ज्यामितीय चरण

चिरसम्मत यांत्रिकी और क्वांटम यांत्रिकी में, ज्यामितीय चरण आवृत्ति (भौतिकी) के दौरान हासिल किया गया एक चरण अंतर होता है, जब प्रणाली चक्रीय रूद्धोष्म प्रक्रम (क्वांटम यांत्रिकी) के अधीन होती है, जो कि ज्यामितीय गुणों से उत्पन्न होती है। हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) का प्राचल समष्टि घटना स्वतंत्र रूप से एस पंचरत्नम (1956) द्वारा खोजी गई थी, चिरसम्मत प्रकाशिकी में और क्रिस्टोफर लॉन्गेट-हिगिंस द्वारा एच. सी. लॉन्गेट-हिगिंस (1958) आणविक भौतिकी में; इसे (1984) में माइकल बेरी (भौतिक विज्ञानी) द्वारा सामान्यीकृत किया गया था। इसे पंचरत्नम-बेरी चरण, पंचरत्नम चरण या बेरी चरण के रूप में भी जाना जाता है। इसे संभावित ऊर्जा सतह और अहरोनोव-बोहम प्रभाव में के शंक्वाकार सर्वनिष्ठ में देखा जा सकता है । शंक्वाकार सर्वनिष्ठ के चारों ओर ज्यामितीय चरण सी की जमीनी इलेक्ट्रॉनिक C6H3F3+ स्थिति को सम्मिलित करता है बंकर और जेन्सेन द्वारा पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 385-386 पर आणविक आयन पर चर्चा की गई है। अहरोनोव-बोहम प्रभाव के मामले में, स्थिरोष्म मापदंड दो व्यतिकरण पथों से घिरा चुंबकीय क्षेत्र है, और यह इस अर्थ में चक्रीय है कि ये दो पथ लूप बनाते हैं। शंक्वाकार सर्वनिष्ठ के मामले में, स्थिरोष्म मापदंड आणविक ज्यामिति हैं। क्वांटम यांत्रिकी के अतिरिक्त, यह चिरसम्मत प्रकाशिकी जैसे कई अन्य तरंग प्रणालियों में उत्पन्न होता है। एक नियम के रूप में, यह तब हो सकता है जब कम से कम दो मापदंड होते हैं जो किसी प्रकार की विलक्षणता या टोपोलॉजी में रन्ध्र के सामीप्य के क्षेत्र में तरंगकी विशेषता रखते हैं; दो मापदंडों की आवश्यकता होती है क्योंकि या तो नॉनसिंगुलर स्टेट्स का सेट आसानी से जुड़ा नहीं होगा, या नॉनजीरो समविधिता होती हैं।

तरंगों की विशेषता आयाम और चरण (तरंगें) हैं, और उन मापदंडों के अभिलक्षक के रूप में भिन्न होते हैं। ज्यामितीय चरण तब होता है जब दोनों मापदंडों को एक साथ लेकिन बहुत धीरे-धीरे (स्थिरोष्म रूप से) बदल दिया जाता है, और अंततः प्रारंभिक समाकृति में वापस लाया जाता है। क्वांटम यांत्रिकी में, इसमें घूर्णन सम्मिलित हो सकता है, लेकिन कणों का अंतरण भी हो सकता है, जो स्पष्ट रूप से अंत में पूर्ववत हैं। कोई उम्मीद कर सकता है कि प्रणाली में तरंगें प्रारंभिक अवस्था में वापस आ जाती हैं, जैसा कि आयाम और चरणों (और समय बीतने के लिए लेखांकन) की विशेषता है। हालाँकि, यदि मापदंड भ्रमण स्व-पुनर्लेखन बैक-एंड-फॉरवर्ड भिन्नता के अतिरिक्त लूप के अनुरूप है, तो यह संभव है कि प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाएँ उनके चरणों में भिन्न होती हैं। यह चरण अंतर ज्यामितीय चरण है, और इसकी घटना सामान्यतः इंगित करती है कि मापदंडों के कुछ संयोजन के लिए प्रणाली की मापदंड निर्भरता गणितीय विलक्षणता है (इसकी स्थिति अपरिभाषित है)।

तरंग प्रणाली में ज्यामितीय चरण को मापने के लिए, व्यतिकरण (तरंग प्रसार) प्रयोग की आवश्यकता होती है। फौकॉल्ट लोलक चिरसम्मत यांत्रिकी से उदाहरण है जिसे कभी-कभी ज्यामितीय चरण को चित्रित करने के लिए प्रयोग किया जाता है। ज्यामितीय चरण के इस यांत्रिकी अनुरूप को हन्ने कोण के रूप में जाना जाता है।

क्वांटम यांत्रिकी में बेरी चरण
n-वें ईजेनस्टेट के क्वांटम प्रणाली में, हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) का स्थिरोष्म प्रमेय विकास देखता है कि प्रणाली हैमिल्टनियन के n-वें ईजेनस्टेट में रहता है, जबकि एक चरण कारक भी प्राप्त करता है। प्राप्त चरण में अवस्था के समय के विकास से योगदान होता है और दूसरा हेमिल्टनियन के साथ ईजेनस्टेट की भिन्नता से होता है। दूसरा शब्द बेरी चरण से मेल खाता है, और हैमिल्टनियन के गैर-चक्रीय रूपांतरों के लिए इसे विकास के प्रत्येक बिंदु पर हैमिल्टनियन के ईजेनस्टेट से जुड़े चरण की अलग पसंद से गायब करने के लिए बनाया जा सकता है।

हालाँकि, यदि भिन्नता चक्रीय है, तो बेरी चरण को रद्द नहीं किया जा सकता है; यह अपरिवर्तनीय (भौतिकी) है और प्रणाली की अवलोकन योग्य गुण बन जाती है। ज़िट्सक्रिफ्ट फर फिजिकी 51, 165 (1928) में मैक्स बोर्न और व्लादिमीर फॉक द्वारा दिए गए स्थिरोष्म प्रमेय के प्रमाण की समीक्षा करके, हम रूद्धोष्म प्रक्रम के संपूर्ण परिवर्तन को चरण अवधि में चित्रित कर सकते हैं। रूद्धोष्म सन्निकटन के अनुसार, रूद्धोष्म प्रक्रिया के अनुसार n-वें ईजेनस्टेट का गुणांक द्वारा दिया जाता है $$ C_n(t) = C_n(0) \exp\left[-\int_0^t \langle\psi_n(t')|\dot\psi_n(t')\rangle \,dt'\right] = C_n(0) e^{i\gamma_n(t)}, $$ जहाँ $$\gamma_n(t)$$ मापदंड t के संबंध में बेरी का चरण है। चर t को सामान्यीकृत मापदंडों में बदलकर, हम बेरी के चरण को फिर से लिख सकते हैं $$ \gamma_n[C] = i\oint_C \langle n, t| \big(\nabla_R |n, t\rangle\big)\,dR, $$ जहाँ $$R$$ चक्रीय रूद्धोष्म प्रक्रम को प्राचलीकरण करता है। ध्यान दें कि का सामान्यीकरण $$|n, t\rangle$$ तात्पर्य यह है कि इंटीग्रैंड अधिकल्पित है, इसलिए $$\gamma_n[C]$$ यह वास्तविक है। उचित प्राचल समष्टि में यह बंद पथ $$C$$ का अनुसरण करता है। बंद पथ के साथ ज्यामितीय चरण $$C$$ द्वारा संलग्न सतह पर बेरी कनेक्शन और वक्रता को एकीकृत करके भी गणना की जा सकती है $$C$$।

फौकॉल्ट लोलक
फौकॉल्ट लोलक सबसे आसान उदाहरणों में से एक है। ज्यामितीय चरणों के संदर्भ में एक आसान व्याख्या विल्जेक और शापेरे द्वारा दी गई है:

"जब पेंडुलम को सामान्य पथ 'C' के चारों ओर ले जाया जाता है तो कैसे आगे बढ़ता है? भूमध्य रेखा के साथ परिवहन के लिए, पेंडुलम पूर्वगामी नहीं होगा। [...] अब यदि C जियोडेसिक खंडों से बना है, तो पूर्वसरण सभी उन कोणों से आएंगे जहां जियोडेसिक्स के खंड मिलते हैं; कुल पुरस्सरण शुद्ध घाटा कोण के बराबर है जो बदले में C modulo 2π द्वारा परिबद्ध ठोस कोण के बराबर है। अंत में, हम किसी भी लूप को जियोडेसिक सेगमेंट के अनुक्रम द्वारा अनुमानित कर सकते हैं, इसलिए सबसे सामान्य परिणाम (गोले की सतह पर या उसके बाहर) यह है कि शुद्ध पुरस्सरण संलग्न ठोस कोण के बराबर है।"

इसे दूसरे शब्दों में कहें तो, कोई जड़त्वीय बल नहीं है जो लोलक को पूर्वगामी बना सकता है, इसलिए पुरस्सरण (पथ की गति की दिशा के सापेक्ष जिसके साथ लोलक ले जाया जाता है) पूरी तरह से इस पथ के मोड़ के कारण है। इस प्रकार लोलक का अभिविन्यास समानांतर परिवहन से गुजरता है। मूल फौकॉल्ट लोलक के लिए, पथ अक्षांश का चक्र है, और गॉस-बोनट प्रमेय द्वारा, चरण बदलाव को संलग्न ठोस कोण द्वारा दिया जाता है।

ऑप्टिकल फाइबर में ध्रुवीकृत प्रकाश
एक दूसरा उदाहरण रैखिक रूप से ध्रुवीकृत प्रकाश है जो सिंगल-मोड ऑप्टिकल फाइबर में प्रवेश करता है। मान लीजिए कि फाइबर समष्टि में कुछ पथ का पता लगाता है, और प्रकाश फाइबर में प्रवेश करते ही उसी दिशा में बाहर निकल जाता है। फिर प्रारंभिक और अंतिम ध्रुवीकरणों की तुलना करता है। अर्धशास्त्रीय सन्निकटन में फाइबर तरंगपथक के रूप में कार्य करता है, और प्रकाश की गति हर समय फाइबर को स्पर्श करती है। ध्रुवीकरण को गति के लंबवत अभिविन्यास के रूप में माना जा सकता है। जैसा कि फाइबर अपने पथ का पता लगाता है, प्रकाश की संवेग सदिश गति समष्टि में गोले पर पथ का पता लगाती है। पथ बंद है, क्योंकि प्रकाश की प्रारंभिक और अंतिम दिशाएं मेल खाती हैं, और ध्रुवीकरण गोले के लिए सदिश स्पर्शरेखा है। गति स्थान में जाना गॉस नक्शा लेने के बराबर है। ऐसी कोई ताकत नहीं है जो ध्रुवीकरण को मोड़ सकती है, बस गोले के स्पर्शरेखा बने रहने की बाधा है। इस प्रकार ध्रुवीकरण समानांतर परिवहन से गुजरता है, और चरण बदलाव संलग्न ठोस कोण (स्पिन के समय, जो प्रकाश के मामले में 1 है) द्वारा दिया जाता है।

प्रसंभाव्य पंप प्रभाव
औसत पर, मापदंडों के आवधिक परिवर्तनों के लिए धाराएं प्रसंभाव्य पंप चिरसम्मत प्रसंभाव्य प्रणाली है जो गैर-शून्य के साथ प्रतिक्रिया करता है। प्रसंभाव्य पंप प्रभाव की व्याख्या प्रसंभाव्य धाराओं के क्षण उत्पन्न करने वाले कार्य के विकास में ज्यामितीय चरण के रूप में की जा सकती है।

स्पिन 1⁄2
चुंबकीय क्षेत्र में स्पिन -1⁄2 कण के लिए ज्यामितीय चरण का सटीक मूल्यांकन किया जा सकता है।

अट्रैक्टर पर परिभाषित ज्यामितीय चरण
जबकि बेरी के सूत्रीकरण को मूल रूप से रैखिक हैमिल्टनियन प्रणालियों के लिए परिभाषित किया गया था, यह जल्द ही निंग और हेकेन द्वारा महसूस किया गया था इसी तरह के ज्यामितीय चरण को पूरी तरह से अलग-अलग प्रणालियों के लिए परिभाषित किया जा सकता है जैसे कि अरैखिक क्षणिक प्रणाली जिसमें कुछ चक्रीय आकर्षण होते हैं। उन्होंने दिखाया कि इस तरह के चक्रीय आकर्षण कुछ समरूपता वाले गैर-रैखिक विघटनकारी प्रणालियों के एक वर्ग में सम्मिलित हैं।

आणविक रुद्धोष्म संभावित सतह सर्वनिष्ठ में एक्सपोजर
बोर्न-ओपेनहाइमर ढांचे के भीतर अणुओं में ज्यामितीय चरण की गणना करने के कई तरीके हैं। एक तरीका "गैर-स्थिरोष्म कपलिंग के माध्यम से है $$M \times M$$ आव्यूह" द्वारा परिभाषित $$ \tau_{ij}^\mu = \langle \psi_i | \partial^\mu \psi_j \rangle, $$ जहाँ $$\psi_i$$ स्थिरोष्म इलेक्ट्रॉनिक तरंग फलन है, जो परमाणु मापदंडों $$R_\mu$$ पर निर्भर करता है क्षेत्र सिद्धांत में विल्सन लूप (1974) के अनुरूप लूप इंटीग्रल को परिभाषित करने के लिए अरूद्धोष्म कपलिंग का उपयोग किया जा सकता है, जिसे एम. बेयर (1975, 1980, 2000) द्वारा आणविक ढांचे के लिए स्वतंत्र रूप से विकसित किया गया है। एक बंद लूप दिया $$\Gamma$$, द्वारा परिचालित किया गया $$R_\mu(t),$$ जहाँ $$t \in [0, 1]$$ मापदंड है, और $$R_\mu(t + 1) = R_\mu(t)$$. D-आव्यूह द्वारा दिया गया है $$ D[\Gamma] = \hat{P} e^{\oint_\Gamma \tau^\mu \,dR_\mu}$$ (यहाँ $$\hat{P}$$ पथ क्रम देने वाला प्रतीक है)। इसे एक बार दिखाया जा सकता है $$M$$ काफी बड़ा है (अर्थात पर्याप्त संख्या में इलेक्ट्रॉनिक अवस्था पर विचार किया जाता है), यह आव्यूह विकर्ण है, विकर्ण तत्वों के बराबर $$e^{i\beta_j},$$ जहाँ $$\beta_j$$ के लिए लूप से जुड़े ज्यामितीय चरण हैं $$j$$-वाँ रुद्धोष्म इलेक्ट्रॉनिक अवस्था है।

कालोत्क्रमण सममित इलेक्ट्रॉनिक हैमिल्टन के लिए ज्यामितीय चरण लूप द्वारा घिरे शंक्वाकार सर्वनिष्ठ की संख्या को दर्शाता है। अधिक सटीकता से, $$ e^{i\beta_j} = (-1)^{N_j}, $$ जहाँ $$N_j$$ रूद्धोष्म अवस्था से जुड़े शंक्वाकार सर्वनिष्ठ की संख्या है $$\psi_j$$ पाश से घिरा हुआ है $$\Gamma.$$

D-आव्यूह दृष्टिकोण का विकल्प पंचरत्नम चरण की सीधी गणना होती है। यह विशेष रूप से उपयोगी होता है यदि कोई केवल रुद्धोष्म स्थिति के ज्यामितीय चरणों में रुचि रखता है। इस दृष्टिकोण में, संख्या लेता है $$N + 1$$ बिंदुओं का $$(n = 0, \dots, N)$$ पाश के साथ $$R(t_n)$$ साथ $$t_0 = 0$$ और $$t_N = 1,$$ तब केवल j-वें रूद्धोष्म अवस्थाओं का उपयोग करना $$\psi_j[R(t_n)]$$ ओवरलैप के पंचरत्नम उत्पाद की गणना करता है: $$ I_j(\Gamma, N) = \prod\limits_{n=0}^{N-1} \langle \psi_j[R(t_n)] | \psi_j[R(t_{n+1})] \rangle. $$ सीमा में $$N \to \infty $$ है (व्याख्या और कुछ अनुप्रयोगों के लिए रयब और बेयर 2004 देखें) $$ I_j(\Gamma, N) \to e^{i\beta_j}. $$

ज्यामितीय चरण और साइक्लोट्रॉन गति का परिमाणीकरण
चुंबकीय क्षेत्र के अधीन इलेक्ट्रॉन $$B$$ वृत्ताकार (साइक्लोट्रॉन) कक्षा में गति करता है। चिरसम्मत रूप से, कोई भी साइक्लोट्रॉन त्रिज्या $$R_c$$ को स्वीकार करता है। क्वांटम-यांत्रिक रूप से, केवल असतत ऊर्जा स्तर (लैंडौ परिमाणीकरण) की अनुमति है, और तब से $$R_c$$ इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा से संबंधित है, यह के परिमाणित मानों $$R_c$$ के अनुरूप है। श्रोडिंगर के समीकरण को हल करके प्राप्त ऊर्जा परिमाणीकरण की स्थिति, उदाहरण के लिए है, $$E = (n + \alpha)\hbar\omega_c,$$ $$\alpha = 1/2$$ मुक्त इलेक्ट्रॉनों के लिए (निर्वात में) या $E = v \sqrt{2(n + \alpha)eB\hbar},\quad \alpha = 0$ ग्राफीन में इलेक्ट्रॉनों के लिए, जहाँ $$n = 0, 1, 2, \ldots$$. चूंकि इन परिणामों की व्युत्पत्ति मुश्किल नहीं है, उन्हें प्राप्त करने का वैकल्पिक तरीका है, जो कुछ स्थितियों में लैंडौ स्तर के परिमाणीकरण में बेहतर भौतिक अंतर्दृष्टि प्रदान करता है। यह वैकल्पिक तरीका सेमीक्लासिकल बोह्र-सोमरफेल्ड परिमाणीकरण स्थिति पर आधारित है $$ \hbar\oint d\mathbf{r} \cdot \mathbf{k} - e\oint d\mathbf{r}\cdot\mathbf{A} + \hbar\gamma = 2 \pi \hbar (n + 1/2), $$ जिसमें ज्यामितीय चरण $$\gamma$$ सम्मिलित है इलेक्ट्रॉन द्वारा उठाया गया जबकि यह साइक्लोट्रॉन कक्षा के बंद लूप के साथ अपनी (वास्तविक-समष्टि) गति को निष्पादित करता है। मुक्त इलेक्ट्रॉनों के लिए, $$\gamma = 0,$$ जबकि $$\gamma = \pi$$ ग्राफीन में इलेक्ट्रॉनों के लिए निष्पादित करता है। यह पता चला है कि ज्यामितीय चरण सीधे $$\alpha = 1/2$$ मुक्त इलेक्ट्रॉनों की और $$\alpha = 0$$ ग्राफीन में इलेक्ट्रॉनों से जुड़ा हुआ है।

यह भी देखें

 * रीमैन वक्रता टेन्सर - गणित से संबंध के लिए
 * बेरी कनेक्शन और वक्रता
 * चेर्न वर्ग
 * ऑप्टिकल रोटेशन
 * वाइंडिंग नंबर

टिप्पणियाँ
For simplicity, we consider electrons confined to a plane, such as 2DEG and magnetic field perpendicular to the plane.

$$\omega_c = e B / m$$ is the cyclotron frequency (for free electrons) and $$v$$ is the Fermi velocity (of electrons in graphene).

स्रोत

 * (गणितीय उपचार के लिए अध्याय 13 देखें)
 * अन्य भौतिक घटनाओं (जैसे जाह्न-टेलर प्रभाव) के कनेक्शनों पर यहां चर्चा की गई है: html बेरी का ज्यामितीय चरण: एक समीक्षा
 * कोलगेट विश्वविद्यालय में प्रोफेसर गैल्वेज़ द्वारा पेपर, प्रकाशिकी में ज्यामितीय चरण का वर्णन: प्रकाशिकी में ज्यामितीय चरण के अनुप्रयोग
 * सूर्य गांगुली, चिरसम्मत भौतिकी में फाइबर बंडल और गेज सिद्धांत: का एक एकीकृत विवरण गिरती बिल्लियाँ, चुंबकीय मोनोपोल और बेरी का चरण
 * रॉबर्ट बैटरमैन, फॉलिंग कैट्स, पैरेलल पार्किंग, एंड पोलराइज़्ड लाइट
 * एम. बेयर, इलेक्ट्रॉनिक गैर-स्थिरोष्म संक्रमण: सामान्य रुद्धोष्म-मधुमेह रूपांतरण आव्यूह की व्युत्पत्ति मोल। भौतिक। 40, 1011 (1980);
 * एम. बेयर, 2.पीडीएफ डायबिटिक पोटेंशिअल का अस्तित्व और गैर-डायबिटिक आव्यूह का परिमाणीकरण, जे. फिज। रसायन। ए 104, 3181–3184 (2000)।
 * एम. बेयर, इलेक्ट्रॉनिक गैर-स्थिरोष्म संक्रमण: सामान्य रुद्धोष्म-मधुमेह रूपांतरण आव्यूह की व्युत्पत्ति मोल। भौतिक। 40, 1011 (1980);
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 * एम. बेयर, 2.पीडीएफ डायबिटिक पोटेंशिअल का अस्तित्व और गैर-डायबिटिक आव्यूह का परिमाणीकरण, जे. फिज। रसायन। ए 104, 3181–3184 (2000)।

अग्रिम पठन

 * Michael V. Berry, The geometric phase, Scientific American 259 (6) (1988), 26–34.