फैक्टोरियल के गुणात्मक विभाजन

कारख़ाने का के गुणात्मक विभाजन अभाज्य संख्या की शक्तियों के उत्पाद के रूप में फैक्टोरियल फ़ंक्शन के मूल्यों की अभिव्यक्ति हैं। इनका अध्ययन पॉल एर्दो और अन्य लोगों द्वारा किया गया है। एक धनात्मक पूर्णांक का भाज्य घटते पूर्णांक गुणनखंडों का एक उत्पाद है, जिसे बदले में अभाज्य संख्याओं में विभाजित किया जा सकता है। इसका मतलब यह है कि किसी भी फैक्टोरियल को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए,$$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 5^1 \cdot 2^2 \cdot 3^1 \cdot 2^1.$$अगर हम लिखना चाहते हैं $5!$ प्रपत्र के कारकों के उत्पाद के रूप में $(p_k)^{b_k}$, जहां प्रत्येक $p_k$  एक अभाज्य संख्या है, और गुणनखंडों को घटते क्रम में क्रमबद्ध किया गया है, तो हमारे पास ऐसा करने के तीन तरीके हैं:$$5! = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 2^2 \cdot 5^1 = 3^1 \cdot 5^1 \cdot 2^3 = 2^1 \cdot 2^1 \cdot 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1.$$ऐसे क्रमबद्ध गुणात्मक विभाजनों की संख्या $n!$ के साथ बढ़ता है $n$, और अनुक्रम द्वारा दिया गया है


 * 1, 1, 3, 3, 10, 10, 30, 75, 220, 220, 588, 588, 1568, 3696, 11616, ....

किसी दिए गए फैक्टोरियल के सभी क्रमबद्ध गुणात्मक विभाजनों की लंबाई समान नहीं होती है। उदाहरण के लिए, के विभाजन $5!$ लंबाई 4, 3 और 5 है। दूसरे शब्दों में, ठीक विभाजनों में से एक $5!$  लंबाई 5 है। क्रमबद्ध गुणात्मक विभाजनों की संख्या $n!$  जिसकी लंबाई बराबर हो $n$  के लिए 1 है $n = 4$  और $n = 5$, और उसके बाद बढ़ता है
 * 2, 2, 5, 12, 31, 31, 78, 78, 191, 418, 1220, 1220, 3015, ....

के सभी क्रमबद्ध गुणात्मक विभाजनों पर विचार करें $n!$ जिसकी लंबाई हो $n$, और वह विभाजन ढूंढें जिसका पहला कारक सबसे बड़ा है। (चूंकि किसी विभाजन में पहला कारक उस विभाजन के भीतर सबसे छोटा होता है, इसका मतलब मैक्सिमा और मिनिमा ढूंढना है।) इस कारक को कॉल करें $m(n)$. का मान है $m(n)$ के लिए 2 है $n = 4$  और $n = 5$, और उसके बाद बढ़ता है
 * 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 7, 7, ....

के स्पर्शोन्मुख व्यवहार को व्यक्त करना $m(n)$, होने देना$$\alpha(n) = \frac{\ln m(n)}{\ln n}.$$जैसा $n$ अनंत की ओर प्रवृत्त होता है, $$\alpha(n)$$ एक सीमित मूल्य, अल्लादी-ग्रिंस्टेड स्थिरांक (गणितज्ञ  कृष्णसोम जो  और चार्ल्स ग्रिंस्टेड के नाम पर) के करीब पहुंचता है। अल्लादी-ग्रिंस्टेड स्थिरांक का दशमलव प्रतिनिधित्व शुरू होता है,

<ब्लॉककोट>0.80939402054063913071793188059409131721595399242500030424202871504... . स्थिरांक का सटीक मान एक निश्चित श्रृंखला (गणित) के घातीय फ़ंक्शन के रूप में लिखा जा सकता है। स्पष्ट रूप से, $$\lim_{n\to\infty} \alpha(n) = e^{c-1} \approx 0.80939402,$$कहाँ $c$ द्वारा दिया गया है$$c = \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k} \ln \frac{k}{k-1} \approx 0.78853057.$$इस राशि को वैकल्पिक रूप से इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है, लिखना $\zeta(n)$  रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के लिए:$$c = \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(n+1)-1}{n}.$$स्थिरांक के लिए यह शृंखला $c$  पहले की तुलना में अधिक तेजी से अभिसरण होता है। कार्यक्रम $m(n)$  के विस्तार पर स्थिर है $n$, लेकिन मान 6 को छोड़ कर 5 से 7 पर पहुंच जाता है। एर्दो ने सवाल उठाया कि के अनुक्रम में कितना बड़ा अंतराल है $m(n)$  बढ़ सकता है, और लगातार खिंचाव कितने समय तक हो सकता है।