फेनमैन आरेख

{| स्टाइल = फ्लोट: राइट; | }  में रिचर्ड फेनमैन
 * Feynmann Diagram Gluon Radiation.svg (e−) और एक  पॉज़िट्रॉन  (e+)    एनीहिलेट ,   फोटॉन का निर्माण करता है।  (γ, नीली साइन लहर द्वारा दर्शाया गया) जो   क्वार्क -  एंटीक्वार्क  जोड़ी (क्वार्क  q, एंटीक्वार्क  q̄) बन जाता है, जिसके बाद एंटीक्वार्क   ग्लूऑन  (g) का विकिरण करता है। हरे हेलिक्स द्वारा दर्शाया गया है)। ]]

सैद्धांतिक भौतिकी में, एक  फेनमैन आरेख   उपपरमाण्विक कण  एस के व्यवहार और अंतःक्रिया का वर्णन करने वाले गणितीय व्यंजकों का सचित्र निरूपण है। इस योजना का नाम अमेरिकी भौतिक विज्ञानी   रिचर्ड फेनमैन  के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1948 में आरेखों को पेश किया था। उप-परमाणु कणों की बातचीत जटिल और समझने में मुश्किल हो सकती है; फेनमैन आरेख एक सरल दृश्य देते हैं कि अन्यथा एक रहस्यमय और अमूर्त सूत्र क्या होगा।   डेविड कैसर  के अनुसार, 20वीं शताब्दी के मध्य से, सैद्धांतिक भौतिकविदों ने महत्वपूर्ण गणना करने में मदद करने के लिए इस उपकरण की ओर तेजी से रुख किया है। फेनमैन आरेखों ने सैद्धांतिक भौतिकी के लगभग हर पहलू में क्रांति ला दी है। जबकि आरेख मुख्य रूप से   क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत  पर लागू होते हैं, उनका उपयोग अन्य क्षेत्रों में भी किया जा सकता है, जैसे    सॉलिड-स्टेट थ्योरी ।   फ्रैंक विल्ज़ेक  ने लिखा है कि जिन गणनाओं ने उन्हें 2004   में भौतिकी  में नोबेल पुरस्कार दिया था, वे फेनमैन आरेखों के बिना सचमुच अकल्पनीय होतीं, जैसा कि [विलज़ेक की] गणनाओं ने    हिग्स कण के उत्पादन और अवलोकन के लिए एक मार्ग स्थापित किया।.

फेनमैन ने  पॉज़िट्रॉन  की   अर्न्स्ट स्टुएकेलबर्ग  की व्याख्या का इस्तेमाल किया जैसे कि यह   इलेक्ट्रॉन  समय में पीछे की ओर बढ़ रहा हो इस प्रकार,   एंटीपार्टिकल  एस को फेनमैन आरेखों में समय अक्ष के साथ पीछे की ओर बढ़ने के रूप में दर्शाया गया है।

सैद्धांतिक कण भौतिकी में  प्रायिकता आयाम  एस की गणना के लिए बड़ी संख्या में    चर  एस के बजाय बड़े और जटिल   अभिन्न  एस के उपयोग की आवश्यकता होती है। फेनमैन आरेख इन समाकलनों को आलेखीय रूप से निरूपित कर सकते हैं।

एक फेनमैन आरेख है a संक्रमण आयाम  या क्वांटम मैकेनिकल या सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत के सहसंबंध समारोह में   परेशान  योगदान का ग्राफिकल प्रतिनिधित्व।    कैनोनिकल  क्वांटम फील्ड सिद्धांत के निर्माण के भीतर, एक फेनमैन आरेख    विक के विस्तार  में गड़बड़ी   एस-मैट्रिक्स में एक शब्द का प्रतिनिधित्व करता है।$S$-मैट्रिक्स । वैकल्पिक रूप से, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत का   पथ अभिन्न सूत्रीकरण, कणों या क्षेत्रों के संदर्भ में, प्रारंभिक से अंतिम अवस्था तक प्रणाली के सभी संभावित इतिहासों के भारित योग के रूप में संक्रमण आयाम का प्रतिनिधित्व करता है। तब संक्रमण आयाम को के मैट्रिक्स तत्व के रूप में दिया जाता है $S$-क्वांटम सिस्टम की प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं के बीच मैट्रिक्स।

प्रेरणा और इतिहास


कण भौतिकी में   स्कैटरिंग क्रॉस-सेक्शन  एस की गणना करते समय, कणों के बीच बातचीत को   मुक्त क्षेत्र  से शुरू करके वर्णित किया जा सकता है जो आने वाले और बाहर जाने वाले कणों का वर्णन करता है, और    हैमिल्टनियन  यह वर्णन करने के लिए कि कण एक दूसरे को कैसे विक्षेपित करते हैं। बिखरने का आयाम सभी संभावित मध्यवर्ती कण राज्यों पर प्रत्येक संभावित अंतःक्रिया इतिहास का योग है। हैमिल्टनियन कृत्यों की बातचीत की संख्या    गड़बड़ी विस्तार  का क्रम है, और क्षेत्रों के लिए समय-निर्भर गड़बड़ी सिद्धांत को   डायसन श्रृंखला  के रूप में जाना जाता है। जब मध्यवर्ती अवस्थाओं में ऊर्जा    ईजेनस्टेट्स  (एक निश्चित गति के साथ कणों का संग्रह) होती है, तो श्रृंखला को  [[ पर्टर्बेशन थ्योरी (क्वांटम मैकेनिक्स) कहा जाता है। या समय-निर्भर/समय-आदेशित गड़बड़ी सिद्धांत)।

डायसन श्रृंखला को वैकल्पिक रूप से फेनमैन आरेखों के योग के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, जहां प्रत्येक शीर्ष पर  ऊर्जा  और   गति  दोनों    संरक्षित  हैं, लेकिन जहां    ऊर्जा-गति चार की लंबाई है -वेक्टर  जरूरी नहीं कि द्रव्यमान के बराबर हो, यानी मध्यवर्ती कणों को तथाकथित    ऑफ-शेल  कहा जाता है। फेनमैन आरेख पुराने जमाने की शर्तों की तुलना में बहुत आसान हैं, क्योंकि पुराने जमाने के तरीके कण और एंटीपार्टिकल योगदान को अलग मानते हैं। प्रत्येक फेनमैन आरेख कई पुराने जमाने के शब्दों का योग है, क्योंकि प्रत्येक आंतरिक रेखा अलग-अलग या तो एक कण या एक एंटीपार्टिकल का प्रतिनिधित्व कर सकती है। एक गैर-सापेक्ष सिद्धांत में, कोई एंटीपार्टिकल्स नहीं होते हैं और कोई दोहरीकरण नहीं होता है, इसलिए प्रत्येक फेनमैन आरेख में केवल एक शब्द शामिल होता है।

फेनमैन ने   फील्ड थ्योरी लैग्रैंजियन  से किसी दिए गए आरेख के लिए आयाम ( , फेनमैन नियम,  से नीचे) की गणना के लिए एक नुस्खा दिया। प्रत्येक आंतरिक रेखा   आभासी कण  के   प्रसारक  के एक कारक से मेल खाती है; प्रत्येक शीर्ष जहां रेखाएं मिलती हैं, लैग्रेंजियन में एक अंतःक्रियात्मक शब्द से प्राप्त एक कारक देता है, और आने वाली और बाहर जाने वाली रेखाएं एक ऊर्जा, गति, और    स्पिन  लेती हैं।

गणितीय उपकरण के रूप में उनके मूल्य के अलावा, फेनमैन आरेख कण अंतःक्रियाओं की प्रकृति में गहरी भौतिक अंतर्दृष्टि प्रदान करते हैं। कण हर तरह से उपलब्ध हैं; वास्तव में, मध्यवर्ती आभासी कणों को प्रकाश की तुलना में तेजी से प्रचारित करने की अनुमति है। प्रत्येक अंतिम स्थिति की संभावना तब ऐसी सभी संभावनाओं को जोड़कर प्राप्त की जाती है। यह  क्वांटम यांत्रिकी  के   कार्यात्मक अभिन्न  फॉर्मूलेशन से निकटता से जुड़ा हुआ है, जिसे फेनमैन द्वारा भी आविष्कार किया गया है-   पथ अभिन्न फॉर्मूलेशन  देखें।

इस तरह की गणनाओं के भोले अनुप्रयोग अक्सर ऐसे आरेख उत्पन्न करते हैं जिनके आयाम   अनंत  हैं, क्योंकि छोटी दूरी के कण अंतःक्रियाओं को कण   आत्म-बातचीत  एस को शामिल करने के लिए सावधानीपूर्वक सीमित प्रक्रिया की आवश्यकता होती है।   पुनर्सामान्यीकरण  की तकनीक,   अर्नस्ट स्टुएकेलबर्ग  और   हंस बेथे  द्वारा सुझाई गई और    डायसन, फेनमैन,    श्विंगर , और    टोमोनागा  द्वारा कार्यान्वित इस प्रभाव की भरपाई करती है। और कष्टदायक अनंत को दूर करता है। पुनर्सामान्यीकरण के बाद, फेनमैन आरेखों का उपयोग करते हुए परिकलन बहुत उच्च सटीकता के साथ प्रयोगात्मक परिणामों से मेल खाते हैंएसी

फेनमैन आरेख और पथ अभिन्न विधियों का उपयोग  सांख्यिकीय यांत्रिकी  में भी किया जाता है और इसे   शास्त्रीय यांत्रिकी  पर भी लागू किया जा सकता है।

वैकल्पिक नाम
मरे गेल-मैन ने स्विस भौतिक विज्ञानी,   अर्न्स्ट स्टुएकेलबर्ग  के बाद, फेनमैन आरेखों को हमेशा ''' स्टुएकेलबर्ग आरेखों के रूप में संदर्भित किया, जिन्होंने कई साल पहले इसी तरह के संकेतन को तैयार किया था। स्टुकेलबर्ग क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के लिए एक स्पष्ट रूप से सहसंयोजक औपचारिकता की आवश्यकता से प्रेरित थे, लेकिन समरूपता कारकों और छोरों को संभालने के लिए एक स्वचालित तरीके के रूप में प्रदान नहीं किया, हालांकि वह समय कण में आगे और पीछे के संदर्भ में सही भौतिक व्याख्या खोजने वाले पहले व्यक्ति थे। पथ, बिना पथ-अभिन्न

ऐतिहासिक रूप से, सहसंयोजक गड़बड़ी सिद्धांत के एक पुस्तक-रखने वाले उपकरण के रूप में, ग्राफ़ को  फेनमैन-डायसन आरेख  या ''' डायसन ग्राफ़ कहा जाता था। क्योंकि जब उन्हें पेश किया गया था तब पथ अभिन्न अपरिचित था, और पुराने जमाने के गड़बड़ी सिद्धांत से  फ्रीमैन डायसन  की व्युत्पत्ति पहले के तरीकों में प्रशिक्षित भौतिकविदों के लिए आसान थी। फेनमैन को आरेखों के लिए कड़ी पैरवी करनी पड़ी, जिसने समीकरणों और रेखांकन में प्रशिक्षित स्थापना भौतिकविदों को भ्रमित किया

भौतिक वास्तविकता का प्रतिनिधित्व
मौलिक अंतःक्रियाओं की उनकी प्रस्तुतियों में  कण भौतिकी के दृष्टिकोण से लिखा गया,   जेरार्ड टी हूफ्ट  और   मार्टिनस वेल्टमैन  ने मूल, गैर-नियमित फेनमैन आरेखों को   मौलिक कणों के क्वांटम बिखरने की भौतिकी के बारे में हमारे वर्तमान ज्ञान के सबसे संक्षिप्त प्रतिनिधित्व के रूप में लेने के लिए अच्छे तर्क दिए।. उनकी प्रेरणाएँ  जेम्स डेनियल ब्योर्केन  और   सिडनी ड्रेल  के दोषसिद्धि के अनुरूप हैं।

<ब्लॉकक्वॉट> फेनमैन ग्राफ और गणना के नियम  क्वांटम फील्ड थ्योरी  को एक ऐसे रूप में सारांशित करते हैं, जो प्रयोगात्मक संख्याओं के निकट संपर्क में है जिसे कोई समझना चाहता है। यद्यपि रेखांकन के संदर्भ में सिद्धांत का कथन    गड़बड़ी सिद्धांत  को इंगित कर सकता है,   में कई-शरीर की समस्या  में चित्रमय विधियों का उपयोग दर्शाता है कि यह औपचारिकता गैर-परेशान वर्णों की घटनाओं से निपटने के लिए पर्याप्त लचीला है। ... गणना के   फेनमैन नियम  के कुछ संशोधन स्थानीय विहित क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत की विस्तृत गणितीय संरचना को अच्छी तरह से रेखांकित कर सकते हैं ...

वर्तमान में, कोई विरोधी राय नहीं है।  क्वांटम फील्ड थ्योरी  में फेनमैन डायग्राम फेनमैन नियमों द्वारा    लैग्रैन्जियन  से प्राप्त किए गए हैं।

आयामी नियमितीकरण फेनमैन आरेखों के मूल्यांकन में    नियमितीकरण    अभिन्न  एस के लिए एक विधि है; यह उन्हें मान प्रदान करता है जो एक सहायक जटिल पैरामीटर के   मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन  एस हैं $d$, आयाम कहा जाता है। आयामी नियमितीकरण एक   फेनमैन इंटीग्रल  को स्पेसटाइम आयाम के आधार पर एक इंटीग्रल के रूप में लिखता है $d$ और स्पेसटाइम अंक।

कण-पथ व्याख्या
एक फेनमैन आरेख   कण  अंतःक्रियाओं के संदर्भ में क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत प्रक्रियाओं का प्रतिनिधित्व है। कणों को आरेख की रेखाओं द्वारा दर्शाया जाता है, जो कण के प्रकार के आधार पर, एक तीर के साथ या बिना, घुमावदार या सीधे हो सकते हैं। एक बिंदु जहां रेखाएं अन्य रेखाओं से जुड़ती हैं, एक वर्टेक्स होता है, और यहीं पर कण मिलते हैं और परस्पर क्रिया करते हैं: नए कणों को उत्सर्जित या अवशोषित करके, एक दूसरे को विक्षेपित करके, या बदलते प्रकार।

तीन अलग-अलग प्रकार की रेखाएँ हैं: आंतरिक रेखाएँ दो शीर्षों को जोड़ती हैं, आने वाली रेखाएँ अतीत से एक शीर्ष तक फैली हुई हैं और एक प्रारंभिक अवस्था का प्रतिनिधित्व करती हैं, और बाहर जाने वाली रेखाएँ एक शीर्ष से एक शीर्ष तक फैली हुई हैं। भविष्य और अंतिम स्थिति का प्रतिनिधित्व करते हैं (बाद के दो को बाहरी रेखाएं के रूप में भी जाना जाता है)। परंपरागत रूप से, आरेख का निचला भाग भूतकाल और ऊपर वाला भविष्य होता है; दूसरी बार, अतीत बाईं ओर है और भविष्य दाईं ओर है।  प्रकीर्णन आयाम  एस के बजाय   सहसंबंध फलन  की गणना करते समय, कोई अतीत और भविष्य नहीं होता है और सभी रेखाएँ आंतरिक होती हैं। कण तब छोटे x पर शुरू और समाप्त होते हैं, जो उन ऑपरेटरों की स्थिति का प्रतिनिधित्व करते हैं जिनके सहसंबंध की गणना की जा रही है।

फेनमैन आरेख एक प्रक्रिया के लिए कुल आयाम में योगदान का एक सचित्र प्रतिनिधित्व है जो कई अलग-अलग तरीकों से हो सकता है। जब आने वाले कणों के एक समूह को एक-दूसरे को बिखेरना होता है, तो इस प्रक्रिया को एक ऐसा माना जा सकता है, जहां कण सभी संभावित रास्तों पर यात्रा करते हैं, जिसमें समय में पीछे जाने वाले रास्ते भी शामिल हैं।

फेनमैन आरेख अक्सर  स्पेसटाइम आरेख  एस और   बबल चैंबर  छवियों के साथ भ्रमित होते हैं क्योंकि वे सभी कण बिखरने का वर्णन करते हैं। फेनमैन आरेख    ग्राफ़  हैं जो एक बिखरने की प्रक्रिया के दौरान कण की भौतिक स्थिति के बजाय कणों की बातचीत का प्रतिनिधित्व करते हैं। बबल चेंबर चित्र के विपरीत, केवल सभी फेनमैन आरेखों का योग किसी भी कण अंतःक्रिया का प्रतिनिधित्व करता है; कण हर बार जब वे परस्पर क्रिया करते हैं तो एक विशेष आरेख का चयन नहीं करते हैं। योग का नियम    सुपरपोजिशन  के सिद्धांत के अनुरूप है - प्रत्येक आरेख प्रक्रिया के कुल आयाम में योगदान देता है।

विवरण
[[File:Feynman diagram general properties.svg|350px|thumb|प्रकीर्णन प्रक्रिया की सामान्य विशेषताएं A + B → C + D:

• आंतरिक रेखाएं <अवधि शैली= रंग:लाल; >(लाल) मध्यवर्ती कणों और प्रक्रियाओं के लिए, जिसमें एक प्रसार कारक (प्रोप) होता है, बाहरी रेखाएं (नारंगी) आने वाले/बाहर जाने वाले कणों के लिए/कोनों से (काला),

• प्रत्येक शीर्ष पर डेल्टा कार्यों का उपयोग करते हुए 4-मोमेंटम संरक्षण होता है, शीर्ष में प्रवेश करने वाले 4-मोमेंट सकारात्मक होते हैं जबकि छोड़ने वाले नकारात्मक होते हैं, प्रत्येक शीर्ष और आंतरिक रेखा के कारकों को आयाम अभिन्न में गुणा किया जाता है,

• स्थान $x$ और समय $t$ कुल्हाड़ियों को हमेशा नहीं दिखाया जाता है, बाहरी रेखाओं की दिशाएँ समय बीतने के अनुरूप होती हैं।

]]

एक फेनमैन आरेख कुछ प्रारंभिक क्वांटम राज्य से कुछ अंतिम क्वांटम राज्य में क्वांटम संक्रमण के आयाम में एक परेशान योगदान का प्रतिनिधित्व करता है।

उदाहरण के लिए, इलेक्ट्रॉन-पॉज़िट्रॉन के विनाश की प्रक्रिया में प्रारंभिक अवस्था एक इलेक्ट्रॉन और एक पॉज़िट्रॉन है, अंतिम अवस्था: दो फोटॉन।

प्रारंभिक अवस्था को अक्सर आरेख के बाईं ओर और अंतिम स्थिति को दाईं ओर माना जाता है (हालाँकि अन्य सम्मेलनों का भी अक्सर उपयोग किया जाता है)।

एक फेनमैन आरेख में बिंदु होते हैं, जिन्हें कोने कहा जाता है, और कोने से जुड़ी रेखाएं होती हैं।

प्रारंभिक अवस्था में कणों को प्रारंभिक अवस्था (जैसे, बाईं ओर) की दिशा में चिपकी हुई रेखाओं द्वारा दर्शाया जाता है, अंतिम अवस्था में कणों को अंतिम अवस्था की दिशा में बाहर निकलने वाली रेखाओं द्वारा दर्शाया जाता है (जैसे, से सही)।

क्यूईडी में दो प्रकार के कण होते हैं: पदार्थ कण जैसे इलेक्ट्रॉन या पॉज़िट्रॉन (  फ़र्मियन  कहा जाता है) और विनिमय कण (  गेज बोसॉन  कहा जाता है)। उन्हें फेनमैन आरेखों में निम्नानुसार दर्शाया गया है:
 * 1) प्रारंभिक अवस्था में इलेक्ट्रॉन को एक ठोस रेखा द्वारा दर्शाया जाता है, जिसमें एक तीर कण के    स्पिन  को दर्शाता है। शीर्ष की ओर इशारा करते हुए (→•)।
 * 2) अंतिम अवस्था में इलेक्ट्रॉन को एक रेखा द्वारा दर्शाया जाता है, जिसमें एक तीर कण के स्पिन को दर्शाता है उदा। शीर्ष से दूर इंगित करना: (•→)।
 * 3) प्रारंभिक अवस्था में पॉज़िट्रॉन को एक ठोस रेखा द्वारा दर्शाया जाता है, जिसमें एक तीर कण के स्पिन को दर्शाता है उदा। शीर्ष से दूर इंगित करना: (←•)।
 * 4) अंतिम अवस्था में पॉज़िट्रॉन को एक रेखा द्वारा दर्शाया जाता है, जिसमें एक तीर कण के स्पिन को दर्शाता है उदा। शीर्ष की ओर इशारा करते हुए: (•←)।
 * 5) प्रारंभिक और अंतिम अवस्था में वर्चुअल फोटोन को एक लहरदार रेखा ( • और • ) द्वारा दर्शाया जाता है।

QED में एक शीर्ष में हमेशा तीन रेखाएँ जुड़ी होती हैं: एक बोसोनिक रेखा, शीर्ष की ओर तीर के साथ एक फर्मोनिक रेखा, और शीर्ष से दूर तीर के साथ एक फर्मोनिक रेखा।

कोने एक बोसोनिक या फर्मोनिक  प्रोपेगेटर  द्वारा जुड़े हो सकते हैं। एक बोसोनिक प्रोपेगेटर को दो शीर्षों (•'''•) को जोड़ने वाली एक लहरदार रेखा द्वारा दर्शाया जाता है। एक फर्मोनिक प्रोपेगेटर को दो शीर्षों को जोड़ने वाली एक ठोस रेखा (एक या दूसरी दिशा में एक तीर के साथ) द्वारा दर्शाया जाता है, (•←•)।

कोने की संख्या संक्रमण आयाम के गड़बड़ी श्रृंखला विस्तार में शब्द का क्रम देती है।

इलेक्ट्रॉन-पॉज़िट्रॉन विनाश उदाहरण


इलेक्ट्रॉन-पॉज़िट्रॉन विनाश बातचीत:


 * e+ + e− → 2γ

दूसरे क्रम से एक योगदान है फेनमैन आरेख आसन्न दिखाया गया है:

प्रारंभिक अवस्था में (सबसे नीचे; प्रारंभिक समय में) एक इलेक्ट्रॉन (e−) और एक पॉज़िट्रॉन (e+) और अंतिम अवस्था में (शीर्ष पर) होता है। ; देर से) दो फोटॉन (γ) हैं।

विहित परिमाणीकरण सूत्रीकरण
प्रारंभिक अवस्था से एक क्वांटम प्रणाली (एसिम्प्टोटिक रूप से मुक्त राज्यों के बीच) के संक्रमण के लिए  प्रायिकता आयाम  $|i\rangle$ अंतिम स्थिति में $| f \rangle$ मैट्रिक्स तत्व द्वारा दिया गया है$$S_{\rm fi}=\langle \mathrm{f}|S|\mathrm{i}\rangle\;,$$

कहाँ पे $S$  एस-मैट्रिक्स है$S$-मैट्रिक्स ।   टाइम-इवोल्यूशन ऑपरेटर. के संदर्भ में $U$, यह बस है$$S=\lim _{t_{2}\rightarrow +\infty }\lim _{t_{1}\rightarrow -\infty }U(t_2, t_1)\;.$$

इंटरेक्शन चित्र में, इसका विस्तार होता है$$S = \mathcal{T}e^{-i\int _{-\infty}^{+\infty}d\tau H_V(\tau )}.$$

कहाँ पे $H_{V}$ बातचीत हैमिल्टनियन है और $T$ ऑपरेटरों के  समय-आदेशित उत्पाद  को दर्शाता है।    डायसन का सूत्र  समय-क्रमित   मैट्रिक्स घातांक  को अंतःक्रियात्मक हैमिल्टनियन घनत्व की शक्तियों में एक गड़बड़ी श्रृंखला में विस्तारित करता है,$$S=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-i)^n}{n!} \left(\prod_{j=1}^n \int d^4 x_j\right) \mathcal{T}\left\{\prod_{j=1}^n \mathcal{H}_V\left(x_j\right)\right\} \equiv\sum_{n=0}^{\infty}S^{(n)}\;.$$

समान रूप से, बातचीत के साथ Lagrangian $L_{V}$, यह है$$S=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{i^n}{n!} \left(\prod_{j=1}^n \int d^4 x_j\right) \mathcal{T}\left\{\prod_{j=1}^n \mathcal{L}_V\left(x_j\right)\right\} \equiv\sum_{n=0}^{\infty}S^{(n)}\;.$$

एक फेनमैन आरेख   विक के विस्तार  में समय-आदेशित उत्पाद में एकल सारांश का एक चित्रमय प्रतिनिधित्व है। $n$वें क्रम की अवधि $S^{(n)}$   डायसन श्रृंखला  में से $S$-आव्यूह,$$\mathcal{T}\prod_{j=1}^n\mathcal{L}_V\left(x_j\right)=\sum_{\text{A}}(\pm)\mathcal{N}\prod_{j=1}^n\mathcal{L}_V\left(x_j\right)\;,$$

कहाँ पे $N$ ऑपरेटरों के   सामान्य-आदेशित उत्पाद  को दर्शाता है और (±) एक संकुचन के लिए उन्हें एक साथ लाने के लिए फर्मोनिक ऑपरेटरों को आने पर संभावित संकेत परिवर्तन का ख्याल रखता है (एक   प्रोपेगेटर  ) और $A$ सभी संभावित संकुचन का प्रतिनिधित्व करता है।

फेनमैन नियम
आरेख फेनमैन के नियमों के अनुसार तैयार किए गए हैं, जो कि लैग्रेंजियन की बातचीत पर निर्भर करते हैं।   क्यूईडी  इंटरेक्शन लैग्रेंजियन के लिए$$L_v=-g\bar\psi\gamma^\mu\psi A_\mu$$ एक फर्मोनिक क्षेत्र की बातचीत का वर्णन करना $ψ$ एक बोसोनिक गेज क्षेत्र के साथ $A_{μ}$, फेनमैन नियमों को समन्वय स्थान में निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है:


 * 1) प्रत्येक एकीकरण समन्वय $x_{j}$ एक बिंदु (कभी-कभी एक शीर्ष कहा जाता है) द्वारा दर्शाया जाता है;
 * 2) एक बोसोनिक   प्रोपेगेटर  को दो बिंदुओं को जोड़ने वाली एक विगली लाइन द्वारा दर्शाया गया है;
 * 3) एक फर्मोनिक प्रोपेगेटर को दो बिंदुओं को जोड़ने वाली एक ठोस रेखा द्वारा दर्शाया जाता है;
 * 4) एक बोसोनिक क्षेत्र $$A_\mu(x_i)$$ बिंदु से जुड़ी एक आकर्षक रेखा द्वारा दर्शाया गया है $x_{i}$;
 * 5) एक फर्मोनिक क्षेत्र $ψ(x_{i})$ बिंदु से जुड़ी एक ठोस रेखा द्वारा दर्शाया गया है $x_{i}$ बिंदु की ओर एक तीर के साथ;
 * 6) एक एंटी-फर्मोनिक क्षेत्र $\overline{ψ}(x_{i})$ बिंदु से जुड़ी एक ठोस रेखा द्वारा दर्शाया जाता है $x_{i}$ बिंदु से दूर एक तीर के साथ;

उदाहरण: QED में दूसरे क्रम की प्रक्रिया
में दूसरा क्रम गड़बड़ी शब्द $S$-मैट्रिक्स is$$S^{(2)}=\frac{(ie)^2}{2!}\int d^4x\, d^4x'\, T\bar\psi(x)\,\gamma^\mu\,\psi(x)\,A_\mu(x)\,\bar\psi(x')\,\gamma^\nu\,\psi(x')\,A_\nu(x').\;$$

फर्मियनों का प्रकीर्णन
{| संरेखित करें = दाएं |    | }   विक का विस्तार  इंटीग्रैंड का (दूसरों के बीच) निम्नलिखित पद देता है$$N\bar\psi(x)\gamma^\mu\psi(x)\bar\psi(x')\gamma^\nu\psi(x')\underline{A_\mu(x)A_\nu(x')}\;,$$

कहाँ पे$$\underline{A_\mu(x)A_\nu(x')}=\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}\frac{-ig_{\mu\nu}}{k^2+i0}e^{-ik(x-x')}$$

फेनमैन गेज में विद्युत चुम्बकीय संकुचन (प्रचारक) है। यह शब्द दाईं ओर फेनमैन आरेख द्वारा दर्शाया गया है। यह आरेख निम्नलिखित प्रक्रियाओं में योगदान देता है:
 * 1) e− e− स्कैटरिंग (दाईं ओर प्रारंभिक स्थिति, आरेख के बाईं ओर अंतिम स्थिति);
 * 2) e+ e+ स्कैटरिंग (बाईं ओर प्रारंभिक स्थिति, आरेख के दाईं ओर अंतिम स्थिति);
 * 3) e− e+ स्कैटरिंग (नीचे/ऊपर की प्रारंभिक स्थिति, आरेख के ऊपर/नीचे अंतिम स्थिति)।

कॉम्पटन प्रकीर्णन और विनाश/ई− e+ जोड़े का निर्माण
विस्तार में एक और दिलचस्प शब्द है$$N\bar\psi(x)\,\gamma^\mu\,\underline{\psi(x)\,\bar\psi(x')}\,\gamma^\nu\,\psi(x')\,A_\mu(x)\,A_\nu(x')\;,$$

कहाँ पे$$\underline{\psi(x)\bar\psi(x')}=\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\frac{i}{\gamma p-m+i0}e^{-ip(x-x')}$$

फर्मोनिक संकुचन (प्रचारक) है।

फर्मियनों का प्रकीर्णन
{| संरेखित करें = दाएं |    | }   विक का विस्तार  इंटीग्रैंड का (दूसरों के बीच) निम्नलिखित पद देता है$$N\bar\psi(x)\gamma^\mu\psi(x)\bar\psi(x')\gamma^\nu\psi(x')\underline{A_\mu(x)A_\nu(x')}\;,$$

कहाँ पे$$\underline{A_\mu(x)A_\nu(x')}=\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}\frac{-ig_{\mu\nu}}{k^2+i0}e^{-ik(x-x')}$$

फेनमैन गेज में विद्युत चुम्बकीय संकुचन (प्रचारक) है। यह शब्द दाईं ओर फेनमैन आरेख द्वारा दर्शाया गया है। यह आरेख निम्नलिखित प्रक्रियाओं में योगदान देता है:
 * 1) e− e− स्कैटरिंग (दाईं ओर प्रारंभिक स्थिति, आरेख के बाईं ओर अंतिम स्थिति);
 * 2) e+ e+ स्कैटरिंग (बाईं ओर प्रारंभिक स्थिति, आरेख के दाईं ओर अंतिम स्थिति);
 * 3) e− e+ स्कैटरिंग (नीचे/ऊपर की प्रारंभिक स्थिति, आरेख के ऊपर/नीचे अंतिम स्थिति)।

कॉम्पटन प्रकीर्णन और विनाश/ई− e+ जोड़े का निर्माण
विस्तार में एक और दिलचस्प शब्द है$$N\bar\psi(x)\,\gamma^\mu\,\underline{\psi(x)\,\bar\psi(x')}\,\gamma^\nu\,\psi(x')\,A_\mu(x)\,A_\nu(x')\;,$$

कहाँ पे$$\underline{\psi(x)\bar\psi(x')}=\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\frac{i}{\gamma p-m+i0}e^{-ip(x-x')}$$

फर्मोनिक संकुचन (प्रचारक) है।

पथ अभिन्न सूत्रीकरण
एक   पथ अभिन्न, सभी संभावित क्षेत्र इतिहासों पर एकीकृत क्षेत्र लैग्रेंजियन, एक क्षेत्र विन्यास से दूसरे क्षेत्र विन्यास में जाने के लिए संभाव्यता आयाम को परिभाषित करता है। समझने के लिए, क्षेत्र सिद्धांत में एक अच्छी तरह से परिभाषित   जमीनी स्थिति  होनी चाहिए, और अभिन्न को काल्पनिक समय में थोड़ा घुमाया जाना चाहिए, यानी   विक रोटेशन । पथ अभिन्न औपचारिकता पूरी तरह से उपरोक्त विहित संचालिका औपचारिकता के बराबर है।

अदिश क्षेत्र लग्रांगियन
एक साधारण उदाहरण मुक्त सापेक्षतावादी अदिश क्षेत्र है $d$ आयाम, जिनकी क्रिया अभिन्न है:$$ S = \int \tfrac12 \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi\, d^dx \,.$$

एक प्रक्रिया के लिए प्रायिकता आयाम है:$$ \int_A^B e^{iS}\, D\phi\,, $$

कहाँ पे $A$ और $B$ अंतरिक्ष जैसे हाइपरसर्फेस हैं जो सीमा की स्थिति को परिभाषित करते हैं। सभी का संग्रह $φ(A)$ प्रारंभिक हाइपरसर्फेस पर क्षेत्र का प्रारंभिक मान, एक बिंदु कण के लिए प्रारंभिक स्थिति के अनुरूप, और क्षेत्र मान दें $φ(B)$ अंतिम हाइपरसर्फ़ के प्रत्येक बिंदु पर अंतिम फ़ील्ड मान को परिभाषित करता है, जिसे अलग-अलग मानों पर समाप्त करने के लिए एक अलग आयाम देते हुए, अलग-अलग होने की अनुमति है। यह क्षेत्र-से-क्षेत्र संक्रमण आयाम है।

पथ अभिन्न प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के बीच ऑपरेटरों की अपेक्षा मूल्य देता है:$$ \int_A^B e^{iS} \phi(x_1) \cdots \phi(x_n) \,D\phi = \left\langle A\left| \phi(x_1) \cdots \phi(x_n) \right|B \right\rangle\,,$$

और उस सीमा में कि ए और बी अनंत अतीत और अनंत भविष्य में घटते हैं, एकमात्र योगदान जो मायने रखता है वह जमीनी स्थिति से है (यह केवल तभी सच है जब पथ-अभिन्न को काल्पनिक समय में थोड़ा घुमाया जाता है)। पथ अभिन्न को संभाव्यता वितरण के समान माना जा सकता है, और इसे परिभाषित करना सुविधाजनक है ताकि स्थिरांक से गुणा करने से कुछ भी नहीं बदलता है:$$ \frac{\displaystyle\int e^{iS} \phi(x_1) \cdots \phi(x_n) \,D\phi }{ \displaystyle\int e^{iS} \,D\phi } = \left\langle 0 \left| \phi(x_1) \cdots \phi(x_n) \right|0\right\rangle \,.$$

तल पर सामान्यीकरण कारक को क्षेत्र के लिए 'विभाजन फ़ंक्शन' कहा जाता है, और यह काल्पनिक समय में घुमाए जाने पर शून्य तापमान पर सांख्यिकीय यांत्रिक विभाजन फ़ंक्शन के साथ मेल खाता है।

यदि कोई शुरू से ही सातत्य सीमा के बारे में सोचता है तो प्रारंभिक से अंतिम आयाम अपरिभाषित हैं, क्योंकि क्षेत्र में उतार-चढ़ाव असीमित हो सकते हैं। तो पथ-अभिन्न के बारे में सोचा जा सकता है कि एक असतत वर्ग जाली पर, जाली रिक्ति के साथ $a$ और सीमा $a → 0$ सावधानी से लिया जाना चाहिए. यदि अंतिम परिणाम जाली के आकार या के मान पर निर्भर नहीं करते हैं $a$, तो सातत्य सीमा मौजूद है।

एक जाली पर
एक जाली पर, (i), क्षेत्र का विस्तार   फूरियर मोड  में किया जा सकता है:$$\phi(x) = \int \frac{dk}{(2\pi)^d} \phi(k) e^{ik\cdot x} = \int_k \phi(k) e^{ikx}\,.$$

यहाँ एकीकरण डोमेन समाप्त हो गया है $k$ भुजा की लंबाई के घन तक सीमित $2π⁄a$, ताकि के बड़े मान $k$ की अनुमति नहीं है। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि $k$-माप में के कारक होते हैं$\pi$  से फूरियर ट्रांसफॉर्म  एस, यह के लिए सबसे अच्छा मानक सम्मेलन है $k$QFT में -इंटीग्रल्स। जाली का अर्थ है कि बड़े पैमाने पर उतार-चढ़ाव $k$ उन्हें तुरंत योगदान करने की अनुमति नहीं है, वे केवल सीमा में योगदान करना शुरू करते हैं $a → 0$. कभी-कभी, जाली के बजाय, फ़ील्ड मोड को के उच्च मूल्यों पर काट दिया जाता है $k$ बजाय।

समय-समय पर अंतरिक्ष-समय के आयतन को परिमित मानना ​​भी सुविधाजनक होता है, ताकि $k$ मोड भी एक जाली हैं। यह अंतरिक्ष-जाली सीमा के रूप में कड़ाई से जरूरी नहीं है, क्योंकि बातचीत $k$ स्थानीयकृत नहीं हैं, लेकिन यह सामने के कारकों पर नज़र रखने के लिए सुविधाजनक है $k$-इंटीग्रल्स और संवेग-संरक्षण डेल्टा कार्य जो उत्पन्न होंगे।

एक जाली पर, (ii), कार्रवाई को विवेकपूर्ण बनाने की आवश्यकता है:$$ S= \sum_{\langle x,y\rangle} \tfrac12 \big(\phi(x) - \phi(y) \big)^2\,,$$

कहाँ पे $⟨x,y⟩$ निकटतम जाली पड़ोसियों की एक जोड़ी है $x$ और $y$. विवेकीकरण को व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित करने के बारे में सोचा जाना चाहिए $∂_{μ}φ$ साधन।

जाली फूरियर मोड के संदर्भ में, क्रिया लिखी जा सकती है:$$S= \int_k \Big( \big(1-\cos(k_1)\big) +\big(1-\cos(k_2)\big) + \cdots + \big(1-\cos(k_d)\big) \Big)\phi^*_k \phi^k\,.$$ के लिए $k$ शून्य के पास यह है:$$S = \int_k \tfrac12 k^2 \left|\phi(k)\right|^2\,.$$

अब हमारे पास मूल क्रिया का सातत्य फूरियर रूपांतरण है। परिमित आयतन में, मात्रा $d^{d}k$ अतिसूक्ष्म नहीं है, लेकिन पड़ोसी फूरियर मोड द्वारा बनाए गए बॉक्स का आयतन बन जाता है, या $( 2π⁄V ) </bigd$.

मैदान $φ$ वास्तविक मूल्यवान है, इसलिए फूरियर रूपांतरण का पालन करता है:$$ \phi(k)^* = \phi(-k)\,.$$

वास्तविक और काल्पनिक भागों के संदर्भ में, का वास्तविक भाग $φ(k)$ ]] का एक [[ सम फलन है $k$, जबकि काल्पनिक भाग विषम है। फूरियर रूपांतरण डबल-काउंटिंग से बचा जाता है, ताकि इसे लिखा जा सके:$$ S = \int_k \tfrac12 k^2 \phi(k) \phi(-k)$$

एक एकीकरण डोमेन पर जो प्रत्येक जोड़ी पर एकीकृत होता है $(k,−k)$ ठीक एक बार।

कार्रवाई के साथ एक जटिल अदिश क्षेत्र के लिए$$ S = \int \tfrac12 \partial_\mu\phi^* \partial^\mu\phi \,d^dx$$

फूरियर रूपांतरण अप्रतिबंधित है:$$ S = \int_k \tfrac12 k^2 \left|\phi(k)\right|^2$$

और अभिन्न सब पर है $k$.

के सभी अलग-अलग मूल्यों को एकीकृत करना $φ(x)$ सभी फूरियर मोड को एकीकृत करने के बराबर है, क्योंकि फूरियर रूपांतरण लेना क्षेत्र निर्देशांक का एकात्मक रैखिक परिवर्तन है। जब आप एक रैखिक परिवर्तन द्वारा एक बहुआयामी अभिन्न में निर्देशांक बदलते हैं, तो नए अभिन्न का मूल्य परिवर्तन मैट्रिक्स के निर्धारक द्वारा दिया जाता है। अगर$$ y_i = A_{ij} x_j\,,$$

तब$$\det(A) \int dx_1\, dx_2 \cdots\, dx_n = \int dy_1\, dy_2 \cdots\, dy_n\,.$$

अगर $A$ एक घूर्णन है, तो$$A^\mathrm{T} A = I$$ ताकि $det A = ±1$, और संकेत इस बात पर निर्भर करता है कि घूर्णन में प्रतिबिंब शामिल है या नहीं।

मैट्रिक्स जो निर्देशांक बदलता है $φ(x)$ को $φ(k)$ फूरियर रूपांतरण की परिभाषा से पढ़ा जा सकता है।$$ A_{kx} = e^{ikx} \,$$

और फूरियर उलटा प्रमेय आपको उलटा बताता है:


 * <गणित> ए^{-1}_{केएक्स} = ई^{-ikx} \,

जो जटिल संयुग्म-स्थानांतरण है, के कारकों तकπ. एक परिमित आयतन जालक पर, सारणिक अशून्य होता है और क्षेत्र मानों से स्वतंत्र होता है।$$ \det A = 1 \,$$

और पथ समाकलन के प्रत्येक मान पर एक पृथक कारक है $k$.$$ \int \exp \left(\frac{i}{2} \sum_k k^2 \phi^*(k) \phi(k) \right)\, D\phi = \prod_k \int_{\phi_k} e^{\frac{i}{2} k^2 \left|\phi_k \right|^2\, d^dk} \,$$

कारण $d^{d}k$ एक असतत कोशिका का अनंत आयतन है $k$-स्पेस, एक चौकोर जाली के डिब्बे में$$d^dk = \left(\frac{1}{L}\right)^d\,,$$ कहाँ पे $L$ बॉक्स की पार्श्व-लंबाई है। प्रत्येक अलग कारक एक थरथरानवाला गाऊसी है, और गाऊसी की चौड़ाई अलग हो जाती है क्योंकि मात्रा अनंत तक जाती है।

काल्पनिक समय में, यूक्लिडियन क्रिया सकारात्मक निश्चित हो जाती है, और इसे संभाव्यता वितरण के रूप में व्याख्यायित किया जा सकता है। मान वाले क्षेत्र की प्रायिकता $φ_{k}$ है$$ e^{\int_k - \tfrac12 k^2 \phi^*_k \phi_k} = \prod_k e^{- k^2 \left|\phi_k\right|^2\, d^dk}\,. $$

संभाव्यता वितरण के अनुसार चुने जाने पर क्षेत्र का अपेक्षित मूल्य क्षेत्र का सांख्यिकीय अपेक्षा मूल्य है:$$\left\langle \phi(x_1) \cdots \phi(x_n) \right\rangle = \frac{ \displaystyle\int e^{-S} \phi(x_1) \cdots \phi(x_n)\, D\phi} {\displaystyle\int e^{-S}\, D\phi}$$

की संभावना के बाद से $φ_{k}$ एक उत्पाद है, का मूल्य $φ_{k}$ के प्रत्येक अलग मूल्य पर $k$ स्वतंत्र रूप से गाऊसी वितरित किया जाता है। गाऊसी का प्रसरण है $1⁄k^{2}d^{d}k$, जो औपचारिक रूप से अनंत है, लेकिन इसका मतलब यह है कि उतार-चढ़ाव अनंत मात्रा में असीमित हैं। किसी भी परिमित आयतन में, समाकल को असतत योग से बदल दिया जाता है, और समाकल का प्रसरण होता है $V⁄k^{2}$.

मोंटे कार्लो
पथ इंटीग्रल एक यूक्लिडियन स्केलर फ़ील्ड कॉन्फ़िगरेशन उत्पन्न करने के लिए एक संभाव्य एल्गोरिदम को परिभाषित करता है। वेवनंबर पर प्रत्येक फूरियर मोड के वास्तविक और काल्पनिक भागों को बेतरतीब ढंग से चुनें $k$ विचरण के साथ एक गाऊसी यादृच्छिक चर होना $1⁄k^{2}$. यह एक कॉन्फ़िगरेशन उत्पन्न करता है $φ_{C}(k)$ यादृच्छिक रूप से, और फूरियर रूपांतरण देता है $φ_{C}(x)$. वास्तविक अदिश क्षेत्रों के लिए, एल्गोरिथ्म को प्रत्येक जोड़ी में से केवल एक ही उत्पन्न करना चाहिए $φ(k), φ(−k)$, और दूसरे को पहले का जटिल संयुग्म बनाएं।

किसी भी सहसंबंध फ़ंक्शन को खोजने के लिए, इस प्रक्रिया द्वारा बार-बार एक फ़ील्ड उत्पन्न करें, और सांख्यिकीय औसत खोजें:$$ \left\langle \phi(x_1) \cdots \phi(x_n) \right\rangle = \lim_{|C|\rightarrow\infty}\frac{ \displaystyle\sum_C \phi_C(x_1) \cdots \phi_C(x_n) }{|C| } $$

कहाँ पे $|C|$ कॉन्फ़िगरेशन की संख्या है, और योग प्रत्येक कॉन्फ़िगरेशन पर फ़ील्ड मानों के उत्पाद का है। यूक्लिडियन सहसंबंध फ़ंक्शन सांख्यिकी या सांख्यिकीय यांत्रिकी में सहसंबंध फ़ंक्शन के समान ही है। क्वांटम यांत्रिक सहसंबंध कार्य यूक्लिडियन सहसंबंध कार्यों का एक विश्लेषणात्मक निरंतरता है।

द्विघात क्रिया वाले मुक्त क्षेत्रों के लिए, संभाव्यता वितरण एक उच्च-आयामी गाऊसी है, और सांख्यिकीय औसत एक स्पष्ट सूत्र द्वारा दिया जाता है। लेकिन  मोंटे कार्लो पद्धति  बोसोनिक इंटरेक्टिंग फील्ड सिद्धांतों के लिए भी अच्छी तरह से काम करती है जहां सहसंबंध कार्यों के लिए कोई बंद रूप नहीं है।

अदिश प्रसारक
प्रत्येक मोड स्वतंत्र रूप से गाऊसी वितरित है। फ़ील्ड मोड की अपेक्षा की गणना करना आसान है:$$ \left\langle \phi_k \phi_{k'}\right\rangle = 0 \,$$

के लिए $k ≠ k′$, तब से दो गाऊसी यादृच्छिक चर स्वतंत्र हैं और दोनों का माध्य शून्य है।$$ \left\langle\phi_k \phi_k \right\rangle = \frac{V}{k^2} $$

परिमित मात्रा में $V$, जब दो $k$-मान मेल खाते हैं, क्योंकि यह गाऊसी का प्रसरण है। अनंत आयतन सीमा में,$$ \left\langle\phi(k) \phi(k')\right\rangle = \delta(k-k') \frac{1}{k^2} $$

कड़ाई से बोलते हुए, यह एक अनुमान है: जाली प्रसारक है:$$\left\langle\phi(k) \phi(k')\right\rangle = \delta(k-k') \frac{1}{2\big(d - \cos(k_1) + \cos(k_2) \cdots + \cos(k_d)\big) }$$

लेकिन पास $k = 0$, जाली रिक्ति की तुलना में लंबे समय तक क्षेत्र में उतार-चढ़ाव के लिए, दो रूप मेल खाते हैं।

इस बात पर जोर देना महत्वपूर्ण है कि डेल्टा कार्यों में निम्नलिखित कारक होते हैं:π, ताकि वे रद्द कर देंπ उपाय में कारक $k$ अभिन्न।$$\delta(k) = (2\pi)^d \delta_D(k_1)\delta_D(k_2) \cdots \delta_D(k_d) \,$$

कहाँ पे $δ_{D}(k)$ सामान्य एक आयामी Dirac डेल्टा फ़ंक्शन है। डेल्टा-फ़ंक्शंस के लिए यह सम्मेलन सार्वभौमिक नहीं है-कुछ लेखक कारकों को रखते हैंπ डेल्टा कार्यों में (और में) $k$-एकीकरण) स्पष्ट।

गति का समीकरण
क्षेत्र के लिए गति के समीकरण का उपयोग करके प्रसारक का रूप अधिक आसानी से पाया जा सकता है। लग्रांगियन से, गति का समीकरण है:$$ \partial_\mu \partial^\mu \phi = 0\,$$

और एक उम्मीद मूल्य में, यह कहता है:$$\partial_\mu\partial^\mu \left\langle \phi(x) \phi(y)\right\rangle =0$$

जहां डेरिवेटिव कार्य करते हैं $x$, और पहचान हर जगह सच है सिवाय कब $x$ और $y$ संयोग, और ऑपरेटर आदेश मायने रखता है। विलक्षणता के रूप को विहित रूपान्तरण संबंधों से डेल्टा-फ़ंक्शन के रूप में समझा जा सकता है। (यूक्लिडियन) फेनमैन प्रचारक को परिभाषित करना $Δ$ समय-आदेशित दो-बिंदु फ़ंक्शन के फूरियर रूपांतरण के रूप में (वह जो पथ-अभिन्न से आता है):$$ \partial^2 \Delta (x) = i\delta(x)\,$$

ताकि:$$ \Delta(k) = \frac{i}{k^2}$$

यदि गति के समीकरण रैखिक हैं, तो प्रोपेगेटर हमेशा द्विघात-रूप मैट्रिक्स का व्युत्क्रम होगा जो मुक्त लैग्रैन्जियन को परिभाषित करता है, क्योंकि यह गति के समीकरण देता है। पथ अभिन्न से सीधे देखना भी आसान है। का कारक $i$ यूक्लिडियन सिद्धांत में गायब हो जाता है।

बाती प्रमेय
क्योंकि प्रत्येक फ़ील्ड मोड एक स्वतंत्र गाऊसी है, कई फ़ील्ड मोड के उत्पाद के लिए अपेक्षा मान विक के प्रमेय का पालन करता है:$$ \left\langle \phi(k_1) \phi(k_2) \cdots \phi(k_n)\right\rangle$$

शून्य है जब तक कि फ़ील्ड मोड जोड़े में मेल नहीं खाते। इसका अर्थ है कि यह की विषम संख्या के लिए शून्य है $φ$, और सम संख्या के लिए $φ$, यह डेल्टा फ़ंक्शन के साथ प्रत्येक जोड़ी से अलग-अलग योगदान के बराबर है।$$\left\langle \phi(k_1) \cdots \phi(k_{2n})\right\rangle = \sum \prod_{i,j} \frac{\delta\left(k_i - k_j\right) }{k_i^2 } $$

जहां योग फ़ील्ड मोड के प्रत्येक विभाजन पर जोड़े में होता है, और उत्पाद जोड़े के ऊपर होता है। उदाहरण के लिए,$$ \left\langle \phi(k_1) \phi(k_2) \phi(k_3) \phi(k_4) \right\rangle = \frac{\delta(k_1 -k_2)}{k_1^2}\frac{\delta(k_3-k_4)}{k_3^2} + \frac{\delta(k_1-k_3)}{k_3^2}\frac{\delta(k_2-k_4)}{k_2^2} + \frac{\delta(k_1-k_4)}{k_1^2}\frac{\delta(k_2 -k_3)}{k_2^2}$$

विक के प्रमेय की व्याख्या यह है कि प्रत्येक क्षेत्र सम्मिलन को एक लटकती हुई रेखा के रूप में माना जा सकता है, और उम्मीद मूल्य की गणना जोड़े में लाइनों को जोड़कर की जाती है, एक डेल्टा फ़ंक्शन कारक डालते हैं जो यह सुनिश्चित करता है कि जोड़ी में प्रत्येक साथी की गति है बराबर, और प्रचारक द्वारा विभाजित।

उच्च गाऊसी क्षण — विक के प्रमेय को पूरा करना
विक के प्रमेय के सिद्ध होने से पहले एक सूक्ष्म बिंदु बचा है - क्या होगा यदि दो से अधिक $$\phi$$s have the same momentum? If it's an odd number, the integral is zero; negative values cancel with the positive values. But if the number is even, the integral is positive. The previous demonstration assumed that the $$\phi$$s केवल जोड़े में मेल खाएगा।

लेकिन प्रमेय तब भी सही है जब मनमाने ढंग से कई $$\phi$$ बराबर हैं, और यह गाऊसी एकीकरण की एक उल्लेखनीय संपत्ति है:$$ I = \int e^{-ax^2/2}dx = \sqrt\frac{2\pi}{a} $$ $$ \frac{\partial^n}{\partial a^n } I = \int \frac{x^{2n}}{2^n} e^{-ax^2/2}dx = \frac{1\cdot 3 \cdot 5 \ldots \cdot (2n-1) }{ 2 \cdot 2 \cdot 2 \ldots \;\;\;\;\;\cdot 2\;\;\;\;\;\;} \sqrt{2\pi}\, a^{-\frac{2n+1}{2}}$$

द्वारा विभाजित करना $I$,$$ \left\langle x^{2n}\right\rangle=\frac{\displaystyle\int x^{2n} e^{-a x^2/2} }{\displaystyle \int e^{-a x^2/2} } = 1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots \cdot (2n-1) \frac{1}{a^n} $$ $$ \left\langle x^2 \right\rangle = \frac{1}{a} $$

यदि विक का प्रमेय सही होता, तो की सूची के सभी संभावित युग्मों द्वारा उच्च क्षण दिए जाते $2n$ को अलग $x$:$$ \left\langle x_1 x_2 x_3 \cdots x_{2n} \right\rangle$$

जहांe $x$ सभी एक ही चर हैं, सूचकांक केवल उन्हें युग्मित करने के तरीकों की संख्या का ट्रैक रखने के लिए है। सबसे पहला $x$ के साथ जोड़ा जा सकता है $2n − 1$ अन्य, जा रहे हैं $2n − 2$. अगला अयुग्मित $x$ के साथ जोड़ा जा सकता है $2n − 3$ को अलग $x$ छोड़ने $2n − 4$, और इसी तरह। इसका मतलब यह है कि विक का प्रमेय, बिना सुधारा, कहता है कि का अपेक्षा मूल्य $x^{2n}$ होना चाहिए:$$ \left\langle x^{2n} \right\rangle = (2n-1)\cdot(2n-3)\ldots \cdot5 \cdot 3 \cdot 1 \left\langle x^2\right\rangle^n $$

और यह वास्तव में सही उत्तर है। तो विक के प्रमेय में कोई फर्क नहीं पड़ता कि आंतरिक चर के कितने क्षण मेल खाते हैं।

बातचीत
इंटरैक्शन को उच्च क्रम के योगदान द्वारा दर्शाया जाता है, क्योंकि द्विघात योगदान हमेशा गाऊसी होते हैं। एक क्रिया के साथ सबसे सरल अंतःक्रिया चतुर्थक आत्म-बातचीत है:$$ S = \int \partial^\mu \phi \partial_\mu\phi +\frac {\lambda}{ 4!} \phi^4. $$

कॉम्बीनेटरियल फैक्टर 4 का कारण! जल्द ही स्पष्ट हो जाएगा। जाली (या सातत्य) फूरियर मोड के संदर्भ में कार्रवाई लिखना:$$ S = \int_k k^2 \left|\phi(k)\right|^2 + \frac{\lambda}{4!}\int_{k_1k_2k_3k_4} \phi(k_1) \phi(k_2) \phi(k_3)\phi(k_4) \delta(k_1+k_2+k_3 + k_4) = S_F + X. $$

कहाँ $S_{F}$ मुक्त क्रिया है, जिसके सहसंबंध फलन विक के प्रमेय द्वारा दिए गए हैं। का घातांक $S$ पथ में अभिन्न का विस्तार की शक्तियों में किया जा सकता है $λ$, मुक्त कार्रवाई में सुधार की एक श्रृंखला दे रहा है।$$ e^{-S} = e^{-S_F} \left( 1 + X + \frac{1}{2!} X X + \frac{1}{3!} X X X + \cdots \right) $$

अंतःक्रियात्मक क्रिया के लिए अभिन्न पथ तब मुक्त क्रिया के लिए सुधारों की एक शक्ति श्रृंखला है। शब्द द्वारा दर्शाया गया है $X$ चार अर्ध-रेखाओं के रूप में सोचा जाना चाहिए, प्रत्येक कारक के लिए एक $φ(k)$. अर्ध-रेखाएं एक शीर्ष पर मिलती हैं, जो एक डेल्टा-फ़ंक्शन का योगदान करती है जो यह सुनिश्चित करती है कि गति का योग बराबर है।

अंतःक्रियात्मक सिद्धांत में एक सहसंबंध समारोह की गणना करने के लिए, का योगदान है $X$ शर्तें अब। उदाहरण के लिए, चार-क्षेत्र सहसंबंधक के लिए पथ-अभिन्न:$$\left\langle \phi(k_1) \phi(k_2) \phi(k_3) \phi(k_4) \right\rangle = \frac{\displaystyle\int e^{-S} \phi(k_1)\phi(k_2)\phi(k_3)\phi(k_4) D\phi }{ Z}$$

जो मुक्त क्षेत्र में केवल शून्येतर था जब क्षण $k$ युग्मों में बराबर थे, अब के सभी मानों के लिए अशून्य है $k$. सम्मिलन का क्षण $φ(k_{i})$ अब के क्षण के साथ मेल खा सकता है $X$एस विस्तार में। सम्मिलन को इस मामले में आधा-पंक्तियों, चार के रूप में भी माना जाना चाहिए, जो एक गति ले जाते हैं $k$, लेकिन एक जो एकीकृत नहीं है।

निम्नतम क्रम का योगदान पहले गैर-तुच्छ पद से आता है $e^{−S_{F}}X$ कार्रवाई के टेलर विस्तार में। विक के प्रमेय के लिए आवश्यक है कि में संवेग $X$ अर्ध-पंक्तियाँ, $φ(k)$ में कारक $X$, को जोड़े में बाहरी अर्ध-रेखाओं के संवेग के साथ मेल खाना चाहिए। नया योगदान इसके बराबर है:$$ \lambda \frac{1}{ k_1^2} \frac{1}{ k_2^2} \frac{1}{ k_3^2} \frac{1}{ k_4^2}\,. $$

4! अंदर $X$ रद्द कर दिया गया है क्योंकि ठीक 4 हैं! में अर्ध-पंक्तियों का मिलान करने के तरीके $X$ बाहरी अर्ध-रेखाओं के लिए। अर्ध-पंक्तियों को एक साथ जोड़े में मिलान करने के इन विभिन्न तरीकों में से प्रत्येक के मूल्यों की परवाह किए बिना, ठीक एक बार योगदान देता है $k_{1,2,3,4}$, विक के प्रमेय द्वारा।

फेनमैन आरेख
की शक्तियों में कार्रवाई का विस्तार $X$ उत्तरोत्तर अधिक संख्या के साथ शब्दों की एक श्रृंखला देता है $X$एस। शब्द से योगदान बिल्कुल $n$ $X$s कहा जाता है $n$वें आदेश।

$n$वें क्रम की शर्तें हैं:
 * 1) $4n$ आंतरिक एचअल्फ-लाइन्स, जो के कारक हैं $φ(k)$ से $X$एस। ये सभी एक शीर्ष पर समाप्त होते हैं, और सभी संभव पर एकीकृत होते हैं $k$.
 * 2) बाहरी आधी रेखाएं, जो से आती हैं $φ(k)$ अभिन्न में सम्मिलन।

विक के प्रमेय के अनुसार, अर्ध-रेखाओं के प्रत्येक जोड़े को एक 'रेखा' बनाने के लिए एक साथ जोड़ा जाना चाहिए, और यह रेखा का एक कारक देती है$$ \frac{\delta(k_1 + k_2)}{k_1^2} $$

जो योगदान को बढ़ाता है। इसका मतलब यह है कि एक रेखा बनाने वाली दो अर्ध-रेखाओं को समान और विपरीत गति के लिए मजबूर किया जाता है। रेखा को स्वयं एक तीर द्वारा लेबल किया जाना चाहिए, रेखा के समानांतर खींचा जाना चाहिए, और रेखा में गति द्वारा लेबल किया जाना चाहिए $k$. तीर के टेल एंड पर अर्ध-रेखा संवेग रखती है $k$, जबकि शीर्ष-छोर पर अर्ध-रेखा संवेग रखती है $−k$. यदि दो अर्ध-रेखाओं में से एक बाहरी है, तो यह आंतरिक पर अभिन्न को मार देती है $k$, क्योंकि यह आंतरिक को बल देता है $k$ बाहरी के बराबर होना $k$. यदि दोनों आंतरिक हैं, तो अभिन्न ओवर $k$ खंडहर।

में अर्ध-रेखाओं को जोड़ने से बनने वाले आरेख $X$बाहरी अर्ध-रेखाओं के साथ, सम्मिलन का प्रतिनिधित्व करते हुए, इस सिद्धांत के फेनमैन आरेख हैं। प्रत्येक पंक्ति में का कारक होता है $1⁄k^{2}$, प्रचारक, और या तो शीर्ष से शीर्ष तक जाता है, या एक सम्मिलन पर समाप्त होता है। यदि यह आंतरिक है, तो इसे एकीकृत किया गया है। प्रत्येक शीर्ष पर, कुल आवक $k$ कुल आउटगोइंग के बराबर है $k$.

आधी-पंक्तियों को लाइनों में जोड़कर आरेख बनाने के तरीकों की संख्या लगभग पूरी तरह से घातांक की टेलर श्रृंखला से आने वाले तथ्यात्मक कारकों को रद्द कर देती है और 4! प्रत्येक शीर्ष पर।

लूप ऑर्डर
वन आरेख वह है जहां सभी आंतरिक रेखाओं में संवेग होता है जो पूरी तरह से बाहरी रेखाओं द्वारा निर्धारित होता है और यह शर्त है कि आने वाली और बाहर जाने वाली गति प्रत्येक शीर्ष पर बराबर होती है। इन आरेखों का योगदान बिना किसी एकीकरण के प्रचारकों का उत्पाद है। एक वृक्ष आरेख एक जुड़ा हुआ वन आरेख है।

वृक्ष आरेख का एक उदाहरण वह है जहां चार बाहरी रेखाओं में से प्रत्येक एक. पर समाप्त होती है $X$. दूसरा तब होता है जब तीन बाहरी रेखाएं a. पर समाप्त होती हैं $X$, और शेष आधी रेखा दूसरे के साथ जुड़ जाती है $X$, और इस की शेष अर्ध-पंक्तियाँ $X$ बाहरी लाइनों के लिए भागो। ये सभी वन आरेख भी हैं (जैसा कि हर पेड़ एक जंगल है); एक जंगल का एक उदाहरण जो पेड़ नहीं है वह है जब आठ बाहरी रेखाएं दो पर समाप्त होती हैं $X$एस।

यह सत्यापित करना आसान है कि इन सभी मामलों में, सभी आंतरिक रेखाओं पर संवेग बाहरी संवेग और प्रत्येक शीर्ष में संवेग संरक्षण की स्थिति से निर्धारित होता है।

एक आरेख जो वन आरेख नहीं है, उसे लूप आरेख कहा जाता है, और एक उदाहरण वह होता है जहां एक. की दो रेखाएं होती हैं $X$ बाहरी रेखाओं से जुड़ जाते हैं, जबकि शेष दो रेखाएं एक-दूसरे से जुड़ जाती हैं। एक-दूसरे से जुड़ने वाली दो रेखाओं का कोई भी संवेग हो सकता है, क्योंकि वे दोनों एक ही शीर्ष में प्रवेश करती हैं और छोड़ती हैं। एक अधिक जटिल उदाहरण वह है जहां दो $X$पैरों को एक दूसरे से मिला कर एक दूसरे से जुड़े हुए हैं। इस आरेख में कोई बाहरी रेखा नहीं है।

कारण लूप आरेखों को लूप आरेख कहा जाता है, क्योंकि की संख्या $k$-इंटीग्रल्स जो संवेग संरक्षण द्वारा अनिर्धारित छोड़ दिए जाते हैं, आरेख में स्वतंत्र बंद लूपों की संख्या के बराबर होते हैं, जहां स्वतंत्र लूपों को  होमोलॉजी सिद्धांत  में गिना जाता है। होमोलॉजी वास्तविक-मूल्यवान है (वास्तव में $R^{d}$ मूल्यवान), प्रत्येक पंक्ति से जुड़ा मान संवेग है। सीमा संचालक प्रत्येक पंक्ति को सिर पर एक सकारात्मक चिह्न और पूंछ पर एक नकारात्मक चिह्न के साथ अंत-कोने के योग तक ले जाता है। जिस स्थिति में संवेग संरक्षित रहता है, ठीक वह स्थिति है कि की सीमा $k$-मूल्यवान भारित ग्राफ शून्य है।

वैध का एक सेट $
 * k$-मानों को मनमाने ढंग से फिर से परिभाषित किया जा सकता है जब भी कोई बंद लूप होता है। एक बंद लूप आसन्न शिखरों का एक चक्रीय पथ है जो कभी भी एक ही शीर्ष पर नहीं जाता है। इस तरह के चक्र को एक काल्पनिक 2-कोशिका की सीमा के रूप में माना जा सकता है। $k$-एक ग्राफ की लेबलिंग जो संवेग को संरक्षित करता है (अर्थात जिसकी सीमा शून्य है). की पुनर्परिभाषा तक $k$ (अर्थात 2-कोशिकाओं की सीमाओं तक) एक ग्राफ के पहले समरूपता को परिभाषित करता है। स्वतंत्र संवेग की संख्या जो निर्धारित नहीं की जाती है, तब स्वतंत्र समरूपता छोरों की संख्या के बराबर होती है। कई ग्राफ़ के लिए, यह सबसे सहज तरीके से गिने जाने वाले लूपों की संख्या के बराबर है।

समरूपता कारक
आधी-पंक्तियों को एक साथ जोड़कर किसी दिए गए फेनमैन आरेख को बनाने के तरीकों की संख्या बड़ी है, और विक के प्रमेय के अनुसार, अर्ध-रेखाओं को जोड़ने का प्रत्येक तरीका समान रूप से योगदान देता है। अक्सर, यह प्रत्येक पद के हर में भाज्य को पूरी तरह से रद्द कर देता है, लेकिन रद्दीकरण कभी-कभी अधूरा होता है।

असंबद्ध हर को आरेख का सममिति कारक कहा जाता है। सहसंबंध समारोह में प्रत्येक आरेख के योगदान को उसके समरूपता कारक से विभाजित किया जाना चाहिए।

उदाहरण के लिए, दो बाहरी रेखाओं से बने फेनमैन आरेख पर विचार करें जो एक से जुड़ते हैं $X$, और शेष दो अर्ध-पंक्तियाँ में $X$ एक दूसरे से जुड़ गए। बाहरी अर्ध-रेखाओं में शामिल होने के 4 × 3 तरीके हैं $X$, और फिर दो शेष पंक्तियों को एक दूसरे से जोड़ने का केवल एक ही तरीका है। $X$ से विभाजित आता है 4! = 4 × 3 × 2, लेकिन लिंक करने के तरीकों की संख्या $X$ आधा रेखा आरेख बनाने के लिए केवल 4 × 3 है, इसलिए इस आरेख के योगदान को दो से विभाजित किया जाता है।

एक अन्य उदाहरण के लिए, एक की सभी अर्ध-रेखाओं को मिलाकर बनने वाले आरेख पर विचार करें $X$ दूसरे की सभी आधी-पंक्तियों के लिए $X$. इस आरेख को वैक्यूम बबल कहा जाता है, क्योंकि यह किसी बाहरी रेखा से नहीं जुड़ता है। 4 हैं! इस आरेख को बनाने के तरीके, लेकिन हर में 2 शामिल है! (घातांक के विस्तार से, दो हैं $X$s) और 4 के दो गुणनखंड!. योगदान को से गुणा किया जाता है $4!⁄2 × 4! × 4!$ =&nbsp$1⁄48$.

एक अन्य उदाहरण दो. से बना फेनमैन आरेख है $X$एस जहां प्रत्येक $X$ दो बाहरी रेखाओं को जोड़ता है, और प्रत्येक की शेष दो अर्ध-पंक्तियाँ $X$ एक दूसरे से जुड़े हुए हैं। लिंक करने के तरीकों की संख्या a $X$ दो बाहरी रेखाओं के लिए 4 × 3 है, और या तो $X$ 2 का अतिरिक्त गुणनखंड देते हुए किसी भी जोड़ी से जुड़ सकता है। दो में शेष दो अर्ध-पंक्तियाँ $X$s को एक दूसरे से दो तरह से जोड़ा जा सकता है, जिससे कि आरेख बनाने के तरीकों की कुल संख्या है 4 × 3 × 4 × 3 × 2 × 2, जबकि हर है 4! × 4! × 2!. कुल समरूपता कारक 2 है, और इस आरेख के योगदान को 2 से विभाजित किया गया है।

समरूपता कारक प्रमेय एक सामान्य आरेख के लिए समरूपता कारक देता है: प्रत्येक फेनमैन आरेख के योगदान को ऑटोमोर्फिज्म के अपने समूह के क्रम से विभाजित किया जाना चाहिए, इसकी समरूपता की संख्या।

फेनमैन ग्राफ का  ऑटोमोर्फिज्म  एक क्रमपरिवर्तन है $M$ लाइनों और एक क्रमपरिवर्तन की $N$ निम्नलिखित गुणों के साथ शीर्षों में से:


 * 1) अगर एक लाइन $l$ शीर्ष से जाता है $v$ शीर्ष करने के लिए $v′$, तब $M(l)$ से चला जाता है $N(v)$ को $N(v′)$. यदि रेखा अप्रत्यक्ष है, जैसा कि एक वास्तविक अदिश क्षेत्र के लिए है, तो $M(l)$ से जा सकते हैं $N(v′)$ को $N(v)$ भी।
 * 2) अगर एक लाइन $l$ एक बाहरी रेखा पर समाप्त होता है, $M(l)$ एक ही बाहरी रेखा पर समाप्त होता है।
 * 3) यदि विभिन्न प्रकार की रेखाएँ हैं, $M(l)$ प्रकार को संरक्षित करना चाहिए।

कण-पथ के संदर्भ में इस प्रमेय की व्याख्या है: जब समान कण मौजूद होते हैं, तो सभी मध्यवर्ती पर अभिन्नई कणों को उन राज्यों की दोहरी गणना नहीं करनी चाहिए जो केवल समान कणों के आदान-प्रदान से भिन्न होते हैं।

उपपत्ति: इस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, किसी आरेख की सभी आंतरिक और बाह्य रेखाओं को एक अद्वितीय नाम से लेबल करें। फिर एक आधी लाइन को एक नाम और फिर दूसरी हाफ लाइन से जोड़कर डायग्राम बनाएं।

अब नामांकित आरेख बनाने के तरीकों की संख्या गिनें। के प्रत्येक क्रमपरिवर्तन $X$s नामों को आधी-पंक्तियों से जोड़ने का एक अलग पैटर्न देता है, और यह इसका एक कारक है $n!$. एकल में अर्ध-पंक्तियों का प्रत्येक क्रमपरिवर्तन $X$ 4 का गुणनखंड देता है!. तो एक नामित आरेख को फेनमैन विस्तार के हर के रूप में कई तरह से बनाया जा सकता है।

लेकिन अज्ञात आरेखों की संख्या ग्राफ के ऑटोमोर्फिज्म समूह के क्रम से नामित आरेख की संख्या से कम है।

कनेक्टेड डायग्राम: लिंक्ड-क्लस्टर थ्योरम
मोटे तौर पर, एक फेनमैन आरेख को कनेक्टेड कहा जाता है, यदि सभी कोने और प्रसारक रेखाएं स्वयं आरेख के शीर्षों और प्रसारकों के अनुक्रम से जुड़ी हों। यदि कोई इसे   अप्रत्यक्ष ग्राफ  के रूप में देखता है तो यह जुड़ा हुआ है। क्यूएफटी में ऐसे आरेखों की उल्लेखनीय प्रासंगिकता इस तथ्य के कारण है कि वे    क्वांटम विभाजन फ़ंक्शन  को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त हैं। $Z[J]$. अधिक सटीक रूप से, जुड़े हुए फेनमैन आरेख निर्धारित करते हैं$$i W[J]\equiv \ln Z[J].$$

इसे देखने के लिए याद रखना चाहिए कि$$ Z[J]\propto\sum_k{D_k}$$

साथ $D_{k}$ कुछ (मनमाने ढंग से) फेनमैन आरेख से निर्मित जिसे कई जुड़े घटकों से मिलकर माना जा सकता है $C_{i}$. अगर किसी का सामना $n_{i}$ (समान) एक घटक की प्रतियां $C_{i}$ फेनमैन आरेख के भीतर $D_{k}$ किसी को एक समरूपता कारक शामिल करना होगा $n_{i}!$. हालांकि, अंत में फेनमैन आरेख का प्रत्येक योगदान $D_{k}$ विभाजन समारोह के लिए सामान्य रूप है$$\prod_i \frac{C_{i}^{n_i} }{ n_i!} $$

कहाँ पे $i$ (अनंत) कई जुड़े हुए फेनमैन आरेखों को लेबल करता है।

से इस तरह के योगदान को क्रमिक रूप से सृजित करने की योजना $D_{k}$ को $Z[J]$ द्वारा प्राप्त किया जाता है$$\left(\frac{1}{0!}+\frac{C_1}{1!}+\frac{C^2_1}{2!}+\cdots\right)\left(1+C_2+\frac{1}{2}C^2_2+\cdots\right)\cdots $$

और इसलिए पैदावार$$Z[J]\propto\prod_i{\sum^\infty_{n_i=0}{\frac{C_i^{n_i}}{n_i!}}}=\exp{\sum_i{C_i}}\propto \exp{W[J]}\,.$$

'सामान्यीकरण' स्थापित करने के लिए $Z_{0} = क्स्प डब्ल्यू[0] = 1$ एक बस सभी जुड़े वैक्यूम डायग्राम्स की गणना करता है, यानी, बिना किसी स्रोत के डायग्राम $J$ (कभी-कभी फेनमैन आरेख के बाहरी पैर के रूप में संदर्भित)।

वैक्यूम बुलबुले
लिंक्ड-क्लस्टर प्रमेय का एक तत्काल परिणाम यह है कि सभी वैक्यूम बुलबुले, बाहरी रेखाओं के बिना आरेख, सहसंबंध कार्यों की गणना करते समय रद्द हो जाते हैं। पथ-अभिन्न के अनुपात द्वारा एक सहसंबंध कार्य दिया जाता है:$$ \left\langle \phi_1(x_1) \cdots \phi_n(x_n)\right\rangle = \frac{\displaystyle\int e^{-S} \phi_1(x_1) \cdots\phi_n(x_n)\, D\phi }{\displaystyle \int e^{-S}\, D\phi}\,.$$

शीर्ष सभी फेनमैन आरेखों का योग है, जिसमें डिस्कनेक्ट किए गए आरेख शामिल हैं जो बाहरी रेखाओं से बिल्कुल भी लिंक नहीं करते हैं। जुड़े हुए आरेखों के संदर्भ में, अंश में वैक्यूम बुलबुले के समान योगदान शामिल हैं जो हर के रूप में हैं:$$ \int e^{-S}\phi_1(x_1)\cdots\phi_n(x_n)\, D\phi = \left(\sum E_i\right)\left( \exp\left(\sum_i C_i\right) \right)\,.$$

जहां राशि खत्म $E$ डायग्राम में केवल वे डायग्राम शामिल होते हैं जिनमें से प्रत्येक कनेक्टेड कंपोनेंट्स कम से कम एक बाहरी लाइन पर खत्म होते हैं। निर्वात बुलबुले बाहरी रेखाओं के समान होते हैं, और एक समग्र गुणक कारक देते हैं। भाजक सभी निर्वात b. का योग हैबुलबुले, और विभाजन दूसरे कारक से छुटकारा दिलाते हैं। निर्वात बुलबुले तब केवल निर्धारण के लिए उपयोगी होते हैं $Z$ स्वयं, जो पथ अभिन्न की परिभाषा के बराबर है:$$ Z= \int e^{-S} D\phi = e^{-HT} = e^{-\rho V} $$

कहाँ पे $ρ$ निर्वात में ऊर्जा घनत्व है। प्रत्येक वैक्यूम बबल में का एक कारक होता है $δ(k)$ कुल शून्य करना $k$ प्रत्येक शीर्ष पर, और जब कोई बाहरी रेखाएं नहीं होती हैं, तो इसका एक कारक होता है $δ(0)$, क्योंकि संवेग संरक्षण अति-लागू है। परिमित आयतन में, इस कारक को अंतरिक्ष समय के कुल आयतन के रूप में पहचाना जा सकता है। आयतन से विभाजित करने पर, निर्वात बुलबुले के लिए शेष समाकलन की व्याख्या होती है: यह निर्वात के ऊर्जा घनत्व में एक योगदान है।

स्रोत
सहसंबंध कार्य जुड़े हुए फेनमैन आरेखों का योग हैं, लेकिन औपचारिकता जुड़े हुए और डिस्कनेक्ट किए गए आरेखों को अलग तरह से व्यवहार करती है। आंतरिक रेखाएँ शीर्ष पर समाप्त होती हैं, जबकि बाहरी रेखाएँ सम्मिलन पर जाती हैं। स्रोतों का परिचय नए शिखर बनाकर औपचारिकता को एकीकृत करता है जहां एक पंक्ति समाप्त हो सकती है।

स्रोत बाहरी क्षेत्र हैं, फ़ील्ड जो कार्रवाई में योगदान करते हैं, लेकिन गतिशील चर नहीं हैं। एक अदिश क्षेत्र स्रोत एक अन्य अदिश क्षेत्र है $h$ जो (लोरेंत्ज़) लैग्रैन्जियन के लिए एक शब्द का योगदान करता है:$$ \int h(x) \phi(x)\, d^dx = \int h(k) \phi(k)\, d^dk \,$$

फेनमैन विस्तार में, यह एक शीर्ष पर समाप्त होने वाली एक अर्ध-रेखा के साथ एच शब्दों का योगदान देता है। फेनमैन आरेख में रेखाएं अब या तो a. पर समाप्त हो सकती हैं $X$ शीर्ष पर, या एक पर $H$ शीर्ष, और केवल एक पंक्ति प्रवेश करती है a $H$ शीर्ष फेनमैन नियम a. के लिए $H$ शीर्ष यह है कि an. से एक रेखा $H$ गति के साथ $k$ का कारक मिलता है $h(k)$.

स्रोतों की उपस्थिति में जुड़े आरेखों के योग में स्रोतों की अनुपस्थिति में प्रत्येक जुड़े आरेख के लिए एक शब्द शामिल होता है, सिवाय इसके कि आरेख स्रोत पर समाप्त हो सकते हैं। परंपरागत रूप से, एक स्रोत को एक छोटे से × द्वारा दर्शाया जाता है, जिसमें एक पंक्ति फैली हुई होती है, ठीक एक सम्मिलन के रूप में।$$ \log\big(Z[h]\big) = \sum_{n,C} h(k_1) h(k_2) \cdots h(k_n) C(k_1,\cdots,k_n)\,$$

कहाँ पे $C(k_{1},...,k_{n})$ के साथ जुड़ा हुआ आरेख है $n$ संकेत के अनुसार गति ले जाने वाली बाहरी रेखाएँ। योग पहले की तरह सभी जुड़े हुए आरेखों पर है।

मैदान $h$ गतिशील नहीं है, जिसका अर्थ है कि कोई पथ अभिन्न नहीं है $h$: $h$ Lagrangian में सिर्फ एक पैरामीटर है, जो बिंदु से बिंदु पर भिन्न होता है। क्षेत्र के लिए अभिन्न पथ है:$$ Z[h] = \int e^{iS + i\int h\phi}\, D\phi \,$$

और यह के मूल्यों का एक कार्य है $h$ हर बिंदु पर। इस अभिव्यक्ति की व्याख्या करने का एक तरीका यह है कि यह फूरियर को फील्ड स्पेस में बदल रहा है। यदि संभावना घनत्व है $R^{n}$, संभाव्यता घनत्व का फूरियर रूपांतरण है:$$ \int \rho(y) e^{i k y}\, d^n y = \left\langle e^{i k y} \right\rangle = \left\langle \prod_{i=1}^{n} e^{ih_i y_i}\right\rangle \,$$

फूरियर रूपांतरण एक दोलन घातांक की अपेक्षा है। स्रोत की उपस्थिति में अभिन्न पथ $h(x)$ है:$$ Z[h] = \int e^{iS} e^{i\int_x h(x)\phi(x)}\, D\phi = \left\langle e^{i h \phi }\right\rangle$$

जो, एक जाली पर, प्रत्येक फ़ील्ड मान के लिए एक थरथरानवाला घातांक का उत्पाद है:$$ \left\langle \prod_x e^{i h_x \phi_x}\right\rangle $$

डेल्टा-फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण स्थिर है, जो डेल्टा फ़ंक्शन के लिए औपचारिक अभिव्यक्ति देता है:$$ \delta(x-y) = \int e^{ik(x-y)}\, dk $$

यह आपको बताता है कि पथ-अभिन्न में फ़ील्ड डेल्टा फ़ंक्शन कैसा दिखता है। दो अदिश क्षेत्रों के लिए $φ$ और $η$,$$ \delta(\phi - \eta) = \int e^{ i h(x)\big(\phi(x) -\eta(x)\big)\,d^dx}\, Dh\,, $$

जो चार से अधिक एकीकृत करता हैier ट्रांसफॉर्म कोऑर्डिनेट, ओवर $h$. यह अभिव्यक्ति पथ अभिन्न में औपचारिक रूप से फ़ील्ड निर्देशांक बदलने के लिए उपयोगी है, जैसे डेल्टा फ़ंक्शन का उपयोग सामान्य बहु-आयामी अभिन्न में निर्देशांक बदलने के लिए किया जाता है।

पार्टीशन फंक्शन अब फील्ड का फंक्शन है $h$, और भौतिक विभाजन फ़ंक्शन वह मान है जब $h$ शून्य कार्य है:

सहसंबंध कार्य स्रोत के संबंध में अभिन्न पथ के व्युत्पन्न हैं:$$ \left\langle\phi(x)\right\rangle = \frac{1}{Z} \frac{\partial}{\partial h(x)} Z[h] = \frac{\partial}{\partial h(x)} \log\big(Z[h]\big)\,.$$

यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, कार्रवाई में स्रोत योगदान अभी भी एक कारक के साथ प्रकट हो सकता है $i$, ताकि वे अभी भी एक फूरियर रूपांतरण कर सकें।

बाती प्रमेय
क्योंकि प्रत्येक फ़ील्ड मोड एक स्वतंत्र गाऊसी है, कई फ़ील्ड मोड के उत्पाद के लिए अपेक्षा मान विक के प्रमेय का पालन करता है:$$ \left\langle \phi(k_1) \phi(k_2) \cdots \phi(k_n)\right\rangle$$

शून्य है जब तक कि फ़ील्ड मोड जोड़े में मेल नहीं खाते। इसका अर्थ है कि यह की विषम संख्या के लिए शून्य है $φ$, और सम संख्या के लिए $φ$, यह डेल्टा फ़ंक्शन के साथ प्रत्येक जोड़ी से अलग-अलग योगदान के बराबर है।$$\left\langle \phi(k_1) \cdots \phi(k_{2n})\right\rangle = \sum \prod_{i,j} \frac{\delta\left(k_i - k_j\right) }{k_i^2 } $$

जहां योग फ़ील्ड मोड के प्रत्येक विभाजन पर जोड़े में होता है, और उत्पाद जोड़े के ऊपर होता है। उदाहरण के लिए,$$ \left\langle \phi(k_1) \phi(k_2) \phi(k_3) \phi(k_4) \right\rangle = \frac{\delta(k_1 -k_2)}{k_1^2}\frac{\delta(k_3-k_4)}{k_3^2} + \frac{\delta(k_1-k_3)}{k_3^2}\frac{\delta(k_2-k_4)}{k_2^2} + \frac{\delta(k_1-k_4)}{k_1^2}\frac{\delta(k_2 -k_3)}{k_2^2}$$

विक के प्रमेय की व्याख्या यह है कि प्रत्येक क्षेत्र सम्मिलन को एक लटकती हुई रेखा के रूप में माना जा सकता है, और उम्मीद मूल्य की गणना जोड़े में लाइनों को जोड़कर की जाती है, एक डेल्टा फ़ंक्शन कारक डालते हैं जो यह सुनिश्चित करता है कि जोड़ी में प्रत्येक साथी की गति है बराबर, और प्रचारक द्वारा विभाजित।

उच्च गाऊसी क्षण — विक के प्रमेय को पूरा करना
विक के प्रमेय के सिद्ध होने से पहले एक सूक्ष्म बिंदु बचा है - क्या होगा यदि दो से अधिक $$\phi$$s have the same momentum? If it's an odd number, the integral is zero; negative values cancel with the positive values. But if the number is even, the integral is positive. The previous demonstration assumed that the $$\phi$$s केवल जोड़े में मेल खाएगा।

लेकिन प्रमेय तब भी सही है जब मनमाने ढंग से कई $$\phi$$ बराबर हैं, और यह गाऊसी एकीकरण की एक उल्लेखनीय संपत्ति है:$$ I = \int e^{-ax^2/2}dx = \sqrt\frac{2\pi}{a} $$ $$ \frac{\partial^n}{\partial a^n } I = \int \frac{x^{2n}}{2^n} e^{-ax^2/2}dx = \frac{1\cdot 3 \cdot 5 \ldots \cdot (2n-1) }{ 2 \cdot 2 \cdot 2 \ldots \;\;\;\;\;\cdot 2\;\;\;\;\;\;} \sqrt{2\pi}\, a^{-\frac{2n+1}{2}}$$

द्वारा विभाजित करना $I$,$$ \left\langle x^{2n}\right\rangle=\frac{\displaystyle\int x^{2n} e^{-a x^2/2} }{\displaystyle \int e^{-a x^2/2} } = 1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots \cdot (2n-1) \frac{1}{a^n} $$ $$ \left\langle x^2 \right\rangle = \frac{1}{a} $$

यदि विक का प्रमेय सही होता, तो की सूची के सभी संभावित युग्मों द्वारा उच्च क्षण दिए जाते $2n$ को अलग $x$:$$ \left\langle x_1 x_2 x_3 \cdots x_{2n} \right\rangle$$

जहां $x$ सभी एक ही चर हैं, सूचकांक केवल उन्हें युग्मित करने के तरीकों की संख्या का ट्रैक रखने के लिए है। सबसे पहला $x$ के साथ जोड़ा जा सकता है $2n − 1$ अन्य, जा रहे हैं $2n − 2$. अगला अयुग्मित $x$ के साथ जोड़ा जा सकता है $2n − 3$ को अलग $x$ छोड़ने $2n − 4$, और इसी तरह। इसका मतलब यह है कि विक का प्रमेय, बिना सुधारा, कहता है कि का अपेक्षा मूल्य $x^{2n}$ होना चाहिए:$$ \left\langle x^{2n} \right\rangle = (2n-1)\cdot(2n-3)\ldots \cdot5 \cdot 3 \cdot 1 \left\langle x^2\right\rangle^n $$

और यह वास्तव में सही उत्तर है। तो विक के प्रमेय में कोई फर्क नहीं पड़ता कि आंतरिक चर के कितने क्षण मेल खाते हैं।

बातचीत
इंटरैक्शन को उच्च क्रम के योगदान द्वारा दर्शाया जाता है, क्योंकि द्विघात योगदान हमेशा गाऊसी होते हैं। एक क्रिया के साथ सबसे सरल अंतःक्रिया चतुर्थक आत्म-बातचीत है:$$ S = \int \partial^\mu \phi \partial_\mu\phi +\frac {\lambda}{ 4!} \phi^4. $$

कॉम्बीनेटरियल फैक्टर 4 का कारण! जल्द ही स्पष्ट हो जाएगा। जाली (या सातत्य) फूरियर मोड के संदर्भ में कार्रवाई लिखना:$$ S = \int_k k^2 \left|\phi(k)\right|^2 + \frac{\lambda}{4!}\int_{k_1k_2k_3k_4} \phi(k_1) \phi(k_2) \phi(k_3)\phi(k_4) \delta(k_1+k_2+k_3 + k_4) = S_F + X. $$

कहाँ $S_{F}$ मुक्त क्रिया है, जिसके सहसंबंध फलन विक के प्रमेय द्वारा दिए गए हैं। का घातांक $S$ पथ में अभिन्न का विस्तार की शक्तियों में किया जा सकता है $λ$, मुक्त कार्रवाई में सुधार की एक श्रृंखला दे रहा है।$$ e^{-S} = e^{-S_F} \left( 1 + X + \frac{1}{2!} X X + \frac{1}{3!} X X X + \cdots \right) $$

अंतःक्रियात्मक क्रिया के लिए अभिन्न पथ तब मुक्त क्रिया के लिए सुधारों की एक शक्ति श्रृंखला है। शब्द द्वारा दर्शाया गया है $X$ चार अर्ध-रेखाओं के रूप में सोचा जाना चाहिए, प्रत्येक कारक के लिए एक $φ(k)$. अर्ध-रेखाएं एक शीर्ष पर मिलती हैं, जो एक डेल्टा-फ़ंक्शन का योगदान करती है जो यह सुनिश्चित करती है कि गति का योग बराबर है।

अंतःक्रियात्मक सिद्धांत में एक सहसंबंध समारोह की गणना करने के लिए, का योगदान है $X$ शर्तें अब। उदाहरण के लिए, चार-क्षेत्र सहसंबंधक के लिए पथ-अभिन्न:$$\left\langle \phi(k_1) \phi(k_2) \phi(k_3) \phi(k_4) \right\rangle = \frac{\displaystyle\int e^{-S} \phi(k_1)\phi(k_2)\phi(k_3)\phi(k_4) D\phi }{ Z}$$

जो मुक्त क्षेत्र में केवल शून्येतर था जब क्षण $k$ युग्मों में बराबर थे, अब के सभी मानों के लिए अशून्य है $k$. सम्मिलन का क्षण $φ(k_{i})$ अब के क्षण के साथ मेल खा सकता है $X$एस विस्तार में। सम्मिलन को इस मामले में आधा-पंक्तियों, चार के रूप में भी माना जाना चाहिए, जो एक गति ले जाते हैं $k$, लेकिन एक जो एकीकृत नहीं है।

निम्नतम क्रम का योगदान पहले गैर-तुच्छ पद से आता है $e^{−S_{F}}X$ कार्रवाई के टेलर विस्तार में। विक के प्रमेय के लिए आवश्यक है कि में संवेग $X$ अर्ध-पंक्तियाँ, $φ(k)$ में कारक $X$, को जोड़े में बाहरी अर्ध-रेखाओं के संवेग के साथ मेल खाना चाहिए। नया योगदान इसके बराबर है:$$ \lambda \frac{1}{ k_1^2} \frac{1}{ k_2^2} \frac{1}{ k_3^2} \frac{1}{ k_4^2}\,. $$

4! अंदर $X$ रद्द कर दिया गया है क्योंकि ठीक 4 हैं! में अर्ध-पंक्तियों का मिलान करने के तरीके $X$ बाहरी अर्ध-रेखाओं के लिए। अर्ध-पंक्तियों को एक साथ जोड़े में मिलान करने के इन विभिन्न तरीकों में से प्रत्येक के मूल्यों की परवाह किए बिना, ठीक एक बार योगदान देता है $k_{1,2,3,4}$, विक के प्रमेय द्वारा।

फेनमैन आरेख
की शक्तियों में कार्रवाई का विस्तार $X$ उत्तरोत्तर अधिक संख्या के साथ शब्दों की एक श्रृंखला देता है $X$एस। शब्द से योगदान बिल्कुल $n$ $X$s कहा जाता है $n$वें आदेश।

$n$वें क्रम की शर्तें हैं:
 * 1) $4n$ आंतरिक अर्ध-रेखाएँ, जो के कारक हैं $φ(k)$ से $X$एस। ये सभी एक शीर्ष पर समाप्त होते हैं, और सभी संभव पर एकीकृत होते हैं $k$.
 * 2) बाहरी आधी रेखाएं, जो से आती हैं $φ(k)$ अभिन्न में सम्मिलन।

विक के प्रमेय के अनुसार, अर्ध-रेखाओं के प्रत्येक जोड़े को एक 'रेखा' बनाने के लिए एक साथ जोड़ा जाना चाहिए, और यह रेखा का एक कारक देती है$$ \frac{\delta(k_1 + k_2)}{k_1^2} $$

जो योगदान को बढ़ाता है। इसका मतलब यह है कि एक रेखा बनाने वाली दो अर्ध-रेखाओं को समान और विपरीत गति के लिए मजबूर किया जाता है। रेखा को स्वयं एक तीर द्वारा लेबल किया जाना चाहिए, रेखा के समानांतर खींचा जाना चाहिए, और रेखा में गति द्वारा लेबल किया जाना चाहिए $k$. तीर के टेल एंड पर अर्ध-रेखा संवेग रखती है $k$, जबकि शीर्ष-छोर पर अर्ध-रेखा संवेग रखती है $−k$. यदि दो अर्ध-रेखाओं में से एक बाहरी है, तो यह आंतरिक पर अभिन्न को मार देती है $k$, क्योंकि यह आंतरिक को बल देता है $k$ बाहरी के बराबर होना $k$. यदि दोनों आंतरिक हैं, तो अभिन्न ओवर $k$ खंडहर।

में अर्ध-रेखाओं को जोड़ने से बनने वाले आरेख $X$बाहरी अर्ध-रेखाओं के साथ, सम्मिलन का प्रतिनिधित्व करते हुए, इस सिद्धांत के फेनमैन आरेख हैं। प्रत्येक पंक्ति में का कारक होता है $1⁄k^{2}$, प्रचारक, और या तो शीर्ष से शीर्ष तक जाता है, या एक सम्मिलन पर समाप्त होता है। यदि यह आंतरिक है, तो इसे एकीकृत किया गया है। प्रत्येक शीर्ष पर, कुल आवक $k$ कुल आउटगोइंग के बराबर है $k$.

आधी-पंक्तियों को लाइनों में जोड़कर आरेख बनाने के तरीकों की संख्या लगभग पूरी तरह से घातांक की टेलर श्रृंखला से आने वाले तथ्यात्मक कारकों को रद्द कर देती है और 4! प्रत्येक शीर्ष पर।

लूप ऑर्डर
वन आरेख वह है जहां सभी आंतरिक रेखाओं में संवेग होता है जो पूरी तरह से बाहरी रेखाओं द्वारा निर्धारित होता है और यह शर्त है कि आने वाली और बाहर जाने वाली गति प्रत्येक शीर्ष पर बराबर होती है। इन आरेखों का योगदान बिना किसी एकीकरण के प्रचारकों का उत्पाद है। एक वृक्ष आरेख एक जुड़ा हुआ वन आरेख है।

वृक्ष आरेख का एक उदाहरण वह है जहां चार बाहरी रेखाओं में से प्रत्येक एक. पर समाप्त होती है $X$. दूसरा तब होता है जब तीन बाहरी रेखाएं a. पर समाप्त होती हैं $X$, और शेष आधी रेखा दूसरे के साथ जुड़ जाती है $X$, और इस की शेष अर्ध-पंक्तियाँ $X$ बाहरी लाइनों के लिए भागो। ये सभी वन आरेख भी हैं (जैसा कि हर पेड़ एक जंगल है); एक जंगल का एक उदाहरण जो पेड़ नहीं है वह है जब आठ बाहरी रेखाएं दो पर समाप्त होती हैं $X$एस।

यह सत्यापित करना आसान है कि इन सभी मामलों में, सभी आंतरिक रेखाओं पर संवेग बाहरी संवेग और प्रत्येक शीर्ष में संवेग संरक्षण की स्थिति से निर्धारित होता है।

एक आरेख जो वन आरेख नहीं है, उसे लूप आरेख कहा जाता है, और एक उदाहरण वह होता है जहां एक. की दो रेखाएं होती हैं $X$ बाहरी रेखाओं से जुड़ जाते हैं, जबकि शेष दो रेखाएं एक-दूसरे से जुड़ जाती हैं। एक-दूसरे से जुड़ने वाली दो रेखाओं का कोई भी संवेग हो सकता है, क्योंकि वे दोनों एक ही शीर्ष में प्रवेश करती हैं और छोड़ती हैं। एक अधिक जटिल उदाहरण वह है जहां दो $X$पैरों को एक दूसरे से मिला कर एक दूसरे से जुड़े हुए हैं। इस आरेख में कोई बाहरी रेखा नहीं है।

कारण लूप आरेखों को लूप आरेख कहा जाता है, क्योंकि की संख्या $k$-इंटीग्रल्स जो संवेग संरक्षण द्वारा अनिर्धारित छोड़ दिए जाते हैं, आरेख में स्वतंत्र बंद लूपों की संख्या के बराबर होते हैं, जहां स्वतंत्र लूपों को  होमोलॉजी सिद्धांत  में गिना जाता है। होमोलॉजी वास्तविक-मूल्यवान है (वास्तव में $R^{d}$ मूल्यवान), प्रत्येक पंक्ति से जुड़ा मान संवेग है। सीमा संचालक प्रत्येक पंक्ति को सिर पर एक सकारात्मक चिह्न और पूंछ पर एक नकारात्मक चिह्न के साथ अंत-कोने के योग तक ले जाता है। जिस स्थिति में संवेग संरक्षित रहता है, ठीक वह स्थिति है कि की सीमा $k$-मूल्यवान भारित ग्राफ शून्य है।

मान्य का एक सेट $k$जब भी कोई बंद लूप होता है, तो मूल्यों को मनमाने ढंग से फिर से परिभाषित किया जा सकता है। एक बंद लूप आसन्न शिखरों का एक चक्रीय पथ है जो कभी भी एक ही शीर्ष पर नहीं जाता है। इस तरह के चक्र को एक काल्पनिक 2-कोशिका की सीमा के रूप में माना जा सकता है। $k$-एक ग्राफ की लेबलिंग जो संवेग को संरक्षित करता है (अर्थात जिसकी सीमा शून्य है). की पुनर्परिभाषा तक $k$ (अर्थात 2-कोशिकाओं की सीमाओं तक) एक ग्राफ के पहले समरूपता को परिभाषित करता है। स्वतंत्र संवेग की संख्या जो निर्धारित नहीं की जाती है, तब स्वतंत्र समरूपता छोरों की संख्या के बराबर होती है। कई ग्राफ़ के लिए, यह सबसे सहज तरीके से गिने जाने वाले लूपों की संख्या के बराबर है।

समरूपता कारक
आधी-पंक्तियों को एक साथ जोड़कर किसी दिए गए फेनमैन आरेख को बनाने के तरीकों की संख्या बड़ी है, और विक के प्रमेय के अनुसार, अर्ध-रेखाओं को जोड़ने का प्रत्येक तरीका समान रूप से योगदान देता है। अक्सर, यह प्रत्येक पद के हर में भाज्य को पूरी तरह से रद्द कर देता है, लेकिन रद्दीकरण कभी-कभी अधूरा होता है।

असंबद्ध हर को आरेख का सममिति कारक कहा जाता है। सहसंबंध समारोह में प्रत्येक आरेख के योगदान को उसके समरूपता कारक से विभाजित किया जाना चाहिए।

उदाहरण के लिए, दो बाहरी रेखाओं से बने फेनमैन आरेख पर विचार करें जो एक से जुड़ते हैं $X$, और शेष दो अर्ध-पंक्तियाँ में $X$ एक दूसरे से जुड़ गए। बाहरी अर्ध-रेखाओं में शामिल होने के 4 × 3 तरीके हैं $X$, और फिर दो शेष पंक्तियों को एक दूसरे से जोड़ने का केवल एक ही तरीका है। $X$ से विभाजित आता है 4! = 4 × 3 × 2, लेकिन लिंक करने के तरीकों की संख्या $X$ आधा रेखा आरेख बनाने के लिए केवल 4 × 3 है, इसलिए इस आरेख के योगदान को दो से विभाजित किया जाता है।

एक अन्य उदाहरण के लिए, एक की सभी अर्ध-रेखाओं को मिलाकर बनने वाले आरेख पर विचार करें $X$ दूसरे की सभी आधी-पंक्तियों के लिए $X$. इस आरेख को वैक्यूम बबल कहा जाता है, क्योंकि यह किसी बाहरी रेखा से नहीं जुड़ता है। 4 हैं! इस आरेख को बनाने के तरीके, लेकिन हर में 2 शामिल है! (घातांक के विस्तार से, दो हैं $X$s) और 4 के दो गुणनखंड!. योगदान को से गुणा किया जाता है $4!⁄2 × 4! × 4!$ =&nbsp$1⁄48$.

एक अन्य उदाहरण दो. से बना फेनमैन आरेख है $X$एस जहां प्रत्येक $X$ दो बाहरी रेखाओं को जोड़ता है, और प्रत्येक की शेष दो अर्ध-पंक्तियाँ $X$ एक दूसरे से जुड़े हुए हैं। लिंक करने के तरीकों की संख्या a $X$ दो बाहरी रेखाओं के लिए 4 × 3 है, और या तो $X$ 2 का अतिरिक्त गुणनखंड देते हुए किसी भी जोड़ी से जुड़ सकता है। दो में शेष दो अर्ध-पंक्तियाँ $X$s को एक दूसरे से दो तरह से जोड़ा जा सकता है, जिससे कि आरेख बनाने के तरीकों की कुल संख्या है 4 × 3 × 4 × 3 × 2 × 2, जबकि हर है 4! × 4! × 2!. कुल समरूपता कारक 2 है, और इस आरेख के योगदान को 2 से विभाजित किया गया है।

समरूपता कारक प्रमेय एक सामान्य आरेख के लिए समरूपता कारक देता है: प्रत्येक फेनमैन आरेख के योगदान को ऑटोमोर्फिज्म के अपने समूह के क्रम से विभाजित किया जाना चाहिए, इसकी समरूपता की संख्या।

फेनमैन ग्राफ का  ऑटोमोर्फिज्म  एक क्रमपरिवर्तन है $M$ लाइनों और एक क्रमपरिवर्तन की $N$ निम्नलिखित गुणों के साथ शीर्षों में से:


 * 1) अगर एक लाइन $l$ शीर्ष से जाता है $v$ शीर्ष करने के लिए $v′$, तब $M(l)$ से चला जाता है $N(v)$ को $N(v′)$. यदि रेखा अप्रत्यक्ष है, जैसा कि एक वास्तविक अदिश क्षेत्र के लिए है, तो $M(l)$ से जा सकते हैं $N(v′)$ को $N(v)$ भी।
 * 2) अगर एक लाइन $l$ एक बाहरी रेखा पर समाप्त होता है, $M(l)$ एक ही बाहरी रेखा पर समाप्त होता है।
 * 3) यदि विभिन्न प्रकार की रेखाएँ हैं, $M(l)$ प्रकार को संरक्षित करना चाहिए।

इस प्रमेय में कण-पथ के संदर्भ में एक व्याख्या है: जब समान कण मौजूद होते हैं, तो सभी मध्यवर्ती कणों पर अभिन्न को डबल-गिनती नहीं करना चाहिए जो केवल समान कणों के आदान-प्रदान से भिन्न होते हैं।

उपपत्ति: इस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, किसी आरेख की सभी आंतरिक और बाह्य रेखाओं को एक अद्वितीय नाम से लेबल करें। फिर एक आधी लाइन को एक नाम और फिर दूसरी हाफ लाइन से जोड़कर डायग्राम बनाएं।

अब नामांकित आरेख बनाने के तरीकों की संख्या गिनें। के प्रत्येक क्रमपरिवर्तन $X$s नामों को आधी-पंक्तियों से जोड़ने का एक अलग पैटर्न देता है, और यह इसका एक कारक है $n!$. एकल में अर्ध-पंक्तियों का प्रत्येक क्रमपरिवर्तन $X$ 4 का गुणनखंड देता है!. तो एक नामित आरेख को फेनमा के हर के रूप में कई तरह से बनाया जा सकता हैएन विस्तार।

लेकिन अज्ञात आरेखों की संख्या ग्राफ के ऑटोमोर्फिज्म समूह के क्रम से नामित आरेख की संख्या से कम है।

कनेक्टेड डायग्राम: लिंक्ड-क्लस्टर थ्योरम
मोटे तौर पर, एक फेनमैन आरेख को कनेक्टेड कहा जाता है, यदि सभी कोने और प्रसारक रेखाएं स्वयं आरेख के शीर्षों और प्रसारकों के अनुक्रम से जुड़ी हों। यदि कोई इसे   अप्रत्यक्ष ग्राफ  के रूप में देखता है तो यह जुड़ा हुआ है। क्यूएफटी में ऐसे आरेखों की उल्लेखनीय प्रासंगिकता इस तथ्य के कारण है कि वे    क्वांटम विभाजन फ़ंक्शन  को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त हैं। $Z[J]$. अधिक सटीक रूप से, जुड़े हुए फेनमैन आरेख निर्धारित करते हैं$$i W[J]\equiv \ln Z[J].$$

इसे देखने के लिए याद रखना चाहिए कि$$ Z[J]\propto\sum_k{D_k}$$

साथ $D_{k}$ कुछ (मनमाने ढंग से) फेनमैन आरेख से निर्मित जिसे कई जुड़े घटकों से मिलकर माना जा सकता है $C_{i}$. अगर किसी का सामना $n_{i}$ (समान) एक घटक की प्रतियां $C_{i}$ फेनमैन आरेख के भीतर $D_{k}$ किसी को एक समरूपता कारक शामिल करना होगा $n_{i}!$. हालांकि, अंत में फेनमैन आरेख का प्रत्येक योगदान $D_{k}$ विभाजन समारोह के लिए सामान्य रूप है$$\prod_i \frac{C_{i}^{n_i} }{ n_i!} $$

कहाँ पे $i$ (अनंत) कई जुड़े हुए फेनमैन आरेखों को लेबल करता है।

से इस तरह के योगदान को क्रमिक रूप से सृजित करने की योजना $D_{k}$ को $Z[J]$ द्वारा प्राप्त किया जाता है$$\left(\frac{1}{0!}+\frac{C_1}{1!}+\frac{C^2_1}{2!}+\cdots\right)\left(1+C_2+\frac{1}{2}C^2_2+\cdots\right)\cdots $$

और इसलिए पैदावार$$Z[J]\propto\prod_i{\sum^\infty_{n_i=0}{\frac{C_i^{n_i}}{n_i!}}}=\exp{\sum_i{C_i}}\propto \exp{W[J]}\,.$$

'सामान्यीकरण' स्थापित करने के लिए $Z_{0} = क्स्प डब्ल्यू[0] = 1$ एक बस सभी जुड़े वैक्यूम डायग्राम्स की गणना करता है, यानी, बिना किसी स्रोत के डायग्राम $J$ (कभी-कभी फेनमैन आरेख के बाहरी पैर के रूप में संदर्भित)।

वैक्यूम बुलबुले
लिंक्ड-क्लस्टर प्रमेय का एक तत्काल परिणाम यह है कि सभी वैक्यूम बुलबुले, बाहरी रेखाओं के बिना आरेख, सहसंबंध कार्यों की गणना करते समय रद्द हो जाते हैं। पथ-अभिन्न के अनुपात द्वारा एक सहसंबंध कार्य दिया जाता है:$$ \left\langle \phi_1(x_1) \cdots \phi_n(x_n)\right\rangle = \frac{\displaystyle\int e^{-S} \phi_1(x_1) \cdots\phi_n(x_n)\, D\phi }{\displaystyle \int e^{-S}\, D\phi}\,.$$

शीर्ष सभी फेनमैन आरेखों का योग है, जिसमें डिस्कनेक्ट किए गए आरेख शामिल हैं जो बाहरी रेखाओं से बिल्कुल भी लिंक नहीं करते हैं। जुड़े हुए आरेखों के संदर्भ में, अंश में वैक्यूम बुलबुले के समान योगदान शामिल हैं जो हर के रूप में हैं:$$ \int e^{-S}\phi_1(x_1)\cdots\phi_n(x_n)\, D\phi = \left(\sum E_i\right)\left( \exp\left(\sum_i C_i\right) \right)\,.$$

जहां राशि खत्म $E$ डायग्राम में केवल वे डायग्राम शामिल होते हैं जिनमें से प्रत्येक कनेक्टेड कंपोनेंट्स कम से कम एक बाहरी लाइन पर खत्म होते हैं। निर्वात बुलबुले बाहरी रेखाओं के समान होते हैं, और एक समग्र गुणक कारक देते हैं। भाजक सभी निर्वात बुलबुलों का योग होता है, और विभाजित करने से दूसरे कारक से छुटकारा मिल जाता है।

निर्वात बुलबुले तब केवल निर्धारण के लिए उपयोगी होते हैं $Z$ स्वयं, जो पथ अभिन्न की परिभाषा के बराबर है:$$ Z= \int e^{-S} D\phi = e^{-HT} = e^{-\rho V} $$

कहाँ पे $ρ$ निर्वात में ऊर्जा घनत्व है। प्रत्येक वैक्यूम बबल में का एक कारक होता है $δ(k)$ कुल शून्य करना $k$ प्रत्येक शीर्ष पर, और जब कोई बाहरी रेखाएं नहीं होती हैं, तो इसका एक कारक होता है $δ(0)$, क्योंकि संवेग संरक्षण अति-लागू है। परिमित आयतन में, इस कारक को अंतरिक्ष समय के कुल आयतन के रूप में पहचाना जा सकता है। आयतन से विभाजित करने पर, निर्वात बुलबुले के लिए शेष समाकलन की व्याख्या होती है: यह निर्वात के ऊर्जा घनत्व में एक योगदान है।

स्रोत
सहसंबंध कार्य जुड़े हुए फेनमैन आरेखों का योग हैं, लेकिन औपचारिकता जुड़े हुए और डिस्कनेक्ट किए गए आरेखों को अलग तरह से व्यवहार करती है। आंतरिक रेखाएँ शीर्ष पर समाप्त होती हैं, जबकि बाहरी रेखाएँ सम्मिलन पर जाती हैं। स्रोतों का परिचय नए शिखर बनाकर औपचारिकता को एकीकृत करता है जहां एक पंक्ति समाप्त हो सकती है।

स्रोत बाहरी क्षेत्र हैं, फ़ील्ड जो कार्रवाई में योगदान करते हैं, लेकिन गतिशील चर नहीं हैं। एक अदिश क्षेत्र स्रोत एक अन्य अदिश क्षेत्र है $h$ जो (लोरेंत्ज़) लैग्रैन्जियन के लिए एक शब्द का योगदान करता है:$$ \int h(x) \phi(x)\, d^dx = \int h(k) \phi(k)\, d^dk \,$$

फेनमैन विस्तार में, यह एक शीर्ष पर समाप्त होने वाली एक अर्ध-रेखा के साथ एच शब्दों का योगदान देता है। फेनमैन आरेख में रेखाएं अब या तो a. पर समाप्त हो सकती हैं $X$ शीर्ष पर, या एक पर $H$ शीर्ष, और केवल एक पंक्ति प्रवेश करती है a $H$ शीर्ष फेनमैन नियम a. के लिए $H$ शीर्ष यह है कि an. से एक रेखा $H$ गति के साथ $k$ का कारक मिलता है $h(k)$.

स्रोतों की उपस्थिति में जुड़े आरेखों के योग में स्रोतों की अनुपस्थिति में प्रत्येक जुड़े आरेख के लिए एक शब्द शामिल होता है, सिवाय इसके कि आरेख स्रोत पर समाप्त हो सकते हैं। परंपरागत रूप से, एक स्रोत को एक छोटे से × द्वारा दर्शाया जाता है, जिसमें एक पंक्ति फैली हुई होती है, ठीक एक सम्मिलन के रूप में।$$ \log\big(Z[h]\big) = \sum_{n,C} h(k_1) h(k_2) \cdots h(k_n) C(k_1,\cdots,k_n)\,$$

कहाँ पे $C(k_{1},...,k_{n})$ के साथ जुड़ा हुआ आरेख है $n$ संकेत के अनुसार गति ले जाने वाली बाहरी रेखाएँ। योग पहले की तरह सभी जुड़े हुए आरेखों पर है।

मैदान $h$ गतिशील नहीं है, जिसका अर्थ है कि कोई पथ अभिन्न नहीं है $h$: $h$ Lagrangian में सिर्फ एक पैरामीटर है, जो बिंदु से बिंदु पर भिन्न होता है। क्षेत्र के लिए अभिन्न पथ है:$$ Z[h] = \int e^{iS + i\int h\phi}\, D\phi \,$$

और यह के मूल्यों का एक कार्य है $h$ हर बिंदु पर। इस अभिव्यक्ति की व्याख्या करने का एक तरीका यह है कि यह फूरियर को फील्ड स्पेस में बदल रहा है। यदि संभावना घनत्व है $R^{n}$, संभाव्यता घनत्व का फूरियर रूपांतरण है:$$ \int \rho(y) e^{i k y}\, d^n y = \left\langle e^{i k y} \right\rangle = \left\langle \prod_{i=1}^{n} e^{ih_i y_i}\right\rangle \,$$

फूरियर रूपांतरण एक दोलन घातांक की अपेक्षा है। स्रोत की उपस्थिति में अभिन्न पथ $h(x)$ है:$$ Z[h] = \int e^{iS} e^{i\int_x h(x)\phi(x)}\, D\phi = \left\langle e^{i h \phi }\right\rangle$$

जो, एक जाली पर, प्रत्येक फ़ील्ड मान के लिए एक थरथरानवाला घातांक का उत्पाद है:$$ \left\langle \prod_x e^{i h_x \phi_x}\right\rangle $$

डेल्टा-फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण स्थिर है, जो डेल्टा फ़ंक्शन के लिए औपचारिक अभिव्यक्ति देता है:$$ \delta(x-y) = \int e^{ik(x-y)}\, dk $$

यह आपको बताता है कि पथ-अभिन्न में फ़ील्ड डेल्टा फ़ंक्शन कैसा दिखता है। दो अदिश क्षेत्रों के लिए $φ$ और $η$,$$ \delta(\phi - \eta) = \int e^{ i h(x)\big(\phi(x) -\eta(x)\big)\,d^dx}\, Dh\,, $$

जो फूरियर ट्रांसफॉर्म कोऑर्डिनेट पर एकीकृत करता है, ओवर $h$. यह अभिव्यक्ति पथ अभिन्न में औपचारिक रूप से फ़ील्ड निर्देशांक बदलने के लिए उपयोगी है, जैसे डेल्टा फ़ंक्शन का उपयोग सामान्य बहु-आयामी अभिन्न में निर्देशांक बदलने के लिए किया जाता है।

पार्टीशन फंक्शन अब फील्ड का फंक्शन है $h$, और भौतिक विभाजन फ़ंक्शन वह मान है जब $h$ शून्य कार्य है:

सहसंबंध कार्य स्रोत के संबंध में अभिन्न पथ के व्युत्पन्न हैं:$$ \left\langle\phi(x)\right\rangle = \frac{1}{Z} \frac{\partial}{\partial h(x)} Z[h] = \frac{\partial}{\partial h(x)} \log\big(Z[h]\big)\,.$$

यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, कार्रवाई में स्रोत योगदान अभी भी एक कारक के साथ प्रकट हो सकता है $i$, ताकि वे अभी भी एक फूरियर रूपांतरण कर सकें।

स्पिन $1⁄2$: ग्रासमैन इंटीग्रल्स
फील्ड पाथ इंटीग्रल को फर्मी केस तक बढ़ाया जा सकता है, लेकिन केवल तभी जब इंटीग्रेशन की धारणा का विस्तार किया जाए। एक मुक्त फर्मी क्षेत्र का एक   ग्रासमैन इंटीग्रल  एक उच्च-आयामी   निर्धारक  या   फ़ैफ़ियन  है, जो फ़र्मी क्षेत्रों के लिए उपयुक्त नए प्रकार के गाऊसी एकीकरण को परिभाषित करता है।

ग्रासमैन एकीकरण के दो मूलभूत सूत्र हैं:$$ \int e^{M_{ij}{\bar\psi}^i \psi^j}\, D\bar\psi\, D\psi= \mathrm{Det}(M)\,, $$

कहाँ पे $1⁄2$ एक मनमाना मैट्रिक्स है और $ψ, \overline{ψ}$ प्रत्येक सूचकांक के लिए स्वतंत्र ग्रासमैन चर हैं $M$, और$$ \int e^{\frac12 A_{ij} \psi^i \psi^j}\, D\psi = \mathrm{Pfaff}(A)\,,$$

कहाँ पे $i$ एक एंटीसिमेट्रिक मैट्रिक्स है, $A$ ग्रासमैन चर का एक संग्रह है, और $ψ$ डबल-काउंटिंग को रोकने के लिए है (चूंकि $ψ^{i}ψ^{j} = −ψ<sup ψ^{is}$)। मैट्रिक्स नोटेशन में, जहां $1⁄2$ और $\overline{ψ}$ ग्रासमैन-मूल्यवान पंक्ति सदिश हैं, $\overline{η}$ और $η$ ग्रासमैन-मूल्यवान कॉलम वैक्टर हैं, और $ψ$ एक वास्तविक मूल्यवान मैट्रिक्स है:$$ Z = \int e^{\bar\psi M \psi + \bar\eta \psi + \bar\psi \eta}\, D\bar\psi\, D\psi = \int e^{\left(\bar\psi+\bar\eta M^{-1}\right)M \left(\psi+ M^{-1}\eta\right) - \bar\eta M^{-1}\eta}\, D\bar\psi\, D\psi = \mathrm{Det}(M) e^{-\bar\eta M^{-1}\eta}\,,$$

जहां अंतिम समानता ग्रासमैन इंटीग्रल के अनुवाद इनवेरिएंस का परिणाम है। ग्रासमैन चर $M$ के लिए बाहरी स्रोत हैं $η$, और के संबंध में अंतर $ψ$ के कारकों को कम करता है $η$.$$ \left\langle\bar\psi \psi\right\rangle = \frac{1}{Z} \frac{\partial}{\partial \eta} \frac{\partial}{\partial \bar\eta} Z |_{\eta=\bar\eta=0} = M^{-1}$$

फिर से, एक योजनाबद्ध मैट्रिक्स संकेतन में। उपरोक्त सूत्र का अर्थ यह है कि के उपयुक्त घटक के संबंध में व्युत्पन्न $\overline{ψ}$ और $η$ का मैट्रिक्स तत्व देता है $M^{−1}$. यह एक जटिल बोसोनिक क्षेत्र के गाऊसी अभिन्न के लिए बोसोनिक पथ एकीकरण सूत्र के समान है:$$ \int e^{\phi^* M \phi + h^* \phi + \phi^* h } \,D\phi^*\, D\phi = \frac{e^{h^* M^{-1} h} }{ \mathrm{Det}(M)}$$ $$ \left\langle\phi^* \phi\right\rangle = \frac{1}{Z} \frac{\partial}{\partial h} \frac{\partial}{\partial h^*}Z |_{h=h^*=0} = M^{-1} \,.$$

ताकि प्रोपेगेटर बोस और फर्मी दोनों मामलों में कार्रवाई के द्विघात भाग में मैट्रिक्स का व्युत्क्रम हो।

वास्तविक ग्रासमैन क्षेत्रों के लिए,  मेजराना फर्मियन  एस के लिए, पथ अभिन्न एक फाफियन समय एक स्रोत द्विघात रूप है, और सूत्र निर्धारक का वर्गमूल देते हैं, जैसे वे वास्तविक बोसोनिक क्षेत्रों के लिए करते हैं। प्रचारक अभी भी द्विघात भाग का विलोम है।

मुक्त Dirac Lagrangian:$$ \int \bar\psi\left(\gamma^\mu \partial_{\mu} - m \right) \psi $$

औपचारिक रूप से गति के समीकरण और डिराक क्षेत्र के एंटीकम्यूटेशन संबंध देता है, जैसे कि क्लेन गॉर्डन लैग्रैन्जियन एक साधारण पथ अभिन्न में अदिश क्षेत्र के गति और कम्यूटेशन संबंधों के समीकरण देता है। ग्रासमैन बीजगणित के लिए एक नए आधार के रूप में डिराक क्षेत्र के स्थानिक फूरियर रूपांतरण का उपयोग करके, डिराक क्रिया का द्विघात भाग उलटा करना आसान हो जाता है:$$ S= \int_k \bar\psi\left( i\gamma^\mu k_\mu - m \right) \psi\,. $$

प्रोपेगेटर मैट्रिक्स का व्युत्क्रम है $\overline{η}$ जोड़ने $ψ(k)$ और $\overline{ψ}(k)$, के विभिन्न मूल्यों के बाद से $M$ एक साथ मत मिलाओ।


 * $$ \left\langle\bar\psi(k') \psi (k) \right\rangle = \delta (k+k')\frac{1} {\gamma\cdot k - m} = \ डेल्टा(k+k')\frac{\gamma\cdot k+m }{ k^2 - m^2} 

विक के प्रमेय का एनालॉग मेल खाता है $k$ और $ψ$ जोंड़ों में:

जहाँ S क्रमचय का चिन्ह है जो के क्रम को पुन: व्यवस्थित करता है $\overline{ψ}$ और $\overline{ψ}$ डेल्टा-फ़ंक्शंस को एक-दूसरे के बगल में बनाने के लिए जोड़े गए लोगों को रखने के लिए $ψ$ ठीक पहले आ रहा है $\overline{ψ}$. से एक $ψ, \overline{ψ}$ जोड़ी ग्रासमैन बीजगणित का एक आने वाला तत्व है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि जोड़े किस क्रम में हैं। यदि एक से अधिक $ψ, \overline{ψ}$ जोड़ी एक जैसी है $ψ$, इंटीग्रल शून्य है, और यह जांचना आसान है कि इस मामले में युग्मों पर योग शून्य देता है (उनकी हमेशा एक सम संख्या होती है)। यह उच्च गाऊसी क्षणों का ग्रासमैन एनालॉग है जिसने पहले बोसोनिक विक के प्रमेय को पूरा किया था।

स्पिन के नियम$k$ डायराक कण इस प्रकार हैं: प्रोपेगेटर डिराक ऑपरेटर का व्युत्क्रम है, लाइनों में एक जटिल अदिश क्षेत्र के लिए तीर होते हैं, और आरेख प्रत्येक बंद फर्मी लूप के लिए -1 का समग्र कारक प्राप्त करता है। यदि फर्मी लूपों की विषम संख्या है, तो आरेख परिवर्तन का संकेत देता है। ऐतिहासिक रूप से, फेनमैन के लिए -1 नियम की खोज करना बहुत कठिन था। उन्होंने परीक्षण और त्रुटि की एक लंबी प्रक्रिया के बाद इसकी खोज की, क्योंकि उनके पास ग्रासमैन एकीकरण के उचित सिद्धांत का अभाव था।

इस प्रेक्षण से नियम का पालन होता है कि एक शीर्ष पर फर्मी रेखाओं की संख्या हमेशा सम होती है। Lagrangian में प्रत्येक शब्द हमेशा बोसोनिक होना चाहिए। एक फर्मी लूप की गणना फर्मीओनिक रेखाओं का अनुसरण करके की जाती है जब तक कि कोई प्रारंभिक बिंदु पर वापस नहीं आ जाता है, फिर उन रेखाओं को आरेख से हटा देता है। इस प्रक्रिया को दोहराने से अंततः सभी फ़र्मोनिक रेखाएँ मिट जाती हैं: यह एक ग्राफ को 2-रंग करने के लिए यूलर एल्गोरिथम है, जो तब भी काम करता है जब प्रत्येक शीर्ष पर सम डिग्री हो। यूलर एल्गोरिथम में चरणों की संख्या केवल सामान्य विशेष मामले में स्वतंत्र फर्मोनिक होमोलॉजी चक्रों की संख्या के बराबर है कि लैग्रेंजियन में सभी शब्द फर्मी क्षेत्रों में बिल्कुल द्विघात हैं, ताकि प्रत्येक शीर्ष पर ठीक दो फर्मोनिक रेखाएं हों। जब चार-फर्मी इंटरैक्शन होते हैं (जैसे  कमजोर परमाणु संपर्क  एस के फर्मी प्रभावी सिद्धांत में) और अधिक होते हैं $1⁄2$फर्मी लूप की तुलना में -इंटीग्रल्स। इस मामले में, गणना नियम को प्रत्येक शीर्ष पर फर्मी लाइनों को जोड़े में जोड़कर यूलर एल्गोरिदम लागू करना चाहिए जो एक साथ लैग्रैंगियन में शब्द का बोसोनिक कारक बनाते हैं, और एक पंक्ति से एक शीर्ष में प्रवेश करते समय, एल्गोरिदम हमेशा छोड़ देना चाहिए पार्टनर लाइन के साथ।

नियम को स्पष्ट करने और सिद्ध करने के लिए, फर्मियन क्षेत्रों के साथ, लैग्रेंजियन में, कोने से बने फेनमैन आरेख पर विचार करें। पूर्ण शब्द बोसोनिक है, यह ग्रासमैन बीजगणित का एक आने वाला तत्व है, इसलिए जिस क्रम में कोने दिखाई देते हैं वह महत्वपूर्ण नहीं है। फर्मी लाइनें लूप में जुड़ी हुई हैं, और लूप को पार करते समय, कोई एक के बाद एक शीर्ष पदों को फिर से व्यवस्थित कर सकता है क्योंकि कोई बिना किसी संकेत लागत के घूमता है। अपवाद तब होता है जब आप शुरुआती बिंदु पर लौटते हैं, और अंतिम अर्ध-रेखा को अनलिंक की गई पहली अर्ध-रेखा के साथ जोड़ा जाना चाहिए। अंतिम को स्थानांतरित करने के लिए इसके लिए एक क्रमपरिवर्तन की आवश्यकता होती है $k$ पहले के सामने जाना $\overline{ψ}$, और यह संकेत देता है।

यह नियम आंतरिक रेखाओं में बहिष्करण सिद्धांत का एकमात्र दृश्यमान प्रभाव है। जब बाहरी रेखाएं होती हैं, तो समान कणों के लिए दो फर्मी सम्मिलनों को आपस में बदलने पर आयाम एंटीसिमेट्रिक होते हैं। यह स्रोत औपचारिकता में स्वचालित है, क्योंकि फर्मी क्षेत्रों के स्रोत स्वयं ग्रासमैन मूल्यवान हैं।

स्पिन 1: फोटॉन
फोटॉन के लिए अनुभवहीन प्रचारक अनंत है, क्योंकि ए-फ़ील्ड के लिए लैग्रैन्जियन है:


 * <गणित>S = \int \tfrac14 F^{\mu\nu} F_{\mu\nu} = \int -\tfrac12\left(\partial^\mu A_\nu \partial_\mu A^\nu - \partial^ \mu A_\mu \partial_\nu A^\nu \right)\,.$$

प्रचारक को परिभाषित करने वाला द्विघात रूप अपरिवर्तनीय है। इसका कारण क्षेत्र का  गेज इनवेरिएंस  है; करने के लिए एक ढाल जोड़ना $ψ$ भौतिकी नहीं बदलता है।

इस समस्या को ठीक करने के लिए, एक गेज को ठीक करने की जरूरत है। सबसे सुविधाजनक तरीका यह मांग करना है कि का विचलन $A$ कुछ फंक्शन है $A$, जिसका मान बिंदु से बिंदु तक यादृच्छिक है। यह के मूल्यों पर एकीकृत करने के लिए कोई नुकसान नहीं करता है $f$, क्योंकि यह केवल गेज की पसंद को निर्धारित करता है। यह प्रक्रिया निम्नलिखित कारक को पथ अभिन्न में सम्मिलित करती है $f$:$$ \int \delta\left(\partial_\mu A^\mu - f\right) e^{-\frac{f^2}{2} }\, Df\,. $$

पहला कारक, डेल्टा फ़ंक्शन, गेज को ठीक करता है। दूसरा कारक. के विभिन्न मूल्यों पर योग करता है $A$ जो असमान गेज फिक्सिंग हैं। यह बस है$$ e^{- \frac{\left(\partial_\mu A_\mu\right)^2}{2}}\,.$$

गेज-फिक्सिंग से अतिरिक्त योगदान मुक्त लैग्रैंजियन के दूसरे भाग को रद्द कर देता है, जिससे फेनमैन लैग्रैन्जियन देता है:$$ S= \int \partial^\mu A^\nu \partial_\mu A_\nu $$

जो चार स्वतंत्र मुक्त अदिश क्षेत्रों की तरह है, प्रत्येक घटक के लिए एक $f$. फेनमैन प्रचारक है:$$ \left\langle A_\mu(k) A_\nu(k') \right\rangle = \delta\left(k+k'\right) \frac{g_{\mu\nu}}{ k^2 }.$$

एक अंतर यह है कि लोरेंत्ज़ मामले में एक प्रचारक का संकेत गलत है: समयबद्ध घटक में एक विपरीत संकेत प्रचारक होता है। इसका मतलब है कि इन कण राज्यों में नकारात्मक मानदंड हैं- वे भौतिक राज्य नहीं हैं। फोटॉनों के मामले में, आरेख विधियों द्वारा यह दिखाना आसान है कि ये राज्य भौतिक नहीं हैं- उनका योगदान अनुदैर्ध्य फोटॉनों के साथ रद्द हो जाता है ताकि किसी भी मूल्य के लिए केवल दो भौतिक फोटॉन ध्रुवीकरण योगदान छोड़ सकें $A$.

यदि औसत अधिक $k$ से भिन्न गुणांक के साथ किया जाता है $f$, दो शर्तें पूरी तरह से रद्द नहीं होती हैं। यह एक गुणांक के साथ एक सहसंयोजक Lagrangian देता है $$\lambda$$, जो कुछ भी प्रभावित नहीं करता है:$$ S= \int \tfrac12\left(\partial^\mu A^\nu \partial_\mu A_\nu - \lambda \left(\partial_\mu A^\mu\right)^2\right)$$

और QED के लिए सहसंयोजक प्रचारक है:$$\left \langle A_\mu(k) A_\nu(k') \right\rangle =\delta\left(k+k'\right)\frac{g_{\mu\nu} - \lambda\frac{k_\mu k_\nu }{ k^2} }{ k^2}.$$

स्पिन 1: गैर-एबेलियन भूत
गैर-एबेलियन गेज फ़ील्ड के लिए फेनमैन नियमों को खोजने के लिए, पथ-अभिन्न में चर के परिवर्तन के लिए गेज फिक्सिंग करने वाली प्रक्रिया को ध्यान से सही किया जाना चाहिए।

गेज फिक्सिंग कारक में डेल्टा फ़ंक्शन को पॉप करने से एक अतिरिक्त निर्धारक होता है:$$ \delta\left(\partial_\mu A_\mu - f\right) e^{-\frac{f^2}{2}} \det M $$

सारणिक का रूप ज्ञात करने के लिए, पहले किसी फलन के एक साधारण द्वि-आयामी समाकल पर विचार करें $1⁄2$ जो केवल इस पर निर्भर करता है $f$, कोण पर नहीं $r$. एक अभिन्न ओवर सम्मिलित करना $θ$:$$ \int f(r)\, dx\, dy = \int f(r) \int d\theta\, \delta(y) \left|\frac{dy}{d\theta}\right|\, dx\, dy $$

व्युत्पन्न-कारक सुनिश्चित करता है कि डेल्टा फ़ंक्शन को में पॉपिंग करता है $θ$ अभिन्न को हटा देता है। एकीकरण के क्रम का आदान-प्रदान,$$ \int f(r)\, dx\, dy = \int d\theta\, \int f(r) \delta(y) \left|\frac{dy}{d\theta}\right|\, dx\, dy $$

लेकिन अब डेल्टा-फ़ंक्शन को पॉप इन किया जा सकता है $θ$,$$ \int f(r)\, dx\, dy = \int d\theta_0\, \int f(x) \left|\frac{dy}{d\theta}\right|\, dx\,. $$

इंटीग्रल ओवर $y$ बस का एक समग्र कारक देता हैπ, जबकि परिवर्तन की दर $θ$ में बदलाव के साथ $y$ बस है $θ$, इसलिए यह अभ्यास रेडियल फ़ंक्शन के ध्रुवीय एकीकरण के लिए मानक सूत्र को पुन: प्रस्तुत करता है:


 * <गणित> \int f(r)\, dx\, dy = 2\pi \int f(x) x\, dx

नॉनबेलियन गेज क्षेत्र के लिए पथ-अभिन्न में, समान हेरफेर है:$$ \int DA \int \delta\big(F(A)\big) \det\left(\frac{\partial F}{\partial G}\right)\, DG e^{iS} = \int DG \int \delta\big(F(A)\big)\det\left(\frac{\partial F}{ \partial G}\right) e^{iS} \,$$

सामने का कारक गेज समूह का आयतन है, और यह एक स्थिरांक का योगदान करता है, जिसे छोड़ा जा सकता है। शेष इंटीग्रल ओवर गेज फिक्स्ड एक्शन है।$$ \int \det\left(\frac{\partial F}{ \partial G}\right)e^{iS_{GF}}\, DA \,$$

एक सहसंयोजक गेज प्राप्त करने के लिए, गेज फिक्सिंग की स्थिति वही है जो एबेलियन मामले में है:$$ \partial_\mu A^\mu = f \,,$$

इन्फिनिटसिमल गेज परिवर्तन के तहत किसकी भिन्नता दी जाती है:$$ \partial_\mu\, D_\mu \alpha \,,$$

कहाँ पे $x$ हर बिंदु पर लाई बीजगणित का आसन्न मूल्यवान तत्व है जो इनफिनिटिमल गेज परिवर्तन करता है। यह क्रिया के लिए फद्दीव पोपोव निर्धारक जोड़ता है:$$ \det\left(\partial_\mu\, D_\mu\right) \,$$

जिसे भूत क्षेत्रों की शुरुआत करके ग्रासमैन इंटीग्रल के रूप में फिर से लिखा जा सकता है:$$ \int e^{\bar\eta \partial_\mu\, D^\mu \eta}\, D\bar\eta\, D\eta \,$$

निर्धारक स्वतंत्र है $α$, इसलिए पथ-अभिन्न ओवर $f$ के लिए माप चुनकर फेनमैन प्रचारक (या एक सहसंयोजक प्रचारक) दे सकते हैं $f$ जैसा कि एबेलियन मामले में है। एक अतिरिक्त भूत कार्रवाई के साथ फेनमैन गेज में यांग मिल्स कार्रवाई पूर्ण गेज निश्चित कार्रवाई है:$$ S= \int \operatorname{Tr} \partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu + f^i_{jk} \partial^\nu A_i^\mu A^j_\mu A^k_\nu + f^i_{jr} f^r_{kl} A_i A_j A^k A^l + \operatorname{Tr} \partial_\mu \bar\eta \partial^\mu \eta + \bar\eta A_j \eta \,$$

आरेख इस क्रिया से प्राप्त होते हैं। स्पिन -1 क्षेत्रों के लिए प्रचारक के पास सामान्य फेनमैन रूप होता है। गति कारकों के साथ डिग्री 3 के शिखर होते हैं जिनके युग्मन संरचना स्थिरांक होते हैं, और डिग्री 4 के शिखर होते हैं जिनके युग्मन संरचना स्थिरांक के उत्पाद होते हैं। अतिरिक्त भूत लूप हैं, जो समयबद्ध और अनुदैर्ध्य राज्यों को रद्द करते हैं $f$ लूप

एबेलियन मामले में, सहसंयोजक गेज के लिए निर्धारक निर्भर नहीं करता है $A$, इसलिए भूत जुड़े हुए आरेखों में योगदान नहीं करते हैं।

स्पिन $A$: ग्रासमैन इंटीग्रल्स
फील्ड पाथ इंटीग्रल को फर्मी केस तक बढ़ाया जा सकता है, लेकिन केवल तभी जब इंटीग्रेशन की धारणा का विस्तार किया जाए। एक मुक्त फर्मी क्षेत्र का एक   ग्रासमैन इंटीग्रल  एक उच्च-आयामी   निर्धारक  या   फ़ैफ़ियन  है, जो फ़र्मी क्षेत्रों के लिए उपयुक्त नए प्रकार के गाऊसी एकीकरण को परिभाषित करता है।

ग्रासमैन एकीकरण के दो मूलभूत सूत्र हैं:$$ \int e^{M_{ij}{\bar\psi}^i \psi^j}\, D\bar\psi\, D\psi= \mathrm{Det}(M)\,, $$

कहाँ पे $1⁄2$ एक मनमाना मैट्रिक्स है और $ψ, \overline{ψ}$ प्रत्येक सूचकांक के लिए स्वतंत्र ग्रासमैन चर हैं $M$, और$$ \int e^{\frac12 A_{ij} \psi^i \psi^j}\, D\psi = \mathrm{Pfaff}(A)\,,$$

कहाँ पे $i$ एक एंटीसिमेट्रिक मैट्रिक्स है, $A$ ग्रासमैन चर का एक संग्रह है, और $ψ$ डबल-काउंटिंग को रोकने के लिए है (चूंकि $ψ^{i}ψ^{j} = −ψ<sup ψ^{is}$)। मैट्रिक्स नोटेशन में, जहां $1⁄2$ और $\overline{ψ}$ ग्रासमैन-मूल्यवान पंक्ति सदिश हैं, $\overline{η}$ और $η$ ग्रासमैन-मूल्यवान कॉलम वैक्टर हैं, और $ψ$ एक वास्तविक मूल्यवान मैट्रिक्स है:$$ Z = \int e^{\bar\psi M \psi + \bar\eta \psi + \bar\psi \eta}\, D\bar\psi\, D\psi = \int e^{\left(\bar\psi+\bar\eta M^{-1}\right)M \left(\psi+ M^{-1}\eta\right) - \bar\eta M^{-1}\eta}\, D\bar\psi\, D\psi = \mathrm{Det}(M) e^{-\bar\eta M^{-1}\eta}\,,$$

जहां अंतिम समानता ग्रासमैन इंटीग्रल के अनुवाद इनवेरिएंस का परिणाम है। ग्रासमैन चर $M$ के लिए बाहरी स्रोत हैं $η$, और के संबंध में अंतर $ψ$ के कारकों को कम करता है $η$.$$ \left\langle\bar\psi \psi\right\rangle = \frac{1}{Z} \frac{\partial}{\partial \eta} \frac{\partial}{\partial \bar\eta} Z |_{\eta=\bar\eta=0} = M^{-1}$$

फिर से, एक योजनाबद्ध मैट्रिक्स संकेतन में। उपरोक्त सूत्र का अर्थ यह है कि के उपयुक्त घटक के संबंध में व्युत्पन्न $\overline{ψ}$ और $η$ का मैट्रिक्स तत्व देता है $M^{−1}$. यह एक जटिल बोसोनिक क्षेत्र के गाऊसी अभिन्न के लिए बोसोनिक पथ एकीकरण सूत्र के समान है:$$ \int e^{\phi^* M \phi + h^* \phi + \phi^* h } \,D\phi^*\, D\phi = \frac{e^{h^* M^{-1} h} }{ \mathrm{Det}(M)}$$ $$ \left\langle\phi^* \phi\right\rangle = \frac{1}{Z} \frac{\partial}{\partial h} \frac{\partial}{\partial h^*}Z |_{h=h^*=0} = M^{-1} \,.$$

ताकि प्रोपेगेटर बोस और फर्मी दोनों मामलों में कार्रवाई के द्विघात भाग में मैट्रिक्स का व्युत्क्रम हो।

वास्तविक ग्रासमैन क्षेत्रों के लिए,  मेजराना फर्मियन  एस के लिए, पथ अभिन्न एक फाफियन समय एक स्रोत द्विघात रूप है, और सूत्र निर्धारक का वर्गमूल देते हैं, जैसे वे वास्तविक बोसोनिक क्षेत्रों के लिए करते हैं। प्रचारक अभी भी द्विघात भाग का विलोम है।

मुक्त Dirac Lagrangian:$$ \int \bar\psi\left(\gamma^\mu \partial_{\mu} - m \right) \psi $$

औपचारिक रूप से गति के समीकरण और डिराक क्षेत्र के एंटीकम्यूटेशन संबंध देता है, जैसे कि क्लेन गॉर्डन लैग्रैन्जियन एक साधारण पथ अभिन्न में अदिश क्षेत्र के गति और कम्यूटेशन संबंधों के समीकरण देता है। ग्रासमैन बीजगणित के लिए एक नए आधार के रूप में डिराक क्षेत्र के स्थानिक फूरियर रूपांतरण का उपयोग करके, डिराक क्रिया का द्विघात भाग उलटा करना आसान हो जाता है:$$ S= \int_k \bar\psi\left( i\gamma^\mu k_\mu - m \right) \psi\,. $$

प्रोपेगेटर मैट्रिक्स का व्युत्क्रम है $\overline{η}$ जोड़ने $ψ(k)$ और $\overline{ψ}(k)$, के विभिन्न मूल्यों के बाद से $M$ एक साथ मत मिलाओ।$$ \left\langle\bar\psi(k') \psi (k) \right\rangle = \delta (k+k')\frac{1} {\gamma\cdot k - m} = \delta(k+k')\frac{\gamma\cdot k+m }{ k^2 - m^2} $$

विक के प्रमेय का एनालॉग मेल खाता है $k$और $ψ$ जोंड़ों में:$$ \left\langle\bar\psi(k_1) \bar\psi(k_2) \cdots \bar\psi(k_n) \psi(k'_1) \cdots \psi(k_n)\right\rangle = \sum_{\mathrm{pairings}} (-1)^S \prod_{\mathrm{pairs}\; i,j} \delta\left(k_i -k_j\right) \frac{1}{\gamma\cdot k_i - m}$$

जहाँ S क्रमचय का चिन्ह है जो के क्रम को पुन: व्यवस्थित करता है $\overline{ψ}$ और $\overline{ψ}$ डेल्टा-फ़ंक्शंस को एक-दूसरे के बगल में बनाने के लिए जोड़े गए लोगों को रखने के लिए $ψ$ ठीक पहले आ रहा है $\overline{ψ}$. से एक $ψ, \overline{ψ}$ जोड़ी ग्रासमैन बीजगणित का एक आने वाला तत्व है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि जोड़े किस क्रम में हैं। यदि एक से अधिक $ψ, \overline{ψ}$ जोड़ी एक जैसी है $ψ$, इंटीग्रल शून्य है, और यह जांचना आसान है कि इस मामले में युग्मों पर योग शून्य देता है (उनकी हमेशा एक सम संख्या होती है)। यह उच्च गाऊसी क्षणों का ग्रासमैन एनालॉग है जिसने पहले बोसोनिक विक के प्रमेय को पूरा किया था।

स्पिन के नियम$k$ डायराक कण इस प्रकार हैं: प्रोपेगेटर डिराक ऑपरेटर का व्युत्क्रम है, लाइनों में एक जटिल अदिश क्षेत्र के लिए तीर होते हैं, और आरेख प्रत्येक बंद फर्मी लूप के लिए -1 का समग्र कारक प्राप्त करता है। यदि फर्मी लूपों की विषम संख्या है, तो आरेख परिवर्तन का संकेत देता है। ऐतिहासिक रूप से, फेनमैन के लिए -1 नियम की खोज करना बहुत कठिन था। उन्होंने परीक्षण और त्रुटि की एक लंबी प्रक्रिया के बाद इसकी खोज की, क्योंकि उनके पास ग्रासमैन एकीकरण के उचित सिद्धांत का अभाव था।

इस प्रेक्षण से नियम का पालन होता है कि एक शीर्ष पर फर्मी रेखाओं की संख्या हमेशा सम होती है। Lagrangian में प्रत्येक शब्द हमेशा बोसोनिक होना चाहिए। एक फर्मी लूप की गणना फर्मीओनिक रेखाओं का अनुसरण करके की जाती है जब तक कि कोई प्रारंभिक बिंदु पर वापस नहीं आ जाता है, फिर उन रेखाओं को आरेख से हटा देता है। इस प्रक्रिया को दोहराने से अंततः सभी फ़र्मोनिक रेखाएँ मिट जाती हैं: यह एक ग्राफ को 2-रंग करने के लिए यूलर एल्गोरिथम है, जो तब भी काम करता है जब प्रत्येक शीर्ष पर सम डिग्री हो। यूलर एल्गोरिथम में चरणों की संख्या केवल सामान्य विशेष मामले में स्वतंत्र फर्मोनिक होमोलॉजी चक्रों की संख्या के बराबर है कि लैग्रेंजियन में सभी शब्द फर्मी क्षेत्रों में बिल्कुल द्विघात हैं, ताकि प्रत्येक शीर्ष पर ठीक दो फर्मोनिक रेखाएं हों। जब चार-फर्मी इंटरैक्शन होते हैं (जैसे  कमजोर परमाणु संपर्क  एस के फर्मी प्रभावी सिद्धांत में) और अधिक होते हैं $1⁄2$फर्मी लूप की तुलना में -इंटीग्रल्स। इस मामले में, गणना नियम को प्रत्येक शीर्ष पर फर्मी लाइनों को जोड़े में जोड़कर यूलर एल्गोरिदम को लागू करना चाहिए जो एक साथ लैग्रैंगियन में शब्द का बोसोनिक कारक बनाते हैं, और एक पंक्ति से एक शीर्ष में प्रवेश करते समय, एल्गोरिदम हमेशा छोड़ देना चाहिए पार्टनर लाइन के साथ।

नियम को स्पष्ट करने और सिद्ध करने के लिए, फर्मियन क्षेत्रों के साथ, लैग्रेंजियन में, कोने से बने फेनमैन आरेख पर विचार करें। पूर्ण शब्द बोसोनिक है, यह ग्रासमैन बीजगणित का एक आने वाला तत्व है, इसलिए जिस क्रम में कोने दिखाई देते हैं वह महत्वपूर्ण नहीं है। फर्मी लाइनें लूप में जुड़ी हुई हैं, और लूप को पार करते समय, कोई एक के बाद एक शीर्ष पदों को फिर से व्यवस्थित कर सकता है क्योंकि कोई बिना किसी संकेत लागत के घूमता है। अपवाद तब होता है जब आप शुरुआती बिंदु पर लौटते हैं, और अंतिम अर्ध-रेखा को अनलिंक की गई पहली अर्ध-रेखा के साथ जोड़ा जाना चाहिए। अंतिम को स्थानांतरित करने के लिए इसके लिए एक क्रमपरिवर्तन की आवश्यकता होती है $k$ पहले के सामने जाना $\overline{ψ}$, और यह संकेत देता है।

यह नियम आंतरिक रेखाओं में बहिष्करण सिद्धांत का एकमात्र दृश्यमान प्रभाव है। जब बाहरी रेखाएं होती हैं, तो समान कणों के लिए दो फर्मी सम्मिलनों को आपस में बदलने पर आयाम एंटीसिमेट्रिक होते हैं। यह स्रोत औपचारिकता में स्वचालित है, क्योंकि फर्मी क्षेत्रों के स्रोत स्वयं ग्रासमैन मूल्यवान हैं।

स्पिन 1: फोटॉन
फोटॉन के लिए अनुभवहीन प्रचारक अनंत है, क्योंकि ए-फ़ील्ड के लिए लैग्रैन्जियन है:$$ S = \int \tfrac14 F^{\mu\nu} F_{\mu\nu} = \int -\tfrac12\left(\partial^\mu A_\nu \partial_\mu A^\nu - \partial^\mu A_\mu \partial_\nu A^\nu \right)\,.$$

प्रचारक को परिभाषित करने वाला द्विघात रूप अपरिवर्तनीय है। इसका कारण क्षेत्र का  गेज इनवेरिएंस  है; करने के लिए एक ढाल जोड़ना $ψ$ भौतिकी नहीं बदलता है।

इस समस्या को ठीक करने के लिए, एक गेज को ठीक करने की जरूरत है। सबसे सुविधाजनक तरीका यह मांग करना है कि का विचलन $A$ कुछ फंक्शन है $A$, जिसका मान बिंदु से बिंदु तक यादृच्छिक है। यह के मूल्यों पर एकीकृत करने के लिए कोई नुकसान नहीं करता है $f$, क्योंकि यह केवल गेज की पसंद को निर्धारित करता है। यह प्रक्रिया निम्नलिखित कारक को पथ अभिन्न में सम्मिलित करती है $f$:$$ \int \delta\left(\partial_\mu A^\mu - f\right) e^{-\frac{f^2}{2} }\, Df\,. $$

पहला कारक, डेल्टा फ़ंक्शन, गेज को ठीक करता है। दूसरा कारक. के विभिन्न मूल्यों पर योग करता है $A$ जो असमान गेज फिक्सिंग हैं। यह बस है$$ e^{- \frac{\left(\partial_\mu A_\mu\right)^2}{2}}\,.$$

गेज-फिक्सिंग से अतिरिक्त योगदान मुक्त लैग्रैंजियन के दूसरे भाग को रद्द कर देता है, जिससे फेनमैन लैग्रैन्जियन देता है:$$ S= \int \partial^\mu A^\nu \partial_\mu A_\nu $$

जो चार स्वतंत्र मुक्त अदिश क्षेत्रों की तरह है, प्रत्येक घटक के लिए एक $f$. फेनमैन प्रचारक है:$$ \left\langle A_\mu(k) A_\nu(k') \right\rangle = \delta\left(k+k'\right) \frac{g_{\mu\nu}}{ k^2 }.$$

एक अंतर यह है कि लोरेंत्ज़ मामले में एक प्रचारक का संकेत गलत है: समयबद्ध घटक में एक विपरीत संकेत प्रचारक होता है। इसका मतलब है कि इन कण राज्यों में नकारात्मक मानदंड हैं- वे भौतिक राज्य नहीं हैं। फोटॉनों के मामले में, आरेख विधियों द्वारा यह दिखाना आसान है कि ये राज्य भौतिक नहीं हैं- उनका योगदान अनुदैर्ध्य फोटॉनों के साथ रद्द हो जाता है ताकि किसी भी मूल्य के लिए केवल दो भौतिक फोटॉन ध्रुवीकरण योगदान छोड़ सकें $A$.

यदि औसत अधिक $k$ से भिन्न गुणांक के साथ किया जाता है $f$, दो शर्तें पूरी तरह से रद्द नहीं होती हैं। यह एक गुणांक के साथ एक सहसंयोजक Lagrangian देता है $$\lambda$$, जो कुछ भी प्रभावित नहीं करता है:$$ S= \int \tfrac12\left(\partial^\mu A^\nu \partial_\mu A_\nu - \lambda \left(\partial_\mu A^\mu\right)^2\right)$$

और QED के लिए सहसंयोजक प्रचारक है:$$\left \langle A_\mu(k) A_\nu(k') \right\rangle =\delta\left(k+k'\right)\frac{g_{\mu\nu} - \lambda\frac{k_\mu k_\nu }{ k^2} }{ k^2}.$$

स्पिन 1: गैर-एबेलियन भूत
गैर-एबेलियन गेज फ़ील्ड के लिए फेनमैन नियमों को खोजने के लिए, पथ-अभिन्न में चर के परिवर्तन के लिए गेज फिक्सिंग करने वाली प्रक्रिया को ध्यान से सही किया जाना चाहिए।

गेज फिक्सिंग कारक में डेल्टा फ़ंक्शन को पॉप करने से एक अतिरिक्त निर्धारक होता है:$$ \delta\left(\partial_\mu A_\mu - f\right) e^{-\frac{f^2}{2}} \det M $$

सारणिक का रूप ज्ञात करने के लिए, पहले किसी फलन के एक साधारण द्वि-आयामी समाकल पर विचार करें $1⁄2$ जो केवल इस पर निर्भर करता है $f$, कोण पर नहीं $r$. एक अभिन्न ओवर सम्मिलित करना $θ$:$$ \int f(r)\, dx\, dy = \int f(r) \int d\theta\, \delta(y) \left|\frac{dy}{d\theta}\right|\, dx\, dy $$

व्युत्पन्न-कारक सुनिश्चित करता है कि डेल्टा फ़ंक्शन को में पॉपिंग करता है $θ$ अभिन्न को हटा देता है। एकीकरण के क्रम का आदान-प्रदान,$$ \int f(r)\, dx\, dy = \int d\theta\, \int f(r) \delta(y) \left|\frac{dy}{d\theta}\right|\, dx\, dy $$

लेकिन अब डेल्टा-फ़ंक्शन को पॉप इन किया जा सकता है $θ$,$$ \int f(r)\, dx\, dy = \int d\theta_0\, \int f(x) \left|\frac{dy}{d\theta}\right|\, dx\,. $$

इंटीग्रल ओवर $y$ बस का एक समग्र कारक देता हैπ, जबकि परिवर्तन की दर $θ$ में बदलाव के साथ $y$ बस है $θ$, इसलिए यह अभ्यास रेडियल फ़ंक्शन के ध्रुवीय एकीकरण के लिए मानक सूत्र को पुन: प्रस्तुत करता है:$$ \int f(r)\, dx\, dy = 2\pi \int f(x) x\, dx $$

नॉनबेलियन गेज क्षेत्र के लिए पथ-अभिन्न में, समान हेरफेर है:$$ \int DA \int \delta\big(F(A)\big) \det\left(\frac{\partial F}{\partial G}\right)\, DG e^{iS} = \int DG \int \delta\big(F(A)\big)\det\left(\frac{\partial F}{ \partial G}\right) e^{iS} \,$$

सामने का कारक गेज समूह का आयतन है, और यह एक स्थिरांक का योगदान करता है, जिसे छोड़ा जा सकता है। शेष इंटीग्रल ओवर गेज फिक्स्ड एक्शन है।$$ \int \det\left(\frac{\partial F}{ \partial G}\right)e^{iS_{GF}}\, DA \,$$

एक सहसंयोजक गेज प्राप्त करने के लिए, गेज फिक्सिंग की स्थिति वही है जो एबेलियन मामले में है:$$ \partial_\mu A^\mu = f \,,$$

इन्फिनिटसिमल गेज परिवर्तन के तहत किसकी भिन्नता दी जाती है:$$ \partial_\mu\, D_\mu \alpha \,,$$

कहाँ पे $x$ हर बिंदु पर लाई बीजगणित का आसन्न मूल्यवान तत्व है जो इनफिनिटिमल गेज परिवर्तन करता है। यह क्रिया के लिए फद्दीव पोपोव निर्धारक जोड़ता है:$$ \det\left(\partial_\mu\, D_\mu\right) \,$$

जिसे भूत क्षेत्रों की शुरुआत करके ग्रासमैन इंटीग्रल के रूप में फिर से लिखा जा सकता है:$$ \int e^{\bar\eta \partial_\mu\, D^\mu \eta}\, D\bar\eta\, D\eta \,$$

निर्धारक स्वतंत्र है $α$, इसलिए पथ-अभिन्न ओवर $f$ के लिए माप चुनकर फेनमैन प्रचारक (या एक सहसंयोजक प्रचारक) दे सकते हैं $f$ जैसा कि एबेलियन मामले में है। एक अतिरिक्त भूत कार्रवाई के साथ फेनमैन गेज में यांग मिल्स कार्रवाई पूर्ण गेज निश्चित कार्रवाई है:$$ S= \int \operatorname{Tr} \partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu + f^i_{jk} \partial^\nu A_i^\mu A^j_\mu A^k_\nu + f^i_{jr} f^r_{kl} A_i A_j A^k A^l + \operatorname{Tr} \partial_\mu \bar\eta \partial^\mu \eta + \bar\eta A_j \eta \,$$

आरेख इस क्रिया से प्राप्त होते हैं। स्पिन -1 क्षेत्रों के लिए प्रचारक के पास सामान्य फेनमैन रूप होता है। गति कारकों के साथ डिग्री 3 के शिखर होते हैं जिनके युग्मन संरचना स्थिरांक होते हैं, और डिग्री 4 के शिखर होते हैं जिनके युग्मन संरचना स्थिरांक के उत्पाद होते हैं। अतिरिक्त भूत लूप हैं, जो समयबद्ध और अनुदैर्ध्य राज्यों को रद्द करते हैं $f$ लूप

एबेलियन मामले में, सहसंयोजक गेज के लिए निर्धारक निर्भर नहीं करता है $A$, इसलिए भूत जुड़े हुए आरेखों में योगदान नहीं करते हैं।

कण-पथ प्रतिनिधित्व
फेनमैन आरेख मूल रूप से फेनमैन द्वारा, परीक्षण और त्रुटि द्वारा, कण प्रक्षेपवक्र के विभिन्न वर्गों से एस-मैट्रिक्स में योगदान का प्रतिनिधित्व करने के तरीके के रूप में खोजे गए थे।

श्विंगर प्रतिनिधित्व
यूक्लिडियन अदिश प्रसारक का एक विचारोत्तेजक प्रतिनिधित्व है:$$ \frac{1}{p^2+m^2} = \int_0^\infty e^{-\tau\left(p^2 + m^2\right)}\, d\tau $$

इस पहचान का अर्थ (जो एक प्राथमिक एकीकरण है) फूरियर को वास्तविक स्थान में बदलने से स्पष्ट हो जाता है।$$ \Delta(x) = \int_0^\infty d\tau e^{-m^2\tau} \frac{1}{ ({4\pi\tau})^{d/2}}e^\frac{-x^2}{ 4\tau}$$

के किसी एक मूल्य पर योगदान $A$ प्रसारक के लिए चौड़ाई का गाऊसी है $√τ$. 0 से. तक कुल प्रसार कार्य $τ$ सभी उचित समयों पर भारित योग है $x$ एक सामान्यीकृत गाऊसी के, पर समाप्त होने की प्रायिकता $τ$ समय के एक यादृच्छिक चलने के बाद $x$.

प्रचारक के लिए पथ-अभिन्न प्रतिनिधित्व तब है:$$ \Delta(x) = \int_0^\infty d\tau \int DX\, e^{- \int\limits_0^{\tau} \left(\frac{\dot{x}^2}{2} + m^2\right) d\tau'} $$

जो श्विंगर प्रतिनिधित्व का पथ-अभिन्न पुनर्लेखन है।

श्विंगर का प्रतिनिधित्व प्रोपेगेटर के कण पहलू को प्रकट करने के लिए और लूप आरेखों के सममित हर के लिए उपयोगी है।

हर को मिलाना
श्विंगर प्रतिनिधित्व में लूप आरेखों के लिए तत्काल व्यावहारिक अनुप्रयोग है। उदाहरण के लिए, में आरेख के लिए $φ^{4}$ दो को मिलाने से बना सिद्धांत $τ$दो अर्ध-पंक्तियों में एक साथ, और शेष रेखाओं को बाहरी बनाते हुए, लूप में आंतरिक प्रसारकों पर अभिन्न है:


 * $$ \int_k \frac{1}{k^2 + m^2} \frac{1}{ (k+p)^2 + m^2} \,.$$

यहाँ एक पंक्ति गति करती है $x$ और दूसरा $k + p$. श्विंगर प्रतिनिधित्व में सब कुछ डालकर विषमता को ठीक किया जा सकता है।$$ \int_{t,t'} e^{-t(k^2+m^2) - t'\left((k+p)^2 +m^2\right) }\, dt\, dt'\,. $$

अब घातांक अधिकतर निर्भर करता है $t + t′$,$$ \int_{t,t'} e^{-(t+t')(k^2+m^2) - t' 2p\cdot k -t' p^2}\,, $$

असममित थोड़ा सा छोड़कर। चर को परिभाषित करना $u = टी + टी′$ और $v = t′⁄u$, चर $k$ 0 से तक जाता है $∞$, जबकि $u$ 0 से 1 तक जाता है। चर $v$ लूप के लिए कुल उचित समय है, जबकि $u$ लूप के शीर्ष बनाम नीचे के उचित समय के अंश को पैरामीट्रिज़ करता है।

जैकोबियन चर के इस परिवर्तन के लिए पहचान से काम करना आसान है:$$ d(uv)= dt'\quad du = dt+dt'\,,$$

और   वेडिंग  देता है$$ u\, du \wedge dv = dt \wedge dt'\,$$.

यह अनुमति देता है $v$ स्पष्ट रूप से मूल्यांकन करने के लिए अभिन्न:$$ \int_{u,v} u e^{-u \left( k^2+m^2 + v 2p\cdot k + v p^2\right)} = \int \frac{1}{\left(k^2 + m^2 + v 2p\cdot k - v p^2\right)^2}\, dv $$

केवल छोड़ रहा है $u$-अभिन्न। श्विंगर द्वारा आविष्कार की गई इस विधि को आमतौर पर फेनमैन के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है, इसे संयोजन हर कहा जाता है। संक्षेप में, यह प्राथमिक पहचान है:$$ \frac{1}{AB}= \int_0^1 \frac{1}{\big( vA+ (1-v)B\big)^2}\, dv $$

लेकिन यह रूप परिचय के लिए शारीरिक प्रेरणा प्रदान नहीं करता है $v$; $v$ लूप के किसी एक पैर पर उचित समय का अनुपात है।

एक बार जब हरों को जोड़ दिया जाता है, तो इसमें बदलाव होता है $v$ को $k′ = k + vp$ सब कुछ सममित करता है:$$ \int_0^1 \int\frac{1}{\left(k^2 + m^2 + 2vp \cdot k + v p^2\right)^2}\, dk\, dv = \int_0^1 \int \frac{1}{\left(k'^2 + m^2 + v(1-v)p^2\right)^2}\, dk'\, dv$$

यह रूप दर्शाता है कि जिस क्षण $p^{2}$ लूप में कण के द्रव्यमान के चार गुना से अधिक नकारात्मक है, जो  लोरेंत्ज़ स्पेस  के भौतिक क्षेत्र में होता है, इंटीग्रल में एक कट होता है। यह ठीक उसी समय होता है जब बाहरी संवेग भौतिक कण बना सकता है।

जब लूप में अधिक कोने होते हैं, तो गठबंधन करने के लिए अधिक भाजक होते हैं:$$ \int dk\, \frac{1}{k^2 + m^2} \frac{1}{(k+p_1)^2 + m^2} \cdots \frac{1}{(k+p_n)^2 + m^2}$$

सामान्य नियम के लिए Schwinger नुस्खे से अनुसरण किया जाता है $k$ हर:$$ \frac{1}{D_0 D_1 \cdots D_n} = \int_0^\infty \cdots\int_0^\infty e^{-u_0 D_0 \cdots -u_n D_n}\, du_0 \cdots du_n \,.$$

श्विंगर मापदंडों पर अभिन्न $n + 1$ कुल उचित समय में पहले की तरह एक अभिन्न में विभाजित किया जा सकता है $u = u_{0} + u_{1} ... + u_{n}$ और एक इंटीग्रल ओवर लूप के पहले खंड को छोड़कर सभी में उचित समय का अंश $v_{i} = u_{i}⁄u$ के लिए $i ∈ \{1,2,...,n\}$. $u_{i}$ सकारात्मक हैं और 1 से कम जोड़ दें, ताकि $v_{i}$ अभिन्न एक खत्म हो गया है $v$-आयामी सिंप्लेक्स।

समन्वय परिवर्तन के लिए जैकोबियन पहले की तरह काम किया जा सकता है:$$ du = du_0 + du_1 \cdots + du_n \,$$ $$ d(uv_i) = d u_i \,.$$

इन सभी समीकरणों को जोड़नाईथर, एक प्राप्त करता है$$ u^n\, du \wedge dv_1 \wedge dv_2 \cdots \wedge dv_n = du_0 \wedge du_1 \cdots \wedge du_n \,.$$

यह अभिन्न देता है:$$ \int_0^\infty \int_{\mathrm{simplex}} u^n e^{-u\left(v_0 D_0 + v_1 D_1 + v_2 D_2 \cdots + v_n D_n\right)}\, dv_1\cdots dv_n\, du\,, $$

जहां सिंप्लेक्स शर्तों द्वारा परिभाषित क्षेत्र है$$v_i>0 \quad \mbox{and} \quad \sum_{i=1}^n v_i < 1 $$ साथ ही$$v_0 = 1-\sum_{i=1}^n v_i\,.$$ प्रदर्शन करना $n$ अभिन्न हरों के संयोजन के लिए सामान्य नुस्खा देता है:$$ \frac{1}{ D_0 \cdots D_n } = n! \int_{\mathrm{simplex}} \frac{1}{ \left(v_0 D_0 +v_1 D_1 \cdots + v_n D_n\right)^{n+1}}\, dv_1\, dv_2 \cdots dv_n $$

चूंकि इंटीग्रैंड का अंश शामिल नहीं है, वही नुस्खा किसी भी लूप के लिए काम करता है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि पैरों द्वारा स्पिन क्या किया जाता है। मापदंडों की व्याख्या $u$ यह है कि वे प्रत्येक पैर पर बिताए गए कुल उचित समय का अंश हैं।

बिखरना
क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के सहसंबंध कार्य कणों के प्रकीर्णन का वर्णन करते हैं। सापेक्षतावादी क्षेत्र सिद्धांत में कण की परिभाषा स्वयं स्पष्ट नहीं है, क्योंकि यदि आप स्थिति को निर्धारित करने का प्रयास करते हैं ताकि अनिश्चितता  कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य  से कम हो, तो ऊर्जा में अनिश्चितता अधिक कणों और एंटीपार्टिकल्स का उत्पादन करने के लिए पर्याप्त है। वैक्यूम से एक ही प्रकार। इसका मतलब यह है कि एकल-कण अवस्था की धारणा कुछ हद तक अंतरिक्ष में स्थानीयकृत वस्तु की धारणा के साथ असंगत है।

1930 के दशक में,   विग्नर  ने एकल-कण राज्यों के लिए एक गणितीय परिभाषा दी: वे राज्यों का एक संग्रह है जो पोंकारे समूह का एक अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व करते हैं। एकल कण राज्य एक वस्तु का वर्णन एक सीमित द्रव्यमान, एक अच्छी तरह से परिभाषित गति और एक स्पिन के साथ करते हैं। यह परिभाषा प्रोटॉन और न्यूट्रॉन, इलेक्ट्रॉनों और फोटॉनों के लिए ठीक है, लेकिन इसमें क्वार्क शामिल नहीं हैं, जो स्थायी रूप से सीमित हैं, इसलिए आधुनिक दृष्टिकोण अधिक अनुकूल है: एक कण कुछ भी है जिसकी बातचीत को फेनमैन आरेखों के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है, जो कि कण प्रक्षेपवक्र पर योग के रूप में एक व्याख्या।

एक फ़ील्ड ऑपरेटर निर्वात से एक-कण अवस्था उत्पन्न करने के लिए कार्य कर सकता है, जिसका अर्थ है कि फ़ील्ड ऑपरेटर $v_{i}$ विग्नर कण राज्यों का एक सुपरपोजिशन पैदा करता है। मुक्त क्षेत्र सिद्धांत में, क्षेत्र केवल एक कण अवस्था उत्पन्न करता है। लेकिन जब परस्पर क्रिया होती है, तो फील्ड ऑपरेटर 3-कण, 5-कण (यदि कोई +/− समरूपता नहीं है तो 2, 4, 6 कण) भी उत्पन्न कर सकता है। एकल कण राज्यों के लिए प्रकीर्णन आयाम की गणना करने के लिए केवल एक सावधानीपूर्वक सीमा की आवश्यकता होती है, क्षेत्रों को अनंत तक भेजना और उच्च-क्रम सुधारों से छुटकारा पाने के लिए अंतरिक्ष को एकीकृत करना।

प्रकीर्णन और सहसंबंध फलनों के बीच संबंध LSZ-प्रमेय है: के लिए प्रकीर्णन आयाम $φ(x)$ जाने के लिए कण $n$ एक प्रकीर्णन घटना में कणों को फेनमैन आरेखों के योग द्वारा दिया जाता है जो के लिए सहसंबंध समारोह में जाते हैं $n + m$ क्षेत्र सम्मिलन, बाहरी पैरों के लिए प्रसारकों को छोड़कर।

उदाहरण के लिए, के लिए $λφ^{4}$ पिछले खंड की बातचीत, आदेश $m$ (लोरेंत्ज़) सहसंबंध समारोह में योगदान है:$$ \left\langle \phi(k_1)\phi(k_2)\phi(k_3)\phi(k_4)\right\rangle = \frac{i}{k_1^2}\frac{i}{k_2^2} \frac{i}{k_3^2} \frac{i}{k_4^2} i\lambda \,$$

बाहरी प्रचारकों को अलग करना, अर्थात्, के कारकों को हटाना $i⁄k^{2}$, अपरिवर्तनीय प्रकीर्णन आयाम देता है $λ$:$$ M = i\lambda \,$$

जो आवक और जावक गति से एक स्थिर, स्वतंत्र है। प्रकीर्णन आयाम की व्याख्या यह है कि का योग $|M|^{2}$ सभी संभावित अंतिम अवस्थाओं में बिखरने की घटना की संभावना है। एकल-कण अवस्थाओं के सामान्यीकरण को सावधानीपूर्वक चुना जाना चाहिए, हालांकि, यह सुनिश्चित करने के लिए कि $M$ एक सापेक्षतावादी अपरिवर्तनीय है।

गैर-सापेक्ष एकल कण अवस्थाओं को संवेग द्वारा लेबल किया जाता है $M$, और उन्हें. के प्रत्येक मान पर समान मानदंड रखने के लिए चुना जाता है $k$. ऐसा इसलिए है क्योंकि सिंगल पार्टिकल स्टेट्स पर नॉन-रिलेटिविस्टिक यूनिट ऑपरेटर है:$$ \int dk\, |k\rangle\langle k|\,. $$

सापेक्षता में, पर अभिन्न $k$द्रव्यमान m के एक कण के लिए -स्टेट्स एक हाइपरबोला पर एकीकृत होता है $E,k$ ऊर्जा-गति संबंध द्वारा परिभाषित स्थान:$$ E^2 - k^2 = m^2 \,.$$

अगर इंटीग्रल का वजन प्रत्येक $k$ बिंदु समान रूप से, माप लोरेंत्ज़-अपरिवर्तनीय नहीं है। अपरिवर्तनीय माप. के सभी मूल्यों पर एकीकृत होता है $k$ और $k$, लोरेंत्ज़-इनवेरिएंट डेल्टा फ़ंक्शन के साथ हाइपरबोला तक सीमित:


 * $$ \int \delta(E^2-k^2 - m^2) | E,k\rangle\langle E,k |  \, dE\, dk = \int {dk \over 2 E} |  कश्मीर\रंगले\लैंग के |  \,.$$

तो सामान्यीकृत $E$-राज्य सापेक्षिक रूप से सामान्यीकृत से भिन्न हैं $k$-राज्यों के एक कारक द्वारा$$\sqrt{E} = \left(k^2-m^2\right)^\frac14\,.$$

अपरिवर्तनीय आयाम $k$ तब सापेक्षिक रूप से सामान्यीकृत आने वाले राज्यों के लिए सापेक्ष रूप से सामान्यीकृत आउटगोइंग राज्य बनने की संभावना आयाम है।

के गैर-सापेक्ष मूल्यों के लिए $M$, सापेक्षतावादी सामान्यीकरण गैर-सापेक्ष सामान्यीकरण के समान है (एक स्थिर कारक तक $√m$). इस सीमा में, $φ^{4}$ अपरिवर्तनीय प्रकीर्णन आयाम अभी भी स्थिर है। क्षेत्र द्वारा बनाए गए कण $k$ समान आयाम के साथ सभी दिशाओं में बिखराव।

गैर-सापेक्ष क्षमता, जो सभी दिशाओं में एक समान आयाम ( में जन्मे सन्निकटन  में) के साथ बिखरती है, वह है जिसका फूरियर रूपांतरण स्थिर है - एक डेल्टा-फ़ंक्शन क्षमता। सिद्धांत के निम्नतम क्रम के बिखरने से इस सिद्धांत की गैर-सापेक्ष व्याख्या का पता चलता है - यह एक डेल्टा-फ़ंक्शन प्रतिकर्षण के साथ कणों के संग्रह का वर्णन करता है। ऐसे दो कणों को एक ही समय में एक ही बिंदु पर कब्जा करने का विरोध होता है।

गैर-परेशान प्रभाव
फेनमैन आरेखों को एक गड़बड़ी के रूप में सोचकर   श्रृंखला, टनलिंग जैसे गैर-प्रभावकारी प्रभाव दिखाई नहीं देते हैं, क्योंकि कोई भी प्रभाव जो किसी भी बहुपद की तुलना में तेजी से शून्य हो जाता है, टेलर श्रृंखला को प्रभावित नहीं करता है। यहां तक ​​​​कि बाध्य राज्य भी अनुपस्थित हैं, क्योंकि किसी भी सीमित क्रम में कणों का केवल एक सीमित संख्या में आदान-प्रदान होता है, और एक बाध्य राज्य बनाने के लिए, बाध्यकारी बल हमेशा के लिए रहना चाहिए।

लेकिन यह दृष्टिकोण भ्रामक है, क्योंकि आरेख न केवल बिखरने का वर्णन करते हैं, बल्कि वे कम दूरी के क्षेत्र सिद्धांत सहसंबंधों का भी प्रतिनिधित्व करते हैं। वे न केवल कण बिखरने जैसी स्पर्शोन्मुख प्रक्रियाओं को सांकेतिक शब्दों में बदलना करते हैं, वे क्षेत्रों के लिए गुणन नियमों का भी वर्णन करते हैं,  ऑपरेटर उत्पाद विस्तार । नॉनपरटर्बेटिव टनलिंग प्रक्रियाओं में फ़ील्ड कॉन्फ़िगरेशन शामिल होते हैं जो औसतन बड़े हो जाते हैं जब   युग्मन स्थिरांक  छोटा हो जाता है, लेकिन प्रत्येक कॉन्फ़िगरेशन    सुसंगत  कणों का सुपरपोजिशन होता है जिनकी स्थानीय बातचीत फेनमैन आरेखों द्वारा वर्णित की जाती है। जब युग्मन छोटा होता है, तो ये सामूहिक प्रक्रियाएं बन जाती हैं जिनमें बड़ी संख्या में कण शामिल होते हैं, लेकिन जहां प्रत्येक कण के बीच की बातचीत सरल होती है। (किसी भी अंतःक्रियात्मक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत की गड़बड़ी श्रृंखला में अभिसरण ]] का शून्य  [[ त्रिज्या है, जो इस तरह के क्षेत्र विन्यास का वर्णन करने के लिए आवश्यक आरेखों की अनंत श्रृंखला (लुप्तप्राय युग्मन की सीमा में) की सीमा को जटिल बनाता है।)

इसका मतलब यह है कि आरेखों के अनंत वर्गों के पुनर्मूल्यांकन में गैर-विघटनकारी प्रभाव स्पर्शोन्मुख रूप से दिखाई देते हैं, और ये आरेख स्थानीय रूप से सरल हो सकते हैं। रेखांकन गति के स्थानीय समीकरणों को निर्धारित करते हैं, जबकि अनुमत बड़े पैमाने पर विन्यास गैर-परेशान भौतिकी का वर्णन करते हैं। लेकिन क्योंकि फेनमैन प्रचारक समय में गैर-स्थानीय हैं, एक क्षेत्र प्रक्रिया को एक सुसंगत कण भाषा में अनुवाद करना पूरी तरह से सहज नहीं है, और केवल कुछ विशेष मामलों में ही स्पष्ट रूप से काम किया गया है। गैर-सापेक्षवादी  बाध्य अवस्था  एस के मामले में,   बेथे-साल्पीटर समीकरण  एक सापेक्षतावादी परमाणु का वर्णन करने के लिए आरेखों के वर्ग का वर्णन करता है।   क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स  के लिए, शिफमैन-वेनशेटिन-ज़खारोव योग नियम कण भाषा में गैर-परेशान रूप से उत्तेजित लंबी-तरंग दैर्ध्य क्षेत्र मोड का वर्णन करते हैं, लेकिन केवल एक घटनात्मक तरीके से।

गड़बड़ी सिद्धांत के उच्च क्रम पर फेनमैन आरेखों की संख्या बहुत बड़ी है, क्योंकि कई आरेख हैं क्योंकि दिए गए नोड्स के साथ ग्राफ़ हैं। गैर-परेशान प्रभाव उस रास्ते पर एक हस्ताक्षर छोड़ते हैं जिसमें उच्च क्रम पर आरेखों और पुनर्मूल्यांकन की संख्या अलग हो जाती है। यह केवल इसलिए है क्योंकि आरेखों में छिपे हुए रूप में गैर-परेशान प्रभाव दिखाई देते हैं कि स्ट्रिंग सिद्धांत में गैर-परेशान प्रभावों का विश्लेषण करना संभव था, जहां कई मामलों में फेनमैन विवरण केवल एक ही उपलब्ध है।

लोकप्रिय संस्कृति में

 * क्वार्क - एंटीक्वार्क  जोड़ी का निर्माण करने वाले आभासी कण के उपरोक्त आरेख का उपयोग टेलीविजन सिट-कॉम '  द बिग बैंग थ्योरी ’ में, द बैट जार अनुमान में दिखाया गया था।
 *  पीएचडी कॉमिक्स   11 जनवरी 2012, फेनमैन आरेख दिखाता है कि क्वांटम अकादमिक इंटरैक्शन की कल्पना और वर्णन करें, यानी पीएच.डी. छात्र अपने सलाहकारों के साथ बातचीत करते समय
 *  वैक्यूम डायग्राम      द्वारा एक विज्ञान कथा कहानी स्टीफन बैक्सटर  में टाइटैनिक वैक्यूम आरेख, एक विशिष्ट प्रकार का फेनमैन आरेख है।

स्रोत

 * ('टी हूफ्ट एंड वेल्टमैन' का विस्तारित, अद्यतन संस्करण, 1973, ऊपर उद्धृत)
 * ('टी हूफ्ट एंड वेल्टमैन' का विस्तारित, अद्यतन संस्करण, 1973, ऊपर उद्धृत)
 * ('टी हूफ्ट एंड वेल्टमैन' का विस्तारित, अद्यतन संस्करण, 1973, ऊपर उद्धृत)