विभिन्न निर्देशांकों में डेल संक्रिया

यह सामान्य वक्ररेखीय निर्देशांक समन्वय प्रणालियों के साथ काम करने के लिए कुछ वेक्टर कलन  सूत्रों की एक सूची है।

टिप्पणियाँ

 * This article uses the standard notation ISO 80000-2, which supersedes ISO 31-11, for spherical coordinates (other sources may reverse the definitions of θ and φ):
 * The polar angle is denoted by $$\theta \in [0, \pi]$$: it is the angle between the z-axis and the radial vector connecting the origin to the point in question.
 * The azimuthal angle is denoted by $$\varphi \in [0, 2\pi]$$: it is the angle between the x-axis and the projection of the radial vector onto the xy-plane.
 * The function atan2(y, x) can be used instead of the mathematical function arctan(y/x) owing to its domain and image. The classical arctan function has an image of (−π/2, +π/2), whereas atan2 is defined to have an image of (−π, π].

समन्वय रूपांतरण
सावधानी: ऑपरेशन $$\arctan\left(\frac{A}{B}\right)$$ इसे दो-तर्क वाले व्युत्क्रम स्पर्शरेखा, atan2 के रूप में समझा जाना चाहिए।

सूत्र से

 * यह पेज उपयोग करता है $$\theta$$ ध्रुवीय कोण के लिए और $$\varphi$$ अज़ीमुथल कोण के लिए, जो भौतिकी में सामान्य संकेतन है। इन सूत्रों के लिए जिस स्रोत का उपयोग किया जाता है $$\theta$$ अज़ीमुथल कोण के लिए और $$\varphi$$ ध्रुवीय कोण के लिए, जो सामान्य गणितीय संकेतन है। गणित के सूत्र प्राप्त करने के लिए, स्विच करें $$\theta$$ और $$\varphi$$ उपरोक्त तालिका में दिखाए गए सूत्रों में।

गणना नियम

 * 1) $$\operatorname{div}  \, \operatorname{grad} f          \equiv \nabla \cdot  \nabla f \equiv \nabla^2 f$$
 * 2) $$\operatorname{curl} \, \operatorname{grad} f          \equiv \nabla \times \nabla f = \mathbf 0$$
 * 3) $$\operatorname{div}  \, \operatorname{curl} \mathbf{A} \equiv \nabla \cdot  (\nabla \times \mathbf{A}) = 0$$
 * 4) $$\operatorname{curl} \, \operatorname{curl} \mathbf{A} \equiv \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A}$$ (ट्रिपल उत्पाद#वेक्टर ट्रिपल उत्पाद|डेल के लिए लैग्रेंज का फॉर्मूला)
 * 5) $$\nabla^2 (f g) = f \nabla^2 g + 2 \nabla f \cdot \nabla g + g \nabla^2 f$$

कार्तीय व्युत्पत्ति


$$\begin{align} \operatorname{div} \mathbf A = \lim_{V\to 0} \frac{\iint_{\partial V} \mathbf A \cdot d\mathbf{S}}{\iiint_V dV}

&= \frac{A_x(x+dx)\,dy\,dz - A_x(x)\,dy\,dz + A_y(y+dy)\,dx\,dz - A_y(y)\,dx\,dz + A_z(z+dz)\,dx\,dy - A_z(z)\,dx\,dy}{dx\,dy\,dz} \\

&= \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z} \end{align}$$

$$\begin{align} (\operatorname{curl} \mathbf A)_x = \lim_{S^{\perp \mathbf{\hat x}}\to 0} \frac{\int_{\partial S} \mathbf A \cdot d\mathbf{\ell}}{\iint_{S} dS} &= \frac{A_z(y+dy)\,dz - A_z(y)\,dz + A_y(z)\,dy - A_y(z+dz)\,dy }{dy\,dz} \\ &= \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \end{align}$$ के लिए अभिव्यक्तियाँ $$(\operatorname{curl} \mathbf A)_y$$ और $$(\operatorname{curl} \mathbf A)_z$$ उसी तरह पाए जाते हैं.

बेलनाकार व्युत्पत्ति


$$\begin{align} \operatorname{div} \mathbf A &= \lim_{V\to 0} \frac{\iint_{\partial V} \mathbf A \cdot d\mathbf{S}}{\iiint_V dV} \\ &= \frac{A_\rho(\rho+d\rho)(\rho+d\rho)\,d\phi\, dz - A_\rho(\rho)\rho \,d\phi \,dz + A_\phi(\phi+d\phi)\,d\rho\, dz - A_\phi(\phi)\,d\rho\, dz + A_z(z+dz)\,d\rho\, (\rho +d\rho/2)\,d\phi - A_z(z)\,d\rho (\rho +d\rho/2)\, d\phi}{\rho \,d\phi \,d\rho\, dz} \\ &= \frac 1 \rho \frac{\partial (\rho A_\rho)}{\partial \rho} + \frac 1 \rho \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi} + \frac{\partial A_z}{\partial z} \end{align}$$

$$\begin{align} (\operatorname{curl} \mathbf A)_\rho &= \lim_{S^{\perp \boldsymbol{\hat \rho}}\to 0} \frac{\int_{\partial S} \mathbf A \cdot d\mathbf{\ell}}{\iint_{S} dS} \\ &= \frac{A_\phi (z)(\rho+d\rho)\,d\phi - A_\phi(z+dz)(\rho+d\rho)\,d\phi + A_z(\phi + d\phi)\,dz - A_z(\phi)\,dz}{(\rho+d\rho)\,d\phi \,dz} \\ &= -\frac{\partial A_\phi}{\partial z} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial A_z}{\partial \phi} \end{align}$$

$$\begin{align} (\operatorname{curl} \mathbf A)_\phi &= \lim_{S^{\perp \boldsymbol{\hat \phi}}\to 0} \frac{\int_{\partial S} \mathbf A \cdot d\mathbf{\ell}}{\iint_{S} dS} \\ &= \frac{A_z (\rho)\,dz - A_z(\rho + d\rho)\,dz + A_\rho(z+dz)\,d\rho - A_\rho(z)\,d\rho}{d\rho \,dz} \\ &= -\frac{\partial A_z}{\partial \rho} + \frac{\partial A_\rho}{\partial z} \end{align}$$

$$\begin{align} (\operatorname{curl} \mathbf A)_z &= \lim_{S^{\perp \boldsymbol{\hat z}}\to 0} \frac{\int_{\partial S} \mathbf A \cdot d\mathbf{\ell}}{\iint_{S} dS} \\ &= \frac{A_\rho(\phi)\,d\rho - A_\rho(\phi + d\phi)\,d\rho + A_\phi(\rho + d\rho)(\rho + d\rho)\,d\phi - A_\phi(\rho)\rho \,d\phi}{\rho \,d\rho \,d\phi} \\ &= -\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_\rho}{\partial \phi} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial (\rho A_\phi)}{\partial \rho} \end{align}$$

$$\begin{align} \operatorname{curl} \mathbf A &= (\operatorname{curl} \mathbf A)_\rho \hat{\boldsymbol \rho} + (\operatorname{curl} \mathbf A)_\phi \hat{\boldsymbol \phi} + (\operatorname{curl} \mathbf A)_z \hat{\boldsymbol z} \\ &= \left(\frac{1}{\rho} \frac{\partial A_z}{\partial \phi} -\frac{\partial A_\phi}{\partial z} \right) \hat{\boldsymbol \rho} + \left(\frac{\partial A_\rho}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial \rho} \right) \hat{\boldsymbol \phi} + \frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial (\rho A_\phi)}{\partial \rho} - \frac{\partial A_\rho}{\partial \phi} \right) \hat{\boldsymbol z} \end{align}$$

गोलाकार व्युत्पत्ति
$$\begin{align} \operatorname{div} \mathbf A &= \lim_{V\to 0} \frac{\iint_{\partial V} \mathbf A \cdot d\mathbf{S}}{\iiint_V dV} \\ &= \frac{A_r(r+dr)(r+dr)\,d\theta\, (r+dr)\sin\theta \,d\phi - A_r(r)r\,d\theta\, r\sin\theta \,d\phi + A_\theta(\theta+d\theta)\sin(\theta + d\theta)r\, dr\, d\phi - A_\theta(\theta)\sin(\theta)r \,dr \,d\phi + A_\phi(\phi + d\phi)r\,dr\, d\theta - A_\phi(\phi)r\,dr \,d\theta}{dr\,r\,d\theta\,r\sin\theta\, d\phi} \\ &= \frac{1}{r^2}\frac{\partial (r^2A_r)}{\partial r} + \frac{1}{r \sin\theta} \frac{\partial(A_\theta\sin\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r \sin\theta} \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi} \end{align}$$

$$\begin{align} (\operatorname{curl} \mathbf A)_r = \lim_{S^{\perp \boldsymbol{\hat r}}\to 0} \frac{\int_{\partial S} \mathbf A \cdot d\mathbf{\ell}}{\iint_{S} dS} &= \frac{A_\theta(\phi)r \,d\theta + A_\phi(\theta + d\theta)r \sin(\theta + d\theta)\, d\phi - A_\theta(\phi + d\phi)r \,d\theta - A_\phi(\theta)r\sin(\theta)\, d\phi}{r\, d\theta\,r\sin\theta \,d\phi} \\ &= \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(A_\phi \sin\theta)}{\partial \theta} - \frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial A_\theta}{\partial \phi} \end{align}$$

$$\begin{align} (\operatorname{curl} \mathbf A)_\theta = \lim_{S^{\perp \boldsymbol{\hat \theta}}\to 0} \frac{\int_{\partial S} \mathbf A \cdot d\mathbf{\ell}}{\iint_{S} dS} &= \frac{A_\phi(r)r \sin\theta \,d\phi + A_r(\phi + d\phi)\,dr - A_\phi(r+dr)(r+dr)\sin\theta \,d\phi - A_r(\phi)\,dr}{dr \, r \sin \theta \,d\phi} \\ &= \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_r}{\partial \phi} - \frac{1}{r} \frac{\partial (rA_\phi)}{\partial r} \end{align}$$

$$\begin{align} (\operatorname{curl} \mathbf A)_\phi = \lim_{S^{\perp \boldsymbol{\hat \phi}}\to 0} \frac{\int_{\partial S} \mathbf A \cdot d\mathbf{\ell}}{\iint_{S} dS} &= \frac{A_r(\theta)\,dr + A_\theta(r+dr)(r+dr)\,d\theta - A_r(\theta+d\theta)\,dr - A_\theta(r) r \,d\theta}{r\,dr\, d\theta} \\ &= \frac{1}{r}\frac{\partial(rA_\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r} \frac{\partial A_r}{\partial \theta} \end{align}$$

$$\operatorname{curl} \mathbf A = (\operatorname{curl} \mathbf A)_r \, \hat{\boldsymbol r} + (\operatorname{curl} \mathbf A)_\theta \, \hat{\boldsymbol \theta} + (\operatorname{curl} \mathbf A)_\phi \, \hat{\boldsymbol \phi} = \frac{1}{r\sin\theta} \left(\frac{\partial(A_\phi \sin\theta)}{\partial \theta}-\frac{\partial A_\theta}{\partial \phi} \right) \hat{\boldsymbol r} +\frac{1}{r} \left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial A_r}{\partial \phi} - \frac{\partial (rA_\phi)}{\partial r} \right) \hat{\boldsymbol \theta} + \frac{1}{r}\left(\frac{\partial(rA_\theta)}{\partial r} - \frac{\partial A_r}{\partial \theta} \right) \hat{\boldsymbol \phi}$$

इकाई वेक्टर रूपांतरण सूत्र
एक समन्वय पैरामीटर यू के यूनिट वेक्टर को इस तरह से परिभाषित किया गया है कि यू में एक छोटा सा सकारात्मक परिवर्तन स्थिति वेक्टर का कारण बनता है $$\mathbf r$$ में बदलने के लिए $$\mathbf u$$ दिशा।

इसलिए, $$\frac{\partial {\mathbf r}}{\partial u} = \frac{\partial{s}}{\partial u} \mathbf u$$ कहाँ $s$ चाप लंबाई पैरामीटर है।

समन्वय प्रणालियों के दो सेटों के लिए $$u_i$$ और $$v_j$$, किसी फ़ंक्शन के डिफरेंशियल के अनुसार, $$d\mathbf r = \sum_{i} \frac{\partial \mathbf r}{\partial u_i} \, du_i = \sum_{i} \frac{\partial s}{\partial u_i} \hat{\mathbf u}_i du_i = \sum_{j} \frac{\partial s}{\partial v_j} \hat{\mathbf v}_j \, dv_j = \sum_{j}\frac{\partial s}{\partial v_j} \hat{\mathbf v}_j \sum_{i} \frac{\partial v_j}{\partial u_i} \, du_i = \sum_{i} \sum_{j} \frac{\partial s}{\partial v_j} \frac{\partial v_j}{\partial u_i} \hat{\mathbf v}_j \, du_i.$$ अब, हम अलग करते हैं $$i$$वेंघटक. के लिए $$i{\neq}k$$, होने देना $$\mathrm d u_k=0$$. फिर दोनों तरफ से विभाजित करें $$\mathrm d u_i$$ पाने के लिए और: $$\frac{\partial s}{\partial u_i} \hat{\mathbf u}_i = \sum_{j} \frac{\partial s}{\partial v_j} \frac{\partial v_j}{\partial u_i} \hat{\mathbf v}_j.$$

यह भी देखें

 * की
 * ऑर्थोगोनल निर्देशांक
 * वक्ररेखीय निर्देशांक
 * बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में वेक्टर फ़ील्ड

बाहरी संबंध

 * Maxima Computer Algebra system scripts to generate some of these operators in cylindrical and spherical coordinates.