सेलुलर समरूपता

गणित में, बीजगणितीय टोपोलॉजी में सेलुलर होमोलॉजी (सेलुलर सजातीयता) सीडब्ल्यू-सम्मिश्र की श्रेणी के लिए एक होमोलॉजी सिद्धांत है। यह एकवचन होमोलॉजी से सहमत है, और होमोलॉजी मॉड्यूल की गणना का एक प्रभावी साधन प्रदान कर सकता है।

परिभाषा
अगर $$ X $$ n-स्केलेटन|n-स्केलेटन वाला एक सीडब्ल्यू-सम्मिश्र है $$ X_{n} $$, सेलुलर-होमोलॉजी मॉड्यूल को होमोलॉजी समूह Hi के रूप में परिभाषित किया गया सेलुलर श्रृंखका सम्मिश्र हैl



\cdots \to {C_{n + 1}}(X_{n + 1},X_{n}) \to {C_{n}}(X_{n},X_{n - 1}) \to {C_{n - 1}}(X_{n - 1},X_{n - 2}) \to \cdots, $$ जहाँ $$ X_{-1} $$ रिक्त समुच्चय माना जाता है।

समूह



{C_{n}}(X_{n},X_{n - 1}) $$ निःशुल्क मॉड्यूल है, जनरेटर के साथ जिसे पहचाना जा सकता है $$ n $$-की सेल $$ X $$. होने देना $$ e_{n}^{\alpha} $$ सेम $$ n $$-की कोशिका $$ X $$, और जाने $$ \chi_{n}^{\alpha}: \partial e_{n}^{\alpha} \cong \mathbb{S}^{n - 1} \to X_{n-1} $$ संलग्न मानचित्र हो. फिर रचना पर विचार करें



\chi_{n}^{\alpha \beta}: \mathbb{S}^{n - 1}                                              \, \stackrel{\cong}{\longrightarrow} \, \partial e_{n}^{\alpha}                                         \, \stackrel{\chi_{n}^{\alpha}}{\longrightarrow} \, X_{n - 1}                                                       \, \stackrel{q}{\longrightarrow} \, X_{n - 1} / \left( X_{n - 1} \setminus e_{n - 1}^{\beta} \right) \, \stackrel{\cong}{\longrightarrow} \, \mathbb{S}^{n - 1}, $$ जहां पहला मानचित्र पहचान करता है $$ \mathbb{S}^{n - 1} $$ साथ $$ \partial e_{n}^{\alpha} $$ विशेषता मानचित्र के माध्यम से $$ \Phi_{n}^{\alpha} $$ का $$ e_{n}^{\alpha} $$, जो वस्तु $$ e_{n - 1}^{\beta} $$ एक $$ (n - 1) $$-X का कक्ष, तीसरा मानचित्र $$ q $$ वह भागफल मानचित्र है जो ढह जाता है $$ X_{n - 1} \setminus e_{n - 1}^{\beta} $$ एक बिंदु तक (इस प्रकार लपेटना $$ e_{n - 1}^{\beta} $$ एक गोले में $$ \mathbb{S}^{n - 1} $$), और अंतिम मानचित्र पहचान करता है $$ X_{n - 1} / \left( X_{n - 1} \setminus e_{n - 1}^{\beta} \right) $$ साथ $$ \mathbb{S}^{n - 1} $$ विशेषता मानचित्र के माध्यम से $$ \Phi_{n - 1}^{\beta} $$ का $$ e_{n - 1}^{\beta} $$.

सीमा मानचित्र



\partial_{n}: {C_{n}}(X_{n},X_{n - 1}) \to {C_{n - 1}}(X_{n - 1},X_{n - 2}) $$ फिर सूत्र द्वारा दिया जाता है



{\partial_{n}}(e_{n}^{\alpha}) = \sum_{\beta} \deg \left( \chi_{n}^{\alpha \beta} \right) e_{n - 1}^{\beta}, $$ जहाँ $$ \deg \left( \chi_{n}^{\alpha \beta} \right) $$ की सतत मानचित्रण की डिग्री है $$ \chi_{n}^{\alpha \beta} $$ और रकम सब पर ले ली जाती है $$ (n - 1) $$-की सेल $$ X $$, के जनरेटर के रूप में माना जाता है $$ {C_{n - 1}}(X_{n - 1},X_{n - 2}) $$.

उदाहरण
निम्नलिखित उदाहरण बताते हैं कि क्यों सेलुलर होमोलॉजी के साथ की गई गणनाएं अकेले सेलुलर होमोलॉजी का उपयोग करके की गई गणनाओं की तुलना में अधिक कुशल होती हैं।

n-क्षेत्र
n-गोला|n-आयामी क्षेत्र Sn दो सेलुलर, एक 0-सेल और एक n-सेल के साथ एक सीडब्ल्यू संरचना को स्वीकार करता है। यहां n-सेल निरंतर मैपिंग द्वारा जुड़ा हुआ है $$S^{n-1}$$ 0-सेल तक. सेलुलर श्रृंखला समूहों के जनरेटर के बाद से $${C_{k}}(S^n_{k},S^{n}_{k - 1})$$ S की k-सेलुलर से पहचाना जा सकता हैn, हमारे पास वह है $${C_{k}}(S^n_{k},S^{n}_{k - 1})=\Z$$ के लिए $$k = 0, n,$$ और अन्यथा तुच्छ है.

इसलिए के लिए $$n>1$$, परिणामी श्रृंखला सम्मिश्र है


 * $$\dotsb\overset{\partial_{n+2}}{\longrightarrow\,}0

\overset{\partial_{n+1}}{\longrightarrow\,}\Z \overset{\partial_n}{\longrightarrow\,}0 \overset{\partial_{n-1}}{\longrightarrow\,} \dotsb \overset{\partial_2}{\longrightarrow\,} 0 \overset{\partial_1}{\longrightarrow\,} \Z {\longrightarrow\,} 0,$$ लेकिन फिर चूंकि सभी सीमा मानचित्र या तो तुच्छ समूहों से हैं या उनसे हैं, वे सभी शून्य होने चाहिए, जिसका अर्थ है कि सेलुलर होमोलॉजी समूह बराबर हैं
 * $$H_k(S^n) = \begin{cases} \mathbb Z & k=0, n \\ \{0\} & \text{otherwise.} \end{cases}$$

जब $$n=1$$, यह सत्यापित करना संभव है कि सीमा मानचित्र $$\partial_1$$ शून्य है, जिसका अर्थ है कि उपरोक्त सूत्र सभी घनात्मक के लिए मान्य है $$n$$.

जीनस g सतह
सेलुलर होमोलॉजी का उपयोग जीनस g सतह की होमोलॉजी की गणना के लिए भी किया जा सकता है $$\Sigma_g$$. का मौलिक बहुभुज $$\Sigma_g$$ एक है $$4n$$-गॉन जो देता है $$\Sigma_g$$ एक 2-सेल वाली सीडब्ल्यू-संरचना, $$2n$$ 1-सेल, और एक 0-सेल। 2-सेल की सीमा के साथ जुड़ा हुआ है $$4n$$-गॉन, जिसमें प्रत्येक 1-कोशिका दो बार होती है, एक बार आगे की ओर और एक बार पीछे की ओर। इसका तात्पर्य है कि संलग्न मानचित्र शून्य है, क्योंकि प्रत्येक 1-सेल की आगे और पीछे की दिशाएं रद्द हो जाती हैं। इसी प्रकार, प्रत्येक 1-सेल के लिए संलग्न मानचित्र भी शून्य है, क्योंकि यह निरंतर मानचित्रण है $$S^0$$ 0-सेल के लिए. इसलिए, परिणामी श्रृंखला सम्मिश्र है

\cdots \to 0 \xrightarrow{\partial_3} \mathbb{Z} \xrightarrow{\partial_2} \mathbb{Z}^{2g} \xrightarrow{\partial_1} \mathbb{Z} \to 0, $$ जहां सभी सीमा मानचित्र शून्य हैं। इसलिए, इसका तात्पर्य है कि जीनस जी सतह की सेलुलर होमोलॉजी दी गई है

H_k(\Sigma_g) = \begin{cases} \mathbb{Z} & k = 0,2 \\ \mathbb{Z}^{2g} & k = 1 \\ \{0\} & \text{otherwise.} \end{cases} $$ इसी तरह, कोई 1 0-सेल, g 1-सेल और 1 2-सेल के साथ सीडब्ल्यू सम्मिश्र के रूप में जुड़े क्रॉसकैप के साथ जीनस जी सतह का निर्माण कर सकता है। इसके होमोलॉजी समूह हैं$$ H_k(\Sigma_g) = \begin{cases} \mathbb{Z} & k = 0 \\ \mathbb{Z}^{g-1} \oplus \Z_2 & k = 1 \\ \{0\} & \text{otherwise.} \end{cases} $$

टोरस
n-टोरस $$(S^1)^n$$ 1 0-सेल, n 1-सेल, ..., और 1 n-सेल के साथ सीडब्ल्यू सम्मिश्र के रूप में बनाया जा सकता है। शृंखला संकुल है $$0\to \Z^{\binom{n}{n}} \to \Z^{\binom{n}{n-1}} \to \cdots \to  \Z^{\binom{n}{1}} \to  \Z^{\binom{n}{0}} \to 0$$ और सभी सीमा मानचित्र शून्य हैं। इसे स्पष्ट रूप से मामलों का निर्माण करके समझा जा सकता है $$n = 0, 1, 2, 3$$, फिर पैटर्न देखें।

इस प्रकार, $$H_k((S^1)^n) \simeq \Z^{\binom{n}{k}}$$.

सम्मिश्र प्रक्षेप्य स्थान
अगर $$X$$ इसमें कोई आसन्न-आयामी सेल नहीं हैं, (इसलिए यदि इसमें n-सेल हैं, तो इसमें कोई (n-1)-सेल और (n+1)-सेल नहीं हैं), तो $$H_n^{CW}(X)$$ प्रत्येक के लिए इसकी n-सेलुलर द्वारा उत्पन्न मुक्त एबेलियन समूह है $$n$$.

सम्मिश्र प्रक्षेप्य स्थान $$P^n\mathbb C$$ इस प्रकार 0-सेल, 2-सेल, ..., और (2n)-सेल को एक साथ जोड़कर प्राप्त किया जाता है $$H_k(P^n\mathbb C) = \Z$$ के लिए $$k = 0, 2, ..., 2n$$, और अन्यथा शून्य.

वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान
वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान $$\mathbb{R} P^n$$ एक के साथ सीडब्ल्यू-संरचना स्वीकार करता है $$k$$-कक्ष $$e_k$$ सभी के लिए $$k \in \{0, 1, \dots, n\}$$. इनके लिए संलग्न मानचित्र $$k$$-सेल्स को 2-फोल्ड कवरिंग मैप द्वारा दिया गया है $$\varphi_k \colon S^{k - 1} \to \mathbb{R} P^{k - 1}$$. (देखें कि $$k$$-स्केलेटन $$\mathbb{R} P^n_k \cong \mathbb{R} P^k$$ सभी के लिए $$k \in \{0, 1, \dots, n\}$$.) ध्यान दें कि इस मामले में, $$C_k(\mathbb{R} P^n_k, \mathbb{R} P^n_{k - 1}) \cong \mathbb{Z}$$ सभी के लिए $$k \in \{0, 1, \dots, n\}$$.

सीमा मानचित्र की गणना करना

\partial_k \colon C_k(\mathbb{R} P^n_k, \mathbb{R} P^n_{k - 1}) \to C_{k - 1}(\mathbb{R} P^n_{k - 1}, \mathbb{R} P^n_{k - 2}), $$ हमें मानचित्र की डिग्री ज्ञात करनी होगी

\chi_k \colon S^{k - 1} \overset{\varphi_k}{\longrightarrow} \mathbb{R} P^{k - 1} \overset{q_k}{\longrightarrow} \mathbb{R} P^{k - 1}/\mathbb{R} P^{k - 2} \cong S^{k - 1}. $$ अब, उस पर ध्यान दें $$\varphi_k^{-1}(\mathbb{R} P^{k - 2}) = S^{k - 2} \subseteq S^{k - 1}$$, और प्रत्येक बिंदु के लिए $$x \in \mathbb{R} P^{k - 1} \setminus \mathbb{R} P^{k - 2}$$, हमारे पास वह है $$\varphi^{-1}(\{x\})$$ इसमें दो बिंदु होते हैं, प्रत्येक जुड़े घटक (खुले गोलार्ध) में एक $$S^{k - 1}\setminus S^{k - 2}$$. इस प्रकार, मानचित्र की डिग्री ज्ञात करने के लिए $$\chi_k$$, यह की स्थानीय डिग्री खोजने के लिए पर्याप्त है $$\chi_k$$ इनमें से प्रत्येक खुले गोलार्ध पर। अंकन में आसानी के लिए, हमने जाने दिया $$B_k$$ और $$\tilde B_k$$ के जुड़े हुए घटकों को निरूपित करें $$S^{k - 1}\setminus S^{k - 2}$$. तब $$\chi_k|_{B_k}$$ और $$\chi_k|_{\tilde B_k}$$ होमोमोर्फिज्म हैं, और $$\chi_k|_{\tilde B_k} = \chi_k|_{B_k} \circ A$$, जहाँ $$A$$ प्रतिपादक मानचित्र है। अब, एंटीपोडल मानचित्र की डिग्री पर $$S^{k - 1}$$ है $$(-1)^k$$. इसलिए, व्यापकता की हानि के बिना, हमारे पास वह स्थानीय डिग्री है $$\chi_k$$ पर $$B_k$$ है $$1$$ और की स्थानीय डिग्री $$\chi_k$$ पर $$\tilde B_k$$ है $$(-1)^k$$. स्थानीय डिग्रियों को जोड़ने पर, हमारे पास वह है

\deg(\chi_k) = 1 + (-1)^k = \begin{cases} 2 & \text{if } k \text{ is even,} \\ 0 & \text{if } k \text{ is odd.} \end{cases} $$ सीमा मानचित्र $$\partial_k$$ फिर द्वारा दिया जाता है $$\deg(\chi_k)$$.

इस प्रकार हमारे पास सीडब्ल्यू-संरचना चालू है $$\mathbb{R} P^n$$ निम्नलिखित श्रृंखला परिसर को उत्पत्ति करता है:

0 \longrightarrow \mathbb{Z} \overset{\partial_n}{\longrightarrow} \cdots \overset{2}{\longrightarrow} \mathbb{Z} \overset{0}{\longrightarrow} \mathbb{Z} \overset{2}{\longrightarrow} \mathbb{Z} \overset{0}{\longrightarrow} \mathbb{Z} \longrightarrow 0, $$ जहाँ $$\partial_n = 2$$ अगर $$n$$ सम है और $$\partial_n = 0$$ अगर $$n$$ अजीब है। इसलिए, सेलुलर होमोलॉजी समूह के लिए $$\mathbb{R} P^n$$ निम्नलिखित हैं:

H_k(\mathbb{R} P^n) = \begin{cases} \mathbb{Z} & \text{if } k = 0, n, \\ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} & \text{if } 0 < k < n \text{ odd,} \\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases} $$

अन्य गुण
कोई सेलुलर श्रृंखला परिसर से देख सकता है कि $$ n $$-स्केलेटन सभी निम्न-आयामी होमोलॉजी मॉड्यूल निर्धारित करता है:



{H_{k}}(X) \cong {H_{k}}(X_{n}) $$ के लिए $$ k < n $$.

इस सेलुलर परिप्रेक्ष्य का एक महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि यदि सीडब्ल्यू-सम्मिश्र में लगातार आयामों में कोई कोशिका नहीं है, तो इसके सभी होमोलॉजी मॉड्यूल स्वतंत्र हैं। उदाहरण के लिए, सम्मिश्र प्रक्षेप्य स्थान $$ \mathbb{CP}^{n} $$ प्रत्येक सम आयाम में एक कोशिका के साथ एक कोशिका संरचना होती है; यह उसके लिए अनुसरण करता है $$ 0 \leq k \leq n $$,



{H_{2 k}}(\mathbb{CP}^{n};\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z} $$ और



{H_{2 k + 1}}(\mathbb{CP}^{n};\mathbb{Z}) = 0. $$

सामान्यीकरण
अतियाह-हिर्ज़ेब्रुक वर्णक्रमीय अनुक्रम तुल्यरूप से असाधारण होमोलॉजी सिद्धांत असाधारण (सह) होमोलॉजी सिद्धांत के लिए सीडब्ल्यू-सम्मिश्र की (सह) होमोलॉजी की गणना करने की अनुरूप विधि है।

यूलर विशेषता
सेलुलर सम्मिश्र के लिए $$ X $$, होने देना $$ X_{j} $$ यह हो $$ j $$-वें स्केलेटन, और $$ c_{j} $$ की संख्या हो $$ j $$-सेल्स, यानी, फ्री मॉड्यूल की रैंक $$ {C_{j}}(X_{j},X_{j - 1}) $$. यूलर की विशेषता $$ X $$ फिर द्वारा परिभाषित किया गया है



\chi(X) = \sum_{j = 0}^{n} (-1)^{j} c_{j}. $$ यूलर विशेषता एक समरूप अपरिवर्तनीय है। वास्तव में, बेट्टी संख्या के संदर्भ में $$ X $$,



\chi(X) = \sum_{j = 0}^{n} (-1)^{j} \operatorname{Rank}({H_{j}}(X)). $$ इसे इस प्रकार उचित ठहराया जा सकता है। त्रिक के लिए सापेक्ष समरूपता के लंबे सटीक अनुक्रम पर विचार करें $$ (X_{n},X_{n - 1},\varnothing) $$:



\cdots \to {H_{i}}(X_{n - 1},\varnothing) \to {H_{i}}(X_{n},\varnothing) \to {H_{i}}(X_{n},X_{n - 1}) \to \cdots. $$ अनुक्रम के माध्यम से सटीकता का पीछा करना देता है



\sum_{i = 0}^{n} (-1)^{i} \operatorname{Rank}({H_{i}}(X_{n},\varnothing)) = \sum_{i = 0}^{n} (-1)^{i} \operatorname{Rank}({H_{i}}(X_{n},X_{n - 1})) + \sum_{i = 0}^{n} (-1)^{i} \operatorname{Rank}({H_{i}}(X_{n - 1},\varnothing)). $$ यही गणना त्रिगुणों पर भी लागू होती है $$ (X_{n - 1},X_{n - 2},\varnothing) $$, $$ (X_{n - 2},X_{n - 3},\varnothing) $$, आदि। प्रेरण द्वारा,



\sum_{i = 0}^{n} (-1)^{i} \; \operatorname{Rank}({H_{i}}(X_{n},\varnothing)) = \sum_{j = 0}^{n} \sum_{i = 0}^{j} (-1)^{i} \operatorname{Rank}({H_{i}}(X_{j},X_{j - 1})) = \sum_{j = 0}^{n} (-1)^{j} c_{j}. $$

संदर्भ

 * Albrecht Dold: Lectures on Algebraic Topology, Springer ISBN 3-540-58660-1.
 * Allen Hatcher: Algebraic Topology, Cambridge University Press ISBN 978-0-521-79540-1. A free electronic version is available on the author's homepage.