एटलस (टोपोलॉजी)

गणित में, विशेष रूप से टोपोलॉजी में, एक एटलस का उपयोग करके कई गुना वर्णन करता है। एटलस में अलग-अलग 'चार्ट' होते हैं, जो मोटे तौर पर कई गुना के अलग-अलग क्षेत्रों का वर्णन करते हैं। यदि मैनिफोल्ड पृथ्वी की सतह है, तो एटलस का अधिक सामान्य अर्थ होता है। सामान्य तौर पर, एटलस की धारणा कई गुना और संबंधित संरचनाओं जैसे वेक्टर बंडलों और अन्य फाइबर बंडलों की औपचारिक परिभाषा को रेखांकित करती है।

चार्ट
एटलस की परिभाषा चार्ट की धारणा पर निर्भर करती है। टोपोलॉजिकल स्पेस एम के लिए एक 'चार्ट' (जिसे 'कोऑर्डिनेट चार्ट', 'कोऑर्डिनेट पैच', 'कोऑर्डिनेट मैप' या 'लोकल फ्रेम' भी कहा जाता है) एक होमियोमॉर्फिज्म है। $$\varphi$$ M के खुले समुच्चय U से यूक्लिडियन स्थान के खुले उपसमुच्चय तक। चार्ट को पारंपरिक रूप से आदेशित जोड़ी के रूप में दर्ज किया जाता है $$(U, \varphi)$$.

एटलस की औपचारिक परिभाषा
टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए एटलस $$M$$ एक अनुक्रमित परिवार है $$\{(U_{\alpha}, \varphi_{\alpha}) : \alpha \in I\}$$ चार्ट पर $$M$$ कौन सा कवर (टोपोलॉजी) $$M$$ (वह है, $\bigcup_{\alpha\in I} U_{\alpha} = M$ ) यदि प्रत्येक चार्ट का कोडोमैन n-आयामी यूक्लिडियन स्थान है, तो $$M$$ एक एन-आयामी कई गुना कहा जाता है।

एटलस का बहुवचन एटलस है, हालांकि कुछ लेखक अटलांटिस का उपयोग करते हैं। एक एटलस $$\left( U_i, \varphi_i \right)_{i \in I}$$ एक पर $$n$$-आयामी कई गुना $$M$$ एक पर्याप्त एटलस कहा जाता है यदि प्रत्येक चार्ट की छवि (गणित) या तो है $$\R^n$$ या $$\R_+^n$$, $$\left( U_i \right)_{i \in I}$$ का एक स्थानीय रूप से परिमित संग्रह खुला कवर है $$M$$, तथा $M = \bigcup_{i \in I} \varphi_i^{-1}\left( B_1 \right)$, कहाँ पे $$B_1$$ त्रिज्या 1 की खुली गेंद मूल बिंदु पर केंद्रित है और $$\R_+^n$$ बंद आधा स्थान है। प्रत्येक दूसरा-गणनीय मैनिफोल्ड पर्याप्त एटलस स्वीकार करता है। इसके अलावा, अगर $$\mathcal{V} = \left( V_j \right)_{j \in J}$$ दूसरे-गणनीय मैनिफोल्ड का एक खुला आवरण है $$M$$ तब एक पर्याप्त एटलस है $$\left( U_i, \varphi_i \right)_{i \in I}$$ पर $$M$$ ऐसा है कि $$\left( U_i\right)_{i \in I}$$ का शोधन है $$\mathcal{V}$$.

संक्रमण मानचित्र
एक ट्रांज़िशन मैप एक एटलस के दो चार्ट की तुलना करने का एक तरीका प्रदान करता है। यह तुलना करने के लिए, हम एक चार्ट की संरचना पर दूसरे के व्युत्क्रम फ़ंक्शन के साथ विचार करते हैं। यह रचना तब तक अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है जब तक कि हम दोनों चार्ट को परिभाषा के एक फ़ंक्शन के उनके डोमेन के इंटरसेक्शन (सेट थ्योरी) तक सीमित न कर दें। (उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास यूरोप का चार्ट और रूस का चार्ट है, तो हम इन दो चार्टों की तुलना उनके ओवरलैप, अर्थात् रूस के यूरोपीय भाग पर कर सकते हैं।)

अधिक सटीक होने के लिए, मान लीजिए कि $$(U_{\alpha}, \varphi_{\alpha})$$ तथा $$(U_{\beta}, \varphi_{\beta})$$ कई गुना एम के लिए दो चार्ट हैं जैसे कि $$U_{\alpha} \cap U_{\beta}$$ खाली सेट है | खाली नहीं है। संक्रमण नक्शा $$ \tau_{\alpha,\beta}: \varphi_{\alpha}(U_{\alpha} \cap U_{\beta}) \to \varphi_{\beta}(U_{\alpha} \cap U_{\beta})$$ नक्शा परिभाषित किया गया है $$\tau_{\alpha,\beta} = \varphi_{\beta} \circ \varphi_{\alpha}^{-1}.$$ ध्यान दें कि चूंकि $$\varphi_{\alpha}$$ तथा $$\varphi_{\beta}$$ दोनों होमोमोर्फिज्म हैं, संक्रमण मानचित्र $$ \tau_{\alpha, \beta}$$ एक होमियोमॉर्फिज्म भी है।

अधिक संरचना
अक्सर टोपोलॉजिकल संरचना की तुलना में कई गुना अधिक संरचना की इच्छा होती है। उदाहरण के लिए, यदि कोई कई गुना कार्यों के विभेदन (गणित) की एक स्पष्ट धारणा चाहता है, तो एक एटलस का निर्माण करना आवश्यक है, जिसके संक्रमण कार्य अवकलनीय कार्य हैं। इस तरह के कई गुना को डिफरेंशियल मैनिफोल्ड कहा जाता है। एक अलग-अलग मैनिफोल्ड को देखते हुए, कोई स्पष्ट रूप से स्पर्शरेखा वैक्टर और फिर दिशात्मक डेरिवेटिव की धारणा को परिभाषित कर सकता है।

यदि प्रत्येक ट्रांज़िशन फ़ंक्शन एक स्मूथ मैप है, तो एटलस को एक स्मूथ स्ट्रक्चर कहा जाता है, और मैनिफोल्ड को डिफरेंशियल मैनिफोल्ड # डेफिनिशन कहा जाता है। वैकल्पिक रूप से, किसी को यह आवश्यकता हो सकती है कि संक्रमण मानचित्रों में केवल k सतत व्युत्पन्न हों, जिस स्थिति में एटलस को कहा जाता है $$ C^k $$.

बहुत आम तौर पर, यदि प्रत्येक संक्रमण फ़ंक्शन एक छद्म समूह से संबंधित है $$ \mathcal G$$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष के होमोमोर्फिज्म, तो एटलस को कहा जाता है a $$\mathcal G$$एटलस। यदि एक एटलस के चार्ट के बीच संक्रमण मानचित्र एक स्थानीय तुच्छीकरण को संरक्षित करता है, तो एटलस एक फाइबर बंडल की संरचना को परिभाषित करता है।

यह भी देखें

 * चिकना एटलस
 * चिकना फ्रेम

संदर्भ

 * , Chapter 5 "Local coordinate description of fibre bundles".
 * , Chapter 5 "Local coordinate description of fibre bundles".
 * , Chapter 5 "Local coordinate description of fibre bundles".
 * , Chapter 5 "Local coordinate description of fibre bundles".
 * , Chapter 5 "Local coordinate description of fibre bundles".

बाहरी संबंध

 * Atlas by Rowland, Todd