हॉपफ मैनिफोल्ड

जटिल ज्यामिति में, एक हॉपफ मैनिफोल्ड  प्राप्त होना जटिल सदिश समष्टि के भागफल के रूप में (शून्य हटाए जाने के साथ) $$({\mathbb C}^n\backslash 0)$$ समूह की एक समूह क्रिया (गणित) द्वारा (गणित) $$\Gamma \cong {\mathbb Z}$$ का जनरेटर के साथ पूर्णांक $$\gamma$$ का $$\Gamma$$ होलोमोर्फिक संकुचन मानचित्रण द्वारा कार्य करना। यहाँ, एक होलोमोर्फिक संकुचन एक नक्शा है $$\gamma:\; {\mathbb C}^n \to {\mathbb C}^n$$ ऐसा कि पर्याप्त रूप से बड़ा पुनरावृत्ति $$\;\gamma^N$$ किसी भी दिए गए कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय को मैप करता है $${\mathbb C}^n$$ 0 के एक मनमाने ढंग से छोटे पड़ोस (गणित) पर।

द्वि-आयामी हॉपफ मैनिफोल्ड्स को हॉपफ सतहें कहा जाता है।

उदाहरण
एक सामान्य स्थिति में, $$\Gamma$$ उत्पन्न होता है एक रैखिक संकुचन द्वारा, आमतौर पर एक विकर्ण मैट्रिक्स $$q\cdot Id$$, साथ $$q\in {\mathbb C}$$ एक सम्मिश्र संख्या, $$0<|q|<1$$. ऐसे अनेक गुना इसे क्लासिकल हॉफ मैनिफोल्ड कहा जाता है।

गुण
एक हॉपफ मैनिफोल्ड $$H:=({\mathbb C}^n\backslash 0)/{\mathbb Z}$$ से भिन्न है $$S^{2n-1}\times S^1$$. के लिए $$n\geq 2$$, यह गैर-काहलर मैनिफोल्ड है|काहलर। वास्तव में, यह भी नहीं है सहानुभूतिपूर्ण क्योंकि दूसरा सहसंयोजक समूह शून्य है।

हाइपरकॉम्प्लेक्स संरचना
सम-आयामी हॉफ मैनिफोल्ड्स स्वीकार करते हैं हाइपरकॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड. हॉपफ सतह क्वाटरनियोनिक आयाम 1 का एकमात्र कॉम्पैक्ट हाइपरकॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड है जो हाइपरकेहलर मैनिफोल्ड|हाइपरकेहलर नहीं है।