न्यूसिस निर्माण

ज्यामिति में, न्यूसिस (νεῦσις; ; बहुवचन: νεύσεις) एक ज्यामितीय निर्माण पद्धति है जिसका उपयोग प्राचीन काल में यूनानी गणित द्वारा किया जाता था।

ज्यामितीय निर्माण
न्यूसिस निर्माण में दी गई लंबाई के एक लाइन तत्व को फ़िट करना शामिल है ($a$) दो दी गई रेखाओं के बीच में ($l$ और $m$), इस तरह से कि रेखा तत्व, या उसका विस्तार, दिए गए बिंदु से होकर गुजरता है $P$. यानी लाइन एलिमेंट के एक सिरे पर लेटना है $l$, दूसरा छोर चालू $m$, जबकि रेखा तत्व की ओर झुका हुआ है $P$.

बिंदु $P$ को न्युसिस का ध्रुव, रेखा कहा जाता है $l$ नियता, या मार्गदर्शक रेखा, और रेखा $m$ कैच लाइन। लंबाई $a$ को डायस्टेमा कहा जाता है (διάστημα).

एक चिन्हित रूलर के माध्यम से एक न्यूसिस निर्माण किया जा सकता है जो बिंदु के चारों ओर घूमने योग्य है $P$ (यह पॉइंट में पिन लगाकर किया जा सकता है $P$ और फिर रूलर को पिन से दबाएं)। आकृति में शासक के एक छोर को क्रॉसहेयर के साथ एक पीले रंग की आंख से चिह्नित किया गया है: यह शासक पर स्केल विभाजन का मूल है। रूलर (नीली आँख) पर एक दूसरा निशान दूरी को इंगित करता है $a$ उत्पत्ति से। पीली आंख को रेखा के साथ ले जाया जाता है $l$, जब तक नीली आंख रेखा के साथ मेल नहीं खाती $m$. इस प्रकार पाए गए रेखा तत्व की स्थिति को चित्र में गहरे नीले रंग की पट्टी के रूप में दिखाया गया है।



न्युसिस का प्रयोग
Neuseis महत्वपूर्ण रहे हैं क्योंकि वे कभी-कभी ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए एक साधन प्रदान करते हैं जो अकेले कंपास और सीधे किनारे के माध्यम से हल करने योग्य नहीं होते हैं। उदाहरण हैं किसी भी कोण का तीन बराबर भागों में तिरछा होना, और घन का दोगुना होना। सिरैक्यूज़ के आर्किमिडीज़ (287–212 ईसा पूर्व) और अलेक्जेंड्रिया के पप्पस (290–350 ईस्वी) जैसे गणितज्ञ स्वतंत्र रूप से नेउसी का इस्तेमाल करते थे; सर आइजैक न्यूटन (1642-1726) ने उनके विचारों का पालन किया, और नेउसी निर्माणों का भी इस्तेमाल किया। फिर भी, धीरे-धीरे तकनीक उपयोग से बाहर हो गई।

नियमित बहुभुज
2002 में, ए. बारागर ने दिखाया कि चिन्हित शासक और कम्पास के साथ निर्मित प्रत्येक बिंदु फ़ील्ड (गणित) के एक टॉवर में स्थित है $$\Q$$, $$\Q = K_0 \subset K_1 \subset \dots \subset K_n = K$$, जैसे कि प्रत्येक चरण पर विस्तार की डिग्री 6 से अधिक नहीं है। 100-गॉन के नीचे सभी प्राइम-पावर बहुभुजों में से, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि नियमित icositrigon|23-, 29-, 43-, 47-, 49-, 53-, 59-, 67-, 71-, 79-, 83-, और 89-गोंन्स को न्यूसिस के साथ नहीं बनाया जा सकता है। (यदि एक नियमित पी-गॉन रचनात्मक है, तो $$\zeta_p = e^\frac{2\pi i}{p}$$ रचनात्मक है, और इन मामलों में p − 1 का एक प्रमुख कारक 5 से अधिक है।) समबाहु त्रिभुज|3-, वर्ग (ज्यामिति)|4-, पंचकोण |5-, अष्टकोना|8-, षट्कोण|16-, heptadecagon |17-, 32-, और 64-गोंन्स का निर्माण केवल एक सीधा किनारा और कम्पास के साथ किया जा सकता है, और  सातकोणक |7-, नॉनगोन|9-, tridecagon|13-, enneadecagon|19-, 27-, 37-, 73 -, 81-, और 97-गोंन्स कोण ट्राइसेक्शन के साथ। हालांकि, यह सामान्य रूप से ज्ञात नहीं है कि सभी क्विंटिक्स (पांचवें क्रम के बहुपद) में न्यूसिस-संरचनात्मक जड़ें हैं, जो  hedecagon  के लिए प्रासंगिक है। 11-, 25-, 31-, 41-, और 61-गॉन्स। बेंजामिन और स्नाइडर ने 2014 में दिखाया कि नियमित 11-गॉन न्यूसिस-कंस्ट्रक्टिव है; 25-, 31-, 41-, और 61-गोन खुली समस्याएँ हैं। अधिक आम तौर पर, चिन्हित रूलर और कम्पास द्वारा स्वयं 5 से अधिक 5 की सभी शक्तियों की निर्माण क्षमता एक खुली समस्या है, साथ ही फॉर्म p = 2 के 11 से अधिक सभी अभाज्य संख्याएँआर3स5t + 1 जहाँ t > 0 (सभी अभाज्य संख्याएँ जो 11 से अधिक हैं और 10 से विभाज्य नियमित संख्या से एक अधिक के बराबर हैं)।

घटती लोकप्रियता
गणित के इतिहासकार टी. एल. हीथ ने सुझाव दिया है कि यूनानी गणितज्ञ ओएनोपाइड्स (सीए. 440 ई.पू.) नेउसेस के ऊपर कम्पास-एंड-सीधा निर्माण करने वाले पहले व्यक्ति थे। जब भी संभव हो नेउसेस से बचने का सिद्धांत Chios के हिप्पोक्रेट्स (सीए 430 ईसा पूर्व) द्वारा फैलाया जा सकता है, जो उसी द्वीप से ओनोपाइड्स के रूप में उत्पन्न हुआ था, और जहां तक ​​​​हम जानते हैं- एक व्यवस्थित रूप से आदेशित ज्यामिति पाठ्यपुस्तक लिखने वाले पहले व्यक्ति थे. उसके एक सौ साल बाद यूक्लिड ने भी अपनी बहुत ही प्रभावशाली पाठ्यपुस्तक, यूक्लिड के तत्वों में नेउसेस को छोड़ दिया।

नेउसी पर अगला हमला तब हुआ, जब ईसा पूर्व चौथी सदी से प्लेटो के आदर्शवाद को बल मिला। इसके प्रभाव में ज्यामितीय निर्माणों के तीन वर्गों का एक पदानुक्रम विकसित किया गया था। अमूर्त और महान से यांत्रिक और सांसारिक तक उतरते हुए, तीन वर्ग थे:
 * 1) केवल सीधी रेखाओं और वृत्तों के साथ निर्माण (कम्पास और स्ट्रेटेज);
 * 2) निर्माण जो इसके अलावा शंकु वर्गों (दीर्घवृत्त, परवलय, अतिपरवलय) का उपयोग करते हैं;
 * 3) निर्माण जिन्हें निर्माण के अन्य साधनों की आवश्यकता थी, उदाहरण के लिए नेउसी।

अंत में नेउसी के उपयोग को तभी स्वीकार्य माना गया जब दो अन्य उच्च श्रेणी के निर्माणों ने कोई समाधान प्रस्तुत नहीं किया। नेउसिस एक प्रकार का अंतिम उपाय बन गया, जिसे केवल तभी लागू किया गया जब अन्य सभी, अधिक सम्मानजनक तरीके विफल हो गए थे। न्यूसिस का उपयोग करना जहां अन्य निर्माण विधियों का उपयोग किया जा सकता था, अलेक्जेंड्रिया के दिवंगत यूनानी गणितज्ञ पप्पस (सीए। 325 ईस्वी) द्वारा एक असंगत त्रुटि के रूप में ब्रांडेड किया गया था।

यह भी देखें

 * कोण तिरछा
 * रचनात्मक बहुभुज
 * पियरपोंट प्राइम
 * चतुष्कोण
 * स्टील का चौक
 * टॉमहॉक (ज्यामिति)
 * ट्राइसेक्ट्रिक्स

संदर्भ

 * R. Boeker, 'Neusis', in: Paulys Realencyclopädie der Classischen Altertumswissenschaft, G. Wissowa red. (1894–), Supplement 9 (1962) 415–461.–In German. The most comprehensive survey; however, the author sometimes has rather curious opinions.
 * T. L. Heath, A history of Greek Mathematics (2 volumes; Oxford 1921).
 * H. G. Zeuthen, Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum [= The Theory of Conic Sections in Antiquity] (Copenhagen 1886; reprinted Hildesheim 1966).

बाहरी संबंध

 * MathWorld page
 * Angle Trisection by Paper Folding