तीव्र मॉडल

रैश आदर्श जिसका नाम जॉर्ज रैश के नाम पर रखा गया है। श्रेणीबद्ध डेटा का विश्लेषण करने के लिए साइकोमेट्रिक्स आदर्श है, जैसे कि अध्ययन के मूल्यांकन पर प्रश्नों के उत्तर या उत्तरदाता की क्षमताओं, दृष्टिकोण या व्यक्तित्वत्व लक्षण और इकाई समस्या के मध्य उद्योग-संवृत के कार्य के रूप में प्रश्नावली प्रतिक्रियाएं है। उदाहरण के रूप मे उनका उपयोग किसी विद्यार्थी की अध्ययन की क्षमता या किसी प्रश्नावली के उत्तरों से जुर्माना के प्रति किसी व्यक्तित्व के अभिवृत्ति की अत्यंतता का अनुमान लगाने के लिए करा जा सकता है। साइकोमेट्रिक्स और शैक्षिक अनुसंधान के अतिरिक्त रैश आदर्श और इसके विस्तार का उपयोग स्वास्थ्य, व्यवसाय कृषि, और बाजार अनुसंधान सहित अन्य क्षेत्रों में करा जाता है।

रैश आदर्श में अंतर्निहित गणितीय सिद्धांत इकाई प्रतिक्रिया सिद्धांत का विशेष स्थितियाँ है। चूंकि आदर्श मापदंडों की व्याख्या और इसके दार्शनिक निहितार्थों में महत्वपूर्ण अंतर हैं। वह रैश आदर्श के समर्थकों को इकाई प्रतिक्रिया प्रतिरूपण परंपरा से प्रथक करता है। इस विभाजन का केंद्रीय रूप सफल माप के लिए आवश्यकता के रूप में जॉर्ज रैश के अनुसार रैश मॉडल की परिभाषित गुण विशिष्ट निष्पक्षता की भूमिका से संबंधित है।

माप के लिए रैश आदर्श
रैश आदर्श में, निर्दिष्ट प्रतिक्रिया (उदाहरण के रूप मे उचित /त्रुटिपूर्ण उत्तर) की संभावना को व्यक्तित्व और इकाई मापदंडों के कार्य के रूप में निर्मित करा जाता है। विशेष रूप से, मूल रैश आदर्श में, उचित प्रतिक्रिया की संभावना को व्यक्तित्व और इकाई पैरामीटर के मध्य अंतर के तार्किक कार्य के रूप में निर्मित करा जाता है। आदर्श का गणितीय रूप इस आलेख में पश्चात् में प्रदान करा गया है। अधिकांश संदर्भों में, आदर्श के पैरामीटर उत्तरदाताओं की दक्षता और निरंतर अव्यक्त चर पर स्थानों के रूप में मदों की समस्या को दर्शाते हैं। उदाहरण के रूप मे शैक्षिक परीक्षणों में, इकाई पैरामीटर मदों की समस्या का प्रतिनिधित्व करते हैं जबकि व्यक्तित्व पैरामीटर उन समाज की क्षमता या उपलब्धि स्तर का प्रतिनिधित्व करते हैं जिनका मूल्यांकन करा जाता है। किसी मद की समस्या के सापेक्ष किसी व्यक्तित्व की क्षमता जितनी अधिक होगी, उस मद पर उचित प्रतिक्रिया की संभावना उतनी ही अधिक होती है। जब किसी व्यक्तित्व का अव्यक्त गुण पर स्थान मद की समस्या के सामान्तर होता है, तब परिभाषा के अनुसार रैश आदर्श में उचित प्रतिक्रिया की संभावना 0.5 होती है।

रैश आदर्श अर्थ में एक आदर्श है जिसमें यह उस संरचना का प्रतिनिधित्व करता है जिसे डेटा से माप प्राप्त करने के लिए डेटा को प्रदर्शित करना चाहिए; अर्थात यह सफल माप के लिए मानदंड प्रदान करता है। डेटा से प्रथक रैश के समीकरण आदर्श को हम वास्तविक विश्व में प्राप्त करने की अपेक्षा करते हैं। उदाहरण के रूप मे शिक्षा का उद्देश्य बच्चों को जीवन में आने वाली समस्त प्रकार की प्रतिस्पर्धा के लिए निर्मित करना है, न कि मात्र उन प्रतिस्पर्धा के लिए जो पाठ्यपुस्तकों या परीक्षणों में प्रदर्शित होतित है । एक ही चीज़ को मापने वाले विभिन्न परीक्षणों में समान (अपरिवर्तनीय) होने के उपायों की आवश्यकता के माध्यम से रैश आदर्श इस परिकल्पना का परीक्षण करना संभव बनाते हैं कि पाठ्यक्रम और परीक्षण में उत्पन्न विशेष प्रतिस्पर्धा सुसंगत रूप से समस्त संभावित प्रतिस्पर्धा की अनंत निवासी का प्रतिनिधित्व करती हैं। इसलिए रैश आदर्श एक आदर्श या मानक के अर्थ में आदर्श है जो अनुमानी कल्पना प्रदान करता है जो उपयोगी संगठित सिद्धांत के रूप में कार्य करता है, तब भी जब वास्तव में इसे व्यवहार में सर्वदा देखा ही नहीं गया है।

रैश आदर्श को रेखांकित करने वाला परिप्रेक्ष्य या प्रतिमान सांख्यिकीय प्रतिरूपण को रेखांकित करने वाले परिप्रेक्ष्य से प्रथक है। आदर्श का उपयोग अधिकांशतः डेटा के समुच्चय का वर्णन करने के आशय से करा जाता है। पैरामीटर्स को इस आधार पर संशोधित और स्वीकार या अस्वीकार करा जाता है कि वह डेटा में कितने योग्य होते हैं। इसके विपरीत, जब रैश आदर्श को नियोजित करा जाता है, तब मुख्य उद्देश्य उस डेटा को प्राप्त करना होता है जो आदर्श में योग्य होता है।  इस परिप्रेक्ष्य का तर्क यह है कि रैश आदर्श उन आवश्यकताओं का प्रतीक है जिन्हें माप प्राप्त करने के लिए पूर्ण करा जाना चाहिए, इस अर्थ में कि माप को सामान्यतः भौतिक विज्ञान में ज्ञात होता है।

इस तर्क को समझने के लिए उपयोगी सादृश्य मापदंड पर मापी गई मदों पर विचार करना है। मान लीजिए कि किसी मद A का भार स्थिति पर मद B के भार से अधिक अधिक मापा जाता है, तब इसके तत्काल पश्चात् मद B का भार मद A के भार से अधिक अधिक मापा जाता है। हमें अधिकार की आवश्यकता होती है माप यह है कि मदों के मध्य परिणामी मिलान अन्य कारकों के निरपेक्ष समान, या अपरिवर्तनीय होनी चाहिए। यह प्रमुख आवश्यकता रैश आदर्श की औपचारिक संरचना में सन्निहित है। फलस्वरूप रैश आदर्श को डेटा के अनुरूप परिवर्तित नहीं करा जाता है। इसके अतिरिक्त, मूल्यांकन के विधियाँ को परिवर्तित करा जाना चाहिए जिससे यह आवश्यकता संपूर्ण हो सके, उसी प्रकार जैसे भार मापने के मापदंडो को सुधारा जाना चाहिए यदि यह मदों के प्रथक -प्रथक माप पर मदों के मध्य प्रथक -प्रथक मिलान देता है।

आदर्श का उपयोग करके विश्लेषण करा गया डेटा सामान्यतः परीक्षणों पर पारंपरिक मदों की प्रतिक्रियाएं होती हैं, जैसे कि उचित/त्रुटिपूर्ण उत्तरों के मध्य शैक्षिक परीक्षण है। चूंकि आदर्श एक सामान्य है, और इसे उस स्थान पर भी क्रियान्वित करा जा सकता है जिस स्थान पर किसी मात्रात्मक विशेषता या विशेषता को मापने के आशय से प्रथक -प्रथक डेटा प्राप्त करा जाता है।

प्रवर्धन
जब समस्त परीक्षकों को एक ही परीक्षा में समस्त इकाई का प्रयास करने का सुविधा प्राप्त होती है, तब परीक्षण पर कुल प्राप्तांक क्षमता के अद्वितीय अनुमान पर आधारित होता है और कुल जितना अधिक प्राप्तांक होगा, क्षमता का अनुमान उतना ही अधिक होता है। कुल अंकों का क्षमता अनुमानों के मध्य कोई रैखिक संबंध नहीं है। किन्तु संबंध अ-रैखिक है जैसा कि चित्र 1 में प्रदर्शित करा गया है। कुल प्राप्तांक ऊर्ध्वाधर अक्ष पर प्रदर्शित करा गया है, जबकि संबंधित व्यक्तित्व स्थान का अनुमान क्षैतिज अक्ष पर प्रदर्शित करा गया है। उस विशेष परीक्षण के लिए जिस पर चित्र 1 में प्रदर्शित करा गया परीक्षण विशेषता वक्र (टीसीसी) आधारित है, कुल प्राप्तांक की सीमा में साधारणतया 13 से 31 तक का संबंध साधारणतया रैखिक है। इस उदाहरण की तरह टीसीसी का आकार सामान्यतः किंचित तक सिग्मॉइड (अवग्रह) कार्य जैसा होता है। चूंकि कुल प्राप्तांक और व्यक्तित्व स्थान अनुमान के मध्य स्पष्ट संबंध परीक्षण में मदों के वितरण पर निर्भर करता है। टीसीसी सातत्य पर श्रेणियों में तीव्र है जिसमें अधिक इकाई हैं, जैसे कि आंकड़े 1 और 2 में 0 के दोनों ओर की सीमा में है।

रैश आदर्श को क्रियान्वित करने में नीचे वर्णित विधियों के आधार पर इकाई स्थानों को अधिकांशतः सर्व-प्रथम मापन करा जाता है। प्रवर्धन की प्रक्रिया के इस भाग को अधिकांशतः इकाई अंशांकन के रूप में जाना जाता है। शैक्षिक परीक्षणों में उचित प्रतिक्रियाओं का अनुपात जितना अल्प होगा, किसी इकाई की समस्या उतनी ही अधिक होगी और इसलिए इकाई का मापन स्थान उतना ही अधिक होता है। एक बार जब इकाई स्थानों को मापन करा जाता है, तब व्यक्तित्वगत स्थानों को मापन पर मापा जाता है। परिणामस्वरूप, व्यक्तित्व और मद के स्थानों का अनुमान एक ही मापदंडो पर लगाया जाता है जैसा चित्र 2 में प्रदर्शित गया है।

मापदंडो के स्थानों की व्याख्या करना
परिभाषा के अनुसार सही/त्रुटिपूर्ण उत्तर जैसे द्विभाजित डेटा के लिए पैमाने पर किसी आइटम का स्थान उस व्यक्ति के स्थान के समरूप होता है है जिस पर प्रश्न के उचित उत्तर की 0.5 संभावना है। सामान्यतः किसी व्यक्तित्व के माध्यम से उस व्यक्तित्व के स्थान से अल्प समस्या वाले प्रश्न का उचित उत्तर देने की संभावना 0.5 से अधिक होती है, जबकि उस व्यक्तित्व के स्थान से अधिक समस्या वाले प्रश्न का उचित उत्तर देने की संभावना 0.5 से अल्प होती है। इकाई विशेषता वक्र (आईसीसी) या इकाई प्रतिक्रिया कार्य (आईआरएफ) व्यक्तित्व की क्षमता के कार्य के रूप में उचित प्रतिक्रिया की संभावना को दर्शाता है। इस लेख में चित्र 4 के संबंध में एकल आईसीसी को अधिक विस्तार से प्रदर्शित और प्रदर्शित करा गया है (इकाई प्रतिक्रिया सिद्धांत भी देखें)। चित्र 3 में अत्यंत बाईं ओर वाली आईसीसी अत्यंत सरल इकाई हैं, उसी आकृति में अत्यंत दाईं ओर वाली आईसीसी अत्यंत कठिन इकाई हैं।

जब किसी व्यक्तित्व की प्रतिक्रियाओं को इकाई की समस्या के अनुसार निम्नतम से उच्चतम तक क्रमबद्ध करा जाता है, तब अत्यंत संभावित स्वरूपगुटमैन मापन या सदिश होता है; अर्थात {1,1,...,1,0,0,0,...,0} है। चूंकि, यह स्वरूप रैश आदर्श की संरचना को देखते हुए अत्यंत अधिक संभावित है, आदर्श को मात्र संभाव्य गुटमैन प्रतिक्रिया स्वरूप की आवश्यकता होती है अर्थात्, ऐसे स्वरूप जो गुटमैन स्वरूप की ओर प्रवृत्त होते हैं। प्रतिक्रियाओं का स्वरूप के अनुरूप होना असामान्य है क्योंकि अनेक संभावित स्वरूप हैं। डेटा को रैश आदर्श में योग्य करने के लिए प्रतिक्रियाओं का स्वरूप के अनुरूप होना अनावश्यक है। प्रत्येक क्षमता अनुमान में माप की संबद्ध मानक त्रुटि होती है, जो क्षमता अनुमान से जुड़ी अनिश्चितता की उपाधि निर्धारित करती है। इकाई अनुमानों में मानक त्रुटियाँ भी हैं। सामान्यतः, इकाई अनुमानों की मानक त्रुटियां व्यक्तित्व अनुमानों की मानक त्रुटियों से अधिक अल्पतर होती हैं क्योंकि सामान्यतः किसी व्यक्तित्व की मिलान में किसी इकाई के लिए अधिक प्रतिक्रिया डेटा होता है। अर्थात् किसी दिए गए इकाई का प्रयास करने वाले समाज की संख्या सामान्यतः किसी दिए गए व्यक्तित्व के माध्यम से प्रयास किए गए इकाई की संख्या से अधिक होती है। जिस स्थान पर आईसीसी का ढलान अधिक होता है, वहां व्यक्तित्व अनुमान की मानक त्रुटियां अल्पतर होती हैं, जो सामान्यतः परीक्षण में प्राप्तांक की मध्य सीमा के माध्यम से होती है। इस प्रकार इस सीमा में अधिक स्पष्ट है क्योंकि ढलान जितना अधिक होगा, रेखा पर किसी दो बिंदुओं के मध्य अंतर उतना ही अधिक होता है।

आदर्श के मध्य डेटा के पत्राचार का मूल्यांकन करने के लिए सांख्यिकीय और चित्रमय परीक्षणों का उपयोग करा जाता है। अल्प परीक्षण वैश्विक होते हैं, और अन्य विशिष्ट मदों या समाज पर विचार केंद्रित करते हैं। योग्य के अल्प परीक्षण इस विषय में सूचना प्रदान करते हैं कि किन मदों का उपयोग अनुपयुक्त मदों के मध्य समस्याओं को प्रथक या सही करके परीक्षण की विश्वसनीयता (सांख्यिकी) को वृद्धि के लिए करा जा सकता है। रैश मापन में विश्वसनीयता सूचकांकों के स्थान पर व्यक्तित्व पृथक्करण सूचकांक का उपयोग करा जाता है। चूंकि व्यक्तित्व पृथक्करण सूचकांक विश्वसनीयता सूचकांक के समान है। पृथक्करण सूचकांक माप त्रुटि सहित पृथक्करण के अनुपात के रूप में वास्तविक पृथक्करण का सारांश है। जैसा कि सर्व-प्रथम उल्लेख करा गया है, माप त्रुटि का स्तर परीक्षण की सीमा में समान नहीं है, किन्तु सामान्यतः अधिक अत्यंतता प्राप्तांक (अल्प और उच्च) के लिए महत्त्वपूर्ण होता है।

रैश आदर्श की विशेषताएं
आदर्श के वर्ग का नाम डेनिश गणितज्ञ और सांख्यिकीविद् जॉर्ज रैश के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने भौतिकी में माप की मुख्य आवश्यकता अर्थात् अपरिवर्तनीय मिलान की आवश्यकता के मध्य उनकी अनुरूपता के आधार पर आदर्श के लिए ज्ञान का सिद्धांत के स्थितियों को अग्रिम करा है। यह आदर्श के वर्ग की परिभाषित विशेषता है, जैसा कि निम्नलिखित अनुभाग में विस्तार से बताया गया है। द्विभाजित डेटा के लिए रैश आदर्श का तुलनात्मक निर्णय के नियम से घनिष्ठ वैचारिक संबंध है। (एलसीजे) आदर्श है जिसे एल. एल. थर्स्टन के माध्यम से उच्चतर मापदंडो पर निर्मित और उपयोग करा जाता है। और इसलिए थर्स्टन मापदंडो पर भी उपयोग करा जाता है।

माप आदर्श प्रस्तुत करने से सर्व-प्रथम जिसके लिए वह अत्यंत अधिक जाने जाते हैं। रैश ने माप आदर्श के रूप में डेटा को अध्ययन के लिए पॉइसन वितरण को क्रियान्वित करा था, यह परिकल्पना करते हुए कि प्रासंगिक अनुभार संदर्भ में किसी दिए गए व्यक्तित्व के माध्यम से की गई त्रुटियों की संख्या के अनुपात से नियंत्रित होती थी। व्यक्तित्व की अध्ययन की क्षमता में पाठ्य समस्या, रैश ने इस आदर्श को गुणक पॉइसन आदर्श के रूप में संदर्भित करा है। द्विभाजित डेटा के लिए रैश का आदर्श - अर्थात जिस स्थान पर प्रतिक्रियाओं को दो श्रेणियों में वर्गीकृत करा जा सकता है, उनका अत्यंत व्यापक रूप से ज्ञात और उपयोग करा जाने वाला आदर्श है, और यह मुख्य बिंदु है। इस आदर्श में साधारण तार्किक कार्य का रूप है।

उपरोक्त संक्षिप्त रूपरेखा सामाजिक माप पर रैश के परिप्रेक्ष्य की अल्प विशिष्ट और परस्पर संबंधित विशेषताओं पर प्रकाश डालती है जो इस प्रकार हैं:


 * 1) वह जन समुदाय के मध्य वितरण के अतिरिक्त मुख्य रूप से व्यक्तित्व के माप से चिंतित थे।
 * 2) वह भौतिकी से प्राप्त माप के लिए प्राथमिक आवश्यकताओं को पूर्ण करने के लिए आधार स्थापित करने के विषय में चिंतित थे और परिणामस्वरूप उन्होंने जन समुदाय में किसी विशेषता के स्तर के वितरण के विषय में कोई धारणा नहीं बनाई है।
 * 3) रैश का दृष्टिकोण स्पष्ट रूप से मानता है कि यह वैज्ञानिक परिकल्पना है कि प्रस्तुत करा गया गुण मात्रात्मक और मापने योग्य दोनों है, जैसा कि विशेष प्रयोगात्मक संदर्भ में क्रियान्वित करा गया है।

इस प्रकार थॉमस कुह्न के माध्यम से अपने 1961 के प्रपत्र आधुनिक भौतिक विज्ञान में माप के कार्य में व्यक्त परिप्रेक्ष्य के अनुरूप, माप को सिद्धांत में स्थापित होने के मध्य व्यापक सैद्धांतिक तंत्र से संबंधित परिकल्पनाओं के मध्य असंगत मात्रात्मक विसंगतियों का ज्ञात करने में सहायक माना गया था। यह परिप्रेक्ष्य सामान्यतः सामाजिक विज्ञानों में प्रचलित परिप्रेक्ष्य के विपरीत है, जिसमें परीक्षण प्राप्तांक जैसे डेटा को माप के लिए सैद्धांतिक आधार की आवश्यकता के रहित प्रत्यक्ष रूप से माप के रूप में माना जाता है। यद्यपि यह विरोधाभास उपस्थित है, रैश का परिप्रेक्ष्य वास्तव में सांख्यिकीय विश्लेषण या प्रतिरूपण के उपयोग का पूरक है जिसके लिए अंतराल-स्तरीय माप की आवश्यकता होती है, क्योंकि रैश आदर्श को क्रियान्वित करने का उद्देश्य ऐसे माप प्राप्त करना है। रैश आदर्श के अनुप्रयोगों का वर्णन विभिन्न प्रकार के स्रोतों में करा गया है।

अपरिवर्तनीय मिलान और पर्याप्तता
द्विभाजित डेटा के लिए रैश आदर्श को अधिकांशतः एक इकाई पैरामीटर के मध्य इकाई प्रतिक्रिया सिद्धांत (आईआरटी) आदर्श के रूप में माना जाता है। चूंकि विशेष आईआरटी आदर्श होने के अतिरिक्त, आदर्श के प्रस्तावक है यह ऐसे आदर्श के रूप में ज्ञात है जिसमें ऐसी अधिकार है जो इसे अन्य आईआरटी आदर्श से प्रथक करती है। विशेष रूप से रैश आदर्श की परिभाषित अधिकार अपरिवर्तनीय मिलान के सिद्धांत का उनका औपचारिक या गणितीय अवतार है। रैश ने अपरिवर्तनीय मिलान के सिद्धांत को इस प्रकार संक्षेप में प्रस्तुत करा है :


 * दो प्रोत्साहन के मध्य मिलान इस बात से स्वतंत्र होनी चाहिए कि कौन से विशेष व्यक्तित्व मिलान के लिए सहायक थे; और यह इस बात से भी स्वतंत्र होना चाहिए कि विचारित वर्ग के अन्दर किन अन्य प्रोत्साहन की मिलान की गई थी या हो सकती है।
 * सममित रूप से, दो व्यक्तित्व के मध्य मिलान इस बात से स्वतंत्र होनी चाहिए कि विचार किए गए वर्ग के अन्दर कौन सी विशेष प्रोत्साहन मिलान के लिए सहायक थीं; और यह इस बात से भी स्वतंत्र होना चाहिए कि उसी या किसी अन्य स्थिति पर अन्य व्यक्तित्व की भी मिलान की गई थी।

रश आदर्श इस सिद्धांत को ग्रहण करते हैं क्योंकि उनकी औपचारिक संरचना व्यक्तित्व और इकाई मापदंडों के बीजगणितीय पृथक्करण की अनुमति देती है, इस अर्थ में कि इकाई मापदंडों के सांख्यिकीय अनुमान की प्रक्रिया के समय व्यक्तित्व पैरामीटर को समाप्त करा जा सकता है। यह परिणाम प्रतिबंधात्मक अधिकतम संभावना अनुमान के उपयोग के माध्यम से प्राप्त करा जाता है, जिसमें प्रतिक्रिया स्थान को व्यक्तित्व के कुल प्राप्तांक के अनुसार विभाजित करा जाता है। इसका परिणाम यह होता है कि किसी मद या व्यक्तित्व के लिए अपरिपक्व प्राप्तांक उस मद या व्यक्तित्व पैरामीटर के लिए पर्याप्त आँकड़ा होता है। वर्णन का तात्पर्य यह है कि, व्यक्तित्व के कुल प्राप्तांक में व्यक्तित्व के विषय में निर्दिष्ट संदर्भ में उपलब्ध समस्त सूचना सम्मिलित होती है, और इकाई के कुल प्राप्तांक में संबंधित अव्यक्त विशेषता के संबंध में इकाई के संबंध में समस्त सूचना सम्मिलित होती है। रैश आदर्श को प्रतिक्रिया डेटा में विशिष्ट संरचना अर्थात् संभाव्य गुटमैन संरचना की आवश्यकता होती है।

अल्प अधिक परिचित शब्दों में, रैश आदर्श मूल्यांकन पर कुल अंकों से सातत्य पर व्यक्तित्व स्थान प्राप्त करने के लिए आधार और औचित्य प्रदान करते हैं। चूंकि कुल अंकों को प्रत्यक्ष रूप से माप के रूप में मानना ​​असामान्य नहीं है, वह वास्तव में माप के अतिरिक्त प्रथक अवलोकनों की गणना हैं। प्रत्येक अवलोकन किसी व्यक्तित्व और मद के मध्य मिलान के अवलोकन योग्य परिणाम का प्रतिनिधित्व करता है। इस प्रकार के परिणाम प्रत्यक्ष रूप से दिशा या किसी अन्य दिशा में माप संतुलन के अवलोकन के अनुरूप होते हैं। यह अवलोकन इंगित करता है कि एक या अन्य मद का द्रव्यमान अधिक है, किन्तु ऐसे अवलोकनों की गणना को प्रत्यक्ष रूप से माप के रूप में नहीं माना जा सकता है।

रैश ने बताया कि अपरिवर्तनीय मिलान का सिद्धांत भौतिकी में माप की विशेषता है, उदाहरण के रूप मे द्‍वि पथी प्रयोगात्मक संदर्भ वृत्ति जिसमें प्रत्येक उपकरण त्वरण उत्पन्न करने के लिए ठोस निकायों पर यांत्रिकी बल स्थापित करता है। इस संदर्भ में कहा गया है: सामान्यतः: यदि किसी दो मदों के लिए हम उपकरण के माध्यम से उत्पन्न उनके त्वरणों का निश्चित अनुपात पाते हैं, तब वही अनुपात किसी अन्य उपकरण के लिए भी प्राप्त होता है। यह सहजता से प्रदर्शित गया है कि न्यूटन का द्वितीय नियम वर्णन करता है कि ऐसे अनुपात पिंडों के द्रव्यमान के अनुपात के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं।

द्विभाजित डेटा के लिए रैश आदर्श का गणितीय रूप
मान लीजिए कि $$ X_{ni} = x \in \{0,1\} $$ द्विभाजित यादृच्छिक चर है, उदाहरण के रूप मे, $$ x = 1 $$ किसी दिए गए मूल्यांकन इकाई के लिए उचित प्रतिक्रिया और $$ x = 0 $$ त्रुटिपूर्ण प्रतिक्रिया को दर्शाता है। द्विभाजित डेटा के लिए रैश आदर्श में, परिणाम $$ X_{ni} = 1 $$ के माध्यम से प्रस्तुत करा गया है:



\Pr \{X_{ni}=1\} =\frac{e^{{\beta_n} - {\delta_i}}}{1 + e^{{\beta_n} - {\delta_i}}}, $$ जिस स्थान पर $$\beta_n $$व्यक्तित्व $$ n $$ की क्षमता है और $$ \delta_i $$ इकाई $$ i $$.की समस्या है। इस प्रकार, द्विभाजित प्राप्ति मद के स्थितियों में, $$ \Pr \{X_{ni}=1\} $$ संबंधित व्यक्तित्व और मूल्यांकन मद के मध्य संवाद पर सफलता की संभावना है। यह सहजता से प्रदर्शित गया है कि आदर्श के आधार पर किसी व्यक्तित्व के माध्यम से किसी इकाई पर उचित प्रतिक्रिया का अभिलेख समस्याएँ या संबंध $$\beta_n - \delta_i$$ के सामान्तर है। प्रथक-प्रथक क्षमता मापदंडों $$ \beta_1 $$ और $$ \beta_2 $$ वाले दो परीक्षकों और समस्या $$ \delta_i $$ के मध्य अनेैतिक इकाई दिए जाने पर इन दोनों परीक्षकों के लिए अभिलेख में अंतर की $$(\beta_1 - \delta_i)-(\beta_2 - \delta_i)$$ से गणना करें। यह अंतर $$ \beta_1 - \beta_2 $$ हो जाता है। इसके विपरीत, यह प्रदर्शित किया जा सकता है कि एक ही व्यक्तित्व के माध्यम से एक इकाई के लिए उचित प्रतिक्रिया का अभिलेख समस्याएँ या संबंध दो मदों में से किसी एक के लिए उचित प्रतिक्रिया पर प्रतिबंधात्मक, इकाई स्थानों के मध्य अंतर के सामान्तर है। उदाहरण के रूप मे



\operatorname{log-odds} \{X_{n1}=1 \mid \ r_n=1\} = \delta_2-\delta_1,\, $$ जिस स्थान पर $$r_n$$ दो मदों पर व्यक्तित्व n का कुल प्राप्तांक है, जो एक या अन्य मदों पर उचित प्रतिक्रिया दर्शाता है। इसलिए, प्रतिबंधात्मक लॉजिट आलेख में व्यक्तित्व पैरामीटर $$\beta_n$$ सम्मिलित नहीं है, जिसे कुल प्राप्तांक $$r_n=1$$ पर अनुकूलन के माध्यम से समाप्त करा जा सकता है। अर्थात्, अपरिपक्व अंकों के अनुसार प्रतिक्रियाओं को विभाजित करके और उचित प्रतिक्रिया की अभिलेख बाधाओं की गणना करके $$\beta_n$$ की भागीदारी के बिना एक अनुमान $$\delta_2-\delta_1$$से प्राप्त करा जा सकता है। सामान्यतः, प्रतिबंधात्मक अधिकतम संभावना अनुमान (रैश आदर्श अनुमान देखें) जैसी प्रक्रिया के अनुप्रयोग के माध्यम से अनेक इकाई पैरामीटरों का पुनरावर्ती अनुमान लगाया जा सकता है। जबकि अधिक सम्मिलित मौलिक सिद्धांत ऐसे अनुमानों में क्रियान्वित होता है।

द्विभाजित डेटा के लिए रैश आदर्श का आईसीसी चित्र 4 में प्रदर्शित गया है। भूरी रेखा अव्यक्त सातत्य (अर्थात, उनकी क्षमताओं का स्तर) पर विभिन्न स्थानों वाले व्यक्तित्व के लिए प्रथक-प्रथक परिणाम $$X_{ni}=1$$ (अर्थात, प्रश्न का सही उत्तर देना) की संभावना को दर्शाती है। किसी मद का स्थान, परिभाषा के अनुसार, वह स्थान है जिस पर $$X_{ni}=1$$ के 0.5 के सामान्तर होने की संभावना होती है। चित्र 4 में, काले घेरे वर्ग अंतराल के अन्दर व्यक्तित्व के वास्तविक या देखे गए अनुपात को दर्शाते हैं जिसके लिए परिणाम देखा गया था। उदाहरण के रूप मे शैक्षिक मनोविज्ञान के संदर्भ में उपयोग किए जाने वाले मूल्यांकन इकाई के स्थितियों में, यह उन व्यक्तित्व के अनुपात का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं जिन्होंने इकाई का उचित उत्तर दिया है। व्यक्तित्व को अव्यक्त सातत्य पर उनके स्थान के अनुमानों के आधार पर क्रमबद्ध करा जाता है और आदर्श के मध्य टिप्पणियों के अनुरूपता का रेखांकन निरीक्षण करने के लिए इस आधार पर वर्ग अंतराल में वर्गीकृत करा जाता है। आदर्श के मध्य डेटा की घनिष्ठ अनुरूपता है। डेटा के चित्रमय निरीक्षण के अतिरिक्त, योग्य के सांख्यिकीय परीक्षणों की श्रृंखला का उपयोग यह मूल्यांकन करने के लिए करा जाता है कि क्या आदर्श से टिप्पणियों के विचलन को मात्र यादृच्छिक प्रभावों के लिए उत्तरदायी हो सकता है जैसा कि आवश्यक है, या क्या आदर्श से व्यवस्थित विचलन हैं।

रैश आदर्श के बहुपद विस्तार
रैश आदर्श में अनेक बहुपद विस्तार हैं, जो द्विभाजित आदर्श को सामान्यीकृत करते हैं जिससे इसे उन संदर्भों में क्रियान्वित करा जा सके जिसमें क्रमिक पूर्णांक प्राप्तांक अव्यक्त विशेषता के अगर्सर स्तर या परिमाण की श्रेणियों का प्रतिनिधित्व करते हैं, जैसे वृद्धि क्षमता, मोटर कार्य का समर्थन एवं कथन इत्यादि है। उदाहरण के रूप मे यह बहुपद विस्तार लिकर्ट मापन के उपयोग, शैक्षिक मूल्यांकन में श्रेणीकरण और न्यायाधीशों के माध्यम से प्रदर्शन के प्राप्तांक पर क्रियान्वित होते हैं।

अन्य विचार
रैश आदर्श की आलोचना यह है कि यह अत्यधिक प्रतिबंधात्मक या अनुदेशात्मक है क्योंकि आदर्श की एक धारणा यह है कि समस्त मदों में समान विभेदन होता है, जबकि व्यवहार में, मदों का विभेदन प्रथक होता है, और इस प्रकार कोई भी डेटा समुच्चय सर्वदा भी उचित डेटा-आदर्श योग्य प्रदर्शित नहीं है। एक बार होने वाली त्रुटिपूर्ण यह है कि रैश आदर्श प्रत्येक इकाई को प्रथक विभेदन करने की अनुमति नहीं देता है, किन्तु समान विभेदन अपरिवर्तनीय माप की धारणा है, इसलिए प्रथक -प्रथक इकाई विभेदन निषिद्ध नहीं हैं, किन्तु कि यह संकेत प्राप्त होता है कि माप की गुणवत्ता सैद्धांतिक आदर्श के सामान्तर नहीं है। भौतिक माप की प्रकार वास्तविक विश्व के डेटा समुच्चय सर्वदा सैद्धांतिक आदर्श से संपूर्ण प्रकार से समन्वय नहीं है, इसलिए प्रासंगिक प्रश्न यह है कि क्या कोई विशेष डेटा समुच्चय हस्तगत में उद्देश्य के लिए माप की पर्याप्त गुणवत्ता प्रदान करता है, न कि यह कि क्या यह पूर्णता के अप्राप्य मानक से संपूर्ण प्रकार समरूप होता है।

बहुविकल्पी मदों से प्रतिक्रिया डेटा के मध्य रैश आदर्श के उपयोग के लिए विशिष्ट आलोचना यह है कि आदर्श में अनुमान लगाने के लिए कोई प्रावधान नहीं है क्योंकि रैश आदर्श में बायां अनंतस्पर्शी सदैव शून्य संभावना के समीप होता है। इसका तात्पर्य यह है कि अल्प क्षमता वाले व्यक्तित्व को सदैव कोई मद त्रुटिपूर्ण प्राप्त होगी । चूंकि बहुविकल्पीय परीक्षा संपूर्ण करने वाले अल्प क्षमता वाले व्यक्तित्व के समीप एकाकी संयोग से उचित उत्तर चयन की अधिक अधिक संभावना होती है (k-विकल्प इकाई के लिए, संभावना 1/k के प्राय: होती है)।

तीन-पैरामीटर तार्किक आदर्श इन दोनों धारणाओं को शिथिल करता है और दो-पैरामीटर तार्किक आदर्श प्रथक-प्रथक ढलानों की अनुमति देता है। चूंकि सरल भार रहित वाले अपरिपक्व प्राप्तांक की पर्याप्तता को बनाए रखने के लिए समान विभेदन और शून्य बाएँ स्पर्शोन्मुख की विशिष्टता आदर्श के आवश्यक गुण हैं। व्यवहार में बहु-विकल्प डेटा समुच्चय में प्राप्त जाने वाला शुन्यतर निम्न अनंतस्पर्शी सामान्यतः मानी जाने वाली मिलान में माप के लिए अल्प संकट होता है और सामान्यतः माप में वास्तविक त्रुटियां नहीं होती हैं जब उचित प्रकार से विकसित परीक्षण मदों का उपयोग विवह कशीलता से करा जाता है वर्हेल्स्ट एंड ग्लास (1995) ने आदर्श के लिए प्रतिबंधात्मक अधिकतम संभावना (सीएमएल) समीकरण प्राप्त किए, जिसे वह एकल पैरामीटर तार्किक आदर्श (ओपीएलएम) के रूप में संदर्भित करते हैं। बीजगणितीय रूप में यह 2 पीएल आदर्श के समान प्रतीत होता है, किन्तु ओएमपीएल में 2 पीएल के अनुमानित विभेदन मापदंडों के अतिरिक्त पूर्व निर्धारित विभेदन सूचकांक सम्मिलित हैं। जैसा कि इन लेखकों ने उल्लेख करा है, चूंकि अनुमानित विभेदन मापदंडों के मध्य अनुमान लगाने में जिस समस्या का सामना करना पड़ता है वह यह है कि विभेदन अज्ञात हैं, जिसका अर्थ है कि भारित अपरिपक्व प्राप्तांक मात्र एक आँकड़ा नहीं है और इसलिए सीएमएल को अनुमान पद्धति के रूप में उपयोग करना असंभव है। अर्थात् 2 पीएल में भारित प्राप्तांक की पर्याप्तता का उपयोग उस विधियाँ के अनुसार नहीं करा जा सकता है, जिसमें पर्याप्त आँकड़ा परिभाषित करा गया है। यदि भार का अनुमान प्राप्त करने के अतिरिक्त अभिकथन करा जाता है, जैसा कि ओपीएलएम में होता है, तब प्रतिबंधात्मक अनुमान संभव है और रैश आदर्श के अल्प गुणों को निरंतर रखा जाता है। ओपीएलएम में विभेदन सूचकांक के मान 1 और 15 के मध्य सीमित हैं। इस दृष्टिकोण की सीमा यह है कि व्यवहार में विभेदन सूचकांक के मूल्यों को प्रारंभिक बिंदु के रूप में पूर्व निर्धारित करा जाना चाहिए। इसका कारण यह है कि विभेदन का अल्प प्रकार का अनुमान तब सम्मिलित होता है जब मुख्य उद्देश्य ऐसा करने से बचना होता है।

द्विभाजित डेटा के लिए रैश आदर्श में स्वाभाविक रूप से एकल विभेदन पैरामीटर सम्मिलित होता है, जैसा कि रैश ने लिखित मे करा गया है। माप की इकाइयों का अनेैतिक विकल्प होता है जिसके संदर्भ में अव्यक्त विशेषता के परिमाण व्यक्त या अनुमानित किए जाते हैं। रैश आदर्श के लिए आवश्यक है कि विभेदन सामाजिक संपर्क के निर्दिष्ट वृत्ति के अन्दर व्यक्तित्व और मदों के मध्य व्याख्यान असंबद्धता की आवश्यकता में समान हो (अर्थात मूल्यांकन के संदर्भ में मूल्यांकन के लिए नियम दिया गया है)।

आदर्श का अनुप्रयोग मानदंड को उचित प्रकार पूर्ण करता है, इसके विषय में अनिश्चितता ​​सूचना प्रदान करता है। आदर्श का अनुप्रयोग इस विषय में भी सूचना प्रदान कर सकता है कि मूल्यांकन पर इकाई या प्रश्न क्षमता या विशेषता को मापने के लिए कितनी उचित प्रकार से काम करते हैं। उदाहरण के रूप मे किसी दिए गए व्यवहार में संलग्न व्यक्तित्व के अनुपात को प्राप्त कर के रश आदर्श का उपयोग संबंध की समस्या दृष्टिकोण और व्यवहार के मध्य संबंधों को प्राप्त करने के लिए करा जा सकता है। रैश आदर्श के प्रमुख समर्थकों में बेंजामिन ड्रेक राइट, डेविड एंड्रीच और एर्लिंग एंडरसन सम्मिलित हैं।

यह भी देखें

 * मोकेन मापदंड
 * गुटमैन मापन

अग्रिम पठन

 * Andrich, D. (1978a). A rating formulation for ordered response categories. Psychometrika, 43, 357–74.
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 * Baker, F. (2001). The Basics of Item Response Theory. ERIC Clearinghouse on Assessment and Evaluation, University of Maryland, College Park, MD. Available free with software included from IRT at Edres.org
 * Fischer, G.H. & Molenaar, I.W. (1995). Rasch models: foundations, recent developments and applications. New York: Springer-Verlag.
 * Goldstein H & Blinkhorn S (1977). Monitoring Educational Standards: an inappropriate model. . Bull.Br.Psychol.Soc. 30 309–311
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 * Hambleton RK, Jones RW. "Comparison of classical test theory and item response," Educational Measurement: Issues and Practice 1993; 12(3):38–47. available in the ITEMS Series from the National Council on Measurement in Education
 * Harris D. Comparison of 1-, 2-, and 3-parameter IRT models. Educational Measurement: Issues and Practice;. 1989; 8: 35–41 available in the ITEMS Series from the National Council on Measurement in Education
 * von Davier, M., & Carstensen, C. H. (2007). Multivariate and Mixture Distribution Rasch Models: Extensions and Applications. New York: Springer.
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 * Wu, M. & Adams, R. (2007). Applying the Rasch model to psycho-social measurement: A practical approach. Melbourne, Australia: Educational Measurement Solutions. Available free from Educational Measurement Solutions
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बाहरी संबंध

 * Institute for Objective Measurement Online Rasch Resources
 * Pearson Psychometrics Laboratory, with information about Rasch models
 * Journal of Applied Measurement
 * Journal of Outcome Measurement (all issues available for free downloading)
 * Berkeley Evaluation & Assessment Research Center (ConstructMap software)
 * Directory of Rasch Software – freeware and paid
 * IRT Modeling Lab at U. Illinois Urbana Champ.
 * National Council on Measurement in Education (NCME)
 * Rasch Measurement Transactions
 * The Standards for Educational and Psychological Testing
 * The Trouble with Rasch