लिपमैन-श्विंगर समीकरण

लिपमैन-श्विंगर समीकरण (बर्नार्ड लिपमैन और जूलियन श्विंगर के नाम पर ) क्वांटम यांत्रिकी में कण विखंडन- या, अधिक त्रुटिहीन रूप से, प्रकीर्णन का वर्णन करने के लिए सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले समीकरणों में से है।   इसका उपयोग अणुओं, परमाणुओं, न्यूट्रॉन, फोटॉन या किसी अन्य कणों के स्कैटरिंग में किया जा सकता है और यह मुख्य रूप से परमाणु, आणविक और ऑप्टिकल भौतिकी, परमाणु भौतिकी और कण भौतिकी में महत्वपूर्ण है, किंतु भूभौतिकी में भूकंपीय आने की समस्याओं के लिए भी महत्वपूर्ण है। यह स्कैटरिंग तरंग फलन को उस अंतःक्रिया से जोड़ता है जो स्कैटरिंग (स्कैटरिंग पोटेंशियल) उत्पन्न करता है और इसलिए प्रासंगिक प्रयोगात्मक मापदंडों (स्कैटरिंग आयाम और क्रॉस सेक्शन (भौतिकी)) की गणना की अनुमति देता है।

प्रकीर्णन सहित किसी भी क्वांटम घटना का वर्णन करने के लिए सबसे मौलिक समीकरण श्रोडिंगर समीकरण है। भौतिक समस्याओं में, इस अंतर समीकरण को विशिष्ट भौतिक प्रणाली के अध्ययन के लिए प्रारंभिक और/या सीमा स्थितियों के एक अतिरिक्त सेट के इनपुट के साथ हल किया जाना चाहिए। लिपमैन-श्विंगर समीकरण, श्रोडिंगर समीकरण और स्कैटरिंग की समस्याओं के लिए विशिष्ट सीमा स्थितियों के बराबर है। सीमा शर्तों को एम्बेड करने के लिए, लिपमान-श्विंगर समीकरण को एक अभिन्न समीकरण के रूप में लिखा जाना चाहिए। स्कैटरिंग की समस्याओं के लिए, लिपमान-श्विंगर समीकरण अक्सर मूल श्रोडिंगर समीकरण से अधिक सुविधाजनक होता है।

लिपमान-श्विंगर समीकरण का सामान्य रूप है (वास्तव में, दो समीकरण नीचे दिखाए गए हैं, एक के लिए $$ + \,$$ हस्ताक्षर और अन्य के लिए $$ - \,$$ संकेत):
 * $$ | \psi^{(\pm)} \rangle = | \phi \rangle + \frac{1}{E - H_0 \pm i \epsilon} V |\psi^{(\pm)} \rangle. \,$$

संभावित ऊर्जा $$ V \,$$ दो टकराने वाली प्रणालियों के बीच बातचीत का वर्णन करता है। हैमिल्टन समारोह $$ H_0 \,$$ उस स्थिति का वर्णन करता है जिसमें दो प्रणालियाँ असीम रूप से दूर हैं और परस्पर क्रिया नहीं करती हैं। इसके eigenfunction हैं $$ | \phi \rangle \,$$ और इसके eigenvalues ​​​​ऊर्जा हैं $$ E \,$$. आखिरकार, $$ i \epsilon \,$$ समीकरण को हल करने के लिए आवश्यक इंटीग्रल की गणना के लिए आवश्यक गणितीय तकनीकी है। यह कार्य-कारण का परिणाम है, यह सुनिश्चित करना कि बिखरी हुई तरंगें केवल बाहर जाने वाली तरंगों से मिलकर बनती हैं। यह सीमित अवशोषण सिद्धांत द्वारा कठोर बना दिया गया है।

उपयोग
लिपमान-श्विंगर समीकरण बहुत बड़ी संख्या में दो-शरीर स्कैटरिंग वाली स्थितियों में उपयोगी है। तीन या अधिक टकराने वाले पिंडों के लिए यह गणितीय सीमाओं के कारण अच्छी तरह से काम नहीं करता है; इसके बजाय फादीव समीकरणों का उपयोग किया जा सकता है। हालांकि, ऐसे अनुमान हैं जो विभिन्न मामलों में कई-शरीर की समस्या को दो-शरीर की समस्याओं के एक सेट में कम कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, इलेक्ट्रॉनों और अणुओं के बीच टकराव में दसियों या सैकड़ों कण शामिल हो सकते हैं। किंतु एक छद्म क्षमता  के साथ सभी अणु घटक कण क्षमता का वर्णन करके घटना को दो-शरीर की समस्या में कम किया जा सकता है। इन मामलों में, लिपमैन-श्विंगर समीकरणों का उपयोग किया जा सकता है। बेशक, इन दृष्टिकोणों की मुख्य प्रेरणाएँ बहुत कम कम्प्यूटेशनल प्रयासों के साथ गणना करने की संभावना भी हैं।

व्युत्पत्ति
हम मानेंगे कि हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) को इस रूप में लिखा जा सकता है


 * $$H = H_0 + V$$

कहाँ $H_{0}$ मुक्त हैमिल्टनियन है (या अधिक सामान्यतः, ज्ञात ईजेनवेक्टर के साथ एक हैमिल्टनियन)। उदाहरण के लिए, गैर-सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी में $H_{0}$ शायद


 * $$H_0 = \frac{p^2}{2m}$$.

intuitively $V$ सिस्टम की इंटरैक्शन एनर्जी है। का एक ईजेनस्टेट होने दें $H_{0}$:


 * $$H_0 | \phi \rangle = E | \phi \rangle$$.

अब अगर हम इंटरेक्शन जोड़ते हैं $$ V $$ मिश्रण में, श्रोडिंगर समीकरण पढ़ता है


 * $$\left( H_0 + V \right) | \psi \rangle = E | \psi \rangle$$.

अब हेलमैन-फेनमैन प्रमेय पर विचार करें, जिसके लिए हैमिल्टनियन के ऊर्जा eigenvalues ​​​​को हैमिल्टनियन में निरंतर परिवर्तन के साथ निरंतर परिवर्तन की आवश्यकता होती है। इसलिए हम यही कामना करते हैं $$| \psi \rangle \to | \phi \rangle$$ जैसा $$V \to 0$$. इस समीकरण का एक भोली समाधान होगा


 * $$| \psi \rangle = | \phi \rangle + \frac{1}{E - H_0} V | \psi \rangle$$.

जहां अंकन $1/A$ के व्युत्क्रम तत्व को दर्शाता है $A$. हालाँकि $E − H_{0}$ गणितीय विलक्षणता है $E$ का आइगेनवैल्यू है $H_{0}$. जैसा कि नीचे वर्णित किया गया है, इस विलक्षणता को दो अलग-अलग तरीकों से समाप्त कर दिया जाता है, जिससे विभाजक थोड़ा जटिल हो जाता है, अपने आप को थोड़ा विगल रूम देने के लिए :


 * $$| \psi^{(\pm)} \rangle = | \phi \rangle + \frac{1}{E - H_0 \pm i \epsilon} V |\psi^{(\pm)} \rangle$$.

मुक्त कण अवस्थाओं का एक पूरा सेट सम्मिलित करके,


 * $$| \psi^{(\pm)} \rangle = | \phi \rangle + \int d\beta\frac{|\phi_\beta\rangle}{E - E_\beta \pm i \epsilon} \langle \phi_\beta |V|\psi^{(\pm)} \rangle, \quad H_0 |\phi_\beta\rangle = E_\beta|\phi_\beta\rangle$$,

श्रोडिंगर समीकरण को एक अभिन्न समीकरण में बदल दिया गया है। में $(+)$ और बाहर $(−)$ राज्यों को आधार (रैखिक बीजगणित) भी माना जाता है, दूर के अतीत और दूर के भविष्य में क्रमशः मुक्त कण राज्यों की उपस्थिति होती है, किंतु पूर्ण हैमिल्टनियन के ईजेनफलन होते हैं। इस प्रकार उन्हें एक सूचकांक के साथ समाप्त करने से समीकरण बन जाता है


 * $$| \psi^{(\pm)}_\alpha \rangle = | \phi_\alpha \rangle + \int d\beta\frac{T^{(\pm)}_{\beta\alpha}|\phi_\beta\rangle}{E_\alpha - E_\beta \pm i \epsilon}, \quad T^{(\pm)}_{\beta\alpha} = \langle \phi_\beta |V|\psi^{(\pm)}_\alpha \rangle$$.

समाधान के तरीके
गणितीय दृष्टिकोण से समन्वय प्रतिनिधित्व में लिपमैन-श्विंगर समीकरण फ्रेडहोम विकल्प का एक अभिन्न समीकरण है। इसे विवेक से हल किया जा सकता है। चूंकि यह उपयुक्त सीमा स्थितियों के साथ अवकलन समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण के समतुल्य है, इसलिए इसे अवकल समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधियों द्वारा भी हल किया जा सकता है। गोलाकार रूप से सममित क्षमता के मामले में $$V$$ यह आमतौर पर आंशिक तरंग विश्लेषण द्वारा हल किया जाता है। उच्च ऊर्जा और/या कमजोर क्षमता के लिए इसे बोर्न श्रृंखला के माध्यम से भी हल किया जा सकता है। विग्नर और ईसेनबड के आर-मैट्रिक्स की विधि परमाणु, परमाणु या आणविक टकराव के विवरण की तरह कई-पिंड भौतिकी के मामले में भी सुविधाजनक है। विधियों का एक अन्य वर्ग संभावित या ग्रीन के ऑपरेटर के वियोज्य विस्तार पर आधारित है, जैसे होरासेक और सासाकावा के निरंतर अंशों की विधि। पद्धतियों का बहुत महत्वपूर्ण वर्ग भिन्नात्मक सिद्धांतों पर आधारित है, उदाहरण के लिए श्विंगर-लैंक्ज़ोस विधि जूलियन श्विंगर के परिवर्तनशील सिद्धांत को लैंक्ज़ोस एल्गोरिथम के साथ जोड़ती है।

एस मैट्रिक्स प्रतिमान
कण भौतिकी के एस-मैट्रिक्स फॉर्मूलेशन में, जो दूसरों के बीच जॉन आर्चीबाल्ड व्हीलर द्वारा अग्रणी था, सभी भौतिक प्रक्रियाओं को निम्नलिखित प्रतिमान के अनुसार प्रतिरूपित किया जाता है। एक दूर के अतीत में एक गैर-अंतःक्रियात्मक मल्टीपार्टिकल राज्य के साथ शुरू होता है। गैर-बातचीत का मतलब यह नहीं है कि सभी बलों को बंद कर दिया गया है, उदाहरण के लिए प्रोटॉन अलग हो जाएंगे, बल्कि यह कि एक बातचीत-मुक्त हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) एच मौजूद है0, जिसके लिए बाध्य राज्यों में वास्तविक हैमिल्टनियन के समान ऊर्जा स्तर स्पेक्ट्रम है $H$. इस प्रारंभिक अवस्था को इन स्टेट कहा जाता है। सहज रूप से, इसमें प्राथमिक कण या बाध्य अवस्थाएँ होती हैं जो पर्याप्त रूप से अच्छी तरह से अलग होती हैं कि एक दूसरे के साथ उनकी बातचीत को अनदेखा किया जाता है।

विचार यह है कि जो भी भौतिक प्रक्रिया का अध्ययन करने का प्रयास किया जा रहा है, उसे इन अच्छी तरह से अलग-अलग बाध्य राज्यों की स्कैटरिंग की प्रक्रिया के रूप में तैयार किया जा सकता है। इस प्रक्रिया का वर्णन पूर्ण हैमिल्टनियन द्वारा किया गया है $H$, किंतु एक बार जब यह खत्म हो जाता है, तो सभी नए प्राथमिक कण और नए बंधे हुए राज्य फिर से अलग हो जाते हैं और एक नया गैर-बातचीत राज्य पाता है जिसे आउट स्टेट कहा जाता है। हैमिल्टनियन की तुलना में एस-मैट्रिक्स सापेक्षता के तहत अधिक सममित है, क्योंकि इसे परिभाषित करने के लिए समय स्लाइस की पसंद की आवश्यकता नहीं होती है।

यह प्रतिमान उन सभी प्रक्रियाओं की संभावनाओं की गणना करने की अनुमति देता है जिन्हें हमने 70 वर्षों के कण कोलाइडर प्रयोगों में उल्लेखनीय त्रुटिहीनता के साथ देखा है। किंतु कई दिलचस्प भौतिक घटनाएं स्पष्ट रूप से इस प्रतिमान में फिट नहीं होती हैं। उदाहरण के लिए, यदि कोई न्यूट्रॉन तारे के अंदर की गतिकी पर विचार करना चाहता है, तो कभी-कभी वह इससे अधिक जानना चाहता है कि यह अंततः किसमें क्षय होगा। दूसरे शब्दों में, किसी की उन मापों में रुचि हो सकती है जो स्पर्शोन्मुख भविष्य में नहीं हैं। कभी-कभी एक स्पर्शोन्मुख अतीत या भविष्य भी उपलब्ध नहीं होता है। उदाहरण के लिए, यह बहुत संभव है कि महा विस्फोट से पहले कोई अतीत न हो।

1960 के दशक में, एस-मैट्रिक्स प्रतिमान को कई भौतिकविदों द्वारा प्रकृति के एक मौलिक नियम में उन्नत किया गया था। एस-मैट्रिक्स सिद्धांत में, यह कहा गया था कि कोई भी मात्रा जिसे कोई माप सकता है, उसे किसी प्रक्रिया के लिए एस-मैट्रिक्स में पाया जाना चाहिए। यह विचार भौतिक व्याख्या से प्रेरित था कि एस-मैट्रिक्स तकनीक फेनमैन आरेखों को द्रव्यमान-खोल तक सीमित कर सकती थी, और दोहरे अनुनाद मॉडल के निर्माण का नेतृत्व किया। किंतु यह बहुत विवादास्पद था, क्योंकि इसने स्थानीय क्षेत्रों और हैमिल्टन के आधार पर क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत की वैधता को नकार दिया था।

लिपमैन-श्विंगर
से संबंध

सहज रूप से, थोड़ा विकृत ईजेनफलन $$ \psi^{(\pm)}$$ पूर्ण हैमिल्टनियन एच में और बाहर राज्य हैं। $$\phi$$ h> गैर-बातचीत करने वाली अवस्थाएँ हैं जो अनंत अतीत और अनंत भविष्य में अंदर और बाहर की अवस्थाओं से मिलती जुलती हैं।

तरंगपैकेट बनाना
यह सहज ज्ञान युक्त तस्वीर बिल्कुल सही नहीं है, क्योंकि $$ \psi^{(\pm)}$$ हैमिल्टनियन का एक आइजनफलन है और इसलिए अलग-अलग समय पर केवल एक चरण से भिन्न होता है। इस प्रकार, विशेष रूप से, भौतिक अवस्था विकसित नहीं होती है और इसलिए यह गैर-बातचीत नहीं बन सकती है। संयोजन करके इस समस्या को आसानी से हल किया जाता है $$ \psi^{(\pm)}$$ और $$ \phi$$ कुछ वितरण के साथ तरंगपैकेट में $$g(E)$$ ऊर्जाओं का $$E$$ एक विशेषता पैमाने पर $$\Delta E$$. अनिश्चितता सिद्धांत अब स्पर्शोन्मुख राज्यों की बातचीत को एक समय-सीमा पर होने की अनुमति देता है $$\hbar/\Delta E$$ और विशेष रूप से यह अब अकल्पनीय नहीं है कि इस अंतराल के बाहर बातचीत बंद हो सकती है। निम्नलिखित तर्क बताता है कि वास्तव में ऐसा ही है।

लिपमैन-श्विंगर समीकरणों को परिभाषाओं में प्लग करना


 * $$ \psi^{(\pm)}_g(t)=\int dE\, e^{-iEt} g(E)\psi^{(\pm)}$$

और


 * $$ \phi_g(t)=\int dE\, e^{-iEt} g(E)\phi$$

तरंगपैकेट में हम देखते हैं कि, एक निश्चित समय में, के बीच का अंतर $$\psi_g(t)$$ और $$\phi_g(t)$$ तरंगपैकेट ऊर्जा ई पर एक अभिन्न द्वारा दिया जाता है।

एक समोच्च अभिन्न
इस इंटीग्रल का मूल्यांकन कॉम्प्लेक्स ई प्लेन पर तरंग फलन को परिभाषित करके और अर्धवृत्त का उपयोग करके ई कॉन्टूर को बंद करके किया जा सकता है, जिस पर तरंगफलन गायब हो जाते हैं। विभिन्न ध्रुवों पर अवशेषों के योग के रूप में, कॉची अभिन्न प्रमेय का उपयोग करते हुए, बंद समोच्च पर अभिन्न का मूल्यांकन किया जा सकता है। अब हम तर्क देंगे कि के अवशेष $$ \psi^{(\pm)}$$ उनसे संपर्क करें $$ \phi$$ समय पर $$t\rightarrow\mp\infty$$ और इसलिए संबंधित तरंगपैकेट टेम्पोरल इनफिनिटी पर बराबर हैं।

वास्तव में, बहुत ही सकारात्मक समय के लिए टी $$e^{-iEt}$$ श्रोडिंगर तस्वीर राज्य में कारक निचले आधे विमान पर समोच्च को बंद करने के लिए मजबूर करता है। में पोल $$(\phi ,V \psi^{\pm})$$ लिपमैन-श्विंगर समीकरण से इंटरेक्शन की समय-अनिश्चितता को दर्शाता है, जबकि तरंगपैकेट में वेट फलन इंटरेक्शन की अवधि को दर्शाता है। इन दोनों प्रकार के ध्रुव परिमित काल्पनिक ऊर्जा पर होते हैं और इसलिए बहुत बड़े समय में दब जाते हैं। के मामले में हर में ऊर्जा अंतर में ध्रुव ऊपरी आधे विमान पर है $$ \psi^{-}$$, और इसलिए अभिन्न समोच्च के अंदर स्थित नहीं है और इसमें योगदान नहीं देता है $$ \psi^{-}$$ अभिन्न। शेष के बराबर है $$\phi$$ wavepacket. इस प्रकार, बहुत देर से $$ \psi^{-}=\phi$$, पहचान करना $$ \psi^{-}$$ स्पर्शोन्मुख गैर-बातचीत राज्य के रूप में।

इसी प्रकार कोई तरंगपैकेट को इसी प्रकार एकीकृत कर सकता है $$ \psi^{+}$$ बहुत नकारात्मक समय पर। इस मामले में समोच्च को ऊपरी आधे तल पर बंद करने की आवश्यकता होती है, जो इसलिए ऊर्जा ध्रुव को याद करता है $$ \psi^{+}$$, जो निचले आधे तल में है। एक तो पाता है कि $$ \psi^{+}$$ और $$ \phi$$ तरंगपैकेट स्पर्शोन्मुख अतीत में समान हैं, पहचान कर रहे हैं $$ \psi^{+}$$ राज्य में स्पर्शोन्मुख गैर-सहभागिता के रूप में।

लिपमैन-श्विंगर
का जटिल भाजक

यह पहचान $$\psi$$स्पर्शोन्मुख राज्यों के लिए औचित्य है $$\pm\epsilon$$ लिपमैन-श्विंगर समीकरणों के हर में।

एस-मैट्रिक्स
के लिए एक सूत्र

एस-मैट्रिक्स | एस-मैट्रिक्स को आंतरिक उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है


 * $$ S_{ab}=(\psi^-_a,\psi^+_b)$$

Ath और bth हाइजेनबर्ग चित्र स्पर्शोन्मुख अवस्थाएँ। उपरोक्त समोच्च अभिन्न रणनीति का उपयोग करके एस-मैट्रिक्स को संभावित वी से संबंधित एक सूत्र प्राप्त किया जा सकता है, किंतु इस बार भूमिकाओं को बदलना $$ \psi^+$$ और $$ \psi^-$$. नतीजतन, समोच्च अब ऊर्जा ध्रुव को उठाता है। यह से संबंधित हो सकता है $$\phi$$अगर कोई दो को स्वैप करने के लिए एस-मैट्रिक्स का उपयोग करता है $$\psi$$'एस। के गुणांक की पहचान करना $$\phi$$समीकरण के दोनों पक्षों में संभावित S से संबंधित वांछित सूत्र मिलता है


 * $$ S_{ab}=\delta(a-b)-2i\pi\delta(E_a-E_b)(\phi_a,V\psi^+_b).$$

बोर्न सन्निकटन में, प्रथम क्रम गड़बड़ी सिद्धांत के अनुरूप, यह अंतिम स्थान लेता है $$ \psi^+$$ इसी eigenfunction के साथ $$ \phi$$ मुक्त हैमिल्टनियन एच0, उपज


 * $$ S_{ab}=\delta(a-b)-2i\pi\delta(E_a-E_b)(\phi_a,V\phi_b)\,$$

जो एस-मैट्रिक्स को पूरी तरह से वी और मुक्त हैमिल्टनियन ईजेनफलन के संदर्भ में व्यक्त करता है।

बदले में इन सूत्रों का उपयोग प्रक्रिया की प्रतिक्रिया दर की गणना के लिए किया जा सकता है $$b\rightarrow a$$, जो बराबर है $$|S_{ab}-\delta_{ab}|^2.\,$$

समरूपता
ग्रीन के कार्य के उपयोग के साथ, लिपमैन-श्विंगर समीकरण में समरूपता सिद्धांत (जैसे यांत्रिकी, चालकता, पारगम्यता) में समकक्ष हैं।

यह भी देखें

 * बेथे-सालपीटर समीकरण

मूल प्रकाशन


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