टोपोलॉजी

गणित में, टोपोलॉजी किसी ज्यामितीय वस्तु के गुणों से संबंधित है जो सतत विकृतियों के अंतर्गत संरक्षित होता हैं, जैसे स्ट्रेचिंग, व्यावर्तन (ट्विस्टिंग), क्रम्पलिंग और बंकन (बेन्डिंग); अर्थात, छिद्रों को संवृत किए बिना, छिद्रों को खोलना, विदारण (टीयरिंग), ग्लोइंग या स्वयं से गुजरे बिना।

टोपोलॉजिकल समष्टि एक संरचना से संपन्न एक समुच्चय है, जिसे टोपोलॉजी कहा जाता है, जो उप-समष्टियों के सतत विरूपण को परिभाषित करने की अनुमति प्रदान करता है, और, अधिक सामान्यतः सभी प्रकार की सततता होती है। यूक्लिडियन समष्टि, और, सामान्यतः मीट्रिक समष्टि एक टोपोलॉजिकल समष्टि के उदाहरण हैं, क्योंकि कोई भी दूरी या मीट्रिक एक टोपोलॉजी को परिभाषित करती है। टोपोलॉजी में जिन विकृतियों पर विचार किया जाता है वे होमोमोर्फिज्म और होमोटोपीज़ हैं। एक प्रगुण जो इस प्रकार की विकृतियों के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है वह एक टोपोलॉजिकल प्रगुण होता है। टोपोलॉजिकल गुणों के मूल उदाहरण निम्नलिखित हैं: विमा, जो एक रेखा और पृष्ठ के बीच अंतर करने की अनुमति प्रदान करता है; संहतता (कॉम्पैक्टनेस), जो एक रेखा और वृत्त के बीच अंतर करने की अनुमति प्रदान करता है; संयुक्तता (कनेक्टेडनेस), जो एक वृत्त को दो गैर-प्रतिच्छिद्री वृत्तों से भिन्न करने की अनुमति प्रदान करता है।

टोपोलॉजी के अंतर्निहित विचार गॉटफ्राइड लाइबनिज़ के पास जाते हैं, जिन्होंने 17 वीं शताब्दी में जियोमेट्रीटिया सिटस और विश्लेषण सिटस की कल्पना की थी। लियोनहार्ड यूलर की सेवन ब्रिजेस ऑफ़ कोनिग्सबर्ग समस्या और पॉलीहेड्रॉन सूत्र तर्क साध्य रूप से फील्ड का पहला प्रमेय हैं। टोपोलॉजी शब्द 19वीं शताब्दी में जोहान बेनेडिक्ट लिस्टिंग द्वारा प्रस्तुत किया गया था; हालाँकि, 20वीं शताब्दी के पहले दशकों तक टोपोलॉजिकल समष्टि का विचार विकसित नहीं हुआ था।

प्रेरणा
टोपोलॉजी के पीछे प्रेरक अंतर्दृष्टि यह है कि कुछ ज्यामितीय समस्याएं सम्मिलित वस्तुओं के यथार्थ आकार पर निर्भर नहीं करती हैं, बल्कि उन्हें साथ रखने के तरीके पर निर्भर करती हैं। उदाहरण के लिए, वर्ग और वृत्त में कई गुण समान हैं: वे दोनों एक विमीय वस्तुएं हैं (सामयिक दृष्टिकोण से) और दोनों समतल को दो भागों (आतंरिक व बाहरी भागों) में विभाजित करते हैं।

टोपोलॉजी में पहले पेपरों में से एक में, लियोनहार्ड आयुलर ने साबित किया कि केनिग्सबर्ग (अब कैलिनिनग्राद) शहर में ऐसा कोई मार्ग नहीं है जिससे सात पुलों को एक ही बार पार करते हुए प्राप्त किया जा सके। यह परिणाम पुलों की लंबाई या एक-दूसरे से उनकी दूरी पर निर्भर नहीं करता था, बल्कि केवल कनेक्टिविटी गुणों पर निर्भर करता था: कौन से पुल किस द्वीप या नदी तट से जुड़ते हैं। कोनिग्सबर्ग समस्या के इस सात पुलों ने गणित की उस शाखा को जन्म दिया जिसे ग्राफ सिद्धांत के नाम से जाना जाता है।

इसी तरह, बीजगणितीय टोपोलॉजी के बालों वाली गेंद प्रमेय का कहना है कि "कोई भी काउलिक बनाए बिना बालों वाली गेंद पर सीधे बालों में कंघी नहीं कर सकता है।" यह तथ्य अधिकांश लोगों को तुरंत आश्वस्त कर प्रदान करता है, भले ही वे प्रमेय के अधिक औपचारिक कथन को नहीं पहचान पाते हैं, कि गोले पर कोई गैर-लुप्त होने वाला सतत स्पर्शरेखा वेक्टर क्षेत्र नहीं है। ब्रिजेस ऑफ़ कोनिग्सबर्ग के समान, परिणाम गोले के आकार पर निर्भर नहीं करता है; यह किसी भी प्रकार की चिकनी बूँद पर तब तक लागू होता है, जब तक उसमें कोई छिद्र न हो।

इन समस्याओं से निपटने के लिए जो वस्तुओं के यथार्थ आकार पर निर्भर नहीं करती हैं, किसी को यह स्पष्ट होना चाहिए कि ये समस्याएं किन गुणों पर निर्भर करती हैं। इस आवश्यकता से होमियोमोर्फिज्म की धारणा उत्पन्न होती है। प्रत्येक पुल को केवल एक बार पार करने की असंभवता कोनिग्सबर्ग में पुलों की होमोमोर्फिक किसी भी व्यवस्था पर लागू होती है, और हेअरी बॉल प्रमेय किसी गोले के होमोमोर्फिक किसी भी समष्टि पर लागू होती है।

अभिकल्पनात्मक रूप से, दो समष्टि होमियोमॉर्फिक हैं यदि एक को बिना काटे या चिपकाए दूसरे में विकृत किया जा सकता है। एक पारंपरिक चुटकुला यह है कि एक टोपोलॉजिस्ट कोफ़ी मग और डोनट को भिन्न नहीं कर सकता है, क्योंकि एक पर्याप्त फ्लेक्सिबल डोनट कोफ़ी कप में बदल दिया जा सकता है, एक गर्तिका बनाकर और उसे धीरे-धीरे बढ़ाते हुए, जबकि छिद्र को हैंडल में संकुचित किया जाता है।

होमोमॉर्फिज्म को सबसे बुनियादी टोपोलॉजिकल तुल्यता माना जा सकता है। दूसरा है होमोटॉपी समतुल्यता। तकनीकी जानकारी के बिना इसका वर्णन करना कठिन है, लेकिन आवश्यक धारणा यह है कि दो वस्तुएं समरूप समतुल्य हैं यदि वे दोनों किसी बड़ी वस्तु को "कुचलने" के परिणामस्वरूप उत्पन्न होती हैं।

एक परिचयात्मक अभ्यास (गणित) होमोमोर्फिज्म और समरूपता के अनुसार अंग्रेजी वर्णमाला के बड़े अक्षरों को वर्गीकृत करना है। परिणाम उपयोग किए गए फ़ॉन्ट पर निर्भर करता है, और इस बात पर निर्भर करता है कि अक्षरों को बनाने वाले स्ट्रोक में कुछ मोटाई है या बिना मोटाई के आदर्श वक्र हैं। यहां के आंकड़े बिना-सेरिफ़ मैरियाड (फ़ॉन्ट) फ़ॉन्ट का उपयोग करते हैं और माना जाता है कि इसमें मोटाई के बिना आदर्श वक्र होते हैं। होमियोमॉर्फिज्म की तुलना में होमोटोपी तुल्यता एक मोटे संबंध है; एक समरूप तुल्यता वर्ग में कई समरूपता वर्ग हो सकते हैं। ऊपर वर्णित होमोटॉपी तुल्यता का सरल स्थिति यहां दो अक्षरों को दिखाने के लिए उपयोग किया जा सकता है जो समरूप समकक्ष हैं। उदाहरण के लिए, ओ पी के अंदर फिट बैठता है और पी की पूंछ को छिद्र वाले हिस्से में घुमाया जा सकता है।

होमोमोर्फिज्म वर्ग हैं:
 * सी, जी, आई, जे, एल, एम, एन, एस, यू, वी, डब्ल्यू, और जेड के अनुरूप कोई छिद्र नहीं;
 * ई, एफ, टी, और वाई के अनुरूप कोई छिद्र और तीन पूंछ नहीं;
 * एक्स के अनुरूप कोई छिद्र और चार पूंछ नहीं;
 * एक छिद्र और डी और ओ के अनुरूप कोई पूंछ नहीं;
 * पी और क्यू के अनुरूप एक छिद्र और एक पूंछ;
 * ए और आर के अनुरूप एक छिद्र और दो पूंछ;
 * दो छिद्र और बी के अनुरूप कोई पूंछ नहीं; तथा
 * एच और के के अनुरूप चार पूंछ वाली एक पट्टी; K पर बार देखने में लगभग बहुत छोटा है।

होमोटोपी वर्ग बड़े होते हैं, क्योंकि पूंछ को एक बिंदु तक नीचे गिराया जा सकता है। वे हैं:
 * एक छिद्र,
 * दो छिद्र, और
 * कोई छिद्र नहीं।

अक्षरों को सही ढंग से वर्गीकृत करने के लिए, हमें यह दिखाना होगा कि एक ही कक्षा में दो अक्षर समतुल्य हैं और विभिन्न वर्गों में दो अक्षर समान नहीं हैं। होमियोमॉर्फिज्म के मामले में, यह बिंदुओं का चयन करके किया जा सकता है और उनके निष्कासन को भिन्न-भिन्न तरीके से हटा प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, एक्स और वाई होमियोमॉर्फिक नहीं हैं क्योंकि एक्स के केंद्र बिंदु को हटाने से चार टुकड़े निकलते हैं; Y में जो भी बिंदु इस बिंदु से मेल खाता है, उसका निष्कासन अधिकतम तीन टुकड़े छोड़ सकता है। समरूपता तुल्यता का स्थिति कठिन है और एक अधिक विस्तृत तर्क की आवश्यकता है जो एक बीजीय अपरिवर्तनीय को दर्शाता है, जैसे कि मौलिक समूह, माना जाता है कि भिन्न वर्गों पर भिन्न होता है।

टोपोलॉजी, एक अच्छी तरह से प में लेटर टोपोलॉजी की व्यावहारिक प्रासंगिकता है। उदाहरण के लिए, में उत्पन्न होती है, लेफ़ॉन्ट स्टैंसिल एक जुड़े हुए सामग्री के टुकड़े से बने होते हैं।

इतिहास
टोपोलॉजी, एक अच्छी तरह से परिभाषित गणितीय विषय के रूप में, बीसवीं सदी के प्रारम्भी भाग में उत्पन्न हुई, लेकिन कुछ भिन्न-भिन्न परिणाम कई शताब्दियों में खोजे जा सकते हैं। इनमें लियोनहार्ड यूलर द्वारा जांच की गई ज्यामिति के कुछ प्रश्न शामिल हैं। कोनिग्सबर्ग के सात पुलों पर उनके 1736 के पेपर को टोपोलॉजी के पहले व्यावहारिक अनुप्रयोगों में से एक माना जाता है। 14 नवंबर 1750 को, यूलर ने एक मित्र को लिखा कि उसे बहुफलक के किनारों के महत्व का अनुभव हो गया है। इससे उनका बहुफलकीय सूत्र, $V − E + F = 2$ (जहाँ $V$, $E$, और $F$ क्रमशः बहुफलक के शीर्षों, किनारों और फलकों की संख्या दर्शाते हैं) प्राप्त हुआ। कुछ अधिकारी इस विश्लेषण को पहला प्रमेय मानते हैं, जो टोपोलॉजी के जन्म का संकेत प्रदान करता है।

अग्रिम योगदान ऑगस्टिन-लुई कॉची, लुडविग श्लाफली, जोहान बेनेडिक्ट लिस्टिंग, बर्नहार्ड रिमेंन और एनरिको बेट्टी द्वारा किया गया। लिस्टिंग ने 1847 में अपने मूल जर्मन भाषा में लिखे गए वोरस्टुडियन ज़ूर टोपोलॉजी में "टोपोलोजी" शब्द की प्रारम्भ की, प्रिंट में पहली बार आने से पहले दस साल तक पत्राचार में इस शब्द का उपयोग किया गया था। अंग्रेजी शब्द "टोपोलॉजी" का उपयोग 1883 में लिस्टिंग की मृत्युसूची में प्रकाशित जर्नल प्रकृति में "मापांकीय संबंधों के बजाय गुणात्मक ज्यामिति से अलग करने के लिए" किया गया था।

हेनरी पोंकारे द्वारा उनके काम को सही किया गया, समेकित किया गया और विस्तारित किया गया। 1895 में, उन्होंने एनालिसिस साइटस पर अपना अभूतपूर्व पेपर प्रकाशित किया, जिसमें उन अवधारणाओं को प्रस्तुत किया गया, जिन्हें अब होमोटॉपी और होमोलॉजी के रूप में जाना जाता है, जिन्हें अब बीजगणितीय टोपोलॉजी का एक भाग माना जाता है। जॉर्ज कैंटोर, वीटो वोल्टेरा, सेसारे अर्जेला, जैक्स हैडामर्ड, गिउलिओ एस्कोलिक और अन्य के फलन समष्टि के कार्य को एकीकृत करते हुए, मॉरीस फ्रेशे ने 1906 में मेट्रिक स्पेस का परिचय किया। एक मीट्रिक समष्टि को अब सामान्य टोपोलॉजिकल समष्टि का एक विशेष स्थिति मानी जाती है, जिसमें कोई भी टोपोलॉजिकल समष्टि संभावित रूप से कई भिन्न-भिन्न मीट्रिक समष्टि को जन्म दे सकता है। 1914 में, फ़ेलिक्स हॉसडॉर्फ़ ने "टोपोलॉजिकल समष्टि" शब्द गढ़ा और उसे परिभाषा दी जिसे अब हॉसडॉर्फ समष्टि कहा जाता है। वर्तमान में, टोपोलॉजिकल समष्टि हौसडॉर्फ़ समष्टि का एक छोटा सा सामान्यीकरण है, जो 1922 में काज़िमिर्ज़ कुरातोवस्की द्वारा दिया गया था।

आधुनिक टोपोलॉजी में समुच्चय सिद्धांत के विचारों पर अत्यधिक निर्भरता होती है, जिन्हें 19वीं सदी के अंतिम भाग में जॉर्ज कैंटर ने विकसित किया था। समुच्चय सिद्धांत के मूल विचारों की स्थापना के अतिरिक्त, कैंटर ने यूक्लिडियन समष्टि में पॉइंट सेट्स को भी अपने फूरियर श्रृंखला के अध्ययन का एक भाग माना। अग्रिम विकासों के लिए, पॉइंट-सेट टोपोलॉजी और बीजगणितीय टोपोलॉजी देखें।

2022 एबेल पुरस्कार को डेनिस सुलिवन को सम्मानित किया गया "टोपोलॉजी के सबसे व्यापक अर्थ में, और विशेष रूप से इसके बीजगणित, ज्यामितिक और गतिशील प्रारूपों में अपने अभिनव योगदानों के लिए" प्रदान किया गया।

समुच्चयों पर टोपोलॉजी
शब्द "टोपोलॉजी" भी गणित के क्षेत्र के एक विशेष गणितीय विचार को सूचित करता है जो टोपोलॉजी के नाम से जाना जाता है। अनौपचारिक रूप से, टोपोलॉजी समुच्चय के तत्वों के समष्टििक रूप में एक दूसरे के साथ कैसे संबंधित होते हैं का वर्णन करती है। एक ही समुच्चय भिन्न-भिन्न टोपोलॉजी रख सकती है। उदाहरण के लिए, वास्तविक रेखा, जटिल तल और कैंटर समुच्चय को भिन्न-भिन्न टोपोलॉजी के साथ एक ही समुच्चय के रूप में सोचा जा सकता है।

औपचारिक रूप से, यदि $g$ एक समुच्चय हो और $g$, $c$ के उपसमुच्चयों का एक वर्ग हो, तो τ को $g$ पर एक टोपोलॉजी कहा जाता है यदि:


 * 1) रिक्त समुच्चय और $c$ दोनों $X$ के अवयव हैं।
 * 2) $τ$ के तत्वों का कोई भी यूनियन $X$ का एक अवयव है।
 * 3) $X$ के अत्यंत अनेक तत्वों का कोई भी प्रतिच्छिद्रन $X$ का एक अवयव है।

यदि $τ$ $τ$ पर एक टोपोलॉजी है, तो जोड़ी $2 − 2g$ को टोपोलॉजिकल समष्टि कहा जाता है। नोटेशन $2g$ का उपयोग विशेष टोपोलॉजी $τ$ से संपन्न समुच्चय $τ$ को दर्शाने के लिए किया जा सकता है। परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक टोपोलॉजी एक $\pi$-सिस्टम है।

$τ$ के सदस्यों को $τ$ में विवृत समुच्चय कहा जाता है। $X$ के एक उपसमुच्चय को संवृत कहा जाता है यदि इसका पूरक $τ$ में है (अर्थात, इसका पूरक विवृत है)। $X$ का एक उपसमुच्चय विवृत, संवृत, दोनों (एक क्लॉपेन सेट) या दोनों में से कोई भी नहीं हो सकता है। रिक्त समुच्चय और $τ$ स्वयं हमेशा संवृत और विवृत दोनों होते हैं। $X$ का एक विवृत उपसमुच्चय जिसमें एक बिंदु $X$ होता है, $τ$ का पड़ोस कहलाता है।

सतत फलन और होमियोमोर्फिज्म
टोपोलॉजिकल समष्टि से दूसरे टोपोलॉजिकल समष्टि के लिए एक फलन या मैप को सतत कहा जाता है यदि किसी विवृत समुच्चय के इन्वर्स छवि खुला हो। यदि फलन वास्तविक संख्याओं को वास्तविक संख्याओं (मानक टोपोलॉजी के साथ दोनों रिक्त समष्टि) पर मैप करता है, तो सतत की यह परिभाषा कैलकुलस में सतत की परिभाषा के बराबर है। यदि एक सतत फलन एक-से-एक और आच्छादक है, और यदि फलन का व्युत्क्रम भी सतत है, तो फलन को होमियोमॉर्फिज्म कहा जाता है और फलन के डोमेन को सीमा के लिए होमियोमॉर्फिक कहा जाता है। इसे कहने का दूसरा तरीका यह है कि फलन का टोपोलॉजी में प्राकृतिक विस्तार होता है। यदि दो समष्टि होमियोमॉर्फिक हैं, तो उनमें समान टोपोलॉजिकल गुण होते हैं, और उन्हें टोपोलॉजिकल रूप से समान माना जाता है। क्यूब और गोला होमियोमॉर्फिक हैं, जैसे कॉफ़ी कप और डोनट हैं। हालाँकि, गोला डोनट का होमियोमॉर्फिक नहीं है।

मैनिफ़ोल्ड
जबकि टोपोलॉजिकल रिक्त समष्टि बेहद विविध और विदेशी हो सकते हैं, टोपोलॉजी के कई क्षेत्र रिक्त समष्टि के अधिक परिचित वर्ग पर ध्यान केंद्रित करते हैं जिन्हें मैनिफोल्ड के रूप में जाना जाता है। मैनिफ़ोल्ड एक टोपोलॉजिकल समष्टि है जो प्रत्येक बिंदु के निकट यूक्लिडियन समष्टि जैसा दिखता है। अधिक यथार्थ रूप से, $X$-विमीय मैनिफोल्ड के प्रत्येक बिंदु में एक पड़ोस होता है जो विमा $X$ के यूक्लिडियन समष्टि के लिए होमोमोर्फिक होता है। रेखाएं और वृत्त, लेकिन अंक आठ नहीं, एक-विमीय मैनिफ़ोल्ड हैं। द्वि-विमीय मैनिफ़ोल्ड्स को सतहें भी कहा जाता है, हालाँकि सभी सतहें मैनिफ़ोल्ड नहीं होती हैं। उदाहरणों में समतल, गोला और टोरस शामिल हैं, जिन्हें तीन विमाओं में आत्म-प्रतिच्छिद्रन के बिना अनुभव किया जा सकता है, और क्लेन बॉटल और वास्तविक प्रक्षेप्य समतल, जो नहीं किया जा सकता है (अर्थात, उनकी सभी अनुभूतियां सतह हैं जो मैनिफ़ोल्ड नहीं हैं) ।

सामान्य टोपोलॉजी
सामान्य टोपोलॉजी टोपोलॉजी की वह शाखा है जो टोपोलॉजी में उपयोग की जाने वाली मूल सेट-सैद्धांतिक परिभाषाओं और निर्माणों से संबंधित है। यह टोपोलॉजी की अधिकांश अन्य शाखाओं की नींव है, जिसमें अंतर टोपोलॉजी, ज्यामितीय टोपोलॉजी और बीजगणितीय टोपोलॉजी शामिल है। सामान्य टोपोलॉजी का दूसरा नाम बिंदु-समुच्चय टोपोलॉजी है।

अध्ययन का मूल उद्देश्य टोपोलॉजिकल समष्टि है, जो टोपोलॉजी से सुसज्जित समुच्चय हैं, अर्थात, उपसमुच्चय का एक वर्ग, जिसे ओपन समुच्चय कहा जाता है, जो परिमित चौराहों और (परिमित या अनंत) यूनियनों के अंतर्गत क्लोजर है। टोपोलॉजी की मूलभूत अवधारणाएँ, जैसे सततता, संहतता और संयुक्तता, को विवृत समुच्चय के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। सहज रूप से, सतत फलन निकटवर्ती बिंदुओं को निकटवर्ती बिंदुओं तक ले जाते हैं। कॉम्पैक्ट समुच्चय वे होते हैं जिन्हें मनमाने ढंग से छोटे आकार के बहुत सारे समुच्चयों द्वारा कवर किया जा सकता है। कनेक्टेड समुच्चय वे समुच्चय होते हैं जिन्हें दूर-दूर के दो टुकड़ों में विभाजित नहीं किया जा सकता। शब्द निकट, अनियमित छोटा और दूर अलग सभी शब्दों को विवृत समुच्चयों का उपयोग करके स्पष्ट रूप में व्यक्त किया जा सकता है। एक दिए गए स्थान पर कई टोपोलॉजियाँ परिभाषित की जा सकती हैं। टोपोलॉजी बदलना केवल विवृत समुच्चयों के संग्रह को बदलने के समान होता है। इससे सतत फ़ंक्शन के बदल जाते हैं और संकुल या जुड़े हुए उपसमुच्चय किन्नरित होते हैं।

मीट्रिक रिक्त समष्टि टोपोलॉजिकल रिक्त समष्टि का महत्वपूर्ण वर्ग है जहां किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी को मीट्रिक नामक फलन द्वारा परिभाषित किया जाता है। मीट्रिक समष्टि में, एक विवृत समुच्चय विवृत डिस्क का एक यूनियन है, जहां $X$ पर केंद्रित त्रिज्या $X$ की एक विवृत डिस्क उन सभी बिंदुओं का समूह है जिनकी $X$ से दूरी $n$ से कम है। कई सामान्य समष्टि टोपोलॉजिकल रिक्त समष्टि हैं जिनकी टोपोलॉजी को एक मीट्रिक द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। यह वास्तविक रेखा, जटिल तल, वास्तविक और जटिल वेक्टर रिक्त समष्टि और यूक्लिडियन रिक्त समष्टि का स्थिति है। मीट्रिक होने से अनेक प्रमाण सरल हो जाते हैं।

बीजगणितीय टोपोलॉजी
बीजगणितीय टोपोलॉजी गणित की एक शाखा है जो टोपोलॉजिकल रिक्त समष्टियों का अध्ययन करने के लिए बीजगणित के उपकरणों का उपयोग करती है। मूल लक्ष्य बीजगणितीय अपरिवर्तनीयों को ढूंढना है जो टोपोलॉजिकल रिक्त समष्टि को होमोमोर्फिज्म तक वर्गीकृत करते हैं, हालांकि सामान्यतः अधिकांश होमोटॉपी समकक्ष तक वर्गीकृत होते हैं।

इन अपरिवर्तनीयों में से सबसे महत्वपूर्ण हैं होमोटोपी समूह, होमोलॉजी और कोहोलॉजी।

हालाँकि बीजगणितीय टोपोलॉजी मुख्य रूप से टोपोलॉजिकल समस्याओं का अध्ययन करने के लिए बीजगणित का उपयोग करती है, लेकिन कभी-कभी बीजगणितीय समस्याओं को हल करने के लिए टोपोलॉजी का उपयोग करना भी संभव है। उदाहरण के लिए, बीजगणितीय टोपोलॉजी एक सुविधाजनक प्रमाण की अनुमति प्रदान करता है कि एक स्वतंत्र समूह का कोई भी उपसमूह फिर से एक स्वतंत्र समूह है।

विभेदक (डिफरेंशियल) टोपोलॉजी
विभेदक टोपोलॉजी, विभेदक मैनिफोल्ड्स पर विभेदक कार्यों से निपटने वाला क्षेत्र है। यह विभेदक ज्यामिति से निकटता से संबंधित है और साथ में वे विभेदक मैनिफ़ोल्ड के ज्यामितीय सिद्धांत बनाते हैं।

अधिक विशेष रूप से, विभेदक टोपोलॉजी उन गुणों और संरचनाओं पर विचार करती है जिन्हें परिभाषित करने के लिए केवल मैनिफ़ोल्ड पर स्मूथ संरचना की आवश्यकता होती है। अतिरिक्त ज्यामितीय संरचनाओं वाले मैनिफोल्ड्स की तुलना में स्मूथ मैनिफोल्ड्स "नरम" होते हैं, जो विभेदक टोपोलॉजी में विद्यमान कुछ प्रकार के समकक्षों और विकृतियों के लिए रुकावट के रूप में कार्य कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, वॉल्यूम और रीमैनियन वक्रता ऐसे अपरिवर्तनीय हैं जो एक ही चिकनी मैनिफोल्ड पर विभिन्न ज्यामितीय संरचनाओं को भिन्न कर सकते हैं - अर्थात, कोई भी कुछ मैनिफोल्ड को आसानी से "समतल" कर सकता है, लेकिन इसके लिए समष्टि को विकृत करने और वक्रता या वॉल्यूम को प्रभावित करने की आवश्यकता हो सकती है।

ज्यामितीय टोपोलॉजी
ज्यामितीय टोपोलॉजी टोपोलॉजी की एक शाखा है जो मुख्य रूप से निम्न-विमीय मैनिफ़ोल्ड (अर्थात्, विमा 2, 3 और 4 के स्थान) और उनके ज्यामिति के साथ संवाद पर ध्यान केंद्रित करती है, लेकिन इसमें कुछ अधिक विमीय टोपोलॉजी भी सम्मिलित होती है। ज्यामितीय टोपोलॉजी में कुछ उदाहरण शीर्षक ओरिएंटेबिलिटी, हैंडल विभाजन, स्थानीय समतलता, क्रम्पलिंग और समतलीय और उच्च विमीय श्चॉनफ्लाइस का प्रमाणित तत्व हैं।

उच्च-विमीय टोपोलॉजी में, विशेषता वर्ग एक मूल अपरिवर्तनीय हैं, और सर्जरी सिद्धांत एक प्रमुख सिद्धांत है।

निम्न-विमीय टोपोलॉजी दृढ़ता से ज्यामितीय है, जैसा कि 2 विमाओं में एकरूपता प्रमेय में परिलक्षित होता है - प्रत्येक सतह एक स्थिर वक्रता मीट्रिक स्वीकार करती है; ज्यामितीय दृष्टि से, इसमें 3 संभावित ज्यामितियों में से एक है: सकारात्मक वक्रता/गोलाकार, शून्य वक्रता/सपाट, और नकारात्मक वक्रता/अतिपरवलयिक - और 3 विमाओं में ज्यामितिकरण अनुमान (अब प्रमेय) - प्रत्येक 3-मैनिफोल्ड को टुकड़ों में काटा जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक में आठ संभावित ज्यामिति में से एक है।

2-विमीय टोपोलॉजी को एक चर में जटिल ज्यामिति के रूप में अध्ययन किया जा सकता है (रीमैन की सतहें जटिल वक्र हैं) - एकरूपीकरण प्रमेय के अनुसार मीट्रिक का प्रत्येक अनुरूप वर्ग एक अद्वितीय जटिल के बराबर है, और 4-विमीय टोपोलॉजी का अध्ययन दो चर (जटिल सतह) में जटिल ज्यामिति के दृष्टिकोण से किया जा सकता है, हालांकि हर 4-मैनिफोल्ड एक जटिल संरचना को स्वीकार नहीं करता है।

सामान्यीकरण
कभी-कभी, किसी को टोपोलॉजी के उपकरणों का उपयोग करने की आवश्यकता होती है लेकिन "बिंदुओं का समुच्चय" उपलब्ध नहीं होता है। निरर्थक टोपोलॉजी में कोई विवृत समुच्चयों की जाली को सिद्धांत की मूल धारणा के रूप में मानता है, जबकि ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी मनमानी श्रेणियों पर परिभाषित संरचनाएं हैं जो उन श्रेणियों पर शीफ की परिभाषा की अनुमति प्रदान करता हैं, और इसके साथ ही सामान्य कोहोलॉजी सिद्धांतों की परिभाषा भी प्रदान करता हैं।

जीव विज्ञान
टोपोलॉजी का उपयोग अणुओं और नैनोसंरचना (जैसे, झिल्लीदार वस्तुएं ) सहित विभिन्न जैविक प्रणालियों का अध्ययन करने के लिए किया गया है। विशेष रूप से, मुड़े हुए प्रोटीन और न्यूक्लिक एसिड की टोपोलॉजी को वर्गीकृत करने और तुलना करने के लिए सर्किट टोपोलॉजी और गाँठ सिद्धांत को बड़े पैमाने पर लागू किया गया है। सर्किट टोपोलॉजी उनके अंतर-श्रृंखला संपर्कों और श्रृंखला क्रॉसिंग की जोड़ीदार व्यवस्था के आधार पर मुड़ी हुई आणविक श्रृंखलाओं को वर्गीकृत करती है। टोपोलॉजी की एक शाखा, नॉट सिद्धांत का उपयोग डीएनए पर कुछ एंजाइमों के प्रभावों का अध्ययन करने के लिए जीव विज्ञान में किया जाता है। ये एंजाइम डीएनए को काटते हैं, मोड़ते हैं और फिर से जोड़ते हैं, जिससे धीमी वैद्युतकणसंचलन जैसे अवलोकनीय प्रभावों के साथ गांठें बनती हैं। फेनोटाइप और जीनोटाइप के बीच संबंध को दर्शाने के लिए टोपोलॉजी का उपयोग विकासवादी जीव विज्ञान में भी किया जाता है। फेनोटाइपिक रूप जो बिल्कुल भिन्न दिखाई देते हैं, उन्हें केवल कुछ उत्परिवर्तन द्वारा भिन्न किया जा सकता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि विकास के दौरान फेनोटाइपिक परिवर्तनों में आनुवांशिक परिवर्तन कैसे होते हैं। तंत्रिका विज्ञान में, तंत्रिका नेटवर्क में गतिविधि के पैटर्न की जटिलता को मापने के लिए यूलर विशेषता और बेटी संख्या जैसी टोपोलॉजिकल मात्रा का उपयोग किया गया है।

कंप्यूटर विज्ञान
टोपोलॉजिकल डेटा विश्लेषण किसी समुच्चय की बड़े पैमाने की संरचना को निर्धारित करने के लिए बीजगणितीय टोपोलॉजी की तकनीकों का उपयोग करता है (उदाहरण के लिए, यह निर्धारित करना कि बिंदुओं का एक बादल गोलाकार है या टॉरॉयडल)। टोपोलॉजिकल डेटा विश्लेषण द्वारा प्रयुक्त मुख्य विधि है:


 * 1) निकटता पैरामीटर द्वारा अनुक्रमित, सरल कॉम्प्लेक्स के वर्ग के साथ डेटा बिंदुओं के एक समुच्चय को बदलें।
 * 2) बीजीय टोपोलॉजी के माध्यम से इन टोपोलॉजिकल कॉम्प्लेक्स का विश्लेषण करें - विशेष रूप से, सतत होमोलॉजी के सिद्धांत के माध्यम से।
 * 3) डेटा समुच्चय की सतत समरूपता को बेट्टी नंबर के पैरामीटरयुक्त संस्करण के रूप में एनकोड करें, जिसे बारकोड कहा जाता है।

प्रोग्रामिंग भाषा शब्दार्थ की कई शाखाएँ, जैसे कि डोमेन सिद्धांत, को टोपोलॉजी का उपयोग करके औपचारिक रूप दिया जाता है। इस संदर्भ में, स्टीव विकर्स, सैमसन अब्राम्स्की और माइकल बी. स्मिथ के काम पर आधारित, विवृत समुच्चयों पर बूलियन या हेयटिंग बीजगणित के रूप में टोपोलॉजिकल रिक्त समष्टि की विशेषता बताते हैं, जिन्हें अर्ध-निर्णायक योग्य (समकक्ष, सूक्ष्म रूप से देखने योग्य) गुणों के रूप में चित्रित किया जाता है।

भौतिकी
टोपोलॉजी यूनियननित पदार्थ भौतिकी, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और भौतिक ब्रह्मांड विज्ञान जैसे क्षेत्रों में भौतिकी के लिए प्रासंगिक है।

ठोसों में यांत्रिक गुणों की स्थलाकृतिक निर्भरता मैकेनिकल इंजीनियरिंग और सामग्री विज्ञान के विषयों में रुचि रखती है। विद्युत और यांत्रिक गुण सामग्रियों में अणुओं और प्राथमिक इकाइयों की व्यवस्था और नेटवर्क संरचनाओं पर निर्भर करते हैं। ऐसी संरचनाओं की भार के प्रति उच्च शक्ति को समझने के प्रयासों में, जो अधिकतर रिक्त जगह होती हैं, क्रुम्पल्ड टोपोलॉजी की संपीड़ित क्षमता का अध्ययन किया जाता है। संपर्क यांत्रिकी में टोपोलॉजी का और भी अधिक महत्व है, जहां सतह संरचनाओं की विमीयता पर कठोरता और घर्षण की निर्भरता बहु-निकाय भौतिकी में अनुप्रयोगों के साथ रुचि का विषय है।

एक टोपोलॉजिकल क्वांटम फील्ड सिद्धांत (या टोपोलॉजिकल फ़ील्ड सिद्धांत या टीक्यूएफटी) एक क्वांटम फ़ील्ड सिद्धांत है जो टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट की गणना करता है।

हालांकि टीक्यूएफटी (टोपोलॉजिकल क्षेत्र सिद्धांत) भौतिकशास्त्रियों द्वारा आविष्कृत किए गए थे, ये गणितीय रूप से भी रोचक हैं क्योंकि इनका संबंध, किसी और चीज़ के बीच मोडली स्थानिकता के सिद्धांत, बांध सिद्धांत के साथ, बीजगणितीय टोपोलॉजी में चार-मैनिफ़ोल्ड के सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति के सिद्धांत से होता है। डोनाल्डसन, जोन्स, विटेन और कोनत्सेविच ने टोपोलॉजिकल फ़ील्ड सिद्धांत से संबंधित कार्य के लिए फील्ड्स मेडल प्राप्त किया है।

कैलाबी-याउ मैनिफ़ोल्ड्स के टोपोलॉजिकल वर्गीकरण का स्ट्रिंग सिद्धांत में महत्वपूर्ण प्रभाव है, क्योंकि विभिन्न मैनिफ़ोल्ड्स विभिन्न प्रकार के स्ट्रिंग्स को बनाए रख सकते हैं।

ब्रह्मांड विज्ञान में, टोपोलॉजी का उपयोग ब्रह्मांड के समग्र आकार का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है। अनुसंधान के इस क्षेत्र को सामान्यतः दिक्-काल टोपोलॉजी के रूप में जाना जाता है।

यूनियननित पदार्थ में टोपोलॉजिकल भौतिकी के लिए एक प्रासंगिक अनुप्रयोग एक-तरफ़ा करंट प्राप्त करने की संभावना से आता है, जो बैकस्कैटरिंग से संरक्षित करंट है। इसे सबसे पहले इलेक्ट्रॉनिक्स में प्रसिद्ध क्वांटम हॉल प्रभाव के साथ खोजा गया था, और फिर इसे भौतिकी के अन्य क्षेत्रों में सामान्यीकृत किया गया, उदाहरण के लिए एफ.डी.एम. हल्दाने द्वारा फोटोनिक्स में ।

रोबोटिक्स
रोबोट की संभावित स्थितियों को कॉन्फ़िगरेशन समष्टि नामक मैनिफ़ोल्ड द्वारा वर्णित किया जा सकता है। गति नियोजन के क्षेत्र में, कोई व्यक्ति कॉन्फ़िगरेशन समष्टि में दो बिंदुओं के बीच पथ ढूंढता है। ये पथ रोबोट के जोड़ों और अन्य हिस्सों की वांछित मुद्रा में गति का प्रतिनिधित्व करते हैं।

खेल और पहेलियाँ
असंजोगन पहेलियाँ पहेली के आकार और घटकों के टोपोलॉजिकल प्रारूपों पर आधारित होती हैं।

फाइबर कला
मॉड्यूलर निर्माण में टुकड़ों का एक सतत जोड़ बनाने के लिए, हर टुकड़े को घेरने और प्रत्येक सीमा को केवल एक बार पार करने वाले क्रम में एक अविच्छिन्न पथ बनाना आवश्यक होता है। यह प्रक्रिया यूलेरियन पथ का एक अनुप्रयोग है।

यह भी देखें

 * टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी की विशेषताएँ
 * समतुल्य टोपोलॉजी
 * बीजगणितीय टोपोलॉजी विषयों की सूची
 * सामान्य टोपोलॉजी में उदाहरणों की सूची
 * सामान्य टोपोलॉजी विषयों की सूची
 * ज्यामितीय टोपोलॉजी विषयों की सूची
 * टोपोलॉजी विषयों की सूची
 * टोपोलॉजी में प्रकाशन
 * टोपोइज़ोमर
 * टोपोलॉजी शब्दावली
 * टोपोलॉजिकल गैलोइस सिद्धांत
 * टोपोलॉजिकल ज्यामिति
 * टोपोलॉजिकल ऑर्डर

अग्रिम पठन

 * Ryszard Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, December 1989, ISBN 3-88538-006-4.
 * Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology, Addison–Wesley (1966).
 * (Provides a well motivated, geometric account of general topology, and shows the use of groupoids in discussing van Kampen's theorem, covering spaces, and orbit spaces.)
 * Wacław Sierpiński, General Topology, Dover Publications, 2000, ISBN 0-486-41148-6
 * (Provides a popular introduction to topology and geometry)
 * Wacław Sierpiński, General Topology, Dover Publications, 2000, ISBN 0-486-41148-6
 * (Provides a popular introduction to topology and geometry)

बाहरी संबंध

 * Elementary Topology: A First Course Viro, Ivanov, Netsvetaev, Kharlamov.
 * The Topological Zoo at The Geometry Center.
 * Topology Atlas
 * Topology Course Lecture Notes Aisling McCluskey and Brian McMaster, Topology Atlas.
 * Topology Glossary
 * Moscow 1935: Topology moving towards America, a historical essay by Hassler Whitney.
 * Topology Glossary
 * Moscow 1935: Topology moving towards America, a historical essay by Hassler Whitney.