रीमैन पृष्ठीय

गणित में, विशेष रूप से जटिल विश्लेषण  में, एक रीमैन सतह एक जुड़े हुए एक-आयामी जटिल का विविध (कई गुना)  है I इन सतहों का अध्ययन सबसे पहले किया गया था और इनका नाम  बर्नहार्ड रिमेंन  के नाम पर रखा गया है। रीमैन सतहों को  जटिल विमान  के अनुचित रूप से प्रस्तुत  संस्करणों के रूप में माना जा सकता है: स्थानीय रूप से हर बिंदु के पास वे जटिल विमान के पैच की तरह दिखते हैं, लेकिन वैश्विक  टोपोलॉजी  काफी भिन्न हो सकती है। उदाहरण के लिए, वे एक गोले या टॉर्सर्स या एक साथ चिपकी हुई कई चादरों की तरह दिख सकते हैं।

रीमैन सतहों में मुख्य रुचि यह है कि उनके बीच होलोमोर्फिक कार्यों को परिभाषित किया जा सकता है। रीमैन सतहों को आजकल इन कार्यों के वैश्विक व्यवहार का अध्ययन करने के लिए  प्राकृतिक स्थापना माना जाता है, विशेष रूप से बहु-मूल्यवान कार्य जैसे  वर्गमूल  और अन्य बीजगणितीय कार्य, या प्राकृतिक लघुगणक।

प्रत्येक रीमैन सतह एक द्वि-आयामी वास्तविक विश्लेषणात्मक का कई गुना (यानी, एक सतह (टोपोलॉजी) ) है, लेकिन इसमें अधिक संरचना (विशेष रूप से एक जटिल मैनिफोल्ड) शामिल है जो होलोमोर्फिक कार्यों की स्पष्ट परिभाषा के लिए आवश्यक है। एक द्वि-आयामी को वास्तविक रूप से अनेक  रीमैन सतह (आमतौर पर कई असमान तरीकों से) में बदला जा सकता है यदि यह उन्मुख और मेट्रिज़ेबल स्थान है, तो गोले और टोरस जटिल संरचनाओं को स्वीकार करते हैं, लेकिन मोबियस पट्टी,  क्लेन बोतल  और  वास्तविक प्रक्षेप्य विमान  नहीं करते हैं।

रीमैन सतहों के बारे में ज्यामितीय तथ्य यथासंभव अच्छे हैं, और वे अक्सर अन्य किस्मों के सामान्यीकरण के लिए अंतर्ज्ञान और प्रेरणा प्रदान करते हैं। रीमैन-रोच प्रमेय इस प्रभाव का एक प्रमुख उदाहरण है।

परिभाषाएं
रीमैन सतह की कई परिभाषाएँ समान हैं।


 * 1) एक रीमैन सतह X एक जटिल आयाम का एक कनेक्टेड स्पेस (जुड़ा हुआ) का कई गुना है। इसका मतलब है कि X एक जुड़ा हुआ  हॉसडॉर्फ स्पेस  है जो कि चार्ट (टोपोलॉजी)  के  एटलस (टोपोलॉजी)  के उलझे हुए ढेरो की खुली इकाई डिस्क के साथ प्रमाणित है: प्रत्येक बिंदु X के लिए X का  पड़ोस (टोपोलॉजी)  है उलझे हुए ढेरो की खुली इकाई डिस्क के लिए  होमोमोर्फिक (समरूप) है I समतल और दो अतिव्यापी चार्टों के बीच संक्रमण मानचित्रों को होलोमोर्फिक होना आवश्यक है।
 * 2) एक रीमैन सतह आयाम दो का एक  उन्मुख कई गुना है-एक दो-तरफा सतह (टोपोलॉजी)  अनुरूप संरचना  के साथ (वास्तविक) है। फिर से, मैनिफोल्ड का अर्थ है कि स्थानीय रूप से X के किसी भी बिंदु x पर, स्थान वास्तविक तल के उपसमुच्चय के समरूप है। पूरक रीमैन दर्शाता है कि X एक अतिरिक्त संरचना के साथ संपन्न है जो कई गुना पर कोण  माप की अनुमति देता है, अर्थात् प्रत्यक्ष रूप से  रीमैनियन मीट्रिक  का एक समकक्ष वर्ग है। ऐसे दो मेट्रिक्स को  अनुरूप रूप से समकक्ष  माना जाता है यदि वे जिस कोण को मापते हैं वह समान होता है। X पर मेट्रिक्स का एक  तुल्यता वर्ग  चुनना, अनुरूप संरचना का अतिरिक्त आधार है।

एक जटिल संरचना जटिल विमान पर दिए गए मानक यूक्लिडियन मीट्रिक  को चुनकर और चार्ट के माध्यम से इसे X तक ले जाकर एक अनुरूप संरचना को जन्म देती है। यह दिखाना कि एक अनुरूप संरचना एक जटिल संरचना को निर्धारित करती है, अधिक कठिन है।

आगे की परिभाषाएं और गुण
जैसा कि जटिल मैनिफोल्ड के बीच किसी भी मानचित्र के साथ होता है, एक फ़ंक्शन f: M → N दो रीमैन सतहों M और N के बीच होलोमोर्फिक कहा जाता है यदि M के एटलस में हर चार्ट g के लिए और N के एटलस में हर चार्ट h के लिए, मैप h ∘ f ∘ g−1 होलोमॉर्फिक है (C से C तक के फलन के रूप में) जहाँ भी यह परिभाषित है। दो होलोमोर्फिक मानचित्रों की संरचना होलोमोर्फिक है। दो रीमैन सतहों M और N को  बायोमोर्फिज्म कहा जाता है (या अनुरूप रूप से समकक्ष दृष्टिकोण पर जोर देने के लिए समतुल्य) ' यदि एम से एन तक एक विशेषण होलोमोर्फिक फ़ंक्शन मौजूद है जिसका व्युत्क्रम भी होलोमोर्फिक है (यह पता चला है कि बाद की स्थिति स्वचालित है और कर सकते हैं इसलिए छोड़ दिया जाए)। दो अनुरूप रूप से समकक्ष रीमैन सतहें सभी व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए समान हैं।

ओरिएंटेबिलिटी
प्रत्येक रीमैन सतह, एक जटिल मैनिफोल्ड होने के नाते, वास्तविक मैनिफोल्ड के रूप में उन्मुख है। ट्रांज़िशन फ़ंक्शन h = f(g−1(z)) के साथ जटिल चार्ट f और g के लिए, h को R2 से R2 के एक खुले सेट से एक मानचित्र के रूप में माना जा सकता है जिसका जेकोबियन बिंदु z में केवल वास्तविक रेखीय मानचित्र द्वारा दिया गया है सम्मिश्र संख्या h'(z) से गुणा करना। हालांकि, एक सम्मिश्र संख्या α द्वारा गुणन का वास्तविक निर्धारक |α|2 के बराबर है, इसलिए h के जैकोबियन में सकारात्मक निर्धारक है। परिणाम स्वरुप,जटिल एटलस एक उन्मुख एटलस है।

कार्य
प्रत्येक गैर-कॉम्पैक्ट रीमैन सतह गैर-निरंतर होलोमोर्फिक कार्यों (C में मूल्यों के साथ) को स्वीकार करती है। वास्तव में, प्रत्येक गैर-कॉम्पैक्ट रीमैन सतह एक स्टीन मैनिफोल्ड है।

इसके विपरीत, एक कॉम्पैक्ट रीमैन सतह X पर C में मूल्यों के साथ प्रत्येक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन अधिकतम सिद्धांत के कारण स्थिर है। जबकि, हमेशा गैर-निरंतर मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन मौजूद होते हैं (रिमेंन क्षेत्र सी ∪ {∞} में मूल्यों के साथ होलोमोर्फिक फ़ंक्शन)। अधिक सटीक रूप से, X की बीजगणितीय किस्म का कार्य क्षेत्र C(t) का एक परिमित क्षेत्र विस्तार  है, फ़ंक्शन फ़ील्ड एक चर में है, यानी कोई भी दो  मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन  बीजगणितीय रूप से निर्भर होते हैं। यह कथन उच्च आयामों का सामान्यीकरण करता है, देखें. रीमैन थीटा समारोह  और सतह के एबेल-जैकोबी मानचित्र के संदर्भ में मेरोमोर्फिक कार्यों को काफी स्पष्ट रूप से दिया जा सकता है।

विश्लेषणात्मक बनाम बीजीय
गैर-निरंतर मेरोमोर्फिक कार्यों का अस्तित्व यह दिखाने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है कि कोई भी कॉम्पैक्ट रीमैन सतह एक प्रक्षेपी विविधता है, अर्थात एक प्रक्षेप्य स्थान के अंदर बहुपद समीकरणों द्वारा दिया जा सकता है।  वास्तव में, यह दिखाया जा सकता है कि प्रत्येक कॉम्पैक्ट रीमैन सतह को जटिल प्रक्षेप्य स्थान प्रोजेक्टिव 3-स्पेस में  विसर्जन (गणित) किया जा सकता है। यह एक आश्चर्यजनक प्रमेय है: रीमैन सतहों को स्थानीय रूप से पैचिंग चार्ट द्वारा दिया जाता है। यदि एक वैश्विक स्थिति, अर्थात् सघनता, को जोड़ा जाता है, तो सतह आवश्यक रूप से बीजगणितीय होती है। रीमैन सतहों की यह विशेषता किसी को  विश्लेषणात्मक ज्यामिति  या बीजीय ज्यामिति के माध्यम से उनका अध्ययन करने की अनुमति देती है। उच्च-आयामी वस्तुओं के लिए संबंधित कथन गलत है, यानी कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स 2-मैनिफोल्ड हैं जो बीजगणितीय नहीं हैं। दूसरी ओर, प्रत्येक प्रक्षेपी जटिल कई गुना अनिवार्य रूप से  बीजगणितीय ज्यामिति  है, चाउ के प्रमेय देखें।

एक उदाहरण के रूप में, टोरस T := C/(Z + τ Z).पर विचार करे । वीयरस्ट्रैस अण्डाकार कार्य $$\wp_\tau(z)$$ जाली Z + τ Z से संबंधित है, Z T पर एक मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन है। यह फ़ंक्शन और इसका व्युत्पन्न $$\wp_\tau'(z)$$ T का फलन क्षेत्र उत्पन्न करता है। एक समीकरण है


 * $$[\wp'(z)]^2=4[\wp(z)]^3-g_2\wp(z)-g_3,$$

जहां गुणांक g2 और g3 पर निर्भर करता है, इस प्रकार एक अण्डाकार वक्रEτ देता है बीजगणितीय ज्यामिति के अर्थ में इसे उलटना  j-invariant  j(E) द्वारा पूरा किया जाता है, जिसका उपयोग τ और इसलिए एक टोरस निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है।

रीमैन सतहों का वर्गीकरण
सभी रीमैन सतहों के सेट को तीन उपसमुच्चय में विभाजित किया जा सकता है: अतिशयोक्तिपूर्ण, परवलयिक और अण्डाकार रीमैन सतहें। ज्यामितीय रूप से, ये नकारात्मक, लुप्त या सकारात्मक निरंतर अनुभागीय वक्रता  वाली सतहों के अनुरूप होते हैं। यानी हर जुड़ी हुई रीमैन सतह $$X$$ निरंतर वक्रता के साथ एक अद्वितीय  पूर्णता (टोपोलॉजी)  2-आयामी वास्तविक  रीमैनियन मैनिफोल्ड  स्वीकार करता है $$-1, 0$$ या $$1$$ जो रीमैनियन मेट्रिक्स के अनुरूप वर्ग से संबंधित है जो इसकी संरचना द्वारा रीमैन सतह के रूप में निर्धारित किया गया है। इसे इज़ोटेर्मल निर्देशांक के अस्तित्व के परिणाम के रूप में देखा जा सकता है।

जटिल विश्लेषणात्मक शब्दों में, पोंकारे-कोएबे एकरूपता प्रमेय  ( रीमैन मैपिंग प्रमेय  का एक सामान्यीकरण) बताता है कि प्रत्येक बस जुड़ा हुआ रीमैन सतह निम्नलिखित में से एक के अनुरूप है: एक रीमैन सतह अण्डाकार, परवलयिक या अतिशयोक्तिपूर्ण है कि क्या इसका सार्वभौमिक आवरण समरूप है $$\mathbf P^1(\mathbf C)$$, $$\mathbf C$$ या $$\mathbf D$$. प्रत्येक वर्ग के तत्व अधिक सटीक विवरण स्वीकार करते हैं।
 * रिमेंन क्षेत्र $$\widehat{\mathbf{C}} := \mathbf{C} \cup\{\infty\}$$, जो जटिल प्रक्षेप्य रेखा के समरूपी है|$$\mathbf P^1(\mathbf C)$$;
 * जटिल विमान $$\mathbf C$$;
 * खुली डिस्क $$\mathbf D := \{z \in \mathbf C : |z| < 1\}$$ जो ऊपरी आधे तल के समरूपी है $$\mathbf H := \{z \in \mathbf C : \mathrm{Im}(z) > 0\}$$.

अण्डाकार रीमैन सतह
रीमैन क्षेत्र $$\mathbf P^1(\mathbf C)$$ एकमात्र उदाहरण है, क्योंकि कोई समूह (गणित)  समूह क्रिया (गणित) नहीं है, जो कि बायोलोमोर्फिक परिवर्तनों द्वारा समूह_एक्शन_ (गणित) # प्रकार_ऑफ_एक्शन और ग्रुप_एक्शन_ (गणित) # प्रकार_ऑफ_एक्शन और इसलिए कोई भी रीमैन सतह जिसका सार्वभौमिक कवर आइसोमॉर्फिक है $$\mathbf P^1(\mathbf C)$$ इसके लिए स्वयं समरूपी होना चाहिए।

परवलयिक रीमैन सतह
यदि $$X$$ एक रीमैन सतह है जिसका सार्वभौमिक आवरण जटिल तल के लिए समरूप है $$\mathbf C$$ तो यह निम्नलिखित सतहों में से एक के लिए आइसोमॉर्फिक है: टोपोलॉजिकल रूप से केवल तीन प्रकार होते हैं: प्लेन, सिलेंडर और टोरस। लेकिन जबकि दो पूर्व मामलों में (परवलयिक) रीमैन सतह संरचना अद्वितीय है, पैरामीटर बदलती है $$\tau$$ तीसरे मामले में गैर-आइसोमोर्फिक रीमैन सतह देता है। पैरामीटर द्वारा विवरण $$\tau$$ चिह्नित रीमैन सतहों का टेचमुलर स्थान देता है (रिमेंन सतह संरचना के अलावा एक अंकन का टोपोलॉजिकल डेटा जोड़ता है, जिसे टोरस के लिए एक निश्चित होमोमोर्फिज्म के रूप में देखा जा सकता है)। विश्लेषणात्मक मोडुलि स्पेस  (अंकन को भूलकर) प्राप्त करने के लिए एक सतह के मानचित्रण वर्ग समूह द्वारा टेकमुलर स्पेस का भागफल लेता है। इस मामले में यह  मॉड्यूलर वक्र  है।
 * $$\mathbf C$$ अपने आप;
 * भागफल $$\mathbf C / \mathbf Z$$;
 * एक भागफल $$\mathbf C / (\mathbf Z + \mathbf Z\tau)$$ कहाँ पे $$\tau \in \mathbf C$$ साथ $$\mathrm{Im}(\tau) > 0$$.

अतिशयोक्तिपूर्ण रीमैन सतह
शेष मामलों में $$X$$ एक अतिशयोक्तिपूर्ण रीमैन सतह है, जो कि फुच्सियन समूह  द्वारा ऊपरी आधे-तल के भागफल के लिए समरूप है (इसे कभी-कभी सतह के लिए  फुच्सियन मॉडल  कहा जाता है)। टोपोलॉजिकल प्रकार $$X$$ टोरस और गोले को बचाने के लिए कोई भी उन्मुख सतह हो सकती है।

विशेष रुचि का मामला तब होता है जब $$X$$ कॉम्पैक्ट है। फिर इसके टोपोलॉजिकल प्रकार का वर्णन इसके जीनस द्वारा किया जाता है $$g \ge 2$$. इसका टेकमुलर स्पेस और मोडुली स्पेस हैं $$6g - 6$$-आयामी। परिमित प्रकार की रीमैन सतहों का एक समान वर्गीकरण (जो कि एक बंद सतह के लिए होमियोमॉर्फिक है, अंकों की एक सीमित संख्या घटाकर) दिया जा सकता है। हालांकि सामान्य तौर पर इस तरह के विवरण को स्वीकार करने के लिए अनंत टोपोलॉजिकल प्रकार के रीमैन सतहों का मॉड्यूल स्पेस बहुत बड़ा है।

रीमैन सतहों के बीच मानचित्र
ज्यामितीय वर्गीकरण रीमैन सतहों के बीच के नक्शों में परिभाषित होता है, जैसा कि लिउविल के प्रमेय में परिभाषित है। लिउविल की प्रमेय और लिटिल पिकार्ड प्रमेय : हाइपरबोलिक और परवलयिक से अण्डाकार के नक्शे आसान हैं, लेकिन अण्डाकार से परवलयिक या परवलयिक से हाइपरबोलिक के नक्शे हैं आम तौर पर स्थिर गोले के विमान में डिस्क सम्मलित होता है: $$\Delta \subset \mathbf{C} \subset \widehat{\mathbf{C}},$$ लेकिन गोले से विमान तक होलोमोर्फिक नक्शा स्थिर है, विमान से यूनिट डिस्क में भी होलोमोर्फिक नक्शा स्थिर है, और वास्तव में विमान में होलोमोर्फिक नक्शा शून्य से दो तक अंक स्थिर है!

पंचर गोले
रीमैन क्षेत्र पर विचार करके$$\widehat{\mathbf{C}}$$ कई पंचर के साथ इन कथनों को स्पष्ट किया गया है। यह रीमैन क्षेत्र है,जो बिना पंचर के जो अण्डाकार है। यह जटिल तल है पंचर के साथ,अनंत पर रखा जा सकता है, जो परवलयिक है। दो पंक्चर के साथ, यह पंचर प्लेन या वैकल्पिक रूप से एनलस या सिलेंडर है, जो दो पंक्चर के साथ परवलयिक होता है। पैंट की जोड़ी (गणित)  की तुलना करें तीन से अधिक पंचर के साथ, यह अतिशयोक्तिपूर्ण है। घातांक मानचित्र के माध्यम से कोई एक पंचर से दो तक मानचित्र बना सकता है (जो संपूर्ण है और अनंत पर एक आवश्यक विलक्षणता है, इसलिए अनंत पर परिभाषित नहीं है, और शून्य और अनंत को याद करता है), लेकिन सभी मानचित्र शून्य पंचर से एक या अधिक तक, या एक या दो पंचर से तीन या अधिक स्थिर होते हैं।

रामिफाइड कवरिंग स्पेस
इस नस में जारी रखते हुए, कॉम्पैक्ट रीमैन सतहों को निचले जीनस की सतहों पर मैप किया जा सकता है, लेकिन उच्च जीनस के लिए नहीं, निरंतर नक्शे को छोड़कर। ऐसा इसलिए है क्योंकि होलोमोर्फिक और मेरोमोर्फिक मानचित्र स्थानीय रूप से व्यवहार करते हैं $$z \mapsto z^n,$$ इसलिए गैर-स्थिर नक्शों को कवर करने वाले मानचित्रों को विस्तृत किया जाता है, और कॉम्पैक्ट रीमैन सतहों के लिए ये बीजगणितीय टोपोलॉजी में रीमैन-हर्विट्ज़ सूत्र द्वारा विवश हैं, जो एक अंतरिक्ष की यूलर विशेषता  और एक विस्तृत आवरण से संबंधित है।

उदाहरण के लिए, हाइपरबोलिक रीमैन सतहों को गोले के रिक्त स्थान को कवर किया जाता है (उनके पास गैर-स्थिर मेरोमोर्फिक कार्य होते हैं), लेकिन क्षेत्र एक स्थिर के अलावा, उच्च जीनस सतहों को कवर या अन्यथा मैप नहीं करता है।

रीमैन सतहों की आइसोमेट्री
एक समान रीमैन सतह का आइसोमेट्री समूह  (समान रूप से, अनुरूप ऑटोमोर्फिज्म#ऑटोमोर्फिज्म_ग्रुप) इसकी ज्यामिति को दर्शाता है:
 * जीनस 0 - गोले का आइसोमेट्री समूह जटिल रेखा के प्रक्षेपी परिवर्तनों का मोबियस समूह है,
 * प्लेन का आइसोमेट्री ग्रुप उपसमूह  फिक्सिंग इन्फिनिटी है, और पंचर प्लेन का सबग्रुप है जो इनवेरिएंट को छोड़कर केवल इन्फिनिटी और शून्य वाला सेट है: या तो उन दोनों को ठीक करना, या उन्हें इंटरचेंज करना (1/z)।
 * पोंकारे हाफ-प्लेन मॉडल का आइसोमेट्री ग्रुप|ऊपरी हाफ-प्लेन असली मोबियस ग्रुप है; यह डिस्क के ऑटोमोर्फिज्म समूह के साथ संयुग्मित है।
 * जीनस 1 - एक टोरस का आइसोमेट्री समूह सामान्य अनुवाद में है (एक एबेलियन किस्म  के रूप में), हालांकि वर्ग जाली और हेक्सागोनल जाली में 90 ° और 60 ° से रोटेशन से अतिरिक्त समरूपता होती है।
 * जीनस जी ≥ 2 के लिए, आइसोमेट्री समूह परिमित है, और हर्विट्ज़ के ऑटोमोर्फिज्म प्रमेय द्वारा अधिकतम 84(g−1) का क्रम है; वे सतहें जो इस बाध्यता को महसूस करती हैं, 'हर्विट्ज़ सतहें' कहलाती हैं।
 * यह ज्ञात है कि प्रत्येक परिमित समूह को कुछ रीमैन सतह के आइसोमेट्री के पूर्ण समूह के रूप में महसूस किया जा सकता है।
 * जीनस 2 के लिए ऑर्डर 48 के साथ बोल्ज़ा सतह  द्वारा अधिकतम किया जाता है।
 * जीनस 3 के लिए ऑर्डर को क्लेन क्वार्टिक  द्वारा अधिकतम किया गया है, ऑर्डर 168 के साथ; यह पहली हर्विट्ज़ सतह है, और इसका ऑटोमोर्फिज्म समूह क्रम 168 के अद्वितीय सरल समूह के लिए समरूप है, जो दूसरा सबसे छोटा गैर-एबेलियन सरल समूह है। यह समूह PSL(2,7) और PSL(2,7)|PSL(3,2) दोनों के लिए समरूपी है।
 * जीनस 4 के लिए, ब्रिंग्स कर्व | ब्रिंग की सतह एक अत्यधिक सममित सतह है।
 * जीनस 7 के लिए ऑर्डर को मैकबीथ सतह द्वारा अधिकतम किया जाता है, ऑर्डर 504 के साथ; यह दूसरी हर्विट्ज़ सतह है, और इसका ऑटोमोर्फिज्म समूह पीएसएल (2,8) के लिए समरूप है, चौथा सबसे छोटा गैर-एबेलियन सरल समूह।

फंक्शन-सैद्धांतिक वर्गीकरण
ऊपर की वर्गीकरण योजना आमतौर पर जियोमीटर द्वारा उपयोग की जाती है। रीमैन सतहों के लिए एक अलग वर्गीकरण है जो आमतौर पर जटिल विश्लेषकों द्वारा उपयोग किया जाता है। यह परवलयिक और अतिशयोक्तिपूर्ण के लिए एक अलग परिभाषा को नियोजित करता है। इस वैकल्पिक वर्गीकरण योजना में, एक रीमैन सतह को परवलयिक कहा जाता है यदि सतह पर कोई गैर-निरंतर नकारात्मक उपहार्मोनिक कार्य नहीं होते हैं और अन्यथा इसे अतिपरवलयिक कहा जाता है। हाइपरबोलिक सतहों के इस वर्ग को आगे उपवर्गों में विभाजित किया गया है कि क्या नकारात्मक सबहार्मोनिक कार्यों के अलावा अन्य कार्य स्थान पतित हैं, उदा। रीमैन सतह जिस पर सभी बंधे हुए होलोमोर्फिक कार्य स्थिर होते हैं, या जिस पर सभी बाध्य हार्मोनिक कार्य स्थिर होते हैं, या जिस पर सभी सकारात्मक हार्मोनिक कार्य स्थिर होते हैं, आदि।

भ्रम से बचने के लिए, निरंतर वक्रता के मैट्रिक्स के आधार पर वर्गीकरण को ज्यामितीय वर्गीकरण कहते हैं, और फ़ंक्शन की गिरावट पर आधारित एक फ़ंक्शन-सैद्धांतिक वर्गीकरण को स्थान देता है। उदाहरण के लिए, रीमैन सतह जिसमें सभी जटिल संख्याएं शामिल हैं लेकिन 0 और 1 फ़ंक्शन-सैद्धांतिक वर्गीकरण में परवलयिक है लेकिन यह ज्यामितीय वर्गीकरण में अतिशयोक्तिपूर्ण है।

ऐसा देखें

 * बच्चों की ड्राइंग
 * कहलर मैनिफोल्ड
 * लोरेंत्ज़ सतह
 * वर्ग समूहों का मानचित्रण
 * सेरे द्वैत

रीमैन सतहों के संबंध में प्रमेय

 * शाखा प्रमेय
 * हर्विट्ज़ की ऑटोमोर्फिज्म प्रमेय
 * रिमेंन सतहों के लिए पहचान प्रमेय
 * रिमेंन-रोच प्रमेय
 * रिमेंन-हर्विट्ज़ फॉर्मूला

संदर्भ

 * Pablo Arés Gastesi, Riemann Surfaces Book.
 * , esp. chapter IV.
 * , esp. chapter IV.