मिन्कोव्स्की-बौलीगैंड आयाम

[[image:Great Britain Box.svg|thumb|450px|ग्रेट ब्रिटेन के तट के बॉक्स-गिनती आयाम का अनुमान लगाना फ्रैक्टल ज्यामिति में, मिन्कोव्स्की-बौलीगैंड आयाम, जिसे मिन्कोव्स्की आयाम या बॉक्स-गिनती आयाम के रूप में भी जाना जाता है, एक [[सेट (गणित)]] के फ्रैक्टल आयाम को निर्धारित करने का एक तरीका है। $$S$$ यूक्लिडियन स्थान में $$\R^n$$, या अधिक सामान्यतः एक मीट्रिक स्थान में $$(X,d)$$. इसका नाम पोलैंड के गणितज्ञ हरमन मिन्कोव्स्की और फ्रांस के गणितज्ञ जॉर्जेस बौलिगैंड के नाम पर रखा गया है।

फ्रैक्टल के लिए इस आयाम की गणना करना $$S$$, एक समान दूरी वाले ग्रिड पर पड़े इस फ्रैक्टल की कल्पना करें और गिनें कि सेट को कवर करने (टोपोलॉजी) के लिए कितने बक्सों की आवश्यकता है। बॉक्स-गिनती आयाम की गणना यह देखकर की जाती है कि जब हम बॉक्स गिनती | बॉक्स-गिनती एल्गोरिथ्म को लागू करके ग्रिड को बेहतर बनाते हैं तो यह संख्या कैसे बदलती है।

लगता है कि $$N(\varepsilon)$$ भुजा की लंबाई वाले बक्सों की संख्या है $$\varepsilon$$ सेट को कवर करना आवश्यक है. फिर बॉक्स-गिनती आयाम को इस प्रकार परिभाषित किया गया है


 * $$\dim_\text{box}(S) := \lim_{\varepsilon \to 0} \frac {\log N(\varepsilon)}{\log(1/\varepsilon)}.$$

मोटे तौर पर कहें तो इसका अर्थ यह है कि आयाम ही प्रतिपादक है $$d$$ ऐसा है कि $$N(1/n)\approx Cn^d$$, जो कि एक मामूली मामले में कोई भी उम्मीद कर सकता है $$S$$ पूर्णांक आयाम का एक सहज स्थान ( कई गुना ) है $$d$$.

यदि किसी फ़ंक्शन की उपरोक्त सीमा मौजूद नहीं है, तब भी कोई ऊपरी सीमा और निचली सीमा ले सकता है, जो क्रमशः ऊपरी बॉक्स आयाम और निचले बॉक्स आयाम को परिभाषित करते हैं। ऊपरी बॉक्स आयाम को कभी-कभी एन्ट्रॉपी आयाम, कोलमोगोरोव आयाम, कोलमोगोरोव क्षमता, सीमा क्षमता या ऊपरी मिन्कोव्स्की आयाम कहा जाता है, जबकि निचले बॉक्स आयाम को निचला मिन्कोव्स्की आयाम भी कहा जाता है।

ऊपरी और निचले बॉक्स आयाम दृढ़ता से अधिक लोकप्रिय हॉसडॉर्फ आयाम से संबंधित हैं। केवल बहुत विशेष अनुप्रयोगों में ही तीनों के बीच अंतर करना महत्वपूर्ण है (देखें हॉसडॉर्फ आयाम से संबंध)। भग्न आयाम का एक अन्य माप सहसंबंध आयाम है।

वैकल्पिक परिभाषाएँ
[[image:Great Britain coverings.svg|thumb|350px|बॉल पैकिंग, बॉल कवरिंग और बॉक्स कवरिंग के उदाहरण [[कवरिंग नंबर]] या पैकिंग नंबर के साथ गेंदों का उपयोग करके बॉक्स आयामों को परिभाषित करना संभव है। कवरिंग नंबर $$N_\text{covering}(\varepsilon)$$ फ्रैक्टल को कवर करने (टोपोलॉजी) के लिए आवश्यक त्रिज्या ε की खुली गेंदों की न्यूनतम संख्या है, या दूसरे शब्दों में, जैसे कि उनके संघ में फ्रैक्टल शामिल है। हम आंतरिक आवरण संख्या पर भी विचार कर सकते हैं $$N'_\text{covering}(\varepsilon)$$, जिसे उसी तरह परिभाषित किया गया है लेकिन अतिरिक्त आवश्यकता के साथ कि खुली गेंदों के केंद्र सेट एस के अंदर हों। पैकिंग नंबर $$N_\text{packing}(\varepsilon)$$ त्रिज्या ε की खुली गेंदों के असंयुक्त सेट की अधिकतम संख्या है जिसे कोई इस प्रकार स्थित कर सकता है कि उनके केंद्र फ्रैक्टल के अंदर होंगे। जबकि एन, एनcovering, एन'covering और npacking बिल्कुल समान नहीं हैं, वे निकटता से संबंधित हैं और ऊपरी और निचले बॉक्स आयामों की समान परिभाषाओं को जन्म देते हैं। निम्नलिखित असमानताएँ सिद्ध हो जाने पर इसे सिद्ध करना आसान है:


 * $$N_\text{packing}(\varepsilon) \leq N'_\text{covering}(\varepsilon) \leq N_\text{covering}(\varepsilon/2).$$

ये, बदले में, त्रिभुज असमानता के थोड़े से प्रयास से अनुसरण करते हैं।

वर्गों के बजाय गेंदों का उपयोग करने का लाभ यह है कि यह परिभाषा किसी भी मीट्रिक स्थान को सामान्यीकृत करती है। दूसरे शब्दों में, बॉक्स की परिभाषा डिफरेंशियल_जियोमेट्री#इंट्रिन्सिक_वर्सस_एक्सट्रिंसिक है - एक मानता है कि फ्रैक्टल स्पेस एस यूक्लिडियन स्पेस में समाहित है, और बॉक्स को युक्त स्पेस की बाहरी ज्यामिति के अनुसार परिभाषित करता है। हालाँकि, S का आयाम डिफरेंशियल_जियोमेट्री#Intrinsic_versus_extrinsic होना चाहिए, यह उस वातावरण से स्वतंत्र होना चाहिए जिसमें S को रखा गया है, और बॉल की परिभाषा आंतरिक रूप से तैयार की जा सकती है। एक आंतरिक गेंद को चुने गए केंद्र की एक निश्चित दूरी के भीतर एस के सभी बिंदुओं के रूप में परिभाषित करता है, और कोई आयाम प्राप्त करने के लिए ऐसी गेंदों को गिनता है। (अधिक सटीक रूप से, एनcovering परिभाषा बाह्य है, लेकिन अन्य दो आंतरिक हैं।)

बक्से का उपयोग करने का लाभ यह है कि कई मामलों में एन (ε) की गणना आसानी से स्पष्ट रूप से की जा सकती है, और बक्से के लिए कवरिंग और पैकिंग संख्या (समकक्ष तरीके से परिभाषित) बराबर होती है।

पैकिंग और कवरिंग संख्याओं के लघुगणक को कभी-कभी एन्ट्रापी संख्या के रूप में संदर्भित किया जाता है और ये कुछ हद तक एन्ट्रापी और एन्ट्रापी (सूचना सिद्धांत) | सूचना-सैद्धांतिक एन्ट्रापी की अवधारणाओं के अनुरूप होते हैं, जिसमें वे मीट्रिक स्पेस या फ्रैक्टल में विकार की मात्रा को मापते हैं। पैमाने पर ε और यह भी मापें कि सटीकता ε के लिए स्थान के एक बिंदु को निर्दिष्ट करने के लिए कितने बिट्स या अंकों की आवश्यकता होगी।

बॉक्स-गिनती आयाम के लिए एक और समकक्ष (बाहरी) परिभाषा सूत्र द्वारा दी गई है


 * $$\dim_\text{box}(S) = n - \lim_{r \to 0} \frac{\log \text{vol}(S_r)}{\log r},$$

जहां प्रत्येक r > 0 के लिए, सेट $$S_r$$ इसे S के r-पड़ोस के रूप में परिभाषित किया गया है, अर्थात इसमें सभी बिंदुओं का समुच्चय $$R^n$$ जो S से r से कम दूरी पर हैं (या समकक्ष, $$S_r$$ S) में एक बिंदु पर केन्द्रित त्रिज्या r की सभी खुली गेंदों का मिलन है।

गुण
दोनों बॉक्स आयाम परिमित रूप से योगात्मक हैं, अर्थात यदि {ए1, ..., एn} तो, सेट का एक सीमित संग्रह है


 * $$\dim(A_1 \cup \dotsb \cup A_n) = \max\{\dim A_1, \dots, \dim A_n\}.$$

हालाँकि, वे गणनीय समुच्चय योगात्मक नहीं हैं, अर्थात यह समानता समुच्चयों के अनंत अनुक्रम के लिए मान्य नहीं है। उदाहरण के लिए, एक बिंदु का बॉक्स आयाम 0 है, लेकिन अंतराल [0, 1] में तर्कसंगत संख्याओं के संग्रह के बॉक्स आयाम का आयाम 1 है। तुलनात्मक रूप से हॉसडॉर्फ माप, गणनीय रूप से योगात्मक है।

ऊपरी बॉक्स आयाम की एक दिलचस्प संपत्ति जो निचले बॉक्स आयाम या हॉसडॉर्फ आयाम के साथ साझा नहीं की जाती है, वह जोड़ सेट करने का कनेक्शन है। यदि ए और बी यूक्लिडियन स्पेस में दो सेट हैं, तो ए + बी सभी बिंदुओं के जोड़े को लेने से बनता है, जहां ए ए से है और बी बी से है और ए + बी जोड़ रहा है। किसी के पास


 * $$\dim_\text{upper box}(A + B) \leq \dim_\text{upper box}(A) + \dim_\text{upper box}(B).$$

हॉसडॉर्फ आयाम से संबंध
बॉक्स-गिनती आयाम आयाम की कई परिभाषाओं में से एक है जिसे फ्रैक्टल पर लागू किया जा सकता है। कई अच्छे व्यवहार वाले फ्रैक्टल्स के लिए ये सभी आयाम समान हैं; विशेष रूप से, जब भी फ्रैक्टल ओपन सेट स्थिति  (ओएससी) को संतुष्ट करता है तो ये आयाम मेल खाते हैं। उदाहरण के लिए, हॉसडॉर्फ आयाम, निचला बॉक्स आयाम, और कैंटर सेट का ऊपरी बॉक्स आयाम सभी लॉग (2)/लॉग (3) के बराबर हैं। हालाँकि, परिभाषाएँ समकक्ष नहीं हैं।

बॉक्स आयाम और हॉसडॉर्फ आयाम असमानता से संबंधित हैं


 * $$\dim_\text{Haus} \leq \dim_\text{lower box} \leq \dim_\text{upper box}.$$

सामान्य तौर पर, दोनों असमानताएँ सख्त असमानता हो सकती हैं। यदि भिन्न पैमाने पर फ्रैक्टल का व्यवहार अलग-अलग हो तो ऊपरी बॉक्स का आयाम निचले बॉक्स के आयाम से बड़ा हो सकता है। उदाहरण के लिए, शर्त को पूरा करने वाले अंतराल [0, 1] में संख्याओं के सेट की जांच करें


 * किसी भी n के लिए, 2 के बीच के सभी अंक2n-वां अंक और (22n+1 - 1)-वां अंक शून्य है।

विषम स्थान-अंतराल में अंक, यानी अंक 2 के बीच2n+1और 22n+2- 1 प्रतिबंधित नहीं है और इसका कोई भी मूल्य हो सकता है। इस फ्रैक्टल में ऊपरी बॉक्स आयाम 2/3 और निचले बॉक्स आयाम 1/3 है, एक तथ्य जिसे एन (ε) की गणना करके आसानी से सत्यापित किया जा सकता है $$\varepsilon = 10^{-2^n}$$ और ध्यान दें कि उनके मान n सम और विषम के लिए अलग-अलग व्यवहार करते हैं।

एक अन्य उदाहरण: परिमेय संख्याओं का समुच्चय $$\mathbb{Q}$$, के साथ एक गणनीय समुच्चय $$\dim_\text{Haus} = 0$$, है $$\dim_\text{box} = 1$$ क्योंकि यह बंद है, $$\mathbb{R}$$, का आयाम 1 है। वास्तव में,


 * $$\dim_\text{box}\left\{0, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots\right\} = \frac{1}{2}.$$

ये उदाहरण दिखाते हैं कि एक गणनीय सेट जोड़ने से बॉक्स आयाम बदल सकता है, जो इस आयाम की एक प्रकार की अस्थिरता को प्रदर्शित करता है।

यह भी देखें

 * सहसंबंध आयाम
 * पैकिंग आयाम
 * अनिश्चितता प्रतिपादक
 * वेइल-बेरी अनुमान
 * अपूर्णता

बाहरी संबंध

 * FrakOut!: an OSS application for calculating the fractal dimension of a shape using the box counting method (Does not automatically place the boxes for you).
 * FracLac: online user guide and software ImageJ and FracLac box counting plugin; free user-friendly open source software for digital image analysis in biology