परतंत्र और स्वतंत्र चर

आश्रित और स्वतंत्र चर गणितीय प्रतिरूप (गणितीय मॉडलिंग), सांख्यिकीय प्रतिरूप (सांख्यिकीय मॉडलिंग) और प्रयोगात्मक विज्ञान में चर हैं। आश्रित चर को इस नाम से इसलिए जानते हैं क्योंकि एक प्रयोग में, उनके मानों का अध्ययन इस अनुमान या मांग के तहत किया जाता है कि वे अन्य चर के मानों पर कुछ सिद्धांत या नियमों (जैसे, एक गणितीय कार्य द्वारा) पर निर्भर करते हैं। स्वतंत्र चर, प्रश्न में प्रयोग के दायरे में किसी अन्य चर के आधार पर नहीं देखा जाता है। इस अर्थ में, कुछ सामान्य स्वतंत्र चर समय, स्थान, घनत्व, द्रव्यमान, द्रव प्रवाह दर और भविष्य के मानो (आश्रित चर) के अनुमान लगाने के लिए ब्याज के कुछ अवलोकन मान (जैसे मानव जनसंख्या आकार) के पिछले मान हैं।

दो में से, हमेशा आश्रित चर की भिन्नता का अध्ययन, आदानों को बदलकर किया जाता है, जिसे सांख्यिकीय संदर्भ में प्रतिगामी के रूप में भी जाना जाता है। एक प्रयोग में, किसी भी चर का मान या गुणधर्म किसी भी अन्य चर के मान या गुणधर्म पर निर्भर नहीं करते हैं, उसे एक स्वतंत्र चर कहा जाता है। मॉडल और प्रयोग उन प्रभावों का परीक्षण करते हैं जो स्वतंत्र चर पर निर्भर चर पर होते हैं। कभी -कभी, भले ही उनका प्रभाव प्रत्यक्ष हित का नहीं हो, स्वतंत्र चर को अन्य कारणों से शामिल किया जा सकता है, जैसे कि उनके संभावित भ्रमित प्रभाव के लिए कारण।



गणित
गणित में, एक फलन में आगत(इनपुट) लेने के लिए एक नियम है (सरलतम स्थिति में, एक संख्या या संख्याओं का सेट) और एक निर्गत(आउटपुट) प्रदान करना (जो एक संख्या भी हो सकती है)। एक प्रतीक जो स्वेच्छा से एक आगत के लिए स्थिर होता है, उसे एक स्वतंत्र चर कहा जाता है, जबकि एक प्रतीक जो स्वेच्छा से एक निर्गत के लिए स्थिर होता है, उसे आश्रित चर कहा जाता है। आगत के लिए सबसे आम प्रतीक है $x$, और निर्गत के लिए सबसे आम प्रतीक है $y$, फलन स्वयं आमतौर पर इसप्रकार लिखा जाता है $y = f(x)$

कई स्वतंत्र चर या कई आश्रित चर होना संभव है। उदाहरण के लिए, बहुचरीय कलन(कैलकुलस) में, अक्सर $z = f(x,y)$ के रूप में फलनों का निरुपण करना पड़ता है, जहां z एक आश्रित चर है और $x$ तथा $y$ स्वतंत्र चर हैं। कई निर्गत वाले कार्यों को अक्सर सदिश मान कार्यों के रूप में संदर्भित किया जाता है।

प्रतिरूप (गणितीय मॉडलिंग)
गणितीय प्रतिरूप (गणितीय मॉडलिंग) में, आश्रित चर का अध्ययन यह देखने के लिए किया जाता है कि क्या यह भिन्न होता हैं और कितना भिन्न होता है क्योंकि स्वतंत्र चर भिन्न होते हैं। साधारण स्टोकेस्टिक रैखिक मॉडल में $y_{i} = a + bx_{i} + e_{i}$ शब्द $y_{i}$ आश्रित चर का $i$ वें मान है और $x_{i}$, $i$वें स्वतंत्र चर का मान हैं। $e_{i}$ त्रुटि के रूप में जाना जाता है और इसमें और इसमें आश्रित चर की परिवर्तनशीलता शामिल होती है जिसे स्वतंत्र चर द्वारा समझाया नहीं जाता है।

कई स्वतंत्र चर के साथ, मॉडल है $y_{i} = a + bx_{i,1} + bx_{i,2} + ... + bx_{i,n} + e_{i}$, कहाँ पे $n$ स्वतंत्र चर की संख्या है।

रैखिक प्रतिगमन मॉडल पर अब चर्चा की गई है। रैखिक प्रतिगमन का उपयोग करने के लिए, डेटा का एक प्रकीर्ण आरेख $X$ को स्वतंत्र चर के रूप में और $Y$ को आश्रित चर के रूप में उत्पन्न किया जाता है। इसे द्विचर डेटासेट भी कहा जाता है, $(x_{1}, y_{1})(x_{2}, y_{2}) ...(x_{i}, y_{i})$। सरल रैखिक प्रतिगमन मॉडल $Y_{i} = a + Bx_{i} + U_{i}$ का रूप लेता है, जिसमे $i = 1, 2, ..., n$। इस मॉडल में, $U_{i}, ... ,U_{n}$ स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं। यह तब होता है जब माप एक दूसरे को प्रभावित नहीं करते हैं।स्वतंत्रता के प्रसार के माध्यम से, $U_{i}$ की स्वतंत्रता का तात्पर्य $Y_{i}$ की स्वतंत्रता से है,भले ही प्रत्येक $Y_{i}$ एक अलग अपेक्षा मूल्य है। प्रत्येक $U_{i}$ का अपेक्षा मान 0 और एक विचरण है $σ^{2}$.

$Y_{i}$ प्रूफ की अपेक्षा:


 * $$E[Y_i] = E[\alpha + \beta x_i + U_i] = \alpha + \beta x_i + E[U_i] = \alpha + \beta x_i.$$

द्विचर डेटासेट के लिए सबसे उपयुक्त रेखा $y = α + βx$ का रूप लेती है और इसे प्रतिगमन रेखा कहा जाता है। $α$ तथा $β$ क्रमशः अवरोधन और ढलान के अनुरूप।

सिमुलेशन
सिमुलेशन में, स्वतंत्र चर में परिवर्तन के जवाब में आश्रित चर को बदल दिया जाता है।

सांख्यिकी
एक प्रयोग में, एक प्रयोगकर्ता द्वारा प्रकलित किया गया चर कुछ ऐसा होता है जो काम करने के लिए सिद्ध होता है, जिसे एक स्वतंत्र चर कहा जाता है। आश्रित चर वह घटना है जिसके बदलने की उम्मीद तब होती है जब स्वतंत्र चर में हेरफेर किया जाता है।

डेटा माइनिंग टूल्स (बहुभिन्नरूपी सांख्यिकी और मशीन सीखने के लिए) में, आश्रित चर को लक्ष्य चर के रूप में एक भूमिका सौंपी जाती है (या कुछ उपकरणों में  लेबल विशेषता ), जबकि एक स्वतंत्र चर को  नियमित चर  के रूप में एक भूमिका सौंपी जाती है। लक्ष्य चर के लिए ज्ञात मान प्रशिक्षण डेटा सेट और परीक्षण डेटा सेट के लिए प्रदान किए जाते हैं, लेकिन अन्य डेटा के लिए अनुमान लगाना चहिए। लक्ष्य चर का उपयोग पर्यवेक्षित शिक्षण एल्गोरिदम में किया जाता है, लेकिन अनुपयोगी शिक्षण में नहीं।

सांख्यिकी समानार्थक शब्द
संदर्भ के आधार पर, एक स्वतंत्र चर को कभी -कभी एक पूर्वसूचक चर, प्रतिगामी, सहसंयोजक, प्रकलित चर, व्याख्यात्मक चर, एक्सपोज़र चर (विश्वसनीयता सिद्धांत देखें), एक्सपोज़र कारक (चिकित्सा सांख्यिकी देखें), सुविधा (मशीन सीखने और पैटर्न मान्यता में) या आगत(इनपुट) चर कहा जाता है।

अर्थमिति में, कंट्रोल वैरिएबल शब्द का उपयोग आमतौर पर कोवरिएट के बजाय किया जाता है।

व्याख्यात्मक चर कुछ लेखकों द्वारा स्वतंत्र चर पर पसंद किया जाता है जब स्वतंत्र चर के रूप में मानी जाने वाली मात्रा सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र या शोधकर्ता द्वारा स्वतंत्र रूप से हेरफेर करने योग्य नहीं हो सकती है। यदि स्वतंत्र चर को एक व्याख्यात्मक चर के रूप में संदर्भित किया जाता है तो शब्द प्रतिक्रिया चर आश्रित चर के लिए कुछ लेखकों द्वारा पसंद किया जाता है।

अर्थशास्त्र समुदाय से, स्वतंत्र चर को बहिर्जात भी कहा जाता है।

संदर्भ के आधार पर, एक आश्रित चर को कभी -कभी एक प्रतिक्रिया चर, प्रतिगमन, मानदंड, पूर्वानुमानित चर, मापा चर, समझाया गया चर, प्रयोगात्मक चर, जवाब देना चर, परिणाम चर, आउटपुट चर, लक्ष्य या लेबल कहा जाता है। अर्थशास्त्र में अंतर्जात चर आमतौर पर लक्ष्य को संदर्भित कर रहे हैं।

कुछ लेखकों द्वारा विस्तारित चर को आश्रित चर की तुलना में प्राथमिकता दी जाती है, जब आश्रित चर के रूप में मानी जाने वाली मात्रा सांख्यिकीय रूप से निर्भर नहीं हो सकती है। यदि आश्रित चर को व्याख्याकृत चर के रूप में संदर्भित किया जाता है तो स्वतंत्र चर के लिए कुछ लेखकों द्वारा भविष्यवक्ता चर शब्द को प्राथमिकता दी जाती है।

चर को उनके रूप से भी संदर्भित किया जा सकता है: निरंतर या श्रेणीबद्ध, द्विआधारी / द्विभाजित, नाममात्र श्रेणीबद्ध और क्रमिक श्रेणीबद्ध हो सकते हैं।

वुडवर्थ (1987) द्वारा समुद्र के स्तर में प्रवृत्ति के विश्लेषण द्वारा एक उदाहरण प्रदान किया गया है। यहां आश्रित चर (और अधिकांश रुचि का चर) एक दिए गए स्थान पर वार्षिक औसत समुद्र स्तर था जिसके लिए वार्षिक मूल्यों की एक श्रृंखला उपलब्ध थी, प्राथमिक स्वतंत्र चर समय था।समुद्र के स्तर पर वार्षिक औसत वायुमंडलीय दबाव के वार्षिक मूल्यों से युक्त एक कोवरिएट का उपयोग किया गया था। परिणामों से पता चला है कि कोवरिएट को शामिल करने से समय के खिलाफ प्रवृत्ति के बेहतर अनुमानों को प्राप्त करने की अनुमति दी गई है, जो कि कोवरिएट को छोड़ने वाले विश्लेषणों की तुलना में है।

अन्य चर
एक चर को आश्रित या स्वतंत्र चर में बदलने के लिए सोचा जा सकता है, लेकिन वास्तव में यह प्रयोग का केंद्र नहीं हो सकता है। जिससे प्रयोग पर इसके प्रभाव को कम करने का प्रयास करने के लिए चर को स्थिर रखा जा सके या निगरानी की जाए। इस तरह के चर को या तो एक नियंत्रित चर, नियंत्रण चर, या निश्चित चर के रूप में नामित किया जा सकता है।

बाह्य चर, यदि स्वतंत्र चर के रूप में एक प्रतिगमन विश्लेषण में शामिल हैं, तो एक शोधकर्ता को सटीक प्रतिक्रिया पैरामीटर अनुमान, भविष्यवाणी और आसंजन-श्रेष्ठता के साथ सहायता कर सकते हैं, लेकिन परीक्षा के तहत परिकल्पना के लिए महत्वपूर्ण रुचि नहीं हैं। उदाहरण के लिए, जीवनकाल की कमाई पर माध्यमिक शिक्षा के बाद के प्रभाव की जांच करने वाले एक अध्ययन में, कुछ बाहरी चर लिंग, जातीयता, सामाजिक वर्ग, आनुवंशिकी, बुद्धिमत्ता, आयु आदि हो सकते हैं। एक चर केवल तभी बाहरी होता है जब इसे आश्रित चर को प्रभावित करने के लिए माना (या दिखाया जा सकता है) जाता हैं। यदि प्रतिगमन में शामिल किया जाता है, तो यह मॉडल के फिट में सुधार कर सकता है। यदि इसे प्रतिगमन से बाहर रखा गया है और यदि इसमें एक गैर-शून्य सहसंयोजक है, जिसमें एक या एक से अधिक स्वतंत्र चर हैं, तो इसकी चूक प्रतिगमन के परिणाम को उस स्वतंत्र चर के प्रभाव के लिए पूर्वाग्रहित करेगी। इस प्रभाव को भ्रमित या छोड़ा गया चर पूर्वाग्रह कहा जाता है। इन स्थितियों में, एक चर सांख्यिकीय नियंत्रण के लिए डिजाइन परिवर्तन और/या नियंत्रित करना आवश्यक है।

बाहरी चर (एक्सट्रॉनियस वैरिएबल) को अक्सर तीन प्रकारों में वर्गीकृत किया जाता है:
 * 1) विषय चर, जो उन व्यक्तियों की विशेषताएं हैं जो अध्ययन किए जा रहे हैं जो उनके कार्यों को प्रभावित कर सकते हैं। इन चर में आयु, लिंग, स्वास्थ्य स्थिति, मनोदशा, पृष्ठभूमि, आदि शामिल हैं।
 * 2) अवरोधक चर या प्रयोगात्मक चर उन व्यक्तियों की विशेषताएं हैं जो प्रयोग करने वाले हैं जो प्रभावित कर सकता है कि कोई व्यक्ति कैसे व्यवहार करता है। लिंग, नस्लीय भेदभाव, भाषा, या अन्य कारकों की उपस्थिति इस तरह के चर के रूप में योग्य हो सकती है।
 * 3) परिस्थितिजन्य चर उस वातावरण की विशेषताएं हैं जिसमें अध्ययन या अनुसंधान आयोजित किया गया था, जिसका नकारात्मक तरीके से प्रयोग के परिणाम पर असर पड़ता है। जिसमे हवा का तापमान, गतिविधि का स्तर, प्रकाश व्यवस्था और दिन का समय शामिल हैं।

प्रतिरूप (गणितीय मॉडलिंग) में, परिवर्तनशीलता जो स्वतंत्र चर द्वारा कवर नहीं की जाती है, $$e_I$$ द्वारा नामित है और अवशिष्ट, दुष्प्रभाव, त्रुटि, अस्पष्टीकृत शेयर, अवशिष्ट चर, गड़बड़ी, या सहिष्णुता के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण

 * पौधों की वृद्धि पर उर्वरक का प्रभाव:
 * पौधे के विकास पर विभिन्न मात्रा में उर्वरक के प्रभाव को मापने वाले एक अध्ययन में स्वतंत्र चर, उपयोग किये जाने वाला उर्वरक की मात्रा होगी। आश्रित चर पौधे की ऊंचाई या द्रव्यमान में वृद्धि होगी। नियंत्रित चर पौधे का प्रकार, उर्वरक का प्रकार, पौधे की धूप की मात्रा, गमलों का आकार, आदि होगा।


 * लक्षण गंभीरता पर दवा की खुराक का प्रभाव:
 * एक दवा की अलग -अलग खुराक लक्षणों की गंभीरता को कैसे प्रभावित करती है, इसके एक अध्ययन में, एक शोधकर्ता विभिन्न खुराक प्रशासित होने पर लक्षणों की आवृत्ति और तीव्रता की तुलना कर सकता है। यहां स्वतंत्र चर खुराक है और आश्रित चर लक्षणों की आवृत्ति/तीव्रता है


 * रंजकता पर तापमान का प्रभाव:
 * अलग -अलग तापमानों पर चुकंदर के नमूनों से निकाले गए रंग की मात्रा को मापने में, तापमान स्वतंत्र चर है और निकाले गए वर्णक की मात्रा निर्भर चर है।


 * कॉफी में चीनी मिलाने का प्रभाव:
 * स्वाद कॉफी में जोड़े गए चीनी की मात्रा के साथ भिन्न होता है। यहां, चीनी स्वतंत्र चर है, जबकि स्वाद आश्रित चर है।

यह भी देखें

 * एब्सिस्सा और ऑर्डिनेट
 * अवरुद्ध (सांख्यिकी)
 * अव्यक्त चर बनाम अवलोकन योग्य चर