एबेलियन समूह की रैंक

गणित में, एबेलियन समूह ए की रैंक, प्रुफ़र रैंक, या मरोड़-मुक्त रैंक एक अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र उपसमुच्चय की प्रमुखता है। ए की रैंक ए में निहित सबसे बड़े मुक्त एबेलियन समूह के आकार को निर्धारित करती है। यदि ए टॉर्सियन (बीजगणित) | टॉर्सियन-मुक्त है तो यह आयाम रैंक ए की तर्कसंगत संख्याओं पर एक सदिश स्थल में एम्बेड होता है। अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूहों के लिए, रैंक एक मजबूत अपरिवर्तनीय है और ऐसे प्रत्येक समूह को उसके रैंक और मरोड़ उपसमूह द्वारा समरूपता तक निर्धारित किया जाता है। रैंक 1 के मरोड़ मुक्त एबेलियन समूहों को पूरी तरह से वर्गीकृत किया गया है। हालाँकि, उच्च रैंक के एबेलियन समूहों का सिद्धांत अधिक शामिल है।

प्रारंभिक एबेलियन समूहों के संदर्भ में रैंक शब्द का एक अलग अर्थ है।

परिभाषा
एक उपसमुच्चय {एαएबेलियन समूह ए का } 'रैखिक रूप से स्वतंत्र' ('जेड' से अधिक) है यदि इन तत्वों का एकमात्र रैखिक संयोजन जो शून्य के बराबर है, तुच्छ है: यदि


 * $$\sum_\alpha n_\alpha a_\alpha = 0, \quad n_\alpha\in\mathbb{Z},$$

जहां सीमित रूप से अनेक गुणांकों को छोड़कर सभी n हैंα शून्य हैं (ताकि योग, वास्तव में, परिमित हो), तो सभी गुणांक शून्य हैं। ए में किन्हीं दो अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र सेटों में समान कार्डिनैलिटी होती है, जिसे ए की 'रैंक' कहा जाता है।

एबेलियन समूह की रैंक एक सदिश समष्टि के सदिश समष्टि आयाम के अनुरूप होती है। सदिश समष्टि के मामले में मुख्य अंतर मरोड़ (बीजगणित) की उपस्थिति है। एबेलियन समूह ए के एक तत्व को मरोड़ के रूप में वर्गीकृत किया गया है यदि इसका क्रम (समूह सिद्धांत) सीमित है। सभी मरोड़ तत्वों का समुच्चय एक उपसमूह है, जिसे मरोड़ उपसमूह कहा जाता है और इसे T(A) से दर्शाया जाता है। किसी समूह को मरोड़-मुक्त कहा जाता है यदि उसमें कोई गैर-तुच्छ मरोड़ तत्व न हों। कारक-समूह ए/टी(ए) ए का अद्वितीय अधिकतम मरोड़-मुक्त भागफल है और इसकी रैंक ए की रैंक के साथ मेल खाती है।

अनुरूप गुणों के साथ रैंक की धारणा को किसी भी अभिन्न डोमेन पर मॉड्यूल (गणित) के लिए परिभाषित किया जा सकता है, 'जेड' पर मॉड्यूल के अनुरूप एबेलियन समूहों का मामला। इसके लिए, अंतिम रूप से जेनरेट किया गया मॉड्यूल#जेनेरिक रैंक देखें।

गुण

 * एबेलियन समूह ए की रैंक 'क्यू'-वेक्टर स्पेस ए ⊗ 'क्यू' के आयाम से मेल खाती है। यदि ए मरोड़-मुक्त है तो विहित मानचित्र ए → ए ⊗ 'क्यू' इंजेक्शन है और ए का रैंक 'क्यू'-वेक्टर स्पेस का न्यूनतम आयाम है जिसमें ए एबेलियन उपसमूह के रूप में शामिल है। विशेष रूप से, कोई मध्यवर्ती समूह 'Z'n <ए <'क्यू'n की रैंक n है।
 * रैंक 0 के एबेलियन समूह बिल्कुल आवर्त समूह हैं।
 * परिमेय संख्याओं के समूह 'Q' की रैंक 1 है। रैंक 1 के मरोड़-मुक्त एबेलियन समूहों को 'Q' के उपसमूहों के रूप में महसूस किया जाता है और समरूपता तक उनका एक संतोषजनक वर्गीकरण होता है। इसके विपरीत, रैंक 2 के मरोड़-मुक्त एबेलियन समूहों का कोई संतोषजनक वर्गीकरण नहीं है।
 * छोटे सटीक अनुक्रमों पर रैंक योगात्मक है: यदि


 * $$0\to A\to B\to C\to 0\;$$
 * एबेलियन समूहों का एक संक्षिप्त सटीक अनुक्रम है, फिर आरके बी = आरके ए + आरके सी। यह 'क्यू' के फ्लैट मॉड्यूल और वेक्टर रिक्त स्थान के लिए संबंधित तथ्य से अनुसरण करता है।


 * रैंक मनमाने प्रत्यक्ष योगों पर योगात्मक है:


 * $$\operatorname{rank}\left(\bigoplus_{j\in J}A_j\right) = \sum_{j\in J}\operatorname{rank}(A_j),$$
 * जहां दाहिनी ओर का योग कार्डिनल अंकगणित का उपयोग करता है।

उच्च रैंक के समूह
1 से अधिक रैंक वाले एबेलियन समूह दिलचस्प उदाहरणों के स्रोत हैं। उदाहरण के लिए, प्रत्येक कार्डिनल डी के लिए रैंक डी के मरोड़ मुक्त एबेलियन समूह मौजूद हैं जो कि अविभाज्य मॉड्यूल हैं, यानी उनके उचित उपसमूहों की एक जोड़ी के प्रत्यक्ष योग के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। ये उदाहरण दर्शाते हैं कि 1 से अधिक रैंक का मरोड़-मुक्त एबेलियन समूह केवल रैंक 1 के मरोड़-मुक्त एबेलियन समूहों के सीधे योग से नहीं बनाया जा सकता है, जिसका सिद्धांत अच्छी तरह से समझा जाता है। इसके अलावा, प्रत्येक पूर्णांक के लिए $$n\ge 3$$, रैंक का एक मरोड़-मुक्त एबेलियन समूह है $$2n-2$$ यह एक साथ दो अविभाज्य समूहों का योग है, और n अविभाज्य समूहों का योग है। इसलिए 4 से अधिक या बराबर सम रैंक वाले समूह के अविभाज्य योगों की संख्या भी अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है।

प्रत्यक्ष योग अपघटन की गैर-विशिष्टता के बारे में एक और परिणाम ए.एल.एस. के कारण है। कोना: पूर्णांक दिए गए हैं $$n\ge k\ge 1$$, किसी भी विभाजन के लिए रैंक n का एक मरोड़-मुक्त एबेलियन समूह A मौजूद है $$n = r_1 + \cdots + r_k$$ k प्राकृतिक सारांश में, समूह A रैंकों के k अविभाज्य उपसमूहों का प्रत्यक्ष योग है $$r_1, r_2, \ldots, r_k$$. इस प्रकार परिमित रैंक के मरोड़ मुक्त एबेलियन समूह के एक निश्चित प्रत्यक्ष योग अपघटन में अविभाज्य सारांशों के रैंकों का क्रम ए के अपरिवर्तनीय होने से बहुत दूर है।

अन्य आश्चर्यजनक उदाहरणों में मरोड़-मुक्त रैंक 2 समूह ए शामिल हैंn,m और बीn,m ऐसे कि एnबी का समरूपी हैn यदि और केवल यदि n, m से विभाज्य है।

अनंत रैंक के एबेलियन समूहों के लिए, समूह K और उपसमूह G का एक उदाहरण है
 * K अविघटनीय है;
 * K, G और एक अन्य तत्व द्वारा उत्पन्न होता है; और
 * G का प्रत्येक अशून्य प्रत्यक्ष योग विघटित होता है।

सामान्यीकरण
रैंक की धारणा को किसी भी मॉड्यूल एम के लिए एक अभिन्न डोमेन आर पर सामान्यीकृत किया जा सकता है, आर पर आयाम के रूप में0, फ़ील्ड के साथ मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद का भागफल फ़ील्ड:
 * $$\operatorname{rank} (M)=\dim_{R_0} M\otimes_R R_0$$

यह समझ में आता है, क्योंकि आर0 एक फ़ील्ड है, और इस प्रकार इसके ऊपर कोई भी मॉड्यूल (या, अधिक विशिष्ट होने के लिए, वेक्टर स्पेस) मुफ़्त है।

यह एक सामान्यीकरण है, क्योंकि प्रत्येक एबेलियन समूह पूर्णांकों पर एक मॉड्यूल है। यह आसानी से पता चलता है कि Q पर उत्पाद का आयाम अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र उपसमुच्चय की कार्डिनैलिटी है, क्योंकि किसी भी मरोड़ तत्व x और किसी भी तर्कसंगत q के लिए,
 * $$x\otimes_{\mathbf Z} q = 0.$$

यह भी देखें

 * समूह की रैंक