द्वयाधारी संख्या पद्धति (बाइनरी नंबर)

द्विआधारी (बाइनरी) संख्या, आधार-2 अंक प्रणाली या द्विआधारी अंक प्रणाली में व्यक्त की गई एक संख्या है; द्विआधारी अंक प्रणाली गणितीय अभिव्यक्ति की एक ऐसी विधि है, जो केवल दो प्रतीकों, "0" (शून्य) और "1" (एक) का उपयोग करती है।

आधार -2 अंक प्रणाली मूल अंक "2" के साथ एक स्थितीय संकेतन है। प्रत्येक अंक को बिट या द्विआधारी अंक कहा जाता है। तर्क द्वारों का उपयोग करते हुए अंकीय इलेक्ट्रॉनिक परिपथ तंत्र में इसके सीधे कार्यान्वयन के कारण, द्विआधारी प्रणाली का उपयोग भौतिक कार्यान्वयन में भाषा और शोर उन्मुक्ति की सरलता के कारण लगभग संचार की विभिन्न मानव तकनीकों और आधुनिक कम्प्यूटरों एवं कंप्यूटर-आधारित उपकरणों द्वारा उपयोग की एक पसंदीदा प्रणाली के रूप में किया जाता है।

इतिहास
आधुनिक द्विआधारी संख्या प्रणाली का अध्ययन यूरोप में 16वीं और 17वीं शताब्दी में थॉमस हैरियट,  जुआन कारमुएल और लोबकोविट्ज़  और  गॉटफ्राइड लाइबनिज़ो  द्वारा किया गया था। हालाँकि, द्विआधारी संख्या से संबंधित प्रणालियाँ प्राचीन मिस्र, चीन और भारत सहित कई संस्कृतियों में पहले दिखाई दी हैं। लाइबनिज विशेष रूप से चीनी  मैं चिंग  से प्रेरित था।

मिस्र
प्राचीन मिस्र के शास्त्रियों ने अपने अंशों के लिए दो अलग-अलग प्रणालियों का इस्तेमाल किया, मिस्र के अंश (बाइनरी संख्या प्रणाली से संबंधित नहीं) और होरस  की आंख होरस की आंख बनाने के लिए व्यवस्था की जाए, हालांकि यह विवादित रहा है)। होरस-आई फ्रैक्शंस अनाज, तरल पदार्थ या अन्य उपायों की आंशिक मात्रा के लिए एक बाइनरी नंबरिंग सिस्टम है, जिसमें एक  मज़ाक  का एक अंश बाइनरी अंश 1/2, 1/4, 1/8, 1 के योग के रूप में व्यक्त किया जाता है। /16, 1/32, और 1/64। इस प्रणाली के प्रारंभिक रूपों को मिस्र के पांचवें राजवंश, लगभग 2400 ईसा पूर्व के दस्तावेजों में पाया जा सकता है, और इसका पूरी तरह से विकसित चित्रलिपि रूप मिस्र के उन्नीसवीं राजवंश, लगभग 1200 ईसा पूर्व की है। प्राचीन मिस्र के गुणन के लिए इस्तेमाल की जाने वाली विधि भी द्विआधारी संख्याओं से निकटता से संबंधित है। इस पद्धति में, एक संख्या को एक सेकंड से गुणा करना चरणों के अनुक्रम द्वारा किया जाता है जिसमें एक मान (शुरुआत में दो संख्याओं में से पहला) या तो दोगुना हो जाता है या इसमें पहली संख्या वापस जुड़ जाती है; जिस क्रम में इन चरणों का पालन किया जाना है वह दूसरी संख्या के द्विआधारी प्रतिनिधित्व द्वारा दिया गया है। उदाहरण के लिए, इस पद्धति को प्रयोग में देखा जा सकता है, उदाहरण के लिए, रिहिंड गणितीय पेपिरस में, जो लगभग 1650 ईसा पूर्व की है।

चीन
आई चिंग चीन में 9वीं शताब्दी ईसा पूर्व से है। आई चिंग में द्विआधारी अंकन का उपयोग इसकी चतुर्धातुक अंक प्रणाली  I चिंग अटकल तकनीक की व्याख्या करने के लिए किया जाता है।

यह डार्क यांग  के ताओवादी द्वंद्व पर आधारित है।  बा गुआ |आठ ट्रिग्राम (बगुआ) और हेक्साग्राम (आई चिंग) का एक सेट|64 हेक्साग्राम (चौंसठ गुआ), तीन-बिट और छह-बिट बाइनरी अंकों के समान, कम से कम झोउ के रूप में उपयोग में थे राजवंश।

सांग राजवंश के विद्वान एस आकार योंग  (1011-1077) ने हेक्साग्राम को एक प्रारूप में पुनर्व्यवस्थित किया जो आधुनिक बाइनरी नंबरों जैसा दिखता है, हालांकि उनका इरादा गणितीय रूप से उपयोग करने की उनकी व्यवस्था का नहीं था। शाओ योंग का वर्ग में एकल हेक्साग्राम के शीर्ष पर  कम से कम महत्वपूर्ण बिट  देखना और पंक्तियों के साथ पढ़ना या तो नीचे से दाएं से ऊपर बाईं ओर ठोस रेखाओं के साथ 0 और टूटी हुई रेखाएं 1 के रूप में या ऊपर से नीचे दाईं ओर ठोस रेखाओं के साथ 1 और टूटी हुई रेखाओं को 0 हेक्साग्राम के रूप में 0 से 63 तक अनुक्रम के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। <रेफरी नाम = शाओ योंग का "जिआन्टियन तू''>

भारत
भारतीय विद्वान पिंगला  (सी। दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व) ने  छंद (कविता)  का वर्णन करने के लिए एक द्विआधारी प्रणाली विकसित की।  उन्होंने छोटे और लंबे अक्षरों के रूप में द्विआधारी संख्याओं का इस्तेमाल किया (बाद में दो छोटे अक्षरों की लंबाई के बराबर), इसे  मोर्स कोड  के समान बना दिया। उन्हें लघु (प्रकाश) और गुरु (भारी) शब्दांश के रूप में जाना जाता था।

पिंगला के हिंदू क्लासिक शीर्षक चंदशास्त्र (8.23) में प्रत्येक मीटर को एक अद्वितीय मूल्य देने के लिए एक मैट्रिक्स के गठन का वर्णन किया गया है। चंदशास्त्र का शाब्दिक अर्थ संस्कृत में मीटर के विज्ञान से है। पिंगला की प्रणाली में द्विआधारी प्रतिनिधित्व दाईं ओर बढ़ता है, न कि बाईं ओर जैसा कि आधुनिक स्थितीय संकेतन की द्विआधारी संख्या में होता है। पिंगला की प्रणाली में, नंबर एक से शुरू होते हैं, न कि शून्य से। चार छोटे शब्दांश 0000 पहला पैटर्न है और मान एक से मेल खाता है। संख्यात्मक मान स्थानीय मानों के योग में एक जोड़कर प्राप्त किया जाता है।

अन्य संस्कृतियां
फ़्रेन्च पॉलीनिशिया में  मंगरेवा  द्वीप के निवासी 1450 से पहले एक हाइब्रिड बाइनरी- दशमलव  प्रणाली का उपयोग कर रहे थे। पूरे अफ्रीका और एशिया में संदेशों को एन्कोड करने के लिए बाइनरी टोन वाले  भट्ठा ड्रम  का उपयोग किया जाता है। आई चिंग के समान द्विआधारी संयोजनों के सेट का उपयोग पारंपरिक अफ्रीकी अटकल प्रणालियों जैसे आईएफए और साथ ही  मध्य युग  पश्चिमी भूविज्ञान में भी किया गया है।

लीबनिज़ के पश्चिमी पूर्ववर्ती
13वीं शताब्दी के अंत में रेमन लुल की उस समय के मानव ज्ञान की हर शाखा में सभी ज्ञान के लिए जिम्मेदार होने की महत्वाकांक्षा थी। उस उद्देश्य के लिए उन्होंने कई सरल बुनियादी सिद्धांतों या श्रेणियों के बाइनरी संयोजनों के आधार पर एक सामान्य विधि या 'आर्स जनरलिस' विकसित की, जिसके लिए उन्हें कंप्यूटिंग विज्ञान और कृत्रिम बुद्धि का पूर्ववर्ती माना गया है। 1605 में फ़्रांसिस बेकन  ने एक प्रणाली पर चर्चा की जिससे वर्णमाला के अक्षरों को द्विआधारी अंकों के अनुक्रमों में कम किया जा सकता था, जिसे बाद में किसी भी यादृच्छिक पाठ में फ़ॉन्ट में शायद ही दिखाई देने वाले बदलावों के रूप में एन्कोड किया जा सकता था। बाइनरी एन्कोडिंग के सामान्य सिद्धांत के लिए महत्वपूर्ण रूप से, उन्होंने कहा कि इस पद्धति का उपयोग किसी भी वस्तु के साथ किया जा सकता है: बशर्ते वे वस्तुएं केवल दो गुना अंतर करने में सक्षम हों; जैसे बेल्स द्वारा, ट्रम्पेट द्वारा, लाइट्स और टार्च द्वारा, मस्कट की रिपोर्ट द्वारा, और इसी तरह के किसी भी उपकरण द्वारा। (बेकन का सिफर देखें।)

1617 में जॉन नेपियर  ने एक प्रणाली का वर्णन किया जिसे उन्होंने अक्षरों द्वारा गैर-स्थितीय प्रतिनिधित्व का उपयोग करके द्विआधारी गणना करने के लिए  स्थान अंकगणित  कहा। थॉमस हैरियट ने बाइनरी सहित कई पोजिशनल नंबरिंग सिस्टम की जांच की, लेकिन अपने परिणाम प्रकाशित नहीं किए; वे बाद में उसके कागजात के बीच पाए गए। संभवतः यूरोप में प्रणाली का पहला प्रकाशन जुआन कारमुएल वाई लोबकोविट्ज़ द्वारा 1700 में किया गया था।

लाइबनिज़ और आई चिंग
लिबनिज़ ने 1679 में बाइनरी नंबरिंग का अध्ययन किया; उनका काम उनके लेख एक्सप्लीकेशन डी ल'अरिथमेटिक बिनेयर (1703 में प्रकाशित) में प्रकट होता है। लाइबनिज के लेख का पूरा शीर्षक अंग्रेजी में द्विआधारी अंकगणित की व्याख्या के रूप में अनुवादित है, जो केवल 1 और 0 वर्णों का उपयोग करता है, इसकी उपयोगिता पर कुछ टिप्पणियों के साथ, और प्रकाश पर यह फू शी के प्राचीन चीनी आंकड़ों पर फेंकता है। लाइबनिज़ की प्रणाली आधुनिक बाइनरी अंक प्रणाली की तरह 0 और 1 का उपयोग करती है। लाइबनिज के द्विआधारी अंक प्रणाली का एक उदाहरण इस प्रकार है: : 0 0 0 1   संख्यात्मक मान 20
 * 0 0 1 0   संख्यात्मक मान 21
 * 0 1 0 0   संख्यात्मक मान 22
 * 1 0 0 0   संख्यात्मक मान 23

लाइबनिज ने बाइनरी कैलकुलस के प्रमाण के रूप में आई चिंग के हेक्साग्राम की व्याख्या की। एक सिनोफाइल  के रूप में, लिबनिज़ आई चिंग के बारे में जानते थे, मोहक के साथ नोट किया कि कैसे इसके हेक्साग्राम 0 से 111111 तक बाइनरी संख्याओं के अनुरूप हैं, और निष्कर्ष निकाला कि यह मानचित्रण प्रमुख चीनी उपलब्धियों का सबूत था जिस तरह के दार्शनिक गणित की उन्होंने प्रशंसा की थी। संबंध एक भाषा या विशेषता सार्वभौमिकता की उनकी सार्वभौमिक अवधारणा के लिए एक केंद्रीय विचार था, एक लोकप्रिय विचार जिसे गोटलोब फ्रेगे और  जॉर्ज बूले  जैसे उनके उत्तराधिकारियों द्वारा  प्रपोजल कैलकुलस  बनाने में बारीकी से पालन किया जाएगा। लाइबनिज को पहली बार आई चिंग से फ्रांसीसी जेसुइट जोआचिम बौवेटे  के संपर्क के माध्यम से पेश किया गया था, जो 1685 में एक मिशनरी के रूप में चीन गए थे। लाइबनिज़ ने आई चिंग हेक्साग्राम को एक ईसाई के रूप में अपने स्वयं के धार्मिक विश्वासों की  सार्वभौमिकता (दर्शन)  की पुष्टि के रूप में देखा। लाइबनिज के धर्मशास्त्र के केंद्र में द्विआधारी अंक थे। उनका मानना ​​​​था कि बाइनरी नंबर  कुछ नहीं से सृजन  या कुछ भी नहीं से सृजन के ईसाई विचार का प्रतीक थे।

"[A concept that] is not easy to impart to the pagans, is the creation ex nihilo through God's almighty power. Now one can say that nothing in the world can better present and demonstrate this power than the origin of numbers, as it is presented here through the simple and unadorned presentation of One and Zero or Nothing."

- Leibniz's letter to the Duke of Brunswick attached with the I Ching hexagrams

बाद के घटनाक्रम
1854 में, ब्रिटिश गणितज्ञ जॉर्ज बूले ने तर्क  की एक बीजीय प्रणाली का विवरण देते हुए एक ऐतिहासिक पत्र प्रकाशित किया जिसे  बूलियन [[ बीजगणित  (तर्क) ]] के रूप में जाना जाएगा। उनका तार्किक कलन डिजिटल इलेक्ट्रॉनिक सर्किटरी के डिजाइन में सहायक बनना था। 1937 में, क्लाउड शैनन  ने  MIT  में अपने मास्टर की थीसिस का निर्माण किया जिसने इतिहास में पहली बार इलेक्ट्रॉनिक रिले और स्विच का उपयोग करके बूलियन बीजगणित और बाइनरी अंकगणित को लागू किया।  रिले और स्विचिंग सर्किट का एक प्रतीकात्मक विश्लेषण, शैनन की थीसिस ने अनिवार्य रूप से व्यावहारिक  डिजिटल सर्किट  डिजाइन की स्थापना की। नवंबर 1937 में, बेल लैब्स  में काम कर रहे  जॉर्ज स्टिबिट्ज़  ने एक रिले-आधारित कंप्यूटर को पूरा किया, जिसे उन्होंने मॉडल के (रसोई के लिए, जहां उन्होंने इसे इकट्ठा किया था) करार दिया, जिसकी गणना द्विआधारी जोड़ का उपयोग करके की गई थी। बेल लैब्स ने 1938 के अंत में स्टिबिट्ज़ के साथ एक पूर्ण शोध कार्यक्रम को अधिकृत किया। उनका  जटिल आंकड़े  कंप्यूटर, 8 जनवरी 1940 को पूरा हुआ, जटिल संख्याओं की गणना करने में सक्षम था। 11 सितंबर 1940 को  डार्टमाउथ कॉलेज  में  अमेरिकी गणितीय सोसायटी  सम्मेलन के प्रदर्शन में, स्टिबिट्ज़ एक  तैलिप्रिंटर  द्वारा टेलीफोन लाइनों पर कॉम्प्लेक्स नंबर कैलकुलेटर रिमोट कमांड भेजने में सक्षम था। यह पहली कंप्यूटिंग मशीन थी जिसे दूर से फोन लाइन पर इस्तेमाल किया गया था। सम्मेलन के कुछ प्रतिभागी जिन्होंने प्रदर्शन देखा, वे थे  जॉन वॉन न्यूमैन,  जॉन मौचली  और  नॉर्बर्ट वीनर , जिन्होंने अपने संस्मरणों में इसके बारे में लिखा था। Z1 (कंप्यूटर), जिसे 1935 और 1938 के बीच कोनराड ज़ुसे  द्वारा डिज़ाइन और निर्मित किया गया था,  बूलियन तर्क  और  बाइनरी फ्लोटिंग पॉइंट नंबर ों का उपयोग करता था।

निरूपण
किसी भी संख्या को बिट (द्विआधारी अंक) के एक अनुक्रम द्वारा दर्शाया जा सकता है, जो बदले में दो परस्पर अनन्य अवस्थाओं में होने में सक्षम किसी भी प्रणाली द्वारा निरूपित किया जा सकता है। प्रतीकों की निम्नलिखित पंक्तियों में से कोई भी पंक्ति संख्या 667 के द्विआधारी संख्यात्मक मान के रूप में व्यक्त की जा सकती है:

प्रत्येक स्थिति में दर्शाया गया संख्यात्मक मान प्रत्येक प्रतीक को दिए गए मान पर निर्भर करता है। कंप्यूटिंग के प्रारम्भिक दिनों में द्विआधारी मानों का निरूपण करने के लिए स्विच, छिद्रित छेद और छिद्रित पेपर टेप का उपयोग किया जाता था। एक आधुनिक कंप्यूटर में संख्यात्मक मानों को दो अलग-अलग विभव द्वारा  चुंबकीय डिस्क पर या चुंबकीय ध्रुवता का उपयोग करके प्रदर्शित जा सकता है। यह आवश्यक नहीं है कि एक "सकारात्मक", "हाँ", या "चालू" स्थिति 1 के संख्यात्मक मान के बराबर हो; यह उपयोग की गई वास्तुकला पर निर्भर करता है।

अंकों के प्रथागत निरूपण को ध्यान में रख कर अरबी अंकों का उपयोग करते हुए द्विआधारी संख्याओं को सामान्यतः "0" और "1" के प्रतीकों का उपयोग करके लिखा जाता है। इनके लिखे जाने पर आधार या मूलांक को इंगित करने के लिए द्विआधारी अंकों को प्रायः अधोलिखित (सबस्क्रिप्ट), उपसर्ग या प्रत्यय दिया जाता है। निम्नलिखित संकेतन समतुल्य हैं:
 * 100101 द्विआधारी (प्रारूप का स्पष्ट विवरण)
 * 100101b (एक प्रत्यय जो द्विआधारी प्रारूप को दर्शाता है; जिसे इंटेल की परंपरा के रूप में भी जाना जाता है  )
 * 100101B (द्विआधारी प्रारूप को इंगित करने वाला प्रत्यय)
 * बिन 100101 (एक उपसर्ग जो द्विआधारी प्रारूप को दर्शाता है)
 * 1001012 (आधार-2 (द्विआधारी) संकेतन का संकेत देने वाली एक सबस्क्रिप्ट)
 * % 100101 (एक उपसर्ग जो द्विआधारी प्रारूप को दर्शाता है; जिसे मोटोरोला की परंपरा के रूप में भी जाना जाता है)
 * 0b100101 (प्रोग्रामिंग भाषाओं में सामान्य द्विआधारी प्रारूप को इंगित करने वाला एक उपसर्ग)
 * 6b100101 (द्विआधारी प्रारूप में बिट की संख्या को इंगित करने वाला एक उपसर्ग, प्रोग्रामिंग भाषाओं में सामान्य)
 * #b100101 (लिस्प प्रोग्रामिंग भाषाओं में सामान्य द्विआधारी प्रारूप को इंगित करने वाला एक उपसर्ग)

इन संख्याओं में द्विआधारी अंकों को दशमलव अंकों से अलग किये जाने के कारण सामान्यतः अंक-दर-अंक पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए, द्विआधारी अंक 100 को इसकी द्विआधारी प्रकृति को स्पष्ट करने और शुद्धता के उद्देश्यों के लिए एक सौ के स्थान पर, एक शून्य शून्य पढ़ा जाता है। चूंकि द्विआधारी अंक 100, संख्या "4" का निरूपण करता है, इसलिए इसे एक सौ के रूप में संदर्भित करना भ्रामक होगा, जो पूरी तरह से अलग मान या राशि का निरूपण करता है। वैकल्पिक रूप से, द्विआधारी अंक 100 को "चार" (सही मान) के रूप में पढ़ा जा सकता है, लेकिन यह इसकी द्विआधारी प्रकृति को स्पष्ट नहीं करता है।

द्विआधारी गणना
द्विआधारी गणना, किसी अन्य संख्या प्रणाली में गणना के ही समान है। यह गणना एक अंक से शुरू करते हुए प्रत्येक प्रतीक के माध्यम से बढ़ते क्रम में होती है। संदर्भ के एक ढाँचे के रूप में अधिक परिचित दशमलव गणना प्रणाली पर संक्षेप में चर्चा करना द्विआधारी गणना के परीक्षण से पहले अत्यंत उपयोगी है।

दशमलव गणना
दशमलव गणना में 0 से 9 तक के दस प्रतीकों का उपयोग किया जाता है। यह गणना अल्पतम महत्वपूर्ण अंक (सबसे दाहिने अंक) के वृद्धिशील प्रतिस्थापन के साथ प्रारंभ होती है जिसे प्रायः प्रथम अंक कहा जाता है। इस स्थान के लिए उपलब्ध प्रतीक समाप्त हो जाने पर अल्पतम महत्वपूर्ण अंक 0 पर पुनर्निर्धारित हो जाता है, और अधिक महत्व के अगले अंक में (बाईं ओर एक स्थान) वृद्धि होती है, और निम्न-क्रम अंक का वृद्धिशील प्रतिस्थापन फिर से प्रारंभ होता है। महत्व के प्रत्येक अंक के लिए पुनर्निर्धारण और अतिवृद्धि की यह विधि दोहराई जाती है। गणना इस प्रकार होती है:


 * 000, 001, 002, ... 007, 008, 009, (सबसे दाहिना अंक शून्य पर पुनर्निर्धारित है, और इसके बाईं ओर का अंक बढ़ा हुआ है)
 * 010, 011, 012, ...
 * 090, 091, 092, ... 097, 098, 099, (सबसे दाहिने दो अंक शून्य पर पुनर्निर्धारित हो जाते हैं, और अगला अंक बढ़ जाता है)
 * 100, 101, 102, ...
 * 100, 101, 102, ...

द्विआधारी गणना
द्विआधारी गणना ठीक इसी प्रक्रिया का अनुसरण करती है, और पुनः वृद्धिशील प्रतिस्थापन अल्पतम महत्वपूर्ण अंक या बिट (सबसे दाहिना वाला, जिसे पहला बिट भी कहा जाता है) से प्रारंभ होती है, जबकि इसमें केवल दो प्रतीक 0 और 1 उपलब्ध होते हैं। इस प्रकार, एक वृद्धि, बाइनरी में बिट 1 तक पहुंचने के बाद इसे 0 पर पुनर्निर्धारित कर देती है, लेकिन बाईं ओर अगले बिट की वृद्धि का कारण बनती है:


 * 0000,
 * 0001, (सबसे दाहिना बिट प्रारंभ होता है, और अगला अंक बढ़ जाता है)
 * 0010, 0011 (सबसे दाहिनी ओर दो बिट प्रारंभ होते हैं, और अगला बिट बढ़ जाता है)
 * 0100, 0101, 0110, 0111, (सबसे दाहिनी ओर तीन बिट प्रारंभ होते हैं, और अगला बिट बढ़ जाता है)
 * 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 ...

द्विआधारी प्रणाली में, प्रत्येक बिट 2 की बढ़ती हुई घात का निरूपण करता है, जिसमें सबसे दाहिना बिट 20, अगला बिट 21, फिर अगला बिट 22 इत्यादि का निरूपण करते हैं। द्विआधारी संख्या का मान प्रत्येक 1 बिट द्वारा दर्शाए गए 2 की घातों का योग है। उदाहरण के लिए, द्विआधारी संख्या 100101 को दशमलव रूप में निम्नानुसार परिवर्तित किया जाता है:


 * 1001012 = [ ( 1 ) × 25 ] + [ ( 0 ) × 24 ] + [ ( 0 ) × 23 ] + [ ( 1 ) × 22 ] + [ ( 0 ) × 21 ] + [ ( 1 ) × 20 ]
 * 1001012 = [ 1 × 32 ] + [ 0 × 16 ] + [ 0 × 8 ] + [ 1 × 4 ] + [ 0 × 2 ] + [ 1 × 1 ]
 * 1001012 = 3710

भिन्न
द्विआधारी अंकगणित में भिन्न केवल तभी समाप्त होती है, जब हर में अभाज्य गुणनखंड केवल "2" ही हो। फलस्वरूप, 1/10 के हर "10" में अभाज्य गुणनखंड 2 और 5 होने के कारण इसका एक सीमित द्विआधारी निरूपण नहीं है। अतः चलायमान-बिंदु (फ्लोटिंग-प्वाइंट) अंकगणित में 10 × 0.1 को ठीक 1 के बराबर नहीं माना जाता है। एक उदाहरण के रूप में, 1/3 = .010101... के द्विआधारी व्यंजक की व्याख्या करने के लिए, अर्थात्: 1/3 = 0 × 2−1 + 1 × 2−2 + 0 × 2−3 + 1 × 2−4 + ... = 0.3125 + ... एक सटीक मान दो की व्युत्क्रम घातों की एक सीमित संख्या के योग, शून्य और एक हमेशा के लिए वैकल्पिक 1/3 के द्विआधारी निरूपण के साथ नहीं प्राप्त किया जा सकता है।

बाइनरी अंकगणित
बाइनरी में अंकगणित अन्य अंक प्रणालियों में अंकगणित की तरह है। बाइनरी अंकों पर जोड़, घटाव, गुणा और भाग किया जा सकता है।

जोड़
बाइनरी में सबसे सरल अंकगणितीय ऑपरेशन जोड़ है। ले जाने के एक रूप का उपयोग करते हुए, दो एकल-अंकीय बाइनरी संख्याओं को जोड़ना अपेक्षाकृत सरल है:


 * 0 + 0 → 0
 * 0 + 1 → 1
 * 1 + 0 → 1
 * 1 + 1 → 0, 1 ले जाएं (चूंकि 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2 .)1))

दो 1 अंक जोड़ने से एक अंक 0 बनता है, जबकि 1 को अगले कॉलम में जोड़ना होगा। यह वैसा ही है जैसा दशमलव में होता है जब कुछ एकल-अंकीय संख्याओं को एक साथ जोड़ा जाता है; यदि परिणाम मूलांक (10) के मान के बराबर या उससे अधिक है, तो बाईं ओर का अंक बढ़ जाता है:


 * 5 + 5 → 0, 1 ले जाएं (5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10 . के बाद से)1))
 * 7 + 9 → 6, 1 ले जाएं (7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10 . के बाद से)1))

इसे ले जाने के रूप में जाना जाता है। जब एक जोड़ का परिणाम एक अंक के मूल्य से अधिक हो जाता है, तो प्रक्रिया मूलांक (अर्थात, 10/10) से विभाजित अतिरिक्त राशि को बाईं ओर ले जाती है, इसे अगले स्थितीय मान में जोड़ देती है। यह सही है क्योंकि अगली स्थिति का वजन मूलांक के बराबर एक कारक से अधिक होता है। बाइनरी में उसी तरह काम करना:

0 1 1 0 1 + 1 0 1 1 1 - = 1 0 0 1 0 0 = 36

इस उदाहरण में, दो अंकों को एक साथ जोड़ा जा रहा है: 011012 (1310) और 101112 (2310) शीर्ष पंक्ति उपयोग किए गए कैरी बिट्स को दिखाती है। सबसे दाहिने कॉलम से शुरू होकर, 1 + 1 = 102. 1 को बाईं ओर ले जाया जाता है, और 0 को सबसे दाहिने कॉलम के नीचे लिखा जाता है। दाईं ओर से दूसरा कॉलम जोड़ा गया है: 1 + 0 + 1 = 102 फिर से; 1 ले जाया जाता है, और 0 नीचे लिखा जाता है। तीसरा कॉलम: 1 + 1 + 1 = 112. इस बार नीचे की पंक्ति में 1 लिखा जाता है और 1 लिखा जाता है। इस तरह आगे बढ़ने पर अंतिम उत्तर मिलता है 1001002 (3610)

जब कंप्यूटर को दो संख्याओं को जोड़ना होता है, तो नियम यह है कि: एक्स एकमात्र  वाई = (एक्स + वाई)  मोडुलो ऑपरेशन  2 किसी भी दो बिट्स के लिए x और y बहुत तेज़ गणना के लिए भी अनुमति देता है।

लांग कैरी विधि
कई बाइनरी जोड़ समस्याओं के लिए एक सरलीकरण लंबी कैरी विधि या बाइनरी एडिशन की ब्रुकहाउस विधि है। यह विधि विशेष रूप से तब होती है जब संख्याओं में से एक में संख्याओं का एक लंबा खंड होता है। यह सरल आधार पर आधारित है कि बाइनरी सिस्टम के तहत, जब अंकों का एक खंड दिया जाता है जो पूरी तरह से बना होता है वाले (जहां  कोई भी पूर्णांक लंबाई है), 1 जोड़ने पर संख्या 1 और उसके बाद की एक स्ट्रिंग प्राप्त होगी  शून्य वह अवधारणा तार्किक रूप से, दशमलव प्रणाली की तरह, जहाँ की एक स्ट्रिंग में 1 जोड़ रही है, का अनुसरण करती है  9s का परिणाम संख्या 1 होगा जिसके बाद एक स्ट्रिंग होगी  0s:

बाइनरी दशमलव 1 1 1 1 1 1 इसी प्रकार 9 9 9 9 9 + 1 + 1  ———————————————————————   1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

बाइनरी सिस्टम में इस तरह के लंबे तार काफी आम हैं। इससे पता चलता है कि अत्यधिक कैरी ऑपरेशंस के बिना, दो सरल चरणों का उपयोग करके बड़ी बाइनरी संख्याओं को जोड़ा जा सकता है। निम्नलिखित उदाहरण में, दो अंकों को एक साथ जोड़ा जा रहा है: 1 1 1 0 1 1 1 1 1 02 (95810) और 1 0 1 0 1 1 0 0 1 12 (69110), बाईं ओर पारंपरिक कैरी विधि और दाईं ओर लंबी कैरी विधि का उपयोग करते हुए:

पारंपरिक कैरी मेथड लॉन्ग कैरी मेथड बनाम 1 को तब तक ले जाएं जब तक कि यह नीचे की स्ट्रिंग से एक अंक आगे न हो जाए 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 स्ट्रिंग को पार करें, + 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 + 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 और उसमें जोड़े गए अंक को काट दें ———————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— = 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1

शीर्ष पंक्ति उपयोग किए गए कैरी बिट्स को दिखाती है। मानक को एक कॉलम से दूसरे तक ले जाने के बजाय, निम्नतम क्रम वाले 1 को उसके नीचे संबंधित स्थान मान में 1 के साथ जोड़ा जा सकता है और 1 को श्रृंखला के अंत से पहले एक अंक तक ले जाया जा सकता है। उपयोग किए गए नंबरों को काट दिया जाना चाहिए, क्योंकि वे पहले से ही जोड़े गए हैं। अन्य लंबी स्ट्रिंग्स को भी उसी तकनीक का उपयोग करके रद्द किया जा सकता है। फिर, सामान्य रूप से किसी भी शेष अंक को एक साथ जोड़ दें। इस तरह से आगे बढ़ने पर 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1. का अंतिम उत्तर मिलता है2 (164910) हमारे सरल उदाहरण में छोटी संख्या का उपयोग करते हुए, पारंपरिक कैरी विधि के लिए आठ कैरी ऑपरेशन की आवश्यकता होती है, फिर भी लॉन्ग कैरी विधि के लिए केवल दो की आवश्यकता होती है, जो प्रयास में पर्याप्त कमी का प्रतिनिधित्व करती है।

जोड़ तालिका
बाइनरी जोड़ तालिका समान है, लेकिन समान नहीं है, जैसा कि तार्किक वियोजन  # लॉजिकल डिसजंक्शन ऑपरेशन की ट्रुथ टेबल है $$\lor$$. अंतर यह है कि $$1 \lor 1 = 1$$, जबकि $$1+1=10$$.

घटाव
घटाव लगभग उसी तरह काम करता है:


 * 0 - 0 → 0
 * 0 - 1 → 1, उधार 1
 * 1 - 0 → 1
 * 1 - 1 → 0

0 अंक में से 1 अंक घटाने पर 1 अंक बनता है, जबकि 1 को अगले कॉलम से घटाना होगा। इसे उधार के रूप में जाना जाता है। सिद्धांत वही है जो ले जाने के लिए है। जब घटाव का परिणाम 0 से कम होता है, तो एक अंक का कम से कम संभव मूल्य, प्रक्रिया बाईं ओर से रेडिक्स (अर्थात, 10/10) से विभाजित घाटे को उधार लेना है, इसे अगले स्थितीय मूल्य से घटाना है।

* * * * (तारांकित कॉलम से उधार लिया गया है) 1 1 0 1 1 1 0 - 1 0 1 1 1 = 1 0 1 0 1 1 1

* (तारांकित कॉलम से उधार लिया गया है) 1 0 1 1 1 1 1 1 - 1 0 1 0 1 1 = 0 1 1 0 1 0 0

एक धनात्मक संख्या को घटाना बराबर निरपेक्ष मान की ऋणात्मक संख्या  जोड़ने के बराबर है। कंप्यूटर ऋणात्मक संख्याओं को संभालने के लिए हस्ताक्षरित संख्या अभ्यावेदन का उपयोग करते हैं - आमतौर पर दोनों के पूरक संकेतन। इस तरह के अभ्यावेदन एक अलग घटाव ऑपरेशन की आवश्यकता को समाप्त करते हैं। दो के पूरक संकेतन घटाव का उपयोग निम्न सूत्र द्वारा संक्षेप में किया जा सकता है:



गुणन
बाइनरी में गुणा  इसके दशमलव समकक्ष के समान है। दो नंबर  तथा  आंशिक उत्पादों से गुणा किया जा सकता है: प्रत्येक अंक के लिए, उस अंक का गुणन  गणना की जाती है और एक नई लाइन पर लिखा जाता है, बाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है ताकि इसका सबसे दाहिना अंक अंक के साथ ऊपर हो  जिसका इस्तेमाल किया गया था। इन सभी आंशिक उत्पादों का योग अंतिम परिणाम देता है।

चूँकि बाइनरी में केवल दो अंक होते हैं, प्रत्येक आंशिक गुणन के केवल दो संभावित परिणाम होते हैं: उदाहरण के लिए, बाइनरी नंबर 1011 और 1010 को निम्नानुसार गुणा किया जाता है:
 * यदि अंक . में है 0 है, आंशिक उत्पाद भी 0 . है
 * यदि अंक . में है 1 है, आंशिक उत्पाद बराबर है

1 0 1 1          × 1 0 1 0             -            0 0 0 0 सबसे दाहिने 'शून्य' के अनुरूप है + 1 0 1 1 में अगले 'एक' के अनुरूप है + 0 0 0 0   + 1 0 1 1    ---    = 1 1 0 1 1 1 0

द्विआधारी बिंदु के बाद बाइनरी नंबर को बिट्स से भी गुणा किया जा सकता है:

1 0 1। 1 0 1     (5.625 दशमलव में) × 1 1 0 . 0 1       (6.25 दशमलव में) ---                   1. 0 1 1 0 1 में एक 'एक' के अनुरूप है + 0 0। 0 0 0 0 में 'शून्य' के अनुरूप है + 0 0 0। 0 0 0     + 1 0 1 1। 0 1      + 1 0 1 1 0। 1      ---      = 1 0 0 0 1 1। 0 0 1 0 1 (दशमलव में 35.15625)

बूथ का गुणन एल्गोरिथम भी देखें।

गुणन तालिका
द्विआधारी गुणन तालिका तार्किक संयोजन  के समान है#तार्किक संयोजन संचालन की सत्य तालिका $$\land$$.

डिवीजन
बाइनरी में लॉन्ग डिवीजन फिर से अपने दशमलव समकक्ष के समान है।

नीचे दिए गए उदाहरण में, भाजक  101. है2, या दशमलव में 5, जबकि भाग (गणित) 11011. है2, या 27 दशमलव में। प्रक्रिया दशमलव लंबे विभाजन के समान है; यहाँ, भाजक 1012 पहले तीन अंक 110. में जाता है2 लाभांश का एक बार, इसलिए शीर्ष पंक्ति पर 1 लिखा जाता है। इस परिणाम को भाजक से गुणा किया जाता है, और लाभांश के पहले तीन अंकों से घटाया जाता है; एक नया तीन-अंकीय अनुक्रम प्राप्त करने के लिए अगला अंक (ए 1 ) शामिल किया गया है:

1        ___________ 1 0 1 ) 1 1 0 1 1         - 1 0 1           -           0 0 1

फिर प्रक्रिया को नए अनुक्रम के साथ दोहराया जाता है, तब तक जारी रहता है जब तक कि लाभांश में अंक समाप्त नहीं हो जाते:

1 0 1       ___________ 1 0 1 ) 1 1 0 1 1        - 1 0 1          -              1 1 1          - 1 0 1              -              0 1 0

अत: 11011. का भागफल2 101. से विभाजित2 101. है2, जैसा कि शीर्ष रेखा पर दिखाया गया है, जबकि शेष, नीचे की रेखा पर दिखाया गया है, 10. है2. दशमलव में, यह इस तथ्य से मेल खाता है कि 27 को 5 से विभाजित करने पर 5 प्राप्त होता है, शेष 2 के साथ।

लंबे विभाजन के अलावा, प्रत्येक पुनरावृत्ति पर आंशिक शेष से अधिक-घटाव की अनुमति देने के लिए प्रक्रिया भी तैयार की जा सकती है, जिससे वैकल्पिक तरीकों की ओर अग्रसर होता है जो कम व्यवस्थित होते हैं, लेकिन परिणामस्वरूप अधिक लचीले होते हैं।

वर्गमूल
अंकों के आधार पर एक द्विआधारी वर्गमूल अंक लेने की प्रक्रिया दशमलव वर्गमूल के समान है और वर्गमूलों की गणना के तरीके#बाइनरी अंक प्रणाली (आधार 2) के बारे में बताया गया है। एक उदाहरण है:

1 0 0 1            -            1010001              1             -       101 01                0       1001 100                  0       10001 10001                10001                    0

बिटवाइज़ संचालन
द्विआधारी प्रतीकों की संख्यात्मक व्याख्या से सीधे संबंधित न होते हुए भी बूलियन तर्क संचालकों का उपयोग करके बिटों के अनुक्रमों में हेरफेर किया जा सकता है। जब द्विआधारी प्रतीकों की एक स्ट्रिंग में इस तरह से किये गए हेरफेर को बिटवाइज़ संचालन कहा जाता है; दो द्विआधारी अंकों में संबंधित बिटों पर तार्किक संचालकों ऐंड (AND), और (OR), और एक्सओआर (XOR) को इनपुट के रूप में संचालित किया जा सकता है। इनपुट के रूप में प्रदान किए गए एकल द्विआधारी अंक में अलग-अलग बिटों पर तार्किक नॉट (NOT) संचालन को संचालित किया जा सकता है। कभी-कभी, इस तरह के संचालन का उपयोग अंकगणितीय शॉर्ट-कट के रूप में किया जा सकता है, और इसके अन्य गणनात्मक लाभ भी हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक द्विआधारी संख्या के बाईं ओर एक अंकगणितीय शिफ्ट, 2 की एक घात (धनात्मक, पूर्णांक) से गुणन के बराबर है।

दशमलव से द्विआधारी
आधार -10 पूर्णांक को उसके आधार -2 (द्विआधारी) समकक्ष में बदलने के लिए संख्या को दो से विभाजित किया जाता है। प्राप्त शेषफल सबसे कम-महत्वपूर्ण बिट होता है। भागफल को पुनः दो से विभाजित किया जाता है; इसका शेषफल अगला न्यूनतम सार्थक बिट बन जाता है। यह प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक कि भागफल "1" न पहुँच जाए। शेषफलों का क्रम (अंतिम भागफल "1" सहित) द्विआधारी मान बनाता है, क्योंकि दो से विभाजित होने पर प्रत्येक शेष या तो शून्य या एक होना चाहिए। उदाहरण के लिए, (357)10 को (101100101)2 के रूप में व्यक्त किया जाता है।

द्विआधारी से दशमलव
आधार -2 से आधार -10 में रूपांतरण केवल पूर्ववर्ती एल्गोरिदम को पलट देता है। द्विआधारी संख्या के बिटों का एक-एक करके उपयोग किया जाता है, जो सबसे महत्वपूर्ण (सबसे बाएं) बिट से प्रारंभ होता है। मान 0 से प्रारंभ होकर, पूर्व मान को दोगुना कर दिया जाता है, और अगला मान उत्पन्न करने के लिए अगले बिट को जोड़ा जाता है। इसे एक बहु-स्तंभ तालिका में व्यवस्थित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 100101011012 को दशमलव में बदलने के लिए:

इसका परिणाम 119710 है। 0 का प्रथम पूर्व मान एक सामान्य प्रारंभिक दशमलव मान होता है। यह विधि हॉर्नर योजना का एक अनुप्रयोग है।

किसी संख्या के भिन्नात्मक भागों को समान विधियों से परिवर्तित किया जाता है। वे दोगुना करने या आधा करने के साथ स्थानांतरण की तुल्यता पर पुनः आधारित हैं।

एक भिन्नात्मक द्विआधारी संख्या जैसे 0.110101101012 में $\frac{1}{2} $ पहला, $ (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} $  द्वितीय अंक है, आदि। तो यदि दशमलव के बाद पहले स्थान पर 1 है, तो संख्या कम से कम $ \frac{1}{2} $  है, और इसके विपरीत भी। उस संख्या का दोगुना कम से कम 1 होगा। यह इस एल्गोरिथम का सुझाव देता है: परिवर्तित होने वाली संख्या को बार-बार दोगुना करें, यदि परिणाम कम से कम 1 है तो दर्ज करें और फिर पूर्णांक भाग को छोड़ दें।

उदाहरण के लिए, $ (\frac{1}{3})_{10} $, द्विआधारी में है:

इस प्रकार दोहराई जाने वाली दशमलव भिन्न 0.3... दोहराई जाने वाली द्विआधारी भिन्न 0.01... के बराबर है।

या उदाहरण के लिए, 0.110, द्विआधारी में है:

यह भी एक आवर्ती द्विआधारी भिन्न 0.0$\overline{0011}$... है। यह एक आश्चर्य हो सकता है कि शांत दशमलव भिन्नों में द्विआधारी में आवर्त प्रसार हो सकते हैं। इसी कारण कई लोगों को यह जानकर आश्चर्य होता है कि फ्लोटिंग प्वाइंट अंकगणित में 0.1 + ... + 0.1, (10 योग), 1 से भिन्न होता है। वास्तव में, केवल शांत प्रसार वाले द्विआधारी भिन्न, 2 की एक घात से विभाजित एक पूर्णांक के रूप में होते हैं, जो कि 1/10 नहीं है।

अंतिम रूपांतरण द्विआधारी से दशमलव भिन्नों में होता है। आवर्ती भिन्नों के साथ उत्पन्न एकमात्र कठिनाई, लेकिन अन्यथा एक विधि, भिन्न को एक पूर्णांक में स्थानांतरित करना है, इसे उपर्युक्त विधि से ही परिवर्तित करते हैं, और फिर दशमलव आधार में दो की उपयुक्त घात से विभाजित करते हैं। उदाहरण के लिए:

$$\begin{align} x & = & 1100&.1\overline{01110}\ldots \\ x\times 2^6 & = & 1100101110&.\overline{01110}\ldots \\ x\times 2 & = & 11001&.\overline{01110}\ldots \\ x\times(2^6-2) & = & 1100010101 \\ x & = & 1100010101/111110 \\ x & = & (789/62)_{10} \end{align}$$द्विआधारी से दशमलव में परिवर्तित करने की एक और विधि, जो प्रायः षोडश-आधारी से परिचित व्यक्ति के लिए तीव्र होती है, में ऐसा अप्रत्यक्ष रूप से करना होता है—पहले ( द्विआधारी में $$x$$) का (षोडश-आधारी में $$x$$ ) में और फिर (षोडश-आधारी में $$x$$) का (दशमलव में $$x$$) परिवर्तन।

बहुत बड़ी संख्या के लिए, ये सरल तरीके अक्षम हैं क्योंकि वे बड़ी संख्या में गुणा या भाग करते हैं जहां एक संकार्य (ऑपरेंड) बहुत बड़ा होता है। एक साधारण डिवाइड-एंड-कॉनकर एल्गोरिथ्म स्पर्शोन्मुख रूप से अधिक प्रभावी होती है: एक द्विआधारी संख्या दी जाती है, इसे 10k से विभाजित किया जाता है, जहाँ k को इस प्रकार चयनित किया जाता है कि भागफल लगभग शेषफल के बराबर हो; फिर इनमें से प्रत्येक अंश को दशमलव में बदल दिया जाता है और दोनों को जोड़ दिया जाता है। दी गई दशमलव संख्या को लगभग एक ही आकार के दो टुकड़ों में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक को द्विआधारी में परिवर्तित किया जाता है, जहां पहले परिवर्तित टुकड़े को 10k से गुणा करके दूसरे परिवर्तित टुकड़े में जोड़ा जाता है, जहाँ k, रूपांतरण से पूर्व दूसरे (अल्पतम महत्वपूर्ण) अंश में दशमलव की संख्या है ।

षोडश-आधारी (हेक्साडेसिमल)
द्विआधारी को षोडश-आधारी (हेक्साडेसिमल) में और षोडश-आधारी से अधिक आसानी से परिवर्तित किया जा सकता है, क्योंकि षोडश-आधारी प्रणाली का मूलांक (16), द्विआधारी प्रणाली (2) के मूलांक की घात है। अधिक विशेष रूप से, 16 = 24, इसलिए षोडश-आधारी के एक अंक का निरूपण करने के लिए द्विआधारी के चार अंकों की आवश्यकता होती है, जैसा कि आसन्न तालिका में दिखाया गया है।

एक षोडश-आधारी संख्या को उसके द्विआधारी समकक्ष में परिवर्तित करने के लिए, केवल संबंधित द्विआधारी अंकों को प्रतिस्थापित करते हैं:


 * 3A16 = 0011 10102
 * E716 = 1110 01112

एक द्विआधारी संख्या को उसके षोडश-आधारी समकक्ष में बदलने के लिए इसे चार बिट के समूहों में विभाजित करते हैं। यदि बिट की संख्या चार का गुणज नहीं है, तो सामान्यतः बाईं ओर अतिरिक्त 0 बिट रख देते हैं (जिसे पैडिंग कहा जाता है)। उदाहरण के लिए:


 * 10100102 = 0101 0010 पैडिंग के साथ समूहीकृत = 5216
 * 110111012 = 1101 1101 समूहबद्ध = DD16

एक षोडश-आधारी संख्या को उसके दशमलव समकक्ष में परिवर्तित करने के लिए प्रत्येक षोडश-आधारी अंक के दशमलव समकक्ष को 16 की संगत घात से गुणा करके परिणामी मान जोड़ देते हैं:


 * C0E716 = (12 × 163) + (0 × 162) + (14 × 16 .)1) + (7 × 160) = (12 × 4096) + (0 × 256) + (14 × 16) + (7 × 1) = 49,38310

अष्ट-आधारी (ऑक्टल)
द्विआधारी भी आसानी से अष्ट-आधारी (ऑक्टल) अंक प्रणाली में परिवर्तित हो जाती है, क्योंकि अष्ट-आधारी, 8 के मूलांक का उपयोग करता है, जो दो की घात है (अर्थात्, 23, इसलिए यह एक अष्ट-आधारी अंक का निरूपण करने के लिए ठीक तीन द्विआधारी अंक लेता है)। अष्ट-आधारी और द्विआधारी अंकों के बीच सामंजस्य उपरोक्त तालिका में षोडश-आधारी के पहले आठ अंकों के सामान ही है। द्विआधारी 000, अष्ट-आधारी अंक 0 के बराबर है, द्विआधारी 111, अष्ट-आधारी 7 के बराबर है, और ऐसे ही आगे भी।

अष्ट-आधारी से द्विआधारी में परिवर्तन, षोडश-आधारी में परिवर्तन के सामान ही होता है:


 * 658 = 110 1012
 * 178 = 001 1112

और द्विआधारी से अष्ट-आधारी में:


 * 1011002 = 101 1002 समूहीकृत = 548
 * 100112 = 010 0112 पैडिंग के साथ समूहीकृत = 238

और अष्ट-आधारी से दशमलव में:


 * 658 = (6 × 81) + (5 × 8 .)0) = (6 × 8) + (5 × 1) = 5310
 * 1278 = (1 × 82) + (2 × 8 .)1) + (7 × 8 .)0) = (1 × 64) + (2 × 8) + (7 × 1) = 8710

वास्तविक संख्याओं का निरूपण
गैर-पूर्णांकों को ऋणात्मक घातों का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है, जिन्हें अन्य अंकों से मूलांक बिंदु (दशमलव प्रणाली में दशमलव बिंदु कहा जाता है) के माध्यम से सेट किया जाता हैं। उदाहरण के लिए, द्विआधारी संख्या 11.012 का अर्थ है:

1 × 21  (1 × 2 = 2)     +

1 × 20  (1 × 1 = 1)     +

0 × 2−1 (0 × $1/undefined$ = 0)   +

1 × 2−2 (1 × $1/undefined$ = 0.25)कुल 3.25 दशमलव के लिए।

सभी द्विआधारी भिन्न संख्याओं $$\frac{p}{2^a}$$ में एक शांत द्विआधारी अंक होता है- द्विआधारी निरूपण में मूलांक बिंदु के बाद सीमित संख्या में पद होते हैं। अन्य परिमेय संख्याओं में द्विआधारी निरूपण होता है, लेकिन वे समाप्त होने के स्थान पर अनिश्चित काल तक दोहराए जाने वाले अंकों के परिमित अनुक्रम के साथ पुनरावृत्ति करते हैं। उदाहरण के लिए

$$\frac{1_{10}}{3_{10}} = \frac{1_2}{11_2} = 0.01010101\overline{01}\ldots\,_2 $$$$\frac{12_{10}}{17_{10}} = \frac{1100_2}{10001_2} = 0.10110100 10110100\overline{10110100}\ldots\,_2 $$ किसी भी परिमेय का द्विआधारी निरूपण या तो समाप्त होता है या आवर्ती होता है; यह घटना अन्य मूलांक-आधारित अंक प्रणालियों में भी होती है। उदाहरण के लिए, दशमलव में व्याख्या देखें। एक और समानता किसी भी समाप्ति निरूपण के लिए वैकल्पिक निरूपण का अस्तित्व है, जो इस तथ्य पर निर्भर करता है कि 0.111111..., ज्यामितीय श्रृंखला 2−1 + 2−2 + 2−3 + ... का योग है जो कि 1 है।

द्विआधारी अंक, जो न तो समाप्त होते हैं और न ही पुनरावृत्ति करते हैं, अपरिमेय संख्याओं को निरूपित करते हैं। उदाहरण के लिए,
 * 0.10100100010000100000100... में एक पैटर्न है, लेकिन यह एक निश्चित-लंबाई आवर्ती पैटर्न नहीं है, इसलिए संख्या अपरिमेय है
 * 1.0110101000001001111001100110011111110..., 2 के वर्गमूल $$\sqrt{2}$$ का द्विआधारी निरूपण है, जो एक और अपरिमेय संख्या है। इसका कोई स्पष्ट पैटर्न नहीं है।

यह भी देखें

 * संतुलित त्रिचर
 * द्विआधारी कोड
 * द्विआधारी-कोडेड दशमलव
 * अंगुली द्विआधारी
 * ग्रे कोड
 * आईईईई 754
 * रैखिक प्रतिक्रिया शिफ्ट रजिस्टर
 * ऑफसेट द्विआधारी
 * पंच-संख्यक द्विआधारी
 * पद में कमी
 * अनावश्यक द्विआधारी निरूपण
 * आवर्ती दशमलव
 * दो का अनुपूरण

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक कड़ियों की सूची

 * सूत्र
 * होरस की आंख
 * मिस्र का अंश
 * मिस्र का पाँचवाँ राजवंश
 * मिस्र का उन्नीसवां राजवंश
 * प्राचीन मिस्र का गुणन
 * रिंद गणितीय पेपिरस
 * मैं चिंग अटकल
 * झू राजवंशी
 * गीत राजवंश
 * जगह की मूल्य
 * रमल
 * रेमन लुलु
 * एफ यू
 * अंक शास्त्र
 * सार्वभौमिक विशेषता
 * थैंक गॉड फ्रीज
 * हां और ना
 * मोटोरोला कन्वेंशन
 * भाजक
 * फ्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित
 * मुख्य कारक है
 * दशमलव दोहराना
 * निरपेक्ष मूल्य
 * हस्ताक्षरित संख्या प्रतिनिधित्व
 * लम्बा विभाजन
 * डिवीजन (गणित)
 * लब्धि
 * तार्किक संयोजक
 * पूर्णांक (कंप्यूटर विज्ञान)
 * दो से विभाजन
 * कम से कम महत्वपूर्ण बिट
 * कड़ी
 * दायादिक अंश
 * जियोमीट्रिक श्रंखला
 * 2 . का वर्गमूल
 * निरर्थक द्विआधारी प्रतिनिधित्व
 * समन में कमी