आपेक्षिकीय यांत्रिकी

भौतिकी में, आपेक्षिकीय यांत्रिकी विशेष आपेक्षिकता (एसआर) और सामान्य सापेक्षता (जीआर) के साथ संयोज्य यांत्रिकी को संदर्भित करता है। यह उन स्थितियों में कणों या द्रव की एक प्रणाली का गैर-क्वांटम यांत्रिकी विवरण प्रदान करता है, जहां गतिशील वस्तुओं की गति प्रकाश की गति c प्रकाश चाल के समान होती है। फलस्वरूप, चिरसम्मत यांत्रिकी उच्च वेग और ऊर्जा पर यात्रा करने वाले कणों के सटीकता से विस्तारण करता है और कणों के यांत्रिकी के साथ विद्युत चुंबकत्व का निरंतर समाविष्ट प्रदान करती है। गैलिलियन सापेक्षता में यह संभव नहीं था, जहां कणों और प्रकाश को प्रकाश से तेज सहित, किसी भी गति से यात्रा करने की अनुमति होगी। आपेक्षिकीय यांत्रिकी का आधार विशिष्ट आपेक्षिकता और सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत हैं। क्वांटम यांत्रिकी के साथ एसआर का एकीकरण आपेक्षिकीय क्वांटम यांत्रिकी है, यद्यपि जीआर के लिए यह प्रयास क्वांटम गुरुत्व है, जो भौतिकी में एक न सुलझने वाली समस्या है।

चिरसम्मत यांत्रिकी के समान, विषय को "शुद्धगतिकी (कीनेमेटीक्स)" में विभाजित किया जा सकता है; स्थिति वेक्टर, वेग और त्वरण, और गतिशीलता (यांत्रिकी) निर्दिष्ट करके गति का विवरण; ऊर्जा, संवेग और कोणीय संवेग और उनके संरक्षण नियम (भौतिकी) और कणों पर कार्य करने वाले या कणों द्वारा लगाए गए बलों पर विचार करके एक पूर्ण विवरण। यद्यपि एक जटिलता है; क्या प्रगामी प्रतीत होता है और क्या स्थिर है - जिसे चिरसम्मत यांत्रिकी में "स्थैतिकी" कहा जाता है - पर्यवेक्षक (भौतिकी) आपेक्षिक गति पर निर्भर करता है जो संदर्भ विन्यास में परिगणना करता है।

यद्यपि चिरसम्मत यांत्रिकी से कुछ परिभाषाएं और अवधारणाएं एसआर तक ले जाती हैं, जैसे संवेग के काल व्युत्पन्न के रूप में बल (न्यूटन का द्वितीय नियम), एक पथ में कण द्वारा किया गया कार्य कण पर प्रयुक्त बल के रेखा समाकलन के रूप में होता है और किए गए कार्य के काल व्युत्पन्न के रूप में ऊर्जा, शेष परिभाषाओं और सूत्रों में कई महत्वपूर्ण संशोधन हैं। एसआर व्यक्त करते है कि गति सापेक्ष है और जड़त्वीय संदर्भ विन्यास के अलावा, भौतिकी के नियम सभी प्रयोगकर्ताओं के लिए समान हैं। समष्टि और काल के धारणाओं को संशोधित करने के अतिरिक्त, एसआर द्रव्यमान, संवेग और ऊर्जा के अवधारणाओं पर पुनर्विचार करने के लिए विवश करता है जो सभी न्यूटनी यांत्रिकी में महत्वपूर्ण निर्माण हैं। एसआर दर्शाता है कि ये अवधारणाएं एक ही भौतिक मात्रा के सभी विभिन्न दृष्टिकोण हैं, ठीक उसी तरह जैसे कि यह समष्टि और काल को परस्पर संबंधित दिखाता है। फलस्वरूप, अन्य संशोधन एक प्रणाली के द्रव्यमान केन्द्र की अवधारणा है, जो चिरसम्मत यांत्रिकी में स्पष्टतः परिभाषित है किन्तु सापेक्षता में अस्पष्ट है - विवरण के लिए आपेक्षिकीय द्रव्यमान केंद्र देखें।

लोरेंत्ज़ कारक में गैर-रैखिकता के कारण समीकरण अधिक परिचित त्रिविम सदिश कलन नियमानुरूप में अधिक जटिल हो जाते हैं, जो आपेक्षिकीय वेग निर्भरता और सभी कणों और क्षेत्रों की गति सीमा के लिए सटीक रूप से उत्तरदयी होते है। यद्यपि, चतुर्विम समष्टिकाल समष्टिकाल में एक सरलतम और सुरुचिपूर्ण रूप है, जिसमें समतल मिन्कोवस्की समष्टि (एसआर) और वक्रदिक्काल (जीआर) सम्मिलित हैं, क्योंकि समष्टि से व्युत्पन्न त्रिविम सदिश और काल से व्युत्पन्न अदिश को चार सदिश या चतुर्विम प्रदिश में एकत्र किया जा सकता है। यद्यपि, छह घटक कोणीय संवेग प्रदिश को कभी-कभी बायवेक्टर कहा जाता है क्योंकि 3डी दृष्टिकोण में यह दो सदिश हैं (इनमें से एक,अक्षीय सदिश होने के कारण  पारंपरिक कोणीय संवेग है)।

आपेक्षिकीय शुद्धगतिकी
आपेक्षिकीय चार-वेग, जो सापेक्षता में वेग का प्रतिनिधित्व करने वाला चार-सदिश है, जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:


 * $$\boldsymbol{\mathbf{U}} = \frac{d \boldsymbol{\mathbf{X}}}{d \tau} = \left(\frac{c dt}{d\tau}, \frac{d\mathbf{x}}{d\tau} \right)$$

ऊपरोक्त में, $${\tau}$$ समष्टिकाल के माध्यम से पथ का उचित समय है, जिसे विश्व-रेखा कहा जाता है, साथ में उपरोक्त वस्तु वेग का प्रतिनिधित्व करता है, और


 * $$\boldsymbol{\mathbf{X}} = (ct, \mathbf{x} )$$

चार-स्थिति है; एक परिघटना (सापेक्षता) के निर्देशांक। काल वृद्धि उचित काल संदर्भ विन्यास में दो परिघटनाओं के मध्य का समय होता है जहां वे एक ही स्थान पर होते हैं। उचित काल समन्वय समय t से निम्न द्वारा संबंधित है::


 * $$\frac{d \tau}{d t} = \frac{1}{\gamma(\mathbf{v})}$$

जहाँ $${\gamma}(\mathbf{v})$$ लोरेंत्ज़ कारक है:


 * $$\gamma(\mathbf{v}) = \frac{1}{\sqrt{1 - \mathbf{v}\cdot\mathbf{v}/c^2}}\,\rightleftharpoons\,\gamma(v) = \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}.$$

(कोई एक संस्करण उद्धृत किया जा सकता है) तो यह इस प्रकार है:


 * $$\boldsymbol{\mathbf{U}} = \gamma(\mathbf{v}) (c, \mathbf{v})$$

$${\gamma(\mathbf{v})}$$ के कारक के अतिरिक्त प्रथम तीन पद, वेग है जैसा कि पर्यवेक्षक ने अपने संदर्भ विन्यास में देखा है। $${\gamma(\mathbf{v})}$$ पर्यवेक्षक के संदर्भ विन्यास और वस्तु के विन्यास के मध्य वेग $$\mathbf{v}$$ से निर्धारित किया जाता है, जो कि वह फ्रेम है जिसमें इसका उचित काल मापा जाता है। यह मात्रा लोरेंत्ज़ रूपांतरण के अंतर्गत निश्चर है, इसलिए यह देखने के लिए कि विभिन्न संदर्भ विन्यास में पर्यवेक्षक क्या देखता है, दो संदर्भ विन्यास के मध्य लोरेंत्ज़ रूपांतरण आव्यूह द्वारा वेग चार-सदिश को गुणा किया जाता है।

विराम द्रव्यमान और आपेक्षिकीय द्रव्यमान
किसी वस्तु के द्रव्यमान को उसके संदर्भ विन्यास में मापा जाता है, उसे उसका विराम द्रव्यमान या निश्चर द्रव्यमान कहा जाता है और प्रायः $$m_0$$ लिखा जाता है। यदि कोई वस्तु किसी अन्य संदर्भ विन्यास में वेग $$\mathbf{v}$$ से चलती है, तो मात्रा $$m=\gamma(\mathbf{v}) m_0$$ उसी विन्यास में प्रायः वस्तु का "आपेक्षिकीय द्रव्यमान" कहा जाता है। कुछ लेखक विराम द्रव्यमान को निरूपित करने के लिए $$m$$ उपयोग करते हैं, लेकिन स्पष्टता के लिए यह लेख आपेक्षिकीय द्रव्यमान के लिए $$m$$ और विराम द्रव्यमान के लिए $$m_0$$ उपयोग करने की परिपाटी का अनुसरण करेगा।

लेव ओकुन सुझाव दिया कि आपेक्षिकीय द्रव्यमान की अवधारणा में "वर्तमान कोई तर्कसंगत औचित्य नहीं है" और अब इसे सिखाया नहीं जाना चाहिए। वोल्फगैंग रिंडलर और टी. आर. सैंडिन सहित अन्य भौतिकविदों ने विरोध किया कि यह अवधारणा उपयोगी है। इस वाद-विवाद पर अधिक जानकारी के लिए विशिष्ट आपेक्षिकता में द्रव्यमान देखें।

जिस कण का विराम द्रव्यमान शून्य होता है उसे द्रव्यमानहीन कहते हैं। फोटॉन और ग्रेविटॉन द्रव्यमानहीन माना जाता है और न्युट्रीनो को प्रायः ऐसा ही माना जाता है।

आपेक्षिकीय ऊर्जा और संवेग
एसआर में संवेग और ऊर्जा को परिभाषित करने के कुछ (समतुल्य) प्रकार हैं। एक विधि संरक्षण नियम का उपयोग करती है। यदि इन नियम को एसआर में वैध रखना है तो उन्हें प्रति संभव संदर्भ विन्यास में सत्य होना आवश्यक है। यद्यपि, यदि संवेग और ऊर्जा की न्यूटनी परिभाषाओं का उपयोग करते हुए कुछ सरल विचार प्रयोग किया जाता है, तो देखा जाता है कि ये मात्राएँ एसआर में संरक्षित नहीं हैं। आपेक्षिकीय वेगों के उत्तरदयी में परिभाषाओं में कुछ छोटे संशोधन करके संरक्षण के विचार को उद्धार किया जा सकता है। यह नई परिभाषाएँ हैं जिन्हें एसआर में संवेग और ऊर्जा के लिए सही माना जाता है।

किसी वस्तु का चार-संवेग सरल है, चिरसम्मत संवेग के रूप में समान है, लेकिन 3-सदिश को 4-सदिश से प्रतिस्थापित कर देता है:


 * $$\boldsymbol{\mathbf{P}} = m_0 \boldsymbol{\mathbf{U}} = (E/c, \mathbf{p})$$

वेग $$\mathbf{v}$$ से गतिशील, निश्चर द्रव्यमान $$m_0$$ वाली किसी वस्तु की ऊर्जा और संवेग के दिए गए संदर्भ विन्यास के संबंध में क्रमशः द्वारा दिए गए हैं
 * $$\begin{align}

E &= \gamma(\mathbf{v}) m_0 c^2 \\ \mathbf{p} &= \gamma(\mathbf{v}) m_0 \mathbf{v} \end{align} $$ कारक $$\gamma$$ ऊपरोक्त वर्णित चार-वेग की परिभाषा से आया है। $$\gamma$$ का प्रकटन वैकल्पिक रूप से व्यक्त किया जा सकता है, जिसकी व्याख्या अगले भाग में की जाएगी।

गतिज ऊर्जा, $$K$$ इस प्रकार परिभाषित किया जाता है
 * $$ K = (\gamma - 1) m_0 c^2 = E - m_0 c^2 \,,$$

और गतिज ऊर्जा के फलन के रूप में गति निम्न द्वारा दिया जाता है
 * $$ v = c \sqrt{1- \left(\frac{m_0 c^2}{K+m_0 c^2}\right)^2} = \frac {c \sqrt {K (K + 2 m_0 c ^ 2)}} {K + m_0 c^2} = \frac {c \sqrt {(E - m_0 c^2)(E + m_0 c ^ 2)}}{E} = \frac{p c^2}{E} \,.$$

न्यूटनी द्रव्यमान के स्थान पर आपेक्षिकीय द्रव्यमान के साथ न्यूटनी यांत्रिकी से प्रारूप का संरक्षण करने के लिए स्थानिक गति को $$\mathbf{p} = m \mathbf{v}$$ के रूप में लिखा जा सकता है। यद्यपि, यह प्रतिस्थापन बल और गतिज ऊर्जा सहित कुछ मात्राओं के लिए विफल रहा है। इसके अतिरिक्त लोरेंत्ज़ रूपांतरण के अंतर्गत आपेक्षिकीय द्रव्यमान निश्चर नहीं है, जबकि शेष विराम द्रव्यमान है। इस कारण, अधिकतर लोग विराम द्रव्यमान का अधिक उपयोग करते हैं और स्पष्टतया से समन्वयित काल या 4-वेग के माध्यम से $$\gamma$$ के लिए उत्तरदयी होते है।

ऊर्जा, संवेग और वेग के मध्य एक सरल संबंध ऊर्जा और संवेग की परिभाषाओं से ऊर्जा को $$\mathbf{v}$$ से और संवेग को $$c^2$$ से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है और टिप्पण करें कि दो व्यंजक समान हैं। यह प्रदान करता है
 * $$\mathbf{p} c^2 = E \mathbf{v}$$

तब इस समीकरण को $$c$$ द्वारा विभाजित और वर्ग करके $$\mathbf{v}$$ को निराकरण किया जा सकता है
 * $$(pc)^2 = E^2 (v/c)^2$$

ऊर्जा की परिभाषा को $$\gamma$$ से विभाजित और वर्ग करके,
 * $$E^2 \left(1 - (v/c)^2\right) = \left(m_0 c^2\right)^2$$

और प्रतिस्थापन करके:
 * $$E^2 - (p c)^2 = \left(m_0 c^2\right)^2$$ यह आपेक्षिकीय ऊर्जा-संवेग संबंध है।

जबकि ऊर्जा $$E$$ और संवेग $$\mathbf{p}$$ उस संदर्भ विन्यास पर निर्भर करता है जिसमें उन्हें मापा जाता है, मात्रा $$E^2 - (p c)^2$$ निश्चर है। इसका मान 4-संवेग सदिश के वर्ग परिमाण का $$-c^2$$ गुना है।

एक प्रणाली के निश्चर द्रव्यमान को इस रूप में लिखा जा सकता है
 * $${m_0}_\text{tot} = \frac {\sqrt{E_\text{tot}^2 - (p_\text{tot}c)^2}} {c^2}$$

गतिज ऊर्जा और बंधन ऊर्जा के कारण, यह मात्रा उन कणों के विराम द्रव्यमानों के योग से भिन्न होती है जिनसे प्रणाली संघटित है। न्यूटनी भौतिकी की स्थिति के विपरीत, विशिष्ट सापेक्षता में विराम द्रव्यमान एक संरक्षित मात्रा नहीं है। यद्यपि, यदि कोई वस्तु आंतरिक रूप से परिवर्तित हो रही है, जब तक कि वह अपने परिवेश के साथ ऊर्जा या संवेग का आदान-प्रदान नहीं करती है, तब तक इसका विराम द्रव्यमान परिवर्तन नहीं होगा और किसी भी संदर्भ विन्यास में उसी परिणाम के साथ गणना की जा सकती है।

द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता
आपेक्षिकीय ऊर्जा-संवेग समीकरण सभी कणों पर प्रयुक्त होता है, द्रव्यमानहीन कणों के लिए भी, जिसके लिए m0 = 0 है। इस स्थिति में:


 * $$E = pc$$

Ev = c2p में प्रतिस्थापित करने पर v = c प्राप्त होता है: द्रव्यमानहीन कण (जैसे फोटॉन) सदैव प्रकाश चाल से यात्रा करते हैं।

ध्यान दें कि समग्र प्रणाली का विराम द्रव्यमान सामान्यतः इसके अंशों के विराम द्रव्यमानों के योग से कुछ भिन्न होगा, क्योंकि इसके शेष विन्यास में, उनकी गतिज ऊर्जा इसके द्रव्यमान को बढ़ाएगी और उनकी (ऋणात्मक) बंधन ऊर्जा इसके द्रव्यमान को कम कर देगी। विशेष रूप से, एक काल्पनिक "प्रकाश पेटी" में विराम द्रव्यमान होगा, चाहे वह कणों से बना हो जो ऐसा नहीं करते क्योंकि उनका संवेग रद्द हो जाएगा।

एक प्रणाली के निश्चर द्रव्यमान के लिए उपरोक्त सूत्र पर ध्यान देते हुए, यह देखा जाता है कि, जब एकल विशाल वस्तु विराम ('v' = '0', 'p' = '0') पर है, तो एक गैर-शून्य द्रव्यमान: m0 = E/c2 शेष रहता है। संबंधित ऊर्जा कुल ऊर्जा भी होती है जब एकल कण विराम पर होता है, उसे "विराम ऊर्जा" कहा जाता है। गतिमान जड़त्वीय विन्यास से देखे जाने वाले कणों की प्रणालियों में, कुल ऊर्जा और संवेग बढ़ता है। यद्यपि, एकल कणों के लिए विराम द्रव्यमान स्थिर रहता है और कणों की प्रणालियों के लिए निश्चर द्रव्यमान स्थिर रहता है, क्योंकि दोनों स्थितियों में, ऊर्जा और संवेग वृद्धि एक दूसरे से घटते हैं और रद्द हो जाते हैं। इस प्रकार, कणों की प्रणालियों का निश्चर द्रव्यमान सभी पर्यवेक्षकों के लिए एक परिकलित स्थिरांक है, जैसा कि एकल कण का विराम द्रव्यमान है।

प्रणालियों का द्रव्यमान और निश्चर द्रव्यमान का संरक्षण
कणों की प्रणालियों के लिए, ऊर्जा-संवेग समीकरण को कणों के संवेग सदिशों के योग की आवश्यकता होती है:


 * $$E^2 - \mathbf{p}\cdot\mathbf{p} c^2 = m_0^2 c^4$$

जड़त्वीय विन्यास जिसमें सभी कणों के संवेग का योग शून्य होता है, उसे संवेग विन्यास का केंद्र कहलाता है। इस विशेष विन्यास में, आपेक्षिकीय ऊर्जा-संवेग समीकरण में p = 0 है, और इस प्रकार प्रणाली के निश्चर द्रव्यमान को प्रणाली के सभी भागों की कुल ऊर्जा के रूप में देता है, जिसे c2 से विभाजित किया जाता है।


 * $$m_{0,\,{\rm system}} = \sum_n E_n/c^2$$

यह किसी भी प्रणाली का निश्चर द्रव्यमान है जिसे एक विन्यास में मापा जाता है जहां इसका कुल संवेग शून्य होता है, जैसे कि एक पैमाने पर तप्त गैस की बोतल। ऐसी प्रणाली में, द्रव्यमान जिसका पैमाना वजन करता है वह निश्चर द्रव्यमान होता है, और यह प्रणाली की कुल ऊर्जा पर निर्भर करता है। इस प्रकार यह अणुओं के विराम द्रव्यमानों के योग से अधिक है, लेकिन इसमें प्रणाली की सभी कुल ऊर्जा भी सम्मिलित है। ऊर्जा और संवेग के समान, पृथक प्रणालियों के निश्चर द्रव्यमान को तब तक नहीं परिवर्तित किया जा सकता जब तक कि प्रणाली संपूर्णतया से संवृत रहता है (किसी द्रव्यमान या ऊर्जा को प्रवेश या निकास की अनुमति नहीं है), क्योंकि प्रणाली की कुल आपेक्षिकीय ऊर्जा तब तक स्थिर रहती है जब तक कुछ भी प्रवेश या निकास नहीं कर सकता।

ऐसी प्रणाली की ऊर्जा में वृद्धि जो प्रणाली को एक जड़त्वीय विन्यास में अनुवाद करने के कारण होती है, जो संवेग विन्यास का केंद्र नहीं है, निश्चर द्रव्यमान में वृद्धि के बिना ऊर्जा और संवेग में वृद्धि का कारण बनता है। यद्यपि E = m0c2, उनके संवेग विन्यास के केंद्र में पृथक प्रणालियों पर ही प्रयुक्त होता है, जहां संवेग का योग शून्य होता है।

इस सूत्र के अंकित मूल्य पर देखा जाता हैं कि सापेक्षता में, द्रव्यमान अन्य नाम से केवल ऊर्जा है (और विभिन्न इकाइयों में मापा जाता है)। 1927 में आइंस्टीन ने विशिष्ट सापेक्षता के बारे में टिप्पणी की, "इस सिद्धांत के अंतर्गत द्रव्यमान एक अपरिवर्तनीय परिमाण नहीं है, लेकिन ऊर्जा की मात्रा पर निर्भर (और वास्तव में, समान) एक परिमाण है।"

संवृत (पृथक) प्रणाली
एक "संपूर्णतया से संवृत" प्रणाली (यानी, पृथक प्रणाली ) में कुल ऊर्जा, कुल संवेग, और इसलिए कुल निश्चर द्रव्यमान का संरक्षण किया जाता है। द्रव्यमान में परिवर्तन के लिए आइंस्टीन का सूत्र अपने सरलतम ΔE = Δmc2 रूप में अनुवाद करता है, यद्यपि, केवल गैर-संवृत प्रणालियों में जिसमें ऊर्जा के निकास की अनुमति है (उदाहरण के लिए, ऊष्मा और प्रकाश के रूप में), और इस प्रकार निश्चर द्रव्यमान न्यूनीकृत हो जाता है। आइंस्टीन के समीकरण दर्शाता है कि इस प्रकार के प्रणाली को द्रव्यमान व्यय करना चाहिए, उपरोक्त सूत्र के अनुसार, ऊर्जा के अनुपात में वे परिवेश में व्यय कर देते हैं। इसके विपरीत यदि प्रतिक्रिया से पूर्व प्रणाली के मध्य द्रव्यमान में अंतर को मापा जा सकता है जो ताप और प्रकाश अवमुक्त करता है और प्रणाली जो प्रतिक्रिया के पश्चात जब ताप और प्रकाश मुक्त हो जाते हैं, तो ऊर्जा की मात्रा का अनुमान लगाया जा सकता है, जो प्रणाली से मुक्त होती है।

रासायनिक और परमाणु प्रतिक्रियाएँ
परमाणु और रासायनिक दोनों प्रतिक्रियाओं में, ऐसी ऊर्जा परमाणुओं (रसायन विज्ञान के लिए) या नाभिक में न्यूक्लियंस (परमाणु प्रतिक्रियाओं में) के मध्य इलेक्ट्रॉनों की बंधन ऊर्जा में अंतर का प्रतिनिधित्व करती है। दोनों स्थितियों में, अभिकारकों और (ठंडा) उत्पादों के मध्य द्रव्यमान अंतर ऊष्मा और प्रकाश के द्रव्यमान को मापता है जो प्रतिक्रिया से मुक्त हो जाएगा, और इस प्रकार (समीकरण का उपयोग करके) ऊष्मा और प्रकाश की समतुल्य ऊर्जा देता है जो प्रतिक्रिया निरंतर चलने पर उत्सर्जित हो सकती है।

रसायन विज्ञान में, उत्सर्जित ऊर्जा से संबद्ध द्रव्यमान अंतर आणविक द्रव्यमान के प्रायः 10−9 होते हैं।। यद्यपि, यदि उत्पादों और अभिकारकों को तौला गया हो (परमाणु द्रव्यमान का उपयोग करके परमाणुओं को अप्रत्यक्ष रूप से तौला जा सकता है, जो सदैव प्रत्येक न्यूक्लाइड के लिए समान है), तो परमाणु प्रतिक्रियाओं में ऊर्जा इतनी विशाल होती है कि वे द्रव्यमान अंतर से संबद्ध होती हैं, जिसका निश्चित समय से पूर्व अनुमान लगाया जा सकता है। इस प्रकार, आइंस्टीन का सूत्र महत्वपूर्ण हो जाता है, जब विभिन्न परमाणु नाभिकों के द्रव्यमान को मापा जाता है। द्रव्यमान में अंतर को देखकर, यह अनुमान लगाया जा सकता है कि किस नाभिक ने ऊर्जा संग्रहीत की है, जो कुछ परमाणु प्रतिक्रियाओं द्वारा मुक्त किया जा सकता है, जो महत्वपूर्ण जानकारी प्रदान करता है तथा परमाणु ऊर्जा के विकास में उपयोगी थी जिसके परिणामस्वरूप परमाणु बम विकसित हुआ। ऐतिहासिक रूप से, उदाहरण के लिए, लिसे मीटनर नाभिक में द्रव्यमान अंतर का अनुमान लगाने में सक्षम था कि परमाणु विखंडन को एक अनुकूल प्रक्रिया बनाने के लिए पर्याप्त ऊर्जा उपलब्ध थी। इस प्रकार आइंस्टीन के सूत्र के इस विशेष रूप के निहितार्थों ने इसे संपूर्ण विज्ञान में सबसे प्रसिद्ध समीकरणों में से एक बना दिया है।

संवेग विन्यास का केंद्र
समीकरण E = m0c2 केवल संवेग विन्यास के केंद्र में पृथक प्रणालियों पर प्रयुक्त होता है। यह जनसाधारण द्वारा मिथ्याबोध हुआ है कि द्रव्यमान को ऊर्जा में रूपांतरित किया जा सकता है, जिसके पश्चात द्रव्यमान लुप्त हो जाता है। यद्यपि, प्रणाली पर प्रयुक्त समीकरण के लोकप्रिय स्पष्टीकरण में विवृत (गैर-पृथक) प्रणालियां सम्मिलित हैं, जिनके लिए ऊष्मा और प्रकाश को विमुक्त किया जाता है अन्यथा जब वे प्रणाली के द्रव्यमान (निश्चर द्रव्यमान) में योगदान करते।

ऐतिहासिक रूप से, द्रव्यमान के ऊर्जा में "रूपांतरित" होने के बारे में भ्रम को द्रव्यमान और " पदार्थ " के बीच भ्रम से सहायता मिली है, जहां पदार्थ को फर्मियन कणों के रूप में परिभाषित किया गया है। ऐसी परिभाषा में, विद्युत चुम्बकीय विकिरण और गतिज ऊर्जा (या ऊष्मा) को "पदार्थ" नहीं माना जाता है। कुछ स्थितियों में, वास्तव में पदार्थ को ऊर्जा के गैर-पदार्थों में रूपांतरित किया जा सकता है (ऊपर देखें), लेकिन इन सभी स्थितियों में, ऊर्जा के पदार्थ और गैर-पदार्थ रूप अपने मूल द्रव्यमान को प्रतिधारित रखते हैं।

पृथक प्रणालियों के लिए (सभी द्रव्यमान और ऊर्जा विनिमय के लिए संवृत), संवेग विन्यास के केंद्र में द्रव्यमान कभी अदृश्य नहीं होता, क्योंकि ऊर्जा लुप्त नहीं हो सकता। इसके अतिरिक्त, संदर्भ में, इस समीकरण का अर्थ केवल यह है कि जब किसी भी ऊर्जा को वर्धित किया जाता है, या मुक्त किया जाता है, संवेग विन्यास के केंद्र में एक प्रणाली, ऊर्जा के वर्धित या घटाने के अनुपात में प्रणाली को द्रव्यमान प्राप्त या ह्रास के रूप में मापा जाएगा। इस प्रकार सिद्धांत में, यदि एक परमाणु बम को उसके विस्फोट को नियंत्रित रखने के लिए पर्याप्त शक्तिशालि पेटी में रखा जाता है और एक पैमाने पर विस्फोट किया जाता है, तो इस संवृत प्रणाली का द्रव्यमान परिवर्तित नहीं होगा और पैमाना स्थानांतरित नहीं होगा। केवल जब अति-शक्तिशालि प्लाज्मा युक्त पेटी में एक पारदर्शी "गवाक्ष" विविक्त की गई और प्रकाश और ऊष्मा को किरण में प्रसारित की गई और बम घटकों को ठंडा किया गया, क्या प्रणाली में विस्फोट की ऊर्जा से संबद्ध द्रव्यमान ह्रास होगा। उदाहरण के लिए, 21 किलोटन के बम में, प्रायः एक ग्राम प्रकाश और ऊष्मा उत्पन्न होती है। यदि इस ऊष्मा और प्रकाश को मुक्त किया गया, तो बम के अवशेष में ठंडा होने पर एक ग्राम के द्रव्यमान का ह्रास होगा। इस विचार-प्रयोग में, प्रकाश और ऊष्मा द्रव्यमान के ग्राम को ले जाते हैं और इसलिए इस ग्राम द्रव्यमान को उन वस्तुओं में निक्षेप कर देंगे जो उन्हें अवशोषित करती हैं।

कोणीय संवेग
आपेक्षिकीय यांत्रिकी में, समय-परिवर्ती द्रव्यमान आघूर्ण


 * $$\mathbf{N} = m \left( \mathbf{x} - t \mathbf{v} \right) $$

और कक्षीय 3-कोणीय संवेग


 * $$\mathbf{L} = \mathbf{x}\times \mathbf{p}$$

कण के 4-स्थिति X और 4-संवेग P के संदर्भ में एक बिंदु-समान कण को चतुर्विम द्विसदिश (बाइवेक्टर) में संयोजित किया जाता है:
 * $$\mathbf{M} = \mathbf{X}\wedge\mathbf{P}$$

जहां ∧ बाहरी उत्पाद को दर्शाता है। यह प्रदिश योज्य है: किसी प्रणाली का कुल कोणीय संवेग, प्रणाली के प्रत्येक घटक के लिए कोणीय संवेग प्रदिश का योग होता है। इसलिए, असतत कणों के समुच्चय के लिए कणों पर कोणीय संवेग प्रदिश का योग किया जाता है, या निरंतर द्रव्यमान वितरण की सीमा पर कोणीय संवेग के घनत्व को समाकलित किया जाता है।

अन्य वस्तुओं और क्षेत्रों के लिए संबंधित घटकों के साथ एकत्रित होने पर छह घटकों में से प्रत्येक संरक्षित मात्रा बनाता है।

बल
विशिष्ट आपेक्षिकता में, न्यूटन का द्वितीय नियम F = ma के रूप में मान्य नहीं है, लेकिन यदि इसे इस रूप में व्यक्त किया जाए तो यह मान्य होता है
 * $$ \mathbf{F} = \frac{d\mathbf{p}}{dt} $$

जहाँ p = γ(v)m0v संवेग है जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है और m0 निश्चर द्रव्यमान है। इसलिए, बल इस प्रकार दिया जाता है


 * $$\mathbf{F} = \gamma(\mathbf{v})^3 m_0 \, \mathbf{a}_\parallel + \gamma(\mathbf{v}) m_0 \, \mathbf{a}_\perp $$
 * {| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"

!Derivation Starting from
 * $$ \mathbf{F} = m_0 \frac{d(\gamma(\mathbf{v}) \, \mathbf{v})}{dt} = m_0 \left( \frac{d \gamma(\mathbf{v})}{dt} \, \mathbf{v} + \gamma(\mathbf{v}) \frac{d\mathbf{v}}{dt} \right).$$

Carrying out the derivatives gives


 * $$ \mathbf{F} = \frac{\gamma(\mathbf{v})^3 m_0}{c^2} \left( \mathbf{v} \cdot \mathbf{a} \right) \, \mathbf{v} + \gamma(\mathbf{v}) m_0\, \mathbf{a}.$$

If the acceleration is separated into the part parallel to the velocity (a∥) and the part perpendicular to it (a⊥), so that:


 * $$ \mathbf{a} = \mathbf{a}_\parallel + \mathbf{a}_\perp\,,\quad \mathbf{v}\cdot\mathbf{a}_\perp = 0 \,,\quad \mathbf{v}\cdot\mathbf{a} = \mathbf{v}\cdot\mathbf{a}_\parallel \,, $$

one gets


 * $$ \mathbf{F} = \frac{\gamma(\mathbf{v})^3 m_0}{c^2} \left( \mathbf{v} \cdot \mathbf{a}_\parallel \right) \, \mathbf{v} + \gamma(\mathbf{v}) m_0\, (\mathbf{a}_\perp + \mathbf{a}_\parallel ) \, . $$

By construction a∥ and v are parallel, so (v·a∥)v is a vector with magnitude v2a∥ in the direction of v (and hence a∥) which allows the replacement:


 * $$ (\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}_\parallel) \mathbf{v} = v^2 \mathbf{a}_\parallel $$

then


 * $$\begin{align}

\mathbf{F} & = \frac{\gamma(\mathbf{v})^3 m_0 v^{2}}{c^2} \, \mathbf{a}_{\parallel} + \gamma(\mathbf{v}) m_0 \, (\mathbf{a}_{\parallel} + \mathbf{a}_{\perp})\\ & = \gamma(\mathbf{v})^3 m_0 \left( \frac{v^2}{c^2} + \frac{1}{\gamma(\mathbf{v})^2} \right) \mathbf{a}_{\parallel} + \gamma(\mathbf{v}) m_0 \, \mathbf{a}_{\perp} \\ & = \gamma(\mathbf{v})^3 m_0 \left( \frac{v^{2}}{c^2} + 1 - \frac{v^{2}}{c^2} \right) \mathbf{a}_{\parallel} + \gamma(\mathbf{v}) m_0 \, \mathbf{a}_{\perp} \\ & = \gamma(\mathbf{v})^3 m_0 \, \mathbf{a}_{\parallel} + \gamma(\mathbf{v}) m_0 \, \mathbf{a}_{\perp} \end{align}\,$$

परिणामस्वरूप, कुछ पुराने पाठ्य पुस्तकों में, γ(v)3m0 को अनुदैर्ध्य द्रव्यमान के रूप में संदर्भित किया जाता है, और γ(v)m0 को अनुप्रस्थ द्रव्यमान के रूप में संदर्भित किया जाता है, जो संख्यात्मक रूप से आपेक्षिकीय द्रव्यमान के समान होता है। विशिष्ट सापेक्षता में द्रव्यमान देखें।
 * }

यदि बल से त्वरण की गणना करने के लिए इसे अंतर्वर्त किया जाता है, तो निम्न प्राप्त होता है


 * $$ \mathbf{a} = \frac{1}{m_0 \gamma(\mathbf{v})} \left( \mathbf{F} - \frac{ ( \mathbf{v} \cdot \mathbf{F} ) \mathbf{v} }{c^2} \right) \,.$$

इस खंड में वर्णित बल चिरसम्मत 3-डी बल है जो चतुर्विम-सदिश नहीं है। यह 3-डी बल बल की उपयुक्त अवधारणा है क्योंकि यह वह बल है जो न्यूटन के गति के तृतीय नियम का पालन करता है। इसे तथाकथित चार-बल के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए जो रूपांतरित वस्तु के सहचलित विन्यास में केवल 3-डी बल है, जैसे कि यह चार-सदिश थे। यद्यपि, 3-डी बल का घनत्व (रैखिक संवेग प्रति इकाई चार-आयतन में स्थानांतरित) चार-सदिश (वजन का घनत्व +1) है जब स्थानांतरित शक्ति के घनत्व के ऋणात्मक के साथ संयोजित किया जाता है।

आघूर्ण बल (टॉर्क)
एक बिंदु समान कण पर कार्य करने वाले आघूर्ण बल को उचित काल के संबंध में ऊपरोक्त कोणीय संवेग प्रदिश के व्युत्पादित के रूप में परिभाषित किया गया है:
 * $$\boldsymbol{\Gamma} = \frac{d \mathbf{M}}{d\tau} = \mathbf{X}\wedge \mathbf{F}$$

या प्रदिश घटकों में:


 * $$\Gamma_{\alpha\beta} = X_\alpha F_\beta - X_\beta F_\alpha $$

जहाँ F घटना X पर कण पर कार्य करने वाला 4डी बल है। जैसे कोणीय संवेग के साथ आघूर्ण बल योगात्मक है, इसलिए एक विस्तारित वस्तु के लिए द्रव्यमान के वितरण पर योग या समाकलित होता है।

गतिज ऊर्जा
कार्य-ऊर्जा प्रमेय बताता है गतिज ऊर्जा में परिवर्तन तत्व पर किए गए कार्य के समान होता है। विशिष्ट सापेक्षता में:


 * $$\begin{align}

\Delta K = W = [\gamma_1 - \gamma_0] m_0c^2.\end{align}$$
 * {| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"

!Derivation
 * $$\begin{align}
 * $$\begin{align}
 * $$\begin{align}

\Delta K = W &= \int_{\mathbf{x}_0}^{\mathbf{x}_1} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{x} \\ &= \int_{t_0}^{t_1} \frac{d}{dt}(\gamma m_0 \mathbf{v})\cdot\mathbf{v}dt \\ &= \left. \gamma m_0 \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} \right|^{t_1}_{t_0} - \int_{t_0}^{t_1} \gamma m_0\mathbf{v} \cdot \frac{d\mathbf{v}}{dt} dt \\ &= \left. \gamma m_0 v^2 \right|^{t_1}_{t_0} - m_0\int_{v_0}^{v_1} \gamma v\,dv \\ &= m_0 \left( \left. \gamma v^2 \right|^{t_1}_{t_0} - c^2\int_{v_0}^{v_1} \frac{2v/c^2}{2\sqrt{1-v^2/c^2}}\,dv \right) \\ &= \left. m_0\left(\frac {v^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}} + c^2 \sqrt{1-v^2/c^2} \right) \right|^{t_1}_{t_0} \\ &= \left. \frac {m_0c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \right|^{t_1}_{t_0} \\ &= \left. {\gamma m_0c^2}\right|^{t_1}_{t_0} \\ &= \gamma_1 m_0c^2 - \gamma_0 m_0c^2.\end{align}$$ यदि प्रारंभिक अवस्था में तत्व विराम पर था, तो v0 = 0 और γ0(v0) = 1, और अंतिम अवस्था में इसकी गति v1 = v, समायोजन γ1(v1) = γ(v) होती है, तब गतिज ऊर्जा है;
 * }
 * $$K = [\gamma(v) - 1]m_0 c^2\,,$$

एक परिणाम जिसे कुल आपेक्षिकीय ऊर्जा γ(v)m0c2 से विराम ऊर्जा m0c2 घटाकर प्रत्यक्ष प्राप्त किया जा सकता है।

न्यूटोनियन सीमा
लोरेंत्ज़ कारक γ(v) को (v/c)2 < 1 के लिए टेलर श्रृंखला या द्विपद श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है, निम्न प्राप्त करने हेतु::


 * $$\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\dfrac{v}{c}\right)^{2n}\prod_{k=1}^n \left(\dfrac{2k - 1}{2k}\right) = 1 + \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{v}{c}\right)^2 + \dfrac{3}{8} \left(\dfrac{v}{c}\right)^4 + \dfrac{5}{16} \left(\dfrac{v}{c}\right)^6 + \cdots$$

और इसके परिणामस्वरूप
 * $$E - m_0 c^2 = \frac{1}{2} m_0 v^2 + \frac{3}{8} \frac{m_0 v^4}{c^2} + \frac{5}{16} \frac{m_0 v^6}{c^4} + \cdots ;$$
 * $$\mathbf{p} = m_0 \mathbf{v} + \frac{1}{2} \frac{m_0 v^2 \mathbf{v}}{c^2} + \frac{3}{8} \frac{m_0 v^4 \mathbf{v}}{c^4} + \frac{5}{16} \frac{m_0 v^6 \mathbf{v}}{c^6} + \cdots .$$

प्रकाश की गति से न्यूनतम गति के लिए c2 और उच्च भाजक वाले पदों की उपेक्षा की जा सकती है। ये सूत्र तब न्यूटनी गतिज ऊर्जा और संवेग की मानक परिभाषाओं में संक्षिप्त करते हैं। यह वैसा ही है जैसा होना चाहिए, विशिष्ट सापेक्षता के लिए निम्न वेग पर न्यूटनी यांत्रिकी के साथ सहमत होना चाहिए।

यह भी देखें

 * विशिष्ट आपेक्षिकता का परिचय
 * जुड़वां विरोधाभास
 * आपेक्षिकीय समीकरण
 * आपेक्षिकीय ऊष्मा चालन
 * चिरसम्मत विद्युत चुंबकत्व और विशिष्ट आपेक्षिकता
 * आपेक्षिकीय प्रणाली (गणित)
 * आपेक्षिकीय लग्रांजी यांत्रिकी

अग्रिम पठन

 * General scope and special/general relativity


 * Concepts of Modern Physics (4th Edition), A. Beiser, Physics, McGraw-Hill (International), 1987, ISBN 0-07-100144-1
 * Concepts of Modern Physics (4th Edition), A. Beiser, Physics, McGraw-Hill (International), 1987, ISBN 0-07-100144-1
 * Concepts of Modern Physics (4th Edition), A. Beiser, Physics, McGraw-Hill (International), 1987, ISBN 0-07-100144-1
 * Concepts of Modern Physics (4th Edition), A. Beiser, Physics, McGraw-Hill (International), 1987, ISBN 0-07-100144-1
 * Concepts of Modern Physics (4th Edition), A. Beiser, Physics, McGraw-Hill (International), 1987, ISBN 0-07-100144-1


 * Electromagnetism and special relativity




 * Classical mechanics and special relativity




 * General relativity