सोफी जर्मेन की पहचान

गणित में, सोफी जर्मेन की पहचान एक बहुपद गुणनखंड है जिसका नाम सोफी जर्मेन के नाम पर रखा गया है, जिसमें कहा गया है $$ \begin{align} x^4 + 4y^4 &= \bigl((x + y)^2 + y^2\bigr)\cdot\bigl((x - y)^2 + y^2\bigr)\\ &= (x^2 + 2xy + 2y^2)\cdot(x^2 - 2xy + 2y^2). \end{align}$$ प्राथमिक बीजगणित में इसके उपयोग के अलावा, इसका उपयोग संख्या सिद्धांत से लेकर विशेष रूप के पूर्णांक गुणनखंडन में भी किया जा सकता है $$x^4+4y^4$$, और यह अक्सर गणित प्रतियोगिताओं में समस्याओं का आधार बनता है।

इतिहास
हालाँकि इस पहचान का श्रेय सोफी जर्मेन को दिया गया है, लेकिन यह उनके कार्यों में दिखाई नहीं देता है। इसके बजाय, उनके कार्यों में संबंधित पहचान पाई जा सकती है $$ \begin{align} x^4+y^4 &= (x^2-y^2)^2+2(xy)^2\\ &= (x^2+y^2)^2-2(xy)^2.\\ \end{align}$$ इस समीकरण को गुणा करके संशोधित करें $$y$$ द्वारा $$\sqrt2$$ देता है $$ x^4+4y^4 = (x^2+2y^2)^2-4(xy)^2, $$ दो वर्गों का अंतर, जिससे जर्मेन की पहचान होती है। जर्मेन को इस पहचान का गलत श्रेय लियोनार्ड यूजीन डिक्सन ने अपने संख्याओं के सिद्धांत का इतिहास में दिया था, जिसमें यह भी कहा गया था (समान रूप से गलत) कि यह लियोनहार्ड यूलर के क्रिश्चियन गोल्डबैक को लिखे एक पत्र में पाया जा सकता है।

पहचान को केवल गुणनखंडन के दो शब्दों को एक साथ गुणा करके और यह सत्यापित करके सिद्ध किया जा सकता है कि उनका उत्पाद समानता के दाहिने हाथ के बराबर है। पाइथागोरस प्रमेय के अनेक अनुप्रयोगों के आधार पर शब्दों के बिना भी प्रमाण संभव है।

पूर्णांक गुणनखंडन के लिए अनुप्रयोग
जर्मेन की पहचान का एक परिणाम यह है कि प्रपत्र की संख्याएँ $$n^4+4^n$$ के लिए अभाज्य संख्या नहीं हो सकती $$n>1$$. (के लिए $$n=1$$, परिणाम अभाज्य संख्या 5 है।) वे स्पष्ट रूप से अभाज्य नहीं हैं यदि $$n$$ सम है, और यदि $$n$$ यह अजीब है कि उनके पास पहचान द्वारा दिया गया एक गुणनखंड है $$x=n$$ और $$y=2^{(n-1)/2}$$. ये संख्याएँ (से शुरू होती हैं $$n=0$$) पूर्णांक अनुक्रम बनाएं

गणित प्रतियोगिताओं में सोफी जर्मेन की पहचान की कई झलकें इसी के परिणाम स्वरूप सामने आती हैं।

के साथ पहचान का एक और विशेष मामला $$x=1$$ और $$y=2^k$$ गुणनखंडन उत्पन्न करने के लिए उपयोग किया जा सकता है $$ \begin{align} \Phi_4(2^{2k+1})&=2^{4k+2}+1\\ &=(2^{2k+1}-2^{k+1}+1)\cdot (2^{2k+1}+2^{k+1}+1),\\ \end{align}$$ कहाँ $$\Phi_4(x)=x^2+1$$ चौथा साइक्लोटोमिक बहुपद है। जैसा कि आमतौर पर साइक्लोटोमिक बहुपदों के साथ होता है, $$\Phi_4$$ एक अघुलनशील बहुपद है, इसलिए इसके अनंत मानों के इस गुणनखंड को इसके गुणनखंड तक नहीं बढ़ाया जा सकता है $$\Phi_4$$ एक बहुपद के रूप में, यह ऑरिफ्यूइलियन गुणनखंडन का एक उदाहरण है।

सामान्यीकरण
जर्मेन की पहचान को कार्यात्मक समीकरण में सामान्यीकृत किया गया है $$ f(x)^2+4f(y)^2 = \bigl( f(x+y)+f(y) \bigr)\bigl(f(x-y)+f(y)\bigr), $$ जो सोफी जर्मेन की पहचान वर्ग फलन से संतुष्ट होती है।