समतुल्य प्रतिबाधा रूपांतरण



समतुल्य प्रतिबाधा विद्युत प्रतिबाधा तत्वों के विद्युत नेटवर्क का समतुल्य परिपथ है। जो टर्मिनलों के सभी युग्मों के बीच समान प्रतिबाधा प्रस्तुत करता है जैसा कि दिए गए नेटवर्क ने किया था। यह लेख कुछ निष्क्रियता (अभियांत्रिकी), रैखिक प्रतिबाधा नेटवर्क के बीच परिवर्तन (ज्यामिति) का वर्णन करता है जो सामान्यतः विद्युत परिपथ में पाया जाता है।

रैखिक नेटवर्क विश्लेषण (विद्युत परिपथ ) में बहुत प्रसिद्ध और अधिकांशतः उपयोग किए जाने वाले समतुल्य परिपथ हैं। इनमें श्रृंखला में प्रतिरोधक, समानांतर में प्रतिरोध और संधारित्र, प्रेरकों और सामान्य प्रतिबाधाओं के लिए श्रृंखला और समानांतर परिपथ का विस्तार सम्मलित है। नॉर्टन के प्रमेय और थेवेनिन के प्रमेय भी प्रसिद्ध हैं। क्रमशः थेवेनिन समतुल्य वर्तमान जनरेटर और वोल्टेज जनरेटर परिपथ , जैसा कि वाई-Δ रूपांतरण है। इनमें से किसी पर भी यहाँ विस्तार से चर्चा नहीं की गई है; अलग-अलग लिंक किए गए लेखों से परामर्श किया जाना चाहिए।

समतुल्य परिपथों की संख्या जिन्हें रेखीय नेटवर्क में रूपांतरित किया जा सकता है,जो असीमित है। यहां तक ​​​​कि सबसे तुच्छ स्थितियों में इसे सच माना जा सकता है, उदाहरण के लिए, यह पूछकर कि समानांतर में प्रतिरोधों के कितने अलग-अलग संयोजन दिए गए संयुक्त प्रतिरोधी के बराबर हैं। श्रृंखला और समांतर संयोजनों की संख्या जो बनाई जा सकती है, प्रतिरोधों की संख्या, n के साथ चर घातांकी रूप से बढ़ती है। बड़े एन के लिए सेट का आकार संख्यात्मक तकनीकों द्वारा लगभग 2.53n पाया गया है और विश्लेषणात्मक रूप से कठोर सीमाएँ फाइबोनैचि संख्याओं के फ़ेयरी अनुक्रम द्वारा दी गई हैं। यह लेख कभी भी व्यापक होने की आशा नहीं कर सकता, किन्तु कुछ सामान्यीकरण संभव हैं। विल्हेम कॉयर ने परिवर्तन पाया जो किसी दिए गए तर्कसंगत के सभी संभावित समकक्षों को उत्पन्न कर सकता है, निष्क्रिय, रैखिक पोर्ट, या दूसरे शब्दों में, कोई भी दो-टर्मिनल प्रतिबाधा। 4-टर्मिनल, विशेष रूप से 2-पोर्ट, नेटवर्क के रूपांतरण भी सामान्यतः पाए जाते हैं और अभी तक अधिक जटिल नेटवर्क के परिवर्तन संभव हैं।

सिडनी डार्लिंगटन द्वारा बताई गई कहानी में समतुल्य परिपथ के विषय के विशाल पैमाने को रेखांकित किया गया है। डार्लिंगटन के अनुसार, गैर-विघटनकारी चार-पोर्टों पर उनके और जॉर्ज एशले कैंपबेल | जॉर्ज कैंपबेल के 1920 के पेपर के बाद, रोनाल्ड एम. फोस्टर द्वारा बड़ी संख्या में समतुल्य परिपथ पाए गए। इस काम के पर्यन्त उन्होंने उन विधियों पर ध्यान दिया, जिनसे आदर्श ट्रांसफॉर्मर के साथ चार पोर्टों को आपस में जोड़ा जा सकता है और अधिकतम शक्ति हस्तांतरण। उन्हें कई संयोजन मिले जिनके व्यावहारिक अनुप्रयोग हो सकते हैं और उन्होंने AT&T Corp.|AT&T पेटेंट विभाग से उन्हें पेटेंट कराने के लिए कहा। पेटेंट विभाग ने उत्तर दिया कि केवल कुछ परिपथ का पेटेंट कराना व्यर्थ है यदि कोई प्रतियोगी पेटेंट प्राप्त करने के लिए समतुल्य परिपथ का उपयोग कर सकता है, उन्हें उन सभी को पेटेंट कराना चाहिए और परेशान नहीं होना चाहिए। इसलिए फोस्टर उनमें से हर आखिरी की गणना करने के लिए काम करने के लिए तैयार है। वह कुल मिलाकर 83,539 समतुल्य 577,722 यदि अलग-अलग आउटपुट अनुपात सम्मलित हैं। पेटेंट के लिए यह बहुत अधिक था, इसलिए AT&T के किसी भी प्रतियोगी को भविष्य में पेटेंट कराने से रोकने के लिए सूचना को सार्वजनिक डोमेन में जारी किया गया था।

2-टर्मिनल, 2-तत्व-प्रकार के नेटवर्क
प्रतिबाधा में बाहरी दुनिया से जुड़ने के लिए दो टर्मिनल होते हैं, इसलिए इसे 2-टर्मिनल -पोर्ट, नेटवर्क के रूप में वर्णित किया जा सकता है। सरल वर्णन के अतिरिक्त, जालों की संख्या की कोई सीमा नहीं है, और इसलिए जटिलता और तत्वों की संख्या, जो प्रतिबाधा नेटवर्क में हो सकती है। 2-तत्व-प्रकार परिपथ डिजाइन में नेटवर्क साधारण हैं, फिल्टर, उदाहरण के लिए, अधिकांशतः एलसी परिपथ -प्रकार के नेटवर्क होते हैं और मुद्रित परिपथ बोर्ड डिजाइनर आरसी परिपथ -प्रकार के नेटवर्क का पक्ष लेते हैं क्योंकि कुचालक निर्माण के लिए कम सरल होते हैं। 3-तत्व-प्रकार के नेटवर्क की तुलना में परिवर्तन सरल और सरल हैं। टर्मिनल-तत्व-प्रकार के नेटवर्क को दो-तत्व-प्रकार के विशेष स्थितियों के रूप में माना जा सकता है। तत्व Z के लिए तत्वों के नेटवर्क को प्रतिस्थापित करके कुछ 3-तत्व-प्रकार के नेटवर्क पर इस खंड में परिवर्तनों का उपयोग करना संभव है। चूँकि, यह प्रतिस्थापित किए जा रहे अधिकतम दो प्रतिबाधाओं तक सीमित है, शेष स्वतंत्र विकल्प नहीं होगा। इस खंड में दिए गए सभी परिवर्तन समीकरण ओटो ज़ोबेल के कारण हैं।

3-एलिमेंट नेटवर्क
तत्व नेटवर्क तुच्छ और दो-तत्व नेटवर्क हैं, दो-टर्मिनल नेटवर्क श्रृंखला में दो तत्व हैं समानांतर में दो तत्व भी तुच्छ हैं। गैर-तुच्छ तत्वों की सबसे छोटी संख्या तीन है और दो 2-तत्व-प्रकार के गैर-तुच्छ परिवर्तन संभव हैं, उत्क्रम परिवर्तन और संस्थानिक दोहरी प्रतिबाधा दोनों हैं।

4-तत्व नेटवर्क
2-तत्व-प्रकार के नेटवर्क के लिए चार गैर-तुच्छ 4-तत्व रूपांतरण हैं। इनमें से दो अन्य दो के विपरीत परिवर्तन हैं और दो अन्य दो के दोहरे हैं। Z2 के विशेष स्थितियों में और परिवर्तन संभव हैं Z1 के समान तत्व प्रकार बनाया जा रहा है, अर्थात जब नेटवर्क को -तत्व-प्रकार में घटाया जाता है। जैसे-जैसे तत्वों की संख्या बढ़ती है, संभावित नेटवर्क की संख्या बढ़ती रहती है। निम्न तालिका में सभी प्रविष्टियों के लिए इसे परिभाषित किया गया है।

2-टर्मिनल, एन-तत्व, 3-तत्व-प्रकार के नेटवर्क
किरचॉफ के परिपथ कानूनों जैसे सरल नेटवर्क प्रमेयों के अनुप्रयोग के साथ हाथ से नेटवर्क समीकरणों को तैयार करके केवल कुछ तत्वों वाले सरल नेटवर्क से निपटा जा सकता है। समीकरणों के दो सेटों और समीकरण गुणांकों की सीधे तुलना करके दो नेटवर्कों के बीच समानता सिद्ध की जाती है। बड़े नेटवर्क के लिए अधिक शक्तिशाली तकनीकों की आवश्यकता होती है। आव्यूह (गणित) के रूप में प्रतिबाधाओं के नेटवर्क को व्यक्त करके प्रारंभ करना सामान्य दृष्टिकोण है। यह दृष्टिकोण केवल तर्कसंगत के लिए अच्छा नेटवर्क है। कोई भी नेटवर्क जिसमें वितरित तत्व सम्मलित हैं, जैसे संचरण लाइन को परिमित आव्यूह द्वारा प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। सामान्यतः, एन-जाल नेटवर्क को इसका प्रतिनिधित्व करने के लिए nxn आव्यूह की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए 3-जाल नेटवर्क के लिए आव्यूह ऐसा दिख सकता है।


 * $$ \mathbf{[Z]}=\begin{bmatrix} Z_{11} & Z_{12} & Z_{13} \\ Z_{21} & Z_{22} & Z_{23} \\ Z_{31} & Z_{32} & Z_{33} \end{bmatrix}$$

आव्यूह की प्रविष्टियों को चुना जाता है जिससे आव्यूह जाल वोल्टेज और धाराओं में रैखिक समीकरणों की प्रणाली बना सके जैसा कि जाल विश्लेषण के लिए परिभाषित किया गया है।


 * $$ \mathbf{[V]}= \mathbf{[Z][I]} $$

चित्र 1 में उदाहरण आरेख, उदाहरण के लिए, प्रतिबाधा आव्यूह के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है।


 * $$ \mathbf{[Z]}=\begin{bmatrix} R_1+R_2 & -R_2 \\ -R_2 & R_2+R_3 \end{bmatrix}$$

और रैखिक समीकरणों की संबद्ध प्रणाली है।


 * $$ \begin{bmatrix} V_1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1+R_2 & -R_2 \\  -R_2 & R_2+R_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_1 \\  I_2 \end{bmatrix}$$

सबसे सामान्य स्थितियों में, प्रत्येक शाखा साथ Zp नेटवर्क तीन तत्वों से बना हो सकता है जिससे


 * $$Z_\mathrm{p} = sL_\mathrm{p} + R_\mathrm{p} + {1 \over sC_\mathrm{p}}$$

जहां एल, आर और सी क्रमशः अधिष्ठापन, विद्युत प्रतिरोध और समाई का प्रतिनिधित्व करते हैं और एस जटिल आवृत्ति ऑपरेटर है $$\scriptstyle s=\sigma+i\omega$$.

यह सामान्य प्रतिबाधा का प्रतिनिधित्व करने का पारंपरिक विधि है किन्तु इस लेख के प्रयोजनों के लिए गणितीय रूप से लोच, डी, समाई के व्युत्क्रम, सी से निपटना अधिक सुविधाजनक है। उन शब्दों में सामान्य शाखा प्रतिबाधा का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है।


 * $$sZ_\mathrm{p} = s^2L_\mathrm{p} + sR_\mathrm{p} + D_\mathrm{p} \,\!$$

इसी प्रकार, प्रतिबाधा आव्यूह की प्रत्येक प्रविष्टि में तीन तत्वों का योग हो सकता है। परिणाम स्वरुप, आव्यूह को तीन एन एक्स एन आव्यूह में विघटित किया जा सकता है, प्रत्येक तीन तत्व प्रकारों के लिए,


 * $$s \mathbf{[Z]}= s^2 \mathbf{[L]} + s \mathbf{[R]} + \mathbf{[D]} $$

यह वांछित है कि आव्यूह [Z] प्रतिबाधा का प्रतिनिधित्व Z(s) करता है । इस उद्देश्य के लिए, जाल का लूप काटा जाता है और Z(s) काटे गए बिंदुओं के बीच मापा जाने वाला प्रतिबाधा है। यह मान लेना पारंपरिक है कि बाहरी संयोजन पोर्ट जाल 1 में है और इसलिए आव्यूह प्रविष्टि Z11 से जुड़ा है। चूंकि इसे किसी भी वांछित नोड्स के संयोजन के साथ तैयार करना पूरी प्रकार से संभव होगा। निम्नलिखित चर्चा में Z(s) को Z11 के पार लिया गया है ऐसा माना जाता है। Z(s) की गणना ['Z'] द्वारा की जा सकती है।
 * $$Z(s)=\frac{| \mathbf Z|}{z_{11}}$$

जहां Z11 अवयस्क रैखिक बीजगणित # Z11 और Z का पूरक है ।

उपरोक्त उदाहरण नेटवर्क के लिए, 
 * $$| \mathbf Z| = (R_1+R_2)(R_2+R_3) - {R_2}^2 = R_1R_2 + R_1R_3 + R_2R_3 \ ,$$
 * $$z_{11} = Z_{22} = R_2 + R_3 \ ,$$ और
 * $$Z(s) = R_1 + \frac {R_2R_3}{R_2 + R_3} \ .$$

श्रृंखला और समानांतर में प्रतिरोधों की अधिक प्रत्यक्ष विधि द्वारा इस परिणाम को सरल से सही होने के लिए सत्यापित किया जाता है। चूंकि, विश्लेषण के अनुसार नेटवर्क के आकार और जटिलता में वृद्धि के साथ ऐसे विधियों तेजी से थकाऊ और बोझिल हो जाते हैं।

[आर], [एल] और [डी] की प्रविष्टियां स्वेच्छन्दता से से सेट नहीं की जा सकतीं। [Z] के लिए प्रतिबाधा Z(s) को अनुभव करने में सक्षम होने के लिए [R],[L] और [D] सभी को सकारात्मक-निश्चित आव्यूह होना चाहिए। सकारात्मक-निश्चित आव्यूह । फिर भी, Z(s) की प्राप्ति, सामान्यतः, आदर्श ट्रांसफॉर्मर होते हैं नेटवर्क के भीतर केवल उन्हीं रूपांतरणों को खोजना जिन्हें अधिष्ठापन की आवश्यकता नहीं है। पारस्परिक प्रेरकत्व ट्रांसफार्मर का अधिक कठिन कार्य है। इसी प्रकार, यदि दूसरे छोर से प्रारंभ करके Z(s) के लिए व्यंजक निर्दिष्ट किया जाता है, तो इसे फिर से स्वेच्छन्दता से से नहीं किया जा सकता है। तर्कसंगत प्रतिबाधा के रूप में वसूली योग्य होने के लिए, Z(s) सकारात्मक-वास्तविक होना चाहिए। सकारात्मक-वास्तविक (PR) स्थिति आवश्यक और पर्याप्त दोनों है किन्तु कुछ सांस्थिति (इलेक्ट्रॉनिक्स) को अस्वीकार करने के व्यावहारिक कारण हो सकते हैं।

[Z] के दिए गए उदाहरण से समतुल्य तर्कसंगत -पोर्टों को खोजने के लिए सामान्य प्रतिबाधा परिवर्तन विल्हेम कॉयर के कारण है। वास्तविक अफिन परिवर्तन का समूह


 * $$\mathbf{[Z']} = \mathbf{[T]}^T \mathbf{[Z]} \mathbf{[T]} $$
 * जहाँ
 * $$ \mathbf{[T]}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \cdots 0 \\ T_{21} & T_{22} \cdots T_{2n} \\ \cdot & \cdots \\  T_{n1} & T_{n2} \cdots T_{nn}\end{bmatrix}$$

Z(s) में अपरिवर्तनीय है। अर्थात्, सभी रूपांतरित नेटवर्क यहाँ दी गई परिभाषा के अनुसार समतुल्य हैं। यदि प्रारंभिक दिए गए आव्यूह के लिए Z (एस) वसूली योग्य है, अर्थात यह पीआर स्थिति को पूरा करता है, तो इस परिवर्तन द्वारा उत्पादित सभी रूपांतरित नेटवर्क भी पीआर स्थिति को पूरा करेंगे।

3 और 4-टर्मिनल नेटवर्क
4-टर्मिनल नेटवर्क पर चर्चा करते समय, नेटवर्क विश्लेषण अधिकांशतः 2-पोर्ट नेटवर्क के संदर्भ में आगे बढ़ता है, जिसमें व्यावहारिक रूप से उपयोगी परिपथ की विस्तृत श्रृंखला सम्मलित होती है। 2-पोर्ट, संक्षेप में, उस विधियों को संदर्भित करता है जिस प्रकार से नेटवर्क को बाहरी दुनिया से जोड़ा गया है। टर्मिनलों को जोड़े में स्रोत या लोड से जोड़ा गया है। ठीक उसी नेटवर्क को लेना और इसे बाहरी परिपथ री से इस प्रकार से जोड़ना संभव है कि यह अब 2-पोर्ट के रूप में व्यवहार नहीं कर रहा है। यह विचार चित्र 2 में प्रदर्शित किया गया है।

3-टर्मिनल नेटवर्क का उपयोग 2-पोर्ट के रूप में भी किया जा सकता है। इसे प्राप्त करने के लिए, टर्मिनलों में से को दोनों पोर्टों के टर्मिनल से सामान्यतः जोड़ा जाता है। दूसरे शब्दों में, टर्मिनल को दो टर्मिनलों में विभाजित कर दिया गया है और नेटवर्क को प्रभावी रूप से 4-टर्मिनल नेटवर्क में बदल दिया गया है। इस सांस्थिति को असंतुलित लाइन सांस्थिति के रूप में जाना जाता है और यह संतुलित सांस्थिति का विरोध करती है। सांस्थिति इलेक्ट्रॉनिक्स सरल फिल्टर सांस्थिति की आवश्यकता है, चित्र 3 का संदर्भ देते हुए, कि टर्मिनल 1 और 3 के बीच मापी गई प्रतिबाधा 2 और 4 के बीच मापी गई प्रतिबाधा के बराबर है। यह टर्मिनलों के जोड़े हैं जो पोर्ट नहीं बनाते हैं। ऐसे स्थितियों जहां जोड़े पोर्ट बनाने वाले टर्मिनलों की समान प्रतिबाधा को एंटीमेट्रिक (विद्युत नेटवर्क) कहा जाता है। सख्ती से बोलना, कोई भी नेटवर्क जो संतुलन की स्थिति को पूरा नहीं करता है, किन्तु यह शब्द अधिकांशतः ऊपर वर्णित 3-टर्मिनल सांस्थिति और चित्र 3 में संदर्भित होता है। असंतुलित 2-पोर्ट नेटवर्क को संतुलित नेटवर्क में बदलना सामान्यतः अधिक सीधा होता है। सभी श्रृंखला से जुड़े तत्वों को आधे भागों में विभाजित किया गया है और आधे भागों को सामान्य शाखा में स्थानांतरित किया जा रहा है। संतुलित से असंतुलित सांस्थिति में रूपांतरण अधिकांशतः उत्क्रम परिवर्तन के साथ संभव होगा किन्तु कुछ सांस्थिति के कुछ स्थितियों ऐसे होते हैं जिन्हें इस प्रकार से परिवर्तन नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, लैटिस परिवर्तन की चर्चा नीचे देखें।

3-टर्मिनल नेटवर्क परिवर्तन का उदाहरण जो 2-पोर्ट तक सीमित नहीं है, Y-Δ परिवर्तन है। समतुल्य प्रतिबाधाओं को खोजने के लिए यह विशेष रूप से महत्वपूर्ण परिवर्तन है। इसका महत्व इस तथ्य से उत्पन्न होता है कि नेटवर्क के निश्चित प्रतिबंधित वर्ग को छोड़कर दो टर्मिनलों के बीच कुल प्रतिबाधा को केवल श्रृंखला और समानांतर संयोजनों की गणना करके निर्धारित नहीं किया जा सकता है। सामान्य स्थिति में अतिरिक्त परिवर्तनों की आवश्यकता होती है। Y-Δ रूपांतरण, इसका व्युत्क्रम Δ-Y रूपांतरण, और इन दो रूपांतरणों के n-टर्मिनल एनालॉग्स नेटवर्क विश्लेषण इलेक्ट्रिकल परिपथ नेटवर्क नोड उन्मूलन का सामान्य रूप | स्टार-बहुभुज रूपांतरण आवश्यक न्यूनतम अतिरिक्त रूपांतरणों का प्रतिनिधित्व करते हैं सामान्य स्थितियों को हल करने के लिए, श्रृंखला और समांतर, वास्तव में, स्टार और बहुभुज सांस्थिति के 2-टर्मिनल संस्करण हैं। सामान्य सरल सांस्थिति जिसे श्रृंखला और समानांतर संयोजनों द्वारा हल नहीं किया जा सकता है, ब्रिज नेटवर्क के लिए इनपुट प्रतिबाधा है विशेष स्थितियों को छोड़कर जब ब्रिज संतुलन में हो। इस खंड के बाकी परिवर्तन केवल 2-पोर्ट के साथ उपयोग करने के लिए प्रतिबंधित हैं।

जाली रूपांतरित
सममित 2-पोर्ट नेटवर्क को बार्टलेट के द्विभाजन प्रमेय का उपयोग करके जाली नेटवर्क में बदला जा सकता है। विधि सममित नेटवर्क तक सीमित है किन्तु इसमें सामान्यतः फिल्टर, क्षीणकारी (इलेक्ट्रॉनिक्स) और समीकरण (संचार) में पाए जाने वाले कई सांस्थिति सम्मलित हैं। जाली सांस्थिति आंतरिक रूप से संतुलित है, जाली के लिए कोई असंतुलित प्रतिरूप नहीं है और इसे सामान्यतः रूपांतरित नेटवर्क की तुलना में अधिक घटकों की आवश्यकता होगी।

निष्क्रिय घटकों के संदर्भ में जाली से असंतुलित सांस्थिति में उत्क्रम परिवर्तन सदैव संभव नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, यह परिवर्तन,

रूपांतरित परिपथ में उत्पन्न होने वाले नकारात्मक मूल्यों के कारण निष्क्रिय घटकों के साथ अनुभव नहीं किया जा सकता है। चूंकि यह अनुभव किया जा सकता है कि पारस्परिक प्रेरकत्व और आदर्श ट्रांसफार्मर की अनुमति दी जाती है, उदाहरण के लिए, जाली चरण तुल्य कारक असंतुलित सांस्थिति और संभावना सक्रिय घटकों के उपयोग की अनुमति देना है जो नकारात्मक प्रतिबाधा कनवर्टर को सीधे परिपथ घटकों के रूप में अनुभव करने में सक्षम बनाता है। यह कभी-कभी ऐसा परिवर्तन करने के लिए उपयोगी हो सकता है, वास्तव में रूपांतरित परिपथ के निर्माण के उद्देश्यों के लिए नहीं, जबकि मूल परिपथ कैसे काम कर रहा है, यह समझने में सहायता के प्रयोजनों के लिए। ब्रिज-टी सांस्थिति में निम्नलिखित परिपथ मध्य-श्रृंखला एम-व्युत्पन्न फ़िल्टर टी-अनुभाग का संशोधन है। परिपथ हेनरी बोडे के कारण है जो प्रमाणित करता है कि उपयुक्त मूल्य के ब्रिजिंग प्रतिरोधी के अतिरिक्त शंट प्रारंभ करनेवाला के परजीवी प्रतिरोध को रद्द कर देगा। इस परिपथ की कार्रवाई स्पष्ट है यदि इसे टी सांस्थिति में बदल दिया जाए - इस रूप में शंट शाखा में नकारात्मक प्रतिरोध होता है जिसे प्रारंभ करनेवाला के सकारात्मक परजीवी प्रतिरोध के बराबर बनाया जा सकता है।

किसी भी सममित नेटवर्क को उसी विधि से किसी भी अन्य सममित नेटवर्क में परिवर्तित किया जा सकता है, अर्थात, पहले मध्यवर्ती जाली रूप में परिवर्तित करके उपरोक्त उदाहरण परिवर्तन से स्पष्टता के लिए छोड़ा गया और जाली रूप से आवश्यक लक्ष्य रूप में परिवर्तित किया जा सकता है। उदाहरण के साथ, विशेष स्थितियों को छोड़कर इसका परिणाम सामान्यतः नकारात्मक तत्वों में होगा।

प्रतिरोधों को हटाना
सिडनी डार्लिंगटन के कारण प्रमेय कहता है कि किसी भी पीआर फ़ंक्शन Z (एस) को सकारात्मक प्रतिरोधी आर में समाप्त दोषरहित दो-पोर्ट के रूप में अनुभव किया जा सकता है। प्रतिबाधा नेटवर्क, परिवर्तन पाया जा सकता है जो आउटपुट पोर्ट जो सामान्य रूप से लोड का प्रतिनिधित्व करेगा । केवल अवरोधक के साथ एलसी-प्रकार के नेटवर्क के रूप में नेटवर्क को पूरी प्रकार से अनुभव करेगा। निर्दिष्ट प्रतिक्रिया का अनुभूति करने के लिए नेटवर्क के भीतर कोई प्रतिरोध आवश्यक नहीं है। परिणाम स्वरुप, 3-तत्व-प्रकार 2-पोर्ट नेटवर्क को 2-तत्व-प्रकार (एलसी) 2-पोर्ट नेटवर्क में कम करना सदैव संभव होता है, परंतु आउटपुट पोर्ट आवश्यक मूल्य के प्रतिरोध में समाप्त हो।

आदर्श ट्रांसफॉर्मर को खत्म करना
प्राथमिक परिवर्तन जो आदर्श ट्रांसफॉर्मर और कुछ अन्य प्रतिबाधा तत्व के साथ किया जा सकता है, ट्रांसफॉर्मर के दूसरी तरफ प्रतिबाधा को स्थानांतरित करना है। निम्नलिखित सभी परिवर्तनों में, r ट्रांसफॉर्मर का घुमाव अनुपात है।

ये परिवर्तन केवल तत्व पर लागू नहीं होते, पूरे नेटवर्क को ट्रांसफॉर्मर के माध्यम से पारित किया जा सकता है। इस प्रकार, ट्रांसफॉर्मर को नेटवर्क के चारों ओर अधिक सुविधाजनक स्थान पर स्थानांतरित किया जा सकता है।डार्लिंगटन समान परिवर्तन देता है जो आदर्श ट्रांसफार्मर को पूरी प्रकार से समाप्त कर सकता है। इस तकनीक के लिए आवश्यक है कि ट्रांसफॉर्मर उसी प्रकार के प्रतिबाधाओं के एल नेटवर्क के बगल में आगे ले जाने में सक्षम हो। सभी प्रकार में परिवर्तन के परिणामस्वरूप L नेटवर्क विपरीत दिशा में होता है, जो कि स्थैतिक रूप से प्रतिबिंबित होता है।

उदाहरण 3 दिखाता है कि परिणाम एल-नेटवर्क के अतिरिक्त Π-नेटवर्क है। इसका कारण यह है कि शंट तत्व में परिवर्तन की आवश्यकता से अधिक समाई होती है, इसलिए परिवर्तन लागू करने के बाद भी कुछ बचा रहता है। यदि ट्रांसफॉर्मर के निकटतम तत्व में अतिरिक्त थे, तो परिवर्तन करने से पहले ट्रांसफॉर्मर के दूसरी तरफ अतिरिक्त स्थानांतरित करके इससे निपटा जा सकता है।

ग्रन्थसूची

 * Bartlett, A. C., "An extension of a property of artificial lines", Phil. Mag., vol 4, p.902, November 1927.
 * Belevitch, V., "Summary of the history of circuit theory", Proceedings of the IRE, vol 50, Iss 5, pp.848-855, May 1962.
 * E. Cauer, W. Mathis, and R. Pauli, "Life and Work of Wilhelm Cauer (1900 – 1945)", Proceedings of the Fourteenth International Symposium of Mathematical Theory of नेटवर्कs and Systems, Perpignan, June, 2000.
 * Foster, Ronald M.; Campbell, George A., "Maximum output नेटवर्कs for telephone substation and repeater circuits", Transactions of the American Institute of Electrical Engineers, vol.39, iss.1, pp.230-290, January 1920.
 * Darlington, S., "A history of नेटवर्क synthesis and filter theory for circuits composed of resistors, inductors, and capacitors", IEEE Trans. Circuits and Systems, vol 31, pp.3-13, 1984.
 * Farago, P. S., An Introduction to Linear नेटवर्क Analysis, The English Universities Press Ltd, 1961.
 * Khan, Sameen Ahmed, "Farey sequences and resistor नेटवर्कs", Proceedings of the Indian Academy of Sciences (Mathematical Sciences), vol.122, iss.2, pp. 153-162, May 2012.
 * Zobel, O. J.,Theory and Design of Uniform and Composite Electric Wave Filters, Bell System Technical Journal, Vol. 2 (1923), pp.1-46.