नेक्लिस बहुपद

साहचर्य गणित में, नेक्लिस बहुपद, या मोरो का नेक्लिस-गिनती कार्य, द्वारा पेश किया गया, α उपलब्ध रंगों में से चुने गए n रंगीन मोतियों के अलग-अलग नेक्लिस की संख्या की गणना करता है। नेक्लिस को अनावधिक माना जाता है (दोहराए गए अनुक्रमों से युक्त नहीं), और रोटेशन तक गिना जाता है (नेक्लिस के चारों ओर मोतियों को घुमाकर एक ही नेक्लिस के रूप में गिना जाता है), लेकिन बिना पलटे (मोतियों के क्रम को उलट कर एक अलग नेक्लिस के रूप में गिना जाता है)। यह गणना कार्य, अन्य बातों के अलावा, मुक्त लाई बीजगणित में आयाम और परिमित क्षेत्र पर अलघुकरणीय बहुपदों की संख्या का भी वर्णन करता है।

परिभाषा
नेक्लिस बहुपद बहुपदों का एक परिवार है $$M(\alpha,n)$$ चर में $$\alpha$$ ऐसा है कि
 * $$\alpha^n \ =\ \sum_{d\,|\,n} d \, M(\alpha, d).$$

मोबियस इनवेरसिओं द्वारा ये ऐसे दिया जाता है
 * $$ M(\alpha,n) \ =\ {1\over n}\sum_{d\,|\,n}\mu\!\left({n \over d}\right)\alpha^d,$$

जहाँ $$\mu$$ क्लासिक मोबियस कार्य है।

एक करीबी से संबंधित परिवार, जिसे सामान्य नेक्लिस बहुपद या सामान्य नेक्लिस-गिनती कार्य कहा जाता है:
 * $$N(\alpha,n)\ =\ \sum_{d\,|\,n} M(\alpha,d)\ =\ \frac{1}{n}\sum_{d\,|\,n}\varphi\!\left({n \over d}\right)\alpha^d,$$

जहाँ $$\varphi$$ यूलर का कुल कार्य है।

अनुप्रयोग
नेक्लिस बहुपद $$M(\alpha,n)$$ के रूप में दिखाई देते हैं:


 * नेक्लिस (कॉम्बिनेटरिक्स) की संख्या अनावधिक नेक्लिस (या समतुल्य लिंडन शब्द) जिसे α उपलब्ध रंगों वाले N रंगीन मोतियों की व्यवस्था करके बनाया जा सकता है। ऐसे दो नेक्लिसों को समान माना जाता है यदि वे एक घूर्णन (लेकिन प्रतिबिंब नहीं) से संबंधित होते हैं। अनावधिक का अर्थ घूर्णी समरूपता के बिना नेक्लिस है, जिसमें अलग-अलग घुमाव होते हैं। बहुपद $$N(\alpha,n)$$ आवधिक वाले सहित नेक्लिस की संख्या दें: पोल्या गणना प्रमेय पोल्या सिद्धांत का उपयोग करके इसकी आसानी से गणना की जाती है।
 * α जनरेटर पर मुक्त लाई बीजगणित के डिग्री n टुकड़े का आयाम (विट का सूत्र )। यहाँ $$N(\alpha,n)$$ संबंधित मुक्त जॉर्डन बीजगणित के डिग्री N टुकड़े का आयाम होना चाहिए।
 * हॉल सेट में लंबाई N के अलग-अलग शब्दों की संख्या। ध्यान दें कि हॉल सेट मुक्त झूठ बीजगणित के लिए एक स्पष्ट आधार प्रदान करता है; इस प्रकार, यह उपरोक्त के लिए सामान्यीकृत सेटिंग है।
 * α तत्वों के साथ एक परिमित क्षेत्र पर डिग्री n के मोनिक इरेड्यूसिबल बहुपदों की संख्या (जब $$\alpha=p^d$$ एक प्रमुख शक्ति है)। यहाँ $$N(\alpha,n)$$ उन बहुपदों की संख्या है जो प्राथमिक हैं (एक अलघुकरणीय की शक्ति)।
 * चक्रीय पहचान में प्रतिपादक।

यद्यपि इन विभिन्न प्रकार की वस्तुओं को एक ही बहुपद द्वारा गिना जाता है, लेकिन उनके सटीक संबंध रहस्यमय या अज्ञात रहते हैं। उदाहरण के लिए, अलघुकरणीय बहुपदों और लिंडन शब्दों के बीच कोई विहित आक्षेप नहीं है। यद्यपि, एक गैर-विहित आक्षेप है जिसे निम्नानुसार बनाया जा सकता है। α तत्वों के साथ एक फ़ील्ड F पर किसी भी डिग्री n मोनिक इरेड्यूसिबल बहुपद के लिए, इसकी जड़ें गाल्वा विस्तार फ़ील्ड L में होती हैं $$\alpha^n$$ तत्व। कोई एक तत्व चुन सकता है $$x\in L$$ ऐसा है कि $$\{x,\sigma x, ...,\sigma^{n-1} x\}$$ एल के लिए एक एफ-आधार है (एक सामान्य आधार | सामान्य आधार), जहां σ फ्रोबेनियस एंडोमोर्फिज्म है $$\sigma y = y^\alpha$$. तब आपत्ति को एक नेक्लिस के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसे कार्यों के समकक्ष वर्ग के रूप में देखा जाता है $$f:\{1,...,n\}\rightarrow F$$, अलघुकरणीय बहुपद के लिए $$\phi(T)=(T-y)(T-\sigma y)\cdots (T-\sigma^{n-1}y) \in F[T]$$, जहाँ$$y=f(1)x+f(2)\sigma x+\cdots+f(n)\sigma^{n-1} x$$. एफ के विभिन्न चक्रीय पुनर्गठन, यानी एक ही समकक्ष वर्ग के विभिन्न प्रतिनिधि, के कारकों के चक्रीय पुनर्व्यवस्था उत्पन्न करते हैं $$\phi(T)$$, इसलिए यह पत्राचार अच्छी तरह से परिभाषित है।

M और N के बीच संबंध
M और N के लिए बहुपद अंकगणितीय कार्यों के डिरिचलेट दृढ़ संकल्प के संदर्भ में आसानी से संबंधित हैं $$f(n)*g(n)$$, के बारे में $$\alpha$$ एक स्थिर के रूप में।
 * M के लिए सूत्र देता है $$ n\,M(n) \,=\, \mu(n)*\alpha^n$$,
 * N का सूत्र देता है $$ n\,N(n) \,=\, \phi(n)*\alpha^n \,=\, n*\mu(n)*\alpha^n$$.
 * उनका संबंध देता है $$N(n)\,=\,1*M(n)$$ या समकक्ष $$ n\,N(n) \,=\, n*(n\,M(n))$$, क्योंकि n पूरी तरह_गुणक_कार्यगुण है।

इनमें से किसी भी दो का अर्थ तीसरा है, उदाहरण के लिए:

n*\mu(n)*\alpha^n \,=\, n\,N(n) \,=\, n*(n\,M(n)) \quad\Longrightarrow\quad \mu(n)*\alpha^n = n\,M(n)$$ रद्दीकरण द्वारा डिरिचलेट बीजगणित में ।

उदाहरण


\begin{align} M(1,n) & = 0 \text{ if }n>1 \\[6pt] M(\alpha,1) & = \alpha \\[6pt] M(\alpha,2) & = \tfrac12 (\alpha^2-\alpha) \\[6pt] M(\alpha,3) & = \tfrac13 (\alpha^3-\alpha) \\[6pt] M(\alpha,4) & = \tfrac14 (\alpha^4-\alpha^2) \\[6pt] M(\alpha,5) & = \tfrac15(\alpha^5-\alpha) \\[6pt] M(\alpha,6) & = \tfrac16(\alpha^6-\alpha^3-\alpha^2+\alpha) \\[6pt] M(\alpha,p) & = \tfrac1p (\alpha^{p}-\alpha) & \text{ if }p\text{ is prime} \\[6pt] M(\alpha,p^N) & = \tfrac1{p^N}(\alpha^{p^N}-\alpha^{p^{N-1}}) & \text{ if }p\text{ is prime} \end{align} $$ $$\alpha=2$$ के लिए, लंबाई शून्य से आरम्भ होकर, ये पूर्णांक अनुक्रम बनाते हैं
 * 1, 2, 1, 2, 3, 6, 9, 18, 30, 56, 99, 186, 335, ...

पहचान
मेट्रोपोलिस और रोटा द्वारा दी गई बहुपद विभिन्न संयोजी पहचानों का पालन करते हैं:

M(\alpha\beta, n) =\sum_{\operatorname{lcm}(i,j)=n} \gcd(i,j)M(\alpha,i)M(\beta,j), $$ जहाँ "जीसीडी" महत्तम समापवर्तक है और "एलसीएम" लघुत्तम समापवर्तक है। प्रायः अधिकतर,



M(\alpha\beta\cdots\gamma, n) =\sum_{\operatorname{lcm}(i,j,\ldots,k)=n} \gcd(i,j,\cdots,k)M(\alpha,i)M(\beta,j)\cdots M(\gamma,k), $$ जिसका तात्पर्य यह भी है:

M(\beta^m, n) =\sum_{\operatorname{lcm}(j,m)=nm} \frac{j}{n} M(\beta,j). $$

चक्रीय पहचान

 * $${1 \over 1-\alpha z}\ =\ \prod_{j=1}^\infty\left({1 \over 1-z^j}\right)^{M(\alpha,j)}$$

संदर्भ

 * मोरो, सी. (1872), "सुर लेस परमुटेशन सर्कुलेयर्स डिसेंट (ऑन डिफरेंट सर्कुलर परमुटेशन)", नोवेल्स एनाल्स डे मैथेमेटिक्स, सेरी 2 (फ्रेंच में), 11: 309–31, जेएफएम 04.0086.01 साँचा:उद्धरण: सीएस1रखरखाव: अपरिचित भाषा (लिंक)


 * मेट्रोपोलिस, एन.; रोटा, जियान-कार्लो (1983), "विट वैक्टर एंड द अलजेब्रा ऑफ नेकलेस", एडवांसेस इन मैथमेटिक्स, 50 (2): 95–125, डोई:10.1016/0001-8708(83)90035-एक्स, आईएसएसएन 0001-8708, एमआर 0723197, ज़ेडबीएल 0545.05009


 * रेउटेनॉयर, क्रिस्टोफ़ (1988). "मॉट्स सर्कुलेयर्स एट पॉलीनॉमीज़ इरेक्टिबल्स"। ऐन। विज्ञान। गणित। क्यूबेक। 12 (2): 275–285।