सीमा (टोपोलॉजी)

सामान्य रूप से टोपोलॉजी और गणित में, एक उपसमुच्चय की सीमा $S$ एक टोपोलॉजिकल स्थान $X$ के पास में बिंदुओं का समुच्चय होता है $S$ आंतरिक से संबंधित नही होता है $S$ इसके सीमा का एक तत्व को $S$ की सीमा बिंदु कहा जाता है। सीमा संचालन शब्द एक सेट की सीमा को खोजने या लेने के लिए संदर्भित करता है। एक सेट की सीमा के लिए प्रयुक्त संकेतन $S$ सम्मलित होते है $$\operatorname{bd}(S), \operatorname{fr}(S),$$ तथा $$\partial S$$ कुछ लेखक (उदाहरण के लिए विलार्ड, सामान्य टोपोलॉजी में) बीजगणितीय टोपोलॉजी और मैनिफोल्ड के सिद्धांत में उपयोग की जाने वाली सीमा के साथ मैनिफोल्ड के साथ भ्रम से बचने के प्रयास में सीमा के अतिरिक्त 'फ्रंटियर' शब्द का उपयोग करते है। सीमा के अर्थ की व्यापक स्वीकृति के अतिरिक्त, कभी-कभी उनका उपयोग अन्य सेटों को संदर्भित करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, ई टी कॉपसन द्वारा मीट्रिक स्थान फेलिक्स हॉसडॉर्फ की 'सीमा' को संदर्भित करने के लिए सीमा शब्द का उपयोग करता है, जिसे इसकी सीमा के साथ एक सेट के प्रतिच्छेदन के रूप में परिभाषित किया गया है। हॉसडॉर्फ ने अवशेष शब्द भी प्रस्तुत किया था, जिसे इसके पूरक की सीमा के बंद होने के साथ एक सेट के प्रतिच्छेदन के रूप में परिभाषित किया गया है। S की सीमा से जुड़े घटक को S का सीमा घटक कहा जाता है।

सामान्य परिभाषाएं
इसके लिए कई समान परिभाषाएं है एक उपसमुच्चय का $$S \subseteq X$$ एक टोपोलॉजिकल स्थान $$X,$$ जिसे दर्शाया जाता है $$\partial_X S,$$ $$\operatorname{Bd}_X S,$$ या केवल $$\partial S$$ यदि $$X$$ विदित होता है: यह क्लोजर (टोपोलॉजी) है $$S$$ का आंतरिक (टोपोलॉजी) घटाव सेट करता है $$S$$ में $$X$$: $$\partial S ~:=~ \overline{S} \setminus \operatorname{int}_X S$$ जहाँ पे $$\overline{S} = \operatorname{cl}_X S$$ के क्लोजर (टोपोलॉजी) को दर्शाता है $$S$$ में $$X$$ तथा $$\operatorname{int}_X S$$ आंतरिक (टोपोलॉजी) को दर्शाता है $$S$$ में $$X.$$  यह बंद होने का स्थान होता है $$S$$ इसके पूरक (सेट सिद्धांत) के बंद होने के साथ होता है: $$\partial S ~:=~ \overline{S} \cap \overline{(X \setminus S)}$$ यह बिंदुओं का समूह होता है $$p \in X$$ ऐसा है कि हर निकटतम (टोपोलॉजी) $$p$$ कम से कम एक बिंदु सम्मलित होती है $$S$$ और कम से कम एक बिंदु नही होती है $$S$$: $$\partial S ~:=~ \{ p \in X : \text{ for every neighborhood } O \text{ of } p, \ O \cap S \neq \varnothing \,\text{ and }\, O \cap (X \setminus S) \neq \varnothing \}.$$ 

सेट का एक सीमा बिंदु उस सेट की सीमा के किसी भी तत्व को संदर्भित करता है। सीमा $$\partial_X S$$ ऊपर परिभाषित को कभी-कभी समुच्चय कहा जाता है इसे अन्य समान रूप से नामित धारणाओं से अलग करने के लिए जैसे कि सीमा के साथ कई गुना की सीमा या कोनों के साथ कई गुना की सीमा, बस कुछ उदाहरण देने के लिए होता है।

गुण
एक सेट का बंद होना $$S$$ इसकी सीमा के साथ समुच्चय के मिलन के बराबर होता है: $$\overline{S} = S \cup \partial_X S$$ जहाँ पे $$\overline{S} = \operatorname{cl}_X S$$ के क्लोजर (टोपोलॉजी) को दर्शाता है $$S$$ में $$X.$$ एक सेट अगर और केवल तभी बंद होता है जब उसकी सीमा होती है, और अगर और केवल तभी खुलता है जब वह अपनी सीमा से अलग होता है। एक सेट की सीमा बंद सेट होती है, यह सूत्र से इस प्रकार है $$\partial_X S ~:=~ \overline{S} \cap \overline{(X \setminus S)},$$ जो व्यक्त करता है $$\partial_X S$$ कि दो बंद उपसमुच्चयों के प्रतिच्छेदन के रूप में $$X.$$ किसी उपसमुच्चय को देखते हुए $$S \subseteq X,$$ प्रत्येक बिंदु $$X$$ ठीक तीन सेटों में से एक में स्थित होते है $$\operatorname{int}_X S, \partial_X S,$$ तथा $$\operatorname{int}_X (X \setminus S).$$ अलग होता है, $$X ~=~ \left(\operatorname{int}_X S\right) \;\cup\; \left(\partial_X S\right) \;\cup\; \left(\operatorname{int}_X (X \setminus S)\right)$$ और ये तीनों समुच्चय असंयुक्त होते है। नतीजतन, अगर ये सेट खाली नही होते है तब वे के समुच्चय का विभाजन बनाते है $$X.$$ एक बिंदु $$p \in X$$ एक सेट की एक सीमा बिंदु होती है यदि और केवल प्रत्येक निकटतम $$p$$ सेट में कम से कम एक बिंदु होती है। समुच्चय के आंतरिक भाग की सीमा और समुच्चय के बंद होने की सीमा दोनों ही समुच्चय की सीमा में समाहित होते है।

एक उपसमुच्चय के विभिन्न बिंदुओं के बीच संबंधों को दर्शाने वाला संकल्पनात्मक वेन आरेख $$S$$ का $$\R^n.$$ $$A$$ = सीमा बिंदुओं का सेट $$S,$$ $$B = $$ सीमा बिंदुओं का सेट $$S,$$ क्षेत्र छायांकित हरा = के आंतरिक बिंदुओं का समुच्चय $$S,$$ क्षेत्र छायांकित पीला = के पृथक बिंदुओं का समुच्चय $$S,$$ क्षेत्र छायांकित काला = खाली सेट होता है। इसका हर बिंदु $$S$$ या तो एक आंतरिक बिंदु या एक सीमा बिंदु होती है। इसके अतिरिक्त, हर बिंदु $$S$$ या तो एक संचय बिंदु या एक पृथक बिंदु होती है। इसी तरह, हर सीमा बिंदु $$S$$ या तो एक संचय बिंदु या एक पृथक बिंदु होती है। पृथक बिंदु हमेशा सीमा बिंदु होती है।

लक्षण और सामान्य उदाहरण
एक सेट की सीमा सेट के पूरक की सीमा के बराबर है: $$\partial_X S = \partial_X (X \setminus S).$$ एक सेट $$U$$ का एक सघन उपसमुच्चय है। का खुला समुच्चय उपसमुच्चय है $$X$$ अगर और केवल अगर $$\partial_X U = X \setminus U.$$ बंद समुच्चय की सीमा का आंतरिक भाग समुच्चय होता है। नतीजतन, एक सेट के बंद होने की सीमा का आंतरिक भाग खाली सेट होता है। किसी खुले समुच्चय की सीमा का आंतरिक भाग भी समुच्चय ही होता है। नतीजतन, एक सेट के आंतरिक की सीमा का आंतरिक भाग खाली सेट होता है। विशेष रूप से, यदि $$S \subseteq X$$ का एक बंद या खुला उपसमुच्चय होता है $$X$$ तब कोई गैर उपसमुच्चय उपस्थित नही होता है $$U \subseteq \partial_X S$$ ऐसा है कि $$U$$ का एक खुला उपसमुच्चय भी होता है $$X.$$ यह तथ्य नोव्हेयर डेंस सेट, मेगर सेट और बेयर स्थान की परिभाषा और उपयोग के लिए महत्वपूर्ण होते है।

एक समुच्चय किसी खुले समुच्चय की सीमा होती है यदि और केवल बंद होता है और कहीं भी सघन समुच्चय नही होता है। एक सेट की सीमा खाली होती है यदि और केवल तभी जब सेट बंद और खुला होता है।

ठोस उदाहरण
वास्तविक रेखा पर विचार करते है $$\R$$ सामान्य टोपोलॉजी के साथ (अर्थात टोपोलॉजी जिसका आधार खुला अंतराल होता है) और $$\Q,$$ परिमेय संख्याओं का उपसमुच्चय (जिसका आंतरिक (टोपोलॉजी) $$\R$$ खाली होता है)। फिर

ये अंतिम दो उदाहरण इस तथ्य को स्पष्ट करते है कि खाली आंतरिक भाग वाले घने समुच्चय की सीमा उसका बंद होता है। वे यह भी दिखाते है कि यह सीमा के लिए संभव होता है $$\partial S$$ एक उपसमुच्चय का $$S$$ का एक गैर खुला उपसमुच्चय समाहित करने के लिए $$X := \R$$ है, कि आंतरिक के लिए $$\partial S$$ में $$X$$ खाली नही होता है। चूंकि, एक उपसमुच्चय की सीमा में हमेशा एक खाली आंतरिक भाग होता है।
 * $$\partial (0,5) = \partial [0,5) = \partial (0,5] = \partial [0,5] = \{0, 5\}$$
 * $$\partial \varnothing= \varnothing$$
 * $$\partial \Q = \R$$
 * $$\partial (\Q \cap [0, 1]) = [0, 1]$$

सामान्य टोपोलॉजी के साथ परिमेय संख्याओं के स्थान में (उप-स्थान टोपोलॉजी) $$\R$$, की सीमा $$(-\infty, a),$$ जहाँ पे $$a$$ तर्कहीन होते है, खाली होते है।

एक सेट की सीमा एक टोपोलॉजी धारणा करता है और यदि कोई टोपोलॉजी बदलता है तो बदल सकता है। उदाहरण के लिए, सामान्य टोपोलॉजी को देखते हुए $$\R^2,$$ एक बंद डिस्क की सीमा $$\Omega = \left\{(x, y) : x^2 + y^2 \leq 1 \right\}$$ डिस्क के आसपास का चक्र होता है: $$\partial \Omega = \left\{(x, y) : x^2 + y^2 = 1 \right\}.$$ यदि डिस्क को एक सेट के रूप में देखा जाता है $$\R^3$$ अपनी सामान्य टोपोलॉजी के साथ, अर्थात्, $$\Omega = \left\{(x, y, 0) : x^2 + y^2 \leq 1 \right\},$$ तब डिस्क की सीमा डिस्क ही होती है: $$\partial \Omega = \Omega.$$ यदि डिस्क को अपने स्वयं के टोपोलॉजिकल स्थान के रूप में देखा जाता है (उप-स्थान टोपोलॉजी के साथ) $$\R^2$$, तो डिस्क की सीमा खाली होती है।

खुली गेंद बनाम उसके आसपास के गोले की सीमा
यह उदाहरण दर्शाता है कि त्रिज्या की एक खुली गेंद की टोपोलॉजिकल सीमा $$r > 0$$ है आवश्यक रूप से त्रिज्या के संगत गोले के बराबर होते है $$r$$ (एक ही बिंदु पर केंद्रित), यह भी दर्शाता है कि त्रिज्या की एक खुली गेंद का बंद होना $$r > 0$$ होता है आवश्यक रूप से त्रिज्या की बंद गेंद के बराबर होती है $$r$$ (फिर से उसी बिंदु पर केंद्रित होती है)।

सामान्य यूक्लिडियन मीट्रिक को निरूपित करता है $$\R^2$$ जिसके द्वारा $$d((a, b), (x, y)) := \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}$$ जो प्रेरित करता है $$\R^2$$ सामान्य यूक्लिडियन टोपोलॉजी को प्रेरित करता है। $$X \subseteq \R^2$$ के संघ को निरूपित करता है $$y$$-एक्सिस $$Y := \{ 0 \} \times \R$$ यूनिट सर्कल के साथ $$S^1 := \left\{ p \in \R^2 : d(p, \mathbf{0}) = 1 \right\} = \left\{ (x, y) \in \R^2 : x^2 + y^2 = 1 \right\}$$ मूल पर केंद्रित $$\mathbf{0} := (0, 0) \in \R^2$$ है, $$X := Y \cup S^1,$$ जो एक टोपोलॉजिकल सबस्थान है $$\R^2$$ जिसकी टोपोलॉजी मीट्रिक के (प्रतिबंध) द्वारा प्रेरित के बराबर होती है $$d.$$ विशेष रूप से, सेट $$Y, S^1, Y \cap S^1 = \{ (0, \pm 1) \},$$ तथा $$\{ 0 \} \times [-1, 1]$$ सभी बंद उपसमुच्चय होते है $$\R^2$$ और इस प्रकार इसके उप-स्थान के उपसमुच्चय भी बंद हो जाते है $$X.$$ इसके बाद, जब तक कि यह स्पष्ट रूप से अन्यथा इंगित नही होता है, प्रत्येक खुली गेंद, बंद गेंद और गोले को मूल बिंदु पर केंद्रित माना जाता है। $$\mathbf{0} = (0, 0)$$ और इसके अतिरिक्त, केवल मीट्रिक स्थान $$(X, d)$$ माना जाता है (और इसका सुपरस्थान नही होता है $$(\R^2, d)$$), यह एक पथ से जुड़ा हुआ स्थान होता है | पथ से जुड़ा और स्थानीय रूप से पथ से जुड़ा पूर्ण मीट्रिक स्थान होता है।

त्रिज्या की खुली गेंद को निरूपित करता है $$r > 0$$ में $$(X, d)$$ जिसके द्वारा $$B_r := \left\{ p \in X : d(p, \mathbf{0}) < r \right\}$$ जिससे कि जब $$r = 1$$ फिर $$B_1 = \{ 0 \} \times (-1, 1)$$ इसका खुला उप-अंतराल होता है $$y$$ से $$y = -1$$ तथा $$y = 1.$$ इकाई क्षेत्र में $$(X, d)$$ (इकाई का अर्थ है कि इसकी त्रिज्या है $$r = 1$$) $$\left\{ p \in X : d(p, \mathbf{0}) = 1 \right\} = S^1$$ जबकि बंद इकाई गेंद $$(X, d)$$ खुली इकाई गेंद का मिलन होता है और इसी बिंदु पर केंद्रित इकाई क्षेत्र है: $$\left\{ p \in X : d(p, \mathbf{0}) \leq 1 \right\} = S^1 \cup \left(\{ 0 \} \times [-1, 1]\right).$$ चूंकि, टोपोलॉजिकल सीमा $$\partial_X B_1$$ और टोपोलॉजिकल क्लोजर $$\operatorname{cl}_X B_1$$ में $$X$$ ओपन यूनिट बॉल का $$B_1$$ होता है: $$\partial_X B_1 = \{ (0, 1), (0, -1) \} \quad \text{ and } \quad \operatorname{cl}_X B_1 ~=~ B_1 \cup \partial_X B_1 ~=~ B_1 \cup\{ (0, 1), (0, -1) \} ~=~\{ 0 \} \times [-1, 1].$$ विशेष रूप से, ओपन यूनिट बॉल की टोपोलॉजिकल सीमा $$\partial_X B_1 = \{ (0, 1), (0, -1) \}$$ एक है इकाई क्षेत्र का सबसेट है $$\left\{ p \in X : d(p, \mathbf{0}) = 1 \right\} = S^1$$ में $$(X, d).$$ और ओपन यूनिट बॉल का टोपोलॉजिकल क्लोजर $$\operatorname{cl}_X B_1 = B_1 \cup \{ (0, 1), (0, -1) \}$$ बंद इकाई गेंद का एक उचित उपसमुच्चय है $$\left\{ p \in X : d(p, \mathbf{0}) \leq 1 \right\} = S^1 \cup \left(\{ 0 \} \times [-1, 1]\right)$$ में $$(X, d).$$ बिंदु $$(1, 0) \in X,$$ उदाहरण के लिए, से संबंधित नही हो सकता $$\operatorname{cl}_X B_1$$ क्योंकि इसमें कोई क्रम उपस्थित नही होते है $$B_1 = \{ 0 \} \times (-1, 1)$$ जो उसमें समा जाता है, एक ही तर्क यह भी समझाने के लिए सामान्यीकृत करता है कि कोई बिंदु क्यों नही होती है $$X$$ बंद उप-अंतराल के बाहर $$\{ 0 \} \times [-1, 1]$$ का होता है $$\operatorname{cl}_X B_1.$$ क्योंकि सेट की टोपोलॉजिकल सीमा $$B_1$$ हमेशा का एक सबसेट है $$B_1$$जिसका समापन, यह इस प्रकार है $$\partial_X B_1$$ का एक सबसेट भी होता है $$\{ 0 \} \times [-1, 1].$$ किसी भी मीट्रिक स्थान में $$(M, \rho),$$ टोपोलॉजिकल सीमा $$M$$ त्रिज्या की एक खुली गेंद का $$r > 0$$ एक बिंदु पर केंद्रित $$c \in M$$ हमेशा त्रिज्या के गोले का एक उपसमुच्चय होता है $$r$$ उसी बिंदु पर केंद्रित $$c$$ है, $$\partial_M \left(\left\{ m \in M : \rho(m, c) < r \right\}\right) ~\subseteq~ \left\{ m \in M : \rho(m, c)= r \right\}$$ हमेशा धारण करता है।

इसके अतिरिक्त, इकाई क्षेत्र $$(X, d)$$ रोकना $$X \setminus Y = S^1 \setminus \{ (0, \pm 1) \},$$ जो कि एक खुला उपसमुच्चय होता है $$X.$$ यह दिखाता है, विशेष रूप से, कि इकाई क्षेत्र $$\left\{ p \in X : d(p, \mathbf{0}) = 1 \right\}$$ में $$(X, d)$$ इसमें सम्मलित होता है a का भाग होता है $$X.$$

एक सीमा की सीमा
किसी भी सेट के लिए $$S, \partial S \supseteq \partial\partial S,$$ जहां$$\,\supseteq\,$$समानता धारण के साथ सुपरसेट को दर्शाता है यदि और केवल सीमा $$S$$ कोई आंतरिक बिंदु नही होती है, जो उदाहरण के लिए होता है यदि $$S$$ या तो बंद होता है या खुला होता है। चूँकि समुच्चय की परिसीमा बंद होती है, $$\partial \partial S = \partial \partial \partial S$$ किसी भी सेट के लिए $$S.$$ सीमा संचालिका इस प्रकार एक कमजोर प्रकार की निष्क्रियता को संतुष्ट करती है।

मैनिफोल्ड्स या सिम्प्लेक्स की सीमाओं और उनके सरल परिसरों पर चर्चा करते हुए, अधिकांशतः यह कहा जाता है कि एक सीमा की सीमा हमेशा खाली होती है। वास्तव में, एकवचन गृहविज्ञान का निर्माण इसी तथ्य पर समालोचनात्मक रूप से टिका हुआ होता है। स्पष्ट असंगति के लिए स्पष्टीकरण यह है कि टोपोलॉजिकल सीमा कई गुना या एक साधारण परिसर की सीमा से थोड़ी अलग अवधारणा होती है। उदाहरण के लिए, एक खुली डिस्क की सीमा जिसे मैनिफोल्ड के रूप में देखा जाता है, खाली होता है, जैसा कि इसकी टोपोलॉजिकल सीमा को स्वयं के सबसेट के रूप में देखा जाता है, जबकि इसकी टोपोलॉजिकल सीमा को वास्तविक सबसेट के रूप में देखा जाता है। इसके विपरीत, एक बंद डिस्क की सीमा जिसे मैनिफोल्ड के रूप में देखा जाता है, सीमांकन घेरा होता है, जैसा कि इसकी टोपोलॉजिकल सीमा को वास्तविक सबसेट के रूप में देखा जाता है, जबकि इसकी टोपोलॉजिकल सीमा को स्वयं के सबसेट के रूप में देखा जाता है। विशेष रूप से, टोपोलॉजिकल सीमा परिवेश स्थान पर निर्भर करती है, जबकि कई गुना की सीमा अपरिवर्तनीय होती है।

यह भी देखें

 * अधिक विवरण के लिए टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड में सीमा की चर्चा देखें।
 * , माप-सैद्धांतिक लक्षण वर्णन और सीमा के गुणों के लिए
 * , माप-सैद्धांतिक लक्षण वर्णन और सीमा के गुणों के लिए
 * , माप-सैद्धांतिक लक्षण वर्णन और सीमा के गुणों के लिए
 * , माप-सैद्धांतिक लक्षण वर्णन और सीमा के गुणों के लिए
 * , माप-सैद्धांतिक लक्षण वर्णन और सीमा के गुणों के लिए
 * , माप-सैद्धांतिक लक्षण वर्णन और सीमा के गुणों के लिए
 * , माप-सैद्धांतिक लक्षण वर्णन और सीमा के गुणों के लिए