अबाध क्रम प्रमुखता (कार्दिनलिटी ऑफ़ दी कॉन्टीनुम)

समुच्चय सिद्धान्त में, कॉन्टिनम की प्रमुखता वास्तविक संख्याओं के सेट (गणित) की कार्डिनैलिटी या आकार है। $$\mathbb R$$, जिसे कभी-कभी सातत्य (सेट सिद्धांत) कहा जाता है। यह एक अनंत सेट कार्डिनल संख्या है और इसके द्वारा निरूपित किया जाता है $$\mathfrak c$$ (लोअरकेस भंग सी ) या $$|\mathbb R|$$. वास्तविक संख्याएँ $$\mathbb R$$ प्राकृतिक संख्या से अधिक हैं $$\mathbb N$$. इसके अतिरिक्त, $$\mathbb R$$ के सत्ता स्थापित  के समान तत्वों की संख्या है $$\mathbb N.$$ प्रतीकात्मक रूप से, यदि कार्डिनैलिटी $$\mathbb N$$ एलेफ नंबर#एलेफ-नॉट| के रूप में दर्शाया गया है$$\aleph_0$$, सातत्य की प्रमुखता है

यह 1874 के अपने कैंटर के पहले बेशुमार प्रमाण में जॉर्ज कैंटर द्वारा सिद्ध किया गया था, जो कि अलग-अलग अनंतताओं के उनके महत्वपूर्ण अध्ययन का हिस्सा था। असमानता को बाद में 1891 में उनके कैंटर के विकर्ण तर्क में और अधिक सरलता से कहा गया था। कैंटर ने विशेषण कार्यों के संदर्भ में कार्डिनैलिटी को परिभाषित किया: दो सेटों में समान कार्डिनैलिटी होती है, और केवल अगर, उनके बीच एक विशेषण फ़ंक्शन मौजूद होता है।

किन्हीं भी दो वास्तविक संख्याओं a < b के बीच, चाहे वे एक-दूसरे के कितने भी करीब क्यों न हों, हमेशा अपरिमित रूप से कई अन्य वास्तविक संख्याएँ होती हैं, और कैंटर ने दिखाया कि वे उतने ही हैं जितने कि वास्तविक संख्याओं के पूरे सेट में निहित हैं। दूसरे शब्दों में, खुला अंतराल (ए, बी) के साथ समतुल्य है $$\mathbb R.$$ यह कई अन्य अनंत सेटों के लिए भी सही है, जैसे कि कोई भी एन-डायमेंशनल यूक्लिडियन अंतरिक्ष  $$\mathbb R^n$$ ( अंतरिक्ष भरने वक्र  देखें)। वह है,

सबसे छोटी अनंत कार्डिनल संख्या है $$\aleph_0$$ (एलेफ संख्या#एलेफ-नॉट|एलेफ-नल)। दूसरा सबसे छोटा है $$\aleph_1$$ (एलेफ नंबर # एलेफ-वन | एलेफ-वन)। सातत्य परिकल्पना, जो दावा करती है कि ऐसे कोई सेट नहीं हैं जिनकी कार्डिनैलिटी सख्ती से बीच में हो $$\aleph_0$$ और $\mathfrak c$, मतलब कि $$\mathfrak c = \aleph_1$$. इस परिकल्पना की सच्चाई या झूठ अनिर्णीत है और कॉन्टिनम परिकल्पना # ZFC से व्यापक रूप से इस्तेमाल किए जाने वाले ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी विद एक्सिओम ऑफ़ चॉइस (ZFC) के भीतर स्वतंत्रता।

बेशुमारता
जॉर्ज कैंटर ने अनंत सेटों के आकार की तुलना करने के लिए कार्डिनैलिटी की अवधारणा पेश की। उन्होंने प्रसिद्ध रूप से दिखाया कि वास्तविक संख्याओं का समुच्चय बेशुमार अनंत है। वह है, $${\mathfrak c}$$ प्राकृतिक संख्या की कार्डिनैलिटी से सख्ती से अधिक है, $$\aleph_0$$:

व्यवहार में, इसका अर्थ है कि पूर्णांकों की तुलना में वास्तव में अधिक वास्तविक संख्याएँ हैं। कैंटर ने इस कथन को कई अलग-अलग तरीकों से सिद्ध किया। इस विषय पर अधिक जानकारी के लिए, कैंटर का पहला बेशुमार प्रमाण और कैंटर का विकर्ण तर्क देखें।

कार्डिनल समानता
कैंटर के प्रमेय को साबित करने के लिए कैंटर के विकर्ण तर्क की भिन्नता का उपयोग किया जा सकता है, जिसमें कहा गया है कि किसी भी सेट की कार्डिनैलिटी उसके पावर सेट की तुलना में सख्ती से कम है। वह है, $$|A| < 2^{|A|}$$ (और ताकि बिजली सेट हो जाए $$\wp(\mathbb N)$$ प्राकृतिक संख्याओं की $$\mathbb N$$ बेशुमार है)। वास्तव में, कोई दिखा सकता है कि कार्डिनैलिटी $$\wp(\mathbb N)$$ के बराबर है $${\mathfrak c}$$ निम्नलिखित नुसार: कैंटर-बर्नस्टीन-श्रोएडर प्रमेय द्वारा हम यह निष्कर्ष निकालते हैं
 * 1) मानचित्र को परिभाषित करें $$f:\mathbb R\to\wp(\mathbb Q)$$ वास्तविक से परिमेय के घात समुच्चय तक, $$\mathbb Q$$, प्रत्येक वास्तविक संख्या भेजकर $$x$$ सेट पर $$\{q \in \mathbb{Q}: q \leq x\}$$ से कम या उसके बराबर सभी परिमेय $$x$$ ( डेडेकाइंड कट ्स के रूप में देखे गए वास्तविक के साथ, यह परिमेय के सेट के सेट में समावेशन मानचित्र के अलावा और कुछ नहीं है)। क्योंकि राशनल  घना सेट  हैं $$\mathbb{R}$$, यह मानचित्र एक विशेषण फलन है, और क्योंकि परिमेय गणनीय हैं, हमारे पास वह है $$\mathfrak c \le 2^{\aleph_0}$$.
 * 2) होने देना $$\{0,2\}^{\mathbb N}$$ सेट में मूल्यों के साथ अनंत अनुक्रमों का सेट हो $$\{0,2\}$$. इस सेट में कार्डिनैलिटी है $$2^{\aleph_0}$$ (द्विआधारी अनुक्रमों के सेट के बीच प्राकृतिक आपत्ति और $$\wp(\mathbb N)$$ संकेतक फ़ंक्शन द्वारा दिया गया है)। अब, ऐसे प्रत्येक क्रम से जुड़ें $$(a_i)_{i\in\mathbb N}$$ इकाई अंतराल में अद्वितीय वास्तविक संख्या $$[0,1]$$ त्रैमासिक अंक प्रणाली के साथ-अंकों द्वारा दिया गया विस्तार $$a_1,a_2,\dotsc$$, अर्थात।, $$\sum_{i=1}^\infty a_i3^{-i}$$, द $$i$$भिन्नात्मक बिंदु के बाद -वाँ अंक है $$a_i$$ आधार के संबंध में $$3$$. इस मानचित्र की छवि को कैंटर सेट कहा जाता है। यह देखना मुश्किल नहीं है कि यह नक्शा इंजेक्शन है, अंक 1 के अंक से बचने के लिए उनके टर्नरी विस्तार में, हम इस तथ्य से उत्पन्न संघर्ष से बचते हैं कि वास्तविक संख्या का त्रि-विस्तार अद्वितीय नहीं है। हमारे पास वह है $$2^{\aleph_0} \le \mathfrak c$$.

कार्डिनल समानता $$\mathfrak{c}^2 = \mathfrak{c}$$ कार्डिनल अंकगणित का उपयोग करके प्रदर्शित किया जा सकता है:

कार्डिनल अंकगणित के नियमों का उपयोग करके, यह भी दिखाया जा सकता है

जहाँ n कोई परिमित कार्डिनल ≥ 2 है, और

कहाँ $$2 ^{\mathfrak c}$$ R के पावर सेट की प्रमुखता है, और $$2 ^{\mathfrak c} > \mathfrak c $$.

के लिए वैकल्पिक व्याख्या &cfr; {{=}} 2{{sup|א{{sub|&lrm;0}}}}
प्रत्येक वास्तविक संख्या का कम से कम एक अनंत दशमलव प्रसार होता है। उदाहरण के लिए,

1/2 = 0.50000...

1/3 = 0.33333...

π = 3.14159....

(यह पहले दो उदाहरणों की तरह विस्तार दोहराने की स्थिति में भी सच है।)

किसी भी मामले में, अंकों की संख्या गणनीय सेट है क्योंकि उन्हें प्राकृतिक संख्याओं के सेट के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है $$\mathbb{N}$$. यह π के पहले, सौवें, या दस लाखवें अंक के बारे में बात करने के लिए समझदार बनाता है। चूंकि प्राकृतिक संख्याओं में कार्डिनैलिटी होती है $$\aleph_0,$$ प्रत्येक वास्तविक संख्या में है $$\aleph_0$$ इसके विस्तार में अंक।

चूँकि प्रत्येक वास्तविक संख्या को एक पूर्णांक भाग और एक दशमलव अंश में तोड़ा जा सकता है, हम प्राप्त करते हैं:

जहां हमने इस तथ्य का उपयोग किया

दूसरी ओर, अगर हम मैप करते हैं $$2 = \{0, 1\}$$ को $$\{3, 7\}$$ और विचार करें कि केवल 3 या 7 वाले दशमलव अंश वास्तविक संख्याओं का केवल एक भाग हैं, तो हम प्राप्त करते हैं

और इस तरह

बेथ नंबर
बेथ संख्याओं के क्रम को सेटिंग द्वारा परिभाषित किया गया है $$\beth_0 = \aleph_0$$ और $$\beth_{k+1} = 2^{\beth_k}$$. इसलिए $${\mathfrak c}$$ दूसरा बेथ नंबर है, बेथ-वन:

तीसरी बेथ संख्या, बेथ-टू, के पावर सेट की प्रमुखता है $$\mathbb{R}$$ (अर्थात वास्तविक रेखा के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय):

सतत परिकल्पना
प्रसिद्ध सातत्य परिकल्पना का दावा है कि $${\mathfrak c}$$ दूसरा एलेफ संख्या  भी है, $$\aleph_1$$. दूसरे शब्दों में, सातत्य परिकल्पना कहती है कि कोई समुच्चय नहीं है $$A$$ जिनकी प्रमुखता सख्ती से बीच में है $$\aleph_0$$ और $${\mathfrak c}$$

यह कथन अब कर्ट गोडेल और पॉल कोहेन द्वारा दिखाए गए पसंद के स्वयंसिद्ध (जेडएफसी) के साथ जर्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के सिद्धांतों से स्वतंत्र होने के लिए जाना जाता है।  अर्थात्, परिकल्पना और उसका निषेध दोनों ही इन स्वयंसिद्धों के अनुरूप हैं। वास्तव में, प्रत्येक अशून्य प्राकृतिक संख्या n के लिए, समानता $${\mathfrak c}$$ = $$\aleph_n$$ ZFC से स्वतंत्र है (केस $$n=1$$ निरंतर परिकल्पना होने के नाते)। अधिकांश अन्य अलेफों के लिए भी यही सच है, हालांकि कुछ मामलों में, कोनिग के प्रमेय (सेट सिद्धांत) द्वारा समानता से इनकार किया जा सकता है।  $$\mathfrak{c}\neq\aleph_\omega$$). विशेष रूप से,  $$\mathfrak{c}$$ दोनो में से एक हो सकता है $$\aleph_1$$ या  $$\aleph_{\omega_1}$$, कहाँ $$\omega_1$$ पहला बेशुमार क्रमसूचक है, इसलिए यह या तो एक उत्तराधिकारी कार्डिनल या एक सीमा कार्डिनल हो सकता है, और या तो एक नियमित कार्डिनल या एकवचन कार्डिनल हो सकता है।

सातत्य
की प्रमुखता के साथ सेट करता है

गणित में अध्ययन किए गए बहुत से सेटों में कार्डिनैलिटी बराबर होती है $${\mathfrak c}$$. कुछ सामान्य उदाहरण निम्नलिखित हैं:

अधिक कार्डिनैलिटी के साथ सेट
से अधिक कार्डिनैलिटी के साथ सेट करता है $${\mathfrak c}$$ शामिल करना:


 * के सभी उपसमूहों का समुच्चय $$\mathbb{R}$$ (यानी, पावर सेट $$\mathcal{P}(\mathbb{R})$$)
 * द सेट पॉवर सेट#फंक्शन के रूप में सबसेट को प्रस्तुत करना|2 वास्तविक के सबसेट पर परिभाषित संकेतक कार्यों का आर (सेट $$2^{\mathbb{R}}$$ के लिए समरूप  है $$\mathcal{P}(\mathbb{R})$$- संकेतक फ़ंक्शन शामिल करने के लिए प्रत्येक सबसेट के तत्वों को चुनता है)
 * सेट $$\mathbb{R}^\mathbb{R}$$ से सभी कार्यों की $$\mathbb{R}$$ को $$\mathbb{R}$$
 * द लेबेस्ग्यू उपाय|लेबेस्गुए σ-बीजगणित का $$\mathbb{R}$$, यानी, सभी Lebesgue मापने योग्य सेट का सेट $$\mathbb{R}$$.
 * सभी Lebesgue इंटीग्रेशन का सेट|Lebesgue-integrable function from $$\mathbb{R}$$ को $$\mathbb{R}$$
 * सभी मापने योग्य कार्यों का सेट| लेबेस्ग्यू-मापने योग्य कार्यों से $$\mathbb{R}$$ को $$\mathbb{R}$$
 * स्टोन-चेक का कॉम्पेक्टिफिकेशन $$\mathbb{N}$$, $$\mathbb{Q}$$ और $$\mathbb{R}$$
 * संमिश्र संख्याओं के (विच्छेद) क्षेत्र के सभी स्वाकारणों का समुच्चय।

इन सभी में कार्डिनैलिटी है $$2^\mathfrak c = \beth_2$$ (बेथ संख्या # बेथ दो)।

ग्रन्थसूची

 * Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
 * Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer.  ISBN 3-540-44085-2.
 * Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.