खिंचाव अपरिवर्तनीय

ज्यामिति में, डेन अपरिवर्तनीय एक मान है जिसका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि क्या एक बहुतल को टुकड़ों में काटा जा सकता है और फिर से दूसरे में ("विच्छेद") किया जा सकता है और क्या एक बहुफलक या इसके विच्छेदन स्थान को टाइल कर सकते हैं। इसका नाम मैक्स डेहन के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इसका उपयोग हिल्बर्ट की तीसरी समस्या को हल करने के लिए किया गया था, यह प्रमाणित करके समान मात्रा वाले सभी पॉलीहेड्रा को एक दूसरे में विच्छेदित नहीं किया जा सकता है।

दो पॉलीहेड्रा में पॉलीहेड्रल टुकड़ों में एक विच्छेदन होता है जिसे किसी रूप में फिर से एकत्रित किया जा सकता है, यदि उनके आयतन और डेन अपवर्तनीय समान हों। एक पॉलीहेड्रॉन को काटा जा सकता है और टाइल स्पेस में फिर से जोड़ा जा सकता है यदि इसका डेन अपवर्तनीय शून्य है, तो डेन्न अपवर्तनीय शून्य होना स्पेस-फिलिंग पॉलीहेड्रॉन होने के लिए आवश्यक शर्त है। स्व-मुक्त लचीले पॉलीहेड्रॉन का डीएचएन अपरिवर्तनीय है क्योंकि यह मुड़ता है।

घन के लिए डेन अपरिवर्तनीय शून्य है, लेकिन अन्य सैद्धांतिक ठोस के लिए शून्य नहीं है, जिसका अर्थ है कि अन्य ठोस स्थान को टाइल नहीं कर सकते हैं और उन्हें घन में विच्छेदित नहीं किया जा सकता है। सभी आर्किमिडीयन ठोसों में डीएचएन अपरिवर्तनीय होते हैं जो सैद्धांतिक ठोसों के लिए अपरिवर्तनीय संयोजनों के तर्कसंगत संयोजन होते हैं। विशेष रूप से, कटा हुआ ऑक्टाहेड्रॉन भी अंतरिक्ष को टाइल करता है और घन की तरह डेन अपवर्तनीय का मान शून्य है।

पॉलीहेड्रा के डीएचएन अपवर्तनीय नंबर नहीं हैं। इसके अतिरिक्त, वे अनंत-आयामी टेंसर स्थान का तत्व हैं। एबेलियन समूह के रूप में देखे जाने वाला यह स्थान समूह होमोलॉजी से जुड़े हुए सटीक अनुक्रम का भाग है। इसी तरह के आविष्कारों को कुछ अन्य विच्छेदन पहेलियों के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है, जिसमें अक्ष-समानांतर कटौती और अनुवादों द्वारा एक दूसरे में आयताकार बहुभुजों को विच्छेदित करने की समस्या भी सम्मलित होती है।

पृष्ठभूमि और इतिहास
दो आयामों में, 19वीं शताब्दी की शुरुआत के वालेस-बोल्याई-गेरवीन प्रमेय में कहा गया है कि समान क्षेत्र के किन्हीं भी दो बहुभुजों को उसके बहुभुज के टुकड़ों में काटा जा सकता है और पुनः जोड़ा जा सकता है। 19वीं शताब्दी के अंत में, डेविड हिल्बर्ट इस परिणाम में रुचि लेने लगे। उन्होंने इसे यूक्लिडियन ज्यामिति के लिए हिल्बर्ट के सिद्धांतों के संबंध में द्वि-आयामी बहुभुजों के क्षेत्र को स्वयंसिद्ध करने की विधि के रूप में उपयोग किया। यह यूक्लिड के तत्वों के लिए यूक्लिड के तत्वों द्वारा अधिक सहज रूप से नियंत्रित किए गए क्षेत्र जैसी स्पष्ट धारणाओं को ठीक करके, ज्यामिति की नींव को और अधिक कठोर बनाने के फंक्शन का भाग था। स्वाभाविक रूप से, इसने यह प्रश्न उठाया कि क्या एक समान स्वयंसिद्ध उपचार को ठोस ज्यामिति तक बढ़ाया जा सकता है। गणितज्ञों की 1900 अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस में, हिल्बर्ट ने हिल्बर्ट की समस्याओं को तैयार किया, समस्याओं के इस समूह को 20वीं सदी के गणित में बहुत प्रभावशाली बनाया गया। उनमें से हिल्बर्ट की तीसरी समस्या ने ठोस आयतन के स्वयं सिद्धीकरण पर इस प्रश्न को संबोधित किया। हिल्बर्ट की तीसरी समस्या, अधिक विशेष रूप से पूछी गई कि क्या समान मात्रा के प्रत्येक दो पॉलीहेड्रा को सदैव पॉलीहेड्रल टुकड़ों में काटा जा सकता है और एक दूसरे में फिर से जोड़ा जा सकता है। यदि यह स्थिति होती, तो किसी भी बहुफलक के आयतन को स्वयंसिद्ध रूप से परिभाषित किया जा सकता था, इस प्रकार समतुल्य घन के आयतन के रूप में जिसमें इसे फिर से जोड़ा जा सकता था। चूंकि, उत्तर नकारात्मक निकला सभी पॉलीहेड्रा को क्यूब्स में विच्छेदित नहीं किया जा सकता है। कुछ अन्य हिल्बर्ट समस्याओं के विपरीत, तीसरी समस्या का उत्तर बहुत जल्दी आ गया। हिल्बर्ट के छात्र मैक्स डेहन ने अपने 1900 के आवास शोध में, इस समस्या को हल करने के लिए डेहन अपरिवर्तनीय का आविष्कार किया। डेन ने प्रमाणित किया कि, एक दूसरे में पुन: संयोजन करने के लिए, समान मात्रा के दो पॉलीहेड्रा में समान डेन अपरिवर्तनीय भी होना चाहिए, लेकिन उन्होंने समान मात्रा के दो टेट्राहेड्रा पाए जिनके डेन के आक्रमण पृथक थे। इसने समस्या का नकारात्मक समाधान प्रदान किया। चूंकि डेनान ने अपने अपरिवर्तनीय को अलग विधि से तैयार किया, डेन के अपरिवर्तनीय के लिए आधुनिक दृष्टिकोण इसे निम्नलिखित मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद में मूल्य के रूप में वर्णित करना है.

सरलीकृत गणना
डेन अपवर्तनीय को एक तरह से परिभाषित करना जो एक साथ सभी पॉलीहेड्रा पर लागू हो सकता है, इसमें अनंत-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान सम्मलित हैं (नीचे देखें )। चूंकि, जब किसी विशेष उदाहरण तक सीमित किया जाता है, जिसमें बहुत सारे पॉलीहेड्रा होते हैं, जैसे कि सैद्धांतिक ठोस, इसे सरल विधि से परिभाषित किया जा सकता है, जिसमें केवल एक सीमित संख्या में आयाम सम्मलित होते हैं:
 * सभी पॉलीहेड्रा के किनारों की लंबाई और डायहेड्रल कोण (एक किनारे के साथ दो चेहरों के बीच का कोण) निर्धारित करें।
 * ऐसे कोणों का एक उपसमुच्चय ज्ञात करें जो परिमेय आधार (रैखिक बीजगणित) बनाता है। इसका अर्थ यह है कि प्रत्येक डायहेड्रल कोण को परिमेय संख्या गुणांकों के साथ आधार तत्वों के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, कोई तर्कसंगत निर्भरता नहीं होती है। जिसमें इस आधार पर $$\pi$$ (या का एक परिमेय गुणक $$\pi$$) सम्मलित किया गया है।
 * पॉलीहेड्रॉन के प्रत्येक किनारे के लिए, आधारों से कोणों के तर्कसंगत संयोजन के रूप में इसके डायहेड्रल कोण का प्रतिनिधित्व करते हैं। जिसके परिमेय गुणज के लिए गुणांक $$\pi$$ को त्यागें तथा इस संयोजन में शेष गुणांकों को वेक्टर अंतरिक्ष के निर्देशांक के रूप में समझें जिनके आयाम आधार कोणों का प्रतिनिधित्व करते हैं, और इस वेक्टर को किनारे की लंबाई से स्केल करते हैं।
 * बहुफलक के सभी किनारों के लिए सदिशों का योग करें जिससे इसके डेन अपवर्तनीय का उत्पादन किया जा सके।

चूंकि इस पद्धति में आधारित तत्वों के मनमाना विकल्प सम्मलित हैं, ये विकल्प केवल उन गुणांकों को प्रभावित करते हैं जिनके द्वारा डेन अपवर्तनीय का प्रतिनिधित्व किया जाता है। अमूर्त सदिश स्थान के तत्वों के रूप में, वे आधार की पसंद से अप्रभावित हैं। पॉलीहेड्रा के किसी भी परिमित समूह के डीएचएन अपवर्तनीय्स द्वारा फैले सदिश स्थल अनंत-आयामी वेक्टर स्पेस के एक परिमित-आयामी उप-स्थान बनाता है जिसमें सभी पॉलीहेड्रा के डीएचएन अपवर्तनीय्स परिभाषित होते हैं। डायहेड्रल कोणों के कौन से संयोजन तर्कसंगत रैखिक संयोजनों से संबंधित हैं, यह प्रश्न सदैव सीधा नहीं होता है, और संख्या सिद्धांत में गैर-तुच्छ विधियों को सम्मलित कर सकता है।

सैद्धांतिक ठोस
पांच सैद्धांतिक ठोस के लिए, डायहेड्रल कोण हैं: एक घन का द्वितल कोण का परिमेय गुणक $$\pi$$ होता है, लेकिन बाकी नहीं हैं। नियमित चतुष्फलक और नियमित अष्टफलक के द्वितल कोण पूरक कोण हैं: वे to $\pi$. में योग करते हैं इन पाँच कोणों में से चतुष्फलक या अष्टफलक में से किसी एक को हटाने से तर्कसंगत आधार उत्पन्न होता है: इन कोणों के बीच कोई अन्य तर्कसंगत संबंध नहीं है। उदाहरण के लिए, आधार जो छूट जाता है उसके लिए $$\theta_{\mathrm{oct}}$$ प्रयोग किया जाता है, और $$\theta_{\mathrm{cube}}$$ को इसके आधार के तत्व के रूप में प्रयोग किया जाता है लेकिन फिर इसे छोड़ दिया जाता है (के परिमेय गुणक के रूप में $$\pi$$) डेन्न अपरिवर्तनीय गणना से, फिर शेष कोण आधार तत्व हैं $$\theta_{\mathrm{tet}}$$, $$\theta_{\mathrm{dodec}}$$, तथा $$\theta_{\mathrm{icos}}$$. परिणामी डेन अपवर्तनीय में प्रत्येक आधार तत्व के लिए एक आयाम होगा। इस आधार के साथ, किनारे की लंबाई वाले सैद्धांतिक ठोस के लिए $$s$$, डेन के अपरिवर्तनीय हैं:
 * $$\theta_{\mathrm{tet}}=\arccos\tfrac{1}{3}\approx 70.5^\circ$$ टेट्राहेड्रॉन के लिए।
 * $$\theta_{\mathrm{cube}}=\pi/2=90^\circ$$ घन के लिए।
 * $$\theta_{\mathrm{oct}}=\arccos(-\tfrac{1}{3})\approx 109.5^\circ$$ अष्टफलक के लिए।
 * $$\theta_{\mathrm{dodec}}=2\arctan2\approx126.9^\circ$$ द्वादशफलक के लिए।
 * $$\theta_{\mathrm{icos}}=\arccos(-\tfrac13\sqrt5)\approx138.2^\circ$$ आइकोसैहेड्रोन के लिए।
 * $$(6s,0,0)$$ टेट्राहेड्रॉन के लिए। इसकी लंबाई के छह किनारे हैं $$s$$, टेट्राहेड्रल डायहेड्रल कोणों के साथ।
 * $$(0,0,0)$$ घन के लिए। इसके किनारों में डायहेड्रल कोण होते हैं जो केवल के संदर्भ में व्यक्त किए जाते हैं $$\theta_{\mathrm{cube}}$$, डेन अपवर्तनीय से छोड़ा गया।
 * $$(-12s,0,0)$$ अष्टफलक के लिए। इसके बारह किनारों में डायहेड्रल हैं $$\theta_{\mathrm{oct}}=2\theta_{\mathrm{cube}}-\theta_{\mathrm{tet}}$$. इस संयोजन में, के लिए गुणांक $$\theta_{\mathrm{cube}}$$ खारिज कर दिया जाता है, केवल एक गुणांक छोड़कर $$-1$$ for $\theta_{\mathrm{tet}}$.|undefined
 * $$(0,30s,0)$$ द्वादशफलक के लिए। इसमें डोडेकाहेड्रल डायहेड्रल कोणों के साथ 30 किनारे हैं।
 * $$(0,0,30s)$$ आइकोसैहेड्रोन के लिए। इसमें आइकोसाहेड्रल डायहेड्रल कोणों के साथ 30 किनारे हैं।

घन इनमें से केवल एक है जिसका डेन्न परिवर्तक शून्य है। अन्य चार सैद्धांतिक ठोसों में से प्रत्येक के डेन के आक्रमण असमान और अशून्य हैं। ऑक्टाहेड्रॉन का डेन अपवर्तनीय है $$-2$$ एक ही किनारे की लंबाई के टेट्राहेड्रॉन के डीएचएन अपवर्तनीय का गुना।

संबंधित पॉलीहेड्रा
घन की तरह, किसी भी समांतर चतुर्भुज का डेन अपवर्तनीय भी शून्य होता है। समांतर चतुर्भुज में चार समानांतर किनारों के प्रत्येक समूह की लंबाई समान होती है और डायहेड्रल कोणों का योग $$\pi$$ होता है, इसलिए डेन अपवर्तनीय में उनका योगदान शून्य हो जाता है। अन्य आर्किमिडीयन ठोसों के डेन आक्रमणकारियों को सैद्धांतिक ठोसों के अपरिवर्तनीय संयोजनों के तर्कसंगत संयोजन के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। पहले की स्थिति के आधार पर इसके संदर्भ में, उसी धारणा का अनुसरण किया गया है जो इन आकृतियों के किनारे की लंबाई $$s$$ के लिए है , तथा यह डेन के अपरिवर्तनीय हैं:
 * $$(-6s,0,0)$$ काटे गए टेट्राहेड्रॉन के लिए।
 * $$(12s,0,0)$$ काटे गए घन, क्यूबोक्टाहेड्रोन]] और क्यूबोक्टाहेड्रोन के लिए।
 * $$(0,0,0)$$ काटे गए ऑक्टाहेड्रॉन के लिए, जो बिट्रंकेटेड क्यूबिक हनीकॉम्ब के रूप में रिक्त स्थान रखता है।
 * $$(0,0,-30s)$$ काटे गए डोडेकाहेड्रॉन के लिए।
 * $$(0,-30s,0)$$ काटे गए आइकोसैहेड्रॉन के लिए।
 * $$(0,-30s,-30s)$$ इकोसिडोडेकाहेड्रॉन के लिए।
 * $$(0,30s,30s)$$ रोम्बइकोसिडोडेकाहेड्रॉन के लिए।
 * $$(0,0,0)$$ काट-छाँट किए गए आईकोसाइडोडेकाहेड्रॉन के लिए। यह सीधे स्थान को टाइल नहीं करता है, लेकिन एक ज़ोनोहेड्रॉन के रूप में इसे समानांतर चतुर्भुज में विभाजित किया जा सकता है, जो करते हैं।

अनुप्रयोग
जैसा देखा गया है, बहुफलक के विच्छेदन के लिए डेन अपवर्तनीय एक अपरिवर्तनीय (गणित) है, इस अर्थ में कि एक बहुफलक को छोटे बहुफलकीय टुकड़ों में काटना और फिर उन्हें अलग बहुफलक में फिर से जोड़ना परिणाम के डेन अपरिवर्तनीय को नहीं परिवर्तित है। विच्छेदन का एक अन्य अपरिवर्तनीय एक पॉलीहेड्रॉन का आयतन है: इसे पॉलीहेड्रल टुकड़ों में काटने और टुकड़ों को फिर से जोड़ने से कुल आयतन नहीं परिवर्तित सकता है। इसलिए, यदि एक बहुफलक $P$ दूसरे पॉलीहेड्रॉन $Q$ में विच्छेदन है, दोनों $P$ तथा $Q$ समान डेन अपवर्तनीय और साथ ही समान आयतन होना चाहिए।  इस परिणाम को यह प्रमाणित करके बढ़ाया कि इस समस्या के लिए वॉल्यूम और डेन अपवर्तनीय ही एकमात्र अपवर्तनीय हैं। यदि $P$ तथा $Q$ दोनों में एक ही मात्रा और डेन अपरिवर्तनीय है, यहाँ इन्हें विभाजित करना संभव होता है। डेन का परिणाम गोलीय ज्यामिति और अतिपरवलयिक ज्यामिति के लिए वैध बना हुआ है। उन दोनों ज्यामितीयों में, दो पॉलीहेड्रा जिन्हें काटा जा सकता है और एक दूसरे में फिर से जोड़ा जा सकता है, उनके पास एक ही डेन अपवर्तनीय होना चाहिए। चूंकि, जैसा कि जेसन ने देखा, गोलाकार या अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति के लिए सिडलर के परिणाम का विस्तार खुला रहता है: यह ज्ञात नहीं है कि दो गोलाकार या अतिशयोक्तिपूर्ण पॉलीहेड्रा समान आयतन और समान डेन अपवर्तनीय को सदैव एक दूसरे में काटा और फिर से जोड़ा जा सकता है। परिमित अतिपरवलयिक आयतन के साथ हर अतिपरवलयिक मैनिफोल्ड को जियोडेसिक सतहों के साथ एक अतिशयोक्तिपूर्ण पॉलीहेड्रॉन में काटा जा सकता है, जिसमें आवश्यक रूप से शून्य डीएचएन अपरिवर्तनीय है। डेन अपवर्तनीय भी मधुकोश (ज्यामिति) के लिए बहुध्रुव की क्षमता को बाधित करता है। हर जगह भरने वाली टाइल में घन की तरह डेन अपरिवर्तनीय शून्य होता है। पॉलीहेड्रा के लिए समय-समय पर यह टाइलिंग की आवधिकता का उपयोग करके समान आवधिकता के साथ टाइल को समानांतर चतुर्भुज में काटने और पुनर्व्यवस्थित करने के लिए अनुसरण करेगा, लेकिन यह परिणाम श्मिट-कॉनवे-डेनज़र बिप्रिज़्म जैसे एपरियोडिक टाइलों के लिए भी है, जिसका अस्तित्व अलग हिल्बर्ट समस्या से संबंधित है, हिल्बर्ट की अठारहवीं समस्या। इसका उल्टा सच नहीं है - डीएचएन अपवर्तनीय शून्य के साथ पॉलीहेड्रा सम्मलित है जो अंतरिक्ष को टाइल नहीं करता है। चूंकि, इन्हें सदैव दूसरे आकार (घन) में विच्छेदित किया जा सकता है जो टाइल स्थान करता है। छोटा किया गया आईकोसिडोडेकेड्रोन एक उदाहरण है।

अधिक साधारणतयः, यदि पॉलीहेड्रा का कुछ संयोजन संयुक्त रूप से अंतरिक्ष को टाइल करता है, तो उनके डीएचएन अपवर्तनीय्स (समान अनुपात में लिया गया) का योग शून्य होना चाहिए। उदाहरण के लिए, टेट्राहेड्रल-ऑक्टाहेड्रल मधुकोश टेट्राहेड्रा और ऑक्टाहेड्रा द्वारा अंतरिक्ष की टाइलिंग है (ऑक्टाहेड्रा के रूप में दो बार टेट्राहेड्रा के साथ), इस तथ्य के अनुरूप है कि एक ऑक्टाहेड्रा और दो टेट्राहेड्रा (समान साइड लंबाई के साथ) के डेन अपवर्तनीय का योग ) शून्य है।

टेंसर उत्पाद के रूप में
डेन अपवर्तनीय की परिभाषा के लिए एक पॉलीहेड्रॉन की धारणा की आवश्यकता होती है जिसके लिए किनारों की लंबाई और डायहेड्रल कोण अच्छी तरह से परिभाषित होते हैं। साधारणतयः, यह पॉलीहेड्रा पर लागू होता है, जिसकी सीमाएं कई गुना होती हैं, जो यूक्लिडियन अंतरिक्ष में विमानों की एक सीमित संख्या में सम्मलित होती हैं। चूंकि, गोलाकार ज्यामिति या अतिशयोक्तिपूर्ण अंतरिक्ष में पॉलीहेड्रा के लिए डेन अपवर्तनीय पर भी विचार किया गया है, और यूक्लिडियन अंतरिक्ष में कुछ स्व-क्रॉसिंग पॉलीहेड्रा के लिए। डेन अपवर्तनीय के मान एक एबेलियन समूह से संबंधित हैं मॉड्यूल के टेन्सर उत्पाद के रूप में परिभाषित$$\R\otimes_\Z\R/2\pi\Z.$$इस टेन्सर गुणनफल का बायाँ कारक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है (इस मामले में पॉलीहेड्रा के किनारों की लंबाई का प्रतिनिधित्व करता है) और दायाँ कारक कांति में डायहेड्रल कोणों का प्रतिनिधित्व करता है, जो 2 के मॉड्यूलो तर्कसंगत गुणकों $\pi$ के रूप में दिए गए हैं।. (कुछ स्रोत कोण मॉड्यूलो लेते हैं π के अतिरिक्त मौड्यूलों 2π, या कोणों को इससे विभाजित करें π और उपयोग करें $$\R/\Z$$ जगह में of $\R/2\pi\Z$, लेकिन इससे परिणामी टेन्सर गुणनफल पर कोई फर्क नहीं पड़ता है, जैसा कि किसी भी परिमेय गुणक में होता है π उत्पाद में सही कारक शून्य हो जाता है।)

किनारे की लंबाई वाले पॉलीहेड्रॉन का डेन अपवर्तनीय $$\ell_i$$ और किनारा डायहेड्रल कोण $$\theta_i$$ योग है $$\sum_i \ell_i\otimes\theta_i.$$ एक टेन्सर के रूप में इसकी संरचना डेन को अपरिवर्तनीय अतिरिक्त गुण देती है जो ज्यामितीय रूप से सार्थक हैं। विशेष रूप से, इसकी एक टेंसर रैंक है, जो शब्दों की किसी भी अभिव्यक्ति में ऐसे शब्दों के योग के रूप में न्यूनतम संख्या $$\ell\otimes\theta$$ है। चूंकि एक पॉलीहेड्रॉन के किनारों पर योग के रूप में डेन्न अपरिवर्तनीय की अभिव्यक्ति बिल्कुल इस रूप में है, डेन्न अपरिवर्तनीय का रैंक किसी दिए गए पॉलीहेड्रॉन के विच्छेदन के परिणामस्वरूप किसी भी पॉलीहेड्रॉन के लिए संभव किनारों की न्यूनतम संख्या पर एक निचली सीमा देता है।

हैमेल आधार का प्रयोग
डेन अपवर्तनीय के एक वैकल्पिक लेकिन समतुल्य विवरण में एक हैमल आधार, एक अनंत उपसमुच्चय का चुनाव $$B$$स म्मलित है वास्तविक संख्याओं की ऐसी कि प्रत्येक वास्तविक संख्या को विशिष्ट रूप से तत्वों के बहुत से तर्कसंगत गुणकों के योग $$B$$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, इस प्रकार, एक योज्य समूह $$\R$$के रूप में $$\Q^{(B)}$$ समूह समरूपता है, प्रतियों के मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग $$\Q$$ के प्रत्येक तत्व के लिए एक योग $$B$$ के साथ यदि $$B$$ सावधानी से चुना जाता है जिससे π (या का एक परिमेय गुणक π) इसके तत्वों में से एक है, और $$B'$$ इस तत्व के साथ शेष आधार है, फिर टेंसर उत्पाद $$\R\otimes\R/2\pi\Z$$ (अनंत आयामी) वास्तविक वेक्टर अंतरिक्ष $$\R^{(B')}$$ के रूप में वर्णित किया जा सकता है, डेन अपवर्तनीय को प्रत्येक डायहेड्रल कोण $$\theta_i$$ को विघटित करके व्यक्त किया जा सकता है  आधार तत्वों के परिमित योग में$$\theta_i=\sum_{j=0}^{k_i} q_{i,j} b_{i,j}$$

जहाँ पर $$q_{i,j}$$ तर्कसंगत है, $$b_{i,j}$$ हेमल आधार में वास्तविक संख्याओं में से एक है, और इन आधार तत्वों को क्रमांकित किया गया है जिससे $$b_{i,0}$$ का परिमेय गुणज π है वह $$B$$ से संबंधित है लेकिन $$B'$$ से नहीं, इस अपघटन के साथ डेन अपरिवर्तनीय है $$\sum_i \sum_{j=1}^{k_i} \ell_i q_{i,j} e_{i,j},$$ जहां प्रत्येक $$e_{i,j}$$ में मानक इकाई वेक्टर $$\R^{(B')}$$ है आधार तत्व $$b_{i,j}$$के अनुरूप .हाँ योग $$j=1$$ से शुरू होता है, के परिमेय गुणजों के संगत पद π को छोड़ने के लिए. यद्यपि हेमल आधार सूत्रीकरण पसंद के स्वयंसिद्ध को सम्मलित करने के लिए प्रतीत होता है, इससे उत्पन्न होने वाले परिमित-आयामी वेक्टर स्थान पर ध्यान प्रतिबंधित करके (पॉलीहेड्रा के किसी विशिष्ट परिमित समूह पर विचार करते समय) इससे बचा जा सकता है। $$\Q$$ पॉलीहेड्रा के डायहेड्रल कोणों द्वारा। इस वैकल्पिक सूत्रीकरण से पता चलता है कि डेन अपरिवर्तनीय के मूल्यों को एक वास्तविक सदिश स्थान की अतिरिक्त संरचना दी जा सकती है।

अनंत किनारों की लंबाई के साथ हाइपरबोलिक पॉलीहेड्रा
अतिशयोक्तिपूर्ण अंतरिक्ष में आदर्श पॉलीहेड्रॉन के लिए, किनारे की लंबाई अनंत होती है, जिससे डेन की सामान्य परिभाषा अनुपयुक्त हो जाती है। फिर भी, इस ट्रंकेशन प्रक्रिया द्वारा बनाए गए अतिरिक्त किनारों को अनदेखा करते हुए, डेन अपवर्तनीय को इन पॉलीहेड्रा तक विस्तारित किया जा सकता है जिससे राशिफल का उपयोग करके उनके सिरों को छोटा किया जा सके, और परिणामी ट्रंकेटेड आकार के लिए सामान्य विधि से डेन अपवर्तनीय की गणना की जा सके। परिणामस्वरूप ट्रंकेशन के लिए होरोस्फीयर की रुचि पर यह निर्भर नहीं करता है, जब तक कि प्रत्येक दिए गए पॉलीहेड्रॉन के केवल एक शीर्ष को काट देता है।

वास्तविकता
चूंकि डेन अपवर्तनीय मान $$\R\otimes_\Z\R/2\pi\Z,$$ लेता है इस स्थान के सभी तत्वों को पॉलीहेड्रा के डीएचएन अपवर्तनीय के रूप में महसूस नहीं किया जा सकता है। यूक्लिडियन पॉलीहेड्रा के डीएचएन अपवर्तनीय एक रैखिक उप-स्थान $$\R\otimes_\Z\R/2\pi\Z$$ बनाते हैं : पॉलीहेड्रा के असंयुक्त संघ (या उन्हें एक चेहरे पर एक साथ चिपकाकर) ले कर पॉलीहेड्रा के डेन अपवर्तनीय को जोड़ सकते हैं, पॉलीहेड्रॉन के आकार में बड़े क्यूब्स में छेद बनाकर डेन अपवर्तनीय को नकार सकते हैं, और किसी भी द्वारा डेन अपवर्तनीय को गुणा कर सकते हैं। बहुफलक को समान संख्या से स्केल करके स्केलर करें। किस तत्व का प्रश्न $$\R\otimes_\Z\R/2\pi\Z,$$ (या, समकक्ष, $$\R\otimes_\Z\R/\Z$$) प्राप्ति के योग्य हैं ड्यूपॉन्ट और साह के कार्य से स्पष्ट किया गया था, जिन्होंने समूह होमोलॉजी से जुड़े एबेलियन समूहों (वेक्टर रिक्त स्थान नहीं) के निम्नलिखित लघु सटीक अनुक्रम का अस्तित्व दिखाया:$$0\to H_2(\operatorname{SO}(3),\R^3)\to\mathcal{P}(E^3)/\mathcal{Z}(E^3)\to\R\otimes_\Z\R/\Z\to H_1(\operatorname{SO}(3),\R^3)\to 0$$यहाँ, अंकन $$\mathcal{P}(E^3)$$ यूक्लिडियन पॉलीहेड्रा मोडुलो पर मुक्त एबेलियन समूह का प्रतिनिधित्व करता है, जो पॉलीहेड्रा के जोड़े से प्राप्त कुछ संबंध हैं जिन्हें एक दूसरे में विच्छेदित किया जा सकता है।

$$\mathcal{Z}(E^3)$$ इस समूह में त्रिकोणीय प्रिज्म (ज्यामिति) द्वारा उत्पन्न उपसमूह है, और इसका उपयोग मात्रा का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है (क्योंकि प्रत्येक वास्तविक संख्या इस समूह के ठीक एक तत्व का आयतन है)। पॉलीहेड्रा के समूह से मानचित्र $$\R\otimes_\Z\R/\Z$$ डेन अपरिवर्तनीय है। $$\operatorname{SO}(3)$$ घूर्णन समूह SO(3) है, और $$H$$ समूह समरूपता है। सिडलर के प्रमेय की यूक्लिडियन विच्छेदन के लिए उसके आयतन और डेन अपवर्तनीय ही एकमात्र अपरिवर्तनीय हैं, इस कथन द्वारा होमोलॉजिकल रूप से दर्शाया गया है कि समूह $$H_2(\operatorname{SO}(3),\R^3)$$ इस क्रम में दिखाई देना वास्तव में शून्य है। यदि यह अशून्य होता, तो बहुफलक के समूह में इसकी प्रतिबिम्ब बहुलिका का समूह देती जो समान आयतन के घन के लिए विच्छिन्न नहीं होते, लेकिन शून्य डेन अपरिवर्तनीय होते हैं। सिडलर के प्रमेय के अनुसार, ऐसे पॉलीहेड्रा सम्मलित नहीं हैं। समूह $$H_1(\operatorname{SO}(3),\R^3)$$ सटीक अनुक्रम के दायीं ओर दिखाई देने वाला समूह के लिए आइसोमोर्फिक $$\Omega^1_{\R/\Q}$$ है, काहलर अवकलन की लंबाई और कोणों के टेन्सर उत्पादों से लेकर काहलर अंतर तक का मानचित्र दिया गया है$$\ell\otimes\theta/\pi\mapsto\ell\frac{d\cos\theta}{\sin\theta},$$ जहाँ पर $$d$$ की सार्वभौमिक व्युत्पत्ति $$\Omega^1_{\R/\Q}$$ है, इस समूह $$H_1(\operatorname{SO}(3),\R^3)=\Omega^1_{\R/\Q}$$ वास्तविकता के लिए एक बाधा है: इसके अशून्य तत्व के तत्वों से $$\R\otimes_\Z\R/\Z$$आते हैं इसे डेन के आक्रमणकारियों के रूप में महसूस नहीं किया जा सकता है। अतिपरवलयिक या गोलाकार अंतरिक्ष में, वसूली योग्य डीएचएन अपरिवर्तनीय एक सदिश स्थान नहीं बनाते हैं, क्योंकि स्केलर गुणन अब संभव नहीं है। चूंकि, वे अभी भी टेन्सर उत्पाद का एक उपसमूह बनाते हैं जिसमें वे तत्व हैं। अनुरूप रूप से, ड्यूपॉन्ट और साह सटीक अनुक्रमों के अस्तित्व को सिद्ध करते हैं$$0\to H_3(\operatorname{SL}(2,\Complex),\Z)^-\to\mathcal{P}(\mathcal{H}^3)\to\R\otimes_\Z\R/\Z\to H_2(\operatorname{SL}(2,\Complex),\Z)^-\to 0$$ तथा $$0\to H_3(\operatorname{SU}(2),\Z)\to\mathcal{P}(S^3)/\Z\to\R\otimes_\Z\R/\Z\to H_2(\operatorname{SU}(2),\Z)\to 0.$$ यहां $$\operatorname{SL}$$ विशेष रैखिक समूह को दर्शाता है, और $$\operatorname{SL}(2,\Complex)$$ मोबियस परिवर्तनों का समूह है; सुपरस्क्रिप्ट माइनस-साइन जटिल संयुग्मन द्वारा प्रेरित इनवोल्यूशन के लिए (−1) -इगेनस्पेस को इंगित करता है। $$\operatorname{SU}$$ विशेष एकात्मक समूह को दर्शाता है। उपसमूह $$\Z$$ में $$\mathcal{P}(S^3)/\Z$$ पूरे क्षेत्र द्वारा उत्पन्न समूह है। फिर से, इन अनुक्रमों में सबसे सही गैर-शून्य समूह एक मूल्य की प्राप्ति के लिए $$\R\otimes_\Z\R/\Z$$ एक डेव अपरिवर्तनीय के रूप में बाधा है ।

डेन अपवर्तनीय के इस बीजगणितीय दृश्य को उच्च आयामों तक बढ़ाया जा सकता है, जहां बीजगणितीय K-सिद्धांत को सम्मलित करते हुए प्रेरक (बीजगणितीय ज्यामिति) की व्याख्या है।

संबंधित परिणाम
डेन अपवर्तनीय के समान दृष्टिकोण का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि क्या दो आयताकार बहुभुज एक दूसरे में केवल अक्ष-समानांतर कटौती और अनुवाद (मनमानी कोणों और घुमावों पर कटौती के अतिरिक्त) का उपयोग करके विच्छेदित किए जा सकते हैं। इस तरह के विच्छेदन के लिए अपरिवर्तनीय टेंसर उत्पाद $$\mathbb{R}\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{R}$$ का उपयोग करता है जहाँ उत्पाद में बाएँ और दाएँ पद आयतों की ऊँचाई और चौड़ाई का प्रतिनिधित्व करते हैं। किसी दिए गए बहुभुज के लिए अपरिवर्तनीय की गणना बहुभुज को आयतों में काटकर, प्रत्येक आयत की ऊँचाई और चौड़ाई के टेंसर उत्पाद को लेकर और परिणाम जोड़कर की जाती है। एक विच्छेदन संभव है यदि और केवल यदि दो बहुभुजों में एक ही अपरिवर्तनीय है, जिसका अर्थ है कि उनके समान क्षेत्र भी हैं। इस अपरिवर्तनीय का उपयोग यह प्रमाणित करने के लिए किया जा सकता है कि एक ही क्षेत्र के दो आयतों को एक दूसरे में विच्छेदित किया जा सकता है यदि और केवल यदि उनके पहलू अनुपात एक दूसरे के तर्कसंगत गुणक हैं। यह इस प्रकार है कि एक संघ से एक पॉलीओमिनो बनता है $$n$$ वर्गों को केवल इस तरह से एक वर्ग में विच्छेदित किया जा सकता है जहाँ $$n$$ वर्ग संख्या है। डेन अपवर्तनीय के इस संस्करण के लिए, टेंसर रैंक आयतों की न्यूनतम संख्या के बराबर होती है जिसमें एक बहुभुज को विच्छेदित किया जा सकता है। फ्लेक्सिबल पॉलीहेड्रॉन पॉलीहेड्रा का एक वर्ग है जो निरंतर गति से गुजर सकता है जो उनके चेहरे के आकार को संरक्षित करता है। कॉची की प्रमेय (ज्यामिति) के कॉची की कठोरता प्रमेय के अनुसार, उन्हें गैर-उत्तल होना चाहिए, और यह ज्ञात है (धौंकनी अनुमान | धौंकनी प्रमेय) कि इस गति के दौरान बहुफलक का आयतन स्थिर रहना चाहिए। इस प्रमेय के मजबूत संस्करण में कहा गया है कि इस तरह के पॉलीहेड्रॉन के डीएचएएन अपरिवर्तनीय भी किसी निरंतर गति के दौरान अपरिवर्तनीय रहना चाहिए। इस परिणाम को प्रबल धौंकनी अनुमान कहा जाता है। यह सभी गैर-स्व-प्रतिच्छेदी लचीले पॉलीहेड्रा के लिए सिद्ध किया गया है। चूंकि, स्व-प्रतिच्छेदन के साथ अधिक जटिल लचीले पॉलीहेड्रा के लिए, पॉलीहेड्रॉन फ्लेक्स के रूप में डेन अपवर्तनीय क्रमशः परिवर्तित सकता है। एक पॉलीहेड्रल सतह के कुल औसत वक्रता को उसी तरह परिभाषित किया गया है जैसे कि किनारे की लंबाई के किनारों पर योग बाहरी डायहेड्रल कोणों से गुणा किया जाता है। यह किसी भी फ्लेक्सिंग पॉलीहेड्रॉन के लिए स्थिर रहने के लिए सिद्ध हुआ है।

बाहरी संबंध

 * Video about डेन अपवर्तनीयs on Numberphile