कार्टन अपघटन

गणित में, कार्टन अपघटन एक सेमीसिम्पल लाई बीजगणित लाई समूह या लाई बीजगणित का अपघटन है, जो उनके संरचना सिद्धांत और प्रतिनिधित्व सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। यह मेट्रिसेस के ध्रुवीय अपघटन या एकवचन मान अपघटन को सामान्य करता है। इसका इतिहास एली कार्टन और विल्हेम हत्या के 1880 के दशक के काम का पता लगाया जा सकता है।

लाई बीजगणित पर कार्टन का निवेश
मान लीजिए $$\mathfrak{g}$$ एक वास्तविक अर्धसरल लाई बीजगणित है और $$B(\cdot,\cdot)$$ इसका घातक रूप है। $$\mathfrak{g}$$ पर एक जुड़ाव $$\mathfrak{g}$$ का झूठा बीजगणित ऑटोमोर्फिज्म $$\theta$$ है जिसका वर्ग पहचान के समान है। यदि $$B_\theta(X,Y) := -B(X,\theta Y)$$ एक सकारात्मक निश्चित बिलिनियर रूप है, तो इस तरह के एक समावेशन को $$\mathfrak{g}$$ पर एक कार्टन समावेशन कहा जाता है।

दो इन्वोल्यूशन $$\theta_1$$ और $$\theta_2$$ समतुल्य माने जाते हैं यदि वे केवल एक आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म से भिन्न होते हैं।

किसी भी वास्तविक अर्धसरल लाई बीजगणित में एक कार्टन का समावेश होता है, और कोई भी दो कार्टन का समावेशन समतुल्य होता है।

उदाहरण

 * $$\mathfrak{sl}_n(\mathbb{R})$$ पर एक कार्टन निवेश $$\theta(X)=-X^T$$ द्वारा परिभाषित किया गया है, जहाँ $$X^T$$ ट्रांसपोज़ आव्यूह को $$X$$ दर्शाता है
 * $$\mathfrak{g}$$ पर पहचान मानचित्र एक अंतर्वलन है। यह $$\mathfrak{g}$$ का अनोखा कार्टन समावेश है यदि और केवल यदि $$\mathfrak{g}$$ का किलिंग रूप नकारात्मक निश्चित है या, समकक्ष, यदि और केवल यदि $$\mathfrak{g}$$ लाई है कॉम्पैक्ट सेमीसिंपल लाई समूह का बीजगणित है ।
 * मान लीजिए कि $$\mathfrak{g}$$ एक वास्तविक अर्ध-सरल लाई बीजगणित $$\mathfrak{g}_0$$ का जटिलीकरण है, तो $$\mathfrak{g}$$ का जटिल संयुग्मन $$\mathfrak{g}$$ का एक अंतर्वलन है। यह $$\mathfrak{g}$$ पर कार्टन समावेश  है यदि और केवल यदि $$\mathfrak{g}_0$$ कॉम्पैक्ट लाइ समूह का लाई बीजगणित है।
 * निम्नलिखित मानचित्र विशेष एकात्मक समूह SU(n) का:लाई बीजगणित $$\mathfrak{su}(n)$$के अंतर्वलन हैं
 * पहचान का समावेश $$\theta_1(X) = X$$, जो इस स्थिति में अनोखा कार्टन समावेश है।
 * जटिल संयुग्मन, के रूप में अभिव्यक्त $$\theta_2 (X) = - X^T$$ पर $$\mathfrak{su}(2)$$.
 * यदि $$n = p+q$$ विचित्र है, $$\theta_3 (X) = \begin{pmatrix} I_p & 0 \\ 0 & -I_q \end{pmatrix} X \begin{pmatrix} I_p & 0 \\ 0 & -I_q \end{pmatrix}$$. समावेश (1), (2) और (3) समतुल्य हैं, किंतु पहचान के समतुल्य नहीं हैं $$\begin{pmatrix} I_p & 0 \\ 0 & -I_q \end{pmatrix} \notin \mathfrak (n)$$.
 * यदि $$n = 2m$$ सम है, वहाँ $$\theta_4 (X) = \begin{pmatrix} 0 & I_m \\ -I_m & 0 \end{pmatrix} X^T \begin{pmatrix} 0 & I_m \\ -I_m & 0 \end{pmatrix}$$.भी है

कार्टन जोड़े
मान लीजिए$$\theta$$ लाई बीजगणित $$\mathfrak{g}$$ पर एक अंतर्वलन है। चूँकि $$\theta^2=1$$, रेखीय मानचित्र $$\theta$$ में दो ईजेनमान $$\pm1$$ हैं।यदि $$\mathfrak{k}$$ और $$\mathfrak{p}$$ क्रमशः +1 और -1 के अनुरूप ईजेनस्पेस को निरूपित करें, फिर $$\mathfrak{g} = \mathfrak{k}\oplus\mathfrak{p}$$. तब से $$\theta$$ एक लाई बीजगणित ऑटोमोर्फिज्म है, इसके दो आइगेनस्पेस का लाई ब्रैकेट उनके आइगेनवैल्यू के उत्पाद के अनुरूप आइगेनस्पेस में समाहित है। यह इस प्रकार है कि


 * $$[\mathfrak{k}, \mathfrak{k}] \subseteq \mathfrak{k}$$, $$[\mathfrak{k}, \mathfrak{p}] \subseteq \mathfrak{p}$$, और $$[\mathfrak{p}, \mathfrak{p}] \subseteq \mathfrak{k}$$.

इस प्रकार $$\mathfrak{k}$$ एक लाई उपबीजगणित है, जबकि किसी भी उपबीजगणित का $$\mathfrak{p}$$ क्रमविनिमेय है।

इसके विपरीत, एक अपघटन $$\mathfrak{g} = \mathfrak{k}\oplus\mathfrak{p}$$ इन अतिरिक्त गुणों के साथ $$\mathfrak{g}$$ पर एक समावेश $$\theta$$ निर्धारित करता है $$\mathfrak{k}$$ पर $$+1$$ और $$\mathfrak{p}$$ पर $$-1$$ है।

ऐसी जोड़ी $$(\mathfrak{k}, \mathfrak{p})$$ को $$\mathfrak{g}$$, और $$(\mathfrak{g},\mathfrak{k})$$ की कार्टन जोड़ी भी कहा जाता है एक सममित जोड़ी कहा जाता है। यहाँ एक कार्टन जोड़ी की इस धारणा को अलग-अलग धारणा के साथ भ्रमित नहीं होना है जिसमें सापेक्ष लाई बीजगणित कोहोलॉजी $$H^*(\mathfrak{g},\mathfrak{k})$$ सम्मिलित है।

अपघटन {$$\mathfrak{g} = \mathfrak{k}\oplus\mathfrak{p}$$ कार्टन के समावेश से जुड़ा होता है जिसे $$\mathfrak{g}$$ का कार्टन अपघटन कहा जाता है। कार्टन अपघटन की विशेष विशेषता यह है कि किलिंग फॉर्म $$\mathfrak{k}$$ पर नकारात्मक निश्चित और $$\mathfrak{p}$$ पर सकारात्मक निश्चित है। इसके अतिरिक्त, $$\mathfrak{k}$$ और $$\mathfrak{p}$$, $$\mathfrak{g}$$ पर किलिंग फॉर्म के संबंध में एक दूसरे के ऑर्थोगोनल पूरक हैं।

लाई समूह स्तर पर कार्टन अपघटन
चलो $$G$$ एक गैर-कॉम्पैक्ट सेमीसिम्पल लाइ समूह और $$\mathfrak{g}$$ इसका झूठा बीजगणित है। $$\theta$$ को $$\mathfrak{g}$$ पर एक कार्टन समावेश होने दें और $$(\mathfrak{k},\mathfrak{p})$$ परिणामी कार्टन जोड़ी बनें। चलो $$K$$ लाई बीजगणित $$\mathfrak{k}$$ के साथ $$G$$ का विश्लेषणात्मक उपसमूह है। तब:
 * $$\Theta^2=1$$ को संतुष्ट करने वाली पहचान पर विभेदक $$\theta$$ के साथ एक लाइ ग्रुप ऑटोमोर्फिज्म $$\Theta$$ है।
 * $$\Theta$$ द्वारा निर्धारित तत्वों का उपसमूह $$K$$ है ; विशेष रूप से, $$K$$ एक बंद उपसमूह है।
 * $$(k,X) \mapsto k\cdot \mathrm{exp}(X)$$ द्वारा दिया गया मानचित्रण $$K\times\mathfrak{p} \rightarrow G$$ एक भिन्नता है।
 * उपसमूह $$K$$, $$G$$ का एक अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह है , जब भी G का केंद्र परिमित हो।

ऑटोमोर्फिज्म $$\Theta$$ को ग्लोबल कार्टन समावेश भी कहा जाता है, और डिफियोमोर्फिज्म $$K\times\mathfrak{p} \rightarrow G$$ को ग्लोबल कार्टन अपघटन कहा जाता है। यदि हम $$P=\mathrm{exp}(\mathfrak{p})\subset G$$ लिखते हैं तो यह कहता है कि उत्पाद मानचित्र$$K\times P \rightarrow G$$एक भिन्नता है इसलिए $$G=KP$$।

सामान्य रैखिक समूह $$ X \mapsto (X^{-1})^T $$ के लिए, एक कार्टन समावेश है।

कॉम्पैक्ट या गैर-कॉम्पैक्ट प्रकार के सममित स्थानों के लिए कार्टन अपघटन का शोधन बताता है कि $$\mathfrak{p}$$ में अधिकतम एबेलियन उपबीजगणित $$\mathfrak{a}$$ $$K$$ द्वारा संयुग्मन तक अद्वितीय हैं। इसके अतिरिक्त,


 * $$\displaystyle{\mathfrak{p}= \bigcup_{k\in K} \mathrm{Ad}\, k \cdot \mathfrak{a}.}

\qquad\text{and}\qquad \displaystyle{P= \bigcup_{k\in K} \mathrm{Ad}\, k \cdot A.} $$ जहाँ $$A = e^\mathfrak{a}$$.

इस प्रकार कॉम्पैक्ट और नॉनकॉम्पैक्ट स्थिति में वैश्विक कार्टन अपघटन का तात्पर्य है


 * $$G = KP = KAK,$$

ज्यामितीय रूप से उपसमूह की छवि $$A$$ में $$G/K$$ एक पूरी तरह से जियोडेसिक उपमनीफोल्ड है।

ध्रुवीय अपघटन से संबंध
$$\mathfrak{gl}_n(\mathbb{R})$$ पर कार्टन इनवोल्यूशन $$\theta(X)=-X^T$$ के साथ विचार करें। फिर$$\mathfrak{k}=\mathfrak{so}_n(\mathbb{R})$$तिरछा-सममित आव्यूहों का वास्तविक लाई बीजगणित है, जिससे $$K=\mathrm{SO}(n)$$, जबकि $$\mathfrak{p}$$ सममित आव्यूहों की उपसमष्टि है। इस प्रकार घातीय नक्शा $$\mathfrak{p}$$ से सकारात्मक निश्चित मैट्रिसेस के स्थान पर एक भिन्नता है। इस घातीय मानचित्र तक, वैश्विक कार्टन अपघटन एक मैट्रिक्स का ध्रुवीय अपघटन है। व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स का ध्रुवीय अपघटन अद्वितीय है।

यह भी देखें

 * लाई समूह अपघटन