परिधि (ग्राफ सिद्धांत)

ग्राफ सिद्धांत में, एक अप्रत्यक्ष ग्राफ का घेरा ग्राफ में निहित सबसे छोटे चक्र (ग्राफ सिद्धांत) की लंबाई है। यदि ग्राफ़ में कोई चक्र नहीं है (अर्थात, यह एक वन (ग्राफ़ सिद्धांत) है), इसकी परिधि को अनंत के रूप में परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, एक 4-चक्र (वर्ग) का घेरा 4 होता है। एक ग्रिड का घेरा 4 भी होता है, और एक त्रिकोणीय जाल का घेरा 3 होता है।

पिंजरों
घेरा का एक घनीय ग्राफ (सभी शीर्षों की डिग्री तीन है)। $g$ जो जितना संभव हो उतना छोटा होता है a के रूप में जाना जाता है $g$-पिंजरा (ग्राफ सिद्धांत) (या a $(3,g)$-पिंजरा)। पीटरसन ग्राफ अद्वितीय 5-पिंजरा है (यह परिधि 5 का सबसे छोटा क्यूबिक ग्राफ है), हीवुड ग्राफ अद्वितीय 6-पिंजरा है, मैगी ग्राफ  अद्वितीय 7-पिंजरा है और टुट्टे आठ पिंजरा अद्वितीय 8- है पिंजरा। किसी दिए गए घेरे के लिए कई पिंजरे मौजूद हो सकते हैं। उदाहरण के लिए तीन गैर-समरूपी 10-पिंजरे हैं, जिनमें से प्रत्येक में 70 शिखर हैं: बलबन 10-पिंजरा, हैरी ग्राफ और हैरी-वोंग ग्राफ।

परिधि और ग्राफ रंग
किसी भी सकारात्मक पूर्णांक के लिए $g$ और $χ$, कम से कम परिधि के साथ एक ग्राफ मौजूद है $g$ और रंगीन संख्या कम से कम $χ$; उदाहरण के लिए, Grötzsch ग्राफ त्रिकोण-मुक्त है और इसमें रंगीन संख्या 4 है, और Grötzsch ग्राफ बनाने के लिए उपयोग किए जाने वाले Mycielskian निर्माण को दोहराते हुए मनमाने ढंग से बड़ी रंगीन संख्या के त्रिकोण-मुक्त रेखांकन का उत्पादन करता है। संभाव्यता पद्धति का उपयोग करते हुए, पॉल एर्दोस सामान्य परिणाम को सिद्ध करने वाले पहले व्यक्ति थे। अधिक सटीक रूप से, उन्होंने दिखाया कि एक यादृच्छिक ग्राफ पर $n$ शीर्ष, स्वतंत्र रूप से चुनकर बनते हैं कि क्या प्रत्येक किनारे को प्रायिकता के साथ शामिल किया जाए $n^{(1–g)/g}$, के रूप में 1 होने की संभावना के साथ है $n$ अधिक से अधिक अनंत तक जाता है $n/2$ लंबाई का चक्र $g$ या उससे कम, लेकिन आकार का कोई स्वतंत्र सेट (ग्राफ़ सिद्धांत) नहीं है $n/2k$. इसलिए, प्रत्येक छोटे चक्र से एक शीर्ष को हटाने से एक छोटा ग्राफ निकल जाता है, जिसकी परिधि से अधिक होती है $g$, जिसमें रंग का प्रत्येक रंग वर्ग छोटा होना चाहिए और जिसके लिए कम से कम आवश्यकता होती है $k$ किसी भी रंग में रंग।

स्पष्ट, हालांकि बड़े, उच्च परिधि और रंगीन संख्या वाले ग्राफ़ को परिमित क्षेत्रों पर रैखिक समूहों के कुछ केली ग्राफ़ के रूप में बनाया जा सकता है। इन उल्लेखनीय रामानुजन रेखांकन में बड़े विस्तारक ग्राफ भी हैं।

संबंधित अवधारणाएँ
एक ग्राफ का विषम घेरा और सम घेरा क्रमशः सबसे छोटे विषम चक्र और सबसे छोटे सम चक्र की लंबाई हैं।

{{visible anchor|circumference}एक ग्राफ का } सबसे छोटा होने के बजाय सबसे लंबे (सरल) चक्र की लंबाई है।

एक गैर-तुच्छ चक्र की कम से कम लंबाई के रूप में सोचा गया, परिधि प्राकृतिक सामान्यीकरण को 1-सिस्टोल या सिस्टोलिक ज्यामिति में उच्च सिस्टोल के रूप में स्वीकार करती है।

गर्थ के-एज-कनेक्टेड ग्राफ की दोहरी अवधारणा है, इस अर्थ में कि एक प्लेनर ग्राफ का घेरा इसके दोहरे ग्राफ की बढ़त कनेक्टिविटी है, और इसके विपरीत। इन अवधारणाओं को matroid सिद्धांत में matroid परिधि द्वारा एकीकृत किया गया है, matroid में सबसे छोटे आश्रित सेट का आकार। एक ग्राफिक मैट्रॉइड के लिए, Metroid अंतर्निहित ग्राफ के परिधि के बराबर होता है, जबकि सह-ग्राफिक मैट्रोइड के लिए यह एज कनेक्टिविटी के बराबर होता है।

गणना
जटिलता के साथ प्रत्येक नोड से एक चौड़ाई-पहली खोज चलाकर एक अप्रत्यक्ष ग्राफ की परिधि की गणना की जा सकती है $$O(nm)$$ कहाँ $$n$$ ग्राफ के शीर्षों की संख्या है और $$m$$ किनारों की संख्या है। एक व्यावहारिक अनुकूलन बीएफएस की गहराई को उस गहराई तक सीमित करना है जो अब तक खोजे गए सबसे छोटे चक्र की लंबाई पर निर्भर करता है। बेहतर एल्गोरिदम उस मामले में जाना जाता है जहां परिधि सम है और जब ग्राफ समतलीय हो। निचली सीमाओं के संदर्भ में, ग्राफ़ के परिधि की गणना करना कम से कम उतना ही कठिन है जितना कि ग्राफ़ पर त्रिभुज ढूँढने की समस्या को हल करना।