नेटवर्क संश्लेषण (नेटवर्क सिंथेसिस)

नेटवर्क संश्लेषण, रैखिक विद्युत परिपथों के लिए बनावट तकनीक है। संश्लेषण आवृत्ति या आवृत्ति प्रतिक्रिया के निर्धारित विद्युत प्रतिबाधा फलन से प्रारम्भ होता है और फिर संभावित नेटवर्क निर्धारित करता है जो आवश्यक प्रतिक्रिया उत्पन्न करेगा। तकनीक की तुलना नेटवर्क विश्लेषण से की जानी है जिसमें किसी दिए गए परिपथ की प्रतिक्रिया (या अन्य व्यवहार) की गणना की जाती है। नेटवर्क संश्लेषण से पूर्व, मात्र नेटवर्क विश्लेषण उपलब्ध था, परन्तु इसके लिए आवश्यक है कि किसी को पूर्व से ही ज्ञात हो कि किस प्रकार के परिपथ का विश्लेषण किया जाना है। इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि चुना गया परिपथ वांछित प्रतिक्रिया के सबसे निकट संभव मिलान होगा,और न ही परिपथ सबसे सरल संभव है। नेटवर्क संश्लेषण इन दोनों फलनो को प्रत्यक्षतः संबोधित करता है। नेटवर्क संश्लेषण ऐतिहासिक रूप से निष्क्रिय नेटवर्क के संश्लेषण से संबंधित रहा है, परन्तु यह ऐसे परिपथ तक सीमित नहीं है।

क्षेत्र की स्थापना रोनाल्ड एम. फोस्टर के 1924 के "पेपर ए रिएक्शन" प्रमेय को पढ़ने के पश्चात विल्हेम कॉयर द्वारा की गई थी। फोस्टर के प्रमेय ने प्रतिबाधा फलनों के आंशिक भिन्न विस्तार द्वारा अवयवों की किसी संख्या के साथ एलसी परिपथ को संश्लेषित करने की विधि प्रदान की थी। काउर ने आरसी परिपथ और आरएल परिपथ के लिए फोस्टर की विधि को और आगे तक विस्तार किया और उन्होंने नवीन संश्लेषण विधियों को पाया जो सामान्य आरएलसी परिपथ को संश्लेषित कर सकते थे। द्वितीय विश्व युद्ध से पूर्व अन्य महत्वपूर्ण प्रगति ओटो ब्राउन और सिडनी डार्लिंगटन के कारण हैं। 1940 के समय में राउल बॉटल और रिचर्ड डफिन ने संश्लेषण तकनीक प्रकाशित की जिसमें सामान्य स्थिति में बदलने की आवश्यकता नहीं थी (जिसका उन्मूलन कुछ समय के लिए शोधकर्ताओं को व्याकुल कर रहा था)। 1950 के दशक में, संश्लेषण में आवश्यक अवयवों की संख्या को कम करने के प्रश्न पर बहुत प्रयास किया गया था, 2000 के दशक तक इस क्षेत्र में बहुत कम किया गया था जब न्यूनीकरण की समस्या फिर से अनुसंधान का सक्रिय क्षेत्र बन गई, परन्तु 2023 तक अभी भी अनसुलझी समस्या है।

नेटवर्क संश्लेषण का प्राथमिक अनुप्रयोग नेटवर्क संश्लेषण निस्पंदन का बनावट है परन्तु यह इसका एकमात्र अनुप्रयोग नहीं है। दूसरों के बीच प्रतिबाधा मिलान नेटवर्क,एनालॉग विलंब रेखा, समय-विलंब नेटवर्क, दिशात्मक युग्मक और समकारी हैं। 2000 के दशक में, नेटवर्क संश्लेषण को मैकेनिकल प्रणाली के साथ-साथ इलेक्ट्रिकल, विशेष रूप से फार्मूला वन रेसिंग में लागू किया जाने लगा था।

अवलोकन
नेटवर्क संश्लेषण विद्युत नेटवर्क को डिजाइन करने के विषय में है जो नेटवर्क रूप के किसी भी पूर्वकल्पना के बिना निर्धारित विधि से व्यवहार करता है। सामान्यतः, निष्क्रिय घटकों का उपयोग करके विद्युत प्रतिबाधा को संश्लेषित करने की आवश्यकता होती है। अर्थात, नेटवर्क जिसमें विद्युत प्रतिरोध (R), प्रेरकत्व (L) और धारिता (C) सम्मिलित हैं। ऐसे नेटवर्क में सदैव प्रतिबाधा होती है, जिसे $$Z(s)$$ निरूपित किया जाता है। अर्थात् प्रतिबाधा s में दो बहुपदों का अनुपात है।

नेटवर्क संश्लेषण में अध्ययन के तीन व्यापक क्षेत्र हैं; तर्कसंगत फलन के साथ आवश्यकता का अनुमान लगाना, उस फलन को नेटवर्क में संश्लेषित करना और संश्लेषित नेटवर्क के समकक्षों का निर्धारण करना है।

सन्निकटन
आदर्शीकृत निर्धारित फलन बहुपदों द्वारा यथार्थ रूप से वर्णित होने में संभवतः कभी सक्षम होंगे। इसलिए इसे पुन: उत्पन्न करने के लिए किसी नेटवर्क को संश्लेषित करना संभव नहीं है। ईंट-दीवार निस्पंदन सरल और सामान्य उदाहरण है। यह लो पास निस्पंदन की आदर्श प्रतिक्रिया है, परन्तु इसके टुकड़े-टुकड़े निरंतर प्रतिक्रिया को बहुपदों के साथ प्रदर्शित करना असंभव है क्योंकि विच्छिन्नताएं हैं। इस कठिनाई को दूर करने के लिए, तर्कसंगत फलन पाया जाता है जो सन्निकटन सिद्धांत का उपयोग करके निर्धारित फलन को स्पष्टता से अनुमानित करता है। सामान्यतः, सन्निकटन जितना निकट होना आवश्यक है, बहुपद की उच्च घात और नेटवर्क में उतने ही अधिक अवयवों की आवश्यकता होगी।

इस प्रयोजन के लिए नेटवर्क संश्लेषण में कई बहुपदों और फलनों का उपयोग किया जाता है। चुनाव इस बात पर निर्भर करती है कि डिज़ाइनर किस निर्धारित फलन के पैरामीटर को अनुकूलित करना चाहता है। सबसे पूर्व उपयोग किया जाने वाला बटरवर्थ बहुपद था, जिसके परिणामस्वरूप पारण बैंड में अधिकतम समतल प्रतिक्रिया होती है। चेबीशेव सन्निकटन सामान्य चुनाव है जिसमें डिज़ाइनर निर्दिष्ट करता है कि अन्य मापदंडों में सुधार के स्थान पर पारण बैंड प्रतिक्रिया आदर्श से कितना विचलित हो सकती है। समय विलंब, प्रतिबाधा मिलान, अपवेल्लन और कई अन्य आवश्यकताओं को अनुकूलित करने के लिए अन्य सन्निकटन उपलब्ध हैं।

विक्रय
एक तर्कसंगत फलन को देखते हुए, सामान्यतः यह निर्धारित करना आवश्यक होता है कि क्या फलन असतत निष्क्रिय नेटवर्क के रूप में प्राप्य है। ऐसे सभी नेटवर्क तर्कसंगत फलन द्वारा वर्णित हैं, परन्तु असतत निष्क्रिय नेटवर्क के रूप में सभी तर्कसंगत फलनों को साकार नहीं किया जा सकता है। ऐतिहासिक रूप से, नेटवर्क संश्लेषण विशेष रूप से ऐसे नेटवर्कों से संबंधित था। आधुनिक सक्रिय घटकों ने इस सीमा को कई अनुप्रयोगों में कम प्रासंगिक बना दिया है, परन्तु उच्च रेडियो आवृति पर निष्क्रिय नेटवर्क अभी भी चुनाव की तकनीक है। तर्कसंगत फलनों का धनात्मक-वास्तविक फलन है जो भविष्यवाणी करता है कि क्या फलन निष्क्रिय नेटवर्क के रूप में प्राप्त हो सकता है या नहीं। बार जब यह निर्धारित हो जाता है कि फलन प्राप्त करने योग्य है, तो वहां कई एल्गोरिदम उपलब्ध हैं जो इससे नेटवर्क को संश्लेषित करेंगे।

समानता
तर्कसंगत फलन से नेटवर्क प्राप्ति अद्वितीय नहीं है। एक ही फलन कई समतुल्य नेटवर्क को समझ सकता है। यह ज्ञात है कि किसी नेटवर्क के जाल विश्लेषण में बनने वाले प्रतिबाधा आव्यूह के संबधित परिवर्तन समतुल्य नेटवर्क के सभी प्रतिबाधा आव्यूह हैं (अग्रिम सूचना पर )। अन्य समतुल्य प्रतिबाधा परिवर्तन ज्ञात हैं, परन्तु क्या और भी समतुल्य वर्ग हैं जो खोजे जाने शेष हैं, यह विवृत प्रश्न है।

नेटवर्क संश्लेषण में अनुसंधान का प्रमुख क्षेत्र उस बोध का पता लगाना रहा है जो अवयवों की न्यूनतम संख्या का उपयोग करता है। सामान्य स्थिति के लिए यह प्रश्न पूर्ण रूप से हल नहीं किया गया है, परन्तु व्यावहारिक अनुप्रयोगों के साथ कई नेटवर्कों के लिए हल उपलब्ध हैं।

इतिहास
नेटवर्क संश्लेषण के क्षेत्र की स्थापना जर्मन गणितज्ञ और वैज्ञानिक विल्हेम कॉयर (1900-1945) ने की थी। सिद्धांत की ओर प्रथम संकेत अमेरिकी गणितज्ञ रोनाल्ड एम. फोस्टर (1896-1998) से आया जब उन्होंने 1924 में फोस्टर की प्रतिक्रिया प्रमेय प्रकाशित की थी। काउर ने तुरंत इस कार्य के महत्व को पहचाना और इसे सामान्य बनाने और विस्तारित करने के विषय में निर्धारित किया था। 1926 में उनकी अभिधारणा निर्धारित आवृत्ति निर्भरता के प्रतिबाधाओं की प्राप्ति पर थी और यह क्षेत्र की प्रारम्भ है। काउर का सबसे विस्तृत फलन द्वितीय विश्व युद्ध के समय किया गया था, परन्तु युद्ध के अंत से कुछ ही समय पूर्व वह मारा गया था। युद्ध के समय उनका कार्य व्यापक रूप से प्रकाशित नहीं हो सका, और यह 1958 तक नहीं था कि उनके परिवार ने उनके प्रलेख एकत्र किए और उन्हें व्यापक संसार के लिए प्रकाशित किया था। इस बीच, युद्ध के समय अधिकृत किए गए कायर के पूर्व-युद्ध प्रकाशनों और विवरण के आधार पर संयुक्त राज्य अमेरिका में प्रगति की गई थी। अंग्रेजी स्वयं-सिखाए गणितज्ञ और वैज्ञानिक ओलिवर हीविसाइड (1850-1925) सबसे पूर्व यह दिखाने वाले थे कि आरएलसी नेटवर्क का प्रतिबाधा सदैव आवृत्ति संचालक का तर्कसंगत फलन था, परन्तु तर्कसंगत फलन से नेटवर्क को साकार करने की कोई विधि नहीं दी गई थी। निष्क्रिय नेटवर्क के रूप में साकार होने के लिए काउर ने तर्कसंगत फलन के लिए आवश्यक प्रतिबन्ध पाई गई। दक्षिण अफ़्रीकी ओटो ब्रुने (1901-1982) ने बाद में इस स्थिति के लिए धनात्मक-वास्तविक फलन (पीआरएफ) शब्द गढ़ा था। काउर ने माना कि पीआरएफ आवश्यक और पर्याप्त स्थिति थी, परन्तु इसे सिद्ध नहीं कर सका था, और ब्रुने को शोध परियोजना के रूप में सुझाव दिया, जो उस समय संयुक्त राज्य अमेरिका में उनके स्नातक छात्र थे। ब्रुने ने अपने 1931 के चिकित्सक संबंधी अभिधारणा में अनुपस्थित प्रमाण प्रकाशित किया था। फोस्टर की प्राप्ति एलसी नेटवर्क तक सीमित थी और दो रूपों में से में थी; या तो श्रृंखला में कई श्रृंखला एलसी परिपथ, या श्रृंखला में कई समानांतर एलसी परिपथ है। फोस्टर की विधि $$Z(s)$$ को आंशिक भिन्नों में विस्तारित करना था। काउर ने दिखाया कि फोस्टर की पद्धति को आरएल और आरसी नेटवर्क तक बढ़ाया जा सकता है। कायर ने एक और विधि भी खोजी; $$Z(s)$$ को निरंतर भिन्न के रूप में विस्तारित करना जिसके परिणामस्वरूप सोपानी नेटवर्क बनता है, फिर से दो संभावित रूपों में होता है। सामान्यतः, पीआरएफ आरएलसी नेटवर्क का प्रतिनिधित्व करेगा; सभी तीन प्रकार के अवयवों के साथ यह बोध जटिल है । काउर और ब्रुने दोनों ने आरएलसी नेटवर्क की अपनी प्राप्ति में आदर्श ट्रांसफार्मर का उपयोग किया था। परिपथ के व्यावहारिक कार्यान्वयन में ट्रांसफार्मर सम्मिलित करना अवांछनीय है। 1949 में हंगेरियन-अमेरिकी गणितज्ञ राउल बॉट (1923-2005) और अमेरिकी भौतिक विज्ञानी रिचर्ड डफिन (1909-1996) द्वारा ट्रांसफॉर्मर की आवश्यकता नहीं होने की प्राप्ति की विधि प्रदान की गई थी। बॉटल और डफिन विधि रिचर्ड्स प्रमेय के बार-बार अनुप्रयोग द्वारा विस्तार प्रदान करती है, जो अमेरिकी भौतिक विज्ञानी और व्यावहारिक गणितज्ञ पॉल आई. रिचर्ड्स (1923-1978) के कारण 1947 का परिणाम है। परिणामी बॉटल-डफिन नेटवर्क का सीमित व्यावहारिक उपयोग होता है (कम से कम बहुपद की उच्च घात के तर्कसंगत फलनों के लिए) क्योंकि आवश्यक घटकों की संख्या घात के साथ तीव्रता से बढ़ती है। मूल बॉटल-डफिन विधि की कई भिन्नताएं प्रत्येक खंड में अवयवों की संख्या को छह से पांच तक कम कर देती हैं, परन्तु फिर भी समग्र संख्या में तीव्रता से वृद्धि होती है। इसे प्राप्त करने वाले पत्रों में पेंटेल (1954), रेजा (1954), स्टोरर (1954) और फियाल्कोव और गेस्ट (1955) सम्मिलित हैं। 2010 तक, तर्कसंगत फलनों को संश्लेषित करने में कोई और महत्वपूर्ण प्रगति नहीं हुई है।

1939 में, अमेरिकी इलेक्ट्रिकल इंजीनियर सिडनी डार्लिंगटन ने दिखाया कि किसी भी पीआरएफ को दो-पोर्ट नेटवर्क के रूप में समझा जा सकता है जिसमें मात्र एल और सी अवयव होते हैं और अवरोधक के साथ इसके निर्गम पर समाप्त हो जाते हैं। अर्थात, किसी भी नेटवर्क में मात्र प्रतिरोध की आवश्यकता होती है, शेष घटक दोषरहित होते हैं। प्रमेय स्वतंत्र रूप से कॉयर और जियोवानी कोसी दोनों द्वारा खोजा गया था। परिणामी समस्या, मात्र प्रारंभ करनेवाले के साथ आर और सी अवयवों का उपयोग करके पीआरएफ के संश्लेषण को खोजने के लिए, नेटवर्क सिद्धांत में अनसुलझी समस्या है। और अनसुलझी समस्या डार्लिंगटन के अनुमान (1955) का प्रमाण पा रही है कि किसी भी आरसी 2-पोर्ट को सामान्य टर्मिनल के साथ श्रृंखला-समानांतर नेटवर्क के रूप में समझा जा सकता है। व्यावहारिक नेटवर्क में महत्वपूर्ण विचार घटकों की संख्या को कम करना है, विशेष रूप से कुंडलित घटकों-प्रेरक और ट्रांसफार्मर आदि। कम से कम करने के अत्यधिक प्रयासों के अतिरिक्त, न्यूनीकरण का कोई सामान्य सिद्धांत कभी भी खोजा नहीं गया है जैसा कि बूलियन फलनों के न्यूनीकरण के लिए है।

कॉयर ने आदर्श निस्पंदनों के सन्निकटन उत्पन्न करने के लिए अण्डाकार तर्कसंगत फलनों का उपयोग किया। अण्डाकार तर्कसंगत फलनों की विशेष स्थिति पफनुटी चेबीशेव (1821-1894) के कारण चेबिशेव बहुपद है और सन्निकटन सिद्धांत का महत्वपूर्ण भाग है। चेबिशेव बहुपद व्यापक रूप से निस्पंदन डिजाइन करने के लिए उपयोग किए जाते हैं। 1930 में, ब्रिटिश भौतिक विज्ञानी स्टीफन बटरवर्थ (1885-1958) ने बटरवर्थ बहुपदों का उपयोग करते हुए बटरवर्थ निस्पंदन को डिजाइन किया, जिसे अन्यथा अधिकतम-समतल निस्पंदन के रूप में जाना जाता है। बटरवर्थ का कार्य कॉयर से पूर्ण रूप से स्वतंत्र था, परन्तु बाद में यह पाया गया कि बटरवर्थ बहुपद चेबीशेव बहुपदों का सीमित स्थिति था। पूर्व भी (1929) और फिर से स्वतंत्र रूप से, अमेरिकी इंजीनियर और वैज्ञानिक एडवर्ड लॉरी नॉर्टन (1898-1983) ने बटरवर्थ के विद्युत निस्पंदन के पूर्ण रूप से अनुरूप प्रतिक्रिया के साथ अधिकतम-समतल यांत्रिक निस्पंदन डिजाइन किया था।

2000 के दशक में, नेटवर्क संश्लेषण सिद्धांत को और विकसित करने में रुचि को बढ़ावा दिया गया जब सिद्धांत को बड़े यांत्रिक प्रणालियों पर लागू किया जाने लगा। घटकों के आकार और लागत के कारण विद्युत की तुलना में यांत्रिक प्रांत में न्यूनीकरण की अनसुलझी समस्या बहुत अधिक महत्वपूर्ण है। 2017 में, कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय के शोधकर्ताओं ने स्वयं को तर्कसंगत फलन घात पर विचार करने के लिए सीमित कर दिया, यह निर्धारित किया कि सभी श्रृंखला-समानांतर नेटवर्क और अधिकांश यादृच्छिक नेटवर्क के लिए इस प्रकार के फलनों के बॉटल-डफिन की प्राप्ति में प्रतिक्रियाओं की न्यूनतम संख्या थी (ह्यूजेस, 2017)। उन्होंने इस परिणाम को आश्चर्यजनक पाया क्योंकि इससे पता चलता है कि बॉटल-डफिन विधि इतनी गैर-न्यूनतम नहीं थी जितना कि पूर्व सोचा गया था। यह शोध आंशिक रूप से लाडेनहाइम कैटलॉग पर दोबारा ध्यान करने पर केंद्रित था। यह दो से अधिक प्रतिघातों और तीन प्रतिरोधों वाले सभी विशिष्ट आरएलसी नेटवर्कों की गणना है। एडवर्ड लादेनहेम ने 1948 में फोस्टर के छात्र के रूप में इस कार्य को अंजाम दिया। कैटलॉग की प्रासंगिकता यह है कि इन सभी नेटवर्कों को द्विवर्गीय फलनों द्वारा महसूस किया जाता है।

अनुप्रयोग
नेटवर्क संश्लेषण का एकल सबसे व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला अनुप्रयोग फ़िल्टर (सिग्नल प्रोसेसिंग) के डिजाइन में है। ऐसे निस्पंदन के आधुनिक डिजाइन लगभग सदैव नेटवर्क संश्लेषण फ़िल्टर के कुछ रूप होते हैं। एक अन्य अनुप्रयोग प्रतिबाधा मिलान नेटवर्क का डिज़ाइन है। आवृत्ति पर प्रतिबाधा मिलान के लिए मात्र तुच्छ नेटवर्क की आवश्यकता होती है - सामान्यतः घटक। विस्तृत बैंड पर प्रतिबाधा मिलान, हालांकि, अधिक जटिल नेटवर्क की आवश्यकता होती है, भले ही स्रोत और भार प्रतिरोध आवृत्ति के साथ भिन्न न हों। निष्क्रिय अवयवों के साथ और ट्रांसफॉर्मर के उपयोग के बिना ऐसा करने से फ़िल्टर जैसी डिज़ाइन होती है। इसके अलावा, यदि भार शुद्ध विद्युत प्रतिरोध नहीं है, तो मात्र असतत आवृत्तियों की संख्या पर परिपूर्ण मिलान प्राप्त करना संभव है; पूरे बैंड के मैच का अनुमान लगाया जाना चाहिए। डिज़ाइनर पूर्व फ़्रीक्वेंसी बैंड निर्धारित करता है जिस पर मैचिंग नेटवर्क को संचालित करना है, और फिर उस बैंड के लिए बंदपास छननी डिज़ाइन करता है। मानक निस्पंदन और मेल खाने वाले नेटवर्क के बीच एकमात्र आवश्यक अंतर यह है कि स्रोत और भार प्रतिबाधा समान नहीं हैं। फ़िल्टर और मेल खाने वाले नेटवर्क के बीच अंतर हैं जिनमें पैरामीटर महत्वपूर्ण हैं। जब तक कि नेटवर्क का दोहरा फलन न हो, डिज़ाइनर पारण बैंड के बाहर प्रतिबाधा मिलान नेटवर्क के व्यवहार पर बहुत अधिक चिंतित नहीं होता है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि संक्रमण बैंड बहुत संकीर्ण नहीं है, या बंद करो बैंड में खराब क्षीणन है। वास्तव में, अत्यंत आवश्यक से परे बैंडविड्थ (सिग्नल प्रोसेसिंग) में सुधार करने का प्रयास प्रतिबाधा मैच की यथार्थता से अलग हो जाएगा। नेटवर्क में दिए गए अवयवों की संख्या के साथ, डिज़ाइन बैंडविड्थ को कम करने से मिलान में सुधार होता है और इसके विपरीत। प्रतिबाधा मिलान नेटवर्क की सीमाओं की जांच पहली बार 1945 में अमेरिकी इंजीनियर और वैज्ञानिक हेनरी वेड बोडे द्वारा की गई थी, और यह सिद्धांत कि उन्हें आवश्यक रूप से फ़िल्टर जैसा होना चाहिए, 1950 में इतालवी-अमेरिकी कंप्यूटर वैज्ञानिक रॉबर्ट फानो द्वारा स्थापित किया गया था। पारण बैंड में पैरामीटर जो सामान्यतः फ़िल्टर के लिए सेट किया जाता है वह अधिकतम सम्मिलन हानि है। प्रतिबाधा मिलान नेटवर्क के लिए, न्यूनतम नुकसान भी निर्धारित करके बेहतर मिलान प्राप्त किया जा सकता है। यानी लाभ कभी भी एकता तक नहीं पहुंचता है। समय-विलंब नेटवर्क को फ़िल्टर जैसी संरचनाओं के साथ नेटवर्क संश्लेषण द्वारा डिज़ाइन किया जा सकता है। विलंब नेटवर्क को डिज़ाइन करना संभव नहीं है जिसमें बैंड में सभी आवृत्तियों पर निरंतर विलंब हो। इस व्यवहार के सन्निकटन का उपयोग निर्धारित बैंडविड्थ तक सीमित होना चाहिए। निर्धारित विलंब अधिक से अधिक स्पॉट फ्रीक्वेंसी की सीमित संख्या में होगा। बेसल निस्पंदन में अधिकतम-समतल समय-विलंब होता है। नेटवर्क संश्लेषण का अनुप्रयोग विद्युत प्रांत तक ही सीमित नहीं है। इसे किसी भी ऊर्जा प्रांत में सिस्टम पर लागू किया जा सकता है जिसे रैखिक घटकों के नेटवर्क के रूप में दर्शाया जा सकता है। विशेष रूप से, नेटवर्क संश्लेषण ने यांत्रिक प्रांत में यांत्रिक नेटवर्क में अनुप्रयोग पाया है। यांत्रिक नेटवर्क संश्लेषण पर विचार करते हुए मैल्कम सी. स्मिथ ने नवीन यांत्रिक नेटवर्क अवयव, इनरटर (यांत्रिक नेटवर्क) प्रस्तावित किया, जो विद्युत संधारित्र के अनुरूप है। जड़ता गुण वाले यांत्रिक घटकों को फ़ॉर्मूला वन रेसिंग कारों के निलंबन में आवेदन मिला है।

संश्लेषण तकनीक
संश्लेषण सन्निकटन तकनीक को चुनकर प्रारम्भ होता है जो नेटवर्क के आवश्यक फलन का अनुमान लगाते हुए तर्कसंगत फलन प्रदान करता है। यदि फलन को निष्क्रिय घटकों के साथ फलनान्वित किया जाना है, तो फलन को धनात्मक-वास्तविक फलन (पीआरएफ) की प्रतिबन्धों को भी पूरा करना होगा। उपयोग की जाने वाली संश्लेषण तकनीक इस बात पर निर्भर करती है कि किस प्रकार का नेटवर्क वांछित है, और आंशिक रूप से नेटवर्क में कितने प्रकार के अवयवों की आवश्यकता है। एक-अवयव-प्रकार का नेटवर्क तुच्छ स्थिति है, जो एकल अवयव की प्रतिबाधा को कम करता है। दो-अवयव-प्रकार का नेटवर्क (एलसी, आरसी, या आरएल) को फोस्टर या कॉयर संश्लेषण के साथ संश्लेषित किया जा सकता है। तीन-अवयव-प्रकार के नेटवर्क (एक आरएलसी नेटवर्क) के लिए अधिक उन्नत उपचार की आवश्यकता होती है जैसे कि ब्रुने या बॉटल-डफिन संश्लेषण। कौन से और कितने प्रकार के अवयवों की आवश्यकता है, यह फलन के ध्रुवों और शून्यों (सामूहिक रूप से महत्वपूर्ण आवृत्तियों कहा जाता है) की जांच करके निर्धारित किया जा सकता है। प्रत्येक प्रकार के नेटवर्क के लिए महत्वपूर्ण आवृत्तियों की आवश्यकता नीचे संबंधित अनुभागों में दी गई है।

फोस्टर संश्लेषण
फोस्टर का संश्लेषण, अपने मूल रूप में, मात्र एलसी नेटवर्क पर ही लागू किया जा सकता है। पीआरएफ दो-अवयव-प्रकार के एलसी नेटवर्क का प्रतिनिधित्व करता है यदि महत्वपूर्ण आवृत्तियों $$Z(s)$$ सभी पर मौजूद हैं $$i \omega$$ के जटिल तल की धुरी $$s = \sigma + i \omega$$ (एस-प्लेन | एस-प्लेन) और ध्रुवों और शून्यों के बीच वैकल्पिक होगा। मूल और अनंत पर ही महत्वपूर्ण आवृत्ति होनी चाहिए, शेष सभी संयुग्म जोड़े में होने चाहिए। $$Z(s)$$ सम और विषम बहुपद का अनुपात होना चाहिए और उनकी घातों में ठीक का अंतर होना चाहिए। ये आवश्यकताएं फोस्टर की प्रतिक्रिया प्रमेय का परिणाम हैं।

मैं पालक हूँ
फोस्टर का प्रथम रूप (फोस्टर I रूप) संश्लेषण करता है $$Z(s)$$ श्रृंखला में समांतर एलसी परिपथ के सेट के रूप में। उदाहरण के लिए,


 * $$Z(s) = \frac {9s^5 + 30s^3 + 24s}{18s^4 + 36s^2 + 8} $$

आंशिक भिन्नों में विस्तारित किया जा सकता है,


 * $$Z(s) = {s \over 2} + \frac {(25 + 11 \sqrt 5)s}{5(9 + 3 \sqrt 5)s^2 +20} + \frac {(25 - 11 \sqrt 5)s}{5(9 - 3 \sqrt 5)s^2 +20} \approx {s \over 2} + \frac {2.48s}{3.93s^2 +1} + \frac {0.020s}{0.573s^2 + 1}$$

प्रथम शब्द श्रृंखला प्रारंभ करनेवाला का प्रतिनिधित्व करता है, जिसका परिणाम है $$Z(s)$$ अनंत पर ध्रुव होना। यदि इसके मूल में पोल होता, तो यह श्रृंखला संधारित्र का प्रतिनिधित्व करता। शेष दो पद प्रत्येक पर ध्रुवों के संयुग्मी युग्मों का प्रतिनिधित्व करते हैं $$i \omega$$ एक्सिस। इनमें से प्रत्येक शब्द को ऐसे परिपथ के लिए प्रतिबाधा अभिव्यक्ति के साथ तुलना करके समांतर एलसी परिपथ के रूप में संश्लेषित किया जा सकता है,
 * $$Z_{LC}(s) = \frac {Ls}{LCs^2 + 1} $$

परिणामी परिपथ को चित्र में दिखाया गया है।

फोस्टर II रूप
फोस्टर II संश्लेषण करता है $$Z(s)$$ समानांतर में श्रृंखला एलसी परिपथ के सेट के रूप में। फोस्टर I रूप के लिए आंशिक भिन्नों में विस्तार की ही विधि का उपयोग किया जाता है, परन्तु प्रवेश पर लागू होता है, $$Y(s)$$, के बजाय $$Z(s)$$. पूर्व के समान पीआरएफ उदाहरण का उपयोग करते हुए,


 * $$Y(s) = {1 \over Z(s)} = \frac {18s^4 + 36s^2 + 8}{9s^5 + 30s^3 + 24s} $$

आंशिक भिन्नों में विस्तारित,


 * $$Y(s) \simeq {1 \over 3s} + \frac {2.498s}{0.6346s^2 +1} + \frac {1.415s}{0.4719s^2 + 1}$$

प्रथम शब्द शंट प्रारंभ करनेवाला का प्रतिनिधित्व करता है, जिसका परिणाम है $$Y(s)$$ मूल में ध्रुव होना (या, समतुल्य, $$Z(s)$$ मूल में शून्य है)। यदि इसमें अनंत पर ध्रुव होता, तो यह शंट कैपेसिटर का प्रतिनिधित्व करता। शेष दो पद प्रत्येक पर ध्रुवों के संयुग्मी युग्मों का प्रतिनिधित्व करते हैं $$i \omega$$ एक्सिस। इन प्रतिबन्धों में से प्रत्येक को ऐसे परिपथ के लिए प्रवेश अभिव्यक्ति के साथ तुलना करके श्रृंखला एलसी परिपथ के रूप में संश्लेषित किया जा सकता है,
 * $$Y_{LC}(s) = \frac {Cs}{LCs^2 + 1} $$

परिणामी परिपथ को चित्र में दिखाया गया है।

आरसी या आरएल नेटवर्क का विस्तार
फोस्टर संश्लेषण को किसी भी दो-अवयव-प्रकार के नेटवर्क तक बढ़ाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, फोस्टर I रूप में आरसी नेटवर्क के आंशिक भिन्न शब्द समानांतर में आर और सी अवयव का प्रतिनिधित्व करेंगे। इस स्थिति में, आंशिक भिन्न का रूप होगा,
 * $$Z_{RC}(s) = \frac {R}{RCs + 1} $$

अन्य रूप और अवयव प्रकार सादृश्य द्वारा अनुसरण करते हैं। एलसी नेटवर्क के जैसे, महत्वपूर्ण आवृत्तियों की जांच करके पीआरएफ का परीक्षण यह देखने के लिए किया जा सकता है कि यह आरसी या आरएल नेटवर्क है या नहीं। क्रांतिक आवृत्तियों को सभी ऋणात्मक वास्तविक अक्ष पर होना चाहिए और ध्रुवों और शून्यों के बीच वैकल्पिक होना चाहिए, और प्रत्येक की समान संख्या होनी चाहिए। यदि महत्वपूर्ण आवृत्ति निकटतम, या मूल पर, ध्रुव है, तो पीआरएफ आरसी नेटवर्क है यदि यह का प्रतिनिधित्व करता है $$Z(s)$$, या यह आरएल नेटवर्क है अगर यह का प्रतिनिधित्व करता है $$Y(s)$$. इसके विपरीत यदि महत्वपूर्ण आवृत्ति निकटतम, या मूल पर शून्य है। सिद्धांत के ये विस्तार नीचे वर्णित कॉयर रूपों पर भी लागू होते हैं।

Immittance
उपरोक्त फोस्टर संश्लेषण में, फोस्टर I रूप और फोस्टर II रूप दोनों में फलन का विस्तार ही प्रक्रिया है। यह सुविधाजनक है, विशेष रूप से सैद्धांतिक फलनों में, उन्हें अलग-अलग प्रतिबाधा या प्रवेश के बजाय साथ इमिटेंस के रूप में व्यवहार करने के लिए। मात्र यह घोषित करना आवश्यक है कि क्या फलन उस बिंदु पर प्रतिबाधा या प्रवेश का प्रतिनिधित्व करता है जिसे वास्तविक परिपथ को साकार करने की आवश्यकता है। इमिटेंस का उपयोग कॉयर I और कॉयर II रूप और अन्य प्रक्रियाओं के साथ भी किया जा सकता है।

कायर संश्लेषण
कॉयर सिंथेसिस फोस्टर सिंथेसिस का वैकल्पिक सिंथेसिस है और पीआरएफ को मिलने वाली प्रतिबन्धें बिल्कुल फोस्टर सिंथेसिस जैसी ही होती हैं। फोस्टर सिंथेसिस के जैसे, कॉयर सिंथेसिस के दो रूप हैं, और दोनों को आरसी और आरएल नेटवर्क तक बढ़ाया जा सकता है।

कॉयर आई रूप
कॉयर I रूप का विस्तार होता है $$Z(s)$$ निरंतर भिन्न में। फोस्टर I रूप के लिए उपयोग किए गए समान उदाहरण का उपयोग करना,


 * $$Z(s) = 0.5s + \cfrac{1}{1.5s+\cfrac{1}{2s+\cfrac{1}{1.5s+\cfrac{1}{0.5s}}}}$$

या, अधिक कॉम्पैक्ट नोटेशन में,


 * $$Z(s) = [0.5s;1.5s,2s,1.5s,0.5s].$$

इस विस्तार की प्रतिबन्धों को प्रत्यक्षतः सोपानी नेटवर्क के घटक मूल्यों के रूप में लागू किया जा सकता है जैसा कि आंकड़े में दिखाया गया है। दिए गए पीआरएफ में भाजक हो सकता है जिसकी घात भिन्न से अधिक हो। ऐसे मामलों में, इसके बजाय फलन का गुणक व्युत्क्रम विस्तारित होता है। अर्थात, अगर समारोह का प्रतिनिधित्व करता है $$Z(s)$$, तब $$Y(s)$$ इसके बजाय विस्तारित किया जाता है और इसके विपरीत।

कॉयर II रूप
कायर II रूप का विस्तार होता है $$Z(s)$$ ठीक उसी प्रकार से जैसे काउर I बनता है सिवाय इसके कि सबसे कम घात वाले शब्द को पूर्व निरंतर भिन्न विस्तार में निकाला जाता है न कि उच्चतम घात वाले शब्द के रूप में जैसा कि कायर I रूप में किया जाता है। काउर I रूप और फोस्टर रूप के लिए उपयोग किया गया उदाहरण जब कॉयर II रूप के रूप में विस्तारित किया जाता है, तो कुछ अवयवों में ऋणात्मक मूल्य होते हैं। इसलिए, यह विशेष पीआरएफ ट्रांसफॉर्मर या पारस्परिक अधिष्ठापन को सम्मिलित किए बिना निष्क्रिय घटकों में कॉयर II रूप के रूप में महसूस नहीं किया जा सकता है। आवश्यक कारण है कि उदाहरण $$Z(s)$$ कॉयर II रूप के रूप में महसूस नहीं किया जा सकता है कि इस रूप में उच्च पास निस्पंदन है। हाई-पास टोपोलॉजी। निरंतर भिन्न में निकाला गया प्रथम अवयव श्रृंखला संधारित्र है। यह शून्य के लिए असंभव बना देता है $$Z(s)$$ मूल रूप से महसूस किया जाना है। दूसरी ओर, कॉयर I रूप में लो-पास निस्पंदन है | लो-पास टोपोलॉजी है और स्वाभाविक रूप से मूल में शून्य है। हालांकि $$Y(s)$$ इस समारोह के कायर द्वितीय रूप के रूप में महसूस किया जा सकता है क्योंकि निकाला गया प्रथम अवयव शंट प्रारंभ करनेवाला है। यह मूल के लिए ध्रुव देता है $$Y(s)$$, परन्तु वह मूल में आवश्यक शून्य के लिए अनुवाद करता है $$Z(s)$$. निरंतर भिन्न विस्तार है,


 * $$Y(s) \simeq \left [ {1 \over 3s}; {1 \over 1.083s}, {1 \over 0.2175s} , {1 \over 1.735s} \right ]$$

और वास्तविक नेटवर्क को चित्र में दिखाया गया है।

ब्रून संश्लेषण
ब्रुने सिंथेसिस किसी भी मनमानी पीआरएफ को संश्लेषित कर सकता है, इसलिए सामान्य रूप से 3-अवयव-प्रकार (यानी आरएलसी) नेटवर्क का परिणाम होगा। ध्रुव और शून्य जटिल तल के बायें हाथ के आधे भाग में कहीं भी स्थित हो सकते हैं। फोस्टर विधि के रूप में काल्पनिक धुरी पर महत्वपूर्ण आवृत्तियों को खत्म करने के लिए ब्रून विधि कुछ प्रारंभिक चरणों से प्रारम्भ होती है। इन प्रारंभिक चरणों को कभी-कभी फोस्टर प्रस्तावना कहा जाता है। इसके पश्चात ब्रुने वर्गों के कैस्केड कनेक्शन का निर्माण करने के लिए चरणों का चक्र होता है।

काल्पनिक अक्ष पर महत्वपूर्ण आवृत्तियों को हटाना
डंडे और शून्य पर $$j \omega$$ अक्ष एल और सी अवयवों का प्रतिनिधित्व करता है जिन्हें पीआरएफ से निकाला जा सकता है। विशेष रूप से, इन निष्कर्षणों के पश्चात, शेष पीआरएफ की काल्पनिक अक्ष पर कोई महत्वपूर्ण आवृत्ति नहीं होती है और इसे न्यूनतम विद्युत प्रतिघात, न्यूनतम संवेदन फलन के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार के समारोह के साथ ब्रुने संश्लेषण उचित प्रारम्भ होता है।
 * मूल पर पोल श्रृंखला संधारित्र का प्रतिनिधित्व करता है
 * अनंत पर पोल श्रृंखला अधिष्ठापन का प्रतिनिधित्व करता है
 * मूल बिंदु पर शून्य शंट प्रारंभ करनेवाला का प्रतिनिधित्व करता है
 * अनंत पर शून्य शंट कैपेसिटर का प्रतिनिधित्व करता है
 * एक जोड़ी डंडे पर $$s= \pm i \omega_c$$ गुंजयमान आवृत्ति के समानांतर एलसी परिपथ का प्रतिनिधित्व करता है $$\omega_c$$ शृंखला में
 * शून्य की जोड़ी पर $$s= \pm i \omega_c$$ गुंजयमान आवृत्ति के श्रृंखला एलसी परिपथ का प्रतिनिधित्व करता है $$\omega_c$$ शंट में

विधि की व्यापक रूपरेखा
ब्रून विधि का सार शून्य पर संयुग्मित जोड़ी बनाना है $$i \omega$$ उस आवृत्ति पर फलन के वास्तविक और काल्पनिक भागों को निकालकर अक्ष, और फिर शून्य की जोड़ी को गुंजयमान परिपथ के रूप में निकालें। यह संश्लेषित नेटवर्क का प्रथम ब्रुने खंड है। परिणामी शेष अन्य न्यूनतम प्रतिघात फलन है जो दो घात कम है। चक्र तब दोहराया जाता है, प्रत्येक चक्र अंतिम नेटवर्क के और ब्रून खंड का उत्पादन करता है जब तक कि मात्र स्थिर मूल्य (एक प्रतिरोध) बना रहता है। ब्रून संश्लेषण विहित है, अर्थात्, अंतिम संश्लेषित नेटवर्क में अवयवों की संख्या प्रतिबाधा समारोह में मनमाना गुणांक की संख्या के बराबर है। इसलिए संश्लेषित परिपथ में अवयवों की संख्या को और कम नहीं किया जा सकता है।

न्यूनतम प्रतिरोध को हटाना
एक न्यूनतम प्रतिघात फलन का न्यूनतम वास्तविक भाग होगा, $$R_ \text {min}$$, कुछ आवृत्ति पर $$\omega_0$$. इस प्रतिरोध को अन्य पीआरएफ के शेष को छोड़कर फलन से निकाला जा सकता है जिसे न्यूनतम धनात्मक-वास्तविक फलन कहा जाता है, या मात्र न्यूनतम फलन। उदाहरण के लिए, न्यूनतम प्रतिक्रिया समारोह


 * $$Z(s) = \frac {3s^2 + 3s + 6}{2s^2 + s + 2} $$

है $$\omega_ \text {min} = \sqrt 2$$ और $$R_ \text {min} = 1$$. न्यूनतम समारोह, $$Z_1(s)$$, इसलिए,


 * $$Z_1(s) = Z(s) - R_ \text {min} = \frac {s^2 + 2s + 4}{2s^2 + s + 2}$$

एक ऋणात्मक अधिष्ठापन या समाई को हटाना
तब से $$Z_1(i \omega_0)$$ कोई वास्तविक भाग नहीं है, हम लिख सकते हैं,


 * $$Z_1(i \omega_0) = iX \ .$$

उदाहरण समारोह के लिए,


 * $$Z_1(i \omega_0) = -i \sqrt 2 = iX \ .$$

इस स्थिति में, $$X$$ ऋणात्मक है, और हम इसकी व्याख्या ऋणात्मक-मूल्यवान प्रेरक की प्रतिक्रिया के रूप में करते हैं, $$L_1$$. इस प्रकार,


 * $$iX = i \omega_0 L_1$$ और


 * $$L_1 = -1 $$

के मूल्यों में प्रतिस्थापित करने के पश्चात $$\omega_0$$ और $$iX$$. यह अधिष्ठापन तब से निकाला जाता है $$Z_1(s)$$, और पीआरएफ छोड़कर, $$Z_2(s)$$,


 * $$Z_2(s) = Z_1(s) - sL_1 = \frac {2s^3 + 2s^2 + 4s +4}{2s^2 + s +2} \ .$$

ऋणात्मक मान निकालने का कारण है क्योंकि $$- sL_1$$ पीआरएफ है, जो अगर नहीं होता $$L_1$$ धनात्मक थे। यह इसकी गारंटी देता है $$Z_2(s)$$ भी पीआरएफ होगा (क्योंकि दो पीआरएफ का जोड़ भी पीआरएफ होता है)। मामलों के लिए जहां $$X$$ धनात्मक मूल्य है, इसके बजाय प्रवेश समारोह का उपयोग किया जाता है और ऋणात्मक समाई निकाली जाती है। इन ऋणात्मक मूल्यों को कैसे लागू किया जाता है, इसे बाद के खंड में समझाया गया है।

शून्य के संयुग्मित जोड़े को हटाना
के वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग $$Z(i \omega_0)$$ पिछले चरणों में हटा दिया गया है। यह शून्य की जोड़ी को अंदर छोड़ देता है $$Z_2(s)$$ पर $$\pm i \omega_0$$ जैसा कि उदाहरण फलन का गुणनखंड करके दिखाया गया है;
 * $$Z_2(s) = \frac {2s^3 + 2s^2 + 4s +4}{2s^2 + s +2} = \frac {(s^2 + 2)(2s + 2)}{2s^2 + s + 2} \ .$$

चूंकि शून्य की ऐसी जोड़ी शंट गुंजयमान परिपथ का प्रतिनिधित्व करती है, हम इसे प्रवेश समारोह से ध्रुवों की जोड़ी के रूप में निकालते हैं,


 * $$ \begin{align}

Y_2(s) & = {1 \over Z_2(s)} = \frac {2s^2 + s + 2}{(s^2 + 2)(2s + 2)} \\ & = {1 \over {2s +2}} + \frac {s/2}{s^2 + 2} \\ & = Y_3(s) + \frac {s/2}{s^2 + 2} \\ \end{align} $$ सबसे दाहिना शब्द एक्सट्रैक्टेड रेजोनेंट परिपथ है $$L_2 = 2$$ और $$C_2 = 1/4$$. अब तक संश्लेषित नेटवर्क को चित्र में दिखाया गया है।

अनंत पर ध्रुव को हटाना
$$Z_3 (s)$$ अनंत पर ध्रुव होना चाहिए, क्योंकि वहां ऋणात्मक अधिष्ठापन के निष्कर्षण द्वारा बनाया गया था। इस ध्रुव को अब धनात्मक प्रेरकत्व के रूप में निकाला जा सकता है।
 * $$Z_3 (s) = {1 \over Y_3 (s)} = 2s + 2 = Z_4 (s) + 2s.$$

इस प्रकार $$L_3 = 2$$ जैसा चित्र में दिखाया गया है।

एक ट्रांसफार्मर के साथ ऋणात्मक अधिष्ठापन की जगह
ऋणात्मक अधिष्ठापन प्रत्यक्षतः निष्क्रिय घटकों के साथ लागू नहीं किया जा सकता है। हालांकि, इंडक्टर्स का टी इंडक्शन # टी-परिपथ हो सकता है जो ऋणात्मक इंडक्शन को अवशोषित करता है। अधिष्ठापन के साथ # एकता के युग्मन गुणांक (कसकर युग्मित) पारस्परिक अधिष्ठापन, $$M$$, उदाहरण के स्थिति में 2.0 है।

कुल्ला और दोहराएँ
सामान्य रूप में, $$Z_4(s)$$ अन्य न्यूनतम प्रतिघात फलन होगा और ब्रून चक्र को फिर और ब्रून खंड निकालने के लिए दोहराया जाता है उदाहरण के स्थिति में, मूल पीआरएफ घात 2 का था, इसलिए इसे दो घात कम करने के पश्चात, मात्र स्थिर शब्द रह जाता है, जो तुच्छ रूप से, प्रतिरोध के रूप में संश्लेषित होता है।

धनात्मक एक्स
चक्र के चरण दो में यह उल्लेख किया गया था कि पीआरएफ शेष की गारंटी के लिए ऋणात्मक अवयव मान निकाला जाना चाहिए। अगर $$X$$ धनात्मक है, यदि अवयव ऋणात्मक होना है, तो निकाला गया अवयव श्रृंखला प्रारंभ करनेवाला के बजाय शंट कैपेसिटर होना चाहिए। यह प्रवेश से निकाला जाता है $$Y_1(s)$$ प्रतिबाधा के बजाय $$Z_1(s)$$. चक्र के चरण चार में परिपथ टोपोलॉजी टोपोलॉजी (इलेक्ट्रिकल परिपथ) है #Simple फ़िल्टर टोपोलॉजी | कैपेसिटर के Π (पीआई) प्लस इंडक्टर्स के टी के बजाय कैपेसिटर। यह दिखाया जा सकता है कि कैपेसिटर प्लस इंडक्टर का यह Π इंडक्टर्स प्लस कैपेसिटर के टी के बराबर परिपथ है। इस प्रकार, यह धनात्मक अधिष्ठापन निकालने और फिर आगे बढ़ने की अनुमति है $$Z_2(s)$$ पीआरएफ थे, हालांकि यह नहीं है। सही परिणाम अभी भी आ जाएगा और शेष फलन पीआरएफ होगा ताकि अगले चक्र में फीड किया जा सके।

बॉटल-डफिन संश्लेषण
बॉटल-डफिन संश्लेषण ब्रुने संश्लेषण के साथ सभी ध्रुवों और शून्यों को हटाकर प्रारम्भ होता है $$i \omega$$ एक्सिस। फिर रिचर्ड्स प्रमेय का उपयोग किया जाता है, जिसके लिए कहा गया है,


 * $$R(s) = \frac {kZ(s)-sZ(k)}{kZ(k)-sZ(s)} $$

अगर $$Z(s)$$ पीआरएफ है तो $$R(s)$$ के सभी वास्तविक, धनात्मक मानों के लिए पीआरएफ है $$k$$. निर्माण $$Z(s)$$ अभिव्यक्ति का विषय परिणाम में है,
 * $$Z(s) = \left ( \frac {R(s)}{Z(k)} + \frac {k}{sZ(k)} \right )^{-1} + \left ( \frac {1}{Z(k)R(s)} + \frac {s}{kZ(k)} \right )^{-1}$$

बॉटल-डफिन संश्लेषण के चक्र का उदाहरण चित्रों में दिखाया गया है। इस व्यंजक में चार पद क्रमशः पीआरएफ ($$Z_2 (s)$$ आरेख में), अधिष्ठापन, $$L$$, इसके समानांतर में, और पीआरएफ ($$Z_1 (s)$$ आरेख में), और समाई, $$C$$, इसके समानांतर। पर महत्वपूर्ण आवृत्तियों की जोड़ी $$i \omega$$ इसके पश्चात प्रत्येक दो नवीन पीआरएफ (विवरण यहां नहीं दिए गए हैं) में से प्रत्येक को गुंजयमान परिपथ के रूप में महसूस किया जाता है। दो अवशिष्ट पीआरएफ ($$Y_3 (s)$$ और $$Z_4 (s)$$ आरेख में) प्रत्येक से दो घात कम हैं $$Z(s)$$. उसी प्रक्रिया को फिर से उत्पन्न नवीन पीआरएफ पर बार-बार लागू किया जाता है जब तक कि मात्र ही अवयव शेष न हो। चूंकि प्रत्येक चक्र के साथ पीआरएफ उत्पन्न होने की संख्या दोगुनी हो जाती है, इसलिए संश्लेषित अवयवों की संख्या तीव्रता से बढ़ेगी। हालांकि बॉटल-डफिन विधि ट्रांसफॉर्मर के उपयोग से बचती है और इसे निष्क्रिय नेटवर्क के रूप में साकार करने में सक्षम किसी भी अभिव्यक्ति पर लागू किया जा सकता है, आवश्यक उच्च घटक गणना के कारण इसका सीमित व्यावहारिक उपयोग है।

बायर्ड संश्लेषण
बायर्ड संश्लेषण LU अपघटन पर आधारित राज्य-अंतरिक्ष संश्लेषण विधि है। यह विधि प्रतिरोधों की न्यूनतम संख्या का उपयोग करके संश्लेषण लौटाती है और इसमें कोई जाइरेटर नहीं होता है। हालांकि, विधि गैर-कैनोनिकल है और सामान्यतः, रिएक्शन अवयवों की गैर-न्यूनतम संख्या लौटाती है।

डार्लिंगटन संश्लेषण
डार्लिंगटन संश्लेषण अब तक चर्चा की गई तकनीकों के अलग दृष्टिकोण से प्रारम्भ होता है, जो सभी निर्धारित तर्कसंगत फलन से प्रारम्भ होते हैं और इसे एक-पोर्ट प्रतिबाधा के रूप में महसूस करते हैं। डार्लिंगटन संश्लेषण निर्धारित तर्कसंगत फलन से प्रारम्भ होता है जो दो-पोर्ट नेटवर्क का वांछित स्थानांतरण फलन है। डार्लिंगटन ने दिखाया कि किसी भी पीआरएफ को दो-पोर्ट नेटवर्क के रूप में मात्र एल और सी अवयवों का उपयोग करके निर्गम पोर्ट को समाप्त करने वाले एकल प्रतिरोधी के रूप में महसूस किया जा सकता है। डार्लिंगटन और संबंधित विधियों को सम्मिलन हानि विधि कहा जाता है। विधि को मल्टी-पोर्ट नेटवर्क तक बढ़ाया जा सकता है, जिसमें प्रत्येक पोर्ट को प्रतिरोधक के साथ समाप्त किया जाता है। डार्लिंगटन विधि, सामान्यतः, ट्रांसफार्मर या युग्मित प्रेरकों की आवश्यकता होगी। हालांकि, इन अवांछनीय सुविधाओं के बिना डार्लिंगटन विधि द्वारा अधिकांश सामान्य फ़िल्टर प्रकारों का निर्माण किया जा सकता है।

सक्रिय और डिजिटल प्राप्तियां
यदि मात्र निष्क्रिय अवयवों के उपयोग की आवश्यकता को हटा दिया जाए, तो बोध को बहुत सरल किया जा सकता है। एम्पलीफायरों का उपयोग बफर एम्पलीफायर नेटवर्क के भागों को दूसरे से बफर करने के लिए किया जा सकता है ताकि वे बातचीत न करें। प्रत्येक बफ़र्ड सेल तर्कसंगत फलन के ध्रुवों की जोड़ी को प्रत्यक्षतः महसूस कर सकता है। तब फलन के किसी भी प्रकार के पुनरावृत्त विस्तार की आवश्यकता नहीं होती है। इस प्रकार के संश्लेषण का प्रथम उदाहरण 1930 में स्टीफन बटरवर्थ के कारण है। उनके द्वारा उत्पादित बटरवर्थ फ़िल्टर फ़िल्टर डिज़ाइन का क्लासिक बन गया, परन्तु सक्रिय घटकों के बजाय विशुद्ध रूप से निष्क्रिय के साथ अधिक बार लागू किया गया। इस प्रकार के अधिक सामान्यतः लागू होने वाले डिजाइनों में एमआईटी लिंकन प्रयोगशाला में 1955 में आर. पी. सैलेन और ई. एल. की के कारण सैलेन-की टोपोलॉजी और द्विवर्गीय निस्पंदन सम्मिलित हैं। डार्लिंगटन दृष्टिकोण के जैसे, बटरवर्थ और सैलेन-की प्रतिबाधा के बजाय निर्धारित स्थानांतरण समारोह से प्रारम्भ होती है। सक्रिय कार्यान्वयन का प्रमुख व्यावहारिक लाभ यह है कि यह कुंडलित घटकों (ट्रांसफार्मर और इंडिकेटर्स) के उपयोग से पूर्ण रूप से बच सकता है। ये निर्माण कारणों से अवांछनीय हैं। सक्रिय डिजाइनों की अन्य विशेषता यह है कि वे पीआरएफ तक सीमित नहीं हैं। डिजिटल प्राप्ति, जैसे सक्रिय परिपथ, पीआरएफ तक सीमित नहीं हैं और किसी भी तर्कसंगत फलन को मात्र प्रोग्रामिंग करके फलनान्वित कर सकते हैं। हालांकि, फलन स्थिर नहीं हो सकता है। अर्थात, यह इलेक्ट्रॉनिक ऑसिलेटर का कारण बन सकता है। पीआरएफ के स्थिर होने की गारंटी है, परन्तु अन्य फलन नहीं हो सकते हैं। परिमेय फलन की स्थिरता का निर्धारण फलन के ध्रुवों और शून्यों की जांच करके और Nyquist स्थिरता कसौटी को लागू करके किया जा सकता है।

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