द्वि प्रतिनिरूपण

गणित में, यदि $G$ समूह है (गणित) और $ρ$ सदिश समष्टि पर इसका रैखिक प्रतिनिधित्व है $V$, फिर दोहरा प्रतिनिधित्व $ρ*$ को दोहरे सदिश समष्टि पर परिभाषित किया गया है $V*$ निम्नलिखित नुसार:
 * $ρ*(g)$ रेखीय मानचित्र का स्थानान्तरण है $ρ(g^{−1})$, वह है, $ρ*(g)$ = $ρ(g^{−1})^{T}$ सभी के लिए $g ∈ G$.

दोहरे प्रतिनिधित्व को विरोधाभासी प्रतिनिधित्व के रूप में भी जाना जाता है। का $g$ झूठ बीजगणित है और $π$ सदिश समष्टि पर इसका प्रतिनिधित्व है $V$, फिर दोहरा प्रतिनिधित्व $π*$ को दोहरे सदिश समष्टि पर परिभाषित किया गया है $V*$ निम्नलिखित नुसार:
 * $π*(X)$ = $−π(X)^{T}$ सभी के लिए $X ∈ g$.

इस परिभाषा के लिए प्रेरणा यह है कि लाई समूह प्रतिनिधित्व के दोहरे से जुड़े लाई बीजगणित प्रतिनिधित्व की गणना उपरोक्त सूत्र द्वारा की जाती है। लेकिन लाई बीजगणित प्रतिनिधित्व के दोहरे की परिभाषा समझ में आती है, भले ही यह लाई समूह प्रतिनिधित्व से नहीं आती है।

दोनों मामलों में, दोहरा प्रतिनिधित्व सामान्य अर्थ में प्रतिनिधित्व है।

इरेड्यूसिबिलिटी और दूसरा द्वैत
यदि (परिमित-आयामी) प्रतिनिधित्व अपरिवर्तनीय है, तो दोहरा प्रतिनिधित्व भी अपरिवर्तनीय है -लेकिन जरूरी नहीं कि यह मूल प्रतिनिधित्व के समरूपी हो। दूसरी ओर, किसी भी प्रतिनिधित्व के दोहरे का द्वैत मूल प्रतिनिधित्व के लिए समरूपी है।

एकात्मक निरूपण
एकात्मक प्रतिनिधित्व पर विचार करें $$\rho$$ समूह का $$G$$, और आइए हम ऑर्थोनॉर्मल आधार पर काम करें। इस प्रकार, $$\rho$$ एमएपीएस $$G$$ एकात्मक आव्यूहों के समूह में। फिर दोहरे प्रतिनिधित्व की परिभाषा में अमूर्त ट्रांसपोज़ को सामान्य मैट्रिक्स ट्रांसपोज़ के साथ पहचाना जा सकता है। चूँकि मैट्रिक्स का जोड़ स्थानान्तरण का जटिल संयुग्म है, स्थानान्तरण आसन्न का संयुग्म है। इस प्रकार, $$\rho^\ast(g)$$ के व्युत्क्रम के जोड़ का जटिल संयुग्म है $$\rho(g)$$. लेकिन फिर $$\rho(g)$$ एकात्मक, व्युत्क्रम का जोड़ माना जाता है $$\rho(g)$$ बस है $$\rho(g)$$.

इस चर्चा का निष्कर्ष यह है कि जब एकात्मक प्रतिनिधित्व के साथ ऑर्थोनॉर्मल आधार पर काम किया जाता है, $$\rho^*(g)$$ का जटिल संयुग्म मात्र है $$\rho(g)$$.

एसयू(2) और एसयू(3) मामले
एसयू(2) के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में, प्रत्येक अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व का दोहरा प्रतिनिधित्व के लिए समरूपी हो जाता है। लेकिन Lie_algebra_repretation#The_case_of_sl(3,C)|SU(3) के अभ्यावेदन के लिए, लेबल के साथ अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व का दोहरा $$(m_1,m_2)$$ लेबल के साथ अघुलनशील प्रतिनिधित्व है $$(m_2,m_1)$$. विशेष रूप से, एसयू(3) का मानक त्रि-आयामी प्रतिनिधित्व (उच्चतम वजन के साथ)। $$(1,0)$$) अपने दोहरे से समरूपी नहीं है। भौतिकी साहित्य में क्वार्क_मॉडल#मेसन्स में, मानक प्रतिनिधित्व और उसके दोहरे को कहा जाता है$$3$$और$$\bar 3$$.

सामान्य अर्धसरल झूठ बीजगणित
अधिक आम तौर पर, Lie_algebra_repretation#Classifying_finite-dynamic_repretations_of_Lie_algebras (या निकट से संबंधित Compact_group#Repretation_theory_of_a_connected_compact_Lie_group) में, दोहरे प्रतिनिधित्व के वजन मूल प्रतिनिधित्व के वजन के नकारात्मक होते हैं। (आंकड़ा देखें।) अब, किसी दिए गए बीजगणित के लिए, यदि यह ऑपरेटर होना चाहिए $$-I$$ Semisimple_Lie_algebra#Weyl_group का तत्व है, तो प्रत्येक प्रतिनिधित्व का वजन स्वचालित रूप से मानचित्र के अंतर्गत अपरिवर्तनीय होता है $$\mu\mapsto -\mu$$. ऐसे झूठ बीजगणित के लिए, प्रत्येक अघुलनशील प्रतिनिधित्व अपने दोहरे के लिए समरूपी होगा। (यह स्थिति एसयू(2) के लिए है, जहां वेइल समूह है $$\{I,-I\}$$.) इस संपत्ति के साथ झूठ बीजगणित में विषम ऑर्थोगोनल झूठ बीजगणित शामिल हैं $$\operatorname{so}(2n+1;\mathbb C)$$ (प्रकार $$B_n$$) और सिम्प्लेक्टिक लाई बीजगणित $$\operatorname{sp}(n;\mathbb C)$$ (प्रकार $$C_n$$).

यदि, किसी दिए गए बीजगणित के लिए, $$-I$$ वेइल समूह में नहीं है, तो अप्रासंगिक प्रतिनिधित्व का द्वैत मूल रूप से मूल प्रतिनिधित्व के लिए आइसोमोर्फिक नहीं होगा। यह कैसे काम करता है यह समझने के लिए, हम ध्यान दें कि हमेशा Root_system#Weyl_chambers_and_the_Weyl_group होता है $$w_0$$ मौलिक वेइल चैम्बर के नकारात्मक को मौलिक वेइल चैम्बर में मैप करना। फिर यदि हमारे पास उच्चतम भार वाला अघुलनशील प्रतिनिधित्व है $$\mu$$, दोहरे प्रतिनिधित्व का भार सबसे कम होगा $$-\mu$$. इसके बाद यह निष्कर्ष निकलता है कि दोहरे प्रतिनिधित्व का भार सबसे अधिक होगा $$w_0\cdot(-\mu)\,$$. चूंकि हम मान रहे हैं $$-I$$ वेइल समूह में नहीं है, $$w_0$$ हो नहीं सकता $$-I$$, जिसका अर्थ है कि मानचित्र $$\mu\mapsto w_0\cdot(-\mu)$$ पहचान नहीं है. बेशक, यह अभी भी हो सकता है कि कुछ विशेष विकल्पों के लिए $$\mu$$, हम कर सकते है $$\mu=w_0\cdot(-\mu)$$. उदाहरण के लिए, आसन्न निरूपण हमेशा अपने दोहरे से समरूपी होता है।

एसयू(3) (या इसके जटिल बीजगणित) के मामले में, $$\operatorname{sl}(3;\mathbb C)$$), हम दो जड़ों वाला आधार चुन सकते हैं $$\{\alpha_1,\alpha_2\}$$ 120 डिग्री के कोण पर, ताकि तीसरा धनात्मक मूल हो $$\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2$$. इस मामले में, तत्व $$w_0$$ लंबवत रेखा के बारे में प्रतिबिंब है $$\alpha_3$$. फिर नक्शा $$\mu\mapsto w_0\cdot(-\mu)$$ के माध्यम से लाइन के बारे में प्रतिबिंब है $$\alpha_3$$. स्व-दोहरे अभ्यावेदन तब होते हैं जो लाइन के साथ-साथ होते हैं $$\alpha_3$$. ये प्रपत्र के लेबल वाले अभ्यावेदन हैं $$(m,m)$$, जो वे निरूपण हैं जिनके भार आरेख नियमित षट्कोण हैं।

प्रेरणा
प्रतिनिधित्व सिद्धांत में, दोनों सदिश $V$ और रैखिक कार्यात्मकताएं $V*$ को कॉलम वैक्टर के रूप में माना जाता है ताकि प्रतिनिधित्व बाईं ओर से (मैट्रिक्स गुणन द्वारा) कार्य कर सके। के लिए आधार दिया गया $V$ और के लिए दोहरा आधार $V*$, रैखिक कार्यात्मक की कार्रवाई $φ$ पर $v$, $φ(v)$ मैट्रिक्स गुणन द्वारा व्यक्त किया जा सकता है,
 * $$\langle\varphi, v\rangle \equiv \varphi(v) = \varphi^Tv$$,

जहां सुपरस्क्रिप्ट $T$ मैट्रिक्स ट्रांसपोज़ है। संगति की आवश्यकता है
 * $$\langle{\rho}^*(g)\varphi, \rho(g)v\rangle = \langle\varphi, v\rangle.$$

दी गई परिभाषा के साथ,
 * $$\langle{\rho}^*(g)\varphi, \rho(g)v\rangle = \langle\rho(g^{-1})^T\varphi, \rho(g)v\rangle = (\rho(g^{-1})^T\varphi)^T \rho(g)v = \varphi^T\rho(g^{-1})\rho(g)v = \varphi^Tv = \langle\varphi, v\rangle.$$

लाई बीजगणित प्रतिनिधित्व के लिए व्यक्ति संभावित समूह प्रतिनिधित्व के साथ एकरूपता चुनता है। आम तौर पर, अगर $Π$ तो फिर लाई समूह का प्रतिनिधित्व है $π$ द्वारा दिए गए
 * $$\pi(X) = \frac{d}{dt}\Pi(e^{tX})|_{t = 0}.$$

इसके लाई बीजगणित का प्रतिनिधित्व है। अगर $Π*$ से द्वैत है $Π$, तो इसके अनुरूप झूठ बीजगणित प्रतिनिधित्व $π*$ द्वारा दिया गया है
 * $$\pi^*(X) = \frac{d}{dt}\Pi^*(e^{tX})|_{t = 0} = \frac{d}{dt}\Pi(e^{-tX})^T|_{t = 0} = -\pi(X)^T.$$

उदाहरण
समूह पर विचार करें $$G=U(1)$$ निरपेक्ष मान की जटिल संख्याओं का 1. शूर के लेम्मा के परिणामस्वरूप, अपरिवर्तनीय निरूपण सभी आयामी हैं। इरेड्यूसिबल अभ्यावेदन को पूर्णांकों द्वारा मानकीकृत किया जाता है $$n$$ और स्पष्ट रूप से दिया गया है
 * $$\rho_n(e^{i\theta})=[e^{in\theta}].$$

को दोहरा प्रतिनिधित्व $$\rho_n$$ फिर इस वन बाई वन मैट्रिक्स के स्थानान्तरण का व्युत्क्रम है, अर्थात,
 * $$\rho_n^*(e^{i\theta})=[e^{-in\theta}]=\rho_{-n}(e^{i\theta}).$$

अर्थात् प्रतिनिधित्व का द्वैत $$\rho_n$$ है $$\rho_{-n}$$.

सामान्यीकरण
सामान्य रिंग मॉड्यूल (गणित) दोहरे प्रतिनिधित्व को स्वीकार नहीं करता है। हालाँकि, हॉपफ बीजगणित के मॉड्यूल ऐसा करते हैं।

यह भी देखें

 * जटिल संयुग्म प्रतिनिधित्व
 * अभ्यावेदन का टेंसर उत्पाद
 * किरिलोव चरित्र सूत्र