रीमैन मानचित्रण प्रमेय

जटिल विश्लेषण में, रीमैन मैपिंग प्रमेय बताता है कि यदि $$U$$ जटिल तल का गैर-रिक्त सरल रूप से जुड़ा हुआ स्थान खुला सेट है $$\mathbb{C}$$ जो कि सब कुछ नहीं है $$\mathbb{C}$$, तो वहां biholomorfi मैपिंग मौजूद है $$f$$ (यानी विशेषण फ़ंक्शन होलोमोर्फिक फ़ंक्शन मैपिंग जिसका व्युत्क्रम भी होलोमोर्फिक है) से $$U$$ यूनिट डिस्क खोलें पर
 * $$D = \{z\in \mathbb{C} : |z| < 1\}.$$

इस मैपिंग को रीमैन मैपिंग के रूप में जाना जाता है। सहज रूप से, वह स्थिति $$U$$ बस जुड़े रहने का मतलब है $$U$$ इसमें कोई "छेद" नहीं है। यह तथ्य कि $$f$$ बाइहोलोमोर्फिक का तात्पर्य यह है कि यह अनुरूप मानचित्र है और इसलिए कोण-संरक्षित है। इस तरह के मानचित्र की व्याख्या किसी भी पर्याप्त छोटी आकृति के आकार को संरक्षित करने के रूप में की जा सकती है, जबकि संभवतः इसे घुमाते और स्केल करते हुए (लेकिन प्रतिबिंबित नहीं करते हुए)।

हेनरी पोंकारे ने मानचित्र से यह सिद्ध कर दिया $$f$$ रोटेशन और रीसेंटरिंग तक अद्वितीय है: यदि $$z_0$$ का तत्व है $$U$$ और $$\phi$$ मनमाना कोण है, तो ऊपर जैसा ठीक-ठीक f मौजूद है $$f(z_0)=0$$ और ऐसा कि जटिल संख्या#के अवकलज का जटिल तल $$f$$ बिंदु पर $$z_0$$ के बराबर है $$\phi$$. यह ब्लैक लेम्मा का आसान परिणाम है।

प्रमेय के परिणाम के रूप में, रीमैन क्षेत्र के किन्हीं दो सरल रूप से जुड़े हुए खुले उपसमुच्चय, जिनमें से दोनों में क्षेत्र के कम से कम दो बिंदुओं की कमी है, को एक-दूसरे में अनुरूप रूप से मैप किया जा सकता है।

इतिहास
प्रमेय कहा गया था (इस धारणा के तहत कि सीमा (टोपोलॉजी)। $$U$$ 1851 में अपनी पीएचडी थीसिस में बर्नहार्ड रीमैन द्वारा टुकड़े-टुकड़े में चिकनी है)। लार्स अहलफोर्स ने प्रमेय के मूल सूत्रीकरण के संबंध में बार लिखा था कि इसे "आखिरकार ऐसे शब्दों में तैयार किया गया था जो आधुनिक तरीकों से भी प्रमाण के किसी भी प्रयास को अस्वीकार कर देगा"। रीमैन का त्रुटिपूर्ण प्रमाण डिरिचलेट सिद्धांत (जिसे रीमैन ने स्वयं नाम दिया था) पर निर्भर था, जिसे उस समय सही माना जाता था। हालाँकि, कार्ल वीयरस्ट्रैस ने पाया कि यह सिद्धांत सार्वभौमिक रूप से मान्य नहीं था। बाद में, डेविड हिल्बर्ट यह साबित करने में सक्षम हुए कि, काफी हद तक, डिरिक्लेट सिद्धांत उस परिकल्पना के तहत मान्य है जिसके साथ रीमैन काम कर रहा था। हालाँकि, वैध होने के लिए, डिरिचलेट सिद्धांत को सीमा के संबंध में कुछ परिकल्पनाओं की आवश्यकता है $$U$$ जो सामान्य रूप से केवल कनेक्टेड डोमेन (गणितीय विश्लेषण) के लिए मान्य नहीं हैं।

प्रमेय का पहला कठोर प्रमाण 1900 में विलियम फॉग ऑसगूड द्वारा दिया गया था। उन्होंने ग्रीन के कार्यों के अस्तित्व को सिद्ध किया। ग्रीन के कार्य मनमाने ढंग से सरल रूप से जुड़े डोमेन के अलावा $$\mathbb{C}$$ अपने आप; इसने रीमैन मैपिंग प्रमेय की स्थापना की। कॉन्स्टेंटिन कैराथोडोरी ने 1912 में प्रमेय का और प्रमाण दिया, जो संभावित सिद्धांत के बजाय पूरी तरह से फ़ंक्शन सिद्धांत के तरीकों पर भरोसा करने वाला पहला प्रमाण था। उनके प्रमाण में मॉन्टेल की सामान्य परिवारों की अवधारणा का उपयोग किया गया, जो पाठ्यपुस्तकों में प्रमाण की मानक विधि बन गई। कैराथोडोरी ने 1913 में इस अतिरिक्त प्रश्न को हल करके जारी रखा कि क्या डोमेन के बीच रीमैन मैपिंग को सीमाओं के होमोमोर्फिज्म तक बढ़ाया जा सकता है (देखें कैराथोडोरी का प्रमेय (कन्फर्मल मैपिंग)|कैराथोडोरी का प्रमेय)। कैराथोडोरी के प्रमाण में रीमैन सतहों का उपयोग किया गया और इसे पॉल कोबे द्वारा दो साल बाद इस तरह से सरल बनाया गया कि उनकी आवश्यकता नहीं थी। और प्रमाण, लिपोट फेजर और फ्रिगयेस रिज़्ज़ के कारण, 1922 में प्रकाशित हुआ था और यह पिछले वाले की तुलना में छोटा था। इस प्रमाण में, रीमैन के प्रमाण की तरह, चरम समस्या के समाधान के रूप में वांछित मानचित्रण प्राप्त किया गया था। फ़ेज़ेर-रीज़ प्रमाण को अलेक्जेंडर ओस्ट्रोव्स्की और कैराथोडोरी द्वारा और अधिक सरल बनाया गया था।

महत्व
निम्नलिखित बिंदु रीमैन मैपिंग प्रमेय की विशिष्टता और शक्ति का विवरण देते हैं:


 * यहां तक ​​कि अपेक्षाकृत सरल रीमैन मैपिंग (उदाहरण के लिए वृत्त के आंतरिक भाग से वर्ग के आंतरिक भाग तक का नक्शा) में केवल प्राथमिक कार्यों का उपयोग करके कोई स्पष्ट सूत्र नहीं है।
 * समतल में सरलता से जुड़े हुए खुले सेट अत्यधिक जटिल हो सकते हैं, उदाहरण के लिए, सीमा (टोपोलॉजी) अनंत लंबाई का कहीं न कहीं भिन्न-भिन्न कार्य वाला भग्न वक्र हो सकता है, भले ही सेट स्वयं परिबद्ध हो। ऐसा ही उदाहरण कोच वक्र है। तथ्य यह है कि इस तरह के सेट को कोण-संरक्षण तरीके से अच्छी और नियमित इकाई डिस्क पर मैप किया जा सकता है, यह प्रति-सहज ज्ञान युक्त लगता है।
 * अधिक जटिल डोमेन के लिए रीमैन मैपिंग प्रमेय का एनालॉग सत्य नहीं है। अगला सरलतम मामला दोहरे रूप से जुड़े डोमेन (एकल छेद वाले डोमेन) का है। पंचर डिस्क और पंचर प्लेन को छोड़कर कोई भी दोगुना जुड़ा हुआ डोमेन अनुरूप रूप से कुछ एनलस के बराबर है $$\{z:r<|z|<1\}$$ साथ $$0<r<1$$हालाँकि, एनलस (गणित) के बीच व्युत्क्रम और स्थिरांक द्वारा गुणन को छोड़कर कोई अनुरूप मानचित्र नहीं हैं, इसलिए एनलस $$\{z:1<|z|<2\}$$ अनुरूप रूप से वलय के समतुल्य नहीं है $$\{z:1<|z|<4\}$$ (जैसा कि चरम लंबाई हो सकती है # चरम लंबाई के कुछ अनुप्रयोग)।
 * तीन या अधिक वास्तविक आयामों में रीमैन मैपिंग प्रमेय का एनालॉग सत्य नहीं है। तीन आयामों में अनुरूप मानचित्रों का परिवार बहुत खराब है, और अनिवार्य रूप से इसमें केवल मोबियस परिवर्तन शामिल हैं (लिउविले के प्रमेय (अनुरूप मानचित्रण) देखें | लिउविले के प्रमेय)।
 * भले ही उच्च आयामों में मनमाने होमियोमोर्फिज्म की अनुमति हो, सिकुड़ने योग्य कई गुना ्स पाए जा सकते हैं जो बॉल (गणित) (उदाहरण के लिए, व्हाइटहेड सातत्य) के लिए होमियोमोर्फिक नहीं हैं।
 * कई जटिल चरों के कार्य में रीमैन मैपिंग प्रमेय का एनालॉग भी सत्य नहीं है। में $$\mathbb{C}^n$$ ($$n \ge 2$$), बॉल और पॉलीडिस्क दोनों बस जुड़े हुए हैं, लेकिन उनके बीच कोई बायोलोमोर्फिक मानचित्र नहीं है।

सरल कनेक्टिविटी
प्रमेय. खुले डोमेन के लिए $$G\subset\mathbb{C}$$ निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैं:
 * 1) $$G$$ बस जुड़ा हुआ है;
 * 2) प्रत्येक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन का अभिन्न अंग $$f$$ बंद टुकड़ों में चिकने वक्र के चारों ओर $$G$$ गायब हो जाता है;
 * 3) प्रत्येक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन $$G$$ होलोमोर्फिक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है;
 * 4) हर कहीं-लुप्त हो जाने वाला होलोमोर्फिक फ़ंक्शन $$f$$ पर $$G$$ होलोमोर्फिक लघुगणक है;
 * 5) हर कहीं-लुप्त हो जाने वाला होलोमोर्फिक फ़ंक्शन $$g$$ पर $$G$$ होलोमोर्फिक वर्गमूल है;
 * 6) किसी के लिए $$w\notin G$$, की घुमावदार संख्या $$w$$ किसी भी टुकड़े के अनुसार चिकने बंद वक्र के लिए $$G$$ है $$0$$;
 * 7) का पूरक $$G$$ विस्तारित जटिल विमान में $$\mathbb{C}\cup\{\infty\}$$ जुड़ा है।

(1) ⇒ (2) क्योंकि कोई भी सतत बंद वक्र, आधार बिंदु के साथ $$a\in G$$, निरंतर वक्र पर लगातार विकृत हो सकता है $$a$$. तो लाइन का अभिन्न अंग $$f\,\mathrm{d}z$$ वक्र के ऊपर है $$0$$.

(2) ⇒ (3) क्योंकि किसी भी टुकड़े के अनुसार चिकनी पथ पर अभिन्न अंग $$\gamma$$ से $$a$$ को $$z$$ आदिम को परिभाषित करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है।

(3)⇒(4)एकीकरण करके $$f^{-1}\,\mathrm{d}f/\mathrm{d}z$$ साथ में $$\gamma$$ से $$a$$ को $$x$$ लघुगणक की शाखा देने के लिए.

(4) ⇒ (5) वर्गमूल को इस रूप में लेकर $$g(z)=\exp(f(x)/2)$$ कहाँ $$f$$ लघुगणक का होलोमोर्फिक विकल्प है।

(5) ⇒ (6) क्योंकि यदि $$\gamma$$ टुकड़ावार बंद वक्र है और $$f_n$$ के क्रमिक वर्गमूल हैं $$z-w$$ के लिए $$w$$ बाहर $$G$$, फिर की घुमावदार संख्या $$f_n\circ\gamma$$ के बारे में $$w$$ है $$2^n$$ की घुमावदार संख्या का गुना $$\gamma$$ के बारे में $$0$$. इसलिए की घुमावदार संख्या $$\gamma$$ के बारे में $$w$$ से विभाज्य होना चाहिए $$2^n$$ सभी के लिए $$n$$, इसलिए यह बराबर होना चाहिए $$0$$.

(6) ⇒ (7) अन्यथा विस्तारित विमान के लिए $$\mathbb{C}\cup\{\infty\}\setminus G$$ इसे दो खुले और बंद सेटों के असंयुक्त संघ के रूप में लिखा जा सकता है $$A$$ और $$B$$ साथ $$\infty\in B$$ और $$A$$ घिरा हुआ. होने देना $$\delta>0$$ के बीच न्यूनतम यूक्लिडियन दूरी हो $$A$$ और $$B$$ और उस पर वर्गाकार ग्रिड बनाएं $$\mathbb{C}$$ लंबाई के साथ $$\delta/4$$ बिंदु के साथ $$a$$ का $$A$$ वर्ग के केंद्र में. होने देना $$C$$ दूरी के साथ सभी वर्गों के मिलन का सघन समुच्चय बनें $$\leq\delta/4$$ से $$A$$. तब $$C\cap B=\varnothing$$ और $$\partial C$$ मिलना नहीं होता $$A$$ या $$B$$: इसमें परिमित रूप से कई क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर खंड शामिल हैं $$G$$ बंद आयताकार पथों की सीमित संख्या बनाना $$\gamma_j\in G$$. ले रहा $$C_i$$ सभी वर्गों को कवर करना $$A$$, तब $$\frac{1}{2\pi}\int_{\partial C}\mathrm{d}\mathrm{arg}(z-a)$$ की घुमावदार संख्याओं के योग के बराबर है $$C_i$$ ऊपर $$a$$, इस प्रकार दे रहा हूँ $$1$$. दूसरी ओर की घुमावदार संख्याओं का योग $$\gamma_j$$ के बारे में $$a$$ के बराबर होती है $$1$$. इसलिए इनमें से कम से कम की घुमावदार संख्या $$\gamma_j$$ के बारे में $$a$$ गैर-शून्य है.

(7)⇒ (1) यह विशुद्ध रूप से टोपोलॉजिकल तर्क है। होने देना $$\gamma$$ के आधार पर टुकड़ा-वार चिकना बंद वक्र बनें $$z_0\in G$$. सन्निकटन के अनुसार γ लंबाई के वर्ग ग्रिड पर आयताकार पथ के समान समरूप वर्ग में है $$\delta>0$$ पर आधारित $$z_0$$; ऐसा आयताकार पथ उत्तराधिकार द्वारा निर्धारित होता है $$N$$ लगातार निर्देशित ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज पक्ष। पर प्रेरण द्वारा $$N$$, ऐसे पथ को ग्रिड के कोने पर स्थिर पथ में विकृत किया जा सकता है। यदि पथ बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है $$z_1$$, फिर यह लंबाई के दो आयताकार पथों में टूट जाता है $$<N$$, और इस प्रकार निरंतर पथ पर विकृत किया जा सकता है $$z_1$$ मौलिक समूह की प्रेरण परिकल्पना और प्रारंभिक गुणों द्वारा। यह तर्क पूर्वोत्तर तर्क का अनुसरण करता है: गैर-स्व-प्रतिच्छेदी पथ में कोना होगा $$z_0$$ सबसे बड़े वास्तविक भाग (पूर्व की ओर) के साथ और फिर उनमें से सबसे बड़े काल्पनिक भाग (उत्तर की ओर) वाला। यदि आवश्यकता हो तो दिशा उलट कर, पथ से आगे बढ़ें $$z_0-\delta$$ को $$z_0$$ और फिर को $$w_0=z_0-in\delta$$ के लिए $$n\geq1$$ और फिर बायीं ओर चला जाता है $$w_0-\delta$$. होने देना $$R$$ इन शीर्षों के साथ खुला आयत बनें। पथ की घुमावदार संख्या है $$0$$ ऊर्ध्वाधर खंड के दाईं ओर के बिंदुओं के लिए $$z_0$$ को $$w_0$$ और $$-1$$ दाईं ओर के बिंदुओं के लिए; और इसलिए अंदर $$R$$. चूंकि घुमावदार संख्या है $$0$$ बंद $$G$$, $$R$$ में निहित है $$G$$. अगर $$z$$ पथ का बिंदु है, इसे अंदर ही रहना चाहिए $$G$$; अगर $$z$$ चालू है $$\partial R$$ लेकिन पथ पर नहीं, पथ की घुमावदार संख्या की निरंतरता से $$z$$ है $$-1$$, इसलिए $$z$$ भी लेटना चाहिए $$G$$. इस तरह $$R\cup\partial R\subset G$$. लेकिन इस मामले में आयत की तीन भुजाओं को चौथी भुजाओं से प्रतिस्थापित करके पथ को विकृत किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप दो कम भुजाएँ होंगी (स्वयं-प्रतिच्छेदन की अनुमति के साथ)।

रीमैन मैपिंग प्रमेय

 * वीयरस्ट्रैस का अभिसरण प्रमेय। होलोमोर्फिक कार्यों के अनुक्रम के कॉम्पेक्टा पर एकसमान सीमा होलोमोर्फिक है; इसी प्रकार डेरिवेटिव के लिए।
 * यह पहले कथन के लिए मोरेरा के प्रमेय का तत्काल परिणाम है। कॉची का अभिन्न सूत्र डेरिवेटिव के लिए सूत्र देता है जिसका उपयोग यह जांचने के लिए किया जा सकता है कि डेरिवेटिव भी कॉम्पैक्टा पर समान रूप से अभिसरण करते हैं।


 * हर्विट्ज़ प्रमेय (जटिल विश्लेषण)|हर्विट्ज़ प्रमेय। यदि किसी खुले डोमेन पर कहीं भी गायब न होने वाले होलोमोर्फिक फ़ंक्शंस के अनुक्रम में कॉम्पेक्टा पर समान सीमा है, तो या तो सीमा समान रूप से शून्य है या सीमा कहीं भी गायब नहीं है। यदि किसी खुले डोमेन पर एकसमान होलोमोर्फिक फ़ंक्शंस के अनुक्रम में कॉम्पेक्टा पर समान सीमा होती है, तो या तो सीमा स्थिर होती है या सीमा एकसमान होती है।
 * यदि सीमा फ़ंक्शन गैर-शून्य है, तो इसके शून्य को अलग करना होगा। बहुलता वाले शून्यों को घुमावदार संख्या द्वारा गिना जा सकता है $$\frac{1}{2\pi i}\int_Cg^{-1}(z)g'(z)\mathrm{d}z$$ होलोमोर्फिक फ़ंक्शन के लिए $$g$$. इसलिए घुमावदार संख्याएं समान सीमाओं के तहत निरंतर होती हैं, ताकि अनुक्रम में प्रत्येक फ़ंक्शन में कोई शून्य न हो और न ही कोई सीमा हो। दूसरे कथन के लिए मान लीजिए कि $$f(a)=f(b)$$ और सेट करें $$g_n(z)=f_n(z)-f_n(a)$$. ये अभी डिस्क पर कहीं गायब नहीं हैं $$g(z)=f(z)-f(a)$$ पर गायब हो जाता है $$b$$, इसलिए $$g$$ समान रूप से गायब हो जाना चाहिए.

परिभाषाएँ। परिवार $${\cal F}$$ खुले डोमेन पर होलोमोर्फिक फ़ंक्शंस को सामान्य कहा जाता है यदि फ़ंक्शंस का कोई क्रम हो $${\cal F}$$ इसका परिणाम है जो कॉम्पैक्टा पर समान रूप से होलोमोर्फिक फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाता है। एक परिवार $${\cal F}$$ जब भी कोई अनुक्रम हो तो सघन होता है $$f_n$$ में निहित है $${\cal F}$$ और समान रूप से अभिसरित हो जाता है $$f$$ कॉम्पैक्टा पर, फिर $$f$$ में भी निहित है $${\cal F}$$. परिवार $${\cal F}$$ इसे स्थानीय रूप से बाउंड कहा जाता है यदि उनके कार्य प्रत्येक कॉम्पैक्ट डिस्क पर समान रूप से बाउंड होते हैं। कॉची अभिन्न सूत्र को अलग करते हुए, यह निष्कर्ष निकलता है कि स्थानीय रूप से बंधे परिवार के व्युत्पन्न भी स्थानीय रूप से बंधे होते हैं।
 * मॉन्टेल का प्रमेय. होलोमोर्फिक का प्रत्येक स्थानीय रूप से घिरा परिवार डोमेन में कार्य करता है $$G$$ यह सामान्य है।
 * होने देना $$f_n$$ पूरी तरह से सीमित अनुक्रम बनें और गणनीय सघन उपसमुच्चय चुनें $$w_m$$ का $$G$$. स्थानीय रूप से बाध्यता और विकर्ण तर्क द्वारा, अनुवर्ती को चुना जा सकता है $$g_n$$ प्रत्येक बिंदु पर अभिसरण है $$w_m$$. यह सत्यापित किया जाना चाहिए कि होलोमोर्फिक फ़ंक्शंस का यह क्रम अभिसरण करता है $$G$$ प्रत्येक कॉम्पेक्टम पर समान रूप से $$K$$. लेना $$E$$ के साथ खोलें $$K\subset E$$ ऐसे कि बंद हो जाए $$E$$ कॉम्पैक्ट है और इसमें शामिल है $$G$$. अनुक्रम के बाद से $$\{g_n'\}$$ स्थानीय रूप से घिरा हुआ है, $$|g_n'|\leq M$$ पर $$E$$. सघनता से, यदि $$\delta>0$$ काफी छोटी, बहुत सी खुली डिस्क ली गई है $$D_k$$ त्रिज्या का $$\delta>0$$ कवर करना आवश्यक है $$K$$ अंदर रहते हुए $$E$$. तब से
 * $$g_n(b) - g_n(a)= \int_a^b g_n^\prime(z)\, dz$$,
 * वह हमारे पास है $$|g_n(a)-g_n(b)|\leq M|a-b|\leq2\delta M$$. अब प्रत्येक के लिए $$k$$ कुछ चुनें $$w_i$$ में $$D_k$$ कहाँ $$g_n(w_i)$$ अभिसरण, ले लो $$n$$ और $$m$$ भीतर होने के लिए इतना बड़ा $$\delta$$ इसकी सीमा का. फिर के लिए $$z\in D_k$$,
 * $$|g_n(z) - g_m(z)| \leq |g_n(z) - g_n(w_i)| + |g_n(w_i) - g_m(w_i)| + |g_m(w_1) - g_m(z)|\leq 4M\delta + 2\delta.$$
 * इसलिए क्रम $$\{g_n\}$$ समान मानदंड में कॉची अनुक्रम बनाता है $$K$$ आवश्यकता अनुसार।


 * रीमैन मैपिंग प्रमेय। अगर $$G\neq\mathbb{C}$$ सरलता से जुड़ा हुआ डोमेन है और $$a\in G$$, अद्वितीय अनुरूप मानचित्रण है $$f$$ का $$G$$ यूनिट डिस्क पर $$D$$ इस प्रकार सामान्यीकृत किया गया $$f(a)=0$$ और $$f'(a)>0$$.
 * अद्वितीयता इस प्रकार है क्योंकि यदि $$f$$ और $$g$$ समान शर्तों को पूरा किया, $$h=f\circ g^{-1}$$ यूनिट डिस्क का असमान होलोमोर्फिक मानचित्र होगा $$h(0)=0$$ और $$h'(0)>0$$. लेकिन श्वार्ज़ लेम्मा द्वारा, यूनिट डिस्क के असमान होलोमोर्फिक मानचित्र मोबियस ट्रांसफॉर्मेशन द्वारा दिए गए हैं
 * $$k(z)=e^{i\theta}(z-\alpha)/(1-\overline{\alpha} z)$$
 * साथ $$|\alpha|<1$$. इसलिए $$h$$ पहचान मानचित्र होना चाहिए और $$f=g$$.
 * अस्तित्व को सिद्ध करने के लिए, लीजिए $${\cal F}$$ होलोमोर्फिक यूनिवेलेंट मैपिंग का परिवार होना $$f$$ का $$G$$ खुली यूनिट डिस्क में $$D$$ साथ $$f(a)=0$$ और $$f'(a)>0$$. मोंटेल के प्रमेय के अनुसार यह सामान्य परिवार है। सरल-कनेक्टिविटी के लक्षण वर्णन द्वारा, के लिए $$b\in\mathbb{C}\setminus G$$ वर्गमूल की होलोमोर्फिक शाखा होती है $$h(z)=\sqrt{z -b}$$ में $$G$$. यह एकसमान है और $$h(z_1)\neq-h(z_2)$$ के लिए $$z_1,z_2\in G$$. तब से $$h(G)$$ बंद डिस्क होनी चाहिए $$\Delta$$ केंद्र के साथ $$h(a)$$ और त्रिज्या $$r>0$$, का कोई अंक नहीं $$-\Delta$$ में झूठ बोल सकते हैं $$h(G)$$. होने देना $$F$$ अद्वितीय मोबियस परिवर्तनकारी बनें $$\mathbb{C}\setminus-\Delta$$ पर $$D$$ सामान्यीकरण के साथ $$F(h(a))=0$$ और $$F'(h(a))>0$$. निर्माण द्वारा $$F\circ h$$ में है $${\cal F}$$, ताकि $${\cal F}$$ गैर-रिक्त है. पॉल कोएबे की विधि समस्या को हल करने के लिए अनुरूप मानचित्रण उत्पन्न करने के लिए चरम फ़ंक्शन का उपयोग करना है: इस स्थिति में इसे अक्सर अहलफोर्स फ़ंक्शन कहा जाता है $G$, लार्स अहलफोर्स के बाद। होने देना $$00$$. इसलिए $$M$$ परिमित है, बराबर है $$f'(a)>0$$ और $${f\in\cal F}$$. यह जाँचना बाकी है कि अनुरूप मानचित्रण $$f$$ लेता है $$G$$ पर $$D$$. नहीं तो ले लो $$c\neq0$$ में $$D\setminus f(G)$$ और जाने $$H$$ का होलोमोर्फिक वर्गमूल हो $$(f(z)-c)/(1-\overline{c}f(z))$$ पर $$G$$. कार्यक्रम $$H$$ एकसमान और मानचित्र है $$G$$ में $$D$$. होने देना
 * $$F(z)=\frac{e^{i\theta}(H(z)-H(a))}{1-\overline{H(a)}H(z)},$$
 * कहाँ $$H'(a)/|H'(a)|=e^{-i\theta}$$. तब $$F\in{\cal F}$$ और नियमित गणना यह दर्शाती है
 * $$F'(a)=H'(a)/(1-|H(a)|^2)=f'(a)\left(\sqrt{|c|}+\sqrt{|c|^{-1}}\right)/2>f'(a)=M.$$
 * यह की अधिकतमता का खंडन करता है $$M$$, ताकि $$f$$ सभी मूल्यों को अंदर लेना चाहिए $$D$$.

टिप्पणी। रीमैन मैपिंग प्रमेय के परिणामस्वरूप, विमान में प्रत्येक बस जुड़ा हुआ डोमेन यूनिट डिस्क के लिए होमोमोर्फिक है। यदि अंक छोड़ दिए जाएं, तो यह प्रमेय से निकलता है। पूरे विमान के लिए, होमोमोर्फिज्म $$\phi(x)=z/(1+|z|)$$ की समरूपता देता है $$\mathbb{C}$$ पर $$D$$.

समानांतर स्लिट मैपिंग
सामान्य परिवारों के लिए कोएबे का एकरूपीकरण प्रमेय भी एकरूपता उत्पन्न करने के लिए सामान्यीकरण करता है $$f$$ बहु-जुड़े हुए डोमेन के लिए परिमित समानांतर स्लिट डोमेन के लिए, जहां स्लिट का कोण होता है $$\theta$$ तक $x$-एक्सिस। इस प्रकार यदि $$G$$ में डोमेन है $$\mathbb{C}\cup\{\infty\}$$ युक्त $$\infty$$ और सीमित रूप से कई जॉर्डन आकृतियों से घिरा, अद्वितीय असमान कार्य है $$f$$ पर $$G$$ साथ
 * $$f(z)=z^{-1}+a_1z+a_2z^2+\cdots$$

पास में $$\infty$$, अधिकतमीकरण $$\mathrm{Re}(e^{-2i\theta}a_1)$$ और छवि होना $$f(G)$$ कोण के साथ समानांतर स्लिट डोमेन $$\theta$$ तक $x$-एक्सिस। मल्टीपल कनेक्टेड केस में समानांतर स्लिट डोमेन कैनोनिकल डोमेन होने का पहला प्रमाण 1909 में डेविड हिल्बर्ट द्वारा दिया गया था।, अनवैलेंट फ़ंक्शंस और कंफ़ॉर्मल मैपिंग पर अपनी पुस्तक पर, 1930 के दशक की शुरुआत में हर्बर्ट ग्रोट्ज़ और रेने डी पॉसेल के काम के आधार पर उपचार दिया; यह क्वासिकोनफॉर्मल मैपिंग और द्विघात अंतर का अग्रदूत था, जिसे बाद में ओसवाल्ड टीचमुलर के कारण चरम लंबाई की तकनीक के रूप में विकसित किया गया। मेनहेम मैक्स शिफ़र ने बहुत ही सामान्य परिवर्तनशील सिद्धांतों पर आधारित उपचार दिया, जिसका सारांश उन्होंने 1950 और 1958 में गणितज्ञों की अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस को दिए गए संबोधनों में दिया। सीमा भिन्नता पर प्रमेय में (इसे आंतरिक भिन्नता से अलग करने के लिए), उन्होंने अंतर समीकरण निकाला और असमानता, जो 1936 से उघट्रेड शटलवर्थ हसलाम-जोन्स के कारण सीधी-रेखा खंडों के माप-सैद्धांतिक लक्षण वर्णन पर निर्भर थी। हसलाम-जोन्स के प्रमाण को कठिन माना गया था और केवल 1970 के दशक के मध्य में शॉबर और कैंपबेल द्वारा संतोषजनक प्रमाण दिया गया था। -लैमौरेक्स.

ने समानांतर स्लिट डोमेन के लिए एकरूपता का प्रमाण दिया जो रीमैन मैपिंग प्रमेय के समान था। अंकन को सरल बनाने के लिए क्षैतिज स्लिटों का सहारा लिया जाएगा। सबसे पहले, कोएबे तिमाही प्रमेय द्वारा#बीबरबैक की असमान प्रमेय के लिए गुणांक असमानता|बीबरबैक की असमानता, कोई भी असमान कार्य
 * $$g(z)=z+cz^2+\cdots$$

साथ $$z$$ खुली इकाई में डिस्क को संतुष्ट करना होगा $$|c|\leq2$$. परिणामस्वरूप, यदि
 * $$f(z)=z+a_0+a_1z^{-1}+\cdots$$

में एकसमान है $$|z|>R$$, तब $$|f(z)-a_0|\leq2|z|$$. इसे देखने के लिए लीजिए $$S>R$$ और सेट करें
 * $$g(z)=S(f(S/z)-b)^{-1}$$

के लिए $$z$$ यूनिट डिस्क में, चयन करना $$b$$ इसलिए हर कहीं गायब नहीं होता है, और श्वार्ज़ लेम्मा लागू करें। अगला फ़ंक्शन $$f_R(z)=z+R^2/z$$ में अद्वितीय असमान कार्य के रूप में चरम स्थिति की विशेषता है $$z>R$$ रूप का $$z+a_1z^{-1}+\cdots$$ वह अधिकतम होता है $$\mathrm{Re}(a_1)$$: यह कोएबे क्वार्टर प्रमेय का तत्काल परिणाम है#ग्रेनवॉल का क्षेत्र प्रमेय|ग्रीनवॉल का क्षेत्र प्रमेय, असमान कार्यों के परिवार पर लागू होता है $$f(zR)/R$$ में $$z>1$$. अब साबित करने के लिए कि गुणा किया गया डोमेन $$G\subset\mathbb{C}\cup\{\infty\}$$ क्षैतिज समानांतर स्लिट अनुरूप मानचित्रण द्वारा एकरूप बनाया जा सकता है
 * $$f(z)=z+a_1z^{-1}+\cdots$$,

लेना $$R$$ इतना बड़ा $$\partial G$$ खुली डिस्क में है $$|z|R$$, एकरूपता और अनुमान $$|f(z)|\leq2|z|$$ इसका तात्पर्य यह है कि, यदि $$z$$ में निहित है $$G$$ साथ $$|z|\leq S$$, तब $$|f(z)|\leq2S$$. एकसमान परिवार के बाद से $$f$$ स्थानीय रूप से बंधे हुए हैं $$G\setminus\{\infty\}$$मोंटेल के प्रमेय के अनुसार वे सामान्य परिवार बनाते हैं। इसके अलावा यदि $$f_n$$ परिवार में है और प्रवृत्त है $$f$$ फिर, कॉम्पेक्टा पर समान रूप से $$f$$ परिवार में भी है और लॉरेंट विस्तार के प्रत्येक गुणांक पर $$\infty$$ की $$f_n$$ के संगत गुणांक की ओर प्रवृत्त होता है $$f$$. यह विशेष रूप से गुणांक पर लागू होता है: इसलिए सघनता से असंयोजक होता है $$f$$ जो अधिकतम होता है $$\mathrm{Re}(a_1)$$. उसे जांचने के लिए
 * $$f(z)=z+a_1+\cdots$$

आवश्यक समानांतर स्लिट परिवर्तन है, मान लीजिए कि रिडक्टियो एड एब्सर्डम है $$f(G)=G_1$$ कॉम्पैक्ट और कनेक्टेड घटक है $$K$$ इसकी सीमा का जो क्षैतिज झिरी नहीं है। फिर पूरक $$G_2$$ का $$K$$ में $$\mathbb{C}\cup\{\infty\}$$ बस से जुड़ा हुआ है $$G_2\supset G_1$$. रीमैन मानचित्रण प्रमेय के अनुसार अनुरूप मानचित्रण होता है
 * $$h(w)=w+b_1w^{-1}+\cdots,$$

ऐसा है कि $$h(G_2)$$ है $$\mathbb{C}$$ क्षैतिज स्लिट हटाकर। तो हमारे पास वह है
 * $$h(f(z))=z+(a_1+b_1)z^{-1}+\cdots,$$

और इस तरह $$\mathrm{Re}(a_1+b_1)\leq\mathrm{Re}(a_1)$$ की चरम सीमा से $$f$$. इसलिए, $$\mathrm{Re}(b_1)\leq0$$. दूसरी ओर रीमैन मानचित्रण प्रमेय द्वारा अनुरूप मानचित्रण होता है
 * $$k(w)=w+c_0+c_1w^{-1}+\cdots,$$

से मैपिंग $$|w|>S$$ पर $$G_2$$. तब
 * $$f(k(w))-c_0=w+(a_1+c_1)w^{-1}+\cdots.$$

पिछले पैराग्राफ में स्लिट मैपिंग के लिए सख्त अधिकतमता से, हम इसे देख सकते हैं $$\mathrm{Re}(c_1)<\mathrm{Re}(b_1+c_1)$$, ताकि $$\mathrm{Re}(b_1)>0$$. के लिए दो असमानताएँ $$\mathrm{Re}(b_1)$$ विरोधाभासी हैं. अनुरूप समानांतर स्लिट परिवर्तन की विशिष्टता का प्रमाण दिया गया है और. जौकोव्स्की परिवर्तन का व्युत्क्रम लागू करना $$h$$ क्षैतिज स्लिट डोमेन के लिए, यह माना जा सकता है $$G$$ यूनिट सर्कल से घिरा डोमेन है $$C_0$$ और इसमें विश्लेषणात्मक आर्क शामिल हैं $$C_i$$ और अलग-अलग बिंदु (जौकोव्स्की के विपरीत अन्य की छवियां अन्य समानांतर क्षैतिज स्लिट के नीचे बदल जाती हैं)। इस प्रकार, निश्चित लेना $$a\in G$$, असमान मानचित्रण है
 * $$F_0(w)=h\circ f(w)=(w-a)^{-1}+a_1(w-a)+a_2(w-a)^2+\cdots,$$

इसकी छवि के साथ क्षैतिज स्लिट डोमेन। लगता है कि $$F_1(w)$$ के साथ और एकरूपकारक है
 * $$F_1(w)=(w-a)^{-1}+b_1(w-a)+b_2(w-a)^2+\cdots.$$

नीचे के चित्र $$F_0$$ या $$F_1$$ प्रत्येक की $$C_i$$ निश्चित है $y$-निर्देशांक क्षैतिज खंड हैं। वहीं दूसरी ओर, $$F_2(w)=F_0(w)-F_1(w)$$ में होलोमोर्फिक है $$G$$. यदि यह स्थिर है, तो इसे समान रूप से शून्य होना चाहिए $$F_2(a)=0$$. कल्पना करना $$F_2$$ गैर-स्थिर है, तो धारणा से $$F_2(C_i)$$ सभी क्षैतिज रेखाएँ हैं. अगर $$t$$ इन पंक्तियों में से में नहीं है, कॉची के तर्क सिद्धांत से पता चलता है कि समाधानों की संख्या $$F_2(w)=t$$ में $$G$$ शून्य है (कोई भी $$t$$ अंततः आकृतियों द्वारा घेर लिया जाएगा $$G$$ के निकट $$C_i$$'एस)। यह इस तथ्य का खंडन करता है कि गैर-स्थिर होलोमोर्फिक फ़ंक्शन $$F_2$$ खुला मानचित्रण है.

डिरिचलेट समस्या के माध्यम से स्केच प्रमाण
दिया गया $$U$$ और बिंदु $$z_0\in U$$, हम फ़ंक्शन बनाना चाहते हैं $$f$$ जो मानचित्र $$U$$ यूनिट डिस्क के लिए और $$z_0$$ को $$0$$. इस स्केच के लिए, हम मान लेंगे कि यू घिरा हुआ है और इसकी सीमा चिकनी है, जैसा कि रीमैन ने किया था। लिखना
 * $$f(z) = (z - z_0)e^{g(z)},$$

कहाँ $$g=u+iv$$ वास्तविक भाग के साथ कुछ (निर्धारित किया जाना है) होलोमोर्फिक फ़ंक्शन है $$u$$ और काल्पनिक भाग $$v$$. तब यह स्पष्ट हो जाता है कि $$z_0$$ का एकमात्र शून्य है $$f$$. हमें इसकी आवश्यकता है $$|f(z)|=1$$ के लिए $$z\in\partial U$$, तो हमें चाहिए
 * $$u(z) = -\log|z - z_0|$$

सीमा पर. तब से $$u$$ होलोमोर्फिक फ़ंक्शन का वास्तविक हिस्सा है, हम यह जानते हैं $$u$$ आवश्यक रूप से हार्मोनिक फ़ंक्शन है; यानी, यह लाप्लास के समीकरण को संतुष्ट करता है।

फिर सवाल यह हो जाता है: क्या कोई वास्तविक-मूल्यवान हार्मोनिक कार्य करता है $$u$$ मौजूद है जो सभी पर परिभाषित है $$U$$ और दी गई सीमा शर्त है? सकारात्मक उत्तर डिरिचलेट सिद्धांत द्वारा प्रदान किया गया है। बार का अस्तित्व $$u$$ होलोमोर्फिक फ़ंक्शन के लिए कॉची-रीमैन समीकरण स्थापित किया गया है $$g$$ हमें खोजने की अनुमति दें $$v$$ (यह तर्क इस धारणा पर निर्भर करता है कि $$U$$ बस जुड़े रहें)। बार $$u$$ और $$v$$ का निर्माण किया गया है, किसी को परिणामी फ़ंक्शन की जांच करनी होगी $$f$$ वास्तव में इसमें सभी आवश्यक गुण हैं।

एकरूपीकरण प्रमेय
रीमैन मैपिंग प्रमेय को रीमैन सतहों के संदर्भ में सामान्यीकृत किया जा सकता है: यदि $$U$$ फिर, रीमैन सतह का गैर-रिक्त सरल रूप से जुड़ा हुआ खुला उपसमुच्चय है $$U$$ निम्नलिखित में से के लिए बायोलोमोर्फिक है: रीमैन क्षेत्र, जटिल विमान $$\mathbb{C}$$, या खुली इकाई डिस्क $$D$$. इसे एकरूपीकरण प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

स्मूथ रीमैन मैपिंग प्रमेय
चिकनी सीमा के साथ बस जुड़े हुए बंधे हुए डोमेन के मामले में, रीमैन मैपिंग फ़ंक्शन और इसके सभी डेरिवेटिव डोमेन के बंद होने तक निरंतरता द्वारा विस्तारित होते हैं। इसे डिरिचलेट सीमा मूल्य समस्या के समाधान के नियमितता गुणों का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है, जो या तो समतल डोमेन के लिए सोबोलेव रिक्त स्थान के सिद्धांत से अनुसरण करते हैं # रीमैन मैपिंग प्रमेय को सुचारू करने के लिए आवेदन या न्यूमैन-पोंकारे ऑपरेटर से # डिरिचलेट और न्यूमैन समस्याओं का समाधान। सुचारू रीमैन मैपिंग प्रमेय को साबित करने के अन्य तरीकों में कर्नेल फ़ंक्शंस का सिद्धांत शामिल है या बेल्ट्रामी समीकरण#स्मूथ रीमैन मैपिंग प्रमेय।

एल्गोरिदम
कम्प्यूटेशनल कंफर्मल मैपिंग को व्यावहारिक विश्लेषण और गणितीय भौतिकी की समस्याओं के साथ-साथ इमेज प्रोसेसिंग जैसे इंजीनियरिंग विषयों में प्रमुखता से दिखाया गया है।

1980 के दशक की शुरुआत में अनुरूप मानचित्रों की गणना के लिए प्राथमिक एल्गोरिदम की खोज की गई थी। अंक दिये गये $$z_0, \ldots, z_n$$ समतल में, एल्गोरिथ्म जॉर्डन वक्र से घिरे क्षेत्र पर यूनिट डिस्क के स्पष्ट अनुरूप मानचित्र की गणना करता है $$\gamma$$ साथ $$z_0, \ldots, z_n \in \gamma.$$ यह एल्गोरिदम जॉर्डन क्षेत्रों के लिए अभिसरण करता है समान रूप से निकट सीमाओं के अर्थ में। मैपिंग फ़ंक्शंस और उनके व्युत्क्रमों के लिए बंद क्षेत्र और बंद डिस्क पर समान समान अनुमान हैं। यदि डेटा बिंदु a पर स्थित हों तो बेहतर अनुमान प्राप्त होते हैं $$C^1$$ वक्र या ए $K$-अर्धवृत्त. एल्गोरिथ्म को अनुरूप वेल्डिंग के लिए अनुमानित विधि के रूप में खोजा गया था; हालाँकि, इसे लोवेनर अंतर समीकरण के विवेकाधीनता के रूप में भी देखा जा सकता है। निम्नलिखित दो समतलीय डोमेन के बीच अनुरूप मानचित्रण को संख्यात्मक रूप से अनुमानित करने के बारे में जाना जाता है। सकारात्मक नतीजे:

नकारात्मक परिणाम:
 * एक एल्गोरिदम ए है जो निम्नलिखित अर्थों में एकरूपीकरण मानचित्र की गणना करता है। होने देना $$\Omega$$ सीमाबद्ध सरल-कनेक्टेड डोमेन बनें, और $$w_0\in\Omega$$. $$\partial\Omega$$ ए को ओरेकल द्वारा पिक्सेलयुक्त अर्थ में प्रतिनिधित्व करते हुए प्रदान किया जाता है (यानी, यदि स्क्रीन को विभाजित किया गया है) $$2^n \times 2^n$$ पिक्सेल, ओरेकल कह सकता है कि प्रत्येक पिक्सेल सीमा से संबंधित है या नहीं)। फिर A एकसमान मानचित्र के निरपेक्ष मानों की गणना करता है $$\phi:(\Omega, w_0) \to (D, 0)$$ सटीकता के साथ $$2^{-n}$$ से घिरे अंतरिक्ष में $$Cn^2$$ और समय $$2^{O(n)}$$, कहाँ $$C$$ के व्यास पर ही निर्भर करता है $$\Omega$$ और $$d(w_0, \partial\Omega).$$ इसके अलावा, एल्गोरिथ्म के मूल्य की गणना करता है $$\phi(w)$$ सटीकता के साथ $$2^{-n}$$ जब तक कि $$|\phi(w)| < 1-2^{-n}.$$ इसके अलावा, ए प्रश्न करता है $$\partial\Omega$$ अधिकतम परिशुद्धता के साथ $$2^{-O(n)}.$$ विशेषकर, यदि $$\partial\Omega$$ अंतरिक्ष में गणना योग्य बहुपद स्थान है $$n^a$$ कुछ स्थिरांक के लिए $$a\geq 1$$ और समय $$T(n) < 2^{O(n^a)},$$ तब A का उपयोग अंतरिक्ष में समान मानचित्र की गणना करने के लिए किया जा सकता है $$C\cdot n^{\max(a,2)}$$ और समय $$2^{O(n^a)}.$$
 * एक एल्गोरिदम ए' है जो निम्नलिखित अर्थों में एकरूपीकरण मानचित्र की गणना करता है। होने देना $$\Omega$$ सीमाबद्ध सरल-कनेक्टेड डोमेन बनें, और $$w_0 \in \Omega.$$ मान लीजिए कि कुछ के लिए $$n=2^k,$$ $$\partial\Omega$$ सटीकता के साथ A' को दिया गया है $$\tfrac{1}{n}$$ द्वारा $$O(n^2)$$ पिक्सल। फिर A' एकसमान मानचित्र के निरपेक्ष मानों की गणना करता है $$\phi:(\Omega, w_0) \to (D, 0)$$ की त्रुटि के भीतर $$O(1/n)$$ से घिरे यादृच्छिक स्थान में $$O(k)$$ और समय बहुपद में $$n=2^k$$ (अर्थात बीपीएल द्वारा($n$)-मशीन)। इसके अलावा, एल्गोरिथ्म के मूल्य की गणना करता है $$\phi(w)$$ सटीकता के साथ $$\tfrac{1}{n}$$ जब तक कि $$|\phi(w)|< 1 -\tfrac{1}{n}.$$


 * मान लीजिए कि एल्गोरिदम ए है जो सरल-कनेक्टेड डोमेन देता है $$\Omega$$ रैखिक-समय गणना योग्य सीमा और आंतरिक त्रिज्या के साथ $$>1/2$$ और संख्या $$n$$ पहले गणना करता है $$20 n$$ अनुरूप त्रिज्या के अंक $$r(\Omega, 0),$$ तब हम शार्प-सैट|#सैट( के किसी भी उदाहरण को हल करने के लिए ए पर कॉल का उपयोग कर सकते हैं$n$) रैखिक समय उपरि के साथ। दूसरे शब्दों में, शार्प-पी|#पी सेट के अनुरूप त्रिज्या की गणना करने के लिए बहु-समय कम करने योग्य है।


 * सरलता से जुड़े डोमेन के अनुरूप त्रिज्या की गणना करने की समस्या पर विचार करें $$\Omega,$$ जहां की सीमा $$\Omega$$ सटीकता के साथ दिया गया है $$1/n$$ के स्पष्ट संग्रह द्वारा $$O(n^2)$$ पिक्सल। परिशुद्धता के साथ अनुरूप त्रिज्या की गणना करने की समस्या को निरूपित करें $$1/n^c$$ द्वारा $$\texttt{CONF}(n,n^c).$$ तब, $$\texttt{MAJ}_n$$ AC0 को कम किया जा सकता है $$\texttt{CONF}(n,n^c)$$ किसी के लिए $$0 < c < \tfrac{1}{2}.$$

यह भी देखें

 * मापने योग्य रीमैन मानचित्रण प्रमेय
 * श्वार्ज़-क्रिस्टोफेल मैपिंग - साधारण बहुभुज के आंतरिक भाग पर ऊपरी आधे तल का अनुरूप परिवर्तन।
 * अनुरूप त्रिज्या