अनुमान (कंजेक्चर)

गणित में अनुमान (conjecture) एक निष्कर्ष या प्रस्ताव है, जिसे औपचारिक प्रमाण के बिना अस्थायी आधार पर प्रस्तुत किया जाता है।  कुछ अनुमान, जैसे कि रीमैन परिकल्पना (अभी भी एक अनुमान) या फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय एंड्रयू विल्स द्वारा 1995 में सिद्ध किए जाने तक एक अनुमान ने गणितीय इतिहास को रचना दिया है क्योंकि उन्हें सत्यापित करने के लिए गणित के नए क्षेत्रों का विकास किया गया है।

फर्मेट की अंतिम प्रमेय
संख्या सिद्धांत में, फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय (कभी-कभी फ़र्मेट का अनुमान कहा जाता है, विशेष रूप से पुराने ग्रंथों में) कहता है कि कोई भी तीन धनात्मक पूर्णांक $$a$$, $$b$$ और $$c$$ समीकरण $$a^n + b^n = c^n$$ को संतुष्ट नहीं कर सकते हैं। तथा दो अधिक $$n$$ के किसी पूर्णांक मान के लिए।

इस प्रमेय को पहली बार 1637 में अंकगणित की एक प्रति के अतिरिक्त राशि में पियरे डी फर्मेट द्वारा अनुमानित किया गया था, जहां उन्होंने दावा किया था कि उनके पास एक प्रमाण है, जो अतिरिक्त राशि में उपयुक्त होने के लिए बहुत बड़ा था।

पहला सफल प्रमाण 1994 में एंड्रयू विल्स द्वारा लागू किया गया था, और गणितज्ञों द्वारा 358 वर्षों के प्रयास के बाद औपचारिक रूप से 1995 में प्रकाशित किया गया था। अनसुलझी(unsolved) समस्या ने 19वीं सदी में बीजगणितीय संख्या सिद्धांत के विकास को और 20वीं सदी में प्रतिरूपकता(modularity) प्रमेय के प्रमाण को प्रेरित किया।यह गणित के इतिहास में सबसे उल्लेखनीय प्रमेयों में से एक है, और इसके प्रमाण से पहले यह सबसे जटिल गणितीय समस्याओं के लिए गिनीज बुक ऑफ वर्ल्ड रिकॉर्ड्स में सम्मिलित था।

चार रंग प्रमेय
गणित में, चार रंग प्रमेय, या चार रंग मानचित्र (मैप) प्रमेय, यह बताता है कि एक समतल के निकटवर्ती क्षेत्रों में किसी भी विभाजन को देखते हुए, मानचित्र नामक एक आकृति का उत्पादन होता है, मानचित्र के क्षेत्रों को रंगने के लिए चार से अधिक रंगों की आवश्यकता नहीं होती है - इसलिए कि किन्हीं भी दो निकटवर्ती क्षेत्रों का रंग एक जैसा नहीं है। दो क्षेत्रों को आसन्न कहा जाता है यदि वे एक सामान्य सीमा साझा करते हैं, जो एक किनारा नहीं है, जहां तीन किनारे या अधिक क्षेत्रों द्वारा साझा किए गए बिंदु हैं। उदाहरण के लिए, संयुक्त राज्य अमेरिका के मानचित्र में, यूटा और एरिजोना आसन्न हैं, लेकिन यूटा और न्यू मैक्सिको, जो केवल एरिजोना और कोलोराडो से संबंधित बिंदु साझा नहीं करते हैं।

मोबियस ने 1840 के प्रारम्भ में ही अपने व्याख्यानों(lectures) में इस समस्या का उल्लेख किया था। अनुमान पहली बार 23 अक्टूबर, 1852 को प्रस्तावित किया गया था। रेफरी नाम=मैकेंजी>डोनाल्ड मैकेंजी, मैकेनाइजिंग प्रूफ: कम्प्यूटिंग, रिस्क, एंड ट्रस्ट (एमआईटी प्रेस, 2004) पृष्ठ 103 जब फ्रांसिस गुथरी ने इंग्लैंड के काउंटियों के मानचित्र को रंगने की कोशिश करते हुए देखा कि केवल चार अलग-अलग रंगों की आवश्यकता थी। पांच रंग प्रमेय, जिसका एक छोटा प्रारंभिक प्रमाण यह कहता है, कि पांच रंग एक मानचित्र को रंगने के लिए पर्याप्त हैं और 19वीं शताब्दी के अंत में सिद्ध हो गया था। रेफरी> हालांकि, यह सिद्ध करना कि चार रंग ही पर्याप्त हैं, बहुत जटिल निकला था। लेकिन 1852 में चार रंग प्रमेय के पहले कथन के बाद से कई गतल प्रमाण और गलत प्रति उदाहरण सामने आए हैं।

चार रंगों वाली प्रमेय अंततः 1976 में केनेथ एपल और वोल्फगैंग हेकेन द्वारा सिद्ध की गई थी। कंप्यूटर का उपयोग करके सिद्ध किया जाने वाला यह पहला प्रमुख प्रमेय था। एपेल और हेकेन का दृष्टिकोण यह दिखाते हुए प्रारम्भ हुआ कि 1,936 का मानचित्र एक विशेष संग्रह है, जिनमें से प्रत्येक चार रंग प्रमेय के लिए एक छोटे आकार के प्रति उदाहरण का भाग(part) नहीं हो सकता है (अर्थात, यदि वे प्रकट होते हैं, तो कोई एक छोटा प्रति-उदाहरण बना सकता है) एपेल और हेकेन ने एक विशेष प्रयोजन के कंप्यूटर प्रोग्राम का उपयोग यह पुष्टि करने के लिए किया।, कि इनमें से प्रत्येक मानचित्र में यह अधिकार था। तथा इसके अतिरिक्त, कोई मानचित्र जो संभावित रूप से एक प्रति उदाहरण हो सकता है, उसमें एक भाग होना चाहिए।, जो इन 1,936 मानचित्रों में से एक जैसा दिखता है। हाथों के विश्लेषण के सैकड़ों पृष्ठों के साथ इसे दिखाते हुए, एपेल और हेकेन ने निष्कर्ष निकाला कि कोई भी सबसे छोटा प्रति उदाहरण उपस्थित नहीं है क्योंकि किसी में भी इन 1,936 मानचित्रों में से एक होना चाहिए, फिर भी सम्मिलित नहीं है। इस विरोधाभास का अर्थ यह है कि कोई भी प्रति उदाहरण नहीं है और इसलिए प्रमेय सत्य है। प्रारंभ में, उनके प्रमाण को गणितज्ञों द्वारा बिल्कुल भी स्वीकार नहीं किया गया था।, क्योंकि कंप्यूटर-सहायता प्राप्त प्रमाण मानव द्वारा हाथ से जांचना संभव नहीं थी। रेफरी> हालाँकि, तब से प्रमाण को व्यापक स्वीकृति मिल गई है, यद्यपि संदेह अभी भी बना हुआ है। रेफरी>

मुख्य अनुमान
ज्यामितीय टोपोलॉजी का मुख्य अनुमान (मुख्य अनुमान के लिए जर्मन) यह अनुमान है कि त्रिकोणीय स्थान के किन्हीं भी दो त्रिभुजों में एक सामान्य शोधन होता है, तो एकल त्रिभुज जो उन दोनों का एक उपखण्ड है। वह मूल रूप से 1908 में अर्नेस्ट स्टीनिट्ज़ और हेनरिक फ्रांज फ्रेडरिक टिट्ज़ द्वारा तैयार किया गया था।

यह अनुमान अब गलत माना जाता है। गैर-कई गुना संस्करण को 1961 में जॉन मिल्नोर द्वारा विश्लेषणात्मक आघूर्ण बल का उपयोग करके अस्वीकृत कर दिया गया था।

बहुआयामी(manifold) संस्करण आयाम m ≤ 3 में सत्य है। इस स्थिति मे m = 2 और 3 क्रमशः 1920 और 1950 के दशक में टिबोर राडो और एडविन ई मोइज़ द्वारा सिद्ध किए गए थे।

वील अनुमान
गणित में, वील अनुमान द्वारा जनक(generating) फलन (स्थानीय जेटा-फलन के रूप में जाना जाता है) पर परिमित क्षेत्रों पर बीजगणितीय किस्मों पर अंकों के संख्या की गणना से प्राप्त कुछ अत्यधिक प्रभावशाली प्रस्ताव थे।

q तत्वों के साथ एक परिमित क्षेत्र पर एक किस्म V में परिमेय बिंदुओं की एक सीमित संख्या होती है, साथ ही उस क्षेत्र वाले qk तत्वों के साथ हर परिमित क्षेत्र पर बिंदु होते हैं। जनरेटिंग कारक में qk तत्वों के साथ (अनिवार्य रूप से अद्वितीय) क्षेत्र पर अंकों के अंक Nk से प्राप्त गुणांक हैं।

वील ने अनुमान लगाया कि इस तरह के जीटा-फलन तर्कसंगत फलन होने चाहिए, कार्यात्मक समीकरण के एक रूप को संतुष्ट करना चाहिए, और प्रतिबंधित स्थानों में उनके शून्य होने चाहिए। पिछले दो भागों को रीमैन जीटा कारक और रीमैन परिकल्पना पर लगभग सचेत रूप से तैयार किया गया था। द्वारा तर्कसंगतता,  द्वारा कार्यात्मक समीकरण, और रीमैन परिकल्पना के अनुरूप  द्वारा सिद्ध किया गया था।

पॉइनकेयर अनुमान
गणित में, पॉइंकेयर अनुमान 3-क्षेत्र के लक्षण वर्णन (गणित) के बारे में एक प्रमेय है, जो हाइपरस्फीयर है जो यूनिट बॉल को चार-आयामी अंतरिक्ष में बांधता है। अनुमान कहता है कि: "प्रत्येक सरलता से जुड़ा हुआ, संवृत 3-बहुआयामी 3-वृत्त में होमियोमॉर्फिक है।"

अनुमान के समतुल्य रूप में होमोमोर्फिज्म की तुलना में समरूपता का एक अपरिष्कृत(coarser) रूप सम्मिलित होता है जिसे होमोटोपी समतुल्य कहा जाता है। यदि 3-बहुआयामी होमोटोपी 3-क्षेत्र के बराबर है, तो यह आवश्यक रूप से होमोमोर्फिक होता है।

मूल रूप से 1904 में हेनरी पॉइनकेयर द्वारा अनुमानित, प्रमेय एक ऐसे स्थान से संबंधित है, जो स्थानीय रूप से सामान्य त्रि-आयामी स्थान की तरह दिखायी देता है लेकिन जुड़ा हुआ है, तथा आकार में परिमित है, और किसी भी सीमा (एक सवृत 3-बहुआयामी) का अभाव है। पॉइनकेयर अनुमान का दृढ़ कथन है कि यदि ऐसी जगह में अतिरिक्त संपत्ति है कि अंतरिक्ष में प्रत्येक लूप को एक बिंदु पर लगातार दृढ़ीकृत निरीक्षण(tightened) किया जा सकता है, तो यह अनिवार्य रूप से एक त्रि-आयामी क्षेत्र है। जो कुछ समय के लिए एक समान परिणाम उच्च आयामों में जाना जाता है।

गणितज्ञों द्वारा लगभग एक सदी के प्रयास के बाद, ग्रिगोरी पेरेलमैन ने 2002 और 2003 में arXiv पर उपलब्ध कराए गए तीन पत्रों में अनुमान का प्रमाण प्रस्तुत किया। समस्या को हल करने का प्रयास करने के लिए रिक्की प्रवाह का उपयोग करने के लिए रिचर्ड एस हैमिल्टन के कार्यक्रम से प्रमाण का पालन किया गया। हैमिल्टन ने बाद में मानक रिक्की प्रवाह का एक संशोधन प्रस्तुत किया, जिसे सर्जरी के साथ रिक्की प्रवाह कहा जाता है, एक नियंत्रित तरीके से व्यवस्थित रूप से अद्वितीय क्षेत्रों को विकसित करने के लिए, लेकिन इस विधि को तीन आयामों में अभिसरण सिद्ध करने में असमर्थ था। पेरेलमैन ने प्रमाण के इस हिस्से को पूरा किया। तथा गणितज्ञों की कई टीमों ने सत्यापित किया है कि पेरेलमैन का प्रमाण सही है।

सिद्ध होने से पहले पॉइनकेयर अनुमान, टोपोलॉजी में सबसे महत्वपूर्ण विवृत प्रश्नों में से एक था।

रीमैन परिकल्पना
गणित में, बर्नहार्ड रीमैन (1859) द्वारा प्रस्तावित रीमैन परिकल्पना, एक अनुमान है कि रीमैन ज़ेटा फलन के सभी असतहीय(non-trivial) शून्यों का वास्तविक भाग 1/2 है। नाम का उपयोग कुछ निकट संबंधी अनुरूपताओं के लिए भी किया जाता है, जैसे परिमित क्षेत्रों पर वक्रों के लिए रीमैन परिकल्पना

रीमैन परिकल्पना का अर्थ यह है कि अभाज्य संख्याओं के वितरण के बारे में परिणाम उपयुक्त सामान्यीकरणों के साथ, कुछ गणितज्ञ इसे शुद्ध(pure) गणित में सबसे महत्वपूर्ण अनसुलझी समस्या मानते हैं। रिमेंन परिकल्पना, गोल्डबैक अनुमान के साथ, डेविड हिल्बर्ट की 23 अनसुलझी समस्याओं की सूची में हिल्बर्ट की आठवीं समस्या का भाग है। यह क्ले गणित संस्थान मिलेनियम पुरस्कार समस्याएं में से एक है।

पी बनाम एनपी समस्या (P versus NP problem)
कंप्यूटर विज्ञान में पी बनाम एनपी समस्या एक बड़ी अनसुलझी समस्या है। जिसे अनौपचारिक रूप से यह पूछता है कि क्या प्रत्येक समस्या जिसका समाधान एक कंप्यूटर द्वारा शीघ्रता से सत्यापित किया जा सकता है, तथा एक कंप्यूटर द्वारा भी शीघ्रता से हल किया जा सकता है। यह व्यापक रूप से अनुमान लगाया जाता है कि उत्तर नहीं है। अनिवार्य रूप से पहली बार 1956 में कर्ट गोडेल द्वारा जॉन वॉन न्यूमैन को लिखे गए पत्र में इसका उल्लेख किया गया था। गोडेल ने पूछा कि क्या एक निश्चित एनपी-पूर्ण समस्या को द्विघात या रैखिक समय में हल किया जा सकता है। P=NP समस्या का सटीक कथन 1971 में स्टीफन कुक ने अपने बीजीय पेपर प्रमेय सिद्ध करने की प्रक्रियाओं की जटिलता में प्रस्तुत किया था। और कई लोगों द्वारा इसे क्षेत्र की सबसे महत्वपूर्ण विवृत समस्या माना जाता है। क्ले गणित संस्थान द्वारा चुने गए सात मिलेनियम पुरस्कार समस्याओं में से एक यह है कि पहले सही समाधान के लिए यूएस $ 1,000,000 का पुरस्कार दिया जाए।

अन्य अनुमान

 * गोल्डबैक का अनुमान
 * ट्विन प्राइम अनुमान
 * कोल्लट्ज(Collatz) अनुमान
 * मैनिन अनुमान
 * मालदासेना(Maldacena) अनुमान
 * 18वीं शताब्दी में यूलर द्वारा प्रस्तावित यूलर अनुमान, लेकिन जिसके लिए कई घातांकों के लिए प्रति उदाहरण (n=4 से प्रारम्भ) 20वीं शताब्दी के मध्य में पाए गए।
 * हार्डी-लिटिलवुड अनुमान अभाज्य संख्याओं के वितरण से संबंधित अनुमानों की एक जोड़ी है, जिनमें से पहला पूर्वोक्त ट्विन प्राइम अनुमान पर विस्तार करता है। न तो कोई सिद्ध हुआ है और न ही असिद्ध(disproven), लेकिन यह सिद्ध हो चुका है कि दोनों एक साथ सत्य नहीं हो सकते (अर्थात, कम से कम एक असत्य होना चाहिए।) यह सिद्ध नहीं हुआ है कि कौन सा गलत है, लेकिन यह व्यापक रूप से माना जाता है कि पहला अनुमान सत्य है और दूसरा गलत है।
 * लैंगलैंड्स कार्यक्रम 'एकीकृत अनुमान के इन विचारों का एक दूरगामी जाल(वेब) है जो गणित के विभिन्न उपक्षेत्रों को जोड़ता है (उदाहरण के लिए संख्या सिद्धांत और लाई समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के बीच) इनमें से कुछ अनुमान तब से सिद्ध हो चुके हैं।

प्रमाण (Proof)
औपचारिक गणित सिद्ध सत्य पर आधारित है। गणित में, सार्वभौमिक रूप से परिमाणित अनुमान का समर्थन करने वाले स्थिति की संख्या, चाहे वह कितना भी बड़ा क्यों न हो, अनुमान की सत्यता स्थापित करने के लिए अपर्याप्त है, क्योंकि एकल प्रति उदाहरण अनुमान को तुरंत नीचे ला सकता है। गणितीय पत्रिकाएं कभी-कभी अनुसंधान टीमों के लघु परिणामों को प्रकाशित करती हैं, जिन्होंने पहले की तुलना में एक प्रति उदाहरण के लिए खोज को आगे बढ़ाया है। उदाहरण के लिए कोल्लट्ज अनुमान, जो इस बात से संबंधित है कि पूर्णांकों के कुछ क्रम समाप्त होते हैं या नहीं, 1.2 × 1012 (ट्रिलियन से अधिक) तक के सभी पूर्णांकों के लिए परीक्षण किया गया है। हालांकि, व्यापक खोज के बाद एक प्रति उदाहरण खोजने में विफलता इस बात का प्रमाण नहीं है कि अनुमान सत्य है - क्योंकि अनुमान गलत हो सकता है लेकिन एक बहुत बड़े न्यूनतम प्रति उदाहरण के साथ।

यद्यपि, गणितज्ञ प्रायः एक अनुमान को साक्ष्य द्वारा दृढ़ता से समर्थित मानते हैं, हालांकि अभी तक सिद्ध नहीं हुआ है। वह साक्ष्य विभिन्न प्रकार के हो सकते हैं, जैसे कि इसके परिणामों का सत्यापन या ज्ञात परिणामों के साथ जटिल अंतर्संबंध आदि।

एक अनुमान को तभी सिद्ध माना जाता है जब यह दिखाया गया हो कि उसका गलत होना तार्किक रूप से असंभव है। ऐसा करने के विभिन्न तरीके हैं। तथा अधिक विवरण के लिए गणितीय प्रमाण के तरीके देखें।

प्रमाण की एक विधि, जब लागू स्थितियों की केवल एक सीमित संख्या होती है, जो प्रति-उदाहरण का कारण बन सकती है, जिसे नीच प्रवृति(brute force) के रूप में जाना जाता है। इस दृष्टिकोण में, सभी संभावित स्थितियों पर विचार किया जाता है और प्रति-उदाहरण नहीं देने के लिए दिखाया जाता है। कुछ अवसरों में, स्थितियों की संख्या लगभग बड़ी होती है, ऐसे में सभी स्थितियों की जांच के लिए एक क्रूर-बल प्रमाण के लिए एक व्यावहारिक स्थिति के रूप में कंप्यूटर कलन के उपयोग की आवश्यकता हो सकती है। उदाहरण के लिए, कंप्यूटर द्वारा चार रंग प्रमेय के 1976 और 1997 के क्रूर-बल प्रमाण की वैधता पर प्रारम्भ में संदेह किया गया था, लेकिन अंततः 2005 में प्रमेय-सिद्ध सॉफ़्टवेयर द्वारा इसकी पुष्टि की गई।

जब एक अनुमान सिद्ध हो जाता है, तो यह अब अनुमान नहीं है बल्कि एक प्रमेय है। कई महत्वपूर्ण प्रमेय एक बार अनुमान थे, जैसे कि ज्यामितिकरण प्रमेय (जिसने पॉइंकेयर अनुमान को हल किया), फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय, और अन्य।

अप्रमाणित (Disproof)
प्रति उदाहरण के माध्यम से अप्रमाणित अनुमानों को कभी-कभी गलत अनुमानों के रूप में संदर्भित किया जाता है (cf. पोल्या अनुमान और यूलर की शक्तियों का योग अनुमान) उत्तरार्द्ध की स्थिति में, n = 4 स्थिति के लिए पाया गया पहला प्रति उदाहरण लाखों में सम्मिलित है, हालांकि यह बाद में पाया गया है कि न्यूनतम प्रति उदाहरण वास्तव में छोटा होता है।

स्वतंत्र अनुमान (Independent conjectures)
प्रत्येक अनुमान सही या गलत सिद्ध नहीं होता है। सतत परिकल्पना, जो कुछ अनंत सेटों की सापेक्ष गणनांक का पता लगाने की कोशिश करती है, अंततः सेट सिद्धांत के ज़र्मेलो-फ्रेंकेल स्वयंसिद्धों के सामान्य रूप से स्वीकृत सेट से स्वतंत्र (गणितीय तर्क) दिखाया गया। इसलिए इस कथन को या इसके निषेध को एक सुसंगत तरीके से एक नए स्वयंसिद्ध के रूप में स्वीकृत करना संभव है। जैसा कि यूक्लिड के समानांतर अभिधारणा को ज्यामिति के लिए एक स्वयंसिद्ध प्रणाली में या तो सत्य या असत्य के रूप में लिया जा सकता है।

इस स्थिति में, यदि कोई प्रमाण इस कथन का उपयोग करता है, तो शोधकर्ता प्रायः एक नए प्रमाण की तलाश करेंगे, जिसके लिए परिकल्पना की आवश्यकता नहीं होती है। उसी तरह यह वांछनीय है कि यूक्लिडियन ज्यामिति में कथनों को केवल तटस्थ ज्यामिति के स्वयंसिद्धों का उपयोग करके सिद्ध किया जाए, अर्थात बिना समानांतर अभिधारणा के व्यवहार में इसका एक बड़ा अपवाद स्वयम् सिद्ध वक्तव्य(axiom of choice) है, क्योंकि अधिकांश शोधकर्ता सामान्य रूप से विचार नहीं करते हैं कि परिणाम की आवश्यकता है या नहीं - जब तक कि वे विशेष रूप से इस स्वयंसिद्ध का अध्ययन नहीं कर रहे हों।

सशर्त प्रमाण (Conditional proofs)
कभी-कभी, एक अनुमान को परिकल्पना कहा जाता है जब इसे अन्य परिणामों के प्रमाण में एक धारणा के रूप में बार-बार उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, रिमेंन परिकल्पना संख्या सिद्धांत से एक अनुमान है कि - अन्य परिस्थिति के अतिरिक्त - अभाज्य संख्याओ के वितरण के बारे में पूर्वाकलन करता है। कुछ संख्या मे सिद्धांतकारों को संदेह है कि रीमैन परिकल्पना सत्य है। वास्तव में, इसके अंतिम प्रमाण की संभावना में, कुछ ने आगे के प्रमाणों को विकसित करना भी प्रारम्भ कर दिया है, जो इस अनुमान की सच्चाई पर निर्भर हैं। इन्हें सशर्त प्रमाण कहा जाता है। अनुमानित अनुमान प्रमेय की परिकल्पना में कुछ समय के लिए दिखाई देते हैं।

हालाँकि, ये प्रमाण अलग हो जाएंगे यदि यह पता चला कि परिकल्पना गलत थी, इसलिए इस प्रकार के अनुमानों की सत्यता या असत्यता को सत्यापित करने में बहुत रुचि है।

अन्य विज्ञानों में
कार्ल पॉपर ने वैज्ञानिक सिद्धांत में अनुमान शब्द के प्रयोग का बीड़ा(pioneered) उठाया। जो अनुमान परिकल्पना से संबंधित है, तथा विज्ञान में एक परीक्षण योग्य अनुमान को संदर्भित करता है।

यह भी देखें

 * बोल्ड परिकल्पना
 * वायदा अध्ययन
 * काल्पनिक
 * अनुमानों की सूची
 * रामानुजन यंत्र

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 * फलस्वरूप
 * गणित का इतिहास
 * चार कोनों का स्मारक
 * कंप्यूटर की सहायता से सबूत
 * त्रिकोणासन (टोपोलॉजी)
 * विविध
 * वील अनुमान
 * तर्कसंगत बिंदु
 * स्थानीय जेटा-फ़ंक्शन
 * बीजगणितीय किस्म
 * तर्कसंगत कार्य
 * विशेषता (गणित)
 * होमोटॉपी तुल्यता
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 * परिमित क्षेत्रों पर वक्रों के लिए रीमैन परिकल्पना
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 * ज्यामितीय अनुमान
 * प्रमेय सिद्ध
 * बुनियादी संख्या
 * निरंतर परिकल्पना
 * विज्ञान का दर्शन

बाहरी संबंध

 * Open Problem Garden
 * Unsolved Problems web site
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