सुपरफैक्टोरियल

गणित में और विशेष रूप से संख्या सिद्धांत में एक धनात्मक पूर्णांक $$n$$ का सुपरफैक्टोरियल पहले $$n$$ फैक्टोरियल का उत्पाद होता है। वे जॉर्डन पोलिया संख्याओं का एक विशेष स्थिति हैं जो फैक्टोरियल के सही संग्रह के उत्पाद हैं।

== परिभाषा                                                                                                                                                                                                                                    == nवें सुपरफैक्टोरियल $$\mathit{sf}(n)$$ को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है $$\begin{align} \mathit{sf}(n) &= 1!\cdot 2!\cdot \cdots n! = \prod_{i=1}^{n} i! = n!\cdot\mathit{sf}(n-1)\\ &= 1^n \cdot 2^{n-1} \cdot \cdots n = \prod_{i=1}^{n} i^{n+1-i}.\\ \end{align}$$ उत्पाद के लिए सामान्य परंपरा का पालन करते हुए, 0 का सुपरफैक्टोरियल 1 है। सुपरफैक्टोरियल का पूर्णांक अनुक्रम,$$\mathit{sf}(0)=1$$ से प्रारंभ होता है

==गुण                                                                                                                                                                                                     == जिस तरह फैक्टोरियल को गामा फलन द्वारा निरंतर इंटरपोल किया जा सकता है, उसी तरह सुपरफैक्टोरियल को बार्न्स जी-फलन द्वारा निरंतर इंटरपोल किया जा सकता है।

फैक्टोरियल मॉड्यूलर अंकगणित अभाज्य संख्या संख्याओं के व्यवहार पर विल्सन के प्रमेय के एनालॉग के अनुसार, जब $$p$$ समता (गणित) अभाज्य संख्या है $$\mathit{sf}(p-1)\equiv(p-1)!!\pmod{p},$$ जहाँ $$!!$$ दोहरा भाज्य के लिए संकेतन है।

प्रत्येक पूर्णांक $$k$$ के लिए, जो नंबर $$\mathit{sf}(4k)/(2k)!$$ वर्ग संख्या है. इसे इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है कि, सूत्र में $$\mathit{sf}(4k)$$ फैक्टोरियल के उत्पाद के रूप में, फैक्टोरियल में से को छोड़कर (मध्य वाला, $$(2k)!$$) का परिणाम वर्गाकार उत्पाद होता है। इसके अतिरिक्त, यदि कोई हो $$n+1$$ पूर्णांक दिए गए हैं, उनके जोड़ीवार अंतर का गुणनफल $$\mathit{sf}(n)$$ सदैव का गुणज होता है ,और जब दी गई संख्याएँ निरंतर हों तो सुपरफैक्टोरियल के सामान्य होता है।

संदर्भ
==बाहरी संबंध                                                                                                                                                                                               ==