क्विंटिक फलन

गणित में, क्विंटिक फ़ंक्शन फॉर्म का एक फ़ंक्शन (गणित) है


 * $$g(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f,\,$$

कहाँ $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ और $f$ एक क्षेत्र (गणित) के सदस्य हैं, आमतौर पर तर्कसंगत संख्याएं, वास्तविक संख्याएं या जटिल संख्याएं, और $a$ अशून्य है. दूसरे शब्दों में, एक क्विंटिक फ़ंक्शन को बहुपद पांच की डिग्री के बहुपद द्वारा परिभाषित किया जाता है।

क्योंकि उनके पास एक विषम डिग्री है, सामान्य क्विंटिक फ़ंक्शन ग्राफ़ किए जाने पर सामान्य घन फलन के समान दिखाई देते हैं, सिवाय इसके कि उनके पास एक अतिरिक्त मैक्सिमा और मिनिमा और एक अतिरिक्त स्थानीय न्यूनतम हो सकता है। क्विंटिक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एक चतुर्थक फलन है।

सेटिंग $g(x) = 0$ और मान रहे हैं $a ≠ 0$ फॉर्म का एक क्विंटिक समीकरण तैयार करता है:
 * $$ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0.\,$$ Nth_root (nth मूल) के संदर्भ में क्विंटिक समीकरणों को हल करना 16 वीं शताब्दी से बीजगणित में एक बड़ी समस्या थी, जब घन समीकरण और चतुर्थक समीकरण हल किए गए थे, 19 वीं शताब्दी के पहले भाग तक, जब इस तरह के सामान्य समाधान की असंभवता साबित हुई थी हाबिल-रफिनी प्रमेय के साथ।

क्विंटिक समीकरण की जड़ें ढूँढना
किसी दिए गए बहुपद के फलन का शून्य (शून्य) ज्ञात करना एक प्रमुख गणितीय समस्या रही है।

रैखिक समीकरण, द्विघात समीकरण, घन समीकरण और चतुर्थक समीकरणों को मूलकों में गुणनखंडन द्वारा हल करना हमेशा किया जा सकता है, चाहे मूल तर्कसंगत हों या अपरिमेय, वास्तविक हों या जटिल; ऐसे सूत्र हैं जो आवश्यक समाधान देते हैं। हालाँकि, परिमेय पर सामान्य क्विंटिक समीकरणों के समाधान के लिए कोई बीजगणितीय अभिव्यक्ति (अर्थात् मूलांक के संदर्भ में) नहीं है; इस कथन को एबेल-रफ़िनी प्रमेय के रूप में जाना जाता है, जिसे पहली बार 1799 में प्रतिपादित किया गया था और 1824 में पूरी तरह से सिद्ध किया गया था। यह परिणाम उच्च डिग्री के समीकरणों के लिए भी लागू होता है। क्विंटिक का एक उदाहरण जिसकी जड़ों को रेडिकल के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है $x5 − x + 1 = 0$.

कुछ क्विंटिक्स को रेडिकल के संदर्भ में हल किया जा सकता है। हालाँकि, समाधान आमतौर पर व्यवहार में उपयोग करने के लिए बहुत जटिल है। इसके बजाय, संख्यात्मक सन्निकटन की गणना एक रूट-फाइंडिंग एल्गोरिदम #बहुपदों की जड़ों को ढूंढना|बहुपदों के लिए रूट-फाइंडिंग एल्गोरिदम का उपयोग करके की जाती है।

समाधानयोग्य क्विंटिक्स
कुछ क्विंटिक समीकरणों को रेडिकल के संदर्भ में हल किया जा सकता है। इनमें एक बहुपद द्वारा परिभाषित क्विंटिक समीकरण शामिल हैं जो अपरिवर्तनीय बहुपद है, जैसे कि $x^{5} − x^{4} − x + 1 = (x^{2} + 1)(x + 1)(x − 1)^{2}$. उदाहरण के लिए, यह दिखाया गया है वह


 * $$x^5-x-r=0$$

रेडिकल में समाधान होता है यदि और केवल यदि इसमें पूर्णांक समाधान होता है या आर ±15, ±22440, या ±2759640 में से एक है, तो ऐसे मामलों में बहुपद कम करने योग्य होता है।

चूंकि रिड्यूसिबल क्विंटिक समीकरणों को हल करना तुरंत कम डिग्री के बहुपदों को हल करने के लिए कम हो जाता है, इस खंड के शेष भाग में केवल इरेड्यूसिबल क्विंटिक समीकरणों पर विचार किया जाता है, और क्विंटिक शब्द केवल इरेड्यूसिबल क्विंटिक्स को संदर्भित करेगा। एक 'समाधानयोग्य क्विंटिक' इस प्रकार एक अघुलनशील क्विंटिक बहुपद है जिसकी जड़ें रेडिकल के संदर्भ में व्यक्त की जा सकती हैं।

सॉल्व करने योग्य क्विंटिक्स और आमतौर पर उच्च डिग्री के सॉल्व करने योग्य बहुपदों को चिह्नित करने के लिए, एवरिस्ट गैलोइस ने तकनीक विकसित की जिसने समूह सिद्धांत और गैलोइस सिद्धांत को जन्म दिया। इन तकनीकों को लागू करते हुए, आर्थर केली ने यह निर्धारित करने के लिए एक सामान्य मानदंड पाया कि कोई भी क्विंटिक हल करने योग्य है या नहीं। यह मानदंड निम्नलिखित है. समीकरण दिया गया है
 * $$ ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0,$$

त्सचिर्नहौस परिवर्तन $x = y − b⁄5a$, जो क्विंटिक को दबाता है (अर्थात डिग्री चार के पद को हटा देता है), समीकरण देता है


 * $$ y^5+p y^3+q y^2+r y+s=0$$,

कहाँ


 * $$\begin{align}p &= \frac{5ac-2b^2}{5a^2}\\

q &= \frac{25a^2d-15abc+4b^3}{25a^3}\\ r &= \frac{125a^3e-50a^2bd+15ab^2c-3b^4}{125a^4}\\ s &= \frac{3125 a^4f-625a^3 be+125a^2b^2 d-25ab^3 c+4 b^5}{3125a^5}\end{align}$$ दोनों क्विंटिक्स रेडिकल द्वारा हल करने योग्य हैं यदि और केवल यदि वे तर्कसंगत गुणांक या बहुपद के साथ निम्न डिग्री के समीकरणों में कारक हैं $P^{2} − 1024 z Δ$, नामितCayley's resolvent, में एक तर्कसंगत जड़ है $z$, कहाँ


 * $$\begin{align}

P = {} &z^3-z^2(20r+3p^2)- z(8p^2r - 16pq^2- 240r^2 + 400sq - 3p^4)\\ &- p^6 + 28p^4r- 16p^3q^2- 176p^2r^2- 80p^2sq + 224prq^2- 64q^4 \\ &+ 4000ps^2 + 320r^3- 1600rsq \end{align} $$ और


 * $$\begin{align}

\Delta = {} &-128p^2r^4+3125s^4-72p^4qrs+560p^2qr^2s+16p^4r^3+256r^5+108p^5s^2 \\ &-1600qr^3s+144pq^2r^3-900p^3rs^2+2000pr^2s^2-3750pqs^3+825p^2q^2s^2 \\ &+2250q^2rs^2+108q^5s-27q^4r^2-630pq^3rs+16p^3q^3s-4p^3q^2r^2. \end{align} $$ केली का परिणाम हमें यह परीक्षण करने की अनुमति देता है कि क्या क्विंटिक हल करने योग्य है। यदि ऐसा मामला है, तो इसकी जड़ों को ढूंढना एक अधिक कठिन समस्या है, जिसमें जड़ों को क्विंटिक के गुणांक और केली के रिसोल्वेंट की तर्कसंगत जड़ को शामिल करने वाले रेडिकल के संदर्भ में व्यक्त करना शामिल है।

1888 में, जॉर्ज पैक्सटन यंग ने स्पष्ट सूत्र प्रदान किए बिना, हल करने योग्य क्विंटिक समीकरण को कैसे हल किया जाए, इसका वर्णन किया; 2004 में, डेनियल लाजार्ड ने तीन पेज का एक फॉर्मूला लिखा।

ब्रिंग-जेरार्ड फॉर्म में क्विंटिक्स
प्रपत्र के हल करने योग्य क्विंटिक्स के कई पैरामीट्रिक निरूपण हैं $x^{5} + ax + b = 0$, ब्रिंग-जेरार्ड फॉर्म कहा जाता है।

19वीं सदी के उत्तरार्ध के दौरान, जॉन स्टुअर्ट ग्लैशन, जॉर्ज पैक्सटन यंग और कार्ल रनगे ने ऐसा मानकीकरण दिया: ब्रिंग-जेरार्ड फॉर्म में तर्कसंगत गुणांक के साथ एक अपरिवर्तनीय बहुपद क्विंटिक हल करने योग्य है यदि और केवल यदि दोनों में से कोई एक $a = 0$या लिखा जा सकता है
 * $$x^5 + \frac{5\mu^4(4\nu + 3)}{\nu^2 + 1}x + \frac{4\mu^5(2\nu + 1)(4\nu + 3)}{\nu^2 + 1} = 0$$

कहाँ $μ$ और $ν$तर्कसंगत हैं.

1994 में, ब्लेयर स्पीयरमैन और केनेथ एस. विलियम्स ने एक विकल्प दिया,
 * $$x^5 + \frac{5e^4( 4c + 3)}{c^2 + 1}x + \frac{-4e^5(2c-11)}{c^2 + 1} = 0.$$

1885 और 1994 के मानकीकरण के बीच संबंध को अभिव्यक्ति को परिभाषित करके देखा जा सकता है
 * $$b = \frac{4}{5} \left(a+20 \pm 2\sqrt{(20-a)(5+a)}\right)$$

कहाँ $a = 5(4ν + 3)⁄ν^{2} + 1$. वर्गमूल पैदावार के नकारात्मक मामले का उपयोग करते हुए, चर को स्केल करने के बाद, पहला पैरामीरिजेशन मिलता है जबकि सकारात्मक मामला दूसरा देता है।

प्रतिस्थापन $c = −m⁄l^{5}$, $e = 1⁄l$ स्पीयरमैन-विलियम्स मानकीकरण में किसी को विशेष मामले को बाहर नहीं करने की अनुमति मिलती है $a = 0$, निम्नलिखित परिणाम दे रहा है:

अगर $a$ और $b$ परिमेय संख्याएँ, समीकरण हैं $x^{5} + ax + b = 0$ रैडिकल द्वारा हल करने योग्य है यदि या तो इसका बायां भाग तर्कसंगत गुणांक वाले 5 से कम डिग्री वाले बहुपदों का उत्पाद है या दो तर्कसंगत संख्याएं मौजूद हैं $l$ और $m$ ऐसा है कि
 * $$a=\frac{5 l (3 l^5-4 m)}{m^2+l^{10}}\qquad b=\frac{4(11 l^5+2 m)}{m^2+l^{10}}.$$

समाधान योग्य पंचक की जड़ें
एक बहुपद समीकरण मूलकों द्वारा हल किया जा सकता है यदि उसका गैलोज़ समूह एक हल करने योग्य समूह है। इरेड्यूसिबल क्विंटिक्स के मामले में, गैलोज़ समूह सममित समूह का एक उपसमूह है $S_{5}$ पांच तत्व सेट के सभी क्रमपरिवर्तन, जो हल करने योग्य है यदि और केवल यदि यह समूह का उपसमूह है $F_{5}$, आदेश की $20$, चक्रीय क्रमपरिवर्तन द्वारा उत्पन्न $(1 2 3 4 5)$ और $(1 2 4 3)$.

यदि क्विंटिक हल करने योग्य है, तो समाधानों में से एक को बीजगणितीय अभिव्यक्ति द्वारा दर्शाया जा सकता है जिसमें पांचवां मूल और अधिकतम दो वर्गमूल शामिल होते हैं, जो आम तौर पर नेस्टेड मूलांक होते हैं। अन्य समाधान या तो पांचवें मूल को बदलकर या पांचवें मूल की सभी घटनाओं को एकता की जड़ की समान शक्ति से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है, जैसे कि
 * $$\frac{\sqrt{-10-2\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1}{4}.$$

वास्तव में, एकता के सभी चार आदिम पांचवें मूलों को वर्गमूलों के चिह्नों को उचित रूप से बदलकर प्राप्त किया जा सकता है; अर्थात्, अभिव्यक्ति
 * $$\frac{\alpha\sqrt{-10-2\beta\sqrt{5}}+\beta\sqrt{5}-1}{4},$$

कहाँ $$ \alpha, \beta \in \{-1,1\}$$, एकता की चार विशिष्ट आदिम पाँचवीं जड़ें उत्पन्न करता है।

इसका तात्पर्य यह है कि किसी हल करने योग्य क्विंटिक की सभी जड़ों को लिखने के लिए चार अलग-अलग वर्गमूलों की आवश्यकता हो सकती है। यहां तक ​​कि पहले मूल के लिए जिसमें अधिकतम दो वर्गमूल शामिल होते हैं, रेडिकल के संदर्भ में समाधान की अभिव्यक्ति आमतौर पर अत्यधिक जटिल होती है। हालाँकि, जब किसी वर्गमूल की आवश्यकता नहीं होती है, तो समीकरण के लिए पहले समाधान का रूप अपेक्षाकृत सरल हो सकता है $x^{5} − 5x^{4} + 30x^{3} − 50x^{2} + 55x − 21 = 0$, जिसके लिए एकमात्र वास्तविक समाधान है


 * $$x=1+\sqrt[5]{2}-\left(\sqrt[5]{2}\right)^2+\left(\sqrt[5]{2}\right)^3-\left(\sqrt[5]{2}\right)^4.$$

अधिक जटिल (हालाँकि यहाँ लिखा जाना काफी छोटा है) समाधान का एक उदाहरण इसकी अद्वितीय वास्तविक जड़ है $x^{5} − 5x + 12 = 0$. होने देना $a = √2φ^{−1}$, $b = √2φ$, और $4}$, कहाँ $φ = 1+√5⁄2$ स्वर्णिम अनुपात है. तभी एकमात्र वास्तविक समाधान है $x = −1.84208...$ द्वारा दिया गया है


 * $$-cx = \sqrt[5]{(a+c)^2(b-c)} + \sqrt[5]{(-a+c)(b-c)^2} + \sqrt[5]{(a+c)(b+c)^2} - \sqrt[5]{(-a+c)^2(b+c)} \,,$$

या, समकक्ष, द्वारा


 * $$x = \sqrt[5]{y_1}+\sqrt[5]{y_2}+\sqrt[5]{y_3}+\sqrt[5]{y_4}\,,$$

जहां $y_{i}$ चतुर्थक समीकरण की चार जड़ें हैं


 * $$y^4+4y^3+\frac{4}{5}y^2-\frac{8}{5^3}y-\frac{1}{5^5}=0\,.$$

अधिक सामान्यतः, यदि कोई समीकरण $P(x) = 0$ प्राइम डिग्री का $p$ तर्कसंगत गुणांक के साथ रेडिकल में हल करने योग्य है, तो कोई सहायक समीकरण परिभाषित कर सकता है $Q(y) = 0$ डिग्री का $p – 1$, तर्कसंगत गुणांकों के साथ भी, जैसे कि प्रत्येक मूल $P$ का योग है $p$-की जड़ों की जड़ें $Q$. इन $p$-वीं जड़ें जोसेफ-लुई लैग्रेंज और उनके उत्पादों द्वारा पेश की गईं $p$ को आमतौर पर लैग्रेंज रिसॉल्वेंट कहा जाता है। की गणना $Q$ और इसकी जड़ों का उपयोग समाधान के लिए किया जा सकता है $P(x) = 0$. हालाँकि ये $p$-वें मूलों की गणना स्वतंत्र रूप से नहीं की जा सकती है (इससे पता चलेगा $p^{p–1}$ के स्थान पर जड़ें $p$). इस प्रकार एक सही समाधान के लिए इन सभी को व्यक्त करना आवश्यक है $p$-उनमें से एक की अवधि में जड़ें। गैलोइस सिद्धांत से पता चलता है कि यह हमेशा सैद्धांतिक रूप से संभव है, भले ही परिणामी सूत्र किसी भी उपयोग के लिए बहुत बड़ा हो।

यह संभव है कि की कुछ जड़ें $Q$ तर्कसंगत हैं (जैसा कि इस खंड के पहले उदाहरण में है) या कुछ शून्य हैं। इन मामलों में, जड़ों के लिए सूत्र बहुत सरल है, जैसे कि हल करने योग्य डी मोइवर क्विंटिक के लिए


 * $$x^5+5ax^3+5a^2x+b = 0\,,$$

जहां सहायक समीकरण के दो शून्य मूल हैं और उन्हें गुणनखंडित करके, द्विघात समीकरण में बदल दिया जाता है


 * $$y^2+by-a^5 = 0\,,$$

जैसे कि डी मोइवर क्विंटिक की पांच जड़ें दी गई हैं


 * $$x_k = \omega^k\sqrt[5]{y_i} -\frac{a}{\omega^k\sqrt[5]{y_i}},$$

कहां क्योंiसहायक द्विघात समीकरण का कोई मूल है और ω एकता के चार आदिम मूलों में से कोई एक है। इसे आसानी से हल करने योग्य सेप्टिक समीकरण और अन्य विषम डिग्री बनाने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जरूरी नहीं कि यह अभाज्य हो।

अन्य हल करने योग्य क्विंटिक्स
ब्रिंग-जेरार्ड फॉर्म में असीमित रूप से कई हल करने योग्य क्विंटिक्स हैं जिन्हें पिछले अनुभाग में पैरामीटराइज़ किया गया है।

चर की स्केलिंग तक, आकृति के ठीक पाँच हल करने योग्य क्विंटिक्स होते हैं $$x^5+ax^2+b$$, जो हैं (जहाँ s एक स्केलिंग कारक है):
 * $$x^5-2s^3x^2-\frac{s^5}{5} $$
 * $$ x^5-100s^3x^2-1000s^5$$
 * $$x^5-5s^3x^2-3s^5 $$
 * $$x^5-5s^3x^2+15s^5 $$
 * $$ x^5-25s^3x^2-300s^5$$

पैक्सटन यंग (1888) ने हल करने योग्य क्विंटिक्स के कई उदाहरण दिए:
 * {| $$x^5+3x^2+2x-1 $$ ||

हल करने योग्य क्विंटिक्स का एक अनंत अनुक्रम बनाया जा सकता है, जिनकी जड़ें योग हैं $n$एकता की जड़ें, साथ $n = 10k + 1$ एक अभाज्य संख्या होना:
 * $$ x^5-10x^3-20x^2-1505x-7412$$ ||
 * $$x^5+\frac{625}{4}x+3750 $$||
 * $$x^5-\frac{22}{5}x^3-\frac{11}{25}x^2+\frac{462}{125}x+\frac{979}{3125} $$ ||
 * $$x^5+20x^3+20x^2+30x+10 $$ || $$~\qquad ~$$ Root: $$ \sqrt[5]{2}-\sqrt[5]{2}^2+\sqrt[5]{2}^3-\sqrt[5]{2}^4$$
 * $$x^5-20x^3+250x-400 $$ ||
 * $$x^5-5x^3+\frac{85}{8}x-\frac{13}{2} $$ ||
 * $$ x^5+\frac{20}{17}x+\frac{21}{17}$$ ||
 * $$x^5-\frac{4}{13}x+\frac{29}{65}$$||
 * $$ x^5+\frac{10}{13}x+\frac{3}{13}	$$ ||
 * $$ x^5+110(5x^3+60x^2+800x+8320)$$ ||
 * $$x^5-20 x^3 -80 x^2 -150 x -656 $$||
 * $$ x^5 -40 x^3 +160 x^2 +1000 x -5888 $$ ||
 * $$ x^5-50x^3-600x^2-2000x-11200$$ ||
 * $$x^5+110(5 x^3 + 20x^2 -360 x +800) $$ ||
 * $$ x^5-20 x^3 +170 x + 208$$||
 * }
 * $$ x^5+\frac{10}{13}x+\frac{3}{13}	$$ ||
 * $$ x^5+110(5x^3+60x^2+800x+8320)$$ ||
 * $$x^5-20 x^3 -80 x^2 -150 x -656 $$||
 * $$ x^5 -40 x^3 +160 x^2 +1000 x -5888 $$ ||
 * $$ x^5-50x^3-600x^2-2000x-11200$$ ||
 * $$x^5+110(5 x^3 + 20x^2 -360 x +800) $$ ||
 * $$ x^5-20 x^3 +170 x + 208$$||
 * }
 * $$ x^5-50x^3-600x^2-2000x-11200$$ ||
 * $$x^5+110(5 x^3 + 20x^2 -360 x +800) $$ ||
 * $$ x^5-20 x^3 +170 x + 208$$||
 * }
 * $$ x^5-20 x^3 +170 x + 208$$||
 * }
 * }



हल करने योग्य क्विंटिक्स के दो मानकीकृत परिवार भी हैं: कोंडो-ब्रूमर क्विंटिक,
 * $$x^5+x^4-4x^3-3x^2+3x+1$$ || || Roots: $$2\cos\left(\frac{2k\pi}{11}\right)$$
 * $$ x^5+x^4-12x^3-21x^2+x+5$$|| || Root: $$ \sum_{k=0}^5 e^\frac{2i\pi 6^k }{31}$$
 * $$x^5+x^4-16x^3+5x^2+21x-9 $$|| || Root: $$\sum_{k=0}^7 e^\frac{2i\pi 3^k }{41}$$
 * $$x^5+x^4-24x^3-17x^2+41x-13$$|| $$~\qquad ~$$ || Root: $\sum_{k=0}^{11} e^\frac{2i\pi (21)^k }{61}$
 * $$x^5+x^4 - 28x^3 + 37x^2 + 25x + 1$$|| || Root: $\sum_{k=0}^{13} e^\frac{2i\pi (23)^k }{71}$
 * }
 * $$x^5+x^4-24x^3-17x^2+41x-13$$|| $$~\qquad ~$$ || Root: $\sum_{k=0}^{11} e^\frac{2i\pi (21)^k }{61}$
 * $$x^5+x^4 - 28x^3 + 37x^2 + 25x + 1$$|| || Root: $\sum_{k=0}^{13} e^\frac{2i\pi (23)^k }{71}$
 * }
 * $$x^5+x^4 - 28x^3 + 37x^2 + 25x + 1$$|| || Root: $\sum_{k=0}^{13} e^\frac{2i\pi (23)^k }{71}$
 * }


 * $$ x^5 + (a-3)\,x^4 + (-a+b+3)\,x^3 + (a^2-a-1-2b)\,x^2 + b\,x + a = 0 $$

और परिवार मापदंडों के आधार पर $$a, \ell, m$$
 * $$	x^5 - 5\,p \left( 2\,x^3 + a\,x^2 + b\,x \right) - p\,c = 0 $$

कहाँ


 * $$ p = \tfrac{1}{4} \left[\, \ell^2 (4m^2 + a^2) - m^2 \,\right] \;,$$
 * $$ b = \ell \, ( 4m^2 + a^2 ) - 5p - 2m^2 \;,$$
 * $$ c = \tfrac{1}{2} \left[\, b(a + 4m) - p(a - 4m) - a^2m \,\right] \;.$$
 * $$ c = \tfrac{1}{2} \left[\, b(a + 4m) - p(a - 4m) - a^2m \,\right] \;.$$
 * $$ c = \tfrac{1}{2} \left[\, b(a + 4m) - p(a - 4m) - a^2m \,\right] \;.$$

एक अपरिवर्तनीय मौका
घन समीकरणों के अनुरूप, हल करने योग्य क्विंटिक्स होते हैं जिनमें पांच वास्तविक जड़ें होती हैं जिनके सभी मूल समाधानों में जटिल संख्याओं की जड़ें शामिल होती हैं। यह क्विंटिक के लिए कैसस इरेड्यूसिबिलिस है, जिसकी चर्चा डुमिट में की गई है। वास्तव में, यदि एक इरेड्यूसेबल क्विंटिक की सभी जड़ें वास्तविक हैं, तो किसी भी जड़ को वास्तविक रेडिकल के संदर्भ में पूरी तरह से व्यक्त नहीं किया जा सकता है (जैसा कि सभी बहुपद डिग्री के लिए सच है जो 2 की शक्तियां नहीं हैं)।

कट्टरपंथियों से परे
1835 के आसपास, जॉर्ज जेरार्ड ने प्रदर्शित किया कि क्विंटिक्स को अल्ट्रारैडिकल ्स (जिसे ब्रिंग रेडिकल्स के रूप में भी जाना जाता है) का उपयोग करके हल किया जा सकता है, जो कि अद्वितीय वास्तविक जड़ है। $t^{5} + t − a = 0$ वास्तविक संख्याओं के लिए $a$. 1858 में चार्ल्स हर्मिट ने दिखाया कि त्रिकोणमितीय कार्यों के माध्यम से घन समीकरणों को हल करने के अधिक परिचित दृष्टिकोण के समान दृष्टिकोण का उपयोग करके ब्रिंग रेडिकल को जैकोबी थीटा फ़ंक्शन और उनके संबंधित अण्डाकार मॉड्यूलर फ़ंक्शन के संदर्भ में चित्रित किया जा सकता है। लगभग उसी समय, लियोपोल्ड क्रोनकर ने समूह सिद्धांत का उपयोग करते हुए, फ्रांसेस्को ब्रियोस्ची की तरह, हर्मिट के परिणाम प्राप्त करने का एक सरल तरीका विकसित किया। बाद में, फ़ेलिक्स क्लेन एक ऐसी विधि लेकर आए, जो विंशतिफलक, गैलोइस सिद्धांत और अण्डाकार मॉड्यूलर कार्यों की समरूपता से संबंधित है, जो हर्माइट के समाधान में चित्रित हैं, उन्होंने यह स्पष्टीकरण दिया कि उन्हें आखिर क्यों दिखना चाहिए, और संदर्भ में अपना स्वयं का समाधान विकसित किया सामान्यीकृत हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शंस का। इसी तरह की घटनाएँ डिग्री में घटित होती हैं $7$ (सेप्टिक समीकरण) और $11$, जैसा कि क्लेन द्वारा अध्ययन किया गया और चर्चा की गई.

रेडिकल लाओ के साथ हल करना
एक त्सचिर्नहौस परिवर्तन, जिसकी गणना एक चतुर्थक समीकरण को हल करके की जा सकती है, फॉर्म के सामान्य क्विंटिक समीकरण को कम कर देता है
 * $$x^5 + a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0\,$$ ब्रिंग-जेरार्ड सामान्य रूप में $x^{5} − x + t = 0$.

इस समीकरण की जड़ें मूलकों द्वारा व्यक्त नहीं की जा सकतीं। हालाँकि, 1858 में, चार्ल्स हर्मिट ने अण्डाकार कार्यों के संदर्भ में इस समीकरण का पहला ज्ञात समाधान प्रकाशित किया। लगभग उसी समय फ्रांसेस्को ब्रियोस्ची और लियोपोल्ड क्रोनकर समतुल्य समाधान मिले।

इन समाधानों और कुछ संबंधित समाधानों के विवरण के लिए कट्टरपंथी लाओ देखें।

आकाशीय यांत्रिकी पर अनुप्रयोग
एक खगोलीय कक्षा के लैग्रेंजियन बिंदुओं के स्थानों को हल करने में, जिसमें दोनों वस्तुओं का द्रव्यमान नगण्य है, इसमें एक क्विंटिक को हल करना शामिल है।

अधिक सटीक रूप से, एल के स्थान2 और मैं1 निम्नलिखित समीकरणों के समाधान हैं, जहां एक तिहाई पर दो द्रव्यमानों का गुरुत्वाकर्षण बल (उदाहरण के लिए, गैया जांच और एल पर जेम्स वेब स्पेस टेलीस्कोप जैसे उपग्रहों पर सूर्य और पृथ्वी)2 और एल पर सौर और हेलिओस्फेरिक वेधशाला1) सूर्य के चारों ओर पृथ्वी के साथ समकालिक कक्षा में होने के लिए उपग्रह को आवश्यक अभिकेन्द्रीय बल प्रदान करता है:


 * $$\frac{G m M_S}{(R \pm r)^2} \pm \frac{G m M_E}{r^2} = m \omega^2 (R \pm r)$$

± चिन्ह L से मेल खाता है2 और मैं1, क्रमश; G गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है, ω कोणीय वेग है, r पृथ्वी से उपग्रह की दूरी है, R सूर्य से पृथ्वी की दूरी है (अर्थात, पृथ्वी की कक्षा की अर्ध-प्रमुख धुरी), और m, ME, और एमSउपग्रह, पृथ्वी और सूर्य के संबंधित द्रव्यमान हैं।

केप्लर के तीसरे नियम का उपयोग करना $$\omega^2=\frac{4 \pi^2}{P^2}=\frac{G (M_S+M_E)}{R^3}$$ और सभी पदों को पुनर्व्यवस्थित करने से क्विंटिक प्राप्त होता है


 * $$a r^5 + b r^4 + c r^3 + d r^2 + e r + f = 0$$

साथ:
 * $$ \begin{align}

&a = \pm (M_S + M_E),\\ &b = + (M_S + M_E) 3 R,\\ &c = \pm (M_S + M_E) 3 R^2,\\ &d = + (M_E \mp M_E) R^3\ (thus\ d = 0\ for\ L_2),\\ &e = \pm M_E 2 R^4,\\ &f = \mp M_E R^5 \end{align}$$.

इन दो क्विंटिक्स को हल करने से परिणाम मिलते हैं $r = 1.501 x 10^{9} m$ एल के लिए2 और $r = 1.491 x 10^{9} m$ एल के लिए1. लैग्रेंजियन बिंदुओं पर वस्तुओं की सूची|सूर्य-पृथ्वी लैग्रैन्जियन बिंदु एल2 और मैं1 आमतौर पर पृथ्वी से 1.5 मिलियन किमी दूर दिया जाता है।

यदि छोटी वस्तु का द्रव्यमान (ME) बड़ी वस्तु (एम) के द्रव्यमान से बहुत छोटा हैS), तो क्विंटिक समीकरण को बहुत कम किया जा सकता है और एल1 और मैं2 पहाड़ी क्षेत्र की त्रिज्या लगभग इस प्रकार दी गई है:


 * $$r \approx R \sqrt[3]{\frac{M_E}{3 M_S}}$$

उससे भी पैदावार होती है $r = 1.5 x 10^{9} m$ एल पर उपग्रहों के लिए1 और मैं2 सूर्य-पृथ्वी प्रणाली में.

यह भी देखें

 * सेक्सटिक समीकरण
 * सेप्टिक समारोह
 * समीकरणों का सिद्धांत

संदर्भ

 * Charles Hermite, "Sur la résolution de l'équation du cinquème degré", Œuvres de Charles Hermite, 2:5–21, Gauthier-Villars, 1908.
 * Leopold Kronecker, "Sur la résolution de l'equation du cinquième degré, extrait d'une lettre adressée à M. Hermite", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, 46:1:1150–1152 1858.
 * Blair Spearman and Kenneth S. Williams, "Characterization of solvable quintics $x^{5} + ax + b$, American Mathematical Monthly, 101:986–992 (1994).
 * Ian Stewart, Galois Theory 2nd Edition, Chapman and Hall, 1989. ISBN 0-412-34550-1. Discusses Galois Theory in general including a proof of insolvability of the general quintic.
 * Jörg Bewersdorff, Galois theory for beginners: A historical perspective, American Mathematical Society, 2006. ISBN 0-8218-3817-2. Chapter 8 gives a description of the solution of solvable quintics $x^{5} + cx + d$.
 * Victor S. Adamchik and David J. Jeffrey, "Polynomial transformations of Tschirnhaus, Bring and Jerrard," ACM SIGSAM Bulletin, Vol. 37, No. 3, September 2003, pp. 90–94.
 * Ehrenfried Walter von Tschirnhaus, "A method for removing all intermediate terms from a given equation," ACM SIGSAM Bulletin, Vol. 37, No. 1, March 2003, pp. 1–3.
 * Ehrenfried Walter von Tschirnhaus, "A method for removing all intermediate terms from a given equation," ACM SIGSAM Bulletin, Vol. 37, No. 1, March 2003, pp. 1–3.

बाहरी संबंध

 * Mathworld - Quintic Equation – more details on methods for solving Quintics.
 * Solving Solvable Quintics – a method for solving solvable quintics due to David S. Dummit.
 * A method for removing all intermediate terms from a given equation - a recent English translation of Tschirnhaus' 1683 paper.