स्कॉट डोमेन

ऑर्डर सिद्धांत और डोमेन सिद्धांत के गणित क्षेत्रों में, एक स्कॉट डोमेन एक बीजगणितीय पोसेट है, जो पूर्ण रूप से घिरा हुआ है|बाउंडेड-पूर्ण पूर्ण आंशिक क्रम है। इनका नाम डाना एस. स्कॉट के सम्मान में रखा गया है, जो डोमेन सिद्धांत के आगमन पर इन संरचनाओं का अध्ययन करने वाले पहले व्यक्ति थे। स्कॉट डोमेन बीजगणितीय अक्षांशों से बहुत निकटता से संबंधित हैं, केवल संभवतः सबसे बड़े तत्व की कमी के कारण भिन्न हैं। वे स्कॉट सूचना प्रणालियों से भी निकटता से संबंधित हैं, जो स्कॉट डोमेन का वाक्यात्मक प्रतिनिधित्व बनाते हैं।

जबकि उपरोक्त परिभाषा के साथ स्कॉट डोमेन शब्द का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, डोमेन शब्द का ऐसा कोई आम तौर पर स्वीकृत अर्थ नहीं है और विभिन्न लेखक अलग-अलग परिभाषाओं का उपयोग करेंगे; स्कॉट ने स्वयं उन संरचनाओं के लिए डोमेन का उपयोग किया, जिन्हें अब स्कॉट डोमेन कहा जाता है। इसके अतिरिक्त, स्कॉट डोमेन कुछ प्रकाशनों में बीजगणितीय सेमीलैटिस जैसे अन्य नामों के साथ दिखाई देते हैं।

मूल रूप से, दाना स्कॉट ने एक पूर्ण जाली की मांग की, और रूसी गणितज्ञ यूरी येर्शोव ने पूर्ण आंशिक क्रम की आइसोमोर्फिक संरचना का निर्माण किया। लेकिन लौह पर्दा के गिरने के बाद वैज्ञानिक संचार में सुधार होने तक इसे मान्यता नहीं दी गई थी। उनके काम के सम्मान में, कई गणितीय दस्तावेज़ अब इस मौलिक निर्माण को स्कॉट-एर्शोव डोमेन कहते हैं।

परिभाषा
औपचारिक रूप से, एक गैर-खाली आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट (D, \leq) यदि निम्नलिखित होल्ड हो तो इसे स्कॉट डोमेन कहा जाता है:


 * $D$ पूर्ण आंशिक क्रम है, अर्थात सभी निर्देशित सेट $D$ एक आखिरी मौका है.
 * $D$ पूर्ण रूप से परिबद्ध है, अर्थात सभी उपसमुच्चय $D$ जिनकी कुछ ऊपरी सीमा होती है उनका सर्वोच्च होता है।
 * $D$ बीजगणितीय स्थिति है, अर्थात प्रत्येक तत्व $D$ को कॉम्पैक्ट तत्वों के एक निर्देशित सेट के सर्वोच्च के रूप में प्राप्त किया जा सकता है $D$.

गुण
चूँकि खाली सेट में निश्चित रूप से कुछ ऊपरी सीमा होती है, हम कम से कम तत्व के अस्तित्व का निष्कर्ष निकाल सकते हैं $$\bot$$ (रिक्त समुच्चय का सर्वोच्च) परिबद्ध पूर्णता से।

पूर्ण रूप से परिबद्ध होने का गुण सभी गैर-रिक्त उपसमुच्चयों के न्यूनतम अस्तित्व के बराबर है $D$. यह सर्वविदित है कि सभी इन्फिमा का अस्तित्व सभी सुप्रीमा के अस्तित्व को दर्शाता है और इस प्रकार आंशिक रूप से व्यवस्थित सेट को पूर्ण जाली में बदल देता है। इस प्रकार, जब एक शीर्ष तत्व (खाली सेट का अधिकतम) स्कॉट डोमेन से जुड़ा होता है, तो कोई यह निष्कर्ष निकाल सकता है:


 * 1) नया शीर्ष तत्व कॉम्पैक्ट है (चूंकि ऑर्डर पहले पूरा निर्देशित किया गया था) और
 * 2) परिणामी स्थिति एक बीजगणितीय जाली होगी (अर्थात एक पूर्ण जाली जो बीजगणितीय है)।

नतीजतन, स्कॉट डोमेन एक तरह से लगभग बीजगणितीय अक्षांश हैं। हालाँकि, पूर्ण जाली से शीर्ष तत्व को हटाने से हमेशा स्कॉट डोमेन उत्पन्न नहीं होता है। (पूरी जाली पर विचार करें $$\mathcal{P}(\mathbb N)$$. के परिमित उपसमुच्चय $$\mathbb N$$ एक निर्देशित सेट बनाएं, लेकिन इसमें कोई ऊपरी सीमा नहीं है $$\mathcal{P}(\mathbb N)\setminus \{\mathbb N\}$$.)

स्कॉट निरंतरता का परिचय देकर स्कॉट डोमेन टोपोलॉजिकल स्पेस बन जाते हैं।

स्पष्टीकरण
स्कॉट डोमेन का उद्देश्य सूचना सामग्री द्वारा क्रमबद्ध आंशिक बीजगणितीय डेटा का प्रतिनिधित्व करना है। तत्व $$x \in D$$ डेटा का एक टुकड़ा है जिसे पूरी तरह से परिभाषित नहीं किया जा सकता है। कथन $$x \leq y$$ साधन$$y$$ इसमें वह सारी जानकारी शामिल है $$x$$ करता है ।

इस व्याख्या से हम देख सकते हैं कि सर्वोच्च $$\bigvee X$$ एक उपसमुच्चय का $$X \subseteq D$$ वह तत्व है जिसमें किसी भी तत्व की सारी जानकारी समाहित होती है $$X$$ शामिल है, लेकिन अब और नहीं। स्पष्ट रूप से ऐसा सर्वोच्च केवल अस्तित्व में है (यानी, समझ में आता है)। $$X$$ असंगत जानकारी शामिल नहीं है; इसलिए डोमेन पूर्ण रूप से निर्देशित और परिबद्ध है, लेकिन जरूरी नहीं कि सभी सर्वोच्च अस्तित्व में हों। बीजगणितीय सिद्धांत अनिवार्य रूप से यह सुनिश्चित करता है कि सभी तत्वों को उनकी सभी जानकारी (गैर-कड़ाई से) क्रम में नीचे से प्राप्त होती है; विशेष रूप से, सघन या परिमित से गैर-संक्षिप्त या अनंत तत्वों की ओर छलांग किसी भी अतिरिक्त जानकारी को गुप्त रूप से प्रस्तुत नहीं करती है जिसे किसी सीमित स्तर पर नहीं पहुँचा जा सकता है। निचला तत्व खाली सेट का सर्वोच्च है, अर्थात वह तत्व जिसमें कोई जानकारी नहीं है; इसका अस्तित्व सीमित पूर्णता से निहित है, क्योंकि, रिक्त रूप से, खाली सेट की किसी भी गैर-रिक्त स्थिति में ऊपरी सीमा होती है।

दूसरी ओर, अनंत $$\bigwedge X$$ वह तत्व है जिसमें सभी जानकारी शामिल होती है जो सभी तत्वों द्वारा साझा की जाती है $$X$$, और कम नहीं. अगर $$X$$ इसमें कोई सुसंगत जानकारी नहीं है, तो इसके तत्वों में कोई सामान्य जानकारी नहीं है और इसलिए यह न्यूनतम है $$\bot$$. इस प्रकार सभी गैर-रिक्त इन्फिमा मौजूद हैं, लेकिन सभी इन्फिमा आवश्यक रूप से दिलचस्प नहीं हैं।

आंशिक डेटा के संदर्भ में यह परिभाषा बीजगणित को तेजी से अधिक परिभाषित आंशिक बीजगणित के अनुक्रम की सीमा के रूप में परिभाषित करने की अनुमति देती है - दूसरे शब्दों में एक ऑपरेटर का एक निश्चित बिंदु जो बीजगणित में उत्तरोत्तर अधिक जानकारी जोड़ता है। अधिक जानकारी के लिए डोमेन सिद्धांत देखें।

उदाहरण

 * प्रत्येक परिमित स्थिति पूर्ण और बीजगणितीय रूप से निर्देशित होती है। इस प्रकार कोई भी परिबद्ध-पूर्ण परिमित स्थिति तुच्छ रूप से एक स्कॉट डोमेन है।
 * एक अतिरिक्त शीर्ष तत्व ω के साथ प्राकृतिक संख्याएँ एक बीजगणितीय जाली का निर्माण करती हैं, इसलिए एक स्कॉट डोमेन। इस दिशा में अधिक उदाहरणों के लिए, बीजगणितीय जालकों पर लेख देखें।
 * वर्णमाला के सभी परिमित और अनंत शब्दों के समुच्चय पर विचार करें ${0,1}$, शब्दों पर उपसर्ग क्रम द्वारा क्रमबद्ध। इस प्रकार, एक शब्द $w$ किसी शब्द से छोटा है $v$ अगर $w$ का उपसर्ग है $v$, अर्थात यदि कोई (सीमित या अनंत) शब्द है $v'$ ऐसा है कि w v' = v. उदाहरण के लिए, . खाली शब्द इस क्रम का निचला तत्व है, और प्रत्येक निर्देशित सेट (जो हमेशा कुल क्रम होता है) को आसानी से सर्वोच्च माना जाता है। इसी तरह, व्यक्ति तुरंत बंधी हुई पूर्णता की पुष्टि करता है। हालाँकि, परिणामी पोसेट में निश्चित रूप से कई अधिकतम तत्वों वाले शीर्ष का अभाव है (जैसे 111... या 000...)। यह बीजगणितीय भी है, क्योंकि प्रत्येक परिमित शब्द सघन होता है और हम निश्चित रूप से परिमित शब्दों की श्रृंखला द्वारा अनंत शब्दों का अनुमान लगा सकते हैं। इस प्रकार यह एक स्कॉट डोमेन है जो बीजगणितीय जालक नहीं है।
 * एक नकारात्मक उदाहरण के लिए, इकाई अंतराल में वास्तविक संख्याओं पर विचार करें $[0,1]$, उनके प्राकृतिक क्रम द्वारा आदेश दिया गया। यह परिबद्ध-पूर्ण सीपीओ बीजगणितीय नहीं है। वास्तव में इसका एकमात्र सघन तत्व 0 है।

साहित्य
डोमेन सिद्धांत के लिए दिया गया साहित्य देखें।

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