सैंडविच सिद्धांत



सैंडविच सिद्धांत एक प्रकाश विकिरण सिद्धांत, प्लेट सिद्धांत, या प्लेट और शैल के सिद्धांत के गतिविधि का वर्णन करता है जिसमें तीन परतें दो फेसशीट ( तथ्य पत्रक) और एक अंतर्भाग (कोर) होती है। सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला सैंडविच सिद्धांत रैखिक है और यह प्रथम क्रम प्रकाश विकिरण सिद्धांत का विस्तार है। सैंडविच फलक के डिजाइन और विश्लेषण के लिए रैखिक सैंडविच सिद्धांत का महत्व है, जो भवन निर्माण, वाहन निर्माण, हवाई जहाज निर्माण और प्रशीतन अभियांत्रिकी में उपयोग किए जाते हैं।

सैंडविच निर्माण के कुछ लाभ हैं:
 * सैंडविच अनुप्रस्थ परिच्छेद समग्र सामग्री हैं। वे सामान्य रूप से निम्न से मध्यम कठोरता वाले अंतर्भाग से बने होते हैं जो दो कठोर बाहरी फेसशीट से जुड़ा होता है। केवल अंतर्भाग सामग्री या फेसशीट सामग्री से बने समतुल्य प्रकाश विकिरण की तुलना में समग्र में भार अनुपात में अपेक्षाकृत अधिक अपरुपण कठोरता होती है। समग्र में भार अनुपात में उच्च तन्यता सामर्थ्य भी होती है।
 * फेसशीट की उच्च कठोरता सम्मिश्र के लिए भार अनुपात में उच्च बंकन की ओर ले जाती है।

भार के अंतर्गत सैंडविच अनुप्रस्थ परिच्छेद के साथ प्रकाश विकिरण (संरचना) का गतिविधि निरंतर रैखिक प्रत्यास्थ अनुप्रस्थ परिच्छेद वाले प्रकाश विकिरण से अलग होता है। यदि बंकन के समय वक्रता (गणित) का त्रिज्या सैंडविच प्रकाश विकिरण की संघनता की तुलना में बड़ा है और घटक सामग्री में उपभेद छोटे हैं, सैंडविच समग्र प्रकाश विकिरण के विरूपण (यांत्रिकी) को दो भागों में अलग किया जा सकता है
 * बंकन आघूर्ण या बंकन की विकृति के कारण विकृति, और
 * अनुप्रस्थ बलों के कारण होने वाली विकृति, जिसे अपरूपण विकृति भी कहते हैं।

सैंडविच प्रकाश विकिरण, प्लेट सिद्धांत, और प्लेट्स और शैल सिद्धांत के सिद्धांत सामान्य रूप से मानते हैं कि संदर्भ दबाव स्थिति शून्य दबाव में से एक है। हालांकि, संशोधन के समय, मुख्य सामग्री द्वारा तापीय पृथक्करण के कारण फेसशीट के बीच तापमान का अंतर बना रहता है। ये तापमान अंतर, फेसशीट के विभिन्न रैखिक विस्तार के साथ मिलकर, ऊष्मीय फेसशीट की दिशा में सैंडविच प्रकाश विकिरण के बंकन का कारण बन सकते हैं। यदि निर्माण प्रक्रिया के समय बंकन बाधित होता है, तो सैंडविच सम्मिश्र के घटकों में अवशिष्ट दबाव विकसित हो सकता है। सैंडविच सिद्धांत द्वारा प्रदान किए गए समाधान पर एक संदर्भ स्थिति का अध्यारोपण संभव है जब समस्या रैखिक हो। हालांकि, जब बड़े प्रत्यास्थ विकृतियों और घूर्णन की अपेक्षा की जाती है, प्रारंभिक दबाव स्थिति को प्रत्यक्ष रूप से सैंडविच सिद्धांत में सम्मिलित किया जाना चाहिए।

अभियांत्रिकी सैंडविच प्रकाश विकिरण सिद्धांत
सैंडविच प्रकाश विकिरण के अभियांत्रिकी सिद्धांत में, अक्षीय दबाव को प्रकाश विकिरण के अनुप्रस्थ परिच्छेद पर प्रकाश विकिरण सिद्धांत के रूप में रैखिक रूप से भिन्न माना जाता है। यूलर-बर्नौली सिद्धांत, अर्थात,

\varepsilon_{xx}(x,z) = -z~\cfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d} x^2} $$ इसलिए, सैंडविच प्रकाश विकिरण में अक्षीय दबाव द्वारा दिया जाता है

\sigma_{xx}(x,z) = -z~E(z)~\cfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d} x^2} $$ जहाँ $$E(z)$$ यंग का मापांक है जो प्रकाश विकिरण की संघनता के साथ स्थान का एक कार्य है। प्रकाश विकिरण में बंकन आघूर्ण तब दिया जाता है

M_x(x) = \int\int z~\sigma_{xx}~\mathrm{d}z\,\mathrm{d}y = -\left(\int\int z^2 E(z)~\mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\right)~\cfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d} x^2} =: -D~\cfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d} x^2} $$ मात्रा $$D$$ सैंडविच प्रकाश विकिरण की वंकन कठोरता कहलाती है। अपरुपण बल $$Q_x$$ परिभाषित किया जाता है

Q_x = \frac{\mathrm{d} M_x}{\mathrm{d} x}~. $$ इन संबंधों का उपयोग करके, हम दिखा सकते हैं कि सैंडविच प्रकाश विकिरण में संघनता के मुख्य भाग के साथ दबाव $$2h$$ और मापांक $$E^c$$ और प्रत्येक संघनता की दो फेसशीट $$f$$ और मापांक $$E^f$$, द्वारा दिया गया है

\begin{align} \sigma_{xx}^{\mathrm{f}} & = \cfrac{z E^{\mathrm{f}} M_x}{D} ~; & \sigma_{xx}^{\mathrm{c}} & = \cfrac{z E^{\mathrm{c}} M_x}{D} \\ \tau_{xz}^{\mathrm{f}} & = \cfrac{Q_x E^{\mathrm{f}}}{2D}\left[(h+f)^2-z^2\right] ~; & \tau_{xz}^{\mathrm{c}} & = \cfrac{Q_x}{2D}\left[ E^{\mathrm{c}}\left(h^2-z^2\right) + E^{\mathrm{f}} f(f+2h)\right] \end{align} $$


 * {| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"

!अभियांत्रिकी सैंडविच प्रकाश विकिरण दबाव की व्युत्पत्ति
 * Since
 * Since

\cfrac{d^2 w}{d x^2}= -\cfrac{M_x(x)}{D} $$ we can write the axial stress as

\sigma_{xx}(x,z) = \cfrac{z~E(z)~M_x(x)}{D} $$ The equation of equilibrium for a two-dimensional solid is given by

\frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial z} = 0 $$ where $$\tau_{xz}$$ is the shear stress. Therefore,

\tau_{xz}(x,z) = \int \frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x}~\mathrm{d}z + C(x) = \int \cfrac{z~E(z)}{D}~\frac{\mathrm{d} M_{x}}{\mathrm{d} x}~\mathrm{d}z + C(x) $$ where $$C(x)$$ is a constant of integration. Therefore,

\tau_{xz}(x,z) = \cfrac{Q_x}{D}\int z~E(z)~\mathrm{d}z + C(x) $$ Let us assume that there are no shear tractions applied to the top face of the sandwich beam. The shear stress in the top facesheet is given by

\tau^{\mathrm{face}}_{xz}(x,z) = \cfrac{Q_xE^f}{D}\int_z^{h+f} z~\mathrm{d}z + C(x) = \cfrac{Q_x E^f}{2D}\left[(h+f)^2-z^2\right] + C(x) $$ At $$z = h+f$$, $$\tau_{xz}(x,h+f) = 0$$ implies that $$C(x) = 0$$. Then the shear stress at the top of the core, $$z = h$$, is given by

\tau_{xz}(x,h) = \cfrac{Q_x E^f f(f+2h)}{2D} $$ Similarly, the shear stress in the core can be calculated as

\tau^{\mathrm{core}}_{xz}(x,z) = \cfrac{Q_xE^c}{D}\int_z^{h} z~\mathrm{d}z + C(x) = \cfrac{Q_x E^c}{2D}\left(h^2-z^2\right) + C(x) $$ The integration constant $$C(x)$$ is determined from the continuity of shear stress at the interface of the core and the facesheet. Therefore,

C(x) = \cfrac{Q_x E^f f(f+2h)}{2D} $$ and

\tau^{\mathrm{core}}_{xz}(x,z) = \cfrac{Q_x}{2D}\left[ E^c\left(h^2-z^2\right) + E^f f(f+2h)\right] $$ समान फ़ेसशीट और इकाई चौड़ाई वाले सैंडविच प्रकाश विकिरण के लिए, $$D$$ का मान है
 * }

\begin{align} D & = E^f\int_w\int_{-h-f}^{-h} z^2~\mathrm{d}z\,\mathrm{d}y + E^c\int_w\int_{-h}^{h} z^2~\mathrm{d}z\,\mathrm{d}y + E^f\int_w\int_{h}^{h+f} z^2~\mathrm{d}z\,\mathrm{d}y \\ & = \frac{2}{3}E^ff^3 + \frac{2}{3}E^ch^3 + 2E^ffh(f+h)~. \end{align} $$ यदि $$E^f \gg E^c$$, तब $$D$$ के रूप में अनुमानित किया जा सकता है

D \approx \frac{2}{3}E^ff^3 + 2E^ffh(f+h) = 2fE^f\left(\frac{1}{3}f^2+h(f+h)\right) $$ और सैंडविच प्रकाश विकिरण में दबाव का अनुमान लगाया जा सकता है

\begin{align} \sigma_{xx}^{\mathrm{f}} & \approx \cfrac{z M_x}{\frac{2}{3}f^3 +2fh(f+h)} ~; & \sigma_{xx}^{\mathrm{c}} & \approx 0 \\ \tau_{xz}^{\mathrm{f}} & \approx \cfrac{Q_x}{\frac{4}{3}f^3+4fh(f+h)}\left[(h+f)^2-z^2\right] ~; & \tau_{xz}^{\mathrm{c}} & \approx \cfrac{Q_x(f+2h)}{\frac{2}{3}f^2+h(f+h)} \end{align} $$ यदि, इसके अतिरिक्त, $$f \ll 2h$$, तब

D \approx 2E^ffh(f+h) $$ और प्रकाश विकिरण में अनुमानित दबाव हैं

\begin{align} \sigma_{xx}^{\mathrm{f}} & \approx \cfrac{zM_x}{2fh(f+h)} ~;& \sigma_{xx}^{\mathrm{c}} & \approx 0 \\ \tau_{xz}^{\mathrm{f}} & \approx \cfrac{Q_x}{4fh(f+h)}\left[(h+f)^2-z^2\right] ~;& \tau_{xz}^{\mathrm{c}} & \approx \cfrac{Q_x(f+2h)}{4h(f+h)} \approx \cfrac{Q_x}{2h} \end{align} $$ यदि हम मानते हैं कि फेसशीट अपेक्षाकृत अधिक पतली हैं कि दबाव को संघनता के माध्यम से स्थिर माना जा सकता है, तो हमारे पास सन्निकटन है $$ \begin{align} \sigma_{xx}^{\mathrm{f}} & \approx \pm \cfrac{M_x}{2fh} ~;& \sigma_{xx}^{\mathrm{c}} & \approx 0 \\ \tau_{xz}^{\mathrm{f}} & \approx 0 ~; & \tau_{xz}^{\mathrm{c}} & \approx \cfrac{Q_x}{2h} \end{align} $$ इसलिए समस्या को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है, एक में केवल अंतर्भाग अपरूपण सम्मिलित है और दूसरे में केवल फेसशीट में बंकन दबाव सम्मिलित हैं।

पतली फेसशीट के साथ एक सैंडविच प्रकाश विकिरण का बंकन
पतली फेसशीट वाले प्रकाश विकिरण के रैखिक सैंडविच सिद्धांतों की मुख्य धारणाएँ हैं: हालाँकि, अंतर्भाग में xz अपरुपण -दबावों की उपेक्षा नहीं की जाती है।
 * अंतर्भाग की अनुप्रस्थ सामान्य कठोरता अनंत है, अर्थात, z-दिशा में अंतर्भाग की संघनता बंकन के समय परिवर्तित नहीं होती है
 * समतल अंतर्भाग की सामान्य कठोरता फेसशीट की तुलना में छोटी होती है, अर्थात अंतर्भाग x-दिशा में लंबा या संकुचित नहीं होता है
 * फ़ेसशीट्स प्रकाश विकिरण सिद्धांत के अनुसार गतिविधि करती हैं। यूलर-बर्नौली धारणा, अर्थात, फ़ेसशीट्स में कोई xz-अपरूपण नहीं है और फ़ेसशीट्स की z-दिशा संघनता नहीं परिवर्तित करती है

संवैधानिक धारणाएँ
द्वि-आयामी ऑर्थोट्रोपिक ( लंबदिश) रैखिक प्रत्यास्थ सामग्री के लिए संवैधानिक संबंध हैं

\begin{bmatrix} \sigma_{xx} \\ \sigma_{zz} \\ \sigma_{zx} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{13} & 0 \\ C_{13} & C_{33} & 0 \\ 0 & 0 & C_{55} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} \\ \varepsilon_{zz} \\ \varepsilon_{zx} \end{bmatrix} $$ सैंडविच सिद्धांत की अभिधारणा सरलीकृत संबंधों की ओर ले जाती हैं

\sigma_{xx}^{\mathrm{face}} = C_{11}^{\mathrm{face}}~\varepsilon_{xx}^{\mathrm{face}} ~; \sigma_{zx}^{\mathrm{core}} = C_{55}^{\mathrm{core}}~\varepsilon_{zx}^{\mathrm{core}} ~; \sigma_{zz}^{\mathrm{face}} = \sigma_{xz}^{\mathrm{face}} = 0 ~; \sigma_{zz}^{\mathrm{core}} = \sigma_{xx}^{\mathrm{core}} = 0 $$ और

\varepsilon_{zz}^{\mathrm{face}} = \varepsilon_{xz}^{\mathrm{face}} = 0 ~; \varepsilon_{zz}^{\mathrm{core}} = \varepsilon_{xx}^{\mathrm{core}} = 0 $$ दो आयामों में संतुलन समीकरण हैं

\cfrac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} + \cfrac{\partial \sigma_{zx}}{\partial z} = 0 ~; \cfrac{\partial \sigma_{zx}}{\partial x} + \cfrac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z} = 0 $$ एक सैंडविच प्रकाश विकिरण और संतुलन समीकरण के लिए अभिधारणाओ का अर्थ है

\sigma_{xx}^{\mathrm{face}} \equiv \sigma_{xx}^{\mathrm{face}}(z) ~; \sigma_{zx}^{\mathrm{core}} = \mathrm{constant} $$ इसलिए, सजातीय फेसशीट और अंतर्भाग के लिए, उपभेदों का भी रूप होता है

\varepsilon_{xx}^{\mathrm{face}} \equiv \varepsilon_{xx}^{\mathrm{face}}(z) ~; \varepsilon_{zx}^{\mathrm{core}} = \mathrm{constant} $$

शुद्धगतिकी
सैंडविच प्रकाश विकिरण को बंकन आघूर्ण $$M$$ और एक अपरुपण बल $$Q$$ के अधीन किया जाता है। इन भारों के कारण प्रकाश विकिरण का कुल विक्षेपण $$w$$ है। संलग्न चित्र से पता चलता है कि, छोटे विस्थापन के लिए, प्रकाश विकिरण की मध्य-सतह के कुल विक्षेपण को दो विक्षेपों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, एक शुद्ध बंकन वाला विक्षेपण $$w_b$$ और एक शुद्ध अपरुपण विक्षेपण $$w_s$$, अर्थात।,

w(x) = w_b(x) + w_s(x) $$ विरूपण की ज्यामिति से हम देखते हैं कि अभियांत्रिकी अपरुपण दबाव ($$\gamma$$) अंतर्भाग में संबंध द्वारा समग्र में प्रभावी अपरुपण दबाव से संबंधित है

\gamma_{zx}^{\mathrm{core}} = \tfrac{2h + f}{2h}~\gamma_{zx}^{\mathrm{beam}} $$ ध्यान दें कि अंतर्भाग में अपरुपण का दबाव समग्र में प्रभावी अपरुपण के दबाव से बड़ा है और छोटे विकृतियां ($$\tan \gamma = \gamma$$) उपरोक्त संबंध को प्राप्त करने में माना जाता है। प्रकाश विकिरण में प्रभावी अपरुपण दबाव संबंध द्वारा अपरुपण विस्थापन से संबंधित है

\gamma_{zx}^{\mathrm{beam}} = \cfrac{\mathrm{d} w_s}{\mathrm{d} x} $$ यूलर-बर्नौली प्रकाश विकिरण सिद्धांत की अभिधारणाओ के अनुसार फेसशीट को विकृत माना जाता है। फेसशीट्स के कुल विक्षेपण को बंकन के कारण और अंतर्भाग अपरुपण के कारण होने वाले विक्षेपों का अधिस्थापन माना जाता है। $$x$$>-बंकन के कारण फेस शीट्स का दिशा विस्थापन किसके द्वारा दिया जाता है

u_b^{\mathrm{face}}(x,z) = -z~\cfrac{\mathrm{d} w_b}{\mathrm{d} x} $$ अंतर्भाग में अपरूपण के कारण शीर्ष फलक का विस्थापन होता है

u_s^{\mathrm{topface}}(x,z) = -\left(z - h - \tfrac{f}{2}\right)~\cfrac{\mathrm{d} w_s}{\mathrm{d} x} $$ और वह नीचे की फेसशीट है

u_s^{\mathrm{botface}}(x,z) = -\left(z + h + \tfrac{f}{2}\right)~\cfrac{\mathrm{d} w_s}{\mathrm{d} x} $$ दो फेसशीट में सामान्य दबाव द्वारा दिया जाता है

\varepsilon_{xx} = \cfrac{\partial u_b}{\partial x} + \cfrac{\partial u_s}{\partial x} $$ इसलिए,

\varepsilon_{xx}^{\mathrm{topface}} = -z~\cfrac{\mathrm{d}^2 w_b}{\mathrm{d} x^2} -\left(z - h - \tfrac{f}{2}\right)~\cfrac{\mathrm{d}^2 w_s}{\mathrm{d} x^2} ~; \varepsilon_{xx}^{\mathrm{botface}} = -z~\cfrac{\mathrm{d}^2 w_b}{\mathrm{d} x^2} -\left(z + h + \tfrac{f}{2}\right)~\cfrac{\mathrm{d}^2 w_s}{\mathrm{d} x^2} $$

दबाव-विस्थापन संबंध
अंतर्भाग में अपरूपण दबाव द्वारा दिया जाता है

\sigma_{zx}^{\mathrm{core}} = C^{\mathrm{core}}_{55}~\varepsilon_{zx}^{\mathrm{core}} = \cfrac{C_{55}^{\mathrm{core}}}{2}~\gamma_{zx}^{\mathrm{core}} = \tfrac{2h + f}{4h}~C_{55}^{\mathrm{core}}~\gamma_{zx}^{\mathrm{beam}} $$ या,

\sigma_{zx}^{\mathrm{core}} = \tfrac{2h + f}{4h}~C_{55}^{\mathrm{core}}~\cfrac{\mathrm{d} w_s}{\mathrm{d} x} $$ फेसशीट में सामान्य दबाव द्वारा दिया जाता है

\sigma_{xx}^{\mathrm{face}} = C_{11}^{\mathrm{face}}~\varepsilon_{xx}^{\mathrm{face}} $$ इस तरह

\begin{align} \sigma_{xx}^{\mathrm{topface}} & = -z~C_{11}^{\mathrm{face}}~\cfrac{\mathrm{d}^2 w_b}{\mathrm{d} x^2} -\left(z - h - \tfrac{f}{2}\right)~C_{11}^{\mathrm{face}}~\cfrac{\mathrm{d}^2 w_s}{\mathrm{d} x^2} & = & -z~C_{11}^{\mathrm{face}}~\cfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d} x^2} + \left(\tfrac{2h+f}{2}\right)~C_{11}^{\mathrm{face}}~\cfrac{\mathrm{d}^2 w_s}{\mathrm{d} x^2}\\ \sigma_{xx}^{\mathrm{botface}} & = -z~C_{11}^{\mathrm{face}}~\cfrac{\mathrm{d}^2 w_b}{\mathrm{d} x^2} -\left(z + h + \tfrac{f}{2}\right)~C_{11}^{\mathrm{face}}~\cfrac{\mathrm{d}^2 w_s}{\mathrm{d} x^2} & = & -z~C_{11}^{\mathrm{face}}~\cfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d} x^2} - \left(\tfrac{2h+f}{2}\right)~C_{11}^{\mathrm{face}}~\cfrac{\mathrm{d}^2 w_s}{\mathrm{d} x^2} \end{align} $$

परिणामी बल और आघूर्ण
फेस-शीट में परिणामी सामान्य बल को इस रूप में परिभाषित किया गया है

N^{\mathrm{face}}_{xx} := \int_{-f/2}^{f/2} \sigma^{\mathrm{face}}_{xx}~\mathrm{d}z_f $$ और परिणामी आघूर्ण को इस रूप में परिभाषित किया गया है

M^{\mathrm{face}}_{xx} := \int_{-f/2}^{f/2} z_f~\sigma^{\mathrm{face}}_{xx}~\mathrm{d}z_f $$ जहाँ

z_f^{\mathrm{topface}} := z - h - \tfrac{f}{2} ~; z_f^{\mathrm{botface}} := z + h + \tfrac{f}{2} $$ दो फेसशीट में सामान्य दबाव के लिए अभिव्यक्ति का प्रयोग करके देता है

\begin{align} N^{\mathrm{topface}}_{xx} & = -f\left(h + \tfrac{f}{2}\right)~C_{11}^{\mathrm{face}}~\cfrac{\mathrm{d}^2 w_b}{\mathrm{d} x^2} = - N^{\mathrm{botface}}_{xx} \\ M^{\mathrm{topface}}_{xx} & = -\cfrac{f^3~C_{11}^{\mathrm{face}}}{12}\left(\cfrac{\mathrm{d}^2 w_b}{\mathrm{d} x^2} + \cfrac{\mathrm{d}^2 w_s}{\mathrm{d} x^2}\right) = -\cfrac{f^3~C_{11}^{\mathrm{face}}}{12}~\cfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d} x^2} = M^{\mathrm{botface}}_{xx} \end{align} $$ अंतर्भाग में, परिणामी आघूर्ण है

M^{\mathrm{core}}_{xx} := \int_{-h}^{h} z~\sigma^{\mathrm{core}}_{xx}~\mathrm{d}z = 0 $$ प्रकाश विकिरण में कुल बंकन आघूर्ण है

M = N_{xx}^{\mathrm{topface}}~(2h+f) + 2~M^{\mathrm{topface}}_{xx} $$ या,

M = -\cfrac{f(2h+f)^2}{2}~C_{11}^{\mathrm{face}}~\cfrac{\mathrm{d}^2 w_b}{\mathrm{d} x^2} - \cfrac{f^3}{6}~C_{11}^{\mathrm{face}}~\cfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d} x^2} $$ अपरुपण बल $$Q_x$$ अंतर्भाग में परिभाषित किया गया है

Q_x^{\mathrm{core}} = \kappa\int_{-h}^h \sigma_{xz}~dz = \tfrac{\kappa(2h+f)}{2}~C_{55}^{\mathrm{core}}~\cfrac{\mathrm{d}w_s}{\mathrm{d}x} $$ जहाँ $$\kappa$$ अपरुपण संशोधित गुणांक है। संबंध का उपयोग करके बंकन आघूर्ण से फेसशीट में अपरुपण बल की गणना की जा सकती है

Q_x^{\mathrm{face}} = \cfrac{\mathrm{d}M_{xx}^{\mathrm{face}}}{\mathrm{d}x} $$ या,

Q_x^{\mathrm{face}} = -\cfrac{f^3~C_{11}^{\mathrm{face}}}{12}~\cfrac{\mathrm{d}^3 w}{\mathrm{d} x^3} $$ पतली फेसशीट के लिए, फेसशीट में अपरुपण बल को सामान्य रूप से उपेक्षित कर दिया जाता है।

बंकन और अपरुपण कठोरता
सैंडविच प्रकाश विकिरण की बंकन कठोरता किसके द्वारा दी जाती है

D^{\mathrm{beam}} = -M/\tfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}x^2} $$ प्रकाश विकिरण में कुल बंकन आघूर्ण के व्यंजक से, हमारे पास है

M = -\cfrac{f(2h+f)^2}{2}~C_{11}^{\mathrm{face}}~\cfrac{\mathrm{d}^2 w_b}{\mathrm{d} x^2} - \cfrac{f^3}{6}~C_{11}^{\mathrm{face}}~\cfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d} x^2} $$ छोटे अपरुपण विकृतियों के लिए, उपरोक्त अभिव्यक्ति को इस प्रकार लिखा जा सकता है

M \approx -\cfrac{f[3(2h+f)^2+f^2]}{6}~C_{11}^{\mathrm{face}}~\cfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d} x^2} $$ इसलिए, सैंडविच प्रकाश विकिरण की बंकन वाली कठोरता (के साथ $$f \ll 2h$$) द्वारा दिया गया है

D^{\mathrm{beam}} \approx \cfrac{f[3(2h+f)^2+f^2]}{6}~C_{11}^{\mathrm{face}} \approx \cfrac{f(2h+f)^2}{2}~C_{11}^{\mathrm{face}} $$ और वह फेसशीट का है

D^{\mathrm{face}} = \cfrac{f^3}{12}~C_{11}^{\mathrm{face}} $$

प्रकाश विकिरण की अपरुपण कठोरता किसके द्वारा दी जाती है

S^{\mathrm{beam}} = Q_x/\tfrac{\mathrm{d}w_s}{\mathrm{d}x} $$ इसलिए, प्रकाश विकिरण की अपरुपण कठोरता अंतर्भाग की अपरुपण कठोरता के बराबर है

S^{\mathrm{beam}} = S^{\mathrm{core}} = \cfrac{\kappa(2h+f)}{2}~C_{55}^{\mathrm{core}} $$

बंकन और अपरुपण विक्षेपण के बीच संबंध
अंतर्भाग और फेसशीट के बीच दबाव (यांत्रिकी) की निरंतरता का उपयोग करके बंकन और अपरुपण विक्षेपण के बीच एक संबंध प्राप्त किया जा सकता है। यदि हम प्रत्यक्ष रूप से कर्षणों के समान होते हैं तब हम प्राप्त करते हैं

n_x~\sigma_{xx}^{\mathrm{face}} = n_z~\sigma_{zx}^{\mathrm{core}} $$ दोनों फेसशीट-अंतर्भाग अन्तराफलक पर $$n_x = 1$$ लेकिन अंतर्भाग के शीर्ष पर $$ n_z = 1$$ और अंतर्भाग के तल पर $$n_z = -1$$. इसलिए, कर्षण निरंतरता पर $$ z = \pm h$$ ओर जाता है

2fh~C_{11}^{\mathrm{face}}~\cfrac{\mathrm{d}^2 w_s}{\mathrm{d} x^2} - (2h+f)~C_{55}^{\mathrm{core}}~\cfrac{\mathrm{d} w_s}{\mathrm{d} x} = 4h^2~C_{11}^{\mathrm{face}}~\cfrac{\mathrm{d}^2 w_b}{\mathrm{d} x^2} $$ अपरुपण विक्षेपण के दूसरे व्युत्पन्न पद की उपस्थिति के कारण उपरोक्त संबंध का संभव्यता ही कभी उपयोग किया जाता है। बल्कि ऐसा माना जाता है

n_z~\sigma_{zx}^{\mathrm{core}} = \cfrac{\mathrm{d} N_{xx}^{\mathrm{face}}}{\mathrm{d}x} $$ जिसका तात्पर्य है

\cfrac{\mathrm{d} w_s}{\mathrm{d} x} = -2fh~\left(\cfrac{C_{11}^{\mathrm{face}}}{C_{55}^{\mathrm{core}}}\right)~\cfrac{\mathrm{d}^3 w_b}{\mathrm{d} x^3} $$

संचालन समीकरण
उपरोक्त परिभाषाओं का उपयोग करते हुए, बंकन आघूर्ण और अपरुपण बल के लिए संचालन संतुलन समीकरण हैं

\begin{align} M & = D^{\mathrm{beam}}~\cfrac{\mathrm{d}^2 w_s}{\mathrm{d} x^2} - \left(D^{\mathrm{beam}}+2D^{\mathrm{face}}\right)~\cfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d} x^2}\\ Q & = S^{\mathrm{core}}~\cfrac{\mathrm{d} w_s}{\mathrm{d} x} - 2D^{\mathrm{face}}~\cfrac{\mathrm{d}^3 w}{\mathrm{d} x^3} \end{align} $$ हम उपरोक्त को वैकल्पिक रूप से दो समीकरणों के रूप में व्यक्त कर सकते हैं जिन्हें संशोधित किया जा सकता है $$w$$ और $$w_s$$ जैसा

\begin{align} & \left(\frac{2D^{\mathrm{face}}}{S^{\mathrm{core}}}\right)\cfrac{\mathrm{d}^4 w}{\mathrm{d} x^4} - \left(1+\frac{2D^{\mathrm{face}}}{D^{\mathrm{beam}}}\right)\cfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d} x^2} + \left(\cfrac{1}{S^{\mathrm{core}}}\right)~\cfrac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} x} = \frac{M}{D^{\mathrm{beam}}} \\ & \left(\frac{D^{\mathrm{beam}}}{S^{\mathrm{core}}}\right)\cfrac{\mathrm{d}^3 w_s}{\mathrm{d} x^3} - \left(1+\frac{D^{\mathrm{beam}}}{2D^{\mathrm{face}}}\right)\cfrac{\mathrm{d} w_s}{\mathrm{d} x} - \cfrac{1}{S^{\mathrm{core}}}~\cfrac{\mathrm{d} M}{\mathrm{d} x} = -\left(1+\cfrac{D^{\mathrm{beam}}}{2D^{\mathrm{face}}}\right)\frac{Q}{S^{\mathrm{core}}}\, \end{align} $$ अनुमानों का उपयोग करना

Q \approx \cfrac{\mathrm{d} M}{\mathrm{d} x} ~; q \approx \cfrac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} x} $$ जहाँ $$q$$ हमारे पास प्रकाश विकिरण पर प्रयुक्त भार की तीव्रता है

\begin{align} & \left(\frac{2D^{\mathrm{face}}}{S^{\mathrm{core}}}\right)\cfrac{\mathrm{d}^4 w}{\mathrm{d} x^4} - \left(1+\frac{2D^{\mathrm{face}}}{D^{\mathrm{beam}}}\right)\cfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d} x^2} = \frac{M}{D^{\mathrm{beam}}}- \cfrac{q}{S^{\mathrm{core}}} \\ & \left(\frac{D^{\mathrm{beam}}}{S^{\mathrm{core}}}\right)\cfrac{\mathrm{d}^3 w_s}{\mathrm{d} x^3} - \left(1+\frac{D^{\mathrm{beam}}}{2D^{\mathrm{face}}}\right)\cfrac{\mathrm{d} w_s}{\mathrm{d} x} = -\left(\cfrac{D^{\mathrm{beam}}}{2D^{\mathrm{face}}}\right)\frac{Q}{S^{\mathrm{core}}}\, \end{align} $$ प्रयुक्त भार और अनुप्रयुक्त बंकन आघूर्ण और विस्थापन सीमा स्थितियों को देखते हुए दो युग्मित साधारण अंतर समीकरणों की इस प्रणाली को संशोधित करने के लिए कई तकनीकों का उपयोग किया जा सकता है।

तापमान पर निर्भर समीकरणों का वैकल्पिक रूप
यह मानते हुए कि प्रत्येक आंशिक अनुप्रस्थ परिच्छेद प्रकाश विकिरण सिद्धांत को पूरा करता है। बर्नौली की परिकल्पना, विकृत सैंडविच प्रकाश विकिरण तत्व पर बलों और आघूर्ण का संतुलन सैंडविच प्रकाश विकिरण के लिए बंकन समीकरण को निकालने के लिए उपयोग किया जा सकता है।

प्रकाश विकिरण और अनुप्रस्थ परिच्छेद के दबाव परिणाम और संबंधित विकृतियों को चित्र 1 में देखा जा सकता है। रैखिक प्रत्यास्थ के सिद्धांत का उपयोग करके निम्नलिखित संबंध प्राप्त किए जा सकते हैं:
 * $$\begin{align}

M^{\mathrm{core}} &= D^{\mathrm{beam}}\left(\cfrac{\mathrm{d} \gamma_2}{\mathrm{d} x} + \vartheta\right) = D^{\mathrm{beam}}\left(\cfrac{\mathrm{d} \gamma}{\mathrm{d} x} - \cfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d} x^2} + \vartheta\right) \\ M^{\mathrm{face}} &= -D^{\mathrm{face}} \cfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d} x^2} \\ Q^{\mathrm{core}} &= S^{\mathrm{core}} \gamma \\ Q^{\mathrm{face}} &= -D^{\mathrm{face}} \cfrac{\mathrm{d}^3 w}{\mathrm{d} x^3} \end{align}\,$$ जहाँ फेसशीट और अंतर्भाग के लिए समीकरणों का अधिस्थापन कुल अपरुपण बल के लिए निम्नलिखित समीकरणों की ओर ले जाता है $$Q$$ और कुल बंकन आघूर्ण $$M$$:

\begin{alignat}{3} & S^{\mathrm{core}}\gamma - D^{\mathrm{face}} \cfrac{\mathrm{d}^3 w}{\mathrm{d} x^3} = Q           &\quad\quad& (1)\\ & D^{\mathrm{beam}}\left(\cfrac{\mathrm{d} \gamma}{\mathrm{d} x}+\vartheta\right) - \left(D^{\mathrm{beam}}+D^{\mathrm{face}}\right)\cfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d} x^2} = M &\quad\quad& (2)\, \end{alignat} $$ हम उपरोक्त को वैकल्पिक रूप से दो समीकरणों के रूप में व्यक्त कर सकते हैं जिन्हें संशोधित किया जा सकता है $$w$$ और $$\gamma$$, अर्थात,

\begin{align} & \left(\frac{D^{\mathrm{face}}}{S^{\mathrm{core}}}\right)\cfrac{\mathrm{d}^4 w}{\mathrm{d} x^4} - \left(1+\frac{D^{\mathrm{face}}}{D^{\mathrm{beam}}}\right)\cfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d} x^2} = \frac{M}{D^{\mathrm{beam}}}-\cfrac{q}{S^{\mathrm{core}}}-\vartheta \\ & \left(\frac{D^{\mathrm{beam}}}{S^{\mathrm{core}}}\right)\cfrac{\mathrm{d}^2 \gamma}{\mathrm{d} x^2} - \left(1+\frac{D^{\mathrm{beam}}}{D^{\mathrm{face}}}\right)\gamma = -\left(\cfrac{D^{\mathrm{beam}}}{D^{\mathrm{face}}}\right)\frac{Q}{S^{\mathrm{core}}}\, \end{align} $$

समाधान दृष्टिकोण
एक निरंतर सैंडविच प्रकाश विकिरण में बंकन गतिविधि और दबाव की गणना दो संचालन अंतर समीकरणों को संशोधित करके की जा सकती है।

विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण
समान रूप से वितरित भार के अंतर्गत द्विक विस्तार प्रकाश विकिरण जैसे सरल ज्यामिति के लिए, उचित सीमा स्थितियों का उपयोग करके और अधिस्थापन सिद्धांत का उपयोग करके शासकीय समीकरणों को संशोधित किया जा सकता है। ऐसे परिणाम मानक डीआईएन एन 14509:2006 (तालिका ई 10.1) में सूचीबद्ध हैं। समाधान की प्रत्यक्ष रूप से गणना करने के लिए ऊर्जा विधियों का भी उपयोग किया जा सकता है।

संख्यात्मक दृष्टिकोण
सैंडविच निरंतर प्रकाश विकिरण के अंतर समीकरण को परिमित अंतर विधि और परिमित तत्व विधि जैसे संख्यात्मक तरीकों के उपयोग से संशोधित किया जा सकता है। परिमित अंतर के लिए बर्नर दो-चरणीय दृष्टिकोण की अनुशंसा करता है। किसी दिए गए भार के अंतर्गत एकल विस्तार प्रकाश विकिरण के लिए आवरण पत्रक में सामान्य बलों के लिए अंतर समीकरण को संशोधित करने के बाद, बहु-विस्तार प्रकाश विकिरण की गणना के लिए दृष्टिकोण का विस्तार करने के लिए ऊर्जा पद्धति का उपयोग किया जा सकता है। इस तकनीक का उपयोग करते समय नम्य आवरण पत्रक के साथ सैंडविच निरंतर प्रकाश विकिरण को एक दूसरे के ऊपर भी रखा जा सकता है। हालाँकि, प्रकाश विकिरण का अनुप्रस्थ परिच्छेद पूरे विस्तार में स्थिर होना चाहिए।

श्वार्ज़ द्वारा अनुशंसित एक अधिक विशिष्ट दृष्टिकोण संचालन समीकरण के सजातीय भाग के लिए परिशुद्ध और विशेष भाग के लिए लगभग संशोधित करना सम्मिलित है। याद रखें कि एक सैंडविच प्रकाश विकिरण के लिए संचालन समीकरण है

\left(\frac{2D^{\mathrm{face}}}{S^{\mathrm{core}}}\right)\cfrac{\mathrm{d}^4 w}{\mathrm{d} x^4} - \left(1+\frac{2D^{\mathrm{face}}}{D^{\mathrm{beam}}}\right)\cfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d} x^2} = \frac{M}{D^{\mathrm{beam}}}-\cfrac{q}{S^{\mathrm{core}}} $$ यदि हम परिभाषित करते हैं

\alpha := \cfrac{2D^{\mathrm{face}}}{D^{\mathrm{beam}}} ~; \beta := \cfrac{2D^{\mathrm{face}}}{S^{\mathrm{core}}} ~; W(x) := \cfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d} x^2} $$ हम पाते हैं

\cfrac{\mathrm{d}^2 W}{\mathrm{d} x^2} - \left(\cfrac{1+\alpha}{\beta}\right)~W =  \frac{M}{\beta D^{\mathrm{beam}}} - \cfrac{q}{D^{\mathrm{face}}} $$ श्वार्ज़ उपरोक्त समीकरण के सजातीय भाग के लिए सामान्य समाधान का उपयोग करता है और एक सैंडविच प्रकाश विकिरण के वर्गों के लिए विशेष समाधान के लिए एक बहुपद सन्निकटन का उपयोग करता है। अनुभागों के बीच के अंतरापृष्ठों को सीमा शर्तों के मिलान द्वारा एक साथ परिबद्ध किया जाता है। इस दृष्टिकोण का उपयोग मुक्त स्त्रोत कोड swe2 में किया गया है।

व्यावहारिक महत्व
रैखिक सैंडविच सिद्धांत द्वारा अनुमानित परिणाम प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित परिणामों के साथ अच्छी तरह से संबंधित हैं। सिद्धांत का उपयोग संरचनात्मक विश्लेषण के आधार के रूप में किया जाता है जो कि बड़े औद्योगिक और व्यवसायिक भवनों के निर्माण के लिए आवश्यक होता है जो सैंडविच फलक से जुड़े होते हैं। अनुमोदन के लिए और प्रासंगिक अभियांत्रिकी मानकों में इसके उपयोग की स्पष्ट रूप से मांग की जाती है।

मुहम्मद रहीफ हकामी और अन्य ने सामग्रियों के संख्यात्मक, प्रयोगात्मक गतिविधि और समग्र सामग्री के आग और विस्फोट गतिविधि में शोध किया। उन्होंने कई शोध लेख प्रकाशित किए:

हक्मी ने एक डिज़ाइन विधि विकसित की, जिसकी सिफारिश कैल्शियम और इंटीग्रिन बाध्यकारी प्रोटीन कार्य आयोग डब्ल्यू056 सैंडविच फलक, निर्माणात्मक इस्पात-कारखाना के लिए यूरोपीय सम्मेलन/कैल्शियम और इंटीग्रिन बाध्यकारी प्रोटीन संयुक्त समिति द्वारा की गई थी और इसका उपयोग सैंडविच फलक (कैल्शियम और इंटीग्रिन बाध्यकारी, 2000) के डिज़ाइन के लिए यूरोपीय सिफारिशों में किया गया है।
 * सैंडविच फलक का स्थानीय प्रांकुचन।
 * सैंडविच फलक में प्रांकुचन दबाव का सामना करें।
 * झाग से भरे पतले दीवार वाले स्टील प्रकाश विकिरण का प्रांकुचन के बाद की गतिविधि।
 * एक मॉडल अग्नि परीक्षण सुविधा का उपयोग करके समग्र फलक भाग का अग्नि प्रतिरोध
 * अपतटीय निर्माण सैंडविच फलक के लिए आग प्रतिरोधी सैंडविच फलक।
 * आग के संपर्क में आने वाले आर्द्रताग्राही पैनलों का संख्यात्मक तापमान विश्लेषण।
 * अपतटीय तन्तु प्रबलित सम्मिश्र की कीमती प्रभावी उपयोग।

यह भी देखें

 * बंकन
 * प्रकाश विकिरण सिद्धांत
 * समग्र सामग्री
 * हिल द्वारा प्राप्त मानदंड
 * सैंडविच संरचित समग्र
 * सैंडविच प्लेट प्रणाली
 * समग्र मधुकोश
 * टिमोचेंको प्रकाश विकिरण सिद्धांत
 * प्लेट सिद्धांत
 * सैंडविच फलक

ग्रन्थसूची

 * Mohammed Rahif Hakmi
 * Klaus Berner, Oliver Raabe: Bemessung von Sandwichbauteilen. IFBS-Schrift 5.08, IFBS e.V., Düsseldorf 2006.
 * Ralf Möller, Hans Pöter, Knut Schwarze: Planen und Bauen mit Trapezprofilen und Sandwichelementen. Band 1, Ernst & Sohn, Berlin 2004, ISBN 3-433-01595-3.

बाहरी संबंध

 * Mohammed Rahif Hakmi Research for Sandwich Panels
 * Institute for Sandwich Technology
 * https://web.archive.org/web/20081120190919/http://www.diabgroup.com/europe/literature/e_pdf_files/man_pdf/sandwich_hb.pdf DIAB Sandwich Handbook
 * http://www.swe1.com Programm zur Ermittlung der Schnittgrössen und Spannungen von Sandwich-Wandplatten mit biegeweichen Deckschichten (Open Source)
 * http://www.swe2.com Computation of sandwich beams with corrugated faces (Open Source)