सम्मिश्र विश्लेषणात्मक विविधता

गणित में, विशेष रूप से अवकल ज्यामिति और सम्मिश्र ज्यामिति में, सम्मिश्र विश्लेषणात्मक विविधता या सम्मिश्र विश्लेषणात्मक समष्टि सम्मिश्र कई गुना का सामान्यीकरण है जो विलक्षणता सिद्धांत की उपस्थिति की अनुमति देता है। सम्मिश्र विश्लेषणात्मक किस्में समष्टिीय रूप से चक्राकार समष्टि हैं जो समष्टिीय मॉडल समष्टि के लिए समष्टिीय रूप से आइसोमोर्फिक हैं, जहां समष्टिीय मॉडल समष्टि होलोमॉर्फिक फलन के परिमित सेट के लुप्त होने वाले समष्टि का एक खुला उपसमुच्चय है।

परिभाषा
मूल्य के साथ स्थलीय समष्टि पर निरंतर शीफ (गणित) को निरूपित करें $$\mathbb{C}$$ द्वारा $$\underline{\mathbb{C}}$$. $$\mathbb{C}$$-अंतरिक्ष समष्टिीय रूप से चक्राकार समष्टि $$(X, \mathcal{O}_X)$$ है, जिसकी संरचना शीफ ​​फील्ड $$\underline{\mathbb{C}}$$ओवर पर एक बीजगणित है.

एक खुला उपसमुच्चय चुनें $$U$$ कुछ सम्मिश्र एफ़िन समष्टि की $$\mathbb{C}^n$$, और सूक्ष्म रूप से कई होलोमोर्फिक कार्यों को ठीक करें $$f_1,\dots,f_k$$ में $$U$$. होने देना $$X=V(f_1,\dots,f_k)$$ इन होलोमॉर्फिक कार्यों का सामान्य लुप्त हो जाना, अर्थात $$X=\{x\mid f_1(x)=\cdots=f_k(x)=0\}$$. अंगूठियों के एक शीफ को परिभाषित करें $$X$$ जैसे भी हो $$\mathcal{O}_X$$ पर प्रतिबंध हो $$X$$ का $$\mathcal{O}_U/(f_1, \ldots, f_k)$$, जहां $$\mathcal{O}_U$$ होलोमॉर्फिक कार्यों का शीफ ​​है $$U$$. फिर समष्टिीय बज उठा $$\mathbb{C}$$-अंतरिक्ष $$(X, \mathcal{O}_X)$$ एक समष्टिीय मॉडल समष्टि है।

एक सम्मिश्र विश्लेषणात्मक विविधता समष्टिीय रूप से चक्राकार है $$\mathbb{C}$$-अंतरिक्ष $$(X, \mathcal{O}_X)$$ जो समष्टिीय मॉडल समष्टि के लिए समष्टिीय रूप से आइसोमोर्फिक है।

सम्मिश्र विश्लेषणात्मक किस्मों के मॉर्फिज़म्स को अंतर्निहित समष्टिीय रूप से चक्राकार समष्टि के मॉर्फिज़म्स के रूप में परिभाषित किया गया है, उन्हें होलोमोर्फिक मानचित्र भी कहा जाता है। एक संरचना शीफ ​​में नीलपोटेंट तत्व हो सकता है, और यह भी, जब सम्मिश्र विश्लेषणात्मक समष्टि जिसका संरचना शीफ ​​कम हो जाता है, तो सम्मिश्र विश्लेषणात्मक समष्टि कम हो जाता है, अर्थात सम्मिश्र विश्लेषणात्मक समष्टि कम नहीं हो सकता है।

एक संबद्ध सम्मिश्र विश्लेषणात्मक समष्टि (विविधता) $$X_h$$ इस प्रकार कि;


 * यदि X परिमित प्रकार की योजना (गणित) है जो $$\mathbb{C}$$, पर सीमित है, और X को खुले अफीन उपसमूह $$Y_i = \operatorname{Spec} A_i$$ से ढंका गया है, जहां ($$X =\cup Y_i$$) (एक अंगूठी का स्पेक्ट्रम)। तब प्रत्येक $$A_i$$ परिमित प्रकार का एक बीजगणित है जो $$\mathbb{C}$$, पर सीमित है, और $$A_i \simeq \mathbb{C}[z_1, \dots, z_n]/(f_1,\dots, f_m)$$. है, जहां $$f_1,\dots, f_m$$ में बहुपद हैं जो कि $$z_1, \dots, z_n$$, जिसे एक होलोमोर्फिक फलन के रूप में माना जा सकता है $$\mathbb{C}$$. पर एक वैश्विक एनालिटिक फलन के रूप में देखा जा सकता है। इसलिए, इनके सामान्य शून्य समष्टि $$(Y_i)_h \subseteq \mathbb{C}$$. है, जहां X के लिए एक संबंधित बीजगणितीय उपग्रह $$Y_i$$, का नाम दिया जा सकता है। वही डेटा X को ग्लू करने से प्राप्त किया गया है, और फिर उसी डेटा का उपयोग करके बीजगणितीय उपग्रह $$(Y_i)_h$$ को ग्लू किया जा सकता है जो एक बीजगणितीय उपग्रह $$X_h$$ को मिलता है, इसलिए हम $$X_h$$ के संबद्ध बीजगणितीय उपग्रह कहते हैं सम्पर्कित ज्यामितिक गणितीय समष्टि X घटित है यदि और केवल यदि संबंधित ज्यामितिक गणितीय समष्टि $$X_h$$ घटित है।

यह भी देखें

 * बीजगणितीय विविधता - एक (सम्मिश्र) विश्लेषणात्मक विविधता एक (सम्मिश्र) विश्लेषणात्मक फलन के सेट का एक शून्य समष्टि है, जबकि एक बीजगणितीय विविधता एक बहुपद समारोह के एक सेट का शून्य समष्टि है और एकवचन बिंदु की अनुमति देता है।
 * विश्लेषणात्मक समष्टि
 * सम्मिश्र बीजगणितीय किस्म
 * कठोर विश्लेषणात्मक समष्टि
 * कठोर विश्लेषणात्मक समष्टि

संदर्भ

 * (no.10-13)
 * (no.10-13)
 * (no.10-13)

बाहरी संबंध

 * Kiran Kedlaya. 18.726 Algebraic Geometry (LEC # 30 - 33 GAGA)Spring 2009. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare Creative Commons BY-NC-SA.
 * Tasty Bits of Several Complex Variables(p.137) open source book by Jiří Lebl BY-NC-SA.