बारह गुना शैली (ट्वेल्व फोल्ड वे)

साहचर्य में, बारह गुना तरीका दो परिमित सेटों से संबंधित 12 संबंधित गणनात्मक समस्याओं का एक व्यवस्थित वर्गीकरण है, जिसमें गणना क्रमपरिवर्तन, संयोजन, multiset  और विभाजन या तो एक सेट या विभाजन (संख्या सिद्धांत) के विभाजन की शास्त्रीय समस्याएं शामिल हैं। वर्गीकरण के विचार का श्रेय जियान-कार्लो रोटा को दिया जाता है, और नाम जोएल स्पेंसर द्वारा सुझाया गया था।

सिंहावलोकन
होने देना $N$ और $X$ परिमित समुच्चय हो। होने देना $$n=|N|$$ और $$x=|X|$$ सेट की प्रमुखता हो। इस प्रकार $N$ एक $n$-सेट, और $X$ एक $x$-तय करना।

हम जिस सामान्य समस्या पर विचार करते हैं, वह है फलन (गणित) के तुल्यता वर्गों की गणना। $$f: N \to X$$.

कार्य निम्नलिखित तीन प्रतिबंधों में से एक के अधीन हैं: (स्थिति$a$ is Bijection केवल एक विकल्प है जब $$n=x$$; लेकिन तब यह दोनों के बराबर है$N$ इंजेक्शन है और$f$ विशेषण है।)
 * 1) कोई शर्त नहीं: प्रत्येक $b$ में $X$ द्वारा भेजा जा सकता है $b$ किसी को $f$ में $a$, और प्रत्येक $N$ कई बार हो सकता है।
 * 2) $b$ इंजेक्शन समारोह है: प्रत्येक मान $$f(a)$$ के लिए $X$ में $f$ एक दूसरे से अलग होना चाहिए, और इसलिए प्रत्येक $f$ में $b$ की छवि (गणित) में अधिकतम एक बार हो सकता है $X$.
 * 3) $a$ विशेषण फलन है: प्रत्येक के लिए $N$ में $b$ कम से कम एक होना चाहिए $f$ में $f$ ऐसा है कि $$f(a) = b$$, इस प्रकार प्रत्येक $f$ की छवि में कम से कम एक बार होगा $f$.

चार अलग-अलग तुल्यता संबंध हैं जिन्हें कार्यों के सेट पर परिभाषित किया जा सकता है $f$ से $N$ को $X$: कार्यों पर तीन शर्तों और चार समकक्ष संबंधों को जोड़ा जा सकता है $3 &times; 4 = 12$ तौर तरीकों।
 * 1) समानता;
 * 2) के क्रमपरिवर्तन तक समानता $N$;
 * 3) के क्रमपरिवर्तन तक समानता $X$;
 * 4) के क्रमपरिवर्तन तक समानता $N$ और $X$.

कार्यों के समतुल्य वर्गों की गणना की बारह समस्याओं में समान कठिनाइयाँ शामिल नहीं हैं, और उन्हें हल करने के लिए एक व्यवस्थित तरीका नहीं है। समस्याओं में से दो तुच्छ हैं (तुल्यता वर्गों की संख्या 0 या 1 है), पाँच समस्याओं का उत्तर n और x के गुणक सूत्र के संदर्भ में है, और शेष पाँच समस्याओं का उत्तर संयोजक कार्यों (स्टर्लिंग संख्या) के संदर्भ में है और दिए गए भागों की संख्या के लिए विभाजन (संख्या सिद्धांत)।

इस सेटिंग में शास्त्रीय गणना समस्याओं का समावेश इस प्रकार है।
 * एक्स के एन-क्रमपरिवर्तन (यानी, आंशिक क्रमपरिवर्तन या पुनरावृत्ति के बिना अनुक्रम) की गिनती #केस i|इंजेक्शन कार्यों की गिनती के बराबर है $N &rarr; X$.
 * X के n-संयोजनों की गणना #case ininjective प्रकार्यों की गणना करने के बराबर है $N &rarr; X$ N के क्रमपरिवर्तन तक।
 * समुच्चय X के क्रमपरिवर्तनों की गणना करना अंतःक्षेपी कार्यों की गिनती के बराबर है $N &rarr; X$ जब n = x, और #case s|surjective कार्यों की गणना करने के लिए भी $N &rarr; X$ कब $n = x$.
 * X में तत्वों के आकार n (जिसे पुनरावृत्ति के साथ n-संयोजन के रूप में भी जाना जाता है) के मल्टीसेट की गणना करना सभी #case fn|फ़ंक्शंस की गणना करने के बराबर है $N &rarr; X$ N के क्रमपरिवर्तन तक।
 * समुच्चय N के x उपसमुच्चय में विभाजनों की गणना करना सभी #केस sx | प्रक्षेप कार्यों को गिनने के बराबर है $N &rarr; X$ X के क्रमपरिवर्तन तक।
 * संख्या n की x भागों में रचना (संख्या सिद्धांत) की गणना सभी #केस एसएन | प्रक्षेप कार्यों की गिनती के बराबर है $N &rarr; X$ N के क्रमपरिवर्तन तक।

दृष्टिकोण
बारह प्रकार से विभिन्न समस्याओं पर विभिन्न दृष्टिकोणों से विचार किया जा सकता है।

बॉल्स और बॉक्स
पारम्परिक रूप से कई समस्याओं को ट्वेल्वफोल्ड तरीके से कार्यों को परिभाषित करने के बजाय गेंदों को बक्सों (या कुछ इसी तरह के दृश्य) में रखने के संदर्भ में तैयार किया गया है। सेट एन को गेंदों के सेट के साथ पहचाना जा सकता है, और एक्स को बॉक्स के सेट के साथ पहचाना जा सकता है; समारोह ƒ : $N &rarr; X$ फिर गेंदों को बक्से में वितरित करने के तरीके का वर्णन करता है, अर्थात् प्रत्येक गेंद को बॉक्स ƒ(a) में डालकर। एक फ़ंक्शन अपने डोमेन में प्रत्येक मान के लिए एक अद्वितीय छवि प्रदान करता है; यह संपत्ति इस संपत्ति से परिलक्षित होती है कि कोई भी गेंद केवल एक बॉक्स में जा सकती है (इस आवश्यकता के साथ कि कोई भी गेंद बॉक्स के बाहर नहीं रहनी चाहिए), जबकि कोई भी बॉक्स गेंदों की मनमानी संख्या को समायोजित कर सकता है। इसके अलावा ƒ को अंतःक्षेपी होने की आवश्यकता का अर्थ है किसी एक बॉक्स में एक से अधिक गेंद डालने से मना करना, जबकि ƒ को आच्छादक होने की आवश्यकता का अर्थ है कि प्रत्येक बॉक्स में कम से कम एक गेंद हो।

N या ​​X के तुल्यता संबंध क्रमपरिवर्तन की गणना गेंदों या बक्सों को क्रमशः, अप्रभेद्य कह कर परिलक्षित होती है। यह एक सटीक सूत्रीकरण है, जिसका उद्देश्य यह इंगित करना है कि अलग-अलग विन्यासों को अलग-अलग नहीं गिना जाना चाहिए, यदि गेंदों या बक्सों के कुछ आदान-प्रदान से एक को दूसरे में बदला जा सकता है। परिवर्तन की इस संभावना को क्रमपरिवर्तन द्वारा क्रिया द्वारा औपचारिक रूप दिया जाता है।

नमूनाकरण
कुछ मामलों के बारे में सोचने का दूसरा तरीका आंकड़ों में नमूनाकरण (सांख्यिकी) के संदर्भ में है। एक्स आइटम (या लोगों) की आबादी की कल्पना करें, जिनमें से हम एन चुनते हैं। दो अलग-अलग योजनाओं को सामान्य रूप से वर्णित किया जाता है, जिन्हें प्रतिस्थापन के साथ नमूनाकरण और प्रतिस्थापन के बिना नमूनाकरण के रूप में जाना जाता है। पूर्व मामले में (प्रतिस्थापन के साथ नमूनाकरण), एक बार जब हम एक आइटम चुन लेते हैं, तो हम इसे आबादी में वापस रख देते हैं, ताकि हम इसे फिर से चुन सकें। परिणाम यह है कि प्रत्येक विकल्प अन्य सभी विकल्पों की सांख्यिकीय स्वतंत्रता है, और नमूनों के सेट को तकनीकी रूप से स्वतंत्र समान रूप से वितरित के रूप में संदर्भित किया जाता है। हालांकि, बाद वाले मामले में, एक बार जब हम एक आइटम चुन लेते हैं, तो हम उसे एक तरफ रख देते हैं ताकि हम उसे फिर से न चुन सकें। इसका अर्थ है कि किसी वस्तु को चुनने की क्रिया का निम्नलिखित सभी विकल्पों पर प्रभाव पड़ता है (विशेष वस्तु को फिर से नहीं देखा जा सकता है), इसलिए हमारी पसंद एक दूसरे पर निर्भर हैं।

नमूनाकरण योजनाओं के बीच एक दूसरा अंतर यह है कि क्या आदेश देना मायने रखता है। उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास दस आइटम हैं, जिनमें से हम दो चुनते हैं, तो विकल्प (4,7) अलग है (7,4) यदि ऑर्डर देना मायने रखता है; दूसरी ओर, यदि आदेश देने से कोई फर्क नहीं पड़ता है, तो विकल्प (4,7) और (7,4) समतुल्य हैं। (इसके बारे में सोचने का एक और तरीका यह है कि प्रत्येक विकल्प को आइटम नंबर से क्रमबद्ध करें, और परिणाम के किसी भी डुप्लीकेट को फेंक दें।)

नीचे दी गई तालिका की पहली दो पंक्तियाँ और स्तंभ क्रम पर विचार किए बिना और बिना प्रतिस्थापन के नमूने के अनुरूप हैं। प्रतिस्थापन के साथ नमूने के मामले किसी भी एफ लेबल वाले कॉलम में पाए जाते हैं, जबकि बिना प्रतिस्थापन के नमूने के मामले इंजेक्टिव एफ लेबल वाले कॉलम में पाए जाते हैं। ऐसे मामले जहां ऑर्डर देने वाले मामले अलग लेबल वाली पंक्ति में पाए जाते हैं, और ऐसे मामले जहां ऑर्डर देने से कोई फर्क नहीं पड़ता, वे S लेबल वाली पंक्ति में पाए जाते हैंn कक्षाओं। प्रत्येक तालिका प्रविष्टि इंगित करती है कि किसी विशेष नमूनाकरण योजना में विकल्पों के कितने अलग-अलग सेट हैं। इन तालिका प्रविष्टियों में से तीन संभाव्यता वितरण के अनुरूप भी हैं। प्रतिस्थापन के साथ नमूनाकरण जहां ऑर्डरिंग मायने रखता है, एन अलग-अलग यादृच्छिक चर के संयुक्त वितरण का वर्णन करने के लिए तुलनीय है, प्रत्येक एक्स-गुना श्रेणीबद्ध वितरण के साथ। प्रतिस्थापन के साथ नमूनाकरण जहां ऑर्डर देना मायने नहीं रखता है, हालांकि, एन के एकल बहुराष्ट्रीय वितरण का वर्णन करने के लिए एक एक्स-गुना श्रेणी से तुलना की जाती है, जहां प्रत्येक श्रेणी के केवल देखे गए नंबर मायने रखते हैं। प्रतिस्थापन के बिना नमूनाकरण जहां आदेश देना कोई मायने नहीं रखता है, एक एकल बहुभिन्नरूपी हाइपरज्यामितीय वितरण के साथ तुलना करने योग्य है। प्रतिस्थापन के बिना नमूनाकरण जहां आदेश मायने रखता है वह संभाव्यता वितरण के अनुरूप नहीं लगता है। ध्यान दें कि सभी इंजेक्टिव मामलों में (यानी प्रतिस्थापन के बिना नमूनाकरण), विकल्पों के सेट की संख्या शून्य है जब तक कि $N ≤ X$. (उपर्युक्त मामलों में तुलनीय का मतलब है कि संबंधित वितरण के नमूना स्थान का प्रत्येक तत्व विकल्पों के एक अलग सेट से मेल खाता है, और इसलिए उपयुक्त बॉक्स में संख्या दिए गए वितरण के लिए नमूना स्थान के आकार को इंगित करती है।)

नमूनाकरण के परिप्रेक्ष्य से, विशेषण f लेबल वाला कॉलम कुछ अजीब है: अनिवार्य रूप से, हम तब तक प्रतिस्थापन के साथ नमूना लेते रहते हैं जब तक कि हम प्रत्येक आइटम को कम से कम एक बार नहीं चुन लेते। फिर, हम गिनते हैं कि हमने कितने चुनाव किए हैं, और यदि यह N के बराबर नहीं है, तो पूरे सेट को बाहर फेंक दें और दोहराएं। यह कूपन कलेक्टर की समस्या के लिए अस्पष्ट रूप से तुलनीय है, जहां प्रक्रिया में प्रत्येक कूपन को कम से कम एक बार देखे जाने तक एक्स कूपन का एक सेट (प्रतिस्थापन के साथ नमूनाकरण द्वारा) एकत्र करना शामिल है। ध्यान दें कि सभी विशेषण मामलों में, पसंद के सेट की संख्या शून्य है जब तक कि $N ≥ X$.

लेबलिंग, चयन, समूहीकरण
एक समारोह ƒ : $N &rarr; X$ को X या N के परिप्रेक्ष्य से माना जा सकता है। यह विभिन्न विचारों की ओर ले जाता है:


 * फ़ंक्शन ƒ N के प्रत्येक तत्व को X के एक तत्व द्वारा लेबल करता है।
 * फ़ंक्शन ƒ एन के प्रत्येक तत्व के लिए सेट एक्स के एक तत्व (गणित) का चयन करता है (चुनता है), कुल एन विकल्प।
 * फ़ंक्शन ƒ N के तत्वों को एक साथ समूहित करता है जिन्हें X के समान तत्व से मैप किया जाता है।

ये दृष्टिकोण सभी मामलों के लिए समान रूप से अनुकूल नहीं हैं। लेबलिंग और चयन बिंदु एक्स के तत्वों के क्रमचय के साथ अच्छी तरह से संगत नहीं हैं, क्योंकि यह लेबल या चयन को बदलता है; दूसरी ओर समूहीकरण बिंदु कॉन्फ़िगरेशन के बारे में पूरी जानकारी नहीं देता है जब तक कि एक्स के तत्वों को स्वतंत्र रूप से अनुमत नहीं किया जा सकता है। जब N को अनुमत नहीं किया जाता है, तो लेबलिंग और चयन बिंदु कमोबेश समतुल्य होते हैं, लेकिन जब यह होता है, तो चयन बिंदु अधिक अनुकूल होता है। तब चयन को एक अनियंत्रित चयन के रूप में देखा जा सकता है: X से n तत्वों के एक (बहु-) सेट का एकल विकल्प बनाया जाता है।

लेबलिंग और पुनरावृत्ति के साथ या बिना चयन
जब ƒ को N के तत्वों की लेबलिंग के रूप में देखा जाता है, तो बाद वाले को एक क्रम में व्यवस्थित माना जा सकता है, और X से लेबल को क्रमिक रूप से उन्हें सौंपा जा सकता है। एक आवश्यकता जो ƒ अंतःक्षेपी होने का अर्थ है कि किसी भी लेबल का दूसरी बार उपयोग नहीं किया जा सकता है; नतीजा दोहराव के बिना लेबल का अनुक्रम है। ऐसी आवश्यकता के अभाव में, पुनरावृत्ति के साथ शब्दावली अनुक्रम का उपयोग किया जाता है, जिसका अर्थ है कि लेबल का एक से अधिक बार उपयोग किया जा सकता है (हालांकि पुनरावृत्ति के बिना होने वाले अनुक्रमों की भी अनुमति है)।

ƒ को X के तत्वों के एक अनियंत्रित चयन के रूप में देखते समय, उसी प्रकार का भेद लागू होता है। यदि ƒ अंतःक्षेपी होना चाहिए, तो चयन में X के विशिष्ट तत्व शामिल होने चाहिए, इसलिए यह आकार n का X का एक उपसमुच्चय है, जिसे n-संयोजन भी कहा जाता है। आवश्यकता के बिना, एक्स का एक और एक ही तत्व चयन में कई बार हो सकता है, और नतीजा एक्स से तत्वों के आकार एन का एक मल्टीसेट होता है, जिसे एन- बहुसंयोजन या पुनरावृत्ति के साथ एन-संयोजन भी कहा जाता है।

एन के लेबलिंग तत्वों के दृष्टिकोण से ƒ विशेषण होने की आवश्यकता का अर्थ है कि प्रत्येक लेबल का कम से कम एक बार उपयोग किया जाना है; एक्स से चयन के दृष्टिकोण से, इसका मतलब है कि एक्स के प्रत्येक तत्व को चयन में कम से कम एक बार शामिल किया जाना चाहिए। प्रक्षेपण के साथ लेबलिंग एन के तत्वों के समूह के बराबर है जिसके बाद प्रत्येक समूह को एक्स के तत्व द्वारा लेबल किया जाता है, और तदनुसार गणितीय रूप से वर्णन करने के लिए कुछ अधिक जटिल है।

सेट और संख्या का विभाजन
ƒ को N के तत्वों के समूह के रूप में देखते समय (जो मानता है कि X के क्रमपरिवर्तन के तहत पहचान की जाती है), ƒ को विशेषण के रूप में देखने का मतलब है कि समूहों की संख्या निश्चित रूप से x होनी चाहिए। इस आवश्यकता के बिना समूहों की संख्या अधिकतम x हो सकती है। अंतःक्षेपी ƒ की आवश्यकता का अर्थ है कि N का प्रत्येक तत्व अपने आप में एक समूह होना चाहिए, जो अधिक से अधिक एक मान्य समूह छोड़ता है और इसलिए एक दिलचस्प गिनती समस्या देता है।

इसके अलावा जब कोई N के क्रमचय के तहत पहचान करता है, तो इसका अर्थ समूहों को भूल जाना है लेकिन केवल उनके आकार को बनाए रखना है। इसके अलावा ये आकार किसी निश्चित क्रम में नहीं आते हैं, जबकि एक ही आकार एक से अधिक बार हो सकता है; कोई उन्हें संख्याओं की कमजोर रूप से घटती सूची में व्यवस्थित करना चुन सकता है, जिसका योग संख्या n है। यह संख्या n के एक विभाजन (संख्या सिद्धांत) की संयोजी धारणा देता है, बिल्कुल x (आच्छादक ƒ के लिए) या अधिकतम x (मनमानी ƒ के लिए) भागों में।

सूत्र
बारह गुना तरीके के विभिन्न मामलों के सूत्र निम्नलिखित तालिका में संक्षेपित हैं; प्रत्येक तालिका प्रविष्टि सूत्र की व्याख्या करते हुए नीचे एक उपखंड से जुड़ती है। उपयोग की जाने वाली विशेष नोटेशन हैं:
 * गिरती तथ्यात्मक शक्ति $x^{\underline n} = \frac{x!}{(x - n)!} = x(x - 1)(x - 2) \cdots (x - n + 1)$ ,
 * पोचममेर प्रतीक # वैकल्पिक अंकन $x^{\overline n} = \frac{(x + n - 1)!}{(x - 1)!} = x(x + 1)(x + 2) \cdots (x + n - 1)$ ,
 * तथ्यात्मक $n! = n^{\underline n} = n(n-1)(n-2)\cdots1$
 * दूसरी तरह की स्टर्लिंग संख्या $\left\{{n \atop k}\right\}$, n तत्वों के एक सेट को k सबसेट में विभाजित करने के तरीकों की संख्या को दर्शाता है
 * द्विपद गुणांक $\binom{n}{k} = \frac{n^{\underline k}}{k!}$
 * आइवरसन ब्रैकेट [] एक सत्य मान को 0 या 1 के रूप में एन्कोडिंग करता है
 * जो नंबर $p_k(n)$ n के k भागों में विभाजन (संख्या सिद्धांत) का

पंक्तियों और स्तंभों का सहज अर्थ
यह त्वरित सारांश है कि विभिन्न मामलों का क्या अर्थ है। मामलों का विवरण नीचे दिया गया है।

X क्रमांकित वस्तुओं (1 से x तक क्रमांकित) के एक सेट के बारे में सोचें, जिसमें से हम n चुनते हैं, वस्तुओं की एक आदेशित सूची प्रदान करते हैं: उदा। अगर वहाँ $$x = 10$$ जिन वस्तुओं को हम चुनते हैं $$n = 3$$परिणाम सूची (5, 2, 10) हो सकता है। फिर हम गिनते हैं कि ऐसी कितनी अलग-अलग सूचियाँ मौजूद हैं, कभी-कभी पहले सूचियों को उन तरीकों से रूपांतरित करते हैं जो अलग-अलग संभावनाओं की संख्या को कम करते हैं।

तब स्तंभों का अर्थ है:
 * कोई भी f: किसी आइटम को चुनने के बाद, हम उसे वापस रख देते हैं, ताकि हम उसे फिर से चुन सकें।
 * इंजेक्शन एफ: एक आइटम चुनने के बाद, हम इसे अलग रख देते हैं, इसलिए हम इसे फिर से नहीं चुन सकते; इसलिए हम n विशिष्ट वस्तुओं के साथ समाप्त करेंगे। अनिवार्य रूप से, जब तक $$n \leq x$$, कोई भी सूची बिल्कुल नहीं चुनी जा सकती।
 * प्रक्षेप्य एफ: एक आइटम चुनने के बाद, हम इसे वापस रख देते हैं, इसलिए हम इसे फिर से चुन सकते हैं - लेकिन अंत में, हमें प्रत्येक आइटम को कम से कम एक बार चुनना होगा। अनिवार्य रूप से, जब तक $$n \geq x$$, कोई भी सूची बिल्कुल नहीं चुनी जा सकती।

और पंक्तियों का अर्थ है:
 * विशिष्ट: सूचियों को अकेला छोड़ दें; उन्हें सीधे गिनें।
 * एसn कक्षाएँ: गिनने से पहले, चुने गए आइटमों की आइटम संख्या द्वारा सूचियों को क्रमबद्ध करें, ताकि क्रम कोई मायने न रखे, जैसे, (5, 2, 10), (10, 2, 5), (2, 10, 5) → (2, 5, 10)।
 * एसx कक्षाएँ: गिनने से पहले, देखी गई वस्तुओं को फिर से क्रमांकित करें ताकि पहली देखी गई वस्तु की संख्या 1, दूसरी 2, आदि हो। यदि किसी वस्तु को एक से अधिक बार देखा गया था, तो संख्याएँ दोहराई जा सकती हैं, जैसे, (3, 5, 3), (5, 2, 5), (4, 9, 4) → (1, 2, 1) जबकि (3, 3, 5), (5, 5, 3), (2, 2, 9) → (1, 1, 2).
 * एसn × एसx कक्षाएँ: दो सूचियाँ समान मानी जाती हैं यदि यह दोनों को पुन: व्यवस्थित करना और उन्हें ऊपर के रूप में पुन: लेबल करना और समान परिणाम उत्पन्न करना संभव है। उदाहरण के लिए, (3, 5, 3) और (2, 9, 9) को समान माना जाता है क्योंकि उन्हें (3, 3, 5) और (9, 9, 2) के रूप में फिर से क्रमित किया जा सकता है और फिर दोनों को फिर से लेबल करने से समान उत्पादन होता है सूची (1, 1, 2)।

बॉल और बॉक्स परिदृश्य
का उपयोग करके चार्ट का सहज अर्थ

नीचे दिया गया चार्ट उपरोक्त चार्ट के समान है, लेकिन यह सूत्रों को दिखाने के बजाय परिचित गेंदों और बक्से के उदाहरण का उपयोग करके उनके अर्थ की सहज समझ देता है। पंक्तियाँ गेंदों और बक्सों की विशिष्टता का प्रतिनिधित्व करती हैं। यदि मल्टी-पैक (एक बॉक्स में एक से अधिक गेंद), या खाली बॉक्स की अनुमति है तो कॉलम दर्शाते हैं। चार्ट के कक्ष उस प्रश्न को दिखाते हैं जिसका उत्तर ऊपर दिए गए सूत्र चार्ट में दिए गए सूत्र को हल करके दिया जाता है।

विभिन्न मामलों का विवरण
नीचे दिए गए मामलों को इस तरह से क्रमबद्ध किया गया है कि उन मामलों को समूहित किया जा सके जिनके लिए गणना में उपयोग किए गए तर्क संबंधित हैं, जो दी गई तालिका में क्रम नहीं है।

N से X
तक कार्य करता है

यह मामला बिना किसी प्रतिबंध के एक्स के 'एन तत्वों के अनुक्रम' की गिनती के बराबर है: एक फ़ंक्शन $f ∘ S_{n}$ N के तत्वों की n छवियों द्वारा निर्धारित किया जाता है, जिनमें से प्रत्येक को x के तत्वों के बीच स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है। यह कुल x देता हैn संभावनाएं।

उदाहरण: $$X = \{a, b, c\}, N = \{1, 2\} \text{, then }$$ $$\left\vert\{(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)\}\right\vert = 3^2 = 9$$

एन से एक्स
तक इंजेक्शन कार्य

यह मामला X के n अलग-अलग तत्वों के अनुक्रमों की गिनती के बराबर है, जिसे X का 'एन-क्रमपरिवर्तन' या 'बिना दोहराव वाले अनुक्रम' भी कहा जाता है; फिर से यह क्रम N के तत्वों की n छवियों द्वारा बनता है। यह मामला अप्रतिबंधित अनुक्रमों में से एक से भिन्न होता है जिसमें दूसरे तत्व के लिए एक विकल्प कम होता है, तीसरे तत्व के लिए दो कम होते हैं, और इसी तरह। इसलिए x की एक सामान्य शक्ति के बजाय, मान x की गिरती हुई भाज्य शक्ति द्वारा दिया जाता है, जिसमें प्रत्येक क्रमिक कारक पिछले एक से एक कम होता है। सूत्र है


 * $$ x^{\underline n} = x(x-1)\cdots(x-n+1).$$

ध्यान दें कि अगर $S_{x} ∘ f$ तो कोई कारक शून्य प्राप्त करता है, इसलिए इस मामले में कोई इंजेक्शन कार्य नहीं है $S_{x} ∘ f ∘ S_{n}$ बिलकुल; यह कबूतरखाने के सिद्धांत का सिर्फ एक पुनर्कथन है।

उदाहरण: $$X = \{a, b, c, d \}, N = \{1, 2\} \text{, then }$$ $$ \left\vert\{(a, b), (a, c), (a,d), (b, a), (b, c), (b,d), (c, a), (c, b), (c,d), (d,a), (d,b), (d,c) \}\right\vert = 4^{\underline2} = 4 \times 3 = 12$$

एन
के क्रमपरिवर्तन तक, एन से एक्स तक इंजेक्शन कार्य

यह मामला X के 'उपसमुच्चयों के साथ n तत्वों' की गिनती के बराबर है, जिसे X का n-संयोजन भी कहा जाता है: X के n विशिष्ट तत्वों के अनुक्रमों के बीच, जो केवल उनके शब्दों के क्रम में भिन्न होते हैं, उन्हें N के क्रमपरिवर्तन द्वारा पहचाना जाता है। चूंकि सभी मामलों में यह समूह बिल्कुल n! विभिन्न अनुक्रमों में, हम ऐसे अनुक्रमों की संख्या को n से विभाजित कर सकते हैं! एक्स के एन-संयोजनों की संख्या प्राप्त करने के लिए। इस संख्या को द्विपद गुणांक के रूप में जाना जाता है $$\tbinom xn$$, जो इसलिए द्वारा दिया गया है


 * $$\binom xn = \frac{x^{\underline n}}{n!} = \frac{x(x-1)\cdots(x-n+2)(x-n+1)}{n(n-1)\cdots2\cdot1}.$$

उदाहरण: $$X = \{a, b, c, d \}, N = \{1, 2\} \text{, then }$$ $$ \left\vert\{\{a, b\}, \{a, c\}, \{a, d\}, \{b, c\}, \{b, d\}, \{c, d\} \}\right\vert = \frac{4^{\underline2}}{2!} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$$

N से X तक के कार्य, N
के क्रमपरिवर्तन तक

यह मामला X से 'मल्टीसेट्स विद एन एलिमेंट्स' की गिनती के बराबर है (जिसे एन-मल्टीकोम्बिनेशन भी कहा जाता है)। इसका कारण यह है कि एक्स के प्रत्येक तत्व के लिए यह निर्धारित किया जाता है कि एन के कितने तत्वों को एफ द्वारा मैप किया जाता है, जबकि दो कार्य जो एक्स के प्रत्येक तत्व को समान गुण प्रदान करते हैं, हमेशा एन के क्रमपरिवर्तन द्वारा दूसरे में परिवर्तित हो सकते हैं। सूत्र सभी कार्यों की गिनती करता है $f : N → X$ यहाँ उपयोगी नहीं है, क्योंकि N के क्रमपरिवर्तन द्वारा एक साथ समूहीकृत उनकी संख्या एक फ़ंक्शन से दूसरे फ़ंक्शन में भिन्न होती है। बल्कि, जैसा कि संयोजन#संख्या के संयोजनों की पुनरावृत्ति के तहत समझाया गया है, x तत्वों वाले एक सेट से n-मल्टीकॉम्बिनेशन की संख्या को एक सेट से n-संयोजनों की संख्या के समान देखा जा सकता है $n &gt; x$ तत्व। यह समस्या को #मामले में बारह गुना कम कर देता है, और परिणाम देता है


 * $$ \binom{x+n-1}n = \frac{(x+n-1)(x+n-2)\cdots(x+1)x}{n(n-1)\cdots2\cdot1} = \frac{x^{\overline n}}{n!}.$$

उदाहरण: $$X = \{a, b, c\}, N = \{1, 2\} \text{, then } $$ $$\left\vert\{\{a, a\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, b\}, \{b, c\}, \{c, c\}\}\right\vert = \frac{3^{\overline 2}}{2!} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$$

N
के क्रमपरिवर्तन तक, N से X तक विशेषण कार्य करता है

यह मामला X से n तत्वों के साथ मल्टीसेट्स की गिनती के बराबर है, जिसके लिए X का प्रत्येक तत्व कम से कम एक बार होता है। यह x के तत्वों की बहुलताओं को क्रम में सूचीबद्ध करके 'x (गैर-शून्य) पदों के साथ n की 'रचना (संख्या सिद्धांत)' की गणना करने के बराबर है। फ़ंक्शंस और मल्टीसेट्स के बीच पत्राचार पिछले मामले की तरह ही है, और आच्छादन आवश्यकता का मतलब है कि सभी गुणक कम से कम एक हैं। सभी गुणाओं को 1 से घटाकर, यह पिछले मामले में कम हो जाता है; चूँकि परिवर्तन से n का मान x से घट जाता है, परिणाम है


 * $$ \binom{n-1}{n-x}.$$

ध्यान दें कि जब n < x कोई विशेषण फलन नहीं होता है $N → X$ बिल्‍कुल भी (खाली कबूतरखाने का एक प्रकार का सिद्धांत); इसे सूत्र में इस बात पर ध्यान दिया जाता है कि यदि निचला सूचकांक ऋणात्मक है तो द्विपद गुणांक हमेशा 0 होता है। वही मान व्यंजक द्वारा भी दिया जाता है


 * $$ \binom{n-1}{x-1},$$

चरम मामले को छोड़कर $N → X$, जहां पूर्व अभिव्यक्ति के साथ सही ढंग से देता है $$\tbinom{-1}0=1$$, जबकि बाद वाला गलत देता है $$\tbinom{-1}{-1}=0$$.

परिणाम का रूप विशेषण कार्यों के एक वर्ग को संबद्ध करने के तरीके की तलाश करने का सुझाव देता है $x + n − 1$ सीधे के एक सबसेट के लिए $N → X$ कुल में से चुने गए तत्व $n = x = 0$, जो निम्नानुसार किया जा सकता है। पहले समुच्चय N और X का कुल क्रम चुनें, और ध्यान दें कि N का उपयुक्त क्रमपरिवर्तन लागू करने से, प्रत्येक विशेषण फलन $N → X$ को एक कमजोर रूप से बढ़ते (और निश्चित रूप से अभी भी विशेषण) फ़ंक्शन में परिवर्तित किया जा सकता है। यदि कोई N के तत्वों को क्रम से जोड़ता है $n − x$ एक रेखीय ग्राफ में आर्क करता है, फिर किसी भी उपसमुच्चय को चुनता है $n − 1$ आर्क्स और बाकी को हटाकर, एक्स कनेक्टेड घटकों के साथ एक ग्राफ प्राप्त करता है, और इन्हें एक्स के क्रमिक तत्वों को भेजकर, एक कमजोर रूप से बढ़ते हुए विशेष कार्य को प्राप्त करता है $N → X$; कनेक्टेड घटकों के आकार भी x भागों में n की संरचना देते हैं। यह तर्क मूल रूप से सितारों और सलाखों (प्रायिकता) पर दिया गया है, सिवाय इसके कि वहाँ का पूरक विकल्प है $n − 1$ अलग किया जाता है।

उदाहरण: $$X = \{a, b\}, N = \{1, 2, 3\}\text{, then } $$ $$\left\vert\{\{a, a, b\}, \{a, b, b\}\}\right\vert = \binom{3-1}{3-2} = \binom{2}{1} = \frac{2!}{1!\times (2-1)!} = 2$$

एन से एक्स तक इंजेक्शन कार्य, एक्स
के क्रमपरिवर्तन तक

इस मामले में हम X से अलग-अलग तत्वों के अनुक्रमों पर विचार करते हैं, लेकिन प्रत्येक तत्व पर X के क्रमचय को लागू करके एक दूसरे से प्राप्त की पहचान करते हैं। यह देखना आसान है कि ऐसे दो अलग-अलग अनुक्रम हमेशा पहचाने जा सकते हैं: क्रमचय को शब्द को मैप करना चाहिए पहले अनुक्रम के i से दूसरे क्रम के i तक, और चूंकि किसी भी क्रम में दो बार कोई मान नहीं होता है, इसलिए ये आवश्यकताएं एक दूसरे के विपरीत नहीं होती हैं; यह उन तत्वों को मानचित्रित करने के लिए बनी हुई है जो पहले क्रम में नहीं होते हैं, दूसरे क्रम में मनमाने तरीके से घटित नहीं होते हैं। एकमात्र तथ्य जो परिणाम को n और x पर बिल्कुल भी निर्भर करता है, वह यह है कि ऐसे किसी भी अनुक्रम के अस्तित्व की आवश्यकता होती है $n − x$, कबूतर के सिद्धांत द्वारा। संख्या इसलिए व्यक्त की जाती है $$[n\leq x]$$, आइवरसन ब्रैकेट का उपयोग करना।

एन से एक्स तक इंजेक्शन कार्य, एन और एक्स
के क्रमपरिवर्तन तक

यह मामला पिछले एक तक कम हो गया है: चूँकि X से अलग-अलग तत्वों के सभी अनुक्रमों को पहले से ही उनके प्रत्येक पद के लिए X के क्रमपरिवर्तन को लागू करके एक दूसरे में रूपांतरित किया जा सकता है, साथ ही शर्तों को फिर से व्यवस्थित करने से कोई नई पहचान नहीं मिलती है; संख्या बनी हुई है $$[n\leq x]$$.

N से X तक विशेषण फलन, X
के क्रमपरिवर्तन तक

यह मामला 'एन के एक सेट के एक्स (गैर-खाली) उपसमुच्चय में विभाजन' की गणना करने के बराबर है, या बिल्कुल एक्स वर्गों के साथ एन पर समकक्ष संबंधों की गणना करने के बराबर है। दरअसल, किसी विशेषण कार्य के लिए $N → X$, f के अंतर्गत एक ही छवि होने का संबंध एक ऐसा तुल्यता संबंध है, और जब X का क्रमचय बाद में लागू किया जाता है तो यह नहीं बदलता है; इसके विपरीत कोई भी इस तरह के तुल्यता संबंध को x तुल्यता वर्गों में किसी तरह से X के तत्वों को असाइन करके एक विशेषण फलन में बदल सकता है। परिभाषा के अनुसार ऐसे विभाजनों या तुल्यता संबंधों की संख्या दूसरे प्रकार के S(n,x) की स्टर्लिंग संख्या है, जिसे लिखा भी गया है $$\textstyle\{{n\atop x}\}$$. इसके मान को एक पुनरावर्ती संबंध का उपयोग करके या उत्पन्न करने वाले कार्यों का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है, लेकिन द्विपद गुणांक के विपरीत इन संख्याओं के लिए कोई बंद सूत्र नहीं है जिसमें एक योग शामिल नहीं है।

एन से एक्स
विशेषण कार्य करता है

प्रत्येक विशेषण समारोह के लिए $x − 1$, X के क्रमचय के अंतर्गत इसकी कक्षा में x है! तत्व, चूंकि रचना (बाईं ओर) X के दो अलग-अलग क्रमपरिवर्तन के साथ कभी भी N पर एक ही फ़ंक्शन नहीं देता है (क्रमपरिवर्तन X के कुछ तत्वों पर भिन्न होना चाहिए, जिसे हमेशा कुछ i ∈ N के लिए f(i) के रूप में लिखा जा सकता है, और रचनाएँ तब i) पर भिन्न होंगी। यह इस प्रकार है कि इस स्थिति के लिए संख्या x है! पिछले मामले की संख्या का गुना, यानी $$\textstyle x!\{{n\atop x}\}.$$ उदाहरण: $$X = \{a, b\}, N = \{1, 2, 3\}\text{, then } $$ $$\left\vert\{(a, a, b), (a, b, a), (a, b, b), (b, a, a), (b, a, b), (b, b, a)\}\right\vert = 2!\left\{{3\atop 2}\right\} = 2 \times 3 = 6$$

N से X तक कार्य, X
के क्रमपरिवर्तन तक

यह मामला विशेषण कार्यों के लिए #केस एसएक्स की तरह है, लेकिन एक्स के कुछ तत्व किसी भी समकक्ष वर्ग के अनुरूप नहीं हो सकते हैं (चूंकि कोई एक्स के क्रमपरिवर्तन तक कार्यों को मानता है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कौन से तत्व संबंधित हैं, बस कितने ). एक परिणाम के रूप में एन पर समानता संबंधों की गणना अधिकतम x वर्गों के साथ की जा रही है, और परिणाम x तक के मानों के योग द्वारा उल्लिखित मामले से प्राप्त किया जाता है, दे रहा है $$\textstyle\sum_{k=0}^x \{{ n\atop k}\}$$. मामले में x ≥ n, x का आकार कोई प्रतिबंध नहीं लगाता है, और कोई n तत्वों के सेट पर सभी समतुल्य संबंधों की गणना कर रहा है (समान रूप से ऐसे सेट के सभी विभाजन); इसलिए $$\textstyle\sum_{k=0}^n \{{ n\atop k}\}$$ बेल नंबर बी के लिए बेल नंबर # योग सूत्र देता हैn.

N से X तक विशेषण फलन, N और X
के क्रमपरिवर्तन तक

यह मामला संख्या n के x गैर-शून्य भागों में 'विभाजन (संख्या सिद्धांत)' की गिनती के बराबर है। गिनती के मामले की तुलना में #केस एसएक्स केवल ($$\textstyle \{{n \atop x}\}$$), कोई केवल समतुल्यता वर्गों के आकार को बरकरार रखता है जो फ़ंक्शन N को विभाजित करता है (प्रत्येक आकार की बहुलता सहित), क्योंकि दो तुल्यता संबंधों को N के क्रमपरिवर्तन द्वारा एक दूसरे में रूपांतरित किया जा सकता है यदि और केवल यदि उनके वर्गों के आकार मिलान। यह ठीक वही है जो n के विभाजन की धारणा को N के विभाजन की धारणा से अलग करता है, इसलिए परिणामस्वरूप व्यक्ति को संख्या p की परिभाषा मिलती हैx(एन) एन के एक्स गैर-शून्य भागों में विभाजन।

N से X तक के कार्य, N और X
के क्रमपरिवर्तन तक

यह मामला 'संख्या n के विभाजनों को ≤ x भागों' में गिनने के बराबर है। एसोसिएशन पिछले मामले के समान है, सिवाय इसके कि अब विभाजन के कुछ हिस्से 0 के बराबर हो सकते हैं। (विशेष रूप से, वे एक्स के तत्वों के अनुरूप हैं जो फ़ंक्शन की छवि में नहीं हैं।) एन के प्रत्येक विभाजन में अधिकतम x गैर-शून्य भागों को आवश्यक संख्या में शून्य जोड़कर इस तरह के विभाजन तक बढ़ाया जा सकता है, और यह सभी संभावनाओं के लिए एक बार खाता है, इसलिए परिणाम दिया जाता है $$\textstyle\sum_{k=0}^x p_k(n)$$. प्रत्येक x भाग में 1 जोड़ने पर, एक विभाजन प्राप्त होता है $n ≤ x$ x अशून्य भागों में, और यह पत्राचार विशेषण है; इसलिए दिए गए व्यंजक को इस रूप में लिखकर सरल किया जा सकता है $$p_x(n+x)$$.

चरम मामले
उपरोक्त सूत्र सभी परिमित समुच्चय N और X के लिए उचित मान देते हैं। कुछ मामलों में ऐसे वैकल्पिक सूत्र हैं जो लगभग समतुल्य हैं, लेकिन कुछ चरम मामलों में सही परिणाम नहीं देते हैं, जैसे कि जब N या X खाली होते हैं। निम्नलिखित विचार ऐसे मामलों पर लागू होते हैं।
 * प्रत्येक सेट एक्स के लिए खाली सेट से एक्स तक बिल्कुल एक फ़ंक्शन होता है (निर्दिष्ट करने के लिए इस फ़ंक्शन का कोई मान नहीं है), जो हमेशा इंजेक्शन होता है, लेकिन जब तक एक्स (भी) खाली नहीं होता है तब तक विशेषण नहीं होता है।
 * प्रत्येक गैर-खाली सेट एन के लिए, एन से खाली सेट तक कोई फ़ंक्शन नहीं है (फ़ंक्शन का कम से कम एक मान है जिसे निर्दिष्ट किया जाना चाहिए, लेकिन यह नहीं हो सकता)।
 * कब $f : N → X$ कोई इंजेक्शन कार्य नहीं हैं $f : N → X$, और अगर $n + x$ कोई विशेषण कार्य नहीं हैं $n &gt; x$.
 * सूत्रों में प्रयुक्त भाव विशेष मान के रूप में होते हैं
 * $$0^0=0^{\underline 0}=0!=\binom00=\binom{-1}0=\left\{{0\atop0}\right\}=p_0(0)=1$$
 * (पहले तीन एक खाली उत्पाद के उदाहरण हैं, और value $$\tbinom{-1}{0} = \tfrac{(-1)^{\underline{0}}}{0!} = 1$$ ऊपरी सूचकांक के मनमाने मूल्यों के लिए द्विपद गुणांक के पारंपरिक विस्तार द्वारा दिया जाता है), जबकि
 * $$\left\{{n\atop x}\right\}=p_x(n)=0 \quad\hbox{whenever either } n>0=x \hbox{ or }0\leq n<x.$$

विशेष रूप से एक्स से लिए गए एन तत्वों के साथ #केस एफएन के मामले में, दी गई अभिव्यक्ति $$\tbinom{n+x-1}n$$ के बराबर है $$\tbinom{n+x-1}{x-1}$$, लेकिन बाद की अभिव्यक्ति मामले के लिए 0 देगी $N → X$ (सामान्य परिपाटी के अनुसार ऋणात्मक निम्न सूचकांक वाले द्विपद गुणांक हमेशा 0 होते हैं)। इसी प्रकार, x गैर-शून्य भागों के साथ n के #केस एसएन के मामले में, दी गई अभिव्यक्ति $$\tbinom{n-1}{n-x}$$ अभिव्यक्ति के लगभग बराबर है $$\tbinom{n-1}{x-1}$$ सितारों और सलाखों (संभावना) तर्क द्वारा दिया गया है, लेकिन बाद वाला गलत मान देता है $n &lt; x$ और x के सभी मान। उन मामलों के लिए जहां परिणाम में एक योग शामिल होता है, अर्थात् #केस fx को अधिकतम x गैर-खाली सबसेट में या #केस fx को अधिकतम x गैर-शून्य भागों में गिनने के लिए, योग सूचकांक को 0 से शुरू करने के लिए लिया जाता है; यद्यपि संगत पद शून्य होता है $N → X$, यह अद्वितीय गैर-शून्य शब्द है जब $n = x = 0$, और परिणाम उन मामलों के लिए गलत होगा यदि योग को 1 से शुरू करने के लिए लिया गया था।

सामान्यीकरण
हम क्रमपरिवर्तन के अन्य समूह (गणित) को N और X पर कार्य करने की अनुमति देकर और सामान्य कर सकते हैं। यदि G, N के क्रमपरिवर्तनों का एक समूह है, और H, X के क्रमपरिवर्तनों का एक समूह है, तो हम कार्यों के तुल्यता वर्गों की गणना करते हैं। $$f \colon N \rightarrow X$$. दो कार्य $f$ और $f$ को समतुल्य माना जाता है, और केवल अगर, मौजूद है $$g\in G, h \in H$$ ताकि $$ F = h \circ f \circ g $$. यह विस्तार चक्रीय क्रमपरिवर्तन और डायहेड्रल समूह क्रमपरिवर्तन, साथ ही संख्याओं और सेटों के चक्रीय और डायहेड्रल विभाजन जैसी धारणाओं की ओर जाता है।

बीस गुना तरीका
ट्वेंटीफोल्ड वे नामक एक अन्य सामान्यीकरण केनेथ पी. बोगार्ट द्वारा अपनी पुस्तक कॉम्बिनेटरिक्स थ्रू गाइडेड डिस्कवरी में विकसित किया गया था। वस्तुओं को बक्सों में वितरित करने की समस्या में वस्तुएँ और बक्सों दोनों समान या भिन्न हो सकते हैं। बोगार्ट 20 मामलों की पहचान करता है।

यह भी देखें

 * सितारे और बार (कॉम्बिनेटरिक्स)