द्विपद रचनांतर

साहचर्य में, द्विपद रचनांतर (अथवा द्विपद रुपांतरण) एक अनुक्रम रचनांतर है (यानी, अनुक्रम का एक रचनांतर) जो इसके आगे के अंतरों की गणना करता है। यह यूलर रचनांतर से निकटता से संबंधित है, जो कि इसके सामान्य जनक फलन से जुड़े अनुक्रम में द्विपद रचनांतर को लागू करने का परिणाम है।

परिभाषा
किसी अनुक्रम, {an} का द्विपद रचनांतर, T, अनुक्रम {sn} द्वारा निम्न परिभाषित है


 * $$s_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k} a_k.$$

औपचारिक रूप से, कोई निम्न लिख सकता है


 * $$s_n = (Ta)_n = \sum_{k=0}^n T_{nk} a_k$$

रचनांतर के लिए, जहां T मैट्रिक्स तत्वों Tnk के साथ एक अनंत-आयामी संचालक (गणित) है।

रचनांतर एक प्रत्यावर्तन (गणित) है, अर्थात,


 * $$TT = 1$$

या, सूचकांक संकेतन का उपयोग करते हुए,


 * $$\sum_{k=0}^\infty T_{nk}T_{km} = \delta_{nm}$$

जहाँ $$\delta_{nm}$$ क्रोनकर डेल्टा है। निम्न मूल श्रृंखला को पुनः प्राप्त किया जा सकता है


 * $$a_n=\sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k} s_k.$$

किसी अनुक्रम का द्विपद रचनांतर केवल अनुक्रम का nवाँ आगे का n-वाँ अंतर है, जिसमें विषम अंतर एक नकारात्मक चिह्न रखते हैं, अर्थात्:


 * $$\begin{align}

s_0 &= a_0 \\ s_1 &= - (\Delta a)_0 = -a_1+a_0 \\ s_2 &= (\Delta^2 a)_0 = -(-a_2+a_1)+(-a_1+a_0) = a_2-2a_1+a_0 \\ &\;\; \vdots \\ s_n &= (-1)^n (\Delta^n a)_0 \end{align}$$ जहां Δ प्रगल्भ अंतरसंकारक है।

कुछ लेखक द्विपद रचनांतर को एक अतिरिक्त चिह्न के साथ परिभाषित करते हैं, ताकि यह स्व-प्रतिलोम न हो:


 * $$t_n = \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} {n\choose k} a_k$$

जिसका व्युत्क्रम निम्न है


 * $$a_n=\sum_{k=0}^n {n\choose k} t_k.$$

इस स्तिथि में पहले वाले रचनांतर को व्युत्क्रम द्विपद रचनांतर कहा जाता है, और बाद वाले को केवल द्विपद रचनांतर कहा जाता है। उदाहरण के लिए पूर्णांक अनुक्रमों के लाइन आरूढ़ विश्वकोश में यह मानक उपयोग है।

उदाहरण
द्विपद रचनांतर के दोनों संस्करण अंतर तालिकाओं में दिखाई देते हैं। निम्नलिखित अंतर तालिका पर विचार करें:

प्रत्येक पंक्ति पिछली पंक्ति का अंतर है। (m-वीं पंक्ति में n-वां नंबर am,n = 3n−2(2m+1n2 + 2m(1+6m)n + 2m-19m2) है, और अंतर समीकरण am+1,n = am,n+1 - am,n है।)

बाएं से दाएं पढ़ी जाने वाली शीर्ष पंक्ति है {an} = 0, 1, 10, 63, 324, 1485, ... समान प्रारंभिक बिंदु 0 वाला विकर्ण है {tn} = 0, 1, 8, 36, 128, 400, ... {tn}, {an} का गैर-अनिवार्य द्विपद रचनांतर है।

दाएँ से बाएँ पढ़ी जाने वाली शीर्ष पंक्ति है {bn} = 1485, 324, 63, 10, 1, 0, ... समान प्रारंभिक बिंदु 1485 के साथ क्रॉस-विकर्ण है {sn} = 1485, 1161, 900, 692, 528, 400, ... {sn} {bn} का अनैच्छिक द्विपद रचनांतर है।

सामान्य जनक फलन
रचनांतर श्रृंखला से जुड़े उत्पन्न करने वाले कार्यों को जोड़ता है। सामान्य जनक फलन के लिए, मान लीजिये कि


 * $$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$$

और


 * $$g(x)=\sum_{n=0}^\infty s_n x^n $$

तब


 * $$g(x) = (Tf)(x) = \frac{1}{1-x} f\left(\frac{-x}{1-x}\right).$$

यूलर रूपांतरण
सामान्य जनक फलन के बीच संबंध को कभी-कभी यूलर रूपांतरण कहा जाता है। यह सामान्यतः दो अलग-अलग तरीकों में से एक में अपनी उपस्थिति बनाता है। एक रूप में, इसका उपयोग एक वैकल्पिक श्रृंखला के श्रृंखला त्वरण के लिए किया जाता है। यानी अपनी पहचान होती है


 * $$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(\Delta^n a)_0}{2^{n+1}}$$

जो उपरोक्त अंतिम सूत्र में x = 1/2 प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है। दायीं ओर के शब्द सामान्यतः बहुत छोटे हो जाते हैं, बहुत तीव्रता से, इस प्रकार तीव्रता से संख्यात्मक योग की अनुमति मिलती है।

यूलर रचनांतर को सामान्यीकृत किया जा सकता है (बोरिसोव बी. और श्कोड्रोव वी., 2007):


 * $$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n {n+p\choose n} a_n = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n {n+p\choose n} \frac{(\Delta^n a)_0}{2^{n+p+1}} ,$$

जहाँ p = 0, 1, 2,…

यूलर रूपांतरण को प्रायः यूलर हाइपरजियोमेट्रिक पूर्णांकी पर भी $$\,_2F_1$$ लागू किया जाता है। यहाँ, यूलर रचनांतर रूप लेता है:


 * $$\,_2F_1 (a,b;c;z) = (1-z)^{-b} \,_2F_1 \left(c-a, b; c;\frac{z}{z-1} \right).$$

द्विपद रचनांतर, और यूलर रचनांतर के रूप में इसकी भिन्नता, किसी संख्या के निरंतर अंश प्रतिनिधित्व के संबंध के लिए उल्लेखनीय है। मान लीजिये $$0 < x < 1$$ निरंतर भिन्न प्रतिनिधित्व है


 * $$x=[0;a_1, a_2, a_3,\cdots]$$

तब


 * $$\frac{x}{1-x}=[0;a_1-1, a_2, a_3,\cdots]$$

और


 * $$\frac{x}{1+x}=[0;a_1+1, a_2, a_3,\cdots].$$

घातांकीय जनक फलन
घातीय जनक फलन के लिए, आइए


 * $$\overline{f}(x)= \sum_{n=0}^\infty a_n \frac{x^n}{n!}$$

और


 * $$\overline{g}(x)= \sum_{n=0}^\infty s_n \frac{x^n}{n!}$$

तब


 * $$\overline{g}(x) = (T\overline{f})(x) = e^x \overline{f}(-x).$$

बोरेल योग सामान्य जनक फलन को घातीय जनक फलन में परिवर्तित कर देगा।

अभिन्न प्रतिनिधित्व
जब अनुक्रम को एक जटिल विश्लेषणात्मक फलन द्वारा अंतराध्रुव किया जा सकता है, तो अनुक्रम के द्विपद रचनांतर को अंतराध्रुव फलन पर नॉरलुंड-राइस पूर्णांकी के माध्यम से दर्शाया जा सकता है।

सामान्यीकरण
प्रोडिंगर एक संबंधित, प्रमापीय-जैसा रचनांतर देता है:


 * $$u_n = \sum_{k=0}^n {n\choose k} a^k (-c)^{n-k} b_k$$

निम्न देता है


 * $$U(x) = \frac{1}{cx+1} B\left(\frac{ax}{cx+1}\right)$$

जहां U और B श्रृंखला $$\{u_n\}$$ और $$\{b_n\}$$ से जुड़े सामान्य उत्पादक कार्य हैं, क्रमश।

बढ़ते हुए k-द्विपद रचनांतर को कभी-कभी इस प्रकार परिभाषित किया जाता है


 * $$\sum_{j=0}^n {n\choose j} j^k a_j.$$

गिरता हुआ k-द्विपद रचनांतर है


 * $$\sum_{j=0}^n {n\choose j} j^{n-k} a_j$$.

दोनों एक श्रृंखला के हेंकेल रूपांतरण के कर्नेल (बीजगणित) की समरूपताएं हैं।

ऐसे स्तिथि में जहां द्विपद रचनांतर को इस प्रकार परिभाषित किया गया है


 * $$\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}a_i=b_n$$।

इसे $$\mathfrak J(a)_n=b_n$$ फलन के बराबर होने दें।

यदि एक नई अग्रांतर सूत्र तालिका बनाई जाती है और एक नया अनुक्रम बनाने के लिए इस तालिका की प्रत्येक पंक्ति से पहले तत्वों $$\{b_n\}$$ को लिया जाता है, तो मूल अनुक्रम का दूसरा द्विपद रचनांतर है,


 * $$\mathfrak J^2(a)_n=\sum_{i=0}^n(-2)^{n-i}\binom{n}{i}a_i.$$

यदि एक ही प्रक्रिया को k बार दोहराया जाता है, तो परिणाम यह होता है कि,


 * $$\mathfrak J^k(a)_n=b_n=\sum_{i=0}^n(-k)^{n-i}\binom{n}{i}a_i.$$

इसका विपरीत निम्न है,


 * $$\mathfrak J^{-k}(b)_n=a_n=\sum_{i=0}^nk^{n-i}\binom{n}{i}b_i.$$

इसे इस प्रकार सामान्यीकृत किया जा सकता है,


 * $$\mathfrak J^k(a)_n=b_n=(\mathbf E-k)^na_0$$

जहाँ $$\mathbf E$$ विस्थापन संचालक है।

इसका विपरीत निम्न है


 * $$\mathfrak J^{-k}(b)_n=a_n=(\mathbf E+k)^nb_0$$।

यह भी देखें

 * न्यूटन श्रृंखला
 * हैंकेल मैट्रिक्स
 * मोबियस रचनांतर
 * स्टर्लिंग रचनांतर
 * यूलर योग
 * द्विपद क्यूएमएफ
 * रीमैन-लिउविल पूर्णांकी
 * तथ्यात्मक और द्विपद विषयों की सूची

संदर्भ

 * जॉन एच. कॉनवे और रिचर्ड के. गाइ, 1996, द बुक ऑफ़ नंबर्स
 * डोनाल्ड ई. नुथ, द आर्ट ऑफ़ कंप्यूटर प्रोग्रामिंग वॉल्यूम। 3, (1973) एडिसन-वेस्ले, रीडिंग, एमए.
 * हेल्मुट प्रोडिंगर, 1992, द्विपद रचनांतर के बारे में कुछ जानकारी
 * Michael Z. Spivey and Laura L. Steil, 2006, के-बिनोमियल ट्रांसफॉर्म और हेंकेल ट्रांसफॉर्म
 * बोरिसोव बी. और श्कोड्रोव वी., 2007, सामान्यीकृत द्विपद रचनांतर में भिन्न श्रृंखला, सलाह। स्टड. जारी. गणित., 14 (1): 77-82
 * ख्रीस्तो एन. बोयादज़ियेव, द्विपद रचनांतर, सिद्धांत और तालिका पर नोट्स, स्टर्लिंग रचनांतर पर परिशिष्ट के साथ (2018), विश्व वैज्ञानिक।

बाहरी संबंध

 * Binomial Transform
 * Transformations of Integer Sequences