फिन (विस्तारित सतह)

ऊष्मा स्थानांतरण के अध्ययन में, फिन ऐसी सतहें होती हैं जो किसी वस्तु से संवहन में वृद्धि कर पर्यावरण में या उससे बाहर ऊष्मा स्थानांतरण की दर में वृद्धि करने के लिए विस्तारित होती हैं। किसी वस्तु के ऊष्मा संचालन, संवहन या विकिरण की मात्रा उसके द्वारा स्थानांतरित की जाने वाली ऊष्मा की मात्रा को निर्धारित करती है। वस्तु और पर्यावरण के मध्य तापमान में वृद्धि करने से संवहन ऊष्मा स्थानांतरण गुणांक में वृद्धि होती है या वस्तु के सतह क्षेत्र में वृद्धि से ऊष्मा स्थानांतरण में वृद्धि होती है। कभी-कभी प्रथम दो विकल्पों को परिवर्तित करना संभव या अल्पव्ययी नहीं होता है। इस प्रकार, किसी वस्तु में एक फिन युग्मित करने से सतह क्षेत्र में वृद्धि होती है तथा कभी-कभी ऊष्मा स्थानांतरण समस्याओं का एक अल्पव्ययी हल हो सकता है।

वन-पीस फिनेड हीट सिंक बहिर्गमन, संचकन (कास्टिंग), पट्टकन (स्किविंग), या पेषण (मिलिंग) द्वारा निर्मित होते हैं।

सामान्य स्थिति
फिन के ऊष्मा स्थानांतरण के लिए एक सुविधाजनक समीकरण का निर्माण करने के लिए अनेक धारणाएँ निर्मित करने की आवश्यकता है:
 * 1) स्थिर अवस्था
 * 2) स्थायी भौतिक गुण (तापमान से स्वतंत्र)
 * 3) कोई आंतरिक ऊष्मा जनन नहीं
 * 4) एक आयामी संचालन
 * 5) एकसमान अनुप्रस्थकाट क्षेत्र
 * 6) सतह क्षेत्र में समान संवहन

इन धारणाओं के साथ, ऊर्जा के संरक्षण का उपयोग फिन के विभेदी परिक्षेत्र के लिए ऊर्जा संतुलन बनाने के लिए किया जा सकता है:
 * $$\dot{Q}(x+dx)=\dot{Q}(x)+d\dot{Q}_{conv}.$$

फूरियर का नियम कहता है कि
 * $$\dot{Q}(x)=-kA_c \left ( \frac{dT}{dx} \right ),$$

जहाँ $$A_c$$ विभेदक तत्व का अनुप्रस्थकाट क्षेत्र है। इसके अतिरिक्त संवहनशील ऊष्मा अभिवाह को ऊष्मा स्थानांतरण गुणांक h की परिभाषा के माध्यम से निर्धारित किया जा सकता है,
 * $$q''=h\left (T-T_\infty\right ),$$

जहाँ $$T_\infty$$ परिवेश का तापमान है। विभेदी संवहन ताप प्रवाह को फिन अनुप्रस्थ काट P की परिधि से निर्धारित किया जा सकता है,
 * $$d\dot{Q}_{conv}=Ph\left (T-T_\infty\right )dx.$$

ऊर्जा संरक्षण के समीकरण को अब तापमान के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,
 * $$-kA_c \left.\left ( \frac{dT}{dx} \right )\right\vert_{x+dx} = -kA_c \left.\left ( \frac{dT}{dx} \right )\right\vert_{x} + Ph\left (T-T_\infty\right )dx.$$

इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने और व्युत्पादित परिभाषा का उपयोग करने से तापमान के लिए निम्नलिखित अवकल समीकरण प्राप्त होता है,
 * $$k\frac{d}{dx}\left(A_c\frac{dT}{dx}\right) - Ph\left (T-T_\infty\right) = 0$$;

बाईं ओर के व्युत्पन्न को फिन समीकरण के अत्यधिक सामान्य रूप में विस्तारित किया जा सकता है,
 * $$kA_c\frac{d^2T}{dx^2} + k\frac{dA_c}{dx}\frac{dT}{dx} - Ph\left (T-T_\infty\right) = 0.$$

अनुप्रस्थ काट क्षेत्र, परिधि और तापमान सभी x के कार्य हो सकते हैं।

एकसमान अनुप्रस्थकाट क्षेत्र
यदि फिन की लंबाई के साथ एक नियत अनुप्रस्थ परिच्छेद होने की स्थिति में क्षेत्र और परिधि स्थिर है तथा तापमान के लिए अवकल समीकरण को अधिक सरल बनाया गया है
 * $$\frac{d^2T}{dx^2}=\frac{hP}{kA_c}\left(T-T_\infty\right).$$

जहाँ $$m^2=\frac{hP}{kA_c}$$ और $$\theta(x)=T(x)-T_\infty$$ है। स्थिरांक $$C_1$$ और $$C_2$$ अब उचित परिसीमा प्रतिबंधों को प्रयुक्त करके प्राप्त किये जा सकते हैं।

समाधान
फिन का आधार सामान्यतः एक निर्देशित स्थिर तापमान, $$\theta_b(x=0)=T_b-T_\infty$$ पर निर्धारित होता है। चार सामान्य रूप से संभव फिन टिप हैं ($$x=L$$) स्थितियाँ, हालाँकि: टिप को संवहन ताप स्थानांतरण के संपर्क में लाया जा सकता है, ऊष्मारोधी, स्थिर तापमान पर या आधार से इतनी दूर रखा जाता है कि परिवेश के तापमान तक पहुंच जाए।

प्रथम स्थिति के लिए, द्वितीय परिसीमा प्रतिबंध यह है कि सिरे पर मुक्त संवहन हो। इसलिए,
 * $$hA_c\left(T(L)-T_\infty\right)=-kA_c\left.\left(\frac{dT}{dx}\right)\right\vert_{x=L},$$

जो सरलीकृत करता है
 * $$h\theta(L)=-k\left.\frac{d\theta}{dx}\right\vert_{x=L}.$$

अब दो परिसीमा प्रतिबंधों को युग्मित कर उत्पादन किया जा सकता है
 * $$h\left(C_1e^{mL}+C_2e^{-mL}\right)=km\left(C_2e^{-mL}-C_1e^{mL}\right).$$

तापमान वितरण ज्ञात करने के लिए स्थिरांक $$C_1$$ और $$C_2$$ के लिए इस समीकरण को हल किया जा सकता है, जो नीचे दी गई तालिका में है।

शेष स्थितियों में एकीकरण के स्थिरांक खोजने के लिए एक समान दृष्टिकोण का उपयोग किया जा सकता है। द्वितीय स्थिति में, टिप को ऊष्मारोधी या अन्य शब्दों में शून्य ताप प्रवाह वाला माना जाता है। इसलिए,
 * $$\left.\frac{d\theta}{dx}\right\vert_{x=L}=0.$$

तृतीय स्थिति में, टिप पर तापमान स्थिर रखा जाता है। इसलिए, परिसीमा प्रतिबंध है:
 * $$\theta(L)=\theta_L$$

चतुर्थ और अंतिम स्थिति के लिए, फिन को अनंत रूप से लंबा माना जाता है। इसलिए, परिसीमा प्रतिबंध है:
 * $$\lim_{L\rightarrow \infty} \theta_L=0\,$$

अंततः, हम ऊष्मा स्थानांतरण की समग्र दर निर्धारित करने के लिए फिन के आधार पर तापमान वितरण और फूरियर के नियम का उपयोग कर सकते हैं,
 * $$\dot Q_\text{total} = \sqrt{hPkA_c}(C_2-C_1).$$

समाधान प्रक्रिया के परिणाम नीचे दी गई तालिका में संक्षेपित हैं।

प्रदर्शन
फिन प्रदर्शन को तीन विभिन्न प्रकारों से वर्णित किया जा सकता है। पहली फिन प्रभावकारिता है। यह फिन ऊष्मा स्थानांतरण दर ($$\dot{Q}_f$$) और वस्तु की ऊष्मा स्थानांतरण दर का अनुपात है यदि वस्तु में कोई फिन नहीं है। इसके लिए सूत्र है:
 * $$\epsilon_f=\frac{\dot{Q}_f}{hA_{c,b}\theta_b},$$

जहाँ $$A_{c,b}$$ आधार पर फिन अनुप्रस्थ काट क्षेत्र है। फिन प्रदर्शन को फिन दक्षता द्वारा भी चित्रित किया जा सकता है। यह फिन ऊष्मा स्थानांतरण दर और फिन की ऊष्मा स्थानांतरण दर का अनुपात है यदि संपूर्ण फिन आधार तापमान पर था
 * $$\eta_f=\frac{\dot{Q}_f} {h A_f \theta_b}.$$

इस समीकरण में $$A_f$$ फिन के सतह क्षेत्र के बराबर है। फिन दक्षता सदैव एक से न्यूनतम होगी क्योंकि सम्पूर्ण फिन में तापमान को आधारी तापमान मानने से ऊष्मा स्थानांतरण दर में वृद्धि होगी।

तृतीय प्रकार से फिन प्रदर्शन का वर्णन समग्र सतह दक्षता के साथ किया जा सकता है,
 * $$\eta_o=\frac{\dot{Q}_t}{hA_t\theta_b},$$

जहाँ $$A_t$$ कुल क्षेत्रफल है और $$\dot{Q}_t$$ अपरिष्कृत आधार क्षेत्र तथा  सभी फिन से ऊष्मा स्थानांतरण का योग है। यह फिन की एक श्रृंखला के लिए दक्षता है।

व्युत्क्रमित फिन (गुहा)
विवृत गुहाओं को आसन्न फिन्स के मध्य बने क्षेत्रों के रूप में परिभाषित किया गया है और यह न्यूक्लिएट क्वथन या संघनन के आवश्यक प्रवर्तकों को समर्थन करता है। इन गुहाओं का उपयोग सामान्यतः विभिन्न ऊष्मा उत्पादक निकायों से ऊष्मा निष्कर्षण के लिए किया जाता है। वर्ष 2004 से अब तक, कई शोधकर्ताओं को गुहाओं के इष्टतम अभिकल्पना की खोज करने के लिए प्रेरित किया गया है।

उपयोग
फिन्स का उपयोग सामान्यतः कारों में रेडियेटर, कंप्यूटर CPU हीट सिंक और विद्युत संयंत्रों में ऊष्मा विनिमयक जैसे ऊष्मा विनिमय उपकरणों में किया जाता है।  इनका उपयोग नई तकनीक जैसे हाइड्रोजन ईंधन सेल में भी किया जाता है। प्रकृति ने फिन्स की परिघटना का भी लाभ उठाया है। जैकरैबिट और फेनेक लोमड़ियों के कान उनके माध्यम से प्रवाहित होने वाले रक्त से ऊष्मा निष्कर्षण के लिए फिन्स के रूप में कार्य करते हैं।