चरण रेखा (गणित)

गणित में, चरण रेखा एक आरेख है जो एकल चर $$\tfrac{dy}{dx} = f(y)$$ में एक स्वायत्त प्रणाली (गणित) के साधारण अवकलन समीकरण के गुणात्मक व्यवहार को दर्शाता है। $$n$$-आयामी चरण स्थान सामान्य का 1-आयामी रूप है, और इसका आसानी से विश्लेषण किया जा सकता है।

आरेख
एक रेखा, सामान्यतः लंबवत, व्युत्पन्न के कार्यछेत्र के अंतराल का प्रतिनिधित्व करती है। क्रांतिक बिन्दु (गणित) (यानी, व्युत्पन्न के एक फलन का वर्गमूल $$\tfrac{dy}{dx}$$, अंक $$y$$ ऐसा है कि $$f(y) = 0$$ है) दर्शाए गए हैं, और क्रांतिक बिन्दु के बीच के अंतराल को एरो (चिह्न) से दर्शाया गया है: एक अंतराल जिस पर व्युत्पन्न सकारात्मक है, एक एरो है जो रेखा (ऊपर या दाएं) के साथ सकारात्मक दिशा में इंगित करता है, और जिस अंतराल पर व्युत्पन्न ऋणात्मक होता है, उसमें एक एरो होता है जो रेखा के साथ ऋणात्मक दिशा की ओर संकेत करता है (नीचे या बाएँ)। चरण रेखा क्षैतिज के स्थान पर लंबवत रूप से खींची जाने के अतिरिक्त, पहले व्युत्पन्न परीक्षण में उपयोग की गई रेखा के रूप में समान है, और क्रांतिक बिन्दु के समान वर्गीकरण के साथ व्याख्या लगभग समान है।

उदाहरण
चरण रेखा का सबसे सरल उदाहरण कार्यों के अनुरूप तुच्छ चरण रेखाएं $$f(y)$$ हैं, जो संकेत नहीं बदलता है: यदि $$f(y) = 0$$, प्रत्येक बिंदु एक स्थिर संतुलन है ($$y$$ नहीं बदलता) ; यदि सभी $$y$$ के लिए $$f(y) > 0$$ है, तब $$y$$ सदैव बढ़ रहा है, और यदि $$f(y) < 0$$ तब $$y$$ सदैव घट रहा है।

सबसे सरल गैर-तुच्छ उदाहरण घातीय वृद्धि मॉडल/क्षय (एक अस्थिर/स्थिर संतुलन) और तार्किक वृद्धि प्रतिरूपण (दो संतुलन, एक स्थिर, एक अस्थिर) हैं।

क्रांतिक बिन्दु का वर्गीकरण
एक क्रांतिक बिन्दु को उसके प्रतिवैस एरो के निरीक्षण द्वारा स्थिर, अस्थिर, या अर्ध-स्थिर (समकक्ष, स्रोत, या नोड) के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है।

यदि दोनों एरो क्रांतिक बिन्दु की ओर संकेत करते हैं, तो यह स्थिर (एक सिंक) है: पास के समाधान स्पर्शोन्मुख को क्रांतिक बिन्दु पर परिवर्तित कर देंगे, और समाधान अल्प क्षोभ के अंतर्गत स्थिर है, जिसका अर्थ है कि यदि समाधान विक्षुब्ध है, यह समाधान पर वापस (एकाग्र) हो जाएगा।

यदि दोनों एरो क्रांतिक बिन्दु से दूर इंगित करते हैं, तो यह अस्थिर है (एक स्रोत): पास के समाधान क्रांतिक बिन्दु से अलग हो जाएंगे, और समाधान अल्प क्षोभ के अंतर्गत अस्थिर है, जिसका अर्थ है कि यदि समाधान विक्षुब्ध है, यह समाधान पर वापस (एकाग्र) नहीं होगा।

अन्यथा - यदि एक एरो क्रांतिक बिन्दु की ओर इंगित करता है, और एक दूर की ओर - यह अर्ध-स्थिर (एक नोड) है: यह एक दिशा में स्थिर है (जहां एरो बिंदु की ओर इंगित करता है), और दूसरी दिशा में अस्थिर है (जहां एरो बिंदु से दूर इंगित करता है)।

यह भी देखें

 * पहला व्युत्पन्न परीक्षण, प्रारंभिक अंतर कैलकुलस में रेखीय
 * चरण तल, 2-आयामी रूप
 * चरण स्थान, $$n$$-आयामी रूप

संदर्भ

 * Equilibria and the Phase Line, by Mohamed Amine Khamsi, S.O.S. Math, last Update 1998-6-22