विस्कोप्लास्टिसिटी

विस्कोप्लास्टिसिटी सातत्य यांत्रिकी में एक सिद्धांत है जो ठोस पदार्थों के दर-निर्भर अयोग्य व्यवहार का वर्णन करता है। इस संदर्भ में दर-निर्भरता का मतलब है कि पदार्थ का विरूपण उस दर पर निर्भर करता है जिस पर भार लागू किया जाता है। विस्कोप्लास्टीसिटी का विषय जो बेलोचदार व्यवहार है, वह प्लास्टिक विरूपण है जिसका अर्थ है कि लोड स्तर तक पहुंचने पर पदार्थ अप्राप्य विकृतियों से गुजरती है। क्षणिक प्लास्टिसिटी गणना के लिए दर पर निर्भर प्लास्टिसिटी महत्वपूर्ण है। दर-स्वतंत्र प्लास्टिक और विस्कोप्लास्टिक पदार्थ मॉडल के बीच मुख्य अंतर यह है कि बाद वाले भार के आवेदन के बाद न केवल स्थायी विकृतियों का प्रदर्शन करते हैं, बल्कि, वे प्रयुक्त भार के प्रभाव में समय के एक फंक्शन के रूप में क्रीप प्रवाह से गुजरते रहते हैं।

विस्कोप्लास्टिक पदार्थ की प्रत्यास्थ प्रतिक्रिया को हुकियन स्प्रिंग तत्वों द्वारा एक-आयाम में दर्शाया जा सकता है। दर-निर्भरता को श्यानप्रत्यास्थता के समान विधि से अरेखीय डैशपॉट एलिमेंट द्वारा दर्शाया जा सकता है। प्लास्टिसिटी का कारण स्लाइडिंग घर्षण तत्वों को जोड़कर लगाया जा सकता है जैसा कि चित्र 1 में दिखाया गया है। चित्र में E लोच का मापांक है, λ श्यानता पैरामीटर है और N एक पावर-लॉ प्रकार पैरामीटर है जो गैर-रैखिक डैशपॉट का प्रतिनिधित्व करता है [σ(dε/dt)= σ = λ(dε/dt)(1/N)]. स्लाइडिंग तत्व में पराभव प्रतिबल (σy) हो सकता है जो तनाव दर पर निर्भर है, या यहां तक कि स्थिर भी है, जैसा कि चित्र 1 सी में दिखाया गया है।

विस्कोप्लास्टिसिटी को आमतौर पर पेर्ज़िना या डुवाउट-लायंस प्रकार के उच्च तनाव मॉडल का उपयोग करके तीन आयामों में तैयार किया जाता है। इन मॉडलों में, लोड लगाने पर तनाव को दर-स्वतंत्र पराभव सतह से आगे बढ़ने की अनुमति दी जाती है और फिर समय के साथ पराभव सतह पर वापस आराम करने की अनुमति दी जाती है। ऐसे मॉडलों में आमतौर पर पराभव सतह को दर-निर्भर नहीं माना जाता है। एक वैकल्पिक दृष्टिकोण पराभव तनाव में तनाव दर निर्भरता को जोड़ना और किसी पदार्थ की प्रतिक्रिया की गणना करने के लिए दर स्वतंत्र प्लास्टिसिटी की तकनीकों का उपयोग करना है।

धातुओं और मिश्र धातुओं के लिए, विस्कोप्लास्टिकिटी एक मैक्रोस्कोपिक व्यवहार है जो अंतर-क्रिस्टलीय ग्लाइडिंग के अध्यारोपित प्रभावों के साथ ग्रेन्स में अव्यवस्थाओं की गति से जुड़े तंत्र के कारण होता है। तंत्र आम तौर पर पूर्ण पिघलने वाले तापमान के लगभग एक तिहाई से अधिक तापमान पर प्रभावी हो जाता है। हालाँकि, कुछ मिश्र धातुएँ कमरे के तापमान (300K) पर विस्कोप्लास्टिकिटी प्रदर्शित करती हैं। पॉलीमर, लकड़ी और बिटुमेन के लिए, लोच या श्यानप्रत्यास्थता की सीमा से परे व्यवहार का वर्णन करने के लिए विस्कोप्लास्टी के सिद्धांत की आवश्यकता होती है।

सामान्य तौर पर, विस्कोप्लास्टिसिटी सिद्धांत निम्नलिखित क्षेत्रों में उपयोगी होते हैं:


 * स्थायी विरूपण की गणना,
 * संरचनाओं के प्लास्टिक के ढहने का पूर्वानुमान,
 * स्थिरता की जांच,
 * दुर्घटना अनुकरण,
 * उच्च तापमान के संपर्क में आने वाली प्रणालियाँ, जैसे इंजनों में टर्बाइन, उदा. एक विद्युत् संयंत्र,
 * उच्च तनाव दर के संपर्क में आने वाली गतिशील समस्याएं और प्रणालियाँ।

इतिहास
अधिकतम कतरनी मानदंड पर प्लास्टिसिटी सिद्धांतों पर शोध 1864 में हेनरी ट्रैस्का, सेंट वेनेंट (1870) और लेवी (1871) के काम से शुरू हुआ। 1913 में वॉन मिसेज़ द्वारा एक बेहतर प्लास्टिसिटी मॉडल प्रस्तुत किया गया था जिसे अब वॉन मिज़ पराभव मानदंड के रूप में जाना जाता है। विस्कोप्लास्टिकिटी में, गणितीय मॉडल का विकास एंड्रेड के नियम द्वारा प्राथमिक क्रीप के प्रतिनिधित्व के साथ 1910 में शुरू हुआ। 1929 में, नॉर्टन ने एक आयामी डैशपॉट मॉडल विकसित किया, जो द्वितीयक क्रीप की दर को तनाव से जोड़ता था। 1934 में, ओडक्विस्ट ने बहु-अक्षीय मामले में नॉर्टन के नियम को सामान्यीकृत किया था।

पराभव की सतह पर प्लास्टिक के प्रवाह की सामान्यता और प्लास्टिसिटी के लिए प्रवाह नियम जैसी अवधारणाएं प्रैंडटल (1924) और रीस (1930) द्वारा पेश की गईं। 1932 में, होहेनमसेर और प्रेगर ने धीमे विस्कोप्लास्टिक प्रवाह के लिए पहला मॉडल प्रस्तावित किया। इस मॉडल ने एक असम्पीडित बिंगहैम ठोस के लिए विचलन तनाव और तनाव दर के बीच एक संबंध प्रदान किया है। हालांकि, इन सिद्धांतों का अनुप्रयोग 1950 से पहले शुरू नहीं हुआ था, जहां सीमा प्रमेय की खोज की गई थी।

1960 में, हॉफ द्वारा आयोजित पहली IUTAM संगोष्ठी "संरचनाओं में क्रीप" ने आइसोट्रोपिक दृढ़ीकरण कानूनों और क्रैटोचविल, मालिनीनी के लिए हॉफ, रैबोटनोव, पेर्ज़िना, हल्ट और लेमैत्रे के कार्यों के साथ विस्कोप्लास्टी में एक बड़ा विकास प्रदान किया। और खडजिंस्की, पोंटर और लेकी, और चाबोचे गतिज दृढ़ीकरण नियमों के लिए 1963 में पेर्ज़िना ने एक श्यानता गुणांक प्रस्तुत किया जो तापमान और समय पर निर्भर है। तैयार किए गए मॉडलों को अपरिवर्तनीय प्रक्रियाओं के ऊष्मप्रवैगिकी और घटनात्मक दृष्टिकोण द्वारा समर्थित किया गया था। इन कार्यों में प्रस्तुत विचार दर-निर्भर प्लास्टिसिटी के अधिकांश बाद के शोध का आधार रहे हैं।

घटना विज्ञान
गुणात्मक विश्लेषण के लिए, विस्कोप्लास्टिक पदार्थ की घटना विज्ञान का वर्णन करने के लिए कई विशेषता परीक्षण किए जाते हैं। इन परीक्षण के कुछ उदाहरण हैं


 * 1) निरंतर तनाव या तनाव दर पर दृढ़ीकरण परीक्षण,
 * 2) निरंतर बल पर क्रीप परीक्षण, और
 * 3) निरंतर बढ़ाव पर तनाव शिथिलता।

तनाव दृढ़ीकरण परीक्षण
पराभव का एक परिणाम यह है कि जैसे-जैसे प्लास्टिक विरूपण आगे बढ़ता है, अतिरिक्त तनाव पैदा करने के लिए तनाव में वृद्धि की आवश्यकता होती है। इस घटना को तनाव/वर्क हार्डनिंग के रूप में जाना जाता है। एक विस्कोप्लास्टिक पदार्थ के लिए, दृढ़ीकरण होने वाले वक्र दर-स्वतंत्र प्लास्टिक पदार्थ से महत्वपूर्ण रूप से भिन्न नहीं होते हैं। फिर भी, तीन महत्वपूर्ण अंतर देखे जा सकते हैं।

पराभव (इंजीनियरिंग) का एक परिणाम यह है कि जैसे-जैसे प्लास्टिक विरूपण बढ़ता है, अतिरिक्त परिमित तनाव सिद्धांत का उत्पादन करने के लिए तनाव (यांत्रिकी) में वृद्धि की आवश्यकता होती है। इस घटना को वर्क हार्डनिंग|तनाव/वर्क हार्डनिंग के रूप में जाना जाता है। विस्कोप्लास्टिक पदार्थ के लिए दृढ़ीकरण होने वाले वक्र दर-स्वतंत्र प्लास्टिक पदार्थ से काफी भिन्न नहीं होते हैं। फिर भी, तीन आवश्यक अंतर देखे जा सकते हैं। प्रत्यास्थ और प्लास्टिक भागों को अलग करके उपभेदों को विभाजित करने की परिकल्पना अभी भी लागू है जहां उपभेद छोटे हैं, अर्थात,
 * 1) एक ही तनाव में, तनाव की दर जितनी अधिक होगी तनाव उतना ही अधिक होगा
 * 2) परीक्षण के दौरान तनाव की दर में बदलाव के परिणामस्वरूप तनाव-तनाव वक्र में तत्काल परिवर्तन होता है।
 * 3) पराभव (इंजीनियरिंग) की अवधारणा अब सख्ती से लागू नहीं है।

\boldsymbol{\varepsilon} = \boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{e}} + \boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{vp}} $$ जहाँ $$\boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{e}}$$ प्रत्यास्थ तनाव है और $$\boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{vp}}$$ विस्कोप्लास्टिक तनाव है। चित्र में नीले रंग में दिखाए गए तनाव-तनाव व्यवहार को प्राप्त करने के लिए, पदार्थ को शुरू में 0.1/s की तनाव दर पर लोड किया जाता है। फिर तनाव दर को तुरंत 100/सेकेंड तक बढ़ा दिया जाता है और कुछ समय के लिए उस मूल्य पर स्थिर रखा जाता है। उस समयावधि के अंत में तनाव दर तुरंत 0.1/सेकेंड पर वापस आ जाती है और तनाव के बढ़ते मूल्यों के लिए चक्र जारी रहता है। तनाव-दर परिवर्तन और तनाव प्रतिक्रिया के बीच स्पष्ट रूप से अंतराल है। इस अंतराल को ओवरस्ट्रेस मॉडल (जैसे कि विस्कोप्लास्टिसिटी # पेर्ज़िना फॉर्मूलेशन) द्वारा काफी सटीक रूप से तैयार किया गया है, लेकिन दर-स्वतंत्र प्लास्टिसिटी के मॉडल द्वारा नहीं, जिसमें दर-निर्भर पराभव तनाव होता है।

क्रीप (रेंगना) परीक्षण
क्रीप (विरूपण) किसी ठोस पदार्थ की निरंतर तनाव के तहत धीरे-धीरे चलने या स्थायी रूप से विकृत होने की प्रवृत्ति है। क्रीप परीक्षण निरंतर तनाव के कारण तनाव प्रतिक्रिया को मापते हैं जैसा कि चित्र 3 में दिखाया गया है। शास्त्रीय क्रीप वक्र एक स्थिर तापमान पर एकअक्षीय तनाव के अधीन पदार्थ में समय के एक फंक्शन के रूप में तनाव के विकास का प्रतिनिधित्व करता है। उदाहरण के लिए, क्रीप परीक्षण, निरंतर बल/तनाव लगाने और सिस्टम की तनाव प्रतिक्रिया का विश्लेषण करके किया जाता है। सामान्य तौर पर, जैसा कि चित्र 3 B में दिखाया गया है, यह वक्र आमतौर पर व्यवहार के तीन चरण या अवधि दिखाता है


 * 1) प्राथमिक क्रीप चरण, जिसे क्षणिक क्रीप भी कहा जाता है, प्रारंभिक चरण है जिसके दौरान पदार्थ के दृढ़ीकरण होने से प्रवाह की दर में कमी आती है जो शुरू में बहुत अधिक होती है। $$(0 \le \boldsymbol{\varepsilon} \le \boldsymbol{\varepsilon}_1 )$$.
 * 2) द्वितीयक क्रीप चरण, जिसे स्थिर अवस्था के रूप में भी जाना जाता है, वह है जहां तनाव दर स्थिर होती है। $$(\boldsymbol{\varepsilon}_1 \le \boldsymbol{\varepsilon} \le \boldsymbol{\varepsilon}_2)$$.
 * 3) तृतीयक क्रीप चरण जिसमें फ्रैक्चर तनाव तक तनाव दर में वृद्धि होती है। $$(\boldsymbol{\varepsilon}_2 \le \boldsymbol{\varepsilon} \le \boldsymbol{\varepsilon}_R)$$.

शिथिलता परीक्षण
जैसा कि चित्र 4 में दिखाया गया है, शिथिलता परीक्षण इसे एक निश्चित अवधि के लिए निरंतर तनाव के कारण होने वाली तनाव प्रतिक्रिया के रूप में परिभाषित किया गया है। विस्कोप्लास्टिक सामग्रियों में, शिथिलता परीक्षण एक निरंतर तनाव पर एकअक्षीय लोडिंग में तनाव शिथिलता को प्रदर्शित करते हैं। वास्तव में, ये परीक्षण श्यानता की विशेषता बताते हैं और इसका उपयोग तनाव और विस्कोप्लास्टिक तनाव की दर के बीच मौजूद संबंध को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। तनाव दर का अपघटन है

\cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{\varepsilon}}{\mathrm{d}t} = \cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{e}}}{\mathrm{d}t} + \cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{vp}}}{\mathrm{d}t} ~. $$ विकृति दर का प्रत्यास्थ भाग किसके द्वारा दिया जाता है?

\cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{e}}}{\mathrm{d}t} = \mathsf{E}^{-1}~\cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{\sigma}}{\mathrm{d}t} $$ तनाव-समय वक्र के समतल क्षेत्र के लिए, कुल तनाव दर शून्य है। इसलिए हमारे पास है,

\cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{vp}}}{\mathrm{d}t} = -\mathsf{E}^{-1}~\cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{\sigma}}{\mathrm{d}t} $$ इसलिए, शिथिलता वक्र का उपयोग विस्कोप्लास्टिक तनाव की दर निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है और इसलिए एक आयामी विस्कोप्लास्टिक पदार्थ मॉडल में डैशपॉट की श्यानता निर्धारित की जा सकती है। शिथिलता परीक्षण के अंत में तनाव कम होने पर जो अवशिष्ट मूल्य प्राप्त होता है, वह लोच की ऊपरी सीमा से मेल खाता है। सेंधा नमक जैसी कुछ सामग्रियों के लिए लोच की ऐसी ऊपरी सीमा तनाव के बहुत कम मूल्य पर होती है और तनाव में किसी भी अवलोकन योग्य पठार के बिना शिथिलता परीक्षण एक वर्ष से अधिक समय तक जारी रखा जा सकता है।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि स्थिति को बनाए रखने के कारण शिथिलता परीक्षण करना बेहद कठिन है $$\cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{\varepsilon}}{\mathrm{d}t} = 0$$ किसी परीक्षण में काफी विनम्रता की आवश्यकता होती है।

विस्कोप्लास्टीसिटी के रियोलॉजिकल मॉडल
स्प्रिंग-डैशपॉट-स्लाइडर तत्वों के आधार पर विस्कोप्लास्टिकिटी के लिए एक-आयामी संरचनात्मक मॉडल में पूरी तरह से विस्कोप्लास्टिक ठोस, प्रत्यास्थ पूरी तरह से विस्कोप्लास्टिक ठोस, और इलास्टोविस्कोप्लास्टिक दृढ़ीकरण ठोस शामिल हैं। तत्व श्रृंखला या समानांतर में जुड़े हो सकते हैं। उन मॉडलों में जहां तत्व श्रृंखला में जुड़े हुए हैं, तनाव योगात्मक है जबकि तनाव प्रत्येक तत्व में बराबर है। समानांतर संपर्क में, तनाव योगात्मक होता है जबकि प्रत्येक तत्व में तनाव समान होता है। इनमें से कई एक आयामी मॉडलों को छोटे तनाव शासन के लिए तीन आयामों में सामान्यीकृत किया जा सकता है। अगली चर्चा में, समय दरों के तनाव और तनाव को क्रमशः $$\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}$$ और $$\dot{\boldsymbol{\sigma}}$$ के रूप में लिखा गया है।

पूर्णतः विस्कोप्लास्टिक ठोस (नॉर्टन-हॉफ मॉडल)
एक पूर्णतया विस्कोप्लास्टिक ठोस में, जिसे विस्कोप्लास्टिकिटी का नॉर्टन-हॉफ मॉडल भी कहा जाता है, तनाव (श्यान तरल पदार्थ के लिए) स्थायी तनाव की दर का एक फंक्शन है। मॉडल में लोच के प्रभाव को नजरअंदाज कर दिया गया है, यानी, $$\boldsymbol{\varepsilon}_e = 0$$ और इसलिए कोई प्रारंभिक पराभव तनाव नहीं है, यानी, $$\sigma_y = 0$$। श्यान डैशपॉट द्वारा दी गई प्रतिक्रिया है।

\boldsymbol{\sigma} = \eta~\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_{\mathrm{vp}} \implies \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_{\mathrm{vp}} = \cfrac{\boldsymbol{\sigma}}{\eta} $$ जहाँ $$\eta$$ डैशपॉट की श्यानता है. नॉर्टन-हॉफ मॉडल में श्यानता $$\eta$$ लागू तनाव का एक अरेखीय फंक्शन है और इसके द्वारा दिया जाता है

\eta = \lambda\left[\cfrac{\lambda}{||\boldsymbol{\sigma}||}\right]^{N-1} $$ जहाँ $$N$$ एक फिटिंग पैरामीटर है, λ पदार्थ की गतिज श्यानता है और $$||\boldsymbol{\sigma}|| = \sqrt{\boldsymbol{\sigma}:\boldsymbol{\sigma}} = \sqrt{\sigma_{ij}\sigma_{ij}}$$. फिर विस्कोप्लास्टिक तनाव दर संबंध द्वारा दी गई है

\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_{\mathrm{vp}} = \cfrac{\boldsymbol{\sigma}}{\lambda}\left[\cfrac{||\boldsymbol{\sigma}||}{\lambda}\right]^{N-1} $$ एक-आयामी रूप में, नॉर्टन-हॉफ मॉडल को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

\sigma = \lambda~\left(\dot{\varepsilon}_{\mathrm{vp}}\right)^{1/N} $$ जब $$N = 1.0$$ ठोस श्यानप्रत्यास्थ है।

यदि हम यह मान लें कि प्लास्टिक प्रवाह आइसोकोरिक प्रक्रिया (मात्रा संरक्षण) है, तो उपरोक्त संबंध को अधिक परिचित रूप में व्यक्त किया जा सकता है

\boldsymbol{s} = 2 K~\left(\sqrt{3}\dot{\varepsilon}_{\mathrm{eq}}\right)^{m-1}~\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_{\mathrm{vp}} $$ जहाँ $$\boldsymbol{s}$$ विचलनकारी तनाव टेंसर $$\dot{\varepsilon}_{\mathrm{eq}}$$ है, समतुल्य तनाव दर है, और $$K, m$$ भौतिक पैरामीटर हैं. समतुल्य तनाव दर को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 * $$\dot{\bar{\epsilon}} = \sqrt{\frac{2}{3} \dot{\bar{\bar{\epsilon}}}:\dot{\bar{\bar{\epsilon}}} }

$$ इन मॉडलों को धातुओं और मिश्र धातुओं में उनके पूर्ण पिघलने बिंदु (केल्विन में) के दो तिहाई से अधिक तापमान पर और ऊंचे तापमान पर पॉलिमर/डामर में लागू किया जा सकता है। ऐसी सामग्री के तनाव दृढ़ीकरण होने, रेंगने और शिथिलीकरण परीक्षणों की प्रतिक्रियाएँ चित्र 6 में दिखाई गई हैं।

प्रत्यास्थ पूर्णतः विस्कोप्लास्टिक ठोस (बिंघम-नॉर्टन मॉडल)
प्रत्यास्थ-पूर्ण विस्कोप्लास्टिक मोड बनाने के लिए दो प्रकार के प्राथमिक दृष्टिकोण का उपयोग किया जा सकता है। पहली स्थिति में, स्लाइडिंग घर्षण तत्व और डैशपॉट को समानांतर में व्यवस्थित किया जाता है और फिर प्रत्यास्थ स्प्रिंग से श्रृंखला में जोड़ा जाता है जैसा चित्र 7 में दिखाया गया है। इस मॉडल को बिंघम-मैक्सवेल मॉडल (मैक्सवेल मॉडल और बिंघम मॉडल के अनुरूप) या बिंघम-नॉर्टन मॉडल कहा जाता है। दूसरी स्थिति में, तीनों तत्व समानांतर में व्यवस्थित हैं। केल्विन मॉडल के अनुरूप इस तरह के मॉडल को बिंघम-केल्विन मॉडल कहा जाता है।

प्रत्यास्थ-पूर्ण विस्कोप्लास्टिक सामग्रियों के लिए, प्रत्यास्थ तनाव को अब नगण्य नहीं माना जाता है, लेकिन प्लास्टिक तनाव की दर केवल प्रारंभिक पराभव तनाव का एक फंक्शन है और दृढ़ीकरण होने का कोई प्रभाव नहीं होता है। जब तनाव की परवाह किए बिना प्रत्यास्थ सीमा पार हो जाती है तो स्लाइडिंग तत्व निरंतर उपजने वाले तनाव का प्रतिनिधित्व करता है। मॉडल को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

\begin{align} & \boldsymbol{\sigma} = \mathsf{E}~\boldsymbol{\varepsilon} & & \mathrm{for}~\|\boldsymbol{\sigma}\| < \sigma_y \\ & \dot{\boldsymbol{\varepsilon}} = \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_{\mathrm{e}} + \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_{\mathrm{vp}} = \mathsf{E}^{-1}~\dot{\boldsymbol{\sigma}} + \cfrac{\boldsymbol{\sigma}}{\eta}\left[1 - \cfrac{\sigma_y}{\|\boldsymbol{\sigma}\|}\right]  & & \mathrm{for}~\|\boldsymbol{\sigma}\| \ge \sigma_y \end{align} $$ जहाँ $$\eta$$ डैशपॉट तत्व की श्यानता है। यदि डैशपॉट तत्व की प्रतिक्रिया नॉर्टन फॉर्म की है

\cfrac{\boldsymbol{\sigma}}{\eta} = \cfrac{\boldsymbol{\sigma}}{\lambda}\left[\cfrac{\|\boldsymbol{\sigma}\|}{\lambda}\right]^{N-1} $$ हमें बिंघम-नॉर्टन मॉडल मिलता है

\dot{\boldsymbol{\varepsilon}} = \mathsf{E}^{-1}~\dot{\boldsymbol{\sigma}} + \cfrac{\boldsymbol{\sigma}}{\lambda}\left[\cfrac{\|\boldsymbol{\sigma}\|}{\lambda}\right]^{N-1}\left[1 - \cfrac{\sigma_y}{\|\boldsymbol{\sigma}\|}\right]  \quad \mathrm{for}~\|\boldsymbol{\sigma}\| \ge \sigma_y $$ तनाव दर के लिए अन्य अभिव्यक्तियाँ भी साहित्य में देखी जा सकती हैं सामान्य रूप के साथ

\dot{\boldsymbol{\varepsilon}} = \mathsf{E}^{-1}~\dot{\boldsymbol{\sigma}} + f(\boldsymbol{\sigma}, \sigma_y)~\boldsymbol{\sigma} \quad \mathrm{for}~\|\boldsymbol{\sigma}\| \ge \sigma_y $$ ऐसी पदार्थ के तनाव दृढ़ीकरण होने, क्रीप और शिथिलता परीक्षणों की प्रतिक्रियाएँ चित्र 8 में दिखाई गई हैं।

इलास्टोविस्कोप्लास्टिक दृढ़ीकरण ठोस
तनाव कठोरता वाली एक प्रत्यास्थ-विस्कोप्लास्टिक सामग्री का वर्णन पूर्ण प्लास्टिसिटी वाली इलास्टिक-विस्कोप्लास्टिक सामग्री के समान समीकरणों द्वारा किया जाता है। हालाँकि, इस मामले में तनाव प्लास्टिक तनाव दर और प्लास्टिक तनाव दोनों पर निर्भर करता है। एक इलास्टोविस्कोप्लास्टिक सामग्री के लिए तनाव, पराभव तनाव से अधिक होने के बाद, प्रारंभिक पराभव बिंदु से परे बढ़ता रहता है। इसका तात्पर्य यह है कि स्लाइडिंग तत्व में तनाव के साथ पराभव तनाव बढ़ता है और मॉडल को सामान्य शब्दों में व्यक्त किया जा सकता है।

\begin{align} & \boldsymbol{\varepsilon} =\boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{e}} = \mathsf{E}^{-1}~\boldsymbol{\sigma} = ~\boldsymbol{\varepsilon} & & \mathrm{for}~||\boldsymbol{\sigma}|| < \sigma_y \\ & \dot{\boldsymbol{\varepsilon}} = \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_{\mathrm{e}} + \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_{\mathrm{vp}} = \mathsf{E}^{-1}~\dot{\boldsymbol{\sigma}} + f(\boldsymbol{\sigma},\sigma_y,\boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{vp}})~\boldsymbol{\sigma}    & & \mathrm{for}~||\boldsymbol{\sigma}|| \ge \sigma_y \end{align} $$.

यह मॉडल तब अपनाया जाता है जब धातुएं और मिश्र धातुएं मध्यम और उच्च तापमान पर होती हैं और लकड़ी उच्च भार के तहत होती है। ऐसी पदार्थ के तनाव दृढ़ीकरण होने, क्रीप और शिथिलता परीक्षणों की प्रतिक्रियाएँ चित्र 9 में दिखाई गई हैं।

तनाव-दर पर निर्भर प्लास्टिसिटी मॉडल
छोटे उपभेदों के लिए क्लासिकल फेनोमेनोलॉजिकल विस्कोप्लास्टिसिटी मॉडल को आम तौर पर दो प्रकारों में वर्गीकृत किया जाता है:
 * पेर्ज़िना फॉर्मूलेशन
 * डुवाउट-लायंस फॉर्मूलेशन

पेर्ज़िना फॉर्मूलेशन
पेर्ज़िना फॉर्मूलेशन में प्लास्टिक तनाव दर को फॉर्म के एक संवैधानिक संबंध द्वारा दिया गया माना जाता है

\dot{\varepsilon}_{\mathrm{vp}} = \cfrac{\left\langle f(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{q})\right\rangle}{\tau} \cfrac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\sigma}}  = \begin{cases} \cfrac{f(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{q})}{\tau} \cfrac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\sigma}}& {\rm if}~f(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{q}) > 0 \\ 0 & \rm{otherwise} \\ \end{cases} $$ जहाँ $$ f(.,.)$$ एक पराभव फलन है, $$\boldsymbol{\sigma}$$ कॉची तनाव है, $$\boldsymbol{q}$$ आंतरिक चर का एक सेट है (जैसे प्लास्टिक $$\boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{vp}}$$, $$\tau$$ शिथिलता का समय है. अंकन $$\langle \dots \rangle$$ मैकॉले ब्रैकेट को दर्शाता है। चाबोचे मॉडल के विभिन्न संस्करणों में उपयोग किया जाने वाला प्रवाह नियम, पेर्ज़िना के प्रवाह नियम का एक विशेष मामला है और इसका रूप है।

\dot{\varepsilon}_{\mathrm{vp}} = \left\langle \frac{f}{f_0} \right\rangle^n sign(\boldsymbol{\sigma}-\boldsymbol{\chi}) $$ जहाँ $$f_0$$ का अर्धस्थैतिक मान है $$f$$ और $$\boldsymbol{\chi}$$ एक बैकस्ट्रेस है. बैकस्ट्रेस के लिए कई मॉडल चाबोचे मॉडल के नाम से भी जाने जाते हैं।

डुवाउट-लायंस फॉर्मूलेशन
डुवाउट-लायंस फॉर्मूलेशन पेर्ज़िना फॉर्मूलेशन के बराबर है और इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

\dot{\varepsilon}_{\mathrm{vp}} = \begin{cases} \mathsf{C}^{-1}:\cfrac{\boldsymbol{\sigma} - \mathcal{P}\boldsymbol{\sigma}}{\tau} & \rm{if}~f(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{q}) > 0 \\ 0 & \rm{otherwise} \end{cases} $$ जहाँ $$\mathsf{C}$$ प्रत्यास्थ कठोरता टेंसर है, $$\mathcal{P}\boldsymbol{\sigma}$$ क्षेत्र की सीमा पर तनाव की स्थिति का निकटतम बिंदु प्रक्षेपण है जो सभी संभावित प्रत्यास्थ तनाव की स्थिति को सीमित करता है। मात्रा $$\mathcal{P}\boldsymbol{\sigma}$$ आमतौर पर प्लास्टिसिटी समस्या के दर-स्वतंत्र समाधान से पाया जाता है।

प्रवाह तनाव मॉडल
मात्रा $$f(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{q})$$ पराभव सतह के विकास का प्रतिनिधित्व करता है। पराभव फंक्शन $$f$$ इसे अक्सर एक समीकरण के रूप में व्यक्त किया जाता है जिसमें तनाव के कुछ अपरिवर्तनीय और पराभव तनाव (या प्लास्टिक प्रवाह तनाव) के लिए एक मॉडल शामिल होता है। एक उदाहरण वॉन मिज़ पराभव मानदंड या है $$J_2$$ प्लास्टिसिटी उन स्थितियों में प्लास्टिक तनाव दर की गणना दर-स्वतंत्र प्लास्टिसिटी की तरह ही की जाती है। अन्य स्थितियों में, पराभव तनाव मॉडल प्लास्टिक तनाव दर की गणना का एक सीधा साधन प्रदान करता है।

कई अनुभवजन्य और अर्ध-अनुभवजन्य प्रवाह तनाव मॉडल का उपयोग कम्प्यूटेशनल प्लास्टिसिटी के लिए किया जाता है। निम्नलिखित तापमान और तनाव-दर पर निर्भर मॉडल वर्तमान उपयोग में मॉडल का एक नमूना प्रदान करते हैं:
 * 1) जॉनसन-कुक मॉडल
 * 2) स्टाइनबर्ग-कोचरन-गिनान-लुंड मॉडल।
 * 3) ज़ेरिल्ली-आर्मस्ट्रांग मॉडल।
 * 4) मैकेनिकल थ्रेशोल्ड स्ट्रेस मॉडल।
 * 5) प्रेस्टन-टोंक्स-वालेस मॉडल।

जॉनसन-कुक (जेसी) मॉडल यह पूरी तरह से अनुभवजन्य है और पाँचों में से सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। हालाँकि, यह मॉडल उच्च तापमान पर अवास्तविक रूप से छोटी तनाव-दर निर्भरता प्रदर्शित करता है। स्टाइनबर्ग-कोचरन-गिनान-लुंड (एससीजीएल) मॉडल अर्ध-अनुभवजन्य है. मॉडल पूरी तरह से अनुभवजन्य है और उच्च तनाव-दर पर तनाव-दर स्वतंत्र है। एक अव्यवस्था-आधारित विस्तार पर आधारित है कम तनाव-दर पर उपयोग किया जाता है। एससीजीएल मॉडल का उपयोग शॉक भौतिकी समुदाय द्वारा बड़े पैमाने पर किया जाता है। ज़ेरिल्ली-आर्मस्ट्रांग (ZA) मॉडल एक सरल भौतिक आधारित मॉडल है जिसका बड़े पैमाने पर उपयोग किया गया है। एक अधिक जटिल मॉडल जो अव्यवस्था गतिशीलता के विचारों पर आधारित है वह मैकेनिकल थ्रेशोल्ड स्ट्रेस (एमटीएस) मॉडल है। इस मॉडल का उपयोग तांबे, टैंटलम, के प्लास्टिक विरूपण को मॉडल करने के लिए किया गया है। इस्पात की मिश्रधातुएँ, और एल्यूमीनियम मिश्र धातु। हालाँकि, एमटीएस मॉडल लगभग 107/s से कम तनाव-दर तक सीमित है प्रेस्टन-टोंक्स-वालेस (पीटीडब्ल्यू) मॉडल यह भी भौतिक रूप से आधारित है और इसका स्वरूप एमटीएस मॉडल के समान है। हालाँकि, PTW मॉडल में ऐसे घटक होते हैं जो अति-चालित शॉक शासन (तनाव-दर 107/s से अधिक) में प्लास्टिक विरूपण का मॉडल बना सकते हैं). इसलिए यह मॉडल पांच प्रवाह तनाव मॉडलों के बीच तनाव-दर की सबसे बड़ी श्रृंखला के लिए मान्य है।

जॉनसन-कुक प्रवाह तनाव मॉडल
जॉनसन-कुक (जेसी) मॉडल यह पूरी तरह से अनुभवजन्य है और प्रवाह तनाव $$\sigma_y$$ के लिए निम्नलिखित संबंध देता है।
 * $$\text{(1)} \qquad

\sigma_y(\varepsilon_{\rm{p}},\dot{\varepsilon_{\rm{p}}},T) = \left[A + B (\varepsilon_{\rm{p}})^n\right]\left[1 + C \ln(\dot{\varepsilon_{\rm{p}}}^{*})\right] \left[1 - (T^*)^m\right] $$ जहाँ $$\varepsilon_{\rm{p}}$$ अतिसूक्ष्म तनाव सिद्धांत समतुल्य तनाव है, $$\dot{\varepsilon_{\rm{p}}}$$ प्लास्टिक तनाव दर है और $$A, B, C, n, m$$ भौतिक स्थिरांक हैं।

समीकरण (1) में सामान्यीकृत तनाव-दर और तापमान को इस प्रकार परिभाषित किया गया है।

\dot{\varepsilon_{\rm{p}}}^{*} := \cfrac{\dot{\varepsilon_{\rm{p}}}}{\dot{\varepsilon_{\rm{p0}}}} \qquad\text{and}\qquad T^* := \cfrac{(T-T_0)}{(T_m-T_0)} $$ जहाँ $$\dot{\varepsilon_{\rm{p0}}}$$ पराभव और दृढ़ीकरण पैरामीटर A, B और n निर्धारित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले अर्ध-स्थैतिक परीक्षण की प्रभावी प्लास्टिक तनाव-दर है। ऐसा नहीं है क्योंकि इसे अक्सर बनाने के लिए सिर्फ एक पैरामीटर समझा जाता है $$\dot{\varepsilon_{\rm{p}}}^{*}$$ गैर-आयामी. $$T_0$$ एक संदर्भ तापमान है, और $$T_m$$ एक संदर्भ गलनांक है। उन स्थितियों के लिए जहां $$T^* < 0$$, हम मानते हैं कि $$m = 1$$.

स्टाइनबर्ग-कोचरन-गिनान-लुंड प्रवाह तनाव मॉडल
स्टीनबर्ग-कोचरन-गिनान-लुंड (एससीजीएल) मॉडल एक अर्ध-अनुभवजन्य मॉडल है जिसे स्टीनबर्ग एट अल द्वारा विकसित किया गया था। उच्च तनाव-दर स्थितियों के लिए और स्टाइनबर्ग और लुंड द्वारा निम्न तनाव-दर और बीसीसी सामग्री तक विस्तारित किया गया। इस मॉडल में प्रवाह तनाव किसके द्वारा दिया गया है।
 * $$\text{(2)} \qquad

\sigma_y(\varepsilon_{\rm{p}},\dot{\varepsilon_{\rm{p}}},T) = \left[\sigma_a f(\varepsilon_{\rm{p}}) + \sigma_t (\dot{\varepsilon_{\rm{p}}}, T)\right] \frac{\mu(p,T)}{\mu_0}; \quad \sigma_a f \le \sigma_{\text{max}} \text{and} \sigma_t \le \sigma_p $$ जहाँ $$\sigma_a$$ प्रवाह तनाव का एथर्मल घटक है, $$f(\varepsilon_{\rm{p}})$$ एक फ़ंक्शन है जो तनाव दृढ़ीकरण होने का प्रतिनिधित्व करता है, $$\sigma_t$$ प्रवाह तनाव का तापीय रूप से सक्रिय घटक है, $$\mu(p,T)$$ दबाव और तापमान पर निर्भर कतरनी मापांक है, और $$\mu_0$$ मानक तापमान और दबाव पर कतरनी मापांक है। एथर्मल तनाव का संतृप्ति मूल्य है $$\sigma_{\text{max}}$$. थर्मली सक्रिय तनाव की संतृप्ति पीयरल्स तनाव है ($$\sigma_p$$). इस मॉडल के लिए कतरनी मापांक की गणना आमतौर पर कतरनी मापांक|स्टाइनबर्ग-कोक्रेन-गिनान कतरनी मापांक मॉडल के साथ की जाती है।

तनाव दृढ़ीकरण करने का फंक्शन ($$f$$) का स्वरूप है

f(\varepsilon_{\rm{p}}) = [1 + \beta(\varepsilon_{\rm{p}} + \varepsilon_{\rm{p}}i)]^n $$ जहाँ $$\beta, n$$ फंक्शन दृढ़ीकरण करने वाले पैरामीटर हैं, और $$\varepsilon_{\rm{p}}i$$ प्रारंभिक समकक्ष प्लास्टिक तनाव है।

थर्मल घटक ($$\sigma_t$$) की गणना निम्नलिखित समीकरण से द्विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके की जाती है।

\left(1 - \frac{\sigma_t}{\sigma_p}\right)^2\right] + \frac{C_2}{\sigma_t}\right]^{-1}; \quad \sigma_t \le \sigma_p $$

जहाँ $$2 U_k$$ लंबाई के एक अव्यवस्था खंड में किंक-जोड़ी बनाने की ऊर्जा है $$L_d$$, $$k_b$$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है, $$\sigma_p$$ पीयरल्स तनाव है। स्थिरांक $$C_1, C_2$$ संबंधों द्वारा दिए जाते हैं

C_1 := \frac{\rho_d L_d a b^2 \nu}{2 w^2}; \quad C_2 := \frac{D}{\rho_d b^2} $$ जहाँ $$\rho_d$$ अव्यवस्था है, $$L_d$$ एक अव्यवस्था खंड की लंबाई है, $$a$$ पीयरल्स घाटियों के बीच की दूरी है, $$b$$ बर्गर वेक्टर का परिमाण है, $$\nu$$ डिबाई आवृत्ति है, $$w$$ एक पिनिंग बिंदु की चौड़ाई है, और $$D$$ ड्रैग गुणांक है.

ज़ेरिल्ली-आर्मस्ट्रांग प्रवाह तनाव मॉडल
ज़ेरिल्ली-आर्मस्ट्रांग (ZA) मॉडल सरलीकृत अव्यवस्था यांत्रिकी पर आधारित है। प्रवाह तनाव के लिए समीकरण का सामान्य रूप है
 * $$\text{(3)} \qquad

\sigma_y(\varepsilon_{\rm{p}},\dot{\varepsilon_{\rm{p}}},T) = \sigma_a + B\exp(-\beta T) + B_0\sqrt{\varepsilon_{\rm{p}}}\exp(-\alpha T) ~. $$ इस मॉडल में, $$\sigma_a$$ द्वारा दिए गए प्रवाह तनाव का एथर्मल घटक है

\sigma_a := \sigma_g + \frac{k_h}{\sqrt{l}} + K\varepsilon_{\rm{p}}^n, $$ जहाँ $$\sigma_g$$ विलेय और प्रारंभिक अव्यवस्था घनत्व के कारण योगदान है, $$k_h$$ सूक्ष्म संरचनात्मक तनाव की तीव्रता है, $$l$$ औसत अनाज व्यास है, $$K$$ एफसीसी पदार्थ के लिए शून्य है, $$B, B_0$$ भौतिक स्थिरांक हैं.

थर्मली सक्रिय शब्दों में, घातांक के कार्यात्मक रूप $$\alpha$$ और $$\beta$$ हैं

\alpha = \alpha_0 - \alpha_1 \ln(\dot{\varepsilon_{\rm{p}}}); \quad \beta = \beta_0 - \beta_1 \ln(\dot{\varepsilon_{\rm{p}}}); $$ जहाँ $$\alpha_0, \alpha_1, \beta_0, \beta_1$$ पदार्थ पैरामीटर हैं जो पदार्थ के प्रकार (एफसीसी, बीसीसी, एचसीपी, मिश्र धातु) पर निर्भर करते हैं। ज़ेरिल्ली-आर्मस्ट्रांग मॉडल को संशोधित किया गया है उच्च तापमान पर बेहतर प्रदर्शन के लिए.

मैकेनिकल थ्रेशोल्ड तनाव प्रवाह तनाव मॉडल
मैकेनिकल थ्रेशोल्ड स्ट्रेस (एमटीएस) मॉडल ) का स्वरूप है
 * $$\text{(4)} \qquad

\sigma_y(\varepsilon_{\rm{p}},\dot{\varepsilon},T) = \sigma_a + (S_i \sigma_i + S_e \sigma_e)\frac{\mu(p,T)}{\mu_0} $$ जहाँ $$\sigma_a$$ यांत्रिक थ्रेशोल्ड तनाव का एथर्मल घटक है, $$\sigma_i$$ थर्मली सक्रिय अव्यवस्था गति और अव्यवस्था-अव्यवस्था इंटरैक्शन के लिए आंतरिक बाधाओं के कारण प्रवाह तनाव का घटक है, $$\sigma_e$$ बढ़ती विकृति (तनाव हार्डनिंग) के साथ सूक्ष्म संरचनात्मक विकास के कारण प्रवाह तनाव का घटक है, ($$S_i, S_e$$) तापमान और तनाव-दर पर निर्भर स्केलिंग कारक हैं, और $$\mu_0$$ 0 K और परिवेशीय दबाव पर कतरनी मापांक है।

स्केलिंग कारक अरहेनियस समीकरण का रूप लेते हैं
 * $$\begin{align}

S_i & = \left[1 - \left(\frac{k_b~T}{g_{0i}b^3\mu(p,T)} \ln\frac{\dot{\varepsilon_{\rm{0}}}}{\dot{\varepsilon}}\right)^{1/q_i} \right]^{1/p_i} \\ S_e & = \left[1 - \left(\frac{k_b~T}{g_{0e}b^3\mu(p,T)} \ln\frac{\dot{\varepsilon_{\rm{0}}}}{\dot{\varepsilon}}\right)^{1/q_e} \right]^{1/p_e} \end{align}$$ जहाँ $$k_b$$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है, $$b$$ बर्गर वेक्टर का परिमाण है, ($$g_{0i}, g_{0e}$$) सामान्यीकृत सक्रियण ऊर्जाएं हैं, ($$\dot{\varepsilon}, \dot{\varepsilon_{\rm{0}}}$$) तनाव-दर और संदर्भ तनाव-दर हैं, और ($$q_i, p_i, q_e, p_e$$) स्थिरांक हैं.

यांत्रिक थ्रेशोल्ड तनाव का तनाव दृढ़ीकरण करने वाला घटक ($$\sigma_e$$) एक अनुभवजन्य संशोधित स्वर नियम द्वारा दिया गया है
 * $$\text{(5)} \qquad

\frac{d\sigma_e}{d\varepsilon_{\rm{p}}} = \theta(\sigma_e) $$ जहाँ
 * $$\begin{align}

\theta(\sigma_e) & = \theta_0 [ 1 - F(\sigma_e)] + \theta_{IV} F(\sigma_e) \\ \theta_0 & = a_0 + a_1 \ln \dot{\varepsilon_{\rm{p}}} + a_2 \sqrt{\dot{\varepsilon_{\rm{p}}}} - a_3 T \\ F(\sigma_e) & = \cfrac{\tanh\left(\alpha \cfrac{\sigma_e}{\sigma_{es}}\right)} {\tanh(\alpha)}\\ \ln(\cfrac{\sigma_{es}}{\sigma_{0es}}) & = \left(\frac{kT}{g_{0es} b^3 \mu(p,T)}\right) \ln\left(\cfrac{\dot{\varepsilon_{\rm{p}}}}{\dot{\varepsilon_{\rm{p}}}}\right) \end{align}$$ और $$\theta_0$$ अव्यवस्था संचय के कारण दृढ़ीकरण होना है, $$\theta_{IV}$$ चरण-IV दृढ़ीकरण के कारण योगदान है, ($$a_0, a_1, a_2, a_3, \alpha$$) स्थिरांक हैं, $$\sigma_{es}$$ शून्य तनाव दृढ़ीकरण दर पर तनाव है, $$\sigma_{0es}$$ 0 K पर विरूपण के लिए संतृप्ति सीमा तनाव है, $$g_{0es}$$ एक स्थिरांक है, और $$\dot{\varepsilon_{\rm{p}}}$$ अधिकतम तनाव-दर है. ध्यान दें कि अधिकतम तनाव-दर आमतौर पर लगभग तक सीमित होती है $$10^7$$/s।

प्रेस्टन-टोंक्स-वालेस प्रवाह तनाव मॉडल
प्रेस्टन-टोंक्स-वालेस (पीटीडब्ल्यू) मॉडल अत्यधिक तनाव-दर (1011/s तक) के लिए प्रवाह तनाव के लिए एक मॉडल प्रदान करने का प्रयास किया गया है) और तापमान पिघलने तक। मॉडल में एक रैखिक वोस दृढ़ीकरण नियम का उपयोग किया जाता है। पीटीडब्ल्यू प्रवाह तनाव द्वारा दिया जाता है
 * $$\text{(6)} \qquad

\sigma_y(\varepsilon_{\rm{p}},\dot{\varepsilon_{\rm{p}}},T) = \begin{cases} 2\left[\tau_s + \alpha\ln\left[1 - \varphi \exp\left(-\beta-\cfrac{\theta\varepsilon_{\rm{p}}}{\alpha\varphi}\right)\right]\right] \mu(p,T) & \text{thermal regime} \\ 2\tau_s\mu(p,T) & \text{shock regime} \end{cases} $$ साथ

\alpha := \frac{s_0 - \tau_y}{d}; \quad \beta := \frac{\tau_s - \tau_y}{\alpha}; \quad \varphi := \exp(\beta) - 1 $$ जहाँ $$\tau_s$$ एक सामान्यीकृत फंक्शन-दृढ़ीकरण संतृप्ति तनाव है, $$s_0$$ का मूल्य है $$\tau_s$$ 0K पर, $$\tau_y$$ एक सामान्यीकृत पराभव तनाव है, $$\theta$$ वोस दृढ़ीकरण नियम में दृढ़ीकरण स्थिरांक है, और $$d$$ एक आयामहीन पदार्थ पैरामीटर है जो वॉयस दृढ़ीकरण नियम को संशोधित करता है।

संतृप्ति तनाव और पराभव तनाव द्वारा दिया जाता है
 * $$\begin{align}

\tau_s & = \max\left\{s_0 - (s_0 - s_{\infty}) \rm{erf}\left[\kappa \hat{T}\ln\left(\cfrac{\gamma\dot{\xi}}{\dot{\varepsilon_{\rm{p}}}}\right)\right], s_0\left(\cfrac{\dot{\varepsilon_{\rm{p}}}}{\gamma\dot{\xi}}\right)^{s_1}\right\} \\ \tau_y & = \max\left\{y_0 - (y_0 - y_{\infty}) \rm{erf}\left[\kappa \hat{T}\ln\left(\cfrac{\gamma\dot{\xi}}{\dot{\varepsilon_{\rm{p}}}}\right)\right], \min\left\{ y_1\left(\cfrac{\dot{\varepsilon_{\rm{p}}}}{\gamma\dot{\xi}}\right)^{y_2}, s_0\left(\cfrac{\dot{\varepsilon_{\rm{p}}}}{\gamma\dot{\xi}}\right)^{s_1}\right\}\right\} \end{align}$$ जहाँ $$s_{\infty}$$ का मूल्य है $$\tau_s$$ पिघले हुए तापमान के समीप, ($$y_0, y_{\infty}$$) के मान हैं $$\tau_y$$ क्रमशः 0 K पर और पिघलने के समीप, $$(\kappa, \gamma)$$ भौतिक स्थिरांक हैं, $$\hat{T} = T/T_m$$, ($$s_1, y_1, y_2$$) उच्च तनाव-दर व्यवस्था के लिए भौतिक पैरामीटर हैं, और

\dot{\xi} = \frac{1}{2}\left(\cfrac{4\pi\rho}{3M}\right)^{1/3} \left(\cfrac{\mu(p,T)}{\rho}\right)^{1/2} $$ जहाँ $$\rho$$ घनत्व है, और $$M$$ परमाणु द्रव्यमान है.

यह भी देखें

 * श्यानप्रत्यास्थता
 * बिंघम प्लास्टिक
 * डैशपॉट
 * क्रीप (विरूपण)
 * प्लास्टिसिटी (भौतिकी)
 * सातत्यक यांत्रिकी
 * अर्ध-ठोस