बेल अवस्था

बेल के राज्य या ईपीआर जोड़े दो क्वैबिट की विशिष्ट क्वांटम अवस्थाएँ हैं जो क्वांटम उलझाव के सबसे सरल (और अधिकतम) उदाहरणों का प्रतिनिधित्व करती हैं; वैचारिक रूप से, वे क्वांटम सूचना विज्ञान के अध्ययन के अंतर्गत आते हैं। बेल के राज्य उलझे हुए और सामान्यीकृत आधार वैक्टर का एक रूप हैं। इस सामान्यीकरण का तात्पर्य यह है कि कण के उल्लिखित अवस्थाओं में से एक में होने की कुल संभावना 1 है: $$\langle \Phi|\Phi \rangle = 1$$. उलझाव सुपरपोज़िशन सिद्धांत का एक आधार-स्वतंत्र परिणाम है। इस सुपरपोजिशन के कारण, क्वबिट का माप वेव फ़ंक्शन इसे एक दी गई संभावना के साथ इसके आधार राज्यों में से एक में ढहा देगा। उलझाव के कारण, एक क्वबिट का माप दूसरे क्वबिट को एक ऐसी स्थिति में गिरा देगा, जिसके माप से दो संभावित मानों में से एक प्राप्त होगा, जहां मूल्य इस बात पर निर्भर करता है कि दोनों क्वबिट प्रारंभ में किस बेल की स्थिति में हैं। बेल के राज्यों को मल्टी-क्यूबिट सिस्टम के कुछ क्वांटम राज्यों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जैसे कि 3 या अधिक उपप्रणालियों के लिए ग्रीनबर्गर-हॉर्न-ज़ीलिंगर राज्य।

बेल के राज्यों की समझ क्वांटम संचार के विश्लेषण में उपयोगी है, जैसे सुपरडेंस कोडिंग और क्वांटम टेलीपोर्टेशन। नो-कम्युनिकेशन प्रमेय इस व्यवहार को प्रकाश की गति से अधिक तेजी से सूचना प्रसारित करने से रोकता है।

बेल स्टेट्स
बेल अवस्थाएँ दो क्वैबिट की चार विशिष्ट अधिकतम उलझी हुई क्वांटम अवस्थाएँ हैं। वे 0 और 1 की सुपरपोज़िशन में हैं – दो राज्यों का एक रैखिक संयोजन। उनके उलझने का अर्थ निम्नलिखित है:

ऐलिस द्वारा रखी गई क्वबिट (सबस्क्रिप्ट ए) 0 और 1 के सुपरपोजिशन में हो सकती है। यदि ऐलिस ने मानक आधार पर अपनी क्वबिट को मापा, तो परिणाम 0 या 1 होगा, प्रत्येक की संभावना 1/2 होगी; यदि बॉब (सबस्क्रिप्ट बी) ने भी अपनी कक्षा मापी, तो परिणाम ऐलिस के समान ही होगा। इस प्रकार, ऐलिस और बॉब प्रत्येक का यादृच्छिक परिणाम प्रतीत होता है। संचार के माध्यम से उन्हें पता चलेगा कि, हालांकि उनके परिणाम अलग-अलग यादृच्छिक लग रहे थे, ये पूरी तरह से सहसंबद्ध थे।

दूरी पर यह पूर्ण सहसंबंध विशेष है: हो सकता है कि दो कण पहले से सहमत हों, जब जोड़ी बनाई गई थी (क्वाइबिट अलग होने से पहले), माप के मामले में वे क्या परिणाम दिखाएंगे।

इसलिए, अल्बर्ट आइंस्टीन, बोरिस पोडॉल्स्की और नाथन रोसेन के प्रसिद्ध 1935 ईपीआर विरोधाभास  पेपर के बाद, ऊपर दिए गए क्वबिट जोड़ी के विवरण में कुछ कमी है। – अर्थात् इस समझौते को, अधिक औपचारिक रूप से एक छिपा हुआ-परिवर्तनीय सिद्धांत कहा जाता है। 1964 के अपने प्रसिद्ध पेपर में, जॉन एस. बेल ने सरल संभाव्यता सिद्धांत तर्कों द्वारा दिखाया कि ये सहसंबंध (0,1 आधार के लिए एक और +,- आधार के लिए एक) दोनों को किसी भी पूर्व के उपयोग से सही नहीं बनाया जा सकता है। -समझौता कुछ छिपे हुए चर में संग्रहीत – लेकिन वह क्वांटम यांत्रिकी सही सहसंबंधों की भविष्यवाणी करता है। सीएचएसएच बेल परीक्षण|बेल-सीएचएसएच असमानता के रूप में ज्ञात एक अधिक परिष्कृत सूत्रीकरण में, यह दिखाया गया है कि एक निश्चित सहसंबंध माप मान 2 से अधिक नहीं हो सकता है यदि कोई मानता है कि भौतिकी स्थानीय छिपे-चर सिद्धांत की बाधाओं का सम्मान करती है|स्थानीय छिपे-चर सिद्धांत (सूचना कैसे संप्रेषित की जाती है इसका एक प्रकार का सामान्य ज्ञान सूत्रीकरण), लेकिन क्वांटम यांत्रिकी में अनुमत कुछ सिस्टम इतने ऊंचे मान प्राप्त कर सकते हैं $$2\sqrt{2}$$. इस प्रकार, क्वांटम सिद्धांत बेल असमानता और स्थानीय छिपे हुए चर के विचार का उल्लंघन करता है।

बेल आधार
अधिकतम मान वाली चार विशिष्ट दो-क्विबिट स्थितियाँ $$2\sqrt{2}$$ बेल स्टेट्स के रूप में नामित हैं। उन्हें चार अधिकतम रूप से उलझे हुए दो-क्विबिट बेल राज्यों के रूप में जाना जाता है और वे दो क्यूबिट के लिए चार-आयामी हिल्बर्ट स्थान का एक अधिकतम उलझा हुआ आधार बनाते हैं, जिसे बेल आधार के रूप में जाना जाता है:
 * $$|\Phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle_A \otimes |0\rangle_B + |1\rangle_A \otimes |1\rangle_B)$$ (1)


 * $$|\Phi^-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle_A \otimes |0\rangle_B - |1\rangle_A \otimes |1\rangle_B)$$ (2)


 * $$|\Psi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle_A \otimes |1\rangle_B + |1\rangle_A \otimes |0\rangle_B)$$ (3)


 * $$|\Psi^-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle_A \otimes |1\rangle_B - |1\rangle_A \otimes |0\rangle_B)$$ (4)

बेल स्टेट्स बनाना
हालाँकि यह कितना घूमता है?  के माध्यम से उलझी हुई बेल अवस्थाएँ बनाने के कई संभावित तरीके हैं, सबसे सरल तरीका इनपुट के रूप में एक कम्प्यूटेशनल आधार लेता है, और इसमें एक हैडमार्ड गेट और एक गेट नहीं होता है (चित्र देखें)। उदाहरण के तौर पर, चित्रित क्वांटम सर्किट दो क्वबिट इनपुट लेता है $$|00\rangle$$ और इसे प्रथम बेल अवस्था में बदल देता है $$|\Phi^+\rangle.$$ स्पष्ट रूप से, हैडमार्ड गेट बदल जाता है $$|00\rangle$$ के  क्वांटम सुपरइम्पोज़िशन  में $$(|0\rangle + |1\rangle)|0\rangle \over \sqrt{2}$$. यह तब सीएनओटी गेट के लिए एक नियंत्रण इनपुट के रूप में कार्य करेगा, जो केवल लक्ष्य (दूसरी क्वबिट) को उलटा करता है जब नियंत्रण (पहला क्वबिट) 1 होता है। इस प्रकार, सीएनओटी गेट दूसरे क्वबिट को निम्नानुसार रूपांतरित करता है $$\frac{(|00\rangle + |11\rangle)}{\sqrt{2} } = |\Phi^+\rangle$$.

चार बुनियादी दो-क्विबिट इनपुट के लिए, $$|00\rangle, |01\rangle, |10\rangle, |11\rangle$$, सर्किट चार बेल अवस्थाओं (#बेल आधार) को आउटपुट करता है। अधिक सामान्यतः, सर्किट समीकरण के अनुसार इनपुट को बदल देता है

$$|\beta(x,y)\rangle = \left ( \frac{|0,y\rangle + (-1)^x|1,\bar{y}\rangle}{\sqrt{2}} \right ),$$ कहाँ $$\bar{y}$$ का निषेध है $$y$$.

बेल अवस्थाओं के गुण
बेल अवस्था में एकल क्वबिट के माप का परिणाम अनिश्चित होता है, लेकिन ज़ेड-आधार में पहली क्वबिट को मापने पर, दूसरे क्वबिट को मापने के परिणाम को समान मान प्राप्त करने की गारंटी दी जाती है (के लिए) $$\Phi$$ बेल स्टेट्स) या विपरीत मान (के लिए)। $$\Psi$$ बेल बताता है)। इसका तात्पर्य यह है कि माप परिणाम सहसंबद्ध हैं। जॉन स्टीवर्ट बेल यह साबित करने वाले पहले व्यक्ति थे कि बेल राज्य में माप सहसंबंध शास्त्रीय प्रणालियों के बीच पहले से कहीं अधिक मजबूत हैं। यह संकेत देता है कि क्वांटम यांत्रिकी शास्त्रीय यांत्रिकी से परे सूचना प्रसंस्करण की अनुमति देती है। इसके अलावा, बेल स्टेट्स एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाते हैं और इसलिए उन्हें उचित माप के साथ परिभाषित किया जा सकता है। चूँकि बेल अवस्थाएँ उलझी हुई अवस्थाएँ हैं, व्यक्तिगत उप-प्रणालियों की जानकारी को रोकते हुए, संपूर्ण सिस्टम की जानकारी ज्ञात की जा सकती है। उदाहरण के लिए, बेल अवस्था एक जितना राज्य है, लेकिन पहली कक्षा का कम घनत्व ऑपरेटर एक क्वांटम अवस्था है। मिश्रित स्थिति का तात्पर्य यह है कि इस प्रथम कक्षा की सारी जानकारी ज्ञात नहीं है। उपप्रणालियों के संबंध में बेल स्टेट्स या तो सममित या एंटीसिमेट्रिक हैं। बेल अवस्थाएँ इस अर्थ में अधिकतम रूप से उलझी हुई हैं कि इसके कम घनत्व वाले संचालक अधिकतम रूप से मिश्रित हैं, इस भावना में बेल अवस्थाओं के बहुपक्षीय सामान्यीकरण को बिल्कुल अधिकतम उलझी हुई अवस्था|बिलकुल अधिकतम उलझी हुई (एएमई) अवस्था कहा जाता है।

बेल अवस्था माप
बेल माप क्वांटम सूचना विज्ञान में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है: यह दो क्यूबिट का एक संयुक्त क्वांटम-मैकेनिकल माप है जो यह निर्धारित करता है कि दो क्यूबिट चार बेल राज्यों में से किसमें हैं।

बेल आधार पर क्वांटम यांत्रिकी में मापन का एक उपयोगी उदाहरण क्वांटम कंप्यूटिंग में देखा जा सकता है। यदि एक नियंत्रित नॉट गेट को क्वबिट ए और बी पर लागू किया जाता है, उसके बाद क्वबिट ए पर एक हैडमार्ड गेट लगाया जाता है, तो कम्प्यूटेशनल आधार पर माप किया जा सकता है। सीएनओटी गेट पहले से उलझे हुए दो क्वैबिट को सुलझाने का कार्य करता है। यह जानकारी को क्वांटम जानकारी से शास्त्रीय जानकारी के माप में परिवर्तित करने की अनुमति देता है।

क्वांटम मापन दो प्रमुख सिद्धांतों का पालन करता है। पहला, Deferred_Measurement_Principle का सिद्धांत बताता है कि किसी भी माप को सर्किट के अंत तक ले जाया जा सकता है। दूसरा सिद्धांत, अंतर्निहित माप का सिद्धांत, बताता है कि क्वांटम सर्किट के अंत में, किसी भी असंबद्ध तार के लिए माप माना जा सकता है।

बेल राज्य माप के अनुप्रयोग निम्नलिखित हैं:

क्वांटम टेलीपोर्टेशन में बेल राज्य माप महत्वपूर्ण कदम है। बेल राज्य माप के परिणाम का उपयोग किसी के सह-साजिशकर्ता द्वारा एक उलझे हुए जोड़े (क्वांटम चैनल) के आधे हिस्से से टेलीपोर्ट किए गए कण की मूल स्थिति को फिर से बनाने के लिए किया जाता है, जो पहले दोनों सिरों के बीच साझा किया गया था।

तथाकथित रैखिक विकास, स्थानीय माप तकनीकों का उपयोग करने वाले प्रयोग पूर्ण बेल राज्य माप का एहसास नहीं कर सकते हैं। रैखिक विकास का मतलब है कि पता लगाने वाला उपकरण प्रत्येक कण पर राज्य या दूसरे के विकास से स्वतंत्र कार्य करता है, और स्थानीय माप का मतलब है कि प्रत्येक कण एक विशेष डिटेक्टर पर स्थानीयकृत होता है जो यह इंगित करने के लिए एक क्लिक दर्ज करता है कि एक कण का पता लगाया गया है। ऐसे उपकरणों का निर्माण किया जा सकता है, उदाहरण के लिए: दर्पण, बीम स्प्लिटर और तरंग प्लेटें – और प्रायोगिक दृष्टिकोण से आकर्षक हैं क्योंकि उनका उपयोग करना आसान है और उनमें उच्च माप क्रॉस सेक्शन (भौतिकी)|क्रॉस-सेक्शन है।

एकल क्वबिट वैरिएबल में उलझाव के लिए, चार बेल राज्यों में से केवल तीन अलग-अलग वर्गों को ऐसी रैखिक ऑप्टिकल तकनीकों का उपयोग करके अलग किया जा सकता है। इसका मतलब है कि दो बेल राज्यों को एक दूसरे से अलग नहीं किया जा सकता है, जिससे क्वांटम टेलीपोर्टेशन जैसे क्वांटम संचार प्रोटोकॉल की दक्षता सीमित हो जाती है। यदि बेल स्थिति को इस अस्पष्ट वर्ग से मापा जाता है, तो टेलीपोर्टेशन घटना विफल हो जाती है।

कई क्वबिट वेरिएबल्स में कणों को उलझाना, जैसे (फोटोनिक सिस्टम के लिए) ध्रुवीकरण (तरंगें) और अज़ीमुथल क्वांटम संख्या राज्यों का दो-तत्व उपसमुच्चय, प्रयोगकर्ता को एक वेरिएबल का पता लगाने और दूसरे में पूर्ण बेल राज्य माप प्राप्त करने की अनुमति देता है। तथाकथित हाइपर-एंटेंगल्ड सिस्टम का लाभ उठाने से टेलीपोर्टेशन को फायदा होता है। इसमें सुपरडेंस कोडिंग जैसे अन्य प्रोटोकॉल के लिए भी फायदे हैं, जिसमें हाइपर-एंटेंगलमेंट से चैनल क्षमता बढ़ जाती है।

सामान्य तौर पर, हाइपर-उलझाव के लिए $$n$$ चर, कोई भी अधिकतम अंतर कर सकता है $$2^{n+1} - 1$$ कक्षाओं से बाहर $$4^n$$ बेल रैखिक ऑप्टिकल तकनीकों का उपयोग करते हुए बताता है।

बेल राज्य सहसंबंध
बेल स्टेट्स में उलझे हुए दो क्वबिट्स पर किए गए स्वतंत्र माप सकारात्मक रूप से पूरी तरह से सहसंबद्ध होते हैं यदि प्रत्येक क्वबिट को प्रासंगिक आधार पर मापा जाता है। के लिए $$|\Phi^+\rangle$$ राज्य, इसका अर्थ है दोनों क्वैबिट के लिए समान आधार का चयन करना। यदि एक प्रयोगकर्ता ने दोनों क्वबिट को एक में मापने का विकल्प चुना है $$|\Phi^-\rangle$$ बेल स्टेट में उसी आधार का उपयोग करते हुए, मापते समय क्वैबिट सकारात्मक रूप से सहसंबद्ध दिखाई देंगे $$\{|0\rangle,|1\rangle\}$$ आधार, विरोधी सहसंबद्ध में $$\{|+\rangle,|-\rangle\}$$ आधार, और आंशिक रूप से (संभावित रूप से) अन्य आधारों में सहसंबद्ध। $$|\Psi^+\rangle$$ h> सहसंबंधों को दोनों क्वैबिट को एक ही आधार पर मापकर और पूरी तरह से विरोधी सहसंबद्ध परिणामों को देखकर समझा जा सकता है। आम तौर पर अधिक, $$|\Psi^+\rangle$$ प्रथम क्वबिट को आधार में मापकर समझा जा सकता है $$b_1$$, आधार में दूसरा qubit $$b_2 = X.b_1$$, और पूरी तरह से सकारात्मक रूप से सहसंबद्ध परिणामों का अवलोकन करना।



सुपरडेंस कोडिंग
सुपरडेंस कोडिंग दो व्यक्तियों को केवल एक क्विबिट भेजकर शास्त्रीय जानकारी के दो बिट्स को संप्रेषित करने की अनुमति देती है। इस घटना का आधार दो क्विबिट प्रणाली की उलझी हुई अवस्थाएँ या बेल अवस्थाएँ हैं। इस उदाहरण में, ऐलिस और बॉब एक-दूसरे से बहुत दूर हैं, और प्रत्येक को उलझी हुई अवस्था का एक-एक वर्ग दिया गया है।

$$|\psi \rangle = \frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2}}$$.

इस उदाहरण में, ऐलिस शास्त्रीय जानकारी के दो बिट्स, चार दो बिट स्ट्रिंग्स में से एक को संप्रेषित करने का प्रयास कर रही है: $$'00', '01', '10',$$या $$'11'$$. यदि ऐलिस दो बिट संदेश भेजना चुनती है $$'01'$$, वह चरण फ्लिप का प्रदर्शन करेगी $$Z$$ उसकी कक्षा के लिए. इसी तरह, अगर ऐलिस भेजना चाहता है $$'10'$$, वह नॉट गेट लगाएगी; अगर वह भेजना चाहती थी $$'11'$$, वह लागू करेगी $$iY$$उसकी कक्षा का द्वार; और अंत में, यदि ऐलिस दो बिट संदेश भेजना चाहती है $$'00'$$, वह अपनी कक्षा के लिए कुछ नहीं करेगी। ऐलिस इन क्वांटम गेट परिवर्तनों को स्थानीय रूप से निष्पादित करता है, प्रारंभिक उलझी हुई स्थिति को परिवर्तित करता है $$|\psi\rangle$$ चार बेल राज्यों में से एक में।

नीचे दिए गए चरण आवश्यक क्वांटम गेट परिवर्तन दिखाते हैं, और परिणामस्वरूप बेल का कहना है कि ऐलिस को बॉब को भेजने की इच्छा रखने वाले प्रत्येक संभावित दो बिट संदेश के लिए अपनी कक्षा में आवेदन करने की आवश्यकता है।

$$00: I =  \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \longrightarrow |\psi \rangle = \frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt2}\equiv |{\Phi^+}\rangle$$

$$01: Z = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\longrightarrow |\psi \rangle = \frac{|00\rangle - |11\rangle}{\sqrt2}\equiv |{\Phi^-}\rangle$$

$$10: X = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\longrightarrow |\psi \rangle = \frac{|01\rangle + |10\rangle}{\sqrt2}\equiv |{\Psi^+}\rangle$$

$$11: -iY = XZ = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\longrightarrow |\psi \rangle = \frac{|01\rangle - |10\rangle}{\sqrt2}\equiv |{\Psi^-}\rangle$$.

ऐलिस अपनी कक्षा में वांछित परिवर्तन लागू करने के बाद, उसे बॉब को भेजती है। बॉब फिर बेल स्थिति पर एक माप करता है, जो उलझी हुई स्थिति को चार दो-क्विबिट आधार वैक्टरों में से एक पर प्रोजेक्ट करता है, जिनमें से एक मूल दो बिट संदेश के साथ मेल खाएगा जिसे ऐलिस भेजने की कोशिश कर रहा था।

क्वांटम टेलीपोर्टेशन
क्वांटम टेलीपोर्टेशन एक दूरी पर क्वांटम स्थिति का स्थानांतरण है। यह इस क्वांटम अवस्था के दाता ए और प्राप्तकर्ता बी के बीच उलझने से सुगम होता है। यह प्रक्रिया क्वांटम संचार और कंप्यूटिंग के लिए एक मौलिक शोध विषय बन गई है। हाल ही में, वैज्ञानिक ऑप्टिकल फाइबर के माध्यम से सूचना हस्तांतरण में इसके अनुप्रयोगों का परीक्षण कर रहे हैं। क्वांटम टेलीपोर्टेशन की प्रक्रिया को निम्नलिखित के रूप में परिभाषित किया गया है:

ऐलिस और बॉब एक ​​ईपीआर जोड़ी साझा करते हैं और अलग होने से पहले प्रत्येक ने एक क्विट लिया। ऐलिस को बॉब को एक क्वबिट जानकारी देनी होगी, लेकिन वह इस क्वबिट की स्थिति नहीं जानती है और बॉब को केवल शास्त्रीय जानकारी ही भेज सकती है।

इसे निम्न प्रकार से चरण दर चरण निष्पादित किया जाता है:


 * 1) ऐलिस अपने क्वबिट्स को एक नियंत्रित नॉट गेट के माध्यम से भेजती है।
 * 2) ऐलिस फिर हैडामर्ड गेट के माध्यम से पहली क्वबिट भेजती है।
 * 3) ऐलिस अपने क्वबिट्स को मापती है, चार परिणामों में से एक प्राप्त करती है, और यह जानकारी बॉब को भेजती है।
 * 4) ऐलिस के माप को देखते हुए, बॉब ईपीआर जोड़ी के अपने आधे हिस्से पर चार ऑपरेशनों में से एक करता है और मूल क्वांटम स्थिति को पुनः प्राप्त करता है।

निम्नलिखित क्वांटम सर्किट टेलीपोर्टेशन का वर्णन करता है:

क्वांटम क्रिप्टोग्राफी
क्वांटम क्रिप्टोग्राफी जानकारी को सुरक्षित रूप से एनकोड करने और भेजने के लिए क्वांटम यांत्रिक गुणों का उपयोग है। इस प्रक्रिया के पीछे सिद्धांत यह तथ्य है कि सिस्टम को परेशान किए बिना किसी सिस्टम की क्वांटम स्थिति को मापना असंभव है। इसका उपयोग किसी सिस्टम के भीतर छिपकर बातें सुनने के लिए किया जा सकता है।

क्वांटम क्रिप्टोग्राफी का सबसे सामान्य रूप क्वांटम कुंजी वितरण है। यह दो पक्षों को एक साझा यादृच्छिक गुप्त कुंजी बनाने में सक्षम बनाता है जिसका उपयोग संदेशों को एन्क्रिप्ट करने के लिए किया जा सकता है। इसकी निजी कुंजी एक सार्वजनिक चैनल के माध्यम से दोनों पक्षों के बीच बनाई जाती है।

क्वांटम क्रिप्टोग्राफी को दो बहु-आयामी प्रणालियों के बीच उलझाव की स्थिति माना जा सकता है, जिसे टू-क्यूडिट (क्वांटम अंक) उलझाव के रूप में भी जाना जाता है।

यह भी देखें

 * बेल परीक्षण प्रयोग
 * बेल का प्रमेय|बेल की असमानता
 * ईपीआर विरोधाभास
 * ग्रीनबर्गर-हॉर्न-ज़ीलिंगर राज्य
 * सुपरडेंस कोडिंग
 * क्वांटम टेलीपोर्टेशन
 * क्वांटम क्रिप्टोग्राफी
 * क्वांटम सर्किट
 * घंटी विकर्ण अवस्था

संदर्भ

 * , pp. 25.
 * , pp. 75.