यौगिक पॉइसन वितरण

संभाव्यता सिद्धांत में, एक मिश्रित पॉइसन वितरण कई स्वतंत्र समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर के योग का संभाव्यता वितरण है, जहां जोड़े जाने वाले शब्दों की संख्या स्वयं एक पॉइसन वितरण है|पॉइसन-वितरित चर। परिणाम या तो सतत वितरण या असतत वितरण हो सकता है।

परिभाषा
लगता है कि


 * $$N\sim\operatorname{Poisson}(\lambda),$$

यानी, एन एक यादृच्छिक चर है जिसका वितरण अपेक्षित मूल्य λ के साथ एक पॉइसन वितरण है, और वह


 * $$X_1, X_2, X_3, \dots$$

समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर हैं जो परस्पर स्वतंत्र हैं और एन से भी स्वतंत्र हैं। फिर योग की संभाव्यता वितरण $$N$$ आई.आई.डी. यादृच्छिक चर


 * $$Y = \sum_{n=1}^N X_n$$

एक यौगिक पॉइसन वितरण है।

मामले में N = 0, तो यह 0 पदों का योग है, इसलिए Y का मान 0 है। इसलिए Y का सशर्त वितरण, यह देखते हुए कि N = 0 एक पतित वितरण है।

यौगिक पॉइसन वितरण N पर (Y,N) के संयुक्त वितरण को हाशिए पर रखकर प्राप्त किया जाता है, और यह संयुक्त वितरण सशर्त वितरण Y | को संयोजित करके प्राप्त किया जा सकता है। एन के सीमांत वितरण के साथ एन।

गुण
अपेक्षित मूल्य और मिश्रित वितरण का विचरण कुल अपेक्षा के नियम और कुल विचरण के नियम से सरल तरीके से प्राप्त किया जा सकता है। इस प्रकार


 * $$\operatorname{E}(Y)= \operatorname{E}\left[\operatorname{E}(Y \mid N)\right]= \operatorname{E}\left[N \operatorname{E}(X)\right]= \operatorname{E}(N) \operatorname{E}(X) ,$$

\begin{align} \operatorname{Var}(Y) & = \operatorname{E}\left[\operatorname{Var}(Y\mid N)\right] + \operatorname{Var}\left[\operatorname{E}(Y \mid N)\right] =\operatorname{E} \left[N\operatorname{Var}(X)\right] + \operatorname{Var}\left[N\operatorname{E}(X)\right], \\[6pt] & = \operatorname{E}(N)\operatorname{Var}(X) + \left(\operatorname{E}(X) \right)^2 \operatorname{Var}(N). \end{align} $$ फिर, चूंकि E(N)=Var(N) यदि N पॉइसन-वितरित है, तो इन सूत्रों को कम किया जा सकता है


 * $$\operatorname{E}(Y)= \operatorname{E}(N)\operatorname{E}(X) ,$$
 * $$\operatorname{Var}(Y) = \operatorname{E}(N)(\operatorname{Var}(X) + (\operatorname{E}(X))^2)= \operatorname{E}(N){\operatorname{E}(X^2)}.$$

Y का संभाव्यता वितरण विशेषता फ़ंक्शन (संभावना सिद्धांत) के संदर्भ में निर्धारित किया जा सकता है:


 * $$\varphi_Y(t) = \operatorname{E}(e^{itY})= \operatorname{E} \left( \left(\operatorname{E} (e^{itX}\mid N) \right)^N \right)= \operatorname{E} \left((\varphi_X(t))^N\right), \,$$

और इसलिए, पॉइसन वितरण के संभाव्यता-उत्पादक फ़ंक्शन का उपयोग करके, हमारे पास है
 * $$\varphi_Y(t) = \textrm{e}^{\lambda(\varphi_X(t) - 1)}.\,$$

एक वैकल्पिक दृष्टिकोण संचयी उत्पादन कार्यों के माध्यम से है:
 * $$K_Y(t)=\ln \operatorname{E}[e^{tY}]=\ln \operatorname E[\operatorname E[e^{tY}\mid N]]=\ln \operatorname E[e^{NK_X(t)}]=K_N(K_X(t)) . \,$$

कुल संचयन के नियम के माध्यम से यह दिखाया जा सकता है कि, यदि पॉइसन वितरण का माध्य λ = 1 है, तो Y का संचयक X के क्षण (गणित) के समान है1.

यह दिखाया जा सकता है कि प्रत्येक अनंत विभाज्यता (संभावना) संभाव्यता वितरण यौगिक पॉइसन वितरण की एक सीमा है। और यौगिक पॉइसन वितरण परिभाषा के अनुसार अनंत विभाज्यता (संभावना) है।

असतत यौगिक पॉइसन वितरण
कब $$X_1, X_2, X_3, \dots$$ सकारात्मक पूर्णांक-मूल्यवान आई.आई.डी. यादृच्छिक चर हैं $$P(X_1 = k) = \alpha_k,\ (k =1,2, \ldots )$$, तो इस यौगिक पॉइसन वितरण को असतत यौगिक पॉइसन वितरण का नाम दिया गया है  (या हकलाना-पॉइसन वितरण ). हम कहते हैं कि असतत यादृच्छिक चर $$Y$$ संतोषजनक संभाव्यता उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन लक्षण वर्णन


 * $$ P_Y(z) = \sum\limits_{i = 0}^\infty P(Y = i)z^i = \exp\left(\sum\limits_{k = 1}^\infty  \alpha_k \lambda (z^k - 1)\right), \quad (|z| \le 1)$$

इसमें मापदंडों के साथ एक अलग यौगिक पॉइसन (डीसीपी) वितरण है $$(\alpha_1 \lambda,\alpha_2 \lambda, \ldots ) \in \mathbb{R}^\infty$$ (कहाँ $\sum_{i = 1}^\infty \alpha_i = 1$, साथ $\alpha_i \ge 0,\lambda > 0$ ), जिसे द्वारा दर्शाया जाता है


 * $$X \sim {\text{DCP}}(\lambda {\alpha _1},\lambda {\alpha _2}, \ldots )$$

इसके अलावा, यदि $$X \sim {\operatorname{DCP}}(\lambda {\alpha _1}, \ldots ,\lambda {\alpha _r})$$, हम कहते हैं $$X$$ क्रम का एक असतत यौगिक पॉइसन वितरण है $$r$$. कब $$r = 1,2$$, डीसीपी क्रमशः पॉइसन वितरण और हर्माइट वितरण बन जाता है। कब  $$r = 3,4$$, डीसीपी क्रमशः ट्रिपल हकलाना-पॉइसन वितरण और चौगुनी हकलाना-पॉइसन वितरण बन जाता है। अन्य विशेष मामलों में शामिल हैं: शिफ्ट ज्यामितीय वितरण, नकारात्मक द्विपद वितरण, ज्यामितीय पॉइसन वितरण, नेमैन प्रकार ए वितरण, लूरिया-डेलब्रुक प्रयोग में लूरिया-डेलब्रुक वितरण। डीसीपी के अधिक विशेष मामले के लिए, समीक्षा पेपर देखें और उसमें संदर्भ।

कंपाउंड पॉइसन वितरण के फेलर के लक्षण वर्णन में कहा गया है कि एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक मूल्य आर.वी. $$X$$ अनंत विभाज्यता (संभावना) है यदि और केवल यदि इसका वितरण एक असतत यौगिक पॉइसन वितरण है। यह दिखाया जा सकता है कि नकारात्मक द्विपद वितरण असतत अनंत विभाज्यता (संभावना) है, अर्थात, यदि X का ऋणात्मक द्विपद वितरण है, तो किसी भी सकारात्मक पूर्णांक n के लिए, असतत i.i.d मौजूद है। यादृच्छिक चर एक्स1, ..., एक्सn जिसके योग का वितरण वही है जो X का है। शिफ्ट ज्यामितीय वितरण असतत यौगिक पॉइसन वितरण है क्योंकि यह नकारात्मक द्विपद वितरण का एक तुच्छ मामला है।

यह वितरण बैच आगमन को मॉडल कर सकता है (जैसे कि थोक कतार में)। ). कुल दावा राशि के वितरण के मॉडलिंग के लिए बीमांकिक विज्ञान में असतत यौगिक पॉइसन वितरण का भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

जब कुछ $$\alpha_k$$ नकारात्मक हैं, यह असतत छद्म यौगिक पॉइसन वितरण है। हम परिभाषित करते हैं कि कोई भी असतत यादृच्छिक चर $$Y$$ संतोषजनक संभाव्यता उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन लक्षण वर्णन


 * $$ G_Y(z) = \sum\limits_{i = 0}^\infty P(Y = i)z^i = \exp\left(\sum\limits_{k = 1}^\infty  \alpha_k \lambda (z^k - 1)\right), \quad (|z| \le 1)$$

मापदंडों के साथ एक असतत छद्म यौगिक पॉइसन वितरण है $$(\lambda_1 ,\lambda_2, \ldots )=:(\alpha_1 \lambda,\alpha_2 \lambda, \ldots ) \in \mathbb{R}^\infty$$ कहाँ $\sum_{i = 1}^\infty {\alpha_i} = 1$  और $\sum_{i = 1}^\infty  {\left|  \right|} < \infty$, साथ $${\alpha_i} \in \mathbb{R},\lambda  > 0 $$.

यौगिक पॉइसन गामा वितरण
यदि X में गामा वितरण है, जिसमें घातीय वितरण एक विशेष मामला है, तो Y का सशर्त वितरण | एन पुनः एक गामा वितरण है। Y के सीमांत वितरण को ट्वीडी वितरण विचरण शक्ति 1 के साथ < p < 2 (विशेषता फ़ंक्शन की तुलना के माध्यम से प्रमाण (संभावना सिद्धांत))। अधिक स्पष्ट होने के लिए, यदि


 * $$ N \sim\operatorname{Poisson}(\lambda) ,$$

और


 * $$ X_i \sim \operatorname{\Gamma}(\alpha, \beta) $$

आई.आई.डी., फिर का वितरण


 * $$ Y = \sum_{i=1}^N X_i $$

एक प्रजनन घातीय फैलाव मॉडल है $$ED(\mu, \sigma^2)$$ साथ



\begin{align} \operatorname{E}[Y] & = \lambda \frac{\alpha}{\beta} =: \mu, \\[4pt] \operatorname{Var}[Y]& = \lambda \frac{\alpha(1+\alpha)}{\beta^2}=: \sigma^2 \mu^p. \end{align} $$ पैरामीटर्स की मैपिंग Tweedie पैरामीटर $$\mu, \sigma^2, p$$ पॉइसन और गामा मापदंडों के लिए $$\lambda, \alpha, \beta$$ निम्नलखित में से कोई:



\begin{align} \lambda &= \frac{\mu^{2-p}}{(2-p)\sigma^2} , \\[4pt] \alpha &= \frac{2-p}{p-1} , \\[4pt] \beta &= \frac{\mu^{1-p}}{(p-1)\sigma^2}. \end{align} $$

यौगिक पॉइसन प्रक्रियाएँ
दर के साथ एक मिश्रित पॉइसन प्रक्रिया $$\lambda>0$$ और जंप आकार वितरण जी एक सतत समय स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है $$\{\,Y(t) : t \geq 0 \,\}$$ द्वारा दिए गए


 * $$Y(t) = \sum_{i=1}^{N(t)} D_i,$$

जहां परिपाटी के अनुसार योग शून्य के बराबर होता है जब तक कि N(t)= 0. यहां, $$ \{\,N(t) : t \geq 0\,\}$$ दर के साथ एक पॉइसन प्रक्रिया है $$\lambda$$, और $$ \{\,D_i : i \geq 1\,\}$$ वितरण फलन G के साथ स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर हैं, जो इससे भी स्वतंत्र हैं $$ \{\,N(t) : t \geq 0\,\}.\,$$ यौगिक पॉइसन प्रक्रिया के असतत संस्करण के लिए, इसका उपयोग कमजोर मॉडल के लिए अस्तित्व विश्लेषण में किया जा सकता है।

अनुप्रयोग
एक यौगिक पॉइसन वितरण, जिसमें सारांश में एक घातीय वितरण होता है, का उपयोग रेवफेम द्वारा एक दिन में कुल वर्षा के वितरण को मॉडल करने के लिए किया गया था, जहां प्रत्येक दिन में पॉइसन-वितरित घटनाओं की संख्या होती है, जिनमें से प्रत्येक वर्षा की मात्रा प्रदान करती है। एक घातांकीय वितरण है। थॉम्पसन ने मासिक कुल वर्षा के लिए वही मॉडल लागू किया। बीमा के लिए आवेदन आए हैं और सीटी स्कैन|एक्स-रे कंप्यूटेड टोमोग्राफी।

यह भी देखें

 * यौगिक पॉइसन प्रक्रिया
 * हर्मिट वितरण
 * नकारात्मक द्विपद वितरण
 * ज्यामितीय वितरण
 * ज्यामितीय पॉइसन वितरण
 * गामा वितरण
 * पॉसों वितरण
 * शून्य-फुलाया हुआ मॉडल