आधा-पूर्णांक

गणित में, आधा पूर्णांक संख्या का एक रूप है : $$n + \tfrac{1}{2},$$ जहाँ $$n$$ एक पूर्ण संख्या है। उदाहरण के लिए, $$4\tfrac12,\quad 7/2,\quad -\tfrac{13}{2},\quad 8.5$$ सभी अर्ध-पूर्णांक हैं। "आधा-पूर्णांक" नाम संभवतः भ्रामक है, क्योंकि समूह को 1 जैसी संख्याओं को सम्मलित करने के लिए गलत समझा जा सकता है (आधा पूर्णांक 2 होना)। "पूर्णांक-प्लस-आधा" जैसा नाम अधिक त्रुटिहीन हो सकता है, किन्तु होने पर भी शाब्दिक रूप से सत्य नहीं होने के ,अतिरिक्त "आधा पूर्णांक" पारंपरिक शब्द है। आधा-पूर्णांक गणित और क्वांटम यांत्रिकी में अधिकांशतः पर्याप्त होते हैं कि एक अलग शब्द सुविधाजनक होता है।

ध्यान दें कि एक पूर्णांक को आधा करने से हमेशा आधा पूर्णांक नहीं बनता है; यह एकमात्र विषम पूर्णांकों के लिए सत्य है। इस कारण से, आधे-पूर्णांकों को कभी-कभी आधा-विषम-पूर्णांक भी कहा जाता है। अर्ध-पूर्णांक द्विअर्थी परिमेय संख्याओं का एक उपसमुच्चय हैं (एक पूर्णांक को दो की घात से विभाजित करने पर प्राप्त होने वाली संख्याएँ)।

अंकन और बीजगणितीय संरचना
सभी अर्ध-पूर्णांकों के समुच्चय (गणित) को अधिकांशतः निरूपित किया जाता है $$\mathbb Z + \tfrac{1}{2} \quad = \quad \left( \tfrac{1}{2} \mathbb Z \right) \smallsetminus \mathbb Z ~.$$ पूर्णांक और अर्ध-पूर्णांक मिलकर योग संक्रिया के अंतर्गत एक समूह (गणित) बनाते हैं, जिसे निरूपित किया जा सकता है $$\tfrac{1}{2} \mathbb Z ~.$$ यद्यपि, ये संख्याएँ एक वलय (गणित) नहीं बनाती हैं क्योंकि दो अर्ध-पूर्णांकों का गुणनफल अधिकांशतः आधा-पूर्णांक नहीं होता है; उदाहरण के लिए. $$~\tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{2} ~=~ \tfrac{1}{4} ~ \notin ~ \tfrac{1}{2} \mathbb Z ~.$$

गुण

 * n आधे-पूर्णांकों का योग एक आधा-पूर्णांक है यदि और केवल यदि n विषम है। इसमें n=0 भी सम्मलित है क्योंकि खाली योग 0 आधा-पूर्णांक नहीं होता।
 * आधे पूर्णांक का ऋणात्मक आधा पूर्णांक होता है।
 * आधे पूर्णांकों के समूह की प्रमुखता पूर्णांकों के समान होती है। यह पूर्णांकों से अर्ध-पूर्णांकों तक एक आक्षेप के अस्तित्व के कारण है: $$f:x\to x+0.5$$, कहाँ $$x$$ एक पूर्णांक है

क्षेत्र पैकिंग
चार आयामों में इकाई क्षेत्रों की सबसे घनी जाली पैकिंग (जिसे डी4 जाली कहते हैं) प्रत्येक बिंदु पर एक गोला रखता है जिसके निर्देशांक या तो सभी पूर्णांक हैं या सभी अर्ध-पूर्णांक हैं। यह पैकिंग हर्विट्ज़ पूर्णांकों से निकटता से संबंधित है: चतुष्कोण जिनके वास्तविक गुणांक या तो सभी पूर्णांक हैं या सभी आधे-पूर्णांक हैं।

भौतिकी
भौतिकी में, पाउली बहिष्करण सिद्धांत का परिणाम उन कणों के रूप में फर्मियन की परिभाषा से होता है, जिनमें स्पिन (भौतिकी) होते हैं जो आधे-पूर्णांक होते हैं। क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर का ऊर्जा स्तर आधा-पूर्णांक पर होता है और इस प्रकार इसकी न्यूनतम ऊर्जा शून्य नहीं होती है।

क्षेत्र की मात्रा
यद्यपि फैक्टोरियल फ़ंक्शन एकमात्र पूर्णांक तर्कों के लिए परिभाषित होता है, यद्यपि गामा फंक्शन का उपयोग करके आंशिक तर्कों के लिए विस्तारित किया जा सकता है। आधे-पूर्णांकों के लिए गामा फलन एक महत्वपूर्ण तत्व है जो त्रिज्या के एक n-आयामी गेंद के आयतन के सूत्र का एक महत्वपूर्ण अंग है। $$R$$, $$V_n(R) = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}R^n~.$$ अर्ध-पूर्णांक पर गामा फ़ंक्शन के मान पाई की वर्गमूल के पूर्णांक गुणक होते हैं: $$\Gamma\left(\tfrac{1}{2} + n\right) ~=~ \frac{\,(2n-1)!!\,}{2^n}\, \sqrt{\pi\,} ~=~ \frac{(2n)!}{\,4^n \, n!\,} \sqrt{\pi\,} ~$$ यहां $$n!!$$ दोहरा फैक्टोरियल को दर्शाता है।