समसंख्याकता

गणित में, दो सेट (गणित) या वर्ग (गणित) ए और बी 'समतुल्य' हैं यदि उनके बीच एक-से-एक पत्राचार (या आक्षेप) मौजूद है, यानी, यदि ए से बी तक कोई फ़ंक्शन (गणित) मौजूद है जैसे कि बी के प्रत्येक तत्व (गणित) के लिए, ए के साथ ए का बिल्कुल एक तत्व एक्स है f(x) = y. कहा जाता है कि समसंख्य समुच्चयों में समान प्रमुखता (तत्वों की संख्या) होती है। कार्डिनैलिटी के अध्ययन को अक्सर समसंख्याकता (संख्या की समानता) कहा जाता है। इसके स्थान पर कभी-कभी इक्विपोलेंस (समानता-की-शक्ति) और इक्विपोटेन्स (समानता-की-शक्ति) शब्द का उपयोग किया जाता है।

समसंख्या में समतुल्य संबंध के विशिष्ट गुण होते हैं। यह कथन कि दो समुच्चय A और B समसंख्यक हैं, आमतौर पर दर्शाया जाता है
 * $$A \approx B \,$$ या $$A \sim B$$, या $$|A|=|B|.$$

द्विभाजन का उपयोग करके समसंकुचितता की परिभाषा को परिमित और अनंत दोनों सेटों पर लागू किया जा सकता है, और यह बताने की अनुमति देता है कि क्या दो सेटों का आकार समान है, भले ही वे अनंत हों। सेट सिद्धांत के आविष्कारक जॉर्ज कैंटर ने 1874 में दिखाया कि एक से अधिक प्रकार की अनंतता है, विशेष रूप से सभी प्राकृतिक संख्याओं का संग्रह और सभी वास्तविक संख्याओं का संग्रह, जबकि दोनों अनंत हैं, समसंख्यक नहीं हैं (कैंटर की पहली अगणनीयता देखें) सबूत)। अपने विवादास्पद 1878 के पेपर में, कैंटर ने स्पष्ट रूप से सेट की शक्ति की धारणा को परिभाषित किया और इसका उपयोग यह साबित करने के लिए किया कि सभी प्राकृतिक संख्याओं का सेट और सभी तर्कसंगत संख्याओं का सेट समतुल्य है (एक उदाहरण जहां एक अनंत सेट का उचित उपसमुच्चय समतुल्य है) मूल सेट), और यह कि वास्तविक संख्याओं की प्रतियों की गणनीय अनंत संख्या का कार्टेशियन उत्पाद भी वास्तविक संख्याओं की एक प्रति के बराबर होता है।

1891 से कैंटर के प्रमेय का तात्पर्य है कि कोई भी सेट अपने स्वयं के सत्ता स्थापित  (इसके सभी उपसमुच्चयों का सेट) के बराबर नहीं है। यह एकल अनंत समुच्चय से प्रारंभ करके अधिक से अधिक अनंत समुच्चयों की परिभाषा की अनुमति देता है।

यदि पसंद का सिद्धांत कायम रहता है, तो किसी सेट की कार्डिनल संख्या को उस कार्डिनैलिटी की सबसे कम क्रमिक संख्या माना जा सकता है (प्रारंभिक क्रमसूचक देखें)। अन्यथा, इसे (स्कॉट की चाल से) उस प्रमुखता वाले न्यूनतम रैंक के सेट के सेट के रूप में माना जा सकता है।

यह कथन कि कोई भी दो सेट या तो समसंख्य हैं या एक की कार्डिनैलिटी दूसरे की तुलना में छोटी है, पसंद के सिद्धांत के बराबर है।

कार्डिनैलिटी
समसंख्य समुच्चयों के बीच एक-से-एक पत्राचार होता है, और कहा जाता है कि उनकी प्रमुखता समान है। समुच्चय X की कार्डिनैलिटी समुच्चय के तत्वों की संख्या का माप है। समसंख्या में समतुल्य संबंध (प्रतिवर्ती संबंध, सममित संबंध और संक्रमणीय संबंध) के विशिष्ट गुण होते हैं: रिफ्लेक्सिविटी: एक सेट ए को देखते हुए, ए पर पहचान फ़ंक्शन ए से खुद पर एक आक्षेप है, यह दर्शाता है कि प्रत्येक सेट ए अपने आप में समतुल्य है: A ~ A.
 * समरूपता: दो सेट ए और बी के बीच प्रत्येक आक्षेप के लिए एक व्युत्क्रम फ़ंक्शन मौजूद है जो बी और ए के बीच एक आक्षेप है, जिसका अर्थ है कि यदि एक सेट ए, सेट बी के बराबर है तो बी भी ए के बराबर है: A ~ B तात्पर्य B ~ A.
 * परिवर्तनशीलता: दो आक्षेपों के साथ तीन सेट ए, बी और सी दिए गए हैं f : A → B और g : B → C, फ़ंक्शन संरचना g ∘ f इन आक्षेपों में से A से C तक का आक्षेप है, इसलिए यदि A और B समसंख्यक हैं और B और C समसंख्यक हैं तो A और C समसंख्यक हैं: A ~ B और B ~ C एक साथ मतलब A ~ C.

किसी सेट की कार्डिनैलिटी को उसके समतुल्य सभी सेटों के समतुल्य वर्ग के रूप में परिभाषित करने का प्रयास ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत, स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत के मानक रूप में समस्याग्रस्त है, क्योंकि किसी भी गैर-रिक्त सेट का समतुल्य वर्ग बहुत बड़ा होगा एक सेट होना: यह एक उचित वर्ग होगा। ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के ढांचे के भीतर, बाइनरी संबंध परिभाषा के अनुसार सेट तक ही सीमित हैं (सेट ए पर एक बाइनरी संबंध कार्टेशियन उत्पाद का एक सबसेट है) A × A), और ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत में सभी सेटों का कोई सेट नहीं है। ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत में, किसी सेट की कार्डिनैलिटी को उसके समतुल्य सभी सेटों के समतुल्य वर्ग के रूप में परिभाषित करने के बजाय, प्रत्येक समतुल्य वर्ग (कार्डिनल असाइनमेंट) के लिए एक प्रतिनिधि (गणित) सेट निर्दिष्ट करने का प्रयास किया जाता है। स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत की कुछ अन्य प्रणालियों में, उदाहरण के लिए वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट सिद्धांत और मोर्स-केली सेट सिद्धांत में, संबंधों को वर्ग (गणित) तक बढ़ाया जाता है।

एक सेट ए को सेट बी की कार्डिनैलिटी से छोटा या उसके बराबर कहा जाता है, यदि ए से बी तक एक-से-एक फ़ंक्शन (एक इंजेक्शन) मौजूद है। इसे दर्शाया गया है |ए| ≤ |बी|. यदि ए और बी समसंख्यक नहीं हैं, तो ए की कार्डिनैलिटी को बी की कार्डिनैलिटी से सख्ती से छोटा कहा जाता है। इसे दर्शाया गया है |ए| < |बी|. यदि पसंद का सिद्धांत मान्य है, तो ट्राइकोटॉमी का नियम कार्डिनल संख्याओं के लिए लागू होता है, ताकि कोई भी दो सेट या तो समतुल्य हों, या एक में दूसरे की तुलना में सख्ती से छोटी कार्डिनलिटी हो। कार्डिनल संख्याओं के लिए ट्राइकोटॉमी का नियम भी पसंद के सिद्धांत को दर्शाता है। श्रोडर-बर्नस्टीन प्रमेय बताता है कि कोई भी दो सेट ए और बी जिसके लिए दो एक-से-एक फ़ंक्शन मौजूद हैं f : A → B और g : B → A समसंख्यक हैं: यदि |ए| ≤ |बी| और |बी| ≤ |ए|, तब |ए| = |बी|. यह प्रमेय पसंद के सिद्धांत पर निर्भर नहीं करता है।

कैंटर का प्रमेय
कैंटर के प्रमेय का तात्पर्य है कि कोई भी सेट अपने पावर सेट (इसके सभी उपसमुच्चयों का सेट) के बराबर नहीं है। यह अनंत सेटों के लिए भी लागू होता है। विशेष रूप से, गणनीय अनंत समुच्चय का घात समुच्चय एक बेशुमार समुच्चय है।

सभी प्राकृतिक संख्याओं से युक्त एक अनंत सेट एन के अस्तित्व को मानने और किसी दिए गए सेट के पावर सेट के अस्तित्व को मानने से अनुक्रम एन, पी(एन), पी() की परिभाषा की अनुमति मिलती है। पी(एन)), P(P(P(N))), …अनंत समुच्चयों का जहां प्रत्येक समुच्चय अपने पूर्ववर्ती समुच्चय का घात समुच्चय है। कैंटर के प्रमेय के अनुसार, इस क्रम में प्रत्येक सेट की कार्डिनैलिटी सख्ती से उसके पूर्ववर्ती सेट की कार्डिनैलिटी से अधिक होती है, जिससे अधिक से अधिक अनंत सेट बनते हैं।

कैंटर के काम की उनके कुछ समकालीनों द्वारा कड़ी आलोचना की गई, उदाहरण के लिए लियोपोल्ड क्रोनकर ने, जो दृढ़ता से वित्तवाद का पालन करते थे गणित के दर्शन ने इस विचार को खारिज कर दिया कि संख्याएँ एक वास्तविक, पूर्ण समग्रता (एक वास्तविक अनंत) बना सकती हैं। हालाँकि, कैंटर के विचारों का दूसरों द्वारा बचाव किया गया, उदाहरण के लिए रिचर्ड डेडेकाइंड द्वारा, और अंततः बड़े पैमाने पर स्वीकार किया गया, डेविड हिल्बर्ट द्वारा दृढ़ता से समर्थन किया गया। अधिक जानकारी के लिए कैंटर के सिद्धांत पर विवाद देखें।

ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के ढांचे के भीतर, पावर सेट का सिद्धांत किसी भी सेट के पावर सेट के अस्तित्व की गारंटी देता है। इसके अलावा, अनंत का सिद्धांत कम से कम एक अनंत सेट के अस्तित्व की गारंटी देता है, अर्थात् प्राकृतिक संख्याओं वाला सेट। वैकल्पिक सेट सिद्धांत हैं, उदा. सामान्य सेट सिद्धांत (जीएसटी), क्रिपके-प्लेटक सेट सिद्धांत, और पॉकेट सेट सिद्धांत (पीएसटी), जो जानबूझकर पावर सेट के सिद्धांत और अनंत के सिद्धांत को छोड़ देते हैं और कैंटर द्वारा प्रस्तावित अनंत के अनंत पदानुक्रम की परिभाषा की अनुमति नहीं देते हैं।

सेट N, P(N), P(P(N)), के अनुरूप कार्डिनैलिटी P(P(P(N))), … बेथ संख्या  हैं $$\beth_0$$, $$\beth_1$$, $$\beth_2$$, $\beth_3$, …, पहले बेथ नंबर के साथ $$\beth_0$$ के बराबर होना $$\aleph_0$$ (एलेफ़ शून्य), किसी भी गणनीय अनंत सेट की कार्डिनैलिटी, और दूसरी बेथ संख्या $$\beth_1$$ के बराबर होना $$\mathfrak c$$, सातत्य की प्रमुखता।

डेडेकाइंड-अनंत सेट
कुछ अवसरों में, समुच्चय S और उसके उचित उपसमुच्चय का समसंख्यक होना संभव है। उदाहरण के लिए, सम प्राकृत संख्याओं का समुच्चय सभी प्राकृत संख्याओं के समुच्चय के बराबर होता है। एक समुच्चय जो स्वयं के उचित उपसमुच्चय के बराबर होता है उसे डेडेकाइंड-अनंत कहा जाता है।

गणनीय विकल्प का सिद्धांत (एसीω), पसंद के सिद्धांत (एसी) का एक कमजोर संस्करण, यह दिखाने के लिए आवश्यक है कि एक सेट जो डेडेकाइंड-अनंत नहीं है वह वास्तव में परिमित सेट है। पसंद के स्वयंसिद्ध (जेडएफ) के बिना ज़र्मेलो-फ़्रैन्केल सेट सिद्धांत के सिद्धांत इतने मजबूत नहीं हैं कि यह साबित कर सकें कि प्रत्येक अनंत सेट डेडेकाइंड-अनंत है, लेकिन गणनीय विकल्प के सिद्धांत के साथ ज़र्मेलो-फ़्रैन्केल सेट सिद्धांत के सिद्धांत (ZF + ACω) काफी मजबूत हैं। डेडेकाइंड द्वारा दी गई परिभाषाओं के अलावा समुच्चयों की परिमितता और अनंतता की अन्य परिभाषाओं के लिए पसंद के स्वयंसिद्ध की आवश्यकता नहीं है, देखें.

सेट संचालन के साथ संगतता
इक्विनोमेरोसिटी एक तरह से बुनियादी सेट संचालन के साथ संगत है जो कार्डिनल अंकगणित की परिभाषा की अनुमति देता है। विशेष रूप से, समसंख्यता असंयुक्त संघों के साथ संगत है: चार सेट ए, बी, सी और डी दिए गए हैं जिनमें एक ओर ए और सी हैं और दूसरी ओर बी और डी जोड़ीवार असंयुक्त हैं और साथ में हैं। A ~ B और C ~ D तब A ∪ C ~ B ∪ D. इसका उपयोग कार्डिनल जोड़ की परिभाषा को उचित ठहराने के लिए किया जाता है।

इसके अलावा, इक्विनोमेरोसिटी कार्टेशियन उत्पादों के साथ संगत है: इन गुणों का उपयोग कार्डिनल गुणन को उचित ठहराने के लिए किया जाता है।
 * अगर A ~ B और C ~ D तब A × C ~ B × D.
 * ए × बी ~ बी × ए
 * (ए × बी) × सी ~ ए × (बी × सी)

दो सेट X और Y दिए जाने पर, Y से X तक सभी फ़ंक्शंस के सेट को X द्वारा दर्शाया जाता हैय. तब निम्नलिखित बयान रहेंगे: इन गुणों का उपयोग कार्डिनल घातांक को उचित ठहराने के लिए किया जाता है।
 * यदि A~B और C~D है तो AC ~ BD.
 * एबी ∪ सी ~ एबी× एसीबी और सी को अलग करने के लिए।
 * (ए × बी)सी~एसी× बीसी
 * (एबी)सी~एबी×सी

इसके अलावा, किसी दिए गए सेट ए (ए के सभी सबसेट का सेट) का पावर सेट सेट 2 के बराबर हैए, सेट ए से बिल्कुल दो तत्वों वाले सेट तक सभी कार्यों का सेट।

श्रेणीबद्ध परिभाषा
श्रेणी सिद्धांत में, सेट की श्रेणी, जिसे सेट कहा जाता है, वह श्रेणी (श्रेणी सिद्धांत) है जिसमें ऑब्जेक्ट (श्रेणी सिद्धांत) के रूप में सभी सेटों का संग्रह और रूपवाद (श्रेणी सिद्धांत) के रूप में सेटों के बीच सभी फ़ंक्शन (गणित) का संग्रह शामिल होता है, जिसमें फ़ंक्शन संरचना रूपवाद की संरचना के रूप में होती है। सेट में, दो सेटों के बीच एक समरूपता वास्तव में एक आक्षेप है, और दो सेट सटीक रूप से समरूप हैं यदि वे सेट में वस्तुओं के रूप में समाकृतिकता हैं।

यह भी देखें

 * संयुक्त वर्ग
 * ह्यूम का सिद्धांत

संदर्भ
Mächtigkeit (Mathematik)