हाबिल समीकरण

एबेल समीकरण, जिसका नाम नील्स हेनरिक एबेल के नाम पर रखा गया है, एक प्रकार का कार्यात्मक समीकरण है
 * $$f(h(x)) = h(x + 1)$$

या
 * $$\alpha(f(x)) = \alpha(x)+1$$.

प्रपत्र समतुल्य हैं जब $α$ उलटा कार्य है। $h$ या $α$ के आवर्ती प्रणाली $f$ को नियंत्रित करते है।

समानता
दूसरा समीकरण लिखा जा सकता है
 * $$\alpha^{-1}(\alpha(f(x))) = \alpha^{-1}(\alpha(x)+1)\, .$$

मान लीजिये $x = α^{−1}(y)$ है, निम्न समीकरण लिखा जा सकता है
 * $$f(\alpha^{-1}(y)) = \alpha^{-1}(y+1)\, .$$

एक ज्ञात कार्य $f(x)$ के लिए, समस्या $α^{−1} ≡ h$ फलन के फलन समीकरण को हल करने की है, संभवतः अतिरिक्त आवश्यकताओं को पूरा करता है, जैसे $α^{−1}(0) = 1$ है।

चरों का परिवर्तन $s^{α(x)} = Ψ(x)$, एक वास्तविक संख्या मापदण्ड $s$ के लिए, हाबिल के समीकरण को प्रसिद्ध श्रोडर के समीकरण $Ψ(f(x)) = s Ψ(x)$ में लाता है।

आगे का बदलाव $F(x) = exp(s^{α(x)})$ बॉचर के समीकरण $F(f(x)) = F(x)^{s}$ में है।

एबेल समीकरण अनुवाद समीकरण की एक विशेष स्तिथि है (और यह आसानी से सामान्य हो जाता है),
 * $$\omega( \omega(x,u),v)=\omega(x,u+v) ~,$$

उदा. के लिए $$\omega(x,1) = f(x)$$ है,
 * $$\omega(x,u) = \alpha^{-1}(\alpha(x)+u)$$. ( $ω(x,0) = x$ का अवलोकन करें)

एबल फलन $α(x)$ आगे स्थानान्तरण संचालक (एक मापदण्ड लाइ समूह) के लिए विहित समन्वय प्रदान करता है।

इतिहास
प्रारंभ में, अधिक सामान्य रूप में समीकरण प्रतिवेदित किया गया था। एकल चर के स्तिथि में भी, समीकरण गैर-तुच्छ है, और विशेष विश्लेषण को स्वीकार करता है।

एक रेखीय हस्तांतरण फलन की स्तिथि में, समाधान संक्षिप्त रूप से व्यक्त किया जा सकता है।

विशेष स्तिथि
टेट्रेशन का समीकरण हाबिल के समीकरण का एक विशेष मामला है $f = exp$.

एक पूर्णांक तर्क की स्तिथि में, समीकरण एक पुनरावर्ती प्रक्रिया को कूटबद्ध करता है, उदाहरण के लिए,
 * $$\alpha(f(f(x)))=\alpha(x)+2 ~,$$

और इसी तरह,
 * $$\alpha(f_n(x))=\alpha(x)+n ~.$$

समाधान
एबेल समीकरण का $$E$$ पर कम से कम एक समाधान है यदि और केवल यदि सभी $$x \in E$$ और सभी $$n \in \mathbb{N}$$, $$f^{n}(x) \neq x$$ के लिए, जहां $$ f^{n} = f \circ f \circ ... \circ f$$, फलन $f$ को n बार दोहराया गया है।

विश्लेषणात्मक समाधान (फटौ निर्देशांक) को फटौ घटकों के वर्गीकरण के आसपास के क्षेत्रों में शक्ति श्रृंखला द्वारा परिभाषित फलन के स्पर्शोन्मुख विस्तार द्वारा अनुमानित किया जा सकता है। विश्लेषणात्मक समाधान एक स्थिरांक तक अद्वितीय है।

यह भी देखें

 * कार्यात्मक समीकरण
 * श्रोडर का समीकरण
 * बॉचर का समीकरण
 * विश्लेषणात्मक कार्यों की अनंत रचनाएँ
 * पुनरावृत्त फलन
 * स्थानान्तरण संचालक
 * उत्कृष्ट फलन