गुणा और पुनरावृत्त जोड़

गणितीय शिक्षा में इस विषय पर चर्चा चल रही थी कि क्या गुणन संक्रिया को पुनरावृत्त जोड़ के रूप में पढ़ाया जाना चाहिए। चर्चा में भाग लेने वालों ने कई दृष्टिकोण सामने रखे, जिनमें अंकगणित, शिक्षाशास्त्र, अधिगम और निर्देशात्मक प्रारूप, गणितीय इतिहास, गणितीय दर्शन तथा कंप्यूटर-आधारित गणित के सिद्धांत सम्मिलित थे।

चर्चा की पृष्ठभूमि
1990 के दशक के प्रारंभ में लेस्ली स्टेफ़ ने गणना प्रारूप का प्रस्ताव रखा जिसका उपयोग बच्चे अपने गणितीय ज्ञान में गुणन को आत्मसात करने के लिए करते हैं। जेरे कन्फ्रे ने गणना प्रारूप की तुलना विभाजन अनुमान से की। कन्फ्रे ने सुझाव दिया कि गणना और विभाजन, दो भिन्न, स्वतंत्र संज्ञानात्मक आधार हैं। इसने सम्मेलन प्रस्तुतियों, लेखों और पुस्तक अध्यायों के रूप में अकादमिक चर्चाओं को जन्म दिया।

यह चर्चा पाठ्यक्रम के व्यापक प्रसार के साथ प्रारंभ हुई, जिसके प्रारंभिक वर्षों में गणितीय कार्यों के प्रवर्द्धन, आकारण, वलय तथा मापन पर जोर दिया गया था। ऐसे कार्यों के लिए गुणन प्रारूप तथा उनके समर्थन की आवश्यकता होती है जो गणना या पुनरावृत्त जोड़ पर आधारित नहीं होते हैं। इस प्रश्न के आस-पास चर्चा होती है कि क्या गुणन वास्तव में पुनरावृत्त जोड़ होता है? 1990 के दशक के मध्य में कई माता-पिता और शिक्षक इस विषय को लेकर चर्चा मंचों पर दिखाई दिए।

कीथ डेवलिन ने "मैथमेटिकल एसोसिएशन ऑफ अमेरिका" खंड लिखा, जिसका शीर्षक था, "इट इज़ नॉट नो रिपीटेड एडिशन" जो शिक्षकों के साथ उनके ईमेल विनिमय पर आधारित था, जिसका संक्षिप्त उल्लेख उन्होंने पहले के एक लेख में किया था। इस खंड ने अकादमिक चर्चाओं को व्यावसायिक चर्चाओं से जोड़ा। इसने अनुसंधान और व्यवसायी ब्लॉगों और मंचों पर कई चर्चाओं को जन्म दिया। कीथ डेवलिन ने इस विषय पर लिखना अभी भी जारी रखा है।

गिनती से गुणा तक
विशिष्ट गणित पाठ्यक्रम और मानकों, जैसे कि सामान्य कोर राज्य मानक पहल में, वास्तविक संख्याओं के उत्पाद का अर्थ धारणाओं की एक श्रृंखला के माध्यम से होता है जो सामान्यतः पुनरावृत्त जोड़ से प्रारंभ होता है और अंततः प्रवर्द्धन में निवास करता है।

एक बार जब प्राकृतिक (या पूर्ण) संख्याओं को परिभाषित किया जाता है और गिनने के साधन के रूप में स्थापित किया जाता है, तो एक बच्चे को इस क्रम में अंकगणित के आधारभूत संचालन से परिचित कराया जाता है: जोड़, घटाव, गुणा और भाग। ये संक्रिया, यद्यपि बच्चे के गणित शिक्षा के प्रारंभिक चरण में प्रारंभ किए जाते है, उन्नत संख्यात्मक क्षमताओं के रूप में छात्रों में संख्या बोध के विकास पर स्थायी प्रभाव डालते हैं।

इन पाठ्यक्रमों में, पुनरावृत्त जोड़ से संबंधित प्रश्न पूछने के तुरंत बाद गुणन प्रारंभ किया जाता है, जैसे: प्रत्येक 8 सेब के 3 बैग हैं तो कुल कितने सेब हैं? एक छात्र यह कर सकता है:


 * $$8 + 8 + 8 = 24,$$

या


 * $$3 \times 8 = 24.$$

यह दृष्टिकोण कई वर्षों के शिक्षण और सीखने का समर्थन करता है, और यह धारणा स्थापित करता है कि गुणा जोड़ की एक अधिक कुशल विधि है। एक बार 0 लाने पर, इसका कोई महत्वपूर्ण परिवर्तन प्रभावित नहीं होता क्योंकि
 * $$3 \times 0 = 0 + 0 + 0,$$

जो 0 है, और क्रमविनिमेय गुणन हमें परिभाषित करने के लिए भी प्रेरित करेगा


 * $$0 \times 3 = 0.$$

इस प्रकार, पुनरावृत्त जोड़ पूर्ण संख्याओं (0, 1, 2, 3, 4, ...) तक विस्तारित होता है। इस धारणा के लिए पहली चुनौती कि गुणन पुनरावृत्त जोड़ जाना है, तब प्रकट होती है जब छात्र भिन्नों के साथ कार्य करना प्रारंभ करते हैं। गणितीय दृष्टिकोण से, गुणा को पुनरावृत्त जोड़ के रूप में भिन्नों में प्रवर्धित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए,


 * $$ 7/4 \times 5/6 $$

इसका शाब्दिक अर्थ है "पाँच-छठे का एक और तीन-चौथाई।" यह महत्वपूर्ण है क्योंकि छात्रों को सिखाया जाता है कि, शब्द समस्याओं में, "का" शब्द सामान्यतः गुणन को इंगित करता है। यद्यपि, यह विस्तार कई छात्रों के लिए समस्याग्रस्त है, जो भिन्न प्रस्तुत किए जाने पर गणित से जूझना प्रारंभ कर देते हैं। इसके अतिरिक्त, जब अपरिमेय संख्याओं को चलन में लाया जाता है तो पुनरावृत्त जोड़ वाले प्रारूप को अत्यधिक सीमा तक संशोधित किया जाना चाहिए।

इन विषयों के संबंध में, गणित के शिक्षकों ने इस बात पर चर्चा की है कि क्या भिन्नों और अपरिमेय संख्याओं के साथ छात्रों की कठिनाइयां इन संख्याओं को प्रस्तुत करने से पूर्व लंबे समय तक गुणन को पुनरावृत्त जोड़ के रूप में देखने से बढ़ जाती हैं, और संबंधित रूप से क्या प्रारंभिक शिक्षा के लिए कठोर गणित को महत्वपूर्ण रूप से संशोधित करना स्वीकार्य है, जिससे अग्रणी बच्चे उन कथनों पर विश्वास करें जो बाद में गलत साबित होते हैं।

प्रवर्द्धन से गुणा तक
गुणन सीखने का एक सिद्धांत वायगोत्स्की सर्कल में रूसी गणित शिक्षकों के कार्य से उत्पन्न हुआ है जो विश्व युद्धों के बीच सोवियत संघ में सक्रिय थे। उनके योगदान को विभाजन अनुमान के रूप में जाना जाता है।

गुणन सीखने का एक अन्य सिद्धांत सन्निहित अनुभूति का अध्ययन करने वालों से लिया गया है, जिन्होंने गुणन के लिए अंतर्निहित रूपकों की जांच की।

इन जांचों ने मिलकर छोटे बच्चों के लिए स्वाभाविक रूप से गुणात्मक कार्यों वाले पाठ्यक्रम को प्रेरित किया है। इन कार्यों के उदाहरणों में तन्य खिंचाव, आकारण, वलय, छाया प्रक्षेपित करना आदि सम्मिलित हैं। ये कार्य गिनती पर निर्भर नहीं हैं, और इन्हें पुनरावृत्त जोड़ के संदर्भ में सरलता से संकल्पित नहीं किया जा सकता है।

इन पाठ्यक्रमों से संबंधित चर्चा के विषयों में सम्मिलित हैं:• ये कार्य सभी छोटे बच्चों के लिए सुलभ हैं या केवल उत्कृष्ट छात्रों के लिए ही सुलभ है।

• यदि बच्चे गुणन को संकलन के अतिरिक्त मापन के रूप में देखें, तो क्या वे संगणकीय दक्षता को प्राप्त कर सकते हैं?

• क्या गुणन के दो भिन्न-भिन्न दृष्टिकोणों को एक साथ निकटता से प्रस्तुत करने पर बच्चे भ्रमित हो सकते हैं; तथा

• क्या प्रवर्द्धन और पुनरावर्ती जोड़ को अलग से प्रारंभ किया जाना चाहिए, और यदि हां, तो कब और किस क्रम में?

किसे गुणा किया जा सकता है?
गुणन को प्रायः प्राकृतिक संख्याओं के लिए परिभाषित किया जाता है, फिर इसे पूर्ण संख्याओं, भिन्नों और अपरिमेय संख्याओं तक प्रवर्धित जाता है। यद्यपि, अमूर्त बीजगणित में कुछ वस्तुओं पर द्विआधारी संक्रिया के रूप में गुणन की अधिक सामान्य परिभाषा है जो संख्याएँ हो भी सकती हैं और नहीं भी। विशेष रूप से, जटिल संख्याओं, निर्देशांक सदिशों, आव्यूहों, और चतुर्भुजों को गुणा किया जा सकता है। कुछ शिक्षकों का मानना ​​है कि प्राथमिक शिक्षा के समय गुणन को विशेष रूप से पुनरावृत्त जोड़ के रूप में देखने से बाद में गुणन के इन पहलुओं को समझने में बाधा आ सकती है।

गुणन पर आधारित प्रारूप और उपमान
गणित शिक्षा के संदर्भ में, प्रारूप, अमूर्त गणितीय विचारों का ठोस प्रतिनिधित्व हैं जो विचार के कुछ, या सभी, आवश्यक गुणों को दर्शाते हैं। प्रारूप प्रायः गणित और उनके साथ आने वाली पाठ्यचर्या सामग्री के लिए भौतिक या आभासी प्रकलन के रूप में विकसित किए जाते हैं।

गुणा और पुनरावृत्त जोड़ के बारे में चर्चा का एक भाग विभिन्न प्रारूपों और उनकी पाठ्यचर्या संबंधी सामग्रियों की तुलना है। विभिन्न प्रारूप विभिन्न प्रकार की संख्याओं के गुणन का समर्थन कर भी सकते हैं और नहीं भी; उदाहरण के लिए समुच्चय प्रारूप जिसमें संख्याओं को वस्तुओं के संग्रह के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, और गुणन को प्रत्येक में समान संख्या में वस्तुओं के साथ कई समुच्चयों के संघ के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जिसे भिन्नात्मक या वास्तविक संख्याओं के गुणन तक नहीं बढ़ाया जा सकता है।

विभिन्न प्रारूप, अंकगणित के विशिष्ट अनुप्रयोगों; उदाहरण के लिए, संभाव्यता और जीव विज्ञान में संयोजन प्रारूप के लिए भी प्रासंगिक हो सकते हैं।