बैलिस्टिक पेंडुलम

बैलिस्टिक पेंडुलम (लोलक) बुलेट के संवेग को मापने के लिए एक उपकरण है, जिससे वेग और गतिज ऊर्जा की गणना करना संभव है। बैलिस्टिक क्रोनोग्रफ़ द्वारा बैलिस्टिक पेंडुलम को काफी हद तक अप्रचलित कर दिया गया है, जो प्रक्षेप्य वेग के प्रत्यक्ष माप की अनुमति देता है।

यद्यपि बैलिस्टिक पेंडुलम को अप्रचलित माना जाता है, यह महत्वपूर्ण समय के लिए उपयोग में रहा और इसने बैलिस्टिक विज्ञान में काफी प्रगति की थी। गति और ऊर्जा के गुणों को प्रदर्शित करने में इसकी सहजता और उपयोगिता के कारण बैलिस्टिक पेंडुलम आज भी भौतिकी की कक्षाओं में पाया जाता है। बुलेट की गति को मापने के अन्य तरीकों के विपरीत, बैलिस्टिक पेंडुलम बुनियादी गणना के लिए समय के किसी भी माप की आवश्यकता नहीं होती है, लेकिन केवल द्रव्यमान और दूरी के उपायों पर निर्भर करती है।

इसके अतिरिक्त एक प्रक्षेप्य के वेग को मापने के प्राथमिक उपयोग या एक बंदूक की पुनरावृत्ति, बैलिस्टिक पेंडुलम का उपयोग गति के किसी भी हस्तांतरण को मापने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक बैलिस्टिक पेंडुलम का उपयोग भौतिक विज्ञानी सी. वी. बॉयज़ द्वारा गोल्फ गेंदों की लोच (भौतिकी) को मापने के लिए किया गया था, और भौतिक विज्ञानी पीटर गुथरी टैट द्वारा गोल्फ की गेंद द्वारा तय की गई दूरी पर स्पिन के प्रभाव को मापने के लिए किया जा सकता है। ।

इतिहास
बैलिस्टिक पेंडुलम का आविष्कार 1742 में अंग्रेजी गणितज्ञ बेंजामिन रॉबिन्स (1707-1751) द्वारा किया गया था, और उनकी पुस्तक न्यू प्रिंसिपल्स ऑफ गनरी में प्रकाशित हुई, जिसने बैलिस्टिक विज्ञान में क्रांति ला दी, क्योंकि इसने बुलेट के वेग को सटीक रूप से मापने का पहला तरीका प्रदान किया गया था।

रोबिन्स ने प्रक्षेप्य वेग को दो तरीकों से मापने के लिए बैलिस्टिक पेंडुलम का उपयोग किया था। पहले बंदूक को पेंडुलम से जोड़ना था, और प्रतिक्षेप (रेकोईल) को मापना था। चूँकि बंदूक का संवेग इजेक्टा के संवेग के बराबर होता है, और चूंकि प्रक्षेप्य (उन प्रयोगों में) इजेक्टा (निष्कासित) के द्रव्यमान का बड़ा हिस्सा था, इसलिए बुलेट के वेग का अनुमान लगाया जा सकता है। दूसरा, और अधिक सटीक तरीका, बुलेट की गति को सीधे पेंडुलम में फैंक कर मापना था। रॉबिन्स ने द्रव्यमान में लगभग एक औंस (28 ग्राम) की मस्कट गेंदों के साथ प्रयोग किया, जबकि अन्य समकालीनों ने एक से तीन पाउंड (0.5 से 1.4 किलोग्राम) के तोप शॉट के साथ अपने तरीकों का उपयोग किया था।

रॉबिन्स के मूल काम में बुलेट पकड़ने के लिए लकड़ी के सामने लोहे के भारी पेंडुलम का उपयोग किया गया था। भौतिकी कक्षाओं में प्रदर्शन के रूप में उपयोग किए जाने वाले आधुनिक प्रतिकृतियां, सामान्यतः एक बहुत ही महीन, हल्की भुजा द्वारा लटकाए गए भारी वजन का उपयोग करती हैं, और पेंडुलम की भुजा के द्रव्यमान की उपेक्षा करती हैं। रॉबिन्स के भारी लोहे के पेंडुलम ने इसकी अनुमति नहीं दी, और रॉबिन्स का गणितीय दृष्टिकोण थोड़ा अधिक जटिल था। उन्होंने पेंडुलम की घूर्णी जड़ता की गणना करने के लिए दोलन की अवधि (भौतिकी) और पेंडुलम के द्रव्यमान (दोनों को सम्मिलित बुलेट के साथ मापा गया) का उपयोग किया, जो तब गणना में उपयोग किया गया था। पेंडुलम की प्रगमन को मापने के लिए, रॉबिन्स ने फीता की लंबाई का भी उपयोग किया, जो एक क्लैंप में शिथिल रूप से जकड़ा हुआ था। पेंडुलम की  प्रगमन जीवा (ज्यामिति) के बराबर रिबन की लंबाई को खींचता है ।

प्रक्षेप्य गति के प्रत्यक्ष उपायों के साथ बैलिस्टिक पेंडुलम को बदलने वाली पहली प्रणाली का आविष्कार 1808 में नेपोलियन युद्ध के दौरान किया गया था और उस पर दो पेपर डिस्क के साथ ज्ञात गति के तेजी से घूमने वाले शाफ्ट का उपयोग किया गया था; बुलेट को शाफ्ट के समानांतर डिस्क के माध्यम से निकाल दिया गया था, और प्रभाव के बिंदुओं में कोणीय अंतर ने डिस्क के बीच की दूरी पर बीता हुआ समय प्रदान किया था। 1848 में एक सीधा इलेक्ट्रोमैकेनिकल क्लॉकवर्क उपाय दिखाई दिया, जिसमें एक स्प्रिंग-चालित घड़ी इलेक्ट्रोमैग्नेट्स द्वारा प्रारंभ और बंद हो गई थी, जिसका करंट ठीक तारों के दो जालों से गुजरने वाली बुलेट से बाधित था, फिर से दी गई दूरी को पार करने का समय प्रदान करता है।

गणितीय व्युत्पत्ति
अधिकांश भौतिकी पाठ्यपुस्तकें बुलेट के वेग की गणना का एक सरल तरीका प्रदान करती हैं जो पेंडुलम और बुलेट सिस्टम में ऊर्जा और गति की मात्रा की गणना करने के लिए बुलेट और पेंडुलम के द्रव्यमान और पेंडुलम की दूरी की ऊंचाई का उपयोग करती है। रॉबिन्स की गणना काफी अधिक सम्मिलित थी, और सिस्टम के घूर्णी जड़त्व को निर्धारित करने के लिए दोलन की अवधि के माप का उपयोग किया है।

सरल व्युत्पत्ति
हम बुलेट-पेंडुलम सिस्टम की गति के साथ प्रारंभ करते हैं, और उसी क्षन पेंडुलम को बुलेट  से अटकाया जाता हैl

दिया गया $$g$$, गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण, और $$h$$, पेंडुलम की अंतिम ऊंचाई, यांत्रिक ऊर्जा (गतिज ऊर्जा + संभावित ऊर्जा) के संरक्षण का उपयोग करके बुलेट-पेंडुलम प्रणाली के प्रारंभिक वेग की गणना करना संभव है। बता दें कि इस प्रारंभिक वेग $$v_1$$ द्वारा निरूपित किया जाता हैl मान लीजिए कि बुलेट और पेंडुलम का द्रव्यमान है $$m_b$$ और $$m_p$$ क्रमश।

प्रणाली की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $$ K_{initial} =\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix}(m_{b}+m_{p})\cdot v_1^2$$

पेंडुलम की प्रारंभिक ऊंचाई को संभावित ऊर्जा संदर्भ के रूप में लेना $$ (U_{initial}=0)$$, अंतिम संभावित ऊर्जा जब बुलेट-पेंडुलम प्रणाली बंद हो जाती है $$ (K_{final} = 0)$$ द्वारा दिया गया है $$ U_{final} = (m_{b}+m_{p})\cdot g\cdot h$$ तो, यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण से, हमारे पास:
 * $$ K_{initial} = U_{final} \,$$
 * $$ \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} (m_{b}+m_{p})\cdot v_1^2 = (m_{b}+m_{p})\cdot g\cdot h $$
 * वेग प्राप्त करने के लिए हल करें: $$ v_1 = \sqrt{2\cdot g\cdot h} $$

अब हम बुलेट-पेंडुलम सिस्टम के लिए बुलेट की गति प्राप्त करने के लिए संवेग संरक्षण का उपयोग कर सकते हैं, $$v_0$$, इससे पहले कि यह पेंडुलम से टकराए। पेंडुलम पर प्रभाव डालने से पहले बुलेट की गति को बुलेट-पेंडुलम प्रणाली के समान करना जैसे ही बुलेट पेंडुलम से टकराती है (और उपयोग करते हुए) $$ v_1 = \sqrt{2\cdot g\cdot h}$$ ऊपर से), हम प्राप्त करते हैं:


 * $$ m_\textrm{b}\cdot v_0 = (m_\textrm{b}+m_\textrm{p}) \cdot \sqrt{2\cdot g\cdot h} $$

के लिए हल करना $$ v_0$$:
 * $$ v_0 = \frac{(m_\textrm{b}+m_\textrm{p}) \cdot \sqrt{2\cdot g\cdot h}}{m_\textrm{b}}

= \left(1 + \frac{m_\textrm{p}}{m_\textrm{b}}\right) \cdot \sqrt{2\cdot g\cdot h}$$

रॉबिन्स का सूत्र
रॉबिन्स की मूल पुस्तक में सूत्र में कुछ विलोपित धारणाएँ थीं; उदाहरण के लिए, इसमें एक बुलेट प्रभाव के लिए सुधार सम्मिलित नहीं था जो पेंडुलम के द्रव्यमान के केंद्र से मेल नहीं खाता था। एक अद्यतन सूत्र, इस चूक को ठीक करने के साथ, अगले वर्ष रॉयल सोसाइटी के दार्शनिक लेनदेन में प्रकाशित किया गया था। स्विस गणितज्ञ लियोनहार्ड यूलर, इस सुधार से अनभिज्ञ, स्वतंत्र रूप से पुस्तक के जर्मन भाषा अनुवाद में अपने टिप्पणी  में इस चूक को सही किया। पुस्तक के 1786 संस्करण में दिखाई देने वाला सही सूत्र था:


 * $$ v = 614.58 g  c \cdot \frac{p + b}{b  i  r  n}$$

जहाँ :
 * $$v$$ प्रति सेकंड इकाइयों में गेंद का वेग है
 * $$b$$ गेंद का द्रव्यमान है
 * $$p$$ पेंडुलम का द्रव्यमान है
 * $$g$$ धुरी से गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की दूरी है
 * $$i$$ धुरी से गेंद के प्रभाव के बिंदु तक की दूरी है
 * $$c$$ जीवा (चोर्ड) है, जैसा कि रॉबिन्स उपकरण में वर्णित रिबन द्वारा मापा जाता है
 * $$r$$ त्रिज्या है, या धुरी से दूरी रिबन का लगाव है
 * $$n$$ लोलक द्वारा एक मिनट में किए गए दोलनों की संख्या है

रॉबिन्स ने लंबाई के लिए फीट और द्रव्यमान के लिए आउन्स का उपयोग किया, हालांकि अन्य इकाइयों, जैसे इंच या पाउंड, को तब तक प्रतिस्थापित किया जा सकता है जब तक स्थिरता बनाए रखी जाती है।

पोइसन का सूत्र
रोबिन्स के समान एक घूर्णी जड़ता आधारित सूत्र फ्रांसीसी गणितज्ञ शिमोन डेनिस पोइसन द्वारा प्राप्त किया गया था और बंदूक की रीकोइल का उपयोग करके बुलेट वेग को मापने के लिए द मेकनिक फिजिक में प्रकाशित किया गया था:


 * $$m v  c  f  = M  b  k'  \sqrt{g  h}$$

जहाँ
 * $$m$$ बुलेट का द्रव्यमान है
 * $$v$$ बुलेट का वेग है
 * $$c$$ धुरी से रिबन की दूरी है
 * $$f$$ बोर अक्ष से धुरी बिंदु की दूरी है
 * $$M$$ बंदूक और पेंडुलम का संयुक्त द्रव्यमान है
 * $$b$$ तार रिबन द्वारा मापा जाता है
 * $$k'$$ धुरी से बंदूक और पेंडुलम के द्रव्यमान के केंद्र की त्रिज्या है (रॉबिन्स के अनुसार दोलन द्वारा मापा जाता है)
 * $$g$$ गुरुत्वीय त्वरण है
 * $$h$$ पेंडुलम के द्रव्यमान के केंद्र से धुरी तक की दूरी है

$$k'$$ समीकरण के साथ गणना की जा सकती है:
 * $$T = \pi \sqrt{\frac{k'^2}{g h}}$$

जहाँ $$T$$ दोलन की आधी अवधि है।

एकली का बैलिस्टिक पेंडुलम
पी.ओ. एकली ने 1962 में एक बैलिस्टिक पेंडुलम का निर्माण और उपयोग करने का वर्णन किया था। एकली के पेंडुलम ने एक समानांतर चतुर्भुज लिंकेज का उपयोग किया, एक मानकीकृत आकार के साथ जिसने वेग की गणना करने के सरलीकृत साधनों की अनुमति दी थी।

एकली के पेंडुलम ने धारक वाली सतह से लेकर धारक वाली सतह तक ठीक 66.25 इंच (168.3 सेमी) लंबाई के पेंडुलम आयुध का उपयोग किया, और आयुध के बीच में स्थित टर्नबकल का उपयोग किया ताकि हाथ की लंबाई को सटीक रूप से सेट किया जा सके। एकली विभिन्न कैलीबरों के लिए पेंडुलम के निकाय के लिए द्रव्यमान की भी सिफारिश करता है; रिमफायर गोला-बारूद के लिए 50 पाउंड (22.7 किग्रा) .22 हॉर्नेट तक, 90 पाउंड (40.9 किग्रा) .222 रेमिंगटन से .35 व्हेलन तक, और 150 पाउंड (68.2 किग्रा) मैग्नम राइफल कैलिबर के लिए। पेंडुलम भारी धातु पाइप से बना है, एक छोर पर वेल्डेड सवृत है, और बुलेट को रोकने के लिए कागज और रेत के साथ पैक किया गया है। पेंडुलम का विवृत सिरा रबर की एक शीट से ढका हुआ था, ताकि बुलेट अंदर प्रवेश कर सके और सामग्री को बाहर निकलने से रोक सके।

पेंडुलम का उपयोग करने के लिए, यह पेंडुलम स्विंग की क्षैतिज दूरी को मापने के लिए एक उपकरण के साथ स्थापित किया गया है, जैसे कि एक हल्की छड़ जिसे पेंडुलम के पीछे की ओर धकेल दिया जाएगा क्योंकि यह चलती है। शूटर को पेंडुलम से कम से कम 15 फीट (5 मीटर) पीछे बैठाया जाता है (पेंडुलम पर थूथन विस्फोट (मुज़्ज़ल ब्लास्ट) के प्रभाव को कम करना) और एक बुलेट पेंडुलम में दागी जाती है। क्षैतिज स्विंग दिए जाने पर बुलेट के वेग की गणना करने के लिए निम्न सूत्र का उपयोग किया जाता है:


 * $$V = \frac{Mp}{Mb}0.2018 D$$

जहाँ :
 * $$V$$ प्रति सेकंड फीट में बुलेट का वेग है
 * $$Mp$$ अनाज में, पेंडुलम का द्रव्यमान है
 * $$Mb$$ बुलेट का द्रव्यमान, अनाज में है
 * $$D$$ इंच में पेंडुलम की क्षैतिज प्रगमन है

अधिक सटीक गणनाओं के लिए, पेंडुलम के निर्माण और उपयोग दोनों में कई बदलाव किए गए हैं। निर्माण परिवर्तनों में पेंडुलम के शीर्ष पर एक छोटा बॉक्स जोड़ना सम्मिलित है। पेंडुलम को तौलने से पहले, बॉक्स को मापे जाने वाले प्रकार की कई गोलियों से भर दिया जाता है। किए गए प्रत्येक शॉट के लिए, बॉक्स से एक बुलेट निकाली जा सकती है, इस प्रकार पेंडुलम के द्रव्यमान को स्थिर रखा जा सकता है। माप परिवर्तन में पेंडुलम की अवधि को मापना सम्मिलित है। पेंडुलम घूमता है, और पूर्ण दोलनों की संख्या पांच से दस मिनट की लंबी अवधि में मापी जाती है। अवधि प्राप्त करने के लिए समय को दोलनों की संख्या से विभाजित किया जाता है। एक बार यह हो जाने के बाद, सूत्र $$C = \frac{pi}{T 12}$$ उपरोक्त समीकरण में मान 0.2018 को बदलने के लिए अधिक सटीक स्थिरांक उत्पन्न करता है। ऊपर की तरह, बुलेट के वेग की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:


 * $$V = \frac{Mp}{Mb}C D$$

ग्रन्थसूची

 * Benjamin Robins, James Wilson, Charles Hutton (1805). New Principles of Gunnery. F. Wingrave.
 * "Ballistic pendulum". Encyclopædia Britannica

बाहरी संबंध

 * Ballistic pendulum calculator
 * Ballistic Pendulum demonstrated by Walter Lewin