मूल अक्ष (रेडिकल अक्ष)

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मूल अक्ष पर किसी भी बिंदु के लिए स्पर्श रेखाएँ $$|PT_1|=|PT_2|.$$ लंबाई में बराबर होनी चाहिए यदि $M1, M2$ एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा पर स्थित हों तो $P$ का मध्यबिंदु $P$ है।]]यूक्लिडियन ज्यामिति में, दो गैर-संकेंद्रित वृत्तों का मूल अक्ष उन बिंदुओं का समूह होता है जिनकी घात वृत्तों के संबंध में बराबर होती है इस कारण मूल अक्ष को दो वृत्तों की घात रेखा या घात द्विभाजक भी कहा जाता है केंद्र $P, T1, T2$ और त्रिज्या $M1, M2$ वाले दो वृत्तों $r1, r2$ के लिए वृत्तों के संबंध में एक बिंदु P की घात हैं:
 * $$\Pi_1(P)=|PM_1|^2 - r_1^2,\qquad \Pi_2(P)= |PM_2|^2 - r_2^2.$$

बिंदु $P$ मूल अक्ष से संबंधित है यदि
 * $$\Pi_1(P)=\Pi_2(P).$$

यदि वृत्तों में दो बिंदु उभयनिष्ठ हैं तो मूल अक्ष वृत्तों की उभयनिष्ठ प्रतिच्छेदक रेखा है। यदि बिंदु P वृत्तों के बाहर है तो P की दोनों वृत्तों से समान स्पर्शरेखा दूरी है।

यदि त्रिज्या बराबर हैं, तो मूल अक्ष $c1, c2$ का रेखा खंड द्विभाजक है। किसी भी स्थिति में मूल अक्ष $$\overline{M_1M_2}$$ के लंबवत रेखा होती है।

संकेत पद्धति मे:


 * संकेत पद्धति मे मूल अक्ष का उपयोग फ्रांसीसी गणितज्ञ एम चेसल्स द्वारा मूल अक्ष के रूप में किया गया था।
 * जे.वी. पोंसलेट ने कॉर्डि का उपयोग किया था।
 * जे. प्लकर ने कोर्डले शब्द का परिचय दिया था।
 * जे. स्टाइनर ने समान घातों की मूल अक्ष रेखा को (जर्मन: लिनी डेर ग्लिचेन पोटेंज़ेन) कहा, जिसके कारण घात रेखा (पोटेंज़गेराडे) का निर्माण हुआ था।

ज्यामितीय आकार और उसकी स्थिति
माना कि $$\vec x,\vec m_1,\vec m_2$$ बिंदुओं के $$P,M_1,M_2$$ स्थिति सदिश हैं तब मूल रेखा के परिभाषित समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
 * $$(\vec x-\vec m_1)^2-r_1^2=(\vec x-\vec m_2)^2-r_2^2 \quad \leftrightarrow

\quad 2\vec x\cdot(\vec m_2-\vec m_1)+\vec m_1^2-\vec m_2^2+r_2^2-r_1^2=0$$ यह एक सही समीकरण से प्राप्त होता है:
 * मूल अक्ष का बिन्दु समुच्चय वास्तव में एक रेखा है और वृत्त के केंद्रों के माध्यम से रेखा के लंबवत है जो $$\vec m_2-\vec m_1$$ मूल अक्ष के लिए एक सामान्य सदिश है।
 * समीकरण को $$2|\vec m_2-\vec m_1|$$ से विभाजित करने पर बिन्दु का सामान्य रूप प्राप्त होता है केंद्रों की स्थिति सदिशों को सम्मिलित करने से केंद्रों की दूरी मूल अक्ष तक विस्तृत हो जाती है:
 * $$d_1 = \frac{d^2+{r_1}^2-{r_2}^2}{2d}\ ,\qquad d_2 = \frac{d^2+{r_2}^2-{r_1}^2}{2d}$$,
 * जिसके साथ $$d = |M_1 M_2|$$मे $$d_i$$ ऋणात्मक हो सकता है यदि $$L$$, $$M_1,M_2$$ के बीच नहीं है।

यदि वृत्त दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद कर रहे हैं तो मूल रेखा सामान्य बिंदुओं से होकर गुजरती है यदि वे केवल एक दूसरे को स्पर्श करते हैं तो मूल रेखा सामान्य स्पर्श रेखा होती है।

विशेष पद



 * दो प्रतिच्छेदी वृत्तों की मूल अक्ष से उनकी उभयनिष्ठ प्रतिच्छेदक रेखा होती है।
 * दो स्पर्श करने वाले वृत्तों की मूल अक्ष से उनकी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा होती है।
 * दो अप्रतिच्छेदित वृत्तों की मूल अक्ष से दो सुविधाजनक समघात वृत्तों की उभयनिष्ठ प्रतिच्छेदक रेखा है जिसके लिए नीचे देखें।

लंबकोणीय वृत्त



 * वृत्त के बाहर बिंदु $$P$$ के लिए $$c_i$$ और दो स्पर्शरेखा बिंदु $$S_i,T_i$$ समीकरण $$|PS_i|^2=|PT_i|^2=\Pi_i(P)$$ का उपयोग करता है और $$S_i,T_i$$ केंद्र $$P$$ और त्रिज्या $$\sqrt{\Pi_i(P)}$$ के साथ वृत्त $$c_o$$ पर स्थित है वृत्त $$c_i$$ लंबकोणीय वृत्त को बिन्दु $$c_o$$पर प्रतिच्छेद करता है। इसी प्रकार: यदि $$P$$ मूल अक्ष का एक बिंदु है तो चार बिंदु $$S_1,T_1, S_2,T_2$$ वृत्त $$c_o$$ पर स्थित हैं जो दिए गए वृत्तों को $$c_1,c_2$$ लंबकोणीय प्रतिच्छेद करता है।


 * मूल अक्ष में वृत्तों के सभी केंद्र होते हैं जो दिए गए वृत्तों को लंबवत रूप से प्रतिच्छेद करते हैं।

लंबकोणीय वृत्त की प्रणाली
वृत्त के एक पेंसिल के निर्माण के लिए पिछले खंड में वर्णित विधि जो दो दिए गए वृत्त को लंबवत रूप से प्रतिच्छेदित करती है जिसको वृत्त की दो लंबकोणीय प्रतिच्छेदन प्रणाली के निर्माण के लिए विस्तृत किया जा सकता है:

माना कि $$c_1,c_2$$ दो दूर स्थित वृत्त हैं जैसा कि पिछले भाग में $$M_1,M_2,r_1,r_2$$ है केंद्र और त्रिज्या $$g_{12}$$ उनके मूल अक्ष$$\overline{M_1M_2}$$, जिसके साथ $$c_1$$ वृत्त मे $$g_{12}$$ मूल अक्ष के रूप में है यदि $$\gamma_2$$ एक ऐसा वृत्त है जिसके केंद्र की दूरी $$\delta$$ है तो केंद्र को $$M_1$$ और त्रिज्या $$\rho_2$$ के पिछले अनुभाग में परिणाम से समीकरण प्राप्त होता है:
 * $$d_1=\frac{\delta^2+r_1^2-\rho_2^2}{2\delta} \quad$$, जहाँ $$d_1>r_1$$ निर्धारित किए गए हैं।

साथ ही $$\delta_2=\delta-d_1$$ समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है:
 * $$\delta_2^2=d_1^2-r_1^2+\rho_2^2$$.

यदि त्रिज्या $$\rho_2$$ दी गयी है तो इस समीकरण से दूरी $$\delta_2$$ का पता चलता है कि नए केंद्र के (स्थिर) मूल धुरी के लिए आरेख में नए वृत्तों का रंग बैंगनी है किसी भी हरे वृत्त (आरेख देखें) का केंद्र रेडिकल अक्ष पर होता है और वृत्तों को $$c_1,c_2$$ लंबकोणीय प्रतिच्छेद करता है और इसलिए सभी नए वृत्त बैंगनी, लाल भी होते हैं। मूल अक्ष को y-अक्ष और रेखा $$\overline{M_1M_2}$$ को x-अक्ष के रूप में चुनते हुए, वृत्तों की दो पेंसिलों में समीकरण हैं:
 * बैंगनी: $$\ \ \ (x-\delta_2)^2+y^2=\delta_2^2+r_1^2-d_1^2 $$
 * हरा: $$\ x^2+(y-y_g)^2=y_g^2+d_1^2-r_1^2\ .$$

जहाँ$$\; (0,y_g)$$ एक हरे वृत्त का केंद्र है।

विशेषताएँ:

कोई भी दो हरे वृत्त x-अक्ष पर बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं $$P_{1/2}=\big(\pm\sqrt{d_1^2-r_1^2},0\big)$$ वृत्त की लंबकोणीय प्रणाली के ध्रुव इसका अर्थ है कि x-अक्ष हरे वृत्तों की मूल रेखा है। विशेष स्थितियाँ:
 * 1) बैंगनी वृत्त में कोई बिंदु समान नहीं है लेकिन, यदि कोई वास्तविक तल को समिश्र तल का भाग मानता है तो कोई भी दो बैंगनी वृत्त y-अक्ष (उनकी सामान्य मूल अक्ष) पर बिंदुओं $$Q_{1/2}=\big(0,\pm i \sqrt{d_1^2-r_1^2}\big)$$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।


 * 1) $$d_1=r_1$$ की स्थिति में हरे रंग के वृत्त मूल बिंदु पर एक-दूसरे को x-अक्ष के साथ उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा के रूप में स्पर्श कर रहे हैं और बैंगनी वृत्तों में y-अक्ष उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा है। वृत्तों की ऐसी प्रणाली को को समाक्ष परवलयिक वृत्त (नीचे देखें) कहा जाता है।
 * 2) $$c_1$$ इसके केंद्र में $$M_1$$ अर्थात $$r_1=0$$ समीकरण अधिक सरल रूप में परिवर्तित हो जाते हैं और $$M_1=P_1$$ प्राप्त होता है।

निष्कर्ष:


 * किसी भी वास्तविक w के लिए हल कों की पेंसिल $$\;c(\xi):\; (x-\xi)^2+y^2-\xi^2-w=0\ $$का भाग है और y-अक्ष का मूल अक्ष $$c(\xi_1),c(\xi_2)$$ है।
 * $$w>0$$ की स्थिति में वृत्त $$c(\xi_1),c(\xi_2)$$ को बिंदुओं $$P_{1/2}=(0,\pm\sqrt w)$$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
 * $$w<0$$ की स्थिति में उनमें कोई समानता नहीं है।
 * $$w=0$$ की स्थिति में वे $$(0,0)$$ पर स्पर्श करते हैं और y-अक्ष उनकी सामान्य स्पर्शरेखा है।

किसी भी वास्तविक $$w$$ के लिए वृत्त की दो पेंसिलें
 * $$c_1(\xi):\; (x-\xi)^2+y^2-\xi^2-w=0\ ,$$
 * $$c_2(\eta):\; x^2+(y-\eta)^2-\eta^2 + w=0 \ $$
 * लंबकोणीय वृत्त की एक प्रणाली बनाएं इसका अर्थ यह है कि कोई भी दो वृत्त $$c_1(\xi),c_2(\eta)$$ लंबवत रूप से प्रतिच्छेद करते हैं।

उपरोक्त समीकरणों से, एक समन्वय मुक्त प्रतिनिधित्व प्राप्त होता है: दिए गए बिंदुओं के लिए $$P_1,P_2$$, उनका मध्यबिंदु $$O$$ और उनका रेखाखंड द्विभाजक $$g_{12}$$ के दो समीकरण है: $$|XM|^2=|OM|^2-|OP_1|^2\, $$ $$|XN|^2=|ON|^2+|OP_1|^2=|NP_1|^2 $$ $$\overline{P_1P_2}$$ पर $$M$$ के साथ, लेकिन $$P_1,P_2$$ और $$N$$ के बीच विशिष्ट रूप से $$P_1,P_2$$ द्वारा निर्धारित वृत्तों की लंबकोणीय प्रणाली का वर्णन करें जो प्रणाली के केंद्र हैं $$P_1=P_2=O$$ के लिए प्रणाली के $$a_1,a_2$$ अक्षों को भी निर्दिष्ट करना होगा जो प्रणाली परवलयिक प्रणाली है:
 * $$|XM|^2=|OM|^2\, \quad |XN|^2=|ON|^2$$
 * $$a_1$$ पर $$M$$ और $$a_2$$ पर $$N$$ के साथ।

प्रत्यक्ष बिन्दु और दिक्सूचक निर्माण: लंबकोणीय वृत्त की एक प्रणाली विशिष्ट रूप से इसके ध्रुवों $$P_1,P_2$$ द्वारा निर्धारित की जाती है: $$P_1=P_2$$ की स्थिति में अक्ष को अतिरिक्त रूप से चुना जाना चाहिए क्योकि प्रणाली परवलयिक है और इसे आसानी से खींचा जा सकता है।
 * 1) अक्ष (मूल अक्ष) $$\overline{P_1P_2}$$ और ध्रुवों के रेखा खंड द्विभाजक $$g_{12}$$ हैं।
 * 2) $$P_1,P_2$$ से होकर जाने वाले वृत्तों (आरेख में हरा) का केंद्र $$g_{12}$$ पर है इन्हें आसानी से खींचा जा सकता है एक बिंदु के लिए त्रिज्या $$\;r_N=|NP_1|\;$$ है।
 * 3) $$\overline{P_1P_2}$$ पर केंद्र $$\overline{P_1P_2}$$ के साथ दूसरी पेंसिल (नीले रंग में) का एक चक्र बनाने के लिए, पाइथागोरस के प्रमेय को प्रयुक्त करके त्रिज्या $$r_M$$ निर्धारित किया जाता है $$\; r_M^2=|OM|^2-|OP_1|^2\; $$ (आरेख देखें)।

समाक्षीय वृत्त
परिभाषा और गुण:

माना कि $$c_1,c_2$$ दो वृत्त है और $$\Pi_1,\Pi_2$$ उनके घात फलन है फिर $$\lambda\ne 1$$ के लिए: एक वृत्त का $$c(\lambda)$$ समीकरण है (नीचे देखें)। वृत्तों की ऐसी प्रणाली को वृत्तों $$c_1,c_2$$ द्वारा उत्पन्न समाक्षीय वृत्त कहा जाता है $$\lambda=1$$ की स्थिति में समीकरण $$c_1,c_2$$ के मूल अक्ष का वर्णन करता है।
 * $$\Pi_1(x,y)-\lambda\Pi_2(x,y)=0$$

$$c(\lambda)$$ का घात फलन है:
 * $$\ \Pi(\lambda,x,y)=\frac{\Pi_1(x,y)-\lambda\Pi_2(x,y)}{1-\lambda}$$.

आदर्श समीकरण $$x^2,y^2$$ के गुणांक $$1$$,$$c(\lambda)$$, $$\ \Pi(\lambda,x,y)=0$$ है।

एक साधारण गणना से पता चलता है:
 * $$c(\lambda),c(\mu),\ \lambda\ne\mu\, $$ के समान $$c_1,c_2$$ मूल अक्ष है।


 * $$\lambda$$ को अनंत तक ले जाने की स्वीकृति देने पर यह माना जाता है कि $$c_1,c_2$$ समाक्षीय वृत्तों की प्रणाली $$c_1=c(0),\; c_2=c(\infty)$$ के समुच्चय हैं।
 * यदि $$c_1,c_2$$ दो बिंदुओं $$P_1,P_2$$ पर प्रतिच्छेद करता है, तो किसी भी वृत्त $$c(\lambda)$$ में $$P_1,P_2$$ सम्मिलित है और रेखा $$\overline{P_1P_2}$$ सामान्य मूल अक्ष है। ऐसी प्रणाली को दीर्घवृत्त कहा जाता है।
 * यदि $$c_1,c_2$$ पर $$P$$स्पर्शरेखा हैं, तो कोई भी वृत्त $$c_1,c_2$$ बिंदु $$P$$ पर भी स्पर्शरेखा है सामान्य स्पर्शरेखा उनकी सामान्य मूल अक्ष है। ऐसी प्रणाली को परवलयिक कहा जाता है।
 * यदि $$c_1,c_2$$ में कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है तो प्रणाली का कोई भी युग्म वृत्त के किसी भी युग्म का मूल अक्ष $$c_1,c_2$$ का मूल अक्ष होता है तब प्रणाली को अतिपरवलिक कहा जाता है।

विस्तार से:

परिचय इस प्रकार के निर्देशांक:
 * $$c_1: (x-d_1)^2+y^2=r_1^2 $$
 * $$c_2: (x-d_2)^2+y^2= d_2^2+r_1^2-d_1^2 $$,

तब y-अक्ष उनका मूल अक्ष है (ऊपर देखें)।

घात फलन की गणना $$\Pi(\lambda,x,y)$$ नॉर्म्ड वृत्त समीकरण देता है:
 * $$c(\lambda): \ x^2+y^2-2\tfrac{d_1-\lambda d_2}{1-\lambda}\; x +d_1^2-r_1^2=0\ .    $$

वर्ग को पूरा करना और प्रतिस्थापन $$\delta_2=\tfrac{d_1-\lambda d_2}{1-\lambda} $$ (केन्द्र का x-निर्देशांक) समीकरण का केन्द्रित रूप प्राप्त करता है:
 * $$c(\lambda): \ (x-\delta_2)^2+y^2=\delta_2^2+r_1^2-d_1^2 $$.

$$r_1>d_1$$ की स्थिति में $$c_1,c_2,c(\lambda)$$ के दो बिंदु हैं:
 * $$ P_1=\big(0,\sqrt{r_1^2-d_1^2}\big),\quad P_2=\big(0,-\sqrt{r_1^2-d_1^2}\big)$$

सामान्य और समाक्षीय वृत्त की प्रणाली दीर्घवृत्तीय है।

$$r_1=d_1$$ की स्थिति में वृत्त $$c_1,c_2,c(\lambda)$$ में बिन्दु $$ P_0=(0,0)$$ सामान्य है और प्रणाली परवलयिक है।

$$r_1<d_1$$ की स्थिति में वृत्त $$c_1,c_2,c(\lambda)$$ का कोई सामान्य बिन्दु नहीं है तब प्रणाली अतिपरवलिक है।

वैकल्पिक समीकरण:


 * 1) वृत्त की एक समाक्षीय प्रणाली के परिभाषित समीकरण में घात फलन के गुणकों का भी उपयोग किया जा सकता है।
 * 2) किसी एक वृत्त के समीकरण को वांछित मूल अक्ष के समीकरण से परिवर्तित किया जा सकता है। मूल अक्ष को अपरिमित रूप से बड़े त्रिज्या वाले एक वृत्त के रूप में देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए:
 * $$(x-x_1)^2+y^2-r^2_1\ - \ \lambda\; 2(x-x_2)\ =0\ \Leftrightarrow$$
 * $$(x-(x_1+\lambda))^2+y^2 =(x_1+\lambda)^2+r_1^2-x_1^2-2\lambda x_2$$,

उन सभी वृत्तों का वर्णन करता है जिनमें पहले वृत्त के साथ $$x=x_2$$ रेखा होती मूल अक्ष के रूप में है। दो वृत्त की समान स्थिति को व्यक्त करने के लिए, निम्नलिखित रूप का प्रायः उपयोग किया जाता है:
 * $$\mu\Pi_1(x,y)+\nu\Pi_2(x,y)=0\; .$$

लेकिन इस स्थिति में मापदंडों द्वारा एक वृत्त का प्रतिनिधित्व $$\mu,\nu$$ अद्वितीय नहीं है।

अनुप्रयोग:


 * 1) वृत्त व्युत्क्रमण और मोबियस परिवर्तन कोणों और सामान्यीकृत वृत्तों को संरक्षित करते हैं। इसलिए इन मानचित्र पर जांच के साथ वृत्त की लंबकोणीय प्रणाली एक आवश्यक भूमिका निभाती है।
 * 2) विद्युत चुंबकत्व में समाक्षीय वृत्त क्षेत्र रेखाओं के रूप में प्रकट होते हैं।

तीन वृत्तों का मूलकेन्द्र, मूलक अक्ष का निर्माण
तीन वृत्तों के लिए {$$c_1,c_2,c_3$$} जिनमें से कोई भी दो संकेंद्रित नहीं हैं तीन मूल अक्ष $$g_{12},g_{23},g_{31}$$ हैं यदि वृत्त केंद्र एक रेखा पर नहीं होते हैं तो मूल अक्ष एक सामान्य बिंदु $$R$$ तीन वृत्तों के मूल केंद्र में प्रतिच्छेद करते हैं दो वृत्तों के $$R$$ के चारों ओर केंद्रित लंबकोणीय वृत्त तीसरे वृत्त के लिए लंबकोणीय वृत्त भी है।
 * प्रमाण: मूल अक्ष $$g_{ik}$$ इसमें वे सभी बिंदु होते हैं जिनकी वृत्तों से समान स्पर्शरेखा की दूरी $$c_i,c_k$$ होती है प्रतिच्छेद बिंदु $$R$$ का $$g_{12}$$ और $$g_{23}$$ के तीनों वृत्तों के लिए समान स्पर्शरेखा की दूरी है इस प्रकार $$R$$ मूल अक्ष का एक बिंदु $$g_{31}$$ है।
 * यह गुण किसी को दो गैर-प्रतिच्छेदित वृत्तों के मूल अक्ष के निर्माण की स्वीकृति देता है $$c_1,c_2$$ केंद्रों के साथ $$M_1,M_2$$: एक तीसरा वृत्त $$c_3$$ बनाएं और केंद्र के साथ दिए गए केंद्रों के समरेख नहीं हैं जो $$c_1,c_2$$ को प्रतिच्छेद करते हैं मूल अक्ष $$g_{13},g_{23}$$ क्या खींचा जा सकता है उनका प्रतिच्छेद बिंदु $$R$$ मूल केंद्र है तीन वृत्तों में से $$g_{12}$$ पर स्थित है $$g_{12}$$ के माध्यम से रेखा $$R$$ जो मूल अक्ष $$g_{12}$$ पर $$\overline{M_1M_2}$$ के लंबवत है।

अतिरिक्त निर्माण विधि: सभी बिंदु जिनकी घात किसी दिए गए वृत्त $$c$$ के लिए समान है वे $$c$$ के संकेंद्रित वृत्त पर स्थित होते हैं। माना कि इसे एक समघातीय वृत्त कहते हैं इस विधि का उपयोग दो वृत्तों के मूल अक्ष की एक अतिरिक्त निर्माण विधि के लिए किया जा सकता है दो गैर-प्रतिच्छेदी वृत्तों के लिए $$c_1,c_2$$ दो समान वृत्त $$c'_1,c'_2$$ बनाए जा सकते हैं जिसके संबंध में $$c_1,c_2$$ की समान घात है। (आरेख देखें) विस्तार से यदि $$\Pi_1(P_1)=\Pi_2(P_2)$$ की घात अपेक्षाकृत बड़ी है तो वृत्त $$c'_1,c'_2$$ दो बिंदु उभयनिष्ठ हैं जो मूल अक्ष $$g_{12}$$ पर स्थित हैं।

द्विध्रुवी निर्देशांक से संबंध
सामान्यतः किन्हीं दो असंयुक्त गैर-संकेंद्रित वृत्तों को द्विध्रुवी निर्देशांकों की प्रणाली के वृत्तों के साथ संरेखित किया जा सकता है उस स्थिति में मूल अक्ष इस निर्देशांक प्रणाली का केवल $$y$$-अक्ष है अक्ष पर प्रत्येक वृत्त जो समन्वय प्रणाली के दो बिन्दु से होकर गुजरता है दो वृत्तों को लंबवत रूप से प्रतिच्छेदित करता है वृत्तों का एक अधिकतम संग्रह जिसके सभी केंद्र एक दी गई रेखा पर हों और सभी युग्मों में एक ही मूल अक्ष हो तब समाक्ष वृत्तों को पेंसिल (गणित) के रूप में जाना जाता है।

त्रिरेखीय निर्देशांक में मूल केंद्र
यदि समाधान को सामान्य तरीके से त्रिरेखीय निर्देशांक में दर्शाया जाता है तो उनके मूल केंद्र को एक निश्चित निर्धारक के रूप में सुविधाजनक रूप से दिया जाता है विशेष रूप से, X = x: y: z भुजाओं a = |BC|, b = |CA|, c = |AB| वाले त्रिभुज ABC के तल में एक चर बिंदु को निरूपित करता है और वृत्तों को निम्नानुसार दर्शाता है:


 * (dx + ey + fz)(ax + by + cz) + g(ayz + bzx + cxy) = 0
 * (hx + iy + jz)(ax + by + cz) + k(ayz + bzx + cxy) = 0
 * (lx + my + nz)(ax + by + cz) + p(ayz + bzx + cxy) = 0

फिर मूल केंद्र बिंदु है:


 * $$ \det \begin{bmatrix}g&k&p\\

e&i&m\\f&j&n\end{bmatrix} : \det \begin{bmatrix}g&k&p\\ f&j&n\\d&h&l\end{bmatrix} : \det \begin{bmatrix}g&k&p\\ d&h&l\\e&i&m\end{bmatrix}.$$

मूल समतल और आयामी समतल
तीन आयामों में दो गैर-केंद्रित क्षेत्रों के मूल तल को समान रूप से परिभाषित किया गया है यह उन बिंदुओं का समष्टि है जहां से दो क्षेत्रों मे स्पर्शरेखाओं की लंबाई समान होती है तथ्य यह है कि यह एक निर्धारित समतल बिन्दु है जो इस तथ्य से तीसरे आयाम में घूमता है जिसमे मूल अक्ष एक प्रत्यक्ष रेखा है।

किसी भी आयाम के यूक्लिडियन समष्टि में आयामी क्षेत्र के लिए एक ही परिभाषा प्रयुक्त की जा सकती है जिससे दो गैर-केंद्रित आयामी क्षेत्र के मूल आयामी समतल पर प्रतिच्छेदित होते हैं।

अग्रिम पठन

 * Clark Kimberling, "Triangle Centers and Central Triangles," Congressus Numerantium 129 (1998) i–xxv, 1–295.
 * Clark Kimberling, "Triangle Centers and Central Triangles," Congressus Numerantium 129 (1998) i–xxv, 1–295.
 * Clark Kimberling, "Triangle Centers and Central Triangles," Congressus Numerantium 129 (1998) i–xxv, 1–295.

बाहरी संबंध

 * Animation at Cut-the-knot
 * Animation at Cut-the-knot
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