दाब गुणांक

द्रव गतिकी में दाब गुणांक एक आयामहीन संख्या है जो पूर्ण प्रवाह क्षेत्र में सापेक्ष दाब का वर्णन करता है। इस प्रकार दाब गुणांक का उपयोग वायुगतिकी और जलगतिकी में किया जाता है। द्रव प्रवाह क्षेत्र में प्रत्येक बिंदु का अपना विशिष्ट दाब गुणांक $Cp$ होता है।

वायुगतिकी और जलगतिकी में विभिन्न स्थितियों में, किसी पिंड के निकट बिंदु पर दाब गुणांक निकाय के आकार से स्वतंत्र होता है। परिणाम स्वरुप, इंजीनियरिंग मॉडल का परीक्षण वायु सुरंग या जल सुरंग (हाइड्रोडायनामिक) में किया जा सकता है, मॉडल के चारों ओर महत्वपूर्ण समष्टि पर दाब गुणांक निर्धारित किया जा सकता है, और इस प्रकार इन दाब गुणांकों का उपयोग एक पूर्ण आकार का विमान या नाव के निकट उन महत्वपूर्ण समष्टि पर द्रव दाब की पूर्वानुमान करने के लिए आत्मविश्वास के साथ किया जा सकता है।

परिभाषा
दाब गुणांक जल और वायु जैसे असंपीड्य/संपीड़ित तरल पदार्थ दोनों का अध्ययन करने के लिए मापदंड है। आयामहीन गुणांक और आयामी संख्याओं के मध्य संबंध है
 * $$C_p = {p - p_\infty \over \frac{1}{2} \rho_\infty V_{\infty}^2 } = {p - p_\infty \over p_0 - p_\infty }$$

जहाँ:
 * $$p$$ उस बिंदु पर स्थिर दाब है जिस पर दाब गुणांक का मूल्यांकन किया जा रहा है
 * $$p_\infty$$ मुक्त धारा में स्थिर दाब है (अर्थात किसी भी अस्तव्यस्तता से दूर)
 * $$p_0$$ मुक्त धारा में स्थिर दाब है (अर्थात किसी भी अस्तव्यस्तता से दूर)
 * $$\rho_\infty$$ मुक्त धारा घनत्व है (समुद्र तल पर वायु और 15 डिग्री सेल्सियस 1.225 $$\rm kg/m^3$$ है )
 * $$V_\infty$$ द्रव का मुक्त धारा वेग है, या द्रव के माध्यम से निकाय का वेग है

असंपीड्य प्रवाह
बर्नौली के समीकरण का उपयोग करके संभावित प्रवाह (अदृश्य और स्थिर) के लिए दाब गुणांक को और अधिक सरल बनाया जा सकता है:
 * $$C_p|_{Ma \, \approx \, 0} ={1 - \bigg(\frac{u}{u_{\infty}} \bigg)^2}$$

जहां $u$ उस बिंदु पर प्रवाह गति है जिस पर दाब गुणांक का मूल्यांकन किया जा रहा है, और $Ma$ मैक संख्या है: ध्वनि की गति की तुलना में प्रवाह गति नगण्य है। इस प्रकार एक असम्पीडित किन्तु श्यान तरल पदार्थ के स्थिति में यह प्रोफ़ाइल दाब गुणांक का प्रतिनिधित्व करता है, क्योंकि यह श्यान वाले के अतिरिक्त दाब हाइड्रोडायनामिक बलों से जुड़ा होता है।

यह संबंध असम्पीडित तरल पदार्थों के प्रवाह के लिए मान्य है जहां गति और दाब में भिन्नता इतनी कम होती है कि द्रव घनत्व में भिन्नता को नजरअंदाज किया जा सकता है। यह सही धारणा है जब मच संख्या लगभग 0.3 से कम है।


 * $$C_p$$ शून्य का अर्थ है कि दाब मुक्त धारा दाब के समान है।
 * इनमें से एक का $$C_p$$ स्थिर दाब से मेल खाता है और एक स्थिर बिंदु को संकेत करता है।
 * द्रव प्रवाह में $$C_p$$ के सबसे ऋणात्मक मानों को कैविटेशन मार्जिन देने के लिए कैविटेशन नम्बर में जोड़ा जा सकता है। यदि यह मार्जिन धनात्मक है, तो प्रवाह मौलिक रूप से पूरी तरह से तरल है, जबकि यदि यह शून्य या ऋणात्मक है तो प्रवाह कैविटेशन या गैस है।

ग्लाइडर के डिज़ाइन में माइनस वन का $$C_p$$ महत्वपूर्ण है क्योंकि यह वैरोमीटर को सिग्नल दाब की आपूर्ति के लिए "कुल ऊर्जा" पोर्ट के लिए एक आदर्श समष्टि का संकेत देता है, जो एक विशेष ऊर्ध्वाधर गति संकेतक है जो वायुमंडल के ऊर्ध्वाधर आंदोलनों पर प्रतिक्रिया करता है किन्तु ग्लाइडर की ऊर्ध्वाधर दक्षता पर प्रतिक्रिया नहीं करता है।

किसी पिंड के चारों ओर द्रव प्रवाह क्षेत्र में धनात्मक दाब गुणांक वाले बिंदु एक तक और ऋणात्मक दाब गुणांक वाले बिंदु होंगे जिनमें शून्य से एक से कम गुणांक शामिल होंगे किन्तु कहीं भी गुणांक धनात्मक एक से अधिक नहीं होगा क्योंकि उच्चतम दाब जो प्राप्त किया जा सकता है वह स्थिर दाब है।

संपीड़ित प्रवाह
वायु जैसे संपीड़ित तरल पदार्थों के प्रवाह में, और विशेष रूप से संपीड़ित तरल पदार्थों के उच्च गति प्रवाह में $${\rho v^2}/2$$ (गतिशील दाब) अब स्थिर दाब और स्थैतिक के मध्य अंतर का स्पष्ट माप नहीं है। इसके अतिरिक्त यह परिचित संबंध कि स्थिर दाब कुल दाब के समान है, सदैव सत्य नहीं होता है। (यह आइसेंट्रोपिक प्रवाह में सदैव सत्य होता है किन्तु शॉक तरंगों की उपस्थिति के कारण प्रवाह आइसेंट्रोपिक से दूर जा सकता है।) परिणामस्वरूप दाब गुणांक संपीड़ित प्रवाह में एक से अधिक हो सकता है।


 * $$C_p$$ एक से अधिक संकेत करता है कि मुक्त धारा प्रवाह संपीड़ित है।

अस्तव्यस्तता सिद्धांत
इस प्रकार दाब गुणांक $$C_p$$ का अनुमान अघूर्णी और आइसेंट्रोपिक प्रवाह के लिए संभावित $$\Phi$$ और विक्षोभ क्षमता $$\phi$$ को मुक्त-धारा वेग $$u_{\infty}$$ द्वारा सामान्यीकृत करके लगाया जा सकता है।
 * $$\Phi = u_{\infty}x + \phi(x, y, z)$$

बर्नौली के समीकरण का उपयोग करते हुए,



\frac{\partial \Phi}{\partial t} + \frac{\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi}{2} + \frac{\gamma}{\gamma-1}\frac{p}{\rho} = \text{constant} $$ जिसे पुनः इस प्रकार लिखा जा सकता है



\frac{\partial \Phi}{\partial t} + \frac{\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi}{2} + \frac{a^2}{\gamma-1}= \text{constant} $$ जहाँ $$a$$ ध्वनि की गति है.

दाब गुणांक बन जाता है


 * $$\begin{align}

C_p &= \frac{p-p_{\infty}}{\frac{\gamma}{2}p_{\infty} M^2} =\frac{2}{\gamma M^2}\left[\left(\frac{a}{a_{\infty}}\right)^{\frac{2\gamma}{\gamma-1}} -1\right]\\ &= \frac{2}{\gamma M^2}\left[\left(\frac{\gamma-1}{a_{\infty}^2}(\frac{u_{\infty}^2}{2} - \Phi_t - \frac{\nabla\Phi\cdot\nabla\Phi}{2}) + 1\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}} -1\right]\\ &\approx \frac{2}{\gamma M^2}\left[\left(1 - \frac{\gamma-1}{a_{\infty}^2}(\phi_t + u_{\infty}\phi_x )\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}} -1\right]\\ &\approx -\frac{2\phi_t}{u_{\infty}^2} - \frac{2\phi_x}{u_{\infty}} \end{align} $$ जहाँ $$a_{\infty}$$ दूर-क्षेत्र की ध्वनि गति है।

मौलिक पिस्टन सिद्धांत
मौलिक पिस्टन सिद्धांत शक्तिशाली वायुगतिकीय उपकरण है। इस प्रकार संवेग समीकरण के उपयोग और आइसेंट्रोपिक अस्तव्यस्तता की धारणा से, सतह के दाब के लिए निम्नलिखित मूलभूत पिस्टन सिद्धांत सूत्र प्राप्त होता है:


 * $$p = p_{\infty}\left(1 + \frac{\gamma-1}{2}\frac{w}{a}\right)^{\frac{2\gamma}{\gamma-1}}$$

जहाँ $$w$$ डाउनवॉश गति है और $$a$$ ध्वनि की गति है.



C_p = \frac{p-p_{\infty}}{\frac{\gamma}{2}p_{\infty} M^2} = \frac{2}{\gamma M^2}\left[\left(1 + \frac{\gamma-1}{2}\frac{w}{a}\right)^{\frac{2\gamma}{\gamma-1}} - 1\right] $$ सतह को इस प्रकार परिभाषित किया गया है



F(x,y,z,t)= z - f(x,y,t) = 0 $$ स्लिप वेग सीमा स्थिति की ओर ले जाता है



\frac{\nabla F}{|\nabla F|}(u_{\infty} + \phi_x,\phi_y,\phi_z) = V_{\text{wall}}\cdot \frac{\nabla F}{|\nabla F|} = -\frac{\partial F}{\partial t}\frac{1}{|\nabla F|} $$ डाउनवॉश गति $$w$$ के रूप में अनुमानित है



w = \frac{\partial f}{\partial t} + u_{\infty} \frac{\partial f}{\partial x} $$

दाब वितरण
इस प्रकार आक्रमण के दिए गए कोण पर एक एयरफ़ोइल में वह होगा जिसे दाब वितरण कहा जाता है। यह दाब वितरण केवल एयरफ़ॉइल के चारों ओर सभी बिंदुओं पर दाब है। सामान्यतः, इन वितरणों के ग्राफ़ इसलिए खींचे जाते हैं जिससे ग्राफ़ पर ऋणात्मक संख्याएँ अधिक हों क्योंकि एयरफ़ॉइल की ऊपरी सतह के लिए $$C_p$$ सामान्यतः शून्य से अधिक नीचे होगा और इसलिए ग्राफ़ पर शीर्ष रेखा होगी।

वायुगतिकीय गुणांक के साथ संबंध
सभी तीन वायुगतिकीय गुणांक तार के अनुदिश दाब गुणांक वक्र के अभिन्न अंग हैं। इस प्रकार वास्तविक क्षैतिज सतहों वाले द्वि-आयामी एयरफ़ॉइल अनुभाग के लिए लिफ्ट के गुणांक की गणना दाब वितरण के गुणांक से एकीकरण द्वारा, या वितरण पर लाइनों के मध्य के क्षेत्र की गणना करके की जा सकती है। यह अभिव्यक्ति लिफ्ट सन्निकटन की पैनल विधि का उपयोग करके प्रत्यक्ष संख्यात्मक एकीकरण के लिए उपयुक्त नहीं है, क्योंकि यह दाब-प्रेरित लिफ्ट की दिशा को ध्यान में नहीं रखती है। इस प्रकार यह समीकरण केवल आक्रमण के शून्य कोण के लिए सत्य है।


 * $$C_l=\frac{1}{x_{TE}-x_{LE}}\int\limits_{x_{LE}}^{x_{TE}}\left(C_{p_l}(x)-C_{p_u}(x)\right)dx$$

जहाँ:


 * $$C_{p_l}$$ निचली सतह पर दाब गुणांक है
 * $$C_{p_u}$$ ऊपरी सतह पर दाब गुणांक है
 * $$x_{LE}$$ लीडिंग एज समष्टि है
 * $$x_{TE}$$ ट्रेलिंग एज समष्टि है

जब निचली सतह $$C_p$$ वितरण पर अधिक (अधिक ऋणात्मक) है तो इसे ऋणात्मक क्षेत्र के रूप में गिना जाता है क्योंकि यह लिफ्ट के अतिरिक्त नीचे की ओर बल उत्पन्न करता है।

यह भी देखें

 * लिफ्ट गुणांक
 * ड्रैग गुणांक
 * पिचिंग आघूर्ण गुणांक

अग्रिम पठन

 * Abbott, I.H. and Von Doenhoff, A.E. (1959) Theory of Wing Sections, Dover Publications, Inc. New York, Standard Book No. 486-60586-8
 * Anderson, John D (2001) Fundamentals of Aerodynamic 3rd Edition, McGraw-Hill. ISBN 0-07-237335-0