वैकल्पिक समूह

गणित में, एक वैकल्पिक समूह परिमित समुच्चय के सम क्रमपरिवर्तनों का समूह (गणित) होता है। इसी प्रकार $n$ तत्वों के एक सेट पर वैकल्पिक समूह को घात $n$ के वैकल्पिक समूह या $n$ अक्षरों पर वैकल्पिक समूह कहा जाता है और इसे $An$ या $Alt(n)$ द्वारा दर्शाया जाता है।

मूल गुण
n > 1 के लिए, समूह An अनुक्रमणिका 2 के साथ सममित समूह Sn का कम्यूटेटर उपसमूह है और इसलिए इसमें n!/2 तत्व हैं। यह सिग्नेचर समूह समरूपता होमोमोर्फिज्म sgn : Sn → $\{1, −1\}$ समसामयिक समूह के तहत समझाया गया है।

समूह An एबेलियन समूह है अगर और केवल अगर n ≤ 3 और सरल अगर और केवल अगर n = 3 या n ≥ 5, A5 सबसे छोटा गैर-अबेलियन सरल समूह है, जिसका क्रम 60 है, और सबसे छोटा गैर-हल करने योग्य समूह है।

समूह A4 में क्लेन चार-समूह V एक उचित सामान्य उपसमूह के रूप में है, अर्थात् पहचान और दोहरे स्थानान्तरण {, (12) (34), (13) (24), (14) (23)}, कि A3 ≅ Z3 पर A4 के प्रक्षेपण की गिरी है। हमारे पास सटीक क्रम V → A4 → A3 = Z3 है। गैलोज़ सिद्धांत में, यह नक्शा, या बल्कि संबंधित नक्शा S4 → S3, लैग्रेंज विलायक क्यूबिक को एक क्वार्टिक से जोड़ने के अनुरूप है, जो क्वार्टिक बहुपद को रेडिकल्स द्वारा हल करने की अनुमति देता है, जैसा कि लोदोविको फेरारी द्वारा स्थापित किया गया था।

संयुग्मन वर्ग
जैसा कि सममित समूह में, An के किसी भी दो तत्व जो An के एक तत्व द्वारा संयुग्मित होते हैं, उनका चक्र का आकार समान होना चाहिए, हालाँकि, इसका विलोम आवश्यक रूप से सत्य नहीं है। यदि चक्र आकार में केवल विषम लंबाई के चक्र होते हैं, जिसमें समान लंबाई के दो चक्र नहीं होते हैं, जहां चक्र प्रकार में लंबाई के चक्र शामिल होते हैं, तो इस चक्र आकार के लिए वास्तव में दो संयुग्मन वर्ग (स्कॉट 1987, §11.1, p299) ) होते हैं।

उदाहरण:
 * दो क्रमपरिवर्तन (123) और (132) A3 में संयुग्मित नहीं हैं, हालांकि उनका चक्र आकार समान है, और इसलिए S3 में संयुग्मी हैं।
 * क्रमपरिवर्तन (123)(45678) A8 में इसके व्युत्क्रम (132)(48765) के साथ संयुग्मी नहीं है, हालांकि दो क्रमपरिवर्तनों का चक्र आकार समान है, इसलिए वे S8 में संयुग्मी हैं।

सममित समूह के साथ संबंध
जैसा कि परिमित सममित समूह परिमित तत्वों के साथ एक सेट के सभी क्रमपरिवर्तन के समूह हैं, और वैकल्पिक समूह समान क्रमपरिवर्तन के समूह हैं, वैकल्पिक समूह परिमित सममित समूहों के उपसमूह हैं।

जेनरेटर और संबंध
n ≥ 3 के लिए, An 3-चक्रों द्वारा उत्पन्न होता है, क्योंकि 3-चक्रों को ट्रांसपोजिशन के जोड़े के संयोजन से प्राप्त किया जा सकता है। यह जनरेटिंग सेट अक्सर यह साबित करने के लिए प्रयोग किया जाता है कि एन ≥ 5 के लिए सरल है।

ऑटोमोर्फिज्म समूह
n > 3 के लिए, n = 6 को छोड़कर, An का ऑटोमोर्फिज़्म समूह सममित समूह Sn है, जिसमें आंतरिक ऑटोमोर्फिज़्म समूह An और बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म समूह Z2 है; बाहरी ऑटोमोर्फिज्म विषम क्रमपरिवर्तन द्वारा संयुग्मन से आता है।

n = 3 के लिए ऑटोमोर्फिज्म समूह Z2 है, तुच्छ आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म समूह और बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह Z2 के साथ, n = 1 और 2 के लिए, ऑटोमोर्फिज्म समूह तुच्छ है।

A6 का बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म समूह क्लेन चार-समूह V = Z2 × Z2 है, और S6 के बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म से संबंधित है। A6 में अतिरिक्त बाहरी ऑटोमोर्फिज्म 3-चक्र (जैसे (123)) को आकार 32 (जैसे (123) (456)) के तत्वों के साथ स्वैप करता है।

असाधारण समरूपता
कुछ छोटे वैकल्पिक समूहों और लाई प्रकार के छोटे समूहों, विशेष रूप से प्रक्षेपी विशेष रैखिक समूहों के बीच कुछ असाधारण समरूपताएं हैं। ये:
 * A4 पीएसएल2(3) और चिरल टेट्राहेड्रल समरूपता के समरूपता समूह के लिए समरूप है।
 * A5 पीएसएल2(4), पीएसएल2(5), और चिरल इकोसाहेड्रल समरूपता के समरूपता समूह के लिए समरूप है। (देखें पीएसएल2 (F5) → A5 के एक अप्रत्यक्ष समरूपता के लिए क्रम 60 के सरल समूहों के वर्गीकरण का उपयोग करके, और यहां प्रत्यक्ष प्रमाण के लिए)।
 * A6 पीएसएल2(9) और पीएसपी4(2)' के लिए आइसोमोर्फिक है।
 * A8 पीएसएल4(2) के लिए आइसोमोर्फिक है।

अधिक स्पष्ट रूप से, A3 चक्रीय समूह Z3 के लिए आइसोमोर्फिक है, और A0, A1, और A2 तुच्छ समूह के लिए आइसोमोर्फिक हैं (जो किसी भी q के लिए एसएल1(q) = पीएसएल11(q) भी है)।

उदाहरण A5 3-स्पेस रोटेशन के उपसमूह के रूप में
A5 3-स्पेस में एक द्वादशफ़लक के आइसोमेट्री का समूह है, इसलिए एक प्रतिनिधित्व A5 → SO3(R) है।

इस तस्वीर में पॉलीहेड्रा के शिखर समूह के तत्वों का प्रतिनिधित्व करते हैं, जिसमें गोले का केंद्र पहचान तत्व का प्रतिनिधित्व करता है। प्रत्येक शीर्ष केंद्र से उस शीर्ष की ओर इंगित करने वाली धुरी के बारे में एक घूर्णन का प्रतिनिधित्व करता है, रेडियंस में मूल से दूरी के बराबर कोण द्वारा, समान बहुफलक में शीर्ष समान संयुग्मी वर्ग में होते हैं। चूँकि A5 के लिए संयुग्मन वर्ग समीकरण 1 + 12 + 12 + 15 + 20 = 60 है, इसलिए हमें चार भिन्न (गैर-तुच्छ) पॉलीहेड्रा प्राप्त होते हैं।

(2,2) चक्रों के संयुग्मन वर्ग के अपवाद के साथ, प्रत्येक पॉलीहेड्रॉन के कोने उसके संयुग्मी वर्ग के तत्वों के साथ विशेषण पत्राचार में हैं, जो बाहरी सतह पर एक इकोसिडोडेकेड्रोन द्वारा दर्शाया गया है, इसके एंटीपोडल कोने के साथ पहचान की गई है। एक-दूसरे से इस अतिरेक का कारण यह है कि संबंधित घुमाव π रेडियन द्वारा होते हैं, और इसलिए दो दिशाओं में लंबाई π के वेक्टर द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है। इस प्रकार (2,2)-चक्रों के वर्ग में 15 तत्व होते हैं, जबकि आईकोसिडोडेकाहेड्रॉन में 30 कोने होते हैं।

A5 में बारह 5-चक्रों के दो संयुग्मन वर्गों को क्रमशः 2π/5 और 4π/5 त्रिज्या के दो आईकोसाहेड्रा द्वारा दर्शाया गया है। आउट (A5) ≃ Z2 में गैर-तुच्छ बाहरी ऑटोमोर्फिज्म इन दो वर्गों और संबंधित आईकोसाहेड्रा को इंटरचेंज करता है।

उदाहरण: 15 पहेली
यह साबित किया जा सकता है कि 15 पहेली, स्लाइडिंग पहेली का एक प्रसिद्ध उदाहरण, वैकल्पिक समूह A15 द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है, क्योंकि 15 पहेली के संयोजन 3-चक्रों द्वारा उत्पन्न किए जा सकते हैं। वास्तव में, समान आकार की वर्गाकार टाइलों वाली कोई भी 2k − 1 फिसलने वाली पहेली को A2k−1 द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है।

उपसमूह
A4 सबसे छोटा समूह है जो यह प्रदर्शित करता है कि लैग्रेंज प्रमेय का विलोम सामान्य रूप से सत्य नहीं है: एक परिमित समूह G और |G| का एक भाजक d दिया गया है, जरूरी नहीं कि क्रम d के साथ G का एक उपसमूह मौजूद हो: समूह G = A4, क्रम 12 का, क्रम 6 का कोई उपसमूह नहीं है। किसी भी विशिष्ट गैर-तुच्छ तत्व के साथ तीन तत्वों का एक उपसमूह (तीन वस्तुओं के चक्रीय रोटेशन द्वारा उत्पन्न) पूरे समूह को उत्पन्न करता है।

सभी n > 4 के लिए, An में कोई गैर-तुच्छ (यानी, उचित) सामान्य उपसमूह नहीं हैं। इस प्रकार, An सभी n > 4 के लिए एक साधारण समूह है। A5 सबसे छोटा अघुलनशील समूह है।

समूह समरूपता
वैकल्पिक समूहों का समूह समरूपता स्थिर समरूपता सिद्धांत के रूप में स्थिरीकरण प्रदर्शित करता है: पर्याप्त रूप से बड़े एन के लिए, यह स्थिर है। हालाँकि, कुछ निम्न-आयामी असाधारण होमोलॉजी हैं। ध्यान दें कि सममित समूह की होमोलॉजी समान लेकिन कम-आयामी अपवादों (अतिरिक्त होमोलॉजी तत्वों) के बिना स्थिरीकरण प्रदर्शित करती है।

H1: एबेलियनाइजेशन
पहला होमोलॉजी समूह एबेलियनाइजेशन के साथ मेल खाता है, और (चूंकि An परिपूर्ण है, उद्धृत अपवादों को छोड़कर) इस प्रकार है:
 * H1(An, Z) = Z1 n = 0, 1, 2 के लिए;
 * H1(A3, Z) = A3ab = A3 = Z3;
 * H1(A4, Z) = A4ab = Z3;
 * H1(An, Z) = Z1 n ≥ 5 के लिए।

इसे आसानी से सीधे देखा जा सकता है, इस प्रकार है। An 3-चक्रों द्वारा उत्पन्न होता है - इसलिए केवल गैर-तुच्छ एबेलियनाइजेशन मैप्स An → Z3 हैं, क्योंकि ऑर्डर-3 तत्वों को ऑर्डर-3 तत्वों के लिए मैप करना चाहिए - और n ≥ 5 के लिए सभी 3-चक्र संयुग्मित हैं, इसलिए उन्हें मैप करना होगा एबेलियनाइजेशन में एक ही तत्व के लिए, चूंकि एबेलियन समूहों में संयुग्मन तुच्छ है। इस प्रकार एक 3-चक्र की तरह (123) को उसी तत्व को इसके व्युत्क्रम (321) के रूप में मैप करना चाहिए, लेकिन इस प्रकार इसे पहचान के लिए मैप करना चाहिए, क्योंकि इसमें 2 और 3 को विभाजित करने का क्रम होना चाहिए, इसलिए एबेलियनाइजेशन तुच्छ है।

n <3 के लिए, An तुच्छ है, और इस प्रकार तुच्छ अपभ्रंश है। A3 और A4 के लिए एबेलियनाइजेशन की सीधे गणना की जा सकती है, यह देखते हुए कि 3-चक्र दो संयुग्मन वर्ग बनाते हैं (सभी संयुग्मित होने के बजाय) और गैर-तुच्छ मानचित्र A3 ↠ Z3 (वास्तव में एक समरूपता) और A4 ↠ Z3 हैं।

H2: शूर गुणक
वैकल्पिक समूह An के शूर गुणक (उस मामले में जहां एन कम से कम 5 है) ऑर्डर 2 के चक्रीय समूह हैं, सिवाय इसके कि जहां एन या तो 6 या 7 है, उस मामले में एक ट्रिपल कवर भी है। इन मामलों में, शूर गुणक क्रम 6 का (चक्रीय समूह) है। इनकी गणना सबसे पहले (शूर 1911) में की गई थी।


 * H2(An, Z) = Z1 n = 1, 2, 3 के लिए;
 * H2(An, Z) = Z2 n = 4, 5 के लिए;
 * H2(An, Z) = Z6 n = 6, 7 के लिए;
 * H2(An, Z) = Z2 n ≥ 8 के लिए।