अर्ध-पूर्णांक

गणित में, अर्ध-पूर्णांक एक संख्या का रूप होता है $$n + \tfrac{1}{2},$$ कहाँ $$n$$ एक पूर्ण संख्या है. उदाहरण के लिए, $$4\tfrac12,\quad 7/2,\quad -\tfrac{13}{2},\quad 8.5$$ सभी अर्ध-पूर्णांक हैं. अर्ध-पूर्णांक नाम शायद भ्रामक है, क्योंकि सेट में 1 (पूर्णांक 2 का आधा होना) जैसी संख्याओं को शामिल करने को गलत समझा जा सकता है। पूर्णांक-प्लस-आधा जैसा नाम अधिक सटीक हो सकता है, लेकिन शाब्दिक रूप से सत्य न होते हुए भी, आधा पूर्णांक पारंपरिक शब्द है। अर्ध-पूर्णांक गणित और क्वांटम यांत्रिकी में इतनी बार आते हैं कि एक अलग शब्द सुविधाजनक होता है।

ध्यान दें कि पूर्णांक को आधा करने से हमेशा आधा पूर्णांक नहीं बनता है; यह केवल विषम पूर्णांकों के लिए सत्य है। इस कारण से, आधे-पूर्णांकों को कभी-कभी अर्ध-विषम-पूर्णांक भी कहा जाता है। अर्ध-पूर्णांक डायडिक परिमेय का एक उपसमूह हैं (एक पूर्णांक को दो की घात से विभाजित करने पर उत्पन्न संख्याएँ)।

नोटेशन और बीजगणितीय संरचना
सभी अर्ध-पूर्णांकों का समुच्चय (गणित) प्रायः दर्शाया जाता है $$\mathbb Z + \tfrac{1}{2} \quad = \quad \left( \tfrac{1}{2} \mathbb Z \right) \smallsetminus \mathbb Z ~.$$ पूर्णांक और अर्ध-पूर्णांक मिलकर योग संक्रिया के अंतर्गत एक समूह (गणित) बनाते हैं, जिसे निरूपित किया जा सकता है $$\tfrac{1}{2} \mathbb Z ~.$$ हालाँकि, ये संख्याएँ एक वलय (गणित) नहीं बनाती हैं क्योंकि दो अर्ध-पूर्णांकों का गुणनफल अक्सर अर्ध-पूर्णांक नहीं होता है; जैसे $$~\tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{2} ~=~ \tfrac{1}{4} ~ \notin ~ \tfrac{1}{2} \mathbb Z ~.$$

गुण

 * कुल मिलाकर $$n$$ अर्ध-पूर्णांक एक अर्ध-पूर्णांक है यदि और केवल यदि $$n$$ अजीब है। यह भी शामिल है $$n=0$$ चूँकि रिक्त योग 0 अर्ध-पूर्णांक नहीं है।
 * आधे पूर्णांक का ऋणात्मक भाग आधा पूर्णांक होता है।
 * अर्ध-पूर्णांकों के समुच्चय की प्रमुखता पूर्णांकों के बराबर होती है। यह पूर्णांक से अर्ध-पूर्णांक तक एक आक्षेप के अस्तित्व के कारण है: $$f:x\to x+0.5$$, कहाँ $$x$$ एक पूर्णांक है

क्षेत्र पैकिंग
चार आयामों में इकाई गोले की सघनतम जाली पैकिंग (जिसे D4 जाली|D कहा जाता है)।4 जाली) प्रत्येक बिंदु पर एक गोला रखता है जिसके निर्देशांक या तो सभी पूर्णांक या सभी अर्ध-पूर्णांक होते हैं। यह पैकिंग हर्विट्ज़ पूर्णांकों से निकटता से संबंधित है: चतुर्भुज जिनके वास्तविक गुणांक या तो सभी पूर्णांक या सभी अर्ध-पूर्णांक हैं।

भौतिकी
भौतिकी में, पाउली अपवर्जन सिद्धांत फर्मियन की परिभाषा से उन कणों के रूप में उत्पन्न होता है जिनमें स्पिन (भौतिकी) होती है जो आधे-पूर्णांक होते हैं। क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर का ऊर्जा स्तर आधे-पूर्णांक पर होता है और इस प्रकार इसकी न्यूनतम ऊर्जा शून्य नहीं होती है।

गोले का आयतन
हालाँकि कारख़ाने का  फ़ंक्शन को केवल पूर्णांक तर्कों के लिए परिभाषित किया गया है, इसे गामा फ़ंक्शन का उपयोग करके भिन्नात्मक तर्कों तक बढ़ाया जा सकता है। अर्ध-पूर्णांकों के लिए गामा फ़ंक्शन एन-बॉल के आयतन के सूत्र का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है|एक का आयतन $n$-त्रिज्या की आयामी गेंद $$R$$, $$V_n(R) = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}R^n~.$$ अर्ध-पूर्णांकों पर गामा फ़ंक्शन के मान पाई के वर्गमूल के पूर्णांक गुणज हैं: $$\Gamma\left(\tfrac{1}{2} + n\right) ~=~ \frac{\,(2n-1)!!\,}{2^n}\, \sqrt{\pi\,} ~=~ \frac{(2n)!}{\,4^n \, n!\,} \sqrt{\pi\,} ~$$ कहाँ $$n!!$$ दोहरे भाज्य को दर्शाता है।