मैट्रिक्स जनसंख्या मॉडल

मैट्रिक्स जनसंख्या मॉडल एक विशिष्ट प्रकार का जनसंख्या मॉडल है जो मैट्रिक्स बीजगणित का उपयोग करता है। जनसंख्या मॉडल का उपयोग जनसंख्या पारिस्थितिकी में वन्य जीवन या मानव जनसंख्याएँ की जनसंख्या_गतिकी को मॉडल करने के लिए किया जाता है। मैट्रिक्स बीजगणित, सामरिक रूप से एक बीजगणितीय संक्षेप है जो अधिकांशतः बहुत सारे बार और ऊब वाले बीजगणितीय लेखा को संक्षेप में सारांशित करने के लिए प्रयोग होता है।

सभी जनसंख्याएँ को मॉडलिंग की जा सकती है
 * $$N_{t+1}=N_{t}+B-D+I-E,$$

जहाँ:

चूंकि BIDE मॉडल अवधारणात्मक रूप से सरल हैं, उनमें निहित 5 चर (N, B, D, I और E) के विश्वसनीय अनुमान अधिकांशतः प्राप्त करना कठिन होते हैं। सामान्यतः एक शोधकर्ता  Nt, की वर्तमान बहुतायत का अनुमान लगाने का प्रयास करता है, अधिकांशतः कुछ प्रकार के निशान और पुनः कब्जा तकनीक का उपयोग करते हुए। B का अनुमान प्रजनन के मौसम के तुरंत बाद वयस्कों के लिए अपरिपक्व के अनुपात के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है, Ri मौतों की संख्या वार्षिक जीवित रहने की संभावना का अनुमान लगाकर प्राप्त की जा सकती है, सामान्यतः निशान और पुनः प्राप्त करने के विधियों के माध्यम से, फिर वर्तमान बहुतायत और उत्तरजीविता दर को गुणा करके, अधिकांशतः, आप्रवासन और उत्प्रवास को अनदेखा कर दिया जाता है क्योंकि उनका अनुमान लगाना इतना कठिन होता है।
 * Nt+1 = समय पर बहुतायत t+1
 * Nt = समय t पर बहुतायत
 * B = Nt और nt+1 के बीच जनसंख्या के भीतर जन्मों की संख्या
 * D = Nt और nt+1 के बीच जनसंख्या में होने वाली मौतों की संख्या
 * I = Nt और nt+1 के बीच जनसंख्या में प्रवास करने वाले व्यक्तियों की संख्या
 * E= Nt और nt+1 के बीच जनसंख्याएँ से बाहर निकलने वाले व्यक्तियों की संख्या
 * इस समीकरण को BIDE मॉडल (जन्म, आप्रवासन, मृत्यु, उत्प्रवास मॉडल) कहा जाता है।

अतिरिक्त सरलता के लिए यह समय t को वर्ष t में प्रजनन के मौसम के अंत के रूप में सोचने में मदद कर सकता है और यह कल्पना करने के लिए कि कोई ऐसी प्रजाति का अध्ययन कर रहा है जिसमें प्रति वर्ष केवल एक असतत प्रजनन का मौसम हो।

BIDE मॉडल को तब इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:


 * $$N_{t+1}=N_{t,a}\times S_{a}+N_{t,i}\times R_i\times S_i$$

जहाँ:


 * Nt,a = समय t पर वयस्क महिलाओं की संख्या
 * Nt,i = समय t पर अपरिपक्व महिलाओं की संख्या
 * Sa = समय t से समय t+1 तक वयस्क महिलाओं की वार्षिक उत्तरजीविता
 * Si = समय t से समय t + 1 तक अपरिपक्व महिलाओं की वार्षिक उत्तरजीविता
 * Ri = प्रति प्रजनन मादा प्रजनन काल के अंत में जीवित युवा मादाओं का अनुपात

मैट्रिक्स संकेतन में इस मॉडल को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:



\begin{align} \begin{pmatrix} N_{t+l_i}\\ N_{t+l_a} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} S_iR_i & S_aR_i \\ S_i & S_a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N_{t_i}\\ N_{t_a} \end{pmatrix} \end{align}. $$ मान लीजिए कि आप एक ऐसी प्रजाति का अध्ययन कर रहे हैं जिसकी अधिकतम आयु 4 वर्ष है। इस प्रजाति के लिए आयु-आधारित लेस्ली मैट्रिक्स निम्नलिखित है। पहली और तीसरी मैट्रिसेस में प्रत्येक पंक्ति एक निश्चित आयु सीमा (0-1 वर्ष, 1-2 वर्ष और 2-3 वर्ष) के भीतर जानवरों से मेल खाती है। लेस्ली मैट्रिक्स में मध्य मैट्रिक्स की शीर्ष पंक्ति में आयु-विशिष्ट उर्वरताएँ होती हैं: F1, F2 और F3 ध्यान दें कि यहां F1 = Si×Ri उपरोक्त मैट्रिक्स में है। चूंकि यह प्रजाति 4 साल तक जीवित नहीं रहती है,इसलिए मैट्रिक्स में S3 नहीं होता है



\begin{align} \begin{pmatrix} N_{t+l_1} \\ N_{t+l_2} \\ N_{t+l_3} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} F_1 & F_2 & F_3 \\ S_1 & 0 & 0 \\ 0 & S_2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N_{t_1}\\ N_{t_2}\\ N_{t_3} \end{pmatrix} \end{align}. $$ ये मॉडल यदि प्रजनन दरें उच्च हो तो समय के साथ संख्याबढ़ी पर रोचक चक्रीय या ऐसा लगता है कि अनियंत्रित हो जाती हैं।

शर्तें Fi और Fi शब्द स्थिर मान या पर्यावरण के रूप में हो सकते हैं, जैसे कि आवास या जनसंख्या का आकार। पर्यावरणीय घटक में अनियमितता भी सम्मलित की जा सकती है।

यह भी देखें

 * मत्स्य पालन की जनसंख्या गतिशीलता

संदर्भ

 * Caswell, H. 2001.  Matrix population models: Construction, analysis and interpretation, 2nd Edition.  Sinauer Associates, Sunderland, Massachusetts.  ISBN 0-87893-096-5.
 * Leslie Matrix Model demonstration (Silverlight)