घनत्व आव्यूह

क्वांटम यांत्रिकी में, घनत्व मैट्रिक्स (या घनत्व ऑपरेटर) एक मैट्रिक्स है जो भौतिक प्रणाली की कितना राज्य का वर्णन करता है। यह बोर्न नियम का उपयोग करके इस प्रणाली पर किए गए क्वांटम यांत्रिकी में किसी भी मापन के परिणामों की संभावनाओं की गणना करने की अनुमति देता है। यह अधिक सामान्य राज्य वैक्टर या तरंगों का एक सामान्यीकरण है: जबकि वे केवल शुद्ध राज्यों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं, घनत्व मैट्रिक्स भी 'मिश्रित राज्यों' का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। दो अलग-अलग स्थितियों में क्वांटम यांत्रिकी में मिश्रित राज्य उत्पन्न होते हैं: पहला जब सिस्टम की तैयारी पूरी तरह से ज्ञात नहीं होती है, और इस प्रकार किसी को संभावित तैयारियों के एक सांख्यिकीय समेकन से निपटना चाहिए, और दूसरा जब कोई भौतिक प्रणाली का वर्णन करना चाहता है जो क्वांटम उलझाव है दूसरे के साथ, उनकी संयुक्त स्थिति का वर्णन किए बिना।

घनत्व मैट्रिसेस इस प्रकार क्वांटम यांत्रिकी के क्षेत्रों में महत्वपूर्ण उपकरण हैं जो मिश्रित राज्यों से निपटते हैं, जैसे क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी, खुली क्वांटम प्रणाली, क्वांटम असंगति और क्वांटम जानकारी।

परिभाषा और प्रेरणा
घनत्व मैट्रिक्स एक रैखिक ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व है जिसे घनत्व ऑपरेटर कहा जाता है। घनत्व मैट्रिक्स अंतर्निहित स्थान में आधार (रैखिक बीजगणित) की पसंद से घनत्व ऑपरेटर से प्राप्त किया जाता है। व्यवहार में, "घनत्व मैट्रिक्स" और "घनत्व ऑपरेटर" शब्द अक्सर एक दूसरे के स्थान पर उपयोग किए जाते हैं।

ऑपरेटर भाषा में, एक सिस्टम के लिए एक घनत्व ऑपरेटर एक सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स है | सकारात्मक अर्ध-निश्चित, ट्रेस क्लास ऑपरेटर का हर्मिटियन मैट्रिक्स ऑपरेटर जो सिस्टम के हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर अभिनय करता है। इस परिभाषा को एक ऐसी स्थिति पर विचार करके प्रेरित किया जा सकता है जहाँ एक शुद्ध अवस्था होती है $$|\psi_j\rangle$$ संभावना के साथ तैयार किया गया है $$p_j$$, एक पहनावा के रूप में जाना जाता है। क्वांटम यांत्रिकी # प्रक्षेपी माप परिणाम में मापन प्राप्त करने की संभावना $$m$$ प्रक्षेपण ऑपरेटरों का उपयोग करते समय $$\Pi_m$$ द्वारा दिया गया है
 * $$ p(m) = \sum_j p_j \langle \psi_j\mid \Pi_m \mid\psi_j\rangle = \operatorname{tr} \left[ \Pi_m \left ( \sum_j p_j |\psi_j\rangle \langle \psi_j|\right)  \right],$$

जो घनत्व ऑपरेटर बनाता है, जिसे परिभाषित किया गया है


 * $$\rho = \sum_j p_j |\psi_j \rangle \langle \psi_j|, $$

इस पहनावा की स्थिति के लिए एक सुविधाजनक प्रतिनिधित्व। यह जांचना आसान है कि यह ऑपरेटर सकारात्मक अर्ध-निश्चित, हर्मिटियन है, और इसका एक निशान है। इसके विपरीत, यह वर्णक्रमीय प्रमेय से अनुसरण करता है कि इन गुणों वाले प्रत्येक संकारक को इस रूप में लिखा जा सकता है $$\textstyle \sum_j p_j |\psi_j \rangle \langle \psi_j|$$ कुछ राज्यों के लिए $$|\psi_j\rangle$$ और गुणांक $$p_j$$ जो गैर-नकारात्मक हैं और एक के बराबर हैं। हालांकि, यह प्रतिनिधित्व अद्वितीय नहीं होगा, जैसा कि श्रोडिंगर-एचजेडब्ल्यू प्रमेय द्वारा दिखाया गया है।

घनत्व संचालकों की परिभाषा के लिए एक और प्रेरणा उलझी हुई अवस्थाओं पर स्थानीय मापों पर विचार करने से आती है। होने देना $$|\Psi\rangle$$ समग्र हिल्बर्ट अंतरिक्ष में एक शुद्ध उलझी हुई अवस्था हो $$ \mathcal{H}_1\otimes\mathcal{H}_2$$. माप परिणाम प्राप्त करने की संभावना $$m$$ प्रोजेक्टर को मापते समय $$\Pi_m$$ हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर $$\mathcal{H}_1$$ द्वारा ही दिया जाता है


 * $$ p(m) = \langle \Psi| \Pi_m \otimes I |\Psi\rangle = \operatorname{tr} \left[ \Pi_m \left ( \operatorname{tr}_2 |\Psi\rangle\langle \Psi| \right) \right],$$

कहाँ $$ \operatorname{tr}_2 $$ हिल्बर्ट स्पेस पर आंशिक निशान को दर्शाता है $$\mathcal{H}_2$$. यह ऑपरेटर बनाता है


 * $$\rho = \operatorname{tr}_2 |\Psi\rangle\langle \Psi| $$

इन स्थानीय मापों की संभावनाओं की गणना करने के लिए एक सुविधाजनक उपकरण। इसे कम घनत्व मैट्रिक्स के रूप में जाना जाता है $$|\Psi\rangle$$ सबसिस्टम 1 पर। यह जांचना आसान है कि इस ऑपरेटर में घनत्व ऑपरेटर के सभी गुण हैं। इसके विपरीत, श्रोडिंगर-एचजेडब्ल्यू प्रमेय का अर्थ है कि सभी घनत्व ऑपरेटरों को इस रूप में लिखा जा सकता है $$\operatorname{tr}_2 |\Psi\rangle\langle \Psi|$$ किसी राज्य के लिए $$|\Psi\rangle $$.

शुद्ध और मिश्रित अवस्थाएँ
एक शुद्ध क्वांटम अवस्था एक ऐसी अवस्था है जिसे अन्य क्वांटम अवस्थाओं के संभाव्य मिश्रण या उत्तल संयोजन के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। घनत्व संचालकों की भाषा में शुद्ध अवस्थाओं के कई समकक्ष लक्षण हैं। एक घनत्व ऑपरेटर एक शुद्ध स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है अगर और केवल अगर: क्वांटम अवस्थाओं के संभाव्य मिश्रण और उनके जितना अध्यारोपण  के बीच अंतर पर जोर देना महत्वपूर्ण है। यदि एक भौतिक प्रणाली या तो राज्य में होने के लिए तैयार है $$| \psi_1 \rangle$$ या $$| \psi_2 \rangle$$, समान संभावना के साथ, इसे मिश्रित अवस्था द्वारा वर्णित किया जा सकता है
 * इसे स्टेट वेक्टर के बाहरी उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है $$|\psi\rangle$$ खुद के साथ, यानी $$ \rho = |\psi \rangle \langle \psi|.$$
 * यह एक प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित) है, विशेष रूप से रैंक (रैखिक बीजगणित) एक का।
 * यह निःशेष है, अर्थात् $$\rho = \rho^2.$$
 * इसमें शुद्धता (क्वांटम यांत्रिकी) एक है, अर्थात, $$\operatorname{tr}(\rho^2) = 1.$$
 * $$\rho = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}, $$

कहाँ $$| \psi_1 \rangle$$ और $$| \psi_2 \rangle$$ सादगी के लिए, ऑर्थोगोनल और आयाम 2 ग्रहण किया जाता है। दूसरी ओर, समान संभाव्यता आयाम वाले इन दो राज्यों की एक क्वांटम सुपरपोजिशन का परिणाम शुद्ध अवस्था में होता है $$| \psi \rangle = (| \psi_1 \rangle + | \psi_2 \rangle)/\sqrt{2},$$ घनत्व मैट्रिक्स के साथ
 * $$|\psi\rangle\langle\psi| = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}.$$

संभाव्य मिश्रण के विपरीत, यह सुपरपोजिशन क्वांटम हस्तक्षेप प्रदर्शित कर सकता है।

ज्यामितीय रूप से, घनत्व संचालकों का समुच्चय एक उत्तल समुच्चय है, और शुद्ध अवस्थाएँ उस समुच्चय के चरम बिंदु हैं। सबसे सरल मामला द्वि-आयामी हिल्बर्ट अंतरिक्ष का है, जिसे एक कक्षा के रूप में जाना जाता है। एक qubit के लिए एक मनमाना राज्य पॉल मैट्रिसेस के एक रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है, जो एक साथ पहचान मैट्रिक्स के लिए एक आधार प्रदान करता है $$2 \times 2$$ स्व-संलग्न मेट्रिसेस:
 * $$\rho = \frac{1}{2}\left(I + r_x \sigma_x + r_y \sigma_y + r_z \sigma_z\right),$$

जहां वास्तविक संख्या $$(r_x, r_y, r_z)$$ इकाई क्षेत्र के भीतर एक बिंदु के निर्देशांक हैं और

\sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1\\     1&0    \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1&0\\     0&-1    \end{pmatrix} .$$ के साथ अंक $$r_x^2 + r_y^2 + r_z^2 = 1$$ शुद्ध अवस्थाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, जबकि मिश्रित अवस्थाओं को आंतरिक बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है। इसे क्वेट स्टेट स्पेस के बलोच स्फीयर पिक्चर के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण: प्रकाश ध्रुवीकरण
[[File:vertical polarization.svg|right|thumb|200px|गरमागरम प्रकाश बल्ब(1) पूरी तरह से यादृच्छिक ध्रुवीकृत फोटॉनों का उत्सर्जन करता है(2) मिक्स्ड स्टेट डेंसिटी मैट्रिक्स के साथ:

<डिव वर्ग = केंद्र>$$\begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}$$. वर्टिकल प्लेन पोलराइज़र से गुजरने के बाद(3), शेष फोटॉन सभी लंबवत ध्रुवीकृत हैं(4) और प्योर स्टेट डेंसिटी मैट्रिक्स है:

<डिव वर्ग = केंद्र>$$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} $$ . ]]फोटॉन ध्रुवीकरण शुद्ध और मिश्रित अवस्थाओं का एक उदाहरण है। एक व्यक्तिगत फोटॉन ऑर्थोगोनल क्वांटम राज्यों द्वारा वर्णित दाएं या बाएं परिपत्र ध्रुवीकरण के रूप में वर्णित किया जा सकता है $$|\mathrm{R}\rangle$$ और $$|\mathrm{L}\rangle$$ या दोनों का क्वांटम सुपरपोजिशन: यह किसी भी अवस्था में हो सकता है $$\alpha|\mathrm{R}\rangle+\beta|\mathrm{L}\rangle$$ (साथ $$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$$), रैखिक ध्रुवीकरण, परिपत्र ध्रुवीकरण, या अण्डाकार ध्रुवीकरण के अनुरूप। अब राज्य द्वारा वर्णित लंबवत ध्रुवीकृत फोटॉन पर विचार करें $$|\mathrm{V}\rangle = (|\mathrm{R}\rangle+|\mathrm{L}\rangle)/\sqrt{2}$$. यदि हम इसे एक गोलाकार पोलराइज़र से गुजारते हैं जो या तो केवल अनुमति देता है $$|\mathrm{R}\rangle$$ ध्रुवीकृत प्रकाश, या केवल $$|\mathrm{L}\rangle$$ ध्रुवीकृत प्रकाश, दोनों मामलों में आधे फोटॉन अवशोषित होते हैं। इससे ऐसा लग सकता है कि आधे फोटॉन अवस्था में हैं $$|\mathrm{R}\rangle$$ और दूसरा आधा राज्य में $$|\mathrm{L}\rangle$$, लेकिन यह सही नहीं है: अगर हम पास हो जाते हैं $$(|\mathrm{R}\rangle+|\mathrm{L}\rangle)/\sqrt{2}$$ एक रैखिक ध्रुवीकरण के माध्यम से कोई अवशोषण नहीं होता है, लेकिन अगर हम किसी भी स्थिति को पार करते हैं $$|\mathrm{R}\rangle$$ या $$|\mathrm{L}\rangle$$ आधे फोटॉन अवशोषित हो जाते हैं।

अधुवित प्रकाश (जैसे कि गरमागरम प्रकाश बल्ब से प्रकाश) को किसी भी रूप में वर्णित नहीं किया जा सकता है $$\alpha|\mathrm{R}\rangle+\beta|\mathrm{L}\rangle$$ (रैखिक, गोलाकार या अण्डाकार ध्रुवीकरण)। ध्रुवीकृत प्रकाश के विपरीत, यह 50% तीव्रता के नुकसान के साथ एक ध्रुवीकरणकर्ता के माध्यम से गुजरता है, जो कि ध्रुवीकरणकर्ता के उन्मुखीकरण के कारण होता है; और इसे किसी तरंग प्लेट  से गुजारकर ध्रुवीकृत नहीं किया जा सकता है। हालांकि, ध्रुवीकृत प्रकाश को एक सांख्यिकीय समेकन के रूप में वर्णित किया जा सकता है, उदा। जी। प्रत्येक फोटॉन के रूप में या तो $$|\mathrm{R}\rangle$$ ध्रुवीकरण या $$|\mathrm{L}\rangle$$ संभाव्यता 1/2 के साथ ध्रुवीकरण। यदि प्रत्येक फोटॉन में या तो लंबवत ध्रुवीकरण होता है तो वही व्यवहार होता है $$| \mathrm{V}\rangle $$ या क्षैतिज ध्रुवीकरण $$| \mathrm{H} \rangle $$ प्रायिकता 1/2 के साथ। ये दो पहनावा प्रयोगात्मक रूप से पूरी तरह से अप्रभेद्य हैं, और इसलिए उन्हें एक ही मिश्रित अवस्था माना जाता है। अध्रुवित प्रकाश के इस उदाहरण के लिए, घनत्व ऑपरेटर बराबर होता है


 * $$\rho = \frac{1}{2} |\mathrm{R}\rangle \langle \mathrm{R}| + \frac{1}{2}|\mathrm{L}\rangle \langle \mathrm{L}| = \frac{1}{2} |\mathrm{H}\rangle \langle \mathrm{H}| + \frac{1}{2}|\mathrm{V}\rangle \langle \mathrm{V}| = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}.$$

अध्रुवीकृत प्रकाश उत्पन्न करने के अन्य तरीके भी हैं: फोटॉन की तैयारी में अनिश्चितता का परिचय देने की एक संभावना है, उदाहरण के लिए, इसे एक खुरदरी सतह के साथ एक द्विअर्थी क्रिस्टल के माध्यम से पारित करना, ताकि प्रकाश किरण के थोड़े अलग हिस्से अलग-अलग ध्रुवीकरण प्राप्त कर सकें। एक और संभावना उलझी हुई अवस्थाओं का उपयोग कर रही है: एक रेडियोधर्मी क्षय क्वांटम स्थिति में विपरीत दिशाओं में यात्रा करने वाले दो फोटॉन उत्सर्जित कर सकता है $$(|\mathrm{R},\mathrm{L}\rangle+|\mathrm{L},\mathrm{R}\rangle)/\sqrt{2}$$. एक साथ दो फोटॉनों की संयुक्त स्थिति शुद्ध है, लेकिन प्रत्येक फोटॉन के लिए व्यक्तिगत रूप से घनत्व मैट्रिक्स, संयुक्त घनत्व मैट्रिक्स के आंशिक ट्रेस को ले कर पाया जाता है, पूरी तरह से मिश्रित होता है।

समतुल्य पहनावा और शुद्धि
एक दिया गया घनत्व ऑपरेटर विशिष्ट रूप से यह निर्धारित नहीं करता है कि शुद्ध राज्यों का कौन सा समूह इसे जन्म देता है; सामान्य तौर पर एक ही घनत्व मैट्रिक्स उत्पन्न करने वाले असीम रूप से कई अलग-अलग पहनावा होते हैं। इन्हें किसी माप से नहीं पहचाना जा सकता। समतुल्य पहनावा पूरी तरह से चित्रित किया जा सकता है: चलो $$\{p_j,|\psi_j\rangle\}$$ एक पहनावा हो। फिर किसी जटिल मैट्रिक्स के लिए $$U$$ ऐसा है कि $$U^\dagger U = I$$ (एक आंशिक आइसोमेट्री), पहनावा $$\{q_i,|\varphi_i\rangle\}$$ द्वारा परिभाषित


 * $$\sqrt{q_i} \left| \varphi_i \right\rangle = \sum_j U_{ij} \sqrt{p_j} \left| \psi_j  \right\rangle $$

एक ही घनत्व ऑपरेटर को जन्म देगा, और सभी समतुल्य पहनावा इस रूप में हैं।

एक निकट से संबंधित तथ्य यह है कि एक दिए गए घनत्व संचालिका के पास अनंत रूप से क्वांटम अवस्था के कई अलग-अलग शुद्धिकरण होते हैं, जो शुद्ध अवस्थाएं होती हैं जो आंशिक ट्रेस लिए जाने पर घनत्व संचालिका उत्पन्न करती हैं। होने देना


 * $$\rho = \sum_j p_j |\psi_j \rangle \langle \psi_j| $$

पहनावा द्वारा उत्पन्न घनत्व ऑपरेटर हो $$\{p_j,|\psi_j\rangle\}$$, राज्यों के साथ $$|\psi_j\rangle$$ जरूरी नहीं कि ऑर्थोगोनल हो। फिर सभी आंशिक आइसोमेट्री के लिए $$U$$ हमारे पास वह है


 * $$ |\Psi\rangle = \sum_j \sqrt{p_j} |\psi_j \rangle U |a_j\rangle $$

का शोधन है $$\rho$$, कहाँ $$|a_j\rangle$$ एक ओर्थोगोनल आधार है, और इसके अलावा सभी शुद्धिकरण $$\rho$$ इस रूप के हैं।

माप
होने देना $$A$$ प्रणाली का एक अवलोकन योग्य हो, और मान लीजिए कि पहनावा एक मिश्रित अवस्था में है, जैसे कि प्रत्येक शुद्ध अवस्था $$\textstyle |\psi_j\rangle$$ संभावना से होता है $$p_j$$. फिर संबंधित घनत्व ऑपरेटर बराबर होता है


 * $$\rho = \sum_j p_j |\psi_j \rangle \langle \psi_j|.$$

क्वांटम यांत्रिकी में मापन की अपेक्षा मूल्य (क्वांटम यांत्रिकी) की गणना शुद्ध राज्यों के मामले से बढ़ाकर की जा सकती है:


 * $$ \langle A \rangle = \sum_j p_j \langle \psi_j|A|\psi_j \rangle = \sum_j p_j \operatorname{tr}\left(|\psi_j \rangle \langle \psi_j|A \right) =  \operatorname{tr}\left(\sum_j p_j |\psi_j \rangle \langle \psi_j|A\right) = \operatorname{tr}(\rho A),$$

कहाँ $$\operatorname{tr}$$ ट्रेस (रैखिक बीजगणित) को दर्शाता है। इस प्रकार, परिचित अभिव्यक्ति $$\langle A\rangle=\langle\psi|A|\psi\rangle$$ शुद्ध राज्यों के लिए द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है
 * $$ \langle A \rangle = \operatorname{tr}( \rho A)$$

मिश्रित राज्यों के लिए

इसके अलावा, अगर $$A$$ वर्णक्रमीय संकल्प है


 * $$A = \sum _i a_i P_i,$$

कहाँ $$P_i$$ eigenvalue के संगत eigenspace में प्रोजेक्शन ऑपरेटर है $$a_i$$, पोस्ट-माप घनत्व ऑपरेटर द्वारा दिया जाता है
 * $$\rho_i' = \frac{P_i \rho P_i}{\operatorname{tr}\left[\rho P_i\right]}$$

जब परिणाम i प्राप्त होता है। ऐसे मामले में जहां माप परिणाम ज्ञात नहीं है, पहनावा इसके बजाय वर्णित है


 * $$\; \rho ' = \sum_i P_i \rho P_i.$$

यदि कोई मानता है कि माप परिणामों की संभावनाएं प्रोजेक्टर के रैखिक कार्य हैं $$P_i$$, तो उन्हें प्रोजेक्टर के ट्रेस द्वारा घनत्व ऑपरेटर के साथ दिया जाना चाहिए। ग्लिसन के प्रमेय से पता चलता है कि आयाम 3 या बड़े हिल्बर्ट रिक्त स्थान में रैखिकता की धारणा को क्वांटम प्रासंगिकता की धारणा के साथ प्रतिस्थापित किया जा सकता है। गैर-प्रासंगिकता। पीओवीएम के लिए भी गैर-प्रासंगिकता मानकर आयाम पर यह प्रतिबंध हटाया जा सकता है, लेकिन शारीरिक रूप से असम्बद्ध के रूप में इसकी आलोचना की गई है।

एंट्रॉपी
वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी $$S$$ मिश्रण के eigenvalues ​​​​के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है $$\rho$$ या घनत्व ऑपरेटर के ट्रेस (रैखिक बीजगणित) और मैट्रिक्स लघुगणक के संदर्भ में $$\rho$$. तब से $$\rho$$ एक सकारात्मक अर्ध-निश्चित ऑपरेटर है, इसमें एक वर्णक्रमीय प्रमेय है जैसे कि $$\rho = \textstyle\sum_i \lambda_i |\varphi_i\rangle \langle\varphi_i|$$, कहाँ $$|\varphi_i\rangle$$ या ऑर्थोनॉर्मल वैक्टर, $$\lambda_i \ge 0$$, और $$\textstyle \sum \lambda_i = 1$$. फिर घनत्व मैट्रिक्स के साथ एक क्वांटम प्रणाली की एन्ट्रापी $$\rho$$ है


 * $$S = -\sum_i \lambda_i \ln\lambda_i = -\operatorname{tr}(\rho \ln\rho).$$

इस परिभाषा का तात्पर्य है कि किसी भी शुद्ध अवस्था की वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी शून्य है। अगर $$\rho_i$$ ऐसे राज्य हैं जिनके पास ऑर्थोगोनल सबस्पेस पर समर्थन है, फिर इन राज्यों के उत्तल संयोजन के वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी,


 * $$\rho = \sum_i p_i \rho_i,$$

राज्यों के वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी द्वारा दिया गया है $$\rho_i$$ और प्रायिकता बंटन की शैनन एंट्रॉपी  $$p_i$$:
 * $$S(\rho) = H(p_i) + \sum_i p_i S(\rho_i).$$

जब राज्य $$\rho_i$$ ऑर्थोगोनल समर्थन नहीं है, दाईं ओर का योग उत्तल संयोजन के वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी से सख्ती से अधिक है $$\rho$$.

एक घनत्व ऑपरेटर दिया गया $$\rho$$ और पिछले खंड, राज्य के रूप में एक प्रक्षेपी माप $$\rho'$$ उत्तल संयोजन द्वारा परिभाषित
 * $$\rho' = \sum_i P_i \rho P_i,$$

जिसे माप के प्रदर्शन द्वारा उत्पादित राज्य के रूप में व्याख्या की जा सकती है, लेकिन यह रिकॉर्ड नहीं किया जा सकता है कि कौन सा परिणाम हुआ, की तुलना में एक वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी बड़ा है $$\rho$$, सिवाय अगर $$\rho = \rho'$$. हालांकि के लिए संभव है $$\rho'$$ सामान्यीकृत माप, या पीओवीएम द्वारा उत्पादित, की तुलना में कम वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी है $$\rho$$.

{{anchor|The Von Neumann equation for time evolution}समय विकास के लिए वॉन न्यूमैन समीकरण
जिस तरह श्रोडिंगर समीकरण वर्णन करता है कि समय के साथ शुद्ध राज्य कैसे विकसित होते हैं, वॉन न्यूमैन समीकरण (जिसे लिउविल-वॉन न्यूमैन समीकरण भी कहा जाता है) वर्णन करता है कि समय में एक घनत्व ऑपरेटर कैसे विकसित होता है। वॉन न्यूमैन समीकरण यह तय करता है
 * $$ i \hbar \frac{\partial \rho}{\partial t} = [H, \rho]~, $$

जहां ब्रैकेट कम्यूटेटर को दर्शाता है।

यह समीकरण केवल तभी धारण करता है जब घनत्व ऑपरेटर को श्रोडिंगर चित्र में लिया जाता है, भले ही यह समीकरण हाइजेनबर्ग चित्र में गति के हाइजेनबर्ग समीकरण का अनुकरण करने के लिए पहली नज़र में लगता है, एक महत्वपूर्ण संकेत अंतर के साथ:


 * $$ i \hbar \frac{dA^{(\mathrm{H})}}{dt} = -\left[H, A^{(\mathrm{H})}\right] ~,$$

कहाँ $$A^{(\mathrm{H})}(t)$$ कुछ हाइजेनबर्ग चित्र संचालिका है; लेकिन इस तस्वीर में घनत्व मैट्रिक्स समय-निर्भर नहीं है, और सापेक्ष संकेत यह सुनिश्चित करता है कि अपेक्षित मूल्य का व्युत्पन्न समय $$\langle A \rangle$$ श्रोडिंगर चित्र के समान ही बाहर आता है।

यदि हैमिल्टनियन समय-स्वतंत्र है, तो वॉन न्यूमैन समीकरण को उपज के लिए आसानी से हल किया जा सकता है


 * $$\rho(t) = e^{-i H t/\hbar} \rho(0) e^{i H t/\hbar}.$$

अधिक सामान्य हैमिल्टनियन के लिए, यदि $$G(t)$$ कुछ अंतराल पर वेवफंक्शन प्रचारक है, तो उसी अंतराल पर घनत्व मैट्रिक्स का समय विकास द्वारा दिया जाता है


 * $$ \rho(t) = G(t) \rho(0) G(t)^\dagger.$$

विग्नर कार्य और शास्त्रीय उपमाएँ
घनत्व मैट्रिक्स ऑपरेटर को चरण स्थान में भी महसूस किया जा सकता है। Wigner अर्ध-प्रायिकता वितरण #Wigner-Weyl परिवर्तन के तहत, घनत्व मैट्रिक्स समकक्ष Wigner अर्ध-प्रायिकता वितरण में बदल जाता है,
 * $$ W(x,p) \,\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \, \frac{1}{\pi\hbar} \int_{-\infty}^\infty \psi^*(x + y) \psi(x - y) e^{2ipy/\hbar} \,dy.$$

विग्नर फ़ंक्शन के समय के विकास के लिए समीकरण, जिसे चरण अंतरिक्ष निर्माण # समय विकास के रूप में जाना जाता है, फिर उपरोक्त वॉन न्यूमैन समीकरण का विग्नर-रूपांतरण है,
 * $$\frac{\partial W(x, p, t)}{\partial t} = -\{\{W(x, p, t), H(x, p)\}\},$$

कहाँ $$H(x,p)$$ हैमिल्टनियन है, और $$\{\{\cdot,\cdot\}\}$$ मोयल ब्रैकेट है, क्वांटम कम्यूटेटर का परिवर्तन।

विग्नर फ़ंक्शन के लिए विकास समीकरण तब इसकी शास्त्रीय सीमा के अनुरूप है, लिउविल के प्रमेय (हैमिल्टनियन) # शास्त्रीय भौतिकी के लिउविल समीकरण। प्लैंक नियतांक लुप्त होने की सीमा में है $$\hbar$$, $$W(x,p,t)$$ चरण अंतरिक्ष में क्लासिकल लिउविल प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन को कम करता है।

उदाहरण अनुप्रयोग
घनत्व मेट्रिसेस क्वांटम यांत्रिकी का एक बुनियादी उपकरण है, और कम से कम कभी-कभी लगभग किसी भी प्रकार की क्वांटम-यांत्रिक गणना में दिखाई देता है। कुछ विशिष्ट उदाहरण जहां घनत्व मेट्रिसेस विशेष रूप से सहायक और सामान्य हैं, वे इस प्रकार हैं:
 * सांख्यिकीय यांत्रिकी घनत्व मेट्रिसेस का उपयोग करता है, सबसे प्रमुख रूप से इस विचार को व्यक्त करने के लिए कि एक गैर-शून्य तापमान पर एक प्रणाली तैयार की जाती है। एक कैनोनिकल समेकन का उपयोग करके घनत्व मैट्रिक्स का निर्माण फॉर्म का परिणाम देता है $$\rho = \exp(-\beta H)/Z(\beta)$$, कहाँ $$\beta$$ उलटा तापमान है $$(k_{\rm B} T)^{-1}$$ और $$H$$ सिस्टम का हैमिल्टनियन है। सामान्यीकरण शर्त है कि का पता लगाने $$\rho$$ 1 के बराबर होना विभाजन फ़ंक्शन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) को परिभाषित करता है $$Z(\beta) = \mathrm{tr} \exp(-\beta H)$$. यदि सिस्टम में शामिल कणों की संख्या स्वयं निश्चित नहीं है, तो एक भव्य विहित पहनावा लागू किया जा सकता है, जहां राज्यों को घनत्व मैट्रिक्स बनाने के लिए एक फॉक स्पेस से तैयार किया जाता है।
 * क्वांटम डीकोहेरेंस थ्योरी में आमतौर पर गैर-पृथक क्वांटम सिस्टम शामिल होते हैं, जो माप उपकरण सहित अन्य प्रणालियों के साथ उलझाव विकसित करते हैं। घनत्व मैट्रिसेस प्रक्रिया का वर्णन करना और उसके परिणामों की गणना करना बहुत आसान बनाते हैं। क्वांटम डीकोहेरेंस बताती है कि क्यों एक प्रणाली एक पर्यावरण के साथ बातचीत करती है, एक शुद्ध स्थिति होने से, सुपरपोज़िशन प्रदर्शित करने से, एक मिश्रित स्थिति में, शास्त्रीय विकल्पों का एक असंगत संयोजन। यह संक्रमण मौलिक रूप से प्रतिवर्ती है, क्योंकि प्रणाली और पर्यावरण की संयुक्त स्थिति अभी भी शुद्ध है, लेकिन सभी व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए अपरिवर्तनीय है, क्योंकि पर्यावरण एक बहुत बड़ी और जटिल क्वांटम प्रणाली है, और उनकी बातचीत को उलटना संभव नहीं है। इस प्रकार क्वांटम यांत्रिकी की शास्त्रीय सीमा की व्याख्या करने के लिए डिकॉरेन्स बहुत महत्वपूर्ण है, लेकिन वेव फंक्शन पतन की व्याख्या नहीं कर सकता है, क्योंकि सभी शास्त्रीय विकल्प अभी भी मिश्रित अवस्था में मौजूद हैं, और वेव फंक्शन पतन उनमें से केवल एक का चयन करता है।
 * इसी तरह, क्वांटम संगणना, क्वांटम सूचना सिद्धांत, ओपन क्वांटम सिस्टम, और अन्य क्षेत्रों में जहां राज्य की तैयारी शोर है और अव्यवस्था हो सकती है, घनत्व मेट्रिसेस का अक्सर उपयोग किया जाता है। शोर को अक्सर एक क्वांटम विध्रुवण चैनल या एक आयाम भिगोने वाले चैनल के माध्यम से तैयार किया जाता है। क्वांटम टोमोग्राफी एक ऐसी प्रक्रिया है जिसके द्वारा, क्वांटम मापन के परिणामों का प्रतिनिधित्व करने वाले डेटा का एक सेट दिया जाता है, उन माप परिणामों के अनुरूप एक घनत्व मैट्रिक्स की गणना की जाती है।
 * परमाणु या अणु जैसे कई इलेक्ट्रॉनों के साथ एक प्रणाली का विश्लेषण करते समय, एक अपूर्ण लेकिन उपयोगी पहला सन्निकटन इलेक्ट्रॉनों को इलेक्ट्रॉनिक सहसंबंध या प्रत्येक के स्वतंत्र एकल-कण तरंग के रूप में माना जाता है। हार्ट्री-फॉक पद्धति में स्लेटर निर्धारक का निर्माण करते समय यह सामान्य शुरुआती बिंदु है। अगर वहाँ $$N$$ इलेक्ट्रॉन भरते हैं $$N$$ एकल-कण तरंग कार्य $$|\psi_i\rangle$$, फिर का संग्रह $$N$$ इलेक्ट्रॉनों को एक साथ एक घनत्व मैट्रिक्स द्वारा चित्रित किया जा सकता है $\sum_{i=1}^N |\psi_i\rangle \langle \psi_i|$.

सी * - राज्यों का बीजगणितीय सूत्रीकरण
अब यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि क्वांटम यांत्रिकी का वर्णन जिसमें सभी स्व-संलग्न संचालिका अवलोकनीयों का प्रतिनिधित्व करते हैं, अस्थिर है। इस कारण से, वेधशालाओं की पहचान एक अमूर्त C*-बीजगणित A के तत्वों के साथ की जाती है (जो संचालकों के बीजगणित के रूप में एक विशिष्ट प्रतिनिधित्व के बिना है) और राज्य (कार्यात्मक विश्लेषण) A पर सकारात्मक रैखिक कार्यात्मक हैं। हालांकि, GNS का उपयोग करके निर्माण, हम हिल्बर्ट रिक्त स्थान को पुनर्प्राप्त कर सकते हैं जो ए को ऑपरेटरों के सबलजेब्रा के रूप में महसूस करते हैं।

ज्यामितीय रूप से, सी*-बीजगणित ए पर एक शुद्ध स्थिति एक ऐसी स्थिति है जो ए पर सभी राज्यों के सेट का एक चरम बिंदु है। जीएनएस निर्माण के गुणों से ये राज्य ए के अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व के अनुरूप हैं।

कॉम्पैक्ट ऑपरेटर्स K(H) के C*-बीजगणित की अवस्थाएं बिल्कुल घनत्व ऑपरेटरों के अनुरूप होती हैं, और इसलिए K(H) की शुद्ध अवस्थाएं क्वांटम यांत्रिकी के अर्थ में बिल्कुल शुद्ध अवस्थाएं हैं।

C*-बीजगणितीय सूत्रीकरण को शास्त्रीय और क्वांटम दोनों प्रणालियों को शामिल करने के लिए देखा जा सकता है। जब प्रणाली शास्त्रीय होती है, तो वेधशालाओं का बीजगणित एबेलियन सी * -बीजगणित बन जाता है। उस स्थिति में राज्य संभाव्यता उपाय बन जाते हैं।

इतिहास
1927 में जॉन वॉन न्यूमैन द्वारा घनत्व ऑपरेटरों और मैट्रिक्स की औपचारिकता पेश की गई थी और स्वतंत्र रूप से, लेकिन कम व्यवस्थित रूप से, लेव लैंडौ द्वारा और बाद में 1946 में फेलिक्स बलोच द्वारा। क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी और क्वांटम माप के सिद्धांत दोनों को विकसित करने के लिए वॉन न्यूमैन ने घनत्व मैट्रिक्स पेश किया। नाम घनत्व मैट्रिक्स स्वयं शास्त्रीय सांख्यिकीय यांत्रिकी में एक चरण-स्थान संभाव्यता माप (स्थिति और संवेग की संभाव्यता वितरण) के अपने शास्त्रीय पत्राचार से संबंधित है, जिसे 1932 में विग्नर द्वारा पेश किया गया था।

इसके विपरीत, लैंडौ को प्रेरित करने वाली प्रेरणा एक राज्य सदिश द्वारा एक समग्र क्वांटम प्रणाली के उपतंत्र का वर्णन करने की असंभवता थी।

यह भी देखें

 * परमाणु इलेक्ट्रॉन संक्रमण
 * सघनता व्यावहारिक सिद्धांत
 * हरा-कुबो संबंध
 * ग्रीन का कार्य (कई-शरीर सिद्धांत)
 * लिंडब्लाड समीकरण
 * विग्नर अर्ध-प्रायिकता वितरण

नोट्स और संदर्भ
श्रेणी:कार्यात्मक विश्लेषण श्रेणी:क्वांटम सूचना विज्ञान श्रेणी:सांख्यिकीय यांत्रिकी श्रेणी:लेव लैंडौ