दर्पण समरूपता (स्ट्रिंग सिद्धांत)

बीजगणितीय ज्यामिति और सैद्धांतिक भौतिकी में, दर्पण समरूपता ज्यामिति वस्तुओं के बीच एक संबंध है जिसे कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड्स कहा जाता है। यह शब्द ऐसी स्थिति को संदर्भित करता है जहां दो कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड्स ज्यामितीय रूप से बहुत अलग दिखते हैं लेकिन फिर भी स्ट्रिंग सिद्धांत के अतिरिक्त आयामों के रूप में उपयोग किए जाने पर समतुल्य होते हैं।

भौतिकविदों द्वारा दर्पण समरूपता के शुरुआती मामलों की खोज की गई थी। 1990 के आसपास गणितज्ञों की रुचि इस संबंध में हो गई जब फिलिप चन्देलास, ज़ेनिया डे ला ओसा, पॉल ग्रीन और लिंडा पार्क्स ने दिखाया कि इसका उपयोग गणनात्मक ज्यामिति में एक उपकरण के रूप में किया जा सकता है, जो गणित की एक शाखा है जो ज्यामितीय प्रश्नों के समाधानों की संख्या की गणना करने से संबंधित है।. कैंडेलस और उनके सहयोगियों ने दिखाया कि दर्पण समरूपता का उपयोग कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड पर तर्कसंगत वक्रों को गिनने के लिए किया जा सकता है, इस प्रकार एक लंबे समय से चली आ रही समस्या का समाधान हो सकता है। हालाँकि दर्पण समरूपता का मूल दृष्टिकोण भौतिक विचारों पर आधारित था जिन्हें गणितीय रूप से सटीक तरीके से नहीं समझा गया था, इसके बाद से इसकी कुछ गणितीय भविष्यवाणियाँ गणितीय प्रमाण रही हैं।

आज, दर्पण समरूपता शुद्ध गणित में एक प्रमुख शोध विषय है, और गणितज्ञ भौतिकविदों के अंतर्ज्ञान के आधार पर संबंधों की गणितीय समझ विकसित करने के लिए काम कर रहे हैं। स्ट्रिंग सिद्धांत में गणना करने के लिए मिरर समरूपता भी एक मौलिक उपकरण है, और इसका उपयोग क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के पहलुओं को समझने के लिए किया गया है, औपचारिकता जिसका उपयोग भौतिक विज्ञानी प्राथमिक कणों का वर्णन करने के लिए करते हैं। दर्पण समरूपता के प्रमुख दृष्टिकोणों में मैक्सिम कोनत्सेविच  का समरूप दर्पण समरूपता कार्यक्रम और एंड्रयू स्ट्रोमिंगर, शिंग-तुंग याउ और एरिक ज़स्लो का एसवाईजेड अनुमान शामिल हैं।

स्ट्रिंग्स और कॉम्पेक्टीफिकेशन
भौतिकी में, स्ट्रिंग सिद्धांत एक गणितीय सिद्धांत है जिसमें कण भौतिकी के बिंदु कण | बिंदु जैसे कणों को एक आयामी वस्तुओं द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है जिन्हें स्ट्रिंग (भौतिकी) कहा जाता है। ये तार साधारण तार के छोटे खंडों या लूपों की तरह दिखते हैं। स्ट्रिंग सिद्धांत वर्णन करता है कि तार अंतरिक्ष के माध्यम से कैसे फैलते हैं और एक दूसरे के साथ बातचीत करते हैं। स्ट्रिंग स्केल से बड़े दूरी के पैमाने पर, एक स्ट्रिंग एक साधारण कण की तरह ही दिखेगी, जिसका द्रव्यमान, आवेश (भौतिकी), और अन्य गुण स्ट्रिंग की कंपन स्थिति द्वारा निर्धारित होते हैं। तारों का विभाजन और पुनर्संयोजन कण उत्सर्जन और अवशोषण के अनुरूप होता है, जिससे कणों के बीच परस्पर क्रिया को बढ़ावा मिलता है। स्ट्रिंग सिद्धांत द्वारा वर्णित दुनिया और रोजमर्रा की दुनिया के बीच उल्लेखनीय अंतर हैं। रोजमर्रा की जिंदगी में, अंतरिक्ष के तीन परिचित आयाम हैं (ऊपर/नीचे, बाएं/दाएं, और आगे/पीछे), और समय का एक आयाम है (बाद में/पहले)। इस प्रकार, आधुनिक भौतिकी की भाषा में, कोई कहता है कि अंतरिक्ष-समय चार-आयामी है। स्ट्रिंग सिद्धांत की एक अनोखी विशेषता यह है कि इसकी गणितीय स्थिरता के लिए स्पेसटाइम के अतिरिक्त आयामों की आवश्यकता होती है। सुपरस्ट्रिंग सिद्धांत में, सिद्धांत का वह संस्करण जिसमें अतिसममिति नामक एक सैद्धांतिक विचार शामिल है, रोजमर्रा के अनुभव से परिचित चार के अलावा स्पेसटाइम के छह अतिरिक्त आयाम हैं। स्ट्रिंग सिद्धांत में वर्तमान शोध का एक लक्ष्य ऐसे मॉडल विकसित करना है जिसमें स्ट्रिंग उच्च ऊर्जा भौतिकी प्रयोगों में देखे गए कणों का प्रतिनिधित्व करते हैं। ऐसे मॉडल को अवलोकनों के अनुरूप बनाने के लिए, इसका स्पेसटाइम प्रासंगिक दूरी के पैमाने पर चार-आयामी होना चाहिए, इसलिए किसी को अतिरिक्त आयामों को छोटे पैमाने तक सीमित करने के तरीकों की तलाश करनी चाहिए। स्ट्रिंग सिद्धांत पर आधारित भौतिकी के अधिकांश यथार्थवादी मॉडल में, इसे संघनन (भौतिकी)भौतिकी) नामक एक प्रक्रिया द्वारा पूरा किया जाता है, जिसमें अतिरिक्त आयामों को वृत्त बनाने के लिए खुद को बंद करने के लिए माना जाता है। उस सीमा में जहां ये घुमावदार आयाम बहुत छोटे हो जाते हैं, एक सिद्धांत प्राप्त होता है जिसमें स्पेसटाइम में प्रभावी रूप से आयामों की संख्या कम होती है। इसके लिए एक मानक सादृश्य बगीचे की नली जैसी बहुआयामी वस्तु पर विचार करना है। यदि नली को पर्याप्त दूरी से देखा जाए, तो इसका केवल एक ही आयाम, इसकी लंबाई, दिखाई देता है। हालाँकि, जैसे ही कोई नली के पास पहुंचता है, उसे पता चलता है कि इसमें एक दूसरा आयाम, इसकी परिधि शामिल है। इस प्रकार, नली की सतह पर रेंगने वाली चींटी दो आयामों में चलेगी।

कैलाबी-आज कई गुना
कॉम्पैक्टिफिकेशन का उपयोग उन मॉडलों के निर्माण के लिए किया जा सकता है जिनमें स्पेसटाइम प्रभावी रूप से चार-आयामी है। हालाँकि, अतिरिक्त आयामों को संकुचित करने का हर तरीका प्रकृति का वर्णन करने के लिए सही गुणों वाला एक मॉडल तैयार नहीं करता है। कण भौतिकी के एक व्यवहार्य मॉडल में, कॉम्पैक्ट अतिरिक्त आयामों को कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड के आकार का होना चाहिए। कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड एक विशेष टोपोलॉजिकल स्पेस है जिसे आमतौर पर स्ट्रिंग सिद्धांत के अनुप्रयोगों में छह-आयामी माना जाता है। इसका नाम गणितज्ञ यूजेनियो कैलाबी और शिंग-तुंग याउ के नाम पर रखा गया है। अतिरिक्त आयामों को संकुचित करने के तरीके के रूप में कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड्स के भौतिकी में प्रवेश करने के बाद, कई भौतिकविदों ने इन मैनिफोल्ड्स का अध्ययन करना शुरू कर दिया। 1980 के दशक के उत्तरार्ध में, लांस डिक्सन, वोल्फगैंग लेर्चे, कमरून संदेह और निक वार्नर ने देखा कि स्ट्रिंग सिद्धांत के इस तरह के एकीकरण को देखते हुए, विशिष्ट रूप से संबंधित कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड का पुनर्निर्माण करना संभव नहीं है। इसके बजाय, स्ट्रिंग सिद्धांत के दो अलग-अलग संस्करण जिन्हें IIA स्ट्रिंग सिद्धांत टाइप करें और IIB टाइप करें कहा जाता है, को एक ही भौतिकी को जन्म देते हुए पूरी तरह से अलग-अलग कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड्स पर कॉम्पैक्ट किया जा सकता है। इस स्थिति में, मैनिफोल्ड्स को मिरर मैनिफोल्ड्स कहा जाता है, और दो भौतिक सिद्धांतों के बीच के संबंध को मिरर समरूपता कहा जाता है। दर्पण समरूपता संबंध एक विशेष उदाहरण है जिसे भौतिक विज्ञानी स्ट्रिंग द्वैत कहते हैं। सामान्य तौर पर, भौतिक द्वंद्व शब्द उस स्थिति को संदर्भित करता है जहां दो अलग-अलग प्रतीत होने वाले भौतिक सिद्धांत एक गैर-तुच्छ तरीके से समतुल्य हो जाते हैं। यदि एक सिद्धांत को रूपांतरित किया जा सकता है ताकि वह दूसरे सिद्धांत की तरह ही दिखे, तो उस परिवर्तन के तहत दोनों को दोहरा कहा जाता है। अलग-अलग शब्दों में कहें तो, दोनों सिद्धांत एक ही घटना के गणितीय रूप से भिन्न विवरण हैं। इस तरह के द्वंद्व आधुनिक भौतिकी में, विशेषकर स्ट्रिंग सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। भले ही स्ट्रिंग सिद्धांत के कैलाबी-याउ संघनन प्रकृति का सही विवरण प्रदान करते हों, विभिन्न स्ट्रिंग सिद्धांतों के बीच दर्पण द्वंद्व के अस्तित्व के महत्वपूर्ण गणितीय परिणाम हैं। स्ट्रिंग सिद्धांत में उपयोग किए जाने वाले कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड्स शुद्ध गणित में रुचि रखते हैं, और दर्पण समरूपता गणितज्ञों को गणनात्मक ज्यामिति में समस्याओं को हल करने की अनुमति देती है, गणित की एक शाखा जो ज्यामितीय प्रश्नों के समाधान की संख्या की गिनती से संबंधित है। गणनात्मक ज्यामिति की एक शास्त्रीय समस्या कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड पर तर्कसंगत वक्रों की गणना करना है, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है। दर्पण समरूपता लागू करके, गणितज्ञों ने इस समस्या को दर्पण कैलाबी-याउ के समकक्ष समस्या में बदल दिया है, जिसे हल करना आसान हो गया है। भौतिकी में, दर्पण समरूपता को भौतिक आधार पर उचित ठहराया जाता है। हालाँकि, गणितज्ञों को आम तौर पर गणितीय कठोरता की आवश्यकता होती है जिसके लिए भौतिक अंतर्ज्ञान की अपील की आवश्यकता नहीं होती है। गणितीय दृष्टिकोण से, ऊपर वर्णित दर्पण समरूपता का संस्करण अभी भी केवल एक अनुमान है, लेकिन टोपोलॉजिकल स्ट्रिंग सिद्धांत के संदर्भ में दर्पण समरूपता का एक और संस्करण है, एडवर्ड विटेन द्वारा प्रस्तुत स्ट्रिंग सिद्धांत का एक सरलीकृत संस्करण, जिसे गणितज्ञों द्वारा कठोरता से सिद्ध किया गया है। टोपोलॉजिकल स्ट्रिंग सिद्धांत के संदर्भ में, दर्पण समरूपता बताती है कि टोपोलॉजिकल ए-मॉडल|ए-मॉडल और टोपोलॉजिकल बी-मॉडल|बी-मॉडल नामक दो सिद्धांत इस अर्थ में समतुल्य हैं कि उनसे संबंधित द्वंद्व है। आज दर्पण समरूपता गणित में अनुसंधान का एक सक्रिय क्षेत्र है, और गणितज्ञ भौतिकविदों के अंतर्ज्ञान के आधार पर दर्पण समरूपता की अधिक संपूर्ण गणितीय समझ विकसित करने के लिए काम कर रहे हैं।

इतिहास
दर्पण समरूपता का विचार 1980 के दशक के मध्य में खोजा जा सकता है जब यह देखा गया कि एक स्ट्रिंग त्रिज्या के एक वृत्त पर फैल रही है $$R$$ भौतिक रूप से त्रिज्या के एक वृत्त पर प्रसारित एक स्ट्रिंग के बराबर है $$1/R$$ माप की उपयुक्त इकाइयों में. इस घटना को अब टी-द्वैत के रूप में जाना जाता है और इसे दर्पण समरूपता से निकटता से संबंधित माना जाता है। 1985 के एक पेपर में, फिलिप कैंडेलस, गैरी होरोविट्ज़, एंड्रयू स्ट्रोमिंगर और एडवर्ड विटन ने दिखाया कि कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड पर स्ट्रिंग सिद्धांत को कॉम्पैक्ट करने से, कण भौतिकी के मानक मॉडल के समान एक सिद्धांत प्राप्त होता है जिसमें लगातार एक विचार भी शामिल होता है सुपरसिममेट्री कहा जाता है। इस विकास के बाद, कई भौतिकविदों ने स्ट्रिंग सिद्धांत के आधार पर कण भौतिकी के यथार्थवादी मॉडल बनाने की उम्मीद में, कैलाबी-याउ कॉम्पैक्टिफिकेशन का अध्ययन करना शुरू कर दिया। कमरुन वफ़ा और अन्य लोगों ने देखा कि इस तरह के भौतिक मॉडल को देखते हुए, विशिष्ट रूप से संबंधित कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड का पुनर्निर्माण करना संभव नहीं है। इसके बजाय, दो कैलाबी-याउ मैनिफ़ोल्ड हैं जो समान भौतिकी को जन्म देते हैं। कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड्स और गेपनर मॉडल नामक कुछ अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत के बीच संबंधों का अध्ययन करके, ब्रायन ग्रीन और रोनेन प्लेसर ने दर्पण संबंध के गैर-तुच्छ उदाहरण पाए। इस रिश्ते के लिए और सबूत फिलिप कैंडेलस, मोनिका लिंकर और रॉल्फ शिम्रिग्क के काम से मिले, जिन्होंने कंप्यूटर द्वारा बड़ी संख्या में कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड्स का सर्वेक्षण किया और पाया कि वे दर्पण जोड़े में आए थे। 1990 के आसपास गणितज्ञों की दर्पण समरूपता में रुचि हो गई जब भौतिक विज्ञानी फिलिप कैंडेलस, ज़ेनिया डे ला ओसा, पॉल ग्रीन और लिंडा पार्क्स ने दिखाया कि दर्पण समरूपता का उपयोग गणनात्मक ज्यामिति में समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है। जिसने दशकों या उससे अधिक समय तक समाधान का विरोध किया था। ये परिणाम मई 1991 में बर्कले, कैलिफोर्निया में गणितीय विज्ञान अनुसंधान संस्थान (एमएसआरआई) में एक सम्मेलन में गणितज्ञों के सामने प्रस्तुत किए गए थे। इस सम्मेलन के दौरान, यह देखा गया कि कैंडेलस ने तर्कसंगत वक्रों की गिनती के लिए जिन संख्याओं की गणना की थी, उनमें से एक संख्या इससे असहमत थी। नॉर्वेवासियों गणितज्ञ गीर एलिंग्सरुड और स्टीन एरिल्ड स्ट्रोमे द्वारा स्पष्ट रूप से अधिक कठोर तकनीकों का उपयोग करके प्राप्त की गई संख्या। सम्मेलन में कई गणितज्ञों ने माना कि कैंडेलस के काम में गलती थी क्योंकि यह कठोर गणितीय तर्कों पर आधारित नहीं था। हालाँकि, अपने समाधान की जांच करने के बाद, एलिंग्सरुड और स्ट्रोमे को अपने कंप्यूटर कोड में एक त्रुटि का पता चला और कोड को ठीक करने पर, उन्हें एक उत्तर मिला जो कैंडेलस और उनके सहयोगियों द्वारा प्राप्त उत्तर से मेल खाता था। 1990 में, एडवर्ड विटन ने टोपोलॉजिकल स्ट्रिंग सिद्धांत पेश किया, स्ट्रिंग सिद्धांत का एक सरलीकृत संस्करण, और भौतिकविदों ने दिखाया कि टोपोलॉजिकल स्ट्रिंग सिद्धांत के लिए दर्पण समरूपता का एक संस्करण है। टोपोलॉजिकल स्ट्रिंग सिद्धांत के बारे में यह कथन आमतौर पर गणितीय साहित्य में दर्पण समरूपता की परिभाषा के रूप में लिया जाता है। 1994 में गणितज्ञों की अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस में एक संबोधन में, गणितज्ञ मैक्सिम कोंटसेविच ने टोपोलॉजिकल स्ट्रिंग सिद्धांत में दर्पण समरूपता के भौतिक विचार के आधार पर एक नया गणितीय अनुमान प्रस्तुत किया। होमोलॉजिकल मिरर समरूपता के रूप में जाना जाता है, यह अनुमान दो गणितीय संरचनाओं के समतुल्य के रूप में दर्पण समरूपता को औपचारिक बनाता है: कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड पर सुसंगत शीव्स की व्युत्पन्न श्रेणी और इसके दर्पण की फुकाया श्रेणी। इसके अलावा 1995 के आसपास, कोंटसेविच ने कैंडेलस के परिणामों का विश्लेषण किया, जिसने क्विंटिक तीन गुना  पर तर्कसंगत वक्रों की गिनती की समस्या के लिए एक सामान्य सूत्र दिया, और उन्होंने इन परिणामों को एक सटीक गणितीय अनुमान के रूप में दोबारा तैयार किया। 1996 में, अलेक्जेंडर गिवेनटल ने एक पेपर पोस्ट किया जिसमें कोंटसेविच के इस अनुमान को साबित करने का दावा किया गया था। प्रारंभ में, कई गणितज्ञों को यह पेपर समझने में कठिनाई हुई, इसलिए इसकी शुद्धता पर संदेह था। इसके बाद, बोंग लियान,  केई फेंग एल आईयू  और शिंग-तुंग याउ ने पत्रों की एक श्रृंखला में एक स्वतंत्र प्रमाण प्रकाशित किया। पहला प्रमाण किसने प्रकाशित किया था, इस पर विवाद के बावजूद, इन पत्रों को अब सामूहिक रूप से दर्पण समरूपता का उपयोग करके भौतिकविदों द्वारा प्राप्त परिणामों का गणितीय प्रमाण प्रदान करने के रूप में देखा जाता है। 2000 में, केंटारो होरी और कमरुन वफ़ा ने टी-द्वैत पर आधारित दर्पण समरूपता का एक और भौतिक प्रमाण दिया।

रीमैन सतह पर सीमाओं के साथ स्ट्रिंग के संदर्भ में प्रमुख विकास के साथ दर्पण समरूपता पर काम आज भी जारी है। इसके अलावा, दर्पण समरूपता गणित अनुसंधान के कई सक्रिय क्षेत्रों से संबंधित रही है, जैसे मैके पत्राचार, टोपोलॉजिकल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और दीवार पार करना का सिद्धांत। साथ ही, बुनियादी सवाल परेशान करते रहते हैं। उदाहरण के लिए, गणितज्ञों को अभी भी इस बात की समझ नहीं है कि दर्पण कैलाबी-याउ जोड़े के उदाहरण कैसे बनाए जाएं, हालांकि इस मुद्दे को समझने में प्रगति हुई है।

गणनात्मक ज्यामिति
दर्पण समरूपता के कई महत्वपूर्ण गणितीय अनुप्रयोग गणित की उस शाखा से संबंधित हैं जिसे संख्यात्मक ज्यामिति कहा जाता है। गणनात्मक ज्यामिति में, व्यक्ति आमतौर पर बीजगणितीय ज्यामिति की तकनीकों का उपयोग करके, ज्यामितीय प्रश्नों के समाधानों की संख्या गिनने में रुचि रखता है। गणनात्मक ज्यामिति की सबसे प्रारंभिक समस्याओं में से एक वर्ष 200 ईसा पूर्व के आसपास पेरगा के प्राचीन यूनानी गणितज्ञ अपोलोनियस द्वारा प्रस्तुत की गई थी, जिन्होंने पूछा था कि समतल में कितने वृत्त दिए गए तीन वृत्तों के स्पर्शरेखा हैं। सामान्य तौर पर, अपोलोनियस की समस्या का समाधान यह है कि ऐसे आठ वृत्त हैं।

गणित में गणनात्मक समस्याएं अक्सर ज्यामितीय वस्तुओं के एक वर्ग से संबंधित होती हैं जिन्हें बीजगणितीय किस्में कहा जाता है जो बहुपदों के लुप्त होने से परिभाषित होती हैं। उदाहरण के लिए, क्लेब्स क्यूबिक (चित्रण देखें) को चार चर वाले बहुपद तीन की डिग्री के एक निश्चित बहुपद का उपयोग करके परिभाषित किया गया है। उन्नीसवीं सदी के गणितज्ञों आर्थर केली और जॉर्ज सैल्मन के एक प्रसिद्ध परिणाम में कहा गया है कि ऐसी सतह पर पूरी तरह से 27 सीधी रेखाएँ होती हैं। इस समस्या को सामान्यीकृत करते हुए, कोई यह पूछ सकता है कि क्विंटिक कैलाबी-याउ मैनिफ़ोल्ड पर कितनी रेखाएँ खींची जा सकती हैं, जैसे कि ऊपर चित्रित एक, जिसे डिग्री पाँच के बहुपद द्वारा परिभाषित किया गया है। इस समस्या को उन्नीसवीं सदी के जर्मन गणितज्ञ हरमन शूबर्ट ने हल किया, जिन्होंने पाया कि ऐसी कुल 2,875 रेखाएँ हैं। 1986 में, जियोमीटर शेल्डन काट्ज़ ने साबित किया कि वक्रों की संख्या, जैसे कि वृत्त, जो डिग्री दो के बहुपदों द्वारा परिभाषित होते हैं और पूरी तरह से क्विंटिक में स्थित होते हैं, 609,250 हैं।

वर्ष 1991 तक, गणनात्मक ज्यामिति की अधिकांश शास्त्रीय समस्याएं हल हो चुकी थीं और गणनात्मक ज्यामिति में रुचि कम होने लगी थी। गणितज्ञ मार्क ग्रॉस (गणितज्ञ) के अनुसार, चूंकि पुरानी समस्याएं हल हो गई थीं, इसलिए लोग आधुनिक तकनीकों के साथ शुबर्ट की संख्याओं की जांच करने के लिए वापस गए, लेकिन वह काफी पुरानी हो रही थी। मई 1991 में इस क्षेत्र को फिर से जीवंत किया गया जब भौतिक विज्ञानी फिलिप कैंडेलस, ज़ेनिया डे ला ओसा, पॉल ग्रीन और लिंडा पार्क्स ने दिखाया कि दर्पण समरूपता का उपयोग क्विंटिक कैलाबी-याउ पर डिग्री तीन वक्रों की संख्या की गणना करने के लिए किया जा सकता है। कैंडेलस और उनके सहयोगियों ने पाया कि इन छह-आयामी कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड्स में डिग्री तीन के बिल्कुल 317,206,375 वक्र हो सकते हैं।

क्विंटिक थ्री-फोल्ड पर डिग्री-तीन वक्रों की गिनती के अलावा, कैंडेलस और उनके सहयोगियों ने तर्कसंगत वक्रों की गिनती के लिए कई सामान्य परिणाम प्राप्त किए जो गणितज्ञों द्वारा प्राप्त परिणामों से कहीं आगे निकल गए। हालाँकि इस कार्य में प्रयुक्त विधियाँ भौतिक अंतर्ज्ञान पर आधारित थीं, गणितज्ञों ने दर्पण समरूपता की कुछ भविष्यवाणियों को गणितीय प्रमाण के रूप में प्रस्तुत किया है। विशेष रूप से, दर्पण समरूपता की गणनात्मक भविष्यवाणियाँ अब कठोरता से सिद्ध हो चुकी हैं।

सैद्धांतिक भौतिकी
गणनात्मक ज्यामिति में इसके अनुप्रयोगों के अलावा, स्ट्रिंग सिद्धांत में गणना करने के लिए दर्पण समरूपता एक मौलिक उपकरण है। टोपोलॉजिकल स्ट्रिंग सिद्धांत के ए-मॉडल में, भौतिक रूप से दिलचस्प मात्राओं को ग्रोमोव-विटन इनवेरिएंट्स कहे जाने वाले अनंत संख्याओं के रूप में व्यक्त किया जाता है, जिनकी गणना करना बेहद मुश्किल है। बी-मॉडल में, गणनाओं को शास्त्रीय अभिन्न  में कम किया जा सकता है और यह बहुत आसान है। दर्पण समरूपता लागू करके, सिद्धांतकार ए-मॉडल में कठिन गणनाओं को बी-मॉडल में समकक्ष लेकिन तकनीकी रूप से आसान गणनाओं में अनुवाद कर सकते हैं। फिर इन गणनाओं का उपयोग स्ट्रिंग सिद्धांत में विभिन्न भौतिक प्रक्रियाओं की संभावनाओं को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। एक सिद्धांत में गणनाओं को दूसरे सिद्धांत में समकक्ष गणनाओं में अनुवाद करने के लिए दर्पण समरूपता को अन्य द्वंद्वों के साथ जोड़ा जा सकता है। इस तरह से गणनाओं को विभिन्न सिद्धांतों पर आउटसोर्स करके, सिद्धांतकार उन मात्राओं की गणना कर सकते हैं जिनकी गणना द्वैत के उपयोग के बिना असंभव है। स्ट्रिंग सिद्धांत के बाहर, दर्पण समरूपता का उपयोग क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के पहलुओं को समझने के लिए किया जाता है, औपचारिकता जिसका उपयोग भौतिक विज्ञानी प्राथमिक कणों का वर्णन करने के लिए करते हैं। उदाहरण के लिए, गेज सिद्धांत कण भौतिकी के मानक मॉडल और सैद्धांतिक भौतिकी के अन्य भागों में प्रदर्शित होने वाले अत्यधिक सममित भौतिक सिद्धांतों का एक वर्ग है। कुछ गेज सिद्धांत जो मानक मॉडल का हिस्सा नहीं हैं, लेकिन फिर भी सैद्धांतिक कारणों से महत्वपूर्ण हैं, लगभग एकवचन पृष्ठभूमि पर प्रचारित स्ट्रिंग्स से उत्पन्न होते हैं। ऐसे सिद्धांतों के लिए, दर्पण समरूपता एक उपयोगी कम्प्यूटेशनल उपकरण है। दरअसल, दर्पण समरूपता का उपयोग चार स्पेसटाइम आयामों में एक महत्वपूर्ण गेज सिद्धांत में गणना करने के लिए किया जा सकता है जिसका अध्ययन नाथन सीबर्ग और एडवर्ड विटन द्वारा किया गया था और यह डोनाल्डसन अपरिवर्तनीय  के संदर्भ में गणित में भी परिचित है। दर्पण समरूपता का एक सामान्यीकरण भी है जिसे 3डी दर्पण समरूपता कहा जाता है जो तीन स्पेसटाइम आयामों में क्वांटम क्षेत्र सिद्धांतों के जोड़े से संबंधित है।

होमोलॉजिकल मिरर समरूपता
भौतिकी में स्ट्रिंग सिद्धांत और संबंधित सिद्धांतों में, ब्रैन एक भौतिक वस्तु है जो एक बिंदु कण की धारणा को उच्च आयामों तक सामान्यीकृत करती है। उदाहरण के लिए, एक बिंदु कण को ​​आयाम शून्य के ब्रैन के रूप में देखा जा सकता है, जबकि एक स्ट्रिंग को आयाम एक के ब्रैन के रूप में देखा जा सकता है। उच्च-आयामी शाखाओं पर विचार करना भी संभव है। ब्रैन शब्द झिल्ली शब्द से आया है जो द्वि-आयामी ब्रैन को संदर्भित करता है। स्ट्रिंग सिद्धांत में, एक स्ट्रिंग खुली हो सकती है (दो समापन बिंदुओं के साथ एक खंड बना सकती है) या बंद हो सकती है (एक बंद लूप बना सकती है)। डी-ब्रेन ब्रैन का एक महत्वपूर्ण वर्ग है जो तब उत्पन्न होता है जब कोई खुली स्ट्रिंग पर विचार करता है। चूँकि एक खुली स्ट्रिंग स्पेसटाइम के माध्यम से फैलती है, इसके समापन बिंदुओं को डी-ब्रेन पर स्थित होना आवश्यक है। डी-ब्रेन में अक्षर डी एक ऐसी स्थिति को संदर्भित करता है जो इसे संतुष्ट करती है, डिरिचलेट सीमा स्थिति। गणितीय रूप से, ब्रैन्स को एक श्रेणी (गणित) की धारणा का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है। यह एक गणितीय संरचना है जिसमें वस्तुएं शामिल हैं, और वस्तुओं की किसी भी जोड़ी के लिए, उनके बीच आकारिकी का एक सेट होता है। अधिकांश उदाहरणों में, वस्तुएँ गणितीय संरचनाएँ हैं (जैसे सेट (गणित), वेक्टर रिक्त स्थान, या टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान) और इन संरचनाओं के बीच रूपवाद फ़ंक्शन (गणित) हैं। कोई उन श्रेणियों पर भी विचार कर सकता है जहां वस्तुएं डी-ब्रेन और दो ब्रैन के बीच की आकृतियाँ हैं $$\alpha$$ और $$\beta$$ के बीच खिंचे हुए खुले तारों की तरंग क्रियाएँ हैं $$\alpha$$ और $$\beta$$. टोपोलॉजिकल स्ट्रिंग सिद्धांत के बी-मॉडल में, डी-ब्रेन्स अतिरिक्त डेटा के साथ कैलाबी-याउ के जटिल मैनिफोल्ड हैं जो स्ट्रिंग्स के अंतिम बिंदुओं पर चार्ज होने से भौतिक रूप से उत्पन्न होते हैं। सहज रूप से, कोई सबमैनिफोल्ड को कैलाबी-याउ के अंदर अंतर्निहित सतह के रूप में सोच सकता है, हालांकि सबमैनिफोल्ड दो से भिन्न आयामों में भी मौजूद हो सकते हैं। गणितीय भाषा में, इन शाखाओं को अपनी वस्तुओं के रूप में रखने वाली श्रेणी को कैलाबी-यॉ पर सुसंगत शीव्स की व्युत्पन्न श्रेणी के रूप में जाना जाता है। ए-मॉडल में, डी-ब्रेन को फिर से कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड के सबमैनिफोल्ड के रूप में देखा जा सकता है। मोटे तौर पर कहें तो, ये वही हैं जिन्हें गणितज्ञ विशेष लैग्रेंजियन सबमैनिफोल्ड्स कहते हैं। अन्य बातों के अलावा इसका मतलब यह है कि जिस स्थान पर वे बैठते हैं उसका आयाम उनका आधा है, और वे लंबाई-, क्षेत्रफल- या आयतन-न्यूनतम हैं। जिस श्रेणी में ये शाखाएँ वस्तु के रूप में होती हैं, उसे फुकाया श्रेणी कहा जाता है।

सुसंगत ढेरों की व्युत्पन्न श्रेणी का निर्माण जटिल ज्यामिति के उपकरणों का उपयोग करके किया गया है, जो गणित की एक शाखा है जो बीजगणितीय शब्दों में ज्यामितीय वक्रों का वर्णन करती है और बीजगणितीय समीकरणों का उपयोग करके ज्यामितीय समस्याओं को हल करती है। दूसरी ओर, फुकाया श्रेणी का निर्माण सिंपलेक्टिक ज्यामिति का उपयोग करके किया गया है, जो गणित की एक शाखा है जो शास्त्रीय भौतिकी के अध्ययन से उत्पन्न हुई है। सिंपलेक्टिक ज्यामिति एक सिंपलेक्टिक रूप से सुसज्जित स्थानों का अध्ययन करती है, एक गणितीय उपकरण जिसका उपयोग दो-आयामी उदाहरणों में क्षेत्र की गणना करने के लिए किया जा सकता है।

मैक्सिम कोंटसेविच के होमोलॉजिकल मिरर समरूपता अनुमान में कहा गया है कि एक कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड पर सुसंगत शीव्स की व्युत्पन्न श्रेणी एक निश्चित अर्थ में इसके दर्पण की फुकाया श्रेणी के बराबर है। यह तुल्यता टोपोलॉजिकल स्ट्रिंग सिद्धांत में दर्पण समरूपता का एक सटीक गणितीय सूत्रीकरण प्रदान करती है। इसके अलावा, यह ज्यामिति की दो शाखाओं, अर्थात् जटिल और सिम्प्लेक्टिक ज्यामिति, के बीच एक अप्रत्याशित पुल प्रदान करता है।

स्ट्रोमिंगर-यॉ-ज़स्लो अनुमान
दर्पण समरूपता को समझने के लिए एक और दृष्टिकोण 1996 में एंड्रयू स्ट्रोमिंगर, शिंग-तुंग याउ और एरिक ज़ास्लो द्वारा सुझाया गया था। उनके अनुमान के अनुसार, जिसे अब एसवाईजेड अनुमान के रूप में जाना जाता है, दर्पण समरूपता को कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड को सरल टुकड़ों में विभाजित करके और फिर उन्हें दर्पण कैलाबी-याउ प्राप्त करने के लिए परिवर्तित करके समझा जा सकता है। कैलाबी-याउ मैनिफ़ोल्ड का सबसे सरल उदाहरण एक द्वि-आयामी टोरस या डोनट आकार है। इस सतह पर एक वृत्त पर विचार करें जो एक बार डोनट के छेद से होकर गुजरता है। एक उदाहरण चित्र में लाल वृत्त है। एक टोरस पर इसके जैसे अनगिनत वृत्त हैं; वास्तव में, संपूर्ण सतह ऐसे वृत्तों का एक संघ (सेट सिद्धांत) है। कोई सहायक मंडल चुन सकता है $$B$$ (चित्र में गुलाबी वृत्त) इस प्रकार है कि टोरस को विघटित करने वाले अनंत वृत्तों में से प्रत्येक एक बिंदु से होकर गुजरता है $$B$$. इस सहायक वृत्त को अपघटन के वृत्तों को पैरामीट्रिज करने के लिए कहा जाता है, जिसका अर्थ है कि उनके और बिंदुओं के बीच एक पत्राचार है $$B$$. वृत्त $$B$$ हालाँकि, यह केवल एक सूची से कहीं अधिक है, क्योंकि यह यह भी निर्धारित करता है कि इन वृत्तों को टोरस पर कैसे व्यवस्थित किया गया है। यह सहायक स्थान SYZ अनुमान में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

एक टोरस को एक सहायक स्थान द्वारा पैरामीट्रिज्ड टुकड़ों में विभाजित करने के विचार को सामान्यीकृत किया जा सकता है। आयाम को दो से चार वास्तविक आयामों तक बढ़ाने पर, कैलाबी-याउ K3 सतह बन जाता है। जिस प्रकार टोरस को वृत्तों में विघटित किया गया था, उसी प्रकार एक चार-आयामी K3 सतह को दो-आयामी टोरी में विघटित किया जा सकता है। इस मामले में अंतरिक्ष $$B$$ एक साधारण गोला है. गोले पर प्रत्येक बिंदु द्वि-आयामी टोरी में से एक से मेल खाता है, पिंच या गणितीय विलक्षणता टोरी के अनुरूप चौबीस खराब बिंदुओं को छोड़कर।

स्ट्रिंग सिद्धांत में प्राथमिक रुचि के कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड्स के छह आयाम हैं। कोई ऐसे मैनिफोल्ड को 3-टोरस|3-टोरी (त्रि-आयामी वस्तुएं जो टोरस की धारणा को सामान्यीकृत करता है) में 3-गोले द्वारा पैरामीट्रिज्ड में विभाजित कर सकता है। $$B$$ (एक गोले का त्रि-आयामी सामान्यीकरण)। का प्रत्येक बिंदु $$B$$ 3-टोरस से मेल खाता है, असीम रूप से कई खराब बिंदुओं को छोड़कर, जो कैलाबी-यौ पर खंडों का एक ग्रिड जैसा पैटर्न बनाते हैं और एकवचन टोरी के अनुरूप होते हैं। एक बार जब कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड को सरल भागों में विघटित कर दिया जाता है, तो दर्पण समरूपता को सहज ज्यामितीय तरीके से समझा जा सकता है। उदाहरण के तौर पर, ऊपर वर्णित टोरस पर विचार करें। कल्पना कीजिए कि यह टोरस एक भौतिक सिद्धांत के लिए स्पेसटाइम का प्रतिनिधित्व करता है। इस सिद्धांत की मूलभूत वस्तुएँ क्वांटम यांत्रिकी के नियमों के अनुसार अंतरिक्ष-समय के माध्यम से प्रसारित होने वाली तारें होंगी। स्ट्रिंग सिद्धांत के मूल द्वंद्वों में से एक टी-द्वैत है, जो बताता है कि एक स्ट्रिंग त्रिज्या के एक वृत्त के चारों ओर फैलती है $$R$$ त्रिज्या के एक वृत्त के चारों ओर फैलने वाली एक स्ट्रिंग के बराबर है $$1/R$$ इस अर्थ में कि एक विवरण में सभी अवलोकन योग्य मात्राएँ दोहरे विवरण में मात्राओं से पहचानी जाती हैं। उदाहरण के लिए, एक स्ट्रिंग में गति होती है क्योंकि यह एक वृत्त के चारों ओर फैलती है, और यह वृत्त के चारों ओर एक या अधिक बार घूम भी सकती है। किसी वृत्त के चारों ओर डोरी जितनी बार घूमती है उसे वाइंडिंग संख्या कहा जाता है। यदि एक स्ट्रिंग में गति है $$p$$ और घुमावदार संख्या $$n$$ एक विवरण में, इसमें गति होगी $$n$$ और घुमावदार संख्या $$p$$ दोहरे विवरण में. टोरस को विघटित करने वाले सभी वृत्तों पर एक साथ टी-द्वैत लागू करने से, इन वृत्तों की त्रिज्या उलट जाती है, और एक नया टोरस रह जाता है जो मूल की तुलना में मोटा या पतला होता है। यह टोरस मूल कैलाबी-यॉ का दर्पण है। टी-द्वैत को वृत्तों से K3 सतह के अपघटन में दिखने वाले दो-आयामी टोरी तक या छह-आयामी कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड के अपघटन में दिखने वाले त्रि-आयामी टोरी तक बढ़ाया जा सकता है। सामान्य तौर पर, एसवाईजेड अनुमान बताता है कि दर्पण समरूपता इन टोरी के लिए टी-द्वैत के एक साथ अनुप्रयोग के बराबर है। प्रत्येक मामले में, स्थान $$B$$ एक प्रकार का ब्लूप्रिंट प्रदान करता है जो बताता है कि कैसे इन टोरी को कैलाबी-यॉ मैनिफोल्ड में इकट्ठा किया जाता है।

यह भी देखें

 * डोनाल्डसन-थॉमस सिद्धांत
 * दीवार पार करना

पाठ्यपुस्तकें


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