आंशिक कार्य

गणित में, एक आंशिक कार्य $f$ एक समुच्चय से (गणित) $X$  एक समुच्चय के लिए $Y$  एक सबसमुच्चय से एक फलन (गणित) है $S$ का $X$ (संभवतः संपूर्ण $X$ स्वयं) को $Y$. उपसमुच्चय $S$, यानी, एक फलन का डोमेन $f$ को एक कार्य के रूप में देखा जाता है, जिसे परिभाषा का डोमेन या प्राकृतिक डोमेन कहा जाता है $f$. अगर $S$ बराबर है $X$, यानी अगर $f$ में प्रत्येक तत्व पर परिभाषित किया गया है $X$, तब $f$ को कुल कार्य कहा जाता है।

अधिक तकनीकी रूप से, एक आंशिक कार्य दो समुच्चय (गणित) पर एक द्विआधारी संबंध है जो पहले समुच्चय के प्रत्येक तत्व को दूसरे समुच्चय के एक तत्व अधिकतम से जोड़ता है; इस प्रकार यह एक द्विआधारी संबंध # विशेष प्रकार के द्विआधारी संबंध हैं। यह पहले समुच्चय के प्रत्येक तत्व को दूसरे समुच्चय के एक तत्व बिल्कुल से संबद्ध करने की आवश्यकता नहीं होने के द्वारा एक (कुल) फलन (गणित) की अवधारणा को सामान्यीकृत करता है।

एक आंशिक फलन का उपयोग अधिकांशतः तब किया जाता है जब इसकी परिभाषा का सटीक डोमेन ज्ञात नहीं होता है या निर्दिष्ट करना कठिन होता है। गणना  में यह स्थिति है, उदाहरण के लिए, दो कार्यों का भागफल एक आंशिक कार्य है जिसकी परिभाषा के डोमेन में भाजक के एक कार्य का शून्य नहीं हो सकता है। इस कारण से, कैलकुलस में, और अधिक सामान्यतः गणितीय विश्लेषण में, एक आंशिक फलन को सामान्यतः केवल a कहा जाता है   संगणनीयता सिद्धांत सिद्धांत में, एक सामान्य पुनरावर्ती कार्य पूर्णांकों से पूर्णांकों का एक आंशिक कार्य है; यह तय करने के लिए कोई  कलन विधि  उपस्थित नहीं हो सकता है कि इस तरह का एक मनमाना कार्य वास्तव में कुल है या नहीं।

जब फलन (गणित) # एरो नोटेशन फलन के लिए उपयोग किया जाता है, आंशिक फलन $$f$$ से $$X$$ को $$Y$$ कभी-कभी लिखा जाता है $$f : X \rightharpoonup Y,$$ $$f : X \nrightarrow Y,$$ या $$f : X \hookrightarrow Y.$$ चुकीं, कोई सामान्य फलन नहीं है, और बाद के अंकन का उपयोग सामान्यतः सम्मिलित किए जाने वाले मानचित्रों या एम्बेडिंग के लिए किया जाता है।

विशेष रूप से, आंशिक कार्य के लिए $$f : X \rightharpoonup Y,$$ और कोई भी $$x \in X,$$ एक के पास या तो है:
 * $$f(x) = y \in Y$$ (यह एक एकल तत्व है $Y$), या
 * $$f(x)$$ अपरिभाषित है।

उदाहरण के लिए, यदि $$f$$ वर्गमूल फलन पूर्णांकों तक सीमित है
 * $$f : \Z \to \N,$$ द्वारा परिभाषित:
 * $$f(n) = m$$ अगर और केवल अगर, $$m^2 = n,$$ $$m \in \N, n \in \Z,$$

तब $$f(n)$$ केवल अगर परिभाषित किया गया है $$n$$ एक वर्ग संख्या है (अर्थात, $$0, 1, 4, 9, 16, \ldots$$). इसलिए $$f(25) = 5$$ लेकिन $$f(26)$$ अपरिभाषित है।

मूलभूत अवधारणाएँ
एक आंशिक कार्य दो समुच्चयों के बीच मानचित्रों के विचार से उत्पन्न होता है $X$ और $Y$ जिसे पूरे समुच्चय पर परिभाषित नहीं किया जा सकता है $X$. एक सामान्य उदाहरण वास्तविक संख्याओं पर वर्गमूल संक्रिया है $$\mathbb{R}$$: क्योंकि नकारात्मक वास्तविक संख्याओं में वास्तविक वर्गमूल नहीं होते हैं, संक्रिया को आंशिक फलन के रूप में देखा जा सकता है $$\mathbb{R}$$ को $$\mathbb{R}.$$ आंशिक फलन की परिभाषा का डोमेन सबसमुच्चय है $S$ का $X$ जिस पर आंशिक कार्य परिभाषित किया गया है; इस स्थिति में, आंशिक फलन को एक फलन के रूप में भी देखा जा सकता है $S$ को $Y$. वर्गमूल संक्रिया के उदाहरण में, समुच्चय $S$ में अऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ होती हैं $$[0, +\infty).$$

आंशिक कार्य की धारणा विशेष रूप से सुविधाजनक होती है जब परिभाषा का सटीक डोमेन अज्ञात या अनजान भी होता है। उत्तरार्द्ध के कंप्यूटर-विज्ञान उदाहरण के लिए, हॉल्टिंग समस्या देखें।

परिभाषा के डोमेन के स्थितियों में $S$ पूरे समुच्चय के बराबर है $X$, आंशिक कार्य को कुल कहा जाता है। इस प्रकार, से कुल आंशिक कार्य $X$ को $Y$ से कार्यों के साथ मेल खाता है $X$ को $Y$ कार्यों के कई गुण आंशिक कार्यों के उचित अर्थ में विस्तारित किए जा सकते हैं। आंशिक फलन को इंजेक्टिव फलन, विशेषण फलन या द्विभाजन कहा जाता है, जब आंशिक फलन के परिभाषा के डोमेन में आंशिक फलन के प्रतिबंध द्वारा दिए गए फलन क्रमशः इंजेक्टिव, विशेषण, विशेषण होते हैं।

क्योंकि एक फलन तुच्छ रूप से विशेषण है जब इसकी छवि तक सीमित है, आंशिक आक्षेप शब्द एक आंशिक कार्य को दर्शाता है जो इंजेक्टिव है।

एक इंजेक्टिव आंशिक फलन को इंजेक्टिव आंशिक फलन में उलटा किया जा सकता है, और एक आंशिक फलन जो इंजेक्टिव और विशेषण दोनों में व्युत्क्रम के रूप में एक इंजेक्टिव फलन होता है। इसके अतिरिक्त, एक फलन जो इंजेक्टिव है, इंजेक्टिव आंशिक फलन में उलटा हो सकता है।

परिवर्तन (कार्य) की धारणा को आंशिक कार्यों के लिए भी सामान्यीकृत किया जा सकता है। एक आंशिक परिवर्तन एक कार्य है $$f : A \rightharpoonup B,$$ जहां दोनों $$A$$ और $$B$$ किसी समुच्चय के उपसमुच्चय हैं $$X.$$

फलन स्पेस
सुविधा के लिए, सभी आंशिक कार्यों के समुच्चय को निरूपित करें $$f : X \rightharpoonup Y$$ एक समुच्चय से $$X$$ एक समुच्चय के लिए $$Y$$ द्वारा $$[X \rightharpoonup Y].$$ यह समुच्चय सबसमुच्चय पर परिभाषित कार्यों के समुच्चय का संघ है $$X$$ एक ही कोडोमेन के साथ $$Y$$:
 * $$[X \rightharpoonup Y] = \bigcup_{D \subseteq X} [D \to Y],$$

उत्तरार्द्ध के रूप में भी लिखा गया है $\bigcup_{D\subseteq{X}} Y^D.$ परिमित स्थितियों में, इसकी प्रमुखता है
 * $$|[X \rightharpoonup Y]| = (|Y| + 1)^{|X|},$$

क्योंकि किसी भी आंशिक फलन को किसी निश्चित मान से फलन तक बढ़ाया जा सकता है $$c$$ में निहित नहीं है $$Y,$$ जिससे कोडोमेन है $$Y \cup \{ c \},$$ एक ऑपरेशन जो इंजेक्टिव (प्रतिबंध द्वारा अद्वितीय और उलटा) है।

चर्चा और उदाहरण
लेख के शीर्ष पर पहला आरेख एक आंशिक कार्य का प्रतिनिधित्व करता है जो है एक फलन चूंकि बाएं हाथ के समुच्चय में तत्व 1 दाएं हाथ के समुच्चय में किसी भी चीज़ से संबद्ध नहीं है। जबकि, दूसरा आरेख एक फलन का प्रतिनिधित्व करता है क्योंकि बाएं हाथ के समुच्चय पर प्रत्येक तत्व दाहिने हाथ के समुच्चय में ठीक एक तत्व से जुड़ा होता है।

प्राकृतिक लघुगणक
प्राकृतिक लघुगणक फलन पर विचार करें जो वास्तविक संख्याओं को स्वयं से मैप करता है। एक गैर-सकारात्मक वास्तविक का लघुगणक एक वास्तविक संख्या नहीं है, इसलिए प्राकृतिक लघुगणक फलन कोडोमेन में किसी भी वास्तविक संख्या को डोमेन में किसी भी गैर-सकारात्मक वास्तविक संख्या के साथ संबद्ध नहीं करता है। इसलिए, प्राकृतिक लघुगणक फलन एक फलन नहीं है जब इसे वास्तविक से स्वयं के फलन के रूप में देखा जाता है, बल्कि यह एक आंशिक फलन है। यदि डोमेन केवल धनात्मक वास्तविक को सम्मिलित करने तक सीमित है (अर्थात, यदि प्राकृतिक लघुगणक फलन को धनात्मक वास्तविक से वास्तविक फलन के रूप में देखा जाता है), तो प्राकृतिक लघुगणक एक फलन है।

प्राकृत संख्याओं का घटाव
प्राकृतिक संख्याओं का घटाव (गैर-ऋणात्मक पूर्णांक) को आंशिक कार्य के रूप में देखा जा सकता है:
 * $$f : \N \times \N \rightharpoonup \N$$
 * $$f(x,y) = x - y.$$

इसे तभी परिभाषित किया जाता है जब $$x \geq y.$$

निचला तत्व
सांकेतिक शब्दार्थ में एक आंशिक कार्य को अपरिभाषित होने पर नीचे के तत्व को वापस करने के रूप में माना जाता है।

कंप्यूटर विज्ञान में एक आंशिक कार्य एक सबरूटीन से मेल खाता है जो एक अपवाद या लूप को हमेशा के लिए उठाता है। IEEE फ़्लोटिंग पॉइंट मानक एक नहीं एक संख्या मान को परिभाषित करता है जो तब लौटाया जाता है जब फ़्लोटिंग पॉइंट ऑपरेशन अपरिभाषित होता है और अपवादों को दबा दिया जाता है, उदा। जब किसी ऋणात्मक संख्या के वर्गमूल का अनुरोध किया जाता है।

एक प्रोग्रामिंग भाषा  में जहां फलन पैरामीटर स्थिर रूप से टाइप किया गया किए जाते हैं, एक फलन को एक आंशिक फलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है क्योंकि भाषा का  प्रकार प्रणाली  फलन के सटीक डोमेन को व्यक्त नहीं कर सकता है, इसलिए प्रोग्रामर इसके अतिरिक्त इसे सबसे छोटा डोमेन देता है जो एक प्रकार के रूप में अभिव्यक्त होता है और फलन की परिभाषा का डोमेन सम्मिलित है।

श्रेणी सिद्धांत में
श्रेणी सिद्धांत में, ठोस श्रेणियों में आकारिकी रचना के संचालन पर विचार करते समय, रचना संचालन $$\circ \;:\; \hom(C) \times \hom(C) \to \hom(C)$$ एक फलन है अगर और केवल अगर $$\operatorname{ob}(C)$$ एक तत्व है। इसका कारण यह है कि दो रूप $$f : X \to Y$$ और $$g : U \to V$$ के रूप में ही रचा जा सकता है $$g \circ f$$ अगर $$Y = U,$$ वह है, का कोडोमेन $$f$$ के डोमेन के बराबर होना चाहिए $$g.$$

समुच्चय और आंशिक कार्यों की श्रेणी श्रेणियों की समतुल्यता है, लेकिन नुकीले समुच्चयों और बिंदु-संरक्षण मानचित्रों की श्रेणी के साथ श्रेणियों की समरूपता नहीं है। एक पाठ्यपुस्तक नोट करती है कि "अनुचित," "अनंत" तत्वों को जोड़कर समुच्चय और आंशिक मानचित्रों का औपचारिक समापन कई बार, विशेष रूप से, टोपोलॉजी (एक-बिंदु संघनन) और सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में किया गया था।

समुच्चय और आंशिक द्विभाजन की श्रेणी इसके विपरीत श्रेणी के बराबर है। यह प्रोटोटाइपिक उलटा श्रेणी है।

अमूर्त बीजगणित में
आंशिक बीजगणित आंशिक संक्रिया (गणित) के लिए सार्वभौमिक बीजगणित की धारणा का सामान्यीकरण करता है। एक उदाहरण एक फ़ील्ड (गणित) होगा, जिसमें गुणक व्युत्क्रम एकमात्र उचित आंशिक ऑपरेशन है (क्योंकि शून्य से विभाजन परिभाषित नहीं है)।

किसी दिए गए आधार समुच्चय पर सभी आंशिक कार्यों (आंशिक परिवर्तन (फलन)) का समुच्चय, $$X,$$ एक नियमित अर्धसमूह बनाता है जिसे सभी आंशिक परिवर्तनों का अर्धसमूह कहा जाता है (या आंशिक परिवर्तन अर्धसमूह पर $$X$$), सामान्यतः द्वारा चिह्नित $$\mathcal{PT}_X.$$  पर सभी आंशिक आपत्तियों का समुच्चय $$X$$ सममित व्युत्क्रम अर्धसमूह बनाता है।

कई गुना और फाइबर बंडलों के लिए चार्ट और एटलस
एटलस (टोपोलॉजी) में चार्ट जो मैनिफोल्ड्स और फाइबर बंडलों की संरचना को निर्दिष्ट करते हैं, आंशिक कार्य हैं। मैनिफोल्ड्स के स्थितियों में, डोमेन मैनिफोल्ड का बिंदु समुच्चय है। फाइबर बंडलों के स्थितियों में, डोमेन फाइबर बंडल का स्थान है। इन अनुप्रयोगों में, सबसे महत्वपूर्ण निर्माण एटलस (टोपोलॉजी) # संक्रमण मानचित्र है, जो एक चार्ट का दूसरे के व्युत्क्रम के साथ सम्मिश्रण है। मैनिफोल्ड्स और फाइबर बंडलों का प्रारंभिक वर्गीकरण इन संक्रमण मानचित्रों पर बाधाओं के संदर्भ में बहुत सीमा तक व्यक्त किया गया है।

कार्यों के अतिरिक्त आंशिक कार्यों के उपयोग का कारण वैश्विक संरचना का वर्णन करने के लिए स्थानीय पैच को एक साथ सिलाई करके सामान्य वैश्विक टोपोलॉजी का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देना है। पैच वे डोमेन हैं जहां चार्ट परिभाषित किए गए हैं।

संदर्भ

 * Martin Davis (1958), Computability and Unsolvability, McGraw–Hill Book Company, Inc, New York. Republished by Dover in 1982. ISBN 0-486-61471-9.
 * Stephen Kleene (1952), Introduction to Meta-Mathematics, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, Netherlands, 10th printing with corrections added on 7th printing (1974). ISBN 0-7204-2103-9.
 * Harold S. Stone (1972), Introduction to Computer Organization and Data Structures, McGraw–Hill Book Company, New York.