फलनात्मक विश्लेषण

कार्यात्मक विश्लेषण गणितीय विश्लेषण की शाखा है, जिसका मूल सदिश रिक्त स्थान के अध्ययन से बनता है जो किसी प्रकार की सीमा-संबंधित संरचना (जैसे आंतरिक उत्पाद, मानदंड, सांस्थिति ,आदि) से संपन्न होता है और इन स्थानों को परिभाषित रैखिक परिवर्तन करता है, और उपयुक्त अर्थों में इन संरचनाओं का सम्मान करता है। कार्यात्मक विश्लेषण की ऐतिहासिक जड़ें कार्यों के रिक्त स्थान तथा कार्यों के परिवर्तनों के गुणों के निर्माण में निहित हैं जैसे कि फुरियर रूपांतरण के रूप में कार्य रिक्त स्थान के बीच निरंतर, एकात्मक आदि संचालक को परिभाषित करता है। यह दृष्टिकोण अंतर और अभिन्न समीकरण के अध्ययन के लिए विशेष रूप से उपयोगी निकला है।

संज्ञा के रूप में 'कार्यात्मक' शब्द का उपयोग विविधताओं के कलन पर पुनः जाता है, जो उच्च-क्रम के कार्य को लागू करता है। इस शब्द का पहली बार प्रयोग जैक्स हैडमार्ड की 1910 की पुस्तक में उस विषय पर किया गया था। चूँकि, कार्यात्मक की सामान्य अवधारणा को पहले 1887 में इतालवी गणितज्ञ और भौतिक विज्ञानी वीटो वोल्टेरा द्वारा दर्शाया गया था। हैडमार्ड के छात्रों, विशेष रूप से मौरिस रेने फ्रेचेट और पॉल लेवी द्वारा अरैखिक कार्यों के सिद्धांत को जारी रखा था। हैडमर्ड ने रेखीय प्रकार्यात्मक विश्लेषण के आधुनिक स्कूल की भी स्थापना की, जिसे स्टीफन बनच के आस-पास फ्रिगिज़ रिज़्ज़ और पोलैंड के गणितज्ञों के ल्वॉव स्कूल ऑफ़ मैथेमेटिक्स द्वारा विकसित किया गया।

कार्यात्मक विश्लेषण पर आधुनिक परिचयात्मक ग्रंथों में, विषय को सदिश रिक्त स्थान के अध्ययन के रूप में देखा जाता है, विशेष रूप से आयाम स्थानों में, एक सांस्थिति के साथ संपन्न होता है। इसके विपरीत, रैखिक बीजगणित अधिक परिमित-आयामी रिक्त स्थान से संबंधित है, जो सांस्थिति का उपयोग नहीं करता है। कार्यात्मक विश्लेषण का एक महत्वपूर्ण भाग अभिन्न और अनंत आयामी रिक्त स्थान का माप, एकीकरण और संभावना के सिद्धांत का विस्तार है, जिसे अनंत आयामी विश्लेषण भी कहा जाता है।

नॉर्म्ड सदिश स्थान
कार्यात्मक विश्लेषण में अध्ययन किए गए मूल और ऐतिहासिक रूप से प्रथम श्रेणी के रिक्त स्थान वास्तविक संख्या या जटिल संख्याओं पर पूर्ण मानक सदिश स्थान हैं। ऐसे स्थानों को बनच स्थान कहा जाता है। महत्वपूर्ण उदाहरण हिल्बर्ट स्थान है, जहां आंतरिक उत्पाद से आदर्श उत्पन्न होता है। ये स्थान कई क्षेत्रों में प्राथमिक महत्व के हैं, जिनमें क्वांटम यांत्रिकी के गणितीय सूत्रीकरण, कर्नेल हिल्बर्ट स्थान का पुनरुत्पादन, आंशिक अंतर समीकरण और फूरियर विश्लेषण सम्मलित हैं।

अधिकांशतः कार्यात्मक विश्लेषण में फ्रेचेट रिक्त स्थान और अन्य संस्थानिक सदिश रिक्त स्थान का अध्ययन सम्मलित होता है जो मानक के साथ संपन्न नहीं होता है।

कार्यात्मक विश्लेषण में अध्ययन का महत्वपूर्ण उद्देश्य बनच और हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर परिभाषित निरंतर कार्य रैखिक परिवर्तन है। ये स्वाभाविक रूप से C - बीजगणित और अन्य संचालक बीजगणित की परिभाषा की ओर ले जाते हैं।

हिल्बर्ट रिक्त स्थान
हिल्बर्ट रिक्त स्थान को पूरी तरह से वर्गीकृत किया जा सकता है: ऑर्थोनॉर्मल आधार के प्रत्येक बुनियादी संख्या के लिए समरूपता तक अद्वितीय हिल्बर्ट स्थान है। परिमित-आयामी हिल्बर्ट रिक्त स्थान पूरी तरह से रैखिक बीजगणित में समझाए जाते हैं, और अनंत-आयामी भिन्न -भिन्न स्थान हिल्बर्ट स्थान अनुक्रम स्थान ℓp रिक्त स्थान के लिए आइसोमोर्फिक हैं।$$\ell^{\,2}(\aleph_0)\,$$. अनुप्रयोगों के लिए पृथक्करणीयता महत्वपूर्ण है, हिल्बर्ट रिक्त स्थान के कार्यात्मक विश्लेषण के परिणामस्वरूप प्रायः इस स्थान से संबंधित हैं। कार्यात्मक विश्लेषण में खुली समस्याओं में से यह सिद्ध करना है कि हिल्बर्ट स्थान पर प्रत्येक परिबद्ध रैखिक संचालक के पास उचित अपरिवर्तनीय उप-स्थान है। इस अपरिवर्तनीय उप-स्थान समस्या के कई विशेष विषय पहले ही सिद्ध हो चुके हैं।

बनच स्थान
साधारण बनच स्थान हिल्बर्ट स्थानों की तुलना में अधिक जटिल हैं, और उन्हें इतने सरल उपाय से वर्गीकृत नहीं किया जा सकता है। विशेष रूप से, कई बनच रिक्त स्थान में अलौकिक आधार के समान धारणा की कमी होती है।

बनच स्थान के उदाहरण हैं- $$L^p$$-किसी भी वास्तविक संख्या के लिए स्थान $p\geq1$. माप $$\mu$$ भी दिया गया है समुच्चय पर $X$, फिर $L^p(X)$, कभी-कभी $$L^p(X,\mu)$$ या $L^p(\mu)$, इसके सदिश के रूप में है मापने योग्य कार्यों के समकक्ष वर्ग $$[\,f\,]$$ जिनके निरपेक्ष मान की $$p$$-वें शक्ति का परिमित अभिन्न है; वह कार्य जिसके लिए किसी के पास $$f$$ है
 * $$\int_{X}\left|f(x)\right|^p\,d\mu(x) < +\infty.$$

यदि $$\mu$$ गणना माप है, तो समाकल को योग द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। जैसे हमें चाहिए
 * $$\sum_{x\in X}\left|f(x)\right|^p<+\infty .$$

फिर समतुल्य वर्गों से निपटने के लिए आवश्यक नहीं है, $\ell^p(X)$, स्थान को निरूपित किया जाता है $$\ell^p$$ अधिक सरलता से लिखा गया है, जब $$X$$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का समुच्चय है।

बनच रिक्त स्थान में, अध्ययन के बड़े भाग में दुगुनी जगह सम्मलित हैI स्थान से सभी निरंतर रैखिक मानचित्रों को इसके अंतर्निहित क्षेत्र में, तथाकथित कार्यात्मकता है। बनच स्थान को इसकी बोली के उप-स्थान के साथ प्रामाणिक रूप से पहचाना जा सकता है, जो इसके स्थान का दुगना है। संबंधित चित्र एक सममितीय है लेकिन सामान्य आच्छादक नहीं है। परिमित-आयामी स्थिति के विपरीत, सामान्य बनच स्थान और इसकी बोली-प्रक्रिया को किसी भी प्रकार से सममितीय रूप से समरूप होने की आवश्यकता नहीं है। यह दुगुने स्थान लेख में समझाया गया है।

इसके अतिरिक्त, यौगिक की धारणा को बनच रिक्त स्थान के बीच मनमाना कार्यों के लिए बढ़ाया जा सकता है। उदाहरण के लिए देखें, फ्रेचेट व्युत्पन्न लेख।

प्रमुख और मूलभूत परिणाम
चार प्रमुख प्रमेय हैं जिन्हें कभी-कभी कार्यात्मक विश्लेषण को चार स्तंभ कहा जाता है: हैन-बनाक प्रमेय, खुला मानचित्रण प्रमेय, बंद ग्राफ प्रमेयऔर समान सीमा सिद्धांत, जिसे बनच -स्टाइनहॉस प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है। कार्यात्मक विश्लेषण के महत्वपूर्ण परिणामों में सम्मलित हैं:

समान सीमा सिद्धांत
समान परिबद्धता सिद्धांत या बनच-स्टीनहॉस प्रमेय कार्यात्मक विश्लेषण में प्राथमिक परिणामों में से है। हैन-बनाक प्रमेय और खुला मानचित्रण प्रमेय के साथ, इसे क्षेत्र का कोना माना जाता है। मूल रूप में, इसका अर्थ है कि निरंतर रैखिक संचालको (और इस प्रकार बाध्य संचालनों) के परिवार के लिए जिसका कार्यक्षेत्र बनच स्थान है, बिंदुवार सीमा संचालक मानदंड में समान सीमा के बराबर है।

प्रमेय पहली बार 1927 में स्टीफन बनच और ह्यूगो स्टीनहॉस द्वारा प्रकाशित किया गया था, लेकिन यह हंस हैन द्वारा स्वतंत्र रूप से सिद्ध भी किया गया था।

प्रमेय (समान परिबद्धता सिद्धांत)I मान लें कि $$X$$ बनच स्थान है और $$Y$$ मानक सदिश स्थान है। मान लीजिए कि $$F$$ निरंतर रैखिक संचालको का संग्रह हैI यदि सभी के लिए  $$x$$ में $$X$$ किसी के पास


 * $$\sup\nolimits_{T \in F} \|T(x)\|_Y < \infty, $$

फिर


 * $$\sup\nolimits_{T \in F} \|T\|_{B(X,Y)} < \infty.$$

स्पेक्ट्रल प्रमेय
वर्णक्रमीय प्रमेय के रूप में जानी जाने वाली कई प्रमेय हैं, लेकिन विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण में कई अनुप्रयोग हैं।

स्पेक्ट्रल प्रमेय। मान लें कि $$A$$ हिल्बर्ट स्थान $$H$$ पर स्वसंबद्ध बंधा हुआ संचालको में से है। फिर माप स्थान $$(X,\Sigma,\mu)$$ और वास्तविक-मूल्यवान अनिवार्य रूप से परिबद्ध मापनीय कार्य $$f$$ पर $$X$$ और एकात्मक संचालको $$U:H\to L^2_\mu(X)$$ ऐसा है कि


 * $$ U^* T U = A \;$$

जहाँ T गुणन संकारक है:


 * $$ [T \varphi](x) = f(x) \varphi(x). \;$$

तथा $$\|T\| = \|f\|_\infty$$

यह संचालक सिद्धांत नामक कार्यात्मक विश्लेषण के विशाल शोध क्षेत्र की शुरुआत है; स्पेक्ट्रल माप स्पेक्ट्रल माप भी देखें।

हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर बंधे सामान्य संचालको के लिए एक समान वर्णक्रमीय प्रमेय भी है। निष्कर्ष में केवल इतना ही अंतर है कि $$f$$ जटिल-मूल्यवान हो सकता है।

हैन-बनच प्रमेय
हैन-बनच प्रमेय कार्यात्मक विश्लेषण में केंद्रीय उपकरण है। यह पूरे स्थान में कुछ सदिश स्थान के उप-स्थान पर परिभाषित परिबद्ध संचालिका के विस्तार की अनुमति देता है, और यह भी दर्शाता है कि दुगुने स्थान के अध्ययन को रोचक बनाने के लिए प्रत्येक आदर्श सदिश स्थान पर परिभाषित पर्याप्त निरंतर कार्य रैखिक कार्यात्मक हैं।.

हैन-बनच प्रमेय: यदि $$p:V\to\mathbb{R}$$ एक उपरैखिक कार्य है, और $$\varphi:U\to\mathbb{R}$$ रेखीय उप-स्थान $$U\subseteq V$$ पर रेखीय प्रकार्य है जिस पर $$p$$ पर $$U$$; वह है,


 * $$\varphi(x) \leq p(x)\qquad\forall x \in U$$

तब रेखीय विस्तार सम्मलित है $$\psi:V\to\mathbb{R}$$ का $$\varphi$$ पूरे स्थान के लिए $$V$$ जिस पर $$p$$ पर $$V$$ अर्थात्, एक रैखिक कार्यात्मक $$\psi$$ सम्मलित है ऐसा है कि


 * $$\psi(x)=\varphi(x)\qquad\forall x\in U,$$
 * $$\psi(x) \le p(x)\qquad\forall x\in V.$$

खुला मानचित्रण प्रमेय
खुला मानचित्रण प्रमेय, जिसे बनच-शाउडर प्रमेय (स्टीफन बनच और जूलियस शॉडर के नाम पर रखा गया) के रूप में भी जाना जाता है, प्राथमिक परिणाम है जो बताता है कि यदि बनच रिक्त स्थान के बीच परिबद्ध रैखिक संचालक विशेषण है तो यह खुला चित्र है :


 * खुला मानचित्रण प्रमेय, यदि $$X$$ तथा $$Y$$ बनच स्थान हैं और $$A:X\to Y$$ विशेषण निरंतर रैखिक संचालक है, तो $$A$$ खुला चित्र है (जैसे, यदि $$U$$ खुला समुच्चय है $$X$$, फिर $$A(U)$$ में खुला है $$Y$$).

प्रमाण बायर श्रेणी प्रमेय और दोनों की पूर्णता का उपयोग करता है $$X$$ तथा $$Y$$ प्रमेय के लिए आवश्यक है। प्रमेय का कथन सत्य नहीं है यदि कोई भी स्थान केवल मानक स्थान माना जाता है, लेकिन सत्य है यदि $$X$$ तथा $$Y$$ फ्रेचेट रिक्त स्थान के रूप में लिया जाता है।

बंद ग्राफ प्रमेय
बंद ग्राफ प्रमेय निम्नलिखित बताता है: यदि $$X$$ संस्थानिक स्थान है और $$Y$$ सघन जगह हॉसडॉर्फ स्थान है, फिर रेखीय मानचित्र का ग्राफ $$T$$ से $$X$$ प्रति $$Y$$ बंद है यदि केवल $$T$$ निरंतर कार्य (सांस्थिति) है।

गणित के विचारों की बुनियाद
कार्यात्मक विश्लेषण में माने जाने वाले अधिकांश स्थानों में अनंत आयाम होते हैं। ऐसे स्थानों के लिए सदिश स्थान आधार के अस्तित्व को दिखाने के लिए ज़ोर्न के लेम्मा की आवश्यकता हो सकती है। चूँकि, कुछ भिन्न अवधारणा, शाउडर आधार, सामान्यतः कार्यात्मक विश्लेषण में अधिक प्रासंगिक है। बहुत महत्वपूर्ण प्रमेयों के लिए हैन-बनच प्रमेय की आवश्यकता होती है, सामान्यतः पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग करके सिद्ध किया जाता है, चूँकि कठोरता से कमजोर बूलियन प्रधान आदर्श प्रमेय पर्याप्त है। कई महत्वपूर्ण प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए आवश्यक बायर श्रेणी प्रमेय के लिए पसंद के स्वयंसिद्ध के रूप की भी आवश्यकता होती है।

दृष्टिकोण
इसमें कार्यात्मक विश्लेषण निम्नलिखित प्रवृत्तियाँ सम्मिलित हैं:
 * सार विश्लेषण, संस्थानिक समूहों, संस्थानिक छल्ला और संस्थानिक सदिश स्थान के आधार पर विश्लेषण के लिए एक दृष्टिकोण।
 * बनच रिक्त स्थान की ज्यामिति में कई विषय सम्मिलित हैं। एक जॉन बौर्गेन से जुड़ा जुझारूपन दृष्टिकोण है; दूसरा बनच स्थानों का लक्षण वर्णन है जिसमें बड़ी संख्या के कानून के विभिन्न रूप धारण करते हैं।
 * गैर अनुमेय ज्यामिति एलेन कॉन्स द्वारा विकसित, आंशिक रूप से पूर्व धारणाओं पर निर्माण, जैसे जॉर्ज मैके के एर्गोडिक सिद्धांत के दृष्टिकोण।
 * क्वांटम यांत्रिकी के साथ संबंध या तो संकीर्ण रूप से गणितीय भौतिकी के रूप में परिभाषित किया गया है, या व्यापक रूप से व्याख्या की गई है, उदाहरण के लिए, इज़राइल गेलफैंड, अधिकांश प्रकार के प्रतिनिधित्व सिद्धांत को सम्मिलित करने के लिए।

यह भी देखें

 * कार्यात्मक विश्लेषण विषयों की सूची
 * वर्णक्रमीय सिद्धांत

अग्रिम पठन

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 * Hirsch F., Lacombe G. - "Elements of Functional Analysis", Springer 1999.
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बाहरी संबंध

 * Topics in Real and Functional Analysis by Gerald Teschl, University of Vienna.
 * Lecture Notes on Functional Analysis by Yevgeny Vilensky, New York University.
 * Lecture videos on functional analysis by Greg Morrow from University of Colorado Colorado Springs
 * Lecture videos on functional analysis by Greg Morrow from University of Colorado Colorado Springs