वाल्ड परीक्षण

आंकड़ों में, वाल्ड परीक्षण (अब्राहम वाल्ड के नाम पर) शून्य परिकल्पना के अंतर्गत पैरामीटर अनुमान और उसके परिकल्पित मूल्य के मध्य भारित दूरी के आधार पर सांख्यिकीय मापदंडों पर बाधा (गणित) का आकलन करता है, जहां वजन अनुमान की सटीकता (सांख्यिकी) होती है I सहज रूप से, यह भारित दूरी जितनी बड़ी होगी, बाधा के सत्य होने की संभावना उतनी ही कम होती है। जबकि वाल्ड परीक्षणों के नमूनाकरण वितरण सामान्यतः अज्ञात होती हैं, इसमें शून्य परिकल्पना के अंतर्गत स्पर्शोन्मुख χ2- वितरण है, तथ्य जिसका उपयोग सांख्यिकीय महत्व निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। लैग्रेंज गुणक परीक्षण और संभावना-अनुपात परीक्षण के साथ, वाल्ड परीक्षण परिकल्पना परीक्षण के तीन शास्त्रीय दृष्टिकोणों में से है। अन्य दो की तुलना में वाल्ड परीक्षण का लाभ यह है कि इसमें केवल अप्रतिबंधित रूप के अनुमान की आवश्यकता होती है, जो संभावना-अनुपात परीक्षण की तुलना में कम्प्यूटेशनल जटिलता को कम करता है। चूँकि, अधिक हानि यह है कि (परिमित प्रारूपों में) यह शून्य परिकल्पना के प्रतिनिधित्व में परिवर्तन के लिए अपरिवर्तनीय नहीं है; दूसरे शब्दों में, गैर-रेखीय पैरामीटर प्रतिबंध की बीजगणितीय रूप से समतुल्य अभिव्यक्ति (गणित) परीक्षण सांख्यिकी के विभिन्न मूल्यों को जन्म दे सकती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि वाल्ड आँकड़ा टेलर श्रृंखला से लिया गया है, और समतुल्य अरेखीय अभिव्यक्तियों को लिखने के विभिन्न प्रकारो से संबंधित टेलर गुणांक में गैर-तुच्छ अंतर प्राप्त होते हैं, और विपथन, जिसे हॉक-डोनर प्रभाव के नाम से जाना जाता है I द्विपद प्रतिगमन तब हो सकता है जब अनुमानित (अप्रतिबंधित) पैरामीटर स्थान की सीमा (टोपोलॉजी) के निकट होता है- उदाहरण के लिए फिट संभावना शून्य के निकट होती है- जो वाल्ड परीक्षण में परिणाम अब अप्रतिबंधित और बाधित पैरामीटर के मध्य की दूरी में नीरस रूप से वृद्धि नहीं कर रहा है I

गणितीय विवरण
वाल्ड परीक्षण के अंतर्गत, अनुमान लगाया गया, $$\hat{\theta}$$ जिसे अप्रतिबंधित संभावना फलन की अधिकतम संभावना अनुमान की तुलना परिकल्पित मूल्य से की गई है I $$\theta_0$$ विशेष रूप से, वर्ग अंतर $$\hat{\theta} - \theta_0$$ लॉग-संभावना फलन की वक्रता द्वारा भारित किया जाता है।

एकल पैरामीटर पर परीक्षण
यदि परिकल्पना में केवल पैरामीटर प्रतिबंध सम्मिलित होते है, तो वाल्ड आँकड़ा निम्नलिखित रूप लेता है:

W = \frac{ {(\widehat{ \theta}-\theta_0 )}^2 }{\operatorname{var}(\hat \theta )} $$ जो शून्य परिकल्पना के अंतर्गत स्पर्शोन्मुख χ2-वितरण का अनुसरण करता है I एकल-प्रतिबंध वाल्ड सांख्यिकी के वर्गमूल को (छद्म) t-अनुपात के रूप में समझा जा सकता है, जो कि सामान्य रूप से वितरित त्रुटियों के साथ रैखिक प्रतिगमन के विशेष विषय को त्यागकर वास्तव में t-वितरित नहीं है। सामान्यतः, यह स्पर्शोन्मुख मानक सामान्य वितरण का पालन करता है।
 * $$\sqrt{W} = \frac{\widehat{\theta}-\theta_0}{\operatorname{se}(\hat\theta)}$$

जहाँ $$\operatorname{se}(\widehat\theta)$$ अधिकतम संभावना अनुमान (एमएलई) की मानक त्रुटि है, जो विचरण का वर्गमूल है। विचरण मैट्रिक्स के सुसंगत अनुमानक के कई उपाय होते हैं, जो परिमित प्रारूपों में मानक त्रुटियों और संबंधित परीक्षण आंकड़ों और p-वैल्यू के वैकल्पिक अनुमान की ओर ले जाते हैं।

एकाधिक मापदंडों पर परीक्षण
वाल्ड परीक्षण का उपयोग कई मापदंडों पर ही परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए किया जा सकता है, साथ ही एकल/एकाधिक मापदंडों पर संयुक्त रूप से कई परिकल्पनाओं का परीक्षण करने के लिए भी किया जा सकता है। होने देना $$ \hat{\theta}_n$$ p मापदंडों का प्रारूप अनुमानक बनें, (जिससे, $$ \hat{\theta}_n$$ है $$ P \times 1 $$ सदिश), जिसे सहप्रसरण आव्यूह V के साथ सामान्य वितरण का लक्षणहीन रूप से पालन करना माना जाता है, $$ \sqrt{n}(\hat{\theta}_n-\theta)\,\xrightarrow{\mathcal{D}} \,N(0, V) $$ p मापदंडों पर Q परिकल्पनाओं का परीक्षण $$ Q \times P $$ आव्यूह R के साथ व्यक्त किया गया है:-


 * $$ H_0: R\theta=r$$
 * $$ H_1: R\theta\neq r$$

शून्य परिकल्पना के अंतर्गत परीक्षण आँकड़ों का वितरण इस प्रकार है:-
 * $$(R\hat{\theta}_n-r)'[R(\hat{V}_n/n)R']^{-1}(R\hat{\theta}_n-r)/Q \quad \xrightarrow{\mathcal{D}}\quad F(Q,n-P) \quad \xrightarrow [n \rightarrow \infty]{\mathcal{D}}\quad \chi^2_Q / Q,$$

जिसका विपरीत रूप इस प्रकार है:-
 * $$(R\hat{\theta}_n-r)'[R(\hat{V}_n/n)R']^{-1}(R\hat{\theta}_n-r) \quad \xrightarrow [n \rightarrow \infty]{\mathcal{D}}\quad \chi^2_Q ,$$

जहाँ $$\hat{V}_n$$ सहप्रसरण आव्यूह का अनुमानक है।

कल्पना करना $$ \sqrt{n}(\hat{\theta}_n-\theta)\,\xrightarrow{\mathcal{D}}\, N(0, V) $$ स्लटस्की के प्रमेय द्वारा और बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण एफ़िन परिवर्तन के गुणों द्वारा, R द्वारा गुणा करने पर वितरण होता है:


 * $$ R\sqrt{n}(\hat{\theta}_n-\theta) =\sqrt{n}(R\hat{\theta}_n-r)\,\xrightarrow{\mathcal{D}}\, N(0, RVR')$$

यह याद करते हुए कि सामान्य वितरण के द्विघात रूप में ची-वर्ग वितरण होता है:
 * $$ \sqrt{n}(R\hat{\theta}_n-r)'[RVR']^{-1}\sqrt{n}(R\hat{\theta}_n-r) \,\xrightarrow{\mathcal{D}}\, \chi^2_Q$$

n को पुनर्व्यवस्थित करने पर अंततः प्राप्त होता है:
 * $$(R\hat{\theta}_n-r)'[R(V/n)R']^{-1}(R\hat{\theta}_n-r) \quad \xrightarrow{\mathcal{D}}\quad \chi^2_Q$$

क्या होगा यदि सहप्रसरण आव्यूह को प्राथमिकता से ज्ञात नहीं किया गया है और डेटा से अनुमान लगाने की आवश्यकता है? यदि हमारे निकट सुसंगत अनुमानक है $$\hat{V}_n $$ का $$V$$ ऐसा है कि $$V^{-1}\hat{V}_n$$ निर्धारक है जो वितरित है $$\chi^2_{n-P}$$, तो उपरोक्त सहप्रसरण अनुमानक और समीकरण की स्वतंत्रता से, हमारे निकट है:


 * $$(R\hat{\theta}_n-r)'[R(\hat{V}_n/n)R']^{-1}(R\hat{\theta}_n-r)/Q \quad \xrightarrow{\mathcal{D}}\quad F(Q,n-P)$$

अरेखीय परिकल्पना
मानक रूप में, वाल्ड परीक्षण का उपयोग रैखिक परिकल्पनाओं का परीक्षण करने के लिए किया जाता है, जिन्हें एकल आव्यूह R द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है। यदि कोई फॉर्म की गैर-रेखीय परिकल्पना का परीक्षण करना चाहता है:


 * $$ H_0: c(\theta)=0$$
 * $$ H_1: c(\theta)\neq 0$$

परीक्षण आँकड़ा बन जाता है:


 * $$c \left (\hat{\theta}_n \right )' \left [c' \left (\hat{\theta}_n \right ) \left (\hat{V}_n/n \right )c' \left (\hat{\theta}_n \right )' \right ]^{-1}c \left (\hat{\theta}_n \right ) \quad \xrightarrow{\mathcal{D}}\quad \chi^2_Q$$

जहाँ $$c'(\hat{\theta}_n)$$ प्रारूप अनुमानक पर मूल्यांकित c का व्युत्पन्न है। यह परिणाम डेल्टा विधि का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है, जो विचरण के प्रथम क्रम के सन्निकटन का उपयोग करता है।

पुनः-मापदंडों के प्रति अपरिवर्तनशीलता
तथ्य यह है कि कोई विचरण के सन्निकटन का उपयोग करता है, इसका दोष यह है कि वाल्ड आँकड़ा परिकल्पना के गैर-रेखीय परिवर्तन/पुनरावर्तन के लिए अपरिवर्तनीय नहीं है: यह ही प्रश्न के भिन्न-भिन्न उत्तर दे सकता है, यह इस तथ्य पर निर्भर करता है कि प्रश्न को किस प्रकार व्यक्त किया गया है। उदाहरण के लिए, यह पूछना कि क्या R = 1, यह पूछने के समान है कि क्या log R = 0; किन्तु R = 1 के लिए वाल्ड आँकड़ा लॉग R = 0 के लिए वाल्ड आँकड़ा के समान नहीं है (क्योंकि R और लॉग R की मानक त्रुटियों के मध्य सामान्यतः कोई स्पष्ट संबंध नहीं है, इसलिए इसे अनुमानित करने की आवश्यकता है)।

वाल्ड परीक्षण के विकल्प
वाल्ड परीक्षण के अनेक विकल्प उपस्थित हैं, अर्थात् संभावना-अनुपात परीक्षण और अंक परीक्षण (जिसे अंक परीक्षण भी कहा जाता है)। रॉबर्ट एफ. एंगल ने दिखाया कि ये तीन परीक्षण, वाल्ड परीक्षण, संभावना-अनुपात परीक्षण और अंक परीक्षण स्पर्शोन्मुख वितरण हैं। यद्यपि वे स्पर्शोन्मुख रूप से समतुल्य हैं, सीमित प्रारूपों में, वे भिन्न-भिन्न निष्कर्षों पर पहुंचने के लिए पर्याप्त रूप से असहमत हो सकते हैं।

वाल्ड परीक्षण की तुलना में संभावना अनुपात परीक्षण या लैग्रेंज गुणक को प्राथमिकता देने के कई कारण हैं:
 * गैर-अपरिवर्तनीय: जैसा कि ऊपर तर्क दिया गया है, वाल्ड परीक्षण पुनर्परिवर्तन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय नहीं है, जबकि संभावना अनुपात परीक्षण बिल्कुल वही उत्तर देगा चाहे हम R, लॉग R या R के किसी अन्य एकरस परिवर्तन के साथ काम करें। दूसरा कारण यह है कि वाल्ड परीक्षण दो अनुमानों का उपयोग करता है (जिसे हम मानक त्रुटि या फिशर सूचना और अधिकतम संभावना अनुमान जानते हैं), जबकि संभावना अनुपात परीक्षण केवल शून्य परिकल्पना और वैकल्पिक परिकल्पना के अंतर्गत संभावना कार्यों के अनुपात पर निर्भर करता है।
 * वाल्ड परीक्षण के लिए पूर्ण मॉडल के अनुरूप अधिकतमीकरण तर्क का उपयोग करके अनुमान की आवश्यकता होती है। कुछ विषयो में, शून्य परिकल्पना के अंतर्गत मॉडल सरल है, जिससे कोई अंक परीक्षण (जिसे लैग्रेंज गुणक परीक्षण भी कहा जाता है) का उपयोग करना पसंद कर सके, जिसका लाभ यह है कि इसे उन स्थितियों में निर्मित किया जा सकता है, जहां अधिकतम तत्व की परिवर्तनशीलता होती है I अनुमान लगाना कठिन है या अधिकतम संभावना अनुमानक के अनुसार अनुमान की गणना करना कठिन है; जैसे कोचरन-मेंटल-हेन्ज़ेल परीक्षण अंक परीक्षण है।

यह भी देखें

 * चाउ परीक्षण
 * अनुक्रमिक संभाव्यता अनुपात परीक्षण
 * सुपर-वाल्ड परीक्षण
 * विद्यार्थी का टी-टेस्ट
 * वेल्च का टी-टेस्ट

बाहरी संबंध

 * Wald test on the Earliest known uses of some of the words of mathematics