उन्नत z-परिवर्तन

गणित और संकेत आगे बढ़ाना  में, उन्नत z-परिणत, z-ट्रांसफॉर्म का एक विस्तार है, जिसमें आदर्श देरी को शामिल किया जाता है जो नमूना दर के गुणक नहीं हैं। यह रूप धारण कर लेता है


 * $$F(z, m) = \sum_{k=0}^{\infty} f(k T + m)z^{-k}$$

कहाँ इसे संशोधित z-परिवर्तन के रूप में भी जाना जाता है।
 * टी नमूना अवधि है
 * मी (विलंब पैरामीटर) नमूना अवधि का एक अंश है $$[0, T].$$

उन्नत z-ट्रांसफॉर्म को व्यापक रूप से लागू किया जाता है, उदाहरण के लिए डिजिटल नियंत्रण में प्रसंस्करण देरी को सटीक रूप से मॉडल करने के लिए।

गुण
यदि विलंब पैरामीटर, एम, को निश्चित माना जाता है तो ज़ेड-ट्रांसफ़ॉर्म के सभी गुण उन्नत ज़ेड-ट्रांसफ़ॉर्म के लिए मान्य होते हैं।

रैखिकता

 * $$\mathcal{Z} \left\{ \sum_{k=1}^{n} c_k f_k(t) \right\} = \sum_{k=1}^{n} c_k F_k(z, m).$$

समय परिवर्तन

 * $$\mathcal{Z} \left\{ u(t - n T)f(t - n T) \right\} = z^{-n} F(z, m).$$

डंपिंग

 * $$\mathcal{Z} \left\{ f(t) e^{-a\, t} \right\} = e^{-a\, m} F(e^{a\, T} z, m).$$

समय गुणन

 * $$\mathcal{Z} \left\{ t^y f(t) \right\} = \left(-T z \frac{d}{dz} + m \right)^y F(z, m).$$

अंतिम मान प्रमेय

 * $$\lim_{k \to \infty} f(k T + m) = \lim_{z \to 1} (1-z^{-1})F(z, m).$$

उदाहरण
निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें जहां $$f(t) = \cos(\omega t)$$:


 * $$\begin{align}

F(z, m) & = \mathcal{Z} \left\{ \cos \left(\omega \left(k T + m \right) \right) \right\} \\ & = \mathcal{Z} \left\{ \cos (\omega k T) \cos (\omega m) - \sin (\omega k T) \sin (\omega m) \right\} \\ & = \cos(\omega m) \mathcal{Z} \left\{ \cos (\omega k T) \right\} - \sin (\omega m) \mathcal{Z} \left\{ \sin (\omega k T) \right\} \\ & = \cos(\omega m) \frac{z \left(z - \cos (\omega T) \right)}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1} - \sin(\omega m) \frac{z \sin(\omega T)}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1} \\ & = \frac{z^2 \cos(\omega m) - z \cos(\omega(T - m))}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1}. \end{align}$$ अगर $$m=0$$ तब $$F(z, m)$$ परिवर्तन को कम करता है


 * $$F(z, 0) = \frac{z^2 - z \cos(\omega T)}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1},$$

जो स्पष्ट रूप से केवल z-रूपांतरण है $$f(t)$$.