रिचर्ड्स समीकरण

रिचर्ड्स समीकरण असंतृप्त मिट्टी में वाटर की गति का प्रतिनिधित्व करता है, और इसका श्रेय लोरेंजो ए. रिचर्ड्स को दिया जाता है जिन्होंने 1931 में समीकरण प्रकाशित किया था। यह विभेदक समीकरण आंशिक अवकल समीकरण है; इसका विश्लेषणात्मक समाधान प्रायः विशिष्ट प्रारंभिक और सीमा स्थितियों तक ही सीमित होता है। इस प्रकार से समाधान के एक्सइस्टेंस प्रमेय और यूनिक्नेस प्रमेय का प्रमाण केवल 1983 में ऑल्ट और लकहॉस द्वारा दिया गया था। यह समीकरण डार्सी-बकिंघम नियम पर आधारित है जो की विभिन्न संतृप्त स्थितियों के अधीन पोरस मीडिया में प्रवाह का प्रतिनिधित्व करना है, जिसे इस प्रकार कहा गया है


 * $$\vec{q}=-\mathbf{K}(\theta) (\nabla h + \nabla z),                                                                                                                                                               $$

जहाँ
 * $$\vec{q}$$ वॉल्यूमेट्रिक फ्लक्स है;
 * $$\theta$$ वॉल्यूमेट्रिक वाटर कंटेंट है;
 * $$h$$ तरल दबाव शीर्ष है, जो असंतृप्त पोरस मीडिया के लिए ऋणात्मक है;
 * $$\mathbf{K}(h)$$ असंतृप्त हाइड्रोलिक चालकता है;
 * $$\nabla z$$ जियोडेटिक हेड ग्रेडिएंट है, जिसे त्रि-आयामी समस्याओं के लिए $$\nabla z = \left(\begin{smallmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{smallmatrix} \right)$$ के रूप में माना जाता है।

एक असम्पीडित छिद्रपूर्ण माध्यम और स्थिर तरल घनत्व के लिए द्रव्यमान संरक्षण के नियम पर विचार करते हुए, के रूप में व्यक्त किया गया है


 * $$\frac{\partial \theta}{\partial t} + \nabla \cdot \vec{q} + S = 0$$,

जहाँ
 * $$S$$ सिंक शब्द [T$$^{-1}$$] है, सामान्यतः मूल वाटर ग्रहण करता है।

फिर डार्सी-बकिंघम नियम द्वारा फ्लक्स को प्रतिस्थापित करने पर निम्नलिखित मिश्रित-रूप रिचर्ड्स समीकरण प्राप्त होता है:


 * $$ \frac{\partial \theta}{\partial t} = \nabla \cdot \mathbf{K}(h) (\nabla h + \nabla z) - S $$.

एक-आयामी समावेश के मॉडलिंग के लिए यह विचलन रूप कम हो जाता है


 * $$\frac{\partial \theta}{\partial t}= \frac{\partial}{\partial z}

\left( \mathbf{K}(\theta) \left (\frac{\partial h}{\partial z} + 1 \right) \right) - S                                                                                              $$.

चूंकि इसका श्रेय एल. ए. रिचर्ड्स को दिया जाता है, यह समीकरण मूल रूप से 9 साल पहले 1922 में लुईस फ्राई रिचर्डसन द्वारा प्रस्तुत किया गया था।

सूत्रीकरण
इस प्रकार से रिचर्ड्स समीकरण पर्यावरण साहित्य के अनेक लेखों में दिखाई देता है क्योंकि यह वायुमंडल और एक्विफायर के मध्य वाडोज़ क्षेत्र में प्रवाह का वर्णन करता है। यह शुद्ध गणितीय पत्रिकाओं में भी दिखाई देता है क्योंकि इसमें गैर-नगण्य समाधान हैं। ऊपर दिए गए मिश्रित सूत्रीकरण में दो अज्ञात वेरिएबल $$\theta                                                                                                                                                                                                        $$ और $$h$$. सम्मिलित हैं: इसे संवैधानिक संबंध $$\theta(h)$$ पर विचार करके सरलता से हल किया जा सकता है, जिसे वाटर रिटेंशन कर्व के रूप में जाना जाता है। श्रृंखला नियम को प्रयुक्त करते हुए, रिचर्ड्स समीकरण को $$h$$-फॉर्म (हेड आधारित) या $$\theta$$-फॉर्म (सतुरशन आधारित) रिचर्ड्स समीकरण के रूप में पुनः तैयार किया जा सकता है।

हेड आधारित
अस्थायी व्युत्पन्न पर श्रृंखला नियम प्रयुक्त करने से होता है
 * $$\frac{\partial \theta(h)}{\partial t} = \frac{\textrm{d} \theta}{\textrm{d} h} \frac{\partial h}{\partial t} $$,

जहाँ $$\frac{\textrm{d} \theta}{\textrm{d} h}$$ रिटेंशन वाटर कैपेसिटी $$ C(h) $$ के रूप में जाना जाता है, अतः समीकरण इस प्रकार दर्शाया गया है
 * $$ C(h)\frac{\partial h}{\partial t}= \nabla \cdot \left( \mathbf{K}(h) \nabla h + \nabla z\right) - S $$.

हेड-आधारित रिचर्ड्स समीकरण निम्नलिखित कम्प्यूटेशनल उद्देश्य से ग्रस्त है: अंतर्निहित एरिच रोथे विधि का उपयोग करके विवेकाधीन अस्थायी व्युत्पन्न निम्नलिखित अप्प्रोक्सिमेशन उत्पन्न करता है:

$$\frac{\Delta \theta}{\Delta t} \approx C(h) \frac{\Delta h}{\Delta t}, \quad \mbox{and so} \quad \frac{\Delta \theta}{\Delta t} - C(h) \frac{\Delta h}{\Delta t} = \varepsilon .$$

यह अप्प्रोक्सिमेशन त्रुटि $$\varepsilon$$ उत्पन्न करता है जो संख्यात्मक समाधान के उच्च माप पर संरक्षण को प्रभावित करता है, और इसलिए अस्थायी व्युत्पन्न उपचार के लिए विशेष स्ट्रेटेजीज आवश्यक हैं।

सतुरशन-आधारित
स्थानिक व्युत्पन्न पर श्रृंखला नियम प्रयुक्त करने से
 * $$ \mathbf{K}(h) \nabla h = \mathbf{K}(h) \frac{\textrm{d}h}{\textrm{d} \theta} \nabla \theta, $$

जहाँ $$\mathbf{K}(h) \frac{\textrm{d}h}{\textrm{d} \theta}$$, जिसे आगे $$\frac{\mathbf{K}(\theta)}{C(\theta)}$$ के रूप में तैयार किया जा सकता है, को सोइल वाटर डीफ्यूसिविटी के रूप में जाना जाता है यदि $$\mathbf{D}(\theta)$$. पुनः समीकरण इस प्रकार दर्शाया गया है


 * $$ \frac{\partial \theta }{\partial t}= \nabla \cdot \mathbf{D}(\theta) \nabla \theta - S. $$

सतुरशन-आधारित रिचर्ड्स समीकरण निम्नलिखित कम्प्यूटेशनल उद्देश से ग्रस्त है। सीमा के पश्चात से $$ \lim_{\theta \to \theta_s} ||\mathbf{D}(\theta)|| = \infty $$ और $$\lim_{\theta \to \theta_r}||\mathbf{D}(\theta)|| = \infty$$, जहाँ $$ \theta_s $$ संतृप्त (अधिकतम) वाटर कंटेंट है और $$\theta_r$$ क्या यह अवशिष्ट (न्यूनतम) वाटर कंटेंट है, सफल संख्यात्मक समाधान केवल पूर्ण सतुरशन के नीचे संतोषजनक वाटर कंटेंट की श्रेणियों के लिए प्रतिबंधित है (सतुरशन वाटर रिटेंशन कर्व से भी कम होनी चाहिए) और साथ ही अवशिष्ट वाटर कंटेंट के ऊपर संतोषजनक है।

पैरामीट्रिज़ेशन
रिचर्ड्स समीकरण अपने किसी भी रूप में मिट्टी के हाइड्रोलिक गुणों को सम्मिलित करता है, जो की मिट्टी के प्रकार का प्रतिनिधित्व करने वाले पांच मापदंडों का समुच्चय है। मिट्टी के हाइड्रोलिक गुणों में सामान्यतः वैन जेनचटेन ($$ \alpha, \, n, \,m, \, \theta_s, \theta_r $$), द्वारा वाटर रिटेंशन कर्व मापदंड सम्मिलित होते हैं: जहाँ $$\alpha$$ वायु प्रवेश मान [L−1] का व्युत्क्रम है, $$n$$ छिद्र आकार वितरण मापदंड है [-], और $$m$$ सामान्यतः $$m= 1-\frac{1}{n}$$ मान लिया जाता है. इसके अतिरिक्त संतृप्त हाइड्रोलिक चालकता $$\mathbf{K}_s$$ (जो गैर आइसोट्रॉपी वातावरण के लिए दूसरे क्रम का टेन्सर है) भी प्रदान किया जाना चाहिए। इन मापदंडों की पहचान प्रायः गैर-नगण्य होती है और अनेक दशकों से अनेक प्रकाशनों का विषय रही है।

सीमाएँ
रिचर्ड्स समीकरण का संख्यात्मक समाधान पृथ्वी साइंस में अधिक चुनौतीपूर्ण समस्याओं में से है। और कम्प्यूटेशनल रूप से बहुमूल्य और अप्रत्याशित होने के कारण रिचर्ड्स के समीकरण की आलोचना की गई है क्योंकि इस तथ्य का कोई प्रमाण नहीं है कि सॉल्वर मिट्टी के संवैधानिक संबंधों के विशेष समुच्चय के लिए एकत्र हो जाएगा। इस बाधा पर अधिकृत पाने के लिए उन्नत कम्प्यूटेशनल और सॉफ्टवेयर समाधान की आवश्यकता होती है। इस प्रकार से केशिकात्व की भूमिका पर अत्यधिक बल देने के लिए भी इस पद्धति की आलोचना की गई है, और कुछ मायनों में 'अत्यधिक सरलीकृत' होने के कारण शुष्क मिट्टी में वर्षा समावेश के आयामी सिमुलेशन में, भूमि की सतह के समीप सेमी से कम सूक्ष्म स्थानिक विवेक की आवश्यकता होती है, जो पोरस मीडिया में बहुचरणीय प्रवाह के लिए प्रतिनिधि प्राथमिक आयतन के छोटे आकार के कारण है। त्रि-आयामी अनुप्रयोगों में रिचर्ड्स समीकरण का संख्यात्मक समाधान भाग अनुपात बाधाओं के अधीन है जहां समाधान डोमेन में क्षैतिज से ऊर्ध्वाधर रिज़ॉल्यूशन का अनुपात लगभग 7 से कम होना चाहिए।

यह भी देखें

 * समावेश (वाटर साइंस )
 * वाटर रिटेनसन कर्व
 * परिमित वाटर-कंटेंट वाडोज़ ज़ोन प्रवाह विधि
 * मिट्टी की नमी वेग समीकरण

श्रेणी:मृदा भौतिकी

श्रेणी:वाटर साइंस

श्रेणी:आंशिक अंतर समीकरण