लीबनिज अभिन्न नियम

यह लेख समाकलन नियम के बारे में है। वैकल्पिक श्रृंखला के अभिसरण परीक्षण के लिए, वैकल्पिक श्रृंखला परीक्षण देखें।

गणना में, समाकल चिह्न के अंतर्गत अवकलन के लिए लाइबनिज समाकल नियम कहता है कि समघात के समाकलन के लिए $$\int_{a(x)}^{b(x)} f(x,t)\,dt,$$ जहाँ $$-\infty < a(x), b(x) < \infty$$ और समाकल्य फलन $$x$$ (गणित) पर निर्भर हैं, इस समाकलन को  अवकलज रूप में व्यक्त किया गया है $$\frac{d}{dx} \left (\int_{a(x)}^{b(x)} f(x,t)\,dt \right )$$ =$$f\big(x,b(x)\big)\cdot \frac{d}{dx} b(x) - f\big(x,a(x)\big) \cdot \frac{d}{dx} a(x) + \int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial}{\partial x} f(x,t) \,dt$$ जहां आंशिक अवकलज $$\tfrac{\partial}{\partial x}$$ इंगित करता है कि समाकल के अंदर, x के साथ केवल $$f(x, t)$$ के परिवर्तन को अवकलज लेने में माना जाता है। इसका नाम गॉटफ्रीड लीबनिज के नाम पर रखा गया है।

विशेष स्थिति में जहां $$a(x)$$ और $$b(x)$$ फलन $$a(x)=a$$ और $$b(x)=b$$ स्थिरांक हैं, उन मानो के साथ जो $$x$$ पर निर्भर नहीं करते हैं, यह सरल करता है: $$\frac{d}{dx} \left(\int_a^b f(x,t)\,dt \right)= \int_a^b \frac{\partial}{\partial x} f(x,t) \,dt.$$ यदि $$a(x)=a$$ और $$b(x)=x$$ स्थिर है, जो एक अन्य सामान्य स्थिति है (उदाहरण के लिए, कॉची के बार-बार समाकलन सूत्र के प्रमाण में), लीबनिज समाकलन नियम बन जाता है: $$\frac{d}{dx} \left (\int_a^x f(x,t) \, dt \right )= f\big(x,x\big) + \int_a^x \frac{\partial}{\partial x} f(x,t) \, dt,$$ यह महत्वपूर्ण परिणाम, कुछ शर्तों के अंतर्गत, समाकलन और आंशिक अवकलन संक्रियक (गणित) को अन्तर्विनिमय करने के लिए उपयोग किया जा सकता है, और समाकलन परिवर्तन के अवकलन में विशेष रूप से उपयोगी है। इसका एक उदाहरण संभाव्यता सिद्धांत में आघूर्णजनक फलन है, लाप्लास रूपांतरण का एक रूपांतर, जिसे एक यादृच्छिक चर के आघूर्ण (गणित) उत्पन्न करने के लिए अवकल किया जा सकता है। लीबनिज का समाकलन नियम प्रयुक्त होता है या नहीं यह अनिवार्य रूप से सीमा (गणित) के विनिमय के बारे में एक प्रश्न है।

सामान्य रूप: समाकलन चिह्न के अंतर्गत अवकलन
$$ लैग्रेंज के अंकन का उपयोग करके दाहिने हाथ की ओर भी लिखा जा सकता है:$f(x, b(x)) \, b^\prime(x) - f(x, a(x)) \, a^\prime(x) + \displaystyle\int_{a(x)}^{b(x)} f_x(x, t) \,dt.$

प्रमेय के प्रबल संस्करणों के लिए केवल यह आवश्यक है कि आंशिक अवकलज लगभग प्रत्येक समष्टि मे सम्मिलित हो, न कि यह निरंतर हो। यह सूत्र लीबनिज समाकलन नियम का सामान्य रूप है और गणना के मौलिक प्रमेय का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। गणना का (पहला) मौलिक प्रमेय केवल उपरोक्त सूत्र की विशेष स्थिति है जहाँ $$a(x) = a \in \Reals$$ और, $$b(x) = x,$$ स्थिर है, और $$f(x, t) = f(t)$$ पर  $$x$$ निर्भर नहीं है। यदि ऊपरी और निचली दोनों सीमाओं को स्थिरांक के रूप में लिया जाता है, तो सूत्र एक संक्रियक (गणित) समीकरण का आकार ले लेता है: $$\mathcal{I}_t \partial_x = \partial_x \mathcal{I}_t$$ जहाँ $$\partial_x$$ और $$x$$ के संबंध में आंशिक अवकलज है और $$\mathcal{I}_t$$ एक निश्चित अंतराल (गणित) पर $$t$$  के संबंध में समाकलन संक्रियक है। यही है कि यह दूसरे अवकलन की समरूपता से संबंधित है, लेकिन समाकलन के साथ-साथ अवकलन भी सम्मिलित है। इस स्थिति को लीबनिज समाकलन नियम के रूप में भी जाना जाता है।

सीमाओ के विनिमय पर निम्नलिखित तीन मौलिक प्रमेय अनिवार्य रूप से समतुल्य हैं:
 * अवकलज और एक समाकलन का विनिमय (समाकलन चिह्न के अंतर्गत अवकलन; अर्थात, लीबनिज समाकलन नियम);
 * आंशिक अवकलन के क्रम में परिवर्तन;
 * समाकलन के क्रम में परिवर्तन (समाकलन चिह्न के अंतर्गत समाकलन; अर्थात, फ़ुबिनी की प्रमेय)।

त्रि-आयामी, कालाश्रित स्थिति
तीन आयामी अंतरिक्ष में गतिमान उच्च आयामों के लिए लीबनिज समाकलन नियम है

$$\frac {d}{dt} \iint_{\Sigma (t)} \mathbf{F} (\mathbf{r}, t) \cdot d \mathbf{A} = \iint_{\Sigma (t)} \left(\mathbf{F}_t (\mathbf{r}, t) + \left[\nabla \cdot \mathbf{F} (\mathbf{r}, t) \right] \mathbf{v} \right) \cdot d \mathbf{A} - \oint_{\partial \Sigma (t)} \left[ \mathbf{v} \times \mathbf{F} ( \mathbf{r}, t) \right] \cdot d \mathbf{s},$$ जहाँ:
 * $F(r, t)$ स्थानिक स्थिति में एक सदिश क्षेत्र $r$ समय पर $t$ है,
 * $Σ$ एक संवृत वक्र से परिबद्ध सतह $∂Σ$ है,
 * $dA$ सतह का एक वेक्टर तत्व $Σ$ है,
 * $ds$ वक्र का सदिश तत्व $∂Σ$ है,
 * $v$ क्षेत्र की गति का वेग $Σ$ है,
 * $∇⋅$ सदिश विचलन है,
 * $×$ वेक्टर अन्योन्य गुणन है,
 * डबल समाकलन सतह $Σ$ पर सतह समाकलन हैं, और  रैखिक समाकलन  परिसीमन  वक्र   $∂Σ$ के ऊपर है।

उच्च आयाम
लीबनिज समाकलन नियम को बहुआयामी समाकलन तक बढ़ाया जा सकता है। दो और तीन आयामों में, यह नियम रेनॉल्ड्स अभिगमन प्रमेय के रूप में द्रव गतिकी के क्षेत्र से अधिकतम जाना जाता है: $$\frac{d}{dt} \int_{D(t)} F(\mathbf x, t) \,dV = \int_{D(t)} \frac{\partial}{\partial t} F(\mathbf x, t)\,dV + \int_{\partial D(t)} F(\mathbf x, t) \mathbf v_b \cdot d\mathbf{\Sigma},$$

जहाँ $$F(\mathbf x, t)$$ अदिश फलन है, अतः $D(t)$ और $∂D(t)$ क्रमशः R3 और इसकी सीमा के समय-भिन्न जुड़े क्षेत्र को दर्शाते हैं,  सीमा का यूलेरियन वेग$$\mathbf v_b$$ है (लैग्रेंजियन और यूलेरियन निर्देशांक देखें) और $dΣ = n dS$ सतह समाकलन आयतन अल्पांश की इकाई सामान्य घटक है।

लीबनिज समाकलन नियम के सामान्य कथन में अवकल ज्यामिति, विशेष रूप से अवकलज समघातों को, बाहरी अवकलज, वेज गुणन और आंतरिक गुणन से अवधारणाओं की आवश्यकता होती है। उन उपकरणों के साथ, n आयामों में लीबनिज समाकलन नियम है $$\frac{d}{dt}\int_{\Omega(t)}\omega=\int_{\Omega(t)} i_{\mathbf v}(d_x\omega)+\int_{\partial \Omega(t)} i_{\mathbf v} \omega + \int_{\Omega(t)} \dot{\omega},$$ जहाँ $Ω(t)$ समाकलन का एक समय-भिन्न प्रक्षेत्र ω है और p-समघात है, $$\mathbf v=\frac{\partial \mathbf x}{\partial t}$$ वेग का सदिश क्षेत्र है, $$i_{\mathbf v}$$ के साथ आंतरिक गुणन  $$\mathbf v$$, dxω केवल समष्टि चर के संबंध में ω का बाहरी अवकलज  $$\dot{\omega}$$ है और ω का समय अवकलज है।

हालाँकि, इन सभी सर्वसमिकाएँ को लाई अवकलन के बारे में सबसे सामान्य कथन से प्राप्त किया जा सकता है: $$\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\int_{\operatorname{im}_{\psi_t}(\Omega)} \omega = \int_{\Omega} \mathcal{L}_\Psi \omega,$$ यहाँ परिवेश बहुविध है जिस पर अवकलन समघात $$\omega$$ रहता है, जिसमे स्थान और समय दोनों सम्मिलित हैं।
 * $$\Omega$$ किसी दिए गए आघूर्ण में समाकलन का क्षेत्र (यह $$t$$ पर निर्भर नहीं करता है चूंकि  उप प्रसमष्‍टि के रूप में इसका  प्राचलीकरण समय में अपनी स्थिति को परिभाषित करता है) उप प्रसमष्‍टि है,
 * $$\mathcal{L}$$ लाइ अवकलज है,
 * $$\Psi$$ समय की दिशा में विशुद्ध रूप से स्थानिक सदिश क्षेत्र में एकात्मक वेक्टर क्षेत्र $$\mathbf v$$  को जोड़ने से प्राप्त दिक्काल वेक्टर क्षेत्र है और पूर्व सूत्रों से (अर्थात, $$\Psi$$ का दिक्-काल  $$\Omega$$ वेग है) प्राप्त होता है,
 * $$\psi_t$$ के प्रवाह (गणित) द्वारा $$\Psi$$ उत्पन्न एक-पैरामीटर समूह से एक अवकलनीय तद्वता है, और
 * $$\text{im}_{\psi_t}(\Omega)$$ की छवि (गणित) है, और $$\Omega$$ इस तरह के अवकलनीय तद्वता के अंतर्गत है।

इस प्ररूप के बारे में कुछ उल्लेखनीय बात यह है कि यह उस स्थिति की गणना कर सकता है जब $$\Omega$$ समय के साथ इसके आकार और आकृति में परिवर्तन होता है, क्योंकि इस तरह की विकृतियाँ $$\Psi$$ पूरी तरह से निर्धारित होती हैं।

EDIT माप सिद्धांत कथन
होने देना $$X$$ का एक खुला उपसमुच्चय हो $$\mathbf{R}$$, और $$\Omega$$ एक माप स्थान बनें। कल्पना करना $$f\colon X \times \Omega \to \mathbf{R} $$ निम्नलिखित शर्तों को संतुष्ट करता है:
 * 1) $$f(x,\omega)$$ का एक लेबेसेग-समाकलन कार्य है $$\omega$$ प्रत्येक के लिए $$x \in X$$.
 * 2) लगभग सभी के लिए $$\omega \in \Omega$$, आंशिक अवकलज $$f_x$$ सभी के लिए सम्मिलित है $$x \in X$$.
 * 3) एक समाकलन कार्य है $$\theta \colon \Omega \to \mathbf{R}$$ ऐसा है कि $$|f_x(x,\omega)| \leq \theta ( \omega)$$ सभी के लिए $$x \in X$$ और लगभग प्रत्येक  $$\omega \in \Omega$$.

फिर, सभी के लिए $$x \in X$$, $$\frac{d}{dx} \int_\Omega f(x, \omega) \, d\omega = \int_{\Omega} f_x (x, \omega) \, d\omega.$$ सबूत प्रभुत्व अभिसरण प्रमेय और औसत मूल्य प्रमेय (विवरण नीचे) पर निर्भर करता है।

मूल रूप का प्रमाण
हम पहले समाकलन a और b की निरंतर सीमा के स्थिति को सिद्ध करते हैं।

समाकलन के क्रम को बदलने के लिए हम फ़ुबिनी के प्रमेय का उपयोग करते हैं। हरएक के लिए $x$ और $h$, ऐसा है कि $h > 0$ और दोनों $x$ और $x +h$ भीतर हैं $[x_{0},x_{1}]$, अपने पास: $$ \int_x^{x+h} \int_a^b f_x(x,t) \,dt \,dx = \int_a^b \int_x^{x+h} f_x(x,t) \,dx \,dt = \int_a^b \left(f(x+h,t) - f(x,t)\right) \,dt = \int_a^b f(x+h,t) \,dt - \int_a^b f(x,t) \,dt $$ ध्यान दें कि हाथ में समाकलन अच्छी तरह से परिभाषित हैं $$ f_x(x,t) $$ बंद आयत पर निरंतर है $$ [x_0, x_1] \times [a,b] $$ और इस प्रकार वहाँ भी समान रूप से निरंतर; इस प्रकार डीटी या डीएक्स द्वारा इसके समाकलन अन्य चर में निरंतर होते हैं और इसके द्वारा इंटीग्रेट भी होते हैं (मूल रूप से ऐसा इसलिए है क्योंकि समान रूप से निरंतर कार्यों के लिए, एक समाकलन चिह्न के माध्यम से सीमा पार कर सकता है, जैसा कि नीचे विस्तृत किया गया है)।

इसलिए: $$\frac{\int_a^b f(x+h,t) \,dt - \int_a^b f(x,t) \,dt }{h} = \frac{1}{h}\int_x^{x+h} \int_a^b f_x(x,t) \,dt \,dx = \frac{F(x+h)-F(x)}{h}$$ जहां हमने परिभाषित किया है: $$F(u) \equiv \int_{x_0}^{u} \int_a^b f_x(x,t) \,dt \,dx$$ (हम एक्स को बदल सकते हैं0 यहाँ x के बीच किसी अन्य बिंदु से0 और एक्स)

F अवकलज के साथ अवकलनीय है $\int_a^b f_x(x,t) \,dt $, तो हम जहाँ सीमा ले सकते हैं $h$ शून्य हो जाता है। बाईं ओर के लिए यह सीमा है: $$\frac{d}{dx}\int_a^b f(x,t) \, dt $$ दाहिने हाथ के लिए, हमें मिलता है: $$ F'(x) = \int_a^b f_x(x,t) \, dt $$ और हम इस प्रकार वांछित परिणाम सिद्ध करते हैं: $$\frac{d}{dx}\int_a^b f(x,t) \, dt = \int_a^b f_x(x,t) \, dt $$

परिबद्ध अभिसरण प्रमेय का प्रयोग करते हुए एक अन्य प्रमाण
यदि हाथ में समाकलन लेबेस्ग समाकलन हैं, तो हम सीमाबद्ध अभिसरण प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं (इन समाकलन के लिए मान्य है, लेकिन रीमैन समाकलन के लिए नहीं) यह दिखाने के लिए कि सीमा को समाकलन साइन के माध्यम से पारित किया जा सकता है।

ध्यान दें कि यह प्रमाण इस अर्थ में कमजोर है कि यह केवल यह दर्शाता है कि fx(x,t) Lebesgue पूर्णांक है, लेकिन ऐसा नहीं है कि यह Riemann पूर्णांक है। पूर्व (प्रबल) प्रमाण में, यदि f(x,t) रीमैन पूर्णांक है, तो f(x,t) भी हैx(x,t) (और इस प्रकार स्पष्ट रूप से Lebesgue पूर्णांक भी है)।

होने देना

अवकलज की परिभाषा के अनुसार,

स्थानापन्न समीकरण ($$) समीकरण में ($$). दो समाकलों का अंतर अंतर के समाकलन के बराबर है, और 1/h एक स्थिरांक है, इसलिए $$\begin{align} u'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{\int_a^bf(x + h, t)\,dt - \int_a^b f(x, t)\,dt}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\int_a^b\left( f(x + h, t) - f(x,t) \right)\,dt}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \int_a^b \frac{f(x + h, t) - f(x, t)}{h} \,dt. \end{align}$$ अब हम दिखाते हैं कि सीमा को समाकल चिन्ह से पार किया जा सकता है।

हम दावा करते हैं कि समाकलन चिह्न के अंतर्गत सीमा का पारित होना परिबद्ध अभिसरण प्रमेय (प्रभुत्व अभिसरण प्रमेय का एक परिणाम) द्वारा मान्य है। प्रत्येक δ > 0 के लिए, अंतर भागफल पर विचार करें $$f_\delta(x, t) = \frac{f(x + \delta, t) - f(x, t)}{\delta}.$$ नियत t के लिए, माध्य मान प्रमेय का अर्थ है कि अंतराल [x, x + δ] में z का अस्तित्व इस प्रकार है कि $$f_\delta(x, t) = f_x(z, t).$$ एफ की निरंतरताx(एक्स, टी) और प्रक्षेत्र की कॉम्पैक्टनेस एक साथ का मतलब है कि एफx(एक्स, टी) घिरा हुआ है। औसत मूल्य प्रमेय का उपरोक्त अनुप्रयोग इसलिए एक समान (स्वतंत्र) देता है $$t$$) बंधा हुआ $$f_\delta(x, t)$$. अंतर भागफल बिंदुवार आंशिक अवकलज f में परिवर्तित होते हैंx इस धारणा से कि आंशिक अवकलज सम्मिलित है।

उपरोक्त तर्क से पता चलता है कि प्रत्येक अनुक्रम के लिए {δn} → 0, अनुक्रम $$\{f_{\delta_n}(x, t)\}$$ समान रूप से बंधा हुआ है और बिंदुवार f में परिवर्तित होता हैx. परिबद्ध अभिसरण प्रमेय में कहा गया है कि यदि परिमित माप के एक सेट पर कार्यों का एक क्रम समान रूप से परिबद्ध है और बिंदुवार अभिसरण करता है, तो समाकलन अंग के अंतर्गत सीमा का पारित होना मान्य है। विशेष रूप से, प्रत्येक अनुक्रम {δ के लिए सीमा और समाकलन का विनिमय किया जा सकता हैn} → 0. इसलिए, δ → 0 के रूप में सीमा को पूर्णांक चिह्न के माध्यम से पारित किया जा सकता है।

परिवर्तनीय सीमा प्रपत्र
एक सतत फ़ंक्शन के लिए एक वास्तविक चर के एक फ़ंक्शन का वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन g, और वास्तविक मूल्यवान अवकल फ़ंक्शन फ़ंक्शन $$ f_1 $$ और $$ f_2 $$ एक वास्तविक चर का, $$\frac{d}{dx} \left( \int_{f_1(x)}^{f_2(x)} g(t) \,dt \right )= g\left(f_2(x)\right) {f_2'(x)} - g\left(f_1(x)\right) {f_1'(x)}.$$ यह श्रृंखला नियम और कलन #प्रथम भाग के मौलिक प्रमेय से आता है। परिभाषित करना $$ G(x) = \int_{f_1(x)}^{f_2(x)} g(t) \, dt, $$ और $$ \Gamma(x) = \int_{0}^{x} g(t) \, dt. $$ (निचली सीमा के प्रक्षेत्र में बस कुछ संख्या होनी चाहिए $$ g $$)

तब, $$ G(x) $$ एक फलन रचना के रूप में लिखा जा सकता है: $$ G(x) = (\Gamma \circ f_2)(x) - (\Gamma \circ f_1)(x) $$. श्रृंखला नियम # कथन तब इसका तात्पर्य है $$ G'(x) = \Gamma'\left(f_2(x)\right) f_2'(x) - \Gamma'\left(f_1(x)\right) f_1'(x). $$ कलन के मौलिक प्रमेय द्वारा#पहला भाग, $$ \Gamma'(x) = g(x) $$. इसलिए, ऊपर इस परिणाम को प्रतिस्थापित करते हुए, हम वांछित समीकरण प्राप्त करते हैं: $$ G'(x) = g\left(f_2(x)\right) {f_2'(x)} - g\left(f_1(x)\right) {f_1'(x)}. $$ नोट: यह फॉर्म विशेष रूप से उपयोगी हो सकता है यदि अभिव्यक्ति को विभेदित किया जाना है: $$\int_{f_1(x)}^{f_2(x)} h(x)g(t) \,dt$$ क्योंकि $$h(x)$$ समाकलन की सीमा पर निर्भर नहीं करता है, इसे समाकलन चिह्न के अंतर्गत से बाहर ले जाया जा सकता है, और उपरोक्त फॉर्म का उपयोग गुणन नियम के साथ किया जा सकता है, अर्थात, $$\frac{d}{dx} \left( \int_{f_1(x)}^{f_2(x)} h(x)g(t) \,dt \right ) = \frac{d}{dx} \left(h(x) \int_{f_1(x)}^{f_2(x)} g(t) \,dt \right ) = h'(x)\int_{f_1(x)}^{f_2(x)} g(t) \,dt + h(x) \frac{d}{dx} \left(\int_{f_1(x)}^{f_2(x)} g(t) \,dt \right ) $$

चर सीमा के साथ सामान्य रूप
तय करना $$\varphi(\alpha) = \int_a^b f(x,\alpha)\,dx,$$ जहां ए और बी α के कार्य हैं जो क्रमशः Δa और Δb में वृद्धि प्रदर्शित करते हैं, जब α को Δα से बढ़ाया जाता है। तब, $$\begin{align} \Delta\varphi &= \varphi(\alpha + \Delta\alpha) - \varphi(\alpha) \\[4pt] &= \int_{a + \Delta a}^{b + \Delta b}f(x, \alpha + \Delta\alpha)\,dx - \int_a^b f(x, \alpha)\,dx \\[4pt] &= \int_{a + \Delta a}^af(x, \alpha + \Delta\alpha)\,dx + \int_a^bf(x, \alpha + \Delta\alpha)\,dx + \int_b^{b + \Delta b} f(x, \alpha+\Delta\alpha)\,dx - \int_a^b f(x, \alpha)\,dx \\[4pt] &= -\int_a^{a + \Delta a} f(x, \alpha + \Delta\alpha)\,dx + \int_a^b [f(x, \alpha + \Delta\alpha) - f(x,\alpha)]\,dx + \int_b^{b + \Delta b} f(x, \alpha + \Delta\alpha)\,dx. \end{align}$$ औसत मूल्य प्रमेय का एक रूप, $\int_a^b f(x)\,dx = (b - a)f(\xi)$, जहां a < ξ < b, उपरोक्त Δφ के सूत्र के पहले और अंतिम समाकलन पर प्रयुक्त किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप $$\Delta\varphi = -\Delta a f(\xi_1, \alpha + \Delta\alpha) + \int_a^b [f(x, \alpha + \Delta\alpha) - f(x,\alpha)]\,dx + \Delta b f(\xi_2, \alpha + \Delta\alpha).$$ Δa से विभाजित करें और Δa → 0 दें। नोटिस ξ1 → ए और ξ2 → बी। हम समाकलन चिह्न के माध्यम से सीमा पार कर सकते हैं: $$\lim_{\Delta\alpha\to 0}\int_a^b \frac{f(x,\alpha + \Delta\alpha) - f(x,\alpha)}{\Delta\alpha}\,dx = \int_a^b \frac{\partial}{\partial\alpha}f(x, \alpha)\,dx,$$ पुनः परिबद्ध अभिसरण प्रमेय द्वारा। यह लीबनिज समाकलन नियम के सामान्य रूप को प्राप्त करता है, $$\frac{d\varphi}{d\alpha} = \int_a^b \frac{\partial}{\partial\alpha}f(x, \alpha)\,dx + f(b, \alpha) \frac{db}{d\alpha} - f(a, \alpha)\frac{da}{d\alpha}.$$

श्रृंखला नियम
का उपयोग करते हुए चर सीमाओं के साथ सामान्य रूप का वैकल्पिक प्रमाण

परिवर्तनीय सीमाओं के साथ लीबनिज के समाकलन नियम का सामान्य रूप लाइबनिज के समाकलन नियम के मूल रूप के सबूत, चेन नियम # उच्च आयाम, और कलन के मौलिक प्रमेय # प्रथम भाग के परिणाम के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। कल्पना करना $$ f $$ में एक आयत में परिभाषित किया गया है $$ x-t $$ विमान, के लिए $$ x \in [x_1, x_2] $$ और $$ t \in [t_1, t_2] $$. साथ ही, मान लीजिए $$ f $$ और आंशिक अवकलज $ \frac{\partial f}{\partial x} $ इस आयत पर दोनों निरंतर कार्य हैं। कल्पना करना $$ a, b$$ अलग-अलग कार्य हैं # एक परिवर्तनीय वास्तविक मूल्यवान कार्यों के वास्तविक कार्यों की भिन्नता पर परिभाषित किया गया है $$ [x_1, x_2]$$, मानो के साथ $$ [t_1, t_2] $$ (अर्थात प्रत्येक  के लिए $$ x \in [x_1, x_2], a(x), b(x) \in [t_1, t_2] $$). अब, सेट करें $$ F(x,y) = \int_{t_1}^{y} f(x,t)\,dt, \qquad \text{for} ~ x \in [x_1, x_2] ~\text{and}~ y \in [t_1, t_2] $$ और $$ G(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f(x,t)\,dt, \quad \text{for} ~ x \in [x_1, x_2] $$ फिर, Integral#Conventions के गुणों के द्वारा, हम लिख सकते हैं $$ \begin{align} G(x) &= \int_{t_1}^{b(x)} f(x,t)\,dt - \int_{t_1}^{a(x)} f(x,t)\,dt \\[4pt] &= F(x, b(x)) - F(x, a(x)) \end{align}$$ कार्यों के बाद से $$ F, a, b $$ सभी अलग-अलग हैं (प्रमाण के अंत में टिप्पणी देखें), श्रृंखला नियम # उच्च आयामों द्वारा, यह इस प्रकार है $$ G $$ अवकलनीय है, और इसका अवकलज सूत्र द्वारा दिया गया है: $$ G'(x) = \left(\frac{\partial F}{\partial x} (x, b(x)) + \frac{\partial F}{\partial y} (x, b(x) ) b'(x) \right) - \left(\frac{\partial F}{\partial x} (x, a(x)) + \frac{\partial F}{\partial y} (x, a(x)) a'(x) \right) $$

अब, ध्यान दें कि प्रत्येक के लिए $$ x \in [x_1, x_2] $$, और प्रत्येक के लिए $$ y \in [t_1, t_2] $$, हमारे पास वह है $ \frac{\partial F}{\partial x}(x, y) = \int_{t_1}^y \frac{\partial f}{\partial x}(x,t) \, dt $, क्योंकि के संबंध में आंशिक अवकलज लेते समय $$ x $$ का $$ F $$, हम रख रहे हैं $$ y $$ अभिव्यक्ति में स्थिर $ \int_{t_1}^{y} f(x,t)\,dt $ ; इस प्रकार समाकलन की निरंतर सीमा के साथ लीबनिज के समाकलन नियम के मूल रूप का प्रमाण प्रयुक्त होता है। अगला, कैलकुलस के मौलिक प्रमेय द्वारा#पहला भाग, हमारे पास वह है $ \frac{\partial F}{\partial y}(x, y) = f(x,y) $ ; क्योंकि के संबंध में आंशिक अवकलज लेते समय $$ y $$ का $$ F $$, पहला चर $$ x $$ निश्चित है, इसलिए मौलिक प्रमेय वास्तव में प्रयुक्त किया जा सकता है।

के लिए समीकरण में इन परिणामों को प्रतिस्थापित करना $$ G'(x) $$ ऊपर देता है: $$ \begin{align} G'(x) &= \left(\int_{t_1}^{b(x)} \frac{\partial f}{\partial x}(x,t) \, dt + f(x, b(x)) b'(x) \right) - \left(\int_{t_1}^{a(x)} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t) \, dt + f(x, a(x)) a'(x) \right) \\[2pt] &= f(x,b(x)) b'(x) - f(x,a(x)) a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial f}{\partial x}(x,t) \, dt, \end{align}$$ जैसी इच्छा थी।

उपरोक्त प्रमाण में एक तकनीकी बिंदु है जो ध्यान देने योग्य है: चेन नियम को प्रयुक्त करना $$ G $$ इसकी आवश्यकता है $$ F $$ पहले से ही अलग-अलग कार्य हो # उच्च आयामों में भिन्नता। यह वह जगह है जहाँ हम अपनी धारणाओं का उपयोग करते हैं $$ f $$. जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, का आंशिक अवकलन $$ F $$ सूत्र द्वारा दिए गए हैं $ \frac{\partial F}{\partial x}(x, y) = \int_{t_1}^y \frac{\partial f}{\partial x}(x,t) \, dt $  और $ \frac{\partial F}{\partial y}(x, y) = f(x,y) $. तब से $ \dfrac{\partial f}{\partial x}$ सतत है, इसका समाकलन भी एक सतत फलन है, और तबसे $$ f $$ भी निरंतर है, इन दो परिणामों से पता चलता है कि दोनों के आंशिक अवकलन $$ F $$ निरंतर हैं। चूँकि आंशिक अवकलजों की निरंतरता फलन की अवकलनीयता को दर्शाती है, $$ F $$ वास्तव में अवकलनीय है।

त्रि-आयामी, कालाश्रित रूप
समय टी पर सतह Σ # त्रि-आयामी, कालाश्रित स्थिति में एक केन्द्रक के बारे में व्यवस्थित बिंदुओं का एक सेट होता है $$\mathbf{C}(t)$$. कार्यक्रम $$\mathbf{F}(\mathbf{r}, t)$$ रूप में लिखा जा सकता है $$\mathbf{F}(\mathbf{C}(t) + \mathbf{r} - \mathbf{C}(t), t) = \mathbf{F}(\mathbf{C}(t) + \mathbf{I}, t),$$ साथ $$\mathbf{I}$$ समय से स्वतंत्र। वेरिएबल्स को चलती सतह से जुड़े संदर्भ के एक नए फ्रेम में स्थानांतरित कर दिया गया है, जिसमें मूल स्थान है $$\mathbf{C}(t)$$. कठोर रूप से अनुवादित सतह के लिए, समाकलन की सीमाएं तब समय से स्वतंत्र होती हैं, इसलिए: $$\frac {d}{dt} \left (\iint_{\Sigma (t)} d \mathbf{A}_{\mathbf{r}}\cdot \mathbf{F}(\mathbf{r}, t) \right) = \iint_\Sigma d \mathbf{A}_{\mathbf{I}} \cdot \frac {d}{dt}\mathbf{F}(\mathbf{C}(t) + \mathbf{I}, t),$$ जहां समाकलन की सीमाएं क्षेत्र के समाकलन अंग को सीमित करती हैं Σ अब समय पर निर्भर नहीं हैं, इसलिए अवकलन केवल समाकलन पर कार्य करने के लिए समाकलन से गुजरता है: $$\frac {d}{dt}\mathbf{F}( \mathbf{C}(t) + \mathbf{I}, t) = \mathbf{F}_t(\mathbf{C}(t) + \mathbf{I}, t) + \mathbf{v \cdot \nabla F}(\mathbf{C}(t) + \mathbf{I}, t) = \mathbf{F}_t(\mathbf{r}, t) + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{F}(\mathbf{r}, t),$$ द्वारा परिभाषित सतह की गति के वेग के साथ $$\mathbf{v} = \frac {d}{dt} \mathbf{C} (t).$$ यह समीकरण क्षेत्र के भौतिक अवकलज को व्यक्त करता है, अर्थात, गतिमान सतह से जुड़ी एक समन्वय प्रणाली के संबंध में अवकलज। अवकलज पाए जाने के बाद, चर को संदर्भ के मूल फ्रेम में वापस स्विच किया जा सकता है। हम देखते हैं कि (देखें कर्ल (गणित)#पहचान) $$\nabla \times \left(\mathbf{v} \times \mathbf{F}\right) = (\nabla \cdot \mathbf{F} + \mathbf{F} \cdot \nabla) \mathbf{v}- (\nabla \cdot \mathbf{v} + \mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{F},$$ और वह स्टोक्स प्रमेय # केल्विन-स्टोक्स प्रमेय कर्ल ओवर Σ के सतह समाकलन को लाइन समाकलन ओवर के साथ समान करता है $∂Σ$: $$\frac{d}{dt} \left(\iint_{\Sigma (t)} \mathbf{F} (\mathbf{r}, t) \cdot d \mathbf{A}\right) = \iint_{\Sigma (t)} \big(\mathbf{F}_t (\mathbf{r}, t) + \left(\mathbf{F \cdot \nabla} \right)\mathbf{v} + \left(\nabla \cdot \mathbf{F} \right) \mathbf{v} - (\nabla \cdot \mathbf{v})\mathbf{F}\big)\cdot d\mathbf{A} - \oint_{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf{v} \times \mathbf{F}\right)\cdot d\mathbf{s}. $$ रेखा समाकल का चिन्ह रेखा तत्व d's' की दिशा के चुनाव के लिए दाहिने हाथ के नियम पर आधारित है। उदाहरण के लिए, इस चिन्ह को स्थापित करने के लिए मान लीजिए कि क्षेत्र 'F' धनात्मक z-दिशा में इंगित करता है, और सतह Σ परिधि ∂Σ के साथ xy-समतल का एक भाग है। हम धनात्मक z-दिशा में होने के लिए Σ के सामान्य को अपनाते हैं। ∂Σ का धनात्मक ट्रैवर्सल तब वामावर्त (z-अक्ष के साथ अंगूठे के साथ दाएं हाथ का नियम) है। तब बाईं ओर का समाकल Σ के माध्यम से 'F' का सकारात्मक प्रवाह निर्धारित करता है। मान लीजिए Σ धनात्मक x-दिशा में 'v' वेग से परिवर्तित होता है। Σ की सीमा का एक अवयव, y-अक्ष के समानांतर, मान लीजिए d's', समय t में 'v't × d's' क्षेत्र को मिटा देता है। यदि हम सीमा ∂Σ के चारों ओर एक वामावर्त अर्थ में एकीकृत करते हैं, तो 'v't × d's' ∂Σ के बाईं ओर ऋणात्मक z-दिशा में इंगित करता है (जहाँ d's' नीचे की ओर इंगित करता है), और धनात्मक z-दिशा में ∂Σ का दाहिना भाग (जहाँ d's' ऊपर की ओर इंगित करता है), जो समझ में आता है क्योंकि Σ दाईं ओर बढ़ रहा है, दाईं ओर क्षेत्र जोड़ रहा है और इसे बाईं ओर खो रहा है। उस आधार पर 'F' का फ्लक्स ∂Σ के दायीं ओर बढ़ रहा है और बायीं ओर घट रहा है। हालाँकि, डॉट गुणन $v × F ⋅ ds = −F × v ⋅ ds = −F ⋅ v × ds$. नतीजतन, रेखा समाकलन का संकेत नकारात्मक के रूप में लिया जाता है।

यदि v स्थिर है, $$\frac {d}{dt} \iint_{\Sigma (t)} \mathbf{F} (\mathbf{r}, t) \cdot d \mathbf{A} = \iint_{\Sigma (t)} \big(\mathbf{F}_t (\mathbf{r}, t) + \left(\nabla \cdot \mathbf{F} \right)  \mathbf{v}\big) \cdot d \mathbf{A} - \oint_{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf{v} \times \mathbf{F}\right) \cdot \,d\mathbf{s},$$ जो उद्धृत परिणाम है। यह प्रमाण सतह के हिलने पर विकृत होने की संभावना पर विचार नहीं करता है।

वैकल्पिक व्युत्पत्ति
लेम्मा। किसी के पास: $$\frac{\partial}{\partial b} \left (\int_a^b f(x) \,dx \right ) = f(b), \qquad \frac{\partial}{\partial a} \left (\int_a^b f(x) \,dx \right )= -f(a).$$ सबूत। कैलकुलस के मौलिक प्रमेय से#पहले भाग का प्रमाण,

$$\begin{align} \frac{\partial}{\partial b} \left (\int_a^b f(x) \,dx \right ) &= \lim_{\Delta b \to 0} \frac{1}{\Delta b} \left[ \int_a^{b+\Delta b} f(x)\,dx - \int_a^b f(x)\,dx \right] \\[6pt] &= \lim_{\Delta b \to 0} \frac{1}{\Delta b} \int_b^{b+\Delta b} f(x)\,dx \\[6pt] &= \lim_{\Delta b \to 0} \frac{1}{\Delta b} \left[ f(b) \Delta b + O\left(\Delta b^2\right) \right]   \\[6pt] &= f(b), \end{align}$$ और $$\begin{align} \frac{\partial}{\partial a} \left (\int_a^b f(x) \,dx \right )&= \lim_{\Delta a \to 0} \frac{1}{\Delta a} \left[ \int_{a+\Delta a}^b f(x)\,dx - \int_a^b f(x)\,dx \right] \\[6pt] &= \lim_{\Delta a \to 0} \frac{1}{\Delta a} \int_{a+\Delta a}^a f(x)\,dx \\[6pt] &= \lim_{\Delta a \to 0} \frac{1}{\Delta a} \left[ -f(a) \Delta a + O\left(\Delta a^2\right) \right]\\[6pt] &= -f(a). \end{align}$$ मान लीजिए कि ए और बी स्थिर हैं, और एफ (एक्स) में एक पैरामीटर α सम्मिलित है जो समाकलन में स्थिर है लेकिन अलग-अलग समाकलन बनाने के लिए भिन्न हो सकता है। मान लें कि कॉम्पैक्ट सेट {(x, α) : α में f(x, α) x और α का निरंतर कार्य है0 ≤ ए ≤ ए1 और a ≤ x ≤ b}, और वह आंशिक अवकलज fα(x, α) सम्मिलित है और निरंतर है। यदि कोई परिभाषित करता है: $$\varphi(\alpha) = \int_a^b f(x,\alpha)\,dx,$$ तब $$\varphi$$ समाकलन चिह्न के अंतर्गत अंतर करके α के संबंध में विभेद किया जा सकता है, अर्थात, $$\frac{d\varphi}{d\alpha}=\int_a^b\frac{\partial}{\partial\alpha}f(x,\alpha)\,dx.$$ हेन-कैंटोर प्रमेय द्वारा यह उस सेट में समान रूप से निरंतर है। दूसरे शब्दों में, किसी भी ε > 0 के लिए Δα का अस्तित्व है जैसे कि [a, b] में x के सभी मानों के लिए, $$|f(x,\alpha+\Delta \alpha)-f(x,\alpha)|<\varepsilon.$$ वहीं दूसरी ओर, $$\begin{align} \Delta\varphi &=\varphi(\alpha+\Delta \alpha)-\varphi(\alpha) \\[6pt] &=\int_a^b f(x,\alpha+\Delta\alpha)\,dx - \int_a^b f(x,\alpha)\, dx \\[6pt] &=\int_a^b \left (f(x,\alpha+\Delta\alpha)-f(x,\alpha) \right )\,dx \\[6pt] &\leq \varepsilon (b-a). \end{align}$$ अतः φ(α) एक सतत फलन है।

इसी प्रकार यदि $$\frac{\partial}{\partial\alpha} f(x,\alpha)$$ सम्मिलित है और निरंतर है, तो सभी ε > 0 के लिए Δα सम्मिलित है जैसे कि: $$\forall x \in [a, b], \quad \left|\frac{f(x,\alpha+\Delta \alpha)-f(x,\alpha)}{\Delta \alpha} - \frac{\partial f}{\partial\alpha}\right|<\varepsilon.$$ इसलिए, $$\frac{\Delta \varphi}{\Delta \alpha}=\int_a^b\frac{f(x,\alpha+\Delta\alpha)-f(x,\alpha)}{\Delta \alpha}\,dx = \int_a^b \frac{\partial f(x,\alpha)}{\partial \alpha}\,dx + R,$$ जहाँ $$|R| < \int_a^b \varepsilon\, dx = \varepsilon(b-a).$$ अब, ε → 0 के रूप में Δa → 0, इसलिए $$\lim_{{\Delta \alpha} \to 0}\frac{\Delta\varphi}{\Delta \alpha}= \frac{d\varphi}{d\alpha} = \int_a^b \frac{\partial}{\partial \alpha} f(x,\alpha)\,dx.$$ यह वह सूत्र है जिसे हमने सिद्ध करने के लिए निर्धारित किया है।

अब, मान लीजिए $$\int_a^b f(x,\alpha)\,dx=\varphi(\alpha),$$ जहां ए और बी α के कार्य हैं जो क्रमशः Δa और Δb में वृद्धि करते हैं, जब α को Δα से बढ़ाया जाता है। तब, $$\begin{align} \Delta\varphi &=\varphi(\alpha+\Delta\alpha)-\varphi(\alpha) \\[6pt] &=\int_{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha+\Delta\alpha)\,dx -\int_a^b f(x,\alpha)\,dx \\[6pt] &=\int_{a+\Delta a}^af(x,\alpha+\Delta\alpha)\,dx+\int_a^bf(x,\alpha+\Delta\alpha)\,dx+\int_b^{b+\Delta b}f(x,\alpha+\Delta\alpha)\,dx -\int_a^b f(x,\alpha)\,dx \\[6pt] &=-\int_a^{a+\Delta a} f(x,\alpha+\Delta\alpha)\,dx+\int_a^b[f(x,\alpha+\Delta\alpha)-f(x,\alpha)]\,dx+\int_b^{b+\Delta b} f(x,\alpha+\Delta\alpha)\,dx. \end{align}$$ औसत मूल्य प्रमेय का एक रूप, $\int_a^b f(x)\,dx=(b-a)f(\xi),$ जहाँ a < ξ < b, उपरोक्त Δφ के लिए सूत्र के पहले और अंतिम समाकलों पर प्रयुक्त किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप $$\Delta\varphi=-\Delta a\,f(\xi_1,\alpha+\Delta\alpha)+\int_a^b[f(x,\alpha+\Delta\alpha)-f(x,\alpha)]\,dx+\Delta b\,f(\xi_2,\alpha+\Delta\alpha).$$ Δα से भाग देना, Δα → 0 देना, ξ को नोटिस करना1 → ए और ξ2 → बी और के लिए उपरोक्त व्युत्पत्ति का उपयोग करना $$\frac{d\varphi}{d\alpha} = \int_a^b\frac{\partial}{\partial \alpha} f(x,\alpha)\,dx$$ पैदावार $$\frac{d\varphi}{d\alpha} = \int_a^b\frac{\partial}{\partial \alpha} f(x,\alpha)\,dx+f(b,\alpha)\frac{\partial b}{\partial \alpha}-f(a,\alpha)\frac{\partial a}{\partial \alpha}. $$ यह लीबनिज समाकलन नियम का सामान्य रूप है।

उदाहरण 1: निश्चित सीमा
समारोह पर विचार करें $$\varphi(\alpha)=\int_0^1\frac{\alpha}{x^2+\alpha^2}\,dx.$$ समाकलन चिह्न के अंतर्गत कार्य बिंदु (x, α) = (0, 0) पर निरंतर नहीं है, और फ़ंक्शन φ(α) में α = 0 पर एक असंतोष है क्योंकि φ(α) α के रूप में ± π/2 तक पहुंचता है → 0 ±.

यदि हम φ(α) को समाकलन चिह्न के अंतर्गत α के संबंध में अंतर करते हैं, तो हमें मिलता है $$\frac{d}{d\alpha} \varphi(\alpha)=\int_0^1\frac{\partial}{\partial\alpha}\left(\frac{\alpha}{x^2+\alpha^2}\right)\,dx=\int_0^1\frac{x^2-\alpha^2}{(x^2+\alpha^2)^2} dx=\left.-\frac{x}{x^2+\alpha^2}\right|_0^1=-\frac{1}{1+\alpha^2},$$ जो निश्चित रूप से α = 0 को छोड़कर α के सभी मानों के लिए सत्य है। इसे खोजने के लिए इसे एकीकृत किया जा सकता है (α के संबंध में) $$\varphi(\alpha) = \begin{cases} 0, & \alpha = 0, \\ -\arctan({\alpha})+\frac{\pi}{2}, & \alpha \neq 0. \end{cases}$$

उदाहरण 2: परिवर्तनीय सीमाएं
परिवर्तनीय सीमाओं के साथ एक उदाहरण: $$\begin{align} \frac{d}{dx} \int_{\sin x}^{\cos x} \cosh t^2\,dt &= \cosh\left(\cos^2 x\right) \frac{d}{dx}(\cos x) - \cosh\left(\sin^2 x\right) \frac{d}{dx} (\sin x) + \int_{\sin x}^{\cos x} \frac{\partial}{\partial x} (\cosh t^2) \, dt \\[6pt] &= \cosh(\cos^2 x) (-\sin x) - \cosh(\sin^2 x) (\cos x) + 0 \\[6pt] &= - \cosh(\cos^2 x) \sin x - \cosh(\sin^2 x) \cos x. \end{align}$$

निश्चित समाकलन का मूल्यांकन
सूत्र $$\frac{d}{dx} \left (\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t) \, dt \right) = f\big(x,b(x)\big)\cdot \frac{d}{dx} b(x) - f\big(x,a(x)\big)\cdot \frac{d}{dx} a(x) + \int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial}{\partial x} f(x,t) \, dt$$ कुछ निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करते समय उपयोग किया जा सकता है। जब इस संदर्भ में प्रयोग किया जाता है, समाकलन चिह्न के अंतर्गत अंतर करने के लिए लीबनिज समाकलन नियम को समाकलन के लिए फेनमैन की चाल के रूप में भी जाना जाता है।

उदाहरण 3
विचार करना $$\varphi(\alpha)=\int_0^\pi \ln \left (1-2\alpha\cos(x)+\alpha^2 \right )\,dx, \qquad |\alpha| \neq 1.$$ अब, $$\begin{align} \frac{d}{d\alpha} \varphi(\alpha) &=\int_0^\pi \frac{-2\cos(x)+2\alpha }{1-2\alpha \cos(x)+\alpha^2} dx \\[6pt] &=\frac{1}{\alpha}\int_0^\pi \left(1-\frac{1-\alpha^2}{1-2\alpha \cos(x)+\alpha^2} \right) dx  \\[6pt] &=\left. \frac{\pi}{\alpha}-\frac{2}{\alpha}\left\{\arctan\left(\frac{1+\alpha}{1-\alpha} \tan\left(\frac{x}{2}\right)\right) \right\} \right|_0^\pi. \end{align}$$ जैसा $$x$$ बदलता है $$0$$ को $$\pi$$, अपने पास $$\begin{cases} \frac{1+\alpha}{1-\alpha} \tan\left(\frac{x}{2}\right) \geq 0, & |\alpha| < 1, \\ \frac{1+\alpha}{1-\alpha} \tan \left( \frac{x}{2}\right) \leq 0, & |\alpha| > 1. \end{cases}$$ इस तरह, $$\left. \arctan\left(\frac{1+\alpha}{1-\alpha}\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)\right|_0^\pi= \begin{cases} \frac{\pi}{2}, & |\alpha| < 1, \\ -\frac{\pi}{2}, & |\alpha| > 1. \end{cases}$$ इसलिए,

$$\frac{d}{d\alpha} \varphi(\alpha)= \begin{cases} 0, & |\alpha| < 1, \\ \frac{2\pi}{\alpha}, & |\alpha| > 1. \end{cases}$$ के संबंध में दोनों पक्षों को एकीकृत करना $$\alpha$$, हम पाते हैं: $$\varphi (\alpha) = \begin{cases} C_1, & |\alpha| < 1, \\ 2\pi \ln |\alpha| + C_2, & |\alpha| > 1. \end{cases}$$

$$C_{1} = 0$$ मूल्यांकन से अनुसरण करता है $$\varphi (0)$$: $$\varphi(0) =\int_0^\pi \ln(1)\,dx =\int_0^\pi 0\,dx=0.$$ इरादा करना $$C_2$$ उसी तरह, हमें के मूल्य में स्थानापन्न करने की आवश्यकता होनी चाहिए $$\alpha$$ 1 से अधिक में $$\varphi (\alpha)$$. यह कुछ असुविधाजनक है। इसके बजाय, हम स्थानापन्न करते हैं $\alpha = \frac{1}{\beta}$, जहाँ $$|\beta| < 1$$. तब, $$\begin{align} \varphi(\alpha)   &=\int_0^\pi\left(\ln \left (1-2\beta \cos(x)+\beta^2 \right )-2\ln|\beta|\right) dx \\[6pt] &= \int_0^\pi \ln \left (1-2\beta \cos(x)+\beta^2 \right )\,dx -\int_0^\pi 2\ln|\beta| dx \\[6pt] &=0-2\pi\ln|\beta|  \\[6pt] &=2\pi\ln|\alpha|. \end{align}$$ इसलिए, $$C_{2} = 0$$ की परिभाषा $$\varphi (\alpha)$$ अब पूरा हो गया है: $$\varphi (\alpha) = \begin{cases} 0, & |\alpha| < 1, \\ 2\pi \ln |\alpha|, & |\alpha| > 1. \end{cases}$$ पूर्वगामी चर्चा, निश्चित रूप से, कब प्रयुक्त नहीं होती है $$\alpha = \pm 1$$, क्योंकि अवकलनीयता की शर्तें पूरी नहीं होती हैं।

उदाहरण 4
$$\mathbf I = \int_0^{\pi/2} \frac{1}{(a\cos^2 x +b\sin^2 x)^2}\,dx,\qquad a,b > 0.$$ पहले हम गणना करते हैं: $$\begin{align} \mathbf{J} &= \int_0^{\pi/2} \frac{1}{a\cos^2 x + b \sin^2 x} dx \\[6pt] &= \int_0^{\pi/2} \frac{\frac{1}{\cos^2 x}}{a + b \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}} dx \\[6pt] &= \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 x}{a +b \tan^2 x} dx \\[6pt] &= \frac{1}{b} \int_0^{\pi/2} \frac{1}{\left(\sqrt{\frac{a}{b}}\right)^2+\tan^2 x}\,d(\tan x) \\[6pt] &= \left.\frac{1}{\sqrt{ab}}\arctan \left(\sqrt{\frac{b}{a}}\tan x\right) \right|_0^{\pi/2} \\[6pt] &= \frac{\pi}{2\sqrt{ab}}. \end{align}$$ समाकलन की सीमा से स्वतंत्र होना $$a$$, अपने पास: $$\frac{\partial \mathbf J}{\partial a}=-\int_0^{\pi/2} \frac{\cos^2 x}{\left(a\cos^2 x+b \sin^2 x\right)^2}\,dx$$ वहीं दूसरी ओर: $$\frac{\partial \mathbf J}{\partial a}= \frac{\partial}{\partial a} \left(\frac{\pi}{2\sqrt{ab}}\right) =-\frac{\pi}{4\sqrt{a^3b}}.$$ इन दोनों संबंधों की बराबरी करने पर प्राप्त होता है $$\int_0^{\pi/2} \frac{\cos^2 x}{\left(a \cos^2 x+b \sin^2 x\right)^2}\,dx=\frac{\pi}{4\sqrt{a^3b}}.$$ इसी तरह पीछा करते हुए $$\frac{\partial \mathbf J}{\partial b}$$ पैदावार $$\int_0^{\pi/2}\frac{\sin^2 x}{\left(a\cos^2 x+b\sin^2 x\right)^2}\,dx = \frac{\pi}{4\sqrt{ab^3}}.$$ दो परिणाम जोड़ने के बाद उत्पादन होता है $$\mathbf I = \int_0^{\pi/2}\frac{1}{\left(a\cos^2x+b\sin^2x\right)^2}\,dx=\frac{\pi}{4\sqrt{ab}}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right),$$ जो गणना करता है $$\mathbf I$$ जैसी इच्छा थी।

इस व्युत्पत्ति को सामान्यीकृत किया जा सकता है। ध्यान दें कि यदि हम परिभाषित करते हैं $$\mathbf I_n = \int_0^{\pi/2} \frac{1}{\left(a\cos^2 x+b\sin^2 x\right)^n}\,dx,$$ यह आसानी से दिखाया जा सकता है $$(1-n)\mathbf I_n = \frac{\partial\mathbf I_{n-1}}{\partial a} + \frac{\partial \mathbf I_{n-1}}{\partial b}$$ दिया गया $$\mathbf{I}_1$$, के सभी मानों की गणना करने के लिए इस समाकलन कमी सूत्र का उपयोग किया जा सकता है $$\mathbf{I}_n$$ के लिए $$n > 1$$. समाकलन पसंद करते हैं $$\mathbf{I}$$ और $$\mathbf{J}$$ वीयरस्ट्रैस प्रतिस्थापन का उपयोग करके भी नियंत्रित किया जा सकता है।

उदाहरण 5
यहाँ हम समाकलन पर विचार करते हैं $$\mathbf I(\alpha)=\int_0^{\pi/2} \frac{\ln (1+\cos\alpha \cos x)}{\cos x}\,dx, \qquad 0 < \alpha < \pi.$$ के संबंध में समाकलन के अंतर्गत अंतर करना $$\alpha$$, अपने पास $$\begin{align} \frac{d}{d\alpha} \mathbf{I}(\alpha) &= \int_0^{\pi/2} \frac{\partial}{\partial\alpha} \left(\frac{\ln(1 + \cos\alpha \cos x)}{\cos x}\right) \, dx \\[6pt] &=-\int_0^{\pi/2}\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha \cos x}\,dx \\ &=-\int_0^{\pi/2}\frac{\sin \alpha}{\left(\cos^2 \frac{x}{2}+\sin^2 \frac{x}{2}\right)+\cos \alpha \left(\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}\right)} \, dx \\[6pt] &=-\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha} \int_0^{\pi/2} \frac{1}{\cos^2\frac{x}{2}} \frac{1}{\frac{1+\cos \alpha}{1-\cos \alpha} +\tan^2 \frac{x}{2}} \, dx \\[6pt] &=-\frac{2\sin\alpha}{1-\cos\alpha} \int_0^{\pi/2} \frac{\frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2}}{\frac{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \sin^2\frac{\alpha}{2}} + \tan^2 \frac{x}{2}} \, dx \\[6pt] &=-\frac{2\left(2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}\right)}{2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}} \int_0^{\pi/2} \frac{1}{\cot^2\frac{\alpha}{2} + \tan^2 \frac{x}{2}} \, d\left(\tan \frac{x}{2}\right)\\[6pt] &=-2\cot \frac{\alpha}{2}\int_0^{\pi/2} \frac{1}{\cot^2\frac{\alpha}{2} + \tan^2\frac{x}{2}}\,d\left(\tan \frac{x}{2}\right)\\[6pt] &=-2\arctan \left(\tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{x}{2} \right) \bigg|_0^{\pi/2}\\[6pt] &=-\alpha. \end{align}$$ इसलिए: $$\mathbf{I}(\alpha) = C - \frac{\alpha^2}{2}.$$ लेकिन $\mathbf{I} \left(\frac{\pi}{2} \right) = 0$ परिभाषा के अनुसार $C = \frac{\pi^2}{8}$  और $$\mathbf I(\alpha) = \frac{\pi^2}{8}-\frac{\alpha^2}{2}.$$

उदाहरण 6
यहाँ हम समाकलन पर विचार करते हैं $$\int_0^{2\pi} e^{\cos\theta} \cos(\sin\theta) \, d\theta.$$ हम एक नया चर φ पेश करते हैं और समाकलन को पुनः लिखते हैं $$f(\varphi) = \int_0^{2\pi} e^{\varphi\cos\theta} \cos(\varphi\sin\theta)\,d\theta.$$ जब φ = 1 यह मूल समाकल के बराबर होता है। हालाँकि, यह अधिक सामान्य समाकलन के संबंध में विभेदित किया जा सकता है $$\varphi$$: $$\begin{align} \frac{df}{d\varphi} &= \int_0^{2\pi} \frac{\partial}{\partial\varphi}\left(e^{\varphi\cos\theta} \cos(\varphi\sin\theta)\right)\,d\theta \\[6pt] &= \int_0^{2\pi} e^{\varphi\cos\theta} \left( \cos\theta\cos(\varphi\sin\theta)-\sin\theta\sin(\varphi\sin\theta) \right)\,d\theta. \end{align}$$ अब, φ को ठीक करें, और सदिश क्षेत्र पर विचार करें $$ \mathbf{R}^2 $$ द्वारा परिभाषित $$ \mathbf{F}(x,y) = (F_1(x,y), F_2(x,y)) := (e^{\varphi x} \sin (\varphi y), e^{\varphi x} \cos (\varphi y)) $$. इसके अलावा, यूनिट सर्कल के वक्र अभिविन्यास  पैरामीट्रिजेशन को चुनें $$ S^1 $$ द्वारा दिए गए $$ \mathbf{r} \colon [0, 2\pi) \to \mathbf{R}^2 $$, $$\mathbf{r}(\theta) := (\cos \theta, \sin \theta) $$, ताकि $$ \mathbf{r}'(t) = (-\sin \theta, \cos \theta) $$. फिर ऊपर अंतिम समाकलन अंग ठीक है $$\begin{align} & \int_0^{2\pi} e^{\varphi\cos\theta} \left( \cos\theta\cos(\varphi\sin\theta)-\sin\theta\sin(\varphi\sin\theta) \right)\,d\theta \\[6pt] = {} & \int_0^{2\pi} (e^{\varphi \cos \theta} \sin (\varphi \sin \theta), e^{\varphi \cos \theta} \cos (\varphi \sin \theta)) \cdot (-\sin \theta, \cos \theta) \, d\theta\\[6pt] = {} & \int_0^{2\pi} \mathbf{F}(\mathbf{r}(\theta)) \cdot \mathbf{r}'(\theta) \, d\theta\\[6pt] = {} & \oint_{S^1} \mathbf{F}(\mathbf{r}) \cdot d\mathbf{r} = \oint_{S^1} F_1 \, dx + F_2 \, dy, \end{align}$$ रेखा का समाकलन अंग $$\mathbf{F}$$ ऊपर $$S^1$$. ग्रीन की प्रमेय द्वारा|ग्रीन की प्रमेय, यह दोहरे समाकलन के बराबर है $$\iint_D \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} \, dA,$$ जहाँ $$D$$ बंद यूनिट डिस्क है। इसका पूर्णांक समान रूप से 0 है, इसलिए $$df/d\varphi$$ समान रूप से शून्य है। इसका तात्पर्य है कि f(φ) स्थिर है। मूल्यांकन द्वारा स्थिरांक का निर्धारण किया जा सकता है $$f$$ पर $$\varphi = 0$$: $$f(0) = \int_0^{2\pi} 1\,d\theta = 2\pi.$$ इसलिए, मूल समाकल भी बराबर होता है $$2\pi$$.

हल करने के लिए अन्य समस्याएं
ऐसे असंख्य अन्य समाकल हैं जिन्हें समाकल चिह्न के अंतर्गत अवकलन की तकनीक का उपयोग करके हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति में, मूल समाकलन को नए पैरामीटर वाले समान समाकलन द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है $$\alpha$$: $$\begin{align} \int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx &\to \int_0^\infty e^{-\alpha x} \frac{\sin x}{x} dx,\\[6pt] \int_0^{\pi/2} \frac{x}{\tan x}\,dx &\to\int_0^{\pi/2} \frac{\tan^{-1}(\alpha \tan x)}{\tan x} dx,\\[6pt] \int_0^\infty \frac{\ln (1+x^2)}{1+x^2}\,dx &\to\int_0^\infty \frac{\ln (1+\alpha^2 x^2)}{1+x^2} dx \\[6pt] \int_0^1 \frac{x-1}{\ln x}\,dx &\to \int_0^1 \frac{x^\alpha-1}{\ln x} dx. \end{align}$$ पहला समाकलन, डिरिचलेट समाकलन, सकारात्मक α के लिए बिल्कुल अभिसरण है, लेकिन केवल सशर्त रूप से अभिसरण जब $$\alpha = 0$$. इसलिए, समाकलन चिह्न के अंतर्गत अवकलन कब उचित ठहराना आसान है $$\alpha > 0$$, लेकिन यह साबित करना कि परिणामी सूत्र तब मान्य रहता है जब $$\alpha = 0$$ कुछ सावधान कार्य की आवश्यकता है।

अनंत श्रृंखला
समाकल चिह्न के अंतर्गत विभेदीकरण का माप-सैद्धांतिक संस्करण भी गणना माप के रूप में योग की व्याख्या करके योग (परिमित या अनंत) पर प्रयुक्त होता है। एक अनुप्रयोग का एक उदाहरण यह तथ्य है कि अभिसरण की त्रिज्या में शक्ति श्रृंखला अलग-अलग होती है।

लोकप्रिय संस्कृति में
समाकलन चिह्न के अंतर्गत अवकलन का उल्लेख दिवंगत भौतिक विज्ञानी रिचर्ड फेनमैन के सबसे अधिक लोकप्रिय संस्मरण निश्चित रूप से आप मजाक कर रहे हैं, मिस्टर फेनमैन! अध्याय में  उपकरणों का एक अलग बॉक्स  में किया गया है। जबकि उच्च विद्यालय में, फ्रेडरिक एस वुड्स (जो मैसाचुसेट्स की तकनीकी संस्था में गणित के प्रोफेसर थे) द्वारा एक पुराने लेख, उन्नत गणना (1926) से सीखने का वर्णन करता है। इस तकनीक को प्रायः नहीं पढ़ाया जाता था जब फेनमैन ने बाद में कलन में अपनी औपचारिक शिक्षा प्राप्त की, लेकिन इस तकनीक का उपयोग करके, फेनमैन प्रिंसटन विश्वविद्यालय में स्नातक विद्यालय में आने पर अन्यथा कठिन समाकलन समस्याओं को हल करने में सक्षम थे:"एक कार्य जो मैंने कभी नहीं सीखा वह समोच्च समाकलन के तरीके थे। मेरे उच्च विद्यालय के भौतिकी के शिक्षक श्रीमान बदर ने मुझे जो पुस्तक दी थी, उसमें दर्शाई गई विभिन्न विधियों से मैंने समाकलन करना सीखा था। एक दिन उसने मुझे कक्षा के बाद रुकने को कहा। फेनमैन, उन्होंने कहा, तुम अधिक बात करते हो और तुम अधिक शोर करते हो। मुझे पता है क्यों। आप उदास हो गए हैं। तो मैं आपको एक किताब देने जा रहा हूँ। आप वहां पीछे, कोने में जाकर इस पुस्तक का अध्ययन करें, और जब आप इस पुस्तक में जो कुछ भी है, उसे जान लें, तो आप पुनः बात कर सकते हैं। इसलिए भौतिकी की प्रत्येक  कक्षा में, मैंने इस बात पर ध्यान नहीं दिया कि पास्कल के नियम के साथ क्या हो रहा था, या वे जो कुछ भी कर रहे थे। मैं वुड्स की इस पुस्तक एडवांस्ड कैलकुलस के साथ सबसे पीछे था। बदर को पता था कि मैंने कैलकुलस फॉर द प्रैक्टिकल मैन का आंशिक अध्ययन किया है, इसलिए उन्होंने मुझे वास्तविक काम दिया—यह विद्यालय में कनिष्ठ या वरिष्ठ  अध्ययन के लिए था। इसमें फूरियर श्रृंखला, बेसल-फलन, निर्धारक, अर्धवृत्ताकार फलन-सभी प्रकार की अद्वितीय कार्य  थे जिनके बारे में मुझे कुछ नहीं पता था। उस पुस्तक ने यह भी दिखाया कि समाकलन चिह्न के अंतर्गत मापदंडों को कैसे अवकलन किया जाए - यह एक निश्चित संक्रियक है। यह पता चला है कि विश्वविद्यालयों में बहुत कुछ नहीं पढ़ाया जाता है; वे इस पर जोर नहीं देते। लेकिन मैंने उस विधि का उपयोग करने के तरीके को प्रग्रहण किया, और मैंने उस एक उपकरण का बार-बार उपयोग किया। इसलिए क्योंकि मैं उस पुस्तक का उपयोग करके स्व-सिखाया गया था, मेरे पास समाकलन करने के विशिष्ट तरीके थे। इसका परिणाम यह हुआ कि, जब मैसाचुसेट्स प्रौद्योगिकी संस्थान या प्रिंसटन यूनिवर्सिटी के छात्रों को एक निश्चित समाकलन करने में समस्या हुई, तो इसका कारण यह था कि वे इसे उन मानक तरीकों से नहीं कर सकते थे जो उन्होंने स्कूल में सीखे थे। यदि यह समोच्च समाकलन होता, तो वे इसे प्राप्त कर लेते; यदि यह एक साधारण श्रृंखला विस्तार होता, तो वे इसे प्राप्त कर लेते। फिर मैं साथ आता हूं और समाकलन चिह्न के अंतर्गत अवकलन करने का प्रयास करता हूं, और प्रायः यह कार्य करता है। इसलिए मुझे समाकलन करने के लिए एक बड़ी प्रतिष्ठा मिली, सिर्फ इसलिए कि मेरे उपकरणों का बॉक्स प्रत्येक किसी से अलग था, और उन्होंने मुझे समस्या देने से पहले अपने सभी उपकरणों का परीक्षण किया था।"

यह भी देखें

 * श्रृंखला नियम
 * समाकलन का अवकलन
 * लीबनिज नियम (सामान्यीकृत गुणनफल नियम)
 * रेनॉल्ड्स अभिगमन प्रमेय, लीबनिज नियम का एक सामान्यीकरण