प्रवणता

सदिश कलन में, कई वैरिएबल(variable) के एक अदिश-मूल्यवान अलग-अलग फलन $f$  का ढाल सदिश फ़ील्ड (या सदिश-मूल्यवान फलन) है  $$\nabla f$$ जिसका मूल्य एक बिंदु पर है  $$p$$  वेक्टर है जिनके घटक के आंशिक व्युत्पन्न हैं $$f$$ पर $$p$$. वह इसके लिए $$f \colon \R^n \to \R$$, इसकी प्रवणता है $$\nabla f \colon \R^n \to \R^n$$ बिंदु पर परिभाषित किया गया है $$p = (x_1,\ldots,x_n)$$ n-आयामी अंतरिक्ष में सदिश के रूप में
 * $$\nabla f(p) = \begin{bmatrix}

\frac{\partial f}{\partial x_1}(p) \\ \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_n}(p) \end{bmatrix}.$$ नाबला प्रतीक $$\nabla$$,एक उल्टा त्रिभुज के रूप में लिखा गया है और "डेल" का उच्चारण किया गया है, वेक्टर विभेदक ऑपरेटर को दर्शाता है।

ढाल वेक्टर की व्याख्या "सबसे तेज वृद्धि की दिशा और दर" के रूप में की जा सकती है। यदि किसी फ़ंक्शन का ढाल एक बिंदु $p$ पर गैर-शून्य है, तो ढाल की दिशा वह दिशा है जिसमें फ़ंक्शन $p$ से सबसे जल्दी बढ़ जाता है, और ढाल का परिमाण उस दिशा में वृद्धि की दर है, सबसे बड़ा पूर्ण दिशात्मक व्युत्पन्न। इसके अलावा, एक बिंदु जहां ढाल शून्य वेक्टर है, एक स्थिर बिंदु के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार ढाल अनुकूलन सिद्धांत में एक मौलिक भूमिका निभाता है, जहां इसका उपयोग ग्रेडिएंट एसेंट द्वारा एक फ़ंक्शन को अधिकतम करने के लिए किया जाता है

ढाल कुल व्युत्पन्न के लिए दोहरी है $$df$$: एक बिंदु पर ढाल का मान एक स्पर्शरेखा वेक्टर है - प्रत्येक बिंदु पर एक वेक्टर; जबकि एक बिंदु पर व्युत्पन्न का मान एक कोटेंज वेक्टर है - वैक्टर पर एक रैखिक कार्यात्मक। वे संबंधित हैं कि के ढाल के डॉट उत्पाद $f$ एक बिंदु पर $p$ एक और स्पर्शरेखा वेक्टर के साथ $v$ के दिशात्मक व्युत्पन्न के बराबर है $f$ पर $p$ समारोह के साथ $v$; वह है,

$\nabla f(p) \cdot \mathbf v = \frac{\partial f}{\partial\mathbf{v}}(p) = df_{p}(\mathbf{v}) $ .ग्रेडिएंट कई सामान्यीकरणों को कई गुना अधिक सामान्य कार्यों के लिए स्वीकार करता है; देखना.

प्रेरणा
फ़ाइल: एक फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट.tif|thumb|350px|2D फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट $f(x, y) = xe^{−(x^{2} + y^{2})}$ फ़ंक्शन के स्यूडोकलर प्लॉट पर नीले तीर के रूप में प्लॉट किया गया है।

एक ऐसे कमरे पर विचार करें जहां तापमान एक अदिश क्षेत्र द्वारा दिया जाता है, $T$, इसलिए प्रत्येक बिंदु पर $(x, y, z)$ तापमान है $T(x, y, z)$, समय से स्वतंत्र। कमरे के प्रत्येक बिंदु पर, का ढाल $T$ उस बिंदु पर वह दिशा दिखाएगा जिसमें तापमान सबसे तेजी से बढ़ता है, से दूर जा रहा है $(x, y, z)$. ढाल का परिमाण निर्धारित करेगा कि उस दिशा में तापमान कितनी तेजी से बढ़ता है।

एक सतह पर विचार करें जिसकी ऊंचाई समुद्र तल से बिंदु. पर है $(x, y)$ है $H(x, y)$. का ढाल $H$ एक बिंदु पर एक समतल वेक्टर होता है जो उस बिंदु पर सबसे तेज ढलान या ग्रेड (ढलान) की दिशा में इंगित करता है। उस बिंदु पर ढलान की स्थिरता ढाल वेक्टर के परिमाण द्वारा दी जाती है।

ग्रेडिएंट का उपयोग यह मापने के लिए भी किया जा सकता है कि एक स्केलर फ़ील्ड अन्य दिशाओं में कैसे बदलता है, न कि केवल सबसे बड़े परिवर्तन की दिशा में, एक डॉट उत्पाद लेकर। मान लीजिए कि एक पहाड़ी पर सबसे तेज ढलान 40% है। सीधे ऊपर की ओर जाने वाली सड़क का ढलान 40% है, लेकिन पहाड़ी के चारों ओर एक कोण पर जाने वाली सड़क का ढलान उथला होगा। उदाहरण के लिए, यदि सड़क ऊपर की दिशा से 60° के कोण पर है (जब दोनों दिशाओं को क्षैतिज तल पर प्रक्षेपित किया जाता है), तो सड़क के साथ ढलान सड़क के साथ ग्रेडिएंट वेक्टर और यूनिट वेक्टर के बीच डॉट उत्पाद होगा।, अर्थात् 60° की कोज्या का 40% गुना, या 20%।

अधिक सामान्यतः, यदि पहाड़ी की ऊंचाई कार्य करती है $H$ अवकलनीय फलन है, तो का ढाल $H$ एक इकाई वेक्टर के साथ डॉट उत्पाद वेक्टर की दिशा में पहाड़ी की ढलान देता है, दिशात्मक व्युत्पन्न $H$ यूनिट वेक्टर के साथ।

संकेतन
फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट $$f$$ बिंदु पर $$a$$ आमतौर पर के रूप में लिखा जाता है $$\nabla f (a)$$. इसे निम्नलिखित में से किसी के द्वारा भी दर्शाया जा सकता है:


 * $$\vec{\nabla} f (a)$$ : परिणाम की सदिश प्रकृति पर जोर देना।
 * $grad f$ * $$\partial_i f$$ तथा $$f_{i}$$ : आइंस्टीन संकेतन।

परिभाषा
स्केलर फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट (या ग्रेडिएंट वेक्टर फ़ील्ड) $f(x,y) = −(cos^{2}x + cos^{2}y)^{2}$ निरूपित है $f(x_{1}, x_{2}, x_{3}, …, x_{n})$ या $∇f$ कहाँ पे $∇f$ (नाबला प्रतीक) वेक्टर डिफरेंशियल ऑपरेटर, डेल को दर्शाता है। संकेतन $∇$ आमतौर पर ढाल का प्रतिनिधित्व करने के लिए भी प्रयोग किया जाता है। का ढाल $grad f$ अद्वितीय वेक्टर क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया गया है जिसका डॉट उत्पाद किसी भी यूक्लिडियन वेक्टर के साथ है $f$ प्रत्येक बिंदु पर $v$ का दिशात्मक व्युत्पन्न है $x$ साथ-साथ $f$. वह है,


 * $$\big(\nabla f(x)\big)\cdot \mathbf{v} = D_{\mathbf v}f(x)$$

जहां दाहिनी ओर का हाथ दिशात्मक व्युत्पन्न है और इसका प्रतिनिधित्व करने के कई तरीके हैं। औपचारिक रूप से, ग्रेडिएंट व्युत्पन्न के लिए दोहरी है; #डेरिवेटिव देखें।

जब कोई फ़ंक्शन समय जैसे पैरामीटर पर भी निर्भर करता है, तो ग्रेडिएंट अक्सर केवल इसके स्थानिक डेरिवेटिव के वेक्टर को संदर्भित करता है (स्थानिक ग्रेडिएंट देखें)।

ग्रेडिएंट वेक्टर का परिमाण और दिशा विशेष निर्देशांक प्रणाली के अपरिवर्तनीय (गणित) हैं।

कार्तीय निर्देशांक
यूक्लिडियन मीट्रिक के साथ त्रि-आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, ढाल, यदि यह मौजूद है, द्वारा दिया गया है:


 * $$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{k},$$

कहाँ पे $v$, $i$, $j$ की दिशा में मानक आधार इकाई वैक्टर हैं $k$, $x$ तथा $y$ निर्देशांक, क्रमशः। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट
 * $$f(x,y,z)= 2x+3y^2-\sin(z)$$

है
 * $$\nabla f = 2\mathbf{i}+ 6y\mathbf{j} -\cos(z)\mathbf{k}.$$

कुछ अनुप्रयोगों में यह एक आयताकार समन्वय प्रणाली में अपने घटकों के एक पंक्ति वेक्टर या स्तंभ वेक्टर के रूप में ढाल का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रथागत है; यह लेख ग्रेडिएंट के कॉलम वेक्टर होने की परंपरा का अनुसरण करता है, जबकि व्युत्पन्न एक पंक्ति वेक्टर है।

बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक
बेलनाकार समन्वय प्रणाली में # यूक्लिडियन मीट्रिक के साथ परिभाषा, ढाल द्वारा दिया जाता है:
 * $$\nabla f(\rho, \varphi, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho}\mathbf{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \varphi}\mathbf{e}_\varphi + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{e}_z,$$

कहाँ पे $z$ अक्षीय दूरी है, $ρ$ अज़ीमुथल या अज़ीमुथ कोण है, $φ$ अक्षीय निर्देशांक है, और $z$, $e_{ρ}$ तथा $e_{φ}$ निर्देशांक दिशाओं की ओर इशारा करते हुए इकाई सदिश हैं।

गोलाकार समन्वय प्रणाली में # परिभाषा, ढाल द्वारा दिया जाता है:


 * $$\nabla f(r, \theta, \varphi) = \frac{\partial f}{\partial r}\mathbf{e}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\mathbf{e}_\theta + \frac{1}{r \sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \varphi}\mathbf{e}_\varphi,$$

कहाँ पे $e_{z}$ रेडियल दूरी है, $r$ अज़ीमुथल कोण है और $φ$ ध्रुवीय कोण है, और $θ$, $e_{r}$ तथा $e_{θ}$ फिर से स्थानीय इकाई सदिश हैं जो निर्देशांक दिशाओं की ओर इशारा करते हैं (अर्थात, सामान्यीकृत वक्रीय निर्देशांक#सहसंयोजक और विपरीत आधार)।

अन्य ऑर्थोगोनल कोऑर्डिनेट सिस्टम में ग्रेडिएंट के लिए, ऑर्थोगोनल कोऑर्डिनेट देखें#डिफरेंशियल ऑपरेटर्स इन थ्री डायमेंशन|ऑर्थोगोनल कोऑर्डिनेट (तीन आयामों में डिफरेंशियल ऑपरेटर्स)।

सामान्य निर्देशांक
हम वक्रीय निर्देशांकों पर विचार करते हैं, जिन्हें हम इस प्रकार लिखते हैं $e_{φ}$, कहाँ पे $n$ डोमेन के आयामों की संख्या है। यहाँ, ऊपरी सूचकांक निर्देशांक या घटक की सूची में स्थिति को संदर्भित करता है, इसलिए $x^{1}, …, x^{i}, …, x^{n}$ दूसरे घटक को संदर्भित करता है-मात्रा नहीं $x^{2}$ चुकता। सूचकांक चर $x$ एक मनमाना तत्व को संदर्भित करता है $i$. आइंस्टीन संकेतन का उपयोग करते हुए, ढाल को तब इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x^{i}}g^{ij} \mathbf{e}_j$$ (ध्यान दें कि इसका दोहरा स्थान है $\mathrm{d}f = \frac{\partial f}{\partial x^{i}}\mathbf{e}^i$ ),

कहाँ पे $$\mathbf{e}_i = \partial \mathbf{x}/\partial x^i$$ तथा $$\mathbf{e}^i = \mathrm{d}x^i$$ असामान्य स्थानीय वक्रीय निर्देशांक देखें#सहसंयोजक और contravariant आधार क्रमशः, $$g^{ij}$$ मीट्रिक टेंसर # उलटा मीट्रिक है, और आइंस्टीन सारांश सम्मेलन i और j पर योग का तात्पर्य है।

यदि निर्देशांक ओर्थोगोनल हैं तो हम सामान्यीकृत आधारों के संदर्भ में ढाल (और विभेदक रूप) को आसानी से व्यक्त कर सकते हैं, जिसे हम इस रूप में संदर्भित करते हैं $$\hat{\mathbf{e}}_i$$ तथा  $$\hat{\mathbf{e}}^i$$, पैमाने के कारकों का उपयोग करना (जिन्हें लैमे गुणांक के रूप में भी जाना जाता है)  $$h_i= \lVert \mathbf{e}_i \rVert = \sqrt{g_{i i}} = 1\, / \lVert \mathbf{e}^i \rVert$$ :

$$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x^{i}}g^{ij} \hat{\mathbf{e}}_{j}\sqrt{g_{jj}} = \sum_{i=1}^n \, \frac{\partial f}{\partial x^{i}} \frac{1}{h_i} \mathbf{\hat{e}}_i$$ (तथा $\mathrm{d}f = \sum_{i=1}^n \, \frac{\partial f}{\partial x^{i}} \frac{1}{h_i} \mathbf{\hat{e}}^i$ ),

जहां हम आइंस्टीन संकेतन का उपयोग नहीं कर सकते, क्योंकि दो से अधिक सूचकांकों की पुनरावृत्ति से बचना असंभव है। ऊपरी और निचले सूचकांकों के उपयोग के बावजूद, $$\mathbf{\hat{e}}_i$$, $$\mathbf{\hat{e}}^i$$, तथा $$h_i$$ न तो विरोधाभासी हैं और न ही सहसंयोजक।

उत्तरार्द्ध अभिव्यक्ति बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक के लिए ऊपर दिए गए भावों का मूल्यांकन करती है।

कुल व्युत्पन्न के साथ संबंध
ढाल कुल व्युत्पन्न (कुल अंतर) से निकटता से संबंधित है $$df$$: वे एक दूसरे को स्थानांतरित (रैखिक मानचित्र का स्थानांतरण) कर रहे हैं। उस सम्मेलन का उपयोग करना जो वैक्टर में $$\R^n$$ कॉलम वैक्टर द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है, और वह कोवेक्टर (रैखिक मानचित्र .) $$\R^n \to \R$$) पंक्ति वैक्टर द्वारा दर्शाए जाते हैं, ढाल $$\nabla f$$ और व्युत्पन्न $$df$$ एक ही घटक के साथ क्रमशः एक स्तंभ और पंक्ति वेक्टर के रूप में व्यक्त किए जाते हैं, लेकिन एक दूसरे का स्थानान्तरण करते हैं:


 * $$\nabla f(p) = \begin{bmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}(p) \\ \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_n}(p) \end{bmatrix} ;$$
 * $$df_p = \begin{bmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}(p) & \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_n}(p) \end{bmatrix} .$$

जबकि इन दोनों में समान घटक होते हैं, वे किस प्रकार की गणितीय वस्तु का प्रतिनिधित्व करते हैं, वे भिन्न होते हैं: प्रत्येक बिंदु पर, व्युत्पन्न एक कोटेंजेंट वेक्टर होता है, एक रैखिक रूप (कोवेक्टर) जो व्यक्त करता है कि किसी दिए गए इनफिनिटिमल के लिए कितना (स्केलर) आउटपुट बदलता है (वेक्टर) इनपुट में परिवर्तन, जबकि प्रत्येक बिंदु पर, ग्रेडिएंट एक स्पर्शरेखा वेक्टर है, जो (वेक्टर) इनपुट में एक असीम परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। प्रतीकों में, ढाल एक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान का एक तत्व है, $$\nabla f(p) \in T_p \R^n$$, जबकि व्युत्पन्न स्पर्शरेखा स्थान से वास्तविक संख्याओं तक का नक्शा है, $$df_p \colon T_p \R^n \to \R$$. के प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान $$\R^n$$ स्वाभाविक रूप से पहचाना जा सकता है वेक्टर स्पेस के साथ $$\R^n$$ स्वयं, और इसी तरह प्रत्येक बिंदु पर कोटैंजेंट स्पेस को दोहरी वेक्टर स्पेस के साथ स्वाभाविक रूप से पहचाना जा सकता है $$(\R^n)^*$$ कोवेक्टरों का; इस प्रकार एक बिंदु पर ढाल के मूल्य को मूल में एक वेक्टर के बारे में सोचा जा सकता है $$\R^n$$, न केवल एक स्पर्शरेखा वेक्टर के रूप में।

कम्प्यूटेशनल रूप से, एक स्पर्शरेखा वेक्टर दिया जाता है, वेक्टर को व्युत्पन्न (मैट्रिस के रूप में) से गुणा किया जा सकता है, जो कि ग्रेडिएंट के साथ डॉट उत्पाद लेने के बराबर है:

(df_p)(v) = \begin{bmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}(p) & \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_n}(p) \end{bmatrix} \begin{bmatrix}v_1 \\ \vdots \\ v_n\end{bmatrix} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(p) v_i = \begin{bmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}(p) \\ \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_n}(p) \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}v_1 \\ \vdots \\ v_n\end{bmatrix} = \nabla f(p) \cdot v$$

विभेदक या (बाहरी) व्युत्पन्न
एक अलग-अलग फ़ंक्शन के लिए सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन
 * $$f \colon \R^n \to \R$$

एक बिंदु पर $x^{i}$ में $x$ से एक रैखिक नक्शा है $R^{n}$ प्रति $R^{n}$ जिसे अक्सर द्वारा दर्शाया जाता है $R$ या $df_{x}$ और अंतर (कैलकुलस) या का कुल व्युत्पन्न कहा जाता है $Df(x)$ पर $f$. कार्यक्रम $x$, कौन सा नक्शा $df$ प्रति $x$, को का कुल अंतर या बाहरी व्युत्पन्न कहा जाता है $df_{x}$ और अंतर 1-रूप का एक उदाहरण है।

जितना एक एकल चर के किसी फलन का व्युत्पन्न फलन के किसी फलन के ग्राफ के स्पर्शरेखा के ढलान का प्रतिनिधित्व करता है, कई चरों में एक फ़ंक्शन का दिशात्मक व्युत्पन्न वेक्टर की दिशा में स्पर्शरेखा हाइपरप्लेन की ढलान का प्रतिनिधित्व करता है।

ढाल सूत्र द्वारा अंतर से संबंधित है
 * $$(\nabla f)_x\cdot v = df_x(v)$$

किसी के लिए $f$, कहाँ पे $$\cdot$$ डॉट उत्पाद है: ग्रेडिएंट के साथ वेक्टर का डॉट उत्पाद लेना वेक्टर के साथ दिशात्मक व्युत्पन्न लेने जैसा ही है।

यदि $v ∈ R^{n}$ (आयाम) के स्थान के रूप में देखा जाता है $R^{n}$) कॉलम वैक्टर (वास्तविक संख्याओं का), तो कोई मान सकता है $n$ घटकों के साथ पंक्ति वेक्टर के रूप में
 * $$\left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}\right),$$

ताकि $df$ मैट्रिक्स गुणन द्वारा दिया जाता है। मानक यूक्लिडियन मीट्रिक को मानते हुए $df_{x}(v)$, ग्रेडिएंट तब संबंधित कॉलम वेक्टर होता है, अर्थात,
 * $$(\nabla f)_i = df^\mathsf{T}_i.$$

एक फ़ंक्शन के लिए रैखिक सन्निकटन
किसी फ़ंक्शन के लिए सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन व्युत्पन्न के बजाय ढाल के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट (गणित) $R^{n}$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष से $f$ प्रति $R^{n}$ किसी विशेष बिंदु पर $R$ में $x_{0}$ सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन की विशेषता है $R^{n}$ पर $f$. सन्निकटन इस प्रकार है:


 * $$f(x) \approx f(x_0) + (\nabla f)_{x_0}\cdot(x-x_0)$$

के लिये $x_{0}$ के करीब $x$, कहाँ पे $x_{0}$ का ढाल है $(∇f&thinsp;)_{x_{0}}|undefined$ पर गणना की गई $f$, और बिंदु डॉट उत्पाद को दर्शाता है $x_{0}$. यह समीकरण टेलर श्रृंखला में पहले दो पदों के बराबर है#टेलर श्रृंखला के कई चर विस्तार में $R^{n}$ पर $f$.

फ़्रेचेट व्युत्पन्न के साथ संबंध
होने देना $x_{0}$ में एक खुला सेट बनें $U$. यदि समारोह $R^{n}$ अवकलनीय है, तो का अंतर $f : U → R$ फ्रेचेट का व्युत्पन्न है $f$. इस प्रकार $f$ से एक समारोह है $∇f$ अंतरिक्ष के लिए $U$ ऐसा है कि $$\lim_{h\to 0} \frac{|f(x+h)-f(x) -\nabla f(x)\cdot h|}{\|h\|} = 0,$$ जहां · डॉट उत्पाद है।

एक परिणाम के रूप में, व्युत्पन्न के सामान्य गुण ढाल के लिए धारण करते हैं, हालांकि ढाल स्वयं व्युत्पन्न नहीं है, बल्कि व्युत्पन्न के लिए दोहरी है:


 * रैखिकता
 * ग्रेडिएंट इस अर्थ में रैखिक है कि यदि $R^{n}$ तथा $f$ बिंदु पर अलग-अलग दो वास्तविक-मूल्यवान कार्य हैं $g$, तथा $α$ तथा $β$ दो अचर हैं, तो $a ∈ R^{n}$ पर भिन्न है $αf + βg$, और इसके अलावा $$\nabla\left(\alpha f+\beta g\right)(a) = \alpha \nabla f(a) + \beta\nabla g (a).$$


 * प्रॉडक्ट नियम
 * यदि $a$ तथा $f$ वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन एक बिंदु पर भिन्न होते हैं $g$, तो उत्पाद नियम यह दावा करता है कि उत्पाद $a ∈ R^{n}$ पर भिन्न है $fg$, तथा $$\nabla (fg)(a) = f(a)\nabla g(a) + g(a)\nabla f(a).$$


 * श्रृंखला नियम
 * मान लो कि $a$ एक सबसेट पर परिभाषित एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन है $f : A → R$ का $A$, और कि $R^{n}$ एक बिंदु पर अवकलनीय है $f$. ग्रेडिएंट पर लागू होने वाले चेन नियम के दो रूप हैं। सबसे पहले, मान लें कि फ़ंक्शन $a$ एक पैरामीट्रिक वक्र है; वह है, एक समारोह $g$ एक सबसेट को मैप करता है $g : I → R^{n}$ में $I ⊂ R$. यदि $R^{n}$ एक बिंदु पर अवकलनीय है $g$ ऐसा है कि $c ∈ I$, फिर $$(f\circ g)'(c) = \nabla f(a)\cdot g'(c),$$ जहां कंपोजिशन ऑपरेटर है: $g(c) = a$.

अधिक सामान्यतः, यदि इसके बजाय $(f ∘ g)(x) = f(g(x))$, तो निम्नलिखित धारण करता है: $$\nabla (f\circ g)(c) = \big(Dg(c)\big)^\mathsf{T} \big(\nabla f(a)\big),$$ कहाँ पे $I ⊂ R^{k}$T ट्रांसपोज़ जैकोबियन मैट्रिक्स को दर्शाता है।

श्रृंखला नियम के दूसरे रूप के लिए, मान लीजिए कि $(Dg)$ एक सबसेट पर एक वास्तविक मूल्यवान कार्य है $h : I → R$ का $I$, और कि $R$ बिंदु पर भिन्न है $h$. फिर $$\nabla (h\circ f)(a) = h'\big(f(a)\big)\nabla f(a).$$

स्तर सेट
एक स्तर की सतह, या आइसोसुरफेस, उन सभी बिंदुओं का समूह है जहां कुछ फ़ंक्शन का एक निश्चित मान होता है।

यदि $f(a) ∈ I$ अवकलनीय है, तो डॉट उत्पाद $f$ एक बिंदु पर ढाल का $(∇f&thinsp;)_{x} ⋅ v$ एक वेक्टर के साथ $x$ का दिशात्मक व्युत्पन्न देता है $v$ पर $f$ दिशा में $x$. यह इस प्रकार है कि इस मामले में का ढाल $v$ के स्तर सेट के लिए ओर्थोगोनल है $f$. उदाहरण के लिए, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक स्तर की सतह को फॉर्म के समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है $f$. का ढाल $F(x, y, z) = c$ फिर सतह के लिए सामान्य है।

अधिक आम तौर पर, रिमेंनियन मैनिफोल्ड में किसी भी एम्बेडेड सबमनिफोल्ड हाइपरसर्फेस को फॉर्म के समीकरण द्वारा काटा जा सकता है $F$ ऐसा है कि $F(P) = 0$ शून्य कहीं नहीं है। का ढाल $dF$ फिर हाइपरसर्फेस के लिए सामान्य है।

इसी तरह, एक एफ़िन बीजीय किस्म को एक समीकरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है $F$, कहाँ पे $F(x_{1}, ..., x_{n}) = 0$ एक बहुपद है। का ढाल $F$ हाइपरसर्फेस के एकवचन बिंदु पर शून्य है (यह एकवचन बिंदु की परिभाषा है)। एक गैर-एकवचन बिंदु पर, यह एक गैर-शून्य सामान्य वेक्टर है।

रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्र और ढाल प्रमेय
किसी फ़ंक्शन के ग्रेडिएंट को ग्रेडिएंट फ़ील्ड कहा जाता है। ए (निरंतर) ढाल क्षेत्र हमेशा एक रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्र होता है: किसी भी पथ के साथ इसकी रेखा अभिन्न केवल पथ के अंत बिंदुओं पर निर्भर करती है, और ढाल प्रमेय (लाइन इंटीग्रल के लिए कैलकुस का मौलिक प्रमेय) द्वारा मूल्यांकन किया जा सकता है। इसके विपरीत, एक (निरंतर) रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्र हमेशा एक फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट होता है।

जैकोबियन
जैकोबियन मैट्रिक्स कई चर के वेक्टर-मूल्यवान कार्यों के लिए ढाल का सामान्यीकरण है और यूक्लिडियन रिक्त स्थान के बीच अलग-अलग मानचित्रों या अधिक आम तौर पर कई गुना है। Banach रिक्त स्थान के बीच एक फ़ंक्शन के लिए एक और सामान्यीकरण फ़्रेचेट व्युत्पन्न है।

मान लीजिए $F$ एक ऐसा फलन है जिसका प्रत्येक प्रथम कोटि का आंशिक अवकलज मौजूद है $f : R^{n} → R^{m}$. तब का जैकोबियन मैट्रिक्स $ℝ^{n}$ एक के रूप में परिभाषित किया गया है $f$ मैट्रिक्स, द्वारा दर्शाया गया $$\mathbf{J}_\mathbb{f}(\mathbb{x})$$ या केवल $$\mathbf{J}$$. $m×n$)}}वीं प्रविष्टि है $$\mathbf J_{ij} = \frac{\partial f_i}{\partial x_j}$$. स्पष्ट रूप से $$\mathbf J = \begin{bmatrix}   \dfrac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}    \nabla^\mathsf{T} f_1 \\      \vdots \\    \nabla^\mathsf{T} f_m       \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}    \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n}\\    \vdots & \ddots & \vdots\\    \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}.$$

एक सदिश क्षेत्र का ढाल
चूँकि सदिश क्षेत्र का कुल व्युत्पन्न सदिशों से सदिशों तक एक रेखीय मानचित्रण है, यह एक टेंसर मात्रा है।

आयताकार निर्देशांक में, एक सदिश क्षेत्र की ढाल $(i,j)$ द्वारा परिभाषित किया गया है:


 * $$\nabla \mathbf{f}=g^{jk}\frac{\partial f^i}{\partial x^j} \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_k,$$

(जहां आइंस्टीन योग संकेतन का उपयोग किया जाता है और वैक्टर का टेंसर उत्पाद होता है $f = (&thinsp;f, f, f)$ तथा $e_{i}$ एक डाइडिक टेंसर प्रकार (2,0)) है। कुल मिलाकर, यह अभिव्यक्ति जैकोबियन मैट्रिक्स के स्थानान्तरण के बराबर है:


 * $$\frac{\partial f^i}{\partial x^j} = \frac{\partial (f^1,f^2,f^3)}{\partial (x^1,x^2,x^3)}.$$

वक्रीय निर्देशांक में, या अधिक आम तौर पर एक घुमावदार रीमैनियन मैनिफोल्ड पर, ढाल में क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक शामिल होते हैं:


 * $$\nabla \mathbf{f}=g^{jk}\left(\frac{\partial f^i}{\partial x^j}+{\Gamma^i}_{jl}f^l\right) \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_k,$$

कहाँ पे $e_{k}$ व्युत्क्रम मीट्रिक टेंसर के घटक हैं और $g$ निर्देशांक आधार वैक्टर हैं।

अधिक अपरिवर्तनीय रूप से व्यक्त किया गया, एक सदिश क्षेत्र का ढाल $e_{i}$ Levi-Civita कनेक्शन और मीट्रिक टेंसर द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:
 * $$\nabla^a f^b = g^{ac} \nabla_c f^b ,$$

कहाँ पे $f$ कनेक्शन है।

रीमैनियन मैनिफोल्ड्स
किसी भी सुचारू कार्य के लिए $f$ रिमेंनियन मैनिफोल्ड पर $∇_{c}$, का ढाल $(M, g)$ वेक्टर क्षेत्र है $f$ ऐसा है कि किसी भी सदिश क्षेत्र के लिए $∇f$,
 * $$g(\nabla f, X) = \partial_X f,$$

वह है,
 * $$g_x\big((\nabla f)_x, X_x \big) = (\partial_X f) (x),$$

कहाँ पे $X$ स्पर्शरेखा वैक्टर के आंतरिक उत्पाद को दर्शाता है $g_{x}$ मीट्रिक द्वारा परिभाषित $x$ तथा $g$ वह कार्य है जो किसी भी बिंदु को लेता है $∂_{X}&thinsp;f$ के दिशात्मक व्युत्पन्न के लिए $x ∈ M$ दिशा में $f$, पर मूल्यांकन किया गया $X$. दूसरे शब्दों में, एक समन्वय चार्ट में $x$ के एक खुले उपसमुच्चय से $φ$ के एक खुले उपसमुच्चय के लिए $M$, $R^{n}$ द्वारा दिया गया है:
 * $$\sum_{j=1}^n X^{j} \big(\varphi(x)\big) \frac{\partial}{\partial x_{j}}(f \circ \varphi^{-1}) \Bigg|_{\varphi(x)},$$

कहाँ पे $(∂_{X}&thinsp;f&thinsp;)(x)$ दर्शाता है $X$का वां घटक $j$ इस समन्वय चार्ट में।

तो, ढाल का स्थानीय रूप रूप लेता है:


 * $$\nabla f = g^{ik} \frac{\partial f}{\partial x^k} {\textbf e}_i .$$

मामले का सामान्यीकरण $X$, किसी फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट उसके बाहरी व्युत्पन्न से संबंधित होता है, क्योंकि
 * $$(\partial_X f) (x) = (df)_x(X_x) .$$

अधिक सटीक, ढाल $M = R^{n}$ अंतर 1-रूप से जुड़ा वेक्टर क्षेत्र है $∇f$ संगीत समरूपता का उपयोग करना
 * $$\sharp=\sharp^g\colon T^*M\to TM$$

(शार्प कहा जाता है) मीट्रिक द्वारा परिभाषित $df$. बाहरी व्युत्पन्न और किसी फ़ंक्शन के ग्रेडिएंट के बीच संबंध $g$ इसका एक विशेष मामला है जिसमें मीट्रिक डॉट उत्पाद द्वारा दिया गया फ्लैट मीट्रिक है।

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 * विचलन
 * चार ढाल
 * हेसियन मैट्रिक्स
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