नाइक्विस्ट स्थायित्व निकष

नियंत्रण सिद्धांत और स्थिरता सिद्धांत में, नाइक्विस्ट स्थिरता मानदंड या स्ट्रेकर-नाइक्विस्ट स्थिरता मानदंड, स्वतंत्र रूप से जर्मन इलेक्ट्रिकल इंजीनियर द्वारा खोजा गया फेलिक्स स्ट्रेकर 1930 में सीमेंस में  और 1932 में बेल टेलीफोन प्रयोगशालाओं में स्वीडिश-अमेरिकी इलेक्ट्रिकल इंजीनियर हैरी नाइक्विस्ट, गतिशील प्रणाली की स्थिरता मानदंड निर्धारित करने के लिए ग्राफिकल तकनीक है। क्योंकि यह केवल ओपन-लूप नियंत्रकों के नाइक्विस्ट प्लॉट को देखता है, इसे बंद-लूप या ओपन-लूप सिस्टम के ध्रुवों और शून्यों की स्पष्ट रूप से गणना किए बिना लागू किया जा सकता है (हालांकि प्रत्येक प्रकार के दाएं-आधे-विमान की संख्या विलक्षणता (गणित) ज्ञात होना चाहिए)। नतीजतन, इसे गैर-तर्कसंगत कार्यो द्वारा परिभाषित प्रणालियों पर लागू किया जा सकता है, जैसे कि देरी वाले सिस्टम। बोडे भूखंडों के विपरीत, यह दाहिने आधे-विमान विलक्षणताओं के साथ स्थानांतरण कार्यों को संभाल सकता है। इसके अलावा, बहु-इनपुट बहु-आउटपुट प्रणाली के साथ अधिक जटिल प्रणालियों के लिए स्वाभाविक सामान्यीकरण है, जैसे हवाई जहाज के लिए नियंत्रण प्रणाली।

नाइक्विस्ट मानदंड व्यापक रूप से इलेक्ट्रानिक्स और नियंत्रण प्रणाली इंजीनियरिंग के साथ-साथ अन्य क्षेत्रों में प्रतिक्रिया के साथ सिस्टम को डिजाइन और विश्लेषण करने के लिए उपयोग किया जाता है। जबकि नाइक्विस्ट सबसे सामान्य स्थिरता परीक्षणों में से एक है, यह अभी भी रैखिक समय-अपरिवर्तनीय (LTI) सिस्टम तक ही सीमित है। गैर-रैखिक प्रणालियों को अधिक जटिल स्थिरता मानदंड का उपयोग करना चाहिए, जैसे लायपुनोव स्थिरता या सर्कल मानदंड। जबकि नाइक्विस्ट ग्राफिकल तकनीक है, यह केवल एक सीमित मात्रा में अंतर्ज्ञान प्रदान करता है कि सिस्टम स्थिर या अस्थिर क्यों है, या स्थिर होने के लिए अस्थिर प्रणाली को कैसे संशोधित किया जाए। बोडे प्लॉट जैसी तकनीकें, जबकि कम सामान्य, कभी-कभी अधिक उपयोगी डिज़ाइन टूल होती हैं।

नाइक्विस्ट प्लॉट
नाइक्विस्ट प्लॉट नियंत्रण प्रणाली और संकेत आगे बढ़ाना में उपयोग की जाने वाली आवृत्ति प्रतिक्रिया का पैरामीट्रिक प्लॉट है। नाइक्विस्ट भूखंडों का सबसे आम उपयोग फीडबैक के साथ सिस्टम की स्थिरता का आकलन करने के लिए है। कार्टेशियन निर्देशांक में, स्थानांतरण फ़ंक्शन की जटिल संख्या को 'एक्स'-अक्ष पर प्लॉट किया जाता है जबकि जटिल संख्या को 'वाई'-अक्ष पर प्लॉट किया जाता है। आवृत्ति एक पैरामीटर के रूप में बहती है, जिसके परिणामस्वरूप प्रति आवृत्ति एक प्लॉट होता है। उसी प्लॉट को ध्रुवीय निर्देशांक का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है, जहां ट्रांसफर फ़ंक्शन का गेन (इलेक्ट्रॉनिक्स) रेडियल समन्वय है, और स्थानांतरण फ़ंक्शन का चरण (तरंगें) संबंधित कोणीय समन्वय है। नाइक्विस्ट प्लॉट का नाम Bell Laboratories के पूर्व इंजीनियर हैरी नाइक्विस्ट के नाम पर रखा गया है।

एक बंद लूप नकारात्मक प्रतिक्रिया प्रणाली की स्थिरता का आकलन नाइक्विस्ट स्थिरता मानदंड को ओपन-लूप सिस्टम के नाइक्विस्ट प्लॉट पर लागू करके किया जाता है (अर्थात इसके प्रतिक्रिया पाश के बिना एक ही प्रणाली)। यह विधि देरी और अन्य गैर-तर्कसंगत स्थानांतरण कार्यों वाली प्रणालियों के लिए भी आसानी से लागू होती है, जो अन्य विधियों के साथ विश्लेषण करना मुश्किल हो सकता है। स्थिरता बिंदु (−1, 0) के घेरे की संख्या को देखकर निर्धारित की जाती है। लाभ की सीमा जिस पर प्रणाली स्थिर होगी, वास्तविक अक्ष के क्रॉसिंग को देखकर निर्धारित की जा सकती है।

नाइक्विस्ट प्लॉट ट्रांसफर फ़ंक्शन के आकार के बारे में कुछ जानकारी प्रदान कर सकता है। उदाहरण के लिए, प्लॉट ट्रांसफर फ़ंक्शन के शून्य और ध्रुवों की संख्या के बीच अंतर के बारे में जानकारी प्रदान करता है उस कोण से जिस पर वक्र मूल बिंदु तक पहुंचता है।

जब हाथ से खींचा जाता है, तो नाइक्विस्ट प्लॉट का कार्टून संस्करण कभी-कभी उपयोग किया जाता है, जो वक्र की रैखिकता को दर्शाता है, लेकिन जहां ब्याज के क्षेत्रों में अधिक विवरण दिखाने के लिए निर्देशांक विकृत होते हैं। जब कम्प्यूटेशनल रूप से प्लॉट किया जाता है, तो ब्याज की सभी आवृत्तियों को कवर करने के लिए सावधान रहने की आवश्यकता होती है। इसका आम तौर पर मतलब है कि मानों की विस्तृत श्रृंखला को कवर करने के लिए पैरामीटर को लघुगणकीय रूप से स्वीप किया जाता है।

पृष्ठभूमि
गणित लाप्लास परिवर्तन का उपयोग करता है, जो समय डोमेन में इंटीग्रल और डेरिवेटिव को एस डोमेन में सरल गुणन और विभाजन में बदल देता है।

हम ऐसी प्रणाली पर विचार करते हैं जिसका स्थानांतरण कार्य है $$G(s)$$; जब नकारात्मक प्रतिक्रिया के साथ बंद लूप में रखा जाता है $$H(s)$$बंद-लूप स्थानांतरण समारोह (सीएलटीएफ) तब बन जाता है $$\frac{G}{1+GH}$$. असंवेदनशीलता कारक बहुपद के समारोह के शून्य की जांच करके स्थिरता निर्धारित की जा सकती है $$1+GH$$, उदा. राउथ सरणी का उपयोग करना, लेकिन यह विधि कुछ कठिन है। ओपन लूप ट्रांसफर फंक्शन (OLTF) की जांच करके भी निष्कर्ष पर पहुंचा जा सकता है। $$GH(s)$$, इसके बोड भूखंडों का उपयोग करते हुए या, जैसा कि यहां, नाइक्विस्ट कसौटी का उपयोग करते हुए इसका ध्रुवीय भूखंड, निम्नानुसार है।

कोई लाप्लास डोमेन ट्रांसफर फ़ंक्शन $$\mathcal{T}(s)$$ दो बहुपदों के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: $$\mathcal{T}(s) = \frac{N(s)}{D(s)}.$$ की जड़ें $$N(s)$$ के शून्यक कहलाते हैं $$\mathcal{T}(s)$$, और की जड़ें $$D(s)$$ के ध्रुव हैं $$\mathcal{T}(s)$$. के डंडे $$\mathcal{T}(s)$$ को अभिलाक्षणिक समीकरण के मूल भी कहा जाता है $$D(s) = 0$$.

की स्थिरता $$\mathcal{T}(s)$$ इसके ध्रुवों के मूल्यों द्वारा निर्धारित किया जाता है: स्थिरता के लिए, प्रत्येक ध्रुव का वास्तविक भाग ऋणात्मक होना चाहिए। अगर $$\mathcal{T}(s)$$ ओपन-लूप ट्रांसफर फ़ंक्शन के चारों ओर नकारात्मक एकता फीडबैक लूप को बंद करके बनाया गया है $$GH(s) = \frac{A(s)}{B(s)}$$, तब अभिलाक्षणिक समीकरण के मूल भी के शून्य हैं $$1 + GH(s)$$, या बस की जड़ें $$A(s) + B(s)=0$$.

कॉची का तर्क सिद्धांत
जटिल विश्लेषण से, समोच्च $$\Gamma_s$$ परिसर में खींचा गया $$s$$ समतल, समाविष्ट लेकिन किसी फलन के शून्यों और ध्रुवों की संख्या से होकर नहीं $$F(s)$$, अनुरूप नक्शा # जटिल विश्लेषण दूसरे विमान के लिए हो सकता है (नामित $$F(s)$$ विमान) फ़ंक्शन द्वारा $$F$$. ठीक है, प्रत्येक जटिल बिंदु $$s$$ समोच्च में $$\Gamma_s$$ बिंदु पर मैप किया गया है $$F(s)$$ नए में $$F(s)$$ एक नया समोच्च देने वाला विमान।

नाइक्विस्ट का प्लॉट $$F(s)$$, जो समोच्च है $$\Gamma_{F(s)} = F(\Gamma_s)$$ बिंदु को घेर लेंगे $$s={-1/k+j0}$$ की $$F(s)$$ विमान $$N$$ बार, कहाँ $$N =P - Z$$ तर्क सिद्धांत द्वारा | कॉची का तर्क सिद्धांत। यहाँ $$Z$$ और $$P$$ क्रमशः शून्यों की संख्या हैं $$1+kF(s)$$ और डंडे $$F(s)$$ समोच्च के अंदर $$\Gamma_s$$. ध्यान दें कि हम घेरे की गिनती करते हैं $$F(s)$$ समोच्च के समान ही समतल $$\Gamma_s$$ और वह घेरा जो विपरीत दिशा में होता है, नकारात्मक घेरा होता है। अर्थात्, हम दक्षिणावर्त घेरे को धनात्मक मानते हैं और वामावर्त घेरे को ऋणात्मक मानते हैं।

कॉची के तर्क सिद्धांत के बजाय, 1932 में हैरी नाइक्विस्ट द्वारा मूल पेपर कम सुरुचिपूर्ण दृष्टिकोण का उपयोग करता है। यहां बताया गया दृष्टिकोण लेरॉय मैककॉल (1945 के सर्वोमैकेनिज्म का मौलिक सिद्धांत) या हेनरी बोडे (नेटवर्क विश्लेषण और फीडबैक एम्पलीफायर डिजाइन 1945) द्वारा उपयोग किए गए दृष्टिकोण के समान है, दोनों ने बेल प्रयोगशालाओं के लिए भी काम किया। यह दृष्टिकोण नियंत्रण सिद्धांत पर अधिकांश आधुनिक पाठ्यपुस्तकों में प्रकट होता है।

नाइक्विस्ट मानदंड
हम पहले नाइक्विस्ट समोच्च का निर्माण करते हैं, समोच्च जो जटिल तल के दाहिने आधे भाग को शामिल करता है: नाइक्विस्ट समोच्च समारोह के माध्यम से मैप किया गया $$1+G(s)$$ का प्लॉट देता है $$1+G(s)$$ जटिल विमान में। तर्क सिद्धांत के अनुसार, मूल के दक्षिणावर्त घेरे की संख्या के शून्य की संख्या होनी चाहिए $$1+G(s)$$ दाहिने-आधे जटिल तल में माइनस के ध्रुवों की संख्या $$1+G(s)$$ दाहिने-आधे जटिल तल में। यदि इसके बजाय, समोच्च को ओपन-लूप ट्रांसफर फ़ंक्शन के माध्यम से मैप किया जाता है $$G(s)$$परिणाम नाइक्विस्ट का प्लॉट है $$G(s)$$. -1 के परिणामी समोच्च घेरों की गणना करके, हम दाएँ-आधे जटिल तल में ध्रुवों और शून्यों की संख्या के बीच का अंतर पाते हैं $$1+G(s)$$. यह याद करते हुए कि के शून्य $$1+G(s)$$ बंद-पाश प्रणाली के खंभे हैं, और यह देखते हुए कि के खंभे हैं $$1+G(s)$$ के ध्रुवों के समान हैं $$G(s)$$, अब हम नाइक्विस्ट मानदंड बताते हैं: "नाइक्विस्ट समोच्च दिया गया $\Gamma_s$, होने देना $P$ के ध्रुवों की संख्या हो $G(s)$ से घिरा हुआ है $\Gamma_s$, और $Z$ के शून्यों की संख्या हो $1+G(s)$ से घिरा हुआ है $\Gamma_s$. वैकल्पिक रूप से, और इससे भी महत्वपूर्ण बात, अगर $Z$ दाहिने आधे तल में बंद लूप प्रणाली के ध्रुवों की संख्या है, और $P$ ओपन-लूप ट्रांसफर फ़ंक्शन के ध्रुवों की संख्या है $G(s)$ दाहिने आधे तल में, परिणामी समोच्च में $G(s)$-विमान, $\Gamma_{G(s)}$ बिंदु को (दक्षिणावर्त) घेरेंगे $(-1+j0)$ $N$ कई बार ऐसा $N = Z - P$"यदि सिस्टम मूल रूप से ओपन-लूप अस्थिर है, तो सिस्टम को स्थिर करने के लिए फीडबैक आवश्यक है। राइट-हाफ-प्लेन (आरएचपी) पोल उस अस्थिरता का प्रतिनिधित्व करते हैं। किसी सिस्टम की बंद-लूप स्थिरता के लिए, एस-प्लेन के दाहिने आधे हिस्से में बंद-लूप जड़ों की संख्या शून्य होनी चाहिए। इसलिए, वामावर्त घेरे की संख्या के बारे में $$ -1+j0 $$ आरएचपी में ओपन-लूप पोल्स की संख्या के बराबर होना चाहिए। ओपन-लूप फ़्रीक्वेंसी रिस्पॉन्स (जब कम फ़्रीक्वेंसी से हाई फ़्रीक्वेंसी पर आंका जाता है) द्वारा महत्वपूर्ण बिंदु के किसी भी दक्षिणावर्त घेरे से संकेत मिलता है कि लूप बंद होने पर फीडबैक कंट्रोल सिस्टम अस्थिर हो जाएगा। (आरएचपी पोल को रद्द करने के लिए आरएचपी शून्य का उपयोग अस्थिरता को दूर नहीं करता है, बल्कि यह सुनिश्चित करता है कि फीडबैक की उपस्थिति में भी सिस्टम अस्थिर रहेगा, क्योंकि फीडबैक की उपस्थिति में बंद-लूप जड़ें ओपन-लूप पोल और शून्य के बीच यात्रा करती हैं। वास्तव में, आरएचपी शून्य अस्थिर ध्रुव को अप्राप्य बना सकता है और इसलिए प्रतिक्रिया के माध्यम से स्थिर नहीं हो सकता है।)
 * ऊपर की ओर जाने वाला मार्ग $$j\omega$$ अक्ष, से $$0 - j\infty$$ को $$0 + j\infty$$.
 * एक अर्धवृत्ताकार चाप, त्रिज्या के साथ $$r \to \infty$$, जो शुरू होता है $$0 + j\infty$$ और दक्षिणावर्त यात्रा करता है $$0 - j\infty$$.

काल्पनिक अक्ष पर ध्रुवों वाले सिस्टम के लिए नाइक्विस्ट कसौटी
उपरोक्त विचार इस धारणा के साथ आयोजित किया गया था कि ओपन-लूप ट्रांसफर फ़ंक्शन $$G(s)$$ काल्पनिक अक्ष पर कोई ध्रुव नहीं है (अर्थात रूप के ध्रुव $$0+j\omega$$). s

काल्पनिक धुरी पर ध्रुवों के साथ सिस्टम का विश्लेषण करने में सक्षम होने के लिए, नाइक्विस्ट कंटूर को बिंदु से गुजरने से बचने के लिए संशोधित किया जा सकता है $$0+j\omega$$. इसे करने का तरीका त्रिज्या के साथ अर्धवृत्ताकार चाप का निर्माण करना है $$r \to 0$$ आस-पास $$0+j\omega$$, जो शुरू होता है $$0 + j (\omega-r)$$ और वामावर्त की ओर यात्रा करता है $$0 + j(\omega+ r)$$. इस तरह के संशोधन का तात्पर्य है कि चरण $$G(s)$$ द्वारा अनंत त्रिज्या के चाप के साथ यात्रा करता है $$-l\pi$$, कहाँ $$l$$ काल्पनिक अक्ष पर ध्रुव की बहुलता है।

गणितीय व्युत्पत्ति
हमारा लक्ष्य है, इस प्रक्रिया के माध्यम से, हमारे यूनिटी फीडबैक सिस्टम के ट्रांसफर फ़ंक्शन की स्थिरता की जाँच करें, जो कि लाभ के साथ है, जो कि द्वारा दिया गया है
 * $$T(s)=\frac{kG(s)}{1+kG(s)}$$

यही है, हम यह जांचना चाहते हैं कि उपरोक्त हस्तांतरण समारोह की विशेषता समीकरण, द्वारा दी गई है या नहीं
 * $$D(s)=1+kG(s)=0$$

खुले बाएँ-आधे-तल के बाहर शून्य होते हैं (आमतौर पर OLHP के रूप में प्रारंभ किए जाते हैं)।

हम मानते हैं कि हमारे पास दक्षिणावर्त (यानी नकारात्मक रूप से उन्मुख) समोच्च है $$\Gamma_s$$ फ़ंक्शन के शून्य या ध्रुवों से गुजरने से बचने के लिए इंडेंटेशन के साथ दाहिने आधे विमान को घेरना आवश्यक है $$G(s)$$. कॉची का तर्क सिद्धांत कहता है कि
 * $$- \frac 1 {2\pi i} \oint_{\Gamma_s} {D'(s) \over D(s)}\, ds=N=Z-P $$

कहाँ $$Z$$ के शून्यों की संख्या को दर्शाता है $$D(s)$$ समोच्च द्वारा संलग्न और $$P$$ के ध्रुवों की संख्या को दर्शाता है $$D(s)$$ उसी रेखा से। पुनर्व्यवस्थित, हमारे पास है $$Z=N+P$$, जिसका मतलब है
 * $$Z=- \frac 1 {2\pi i} \oint_{\Gamma_s} {D'(s) \over D(s)}\, ds + P$$

हम तब नोट करते हैं $$D(s)=1+kG(s)$$ के समान ही ध्रुव हैं $$G(s)$$. इस प्रकार, हम पा सकते हैं $$P$$ के ध्रुवों की गिनती करके $$G(s)$$ जो समोच्च के भीतर दिखाई देते हैं, अर्थात् खुले दाहिने आधे तल (ORHP) के भीतर।

अब हम उपरोक्त इंटीग्रल को प्रतिस्थापन के माध्यम से पुनर्व्यवस्थित करेंगे। यानी सेटिंग $$u(s)=D(s)$$, अपने पास
 * $$N=- \frac 1 {2\pi i} \oint_{\Gamma_s} {D'(s) \over D(s)}\, ds=- \frac 1 {2\pi i} \oint_{u(\Gamma_s)} {1 \over u}\, du$$

हम फिर एक और प्रतिस्थापन, सेटिंग करते हैं $$v(u) = \frac{u-1} k$$. यह हमें देता है


 * $$N=- \frac 1 {2\pi i} \oint_{u(\Gamma_s)} {1 \over u}\, du=-{{1}\over{2\pi i}} \oint_{v(u(\Gamma_s))} {1 \over {v+1/k}}\, dv$$

अब हम इसे नोट करते हैं $$v(u(\Gamma_s))={{D(\Gamma_s)-1} \over {k}}=G(\Gamma_s)$$ हमें अपने समोच्च के नीचे की छवि देता है $$G(s)$$, जो कहना है हमारा न्यक्विस्ट प्लॉट हम अभिन्न को और कम कर सकते हैं


 * $$N=- \frac 1 {2\pi i} \oint_{G(\Gamma_s))} \frac 1 {v+1/k} \, dv$$

कॉची के समाकलन सूत्र को लागू करके। वास्तव में, हम पाते हैं कि उपरोक्त इंटीग्रल नाइक्विस्ट प्लॉट बिंदु को घेरने की संख्या के ठीक मेल खाता है $$-1/k$$ दक्षिणावर्त। इस प्रकार, हम अंत में कह सकते हैं कि



\begin{align} Z = {} & N + P \\[6pt] = {} & \text{(number of times the Nyquist plot encircles } {-1/k} \text{ clockwise)} \\ & {} + \text{(number of poles of } G(s) \text{ in ORHP)} \end{align} $$ हम इस प्रकार पाते हैं $$T(s)$$ जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, स्थिर एकता-प्रतिक्रिया प्रणाली से मेल खाती है जब $$Z$$, जैसा कि ऊपर मूल्यांकन किया गया है, 0 के बराबर है।

सारांश

 * यदि ओपन-लूप ट्रांसफर फ़ंक्शन $$G(s)$$ बहुलता का शून्य ध्रुव है $$l$$, तो नाइक्विस्ट प्लॉट में एक असंततता है $$\omega = 0$$. आगे के विश्लेषण के दौरान यह माना जाना चाहिए कि चरण यात्रा करता है $$l$$ अनंत त्रिज्या के अर्धवृत्त के साथ दक्षिणावर्त बार। इस नियम को लागू करने के बाद, शून्य ध्रुवों की उपेक्षा की जानी चाहिए, अर्थात यदि कोई अन्य अस्थिर ध्रुव नहीं हैं, तो ओपन-लूप ट्रांसफर फ़ंक्शन $$G(s)$$ स्थिर माना जाना चाहिए।
 * यदि ओपन-लूप ट्रांसफर फ़ंक्शन $$G(s)$$ स्थिर है, तो बंद-लूप प्रणाली अस्थिर है, अगर और केवल अगर, नाइक्विस्ट प्लॉट बिंदु -1 को कम से कम एक बार घेरता है।
 * यदि ओपन-लूप ट्रांसफर फ़ंक्शन $$G(s)$$ अस्थिर है, तो बंद-लूप प्रणाली के स्थिर होने के लिए, प्रत्येक ध्रुव के लिए -1 का वामावर्त घेरा होना चाहिए $$G(s)$$ जटिल विमान के दाहिने-आधे हिस्से में।
 * अधिशेष घेरे की संख्या (0 से अधिक एन + पी) बंद-लूप प्रणाली के अस्थिर ध्रुवों की संख्या है।
 * हालांकि, अगर ग्राफ बिंदु के माध्यम से गुजरता है $$-1+j0$$, तो सिस्टम की सीमांत स्थिरता पर भी निर्णय लेना मुश्किल हो जाता है और ग्राफ से एकमात्र निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि शून्य मौजूद है $$j\omega$$ एक्सिस।

यह भी देखें

 * बीआईबीओ स्थिरता
 * बोडे प्लॉट
 * राउत-हर्विट्ज स्थिरता मानदंड
 * लाभ मार्जिन
 * निकोलस प्लॉट
 * हॉल सर्किल
 * चरण मार्जिन
 * बरखौसेन स्थिरता मानदंड
 * सर्किल मानदंड
 * नियंत्रण इंजीनियरिंग
 * हैंकेल विलक्षण मूल्य

अग्रिम पठन

 * Faulkner, E. A. (1969): Introduction to the Theory of Linear Systems; Chapman & Hall; ISBN 0-412-09400-2
 * Pippard, A. B. (1985): Response & Stability; Cambridge University Press; ISBN 0-521-31994-3
 * Gessing, R. (2004): Control fundamentals; Silesian University of Technology; ISBN 83-7335-176-0
 * Franklin, G. (2002): Feedback Control of Dynamic Systems; Prentice Hall, ISBN 0-13-032393-4

बाहरी संबंध

 * Applets with modifiable parameters
 * EIS Spectrum Analyser - a freeware program for analysis and simulation of impedance spectra
 * MATLAB function for creating a Nyquist plot of a frequency response of a dynamic system model.
 * PID Nyquist plot shaping - free interactive virtual tool, control loop simulator
 * Mathematica function for creating the Nyquist plot