विश्राम (पुनरावृत्ति विधि)

संख्यात्मक गणित में गैर-रैखिक प्रणालियों सहित एक साथ समीकरणों को हल करने के लिए विश्राम पद्धति पुनरावृत्त विधि हैं।

बड़े विरल रैखिक प्रणालियों को हल करने के लिए विश्राम विधियों का विकास किया गया था जो अंतर समीकरणों के परिमित-अंतर विवेक के रूप में उत्पन्न हुई थी। उनका उपयोग रैखिक कम-वर्ग समस्याओं के लिए रैखिक समीकरणों के समाधान के लिए भी किया जाता है और रैखिक असमानताओं की प्रणालियों के लिए भी जैसे कि रैखिक प्रोग्रामिंग में उत्पन्न होने वाली  उन्हें समीकरणों की अरेखीय प्रणालियों को हल करने के लिए भी विकसित किया गया है।

विशेष रूप से अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरण को मॉडल करने के लिए उपयोग किए जाने वाले रैखिक प्रणालियों के समाधान में आराम के विधि महत्वपूर्ण हैं जैसे लाप्लास के समीकरण और इसके सामान्यीकरण पॉइसन के समीकरण ये समीकरण सीमा-मूल्य समस्याओं का वर्णन करते हैं जिसमें समाधान-कार्य के मान डोमेन की सीमा पर निर्दिष्ट होते हैं; समस्या इसके इंटीरियर पर भी समाधान की गणना करना है। विभेदक समीकरणों के विखंडन से उत्पन्न रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए विश्राम विधियों का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए परिमित अंतरों द्वारा है ।

समाधानों की पुनरावृत्त छूट को सामान्यतः स्मूथिंग अनुबंध दिया जाता है क्योंकि कुछ समीकरणों के साथ जैसे लाप्लास के समीकरण यह समाधान वेक्टर के लिए एक स्थानीय स्मूथिंग फिल्टर के बार-बार आवेदन जैसा दिखता है। इन्हें गणितीय अनुकूलन में विश्राम (सन्निकटन) विधियों के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए जो कि सन्निकटन सिद्धांत एक सरल समस्या द्वारा एक कठिन समस्या है जिसका आराम से समाधान मूल समस्या के समाधान के बारे में जानकारी प्रदान करता है।

संभावित सिद्धांत की मॉडल समस्या
जब φ वास्तविक संख्याओं पर एक सहज वास्तविक-मूल्यवान कार्य है तो इसका दूसरा व्युत्पन्न इसके द्वारा अनुमानित किया जा सकता है:
 * $$\frac{d^2\varphi(x)}{{dx}^2} = \frac{\varphi(x{-}h)-2\varphi(x)+\varphi(x{+}h)}{h^2}\,+\,\mathcal{O}(h^2)\,.$$

बिंदु (x, y) पर दो तर्कों के कार्य φ के लिए दोनों आयामों में इसका उपयोग करना और φ (x, y) के लिए हल करना परिणामस्वरूप:
 * $$\varphi(x, y) = \tfrac{1}{4}\left(\varphi(x{+}h,y)+\varphi(x,y{+}h)+\varphi(x{-}h,y)+\varphi(x,y{-}h)

\,-\,h^2{\nabla}^2\varphi(x,y)\right)\,+\,\mathcal{O}(h^4)\,.$$ प्वासों समीकरण के समाधान का अनुमान लगाने के लिए:
 * $${\nabla}^2 \varphi = f\,$$

संख्यात्मक रूप से ग्रिड रिक्ति एच के साथ एक द्वि-आयामी ग्रिड पर, विश्राम विधि कार्य φ के दिए गए मानों को सीमा के पास ग्रिड बिंदुओं और इच्छानुसार मानों को आंतरिक ग्रिड बिंदुओं पर असाइन करती है और फिर बार-बार असाइनमेंट करती है

φ := φ* आंतरिक बिंदुओं पर, जहां φ* द्वारा परिभाषित किया गया है:
 * $$\varphi^*(x, y) = \tfrac{1}{4}\left(\varphi(x{+}h,y)+\varphi(x,y{+}h)+\varphi(x{-}h,y)+\varphi(x,y{-}h)

\,-\,h^2f(x,y)\right)\,,$$ अभिसरण तक।

प्रक्रिया आयामों की अन्य संख्याओं के लिए आसानी से सामान्यीकृत किया जाता है।

अभिसरण और त्वरण
जबकि विधि सामान्य परिस्थितियों में अभिसरण करती है यह सामान्यतः प्रतिस्पर्धी विधियों की तुलना में धीमी प्रगति करती है। चूँकि विश्राम विधियों का अध्ययन रैखिक बीजगणित का एक मुख्य भाग बना हुआ है क्योंकि विश्राम सिद्धांत के परिवर्तन नए विधियों के लिए उत्कृष्ट पूर्व नियम प्रदान करते हैं। चूँकि पुनरावृत्त विधि की पसंद से पूर्व नियम का चुनाव अक्सर अधिक महत्वपूर्ण होता है।

विधियों में तेजी लाने के लिए मल्टीग्रिड विधियों का उपयोग किया जा सकता है। कोई पहले एक मोटे ग्रिड पर सन्निकटन की गणना कर सकता है - सामान्यतः डबल स्पेसिंग 2h - और प्रारंभिक असाइनमेंट के रूप में अन्य ग्रिड बिंदुओं के लिए प्रक्षेप मानों के साथ उस समाधान का उपयोग करें। इसके बाद मोटे संगणना के लिए पुनरावर्ती रूप से भी किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * लीनियर प्रणाली में विश्राम विधियों के दो मुख्य वर्ग हैं इटरेटिव विधि या स्टेशनरी इटरेटिव विधि और अधिक सामान्य इटरेटिव विधि या क्रिलोव सबस्पेस विधि है ।
 * जैकोबी विधि विश्राम की एक सरल विधि है।
 * गॉस-सीडेल विधि जैकोबी पद्धति पर एक सुधार है।
 * अभिसरण को गति देने के लिए जैकोबी और गॉस-सीडेल विधियों में से किसी एक पर उत्तरोत्तर अति-विश्राम प्रयुक्त किया जा सकता है।
 * मल्टीग्रिड विधि

संदर्भ

 * Abraham Berman, Robert J. Plemmons, Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences, 1994, SIAM. ISBN 0-89871-321-8.
 * Yousef Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Systems, 1st edition, PWS, 1996.
 * Richard S. Varga 2002 Matrix Iterative Analysis, Second ed. (of 1962 Prentice Hall edition), Springer-Verlag.
 * David M. Young, Jr. Iterative Solution of Large Linear Systems, Academic Press, 1971. (reprinted by Dover, 2003)
 * Richard S. Varga 2002 Matrix Iterative Analysis, Second ed. (of 1962 Prentice Hall edition), Springer-Verlag.
 * David M. Young, Jr. Iterative Solution of Large Linear Systems, Academic Press, 1971. (reprinted by Dover, 2003)

अग्रिम पठन

 * Southwell, R.V. (1940) Relaxation Methods in Engineering Science. Oxford University Press, Oxford.
 * Southwell, R.V. (1946) Relaxation Methods in Theoretical Physics. Oxford University Press, Oxford.