रोटेशन (गणित)

गणित में घूर्णन ज्यामिति  में उत्पन्न होने वाली एक अवधारणा है। कोई भी घूर्णन एक निश्चित स्थान (गणित) की  गति (ज्यामिति)  है जो कम से कम एक  बिंदु (ज्यामिति)  को संरक्षित करता है। यह वर्णन कर सकता है, उदाहरण के लिए, एक निश्चित बिंदु के आसपास एक कठोर शरीर की गति। घूर्णन में  संकेत (गणित)  हो सकता है (कोण # चिह्न के रूप में): दक्षिणावर्त घुमाव एक ऋणात्मक परिमाण है, इसलिए वामावर्त मोड़ में सकारात्मक परिमाण होता है। एक घूर्णन अन्य प्रकार की गतियों से भिन्न होता है: अनुवाद (ज्यामिति), जिसका कोई निश्चित बिंदु नहीं होता है, और परावर्तन (गणित)|(हाइपरप्लेन) परावर्तन, उनमें से प्रत्येक में एक संपूर्ण होता है $(n − 1)$एक में निश्चित बिंदुओं का आयामी फ्लैट (ज्यामिति)। $O$- आयाम (गणित)  स्थान।

गणितीय रूप से, एक घूर्णन एक मानचित्र (गणित) है। एक निश्चित बिंदु के बारे में सभी घुमाव फ़ंक्शन रचना के तहत एक समूह (गणित)  बनाते हैं जिसे रोटेशन समूह (किसी विशेष स्थान का) कहा जाता है। लेकिन  यांत्रिकी  में और, अधिक आम तौर पर, भौतिकी में, इस अवधारणा को अक्सर एक  समन्वय परिवर्तन  (महत्वपूर्ण रूप से, एक अलौकिक आधार का परिवर्तन) के रूप में समझा जाता है, क्योंकि किसी शरीर की गति के लिए एक व्युत्क्रम परिवर्तन होता है, जिसे अगर फ्रेम पर लागू किया जाता है शरीर में संदर्भ परिणाम समान निर्देशांक पर होते हैं। उदाहरण के लिए, दो आयामों में अक्षों को स्थिर रखते हुए एक बिंदु के बारे में एक पिंड को  दक्षिणावर्त  घुमाना अक्षों को उसी बिंदु के बारे में वामावर्त घुमाने के बराबर है, जबकि शरीर को स्थिर रखा जाता है। इन दो प्रकार के घूर्णन को  सक्रिय और निष्क्रिय परिवर्तन  कहा जाता है।

संबंधित परिभाषाएं और शब्दावली
रोटेशन ग्रुप झूठ समूह  एक्शन (गणित) # फिक्स्ड पॉइंट्स और स्टेबलाइजर सबग्रुप्स के बारे में रोटेशन का एक झूठा समूह है। इस (सामान्य) निश्चित बिंदु को रोटेशन का  केंद्र (ज्यामिति)  कहा जाता है और इसे आमतौर पर मूल (गणित) के साथ पहचाना जाता है। रोटेशन ग्रुप एक ग्रुप एक्शन (गणित) # फिक्स्ड पॉइंट्स और स्टेबलाइजर सबग्रुप्स (ओरिएंटेशन-प्रिजर्विंग) मोशन (ज्यामिति) के एक व्यापक समूह में है।

किसी विशेष घुमाव के लिए: रोटेशन का प्रतिनिधित्व एक विशेष औपचारिकता है, या तो बीजगणितीय या ज्यामितीय, जिसका उपयोग रोटेशन मानचित्र को पैरामीट्रिज करने के लिए किया जाता है। यह अर्थ किसी तरह समूह प्रतिनिधित्व  के विपरीत है।
 * रोटेशन की धुरी अपने निश्चित बिंदुओं की एक रेखा (ज्यामिति)  है। वे केवल में मौजूद हैं $n > 2$.
 * रोटेशन का विमान एक विमान (ज्यामिति) है जो समूह क्रिया (गणित) # रोटेशन के तहत अपरिवर्तनीय सबसेट है। अक्ष के विपरीत, इसके बिंदु स्वयं स्थिर नहीं होते हैं। धुरी (जहां मौजूद है) और घूर्णन का तल  ओर्थोगोनल  हैं।

affine space |(affine) बिंदुओं के स्थान और संबंधित वेक्टर रिक्त स्थान के घूर्णन हमेशा स्पष्ट रूप से अलग नहीं होते हैं। पूर्व को कभी-कभी एफाइन रोटेशन के रूप में संदर्भित किया जाता है (हालांकि यह शब्द भ्रामक है), जबकि बाद वाले वेक्टर रोटेशन हैं। विवरण के लिए नीचे दिया गया लेख देखें।

यूक्लिडियन ज्यामिति में
यूक्लिडियन अंतरिक्ष की गति इसकी  आइसोमेट्री  के समान होती है: यह परिवर्तन के बाद किसी भी दो बिंदुओं के बीच  यूक्लिडियन दूरी  को अपरिवर्तित छोड़ देता है। लेकिन एक (उचित) रोटेशन को भी  अभिविन्यास (वेक्टर स्थान)  को संरक्षित करना होता है। अनुचित रोटेशन शब्द आइसोमेट्री को संदर्भित करता है जो ओरिएंटेशन को उल्टा (फ्लिप) करता है।  समूह सिद्धांत  की भाषा में भेद को  यूक्लिडियन समूह  में प्रत्यक्ष बनाम अप्रत्यक्ष समरूपता के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहां पूर्व में  पहचान घटक  शामिल होता है। किसी भी प्रत्यक्ष यूक्लिडियन गति को निश्चित बिंदु और अनुवाद के बारे में घूर्णन की संरचना के रूप में दर्शाया जा सकता है।

एक आयाम में कोई गैर- तुच्छता (गणित) घुमाव नहीं हैं। द्वि-आयामी अंतरिक्ष में, मूल (गणित) के बारे में एक रोटेशन निर्दिष्ट करने के लिए केवल एक  कोण  की आवश्यकता होती है - रोटेशन का कोण जो सर्कल समूह के एक तत्व को निर्दिष्ट करता है (जिसे के रूप में भी जाना जाता है) $U(1)$). घूर्णन किसी वस्तु को एक कोण से  वामावर्त  घुमाने के लिए कार्य कर रहा है $n$ उत्पत्ति (गणित) के बारे में; विवरण के लिए #दो आयाम देखें। घुमावों की संरचना उनके कोणों को  मॉड्यूलर अंकगणित  1  मोड़ (ज्यामिति)  का  योग  करती है, जिसका अर्थ है कि एक ही बिंदु  एबेलियन समूह  के बारे में सभी द्वि-आयामी घुमाव। विभिन्न बिंदुओं के बारे में घुमाव, सामान्य तौर पर, यात्रा नहीं करते हैं। कोई भी द्वि-आयामी प्रत्यक्ष गति या तो एक अनुवाद या घूर्णन है; विवरण के लिए  यूक्लिडियन प्लेन आइसोमेट्री  देखें।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में घूर्णन कई महत्वपूर्ण तरीकों से दो आयामों में भिन्न होता है। तीन आयामों में घुमाव आम तौर पर विनिमेय  नहीं होते हैं, इसलिए जिस क्रम में घुमाव लागू होते हैं वह उसी बिंदु के बारे में भी महत्वपूर्ण होता है। इसके अलावा, द्वि-आयामी मामले के विपरीत, एक त्रि-आयामी प्रत्यक्ष गति,  सामान्य स्थिति  में, घूर्णन नहीं बल्कि एक  पेंच अक्ष  है। उत्पत्ति के बारे में घूर्णन में स्वतंत्रता की तीन डिग्री होती है (विवरण के लिए तीन आयामों में घूर्णन औपचारिकताएं देखें), आयामों की संख्या के समान।

त्रि-आयामी रोटेशन को कई तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है। सबसे सामान्य तरीके हैं: * अक्ष-कोण निरूपण (दाईं ओर चित्रित) अक्ष के साथ एक कोण निर्दिष्ट करता है जिसके चारों ओर घूर्णन होता है। इसे आसानी से देखा जा सकता है। इसका प्रतिनिधित्व करने के लिए दो प्रकार हैं:
 * यूलर कोण (बाईं ओर चित्रित)। उत्पत्ति के बारे में किसी भी घुमाव को अन्य दो स्थिरांक को छोड़ते हुए एक यूलर कोण को बदलकर प्राप्त गति के रूप में परिभाषित तीन घुमावों की कार्य संरचना के रूप में दर्शाया जा सकता है। वे घूर्णन प्रणाली के मिश्रित अक्षों का निर्माण करते हैं क्योंकि कोणों को अलग-अलग संदर्भ फ़्रेमों के मिश्रण के संबंध में मापा जाता है, बजाय एक एकल फ्रेम के जो विशुद्ध रूप से बाहरी या विशुद्ध रूप से आंतरिक है। विशेष रूप से, पहला कोण बाहरी अक्ष  z  के चारों ओर  नोड्स की रेखा  को घुमाता है, दूसरा नोड्स की रेखा के चारों ओर घूमता है और तीसरा शरीर में स्थिर धुरी के चारों ओर एक आंतरिक घुमाव (एक स्पिन) होता है जो चलता है। यूलर कोणों को आमतौर पर Alpha|α, Beta|β, Gamma|γ, या Phi|φ, Theta|θ, Psi (पत्र )|ψ. यह प्रस्तुति केवल एक निश्चित बिंदु के चारों ओर घूमने के लिए सुविधाजनक है।
 * अक्ष के लिए कोण और एक इकाई वेक्टर  वाली जोड़ी के रूप में, या
 * इस इकाई वेक्टर के साथ कोण को गुणा करके प्राप्त एक यूक्लिडियन वेक्टर  के रूप में, जिसे रोटेशन वेक्टर कहा जाता है (हालांकि, सख्ती से बोलना, यह एक  pseudovector  है)।
 * मैट्रिसेस, वर्सर्स (चतुर्भुज), और अन्य बीजगणित ीय चीजें: विवरण के लिए #Linear और Multilinear बीजगणित औपचारिकता अनुभाग देखें।

चार-आयामी अंतरिक्ष में एक सामान्य रोटेशन में केवल एक निश्चित बिंदु, रोटेशन का केंद्र और रोटेशन की कोई धुरी नहीं होती है; विवरण के लिए 4-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में घूर्णन  देखें। इसके बजाय रोटेशन में रोटेशन के दो पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल विमान होते हैं, जिनमें से प्रत्येक इस अर्थ में तय होता है कि प्रत्येक विमान में बिंदु विमानों के भीतर रहते हैं। रोटेशन में रोटेशन के दो कोण होते हैं, रोटेशन के प्रत्येक विमान के लिए एक, जिसके माध्यम से विमानों में बिंदु घूमते हैं। अगर ये हैं $ω_{1}$ और $ω_{2}$ तब सभी बिंदु जो समतल में नहीं हैं, बीच के कोण से घूमते हैं $ω_{1}$ और $ω_{2}$. एक निश्चित बिंदु के चारों ओर चार आयामों में घूमने की स्वतंत्रता की छह डिग्री होती है। सामान्य स्थिति में एक चार-आयामी प्रत्यक्ष गति निश्चित बिंदु के बारे में एक रोटेशन है (जैसा कि सभी यूक्लिडियन आयामों में भी है), लेकिन पेंच संचालन भी मौजूद हैं।

रैखिक और बहुरेखीय बीजगणित औपचारिकता
जब कोई यूक्लिडियन अंतरिक्ष की गतियों पर विचार करता है जो मूल (गणित) को संरक्षित करता है, बिंदु-वेक्टर भेद, शुद्ध गणित में महत्वपूर्ण, मिटाया जा सकता है क्योंकि अंक और स्थिति (वेक्टर) के बीच एक कैनोनिकल एक-से-एक पत्राचार होता है। यूक्लिडियन ज्यामिति  के अलावा अन्य ज्यामिति के लिए भी यही सच है, लेकिन जिसका स्थान एक पूरक  गणितीय संरचना  के साथ एक सजातीय स्थान है; # सापेक्षता में देखें। वैकल्पिक रूप से, घुमावों के वेक्टर विवरण को अनुवाद के साथ उनकी रचना  तक  ज्यामितीय घुमावों के पैरामीट्रिजेशन के रूप में समझा जा सकता है। दूसरे शब्दों में, एक सदिश घुमाव अंतरिक्ष में सभी बिंदुओं के बारे में कई  तुल्यता संबंध  घुमाव प्रस्तुत करता है।

एक गति जो उत्पत्ति को संरक्षित करती है वह वैक्टर पर एक रैखिक ऑपरेटर  के समान होती है जो समान ज्यामितीय संरचना को संरक्षित करती है लेकिन वैक्टर के संदर्भ में व्यक्त की जाती है। यूक्लिडियन वैक्टर के लिए, यह अभिव्यक्ति उनका परिमाण ( यूक्लिडियन मानदंड ) है।  वास्तविक समन्वय स्थान  में, ऐसे संकारक को व्यक्त किया जाता है $n × n$  ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स  जिसे  कॉलम वेक्टर  से गुणा किया जाता है।

जैसा कि #यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक (उचित) रोटेशन सदिश स्थान के अभिविन्यास के संरक्षण में एक मनमाना निश्चित-बिंदु गति से भिन्न होता है। इस प्रकार, रोटेशन ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स का निर्धारक 1 होना चाहिए। ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के निर्धारक के लिए एकमात्र अन्य संभावना है, और इस परिणाम का अर्थ है कि परिवर्तन एक प्रतिबिंब (गणित) है, एक बिंदु प्रतिबिंब  ( विषम संख्या  के लिए $θ$), या किसी अन्य प्रकार का अनुचित रोटेशन। सभी उचित घुमावों के मैट्रिसेस  विशेष ऑर्थोगोनल समूह  बनाते हैं।

दो आयाम
दो आयामों में, एक मैट्रिक्स, बिंदु का उपयोग करके घूर्णन करने के लिए $(x, y)$ वामावर्त घुमाने के लिए एक कॉलम वेक्टर के रूप में लिखा जाता है, फिर कोण से गणना की गई रोटेशन मैट्रिक्स  से गुणा किया जाता है $θ$:


 * $$ \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} =

\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$$.

रोटेशन के बाद बिंदु के निर्देशांक हैं $x′, y′$, और के लिए सूत्र $n$ और $x′$ हैं


 * $$\begin{align}

x'&=x\cos\theta-y\sin\theta\\ y'&=x\sin\theta+y\cos\theta. \end{align}$$ वैक्टर $$ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} $$ और $$ \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} $$ एक ही परिमाण है और एक कोण से अलग हो गए हैं $y′$ जैसा सोचा था।

पर अंक $R^{2}$ समतल को सम्मिश्र संख्या के रूप में भी प्रस्तुत किया जा सकता है: बिंदु $(x, y)$ समतल में सम्मिश्र संख्या द्वारा दर्शाया जाता है


 * $$ z = x + iy $$

इसे एक कोण से घुमाया जा सकता है $θ$ से गुणा करके $e^{iθ}$, फिर यूलर के सूत्र का उपयोग करके उत्पाद का विस्तार इस प्रकार करें:


 * $$\begin{align}

e^{i \theta} z &= (\cos \theta + i \sin \theta) (x + i y) \\ &= x \cos \theta + i y \cos \theta + i x \sin \theta - y \sin \theta \\ &= (x \cos \theta - y \sin \theta) + i ( x \sin \theta + y \cos \theta) \\ &= x' + i y' , \end{align}$$ और वास्तविक और काल्पनिक भागों की बराबरी करना द्वि-आयामी मैट्रिक्स के समान परिणाम देता है:


 * $$\begin{align}

x'&=x\cos\theta-y\sin\theta\\ y'&=x\sin\theta+y\cos\theta. \end{align}$$ चूँकि सम्मिश्र संख्याएँ क्रमविनिमेय वलय बनाती हैं, दो आयामों में सदिश घुमाव क्रमविनिमेय होते हैं, उच्च आयामों के विपरीत। उनके पास स्वतंत्रता (यांत्रिकी) की केवल एक डिग्री है, क्योंकि इस तरह के घुमाव पूरी तरह से रोटेशन के कोण से निर्धारित होते हैं।

तीन आयाम
दो आयामों की तरह, एक बिंदु को घुमाने के लिए एक मैट्रिक्स का उपयोग किया जा सकता है $(x, y, z)$ एक स्तर तक $(x′, y′, z′)$. प्रयुक्त मैट्रिक्स एक है 3 ×  3 आव्यूह,


 * $$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$$

परिणाम देने के लिए बिंदु का प्रतिनिधित्व करने वाले वेक्टर द्वारा इसे गुणा किया जाता है



\mathbf{A} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} $$ आव्यूह गुणन की संक्रिया सहित सभी उपयुक्त आव्यूहों का समुच्चय घूर्णन समूह SO(3)  है। साँचा $A$ त्रि-आयामी विशेष ऑर्थोगोनल समूह का सदस्य है, $SO(3)$, यानी यह निर्धारक 1 के साथ एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है। यह एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है, जिसका अर्थ है कि इसकी पंक्तियाँ ऑर्थोगोनल यूनिट वैक्टर का एक सेट हैं (इसलिए वे एक ऑर्थोनॉर्मल आधार हैं) जैसा कि इसके कॉलम हैं, यह स्पॉट करना और जांचना आसान बनाता है एक मैट्रिक्स एक वैध रोटेशन मैट्रिक्स है।


 * 1) यूलर कोण|उपर्युक्त यूलर कोण और अक्ष-कोण निरूपण को आसानी से एक रोटेशन मैट्रिक्स में परिवर्तित किया जा सकता है।

त्रि-आयामी यूक्लिडियन वैक्टर के घूर्णन का प्रतिनिधित्व करने की एक और संभावना नीचे वर्णित चतुष्कोण हैं।

चतुष्कोण
यूनिट चतुष्कोण, या छंद, कुछ मायनों में त्रि-आयामी घुमावों का कम से कम सहज ज्ञान युक्त प्रतिनिधित्व है। वे सामान्य दृष्टिकोण के त्रि-आयामी उदाहरण नहीं हैं। वे मैट्रिसेस की तुलना में अधिक कॉम्पैक्ट हैं और अन्य सभी तरीकों की तुलना में काम करना आसान है, इसलिए अक्सर वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों में पसंद किया जाता है। एक वर्जन (जिसे रोटेशन क्वाटरनियन भी कहा जाता है) में चार वास्तविक संख्याएँ होती हैं, इसलिए क्वाटरनियन का मानक सदिश स्थान 1 होता है। यह बाधा क्वाटरनियन की स्वतंत्रता की डिग्री को तीन तक सीमित करती है, जैसा कि आवश्यक है। मैट्रिसेस और जटिल संख्याओं के विपरीत दो गुणन आवश्यक हैं:


 * $$ \mathbf{x'} = \mathbf{qxq}^{-1},$$

कहां $q$ टर्नर है $q^{−1}$ इसका गुणक प्रतिलोम है, और $x$ वेक्टर को शून्य चतुर्भुज#स्केलर और वेक्टर भागों के साथ क्वाटरनियन के रूप में माना जाता है। चतुष्कोणों को चतुष्कोणों पर घातीय मानचित्र (झूठे सिद्धांत) द्वारा अक्ष कोण रोटेशन के रोटेशन वेक्टर रूप से संबंधित किया जा सकता है,


 * $$ \mathbf{q} = e^{\mathbf{v}/2},$$

कहां $v$ रोटेशन वेक्टर को क्वाटरनियन के रूप में माना जाता है।

एक छंद, बाएँ और दाएँ (बीजगणित)  द्वारा एक एकल गुणन, अपने आप में एक घूर्णन है, लेकिन चार आयामों में। उत्पत्ति के बारे में किसी भी चार आयामी घुमाव को दो चतुष्कोणीय गुणन के साथ दर्शाया जा सकता है: एक बाएँ और एक दाएँ, दो अलग-अलग इकाई चतुष्कोणों द्वारा।

आगे के नोट्स
अधिक आम तौर पर, किसी भी आयाम में रोटेशन का समन्वय ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस द्वारा दर्शाया जाता है। सभी ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस का सेट $θ$ आयाम जो उचित घुमाव (निर्धारक = +1) का वर्णन करते हैं, साथ में मैट्रिक्स गुणा के संचालन के साथ, विशेष ऑर्थोगोनल समूह बनाते हैं $SO(n)$.

मेट्रिसेस का उपयोग अक्सर परिवर्तन करने के लिए किया जाता है, खासकर जब बड़ी संख्या में बिंदुओं को रूपांतरित किया जा रहा हो, क्योंकि वे रैखिक मानचित्र का प्रत्यक्ष प्रतिनिधित्व करते हैं। उपयोग किए जाने से पहले अन्य तरीकों से दर्शाए गए घुमावों को अक्सर मैट्रिसेस में बदल दिया जाता है। सजातीय निर्देशांक  का उपयोग करके एक ही समय में घूर्णन और परिवर्तनों का प्रतिनिधित्व करने के लिए उन्हें बढ़ाया जा सकता है। प्रक्षेपी परिवर्तनों द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है 4  ×  4 मैट्रिक्स। वे रोटेशन मेट्रिसेस नहीं हैं, लेकिन एक यूक्लिडियन रोटेशन का प्रतिनिधित्व करने वाले परिवर्तन में एक है 3  ×  3 ऊपरी बाएँ कोने में रोटेशन मैट्रिक्स।

मैट्रिसेस का मुख्य नुकसान यह है कि वे गणना करने और गणना करने के लिए अधिक महंगे हैं। साथ ही गणनाओं में जहां संख्यात्मक स्थिरता  एक चिंता का विषय है, मेट्रिसेस इसके लिए अधिक प्रवण हो सकते हैं, इसलिए  orthonormality  को बहाल करने के लिए गणना, जो मेट्रिसेस के लिए करना महंगा है, को अधिक बार करने की आवश्यकता है।

मैट्रिक्स औपचारिकता के अधिक विकल्प
जैसा कि ऊपर प्रदर्शित किया गया था, तीन बहुरेखीय बीजगणित  रोटेशन औपचारिकताएं मौजूद हैं: एक #Complex numbers|U(1), या जटिल संख्याओं के साथ, दो आयामों के लिए, और दो अन्य #Quaternions|versors, या Quaternions के साथ, तीन और चार आयामों के लिए।

सामान्य तौर पर (गैर-यूक्लिडियन मिन्कोव्स्की द्विघात रूप  से लैस वैक्टर के लिए भी) एक सदिश स्थान के रोटेशन को एक  bivector  के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इस औपचारिकता का प्रयोग  ज्यामितीय बीजगणित  में किया जाता है, और अधिक सामान्यतः, झूठ समूहों के  क्लिफर्ड बीजगणित  प्रतिनिधित्व में।

एक सकारात्मक-निश्चित यूक्लिडियन द्विघात रूप के मामले में, आइसोमेट्री समूह का दोहरा आवरण समूह  $$\mathrm{SO}(n)$$  स्पिन समूह  के रूप में जाना जाता है, $$\mathrm{Spin}(n)$$. क्लिफर्ड बीजगणित के संदर्भ में इसे आसानी से वर्णित किया जा सकता है। यूनिट चतुर्भुज समूह देते हैं $$\mathrm{Spin}(3) \cong \mathrm{SU}(2)$$.

गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति में
गोलाकार ज्यामिति में, एक सीधी गति एन-क्षेत्र का|$n$-sphere ( अण्डाकार ज्यामिति  का एक उदाहरण) के रोटेशन के समान है $(n + 1)$उत्पत्ति के बारे में आयामी यूक्लिडियन स्थान ($SO(n + 1)$). विषम के लिए $n$, इनमें से अधिकांश गतियों पर निश्चित बिंदु नहीं होते हैं $n$-क्षेत्र और, सख्ती से बोलना, गोले का घूर्णन नहीं है; ऐसी गतियाँ हैं कभी-कभी विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड  अनुवाद के रूप में संदर्भित किया जाता है। अण्डाकार और अतिशयोक्तिपूर्ण अंतरिक्ष ज्यामिति में एक निश्चित बिंदु के बारे में घूर्णन यूक्लिडियन से अलग नहीं हैं। Affine ज्यामिति और प्रक्षेपी ज्यामिति  में घूर्णन की कोई अलग धारणा नहीं है।

सापेक्षता में
रोटेशन का एक सामान्यीकरण विशेष सापेक्षता  में लागू होता है, जहां इसे चार-आयामी अंतरिक्ष,  अंतरिक्ष समय, तीन अंतरिक्ष आयामों और एक समय पर संचालित करने के लिए माना जा सकता है। विशेष सापेक्षता में, इस स्थान को मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष कहा जाता है, और चार आयामी घुमाव, जिसे  लोरेंत्ज़ परिवर्तन  कहा जाता है, की भौतिक व्याख्या है। ये परिवर्तन एक द्विघात रूप को संरक्षित करते हैं जिसे  स्पेसटाइम अंतराल  कहा जाता है।

यदि मिन्कोवस्की अंतरिक्ष  का घूर्णन अंतरिक्ष जैसे विमान में है, तो यह घूर्णन यूक्लिडियन अंतरिक्ष में स्थानिक घूर्णन के समान है। इसके विपरीत, अंतरिक्ष-जैसे आयाम और समय-समान आयाम द्वारा फैलाए गए विमान में एक रोटेशन एक  अतिशयोक्तिपूर्ण रोटेशन  है, और यदि इस विमान में संदर्भ फ्रेम का समय अक्ष होता है, तो इसे लोरेंत्ज़ बूस्ट कहा जाता है। ये परिवर्तन  छद्म-यूक्लिडियन अंतरिक्ष  को प्रदर्शित करते हैं|मिन्कोवस्की अंतरिक्ष की छद्म-यूक्लिडियन प्रकृति। अतिपरवलयिक घुमावों को कभी-कभी निचोड़ मैपिंग के रूप में वर्णित किया जाता है और अक्सर मिन्कोस्की आरेखों पर दिखाई देता है जो प्लानर चित्रों पर (1 + 1) -आयामी छद्म-यूक्लिडियन ज्यामिति की कल्पना करता है। सापेक्षता का अध्ययन लौरेंत्ज़ समूह से संबंधित है जो अंतरिक्ष घूर्णन और अतिशयोक्तिपूर्ण घुमावों द्वारा उत्पन्न होता है। जबकि $SO(3)$ घूर्णन, भौतिकी और खगोल विज्ञान में, एक गोले के रूप में आकाश ीय क्षेत्र के घूर्णन के अनुरूप है|यूक्लिडियन 3-अंतरिक्ष में 2-क्षेत्र, लोरेंत्ज़ परिवर्तन से $SO(3;1)^{+}$ आकाशीय क्षेत्र के  अनुरूप मानचित्र  परिवर्तनों को प्रेरित करें। यह क्षेत्र परिवर्तन का एक व्यापक वर्ग है जिसे मोबियस परिवर्तन के रूप में जाना जाता है।

महत्व
घूर्णन समरूपता  के महत्वपूर्ण वर्गों को परिभाषित करता है:  घूर्णी समरूपता  एक विशेष घूर्णन के संबंध में एक  अपरिवर्तनीय (गणित)  है। स्थिर अक्ष के चारों ओर सभी घुमावों के संबंध में वृत्ताकार समरूपता एक व्युत्क्रम है।

जैसा कि ऊपर कहा गया था, यूक्लिडियन घुमाव कठोर शरीर की गतिशीलता  पर लागू होते हैं। इसके अलावा, भौतिकी में अधिकांश गणितीय औपचारिकता (जैसे सदिश कलन) घूर्णन-अपरिवर्तनीय है; अधिक भौतिक पहलुओं के लिए  रोटेशन  देखें। यूक्लिडियन घूर्णन और, अधिक सामान्यतः, लोरेंत्ज़ समरूपता # सापेक्षता में  समरूपता (भौतिकी)  मानी जाती है। इसके विपरीत,  समता (भौतिकी)  प्रकृति का सटीक सममिति नियम नहीं है।

सामान्यीकरण
वास्तविक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के अनुरूप जटिल संख्या-मूल्यवान मैट्रिक्स एकात्मक मैट्रिक्स  हैं $$\mathrm{U}(n)$$, जो जटिल स्थान में घुमावों का प्रतिनिधित्व करते हैं। किसी दिए गए आयाम में सभी एकात्मक आव्यूहों का समुच्चय $n$  एकात्मक समूह  बनाता है $$\mathrm{U}(n)$$ डिग्री का $n$; और इसका उपसमूह उचित घुमावों का प्रतिनिधित्व करता है (वे जो अंतरिक्ष के उन्मुखीकरण को संरक्षित करते हैं)  विशेष एकात्मक समूह  है $$\mathrm{SU}(n)$$ डिग्री का $n$. स्पिनरों के संदर्भ में ये जटिल घुमाव महत्वपूर्ण हैं। के तत्व $$\mathrm{SU}(2)$$ त्रि-आयामी यूक्लिडियन घूर्णन (#Quaternions देखें), साथ ही साथ स्पिन (भौतिकी)  के संबंधित परिवर्तनों को पैरामीट्रिज करने के लिए उपयोग किया जाता है (एसयू (2) का प्रतिनिधित्व सिद्धांत देखें)।

यह भी देखें

 * विमान प्रमुख कुल्हाड़ियों
 * एसओ (3) पर चार्ट
 * समन्वय घूर्णन और प्रतिबिंब
 * कॉर्डिक एल्गोरिथम
 * अतिशयोक्तिपूर्ण रोटेशन
 * अनंतिम घूर्णन
 * तर्कहीन घुमाव
 * अभिविन्यास (ज्यामिति)
 * रोड्रिग्स का रोटेशन फॉर्मूला
 * कुल्हाड़ियों का घूमना
 * भंवर

संदर्भ