प्रक्षेपी समतल

गणित में, प्रक्षेपी तल वह ज्यामितीय संरचना है जिसमें किसी समतल की अवधारणा को विस्तारित किया जाता है। साधारण यूक्लिडियन तल में, दो रेखाएँ साधारणतयः एक बिंदु पर एक दुसरे को प्रतिच्छेदित करती हैं, लेकिन इनमें कुछ समांतर रेखाएँ ऐसी होती हैं जो एक दुसरे को प्रतिच्छेदित नहीं करती हैं। वास्तविक रूप से प्रक्षेपी समतल को अनंत पर अतिरिक्त बिंदुओं से सुसज्जित किया जाता है और इन्हें एक साधारण तल के रूप में मान लिया जाता है जहाँ समानांतर रेखाएँ प्रतिच्छेदित करती हैं। इस प्रकार किसी भी प्रक्षेपी समतल में अलग-अलग रेखाएँ एक बिंदु एक दुसरे को प्रतिच्छेद करती हैं।

पुनर्जागरण के कला प्रेमियों ने, परिप्रेक्ष्य में ड्राइंग की तकनीक विकसित करने में, इस गणितीय विषय के लिए आधार तैयार किया। पुरातन उदाहरण वास्तविक प्रक्षेपी तल है, जिसे विस्तारित यूक्लिडियन तल के रूप में भी जाना जाता है। यह उदाहरण, थोड़े अलग रूप में, बीजगणितीय ज्यामिति, टोपोलॉजी और प्रक्षेपी ज्यामिति में महत्वपूर्ण है जहां इसे PG(2, R), RP2, या P2(R) द्वारा अन्य नोटेशन के साथ विभिन्न रूप से दर्शाया जा सकता है। कई अन्य प्रक्षेपी तल हैं, दोनों अनंत, जैसे कि जटिल प्रक्षेपी तल, और परिमित, जैसे कि फ़ानो तल।

एक प्रक्षेपी समतल एक 2 डायमेंशनल प्रक्षेपण स्थान है, लेकिन सभी प्रक्षेपीय सतह को 3-डायमेंशनल प्रक्षेपीय क्षेत्र में लागू नहीं किया जा सकता है। इस तरह की एम्बेडिंग एक संपत्ति का परिणाम है जिसे डेसार्ग्स प्रमेय के रूप में जाना जाता है, जो सभी प्रक्षेपी समतलों द्वारा साझा नहीं किया जाता है।

परिभाषा
एक प्रक्षेपी तल में रेखाओं का एक समूह, बिंदुओं का एक समूह होता है, और बिंदुओं और रेखाओं के बीच एक संबंध जिसे आपतन कहा जाता है, जिसमें निम्नलिखित गुण होते हैं: दूसरी स्थिति का अर्थ है कि कोई समानांतर(ज्यामिति) रेखाएँ नहीं हैं। अंतिम स्थिति में तथाकथित पतित सन्दर्भ सम्मलित नहीं हैं(नीचे देखें)। "आपतन" शब्द का प्रयोग बिंदुओं और रेखाओं के बीच संबंधों की सममित प्रकृति पर जोर देने के लिए किया जाता है। इस प्रकार व्यंजक बिंदु P रेखा ℓ के साथ आपतित होती है या फिर P के अतिरिक्त प्रयोग की जाती है और इसके अतिरिक्त या फिर ℓ पर या ℓ P से होकर गुजरती है।
 * 1) किन्हीं भी दो अलग-अलग बिंदुओं को देखते हुए, उन दोनों के साथ बिल्कुल एक ही रेखा की आपतन होती है।
 * 2) किन्हीं दो अलग-अलग रेखाओं को देखते हुए, उन दोनों के साथ ठीक एक बिंदु की आपतन होती है।
 * 3) चार बिंदु ऐसे हैं कि उनमें से दो से अधिक के साथ कोई भी रेखा आपतित नहीं है।

विस्तारित यूक्लिडियन समतल
साधारण यूक्लिडियन समतल को प्रक्षेपी समतल में परिवर्तित करने के लिए निम्नानुसार आगे बढ़ें:
 * 1) रेखाओं के प्रत्येक समानांतर वर्ग के लिए(पारस्परिक रूप से समानांतर रेखाओं का अधिकतम समूह प्रयोग करें) नये बिंदु को जोड़ते हैं। इस प्रकार उस बिंदु को उसकी कक्षा में प्रत्येक पंक्ति के साथ आपतित किया जाता है। जोड़े गए नए बिंदु एक दूसरे से पृथक किया जाता हैं। इन नए बिंदुओं को अनंत बिंदु कहा जाता है।
 * 2) नई पंक्तियों को जोड़ा जाता है, जिसे अनंत पर सभी बिंदुओं के साथ आपतित किया जाता है। इस रेखा को अनंत रेखा कहते हैं।

विस्तारित संरचना प्रक्षेपी समतल कहलाती है और इसे 'विस्तारित यूक्लिडियन तल' या वास्तविक प्रक्षेपी तल कहा जाता है। ऊपर उल्लिखित प्रक्रिया द्वारा इसे प्राप्त करने के लिए उपयोग किया जाता है, तथा इसे प्रक्षेपी पूर्णता या प्रक्षेपीकरण कहा जाता है। इस समतल का निर्माण 'R'3 से शुरू किया जाता है। सदिश स्थान के रूप के लिए नीचे देखें।

प्रक्षेपीय मुल्तान सतह
मुल्तान समतल के बिंदु यूक्लिडियन तल के बिंदु कहलाते हैं, जिसमें सामान्य विधि से निर्देशांक प्राप्त किये जाते हैं। यूक्लिडियन तल से मुल्तान तल बनाने के लिए कुछ पंक्तियों को पुनर्परिभाषित किया जाता है। अर्ताथ उनके बिंदु समूहों को परिवर्तित कर दिया जाता है, लेकिन इसके अतिरिक्त अन्य लाइनें अपरिवर्तित रहती हैं। सभी रेखाओं को ऋणात्मक झूकाव के साथ पुनः परिभाषित किया जाता है जिससे वे मुड़ी हुई रेखाओं समान दिखाई दे, इस प्रकार इसका अर्थ है कि ये रेखाएँ अपने बिंदुओं को ऋणात्मक x-निर्देशांक के साथ रखती हैं, लेकिन उनके बचे हुए बिंदुओं को उसी y-अवरोधन वाली रेखा के बिंदुओं से परिवर्तित कर दिया जाता है लेकिन यहाँ पर दो बार झुकाव होता है विशेषकर जब x-निर्देशांक धनात्मक हो।

मुल्तान समतल में लाइनों के समानांतर वर्ग होते हैं और यह एफाइन समतल(इंसीडेंस ज्यामतीय) होता है। इसे प्रक्षेपित किया जा सकता है, जैसा कि पिछले उदाहरण में देखा गया है, 'प्रक्षेपीय माउल्टेन सतह' प्राप्त करने के लिए डिसारगस की प्रमेय माउल्टेन तल या प्रक्षेपीय माउल्टेन तल में मान्य प्रमेय नहीं है।

एक परिमित उदाहरण
उक्त उदाहरण में सिर्फ 13 बिंदु और 13 रेखाएँ हैं। हम अंक P1 ..., P13 और रेखाएँ m1, ..., m13 को लेबल करते हैं, दिया हुआ संबंध(कौन से बिंदु किस रेखा पर हैं) निम्नलिखित आपतित आव्यहू द्वारा प्रदर्शित किए जा सकते हैं। पंक्तियों को बिंदुओं और स्तंभों को रेखाओं द्वारा लेबल किया जाता है। पंक्ति i और स्तंभ j में A1 का अर्थ है कि बिंदु Pi mj लाइन पर है, इसके अतिरिक्त 0 (जिसे हम सरल भाषा से पढ़ने के लिए रिक्त सेल द्वारा प्रदर्शित करते हैं) का अर्थ है कि वे आपतन नहीं हैं। आव्यूह पैज-वेक्स्लर का एक सामान्य रूप है।
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! ! m1 ! m2 !! m3 !! m4 ! m5 !! m6 !! m7 ! m8 !! m9 !! m10 ! m11!! m12!! m13 ! P1 ! P2 ! P3 ! P4 ! P5 ! P6 ! P7 ! P8 ! P9 ! P10 ! P11 ! P12 ! P13 इन स्थितियों को सत्यापित करने के लिए इसे प्रक्षेपी तल बनाया जाता हैं, यहाँ पर निरीक्षण करके प्रत्येक दो पंक्तियों को पूर्ण रूप एक सामान्य स्तंभ मान लिया जाता है जो 1s रूप में दिखाई देते है(प्रत्येक जोड़े के अलग-अलग बिंदु बिल्कुल एक सामान्य रेखा पर होते हैं) और यहाँ प्रत्येक स्तंभों में सामान्य पंक्तियाँ होती है जिसमें 1 दिखाई देते हैं(अलग-अलग रेखाओं का प्रत्येक जोड़ एक बिंदु पर मिलता है)। इन प्रदर्शित संभावनाओं के बीच, बिंदु P1, P4, P5, और P8, उदाहरण के लिए, तीसरी शर्त को पूरा करते हैं। इस उदाहरण के क्रम तीन को प्रक्षेपी तल के रूप में जाना जाता है।
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वेक्टर अंतरिक्ष निर्माण
यद्यपि विस्तारित वास्तविक तल की अनंतता पर रेखा उस प्रक्षेपी तल की अन्य रेखाओं की तुलना में भिन्न प्रकृति की प्रतीत होती है, तब इस प्रकार की स्थिति नहीं होती है। समान प्रक्षेपी तल की एक अन्य रचना दर्शाती है कि किसी भी रेखा को ज्यामितीय आधार पर अन्य से अलग नहीं किया जा सकता है। इस प्रकार वास्तविक प्रक्षेपी तल का प्रत्येक बिंदु 3-आयामी सदिश स्थान में उत्पत्ति के माध्यम से एक आयामी उप-स्थान(एक ज्यामितीय रेखा) होता है, और प्रक्षेपी तल में एक रेखा उत्पत्ति के माध्यम से ज्यामितीय तल से उत्पन्न होती है। 3-आयाम में इस विचार को सामान्यीकृत किया जा सकता है और निम्नानुसार अधिक सही और सरल बनाया जा सकता है।

K का कोई भी विभाजन वलय(तिरछा क्षेत्र) होने दें। चलो k3 सभी त्रिगुणों के समुच्चय x = को दर्शाता है जहाँ (x0, x1, x2) K के तत्वों की संख्या है जिसे एक कार्तीय उत्पाद एक सदिश स्थान के रूप में देखा जाता है। K में किसी अशून्य x3 के मान के लिए, K की न्यूनतम उपसमष्टि युक्त x3 का उपसमूह होता है जिसे उत्पत्ति के माध्यम से एक पंक्ति में सभी वैक्टर के रूप में देखा जा सकता है
 * $$\{ k x : k \in K \}$$

K 3 को इसी प्रकार लिखा जाता है, मान लीजिए कि x और y K 3 के रैखिकतः स्वतंत्र अवयव हैं, जिसका अर्थ है kx + my = 0 तब इसका आशय है कि k = m = 0. K 3 का न्यूनतम उपस्थान युक्त x और y सबसेट है जिसे इसके मूलों के माध्यम से एक समतल में सभी वैक्टर के रूप में देखा जा सकता है
 * $$\{k x + m y : k, m \in K\}$$

K 3 इस 2-आयामी उप-समष्टि में उत्पत्ति के माध्यम से विभिन्न 1-आयामी उप-स्थान सम्मलित हैं जो k और m को ठीक करके और परिणामी सदिश के गुणकों को लेकर प्राप्त किया जा सकता है। k और m के अलग-अलग विकल्प हैं जो एक ही अनुपात में दिखाई देते हैं जो एक ही रेखा में इनके मान देते हैं।

K के ऊपर 'प्रक्षेपी तल', PG(2, K)}} या K 2'P' को दर्शाता है, बिंदुओं का एक समूह है जिसमें K 3 में सभी 1-आयामी उपसमष्टियाँ सम्मलित हैं यहाँ PG(2, K) के बिंदुओं का एक सबसेट L, PG(2, K) में एक रेखा है, यदि K 3 का 2-आयामी उप-स्थान सम्मलित है जिसकी 1-आयामी उपसमष्टि का समुच्चय L है।

यह सत्यापित करना कि यह निर्माण एक प्रक्षेपी समतल का प्रदर्शन करता है, इसके लिए साधारणतयः एक रेखीय बीजगणित अभ्यास के रूप में छोड़ दिया जाता है।

इस निर्माण का एक वैकल्पिक(बीजीय) दृश्य इस प्रकार है। इस प्रक्षेपी तल के बिंदु समुच्चय के तुल्यता वर्ग हैं K3 ∖ {(0, 0, 0)} अनुखंड तुल्यता संबंध
 * x ~ kx, K में सभी k× के लिए.

प्रक्षेपी तल में रेखाओं को बिल्कुल ऊपर के रूप में परिभाषित किया गया है।

निर्देशांक (x0, x1, x2) PG(2, K) में किसी बिंदु के 'सजातीय निर्देशांक' कहलाते हैं। प्रत्येक ट्रिपल (x0, x1, x2) ट्रिपल को छोड़कर PG(2, K) में एक अच्छी तरह से परिभाषित बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है (0, 0, 0), जो बिना बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है। पीजी(2, K) में प्रत्येक बिंदु कई ट्रिपल द्वारा दर्शाया जाता है।

यदि K एक सामयिक स्थान है, तो K'P'2, उत्पाद टोपोलॉजी, सबक्षेत्र टोपोलॉजी, और भागफल टोपोलॉजी के माध्यम से एक टोपोलॉजी प्राप्त करता है।

पारस्परिक उदाहरण
वास्तविक प्रक्षेप्य समतल RP2 तब उत्पन्न होता है जब K को वास्तविक संख्या, 'R' के रूप में लिया जाता है। एक बंद, गैर-उन्मुख वास्तविक 2-आयामी के रूप में, यह टोपोलॉजी में एक मौलिक उदाहरण के रूप में कार्य करता है।

जटिल प्रक्षेपी समतल CP2 तब उत्पन्न होता है जब K को सम्मिश्र संख्या, 'C' के रूप में लिया जाता है। यह एक बंद परिसर 2-कई गुना है, और इसलिए एक बंद, उन्मुख वास्तविक 4-कई गुना है। यह और अन्य फील्ड(बीजगणित)(पप्पियन समतल' के रूप में जाना जाता है) पर प्रक्षेपी समतल बीजगणितीय ज्यामिति में मौलिक उदाहरण के रूप में काम करते हैं।

क्वाटरनियोनिक प्रक्षेपीय क्षेत्र HP2 भी स्वतंत्र हित का है।

परिमित क्षेत्र समतल
वेडरबर्न की छोटी प्रमेय द्वारा | वेडरबर्न की प्रमेय, एक परिमित विभाजन वलय क्रमविनिमेय होना चाहिए और इसलिए एक क्षेत्र होना चाहिए। इस प्रकार, इस निर्माण के परिमित उदाहरणों को क्षेत्रसतह के रूप में जाना जाता है। K को परिमित क्षेत्र के रूप में लेना q = pn अभाज्य p वाले तत्व एक प्रक्षेपी तल का निर्माण करते हैं q2 + q + 1 अंक। क्षेत्र तल सामान्यतः PG(2, q) द्वारा निरूपित होते हैं जहां PG प्रक्षेपी ज्यामिति के लिए है, 2 आयाम है और q को तल का 'आदेश' कहा जाता है(यह किसी भी रेखा पर बिंदुओं की संख्या से एक कम है). फैनो समतल, जिसकी चर्चा नीचे की गई है, को पीजी(2, 2) द्वारा निरूपित किया जाता है। A परिमित उदाहरण प्रक्षेपी समतल PG(2, 3) है।

फ़ानो समतल दो तत्वों के क्षेत्र से उत्पन्न होने वाला प्रक्षेपी समतल है। यह सबसे छोटा प्रक्षेपीय सतह है, जिसमें केवल सात बिंदु और सात रेखाएँ हैं। दाईं ओर की आकृति में, सात बिंदुओं को छोटी गेंदों के रूप में दिखाया गया है, और सात रेखाओं को छह रेखा खंडों और एक वृत्त के रूप में दिखाया गया है। चूंकि, कोई समान रूप से गेंदों को रेखाएँ और रेखा खंड और वृत्त को बिंदु मान सकता है - यह प्रक्षेपी तल में द्वैत(प्रक्षेपी ज्यामिति) का एक उदाहरण है: यदि रेखाएँ और बिंदु परस्पर जुड़े हुए हैं, तो परिणाम अभी भी है एक प्रक्षेपी समतल(देखें द्वंद्व)। सात बिंदुओं का एक क्रमचय जो आपतन(ज्यामिति) बिंदुओं(एक ही रेखा पर स्थित बिंदुओं) को संरेख बिंदुओं तक ले जाता है, समतल का समतलीकरण या समरूपता कहलाता है। संरचना के अनुसार एक ज्यामिति के संयोजन एक समूह(गणित) बनाते हैं, और फ़ानो समतल के लिए यह समूह(PΓL(3, 2) = PGL(3, 2)) में 168 तत्व हैं।

देसार्गेस प्रमेय और डेसर्ग्यूसियन समतल
देसार्गेस 'प्रमेय सार्वभौमिक रूप से प्रक्षेपी समतल में मान्य है और यह केवल समतल को वेक्टर सदिश के रूप में तिरछे क्षेत्र पर तीन आयामी वेक्टर सदिश से बनाया जा सकता है। इन समतलों को डेसर्ग्यूसियन समतल कहा जाता है, जिसका नाम गिरार्ड देसार्गेस के नाम पर रखा गया है। वास्तविक प्रक्षेपीय समतल और अनुक्रम 3 के प्रक्षेपीय समतल दिए गए प्रक्षेपीय सततल के कुछ उदाहरण डेसार्गेसियन प्रक्षेपीय समतल के उदाहरण हैं। इस तरह से निर्मित नहीं किए जा सकने वाले प्रक्षेपी तलों को गैर-डेसार्गेसियन तल कहा जाता है, और मुल्तान तल को प्रक्षेपी तल कहा जाता है। PG(2, K) अंकन डेसर्ग्यूसियन समतलों के लिए आरक्षित रहता है। जहाँ K क्षेत्र है, जो बहुत ही सामान्य स्थिति है, इन्हें समतल क्षेत्र के रूप में भी जाना जाता है और यदि क्षेत्रएक परिमित क्षेत्र है तो उन्हें गैलोइस सतह्स को गैलोइस ज्यामतीय कहा जा सकता है।

उपसमतल
एक प्रक्षेपीय तल, उन समतलों पर स्थित बिंदुओं का उपसमुच्चय होता है जो स्वयं एक समान आपतन के संबंधों के साथ एक प्रक्षेपीय क्षेत्र बनाते हैं।

निम्नलिखित प्रमेय को सिद्ध करता है। यहाँ पर Π एक समतल है तथा Π के साथ N अनुक्रम m0 क्रम का एक परिमित प्रक्षेपी समतल है। फिर चाहे N = M2 हो या N ≥ M2 + M,

इस प्रकार जब N एक वर्ग है, तब उप-समतल √N बेयर उप-समतल कहलाते हैं। समतल का प्रत्येक बिंदु बायर उप-तल की एक रेखा पर स्थित होता है और समतल की प्रत्येक पंक्ति में बेयर उप-तल का एक बिंदु होता है।

परिमित डेसार्ग्यूसियन समतलों में पीजी(2, pn), उप-समतल के अनुक्रम होते हैं जो परिमित फ़ील्ड GF(p)n के सबफ़ील्ड के अनुक्रम pi होते हैं, जहां i, n का भाजक है। चूंकि, गैर-डिसार्गेसियन समतलों में, ब्रुक की प्रमेय उप-समतल क्रम के बारे में एकमात्र जानकारी देता है। इस प्रमेय की असमानता में समानता का स्थिति ज्ञात नहीं है। M के साथ N क्रम के समतल में M क्रम का एक उप-समतल सम्मलित होता है या N2 + M = N यहाँ एक प्रश्न है। यदि इस तरह के उप-समतल सम्मलित हो तो समग्र(गैर-प्राइम पावर) क्रम के प्रक्षेपीय समतल प्राप्त होंगे।

फैनो उपसमतल
फैनो उप-समतल PG(2, 2) के लिए समरूप उप-समतल है, जहाँ 2 के क्रम का अद्वितीय प्रक्षेपीय समतल होता हैं।

यदि आप इस तल में एक चतुर्भुज पर विचार करते हैं, तो बिन्दु समतल की छह रेखाओं को निर्धारित करता हैं। शेष तीन बिंदु जिन्हें चतुष्कोण का विकर्ण बिंदु कहा जाता है ये ऐसे बिंदु हैं जहाँ वे रेखाएँ मिलती हैं जो चतुर्भुज के एक बिंदु पर नहीं मिलती हैं। सातवीं पंक्ति में सभी विकर्ण बिंदु होते हैं जिन्हें सामान्यतः एक वृत्त या अर्धवृत्त के रूप में खींचा जाता है।

परिमित डेसर्ग्यूसियन समतलों में, PG(2, q), फैनो उप-समतल सम्मलित होते हैं यह केवल q के सम होने की स्थिति में होता है(अर्थात, 2 की पावर होने पर)। गैर-डीसरग्यूसियन समतलों में यह मान स्थिति तथा अस्थिर दोंनो रूपों में हो सकता है। वे 6 से अधिक के क्रम के किसी भी गैर-डिसरग्यूसियन समतल में सम्मलित हो सकते हैं, और वास्तव में सभी गैर-डिसरग्यूसियन समतलों में यह पाए जाते हैं जिनमें उन्हें (विषम और यहां तक ​​​​कि दोनों क्रमों में खोजा जा चुका है।

हैना न्यूमैन के कारण एक प्रश्न हैं, जिसे उसके द्वारा प्रकाशित नहीं किया गया है, यह है: क्या प्रत्येक गैर-डीसार्गेसियन समतल में एक फैनों उप-समतल होता है?

फ़ानो उप-समतल के कारण एक प्रमेय है:

यदि एक परिमित प्रक्षेपीय समतल में प्रत्येक चतुर्भुज में विकर्ण बिंदु समरेखित होते हैं, तो समतल डिसार्गेसियन होता है।

सजातीय समतल
यूक्लिडियन समतल के प्रक्षेपण ने वास्तविक प्रक्षेपी समतल का उत्पादन करता हैं। यहाँ व्युत्क्रम प्रक्रिया - एक प्रक्षेपीय समतल से शुरू होकर एक रेखा को मिटा देती है और उस लाइन के साथ होने वाले सभी बिन्दुओं - पर एक एफ़िन समतल का निर्माण करती है।

परिभाषा
औपचारिक रूप से एफिन समतल में रेखाओं और बिंदुओं का एक समूह होता है, और बिंदुओं और रेखाओं के बीच एक संबंध होता है, जिसे आपतन कहा जाता है, जिसमें निम्नलिखित गुण होते हैं: दूसरी स्थिति में इनके समानांतर(ज्यामिति) होने पर इसे जॉन प्लेफेयर के रूप में जाना जाता है| प्लेफेयर का स्वयंसिद्ध होने की स्थिति में इसकी अभिव्यक्ति नहीं मिलती है, यह आशुलिपि है क्योंकि दोनों पंक्तियों के साथ एक बिंदु आपतन सम्मलित नहीं होता है।
 * 1) दिए गए किन्हीं भी दो अलग-अलग बिंदुओं के साथ, उन दोनों के साथ ठीक एक पंक्ति की आपतन है।
 * 2) दिए गए किसी भी लाइन 'L' और किसी भी बिंदु 'P' 'L' के साथ आपतन नहीं है, जहां 'P' के साथ यह एक पंक्ति पर आपतित होता है जो 'L' से नहीं मिलती है।
 * 3) यहाँ चार बिंदु ऐसे होते हैं कि जिनमें दो से अधिक के साथ कोई रेखा नहीं होती है।

यूक्लिडियन समतल और मुल्तान समतल अनंत एफ़ाइन समतल के उदाहरण होते हैं। एक परिमित प्रक्षेपीय समतल एक परिमित एफ़िन समतल का उत्पादन करता हैं, जब उसकी एक रेखा और इस पर स्थित बिंदुओं को हटा दिया जाता हैं। इसके परिमित संबंध के तल के क्रम में इसकी किसी भी रेखा पर बिंदुओं की संख्या हो सकती है(यह प्रक्षेपी तल के क्रम के समान संख्या होगी जिससे यह आता है)। प्रक्षेपीय समतल PG(2, q) से उत्पन्न होने वाले एफाइन समतल को AG(2, q) द्वारा दर्शाया जाता है।

क्रम N का एक प्रक्षेपी तल है और यह केवल आदेश N के सजातीय तल(आपतन ज्यामिति) के रूप में होता है। जब 'N' क्रम का केवल एक संबंधित तल होता है तो 'N' क्रम का केवल एक प्रक्षेपी तल होता है, लेकिन इसका व्युत्क्रम सत्य नहीं होता है। प्रक्षेपीय समतल की अलग-अलग रेखाओं को हटाने से बनने वाले एफाइन समतल समरूप होंगे और यह केवल तभी हटाए जाते हैं जब रेखाएं प्रक्षेपीय समतल के कोलाइनेशन समूह की एक ही कक्षा में होते हैं। ये कथन अनंत प्रक्षेपी समतलों के लिए भी मान्य होता हैं।

एफ़िन तलों से प्रक्षेपी तलों का निर्माण
एफ़िन सतह K2 K से अधिक K2'P' में लागू होता है मानचित्र के माध्यम से सजातीय निर्देशांक के लिए सजातीय या गैर-सजातीय निर्देशांक प्रदर्शित करता हैं,
 * $$(x_1, x_2) \mapsto (1, x_1, x_2).$$

इसके प्रतिबिम्ब के पूरक रूप के बिंदुओं (0, x1, x2) का समूह होता है यहाँ दिए गए लागू करनेिंग के दृष्टिकोण से, ये बिंदु अनंत पर होते हैं। यहाँ K2'P' एक रेखा बनाते हैं—अर्थात्, समतल से निकलने वाली रेखा कुछ इस प्रकार होती है
 * $$\{k (0, 0, 1) + m (0, 1, 0) : k, m \in K\}$$

Km3—अनंत रेखा कहलाती है। अनंत स्थिति होने पर अतिरिक्त बिंदु होते हैं जहां विस्तारित वास्तविक समतल के निर्माण में समानांतर रेखाएं प्रतिच्छेदित करती हैं; जहाँ बिंदु(0, x1, x2) वह स्थान है जहाँ झुकाव x2 की सभी रेखाएँ हैं / x1 काटन बिन्दु हैं। उदाहरण के लिए दो पंक्तियों इस प्रकार हैं
 * $$u = \{(x, 0) : x \in K\}$$
 * $$y = \{(x, 1) : x \in K\}$$

सजातीय तल में K 2 इन रेखाओं के लिए झुकाव 0 है और ये आपस में प्रतिच्छेदन नहीं करती हैं। उन्हें K 2'P' का उपसमुच्चय माना जा सकता है। उपरोक्त लागू करने के माध्यम से, लेकिन ये उपसमुच्चय K 2'P' में पंक्तियाँ नहीं हैं । बिंदु जोड़ें (0, 1, 0) प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए; वह है, चलो
 * $$\bar{u} = \{(1, x, 0) : x \in K\} \cup \{(0, 1, 0)\}$$
 * $$\bar{y} = \{(1, x, 1) : x \in K\} \cup \{(0, 1, 0)\}$$

ये k2'P' में पंक्तियाँ हैं; ū समतल से उत्पन्न होता है
 * $$\{k (1, 0, 0) + m (0, 1, 0) : k, m \in K\}$$

km3, जबकि ȳ समतल से उत्पन्न होता है
 * $${k (1, 0, 1) + m (0, 1, 0) : k, m \in K}.$$

प्रक्षेपी रेखाएँ ū और ȳ को बिन्दु(0, 1, 0) पर प्रतिच्छेद करती हैं, वास्तव में, K 0 से 2 में सभी पंक्तियाँ झुकाव के लिए जब इस विधियों से प्रक्षेपित की जाती है, तब यह (0, 1, 0) पर प्रतिच्छेद करता है, k'p' m 2

K2 का एम्बेडिंग K'P' 2 अद्वितीय नहीं है। प्रत्येक एम्बेडिंग अनंत पर बिंदुओं की अपनी धारणा उत्पन्न करता है। उदाहरण के लिए, एम्बेडिंग
 * $$(x_1, x_2) \to (x_2, 1, x_1),$$

रूप के उन बिंदुओं (x0, 0, x2) के पूरक के रूप में है, जिन्हें अनंत बिंदु माना जाता है।

जब एक सजातीय तल में K2 का रूप नहीं होता है तब K के विभाजन वलय के साथ, इसे अभी भी एक प्रक्षेपी तल में लागू किया जा सकता है, लेकिन ऊपर उपयोग प्रयोग किया गया फंक्शन कार्य नहीं करता है। इस स्थिति में लागू करने के लिए सामान्यतः उपयोग की जाने वाली विधि में एफाइन निर्देशांक के समूह का विस्तार करना और अधिक सामान्य बीजगणित में काम करना सम्मलित है।

सामान्यीकृत निर्देशांक
कोई एक समन्वित वलय का निर्माण कर सकता है - तथाकथित प्लानर टर्नरी वलय(वास्तविक वलय नहीं) - किसी भी प्रक्षेपी समतल के अनुरूप हो सकती हैं। यहाँ सतहर टर्नरी वलय की फ़ील्ड या डिवीजन वलय नहीं होना चाहिए, और ऐसे कई प्रक्षेपी समतल होने पर जो एक डिवीजन वलय से निर्मित नहीं होते हैं। उन्हें गैर-डिसार्गेसियन प्रक्षेपी समतल कहा जाता है और अनुसंधान का एक सक्रिय क्षेत्र होता है। केली समतल(O.P2), ऑक्टोनियन के ऊपर एक प्रक्षेपीय समतल, इनमें से एक है क्योंकि ऑक्टोनियंस एक विभाजित वलय नहीं बनाते हैं।

इसके विपरीत, एक प्लानर टर्नरी वलय(R, T) दिया गया है, इसके फलस्वरूप प्रक्षेपी समतल का निर्माण किया जा सकता है(नीचे देखें)। यहाँ संबंध एक से एक नहीं है। एक प्रक्षेपीय समतल कई गैर-आइसोमॉर्फिक समतल टर्नरी वलय से जुड़ा हो सकता है। टर्नरी ऑपरेटर टी का उपयोग समूह R पर दो बाइनरी ऑपरेटरों का उत्पादन करने के लिए किया जा सकता है:
 * A + B = T(A, 1, B), और
 * A ⋅ B = T(A, B, 0)।

टर्नरी ऑपरेटर 'रैखिक' है यदि T(x, m, k) = x⋅m + k. जब एक प्रक्षेपीय सतह के निर्देशांक का सेट वास्तव में एक वलय बनाता है, तो एक रैखिक टर्नरी ऑपरेटर को इस तरह से परिभाषित किया जा सकता है, कि प्लानर टर्नरी वलय का उत्पादन करने के लिए दाईं ओर वलय ऑपरेशंस का उपयोग किया जाता है।

इस सतहर टर्नरी निर्देशांक वलय के बीजगणितीय गुण के समतल के ज्यामितीय आपतन गुणों के अनुरूप होते हैं। उदाहरण के लिए, डेसर्ग्यूसियस प्रमेय एक विभाजित वलय से प्राप्त होने वाली समन्वय वलय से मेल खाती है, जबकि पप्पस के हेक्सागोन की प्रमेय इस वलय से मेल खाती है जो एक कम्यूटेटिव क्षेत्र से प्राप्त किया जा रहा है। पैपस के प्रमेय को सार्वभौमिक रूप से संतुष्ट करने वाला एक प्रक्षेपी समतल एक पैपियन समतल कहलाता है। वैकल्पिक बीजगणित, जरूरी नहीं कि साहचर्य, विभाजन बीजगणित जैसे कि ऑक्टोनियन मौफांग समतल के अनुरूप होता है।

विशुद्ध रूप से ज्यामितीय कथन का कोई ज्ञात विशुद्ध रूप से ज्यामितीय प्रमाण नहीं है कि डेसर्ग्यूसियस 'प्रमेय का अर्थ पप्पस प्रमेय एक परिमित प्रक्षेप्य समतल में है(परिमित डेसर्ग्यूसियन समतल पप्पियन हैं)।(इसके विपरीत किसी भी प्रक्षेपी तल में सत्य है और ज्यामितीय रूप से सिद्ध किया जा सकता है, लेकिन इस कथन में परिमितता आवश्यक है क्योंकि अनंत डेसर्ग्यूसियन समतल हैं जो पप्पियन नहीं हैं।) सबसे सरल प्रमाण इसके किसी विभाजन वलय और वेडरबर्न के छोटे प्रमेय में निर्देशांक का उपयोग करता है। वेडरबर्न की प्रमेय वह परिमित विभाजन वलय क्रमविनिमेय होनी चाहिए; एक उपपत्ति देंता हैं जो विभाजन वलयों के बारे में केवल अधिक प्रारंभिक बीजगणितीय तथ्यों का उपयोग करता है।

गैर-सजातीय निर्देशांक और एक प्लानर टर्नरी वलय का उपयोग करते हुए n(≥ 2) क्रम के परिमित प्रक्षेपीय समतल का वर्णन करने के लिए:
 * मान लीजिए कि एक बिंदु को(∞) लेबल किया गया है।
 * लेबल n अंक,(r) जहां r = 0, ...,(n − 1)।
 * लेबल n2 अंक,(r, c) जहां r, c = 0, ...,(n − 1)।

इन बिंदुओं पर निम्नलिखित पंक्तियाँ बनाएँ:
 * एक पंक्ति [ ∞ ] = {(∞),(0), ...,(N − 1)}
 * N पंक्तियाँ [ c ] = {(∞),(c, 0), ...,(c, N − 1)}, जहाँ c = 0, ...,(n − 1)
 * n2 पंक्तियां [ r, c ] = {(r) और बिंदु(x, 'T'(x, r, c)) }, जहां x, r, c = 0, ...,(N − 1) और 'T' प्लानर टर्नरी वलय का टर्नरी ऑपरेटर है।

उदाहरण के लिए, के लिए N = 2 हम अनुक्रम 2 के परिमित क्षेत्र से जुड़े प्रतीकों {0, 1} का उपयोग कर सकते हैं। टर्नरी ऑपरेशन द्वारा परिभाषित T(x, m, k) = xm + k क्षेत्र में गुणन और जोड़ दाईं ओर संचालन के साथ निम्नलिखित उपज देता है:
 * यहाँ रेखा [ ∞ ] = {(∞),(0),(1)},
 * 2 पंक्तियाँ [ c ] = {(∞),(c,0),(c,1): c = 0, 1},
 * [ 0 ] = {(∞),(0,0),(0,1)}
 * [ 1 ] = {(∞),(1,0),(1,1)}
 * 4 पंक्तियाँ [ r, c ] :(r) और बिंदु(i, ir + c), जहाँ i = 0, 1 : r, c = 0, 1.
 * [ 0,0 ] : {(0),(0,0),(1,0)}
 * [ 0,1 ] : {(0),(0,1),(1,1)}
 * [ 1,0 ] : {(1),(0,0),(1,1)}
 * [ 1,1 ] : {(1),(0,1),(1,0)}

पतित समतल
पतित समतल प्रक्षेपीय समतल की परिभाषा में एक्सिओम्स-ऑफ-प्रक्षेपीय-समतल को पूरा नहीं करते हैं। वे संरचनात्मक रूप से स्वयं प्रदर्शित होने के लिए पर्याप्त नहीं हैं, लेकिन समय-समय पर सामान्य तर्कों की विशेष स्थितियों में ये उत्पन्न होते हैं। इसके अनुसार पतित तल सात प्रकार के होते हैं वे हैं:


 * 1) रिक्त सेट;
 * 2) एक बिंदु, कोई रेखा नहीं;
 * 3) एक पंक्ति, कोई अंक नहीं;
 * 4) एक बिंदु, रेखाओं का एक संग्रह, बिंदु सभी रेखाओं के साथ आपतन है;
 * 5) एक पंक्ति, बिंदुओं का संग्रह, बिंदु सभी रेखा के साथ घटित होते हैं;
 * 6) एक बिंदु p एक रेखा m के साथ आपतन, रेखाओं का एक संग्रह सभी p के साथ आपतन और सभी बिंदुओं का संग्रह m के साथ आपतन;
 * 7) एक बिंदु p एक रेखा m के साथ आपतन नहीं है, p के साथ सभी आपतनओं का संग्रह और m के साथ इन पंक्तियों के सभी बिंदु।

ये सात स्थितियां स्वतंत्र नहीं हैं, चौथे और पांचवें को छठे के लिए विशेष स्थिति माना जा सकता है, जबकि दूसरे और तीसरे को क्रमशः चौथे और पांचवें के लिए विशेष स्थिति माना जाता हैं। बिना किसी अतिरिक्त रेखा के सातवें समतल के लिए विशेष स्थिति को आठवें समतल के रूप में देखा जा सकता है। इसलिए सभी स्थितियों को पतित समतलों के दो परिवारों में निम्नानुसार व्यवस्थित किया जा सकता है(यह प्रतिनिधित्व परिमित पतित समतलों के लिए है, लेकिन प्राकृतिक विधियों से अनंत लोगों तक बढ़ाया जा सकता है):

1) कितने भी अंकों के लिए P1, ..., Pn, और रेखाएँ L1, ..., Lm,


 * L1 = {P1, P2, ..., Pn}
 * L2 = {P1 }
 * L3 = {P1 }
 * Lm = {P1 }
 * Lm = {P1 }

2) किसी भी अंक के लिए P1, ..., Pn, और रेखाएँ L1, ..., Ln,(रेखाओं के समान अंक)


 * L1 = {P2, P3, ..., Pn }
 * L2 = {P1, P2 }
 * L3 = {P1, P3 }
 * Ln = {P1, Pn }
 * Ln = {P1, Pn }

अभिसंधि
प्रक्षेपी तल का समतलीकरण स्वयं में समतल का विशेषण है जो मानचित्र बिंदुओं को इंगित करता है और रेखाओं को रेखाएँ बनाता है जो आपतन को संरक्षित करता है, जिसका अर्थ है कि यदि σ एक आक्षेप है और बिंदु P रेखा m पर है, तो Pσ m पर है, s यदि σ एक प्रक्षेपी समतल का समतलीकरण है, तो P = P के साथ एक बिंदु Pσ को σ का 'निश्चित बिंदु' कहा जाता है, और m = m वाली रेखा mσ को σ की 'स्थिर रेखा' कहा जाता है। एक निश्चित रेखा पर बिंदुओं को निश्चित बिंदु नहीं होना चाहिए, σ के लिए उनके प्रतिबिम्ब पर इस रेखा पर त्रुटि देने के लिए बाध्य हैं। निश्चित बिंदुओं और निश्चित रेखाओं का संग्रह एक 'बंद विन्यास' से बनाता है, जो बिंदुओं और रेखाओं की एक प्रणाली के रूप में है और यह पहले दो को संतुष्ट करती है लेकिन जरूरी नहीं कि एक प्रक्षेप्य समतल की परिभाषा में तीसरी स्थिति हो। इस प्रकार, किसी भी समतलीकरण के लिए निश्चित बिंदु और निश्चित रेखा संरचना या तो स्वयं द्वारा एक प्रक्षेपी तल बनाती है, या एक पतित तल बनाती है। संरेखन जिनकी निश्चित संरचना एक तल बनाती है, 'तलीय संरेखन' कहलाते हैं।

होमोग्राफी
PG(2, K) की होमोग्राफी(या प्रक्षेपीय ट्रांसफॉर्मेशन) इस प्रकार के प्रक्षेपीय सतह का एक संयोजन है जो अंतर्निहित वेक्टर क्षेत्र का एक रैखिक परिवर्तन है।सजातीय निर्देशांक का उपयोग करके उन्हें व्युत्क्रम द्वारा दर्शाया जा सकता है, 3 × 3 K पर आव्यूह जो PG(2, K) के बिंदुओं पर कार्य करते हैं,y = M xT, जहाँ x और y K में बिंदु हैं 3(वैक्टर) और M व्युत्क्रम है इस प्रकार 3 × 3 K का आव्यूह हैं। दो आव्यूह एक ही प्रक्षेपी परिवर्तन का प्रतिनिधित्व तभी करते हैं यदि वे एक दूसरे का स्थिर गुणक हो। इस प्रकार प्रक्षेपीय स्थानांतरण का समूह स्केलर आव्यूह द्वारा सामान्य रैखिक समूह का भाग कहलाता है जिसे प्रक्षेपीय रैखिक समूह कहा जाता है।

PG(2, K) का एक अन्य प्रकार का संरेखन K के किसी भी ऑटो मोर्फिज्म से प्रेरित होता है, इन्हें 'ऑटोमॉर्फिक कॉलिनेशन' कहा जाता है। यदि α K का एक ऑटोमोर्फिज्म है, तो इसके द्वारा दिया गया संरेखन (x0, x1, x2) → (x0α, x1α, x2α) एक ऑटोमोर्फिक कॉलिनेशन होगा। प्रक्षेपी ज्यामिति का मौलिक प्रमेय कहता है कि PG(2, K) के सभी संरेखन समरूपता और ऑटोमोर्फिक संरेखन की रचनाएँ हैं। ऑटोमोर्फिक कॉलिनेशन प्लानर कॉलिनेशन हैं।

समतल द्वैत
एक प्रक्षेपी तल के रूप को एक आपतन संरचना के रूप में परिभाषित किया जाता है, बिंदुओं के इस समूह P के लिए, रेखाओं के समूह L और एक आपतन संबंध को प्रदर्शित करता हैI इसके संदर्भ में यह निर्धारित करता है कि कौन से बिंदु किस रेखा पर स्थित हैं। जैसा कि P और L केवल समूह हैं, कोई भी अपनी भूमिकाओं को परिवर्तित कर सकता है और 'समतल दोहरी संरचना' को परिभाषित कर सकता है।

बिंदुओं और रेखाओं की भूमिका को आपस में परिवर्तित करके
 * C =(P, L, I)

हम दोहरी संरचना प्राप्त करते हैं
 * C * =(L, P, I *),

जहाँ I*, I का विलोम सम्बन्ध है।

एक प्रक्षेपी तल में बिंदुओं, रेखाओं और उनके बीच आपतन को सम्मलित करने वाले इस कथन को अन्य कथन से प्राप्त किया जाता है, जो शब्द बिंदु और रेखाओं को आपस में परिवर्तित किया जाता हैं जो व्याकरणिक समायोजन के लिए आवश्यक होता है, इसको पहले चरण का 'समतल द्वैत कथन' कहा जाता है। दो बिंदुओं का समतल द्वैत कथन अद्वितीय रेखा पर स्थित होता है। दो रेखाएँ एक अद्वितीय बिंदु पर मिलती हैं। किसी कथन का समतल द्वैत बनाना कथन का द्वैतकरण कहलाता है।

यदि प्रक्षेपी समतल C में कोई कथन सत्य है, तो उस कथन का तल द्वैत द्वैत तल C* में सत्य होना चाहिए। यह इस प्रकार है कि C में प्रमाण में प्रत्येक कथन को दोहराते हुए C* में प्रमाण का एक कथन मिलता है।

प्रक्षेपीय समतल C में, यह दिखाया जा सकता है कि चार रेखाएँ सम्मलित हैं, जिनमें से कोई भी तीन समवर्ती नहीं हैं। प्रक्षेपी तल की परिभाषा में इस प्रमेय और पहले दो अभिगृहीतों को द्वैत करने से पता चलता है कि तल द्वैत संरचना C* भी एक प्रक्षेपी तल है, जिसे C का 'द्वैत तल' कहा जाता है।

यदि C और C* तुल्याकारी हैं, तो C को 'स्व-द्वैत' कहा जाता है। प्रक्षेपी तल PG(2, K) किसी भी विभाजन वलय K के लिए स्व-द्वैत होते हैं। चूंकि, गैर-डेसार्गेसियन समतल हैं जो आत्म-दोहरी नहीं हैं, जैसे कि हॉल समतल और कुछ ऐसे हैं, जैसे ह्यूजेस समतल।

'तल द्वैत का सिद्धांत' कहता है कि स्व-द्वैत प्रक्षेपी तल C में किसी भी प्रमेय को द्वैत करने से C में मान्य एक और प्रमेय उत्पन्न होता है।

सहसंबंध
द्वंद्व C = (P, L, I) वह प्रक्षेपी तल का नक्शा है, इसके दोहरे समतल के लिए C* = (L, P, I*)(तल द्वैत देखें) जो आपतन को संरक्षित करता है। अर्थात्, एक द्वैत σ बिंदुओं को रेखाओं से और रेखाओं को बिंदुओं(Pσ = L तथा Lσ = P) से मैप करेगा, और यह इस तरह से है कि यदि एक बिंदु Q पर लाइन m पर है(द्वारा चिह्नित Q I m) फिर Qσ I* mσ ⇔ mσ I Qσ द्वैत तुल्याकारिता होगा, सहसंबंध कहलाता है। यदि कोई सहसंबंध सम्मलित है तो प्रक्षेपीय सतह सी स्व-द्वैत है।

विशेष स्थिति में प्रक्षेपीय सतह प्रक्षेपीय क्षेत्र का होता हैं| PG(2, K) टाइप, K एक डिवीजन वलय के साथ, एक द्वैत को 'पारस्परिकता' कहा जाता है। ये समतल सदैव स्व-द्वैत होता हैं। प्रक्षेपी ज्यामिति के मौलिक प्रमेय के अनुसार एक पारस्परिकता K और एक होमोग्राफी के एक ऑटोमोर्फिक फ़ंक्शन की संरचना है। यदि इसमें सम्मलित ऑटोमोर्फिज्म की पहचान की जाती है, तो पारस्परिकता को 'प्रक्षेपीय सहसंबंध' कहा जाता है।

क्रम दो(एक अंतर्वलन(गणित)) के सहसंबंध को 'ध्रुवीयता' कहा जाता है। यदि एक सहसंबंध φ एक ध्रुवीयता नहीं है तो φ2 एक गैर-तुच्छ संयोजन है।

परिमित प्रक्षेपी समतल
यह दिखाया जा सकता है कि एक प्रक्षेपी तल में उतनी ही रेखाएँ होती हैं जितनी कि इसमें बिंदु(अनंत या परिमित) होते हैं। इस प्रकार, प्रत्येक परिमित प्रक्षेपी तल के लिए एक पूर्णांक N ≥ 2 होता है, जैसे कि तल में होता है
 * n2 + N + 1 अंक,
 * n2 + N + 1 पंक्तियां,
 * प्रत्येक पंक्ति पर N + 1 अंक, और
 * प्रत्येक बिंदु के माध्यम से n + 1 लाइनें।

संख्या N को प्रक्षेपी तल का 'क्रम' कहा जाता है।

अनुक्रम 2 के प्रक्षेपीय सतह को फैनो तल कहा जाता है। परिमित ज्यामिति पर लेख भी देखें।

परिमित क्षेत्रों के साथ सदिश स्थान निर्माण का उपयोग करते हुए N = pn क्रम का एक प्रक्षेपी समतल सम्मलित है, प्रत्येक प्रधान शक्ति Pn के लिए. वास्तव में, सभी ज्ञात परिमित प्रक्षेपीय समतलों के लिए, n अनुक्रम एक प्रमुख घात है।

अन्य आदेशों के परिमित प्रक्षेपी समतलों का अस्तित्व एक खुला प्रश्न है। अनुक्रम पर ज्ञात एकमात्र सामान्य प्रतिबंध ब्रुक-रायसर-चावला प्रमेय है कि यदि अनुक्रम n 1 या 2 मॉड 4 के मॉड्यूलर अंकगणित है, तो यह दो वर्गों का योग होना चाहिए। यह नियम है N = 6. अगली स्थिति N = 10 बड़े पैमाने पर कंप्यूटर गणनाओं द्वारा समाप्त कर दिया गया है। अधिक कुछ ज्ञात नहीं है; विशेष रूप से, यह प्रश्न कि क्या क्रम का एक परिमित प्रक्षेपी तल सम्मलित है N = 12 अभी भी खुला है।

एक और पुरानी खुली समस्या यह है कि क्या मुख्य क्रम के परिमित प्रक्षेपी समतल सम्मलित हैं जो परिमित क्षेत्र के समतल नहीं हैं(समतुल्य रूप से, क्या प्रधान क्रम के गैर-देसार्गेसियन प्रक्षेपी समतल सम्मलित हैं)।

क्रम N का एक प्रक्षेपी तल एक स्टेनर S(2, N + 1, N2 + N + 1)व्यवस्था है स्टेनर प्रणाली देखें)।

इसके विपरीत, कोई यह सिद्ध कर सकता है कि इस रूप के सभी स्टेनर तंत्र(λ = 2) प्रक्षेपी समतल हैं।

क्रम N के परस्पर ऑर्थोगोनल लैटिन वर्ग की संख्या अधिक से अधिक है N &minus; 1. N &minus; 1 सम्मलित है यदि और केवल यदि अनुक्रम n का एक प्रक्षेप्य समतल है।

इसके अतिरिक्त सभी प्रक्षेपी समतलों का वर्गीकरण पूर्ण से बहुत दूर है, परिणाम छोटे आदेशों के लिए जाने जाते हैं:
 * 2 : PG(2, 2) के लिए सभी समरूप
 * 3 : सभी आइसोमॉर्फिक टू पीजी(2, 3)
 * 4 : PG(2, 4) के लिए सभी आइसोमॉर्फिक
 * 5 : PG के लिए सभी समरूप(2, 5)
 * 6: प्रक्षेपीय सतह के क्रम के रूप में असंभव, गैस्टन टैरी द्वारा सिद्ध किया गया जिसने दिखाया कि यूलर की छत्तीस अधिकारियों की समस्या का कोई समाधान नहीं है। चूंकि, इन समस्याओं के बीच संबंध तब तक ज्ञात नहीं था जब तक कि आर सी बोस ने इसे 1938 में सिद्ध नहीं कर दिया था। *7 : PG(2, 7) के लिए सभी आइसोमॉर्फिक
 * 8 : PG(2, 8) के लिए सभी आइसोमॉर्फिक
 * 9 : PG(2, 9), और तीन और अलग(गैर-आइसोमॉर्फिक) गैर-डिसार्ग्यूजियन समतल उदाहरण| गैर-डिसार्गेसियन समतल: एक ह्यूजेस समतल, एक हॉल समतल, और इस हॉल समतल के लिए दोहरीकरण में सबका वर्णन किया गया है.
 * 10: प्रक्षेपीय तल के क्रम के रूप में असंभव, भारी कंप्यूटर गणना द्वारा सिद्ध।
 * 11 : कम से कम PG(2, 11), अन्य ज्ञात नहीं हैं लेकिन संभव है।
 * 12 : प्रक्षेपी तल के क्रम के रूप में इसे असंभव माना जाता है।

उच्च-आयामी प्रक्षेपीय क्षेत्र में प्रक्षेपीय सतह
प्रक्षेपीय समतलों को ज्यामितीय आयाम को दो प्रक्षेपीय ज्यामिति के रूप में माना जा सकता है। उच्च-आयामी प्रक्षेपी ज्यामिति को प्रक्षेपी तल की परिभाषा के अनुरूप आपतन संबंधों के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। ये प्रक्षेपी समतलों की तुलना में कम हो जाते हैं क्योंकि स्वतंत्रता की अतिरिक्त डिग्री डेसार्ग्स के प्रमेय को उच्च-आयामी ज्यामिति में ज्यामितीय रूप से सिद्ध करने की अनुमति देती है। इसका अर्थ यह है कि ज्यामिति से संबंधित समन्वय वलय पर विभाजन वलय(तिरछा क्षेत्र) K होना चाहिए, और प्रक्षेपी ज्यामिति सदिश स्थान Kd+1 से निर्मित एक के लिए समरूप है अर्थात PG(d, K)। जैसा कि पहले दिए गए निर्माण में, d-डायमेंशनल प्रक्षेपीय क्षेत्र PG(d, K) के बिंदु Kd+1 में मूल से होकर जाने वाली रेखाएँ हैं और PG(d, K) में एक रेखा Kd+1 में उत्पत्ति के माध्यम से एक समतल के अनुरूप है, वास्तव में, PG(d, K) में प्रत्येक i-आयामी वस्तु, के साथ i &lt; d, एक (i + 1)Kd+1 का -विमीय(बीजीय) सदिश उपस्थान(मूल से होकर जाता है)। इसके स्थान पर प्रक्षेपीय रिक्त स्थान ग्रासमानियन को सामान्यीकृत करते हैं।

यह दिखाया जा सकता है कि यदि देसरग्यूस प्रमेय दो से अधिक आयाम के प्रक्षेप्य स्थान में धारण करता है, तो उस स्थान में निहित सभी समतलों में भी धारण करना चाहिए। चूँकि ऐसे प्रक्षेपी तल हैं जिनमें डीसार्गेस का प्रमेय विफल हो जाता है(गैर-डीसार्गेस समतल), इन तलों को एक उच्च-आयामी प्रक्षेपी स्थान में लागू नहीं किया जा सकता है। सदिश स्थान निर्माण PG(2, K) से केवल समतल उच्च आयाम के प्रक्षेपी स्थानों में दिखाई दे सकते हैं। गणित के कुछ विषय प्रक्षेपी तल के अर्थ को केवल इस प्रकार के प्रक्षेपी तल तक ही सीमित रखते हैं क्योंकि अन्यथा प्रक्षेपी रिक्त स्थान के बारे में सामान्य कथनों में हमेशा अपवादों का उल्लेख करना होगा जब ज्यामितीय आयाम दो हों।

यह भी देखें

 * ब्लॉक डिजाइन - एक परिमित प्रक्षेपी समतल का एक सामान्यीकरण।
 * संयुक्त डिजाइन
 * आपतन संरचना
 * सामान्यीकृत बहुभुज
 * प्रक्षेपी ज्यामिति
 * गैर-डिसरग्यूसियन समतल
 * चिकना प्रक्षेपी समतल
 * हाइपरग्राफ्स में अक्ष के लिए कवर परिमित प्रक्षेपी समतलों में अनुप्रस्थ
 * छंटे हुए प्रक्षेपीय सतह - चिकना प्रक्षेप्य समतल जिसमें एक शीर्ष हटा दिया गया है।
 * वीसी आयाम वीसी आयाम एक परिमित प्रक्षेपी समतल का

बाहरी संबंध

 * G. Eric Moorhouse, Projective Planes of Small Order,(2003)
 * Ch. Weibel: Survey of Nondesarguesian planes