सिमसन लाइन

ज्यामिति में, त्रिभुज $P$ और इसके परिवृत्त पर बिंदु $ABC$ दिया गया है, रेखाओं $ABC$, $P$, और $AB$ पर $AC$ के तीन निकटतम बिंदु संरेख हैं। इन बिंदुओं से होकर जाने वाली रेखा $BC$ की सिमसन रेखा है, जिसका नाम रॉबर्ट सिमसन के नाम पर रखा गया है। चूँकि, इस अवधारणा को प्रथम बार 1799 में विलियम वालेस द्वारा प्रकाशित किया गया था। इसका विपरीत भी सत्य है; यदि तीन रेखाओं पर $P$ के तीन निकटतम बिंदु समरेख हैं, और कोई भी दो रेखाएँ समानांतर नहीं हैं, तो $P$ तीन रेखाओं से बने त्रिभुज के परिवृत्त पर स्थित है, या दूसरे शब्दों में, त्रिभुज $P$ की सिमसन रेखा और बिंदु $P$, $ABC$ और $P$ का सिर्फ पेडल त्रिकोण है, जो सीधी रेखा में पतित हो गया है और यह स्थिति त्रिभुज $ABC$ के परिवृत्त को ज्ञात करने के लिए $P$ को बाधित करती है।

समीकरण
त्रिभुज को जटिल तल में रखते हुए, त्रिकोण $ABC$ में इकाई परिवृत्त के साथ ऐसे शीर्ष होते हैं जिनके स्थानों में जटिल निर्देशांक $P$, $ABC$, $a$ होते हैं, और P को जटिल निर्देशांक $b$ के साथ परिवृत्त पर बिंदु हो। सिमसन रेखा बिंदु $c$ का समुच्चय है।


 * $$2abc\bar{z} -2pz+p^2+(a+b+c)p -(bc+ca+ab)-\frac{abc}{p} =0,$$

जहां ओवरबार जटिल संयुग्मन को प्रदर्शित करता है।

गुण



 * त्रिकोण के किसी शीर्ष की सिमसन रेखा उस शीर्ष से गिराए गए त्रिभुज की ऊँचाई (ज्यामिति) होती है, और शीर्ष के बिल्कुल विपरीत बिंदु की सिमसन रेखा उस शीर्ष के विपरीत त्रिभुज की भुजा होती है।


 * यदि $p$ और $z$ परिवृत्त पर बिंदु हैं, तो $P$ और $Q$ की सिमसन रेखाओं के मध्य का कोण चाप $P$ के कोण का अर्ध है। विशेष रूप से, यदि बिंदु बिलकुल विपरीत हैं, तो उनकी सिमसन रेखाएँ लंबवत होती हैं और इस स्थिति में रेखाओं का प्रतिच्छेदन नौ-बिंदु वाले वृत्त पर स्थित होता है।
 * $Q$ त्रिभुज $PQ$ के लंबकेंद्र को निरूपित करता है, सिमसन रेखा $H$ खंड को समद्विभाजित करती है, $ABC$ उस बिंदु पर जो नौ-बिंदु वाले वृत्त पर स्थित है।
 * एक ही परिवृत्त वाले दो त्रिभुज दिए गए हैं, दोनों त्रिभुजों के परिवृत्त पर बिंदु $P$ की सिमसन रेखाओं के मध्य का कोण $PH$ पर निर्भर नहीं करता है।
 * सभी सिमसन रेखाओं का समूह, जब खींचा जाता है, तो डेल्टोइड के आकार में लिफाफा बनाता है जिसे संदर्भ त्रिभुज के स्टीनर डेल्टोइड के रूप में जाना जाता है।
 * सिमसन रेखा का निर्माण जो संदर्भ त्रिकोण के पक्ष के साथ युग्मित होता है (ऊपर प्रथम संपत्ति देखें) इस पार्श्व रेखा पर अन्य-अल्प बिंदु उत्पन्न करता है। यह बिंदु बनाई जा रही पार्श्व रेखा के मध्य बिंदु के सम्बंध में ऊंचाई (पार्श्व रेखा पर गिरा हुआ) का प्रतिबिंब है। इसके अतिरिक्त, यह बिंदु संदर्भ त्रिभुज की भुजा और उसके स्टेनर डेल्टॉइड के मध्य स्पर्शरेखा बिंदु है।
 * चतुर्भुज जो समांतर चतुर्भुज नहीं है, उसमें केवल पेडल बिंदु होता है, जिसे सिमसन बिंदु कहा जाता है, जिसके संबंध में चतुर्भुज पर समरेख होते हैं। समलम्ब चतुर्भुज का सिम्पसन बिंदु दो अन्य समानांतर भुजाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
 * अल्प से अल्प 5 भुजाओं वाले किसी भी उत्तल बहुभुज में सिमसन रेखा नहीं होती है।

अस्तित्व का प्रमाण
प्रमाण का प्रकार यह दिखाना है, कि $$\angle NMP + \angle PML = 180^\circ$$ $$PCAB$$ चक्रीय चतुर्भुज है, इसलिए $$\angle PBA + \angle ACP = \angle PBN + \angle ACP = 180^\circ$$ $$PMNB$$  चक्रीय चतुर्भुज (थेल्स प्रमेय) है, इसलिए $$\angle PBN + \angle NMP = 180^\circ$$ है, इस प्रकार $$\angle NMP = \angle ACP$$ है, अब $$PLCM$$ चक्रीय है, इसलिए $$\angle PML = \angle PCL = 180^\circ - \angle ACP$$, $$\angle NMP + \angle PML = \angle ACP + (180^\circ - \angle ACP) = 180^\circ$$ है।

सामान्यीकरण 1
मान लीजिए कि ABC त्रिभुज है, माना कि रेखा ℓ परिकेन्द्र O से होकर जाती है, और बिंदु P परिवृत्त पर स्थित है। माना AP, BP, CP क्रमशः Ap, Bp, Cp ℓ पर मिलते हैं। माना A0, B0, C0 क्रमश: BC, CA, AB पर Ap, Bp, Cp के प्रक्षेप हैं। तब A0, B0, C0 संरेख हैं। इसके अतिरिक्त, नई रेखा PH के मध्य बिंदु से होकर निकलती है, जहाँ H ΔABC का लंबकेन्द्र है। यदि ℓ, P से होकर निकलती है, तो रेखा सिमसन रेखा के संपाती हो जाती है।



सामान्यीकरण 2

 * मान लीजिए कि त्रिभुज ABC शीर्ष शंकु Γ पर स्थित हैं, और Q, P को समतल में दो बिंदु होने देता है। माना PA, PB, PC शंकु को क्रमशः A1, B1, C1 पर प्रतिच्छेद करते हैं। QA1, BC को A2 पर, QB1 AC को B2, और QC1 AB को C2 पर प्रतिछेदित करती है, यदि केवल Q शंकु Γ पर स्थित है, तब चार बिंदु A2, B2, C2, और P संरेख होते हैं।

सामान्यीकरण 3

 * [[चक्रीय चतुर्भुज] की सिमसन रेखाएँ] की सिमसन रेखाओं में चक्रीय चतुर्भुजों की प्रमेय को आरएफ सिस्टर द्वारा सामान्यीकृत किया गया है।

यह भी देखें

 * पेडल त्रिकोण
 * रॉबर्ट सिमसन

बाहरी संबंध

 * Simson Line at cut-the-knot.org
 * F. M. Jackson and
 * A generalization of Neuberg's theorem and the Simson-Wallace line at Dynamic Geometry Sketches, an interactive dynamic geometry sketch.