अलेक्जेंडर बहुपद

गणित में, अलेक्जेंडर बहुपद एक नॉट अपरिवर्तनीय है जो प्रत्येक नॉट प्रकार के लिए पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद को निर्दिष्ट करता है। 1923 में जेम्स वाडेल अलेक्जेंडर II ने पहली नॉट बहुपद की खोज की। 1969 में, जॉन कॉनवे ने इस बहुपद का एक संस्करण दिखाया, जिसे अब अलेक्जेंडर-कॉनवे बहुपद कहा जाता है, इसकी गणना एक स्केन संबंध का उपयोग करके की जा सकती है, हालांकि इसका महत्व 1984 में जोन्स बहुपद की खोज तक संपादित नहीं किया गया था। कॉनवे द्वारा अलेक्जेंडर बहुपद पर फिर से काम करने के तुरंत बाद, यह संपादित किया गया कि समान स्केन संबंध अलेक्जेंडर के पत्र में उनके बहुपद पर प्रदर्शित किया गया था।

परिभाषा
बता दें कि K 3-गोले में एक नॉट (गणित) है। X को K के नॉट पूरक के अनंत अनंत चक्रीय आच्छादन होने दें। इस आच्छादन को K की सीफर्ट सतह के साथ नॉट के पूरक को परिच्छेद करके प्राप्त किया जा सकता है और एक चक्रीय तरीके से सीमा के साथ परिणामी बहुसंख्यक की अधिकतम रूप से कई प्रतिलिपियों को एक साथ जोड़कर प्राप्त किया जा सकता है। X पर स्थानपन्न करने वाला एक आच्छादन परिवर्तन t है। X के पहले समरूपता (पूर्णांक गुणांक के साथ) पर विचार करें, जिसे $$H_1(X)$$ द्वारा निरूपित किया गया। रूपांतरण t समरूपता पर कार्य करता है और इसलिए हम $$H_1(X)$$ को लॉरेंट बहुपद प्रतिरूपक (गणित)। $$\mathbb{Z}[t, t^{-1}]$$ के वलय पर एक प्रतिरूपक पर विचार कर सकते हैं। इसे अलेक्जेंडर अपरिवर्तनीय या अलेक्जेंडर प्रतिरूपक कहा जाता है।

प्रतिरूपक पूरी तरह से प्रस्तुत करने योग्य है; इस प्रतिरूपक के लिए एक प्रस्तुति आव्यूह को अलेक्जेंडर आव्यूह कहा जाता है। यदि उत्पादक की संख्या, $$r$$, संबंधों की संख्या, s से कम या उसके बराबर है, तब हम आव्यूह के सभी मानक पर $$r \times r$$ अवयस्कों द्वारा उत्पन्न मानक पर विचार करते हैं; यह जीरोथ उपयुक्त मानक या अलेक्जेंडर मानक है और प्रस्तुति आव्यूह के चयन पर निर्भर नहीं करता है। यदि $$r > s$$, मानक को 0 के बराबर निर्धारित करें। यदि अलेक्जेंडर मानक है, तो एक उत्पादक लें; इसे नॉट का अलेक्जेंडर बहुपद कहा जाता है। चूंकि यह लॉरेंट एकपदीय $$\pm t^n$$ द्वारा गुणा करने के लिए केवल अद्वितीय है, प्रायः विशेष अद्वितीय रूप को सही करता है। अलेक्जेंडर की सामान्यीकरण के चयन बहुपद को धनात्मक अचर पद बनाने के लिए है।

अलेक्जेंडर ने प्रमाणित किया कि अलेक्जेंडर का मानक शून्य नहीं है और सदैव प्रमुख है। इस प्रकार एक अलेक्जेंडर बहुपद सदैव सम्मिलित होता है, और स्पष्ट रूप से एक नॉट अपरिवर्तनीय होता है, जिसे $$\Delta_K(t)$$ द्वारा निरूपित किया जाता है यह पता चला है कि नॉट का अलेक्जेंडर बहुपद एक लॉरेंट बहुपद $$t^2$$ है और उसकी दर्पण छवि नॉट के लिए समान बहुपद है दूसरे शब्दों में, यह एक नॉट और उसकी दर्पण छवि के बीच अंतर नहीं कर सकता।

बहुपद की गणना
अलेक्जेंडर बहुपद की गणना के लिए निम्नलिखित प्रक्रिया जे डब्ल्यू अलेक्जेंडर द्वारा अपने पत्र में दी गई थी।

$$n$$ गुणन के साथ नॉट का उन्मुख आरेख लें; नॉट आरेख के $$n+2$$ क्षेत्र है। अलेक्जेंडर बहुपद निकालने के लिए, पहले आकार $$(n, n + 2)$$ का आपतन आव्यूह बनाना होगा $$n$$ पंक्तियाँ $$n$$ गुणन इसके अनुरूप हैं और $$n+2$$ पद क्षेत्रों के अनुरूप हैं। आव्यूह प्रविष्टियों के लिए मान या तो $$0,1,-1,t,-t$$ हैं।

किसी विशेष क्षेत्र और गुणन से संबंधित प्रविष्टि पर विचार करें। यदि क्षेत्र गुणन के समीप नहीं है, तो प्रवेश 0 है। यदि क्षेत्र गुणन के समीप है, तो प्रवेश उसके स्थान पर निर्भर करता है। निम्न तालिका आने वाली अंडरक्रॉसिंग रेखा के परिप्रेक्ष्य से गुणन पर क्षेत्र के स्थान द्वारा निर्धारित प्रविष्टि देती है।


 * अंडरक्रॉसिंग से पहले बाईं ओर: $$-t$$
 * अंडरक्रॉसिंग से पहले दाईं ओर: $$1$$
 * बायीं ओर अंडरक्रॉसिंग के बाद: $$t$$
 * अंडरक्रॉसिंग के बाद दाईं ओर: $$-1$$

आव्यूह से आसन्न क्षेत्रों से संबंधित दो भाग निकालें, और नए $$n \times n$$ आव्यूह के निर्धारक का काम करें। हटाए गए भाग के आधार पर, उत्तर $$\pm t^n$$ से गुणा द्वारा भिन्न होगा जहां की पावर $$n$$ आवश्यक रूप से नॉट में गुणन की संख्या नहीं हो। इस अस्पष्टता को हल करने के लिए, $$t$$ की सबसे बड़ी संभावित पावर को विभाजित करें और यदि आवश्यक हो तो $$-1$$से गुणा करें, ताकि अचर पद धनात्मक हो। यह अलेक्जेंडर बहुपद देता है।

अलेक्जेंडर बहुपद की गणना सीफर्ट आव्यूह से भी की जा सकती है।

जे. डब्ल्यू अलेक्जेंडर के काम के बाद, राल्फ फॉक्स ने नॉट समूह $$\pi_1(S^3\backslash K)$$ की एक सह-प्रस्तुति पर विचार किया, और गैर-क्रमविनिमेय अवकल गणित प्रस्तुत किया, जो किसी को गणना $$\Delta_K(t)$$करने की स्वीकृति भी देता है। उच्च अलेक्जेंडर बहुपदों के बारे में इस दृष्टिकोण का विस्तृत विवरण क्रोवेल एंड फॉक्स (1963) पुस्तक में पाया जा सकता है।

बहुपद के मूल गुण
अलेक्जेंडर बहुपद $$\Delta_K(t^{-1}) = \Delta_K(t)$$ सभी नॉट के लिए सममित है:.


 * परिभाषा के दृष्टिकोण से, यह पॉइनकेयर द्वैत समरूपता की अभिव्यक्ति $$ \overline{H_1 X} \simeq \mathrm{Hom}_{\mathbb Z[t,t^{-1}]}(H_1 X, G) $$ है।
 * जहाँ $$G$$ के अंशों के क्षेत्र का भागफल है और $$\mathbb Z[t,t^{-1}]$$ द्वारा $$\mathbb Z[t,t^{-1}]$$, $$\mathbb Z[t,t^{-1}]$$-प्रतिरूपक के रूप में माना जाता है, और जहाँ $$\overline{H_1 X}$$ संयुग्मी $$\mathbb Z[t,t^{-1}]$$-प्रतिरूपक करने के लिए $$H_1 X$$ है अर्थात: एक एबेलियन समूह $$H_1 X$$ के रूप में यह समान है लेकिन $$t$$ आवरण परिवर्तन $$t^{-1}$$ द्वारा कार्यक रता है

इसके अतिरिक्त, अलेक्जेंडर बहुपद 1 $$\Delta_K(1)=\pm 1$$ पर एक इकाई का मूल्यांकन करता है।


 * परिभाषा के दृष्टिकोण से, यह इस तथ्य की अभिव्यक्ति है कि नॉट पूरक एक समरूपता चक्र है, जो आवरण परिवर्तन $$t$$ द्वारा उत्पन्न होता है अधिक सामान्य रूप से यदि $$M$$ एक 3-कई गुना जैसे कि $$rank(H_1 M) = 1$$ इसमें एक अलेक्जेंडर बहुपद $$\Delta_M(t)$$ है इसके अनंत-चक्रीय आवरण वाले स्थान के आदेश मानक के रूप में परिभाषित किया गया है। इस स्थिति में $$\Delta_M(1)$$ के वक्रता उपसमूह के क्रम के बराबर $$H_1 M$$ हस्ताक्षर करने तक के लिए है।

यह ज्ञात है कि प्रत्येक समाकल लॉरेंट बहुपद जो दोनों सममित है और 1 पर एक इकाई का मूल्यांकन करता है, नॉट का अलेक्जेंडर बहुपद है (कावौची 1996)।

बहुपद का ज्यामितीय महत्व
चूँकि अलेक्जेंडर $$\Delta_K(t)=1$$ का मानक प्रधान है यदि और केवल यदि नॉट समूह का क्रमविनिमेयक उपसमूह सही समूह है (अर्थात अपने स्वयं के क्रमविनिमेयक उपसमूह के बराबर)।

सामयिक भाग नॉट के लिए, अलेक्जेंडर बहुपद फॉक्स-मिल्नोर स्थिति $$\Delta_K(t) = f(t)f(t^{-1})$$ को संतुष्ट करता हैज हाँ $$f(t)$$ कुछ अन्य समाकल लॉरेंट बहुपद है।

अलेक्जेंडर बहुपद की घात से सीफ़र्ट की सतह का दो गुना नीचे परिबद्ध है।

माइकल फ्रीडमैन ने प्रमाणित किया कि 3-गोले में एक नॉट स्थलाकृतिक रूप से परिच्छेद हुई है; अर्थात, 4-गोले में एक स्थानीय-समतल सांंस्थितिक संबंधी चक्र को बांधता है, यदि नॉट का अलेक्जेंडर बहुपद सामान्य है (फ्रीडमैन और क्विन, 1990)।

कौफमैन भौतिक मॉडल से प्राप्त स्थिति योगों के माध्यम से अलेक्जेंडर बहुपद के पहले निर्माण का वर्णन करता है। इन विषयों का एक सर्वेक्षण और भौतिकी के साथ अन्य संबंध में दिए गए हैं।

सतहों और सरल 4-आयामी सांंस्थिति के साथ अन्य संबंध भी हैं। उदाहरण के लिए, कुछ धारणाओं के अंतर्गत, शल्य करके एक चिकनी 4-कई गुना को संशोधित करने का एक तरीका है जिसमें द्वि-आयामी टोरस के प्रतिवेश को हटाने और इसे S1 के साथ पार किए गए नॉट पूरक के साथ बदलना सम्मिलित है। परिणाम मूल के लिए एक चिकनी 4-कई गुना होमियोमॉर्फिक है, हालांकि अब सीबर्ग-विटेन इनवेरिएंट को गाँठ के अलेक्जेंडर बहुपद के साथ गुणा करके संशोधित किया गया है।

समरूपता वाले नॉट्स प्रतिबंधित अलेक्जेंडर बहुपदों के लिए जाने जाते हैं। (कावौची 1996) में समरूपता अनुभाग देखें। तथापि, अलेक्जेंडर बहुपद कुछ समरूपता जैसे कि दृढ़ व्युत्क्रमता का पता लगाने में विफल हो सकता है।

यदि नॉट वृत्त के ऊपर तंतुओं का पूरक है, तो नॉट के अलेक्जेंडर बहुपद को एकगुणांकी के रूप में जाना जाता है (उच्चतम और निम्नतम क्रम के गुणांक $$\pm 1$$ बराबर हैं)। वास्तव में, यदि $$S \to C_K \to S^1$$ एक तन्तु समूह है जहां $$C_K$$ नॉट पूरक है, मान लीजिए $$g : S \to S$$ एकमानता, तब $$\Delta_K(t) = {\rm Det}(tI-g_*)$$ का प्रतिनिधित्व करते हैं जहाँ $$g_*\colon H_1 S \to H_1 S$$ अनुरूपता पर प्रेरित प्रतिचित्र है।

उपग्रह प्रचालन से संबंध
यदि नॉट $$K$$ पैटर्न नॉट के साथ एक उपग्रह नॉट  $$K'$$ है (एक अंत:स्थापन $$f : S^1 \times D^2 \to S^3$$ सम्मिलित है जैसे कि $$K=f(K')$$, जहाँ $$S^1 \times D^2 \subset S^3$$ अज्ञात ठोस टोरस युक्त $$K'$$ सम्मिलित है), तब $$\Delta_K(t) = \Delta_{f(S^1 \times \{0\})}(t^a) \Delta_{K'}(t)$$, जहाँ $$a \in \mathbb Z$$ वह पूर्णांक है जो $$K' \subset S^1 \times D^2$$ में $$H_1(S^1\times D^2) = \mathbb Z$$ दर्शाता है।

उदाहरण: संबंध-योग $$\Delta_{K_1 \# K_2}(t) = \Delta_{K_1}(t) \Delta_{K_2}(t)$$ के लिए यदि $$K$$ सीधा उपग्रह नॉट है, फिर $$\Delta_K(t)=\pm 1$$.

अलेक्जेंडर-कॉनवे बहुपद
अलेक्जेंडर ने सिद्ध किया कि अलेक्जेंडर बहुपद एक स्कीन संबंध को संतुष्ट करता है। जॉन होर्टन कॉनवे ने बाद में इसे एक अलग रूप में फिर से खोजा और दिखाया कि स्केन संबंध एक साथ नॉट पर मूल्य के विकल्प के साथ बहुपद को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त था। कॉनवे का संस्करण पूर्णांक गुणांकों के साथ z में एक बहुपद है, जिसे $$\nabla(z)$$ द्वारा निरूपित किया गया है और अलेक्जेंडर-कॉनवे बहुपद (जिसे कॉनवे बहुपद या कॉनवे-अलेक्जेंडर बहुपद के रूप में भी जाना जाता है) कहा जाता है।

मान लीजिए कि हमें एक उन्मुख लिंक आरेख दिया गया है, जहां $$L_+, L_-, L_0$$ आरेख के एक निर्दिष्ट क्रॉसिंग के स्थानीय क्षेत्र पर गुणन और सरल परिवर्तनों के परिणामस्वरूप लिंक आरेख हैं, जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है। यहाँ कॉनवे के स्कीन संबंध हैं:

मानक अलेक्जेंडर बहुपद से संबंध $$\Delta_L(t^2) = \nabla_L(t - t^{-1})$$ द्वारा दिया गया है यहाँ $$\Delta_L$$ उपयुक्त रूप से सामान्यीकृत किया जाना चाहिए ( $$\pm t^{n/2}$$ के गुणन द्वारा) स्कीन संबंध को संतुष्ट करने के लिए $$\Delta(L_+) - \Delta(L_-) = (t^{1/2} - t^{-1/2}) \Delta(L_0)$$ सम्मिलित है। ध्यान दें कि यह संबंध t1/2 में लॉरेंट बहुपद देता है।
 * $$\nabla(O) = 1$$ (जहाँ O विवृत का कोई आरेख है)
 * $$\nabla(L_+) - \nabla(L_-) = z \nabla(L_0)$$

त्रिपर्ण के कॉनवे बहुपद की गणना के उदाहरण के लिए नॉट सिद्धांत देखें।

फ़्लोर सजातीयता से संबंध
छद्म-होलोमोर्फिक वक्रों का उपयोग करना, और  नॉट के प्रत्येक समस्थानिक वर्ग के लिए नॉट समतल सजातीयता कहे जाने वाले एक बड़े द्विश्रेणीबद्ध एबेलियन समूह से जुड़ा हुआ है। नॉट फ्लोर सजातीयता की वर्गीकृत यूलर विशेषता अलेक्जेंडर बहुपद है। जबकि अलेक्जेंडर बहुपद नॉट के जीनस पर एक निचली सीमा देता है,  यह दर्शाता है कि नॉट फ़्लोर सजातीयता जीनस का पता लगाती है। इसी तरह, जबकि अलेक्जेंडर बहुपद चक्र के ऊपर तंत्रिका के पूरक नॉट के लिए व्यवधान देता है,  यह दर्शाता है कि नॉट फ्लोर सजातीयता पूरी तरह से निर्धारित करती है कि जब एक नॉट चक्र के ऊपर तन्तु को पूरक करती है। नॉट फ़्लोर सजातीयता समूह, अपरिवर्तनशीलताओं के हीगार्ड फ़्लोर सजातीयता वर्ग का भाग हैं; आगे की चर्चा के लिए फ़्लोर सजातीयता देखें।

संदर्भ

 * (accessible introduction utilizing a skein relation approach)
 * (covers several different approaches, explains relations between different versions of the Alexander polynomial)
 * (explains classical approach using the Alexander invariant; knot and link table with Alexander polynomials)
 * (covers several different approaches, explains relations between different versions of the Alexander polynomial)
 * (explains classical approach using the Alexander invariant; knot and link table with Alexander polynomials)
 * (covers several different approaches, explains relations between different versions of the Alexander polynomial)
 * (explains classical approach using the Alexander invariant; knot and link table with Alexander polynomials)
 * (covers several different approaches, explains relations between different versions of the Alexander polynomial)
 * (explains classical approach using the Alexander invariant; knot and link table with Alexander polynomials)
 * (explains classical approach using the Alexander invariant; knot and link table with Alexander polynomials)
 * (explains classical approach using the Alexander invariant; knot and link table with Alexander polynomials)
 * (explains classical approach using the Alexander invariant; knot and link table with Alexander polynomials)
 * (explains classical approach using the Alexander invariant; knot and link table with Alexander polynomials)

बाहरी संबंध

 * – knot and link tables with computed Alexander and Conway polynomials
 * – knot and link tables with computed Alexander and Conway polynomials