मेग्मा (बीजगणित)

अमूर्त बीजगणित में, एक मैग्मा, बिनार, या, शायद ही कभी, ग्रुपॉयड बीजगणितीय संरचना का मूल प्रकार है। विशेष रूप से, एक मैग्मा में एक बाइनरी ऑपरेशन से लैस एक सेट (गणित) होता है जिसे परिभाषा के अनुसार क्लोजर (बाइनरी ऑपरेशन) होना चाहिए। कोई अन्य संपत्तियां आरोपित नहीं हैं।

इतिहास और शब्दावली
ग्रुपॉयड शब्द की शुरुआत 1927 में हेनरिक ब्रांट ने अपने ब्रांट ग्रुपॉयड (जर्मन से अनुवादित) का वर्णन करते हुए की थी। Gruppoid). तब इस शब्द को बी. ए. हॉसमैन और ऑयस्टीन ओरे (1937) द्वारा अपनाया गया था इस लेख में प्रयुक्त अर्थ में (बाइनरी ऑपरेशन के साथ एक सेट)। Zentralblatt में बाद के पत्रों की कुछ समीक्षाओं में, ब्रांट शब्दावली के इस अतिभार से बहुत असहमत थे। ब्रांट ग्रुपॉइड श्रेणी सिद्धांत में प्रयुक्त अर्थ में एक समूह है, लेकिन हौसमैन और अयस्क द्वारा उपयोग किए जाने वाले अर्थ में नहीं। फिर भी, सेमीग्रुप थ्योरी में प्रभावशाली पुस्तकें, जिनमें अल्फ्रेड हॉब्लिट्ज़ेल क्लिफोर्ड और जी.बी. प्रेस्टन (1961) और जॉन मैकिंटोश होवी (1995) सम्मिलित हैं। हॉसमैन और अयस्क के अर्थ में groupoid  का उपयोग करें। हॉलिंग्स (2014) लिखते हैं कि ग्रुपॉयड शब्द का उपयोग शायद आधुनिक गणित में श्रेणी सिद्धांत में दिए गए अर्थ में सबसे अधिक बार किया जाता है। बर्गमैन और हॉस्कनेचट (1996) के अनुसार: एक सेट के लिए सामान्यतः स्वीकृत शब्द नहीं है, जो अनिवार्य रूप से साहचर्य बाइनरी ऑपरेशन नहीं है। Groupoid शब्द का प्रयोग कई सार्वभौमिक बीजगणितियों द्वारा किया जाता है, लेकिन श्रेणी सिद्धांत और संबंधित क्षेत्रों में कार्यकर्ता इस उपयोग के लिए कड़ी आपत्ति जताते हैं क्योंकि वे उसी शब्द का उपयोग करते हैं जिसका अर्थ है 'श्रेणी जिसमें सभी morphisms व्युत्क्रमणीय हैं'। मैग्मा शब्द का प्रयोग  जीन पियरे सेरे  [ली अलजेब्रास एंड लाइ ग्रुप्स, 1965] द्वारा किया गया था। यह निकोलस बोरबाकी के में भी दिखाई देता है Éléments de mathématique, Algèbre, chapitres 1 à 3, 1970.

परिभाषा
एक मैग्मा एक सेट (गणित) एम है जो एक बाइनरी ऑपरेशन से मेल खाता है • जो कोई भी दो तत्व (गणित) भेजता है a, b ∈ M दूसरे तत्व के लिए, a • b ∈ M. प्रतीक • ठीक से परिभाषित ऑपरेशन के लिए एक सामान्य प्लेसहोल्डर है। मैग्मा, सेट और ऑपरेशन के रूप में अर्हता प्राप्त करने के लिए (M, •) को निम्नलिखित आवश्यकता को पूरा करना चाहिए (जिसे मैग्मा या क्लोजर स्वयंसिद्ध के रूप में जाना जाता है):


 * एम में सभी ए, बी के लिए, ऑपरेशन का परिणाम a • b भी एम में है।

और गणितीय अंकन में:
 * $$a, b \in M \implies a \cdot b \in M.$$

यदि • इसके अतिरिक्त एक आंशिक संक्रिया है, तो (M, •) को आंशिक मैग्मा कहा जाता है या अधिक बार एक आंशिक ग्रुपॉयड।

मैग्मास की आकृतिवाद
मैग्मास का आकारिकी एक फलन है f : M → N मैग्मा एम को मैग्मा एन में मैप करना जो बाइनरी ऑपरेशन को संरक्षित करता है:


 * एफ (एक्स •M वाई) = एफ (एक्स) •N एफ (वाई),

कहाँ •M और •N क्रमशः एम और एन पर बाइनरी ऑपरेशन को निरूपित करें।

अंकन और कॉम्बिनेटरिक्स
मैग्मा ऑपरेशन को बार-बार लागू किया जा सकता है, और सामान्यतः, गैर-सहयोगी मामले में, आदेश मायने रखता है, जिसे कोष्ठकों के साथ नोट किया जाता है। साथ ही, संक्रिया • को अधिकांशतः छोड़ दिया जाता है और सन्निकटन द्वारा नोट किया जाता है:

एक आशुलिपि का उपयोग अधिकांशतः कोष्ठकों की संख्या को कम करने के लिए किया जाता है, जिसमें अंतरतम संचालन और कोष्ठकों के जोड़े को छोड़ दिया जाता है, केवल रस के साथ प्रतिस्थापित किया जा रहा है: $(a • (b • c)) • d ≡ (a(bc))d.$. उदाहरण के लिए, उपरोक्त को निम्नलिखित अभिव्यक्ति के लिए संक्षिप्त किया गया है, जिसमें अभी भी कोष्ठक हैं:

कोष्ठकों के उपयोग से पूरी तरह बचने का एक तरीका उपसर्ग अंकन है, जिसमें एक ही अभिव्यक्ति लिखी जाएगी $xy • z ≡ (x • y) • z$. एक और तरीका, प्रोग्रामर से परिचित, पोस्टफिक्स नोटेशन (रिवर्स पोलिश नोटेशन) है, जिसमें एक ही एक्सप्रेशन लिखा जाएगा $(a • bc)d.$, जिसमें निष्पादन का क्रम केवल बाएँ से दाएँ होता है (कोई करी नहीं)।

मैग्मा के तत्वों को दर्शाने वाले प्रतीकों से युक्त सभी संभव स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान) और संतुलित कोष्ठकों के सेट को डाइक भाषा कहा जाता है। लिखने के विभिन्न तरीकों की कुल संख्या n}मैग्मा ऑपरेटर के आवेदन कैटलन संख्या  द्वारा दिए गए हैं $••a•bcd$. इस प्रकार, उदाहरण के लिए, $abc••d•$, जो कि केवल कथन है $C_{n}$ और $C_{2} = 2$ मैग्मा के तीन तत्वों को दो संक्रियाओं के साथ युग्मित करने के केवल दो तरीके हैं। कम तुच्छ, $(ab)c$: $a(bc)$, $C_{3} = 5$, $((ab)c)d$, $(a(bc))d$, और $(ab)(cd)$.

वहाँ हैं $a((bc)d)$ मैग्मास के साथ $a(b(cd))$ तत्व, इसलिए 1, 1, 16, 19683 हैं, $4,294,967,296$, ... मैग्मास 0, 1, 2, 3, 4, ... तत्वों के साथ। समरूपी मैग्मा की संगत संख्या 1, 1, 10, 3330 है, $178,981,952$, ...  और एक साथ गैर-आइसोमोर्फिक और गैर- गैर आइसोमॉर्फिक  मैग्मा की संख्या 1, 1, 7, 1734 है, $89,521,056$, ... .

फ्री मैग्मा
एक मुक्त मेग्मा एमXएक सेट पर एक्स एक्स द्वारा उत्पन्न सबसे सामान्य संभव मैग्मा है (अर्थात, जेनरेटर पर कोई संबंध या सिद्धांत नहीं लगाया गया है; मुफ्त वस्तु देखें)। एम पर बाइनरी ऑपरेशनXप्रत्येक दो ऑपरेंड को कोष्ठक में लपेटकर और उन्हें उसी क्रम में जोड़कर बनाया जाता है। उदाहरण के लिए:

एमXएक्स पर गैर-सहयोगी शब्दों के सेट के रूप में वर्णित किया जा सकता है जिसमें कोष्ठक बनाए रखा जाता है। इसे कंप्यूटर विज्ञान में परिचित शर्तों में भी देखा जा सकता है, एक्स के तत्वों द्वारा लेबल किए गए पत्तों के साथ द्विआधारी वृक्षों की मेग्मा के रूप में। ऑपरेशन पेड़ों को जड़ से जोड़ने का है। इसलिए वाक्य रचना में इसकी एक मूलभूत भूमिका है।

एक मुक्त मैग्मा में सार्वभौमिक संपत्ति होती है जैसे कि यदि f : X → N X से किसी भी मेग्मा N के लिए एक फ़ंक्शन है, तो मैग्मा f के आकारिकी के लिए f का एक अनूठा विस्तार है'
 * एफ' : एमX→ एन.

मैग्मा के प्रकार
मैग्मास का अधिकांशतः इस तरह अध्ययन नहीं किया जाता है; इसके अतिरिक्त कई अलग-अलग प्रकार के मैग्मा हैं, जो इस बात पर निर्भर करता है कि ऑपरेशन को पूरा करने के लिए किन स्वयंसिद्धों की आवश्यकता है। सामान्यतः अध्ययन किए जाने वाले मैग्मा में सम्मिलित हैं:
 * Quasigroup: एक मैग्मा जहां विभाजन (गणित) हमेशा संभव होता है।
 * लूप (बीजगणित): एक पहचान तत्व के साथ अर्धसमूह।
 * सेमिग्रुप : एक मैग्मा जहां ऑपरेशन साहचर्य है।
 * मोनोइड: एक पहचान तत्व वाला एक अर्धसमूह।
 * उलटा अर्धसमूह: उलटा तत्व वाला एक अर्धसमूह। (साहचर्य के साथ अर्धसमूह भी)
 * समूह (गणित): व्युत्क्रम, साहचर्य, और एक पहचान तत्व के साथ एक मेग्मा।

ध्यान दें कि प्रत्येक विभाज्यता और उलटापन रद्द करने की संपत्ति को दर्शाता है।


 * क्रमविनिमेय के साथ मैग्मास:
 * क्रमविनिमेय मैग्मा: क्रमविनिमेयता वाला मैग्मा।
 * क्रमविनिमेय मोनॉयड: क्रमविनिमेयता के साथ एक मोनॉयड।
 * एबेलियन समूह: क्रमविनिमेयता वाला समूह।

गुणों द्वारा वर्गीकरण
} एक मेग्मा $n^{n^{2}}|undefined$, साथ $n$ ∈ $a • b = (a)(b),$, कहा जाता है

औसत दर्जे का मैग्मा: यदि यह पहचान को संतुष्ट करता है $a • (a • b) = (a)((a)(b)),$ बायां वितरण: यदि यह पहचान को संतुष्ट करता है $(a • a) • b = ((a)(a))(b).$ सही वितरण: यदि यह पहचान को संतुष्ट करता है $(S, •)$ कम्यूटेटिव मैग्मा: यदि यह पहचान को संतुष्ट करता है $x, y, u, z$ जीरोपोटेंट: यदि यह पहचानों को संतुष्ट करता है $S$ वैकल्पिकता: यदि यह पहचानों को संतुष्ट करता है $xy • uz ≡ xu • yz$ और $xx • yz ≡ xy • xz$ शक्ति-सहयोगी: यदि किसी तत्व द्वारा उत्पन्न उपमग्मा साहचर्य है ए लेफ्ट अनार: यदि यह पहचान को संतुष्ट करता है $yz • xx ≡ yx • zx$ शून्य गुणन वाला अर्धसमूह, या अशक्त अर्धसमूह: यदि यह पहचान को संतुष्ट करता है $x • yz ≡ xy • xz$ वाम-रद्दीकरण: यदि, सभी के लिए $yz • x ≡ yx • zx$, रिश्ता $xy ≡ yx$ तात्पर्य $xx ≡ x$ राइट-कैंसलेटिव: यदि, सभी के लिए $xx ≡ yy$, रिश्ता $xx • y ≡ xx ≡ y • xx$ तात्पर्य $xx • y ≡ x • xy$ एन्ट्रोपिक: यदि यह एक औसत दर्जे का कैंसलेटिव मैग्मा का एक सार्वभौमिक बीजगणित है।
 * वाम अर्धमध्य: यदि यह पहचान को संतुष्ट करता है $x • yy ≡ xy • y$
 * दाहिना अर्धमध्य: यदि यह पहचान को संतुष्ट करता है $xy • x ≡ x • yx$
 * सेमीमेडियल: यदि यह लेफ्ट और राइट दोनों सेमीमेडियल है
 * ऑटोडिस्ट्रीब्यूटिव: यदि यह लेफ्ट और राइट दोनों डिस्ट्रीब्यूटिव है
 * Idempotent: यदि यह पहचान को संतुष्ट करता है $x • yz ≡ xy • z$
 * अक्षम: यदि यह पहचान को संतुष्ट करता है $xy ≡ xz$
 * लचीला बीजगणित: यदि $yx ≡ zx$
 * एक अर्धसमूह, या साहचर्य: यदि यह पहचान को संतुष्ट करता है $xy ≡ uv$
 * एक सही अनार: यदि यह पहचान को संतुष्ट करता है $x, y, z$
 * यूनिटल: यदि इसमें एक पहचान तत्व है
 * कैंसलेटिव: यदि यह राइट-कैंसलेटिव और लेफ्ट-कैंसलेटिव दोनों है
 * एक शून्य अर्धसमूह#बायां शून्य अर्धसमूह: यदि यह एक अर्धसमूह है और यह सर्वसमिका को संतुष्ट करता है $xy = xz$
 * एक शून्य अर्धसमूह#दायां शून्य अर्धसमूह: यदि यह एक अर्धसमूह है और यह पहचान को संतुष्ट करता है $y = z$
 * ट्रिमेडियल: यदि कोई ट्रिपल (आवश्यक रूप से अलग नहीं) तत्व एक औसत दर्जे का सबमग्मा उत्पन्न करता है

मैग्मास की श्रेणी
मैग्मास की श्रेणी, जिसे मैग कहा जाता है, वह श्रेणी (गणित) है, जिसकी वस्तुएं मैग्मा हैं और जिनकी आकृतियां मैग्मा_(बीजगणित) #मॉर्फिज्म_ऑफ_मैग्मास हैं। श्रेणी मैग में उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) है, और एक समावेशन फ़ैक्टर है: Set → Med ↪ Mag प्रोजेक्शन (गणित) द्वारा दिए गए बाइनरी ऑपरेशंस के साथ तुच्छ मैग्मास के रूप में $x, y, z$.

एक महत्वपूर्ण संपत्ति यह है कि एक इंजेक्शन  एंडोमोर्फिज्म को मैग्मा बीजगणितीय विस्तार के  automorphism  तक बढ़ाया जा सकता है, एंडोमोर्फिज्म के (निरंतर कार्य अनुक्रम) के कोलिमिट।

क्योंकि सिंगलटन (गणित) $yx = zx$ मैग का टर्मिनल वस्तु  है, और क्योंकि मैग बीजगणितीय श्रेणी है, मैग पॉइंटेड और पूर्ण श्रेणी है।

यह भी देखें

 * मैग्मा श्रेणी
 * सार्वभौमिक बीजगणित
 * मैग्मा कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली, इस लेख के उद्देश्य के नाम पर।
 * क्रमविनिमेय मैग्मा
 * बीजगणितीय संरचना#संरचनाएं जिनके स्वयंसिद्ध सभी सर्वसमिकाएं हैं
 * ग्रुपॉयड बीजगणित
 * हॉल सेट