लोरेंत्ज़ समष्टि

गणितीय विश्लेषण में, 1950 के दशक में जॉर्ज जी लोरेंत्ज़ द्वारा प्रस्तुत किया गया लोरेंत्ज़ समष्टि, अधिक सामान्य $$L^{p}$$ समष्टि का सामान्यीकरण है।

लोरेंत्ज़ समष्टि $$L^{p,q}$$ द्वारा निरूपित किया जाता है। $$L^{p}$$ समष्टि की तरह, वे एक मानदंड (तकनीकी रूप से एक क्वासिनॉर्म) की विशेषता रखते है जो किसी फलन के आकार के बारे में जानकारी को एन्कोड करते है, जैसे कि $$L^{p}$$ मानदंड करता है। किसी फलन के  आकार  की दो मूलभूत गुणात्मक धारणाएँ हैं: फलन का ग्राफ़ कितना लंबा है, और यह कितना फैला हुआ है। श्रेणी ($$p$$)  और प्रक्षेत्र ($$q$$) दोनों में माप को घातीय रूप से कम करके, लोरेंत्ज़ मानदंड $$L^{p}$$ मानदंडों की तुलना में दोनों गुणों पर सख्त नियंत्रण प्रदान करते हैं। लोरेंत्ज़ मानदंड, $$L^{p}$$ मानदंडों की तरह, एक फलन के मानो की स्वेच्छ पुनर्व्यवस्था के तहत निश्चर हैं।

परिभाषा
एक माप समष्टि $$(X, \mu)$$ पर लोरेंत्ज़ समष्टि X पर सम्मिश्र-मान माप्य योग्य फलन f का समष्टि है, जैसे कि निम्नलिखित क्वासिनॉर्म परिमित है


 * $$\|f\|_{L^{p,q}(X,\mu)} = p^{\frac{1}{q}} \left \|t\mu\{|f|\ge t\}^{\frac{1}{p}} \right \|_{L^q \left (\mathbf{R}^+, \frac{dt}{t} \right)}

$$ जहां $$0 < p < \infty$$ और $$0 < q \leq \infty$$. इस प्रकार, जब $$q < \infty$$,$$\|f\|_{L^{p,q}(X,\mu)}=p^{\frac{1}{q}}\left(\int_0^\infty t^q \mu\left\{x : |f(x)| \ge t\right\}^{\frac{q}{p}}\,\frac{dt}{t}\right)^{\frac{1}{q}} = \left(\int_0^\infty \bigl(\tau \mu\left\{x : |f(x)|^p \ge \tau \right\}\bigr)^{\frac{q}{p}}\,\frac{d\tau}{\tau}\right)^{\frac{1}{q}} .$$और जब $$q = \infty$$,$$\|f\|_{L^{p,\infty}(X,\mu)}^p = \sup_{t>0}\left(t^p\mu\left\{x : |f(x)| > t \right\}\right).$$ यह समुच्चय करने के लिए भी शर्तें है $$L^{\infty,\infty}(X, \mu) = L^{\infty}(X, \mu)$$ |

ह्रासमान पुनर्व्यवस्थापन
अनिवार्य रूप से परिभाषा के अनुसार, फलन $$f$$ के मानों को पुनर्व्यवस्थित करने के तहत क्वासिनॉर्म निश्चर है| विशेष रूप से, एक माप समष्टि पर परिभाषित एक सम्मिश्र-मान माप्य योग्य फलन $$f$$ दिया गया है, $$(X, \mu)$$, इसका ह्रासमान पुनर्व्यवस्थापन फलन, $$f^{\ast}: [0, \infty) \to [0, \infty]$$ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है


 * $$f^{\ast}(t) = \inf \{\alpha \in \mathbf{R}^{+}: d_f(\alpha) \leq t\}$$

जहाँ $$d_{f}$$, $$f$$ का तथाकथित वितरण फलन है, जिसके द्वारा दिया गया है


 * $$d_f(\alpha) = \mu(\{x \in X : |f(x)| > \alpha\}).$$

यहाँ, सांकेतिक सुविधा के लिए, $$\inf \varnothing$$ को ∞ मे परिभाषित किया गया है |

दो फलन $$|f|$$ और $$f^{\ast}$$ समतुल्य हैं, जिसका अर्थ है


 * $$ \mu \bigl( \{ x \in X : |f(x)| > \alpha\} \bigr) = \lambda \bigl( \{ t > 0 : f^{\ast}(t) > \alpha\} \bigr), \quad \alpha > 0, $$

जहां $$\lambda$$ वास्तविक रेखा पर लेबेस्ग माप है। संबंधित सममित ह्रासमान पुनर्व्यवस्थापन फलन,जो $$f$$ के साथ भी समतुल्य है, को वास्तविक रेखा पर परिभाषित किया जाएगा


 * $$\mathbf{R} \ni t \mapsto \tfrac{1}{2} f^{\ast}(|t|).$$

इन परिभाषाओं को देखते हुए, $$0 < p < \infty$$ और $$0 < q \leq \infty$$, लोरेंत्ज़ क्वासिनॉर्म द्वारा दिए गए हैं


 * $$\| f \|_{L^{p, q}} = \begin{cases}

\left( \displaystyle \int_0^{\infty} \left (t^{\frac{1}{p}} f^{\ast}(t) \right )^q \, \frac{dt}{t} \right)^{\frac{1}{q}} & q \in (0, \infty), \\ \sup\limits_{t > 0} \, t^{\frac{1}{p}} f^{\ast}(t)   & q = \infty. \end{cases}$$

लोरेंत्ज़ अनुक्रम समष्टि
जब $$(X,\mu)=(\mathbb{N},\#)$$ ($$\mathbb{N}$$ पर गणन माप), परिणामी लोरेंत्ज़ समष्टि एक अनुक्रम समष्टि है। हालांकि, इस स्थिति में विभिन्न संकेतन का उपयोग करना सुविधाजनक है।

परिभाषा।
$$(a_n)_{n=1}^\infty\in\mathbb{R}^\mathbb{N}$$ (या $$\mathbb{C}^\mathbb{N}$$ सम्मिश्र स्थिति में) के लिए, चलो $\left\|(a_n)_{n=1}^\infty\right\|_p = \left(\sum_{n=1}^\infty|a_n|^p\right)^{1/p}$ $$1\leq p<\infty$$  के लिए पी-मानदंड को दर्शाता है और ∞-मानक को $\left\|(a_n)_{n=1}^\infty\right\|_\infty = \sup_{n\in\N}|a_n|$  करता है।  परिमित पी-नॉर्म के साथ सभी अनुक्रमों के बानाच समष्टि को $$\ell_p$$ द्वारा निरूपित करें। चलो $$c_0$$ को संतुष्ट करने वाले सभी अनुक्रमों का बानाच समष्टि $$\lim_{n\to\infty}a_n=0$$, ∞-नॉर्म के साथ संपन्न है। $$c_{00}$$ द्वारा सभी अनुक्रमों के आदर्श समष्टि को केवल परिमित रूप से कई अशून्य प्रविष्टियों के साथ निरूपित करें।ये सभी समष्टि लोरेंत्ज़ अनुक्रम समष्टि की एक भूमिका $$d(w,p)$$ नीचे निभाते हैं।

मान लीजिए $$w=(w_n)_{n=1}^\infty\in c_0\setminus\ell_1$$ सन्तुष्ट धनात्मक वास्तविक संख्याओं का अनुक्रम बनाए $$1 = w_1 \geq w_2 \geq w_3 \geq \cdots$$, और मानदंड $\left\|(a_n)_{n=1}^\infty\right\|_{d(w,p)} = \sup_{\sigma\in\Pi}\left\|(a_{\sigma(n)}w_n^{1/p})_{n=1}^\infty\right\|_p$ परिभाषित करें | लोरेंत्ज़ अनुक्रम समष्टि $$d(w,p)$$ को सभी अनुक्रमों के बानाच समष्टि के रूप में परिभाषित किया गया है जहां यह मानदंड परिमित है। समान रूप से, हम परिभाषित कर सकते हैं $$d(w,p)$$ के तहत $$c_{00}$$ के पूरा होने के रूप में$$\|\cdot\|_{d(w,p)}$$है |

गुण
लोरेंत्ज़ समष्टि वास्तव में $$L^{p}$$ समष्टि के सामान्यीकरण हैं इस अर्थ में कि, किसी भी $$p$$, $$L^{p,p} = L^{p}$$ के लिए जो कैवेलियरी के सिद्धांत से अनुकरण करता है। इसके अलावा, $$L^{p, \infty}$$ निर्बल $$L^{p}$$ के साथ संपाती है। वे अर्ध-बनच समष्टि हैं (अर्थात, अर्ध-सामान्य समष्टि जो पूर्ण भी हैं) और $$1 < p < \infty$$ और $$1 \leq q \leq \infty$$ के लिए सामान्य हैं। जब $$p = 1$$, $$L^{1, 1} = L^{1}$$ एक मानदंड से लैस है, लेकिन $$L^{1,\infty}$$, निर्बल $$L^{1}$$ समष्टि के क्वासिनॉर्म के तुल्य मानक को परिभाषित करना संभव नहीं है। एक ठोस उदाहरण के रूप में कि त्रिभुज असमिका $$L^{1,\infty}$$ में विफल हो जाती है, विचार करें
 * $$f(x) = \tfrac{1}{x} \chi_{(0,1)}(x)\quad \text{and} \quad g(x) = \tfrac{1}{1-x} \chi_{(0,1)}(x),$$ जिसका $$L^{1,\infty}$$ अर्ध-मानक एक के बराबर है, जबकि उनके योग का अर्ध-मानक $$f + g$$ चार के बराबर है।

समष्टि $$L^{p,q}$$ $$L^{p, r}$$ में निहित होता है जब भी $$q < r$$ | लोरेंत्ज़ समष्टि के बीच वास्तविक अंतर्वेशन समष्टि $$L^{1}$$ और $$L^{\infty}$$ हैं |

होल्डर की असमता
$$\|fg\|_{L^{p,q}}\le A_{p_1,p_2,q_1,q_2}\|f\|_{L^{p_1,q_1}}\|g\|_{L^{p_2,q_2}}$$जहां $$0<p,p_1,p_2<\infty$$, $$0<q,q_1,q_2\le\infty$$, $$1/p=1/p_1+1/p_2$$, और $$1/q=1/q_1+1/q_2$$.

द्वैत समष्‍टि
अगर $$(X,\mu)$$ एक गैर-परमाणु σ-परिमित माप समष्‍टि है, तो (i) $$(L^{p,q})^*=\{0\}$$ के लिए $$0<p<1$$, या $$1=p<q<\infty$$; (ii) $$(L^{p,q})^*=L^{p',q'}$$ के लिए $$1<p<\infty,0<q\le\infty$$, या $$0<q\le p=1$$; (iii) $$(L^{p,\infty})^*\ne\{0\}$$ के लिए $$1\le p\le\infty$$. यहाँ $$p'=p/(p-1)$$ के लिए $$1<p<\infty$$, $$p'=\infty$$ के लिए $$0<p\le1$$, और $$\infty'=1$$.

परमाणु अपघटन
निम्नलिखित $$0<p\le\infty, 1\le q\le\infty$$ के लिए तुल्य हैं| (i) $$\|f\|_{L^{p,q}}\le A_{p,q}C$$. (ii) $$f=\textstyle\sum_{n\in\mathbb{Z}}f_n$$ जहाँ $$f_n$$ ने असंयुक्त आधार दिया है, माप $$\le2^n$$ के साथ, जिस पर $$0<H_{n+1}\le|f_n|\le H_n$$ लगभग हर जगह, और $$\|H_n2^{n/p}\|_{\ell^q(\mathbb{Z})}\le A_{p,q}C$$. (iii) $$|f|\le\textstyle\sum_{n\in\mathbb{Z}}H_n\chi_{E_n}$$लगभग हर जगह, जहाँ $$\mu(E_n)\le A_{p,q}'2^n$$ और $$\|H_n2^{n/p}\|_{\ell^q(\mathbb{Z})}\le A_{p,q}C$$ (iv) $$f=\textstyle\sum_{n\in\mathbb{Z}}f_n$$ जहाँ $$f_n$$ का असंयुक्त आधार $$E_n$$ है, अशून्य माप के साथ, जिस पर $$B_02^n\le|f_n|\le B_12^n$$ लगभग हर जगह, $$B_0,B_1$$ और $$\|2^n\mu(E_n)^{1/p}\|_{\ell^q(\mathbb{Z})}\le A_{p,q}C$$ धनात्मक नियतांक हैं| (v)$$|f|\le\textstyle\sum_{n\in\mathbb{Z}}2^n\chi_{E_n}$$ लगभग हर जगह, जहाँ $$\|2^n\mu(E_n)^{1/p}\|_{\ell^q(\mathbb{Z})}\le A_{p,q}C$$.

यह भी देखें

 * अंतर्वेशन समष्टि
 * हार्डी-लिटिलवुड असमता