वर्गमूल

गणित में, किसी संख्या $\sqrt{25} = 5$ का वर्गमूल एक संख्या $25 = 5 &sdot; 5$ है जैसे कि $5^{2}$; दूसरे शब्दों में, एक संख्या $x$ जिसका वर्ग (बीजगणित) (संख्या को उसी से गुणा करने का परिणाम, या $y$ ⋅ $y^{2} = x$) $y$ है । उदाहरण के लिए, 4 और -4 16 के वर्गमूल हैं, क्योंकि $y$।

प्रत्येक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या $y$ का एक अद्वितीय गैर-ऋणात्मक वर्गमूल होता है, जिसे मुख्य वर्गमूल कहा जाता है, जिसे $$\sqrt{x}$$ द्वारा निरूपित किया जाता है, जहाँ प्रतीक $$\sqrt{~^~}$$ को मूल चिह्न या मूलांक कहा जाता है। उदाहरण के लिए, इस तथ्य को व्यक्त करने के लिए कि 9 का मुख्य वर्गमूल 3 है, हम $$\sqrt{9} = 3$$ लिखते हैं। जिस शब्द (या संख्या) का वर्गमूल माना जा रहा है, उसे रेडिकैंड कहा जाता है। रेडिकैंड मूलांक चिह्न के नीचे की संख्या या अभिव्यक्ति है, इस स्थिति में 9। गैर-ऋणात्मक $x$ के लिए, मुख्य वर्गमूल को घातांक संकेतन में $4^{2} = (−4)^{2} = 16$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।

प्रत्येक धनात्मक संख्या $x$ के दो वर्गमूल होते हैं: $$\sqrt{x}$$ (जो धनात्मक है) और $$-\sqrt{x}$$ (जो ऋणात्मक है)। $$\plusmn\sqrt{x}$$ के रूप में धन–ऋण चिह्न ± चिह्न का उपयोग करके दो मूलों को अधिक संक्षिप्त रूप से लिखा जा सकता है। यद्यपि एक धनात्मक संख्या का मुख्य वर्गमूल उसके दो वर्गमूलों में से मात्र एक होता है, वर्गमूल पद का प्रयोग प्रायः मुख्य वर्गमूल को संदर्भित करने के लिए किया जाता है।

जटिल संख्याओं की संरचना के भीतर ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूलों पर चर्चा की जा सकती है। अधिक सामान्यतः, किसी भी संदर्भ में वर्गमूल पर विचार किया जा सकता है जिसमें गणितीय वस्तु के वर्ग (बीजगणित) की धारणा परिभाषित की जाती है। इनमें अन्य गणितीय संरचनाओं के बीच फलन समष्‍टि और वर्ग आव्यूह सम्मिलित हैं।

इतिहास
येल बेबीलोनियन संग्रह वाईबीसी 7289 मिट्टी की गोली 1800 ईसा पूर्व और 1600 ईसा पूर्व के बीच बनाया गया था, जिसमें $$\sqrt{2}$$ तथा $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ को क्रमशः 1; 24, 51, 10 और 0; 42, 25, 35 आधार 60 संख्याओं को दो विकर्णों द्वारा पार किए गए वर्ग पर दिखाया गया था। (1;24,51,10) आधार 60 1.41421296 के अनुरूप है, जो 5 दशमलव बिंदुओं (1.41421356...) का संशुद्ध मान है।

द रिहंद गणितीय पेपिरस 1650 ईसा पूर्व के बर्लिन पपीरस 6619 और अन्य ग्रंथों की एक प्रति है – पोस्सिब्ल्य थे कहुँ पेपिरस – यह दर्शाता है कि कैसे मिस्रियों ने व्युत्क्रम अनुपात विधि द्वारा वर्गमूल निकाले।

भारत के इतिहास में, वर्ग और वर्गमूल के सैद्धांतिक और अनुप्रयुक्त स्वरूपों का ज्ञान कम से कम उतना ही प्राचीन था जितना कि लगभग 800-500 ईसा पूर्व का सुल्ब सूत्र (संभवतः बहुत पूर्व)। बौधायन सुल्बा सूत्र में 2 और 3 के वर्गमूलों का बहुत ठीक सन्निकटन ज्ञात करने की एक विधि दी गई है। आर्यभट ने आर्यभटीय (भाग 2.4) में अनेक अंकों वाली संख्याओं का वर्गमूल ज्ञात करने की एक विधि दी है।

यह प्राचीन यूनानियों को ज्ञात था कि प्राकृतिक संख्या के वर्गमूल जो वर्ग संख्या नहीं हैं, सदैव अपरिमेय संख्याएँ होती हैं: संख्याएँ दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में अभिव्यक्त नहीं होती हैं (अर्थात, उन्हें ठीक $\frac{m}{n}$ के रूप में नहीं लिखा जा सकता है, जहाँ m और n पूर्णांक हैं)। यह प्रमेय X, 9, है, जो लगभग निश्चित रूप से थेएटेटस (गणितज्ञ) के कारण लगभग 380 ईसा पूर्व का है। 2 के वर्गमूल की विशेष स्थिति पाइथागोरसवाद से पूर्व का माना जाता है, और पारंपरिक रूप से हिपपासस को उत्तरदायी ठहराया जाता है। यह एक इकाई वर्ग के विकर्ण की लंबाई है।

प्रारंभिक हान राजवंश के समय 202 ईसा पूर्व और 186 ईसा पूर्व के बीच लिखे गए चीनी गणितीय कार्य रेकनिंग पर लेखन में, वर्गमूल को एक अतिरिक्त और न्यूनता विधि का उपयोग करके अनुमानित किया जाता है, जो कहता है कि "... अधिकता और न्यूनता को विभाजक के रूप में संयोजित करें; (लेना) न्यूनता अंश को अतिरिक्त भाजक से गुणा करना और अतिरिक्त अंश को न्यूनता भाजक से गुणा करना, उन्हें लाभांश के रूप में संयोजित करना।"

वर्गमूल के लिए एक प्रतीक, जिसे एक विस्तृत R के रूप में लिखा गया है, का आविष्कार रेजीओमोंटानस (1436-1476) द्वारा किया गया था। जेरोम कार्डानो के एर्स मैग्ना (गेरोलामो कार्डानो) में वर्गमूलों को इंगित करने के लिए मूलांक के लिए एक R का भी उपयोग किया गया था।

गणित के इतिहासकार के अनुसार डेविड यूजीन स्मिथ के अनुसार, आर्यभट्ट की वर्गमूल ज्ञात करने की विधि को सबसे पूर्व यूरोप में गियाकोमो कैटेनो के पीटर द्वारा 1546 में प्रस्तुत किया गया था।

जेफरी ए. ओक्स के अनुसार, अरबों ने शब्द جذر के पहले अक्षर jim/ĝīm (ج) (विभिन्न लिप्यंतरण के रूप में jaḏr, jiḏr, ǧaḏr या ǧiḏr, "वर्गमूल ") का प्रयोग किया, जो इसके वर्गमूल को इंगित करने के लिए एक संख्या पर इसके प्रारंभिक रूप (ﺟ) में रखा गया था। जिम अक्षर वर्तमान वर्गमूल आकार जैसा दिखता है। मोरक्को के गणितज्ञ इब्न अल -यासमीन के कार्यों में बारहवीं शताब्दी के अंत तक इसका उपयोग होता है।

वर्गमूल के लिए प्रतीक √ का उपयोग पहली बार 1525 में क्रिस्टोफ रूडोल्फ के कॉस में मुद्रण किया गया था।

गुण और उपयोग
प्रमुख वर्ग वर्गमूल फलन $$f(x) = \sqrt{x}$$ (सामान्यतः मात्र वर्ग वर्गमूल फलन के रूप में संदर्भित किया जाता है) एक फलन (गणित) है जो गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के समुच्चय (गणित) को स्वयं पर प्रतिचित्रित करता है। ज्यामिति के संदर्भ में, वर्गमूल फलन एक वर्ग के क्षेत्रफल को उसकी भुजा की लंबाई से प्रतिचित्रित करता है।

x का वर्गमूल परिमेय है यदि और मात्र यदि x एक परिमेय संख्या है जिसे दो पूर्ण वर्गों के अनुपात के रूप में दर्शाया जा सकता है। (प्रमाण के लिए 2 का वर्गमूल देखें कि यह एक अपरिमेय संख्या है, और सभी गैर-वर्ग प्राकृतिक संख्याओं के प्रमाण के लिए द्विघात अपरिमेय है।) वर्गमूल फलन परिमेय संख्याओं को बीजगणितीय संख्याओं में प्रतिचित्रित करता है, बाद वाला परिमेय संख्याओं का अधिसमुच्चय होता है। )।

सभी वास्तविक संख्याओं x के लिए,



\sqrt{x^2} = \left|x\right| = \begin{cases} x, & \mbox{if }x \ge 0 \\ -x, & \mbox{if }x < 0. \end{cases} $$ (पूर्ण मान देखें)

सभी गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं x और y,


 * $$\sqrt{xy} = \sqrt x \sqrt y$$

तथा


 * $$\sqrt x = x^{1/2}$$ के लिए।

वर्गमूल फलन सभी गैर-ऋणात्मक x के लिए सतत फलन है, और सभी धनात्मक x के लिए व्युत्पन्न है। यदि f वर्गमूल फलन को दर्शाता है, जिसका व्युत्पन्न इस प्रकार दिया जाता है:
 * $$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt x}.$$

x = 0 के विषय में $$\sqrt{1 + x}$$ की टेलर श्रृंखला है $x$ ≤ 1 के लिए अभिसरण करती है, और


 * $$\sqrt{1 + x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)(n!)^2(4^n)}x^n = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \cdots$$ द्वारा दी जाती है,

एक गैर-ऋणात्मक संख्या के वर्गमूल का उपयोग यूक्लिडियन मानदंड (और यूक्लिडियन दूरी) की परिभाषा के साथ-साथ हिल्बर्ट रिक्त समष्‍टि जैसे सामान्यीकरण में किया जाता है। यह संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में प्रयुक्त मानक विचलन की एक महत्वपूर्ण अवधारणा को परिभाषित करता है। द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र में इसका प्रमुख उपयोग है; द्विघात क्षेत्र और द्विघात पूर्णांक के वलय, जो वर्गमूल पर आधारित होते हैं, बीजगणित में महत्वपूर्ण होते हैं और ज्यामिति में उपयोग होते हैं। वर्गमूल प्रायः गणितीय सूत्रों के साथ-साथ कई भौतिकी नियमों में भी दिखाई देते हैं।

धनात्मक पूर्णांकों का वर्गमूल
एक धनात्मक संख्या के दो वर्गमूल होते हैं, एक धनात्मक और एक ऋणात्मक, जो एक दूसरे के विपरीत (गणित) होते हैं। जब किसी धनात्मक पूर्णांक के वर्गमूल की बात की जाती है, तो सामान्यतः इसका अर्थ धनात्मक वर्गमूल होता है।

एक पूर्णांक के वर्गमूल बीजगणितीय पूर्णांक होते हैं - विशेष रूप से द्विघात पूर्णांक।

एक धनात्मक पूर्णांक का वर्गमूल उसके अभाज्य संख्या कारकों की मूलों का गुणनफल होता है, क्योंकि किसी गुणनफल का वर्गमूल गुणनखंडों के वर्गमूलों का गुणनफल होता है। $$\sqrt{p^{2k}} = p^k$$ के बाद से, मात्र उन अभाज्यों की मूल जिनके गुणनखंड में विषम घात होती है, आवश्यक हैं। अधिक यथार्थ रूप से, एक अभाज्य गुणनखंड का वर्गमूल
 * $$\sqrt{p_1^{2e_1+1}\cdots p_k^{2e_k+1}p_{k+1}^{2e_{k+1}}\dots p_n^{2e_n}}=p_1^{e_1}\dots p_n^{e_n}\sqrt{p_1\dots p_k}$$ है।

दशमलव विस्तार के रूप में
वर्ग संख्याओं के वर्गमूल (जैसे, 0, 1, 4, 9, 16) पूर्णांक हैं। अन्य सभी स्थितियों में, धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय संख्याएँ होते हैं, और इसलिए उनके दशमलव निरूपण में गैर-दोहराव वाले दशमलव होते हैं। प्रथम कुछ प्राकृत संख्याओं के वर्गमूलों का दशमलव सन्निकटन निम्नलिखित सारणी में दिया गया है।


 * {|class="wikitable"

! $|x|$ !! $$\sqrt{n},$$ 50 दशमलव स्थानों तक छिन्न किया गया
 * align="right" | 0 || 0
 * align="right" | 1 || 1
 * align="right" | 2 || 1.4142135623 7309504880  1688724209  6980785696  7187537694
 * align="right" | 3 || 1.7320508075 6887729352  7446341505  8723669428  0525381038
 * align="right" | 4 || 2
 * align="right" | 5 || 2.2360679774 9978969640  9173668731  2762354406  1835961152
 * align="right" | 6 || 2.4494897427 8317809819  7284074705  8913919659  4748065667
 * align="right" | 7 || 2.6457513110 6459059050  1615753639  2604257102  5918308245
 * align="right" | 8 || 2.8284271247 4619009760  3377448419  3961571393  4375075389
 * align="right" | 9 || 3
 * align="right" | 10 || 3.1622776601 6837933199  8893544432  7185337195  5513932521
 * }
 * align="right" | 6 || 2.4494897427 8317809819  7284074705  8913919659  4748065667
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 * }
 * }

अन्य अंक प्रणालियों में विस्तार के रूप में
पूर्व के जैसे, वर्ग संख्याओं के वर्गमूल (जैसे, 0, 1, 4, 9, 16) पूर्णांक हैं। अन्य सभी स्थितियों में, धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय संख्याएँ होते हैं, और इसलिए किसी भी मानक स्थितीय संकेतन प्रणाली में गैर-दोहराए जाने वाले अंक होते हैं।

छोटे पूर्णांकों के वर्गमूलों का उपयोग एसएचए-1 और एसएचए-2 हैश फलन डिज़ाइन दोनों में किया जाता है ताकि मेरी खोल संख्याओं को कुछ भी प्रदान न किया जा सके।

आवधिक निरंतर अंशों के रूप में
निरंतर भिन्नों के रूप में अपरिमेय संख्याओं के अध्ययन से सबसे रुचिपूर्ण परिणामों में से एक जोसेफ लुइस लाग्रेंज c. 1780 द्वारा प्राप्त किया गया था। लैग्रेंज ने पाया कि किसी भी गैर-वर्ग धनात्मक पूर्णांक के वर्गमूल का एक निरंतर अंश के रूप में प्रतिनिधित्व आवधिक निरंतर अंश है। अर्थात्, आंशिक भाजक का एक निश्चित प्रतिरूप निरंतर भिन्न में अनिश्चित काल तक दोहराता है। एक अर्थ में ये वर्गमूल सबसे सरल अपरिमेय संख्याएँ हैं, क्योंकि इन्हें पूर्णांकों के सरल दोहराव प्रतिरूप के साथ दर्शाया जा सकता है।



ऊपर प्रयुक्त वर्ग कोष्ठक संकेतन एक निरंतर अंश के लिए एक संक्षिप्त रूप है। अधिक विचारोत्तेजक बीजगणितीय रूप में लिखा गया, 11 के वर्गमूल के लिए सरल निरंतर अंश, [3; 3, 6, 3, 6, ...], ऐसा दिखता है:
 * align="right"|$$\sqrt{2}$$|| = [1; 2, 2, ...]
 * align="right"|$$\sqrt{3}$$|| = [1; 1, 2, 1, 2, ...]
 * align="right"|$$\sqrt{4}$$|| = [2]
 * align="right"|$$\sqrt{5}$$|| = [2; 4, 4, ...]
 * align="right"|$$\sqrt{6}$$|| = [2; 2, 4, 2, 4, ...]
 * align="right"|$$\sqrt{7}$$|| = [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, ...]
 * align="right"|$$\sqrt{8}$$||= [2; 1, 4, 1, 4, ...]
 * align="right"|$$\sqrt{9}$$|| = [3]
 * align="right"|$$\sqrt{10}$$|| = [3; 6, 6, ...]
 * align="right"|$$\sqrt{11}$$|| = [3; 3, 6, 3, 6, ...]
 * align="right"|$$\sqrt{12}$$|| = [3; 2, 6, 2, 6, ...]
 * align="right"|$$\sqrt{13}$$|| = [3; 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, ...]
 * align="right"|$$\sqrt{14}$$|| = [3; 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, ...]
 * align="right"|$$\sqrt{15}$$|| = [3; 1, 6, 1, 6, ...]
 * align="right"|$$\sqrt{16}$$|| = [4]
 * align="right"|$$\sqrt{17}$$|| = [4; 8, 8, ...]
 * align="right"|$$\sqrt{18}$$|| = [4; 4, 8, 4, 8, ...]
 * align="right"|$$\sqrt{19}$$|| = [4; 2, 1, 3, 1, 2, 8, 2, 1, 3, 1, 2, 8, ...]
 * align="right"|$$\sqrt{20}$$|| = [4; 2, 8, 2, 8, ...]
 * }
 * align="right"|$$\sqrt{12}$$|| = [3; 2, 6, 2, 6, ...]
 * align="right"|$$\sqrt{13}$$|| = [3; 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, ...]
 * align="right"|$$\sqrt{14}$$|| = [3; 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, ...]
 * align="right"|$$\sqrt{15}$$|| = [3; 1, 6, 1, 6, ...]
 * align="right"|$$\sqrt{16}$$|| = [4]
 * align="right"|$$\sqrt{17}$$|| = [4; 8, 8, ...]
 * align="right"|$$\sqrt{18}$$|| = [4; 4, 8, 4, 8, ...]
 * align="right"|$$\sqrt{19}$$|| = [4; 2, 1, 3, 1, 2, 8, 2, 1, 3, 1, 2, 8, ...]
 * align="right"|$$\sqrt{20}$$|| = [4; 2, 8, 2, 8, ...]
 * }
 * align="right"|$$\sqrt{17}$$|| = [4; 8, 8, ...]
 * align="right"|$$\sqrt{18}$$|| = [4; 4, 8, 4, 8, ...]
 * align="right"|$$\sqrt{19}$$|| = [4; 2, 1, 3, 1, 2, 8, 2, 1, 3, 1, 2, 8, ...]
 * align="right"|$$\sqrt{20}$$|| = [4; 2, 8, 2, 8, ...]
 * }
 * align="right"|$$\sqrt{19}$$|| = [4; 2, 1, 3, 1, 2, 8, 2, 1, 3, 1, 2, 8, ...]
 * align="right"|$$\sqrt{20}$$|| = [4; 2, 8, 2, 8, ...]
 * }
 * }



\sqrt{11} = 3 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{3 + \ddots}}}}} $$ जहां आंशिक भाजक में दो अंकों का प्रतिरूप {3, 6} बार-बार दोहराता है। चूंकि 11 = 32 + 2, उपरोक्त भी निम्नलिखित सामान्यीकृत निरंतर अंशों के समान है:



\sqrt{11} = 3 + \cfrac{2}{6 + \cfrac{2}{6 + \cfrac{2}{6 + \cfrac{2}{6 + \cfrac{2}{6 + \ddots}}}}} = 3 + \cfrac{6}{20 - 1 - \cfrac{1}{20 - \cfrac{1}{20 - \cfrac{1}{20 - \cfrac{1}{20 - \ddots}}}}}. $$

संगणना
धनात्मक संख्याओं के वर्गमूल सामान्य परिमेय संख्याओं में नहीं होते हैं, और इसलिए इन्हें सांत या आवर्ती दशमलव व्यंजक के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। इसलिए सामान्यतः दशमलव रूप में व्यक्त वर्गमूल की गणना करने का कोई भी प्रयास मात्र सन्निकटन प्राप्त कर सकता है, यद्यपि तीव्रता से यथार्थ सन्निकटन का एक क्रम प्राप्त किया जा सकता है।

अधिकांश पॉकेट कैलकुलेटर में एक वर्गमूल कुंजी होती है। कंप्यूटर स्प्रेडशीट और अन्य सॉफ़्टवेयर भी प्रायः वर्गमूलों की गणना के लिए उपयोग किए जाते हैं। पॉकेट कैलकुलेटर सामान्यतः एक धनात्मक वास्तविक संख्या के वर्गमूल की गणना करने के लिए न्यूटन की विधि (प्रायः 1 के प्रारंभिक अनुमान के साथ) जैसे कुशल परिच्छेदन को लागू करते हैं। सामान्य लघुगणक या स्लाइड नियमों के साथ वर्गमूल की गणना करते समय, कोई सर्वसमिका


 * $$\sqrt{a} = e^{(\ln a)/2} = 10^{(\log_{10} a)/2}$$

का उपयोग कर सकता है, जहां $x$ तथा $x^{1/2}$10 प्राकृतिक लघुगणक और आधार-10 लघुगणक हैं।

परीक्षण और त्रुटि के द्वारा, कोई $$\sqrt{a}$$ के लिए एक अनुमान को वर्गाकार कर सकता है और अनुमान को तब तक बढ़ा या घटा सकता है जब तक कि वह पर्याप्त यथार्थता से सहमत न हो। इस तकनीक के लिए तत्समक


 * $$(x + c)^2 = x^2 + 2xc + c^2$$

का उपयोग करना विवेकपूर्ण है, क्योंकि यह अनुमान x को कुछ राशि c से समायोजित करने की अनुमति देता है और मूल अनुमान और उसके वर्ग के संदर्भ में समायोजन के वर्ग को मापता है। इसके अतिरिक्त, (x + c) 2 ≈ x 2 + 2xc जब c 0 के निकट है, क्योंकि c = 0 पर x 2 + 2xc + c 2 के ग्राफ की स्पर्श रेखा, अकेले c के कार्य के रूप में, y= 2xc + x 2 है। इस प्रकार, 2xc को a, या c = a/(2x) पर समूहित करके x में छोटे समायोजन की योजना बनाई जा सकती है।

पहली सदी के ग्रीक दार्शनिक अलेक्जेंड्रिया के हीरो के बाद हाथ से वर्गमूल गणना की सबसे सामान्य पुनरावृत्त विधि को बेबीलोनियन विधि या हेरॉन की विधि के रूप में जाना जाता है, जिसने पहली बार इसका वर्णन किया था।

विधि उसी पुनरावृत्त योजना का उपयोग करती है जो न्यूटन-रैफसन विधि फलन y = f (x) = x2 − a, पर लागू होने पर प्राप्त होती है, इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि किसी भी बिंदु पर इसकी प्रवणता dy/dx = है (x) = 2x, परन्तु इससे कई शताब्दियों पूर्व का है। एल्गोरिदम एक साधारण गणना को दोहराना है जिसके परिणामस्वरूप प्रत्येक बार वास्तविक वर्गमूल के निकट एक संख्या होती है जिसे नवीन निवेश के रूप में इसके परिणाम के साथ दोहराया जाता है। प्रेरणा यह है कि यदि x एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या a के वर्गमूल से अधिक है तो a/x एक कम अनुमान होगा और इसलिए इन दोनों संख्याओं का औसत दोनों में से किसी एक से ठीक सन्निकटन है। यद्यपि, अंकगणित और ज्यामितीय साधनों की असमानता से पता चलता है कि यह औसत सदैव वर्गमूल (जैसा कि नीचे उल्लेख किया गया है) का एक अधिमूल्यन है, और इसलिए यह एक नवीन अधिमूल्यांकन के रूप में काम कर सकता है जिसके साथ प्रक्रिया को दोहराया जा सकता है, जो क्रमिक परिणामस्वरूप अनुक्रम की सीमा और प्रत्येक पुनरावृत्ति के बाद एक दूसरे के निकट होने को कम करके आंकते हैं। X खोजने के लिए:


 * 1) एक यादृच्छिक धनात्मक प्रारंभ मान x से प्रारंभ करें। a के वर्गमूल के जितना निकट होगा, वांछित यथार्थता प्राप्त करने के लिए उतने ही कम पुनरावृत्तियों की आवश्यकता होगी।
 * 2) x को औसत (x + a/x) / 2 से x और a/x के बीच बदलें।
 * 3) x के नवीन मान के रूप में इस औसत का उपयोग करके चरण 2 से दोहराएं।

यही है, यदि $$\sqrt{a}$$ के लिए यादृच्छिक अनुमान x0 है, और xn + 1 = (xn + a/xn) / 2 है, तो प्रत्येक xn $$\sqrt{a}$$ का एक अनुमान है जो छोटे n के सन्निकटन बड़े n के लिए ठीक है। यदि a धनात्मक है, अभिसरण अभिसरण की दर है, जिसका अर्थ है कि सीमा तक पहुँचने पर, प्रत्येक अगले पुनरावृत्ति में संशुद्ध अंकों की संख्या साधारणतया दोगुनी हो जाती है। यदि a = 0, अभिसरण मात्र रेखीय होता है।

तत्समक


 * $$\sqrt{a} = 2^{-n}\sqrt{4^n a},$$

का उपयोग करके, धनात्मक संख्या के वर्गमूल की गणना को श्रेणी $n$ में किसी संख्या के वर्गमूल तक कम किया जा सकता है। यह पुनरावृत्त विधि के लिए एक प्रारंभ मान खोजने को सरल करता है जो वर्गमूल के निकट है, जिसके लिए एक बहुपद फलन या टुकड़े-रैखिक सन्निकटन सिद्धांत का उपयोग किया जा सकता है।

यथार्थता के n अंकों के साथ एक वर्गमूल की गणना के लिए संगणनात्मक जटिलता सिद्धांत दो n-अंकों की संख्या को गुणा करने के बराबर है।

वर्गमूल की गणना के लिए एक अन्य उपयोगी विधि nवें वर्गमूल एल्गोरिदम को समष्‍टिांतरित करना है, जिसे n = 2 के लिए लागू किया जाता है।

वर्गमूल फलन (प्रोग्रामन) का नाम प्रोग्रामन भाषा से लेकर प्रोग्रामन भाषा तक भिन्न है, जिसमें (प्रायः उच्चारित धार ) सामान्य होता है, C (प्रोग्रामन भाषा), C++, और जावास्क्रिप्ट, पीएचपी, और पायथन (प्रोग्रामन भाषा) जैसी व्युत्पन्न भाषाओं में उपयोग किया जाता है।

ऋणात्मक और जटिल संख्याओं के वर्गमूल
किसी भी धनात्मक या ऋणात्मक संख्या का वर्ग धनात्मक होता है, और 0 का वर्ग 0 होता है। इसलिए, किसी भी ऋणात्मक संख्या का वास्तविक वर्गमूल नहीं हो सकता है। यद्यपि, संख्याओं के अधिक समावेशी समुच्चय के साथ काम करना संभव है, जिसे जटिल संख्याएँ कहा जाता है, जिसमें ऋणात्मक संख्या के वर्गमूल का हल होता है। यह एक नवीन संख्या को प्रस्तुत करके किया जाता है, जिसे i (कभी-कभी j, विशेष रूप से विद्युत प्रवाह के संदर्भ में जहां मैं पारंपरिक रूप से विद्युत प्रवाह का प्रतिनिधित्व करता है) द्वारा निरूपित किया जाता है और इसे काल्पनिक इकाई कहा जाता है, जिसे i2 = −1 के रूप में परिभाषित किया गया है। इस अंकन का उपयोग करके, हम i को -1 का वर्गमूल मान सकते हैं, परन्तु हमारे निकट (−i)2 = i2 = −1 भी है और इसलिए -i भी -1 का एक वर्गमूल है। परिपाटी के अनुसार, -1 का मुख्य वर्गमूल i है, या अधिक सामान्यतः, यदि x कोई गैर-ऋणात्मक संख्या है, तो -x का मुख्य वर्गमूल


 * $$\sqrt{-x} = i \sqrt x$$ है।

दायां पक्ष (साथ ही इसका ऋणात्मक) वस्तुतः -x का एक वर्गमूल है, क्योंकि


 * $$(i\sqrt x)^2 = i^2(\sqrt x)^2 = (-1)x = -x.$$

प्रत्येक गैर-शून्य सम्मिश्र संख्या z के लिए ठीक दो संख्याएँ w स्थित होती हैं जैसे कि w2 = z: z का मुख्य वर्गमूल (नीचे परिभाषित), और इसका ऋणात्मक।

एक सम्मिश्र संख्या का मूल वर्गमूल
वर्गमूल के लिए एक परिभाषा खोजने के लिए जो हमें निरंतर एक मान चुनने की अनुमति देता है, जिसे प्रमुख मान कहा जाता है, हम यह देखकर प्रारम्भ करते हैं कि किसी भी सम्मिश्र संख्या $$x + i y$$ को समतल में एक बिंदु के रूप में देखा जा सकता है,$$(x, y),$$ कार्तीय निर्देशांक का उपयोग करके व्यक्त किया गया। जोड़ी $$(r, \varphi)$$ के रूप में ध्रुवीय निर्देशांक का उपयोग करके एक ही बिंदु को दोबारा परिभाषित किया जा सकता है, जहां $$r \geq 0$$ मूल से बिंदु की दूरी है, और $$\varphi$$ वह कोण है जो मूल से बिंदु तक की रेखा धनात्मक वास्तविक ($$x$$) अक्ष के साथ बनाती है। जटिल विश्लेषण में, इस बिंदु का स्थान पारंपरिक रूप से $$r e^{i\varphi}$$ लिखा जाता है। यदि $$z = r e^{i \varphi} \text{ with } -\pi < \varphi \leq \pi,$$ तो $$z$$ का निम्नलिखित के रूप में परिभाषित किया गया है: $$\sqrt{z} = \sqrt{r} e^{i \varphi / 2}.$$ मुख्य वर्ग वर्गमूल फलन इस प्रकार गैर-धनात्मक वास्तविक अक्ष का उपयोग शाखा बिन्दु के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि $$z$$ गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या है (जो तब होता है यदि और मात्र यदि $$\varphi = 0$$) तो $$z$$ का मुख्य वर्गमूल $$\sqrt{r} e^{i (0) / 2} = \sqrt{r}$$ है; दूसरे शब्दों में, एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या का मुख्य वर्गमूल मात्र सामान्य गैर-ऋणात्मक वर्गमूल होता है। यह महत्वपूर्ण है कि $$-\pi < \varphi \leq \pi$$ क्योंकि यदि, उदाहरण के लिए, $$z = - 2 i$$ (इसलिए $$\varphi = -\pi/2$$) तो मुख्य वर्गमूल $$\sqrt{-2 i} = \sqrt{2 e^{i\varphi}} = \sqrt{2} e^{i\varphi/2} = \sqrt{2} e^{i(-\pi/4)} = 1 - i$$ है, परन्तु $$\tilde{\varphi} := \varphi + 2 \pi = 3\pi/2$$ का उपयोग करने के अतिरिक्त अन्य वर्गमूल$$\sqrt{2} e^{i\tilde{\varphi}/2} = \sqrt{2} e^{i(3\pi/4)} = -1 + i = - \sqrt{-2 i}$$ का उत्पादन होगा। मुख्य वर्ग वर्गमूल फलन गैर-धनात्मक वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को छोड़कर प्रत्येक समष्‍टि पूर्णसममितिक फलन है (दृढ़ता से ऋणात्मक वास्तविक पर यह संतत फलन भी नहीं है)। $$\sqrt{1 + x}$$ के लिए उपरोक्त टेलर श्रृंखला जटिल संख्या $$x$$ के लिए $$|x| < 1$$ के साथ मान्य है। उपरोक्त को त्रिकोणमितीय फलनों के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है: $$\sqrt{r \left(\cos \varphi + i \sin \varphi \right)} = \sqrt{r} \left(\cos \frac{\varphi}{2} + i \sin \frac{\varphi}{2} \right).$$

बीजगणितीय सूत्र
जब संख्या को उसके वास्तविक और काल्पनिक भागों का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है, तो निम्नलिखित सूत्र का उपयोग मुख्य वर्गमूल के लिए किया जा सकता है:
 * $$\sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}} +i\sgn(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}},$$

जहाँ $x$ $[1,4)$ का चिह्न है (अतिरिक्त इसके कि यहाँ, sgn(0) = 1)। विशेष रूप से, मूल संख्या के काल्पनिक भाग और उसके वर्गमूल के मुख्य मान का चिह्न समान होता है। वर्गमूल के मुख्य मान का वास्तविक भाग सदैव गैर-ऋणात्मक होता है।

उदाहरण के लिए, के प्रमुख वर्गमूल $ln$ द्वारा दिया गया है:
 * $$\begin{align}

\sqrt{i} &= \frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i),\\ \sqrt{-i} &= \frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1-i). \end{align}$$

टिप्पणियाँ
निम्नलिखित में, जटिल z और w को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:


 * $$ z=|z|e^{i \theta_z}$$
 * $$ w=|w|e^{i \theta_w}$$

जहाँ $$-\pi<\theta_z\le\pi$$ और $$-\pi<\theta_w\le\pi$$।

जटिल तल में वर्गमूल फलन की विच्छिन्न प्रकृति के कारण, निम्नलिखित नियम सामान्य रूप से सत्य नहीं हैं।


 * $$\sqrt{zw} = \sqrt{z} \sqrt{w}$$ मुख्य वर्गमूल के लिए प्रति उदाहरण: $log$ और $sgn(y)$ यह समानता तभी मान्य है जब $$-\pi<\theta_z+\theta_w\le\pi$$
 * $$\frac{\sqrt{w}}{\sqrt z} = \sqrt{\frac{w}{z}}$$ मुख्य वर्गमूल के लिए प्रति उदाहरण: $±i$ और $z = −1$ यह समानता तभी मान्य होती है जब $$-\pi<\theta_w-\theta_z\le\pi$$
 * $$\sqrt{z^*} = \left( \sqrt z \right)^*$$ मुख्य वर्गमूल के लिए प्रति उदाहरण: $w = −1$) यह समानता तभी मान्य होती है जब $$\theta_z\ne\pi$$

शाखाओं में कटौती के साथ अन्य जटिल कार्यों के साथ एक समान समस्या दिखाई देती है, उदाहरण के लिए, जटिल लघुगणक और संबंध $w = 1$ या $z = −1$ जो सामान्य रूप से सत्य नहीं हैं।

अनुचित विधि से इन नियमों में से एक को मानने से कई दोषपूर्ण "प्रमाण" मिलते हैं, उदाहरण के लिए निम्नलिखित एक दिखा रहा है कि $z = −1$:



\begin{align} -1 &= i \cdot i \\ &= \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} \\ &= \sqrt{\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)} \\ &= \sqrt{1} \\ &= 1. \end{align} $$

तीसरी समानता को उचित नहीं ठहराया जा सकता ( अमान्य प्रमाण देखें)। इसे √ के अर्थ को बदलकर धारण करने के लिए बनाया जा सकता है ताकि यह अब मुख्य वर्गमूल का प्रतिनिधित्व न करे (ऊपर देखें) परन्तु वर्गमूल के लिए एक शाखा का चयन करता है जिसमें $$\sqrt{1}\cdot\sqrt{-1}$$ सम्मिलित है। बाएं हाथ की ओर या तो


 * $$\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}=i \cdot i=-1$$

हो जाता है यदि शाखा में +i या


 * $$\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}=(-i) \cdot (-i)=-1$$

सम्मिलित है यदि शाखा में -i सम्मिलित है, जबकि दाहिनी ओर


 * $$\sqrt{\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)}=\sqrt{1}=-1,$$

बन जाता है जहां अंतिम समानता, $$\sqrt{1} = -1,$$ की पुनर्परिभाषा में शाखा के चयन का परिणाम है।

N सम्मिलित मूल और बहुपद मूल
$$x$$ के वर्गमूल की एक संख्या $$y$$ के रूप में परिभाषा जैसे कि $$y^2 = x$$ को निम्नलिखित विधियों से सामान्यीकृत किया गया है।

$$x$$ का घनमूल एक संख्या $$y$$ है जैसे कि $$y^3 = x$$; इसे $$\sqrt[3]x$$ निरूपित किया जाता है।

यदि $i$ दो से अधिक पूर्णांक है, तो $$x$$ का $y$वां मूल एक संख्या $$y$$ है जैसे कि $$y^n = x$$; इसे $$\sqrt[n]x$$ निरूपित किया जाता है।

किसी भी बहुपद $logz + logw = log(zw)$ को देखते हुए, $log(z^{*}) = log(z)^{*}$ के बहुपद मूल एक संख्या $n$ है जैसे कि $−1 = 1$। उदाहरण के लिए, $n$ का $y$वाँ मूल बहुपद ($x$ में) $$y^n-x$$ का मूल है।

एबेल-रफ़िनी प्रमेय कहता है कि, सामान्यतः, घात पाँच या उससे अधिक के बहुपद के मूलों को $n$वें मूल के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

आव्यूह और प्रचालकों के वर्गमूल
यदि A धनात्मक-निश्चित आव्यूह या प्रचालक है, तो B2 = A के साथ ठीक धनात्मक निश्चित आव्यूह या प्रचालक B स्थित है; फिर हम A1/2 = B को परिभाषित करते हैं। सामान्य आव्यूह में कई वर्गमूल या उनमें से एक अनंत भी हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, 2 × 2 तत्समक आव्यूह में वर्गमूलों की अनंतता होती है, यद्यपि उनमें से मात्र एक धनात्मक निश्चित है।

क्षेत्रों सहित समाकल प्रांत में
समाकल प्रांत के प्रत्येक अवयव में 2 से अधिक वर्गमूल नहीं होते हैं। दो वर्गों का तत्समक $p$ का अंतर गुणन की क्रमविनिमेयता का उपयोग करके सिद्ध किया गया है। यदि $y$ तथा $n$ एक ही अवयव के वर्गमूल हैं, तो $p$। क्योंकि कोई शून्य विभाजक नहीं है, इसका अर्थ है $p(y) = 0$ या $u^{2} − v^{2} = (u − v)(u + v)$, जहां बाद का अर्थ है कि दो मूल एक दूसरे के योगात्मक व्युत्क्रम हैं। दूसरे शब्दों में यदि एक अवयव $u$ का वर्गमूल $v$ स्थित है, तो $a$ के मात्र वर्गमूल $u$ तथा $a$ हैं। एक समाकल प्रांत में 0 का एकमात्र वर्गमूल 0 ही है।

विशेषता (बीजगणित) 2 के क्षेत्र में, एक अवयव का या तो एक वर्गमूल होता है या कोई भी नहीं होता है, क्योंकि प्रत्येक अवयव का अपना योज्य व्युत्क्रम होता है, ताकि $u^{2} − v^{2} = 0$। यदि क्षेत्र विशेषता 2 का परिमित क्षेत्र है तो प्रत्येक अवयव का एक अद्वितीय वर्गमूल होता है। किसी भी अन्य विशेषता के क्षेत्र (गणित) में, किसी गैर-शून्य अवयव के या तो दो वर्गमूल होते हैं, जैसा कि ऊपर बताया गया है, या कोई नहीं है।

एक विषम अभाज्य संख्या $u$ दी गई है, मान लीजिए $u = v$ किसी धनात्मक पूर्णांक $&minus;u$ के लिए है। $p$ अवयवों के साथ $u + v = 0$ क्षेत्र का एक गैर-शून्य अवयव एक द्विघात अवशेष है यदिइसका $&minus;u = u$ में वर्गमूल है। अन्यथा, यह एक द्विघात गैर-अवशेष है। $q = p^{e}$ द्विघात अवशेष और $F_{q}$ द्विघात गैर-अवशेष हैं; शून्य को किसी भी वर्ग में नहीं गिना जाता है। द्विघात अवशेष गुणन के अंतर्गत एक समूह (गणित) बनाते हैं। द्विघात अवशेषों के गुण संख्या सिद्धांत में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं।

सामान्य रूप में वलय में
एक समाकल प्रांत के विपरीत, एक यादृच्छिक (इकाई) वलय में एक वर्गमूल को हस्ताक्षर करने के लिए अद्वितीय होने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, पूर्णांक मॉड्यूलर अंकगणित (जो विनिमेय है, परन्तु शून्य विभाजक है) के वलय $$\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$$ में, अवयव 1 के चार अलग-अलग वर्गमूल हैं: ±1 और ±3।

एक और उदाहरण चतुष्कोणों $$\mathbb{H}$$ के वलय द्वारा प्रदान किया गया है, जिसमें कोई शून्य विभाजक नहीं है, परन्तु क्रमविनिमेय नहीं है। यहाँ, अवयव -1 के अपरिमित रूप से कई वर्गमूल हैं, जिनमें $F_{q}$, $(q − 1)/2$, तथा $(q − 1)/2$ सम्मिलित हैं। वस्तुतः, -1 के वर्गमूलों का समुच्चय ठीक


 * $$\{ai + bj + ck \mid a^2 + b^2 + c^2 = 1\} $$ है।

0 का वर्गमूल या तो 0 या शून्य का भाजक होता है। इस प्रकार उन वलयों में जहां शून्य विभाजक स्थित नहीं हैं, यह विशिष्ट रूप से 0 है। यद्यपि, शून्य भाजक वाले वलयों में 0 के कई वर्गमूल हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, $$\mathbb{Z}/n^2\mathbb{Z}$$ में, $e$ का कोई भी गुणक 0 का वर्गमूल होता है।

वर्गमूल का ज्यामितीय निर्माण
किसी धनात्मक संख्या का वर्गमूल सामान्यतः दी गई संख्या के बराबर क्षेत्रफल वाले वर्ग की भुजा की लंबाई के रूप में परिभाषित किया जाता है। परन्तु इसके लिए चौकोर आकार आवश्यक नहीं है: यदि दो समानता (ज्यामिति) यूक्लिडियन समतल वस्तुओं में से एक का क्षेत्रफल दूसरे की तुलना में एक गुना अधिक है, तो उनके रैखिक आकारों का अनुपात $$\sqrt{a}$$है।

एक दिक्सूचक और सीधे किनारे के साथ एक वर्गमूल का निर्माण किया जा सकता है। अपने यूक्लिड के अवयवों में, यूक्लिड (फ्लोवर्गमूल 300 ईसा पूर्व) ने दो अलग-अलग समष्‍टिों में दो मात्राओं के ज्यामितीय माध्य का निर्माण दिया: ।html प्रस्ताव II.14 और प्रस्ताव VI.13। चूँकि a और b का गुणोत्तर माध्य $$\sqrt{ab}$$ है, कोई भी मात्र b = 1 लेकर  $$\sqrt{a}$$ की रचना कर सकता है।

निर्माण डेसकार्टेस द्वारा अपने ज्यामिति में भी दिया गया है, पृष्ठ 2 पर चित्र 2 देखें । यद्यपि, डेसकार्टेस ने मौलिकता का कोई अनुरोध नहीं किया और उनके दर्शक यूक्लिड से अत्यधिक परिचित होंगे।

पुस्तक VI में यूक्लिड का दूसरा प्रमाण समरूप त्रिभुजों के सिद्धांत पर निर्भर करता है। मान लीजिए AHB लंबाई a + b का एक रेखाखंड है, जिसमें AH = a तथा HB = b है। AB को व्यास मानकर एक वृत्त की रचना करें और C को वृत्त के साथ H पर लंब जीवा के दो प्रतिच्छेदनों में से एक होने दें और लंबाई CH को h के रूप में निरूपित करें। फिर, थेल्स प्रमेय का उपयोग करते हुए और, समान त्रिभुजों द्वारा पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण में, त्रिभुज AHC त्रिभुज CHB के समान है (जैसा कि वस्तुतः दोनों त्रिभुज ACB के लिए हैं, यद्यपि हमें इसकी आवश्यकता नहीं है, परन्तु यह पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण का सार है) ताकि AH:CH HC:HB के रूप में हो, अर्थात a/h = h/b, जिससे हम क्रॉस-गुणन द्वारा यह निष्कर्ष निकालते हैं कि h2 = ab, और अंत में वह $$h = \sqrt{ab}$$। जब रेखाखंड AB के मध्यबिंदु O को चिन्हित किया जाता है और लंबाई (a + b)/2  की त्रिज्या OC खींची जाती है, तो स्पष्ट रूप से OC > CH, अर्थात $\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}$  (समानता के साथ यदि और मात्र यदि a = b), जो अंकगणित और ज्यामितीय माध्यों की असमानता है। जो दो के लिए अंकगणितीय-ज्यामितीय माध्य असमानता है चर और, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, "हेरॉन की विधि" की ग्रीक गणित समझ का आधार है।

ज्यामितीय निर्माण की एक अन्य विधि समकोण त्रिभुजों और गणितीय प्रेरण का उपयोग करता है: $$\sqrt{1}$$ का निर्माण किया जा सकता है, और एक बार $$\sqrt{x}$$ का निर्माण हो जाने के बाद, पाद  1 और $$\sqrt{x}$$ के साथ समकोण त्रिकोण में $$\sqrt{x + 1}$$ का कर्ण होता है । इस प्रकार से क्रमिक वर्गमूलों का निर्माण करने से ऊपर दर्शाए गए थियोडोरस का सर्पिल प्राप्त होता है।

यह भी देखें

 * एपोटोम (गणित)
 * क्युब मूल
 * कार्यात्मक वर्गमूल
 * पूर्णांक वर्गमूल
 * नेस्टेड कट्टरपंथी
 * नवीं मूल
 * एकता की मूल
 * निरंतर अंशों के साथ द्विघात समीकरणों को हल करना
 * वर्गमूल सिद्धांत

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * अंक शास्त्र
 * गैर ऋणात्मक
 * कट्टरपंथी संकेत
 * भारत का इतिहास
 * थेटेटस (गणितज्ञ)
 * 2 का वर्गमूल
 * हान साम्राज्य
 * गणना पर लेख
 * आर्स मैग्ना (गेरोलमो कार्डानो)
 * फलन (गणित)
 * निरपेक्ष मूल्य
 * संतत फलन
 * यौगिक
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 * भौतिक विज्ञान
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 * हिल्बर्ट अंतरिक्ष
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 * आवर्ती दशमलव
 * दशमलव प्रतिनिधित्व
 * मेरी आस्तीन संख्या कुछ भी नहीं है
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 * सी (प्रोग्रामन भाषा)
 * पायथन (प्रोग्रामन भाषा)
 * प्रमुख मूल्य
 * कार्तीय समन्वय प्रणाली
 * धुवीय निर्देशांक
 * शाखा काटी
 * त्रिकोणमितीय फलन
 * प्रतीक फलन
 * दो वर्गों का अंतर
 * क्रमविनिमेय वलय
 * शून्य भाजक
 * योगज प्रतिलोम
 * चार का समुदाय
 * थियोडोरस का सर्पिल
 * जियोमेट्रिक माध्य
 * गणितीय अधिष्ठापन

बाहरी संबंध

 * Algorithms, implementations, and more – Paul Hsieh's square roots webpage
 * How to manually find a square root
 * AMS Featured Column, Galileo's Arithmetic by Tony Philips – includes a section on how Galileo found square roots