व्युत्क्रम-गामा वितरण

संभाव्यता सिद्धांत और आंकड़ों में, व्युत्क्रम गामा वितरण सकारात्मक वास्तविक रेखा पर निरंतर संभाव्यता वितरण की एक दो-पैरामीटर श्रेणी होती है, जो गामा वितरण के अनुसार वितरित चर के गुणक व्युत्क्रम का वितरण होता है।

संभवतः व्युत्क्रम गामा वितरण का मुख्य उपयोग बायेसियन सांख्यिकी में है, जहां वितरण एक सामान्य वितरण के अज्ञात विचरण के लिए सीमांत पश्च वितरण के रूप में उत्पन्न होता है, यदि एक गैर-सूचनात्मक पूर्व का उपयोग किया जाता है, और एक विश्लेषणात्मक रूप से ट्रैक्टेबल संयुग्म पूर्व के रूप में, यदि एक सूचनात्मक है पूर्व आवश्यक है कुछ बायेसियनों के बीच परिशुद्धता (सांख्यिकी) के संदर्भ में सामान्य वितरण के एक वैकल्पिक सांख्यिकीय पैरामीटर पर विचार करना आम बात है, जिसे विचरण के पारस्परिक के रूप में परिभाषित किया गया है, जो गामा वितरण को सीधे संयुग्मित पूर्व के रूप में उपयोग करने की अनुमति देता है। अन्य बायेसियन व्युत्क्रम गामा वितरण को स्केल्ड व्युत्क्रम ची-वर्ग वितरण के रूप में अलग ढंग से पैरामीट्रिज करना पसंद करते हैं।

संभावना घनत्व फलन
व्युत्क्रम गामा वितरण की संभाव्यता घनत्व फलन को समर्थन (गणित) पर परिभाषित किया गया है $$x > 0$$

f(x; \alpha, \beta) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} (1/x)^{\alpha + 1}\exp\left(-\beta/x\right) $$ आकार पैरामीटर के साथ $$\alpha$$ और स्केल पैरामीटर $$\beta$$. यहाँ $$\Gamma(\cdot)$$ गामा फलन को दर्शाता है।

गामा वितरण के विपरीत, जिसमें कुछ हद तक समान घातांकीय शब्द सम्मलित होता है, $$\beta$$ एक स्केल पैरामीटर है क्योंकि वितरण फलन होता है:

f(x; \alpha, \beta) = \frac{f(x / \beta; \alpha, 1)}{\beta} $$

संचयी वितरण फलन
संचयी वितरण फलन नियमित गामा फलन होता है


 * $$F(x; \alpha, \beta) = \frac{\Gamma\left(\alpha,\frac{\beta}{x}\right)}{\Gamma(\alpha)} = Q\left(\alpha, \frac{\beta}{x}\right)\!$$

जहां भिन्न के ऊपर का अंक अपूर्ण गामा फलन है और प्रत्येक गामा फलन है। कई गणित पैकेज सीधे गणना की अनुमति देते हैं $$Q$$, नियमित गामा फलन होता है।

क्षण
उसे उपलब्ध कराया $$\alpha > n$$, व्युत्क्रम गामा वितरण का n-वाँ क्षण किसके द्वारा दिया जाता है? :$$\mathrm{E}[X^n] = \beta^n \frac{\Gamma(\alpha - n)}{\Gamma(\alpha)} = \frac{\beta^n}{(\alpha - 1) \cdots (\alpha - n)}.$$

विशेषता कार्य
$$K_{\alpha}(\cdot)$$ विशेषता फलन (संभावना सिद्धांत) की अभिव्यक्ति में दूसरे प्रकार का संशोधित बेसेल फलन होता है।

गुण
के लिए $$\alpha>0 $$ और $$\beta>0$$,
 * $$\mathbb{E}[\ln(X)] = \ln(\beta) - \psi(\alpha)\, $$

और
 * $$\mathbb{E}[X^{-1}] = \frac{\alpha}{\beta},\, $$

सूचना एन्ट्रापी होती है



\begin{align} \operatorname{H}(X) & = \operatorname{E}[-\ln(p(X))] \\ & = \operatorname{E}\left[-\alpha \ln(\beta) + \ln(\Gamma(\alpha)) + (\alpha+1)\ln(X) + \frac{\beta}{X}\right] \\ & = -\alpha \ln(\beta) + \ln(\Gamma(\alpha)) + (\alpha+1)\ln(\beta) - (\alpha+1)\psi(\alpha) + \alpha\\ & = \alpha + \ln(\beta\Gamma(\alpha)) - (\alpha+1)\psi(\alpha). \end{align} $$ जहाँ $$\psi(\alpha) $$ डिगामा फलन है।

व्युत्क्रम-गामा (αp, βp) से व्युत्क्रम-गामा (αq, βq) का कुल्बैक-लीबलर विचलन गामा (αp, βp)से गामा (αq, βq) के केएल-विचलन के समान है:

$$D_{\mathrm{KL}}(\alpha_p,\beta_p; \alpha_q, \beta_q) = \mathbb{E}\left[ \log \frac{\rho(X)}{\pi(X)}\right] = \mathbb{E}\left[ \log \frac{\rho(1/Y)}{\pi(1/Y)}\right] = \mathbb{E}\left[ \log \frac{\rho_G(Y)}{\pi_G(Y)}\right], $$

जहाँ $$\rho, \pi $$ व्युत्क्रम-गामा वितरण के पीडीएफ़ हैं और  $$\rho_G, \pi_G $$ गामा वितरण की पीडीएफ़ हैं, $$Y $$ Y गामा (αp, βp) वितरित होता है।



\begin{align} D_{\mathrm{KL}}(\alpha_p,\beta_p; \alpha_q, \beta_q) = {} & (\alpha_p-\alpha_q) \psi(\alpha_p) - \log\Gamma(\alpha_p) + \log\Gamma(\alpha_q) + \alpha_q(\log \beta_p - \log \beta_q) + \alpha_p\frac{\beta_q-\beta_p}{\beta_p}. \end{align} $$

संबंधित वितरण

 * यदि $$X \sim \mbox{Inv-Gamma}(\alpha, \beta)$$ तब $$ k X \sim \mbox{Inv-Gamma}(\alpha, k \beta) \,$$, के लिए $$ k > 0 $$
 * यदि $$X \sim \mbox{Inv-Gamma}(\alpha, \tfrac{1}{2})$$ तब $$X \sim \mbox{Inv-}\chi^2(2 \alpha)\,$$ (व्युत्क्रम-ची-वर्ग वितरण)
 * यदि $$X \sim \mbox{Inv-Gamma}(\tfrac{\alpha}{2}, \tfrac{1}{2})$$ तब $$X \sim \mbox{Scaled Inv-}\chi^2(\alpha,\tfrac{1}{\alpha})\,$$ (स्केल्ड-उलटा-ची-वर्ग वितरण)
 * यदि $$X \sim \textrm{Inv-Gamma}(\tfrac{1}{2},\tfrac{c}{2})$$ तब $$X \sim \textrm{Levy}(0,c)\,$$ (लेवी वितरण)
 * यदि $$X \sim \textrm{Inv-Gamma}(1,c)$$ तब $$\tfrac{1}{X} \sim \textrm{Exp}(c)\,$$ (घातांकी रूप से वितरण)
 * यदि $$X \sim \mbox{Gamma}(\alpha, \beta)\,$$ (दर पैरामीटर के साथ गामा वितरण $$\beta$$) तब $$\tfrac{1}{X} \sim \mbox{Inv-Gamma}(\alpha, \beta)\,$$ (विवरण के लिए अगले पैराग्राफ में व्युत्पत्ति देखें)
 * ध्यान दें कि यदि $$X \sim \mbox{Gamma}(k, \theta)$$ (स्केल पैरामीटर के साथ गामा वितरण $$\theta$$ ) तब $$1/X \sim \mbox{Inv-Gamma}(k, 1/\theta)$$ * व्युत्क्रम गामा वितरण प्रकार 5 पियर्सन वितरण का एक विशेष स्थिति होती है।
 * व्युत्क्रम-गामा वितरण का एक बहुभिन्नरूपी यादृच्छिक चर सामान्यीकरण व्युत्क्रम-विशार्ट वितरण होता है।
 * स्वतंत्र उल्टे गामा चरों के योग के वितरण के लिए विटकोवस्की (2001) देखें

गामा वितरण से व्युत्पत्ति
मान लेते है $$X \sim \mbox{Gamma}(\alpha, \beta)$$, और याद रखें कि गामा वितरण का पीडीएफ है


 * $$ f_{X}(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}$$, $$x > 0$$.

ध्यान दें कि $$ \beta $$ गामा वितरण के परिप्रेक्ष्य से दर पैरामीटर है।

परिवर्तन को परिभाषित करें $$Y = g(X) = \tfrac{1}{X}$$ फिर, की पीडीएफ $$Y$$ है


 * $$\begin{align}

f_Y(y) &= f_X \left( g^{-1}(y) \right) \left| \frac{d}{dy} g^{-1}(y) \right| \\[6pt] &= \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \left( \frac{1}{y} \right)^{\alpha-1} \exp \left( \frac{-\beta}{y}  \right)  \frac{1}{y^2} \\[6pt] &= \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \left( \frac{1}{y} \right)^{\alpha+1} \exp \left( \frac{-\beta}{y}  \right)   \\[6pt] &= \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \left( y \right)^{-\alpha-1} \exp \left( \frac{-\beta}{y}  \right) \\[6pt] \end{align}$$ ध्यान दें कि $$ \beta $$ व्युत्क्रम गामा वितरण के परिप्रेक्ष्य से स्केल पैरामीटर है। इसे देखकर इसका सीधी तरह से अंदाजा लगाया जा सकता है $$ \beta $$ स्केल पैरामीटर होने की शर्तों को पूरा करता है।
 * $$\begin{align}

\frac{f_{\beta}(y / \beta)}{\beta} &= \frac{1}{\beta} \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \left( \frac{y}{\beta} \right)^{-\alpha-1} \exp(-y) \\[6pt] &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \left( y \right)^{-\alpha-1} \exp(-y) \\[6pt] &= f_{\beta=1}(y) \end{align}$$

घटना

 * वीनर प्रक्रिया का हिटिंग का समय लेवी वितरण का अनुसरण करता है, जो व्युत्क्रम-गामा वितरण का एक विशेष स्थिति है $$\alpha=0.5$$

यह भी देखें

 * गामा वितरण
 * व्युत्क्रम-ची-वर्ग वितरण
 * सामान्य वितरण
 * पियर्सन वितरण

संदर्भ

 * Hoff, P. (2009). "A first course in bayesian statistical methods". Springer.