वुडिन कार्डिनल

समुच्चय सिद्धांत में, एक वुडिन कार्डिनल (डब्ल्यू. ह्यूग वुडिन के नाम पर) एक कार्डिनल संख्या $$\lambda$$ जो कि सभी फलनों के लिए है


 * $$f : \lambda \to \lambda$$

एक कार्डिनल $$\kappa < \lambda$$ निहित है


 * $$\{f(\beta) \mid \beta < \kappa \} \subseteq \kappa$$

और एक प्राथमिक एम्बेडिंग


 * $$j : V \to M$$

वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड $$V$$ से एक सकर्मक आंतरिक मॉडल $$M$$ में महत्वपूर्ण बिंदु $$\kappa$$ और


 * $$V_{j(f)(\kappa)} \subseteq M$$ के साथ है।

एक समतुल्य परिभाषा यह है: $$\lambda$$ वुडिन है अगर और केवल अगर $$\lambda$$ दुर्गम कार्डिनल है और सभी $$A \subseteq V_\lambda$$ के लिए एक $$\lambda_A < \lambda$$ निहित है जो $$<\lambda$$-$$A$$-मज़बूत है।

$$\lambda _A$$ $$<\lambda$$-$$A$$-मजबूत होने का मतलब है कि सभी क्रमिक संख्याओं के लिए  $$\alpha < \lambda $$, वहाँ एक $$j: V \to M$$  निहित है जो महत्वपूर्ण बिंदु $$\lambda _A$$, $$j(\lambda _A) > \alpha$$, $$V_\alpha \subseteq M$$ और $$j(A) \cap V_\alpha = A \cap V_\alpha$$ के साथ एक प्राथमिक एम्बेडिंग है। (मजबूत कार्डिनल भी देखें।)

एक वुडिन कार्डिनल मापने योग्य कार्डिनल्स के एक स्थिर समुच्चय से पहले होता है, और इस प्रकार यह एक महलो कार्डिनल है। हालांकि, पहला वुडिन कार्डिनल कमजोर रूप सघन भी नहीं है।

परिणाम
वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत में वुडिन कार्डिनल्स महत्वपूर्ण हैं। डोनाल्ड ए. मार्टिन और जॉन आर. स्टील के परिणाम से, असीमित रूप से कई वुडिन कार्डिनल्स का अस्तित्व प्रोजेक्टिव निर्धारणा से तात्पर्य है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक प्रोजेक्टिव समुच्चय लेबेस्ग औसत दर्जे का है, बेयर गुणधर्म है (एक खुले समुच्चय से अल्प समुच्चय भिन्न होता है, जो कि एक समुच्चय है जो कहीं भी घने समुच्चयों का एक गणनीय संघ नहीं है), और सही समुच्चय गुणधर्म (या तो गणनीय है या एक पूर्ण उपसमुच्चय है)।

दृढ़ संकल्प परिकल्पनाओं का उपयोग करके वुडिन कार्डिनल्स के अस्तित्व की स्थिरता सिद्ध की जा सकती है। ZF+AD+DCमें काम करना सिद्ध कर सकता है कि $$\Theta _0$$ आनुवंशिक रूप से क्रमिक-निश्चित समुच्चयों की कक्षा में वुडिन है। $$\Theta _0$$ पहला क्रमसूचक है जिस पर क्रमसूचक-परिभाषा अनुमान द्वारा निरंतरता को प्रतिचित्रित नहीं किया जा सकता है (देखें Θ (समुच्चय सिद्धांत))।

मिशेल और स्टील ने दिखाया कि एक वुडिन कार्डिनल निहित है, एक वुडिन कार्डिनल युक्त एक आंतरिक मॉडल है जिसमें वास्तविकता का $$\Delta_4^1$$-क्रम है, जो ◊ होल्ड करता है, और सामान्यीकृत सातत्य परिकल्पना धारण करता है।

शेलाह ने सिद्ध किया कि यदि वुडिन कार्डिनल का अस्तित्व सुसंगत है तो यह सुसंगत है कि $$\omega_1$$ पर गैर-स्थिर आदर्श $$\aleph_2$$-संतृप्त है। वुडिन ने असीम रूप से कई वुडिन कार्डिनल्स के अस्तित्व और $$\aleph_1$$के ऊपर एक $$\aleph_1$$-सघन आदर्श अस्तित्व की समानता को भी सिद्ध किया।

हाइपर-वुडिन कार्डिनल्स
एक कार्डिनल संख्या $$\kappa$$ हाइपर-वुडिन कहा जाता है यदि $$\kappa$$ पर एक सामान्य माप $$U$$ निहित है जैसे कि प्रत्येक समुच्चय $$S$$ के लिए, समुच्चय


 * $$\{\lambda < \kappa \mid \lambda$$ है $$< \kappa$$-$$S$$-मजबूत कार्डिनल$$\}$$

$$U$$ में है।

$$\lambda$$ $$<\kappa$$-$$S$$-मजबूत है अगर और केवल अगर प्रत्येक $$\delta < \kappa$$ के लिए एक सकर्मक वर्ग $N$  और एक प्राथमिक एम्बेडिंग है


 * $$j : V \to N$$

साथ


 * $$\lambda = \text{crit}(j),$$
 * $$j(\lambda) \geq \delta $$, और


 * $$j(S) \cap H_\delta = S \cap H_\delta$$.

यह नाम चिर प्रतिष्ठित परिणाम की ओर संकेत करता है कि एक कार्डिनल वुडिन है अगर और केवल अगर हर समुच्चय $$S$$ के लिए, समुच्चय


 * $$\{\lambda < \kappa \mid \lambda$$ है $$< \kappa$$-$$S$$-मजबूत कार्डिनल$$\}$$

एक स्थिर समुच्चय है।

माप $$U$$ में $$\kappa$$ के नीचे सभी शेलाह कार्डिनल्स का समुच्चय होगा।

कमजोर हाइपर-वुडिन कार्डिनल्स
एक कार्डिनल $$\kappa$$ को हाइपर-वुडिन कहा जाता है यदि प्रत्येक समुच्चय $$S$$ के लिए $$\kappa$$ पर एक सामान्य उपाय माप $$U$$ निहित है जैसे कि समुच्चय $$\{\lambda < \kappa \mid \lambda$$ है $$< \kappa$$-$$S$$-मजबूत कार्डिनल$$\}$$ $$U$$ में है। $$\lambda$$ $$<\kappa$$-$$S$$-मजबूत है अगर और केवल अगर प्रत्येक $$\delta < \kappa$$ के लिए में एक सकर्मक वर्ग $$N$$ और एक प्राथमिक एम्बेडिंग $$j : V \to N$$ है जिसमें $$\lambda = \text{crit}(j)$$, $$j(\lambda) \geq \delta$$, और $$j(S) \cap H_\delta = S \cap H_\delta$$ है।

यह नाम चिर प्रतिष्ठित परिणाम की ओर संकेत करता है कि एक कार्डिनल वुडिन है यदि प्रत्येक समुच्चय $$S$$ के लिए, समुच्चय $$\{\lambda < \kappa \mid \lambda$$ है $$< \kappa$$-$$S$$-मजबूत कार्डिनल$$\}$$ स्थिर है।

हाइपर-वुडिन कार्डिनल्स और कमजोर हाइपर-वुडिन कार्डिनल्स के बीच का अंतर यह है कि $$U$$ की पसंद हाइपर-वुडिन कार्डिनल्स और कमजोर हाइपर-वुडिन कार्डिनल्स के बीच का अंतर यह है कि हाइपर-वुडिन कार्डिनल्स के लिए $$S$$ समुच्चय की पसंद पर निर्भर करता है।

अग्रिम पठन

 * For proofs of the two results listed in consequences see Handbook of Set Theory (Eds. Foreman, Kanamori, Magidor) (to appear). Drafts of some chapters are available.
 * Ernest Schimmerling, Woodin cardinals, Shelah cardinals and the Mitchell-Steel core model, Proceedings of the American Mathematical Society 130/11, pp. 3385–3391, 2002, online
 * Ernest Schimmerling, Woodin cardinals, Shelah cardinals and the Mitchell-Steel core model, Proceedings of the American Mathematical Society 130/11, pp. 3385–3391, 2002, online