मौलिक मैट्रिक्स (कंप्यूटर विज़न)

कंप्यूटर दृष्टि में, मौलिक आव्यूह $$ \mathbf{F} $$ एक 3×3 आव्यूह है जो स्टीरियो (त्रिविम) छवियों में संबंधित बिंदुओं से संबंधित है। अधिध्रुवीय ज्यामिति में, स्टीरियो छवि युग्म में संबंधित बिंदुओं के सजातीय छवि निर्देशांक, x और x' के साथ, Fx एक रेखा (अधिध्रुवीय रेखा) का वर्णन करता है जिस पर अन्य छवि पर संबंधित बिंदु x' होना चाहिए। इसका अर्थ है, सभी युग्मों के लिए संगत बिंदु मान्य हैं।


 * $$ \mathbf{x}'^{\top} \mathbf{F x} = 0. $$

श्रेणी दो का होने और केवल पैमाने तक निर्धारित होने के कारण, मौलिक आव्यूह का अनुमान न्यूनतम सात-बिंदु पत्राचार दिया जा सकता है। इसके सात पैरामीटर कैमरों के बारे में एकमात्र ज्यामितीय जानकारी का प्रतिनिधित्व करते हैं जो अकेले बिंदु अनुरूपता के माध्यम से प्राप्त की जा सकती है।

शब्द "मौलिक आव्यूह" को क्यूटी लुओंग ने अपने प्रभावशाली पीएचडी थीसिस में इसको लिखा था। इसे कभी-कभी "बाइफोकल टेन्सर" भी कहा जाता है। टेंसर के रूप में, यह दो-बिंदु टेंसर है क्योंकि यह अलग-अलग समन्वय प्रणालियों में बिंदुओं से संबंधित द्विरेखीय रूप है।

उपरोक्त संबंध जो मूलभूत आव्यूह को परिभाषित करता है, 1992 में ओलिवियर फौगेरस और रिचर्ड हार्टले दोनों द्वारा प्रकाशित किया गया था। यद्यपि एच. क्रिस्टोफर लॉन्गुएट-हिगिंस का आवश्यक आव्यूह एक समान संबंध को संतुष्ट करता है, आवश्यक आव्यूह कैलिब्रेटेड कैमरों से संबंधित मापीय वस्तु है, जबकि मौलिक आव्यूह प्रक्षेप्य ज्यामिति के अधिक सामान्य और मौलिक शब्दों में पत्राचार का वर्णन करता है। इसे मौलिक आव्यूह $$\mathbf{F}$$ और इसके संबंधित आवश्यक आव्यूह $$\mathbf{E}$$, जो कि है, के बीच संबंध द्वारा गणितीय रूप से ज्ञात कर लिया गया है।
 * $$ \mathbf{E} = ({\mathbf{K}'})^{\top} \; \mathbf{F} \; \mathbf{K} $$

$$\mathbf{K}$$ और $$\mathbf{K}'$$ सम्मिलित दो छवियों के आंतरिक अंशांकन आव्यूह हैं।

परिचय
मौलिक आव्यूह एक ही दृश्य की किन्हीं दो छवियों के बीच एक संबंध है जो यह निर्धारित करता है कि दृश्य से बिंदुओं का प्रक्षेपण दोनों छवियों में कहां हो सकता है। छवियों में से एक में दृश्य बिंदु के प्रक्षेपण को देखते हुए दूसरी छवि में संबंधित बिंदु को एक रेखा तक सीमित कर दिया जाता है, जिससे खोज में मदद मिलती है, और गलत पत्राचार का पता लगाने में मदद मिलती है। संबंधित बिंदुओं के बीच का संबंध, जो मौलिक आव्यूह का प्रतिनिधित्व करता है, को अधिध्रुवीय बाधा, मिलान बाधा, असतत मिलान बाधा, या घटना संबंध के रूप में जाना जाता है।

प्रक्षेप्य पुनर्निर्माण प्रमेय
मूलभूत आव्यूह को बिंदु पत्राचार के एक समूह द्वारा निर्धारित किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, इन संबंधित छवि बिंदुओं को सीधे इस मौलिक आव्यूह से प्राप्त कैमरा आव्यूह की सहायता से विश्व बिंदुओं पर त्रिकोणित किया जा सकता है। इन विश्व बिंदुओं से बना दृश्य वास्तविक दृश्य के प्रक्षेपी परिवर्तन के अंतर्गत है।

प्रमाण
मान लीजिए कि छवि बिंदु पत्राचार $$\mathbf{x} \leftrightarrow \mathbf{x'}$$ कैमरा मैट्रिस $$\left ( \textbf{P}, \textbf{P}' \right )$$ के अंतर्गत विश्व बिंदु $$\textbf{X}$$ से प्राप्त होता है।

\begin{align} \mathbf{x} & = \textbf{P} \textbf{X} \\ \mathbf{x'} & = \textbf{P}' \textbf{X} \end{align} $$ मान लें कि हम एक सामान्य होमोग्राफी आव्यूह $$\textbf{H}_{4 \times 4}$$ द्वारा स्थान को इस प्रकार परिवर्तित करते हैं कि $$\textbf{X}_0 = \textbf{H} \textbf{X}$$।

कैमरे फिर रूपांतरित हो जाते हैं

\begin{align} \textbf{P}_0 & = \textbf{P} \textbf{H}^{-1} \\ \textbf{P}_0' & = \textbf{P}' \textbf{H}^{-1} \end{align} $$
 * $$\textbf{P}_0 \textbf{X}_0 = \textbf{P} \textbf{H}^{-1} \textbf{H} \textbf{X} = \textbf{P} \textbf{X} = \mathbf{x}$$ और इसी तरह $$\textbf{P}_0'$$ के साथ भी हमें अभी भी वही छवि बिंदु मिलते हैं।

समतलीयता स्थिति का उपयोग करके मौलिक आव्यूह की व्युत्पत्ति
मौलिक आव्यूह को समतलीय स्थिति का उपयोग करके भी प्राप्त किया जा सकता है।

सैटेलाइट छवियों के लिए
मौलिक आव्यूह स्टीरियो छवियों में अधिध्रुवीय ज्यामिति को व्यक्त करता है। परिप्रेक्ष्य कैमरों से ली गई तस्वीरों में अधिध्रुवीय ज्यामिति सीधी रेखाओं के रूप में दिखाई देती है। हालाँकि, उपग्रह चित्रों में, छवि अपनी कक्षा (पुशब्रूम सेंसर) के साथ सेंसर की गति के दौरान बनती है। इसलिए, एक छवि दृश्य के लिए एकाधिक प्रक्षेपण केंद्र होते हैं और अधिध्रुवीय रेखा एक अधिध्रुवीय वक्र के रूप में बनती है। हालाँकि, विशेष परिस्थितियों जैसे कि छोटी छवि टाइलों में, उपग्रह छवियों को मौलिक आव्यूह का उपयोग करके ठीक किया जा सकता है।

गुण
मूलभूत आव्यूह श्रेणी 2 का है। इसका कर्नेल अधिध्रुवीय को परिभाषित करता है।

यह भी देखें

 * अधिध्रुवीय ज्यामिति
 * आवश्यक आव्यूह
 * ट्राइफोकल टेंसर
 * आठ-बिंदु एल्गोरिदम

संदर्भ




























टूलबॉक्स

 * मजबूत आँकड़ों के लिए एक GPL C (प्रोग्रामिंग भाषा)/C++ लाइब्रेरी है, गैर-रेखीय (लेवेनबर्ग-मार्क्वार्ड एल्गोरिथ्म पर आधारित) मौलिक आव्यूह मिलान किए गए बिंदु जोड़े और विभिन्न वस्तुनिष्ठ कार्यों से अनुमान (मानोलिस लौराकिस)।
 * MATLAB में संरचना और मोशन टूलकिट (फिलिप एच.एस. टोर)
 * मौलिक आव्यूह अनुमान टूलबॉक्स (जोआकिम साल्वी)
 * अधिध्रुवीय ज्योमेट्री टूलबॉक्स (ईजीटी)

बाहरी संबंध

 * Epipolar Geometry and the Fundamental Matrix (chapter from Hartley &amp; Zisserman)
 * Determining the epipolar geometry and its uncertainty: A review (Zhengyou Zhang)
 * Visualization of epipolar geometry (originally by Sylvain Bougnoux of INRIA Robotvis, requires Java)
 * The Fundamental Matrix Song Video demonstrating laws of epipolar geometry.