स्टोकेस्टिक प्रक्रिया

संभाव्यता सिद्धांत और संबंधित क्षेत्रों में, स्टोकेस्टिक या यादृच्छिक प्रक्रिया एक गणितीय वस्तु है जिसे सामान्यतः यादृच्छिक वेरिएबल   के अनुक्रमित वर्ग के रूप में परिभाषित किया जाता है। स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं का व्यापक रूप से पद्धति और घटनाओं के गणितीय मॉडल के रूप में उपयोग किया जाता है जो की यादृच्छिक विधि से भिन्न होते हैं। इस प्रकार से उदाहरणों में जीवाणु की जनसंख्या में वृद्धि, थर्मल ध्वनि के कारण उतार-चढ़ाव वाला विद्युत प्रवाह है, या गैस अणु की गति में सम्मिलित है।   स्टोचैस्टिक प्रक्रियाओं में जीव विज्ञान जैसे अनेक विषयों में अनुप्रयोग होते हैं, रसायन विज्ञान , पारिस्थितिकी, तंत्रिका विज्ञान , भौतिक विज्ञान , मूर्ति प्रोद्योगिकी , संकेत प्रसंस्करण , स्टोकेस्टिक नियंत्रण , सूचना सिद्धांत , कंप्यूटर विज्ञान , क्रिप्टोग्राफी और दूरसंचार। इसके अतिरिक्त, वित्त बाजारों में प्रतीत होने वाले यादृच्छिक परिवर्तनों ने वित्त में स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं के व्यापक उपयोग को प्रेरित किया है। इसव प्रकार से अनुप्रयोगों और परिघटनाओं के अध्ययन ने परिवर्तन में नई स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के प्रस्ताव को प्रेरित किया है। किन्तु स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं के उदाहरणों में वीनर प्रक्रिया या ब्राउनियन गति प्रक्रिया सम्मिलित है, अतः पेरिस बोर्स पर मूल्य परिवर्तन का अध्ययन करने के लिए लुई बैचलर द्वारा उपयोग किया गया था, और निश्चित अवधि में होने वाली फोन कॉल की संख्या का अध्ययन करने के लिए ए.के. एरलांग द्वारा उपयोग की जाने वाली पॉइसन प्रक्रिया थी । इन दो स्टोचैस्टिक प्रक्रियाओं को स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के सिद्धांत में अधिक महत्वपूर्ण और केंद्रीय माना जाता है, और अलग-अलग सेटिंग्स और देशों में बैचलर और एरलांग से प्रथम और अंत में बार-बार और स्वतंत्र रूप से खोजे गए थे।

चूंकि रैंडम फलन शब्द का उपयोग स्टोकेस्टिक या रैंडम प्रक्रिया को संदर्भित करने के लिए भी किया जाता है, क्योंकि स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को फलन स्थान में यादृच्छिक तत्व के रूप में भी व्याख्या किया जा सकता है। स्टोचैस्टिक प्रक्रिया और यादृच्छिक प्रक्रिया का उपयोग परस्पर विनिमय के लिए किया जाता है, अधिकांशतः समुच्चय के लिए कोई विशिष्ट गणितीय स्थान नहीं होता है जो यादृच्छिक वेरिएबल   को अनुक्रमित करता है।  किन्तु अधिकांशतः इन दो शब्दों का उपयोग तब किया जाता है जब यादृच्छिक वेरिएबल   को वास्तविक रेखा के पूर्णांक या अंतराल (गणित) द्वारा अनुक्रमित किया जाता है।  यदि यादृच्छिक वेरिएबल   को कार्तीय तल या कुछ उच्च-आयामी यूक्लिडियन स्थान द्वारा अनुक्रमित किया जाता है, तब यादृच्छिक वेरिएबल   के संग्रह को सामान्यतः एक यादृच्छिक क्षेत्र कहा जाता है। स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के मान सदैव संख्या नहीं होते हैं और वे सदिश या अन्य गणितीय वस्तु हो सकते हैं।

इस प्रकार से उनके गणितीय गुणों के आधार पर, स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं को विभिन्न श्रेणियों में बांटा जा सकता है, जिसमें यादृच्छिक चलना सम्मिलित है, मार्टिंगेल (संभाव्यता सिद्धांत), मार्कोव प्रक्रिया एं, लेवी प्रक्रियाएं, गॉसियन प्रक्रियाएं, यादृच्छिक क्षेत्र, नवीनीकरण प्रक्रियाएँ, और शाखाएँ प्रक्रियाएँ भी सम्मिली है । और स्टोचैस्टिक प्रक्रियाओं का अध्ययन संभाव्यता, कलन, रैखिक बीजगणित, समुच्चय सिद्धांत और टोपोलॉजी से गणितीय ज्ञान और विधियों का उपयोग करता है।  इसके अतिरिक्त   गणितीय विश्लेषण की शाखाएं जैसे वास्तविक विश्लेषण , माप सिद्धांत , फूरियर विश्लेषण और कार्यात्मक विश्लेषण सम्मिलित है ।  इस प्रकार से स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के सिद्धांत को गणित में महत्वपूर्ण योगदान माना जाता है और यह सैद्धांतिक कारणों और अनुप्रयोगों दोनों के लिए अनुसंधान का सक्रिय विषय बना हुआ है।

परिचय
स्टोचैस्टिक या यादृच्छिक प्रक्रिया को यादृच्छिक वेरिएबल  के संग्रह के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो कुछ गणितीय समुच्चय द्वारा अनुक्रमित होता है, जिसका अर्थ है कि स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का प्रत्येक यादृच्छिक वेरिएबल   विशिष्ट रूप से समुच्चय में तत्व से जुड़ा होता है।  किन्तु रैंडम वेरिएबल्स को इंडेक्स करने के लिए उपयोग किए जाने वाले समुच्चय को इंडेक्स समुच्चय कहा जाता है। ऐतिहासिक रूप से, सूचकांक समुच्चय वास्तविक रेखा का कुछ उपसमुच्चय था, जैसे कि प्राकृतिक संख्याएं, सूचकांक समुच्चय को समय की व्याख्या देती हैं। जिससे संग्रह में प्रत्येक यादृच्छिक वेरिएबल   समान गणितीय स्थान से मान लेता है जिसे विवृत स्थान के रूप में जाना जाता है। यह अवस्था स्थान हो सकता है, उदाहरण के लिए, पूर्णांक, वास्तविक रेखा या $$n$$-आयामी यूक्लिडियन स्थान है ।  वृद्धि वह राशि है जो स्टोकेस्टिक प्रक्रिया दो सूचकांक मूल्यों के मध्य परिवर्तित होती है, जिसे अधिकांशतः समय में दो बिंदुओं के रूप में व्याख्या किया जाता है।  यादृच्छिकता के कारण स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के अनेक परिणाम (संभाव्यता) हो सकते हैं, और स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के एकल परिणाम को अन्य नामों के साथ, नमूना फलन या प्राप्ति कहा जाता है।



वर्गीकरण
इस प्रकार से स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को अलग-अलग विधियों से वर्गीकृत किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, इसके विवृत स्थान, इसके सूचकांक समुच्चय या यादृच्छिक वेरिएबल  के मध्य निर्भरता है । वर्गीकरण का सामान्य विधि सूचकांक समुच्चय और विवृत स्थान की प्रमुखता है।

अतः समय के रूप में व्याख्या की जाती है, यदि स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के सूचकांक समुच्चय में तत्वों की परिमित या गणनीय संख्या होती है, जैसे कि संख्याओं का परिमित समुच्चय, पूर्णांकों का समुच्चय, या प्राकृतिक संख्याएँ, तब स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को असतत में कहा जाता है। समय। यदि सूचकांक समुच्चय वास्तविक रेखा का कुछ अंतराल है, तब समय को निरंतर समय कहा जाता है। दो प्रकार की स्टोचैस्टिक प्रक्रियाओं को क्रमशः असतत-समय और निरंतर-समय की स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के रूप में संदर्भित किया जाता है। डिस्क्रीट-टाइम स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं का अध्ययन करना सरल माना जाता है क्योंकि निरंतर-समय की प्रक्रियाओं के लिए अधिक उन्नत गणितीय विधियों और ज्ञान की आवश्यकता होती है, विशेष रूप से इंडेक्स समुच्चय के अनगिनत होने के कारण किया गया है । यदि इंडेक्स समुच्चय पूर्णांक है, या उनमें से कुछ उपसमुच्चय है, तब स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को यादृच्छिक क्रम भी कहा जा सकता है।

यदि विवृत स्थान पूर्णांक या प्राकृतिक संख्या है, तब स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को असतत या पूर्णांक-मूल्यवान स्टोकेस्टिक प्रक्रिया कहा जाता है। यदि विवृत स्थान वास्तविक रेखा है, तब स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को वास्तविक-मूल्यवान स्टोचैस्टिक प्रक्रिया या निरंतर विवृत स्थान वाली प्रक्रिया के रूप में संदर्भित किया जाता है। यदि विवृत स्थान $$n$$ है आयामी यूक्लिडियन स्थान, तब स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को कहा जाता है $$n$$-आयामी सदिश प्रक्रिया या $$n$$-सदिश प्रक्रिया कहा जाता है ।

व्युत्पत्ति
इस प्रकार से अंग्रेजी भाषा में स्टोचैस्टिक शब्द मूल रूप से अनुमान लगाने से संबंधित परिभाषा के साथ विशेषण के रूप में प्रयोग किया जाता था, और ग्रीक भाषा के शब्द से उत्पन्न होता है जिसका अर्थ है चिह्न, अनुमान, और ऑक्सफोर्ड इंग्लिश डिक्शनरी का लक्ष्य 1662 को इसकी अधिक प्राचीन घटना के रूप में देता है। मूल रूप से 1713 में लैटिन में प्रकाशित प्रायिकता प्रक्षेपित करने की कला पर अपने कार्य में, जैकब बर्नौली ने एर्स कॉन्जेक्टैंडी सिव स्टोचैस्टिस वाक्यांश का उपयोग किया, जिसका अनुमान दर्शाना या स्टोचैस्टिक्स की कला में अनुवाद किया गया है। लैडिसलॉस बोर्टकिविक्ज़ द्वारा बर्नौली के संदर्भ में इस वाक्यांश का प्रयोग किया गया था जिन्होंने 1917 में जर्मन में स्टोचैस्टिक शब्द को यादृच्छिक अर्थ के साथ लिखा था। स्टोचैस्टिक प्रक्रिया शब्द पहली बार 1934 में जोसेफ डब द्वारा अंग्रेजी में प्रकाशित हुआ था। किन्तु शब्द और विशिष्ट गणितीय परिभाषा के लिए, डोब ने 1934 के और पेपर का दृष्टांत दिया, जहां शब्द स्टोचैस्टिशर प्रोज़ का उपयोग जर्मन में एलेक्जेंडर खिनचिन द्वारा किया गया था, चूंकि जर्मन शब्द का उपयोग पहले किया गया था, उदाहरण के लिए, 1931 में आंद्रेई कोलमोगोरोव द्वारा किया गया था ।

ऑक्सफ़ोर्ड इंग्लिश डिक्शनरी के अनुसार, अंग्रेजी में रैंडम शब्द की प्रारंभिक घटनाएँ इसके वर्तमान अर्थ के साथ, जो कि संयोग या भाग्य से संबंधित है, 16 वीं शताब्दी की तारीख है, जबकि प्रथम रिकॉर्ड किए गए प्रयोग 14 वीं शताब्दी में संज्ञा के अर्थ के रूप में प्रारंभिक हुए थे, और महान गति, बल, या हिंसा (घुड़सवारी, दौड़ना, प्रहार करना आदि में)। यह शब्द स्वयं मध्य फ्रांसीसी शब्द से आया है जिसका अर्थ है गति, अत्यधिक शीघ्रता, और यह संभवतः फ्रांसीसी क्रिया से लिया गया है जिसका अर्थ है दौड़ना या सरपट दौड़ना है । रैंडम प्रोसेस शब्द का पहला लिखित उपस्थिति रूप स्टोकेस्टिक प्रोसेस प्रक्रिया से पहले का है, जिसे ऑक्सफोर्ड इंग्लिश डिक्शनरी भी पर्याय के रूप में देती है, और 1888 में प्रकाशित फ्रांसिस एडगेवर्थ के लेख में इसका उपयोग किया गया था।

शब्दावली
इस प्रकार से स्टोकेस्टिक प्रक्रिया की परिभाषा भिन्न होती है, किन्तु स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को परंपरागत रूप से कुछ समुच्चय द्वारा अनुक्रमित यादृच्छिक वेरिएबल  के संग्रह के रूप में परिभाषित किया जाता है।  किन्तु रैंडम प्रोसेस और स्टोकेस्टिक प्रोसेस को पर्यायवाची माना जाता है और इनका उपयोग दूसरे के लिए किया जाता है, बिना इंडेक्स समुच्चय के स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट किया जाता है।     दोनों संग्रह,  या वर्ग का उपयोग किया जाता है जबकि इंडेक्स समुच्चय के अतिरिक्त, कभी-कभी प्रतिबंध पैरामीटर समुच्चय होती हैं या पैरामीटर स्थान उपयोग किया जाता है।

रैंडम फलन शब्द का उपयोग स्टोकेस्टिक या रैंडम प्रक्रिया को संदर्भित करने के लिए भी किया जाता है, चूंकि कभी-कभी इसका उपयोग केवल तभी किया जाता है जब स्टोकेस्टिक प्रक्रिया वास्तविक मान लेती है।  इस शब्द का उपयोग तब भी किया जाता है जब सूचकांक समुच्चय वास्तविक रेखा के अतिरिक्त अन्य गणितीय स्थान होते हैं, जबकि स्टोचैस्टिक प्रक्रिया और यादृच्छिक प्रक्रिया का उपयोग सामान्यतः तब किया जाता है जब सूचकांक समुच्चय को समय के रूप में व्याख्या किया जाता है,  और अन्य शब्दों का उपयोग किया जाता है जैसे कि यादृच्छिक फ़ील्ड जब इंडेक्स समुच्चय होता है $$n$$-आयामी यूक्लिडियन स्थान $$\mathbb{R}^n$$ या अनेक मैनिफोल्ड है।।

अंकन
इस प्रकार से स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को अन्य विधियों के $$\{X(t)\}_{t\in T} $$, द्वारा निरूपित किया जा सकता है, $$\{X_t\}_{t\in T} $$, $$\{X_t\}$$ $$\{X(t)\}$$ या बस के रूप में $$X$$ या $$X(t)$$, यद्यपि $$X(t)$$ अंकन या फलन संकेतन के दुरुपयोग के रूप में माना जाता है। उदाहरण के लिए, $$X(t)$$ या $$X_t$$ सूचकांक के साथ यादृच्छिक वेरिएबल  को संदर्भित करने के लिए उपयोग किया जाता है $$t$$, और संपूर्ण स्टोकेस्टिक प्रक्रिया नहीं। यदि इंडेक्स $$T=[0,\infty)$$समुच्चय है , तब कोई लिख सकता है, उदाहरण के लिए, $$(X_t , t \geq 0)$$ स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को निरूपित करने के लिए किया गया है ।

बरनौली प्रक्रिया
अधिक सरल स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं में से एक बर्नौली प्रक्रिया है, जो स्वतंत्र और समान रूप से वितरित (आईआईडी) यादृच्छिक वेरिएबल  का एक अनुक्रम है, जहां प्रत्येक यादृच्छिक वेरिएबल   या तो मान एक या शून्य लेता है, मान लीजिए संभावना $$p$$ और शून्य संभावना $$1-p$$ के साथ यह प्रक्रिया इसे एक सिक्के को बार-बार उछालने से जोड़ा जा सकता है, जहां चित आने की संभावना $$p$$ है और उसका मूल्य एक है, जबकि पट का मूल्य शून्य है। दूसरे शब्दों में, बर्नौली प्रक्रिया आईआईडी बर्नौली यादृच्छिक वेरिएबल   का एक अनुक्रम है, जहां प्रत्येक सिक्का फ्लिप बर्नौली ट्राइ का एक उदाहरण है

रैंडम वॉक
रैंडम वॉक स्टोचैस्टिक प्रक्रियाएं हैं जिन्हें सामान्यतः यूक्लिडियन स्थान में आईआईडी यादृच्छिक वेरिएबल  या यादृच्छिक सदिश के योग के रूप में परिभाषित किया जाता है, इसलिए वे ऐसी प्रक्रियाएं हैं जो असतत समय में परिवर्तित हैं।     किन्तु कुछ लोग इस शब्द का उपयोग उन प्रक्रियाओं को संदर्भित करने के लिए भी करते हैं जो निरंतर समय में परिवर्तित रहती हैं, विशेष रूप से वित्त में उपयोग की जाने वाली वीनर प्रक्रिया है, जिसने कुछ भ्रम उत्पन्न किया है, जिसके परिणामस्वरूप इसकी आलोचना हुई है। अन्य विभिन्न प्रकार के रैंडम वॉक परिभाषित हैं, इसलिए उनके विवृत स्थान अन्य गणितीय वस्तुएं हो सकते हैं, जैसे कि जाली और समूह, और सामान्यतः वे अत्यधिक अध्ययन किए जाते हैं और विभिन्न विषयों में अनेक अनुप्रयोग होते हैं।

रैंडम वॉक का एक उत्कृष्ट उदाहरण सरल रैंडम वॉक के रूप में जाना जाता है, जो विवृत स्थान के रूप में पूर्णांक के साथ असतत समय में एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है, और बर्नौली प्रक्रिया पर आधारित है, जहां प्रत्येक बर्नौली वेरिएबल  या तो सकारात्मक मान लेता है या नकारात्मक. दूसरे शब्दों में, सरल रैंडम वॉक पूर्णांकों पर होता है, और इसका मान प्रायिकता के साथ एक बढ़ जाता है, मान लीजिए, $$p$$, या प्रायिकता $$1-p$$, के साथ एक घट जाता है, इसलिए इस रैंडम वॉक का सूचकांक समुच्चय प्राकृतिक संख्या है, जबकि इसकी स्थिति स्थान पूर्णांक है. यदि $$p=0.5$$, इस यादृच्छिक चाल को सममित यादृच्छिक चाल कहा जाता है।

वीनर प्रक्रिया
वीनर प्रक्रिया स्थिर वेतन वृद्धि और स्वतंत्र वृद्धि के साथ स्थिर प्रक्रिया है जो की सामान्य रूप से वेतन वृद्धि के आकार के आधार पर वितरित की जाती है। और वीनर प्रक्रिया का नाम नॉर्बर्ट वीनर के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने अपने गणितीय अस्तित्व को सिद्ध किया, किन्तु इस प्रक्रिया को ब्राउनियन गति प्रक्रिया या सिर्फ ब्राउनियन गति भी कहा जाता है क्योंकि यह तरल पदार्थ में ब्राउनियन आंदोलन के लिए मॉडल के रूप में ऐतिहासिक संबंध है।

अतः संभाव्यता के सिद्धांत में केंद्रीय भूमिका निभाते हुए, वीनर प्रक्रिया को अधिकांशतः अन्य स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं के कनेक्शन के साथ अधिक महत्वपूर्ण और अध्ययनित स्टोकास्टिक प्रक्रिया माना जाता है।     इसका इंडेक्स समुच्चय और विवृत स्थान क्रमशः नॉन-नेगेटिव नंबर और रियल नंबर हैं, इसलिए इसमें निरंतर इंडेक्स समुच्चय और विवृत स्थान दोनों हैं। किन्तु प्रक्रिया को अधिक सामान्यतः परिभाषित किया जा सकता है, इसलिए इसका विवृत स्थान हो सकता है $$n$$-आयामी यूक्लिडियन स्थान   हो सकता है।।  यदि किसी वृद्धि का माध्य शून्य है, तब परिणामी वीनर या ब्राउनियन गति प्रक्रिया को शून्य विचलन कहा जाता है। यदि समय में किन्हीं दो बिंदुओं के लिए वृद्धि का माध्य समय के अंतर को किसी स्थिरांक $$ \mu$$ से गुणा करने के सामान्तर है, जो वास्तविक संख्या है, तब परिणामी स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को विचलन $$ \mu$$ कहा जाता है. लगभग निश्चित रूप से, वीनर प्रक्रिया का नमूना पथ हर स्थान निरंतर होता है किन्तु कहीं भी अलग-अलग फलन नहीं करता है। इसे साधारण रैंडम वॉक का निरंतर संस्करण माना जा सकता है। जो की डोंस्कर के प्रमेय या अपरिवर्तनीय सिद्धांत का विषय है, जिसे कार्यात्मक केंद्रीय सीमा प्रमेय भी कहा जाता है।    यह मात्रात्मक वित्त में केंद्रीय भूमिका निभाता है,  जहां इसका उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, ब्लैक-स्कोल्स-मर्टन मॉडल में किया जाता है । इस प्रक्रिया का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में भी किया जाता है, जिसमें अधिकांश प्राकृतिक विज्ञानों के साथ-साथ सामाजिक विज्ञान की कुछ शाखाएँ भी सम्मिलित हैं, विभिन्न यादृच्छिक घटनाओं के लिए गणितीय मॉडल के रूप में किया जाता है ।

पॉइसन प्रक्रिया
इस प्रकार से पॉइसन प्रक्रिया स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है जिसके विभिन्न रूप और परिभाषाएँ हैं। इसे गिनती प्रक्रिया के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो स्टोकास्टिक प्रक्रिया है जो कुछ समय तक यादृच्छिक संख्या या घटनाओं का प्रतिनिधित्व करती है। शून्य से कुछ दिए गए समय के अंतराल में स्थित प्रक्रिया के बिंदुओं की संख्या पॉइसन यादृच्छिक वेरिएबल   है जो उस समय और कुछ पैरामीटर पर निर्भर करती है। इस प्रक्रिया में इसके विवृत स्थान के रूप में प्राकृतिक संख्याएँ और इसके सूचकांक समुच्चय के रूप में गैर-ऋणात्मक संख्याएँ होती हैं। इस प्रक्रिया को पॉइसन काउंटिंग प्रोसेस भी कहा जाता है, क्योंकि इसे काउंटिंग प्रोसेस के उदाहरण के रूप में समझा जा सकता है।

यदि पॉइसन प्रक्रिया को सकारात्मक स्थिरांक के साथ परिभाषित किया जाता है, तब प्रक्रिया को सजातीय पॉसॉन प्रक्रिया कहा जाता है। किन्तु सजातीय पॉइसन प्रक्रिया स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं जैसे मार्कोव प्रक्रियाओं और लेवी प्रक्रियाओं के महत्वपूर्ण वर्गों का सदस्य है।

सजातीय पॉइसन प्रक्रिया को विभिन्न विधियों से परिभाषित और सामान्यीकृत किया जा सकता है। इसे इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है कि इसका सूचकांक समुच्चय वास्तविक रेखा है, और इस स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को स्थिर पॉइसन प्रक्रिया भी कहा जाता है। यदि पॉइसन प्रक्रिया के पैरामीटर स्थिरांक को कुछ गैर-नकारात्मक पूर्णांक फलन $$t$$ के साथ परिवर्तन दिया जाता है, परिणामी प्रक्रिया को विषम या गैर-सजातीय पॉइसन प्रक्रिया कहा जाता है, जहां प्रक्रिया के बिंदुओं का औसत घनत्व अब स्थिर नहीं है। क्यूइंग थ्योरी में मौलिक प्रक्रिया के रूप में फलन करते हुए, पॉइसन प्रक्रिया गणितीय मॉडल के लिए महत्वपूर्ण प्रक्रिया है, जहां यह निश्चित समय विंडो में बेतरतीब अनेैतिक रूप से होने वाली घटनाओं के मॉडल के लिए आवेदन पाती है।

वास्तविक रेखा पर परिभाषित, पॉइसन प्रक्रिया की व्याख्या स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के रूप में की जा सकती है, अन्य यादृच्छिक वस्तुओं के मध्य एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। किन्तुलेकिन फिर इसे $$n$$-आयामी यूक्लिडियन स्पेस या अन्य गणितीय स्पेस पर परिभाषित किया जा सकता है, जहां इसे अधिकांशतः स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के अतिरिक्त यादृच्छिक समुच्चय या यादृच्छिक गणना माप के रूप में व्याख्या किया जाता है।  इस सेटिंग में, पॉइसन प्रक्रिया, जिसे पॉइसन बिंदु प्रक्रिया भी कहा जाता है, संभाव्यता सिद्धांत में अनुप्रयोगों और सैद्धांतिक कारणों दोनों के लिए अधिक महत्वपूर्ण वस्तुओं में से है। किन्तु यह टिप्पणी की गई है कि पॉइसन प्रक्रिया पर उतना ध्यान नहीं दिया जाता जितना कि इसे देना चाहिए, आंशिक रूप से इसका कारण यह है की   अधिकांशतः वास्तविक रेखा पर ही माना जाता है, न कि अन्य गणितीय स्थानों पर है ।

स्टोकेस्टिक प्रक्रिया
स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को सामान्य संभाव्यता स्थान $$(\Omega, \mathcal{F}, P)$$ पर परिभाषित यादृच्छिक वेरिएबल  के संग्रह के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ $$\Omega$$ नमूना स्थान $$\mathcal{F}$$ है, है $$\sigma$$- सिग्मा-बीजगणित , और $$P$$ संभाव्यता माप है; और यादृच्छिक वेरिएबल , कुछ समुच्चय द्वारा अनुक्रमित $$T$$, सभी समान गणितीय स्थान $$S$$ में मान लेते हैं , जो कुछ $$\sigma$$-बीजगणित $$\Sigma$$ के संबंध में मापने योग्य होना चाहिए.

दूसरे शब्दों में, किसी दिए गए संभाव्यता स्थान के लिए $$(\Omega, \mathcal{F}, P)$$ और मापने योग्य स्थान $$(S,\Sigma)$$, स्टोचैस्टिक प्रक्रिया का संग्रह है $$S$$-मूल्यवान यादृच्छिक वेरिएबल, जिन्हें इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$ \{X(t):t\in T \}. $$

ऐतिहासिक रूप से, प्राकृतिक विज्ञान की अनेक समस्याओं में बिंदु $$t\in T$$ समय का अर्थ था, इसलिए $$X(t)$$ यादृच्छिक वेरिएबल  है जो समय पर देखे गए मान का प्रतिनिधित्व करता है $$t$$. स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को इस रूप में भी लिखा जा सकता है $$ \{X(t,\omega):t\in T \}$$ यह दर्शाने के लिए कि यह वास्तव में दो वेरिएबल का फलन है, $$t\in T$$ और $$\omega\in \Omega$$.

स्टोकेस्टिक प्रक्रिया पर विचार करने के अन्य विधि हैं, उपरोक्त परिभाषा को पारंपरिक माना जाता है। उदाहरण के लिए, स्टोकास्टिक प्रक्रिया को व्याख्या या परिभाषित किया जा सकता है $$S^T$$-मूल्यवान यादृच्छिक वेरिएबल, जहां $$S^T$$ समुच्चय से सभी संभावित फलन (गणित) का स्थान है $$T$$ स्थान में $$S$$. चूंकि सामान्य रूप से फलन-मूल्यवान यादृच्छिक वेरिएबल  के रूप में इस वैकल्पिक परिभाषा को अच्छी तरह से परिभाषित करने के लिए अतिरिक्त नियमितता मान्यताओं की आवश्यकता होती है।

इंडेक्स समुच्चय
समुच्चय $$T$$ इंडेक्स समुच्चय कहा जाता है या पैरामीटर समुच्चय स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का। अधिकांशतः यह समुच्चय वास्तविक रेखा का कुछ उपसमुच्चय होता है, जैसे प्राकृतिक संख्याएँ या अंतराल, जो समुच्चय देता है $$T$$ समय की व्याख्या। इन समुच्चयो के अतिरिक्त, इंडेक्स समुच्चय $$T$$ कुल आदेश या अधिक सामान्य समुच्चय के साथ और समुच्चय हो सकता है, जैसे कार्तीय तल $$R^2$$ या $$n$$-आयामी यूक्लिडियन स्थान, जहां तत्व $$t\in T$$ स्थान में बिंदु का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। जैसा कि कहा गया है पूर्ण रूप से आदेशित इंडेक्स समुच्चय के साथ स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं के लिए अनेक परिणाम और प्रमेय केवल संभव हैं।

विवृत स्थान
गणितीय स्थान $$S$$ स्टोचैस्टिक प्रक्रिया को इसका विवृत स्थान कहा जाता है। इस गणितीय स्थान को पूर्णांक वास्तविक रेखाओं, $$n$$-आयामी यूक्लिडियन रिक्त स्थान, जटिल विमान, या अधिक अमूर्त गणितीय स्थान। विवृत स्थान को उन तत्वों का उपयोग करके परिभाषित किया गया है जो विभिन्न मूल्यों को दर्शाते हैं जो स्टोकेस्टिक प्रक्रिया ले सकती है।  

नमूना समारोह
एक नमूना समारोह एक स्टोकास्टिक प्रक्रिया का एक एकल परिणाम (संभाव्यता) है, इसलिए यह स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के प्रत्येक यादृच्छिक चर के एक संभव मान को लेकर बनता है। अधिक स्पष्ट, यदि $$\{X(t,\omega):t\in T \}$$ स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है, फिर किसी भी बिंदु के लिए $$\omega\in\Omega$$मानचित्र (गणित)

$$ X(\cdot,\omega): T \rightarrow S, $$

इस प्रकार से इसे नमूना फलन कहा जाता है, बोध, या, विशेष रूप से जब $$T$$ समय के रूप में व्याख्या की जाती है, स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का नमूना पथ $$\{X(t,\omega):t\in T \}$$. इसका कारण है कि निश्चित के लिए $$\omega\in\Omega$$, नमूना फलन उपस्थित है जो इंडेक्स समुच्चय को मानचित्र करता है $$T$$ राज्य स्थान के लिए $$S$$. स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के नमूना फलन के अन्य नामों में प्रक्षेपवक्र, पथ फलन सम्मिलित हैं या पथ है ।

वृद्धि
स्टोचैस्टिक प्रक्रिया में वृद्धि एक ही स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के दो यादृच्छिक चर के बीच का अंतर है। एक सूचकांक सेट के साथ एक स्टोचैस्टिक प्रक्रिया के लिए जिसे समय के रूप में व्याख्या किया जा सकता है, वृद्धि एक निश्चित समय अवधि में स्टोकेस्टिक प्रक्रिया में कितना बदलाव है। उदाहरण के लिए, यदि $$\{X(t):t\in T \}$$ राज्य स्थान के साथ एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है $$S$$ और सूचकांक सेट $$T=[0,\infty)$$, फिर किन्हीं दो गैर-ऋणात्मक संख्याओं के लिए $$t_1\in [0,\infty)$$ और $$t_2\in [0,\infty)$$ ऐसा है कि $$t_1\leq t_2$$, के अंतर $$X_{t_2}-X_{t_1}$$ एक है $$S$$-वैल्यूड रैंडम वेरिएबल जिसे इंक्रीमेंट के रूप में जाना जाता है।वेतन वृद्धि में रुचि होने पर, अक्सर राज्य स्थान $$S$$ वास्तविक रेखा या प्राकृतिक संख्या है, लेकिन यह हो सकता है $$n$$-डायमेंशनल यूक्लिडियन स्पेस या अधिक एब्स्ट्रैक्ट स्पेस जैसे कि बनच स्थान

कानून
एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के लिए $$X\colon\Omega \rightarrow S^T$$ संभाव्यता स्थान पर परिभाषित $$(\Omega, \mathcal{F}, P)$$स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का नियम $$X$$ पुशवर्ड उपाय के रूप में परिभाषित किया गया है: <डिव वर्ग = केंद्र>$$ \mu=P\circ X^{-1}, $$ कहां $$P$$ एक संभाव्यता उपाय है, प्रतीक $$\circ $$ फ़ंक्शन संरचना को दर्शाता है और $$X^{-1}$$ मापने योग्य कार्य की पूर्व-छवि है या, समकक्ष, $$S^T$$-मूल्यवान यादृच्छिक चर $$X$$, कहां $$S^T$$ सभी संभव का स्थान है $$S$$के मूल्यवान कार्य $$t\in T$$, इसलिए स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का नियम एक प्रायिकता माप है।

मापने योग्य उपसमुच्चय के लिए $$B$$ का $$S^T$$, की पूर्व-छवि $$X$$ देता है

$$ X^{-1}(B)=\{\omega\in \Omega: X(\omega)\in B \}, $$

इसलिए ए का नियम $$X$$ के रूप में लिखा जा सकता है: $$ \mu(B)=P(\{\omega\in \Omega: X(\omega)\in B \}). $$

स्टोकेस्टिक प्रक्रिया या यादृच्छिक वेरिएबल  के नियम को संभाव्यता नियम, संभाव्यता वितरण या वितरण भी कहा जाता है।

परिमित-आयामी संभाव्यता वितरण
स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के लिए $$X$$ नियम के साथ $$\mu$$, इसके लिए परिमित-आयामी वितरण $$t_1,\dots,t_n\in T$$ की तरह परिभाषित किया गया है:

$$ \mu_{t_1,\dots,t_n} =P\circ (X({t_1}),\dots, X({t_n}))^{-1}, $$

यह उपाय $$\mu_{t_1,..,t_n}$$यादृच्छिक सदिश का संयुक्त वितरण है $$ (X({t_1}),\dots, X({t_n})) $$; इसे नियम के प्रक्षेपण के रूप में देखा जा सकता है $$\mu$$ के परिमित उपसमुच्चय पर $$T$$.

किसी भी औसत दर्जे का उपसमुच्चय के लिए $$C$$ की $$n$$-फोल्ड कार्तीय शक्ति $$S^n=S\times\dots \times S$$, स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के परिमित-आयामी वितरण $$X$$ के रूप में लिखा जा सकता है: $$ \mu_{t_1,\dots,t_n}(C) =P \Big(\big\{\omega\in \Omega: \big( X_{t_1}(\omega), \dots, X_{t_n}(\omega) \big) \in C \big\} \Big). $$

स्टोकास्टिक प्रक्रिया के परिमित-आयामी वितरण दो गणितीय स्थितियों को संतुष्ट करते हैं जिन्हें स्थिरता की स्थिति के रूप में जाना जाता है।

स्थिरता
स्थिरता गणितीय गुण है जो स्टोकास्टिक प्रक्रिया होती है जब उस स्टोकास्टिक प्रक्रिया के सभी यादृच्छिक वेरिएबल  समान रूप से वितरित होते हैं। दूसरे शब्दों में, यदि $$X$$ स्थिर स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है, फिर किसी के लिए भी $$t\in T$$ यादृच्छिक वेरिएबल   $$X_t$$ समान वितरण है, जिसका अर्थ है कि किसी भी समुच्चय के लिए $$n$$ सूचकांक समुच्चय मान $$t_1,\dots, t_n$$, अनुरूप $$n$$ यादृच्छिक वेरिएबल

$$ X_{t_1}, \dots X_{t_n}, $$

सभी का समान प्रायिकता बंटन है। स्थिर स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का सूचकांक समुच्चय सामान्यतः समय के रूप में व्याख्या किया जाता है, इसलिए यह पूर्णांक या वास्तविक रेखा हो सकती है। किन्तु बिंदु प्रक्रियाओं और यादृच्छिक क्षेत्रों के लिए स्थिरता की अवधारणा भी उपस्थित है, जहां सूचकांक समुच्चय की व्याख्या समय के रूप में नहीं की जाती है।

जब इंडेक्स समुच्चय होता है $$T$$ समय के रूप में व्याख्या की जा सकती है, स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को स्थिर कहा जाता है यदि इसके परिमित-आयामी वितरण समय के अनुवाद के अनुसार अपरिवर्तनीय हैं। इस प्रकार की स्टोचैस्टिक प्रक्रिया का उपयोग भौतिक प्रणाली का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है जो स्थिर अवस्था में है, किन्तु फिर भी यादृच्छिक उतार-चढ़ाव का अनुभव करती है। स्थिरता के पीछे अंतर्ज्ञान यह है कि जैसे-जैसे समय बीतता है, स्थिर स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का वितरण समान रहता है। यादृच्छिक वेरिएबल  का क्रम स्थिर स्टोकेस्टिक प्रक्रिया बनाता है, यदि यादृच्छिक वेरिएबल   समान रूप से वितरित किए जाते हैं।

अतः स्टेशनारिटी की उपरोक्त परिभाषा के साथ स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को कभी-कभी जटिलता से स्थिर कहा जाता है, किन्तु स्थिरता के अन्य रूप भी हैं। इस प्रकार से उदाहरण है जब असतत-समय या निरंतर-समय की स्टोकेस्टिक प्रक्रिया $$X$$ व्यापक अर्थों में स्थिर कहा जाता है, तब प्रक्रिया $$X$$ सभी के लिए परिमित दूसरा क्षण है $$t\in T$$ और दो यादृच्छिक वेरिएबल  का सहप्रसरण $$X_t$$ और $$X_{t+h}$$ संख्या $$h$$ पर ही निर्भर करता है सबके लिए $$t\in T$$. अलेक्सांद्र खिनचिन ने व्यापक अर्थों में स्थिरता की संबंधित अवधारणा को प्रस्तुत किया, जिसमें व्यापक अर्थों में सहप्रसरण स्थिरता या स्थिरता सहित अन्य नाम हैं।

निस्पंदन
फिल्ट्रेशन (संभाव्यता सिद्धांत) सिग्मा-अलजेब्रा का बढ़ता हुआ क्रम है जो कुछ प्रायिकता स्थान और इंडेक्स समुच्चय के संबंध में परिभाषित होता है जिसमें कुछ कुल ऑर्डर संबंध होते हैं, जैसे कि इंडेक्स समुच्चय के स्थितियों में वास्तविक संख्याओं का कुछ उपसमुच्चय होता है। अधिक औपचारिक रूप से, यदि स्टोकेस्टिक प्रक्रिया में कुल आदेश के साथ इंडेक्स समुच्चय होता है, तब निस्पंदन $$\{\mathcal{F}_t\}_{t\in T} $$, प्रायिकता स्थान पर $$(\Omega, \mathcal{F}, P)$$ सिग्मा-बीजगणित का वर्ग है जैसे कि $$ \mathcal{F}_s \subseteq \mathcal{F}_t \subseteq  \mathcal{F} $$ सबके लिए $$s \leq t$$, जहाँ $$t, s\in T$$ और $$\leq$$ सूचकांक समुच्चय $$T$$ के कुल   आदेश को दर्शाता है. फिल्ट्रेशन की अवधारणा के साथ, स्टोकेस्टिक प्रक्रिया में निहित सूचना की मात्रा का अध्ययन करना संभव है $$X_t$$ पर $$t\in T$$, जिसे समय $$t$$ के रूप में समझा जा सकता है. निस्पंदन के पीछे अंतर्ज्ञान $$\mathcal{F}_t$$ क्या वह समय है $$t$$ निकलता है, अधिक से अधिक सूचना $$X_t$$ ज्ञात या उपलब्ध है, जिसमें अधिकृत  कर लिया गया है $$\mathcal{F}_t$$, जिसके परिणामस्वरूप सूच्म    और सूच्म    विभाजन होते हैं $$\Omega$$. 

संशोधन
स्टोचैस्टिक प्रक्रिया का एक संशोधन एक अन्य स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है, जो मूल स्टोकेस्टिक प्रक्रिया से निकटता से संबंधित है। अधिक सटीक, एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया $$X$$ जिसका एक ही इंडेक्स सेट है $$T$$, राज्य अंतरिक्ष $$S$$, और संभाव्यता स्थान $$(\Omega,{\cal F},P)$$ एक अन्य स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के रूप में $$Y$$ का परिमार्जन बताया गया है $$Y$$ अगर सभी के लिए $$t\in T$$ निम्नलिखित <डिव वर्ग = केंद्र>$$ P(X_t=Y_t)=1 , $$ रखती है। दो स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं जो एक दूसरे के संशोधन हैं, एक ही परिमित-आयामी कानून है और उन्हें स्टोचैस्टिक रूप से समतुल्य या समतुल्य कहा जाता है।

संशोधन के स्थान पर संस्करण शब्द का भी प्रयोग किया जाता है, चूंकि कुछ लेखक शब्द संस्करण का उपयोग करते हैं जब दो स्टोचैस्टिक प्रक्रियाओं में समान परिमित-आयामी वितरण होते हैं, किन्तु उन्हें अलग-अलग संभावना वाले स्थानों पर परिभाषित किया जा सकता है, इसलिए दो प्रक्रियाएँ जो दूसरे के संशोधन हैं, दूसरे के संस्करण भी हैं, इसके पश्चात अर्थ में, किन्तु विपरीत नहीं है ।

इस प्रकार से निरंतर-समय वास्तविक-मूल्य वाली स्टोचैस्टिक प्रक्रिया अपने वेतन वृद्धि पर कुछ पल की नियम को पूरा करती है, तब कोलमोगोरोव निरंतरता प्रमेय का कहना है कि इस प्रक्रिया का संशोधन उपस्थित है जिसमें संभाव्यता के साथ निरंतर नमूना पथ हैं, इसलिए स्टोकेस्टिक प्रक्रिया में निरंतर संशोधन होता है या संस्करण। प्रमेय को यादृच्छिक क्षेत्रों के लिए भी सामान्यीकृत किया जा सकता है, इसलिए सूचकांक समुच्चय है $$n$$-आयामी यूक्लिडियन स्थान साथ ही साथ आव्युह रिक्त स्थान के साथ उनके राज्य रिक्त स्थान के रूप में स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं के लिए भी सामान्यीकृत किया जा सके।

अप्रभेद्य
दो स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं $$X$$ और $$Y$$ समान प्रायिकता स्थान पर परिभाषित किया गया है $$(\Omega,\mathcal{F},P)$$ ही इंडेक्स समुच्चय के साथ $$T$$ और स्थान निर्धारित करें $$S$$ कहा जाता है कि यदि निम्नलिखित हो तब अप्रभेद्य हो

$$ P(X_t=Y_t  \text{ for all }  t\in T )=1 , $$

रखती है। यदि दो $$X$$ और $$Y$$ दूसरे के संशोधन हैं और तब लगभग निश्चित रूप से निरंतर हैं $$X$$ और $$Y$$ अप्रभेद्य हैं।

पृथक्करणीयता
पृथक्करणीयता संभाव्यता माप के संबंध में इसके सूचकांक समुच्चय के आधार पर स्टोकास्टिक प्रक्रिया की गुण है। इस प्रकार से गुण को ग्रहण किया जाता है जिससे स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के फलन या अनगिनत सूचकांक समुच्चय वाले यादृच्छिक क्षेत्र यादृच्छिक वेरिएबल  बना सकें। स्टोचैस्टिक प्रक्रिया को वियोज्य होने के लिए, अन्य स्थितियों के अतिरिक्त, इसका सूचकांक समुच्चय एक वियोज्य स्थान होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि सूचकांक समुच्चय में घने गणनीय उपसमुच्चय हैं।

अधिक स्पष्ट रूप से, वास्तविक-मूल्यवान निरंतर-समय की स्टोकेस्टिक प्रक्रिया $$X$$ संभाव्यता स्थान के साथ $$(\Omega,{\cal F},P)$$ वियोज्य है यदि इसकी अनुक्रमणिका समुच्चय है $$T$$ सघन गणनीय उपसमुच्चय है $$U\subset T$$ और समुच्चय है $$\Omega_0 \subset \Omega$$ प्रायिकता शून्य है, इसलिए $$P(\Omega_0)=0$$, जैसे कि हर खुले समुच्चय के लिए $$G\subset T$$ और हर बंद समुच्चय $$F\subset \textstyle R =(-\infty,\infty) $$, दो घटनाएँ $$\{ X_t \in F \text{ for all } t \in G\cap U\}$$ और $$\{ X_t \in F \text{ for all }  t \in G\}$$ के उपसमुच्चय पर दूसरे से भिन्न होते हैं $$\Omega_0$$.

पृथक्करण की परिभाषा अन्य इंडेक्स समुच्चय और विवृत स्थान के लिए भी कहा जा सकता है, जैसे यादृच्छिक क्षेत्रों के स्थितियों में, जहां सूचकांक समुच्चय के साथ-साथ विवृत स्थान भी हो सकता है $$n$$-आयामी यूक्लिडियन स्थान है ।

जोसेफ डोब द्वारा स्टोकेस्टिक प्रक्रिया की पृथक्करणीयता की अवधारणा प्रस्तुत की गई थी। पृथक्करणीयता का अंतर्निहित विचार सूचकांक समुच्चय के बिंदुओं का गणनीय समुच्चय बनाना है जो स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के गुणों को निर्धारित करता है। गणनीय सूचकांक समुच्चय के साथ कोई भी स्टोचैस्टिक प्रक्रिया पहले से ही अलग-अलग नियम को पूरा करती है, इसलिए असतत-समय स्टोचैस्टिक प्रक्रियाएं सदैव वियोज्य होती हैं। दूब की प्रमेय, जिसे कभी-कभी दूब की पृथक्करणीयता प्रमेय के रूप में जाना जाता है, और यह दर्शाती है कि किसी भी वास्तविक-मूल्यवान निरंतर-समय की स्टोकेस्टिक प्रक्रिया में वियोज्य संशोधन होता है। इस प्रमेय के संस्करण वास्तविक रेखा के अतिरिक्त इंडेक्स समुच्चय और राज्य रिक्त स्थान के साथ अधिक सामान्य स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं के लिए भी उपस्थित हैं।

स्वतंत्रता
दो स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं $$X$$ और $$Y$$ समान प्रायिकता स्थान पर परिभाषित किया गया है $$(\Omega,\mathcal{F},P)$$ ही इंडेक्स समुच्चय के साथ $$T$$ कहा जाता है कि यदि सभी के लिए स्वतंत्र हो $$n \in \mathbb{N}$$ और युगों की हर विकल्प के लिए $$t_1,\ldots,t_n \in T$$, यादृच्छिक सदिश $$\left( X(t_1),\ldots,X(t_n) \right)$$ और $$\left( Y(t_1),\ldots,Y(t_n) \right)$$ स्वतंत्र हैं।

असंबद्धता
दो स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं $$\left\{X_t\right\}$$ और $$\left\{Y_t\right\}$$ असंबद्ध कहलाते हैं यदि उनका क्रॉस-सहप्रसरण $$\operatorname{K}_{\mathbf{X}\mathbf{Y}}(t_1,t_2) = \operatorname{E} \left[ \left( X(t_1)- \mu_X(t_1) \right) \left( Y(t_2)- \mu_Y(t_2) \right) \right]$$ सभी समय के लिए शून्य है। औपचारिक रूप से:


 * $$\left\{X_t\right\},\left\{Y_t\right\} \text{ uncorrelated} \quad \iff \quad \operatorname{K}_{\mathbf{X}\mathbf{Y}}(t_1,t_2) = 0 \quad \forall t_1,t_2$$.

स्वतंत्रता का अर्थ है असंबद्धता
यदि दो स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं $$X$$ और $$Y$$ स्वतंत्र हैं, तब वे असंबद्ध भी हैं।

ऑर्थोगोनलिटी
दो स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं $$\left\{X_t\right\}$$ और $$\left\{Y_t\right\}$$ ऑर्थोगोनल कहलाते हैं यदि उनका क्रॉस-सहसंबंध $$\operatorname{R}_{\mathbf{X}\mathbf{Y}}(t_1,t_2) = \operatorname{E}[X(t_1) \overline{Y(t_2)}]$$ सभी समय के लिए शून्य है। औपचारिक रूप से:


 * $$\left\{X_t\right\},\left\{Y_t\right\} \text{ orthogonal} \quad \iff \quad \operatorname{R}_{\mathbf{X}\mathbf{Y}}(t_1,t_2) = 0 \quad \forall t_1,t_2$$.

स्कोरोखोड स्थान
स्कोरोखोड स्थान, जिसे स्कोरोहोड स्थान के रूप में भी लिखा जाता है, सभी फलन का गणितीय स्थान है जो बायीं सीमाओं के साथ दाहिनी-निरंतर है, वास्तविक रेखा के कुछ अंतराल पर परिभाषित किया गया है जैसे कि $$[0,1]$$ या $$[0,\infty)$$, और वास्तविक रेखा पर या कुछ आव्युह स्थान पर मान लें।  इस प्रकार के फलन को कैडलैग या कैडलैग फलन के रूप में जाना जाता है, फ्रांसीसी वाक्यांश के संक्षिप्त नाम के आधार पर ड्रॉइट, सीमित गौचे जारी रखें। अनातोली स्कोरोखोड द्वारा प्रस्तुत किया गया स्कोरोखोद फलन स्थान , अधिकांशतः पत्र के साथ निरूपित किया जाता है $$D$$,    इसलिए फलन स्थान को स्थान भी कहा जाता है $$D$$.  इस फलन स्थान के अंकन में वह अंतराल भी सम्मिलित हो सकता है जिस पर सभी कैडलैग फलन परिभाषित होते हैं, इसलिए, उदाहरण के लिए, $$D[0,1]$$ यूनिट अंतराल पर परिभाषित कैडलैग फलन के स्थान को दर्शाता है $$[0,1]$$.

स्कोरोखोड फलन रिक्त स्थान अधिकांशतः स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं के सिद्धांत में उपयोग किए जाते हैं क्योंकि यह अधिकांशतः माना जाता है कि निरंतर-समय स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं का नमूना फलन स्कोरोखोद स्थान से संबंधित है। ऐसे स्थानों में निरंतर फलन होते हैं, जो वीनर प्रक्रिया के नमूना फलन के अनुरूप होते हैं। किन्तु स्थान में विच्छिन्नता के साथ फलन भी होते हैं, जिसका अर्थ है कि छलांग के साथ स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं का नमूना फलन, जैसे कि पॉइसन प्रक्रिया (वास्तविक रेखा पर), इस स्थान के सदस्य भी हैं।

नियमितता
स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं के गणितीय निर्माण के संदर्भ में, संभावित निर्माण उद्देश्य को हल करने के लिए स्टोकास्टिक प्रक्रिया के लिए कुछ नियम पर चर्चा करने और मानने पर नियमितता शब्द का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, अनगिनत इंडेक्स समुच्चय के साथ स्टोचैस्टिक प्रक्रियाओं का अध्ययन करने के लिए, यह माना जाता है कि स्टोकेस्टिक प्रक्रिया कुछ प्रकार की नियमितता की स्थिति का पालन करती है जैसे नमूना फलन निरंतर होना है ।

मार्कोव प्रक्रियाएं और श्रृंखला
मार्कोव प्रक्रियाएं स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं हैं, पारंपरिक रूप से असतत समय और निरंतर समय में, जिनके पास मार्कोव गुण है, जिसका अर्थ है कि मार्कोव प्रक्रिया का अगला मूल्य वर्तमान मूल्य पर निर्भर करता है, किन्तु यह स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के पिछले मूल्यों से सशर्त रूप से स्वतंत्र है। दूसरे शब्दों में, प्रक्रिया की वर्तमान स्थिति को देखते हुए, भविष्य में प्रक्रिया का व्यवहार अतीत में अपने व्यवहार से स्वतंत्र रूप से स्वतंत्र है।

ब्राउनियन गति प्रक्रिया और पॉइसन प्रक्रिया ( आयाम में) मार्कोव प्रक्रियाओं के दोनों उदाहरण हैं निरंतर समय में, जबकि पूर्णांक पर यादृच्छिक चलता है और जुआरी की दुरुपयोग की समस्या असतत समय में मार्कोव प्रक्रियाओं के उदाहरण हैं।

चूंकि मार्कोव श्रृंखला प्रकार की मार्कोव प्रक्रिया है जिसमें असतत विवृत स्थान या असतत सूचकांक समुच्चय ( अधिकांशतः समय का प्रतिनिधित्व) होता है, किन्तु मार्कोव श्रृंखला की स्पष्ट परिभाषा भिन्न होती है। उदाहरण के लिए, मार्कोव श्रृंखला को मार्कोव प्रक्रिया के रूप में परिभाषित करना समान है या तब निरंतर और असतत वेरिएबल   गणनीय विवृत स्थान के साथ (इस प्रकार समय की प्रकृति की चिंता किए बिना),    किन्तु मार्कोव श्रृंखला को गणनीय या निरंतर विवृत स्थान (इस प्रकार विवृत स्थान की चिंता किए बिना) में असतत समय के रूप में परिभाषित करना भी समान है। यह तर्क दिया गया है कि मार्कोव श्रृंखला की प्रथम परिभाषा, जहां इसका असतत समय है, अब दूसरी परिभाषा का उपयोग करने के अतिरिक्त जोसेफ डोब और काई लाइ चुंग मुफ्त एमपी 3 डाउनलोड जैसे शोधकर्ताओं द्वारा उपयोग किया जा रहा है।

मार्कोव प्रक्रियाएं स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं का महत्वपूर्ण वर्ग बनाती हैं और अनेक क्षेत्रों में इसके अनुप्रयोग होते हैं। उदाहरण के लिए, वे मार्कोव श्रृंखला मोंटे कार्लो के रूप में जानी जाने वाली सामान्य स्टोचैस्टिक सिमुलेशन पद्धति का आधार हैं, जिसका उपयोग विशिष्ट संभाव्यता वितरण के साथ यादृच्छिक वस्तुओं का अनुकरण करने के लिए किया जाता है, और इसे बायेसियन सांख्यिकी में आवेदन मिला है।

मार्कोव गुण की अवधारणा मूल रूप से निरंतर और असतत समय में स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के लिए थी, किन्तु गुण को अन्य इंडेक्स समुच्चय जैसे अनुकूलित किया गया है $$n$$-आयामी यूक्लिडियन स्थान, जिसके परिणामस्वरूप मार्कोव यादृच्छिक क्षेत्रों के रूप में ज्ञात यादृच्छिक वेरिएबल  का संग्रह होता है।

मार्टिंगेल
मार्टिंगेल गुण के साथ असतत-समय या निरंतर-समय की स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है, जो हर समय, वर्तमान मूल्य और प्रक्रिया के सभी पिछले मूल्यों को देखते हुए, भविष्य के प्रत्येक मूल्य की सशर्त अपेक्षा वर्तमान मूल्य के सामान्तर है। असतत समय में, यदि यह गुण अगले मूल्य के लिए है, तब यह भविष्य के सभी मूल्यों के लिए है। मार्टिंगेल की स्पष्ट गणितीय परिभाषा के लिए दो अन्य स्थितियों की आवश्यकता होती है जो निस्पंदन की गणितीय अवधारणा के साथ मिलती है, जो कि समय बीतने के साथ-साथ उपलब्ध सूचना को बढ़ाने के अंतर्ज्ञान से संबंधित है। मार्टिंगेल्स को सामान्यतः वास्तविक-मूल्यवान के रूप में परिभाषित किया जाता है,  किन्तु वे जटिल-मूल्यवान भी हो सकते हैं या इससे भी अधिक सामान्य।

सममित रैंडम वॉक और वीनर प्रक्रिया (शून्य विचलन के साथ) क्रमशः असतत और निरंतर समय में मार्टिंगेल्स के उदाहरण हैं। स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक वेरिएबल   के अनु क्रम के लिए $$X_1, X_2, X_3, \dots$$ शून्य माध्य के साथ, क्रमिक आंशिक योगों से बनने वाली स्टोकेस्टिक प्रक्रिया $$X_1,X_1+ X_2, X_1+ X_2+X_3, \dots$$ असतत समय मार्टिंगेल है। इस भाग में, असतत-समय के मार्टिंगेल्स स्वतंत्र यादृच्छिक वेरिएबल   के आंशिक योगों के विचार को सामान्य करते हैं।

मार्टिंगेल्स को कुछ उपयुक्त परिवर्तनों को प्रयुक्त करके स्टोचैस्टिक प्रक्रियाओं से भी बनाया जा सकता है, जो सजातीय पॉइसन प्रक्रिया (वास्तविक रेखा पर) के स्थितियों में होता है, जिसके परिणामस्वरूप मार्टिंगेल को क्षतिपूर्ति पॉइसन प्रक्रिया कहा जाता है। मार्टिंगेल्स को अन्य मार्टिंगेल्स से भी बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, मार्टिंगेल वीनर प्रक्रिया पर आधारित मार्टिंगेल्स हैं, जो निरंतर-टाइम मार्टिंगेल्स बनाते हैं।

मार्टिंगेल्स गणितीय रूप से निष्पक्ष खेल के विचार को औपचारिक रूप देते हैं, और वे मूल रूप से यह दिखाने के लिए विकसित किए गए थे कि निष्पक्ष खेल जीतना संभव नहीं है। किन्तु अब उनका उपयोग संभाव्यता के अनेक क्षेत्रों में किया जाता है, जो उनके अध्ययन के मुख्य कारणों में से है। समस्या में मार्टिंगेल खोजने और उसका अध्ययन करने से संभाव्यता में अनेक समस्याएं हल हो गई हैं। मार्टिंगेल्स अभिसरण करेंगे, उनके क्षणों पर कुछ नियम को देखते हुए, इसलिए वे अधिकांशतः अभिसरण परिणाम प्राप्त करने के लिए उपयोग किए जाते हैं, बड़े पैमाने पर मार्टिंगेल अभिसरण प्रमेयों के कारण है ।

मार्टिंगेल्स के आँकड़ों में अनेक अनुप्रयोग हैं, किन्तु यह टिप्पणी की गई है कि इसका उपयोग और अनुप्रयोग उतना व्यापक नहीं है जितना कि यह आँकड़ों के क्षेत्र में हो सकता है, विशेष रूप से सांख्यिकीय अनुमान। उन्होंने संभाव्यता सिद्धांत जैसे क्यूइंग थ्योरी और पाम कैलकुलस जैसे क्षेत्रों में अनुप्रयोग पाया है और अन्य क्षेत्र जैसे अर्थशास्त्र और वित्त होती है ।

लेवी प्रक्रिया
लेवी प्रक्रियाएं स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं के प्रकार हैं जिन्हें निरंतर समय में यादृच्छिक चलने के सामान्यीकरण के रूप में माना जा सकता है। इन प्रक्रियाओं के वित्त, द्रव यांत्रिकी, भौतिकी और जीव विज्ञान जैसे क्षेत्रों में अनेक अनुप्रयोग हैं। इन प्रक्रियाओं की मुख्य परिभाषित विशेषताएं उनकी स्थिरता और स्वतंत्रता गुण हैं, इसलिए उन्हें स्थिर और स्वतंत्र वेतन वृद्धि वाली प्रक्रियाओं के रूप में जाना जाता था। दूसरे शब्दों में, स्टोकेस्टिक प्रक्रिया $$X$$ लेवी प्रक्रिया है यदि के लिए $$n$$ गैर-नकारात्मक संख्याएं, $$0\leq t_1\leq \dots \leq t_n$$, अनुरूप $$n-1$$ वेतन वृद्धि

$$ X_{t_2}-X_{t_1}, \dots, X_{t_n}-X_{t_{n-1}}, $$

सभी दूसरे से स्वतंत्र हैं, और प्रत्येक वृद्धि का वितरण केवल समय के अंतर पर निर्भर करता है।

लेवी प्रक्रिया को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है कि इसका विवृत स्थान कुछ अमूर्त गणितीय स्थान है, जैसे कि बनच स्थान, किन्तु प्रक्रियाओं को अधिकांशतः परिभाषित किया जाता है जिससे वे यूक्लिडियन स्थान में मान ले सकें। सूचकांक समुच्चय गैर-ऋणात्मक संख्या है, इसलिए $$ I= [0,\infty) $$, जो समय की व्याख्या देता है। वीनर प्रक्रिया, सजातीय पॉइसन प्रक्रिया ( आयाम में), और अधीनस्थ (गणित) जैसी महत्वपूर्ण स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं सभी लेवी प्रक्रियाएं हैं।

यादृच्छिक क्षेत्र
यादृच्छिक क्षेत्र द्वारा अनुक्रमित यादृच्छिक वेरिएबल  का संग्रह है $$n$$-आयामी यूक्लिडियन स्थान या कुछ अनेक गुना है । सामान्यतः, यादृच्छिक क्षेत्र को स्टोकास्टिक या यादृच्छिक प्रक्रिया का उदाहरण माना जा सकता है, जहां सूचकांक समुच्चय वास्तविक रेखा का उपसमुच्चय नहीं है। किन्तु प्रथा है कि यादृच्छिक वेरिएबल   के अनुक्रमित संग्रह को यादृच्छिक क्षेत्र कहा जाता है जब सूचकांक में दो या दो से अधिक आयाम होते हैं।  यदि स्टोचैस्टिक प्रक्रिया की विशिष्ट परिभाषा के लिए इंडेक्स समुच्चय को वास्तविक रेखा का उपसमुच्चय होना आवश्यक है, तब यादृच्छिक क्षेत्र को स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के सामान्यीकरण के रूप में माना जा सकता है।

बिंदु प्रक्रिया
बिंदु प्रक्रिया कुछ गणितीय स्थान जैसे कि वास्तविक रेखा जैसे कुछ गणितीय स्थान पर अनेैतिक रूप से स्थित बिंदुओं का संग्रह है। $$n$$-आयामी यूक्लिडियन स्थान, या अधिक अमूर्त स्थान। कभी-कभी शब्द बिंदु प्रक्रिया को प्राथमिकता नहीं दी जाती है, क्योंकि ऐतिहासिक रूप से शब्द प्रक्रिया समय में किसी प्रणाली के विकास को दर्शाती है, इसलिए बिंदु प्रक्रिया को 'यादृच्छिक बिंदु क्षेत्र' भी कहा जाता है। बिंदु प्रक्रिया की अलग-अलग व्याख्याएं हैं, जैसे यादृच्छिक गिनती माप या यादृच्छिक समुच्चय। कुछ लेखक बिंदु प्रक्रिया और स्टोचैस्टिक प्रक्रिया को दो अलग-अलग वस्तुओं के रूप में मानते हैं जैसे कि बिंदु प्रक्रिया यादृच्छिक वस्तु है जो स्टोकेस्टिक प्रक्रिया से उत्पन्न होती है या उससे जुड़ी होती है।  चूंकि यह टिप्पणी की गई है कि बिंदु प्रक्रियाओं और स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के मध्य का अंतर स्पष्ट नहीं है।

अन्य लेखक बिंदु प्रक्रिया को स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के रूप में मानते हैं, जहां प्रक्रिया को अंतर्निहित स्थान के समुच्चय द्वारा अनुक्रमित किया जाता है जिस पर यह परिभाषित है, जैसे वास्तविक रेखा या $$n$$-आयामी यूक्लिडियन स्थान । अन्य स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं जैसे नवीकरण और गिनती प्रक्रियाओं का अध्ययन बिंदु प्रक्रियाओं के सिद्धांत में किया जाता है।

प्रारंभिक संभाव्यता सिद्धांत
संभाव्यता सिद्धांत की उत्पत्ति संयोग के खेल में हुई है, जिसका लंबा इतिहास है, कुछ खेल हजारों साल पहले खेले गए थे, किन्तु संभावना की दृष्टि से उन पर बहुत कम विश्लेषण किया गया था। वर्ष 1654 को अधिकांशतः संभाव्यता सिद्धांत की उत्पत्ति मानी जाती है जब फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे फर्मेट और ब्लेस पास्कल ने अंकों की समस्या से प्रेरित संभावना पर लिखित पत्राचार किया था।  किन्तु जुए के खेल की संभावना पर पहले गणितीय फलन किया गया था जैसे कि जेरोम कार्डानो द्वारा लाइबेर डी लुडो एलिया, जिसे 16वीं शताब्दी में लिखा गया था किन्तु बाद में 1663 में मरणोपरांत प्रकाशित किया गया था।

कार्डानो के अतिरिक्त, जैकब बर्नौली अर्स कॉन्जेक्टैंडी लिखा, जिसे संभाव्यता सिद्धांत के इतिहास में महत्वपूर्ण घटना माना जाता है। बरनौली की पुस्तक 1713 में मरणोपरांत भी प्रकाशित हुई थी और इसने अनेक गणितज्ञों को संभाव्यता का अध्ययन करने के लिए प्रेरित किया। किन्तु कुछ प्रसिद्ध गणितज्ञों द्वारा संभाव्यता सिद्धांत में योगदान देने के अतिरिक्त , जैसे कि पियरे-साइमन लाप्लास , अब्राहम डी मोइवरे , कार्ल गॉस , सिमोन पॉइसन और पफन्युटी चेबीशेव ,  अधिकांश गणितीय समुदाय 20वीं शताब्दी तक संभाव्यता सिद्धांत को गणित का भाग नहीं मानते थे।

सांख्यिकीय यांत्रिकी
भौतिक विज्ञान में, वैज्ञानिकों ने 19वीं शताब्दी में सांख्यिकीय यांत्रिकी के अनुशासन का विकास किया, जहां भौतिक प्रणालियों, जैसे कि गैसों से भरे कंटेनरों को अनेक गतिमान कणों के संग्रह के रूप में गणितीय रूप से माना या माना जा सकता है। चूंकि रुडोल्फ क्लॉसियस जैसे कुछ वैज्ञानिकों द्वारा सांख्यिकीय भौतिकी में यादृच्छिकता को सम्मिलित करने का प्रयास किया गया था, अधिकांश फलन में अधिक कम या कोई यादृच्छिकता नहीं थी।

यह 1859 में परिवर्तन गया जब जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने क्षेत्र में महत्वपूर्ण योगदान दिया है, विशेष रूप से, गैसों के गतिज सिद्धांत के लिए, फलन प्रस्तुत करके जहां उन्होंने माना कि गैस के कण यादृच्छिक वेगों पर यादृच्छिक दिशाओं में चलते हैं। 19वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में गैसों और सांख्यिकीय भौतिकी के काइनेटिक सिद्धांत का विकास जारी रहा, मुख्य रूप से क्लॉसियस, लुडविग बोल्ट्जमैन और योशिय्याह गिब्स द्वारा किए गए फलन के साथ, जो बाद में ब्राउनियन आंदोलन के लिए अल्बर्ट आइंस्टीन के गणितीय मॉडल पर प्रभाव डालेगा।

माप सिद्धांत और संभाव्यता सिद्धांत
इस प्रकार से 1900 में पेरिस में गणितज्ञों की अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस में, डेविड हिल्बर्ट ने हिल्बर्ट की समस्याओं की सूची प्रस्तुत की, जहाँ उनकी छठी समस्या ने भौतिकी के गणितीय उपचार और अभिगृहीतों से संबंधित संभाव्यता के अतिरिक्त में पूछा गया था । और 20वीं शताब्दी की प्रारंभ के आसपास, गणितज्ञों ने माप सिद्धांत विकसित किया, गणितीय फलन के अभिन्न का अध्ययन करने के लिए गणित की शाखा, जिसके दो संस्थापक फ्रांसीसी गणितज्ञ, हेनरी लेबेस्ग्यू और एमिल बोरेल थे। 1925 में अन्य फ्रांसीसी गणितज्ञ पॉल लेवी (गणितज्ञ) | पॉल लेवी ने प्रथम प्रायिकता पुस्तक प्रकाशित की जिसमें माप सिद्धांत से विचारों का उपयोग किया गया था।

अतः 1920 के दशक में सोवियत संघ में सर्गेई बर्नस्टीन, अलेक्सांद्र खिनचिन जैसे गणितज्ञों द्वारा संभाव्यता सिद्धांत में मौलिक योगदान दिया गया था। और एंड्री कोलमोगोरोव । कोल्मोगोरोव ने 1929 में संभाव्यता सिद्धांत के लिए माप सिद्धांत पर आधारित गणितीय आधार प्रस्तुत करने का अपना प्रथम प्रयास प्रकाशित किया। 1930 के दशक की प्रारंभ में खिनचिन और कोलमोगोरोव ने संभावना संगोष्ठी की स्थापना की, जिसमें यूजीन स्लटस्की और निकोलाई स्मिरनोव (गणितज्ञ) जैसे शोधकर्ताओं ने भाग लिया। और खिनचिन ने वास्तविक रेखा द्वारा अनुक्रमित यादृच्छिक वेरिएबल  के समुच्चय के रूप में स्टोकेस्टिक प्रक्रिया की प्रथम गणितीय परिभाषा दी गयी ।

आधुनिक संभाव्यता सिद्धांत का उत्पत्ति
किन्तु 1933 में आंद्रेई कोलमोगोरोव ने जर्मन में प्रकाशित किया, उनकी पुस्तक संभाव्यता सिद्धांत की नींव पर ग्रंडबेग्रिफ डेर वाहर्सचेनलिचकेइट्स्रेचुंग शीर्षक से प्रकाशित हुई, जहां कोल्मोगोरोव ने संभाव्यता सिद्धांत के लिए स्वयंसिद्ध प्रकार को विकसित करने के लिए माप सिद्धांत का उपयोग किया। इस पुस्तक के प्रकाशन को अब व्यापक रूप से आधुनिक संभाव्यता सिद्धांत का उत्पत्ति माना जाता है, जब संभाव्यता और स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के सिद्धांत गणित के अंग बन गए।

कोलमोगोरोव की पुस्तक के प्रकाशन के बाद, संभाव्यता सिद्धांत और स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं पर और मौलिक फलन खिनचिन और कोलमोगोरोव के साथ-साथ अन्य गणितज्ञों जैसे कि जोसेफ डोब, विलियम फेलर, मौरिस फ्रेचेट, पॉल लेवी (गणितज्ञ) द्वारा किया गया था। पॉल लेवी, वोल्फगैंग डोबलिन, और हेराल्ड क्रैमर। दशकों बाद क्रैमर ने 1930 के दशक को गणितीय संभाव्यता सिद्धांत के वीर काल के रूप में संदर्भित किया। द्वितीय विश्व युद्ध ने संभाव्यता सिद्धांत के विकास को बहुत बाधित किया, उदाहरण के लिए, फेलर का स्वीडन से संयुक्त राज्य अमेरिका में प्रवास और डोएबलिन की मृत्यु, जिसे अब स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं में अग्रणी माना जाता है।



द्वितीय विश्व युद्ध के बाद स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं
द्वितीय विश्व युद्ध के बाद संभाव्यता सिद्धांत और स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के अध्ययन ने गणितज्ञों से अधिक ध्यान आकर्षित किया, संभावना और गणित के साथ-साथ नए क्षेत्रों के निर्माण के अनेक क्षेत्रों में महत्वपूर्ण योगदान दिया। 1940 के दशक की प्रारंभ में, कियोसी इटो ने स्टोचैस्टिक कैलकुलस के क्षेत्र को विकसित करने वाले पेपर प्रकाशित किए, जिसमें वीनर या ब्राउनियन गति प्रक्रिया पर आधारित स्टोचैस्टिक अभिन्न और स्टोचैस्टिक विभेदक समीकरण सम्मिलित हैं।

इसके अतिरिक्त 1940 के दशक में, स्टोचैस्टिक प्रक्रियाओं, विशेष रूप से मार्टिंगेल्स और संभावित सिद्धांत के गणितीय क्षेत्र के मध्य संबंध बनाए गए थे, जिसमें शिज़ुओ काकुटानी के प्रारंभिक विचार थे और बाद में जोसेफ डोब द्वारा कार्य किया गया था। अतः 1950 के दशक में गिल्बर्ट हंट द्वारा अग्रणी माना जाने वाला आगे का कार्य, मार्कोव प्रक्रियाओं और संभावित सिद्धांत को जोड़ता है, जिसका लेवी प्रक्रियाओं के सिद्धांत पर महत्वपूर्ण प्रभाव पड़ा और इटो द्वारा विकसित विधियों के साथ मार्कोव प्रक्रियाओं का अध्ययन करने में अधिक रुचि उत्पन्न हुई।

इस प्रकार से 1953 में दूब ने अपनी पुस्तक स्टोचैस्टिक प्रोसेस प्रकाशित की, जिसका स्टोचैस्टिक प्रोसेस के सिद्धांत पर गहरा प्रभाव था और संभाव्यता में माप सिद्धांत के महत्व पर बल दिया।

चूंकि डूब ने मुख्य रूप से मार्टिंगेल्स के सिद्धांत को भी विकसित किया, जिसमें बाद में पॉल-आंद्रे मेयर द्वारा पर्याप्त योगदान दिया गया। पहले कार्य सर्गेई बर्नस्टीन, पॉल लेवी (गणितज्ञ) | पॉल लेवी और जीन विले द्वारा किया गया था, इसके पश्चात स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के लिए मार्टिंगेल शब्द को अपनाया गया । विभिन्न संभाव्यता समस्याओं को हल करने के लिए मार्टिंगेल्स के सिद्धांत के विधि लोकप्रिय हो गए। मार्कोव प्रक्रियाओं का अध्ययन करने के लिए विधि और सिद्धांत विकसित किए गए और फिर मार्टिंगेल्स पर प्रयुक्त किए गए। इसके विपरीत, मार्कोव प्रक्रियाओं के इलाज के लिए मार्टिंगेल्स के सिद्धांत से विधि स्थापित किए गए थे।

संभाव्यता के अन्य क्षेत्रों को विकसित किया गया और स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं का अध्ययन करने के लिए उपयोग किया गया, जिसमें मुख्य दृष्टिकोण बड़े विचलन का सिद्धांत था। सिद्धांत के अन्य क्षेत्रों के मध्य, सांख्यिकीय भौतिकी में अनेक अनुप्रयोग हैं, और कम से कम 1930 के दशक में मूल विचार हैं। इसके पश्चात 1960 और 1970 के दशक में सोवियत संघ में अलेक्ज़ेंडर वेंट्ज़ेल और संयुक्त राज्य अमेरिका में मुनरो डी. डोंस्कर और श्रीनिवास बाढ़ द्वारा मौलिक फलन किया गया, जिसके परिणामस्वरूप बाद में वरदान को 2007 का एबेल पुरस्कार मिला था । किन्तु 1990 और 2000 के दशक में श्राम-लोवेनर विकास के सिद्धांत है और कच्चे रास्ते संभाव्यता सिद्धांत में स्टोचैस्टिक प्रक्रियाओं और अन्य गणितीय वस्तुओं का अध्ययन करने के लिए प्रस्तुत और विकसित किया गया था, जिसके परिणामस्वरूप क्रमशः वेन्डेलिन वर्नर को फील्ड मेडल से सम्मानित किया गया। 2008 में और 2014 में मार्टिन हेयरर के लिए।

अतः स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के विषय पर वार्षिक अंतर्राष्ट्रीय सम्मेलनों के साथ, स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं का सिद्धांत अभी भी अनुसंधान का केंद्र बना हुआ है।

विशिष्ट स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं की खोज
चूंकि खिनचिन ने 1930 के दशक में स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं की गणितीय परिभाषाएं दी थीं, विशिष्ट स्टोचैस्टिक प्रक्रियाओं को पहले से ही अलग-अलग सेटिंग्स में खोजा गया था, जैसे कि ब्राउनियन गति प्रक्रिया और पॉइसन प्रक्रिया। स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं के कुछ परिवारों जैसे बिंदु प्रक्रियाओं या नवीनीकरण प्रक्रियाओं में लंबे और जटिल इतिहास हैं, जो सदियों तक फैले हुए हैं।

बरनौली प्रक्रिया
बर्नौली प्रक्रिया, जो पक्षपाती सिक्के को उछालने के लिए गणितीय मॉडल के रूप में कार्य कर सकती है, संभवतः अध्ययन की जाने वाली पहली स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है। प्रक्रिया स्वतंत्र बर्नौली परीक्षणों का क्रम है, जिनका नाम जैकब बर्नौली के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने उन्हें संयोग के खेल का अध्ययन करने के लिए उपयोग किया, जिसमें प्रायिकता की समस्याएं भी सम्मिलित थीं और क्रिस्टियान ह्यूजेंस द्वारा पहले अध्ययन किया गया था। बरनौली प्रक्रिया सहित बरनौली के कार्य, उनकी पुस्तक अर्स कॉन्जेक्टैंडी में 1713 में प्रकाशित हुए थे।

रैंडम वॉक
इस प्रकार से 1905 में कार्ल पियर्सन ने विमान पर यादृच्छिक चलने का वर्णन करते हुए यादृच्छिक चलना शब्द इंगित किया गया, जो जीव विज्ञान में अनुप्रयोग से प्रेरित था, किन्तु यादृच्छिक चाल से जुड़ी ऐसी समस्याओं का पहले से ही अन्य क्षेत्रों में अध्ययन किया जा चुका था। जुए की कुछ ऐसी समस्याएं जिनका सदियों पहले अध्ययन किया गया था, उन्हें बेतरतीब अनेैतिक रूप से चलने वाली समस्याओं के रूप में माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, जुआरी की खंडहर के रूप में जानी जाने वाली समस्या साधारण यादृच्छिक चलने पर आधारित है, और अवरोधों को अवशोषित करने के साथ यादृच्छिक चलने का उदाहरण है। पास्कल, फ़र्मेट और ह्यूएन्स सभी ने अपनी विधियों का विवरण दिए बिना इस समस्या का संख्यात्मक समाधान दिया, और फिर जैकब बर्नौली और अब्राहम डी मोइवर द्वारा अधिक विस्तृत समाधान प्रस्तुत किए गए।

यादृच्छिक चलने के लिए $$n$$आयामी पूर्णांक जाली (समूह), जॉर्ज पोल्या ने 1919 और 1921 में प्रकाशित किया, जहां उन्होंने जाली में पिछली स्थिति में सममित यादृच्छिक चलने की संभावना का अध्ययन किया। पोल्या ने दिखाया कि सममित यादृच्छिक चलना, जिसकी जाली में किसी भी दिशा में आगे बढ़ने की समान संभावना है, जाली में पिछली स्थिति में अनंत बार और दो आयामों में संभाव्यता के साथ वापस आ जाएगा, किन्तु प्रायिकता शून्य के साथ तीन या उच्च आयाम है ।

वीनर प्रक्रिया
वीनर प्रक्रिया या ब्राउनियन गति प्रक्रिया की उत्पत्ति सांख्यिकी, वित्त और भौतिकी सहित विभिन्न क्षेत्रों में हुई है। 1880 में, थोरवाल्ड थिएले ने कम से कम वर्गों की विधि पर पेपर लिखा, जहां उन्होंने समय-श्रृंखला विश्लेषण में मॉडल की त्रुटियों का अध्ययन करने के लिए प्रक्रिया का उपयोग किया।  फलन को अब कलमन फ़िल्टरिंग के रूप में ज्ञात सांख्यिकीय पद्धति की प्रारंभिक खोज के रूप में माना जाता है, किन्तु फलन को अधिक सीमा तक अनदेखा कर दिया गया था। ऐसा माना जाता है कि थिले के पेपर में विचार उस समय के व्यापक गणितीय और सांख्यिकीय समुदाय द्वारा समझे जाने के लिए बहुत उन्नत थे।

चित्र: वीनर ज्यूरिख 1932.टिफ|थंब|200पीएक्स ने वीनर प्रक्रिया के अस्तित्व का पहला गणितीय प्रमाण दिया। यह गणितीय वस्तु पहले थोरवाल्ड थिएले, लुई बैचलर और अल्बर्ट आइंस्टीन के कार्य में प्रकट हुई थी। फ्रांसीसी गणितज्ञ लुइस बेचेलियर ने अपनी 1900 की थीसिस में वीनर प्रक्रिया का उपयोग किया था पेरिस बोर्स, स्टॉक एक्सचेंज, पर मूल्य परिवर्तनों को मॉडल करने के लिए, थिले के कार्य को जाने बिना ही । यह अनुमान लगाया गया है कि बैचलर ने जूल्स रेग्नॉल्ट के रैंडम वॉक मॉडल से विचार प्राप्त किए, किन्तु बैचलर ने उसे उद्धृत नहीं किया, और स्नातक की थीसिस को अब वित्तीय गणित के क्षेत्र में अग्रणी माना जाता है।

सामान्यतः यह सोचा जाता है कि स्नातक के कार्य पर थोड़ा ध्यान दिया गया और दशकों तक भुला दिया गया जब तक कि 1950 के दशक में लियोनार्ड सैवेज द्वारा इसे फिर से खोजा नहीं गया, और फिर 1964 में बैचलर की थीसिस का अंग्रेजी में अनुवाद करने के बाद यह और अधिक लोकप्रिय हो गया। गणितीय समुदाय, जैसा कि बैचलर ने 1912 में अपने विचारों का विवरण देते हुए पुस्तक प्रकाशित की, जिसे दूब, फेलर सहित गणितज्ञों ने उद्धृत किया था और कोलमोगोरोव। पुस्तक का दृष्टांत दिया जाना जारी रहा, किन्तु फिर 1960 के दशक में स्नातक की मूल थीसिस को उनकी पुस्तक से अधिक उद्धृत किया जाने लगा, जब अर्थशास्त्रियों ने स्नातक के कार्य का दृष्टांत देना प्रारंभिक किया।

1905 में अल्बर्ट आइंस्टीन ने पेपर प्रकाशित किया जिसमें उन्होंने गैसों के गतिज सिद्धांत से विचारों का उपयोग करके तरल पदार्थों में कणों के प्रतीत होने वाले यादृच्छिक आंदोलनों की व्याख्या करने के लिए ब्राउनियन गति या गति के भौतिक अवलोकन का अध्ययन किया। स्थान के निश्चित क्षेत्र में कण को ​​​​खोजने की संभावना का वर्णन करने के लिए आइंस्टीन ने एक अंतर समीकरण निकाला, जिसे प्रसार समीकरण के रूप में जाना जाता है। ब्राउनियन आंदोलन पर आइंस्टीन के पहले पेपर के तुरंत बाद, मैरियन स्मोलुचोव्स्की ने कार्य प्रकाशित किया जहां उन्होंने आइंस्टीन का दृष्टांत दिया, किन्तु लिखा कि उन्होंने स्वतंत्र रूप से अलग विधि का उपयोग करके समान परिणाम प्राप्त किए है ।

आइंस्टीन के कार्य के साथ-साथ जॉन पेरिन द्वारा प्राप्त प्रायोगिक परिणामों पश्चात में 1920 के दशक में नॉर्बर्ट वीनर को प्रेरित किया। गणितीय वस्तु के रूप में वीनर प्रक्रिया के अस्तित्व को सिद्ध करने के लिए पर्सी डेनियल द्वारा विकसित प्रकार के माप सिद्धांत और फूरियर विश्लेषण का उपयोग करना है ।

पॉइसन प्रक्रिया
पॉइसन प्रक्रिया का नाम सिमोन पॉइसन के नाम पर रखा गया है, इसकी परिभाषा में पॉसों वितरण सम्मिलित है, किन्तु पॉइसन ने कभी भी इस प्रक्रिया का अध्ययन नहीं किया। पॉइसन के प्रारंभिक उपयोगों या खोजों के लिए अनेक प्रमाणित हैं

इस प्रकार से 20वीं शताब्दी की प्रारंभ में पॉइसन प्रक्रिया अलग-अलग स्थितियों में स्वतंत्र रूप से उत्पन्न होगी। स्वीडन 1903 में, फिलिप लुंडबर्ग ने थीसिस प्रकाशित की जिसमें कार्य था, जिसे अब मौलिक और अग्रणी माना जाता है, जहाँ उन्होंने सजातीय पॉइसन प्रक्रिया के साथ बीमा प्रमाणित को मॉडल करने का प्रस्ताव रखा। 

1909 में डेनमार्क  में एक और खोज हुई जब ए.के. एक सीमित समय अंतराल में आने वाले फोन कॉल की संख्या के लिए गणितीय मॉडल विकसित करते समय एरलांग ने पॉसॉन वितरण प्राप्त किया। एरलांग उस समय पोइसन के पहले के काम से वाकिफ नहीं थे और यह मान लिया था कि समय के प्रत्येक अंतराल में आने वाले नंबर फोन कॉल एक दूसरे से स्वतंत्र थे। उसके बाद उन्होंने सीमित मामला पाया, जो द्विपद वितरण की सीमा के रूप में प्वासों वितरण को प्रभावी ढंग से पुनर्गठित कर रहा है।

1910 में अर्नेस्ट रदरफोर्ड  और  हंस गीजर  ने अल्फा कणों की गिनती पर प्रायोगिक परिणाम प्रकाशित किए। उनके काम से प्रेरित होकर,  हैरी बेटमैन  ने गिनती की समस्या का अध्ययन किया और अंतर समीकरणों के एक परिवार के समाधान के रूप में पॉसॉन संभावनाओं को व्युत्पन्न किया, जिसके परिणामस्वरूप पॉसॉन प्रक्रिया की स्वतंत्र खोज हुई।इस समय के बाद पोइसन प्रक्रिया के कई अध्ययन और अनुप्रयोग हुए, लेकिन इसका प्रारंभिक इतिहास जटिल है, जिसे जीवविज्ञानियों, पारिस्थितिकीविदों, इंजीनियरों और विभिन्न भौतिक वैज्ञानिकों द्वारा कई क्षेत्रों में प्रक्रिया के विभिन्न अनुप्रयोगों द्वारा समझाया गया है।

मार्कोव प्रक्रियाएं
मार्कोव प्रक्रियाओं और मार्कोव श्रृंखलाओं का नाम एंड्री मार्कोव  के नाम पर रखा गया है जिन्होंने 20वीं सदी की शुरुआत में मार्कोव श्रृंखलाओं का अध्ययन किया था। मार्कोव स्वतंत्र यादृच्छिक अनुक्रमों के विस्तार का अध्ययन करने में रुचि रखते थे। चूंकि 1906 में प्रकाशित मार्कोव श्रृंखलाओं पर अपने पहले पेपर में, मार्कोव ने दिखाया कि कुछ नियम के अनुसार मार्कोव श्रृंखला के औसत परिणाम मूल्यों के निश्चित सदिश में परिवर्तित हो जाएंगे, इसलिए स्वतंत्रता धारणा के बिना उच्च संख्या के अशक्त नियम को सिद्ध करना है,    जिसे सामान्यतः ऐसे गणितीय कानूनों को धारण करने के लिए आवश्यकता के रूप में माना जाता था। मार्कोव के पश्चात में अलेक्जेंडर पुश्किन द्वारा लिखित यूजीन वनगिन में स्वरों के वितरण का अध्ययन करने के लिए मार्कोव श्रृंखलाओं का उपयोग किया और इस प्रकार की श्रृंखलाओं के लिए एक केंद्रीय सीमा प्रमेय सिद्ध किया।

किन्तु 1912 में पोंकारे ने कार्ड शफलिंग का अध्ययन करने के उद्देश्य से परिमित समूह पर मार्कोव श्रृंखलाओं का अध्ययन किया। मार्कोव श्रृंखलाओं के अन्य प्रारंभिक उपयोगों में 1907 में पॉल एहरनफेस्ट और तात्याना एरेनफेस्ट द्वारा प्रस्तुत किया गया प्रसार मॉडल और मार्कोव के कार्य से पहले 1873 में फ्रांसिस गैल्टन और हेनरी विलियम वाटसन द्वारा प्रारंभिक की गई शाखा प्रक्रिया सम्मिलित है। गैल्टन और वाटसन के कार्य के पश्चात्, यह पता चला कि उनकी शाखाओं की प्रक्रिया स्वतंत्र रूप से खोजी गई थी और लगभग तीन दशक पहले इरेनी-जूल्स बिएनमे द्वारा अध्ययन किया गया था। 1928 में प्रारंभिक होकर, मौरिस फ्रेचेट को मार्कोव श्रृंखलाओं में रोचक हो गई, जिसके परिणामस्वरूप उन्हें 1938 में मार्कोव श्रृंखलाओं पर विस्तृत अध्ययन प्रकाशित करना पड़ा।

आंद्रेई कोलमोगोरोव ने 1931 के पेपर में निरंतर-समय मार्कोव प्रक्रियाओं के प्रारंभिक सिद्धांत का उच्च भाग विकसित किया। कोलमोगोरोव आंशिक रूप से स्टॉक मार्केट में उतार-चढ़ाव पर लुइस बैचलर के 1900 के कार्य के साथ-साथ आइंस्टीन के ब्राउनियन आंदोलन के मॉडल पर नॉर्बर्ट वीनर के कार्य से प्रेरित थे। उन्होंने मार्कोव प्रक्रियाओं के विशेष समुच्चय को प्रस्तुत किया और अध्ययन किया, जिसे प्रसार प्रक्रियाओं के रूप में जाना जाता है, जहां उन्होंने प्रक्रियाओं का वर्णन करने वाले अंतर समीकरणों का समुच्चय निकाला। कोल्मोगोरोव के कार्य से स्वतंत्र, सिडनी चैपमैन (गणितज्ञ) ने 1928 के पेपर ए इक्वेशन में व्युत्पन्न किया, जिसे अब चैपमैन-कोल्मोगोरोव समीकरण कहा जाता है, कोलमोगोरोव की तुलना में गणितीय रूप से कम कठोर विधि से, ब्राउनियन आंदोलन का अध्ययन करते हुए। अवकल समीकरणों को अब कोलमोगोरोव समीकरण कहा जाता है या कोलमोगोरोव-चैपमैन समीकरण है । मार्कोव प्रक्रियाओं की नींव में महत्वपूर्ण योगदान देने वाले अन्य गणितज्ञों में विलियम फेलर सम्मिलित हैं, जो 1930 के दशक में प्रारंभिक हुआ, और फिर बाद में यूजीन डायनकिन, 1950 के दशक में प्रारंभिक हुआ।

लेवी प्रक्रियाएं
वीनर प्रक्रिया और पॉइसन प्रक्रिया (वास्तविक रेखा पर) जैसी लेवी प्रक्रियाओं का नाम पॉल लेवी के नाम पर रखा गया है जिन्होंने 1930 के दशक में उनका अध्ययन करना प्रारंभिक किया था, किन्तु उनके पास 1920 के दशक में असीम रूप से विभाज्य वितरण के संबंध हैं। 1932 के पेपर में कोलमोगोरोव ने लेवी प्रक्रियाओं से जुड़े यादृच्छिक वेरिएबल  के लिए विशेषता फलन (संभाव्यता सिद्धांत) निकाला। यह परिणाम के पश्चात 1934 में लेवी द्वारा अधिक सामान्य परिस्थितियों में प्राप्त किया गया था, और फिर खिनचिन ने स्वतंत्र रूप से 1937 में इस विशिष्ट फलन के लिए वैकल्पिक रूप दिया। लेवी, खिनचिन और कोलोमोग्रोव के अतिरिक्त, लेवी प्रक्रियाओं के सिद्धांत में प्रारंभिक मौलिक योगदान ब्रूनो डी फिनेची और कियोसी इतो द्वारा किए गए थे।

गणितीय निर्माण
गणित में, गणितीय वस्तुओं के निर्माण की आवश्यकता होती है, जो यह सिद्ध करने के लिए कि वे गणितीय रूप से उपस्थित हैं, स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के लिए भी मामला है। स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के निर्माण के लिए दो मुख्य दृष्टिकोण हैं। दृष्टिकोण में फलन के मापने योग्य स्थान पर विचार करना सम्मिलित है, उपयुक्त मापनीय मानचित्रण को संभावना स्थान से फलन के इस मापने योग्य स्थान तक परिभाषित करना, और फिर संबंधित परिमित-आयामी वितरण प्राप्त करना सम्मिलित है।

अन्य दृष्टिकोण में विशिष्ट परिमित-आयामी वितरण के लिए यादृच्छिक वेरिएबल  के संग्रह को परिभाषित करना सम्मिलित है, और फिर कोलमोगोरोव विस्तार प्रमेय का उपयोग करना | कोलमोगोरोव का अस्तित्व प्रमेय संगत स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को सिद्ध करने के लिए उपस्थित है।  यह प्रमेय, जो अनंत गुणनफल स्थानों पर उपायों के लिए अस्तित्व प्रमेय है, कहता है कि यदि कोई परिमित-आयामी वितरण दो स्थितियों को संतुष्ट करता है, जिसे संगति की स्थिति के रूप में जाना जाता है, तब उन परिमित-आयामी वितरणों के साथ स्टोकेस्टिक प्रक्रिया उपस्थित होती है।

निर्माण मुद्दे
निरंतर-समय की स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं का निर्माण करते समय कुछ गणितीय कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं, अनगिनत सूचकांक समुच्चयो के कारण, जो असतत-समय की प्रक्रियाओं के साथ नहीं होती हैं। समस्या यह है कि क्या समान परिमित-आयामी वितरण के साथ से अधिक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया होना संभव है। उदाहरण के लिए, पॉइसन प्रक्रिया के बाएं-निरंतर संशोधन और दाएं-निरंतर संशोधन दोनों में समान परिमित-आयामी वितरण होते हैं। इसका कारण यह है कि स्टोचैस्टिक प्रक्रिया का वितरण अनिवार्य रूप से स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के नमूना फलन के गुणों को विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट नहीं करता है।

और समस्या यह है कि निरंतर-समय की प्रक्रिया के फलन जो सूचकांक समुच्चय के अनगिनत बिंदुओं पर विश्वास करते हैं, मापने योग्य नहीं हो सकते हैं, इसलिए कुछ घटनाओं की संभावनाएं पूर्ण रूप से परिभाषित नहीं हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, स्टोकेस्टिक प्रक्रिया या यादृच्छिक क्षेत्र का सर्वोच्च पूर्ण रूप से परिभाषित यादृच्छिक वेरिएबल  नहीं है।  निरंतर समय की स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के लिए $$X$$, अन्य विशेषताएँ जो सूचकांक समुच्चय के अनगिनत अंकों पर निर्भर करती हैं $$T$$ सम्मिलित करना: इन दो कठिनाइयों को दूरस्थ  करने के लिए, विभिन्न धारणाएँ और दृष्टिकोण संभव हैं।
 * स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का नमूना फलन $$X$$ का सतत फलन है $$t\in T$$;
 * स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का नमूना फलन $$X$$ का परिबद्ध फलन है $$t\in T$$; और
 * स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का नमूना फलन $$X$$ का बढ़ता हुआ फलन है $$t\in T$$.

निर्माण संबंधी उद्देश्य का समाधान
जोसेफ डोब द्वारा प्रस्तावित स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के गणितीय निर्माण के उद्देश्य से बचने के लिए दृष्टिकोण यह मानना ​​​​है कि स्टोकेस्टिक प्रक्रिया वियोज्य है। पृथक्करणीयता सुनिश्चित करती है कि अनंत-आयामी वितरण नमूना फलन के गुणों को निर्धारित करते हैं, जिसके लिए आवश्यक है कि नमूना फलन को अनिवार्य रूप से सूचकांक समुच्चय में बिंदुओं के घने गणनीय समुच्चय पर उनके मूल्यों द्वारा निर्धारित किया जाए। इसके अतिरिक्त, यदि स्टोचैस्टिक प्रक्रिया वियोज्य है, तब सूचकांक समुच्चय के अनगिनत अंकों के फलन को मापा जा सकता है और उनकी संभावनाओं का अध्ययन किया जा सकता है।

अन्य दृष्टिकोण संभव है, मूल रूप से अनातोली स्कोरोखोद और आंद्रेई कोलमोगोरोव द्वारा विकसित, विवृत स्थान के रूप में किसी भी आव्युह स्थान के साथ निरंतर-समय की स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के लिए। ऐसी स्टोचैस्टिक प्रक्रिया के निर्माण के लिए, यह माना जाता है कि स्टोचैस्टिक प्रक्रिया के नमूना फलन कुछ उपयुक्त फलन स्थान से संबंधित होते हैं, जो सामान्यतः स्कोरोखोद स्थान होता है जिसमें बाईं सीमाओं के साथ सभी दाएं-निरंतर फलन होते हैं। यह दृष्टिकोण अब पृथक्करणीयता धारणा की तुलना में अधिक उपयोग किया जाता है, किन्तु इस दृष्टिकोण पर आधारित ऐसी स्टोकेस्टिक प्रक्रिया स्वचालित रूप से वियोज्य होगी।

चूंकि कम उपयोग किया जाता है, पृथक्करणीयता धारणा को अधिक सामान्य माना जाता है क्योंकि प्रत्येक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का वियोज्य संस्करण होता है। इसका उपयोग तब भी किया जाता है जब स्कोरोखोड स्थान में स्टोचैस्टिक प्रक्रिया का निर्माण करना संभव नहीं होता है। उदाहरण के लिए, यादृच्छिक क्षेत्रों का निर्माण और अध्ययन करते समय पृथक्करणीयता ग्रहण की जाती है, जहां यादृच्छिक वेरिएबल  का संग्रह अब वास्तविक रेखा के अतिरिक्त अन्य समुच्चयो द्वारा अनुक्रमित किया जाता है जैसे कि $$n$$-आयामी यूक्लिडियन स्थान में किया जाता है ।

यह भी देखें
• स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं विषयों की सूची

• सहप्रसरण फलन

• नियतात्मक प्रणाली

• मार्कोवियन कणों की गतिशीलता

• एंट्रॉपी दर (स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के लिए)

• एर्गोडिक प्रक्रिया

• गिलेस्पी एल्गोरिथम

• इंटरैक्टिंग कण प्रणाली

• कानून (स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं)

• मार्कोव श्रृंखला

• स्टोकेस्टिक सेलुलर ऑटोमेटन

• यादृच्छिक फ़ील्ड

• यादृच्छिकता

• स्थिर प्रक्रिया

• सांख्यिकीय मॉडल

• स्टोकेस्टिक कैलकुलस

• स्टोकेस्टिक नियंत्रण

• स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं और सीमा मूल्य समस्याएं

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

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 * विशेषता फलन (संभावना सिद्धांत)
 * निरंतर फलन
 * परिबद्ध फलन