आंशिक निर्देशांक

क्रिस्टलोग्राफी में, एक आंशिक समन्वय प्रणाली (क्रिस्टल समन्वय प्रणाली) एक समन्वय प्रणाली है जिसमें अंतरिक्ष का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले वैक्टर एक क्रिस्टल (आवधिक) पैटर्न के जाली वैक्टर हैं। एक मूल और एक आधार का चयन एक इकाई सेल को परिभाषित करता है, एक समानांतर चतुर्भुज (अर्थात, एक समानांतर चतुर्भुज का सामान्यीकरण (2D) या समानांतर चतुर्भुज (3D) उच्च आयामों में) जाली आधार वैक्टर द्वारा परिभाषित $$ \mathbf {a}_1, \mathbf {a}_2, \dots, \mathbf {a}_d $$ कहाँ $$ d $$ अंतरिक्ष का आयाम है। ये आधार वैक्टर जाली मापदंडों (जाली स्थिरांक) द्वारा वर्णित हैं, जिसमें जाली आधार वैक्टर की लंबाई शामिल है $$ a_1, a_2, \dots, a_d$$ और उनके बीच के कोण $$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{\frac{d(d-1)}{2}}$$.

क्रिस्टलोग्राफी में अधिकांश मामलों में दो या तीन आयामी स्थान शामिल होते हैं जिसमें आधार वैक्टर होते हैं $$ \mathbf {a}_1, \mathbf {a}_2, \mathbf {a}_3 $$ आमतौर पर के रूप में प्रदर्शित होते हैं $$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$$ उनकी लंबाई और कोण द्वारा निरूपित किया गया $$a, b, c$$ और $$\alpha, \beta, \gamma$$ क्रमश। :

क्रिस्टल संरचना
एक क्रिस्टल संरचना को क्रिस्टल के भीतर परमाणुओं के स्थानिक वितरण के रूप में परिभाषित किया जाता है, आमतौर पर एक अनंत क्रिस्टल पैटर्न के विचार से तैयार किया जाता है। एक अनंत क्रिस्टल पैटर्न अनंत 3डी आवधिक सरणी को संदर्भित करता है जो एक क्रिस्टल से मेल खाता है, जिसमें सरणी की आवधिकताओं की लंबाई को मनमाने ढंग से छोटा नहीं किया जा सकता है। ज्यामितीय बदलाव जो एक क्रिस्टल संरचना को स्वयं के साथ संयोग करता है, को क्रिस्टल संरचना का एक समरूपता अनुवाद (अनुवाद) कहा जाता है। इस शिफ्ट से संबंधित वेक्टर को ट्रांसलेशन वेक्टर कहा जाता है $$ \mathbf{t} $$. चूँकि एक क्रिस्टल पैटर्न आवधिक होता है, अनुवाद वैक्टर के सभी पूर्णांक रैखिक संयोजन भी स्वयं अनुवाद वैक्टर होते हैं,

$$\mathbf{t} = c_1\mathbf{t}_1+c_2\mathbf{t}_2 \text { where } c_1, c_2 \in \mathbb{Z}$$

जाली
वेक्टर जाली (समूह) (जाली) $$ \mathbf{T} $$ एक क्रिस्टल पैटर्न के सभी अनुवाद वैक्टरों से युक्त अनंत सेट के रूप में परिभाषित किया गया है। सदिश जालक में प्रत्येक सदिश को जालक सदिश कहा जाता है। सदिश जालक से बिंदु जालक का निर्माण संभव है। यह एक मूल का चयन करके किया जाता है $$X_0$$ स्थिति वेक्टर के साथ $$\mathbf{x}_0$$. समापन बिंदु $$X_i$$ प्रत्येक वैक्टर में से $$\mathbf{x}_i = \mathbf{x}_0 + \mathbf{t}_i$$ की बिंदु जाली बनाओ $$X_0$$ और $$\mathbf{T}$$. एक बिंदु जालक में प्रत्येक बिंदु की आवधिकता होती है, अर्थात प्रत्येक बिंदु समान होता है और उसका परिवेश समान होता है। किसी भी सदिश जाली के लिए किसी भी मनमाने मूल के रूप में अनंत संख्या में बिंदु जाली मौजूद हैं $$X_0$$ वेक्टर जाली के जाली वैक्टर के साथ चुना और जोड़ा जा सकता है। एक अनुवाद के माध्यम से एक दूसरे के साथ संयोग किए गए बिंदुओं या कणों को अनुवाद समतुल्य कहा जाता है।

सामान्य समन्वय प्रणाली
आमतौर पर किसी स्थान का ज्यामितीय रूप से वर्णन करते समय, एक समन्वय प्रणाली का उपयोग किया जाता है जिसमें उत्पत्ति का एक विकल्प होता है और एक आधार (रैखिक बीजगणित) होता है। $$ d $$ रैखिक रूप से स्वतंत्र, गैर समतलीय आधार सदिश $$ \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \dots, \mathbf{a}_d $$, कहाँ $$ d $$ वर्णित अंतरिक्ष का आयाम है। इस समन्वय प्रणाली के संदर्भ में, अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु को निर्दिष्ट किया जा सकता है $$d$$ निर्देशांक (एक समन्वय $$d$$-टुपल)। मूल में निर्देशांक हैं $$(0, 0,\dots,0)$$ और एक मनमाने बिंदु के निर्देशांक हैं $$(x_1,x_2,...,x_d)$$. स्थिति वेक्टर $$ \vec{OP} $$ तब है,

$$\vec{OP} = \mathbf{x} = \sum_{i=1}^{d} x_i\mathbf{a}_i$$ में $$d$$-आयाम, आधार सदिशों की लंबाई निरूपित की जाती है $$a_1, a_2, \dots, a_d$$ और उनके बीच के कोण $$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{\frac{d(d-1)}{2}}$$. हालांकि, क्रिस्टलोग्राफी में ज्यादातर मामलों में दो या तीन आयामी स्थान शामिल होते हैं जिसमें आधार वैक्टर होते हैं $$ \mathbf {a}_1, \mathbf {a}_2, \mathbf {a}_3 $$ आमतौर पर के रूप में प्रदर्शित होते हैं $$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$$ उनकी लंबाई और कोण द्वारा निरूपित किया गया $$a, b, c$$ और $$\alpha, \beta, \gamma$$ क्रमश।

कार्टेशियन समन्वय प्रणाली
एक व्यापक रूप से इस्तेमाल की जाने वाली समन्वय प्रणाली कार्टेशियन समन्वय प्रणाली है, जिसमें ऑर्थोनॉर्मलिटी बेस वैक्टर होते हैं। इस का मतलब है कि,

$$a_1 = |\mathbf{a}_1| = a_2 = |\mathbf{a}_2| = \dots = a_d = |\mathbf{a}_d| = 1$$ और $$\alpha_1 = \alpha_2 = \dots = \alpha_{\frac{d(d-1)}{2}} = 90^\circ$$ हालांकि, क्रिस्टलीय या आवधिक संरचना वाली वस्तुओं का वर्णन करते समय एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली अक्सर सबसे उपयोगी नहीं होती है क्योंकि यह अक्सर जाली के समरूपता को सरलतम तरीके से प्रतिबिंबित नहीं करती है।

आंशिक (क्रिस्टल) समन्वय प्रणाली
क्रिस्टलोग्राफी में, एक क्रिस्टल पैटर्न (या अंतरिक्ष में किसी अन्य आवधिक पैटर्न) के अंतर्निहित जाली की समरूपता को बेहतर ढंग से दर्शाने के लिए एक भिन्नात्मक समन्वय प्रणाली का उपयोग किया जाता है। एक आंशिक समन्वय प्रणाली में समन्वय प्रणाली के आधार वैक्टर को जाली वैक्टर के रूप में चुना जाता है और आधार को तब क्रिस्टलोग्राफिक आधार (या जाली आधार) कहा जाता है।

जाली के आधार पर, कोई जाली वेक्टर $$\mathbf{t}$$ के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है,

$$\mathbf{t} = \sum_{i=1}^{d} c_i\mathbf{a}_i \text{ where } c_i \in \mathbb{Q}$$ एक क्रिस्टल पैटर्न के लिए अनंत संख्या में जालीदार आधार होते हैं। हालाँकि, इन्हें इस तरह से चुना जा सकता है कि पैटर्न का सबसे सरल विवरण प्राप्त किया जा सके। इन आधारों का उपयोग क्रिस्टलोग्राफी वॉल्यूम ए के अंतर्राष्ट्रीय तालिकाओं में किया जाता है और इन्हें पारंपरिक आधार कहा जाता है। एक जालीदार आधार $$\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, ..., \mathbf{a}_d$$ आदिम कहा जाता है यदि आधार वैक्टर जाली वैक्टर और सभी जाली वैक्टर हैं $$\mathbf{t}$$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,

$$\mathbf{t} = \sum_{i=1}^{d} c_i \mathbf{a}_i \text{ where } c_i \in \mathbb{Z}$$ हालांकि, क्रिस्टल पैटर्न के पारंपरिक आधार को हमेशा आदिम होने के लिए नहीं चुना जाता है। इसके बजाय, इसे चुना जाता है ताकि ऑर्थोगोनल आधार वैक्टर की संख्या अधिकतम हो। इसका परिणाम उपरोक्त समीकरणों के कुछ गुणांक भिन्नात्मक होते हैं। एक जाली जिसमें पारंपरिक आधार आदिम होता है, उसे आदिम जाली कहा जाता है, जबकि एक गैर-आदिम पारंपरिक आधार वाली जाली को केंद्रित जाली कहा जाता है।

एक उत्पत्ति और एक आधार का चुनाव एक इकाई सेल की पसंद का तात्पर्य है जिसे क्रिस्टल पैटर्न का वर्णन करने के लिए आगे इस्तेमाल किया जा सकता है। यूनिट सेल को समांतरोटोप के रूप में परिभाषित किया गया है (अर्थात, उच्च आयामों में समांतर चतुर्भुज (2D) या समानांतर चतुर्भुज (3D) का सामान्यीकरण) जिसमें सभी बिंदुओं के निर्देशांक ऐसे हैं कि, $$0 \leq x_1,x_2,\dots,x_d < 1$$.

इसके अलावा, यूनिट सेल के बाहर के बिंदुओं को मानकीकरण के माध्यम से यूनिट सेल के अंदर रूपांतरित किया जा सकता है, यह सुनिश्चित करने के लिए अंकों के निर्देशांक में पूर्णांकों का जोड़ या घटाव $$0 \leq x_1,x_2,\dots,x_d < 1$$. एक भिन्नात्मक समन्वय प्रणाली में, आधार सदिशों की लंबाई $$\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, ..., \mathbf{a}_d$$ और उनके बीच के कोण $$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{\frac{d(d-1)}{2}}$$ जाली के जाली पैरामीटर (जाली स्थिरांक) कहलाते हैं। दो और तीन आयामों में, ये यूनिट सेल के किनारों के बीच की लंबाई और कोणों के अनुरूप हैं।

अंतरिक्ष में एक बिंदु के भिन्नात्मक निर्देशांक $$\rho = (\rho_{x_1}, \rho_{x_2}, \dots, \rho_{x_d})$$ जाली आधार वैक्टर के रूप में परिभाषित किया गया है,

$$\rho = \rho_{x_1}\mathbf{a}_1 + \rho_{x_2}\mathbf{a}_2 + \dots + \rho_{x_d}\mathbf{a}_d \text{ where } \rho \in [0,1)$$

भिन्नात्मक और कार्तीय निर्देशांक
के बीच सामान्य परिवर्तन

तीन आयाम
आंशिक और कार्टेशियन निर्देशांक के बीच संबंध को मैट्रिक्स परिवर्तन द्वारा वर्णित किया जा सकता है $$ \mathbf{r} = \mathbf{A}\boldsymbol\rho $$:

$$\begin{pmatrix} r_{x_1} \\ r_{x_2} \\ r_{x_3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 \sin (\alpha_2 ) \sqrt{1-(\cot (\alpha_1 ) \cot (\alpha_2 )-\csc (\alpha_1 ) \csc (\alpha_2 ) \cos (\alpha_3 ))^2} & 0 & 0 \\ a_1 \csc (\alpha_1 ) \cos (\alpha_3 )-a_1 \cot (\alpha_1 ) \cos (\alpha_2 ) & a_2 \sin (\alpha_1 ) & 0 \\ a_1 \cos (\alpha_2 ) & a_2 \cos (\alpha_1 ) & a_3 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \rho_{x_1} \\ \rho_{x_2} \\ \rho_{x_3} \end{pmatrix}$$ इसी तरह, कार्टेशियन निर्देशांक को मैट्रिक्स परिवर्तन का उपयोग करके भिन्नात्मक निर्देशांक में परिवर्तित किया जा सकता है $$ \mathbf{r} = \mathbf{A}^{-1}\boldsymbol\rho $$:

$$ \begin{pmatrix} \rho_{x_1} \\ \rho_{x_2} \\ \rho_{x_3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\csc (\alpha_2 )}{a_1 \sqrt{1-(\cot (\alpha_1 ) \cot (\alpha_2 )-\csc (\alpha_1 ) \csc (\alpha_2 ) \cos (\alpha_3 ))^2}} & 0 & 0 \\ \frac{\csc ^2(\alpha_1 ) \csc (\alpha_2 ) (\cos (\alpha_1 ) \cos (\alpha_2 )-\cos (\alpha_3 ))}{a_2 \sqrt{1-(\cot (\alpha_1 ) \cot  (\alpha_2 )-\csc (\alpha_1 ) \csc (\alpha_2 ) \cos (\alpha_3 ))^2}} & \frac{\csc (\alpha_1 )}{a_2} & 0 \\ \frac{\csc (\alpha ) (\cot (\alpha_1 ) \csc (\alpha_2 ) \cos (\alpha_3 )-\csc (\alpha_1 ) \cot (\alpha_2 ))}{a_3 \sqrt{1-(\cot  (\alpha_1 ) \cot (\alpha_2 )-\csc (\alpha_1 ) \csc (\alpha_2 ) \cos (\alpha_3 ))^2}} & -\frac{\cot (\alpha_1 )}{a_3} & \frac{1}{a_3} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r_{x_1} \\ r_{x_2} \\ r_{x_3} \end{pmatrix} $$

सेल टेंसर
का उपयोग करके परिवर्तन भिन्नात्मक और कार्टेशियन निर्देशांक के बीच परिवर्तित करने की एक अन्य सामान्य विधि में सेल टेन्सर का उपयोग शामिल है $$\mathbf{h}$$ जिसमें कार्टेसियन निर्देशांक में व्यक्त अंतरिक्ष के प्रत्येक आधार वैक्टर शामिल हैं।

सेल टेंसर
कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में 2 आधार सदिशों को a द्वारा प्रदर्शित किया जाता है $$2 \times 2$$ सेल टेंसर $$\mathbf{h}$$:

$$\mathbf{h} = \begin{pmatrix} \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 \end{pmatrix}^\operatorname{T} = \begin{pmatrix} a_{1,x_1} & a_{1,x_2} \\ a_{2,x_1} & a_{2,x_2} \end{pmatrix}$$ यूनिट सेल का क्षेत्रफल, $$A$$, सेल मैट्रिक्स के निर्धारक द्वारा दिया गया है:

$$ A = \det(\mathbf{h}) = a_{1,x_1}a_{2,x_2} - a_{1,x_2}a_{2,x_2}$$ एक वर्ग या आयताकार इकाई सेल के विशेष मामले के लिए, मैट्रिक्स विकर्ण है, और हमारे पास वह है:

$$A = \det(\mathbf{h}) = a_{1,x_1}a_{2,x_2}$$

भिन्नात्मक और कार्तीय निर्देशांक के बीच संबंध
आंशिक और कार्टेशियन निर्देशांक के बीच संबंध को मैट्रिक्स परिवर्तन द्वारा वर्णित किया जा सकता है $$ \mathbf{r} = \mathbf{h}\boldsymbol\rho $$:

$$ \begin{pmatrix} r_{x_1} \\ r_{x_2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1,x_1} & a_{1,x_2} \\ a_{2,x_1} & a_{2,x_2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \rho_{x_1}  \\ \rho_{x_2} \end{pmatrix} $$ इसी तरह, कार्टेशियन निर्देशांक को मैट्रिक्स परिवर्तन का उपयोग करके भिन्नात्मक निर्देशांक में परिवर्तित किया जा सकता है $$ \boldsymbol\rho = \mathbf{h}^{-1}\mathbf{r} $$:

$$ \begin{pmatrix} \rho_{x_1} \\ \rho_{x_2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1,x_1} & a_{1,x_2} \\ a_{2,x_1} & a_{2,x_2} \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} r_{x_1}  \\ r_{x_2} \end{pmatrix} $$

सेल टेंसर
कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में 3 आधार सदिशों को a द्वारा प्रदर्शित किया जाता है $$3 \times 3$$ सेल टेंसर $$\mathbf{h}$$:

$$\mathbf{h} = \begin{pmatrix} \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 & \mathbf{a}_3 \end{pmatrix}^\operatorname{T} = \begin{pmatrix} a_{1,x_1} & a_{1,x_2} & a_{1,x_3} \\ a_{2,x_1} & a_{2,x_2} & a_{2,x_3} \\ a_{3,x_1} & a_{3,x_2} & a_{3,x_3} \end{pmatrix}$$ यूनिट सेल का आयतन, $$V$$, सेल टेंसर के निर्धारक द्वारा दिया गया है:

$$V = \det(\mathbf{h}) = a_{1,x_1}(a_{2,x_2}a_{3,x_3}-a_{2,x_3}a_{3,x_2}) - a_{1,x_2}(a_{2,x_1}a_{3,x_3} - a_{2,x_3}a_{3,x_1}) - a_{1,x_3}(a_{2,x_1}a_{3,x_2} - a_{2,x_2}a_{3,x_1})$$ क्यूबिक, टेट्रागोनल या ऑर्थोरोम्बिक सेल के विशेष मामले के लिए, मैट्रिक्स विकर्ण है, और हमारे पास वह है:

$$V = \det(\mathbf{h}) = a_{1,x_1}a_{2,x_2}a_{3,x_3}$$

भिन्नात्मक और कार्तीय निर्देशांक के बीच संबंध
आंशिक और कार्टेशियन निर्देशांक के बीच संबंध को मैट्रिक्स परिवर्तन द्वारा वर्णित किया जा सकता है $$ \mathbf{r} = \mathbf{h}\boldsymbol\rho $$:

$$ \begin{pmatrix} r_{x_1} \\ r_{x_2} \\ r_{x_3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1,x_1} & a_{1,x_2} & a_{1,x_3} \\ a_{2,x_1} & a_{2,x_2} & a_{2,x_3} \\ a_{d,x_1} & a_{d,x_2} & a_{d,x_d} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \rho_{x_1}  \\ \rho_{x_2} \\ \rho_{x_3} \end{pmatrix} $$ इसी तरह, कार्टेशियन निर्देशांक को मैट्रिक्स परिवर्तन का उपयोग करके भिन्नात्मक निर्देशांक में परिवर्तित किया जा सकता है $$ \boldsymbol\rho = \mathbf{h}^{-1}\mathbf{r} $$:

$$ \begin{pmatrix} \rho_{x_1} \\ \rho_{x_2} \\ \rho_{x_3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1,x_1} & a_{1,x_2} & a_{1,x_3} \\ a_{2,x_1} & a_{2,x_2} & a_{2,x_3} \\ a_{d,x_1} & a_{d,x_2} & a_{d,x_d} \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} r_{x_1}  \\ r_{x_2} \\ r_{x_3} \end{pmatrix} $$

सेल टेंसर
कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में $$ d $$ आधार वैक्टर एक द्वारा प्रतिनिधित्व कर रहे हैं $$d \times d$$ सेल टेंसर $$\mathbf{h}$$:

$$\mathbf{h} = \begin{pmatrix} \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 & \dots & \mathbf{a}_d \end{pmatrix}^\operatorname{T} = \begin{pmatrix} a_{1,x_1} & a_{1,x_2} & \dots & a_{1,x_d} \\ a_{2,x_1} & a_{2,x_2} & \dots & a_{2,x_d} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{d,x_1} & a_{d,x_2} & \dots & a_{d,x_d} \end{pmatrix}$$ यूनिट सेल का हाइपरवोल्यूम, $$V$$, सेल टेंसर के निर्धारक द्वारा दिया गया है:

$$V = \det(\mathbf{h})$$

भिन्नात्मक और कार्तीय निर्देशांक के बीच संबंध
आंशिक और कार्टेशियन निर्देशांक के बीच संबंध को मैट्रिक्स परिवर्तन द्वारा वर्णित किया जा सकता है $$ \mathbf{r} = \mathbf{h}\boldsymbol\rho $$:

$$ \begin{pmatrix} r_{x_1} \\ r_{x_2} \\ \vdots \\ r_{x_d} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1,x_1} & a_{1,x_2} & \dots & a_{1,x_d} \\ a_{2,x_1} & a_{2,x_2} & \dots & a_{2,x_d} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{d,x_1} & a_{d,x_2} & \dots & a_{d,x_d} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \rho_{x_1}  \\ \rho_{x_2} \\ \vdots \\ \rho_{x_d} \end{pmatrix} $$ इसी तरह, कार्तीय निर्देशांक को परिवर्तन का उपयोग करके वापस भिन्नात्मक निर्देशांक में परिवर्तित किया जा सकता है $$ \boldsymbol\rho = \mathbf{h}^{-1}\mathbf{r} $$:

$$ \begin{pmatrix} \rho_{x_1}  \\ \rho_{x_2} \\ \vdots \\ \rho_{x_d} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1,x_1} & a_{1,x_2} & \dots & a_{1,x_d} \\ a_{2,x_1} & a_{2,x_2} & \dots & a_{2,x_d} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{d,x_1} & a_{d,x_2} & \dots & a_{d,x_d} \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} r_{x_1}  \\ r_{x_2} \\ \vdots \\ r_{x_d} \end{pmatrix} $$

मीट्रिक टेंसर
का उपयोग करके दो और तीन आयामों में सेल गुणों का निर्धारण मीट्रिक टेंसर $$\mathbf{G}$$ कभी-कभी यूनिट सेल से जुड़ी गणनाओं के लिए प्रयोग किया जाता है और इसे (मैट्रिक्स फॉर्म में) परिभाषित किया जाता है: दो आयामों में,

$$\mathbf{G} = \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf{a}_1\cdot\mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_1\cdot\mathbf{a}_2 \\ \mathbf{a}_2\cdot\mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2\cdot\mathbf{a}_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1^2 & a_1a_2\cos(\alpha_1) \\ a_1a_2\cos(\alpha_1) & a_2^2 \end{pmatrix}$$ तीन आयामों में,

$$\mathbf{G} = \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} & g_{13} \\ g_{21} & g_{22} & g_{23} \\ g_{31} & g_{32} & g_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf{a}_1\cdot\mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_1\cdot\mathbf{a}_2 & \mathbf{a}_1\cdot\mathbf{a}_3 \\ \mathbf{a}_2\cdot\mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2\cdot\mathbf{a}_2 & \mathbf{a}_2\cdot\mathbf{a}_3 \\ \mathbf{a}_3\cdot\mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_3\cdot\mathbf{a}_2 & \mathbf{a}_3\cdot\mathbf{a}_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1^2 & a_1a_2\cos(\alpha_3) & a_1a_3\cos(\alpha_2) \\ a_1a_2\cos(\alpha_3) & a_2^2 & a_2a_3\cos(\alpha_1) \\ a_1a_3\cos(\alpha_2) & a_2a_3\cos(\alpha_1) & a_3^2 \end{pmatrix}$$ दो बिंदुओं के बीच की दूरी $$Q$$ और $$R$$ यूनिट सेल में संबंध से निर्धारित किया जा सकता है:

$$ d_{qr}^2 = \sum_{i, j} g_{ij} (r_i - q_i)(r_j - q_j) $$ यूनिट सेल की उत्पत्ति से एक बिंदु तक की दूरी $$Q$$ यूनिट सेल के भीतर संबंध से निर्धारित किया जा सकता है:

$$ OQ = r_q; r_q^2 = \sum_{i, j} g_{ij} q_i q_j $$ तीन बिंदुओं से बना कोण $$Q$$, $$P$$ (शीर्ष), और $$R$$ यूनिट सेल के भीतर संबंध से निर्धारित किया जा सकता है:

$$\cos(QPR) = (r_{pq})^{-1}(r_{pr})^{-1}\sum_{i, j}g_{ij}(q_i - p_i)(r_j - p_j)$$ यूनिट सेल का आयतन, $$V$$ संबंध से निर्धारित किया जा सकता है:

$$V^2 = \det(\mathbf{G})$$