मॉड्यूलर जाली

गणित की शाखा में जिसे क्रम सिद्धांत कहा जाता है, एक मॉड्यूलर जाली एक जाली (आदेश) है जो निम्नलिखित स्व-द्वैत (आदेश सिद्धांत) स्थिति को संतुष्ट करती है,
 * मॉड्यूलर कानून:$a ≤ b$ तात्पर्य $a ∨ (x ∧ b) = (a ∨ x) ∧ b$

कहाँ $x, a, b$ जाली में मनमाने तत्व हैं, ≤ आंशिक क्रम है, और ∨ और ∧ (क्रमशः जुड़ना और मिलना कहा जाता है) जाली के संचालन हैं। यह वाक्यांश उप-जाल पर प्रक्षेपण के संदर्भ में एक व्याख्या पर जोर देता है $[a, b]$, एक तथ्य जिसे हीरा समरूपता प्रमेय के रूप में जाना जाता है। समीकरण के रूप में बताई गई एक वैकल्पिक लेकिन समतुल्य स्थिति (नीचे देखें) इस बात पर जोर देती है कि मॉड्यूलर जाली सार्वभौमिक बीजगणित के अर्थ में एक विविधता ([[सार्वभौमिक बीजगणित)]] बनाती है।

बीजगणित और गणित के कई अन्य क्षेत्रों में मॉड्यूलर जाली स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती हैं। इन परिदृश्यों में, मॉड्यूलरिटी दूसरे समरूपता प्रमेय का एक अमूर्तन है। उदाहरण के लिए, एक सदिश स्थल  के उप-स्थान (और आमतौर पर एक रिंग के ऊपर एक मॉड्यूल के सबमॉड्यूल) एक मॉड्यूलर जाली बनाते हैं।

जरूरी नहीं कि मॉड्यूलर जाली में, अभी भी तत्व हो सकते हैं $b$ जिसके लिए मॉड्यूलर कानून मनमाने तत्वों के संबंध में है $x$ और $a$ (के लिए $a ≤ b$). ऐसे तत्व को मॉड्यूलर तत्व कहा जाता है। इससे भी अधिक सामान्यतः, मॉड्यूलर कानून किसी के लिए भी मान्य हो सकता है $a$ और एक निश्चित जोड़ी $(x, b)$. ऐसी जोड़ी को मॉड्यूलर जोड़ी कहा जाता है, और इस धारणा और सेमीमॉड्यूलर जाली से संबंधित मॉड्यूलरिटी के विभिन्न सामान्यीकरण हैं।

मॉड्यूलर लैटिस को कभी-कभी रिचर्ड डेडेकाइंड के नाम पर डेडेकाइंड लैटिस कहा जाता है, जिन्होंने #इतिहास में मॉड्यूलर पहचान की खोज की थी।

परिचय
मॉड्यूलर कानून को एक प्रतिबंधित सहयोगीता के रूप में देखा जा सकता है जो दो जाली संचालन को उसी तरह से जोड़ता है जिस तरह से वेक्टर रिक्त स्थान के लिए सहयोगी कानून λ(μx) = (λμ)x क्षेत्र में गुणन और स्केलर गुणन को जोड़ता है।

प्रतिबंध $a ≤ b$ स्पष्ट रूप से आवश्यक है, क्योंकि यह इसी से अनुसरण करता है $a ∨ (x ∧ b) = (a ∨ x) ∧ b$. दूसरे शब्दों में, एक से अधिक तत्वों वाली कोई भी जाली मॉड्यूलर कानून के अप्रतिबंधित परिणाम को संतुष्ट नहीं करती है।

यह देखना आसान है वह $a ∨ (x ∧ b) ≤ (a ∨ x) ∧ (a ∨ b)$ तात्पर्य $a ≤ b$ प्रत्येक जाली में। इसलिए, मॉड्यूलर कानून को इस प्रकार भी कहा जा सकता है


 * मॉड्यूलर कानून (संस्करण): $a ∨ b = b$ तात्पर्य $a ≤ b$.

मॉड्यूलर कानून को एक समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जिसे बिना शर्त बनाए रखना आवश्यक है। तब से $a ∨ (x ∧ b) ≤ (a ∨ x) ∧ b$ तात्पर्य $a ≤ b$ और तबसे $(a ∨ x) ∧ b ≤ a ∨ (x ∧ b)$, बदलना $a ≤ b$ साथ $$ प्राप्त करने के लिए मॉड्यूलर कानून के परिभाषित समीकरण में: मॉड्यूलर पहचान: $a ∧ b ≤ b$. इससे पता चलता है कि, सार्वभौमिक बीजगणित से शब्दावली का उपयोग करते हुए, मॉड्यूलर जाली जाली की विविधता (सार्वभौमिक बीजगणित) की एक उप-विविधता बनाती है। इसलिए, सभी होमोमोर्फिक छवियां, उदात्तता  और मॉड्यूलर लैटिस के प्रत्यक्ष उत्पाद फिर से मॉड्यूलर हैं।

उदाहरण
एक रिंग के ऊपर मॉड्यूल के सबमॉड्यूल की जाली मॉड्यूलर होती है। एक विशेष मामले के रूप में, एबेलियन समूह के उपसमूहों की जाली मॉड्यूलर है।

किसी समूह (गणित) के सामान्य उपसमूहों की जाली मॉड्यूलर होती है। लेकिन सामान्य तौर पर किसी समूह के उपसमूहों की जाली मॉड्यूलर नहीं होती है। उदाहरण के लिए, क्रम 8 के डायहेड्रल समूह के उपसमूहों की जाली मॉड्यूलर नहीं है।

सबसे छोटी गैर-मॉड्यूलर जाली पेंटागन जाली एन है5 पांच तत्वों 0, 1, x, a, b से मिलकर बना है, जैसे कि 0 < x < b < 1, 0 < a < 1, और a, x या b से तुलनीय नहीं है। इस जाली के लिए,
 * x ∨ (a ∧ b) = x ∨ 0 = x < b = 1 ∧ b = (x ∨ a) ∧ b

मॉड्यूलर कानून का खंडन करता है। प्रत्येक गैर-मॉड्यूलर जाली में एन की एक प्रति होती है5 एक उप-जाल के रूप में

गुण
प्रत्येक वितरण जाली मॉड्यूलर है।

साबित हुआ कि, प्रत्येक परिमित मॉड्यूलर जाली में, जुड़ने वाले तत्वों की संख्या मिलने वाले तत्वों की संख्या के बराबर होती है। अधिक सामान्यतः, प्रत्येक के लिए $k$, जाली के तत्वों की संख्या जो बिल्कुल कवर करती है $k$ अन्य तत्व उस संख्या के बराबर होते हैं जो बिल्कुल कवर होते हैं $k$ अन्य तत्व. यह दिखाने के लिए एक उपयोगी गुण कि कोई जाली मॉड्यूलर नहीं है, इस प्रकार है:


 * एक जाली $G$ मॉड्यूलर है यदि और केवल यदि, किसी के लिए $a$,
 * $$\Big((c\leq a)\text{ and }(a\wedge b=c\wedge b)\text{ and }(a\vee b=c\vee b)\Big)\Rightarrow(a=c)$$

प्रमाण का रेखाचित्र: जी को मॉड्यूलर होने दें, और निहितार्थ के आधार को कायम रहने दें। फिर अवशोषण और मॉड्यूलर पहचान का उपयोग करना:


 * c = (c∧b) ∨ c = (a∧b) ∨ c = a ∧ (b∨c) = a ∧ (b∨a) = a

दूसरी दिशा के लिए, प्रमेय के निहितार्थ को जी में रहने दें। मान लीजिए कि ए, बी, सी जी में कोई तत्व है, जैसे कि सी ≤ ए। मान लीजिए x = (a∧b) ∨ c, y = a ∧ (b∨c)। मॉड्यूलर असमानता से तुरंत यह पता चलता है कि x ≤ y। यदि हम दिखाते हैं कि x∧b = y∧b, x∨b = y∨b, तो धारणा x = y का उपयोग करना चाहिए। शेष प्रमाण इन्फिमा, सुप्रीमा और असमानताओं के साथ नियमित हेरफेर है।

हीरा समरूपता प्रमेय
मॉड्यूलर जाली के किन्हीं दो तत्वों a,b के लिए, कोई अंतराल [a ∧ b, b] और [a, a ∨ b] पर विचार कर सकता है। वे क्रम-संरक्षित मानचित्रों द्वारा जुड़े हुए हैं
 * φ: [ए ∧ बी, बी] → [ए, ए ∨ बी] और
 * ψ: [ए, ए ∨ बी] → [ए ∧ बी, बी]

जो φ(x) = x ∨ a और ψ(y) = y ∧ b द्वारा परिभाषित हैं।

रचना ψφ अंतराल [a ∧ b, b] से स्वयं तक एक आदेश-संरक्षण मानचित्र है जो असमानता ψ(φ(x)) = (x ∨ a) ∧ b ≥ x को भी संतुष्ट करता है। उदाहरण से पता चलता है कि यह असमानता सामान्य तौर पर सख्त हो सकती है। हालाँकि, एक मॉड्यूलर जाली में समानता कायम रहती है। चूँकि एक मॉड्यूलर जाली का दोहरा भाग फिर से मॉड्यूलर होता है, φψ [ए, ए ∨ बी] पर भी पहचान है, और इसलिए दो मानचित्र φ और ψ इन दो अंतरालों के बीच समरूपता हैं। इस परिणाम को कभी-कभी मॉड्यूलर लैटिस के लिए 'डायमंड आइसोमोर्फिज्म प्रमेय' कहा जाता है। एक जाली मॉड्यूलर होती है यदि और केवल यदि हीरे की समरूपता प्रमेय तत्वों की प्रत्येक जोड़ी के लिए लागू होती है।

मॉड्यूलर जाली के लिए हीरा समरूपता प्रमेय बीजगणित में दूसरे समरूपता प्रमेय के अनुरूप है, और यह जाली प्रमेय का सामान्यीकरण है।

मॉड्यूलर जोड़े और संबंधित धारणाएँ
किसी भी जाली में, एक मॉड्यूलर जोड़ी तत्वों की एक जोड़ी (ए, बी) होती है, जैसे कि सभी x के लिए a ∧ b ≤ x ≤ b, हमारे पास (x ∨ a) ∧ b = x है, यानी यदि हीरे की समरूपता प्रमेय का आधा हिस्सा है जोड़ी के लिए रखता है. जाली के एक तत्व बी को '(दाएं) मॉड्यूलर तत्व' कहा जाता है यदि (ए, बी) सभी तत्वों के लिए एक मॉड्यूलर जोड़ी है।

इस गुण वाली एक जाली कि यदि (ए, बी) एक मॉड्यूलर जोड़ी है, तो (बी, ए) भी एक मॉड्यूलर जोड़ी है, 'एम-सममित जाली' कहलाती है। चूंकि एक जाली मॉड्यूलर होती है यदि और केवल यदि तत्वों के सभी जोड़े मॉड्यूलर होते हैं, तो स्पष्ट रूप से प्रत्येक मॉड्यूलर जाली एम-सममित होती है। जाली में एन5 ऊपर वर्णित, जोड़ी (बी, ए) मॉड्यूलर है, लेकिन जोड़ी (ए, बी) नहीं है। इसलिए, एन5 एम-सममित नहीं है. केन्द्रित षट्भुज जाली एस7 एम-सममित है लेकिन मॉड्यूलर नहीं है। चूंकि एन5 एस का एक उपवर्ग है7, यह इस प्रकार है कि एम-सममित जाली जाली की विविधता की एक उप-विविधता नहीं बनाती है।

एम-समरूपता कोई स्व-दोहरी धारणा नहीं है। एक दोहरी मॉड्यूलर जोड़ी एक जोड़ी है जो द्वैत (आदेश सिद्धांत) जाली में मॉड्यूलर है, और एक जाली को दोहरी एम-सममित या एम कहा जाता है*-सममित यदि इसका दोहरा एम-सममित है। यह दिखाया जा सकता है कि एक परिमित जाली मॉड्यूलर है यदि और केवल यदि यह एम-सममित और एम है*-सममित. यही समतुल्यता अनंत जालकों के लिए है जो आरोही श्रृंखला स्थिति (या अवरोही श्रृंखला स्थिति) को संतुष्ट करती हैं।

कई कम महत्वपूर्ण धारणाएँ भी आपस में घनिष्ठ रूप से जुड़ी हुई हैं। एक जाली क्रॉस-सिमेट्रिक है यदि प्रत्येक मॉड्यूलर जोड़ी (ए, बी) के लिए जोड़ी (बी, ए) दोहरी मॉड्यूलर है। क्रॉस-समरूपता का तात्पर्य एम-समरूपता से है लेकिन एम से नहीं*-समरूपता. इसलिए, क्रॉस-समरूपता दोहरी क्रॉस-समरूपता के बराबर नहीं है। कम से कम तत्व 0 के साथ एक जाली ⊥-सममित है यदि प्रत्येक मॉड्यूलर जोड़ी (ए, बी) के लिए ए ∧ बी = 0 जोड़ी (बी, ए) को संतुष्ट करती है मॉड्यूलर भी है.

इतिहास
मॉड्यूलैरिटी की परिभाषा रिचर्ड डेडेकाइंड की देन है, जिन्होंने अपनी सेवानिवृत्ति के बाद अधिकांश प्रासंगिक पत्र प्रकाशित किए। 1894 में प्रकाशित एक पेपर में उन्होंने जालकों का अध्ययन किया, जिन्हें उन्होंने दोहरे समूह कहा (Dualgruppen) मॉड्यूल (गणित) के अपने बीजगणित के हिस्से के रूप में और देखा कि आदर्श उसे संतुष्ट करते हैं जिसे अब हम मॉड्यूलर कानून कहते हैं। उन्होंने यह भी देखा कि सामान्य तौर पर जाली के लिए, मॉड्यूलर कानून इसके दोहरे के बराबर है।

1897 में एक अन्य पेपर में, डेडेकाइंड ने संचालन के रूप में जीसीडी और एलसीएम के साथ विभाजकों की जाली का अध्ययन किया, ताकि जाली का क्रम विभाज्यता द्वारा दिया जा सके। विषयांतर में उन्होंने एक सामान्य संदर्भ में औपचारिक रूप से जाली का परिचय और अध्ययन किया। उन्होंने देखा कि मॉड्यूल के सबमॉड्यूल की जाली मॉड्यूलर पहचान को संतुष्ट करती है। उन्होंने ऐसी जाली को मॉड्यूल प्रकार के दोहरे समूह कहा (Dualgruppen vom Modultypus). उन्होंने यह भी सिद्ध किया कि मॉड्यूलर पहचान और उसका दोहरा समतुल्य हैं।

उसी पेपर में, डेडेकाइंड निम्नलिखित मजबूत रूप की भी जांच की गई मॉड्यूलर पहचान की, जो स्व-दोहरी भी है:


 * (x ∧ b) ∨ (a ∧ b) = [x ∨ a] ∧ b.

उन्होंने इस पहचान को संतुष्ट करने वाली जाली को आदर्श प्रकार के दोहरे समूह कहा (Dualgruppen vom Idealtypus). आधुनिक साहित्य में, इन्हें आमतौर पर वितरणात्मक जालक के रूप में जाना जाता है। उन्होंने एक ऐसी जाली का उदाहरण दिया जो मॉड्यूलर नहीं है और एक मॉड्यूलर जाली का उदाहरण दिया जो आदर्श प्रकार की नहीं है।

1900 में डेडेकाइंड द्वारा प्रकाशित एक पेपर में जाली को केंद्रीय विषय के रूप में रखा गया था: उन्होंने तीन तत्वों द्वारा उत्पन्न मुक्त मॉड्यूलर जाली का वर्णन किया, 28 तत्वों वाली एक जाली (चित्र देखें)।

यह भी देखें

 * मॉड्यूलर ग्राफ़, ग्राफ़ का एक वर्ग जिसमें मॉड्यूलर लैटिस के हैस आरेख शामिल हैं
 * यंग-फाइबोनैचि जाली, अंक 1 और 2 के तारों पर परिभाषित एक अनंत मॉड्यूलर जाली
 * ऑर्थोमॉड्यूलर जाली
 * इवासावा समूह

बाहरी संबंध

 * Free Modular Lattice Generator An open-source browser-based web application that can generate and visualize some free modular lattices.
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