कुरामोटो मॉडल

कुरामोटो मॉडल (या कुरामोटो-डेडो मॉडल), सबसे पहले किसके द्वारा प्रस्तावित किया गया था, जिसे योशिकी कुरामोटो (蔵本 由紀) द्वारा प्रस्तुत किया गया था, यह एक गणितीय मॉडल है जिसका उपयोग सिक्रोनाइजेशन  का वर्णन करने में किया जाता है। अधिकांशतः विशेष रूप से, यह युग्मित दोलक के बड़े समूह के व्यवहार के लिए मॉडल है।  इसका सूत्रीकरण रासायनिक और जैविक प्रक्रिया ऑसिलेटर की प्रणालियों के व्यवहार से प्रेरित था, और इस प्रकार के तंत्रिका दोलन जैसे क्षेत्रों में व्यापक अनुप्रयोग मिला है, जिसके लिए गणितीय विवरण    और दोलनशील लौ की गतिशीलता को उपयोग किया जाता हैं।  कुरामोटो को अत्यधिक आश्चर्य हुआ जब कुछ भौतिक प्रणालियों, अर्थात् जोसेफसन जंक्शन के युग्मित सरणियों, के व्यवहार ने उनके मॉडल का अनुसरण किया था।

इस प्रकार के मॉडल्स की कई धारणाएँ बनती है, जिसमें कमजोर युग्मन सम्मिलित है, कि ऑसिलेटर समान या लगभग समान हैं, और यह कि इंटरैक्शन वस्तुओं की प्रत्येक जोड़ी के बीच चरण अंतर पर साइनसॉइडल रूप से निर्भर करते हैं।

परिभाषा
कुरामोटो मॉडल के सबसे लोकप्रिय संस्करण में, प्रत्येक ऑसिलेटर की अपनी आंतरिक प्राकृतिक आवृत्ति $$\omega_i$$ मानी जाती है, और प्रत्येक अन्य सभी ऑसिलेटर के साथ समान रूप से युग्मित है। आश्चर्यजनक रूप से, इस पूरी तरह से गैर-रैखिक मॉडल को अनंत ऑसिलेटर्स की सीमा  N→ ∞ में बिल्कुल हल किया जा सकता है, वैकल्पिक रूप से, स्व-स्थिरता तर्कों का उपयोग करके कोई ऑर्डर पैरामीटर का स्थिर-स्थिति समाधान प्राप्त कर सकता है। मॉडल के सबसे लोकप्रिय रूप में निम्नलिखित शासी समीकरण हैं:
 * $$ \frac{d \theta_i}{d t} = \omega_i + \frac{K}{N} \sum_{j=1}^{N} \sin(\theta_j - \theta_i), \qquad i = 1 \ldots N$$,

जहां सिस्टम चरणों के साथ N सीमा-चक्र ऑसिलेटर $$ \theta_i $$ और युग्मन स्थिरांक K से बना है।

सिस्टम में ध्वनि को जोड़ा जा सकता है। उस स्थिति में, मूल समीकरण द्वारा परिवर्तित कर दिया जाता है

\frac{d \theta_i}{d t} = \omega_{i}+\zeta_{i}+\dfrac{K}{N}\sum_{j=1}^N\sin(\theta_{j}-\theta_{i}) $$, जहाँ $$\zeta_{i}$$ समय का उतार-चढ़ाव और कार्य है। यदि हम ध्वनि को सफ़ेद ध्वनि मानते हैं, तो

\langle\zeta_{i}(t)\rangle=0 $$ ,

\langle\zeta_{i}(t)\zeta_{j}(t')\rangle=2D\delta_{ij}\delta(t-t') $$
 * इसके साथ $$D$$ ध्वनि की शक्ति को दर्शाता है।

परिवर्तन
वह परिवर्तन जो इस मॉडल को सटीक रूप से हल करने की अनुमति देता है, जिसे कम से कम N → ∞ सीमा में इस प्रकार है:

ऑर्डर पैरामीटर r और ψ को इस प्रकार परिभाषित करें
 * $$re^{i \psi} = \frac{1}{N} \sum_{j=1}^{N} e^{i \theta_j} $$.

यहां r ऑसिलेटर्स की आबादी के चरण-सुसंगतता (भौतिकी) का प्रतिनिधित्व करता है, और ψ औसत चरण को इंगित करता है। इस समीकरण को इससे गुणा करने पर $$e^{-i \theta_i}$$ और केवल काल्पनिक भाग पर विचार करने से ही लाभ मिलता है
 * $$ \frac{d \theta_i}{d t} = \omega_i + K r \sin(\psi-\theta_i) $$.

इस प्रकार ऑसिलेटर्स के समीकरण अब स्पष्ट रूप से युग्मित नहीं हैं, इसके अतिरिक्त ऑर्डर पैरामीटर व्यवहार को नियंत्रित करते हैं। और परिवर्तन आमतौर पर घूमने वाले फ्रेम में किया जाता है, जिसमें सभी ऑसिलेटर्स पर चरणों का सांख्यिकीय औसत शून्य होता है, (अर्ताथ) $$\psi=0$$). अंतत: यह समीकरण बन जाता है
 * $$ \frac{d \theta_i}{d t} = \omega_i - K r \sin(\theta_i) $$.

बड़ी N सीमा
अब इस स्थिति पर विचार करें क्योंकि N अनंत की ओर प्रवृत्त है। आंतरिक प्राकृतिक आवृत्तियों के वितरण को g(ω) (मान लिया गया सामान्यीकरण स्थिरांक) के रूप में लें। फिर मान लें कि किसी दिए गए चरण θ पर, दी गई प्राकृतिक आवृत्ति ω के साथ, समय t पर ऑसिलेटर का घनत्व $$\rho(\theta, \omega, t)$$ है, इसके सामान्यीकरण के लिए इसकी आवश्यकता होती है
 * $$ \int_{-\pi}^{\pi} \rho(\theta, \omega, t) \, d \theta = 1. $$

दोलित्र घनत्व के लिए निरंतरता समीकरण इस प्रकार होगा-
 * $$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial \theta}[\rho v] = 0, $$

जहां v रूपांतरित समीकरण में अनंत-N सीमा लेकर दिए गए ऑसिलेटर का बहाव वेग है, जैसे कि
 * $$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial \theta}[\rho \omega + \rho K r \sin(\psi-\theta)] = 0. $$

अंत में, हमें सातत्य (अनंत N) सीमा के लिए ऑर्डर पैरामीटर $$\theta_i$$ की परिभाषा को फिर से लिखना होगा। इसके समग्र औसत (कुल मिलाकर) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए $$\omega$$) और देने के लिए योग को अभिन्न द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए

r e^{i \psi} = \int_{-\pi}^{\pi} e^{i \theta} \int_{-\infty}^{\infty} \rho(\theta, \omega, t) g(\omega) \, d \omega \, d \theta. $$

बड़ी N सीमा के लिए समाधान
इस प्रकार की विचित्र रूप से उपयोग की जाने वाली इस विधि से बहने वाले सभी ऑसिलेटर के साथ सुसंगतता (भौतिकी) स्थिति $$\rho = 1/(2\pi)$$ को हल करके मेल खाती है, इस स्थिति में $$r = 0$$, और ऑसिलेटर्स के बीच कोई सामंजस्य नहीं है। वे सभी संभावित चरणों में समान रूप से वितरित हैं, और जनसंख्या सांख्यिकीय स्थिर स्थिति में है, (चूंकि व्यक्तिगत ऑसिलेटर अपने आंतरिक ω के अनुसार चरण परिवर्तित रहते हैं)।

जब युग्मन K पर्याप्त रूप से शक्तिशाली होते है, तो पूर्णतः सिंक्रनाइज़ समाधान संभव होता है। इसको पूर्ण रूप से सिंक्रनाइज़ स्थिति में, सभी ऑसिलेटर सामान्य आवृत्ति साझा करते हैं, चूंकि उनके चरण भिन्न हो सकते हैं।

आंशिक सिंक्रनाइज़ेशन के मामले के लिए समाधान ऐसी स्थिति उत्पन्न करता है जिसमें केवल कुछ ऑसिलेटर (जो संयोजन की औसत प्राकृतिक आवृत्ति के निकट होते हैं) सिंक्रनाइज़ होते हैं; अन्य ऑसिलेटर असंगत रूप से बहते हैं। गणितीय रूप से इस स्थिति के पास है-
 * $$\rho = \delta\left(\theta - \psi - \arcsin\left(\frac{\omega}{K r}\right)\right)$$
 * लॉक्ड ऑसिलेटर्स के लिए, और
 * $$\rho = \frac{\rm{normalization \; constant}}{(\omega - K r \sin(\theta - \psi))}$$

इस प्रकार के दोलक के लिए. कटऑफ तब होती है जब $$|\omega| < K r $$.

इस स्थिति में जब $$g$$ एकरूप और सममित है, तो सिस्टम के लिए स्थिर स्थिति समाधान है $$r=rK \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \cos ^2 \theta g(K r \sin \theta) d \theta$$जैसे-जैसे युग्मन बढ़ता है, महत्वपूर्ण मूल्य होता है $$K_c = 2/\pi g(0)$$ ऐसे कि जब $$K < K_c$$, का दीर्घकालिक औसत $$r=0$$, अपितु जब $$K= K_c(1+\mu)$$, जहाँ $$\mu > 0$$ तो फिर छोटा है $$r \approx \sqrt{\frac{16}{\pi K_{\mathrm{c}}^3}} \sqrt{\frac{\mu}{-g^{\prime \prime}(0)}}$$.

छोटी N स्थिति
जब N छोटा होता है, तो ऊपर दिए गए समाधान टूट जाते हैं, क्योंकि हम सातत्य सन्निकटन का उपयोग नहीं कर सकते हैं।

N=2 मामला स्थिति है, इस प्रकार घूर्णन करने वाले फ्रेम में, हमारे पास $$\omega_1 = -\omega_2$$ है, और इसलिए सिस्टम का वर्णन दो ऑसिलेटरों के बीच के कोण $$\Delta \theta = \theta_1 - \theta_2$$ द्वारा सटीक रूप से किया जाता है, इसके आधार पर जब $$K < K_c = 2|\omega_1|$$, कोण वृत्त के चारों ओर चक्र करता है, (अर्थात, तेज़ दोलित्र धीमे दोलित्र के चारों ओर चक्कर लगाता रहता है)। जब $$K > K_c$$, कोण स्थिर आकर्षणकर्ता में गिरता है (अर्थात, दो ऑसिलेटर चरण में लॉक हो जाते हैं)। इसी प्रकार, N = 3 की स्थिति के लिए स्थान 2-आयामी टोरस है, और इसलिए सिस्टम 2-टोरस पर प्रवाह के रूप में विकसित होता है, जो अराजक नहीं हो सकता है।

यह अराजकता सबसे पहले तब होती है, जब N=4. की कुछ सेटिंग्स के लिए $$\omega_1, \omega_2, \omega_3, K$$, सिस्टम में विचित्र आकर्षण है।

हैमिल्टनियन सिस्टम से कनेक्शन
विघटनकारी कुरामोटो मॉडल सम्मिलित है फॉर्म के हैमिल्टन समारोह के साथ कुछ रूढ़िवादी हैमिल्टनियन यांत्रिकी में
 * $$ \mathcal{H}(q_1,\ldots, q_N, p_1, \ldots, p_N) = \sum_{i = 1}^N \frac{\omega_i}{2} (q_i^2 +  p_i^2) + \frac{K}{4N} \sum_{i,j = 1}^{N}

(q_i p_j - q_j p_i) ( q_j^2 + p_j^2 - q_i^2 - p_i^2 ) $$ क्रियाओं के साथ क्रिया-कोण चर में विहित परिवर्तन के बाद $$ I_i =  \left( q_i^2 + p_i^2 \right)/2 $$ और कोण (चरण) $$ \phi_i = \mathrm{arctan} \left( q_i/p_i \right) $$, सटीक कुरामोटो गतिकी स्थिरांक के अपरिवर्तनीय मैनिफोल्ड्स पर उभरती है $$ I_i \equiv I $$. रूपांतरित हैमिल्टनियन के साथ
 * $$ \mathcal{H'}(I_1, \ldots I_N, \phi_1 \ldots, \phi_N) = \sum_{i = 1}^N \omega_i I_i

- \frac{K}{N} \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} \sqrt{I_j I_i} (I_j - I_i) \sin(\phi_j - \phi_i),  $$ हैमिल्टन की गति का समीकरण बन गया हैं।

\frac{d I_i}{dt} = - \frac{\partial \mathcal{H}'}{\partial \phi_i} = - \frac{2 K}{N} \sum_{k=1}^N \sqrt{I_k I_i} (I_k - I_i) \cos(\phi_k - \phi_i) $$ और

\frac{d \phi_i}{dt} = \frac{\partial \mathcal{H}'}{\partial I_i} = \omega_i + \frac{K}{N} \sum_{k=1}^N \left[ 2 \sqrt{I_i I_k} \sin(\phi_k - \phi_i) \right. \left. +         \sqrt{I_k/I_i} (I_k - I_i) \sin(\phi_k - \phi_i) \right]. $$ तो कई गुना के साथ $$ I_j = I $$ अपरिवर्तनीय है, क्योंकि $$ \frac{d I_i}{dt} = 0 $$ और चरण की गतिशीलता $$ \frac{d \phi_i}{dt} $$ कुरामोटो मॉडल की गतिशीलता बन जाती है, (इस प्रकार के समान युग्मन स्थिरांक के साथ)। $$ I = 1/2 $$). हैमिल्टनियन प्रणालियों का वर्ग बोस-आइंस्टीन कंडेनसेट सहित कुछ क्वांटम-मौलिक प्रणालियों की विशेषता बताता है।

मॉडलों की विविधता
ऐसी कई प्रकार की विविधताएँ हैं जिन्हें ऊपर प्रस्तुत मूल मॉडल पर लागू किया जा सकता है। कुछ मॉडल टोपोलॉजिकल संरचना में बदल जाते हैं, अन्य विषम भार की अनुमति देते हैं, और अन्य परिवर्तन उन मॉडलों से अधिक संबंधित होते हैं जो कुरामोटो मॉडल से प्रेरित होते हैं, अपितु उनका कार्यात्मक रूप समान नहीं होता है।

नेटवर्क टोपोलॉजी की विविधताएँ
मूल मॉडल के अतिरिक्त, जिसमें ऑल-टू-ऑल टोपोलॉजी है, पर्याप्त सघन जटिल नेटवर्क जैसी टोपोलॉजी मूल मॉडल को हल करने में उपयोग किए जाने वाले माध्य-क्षेत्र उपचार के लिए उत्तरदायी है। (अधिक जानकारी के लिए ऊपर #परिवर्तन और #बड़ी N सीमा देखें)। इस प्रकार रिंग्स और युग्मित आबादी जैसी नेटवर्क टोपोलॉजी कल्पना स्थितियों का समर्थन करती हैं। कोई उन मॉडलों के व्यवहार के बारे में भी पूछ सकता है जिनमें आंतरिक रूप से स्थानीय हैं, जैसे एक-आयामी टोपोलॉजी जिसमें चेन और रिंग प्रोटोटाइप उदाहरण हैं। ऐसी टोपोलॉजी में, जिसमें युग्मन 1/N के अनुसार स्केलेबल नहीं है, विहित माध्य-क्षेत्र दृष्टिकोण को लागू करना संभव नहीं है, इसलिए किसी को इस स्थिति में उत्पन्न होने वाली दर के विश्लेषण पर भरोसा करना चाहिए, जब भी संभव हो समरूपता का उपयोग करना चाहिए, जो इसे हल करके सामान्य सिद्धांतों के भिन्नता के लिए आधार दे सकता है।

समान समकालिकता, तरंगें और सर्पिल को द्वि-आयामी कुरामोटो नेटवर्क में विसरित स्थानीय युग्मन के साथ आसानी से देखा जा सकता है। इन प्रारूपों में तरंगों की स्थिरता को ट्यूरिंग स्थिरता विश्लेषण के तरीकों का उपयोग करके विश्लेषणात्मक रूप से निर्धारित किया जा सकता है। जब स्थानीय युग्मन हर स्थान पर धनात्मक होता है तो समान समकालिकता स्थिर हो जाती है जबकि लंबी दूरी के कनेक्शन ऋणात्मक होने पर तरंगें उत्पन्न होती हैं। इस प्रकार तरंगें और समकालिकता समाधानों की स्थलाकृतिक रूप से भिन्न शाखा से जुड़ी होती हैं जिन्हें रिपल के नाम से जाना जाता है। ये कम-आयाम वाले स्थानिक-आवधिक विचलन हैं जो हॉपफ द्विभाजन के माध्यम से एकसमान अवस्था (या तरंग अवस्था) से निकलते हैं। विली, स्ट्रोगेट्ज़ और मिशेल गिरवन द्वारा तरंग समाधानों के अस्तित्व की भविष्यवाणी की गई थी (अपितु देखी नहीं गई थी), जिन्होंने उन्हें मल्टी-ट्विस्टेड क्यू-स्टेट्स कहा जाता हैं।

जिस टोपोलॉजी पर कुरामोटो मॉडल का अध्ययन किया जाता है उसे अनुकूली बनाया जा सकता है फिटनेस मॉडल (नेटवर्क सिद्धांत) के उपयोग से स्व-संगठित तरीके से सिंक्रोनाइज़ेशन और न्यूरोपरकोलेशन में वृद्धि दिखाई देती है।

कम से कम न्यूनतम डिग्री वाला ग्राफ़ $$d_{min}\ge 0.5\ n$$ फिर भी ग्राफ़ को सिंक्रनाइज़ करने के लिए थोड़ा और कनेक्ट करना आवश्यक है, ऐसी स्थिति के लिए यह ज्ञात है कि महत्वपूर्ण कनेक्टिविटी सीमा है $$\mu_c$$ ऐसा कि किसी भी ग्राफ़ पर $$n$$ न्यूनतम डिग्री वाले नोड्स $$d_{min}\ge \mu_c (n-1)$$ विश्व स्तर पर सिंक्रनाइज़ होना चाहिए.के लिए $$n$$ बहुत पर्याप्त होते हैं। इस प्रकार न्यूनतम अधिकतम के बीच स्थित होने के लिए $$0.6875\le \mu_c\le 0.75$$ जाने जाते हैं।

इसी प्रकार यह ज्ञात है कि एर्डोस-रेनी मॉडल|एर्डोस-रेनी ग्राफ सटीक रूप $$p=(1+\epsilon)\ln (n)/n$$ से किनारे की संभावना के साथ है, जैसा $$n$$ अनंत तक जाकर जुड़ा होगा ऐसा अनुमान लगाया गया है यह मान वह संख्या है जिस पर ये यादृच्छिक ग्राफ़ सिंक्रनाइज़ेशन से गुजरते हैं, जिसे 2022 प्रीप्रिंट प्रमाणित करने का प्रस्ताव करता है।

नेटवर्क टोपोलॉजी और नेटवर्क भार की विविधताएं: वाहन समन्वय से लेकर मस्तिष्क सिंक्रनाइज़ेशन तक
नियंत्रण समुदाय में कुछ कार्यों ने नेटवर्क पर कुरामोटो मॉडल पर और विषम भार के साथ ध्यान केंद्रित किया है (अर्ताथ किन्हीं दो ऑसिलेटरों के बीच अंतरसंबंध शक्ति मनमानी हो सकती है)। इस मॉडल की गतिशीलता इस प्रकार है:
 * $$ \frac{d \theta_i}{d t} = \omega_i + \sum_{j=1}^{N} a_{ij} \sin(\theta_j - \theta_i), \qquad i = 1 \ldots N$$

जहाँ $$a_{ij}$$ यदि दोलक शून्येतर धनात्मक वास्तविक संख्या है $$j$$ ऑसिलेटर $$i$$ से जुड़ा है। इस प्रकार केमॉडल अधिक यथार्थवादी अध्ययन की अनुमति देता है, उदाहरण के लिए, झुंड, स्कूली शिक्षा और वाहन समन्वय इसका प्रमुख उदाहरण हैं। इसके आधार पर डॉर्फलर और सहकर्मियों के काम में, कई प्रमेय इस मॉडल के चरण और आवृत्ति सिंक्रनाइज़ेशन के लिए कठोर स्थितियां प्रदान करते हैं। इस प्रकार तंत्रिका विज्ञान में प्रयोगात्मक टिप्पणियों से प्रेरित आगे के अध्ययन, मनमाने नेटवर्क टोपोलॉजी पर विषम कुरमोटो ऑसिलेटर के क्लस्टर सिंक्रनाइज़ेशन के लिए विश्लेषणात्मक स्थितियों को प्राप्त करने पर ध्यान केंद्रित करते हैं। चूंकि कुरामोटो मॉडल मस्तिष्क में सिंक्रनाइज़ेशन घटना का आकलन करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता प्रतीत होता है, अनुभवजन्य निष्कर्षों का समर्थन करने वाली सैद्धांतिक स्थितियाँ न्यूरोनल सिंक्रोनाइज़ेशन घटना की गहरी समझ का मार्ग प्रशस्त कर सकती हैं।

चरण अंतःक्रिया फ़ंक्शन की विविधताएँ
कुरामोटो ने अपने पहले फूरियर घटक द्वारा किन्हीं दो ऑसिलेटरों के बीच चरण अंतःक्रिया $$\Gamma(\phi) = \sin(\phi)$$ का अनुमान लगाया जाता हैं, जहाँ $$\phi = \theta_j - \theta_i$$. उच्च-क्रम फूरियर घटकों को सम्मिलित करके बेहतर अनुमान प्राप्त किया जा सकता है,
 * $$\Gamma(\phi) = \sin(\phi) + a_1 \sin(2\phi + b_1) + ... + a_n \sin(2n\phi + b_n)$$,

जहां पैरामीटर $$a_i$$ और $$b_i$$ अनुमान लगाया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, कमजोर युग्मित हॉजकिन-हक्सले मॉडल या हॉजकिन-हक्सले न्यूरॉन्स के नेटवर्क के बीच सिंक्रनाइज़ेशन को युग्मित ऑसिलेटर्स का उपयोग करके दोहराया जा सकता है, जो इंटरेक्शन फ़ंक्शन के पहले चार फूरियर घटकों को बनाए रखते हैं। उच्च-क्रम चरण इंटरैक्शन शर्तों का परिचय दिलचस्प गतिशील घटनाओं को भी प्रेरित कर सकता है जैसे कि आंशिक रूप से सिंक्रनाइज़ स्थिति, हेटरोक्लिनिक चक्र, और अराजकता सिद्धांत इसकी प्रमुख स्थिति हैं।

उपलब्धता

 * पाईक्ल्सटरिंग लाइब्रेरी में कुरमोटो मॉडल और उसके संशोधनों का पायथन और C++ कार्यान्वयन सम्मिलित है। इसके अतिरिक्त लाइब्रेरी में ऑसिलेटरी नेटवर्क (क्लस्टर विश्लेषण, पैटर्न पहचान, ग्राफ रंग, छवि विभाजन के लिए) सम्मिलित हैं जो कुरमोटो मॉडल और चरण ऑसिलेटर पर आधारित हैं।

यह भी देखें

 * मास्टर स्थिरता फलन
 * ऑसिलेटरी न्यूरल नेटवर्क
 * फेस क्लोस्ड लूप