एकपक्षीय संपर्क

संपर्क यांत्रिकी में, एकपक्षीय संपर्क को एकपक्षीय बाधा भी कहा जाता है, जो यांत्रिक बाधा (शास्त्रीय यांत्रिकी) को दर्शाता है और यह दो कठोर/नम्य निकायों के मध्य प्रवेश को अवरोधित करता है।

इस प्रकार की बाधाएं नॉन-स्मूथ यांत्रिकी अनुप्रयोगों जैसे कणयुक्त प्रवाह, लेग्ड रोबोट, वाहन की गतिशीलता, कण डंपिंग, अपूर्ण जोड़ या रॉकेट लैंडिंग में सर्वव्यापी हैं। इन अनुप्रयोगों में, एकपक्षीय बाधाओं के परिणामस्वरूप प्रभाव दिखता है, इसलिए इस प्रकार की बाधाओं के समाधान के लिए उपयुक्त विधियों की आवश्यकता होती है।

एकपक्षीय बाधाओं की मॉडलिंग
एकपक्षीय बाधाओं को मॉडल करने के लिए मुख्य रूप से दो प्रकार की विधियाँ उपलब्ध होती हैं। प्रथम विधि सातत्य यांत्रिकी पर आधारित है, जिसमें हर्ट्ज़ के मॉडल, पेनल्टी विधियाँ और कुछ नियमितीकरण बल मॉडल का उपयोग करने वाली विधियाँ सम्मिलित हैं, यद्यपि द्वितीय विधि संपर्क गतिकी पर आधारित है, जो प्रणाली को एकपक्षीय संपर्कों के साथ परिवर्तनशील असमानताओं के रूप में प्रस्तुत करती है।

स्मूथ संपर्क गतिकी
इस पद्धति में, एकपक्षीय बाधाओं द्वारा उत्पन्न सामान्य बलों को निकायों के स्थानीय भौतिक गुणों के अनुसार प्रतिरूपित किया जाता है। विशेष रूप से, संपर्क बल मॉडल सातत्य यांत्रिकी से प्राप्त होते हैं, अंतर के कार्यों और पिंडों के प्रभाव वेग के रूप में व्यक्त किए जाते हैं। उदाहरण के रूप में, क्लासिक हर्ट्ज संपर्क मॉडल का चित्र दाईं ओर की आकृति में दर्शाया गया है। ऐसे मॉडल में, संपर्क को निकायों के स्थानीय विरूपण द्वारा अध्ययन किया गया है। अधिकांश संपर्क मॉडल कुछ समीक्षा वैज्ञानिक कार्यों में या संपर्क यांत्रिकी को समर्पित लेखों में प्राप्त हो सकते हैं।

नॉन-स्मूथ संपर्क गतिकी
नॉन-स्मूथ विधि में, निकायों के मध्य एकपक्षीय परस्पर क्रिया को मूल रूप से गैर-प्रवेश के लिए सिग्नोरिनी समस्या द्वारा प्रतिरूपित किया जाता है और प्रभाव प्रक्रिया को परिभाषित करने के लिए प्रभाव नियमों का उपयोग किया जाता है। सिग्नोरिनी स्थिति को पूरकता समस्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$$g \geq 0, \quad \lambda \geq 0, \quad \lambda \perp g   $$,

जहाँ $$g $$ दो निकायों के मध्य की दूरी को दर्शाता है और $$\lambda $$ एकपक्षीय बाधाओं द्वारा उत्पन्न संपर्क बल को दर्शाता है, जिस प्रकार नीचे दी गई आकृति में दर्शाया गया है। इसके अतिरिक्त, उत्तल सिद्धांत के समीपस्थ बिंदु की अवधारणा के संदर्भ में, सिग्नोरिनी स्थिति को समान रूप से व्यक्त किया जा सकता है:

$$\lambda ={\rm{proj}}_{\R^+}(\lambda -\rho g )$$,

जहाँ $$\rho>0$$ सहायक पैरामीटर को दर्शाता है, और $${\rm proj}_{\bf C}(x)$$, समुच्चय $$C$$ में समीपस्थ बिंदु को चर $$x$$ के रूप में परिभाषित करता है:

$${\rm proj}_{\bf C}(x)={\rm argmin}_{y\in C}\|y-x\|$$

उपरोक्त दोनों अभिव्यक्तियाँ एकपक्षीय बाधाओं के गतिशील व्यवहार का प्रतिनिधित्व करती हैं: जब सामान्य दूरी $$g_{\rm N} $$ शून्य से अधिक होती है तो संपर्क विवृत होता है, जिसका अर्थ है कि पिंडों के मध्य कोई संपर्क बल नहीं है, $$\lambda =0 $$; दूसरी ओर, जब सामान्य दूरी $$g_{\rm N} $$ शून्य के समान होती है, तो संपर्क संवृत हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप $$\lambda \geq0$$ होता है।

नॉन-स्मूथ सिद्धांत पर आधारित विधियों को प्रस्तुत करते समय वेग सिग्नोरिनी स्थिति या त्वरण सिग्नोरिनी स्थिति वास्तव में अधिकांश स्थितियों में नियोजित होती है। वेग सिग्नोरिनी स्थिति को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

$$U_{\rm N}^{+}\geq 0,\quad \lambda \geq0,\quad U^{+}\lambda =0$$,

जहां $$U_{\rm N}^{+}$$ प्रभाव के पश्चात सापेक्ष सामान्य वेग को दर्शाता है। वेग सिग्नोरिनी स्थिति का पूर्व स्थितियों $$g \geq 0,\;\lambda  \geq 0,\;\lambda  \perp g   $$ के साथ अध्ययन किया जाना चाहिए। त्वरण सिग्नोरिनी स्थिति को संवृत संपर्क ($$g =0, U_{\rm N}^{+}=0$$) के रूप में माना जाता है:

$$\ddot g \geq 0,\quad \lambda \geq0,\quad \ddot g \lambda =0$$,

जहां ओवरडॉट्स समय के सापेक्ष द्वितीय कोटि के अवकलज को दर्शाता है।

दो कठोर निकायों के मध्य एकपक्षीय बाधाओं के लिए, इस पद्धति का उपयोग करते समय केवल सिग्नोरिनी स्थिति प्रभाव प्रक्रिया को मॉडल करने के लिए पर्याप्त नहीं होती है, इसलिए प्रभाव नियम की आवश्यकता होती है, जो प्रभाव से पूर्व और उसके पश्चात स्थितियों के संबंध में सूचना प्रदान करते हैं। उदाहरण के लिए, जब न्यूटन पुनर्स्थापन नियम नियोजित किया जाता है तो पुनर्स्थापन के गुणांक को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है- $$e=-{U_{\rm N}^{+}}/{U_{\rm N}^{-}}$$, जहाँ $$U_{\rm N}^{-}$$ प्रभाव से पूर्व सापेक्ष सामान्य वेग को दर्शाता है।

घर्षण एकपक्षीय बाधाएं
घर्षण एकपक्षीय बाधाओं के लिए सामान्य संपर्क बलों को उपरोक्त विधि द्वारा प्रस्तुत किया जाता है चूँकि घर्षण बलों को सामान्यतः कूलम्ब के घर्षण नियम के माध्यम से वर्णित किया जाता है। कूलम्ब के घर्षण नियम को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: जब स्पर्शरेखा वेग $$U_{\rm T}$$ शून्य के समान नहीं होता है, अर्थात् जब दो पिंड अस्थिर होते हैं, तो घर्षण बल $$\lambda_{\rm T}$$ सामान्य संपर्क बल $$\lambda$$ के समानुपाती होता है; इसके अतिरिक्त जब स्पर्शरेखा वेग $$U_{\rm T}$$ शून्य के समान होता है, अर्थात् जब दो पिंड अपेक्षाकृत स्थिर होते हैं, तो घर्षण बल $$\lambda_{\rm T}$$ स्थैतिक घर्षण बल के अधिकतम से अधिक नहीं होता है। अधिकतम अपव्यय सिद्धांत का उपयोग करके इस संबंध को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है,

$$\lambda_{\rm T} \in D(\mu \lambda)\forall S\in D(\mu \lambda)(S-\lambda_{\rm T})U_{\rm T}\geq 0,$$

जहाँ

$$D(\mu \lambda)=\{\forall x|-\mu \lambda\leq\|x\|\leq \mu \lambda\}$$

घर्षण शंकु का प्रतिनिधित्व करता है, और $$\mu$$ गतिज घर्षण गुणांक को दर्शाता है। सामान्य संपर्क बल के समान, उपरोक्त सूत्रीकरण को समान रूप से समीपस्थ बिंदु की धारणा के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$$\lambda_{\rm T}={\rm{proj}}_{D(\mu\lambda)}(\lambda_T-\rho U_{\rm T})$$,

जहाँ $$\rho>0$$ सहायक पैरामीटर को दर्शाता है।

समाधान तकनीक
यदि एकपक्षीय बाधाओं को सातत्यक यांत्रिकी आधारित संपर्क मॉडल द्वारा प्रस्तुत किया जाता है, तो संपर्क बलों की गणना प्रत्यक्ष रूप से स्पष्ट गणितीय सूत्र के माध्यम से की जा सकती है, जो संपर्क मॉडल पर निर्भर करता है। यदि इसके अतिरिक्त नॉन-स्मूथ सिद्धांत आधारित पद्धति को नियोजित किया जाता है, तो सिग्नोरिनी स्थितियों के समाधान के लिए दो मुख्य सूत्रीकरण होते हैं, जिनमें अरैखिक/रैखिक पूरकता समस्या (एन/एलसीपी) सूत्रीकरण और संवर्धित लाग्रंगियन सूत्रीकरण सम्मिलित हैं। संपर्क मॉडल के समाधान के संबंध में, नॉन-स्मूथ विधि अधिक जटिल है, किन्तु कम्प्यूटेशनल दृष्टिकोण से अतिव्ययी नहीं है। पज़ौकी एट अल द्वारा संपर्क मॉडल और नॉन-स्मूथ सिद्धांत का उपयोग करके समाधान विधियों की अधिक विस्तृत रूप से तुलना की गई है।

एन/एलसीपी सूत्रीकरण
इस दृष्टिकोण के पश्चात, एकपक्षीय बाधाओं के साथ गतिकी समीकरणों का समाधान एन/एलसीपी के समाधान में परिवर्तित हो जाता है। विशेष रूप से, घर्षण रहित एकपक्षीय बाधाओं या समतलीय घर्षण के साथ एकपक्षीय बाधाओं के लिए, समस्या एलसीपी में परिवर्तित हो जाती है, चूँकि घर्षण एकपक्षीय बाधाओं के लिए, समस्या एनसीपी में परिवर्तित हो जाती है। एलसीपी का समाधान ज्ञात करने के लिए, लेमेक और डेंटज़िग के एल्गोरिथम से उत्पन्न सिम्पलेक्स एल्गोरिथम सबसे लोकप्रिय विधि है। चूँकि, संख्यात्मक प्रयोगों से ज्ञात होता है कि पिवोटिंग एल्गोरिदम विफल हो सकता है जब बड़ी संख्या में एकपक्षीय संपर्कों के साथ प्रणाली को संभालते हुए भी सर्वोत्तम अनुकूलन का उपयोग किया जाता है। एनसीपी के लिए, पॉलीहेड्रल सन्निकटन का उपयोग एनसीपी को एलसीपी के सेट में परिवर्तित कर सकता है, जिसका समाधान एलसीपी सॉल्वर द्वारा किया जा सकता है। इन विधियों के अन्य दृष्टिकोण, जैसे एनसीपी-फलन  या शंकु पूरक समस्याएं (सीसीपी) आधारित विधियाँ  भी एनसीपी को हल करने के लिए कार्यरत हैं।

संवर्धित लाग्रंगियन सूत्रीकरण
एन/एलसीपी सूत्रीकरण से भिन्न, संवर्धित लाग्रंगियन सूत्रीकरण $$\lambda={\rm{proj}}_{\R^+}(\lambda-\rho g)$$ ऊपर वर्णित समीपस्थ फलन का उपयोग करता है। गतिकी समीकरणों के साथ इस सूत्रीकरण को रूट-फाइंडिंग एल्गोरिदम के माध्यम से समाधान किया जाता है। मशायेखी एट अल द्वारा एलसीपी सूत्रीकरण और संवर्धित लग्रांगियन सूत्रीकरण के मध्य तुलनात्मक अध्ययन किया गया था।

यह भी देखें

 * संघट्‍टन प्रतिक्रिया
 * परिवर्तनशील असमानताएँ
 * संघट्‍टन प्रतिक्रिया
 * परिवर्तनशील असमानताएँ
 * संघट्‍टन प्रतिक्रिया
 * परिवर्तनशील असमानताएँ
 * परिवर्तनशील असमानताएँ

ओपन-सोर्स सॉफ्टवेयर
नॉन-स्मूथ आधारित पद्धति का उपयोग करते हुए ओपन-सोर्स कोड और गैर-वाणिज्यिक पैकेज:
 * Chrono, एक ओपन सोर्स मल्टी-फिजिक्स सिमुलेशन इंजन, प्रोजेक्ट वेबसाइट भी देखें
 * Chrono, एक ओपन सोर्स मल्टी-फिजिक्स सिमुलेशन इंजन, प्रोजेक्ट वेबसाइट भी देखें

किताबें और लेख

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