पृथक्कृत समुच्चय

सांस्थिति और गणित की संबंधित शाखाओं में, विलग्‍न समुच्चय किसी दिए गए सांस्थितिक समष्टि के उपसमुच्चय के युग्म होते हैं जो एक दूसरे से एक निश्चित विधि से संबंधित होते हैं: साधारणतया बोलना, न तो अतिव्यापी और न ही स्पर्श करना। जब दो समुच्चय विलग्‍न होते हैं या नहीं, की धारणा संबद्ध समष्टि (और उनके संबद्ध अवयव) के साथ-साथ सांस्थितिक समष्टि के लिए पृथक्करण स्वयंसिद्धों की धारणा के लिए महत्वपूर्ण है।

विलग्‍न समुच्चय को विलग्‍न समष्टि (नीचे परिभाषित) के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जो किंचित संबंधित हैं परन्तु विलग्‍न हैं। वियोज्य समष्टि फिर से एक पूर्ण रूप से विलग्‍न सामयिक अवधारणा है।

परिभाषाएँ
ऐसी कई विधि हैं जिनमें सांस्थितिक समष्टि $$X$$ के दो उपसमुच्चय $$A$$ और $$B$$ को विलग्‍न करने पर विचार किया जा सकता है। सबसे मूलभूत विधि जिसमें दो समुच्चय को विलग्‍न किया जा सकता है, वह है यदि वे असंयुक्त समुच्चय हैं, अर्थात, यदि उनका प्रतिच्छेदन (समुच्चय सिद्धांत) रिक्त समुच्चय है। इस गुण का सांस्थिति से कोई लेना-देना नहीं है, बल्कि मात्र सहज समुच्चय सिद्धांत है। नीचे दी गई प्रत्येक गुण असम्बद्धता की तुलना में जटिल है, जिसमें कुछ सामयिक सूचना सम्मिलित है। गुणों को विशिष्टता के बढ़ते क्रम में प्रस्तुत किया जाता है, प्रत्येक पूर्ववर्ती की तुलना में एक दृढ धारणा है।

एक अधिक प्रतिबंधात्मक गुण वह है $$A$$ और $$B$$ हैं में $$X$$ यदि प्रत्येक दूसरे के बंद होने (सांस्थिति) से विलग्‍न है:

$$\left(A \cap \bar{B}\right) \cup \left(\bar{A} \cap B\right) = \varnothing.$$ इस गुण के रूप में जाना जाता है. चूंकि प्रत्येक समुच्चय इसके बंद होने में समाहित है, दो विलग्‍न समुच्चय स्वचालित रूप से विलग्‍न होने चाहिए। बंदों को स्वयं एक दूसरे से विलग्‍न होने की आवश्यकता नहीं है; उदाहरण के लिए, अंतराल (गणित) एस $$[0, 1)$$ और $$(1, 2]$$ वास्तविक रेखा में विलग्‍न हो जाते हैं $$\Reals,$$ भले ही बिंदु 1 उनके दोनों बंदों से संबंधित है। एक अधिक सामान्य उदाहरण यह है कि किसी भी मीट्रिक समष्टि में, दो खुली गेंदें $$B_r(p) = \{x \in X : d(p, x) < r\}$$ और $$B_s(q) = \{x \in X : d(q, x) < s\}$$ जब भी विलग्‍न होते हैं $$d(p, q) \geq r + s.$$ विलग्‍न होने की गुण को व्युत्पन्न समुच्चय (गणित) के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है (प्राइम सिंबल द्वारा दर्शाया गया है): $$A$$ और $$B$$ विलग्‍न हो जाते हैं जब वे विलग्‍न होते हैं और प्रत्येक दूसरे के व्युत्पन्न समुच्चय से विलग्‍न होता है, यानी, $A' \cap B = \varnothing = B' \cap A.$ (परिभाषा के पहले संस्करण के मामले में, व्युत्पन्न समुच्चय $$A'$$ और $$B'$$ एक दूसरे से विलग्‍न होने की आवश्यकता नहीं है।)

समुच्चय $$A$$ और $$B$$ हैं अगर पड़ोस (सांस्थिति) हैं $$U$$ का $$A$$ और $$V$$ का $$B$$ ऐसा है कि $$U$$ और $$V$$ असंबद्ध हैं। (कभी-कभी आप आवश्यकता देखेंगे कि $$U$$ और $$V$$ ओपन (सांस्थिति) पड़ोस हो, परन्तु इससे अंत में कोई फर्क नहीं पड़ता।) के उदाहरण के लिए$$A = [0, 1)$$ और $$B = (1, 2],$$ तुम ले सकते हो $$U = (-1, 1)$$ और $$V = (1, 3).$$ ध्यान दें कि यदि किन्हीं दो समुच्चय ों को पड़ोस द्वारा विलग्‍न किया जाता है, तो निश्चित रूप से वे विलग्‍न हो जाते हैं। अगर $$A$$ और $$B$$ खुले और विलग्‍न हैं, तो उन्हें आस-पड़ोस से विलग्‍न किया जाना चाहिए; बस ले लो $$U = A$$ और $$V = B.$$ इस कारण से, विलग्‍नाव का उपयोग अक्सर बंद समुच्चय ों के साथ किया जाता है (जैसा कि सामान्य पृथक्करण स्वयंसिद्ध में होता है)।

समुच्चय $$A$$ और $$B$$ हैं यदि कोई बंद (सांस्थिति) पड़ोस है $$U$$ का $$A$$ और एक बंद पड़ोस $$V$$ का $$B$$ ऐसा है कि $$U$$ और $$V$$ असंबद्ध हैं। हमारे उदाहरण, $$[0, 1)$$ और $$(1, 2],$$ हैं बंद पड़ोस से विलग्‍न। आप या तो बना सकते हैं $$U$$ या $$V$$ इसमें बिंदु 1 को सम्मिलित करके बंद किया जा सकता है, परन्तु आप दोनों को असंयुक्त रखते हुए बंद नहीं कर सकते। ध्यान दें कि यदि कोई दो समुच्चय बंद पड़ोस से विलग्‍न हो जाते हैं, तो निश्चित रूप से वे पड़ोस से विलग्‍न हो जाते हैं।

समुच्चय $$A$$ और $$B$$ हैं यदि कोई निरंतर कार्य मौजूद है $$f : X \to \Reals$$ अंतरिक्ष से $$X$$ वास्तविक रेखा के लिए $$\Reals$$ ऐसा है कि $$A \subseteq f^{-1}(0)$$ और $$B \subseteq f^{-1}(1)$$, यानी के सदस्य $$A$$ मैप टू 0 और के सदस्य $$B$$ मानचित्र 1. (कभी-कभी इकाई अंतराल $$[0, 1]$$ के समष्टि पर प्रयोग किया जाता है $$\Reals$$ इस परिभाषा में, परन्तु इससे कोई फर्क नहीं पड़ता।) हमारे उदाहरण में, $$[0, 1)$$ और $$(1, 2]$$ एक फ़ंक्शन द्वारा विलग्‍न नहीं किया जाता है, क्योंकि निरंतर परिभाषित करने का कोई विधि नहीं है $$f$$ बिंदु 1 पर। यदि दो समुच्चय एक सतत कार्य से विलग्‍न होते हैं, तो वे बंद पड़ोस से भी विलग्‍न हो जाते हैं; पड़ोस की प्राथमिकता के संदर्भ में दिया जा सकता है $$f$$ जैसा $$U = f^{-1}[-c, c]$$ और $$V = f^{-1}[1 - c, 1 + c],$$ कहाँ $$c$$ कोई धनात्मक संख्या इससे कम है $$1/2.$$ समुच्चय $$A$$ और $$B$$ हैं यदि कोई निरंतर कार्य मौजूद है $$f : X \to \Reals$$ ऐसा है कि $$A = f^{-1}(0)$$ और $$B = f^{-1}(1).$$ (फिर से, आप इसके समष्टि पर इकाई अंतराल भी देख सकते हैं $$\Reals,$$ और फिर से इससे कोई फर्क नहीं पड़ता।) ध्यान दें कि यदि किन्हीं भी दो समुच्चय ों को किसी फ़ंक्शन द्वारा सटीक रूप से विलग्‍न किया जाता है, तो वे एक सतत फ़ंक्शन द्वारा #विलग्‍न किए जाते हैं। तब से $$\{0\}$$ और $$\{1\}$$ में बंद हैं $$\Reals,$$ मात्र बंद समुच्चय एक फ़ंक्शन द्वारा सटीक रूप से विलग्‍न होने में सक्षम हैं, परन्तु सिर्फ इसलिए कि दो समुच्चय बंद हैं और एक फ़ंक्शन द्वारा विलग्‍न किए गए हैं इसका मतलब यह नहीं है कि वे स्वचालित रूप से एक फ़ंक्शन (यहां तक ​​​​कि एक विलग्‍न फ़ंक्शन) द्वारा ठीक से विलग्‍न हो जाते हैं।

विलग्‍न सिद्धांतों और विलग्‍न समष्टि से संबंध
पृथक्करण स्वयंसिद्ध विभिन्न स्थितियां हैं जो कभी-कभी स्थलीय समष्टिों पर लगाई जाती हैं, जिनमें से कई को विभिन्न प्रकार के विलग्‍न समुच्चय ों के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है। एक उदाहरण के रूप में हम T को परिभाषित करेंगे2 स्वयंसिद्ध, जो विलग्‍न समष्टिों पर लगाई गई स्थिति है। विशेष रूप से, एक सांस्थितिक समष्टि को विलग्‍न किया जाता है, यदि दो विलग्‍न (गणित) बिंदु x और y दिए गए हों, तो सिंगलटन समुच्चय {x} और {y} को पड़ोस से विलग्‍न किया जाता है।

विलग्‍न समष्टि को आमतौर पर हॉसडॉर्फ स्पेस या टी कहा जाता है2 रिक्त समष्टि।

संबद्ध स्पेस से संबंध
एक सांस्थितिक समष्टि एक्स को देखते हुए, कभी-कभी यह विचार करना उपयोगी होता है कि क्या एक उपसमुच्चय ए को इसके पूरक (समुच्चय सिद्धांत) से विलग्‍न करना संभव है। यह निश्चित रूप से सच है अगर A या तो रिक्त समुच्चय है या संपूर्ण समष्टि X है, परन्तु अन्य संभावनाएं भी हो सकती हैं। यदि ये मात्र दो संभावनाएं हैं तो एक सांस्थितिक समष्टि एक्स जुड़ा हुआ है। इसके विपरीत, यदि एक गैर-रिक्त उपसमुच्चय A को उसके स्वयं के पूरक से विलग्‍न किया जाता है, और यदि इस गुण को साझा करने के लिए A का एकमात्र उपसमुच्चय रिक्त समुच्चय है, तो A, X का एक खुला-जुड़ा हुआ घटक है। (पतित मामले में जहां X स्वयं है रिक्त समुच्चय $$\emptyset$$, अधिकारी इस बात पर भिन्न हैं कि क्या $$\emptyset$$ जुड़ा हुआ है और क्या $$\emptyset$$ स्वयं का एक खुला-जुड़ा हुआ घटक है।)

स्थैतिक रूप से विलग्‍न बिंदुओं से संबंध
एक सांस्थितिक समष्टि एक्स को देखते हुए, दो बिंदु एक्स और वाई सांस्थितिक रूप से विलग्‍न होते हैं यदि कोई खुला समुच्चय मौजूद होता है जो एक बिंदु से संबंधित होता है परन्तु दूसरा बिंदु नहीं होता है। यदि x और y स्थैतिक रूप से विलग्‍न हैं, तो सिंगलटन समुच्चय {x} और {y} को विलग्‍न होना चाहिए। दूसरी ओर, यदि सिंगलटन {x} और {y} को विलग्‍न किया जाता है, तो बिंदु x और y को स्थैतिक रूप से भिन्न होना चाहिए। इस प्रकार सिंगलटन के लिए, सांस्थितिक डिफरेंशियलिटी डिसजॉइंटनेस और सेपरेशननेस के बीच की स्थिति है।

स्रोत


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