ज्यामितीय नैराश्य

संघनित पदार्थ भौतिकी में, ज्यामितीय हताशा (या संक्षेप में: हताशा ) शब्द एक ऐसी घटना को संदर्भित करता है जहां परमाणु गैर-तुच्छ स्थितियों से चिपके रहते हैं या जहां, एक नियमित क्रिस्टल जाली पर, परस्पर विरोधी अंतर-परमाणु बल (हर एक किंतु  सरल, किन्तु अलग-अलग संरचनाओं का पक्ष लेता है) अधिक  जटिल संरचनाओं की ओर ले जाता है। ज्यामिति या बलों में हताशा के परिणामस्वरूप, अलग-अलग जमीनी राज्यों की बहुतायत शून्य तापमान पर हो सकती है, और उच्च तापमान पर सामान्य थर्मल ऑर्डरिंग को दबाया जा सकता है। बहुत से अध्ययन किए गए उदाहरण अनाकार सामग्री, चश्मा, या तनु चुम्बक हैं।

हताशा शब्द, चुंबकीय प्रणालियों के संदर्भ में, 1977 में जेरार्ड टूलूज़ द्वारा प्रस्तुत किया गया है।  निराश चुंबकीय प्रणालियों का पहले भी अध्ययन किया गया था। प्रारंभिक कार्य में 1950 में प्रकाशित जी. एच. वन्नियर द्वारा निकटतम-निकटतम स्पिन (भौतिकी) के साथ त्रिकोणीय जाली पर ईज़िंग मॉडल का अध्ययन सम्मिलित  है। प्रतिस्पर्धी अंतःक्रियाओं वाले चुम्बकों में संबंधित विशेषताएँ पाई जाती हैं, जहाँ फेरोमैग्नेटिक के साथ-साथ एंटीफेरोमैग्नेटिक कपलिंग दोनों स्पिन या चुंबकीय क्षणों के जोड़े के बीच उपस्थित होते हैं, स्पिन की पृथक्करण दूरी के आधार पर इंटरैक्शन के प्रकार के साथ। उस स्थितियों में अनुरूपता, जैसे ह्लिमाग्नेतिस्म पेचदार स्पिन व्यवस्था का परिणाम हो सकता है, जैसा कि मूल रूप से चर्चा की गई थी, विशेष रूप से, ए। योशिमोरी, टीए कपलान, आरजे इलियट, और अन्य, 1959 से प्रारंभ  होकर, वर्णन करने के लिए दुर्लभ-पृथ्वी धातुओं पर प्रायोगिक निष्कर्ष। लगभग दो दशक बाद, 1970 के दशक की शुरुआत में, स्पिन ग्लास और स्थानिक रूप से संशोधित चुंबकीय सुपरस्ट्रक्चर के संदर्भ में, कुंठित या प्रतिस्पर्धी बातचीत के साथ ऐसी स्पिन प्रणालियों में एक नए सिरे से दिलचस्पी पैदा हुई। स्पिन ग्लासेस में, अंतःक्रियाओं में  स्टोकेस्टिक डिसऑर्डर द्वारा हताशा को बढ़ाया जाता है, जैसा कि रससमीकरणमितीय चुंबकीय मिश्र धातुओं में प्रयोगात्मक रूप से हो सकता है। हताशा के साथ सावधानी से विश्लेषण किए गए स्पिन मॉडल में शेरिंगटन-किर्कपैट्रिक मॉडल, स्पिन ग्लास का वर्णन, और अन्नी मॉडल, आनुपातिकता चुंबकीय सुपरस्ट्रक्चर का वर्णन करना सम्मिलित  है। वर्तमान  में, तंत्रिका कनेक्शन के गैर-तुच्छ संयोजन की पहचान करने और मस्तिष्क के समायोज्य तत्वों को उजागर करने के लिए मस्तिष्क नेटवर्क विश्लेषण में हताशा की अवधारणा का उपयोग किया गया है।

चुंबकीय क्रम
चुंबकत्व में ज्यामितीय निराशा एक महत्वपूर्ण विशेषता है, जहां यह स्पिन (भौतिकी) की सापेक्ष व्यवस्था से उत्पन्न होती है। एक साधारण 2डी उदाहरण चित्र 1 में दिखाया गया है। तीन चुंबकीय आयन त्रिकोण के कोनों पर रहते हैं, उनके बीच एंटीफेरोमैग्नेटिक इंटरैक्शन होते हैं; ऊर्जा कम हो जाती है जब प्रत्येक स्पिन पड़ोसियों के विपरीत संरेखित होती है। एक बार जब पहले दो घुमाव एंटीपैरल समानांतर हो जाते हैं, तो तीसरा निराश हो जाता है क्योंकि इसके दो संभावित झुकाव, ऊपर और नीचे, समान ऊर्जा देते हैं। तीसरा स्पिन एक साथ अन्य दो दोनों के साथ अपनी बातचीत को कम नहीं कर सकता है। चूंकि यह प्रभाव प्रत्येक स्पिन के लिए होता है, जमीनी अवस्था छह गुना पतित होती है। केवल दो अवस्थाएँ जहाँ सभी चक्रण ऊपर या नीचे होते हैं उनमें अधिक ऊर्जा होती है।

इसी तरह तीन आयामों में, चतुर्पाश्वीय (चित्रा 2) में व्यवस्थित चार स्पिन ज्यामितीय निराशा का अनुभव कर सकते हैं। यदि स्पिनों के बीच एक लौह-चुंबकीय इंटरेक्शन है, तो स्पिन्स को व्यवस्थित करना संभव नहीं है जिससे स्पिन्स के बीच सभी इंटरैक्शन एंटीपैरल हों। छह निकटतम-निकटतम अंतःक्रियाएं हैं, जिनमें से चार समानांतर हैं और इस प्रकार अनुकूल हैं, किन्तु इनमें से दो (1 और 2 के बीच, और 3 और 4 के बीच) प्रतिकूल हैं। सभी अंतःक्रियाओं का अनुकूल होना असंभव है, और व्यवस्था कुंठित है।

ज्यामितीय कुंठा भी संभव है यदि घुमावों को गैर-रेखा (ज्यामिति) तरीके से व्यवस्थित किया जाए। यदि हम आसान अक्ष के साथ इंगित करने वाले प्रत्येक शीर्ष पर स्पिन के साथ एक टेट्राहेड्रॉन पर विचार करते हैं (अर्थात, सीधे टेट्राहेड्रॉन के केंद्र की ओर या दूर), तो चार स्पिनों को व्यवस्थित करना संभव है जिससे कोई शुद्ध स्पिन न हो (चित्र) 3). यह स्पिन के प्रत्येक जोड़े के बीच एक एंटीफेरोमैग्नेटिक इंटरैक्शन होने के बराबर है, इसलिए इस स्थितियों में कोई ज्यामितीय निराशा नहीं है। इन कुल्हाड़ियों के साथ, ज्यामितीय निराशा उत्पन्न होती है यदि पड़ोसियों के बीच फेरोमैग्नेटिक इंटरैक्शन होता है, जहां समानांतर स्पिन द्वारा ऊर्जा को कम किया जाता है। चित्र 4 में सर्वोत्तम संभव व्यवस्था दिखाई गई है, जिसमें दो घुमाव केंद्र की ओर और दो दूर की ओर संकेत  करते हैं। शुद्ध चुंबकीय क्षण ऊपर की ओर संकेत  करता है, इस दिशा में फेरोमैग्नेटिक इंटरैक्शन को अधिकतम करता है, किन्तु बाएं और दाएं वैक्टर रद्द हो जाते हैं (अर्थात  एंटीफेरोमैग्नेटिक रूप से संरेखित होते हैं), जैसा कि आगे और पीछे होता है। तीन अलग-अलग समतुल्य व्यवस्थाएँ हैं जिनमें दो स्पिन बाहर और दो अंदर हैं, इसलिए जमीनी स्थिति तीन गुना पतित है।

गणितीय परिभाषा
गणितीय परिभाषा सरल है (और क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स में तथाकथित विल्सन लूप के अनुरूप): उदाहरण के लिए अभिव्यक्ति ("कुल ऊर्जा" या "हैमिल्टनियन") के रूप पर विचार करता है
 * $$\mathcal H=\sum_G -I_{k_\nu, k_\mu}\,\,S_{k_\nu}\cdot S_{k_\mu}\,,$$

जहाँ G माना गया ग्राफ है, जबकि मात्रा Ik ν,kμ निकटतम-पड़ोसियों के बीच तथाकथित "विनिमय ऊर्जा" हैं, जो (ऊर्जा इकाइयों में माना जाता है) मान ±1 मानते हैं (गणितीय रूप से, यह एक हस्ताक्षरित ग्राफ है), जबकि S'k ν ·S'k μ स्केलर या वेक्टरियल स्पिन या स्यूडो-स्पिन के आंतरिक उत्पाद हैं। यदि ग्राफ G में द्विघात या त्रिकोणीय चेहरे P हैं, तो तथाकथित "पट्टिका चर" PW, निम्न प्रकार के "लूप-उत्पाद", प्रकट होते हैं:
 * $$P_W=I_{1,2}\,I_{2,3}\,I_{3,4}\,I_{4,1}$$ और $$P_W=I_{1,2}\,I_{2,3}\,I_{3,1}\,,$$ क्रमश,

जिन्हें "हताशा उत्पाद" भी कहा जाता है। किसी को इन उत्पादों पर एक योग करना पड़ता है, सभी पट्टिकाओं पर अभिव्यक्त किया जाता है। एकल पट्टिका का परिणाम या तो +1 या -1 है। पिछले उल्लिखित स्थितियों में पट्टिका "ज्यामितीय रूप से निराश" है।

यह दिखाया जा सकता है कि परिणाम में एक साधारण गेज का व्युत्क्रम है: यह नहीं बदलता है - न ही अन्य मापने योग्य मात्राएं, उदा। "कुल ऊर्जा" $$\mathcal H$$ - तथापि स्थानीय रूप से एक्सचेंज इंटीग्रल और स्पिन एक साथ निम्नानुसार संशोधित किए गए हों:
 * $$I_{i,k}\to\varepsilon_i I_{i,k}\varepsilon_k ,\quad S_i\to\varepsilon_i S_i ,\quad S_k\to \varepsilon_k S_k\,.$$

यहाँ संख्याएं εiऔर ईkमनमानी संकेत हैं, अर्थात +1 या -1, जिससे संशोधित संरचना पूरी तरह यादृच्छिक दिख सके।

जल बर्फ
चूंकि हताशा पर अधिकांश पिछले और वर्तमान शोध स्पिन प्रणाली पर केंद्रित हैं, इस घटना का अध्ययन पहले साधारण बर्फ़ में किया गया था। 1936 में जियाउक और स्टाउट ने द एंट्रॉपी ऑफ वॉटर एंड द थर्ड लॉ ऑफ थर्मोडायनामिक्स प्रकाशित किया। 15 K से 273 K तक बर्फ की ताप क्षमता, उच्च तापमान गैस चरण तक ठंड और वाष्पीकरण संक्रमण के माध्यम से पानी पर कैलोरीमीटर माप की सूची  करना। एन्ट्रापी की गणना ऊष्मा क्षमता को एकीकृत करके और अव्यक्त ताप योगदान को जोड़कर की गई थी; डेबी के वर्तमान  में व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग करते हुए निम्न तापमान मापों को शून्य पर एक्सट्रपलेशन किया गया था। परिणामी एन्ट्रापी, S1 = 44.28 cal/(K·mol) = 185.3 J/(mol·K) की तुलना एक आदर्श गैस के सांख्यिकीय यांत्रिकी से सैद्धांतिक परिणाम से की गई, S2 = 45.10 cal/(K·mol) = 188.7 J /(mol·K). दोनों मानों में S0 = 0.82 ± 0.05 cal/(K·mol) = 3.4 J/(mol·K) का अंतर है। इसके बाद इस परिणाम को लिनस पॉलिंग ने एक उत्कृष्ट सन्निकटन के द्वारा समझाया, जिसने दिखाया कि बर्फ में एक परिमित एन्ट्रापी (0.81 cal/(K·mol) या 3.4 J/(mol·K) के रूप में अनुमानित) शून्य तापमान पर होता है। बर्फ में प्रोटॉन के लिए आंतरिक विन्यास संबंधी विकार।

हेक्सागोनल या घन क्रिस्टल प्रणाली आइस चरण में ऑक्सीजन आयन O-O बॉन्ड लंबाई 2.76 Å (276 पीकोमीटर) के साथ एक टेट्राहेड्रल संरचना बनाते हैं, जबकि O-H बॉन्ड की लंबाई केवल 0.96 Å (96 pm) होती है। प्रत्येक ऑक्सीजन (श्वेत) आयन चार हाइड्रोजन आयनों (काले) से घिरा होता है और प्रत्येक हाइड्रोजन आयन 2 ऑक्सीजन आयनों से घिरा होता है, जैसा कि चित्र 5 में दिखाया गया है। आंतरिक H2O अणु संरचना को बनाए रखते हुए, एक प्रोटॉन की न्यूनतम ऊर्जा स्थिति आधी नहीं होती है- दो आसन्न ऑक्सीजन आयनों के बीच का रास्ता। O-O बंध की रेखा पर एक हाइड्रोजन, दूर और निकट की स्थिति में दो समतुल्य स्थितियाँ हो सकती हैं। इस प्रकार एक नियम जमीनी स्थिति विन्यास के लिए प्रोटॉन की स्थिति की हताशा की ओर जाता है: प्रत्येक ऑक्सीजन के लिए निकटतम प्रोटॉन में से दो को दूर की स्थिति में और दो को निकट की स्थिति में रहना चाहिए, तथाकथित 'बर्फ नियम'। पॉलिंग ने प्रस्तावित किया कि बर्फ की खुली चतुष्फलकीय संरचना बर्फ के नियमों को संतुष्ट करने वाले कई समतुल्य राज्य प्रदान करती है।

पॉलिंग ने निम्नलिखित तरीके से विन्यास एन्ट्रापी की गणना की: बर्फ के एक मोल पर विचार करें, जिसमें N O2− और 2N प्रोटॉन सम्मिलित हैं। प्रत्येक O–O बंधन में प्रोटॉन के लिए दो स्थान होते हैं, जिससे 22N संभावित विन्यास हो सकते हैं। चूंकि, प्रत्येक ऑक्सीजन से जुड़े 16 संभावित विन्यासों में से केवल 6 ऊर्जावान रूप से अनुकूल हैं, जो H2O अणु बाधा को बनाए रखते हैं। फिर जमीन की स्थिति ले सकने वाली संख्याओं की एक ऊपरी सीमा का अनुमान Ω < 22N($6⁄16$) N के रूप में लगाया जाता है। इसके अनुरूप विन्यास एन्ट्रापी S0 = kBln(Ω) = NkBln( $3⁄2$)= 0.81 cal/(K·mol) = 3.4 J/(mol·K) जियाउक और स्टाउट द्वारा मापी गई लापता एंट्रॉपी के साथ अद्भुत समझौते में है।

चूंकि पॉलिंग की गणना ने प्रोटॉन की संख्या पर वैश्विक बाधा और वर्ट्ज़ाइट जाली पर बंद लूप से उत्पन्न होने वाली स्थानीय बाधा दोनों की उपेक्षा की, बाद में अनुमान को उत्कृष्ट त्रुटिहीन  के रूप में दिखाया गया।

स्पिन आइस
स्पिन आइस में पानी की बर्फ में गिरावट के लिए गणितीय रूप से समान स्थिति पाई जाती है। चार कोनों में से प्रत्येक पर एक चुंबकीय परमाणु या आयन के साथ क्यूबिक पाइरोक्लोर संरचना में चित्र 6 में एक सामान्य स्पिन बर्फ संरचना दिखाई गई है। सामग्री में शक्तिशाली क्रिस्टल क्षेत्र सिद्धांत के कारण, प्रत्येक चुंबकीय आयनों को एक बड़े पल के साथ एक आइसिंग ग्राउंड स्टेट डबल द्वारा दर्शाया जा सकता है। यह कोने-शेयरिंग टेट्राहेड्रल जाली पर रहने वाले ईज़िंग स्पिन की एक तस्वीर का सुझाव देता है, जो स्थानीय परिमाणीकरण अक्ष, घन अक्षों के साथ तय किए गए स्पिन के साथ होता है, जो प्रत्येक टेट्राहेड्रल वर्टेक्स को केंद्र से जोड़ने वाली रेखाओं के साथ मेल खाता है। ऊर्जा को न्यूनतम करने के लिए प्रत्येक चतुष्फलकीय कोशिका में दो घुमाव अंदर की ओर और दो बाहर की ओर होने चाहिए। वर्तमान में स्पिन आइस मॉडल को लगभग वास्तविक सामग्रियों द्वारा अनुभूत  किया गया है, विशेष रूप से दुर्लभ पृथ्वी पाइरोक्लोरेस Ho2Ti2O7, Dy2Ti2O7, और Ho2Sn2O7। ये सभी सामग्रियां कम तापमान पर गैर-शून्य अवशिष्ट एन्ट्रॉपी दिखाती हैं।

पॉलिंग के मॉडल का विस्तार: सामान्य हताशा
स्पिन आइस मॉडल कुंठित प्रणालियों का केवल उपखंड है। हताशा शब्द को प्रारंभ  में  प्रणाली की अक्षमता का वर्णन करने के लिए प्रस्तुत  किया गया था जिससे इसके घटकों के बीच प्रतिस्पर्धी अंतःक्रियात्मक ऊर्जा को  साथ कम किया जा सके। सामान्य रूप से हताशा या तो साइट विकार के कारण प्रतिस्पर्धात्मक अंतःक्रियाओं के कारण होती है (खलनायक मॉडल भी देखें ) या त्रिकोणीय टाइलिंग, क्यूबिक क्रिस्टल प्रणाली   या   फेस-सेंटर्ड क्यूबिक (एफसीसी),  हेक्सागोनल (क्रिस्टल प्रणाली)   या   हेक्सागोनल-क्लोज-पैक्ड, टेट्राहेड्रॉन, पायरोक्लोर और कगोम जाली जैसे एंटीफेरोमैग्नेटिक इंटरैक्शन के रूप में जाली संरचना द्वारा। तो हताशा को दो श्रेणियों में बांटा गया है: पहला स्पिन ग्लास से मेल खाता है, जिसमें संरचना में विकार और स्पिन में निराशा दोनों हैं; दूसरा आदेशित जाली संरचना और स्पिन की हताशा के साथ ज्यामितीय निराशा है। स्पिन ग्लास की हताशा को आरकेकेवाई मॉडल के ढांचे के अंदर  समझा जाता है, जिसमें इंटरेक्शन प्रॉपर्टी, या तो फेरोमैग्नेटिक या एंटी-फेरोमैग्नेटिक, दो चुंबकीय आयनों की दूरी पर निर्भर होती है। स्पिन ग्लास में जाली विकार के कारण,  स्पिन ऑफ इंटरेस्ट और उसके निकटतम निकटतम  अलग-अलग दूरी पर हो सकते हैं और  अलग इंटरैक्शन प्रॉपर्टी हो सकती है, जो इस प्रकार स्पिन के अलग-अलग पसंदीदा संरेखण की ओर ले जाती है।

कृत्रिम ज्यामितीय रूप से निराश फेरोमैग्नेट्स
लिथोग्राफी तकनीकों की सहायता से, उप-माइक्रोमीटर आकार के चुंबकीय द्वीपों का निर्माण करना संभव है, जिनकी ज्यामितीय व्यवस्था प्राकृतिक रूप से होने वाली स्पिन बर्फ सामग्री में पाई जाने वाली हताशा को पुन: उत्पन्न करती है। वर्तमान  में आरएफ वांग एट अल। की सूचना दी लिथोग्राफिक रूप से गढ़े गए एकल-डोमेन फेरोमैग्नेटिक द्वीपों की सरणियों से बना  कृत्रिम ज्यामितीय रूप से कुंठित चुंबक की खोज। इन द्वीपों को मैन्युअल रूप से स्पिन आइस के लिए द्वि-आयामी एनालॉग बनाने के लिए व्यवस्थित किया गया है। आदेशित 'स्पिन' द्वीपों के चुंबकीय क्षणों को चुंबकीय बल माइक्रोस्कोप  या   चुंबकीय बल माइक्रोस्कोपी (एमएफएम) के साथ चित्रित किया गया था और फिर हताशा के स्थानीय आवास का गहन अध्ययन किया गया था। कुंठित चुम्बकों के  चौकोर जाली पर अपने पिछले काम में, उन्होंने बर्फ की तरह छोटी दूरी के सहसंबंधों और लंबी दूरी के सहसंबंधों की अनुपस्थिति का अवलोकन किया, ठीक उसी तरह जैसे कम तापमान पर स्पिन बर्फ में होता है। ये परिणाम अज्ञात आधार को शक्तिशाली  करते हैं जिस पर इन कृत्रिम ज्यामितीय रूप से कुंठित चुम्बकों द्वारा हताशा के वास्तविक भौतिकी की कल्पना और प्रतिरूपण किया जा सकता है, और आगे की शोध गतिविधि को प्रेरित करता है।

मैग्नेटो-ऑप्टिकल केर इफेक्ट का उपयोग करके बाहरी क्षेत्र में अपनी वैश्विक प्रतिक्रिया का अध्ययन करते समय ये कृत्रिम रूप से निराश फेरोमैग्नेट्स अद्वितीय चुंबकीय गुणों का प्रदर्शन कर सकते हैं। विशेष रूप से, कृत्रिम स्पिन बर्फ प्रणाली में विकार से संबंधित वर्ग जाली ज़बरदस्ती की गैर-मोनोटोनिक कोणीय निर्भरता पाई जाती है।

जाली के बिना ज्यामितीय निराशा
अन्य प्रकार की ज्यामितीय हताशा स्थानीय क्रम के प्रसार से उत्पन्न होती है। संघनित पदार्थ भौतिक विज्ञानी जिस मुख्य प्रश्न का सामना करता है, वह ठोस की स्थिरता की व्याख्या करना है।

रासायनिक प्रकृति के कुछ स्थानीय नियमों को स्थापित करना कभी-कभी संभव होता है, जो कम ऊर्जा विन्यास की ओर ले जाते हैं और इसलिए संरचनात्मक और रासायनिक क्रम को नियंत्रित करते हैं। यह सामान्यतः मामला नहीं है और  अधिकांशतः  स्थानीय बातचीत द्वारा परिभाषित स्थानीय क्रम स्वतंत्र रूप से प्रचार नहीं कर सकता है, जिससे ज्यामितीय निराशा होती है। इन सभी प्रणालियों की  सामान्य विशेषता यह है कि, सरल स्थानीय नियमों के साथ भी, वे  अधिकांशतः  जटिल, संरचनात्मक अहसासों का  बड़ा समूह प्रस्तुत करते हैं। ज्यामितीय हताशा संघनित पदार्थ के क्षेत्रों में  भूमिका निभाती है, जिसमें गुच्छों और अनाकार ठोस से लेकर जटिल तरल पदार्थ होते हैं।

इन जटिलताओं को हल करने के लिए दृष्टिकोण की सामान्य विधि दो चरणों का अनुसरण करती है। सबसे पहले, अंतरिक्ष वक्रता की अनुमति देकर सही स्थान भरने की बाधा को आराम दिया जाता है। इस घुमावदार स्थान में आदर्श, निराश्रित, संरचना परिभाषित की गई है। फिर, इस आदर्श टेम्पलेट को तीन आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एम्बेड करने के लिए विशिष्ट विकृतियों को प्रयुक्त  किया जाता है। अंतिम संरचना आदेशित क्षेत्रों का मिश्रण है, जहां स्थानीय क्रम टेम्पलेट के समान है, और एम्बेडिंग से उत्पन्न होने वाले दोष हैं। संभावित दोषों में, झुकाव  महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

सरल द्वि-आयामी उदाहरण
बड़े पैमाने पर स्थानीय नियमों और ज्यामिति के बीच प्रतिस्पर्धा की उत्पत्ति के बारे में कुछ समझने के लिए द्वि-आयामी उदाहरण सहायक होते हैं। पहले समतल पर समान डिस्क ( काल्पनिक द्वि-आयामी धातु के लिए  मॉडल) की व्यवस्था पर विचार करें; हम मानते हैं कि डिस्क के बीच की बातचीत आइसोट्रोपिक है और स्थानीय रूप से डिस्क को यथासंभव सघन तरीके से व्यवस्थित करने की प्रवृत्ति है। तीन डिस्क के लिए सबसे अच्छी व्यवस्था त्रिभुज के कोने पर स्थित डिस्क केंद्रों के साथ  समबाहु त्रिभुज है। लंबी दूरी की संरचना का अध्ययन इसलिए समबाहु त्रिभुजों के साथ समतल टाइलिंग के अध्ययन के लिए कम किया जा सकता है। स्थानीय और वैश्विक नियमों के बीच कुल अनुकूलता के साथ त्रिकोणीय टाइलिंग द्वारा  प्रसिद्ध समाधान प्रदान किया जाता है: प्रणाली को अप्रतिबंधित कहा जाता है।

किन्तु अब, अंतःक्रियात्मक ऊर्जा को न्यूनतम माना जाता है जब परमाणु एक नियमित पंचकोण के शीर्ष पर बैठते हैं। किनारों (परमाणु बांड) और कोने (परमाणु) को साझा करने वाले इन पेंटागनों की पैकिंग को लंबी दूरी तक फैलाने की कोशिश करना असंभव है। यह नियमित पेंटागन के साथ एक विमान को खपरैल करने की असंभवता के कारण है, सिर्फ इसलिए कि पेंटागन वर्टेक्स कोण 2$\pi$ को विभाजित नहीं करता है। ऐसे तीन पंचभुज एक सामान्य शीर्ष पर आसानी से समा सकते हैं, किन्तु दो किनारों के बीच एक अंतर बना रहता है। यह इस तरह की विसंगति है जिसे "ज्यामितीय निराशा" कहा जाता है। इस कठिनाई को दूर करने का एक विधि है। टाइल की जाने वाली सतह को किसी भी अनुमानित टोपोलॉजी से मुक्त होने दें, और आइए हम स्थानीय अंतःक्रिया नियम के सख्त अनुप्रयोग के साथ टाइलिंग का निर्माण करें। इस सरल उदाहरण में, हम देखते हैं कि सतह एक गोले की टोपोलॉजी को विरासत में लेती है और इसलिए एक वक्रता प्राप्त करती है। अंतिम संरचना, यहाँ एक पंचकोणीय द्वादशफलक, पंचकोणीय क्रम के एक पूर्ण प्रसार के लिए अनुमति देता है। इसे माना संरचना के लिए "आदर्श" (दोष-मुक्त) मॉडल कहा जाता है।

घनी संरचनाएं और टेट्राहेड्रल पैकिंग
धातुओं की स्थिरता ठोस अवस्था भौतिकी का पुराना प्रश्न है, जिसे केवल सकारात्मक रूप से आवेशित आयनों और वैलेंस और चालन इलेक्ट्रॉनों के बीच की बातचीत को ध्यान में रखते हुए क्वांटम यांत्रिक ढांचे में समझा जा सकता है। फिर भी धात्विक बंधन की  बहुत ही सरलीकृत तस्वीर का उपयोग करना संभव है और केवल  आइसोट्रोपिक प्रकार की बातचीत रखता है, जिससे संरचनाओं को घनी पैक वाले क्षेत्रों के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है। और वास्तव में क्रिस्टलीय सरल धातु संरचनाएं  अधिकांशतः  या तो क्लोज पैक्ड  चेहरा केंद्रित घन  (एफसीसी) या हेक्सागोनल क्लोज पैकिंग (एचसीपी) लैटिस होती हैं। कुछ सीमा  तक अक्रिस्टलीय धातुओं और अर्ध-क्रिस्टल को भी गोलों की क्लोज पैकिंग द्वारा प्रतिरूपित किया जा सकता है। स्थानीय परमाणु क्रम को टेट्राहेड्रा के  करीबी पैकिंग द्वारा अच्छी तरह से तैयार किया गया है, जिससे अपूर्ण आईकोसाहेड्रल ऑर्डर हो जाता है।

एक नियमित टेट्राहेड्रॉन चार समान क्षेत्रों की पैकिंग के लिए सबसे सघन विन्यास है। कठिन क्षेत्रों की सघन यादृच्छिक संकुलन समस्या को इस प्रकार चतुष्फलकीय संकुलन समस्या पर प्रतिचित्रित किया जा सकता है। केवल चतुष्फलकीय विन्यास बनाने के लिए टेबल टेनिस गेंदों को पैक करने का प्रयास करना एक व्यावहारिक अभ्यास है। एक पूर्ण चतुष्फलक के रूप में व्यवस्थित चार गेंदों से प्रारंभ होता है, और नए चतुष्फलक बनाते समय नए गोले जोड़ने का प्रयास करता है। अगला समाधान, पांच गेंदों के साथ, एक सामान्य चेहरे को साझा करने वाले दो टेट्राहेड्रा हैं; ध्यान दें कि पहले से ही इस समाधान के साथ, एफसीसी संरचना, जिसमें व्यक्तिगत टेट्राहेड्रल छेद होते हैं, ऐसा कॉन्फ़िगरेशन नहीं दिखाते हैं (टेट्राहेड्रा किनारों को साझा करते हैं, चेहरे नहीं)। छह गेंदों के साथ, तीन नियमित टेट्राहेड्रा बनाए जाते हैं, और क्लस्टर सभी कॉम्पैक्ट क्रिस्टलीय संरचनाओं (एफसीसी और एचसीपी) के साथ असंगत है। सातवें गोले को जोड़ने से दो "अक्षीय" गेंदों में एक दूसरे को छूने वाला एक नया क्लस्टर मिलता है और पांच अन्य बाद की दो गेंदों को छूते हैं, बाहरी आकार लगभग नियमित पंचकोणीय द्वि-पिरामिड होता है। चूँकि, अब हम एक वास्तविक पैकिंग समस्या का सामना कर रहे हैं, जो कि दो आयामों में पंचकोणीय टाइलिंग के साथ ऊपर की समस्या के अनुरूप है। टेट्राहेड्रॉन का डायहेड्रल कोण 2π के अनुरूप नहीं है; परिणाम स्वरुप , निकटतम  टेट्राहेड्रा के दो चेहरों के बीच एक छेद बना रहता है। परिणाम स्वरुप , नियमित टेट्राहेड्रा के साथ यूक्लिडियन अंतरिक्ष R3 की एक सही टाइलिंग असंभव है। हताशा का एक सामयिक चरित्र है: यूक्लिडियन स्थान को टेट्राहेड्रा से भरना असंभव है, यहां तक ​​कि गंभीर रूप से विकृत, यदि  हम यह कहते हैं कि टेट्राहेड्रा की एक निरंतर संख्या (यहां पांच) एक आम बढ़त साझा करते हैं।

अगला कदम महत्वपूर्ण है: अंतरिक्ष में वक्रता की अनुमति देकर एक अप्रतिष्ठित संरचना की खोज, जिससे स्थानीय विन्यास पूरे अंतरिक्ष में समान रूप से और दोषों के बिना प्रचारित हो सके।

टेट्राहेड्रा की नियमित पैकिंग: पॉलीटॉप {3,3,5}
बीस अनियमित टेट्राहेड्रा एक सामान्य शीर्ष के साथ इस तरह से पैक होते हैं कि बारह बाहरी कोने एक नियमित आईकोसाहेड्रॉन बनाते हैं। वास्तव में, आइकोसैहेड्रॉन किनारे की लंबाई l परिधि त्रिज्या r (l ≈ 1.05r) से थोड़ी अधिक लंबी है। यदि अंतरिक्ष यूक्लिडियन नहीं है, किन्तु गोलाकार है, तो नियमित टेट्राहेड्रा के साथ एक समाधान है। यह श्लाफली संकेतन का उपयोग करते हुए पॉलीटॉप {3,3,5} है, जिसे 600-सेल के रूप में भी जाना जाता है।

एक सौ बीस कोने हैं जो सभी हाइपरस्फीयर S3 से संबंधित हैं, जिनकी त्रिज्या सुनहरे अनुपात (φ =$1 + √5⁄2$) के बराबर है यदि किनारे इकाई लंबाई के हैं। छह सौ कोशिकाएं नियमित टेट्राहेड्रा हैं जिन्हें एक सामान्य किनारे के चारों ओर पाँच और एक सामान्य शीर्ष के चारों ओर बीस द्वारा समूहीकृत किया जाता है। इस संरचना को एक पॉलीटॉप कहा जाता है (कॉक्सेटर देखें) जो कि बहुभुज और पॉलीहेड्रा वाली श्रृंखला में उच्च आयाम में सामान्य नाम है। यह संरचना चार आयामों में सन्निहित होने पर भी त्रिविम (घुमावदार) बहुरूपी मानी गई है। यह बिंदु निम्नलिखित कारणों से वैचारिक रूप से महत्वपूर्ण है। घुमावदार स्थान में प्रस्तुत किए गए आदर्श मॉडल त्रि-आयामी घुमावदार टेम्पलेट हैं। वे स्थानीय रूप से तीन आयामी यूक्लिडियन मॉडल के रूप में दिखते हैं। तो, {3,3,5} पॉलीटॉप, जो टेट्राहेड्रा द्वारा खपरैल है, एक बहुत ही सघन परमाणु संरचना प्रदान करता है यदि परमाणु इसके शीर्ष पर स्थित हों। इसलिए यह स्वाभाविक रूप से अनाकार धातुओं के लिए एक टेम्पलेट के रूप में उपयोग किया जाता है, किन्तु किसी को यह नहीं भूलना चाहिए कि यह क्रमिक आदर्शों की कीमत पर है।