त्रिकोणमितीय पहचान की सूची

त्रिकोणमिति में, त्रिकोणमितीय पहचान समानताएं होती हैं जो त्रिकोणमितीय कार्यों को शामिल करती हैं और घटित चर के प्रत्येक मूल्य के लिए सही होती हैं, जिसके लिए समानता के दोनों पक्षों को परिभाषित किया जाता है।ज्यामितीय रूप से, ये एक या एक से अधिक कोणों के कुछ कार्यों से जुड़ी पहचान हैं।वे त्रिभुज पहचान से अलग हैं, जो संभावित रूप से कोणों को शामिल करने वाली पहचान हैं, लेकिन एक त्रिभुज की लंबाई या अन्य लंबाई भी शामिल हैं।

जब भी त्रिकोणमितीय कार्यों से जुड़े अभिव्यक्तियों को सरल बनाने की आवश्यकता होती है, तो ये पहचान उपयोगी होती हैं।एक महत्वपूर्ण एप्लिकेशन गैर-सैन्य-संबंधी कार्यों का एकीकरण है: एक सामान्य तकनीक में पहले एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के साथ प्रतिस्थापन नियम का उपयोग करना शामिल होता है, और फिर एक त्रिकोणमितीय पहचान के साथ परिणामी अभिन्न को सरल बनाता है।

पाइथागोरियन पहचान
साइन और कोसाइन के बीच मूल संबंध पाइथागोरियन पहचान द्वारा दिया गया है:


 * $$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1,$$

कहाँ पे $$\sin^2 \theta$$ साधन $$(\sin \theta)^2$$ तथा $$\cos^2 \theta$$ साधन $$(\cos \theta)^2.$$ इसे पाइथागोरियन प्रमेय के एक संस्करण के रूप में देखा जा सकता है, और समीकरण से अनुसरण करता है $$x^2 + y^2 = 1$$ यूनिट सर्कल के लिए।इस समीकरण को साइन या कोसाइन के लिए हल किया जा सकता है:


 * $$\begin{align}

\sin\theta &= \pm \sqrt{1 - \cos^2\theta}, \\ \cos\theta &= \pm \sqrt{1 - \sin^2\theta}. \end{align}$$ जहां संकेत के चतुर्थांश पर निर्भर करता है $$\theta.$$ इस पहचान को विभाजित करना $$\sin^2 \theta$$, $$\cos^2 \theta$$, या दोनों निम्नलिखित पहचान प्राप्त करते हैं:
 * $$1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$$
 * $$\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta$$
 * $$\sec^2\theta + \csc^2\theta = \sec^2\theta\csc^2\theta$$

इन पहचानों का उपयोग करते हुए, किसी भी अन्य (प्लस या माइनस साइन तक) के संदर्भ में किसी भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को व्यक्त करना संभव है:

प्रतिबिंब, बदलाव, और आवधिकता
यूनिट सर्कल की जांच करके, कोई त्रिकोणमितीय कार्यों के निम्नलिखित गुणों को स्थापित कर सकता है।

प्रतिबिंब
जब एक यूक्लिडियन वेक्टर की दिशा को एक कोण द्वारा दर्शाया जाता है $$\theta,$$ यह मुक्त वेक्टर (मूल में शुरू) और सकारात्मक द्वारा निर्धारित कोण है $$x$$-इकाई वेक्टर।एक ही अवधारणा को एक यूक्लिडियन स्थान में लाइनों पर भी लागू किया जा सकता है, जहां कोण यह है कि मूल और सकारात्मक के माध्यम से दी गई रेखा के समानांतर द्वारा निर्धारित किया जाता है $$x$$-एक्सिस।यदि दिशा के साथ एक लाइन (वेक्टर) $$\theta$$ दिशा के साथ एक रेखा के बारे में परिलक्षित होता है $$\alpha,$$ फिर दिशा कोण $$\theta^{\prime}$$ इस परावर्तित लाइन (वेक्टर) का मान है $$\theta^{\prime} = 2 \alpha - \theta.$$ इन कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान $$\theta,\;\theta^{\prime}$$ विशिष्ट कोणों के लिए $$\alpha$$ सरल पहचान को संतुष्ट करें: या तो वे समान हैं, या विपरीत संकेत हैं, या पूरक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को नियोजित करते हैं।इन्हें भी जाना जाता है.

कोण योग और अंतर पहचान
इन्हें भी के रूप में जाना जाता है (या )।
 * $$\begin{align}

\sin(\alpha + \beta) &= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\ \sin(\alpha - \beta) &= \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \\ \cos(\alpha + \beta) &= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\ \cos(\alpha - \beta) &= \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \end{align}$$ इन पहचानों को निम्नलिखित तालिका की पहले दो पंक्तियों में संक्षेपित किया गया है, जिसमें अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए योग और अंतर पहचान भी शामिल हैं।

सिन और अनंततापूर्ण रूप से कई कोणों के योगों के कोसाइन
जब श्रृंखला $\sum_{i=1}^\infty \theta_i$ तब बिल्कुल परिवर्तित होता है
 * $$\sin\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right)

=\sum_{\text{odd}\ k \ge 1} (-1)^\frac{k-1}{2} \sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}} \left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right)$$
 * $$\cos\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right)

=\sum_{\text{even}\ k \ge 0} ~ (-1)^\frac{k}{2} \sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}} \left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right) \,.$$ क्योंकि श्रृंखला $\sum_{i=1}^\infty \theta_i$ बिल्कुल परिवर्तित करता है, यह जरूरी है कि मामला है $\lim_{i \to \infty} \theta_i = 0,$  $\lim_{i \to \infty} \sin \theta_i = 0,$  तथा $\lim_{i \to \infty} \cos \theta_i = 1.$  विशेष रूप से, इन दो पहचानों में एक विषमता दिखाई देती है जो कि कई कोणों के योगों के मामले में नहीं देखी जाती है: प्रत्येक उत्पाद में, केवल कई साइन कारक होते हैं, लेकिन कई कोसाइन कारक होते हैं।असीम रूप से कई साइन कारकों के साथ शब्द आवश्यक रूप से शून्य के बराबर होंगे।

जब केवल कई कोणों के कई $$\theta_i$$ नॉनज़ेरो हैं, तो केवल दाईं ओर की कई शर्तें नॉनज़ेरो हैं क्योंकि सभी लेकिन सभी साइन कारक गायब हो जाते हैं।इसके अलावा, प्रत्येक शब्द में सभी लेकिन बारीक रूप से कई कोसाइन कारक एकता हैं।

स्पर्शरेखा और sums के cotangents
होने देना $$e_k$$ (के लिये $$k = 0, 1, 2, 3, \ldots$$) बनो $k$चरों में Th-degree प्राथमिक सममित बहुपद $$x_i = \tan \theta_i$$ के लिये $$i = 0, 1, 2, 3, \ldots,$$ वह है,

\begin{align} e_0 & = 1 \\[6pt] e_1 & = \sum_i x_i & & = \sum_i \tan\theta_i \\[6pt] e_2 & = \sum_{i < j} x_i x_j & & = \sum_{i < j} \tan\theta_i \tan\theta_j \\[6pt] e_3 & = \sum_{i < j < k} x_i x_j x_k & & = \sum_{i < j < k} \tan\theta_i \tan\theta_j \tan\theta_k \\ & {}\ \ \vdots & & {}\ \ \vdots \end{align} $$ फिर
 * $$\begin{align}\tan\left(\sum_i \theta_i\right)

& = \frac{\sin\left(\sum_i \theta_i\right) / \prod_i \cos \theta_i}{\cos\left(\sum_i \theta_i\right) / \prod_i \cos \theta_i} \\& = \frac{\displaystyle\sum_{\text{odd}\ k \ge 1} (-1)^\frac{k-1}{2} \sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}} \prod_{i \in A} \tan\theta_i}{\displaystyle\sum_{\text{even}\ k \ge 0} ~ (-1)^\frac{k}{2} \sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}} \prod_{i \in A} \tan\theta_i} = \frac{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots} \\ \cot\left(\sum_i \theta_i\right) & = \frac{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots}{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots} \end{align}$$ ऊपर साइन और कोसाइन योग सूत्र का उपयोग करना।

दाईं ओर शर्तों की संख्या बाईं ओर शर्तों की संख्या पर निर्भर करती है।

उदाहरण के लिए:
 * $$\begin{align}

\tan(\theta_1 + \theta_2) & = \frac{ e_1 }{ e_0 - e_2 } = \frac{ x_1 + x_2 }{ 1 \ - \ x_1 x_2 } = \frac{ \tan\theta_1 + \tan\theta_2 }{ 1 \ - \ \tan\theta_1 \tan\theta_2 }, \\[8pt] \tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3) & = \frac{ e_1 - e_3 }{ e_0 - e_2 } = \frac{ (x_1 + x_2 + x_3) \ - \ (x_1 x_2 x_3) }{ 1 \ - \ (x_1x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3) }, \\[8pt] \tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 + \theta_4) & = \frac{ e_1 - e_3 }{ e_0 - e_2 + e_4 } \\[8pt] & = \frac{ (x_1 + x_2 + x_3 + x_4) \ - \ (x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4) }{ 1 \ - \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4) \ + \ (x_1 x_2 x_3 x_4) }, \end{align}$$ और इसी तरह।गणितीय प्रेरण द्वारा केवल कई शर्तों का मामला साबित किया जा सकता है।

Secant और cosecant of sums

 * $$\begin{align}

\sec\left(\sum_i \theta_i\right) & = \frac{\prod_i \sec\theta_i}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots} \\[8pt] \csc\left(\sum_i \theta_i \right) & = \frac{\prod_i \sec\theta_i }{e_1 - e_3 + e_5 - \cdots} \end{align}$$ कहाँ पे $$e_k$$ है $k$में th- डिग्री प्राथमिक सममित बहुपद $n$ चर $$x_i = \tan \theta_i,$$ $$i = 1, \ldots, n,$$ और भाजक में शर्तों की संख्या और अंश में उत्पाद में कारकों की संख्या बाईं ओर राशि में शर्तों की संख्या पर निर्भर करती है। केवल कई शर्तों का मामला इस तरह की शर्तों की संख्या पर गणितीय प्रेरण द्वारा साबित किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए,


 * $$\begin{align}

\sec(\alpha+\beta+\gamma) & = \frac{\sec\alpha \sec\beta \sec\gamma}{1 - \tan\alpha\tan\beta - \tan\alpha\tan\gamma - \tan\beta\tan\gamma } \\[8pt] \csc(\alpha+\beta+\gamma) & = \frac{\sec\alpha \sec\beta \sec\gamma}{\tan\alpha + \tan\beta + \tan\gamma - \tan\alpha\tan\beta\tan\gamma}. \end{align}$$

टॉलेमी का प्रमेय


ट्रायमोनोमेट्रिक पहचान के इतिहास में टॉलेमी का प्रमेय महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह है कि साइन और कोसाइन के लिए योग और अंतर सूत्रों के बराबर परिणाम पहले साबित हुए (त्रिकोणमिति के पृष्ठ इतिहास में शास्त्रीय पुरातनता पर अनुभाग देखें)।इसमें कहा गया है कि एक चक्रीय चतुर्भुज में $$ABCD$$, जैसा कि साथ में दिखाया गया है, विपरीत पक्षों की लंबाई के उत्पादों का योग विकर्णों की लंबाई के उत्पाद के बराबर है।विकर्णों या पक्षों में से एक के विशेष मामलों में सर्कल का व्यास होने के कारण, यह प्रमेय सीधे कोण योग और अंतर त्रिकोणमितीय पहचान को जन्म देता है। संबंध सबसे आसानी से अनुसरण करता है जब सर्कल का निर्माण लंबाई एक का व्यास करने के लिए किया जाता है, जैसा कि यहां दिखाया गया है।

थेल्स के प्रमेय द्वारा, $$ \angle DAB$$ तथा $$ \angle DCB$$ दोनों समकोण हैं।दाहिने-कोण त्रिकोण $$DAB$$ तथा $$DCB$$ दोनों हाइपोटेनस को साझा करते हैं $$\overline{BD}$$ लंबाई 1. इस प्रकार, पक्ष $$\overline{AB} = \sin \alpha$$, $$\overline{AD} = \cos \alpha$$, $$\overline{BC} = \sin \beta$$ तथा $$\overline{CD} = \cos \beta$$।

उत्कीर्ण कोण प्रमेय द्वारा, केंद्रीय कोण कॉर्ड द्वारा घटाया गया $$\overline{AC}$$ सर्कल के केंद्र में कोण से दोगुना है $$ \angle ADC$$, अर्थात। $$2(\alpha + \beta)$$।इसलिए, लाल त्रिकोणों की सममित जोड़ी प्रत्येक कोण है $$\alpha + \beta$$ केंद्र में।इन त्रिकोणों में से प्रत्येक में लंबाई का एक सम्मोहन होता है $$\frac{1}{2}$$, तो की लंबाई $$\overline{AC}$$ है $$2 \times \frac{1}{2} \sin(\alpha + \beta)$$, यानी बस $$\sin(\alpha + \beta)$$।चतुर्भुज का अन्य विकर्ण लंबाई 1 का व्यास है, इसलिए विकर्णों की लंबाई का उत्पाद भी है $$\sin(\alpha + \beta)$$।

जब इन मूल्यों को टॉलेमी के प्रमेय के कथन में प्रतिस्थापित किया जाता है $$|\overline{AC}|\cdot |\overline{BD}|=|\overline{AB}|\cdot |\overline{CD}|+|\overline{AD}|\cdot |\overline{BC}|$$, यह साइन के लिए कोण राशि त्रिकोणमितीय पहचान देता है: $$ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $$।के लिए कोण अंतर सूत्र $$ \sin(\alpha - \beta)$$ पक्ष को देकर समान रूप से व्युत्पन्न किया जा सकता है $$\overline{CD}$$ के बजाय एक व्यास के रूप में परोसें $$\overline{BD}$$.

डबल-एंगल फॉर्मूला
दो बार एक कोण के लिए सूत्र। :$$\sin (2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{2 \tan \theta} {1 + \tan^2 \theta}$$
 * $$\cos (2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1 = 1 - 2 \sin^2 \theta = \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta}$$
 * $$\tan (2\theta) = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}$$
 * $$\cot (2\theta) = \frac{\cot^2 \theta - 1}{2 \cot \theta} = \frac{1 - \tan^2 \theta} {2 \tan \theta}$$
 * $$\sec (2\theta) = \frac{\sec^2 \theta}{2 - \sec^2 \theta} = \frac{1 + \tan^2 \theta} {1 - \tan^2 \theta}$$
 * $$\csc (2\theta) = \frac{\sec \theta \csc \theta}{2} = \frac{1 + \tan^2 \theta} {2 \tan \theta}$$

ट्रिपल-कोण सूत्र
ट्रिपल कोणों के लिए सूत्र।
 * $$\sin (3\theta) =3\sin\theta - 4\sin^3\theta = 4\sin\theta\sin\left(\frac{\pi}{3} -\theta\right)\sin\left(\frac{\pi}{3} + \theta\right)$$
 * $$\cos (3\theta) = 4 \cos^3\theta - 3 \cos\theta =4\cos\theta\cos\left(\frac{\pi}{3} -\theta\right)\cos\left(\frac{\pi}{3} + \theta\right)$$
 * $$\tan (3\theta) = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta} = \tan \theta\tan\left(\frac{\pi}{3} - \theta\right)\tan\left(\frac{\pi}{3} + \theta\right)$$
 * $$\cot (3\theta) = \frac{3 \cot\theta - \cot^3\theta}{1 - 3 \cot^2\theta}$$
 * $$\sec (3\theta) = \frac{\sec^3\theta}{4-3\sec^2\theta}$$
 * $$\csc (3\theta) = \frac{\csc^3\theta}{3\csc^2\theta-4}$$

मल्टीपल-एंगल और आधा-कोण सूत्र

 * $$\begin{align}

\sin(n\theta) &= \sum_{k\text{ odd}} (-1)^\frac{k-1}{2} {n \choose k}\cos^{n-k} \theta \sin^k \theta = \sin\theta\sum_{i=0}^{(n+1)/2}\sum_{j=0}^{i} (-1)^{i-j} {n \choose 2i + 1}{i \choose j} \cos^{n-2(i-j)-1} \theta \\ {}&=2^{(n-1)} \prod_{k=0}^{n-1} \sin(k\pi/n+\theta)\\ \cos(n\theta) &= \sum_{k\text{ even}} (-1)^\frac{k}{2} {n \choose k}\cos^{n-k} \theta \sin^k \theta = \sum_{i=0}^{n/2}\sum_{j=0}^{i} (-1)^{i-j} {n \choose 2i}{i \choose j} \cos^{n-2(i-j)} \theta\\ \cos((2n+1)\theta)&=(-1)^n 2^{2n}\prod_{k=0}^{2n}\cos(k\pi/(2n+1)-\theta)\\ \cos(2 n \theta)&=(-1)^n 2^{2n-1} \prod_{k=0}^{2n-1} \cos((1+2k)\pi/(4n)-\theta) \end{align}$$

\tan(n\theta) = \frac{\sum_{k\text{ odd}} (-1)^\frac{k-1}{2} {n \choose k}\tan^k \theta}{\sum_{k\text{ even}} (-1)^\frac{k}{2} {n \choose k}\tan^k \theta} $$

Chebyshev विधि
Chebyshev विधि खोजने के लिए एक पुनरावर्ती एल्गोरिथ्म है $T_{n}$Th मल्टीपल एंगल फॉर्मूला जानने वाला $$(n-1)$$वें और $$(n-2)$$वें मान।


 * $$\cos(nx)$$ से गणना की जा सकती है $$\cos((n-1)x)$$, $$\cos((n-2)x)$$, तथा $$\cos(x)$$ साथ


 * $$\cos(nx)=2 \cos x \cos((n-1)x) - \cos((n-2)x)$$।

यह सूत्रों को एक साथ जोड़कर साबित किया जा सकता है


 * $$\cos ((n-1)x + x) = \cos ((n-1)x) \cos x-\sin ((n-1)x) \sin x$$
 * $$\cos ((n-1)x - x) = \cos ((n-1)x) \cos x+\sin ((n-1)x) \sin x$$

यह प्रेरण द्वारा इस प्रकार है कि $$\cos(nx)$$ का एक बहुपद है $$\cos x,$$ पहली तरह के तथाकथित Chebyshev बहुपद, Chebyshev Polynomials#त्रिकोणमितीय परिभाषा देखें।

इसी तरह, $$\sin(nx)$$ से गणना की जा सकती है $$\sin((n-1)x)$$, $$\sin((n-2)x)$$, तथा $cos(x)$ साथ
 * $$\sin(nx)=2 \cos x \sin((n-1)x)-\sin((n-2)x)$$

यह सूत्रों को जोड़कर साबित किया जा सकता है $$\sin((n-1)x+x)$$ तथा $$\sin((n-1)x-x)$$।

Chebyshev विधि के समान एक उद्देश्य की सेवा करना, स्पर्शरेखा के लिए हम लिख सकते हैं:


 * $$\tan (nx) = \frac{\tan ((n-1)x) + \tan x}{1- \tan ((n-1)x) \tan x}\,.$$

आधा-कोण सूत्र

 * $$\begin{align}

\sin \frac{\theta}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}} \\[3pt]

\cos \frac{\theta}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} \\[3pt]

\tan \frac{\theta}{2} &= \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \csc \theta - \cot \theta = \frac{\tan\theta}{1 + \sec{\theta}} \\[6mu]

&= \sgn(\sin \theta) \sqrt\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{-1 + \sgn(\cos \theta) \sqrt{1+\tan^2\theta}}{\tan\theta} \\[3pt]

\cot \frac{\theta}{2} &= \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta} = \csc \theta + \cot \theta = \sgn(\sin \theta) \sqrt\frac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta}

\end{align}$$

भी
 * $$\begin{align}

\tan\frac{\eta\pm\theta}{2} &= \frac{\sin\eta \pm \sin\theta}{\cos\eta + \cos\theta} \\[3pt] \tan\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) &= \sec\theta + \tan\theta \\[3pt] \sqrt{\frac{1 - \sin\theta}{1 + \sin\theta}} &= \frac{\left|1 - \tan\frac{\theta}{2}\right|}{\left|1 + \tan\frac{\theta}{2}\right|} \end{align}$$

तालिका
इन्हें योग और अंतर पहचान या कई-कोण सूत्रों का उपयोग करके दिखाया जा सकता है।

तथ्य यह है कि साइन और कोसाइन के लिए ट्रिपल-एंगल फॉर्मूला में केवल एक ही फ़ंक्शन की शक्तियां शामिल होती हैं, जो एक कम्पास की ज्यामितीय समस्या और कोण के निर्माण के सीधे निर्माण की अनुमति देता है, जो एक क्यूबिक समीकरण को हल करने की बीजीय समस्या के लिए कोण त्रिविदक को साबित करता है, जो एक को साबित करने की अनुमति देता हैफील्ड थ्योरी द्वारा दिए गए उपकरणों का उपयोग करके यह त्रस्त सामान्य रूप से असंभव है। एक तिहाई कोण के लिए त्रिकोणमितीय पहचान की गणना के लिए एक सूत्र मौजूद है, लेकिन इसे क्यूबिक समीकरण के शून्य खोजने की आवश्यकता है $4x^{3} − 3x + d = 0$, कहाँ पे $$x$$ एक तिहाई कोण पर कोसाइन फ़ंक्शन का मान है और $n$ पूर्ण कोण पर कोसाइन फ़ंक्शन का ज्ञात मान है।हालांकि, इस समीकरण का भेदभाव सकारात्मक है, इसलिए इस समीकरण में तीन वास्तविक जड़ें हैं (जिनमें से केवल एक तिहाई कोण के कोसाइन के लिए समाधान है)।इनमें से कोई भी समाधान एक वास्तविक बीजीय अभिव्यक्ति के लिए reducible नहीं है, क्योंकि वे क्यूब जड़ों के तहत मध्यवर्ती जटिल संख्याओं का उपयोग करते हैं।

पावर-रिडक्शन फॉर्मूला
कोसाइन डबल-एंगल फॉर्मूला के दूसरे और तीसरे संस्करणों को हल करके प्राप्त किया गया।



की शक्तियों के सामान्य शब्दों में $$\sin \theta$$ या $$\cos \theta$$ निम्नलिखित सत्य है, और डी मोइवरे के फॉर्मूला, यूलर के सूत्र और द्विपद प्रमेय का उपयोग करके कटौती की जा सकती है ।

उत्पाद-से-राशि और योग-टू-उत्पाद पहचान
उत्पाद-से-योग पहचान या प्रोस्थैफेरेसिस फॉर्मूला कोण के अतिरिक्त प्रमेय का उपयोग करके अपने दाहिने हाथ की ओर का विस्तार करके साबित किया जा सकता है।ऐतिहासिक रूप से, इनमें से पहले चार को जोहान्स वर्नर के बाद वर्नर के सूत्रों के रूप में जाना जाता था, जिन्होंने उन्हें खगोलीय गणना के लिए इस्तेमाल किया था। उत्पाद-से-योग सूत्रों के एक अनुप्रयोग के लिए आयाम मॉड्यूलेशन देखें, और एसयूएम-टू-उत्पाद सूत्रों के अनुप्रयोगों के लिए बीट (ध्वनिकी) और चरण डिटेक्टर।



हरमाइट की कोटेंट पहचान
चार्ल्स हरमाइट ने निम्नलिखित पहचान का प्रदर्शन किया। मान लीजिए $$a_1, \ldots, a_n$$ जटिल संख्याएं हैं, जिनमें से कोई भी दो & nbsp के एक पूर्णांक से भिन्न नहीं है;$\pi$।होने देना


 * $$A_{n,k} = \prod_{\begin{smallmatrix} 1 \le j \le n \\ j \neq k \end{smallmatrix}} \cot(a_k - a_j)$$

(विशेष रूप से, $$A_{1,1},$$ एक खाली उत्पाद होने के नाते, & nbsp; 1) है।फिर


 * $$\cot(z - a_1)\cdots\cot(z - a_n) = \cos\frac{n\pi}{2} + \sum_{k=1}^n A_{n,k} \cot(z - a_k).$$

सबसे सरल गैर-तुच्छ उदाहरण मामला & nbsp है;$n = 2$:


 * $$\cot(z - a_1)\cot(z - a_2) = -1 + \cot(a_1 - a_2)\cot(z - a_1) + \cot(a_2 - a_1)\cot(z - a_2).$$

त्रिकोणमितीय कार्यों के परिमित उत्पाद
कोपरीट पूर्णांक के लिए $i$, $1⁄2$
 * $$\prod_{k=1}^n \left(2a + 2\cos\left(\frac{2 \pi k m}{n} + x\right)\right) = 2\left( T_n(a)+{(-1)}^{n+m}\cos(n x) \right)$$

कहाँ पे $1⁄2$ चेबीशेव बहुपद है।

निम्नलिखित संबंध साइन फ़ंक्शन के लिए है


 * $$\prod_{k=1}^{n-1} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{n}{2^{n-1}}.$$

आम तौर पर अधिक


 * $$\sin(nx) = 2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1} \sin\left(x+\frac{k\pi}{n}\right).$$

रैखिक संयोजन
कुछ उद्देश्यों के लिए यह जानना महत्वपूर्ण है कि एक ही अवधि या आवृत्ति की साइन तरंगों का कोई भी रैखिक संयोजन लेकिन अलग -अलग चरण बदलाव भी एक ही अवधि या आवृत्ति के साथ एक साइन लहर है, लेकिन एक अलग चरण शिफ्ट।यह साइनसॉइड डेटा फिटिंग में उपयोगी है, क्योंकि मापा या मनाया गया डेटा रैखिक रूप से संबंधित हैं $n$ तथा $d$ नीचे-चरण और चतुर्भुज घटकों के आधार के अज्ञात, जिसके परिणामस्वरूप एक सरल जैकबियन है, की तुलना में $$c$$ तथा $$\varphi$$।

साइन और कोसाइन
साइन और कोसाइन तरंगों का रैखिक संयोजन, या हार्मोनिक जोड़, एक चरण शिफ्ट और स्केल किए गए आयाम के साथ एकल साइन लहर के बराबर है,


 * $$a\cos x+b\sin x=c\cos(x+\varphi)$$

कहाँ पे $$c$$ तथा $$\varphi$$ इस के रूप में परिभाषित किया गया है:


 * $$\begin{align}

c &= \sgn(a) \sqrt{a^2 + b^2}, \\ \varphi &= \operatorname{arctan} \left(-\frac{b}{a}\right), \end{align}$$ मान लें कि $$a \neq 0.$$

मनमाना चरण शिफ्ट
आम तौर पर, मनमानी चरण बदलावों के लिए, हमारे पास है


 * $$a \sin(x + \theta_a) + b \sin(x + \theta_b)= c \sin(x+\varphi)$$

कहाँ पे $$c$$ तथा $$\varphi$$ संतुष्ट करना:


 * $$\begin{align}

c^2 &= a^2 + b^2 + 2ab\cos \left(\theta_a - \theta_b \right), \\ \tan \varphi &= \frac{a \sin \theta_a + b \sin \theta_b}{a \cos \theta_a + b \cos \theta_b}. \end{align}$$

दो से अधिक साइनसोइड्स
सामान्य मामला पढ़ता है
 * $$\sum_i a_i \sin(x + \theta_i) = a \sin(x + \theta),$$

कहाँ पे
 * $$a^2 = \sum_{i,j}a_i a_j \cos(\theta_i - \theta_j)$$

तथा
 * $$\tan\theta = \frac{\sum_i a_i \sin\theta_i}{\sum_i a_i \cos\theta_i}.$$

Lagrange की त्रिकोणमितीय पहचान
जोसेफ लुइस लैग्रेंज के नाम पर इन पहचानों का नाम है: $$\begin{align} \sum_{k=0}^n \sin k\theta & = \frac{\cos \tfrac12\theta - \cos\left(\left(n + \tfrac12\right)\theta\right)}{2\sin\tfrac12\theta}\\[5pt] \sum_{k=0}^n \cos k\theta & = \frac{\sin \tfrac12\theta + \sin\left(\left(n + \tfrac12\right)\theta\right)}{2\sin\tfrac12\theta} \end{align}$$ के लिये $$\theta \not\equiv 0 \pmod{2\pi}.$$ एक संबंधित कार्य Dirichlet kernel है:

$$D_n(\theta) = 1 + 2\sum_{k=1}^n \cos k\theta = \frac{\sin\left(\left(n + \tfrac12 \right)\theta\right)}{\sin \tfrac12 \theta}.$$

कुछ रैखिक आंशिक परिवर्तन
यदि $$f(x)$$ Möbius परिवर्तन द्वारा दिया गया है | रैखिक आंशिक परिवर्तन $$f(x) = \frac{(\cos\alpha)x - \sin\alpha}{(\sin\alpha)x + \cos\alpha},$$ और इसी तरह $$g(x) = \frac{(\cos\beta)x - \sin\beta}{(\sin\beta)x + \cos\beta},$$ फिर $$f\big(g(x)\big) = g\big(f(x)\big) = \frac{\big(\cos(\alpha+\beta)\big)x - \sin(\alpha+\beta)}{\big(\sin(\alpha+\beta)\big)x + \cos(\alpha+\beta)}.$$ अधिक tersely कहा, अगर सभी के लिए $$\alpha$$ हम जाने $$f_{\alpha}$$ जिसे हमने बुलाया $$f$$ ऊपर, फिर $$f_\alpha \circ f_\beta = f_{\alpha+\beta}.$$ यदि $$x$$ एक पंक्ति का ढलान है, फिर $$f(x)$$ एक कोण के माध्यम से इसके रोटेशन की ढलान है $$- \alpha.$$

जटिल घातीय कार्य से संबंध
Euler के सूत्र में कहा गया है कि, किसी भी वास्तविक संख्या X के लिए: $$e^{ix} = \cos x + i\sin x,$$ जहां मैं काल्पनिक इकाई है।X के लिए −x को प्रतिस्थापित करना हमें देता है: $$e^{-ix} = \cos(-x) + i\sin(-x) = \cos x - i\sin x.$$ इन दो समीकरणों का उपयोग घातीय फ़ंक्शन के संदर्भ में कोसाइन और साइन के लिए हल करने के लिए किया जा सकता है।विशेष रूप से, $$\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$$ $$\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$$ ये सूत्र कई अन्य त्रिकोणमितीय पहचान को साबित करने के लिए उपयोगी हैं।उदाहरण के लिए, वह $e^{i(θ+φ)} = e^{iθ} e^{iφ}$ मतलब कि

बाएं हाथ की ओर का वास्तविक हिस्सा दाहिने हाथ की ओर के वास्तविक भाग के बराबर है, जो कोसाइन के लिए एक कोण जोड़ का सूत्र है।काल्पनिक भागों की समानता साइन के लिए एक कोण जोड़ सूत्र देती है।

निम्न तालिका घातीय फ़ंक्शन और जटिल लघुगणक के संदर्भ में त्रिकोणमितीय कार्यों और उनके व्युत्क्रमों को व्यक्त करती है।

अनंत उत्पाद सूत्र
विशेष कार्यों के लिए अनुप्रयोगों के लिए, त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए निम्नलिखित अनंत उत्पाद सूत्र उपयोगी हैं: $$\begin{align} \sin x &= x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right) & \cos x &=  \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2\left(n - \frac{1}{2}\right)^2}\right) \\ \sinh x &= x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right) & \cosh x &=  \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2\left(n - \frac{1}{2}\right)^2}\right) \end{align}$$

उलटा त्रिकोणमितीय कार्य
निम्नलिखित पहचान एक उलटा त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के साथ एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की रचना करने का परिणाम देती है।

$$ \begin{align} \sin(\arcsin x) &=x & \cos(\arcsin x) &=\sqrt{1-x^2} & \tan(\arcsin x) &=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \\ \sin(\arccos x) &=\sqrt{1-x^2} & \cos(\arccos x) &=x & \tan(\arccos x) &=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} \\ \sin(\arctan x) &=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} & \cos(\arctan x) &=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} & \tan(\arctan x) &=x \\ \sin(\arccsc x) &=\frac{1}{x} & \cos(\arccsc x) &=\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x} & \tan(\arccsc x) &=\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \\ \sin(\arcsec x) &=\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x} & \cos(\arcsec x) &=\frac{1}{x} & \tan(\arcsec x) &=\sqrt{x^2 - 1} \\ \sin(\arccot x) &=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} & \cos(\arccot x) &=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} & \tan(\arccot x) &=\frac{1}{x} \\ \end{align} $$ प्रत्येक समीकरण के दोनों किनारों के गुणात्मक व्युत्क्रम को ऊपर के परिणामस्वरूप समीकरणों में परिणाम $$\csc = \frac{1}{\sin}, \;\sec = \frac{1}{\cos}, \text{ and } \cot = \frac{1}{\tan}.$$ ऊपर के सूत्र के दाहिने हाथ की ओर हमेशा फ़्लिप किया जाएगा। उदाहरण के लिए, के लिए समीकरण $$\cot(\arcsin x)$$ है: $$\cot(\arcsin x) = \frac{1}{\tan(\arcsin x)} = \frac{1}{\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}} = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$$ जबकि समीकरणों के लिए $$\csc(\arccos x)$$ तथा $$\sec(\arccos x)$$ हैं: $$\csc(\arccos x) = \frac{1}{\sin(\arccos x)} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \qquad \text{ and }\quad \sec(\arccos x) = \frac{1}{\cos(\arccos x)} = \frac{1}{x}.$$ निम्नलिखित पहचान प्रतिबिंब पहचान से निहित हैं।वे जब भी पकड़ते हैं $$x, r, s, -x, -r, \text{ and } -s$$ प्रासंगिक कार्यों के डोमेन में हैं। $$\begin{alignat}{9} \frac{\pi}{2} ~&=~ \arcsin(x) &&+ \arccos(x) ~&&=~ \arctan(r) &&+ \arccot(r) ~&&=~ \arcsec(s) &&+ \arccsc(s) \\[0.4ex] \pi ~&=~ \arccos(x) &&+ \arccos(-x) ~&&=~ \arccot(r) &&+ \arccot(-r) ~&&=~ \arcsec(s) &&+ \arcsec(-s) \\[0.4ex] 0 ~&=~ \arcsin(x) &&+ \arcsin(-x) ~&&=~ \arctan(r) &&+ \arctan(-r) ~&&=~ \arccsc(s) &&+ \arccsc(-s) \\[1.0ex] \end{alignat}$$ भी, $$\begin{align} \arctan x + \arctan \dfrac{1}{x} &= \begin{cases} \frac{\pi}{2}, & \text{if } x > 0 \\ - \frac{\pi}{2}, & \text{if } x < 0 \end{cases} \\ \arccot x + \arccot \dfrac{1}{x} &= \begin{cases} \frac{\pi}{2}, & \text{if } x > 0 \\ \frac{3\pi}{2}, & \text{if } x < 0 \end{cases} \\ \end{align}$$ $$\arccos \frac{1}{x} = \arcsec x \qquad \text{ and } \qquad \arcsec \frac{1}{x} = \arccos x$$ $$\arcsin \frac{1}{x} = \arccsc x \qquad \text{ and } \qquad \arccsc \frac{1}{x} = \arcsin x$$

चर के बिना पहचान
आर्कटैंगेंट फ़ंक्शन के संदर्भ में हमारे पास है $$\arctan \frac{1}{2} = \arctan \frac{1}{3} + \arctan \frac{1}{7}.$$

The curious identity known as Morrie's law, $$\cos 20^\circ\cdot\cos 40^\circ\cdot\cos 80^\circ = \frac{1}{8},$$

is a special case of an identity that contains one variable: $$\prod_{j=0}^{k-1}\cos\left(2^j x\right) = \frac{\sin\left(2^k x\right)}{2^k\sin x}.$$

Similarly, $$\sin 20^\circ\cdot\sin 40^\circ\cdot\sin 80^\circ = \frac{\sqrt{3}}{8}$$ is a special case of an identity with $$x = 20^\circ$$: $$\sin x \cdot \sin \left(60^\circ - x\right) \cdot \sin \left(60^\circ + x\right) = \frac{\sin 3x}{4}.$$

For the case $$x = 15^\circ$$, $$\begin{align} \sin 15^\circ\cdot\sin 45^\circ\cdot\sin 75^\circ &= \frac{\sqrt{2}}{8}, \\ \sin 15^\circ\cdot\sin 75^\circ &= \frac{1}{4}. \end{align}$$

For the case $$x = 10^\circ$$, $$\sin 10^\circ\cdot\sin 50^\circ\cdot\sin 70^\circ = \frac{1}{8}.$$

The same cosine identity is $$\cos x \cdot \cos \left(60^\circ - x\right) \cdot \cos \left(60^\circ + x\right) = \frac{\cos 3x}{4}.$$

Similarly, $$\begin{align} \cos 10^\circ\cdot\cos 50^\circ\cdot\cos 70^\circ &= \frac{\sqrt{3}}{8}, \\ \cos 15^\circ\cdot\cos 45^\circ\cdot\cos 75^\circ &= \frac{\sqrt{2}}{8}, \\ \cos 15^\circ\cdot\cos 75^\circ &= \frac{1}{4}. \end{align}$$

Similarly, $$\begin{align} \tan 50^\circ\cdot\tan 60^\circ\cdot\tan 70^\circ &= \tan 80^\circ, \\ \tan 40^\circ\cdot\tan 30^\circ\cdot\tan 20^\circ &= \tan 10^\circ. \end{align}$$

The following is perhaps not as readily generalized to an identity containing variables (but see explanation below): $$\cos 24^\circ + \cos 48^\circ + \cos 96^\circ + \cos 168^\circ = \frac{1}{2}.$$

Degree measure ceases to be more felicitous than radian measure when we consider this identity with 21 in the denominators: $$ \cos \frac{2\pi}{21} + \cos\left(2\cdot\frac{2\pi}{21}\right) + \cos\left(4\cdot\frac{2\pi}{21}\right) + \cos\left( 5\cdot\frac{2\pi}{21}\right) + \cos\left( 8\cdot\frac{2\pi}{21}\right) + \cos\left(10\cdot\frac{2\pi}{21}\right) = \frac{1}{2}.$$

The factors 1, 2, 4, 5, 8, 10 may start to make the pattern clear: they are those integers less than $n$ that are relatively prime to (or have no prime factors in common with) 21. The last several examples are corollaries of a basic fact about the irreducible cyclotomic polynomials: the cosines are the real parts of the zeroes of those polynomials; the sum of the zeroes is the Möbius function evaluated at (in the very last case above) 21; only half of the zeroes are present above. The two identities preceding this last one arise in the same fashion with 21 replaced by 10 and 15, respectively.

Other cosine identities include: $$\begin{align} 2\cos \frac{\pi}{3} &= 1, \\ 2\cos \frac{\pi}{5} \times 2\cos \frac{2\pi}{5} &= 1, \\ 2\cos \frac{\pi}{7} \times 2\cos \frac{2\pi}{7}\times 2\cos \frac{3\pi}{7} &= 1, \end{align}$$ और सभी विषम संख्याओं के लिए आगे, और इसलिए $$\cos \frac{\pi}{3}+\cos \frac{\pi}{5} \times \cos \frac{2\pi}{5} + \cos \frac{\pi}{7} \times \cos \frac{2\pi}{7} \times \cos \frac{3\pi}{7} + \dots = 1.$$ उन जिज्ञासु पहचानों में से कई निम्नलिखित जैसे सामान्य तथ्यों से उपजी हैं: $$\prod_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}}$$ तथा $$\prod_{k=1}^{n-1} \cos\frac{k\pi}{n} = \frac{\sin\frac{\pi n}{2}}{2^{n-1}}.$$ इनको संयोजन हमें देता है $$\prod_{k=1}^{n-1} \tan\frac{k\pi}{n} = \frac{n}{\sin\frac{\pi n}{2}}$$ यदि $m$ एक विषम संख्या है ($$n = 2 m + 1$$) हम प्राप्त करने के लिए समरूपता का उपयोग कर सकते हैं $$\prod_{k=1}^{m} \tan\frac{k\pi}{2m+1} = \sqrt{2m+1}$$ बटरवर्थ लो पास फ़िल्टर के स्थानांतरण फ़ंक्शन को बहुपद और ध्रुवों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है।कटऑफ आवृत्ति के रूप में आवृत्ति निर्धारित करके, निम्नलिखित पहचान साबित की जा सकती है: $$\prod_{k=1}^n \sin\frac{\left(2k - 1\right)\pi}{4n} = \prod_{k=1}^{n} \cos\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} = \frac{\sqrt{2}}{2^n}$$

कंप्यूटिंग π
गणना करने का एक कुशल तरीका πबड़ी संख्या में अंक माचिन के कारण, चर के बिना निम्नलिखित पहचान पर आधारित है।यह एक मशीन-जैसे सूत्र के रूप में जाना जाता है: $$\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}$$ या, वैकल्पिक रूप से, लियोनहार्ड यूलर की पहचान का उपयोग करके: $$\frac{\pi}{4} = 5 \arctan\frac{1}{7} + 2 \arctan\frac{3}{79}$$ या पाइथागोरियन ट्रिपल्स का उपयोग करके: $$\pi = \arccos\frac{4}{5} + \arccos\frac{5}{13} + \arccos\frac{16}{65} = \arcsin\frac{3}{5} + \arcsin\frac{12}{13} + \arcsin\frac{63}{65}.$$ दूसरों में शामिल हैं: $$\frac{\pi}{4} = \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3},$$ $$\pi = \arctan 1 + \arctan 2 + \arctan 3,$$ $$\frac{\pi}{4} = 2\arctan \frac{1}{3} + \arctan \frac{1}{7}.$$ आम तौर पर, संख्याओं के लिए $cos(θ + φ) + i sin(θ + φ) = (cos θ + i sin θ) (cos φ + i sin φ) = (cos θ cos φ − sin θ sin φ) + i (cos θ sin φ + sin θ cos φ)$ जिसके लिए $t_{1}, ..., t_{n−1} ∈ (−1, 1)$, let $θ_{n} = Σn−1 k=1 आर्कन टी_{k} ∈ (π/4, 3π/4)$. This last expression can be computed directly using the formula for the cotangent of a sum of angles whose tangents are $t_{n} = tan(π/2 − θ_{n}) = cot θ_{n}$ and its value will be in $t_{1}, ..., t_{n−1}$. In particular, the computed $(−1, 1)$ will be rational whenever all the $t_{n}$ मान तर्कसंगत हैं।इन मूल्यों के साथ, $$\begin{align} \frac{\pi}{2} & = \sum_{k=1}^n \arctan(t_k) \\ \pi & = \sum_{k=1}^n \sgn(t_k) \arccos\left(\frac{1 - t_k^2}{1 + t_k^2}\right) \\ \pi & = \sum_{k=1}^n \arcsin\left(\frac{2t_k}{1 + t_k^2}\right) \\ \pi & = \sum_{k=1}^n \arctan\left(\frac{2t_k}{1 - t_k^2}\right)\,, \end{align}$$ जहां सभी लेकिन पहली अभिव्यक्ति में, हमने स्पर्शरेखा आधे-कोण के सूत्रों का उपयोग किया है।पहले दो सूत्र काम करते हैं, भले ही एक या एक से अधिक $t_{1}, ..., t_{n−1}$ मान भीतर नहीं है $t_{k}$।ध्यान दें कि अगर $(−1, 1)$ तर्कसंगत है, तो $t = p/q$ उपरोक्त सूत्रों में मान पाइथागोरियन ट्रिपल के लिए आनुपातिक हैं $(2t, 1 − t^{2}, 1 + t^{2})$।

उदाहरण के लिए, के लिए $(2pq, q^{2} − p^{2}, q^{2} + p^{2})$ शर्तें, $$\frac{\pi}{2} = \arctan\left(\frac{a}{b}\right) + \arctan\left(\frac{c}{d}\right) + \arctan\left(\frac{bd - ac}{ad + bc}\right)$$ किसी के लिए $n = 3$।

EUCLID की एक पहचान
यूक्लिड ने बुक XIII में दिखाया, उसके यूक्लिड के तत्वों के प्रस्ताव 10 | ऐसे तत्व जो एक सर्कल में अंकित एक नियमित पेंटागन के किनारे वर्ग का क्षेत्र नियमित हेक्सागन के किनारों पर वर्गों के क्षेत्रों के योग के बराबर है औरएक ही सर्कल में नियमित रूप से डिकैगन।आधुनिक त्रिकोणमिति की भाषा में, यह कहता है: $$\sin^2 18^\circ + \sin^2 30^\circ = \sin^2 36^\circ.$$ टॉलेमी ने इस प्रस्ताव का उपयोग टॉलेमी की टेबल ऑफ कॉर्ड्स में कुछ कोणों की गणना करने के लिए किया।

त्रिकोणमितीय कार्यों की संरचना
इन पहचानों में एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का त्रिकोणमितीय कार्य शामिल है:


 * $$\cos(t \sin x) = J_0(t) + 2 \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(t) \cos(2kx)$$
 * $$\sin(t \sin x) = 2 \sum_{k=0}^\infty J_{2k+1}(t) \sin\big((2k+1)x\big)$$
 * $$\cos(t \cos x) = J_0(t) + 2 \sum_{k=1}^\infty (-1)^kJ_{2k}(t) \cos(2kx)$$
 * $$\sin(t \cos x) = 2 \sum_{k=0}^\infty(-1)^k J_{2k+1}(t) \cos\big((2k+1)x\big)$$

कहाँ पे $T_{n}$ बेसेल फ़ंक्शन हैं।

केस के लिए आगे की सशर्त पहचान α + γ + = = 180 °
निम्नलिखित सूत्र मनमाने ढंग से विमान त्रिकोणों पर लागू होते हैं और फॉलो करते हैं $$\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ},$$ जब तक सूत्रों में होने वाले कार्यों को अच्छी तरह से परिभाषित किया जाता है (उत्तरार्द्ध केवल उन सूत्रों पर लागू होता है जिसमें स्पर्शरेखा और cotangents होते हैं)। $$\begin{align} \tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma &= \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma \\ 1 &= \cot \beta \cot \gamma + \cot \gamma \cot \alpha + \cot \alpha \cot \beta \\ \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \cot\left(\frac{\beta}{2}\right) + \cot\left(\frac{\gamma}{2}\right) &= \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cot \left(\frac{\beta}{2}\right) \cot\left(\frac{\gamma}{2}\right) \\ 1 &= \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)\tan\left(\frac{\gamma}{2}\right) + \tan\left(\frac{\gamma}{2}\right)\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\tan\left(\frac{\beta}{2}\right) \\ \sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma &= 4\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\gamma}{2}\right) \\ -\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma &= 4\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\gamma}{2}\right) \\ \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma &= 4\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\sin \left(\frac{\gamma}{2}\right) + 1 \\ -\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma &= 4\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos \left(\frac{\gamma}{2}\right) - 1 \\ \sin (2\alpha) + \sin (2\beta) + \sin (2\gamma) &= 4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \\ -\sin (2\alpha) + \sin (2\beta) + \sin (2\gamma) &= 4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma \\ \cos (2\alpha) + \cos (2\beta) + \cos (2\gamma) &= -4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - 1 \\ -\cos (2\alpha) + \cos (2\beta) + \cos (2\gamma) &= -4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma + 1 \\ \sin^2\alpha + \sin^2\beta + \sin^2\gamma &= 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma + 2 \\ -\sin^2\alpha + \sin^2\beta + \sin^2\gamma &= 2 \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma \\ \cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma &= -2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma + 1 \\ -\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma &= -2 \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma + 1 \\ \sin^2 (2\alpha) + \sin^2 (2\beta) + \sin^2 (2\gamma) &= -2\cos (2\alpha) \cos (2\beta) \cos (2\gamma)+2 \\ \cos^2 (2\alpha) + \cos^2 (2\beta) + \cos^2 (2\gamma) &= 2\cos (2\alpha) \,\cos (2\beta) \,\cos (2\gamma) + 1 \\ 1 &= \sin^2 \left(\frac{\alpha}{2}\right) + \sin^2 \left(\frac{\beta}{2}\right) + \sin^2 \left(\frac{\gamma}{2}\right) + 2\sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) \,\sin \left(\frac{\beta}{2}\right) \,\sin \left(\frac{\gamma}{2}\right) \end{align}$$ 3SINA = 4COS^3 A/2

हिस्टोरिकल शॉर्टहैंड्स
नेविगेशन में वर्सिन, कवरिन, हैवरिन और एक्ससेकेंट का उपयोग किया गया था।उदाहरण के लिए, एक क्षेत्र पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करने के लिए हैवरसिन फॉर्मूला का उपयोग किया गया था।उनका आज शायद ही कभी इस्तेमाल किया जाता है।

सभी T-ratios
के बीच संबंध निम्नलिखित पहचान सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों के बीच संबंध देती है।
 * $$(\sin\theta + \csc\theta)^2 + (\cos\theta + \sec\theta)^2 -

(\tan\theta + \cot\theta)^2 = 5 $$

डिरिचलेट कर्नेल
द डिरिचलेट कर्नेल $a, b, c, d > 0$ अगली पहचान के दोनों किनारों पर होने वाला कार्य है: $$1 + 2\cos x + 2\cos(2x) + 2\cos(3x) + \cdots + 2\cos(nx) = \frac{\sin\left(\left(n + \frac{1}{2}\right)x\right) }{\sin\left(\frac{1}{2}x\right)}.$$ अवधि के किसी भी पूर्ण कार्य का संकल्प $$2 \pi$$ डिरिचलेट कर्नेल के साथ फ़ंक्शन के साथ मेल खाता है $$n$$Th-degree फूरियर सन्निकटन।किसी भी उपाय या सामान्यीकृत फ़ंक्शन के लिए समान है।

स्पर्शरेखा आधा-कोण प्रतिस्थापन
अगर हम सेट करते हैं $$t = \tan\frac x 2,$$ फिर $$\sin x = \frac{2t}{1 + t^2};\qquad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2};\qquad e^{i x} = \frac{1 + i t}{1 - i t}$$ कहाँ पे $$e^{i x} = \cos x + i \sin x,$$ कभी -कभी & nbsp के लिए संक्षिप्त;$D_{n}(x)$।

जब यह प्रतिस्थापन $$t$$ के लिये $cis x$ का उपयोग कैलकुलस में किया जाता है, यह इस प्रकार है $$\sin x$$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $tan x⁄2$, $$\cos x$$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $2t⁄1 + t^{2}$ और अंतर {गणित | dx}} द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है  {गणित |$a$}}।जिससे कोई तर्कसंगत कार्यों को परिवर्तित करता है $$\sin x$$ तथा $$\cos x$$ के तर्कसंगत कार्यों के लिए $$t$$ ताकि उनके एंटिडिवेटिव्स को खोजने के लिए।

विएटे का अनंत उत्पाद
$$\cos\frac{\theta}{2} \cdot \cos \frac{\theta}{4} \cdot \cos \frac{\theta}{8} \cdots = \prod_{n=1}^\infty \cos \frac{\theta}{2^n} = \frac{\sin \theta}{\theta} = \operatorname{sinc} \theta.$$

यह भी देखें

 * अरिस्टार्चस की असमानता
 * त्रिकोणमितीय कार्यों के डेरिवेटिव
 * सटीक त्रिकोणमितीय मान (साइन में व्यक्त साइन और कोसाइन के मान)
 * Exsecant
 * अर्ध-साइड फॉर्मूला
 * हाइपरबोलिक फंक्शन
 * त्रिकोणों के समाधान के लिए कानून:
 * कोसाइन का कानून
 * कोसाइन का गोलाकार कानून
 * सिन का नियम
 * स्पर्शरेखा का कानून
 * कॉटेन्जेंट्स का कानून
 * मोलवाइड का सूत्र
 * त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची
 * त्रिकोणमिति में mnemonics
 * पेंटाग्रामा मिरिकम
 * त्रिकोणमितीय पहचान के प्रमाण
 * प्रोस्थैफेरेसिस
 * पाइथागोरस प्रमेय
 * स्पर्शरेखा आधा-कोण सूत्र
 * त्रिकोणमितीय संख्या
 * त्रिकोणमिति
 * वास्तविक कट्टरपंथियों में व्यक्त त्रिकोणमितीय स्थिरांक
 * त्रिकोणमिति का उपयोग
 * वर्सिन और हैवरसिन

बाहरी संबंध

 * Values of sin and cos, expressed in surds, for integer multiples of 3° and of $b$°, and for the same angles csc and sec and tan
 * Complete List of Trigonometric Formulas

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