तीन आयामी स्थान



त्रि-विमीय क्षेत्र (3-डी छेत्र या 3-छेत्र) एक ज्यामितीय व्यवस्था है जिसमें किसी तत्व (अर्थात, बिंदु) की स्थिति निर्धारित करने के लिए तीन मानों (जिन्हे पैरामीटर कहा जाता है) की आवश्यकता होती है। यह विमीय शब्द का अनौपचारिक अर्थ है।

गणित में, $n$ संख्याओं के टपल को $n$-विमीय यूक्लिडियन क्षेत्र में किसी स्थान के कार्तीय निर्देशांक के रूप में समझा जा सकता है। इन $n$-टपल्स के समुच्चय को सामान्यतः $$\R^n,$$से निरूपित किया जाता है और इसे $n$-विमीय यूक्लिडियन क्षेत्र से पहचाना जा सकता है। जब $n = 3$, इस स्थान को कहा जाता है इस स्थान को त्रि-विमीय यूक्लिडियन क्षेत्र कहा जाता है (या सन्दर्भ स्पष्ट होने पर यूक्लिडियन क्षेत्र)। यह भौतिक ब्रह्माण्ड (सापेक्षता सिद्धांत न मानने पर) के एक मॉडल के रूप में कार्य करता है, जिसमें सभी ज्ञात पदार्थ उपस्थित होते हैं। जबकि यह क्षेत्र दुनिया को मॉडल करने का सबसे प्रभावशाली और उपयोगी तरीका है, यह त्रि-विमा में रिक्त स्थान की विशाल विविधता का केवल एक उदाहरण है जिसे 3-मैनिफोल्ड कहा जाता है। इस प्राचीन उदाहरण में, जब तीन मान अलग-अलग दिशाओं (निर्देशांक) में माप को संदर्भित करते हैं, तो किन्हीं तीन दिशाओं को चुना जा सकता हजब तीन मान अलग-अलग दिशाओं (निर्देशांक) में माप को संदर्भित करते हैं, तो किन्हीं तीन दिशाओं को चुना जा सकता है, परन्तु इन दिशाओं में सभी सदिश एक ही द्वि-विमीय समतल में न हों। इसके अलावा, इस स्थिति में, इन तीन मानों को चौड़ाई, ऊंचाई/गहराई और लंबाई से चुने गए तीन के किसी भी संयोजन द्वारा लेबल किया जा सकता है।

निर्देशांक प्रणाली
गणित में, विश्लेषणात्मक ज्यामिति (जिसे कार्तिय ज्यामिति भी कहा जाता है) तीन निर्देशांक के माध्यम से त्रि-विमीय क्षेत्र में प्रत्तेक बिंदु का वर्णन करता है। तीन निर्देशांक अक्ष दिए गए हैं, प्रत्येक मूल बिंदु पर, अन्य दो के लंबवत, जिस बिंदु पर वे पार करते हैं। वे सामान्यतः $x, y$, तथा $z$ से दर्शाए जाते है। इन अक्षों के सापेक्ष, त्रि-विमीय क्षेत्र में किसी भी बिंदु की स्थिति वास्तविक संख्याओं के क्रमबद्ध त्रिक द्वारा दी जाती है, प्रत्येक अंक दिए गए अक्ष के अनुदिश मापे गए मूल बिंदु से उस बिंदु की दूरी देता है, जो अन्य दो अक्षों द्वारा निर्धारित तल से उस बिंदु की दूरी के बराबर है।

त्रि-विमीय क्षेत्र में एक बिंदु के स्थान का वर्णन करने के अन्य प्रचलित तरीकों में बेलनाकार निर्देशांक और गोलाकार निर्देशांक शामिल हैं, हालांकि इनके अनंत संभावित तरीके है। अधिक जानकारी के लिए, यूक्लिडियन स्थान देखें।

नीचे उपर्युक्त प्रणालियों की छवियां हैं।

रेखाएं एवं समतल
दो अलग-अलग बिंदु हमेशा एक सीधे रेखा निर्धारित करते हैं। तीन अलग-अलग बिंदु या तो संरेख होते हैं या एक अद्वितीय समतल निर्धारित करते हैं। दूसरी ओर, चार अलग-अलग बिंदु या तो संरेख, समतलीय हो सकते हैं, या पूरे स्थान को निर्धारित कर सकते हैं।

दो अलग-अलग रेखाएं या तो प्रतिच्छेद कर सकती हैं, समानांतर हो सकती हैं या तिर्यक हो सकती हैं। दो समानांतर रेखाएं, या दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाएं, एक अद्वितीय समतल में मिलती हैं, इसलिए तिर्यक रेखाएँ वे रेखाएँ होती हैं जो आपस में नहीं मिलती हैं और एक सामान्य तल में नहीं होती हैं।

दो अलग-अलग विमान या तो एक सामान्य रेखा में मिल सकते हैं या समानांतर हैं (अर्थात, मिलते नहीं हैं)। तीन अलग -अलग विमान, जिनमें से कोई जोड़ी समानांतर नहीं है, या तो एक सामान्य रेखा में मिल सकती है, एक अद्वितीय सामान्य बिंदु में मिल सकती है, या कोई बात नहीं है। अंतिम स्थिति में, समतलों के प्रत्येक युग्म के प्रतिच्छेदन की तीन रेखाएँ परस्पर समानांतर होती हैं।

रेखा किसी दिए गए समतलों में स्थित हो सकती है, उस समतल को अद्वितीय बिंदु में काट सकती है, या समतल के समानांतर हो सकती है। अंतिम स्थिति में, समतल में रेखाएं होंगी जो दी गई रेखा के समानांतर हैं।

अधिसमतल पूर्ण क्षेत्र के विमा से कम एक विमा का उप-स्थान है। त्रि-विमीय क्षेत्र के अधिसमतल द्वि-विमीय उप-स्थान हैं, जो कि समतल हैं। कार्तिय निर्देशांक के संदर्भ में, अधिसमतल के बिंदु एकल रैखिक समीकरण को संतुष्ट करते हैं, इसलिए इस त्रि-विमीय क्षेत्र में समतलों को रैखिक समीकरणों द्वारा वर्णित किया जाता है। रेखा को स्वतंत्र रैखिक समीकरणों की एक जोड़ी द्वारा वर्णित किया जा सकता है - प्रत्येक एक ऐसे समतल का प्रतिनिधित्व करता है जिसमें यह रेखा एक प्रतिच्छेदन होते है।

वरिग्नन के प्रमेय में कहा गया है कि ℝ3 में किसी भी चतुर्भुज के मध्य बिंदु एक समांतर चतुर्भुज बनाते हैं, और इसलिए समतलीय होते हैं।

गोले और गेंदें
त्रि-विमीय क्षेत्र में एक गोले (जिसे 2-गोला भी कहा जाता है क्योंकि यह द्वि-विमीय वस्तु है) में केंद्रीय बिंदु $P$ से एक निश्चित दूरी $r$ पर त्रि-विमीय क्षेत्र में सभी बिंदुओं का समुच्चय होता है। गोले से संलग्न ठोस को एक गेंद (या 3-गेंद) कहा जाता है। गेंद का आयतन निम्न द्वारा दिया गया है।


 * $$V = \frac{4}{3}\pi r^{3}$$

एक अन्य प्रकार का गोला 4-गेंद से उत्पन्न होता है, जिसकी त्रि-विमीय सतह 3-गोला है। यूक्लिडियन क्षेत्र $ℝ^{4}$ की उत्पत्ति के समान दूरी पर स्थित है। यदि किसी बिंदु को निर्देशांक $P(x, y, z, w)$ है, फिर $x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2} = 1$ मूल बिंदु पर केंद्रित इकाई 3-गोले पर उन बिंदुओं को दर्शाता है।

पॉलीटोप्स
त्रि विमाओ में, नौ नियमित पॉलीटोप्स हैं। पांच उत्तल प्लेटोनिक ठोस और चार गैर-उत्तल केप्लर-प्वाइंटॉट बहुफलक।

क्रांति की सतह
अक्ष के रूप में समतल में एक निश्चित रेखा के चारों ओर समतल वक्र को घूमने से उत्पन्न सतह को क्रांति की सतह कहा जाता है। समतल वक्र को सतह का जेनट्रिक्स कहा जाता है। सतह का एक खंड, जो सतह को एक समतल के साथ जोड़कर बनाया गया है जो अक्ष के लिए लंबवत (ऑर्थोगोनल) है, एक वृत्त है।

सरल दृष्टांत तब होते हैं जब जेनट्रिक्स एक रेखा होती है। यदि जेनट्रिक्स रेखा अक्ष को काटती है, तो क्रांति की सतह एक समकोणीय शंकु है जिसमें शीर्ष (शीर्ष) प्रतिच्छेदन बिंदु होता है। हालांकि, यदि जेनट्रिक्स और अक्ष समानांतर हैं, तो क्रांति की सतह एक गोलाकार बेलन है।

चतुष्कोणीय सतहें
शंकु परिच्छेद के अनुरूप, उन बिंदुओं का समूह जिनके कार्तीय निर्देशांक दूसरी डिग्री के सामान्य समीकरण को संतुष्ट करते हैं, अर्थात्,
 * $$Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Fxy + Gyz + Hxz + Jx + Ky + Lz + M = 0,$$

जहाँ पर $A, B, C, F, G, H, J, K, L$ तथा $M$ वास्तविक संख्याएं हैं और सभी $A, B, C, F, G$ तथा $H$ शून्य नहीं हैं, चतुष्कोणीय सतह कहा जाता है।

छह प्रकार के गैर-नियुक्त चतुष्कोणीय सतह हैं:
 * 1) दीर्घवृत्ताभ
 * 2) एकपृष्‍ठी अतिपरवलयज
 * 3) द्विपृष्‍ठी अतिपरवलयज
 * 4) दीर्घवृत्तीय शंकु
 * 5) दीर्घवृत्‍तीय परवलयज
 * 6) अतिपरवलयिक परवलयज

पतित चतुर्भुज सतहें रिक्त समुच्चय, बिंदु, रेखा, समतल, समतलो की एक जोड़ी या एक द्विघात बेलनाकार सतह (सतह जिसमें समतल $\pi$ में एक अपतित शंकु खंड होता है और $ℝ^{3}$ की सभी रेखाएं होती हैं। उस शंकु के माध्यम से जो π के लिए सामान्य है)। दीर्घवृत्तीय शंकु को कभी -कभी पतित चतुष्कोणीय सतहों के रूप में माना जाता है।

एकपृष्‍ठी अतिपरवलयज और अतिपरवलयिक परवलयज दोनों रेखांकित सतह हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें सीधी रेखाओं के वर्ग से बनाया जा सकता है। वास्तव में, प्रत्येक में दो सदस्य उत्पन्न करने वाले वर्ग होते हैं, प्रत्येक वर्ग के सदस्य असंयुक्त होते हैं और प्रत्येक सदस्य एक वर्ग दूसरे वर्ग के प्रत्येक सदस्य को केवल अपवाद के साथ प्रतिच्छेद करता है। प्रत्येक वर्ग को एक रेगुलस कहा जाता है।

रैखिक बीजगणित में
त्रि-विमीय क्षेत्र देखने का एक और तरीका रैखिक बीजगणित में पाया जाता है, जहां स्वतंत्रता का विचार महत्वपूर्ण है। क्षेत्र में तीन विमाए होती है क्योंकि एक बॉक्स की लंबाई इसकी चौड़ाई से स्वतंत्र होती है।रैखिक बीजगणित की तकनीकी भाषा में, क्षेत्र त्रि-विमीय होता है क्योंकि क्षेत्र में प्रत्येक बिंदु को तीन स्वतंत्र सदिश के रैखिक संयोजन द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

अदिश गुणनफल, कोण, और लंबाई
एक सदिश एक तीर (एरो) से दिखाया जा सकता है। सदिश का परिमाण इसकी लंबाई है, और इसकी दिशा तीर की दिशा है। $ℝ^{3}$ में सदिश वास्तविक संख्याओं के क्रमबद्ध त्रिक द्वारा दर्शाया जा सकता है। इन संख्याओं को सदिश के घटक कहते हैं।

दो सदिशों $A = [A_{1}, A_{2}, A_{3}]$ और $B = [B_{1}, B_{2}, B_{3}]$ के अदिश गुणनफल को निम्न प्रकार परिभाषित किया गया है।
 * $$\mathbf{A}\cdot \mathbf{B} = A_1B_1 + A_2B_2 + A_3B_3.$$

सदिश का परिमाण $A$ द्वारा $||A||$ निरूपित किया गया है। सदिश $A = [A_{1}, A_{2}, A_{3}]$ का अपने आप के साथ अदिश गुणनफल
 * $$\mathbf A\cdot\mathbf A = \|\mathbf A\|^2 = A_1^2 + A_2^2 + A_3^2,$$

के द्वारा निम्न प्राप्त होता है।
 * $$ \|\mathbf A\| = \sqrt{\mathbf A\cdot\mathbf A} = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + A_3^2},$$

सदिश की यूक्लिडियन लंबाई के लिए सूत्र।

सदिश के घटकों के संदर्भ के बिना, दो अशून्य यूक्लिडियन सदिश के अदिश गुणनफल $A$ तथा $B$ द्वारा दिया गया है।
 * $$\mathbf A\cdot\mathbf B = \|\mathbf A\|\,\|\mathbf B\|\cos\theta,$$

जहाँ पर $θ$, $A$ तथा $B$ के बीच का कोण है।

सदिश गुणनफल
सदिश गुणनफल या अदिश गुणनफल त्रि-विमीय क्षेत्र में दो सदिश पर एक बाइनरी ऑपरेशन है और इसे प्रतीक × द्वारा निरूपित किया जाता है। सदिश गुणनफल a × b सदिश a और b दोनों के लंबवत एक सदिश है और इसलिए समतल के लंबवत है। गणित, भौतिकी और अभियांत्रिकी में इसके कई अनुप्रयोग हैं।

स्थान और गुणनफल एक क्षेत्र पर एक बीजगणित बनाते हैं, जो न तो क्रमचयी और न ही साहचर्य है, लेकिन एक भ्रान्त बीजगणित है जिसमें सदिश गुणनफल भ्रान्त कोष्ठक है।

कोई भी n विमाओ में n-1 सदिशों का गुणनफल ले सकता है ताकि उन सभी के लिए सदिश लम्बवत बनाया जा सके। लेकिन यदि गुणनफल सदिश परिणामों के साथ अतुच्छ बाइनरी गुणनफल तक सीमित है, तो यह केवल तीन और सात विमाओ में उपस्थित है।

ढाल, विचलन और कर्ल
एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में, ढाल निम्न द्वारा प्रकाशित किया जाता है।


 * $$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i} +

\frac{\partial f}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{k}$$ निरंतर अवकलनीय सदिश क्षेत्र F = U i + V j + W k का विचलन अदिश-मान फलन के बराबर होता है:


 * $$\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F}

=\frac{\partial U}{\partial x} +\frac{\partial V}{\partial y} +\frac{\partial W}{\partial z }. $$ कार्तीय निर्देशांक में विस्तारित (गोलाकार और बेलनाकार समन्वय अभ्यावेदन के लिए बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में डेल देखें), कर्ल ∇ × F है, F के लिए [Fx, Fy, Fz] से बना है।


 * $$\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \\

{\frac{\partial}{\partial x}} & {\frac{\partial}{\partial y}} & {\frac{\partial}{\partial z}} \\ \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}$$ जहाँ i, j, और k क्रमशः x-, y- और z-अक्ष के लिए इकाई सदिश हैं। इसका विस्तार इस प्रकार है:
 * $$\left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \mathbf{k}$$

रैखिक समाकल, पृष्ठ समाकल, और आयतन समाकल
कुछ अदिश क्षेत्र के लिए f : U ⊆ Rn → R, खंडशः निष्कोण वर्क c ⊂ u के साथ रैखिक समाकलन के रूप में परिभाषित किया गया है।
 * $$\int\limits_C f\, ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) |\mathbf{r}'(t)|\, dt.$$

जहां r: [a, b] → C  वक्र c का मनमाना द्विध्रुवीय प्राचलीकरण है, जैसे कि r(a) और r(b) के अंतिम बिंदु देते हैं और $$a < b$$।

सदिश क्षेत्र के लिए F : U ⊆ Rn → Rn, खंडशः निष्कोण वर्क c ⊂ u के साथ रैखिक समाकलन (r की दिशा में) के रूप में परिभाषित किया गया है।


 * $$\int\limits_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.$$

जहां · अदिश गुणनफल को निरूपित करता है और r: [a, b] → C वक्र C का एक द्विध्रुवीय प्राचलीकरण है जैसे कि r(a) और r(b), C के अंतिम बिंदु देते हैं।

एक पृष्ठ समाकल सतहों पर एकीकरण के लिए कई समाकल का सामान्यीकरण है। इसे रैखिक समाकल के द्वि समाकल अनुरूप के रूप में हो सकता है। पृष्ठ समाकल के लिए एक स्पष्ट सूत्र प्राप्त करने के लिए, किसी गोले पर अक्षांश और देशांतर की तरह, S पर वक्रीय निर्देशांक की प्रणाली के द्वार हमें किसी सतह S को पैरामिट्रीकृत करने की आवश्यकता है। मान लें कि इस तरह का एक पैरामीटर x(s, t) है, जहां (s, t) समतल में कुछ क्षेत्र T में भिन्न होता है। तब, पृष्ठ समाकल निम्न द्वारा दिया जाता है।



\iint_{S} f \,\mathrm dS = \iint_{T} f(\mathbf{x}(s, t)) \left\|{\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}\right\| \mathrm ds\, \mathrm dt $$ जहां दाईं ओर की छड़ों के बीच का व्यंजक x(s, t) के आंशिक व्युत्पन्नों का सदिश गुणनफल है, और इसे सतह के भाग के रूप में जाना जाता है। S पर सदिश क्षेत्र v है, यह एक ऐसा फलन है जो S में प्रत्येक X को सदिश v(x) एकत्रित करता है, पृष्ठ समाकल को अदिश क्षेत्र के पृष्ठ समाकल की परिभाषा के अनुसार घटको मे परिभाषित किया जा सकता है; परिणाम एक सदिश है।

आयतन समाकल एक 3-विमीय अनुक्षेत्र पर एक समाकल को संदर्भित करता है।

इसका अर्थ किसी फलन के R3 में क्षेत्र D के भीतर त्रि समाकल भी हो सकता है $$f(x,y,z),$$ और सामान्यतः निम्न रूप में लिखा जाता है:


 * $$\iiint\limits_D f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.$$

रैखिक समाकल की मूल प्रमेय
रैखिक समाकल की मूल प्रमेय के अनुसार एक प्रवणता क्षेत्र के माध्यम से रैखिक समाकल का मूल्यांकन वक्र के अंतिम बिंदुओं पर मूल अदिश क्षेत्र का मूल्यांकन करके किया जा सकता है।

माना $$ \varphi : U \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$$, तब

$$ \varphi\left(\mathbf{q}\right)-\varphi\left(\mathbf{p}\right) = \int_{\gamma[\mathbf{p},\,\mathbf{q}]} \nabla\varphi(\mathbf{r})\cdot d\mathbf{r}. $$

स्टोक्स प्रमेय
स्टोक्स प्रमेय यूक्लिडियन त्रि-विमीय क्षेत्र में सतह Σ पर सदिश क्षेत्र f के कर्ल के पृष्ठ समाकल से संबंधित है, जो इसकी सीमा ∂Σ पर सदिश क्षेत्र की रैखिक समाकल से संबंधित है।


 * $$ \iint_{\Sigma} \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{\Sigma} = \oint_{\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r}. $$

विचलन प्रमेय
मान लीजिए $V$, $$\mathbb{R}^n$$का एक उपसमुच्चय है (स्थिति $n = 3, V$ 3 डी क्षेत्र में आयतन को दर्शाता है) जो सघन है और एक टुकड़े की चिकनी सीमा $S$ है ($∂V = S&thinsp;$ के साथ भी इंगित किया गया है)। यदि $F$ निरंतर अवकलनीय सदिश क्षेत्र है जिसे $V$ के में परिभाषित किया गया है, अतः विचलन प्रमेय निम्न है। बाईं ओर आयतन $V$ पर आयतन समाकलन है, दाईं ओर आयतन $V$ की सीमा पर पृष्ठ समाकल है। बंद मैनिफोल्ड $∂V$ सामान्यतः बाहरी-इंगित लंबारूप द्वारा उन्मुख $V$ की सीमा है और $n$ सीमा $∂V$ का बाहरी इंगित इकाई सामान्य क्षेत्र है। ($dS$ को $ndS$ के लिए आशुलिपिक के रूप में प्रयोग किया जा सकता है।)

सांस्थिति में
त्रि-विमीय क्षेत्र में कई सांस्थितिक गुण होते हैं जो इसे अन्य विमा संख्याओं के स्थान से अलग करते हैं। उदाहरण के लिए, डोरी के एक टुकड़े में गाँठ बाँधने के लिए कम से कम तीन विमाओ की आवश्यकता होती है।

विभेदक ज्यामिति में सामान्य त्रि-विमीय क्षेत्र 3-मैनीफोल्ड हैं, जो स्थानीय रूप से $${\mathbb{R}}^3$$ से मिलते-जुलते हैं।

परिमित ज्यामिति में
परिमित ज्यामिति के साथ विमा के कई विचारों का परीक्षण किया जा सकता है। सबसे सरल उदाहरण PG(3,2) है, जिसमें फैनो समतल इसके द्वि-विमीय उप-समूह के रूप में हैं। यह गैलोइस ज्यामिति का एक उदाहरण है, जो परिमित क्षेत्रों का उपयोग करके प्रक्षेपी ज्यामिति का अध्ययन है। इस प्रकार, किसी भी गैलोइस क्षेत्र GF(q) के लिए, तीन विमाओ का एक प्रक्षेपी स्थान PG(3,q) है। उदाहरण के लिए, PG(3,q) में कोई भी तीन तिर्यक रेखाएं ठीक एक रेगुलस में समाहित हैं।

यह भी देखें

 * विमीय विश्लेषण
 * एक बिंदु से एक विमान की दूरी
 * चार-आयामी स्थान
 * त्रि-विमीय ग्राफ
 * घन ज्यामिति
 * द्वि-विमीय स्थान
 * द्वि-विमीय स्थान

संदर्भ

 * Arfken, George B. and Hans J. Weber. Mathematical Methods For Physicists, Academic Press; 6 edition (June 21, 2005). ISBN 978-0-12-059876-2.
 * Arfken, George B. and Hans J. Weber. Mathematical Methods For Physicists, Academic Press; 6 edition (June 21, 2005). ISBN 978-0-12-059876-2.

बाहरी संबंध

 * Elementary Linear Algebra - Chapter 8: Three-dimensional Geometry Keith Matthews from University of Queensland, 1991
 * Elementary Linear Algebra - Chapter 8: Three-dimensional Geometry Keith Matthews from University of Queensland, 1991
 * Elementary Linear Algebra - Chapter 8: Three-dimensional Geometry Keith Matthews from University of Queensland, 1991

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