संख्यात्मक विश्लेषण

संख्यात्मक विश्लेषण कलन विधि का अध्ययन है जो गणितीय विश्लेषण की समस्याओं को हल करने के लिए संख्यात्मक अनुमानों (प्रतीकात्मक जोड़तोड़ के विपरीत) का उपयोग करता है (असतत गणित से अलग)। यह संख्यात्मक तरीकों का अध्ययन है जो सटीक समाधान के बजाय समस्याओं के अनुमानित समाधान खोजने का प्रयास करता है। संख्यात्मक विश्लेषण अभियांत्रिकी और भौतिक विज्ञान के सभी क्षेत्रों में लागू होता है, और 21 वीं सदी में भी जीवन और सामाजिक विज्ञान, चिकित्सा, व्यवसाय और यहां तक कि कला भी। कंप्यूटिंग शक्ति में मौजूदा वृद्धि ने विस्तृत और यथार्थवादी गणितीय मॉडल प्रदान करते हुए विज्ञान और इंजीनियरिंग में अधिक जटिल संख्यात्मक विश्लेषण के उपयोग को सक्षम किया है। संख्यात्मक विश्लेषण के उदाहरणों में सामान्य अंतर समीकरण शामिल हैं जैसा कि खगोलीय यांत्रिकी (ग्रहों, सितारों और आकाशगंगाओं की गति की भविष्यवाणी), डेटा विश्लेषण में संख्यात्मक रैखिक बीजगणित,  और दवा और जीव विज्ञान में जीवित कोशिकाओं के अनुकरण के लिए स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण और मार्कोव श्रृंखलाओं में पाया जाता है।

आधुनिक कंप्यूटरों से पहले, संख्यात्मक तरीके अक्सर बड़े मुद्रित तालिकाओं के डेटा का उपयोग करते हुए, हस्त प्रक्षेप सूत्रों पर निर्भर करते थे। 20वीं सदी के मध्य से, कंप्यूटर इसके बजाय आवश्यक कार्यों की गणना करते हैं, लेकिन सॉफ्टवेयर कलन विधि में एक ही तरह के कई सूत्रों का उपयोग जारी है।

संख्यात्मक दृष्टिकोण प्रारंभिक गणितीय लेखन पर वापस जाता है। येल बेबीलोनियाई संग्रह (वाईबीसी/YBC 7289) से एक टैबलेट 2 के वर्गमूल का साठवाँ (sexagesimal) अनुमानित देता है, जो एक इकाई वर्ग में एक विकर्ण की लंबाई है।

संख्यात्मक विश्लेषण इस परंपरा को जारी रखता है: अंकों में अनुवादित सटीक प्रतीकात्मक उत्तर देने और केवल वास्तविक दुनिया के माप के लिए लागू होने के बजाय, निर्दिष्ट त्रुटि श्रेणियों के भीतर अनुमानित समाधानों का उपयोग किया जाता है।

सामान्य परिचय
संख्यात्मक विश्लेषण के क्षेत्र का समग्र लक्ष्य कठिन समस्याओं के पूर्वानुमान योग्य लेकिन सटीक समाधान प्रदान करने के लिए तकनीकों का डिजाइन और विश्लेषण है, जिनमें से कई प्रकार निम्नलिखित हैं:


 * संख्यात्मक मौसम पूर्वानुमान को व्यवहार्य बनाने के लिए, उन्नत संख्यात्मक विधियों की आवश्यकता होती है।
 * एक अंतरिक्ष यान के प्रक्षेपवक्र की गणना के लिए सरल अंतर समीकरणों की एक प्रणाली के सटीक संख्यात्मक समाधान की आवश्यकता होती है।
 * कार कंपनियां कार दुर्घटनाओं के कंप्यूटर अनुकरण का उपयोग कर अपने वाहनों की दुर्घटना सुरक्षा में सुधार कर सकती हैं। इस तरह के अनुकरण में अनिवार्य रूप से संख्यात्मक रूप से आंशिक अंतर समीकरणों को हल करना शामिल है।
 * हेज फंड (निजी निवेश फंड) अन्य बाजार सहभागियों के सापेक्ष स्टॉक और डेरिवेटिव के मूल्य की गणना करने के लिए संख्यात्मक विश्लेषण के सभी क्षेत्रों से उपकरणों का उपयोग करते हैं।
 * एयरलाइंस टिकट की कीमतों, हवाई जहाज और क्रू असाइनमेंट और ईंधन की जरूरतों को तय करने के लिए परिष्कृत अनुकूलन एल्गोरिदम का उपयोग करती हैं। ऐतिहासिक रूप से, ऐसे एल्गोरिदम संचालन अनुसंधान के अतिव्यापी क्षेत्र के भीतर विकसित किए गए हैं।
 * बीमा कंपनियां बीमांकिक विश्लेषण करने के लिए संख्यात्मक कार्यक्रमों का इस्तेमाल करती हैं।

इस खंड के शेष भाग में संख्यात्मक विश्लेषण के कई महत्वपूर्ण विषयों की रूपरेखा है।

इतिहास
संख्यात्मक विश्लेषण का क्षेत्र कई सहस्राब्दियों से आधुनिक कंप्यूटरों के आविष्कार की भविष्यवाणी करता है। रेखीय प्रक्षेपण 2000 वर्षों से अधिक समय से उपयोग में था। अतीत के कई महान गणितज्ञ संख्यात्मक विश्लेषण में लगे हुए थे, जैसा कि न्यूटन की विधि, लैग्रेंज इंटरपोलेशन बहुपद, गाऊसी उन्मूलन, या यूलर की विधि जैसे महत्वपूर्ण कलन विधि के नामों से प्रमाणित है।

हाथ से गणना की सुविधा के लिए, बड़ी पुस्तकों का निर्माण सूत्रों और डेटा की तालिकाओं जैसे कि प्रक्षेप बिंदुओं और फ़ंक्शन गुणांक के साथ किया गया था। इन तालिकाओं का उपयोग करते हुए, कुछ फ़ंक्शन के लिए अक्सर 16 दशमलव स्थानों या उससे अधिक की गणना की जाती है, कोई दिए गए फ़ार्मुलों में प्लग इन करने के लिए मानों को देख सकता है और कुछ फ़ंक्शन के बहुत अच्छे संख्यात्मक अनुमान प्राप्त कर सकता है। क्षेत्र में विहित कार्य एनआईएसटी (NIST) प्रकाशन है, जिसे अब्रामोविट्ज़ और स्टेगुन द्वारा संपादित किया गया है, जो 1000 से अधिक पृष्ठ की पुस्तक है जिसमें बड़ी संख्या में आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले सूत्र और कार्य और कई बिंदुओं पर उनके मूल्य शामिल हैं। कंप्यूटर के उपलब्ध होने पर समीकरण मान अब बहुत उपयोगी नहीं होते हैं, लेकिन समीकरणों की बड़ी सूचियाँ अभी भी बहुत उपयोगी हो सकती हैं।

हाथ की गणना के लिए एक उपकरण के रूप में यांत्रिक कैलकुलेटर भी विकसित किए गए थे। 1940 के दशक में ये कैलकुलेटर इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर में विकसित हुए और तब यह पाया गया कि ये कंप्यूटर प्रशासनिक उद्देश्यों के लिए भी उपयोगी थे। लेकिन कंप्यूटर के आविष्कार ने संख्यात्मक विश्लेषण के क्षेत्र को भी प्रभावित किया, क्योंकि अब अधिक जटिल गणनाएं की जा सकती थीं।

प्रत्यक्ष और पुनरावृत्त विधियाँ
समस्या समाधान के बारे में सोचें


 * 3x3 + 4 = 28

अज्ञात मात्रा के लिए x

पुनरावृत्त विधि के लिए, द्विभाजन विधि को f(x) = 3x3- 24 में लागू करें। प्रारंभिक मान हैं a = 0, b = 3, f(a) = -24, f(b) = 57

इस तालिका से यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि समाधान 1.875 और 2.0625 के बीच है। कलन विधि 0.2 से कम की त्रुटि के साथ उस सीमा में किसी भी संख्या को वापस कर सकता है।

युक्तिकरण और संख्यात्मक एकीकरण
दो घंटे की दौड़ में कार की गति को तीन समय के क्षण में मापा जाता है और इसे निम्न तालिका में दर्ज किया जाता है।

युक्तिकरण का कहना होगा कि कार की गति 0:00 से 0:40 तक, फिर 0:40 से 1:20 तक और अंत में 1:20 से 2:00 तक स्थिर रही। उदाहरण के लिए, पहले 40 मिनट में तय की गई कुल दूरी लगभग (2/3 घंटे × 140 किमी / घंटा) = 93.3 किमी है। यह हमें 93.3 किमी + 100 किमी + 120 किमी = 313.3 किमी के रूप में यात्रा की गई कुल दूरी का अनुमान लगाने की अनुमति देगा, जो विस्थापन वेग के रूप में रीमैन योग का उपयोग करके संख्यात्मक एकीकरण (नीचे देखें) का एक उदाहरण है क्योंकि विस्थापन वेग एक अभिन्न अंग है।

कुप्रतिबंधित समीकरण: फलन लें f(x) = 1/(x - 1)। ध्यान दें कि f(1.1) = 10 और f(1.001) = 1000: x में 0.1 से कम का परिवर्तन लगभग 1000 के f(x) में परिवर्तन में तब्दील हो जाता है। x = 1 के पास f(x) का मूल्यांकन एक मिथ्या स्थिति वाली समस्या है ।

सुपरिभाषित समीकरण: इसके विपरीत, निकट-समरूप फलन f(x) = 1/(x - 1) से x = 10 का मूल्यांकन करना एक समस्या है। उदाहरण के लिए, f(10) = 1/9 0.111 और f(11) = 0.1: x में थोड़ा सा परिवर्तन f(x) में मामूली परिवर्तन का कारण बनता है।

प्रत्यक्ष विधियाँ किसी समस्या के समाधान की गणना सीमित चरणों में करती हैं। यदि इन विधियों को अनंत परिशुद्धता अंकगणित में किया जाता है तो वे सटीक उत्तर देंगे। उदाहरणों में गाऊसी उन्मूलन, रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए क्यूआर कारककरण (QR factorization) विधि और रैखिक प्रोग्रामिंग की सरल विधि शामिल हैं। व्यवहार में, परिमित परिशुद्धता का उपयोग किया जाता है और परिणाम वास्तविक समाधान का एक सन्निकटन होता है (स्थिर मानकर)।

प्रत्यक्ष विधियों के विपरीत, पुनरावृत्त विधियों से चरणों की एक सीमित संख्या में समाप्त होने की उम्मीद नहीं की जाती है। प्रारंभिक अनुमान से शुरू होकर, पुनरावृत्त विधियाँ क्रमिक अनुमान बनाती हैं जो केवल सीमा में ही सटीक समाधान में परिवर्तित होती हैं। एक अभिसरण परीक्षण, जिसमें अक्सर अवशिष्ट शामिल होते हैं, यह निर्धारित करने के लिए निर्दिष्ट किया जाता है कि कब (उम्मीद है) एक पर्याप्त सटीक समाधान मिल गया है। यहां तक ​​कि अनंत सटीक अंकगणित का उपयोग करके भी ये विधियां सीमित संख्या में चरणों (सामान्य रूप से) के भीतर समाधान तक नहीं पहुंचेंगी। उदाहरणों में शामिल हैं न्यूटन की विधि, द्विभाजन विधि और जैकोबी पुनरावृत्ति। कम्प्यूटेशनल मैट्रिक्स बीजगणित में, बड़ी समस्याओं के लिए आम तौर पर पुनरावृत्ति विधियों की आवश्यकता होती है।   संख्यात्मक विश्लेषण में प्रत्यक्ष विधियों की तुलना में पुनरावृत्त विधियां अधिक सामान्य हैं।

कुछ विधियां सैद्धांतिक रूप से प्रत्यक्ष होती हैं लेकिन आमतौर पर उनका उपयोग ऐसे किया जाता है जैसे वे नहीं थे, उदाहरण, जीएमआरईएस (GMRES) और संयुग्म अनुपात विधि। इन विधियों के लिए, सटीक समाधान प्राप्त करने के लिए आवश्यक चरणों की संख्या इतनी बड़ी है कि एक सन्निकटन को उसी तरह स्वीकार किया जाता है जैसे कि एक पुनरावृत्त विधि के लिए।

असंततकरण
इसके अलावा, निरंतर समस्याओं को कभी-कभी एक असतत समस्या द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, जिसका समाधान निरंतर समस्या के समाधान के अनुमान के लिए जाना जाता है, यह प्रक्रिया 'विघटन' कहलाती है। उदाहरण के लिए, एक अंतर समीकरण का समाधान एक समीकरण है। इस समीकरण को डेटा की एक सीमित मात्रा द्वारा दर्शाया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, इसके डोमेन पर इसके मूल्यों की एक सीमित संख्या द्वारा, भले ही यह डोमेन एक निरंतरता है।

त्रुटियों की उत्पत्ति और प्रसार
त्रुटियों का अध्ययन संख्यात्मक विश्लेषण का एक महत्वपूर्ण अंग है। किसी समस्या को हल करने के लिए त्रुटि को पेश करने के कई तरीके हैं।

निकटन-त्रुटि (Round-off)
निकटन-त्रुटियां उत्पन्न होती हैं क्योंकि परिमित स्मृति (अर्थात सभी व्यावहारिक डिजिटल कंप्यूटर) वाली मशीन पर सभी वास्तविक संख्याओं का सटीक रूप से प्रतिनिधित्व करना असंभव है।

छिन्नकरण और असंततकरण त्रुटि
छिन्नकरण त्रुटियाँ तब होती हैं जब एक पुनरावृत्त विधि को समाप्त कर दिया जाता है या एक गणितीय प्रक्रिया का अनुमान लगाया जाता है और अनुमानित समाधान सटीक समाधान से भिन्न होता है। इसी तरह, असंततकरण एक असंततकरण त्रुटि पैदा करता है क्योंकि असतत समस्या का समाधान निरंतर समस्या के समाधान से मेल नहीं खाता है। ऊपर दिए गए उदाहरण में $$3x^3+4=28$$ के समाधान की गणना करने के लिए, दस पुनरावृत्तियों के बाद, परिकलित मूल लगभग 1.99 है। इसलिए, छिन्नकरण त्रुटि 0.01 है।

एक बार त्रुटि होने पर, इसे गणना के माध्यम से फैलाया जाता है। उदाहरण के लिए, किसी कंप्यूटर पर ऑपरेशन + सही नहीं है। $a+b+c+d+e$ प्रकार की गणना और भी सटीक नहीं है।

जब एक गणितीय प्रक्रिया का अनुमान लगाया जाता है तो एक छिन्नन त्रुटि होती है। किसी समीकरण को सटीक रूप से एकीकृत करने के लिए, क्षेत्रों की एक अनंत राशि मिलनी चाहिए, लेकिन संख्यात्मक रूप से केवल क्षेत्रों का एक सीमित योग ही पाया जा सकता है, और इसलिए सटीक समाधान का अनुमान लगाया जा सकता है। इसी तरह, किसी समीकरण में अंतर करने के लिए, अंतर तत्व शून्य के करीब पहुंचता है, लेकिन संख्यात्मक रूप से अंतर तत्व का केवल एक गैर-शून्य मान चुना जा सकता है।

संख्यात्मक स्थिरता और सुविचारित समस्याएं
संख्यात्मक विश्लेषण में संख्यात्मक स्थिरता एक मान्यता है। एक कलन विधि को 'संख्यात्मक रूप से स्थिर' कहा जाता है यदि कोई त्रुटि, किसी भी कारण से, गणना के दौरान बहुत बड़ी नहीं होती है। यह तब होता है जब समस्या 'अच्छी तरह से  सशर्त ' होती है, जिसका अर्थ है कि समाधान केवल थोड़ी मात्रा में बदलता है यदि समस्या डेटा को थोड़ी मात्रा में बदल दिया जाता है। इसके विपरीत यदि कोई समस्या 'असभ्य' है, तो डेटा में कोई भी छोटी त्रुटि एक बड़ी त्रुटि बन जाएगी। मूल समस्या और उस समस्या को हल करने के लिए प्रयुक्त कलन विधि दोनों 'अच्छी तरह से सशर्त  या 'कुप्रतिबंधित' हो सकते हैं, और कोई भी संयोजन संभव है।

तो कलन विधि जो एक सशर्त समीकरण को हल करता है, वह संख्यात्मक रूप से स्थिर या संख्यात्मक रूप से अस्थिर हो सकता है। संख्यात्मक विश्लेषण की एक कला एक अच्छी तरह से प्रस्तुत गणितीय समस्या को हल करने के लिए एक स्थिर कलन विधि ढूंढना है। उदाहरण के लिए, 2 (जो लगभग 1.41421 है) के वर्गमूल की गणना करना एक अच्छी तरह से सामने आई समस्या है। कई एल्गोरिदम इस समस्या को प्रारंभिक सन्निकटन x0 $$\sqrt{2}$$ से शुरू करके हल करते हैं, उदाहरण के लिए, x0 = 1.4, और फिर बेहतर सन्निकटन x1, x2,, आदि की गणना करते हैं। ऐसी ही एक विधि प्रसिद्ध बेबीलोनियाई विधि है, जिसे xk+1 = xk/2 + 1/xk. द्वारा दिया गया है। एक और विधि, जिसे 'method X' कहा जाता है। xk+1 = (xk2 − 2)2 + xk द्वारा दिया गया है। प्रत्येक योजना के कुछ पुनरावृत्तियों की गणना नीचे दी गई तालिका में की जाती है, प्रारंभिक अनुमानों के साथ x0 = 1.4 और x0 = 1.42।

ध्यान दें कि बेबीलोन की विधि प्रारंभिक अनुमान की परवाह किए बिना जल्दी से परिवर्तित हो जाती है, जबकि विधि X प्रारंभिक अनुमान x0 = 1.4 के साथ बहुत धीमी गति से परिवर्तित होती है और प्रारंभिक अनुमान x0 = 1.42 के लिए अलग हो जाती है। इसलिए, बेबीलोनियन पद्धति संख्यात्मक रूप से स्थिर है, जबकि विधि X संख्यात्मक रूप से अस्थिर है।
 * संख्यात्मक स्थिरता मशीन के महत्वपूर्ण अंकों की संख्या से प्रभावित होती है। यदि एक मशीन का उपयोग किया जाता है जिसमें केवल चार सबसे महत्वपूर्ण दशमलव अंक होते हैं, तो महत्व के नुकसान का एक अच्छा उदाहरण दो समकक्ष कार्यों द्वारा दिया जा सकता है।

f(x)=x\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right) $$ तथा $$ g(x)=\frac{x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}. $$ के परिणामों की तुलना
 * $$ f(500)=500 \left(\sqrt{501}-\sqrt{500} \right)=500 \left(22.38-22.36 \right)=500(0.02)=10$$
 * तथा

\begin{alignat}{3}g(500)&=\frac{500}{\sqrt{501}+\sqrt{500}}\\ &=\frac{500}{22.38+22.36}\\ &=\frac{500}{44.74}=11.17 \end{alignat} $$
 * उपरोक्त दो परिणामों की तुलना करने पर, यह स्पष्ट है कि महत्व का नुकसान (घटाव एक सटीक गणना होने के बावजूद, आसन्न संख्या $$\sqrt{501}$$ और $$\sqrt{500}$$ के सन्निकटन को कम करके विपत्तिपूर्ण निरस्तीकरण के कारण) परिणामों पर एक बड़ा प्रभाव डालता है, भले ही दोनों कार्य समकक्ष हैं जैसा कि नीचे दिखाया गया है।
 * $$ \begin{alignat}{4}
 * $$ \begin{alignat}{4}

f(x)&=x \left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x} \right)\\ &=x \left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x} \right)\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\\ &=x\frac{(\sqrt{x+1})^2-(\sqrt{x})^2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\\ &=x\frac{x+1-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} \\ &=x\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} \\ &=\frac {x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} \\ &=g(x) \end{alignat}$$
 * वांछित मान 11.174755 है, जिसकी गणना अनंत परिशुद्धता का उपयोग करके की जाती है...


 * उदाहरण मैथ्यू न्यूमेरिकल मेथड्स यूजिंग मैटलैब (MATLAB), थर्ड एडिशन में से एक का संशोधन है।

अध्ययन के क्षेत्र
संख्यात्मक विश्लेषण के क्षेत्र में कई उप-विषय होते हैं। इनमें से कुछ प्रमुख निम्नलिखित हैं:

समीकरणों का संगणन मान
किसी दिए गए बिंदु पर समीकरण का मूल्यांकन करना सबसे सरल समस्याओं में से एक है। किसी सूत्र में किसी संख्या को सरलता से जोड़ने का सबसे सीधा तरीका कभी-कभी बहुत कारगर नहीं होता है। बहुपदों के लिए, हॉर्नर योजना का उपयोग करना एक बेहतर तरीका है, क्योंकि यह आवश्यक संख्या में गुणा और परिवर्धन को कम करता है। सामान्य तौर पर, फ्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित के उपयोग से उत्पन्न होने वाली पूर्णांक त्रुटियों के लिए अनुमान लगाना और नियंत्रित करना महत्वपूर्ण है।

अंतर्वेशन, बहिर्वेशन, और प्रतिगमन
बहिर्वेशन, अंतर्वेशन के समान है, सिवाय इसके कि अब अज्ञात समीकरण का मान उस बिंदु पर है जो दिए गए बिंदुओं से बाहर है।

बहिर्वेशन, अंतर्वेशन के समान है, सिवाय इसके कि अब अज्ञात समीकरण का मान उस बिंदु पर है जो दिए गए बिंदुओं से बाहर है।

प्रतिगमन भी समान है लेकिन यह ध्यान में रखता है कि डेटा सटीक नहीं है। इन बिंदुओं पर (एक त्रुटि के साथ) कई बिंदुओं और कुछ समीकरण के मान के माप को देखते हुए, अज्ञात समीकरण पाया जा सकता है। कम से कम वर्ग विधि इसे प्राप्त करने का एक तरीका है।

समीकरणों और समीकरण प्रणालियों को हल करना
एक अन्य मूलभूत समस्या किसी दिए गए समीकरण के हल की गणना करना है। समीकरण रैखिक है या नहीं, इस पर निर्भर करते हुए, दो मामलों को आमतौर पर प्रतिष्ठित किया जाता है। उदाहरण के लिए, समीकरण $$2x+5=3$$ रैखिक है जबकि $$2x^2+5=3$$ नहीं है।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के तरीकों के विकास में काफी प्रयास किए गए हैं। मानक प्रत्यक्ष विधियाँ, अर्थात, कुछ मैट्रिक्स अपघटन का उपयोग करने वाली विधियाँ हैं गाऊसी उन्मूलन, LU अपघटन, सममित (या हर्मिटियन) के लिए चोल्स्की अपघटन और सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स और गैर-वर्ग मैट्रिक्स के लिए QR अपघटन। जैकोबी विधि, गॉस-सीडेल विधि, क्रमिक अति-विश्राम, और संयुग्म ढाल विधि जैसी पुनरावृत्त विधियों को आम तौर पर बड़ी प्रणालियों के लिए प्राथमिकता दी जाती है। मैट्रिक्स विभाजन का उपयोग करके सामान्य पुनरावृत्त विधियाँ विकसित की जा सकती हैं।

मूलनिर्धारण कलन विधि का उपयोग गैर-रेखीय समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है (उन्हें इसलिए नाम दिया गया है क्योंकि समीकरण का मूल एक तर्क है जिसके लिए समीकरण शून्य उत्पन्न करता है)। यदि फलन अवकलनीय है और अवकलज ज्ञात है तो न्यूटन की विधि एक लोकप्रिय विकल्प है। रेखीयकरण गैर-रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए एक और तकनीक है।

आइगेन मूल्य (eigenvalue) या एकवचन मूल्य समीकरण
कई महत्वपूर्ण समस्याओं को आइगेन मूल्य अपघटन या विलक्षण मान अपघटन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, वर्णक्रमीय छवि संपीड़न कलन विधि एकवचन मूल्य अपघटन पर आधारित है। सांख्यिकी में संबंधित उपकरण को प्रमुख घटक विश्लेषण कहा जाता है।

अनुकूलन
अनुकूलन समस्याएं उस बिंदु के लिए पूछती हैं जिस पर किसी दिए गए समीकरण को अधिकतम (या न्यूनतम) किया जाता है। अक्सर, बिंदु को कुछ बाधाओं को भी पूरा करना पड़ता है।

अनुकूलन के क्षेत्र को उद्देश्य समीकरण के रूप और बाधा के आधार पर कई उपक्षेत्रों में विभाजित किया गया है। उदाहरण के लिए, रैखिक प्रोग्रामिंग इस मामले से संबंधित है कि उद्देश्य कार्य और बाधा दोनों रैखिक हैं। रेखीय प्रोग्रामिंग में एक प्रसिद्ध विधि सरल विधि है।

लैग्रेंज मल्टीप्लायरों (Lagrange multipliers ) की विधि का उपयोग अप्रतिबंधित अनुकूलन समस्याओं के लिए बाधाओं के साथ अनुकूलन समस्याओं को कम करने के लिए किया जा सकता है।

अभिन्न का मूल्यांकन
संख्यात्मक एकीकरण, कुछ उदाहरणों में जिसे संख्यात्मक चतुर्भुज के रूप में भी जाना जाता है, एक निश्चित अभिन्न के मूल्य की मांग करता है। लोकप्रिय विधियाँ न्यूटन-कोट्स फ़ार्मुलों में से किसी एक का उपयोग करती हैं (जैसे कि मध्यबिंदु नियम या सिम्पसन का नियम) या गाऊसी द्विघात। ये विधियां "विभाजन और जीत" रणनीति पर निर्भर करती हैं, जिससे अपेक्षाकृत बड़े सेट पर एक अभिन्न छोटे समुच्चय पर अभिन्न में टूट जाता है। उच्च आयामों में, जहां संगणकीय प्रयास के मामले में ये विधियां निषेधात्मक रूप से महंगी हो जाती हैं, कोई मोंटे कार्लो या अर्ध-मोंटे कार्लो विधियों का उपयोग कर सकता है (मोंटे कार्लो एकीकरण देखें ), या विरल ग्रिड का माध्यम बड़े आयाम विधि में।

अंतर समीकरण
संख्यात्मक विश्लेषण का संबंध सामान्य अवकल समीकरणों और आंशिक अंतर समीकरणों, दोनों के अंतर समीकरणों के समाधान की गणना (अनुमानित तरीके से) से भी है। आंशिक अवकल समीकरणों को पहले समीकरण में परिवर्तन करके हल किया जाता है, इसे एक परिमित-आयामी उप-स्थान में लाया जाता है। यह एक परिमित तत्व विधि द्वारा किया जा सकता है,  एक परिमित अंतर विधि, या (विशेष रूप से अभियांत्रिकी में) एक परिमित मात्रा विधि।इन विधियों के सैद्धांतिक औचित्य में अक्सर कार्यात्मक विश्लेषण से प्रमेय शामिल होते हैं। यह समस्या को एक बीजीय समीकरण के समाधान के लिए कम कर देता है।

सॉफ्टवेयर
बीसवीं सदी के उत्तरार्ध से, अधिकांश एल्गोरिदम को विभिन्न प्रोग्रामिंग भाषाओं में लागू किया गया है। नेटलिब (Netlib) रिपॉजिटरी में संख्यात्मक समस्याओं के लिए सॉफ्टवेयर रूटीन के विभिन्न संग्रह हैं, ज्यादातर फोरट्रान (Fortan) और सी (C) में। कई अलग-अलग संख्यात्मक एल्गोरिदम को लागू करने वाले वाणिज्यिक उत्पादों में IMSL और NAG लाइब्रेरी शामिल हैं। जीएनयू (JNU) साइंटिफिक लाइब्रेरी एक फ्री सॉफ्टवेयर विकल्प है।

वर्षों से रॉयल स्टैटिस्टिकल सोसाइटी ने अपने एप्लाइड स्टैटिस्टिक्स में कई एल्गोरिदम प्रकाशित किए (इन "एएस" कार्यों के लिए कोड यहां है); एसीएम इसी तरह, गणितीय सॉफ्टवेयर पर अपने लेनदेन में ("TOMS" कोड यहां है)। नेवल सरफेस वारफेयर सेंटर ( Naval Surface Warfare Center) ने अपनी लाइब्रेरी ऑफ मैथमेटिक्स सबरूटीन्स (कोड यहाँ) को कई बार प्रकाशित किया।

मैटलैब (MATLAB) टी.के. सॉल्वर, एस-प्लस,आईडीएल (TK Solver, S-PLUS, IDL) जैसे कई लोकप्रिय संख्यात्मक कंप्यूटिंग अनुप्रयोग हैं, साथ ही फ्रीमैट, साइलैब, ( FreeMat, Scilab) जैसे मुक्त और मुक्त स्रोत विकल्प भी हैं। जीएनयू ऑक्टेव (मैटलैब के समान), और IT++ (C++ लाइब्रेरी)। R (S-PLUS के समान), जूलिया, आर जैसी प्रोग्रामिंग भाषाएं भी हैं (S-PLUS के समान), जूलिया (Julia), और पायथन (Python) लाइब्रेरी जैसे कि NumPy, SciPy के साथ   और SymPy जैसे पुस्तकालय हैं। प्रदर्शन व्यापक रूप से भिन्न होता है: जबकि वेक्टर और मैट्रिक्स संचालन आम तौर पर तेज़ होते हैं, स्केलर लूप परिमाण के क्रम से अधिक गति से भिन्न हो सकते हैं।

कई कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियाँ जैसे कि गणितज्ञ भी मनमाने-सटीक अंकगणित की उपलब्धता से लाभान्वित होते हैं जो अधिक सटीक परिणाम प्रदान कर सकते हैं।   साथ ही, किसी भी स्प्रैडशीट सॉफ़्टवेयर का उपयोग संख्यात्मक विश्लेषण से संबंधित सरल समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक्सेल में मैट्रिसेस सहित सैकड़ों उपलब्ध फ़ंक्शन हैं, जिनका उपयोग इसके अंतर्निहित "सॉल्वर" के संयोजन में किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * एल्गोरिदम का विश्लेषण
 * कम्प्यूटेशनल विज्ञान
 * कम्प्यूटेशनल भौतिकी
 * अंतराल अंकगणित
 * संख्यात्मक विश्लेषण विषयों की सूची
 * स्थानीय रैखिककरण विधि
 * संख्यात्मक भेदभाव
 * संख्यात्मक व्यंजनों
 * संभाव्य संख्या विज्ञान
 * प्रतीकात्मक-प्रतिष्ठित गणना
 * मान्य संख्या विज्ञान

सूत्रों का कहना है

 * (examples of the importance of accurate arithmetic).
 * Trefethen, Lloyd N. (2006). "Numerical analysis", 20 pages. In: Timothy Gowers and June Barrow-Green (editors), Princeton Companion of Mathematics, Princeton University Press.
 * (examples of the importance of accurate arithmetic).
 * Trefethen, Lloyd N. (2006). "Numerical analysis", 20 pages. In: Timothy Gowers and June Barrow-Green (editors), Princeton Companion of Mathematics, Princeton University Press.
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 * Trefethen, Lloyd N. (2006). "Numerical analysis", 20 pages. In: Timothy Gowers and June Barrow-Green (editors), Princeton Companion of Mathematics, Princeton University Press.
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पत्रिकाओं

 * gdz.sub.uni-goettingen, Numerische Mathematik, volumes 1-66, Springer, 1959-1994 (searchable; pages are images).
 * Numerische Mathematik, volumes 1–112, Springer, 1959–2009
 * Journal on Numerical Analysis, volumes 1-47, SIAM, 1964–2009

ऑनलाइन ग्रंथ

 * Numerical Recipes, William H. Press (free, downloadable previous editions)
 * First Steps in Numerical Analysis (archived), R.J.Hosking, S.Joe, D.C.Joyce, and J.C.Turner
 * CSEP (Computational Science Education Project), U.S. Department of Energy (archived 2017-08-01)
 * Numerical Methods, ch 3. in the Digital Library of Mathematical Functions
 * Numerical Interpolation, Differentiation and Integration, ch 25. in the Handbook of Mathematical Functions (Abramowitz and Stegun)
 * Numerical Interpolation, Differentiation and Integration, ch 25. in the Handbook of Mathematical Functions (Abramowitz and Stegun)

ऑनलाइन पाठ्यक्रम सामग्री

 * Numerical Methods, Stuart Dalziel University of Cambridge
 * Lectures on Numerical Analysis, Dennis Deturck and Herbert S. Wilf University of Pennsylvania
 * Numerical methods, John D. Fenton University of Karlsruhe
 * Numerical Methods for Physicists, Anthony O’Hare Oxford University
 * Lectures in Numerical Analysis (archived), R. Radok Mahidol University
 * Introduction to Numerical Analysis for Engineering, Henrik Schmidt Massachusetts Institute of Technology
 * Numerical Analysis for Engineering, D. W. Harder University of Waterloo
 * Introduction to Numerical Analysis, Doron Levy University of Maryland
 * Numerical Analysis - Numerical Methods (archived), John H. Mathews California State University Fullerton

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