वैकल्पिक बीजगणित

अमूर्त बीजगणित में, एक वैकल्पिक बीजगणित एक क्षेत्र पर एक बीजगणित है जिसमें गुणन को सहयोगी नहीं, केवल वैकल्पिकता की आवश्यकता होती है। यानि कि होना ही चाहिए बीजगणित में सभी x और y के लिए।
 * $$x(xy) = (xx)y$$
 * $$(yx)x = y(xx)$$

प्रत्येक साहचर्य बीजगणित स्पष्ट रूप से वैकल्पिक है, लेकिन ऑक्टोनियन जैसे कुछ पूर्णतः गैर-सहयोगी बीजगणित भी वैकल्पिक हैं।

सहयोगी
वैकल्पिक बीजगणित का नाम इसलिए रखा गया है क्योंकि वे ऐसे बीजगणित हैं जिनके लिए सहयोगी वैकल्पिक रूप है। सहयोगी द्वारा दिया गया एक त्रिरेखीय मानचित्र है
 * $$[x,y,z] = (xy)z - x(yz)$$.

परिभाषा के अनुसार, एक बहुरेखीय मानचित्र तब वैकल्पिक होता है जब उसके दो तर्क बराबर होते हैं तो वह गायब हो जाता है। बीजगणित के लिए बाएँ और दाएँ वैकल्पिक सर्वसमिकाएँ समतुल्य हैं
 * $$[x,x,y] = 0$$
 * $$[y,x,x] = 0.$$

ये दोनों पहचानें मिलकर यही दर्शाती हैं
 * $$[x,y,x] = [x, x, x] + [x, y, x] - [x, x+y, x+y] = [x, x+y, -y] = [x, x, -y] - [x, y, y] = 0$$

सभी के लिए $$x$$ और $$y$$. यह लचीली पहचान के समतुल्य है
 * $$(xy)x = x(yx).$$

इसलिए वैकल्पिक बीजगणित का सहयोगी प्रत्यावर्ती होता है। व्युत्क्रम (तर्क), कोई भी बीजगणित जिसका सहयोगी प्रत्यावर्ती है, स्पष्ट रूप से वैकल्पिक है। समरूपता द्वारा, कोई भी बीजगणित जो इनमें से किन्हीं दो को संतुष्ट करता है: वैकल्पिक है और इसलिए तीनों पहचानों को संतुष्ट करता है।
 * वैकल्पिक पहचान छोड़ें: $$x(xy) = (xx)y$$
 * सही वैकल्पिक पहचान: $$(yx)x = y(xx)$$
 * लचीली पहचान: $$(xy)x = x(yx).$$

एक प्रत्यावर्ती सहयोगी हमेशा पूरी तरह से विषम-सममित होता है। वह है,
 * $$[x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, x_{\sigma(3)}] = \sgn(\sigma)[x_1,x_2,x_3]$$

किसी भी क्रमपरिवर्तन के लिए $$\sigma$$. यह विपरीत तब तक लागू रहता है जब तक आधार क्षेत्र (गणित) की विशेषता (बीजगणित) 2 न हो।

उदाहरण

 * प्रत्येक साहचर्य बीजगणित वैकल्पिक है।
 * ऑक्टोनियन एक गैर-सहयोगी वैकल्पिक बीजगणित बनाते हैं, वास्तविक संख्याओं पर आयाम 8 का एक मानक विभाजन बीजगणित।
 * अधिक सामान्यतः, कोई भी ऑक्टोनियन बीजगणित वैकल्पिक है।

गैर-उदाहरण

 * sedenion और सभी उच्चतर केली-डिक्सन बीजगणित वैकल्पिकता खो देते हैं।

गुण
आर्टिन के प्रमेय में कहा गया है कि वैकल्पिक बीजगणित में किन्हीं दो तत्वों द्वारा उत्पन्न उपबीजगणित साहचर्य बीजगणित है। इसके विपरीत, कोई भी बीजगणित जिसके लिए यह सत्य है, स्पष्ट रूप से वैकल्पिक है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि वैकल्पिक बीजगणित में केवल दो चर वाले व्यंजकों को बिना कोष्ठक के स्पष्ट रूप से लिखा जा सकता है। आर्टिन के प्रमेय का एक सामान्यीकरण बताता है कि जब भी तीन तत्व होते हैं $$x,y,z$$ एक वैकल्पिक बीजगणित सहयोगी में (यानी, $$[x,y,z] = 0$$), उन तत्वों द्वारा उत्पन्न उपबीजगणित साहचर्य है।

आर्टिन के प्रमेय का एक परिणाम यह है कि वैकल्पिक बीजगणित शक्ति-सहयोगी हैं, अर्थात, एक तत्व द्वारा उत्पन्न उपबीजगणित साहचर्य है। इसके विपरीत की आवश्यकता नहीं है: सेडेनियन शक्ति-सहयोगी हैं लेकिन वैकल्पिक नहीं हैं।

मौफ़ांग की पहचान किसी भी वैकल्पिक बीजगणित को पकड़ें।
 * $$a(x(ay)) = (axa)y$$
 * $$((xa)y)a = x(aya)$$
 * $$(ax)(ya) = a(xy)a$$

एकात्मक वैकल्पिक बीजगणित में, गुणात्मक व्युत्क्रम तत्व जब भी मौजूद होते हैं तो अद्वितीय होते हैं। इसके अलावा, किसी भी उलटे तत्व के लिए $$x$$ और सभी $$y$$ किसी के पास
 * $$y = x^{-1}(xy).$$

यह सहयोगी कहने के बराबर है $$[x^{-1},x,y]$$ ऐसे सभी के लिए गायब हो जाता है $$x$$ और $$y$$.

अगर $$x$$ और $$y$$ फिर उलटे हैं $$xy$$ व्युत्क्रम के साथ व्युत्क्रमणीय भी है $$(xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1}$$. इसलिए सभी उलटे तत्वों का सेट गुणन के तहत बंद हो जाता है और एक मौफैंग लूप बनाता है। एक वैकल्पिक रिंग या बीजगणित में इकाइयों का यह लूप एक सहयोगी रिंग या बीजगणित में इकाइयों के समूह के अनुरूप है।

क्लेनफेल्ड के प्रमेय में कहा गया है कि कोई भी सरल गैर-सहयोगी वैकल्पिक रिंग अपने केंद्र (रिंग सिद्धांत) पर एक सामान्यीकृत ऑक्टोनियन बीजगणित है। वैकल्पिक छल्लों का संरचना सिद्धांत ज़ेव्लाकोव, स्लिन्को, शेस्ताकोव और शिरशोव की पुस्तक रिंग्स दैट आर नियरली एसोसिएटिव में प्रस्तुत किया गया है।

अनुप्रयोग
किसी भी वैकल्पिक विभाजन वलय पर प्रक्षेप्य तल एक मौफैंग तल है।

वैकल्पिक बीजगणित और रचना बीजगणित का घनिष्ठ संबंध गाइ रूस द्वारा 2008 में दिया गया था: वह (पृष्ठ 162) बीजगणित ए के लिए इकाई तत्व ई और एक इनवोल्यूशन (गणित) स्वप्रतिरोधी के साथ संबंध दिखाता है $$a \mapsto a^*$$ जैसे कि a + a* और aa*, A में सभी a के लिए e द्वारा रैखिक विस्तार रेखा पर हैं। संकेतन n(a) = aa* का उपयोग करें। फिर यदि n, A के क्षेत्र में एक गैर-एकवचन मानचित्रण है, और A वैकल्पिक है, तो (A,n) एक रचना बीजगणित है।

यह भी देखें

 * एक क्षेत्र पर बीजगणित
 * माल्टसेव बीजगणित
 * ज़ोर्न रिंग