हेगन-पॉइज़ुइल समीकरण

गैर-आदर्श द्रव गतिकी में, हेगन-पॉइज़ुइल समीकरण, जिसे हेगन-पोइज़ुइल नियम, पॉइज़ुइल नियम या पॉइज़ुइल समीकरण के रूप में भी जाना जाता है, एक भौतिक नियम है जो निरंतर क्रॉस सेक्शन के एक लंबे सिलिंडर पाइप के माध्यम से प्रवाहित स्तरीय प्रवाह में एक असंपीड्य और न्यूटोनियन द्रव पदार्थ में दाब ड्रॉप देता है। इसे फेफड़ों के एल्वियोली में वायु प्रवाह, या पीने के स्ट्रा के माध्यम से या हाइपोडर्मिक नीडल के माध्यम से प्रवाह पर सफलतापूर्वक उपयोजित किया जा सकता है। इसे प्रयोगात्मक रूप से 1838 में जीन लियोनार्ड मैरी पॉइज़ुइल और गोथिल्फ़ हेनरिक लुडविग हेगन द्वारा स्वतंत्र रूप से प्राप्त किया गया था, और 1840-41 और 1846 में पॉइज़ुइल द्वारा प्रकाशित किया गया था। पॉइज़ुइल नियम का सैद्धांतिक औचित्य 1845 में जॉर्ज स्टोक्स द्वारा दिया गया था।

समीकरण की धारणा यह है कि द्रव असंपीड्य और न्यूटोनियन है; प्रवाह निरंतर वृत्ताकार क्रॉस-सेक्शन के एक पाइप के माध्यम से लामिना होता है जो इसके व्यास से मूल रूप से लंबा होता है; और पाइप में द्रव का कोई त्वरण नहीं है। एक सीमा से ऊपर के वेग और पाइप व्यास के लिए, वास्तविक द्रव प्रवाह लैमिनर नहीं सामन्यतःप्रक्षुब्ध है, जिससे हेगन-पॉइज़ुइल समीकरण द्वारा गणना की तुलना में बृहत्तर प्रभाव में गिरावट है।

पॉइज़ुइल का समीकरण द्रव की श्यानता के कारण प्रभाव में गिरावट का वर्णन करता है; तरल पदार्थ में अन्य प्रकार की दाब ह्रास अभी भी हो सकती हैं (यहां एक प्रदर्शन देखें)। उदाहरण के लिए, एक श्यान द्रव पदार्थ को गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध ऊपर ले जाने के लिए आवश्यक दाब में पॉइज़ुइल के नियम के अनुसार आवश्यक दाब और बर्नौली के समीकरण में आवश्यक दाब दोनों सम्मिलित होंगे, जैसे कि प्रवाह के किसी भी बिंदु पर शून्य से अधिक दाब होता (अन्यथा कोई प्रवाह नहीं होगा) है।

एक अन्य उदाहरण यह है कि जब रक्त एक संकीर्ण संकुचन में प्रवाहित होता है, तो इसकी गति बड़े व्यास की तुलना में अधिक होगी (आयतनमितीय प्रवाह दर की निरंतरता समीकरण के कारण), और इसका दाब बड़े व्यास (बर्नौली के समीकरण के कारण) से कम होता है । हालाँकि, रक्त की श्यानता प्रवाह की दिशा में अतिरिक्त दाब में गिरावट का कारण बनेगी, जो यात्रा की गई लंबाई के समानुपाती होती है (पॉइज़ुइले के नियम के अनुसार)। दोनों प्रभाव वास्तविक दाब ड्रॉप में योगदान करते हैं।

समीकरण
मानक द्रव-गतिकी संकेतन में:
 * $$ \Delta p = \frac{8 \mu L Q}{\pi R^4} = \frac{8 \pi \mu L Q}{A^2}, $$

जहाँ
 * $Δp$ दोनों सिरों के मध्य दाब का अंतर है,
 * $L$ पाइप की लंबाई है,
 * $μ$ गतिक श्यानता है,
 * $Q$ आयतनमितीय प्रवाह दर है,
 * $R$ पाइप त्रिज्या है,
 * $A$ पाइप का क्रॉस सेक्शन (ज्यामिति) क्षेत्र है।

समीकरण पाइप प्रवेश के सीमित नहीं है।

समीकरण कम श्यानता, चौड़े और/या छोटे पाइप की सीमा में विफल रहता है। कम श्यानता या चौड़े पाइप के परिणामस्वरूप प्रक्षुब्ध प्रवाह हो सकता है, जिससे अधिक सम्मिश्र मॉडल, जैसे कि डार्सी-वेस्बैक समीकरण का उपयोग करना आवश्यक हो जाता है। हेगन-पॉइज़ुइल नियम के वैध होने के लिए पाइप की लंबाई और त्रिज्या का अनुपात रेनॉल्ड्स संख्या के 1/48 से अधिक होता है। यदि पाइप बहुत छोटा है, तो हेगन-पॉइज़ुइल समीकरण के परिणामस्वरूप अभौतिक रूप से उच्च प्रवाह दर हो सकती है; प्रवाह कम प्रतिबंधात्मक परिस्थितियों में, बर्नौली के सिद्धांत द्वारा सीमित है


 * $$\begin{align}

\Delta p = \frac{1}{2} \rho \overline{v}_\text{max}^2 &= \frac{1}{2} \rho \left(\frac{Q_\text{max}}{\pi R^2}\right)^2 \\ \Rightarrow \quad Q_\max{} &= \pi R^2 \sqrt\frac{2 \Delta p}{\rho}, \end{align}$$ क्योंकि असंपीड्य प्रवाह में ऋणात्मक (पूर्ण) दाब (गेज दाब के साथ अस्पष्ट न होना) होना असंभव है।

डार्सी-वेस्बैक समीकरण से संबंध
सामान्यतः, हेगन-पॉइज़ुइल प्रवाह का तात्पर्य न केवल दाब ड्रॉप के संबंध से है, परंतु लामिना प्रवाह प्रोफाइल के लिए पूर्ण समाधान से भी है, जो परवलयिक है। हालाँकि, दाब में गिरावट के परिणाम को प्रक्षुब्ध प्रवाह के प्रकरण में एक प्रभावी प्रक्षुब्ध श्यानता का अनुमान लगाकर प्रक्षुब्ध प्रवाह तक बढ़ाया जा सकता है, यद्यपि प्रक्षुब्ध प्रवाह में प्रवाह प्रोफाइल वास्तव में परवलयिक नहीं है। दोनों विषय में, लैमिनर या प्रक्षुब्ध, दाब ड्रॉप दीवार पर तनाव से संबंधित है, जो तथाकथित घर्षण कारक को निर्धारित करता है। रेनॉल्ड्स संख्या के संदर्भ में घर्षण कारक के संबंध को देखते हुए, हाइड्रॉलिक्स के क्षेत्र में डार्सी-वेस्बैक समीकरण द्वारा दीवार के तनाव को परिघटनात्मक निर्धारित किया जा सकता है। लामिना प्रवाह के प्रकरण में, एक वृत्ताकार क्रॉस सेक्शन के लिए:


 * $$ \Lambda = \frac{64}{\mathrm{Re}}, \quad \mathrm{Re} = \frac{\rho v d}{\mu}, $$

जहाँ $Re$ रेनॉल्ड्स संख्या है, $ρ$ द्रव घनत्व है, और $v$ माध्य प्रवाह वेग है, जो लामिना प्रवाह के प्रकरण में अधिकतम प्रवाह वेग का अर्ध है। माध्य प्रवाह वेग के संदर्भ में रेनॉल्ड्स संख्या को परिभाषित करना अधिक उपयोगी सिद्ध होता है क्योंकि यह मात्रा प्रक्षुब्ध प्रवाह के प्रकरण में भी अच्छी तरह से परिभाषित है, जबकि अधिकतम प्रवाह वेग नहीं हो सकता है, या किसी भी प्रकरण में, इसका अनुमान लगाना कठिन हो सकता है। इस रूप में नियम सिलिंडर ट्यूब में बहुत कम वेग पर लैमिनर प्रवाह में डार्सी घर्षण गुणक, ऊर्जा (सिर) हानि गुणक, घर्षण हानि गुणक या डार्सी (घर्षण) गुणक $Λ$ का अनुमान लगाता है। नियम के थोड़े अलग रूप की सैद्धांतिक व्युत्पत्ति 1856 में विडमैन और 1858 में न्यूमैन और ई. हेगेनबैक द्वारा की गई थी (1859, 1860)। हेगेनबैक पहले व्यक्ति थे जिन्होंने इस नियम को पॉइज़ुइल का नियम कहा था।

यह नियम शरीरक्रिया विज्ञान के दोनों क्षेत्रों, हेमोरियोलॉजी और हेमोडायनामिक्स में भी बहुत महत्वपूर्ण है।

हेगेनबैक के काम के आधार पर, पॉइज़ुइले के नियम को बाद में 1891 में एल. आर. विल्बरफोर्स द्वारा प्रक्षुब्ध प्रवाह तक विस्तारित किया गया है।

व्युत्पत्ति
हेगन-पॉइज़ुइल समीकरण को नेवियर-स्टोक्स समीकरण से प्राप्त किया जा सकता है। एकसमान (वृत्ताकार) क्रॉस-सेक्शन के पाइप के माध्यम से लैमिनर प्रवाह को हेगन-पॉइज़ुइल प्रवाह के रूप में जाना जाता है। हेगन-पॉइज़ुइल प्रवाह को नियंत्रित करने वाले समीकरणों को निम्नलिखित मान्यताओं का समुच्चय बनाकर 3 डी बेलनाकार निर्देशांक $(r,θ,x)$ में नेवियर-स्टोक्स गति समीकरणों से सीधे प्राप्त किया जा सकता है:


 * 1) प्रवाह स्थिर ( $∂...⁄∂t = 0$ ) है।
 * 2) द्रव वेग के त्रिज्य और अज़ीमुथल घटक शून्य ( $u_{r} = u_{θ} = 0$ ) है।
 * 3) प्रवाह अक्षसममितीय ( $∂...⁄∂θ = 0$ ) है।
 * 4) प्रवाह पूर्णतः विकसित ( $∂u_{x}⁄∂x = 0$ ) है। हालाँकि, यहाँ इसे संहति संरक्षण और उपरोक्त धारणाओं के माध्यम से सिद्ध किया जा सकता है।

तब संवेग समीकरणों में कोणीय समीकरण और निरंतरता समीकरण समान रूप से संतुष्ट होते हैं। रेडियल गति समीकरण $∂p⁄∂r = 0$ तक कम हो जाता है, अर्थात, दाब $p$ केवल अक्षीय निर्देशांक $x$ का एक फलन है। संक्षिप्तता के लिए, $$u_x$$ के बदले $u$ का उपयोग होता है। अक्षीय संवेग समीकरण कम हो जाता है


 * $$ \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u}{\partial r}\right)= \frac{1}{\mu} \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}$$

जहाँ $μ$ द्रव की गतिशील श्यानता है। उपरोक्त समीकरण में, वामहस्त का पद केवल $r$ का एक फलन है और दक्षिणावर्ती का पद केवल $x$ का एक फलन है, जिसका अर्थ है कि दोनों पद समान स्थिरांक होते है। इस स्थिरांक का मूल्यांकन करना स्पष्ट है। यदि हम पाइप की लंबाई $L$ लेते हैं और पाइप के दोनों सिरों के मध्य दाब अंतर को $Δp$ (उच्च दाब शून्य से कम दाब) से दर्शाते हैं, तो केवल स्थिरांक है
 * $$-\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} = \frac{\Delta p}{L} = G$$

परिभाषित इस प्रकार है कि G धनात्मक है। समाधान
 * $$ u = -\frac{Gr^2}{4\mu} + c_1 \ln r + c_2 $$

तब से $u$ को $r = 0$, $c_{1} = 0$ पर परिमित होना आवश्यक है। पाइप की दीवार पर असर्पण बाउंड्री की स्थिति के लिए आवश्यक है कि $r = R$ (पाइप की त्रिज्या) पर $u = 0$, जिससे $c_{2} = GR^{2}⁄4μ$ प्राप्त होता है। इस प्रकार अंततः हमारे पास निम्नलिखित परवलयिक वेग प्रोफाइल है:


 * $$ u = \frac{G}{4\mu} \left(R^2 - r^2\right). $$

अधिकतम वेग पाइप केंद्र रेखा ($r = 0$), $u_{max} = GR^{2}⁄4μ$ पर होता है। औसत वेग पाइप क्रॉस सेक्शन को एकीकृत करके औसत वेग प्राप्त किया जा सकता है,
 * $$ {u}_\mathrm{avg}=\frac{1}{\pi R^2} \int_0^R 2\pi ru \mathrm{d}r = \tfrac{1}{2} {u}_\mathrm{max}. $$

प्रयोगों में आसानी से मापने योग्य मात्रा आयतनमितीय प्रवाह दर $Q = πR^{2} u_{avg}$ है। इसकी पुनर्व्यवस्था हेगन-पॉइज़ुइल समीकरण होती है
 * $$ \Delta p = \frac{8\mu Q L}{\pi R^4}. $$

हालांकि सीधे नेवियर-स्टोक्स समीकरणों का उपयोग करने की तुलना में अधिक लंबा, हेगन-पॉइज़ुइल समीकरण प्राप्त करने का एक वैकल्पिक विधि इस प्रकार है।

एक पाइप के माध्यम से द्रव प्रवाह
मान लें कि तरल लामिनायर प्रवाह प्रदर्शित करता है। एक वृत्त पाइप में लैमिनर प्रवाह निर्धारित करता है कि तरल की वृतीय स्तर (लैमिना) का एक समूह होता है, जिनमें से प्रत्येक का वेग केवल ट्यूब के केंद्र से उनकी रेडियल दूरी से निर्धारित होता है। यह भी मान लें कि केंद्र सबसे तेजी से घूम रहा है जबकि ट्यूब की दीवारों को छूने वाला तरल स्थिर है (असर्पण प्रतिबंध के कारण)।

तरल की गति का पता लगाने के लिए, प्रत्येक लामिना पर कार्य करने वाले सभी बल ज्ञात होने चाहिए:
 * 1) ट्यूब के माध्यम से तरल को धकेलने वाला दाब बल क्षेत्र द्वारा गुणा किए गए दाब में परिवर्तन है: $F = −A Δp$. यह बल द्रव की गति की दिशा में होता है। ऋणात्मक चिह्न पारंपरिक प्रकार से आता है जिसे हम परिभाषित करते हैं$Δp = p_{end} − p_{top} < 0$।
 * 2) श्यानता प्रभाव तेज लैमिना से उसी समय ट्यूब के केंद्र के निकट आता है।
 * 3) श्यानता प्रभाव धीमी लैमिना से उसी समय ट्यूब की दीवारों के निकट आता है।

श्यानता
जब तरल की दो स्तर एक-दूसरे के संपर्क में अलग-अलग गति से चलते हैं, तो उनके मध्य एक अपरूपण बल होता है। यह बल संपर्क $x$ के क्षेत्र, प्रवाह$Δv_{x}⁄Δy$ की दिशा के लंबवत वेग प्रवणता और एक समानुपातता स्थिरांक (श्यानता) के समानुपाती होता है और इसके द्वारा दिया जाता है।
 * $$ F_\text{viscosity, top} = - \mu A \frac{\Delta v_x}{\Delta y}.$$

नकारात्मक संकेत वहां इसलिए है क्योंकि हम तेज गति से चलने वाले तरल (आकृति में ऊपर) से चिंतित हैं, जिसे धीमे तरल (आकृति में नीचे) द्वारा धीमा किया जा रहा है। न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार, धीमे तरल पर लगने वाला बल तेज़ तरल पर लगने वाले बल के समान और विपरीत (कोई ऋणात्मक संकेत नहीं) होता है। यह समीकरण मानता है कि संपर्क का क्षेत्र इतना बड़ा है कि हम किनारों से किसी भी प्रभाव को उपेक्षित कर सकते हैं और तरल पदार्थ न्यूटोनियन तरल पदार्थ के रूप में व्यवहार करता हैं।

तेज़ लैमिना
मान लें कि हम त्रिज्या r के साथ लैमिना पर बल का पता लगा रहे है। $A$उपरोक्त समीकरण से, हमें संपर्क का क्षेत्र और वेग प्रवणता जानने की आवश्यकता है। लैमिना को त्रिज्या r $$, मोटाई $$, और लंबाई $Δx$की एक रिंग के रूप में सोचें। लैमिना और तेज़ लैमिना के मध्य संपर्क का क्षेत्र केवल सिलेंडर की सतह क्षेत्र है: $A = 2πr Δx$। हम अभी तक ट्यूब के अंतर्गत तरल के वेग का यथार्थ नहीं जानते हैं, लेकिन हम जानते हैं (उपरोक्त हमारी धारणा से) कि यह त्रिज्या पर निर्भर है। इसलिए, वेग प्रवणता इन दो लैमिना के प्रतिच्छेद त्रिज्या में परिवर्तन के संबंध में वेग में परिवर्तन है। प्रतिच्छेद $dr$की त्रिज्या पर है। इसलिए, यह मानते हुए कि यह बल तरल की गति के संबंध में धनात्मक होगा (लेकिन वेग का व्युत्पन्न ऋणात्मक है), समीकरण का अंतिम रूप बन जाता है


 * $$ F_\text{viscosity, fast} = - 2 \pi r \mu \, \Delta x \, \left. \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} \right|_r $$

जहां व्युत्पन्न के बाद ऊर्ध्वाधर स्तंभ और पादांकित$r$इंगित करता है कि इसे $r$की त्रिज्या पर लिया जाना चाहिए।

धीमी लैमिना
इसके बाद आइए धीमी लैमिना से खींचने का बल ज्ञात करें। हमें उन्हीं मानों की गणना करने की आवश्यकता है जो हमने तेज़ लैमिना से बल के लिए किए थे। इस स्थिति में, संपर्क का क्षेत्र$"r"$$r$ पर है। साथ ही, हमें यह भी याद रखना होगा कि यह बल तरल पदार्थ की गति की दिशा का प्रतिरोध करता है और इसलिए ऋणात्मक होता है (और वेग का व्युत्पन्न ऋणात्मक है)।


 * $$ F_\text{viscosity, slow} = 2 \pi (r + \mathrm{d}r)\mu \, \Delta x \left. \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} \right|_{r+\mathrm{d}r} $$

सब एक साथ रखना
एक ट्यूब के माध्यम से लैमिनर स्तर के प्रवाह का समाधान प्राप्त करने के लिए, हमें एक अंतिम धारणा बनाने की आवश्यकता है। पाइप में तरल का कोई त्वरण नहीं है, और न्यूटन के पहले नियम के अनुसार, कोई अंतिम बल नहीं है। यदि कोई अंतिम बल नहीं है तो हम सभी बलों को एक साथ जोड़कर शून्य प्राप्त कर सकते हैं


 * $$ 0 = F_\text{pressure} + F_\text{viscosity, fast} + F_\text{viscosity, slow} $$

या


 * $$ 0 = - \Delta p 2 \pi r\,\mathrm{d}r - 2 \pi r \mu \,\Delta x \left. \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} \right|_r + 2 \pi (r + \mathrm{d}r) \mu \,\Delta x \,\left. \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} \right \vert_{r+\mathrm{d}r}. $$

सबसे पहले, सब कुछ एक ही बिंदु पर हो रहा है यह जानने के लिए, वेग प्रवणता के टेलर श्रृंखला विस्तार के पहले दो शब्दों का उपयोग करें:


 * $$ \left. \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} \right|_{r+\mathrm{d}r} = \left. \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} \right|_r + \left. \frac{\mathrm{d}^2 v}{\mathrm{d}r^2} \right|_r \,\mathrm{d}r .$$

यह अभिव्यक्ति सभी लैमिनाई के लिए मान्य है। समान पदों को समूहीकृत करना और ऊर्ध्वाधर स्तंभ को हटाना क्योंकि सभी व्युत्पन्नों को त्रिज्या r पर माना जाता है $के बदले r+ dr$,


 * $$ 0 = - \Delta p 2 \pi r \, \mathrm{d}r + 2 \pi \mu \, \mathrm{d}r \, \Delta x \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} + 2 \pi r \mu \, \mathrm{d}r \, \Delta x \frac{\mathrm{d}^2 v}{\mathrm{d}r^2} + 2 \pi \mu (\mathrm{d}r)^2 \, \Delta x \frac{\mathrm{d}^2 v}{\mathrm{d}r^2}. $$

अंत में,$$ में द्विघात शब्द को हटाते हुए, इस अभिव्यक्ति को एक अवकल समीकरण के रूप में रखें।


 * $$ \frac{1}{\mu} \frac{\Delta p}{\Delta x} = \frac{\mathrm{d}^2 v}{\mathrm{d}r^2} + \frac{1}{r} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} $$

उपरोक्त समीकरण वही है जो नेवियर-स्टोक्स समीकरण से प्राप्त किया गया है और यहां से व्युत्पत्ति पहले की तरह है।

पाइप में पॉइज़ुइल प्रवाह का स्टार्टअप
जब एक लंबे पाइप के दो सिरों के मध्य एक निरंतर दाब प्रवणता $G = −dp⁄dx$ को लगाया जाता है, तो प्रवाह उसी समय पॉइज़ुइल प्रोफाइल प्राप्त नहीं करता है, अपेक्षाकृत यह समय के साथ विकसित होता है और स्थिर अवस्था में पॉइज़ुइल प्रोफाइल तक पहुंचता है। नेवियर-स्टोक्स समीकरण कम हो जाता हैं


 * $$\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{G}{\rho} + \nu \left(\frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r}\right)$$

प्रारंभिक और परिसीमा प्रतिबंध के साथ,


 * $$u(r,0) = 0, \quad u(R,t) = 0.$$

वेग वितरण द्वारा दिया गया है।


 * $$u(r,t) = \frac{G}{4\mu}\left(R^2-r^2\right) - \frac{2GR^2}{\mu} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\lambda_n^3} \frac{J_0(\lambda_n r/R)}{J_1(\lambda_n)} e^{-\lambda_n^2 \nu t/R^2}, \quad J_0\left(\lambda_n\right)=0$$

जहाँ $J_{0}(λ_{n}r⁄R)$ पहले प्रकार के अनुक्रम शून्य का बेसेल फलन है और $dr$ इस फलन का धनात्मक मूल हैं और $J_{1}(λ_{n})$ पहले प्रकार के अनुक्रम का बेसेल फलन है। जैसा $t → ∞$, पॉइज़ुइल समाधान पुनर्प्राप्त किया गया है।

वलयाकार अनुभाग में पॉइज़ुइल प्रवाह
यदि $R_{1}$ आंतरिक सिलेंडर त्रिज्या है और $R_{2}$ बाहरी सिलेंडर त्रिज्या है, तो दोनों सिरों के मध्य निरंतर उपयोजित दाब प्रवणता $G = −dp⁄dx$ है, वलयाकार पाइप के माध्यम से वेग वितरण और आयतन प्रवाह हैं



\begin{align} u(r) &= \frac{G}{4\mu}\left(R_1^2-r^2\right) + \frac{G}{4\mu}\left(R_2^2-R_1^2\right) \frac{\ln r/R_1}{\ln R_2/R_1},\\[6pt] Q &= \frac{G \pi}{8\mu}\left[R_2^4-R_1^4- \frac{\left(R_2^2-R_1^2\right)^2}{\ln R_2/R_1}\right]. \end{align} $$ जब $R_{2} = R$, $R_{1} = 0$, मूल समस्या पुनर्प्राप्त हो जाती है।

एक दोलक दाब प्रवणता के साथ एक पाइप में पॉइज़ुइल प्रवाह
एक दोलक दाब प्रवणता के साथ पाइपों के माध्यम से प्रवाह बड़ी धमनियों के माध्यम से रक्त प्रवाह में अनुप्रयोग है।   दाब प्रवणता द्वारा लगाया गया है


 * $$\frac{\partial p}{\partial x} = -G -\alpha \cos\omega t-\beta\sin\omega t$$

जहाँ $λ_{n}$, $G$ और $α$ स्थिरांक हैं और $β$ आवृत्ति है। वेग क्षेत्र द्वारा दिया गया है


 * $$u(r,t)=\frac{G}{4\mu}\left(R^2-r^2\right) + [\alpha F_2 + \beta (F_1-1)]\frac{\cos\omega t}{\rho \omega} + [\beta F_2 - \alpha (F_1-1)]\frac{\sin\omega t}{\rho \omega} $$

जहाँ


 * $$\begin{align}

F_1(kr) &= \frac{\mathrm{ber}(kr)\mathrm{ber}(kR) + \mathrm{bei}(kr) \mathrm{bei}(kR)}{\mathrm{ber}^2(kR) + \mathrm{bei}^2(kR)}, \\[6pt] F_2(kr) &= \frac{\mathrm{ber}(kr)\mathrm{bei}(kR) - \mathrm{bei}(kr) \mathrm{ber}(kR)}{\mathrm{ber}^2(kR) + \mathrm{bei}^2(kR)}, \end{align}$$ जहाँ $ber$ और $bei$ केल्विन फलन और $k^{2} = ρω⁄μ$ है।

समतल पॉइज़ुइल प्रवाह
समतल पॉइज़ुइल प्रवाह दो अनंततः लंबी समानांतर प्लेटों के मध्य निर्मित प्रवाह है, जो एक निरंतर दाब प्रवणता $G = −dp⁄dx$ के साथ $ω$ दूरी से अलग होकर प्रवाह की दिशा में उपयोजित होते है। अनंत लंबाई के कारण प्रवाह मूलतः एकदिशात्मक है। नेवियर-स्टोक्स समीकरण कम हो जाते हैं


 * $$\frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d}y^2} = - \frac{G}{\mu}$$

दोनों दीवारों पर असर्पण प्रतिबंध के साथ


 * $$u(0)=0, \quad u(h)=0$$

इसलिए, प्रति इकाई लंबाई में वेग वितरण और आयतन प्रवाह दर होती है।


 * $$u(y) = \frac{G}{2\mu} y(h-y), \quad Q = \frac{Gh^3}{12\mu}.$$

गैर-वृत्ताकार क्रॉस-सेक्शन के माध्यम से पॉइज़ुइल प्रवाह
जोसेफ बाउसिनस्क ने 1868 में आयताकार चैनल और समबाहु त्रिकोणीय क्रॉस-सेक्शन के ट्यूबों और दीर्घवृत्तीय क्रॉस-सेक्शन के लिए वेग प्रोफाइल और आयतनी प्रवाह दर प्राप्त है। जोसेफ प्राउडमैन ने 1914 में समद्विबाहु त्रिभुजों के लिए इसे व्युत्पन्न किया है। मान लीजिए $G = −dp⁄dx$ गति के समानांतर दिशा में कार्य करने वाली निरंतर दाब प्रवणता है।

ऊँचाई $0 ≤ y ≤ h$ और चौड़ाई $0 ≤ z ≤ l$ के एक आयताकार चैनल में वेग और आयतन प्रवाह दर हैं


 * $$\begin{align}

u(y,z) &= \frac{G}{2\mu} y(h-y) - \frac{4Gh^2}{\mu \pi^3} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^3} \frac{\sinh(\beta_n z) + \sinh [\beta_n (l-z)]}{\sinh (\beta_n l)} \sin (\beta_n y), \quad \beta_n = \frac{(2n-1)\pi}{h},\\[6pt] Q &= \frac{Gh^3l}{12\mu} - \frac{16 G h^4}{\pi^5 \mu} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^5} \frac{\cosh(\beta_n l) - 1}{\sinh(\beta_n l)}. \end{align}$$ भुजा की लंबाई $2h⁄√3$ के समबाहु त्रिकोणीय क्रॉस-सेक्शन के साथ ट्यूब का वेग और आयतनी प्रवाह दर हैं


 * $$\begin{align}

u(y,z) &= - \frac{G}{4\mu h} (y-h)\left(y^2-3z^2\right),\\[6pt] Q &= \frac{Gh^4}{60\sqrt 3 \mu}. \end{align}$$ समकोण समद्विबाहु त्रिभुज $y = π$, $y ± z = 0$ में वेग और आयतन प्रवाह दर है।


 * $$\begin{align}

u(y,z) &= \frac{G}{2\mu}(y+z)(\pi-y) - \frac{G}{\pi\mu} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\beta_n^3 \sinh(2\pi\beta_n)} \left\{\sinh[\beta_n (2\pi-y+z)]\sin[\beta_n(y+z)] - \sinh[\beta_n(y+z)]\sin[\beta_n(y-z)] \right\}, \quad \beta_n = n+\tfrac{1}{2},\\[6pt] Q &= \frac{G \pi^4}{12\mu} - \frac{G}{2\pi\mu} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\beta_n^5} \left[\coth (2\pi\beta_n) + \csc (2\pi\beta_n)\right]. \end{align}$$ अर्धाक्ष $h$ और $a$ के साथ दीर्घवृत्तीय क्रॉस-सेक्शन की ट्यूबों के लिए वेग वितरण है।



\begin{align} u(y,z) &= \frac{G}{2\mu \left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)} \left(1- \frac{y^2}{a^2} - \frac{z^2}{b^2}\right),\\[6pt] Q &= \frac{\pi G a^3 b^3}{4\mu \left(a^2 + b^2\right)}. \end{align} $$ यहाँ, जब $a = b$, वृत्ताकार पाइप के लिए पॉइज़ुइल प्रवाह पुनर्प्राप्त किया जाता है और जब $a → ∞$, समतल पॉइज़ुइल प्रवाह पुनर्प्राप्त किया जाता है। क्रॉस-सेक्शन के साथ अधिक स्पष्ट समाधान जैसे घोंघे के आकार के अनुभाग, अर्धवृत्त के बाद एक नॉच वृत्त के आकार वाले अनुभाग, होमोफोकल दीर्घवृत्त के मध्य वलयाकार अनुभाग, गैर-संकेंद्रित वृत्तों के मध्य वलयाकार अनुभाग भी उपलब्ध हैं, जैसा कि द्वारा समीक्षा की गई है।

स्वेच्छाचारी क्रॉस-सेक्शन के माध्यम से पॉइज़ुइल प्रवाह
स्वेच्छाचारी क्रॉस-सेक्शन $u(y,z)$ के माध्यम से प्रवाह इस प्रतिबंध को पूरा करती है कि दीवारों पर $u = 0$ है। संचालक समीकरण कम हो जाता है
 * $$\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = -\frac{G}{\mu}.$$

यदि हम एक नया आश्रित चर प्रस्तुत करते हैं


 * $$U = u +\frac{G}{4\mu}\left(y^2+z^2\right),$$

तब यह देखना आसान है कि समस्या लाप्लास समीकरण को एकीकृत करने तक कम हो जाती है


 * $$\frac{\partial^2 U}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 U}{\partial z^2}=0$$

प्रतिबंध को संतुष्ट करना


 * $$U = \frac{G}{4\mu}\left(y^2+z^2\right)$$

दीवार पर हैं।

एक आदर्श समतापी गैस के लिए पॉइज़ुइल का समीकरण
एक ट्यूब में संपीड्य तरल पदार्थ के लिए आयतनी प्रवाह दर $Q(x)$ और अक्षीय वेग ट्यूब के साथ स्थिर नहीं होते हैं; लेकिन ट्यूब की लंबाई के साथ द्रव्यमान प्रवाह दर स्थिर है। आयतनमितीय प्रवाह दर सामान्यतः आउटलेट दाब पर व्यक्त की जाती है। जैसे ही द्रव को संपीड़ित या विस्तारित किया जाता है, कार्य किया जाता है और द्रव को गर्म या ठंडा किया जाता है। इसका अर्थ यह है कि प्रवाह दर तरल पदार्थ में और उससे निकलने वाले ताप स्थानांतरण पर निर्भर करती है। समतापी प्रकरण में एक आदर्श गैस के लिए, जहां तरल पदार्थ के तापमान को उसके परिवेश के साथ संतुलित करने की अनुमति दी जाती है, दाब ह्रास के लिए एक अनुमानित संबंध प्राप्त किया जा सकता है। स्थिर तापमान प्रक्रिया (अर्थात्, $$p/\rho$$ स्थिर है) और द्रव्यमान प्रवाह दर के संरक्षण (अर्थात्, $$\dot m=\rho Q$$ स्थिर है) के लिए अवस्था के आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करके, संबंध $Qp = Q_{1}p_{1} = Q_{2}p_{2}$ प्राप्त किया जा सकता है। पाइप के एक छोटे अनुभाग पर, पाइप के माध्यम से प्रवाही गैस को असंपीड्य माना जा सकता है ताकि पॉइज़ुइल नियम का स्थानीय रूप से उपयोग किया जा सके,


 * $$-\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} = \frac{8\mu Q}{\pi R^4} = \frac{8\mu Q_2p_2}{\pi p R^4} \quad \Rightarrow \quad  -p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} =  \frac{8\mu Q_2p_2}{\pi R^4}.$$

यहां हमने मान लिया कि स्थानीय दाब प्रवणता किसी भी संपीड़न प्रभाव के लिए बहुत उपयुक्त नहीं है। हालाँकि स्थानीय स्तर पर हमने घनत्व भिन्नता के कारण दाब भिन्नता के प्रभावों को उपेक्षित कर दिया, लंबी दूरी पर इन प्रभावों को ध्यान में रखा जाता है। तब से $b$ दाब से स्वतंत्र है, उपरोक्त समीकरण को लंबाई $μ$ पर एकीकृत किया जा सकता है।


 * $$p_1^2-p_2^2 = \frac{16 \mu L Q_2 p_2}{\pi R^4}.$$

इसलिए पाइप आउटलेट पर आयतनमितीय प्रवाह दर द्वारा दी गई है


 * $$ Q_2 =\frac{\pi R^4}{16 \mu L} \left( \frac{ p_1^2-p_2^2}{p_2}\right) = \frac{\pi R^4 \left( p_1-p_2\right)}{8 \mu L} \frac{\left( p_1+p_2\right)}{2 p_2}.$$

इस समीकरण को एक अतिरिक्त सुधार कारक $p_{1} + p_{2}⁄2p_{2}$ के साथ पॉइज़ुइल के नियम के रूप में देखा जा सकता है जो आउटलेट दाब के सापेक्ष औसत दाब को व्यक्त करता है।

विद्युत परिपथ सादृश्य
विद्युत को स्पष्टतः एक प्रकार का तरल पदार्थ समझा जाता था। यह हाइड्रोलिक सादृश्य अभी भी परिपथ को समझने के लिए वैचारिक रूप से उपयोगी है। इस सादृश्य का उपयोग परिपथ टूल का उपयोग करके द्रव-यांत्रिक नेटवर्क की आवृत्ति प्रतिक्रिया का अध्ययन करने के लिए भी किया जाता है, जिस स्थिति में द्रव नेटवर्क को द्रवीय परिपथ कहा जाता है। पॉइज़ुइल का नियम विद्युत परिपथ $V = IR$ के लिए ओम के नियम के अनुरुप है। द्रव पर लगने वाला मूल्य बल $ΔF = SΔp$ के समान है, जहाँ $S = πr^{2}$, अर्थात $ΔF = πr^{2} ΔP$, तो पॉइज़ुइले के नियम से, यह निम्नानुसार है


 * $$\Delta F = \frac{8 \mu LQ}{r^2}$$.

विद्युत परिपथों के लिए, मान लीजिए $L$ मुक्त आवेशित कणों की सांद्रता है (m−3 में) और मान लीजिए $q*$ प्रत्येक कण का आवेश है (कूलम्ब में)। (इलेक्ट्रॉनों के लिए, $q* = e = 1.6 C$।) तब $n$ आयतन $nQ$ में कणों की संख्या है, और $nQq*$ उनका कुल प्रभार है। यह वह प्रभार है जो प्रति इकाई समय में क्रॉस सेक्शन से प्रवाहित होता है, अर्थात धारा $Q$ इसलिए, $I = nQq*$। परिणामस्वरूप, $Q = I⁄nq*$, और


 * $$\Delta F = \frac{8 \mu LI}{nr^2 q^*}.$$

लेकिन $ΔF = Eq$, जहां $I$ ट्यूब के आयतन में कुल आवेश है। ट्यूब का आयतन $πr^{2}L$ के समान है, इसलिए इस आयतन में आवेशित कणों की संख्या $nπr^{2}L$ के समान है, और उनका कुल आवेश $q = nπr^{2} Lq*$ है। वोल्टेज $V = EL$ है, यह तब अनुसरण करता है


 * $$V = \frac{8\mu LI}{n^2\pi r^4 \left(q^*\right)^2}.$$

यह यथार्थत: ओम का नियम है, जहां प्रतिरोध $R = V⁄I$ को सूत्र द्वारा वर्णित किया गया है


 * $$R = \frac{8\mu L}{n^2\pi r^4 \left(q^*\right)^2}$$.

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि प्रतिरोध $q$, प्रतिरोधक की लंबाई $R$ के समानुपाती है, जो सत्य है। हालाँकि, इससे यह भी पता चलता है कि प्रतिरोध $L$ त्रिज्या $R$ की चौथी घात के व्युत्क्रमानुपाती है, अर्थात प्रतिरोध $r$, अवरोधक के क्रॉस सेक्शन क्षेत्र $S = πr^{2}$ की दूसरी शक्ति के व्युत्क्रमानुपाती है, जो विद्युत सूत्र से भिन्न है। प्रतिरोध के लिए विद्युत संबंध है


 * $$R=\frac{\rho L}{S},$$

जहाँ $R$ प्रतिरोधकता है; अर्थात प्रतिरोध $ρ$ प्रतिरोधक क्रॉस सेक्शन क्षेत्र $R$ के समानुपाती है। यही कारण है कि पॉइज़ुइल का नियम प्रतिरोध $S$ के लिए एक अलग सूत्र की ओर ले जाने का कारण द्रव प्रवाह और विद्युत प्रवाह के मध्य का अंतर है। इलेक्ट्रॉन गैस अश्यान होती है, इसलिए इसका वेग चालक की दीवारों की दूरी पर निर्भर नहीं करता है। प्रतिरोध प्रवाहित इलेक्ट्रॉनों और चालक के परमाणुओं के मध्य परस्पर क्रिया के कारण होता है। इसलिए, बिजली पर उपयोजित होने पर पॉइज़ुइल का नियम और हाइड्रोलिक सादृश्य केवल कुछ सीमाओं के अंतर्गत ही उपयोगी होता हैं। ओम का नियम और पॉइज़ुइल का नियम दोनों परिवहन घटना को दर्शाते हैं।

चिकित्सा अनुप्रयोग - अंतःशिरा प्रवेश और द्रव वितरण
हेगन-पॉइज़ुइल समीकरण संवहनी प्रतिरोध और इसलिए अंतःशिरा (IV) तरल पदार्थों के प्रवाह दर को निर्धारित करने में उपयोगी है जिसे परिधीय और केंद्रीय नलिकाओं के विभिन्न आकारों का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। समीकरण में कहा गया है कि प्रवाह दर चौथी शक्ति की त्रिज्या के समानुपाती होती है, जिसका अर्थ है कि प्रवेशनी के आंतरिक व्यास में थोड़ी सी वृद्धि से IV तरल पदार्थों की प्रवाह दर में महत्वपूर्ण वृद्धि होती है। IV कैनुला की त्रिज्या सामान्यतः "गेज" में मापी जाती है, जो त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती होती है। परिधीय IV कैनुला सामान्यतः (बड़े से छोटे तक) 14G, 16G, 18G, 20G, 22G, 26G के रूप में उपलब्ध हैं। उदहारण के लिए, 14G कैनुला का प्रवाह सामान्यतः 16G से दोगुना और 20G से दस गुना होता है। इसमें यह भी कहा गया है कि प्रवाह लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती होती है, जिसका अर्थ है कि लंबी लाइनों में प्रवाह दर कम होती है। यह याद रखना महत्वपूर्ण है क्योंकि आपातकालीन स्थिति में, कई चिकित्सक लंबे, संकीर्ण कैथेटर की तुलना में छोटे, बड़े कैथेटर का पक्ष लेते हैं। कम नैदानिक ​​महत्व के होते हुए भी, दाब में बढ़ा हुआ परिवर्तन ($∆p$) - जैसे तरल पदार्थ के बैग पर दाब डालकर, बैग को निचोड़कर, या बैग को ऊंचा लटकाकर (प्रवेशनी के स्तर के सापेक्ष) - प्रवाह दर को तेज करने के लिए उपयोग किया जा सकता है। यह समझना भी उपयोगी है कि श्यानता तरल पदार्थ धीमी गति से प्रवाहित (उदाहरण के लिए रक्त आधान में) है।

यह भी देखें

 * कूएट प्रवाह
 * डार्सी का नियम
 * स्पंद
 * तरंग
 * द्रवीय परिपथ

बाहरी संबंध

 * Poiseuille's law for power-law non-Newtonian fluid
 * Poiseuille's law in a slightly tapered tube
 * Hagen–Poiseuille equation calculator