प्रक्षेपण-मूल्यांकन माप

गणित में, विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण में, एक प्रोजेक्शन-वैल्यूड माप (पीवीएम) एक निश्चित सेट के कुछ सबसेट पर परिभाषित एक फ़ंक्शन है और जिसका मूल्य एक निश्चित हिल्बर्ट अंतरिक्ष  पर स्व-आसन्न प्रक्षेपण (गणित) है। प्रक्षेपण-मूल्यवान उपाय औपचारिक रूप से वास्तविक-मूल्यवान माप (गणित) के समान हैं, सिवाय इसके कि उनके मूल्य वास्तविक संख्या के बजाय स्व-संलग्न अनुमान हैं। सामान्य उपायों के मामले में, पीवीएम के संबंध में जटिल-मूल्यवान कार्यों को एकीकृत करना संभव है; इस तरह के एकीकरण का नतीजा दिए गए हिल्बर्ट स्पेस पर एक रैखिक ऑपरेटर है।

प्रोजेक्शन-वैल्यू उपायों का उपयोग स्पेक्ट्रल सिद्धांत में परिणाम व्यक्त करने के लिए किया जाता है, जैसे स्व-संलग्न ऑपरेटरों के लिए महत्वपूर्ण वर्णक्रमीय सिद्धांत पीवीएम के संबंध में इंटीग्रल का उपयोग करके स्व-संलग्न ऑपरेटरों के लिए बोरेल कार्यात्मक कलन का निर्माण किया गया है। क्वांटम यांत्रिकी में, पीवीएम क्वांटम मापन का गणितीय वर्णन है। वे POVM (POVMs) द्वारा उसी अर्थ में सामान्यीकृत किए जाते हैं कि एक मिश्रित अवस्था (भौतिकी) या घनत्व मैट्रिक्स एक शुद्ध अवस्था की धारणा को सामान्य करता है।

औपचारिक परिभाषा
एक प्रक्षेपण-मूल्यवान उपाय $$\pi$$ मापने योग्य स्थान पर $$(X, M)$$, कहाँ $$M$$ के सबसेट का σ-बीजगणित है $$X$$, एक फलन (गणित) है $$M$$ हिल्बर्ट स्पेस पर सेल्फ-एडजॉइंट प्रोजेक्शन ऑपरेटर के सेट के लिए $$H$$ (यानी ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन) ऐसा है



\pi(X) = \operatorname{id}_H \quad $$ (कहाँ $$\operatorname{id}_H$$ का पहचान ऑपरेटर  है $$H$$) और प्रत्येक के लिए $$\xi,\eta\in H$$, निम्न कार्य $$M \to \mathbb C$$

E \mapsto \langle \pi(E)\xi \mid \eta \rangle $$ पर एक जटिल उपाय है$$M$$(यानी, एक जटिल-मूल्यवान सिग्मा योगात्मकता  फ़ंक्शन)।

हम इस उपाय को निरूपित करते हैं $$\operatorname{S}_\pi(\xi, \eta)$$.

ध्यान दें कि $$\operatorname{S}_\pi(\xi, \xi)$$ एक वास्तविक-मूल्यवान माप है, और एक संभाव्यता माप कब है $$\xi$$ लंबाई एक है।

अगर $$\pi$$ एक प्रक्षेपण-मूल्यवान उपाय है और



E \cap F = \emptyset, $$ फिर छवियां $$\pi(E)$$, $$\pi(F)$$ एक दूसरे के लिए ओर्थोगोनल हैं। इससे यह पता चलता है कि सामान्य तौर पर,



\pi(E) \pi(F) = \pi(E \cap F) = \pi(F) \pi(E), $$ और वे आवागमन करते हैं।

उदाहरण। कल्पना करना $$(X, M, \mu)$$ एक माप स्थान है। चलो, हर मापने योग्य उपसमुच्चय के लिए $$E$$ में $$M$$,

\pi(E) : L^2(\mu) \to L^2 (\mu): \psi \mapsto \chi_E \psi $$ सूचक समारोह द्वारा गुणन के संचालिका बनें $$1_E$$ एलपी स्पेस पर | एल2(एक्स). तब $$\pi$$ एक प्रक्षेपण-मूल्यवान उपाय है। उदाहरण के लिए, यदि $$X = \mathbb{R}$$, $$E = (0,1)$$, और $$\phi,\psi \in L^2(\mathbb{R})$$ इसके बाद संबंधित जटिल उपाय है $$S_{(0,1)}(\phi,\psi)$$ जो एक मापने योग्य कार्य करता है $$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ और इंटीग्रल  देता है$$S_{(0,1)}(\phi,\psi)(f) = \int_{(0,1)}f(x)\psi(x)\overline{\phi}(x)dx$$

प्रक्षेपण-मूल्यवान उपायों, अभिन्न और वर्णक्रमीय प्रमेय का विस्तार
अगर $\pi$ मापने योग्य स्थान (एक्स, एम) पर प्रक्षेपण-मूल्यवान माप है, फिर मानचित्र



\chi_E \mapsto \pi(E) $$ एक्स पर कदम कार्यों के वेक्टर अंतरिक्ष पर एक रैखिक मानचित्र तक फैला हुआ है। वास्तव में, यह जांचना आसान है कि यह नक्शा एक अंगूठी समरूपता है। यह नक्शा एक्स पर सभी बंधे हुए जटिल-मूल्यवान औसत दर्जे के कार्यों के लिए एक विहित तरीके से फैला हुआ है, और हमारे पास निम्नलिखित हैं।

'प्रमेय'। एक्स पर किसी भी बंधे एम-मापने योग्य फ़ंक्शन एफ के लिए, एक अद्वितीय बाध्य रैखिक ऑपरेटर मौजूद है

\mathrm T_\pi (f) : H \to H $$ ऐसा है कि

\langle \operatorname{T}_\pi(f) \xi \mid \eta \rangle = \int_X f \ d \operatorname{S}_\pi (\xi,\eta) $$ सभी के लिए $$ \xi,\eta \in H, $$ कहाँ $$ \operatorname{S}_\pi (\xi,\eta)$$ जटिल माप को दर्शाता है


 * $$E \mapsto \langle \pi(E)\xi \mid \eta \rangle $$

की परिभाषा से $$\pi$$.

वो नक्शा


 * $$ \mathcal{BM}(X,M) \to \mathcal L(H):

f \mapsto \operatorname{T}_\pi(f)$$ एक रिंग समरूपता है।

एक अभिन्न संकेतन अक्सर के लिए प्रयोग किया जाता है $$\operatorname{T}_\pi(f)$$, के रूप में


 * $$\operatorname{T}_\pi(f)=\int_X f(x) \, d \pi(x) = \int_X f \, d \pi.$$

प्रमेय असीमित औसत दर्जे के कार्यों f के लिए भी सही है, लेकिन तब $$\operatorname{T}_\pi(f)$$ हिल्बर्ट स्पेस एच पर एक असीमित रैखिक ऑपरेटर होगा।

वर्णक्रमीय प्रमेय कहता है कि प्रत्येक स्व-आसन्न संकारक $$A:H\to H$$ एक संबद्ध प्रक्षेपण-मूल्य माप है $$\pi_A$$ वास्तविक धुरी पर परिभाषित किया गया है, जैसे कि
 * $$A =\int_\mathbb{R} x \, d\pi_A(x).$$

यह ऐसे ऑपरेटरों के लिए बोरेल कार्यात्मक कलन को परिभाषित करने की अनुमति देता है: यदि $$g:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$$ एक मापने योग्य कार्य है, हम सेट करते हैं
 * $$g(A) :=\int_\mathbb{R} g(x) \, d\pi_A(x).$$

प्रक्षेपण-मूल्यवान उपायों की संरचना
पहले हम प्रत्यक्ष समाकलों पर आधारित प्रक्षेपण-मूल्यवान माप का एक सामान्य उदाहरण प्रदान करते हैं। मान लीजिए (एक्स, एम, μ) एक माप स्थान है और {एचx}x ∈ X वियोज्य हिल्बर्ट रिक्त स्थान का एक μ-मापने योग्य परिवार बनें। प्रत्येक E ∈ M के लिए, मान लीजिए π(ई) 1 से गुणन का संचालक होE हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर


 * $$ \int_X^\oplus H_x \ d \mu(x). $$

तब π (X, M) पर प्रक्षेपण-मूल्यवान माप है।

कल्पना करना π, ρ H, K के अनुमानों में मूल्यों के साथ (X, M) पर प्रक्षेपण-मूल्यवान उपाय हैं।  π, ρ एकात्मक रूप से समतुल्य हैं यदि और केवल यदि एक एकात्मक संकारक U:H → K ऐसा है कि


 * $$ \pi(E) = U^* \rho(E) U \quad $$

हर ई ∈ एम के लिए।

'प्रमेय'। यदि (एक्स, एम) एक बोरेल बीजगणित # मानक बोरेल रिक्त स्थान और कुराटोस्की प्रमेय है, तो प्रत्येक प्रक्षेपण-मूल्यवान माप के लिए π पर (X, M) एक वियोज्य हिल्बर्ट अंतरिक्ष के अनुमानों में मान लेते हुए, एक बोरेल माप μ और हिल्बर्ट रिक्त स्थान का एक μ-मापने योग्य परिवार है {Hx}x ∈ X, ऐसा है कि π एकात्मक रूप से 1 से गुणा करने के समतुल्य हैE हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर


 * $$ \int_X^\oplus H_x \ d \mu(x). $$

माप वर्ग{{clarify|reason=What is a measure class? A measure up to measure-preserving equivalence? Should the measure be completed?|date=May 2015}μ का } और गुणन फलन x → मंद H का माप तुल्यता वर्गx एकात्मक तुल्यता तक प्रक्षेपण-मूल्यवान माप को पूरी तरह से चिह्नित करें।

एक प्रक्षेपण-मूल्यवान उपाय π बहुलता n का सजातीय है यदि और केवल यदि बहुलता फ़ंक्शन का मान n स्थिर है। स्पष्ट रूप से,

'प्रमेय'। कोई प्रक्षेपण-मूल्यवान उपाय π एक वियोज्य हिल्बर्ट स्थान के अनुमानों में मान लेना सजातीय प्रक्षेपण-मूल्यवान उपायों का एक ऑर्थोगोनल प्रत्यक्ष योग है:


 * $$ \pi = \bigoplus_{1 \leq n \leq \omega} (\pi \mid H_n) $$

कहाँ


 * $$ H_n = \int_{X_n}^\oplus H_x \ d (\mu \mid X_n) (x) $$

और


 * $$ X_n = \{x \in X: \dim H_x = n\}. $$

क्वांटम यांत्रिकी में अनुप्रयोग
क्वांटम यांत्रिकी में, एक हिल्बर्ट अंतरिक्ष एच पर निरंतर एंडोमोर्फिज्म के स्थान के लिए मापने योग्य अंतरिक्ष एक्स के प्रक्षेपण मूल्यवान माप को देखते हुए,


 * हिल्बर्ट स्पेस एच के प्रोजेक्टिव स्पेस को क्वांटम सिस्टम के संभावित राज्यों Φ के सेट के रूप में व्याख्या किया गया है,
 * मापने योग्य स्थान X सिस्टम की कुछ क्वांटम संपत्ति के लिए मूल्य स्थान है (एक अवलोकन योग्य),
 * प्रक्षेपण-मूल्यवान उपाय π इस संभावना को व्यक्त करता है कि अवलोकनीय विभिन्न मूल्यों पर ले जाता है।

एक्स के लिए एक आम पसंद वास्तविक रेखा है, लेकिन यह भी हो सकती है


 * 'आर'3 (तीन आयामों में स्थिति या संवेग के लिए),
 * एक असतत सेट (कोणीय गति के लिए, एक बाध्य अवस्था की ऊर्जा, आदि),
 * Φ के बारे में एक मनमाना प्रस्ताव के सत्य-मूल्य के लिए 2-बिंदु सेट सत्य और असत्य।

बता दें कि ई औसत दर्जे का अंतरिक्ष एक्स और Φ एच में एक सामान्यीकृत सदिश-राज्य का एक औसत दर्जे का सबसेट है, ताकि इसका हिल्बर्ट मानदंड एकात्मक हो, ||Φ|| = 1. संभावना है कि अवलोकन योग्य उपसमुच्चय ई में अपना मान लेता है, राज्य Φ में सिस्टम दिया जाता है, है



P_\pi(\varphi)(E) = \langle \varphi\mid\pi(E)(\varphi)\rangle = \langle \varphi|\pi(E)|\varphi\rangle,$$ जहां भौतिकी में बाद वाले अंकन को प्राथमिकता दी जाती है।

इसका विश्लेषण हम दो प्रकार से कर सकते हैं।

सबसे पहले, प्रत्येक निश्चित ई के लिए, प्रक्षेपण π(ई) एच पर एक स्व-संबद्ध संचालिका है जिसका 1-ईजेन्सस्पेस Φ राज्य है जिसके लिए अवलोकनीय का मूल्य हमेशा ई में निहित होता है, और जिसका 0-ईजेनस्पेस राज्य Φ है जिसके लिए अवलोकनीय का मूल्य कभी झूठ नहीं होता ई में

दूसरा, प्रत्येक निश्चित सामान्यीकृत वेक्टर स्थिति के लिए $$\psi$$, संगठन



P_\pi(\psi) : E \mapsto \langle\psi\mid\pi(E)\psi\rangle $$ प्रेक्षण योग्य के मानों को एक यादृच्छिक चर में बनाने पर X पर एक प्रायिकता माप है।

एक माप जो प्रक्षेपण-मूल्यवान माप द्वारा किया जा सकता है π को प्रक्षेपी माप कहा जाता है।

यदि X वास्तविक संख्या रेखा है, तो इससे जुड़ा हुआ मौजूद है π, एक हर्मिटियन ऑपरेटर A द्वारा H पर परिभाषित किया गया है


 * $$A(\varphi) = \int_{\mathbf{R}} \lambda \,d\pi(\lambda)(\varphi),$$

जो अधिक पठनीय रूप लेता है


 * $$A(\varphi) = \sum_i \lambda_i \pi({\lambda_i})(\varphi)$$

अगर का समर्थन π R का असतत उपसमुच्चय है।

उपरोक्त ऑपरेटर ए को वर्णक्रमीय माप से जुड़े अवलोकन योग्य कहा जाता है।

इस प्रकार प्राप्त किसी संकारक को क्वांटम यांत्रिकी में प्रेक्षणीय कहा जाता है।

सामान्यीकरण
प्रोजेक्शन-वैल्यूड माप का विचार सकारात्मक ऑपरेटर-वैल्यूड माप (पीओवीएम) द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है, जहां प्रोजेक्शन ऑपरेटरों द्वारा निहित ओर्थोगोनलिटी की आवश्यकता को ऑपरेटरों के एक सेट के विचार से बदल दिया जाता है जो एकता का गैर-ऑर्थोगोनल विभाजन है।. यह सामान्यीकरण क्वांटम सूचना सिद्धांत के अनुप्रयोगों से प्रेरित है।

यह भी देखें

 * स्पेक्ट्रल प्रमेय
 * कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों का वर्णक्रमीय सिद्धांत
 * सामान्य सी * - बीजगणित का वर्णक्रमीय सिद्धांत

संदर्भ

 * Mackey, G. W., The Theory of Unitary Group Representations, The University of Chicago Press, 1976
 * M. Reed and B. Simon, Methods of Mathematical Physics, vols I–IV, Academic Press 1972.
 * G. Teschl, Mathematical Methods in Quantum Mechanics with Applications to Schrödinger Operators, https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/, American Mathematical Society, 2009.
 * Varadarajan, V. S., Geometry of Quantum Theory V2, Springer Verlag, 1970.
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 * Varadarajan, V. S., Geometry of Quantum Theory V2, Springer Verlag, 1970.
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