संचालक बीजगणित

कार्यात्मक विश्लेषण में, गणित की एक शाखा, एक ऑपरेटर बीजगणित, फ़ंक्शन संरचना द्वारा दिए गए गुणन के साथ एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस पर निरंतर फ़ंक्शन (टोपोलॉजी) रैखिक ऑपरेटरों के क्षेत्र पर एक बीजगणित है।

ऑपरेटर बीजगणित के अध्ययन में प्राप्त परिणाम बीजगणितीय शब्दों में अभिव्यक्त किए जाते हैं, जबकि उपयोग की जाने वाली तकनीकें अत्यधिक गणितीय विश्लेषण हैं। यद्यपि ऑपरेटर बीजगणित के अध्ययन को आमतौर पर कार्यात्मक विश्लेषण की एक शाखा के रूप में वर्गीकृत किया जाता है, इसमें प्रतिनिधित्व सिद्धांत, अंतर ज्यामिति, क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी, क्वांटम सूचना और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग हैं।

सिंहावलोकन
ऑपरेटर बीजगणित का उपयोग एक साथ छोटे बीजगणितीय संबंध वाले ऑपरेटरों के मनमाने सेट का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है। इस दृष्टिकोण से, ऑपरेटर बीजगणित को एकल ऑपरेटर के वर्णक्रमीय सिद्धांत के सामान्यीकरण के रूप में माना जा सकता है। सामान्य संचालिका बीजगणित में गैर क्रमविनिमेय वलय | गैर क्रमविनिमेय वलय (गणित) होते हैं।

एक ऑपरेटर बीजगणित को आमतौर पर निरंतर रैखिक ऑपरेटरों के पूरे बीजगणित के अंदर एक निर्दिष्ट ऑपरेटर टोपोलॉजी में क्लोजर (गणित) होना आवश्यक है। विशेष रूप से, यह बीजगणितीय और सामयिक समापन गुणों दोनों के साथ ऑपरेटरों का एक सेट है। कुछ विषयों में ऐसे गुणों को स्वयंसिद्ध किया जाता है और कुछ सामयिक संरचना वाले बीजगणित अनुसंधान का विषय बन जाते हैं।

हालांकि ऑपरेटरों के बीजगणित का अध्ययन विभिन्न संदर्भों में किया जाता है (उदाहरण के लिए, वितरण (गणित) के रिक्त स्थान पर अभिनय करने वाले छद्म-विभेदक ऑपरेटरों के बीजगणित), ऑपरेटर बीजगणित शब्द का प्रयोग आमतौर पर बानाच स्थान पर बंधे ऑपरेटरों के बीजगणित के संदर्भ में किया जाता है या यहां तक ​​​​कि अधिक विशेष रूप से ऑपरेटर मानदंड टोपोलॉजी के साथ संपन्न एक अलग करने योग्य स्थान हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर ऑपरेटरों के बीजगणित के संदर्भ में।

हिल्बर्ट स्पेस पर ऑपरेटरों के मामले में, ऑपरेटरों पर हर्मिटियन आसन्न मानचित्र एक प्राकृतिक इनवॉल्यूशन (गणित) देता है, जो एक अतिरिक्त बीजगणितीय संरचना प्रदान करता है जिसे बीजगणित पर लगाया जा सकता है। इस संदर्भ में, सबसे अच्छे अध्ययन किए गए उदाहरण स्व-समीप संचालिका बीजगणित हैं, जिसका अर्थ है कि वे संलग्न लेने के अंतर्गत बंद हैं। इनमें C*या * बीजीय, वॉन न्यूमैन एल्जेब्रा और AW*-एलजेब्रा शामिल हैं। सी * - बीजगणित को मानदंड, समावेशन और गुणन से संबंधित स्थिति द्वारा आसानी से अमूर्त रूप से चित्रित किया जा सकता है। इस तरह के अमूर्त रूप से परिभाषित सी*-अलजेब्रस को एक उपयुक्त हिल्बर्ट स्पेस पर निरंतर रैखिक ऑपरेटरों के बीजगणित के एक अंगूठी या क्षेत्र पर बीजगणित के लिए एक निश्चित बंद सबलजेब्रा#सबलजेब्रस की पहचान की जा सकती है। इसी तरह का परिणाम वॉन न्यूमैन बीजगणित के लिए है।

क्रमविनिमेय बीजगणित स्व-आसन्न संचालिका बीजगणित को जटिल संख्याओं के बीजगणित के रूप में माना जा सकता है - स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान पर निरंतर कार्य, या मापन योग्य स्थान पर मापनीय कार्य। इस प्रकार, सामान्य ऑपरेटर बीजगणित को अक्सर इन बीजगणितों के गैर-अनुवर्ती सामान्यीकरण, या आधार स्थान की संरचना के रूप में माना जाता है, जिस पर कार्य परिभाषित होते हैं। इस दृष्टिकोण को गैर-अनुक्रमिक ज्यामिति के दर्शन के रूप में विस्तृत किया गया है, जो गैर-शास्त्रीय और/या रोग संबंधी वस्तुओं का अध्ययन गैर-अनुसूचित ऑपरेटर बीजगणित द्वारा करने की कोशिश करता है।

ऑपरेटर बीजगणित के उदाहरण जो स्व-संलग्न नहीं हैं उनमें शामिल हैं:
 * घोंसला बीजगणित,
 * कई क्रमविनिमेय उपस्थान जाली बीजगणित,
 * कई बीजगणित सीमित करते हैं।

अग्रिम पठन

 * M. Takesaki, Theory of Operator Algebras I, Springer, 2001.
 * M. Takesaki, Theory of Operator Algebras I, Springer, 2001.