वर्टेक्स मॉडल

वर्टेक्स मॉडल एक प्रकार का सांख्यिकीय यांत्रिकी मॉडल है जिसमें बोल्ट्ज़मान भार मॉडल में एक वर्टेक्स (परमाणु या कण का प्रतिनिधित्व) के साथ जुड़ा हुआ है। यह निकटतम-पड़ोसी मॉडल, जैसे कि आइसिंग मॉडल, के विपरीत है, जिसमें ऊर्जा, और इस प्रकार एक सांख्यिकीय माइक्रोस्टेट का बोल्ट्ज़मान वजन दो पड़ोसी कणों को जोड़ने वाले बांडों के लिए जिम्मेदार है। कणों की लैटिस में एक वर्टेक्स से जुड़ी ऊर्जा उन बंधनों की स्थिति पर निर्भर करती है जो इसे आसन्न शीर्षों से जोड़ते हैं। यह पता चला है कि वेक्टर रिक्त स्थान $$ V\otimes V $$ के टेंसर गुणनफल में वर्णक्रमीय मापदंडों के साथ यांग-बैक्सटर समीकरण का प्रत्येक समाधान एक बिल्कुल-हल करने योग्य वर्टेक्स मॉडल उत्पन्न करता है।



यद्यपि मॉडल को किसी भी संख्या में आयामों में विभिन्न ज्यामिति पर लागू किया जा सकता है, किसी दिए गए बंधन के लिए संभावित अवस्थाओं की संख्या के साथ, सबसे मौलिक उदाहरण दो आयामी लैटिस के लिए होते हैं, सबसे सरल एक वर्ग लैटिस है जहां प्रत्येक बंधन में दो संभावित स्थितियां होती हैं। इस मॉडल में, प्रत्येक कण चार अन्य कणों से जुड़ा होता है, और कण से सटे चार बांडों में से प्रत्येक में दो संभावित अवस्थाएँ होती हैं, जो बांड पर एक तीर की दिशा से संकेतित होती हैं। इस मॉडल में, प्रत्येक वर्टेक्स $$2^4$$ संभावित विन्यास अपना सकता है। किसी दिए गए शिखर की ऊर्जा $$\varepsilon_{ij}^{k\ell}$$ द्वारा दी जा सकती है,

लैटिस की स्थिति के साथ प्रत्येक बंधन की स्थिति का एक असाइनमेंट होता है, जिसमें अवस्था की कुल ऊर्जा वर्टेक्स ऊर्जाओं का योग होती है। चूंकि अनंत लैटिस के लिए ऊर्जा प्रायः अपसारी होती है, जैसे-जैसे लैटिस अनंत आकार के करीब पहुंचती है, मॉडल का अध्ययन एक सीमित लैटिस के लिए किया जाता है। मॉडल पर आवधिक या डोमेन दीवार सीमा की शर्तें लगाई जा सकती हैं।

चर्चा
लैटिस की किसी दी गई स्थिति के लिए, बोल्ट्ज़मान भार को संबंधित वर्टेक्स अवस्थाओं के बोल्ट्ज़मान भार के शीर्षों पर गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है।
 * $$\exp(-\beta \varepsilon(\mbox{state})) = \prod_\mbox{vertices} \exp(-\beta \varepsilon_{ij}^{k\ell})$$

जहां शीर्षों के लिए बोल्ट्ज़मान भार लिखा हुआ है
 * $$R_{ij}^{k\ell} = \exp(-\beta \varepsilon_{ij}^{k\ell})$$,

और i, j, k, l वर्टेक्स से जुड़े चार किनारों में से प्रत्येक की संभावित स्थितियों पर आधारित है। आसन्न शीर्षों की वर्टेक्स स्थितियों को स्थिति के स्वीकार्य होने के लिए कनेक्टिंग किनारों (बंधन) के साथ संगतता शर्तों को पूरा करना होगा।

किसी विशेष समय पर सिस्टम के किसी भी दिए गए अवस्था में होने की संभावना, और इसलिए सिस्टम के गुण विभाजन फ़ंक्शन द्वारा निर्धारित किए जाते हैं, जिसके लिए एक विश्लेषणात्मक रूप वांछित है।
 * $$\mathbb{Z} = \sum_\mbox{states} \exp(-\beta \varepsilon(\mbox{state})) $$

जहां β = 1/kT, T तापमान है और k बोल्ट्ज़मान स्थिरांक है। सिस्टम के किसी निश्चित अवस्था (माइक्रोस्टेट) में होने की प्रायिकता निम्न द्वारा दी जाती है
 * $$\frac{\exp(-\beta \varepsilon(\mbox{state}))}{\mathbb{Z}}$$

ताकि सिस्टम की ऊर्जा का औसत मान दिया जा सके

\langle \varepsilon \rangle = \frac{\sum_\mbox{states} \varepsilon \exp(-\beta \varepsilon)}{\sum_\mbox{states} \exp(-\beta \varepsilon)} = kT^2 \frac{\partial}{\partial T} \ln \mathbb{Z} $$ विभाजन फ़ंक्शन का मूल्यांकन करने के लिए, पहले शीर्षों की एक पंक्ति की स्थितियों की जाँच करें।

बाहरी किनारे स्वतंत्र चर हैं, जिनमें आंतरिक बंधों का योग होता है। अतः, पंक्ति विभाजन फ़ंक्शन बनाएं
 * $$T_{i_1 k_1 \dots k_N}^{i'_1 \ell_1 \dots l_N} = \sum_{r_1,\dots,r_{N-1}} R_{i_1 k_1}^{r_1 \ell_1} R_{r_1 k_2}^{r_2 \ell_2} \cdots R_{r_{N-1} k_N}^{i'_1 \ell_N}

$$ इसे $$R \in End(V \otimes V)$$,$$\{v_1, \ldots, v_n\}$$के आधार पर सहायक n-आयामी वेक्टर स्पेस V के संदर्भ में पुन: तैयार किया जा सकता है
 * $$R(v_i \otimes v_j) = \sum_{k,\ell} R_{ij}^{k\ell} v_k \otimes v_\ell $$

और $$T \in End(V \otimes V^{\otimes N})$$ जैसा
 * $$T(v_{i_1} \otimes v_{k_1} \otimes \cdots \otimes v_{k_N}) = \sum_{i'_1,\ell_1, \dots \ell_N} T_{i_1 k_1 \dots k_N}^{i'_1 \ell_1 \dots \ell_N} v_{i'_1} \otimes v_{\ell_1} \otimes \cdots \otimes v_{\ell_N}$$

इसका अर्थ यह है कि T को इस प्रकार लिखा जा सकता है
 * $$T = R_{0N}\cdots R_{02} R_{01} ,$$

जहां सूचकांक टेंसर गुणनफल $$ V \otimes V^{\otimes N}$$ के कारकों को इंगित करते हैं जिस पर R संचालित होता है। आवधिक सीमा शर्तों $$i_1 = i'_1$$के साथ पहली पंक्ति में बांड की स्थिति का योग करने पर, मिलता है
 * $$(\operatorname{trace}_{V}(T))_{k_1 \dots k_N }^{\ell_1 \dots \ell_N},$$

जहाँ $$\tau = \operatorname{trace}_{V}(T)$$ पंक्ति-स्थानांतरण मैट्रिक्स है।



दो पंक्तियों में योगदान का योग करने पर, परिणाम मिलता है
 * $$(\operatorname{trace}_{V}(T))_{k_1 \dots k_N }^{\ell_1 \dots \ell_N} (\operatorname{trace}_{V}(T))_{j_1 \dots j_N}^{k_1 \dots k_N} .$$

जो पहली दो पंक्तियों को जोड़ने वाले ऊर्ध्वाधर बांडों पर योग करने पर देता है:$$((\operatorname{trace}_{V}(T))^2)_{j_1 \dots j_N }^{\ell_1 \dots \ell_N} $$

M पंक्तियों के लिए, यह देता है
 * $$((\operatorname{trace}_{V}(T))^M)_{\ell'_1 \dots \ell'_N }^{\ell_1 \dots \ell_N} $$

और फिर आवधिक सीमा शर्तों को ऊर्ध्वाधर स्तंभों पर लागू करते हुए, विभाजन फ़ंक्शन को स्थानांतरण मैट्रिक्स $$\tau$$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
 * $$\mathbb{Z}= \operatorname{trace}_{V^{\otimes N}}(\tau^M)

\sim \lambda_{max}^M $$ जहां $$\lambda_{max}$$$$\tau$$ का सबसे बड़ा आइगेनवैल्यू है। सन्निकटन इस तथ्य से होता है कि $$\tau^M$$ के आइगेनवैल्यू, M की घात के लिए $$\tau$$ के आइगेनवैल्यू ​​हैं, और $$M \rightarrow \infty$$ के रूप में, सबसे बड़े आइगेनवैल्यू की घात दूसरों की तुलना में बहुत बड़ी हो जाती है। चूंकि ट्रेस आइगेनवैल्यू का योग है, इसलिए मैथबीबी {जेड} की गणना करने की समस्या $$\tau$$ के अधिकतम आइगेनवैल्यू को खोजने की समस्या तक कम हो जाती है। यह अपने आप में अध्ययन का दूसरा क्षेत्र है। हालाँकि, $$\tau$$ के सबसे बड़े स्वदेशी मूल्य को खोजने की समस्या का एक मानक तरीका ऑपरेटरों के एक बड़े समूह को ढूंढना है जो $$\tau$$ के साथ यात्रा करते हैं। इसका तात्पर्य यह है कि ईजेनस्पेस सामान्य हैं, और समाधानों के संभावित स्थान को प्रतिबंधित करते हैं। आवागमन करने वाले ऑपरेटरों का ऐसा समूह सामान्यतः यांग-बैक्सटर समीकरण के माध्यम से पाया जाता है, जो इस प्रकार सांख्यिकीय यांत्रिकी को क्वांटम समूहों के अध्ययन से जोड़ता है।

अभिन्नता
परिभाषा: एक वर्टेक्स मॉडल पूर्णांकीय है यदि, $$\forall \mu, \nu, \exists \lambda$$ ऐसा कि
 * $$ R_{12}(\lambda)R_{13}(\mu)R_{23}(\nu) = R_{23}(\nu)R_{13}(\mu)R_{12}(\lambda)$$

यह यांग-बैक्सटर समीकरण का एक पैरामीटरयुक्त संस्करण है, जो वर्टेक्स ऊर्जाओं की संभावित निर्भरता के अनुरूप है, और इसलिए बोल्ट्ज़मैन तापमान, बाहरी क्षेत्रों आदि जैसे बाहरी मापदंडों पर आर को महत्व देता है।

अभिन्नता की स्थिति निम्नलिखित संबंध को दर्शाती है।

'प्रस्ताव': एक पूर्णांक वर्टेक्स मॉडल के लिए, साथ $$\lambda, \mu$$ और $$\nu$$ फिर, ऊपर बताए अनुसार परिभाषित किया गया है
 * $$R(\lambda)(1 \otimes T(\mu))(T(\nu) \otimes 1) = (T(\nu) \otimes 1)(1 \otimes T(\mu))R(\lambda) $$

के एंडोमोर्फिज्म के रूप में $$V \otimes V \otimes V^{\otimes N}$$, जहाँ $$R(\lambda)$$ टेंसर गुणनफल के पहले दो सदिश पर कार्य करता है।

इसके बाद उपरोक्त समीकरण के दोनों पक्षों को दाईं ओर से गुणा किया जाता है $$ R(\lambda)^{-1}$$ और ट्रेस ऑपरेटर की चक्रीय गुण का उपयोग करना जो निम्नलिखित परिणाम रखता है।

परिणाम: एक पूर्णांक वर्टेक्स मॉडल के लिए जिसके लिए $$R(\lambda)$$ व्युत्क्रमणीय है $$\forall \lambda$$, ट्रांसफर मैट्रिक्स सभी $$\tau(\mu)$$, के लिए $$\tau(\nu), \ \forall \mu, \nu$$ के साथ चलता है।

यह सिद्ध करने योग्य लैटिस मॉडल के समाधान में यांग-बैक्सटर समीकरण की भूमिका को दर्शाता है। स्थानांतरण मैट्रिक्स के बाद से सभी के लिए $$\tau$$ आवागमन, $$\lambda, \nu$$ के ईजेनवेक्टर सामान्य हैं, और इसलिए पैरामीटरीकरण से स्वतंत्र हैं। यह एक आवर्ती विषय है जो इन कम्यूटिंग ट्रांसफर मैट्रिक्स को देखने के लिए कई अन्य प्रकार के सांख्यिकीय मैकेनिकल मॉडल में दिखाई देता है।

उपरोक्त R की परिभाषा से, यह इस प्रकार है कि दो एन-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान के टेंसर गुणनफल में यांग-बैक्सटर समीकरण के प्रत्येक समाधान के लिए, एक संबंधित 2-आयामी सॉल्व करने योग्य वर्टेक्स मॉडल होता है जहां प्रत्येक बांड में हो सकता है संभावित स्थितियाँ $$\{1,\ldots,n\}$$, जहां R $$\{|a \rangle \otimes |b \rangle\}, 1 \leq a,b \leq n $$ द्वारा फैलाए गए स्थान में एक एंडोमोर्फिज्म है। यह किसी दिए गए क्वांटम बीजगणित के सभी परिमित-आयामी अपरिवर्तनीय अभ्यावेदन के वर्गीकरण को प्रेरित करता है ताकि इसके अनुरूप हल करने योग्य मॉडल ढूंढे जा सकें।

उल्लेखनीय वर्टेक्स मॉडल

 * सिक्स-वर्टेक्स मॉडल Sixvertex.jpg
 * एट-वर्टेक्स मॉडल Eightvertex.jpg
 * नाइनटीन-वर्टेक्स मॉडल (इज़र्जिन-कोरेपिन मॉडल)