ऊनविम पृष्ठ

ज्यामिति में, ऊनविम पृष्ठ-हाइपरप्लेन, समतल वक्र और सतह(गणित) की अवधारणाओं का व्यापकीकरण है। ऊनविम पृष्ठ एक बीजगणितीय किस्म का आयाम($n − 1$) है, जो आयाम $n$ के परिवेश स्थान में सन्निहित है(सामान्यतः यूक्लिडियन अंतरिक्ष, सजातीय स्थान या प्रक्षेप्य स्थान)।, अंतरिक्ष में तीन-आयामी सतहों के साथ, कम से कम स्थानीय रूप से(हर बिंदु के पास), और कभी-कभी विश्व स्तर पर अंतर्निहित समीकरण द्वारा परिभाषित होने की संपत्ति, ऊनविम पृष्ठ साझा करते हैं।

उदाहरण के लिए, समीकरण
 * $$x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2-1=0$$

आयाम n के यूक्लिडियन स्थान में आयाम n − 1 के बीजगणितीय ऊनविम पृष्ठ को परिभाषित करता है। यह ऊनविम पृष्ठ भी एक समतलीय बहुविध है, और इसे हाइपरस्फीयर या( एन -1) -स्फीयर कहा जाता है ।

निर्विघ्ऩ ऊनविम पृष्ठ
ऊनविम पृष्ठ जो समतलीय बहुविध है, समतलीय ऊनविम पृष्ठ कहलाती है।

$R^{n}$ में, समतलीय बहुविध पृष्ठ उन्मुखता है। हर जुड़ा हुआ स्थान कॉम्पैक्ट जगह स्मूथ ऊनविम पृष्ठ लेवल सेट है, और Rn को दो जुड़े हुए घटकों में अलग करता है; यह जॉर्डन-ब्रूवर पृथक्करण प्रमेय से संबंधित है।

सजातीय बीजगणितीय ऊनविम पृष्ठ
बीजगणितीय ऊनविम पृष्ठ एक बीजगणितीय विविधता है जिसे प्रपत्र के एकल अंतर्निहित समीकरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है

$$p(x_1, \ldots, x_n)=0,$$

जहाँ पे $p$ बहुभिन्नरूपी बहुपद है। सामान्यतः बहुपद को अलघुकरणीय बहुपद माना जाता है। जब ऐसा नहीं होता है, तो ऊनविम पृष्ठ बीजगणितीय विविधता नहीं है, बल्कि केवल बीजगणितीय सेट है। यह लेखकों पर निर्भर है कि क्या कम करने योग्य बहुपद एक ऊनविम पृष्ठ को परिभाषित करता है। अस्पष्टता से बचने के लिए, अलघुकरणीय ऊनविम पृष्ठ शब्द का प्रयोग प्रायः किया जाता है।

बीजगणितीय किस्मों के लिए, परिभाषित बहुपद के गुणांक किसी निश्चित क्षेत्र(गणित) $k$ से संबंधित हो सकते हैं, और ऊनविम पृष्ठ के सजातीय बिंदु स्थान में p शून्य हैं। $$K^n,$$ जहाँ पे $K$ का बीजगणितीय रूप से विस्तार है।

ऊनविम पृष्ठ में बीजगणितीय विविधता का एकवचन बिंदु हो सकता है, जो परिभाषित बहुपद और इसके आंशिक साधित के सामान्य शून्य हैं। विशेष रूप से, वास्तविक बीजगणितीय ऊनविम पृष्ठ आवश्यक रूप से विविध नहीं है।

गुण
ऊनविम पृष्ठ में कुछ विशिष्ट गुण होते हैं जो अन्य बीजगणितीय किस्मों के साथ साझा नहीं किए जाते हैं।

इस तरह के मुख्य गुणों में से हिल्बर्ट का नलस्टेलनसैट्ज है, जो दावा करता है कि ऊनविम पृष्ठ में दिए गए बीजगणितीय सेट होते हैं अगर ऊनविम पृष्ठ के परिभाषित बहुपद में शक्ति होती हैं जो बीजगणितीय के परिभाषित बहुपदों द्वारा उत्पन्न आदर्श(रिंग थ्योरी) से संबंधित होती हैं ।

इस प्रमेय का एक उपप्रमेय यह है कि, यदि दो अलघुकरणीय बहुपद(या सामान्यतः दो वर्ग मुक्त बहुपद) एक ही ऊनविम पृष्ठ परिभाषित करते हैं, तो गैर-शून्य स्थिरांक द्वारा दूसरे का उत्पाद होता है।

ऊनविम पृष्ठ वास्तव में बीजगणितीय किस्म के आयाम($n – 1$) की उप-किस्में हैं। यह इस तथ्य की ज्यामितीय व्याख्या है कि, एक क्षेत्र पर बहुपद वृत्त में, आदर्श की ऊंचाई(वृत्त सिद्धांत) है और आदर्श एक प्रमुख आदर्श है। संभावित रूप से कम करने योग्य ऊनविम पृष्ठ के मामले में, इस परिणाम को निम्नानुसार पुनर्कथित किया जा सकता है: ऊनविम पृष्ठ बिल्कुल बीजगणितीय सेट होते हैं जिनके सभी अलघुकरणीय घटकों का $n – 1$आयाम होता है।

वास्तविक और तर्कसंगत बिंदु
वास्तविक ऊनविम पृष्ठ एक ऊनविम पृष्ठ है जिसे वास्तविक संख्या गुणांक वाले बहुपद द्वारा परिभाषित किया जाता है। इस मामले में बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र जिस पर अंक परिभाषित होते हैं, वह सामान्यतः जटिल संख्याओं $$\mathbb C$$ का क्षेत्र होता है। वास्तविक ऊनविम पृष्ठ के वास्तविक बिंदु वे बिंदु हैं जो $$\mathbb R^n \subset \mathbb C^n$$ से संबंधित हैं। प्रायः, यह संदर्भ पर छोड़ दिया जाता है कि ऊनविम पृष्ठ शब्द सभी बिंदुओं को संदर्भित करता है या केवल वास्तविक भाग को संदर्भित करता है।

यदि परिभाषित बहुपद के गुणांक क्षेत्र $k$ से संबंधित हैं जो बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र नहीं है(आमतौर पर तर्कसंगत संख्याओं का क्षेत्र, परिमित क्षेत्र या संख्या क्षेत्र), तो ऊनविम पृष्ठ को $k$ पर परिभाषित किया गया है।

उदाहरण के लिए, काल्पनिक n-क्षेत्र समीकरण द्वारा परिभाषित
 * $$x_0^2 +\cdots+x_n^2 +1=0$$

बिना किसी वास्तविक बिंदु के वास्तविक ऊनविम पृष्ठ है, जिसे परिमेय संख्याओं पर परिभाषित किया गया है। इसका कोई तर्कसंगत बिंदु नहीं है, लेकिन कई बिंदु हैं जो गॉसियन परिमेय पर तर्कसंगत हैं।

प्रक्षेप्य बीजगणितीय ऊनविम पृष्ठ
एक क्षेत्र k पर आयाम n के प्रक्षेपी स्थान में आयाम n - 1 का एक प्रक्षेपी(बीजीय) ऊनविम पृष्ठ एक सजातीय बहुपद द्वारा परिभाषित किया गया है जो $$P(x_0, x_1, \ldots, x_n)$$ $n + 1$ में अनिश्चित है। समांगी बहुपद का अर्थ है कि P के सभी एकपदी की घात समान है या समतुल्य है $$P(cx_0, cx_1, \ldots, cx_n)=c^dP(x_0, x_1, \ldots, x_n)$$ हर स्थिरांक $c$ के लिए, जहाँ $d$ बहुपद की घात है। ऊनविम पृष्ठ के बिंदु प्रोजेक्टिव स्पेस के बिंदु हैं जिनके प्रोजेक्टिव निर्देशांक पी शून्य हैं।

यदि कोई समीकरण के हाइपरप्लेन को चुनता है $$x_0=0$$ अनंत पर हाइपरप्लेन के रूप में, इस हाइपरप्लेन का पूरक एक एफ़ाइन स्पेस है, और प्रोजेक्टिव ऊनविम पृष्ठ के बिंदु जो इस एफ़िन स्पेस से संबंधित हैं, समीकरण का एफ़िन ऊनविम पृष्ठ बनाते हैं $$P(1, x_1, \ldots, x_n) = 0.$$ इसके विपरीत, समीकरण की सजातीय ऊनविम पृष्ठ दी गई है $$p(x_1, \ldots, x_n)=0,$$ यह प्रोजेक्टिव ऊनविम पृष्ठ को परिभाषित करता $$P(x_0, x_1, \ldots, x_n) = 0,$$
 * $$P(x_0, x_1, \ldots, x_n) = x_0^dp(x_1/x_0, \ldots, x_n/x_0),$$ जहां $d$, $P$ की घात है.

ये दो प्रक्रियाएं प्रोजेक्टिव पूर्णता और एफ़िन सबस्पेस एक दूसरे के विपरीत हैं। इसलिए, एफ़िन ऊनविम पृष्ठ और इसके प्रक्षेपी पूर्णता में अनिवार्य रूप से समान गुण होते हैं, और प्रायः एक ही ऊनविम पृष्ठ के लिए दो दृष्टिकोणों के रूप में माना जाता है।

हालांकि, ऐसा हो सकता है कि एक एफ़िन ऊनविम पृष्ठ बीजगणितीय किस्म का एकवचन बिंदु है, जबकि इसकी प्रक्षेप्य पूर्णता में एकवचन बिंदु हैं। उदाहरण के लिए, समीकरण का गोलाकार बेलन
 * $$x^2+y^2-1=0$$ आयाम तीन के संबंध स्थान में एक अनूठा विलक्षण बिंदु है, जो दिशा में अनंत पर है $x = 0, y = 0$.

यह भी देखें

 * एफ़िन क्षेत्र
 * कोबल ऊनविम पृष्ठ
 * डीवर्क परिवार
 * अशक्त ऊनविम पृष्ठ
 * ध्रुवीय ऊनविम पृष्ठ

संदर्भ

 * Shoshichi Kobayashi and Katsumi Nomizu(1969), Foundations of Differential Geometry Vol II, Wiley Interscience
 * P.A. Simionescu & D. Beal(2004) Visualization of hypersurfaces and multivariable(objective) functions by partial globalization, The Visual Computer 20(10):665–81.
 * P.A. Simionescu & D. Beal(2004) Visualization of hypersurfaces and multivariable(objective) functions by partial globalization, The Visual Computer 20(10):665–81.