एन-बॉडी समस्या

भौतिकी में, $n$-बॉडी समस्या एक दूसरे के साथ गुरुत्वाकर्षण से संपर्क करने वाले खगोलीय पिंडों के समूह की व्यक्तिगत गति की भविष्यवाणी करने की समस्या है। इस समस्या का समाधान सूर्य, चंद्रमा, ग्रहो और दृश्यमान तारों की गति को समझने की इच्छा से प्रेरित किया गया है। 20वीं सदी में गोलाकार क्लस्टर तारा प्रणालियों की गतिशीलता को समझना महत्वपूर्ण $n$-बॉडी की समस्या बन गई है। -समय और स्थान विकृतियों जैसे अतिरिक्त कारकों के कारण सामान्य सापेक्षता में $n$-बॉडी की समस्या को हल करना अधिक कठिन है।

इस प्रकार से मौलिक शारीरिक समस्या को अनौपचारिक रूप से निम्नलिखित रूप में बताया जा सकता है: "अर्ध-स्थिर कक्षीय गुणों (तात्कालिक स्थिति, वेग और समय) को देखते हुए आकाशीय पिंडों के एक समूह की, उनकी अंतःक्रियात्मक शक्तियों की भविष्यवाणी करना; और परिणामस्वरूप, भविष्य के सभी समयों के लिए उनकी वास्तविक कक्षीय गतियों की भविष्यवाणी करें."

दो-बॉडी की समस्या पूर्ण रूप से हल हो गई है। और इस पर विचार किया गया है, साथ ही प्रसिद्ध प्रतिबंधित त्रि-बॉडी की समस्या भी है।

इतिहास
किसी ग्रह की कक्षा की तीन कक्षीय स्थितियों को जानना - सर आइजैक न्यूटन द्वारा खगोलशास्त्री जॉन फ्लेमस्टीड से प्राप्त स्थिति - न्यूटन किसी ग्रह की गति की भविष्यवाणी करने के लिए सीधी विश्लेषणात्मक ज्यामिति द्वारा एक समीकरण तैयार करने में सक्षम था; अर्थात, इसके कक्षीय गुण बताने के लिए: स्थिति, कक्षीय व्यास, अवधि और कक्षीय वेग ऐसा करने के पश्चात, उन्होंने और अन्य लोगों ने शीघ्र ही कुछ वर्षों के समय पाया कि गति के उन समीकरणों ने कुछ कक्षाओं की सही या अधिक उचित रूप से भविष्यवाणी नहीं की थी। और न्यूटन को एहसास हुआ कि ऐसा इसलिए था क्योंकि सभी ग्रहों के मध्य गुरुत्वाकर्षण परस्पर क्रिया बल उनकी सभी कक्षाओं को प्रभावित कर रहे थे।

उपरोक्त रहस्योद्घाटन सीधे रूप से एन-बॉडी मुद्दे के भौतिक रूप से मूल पर हमला करता है: जैसा कि न्यूटन ने समझा, किसी ग्रह की वास्तविक कक्षा स्थापित करने के लिए केवल प्रारंभिक स्थान और वेग, या यहां तक ​​कि तीन कक्षीय स्थिति प्रदान करना पर्याप्त नहीं है; किसी को गुरुत्वाकर्षण संपर्क बलों के बारे में भी जागरूक होना चाहिए। इस प्रकार जागरूकता और उत्थान आया $n$-17वीं सदी की शुरुआत में शारीरिक समस्या। ये गुरुत्वाकर्षण आकर्षक बल न्यूटन के गति के नियमों और उसके सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुरूप हैं, लेकिन कई गुणात्मक ($n$-बॉडी) इंटरैक्शन ने ऐतिहासिक रूप से किसी भी सटीक समाधान को कठिन बना दिया है। विडंबना यह है कि इस अनुरूपता ने गलत दृष्टिकोण को जन्म दिया।

न्यूटन के समय के बाद $n$-बॉडी की समस्या को ऐतिहासिक रूप से सही ढंग से नहीं बताया गया क्योंकि इसमें उन गुरुत्वाकर्षण इंटरैक्टिव बलों का संदर्भ शामिल नहीं था। न्यूटन इसे सीधे तौर पर नहीं कहते हैं बल्कि अपने फिलोसोफी नेचुरेलिस प्रिंसिपिया मैथमेटिका में इसका संकेत देते हैं। $n}|n$-बॉडी की समस्या उन गुरुत्वाकर्षण अंतःक्रियात्मक बलों के कारण हल नहीं हो पा रही है। न्यूटन ने कहा उनके प्रिंसिपिया में, पैराग्राफ 21:

"And hence it is that the attractive force is found in both bodies. The Sun attracts Jupiter and the other planets, Jupiter attracts its satellites and similarly the satellites act on one another. And although the actions of each of a pair of planets on the other can be distinguished from each other and can be considered as two actions by which each attracts the other, yet inasmuch as they are between the same, two bodies they are not two but a simple operation between two termini. Two bodies can be drawn to each other by the contraction of rope between them. The cause of the action is twofold, namely the disposition of each of the two bodies; the action is likewise twofold, insofar as it is upon two bodies; but insofar as it is between two bodies it is single and one ..."

न्यूटन ने अपने न्यूटन के तीसरे नियम के माध्यम से यह निष्कर्ष निकाला कि इस नियम के अनुसार सभी पिंडों को एक-दूसरे को आकर्षित करना चाहिए। यह अंतिम कथन, जो गुरुत्वाकर्षण अंतःक्रियात्मक बलों के अस्तित्व को दर्शाता है, महत्वपूर्ण है।

जैसा कि नीचे दिखाया गया है, समस्या जीन ले रोंड डी'अलेम्बर्ट के गैर-न्यूटोनियन पहले और दूसरे सिद्धांतों और गैर-रेखीय सिद्धांतों के भी अनुरूप है $n$-बॉडी समस्या एल्गोरिदम, बाद वाला उन इंटरैक्टिव बलों की गणना के लिए बंद फॉर्म समाधान की अनुमति देता है।

का सामान्य समाधान ढूंढने की समस्या $n$-बॉडी की समस्या को बहुत महत्वपूर्ण और चुनौतीपूर्ण माना जाता था। दरअसल, 19वीं सदी के अंत में स्वीडन के राजा ऑस्कर द्वितीय ने, गोस्टा मिट्टाग-लेफ़लर की सलाह पर, समस्या का समाधान खोजने वाले किसी भी व्यक्ति के लिए पुरस्कार की स्थापना की। घोषणा अधिक विशिष्ट थी:

"Given a system of arbitrarily many mass points that attract each according to Newton's law, under the assumption that no two points ever collide, try to find a representation of the coordinates of each point as a series in a variable that is some known function of time and for all of whose values the series converges uniformly."

यदि समस्या का समाधान नहीं हो सका, तो मौलिक यांत्रिकी में कोई अन्य महत्वपूर्ण योगदान पुरस्कार के योग्य माना जाएगा। यह पुरस्कार हेनरी पोंकारे|पोंकारे को दिया गया, भले ही उन्होंने मूल समस्या का समाधान नहीं किया। (उनके योगदान के पहले संस्करण में भी गंभीर त्रुटि थी। ) अंततः मुद्रित संस्करण में कई महत्वपूर्ण विचार शामिल थे जिससे अराजकता सिद्धांत का विकास हुआ। जैसा कि मूल रूप से बताया गया था, अंततः कार्ल एफ. सुंडमैन द्वारा समस्या का समाधान किया गया $n = 3$ और सामान्यीकृत किया गया $n > 3$ एल.के. बाबादजानजान्ज़ द्वारा और किउडोंग वांग

सामान्य सूत्रीकरण
$n$-बॉडी समस्या पर विचार करता है $n$ बिंदु द्रव्यमान $m_{i}, i = 1, 2, …, n$ तीन आयामी अंतरिक्ष में संदर्भ के जड़त्वीय फ्रेम में $ℝ^{3}$ आपसी गुरुत्वाकर्षण आकर्षण के प्रभाव में घूमना। प्रत्येक द्रव्यमान $m_{i}$ में स्थिति वेक्टर है $q_{i}$. न्यूटन का दूसरा नियम कहता है कि द्रव्यमान गुणा त्वरण $m_{i} d^{2}q_{i}⁄dt^{2}$ द्रव्यमान पर लगने वाले बलों के योग के बराबर है। न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण का नियम कहता है कि गुरुत्वाकर्षण बल द्रव्यमान पर लगता है $m_{i}$ एकल द्रव्यमान द्वारा $m_{j}$ द्वारा दिया गया है $$\mathbf{F}_{ij} = \frac{G m_i m_j}{\left\| \mathbf{q}_j - \mathbf{q}_i\right\|^2} \cdot \frac{\left(\mathbf{q}_j - \mathbf{q}_i\right)}{\left\| \mathbf{q}_j - \mathbf{q}_i\right\|} = \frac{G m_i m_j \left(\mathbf{q}_j - \mathbf{q}_i\right)}{\left\| \mathbf{q}_j - \mathbf{q}_i\right\|^3}, $$ कहाँ $n$ गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है और $\|q_{j} − q_{i}\|$ मध्य की दूरी का परिमाण है $q_{i}$ और $q_{j}$ (मीट्रिक (गणित)#वेक्टर स्थानों पर मेट्रिक्स नॉर्म (गणित)#टैक्सीकैब मानदंड या मैनहट्टन मानदंड|$l_{2}$ आदर्श).

सभी द्रव्यमानों का योग करने पर प्राप्त होता है $n$-गति के निकाय समीकरण:$n$कहाँ $n$ स्व-संभावित ऊर्जा है $$U = -\sum_{1 \le i < j \le n} \frac{G m_i m_j}{\left\| \mathbf{q}_j - \mathbf{q}_i\right\|}.$$ होने की गति को परिभाषित करना $p_{i} = m_{i} dq_{i}⁄dt$, हैमिल्टनियन यांत्रिकी|हैमिल्टन की गति के समीकरण $n$-बॉडी की समस्या बन जाती है $$\frac{d\mathbf{q}_i}{dt} = \frac{\partial H}{\partial \mathbf{p}_i} \qquad \frac{d\mathbf{p}_i}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}_i}, $$ जहां हैमिल्टनियन फ़ंक्शन है $$H = T + U$$ और $n$गतिज ऊर्जा है $$T = \sum_{i=1}^n \frac{\left\| \mathbf{p}_i \right\|^2}{2m_i}.$$ हैमिल्टन के समीकरण दर्शाते हैं कि $n}|n$-बॉडी की समस्या प्रणाली है $6n$ प्रथम-क्रम विभेदक समीकरण, के साथ $6n$ प्रारंभिक शर्तें जैसे $3n$ प्रारंभिक स्थिति निर्देशांक और $3n$ प्रारंभिक संवेग मान.

में समरूपता $n$-बॉडी की समस्या गति का वैश्विक अभिन्न अंग उत्पन्न करती है जो समस्या को सरल बनाती है। समस्या की अनुवादात्मक समरूपता द्रव्यमान के केंद्र में परिणामित होती है $$\mathbf{C} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n m_i \mathbf{q}_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^n m_i} $$ निरंतर वेग से गतिमान है, ताकि $C = L_{0}t + C_{0}$, कहाँ $L_{0}$ रैखिक वेग है और $C_{0}$ प्रारंभिक स्थिति है. गति के स्थिरांक $L_{0}$ और $C_{0}$ गति के छह अभिन्न अंग का प्रतिनिधित्व करते हैं। घूर्णी समरूपता के परिणामस्वरूप कुल कोणीय गति स्थिर रहती है $$\mathbf{A} = \sum_{i=1}^n \mathbf{q}_i \times \mathbf{p}_i,$$ जहां × क्रॉस उत्पाद है। कुल कोणीय गति के तीन घटक $A$ गति के तीन और स्थिरांक प्राप्त करें। गति का अंतिम सामान्य स्थिरांक ऊर्जा के संरक्षण द्वारा दिया जाता है $G$. अत: प्रत्येक $n$-बॉडी की समस्या में गति के दस अभिन्न अंग होते हैं।

क्योंकि $$ और $U$क्रमशः डिग्री 2 और -1 के सजातीय फलन हैं, गति के समीकरणों में स्केलिंग अपरिवर्तनीयता होती है: यदि $q_{i}(t)$ समाधान है, तो ऐसा है $λ^{−2/3}q_{i}(λt)$ किसी के लिए $λ > 0$.

एक की जड़ता का क्षण $n$-बॉडी सिस्टम द्वारा दिया गया है $$ I = \sum_{i=1}^n m_i \mathbf{q}_i \cdot \mathbf{q}_i = \sum_{i=1}^n m_i \left\|\mathbf{q}_i\right\|^2 $$ और वायरल द्वारा दिया गया है $Q = 1⁄2 dI⁄dt$. फिर लैग्रेंज-जैकोबी फॉर्मूला बताता है कि $$\frac{d^2I}{dt^2} = 2T - U.$$ गतिशील संतुलन में प्रणालियों के लिए, दीर्घकालिक समय औसत $⟨d^{2}I⁄dt^{2}⟩$शून्य है. तब औसतन कुल गतिज ऊर्जा कुल स्थितिज ऊर्जा की आधी होती है, $⟨T⟩ = 1⁄2⟨U⟩$, जो गुरुत्वाकर्षण प्रणालियों के लिए वायरल प्रमेय का उदाहरण है। अगर $T$ कुल द्रव्यमान है और $n$ सिस्टम का विशिष्ट आकार (उदाहरण के लिए, सिस्टम का आधा द्रव्यमान युक्त त्रिज्या), तो सिस्टम के लिए गतिशील संतुलन स्थापित करने का महत्वपूर्ण समय है $$t_\mathrm{cr} = \sqrt\frac{GM}{R^3}.$$

दो-बॉडी की समस्या
ग्रहों की परस्पर क्रियात्मक शक्तियों की कोई भी चर्चा ऐतिहासिक रूप से हमेशा दो-बॉडी की समस्या से शुरू हुई है। इस खंड का उद्देश्य किसी भी ग्रहीय बल की गणना में वास्तविक जटिलता से संबंधित है। इस खंड में भी कई विषयों पर ध्यान दें, जैसे गुरुत्वाकर्षण, केन्द्रक, केप्लर के नियम, आदि; और निम्नलिखित अनुभाग में भी अन्य विकिपीडिया पृष्ठों पर (थ्री-बॉडी समस्या) पर चर्चा की गई है। हालाँकि, यहाँ इन विषयों पर परिप्रेक्ष्य से चर्चा की गई है $n$-बॉडी की समस्या.

दो-बॉडी की समस्या ($n = 2$) को पूर्ण रूप से जोहान बर्नौली (1667-1748) ने मौलिक सिद्धांत द्वारा (और न्यूटन द्वारा नहीं) मुख्य बिंदु-द्रव्यमान को निश्चित मानकर हल किया था; इसे यहां रेखांकित किया गया है. फिर सूर्य को स्थिर रखते हुए दो पिंडों, जैसे सूर्य और पृथ्वी, की गति पर विचार करें: $$\begin{align} m_1 \mathbf{a}_1 &= \frac{Gm_1m_2}{r_{12}^3}(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1) &&\quad\text{Sun–Earth} \\ m_2 \mathbf{a}_2 &= \frac{Gm_1m_2}{r_{21}^3}(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2) &&\quad\text{Earth–Sun} \end{align}$$ द्रव्यमान की गति का वर्णन करने वाला समीकरण $m_{2}$ द्रव्यमान के सापेक्ष $m_{1}$ इन दो समीकरणों के मध्य के अंतर से आसानी से प्राप्त होता है और सामान्य पदों को रद्द करने के बाद देता है: $$ \mathbf{\alpha} + \frac{\eta}{r^3} \mathbf{r} = \mathbf{0} $$ कहाँ


 * $r = r_{2} − r_{1}$ की सदिश स्थिति है $m_{2}$ के सापेक्ष $m_{1}$;
 * $H$ यूलेरियन त्वरण है $d^{2}r⁄dt^{2}$;

समीकरण $η = G(m_{1} + m_{2})$ 1734 में हल की गई दो-बॉडी समस्या बर्नौली के लिए मौलिक अंतर समीकरण है। इस दृष्टिकोण के लिए नोटिस बलों को पहले निर्धारित करना होगा, फिर गति के समीकरण को हल करना होगा। इस विभेदक समीकरण में अण्डाकार, या परवलयिक या अतिशयोक्तिपूर्ण समाधान हैं।

ऐसा सोचना ग़लत है $α + η⁄r^{3}r = 0$ (सूर्य) न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम को लागू करते समय अंतरिक्ष में स्थिर हो जाता है, और ऐसा करने से गलत परिणाम मिलते हैं। दो अलग-अलग गुरुत्वाकर्षण से परस्पर क्रिया करने वाले पिंडों के लिए निश्चित बिंदु उनके पारस्परिक बैरीसेंट्रिक निर्देशांक (खगोल विज्ञान) है, और इस दो-बॉडी की समस्या को सटीक रूप से हल किया जा सकता है, जैसे कि बैरीसेंटर के सापेक्ष जैकोबी निर्देशांक का उपयोग करना।

डॉ. क्लेरेंस क्लेमिनशॉ ने सौर मंडल के बैरीसेंटर की अनुमानित स्थिति की गणना की, यह परिणाम मुख्य रूप से केवल बृहस्पति और सूर्य के द्रव्यमान को मिलाकर प्राप्त किया गया। विज्ञान कार्यक्रम ने उनके काम के संदर्भ में कहा:

"The Sun contains 98 per cent of the mass in the solar system, with the superior planets beyond Mars accounting for most of the rest. On the average, the center of the mass of the Sun–Jupiter system, when the two most massive objects are considered alone, lies 462,000 miles from the Sun's center, or some 30,000 miles above the solar surface! Other large planets also influence the center of mass of the solar system, however. In 1951, for example, the systems' center of mass was not far from the Sun's center because Jupiter was on the opposite side from Saturn, Uranus and Neptune. In the late 1950s, when all four of these planets were on the same side of the Sun, the system's center of mass was more than 330,000 miles from the solar surface, Dr. C. H. Cleminshaw of Griffith Observatory in Los Angeles has calculated."

सूर्य गेलेक्टिक सेंटर के चारों ओर घूमते समय डगमगाता है, और सौर मंडल और पृथ्वी को अपने साथ खींचता है। गणितज्ञ केपलर ने अपने तीन प्रसिद्ध समीकरणों पर पहुंचने के लिए टाइको ब्राहे के डेटा का उपयोग करके ग्रहों की स्पष्ट गति को वक्र-फिट करना था, न कि सूर्य के बारे में उनकी वास्तविक गोलाकार गति को वक्र-फिट करना (चित्र देखें)। रॉबर्ट हुक और न्यूटन दोनों अच्छी तरह से जानते थे कि न्यूटन का सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण का नियम अण्डाकार कक्षाओं से जुड़े बलों पर लागू नहीं होता है। वास्तव में, न्यूटन का सार्वभौमिक नियम बुध की कक्षा, क्षुद्रग्रह बेल्ट के गुरुत्वाकर्षण व्यवहार, या शनि के छल्लों|शनि के छल्लों के लिए जिम्मेदार नहीं है। न्यूटन ने (प्रिंसिपिया के खंड 11 में) कहा कि, हालांकि, अण्डाकार कक्षाओं के लिए बलों की भविष्यवाणी करने में विफल रहने का मुख्य कारण यह था कि उनका गणित मॉडल ऐसी स्थिति तक सीमित था जो वास्तविक दुनिया में शायद ही अस्तित्व में थी, अर्थात्, पिंडों की गतियाँ स्थिर केंद्र की ओर आकर्षित होती हैं। कुछ वर्तमान भौतिकी और खगोल विज्ञान की पाठ्यपुस्तकें न्यूटन की धारणा के नकारात्मक महत्व पर जोर नहीं देती हैं और अंत में यह सिखाती हैं कि उनका गणितीय मॉडल वास्तव में वास्तविकता है। यह समझा जाना चाहिए कि उपरोक्त मौलिक दो-बॉडी समस्या समाधान गणितीय आदर्शीकरण है। ग्रहों की गति के बारे में केप्लर के नियम भी देखें#केप्लर का पहला नियम|ग्रहों की गति के बारे में केप्लर का पहला नियम।

त्रि-बॉडी समस्या
यह खंड ऐतिहासिक दृष्टि से महत्वपूर्ण है $n$-धारणाओं को सरल बनाकर समस्या का समाधान किया गया।

पहले इसके बारे में ज्यादा जानकारी नहीं थी $T$-बॉडी की समस्या के लिए $m_{1}$. मामला $n ≥ 3$ सबसे अधिक अध्ययन किया गया है। त्रि-बॉडी की समस्या को समझने के पहले के कई प्रयास मात्रात्मक थे, जिनका उद्देश्य विशेष स्थितियों के लिए स्पष्ट समाधान ढूंढना था।
 * 1687 में, आइज़ैक न्यूटन ने प्रिंसिपिया में तीन पिंडों की उनके पारस्परिक गुरुत्वाकर्षण आकर्षण के अधीन गति की समस्या के अध्ययन में पहला कदम प्रकाशित किया, लेकिन उनके प्रयासों के परिणामस्वरूप मौखिक विवरण और ज्यामितीय रेखाचित्र सामने आए; विशेष रूप से पुस्तक 1, प्रस्ताव 66 और उसके परिणाम देखें (न्यूटन, 1687 और 1999 (अनुवाद), टिसेरैंड, 1894 भी देखें)।
 * 1767 में, लियोनहार्ड यूलर ने संरेख गतियाँ पाईं, जिसमें किसी भी द्रव्यमान के तीन पिंड निश्चित सीधी रेखा के साथ आनुपातिक रूप से चलते हैं। यूलर की तीन-पिंड समस्या विशेष मामला है जिसमें दो पिंड अंतरिक्ष में स्थिर होते हैं (इसे वृत्ताकार प्रतिबंधित तीन-पिंड समस्या के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, जिसमें दो विशाल पिंड वृत्ताकार कक्षा का वर्णन करते हैं और केवल अंतरिक्ष में ही स्थिर होते हैं) सिनोडिक संदर्भ फ्रेम)।
 * 1772 में, जोसेफ लुई लैग्रेंज ने आवधिक समाधान के दो वर्गों की खोज की, जिनमें से प्रत्येक किसी भी द्रव्यमान के तीन निकायों के लिए था। वर्ग में, पिंड घूर्णनशील सीधी रेखा पर स्थित होते हैं। दूसरे वर्ग में, पिंड घूमते हुए समबाहु त्रिभुज के शीर्षों पर स्थित होते हैं। किसी भी स्थिति में, पिंडों के पथ शंकुधारी खंड होंगे। उन समाधानों से केंद्रीय विन्यास का अध्ययन हुआ, जिसके लिए $n = 3$ कुछ स्थिरांक के लिए $q̈ = kq$.
 * पृथ्वी-चंद्रमा-सूर्य प्रणाली का प्रमुख अध्ययन चार्ल्स-यूजीन डेलाउने द्वारा किया गया था, जिन्होंने 1860 और 1867 में इस विषय पर दो खंड प्रकाशित किए, जिनमें से प्रत्येक 900 पृष्ठों का था। कई अन्य उपलब्धियों के अलावा, काम पहले से ही संकेत देता है अराजकता, और गड़बड़ी सिद्धांत में तथाकथित छोटे भाजक की समस्या को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित करता है।
 * 1917 में, वन रे मौलटन ने अपने अब के क्लासिक, एन इंट्रोडक्शन टू सेलेस्टियल मैकेनिक्स (संदर्भ देखें) को प्रतिबंधित त्रि-बॉडी समस्या समाधान के कथानक के साथ प्रकाशित किया (नीचे चित्र देखें)। तरफ, उनके प्रतिबंधित त्रि-बॉडी समस्या समाधान के लिए मीरोविच की पुस्तक, पृष्ठ 413-414 देखें।

यदि कोई अधिक विशाल पिंड (जैसे सूर्य) को अंतरिक्ष में स्थिर मानता है, और कम विशाल पिंड (जैसे बृहस्पति) को इसके चारों ओर परिक्रमा करता है, तो मौलटन के समाधान की कल्पना करना (और निश्चित रूप से हल करना आसान) हो सकता है। संतुलन बिंदु (लैग्रेंजियन बिंदु) कम विशाल पिंड के आगे और पीछे 60° का अंतर बनाए रखते हैं, लगभग अपनी कक्षा में (हालाँकि वास्तव में कोई भी पिंड वास्तव में स्थिर नहीं है, क्योंकि वे दोनों पूरे सिस्टम के द्रव्यमान के केंद्र की परिक्रमा करते हैं- बैरीसेंटर के बारे में)। प्राइमरी के पर्याप्त रूप से छोटे द्रव्यमान अनुपात के लिए, ये त्रिकोणीय संतुलन बिंदु स्थिर हैं, जैसे कि (लगभग) द्रव्यमान रहित कण इन बिंदुओं के बारे में परिक्रमा करेंगे जैसे वे बड़े प्राथमिक (सूर्य) के चारों ओर परिक्रमा करते हैं। वृत्ताकार समस्या के पाँच संतुलन बिंदुओं को लैग्रेंजियन बिंदु के रूप में जाना जाता है। नीचे चित्र देखें:

ऊपर दिए गए प्रतिबंधित त्रि-बॉडी समस्या गणित मॉडल चित्र में (मौल्टन के बाद), लैग्रेंजियन अंक एल4 और मैं5 वे स्थान हैं जहां ट्रोजन (खगोल विज्ञान) ग्रह निवास करते थे (लेग्रेंजियन बिंदु देखें); $k > 0$ सूर्य और है $m_{1}$बृहस्पति है. एल2 क्षुद्रग्रह बेल्ट के भीतर बिंदु है। इस मॉडल के लिए इसे साकार करना होगा, यह पूरा सूर्य-बृहस्पति आरेख अपने बैरीसेंटर के चारों ओर घूम रहा है। प्रतिबंधित त्रि-बॉडी समस्या समाधान ने पहली बार देखे जाने से पहले ट्रोजन प्लैनेटोइड की भविष्यवाणी की थी। $U$-वृत्त और बंद लूप सूर्य और बृहस्पति से निकलने वाले विद्युत चुम्बकीय प्रवाह को प्रतिध्वनित करते हैं। यह अनुमान लगाया गया है, रिचर्ड एच. बातिन के अनुमान (संदर्भ देखें) के विपरीत, दोनों $m_{2}$गुरुत्वाकर्षण सिंक हैं, जहां गुरुत्वाकर्षण बल शून्य हैं, और इसका कारण ट्रोजन ग्रह वहां फंसे हुए हैं। ग्रहों के द्रव्यमान की कुल मात्रा अज्ञात है।

प्रतिबंधित तीन-पिंड की समस्या जो मानती है कि किसी पिंड का द्रव्यमान नगण्य है। उस मामले की चर्चा के लिए जहां नगण्य पिंड कम द्रव्यमान वाले पिंड का उपग्रह है, पहाड़ी क्षेत्र देखें; बाइनरी सिस्टम के लिए, रोश लोब देखें। त्रि-बॉडी की समस्या के विशिष्ट समाधानों के परिणामस्वरूप अराजकता सिद्धांत गति होती है जिसमें दोहराव वाले पथ का कोई स्पष्ट संकेत नहीं होता है।

प्रतिबंधित समस्या (वृत्ताकार और अण्डाकार दोनों) पर कई प्रसिद्ध गणितज्ञों और भौतिकविदों द्वारा बड़े पैमाने पर काम किया गया था, विशेष रूप से 19वीं शताब्दी के अंत में हेनरी पोंकारे|पोंकारे द्वारा। प्रतिबंधित त्रि-बॉडी समस्या पर पोंकारे का काम नियतिवादी अराजकता सिद्धांत की नींव था। प्रतिबंधित समस्या में, पाँच संतुलन बिंदु मौजूद हैं। तीन द्रव्यमान के साथ संरेख हैं (घूर्णन फ्रेम में) और अस्थिर हैं। शेष दो दोनों समबाहु त्रिभुजों के तीसरे शीर्ष पर स्थित हैं जिनमें से दो पिंड पहले और दूसरे शीर्ष हैं।

चार-बॉडी की समस्या
वृत्ताकार प्रतिबंधित त्रि-बॉडी की समस्या से प्रेरित होकर, चार-बॉडी की समस्या को अन्य तीन विशाल पिंडों की तुलना में छोटे पिंड पर विचार करके बहुत सरल बनाया जा सकता है, जो बदले में वृत्ताकार कक्षाओं का वर्णन करने के लिए अनुमानित हैं। इसे बाइसिकुलर प्रतिबंधित चार-बॉडी समस्या (जिसे बाइसर्कुलर मॉडल के रूप में भी जाना जाता है) के रूप में जाना जाता है और सु-शू हुआंग द्वारा लिखी गई नासा रिपोर्ट में इसका पता 1960 में लगाया जा सकता है। यह सूत्रीकरण खगोलगतिकी में अत्यधिक प्रासंगिक रहा है, मुख्य रूप से सूर्य के गुरुत्वाकर्षण आकर्षण के साथ पृथ्वी-चंद्रमा प्रणाली में अंतरिक्ष यान प्रक्षेप पथ को मॉडल करने के लिए। पृथ्वी-चंद्रमा-सूर्य के अलावा अन्य प्रणालियों का मॉडलिंग करते समय द्विवृत्ताकार प्रतिबंधित चार-बॉडी समस्या का पूर्व सूत्रीकरण समस्याग्रस्त हो सकता है, इसलिए सूत्रीकरण को नेग्री और प्राडो द्वारा सामान्यीकृत किया गया था एप्लिकेशन रेंज का विस्तार करने और सरलता खोए बिना सटीकता में सुधार करने के लिए।

ग्रह समस्या
ग्रह समस्या है $n$-बॉडी की समस्या उस स्थिति में जब द्रव्यमान अन्य सभी की तुलना में बहुत बड़ा हो। ग्रह संबंधी समस्या का आदर्श उदाहरण सूर्य-बृहस्पति-शनि प्रणाली है, जहां सूर्य का द्रव्यमान बृहस्पति या शनि के द्रव्यमान से लगभग 1000 गुना बड़ा है। समस्या का अनुमानित समाधान इसे विघटित करना है $h_{1}$ तारा-ग्रह केप्लर समस्याओं के जोड़े, ग्रहों के मध्य परस्पर क्रिया को गड़बड़ी के रूप में मानते हैं। गड़बड़ी सिद्धांत तब तक अच्छी तरह से काम करता है जब तक सिस्टम में कोई कक्षीय प्रतिध्वनि नहीं होती है, अर्थात अप्रभावित केपलर आवृत्तियों का कोई भी अनुपात तर्कसंगत संख्या नहीं है। विस्तार में अनुनाद छोटे-छोटे हर के रूप में प्रकट होते हैं।

अनुनादों और छोटे हरों के अस्तित्व ने ग्रहों की समस्या में स्थिरता के महत्वपूर्ण प्रश्न को जन्म दिया: क्या ग्रह, किसी तारे के चारों ओर लगभग गोलाकार कक्षाओं में, समय के साथ स्थिर या बंधी हुई कक्षाओं में रहते हैं? 1963 में, व्लादिमीर अर्नोल्ड ने KAM सिद्धांत का उपयोग करके ग्रहों की समस्या की प्रकार की स्थिरता को साबित किया: विमान तक सीमित ग्रहीय समस्या के मामले में अर्धआवधिक गति कक्षाओं के सकारात्मक माप का सेट मौजूद है। KAM सिद्धांत में, अराजक ग्रहीय कक्षाएँ क्वासिपेरियोडिक KAM टोरी से घिरी होंगी। अर्नोल्ड के परिणाम को 2004 में फ़ेज़ोज़ और हरमन द्वारा अधिक सामान्य प्रमेय तक विस्तारित किया गया था।

केंद्रीय विन्यास
एक केंद्रीय विन्यास $n − 1$ प्रारंभिक विन्यास है जैसे कि यदि सभी कणों को शून्य वेग से छोड़ा जाए, तो वे सभी द्रव्यमान के केंद्र की ओर ढह जाएंगे $q_{1}(0), …, q_{N}(0)$. ऐसी गति को समरूप गति कहा जाता है। केंद्रीय विन्यास भी समरूप गतियों को जन्म दे सकता है जिसमें सभी द्रव्यमान केप्लरियन प्रक्षेप पथ (अण्डाकार, गोलाकार, परवलयिक, या अतिशयोक्तिपूर्ण) के साथ चलते हैं, सभी प्रक्षेप पथों में समान विलक्षणता होती है $M$. अण्डाकार प्रक्षेप पथ के लिए, $C$ समरूप गति से मेल खाता है और $e = 1$ सापेक्ष संतुलन गति देता है जिसमें विन्यास प्रारंभिक विन्यास का आइसोमेट्री बना रहता है, जैसे कि विन्यास कठोर बॉडी था। किसी सिस्टम के पहले इंटीग्रल्स को ठीक करके बनाए गए अपरिवर्तनीय मैनिफोल्ड्स की टोपोलॉजी को समझने में केंद्रीय कॉन्फ़िगरेशन ने महत्वपूर्ण भूमिका निभाई है।

$R$-बॉडी कोरियोग्राफी
ऐसे समाधान जिनमें सभी द्रव्यमान बिना टकराव के ही वक्र पर चलते हैं, कोरियोग्राफी कहलाते हैं। के लिए कोरियोग्राफी $e = 0$ की खोज 1772 में लैग्रेंज द्वारा की गई थी जिसमें तीन पिंड घूमते हुए फ्रेम में समबाहु त्रिभुज के शीर्ष पर स्थित हैं। के लिए लेम्निस्केट कोरियोग्राफी $n = 3$ को 1993 में सी. मूर द्वारा संख्यात्मक रूप से पाया गया था और 2000 में ए. चेन्सिनर और आर. मोंटगोमरी द्वारा सामान्यीकृत और सिद्ध किया गया। तब से, कई अन्य कोरियोग्राफ़ी ढूंढी गई हैं $n = 3$.

विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण
समस्या के प्रत्येक समाधान के लिए, न केवल आइसोमेट्री या टाइम शिफ्ट लागू करने से, बल्कि टी-समरूपता (घर्षण के मामले के विपरीत) भी समाधान मिलता है।

के बारे में भौतिक साहित्य में $n$-बॉडी की समस्या ($n ≥ 3$), कभी-कभी हल करने की असंभवता का संदर्भ दिया जाता है $α$-बॉडी की समस्या (उपरोक्त दृष्टिकोण को नियोजित करके)। हालाँकि, किसी समाधान की 'असंभवता' पर चर्चा करते समय सावधानी बरतनी चाहिए, क्योंकि यह केवल पहले इंटीग्रल्स की विधि को संदर्भित करता है (क्विंटिक समीकरण या उच्चतर के माध्यम से हल करने की असंभवता के बारे में नील्स हेनरिक एबेल और एवरिस्ट गैलोइस के प्रमेय की तुलना करें) सूत्र जिसमें केवल जड़ें शामिल हैं)।

पावर श्रृंखला समाधान
मौलिक समाधान का तरीका $n$-बॉडी की समस्या है $n$-टेलर श्रृंखला द्वारा शारीरिक समस्या।

हम विभेदक समीकरणों की प्रणाली को परिभाषित करके प्रारंभ करते हैं: $$\frac{d^2\mathbf{x}_i(t)}{dt^2}=G \sum_{k=1 \atop k\neq i}^n \frac{m_k \left(\mathbf{x}_k(t)-\mathbf{x}_i(t)\right)}{\left|\mathbf{x}_k(t)-\mathbf{x}_i(t)\right|^{3}},$$ जैसा $n ≥ 3$ और $x_{i}(t_{0})$ प्रारंभिक शर्तों के रूप में दिए गए हैं, प्रत्येक $dx_{i}(t_{0})⁄dt$ ज्ञात है। फर्क $d^{2}x_{i}(t)⁄dt^{2}$ का परिणाम $d^{2}x_{i}(t)⁄dt^{2}$ जो पर $d^{3}x_{i}(t)⁄dt^{3}$ जो कि ज्ञात भी है, और टेलर श्रृंखला का निर्माण पुनरावृत्त रूप से किया गया है।

एक सामान्यीकृत सुंडमैन वैश्विक समाधान
मामले के लिए सुंडमैन के परिणाम को सामान्य बनाने के लिए $t_{0}$ (या $n > 3$ और $n = 3$) व्यक्ति को दो बाधाओं का सामना करना पड़ता है:


 * 1) जैसा कि सीगल द्वारा दिखाया गया है, जिन टकरावों में दो से अधिक निकाय शामिल होते हैं उन्हें विश्लेषणात्मक रूप से नियमित नहीं किया जा सकता है, इसलिए सुंडमैन के नियमितीकरण को सामान्यीकृत नहीं किया जा सकता है।
 * 2) इस मामले में विलक्षणताओं की संरचना अधिक जटिल है: अन्य प्रकार की विलक्षणताएं हो सकती हैं (देखें #एन-बॉडी समस्या की विलक्षणताएं)।

अंत में, सुंडमैन के परिणाम को इस मामले में सामान्यीकृत किया गया $c = 0$ 1990 के दशक में क्यूडॉन्ग वांग द्वारा शव। चूँकि विलक्षणताओं की संरचना अधिक जटिल है, वांग को विलक्षणताओं के प्रश्नों को पूर्ण रूप से छोड़ना पड़ा। उनके दृष्टिकोण का केंद्रीय बिंदु, उचित तरीके से, समीकरणों को नई प्रणाली में बदलना है, ताकि इस नई प्रणाली के समाधान के लिए अस्तित्व का अंतराल हो $n > 3$.

की विलक्षणताएँ $h}|h$-बॉडी समस्या
विलक्षणताएँ दो प्रकार की हो सकती हैं $n$-बॉडी की समस्या:
 * दो या दो से अधिक निकायों का टकराव, लेकिन किसके लिए $[0,∞)$ (निकायों की स्थिति) सीमित रहती है। (इस गणितीय अर्थ में, टकराव का अर्थ है कि अंतरिक्ष में दो बिंदु समान पिंडों की स्थिति समान है।)
 * ऐसी विलक्षणताएँ जिनमें टकराव नहीं होता, लेकिन $q(t)$ परिमित नहीं रहता. इस परिदृश्य में, पिंड सीमित समय में अनंत की ओर विमुख हो जाते हैं, जबकि साथ ही वे शून्य पृथक्करण की ओर प्रवृत्त होते हैं (अनंत पर काल्पनिक टकराव होता है)।

बाद वाले को पेनलेवे का अनुमान (कोई टकराव नहीं विलक्षणता) कहा जाता है। इनके अस्तित्व का अनुमान लगाया गया है $q(t)$ पॉल पेनलेव द्वारा|पेनलेव (पेनलेव अनुमान देखें)। इस व्यवहार के उदाहरण $n > 3$ का निर्माण ज़िया द्वारा किया गया है और इसके लिए अनुमानी मॉडल $n = 5$ गेवर द्वारा। डोनाल्ड जी. सारी ने दिखाया है कि 4 या उससे कम निकायों के लिए, विलक्षणताओं को जन्म देने वाले प्रारंभिक डेटा के सेट में लेबेस्ग का माप शून्य है।

सिमुलेशन
जबकि मौलिक (अर्थात गैर-सापेक्षवादी) दो-बॉडी समस्या और चयनित कॉन्फ़िगरेशन के लिए विश्लेषणात्मक समाधान उपलब्ध हैं $n = 4$, सामान्य रूप में $e$-बॉडी की समस्याओं को संख्यात्मक तरीकों का उपयोग करके हल या अनुकरण किया जाना चाहिए।

कुछ शव
निकायों की छोटी संख्या के लिए, ए $n$-बॉडी की समस्या को प्रत्यक्ष विधियों का उपयोग करके हल किया जा सकता है, जिन्हें कण-कण विधियाँ भी कहा जाता है। ये विधियाँ गति के विभेदक समीकरणों को संख्यात्मक रूप से एकीकृत करती हैं। इस समस्या के लिए संख्यात्मक एकीकरण कई कारणों से चुनौती हो सकता है। सबसे पहले, गुरुत्वाकर्षण क्षमता विलक्षण है; यह अनंत तक चला जाता है क्योंकि दो कणों के मध्य की दूरी शून्य हो जाती है। छोटी दूरी पर विलक्षणता को दूर करने के लिए गुरुत्वाकर्षण क्षमता को नरम किया जा सकता है: $$U_\varepsilon = \sum_{1 \le i < j \le n} \frac{G m_i m_j}{ \sqrt{\left\| \mathbf{q}_j - \mathbf{q}_i\right\|^2 + \varepsilon^2} }$$ दूसरा, सामान्य तौर पर के लिए $n > 2$, द $n$-बॉडी की समस्या कैओस सिद्धांत है, जिसका मतलब है कि एकीकरण में छोटी त्रुटियां भी समय के साथ तेजी से बढ़ सकती हैं। तीसरा, सिमुलेशन मॉडल समय के बड़े हिस्से (उदाहरण के लिए लाखों वर्ष) में हो सकता है और एकीकरण समय बढ़ने पर संख्यात्मक त्रुटियां जमा हो जाती हैं।

संख्यात्मक एकीकरण में त्रुटियों को कम करने के लिए कई तकनीकें हैं। कुछ समस्याओं में व्यापक रूप से भिन्न पैमानों से निपटने के लिए स्थानीय समन्वय प्रणालियों का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए सौर मंडल सिमुलेशन के संदर्भ में पृथ्वी-चंद्रमा समन्वय प्रणाली। विविधतापूर्ण तरीके और गड़बड़ी सिद्धांत अनुमानित विश्लेषणात्मक प्रक्षेप पथ उत्पन्न कर सकते हैं जिस पर संख्यात्मक एकीकरण सुधार हो सकता है। सिंपलेक्टिक इंटीग्रेटर का उपयोग यह सुनिश्चित करता है कि सिमुलेशन उच्च स्तर की सटीकता के साथ हैमिल्टन के समीकरणों का पालन करता है और विशेष रूप से ऊर्जा संरक्षित रहती है।

अनेक बॉडी
संख्यात्मक एकीकरण का उपयोग करने वाली प्रत्यक्ष विधियों के क्रम पर आवश्यकता होती है $n > 2$ कणों के सभी जोड़े पर संभावित ऊर्जा का मूल्यांकन करने के लिए गणना, और इस प्रकार इसमें समय की जटिलता होती है $1⁄2n^{2}$. कई कणों के साथ सिमुलेशन के लिए, $O(n^{2})$ कारक बड़े पैमाने पर गणनाओं को विशेष रूप से समय लेने वाला बनाता है।

कई अनुमानित विधियाँ विकसित की गई हैं जो प्रत्यक्ष विधियों के सापेक्ष समय की जटिलता को कम करती हैं:
 * ट्री कोड विधियां, जैसे कि बार्न्स-हट सिमुलेशन, स्थानिक-पदानुक्रमित विधियां हैं जिनका उपयोग तब किया जाता है जब दूर के कण योगदान को उच्च सटीकता के लिए गणना करने की आवश्यकता नहीं होती है। कणों के दूर के समूह की क्षमता की गणना मल्टीपोल विस्तार या क्षमता के अन्य सन्निकटन का उपयोग करके की जाती है। इससे जटिलता में कमी आती है $O(n^{2})$.
 * तेज़ मल्टीपोल विधियाँ इस तथ्य का लाभ उठाती हैं कि दूर के कणों से मल्टीपोल-विस्तारित बल एक-दूसरे के करीब के कणों के लिए समान होते हैं, और कम्प्यूटेशनल प्रयास को कम करने के लिए दूर-क्षेत्र बलों के स्थानीय विस्तार का उपयोग करते हैं। यह दावा किया जाता है कि यह आगे सन्निकटन जटिलता को कम कर देता है $O(n log n)$. * एन-बॉडी सिमुलेशन#कण जाल विधि सिमुलेशन स्पेस को तीन आयामी ग्रिड में विभाजित करती है जिस पर कणों का द्रव्यमान घनत्व प्रक्षेपित होता है। फिर क्षमता की गणना करना ग्रिड पर पॉइसन समीकरण को हल करने का मामला बन जाता है, जिसकी गणना की जा सकती है $O(n)$ तेज फूरियर रूपांतरण का उपयोग करने का समय या $O(n log n)$ मल्टीग्रिड तकनीकों का उपयोग करने में लगने वाला समय। यह कम दूरी की ताकतों के लिए उच्च त्रुटि की कीमत पर तेज़ समाधान प्रदान कर सकता है। बड़ी संख्या में कणों वाले क्षेत्रों में सटीकता बढ़ाने के लिए अनुकूली जाल शोधन का उपयोग किया जा सकता है।
 * पी3एम|पी3एम और पीएम-ट्री विधियां हाइब्रिड विधियां हैं जो दूर के कणों के लिए कण जाल सन्निकटन का उपयोग करती हैं, लेकिन करीबी कणों के लिए अधिक सटीक तरीकों का उपयोग करती हैं (कुछ ग्रिड अंतराल के भीतर)। पी3M का अर्थ कण-कण, कण-जाल है और निकट सीमा पर नरम क्षमता वाले प्रत्यक्ष तरीकों का उपयोग करता है। इसके बजाय पीएम-ट्री विधियां नजदीकी सीमा पर ट्री कोड का उपयोग करती हैं। कण जाल विधियों की तरह, अनुकूली जाल कम्प्यूटेशनल दक्षता बढ़ा सकते हैं।
 * ' माध्य क्षेत्र मेथड्स' द्रव्यमान घनत्व का प्रतिनिधित्व करने वाले समय-निर्भर बोल्ट्जमैन समीकरण के साथ कणों की प्रणाली का अनुमान लगाते हैं जो क्षमता का प्रतिनिधित्व करने वाले आत्मनिर्भर पॉइसन समीकरण से जुड़ा होता है। यह बड़ी प्रणालियों के लिए उपयुक्त प्रकार का स्मूथेड-कण हाइड्रोडायनामिक्स सन्निकटन है।

प्रबल गुरुत्वाकर्षण
मजबूत गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र वाले खगोलभौतिकीय प्रणालियों में, जैसे कि ब्लैक होल के घटना क्षितिज के निकट, $n$-बॉडी सिमुलेशन को सामान्य सापेक्षता को ध्यान में रखना चाहिए; ऐसे सिमुलेशन संख्यात्मक सापेक्षता के क्षेत्र हैं। आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों का संख्यात्मक रूप से अनुकरण करना बेहद चुनौतीपूर्ण है और यदि संभव हो तो आइंस्टीन-इन्फेल्ड-हॉफमैन समीकरण जैसे पैरामीटरयुक्त पोस्ट-न्यूटोनियन औपचारिकता (पीपीएन) का उपयोग किया जाता है। सामान्य सापेक्षता में दो-बॉडी की समस्या केवल केपलर समस्या के लिए विश्लेषणात्मक रूप से हल करने योग्य है, जिसमें द्रव्यमान को दूसरे की तुलना में बहुत बड़ा माना जाता है।

अन्य $n$-बॉडी की समस्याएँ
पर सबसे अधिक कार्य किया गया $n$-बॉडी की समस्या गुरुत्वाकर्षण समस्या पर रही है। लेकिन इसके लिए अन्य प्रणालियाँ भी मौजूद हैं $n$-बॉडी गणित और सिमुलेशन तकनीकें उपयोगी साबित हुई हैं।

बड़े पैमाने पर इलेक्ट्रोस्टाटिक्स समस्याओं में, जैसे कि संरचनात्मक जीव विज्ञान में प्रोटीन और सेलुलर असेंबली का अनुकरण, कूलम्ब क्षमता का गुरुत्वाकर्षण क्षमता के समान रूप होता है, सिवाय इसके कि चार्ज सकारात्मक या नकारात्मक हो सकते हैं, जिससे प्रतिकारक और साथ ही आकर्षक बल उत्पन्न हो सकते हैं। फास्ट कूलम्ब सॉल्वर फास्ट मल्टीपोल विधि सिमुलेटर के इलेक्ट्रोस्टैटिक समकक्ष हैं। इन्हें अक्सर सिम्युलेटेड क्षेत्र पर आवधिक सीमा स्थितियों के साथ उपयोग किया जाता है और गणनाओं को गति देने के लिए इवाल्ड योग तकनीकों का उपयोग किया जाता है।

सांख्यिकी और यंत्र अधिगम में, कुछ मॉडलों में गुरुत्वाकर्षण क्षमता के समान हानि फ़ंक्शन होते हैं: वस्तुओं के सभी जोड़े पर कर्नेल फ़ंक्शन का योग, जहां कर्नेल फ़ंक्शन पैरामीटर स्पेस में वस्तुओं के मध्य की दूरी पर निर्भर करता है। इस फॉर्म में फिट होने वाली उदाहरण समस्याओं में निकटतम पड़ोसी खोज#सभी निकटतम पड़ोसी| अनेक गुना सीखना में सभी-निकटतम-पड़ोसी, कर्नेल घनत्व अनुमान और कर्नेल मशीनें शामिल हैं। को कम करने के लिए वैकल्पिक अनुकूलन $O(n)$ समय की जटिलता $O(n^{2})$ विकसित किए गए हैं, जैसे दोहरे वृक्ष एल्गोरिदम, जिनमें गुरुत्वाकर्षण के लिए प्रयोज्यता है $n$-शारीरिक समस्या भी।

कम्प्यूटेशनल तरल गतिकी में तकनीक जिसे वोर्टेक्स मेथड्स कहा जाता है, कणों पर विच्छेदित द्रव डोमेन में भंवर को देखती है जिसे फिर उनके केंद्रों पर वेग के साथ निर्देशित किया जाता है। क्योंकि द्रव वेग और वर्तसिटी पॉइसन समीकरण के माध्यम से संबंधित हैं, वेग को गुरुत्वाकर्षण और इलेक्ट्रोस्टैटिक्स के समान तरीके से हल किया जा सकता है: के रूप में $n$-सभी भंवर-युक्त कणों पर बॉडी का योग। सारांश बायोट-सावर्ट नियम का उपयोग करता है, जिसमें विद्युत प्रवाह की जगह भंवर लेता है। कण-भरे अशांत मल्टीफ़ेज़ प्रवाह के संदर्भ में, सभी कणों द्वारा उत्पन्न समग्र अशांति क्षेत्र का निर्धारण करना है $n$-बॉडी की समस्या. यदि प्रवाह के भीतर अनुवाद करने वाले कण प्रवाह के कोलमोगोरोव पैमाने से बहुत छोटे हैं, तो उनके रैखिक स्टोक्स अशांति क्षेत्रों को सुपरपोज़ किया जा सकता है, जिससे 3 की प्रणाली प्राप्त होती है$n$ के स्थान पर विक्षोभ वेग के 3 घटकों के लिए समीकरण $n$ कण.

यह भी देखें

 * आकाशीय यांत्रिकी
 * गुरुत्वाकर्षण दो-बॉडी की समस्या
 * जैकोबी इंटीग्रल
 * चंद्र सिद्धांत
 * प्राकृतिक इकाइयाँ
 * सौर मंडल का संख्यात्मक मॉडल
 * सौरमंडल की स्थिरता
 * कुछ-बॉडी प्रणालियाँ
 * एन-बॉडी सिमुलेशन, एन-बॉडी सिस्टम में निकायों के प्रक्षेप पथ को संख्यात्मक रूप से प्राप्त करने की विधि।

संदर्भ

 * Also English translation of 3rd (1726) edition by I. Bernard Cohen and Anne Whitman (Berkeley, CA, 1999). ISBN 978-0-520-08817-7.
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अग्रिम पठन

 * Employs energy methods rather than a Newtonian approach.
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बाहरी संबंध

 * Three-Body Problem at Scholarpedia
 * More detailed information on the three-body problem
 * Regular Keplerian motions in classical many-body systems
 * Applet demonstrating chaos in restricted three-body problem
 * Applets demonstrating many different three-body motions
 * On the integration of the $n$-body equations
 * Java applet simulating Solar System
 * Java applet simulating a stable solution to the equi-mass 3-body problem
 * A java applet to simulate the 3D movement of set of particles under gravitational interaction
 * Javascript Simulation of our Solar System
 * The Lagrange Points – with links to the original papers of Euler and Lagrange, and to translations, with discussion
 * 
 * Parallel GPU N-body simulation program with fast stackless particles tree traversal