सापेक्षवादी तरंग समीकरण

भौतिकी में, विशेष रूप से सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी (आरक्यूएम) और [[कण भौतिकी]] के लिए इसके अनुप्रयोग, सापेक्षवादी तरंग समीकरण प्रकाश की गति के बराबर उच्च ऊर्जा और वेग पर कणों के व्यवहार की भविष्यवाणी करते हैं। [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत ]] (क्यूएफटी) के संदर्भ में, समीकरण क्वांटम फील्ड की गतिशीलता को निर्धारित करते हैं। समीकरणों के समाधान, जिन्हें सार्वभौमिक रूप से निरूपित किया जाता है $ψ$ या $Ψ$ (ग्रीक भाषा Psi (अक्षर)), को RQM के संदर्भ में तरंग क्रिया और QFT के संदर्भ में फ़ील्ड (भौतिकी) के रूप में संदर्भित किया जाता है। समीकरणों को स्वयं तरंग समीकरण या क्षेत्र समीकरण कहा जाता है, क्योंकि उनके पास तरंग समीकरण का गणितीय रूप होता है या लैग्रैजियन घनत्व और क्षेत्र-सैद्धांतिक यूलर-लग्रेंज समीकरणों से उत्पन्न होता है (पृष्ठभूमि के लिए शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत देखें)।

श्रोडिंगर चित्र में, तरंग फलन या क्षेत्र श्रोडिंगर समीकरण का हल है; $$ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi = \hat{H} \psi$$ क्वांटम यांत्रिकी के गणितीय सूत्रीकरण में से # गतिकी के चित्र। भौतिक प्रणाली का वर्णन करने वाले हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) के विभिन्न रूपों को निर्दिष्ट करके सभी सापेक्षवादी तरंग समीकरणों का निर्माण किया जा सकता है। वैकल्पिक रूप से, रिचर्ड फेनमैन का पथ अभिन्न सूत्रीकरण हैमिल्टनियन ऑपरेटर के बजाय लैग्रैन्जियन का उपयोग करता है।

अधिक आम तौर पर - सापेक्षतावादी तरंग समीकरणों के पीछे आधुनिक औपचारिकता लॉरेंत्ज़ समूह सिद्धांत है, जिसमें कण के स्पिन का लोरेंत्ज़ समूह के प्रतिनिधित्व के साथ पत्राचार है।

1920 के दशक की शुरुआत: शास्त्रीय और क्वांटम यांत्रिकी
अणु, परमाणु, और परमाणु नाभिक प्रणालियों और छोटे पर लागू शास्त्रीय यांत्रिकी की विफलता ने नए यांत्रिकी की आवश्यकता को प्रेरित किया: क्वांटम यांत्रिकी। 1920 के दशक के मध्य में गणितीय सूत्रीकरण का नेतृत्व लुइस डी ब्रोगली, नील्स बोह्र, इरविन श्रोडिंगर | श्रोडिंगर, वोल्फगैंग पाउली और वर्नर हाइजेनबर्ग और अन्य ने किया था, और उस समय यह शास्त्रीय यांत्रिकी के अनुरूप था। श्रोडिंगर समीकरण और हाइजेनबर्ग चित्र बड़ी क्वांटम संख्या की सीमा में और कम प्लैंक स्थिरांक के रूप में गति के शास्त्रीय समीकरणों से मिलते जुलते हैं $ħ$, क्रिया की मात्रा (भौतिकी), शून्य हो जाती है। यह पत्राचार सिद्धांत है। इस बिंदु पर, विशेष सापेक्षता क्वांटम यांत्रिकी के साथ पूरी तरह से संयुक्त नहीं थी, इसलिए मूल रूप से प्रस्तावित श्रोडिंगर और हाइजेनबर्ग योगों का उपयोग उन स्थितियों में नहीं किया जा सकता था जहां कण प्रकाश की गति के पास यात्रा करते हैं, या जब प्रत्येक प्रकार के कण की संख्या परिवर्तन (यह वास्तविक मूलभूत अंतःक्रियाओं में होता है; कण क्षय के कई रूप, विनाश, पदार्थ निर्माण, जोड़ी उत्पादन, और इसी तरह)।

1920 के दशक के उत्तरार्ध: स्पिन-0 और स्पिन- के सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी$1⁄2$ कण
कई सैद्धांतिक भौतिकविदों द्वारा क्वांटम मैकेनिकल सिस्टम का विवरण मांगा गया था जो सापेक्षतावादी प्रभावों के लिए जिम्मेदार हो सकता है; 1920 के दशक के अंत से 1940 के मध्य तक। सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी के लिए पहला आधार, यानी विशेष सापेक्षता को क्वांटम यांत्रिकी के साथ लागू किया गया, उन सभी लोगों द्वारा पाया गया जिन्होंने खोज की जिसे अक्सर क्लेन-गॉर्डन समीकरण कहा जाता है:

आपेक्षिकीय ऊर्जा-संवेग संबंध में ऊर्जा संचालक और संवेग संचालक को सम्मिलित करके:

के समाधान ($$) अदिश क्षेत्र हैं। द्विघात समीकरण प्रकृति के परिणामस्वरूप नकारात्मक ऊर्जा और संभाव्यता की भविष्यवाणी के कारण केजी समीकरण अवांछनीय है ($$) - सापेक्षतावादी सिद्धांत में अपरिहार्य। यह समीकरण शुरू में श्रोडिंगर द्वारा प्रस्तावित किया गया था, और उन्होंने इसे ऐसे कारणों से त्याग दिया, केवल कुछ महीनों बाद यह महसूस करने के लिए कि इसकी गैर-सापेक्षतावादी सीमा (जिसे अब श्रोडिंगर समीकरण कहा जाता है) अभी भी महत्वपूर्ण थी। फिर भी, - ($$) स्पिन-0 बोसॉन पर लागू होता है। श्रोडिंगर द्वारा पाए गए न तो गैर-सापेक्षवादी और न ही सापेक्षवादी समीकरण हाइड्रोजन वर्णक्रमीय श्रृंखला में ठीक संरचना की भविष्यवाणी कर सकते हैं। रहस्यमय अंतर्निहित संपत्ति स्पिन थी। पाउली समीकरण में पाउली द्वारा पहले द्वि-आयामी स्पिन मैट्रिसेस (पॉल मैट्रिसेस के रूप में जाना जाता है) पेश किए गए थे; चुंबकीय क्षेत्र में कणों के लिए अतिरिक्त शब्द सहित गैर-सापेक्षवादी हैमिल्टनियन के साथ श्रोडिंगर समीकरण, लेकिन यह अभूतपूर्व था। हरमन वेइल ने पाउली मैट्रिसेस के संदर्भ में सापेक्षिक समीकरण पाया; मासलेस स्पिन के लिए वेइल समीकरण-$$ फर्मीअन्स। 1920 के दशक के अंत में पॉल डिराक द्वारा समस्या का समाधान किया गया, जब उन्होंने समीकरण के अनुप्रयोग को आगे बढ़ाया ($$) इलेक्ट्रॉन के लिए - विभिन्न जोड़-तोड़ से उन्होंने समीकरण को रूप में बदल दिया:

और इनमें से कारक ऊर्जा और संवेग संचालकों को सम्मिलित करने पर डायराक समीकरण (नीचे देखें) है। पहली बार, इसने नए चार-आयामी स्पिन मेट्रिसेस पेश किए $α$ और $β$ सापेक्षवादी तरंग समीकरण में, और हाइड्रोजन की सूक्ष्म संरचना की व्याख्या की। के समाधान ($1⁄2$) बहु-घटक स्पिनर क्षेत्र हैं, और प्रत्येक घटक संतुष्ट करता है ($$). स्पिनर समाधान का उल्लेखनीय परिणाम यह है कि आधे घटक कण का वर्णन करते हैं जबकि अन्य आधे एंटीपार्टिकल का वर्णन करते हैं; इस मामले में इलेक्ट्रॉन और पोजीट्रान डायराक समीकरण अब सभी बड़े स्पिन (भौतिकी) | स्पिन- के लिए लागू करने के लिए जाना जाता है$$ फर्मीअन्स। गैर-सापेक्षतावादी सीमा में, पाउली समीकरण को पुनः प्राप्त किया जाता है, जबकि द्रव्यमान रहित मामले का परिणाम वेइल समीकरण में होता है।

यद्यपि क्वांटम सिद्धांत में मील का पत्थर, डायराक समीकरण केवल स्पिन के लिए सही है-$$ fermions, और अभी भी नकारात्मक ऊर्जा समाधानों की भविष्यवाणी करता है, जो उस समय विवाद का कारण बना (विशेष रूप से - सभी भौतिकविद नकारात्मक ऊर्जा राज्यों के Dirac समुद्र के साथ सहज नहीं थे)।

1930-1960 का दशक: उच्च-स्पिन कणों का आपेक्षिक क्वांटम यांत्रिकी
प्राकृतिक समस्या स्पष्ट हो गई: किसी भी स्पिन वाले कणों के लिए डायराक समीकरण को सामान्य बनाना; दोनों फ़र्मियन और बोसॉन, और ही समीकरण में उनके एंटीपार्टिकल्स (संभवतः उनके समीकरण में डिराक द्वारा शुरू की गई spinor औपचारिकता के कारण, और फिर 1929 में बार्टेल लेन्डर्ट वैन डेर वेर्डन द्वारा स्पिनर कैलकुलस में हाल के विकास), और आदर्श रूप से सकारात्मक ऊर्जा समाधान के साथ.

यह 1932 में मेजराना द्वारा डिराक के लिए विचलित दृष्टिकोण द्वारा पेश और हल किया गया था। मजोराना का मूल माना जाता है ($$):

कहाँ $ψ$ साइन में अनिश्चितता को दूर करने के लिए, असीमित रूप से कई घटकों के साथ स्पिनर फ़ील्ड है, जो टेन्सर्स या स्पिनरों की सीमित संख्या के लिए अप्रासंगिक है। मैट्रिक्स (गणित) $α$ और $β$ अनंत-आयामी मैट्रिसेस हैं, जो अत्यल्प लोरेंत्ज़ परिवर्तनों से संबंधित हैं। उन्होंने यह मांग नहीं की कि प्रत्येक घटक $1⁄2$ समीकरण को संतुष्ट करने के लिए ($1⁄2$), इसके बजाय उन्होंने लोरेंत्ज़ सहप्रसरण|लोरेंत्ज़-अपरिवर्तनीय क्रिया (भौतिकी), कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत के माध्यम से, और लोरेंत्ज़ समूह सिद्धांत के अनुप्रयोग का उपयोग करके समीकरण को पुन: उत्पन्न किया। मेजराना ने अन्य महत्वपूर्ण योगदान दिए जो अप्रकाशित थे, जिनमें विभिन्न आयामों (5, 6 और 16) के तरंग समीकरण शामिल थे। डी ब्रोगली (1934), और डफिन, केमर, और पेटियाउ (लगभग 1938-1939) द्वारा उन्हें बाद में (अधिक शामिल तरीके से) प्रत्याशित किया गया था, डफिन-केमेर-पेटियाउ बीजगणित देखें। डिराक-फ़िर्ज़-पाउली औपचारिकता मेजराना की तुलना में अधिक परिष्कृत थी, क्योंकि बीसवीं शताब्दी की शुरुआत में स्पिनर नए गणितीय उपकरण थे, हालांकि 1932 के मेजराना के पेपर को पूरी तरह से समझना मुश्किल था; 1940 के आसपास इसे समझने में पाउली और विग्नर को कुछ समय लगा।

1936 में डिराक, और 1939 में फ़िएर्ज़ और पाउली ने इरेड्यूसिबल स्पिनरों से समीकरण बनाए $A$ और $B$, स्पिन के विशाल कण के लिए, सभी सूचकांकों में सममित $n + ½$ पूर्णांक के लिए $n$ (बिंदीदार सूचकांकों के अर्थ के लिए वैन डेर वेर्डन संकेतन देखें):

कहाँ $p$ सहसंयोजक स्पिनर ऑपरेटर के रूप में गति है। के लिए $n = 0$, समीकरण युग्मित डायराक समीकरणों को कम करते हैं और $A$ और $B$ साथ मिलकर मूल Dirac spinor के रूप में रूपांतरित होते हैं। या तो खत्म करना $A$ या $B$ पता चलता है कि $A$ और $B$ प्रत्येक पूर्ति ($$).

1941 में, रारिटा और श्विंगर ने स्पिन पर ध्यान केंद्रित किया-$$ कण और रैरिटा-श्विंगर समीकरण को उत्पन्न करने के लिए लैग्रैंगियन (क्षेत्र सिद्धांत) सहित व्युत्पन्न किया, और बाद में स्पिन के अनुरूप समीकरणों को सामान्यीकृत किया $n + ½$ पूर्णांक के लिए $n$. 1945 में, पाउली ने होमी जे. भाभा को मेजराना के 1932 के पेपर का सुझाव दिया, जो 1932 में मेजराना द्वारा पेश किए गए सामान्य विचारों पर लौट आए।$$) और ($$) मनमाना स्थिरांक द्वारा, शर्तों के सेट के अधीन जिसका तरंग कार्यों को पालन करना चाहिए। अंत में, वर्ष 1948 में (उसी वर्ष जब फेनमैन का पथ अभिन्न सूत्रीकरण किया गया था), वेलेंटाइन बर्गमैन और यूजीन विग्नर ने बड़े पैमाने पर कणों के लिए सामान्य समीकरण तैयार किया, जिसमें कोई भी स्पिन हो सकता है, पूरी तरह से सममित परिमित-घटक स्पिनर के साथ डिराक समीकरण पर विचार करके।, और लोरेंत्ज़ समूह सिद्धांत का उपयोग करना (जैसा कि मेजराना ने किया था): बर्गमैन-विग्नर समीकरण। 1960 के दशक की शुरुआत में, जूस-वेनबर्ग समीकरण, एच. जोस और स्टीवन वेनबर्ग द्वारा बर्गमैन-विग्नर समीकरणों का सुधार किया गया था। इस समय विभिन्न सिद्धांतकारों ने उच्च प्रचक्रण कणों के लिए आपेक्षिक हेमिल्टनियों में और अनुसंधान किया।

1960-वर्तमान
प्रचक्रण कणों का आपेक्षिक वर्णन क्वांटम सिद्धांत में कठिन समस्या रही है। यह अभी भी वर्तमान शोध का क्षेत्र है क्योंकि समस्या केवल आंशिक रूप से हल हो गई है; समीकरणों में अंतःक्रियाओं को शामिल करना समस्याग्रस्त है, और विरोधाभासी भविष्यवाणियां (डायराक समीकरण से भी) अभी भी मौजूद हैं।

रैखिक समीकरण
निम्नलिखित समीकरणों के समाधान हैं जो सुपरपोज़िशन सिद्धांत को संतुष्ट करते हैं, अर्थात, वेव फ़ंक्शंस योगात्मक नक्शा हैं।

कुल मिलाकर, टेंसर इंडेक्स नोटेशन और फेनमैन स्लैश नोटेशन के मानक सम्मेलनों का उपयोग किया जाता है, जिसमें ग्रीक इंडेक्स शामिल हैं, जो स्थानिक घटकों के लिए 1, 2, 3 मान लेते हैं और अनुक्रमित मात्रा के समयबद्ध घटक के लिए 0 लेते हैं। तरंग कार्यों को निरूपित किया जाता है$ψ$, और $∂_{μ}$ चार ढाल ऑपरेटर के घटक हैं।

आव्यूह (गणित) समीकरणों में, पाउली आव्यूहों को किसके द्वारा निरूपित किया जाता है $σ^{μ}$ जिसमें $μ = 0, 1, 2, 3$, कहाँ $σ^{0}$ है $2 × 2$ शिनाख्त सांचा: $$\sigma^0 = \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \\ \end{pmatrix} $$ और अन्य आव्यूहों का अपना सामान्य निरूपण होता है। इजहार $$\sigma^\mu \partial_\mu \equiv \sigma^0 \partial_0 + \sigma^1 \partial_1 + \sigma^2 \partial_2 + \sigma^3 \partial_3 $$ एक है $2 × 2$ मैट्रिक्स (गणित) ऑपरेटर (गणित) जो 2-घटक स्पिनर क्षेत्रों पर कार्य करता है।

गामा मैट्रिक्स द्वारा निरूपित किया जाता है$γ^{μ}$, जिसमें फिर से $μ = 0, 1, 2, 3$, और इसमें से चुनने के लिए कई प्रतिनिधित्व हैं। गणित का सवाल $γ^{0}$ जरूरी नहीं है $4 × 4$ शिनाख्त सांचा। इजहार $$i\hbar \gamma^\mu \partial_\mu + mc \equiv i\hbar(\gamma^0 \partial_0 + \gamma^1 \partial_1 + \gamma^2 \partial_2 + \gamma^3 \partial_3) + mc \begin{pmatrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} $$ एक है $4 × 4$ मैट्रिक्स (गणित) ऑपरेटर (गणित) जो 4-घटक स्पिनर क्षेत्रों पर कार्य करता है।

ध्यान दें कि जैसे शब्द$mc$ स्केलर गुणन प्रासंगिक आयाम (वेक्टर स्थान) की पहचान मैट्रिक्स, सामान्य आकार हैं $2 × 2$ या $4 × 4$, और पारंपरिक रूप से सरलता के लिए नहीं लिखे गए हैं।

रैखिक गेज क्षेत्र
डफिन-केमेर-पेटियाउ बीजगणित#डफिन-केमेर-पेटियाउ समीकरण|डफिन-केमेर-पेटियाउ समीकरण स्पिन-0 और स्पिन-1 कणों के लिए वैकल्पिक समीकरण है: $$(i \hbar \beta^{a} \partial_a - m c) \psi = 0$$

4-वैक्टर और ऊर्जा-संवेग संबंध
का उपयोग करना

मानक विशेष आपेक्षिकता (SR) 4-वैक्टर से प्रारंभ करें ध्यान दें कि प्रत्येक 4-वेक्टर दूसरे से लोरेंत्ज़ अदिश द्वारा संबंधित है:
 * 4-स्थिति $$X^\mu = \mathbf{X} = (ct,\vec{\mathbf{x}})$$
 * 4- वेग $$U^\mu = \mathbf{U} = \gamma(c,\vec{\mathbf{u}})$$
 * 4-गति $$P^\mu = \mathbf{P} = \left(\frac{E}{c},\vec{\mathbf{p}}\right)$$
 * 4-वेववेक्टर $$K^\mu = \mathbf{K} = \left(\frac{\omega}{c},\vec{\mathbf{k}}\right)$$
 * 4-ढाल $$\partial^\mu = \mathbf{\partial} = \left(\frac{\partial_t}{c},-\vec{\mathbf{\nabla}}\right)$$
 * $$\mathbf{U} = \frac{d}{d\tau} \mathbf{X}$$, कहाँ $$\tau$$ उचित समय है
 * $$\mathbf{P} = m_o \mathbf{U}$$, कहाँ $$m_o$$ शेष द्रव्यमान है
 * $$\mathbf{K} = (1/\hbar) \mathbf{P}$$, जो प्लैंक-आइंस्टीन संबंध और ब्रोगली का पदार्थ तरंग संबंध का 4-वेक्टर संस्करण है
 * $$\mathbf{\partial} = -i \mathbf{K}$$, जो जटिल-मूल्यवान समतल तरंगों का 4-ग्रेडिएंट संस्करण है

अब, मानक लोरेन्ट्ज़ स्केलर उत्पाद नियम को हर पर लागू करें: अंतिम समीकरण मौलिक क्वांटम संबंध है।
 * $$\mathbf{U} \cdot \mathbf{U} = (c)^2$$
 * $$\mathbf{P} \cdot \mathbf{P} = (m_o c)^2$$
 * $$\mathbf{K} \cdot \mathbf{K} = \left(\frac{m_o c}{\hbar}\right)^2$$
 * $$\mathbf{\partial} \cdot \mathbf{\partial} = \left(\frac{-i m_o c}{\hbar}\right)^2 = -\left(\frac{m_o c}{\hbar}\right)^2$$

जब लोरेंत्ज़ स्केलर फ़ील्ड पर लागू किया जाता है $$\psi$$, क्लेन-गॉर्डन समीकरण प्राप्त करता है, जो क्वांटम सापेक्षतावादी तरंग समीकरणों का सबसे बुनियादी है।


 * $$\left[\mathbf{\partial} \cdot \mathbf{\partial} + \left(\frac{m_o c}{\hbar}\right)^2\right]\psi = 0$$: 4-वेक्टर प्रारूप में
 * $$\left[\partial_\mu \partial^\mu + \left(\frac{m_o c}{\hbar}\right)^2\right]\psi = 0$$: टेंसर प्रारूप में
 * $$\left[(\hbar \partial_{\mu} + i m_o c)(\hbar \partial^{\mu} -i m_o c)\right]\psi = 0$$: फ़ैक्टर्ड टेंसर प्रारूप में

श्रोडिंगर समीकरण क्लेन–गॉर्डन समीकरण का निम्न-वेग सीमांत मामला (गणित) (v << c) है।

जब संबंध चार-वेक्टर क्षेत्र पर लागू होता है $$A^\mu$$ लोरेंत्ज़ स्केलर फ़ील्ड के बजाय $$\psi$$, तो किसी को प्रोका समीकरण (लॉरेंज गेज में) मिलता है: $$\left[\mathbf{\partial} \cdot \mathbf{\partial} + \left(\frac{m_o c}{\hbar}\right)^2\right]A^\mu = 0$$ यदि बाकी द्रव्यमान शब्द शून्य (प्रकाश जैसे कण) पर सेट है, तो यह मुक्त मैक्सवेल समीकरण (लॉरेंज गेज में) देता है। $$[\mathbf{\partial} \cdot \mathbf{\partial}]A^\mu = 0$$

लोरेंत्ज़ समूह का प्रतिनिधित्व
एक उचित ऑर्थोक्रोनस लोरेंत्ज़ परिवर्तन के तहत $ψ$ Minkowski अंतरिक्ष में, सभी एक-कण क्वांटम स्थितियाँ ψjσ}स्पिन का $x → Λx$ स्पिन जेड-घटक के साथ $j$ लोरेंत्ज़ समूह के कुछ प्रतिनिधित्व सिद्धांत के तहत स्थानीय रूप से रूपांतरित D}लोरेंत्ज़ समूह के }: $$\psi(x) \rightarrow D(\Lambda) \psi(\Lambda^{-1}x) $$ कहाँ $σ$ कुछ परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व है, यानी मैट्रिक्स। यहाँ $D(Λ)$ को कॉलम वेक्टर के रूप में माना जाता है जिसमें अनुमत मान वाले घटक होते हैं $ψ$. क्वांटम संख्याएँ $σ$ और $j$ साथ ही अन्य लेबल, निरंतर या असतत, अन्य क्वांटम संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हुए दबा दिए जाते हैं। का मान $σ$ प्रतिनिधित्व के आधार पर से अधिक बार हो सकता है। के लिए कई संभावित मूल्यों के साथ प्रतिनिधित्व $σ$ नीचे माने जाते हैं।

प्रतिनिधित्व सिद्धांत # उप-प्रतिनिधित्व, भागफल, और अलघुकरणीय अभ्यावेदन आधे-पूर्णांक या पूर्णांक की जोड़ी द्वारा लेबल किए जाते हैं $j$. इनसे अन्य सभी अभ्यावेदन विभिन्न प्रकार के मानक तरीकों का उपयोग करके बनाए जा सकते हैं, जैसे टेन्सर उत्पादों और प्रत्यक्ष योगों को लेना। विशेष रूप से, अंतरिक्ष समय स्वयं 4-वेक्टर प्रतिनिधित्व का गठन करता है $(A, B)$ ताकि $(1⁄2, 1⁄2)$. इसे संदर्भ में रखने के लिए; डायराक स्पिनर्स इसके तहत रूपांतरित होते हैं $Λ ∈ D'^{(1/2, 1/2)}$ प्रतिनिधित्व। सामान्य तौर पर, $(1⁄2, 0) ⊕ (0, 1⁄2)$ प्रतिनिधित्व स्थान में रेखीय उप-स्थान हैं जो स्थानिक घुमावों के उपसमूह के तहत, SO(3), स्पिन जे की वस्तुओं की तरह अनियमित रूप से रूपांतरित होते हैं, जहां प्रत्येक अनुमत मूल्य: $$j = A + B, A + B - 1, \dots, |A - B|,$$ ठीक बार होता है। सामान्य तौर पर, अलघुकरणीय अभ्यावेदन के टेंसर उत्पाद अपचयित होते हैं; वे अलघुकरणीय अभ्यावेदन के प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित होते हैं।

अभ्यावेदन $(A, B)$ और $D^{(j, 0)}$ प्रत्येक अलग-अलग स्पिन के कणों का प्रतिनिधित्व कर सकता है $D^{(0, j)}$. इस तरह के प्रतिनिधित्व में राज्य या क्वांटम क्षेत्र क्लेन-गॉर्डन समीकरण को छोड़कर कोई भी क्षेत्र समीकरण को संतुष्ट नहीं करेगा।

गैर रेखीय समीकरण
ऐसे समीकरण हैं जिनके समाधान हैं जो सुपरपोज़िशन सिद्धांत को संतुष्ट नहीं करते हैं।

अरैखिक गेज क्षेत्र

 * यांग-मिल्स सिद्धांत | यांग-मिल्स समीकरण: गैर-अबेलियन गेज क्षेत्र का वर्णन करता है
 * यांग-मिल्स-हिग्स समीकरण: विशाल स्पिन-0 कण के साथ मिलकर गैर-अबेलियन गेज क्षेत्र का वर्णन करता है

स्पिन 2

 * आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण: गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के साथ पदार्थ की परस्पर क्रिया का वर्णन करें (द्रव्यमान रहित स्पिन-2 क्षेत्र): $$R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu \nu}\,R + g_{\mu \nu} \Lambda = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu}$$ समाधान मीट्रिक टेंसर टेंसर क्षेत्र है, बजाय तरंग फ़ंक्शन के।

यह भी देखें

 * परमाणु और कण भौतिकी में समीकरणों की सूची
 * क्वांटम यांत्रिकी में समीकरणों की सूची
 * लोरेंत्ज़ परिवर्तन
 * विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का गणितीय विवरण
 * विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का परिमाणीकरण
 * न्यूनतम युग्मन
 * स्केलर क्षेत्र सिद्धांत
 * विशेष सापेक्षता की स्थिति