समुच्चय की श्रेणी

श्रेणी सिद्धांत के गणित क्षेत्र में, समुच्चय के रूप में निरूपित समुच्चय की श्रेणी,वह श्रेणी (गणित) है जिसका श्रेणी सिद्धांत समुच्चय (गणित) है। समुच्चय A और B  के बीच के तीर या आकारिकी A से B तक के कुल कार्य हैं, और आकारिकी की संरचना कार्यों की संरचना है।

कई अन्य श्रेणियां (जैसे समूहों की श्रेणी, तीर के रूप में समूह समरूपता के साथ) समुच्चय की श्रेणी की वस्तुओं में संरचना जोड़ती हैं और/या तीरों को किसी विशेष प्रकार के कार्यों तक सीमित करती हैं।

समुच्चय की श्रेणी के गुण
किसी श्रेणी के अभिगृहीत समुच्चय से संतुष्ट होते हैं क्योंकि फलनों का संयोजन साहचर्य होता है, और क्योंकि प्रत्येक समुच्चय X का एक पहचान फलन होता है idX : X → X जो फलन संघटन के लिए पहचान तत्व के रूप में कार्य करता है।

'समुच्चय' में अधिरूपता विशेषण मानचित्र हैं, एकरूपता इंजेक्शन मानचित्र हैं, और समरूपता (श्रेणी सिद्धांत) विशेषण मानचित्र हैं।

खाली समुच्चय 'समुच्चय' में प्रारंभिक वस्तु के रूप में कार्य करता है जिसमें खाली कार्य आकारिकी के रूप में होते हैं। प्रत्येक सिंगलटन (गणित) एक अंतिम वस्तु है, जिसमें स्रोत समुच्चय के सभी तत्वों को मैपिंग के रूप में एकल लक्ष्य तत्व के रूप में कार्य करता है। इस प्रकार 'समुच्चय' में कोई शून्य वस्तु नहीं है।

श्रेणी समुच्चय पूर्ण और सह-पूर्ण है। इस श्रेणी में उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) के कार्तीय उत्पाद द्वारा दिया जाता है। सह-उत्पाद असम्बद्ध संघ द्वारा दिया जाता है: दिए गए समुच्चय Ai जहां i  कुछ सूचकांक समुच्चय I पर होता है, हम Ai×{i} के संघ के रूप में सह-उत्पाद का निर्माण करते हैं (कार्तीय उत्पाद i के साथ यह सुनिश्चित करने के लिए कार्य करता है कि सभी घटक अलग रहें) ।

'समुच्चय' एक ठोस श्रेणी का प्रोटोटाइप है; अन्य श्रेणियां ठोस हैं यदि वे किसी सुपरिभाषित विधि से 'समुच्चय' पर निर्मित हों।

प्रत्येक दो-तत्व समुच्चय 'समुच्चय' में सबऑब्जेक्ट वर्गसूचक के रूप में कार्य करता है। एक समुच्चय A का पावर ऑब्जेक्ट अपने सत्ता स्थापित द्वारा दिया जाता है, और समुच्चय ए और बी की घातीय वस्तु ए से बी के सभी कार्यों के समुच्चय द्वारा दी जाती है। 'समुच्चय' इस प्रकार एक टॉपोस है (और विशेष रूप से कार्तीय बंद श्रेणी और सटीक बर्र के अर्थ में)।

'समुच्चय' विनिमेय श्रेणी, योज्य श्रेणी और न ही पूर्ववर्ती श्रेणी है।

प्रत्येक गैर-खाली समुच्चय 'समुच्चय' में एक अंतःक्षेपक वस्तु है। प्रत्येक समुच्चय 'समुच्चय' में एक प्रक्षेपी मॉड्यूल है (पसंद के स्वयंसिद्ध को मानते हुए)।

'समुच्चय' में सुगम्य श्रेणी परिमित समुच्चय हैं। चूँकि प्रत्येक समुच्चय अपने परिमित उपसमुच्चयों की एक सीधी सीमा है, श्रेणी 'समुच्चय' एक सुलभ श्रेणी है।

यदि C एक स्वेच्छ श्रेणी है, तो C से 'समुच्चय' तक का प्रतिपरिवर्ती फलनकार अधिकांश अध्ययन का एक महत्वपूर्ण उद्देश्य होता है। यदि A, C का एक वस्तु है, तो C से 'समुच्चय' तक गुणन जो X को HomC(X,A) भेजता है (X से A तक C में आकारिकी का समुच्चय) इस तरह का गुणन का उदाहरण है। यदि C एक छोटी श्रेणी है (अर्थात इसकी वस्तुओं का संग्रह एक समुच्चय बनाता है), तो C से समुच्चय तक के विपरीत कारक, प्राकृतिक परिवर्तनों के साथ-साथ आकारिता के रूप में, एक नई श्रेणी बनाते हैं, एक गुणन श्रेणी जिसे C पर पूर्व समूह की श्रेणी के रूप में जाना जाता है

समुच्चय की श्रेणी के लिए नींव
ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत में सभी समुच्चयों का संग्रह समुच्चय नहीं है; यह नींव के स्वयंसिद्ध से आता है। एक उन संग्रहों को संदर्भित करता है जो उचित वर्गों के रूप में समुच्चय नहीं होते हैं। कोई उचित कक्षाओं को संभाल नहीं सकता क्योंकि एक समुच्चय को संभालता है; विशेष रूप से, कोई यह नहीं लिख सकता है कि वे उचित वर्ग संग्रह (या तो एक समुच्चय या उचित वर्ग) से संबंधित हैं। यह एक समस्या है क्योंकि इसका अर्थ है कि इस समुच्चयिंग में समुच्चय की श्रेणी को सीधे विधि द्वारा औपचारिक रूप नहीं दिया जा सकता है। समुच्चय जैसी श्रेणियां जिनके ऑब्जेक्ट का संग्रह एक उचित वर्ग बनाता है उन्हें बड़ी श्रेणी के रूप में जाना जाता है, उन्हें उन छोटी श्रेणियों से अलग करने के लिए जिनकी वस्तुएं एक समुच्चय बनाती हैं।

समस्या को हल करने का एक तरीका ऐसी प्रणाली में काम करना है जो उचित वर्गों को औपचारिक स्थिति देता है, जैसे कि एनबीजी समुच्चय सिद्धांत इस समुच्चयिंग में, समुच्चयों से बनी श्रेणियों को 'छोटा' कहा जाता है और वे (जैसे समुच्चय) जो उचित वर्गों से बनते हैं, उन्हें 'बड़ा' कहा जाता है।

एक अन्य समाधान ग्रोथेंडिक ब्रह्मांडों के अस्तित्व को मान लेना है। लगभग परिणाम, एक ग्रोथेंडिक ब्रह्मांड एक समुच्चय है जो स्वयं ZF(C) का एक मॉडल है (उदाहरण के लिए यदि कोई समुच्चय ब्रह्मांड से संबंधित है, तो इसके तत्व और इसकी शक्तियां ब्रह्मांड से संबंधित होंगी)। ग्रोथेंडिक ब्रह्मांडों का अस्तित्व (खाली समुच्चय और समुच्चय के अलावा $$V_\omega$$ सभी आनुवंशिक रूप से परिमित समुच्चयों में) सामान्य ZF स्वयंसिद्धों द्वारा निहित नहीं है; यह एक अतिरिक्त, स्वतंत्र स्वयंसिद्ध है, लगभगर दुर्गम कार्डिनल्स के अस्तित्व के बराबर है। इस अतिरिक्त स्वयंसिद्ध को मानते हुए, समुच्चय की वस्तुओं को किसी विशेष ब्रह्मांड के तत्वों तक सीमित कर सकते हैं। (मॉडल के अन्दर सभी समुच्चयों का कोई समुच्चय नहीं है, लेकिन कोई भी सभी आंतरिक समुच्चयों के वर्ग 'U' के बारे में तर्क कर सकता है, अर्थात् 'U ' के तत्व।)

इस योजना की एक भिन्नता में, समुच्चय का वर्ग ग्रोथेंडिक ब्रह्मांडों के पूरे टॉवर का मिलन है। (यह आवश्यक रूप से एक उचित वर्ग है, लेकिन प्रत्येक ग्रोथेंडिक ब्रह्मांड एक समुच्चय है क्योंकि यह कुछ बड़े ग्रोथेंडिक ब्रह्मांड का एक तत्व है।) चूंकि, सभी समुच्चयों की श्रेणी के साथ सीधे काम नहीं करता है। इसके अतिरिक्त, श्रेणी समुच्चय के संदर्भ में प्रमेय व्यक्त किए जाते हैंU जिनकी वस्तुएं पर्याप्त रूप से बड़े ग्रोथेंडिक ब्रह्मांड U के तत्व हैं, और फिर उन्हें U की विशेष पसंद पर निर्भर नहीं दिखाया जाता है। श्रेणी सिद्धांत के आधार के रूप में, यह दृष्टिकोण टार्स्की-ग्रोथेंडिक समुच्चय सिद्धांत जैसी प्रणाली से बहुत समान है जिसमें कोई उचित कक्षाओं के बारे में सीधे तर्क नहीं कर सकता; इसकी प्रमुख हानि यह है कि एक प्रमेय सभी 'समुच्चयU' के लिए सत्य हो सकता है लेकिन समुच्चय के लिये सत्य नहीं हो सकती है।

कई अन्य समाधान, और उपरोक्त पर विविधताएं प्रस्तावित की गई हैं।

अन्य ठोस श्रेणियों के साथ भी यही समस्याएँ उत्पन्न होती हैं, जैसे समूहों की श्रेणी या टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी।

यह भी देखें

 * टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी
 * समुच्चय सिद्धान्त
 * छोटा समुच्चय (श्रेणी सिद्धांत)

संदर्भ

 * Lawvere, F.W. An elementary theory of the category of sets (long version) with commentary
 * Lawvere, F.W. An elementary theory of the category of sets (long version) with commentary
 * Lawvere, F.W. An elementary theory of the category of sets (long version) with commentary

बाहरी संबंध

 * A231344   Number of morphisms in full subcategories of Set spanned by {{}, {1}, {1, 2}, ..., {1, 2, ..., n}} at OEIS.