कर्नेल घनत्व अनुमान

आँकड़ों में, कर्नेल घनत्व अनुमान (केडीई) प्रायिकता घनत्व अनुमान के लिए गिरी चौरसाई का अनुप्रयोग है, अर्थात, एक गैर-पैरामीट्रिक आँकड़े | गैर-पैरामीट्रिक विधि  कर्नेल (सांख्यिकी) के आधार पर एक यादृच्छिक चर के प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन का अनुमान लगाने के लिए।  वजन समारोह के रूप में। केडीई एक मौलिक डेटा स्मूथिंग समस्या का उत्तर देता है जहां एक परिमित डेटा सांख्यिकीय नमूने के आधार पर सांख्यिकीय आबादी के बारे में अनुमान लगाया जाता है। संकेत आगे बढ़ाना  और अर्थमिति जैसे कुछ क्षेत्रों में इसे एमानुएल परजेन और मरे रोसेनब्लैट के बाद पारजेन-रोसेनब्लैट विंडो विधि भी कहा जाता है, जिन्हें आमतौर पर स्वतंत्र रूप से इसके वर्तमान रूप में बनाने का श्रेय दिया जाता है।  कर्नेल घनत्व अनुमान के प्रसिद्ध अनुप्रयोगों में से एक वर्ग-सशर्त सीमांत वितरण का अनुमान लगाने में है#भोली बेयस वर्गीकारक का उपयोग करते समय डेटा की सीमांत संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन, जो इसकी भविष्यवाणी सटीकता में सुधार कर सकता है।

परिभाषा
चलो (एक्स1, एक्स2, ..., एक्सn) किसी भी दिए गए बिंदु x पर एक अज्ञात संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन ƒ के साथ कुछ अविभाज्य वितरण से तैयार किए गए स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर नमूने हैं। हम इस फ़ंक्शन ƒ के आकार का अनुमान लगाने में रुचि रखते हैं। इसका कर्नेल घनत्व आकलनकर्ता है

\widehat{f}_h(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n K_h (x - x_i) = \frac{1}{nh} \sum_{i=1}^n K\Big(\frac{x-x_i}{h}\Big), $$ जहाँ K कर्नेल (सांख्यिकी) है # गैर-पैरामीट्रिक आँकड़ों में - एक गैर-नकारात्मक कार्य - और h > 0 एक चौरसाई  पैरामीटर है जिसे बैंडविड्थ कहा जाता है। सबस्क्रिप्ट h वाले कर्नेल को स्केल्ड कर्नेल कहा जाता है और इसे परिभाषित किया जाता है. सहज रूप से कोई h को उतना ही छोटा चुनना चाहता है जितना डेटा अनुमति देगा; हालाँकि, अनुमानक के पूर्वाग्रह और इसके विचरण के बीच हमेशा एक समझौता होता है। बैंडविड्थ के चुनाव पर नीचे और अधिक विस्तार से चर्चा की गई है।

कर्नेल (सांख्यिकी) की एक श्रृंखला # सामान्य उपयोग में कर्नेल फ़ंक्शन आमतौर पर उपयोग किए जाते हैं: वर्दी, त्रिकोणीय, द्विभाजित, ट्राइवेट, एपेनेक्निकोव, सामान्य, और अन्य। Epanechnikov कर्नेल औसत वर्ग त्रुटि अर्थ में इष्टतम है, हालांकि पहले सूचीबद्ध कर्नेल के लिए दक्षता का नुकसान छोटा है। इसके सुविधाजनक गणितीय गुणों के कारण, सामान्य कर्नेल का अक्सर उपयोग किया जाता है, जिसका अर्थ है, जहां ϕ मानक सामान्य घनत्व फलन है।

कर्नेल घनत्व अनुमान का निर्माण घनत्व अनुमान के बाहर के क्षेत्रों में व्याख्या पाता है। उदाहरण के लिए, ऊष्मप्रवैगिकी में, यह उत्पन्न होने वाली ऊष्मा की मात्रा के बराबर है जब ऊष्मा गुठली (ऊष्मा समीकरण का मूल समाधान) प्रत्येक डेटा बिंदु स्थानों x पर रखी जाती हैi. कई गुना सीखने (जैसे प्रसार मानचित्र) के लिए बिंदु बादलों पर असतत लाप्लास ऑपरेटरों के निर्माण के लिए इसी तरह के तरीकों का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण
कर्नेल घनत्व अनुमान हिस्टोग्राम से निकटता से संबंधित हैं, लेकिन एक उपयुक्त कर्नेल का उपयोग करके चिकनाई या निरंतरता जैसे गुणों से संपन्न किया जा सकता है। इन 6 डेटा बिंदुओं पर आधारित नीचे दिया गया आरेख इस संबंध को दर्शाता है:

हिस्टोग्राम के लिए, सबसे पहले, क्षैतिज अक्ष को उप-अंतराल या डिब्बे में विभाजित किया जाता है जो डेटा की सीमा को कवर करता है: इस मामले में, प्रत्येक चौड़ाई 2 के छह डिब्बे। जब भी कोई डेटा बिंदु इस अंतराल के अंदर आता है, ऊंचाई 1 का एक बॉक्स /12 वहां रखा गया है। यदि एक ही बिन में एक से अधिक डेटा पॉइंट गिरते हैं, तो बॉक्स एक दूसरे के ऊपर ढेर हो जाते हैं।

कर्नेल घनत्व अनुमान के लिए, 2.25 प्रसरण वाले सामान्य कर्नेल (लाल धराशायी रेखाओं द्वारा इंगित) प्रत्येक डेटा बिंदु x पर रखे जाते हैंi. गुठली घनत्व अनुमान (ठोस नीला वक्र) बनाने के लिए गुठली का योग किया जाता है। कर्नेल घनत्व अनुमान की चिकनाई (हिस्टोग्राम की असततता की तुलना में) दर्शाती है कि कैसे कर्नेल घनत्व अनुमान निरंतर यादृच्छिक चर के लिए वास्तविक अंतर्निहित घनत्व में तेज़ी से अभिसरण करता है।



बैंडविड्थ चयन
कर्नेल की बैंडविड्थ (कंप्यूटिंग) एक मुक्त पैरामीटर है जो परिणामी अनुमान पर एक मजबूत प्रभाव प्रदर्शित करता है। इसके प्रभाव को स्पष्ट करने के लिए, हम मानक सामान्य वितरण (क्षैतिज अक्ष पर गलीचा भूखंड में नीले स्पाइक्स पर प्लॉट किए गए) से एक सिम्युलेटेड रैंडम नंबर जनरेटर लेते हैं। धूसर वक्र वास्तविक घनत्व है (औसत 0 और विचरण 1 के साथ एक सामान्य घनत्व)। इसकी तुलना में, लाल वक्र कम चिकना है क्योंकि इसमें बैंडविड्थ h = 0.05 का उपयोग करने से उत्पन्न होने वाले बहुत से नकली डेटा आर्टिफैक्ट हैं, जो बहुत छोटा है। बैंडविड्थ h = 2 का उपयोग करने के बाद से हरे रंग की वक्र बहुत अधिक अंतर्निहित संरचना को अस्पष्ट करती है। एच = 0.337 की बैंडविड्थ के साथ काले वक्र को इष्टतम रूप से चिकना माना जाता है क्योंकि इसका घनत्व अनुमान वास्तविक घनत्व के करीब है। मर्यादा में विकट स्थिति का सामना करना पड़ता है $$h \to 0$$ (कोई स्मूथिंग नहीं), जहां अनुमान विश्लेषित नमूनों के निर्देशांक पर केंद्रित एन डिराक डेल्टा समारोह का योग है। दूसरी चरम सीमा में $$h \to \infty$$ अनुमान उपयोग किए गए कर्नेल के आकार को बरकरार रखता है, जो नमूनों के माध्य (पूरी तरह से चिकनी) पर केंद्रित होता है।

इस पैरामीटर का चयन करने के लिए उपयोग किया जाने वाला सबसे सामान्य इष्टतमता मानदंड अपेक्षित एल है2 जोखिम कार्य, जिसे माध्य एकीकृत चुकता त्रुटि भी कहा जाता है:


 * $$\operatorname{MISE} (h) = \operatorname{E}\!\left[\, \int (\hat{f}_h(x) - f(x))^2 \, dx \right]$$

ƒ और K पर कमजोर मान्यताओं के तहत, (ƒ आम तौर पर अज्ञात, वास्तविक घनत्व फ़ंक्शन है),


 * $$\operatorname{MISE}(h) = \operatorname{AMISE}(h) + \mathcal{o}((nh)^{-1} + h^4)$$

जहां ओ थोड़ा ओ नोटेशन है, और एन नमूना आकार (ऊपर के रूप में)। AMISE स्पर्शोन्मुख MISE है, i। इ। दो प्रमुख शब्द,


 * $$\operatorname{AMISE}(h) = \frac{R(K)}{nh} + \frac{1}{4} m_2(K)^2 h^4 R(f'')$$

कहाँ $$R(g) = \int g(x)^2 \, dx$$ समारोह जी के लिए, $$m_2(K) = \int x^2 K(x) \, dx$$ और $$f''$$ का दूसरा व्युत्पन्न है $$f$$ और $$K$$ कर्नेल है। इस AMISE का न्यूनतम इस अवकल समीकरण का हल है


 * $$ \frac{\partial}{\partial h} \operatorname{AMISE}(h) = -\frac{R(K)}{nh^2} + m_2(K)^2 h^3 R(f'') = 0 $$

या


 * $$h_{\operatorname{AMISE}} = \frac{ R(K)^{1/5}}{m_2(K)^{2/5}R(f'')^{1/5} } n^{-1/5} = C n^{-1/5}$$

न तो AMISE और न ही hAMISE फ़ार्मुलों का सीधे उपयोग किया जा सकता है क्योंकि वे अज्ञात घनत्व फ़ंक्शन को शामिल करते हैं $$f$$ या इसका दूसरा व्युत्पन्न $$f''$$. उस कठिनाई को दूर करने के लिए, बैंडविड्थ का चयन करने के लिए विभिन्न प्रकार की स्वचालित, डेटा-आधारित विधियाँ विकसित की गई हैं। उनकी प्रभावशीलता की तुलना करने के लिए कई समीक्षा अध्ययन किए गए हैं,      आम सहमति के साथ कि प्लग-इन चयनकर्ता  और क्रॉस-सत्यापन (सांख्यिकी) चयनकर्ता   डेटा सेट की एक विस्तृत श्रृंखला में सबसे उपयोगी हैं।

किसी भी बैंडविड्थ एच को प्रतिस्थापित करना जिसमें समान स्पर्शोन्मुख क्रम n है−1/5 एच के रूप मेंAMISE एएमआईएसई में देता है कि AMISE(h) = O(n-4/5), जहां O बिग ओ नोटेशन है। यह दिखाया जा सकता है कि, कमजोर धारणाओं के तहत, एक गैर-पैरामीट्रिक अनुमानक मौजूद नहीं हो सकता है जो कर्नेल अनुमानक की तुलना में तेज गति से अभिसरण करता है। ध्यान दें कि एन−4/5 दर सामान्य n से धीमी है−1 पैरामीट्रिक विधियों की अभिसरण दर।

यदि बैंडविड्थ को निश्चित नहीं रखा गया है, लेकिन अनुमान (बैलून अनुमानक) या नमूने (बिंदुवार अनुमानक) के स्थान के आधार पर भिन्न होता है, तो यह एक विशेष रूप से शक्तिशाली विधि का उत्पादन करता है जिसे चर कर्नेल घनत्व अनुमान कहा जाता है।

हेवी-टेल्ड डिस्ट्रीब्यूशन के कर्नेल घनत्व अनुमान के लिए बैंडविड्थ चयन अपेक्षाकृत कठिन है।

सामान्य बैंडविड्थ अनुमानक
यदि गॉसियन आधार फ़ंक्शंस का उपयोग लगभग एकतरफा डेटा के लिए किया जाता है, और अंतर्निहित घनत्व का अनुमान गॉसियन है, तो एच के लिए इष्टतम विकल्प (यानी, बैंडविड्थ जो औसत एकीकृत चुकता त्रुटि को कम करता है) है:
 * $$h = \left(\frac{4\hat{\sigma}^5}{3n}\right)^{\frac{1}{5}} \approx 1.06 \, \hat{\sigma}\, n^{-1/5},$$

एक $$h$$ मूल्य को और अधिक मजबूत माना जाता है जब यह लंबी-पूंछ वाले और तिरछे वितरण के लिए या बिमोडल मिश्रण वितरण के लिए फिट में सुधार करता है। यह अक्सर अनुभवजन्य रूप से मानक विचलन को बदलकर किया जाता है $$\hat{\sigma}$$ पैरामीटर द्वारा $$A$$ नीचे:


 * $$A = \min\left(\hat{\sigma}, \frac{IQR}{1.34}\right)$$ जहाँ अन्तःचतुर्थक श्रेणी इंटरक्वेर्टाइल रेंज है।

मॉडल में सुधार करने वाला एक और संशोधन कारक को 1.06 से 0.9 तक कम करना है। तब अंतिम सूत्र होगा:


 * $$h = 0.9\, \min\left(\hat{\sigma}, \frac{IQR}{1.34}\right)\, n^{-\frac{1}{5}}$$

कहाँ $$n$$ नमूना आकार है।

इस सन्निकटन को सामान्य वितरण सन्निकटन, गॉसियन सन्निकटन या बर्नार्ड सिल्वरमैन के अंगूठे का नियम कहा जाता है। जबकि अंगूठे के इस नियम की गणना करना आसान है, इसे सावधानी के साथ प्रयोग किया जाना चाहिए क्योंकि घनत्व सामान्य होने के करीब नहीं होने पर यह व्यापक रूप से गलत अनुमान लगा सकता है। उदाहरण के लिए, बिमॉडल गॉसियन मिश्रण मॉडल का आकलन करते समय
 * $$\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(x-10)^2}+\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(x+10)^2}$$

200 बिंदुओं के एक नमूने से, दाईं ओर का आंकड़ा सही घनत्व और दो कर्नेल घनत्व अनुमान दिखाता है - एक रूल-ऑफ़-थंब बैंडविड्थ का उपयोग करके, और दूसरा समीकरण-समीकरण बैंडविड्थ का उपयोग करके। रूल-ऑफ-थंब बैंडविड्थ पर आधारित अनुमान काफी हद तक ओवरस्मूथ किया गया है।

विशेषता फ़ंक्शन घनत्व अनुमानक
से संबंध दिया गया नमूना (x1, एक्स2, ..., एक्सn), विशिष्ट कार्य (संभावना सिद्धांत) का अनुमान लगाना स्वाभाविक है जैसा

\widehat\varphi(t) = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n e^{itx_j} $$ विशेषता फ़ंक्शन को जानने के बाद, फूरियर रूपांतरण सूत्र के माध्यम से संबंधित प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन को खोजना संभव है। इस व्युत्क्रम सूत्र को लागू करने में एक कठिनाई यह है कि यह अनुमान के बाद से एक अपसारी अभिन्न की ओर जाता है बड़े टी के लिए अविश्वसनीय है। इस समस्या को दरकिनार करने के लिए, अनुमानक  एक भिगोना समारोह से गुणा किया जाता है, जो मूल बिंदु पर 1 के बराबर है और फिर अनंत पर 0 तक गिर जाता है। "बैंडविड्थ पैरामीटर" एच नियंत्रित करता है कि हम कितनी तेजी से फ़ंक्शन को कम करने की कोशिश करते हैं. विशेष रूप से जब h छोटा होता है, तब ψh(टी) टी की एक बड़ी श्रृंखला के लिए लगभग एक होगा, जिसका अर्थ है कि टी के सबसे महत्वपूर्ण क्षेत्र में व्यावहारिक रूप से अपरिवर्तित रहता है।

फ़ंक्शन ψ के लिए सबसे आम विकल्प या तो एकसमान फ़ंक्शन है, जिसका प्रभावी अर्थ उलटा सूत्र में एकीकरण के अंतराल को छोटा करना है [−1/h, 1/h], या गाऊसी समारोह. एक बार फ़ंक्शन ψ चुने जाने के बाद, व्युत्क्रम सूत्र लागू किया जा सकता है, और घनत्व अनुमानक होगा
 * $$\begin{align}

\widehat{f}(x) &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \widehat\varphi(t)\psi_h(t) e^{-itx} \, dt               = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n e^{it(x_j-x)} \psi(ht) \, dt \\[5pt] &= \frac{1}{nh} \sum_{j=1}^n \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i(ht)\frac{x-x_j}{h}} \psi(ht) \, d(ht) = \frac{1}{nh} \sum_{j=1}^n K\Big(\frac{x-x_j}{h}\Big), \end{align}$$ जहां K डंपिंग फ़ंक्शन ψ का फूरियर रूपांतरण है। इस प्रकार कर्नेल घनत्व अनुमानक विशेषता फ़ंक्शन घनत्व अनुमानक के साथ मेल खाता है।

ज्यामितीय और सामयिक विशेषताएं
हम (वैश्विक) मोड की परिभाषा को स्थानीय अर्थ में बढ़ा सकते हैं और स्थानीय मोड को परिभाषित कर सकते हैं:


 * $$M = \{ x:g(x)=0, \lambda_1(x)<0 \}$$

अर्थात्, $$M$$ उन बिंदुओं का संग्रह है जिनके लिए घनत्व फ़ंक्शन स्थानीय रूप से अधिकतम होता है। का एक प्राकृतिक अनुमानक $$M$$ केडीई का एक प्लग-इन है, कहाँ $$g(x)$$ और $$\lambda_1(x) $$ केडीई संस्करण हैं $$g(x)$$ और $$\lambda_1(x)$$. हल्के अनुमानों के तहत, $$M_c$$ का एक सतत अनुमानक है $$M$$. ध्यान दें कि कोई औसत बदलाव एल्गोरिदम का उपयोग कर सकता है  अनुमानक की गणना करने के लिए $$M_c$$ संख्यात्मक रूप से।

सांख्यिकीय कार्यान्वयन
कर्नेल घनत्व अनुमानकों के सॉफ्टवेयर कार्यान्वयन की गैर-विस्तृत सूची में शामिल हैं: कर्नेल प्रतिगमन, कर्नेल के कार्यान्वयन के साथ एक मुफ़्त MATLAB टूलबॉक्स घनत्व का अनुमान, खतरे के कार्य का कर्नेल अनुमान और कई अन्य इन पृष्ठों पर उपलब्ध है ( यह टूलबॉक्स किताब का एक हिस्सा है ).
 * एनालिटिका (सॉफ्टवेयर) रिलीज 4.4 में, पीडीएफ परिणामों के लिए स्मूथिंग विकल्प केडीई का उपयोग करता है, और एक्सप्रेशंस से यह बिल्ट-इन के माध्यम से उपलब्ध है  समारोह।
 * C (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज)/C++ में, FIGTree एक लाइब्रेरी है जिसका उपयोग सामान्य कर्नेल का उपयोग करके कर्नेल घनत्व अनुमानों की गणना करने के लिए किया जा सकता है। MATLAB इंटरफ़ेस उपलब्ध है।
 * C++ में, libagf परिवर्तनीय कर्नेल घनत्व अनुमान के लिए एक पुस्तकालय है।
 * C++ में, mlpack एक पुस्तकालय है जो कई अलग-अलग गुठली का उपयोग करके केडीई की गणना कर सकता है। यह तेजी से संगणना के लिए त्रुटि सहिष्णुता सेट करने की अनुमति देता है। पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा) और आर (प्रोग्रामिंग भाषा) इंटरफेस उपलब्ध हैं।
 * सी शार्प (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज) में | सी# और एफ शार्प (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज) | एफ#, Math.NET न्यूमेरिक्स संख्यात्मक संगणना के लिए एक ओपन सोर्स लाइब्रेरी है जिसमें शामिल है .Statistics/KernelDensity.htm कर्नेल घनत्व अनुमान
 * क्राइमस्टैट में, कर्नेल घनत्व अनुमान पांच अलग-अलग कर्नेल कार्यों का उपयोग करके कार्यान्वित किया जाता है - सामान्य, समान, क्वार्टिक, नकारात्मक घातीय और त्रिकोणीय। एकल और दोहरे कर्नेल घनत्व अनुमान रूटीन दोनों उपलब्ध हैं। कर्नेल घनत्व अनुमान का उपयोग हेड बैंग रूटीन को प्रक्षेपित करने में भी किया जाता है, द्वि-आयामी जर्नी-टू-क्राइम डेंसिटी फ़ंक्शन का अनुमान लगाने में, और त्रि-आयामी बायेसियन जर्नी-टू-क्राइम अनुमान लगाने में।
 * ईएलकेआई में, कर्नेल घनत्व कार्य पैकेज में पाए जा सकते हैं
 * पर्यावरण प्रणाली अनुसंधान संस्थान के उत्पादों में, कर्नेल घनत्व मानचित्रण को स्थानिक विश्लेषक टूलबॉक्स से प्रबंधित किया जाता है और क्वार्टिक (बायवेट) कर्नेल का उपयोग करता है।
 * Microsoft Excel में, रॉयल सोसाइटी ऑफ केमिस्ट्री ने उनके के आधार पर कर्नेल घनत्व अनुमान चलाने के लिए एक ऐड-इन बनाया है। विश्लेषणात्मक तरीके समिति तकनीकी संक्षेप 4।
 * gnuplot में, कर्नेल घनत्व अनुमान किसके द्वारा कार्यान्वित किया जाता है  विकल्प, डेटा फ़ाइल में प्रत्येक बिंदु के लिए वजन और बैंडविड्थ हो सकता है, या बैंडविड्थ को स्वचालित रूप से सेट किया जा सकता है सिल्वरमैन के अंगूठे के नियम के अनुसार (ऊपर देखें)।
 * हास्केल (प्रोग्रामिंग भाषा) में, कर्नेल घनत्व सांख्यिकी पैकेज में कार्यान्वित किया जाता है।
 * इगोर प्रो में, कर्नेल घनत्व अनुमान किसके द्वारा कार्यान्वित किया जाता है  ऑपरेशन (इगोर प्रो 7.00 में जोड़ा गया)। बैंडविड्थ उपयोगकर्ता निर्दिष्ट या सिल्वरमैन, स्कॉट या बोमन और Azzalini के माध्यम से अनुमान लगाया जा सकता है। कर्नेल प्रकार हैं: एपेनेक्निकोव, द्वि-भार, त्रि-भार, त्रिकोणीय, गाऊसी और आयताकार।
 * जावा (प्रोग्रामिंग भाषा) में, वीका (मशीन लर्निंग) पैकेज दूसरों के बीच weka.estimators.KernelEstimator प्रदान करता है।
 * जावास्क्रिप्ट में, विज़ुअलाइज़ेशन पैकेज D3js|D3.js अपने Science.stats पैकेज में एक KDE पैकेज प्रदान करता है।
 * जेएमपी (सांख्यिकीय सॉफ्टवेयर) में, ग्राफ बिल्डर प्लेटफॉर्म द्विभाजित घनत्व के लिए समोच्च भूखंड और उच्च घनत्व क्षेत्र (एचडीआर), और अविभाजित घनत्व के लिए वायलिन भूखंड और एचडीआर प्रदान करने के लिए कर्नेल घनत्व अनुमान का उपयोग करता है। स्लाइडर्स उपयोगकर्ता को बैंडविड्थ बदलने की अनुमति देते हैं। Bivariate और univariate कर्नेल घनत्व अनुमान भी क्रमशः फ़िट Y द्वारा X और वितरण प्लेटफ़ॉर्म द्वारा प्रदान किए जाते हैं।
 * जूलिया (प्रोग्रामिंग भाषा) में, कर्नेल घनत्व अनुमान KernelDensity.jl पैकेज में कार्यान्वित किया जाता है।
 * MATLAB में, कर्नेल घनत्व अनुमान के माध्यम से कार्यान्वित किया जाता है  समारोह (सांख्यिकी टूलबॉक्स)। MATLAB की 2018a रिलीज़ के अनुसार, बैंडविड्थ और कर्नेल स्मूथ दोनों को निर्दिष्ट किया जा सकता है, जिसमें कर्नेल घनत्व की सीमा निर्दिष्ट करने जैसे अन्य विकल्प शामिल हैं। वैकल्पिक रूप से, एक मुफ्त MATLAB सॉफ़्टवेयर पैकेज जो एक स्वचालित बैंडविड्थ चयन पद्धति को लागू करता है MATLAB सेंट्रल फाइल एक्सचेंज के लिए उपलब्ध है
 * 1-आयामी डेटा
 * 2-आयामी डेटा
 * n-आयामी डेटा
 * गणित में, संख्यात्मक कर्नेल घनत्व अनुमान फ़ंक्शन द्वारा कार्यान्वित किया जाता है और सांकेतिक अनुमान समारोह का उपयोग कर कार्यान्वित किया जाता है  दोनों ही डेटा-संचालित बैंडविथ प्रदान करते हैं।
 * मिनिटैब में, रॉयल सोसाइटी ऑफ केमिस्ट्री ने अपनी एनालिटिकल मेथड्स कमेटी टेक्निकल ब्रीफ 4 के आधार पर कर्नेल घनत्व अनुमान चलाने के लिए एक मैक्रो बनाया है।
 * एनएजी न्यूमेरिकल लाइब्रेरी में, कर्नेल घनत्व अनुमान के माध्यम से कार्यान्वित किया जाता है  दिनचर्या (फोरट्रान दोनों में उपलब्ध है और सी लाइब्रेरी के संस्करण)।
 * Nuklei में, C++ कर्नेल घनत्व विधियाँ विशेष यूक्लिडियन समूह के डेटा पर ध्यान केंद्रित करती हैं $$SE(3)$$.
 * जीएनयू ऑक्टेव में, कर्नेल घनत्व अनुमान किसके द्वारा कार्यान्वित किया जाता है  विकल्प (अर्थमिति पैकेज)।
 * उत्पत्ति (डेटा विश्लेषण सॉफ़्टवेयर) में, इसके उपयोगकर्ता इंटरफ़ेस से 2डी कर्नेल घनत्व प्लॉट बनाया जा सकता है, और दो फ़ंक्शन, 1D के लिए Ksघनत्व और 2D के लिए Ks2घनत्व इसके से उपयोग किए जा सकते हैं /ltwiki/index.php?title=Category:LabTalk_Programming LabTalk], Python (प्रोग्रामिंग भाषा), या C (प्रोग्रामिंग भाषा) कोड।
 * पर्ल में, कार्यान्वयन सांख्यिकी-कर्नेल अनुमान मॉड्यूल में पाया जा सकता है।
 * PHP में, कार्यान्वयन MathPHP लाइब्रेरी में पाया जा सकता है।
 * पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा) में, कई कार्यान्वयन मौजूद हैं: pyqt_fit.kde मॉड्यूल में P/PyQt-Fit/PyQt-Fit-1.3.4.tar.gz PyQt-Fit पैकेज], SciPy, राज्य मॉडल ( और  ), और scikit-सीखें  (तुलना देखें ). KDEpy भारित डेटा का समर्थन करता है और इसका FFT कार्यान्वयन अन्य कार्यान्वयनों की तुलना में बहुत अधिक तेज़ है। आम तौर पर उपयोग की जाने वाली पांडा लाइब्रेरी  प्लॉट विधि के माध्यम से केडीई प्लॉटिंग के लिए समर्थन प्रदान करती है । भारित और सहसंबद्ध MCMC नमूनों के लिए getdist पैकेज 1D और 2D वितरण के लिए अनुकूलित बैंडविड्थ, सीमा सुधार और उच्च-क्रम विधियों का समर्थन करता है। कर्नेल घनत्व अनुमान के लिए एक नया उपयोग किया जाने वाला पैकेज सीबॉर्न है . केडीई का एक जीपीयू कार्यान्वयन भी मौजूद है।
 * R (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज) में इसके द्वारा इम्प्लीमेंट किया जाता है  आधार वितरण में, और   फ़ंक्शन का उपयोग आँकड़े पैकेज में किया जाता है, यह फ़ंक्शन सिल्वरमैन की पुस्तक में अनुकूलित सूत्र का उपयोग करता है।   KernSmooth लाइब्रेरी में,    DataVisualizations लाइब्रेरी में (पेरेटो वितरण घनत्व अनुमान के लिए),   ks लाइब्रेरी में,   और   evmix लाइब्रेरी में (बाउंडेड सपोर्ट के लिए बाउंड्री करेक्टेड कर्नेल डेंसिटी एस्टीमेशन के लिए बाद में),   np लाइब्रेरी (संख्यात्मक और श्रेणीबद्ध चर) में,   sm लाइब्रेरी में। के क्रियान्वयन के लिए   फ़ंक्शन, जिसे किसी पैकेज या लाइब्रेरी को स्थापित करने की आवश्यकता नहीं है, kde.R देखें। btb लाइब्रेरी, शहरी विश्लेषण के लिए समर्पित, कर्नेल घनत्व अनुमान को लागू करता है.
 * एसएएस (सॉफ्टवेयर) में,  अविभाजित और द्विभाजित कर्नेल घनत्व का अनुमान लगाने के लिए उपयोग किया जा सकता है।
 * अपाचे स्पार्क में,  कक्षा * था में, इसे किसके द्वारा कार्यान्वित किया जाता है  ; उदाहरण के लिए  . वैकल्पिक रूप से एक मुफ़्त स्टाटा मॉड्यूल केडीईएनएस उपलब्ध है उपयोगकर्ता को 1D या 2D घनत्व कार्यों का अनुमान लगाने की अनुमति देता है।
 * स्विफ्ट (प्रोग्रामिंग भाषा) में इसके द्वारा क्रियान्वित किया जाता है  ओपन-सोर्स स्टैटिस्टिक्स लाइब्रेरी SwiftStats में।

यह भी देखें

 * कर्नेल (सांख्यिकी)
 * कर्नेल चौरसाई
 * कर्नेल प्रतिगमन
 * घनत्व का अनुमान (अन्य उदाहरणों की प्रस्तुति के साथ)
 * मीन-शिफ्ट
 * स्केल स्पेस: त्रिक {(x, h, KDE बैंडविड्थ h के साथ x पर मूल्यांकित: सभी x, h > 0} डेटा का स्केल स्पेस प्रतिनिधित्व बनाते हैं।
 * बहुभिन्नरूपी कर्नेल घनत्व अनुमान
 * परिवर्तनीय कर्नेल घनत्व अनुमान
 * सिर/पूंछ टूटना। सिर/पूंछ टूटना

अग्रिम पठन

 * Härdle, Müller, Sperlich, Werwatz, Nonparametric and Semiparametric Methods, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2004, pp.&thinsp;39–83

बाहरी संबंध

 * Introduction to kernel density estimation A short tutorial which motivates kernel density estimators as an improvement over histograms.
 * Kernel Bandwidth Optimization A free online tool that generates an optimized kernel density estimate.
 * Free Online Software (Calculator) computes the Kernel Density Estimation for a data series according to the following Kernels: Gaussian, Epanechnikov, Rectangular, Triangular, Biweight, Cosine, and Optcosine.
 * Kernel Density Estimation Applet An online interactive example of kernel density estimation. Requires .NET 3.0 or later.