माध्य-क्षेत्र कण विधियाँ

मीन-फ़ील्ड पार्टिकल मेथड्स इंटरैक्टिंग टाइप मोंटे कार्लो विधि  एल्गोरिदम का एक व्यापक वर्ग है, जो एक नॉनलाइनियर इवोल्यूशन इक्वेशन को संतुष्ट करने वाले प्रायिकता डिस्ट्रीब्यूशन के सीक्वेंस से सिमुलेट करता है।  संभाव्यता उपायों के इन प्रवाहों को सदैव  एक मार्कोव प्रक्रिया के यादृच्छिक राज्यों के वितरण के रूप में व्याख्या किया जा सकता है जिनकी संक्रमण संभावनाएं वर्तमान यादृच्छिक राज्यों के वितरण पर निर्भर करती हैं। इन परिष्कृत गैर-रैखिक मार्कोव प्रक्रियाओं का अनुकरण करने का एक प्राकृतिक प्रणाली  प्रक्रिया की प्रतियों की एक बड़ी संख्या का नमूना लेना है, विकास समीकरण में नमूनाकृत अनुभवजन्य उपायों द्वारा यादृच्छिक राज्यों के अज्ञात वितरण को बदलना। पारंपरिक मोंटे कार्लो और मार्कोव चेन मोंटे कार्लो विधियों के विपरीत ये माध्य-क्षेत्र कण विधि  अनुक्रमिक अंतःक्रियात्मक नमूनों पर निर्भर करती हैं। शब्दावली माध्य-क्षेत्र इस तथ्य को दर्शाता है कि प्रत्येक नमूने (ए.के.ए. कण, व्यक्ति, वॉकर, एजेंट, जीव, या फेनोटाइप) प्रक्रिया के अनुभवजन्य उपायों के साथ बातचीत करते हैं। जब प्रणाली का आकार अनंत हो जाता है, तो ये यादृच्छिक अनुभवजन्य उपाय नॉनलाइनियर मार्कोव श्रृंखला के यादृच्छिक राज्यों के नियतात्मक वितरण में परिवर्तित हो जाते हैं, जिससे कणों के बीच सांख्यिकीय बातचीत गायब हो जाती है। दूसरे शब्दों में, गैर-रैखिक मार्कोव श्रृंखला मॉडल की प्रारंभिक स्थिति की स्वतंत्र प्रतियों के आधार पर एक अराजक विन्यास से प्रारंभिक  होकर, अराजकता किसी भी समय क्षितिज का प्रसार करती है क्योंकि आकार प्रणाली अनंत तक जाती है; अर्थात्, कणों के परिमित ब्लॉक अरेखीय मार्कोव प्रक्रिया की स्वतंत्र प्रतियों में कम हो जाते हैं। इस परिणाम को अराजकता संपत्ति का प्रसार कहा जाता है।   अराजकता की शब्दावली का प्रसार 1976 में एक टकराने वाले माध्य-क्षेत्र गतिज गैस मॉडल पर मार्क काक के काम से उत्पन्न हुआ। 

इतिहास
मीन-फील्ड इंटरेक्टिंग पार्टिकल मॉडल का सिद्धांत निश्चित रूप से 1960 के दशक के मध्य तक प्रारंभिक हो गया था, हेनरी मैककेन | हेनरी पी. मैककेन जूनियर के काम के साथ तरल यांत्रिकी में उत्पन्न होने वाले गैर-रैखिक परवलयिक आंशिक अंतर समीकरणों के एक वर्ग की मार्कोव व्याख्याओं पर। मॉडलों के इन वर्गों की गणितीय नींव 1980 के दशक के मध्य से 1990 के दशक के मध्य तक कई गणितज्ञों द्वारा विकसित की गई थी, जिनमें वर्नर ब्रौन, क्लाउस हेप, कार्ल ओल्स्क्लेगर,  जेरार्ड बेन अरौस और मार्क ब्रुनॉड, डोनाल्ड डावसन, जीन वैलेनकोर्ट और जर्गेन गार्टनर,  क्रिश्चियन लियोनार्ड, सिल्वी मेलार्ड, सिल्वी रोली, एलेन-सोल स्निटमैन और हिरोशी तनाका प्रसार प्रकार के मॉडल के लिए; एफ अल्बर्टो ग्रुनबाउम, मैं इसे सुलझा लूंगा, मेरे शिक्षक, हिरोशी तनाका, सिल्वी मेलार्ड और कार्ल ग्राहम   इंटरेक्टिंग जंप-डिफ्यूजन प्रक्रियाओं की सामान्य कक्षाओं के लिए।

हम टेड हैरिस (गणितज्ञ) | थिओडोर ई. हैरिस और हरमन क्हान के पहले के अग्रणी लेख को भी उद्धृत करते हैं, जो 1951 में प्रकाशित हुआ था, जिसमें माध्य-क्षेत्र का उपयोग किया गया था, किन्तु कण संचरण ऊर्जा का आकलन करने के लिए अनुमानी-जैसी आनुवंशिक विधियों का उपयोग किया गया था। मीन-फील्ड जेनेटिक टाइप पार्टिकल मेथड्स का उपयोग इवोल्यूशनरी कंप्यूटिंग में ह्यूरिस्टिक नेचुरल सर्च एल्गोरिदम (a.k.a. मेटाह्यूरिस्टिक) के रूप में भी किया जाता है। इन मीन-फील्ड कम्प्यूटेशनल विधि ों की उत्पत्ति 1950 और 1954 में जेनेटिक टाइप म्यूटेशन-सेलेक्शन लर्निंग मशीन पर एलन ट्यूरिंग के काम से की जा सकती है। और प्रिंसटन, न्यू जर्सी में उन्नत अध्ययन संस्थान में निल्स ऑल बरीज़ के लेख। ऑस्ट्रेलियाई आनुवंशिकीविद् एलेक्स फ्रेजर (वैज्ञानिक) ने भी 1957 में जीवों के कृत्रिम चयन के अनुवांशिक प्रकार के अनुकरण पर पत्रों की एक श्रृंखला प्रकाशित की। क्वांटम मोंटे कार्लो, और अधिक विशेष रूप से प्रसार मोंटे कार्लो  की व्याख्या फेनमैन-केएसी पथ इंटीग्रल्स के माध्य-क्षेत्र कण सन्निकटन के रूप में भी की जा सकती है।      क्वांटम मोंटे कार्लो विधियों की उत्पत्ति का श्रेय  अधिकांशतः   एनरिको फर्मी और रॉबर्ट रिच्मेयर को दिया जाता है, जिन्होंने 1948 में न्यूट्रॉन-श्रृंखला प्रतिक्रियाओं की एक माध्य क्षेत्र कण व्याख्या विकसित की थी, किन्तु क्वांटम प्रणाली (कम आव्युह  मॉडल में) की जमीनी स्थिति ऊर्जा का आकलन करने के लिए पहला ह्यूरिस्टिक-जैसे और जेनेटिक टाइप पार्टिकल एल्गोरिथम (उर्फ रीसैंपल्ड या रीकॉन्फ़िगरेशन मोंटे कार्लो तरीके) 1984 में जैक एच। हेथरिंगटन के कारण है। आण्विक रसायन विज्ञान में, जेनेटिक ह्यूरिस्टिक-जैसे कण विधियों (उर्फ छंटाई और संवर्धन रणनीतियों) का उपयोग 1955 में मार्शल के मौलिक कार्य के साथ किया जा सकता है। एन रोसेनब्लूथ और एरियाना। डब्ल्यू रोसेनब्लूथ। अरेखीय फ़िल्टरिंग समस्याओं में इन ह्यूरिस्टिक-जैसे कण विधियों के अनुप्रयोगों पर पहला अग्रणी लेख नील गॉर्डन, डेविड सैल्मन और एड्रियन स्मिथ (बूटस्ट्रैप फ़िल्टर) के स्वतंत्र अध्ययन थे। गेंशिरो कितागावा , और एक हिमिलकॉन कार्वाल्हो, पियरे डेल मोरल, आंद्रे मोनिन और जेरार्ड सैलुट द्वारा 1990 के दशक में प्रकाशित। अंतःक्रियात्मक कण फिल्टर शब्द पहली बार 1996 में डेल मोरल द्वारा गढ़ा गया था। 1989-1992 की शुरुआत में P. Del Moral, J.C. Noyer, G. Rigal, और G. Salut द्वारा LAAS-CNRS में STCAN (सेवा विधि ) के साथ प्रतिबंधित और वर्गीकृत शोध सूची ों की एक श्रृंखला में सिग्नल प्रोसेसिंग में कण फिल्टर भी विकसित किए गए थे। des Constructions et Armes Navales), IT कंपनी DIGILOG, और LAAS-CNRS (RADAR/SONAR और GPS सिग्नल प्रोसेसिंग के लिए प्रयोगशाला विश्लेषण और प्रणालियों की वास्तुकला) समस्या।     आनुवंशिक प्रकार के मॉडल और माध्य क्षेत्र फेनमैन-केएसी कण विधियों के अभिसरण पर नींव और पहला कठोर विश्लेषण पियरे डेल मोरल के कारण हैं 1996 में। 1990 के दशक के अंत में डैन क्रिसन, जेसिका गेंस और टेरी लियोन द्वारा अलग-अलग जनसंख्या आकार के साथ शाखा प्रकार के कण तरीके भी विकसित किए गए थे।   और डैन क्रिसन, पियरे डेल मोरल और टेरी लियोन द्वारा। औसत क्षेत्र कण मॉडल के लिए समय पैरामीटर के संबंध में पहला समान अभिसरण परिणाम 1990 के दशक के अंत में पियरे डेल मोरल और एलिस गियोनेट द्वारा विकसित किया गया था।  इंटरेक्टिंग जंप टाइप प्रोसेस के लिए, और फ्लोरेंट मालियू द्वारा नॉनलाइनियर डिफ्यूजन टाइप प्रोसेस के लिए। फेनमैन-केएसी पथ-एकीकरण समस्याओं के लिए माध्य क्षेत्र कण सिमुलेशन विधि ों की नई कक्षाओं में वंशावली वृक्ष आधारित मॉडल सम्मिलित हैं,  पिछड़े कण मॉडल, अनुकूली माध्य क्षेत्र कण मॉडल, द्वीप प्रकार कण मॉडल,  और कण मार्कोव श्रृंखला मोंटे कार्लो विधियाँ

अनुप्रयोग
भौतिकी में, और विशेष रूप से सांख्यिकीय यांत्रिकी में, इन गैर-रैखिक विकास समीकरणों का उपयोग अधिकांशतः   द्रव या कुछ संघनित पदार्थ में सूक्ष्म अंतःक्रियात्मक कणों के सांख्यिकीय व्यवहार का वर्णन करने के लिए किया जाता है। इस संदर्भ में, एक आभासी तरल पदार्थ या गैस कण का यादृच्छिक विकास McKean-Vlasov प्रक्रिया द्वारा दर्शाया गया है। मैककेन-Vlasov प्रसार प्रक्रिया, प्रतिक्रिया-प्रसार प्रणाली, या बोल्टज़मैन समीकरण।    जैसा कि इसके नाम से संकेत मिलता है, माध्य क्षेत्र कण मॉडल सूक्ष्म कणों के सामूहिक व्यवहार का प्रतिनिधित्व करता है जो उनके व्यवसाय के उपायों के साथ अशक्त  रूप से बातचीत करते हैं। जब जनसंख्या का आकार अनंत हो जाता है तो प्राप्त सीमित मॉडल में इन कई-निकाय कण प्रणालियों का स्थूल व्यवहार समझाया जाता है। बोल्ट्जमैन समीकरण दुर्लभ गैसों में टकराने वाले कणों के मैक्रोस्कोपिक विकास का प्रतिनिधित्व करते हैं, जबकि मैककेन वेलासोव डिफ्यूजन द्रव कणों और दानेदार गैसों के मैक्रोस्कोपिक व्यवहार का प्रतिनिधित्व करते हैं।

कम्प्यूटेशनल भौतिकी में और विशेष रूप से क्वांटम यांत्रिकी में, क्वांटम प्रणाली की जमीनी अवस्था ऊर्जा श्रोडिंगर के ऑपरेटरों के स्पेक्ट्रम के शीर्ष से जुड़ी होती है। श्रोडिंगर समीकरण मौलिक यांत्रिकी के न्यूटन के गति के दूसरे नियम का क्वांटम यांत्रिकी संस्करण है (द्रव्यमान गुणा त्वरण बलों का योग है)। यह समीकरण कुछ भौतिक प्रणाली के तरंग फ़ंक्शन (उर्फ क्वांटम राज्य) के विकास का प्रतिनिधित्व करता है, जिसमें आणविक, उप-परमाणु प्रणालियों के परमाणु, साथ ही ब्रह्मांड जैसे मैक्रोस्कोपिक प्रणाली सम्मिलित हैं। काल्पनिक समय श्रोडिंगर समीकरण (उर्फ द हीट इक्वेशन) का समाधान इलेक्ट्रॉनिक या मैक्रोमोलेक्युलर कॉन्फ़िगरेशन और कुछ संभावित ऊर्जा फ़ंक्शन के समुच्चय  में एक मुक्त विकास मार्कोव प्रक्रिया ( अधिकांशतः   ब्राउनियन गतियों द्वारा दर्शाया गया) से जुड़े फेनमैन-केएसी वितरण द्वारा दिया जाता है। इन अरैखिक अर्धसमूहों का दीर्घकालीन व्यवहार श्रोडिंगर के संचालकों के शीर्ष ईजेनमानों और जमीनी अवस्था ऊर्जाओं से संबंधित है।    इन फेनमैन-केएसी मॉडल के आनुवंशिक प्रकार के माध्य क्षेत्र की व्याख्या को रेसेम्पल मोंटे कार्लो या डिफ्यूजन मोंटे कार्लो पद्धति कहा जाता है। ये ब्रांचिंग प्रकार के विकासवादी एल्गोरिदम उत्परिवर्तन और चयन संक्रमण पर आधारित हैं। उत्परिवर्तन संक्रमण के दौरान, कण विन्यास पर संभावित ऊर्जा परिदृश्य में वॉकर बेतरतीब ढंग से और स्वतंत्र रूप से विकसित होते हैं। माध्य क्षेत्र चयन प्रक्रिया (उर्फ क्वांटम टेलीपोर्टेशन, जनसंख्या पुनर्संरचना, पुनर्नमूना संक्रमण) एक फिटनेस फ़ंक्शन के साथ जुड़ा हुआ है जो एक ऊर्जा कुएं में कण अवशोषण को दर्शाता है। कम सापेक्ष ऊर्जा वाले विन्यासों के दोहराव की संभावना अधिक होती है। आणविक रसायन विज्ञान, और सांख्यिकीय भौतिकी में मीन फील्ड पार्टिकल विधियों का उपयोग बोल्ट्जमैन वितरण के नमूने के लिए भी किया जाता है। बोल्ट्जमैन-गिब्स उपाय कुछ कूलिंग शेड्यूल से जुड़े होते हैं, और उनके सामान्यीकरण स्थिरांक (उर्फ मुक्त ऊर्जा, या विभाजन कार्यों) की गणना करने के लिए। कम्प्यूटेशनल बायोलॉजी विज्ञान में, और अधिक विशेष रूप से जनसंख्या आनुवंशिकी में, प्रतिस्पर्धी चयन और प्रवासन तंत्र के साथ स्थानिक शाखाओं में बंटी प्रक्रियाओं को माध्य क्षेत्र आनुवंशिक प्रकार जनसंख्या गतिकी द्वारा भी दर्शाया जा सकता है। एक स्थानिक शाखाकरण प्रक्रिया के व्यवसाय उपायों के पहले क्षण फेनमैन-केएसी वितरण प्रवाह द्वारा दिए गए हैं। इन प्रवाहों का माध्य क्षेत्र आनुवंशिक प्रकार सन्निकटन इन शाखाओं की प्रक्रियाओं की एक निश्चित जनसंख्या आकार व्याख्या प्रदान करता है।    विलुप्त होने की संभावनाओं की व्याख्या कुछ अवशोषित वातावरण में विकसित होने वाली कुछ मार्कोव प्रक्रिया की अवशोषण संभावनाओं के रूप में की जा सकती है। इन अवशोषण मॉडलों का प्रतिनिधित्व फेनमैन-केएसी मॉडल द्वारा किया जाता है।    गैर-विलोपन पर वातानुकूलित इन प्रक्रियाओं के लंबे समय के व्यवहार को समान रूप से अर्ध-अपरिवर्तनीय उपायों, याग्लोम सीमा, द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। या गैर-रैखिक सामान्यीकृत फेनमैन-केएसी प्रवाह के अपरिवर्तनीय उपाय। कंप्यूटर विज्ञान में, और विशेष रूप से कृत्रिम होशियारी  में इन माध्य क्षेत्र प्रकार के आनुवंशिक एल्गोरिदम का उपयोग यादृच्छिक खोज अनुमानों के रूप में किया जाता है जो जटिल अनुकूलन समस्याओं के लिए उपयोगी समाधान उत्पन्न करने के लिए विकास की प्रक्रिया की नकल करते हैं।   ये स्टोकास्टिक खोज एल्गोरिदम विकासवादी एल्गोरिदम की कक्षा से संबंधित हैं। विचार म्यूटेशन और चयन तंत्र का उपयोग करके व्यवहार्य उम्मीदवार समाधानों की जनसंख्या का प्रचार करना है। व्यक्तियों के बीच माध्य क्षेत्र की बातचीत चयन और क्रॉस-ओवर तंत्र में समाहित है।

मीन फील्ड गेम थ्योरी और मल्टी-एजेंट प्रणाली | मल्टी-एजेंट इंटरेक्टिंग प्रणाली थ्योरी में, मीन फील्ड पार्टिकल प्रोसेस का उपयोग इंटरेक्टिंग व्यक्तियों के साथ जटिल प्रणाली के सामूहिक व्यवहार का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है।        इस संदर्भ में, इंटरेक्टिंग एजेंटों की निर्णय प्रक्रिया में मीन फील्ड इंटरैक्शन को समझाया गया है। सीमित मॉडल के रूप में एजेंटों की संख्या अनंत तक जाती है जिसे कभी-कभी एजेंटों का सातत्य मॉडल कहा जाता है सूचना सिद्धांत में, और अधिक विशेष रूप से सांख्यिकीय यंत्र अधिगम  और  संकेत आगे बढ़ाना  में, माध्य क्षेत्र कण विधियों का उपयोग कुछ यादृच्छिक प्रक्रिया के सशर्त वितरण से अनुक्रमिक रूप से टिप्पणियों के अनुक्रम या दुर्लभ घटना नमूनाकरण के कैस्केड के संबंध में किया जाता है। असतत समय में  नॉनलाइनर फिल्टर, दिए गए आंशिक और ध्वनि  अवलोकनों के संकेत के यादृच्छिक राज्यों के सशर्त वितरण एक गैर-रैखिक अद्यतन-भविष्यवाणी विकास समीकरण को संतुष्ट करते हैं। अद्यतन चरण बेयस के नियम द्वारा दिया गया है, और भविष्यवाणी चरण एक चैपमैन-कोल्मोगोरोव समीकरण|चैपमैन-कोलमोगोरोव परिवहन समीकरण है। इन अरेखीय फ़िल्टरिंग समीकरणों का माध्य क्षेत्र कण व्याख्या एक आनुवंशिक प्रकार का चयन-उत्परिवर्तन कण एल्गोरिथम है उत्परिवर्तन चरण के दौरान, संकेत के मार्कोव संक्रमण के अनुसार कण एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से विकसित होते हैं। चयन चरण के दौरान, छोटे सापेक्ष संभावना मूल्यों वाले कण मारे जाते हैं, जबकि उच्च सापेक्ष मूल्यों वाले कणों को गुणा किया जाता है। इन औसत क्षेत्र कण विधि ों का उपयोग बहु-ऑब्जेक्ट ट्रैकिंग समस्याओं को हल करने के लिए भी किया जाता है, और अधिक विशेष रूप से एसोसिएशन उपायों का अनुमान लगाने के लिए इन कण मॉडल का निरंतर समय संस्करण शक्तिशाली इष्टतम फिल्टर विकास समीकरणों या कुश्नर-स्ट्रैटोनोटिच स्टोचैस्टिक आंशिक अंतर समीकरण की मोरन प्रकार कण व्याख्या है। इन आनुवंशिक प्रकार के माध्य क्षेत्र कण एल्गोरिदम को कण फिल्टर भी कहा जाता है और अनुक्रमिक मोंटे कार्लो विधियों का व्यापक रूप से और नियमित रूप से संचालन अनुसंधान और सांख्यिकीय अनुमान में उपयोग किया जाता है। .  कण फिल्टर शब्द पहली बार 1996 में डेल मोरल द्वारा गढ़ा गया था। और 1998 में लियू और चेन द्वारा अनुक्रमिक मोंटे कार्लो शब्द। सबसमुच्चय  सिमुलेशन और मोंटे कार्लो विभाजन विधि  आनुवंशिक कण योजनाओं और मार्कोव श्रृंखला मोंटे कार्लो उत्परिवर्तन संक्रमण से लैस फेनमैन-केएसी कण मॉडल के विशेष उदाहरण हैं

गणनीय राज्य अंतरिक्ष मॉडल
मीन फील्ड सिमुलेशन एल्गोरिदम को प्रेरित करने के लिए हम S से एक परिमित समुच्चय या  गणनीय समुच्चय स्पेस प्रारंभिक  करते हैं और P(S) को S पर सभी प्रायिकता उपायों के समुच्चय  को निरूपित करते हैं। प्रायिकता वितरण के अनुक्रम पर विचार करें। $$(\eta_0, \eta_1, \cdots)$$ एस पर एक विकास समीकरण को संतुष्ट करना:

कुछ के लिए, संभवतः अरैखिक, मानचित्रण $$\Phi: P(S) \to P(S).$$ ये वितरण वैक्टर द्वारा दिए गए हैं


 * $$\eta_n=(\eta_n(x))_{x\in S},$$

जो संतुष्ट करता है:


 * $$0 \leqslant \eta_n(x) \leqslant 1, \qquad \sum\nolimits_{x\in S}\eta_n(x)=1.$$

इसलिए, $$\Phi$$ से मैपिंग है $$(s-1)$$-यूनिट सिम्प्लेक्स अपने आप में, जहां एस समुच्चय एस की प्रमुखता के लिए खड़ा है। जब एस बहुत बड़ा है, समीकरण को हल करना ($$) इंट्रेक्टेबिलिटी (जटिलता) या कम्प्यूटेशनल रूप से बहुत महंगा है। इन विकास समीकरणों को अनुमानित करने का एक प्राकृतिक प्रणाली  एक माध्य क्षेत्र कण मॉडल का उपयोग करके क्रमिक रूप से राज्य स्थान को कम करना है। सरलतम माध्य क्षेत्र अनुकार योजना में से एक को मार्कोव श्रृंखला द्वारा परिभाषित किया गया है


 * $$\xi^{(N)}_n=\left(\xi^{(N,1)}_n, \cdots, \xi^{(N,N)}_n \right)$$

उत्पाद स्थान पर $$S^N$$प्रायिकता वितरण के साथ एन स्वतंत्र यादृच्छिक चर के साथ प्रारंभिक $$\eta_0$$ और प्राथमिक संक्रमण


 * $$\mathbf{P} \left( \left. \xi^{(N,1)}_{n+1}=y^1,\cdots,\xi^{(N,N)}_{n+1}=y^N \right |\xi^{(N)}_n\right)=\prod_{i=1}^N \Phi\left(\eta_n^N\right)\left(y^i\right),$$

अनुभवजन्य उपाय के साथ


 * $$\eta^N_n=\frac{1}{N}\sum_{j=1}^N1_{\xi^{(N,j)}_n} $$

कहाँ $$1_x$$ राज्य x का सूचक कार्य है।

दूसरे शब्दों में दिया $$\xi^{(N)}_n$$ नमूने $$\xi^{(N)}_{n+1}$$ संभाव्यता वितरण के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं $$ \Phi\left(\eta_n^N\right)$$. इस मीन फील्ड सिमुलेशन विधि के पीछे तर्क निम्नलिखित है: हम उम्मीद करते हैं कि कब $$\eta_{n}^N$$ का अच्छा अनुमान है $$\eta_n$$, तब $$\Phi\left(\eta_n^N\right)$$ का एक अनुमान है $$\Phi\left(\eta_n\right)=\eta_{n+1}$$. इस प्रकार, के बाद से $$\eta_{n+1}^N$$ सामान्य संभाव्यता वितरण के साथ एन सशर्त रूप से स्वतंत्र यादृच्छिक चर का अनुभवजन्य माप है $$\Phi\left(\eta_n^N\right)$$, हमें उम्मीद है $$\eta_{n+1}^N$$ का एक अच्छा अनुमान होना $$\eta_{n+1}$$.

एक और रणनीति एक संग्रह खोजने की है


 * $$K_{\eta_n}=\left(K_{\eta_n}(x,y)\right)_{x,y\in S}$$

स्टोचैस्टिक आव्युह द्वारा अनुक्रमित $$\eta_n\in P(S)$$ ऐसा है कि

यह सूत्र हमें अनुक्रम की व्याख्या करने की अनुमति देता है $$(\eta_0, \eta_1, \cdots)$$ यादृच्छिक राज्यों के संभाव्यता वितरण के रूप में $$\left(\overline{X}_0, \overline{X}_1, \cdots \right)$$ प्रारंभिक संक्रमण के साथ अरैखिक मार्कोव श्रृंखला मॉडल


 * $$\mathbf{P} \left ( \left.\overline{X}_{n+1}=y \right| \overline{X}_n=x \right )=K_{\eta_n}(x,y), \qquad \text{Law}(\overline{X}_n)=\eta_n.$$

मार्कोव संक्रमण का एक संग्रह $$K_{\eta_n}$$ समीकरण को संतुष्ट करना ($$) को उपायों के अनुक्रम की मैककेन व्याख्या कहा जाता है $$\eta_n$$. माध्य क्षेत्र कण व्याख्या ($$) अब मार्कोव श्रृंखला द्वारा परिभाषित किया गया है


 * $$\xi^{(N)}_n=\left(\xi^{(N,1)}_n, \cdots, \xi^{(N,N)}_n \right)$$

उत्पाद स्थान पर $$S^N$$की एन स्वतंत्र यादृच्छिक प्रतियों से प्रारंभिक होता है $$X_0$$ और प्राथमिक संक्रमण


 * $$\mathbf{P}\left( \left. \xi^{(N,1)}_{n+1}=y^1,\cdots,\xi^{(N,N)}_{n+1}=y^N \right |\xi^{(N)}_n\right)=\prod_{i=1}^N K_{n+1,\eta_n^N}\left(\xi^{(N,i)}_n,y^i\right),$$

अनुभवजन्य उपाय के साथ


 * $$\eta^N_n=\frac{1}{N}\sum_{j=1}^N1_{\xi^{(N,j)}_n}$$

कुछ अशक्त नियमितता शर्तों के अनुसार मैपिंग पर $$\Phi$$ किसी  फलन  के लिए $$f: S\to \mathbf{R}$$, हमारे पास लगभग सुनिश्चित अभिसरण है


 * $$ \frac{1}{N}\sum_{j=1}^N f\left(\xi^{(N,j)}_n\right)\to_{N\uparrow\infty}E\left(f(\overline{X}_n)\right)=\sum_{x\in S}\eta_n(x)f(x)$$

इन अरैखिक मार्कोव प्रक्रियाओं और उनके माध्य क्षेत्र कण व्याख्या को सामान्य मापने योग्य अंतरिक्ष राज्य रिक्त स्थान पर गैर सजातीय मॉडल तक बढ़ाया जा सकता है।

फेनमैन-केएसी मॉडल
ऊपर प्रस्तुत सार मॉडल को स्पष्ट करने के लिए, हम एक स्टोकेस्टिक आव्युह पर विचार करते हैं $$M=(M(x,y))_{x,y\in S}$$ और कुछ  फलन  $$G : S \to (0,1)$$. हम इन दो वस्तुओं के साथ मैपिंग को जोड़ते हैं


 * $$\begin{cases} \Phi : P(S) \to P(S) \\ (\eta_n(x))_{x\in S} \mapsto \left(\Phi(\eta_n)(y)\right)_{y\in S} \end{cases} \qquad \Phi(\eta_n)(y)=\sum_{x\in S} \Psi_{G}(\eta_n)(x)M(x,y)$$

और बोल्ट्जमैन-गिब्स के उपाय $$\Psi_{G}(\eta_n)(x)$$ द्वारा परिभाषित


 * $$\Psi_{G}(\eta_n)(x)=\frac{\eta_n(x)G(x)}{\sum_{z\in S}\eta_n(z)G(z)}.$$

हम द्वारा निरूपित करते हैं $$K_{\eta_n}=\left(K_{\eta_n}(x,y)\right)_{x,y\in S}$$ द्वारा अनुक्रमित स्टोकेस्टिक मेट्रिसेस का संग्रह $$ \eta_n\in P(S)$$ द्वारा दिए गए


 * $$K_{\eta_n}(x,y)=\epsilon G(x) M(x,y)+(1-\epsilon G(x)) \Phi(\eta_n)(y)$$

कुछ पैरामीटर के लिए $$\epsilon \in [0,1]$$. यह आसानी से जाँच की जाती है कि समीकरण ($$) संतुष्ट है। इसके अतिरिक्त, हम यह भी दिखा सकते हैं (cf. उदाहरण के लिए इसका समाधान ($$) फेनमैन-केएसी सूत्र द्वारा दिया गया है


 * $$\eta_n(x) =\frac{E\left(1_x(X_n)\prod_{p=0}^{n-1} G(X_p)\right)}{E\left(\prod_{p=0}^{n-1} G(X_p) \right)},$$

मार्कोव श्रृंखला के साथ $$X_n$$ प्रारंभिक वितरण के साथ $$\eta_0$$ और मार्कोव संक्रमण एम.

किसी फलन  के लिए $$f : S\to \mathbf{R}$$ अपने पास


 * $$\eta_n(f):=\sum_{x\in S}\eta_n(x)f(x) =\frac{E\left(f(X_n)\prod_{p=0}^{n-1}G(X_p)\right)}{E\left(\prod_{p=0}^{n-1} G(X_p)\right)}$$

यदि $$G(x)=1$$ इकाई कार्य है और $$\epsilon=1$$, तो हमारे पास हैं


 * $$K_{\eta_n}(x,y)=M(x,y)=\mathbf{P} \left( \left. X_{n+1}=y \right | X_n=x\right), \qquad \eta_n(x) =E\left(1_x(X_n)\right)=\mathbf{P}(X_n=x).$$

और समीकरण ($$) चैपमैन-कोलमोगोरोव समीकरण को कम करता है


 * $$\eta_{n+1}(y)=\sum_{x\in S}\eta_n(x)M(x,y) \qquad \Leftrightarrow \qquad \mathbf{P}\left(X_{n+1}=y\right) =\sum_{x\in S} \mathbf{P}(X_{n+1}=y|X_n=x) \mathbf{P}\left(X_n=x\right)$$

इस फेनमैन-केएसी मॉडल की माध्य क्षेत्र कण व्याख्या क्रमिक रूप से एन सशर्त रूप से स्वतंत्र यादृच्छिक चर के नमूने द्वारा परिभाषित की गई है $$\xi^{(N,i)}_{n+1}$$ संभाव्यता वितरण के साथ


 * $$K_{n+1,\eta_n^N}\left(\xi^{(N,i)}_n,y\right)=\epsilon G\left(\xi^{(N,i)}_n\right) M\left(\xi^{(N,i)}_n,y\right)+\left(1-\epsilon G\left(\xi^{(N,i)}_n\right)\right) \sum_{j=1}^N \frac{G\left(\xi^{(N,j)}_n\right)}{\sum_{k=1}^N G\left(\xi^{(N,k)}_n\right)} M\left(\xi^{(N,j)}_n,y\right)$$

दूसरे शब्दों में, संभावना के साथ $$\epsilon G\left(\xi^{(N,i)}_n\right)$$ कण $$\xi^{(N,i)}_n$$ एक नए राज्य में विकसित होता है $$\xi^{(N,i)}_{n+1}=y$$ संभाव्यता वितरण के साथ यादृच्छिक रूप से चुना गया $$M\left(\xi^{(N,i)}_n,y\right)$$; अन्यथा, $$\xi^{(N,i)}_n$$ एक नए स्थान पर कूदता है $$\xi^{(N,j)}_{n}$$ संभावना के आनुपातिक के साथ बेतरतीब ढंग से चुना गया $$G\left(\xi^{(N,j)}_n\right)$$ और एक नए राज्य में विकसित होता है $$\xi^{(N,i)}_{n+1}=y $$ संभाव्यता वितरण के साथ यादृच्छिक रूप से चुना गया $$M\left(\xi^{(N,j)}_n, y\right).$$ यदि $$G(x)=1$$ इकाई कार्य है और $$\epsilon=1$$, कण के बीच की बातचीत गायब हो जाती है और कण मॉडल मार्कोव श्रृंखला की स्वतंत्र प्रतियों के अनुक्रम में कम हो जाता है $$X_n$$. कब $$\epsilon=0$$ ऊपर वर्णित औसत क्षेत्र कण मॉडल फिटनेस फ़ंक्शन जी और उत्परिवर्तन संक्रमण एम के साथ एक सरल उत्परिवर्तन-चयन आनुवंशिक एल्गोरिथ्म को कम करता है। ये गैर-रैखिक मार्कोव श्रृंखला मॉडल और उनके औसत क्षेत्र कण व्याख्या को सामान्य मापनीय राज्य रिक्त स्थान पर गैर सजातीय मॉडल तक बढ़ाया जा सकता है ( संक्रमण अवस्था, पथ स्थान और यादृच्छिक भ्रमण स्थान सहित) और निरंतर समय मॉडल।

गॉसियन नॉनलाइनियर स्टेट स्पेस मॉडल
हम वास्तविक मूल्यवान यादृच्छिक चर के अनुक्रम पर विचार करते हैं $$\left (\overline{X}_0, \overline{X}_1, \cdots \right)$$ समीकरणों द्वारा क्रमिक रूप से परिभाषित

एक संग्रह के साथ $$W_n$$ स्वतंत्र सामान्य वितरण के यादृच्छिक चर, एक सकारात्मक पैरामीटर σ, कुछ कार्य $$a,b,c: \mathbf{R} \to \mathbf{R},$$ और कुछ मानक गाऊसी प्रारंभिक यादृच्छिक अवस्था $$\overline{X}_0$$. हम जाने $$\eta_n$$ यादृच्छिक स्थिति का संभाव्यता वितरण हो $$\overline{X}_n$$; अर्थात्, किसी भी परिबद्ध मापनीय फलन f के लिए, हमारे पास है


 * $$E\left(f(\overline{X}_n)\right)=\int_{\mathbf{R}} f(x) \eta_n(dx),$$

साथ


 * $$\mathbf{P} \left (\overline{X}_n\in dx \right )=\eta_n(dx)$$

इंटीग्रल लेबेस्ग इंटीग्रल है, और dx राज्य x के एक अतिसूक्ष्म पड़ोस के लिए है। श्रृंखला की मार्कोव प्रक्रिया किसी भी बंधे मापनीय कार्यों के लिए सूत्र द्वारा दी गई है


 * $$E\left( \left. f \left (\overline{X}_{n+1} \right ) \right |\overline{X}_n=x\right)=\int_{\mathbf{R}} K_{\eta_n}(x,dy) f(y),$$

साथ


 * $$K_{\eta_n}(x,dy)=\mathbf{P} \left ( \left.\overline{X}_{n+1}\in dy\right | \overline{X}_n=x \right )=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp{\left\{-\frac{1}{2\sigma^2}\left(y-\left[b(x)\int_{\mathbf{R}} a(z) \eta_n(dz)+c(x)\right]\right)^2\right\}} dy$$

सशर्त उम्मीदों की टावर संपत्ति का उपयोग करके हम सिद्ध करते हैं कि संभाव्यता वितरण $$\eta_n$$ अरेखीय समीकरण को संतुष्ट करें


 * $$\int_{\mathbf{R}} \eta_{n+1}(dy) f(y)=\int_{\mathbf{R}}\left[\int_{\mathbf{R}} \eta_n(dx)K_{\eta_n}(x,dy)\right] f(y)$$

किसी भी परिबद्ध मापनीय कार्यों के लिए f. यह समीकरण कभी-कभी अधिक संश्लिष्ट रूप में लिखा जाता है


 * $$\eta_{n+1} =\Phi\left(\eta_n\right)= \eta_nK_{\eta_n}\quad\Leftrightarrow\quad\eta_{n+1}(dy)= \left(\eta_nK_{\eta_n}\right)(dy) =\int_{x\in \mathbf{R}}\eta_n(dx)K_{\eta_n}(x,dy)$$

इस मॉडल की औसत क्षेत्र कण व्याख्या मार्कोव श्रृंखला द्वारा परिभाषित की गई है


 * $$\xi^{(N)}_n=\left(\xi^{(N,1)}_n, \cdots, \xi^{(N,N)}_n \right)$$

उत्पाद स्थान पर $$\mathbf{R}^N$$ द्वारा


 * $$\xi^{(N,i)}_{n+1}=\left(\frac{1}{N}\sum_{j=1}^N a\left(\xi^{(N,i)}_n\right)\right) b\left(\xi^{(N,i)}_n\right)+c\left(\xi^{(N,i)}_n\right)+\sigma W^i_n\qquad 1\leqslant i\leqslant N

$$ कहाँ


 * $$\xi^{(N)}_0= \left(\xi^{(N,1)}_0, \cdots, \xi^{(N,N)}_0\right), \qquad \left( W^1_n, \cdots, W^N_n\right)$$

एन की स्वतंत्र प्रतियों के लिए खड़ा है $$\overline{X}_0$$ और $$W_n; n \geqslant 1,$$ क्रमश। नियमित मॉडल के लिए (उदाहरण के लिए बंधे हुए लिप्सचिट्ज़ फ़ंक्शंस ए, बी, सी) हमारे पास लगभग सुनिश्चित अभिसरण है


 * $$ \frac{1}{N}\sum_{j=1}^N f\left(\xi^{(N,i)}_n\right)=\int_{\mathbf{R}} f(y) \eta^N_n(dy) \to_{N\uparrow\infty} E\left(f(\overline{X}_n)\right) = \int_{\mathbf{R}}f(y)\eta_n(dy),$$

अनुभवजन्य उपाय के साथ


 * $$ \eta^N_n=\frac{1}{N}\sum_{j=1}^N \delta_{\xi^{(N,i)}_n}$$

किसी भी बंधे हुए औसत अंकित े के कार्यों के लिए f (cf. उदाहरण के लिए ). उपरोक्त प्रदर्शन में, $$\delta_x$$ स्थिति x पर डायराक माप के लिए खड़ा है।

निरंतर समय कारण फ़ील्ड मॉडल
हम एक मानक ब्राउनियन गति पर विचार करते हैं $$\overline{W}_{t_n}$$ (उर्फ वीनर प्रोसेस) का मूल्यांकन टाइम मेश सीक्वेंस पर किया जाता है $$t_0=0<t_1<\cdots<t_n<\cdots$$ एक निश्चित समय कदम के साथ $$t_n-t_{n-1}=h$$. हम चुनते हैं $$c(x)=x$$ समीकरण में ($$), हम प्रतिस्थापित करते हैं $$b(x)$$ और σ द्वारा $$b(x) \times h$$ और $$\sigma \times \sqrt{h}$$, और हम लिखते हैं $$\overline{X}_{t_n}$$ के अतिरिक्त $$\overline{X}_n$$ समय कदम पर मूल्यांकन किए गए यादृच्छिक राज्यों के मूल्य $$t_n.$$ याद करते हुए $$\left(\overline{W}_{t_{n+1}}-\overline{W}_{t_n}\right)$$ विचरण के साथ स्वतंत्र केंद्रित गाऊसी यादृच्छिक चर हैं  $$t_n-t_{n-1} = h,$$ परिणामी समीकरण को निम्नलिखित रूप में फिर से लिखा जा सकता है

जब h → 0, उपरोक्त समीकरण अरैखिक प्रसार प्रक्रिया में परिवर्तित हो जाता है


 * $$d\overline{X}_{t}=E\left(a\left(\overline{X}_{t}\right)\right)b(\overline{X}_{t})dt+\sigma d\overline{W}_{t}$$

इन अरैखिक प्रसारों से जुड़ा माध्य क्षेत्र निरंतर समय मॉडल (अंतःक्रियात्मक) प्रसार प्रक्रिया है $$\xi^{(N)}_t=\left(\xi^{(N,i)}_t\right)_{1\leqslant i\leqslant N}$$ उत्पाद स्थान पर $$\mathbf{R}^N$$ द्वारा परिभाषित


 * $$d\xi^{(N,i)}_{t}=\left(\frac{1}{N}\sum_{j=1}^N a\left(\xi^{(N,i)}_t\right)\right)b\left(\xi^{(N,i)}_t\right)+\sigma d\overline{W}_{t}^i\qquad 1\leqslant i\leqslant N$$

कहाँ


 * $$\xi^{(N)}_0= \left(\xi^{(N,1)}_0, \cdots, \xi^{(N,N)}_0\right), \qquad \left( \overline{W}_{t}^1, \cdots, \overline{W}_t^N\right)$$

की स्वतंत्र प्रतियाँ हैं $$\overline{X}_0$$ और $$\overline{W}_t.$$ नियमित मॉडल के लिए (उदाहरण के लिए बाउंड लिप्सचिट्ज़ फ़ंक्शंस ए, बी) हमारे पास लगभग सुनिश्चित अभिसरण है


 * $$\frac{1}{N}\sum_{j=1}^N f\left(\xi^{(N,i)}_t\right)=\int_{\mathbf{R}} f(y) \eta^N_t(dy)\to_{N\uparrow\infty} E\left(f(\overline{X}_t)\right)=\int_{\mathbf{R}} f(y) \eta_t(dy)$$,

साथ $$\eta_t=\text{Law}\left(\overline{X}_{t}\right),$$ और अनुभवजन्य उपाय


 * $$ \eta^N_t=\frac{1}{N}\sum_{j=1}^N \delta_{\xi^{(N,i)}_t}$$

किसी भी बंधे हुए औसत अंकित े के कार्यों के लिए f (cf. उदाहरण के लिए। ). इन अरैखिक मार्कोव प्रक्रियाओं और उनके माध्य क्षेत्र कण व्याख्या को अंतःक्रियात्मक कूद-प्रसार प्रक्रियाओं तक बढ़ाया जा सकता है

बाहरी संबंध

 * Feynman-Kac models and interacting particle systems, theoretical aspects and a list of application domains of Feynman-Kac particle methods
 * Sequential Monte Carlo method and particle filters resources
 * Interacting Particle Systems resources
 * QMC in Cambridge and around the world, general information about Quantum Monte Carlo
 * EVOLVER Software package for stochastic optimisation using genetic algorithms
 * CASINO Quantum Monte Carlo program developed by the Theory of Condensed Matter group at the Cavendish Laboratory in Cambridge
 * Biips is a probabilistic programming software for Bayesian inference with interacting particle systems.