परिमित संबंध

गणित में, समुच्चय X1, ..., Xn पर परिमित संबंध कार्तीय गुणनफल  X1 × ⋯ × Xn का एक उपसमुच्चय है; अर्थात यह n-टपल   (x1, ..., xn) का एक समुच्चय है जिसमें Xi  में  xi अवयव सम्मिलित हैं।  विशिष्ट रूप से, संबंध n-टपल के अवयवों के बीच एक संभावित संबंध का वर्णन करता है। उदाहरण के लिए, संबंध x, y से विभाज्य है और z में 3-टपल  का समुच्चय होता है जैसे कि जब क्रमशः x, y और z को प्रतिस्थापित किया जाता है, तो वाक्य को सत्य बनाते हैं।

संबंध में स्थानों की संख्या देने वाले गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n को संबंध की विषमता, अनुकूलता या परिमाण कहा जाता है। n स्थानों के साथ संबंध को विभिन्न प्रकार से 'n-एरी संबंध', 'n-एडिक संबंध' या 'n परिमाण का संबंध' कहा जाता है। स्थानों की एक सीमित संख्या के साथ संबंधों को परिमित संबंध कहा जाता है (या संदर्भ स्पष्ट होने पर मात्र संबंध)। अनुक्रम के साथ असीमित संबंधों की अवधारणा को सामान्यीकृत करना भी संभव है।

समुच्चय  X1, ..., Xn पर एक n-एरी संबंध, X1 × ⋯ × Xn के   घात समुच्चय का एक अवयव है।

0-एरी संबंध मात्र दो सदस्यों की गिनती करते हैं: एक जो सदैव  अधिकृत करता है, और वह जो कभी अधिकृत नहीं करता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि मात्र  एक 0-टपल, खाली टपल  है। वे कभी-कभी गणितीय प्रेरण तर्क के आधार मामले के निर्माण के लिए उपयोगी होते हैं।

यूनरी संबंधों को सदस्यों के संग्रह के रूप में देखा जा सकता है (जैसे [[नोबेल पुरस्कार]] विजेताओं का संग्रह) जिसमें कुछ संपत्ति होती है (जैसे कि नोबेल पुरस्कार से सम्मानित किया गया)।

बाइनरी संबंध अंतिम संबंधों का सबसे अधिक अध्ययन किया जाने वाला रूप है। जब एक्स1 = एक्स2 इसे सजातीय संबंध कहा जाता है, उदाहरण के लिए: अन्यथा यह एक विषम संबंध है, उदाहरण के लिए:
 * समानता (गणित) और असमानता (गणित), जैसे बयानों में = और < जैसे संकेतों द्वारा निरूपित5 < 12, या
 * भाजक, चिह्न द्वारा निरूपित | 13|143 जैसे बयानों में।
 * अवयव (गणित), जैसे बयानों में ∈ चिह्न द्वारा दर्शाया गया है1 ∈ N ।

उदाहरण
त्रैमासिक संबंध पर विचार करें R x सोचता है कि y लोगों के समूह पर z को पसंद करता है P = {Alice, Bob, Charles, Denise}, द्वारा परिभाषित:
 * R = {(Alice, Bob, Denise), (Charles, Alice, Bob), (Charles, Charles, Alice), (Denise, Denise, Denise)}।

R को निम्न तालिका द्वारा समान रूप से दर्शाया जा सकता है:

यहाँ, प्रत्येक पंक्ति R के एक ट्रिपल का प्रतिनिधित्व करती है, अर्थात यह x के रूप में एक बयान देती है जो सोचती है कि y को z पसंद है। उदाहरण के लिए, पहली पंक्ति बताती है कि ऐलिस सोचती है कि बॉब डेनिस को पसंद करता है। सभी पंक्तियां अलग हैं। पंक्तियों का क्रम नगण्य है लेकिन स्तंभों का क्रम महत्वपूर्ण है।

उपरोक्त तालिका एक संबंधपरक डेटाबेस का एक सरल उदाहरण भी है, एक ऐसा क्षेत्र जिसमें संबंधपरक बीजगणित में निहित सिद्धांत और डेटा प्रबंधन में अनुप्रयोग हैं। हालाँकि, कंप्यूटर वैज्ञानिक, तर्कशास्त्री और गणितज्ञ अलग-अलग धारणाएँ रखते हैं कि एक सामान्य संबंध क्या है और इसमें क्या सम्मिलित है। उदाहरण के लिए, डेटाबेस को अनुभवजन्य डेटा से निपटने के लिए डिज़ाइन किया गया है, जो कि परिभाषा के अनुसार परिमित है, जबकि गणित में, अनंत arity (अर्थात, अनन्त संबंध) के साथ संबंधों पर भी विचार किया जाता है।

परिभाषाएँ
"When two objects, qualities, classes, or attributes, viewed together by the mind, are seen under some connexion, that connexion is called a relation."

- Augustus De Morgan

गणित में सामने आई संबंधों की पहली परिभाषा है:


 * परिभाषा 1: एक n-एरी 'रिलेशन' आर ओवर समुच्चय $X_{1}, ⋯, X_{n}$ कार्तीय गुणनफल का एक उपसमुच्चय है $X_{1} × ⋯ × X_{n}$।

संबंधों की दूसरी परिभाषा एक मुहावरे का उपयोग करती है जो गणित में आम है, यह निर्धारित करते हुए कि फलां और फलां एक n-टपल है ताकि यह सुनिश्चित किया जा सके कि फलां गणितीय वस्तु n अवयवों के साथ गणितीय वस्तुओं के विनिर्देश द्वारा निर्धारित होती है। n समुच्चयों पर संबंध R के मामले में, हैं $n + 1$ चीजें निर्दिष्ट करने के लिए, अर्थात्, एन समुच्चय प्लस उनके कार्तीय गुणनफल का एक उपसमुच्चय। मुहावरे में, यह कहकर व्यक्त किया जाता है कि R एक ($n + 1$)-टपल।


 * परिभाषा 2: एक एन-एरी 'रिलेशन' आर ओवर समुच्चय $X_{1}, ⋯, X_{n}$ एक ($n + 1$)-टपल $(X_{1}, ⋯, X_{n}, G)$ जहां जी कार्तीय गुणनफल का एक उपसमुच्चय है $X_{1} × ⋯ × X_{n}$ को R का ग्राफ कहा जाता है।

एक नियम के रूप में, जो भी परिभाषा सबसे उपयुक्त होती है, उसे उस उद्देश्य के लिए चुना जाएगा, और यदि कभी भी दो परिभाषाओं के बीच अंतर करना आवश्यक हो जाता है, तो दूसरी परिभाषा को संतुष्ट करने वाली इकाई को एक एम्बेडेड या सम्मिलित संबंध कहा जा सकता है।

दोनों कथन $(x_{1}, ⋯, x_{n}) ∈ R$ (पहली परिभाषा के तहत) और $(x_{1}, ⋯, x_{n}) ∈ G$ (दूसरी परिभाषा के तहत) x पढ़ें1, ⋯, एक्सn आर-संबंधित हैं और पोलिश संकेतन का उपयोग करके निरूपित किए जाते हैं $Rx_{1}⋯x_{n}$ और इसके द्वारा रिवर्स पोलिश नोटेशन का उपयोग करना $x_{1}⋯x_{n}R$। ऐसे मामले में जहां आर एक द्विआधारी संबंध है, उन बयानों को इंफिक्स नोटेशन  द्वारा भी निरूपित किया जाता है $x_{1}Rx_{2}$।

निम्नलिखित विचार या तो परिभाषा के तहत लागू होते हैं:
 * समुच्चय एक्सi कहा जाता है $i$वां डोमेन R। पहली परिभाषा के तहत, संबंध विशिष्ट रूप से डोमेन के दिए गए अनुक्रम को निर्धारित नहीं करता है। ऐसे मामले में जहां आर एक द्विआधारी संबंध है, एक्स1 इसे बस बाइनरी रिलेशन # परिभाषा या R, और X के प्रस्थान का समुच्चय भी कहा जाता है2 इसे बाइनरी रिलेशन # परिभाषा या आर के गंतव्य का समुच्चय भी कहा जाता है।
 * जब एक्स के अवयवi रिश्ते हैं, एक्सi R का एक सरल डोमेन कहा जाता है। * के समुच्चय $∀x_{i} ∈ X_{i}$ जिसके लिए मौजूद है $(x_{1}, ⋯, x_{i − 1}, x_{i + 1}, ⋯, x_{n}) ∈ X_{1} × ⋯ × X_{i − 1} × X_{i + 1} × ⋯ × X_{n}$ ऐसा है कि $Rx_{1}⋯x_{i − 1}x_{i}x_{i + 1}⋯x_{n}$ को परिभाषा का वां डोमेन या R का सक्रिय डोमेन कहा जाता है। ऐसे मामले में जहां आर एक द्विआधारी संबंध है, इसकी परिभाषा के पहले डोमेन को मात्र बाइनरी रिलेशन#परिभाषा या आर का सक्रिय डोमेन भी कहा जाता है, और इसकी परिभाषा के दूसरे डोमेन को बाइनरी रिलेशन#परिभाषा या आर का सक्रिय कोडोमेन भी कहा जाता है।
 * जब i}R की परिभाषा का वां डोमेन X के बराबर हैi, R को X पर कुल कहा जाता हैi। ऐसे मामले में जहां R एक द्विआधारी संबंध है, जब R, X पर कुल है1, इसे बाइनरी रिलेशन#विशेष प्रकार के बाइनरी रिलेशंस भी कहा जाता है|बाएं-कुल या सीरियल, और जब आर एक्स पर कुल होता है2, इसे बाइनरी संबंध#विशेष प्रकार के बाइनरी संबंध|सही-कुल या विशेषण भी कहा जाता है।
 * कब $∀x ∀y ∈ X_{i}.$ $∀z ∈ X_{j}.$ $xR_{ij}z &and; yR_{ij}z ⇒ x = y$, कहाँ $i ∈ I$, $j ∈ J$, $R_{ij} = π_{ij} R$, और $\{I, J\}$ के समुच्चय का विभाजन है $\{1, ..., n\}$, R को अद्वितीय कहा जाता है $\{X_{i}\}_{i ∈ I}$, और $\{X_{i}\}_{i ∈ J}$ प्राथमिक कुंजी कहलाती है आर का। उस मामले में जहां आर एक द्विआधारी संबंध है, जब आर {एक्स पर अद्वितीय है1}, इसे बाइनरी संबंध#विशेष प्रकार के बाइनरी संबंध|बाएं-अद्वितीय या अंतःक्षेपी भी कहा जाता है, और जब {X पर R अद्वितीय होता है2}, इसे बाइनरी संबंध#विशेष प्रकार के बाइनरी संबंध|सही-अद्वितीय या कार्यात्मक भी कहा जाता है।
 * जब सभी एक्सi समान समुच्चय X हैं, तो R को X के ऊपर एक n-ऐरी संबंध के रूप में संदर्भित करना आसान है, जिसे सजातीय संबंध कहा जाता है। अन्यथा R को विषमांगी संबंध कहा जाता है।
 * जब कोई Xi खाली है, परिभाषित कार्तीय गुणनफल खाली है, और डोमेन के ऐसे अनुक्रम पर एकमात्र संबंध खाली संबंध है $R = ∅$। इसलिए यह आमतौर पर निर्धारित किया जाता है कि सभी डोमेन खाली नहीं हैं।

एक बूलियन डोमेन बी को दो-अवयव समुच्चय होने दें, कहें, $B = {0, 1}$, जिनके अवयवों की व्याख्या आमतौर पर तार्किक मानों के रूप में की जा सकती है $0 = false$ और $1 = true$। R का संकेतक कार्य, χ द्वारा निरूपितR, बूलियन-मूल्यवान फ़ंक्शन है $χ_{R}: X_{1} × ⋯ × X_{n} → B$, द्वारा परिभाषित $χ_{R}(

(x_{1}, ⋯, x_{n})

) = 1$ अगर $Rx_{1}⋯x_{n}$ और $χ_{R}(

(x_{1}, ⋯, x_{n})

) = 0$ अन्यथा।

अनुप्रयुक्त गणित, कंप्यूटर विज्ञान और सांख्यिकी में, बूलियन-मूल्यवान फ़ंक्शन को n-एरी विधेय (गणित) के रूप में संदर्भित करना आम है। औपचारिक [[तर्क]] और मॉडल सिद्धांत के अधिक अमूर्त दृष्टिकोण से, संबंध आर एक तार्किक मॉडल या एक संबंधपरक संरचना का गठन करता है, जो कुछ n-एरी विधेय प्रतीक के कई संभावित व्याख्या (तर्क) में से एक के रूप में कार्य करता है।

क्योंकि कई वैज्ञानिक विषयों के साथ-साथ गणित और तर्क की कई शाखाओं में संबंध उत्पन्न होते हैं, इसलिए शब्दावली में काफी भिन्नता है। एक संबंधपरक अवधारणा या शब्द के समुच्चय सिद्धांत | समुच्चय-सैद्धांतिक विस्तार (शब्दार्थ) के अलावा, शब्द संबंध का उपयोग संबंधित तार्किक इकाई, या तो समझ (तर्क) को संदर्भित करने के लिए भी किया जा सकता है, जो कि गहनता या सार की समग्रता है। संबंध में सभी अवयवों द्वारा साझा किए गए गुण, या फिर इन अवयवों और इरादों को दर्शाने वाले प्रतीक। इसके अलावा, बाद के अनुनय के कुछ लेखक अधिक ठोस अर्थों के साथ शब्दों का परिचय देते हैं (जैसे किसी दिए गए संबंधपरक अवधारणा के समुच्चय-सैद्धांतिक विस्तार के लिए संबंधपरक संरचना)।

इतिहास
तर्कशास्त्री ऑगस्टस डी मॉर्गन, 1860 के आसपास प्रकाशित अपने काम में, अपने वर्तमान अर्थों की तरह किसी भी चीज़ में संबंध की धारणा को स्पष्ट करने वाले पहले व्यक्ति थे। उन्होंने संबंधों के सिद्धांत में पहला औपचारिक परिणाम भी बताया (डी मॉर्गन और संबंधों पर, मेरिल 1990 देखें)।

चार्ल्स सैंडर्स पियर्स, भगवान फ्रीज का शुक्र है, जॉर्ज कैंटर, रिचर्ड डेडेकिंड और अन्य ने संबंधों के सिद्धांत को आगे बढ़ाया। उनके कई विचार, विशेष रूप से आदेश सिद्धांत  कहे जाने वाले संबंधों पर, गणित के सिद्धांत (1903) में संक्षेपित किए गए थे जहां बर्ट्रेंड रसेल ने इन परिणामों का मुफ्त उपयोग किया था।

1970 में, एडगर एफ। कॉड ने डेटाबेस के लिए एक संबंधपरक मॉडल  प्रस्तावित किया, इस प्रकार डेटा बेस प्रबंधन प्रणालियों के विकास की आशा की।

यह भी देखें

 * घटना संरचना
 * हाइपरग्राफ
 * रिश्तेदारों का तर्क
 * तार्किक मैट्रिक्स
 * आंशिक आदेश
 * विधेय (गणितीय तर्क)
 * प्रोजेक्शन (सेट सिद्धांत)
 * प्रतिवर्त संबंध
 * संबंध बीजगणित
 * संबंधपरक बीजगणित
 * संबंधपरक मॉडल
 * संबंध (दर्शन)

ग्रन्थसूची

 * Bourbaki, N. (1994) Elements of the History of Mathematics, John Meldrum, trans. Springer-Verlag.
 * Carnap, Rudolf (1958) Introduction to Symbolic Logic with Applications. Dover Publications.
 * Halmos, P.R. (1960) Naive Set Theory. Princeton NJ: D. Van Nostrand Company.
 * Lawvere, F.W., and R. Rosebrugh (2003) Sets for Mathematics, Cambridge Univ. Press.
 * Lewis, C.I. (1918) A Survey of Symbolic Logic, Chapter 3: Applications of the Boole—Schröder Algebra, via Internet Archive
 * Lucas, J. R. (1999) Conceptual Roots of Mathematics. Routledge.
 * Maddux, R.D. (2006) Relation Algebras, vol. 150 in "Studies in Logic and the Foundations of Mathematics". Elsevier Science.
 * Merrill, Dan D. (1990) Augustus De Morgan and the logic of relations. Kluwer.
 * Peirce, C.S. (1870), "Description of a Notation for the Logic of Relatives, Resulting from an Amplification of the Conceptions of Boole's Calculus of Logic", Memoirs of the American Academy of Arts and Sciences 9, 317–78, 1870. Reprinted, Collected Papers CP 3.45–149, Chronological Edition CE 2, 359–429.
 * Peirce, C.S. (1984) Writings of Charles S. Peirce: A Chronological Edition, Volume 2, 1867-1871. Peirce Edition Project, eds. Indiana University Press.
 * Russell, Bertrand (1903/1938) The Principles of Mathematics, 2nd ed. Cambridge Univ. Press.
 * Suppes, Patrick (1960/1972) Axiomatic Set Theory. Dover Publications.
 * Tarski, A. (1956/1983) Logic, Semantics, Metamathematics, Papers from 1923 to 1938, J.H. Woodger, trans. 1st edition, Oxford University Press. 2nd edition, J. Corcoran, ed. Indianapolis IN: Hackett Publishing.
 * Ulam, S.M. and Bednarek, A.R. (1990), "On the Theory of Relational Structures and Schemata for Parallel Computation", pp. 477–508 in A.R. Bednarek and Françoise Ulam (eds.), Analogies Between Analogies: The Mathematical Reports of S.M. Ulam and His Los Alamos Collaborators, University of California Press, Berkeley, CA.
 * Ulam, S.M. (1990) Analogies Between Analogies: The Mathematical Reports of S.M. Ulam and His Los Alamos Collaborators in A.R. Bednarek and Françoise Ulam, eds., University of California Press.
 * Roland Fraïssé (2000) [1986] Theory of Relations, North Holland
 * Roland Fraïssé (2000) [1986] Theory of Relations, North Holland