निरंतर स्थिति

क्रम सिद्धांत में, सतत पोसमुच्चय आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय है जिसमें प्रत्येक तत्व अपने अनुमानित तत्वों का निर्देशित समुच्चय सर्वोच्चतम रखता है।

परिभाषाएँ
$$a,b\in P$$ पूर्व-आदेशित समुच्चय के दो तत्व $$(P,\lesssim)$$ होते हैं, इसके माध्यम से हम यह कह सकते हैं कि $$a$$ अनुमानित $$b$$, या वो $$a$$ तथा $$b$$ के लिए बहुत नीचे है, यदि निम्नलिखित दो समकक्ष शर्तें पूरी होती हैं। यहाँ पर यदि $$a$$ अनुमानित $$b$$ तो हम इस प्रकार कह सकते हैं कि $$a\ll b$$ सन्निकटन संबंध $$\ll$$ सकर्मक संबंध है, जो मूल क्रम से कमजोर है, इस प्रकार एंटीसिमेट्रिक संबंध भी है, इसके आधार पर यदि $$P$$ आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया समुच्चय है, अपितु यह आवश्यक नहीं है कि यह पूर्व आदेश में उपयोग किया गया हों। यहाँ पर यह प्रीऑर्डर है, इस प्रकार यदि $$(P,\lesssim)$$ आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करता है।
 * किसी भी निर्देशित समुच्चय के लिए $$D\subseteq P$$ का मान इस प्रकार है कि $$b\lesssim\sup D$$, यहाँ पर $$d\in D$$ हैं जो इस प्रकार है कि $$a\lesssim d$$ के समान हैं।
 * किसी भी आदर्श के लिए (आदेश सिद्धांत) $$I\subseteq P$$ इस प्रकार हैं $$b\lesssim\sup I$$, $$a\in I$$ के समान हैं।

इसके लिए $$a\in P$$, का मान इस प्रकार हैं कि
 * $$\mathop\Uparrow a=\{b\in L\mid a\ll b\}$$
 * $$\mathop\Downarrow a=\{b\in L\mid b\ll a\}$$

तब $$\mathop\Uparrow a$$ उच्च समुच्चय है, और $$\mathop\Downarrow a$$ निम्न समुच्चय हैं। इसके आधार पर यदि $$P$$ उच्च अर्धवृत्ताकार है, तो $$\mathop\Downarrow a$$ निर्देशित समुच्चय है, अर्थात्, $$b,c\ll a$$ तात्पर्य $$b\vee c\ll a$$), और इसलिए आदर्श या आदेश सिद्धांत को प्रदर्शित करता हैं।

यहाँ पर पूर्व आदेशित समुच्चय $$(P,\lesssim)$$ इस प्रकार हैं कि यदि इसका कोई मान इस प्रकार हैं तो इसे सतत पूर्व-आदेशित समुच्चय कहा जाता है, और $$a\in P$$, उपसमुच्चय $$\mathop\Downarrow a$$ निर्देशित समुच्चय $$a=\sup\mathop\Downarrow a$$ है।

प्रक्षेप गुण
किन्हीं दो तत्वों के लिए $$a,b\in P$$ सतत पूर्व-आदेशित समुच्चय का $$(P,\lesssim)$$, $$a\ll b$$ हैं। इसके आधार पर यदि किसी निर्देशित समुच्चय के लिए $$D\subseteq P$$ इस प्रकार है कि $$b\lesssim\sup D$$, है तो $$d\in D$$ का मान इस प्रकार होगा कि $$a\ll d$$ के समान होगा। इसके आधार पर निरंतर पूर्व-आदेशित समुच्चय की प्रक्षेप संपत्ति का पता चलता है, जिसके लिए $$(P,\lesssim)$$: किसी के लिए $$a,b\in P$$ ऐसा है कि $$a\ll b$$ यहाँ $$c\in P$$ इस प्रकार हैं कि $$a\ll c\ll b$$ के समान हैं।

सतत डी काॅप्स
किन्हीं दो तत्वों के लिए $$a,b\in P$$ सतत निर्देशित-पूर्ण आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय का $$(P,\le)$$ मान निम्नलिखित दो स्थितियों के समतुल्य होते हैं। इसका उपयोग करके यह दिखाया जा सकता है कि निम्नलिखित मजबूत प्रक्षेप गुण निरंतर dcpos के लिए सत्य है। किसी के लिए $$a,b\in P$$ ऐसा है कि $$a\ll b$$ और $$a\ne b$$, यहाँ है $$c\in P$$ ऐसा है कि $$a\ll c\ll b$$ और $$a\ne c$$ के समान हैं।
 * $$a\ll b$$ और $$a\ne b$$.
 * किसी भी निर्देशित समुच्चय के लिए $$D\subseteq P$$ ऐसा है कि $$b\le\sup D$$, यहाँ $$d\in D$$ इस प्रकार हैं कि $$a\ll d$$ और $$a\ne d$$ के समान हैं।

निर्देशित-पूर्ण आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए समुच्चय के लिए $$(P,\le)$$, निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैं। इस स्थिति में, वास्तविक बायां जोड़ इस प्रकार है-
 * यहाँ पर $$P$$ सतत है।
 * सर्वोच्च मानचित्र $$\sup \colon \operatorname{Ideal}(P)\to P$$ आदर्श (आदेश सिद्धांत) के आंशिक रूप से क्रमबद्ध समुच्चय से $$P$$ के लिए यह $$P$$ का बायां जोड़ है।
 * $${\Downarrow} \colon P\to\operatorname{Ideal}(P)$$
 * $$\mathord\Downarrow\dashv\sup$$

सतत पूर्ण स्थिति
किन्हीं दो तत्वों के लिए $$a,b\in L$$ पूर्ण स्थिति के लिए $$L$$, $$a\ll b$$ इस प्रकार हैं यदि किसी उपसमुच्चय के लिए $$A\subseteq L$$ के समान हैं तो $$b\le\sup A$$ परिमित उपसमुच्चय को प्रदर्शित करता है, इस प्रकार यहाँ पर $$F\subseteq A$$ इस प्रकार हैं कि $$a\le\sup F$$ के समान हैं।

यहाँ पर $$L$$ पूर्ण स्थिति को प्रदर्शित करता हैं, इसके आधार पर निम्नलिखित शर्तें सामने आती हैं।
 * $$L$$ सतत है।
 * सर्वोच्च मानचित्र $$\sup \colon \operatorname{Ideal}(L)\to L$$ के आदर्श (आदेश सिद्धांत) की पूरी स्थिति से $$L$$ को $$L$$ की सबसे कम को सुरक्षित रखता है।
 * किसी भी समूह के लिए $$\mathcal D$$ के निर्देशित समुच्चय के $$L$$, $$\textstyle\inf_{D\in\mathcal D}\sup D=\sup_{f\in\prod\mathcal D}\inf_{D\in\mathcal D}f(D)$$ के समान हैं।
 * $$L$$ स्कॉट-निरंतर निष्क्रिय मानचित्र की छवि (गणित) के लिए समरूपी $$r \colon \{0,1\}^\kappa\to\{0,1\}^\kappa$$ है। इस विधि से कई दो-बिंदुओं के प्रत्यक्ष उत्पाद पर $$\{0,1\}$$ मान प्राप्त होता हैं।

किसी सतत पूर्ण स्थिति को अधिकांशतः सतत जालक कहा जाता है।

विवृत समुच्चय की स्थिति
टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए $$X$$, निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैं।
 * संपूर्ण हेयटिंग बीजगणित $$\operatorname{Open}(X)$$ के विवृत समुच्चय के $$X$$ सतत पूर्ण हेयटिंग बीजगणित है।
 * जिसके लिए $$X$$ को स्थानीय रूप से सघन स्थान माना जाता है, इसका अर्थ है कि प्रत्येक बिंदु का कॉम्पैक्ट समुच्चय स्थानीय आधार है।
 * $$X$$ श्रेणी में घातांकीय वस्तु है, जो $$\operatorname{Top}$$ टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का मान हैं। अर्थात फलन $$(-)\times X\colon\operatorname{Top}\to\operatorname{Top}$$ दायां जोड़ के समान है।