सहिष्णुता संबंध

सार्वभौमिक बीजगणित और लैटिस सिद्धांत में, बीजगणितीय संरचना पर सहिष्णुता संबंध मुख्य रूप से प्रतिवर्ती संबंध का सममित संबंध है जो किसी संरचना के सभी कार्यों के साथ संगत रहता है। इस प्रकार किसी सहिष्णुता में सर्वांगसमता संबंध रहता है, इसके अतिरिक्त इसके सकर्मक संबंध की धारणा को छोड़ दिया जाता है। इस प्रकार किसी समुच्चय पर संचालन के रिक्त समुच्चय के साथ बीजगणितीय संरचना, सहिष्णुता संबंध को केवल रिफ्लेक्सिव सममित तक संबंधित करता हैं। किसी सहिष्णुता संबंध रखने वाले समुच्चय को सहिष्णुता स्थान के रूप में वर्णित किया जा सकता है। इस प्रकार सहिष्णुता संबंध को अविवेकी/अविभाज्यता परिघटनाओं के अध्ययन के लिए सुविधाजनक रूप से सामान्य उपकरण प्रदान करते हैं। इस प्रकार गणित के लिए उन के महत्व को सबसे पहले हेनरी पोंकारे ने पहचाना था।

परिभाषाएँ
एक बीजगणितीय संरचना पर सहिष्णुता संबंध $$(A,F)$$ सामान्यतः रिफ्लेक्सिव रिलेशन सममित संबंध $$A$$ के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो हर प्रतिक्रिया के लिए $$F$$ के अनुकूल है, इस प्रकार सहिष्णुता संबंध को आवरण (टोपोलॉजी)  $$A$$ के रूप में भी देखा जा सकता है, जो कुछ शर्तों को पूरा करता है। यहाँ पर दो परिभाषाएँ समतुल्य रहती हैं, क्योंकि निश्चित बीजगणितीय संरचना के लिए, दो परिभाषाओं में सहिष्णुता संबंध का आपस में वार्तालाभ होता हैं। किसी बीजगणितीय संरचना पर समावेशन के अनुसार सहिष्णुता संबंध $$(A,F)$$ बीजगणितीय लैटिस $$\operatorname{Tolr}(A)$$ बनाता हैं। चूँकि प्रत्येक सर्वांगसमता संबंध मुख्यतः सहनशीलता संबंध है, सर्वांगसमता लैटिस $$\operatorname{Cong}(A)$$ सहिष्णुता लैटिस का एक सबसमुच्चय $$\operatorname{Tolr}(A)$$ है, किन्तु $$\operatorname{Cong}(A)$$ अनिवार्य रूप से का $$\operatorname{Tolr}(A)$$ उपवर्ग नहीं है।

द्विआधारी संबंधों के रूप में
बीजगणितीय संरचना पर किसी सहिष्णुता संबंध $$(A,F)$$ पर द्विआधारी संबंध रहता है, जिसे $$\sim$$ पर $$A$$ जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता हो। सर्वांगसमता संबंध सहनशीलता संबंध है जो सकर्मक संबंध भी है।
 * (प्रतिवर्त संबंध) $$a\sim a$$ सभी के लिए $$a\in A$$
 * (सममित संबंध) यदि $$a\sim b$$ तब $$b\sim a$$ सभी के लिए $$a,b\in A$$
 * (संगत संबंध) प्रत्येक के लिए $$n$$-और प्रक्रिया $$f\in F$$ और $$a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n\in A$$, यदि $$a_i\sim b_i$$ प्रत्येक के लिए $$i=1,\dots,n$$ तब $$f(a_1,\dots,a_n)\sim f(b_1,\dots,b_n)$$. अर्ताथ समुच्चय $$\{(a,b)\colon a\sim b\}$$ प्रत्यक्ष उत्पाद का सबलजेब्रा है, जो $$A^2$$ तथा $$A$$ दोनों में से हैं।

कवर के रूप में
बीजगणितीय संरचना पर सहिष्णुता संबंध $$(A,F)$$ किसी आवरण (टोपोलॉजी) के रूप में होता हैं, इस प्रकार $$\mathcal C$$ का $$A$$ हैं जो निम्नलिखित तीन शर्तों को पूरा करता है। जिसके एक समुच्चय का हर विभाजन $$A$$ पहली दो शर्तों को संतुष्ट करता है, किन्तु इसके विपरीत नहीं होती हैं। सर्वांगसमता संबंध एक सहिष्णुता संबंध है जो एक समुच्चय विभाजन भी बनाता है।
 * हरएक के लिए $$C\in\mathcal C$$ और $$\mathcal S\subseteq\mathcal C$$, यदि $$\textstyle C\subseteq\bigcup\mathcal S$$, तब $$\textstyle\bigcap\mathcal S\subseteq C$$
 * विशेष रूप से, के दो अलग-अलग तत्व नहीं $$\mathcal C$$ तुलनीय हैं। (इसे देखने के लिए $$\mathcal S=\{D\}$$)
 * हरएक के लिए $$S\subseteq A$$, यदि $$S$$ में किसी भी समुच्चय में सम्मिलित नहीं है $$\mathcal C$$, तो एक दो-तत्व उपसमुच्चय है $$\{s,t\}\subseteq S$$ ऐसा है कि $$\{s,t\}$$ में किसी भी समुच्चय $$\mathcal C$$ में सम्मिलित नहीं है।
 * हरएक के लिए $$n$$-और $$f\in F$$ और $$C_1,\dots,C_n\in\mathcal C$$, वहां एक $$(f/{\sim})(C_1,\dots,C_n)\in\mathcal C$$ है जो ऐसा है कि $$\{f(c_1,\dots,c_n)\colon c_i\in C_i\}\subseteq(f/{\sim})(C_1,\dots,C_n)$$. (इस प्रकार का एक $$(f/{\sim})(C_1,\dots,C_n)$$ अद्वितीय होने की आवश्यकता नहीं है।)

दो परिभाषाओं की समानता
इस प्रकार $$\sim$$ एक बीजगणितीय संरचना पर सहिष्णुता द्विआधारी संबंध $$(A,F)$$ बनें थे । जिसके फलस्वरूप $$A/{\sim}$$ अधिकतम तत्व उपसमुच्चय का समूह बनें $$C\subseteq A$$ ऐसा है कि $$c\sim d$$ हरएक के लिए $$c,d\in C$$. ग्राफ सैद्धांतिक शर्तों का उपयोग करना, $$A/{\sim}$$ ग्राफ के सभी अधिकतम समूहों का समुच्चय है (असतत गणित) $$(A,\sim)$$. यदि $$\sim$$ समरूपता संबंध है, $$A/{\sim}$$ तुल्यता वर्गों का भागफल समुच्चय मात्र है। तब $$A/{\sim}$$ का आवरण (टोपोलॉजी) है $$A$$ और कवर परिभाषा में तीनों शर्तों को पूरा करता है। (अंतिम स्थिति को ज़ोर्न लेम्मा का उपयोग करके दिखाया गया है।) इसके विपरीत, मान लीजिए $$\mathcal C$$ का एक आवरण (टोपोलॉजी) हो $$A$$ और मान लीजिए $$\mathcal C$$ पर सहिष्णुता बनाता है $$A$$. एक द्विआधारी संबंध पर विचार करें $$\sim_{\mathcal C}$$ पर $$A$$ जिसके लिए $$a\sim_{\mathcal C}b$$ यदि और केवल यदि $$a,b\in C$$ कुछ के लिए $$C\in\mathcal C$$. तब $$\sim_{\mathcal C}$$ पर सहनशीलता है $$A$$ एक द्विआधारी संबंध के रूप में प्रदर्शित होता हैं। इस प्रकार यह नक्शे के अनुसार $${\sim}\mapsto A/{\sim}$$ सहिष्णुता के बीच द्विआधारी संबंधों और कवर (टोपोलॉजी) के रूप में वार्तालाभ को प्रदर्शित करता है जिसका व्युत्क्रम है $$\mathcal C\mapsto{\sim_{\mathcal C}}$$. इसलिए, दो परिभाषाएँ समकक्ष हैं। एक सहिष्णुता एक द्विआधारी संबंध के रूप में सकर्मक संबंध है यदि और केवल यदि यह एक कवर (गणित) के रूप में एक समुच्चय का विभाजन है। इस प्रकार सर्वांगसमता संबंधों के दो लक्षण भी सहमत हैं।

सहिष्णुता संबंधों पर भागफल बीजगणित
होने देना $$(A,F)$$ एक बीजगणितीय संरचना बनें और दें $$\sim$$ एक सहिष्णुता संबंध हो $$A$$. मान लीजिए कि, प्रत्येक के लिए $$n$$-और प्रक्रिया $$f\in F$$ और $$C_1,\dots,C_n\in A/{\sim}$$, जिसका मान इस प्रकार हैं- $$(f/{\sim})(C_1,\dots,C_n)\in A/{\sim}$$ यह समीकरण इस प्रकार हैं कि
 * $$\{f(c_1,\dots,c_n)\colon c_i\in C_i\}\subseteq(f/{\sim})(C_1,\dots,C_n)$$

तब यह भागफल बीजगणित की एक प्राकृतिक परिभाषा प्रदान करता है
 * $$(A/{\sim},F/{\sim})$$

का $$(A,F)$$ ऊपर $$\sim$$. सर्वांगसमता संबंधों की स्थिति में अद्वितीयता की स्थिति हमेशा सही रहती है और यहाँ परिभाषित भागफल बीजगणित सामान्य स्थिति के साथ मेल खाता है।

सर्वांगसमता संबंधों से एक मुख्य अंतर यह है कि सहिष्णुता संबंध के लिए अद्वितीयता की स्थिति विफल हो सकती है, और यदि ऐसा नहीं भी होता है, तो भागफल बीजगणित विविधता (सार्वभौमिक बीजगणित) को परिभाषित करने वाली पहचानों को प्राप्त नहीं कर सकता है $$(A,F)$$ से संबंधित है, इसलिए भागफल बीजगणित फिर से विविधता का सदस्य बनने में विफल हो सकता है। इसलिए, एक किस्म के लिए (सार्वभौमिक बीजगणित) $$\mathcal V$$ बीजगणितीय संरचनाओं के लिए, हम निम्नलिखित दो स्थितियों पर विचार कर सकते हैं। * (सहिष्णुता कारक) किसी के लिए $$(A,F)\in\mathcal V$$ और कोई सहिष्णुता संबंध $$\sim$$ पर $$(A,F)$$, विशिष्टता की स्थिति सत्य है, इसलिए भागफल बीजगणित $$(A/{\sim},F/{\sim})$$ परिभाषित किया गया हैं। प्रत्येक दृढ़ता से सहन करने योग्य विविधता सहनशीलता कारक है, किन्तु इसके विपरीत नहीं।
 * मजबूत सहिष्णुता कारक मुख्य रूप से किसी के लिए $$(A,F)\in\mathcal V$$ और कोई सहिष्णुता संबंध $$\sim$$ पर $$(A,F)$$, विशिष्टता की स्थिति सत्य है, और $$(A/{\sim},F/{\sim})\in\mathcal V$$.

समुच्चय
किसी समुच्चय (गणित) एक बीजगणितीय संरचना है जिसमें कोई भी संक्रिया नहीं होती है। इस स्थिति में, सहिष्णुता संबंध केवल प्रतिवर्त संबंध सममित संबंध हैं और यह तुच्छ है कि विभिन्न प्रकार के समुच्चय दृढ़ता से सहनशीलता कारक हैं।

समूह
एक समूह (गणित) पर, प्रत्येक सहिष्णुता संबंध सर्वांगसम संबंध है। विशेष रूप से, यह सभी बीजगणितीय संरचनाओं के लिए सत्य है जो समूह हैं जब उनके कुछ कार्यों को भुला दिया जाता है, उदाहरण के लिे वलय (गणित) एस, वेक्टर रिक्त स्थान, मॉड्यूल (गणित) एस, बूलियन बीजगणित, आदि सम्मिलित हैं। इसलिए, समूह (गणित) s, वलय (गणित) s, सदिश स्थान, मॉड्यूल (गणित) s और बूलियन बीजगणित की किस्में भी दृढ़ता से सहन करने योग्य हैं।

लैटिस
किसी सहिष्णुता संबंध के लिए $$\sim$$ एक लैटिस पर (आदेश) $$L$$, हर समुच्चय में $$L/{\sim}$$ का उत्तल उपजाल है $$L$$. इस प्रकार, सभी के लिए $$A\in L/{\sim}$$, अपने पास
 * $$A=\mathop\uparrow A\cap\mathop\downarrow A$$

विशेष रूप से, निम्नलिखित परिणाम धारण करते हैं।
 * $$a\sim b$$ यदि और केवल यदि $$a\vee b\sim a\wedge b$$.
 * यदि $$a\sim b$$ और $$a\le c,d\le b$$, तब $$c\sim d$$.

लैटिस (आदेश) की विविधता दृढ़ता से सहनशीलता कारक है। अर्ताथ किसी भी लैटिस (आदेश) को देखते हुए $$(L,\vee_L,\wedge_L)$$ और कोई सहिष्णुता संबंध $$\sim$$ पर $$L$$, प्रत्येक के लिए $$A,B\in L/{\sim}$$ अद्वितीय रूप से उपस्थित हैं।

$$A\vee_{L/{\sim}}B,A\wedge_{L/{\sim}}B\in L/{\sim}$$ ऐसा है कि
 * $$\{a\vee_Lb\colon a\in A,\;b\in B\}\subseteq A\vee_{L/{\sim}}B$$
 * $$\{a\wedge_Lb\colon a\in A,\;b\in B\}\subseteq A\wedge_{L/{\sim}}B$$

और भागफल बीजगणित
 * $$(L/{\sim},\vee_{L/{\sim}},\wedge_{L/{\sim}})$$

एक लैटिस (आदेश) फिर से है।

विशेष रूप से, हम सहिष्णुता संबंधों पर वितरणात्मक लैटिस और मॉड्यूलर लैटिस के भागफल लैटिस बना सकते हैं। चूंकि, सर्वांगसमता संबंधों के विपरीत, भागफल लैटिसों को फिर से वितरण या मॉड्यूलर होने की आवश्यकता नहीं है। दूसरे शब्दों में, वितरणात्मक लैटिस और मॉड्यूलर लैटिस की किस्में सहनशीलता कारक हैं, किन्तु दृढ़ता से सहनशीलता कारक नहीं हैं। वास्तव में, विभिन्न प्रकार की लैटिस की प्रत्येक उप-किस्म सहिष्णुता कारक है, और स्वयं के अतिरिक्त केवल दृढ़ता से सहन करने योग्य उप-भिन्नता तुच्छ उप-भिन्नता एक-तत्व लैटिस से मिलकर बनाता है।  इसका कारण यह है कि प्रत्येक लैटिस (आदेश) दो-तत्व लैटिस के प्रत्यक्ष उत्पाद के उप-वर्ग के सहिष्णुता संबंध पर भागफल लैटिस के उप-वर्ग के लिए समरूप है।

यह भी देखें

 * निर्भरता संबंध
 * अर्धसकर्मक संबंध- सामाजिक पसंद सिद्धांत में उदासीनता को औपचारिक रूप देने के लिए एक सामान्यीकरण
 * राॅ समुच्चय

अग्रिम पठन

 * Gerasin, S. N., Shlyakhov, V. V., and Yakovlev, S. V. 2008. Set coverings and tolerance relations. Cybernetics and Sys. Anal. 44, 3 (May 2008), 333–340.
 * Hryniewiecki, K. 1991, Relations of Tolerance, FORMALIZED MATHEMATICS, Vol. 2, No. 1, January–February 1991.