माधव श्रृंखला

गणित में, एक माधव श्रृंखला 14वीं या 15वीं शताब्दी में केरल में संगमग्राम के गणितज्ञ और खगोलशास्त्री माधव (सी. 1350 - सी. 1425) या उनके अनुयायियों द्वारा केरल स्कूल में खगोलिकी और अंक शास्त्र में खोजे गए ज्या, कोज्या और स्पर्शरेखा फलन के लिए तीन टेलर श्रृंखला विस्तारों में से एक है। आधुनिक संकेतन का उपयोग करते हुए, ये श्रृंखलाएँ हैं:


 * $$\begin{alignat}{3}

\sin \theta &= \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \frac{\theta^7}{7!} + \cdots &&= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\theta^{2k+1}, \\[10mu] \cos \theta &= 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \frac{\theta^6}{6!} + \cdots &&= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!}\theta^{2k}, \\[10mu] \arctan x &= x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots &&= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2k+1}x^{2k+1} \quad \text{where } |x| \leq 1. \end{alignat}$$ तीनों श्रृंखलाओं को बाद में 17वीं सदी के यूरोप में स्वतंत्र रूप से खोजा गया। 1669 में आइजैक न्यूटन द्वारा ज्या और कोज्या की श्रृंखला को फिर से खोजा गया, और चाप स्पर्शरेखा की श्रृंखला को 1671 में जेम्स ग्रेगरी और 1673 में गॉटफ्रीड लाइबनिज द्वारा फिर से खोजा गया था, और इसे पारंपरिक रूप से ग्रेगरी की श्रृंखला कहा जाता है। विशिष्ट मान $\arctan 1 = \tfrac14\pi$ वृत्त नियतांक π की गणना करने के लिए किया जा सकता है, और $1$ के लिए स्पर्शरेखा श्रृंखला को पारंपरिक रूप से लीबनिज़ की श्रृंखला कहा जाता है।

माधव की प्राथमिकता की मान्यता में, हाल ही की रचना में इन

श्रृंखलाओं को कभी-कभी माधव-न्यूटन श्रृंखला, माधव-ग्रेगरी श्रृंखला या माधव-लीबनिज श्रृंखला (अन्य समुच्चयों के बीच) कहा जाता है।                                                               माधव की किसी भी विद्यमान रचना में उन व्यंजकों के बारे में स्पष्ट कथन नहीं हैं जिन्हें अब माधव श्रृंखला कहा जाता है। हालाँकि,बाद के केरल के गणितज्ञ नीलकण्ठ सोमयाजी और ज्येष्ठदेव के लेखन में माधव को इन श्रृंखलाओं के स्पष्ट गुण मिल सकते हैं। बाद के इन कार्यों में ऐसे प्रमाण और वृत्तविवरण भी सम्मिलित हैं जो बताते हैं कि श्रृंखला में माधव कैसे पहुंचे होंगे।

"माधव के अपने शब्द" में माधव श्रृंखला
माधव की कोई भी रचना, जिसमें उनके नाम से कोई भी श्रंखला व्यंजक सम्मिलित है, बची नहीं है। केरल स्कूल में माधव के अनुयायियों के लेखन में ये श्रृंखला व्यंजक पाए जाते हैं। कई स्थानों पर इन लेखकों ने स्पष्ट रूप से कहा है कि ये "माधव द्वारा बताए गए" हैं। इस प्रकार तंत्रसंग्रह और उसके वृत्तवर्णन में पाई जाने वाली विभिन्न श्रंखलाओं की व्याख्या "माधव के अपने शब्दों" में सुरक्षित रूप से मानी जा सकती है। शंकर वरियार (लगभग 1500 - 1560 CE) द्वारा तंत्रसंग्रह (जिसे तंत्रसंग्रह-व्याख्या के रूप में भी जाना जाता है) की युक्तिदीपिका टिप्पणी में दिए गए प्रासंगिक छंदों के अनुवाद नीचे पुन: प्रस्तुत किए गए हैं। इसके बाद इन्हें वर्तमान गणितीय अंकन में दर्शाया गया है।

माधव के अपने शब्दों में
माधव की ज्या श्रृंखला शंकर वरियार द्वारा युक्ति-दीपिका टिप्पणी (तंत्रसंग्रह-व्याख्या) में 2.440 और 2.441 छंदों में बताई गई है। छंद का अनुवाद इस प्रकार है।

चाप के वर्ग से चाप को गुणा करें, और इसे पुनरावर्ती का परिणाम लें (कितनी बार)। क्रमिक सम संख्याओं के वर्गों से विभाजित करें (जैसे कि वर्तमान को पिछले से गुणा किया जाता है) उस संख्या से बढ़ाकर और त्रिज्या के वर्ग से गुणा किया जाता है। चाप और क्रमिक परिणाम एक के नीचे एक रखें, और प्रत्येक को ऊपर वाले से घटाएं। ये एक साथ जीवा [ज्या] देते हैं, जैसा कि "विद्वान" आदि से शुरू होने वाले छंद में एक साथ एकत्र किया गया है।

आधुनिक अंकन में प्रतिपादन
मान लीजिए r वृत्त की त्रिज्या और s चाप-लंबाई को निरूपित करता है।


 * निम्नलिखित अंश (भिन्न के ऊपर का अंक) पहले रूपांकित हैं:
 * $$s \cdot s^2 ,\qquad s \cdot s^2 \cdot s^2, \qquad s \cdot s^2 \cdot s^2 \cdot s^2, \qquad \cdots$$
 * फिर इन्हें छंद में निर्दिष्ट मात्राओं से विभाजित किया जाता है।
 * $$s\cdot \frac{s^2}{(2^2+2)r^2}, \qquad s\cdot \frac{s^2}{(2^2+2)r^2}\cdot \frac{s^2}{(4^2+4)r^2},\qquad s\cdot \frac{s^2}{(2^2+2)r^2}\cdot \frac{s^2}{(4^2+4)r^2}\cdot \frac{s^2}{(6^2+6)r^2}, \qquad \cdots $$
 * चाप और क्रमिक परिणाम एक के नीचे एक रखें, और जीवा प्राप्त करने के लिए प्रत्येक को ऊपर वाले से घटाएं:
 * $$ \text{jiva}= s - \left [ s\cdot \frac{s^2}{(2^2+2)r^2} - \left [ s\cdot \frac{s^2}{(2^2+2)r^2}\cdot \frac{s^2}{(4^2+4)r^2} -\left [ s\cdot \frac{s^2}{(2^2+2)r^2}\cdot \frac{s^2}{(4^2+4)r^2}\cdot \frac{s^2}{(6^2+6)r^2}-\cdots\right]\right]\right] $$

वर्तमान अंकन में परिवर्तन
मान लीजिए θ वृत्त के केंद्र पर चाप s द्वारा बनाया गया कोण है। तब s = r θ और जीवा = r sin θ। इन्हें अंतिम व्यंजक में प्रतिस्थापित करने और सरल करने पर हमें प्राप्त होता है
 * $$\sin \theta = \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \frac{\theta^7}{7!} + \quad \cdots $$

जो कोज्या फलन की अनंत घात श्रृंखला विस्तार देता है।

संख्यात्मक गणना के लिए माधव का सुधार
छंद की अंतिम पंक्ति 'विदवान' आदि से शुरू होने वाले छंद में एक साथ एकत्र की गई है, माधव द्वारा प्रस्तुत श्रृंखला के एक सुधार का संदर्भ है, जो चाप और त्रिज्या के निर्दिष्ट मानो के लिए आसान गणना की सुविधा प्रदान करता है। इस तरह के सुधार के लिए, माधव एक वृत्त के एक चौथाई भाग पर विचार करते हैं, जिसकी माप 5400 मिनट (मान लीजिए C मिनट) है और ऐसे वृत्त के विभिन्न चापों के जीवाओं की आसान गणना के लिए एक पद्धति विकसित करते हैं। R को एक वृत्त की त्रिज्या होने दें, जिसका एक-चौथाई भाग C को मापता है। माधव ने π के लिए अपने श्रृंखला सूत्र का उपयोग करके π के मान की गणना पहले ही कर ली थी। π के इस मान का उपयोग करते हुए, अर्थात् 3.1415926535922, त्रिज्या R की गणना निम्नानुसार की जाती है: तब


 * R = 2 × 5400 / $\pi$ = 3437.74677078493925 = 3437 आर्कमिनट 44 आर्कसेकण्ड 48 आर्कसेकंड का साठवां भाग = 3437′ 44′′ 48′′′/

जीवा के लिए माधव के व्यंजक R त्रिज्या के किसी वृत्त के किसी भी चाप s के समतुल्य है:


 * $$\begin{align}

\text{jiva } & = s - \frac{s^3}{R^2(2^2+2)} + \frac{s^5}{R^4(2^2+2)(4^2+4)}- \cdots \\[6pt] & = s - \left(\frac{s}{C}\right)^3 \left [   \frac{R \left(\frac{\pi}{2}\right)^3}{3!} - \left(\frac{s}{C}\right)^2 \left [ \frac{R \left(\frac{\pi}{2}\right)^5}{5!} - \left(\frac{s}{C}\right)^2 \left [ \frac{R \left(\frac{\pi}{2}\right)^7}{7!} - \cdots  \right ]\right]\right]. \end{align}$$ माधव अब निम्नलिखित मानों की गणना करते हैं:

जीवा की गणना अब निम्नलिखित पद्धति का उपयोग करके की जा सकती है:


 * जीवा = s − (s / C)3 [ (2220′ 39′′ 40′′′) − (s / C)2 [ (273′ 57′′ 47′′′) − (s / C)2 [ (16′ 05′′ 41′′′) − (s / C)2[ (33′′ 06′′′) − (s / C)2 (44′′′ ) ] ] ] ].

यह 11वें क्रम के टेलर बहुपद द्वारा जीवा का सन्निकटन देता है। इसमें केवल एक विभाजन, छह गुणन और पांच व्यवकलन सम्मिलित हैं। माधव ने संख्यात्मक रूप से कुशल अभिकलनी योजना को निम्नलिखित शब्दों में निर्धारित किया है (युक्ति-दीपिका में छंद 2.437 का अनुवाद):

vi-dvān, tu-nna-ba-la, ka-vī-śa-ni-ca-ya, sa-rvā-rtha-śī-la-sthi-ro, ni-rvi-ddhā-nga-na-rē-ndra-rung / परिधि के एक-चौथाई (5400') से विभाजित चाप के वर्ग द्वारा क्रमिक रूप से इन पांच संख्याओं को गुणा करें, और अगली संख्या से घटाएं। (प्राप्त परिणाम और अगली संख्या के साथ इस विधि को जारी रखें।) परिधि के एक चौथाई से विभाजित चाप के घन द्वारा अंतिम परिणाम को गुणा करें और चाप से घटाएं।

माधव के अपने शब्दों में
माधव की कोज्या श्रंखला शंकर वरियार द्वारा युक्ति-दीपिका भाष्य (तंत्रसंग्रह-व्याख्या) में 2.442 और 2.443 छंदों में बताई गई है। छंद का अनुवाद इस प्रकार है।

चाप के वर्ग को इकाई (यानी त्रिज्या) से गुणा करें और इसे दोहराने का परिणाम लें (कितनी बार)। उत्तरोत्तर सम संख्याओं के वर्ग से विभाजित करें (उपरोक्त अंशों में से प्रत्येक) उस संख्या से घटाकर और त्रिज्या के वर्ग से गुणा करें। लेकिन पहला शब्द (अब) (जो है) दो बार त्रिज्या से विभाजित है। इस प्रकार प्राप्त क्रमिक परिणामों को एक के नीचे एक रखें और प्रत्येक को ऊपर वाले में से घटाएँ। ये मिलकर शर देते हैं जैसा कि स्तेना, स्त्री आदि से शुरू होने वाले छंद में एक साथ एकत्र किया जाता है।

आधुनिक अंकन में प्रतिपादन
मान लीजिए r वृत्त की त्रिज्या और s चाप-लंबाई को निरूपित करता है।


 * निम्नलिखित अंश पहले बनते हैं:
 * $$r \cdot s^2 ,\qquad r \cdot s^2 \cdot s^2, \qquad r \cdot s^2 \cdot s^2 \cdot s^2 , \qquad \cdots $$


 * फिर इन्हें पद्य में निर्दिष्ट मात्राओं से विभाजित किया जाता है।
 * $$r\cdot \frac{s^2}{(2^2 - 2)r^2}, \qquad r\cdot \frac{s^2}{(2^2 - 2)r^2}\cdot \frac{s^2}{(4^2-4)r^2},\qquad r\cdot \frac{s^2}{(2^2-2)r^2}\cdot \frac{s^2}{(4^2-4)r^2}\cdot \frac{s^2}{(6^2-6)r^2}, \qquad \cdots $$


 * आर्क और क्रमिक परिणाम एक के नीचे एक रखें, और शर प्राप्त करने के लिए प्रत्येक को ऊपर वाले से घटाएं:
 * $$ \text{sara}=  r\cdot \frac{s^2}{(2^2 - 2)r^2} - \left [ r\cdot \frac{ s^2}{(2^2-2)r^2}\cdot \frac{s^2}{(4^2-4)r^2} -\left [ r\cdot \frac{ s^2}{(2^2-2)r^2}\cdot \frac{s^2}{(4^2-4)r^2}\cdot \frac{s^2}{(6^2-6)r^2}-\cdots\right]\right] $$

वर्तमान अंकन में परिवर्तन
मान लीजिए θ वृत्त के केंद्र पर चाप s द्वारा बनाया गया कोण है। तब s = rθ और शर = r(1 - cos θ). इन्हें अंतिम व्यंजक में प्रतिस्थापित करने और सरल करने पर हमें प्राप्त होता है
 * $$1 - \cos \theta = \frac{\theta^2}{2!} -  \frac{\theta^4}{4!} + \frac{\theta^6}{6!} + \quad \cdots $$

जो कोज्या फलन की अनंत शक्ति श्रृंखला विस्तार देता है।

संख्यात्मक गणना के लिए माधव का सुधार
छंद की अंतिम पंक्ति ' स्टेना, स्ट्री, आदि से शुरू होने वाले छंद में एक साथ एकत्रित' माधव द्वारा स्वयं प्रस्तुत किए गए एक सुधार का संदर्भ है, जो चाप और त्रिज्या के निर्दिष्ट मानो के लिए श्रृंखला की आसान गणना की सुविधा प्रदान करता है।                                          ज्या श्रृंखला के मामले में, माधव एक वृत्त पर विचार करते हैं जिसका एक चौथाई हिस्सा 5400 मिनट (मान लीजिए C मिनट) को मापता है और ऐसे वृत्त के विभिन्न चापों के शर की आसान गणना के लिए एक योजना विकसित करता है। मान लीजिए R एक वृत्त की त्रिज्या है जिसका एक चौथाई भाग C को मापता है। फिर, ज्या श्रृंखला के मामले में, माधव को मिलता है आर = 3437' 44 48।

त्रिज्या R के एक वृत्त के किसी चाप s के संगत शर के लिए माधव की अभिव्यक्ति निम्नलिखित के समतुल्य है:



\begin{align} \text{jiva } & = R\cdot \frac{s^2}{R^2(2^2-2)} - R\cdot \frac{s^4}{R^4(2^2-2)(4^2-4)}- \cdots \\ & = \left(\frac{s}{C}\right)^2 \left[  \frac{R \left(\frac{\pi}{2}\right)^2}{2!} - \left(\frac{s}{C}\right)^2 \left[ \frac{R \left(\frac{\pi}{2}\right)^4}{4!} - \left(\frac{s}{C}\right)^2 \left[ \frac{R \left(\frac{\pi}{2}\right)^6}{6!} - \cdots  \right]\right]\right] \end{align} $$ माधव अब निम्नलिखित मानों की गणना करते हैं:

शर की गणना अब निम्नलिखित योजना का उपयोग करके की जा सकती है:


 * शार = (एस / सी)2 [(4241' 09 00) - (s / C)2 [ (872′ 03′′ 05”′) − (s / C)2 [(071' 43 24') - (एस/सी) 2[ (03' 09 37) - (एस / सी)2 [(05'' 12) - (एस / सी)2 (06) ] ] ] ] ]

यह 12वें क्रम के टेलर बहुपद द्वारा शर का सन्निकटन देता है। इसमें एक विभाजन, छह गुणा और पांच घटाव भी शामिल हैं। माधव ने संख्यात्मक रूप से कुशल कम्प्यूटेशनल योजना को निम्नलिखित शब्दों में निर्धारित किया है (युक्ति-दीपिका में श्लोक 2.438 का अनुवाद):

छ: चरण, स्त्रिपिशुन, सुगंधिनगानुद, भद्रांगभव्यासन, मिनांगोनारसिम्हा, उन्धनकृतभुरेव। परिधि के चौथाई से विभाजित चाप के वर्ग से गुणा करें और अगली संख्या से घटाएं। (परिणाम और अगली संख्या के साथ जारी रखें।) अंतिम परिणाम उत्क्रम-ज्य (आर छंद चिह्न) होगा।

In Madhava's own words
Madhava's arctangent series is stated in verses 2.206 – 2.209 in Yukti-dipika commentary (Tantrasamgraha-vyakhya) by Sankara Variar. A translation of the verses is given below. ज्येष्ठदेव ने युक्तिभाषा में भी इस श्रृंखला का वर्णन किया है।

अब, केवल उसी तर्क से, वांछित ज्या के चाप का निर्धारण (बनाया) जा सकता है। वह इस प्रकार है: पहला परिणाम वांछित ज्या और चाप के कोज्या से विभाजित त्रिज्या का गुणनफल है। जब किसी ने साइन के वर्ग को गुणक और कोसाइन के वर्ग को भाजक बना दिया है, तो अब परिणामों का एक समूह पहले से शुरू होने वाले (पिछले) परिणामों से निर्धारित किया जाना है। जब इन्हें विषम संख्या 1, 3, और आगे से क्रम में विभाजित किया जाता है, और जब किसी ने सम (-क्रमांकित) परिणामों के योग को विषम (इकाई) के योग से घटाया है, तो वह चाप होना चाहिए। यहाँ साइन और कोसाइन के छोटे को वांछित (साइन) माना जाना आवश्यक है। अन्यथा, बार-बार (गणना) करने पर भी परिणामों की समाप्ति नहीं होगी।

इसी तर्क के द्वारा परिधि की गणना दूसरे तरीके से भी की जा सकती है। वह इस प्रकार है (निम्नानुसार): पहले परिणाम को व्यास के वर्ग के वर्गमूल को बारह से गुणा करना चाहिए। तब से, परिणाम को तीन (इन) प्रत्येक क्रमिक (केस) से विभाजित किया जाना चाहिए। जब इन्हें 1 से शुरू होने वाली विषम संख्याओं के क्रम में विभाजित किया जाता है, और जब विषम के योग से (सम) परिणाम घटाया जाता है, (वह) परिधि होनी चाहिए।

आधुनिक अंकन में प्रतिपादन
आइए वांछित साइन (ज्य या जीव) वाई का चाप बनें। मान लीजिए कि r त्रि जाना है और x कोसाइन (कोज्या) है।


 * पहला परिणाम है $$\tfrac{y \cdot r}{x}$$.
 * गुणक और भाजक बनाएँ $$\tfrac{y^2}{x^2}$$.
 * परिणामों का समूह बनाएं:
 * $$\frac{y \cdot r}{x}\cdot\frac{y^2}{x^2}, \qquad \frac{y \cdot r}{x}\cdot\frac{y^2}{x^2}\cdot\frac{y^2}{x^2}, \qquad \cdots$$


 * इन्हें संख्या 1, 3, और इसी क्रम में विभाजित किया गया है:
 * $$ \frac{1}{1}\frac{y \cdot r}{x}, \qquad \frac{1}{3}\frac{y \cdot r}{x}\cdot\frac{y^2}{x^2}, \qquad \frac{1}{5}\frac{y \cdot r}{x}\cdot\frac{y^2}{x^2}\cdot\frac{y^2}{x^2}, \qquad \cdots$$


 * विषम संख्या वाले परिणामों का योग:
 * $$\frac{1}{1}\frac{y \cdot r}{x} + \frac{1}{5}\frac{y \cdot r}{x}\cdot\frac{y^2}{x^2}\cdot\frac{y^2}{x^2}+\cdots$$


 * सम संख्या वाले परिणामों का योग:
 * $$\frac{1}{3}\frac{y \cdot r}{x}\cdot\frac{y^2}{x^2} + \frac{1}{7}\frac{y \cdot r}{x}\cdot\frac{y^2}{x^2}\cdot\frac{y^2}{x^2}\cdot\frac{y^2}{x^2}+\cdots$$


 * चाप अब किसके द्वारा दिया जाता है
 * $$s = \left(\frac{1}{1}\frac{y \cdot r}{x} + \frac{1}{5}\frac{y \cdot r}{x}\cdot\frac{y^2}{x^2}\cdot\frac{y^2}{x^2}+\cdots\right) - \left(\frac{1}{3}\frac{y \cdot r}{x}\cdot\frac{y^2}{x^2} + \frac{1}{7}\frac{y \cdot r}{x}\cdot\frac{y^2}{x^2}\cdot\frac{y^2}{x^2}\cdot\frac{y^2}{x^2}+\cdots\right)$$

वर्तमान अंकन में परिवर्तन
मान लीजिए θ वृत्त के केंद्र पर चाप s द्वारा बनाया गया कोण है। तब s = rθ, x = jya = r cos θ और y = jya = r sin θ. तब y / x = tan θ. इन्हें अंतिम व्यंजक में प्रतिस्थापित करने और सरल करने पर हमें प्राप्त होता है माना tan θ = q हमारे पास अंत में है
 * $$\theta = \tan \theta - \frac{\tan^3 \theta}{3} + \frac{\tan^5\theta}{5} - \frac{\tan^7 \theta}{7} + \quad \cdots $$.


 * $$ \tan^{-1} q = q - \frac{q^3}{3} + \frac{q^5}{5} - \frac{q^7}{7} + \quad \cdots $$

एक वृत्त की परिधि के लिए एक अन्य सूत्र
उद्धृत पाठ का दूसरा भाग व्यास d वाले वृत्त की परिधि c की गणना के लिए एक अन्य सूत्र निर्दिष्ट करता है। यह इस प्रकार है।



c= \sqrt{12 d^2} - \frac{\sqrt{12 d^2}}{3\cdot 3} + \frac{\sqrt{12 d^2}}{3^2 \cdot 5} - \frac{\sqrt{12 d^2}}{3^3 \cdot 7}+ \quad \cdots $$ चूंकि सी = π घ इसे गणना करने के सूत्र के रूप में पुनः बनाया जा सकता है π निम्नलिखित नुसार।



\pi = \sqrt{12}\left( 1 - \frac{1}{3\cdot3}+\frac{1}{3^2\cdot 5} -\frac{1}{3^3\cdot 7} +\quad \cdots\right) $$ यह q = को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है $$1/\sqrt{3}$$ (इसलिए θ = π / 6) तन के लिए शक्ति श्रृंखला विस्तार में-1 क्यू ऊपर।

यह भी देखें

 * संगमग्राम के माधव
 * माधव की ज्या तालिका
 * माधव का संशोधन पद
 * पाडे अनुमानित
 * टेलर श्रृंखला
 * लॉरेंट श्रृंखला
 * प्यूसेक्स श्रृंखला

संदर्भ

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