दृढ़ पिण्ड

भौतिकी में, एक कठोर शरीर (जिसे कठोर वस्तु के रूप में भी जाना जाता है ) एक ठोस भौतिक शरीर है जिसमें विरूपण (इंजीनियरिंग) शून्य या इतना छोटा है कि इसे उपेक्षित किया जा सकता है। किसी कठोर पिंड पर किन्हीं दो दिए गए बिंदुओं (ज्यामिति) के बीच की दूरी बाह्य बलों या उस पर लगाए गए क्षण (भौतिकी) की परवाह किए बिना समय में स्थिर रहती है। एक कठोर शरीर को आम तौर पर द्रव्यमान के निरंतर यांत्रिकी के रूप में माना जाता है।

विशेष आपेक्षिकता के अध्ययन में, एक पूरी तरह से कठोर पिंड मौजूद नहीं है; और वस्तुओं को केवल तभी कठोर माना जा सकता है जब वे प्रकाश की गति के निकट नहीं चल रहे हों। क्वांटम यांत्रिकी में, एक दृढ़ पिंड को आमतौर पर बिंदु कणों के संग्रह के रूप में माना जाता है। उदाहरण के लिए, अणु (बिंदु द्रव्यमान: इलेक्ट्रॉन और नाभिक से मिलकर) को अक्सर कठोर निकायों के रूप में देखा जाता है (घूर्णी स्पेक्ट्रोस्कोपी#आणविक रोटार का वर्गीकरण देखें)।

रैखिक और कोणीय स्थिति
कठोर पिंड की स्थिति समन्वय प्रणाली है # उन सभी कणों का उदाहरण है जिनसे यह बना है। इस स्थिति के विवरण को सरल बनाने के लिए, हम उस संपत्ति का उपयोग करते हैं जो शरीर कठोर है, अर्थात् इसके सभी कण एक दूसरे के सापेक्ष समान दूरी बनाए रखते हैं। यदि पिंड कठोर है, तो यह कम से कम तीन असंरेखीय कणों की स्थिति का वर्णन करने के लिए पर्याप्त है। यह अन्य सभी कणों की स्थिति को फिर से बनाना संभव बनाता है, बशर्ते कि तीन चयनित कणों के सापेक्ष उनकी समय-अपरिवर्तनीय स्थिति ज्ञात हो। हालाँकि, आमतौर पर एक अलग, गणितीय रूप से अधिक सुविधाजनक, लेकिन समकक्ष दृष्टिकोण का उपयोग किया जाता है। पूरे शरीर की स्थिति को निम्न द्वारा दर्शाया जाता है:
 * 1) शरीर की रैखिक स्थिति या स्थिति, अर्थात् शरीर के कणों में से एक की स्थिति, विशेष रूप से एक संदर्भ बिंदु के रूप में चुनी गई (आमतौर पर द्रव्यमान के केंद्र या शरीर के केन्द्रक के साथ मेल खाती है), साथ में
 * 2) शरीर का अभिविन्यास (ज्यामिति) (उन्मुखीकरण या दृष्टिकोण के रूप में भी जाना जाता है)।

इस प्रकार, एक कठोर शरीर की स्थिति में दो घटक होते हैं: क्रमशः रैखिक और कोणीय। एक कठोर शरीर की गति का वर्णन करने वाले अन्य कीनेमेटिक्स और गतिकी (यांत्रिकी) मात्राओं के लिए भी यही सच है, जैसे रैखिक और कोणीय वेग, त्वरण, संवेग, आवेग (भौतिकी), और गतिज ऊर्जा। रेखीय समन्वय प्रणाली#उदाहरण अंतरिक्ष में एक मनमाना संदर्भ बिंदु पर अपनी पूंछ के साथ एक स्थिति वेक्टर द्वारा प्रतिनिधित्व किया जा सकता है#शास्त्रीय यांत्रिकी (एक चुने हुए समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति) और कठोर शरीर पर रुचि के एक मनमाने बिंदु पर इसकी नोक, आमतौर पर इसके द्रव्यमान या केन्द्रक के केंद्र के साथ मेल खाता है। यह संदर्भ बिंदु शरीर के लिए निर्धारित समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति को परिभाषित कर सकता है।

कठोर शरीर के अभिविन्यास (ज्यामिति) का संख्यात्मक रूप से वर्णन करने के कई तरीके हैं, जिसमें तीन यूलर कोणों का एक सेट, एक चतुर्धातुक, या एक दिशा कोसाइन # कार्टेशियन निर्देशांक (जिसे रोटेशन मैट्रिक्स भी कहा जाता है) शामिल हैं। ये सभी विधियाँ वास्तव में एक आधार (रैखिक बीजगणित) (या समन्वय प्रणाली) के अभिविन्यास को परिभाषित करती हैं, जिसमें शरीर के सापेक्ष एक निश्चित अभिविन्यास होता है (अर्थात शरीर के साथ घूमता है), दूसरे आधार सेट (या समन्वय प्रणाली) के सापेक्ष, जिससे कठोर शरीर की गति देखी जाती है। उदाहरण के लिए, एक हवाई जहाज के सापेक्ष निश्चित अभिविन्यास के साथ निर्धारित आधार को तीन ऑर्थोगोनल इकाई वेक्टर बी के सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।1, बी2, बी3, ऐसा कि बी1 विंग की कॉर्ड लाइन के समानांतर है और आगे की ओर निर्देशित है, b2 समरूपता के तल के लिए सामान्य है और दाईं ओर निर्देशित है, और b3 क्रॉस उत्पाद द्वारा दिया जाता है $$ b_3 = b_1 \times b_2 $$.

सामान्य तौर पर, जब एक कठोर शरीर चलता है, तो समय के साथ इसकी स्थिति और अभिविन्यास दोनों अलग-अलग होते हैं। कीनेमेटिक अर्थ में, इन परिवर्तनों को क्रमशः अनुवाद (भौतिकी) और ROTATION के रूप में संदर्भित किया जाता है। दरअसल, एक कठोर शरीर की स्थिति को एक काल्पनिक संदर्भ स्थिति से शुरू होने वाले शरीर के एक काल्पनिक अनुवाद और रोटेशन (रोटो-अनुवाद) के रूप में देखा जा सकता है (जरूरी नहीं कि वास्तव में इसकी गति के दौरान शरीर द्वारा ली गई स्थिति के साथ मेल खाता हो)।

रैखिक और कोणीय वेग
वेग (जिसे रेखीय वेग भी कहा जाता है) और कोणीय वेग को संदर्भ के एक फ्रेम के संबंध में मापा जाता है।

एक कठोर शरीर का रैखिक वेग एक वेक्टर (ज्यामिति) मात्रा है, जो इसकी रैखिक स्थिति के व्युत्पन्न समय के बराबर है। इस प्रकार, यह शरीर के लिए निर्धारित एक संदर्भ बिंदु का वेग है। विशुद्ध रूप से स्थानांतरीय गति (घूर्णन रहित गति) के दौरान, दृढ़ पिंड के सभी बिंदु समान वेग से गति करते हैं। हालांकि, जब गति (भौतिकी) में रोटेशन शामिल होता है, तो शरीर पर किन्हीं दो बिंदुओं का तात्कालिक वेग आम तौर पर समान नहीं होगा। एक घूर्णन पिंड के दो बिंदुओं का तात्क्षणिक वेग तभी होगा जब वे घूर्णन के तात्क्षणिक अक्ष के समांतर अक्ष पर हों।

कोणीय वेग एक वेक्टर (ज्यामिति) मात्रा है जो कोणीय गति का वर्णन करता है जिस पर कठोर शरीर का अभिविन्यास बदल रहा है और घूर्णन के तात्कालिक अक्ष जिसके बारे में यह घूर्णन कर रहा है (इस तात्कालिक धुरी का अस्तित्व यूलर के रोटेशन प्रमेय द्वारा गारंटीकृत है). दृढ़ पिंड के सभी बिंदु हर समय समान कोणीय वेग का अनुभव करते हैं। विशुद्ध रूप से घूर्णी गति के दौरान, शरीर के सभी बिंदुओं की स्थिति बदल जाती है सिवाय उनके जो घूर्णन के तात्क्षणिक अक्ष पर स्थित होते हैं। अभिविन्यास और कोणीय वेग के बीच का संबंध सीधे स्थिति और वेग के बीच के संबंध के अनुरूप नहीं है। कोणीय वेग अभिविन्यास का समय व्युत्पन्न नहीं है, क्योंकि अभिविन्यास सदिश के रूप में ऐसी कोई अवधारणा नहीं है जो कोणीय वेग प्राप्त करने के लिए व्युत्पन्न हो सकती है।

कोणीय वेग के लिए जोड़ प्रमेय
एक संदर्भ फ्रेम N में एक कठोर शरीर B का कोणीय वेग, N में एक कठोर शरीर D के कोणीय वेग और D के संबंध में B के कोणीय वेग के योग के बराबर है:
 * $$ {}^\mathrm{N}\!\boldsymbol{\omega}^\mathrm{B} = {}^\mathrm{N}\!\boldsymbol{\omega}^\mathrm{D} + {}^\mathrm{D}\!\boldsymbol{\omega}^\mathrm{B}.$$

इस मामले में, कठोर निकाय और संदर्भ फ़्रेम अप्रभेद्य और पूरी तरह से विनिमेय हैं।

स्थिति के लिए अतिरिक्त प्रमेय
तीन बिंदुओं पी, क्यू, और आर के किसी भी सेट के लिए, पी से आर की स्थिति वेक्टर पी से क्यू की स्थिति वेक्टर और क्यू से आर की स्थिति वेक्टर का योग है:


 * $$ \mathbf{r}^\mathrm{PR} = \mathbf{r}^\mathrm{PQ} + \mathbf{r}^\mathrm{QR}.$$

स्थिति सदिश का मानक स्थानिक दूरी है। यहाँ सभी तीन सदिशों के निर्देशांकों को समान अभिविन्यास वाले निर्देशांक फ़्रेमों में व्यक्त किया जाना चाहिए।

वेग की गणितीय परिभाषा
संदर्भ फ्रेम एन में बिंदु पी के वेग को ओ से पी स्थिति वेक्टर के एन में समय व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है:
 * $$ {}^\mathrm{N}\mathbf{v}^\mathrm{P} = \frac{{}^\mathrm{N}\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathbf{r}^\mathrm{OP}) $$

जहां ओ संदर्भ फ्रेम एन में तय किया गया कोई मनमाना बिंदु है, और डी/डीटी ऑपरेटर के बाईं ओर एन इंगित करता है कि व्युत्पन्न को संदर्भ फ्रेम एन में लिया जाता है। परिणाम ओ के चयन से स्वतंत्र होता है जब तक ओ तय हो जाता है इन।

त्वरण की गणितीय परिभाषा
संदर्भ फ्रेम N में बिंदु P के त्वरण को इसके वेग के N में समय व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है:


 * $$ {}^\mathrm{N}\mathbf{a}^\mathrm{P} = \frac{^\mathrm{N}\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} ({}^\mathrm{N}\mathbf{v}^\mathrm{P}).$$

दृढ़ पिण्ड पर स्थिर दो बिन्दुओं का वेग
दो बिंदु P और Q के लिए जो एक कठोर पिंड B पर स्थिर हैं, जहाँ B का कोणीय वेग है $$\scriptstyle{^\mathrm{N}\boldsymbol{\omega}^\mathrm{B}}$$ संदर्भ फ्रेम N में, N में Q के वेग को N में P के वेग के फलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$ {}^\mathrm{N}\mathbf{v}^\mathrm{Q} = {}^\mathrm{N}\!\mathbf{v}^\mathrm{P} + {}^\mathrm{N}\boldsymbol{\omega}^\mathrm{B} \times \mathbf{r}^\mathrm{PQ}.$$

कहाँ $$\mathbf{r}^\mathrm{PQ} $$ P से Q तक स्थिति सदिश है। एन में व्यक्त निर्देशांक के साथ (या एन के समान अभिविन्यास वाला एक फ्रेम।) यह संबंध पी और क्यू के बीच मानक दूरी के अस्थायी आक्रमण से प्राप्त किया जा सकता है।

दृढ़ पिण्ड पर स्थिर दो बिन्दुओं का त्वरण
क्रॉस_प्रोडक्ट # डिफरेंशिएशन द्वारा समय के संबंध में एन में एक कठोर शरीर पर तय किए गए दो बिंदुओं के वेग के लिए समीकरण, एक कठोर शरीर बी पर तय बिंदु क्यू के संदर्भ फ्रेम एन में त्वरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है


 * $$ {}^\mathrm{N}\mathbf{a}^\mathrm{Q} = {}^\mathrm{N}\mathbf{a}^\mathrm{P} + {}^\mathrm{N}\boldsymbol{\omega}^\mathrm{B} \times \left( {}^\mathrm{N}\boldsymbol{\omega}^\mathrm{B} \times \mathbf{r}^\mathrm{PQ} \right) + {}^\mathrm{N}\boldsymbol{\alpha}^\mathrm{B} \times \mathbf{r}^\mathrm{PQ} $$

कहाँ $$\scriptstyle{{}^\mathrm{N}\!\boldsymbol{\alpha}^\mathrm{B}}$$ संदर्भ फ्रेम N में B का कोणीय त्वरण है।

दृढ़ पिंड पर स्थिर दो बिंदुओं का कोणीय वेग और त्वरण
जैसा कि कठोर शरीर # रैखिक और कोणीय वेग का उल्लेख किया गया है, कठोर शरीर बी पर सभी बिंदुओं में समान कोणीय वेग होता है $${}^\mathrm{N}\boldsymbol{\omega}^\mathrm{B}$$ एक निश्चित संदर्भ फ्रेम एन में, और इस प्रकार समान कोणीय त्वरण $${}^\mathrm{N}\boldsymbol{\alpha}^\mathrm{B}.$$

दृढ़ पिंड पर गतिमान एक बिंदु का वेग
यदि बिंदु R कठोर शरीर B में गतिमान है जबकि B संदर्भ फ्रेम N में चलता है, तो N में R का वेग है


 * $$ {}^\mathrm{N}\mathbf{v}^\mathrm{R} = {}^\mathrm{N}\mathbf{v}^\mathrm{Q} + {}^\mathrm{B}\mathbf{v}^\mathrm{R}$$

जहां Q, B में स्थिर बिंदु है जो ब्याज की तत्काल पर R के साथ तुरंत संपाती है। यह संबंध अक्सर एक दृढ़ पिंड पर स्थिर दो बिंदुओं के वेग के संबंध के साथ संयुक्त होता है।

दृढ़ पिंड पर गति करते हुए एक बिंदु का त्वरण
शरीर B में चलते हुए बिंदु R के संदर्भ फ्रेम N में त्वरण, जबकि B फ्रेम N में घूम रहा है, द्वारा दिया गया है


 * $$ {}^\mathrm{N}\mathbf{a}^\mathrm{R} = {}^\mathrm{N}\mathbf{a}^\mathrm{Q} + {}^\mathrm{B}\mathbf{a}^\mathrm{R} + 2 {}^\mathrm{N}\boldsymbol{\omega}^\mathrm{B} \times {}^\mathrm{B}\mathbf{v}^\mathrm{R} $$

जहां Q, B में स्थिर बिंदु है जो ब्याज की तत्काल पर R के साथ तुरंत संपाती है। यह समीकरण अक्सर कठोर शरीर पर तय दो बिंदुओं के त्वरण के साथ जोड़ा जाता है।

अन्य मात्राएँ
यदि C शरीर से जुड़ी एक स्थानीय समन्वय प्रणाली L का मूल है, कठोर शरीर के 'स्थानिक' या 'पेंच सिद्धांत # ट्विस्ट' 'त्वरण' को सी के स्थानिक त्वरण के रूप में परिभाषित किया गया है (उपरोक्त भौतिक त्वरण के विपरीत): $$ \boldsymbol\psi(t,\mathbf{r}_0) = \mathbf{a}(t,\mathbf{r}_0) - \boldsymbol\omega(t) \times \mathbf{v}(t,\mathbf{r}_0) = \boldsymbol\psi_c(t) + \boldsymbol\alpha(t) \times A(t) \mathbf{r}_0$$ कहाँ
 * $$ \mathbf{r}_0 $$ स्थानीय समन्वय प्रणाली एल के संदर्भ में शरीर के संदर्भ बिंदु के संबंध में बिंदु / कण की स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है (शरीर की कठोरता का अर्थ है कि यह समय पर निर्भर नहीं करता है)
 * $$A(t)\, $$ ओरिएंटेशन (कठोर शरीर) मैट्रिक्स है, निर्धारक 1 के साथ एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स, स्थानीय समन्वय प्रणाली एल के अभिविन्यास (कठोर शरीर) (कोणीय स्थिति) का प्रतिनिधित्व करता है, दूसरे समन्वय प्रणाली जी के मनमाना संदर्भ अभिविन्यास के संबंध में। इस बारे में सोचें मैट्रिक्स तीन ऑर्थोगोनल यूनिट वैक्टर के रूप में, प्रत्येक कॉलम में एक, जो G के संबंध में L के अक्षों के उन्मुखीकरण को परिभाषित करता है।
 * $$\boldsymbol\omega(t)$$ कठोर शरीर के कोणीय वेग का प्रतिनिधित्व करता है
 * $$\mathbf{v}(t,\mathbf{r}_0)$$ बिंदु/कण के कुल वेग का प्रतिनिधित्व करता है
 * $$\mathbf{a}(t,\mathbf{r}_0)$$ बिंदु/कण के कुल त्वरण का प्रतिनिधित्व करता है
 * $$\boldsymbol\alpha(t)$$ कठोर शरीर के कोणीय त्वरण का प्रतिनिधित्व करता है
 * $$\boldsymbol\psi(t,\mathbf{r}_0)$$ बिंदु/कण के स्थानिक त्वरण का प्रतिनिधित्व करता है
 * $$\boldsymbol\psi_c(t)$$ कठोर शरीर के स्थानिक त्वरण का प्रतिनिधित्व करता है (यानी एल की उत्पत्ति का स्थानिक त्वरण)।

2D में, कोणीय वेग एक अदिश राशि है, और मैट्रिक्स A(t) केवल एक कोण द्वारा xy-तल में एक घूर्णन का प्रतिनिधित्व करता है जो समय के साथ कोणीय वेग का अभिन्न अंग है।

वाहन, चलने वाले लोग आदि आमतौर पर वेग की दिशा में परिवर्तन के अनुसार घूमते हैं: वे अपने स्वयं के अभिविन्यास के संबंध में आगे बढ़ते हैं। फिर, यदि शरीर एक विमान में एक बंद कक्षा का अनुसरण करता है, कोणीय वेग एक समय अंतराल पर एकीकृत होता है जिसमें कक्षा एक बार पूरी हो जाती है, एक पूर्णांक गुणा 360° है। वेग की उत्पत्ति के संबंध में यह पूर्णांक घुमावदार संख्या है। बहुभुज#कोणों की तुलना करें।

काइनेटिक्स
कोई भी बिंदु जो शरीर से दृढ़ता से जुड़ा हुआ है, शरीर के रैखिक गति का वर्णन करने के लिए संदर्भ बिंदु (समन्वय प्रणाली एल की उत्पत्ति) के रूप में उपयोग किया जा सकता है (रैखिक स्थिति, वेग और त्वरण वैक्टर पसंद पर निर्भर करते हैं)।

हालाँकि, आवेदन के आधार पर, एक सुविधाजनक विकल्प हो सकता है:
 * पूरे सिस्टम के द्रव्यमान का केंद्र, जिसमें आमतौर पर अंतरिक्ष में स्वतंत्र रूप से घूमने वाले शरीर के लिए सबसे सरल गति होती है;
 * एक बिंदु ऐसा है कि स्थानांतरीय गति शून्य या सरलीकृत है, उदा। एक धुरी या कब्जे पर, एक गेंद और सॉकेट जोड़ आदि के केंद्र में।

जब द्रव्यमान के केंद्र को संदर्भ बिंदु के रूप में प्रयोग किया जाता है:
 * (रैखिक) संवेग घूर्णी गति से स्वतंत्र है। किसी भी समय यह कठोर पिंड के कुल द्रव्यमान के गुणन के स्थानांतरीय वेग के बराबर होता है।
 * द्रव्यमान के केंद्र के संबंध में कोणीय गति बिना अनुवाद के समान है: किसी भी समय यह कोणीय वेग जड़ता के क्षण के बराबर होता है। जब कोणीय वेग को एक समन्वय प्रणाली के संबंध में व्यक्त किया जाता है जो शरीर के जड़ता # जड़ता के क्षण के साथ मेल खाता है, तो कोणीय गति का प्रत्येक घटक जड़ता के क्षण (जड़ता टेंसर का एक प्रमुख मूल्य) के गुणनफल का गुणनफल होता है। कोणीय वेग का संगत घटक; बल आघूर्ण जड़त्व टेंसर गुणा कोणीय त्वरण है।
 * बाहरी बलों की अनुपस्थिति में संभावित गति निरंतर वेग के साथ अनुवाद, एक निश्चित मुख्य अक्ष के बारे में स्थिर रोटेशन, और टोक़-मुक्त पुरस्सरण भी हैं।
 * कठोर पिंड पर शुद्ध बाहरी बल हमेशा स्थानांतरीय त्वरण के कुल द्रव्यमान गुणन के बराबर होता है (अर्थात्, न्यूटन के गति के नियम| न्यूटन का दूसरा नियम अनुवाद संबंधी गति के लिए लागू होता है, तब भी जब शुद्ध बाहरी बलाघूर्ण शून्य न हो, और/या शरीर घूमता है)।
 * कुल गतिज ऊर्जा केवल स्थानांतरण और घूर्णी ऊर्जा का योग है।

ज्यामिति
दो कठोर पिंडों को समानता (ऑब्जेक्ट्स) कहा जाता है (कॉपी नहीं) यदि एक से दूसरे में उचित रोटेशन नहीं होता है। एक कठोर शरीर को चिरायता (गणित) कहा जाता है यदि इसकी दर्पण छवि उस अर्थ में भिन्न होती है, अर्थात, यदि इसमें या तो कोई समरूपता नहीं है या इसके समरूपता समूह में केवल उचित घुमाव हैं। विपरीत स्थिति में एक वस्तु को अचिरल कहा जाता है: दर्पण छवि एक प्रति है, अलग वस्तु नहीं। ऐसी वस्तु में समरूपता का तल हो सकता है, लेकिन जरूरी नहीं: प्रतिबिंब का एक तल भी हो सकता है जिसके संबंध में वस्तु की छवि एक घुमाया हुआ संस्करण है। उत्तरार्द्ध बिंदु समूहों के लिए तीन आयामों में लागू होता है। एस2n''जिनमें से मामला n = 1 उलटा समरूपता है।

एक (कठोर) आयताकार पारदर्शी शीट के लिए, व्युत्क्रम समरूपता एक तरफ घूर्णी समरूपता के बिना एक छवि और दूसरी तरफ एक ऐसी छवि से मेल खाती है, जिसके माध्यम से जो चमकता है, वह ऊपर की तरफ छवि है, उल्टा। हम दो मामलों में अंतर कर सकते हैं:
 * छवि के साथ शीट की सतह सममित नहीं है - इस मामले में दोनों पक्ष अलग-अलग हैं, लेकिन वस्तु की दर्पण छवि समान है, दर्पण तल के लंबवत अक्ष के बारे में 180° घुमाने के बाद।
 * छवि के साथ शीट की सतह में एक समरूपता अक्ष है - इस मामले में दोनों पक्ष समान हैं, और वस्तु की दर्पण छवि भी समान है, फिर से दर्पण तल के लंबवत अक्ष के बारे में 180° घुमाने के बाद।

थ्रू और थ्रू इमेज वाली शीट अचिरल होती है। हम फिर से दो मामलों में अंतर कर सकते हैं:
 * छवि वाली शीट की सतह में कोई समरूपता अक्ष नहीं है - दोनों पक्ष अलग-अलग हैं
 * छवि वाली शीट की सतह में एक समरूपता अक्ष है - दोनों पक्ष समान हैं

कॉन्फ़िगरेशन स्पेस
एक स्थिर बिंदु (अर्थात्, शून्य स्थानान्तरण गति वाला एक पिंड) के साथ एक कठोर शरीर का विन्यास स्थान (भौतिकी) रोटेशन समूह SO(3) के अंतर्निहित कई गुना द्वारा दिया जाता है। एक गैर-स्थिर (गैर-शून्य अनुवाद संबंधी गति के साथ) कठोर शरीर का विन्यास स्थान यूक्लिडियन समूह # प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष समरूपता है। ई+(3), यूक्लिडियन समूह का उपसमूह#तीन आयामों (अनुवाद (ज्यामिति) और घूर्णन के संयोजन) में यूक्लिडियन समूह के प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष आइसोमेट्रीज़।

यह भी देखें

 * कोणीय वेग
 * अक्ष सम्मेलन
 * कठोर शरीर की गतिशीलता
 * तिरछा-सममित मैट्रिक्स#अनंत सूक्ष्म घुमाव
 * यूलर के समीकरण (कठोर शरीर गतिकी)
 * यूलर के नियम
 * पैदाइशी कठोरता
 * कठोर रोटर
 * कठोर परिवर्तन
 * ज्यामितीय यांत्रिकी
 * शास्त्रीय यांत्रिकी (गोल्डस्टीन पुस्तक) | शास्त्रीय यांत्रिकी (गोल्डस्टीन)

संदर्भ

 * This reference effectively combines screw theory with rigid body dynamics for robotic applications. The author also chooses to use spatial accelerations extensively in place of material accelerations as they simplify the equations and allow for compact notation.
 * JPL DARTS page has a section on spatial operator algebra (link: ) as well as an extensive list of references (link: ).
 * (link: ).