स्यूडोहोलोमॉर्फिक वक्र

गणित में, विशेष रूप से टोपोलॉजी और ज्यामिति में, एक स्यूडोहोलोमोर्फिक वक्र (या जे-होलोमोर्फिक वक्र) रीमैन सतह से एक लगभग जटिल मैनिफोल्ड में एक चिकना नक्शा है जो कॉची-रीमैन समीकरणों को संतुष्ट करता है। कॉची-रीमैन समीकरण। 1985 में मिखाइल ग्रोमोव (गणितज्ञ) द्वारा पेश किए गए, स्यूडोहोलोमोर्फिक वक्रों ने तब से सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड के अध्ययन में क्रांति ला दी है। विशेष रूप से, वे ग्रोमोव-विटन इनवेरिएंट्स और फ्लोर होमोलॉजी का नेतृत्व करते हैं, और स्ट्रिंग सिद्धांत में एक प्रमुख भूमिका निभाते हैं।

परिभाषा
होने देना $$X$$ लगभग जटिल संरचना के साथ लगभग जटिल कई गुना हो $$J$$. होने देना $$C$$ जटिल संरचना के साथ एक चिकनी रीमैन सतह (जिसे बीजगणितीय वक्र भी कहा जाता है) बनें $$j$$. में एक स्यूडोहोलोमॉर्फिक वक्र $$X$$ एक नक्शा है $$f : C \to X$$ कॉची-रीमैन समीकरण को संतुष्ट करता है
 * $$\bar \partial_{j, J} f := \frac{1}{2}(df + J \circ df \circ j) = 0.$$

तब से $$J^2 = -1$$, यह स्थिति इसके बराबर है
 * $$J \circ df = df \circ j,$$

जिसका सीधा सा मतलब है कि अंतर $$df$$ जटिल-रैखिक है, अर्थात $$J$$ प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान को मैप करता है
 * $$T_xf(C)\subseteq T_xX$$

खुद को। तकनीकी कारणों से, अक्सर किसी प्रकार के विषम शब्द का परिचय देना बेहतर होता है $$\nu$$ और विचलित कॉची-रीमैन समीकरण को संतुष्ट करने वाले मानचित्रों का अध्ययन करने के लिए
 * $$\bar \partial_{j, J} f = \nu.$$

इस समीकरण को संतुष्ट करने वाले स्यूडोहोलोमॉर्फिक वक्र को, विशेष रूप से, a कहा जा सकता है$$(j, J, \nu)$$-होलोमॉर्फिक वक्र। गड़बड़ी $$\nu$$ कभी-कभी हैमिल्टनियन वेक्टर क्षेत्र (विशेष रूप से फ़्लोर सिद्धांत में) द्वारा उत्पन्न माना जाता है, लेकिन सामान्य तौर पर ऐसा होना आवश्यक नहीं है।

एक स्यूडोहोलोमॉर्फिक वक्र, इसकी परिभाषा के अनुसार, हमेशा पैरामीट्रिज्ड होता है। अनुप्रयोगों में अक्सर अप्रतिबंधित वक्रों में वास्तव में रुचि होती है, जिसका अर्थ है एम्बेडेड (या विसर्जित) दो-सबमनीफोल्ड $$X$$, इसलिए संबंधित संरचना को बनाए रखने वाले डोमेन के रीपैरामेट्रिजेशन द्वारा एक मॉड आउट किया जाता है। ग्रोमोव-विटन इनवेरिएंट्स के मामले में, उदाहरण के लिए, हम केवल बंद मैनिफोल्ड डोमेन पर विचार करते हैं $$C$$ निश्चित जाति का $$g$$ और हम परिचय देते हैं $$n$$ चिह्नित बिंदु (या पंचर)। $$C$$. जैसे ही पंचर यूलर विशेषता $$2 - 2 g - n$$ नकारात्मक है, के केवल बहुत से होलोमोर्फिक पुनर्परमेट्रिजेशन हैं $$C$$ जो चिह्नित बिंदुओं को संरक्षित करता है। डोमेन वक्र $$C$$ Deligne-Mumford मॉड्यूली स्पेस ऑफ कर्व्स का एक तत्व है।

शास्त्रीय कॉची-रीमैन समीकरणों के साथ समानता
शास्त्रीय मामला तब होता है जब $$X$$ और $$C$$ दोनों केवल सम्मिश्र संख्या तल हैं। वास्तविक निर्देशांक में
 * $$j = J = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix},$$

और
 * $$df = \begin{bmatrix} du/dx & du/dy \\ dv/dx & dv/dy \end{bmatrix},$$

कहाँ $$f(x, y) = (u(x, y), v(x, y))$$. इन मेट्रिसेस को दो अलग-अलग क्रमों में गुणा करने के बाद, तुरंत यह समीकरण दिखाई देता है
 * $$J \circ df = df \circ j$$

ऊपर लिखा गया शास्त्रीय कॉची-रीमैन समीकरणों के बराबर है
 * $$\begin{cases} du/dx = dv/dy \\ dv/dx = -du/dy. \end{cases}$$

सहानुभूतिपूर्ण टोपोलॉजी में अनुप्रयोग
यद्यपि उन्हें किसी भी लगभग जटिल कई गुना के लिए परिभाषित किया जा सकता है, स्यूडोहोलोमोर्फिक वक्र विशेष रूप से दिलचस्प होते हैं $$J$$ एक सहानुभूतिपूर्ण रूप के साथ बातचीत करता है $$\omega$$. एक लगभग जटिल संरचना $$J$$ बताया गया$$\omega$$- वश में अगर और केवल अगर
 * $$\omega(v, J v) > 0$$

सभी अशून्य स्पर्शरेखा सदिशों के लिए $$v$$. वशीकरण का तात्पर्य है कि सूत्र
 * $$(v, w) = \frac{1}{2}\left(\omega(v, Jw) + \omega(w, Jv)\right)$$

एक रिमेंनियन मीट्रिक को परिभाषित करता है $$X$$. ग्रोमोव ने दिखाया कि, दिए गए के लिए $$\omega$$, का स्थान $$\omega$$-वश $$J$$ गैर-रिक्त और संविदात्मक है। उन्होंने इस सिद्धांत का उपयोग सिलेंडरों में गोले के सहानुभूति संबंधी एम्बेडिंग से संबंधित एक गैर-निचोड़ने वाले प्रमेय को साबित करने के लिए किया।

ग्रोमोव ने दिखाया कि स्यूडोहोलोमॉर्फिक कर्व्स (अतिरिक्त निर्दिष्ट शर्तों को पूरा करने वाले) के कुछ मोडुली स्पेस कॉम्पैक्ट जगह  हैं, और उस तरीके का वर्णन किया है जिसमें स्यूडोहोलोमॉर्फिक कर्व्स पतित हो सकते हैं जब केवल परिमित ऊर्जा ग्रहण की जाती है। (परिमित ऊर्जा की स्थिति सबसे विशेष रूप से एक निश्चित समरूपता वर्ग के साथ वक्रों के लिए एक सहानुभूतिपूर्ण मैनिफोल्ड में होती है जहां जे है $$\omega$$-वश या $$\omega$$-अनुकूल)। यह ग्रोमोव की कॉम्पैक्टनेस प्रमेय (टोपोलॉजी), जो अब स्थिर मानचित्रों का उपयोग करके बहुत सामान्यीकृत है, ग्रोमोव-विटन इनवेरिएंट्स की परिभाषा को संभव बनाता है, जो सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड्स में स्यूडोहोलोमोर्फिक घटता की गणना करता है।

स्यूडोहोलोमोर्फिक कर्व्स के कॉम्पैक्ट मोडुली स्पेस का उपयोग फ्लोर होमोलॉजी के निर्माण के लिए भी किया जाता है, जो एंड्रियास फ्लोर (और बाद के लेखकों, अधिक सामान्यता में) हैमिल्टनियन प्रवाह के निश्चित बिंदुओं की संख्या के संबंध में व्लादिमीर अर्नोल्ड के प्रसिद्ध अनुमान को साबित करने के लिए उपयोग किया जाता है।

भौतिकी में अनुप्रयोग
टाइप II स्ट्रिंग थ्योरी में, कोई उन सतहों पर विचार करता है जो स्ट्रिंग्स द्वारा खोजी जाती हैं क्योंकि वे कैलाबी-यॉ 3-गुना में पथ के साथ यात्रा करते हैं। क्वांटम यांत्रिकी के पथ अभिन्न सूत्रीकरण के बाद, ऐसी सभी सतहों के स्थान पर कुछ निश्चित अभिन्नताओं की गणना करना चाहता है। क्योंकि ऐसी जगह अनंत-आयामी है, ये पथ इंटीग्रल सामान्य रूप से गणितीय रूप से अच्छी तरह से परिभाषित नहीं हैं। हालांकि, एक मोड के तहत यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि सतहों को स्यूडोहोलोमोर्फिक वक्रों द्वारा पैरामीट्रिज्ड किया जाता है, और इसलिए पाथ इंटेग्रल्स स्यूडोहोलोमोर्फिक कर्व्स (या बल्कि स्थिर मानचित्र) के मोडुली स्पेस पर इंटीग्रल तक कम हो जाते हैं, जो परिमित-आयामी होते हैं। बंद प्रकार IIA स्ट्रिंग थ्योरी में, उदाहरण के लिए, ये इंटीग्रल ठीक ग्रोमोव-विटन इनवेरिएंट हैं।

यह भी देखें

 * होलोमॉर्फिक वक्र

संदर्भ

 * Dusa McDuff and Dietmar Salamon, J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology, American Mathematical Society colloquium publications, 2004. ISBN 0-8218-3485-1.
 * Mikhail Leonidovich Gromov, Pseudo holomorphic curves in symplectic manifolds. Inventiones Mathematicae vol. 82, 1985, pgs. 307-347.