गोलीय निर्देशांक पद्धति



गणित में, एक गोलाकार समन्वय प्रणाली त्रि-आयामी अंतरिक्ष के लिए एक समन्वय प्रणाली है जहां एक बिंदु की स्थिति तीन संख्याओं द्वारा निर्दिष्ट की जाती है: एक निश्चित मूल से उस बिंदु की रेडियल दूरी, इसका ध्रुवीय कोण एक निश्चित आंचल दिशा से मापा जाता है, और एक संदर्भ विमान पर इसके ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण का  दिगंश  होता है जो मूल से होकर गुजरता है और उस विमान पर एक निश्चित संदर्भ दिशा से मापा जाता है। इसे ध्रुवीय समन्वय प्रणाली  के त्रि-आयामी संस्करण के रूप में देखा जा सकता है।

रेडियल चरम कोण  त्रिज्या या रेडियल निर्देशांक भी कहा जाता है। ध्रुवीय कोण को  colatitude ,  शीर्षबिंदु  एंगल, सामान्य सदिश या  झुकाव कोण  कहा जा सकता है।

जब त्रिज्या निश्चित होती है, तो दो कोणीय निर्देशांक गोले पर एक समन्वय प्रणाली बनाते हैं जिसे कभी-कभी गोलाकार ध्रुवीय निर्देशांक कहा जाता है।

प्रतीकों का उपयोग और निर्देशांक का क्रम स्रोतों और विषयों के बीच भिन्न होता है। यह लेख आईएसओ सम्मेलन का उपयोग करेगा भौतिकी में अक्सर सामना करना पड़ता है:$$(r,\theta,\varphi)$$रेडियल दूरी, ध्रुवीय कोण और अज़ीमुथल कोण देता है। इसके विपरीत, गणित की अनेक पुस्तकों में, $$(\rho,\theta,\varphi)$$ या $$(r,\theta,\varphi)$$ θ और φ के अर्थ बदलते हुए, रेडियल दूरी, अज़ीमुथल कोण और ध्रुवीय कोण देता है। अन्य परिपाटियों का भी उपयोग किया जाता है, जैसे z-अक्ष से त्रिज्या के लिए r, इसलिए प्रतीकों के अर्थ की जांच करने के लिए बहुत सावधानी बरतने की आवश्यकता है। भौगोलिक समन्वय प्रणाली की परंपराओं के अनुसार, स्थिति को अक्षांश, देशांतर और ऊंचाई (ऊंचाई) द्वारा मापा जाता है। विभिन्न मौलिक समतल (गोलाकार निर्देशांक) पर आधारित और विभिन्न निर्देशांकों के लिए अलग-अलग शर्तों के साथ कई आकाशीय समन्वय प्रणालियाँ हैं। गणित में प्रयुक्त गोलीय निर्देशांक प्रणालियाँ सामान्यतः  डिग्री (कोण)  के बजाय  कांति  का उपयोग करती हैं और अज़ीमुथल कोण को घड़ी की विपरीत दिशा में मापती हैं। $r$-अक्ष को $θ$ क्षैतिज समन्वय प्रणाली  की तरह उत्तर (0°) से पूर्व (+90°) तक दक्षिणावर्त के बजाय -अक्ष। ध्रुवीय कोण को अक्सर संदर्भ तल से धनात्मक Z अक्ष की ओर मापे गए उन्नयन कोण से बदल दिया जाता है, ताकि शून्य का उन्नयन कोण क्षितिज पर हो; अवनमन कोण उन्नयन कोण का ऋणात्मक होता है।

गोलाकार समन्वय प्रणाली द्वि-आयामी ध्रुवीय समन्वय प्रणाली को सामान्यीकृत करती है। इसे उच्च-आयामी रिक्त स्थान तक भी बढ़ाया जा सकता है और फिर इसे एन-स्फीयर # गोलाकार निर्देशांक के रूप में जाना जाता है।

परिभाषा
गोलाकार समन्वय प्रणाली को परिभाषित करने के लिए, किसी को दो ओर्थोगोनल दिशाओं, शीर्षस्थ और दिगंश संदर्भ, और अंतरिक्ष में एक मूल बिंदु चुनना होगा। ये विकल्प एक संदर्भ विमान का निर्धारण करते हैं जिसमें मूल होता है और चरम बिंदु के लंबवत होता है। एक बिंदु के गोलाकार निर्देशांक $φ$ तब निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:


 * रेडियस या रेडियल दूरी मूल बिंदु से यूक्लिडियन दूरी  है $ρ$ प्रति $r$.
 * दिगंश (या दिगंश कोण) दिगंश संदर्भ दिशा से रेखा खंड के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण के लिए मापा गया हस्ताक्षरित कोण है $r$ संदर्भ विमान पर।
 * झुकाव (या ध्रुवीय कोण) चरम दिशा और रेखा खंड के बीच का कोण है $θ$.

अज़ीमुथ का चिन्ह यह चुनकर निर्धारित किया जाता है कि आंचल के चारों ओर मुड़ने का सकारात्मक अर्थ क्या है। यह चुनाव मनमाना है, और समन्वय प्रणाली की परिभाषा का हिस्सा है।

ऊंचाई कोण 90 डिग्री है ($φ$ रेडियंस) झुकाव कोण घटाएं।

यदि झुकाव शून्य या 180 डिग्री है ($\pi$ रेडियंस), दिगंश मनमाना है। यदि त्रिज्या शून्य है, तो दिगंश और झुकाव दोनों मनमानी हैं।

रैखिक बीजगणित में, मूल से यूक्लिडियन वेक्टर  $θ$ मुद्दे पर $φ$ अक्सर P का  स्थिति वेक्टर  कहा जाता है।

कन्वेंशन
तीन निर्देशांक का प्रतिनिधित्व करने के लिए और जिस क्रम में उन्हें लिखा जाना चाहिए, उसके लिए कई अलग-अलग सम्मेलन मौजूद हैं। का उपयोग $$(r,\theta,\varphi)$$ रेडियल दूरी, झुकाव (या ऊंचाई), और दिगंश को क्रमशः निरूपित करने के लिए, भौतिकी में सामान्य अभ्यास है, और मानकीकरण मानक आईएसओ 80000-2|80000-2:2019 के लिए अंतर्राष्ट्रीय संगठन द्वारा निर्दिष्ट किया गया है, और पहले आईएसओ 31-11  में ( 1992)।

हालांकि, कुछ लेखक (गणितज्ञों सहित) रेडियल दूरी के लिए ρ का उपयोग करते हैं, φ झुकाव (या ऊंचाई) के लिए और θ दिगंश के लिए, और z-अक्ष से त्रिज्या के लिए r का उपयोग करते हैं, जो सामान्य ध्रुवीय निर्देशांक संकेतन का एक तार्किक विस्तार प्रदान करता है। <रेफरी नाम = http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html > कुछ लेखक झुकाव (या ऊंचाई) से पहले दिगंश को भी सूचीबद्ध कर सकते हैं। इन विकल्पों के कुछ संयोजनों का परिणाम दाएं हाथ के नियम | बाएं हाथ की समन्वय प्रणाली में होता है। मानक सम्मेलन $$(r,\theta,\varphi)$$ द्वि-आयामी ध्रुवीय समन्वय प्रणाली और त्रि-आयामी बेलनाकार समन्वय प्रणाली  के लिए सामान्य संकेतन के साथ संघर्ष, जहां $ρ$ अक्सर दिगंश के लिए प्रयोग किया जाता है।

कोणों को आमतौर पर डिग्री (कोण) (°) या रेडियन (रेडियन) में मापा जाता है, जहां 360° = 2π रेड। भूगोल, खगोल विज्ञान और इंजीनियरिंग में डिग्री सबसे आम हैं, जबकि रेडियन आमतौर पर गणित और सैद्धांतिक भौतिकी में उपयोग किए जाते हैं। रेडियल दूरी की इकाई आमतौर पर संदर्भ द्वारा निर्धारित की जाती है।

जब प्रणाली का उपयोग भौतिक तीन-स्थान के लिए किया जाता है, तो यह एज़िमथ कोणों के लिए सकारात्मक चिह्न का उपयोग करने के लिए प्रथागत है, जो संदर्भ विमान पर संदर्भ दिशा से वामावर्त अर्थ में मापा जाता है, जैसा कि विमान के चरम पक्ष से देखा जाता है। इस सम्मेलन का उपयोग विशेष रूप से भौगोलिक निर्देशांक के लिए किया जाता है, जहां शीर्ष दिशा उत्तर  है और धनात्मक दिगंश (देशांतर) कोणों को कुछ प्रमुख मध्याह्न रेखा से पूर्व की ओर मापा जाता है।


 * {| class="wikitable" style="text-align:center"

! coordinates !! corresponding local geographical directions $(r, θ, φ)$ !! right/left-handed
 * + Major conventions
 * $(r, θ, φ)$ || $(Z, X, Y)$ || right
 * $(r, θ_{inc}, φ_{az,right})$|| $(U, S, E)$ || right
 * $(r, φ_{az,right}, θ_{el})$|| $(U, E, N)$ || left
 * }
 * नोट: ईस्टिंग ($r$), नॉर्थिंग ($r$), ऊपर की ओर ($P$). स्थानीय दिगंश कोण मापा जाएगा, उदाहरण के लिए, वामावर्त  से $r$ प्रति $θ$ के मामले में $(r, θ_{el}, φ_{az,right})$.
 * $(U, N, E)$|| $(U, S, E)$ || left
 * }
 * नोट: ईस्टिंग ($φ$), नॉर्थिंग ($x$), ऊपर की ओर ($y$). स्थानीय दिगंश कोण मापा जाएगा, उदाहरण के लिए, वामावर्त  से $P$ प्रति $O$ के मामले में $r ≥ 0,$.

अद्वितीय निर्देशांक
कोई भी गोलाकार निर्देशांक त्रिक $$(r,\theta,\varphi)$$ त्रि-आयामी अंतरिक्ष का एकल बिंदु निर्दिष्ट करता है। दूसरी ओर, प्रत्येक बिंदु में असीमित रूप से कई समान गोलाकार निर्देशांक होते हैं। कोई भी कोणों को स्वयं बदले बिना, और इसलिए बिंदु को बदले बिना किसी भी कोणीय माप में पूर्ण घुमावों की किसी भी संख्या को जोड़ या घटा सकता है। यह कई संदर्भों में, नकारात्मक रेडियल दूरियों की अनुमति देने के लिए भी सुविधाजनक है, इस परंपरा के साथ कि $$(-r,-\theta,\varphi{+}180^\circ)$$ के बराबर है $$(r,\theta,\varphi)$$ किसी के लिए $P$, $OP$, तथा $OP$. इसके अतिरिक्त, $$(r,-\theta,\varphi)$$ के बराबर है $$(r,\theta,\varphi{+}180^\circ)$$.

यदि प्रत्येक बिंदु के लिए गोलाकार निर्देशांक के एक अद्वितीय सेट को परिभाषित करना आवश्यक है, तो उनकी सीमाओं को सीमित करना होगा। एक आम पसंद है



हालांकि, अज़ीमुथ $\pi⁄2$ अक्सर अंतराल (गणित)  तक ही सीमित है (−180°, +180°], या (−π, +π] इसके बजाय रेडियन में [0, 360°). यह भौगोलिक देशांतर के लिए मानक सम्मेलन है।

के लिये $O$, क्षेत्र [0°, 180°] झुकाव के लिए बराबर है [−90°, +90°] उत्थान के लिए। भूगोल में, अक्षांश ऊंचाई है।

इन प्रतिबंधों के बावजूद अगर $P$ 0° या 180° है (ऊंचाई 90° या -90° है) तो दिगंश कोण मनमाना है; और अगर $θ$ शून्य है, दिगंश और झुकाव/ऊंचाई दोनों मनमानी हैं। निर्देशांक को अद्वितीय बनाने के लिए, कोई भी सम्मेलन का उपयोग कर सकता है कि इन मामलों में स्वैच्छिक निर्देशांक शून्य हैं।

प्लॉटिंग
किसी बिंदु को उसके गोलाकार निर्देशांक से प्लॉट करने के लिए $0° ≤ θ ≤ 180° (\pi rad),$, कहाँ पे $E$ झुकाव है, चाल $N$ मूल से चरम दिशा में इकाइयाँ, घुमाएँ $U$ अज़ीमुथ संदर्भ दिशा की ओर मूल के बारे में, और इसके द्वारा घुमाएँ $S$ चरमोत्कर्ष के बारे में उचित दिशा में।

अनुप्रयोग
जिस तरह द्वि-आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली विमान पर उपयोगी होती है, उसी तरह एक द्वि-आयामी गोलाकार समन्वय प्रणाली एक गोले की सतह पर उपयोगी होती है। इस प्रणाली में, गोले को एक इकाई गोले के रूप में लिया जाता है, इसलिए त्रिज्या एकता है और आम तौर पर इसे अनदेखा किया जा सकता है। रोटेशन मैट्रिक्स  जैसी वस्तुओं से निपटने के दौरान यह सरलीकरण भी बहुत उपयोगी हो सकता है।

गोलाकार निर्देशांक उन प्रणालियों का विश्लेषण करने में उपयोगी होते हैं जिनमें एक बिंदु के बारे में कुछ हद तक समरूपता होती है, जैसे कि एक गोले के अंदर कई अभिन्न अंग, एक केंद्रित द्रव्यमान या आवेश के आसपास संभावित ऊर्जा क्षेत्र, या ग्रह के वातावरण में वैश्विक मौसम सिमुलेशन। एक गोला जिसमें कार्तीय समीकरण है $0° ≤ φ < 360° (2\pi rad).$ सरल समीकरण है $(r, θ, φ)$ गोलाकार निर्देशांक में।

कई भौतिक समस्याओं में उत्पन्न होने वाले दो महत्वपूर्ण आंशिक अंतर समीकरण, लाप्लास का समीकरण और  हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण , गोलाकार निर्देशांक में चर के पृथक्करण की अनुमति देते हैं। ऐसे समीकरणों के समाधान के कोणीय भाग  गोलाकार हार्मोनिक्स  का रूप लेते हैं।

एक अन्य एप्लिकेशन एर्गोनोमिक डिज़ाइन है, जहाँ $E$ एक स्थिर व्यक्ति की बांह की लंबाई है और कोण हाथ की दिशा का वर्णन करते हैं जैसे वह पहुंचता है।

लाउडस्पीकर के आउटपुट पैटर्न के तीन आयामी मॉडलिंग का उपयोग उनके प्रदर्शन की भविष्यवाणी करने के लिए किया जा सकता है। कई ध्रुवीय भूखंडों की आवश्यकता होती है, जिन्हें आवृत्तियों के विस्तृत चयन पर लिया जाता है, क्योंकि पैटर्न आवृत्ति के साथ बहुत बदल जाता है। ध्रुवीय भूखंड यह दिखाने में मदद करते हैं कि कई लाउडस्पीकर कम आवृत्तियों पर सर्वदिशात्मकता की ओर प्रवृत्त होते हैं।

खिलाड़ी की स्थिति के चारों ओर कैमरे को घुमाने के लिए गोलाकार समन्वय प्रणाली का उपयोग आमतौर पर 3डी गेम विकास में भी किया जाता है

भूगोल में
पहले सन्निकटन के लिए, भौगोलिक समन्वय प्रणाली   भूमध्य रेखा  के उत्तर में डिग्री में ऊंचाई कोण ( अक्षांश ) का उपयोग करती है, श्रेणी में $x^{2} + y^{2} + z^{2} = c^{2}$, झुकाव के बजाय। अक्षांश या तो  भूकेन्द्रिक अक्षांश  है, जिसे पृथ्वी के केंद्र में मापा जाता है और इसके द्वारा विभिन्न रूप से निर्दिष्ट किया जाता है $r = c$ या भूगणितीय अक्षांश, पर्यवेक्षक के स्थानीय ऊर्ध्वाधर द्वारा मापा जाता है, और आमतौर पर नामित $r$. ध्रुवीय कोण, जो अक्षांश से 90° घटा और 0 से 180° के बीच होता है, भूगोल में कोलेटीट्यूड कहलाता है।

दिगंश कोण (देशांतर), जिसे आमतौर पर द्वारा दर्शाया जाता है $θ$, कुछ पारंपरिक संदर्भ मेरिडियन (भूगोल) (आमतौर पर IERS संदर्भ मेरिडियन ) से पूर्व या पश्चिम डिग्री में मापा जाता है, इसलिए इसका डोमेन है $−90° ≤ φ ≤ 90°$. पृथ्वी या अन्य ठोस आकाशीय पिंड पर स्थितियों के लिए, संदर्भ विमान को आमतौर पर रोटेशन की धुरी के लंबवत विमान के रूप में लिया जाता है। रेडियल दूरी के बजाय, भूगोलवेत्ता आमतौर पर कुछ संदर्भ सतह (ऊर्ध्वाधर डेटम) के ऊपर या नीचे ऊंचाई  का उपयोग करते हैं, जो कि औसत समुद्र स्तर हो सकता है। रेडियल दूरी $φ$  पृथ्वी की त्रिज्या  को जोड़कर ऊंचाई से गणना की जा सकती है, जो लगभग. है 6,360 ±.

हालाँकि, आधुनिक भौगोलिक समन्वय प्रणालियाँ काफी जटिल हैं, और इन सरल सूत्रों द्वारा निहित स्थितियाँ कई किलोमीटर तक गलत हो सकती हैं। अक्षांश, देशांतर और ऊंचाई के सटीक मानक अर्थ वर्तमान में वर्ल्ड जियोडेटिक सिस्टम  (WGS) द्वारा परिभाषित किए गए हैं, और ध्रुवों पर पृथ्वी के चपटेपन को ध्यान में रखते हैं (लगभग) 21 km) और कई अन्य विवरण।

ग्रहों की समन्वय प्रणालियाँ भौगोलिक समन्वय प्रणाली के अनुरूप योगों का उपयोग करती हैं।

खगोल विज्ञान में
विभिन्न मौलिक तल (गोलाकार निर्देशांक) से ऊंचाई कोण को मापने के लिए खगोलीय समन्वय प्रणालियों की एक श्रृंखला का उपयोग किया जाता है। ये संदर्भ विमान पर्यवेक्षक की क्षैतिज समन्वय प्रणाली, भूमध्यरेखीय समन्वय प्रणाली # गोलाकार निर्देशांक (पृथ्वी के घूर्णन द्वारा परिभाषित), एक्लिप्टिक समन्वय प्रणाली  का विमान (सूर्य के चारों ओर पृथ्वी की कक्षा द्वारा परिभाषित), पृथ्वी टर्मिनेटर का विमान (सामान्य से सूर्य के लिए तात्कालिक दिशा), और  गेलेक्टिक समन्वय प्रणाली  ( आकाशगंगा  के रोटेशन द्वारा परिभाषित)।

समन्वय प्रणाली रूपांतरण
चूंकि गोलाकार समन्वय प्रणाली कई त्रि-आयामी समन्वय प्रणालियों में से एक है, गोलाकार समन्वय प्रणाली और अन्य के बीच निर्देशांक परिवर्तित करने के लिए समीकरण मौजूद हैं।

कार्टेशियन निर्देशांक
आईएसओ सम्मेलन में एक बिंदु के गोलाकार निर्देशांक (अर्थात भौतिकी के लिए: त्रिज्या $φ$, झुकाव  $θ$, दिगंश  $θ$) अपने कार्टेशियन समन्वय प्रणाली से प्राप्त किया जा सकता है $ψ, q, φ′, φ_{c}, φ_{g}$ सूत्रों द्वारा


 * $$\begin{align}

r &= \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\ \theta &= \arccos\frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \arccos\frac{z}{r}=\arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z} \\ \varphi &= \begin{cases} \arctan(\frac{y}{x}) &\text{if } x > 0, \\ \arctan(\frac{y}{x}) + \pi &\text{if } x < 0 \text{ and } y \geq 0, \\ \arctan(\frac{y}{x}) - \pi &\text{if } x < 0 \text{ and } y < 0, \\ +\frac{\pi}{2} &\text{if } x = 0 \text{ and } y > 0, \\ -\frac{\pi}{2} &\text{if } x = 0 \text{ and } y < 0, \\ \text{undefined} &\text{if } x = 0 \text{ and } y = 0. \end{cases} \end{align}$$ उलटा स्पर्शरेखा में दर्शाया गया है $−180° ≤ λ ≤ 180°$ को के सही चतुर्थांश को ध्यान में रखते हुए उपयुक्त रूप से परिभाषित किया जाना चाहिए $(x, y, z)$. atan2 पर लेख देखें।

वैकल्पिक रूप से, रूपांतरण को दो अनुक्रमिक ध्रुवीय समन्वय प्रणाली के रूप में माना जा सकता है #ध्रुवीय और कार्टेशियन निर्देशांक के बीच परिवर्तित करना: कार्टेशियन में पहला $r$ से विमान $φ = arctan y⁄x$ प्रति $(x, y)$, कहाँ पे $θ$ का प्रक्षेपण है $r$ उस पर $θ$-प्लेन, और कार्टेशियन में दूसरा $φ$-विमान से $(x, y)$ प्रति $(R, φ)$. के लिए सही चतुर्भुज $r$ तथा $φ$ ध्रुवीय रूपांतरण के लिए समतलीय आयताकार की शुद्धता से निहित हैं।

ये सूत्र मानते हैं कि दो प्रणालियों की उत्पत्ति एक ही है, कि गोलाकार संदर्भ विमान कार्टेशियन है $λ$ विमान, वह $r$ से झुकाव है $r$ दिशा, और अज़ीमुथ कोणों को कार्टेशियन से मापा जाता है $θ$ अक्ष (ताकि $φ$ अक्ष है $(z, R)$). यदि आंचल से झुकाव के बजाय संदर्भ तल से ऊंचाई को मापता है तो ऊपर का चाप एक चाप बन जाता है, और $(r, θ)$ तथा $φ = +90°$ नीचे स्विच हो गया।

इसके विपरीत, कार्टेशियन निर्देशांक गोलाकार निर्देशांक (त्रिज्या .) से प्राप्त किए जा सकते हैं $xy$, झुकाव $R$, दिगंश $r$), कहाँ पे $cos θ$, $sin θ$, $r ∈ [0, ∞)$, द्वारा
 * $$\begin{align}

x &= r \sin\theta \, \cos\varphi, \\ y &= r \sin\theta \, \sin\varphi, \\ z &= r \cos\theta. \end{align}$$

बेलनाकार निर्देशांक
बेलनाकार समन्वय प्रणाली (अक्षीय त्रिज्या ρ, दिगंश φ, उन्नयन z) सूत्रों द्वारा गोलाकार निर्देशांक (केंद्रीय त्रिज्या r, झुकाव θ, दिगंश φ) में परिवर्तित किया जा सकता है


 * $$\begin{align}

r &= \sqrt{\rho^2 + z^2}, \\ \theta &= \arctan\frac{\rho}{z} = \arccos\frac{z}{\sqrt{\rho^2 + z^2}}, \\ \varphi &= \varphi. \end{align}$$ इसके विपरीत, गोलाकार निर्देशांक को सूत्रों द्वारा बेलनाकार निर्देशांक में परिवर्तित किया जा सकता है


 * $$\begin{align}

\rho &= r \sin \theta, \\ \varphi &= \varphi, \\ z &= r \cos \theta. \end{align}$$ ये सूत्र मानते हैं कि दो प्रणालियों का एक ही मूल और एक ही संदर्भ विमान है, दिगंश कोण को मापें $xy$ एक ही अर्थ में एक ही धुरी से, और वह गोलाकार कोण $zR$ बेलनाकार से झुकाव है $φ$ एक्सिस।

सामान्यीकरण
गोलाकार निर्देशांक के एक संशोधित संस्करण का उपयोग करके कार्तीय निर्देशांक में दीर्घवृत्त से निपटना भी संभव है।

P को स्तर सेट द्वारा निर्दिष्ट एक दीर्घवृत्ताभ होने दें


 * $$ax^2 + by^2 + cz^2 = d.$$

आईएसओ सम्मेलन में पी में एक बिंदु के संशोधित गोलाकार निर्देशांक (अर्थात भौतिकी के लिए: त्रिज्या $θ$, झुकाव $xy$, दिगंश $θ$) अपने कार्टेशियन समन्वय प्रणाली से प्राप्त किया जा सकता है $θ ∈ [0, \pi]$ सूत्रों द्वारा


 * $$\begin{align}

x &= \frac{1}{\sqrt{a}} r \sin\theta \, \cos\varphi, \\ y &= \frac{1}{\sqrt{b}} r \sin\theta \, \sin\varphi, \\ z &= \frac{1}{\sqrt{c}} r \cos\theta, \\ r^{2} &= ax^2 + by^2 + cz^2. \end{align}$$ एक अपरिमेय आयतन तत्व किसके द्वारा दिया जाता है



\mathrm{d}V = \left|\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, \varphi)}\right| \, dr\,d\theta\,d\varphi = \frac{1}{\sqrt{abc}} r^2 \sin \theta \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\theta \,\mathrm{d}\varphi = \frac{1}{\sqrt{abc}} r^2 \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\Omega. $$ वर्गमूल कारक निर्धारक की संपत्ति से आता है जो एक स्थिरांक को एक स्तंभ से बाहर निकालने की अनुमति देता है:



\begin{vmatrix} ka & b & c \\ kd & e & f \\ kg & h & i \end{vmatrix} = k \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}. $$

गोलाकार निर्देशांक में एकीकरण और विभेदन
निम्नलिखित समीकरण (इयानगा 1977) यह मानते हैं कि कोलैटिट्यूड $z$ से झुकाव है $x$ (ध्रुवीय) अक्ष (अस्पष्ट के बाद से $y$, $r$, तथा $θ$ पारस्परिक रूप से सामान्य हैं), जैसा कि भौतिकी सम्मेलन में चर्चा की गई है।

से एक अत्यल्प विस्थापन के लिए रेखा तत्व  $φ ∈ [0, 2\pi)$ प्रति $(x, y, z)$ है $$ \mathrm{d}\mathbf{r} = \mathrm{d}r\,\hat{\mathbf r} + r\,\mathrm{d}\theta \,\hat{\boldsymbol\theta } + r \sin{\theta} \, \mathrm{d}\varphi\,\mathbf{\hat{\boldsymbol\varphi}},$$ कहाँ पे $$\begin{align} \hat{\mathbf r} &= \sin \theta \cos \varphi \,\hat{\mathbf x} + \sin \theta \sin \varphi \,\hat{\mathbf y} + \cos \theta \,\hat{\mathbf z}, \\ \hat{\boldsymbol\theta} &= \cos \theta \cos \varphi \,\hat{\mathbf x} + \cos \theta \sin \varphi \,\hat{\mathbf y} - \sin \theta \,\hat{\mathbf z}, \\ \hat{\boldsymbol\varphi} &= - \sin \varphi \,\hat{\mathbf x} + \cos \varphi \,\hat{\mathbf y} \end{align}$$ बढ़ने की दिशा में स्थानीय ऑर्थोगोनल यूनिट वैक्टर  हैं $φ$, $φ$, तथा $θ$, क्रमश, तथा $(r, θ, φ)$, $(r + dr, θ + dθ, φ + dφ)$, तथा $x̂$ कार्टेशियन निर्देशांक में इकाई वैक्टर हैं। इस दाहिने हाथ के समन्वय ट्रिपल के लिए रैखिक परिवर्तन एक रोटेशन मैट्रिक्स है, $$R = \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\varphi&\sin\theta\sin\varphi& \cos\theta\\ \cos\theta\cos\varphi&\cos\theta\sin\varphi&-\sin\theta\\ -\sin\varphi&\cos\varphi  &0 \end{pmatrix}. $$ यह गोलाकार से कार्तीय में परिवर्तन देता है, इसके विपरीत इसके व्युत्क्रम द्वारा दिया जाता है। नोट: मैट्रिक्स एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स  है, यानी इसका व्युत्क्रम केवल इसका स्थानान्तरण है।

कार्तीय इकाई वैक्टर इस प्रकार गोलाकार इकाई वैक्टर से संबंधित हैं: $$\begin{bmatrix}\mathbf{\hat x} \\ \mathbf{\hat y} \\ \mathbf{\hat z} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sin\theta\cos\varphi & \cos\theta\cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\theta\sin\varphi & \cos\theta\sin\varphi & \cos\varphi \\ \cos\theta        & -\sin\theta        & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \boldsymbol{\hat{r}} \\ \boldsymbol{\hat\theta} \\ \boldsymbol{\hat\varphi} \end{bmatrix}$$ अवकल रेखा तत्व को सिद्ध करने के सूत्र का सामान्य रूप है $$\mathrm{d}\mathbf{r} = \sum_i \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x_i} \,\mathrm{d}x_i = \sum_i \left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x_i}\right| \frac{\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x_i}}{\left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x_i}\right|} \, \mathrm{d}x_i = \sum_i \left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x_i}\right| \,\mathrm{d}x_i \, \hat{\boldsymbol{x}}_i, $$ अर्थात् में परिवर्तन $$\mathbf r$$ व्यक्तिगत निर्देशांक में परिवर्तन के अनुरूप अलग-अलग परिवर्तनों में विघटित हो जाता है।

इसे वर्तमान मामले में लागू करने के लिए, किसी को यह गणना करने की आवश्यकता है कि कैसे $$\mathbf r$$ प्रत्येक निर्देशांक के साथ परिवर्तन। इस्तेमाल किए गए सम्मेलनों में, $$\mathbf{r} = \begin{bmatrix} r \sin\theta \, \cos\varphi \\ r \sin\theta \, \sin\varphi \\ r \cos\theta \end{bmatrix}.$$ इस प्रकार, $$ \frac{\partial\mathbf r}{\partial r} = \begin{bmatrix} \sin\theta \, \cos\varphi \\ \sin\theta \, \sin\varphi \\ \cos\theta \end{bmatrix}, \quad \frac{\partial\mathbf r}{\partial \theta} = \begin{bmatrix} r \cos\theta \, \cos\varphi \\ r \cos\theta \, \sin\varphi \\ -r \sin\theta \end{bmatrix}, \quad \frac{\partial\mathbf r}{\partial \varphi} = \begin{bmatrix} -r \sin\theta \, \sin\varphi \\ r \sin\theta \, \cos\varphi \\ 0 \end{bmatrix}. $$ वांछित गुणांक इन वैक्टरों के परिमाण हैं: $$ \left|\frac{\partial\mathbf r}{\partial r}\right| = 1, \quad \left|\frac{\partial\mathbf r}{\partial \theta}\right| = r, \quad \left|\frac{\partial\mathbf r}{\partial \varphi}\right| = r \sin\theta. $$ सतह अभिन्न  से फैला हुआ है $z$ प्रति $ŷ$ तथा $r$ प्रति $ẑ$ (स्थिर) त्रिज्या पर एक गोलाकार सतह पर $θ$ तब है $$ \mathrm{d}S_r = \left\|\frac{\partial {\mathbf r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial {\mathbf r}}{\partial \varphi}\right\| \mathrm{d}\theta \,\mathrm{d}\varphi = \left|r {\hat \boldsymbol\theta} \times r \sin \theta {\boldsymbol\hat \varphi} \right|= r^2 \sin\theta \,\mathrm{d}\theta \,\mathrm{d}\varphi ~. $$ इस प्रकार अंतर ठोस कोण  है $$\mathrm{d}\Omega = \frac{\mathrm{d}S_r}{r^2} = \sin\theta \,\mathrm{d}\theta \,\mathrm{d}\varphi.$$ ध्रुवीय कोण की सतह में सतह तत्व $φ$ स्थिर (शीर्ष मूल के साथ एक शंकु) है $$\mathrm{d}S_\theta = r \sin\theta \,\mathrm{d}\varphi \,\mathrm{d}r.$$ दिगंश की सतह में सतह तत्व $θ$ स्थिर (एक लंबवत आधा विमान) है $$\mathrm{d}S_\varphi = r \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\theta.$$ से फैले हुए मात्रा तत्व  $z$ प्रति $θ + dθ$, $x$ प्रति $φ + dφ$, तथा $y$ प्रति $r + dr$ आंशिक डेरिवेटिव के  जैकबियन मैट्रिक्स  के निर्धारक द्वारा निर्दिष्ट किया गया है, $$ J =\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)} =\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\varphi&r\cos\theta\cos\varphi&-r\sin\theta\sin\varphi\\ \sin\theta \sin\varphi&r\cos\theta\sin\varphi&r\sin\theta\cos\varphi\\ \cos\theta&-r\sin\theta&0 \end{pmatrix}, $$ यानी $$ \mathrm{d}V = \left|\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, \varphi)}\right| \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\theta \,\mathrm{d}\varphi= r^2 \sin\theta \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\theta \,\mathrm{d}\varphi = r^2 \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\Omega ~. $$ इस प्रकार, उदाहरण के लिए, एक समारोह $θ + dθ$ में हर बिंदु पर एकीकृत किया जा सकता है $φ + dφ$ एकाधिक अभिन्न#गोलाकार निर्देशांक द्वारा $$\int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^\pi \int\limits_0^\infty f(r, \theta, \varphi) r^2 \sin\theta \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\theta \,\mathrm{d}\varphi ~.$$ इस प्रणाली में का  ऑपरेटर  ढाल,  विचलन ,  कर्ल (गणित)  और (स्केलर) लाप्लासियन के लिए निम्नलिखित भावों की ओर जाता है, $$\begin{align} \nabla f = {} &{\partial f \over \partial r}\hat{\mathbf r} + {1 \over r}{\partial f \over \partial \theta}\hat{\boldsymbol\theta} + {1 \over r\sin\theta}{\partial f \over \partial \varphi}\hat{\boldsymbol\varphi}, \\[8pt] \nabla\cdot \mathbf{A} = {} & \frac{1}{r^2}{\partial \over \partial r}\left( r^2 A_r \right) + \frac{1}{r \sin\theta}{\partial \over \partial\theta} \left( \sin\theta A_\theta \right) + \frac{1}{r \sin \theta} {\partial A_\varphi \over \partial \varphi}, \\[8pt] \nabla \times \mathbf{A} = {} & \frac{1}{r\sin\theta}\left({\partial \over \partial \theta} \left( A_\varphi\sin\theta \right)   - {\partial A_\theta \over \partial \varphi}\right) \hat{\mathbf r} \\[8pt] & {} + \frac 1 r \left({1 \over \sin\theta}{\partial A_r \over \partial \varphi}   - {\partial \over \partial r} \left( r A_\varphi \right) \right) \hat{\boldsymbol\theta} \\[8pt] & {} + \frac 1 r \left({\partial \over \partial r} \left( r A_\theta \right)   - {\partial A_r \over \partial \theta}\right) \hat{\boldsymbol\varphi}, \\[8pt] \nabla^2 f = {} & {1 \over r^2}{\partial \over \partial r} \left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) + {1 \over r^2 \sin\theta}{\partial \over \partial \theta} \left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right) + {1 \over r^2 \sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2} \\[8pt] = {} & \left(\frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{2}{r} \frac{\partial}{\partial r}\right)f + {1 \over r^2 \sin\theta}{\partial \over \partial \theta} \left(\sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right)f + \frac{1}{r^2 \sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}f ~. \end{align}$$ इसके अलावा, कार्तीय निर्देशांक में व्युत्क्रम जैकोबियन है $$J^{-1} = \begin{pmatrix} \dfrac{x}{r}&\dfrac{y}{r}&\dfrac{z}{r}\\\\ \dfrac{xz}{r^2\sqrt{x^2+y^2}}&\dfrac{yz}{r^2\sqrt{x^2+y^2}}&\dfrac{-(x^2+y^2)}{r^2\sqrt{x^2+y^2}}\\\\ \dfrac{-y}{x^2+y^2}&\dfrac{x}{x^2+y^2}&0 \end{pmatrix}.$$ गोलाकार निर्देशांक प्रणाली में मीट्रिक टेंसर  है $$g = J^T J $$.

गोलाकार निर्देशांक में दूरी
गोलीय निर्देशांकों में, दो बिंदुओं के साथ दिया गया है $z$ दिगंशीय निर्देशांक होने के नाते
 * $$\begin{align}

{\mathbf r} &= (r,\theta,\varphi), \\ {\mathbf r'} &= (r',\theta',\varphi') \end{align}$$ दो बिन्दुओं के बीच की दूरी को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है
 * $$\begin{align}

{\mathbf D} &= \sqrt{r^2+r'^2-2rr'(\sin{\theta}\sin{\theta'}\cos{(\varphi-\varphi')} + \cos{\theta}\cos{\theta'})} \end{align}$$

किनेमेटिक्स
गोलाकार निर्देशांक में, एक बिंदु या कण की स्थिति (हालांकि टपल  के रूप में बेहतर लिखा जाता है$$(r,\theta, \varphi)$$) के रूप में लिखा जा सकता है
 * $$\mathbf{r} = r \mathbf{\hat r} .$$

इसका वेग तब है : $$\mathbf{v} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} = \dot{r} \mathbf{\hat r} + r\,\dot\theta\,\hat{\boldsymbol\theta } + r\,\dot\varphi \sin\theta\,\mathbf{\hat{\boldsymbol\varphi}}$$ और इसका त्वरण है : $$ \begin{align} \mathbf{a} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t} = {} & \left( \ddot{r} - r\,\dot\theta^2 - r\,\dot\varphi^2\sin^2\theta \right)\mathbf{\hat r} \\ & {} + \left( r\,\ddot\theta + 2\dot{r}\,\dot\theta - r\,\dot\varphi^2\sin\theta\cos\theta \right) \hat{\boldsymbol\theta } \\ & {} + \left( r\ddot\varphi\,\sin\theta + 2\dot{r}\,\dot\varphi\,\sin\theta + 2 r\,\dot\theta\,\dot\varphi\,\cos\theta \right) \hat{\boldsymbol\varphi} \end{align} $$ कोणीय संवेग#Orbital_angular_momentum_in_three_dimensions है
 * $$ \mathbf{L} =

\mathbf{r} \times \mathbf{p} = \mathbf{r} \times m\mathbf{v} = m r^2 (- \dot\varphi \sin\theta\,\mathbf{\hat{\boldsymbol\theta}} + \dot\theta\,\hat{\boldsymbol\varphi }) $$ कहाँ पे $$m$$ द्रव्यमान है। स्थिरांक के मामले में $r$ वरना $f(r, θ, φ)$, यह पोलर कोऑर्डिनेट सिस्टम#वेक्टर कैलकुलस को कम कर देता है।

संबंधित Angular_momentum_operator#Orbital_angular_momentum_in_spherical_coordinates फिर उपरोक्त के चरण-स्थान सुधार से अनुसरण करते हैं,
 * $$ \mathbf{L}= -i\hbar ~\mathbf{r} \times \nabla =i \hbar \left(\frac{\hat{\boldsymbol{\theta}}}{\sin(\theta)} \frac{\partial}{\partial\phi} - \hat{\boldsymbol{\phi}} \frac{\partial}{\partial\theta}\right). $$

टॉर्क के रूप में दिया गया है : $$ \mathbf{\tau} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} = -m \left(2r\dot{r}\dot{\varphi}\sin\theta + r^2\ddot{\varphi}\sin{\theta} + 2r^2\dot{\theta}\dot{\varphi}\cos{\theta} \right)\hat{\boldsymbol\theta} + m \left(r^2\ddot{\theta} + 2r\dot{r}\dot{\theta} - r^2\dot{\varphi}^2\sin\theta\cos\theta \right) \hat{\boldsymbol\varphi} $$ गतिज ऊर्जा के रूप में दिया जाता है : $$ E_k = \frac{1}{2}m \left[ \left(\dot{r}^2\right) + \left(r\dot{\theta}\right)^2 + \left(r\dot{\varphi}\sin\theta\right)^2 \right] $$

बाहरी संबंध

 * MathWorld description of spherical coordinates
 * Coordinate Converter &mdash; converts between polar, Cartesian and spherical coordinates
 * Coordinate Converter &mdash; converts between polar, Cartesian and spherical coordinates

फाई: कोऑर्डिनेशन