स्यूडोग्रुप

गणित में, छद्म समूह स्थान के खुले समूहों के बीच भिन्नता का एक समूह है, जो समूह-समान और शीफ-समान गुणों को संतुष्ट करता है। यह समूह की अवधारणा का एक सामान्यीकरण है, जो अमूर्त  के ज्यामितीय दृष्टिकोण से उत्पन्न हुआ है। सार बीजगणित (जैसे अर्धसमूह, उदाहरण के लिए) के अतिरिक्त अंतर समीकरणों की समरूपता की जांच करने के लिए। छद्म समूहका आधुनिक सिद्धांत 1900 की शुरुआत में एली कार्टन द्वारा विकसित किया गया था।

परिभाषा
एक छद्म समूह किसी दिए गए यूक्लिडियन अंतरिक्ष के खुले समूह यू पर परिभाषित होमोमोर्फिज्म (क्रमशः, डिफियोमोर्फिज्म) के एक समूह पर कई शर्तें लगाता है या सामान्यतः एक निश्चित स्थलीय स्थान (क्रमशः, अलग करने योग्य कई गुना) का होता है। दो होमियोमोर्फिज्म के बाद से h : U → V तथा g : V → W U से W तक एक होमोमोर्फिज्म की रचना करें, कोई पूछता है कि रचना और व्युत्क्रम के अनुसार स्यूडोग्रुप बंद है।चूंकि, एक समूह के सिद्धांतों के विपरीत, छद्म समूह को परिभाषित करने वाले सिद्धांत विशुद्ध रूप से बीजगणितीय नहीं होते हैं; आगे की आवश्यकताएं होमोमोर्फिज्म को प्रतिबंधित करने और पैच करने की संभावना से संबंधित हैं (शेफ के वर्गों के लिए ग्लूइंग स्वयंसिद्ध के समान)।

अधिक सटीक रूप से, एक स्थलीय स्थान पर एक 'छद्म समूह' $S$ एक संग्रह है $Γ$ के खुले उपसमुच्चय के बीच होमोमोर्फिज्म का $S$ निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करना:
 * 1) तत्वों का डोमेन $g$ में $Γ$ ढकना $S$ ( ढकना )।
 * 2) एक तत्व का प्रतिबंध $g$ में $Γ$ इसके डोमेन में निहित किसी भी खुले सेट में भी है $Γ$ (प्रतिबंध)।
 * 3) रचना $g$ ○ $h$ के दो तत्वों का $Γ$, जब परिभाषित किया गया है, में है $Γ$ ( संयोजन )।
 * 4) के एक तत्व का व्युत्क्रम $g$ में है $Γ$ ( श्लोक में )।
 * 5) लेटने का गुण $Γ$ स्थानीय है, यानी अगर $g $: $U$ → $V$ के खुले सेटों के बीच एक होमोमोर्फिज्म है $S$ तथा $U$ खुले सेटों द्वारा कवर किया गया है $U_{i}$ साथ $g$ के लिए प्रतिबंधित $U_{i}$ में लेटा हुआ $Γ$ प्रत्येक के लिए $i$, फिर $g$ में भी है $Γ$ ( स्थानीय )।

परिणामस्वरूप किसी भी खुले उपसमुच्चय की पहचान होमोमोर्फिज्म $S$ में निहित है $Γ$.

इसी तरह, एक स्मूथ मैनिफोल्ड पर एक स्यूडोग्रुप $X$ संग्रह के रूप में परिभाषित किया गया है $Γ$ के खुले उपसमुच्चय के बीच भिन्नता का $X$ अनुरूप गुणों को संतुष्ट करना (जहां हम होमोमोर्फिज्म को डिफियोमोर्फिज्म से बदल देते हैं)। दो अंक अंदर $X$ कहा जाता है कि यदि कोई तत्व एक ही कक्षा में है Γ एक को दूसरे को भेजता है। स्यूडोग्रुप की कक्षाएँ स्पष्ट रूप से एक विभाजन बनाती हैं $X$; एक स्यूडोग्रुप को सकर्मक कहा जाता है यदि इसकी केवल एक कक्षा हो।

उदाहरण
किसी दिए गए ज्यामितीय संरचना को संरक्षित करने वाले स्यूडोग्रुप्स द्वारा उदाहरणों का एक व्यापक वर्ग दिया गया है। उदाहरण के लिए, यदि (एक्स, जी) एक रीमैनियन कई गुना है, तो इसके स्थानीय आइसोमेट्री का स्यूडोग्रुप है; यदि (एक्स, ω) एक सहानुभूतिपूर्ण मैनिफोल्ड है, तो किसी के पास स्थानीय सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म का स्यूडोग्रुप है; आदि। इन छद्म समूहों को इन संरचनाओं की स्थानीय समरूपता के समुच्चय के रूप में माना जाना चाहिए।

समरूपता और ज्यामितीय संरचनाओं के छद्म समूह
अतिरिक्त संरचनाओं के साथ कई गुना को अधिकांशतः एक निश्चित स्थानीय मॉडल के समरूपता के छद्म समूह का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है। अधिक सटीक, एक छद्म समूह दिया गया $Γ$, एक एटलस (टोपोलॉजी) |$Γ$-एटलस एक स्थलीय स्थान पर $S$ में एक मानक एटलस होता है $S$ जैसे कि निर्देशांक के परिवर्तन (अर्थात संक्रमण मानचित्र) से संबंधित हैं $Γ$. Γ-एटलस के समतुल्य वर्ग को a भी कहा जाता है$Γ$-संरचना चालू $S$.

विशेष रूप से,जब $Γ$ R के सभी स्थानीय रूप से परिभाषित भिन्नताओं का छद्म समूह हैn, एक चिकनी एटलस और एक चिकनी संरचना की मानक धारणा को पुनः प्राप्त करता है। अधिक सामान्यतः, निम्नलिखित वस्तुओं को परिभाषित किया जा सकता है $Γ$एक स्थलीय स्थान पर संरचनाएं $S$:


 * फ्लैट कई गुना, के लिए $Γ$ आर के आइसोमेट्री के स्यूडोग्रुपn प्रामाणिक यूक्लिडियन मीट्रिक के साथ;
 * सहानुभूतिपूर्ण संरचना, के लिए $Γ$ आर के सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म का स्यूडोग्रुप2n विहित सहानुभूतिपूर्ण रूप के साथ;
 * विश्लेषणात्मक कई गुना, के लिए $Γ$ विश्लेषणात्मक कार्य का स्यूडोग्रुप |एन;
 * रीमैन सतह, के लिए $Γ$ एक जटिल चर के व्युत्क्रम समारोह होलोमॉर्फिक फलन का छद्म समूह।

अधिक सामान्यतः, कई गुना पर कोई भी पूर्ण जी-संरचना$G$-संरचना और कोई भी (जी, एक्स) - कई गुना |($G$, $X$)-कई गुना की विशेष स्थितियाँ हैं $Γ$-संरचनाएं, उपयुक्त स्यूडोग्रुप्स के लिए $Γ$.

स्यूडोग्रुप्स और लाई थ्योरी
सामान्य तौर पर, स्यूडोग्रुप्स का अध्ययन लाइ_ग्रुप#इनफिनिट-डायमेंशनल_ली_ग्रुप्स|अनंत-डायमेंशनल लाइ ग्रुप्स के संभावित सिद्धांत के रूप में किया गया था। एक यूक्लिडियन अंतरिक्ष की उत्पत्ति के निकट (गणित) में परिभाषित कार्यों के छद्म समूह नामक एक स्थानीय झूठ समूह की अवधारणा $E$, वास्तव में लाइ समूह की मूल अवधारणा के करीब है, ऐसी स्थिति में जहां परिवर्तन सम्मिलित हैं, कई गुना के माध्यम से समकालीन परिभाषा की तुलना में मापदंडों की एक सीमित संख्या पर निर्भर करते हैं। कार्टन की उपलब्धियों में सम्मिलित बिंदुओं को स्पष्ट करना था, जिसमें यह बिंदु भी सम्मिलित है कि एक स्थानीय लाई समूह हमेशा एक वैश्विक समूह को जन्म देता है, वर्तमान अर्थों में (ली के तीसरे प्रमेय का एक एनालॉग, एक समूह का निर्धारण करने वाले लाई बीजगणित पर)। औपचारिक समूह अभी तक झूठ समूहों के विनिर्देशन के लिए एक और दृष्टिकोण है, असीम रूप से। चूंकि, यह ज्ञात है कि स्थानीय टोपोलॉजिकल समूहों के पास वैश्विक समकक्ष नहीं हैं।

अनंत-आयामी स्यूडोग्रुप्स के उदाहरण प्रचुर मात्रा में हैं, जो कि सभी भिन्नताओं के स्यूडोग्रुप से प्रारम्भ होते हैं $E$. रुचि मुख्य रूप से डिफियोमोर्फिज्म के उप-छद्मसमूहों में है, और इसलिए उन वस्तुओं के साथ जिनके पास सदिश क्षेत्रों का झूठा बीजगणित एनालॉग है। कंप्यूटर बीजगणित की प्रगति को देखते हुए इन वस्तुओं का अध्ययन करने के लिए लाई और कार्टन द्वारा प्रस्तावित तरीके अधिक व्यावहारिक हो गए हैं।

1950 के दशक में, कार्टन के सिद्धांत को शिंग-शेन चेर्न द्वारा सुधारा गया था, और स्यूडोग्रुप्स के लिए एक सामान्य विरूपण सिद्धांत कुनिहिको कोडैरा द्वारा विकसित किया गया था। और डी.सी. स्पेंसर। 1960 के दशक में सजातीय बीजगणित को मूल आंशिक अंतर समीकरण प्रश्नों पर लागू किया गया था, जिसमें अति-निर्धारण;चूंकि इससे पता चला कि सिद्धांत का बीजगणित संभावित रूप से बहुत भारी है। उसी दशक में वर्तमान बीजगणित के आकार में पहली बार अनंत-आयामी झूठ सिद्धांत के सैद्धांतिक भौतिकी के लिए रुचि दिखाई दी।

सहजता से, एक छद्म समूह एक छद्म समूह होना चाहिए जो पीडीई की एक प्रणाली से उत्पन्न होता है। साहित्य में कई समान लेकिन असमान धारणाएँ हैं;    सही इस बात पर निर्भर करता है कि किसी के मन में कौन सा अनुप्रयोग है।चूंकि, इन सभी विभिन्न दृष्टिकोणों में (परिमित- या अनंत-आयामी) जेट बंडल सम्मिलित है $Γ$, जिन्हें लाइ ग्रुपॉयड कहा जाता है। विशेष रूप से, झूठ छद्म समूह को परिमित आदेश कहा जाता है $k$अगर इसे इसके स्थान से पुनर्निर्मित किया जा सकता है $k$-जेट (गणित)।

संदर्भ