डायमंड सिद्धांत

गणित में, और विशेष रूप से स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत में, डायमंड सिद्धांत $◊$ में रोनाल्ड जेन्सेन द्वारा भेंट किया गया, संयोजन सिद्धांत है जो रचनात्मक ब्रह्मांड ($एल$) में है और इसका तात्पर्य सातत्य परिकल्पना से है। जेन्सेन ने हीरे के सिद्धांत को अपने प्रमाण से निकाला कि निर्माण की स्वयंसिद्धता ($V = L$) का तात्पर्य सुस्लिन वृक्ष के अस्तित्व से है। गणित में, और विशेष रूप से स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत में, डायमंड सिद्धांत $◊$  में रोनाल्ड जेन्सेन द्वारा भेंट किया गया, संयोजन सिद्धांत है जो रचनात्मक ब्रह्मांड ($एल$) में है और इसका तात्पर्य सातत्य परिकल्पना से है। जेन्सेन ने हीरे के सिद्धांत को अपने प्रमाण से निकाला कि निर्माण की स्वयंसिद्धता ($V = L$) का तात्पर्य सुस्लिन वृक्ष के अस्तित्व से है।

परिभाषाएँ
डायमंड सिद्धांत $◊$ का कहना हैं कि एक ◊-अनुक्रम उपस्थित है, समुच्चय का परिवार $A_{α} ⊆ α$ के लिए $α < ω_{1}$ ऐसा कि किसी भी उपसमुच्चय के लिए $A$ प्रथम अगणनीय क्रमसूचक |ω1के समुच्चय $α$ साथ $A ∩ α = A_{α}$ में स्थिर है $ω_{1}$.

डायमंड सिद्धांत के कई समतुल्य रूप हैं। एक कहता है कि गणनीय संग्रह है $A_{α}$ के उपसमुच्चय का $α$ प्रत्येक गणनीय अध्यादेश के लिए $α$ ऐसा कि किसी भी उपसमुच्चय के लिए $A$ का $ω_{1}$ स्थिर उपसमुच्चय है $C$ का $ω_{1}$ ऐसा कि सभी के लिए $α$ में $C$ अपने पास $A ∩ α ∈ A_{α}$ और $C ∩ α ∈ A_{α}$. एक अन्य समतुल्य रूप बताता है कि समुच्चय उपस्थित हैं $A_{α} ⊆ α$ के लिए $α < ω_{1}$ ऐसा कि किसी भी उपसमुच्चय के लिए $A$ का $ω_{1}$ कम से कम एक अनंत है $α$ साथ $A ∩ α = A_{α}$.

अधिक सामान्यतः, किसी दिए गए बुनियादी संख्या के लिए $κ$ और स्थिर समुच्चय $S ⊆ κ$, कथन $◊_{S}$ (कभी-कभी लिखा जाता है $◊(S)$ या $◊_{κ}(S)$) कथन है कि एक क्रम है $⟨A_{α} : α ∈ S⟩$ ऐसा है कि

सिद्धांत $A_{α} ⊆ α$ वैसा ही है जैसा कि $A ⊆ κ$.
 * प्रत्येक ${α ∈ S : A ∩ α = A_{α} }$
 * हर एक के लिए $κ$, $◊_{ω_{1}}|undefined$ में स्थिर है $◊$

डायमंड-प्लस सिद्धांत $◊^{+}$ बताता है कि एक $◊^{+}$-अनुक्रम उपस्थित है, दूसरे शब्दों में गणनीय संग्रह $A_{α}$ के उपसमुच्चय का $α$ प्रत्येक गणनीय क्रमिक α के लिए जैसे कि किसी भी उपसमुच्चय के लिए $A$ का $ω_{1}$ बंद असीमित उपसमुच्चय है $C$ का $ω_{1}$ ऐसा कि सभी के लिए $α$ में $C$ अपने पास $A ∩ α ∈ A_{α}$ और $C ∩ α ∈ A_{α}$.

गुण और उपस्थित
दिखाया कि डायमंड सिद्धांत $◊$ सुस्लिन वृक्षों के अस्तित्व को दर्शाता है। उन्होंने यह भी दिखाया $V = L$ डायमंड-प्लस सिद्धांत का तात्पर्य है, जो डायमंड सिद्धांत का तात्पर्य है, जिसका अर्थ है निरंतर परिकल्पना। विशेष रूप से डायमंड सिद्धांत और डायमंड-प्लस सिद्धांत दोनों जेडएफसी के स्वयंसिद्धों की स्वतंत्रता (गणितीय तर्क) हैं। भी $♣ + सीएच$ तात्पर्य $◊$, बूत सहारों शेलाह गावे मॉडल्स ऑफ़ $♣ + ¬ सीएच$, इसलिए $◊$ और $♣$ समतुल्य नहीं हैं (किंतु, $♣$ से कमजोर है $◊$).

डायमंड सिद्धांत $◊$ कुरेपा वृक्ष के अस्तित्व का अर्थ नहीं है, किंतु मजबूत $◊^{+}$ सिद्धांत, ◊ सिद्धांत और कुरेपा वृक्ष के अस्तित्व दोनों को दर्शाता है।

उपयोग किया गया $◊$ सी*-बीजगणित बनाने के लिए |$C*$- बीजगणित नाइमार्क की समस्या के प्रति उदाहरण के रूप में कार्य करता है।

सभी कार्डिनल्स के लिए $κ$ और स्थिर उपसमुच्चय $S ⊆ κ^{+}$, $◊_{S}$ रचनात्मक ब्रह्मांड में रखता है। के लिए सिद्ध किया $κ > ℵ_{0}$, $◊_{κ^{+}}(S)|undefined$ से अनुसरण करता है $2^{κ} = κ^{+}$ स्थिर के लिए $S$ जिसमें कोफ़िनलिटी के अध्यादेश सम्मिलित नहीं हैं $κ$.

शेलाह ने दिखाया कि हीरे का सिद्धांत व्हाइटहेड समस्या को हल करता है, जिसका अर्थ है कि व्हाइटहेड की हर समस्या मुक्त है।

यह भी देखें

 * जेडएफसी से स्वतंत्र बयानों की सूची