हार्मोनिक संतुलन

संनादी संतोलक एक ऐसी विधि है जिसका उपयोग गैर-रेखीय अंतर समीकरणों की स्थिर-अवस्था प्रतिक्रिया की गणना करने के लिए किया जाता है और अधिकतर गैर-रैखिक विद्युत परिपथों पर अनुप्रयुक्त किया जाता है। विभिन्न काल-प्रक्षेत्र स्थिर अवस्था विधियों के विपरीत, स्थिर अवस्था की गणना के लिए यह आवृत्ति-प्रक्षेत्र विधि है। संनादी संतोलक विधि का वर्णनात्मक नाम है, जो आवृत्ति प्रक्षेत्र में लिखे गए किरचॉफ के धारा नियम और संनादी की एक चुनी हुई संख्या से प्रारंभ होता है। एक प्रणाली में एक गैर-रैखिक घटक पर अनुप्रयुक्त एक ज्यावक्रीय संकेत मौलिक आवृत्ति के संनादी उत्पन्न करेगा। प्रभावी रूप से विधि मानती है कि समाधान को ज्यावक्रीय के एक रैखिक संयोजन द्वारा दर्शाया जा सकता है, फिर किरचॉफ के नियम को संतुष्ट करने के लिए धारा और वोल्टता ज्यावक्रीय को संतुलित करता है। इस विधि का उपयोग सामान्यतः परिपथ का अनुकरण करने के लिए किया जाता है जिसमें गैर-रैखिक तत्व सम्मिलित होते हैं और यह पुनर्भरण वाली प्रणाली पर सबसे अधिक अनुप्रयुक्त होता है जिसमें सीमित चक्र होते हैं।

विद्युत् अभियान्त्रिकी में संनादी संतोलक विधियों के लिए सूक्ष्मतरंग परिपथ मूल अनुप्रयोग थे। सूक्ष्मतरंग परिपथ अच्छी तरह से अनुकूल थे, क्योंकि ऐतिहासिक रूप से, सूक्ष्मतरंग परिपथ में कई रैखिक घटक होते हैं, जिन्हें आवृत्ति प्रक्षेत्र में दर्शाया जा सकता है, साथ ही कुछ गैर-रैखिक घटक भी होते हैं। प्रणाली का आकार सामान्यतः छोटा था। अधिक सामान्य परिपथों के लिए, इस विधि को 1990 के दशक के मध्य तक इन बहुत छोटे परिपथों को छोड़कर सभी के लिए अव्यावहारिक माना जाता था, जब क्रायलोव उपसमष्‍टि विधियों को समस्या पर अनुप्रयुक्त किया गया था। पूर्वानुकूलित क्रायलोव उपसमष्‍टि विधियों के अनुप्रयोग ने परिपथ के आकार और संनादी की संख्या दोनों में बहुत बड़ी प्रणालियों को हल करने की अनुमति दी। इसने रेडियो-आवृत्ति एकीकृत परिपथ (RFIC) का विश्लेषण करने के लिए संनादी संतोलक विधियों के वर्तमान उपयोग को व्यावहारिक बना दिया।

उदाहरण
अंतर समीकरण $$\ddot x + x^3 = 0$$ पर विचार करें। हम अंसत्ज़ समाधान $$x = A \cos(\omega t)$$ का उपयोग करते हैं और प्लगन करने पर, हमें प्राप्त होता है: $$-A\omega^2 \cos(\omega t) + A^3 \frac 14 (\cos(3\omega t) + 3\cos(\omega t) ) = 0$$ फिर $$\cos(\omega t)$$ पद का मिलान करके, हमारे पास $$\omega = \sqrt{\frac 34} A$$ है, जो सन्निकट समय $$T = \frac{2\pi}{\omega} \approx \frac{7.2552}{A}$$ देता है।

अधिक सटीक सन्निकटन के लिए, हम अंसत्ज़ समाधान $$x = A_1 \cos(\omega t) + A_3 \cos(3\omega t)$$ का उपयोग करते हैं। फिर $$\cos(\omega t)$$, $$\cos(3\omega t)$$ पद का प्लगन और मिलान करके, हम नियमित बीजगणित के बाद प्राप्त करते हैं: $$\omega = \sqrt{\frac 34} A_1 \sqrt{1 + y + 2y^2}, \quad y = A_3/A_1, \quad 51y^3 + 27 y^2 + 21 y - 1 = 0$$ $$y$$ के लिए घन समीकरण की केवल एक ही वास्तविक वर्गमूल $$y \approx 0.0448$$ है। इसके साथ, हम एक सन्निकट समय प्राप्त करते हैं: $$T = \frac{2\pi(1+y)}{\sqrt{\frac 34} A \sqrt{1 + y + 2y^2}} \approx \frac{7.402}{A}$$इस प्रकार हम सटीक समाधान $$T = 7.4163\cdots/A$$ तक पहुंचते हैं।

कलन विधि
संनादी संतोलक कलन विधि गैलेरकिन की विधि का एक विशेष संस्करण है। इसका उपयोग समीकरणों की स्वायत्त और गैर-स्वायत्त अंतर-बीजगणितीय प्रणालियों के आवधिक समाधान की गणना के लिए किया जाता है: गैर-स्वायत्त प्रणालियों का विवेचन स्वायत्त प्रणालियों के विवेचन की तुलना में थोड़ा सरल है। एक गैर-स्वायत्त डीएई प्रणाली का प्रतिनिधित्व है।

0=F(t,x,\dot x) $$ पर्याप्त सहज फलन $$F:\mathbb{R}\times\mathbb{C}^n\times\mathbb{C}^n\rightarrow\mathbb{C}^n$$ के साथ, जहाँ $$n$$ समीकरणों की संख्या है और $$t,x,\dot x$$ समय के लिए परोक्षी, अज्ञात के सदिश और समय-व्युत्पन्न के सदिश हैं।

यदि फलन $$t\in\mathbb{R}\mapsto F(t,x,\dot x)$$ है तो प्रणाली गैर-स्वायत्त है, (कुछ) निश्चित $$x$$ और $$\dot x$$ के लिए स्थिर नहीं है, फिर भी, हमें आवश्यकता है कि एक ज्ञात उत्तेजन समय $$T>0$$ ऐसा है कि $$t\in\mathbb{R}\mapsto F(t,x,\dot x)$$, $$T$$-आवधिक है।

व्यवस्था समीकरणों का $$T$$-आवधिक समाधान सोबोलेव समष्‍टि है, $$H^1_{\rm per}((0,T),\mathbb{C}^n)$$ के लिए एक स्वाभाविक पदान्वेषी निर्धारित किया गया है। अंतराल $$[0,T]$$ पर दुर्बलतापूर्वक भिन्न फलनों की आवधिक सीमा स्थितियों के साथ $$x(0)=x(T)$$ है। हम मानते हैं कि सहजता और संरचना $$F$$, $$F(t,x(t),\dot x(t))$$ सुनिश्चित करता है कि सभी के लिए वर्ग-पूर्णांक $$x\in H^1_{\rm per}((0,T),\mathbb{C}^n)$$ है।

प्रणाली $$B:=\left\{\psi_k \mid k\in\mathbb{Z}\right\}$$ संनादी फलनों $$\psi_k:=\exp\left(i k\frac{2\pi t}{T}\right)$$ का एक शाउडर आधार $$H^1_{\rm per}((0,T),\mathbb{C}^n)$$ है और एक हिल्बर्ट समष्‍टि: $$H:=L^2([0,T],\mathbb{C})$$ का हिल्बर्ट आधार बनाता है। इसलिए, प्रत्येक समाधान पदान्वेषी $$x\in H^1_{\rm per}((0,T),\mathbb{C}^n)$$ को फूरिये-श्रृंखला $$x(t)=\sum_{k=-\infty}^\infty \hat x_k \exp\left(i k\frac{2\pi t}{T}\right) $$द्वारा दर्शाया जा सकता है। फूरिये-गुणांक $$\hat x_k:=\frac1T\int_0^T\psi^*_k(t)\cdot x(t)dt$$ के साथ और यदि प्रत्येक आधार फलनों $$\psi\in B$$ विचरण समीकरण के लिए व्यवस्था समीकरण दुर्बल अर्थों में संतुष्ट है।

0=\langle \psi, F(t,x,\dot x)\rangle_H := \frac 1 T \int_0^T \psi^*(t) \cdot F(t,x,\dot x) dt $$ यह विचरण समीकरण अदिश समीकरणों के अनंत अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करता है क्योंकि इसे आधार फलनों $$\psi$$ में $$B$$ की अनंत संख्या के लिए परीक्षण किया जाना है।

संनादी संतोलक के लिए गैलेरकिन दृष्टिकोण पदान्वेषी समुच्चय के साथ-साथ परिमित आधार $$B_N:=\{\psi_k \mid k\in\mathbb{Z}\text{ with } -N \leq k \leq N\}$$ द्वारा फैले हुए परिमित आयामी उप-समष्‍टि के लिए परिवर्तनीय समीकरण के लिए परीक्षण स्थान को प्रक्षिप्त करना है।

यह परिमित-आयामी हल $$ x(t) = \sum_{k=-N}^N \hat x_k \psi_k(t) = \sum_{k=-N}^N \hat x_k \exp\left(i k \frac{2\pi t}{T}\right)$$ और समीकरणों का परिमित समुच्चय $$ 0 = \langle \psi_k, F(t,x,\dot x)\rangle\quad\text{ with }k=-N,\ldots,N $$ देता है,

जिसे संख्यात्मक रूप से हल किया जा सकता है।

इलेक्ट्रानिकी के विशेष संदर्भ में कलन विधि आवृत्ति-प्रक्षेत्र में लिखे किरचॉफ के धारा नियम से प्रारंभ होता है। प्रक्रिया की दक्षता बढ़ाने के लिए, परिपथ को इसके रैखिक और गैर-रैखिक भागों में विभाजित किया जा सकता है, क्योंकि रैखिक भाग को आवृत्ति प्रक्षेत्र में सीधे नोडीय विश्लेषण का उपयोग करके सरलता से वर्णित और गणना की जाती है।

सर्वप्रथम, समाधान के लिए प्रारंभिक अनुमान लगाया जाता है, फिर पुनरावृत्त प्रक्रिया जारी रहती है:


 * 1) $$I_\text{linear}$$ आवृत्ति प्रक्षेत्र में, वोल्टेज $$V$$ रैखिक भाग की धाराओं की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है।
 * 2) फिर वोल्टेज $$V$$ का उपयोग अरैखिक भाग $$I_\text{nonlinear}$$ में, धाराओं की गणना करने के लिए किया जाता है, चूंकि अरैखिक उपकरणों को समय प्रक्षेत्र, आवृत्ति-प्रक्षेत्र वोल्टेज में वर्णित किया गया है। $$V$$ को काल प्रक्षेत्र में परिवर्तित कर दिया जाता है, सामान्यतः व्युत्क्रम द्रूत फूरिये रूपांतरण का उपयोग करते हुए। फिर गैर-रैखिक उपकरणों का मूल्यांकन काल-प्रक्षेत्र वोल्टेज तरंगों का उपयोग करके उनके काल-प्रक्षेत्र धाराओं का उत्पादन करने के लिए किया जाता है। फिर धाराएँ वापस आवृत्ति प्रक्षेत्र में परिवर्तित हो जाती हैं।
 * 3) किरचॉफ के परिपथ नियमों के अनुसार, धाराओं $$\epsilon = I_\text{linear} + I_\text{nonlinear} = 0$$ का योग शून्य होना चाहिए। एक पुनरावृत्त प्रक्रिया, सामान्यतः न्यूटन पुनरावृत्ति का उपयोग नेटवर्क वोल्टेज $$V$$ को अद्यतन करने के लिए किया जाता है जैसे कि धारा अवशिष्ट $$\epsilon$$ कम किया गया है।  इस चरण के लिए जैकोबियन के सूत्रीकरण $$\tfrac{d\epsilon}{dV}$$ की आवश्यकता है।

अभिसरण तब होता है जब $$\epsilon$$ स्वीकार्य रूप से छोटा है, जिस बिंदु पर स्थिर-अवस्था समाधान के सभी वोल्टेज और धाराएं ज्ञात होती हैं, जिन्हें प्रायः फूरिये गुणांक के रूप में दर्शाया जाता है।