और $Y$ ही क्षेत्र (गणित) पर परिभाषित दो बानाच स्पेस हों, और चलो $C^{&thinsp;m}(U, Y)$ सभी के समुच्चय को निरूपित करें $m$-निरंतर फ़्रेचेट व्युत्पन्न|फ़्रेचेट-खुले उपसमुच्चय से भिन्न कार्य $U ⊆ X$ को $Y$. कॉम्पैक्ट-ओपन टोपोलॉजी सेमिनोर्म द्वारा प्रेरित प्रारंभिक टोपोलॉजी है


 * $$p_{K}(f) = \sup \left\{ \left\| D^j f(x) \right\| \ : \ x \in K, 0 \leq j \leq m \right\}$$

कहाँ $D^{0}&thinsp;f&thinsp;(x) = &thinsp;f&thinsp;(x)$, प्रत्येक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय के लिए $K ⊆ U$.

यह भी देखें

 * एकसमान अभिसरण की टोपोलॉजी

संदर्भ

 * O.Ya. Viro, O.A. Ivanov, V.M. Kharlamov and N.Yu. Netsvetaev (2007) Textbook in Problems on Elementary Topology.
 * Topology and Groupoids Section 5.9 Ronald Brown, 2006
 * Topology and Groupoids Section 5.9 Ronald Brown, 2006
 * Topology and Groupoids Section 5.9 Ronald Brown, 2006