वैन डेर पोल ऑसिलेटर

गतिशील प्रणालियों के अध्ययन में, वैन डेर पोल ऑसिलेटर (डच भौतिक विज्ञानी बल्थाजार वैन डेर पोल के नाम पर) एक गैर-रूढ़िवादी बल है, जो गैर-रैखिक भिगोना के साथ दोलन प्रणाली है। यह दूसरे क्रम के अंतर समीकरण के अनुसार समय के साथ विकसित होता है $${d^2x \over dt^2} - \mu(1-x^2){dx \over dt} + x = 0, $$ कहाँ $x$ स्थिति समन्वय प्रणाली है - जो उस समय का एक कार्य (गणित) है $t$-और $μ$ एक अदिश (गणित) पैरामीटर है जो अशुद्धता और भिगोना की ताकत को दर्शाता है।



इतिहास
Van der Pol थरथरानवाला मूल रूप से डच विद्युत अभियन्त्रण  और भौतिक विज्ञानी Balthasar van der Pol द्वारा प्रस्तावित किया गया था जब वह  PHILIPS  में काम कर रहे थे। वैन डेर पोल ने स्थिर दोलन पाया, जिसे उन्होंने बाद में रिलैक्सेशन ऑसिलेटर | रिलैक्सेशन-ऑसिलेशन कहा और अब  वेक्यूम - ट्यूब ों को नियोजित करने वाले विद्युत परिपथों में एक प्रकार के सीमा चक्र के रूप में जाना जाता है। जब इन परिपथों को सीमा चक्र के पास चलाया जाता है, तो वे एंट्रेंस (भौतिकी) बन जाते हैं, यानी ड्राइविंग सिग्नल (इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग) करंट को अपने साथ खींच लेते हैं। वैन डेर पोल और उनके सहयोगी, वैन डेर मार्क ने  प्रकृति (पत्रिका)  के सितंबर 1927 के अंक में बताया कि निश्चित ड्राइव आवृत्ति पर एक अनियमित शोर (इलेक्ट्रॉनिक) सुना गया था, जो बाद में अराजकता सिद्धांत का परिणाम पाया गया। वैन डेर पोल समीकरण का भौतिक विज्ञान और जीव विज्ञान दोनों में उपयोग किए जाने का एक लंबा इतिहास रहा है। उदाहरण के लिए, जीव विज्ञान में, Fitzhugh और नागुमो न्यूरॉन्स की संभावित कार्रवाई के लिए फ़िट्ज़हग-नागुमो मॉडल के रूप में समीकरण को समतल (गणित) में विस्तारित किया। भूगर्भीय दोष में दो प्लेटों को मॉडल करने के लिए भूकम्प विज्ञान में समीकरण का भी उपयोग किया गया है, और दाएं और बाएं स्वर - रज्जु  ऑसिलेटर्स को मॉडल करने के लिए  स्वर उत्पादन  के अध्ययन में।

द्विविम रूप
लियोनार्ड के प्रमेय का उपयोग यह साबित करने के लिए किया जा सकता है कि सिस्टम में एक सीमा चक्र है। लीनार्ड परिवर्तन को लागू करना $$y = x - x^3/3 - \dot x/\mu$$, जहां डॉट समय व्युत्पन्न इंगित करता है, वैन डेर पोल ऑसीलेटर को इसके द्वि-आयामी रूप में लिखा जा सकता है:
 * $$\dot x = \mu \left(x-\tfrac{1}{3}x^3-y\right)$$
 * $$\dot y = \frac{1}{\mu} x$$.

परिवर्तन के आधार पर एक और आमतौर पर इस्तेमाल किया जाने वाला रूप $$y = \dot x $$ ओर जाता है:
 * $$\dot x = y$$
 * $$\dot y = \mu(1-x^2) y-x$$.

अनफोर्स्ड ऑसिलेटर
के लिए परिणाम फ़ाइल: वेंडरपोल mu=5.svg|thumb|right|वैन डेर पोल ऑसिलेटर में बाहरी दबाव के बिना आराम दोलन। नॉनलाइनियर डंपिंग पैरामीटर के बराबर है $μ = 5$. \frac{d^2x}{dt^2} + x = 0. $$यह लयबद्ध दोलक का एक रूप है, और हमेशा ऊर्जा का संरक्षण होता है।
 * कब $μ = 0$, अर्थात कोई अवमंदन फलन नहीं है, समीकरण बन जाता है$$

T = \frac{2\pi}{1- \mu^2/16 + 17 \mu^4/3072 + O(\mu^6)}.$$ ऑर्डर 2 के व्युत्पत्ति के लिए पॉइंकेयर-लिंडस्टेड विधि देखें। का अध्याय 10 देखें क्रम 3 तक व्युत्पत्ति के लिए, और 164 के क्रम तक एक संख्यात्मक व्युत्पत्ति के लिए। \dot x = \mu \left(x-\frac{1}{3}x^3-y\right) \! , \quad \dot y = \frac{1}{\mu} x. $$ इस रूप में, दोलक एक चक्र इस प्रकार पूरा करता है: T = 2\int dt = 2\int \mu\frac{dy}{x} = 2\mu \int_2^1\frac{dy}{dx} \frac{dx}{x} = (3-2\ln 2)\mu $$ चक्र की अवधि के उच्च क्रम है $$ T = (3-2\ln 2)\mu + 3\alpha \mu^{-1/3} - \frac{23}{\mu^{-1}} \ln \mu+ O (\ln \mu^{-1}). $$ कहाँ $μ > 0$ की सबसे छोटी जड़ है $f(x)$, कहाँ $(2, –2/3)$ हवादार कार्य है। (धारा 9.7 ) ( एक व्युत्पत्ति शामिल है, लेकिन एक गलत छाप है $(1, 2/3)$ को $(1, 2/3)$.)
 * कब $(–2, 2/3)$, सभी प्रारंभिक स्थितियाँ विश्व स्तर पर अद्वितीय सीमा चक्र में परिवर्तित हो जाती हैं। उत्पत्ति के पास $$x = \tfrac{dx}{dt} = 0,$$ सिस्टम अस्थिर है, और मूल से बहुत दूर, सिस्टम अवमंदित है।
 * वैन डेर पोल ऑसिलेटर के पास सटीक, विश्लेषणात्मक समाधान नहीं है। हालाँकि, ऐसा समाधान सीमा चक्र के लिए मौजूद है यदि $α ≈ 2.338$ रेखीय समीकरण में एक स्थिर टुकड़ावार कार्य है।
 * छोटी अवधि $&mu;$ का सीरियल विस्तार है $$
 * बड़े के लिए $x$, थरथरानवाला के व्यवहार में एक धीमी बिल्डअप, तेजी से रिलीज चक्र (तनाव के निर्माण और तनाव को मुक्त करने का एक चक्र, इस प्रकार एक विश्राम दोलन) होता है। यह रूप में सबसे आसानी से देखा जाता है $$
 * घन वक्र की दाहिनी शाखा पर धीरे-धीरे चढ़ना $$y = x - \tfrac{x^3}{3},$$ से $Ai(–&alpha;) = 0$ को $Ai$.
 * तेजी से क्यूबिक कर्व की बाईं शाखा की ओर बढ़ रहा है, से $3&alpha;$ को $2&alpha;$.
 * बायीं शाखा पर दो चरणों को दोहराएं।
 * चक्र की अवधि में अग्रणी शब्द धीरे-धीरे आरोही और अवरोही होने के कारण है, जिसकी गणना इस प्रकार की जा सकती है:$$
 * चक्र का आयाम है $$2 +\frac \alpha 3 \mu^{-4/3} - \frac{16}{27}\mu^{-2} \ln \mu + O(\mu^{-2})$$

हॉप द्विभाजन
जैसा $μ$ शून्य से कम से शून्य से अधिक की ओर बढ़ता है, मूल रूप से सर्पिल सिंक एक सर्पिल स्रोत बन जाता है, और त्रिज्या दो के साथ नीले रंग से एक सीमा चक्र प्रकट होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि संक्रमण सामान्य नहीं है: कब $&epsilon; = 0$, दोनों अंतर समीकरण रैखिक हो जाते हैं, और मूल एक गोलाकार नोड बन जाता है।

यह जानते हुए कि हॉफ द्विभाजन में, सीमा चक्र का आकार होना चाहिए $$\propto \varepsilon^{1/2},$$ हम चरों के परिवर्तन का उपयोग करके इसे हॉफ द्विभाजन में बदलने का प्रयास कर सकते हैं $$u = \varepsilon^{1/2} x,$$ जो देता है$$\ddot{u}+u+u^2 \dot{u}-\varepsilon \dot{u}=0$$यह वास्तव में एक हॉफ द्विभाजन है।

वैन डेर पोल ऑसिलेटर
के लिए हैमिल्टनियन वैन डेर पोल थरथरानवाला के लिए एक समय-स्वतंत्र हैमिल्टनियन प्रणाली औपचारिकता भी लिख सकता है, इसे एक चार-आयामी स्वायत्त गतिशील प्रणाली में एक सहायक द्वितीय-क्रम गैर-रैखिक अंतर समीकरण का उपयोग करके निम्न प्रकार से बढ़ाया जा सकता है:


 * $$\ddot{x}-\mu(1-x^2)\dot{x}+x=0,$$
 * $$\ddot{y}+\mu(1-x^2)\dot{y}+y=0.$$

ध्यान दें कि एक्स और वाई चर के समय-विकास के बीच एक तरफा युग्मन के कारण मूल वैन डेर पोल ऑसीलेटर की गतिशीलता प्रभावित नहीं होती है। समीकरणों की इस प्रणाली के लिए हैमिल्टनियन एच दिखाया जा सकता है
 * $$H(x,y,p_x,p_y)=p_xp_y+xy-\mu(1-x^2)yp_y, $$

कहाँ $$p_x=\dot{y} + \mu(1-x^2)y$$ और $$p_y=\dot{x}$$ क्रमशः x और y के संगत विहित निर्देशांक हैं। यह, सिद्धांत रूप में, वैन डेर पोल ऑसिलेटर के परिमाणीकरण का कारण बन सकता है। ऐसा हैमिल्टनियन भी जोड़ता है सीमा चक्र प्रणाली का ज्यामितीय चरण संबंधित हैमिल्टनियन प्रणाली के हन्ने कोण के साथ समय पर निर्भर पैरामीटर है।

क्वांटम ऑसिलेटर
क्वांटम वैन डेर पोल थरथरानवाला, जो शास्त्रीय वैन डेर पोल थरथरानवाला का क्वांटम यांत्रिकी संस्करण है, को इसकी क्वांटम गतिकी और क्वांटम तुल्यकालन का अध्ययन करने के लिए लिंडब्लैड समीकरण का उपयोग करके प्रस्तावित किया गया है। ध्यान दें कि उपरोक्त हैमिल्टनियन दृष्टिकोण एक सहायक द्वितीय-क्रम समीकरण के साथ असीमित चरण-स्थान प्रक्षेपवक्र पैदा करता है और इसलिए वैन डेर पोल ऑसिलेटर को परिमाणित करने के लिए उपयोग नहीं किया जा सकता है। कमजोर अरेखीयता की सीमा में (यानी μ→0) वैन डेर पोल ऑसिलेटर स्टुअर्ट-लैंडौ समीकरण को कम कर देता है। स्टुअर्ट-लैंडौ समीकरण वास्तव में कमजोर-गैर-रैखिक सीमा में सीमा-चक्र दोलक की एक पूरी कक्षा का वर्णन करता है। शास्त्रीय स्टुअर्ट-लैंडौ समीकरण का रूप बहुत सरल है, और शायद आश्चर्यजनक रूप से नहीं, लिंडब्लाड समीकरण द्वारा परिमाणित किया जा सकता है जो वैन डेर पोल ऑसिलेटर के लिए लिंडब्लैड समीकरण से भी सरल है। क्वांटम स्टुअर्ट-लैंडौ मॉडल ने क्वांटम तुल्यकालन के अध्ययन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई है (जहां इसे अक्सर वैन डेर पोल ऑसिलेटर कहा जाता है, हालांकि यह वैन डेर पोल ऑसिलेटर के साथ विशिष्ट रूप से जुड़ा नहीं हो सकता है)। शास्त्रीय स्टुअर्ट-लैंडौ मॉडल (μ→0) और अधिक सामान्य सीमा-चक्र ऑसिलेटर्स (मनमाना μ) के बीच संबंध को भी संबंधित क्वांटम मॉडल में संख्यात्मक रूप से प्रदर्शित किया गया है।

जबरदस्ती वैन डेर पोल ऑसिलेटर
फ़ाइल: वेंडरपोल समय mu=8.53 A=1.2 T=10.svg|thumb|right|साइनसोइडल फोर्सिंग के साथ वैन डेर पोल ऑसिलेटर में कैओस सिद्धांत। नॉनलाइनियर डंपिंग पैरामीटर के बराबर है $μ = 8.53$, जबकि बल का आयाम है $A = 1.2$ और कोणीय आवृत्ति $ω = 2π/10$. मजबूर, या संचालित, वैन डेर पोल ऑसिलेटर 'मूल' फ़ंक्शन लेता है और एक ड्राइविंग फ़ंक्शन जोड़ता है $Asin(ωt)$ रूप का अवकल समीकरण देने के लिए:


 * $${d^2x \over dt^2}-\mu(1-x^2){dx \over dt}+x-A \sin(\omega t)= 0,$$

कहाँ $&mu;$ तरंग समीकरण का आयाम, या विस्थापन (वेक्टर) है और $&mu;$ इसका कोणीय वेग है।

लोकप्रिय संस्कृति
लेखक जेम्स ग्लीक ने 1987 की कैओस: मेकिंग ए न्यू साइंस से अपनी पुस्तक में एक वैक्यूम ट्यूब वैन डेर पोल ऑसिलेटर का वर्णन किया। न्यूयॉर्क टाइम्स के एक लेख के अनुसार, ग्लीक ने 1988 में एक पाठक से एक आधुनिक इलेक्ट्रॉनिक वैन डेर पोल ऑसिलेटर प्राप्त किया।

यह भी देखें

 * मैरी कार्टराईट, ब्रिटिश गणितज्ञ, नियतात्मक अराजकता के सिद्धांत का अध्ययन करने वाले पहले लोगों में से एक, विशेष रूप से इस ऑसिलेटर पर लागू।

बाहरी संबंध

 * Van der Pol oscillator on Scholarpedia
 * Van Der Pol Oscillator Interactive Demonstrations
 * Van Der Pol Oscillator Interactive Demonstrations