लेब्सग्यू-स्टिल्टजेस एकीकरण

माप सिद्धांत गणितीय विश्लेषण और गणित की संबंधित शाखाओं में, लेब्सग्यू-स्टिल्टजेस समाकलन रीमैन-स्टिल्टजेस समाकलन और लेब्सग्यू समाकलन दोनों को सामान्यीकृत करता है, और अधिक सामान्य माप-सैद्धांतिक संरचना में पूर्व के कई लाभों को संरक्षित करता है। अतः लेब्सग्यू-स्टिल्टजेस समाकलन, लेब्सग्यू-स्टिल्टजेस माप के रूप में जाने जाने वाले माप के संबंध में सामान्य लेब्सग्यू समाकलन है, जो वास्तविक रेखा पर सीमित भिन्नता के किसी भी फलन से संबद्ध हो सकता है। लेब्सग्यू-स्टिल्टजेस माप नियमित बोरेल माप है, और इसके विपरीत वास्तविक रेखा पर प्रत्येक नियमित बोरेल माप इस प्रकार का होता है।

लेबेस्ग्यू-स्टिल्टजेस समाकलन, जिसका नाम हेनरी लियोन लेब्सग्यू और थॉमस जोआन्स स्टिल्टजेस के नाम पर रखा गया है, को जोहान रेडॉन के बाद लेबेस्गु-रेडॉन समाकलन या मात्र रेडॉन समाकलन के रूप में भी जाना जाता है, जिनके लिए अधिकांश सिद्धांत देय हैं। इस प्रकार से वे प्रायिकता सिद्धांत और प्रसंभाव्य प्रक्रियाओं और प्रायिकता सिद्धांत सहित गणितीय विश्लेषण की कुछ शाखाओं में सामान्य अनुप्रयोग पाते हैं।

परिभाषा
अतः इस प्रकार से लेब्सग्यू-स्टिल्टजेस समाकलन


 * $$\int_a^b f(x)\,dg(x)$$

को तब परिभाषित किया जाता है जब $$f : \left[a, b\right] \rightarrow \mathbb R$$ बोरेल-माप्य फलन और परिबद्ध फलन होता है, और $$g : \left[a, b\right] \rightarrow \mathbb R$$ $[a, b]$ और दाएं-संतत में सीमित भिन्नता का होता है, या जब $&thinsp;f&thinsp;$ गैर-ऋणात्मक होता है और $g$ एकदिष्ट फलन और सतत फलन होता है। अतः आरंभ करने के लिए, यह मान लें $&thinsp;f&thinsp;$ गैर-ऋणात्मक है और $g$ एकदिष्ट ह्वासमान और सम-संतत है। $w((s, t]) = g(t) − g(s)$ और $w({a}) = 0$ को परिभाषित करें (वैकल्पिक रूप से, $g$ वाम-संतत, $w([s,t)) = g(t) − g(s)$ और $w({b}) = 0$) के लिए निर्माण कार्य करता है।

इस प्रकार से कैराथोडोरी की विस्तार प्रमेय के अनुसार, $[a, b]$ पर एक अद्वितीय बोरेल माप $μ_{g}$ है जो प्रत्येक अंतराल $I$ पर $w$ से सहमत है। माप $μ_{g}$ एक बाह्य माप (वस्तुतः, एक मीट्रिक बाह्य माप) से उत्पन्न होता है जो


 * $$\mu_g(E) = \inf\left\{\sum_i \mu_g(I_i) \ : \ E\subseteq \bigcup_i I_i \right\}$$

द्वारा दिया जाता है, जो कि $E$ के सभी आवरणों पर अगणनीय अर्ध-विवृत अंतरालों द्वारा लिया जाता है। अतः इस माप को कभी-कभी $g$ से संबद्ध लेबेस्गु-स्टिल्टजेस माप भी कहा जाता है।

इस प्रकार से लेब्सग्यू-स्टिल्टजेस समाकलन


 * $$\int_a^b f(x)\,dg(x)$$

को सामान्य विधि से माप $μ_{g}$ के संबंध में $&thinsp;f&thinsp;$ के लेब्सग्यू समाकलन के रूप में परिभाषित किया गया है। अतः यदि $g$ गैर वर्द्धमान है, तो


 * $$\int_a^b f(x)\,dg(x) := -\int_a^b f(x) \,d (-g)(x)$$

को परिभाषित करें, बाद वाला समाकलन पूर्ववर्ती निर्माण द्वारा परिभाषित किया जा रहा है।

इस प्रकार से यदि $g$ परिबद्ध भिन्नता का है और $&thinsp;f&thinsp;$ परिबद्ध है, तो


 * $$dg(x)=dg_1(x)-dg_2(x)$$

लिखना संभव है जहां $g_{1}(x) = Vx ag$ अंतराल $[a, x]$, और $g_{2}(x) = g_{1}(x) − g(x)$ में $g$ की कुल भिन्नता है। अतः दोनों $g_{1}$ और $g_{2}$ एकदिष्ट ह्वासमान हैं। अब $g$ के संबंध में लेब्सग्यू-स्टिल्टजेस समाकलन को


 * $$\int_a^b f(x)\,dg(x) = \int_a^b f(x)\,dg_1(x)-\int_a^b f(x)\,dg_2(x),$$

द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां बाद के दो समाकलन पूर्ववर्ती निर्माण द्वारा ठीक रूप से परिभाषित हैं।

डेनियल समाकलन
इस प्रकार से एक वैकल्पिक दृष्टिकोण लेब्सग्यू-स्टिल्टजेस समाकलन को डेनियल समाकलन के रूप में परिभाषित करना है जो सामान्य रीमैन-स्टिल्टजेस समाकलन का विस्तार करता है। अतः मान लीजिए कि $g$ $[a, b]$ पर एक गैर-ह्रासमान दाएँ-संतत फलन है, और $I(&thinsp;f&thinsp;)$ को सभी सतत फलन $&thinsp;f&thinsp;$ के लिए रीमैन-स्टिल्टजेस समाकलन


 * $$I(f) = \int_a^b f(x)\,dg(x)$$

के रूप में परिभाषित करता है। फलनात्मक (गणित) $I$ $[a, b]$ पर रेडॉन माप को परिभाषित करता है। फिर इस प्रकार्यात्मक को


 * $$\begin{align}

\overline{I}(h) &= \sup \left \{I(f) \ : \ f\in C[a,b], 0\le f\le h \right \} \\ \overline{\overline{I}}(h) &= \inf \left \{I(f) \ : \ f \in C[a,b], h\le f \right \} \end{align}$$
 * समूहित करके सभी गैर-नऋणात्मक फलन के वर्ग तक बढ़ाया जा सकता है।

इस प्रकार से बोरेल माप्य फलनों के लिए, किसी के निकट


 * $$\overline{I}(h) = \overline{\overline{I}}(h),$$

है, और तत्समक के दोनों ओर फिर $h$ के लेब्सग्यू-स्टिल्टजेस समाकलन को परिभाषित करता है। बाह्य माप $μ_{g}$ को


 * $$\mu_g(A) := \overline{I}(\chi_A)= \overline{\overline{I}}(\chi_A)$$

के माध्यम से परिभाषित किया गया है जहां $χ_{A}$, $A$ का सूचक फलन है।

अतः परिबद्ध भिन्नता के समाकलन को धनात्मक और ऋणात्मक विविधताओं में विघटित करके उपरोक्त विधि से नियंत्रित किया जाता है।

उदाहरण
मान लीजिए कि समतल में $&thinsp;γ : [a, b] → R^{2}$ एक संशोधनीय वक्र है और $&thinsp;ρ : R^{2} → [0, ∞)$ बोरेल माप्य है। तब हम ρ द्वारा भारित यूक्लिडियन मापन के संबंध में $γ$ की लंबाई को


 * $$\int_a^b \rho(\gamma(t))\,d\ell(t)$$

के रूप में परिभाषित कर सकते हैं, जहां $$\ell(t)$$ $γ$ से $[a, t]$ के प्रतिबंध की लंबाई है। इसे कभी-कभी $γ$ की $ρ$-लंबाई भी कहा जाता है। इस प्रकार से यह धारणा विभिन्न अनुप्रयोगों के लिए अत्यधिक उपयोगी है: उदाहरण के लिए, कीचड़ भरे क्षेत्र में जिस गति से कोई व्यक्ति चल सकता है वह इस बात पर निर्भर हो सकता है कि कीचड़ कितना गहन है। यदि $&thinsp;ρ(z)$ $z$ पर या उसके निकट चलने की गति के व्युत्क्रम को दर्शाता है, तो $γ$ की $ρ$-लंबाई वह समय है जो $γ$ को पार करने में लगेगा। चरम लंबाई की अवधारणा वक्रों की $ρ$-लंबाई की इस धारणा का उपयोग करती है और अनुरूप प्रतिचित्रण के अध्ययन में उपयोगी है।

भागों द्वारा समाकलन
इस प्रकार से एक फलन $&thinsp;f&thinsp;$ को एक बिंदु $a$ पर "नियमित" कहा जाता है यदि दाएं और बाएं हाथ की सीमाएं $f&thinsp;(a+)$ और $f&thinsp;(a−)$ स्थित है, और फलन $a$ पर औसत मान


 * $$f(a)=\frac{f(a-)+f(a+)}{2}$$ लेता है।

परिमित भिन्नता के दो फलन $U$ और $V$ को देखते हुए, यदि प्रत्येक बिंदु पर या तो $U$ या $V$ में से कम से कम एक सतत है या $U$ और $V$ दोनों नियमित हैं, तो लेब्सग्यू-स्टिल्टजेस समाकलन के लिए भागों के सूत्र द्वारा एक समाकलन होता है:
 * $$\int_a^b U\,dV+\int_a^b V\,dU = U(b+)V(b+)-U(a-)V(a-), \qquad -\infty < a < b < \infty.$$

यहां प्रासंगिक लेबेस्ग-स्टिल्टजेस उपाय $U$ और $V$ फलनों के दाएं-संतत संस्करणों से सम्बद्ध हैं; अर्थात्, $\tilde U(x) = \lim_{t\to x^+} U(t)$ और इसी प्रकार $$\tilde V(x)$$। अतः परिबद्ध अंतराल $(a, b)$ को असंबद्ध अंतराल $(-∞, b)$, $(a, ∞)$ या $(-∞, ∞)$ से बदला जा सकता है, यद्यपि इस असंबद्ध अंतराल पर $U$ और $V$ सीमित भिन्नता के हों। जटिल-मानित फलन का भी उपयोग किया जा सकता है।

इस प्रकार से प्रसंभाव्य गणना के सिद्धांत में महत्वपूर्ण महत्व का वैकल्पिक परिणाम निम्नलिखित है। परिमित भिन्नता के दो फलन $U$ और $V$ दिए गए हैं, जो दाएं-संतत दोनों हैं और जिनकी बाएँ-सीमाएँ हैं (वे कैडलैग फलन हैं) तो


 * $$U(t)V(t) = U(0)V(0) + \int_{(0,t]} U(s-)\,dV(s)+\int_{(0,t]} V(s-)\,dU(s)+\sum_{u\in (0,t]} \Delta U_u \Delta V_u,$$

जहां $ΔU_{t} = U(t) − U(t−)$। इस परिणाम को इटो के लेम्मा के पूर्वगामी के रूप में देखा जा सकता है, और यह प्रसंभाव्य समाकलन के सामान्य सिद्धांत में उपयोग में आता है। अतः अंतिम पद $ΔU(t)ΔV(t) = d[U, V]$ है, जो $U$ और $V$ के द्विघात सहसंयोजन से उत्पन्न होता है। (पहले के परिणाम को स्ट्रैटोनोविच समाकलन से संबंधित परिणाम के रूप में देखा जा सकता है।)

लेब्सग्यू समाकलन
इस प्रकार से जब सभी वास्तविक $x$ के लिए $g(x) = x$ होता है, तो $μ_{g}$ लेब्सेग माप होता है, और $g$ के संबंध मे $&thinsp;f&thinsp;$ का लेब्सेग-स्टिल्टजेस का समाकलन, $&thinsp;f&thinsp;$ के लेबेस्ग समाकलन के समतुल्य होता है।

रीमैन-स्टिल्टजेस समाकलन और प्रायिकता सिद्धांत
जहां $&thinsp;f&thinsp;$ वास्तविक चर का एक सतत फलन वास्तविक-मानित फलन है और $v$ गैर-ह्रासमान वास्तविक फलन है, लेबेस्ग्यू-स्टिल्टजेस समाकलन रीमैन-स्टिल्टजेस समाकलन के बराबर है, इस स्थिति में हम प्रायः लेब्सग्यू-स्टिल्टजेस समाकलन के लिए
 * $$\int_a^b f(x) \, dv(x)$$

लिखते हैं, जिससे माप $μ_{v}$ अंतर्निहित रहता है। अतः यह प्रायिकता सिद्धांत में विशेष रूप से सामान्य है जब $v$ वास्तविक-मानित यादृच्छिक चर $X$ का संचयी वितरण फलन है, जिस स्थिति में
 * $$\int_{-\infty}^\infty f(x) \, dv(x) = \mathrm{E}[f(X)]$$।

(ऐसी स्थितियों से निपटने के विषय में अधिक सूचना के लिए रीमैन-स्टिल्टजेस समाकलन पर लेख देखें।)

टिप्पणियाँ
Also see Henstock-kurzweil-stiltjes integral

संदर्भ

 * Saks, Stanisław (1937) Theory of the Integral.
 * Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.
 * Saks, Stanisław (1937) Theory of the Integral.
 * Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.