लीनियर अलजेब्रा

रेखीय बीजगणित रेखीय समीकरणों से संबंधित गणित की शाखा है जैसे:
 * $$a_1x_1+\cdots +a_nx_n=b,$$

रेखीय मानचित्र जैसे:
 * $$(x_1, \ldots, x_n) \mapsto a_1x_1+\cdots +a_nx_n,$$

और सदिश समष्टि में और आव्यूह (गणित) के माध्यम से उनका प्रतिनिधित्व। रेखीय बीजगणित गणित के लगभग सभी क्षेत्रों के लिए केंद्रीय है। उदाहरण के लिए, रेखीय बीजगणित रेखा (ज्यामिति), समतल (ज्यामिति) और घूर्णन (गणित) जैसी बुनियादी वस्तुओं को परिभाषित करने सहित ज्यामिति की आधुनिक प्रस्तुतियों में मौलिक है। साथ ही, कार्यात्मक विश्लेषण, गणितीय विश्लेषण की एक शाखा, को कार्यों के समष्टि पर रेखीय बीजगणित के अनुप्रयोग के रूप में देखा जा सकता है।

रेखीय बीजगणित का उपयोग अधिकांश विज्ञानों और अभियांत्रिकी के क्षेत्रों में भी किया जाता है, क्योंकि यह गणितीय प्रतिरूप को कई प्राकृतिक घटनाओं की अनुमति देता है, और ऐसे मॉडलों के साथ कुशलतापूर्वक अभिकलन करता है। अरेखीय प्रणालियों के लिए, जिन्हें रेखीय बीजगणित के साथ प्रतिरूपित नहीं किया जा सकता है, इसका उपयोग प्रायः प्रथम-क्रम सन्निकटन | प्रथम-क्रम सन्निकटन से निपटने के लिए किया जाता है, इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि एक बिंदु पर एक बहुभिन्नरूपी कार्य का अंतर (गणित) रैखिक मानचित्र है जो best उस बिंदु के पास फलन का अनुमान लगाता है।

इतिहास
एक साथ रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए प्रक्रिया (गिनती की छड़ का उपयोग करना) जिसे अब गाउस विलोपन कहा जाता है, प्राचीन चीनी गणितीय पाठ रॉड कैलकुलस # रैखिक समीकरणों की प्रणाली | अध्याय आठ: गणितीय कला पर नौ अध्यायों की आयताकार सरणी। इसका उपयोग दो से पांच समीकरणों के साथ अठारह समस्याओं में दिखाया गया है। ज्यामिति में निर्देशांक के रेने डेसकार्टेस द्वारा 1637 में परिचय के साथ यूरोप में रैखिक समीकरणों की प्रणाली उत्पन्न हुई। वास्तव में, इस नई ज्यामिति में, जिसे अब कार्टेशियन ज्यामिति कहा जाता है, रेखाओं और समतलों को रैखिक समीकरणों द्वारा दर्शाया जाता है, और उनके प्रतिच्छेदों की गणना रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के बराबर होती है।

रेखीय प्रणालियों को हल करने के लिए पहली व्यवस्थित विधियों में निर्धारकों का उपयोग किया गया था और पहली बार 1693 में गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज द्वारा विचार किया गया था। 1750 में, गेब्रियल क्रैमर ने उनका उपयोग रेखीय प्रणालियों के स्पष्ट समाधान देने के लिए किया, जिसे अब क्रैमर का नियम कहा जाता है। बाद में, गॉस ने उन्मूलन की विधि का और वर्णन किया, जिसे प्रारंभ में भूमंडल नापने का शास्र में उन्नति के रूप में सूचीबद्ध किया गया था। 1844 में हरमन ग्रासमैन ने अपने विस्तार के सिद्धांत को प्रकाशित किया जिसमें आज के रेखीय बीजगणित कहे जाने वाले मूलभूत नए विषय सम्मिलित थे। 1848 में, जेम्स जोसेफ सिल्वेस्टर ने आव्यूह शब्द प्रस्तुत किया, जो गर्भ के लिए लैटिन है।

रेखीय बीजगणित जटिल तल में नोट किए गए विचारों के साथ विकसित हुआ। उदाहरण के लिए, दो संख्याएँ $w$ तथा $z$ में $$\mathbb{C}$$ फर्क है $w – z$, और रेखा खंड $\overline{wz}$ तथा $\overline{0(w − z)}$ समान लंबाई और दिशा के हैं। खंड समतुल्यता (ज्यामिति) हैं। चार आयामी प्रणाली $$\mathbb{H}$$ चतुष्कोणों की शुरुआत 1843 में हुई थी। सदिश शब्द को इस रूप में प्रस्तुत किया गया था $v = xi + yj + zk$ समष्टि में एक बिंदु का प्रतिनिधित्व। चतुष्कोणीय अंतर $p – q$ एक खंड से लैस भी पैदा करता है $\overline{pq}$. अन्य हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्या प्रणालियों ने भी एक आधार (रैखिक बीजगणित) के साथ एक रेखीय समष्टि के विचार का उपयोग किया।

आर्थर केली ने 1856 में आव्यूह गुणन और व्युत्क्रम आव्यूह की शुरुआत की, जिससे सामान्य रैखिक समूह संभव हो गया। जटिल और अति जटिल संख्याओं का वर्णन करने के लिए समूह प्रतिनिधित्व का तंत्र उपलब्ध हो गया। महत्वपूर्ण रूप से, केली ने एक आव्यूह को निरूपित करने के लिए एक अक्षर का उपयोग किया, इस प्रकार एक आव्यूह को एक समग्र वस्तु के रूप में माना। उन्होंने मेट्रिसेस और निर्धारकों के मध्य के संबंध को भी महसूस किया, और लिखा कि मैट्रिसेस के इस सिद्धांत के बारे में कहने के लिए बहुत सी बातें होंगी, जो मुझे लगता है, निर्धारकों के सिद्धांत से पहले होनी चाहिए।

बेंजामिन पीयर्स ने अपना रैखिक साहचर्य बीजगणित (1872) प्रकाशित किया, और उनके बेटे चार्ल्स सैंडर्स पियर्स ने बाद में काम बढ़ाया। तार को एक व्याख्यात्मक प्रणाली की आवश्यकता थी, और बिजली और चुंबकत्व पर एक ग्रंथ के 1873 के प्रकाशन ने बलों के क्षेत्र सिद्धांत (भौतिकी) की स्थापना की और अभिव्यक्ति के लिए आवश्यक अंतर ज्यामिति की स्थापना की। रेखीय बीजगणित सपाट अंतर ज्यामिति है और कई गुना तक स्पर्शरेखा समष्टि में कार्य करता है। समष्टि-समय की विद्युत-चुंबकीय समरूपताएं लोरेंत्ज़ परिवर्तनों द्वारा व्यक्त की जाती हैं, और रैखिक बीजगणित का अधिकांश इतिहास लोरेंत्ज़ परिवर्तनों का इतिहास है।

सदिश समष्टि की पहली आधुनिक और अधिक सटीक परिभाषा 1888 में पियानो द्वारा प्रस्तुत की गई थी; 1900 तक, परिमित-आयामी सदिश समष्टि के रैखिक परिवर्तनों का एक सिद्धांत सामने आया था। रेखीय बीजगणित ने अपना आधुनिक रूप बीसवीं शताब्दी के पूर्वार्द्ध में लिया, जब पिछली शताब्दियों के कई विचारों और विधियों को अमूर्त बीजगणित के रूप में सामान्यीकृत किया गया था। अभिकलक के विकास ने गाऊसी उन्मूलन और आव्यूह अपघटन के लिए कुशल कलन विधि में अनुसंधान में वृद्धि की और रैखिक बीजगणित मॉडलिंग और अनुकरण के लिए एक आवश्यक उपकरण बन गया।

सदिश समष्टि
19वीं सदी तक, रैखिक बीजगणित को रैखिक समीकरणों और आव्यूह (गणित) की प्रणालियों के माध्यम से प्रस्तुत किया गया था। आधुनिक गणित में, सदिश समष्टि के माध्यम से प्रस्तुति को सामान्यतः चयन किया जाता है, क्योंकि यह अधिक सिंथेटिक ज्यामिति है, अधिक सामान्य (परिमित-आयामी स्थिति तक सीमित नहीं), और अवधारणात्मक रूप से सरल, हालांकि अधिक सार।

एक क्षेत्र पर एक सदिश समष्टि (गणित) $F$ (प्रायः वास्तविक संख्या का क्षेत्र) एक समुच्चय (गणित) है $V$ निम्नलिखित स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करने वाली दो बाइनरी संक्रियाओं से सुसज्जित है। का तत्व (गणित)। $V$ सदिश कहलाते हैं और F के अवयवों को अदिश कहते हैं। पहली संक्रिया, सदिश योग, किन्हीं दो सदिशों को लेती है $v$ तथा $w$ और तीसरा सदिश आउटपुट करता है $v + w$. दूसरी संक्रिया, अदिश गुणन, कोई भी अदिश लेता है $a$ और कोई सदिश $v$ और एक नया आउटपुट करता है vector $av$. जोड़ और अदिश गुणन को संतुष्ट करने वाले अभिगृहीत निम्नलिखित हैं। (नीचे दी गई सूची में, $u, v$ तथा $w$ के मनमाने तत्व हैं $V$, तथा $a$ तथा $b$ क्षेत्र में मनमाना स्केलर हैं $F$.)
 * {| border="0" style="width:100%;"

पहले चार स्वयंसिद्धों का अर्थ है $u + (v + w) = (u + v) + w$ इसके अतिरिक्त एक अबेलियन समूह है।
 * स्‍वयंसिद्ध ||अभिप्राय
 * जोड़ की संबद्धता|| $u + v = v + u$
 * - style="background:#F8F4FF;"
 * जोड़ की क्रमविनिमेयता|| $V$
 * जोड़ का पहचान तत्व|| $0$ में एक तत्व $V$ उपस्थित है, जिसे शून्य वेक्टर (या बस शून्य) कहा जाता है, जैसे कि $v$ में सभी $v + 0 = v$ के लिए $V$ है।
 * - style="background:#F8F4FF;"
 * जोड़ के व्युत्क्रम तत्व || $v$ में प्रत्येक $V$ के लिए, $−v$ में एक तत्व $v$ उपस्थित है, जिसे $v + (−v) = 0$, का योज्य व्युत्क्रम कहा जाता है, जैसे कि $a(u + v) = au + av$
 * वेक्टर जोड़ के संबंध में अदिश गुणन की वितरणशीलता|| $(a + b)v = av + bv$
 * - style="background:#F8F4FF;"
 * फ़ील्ड जोड़ के संबंध में अदिश गुणन की वितरणशीलता || $a(bv) = (ab)v$
 * क्षेत्र गुणन के साथ अदिश गुणन की अनुकूलता || $bv$
 * - style="background:#F8F4FF;"
 * अदिश गुणन का पहचान तत्व || $ab$, जहां $1v = v$, $F$ की गुणात्मक पहचान को दर्शाता है।
 * }
 * क्षेत्र गुणन के साथ अदिश गुणन की अनुकूलता || $1$
 * - style="background:#F8F4FF;"
 * अदिश गुणन का पहचान तत्व || $V$, जहां $V$, $F$ की गुणात्मक पहचान को दर्शाता है।
 * }
 * }

एक विशिष्ट सदिश समष्टि के एक तत्व की प्रकृति भिन्न हो सकती है; उदाहरण के लिए, यह एक अनुक्रम, एक फलन (गणित), एक बहुपद वलय या एक आव्यूह (गणित) हो सकता है। रैखिक बीजगणित ऐसी वस्तुओं के उन गुणों से संबंधित है जो सभी सदिश समष्टि के लिए सामान्य हैं।

रेखीय मानचित्र
रैखिक मानचित्र सदिश समष्टि के मध्य मानचित्र (गणित) होते हैं जो सदिश-समष्टि संरचना को संरक्षित करते हैं। दो सदिश समष्टि दिए गए हैं $W$ तथा $u,v$ एक क्षेत्र के ऊपर $F$, एक रेखीय मानचित्र (जिसे कुछ संदर्भों में, रैखिक परिवर्तन या रैखिक मानचित्रण भी कहा जाता है) एक मानचित्र (गणित) है


 * $$ T:V\to W $$

जो जोड़ और अदिश गुणन के साथ संगत है, अर्थात


 * $$ T(\mathbf u + \mathbf v)=T(\mathbf u)+T(\mathbf v), \quad T(a \mathbf v)=aT(\mathbf v) $$

किसी भी सदिश के लिए $V$ में $a$ और अदिश $u, v$ में $F$.

इसका तात्पर्य है कि किसी भी सदिश के लिए $V$ में $a, b$ और अदिश $V = W$ में $V$, किसी के पास


 * $$T(a \mathbf u + b \mathbf v)= T(a \mathbf u) + T(b \mathbf v) = aT(\mathbf u) + bT(\mathbf v) $$

कब $T : V → V$ एक ही सदिश समष्टि हैं, एक रेखीय मानचित्र $u + v$ एक रैखिक प्रचालक के रूप में भी जाना जाता है $V$.

दो सदिश समष्टियों के मध्य एक विशेषण रैखिक मानचित्र (अर्थात्, दूसरे समष्टि से प्रत्येक सदिश पहले में ठीक एक सदिश से संबद्ध है) एक तुल्याकारिता है। क्योंकि एक समरूपता रैखिक संरचना को संरक्षित करती है, दो समरूपी सदिश समष्टि अनिवार्य रूप से रैखिक बीजगणित के दृष्टिकोण से समान होते हैं, इस अर्थ में कि उन्हें सदिश समष्टि गुणों का उपयोग करके अलग नहीं किया जा सकता है। रेखीय बीजगणित में एक आवश्यक प्रश्न यह परीक्षण कर रहा है कि क्या एक रेखीय मानचित्र एक समरूपतावाद है या नहीं, और, यदि यह एक समरूपता नहीं है, तो इसके फलन (या छवि) की सीमा और शून्य सदिश के लिए मैप किए गए तत्वों के समुच्चय का पता लगाना, मानचित्र का कर्नेल (रैखिक प्रचालक) कहा जाता है। गॉसियन विलोपन या इस कलन विधि के किसी प्रकार का उपयोग करके इन सभी प्रश्नों को हल किया जा सकता है।

उप-समष्टि, अवधि, और आधार
सदिश समष्टियों के उन उपसमुच्चयों का अध्ययन जो प्रेरित संक्रियाओं के अंतर्गत स्वयं सदिश समष्टियाँ हैं, मौलिक है, इसी प्रकार कई गणितीय संरचनाओं के लिए। इन उपसमुच्चयों को रैखिक उपसमष्टि कहते हैं। अधिक सटीकता से, सदिश समष्टि की एक रेखीय उपसमष्टि $F$ एक क्षेत्र के ऊपर $W$ एक उपसमुच्चय है $V$ का $W$ ऐसा है कि $au$ तथा $u$ में हैं $W$, हरएक के लिए $v$, $T : V → W$ में $a$, और हर $F$ में $W$. (ये शर्तें इसे अनुप्रयुक्त करने के लिए पर्याप्त हैं $V$ एक सदिश समष्टि है।)

उदाहरण के लिए, एक रेखीय मानचित्र दिया $T(V)$, छवि (फलन) $T^{−1}(0)$ का $W$, और उलटी छवि $0$ का $v_{1}, v_{2}, ..., v_{k}$ (कर्नेल (रैखिक बीजगणित) या समष्टि कहा जाता है), के रैखिक उपस्थान हैं $V$ तथा $S$, क्रमश।

एक उप-समष्टि बनाने का एक अन्य महत्वपूर्ण तरीका समुच्चय के रैखिक संयोजनों पर विचार करना है $S$ सदिशों की संख्या: सभी राशियों का समुच्चय
 * $$ a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a_k \mathbf v_k,$$

जहाँ पे $a_{1}, a_{2}, ..., a_{k}$ में हैं $F$, तथा $w$ में हैं $S$ एक रेखीय उपसमष्टि बनाती है जिसे रेखीय विस्तार कहते हैं $S$. की अवधि $S$ युक्त सभी रैखिक उप-समष्टियों का प्रतिच्छेदन भी है $S$. दूसरे शब्दों में, यह सबसे छोटा (समावेशन संबंध के लिए) रैखिक उपसमष्टि है $S$.

सदिशों का एक समुच्चय रैखिक रूप से स्वतंत्र होता है यदि कोई अन्य सदिशों के विस्तार में न हो। समान रूप से, एक समुच्चय $S$ के तत्वों के एक रैखिक संयोजन के रूप में शून्य सदिश को व्यक्त करने का एकमात्र तरीका है, तो सदिशों की संख्या रैखिक रूप से स्वतंत्र है $a_{i}$ प्रत्येक गुणांक के लिए शून्य लेना है $S$.

सदिश का एक समुच्चय जो एक सदिश समष्टि को फैलाता है, उसे फैले समुच्चय या जनरेटिंग समुच्चय कहा जाता है। यदि एक स्पैनिंग समुच्चय $S$ रैखिक रूप से निर्भर है (जो रैखिक रूप से स्वतंत्र नहीं है), तो कुछ तत्व $w$ का $S$ के अन्य तत्वों की अवधि में है $S$, और यदि कोई हटा देता है तो स्पैन वही रहेगा $V$ से $S$. के तत्वों को हटाना जारी रख सकता है $V$ एक रैखिक रूप से स्वतंत्र स्पैनिंग समुच्चय प्राप्त करने तक। ऐसा रैखिक रूप से स्वतंत्र समुच्चय जो एक सदिश समष्टि को विस्तृत करता है $S$ का आधार (रैखिक बीजगणित) कहा जाता है $S ⊆ T$. आधारों का महत्व इस तथ्य में निहित है कि वे एक साथ न्यूनतम जनक समुच्चय और अधिकतम स्वतंत्र समुच्चय हैं। अधिक सटीक, यदि $T$ एक रैखिक रूप से स्वतंत्र समुच्चय है, और $B$ एक स्पैनिंग समुच्चय है जैसे कि $S ⊆ B ⊆ T$, तो एक आधार है $F$ ऐसा है कि $V$.

सदिश समष्टि के कोई दो आधार $V$ एक ही प्रमुखता है, जिसे डायमेंशन (सदिश समष्टि) कहा जाता है $V$; यह सदिश समष्टि के लिए आयाम प्रमेय है। इसके अतिरिक्त, एक ही क्षेत्र में दो सदिश समष्टि $V$ समरूप हैं यदि और केवल यदि उनके पास समान आयाम हैं। यदि कोई आधार $V$ (और इसलिए हर आधार) तत्वों की एक सीमित संख्या है, $U$ एक परिमित-आयामी सदिश समष्टि है। यदि $V$ की एक उपसमष्टि है $dim U ≤ dim V$, फिर $V$. स्थिति में जहां $U = V$ परिमित-आयामी है, आयामों की समानता का तात्पर्य है $U_{1}$.

यदि $U_{2}$ तथा $V$ की उपकथाएं हैं $U_{1} + U_{2}$, फिर


 * $$\dim(U_1 + U_2) = \dim U_1 + \dim U_2 - \dim(U_1 \cap U_2),$$

जहाँ पे $U_{1} ∪ U_{2}$ की अवधि को दर्शाता है $F$.

आव्यूह
आव्यूह परिमित-आयामी सदिश समष्टि और रैखिक मानचित्रों के स्पष्ट हेरफेर की अनुमति देते हैं। उनका सिद्धांत इस प्रकार रैखिक बीजगणित का एक अनिवार्य हिस्सा है।

मान लीजिए कि $m$ एक क्षेत्र पर एक परिमित-आयामी सदिश समष्टि बनें $(v_{1}, v_{2}, ..., v_{m})$, तथा $V$ का आधार हो $V$ (इस प्रकार $m$ का आयाम है $F^{m}$). आधार की परिभाषा के अनुसार, मानचित्र
 * $$\begin{align}

(a_1, \ldots, a_m)&\mapsto a_1 \mathbf v_1+\cdots a_m \mathbf v_m\\ F^m &\to V \end{align}$$ से आपत्ति है $F^{m}$, के अनुक्रम (गणित) का समुच्चय $F$ के तत्व $V$, पर $W$. यह सदिश समष्टि का एक समरूपता है, यदि $(a_{1}, ..., a_{m})$ सदिश समष्टि की अपनी मानक संरचना से सुसज्जित है, जहाँ सदिश योग और अदिश गुणन घटक दर घटक किया जाता है।

यह समरूपता इस समरूपता के अंतर्गत अपनी उलटी छवि द्वारा एक सदिश का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देता है, जो कि समन्वय सदिश द्वारा होता है $(w_{1}, ..., w_{n})$ या स्तम्भ आव्यूह द्वारा
 * $$\begin{bmatrix}a_1\\\vdots\\a_m\end{bmatrix}.$$

यदि $f$ आधार के साथ एक अन्य परिमित आयामी सदिश समष्टि (संभवतः समान) है $(f(w_{1}), ..., f(w_{n}))$, एक रेखीय मानचित्र $W$ से $V$ प्रति $f$ आधार तत्वों पर इसके मानों द्वारा अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है, अर्थात $j = 1, ..., n$. इस प्रकार, $f$ संबंधित स्तम्भ मैट्रिसेस की सूची द्वारा अच्छी तरह से दर्शाया गया है। यानी यदि
 * $$f(w_j)=a_{1,j}v_1 + \cdots+a_{m,j}v_m,$$ के लिये $x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}$, फिर $m$ आव्यूह द्वारा दर्शाया गया है
 * $$\begin{bmatrix}

a_{1,1}&\cdots&a_{1,n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m,1}&\cdots&a_{m,n} \end{bmatrix},$$ साथ $n$ पंक्तियाँ और $W$ स्तम्भ।

आव्यूह गुणा को इस तरह से परिभाषित किया गया है कि दो आव्यूह का उत्पाद संबंधित रैखिक मानचित्रों की फलन संरचना का आव्यूह है, और आव्यूह का उत्पाद और स्तम्भ आव्यूह स्तम्भ आव्यूह है जो प्रतिनिधित्व किए गए रैखिक मानचित्र को अनुप्रयुक्त करने के परिणाम का प्रतिनिधित्व करता है। प्रतिनिधित्व सदिश के लिए। यह इस प्रकार है कि परिमित-आयामी सदिश समष्टि का सिद्धांत और मैट्रिसेस का सिद्धांत बिल्कुल समान अवधारणाओं को व्यक्त करने के लिए दो अलग-अलग भाषाएं हैं।

दो मेट्रिसेस जो अलग-अलग आधारों में एक ही रैखिक परिवर्तन को कूटबद्ध करते हैं, उन्हें समान (रैखिक बीजगणित) कहा जाता है। यह सिद्ध किया जा सकता है कि दो आव्यूह समान हैं यदि और केवल यदि एक प्राथमिक आव्यूह द्वारा एक को दूसरे में रूपांतरित किया जा सकता है। एक रेखीय मानचित्र का प्रतिनिधित्व करने वाले आव्यूह के लिए $V$ प्रति $V$, पंक्ति संचालन आधारों के परिवर्तन के अनुरूप है $W$ और स्तम्भ ऑपरेशंस आधारों के परिवर्तन के अनुरूप हैं $W$. प्रत्येक आव्यूह संभवतः शून्य पंक्तियों और शून्य स्तंभों द्वारा सीमाबद्ध एक पहचान आव्यूह के समान है। सदिश समष्टि के संदर्भ में, इसका अर्थ है कि, किसी भी रैखिक मानचित्र से $V$ प्रति $W$, ऐसे आधार हैं जो आधार का एक हिस्सा हैं $V$ के आधार पर विशेषणात्मक रूप से मैप किया जाता है $W$, और यह कि शेष आधार तत्व $$, यदि कोई हो, को शून्य पर मैप किया जाता है। गॉसियन एलिमिनेशन इन प्राथमिक संक्रियाओं को खोजने और इन परिणामों को सिद्ध करने के लिए बुनियादी कलन विधि है।

रैखिक प्रणाली
चरों के परिमित समुच्चय में रैखिक समीकरणों का परिमित समुच्चय, उदाहरण के लिए, $x, y, ..., z$, या $S_{n}$ रैखिक समीकरणों की प्रणाली या रैखिक प्रणाली कहा जाता है। रेखीय समीकरणों के निकाय रेखीय बीजगणित का मूलभूत भाग हैं। ऐतिहासिक रूप से, रैखिक बीजगणित और आव्यूह सिद्धांत को ऐसी प्रणालियों को हल करने के लिए विकसित किया गया है। सदिश समष्टियों और आव्यूहों के माध्यम से रेखीय बीजगणित की आधुनिक प्रस्तुति में, कई समस्याओं की रेखीय प्रणालियों के संदर्भ में व्याख्या की जा सकती है।

उदाहरण के लिए, चलो

एक रैखिक प्रणाली बनें।

ऐसी प्रणाली के लिए, कोई इसके आव्यूह को संबद्ध कर सकता है
 * $$M = \left[\begin{array}{rrr}

2 & 1 & -1\\ -3 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & 2 \end{array}\right]. $$ और इसका सही सदस्य सदिश
 * $$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 8\\-11\\-3 \end{bmatrix}. $$

मान लीजिए कि $T$ आव्यूह से जुड़ा रैखिक परिवर्तन हो $M$. प्रणाली का एक समाधान ($$) एक सदिश है
 * $$\mathbf{X}=\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}$$ ऐसा है कि
 * $$T(\mathbf{X}) = \mathbf{v},$$

यह पूर्वकल्पना का एक तत्व है $v$ द्वारा $T$.

मान लीजिए कि ($$) रेखीय समीकरणों की संबद्ध सजातीय प्रणाली हो, जहां समीकरणों के दाहिने हाथ को शून्य पर रखा जाता है:

के समाधान ($$) बिल्कुल कर्नेल (रैखिक बीजगणित) के तत्व हैं $$ या, समकक्ष, $T$.

गाऊसी उन्मूलन | गाऊसी-उन्मूलन में संवर्धित आव्यूह पर प्राथमिक पंक्ति संचालन करना सम्मिलित है
 * $$\left[\!\begin{array}{c|c}M&\mathbf{v}\end{array}\!\right] = \left[\begin{array}{rrr|r}

2 & 1 & -1&8\\ -3 & -1 & 2&-11 \\ -2 & 1 & 2&-3 \end{array}\right] $$ इसे कम पंक्ति सोपानक रूप में रखने के लिए। ये पंक्ति संचालन समीकरणों की प्रणाली के समाधान के समुच्चय को नहीं बदलते हैं। उदाहरण में, घटा हुआ सोपानक रूप है
 * $$\left[\!\begin{array}{c|c}M&\mathbf{v}\end{array}\!\right] = \left[\begin{array}{rrr|r}

1 & 0 & 0&2\\ 0 & 1 & 0&3 \\ 0 & 0 & 1&-1 \end{array}\right], $$ दिखा रहा है कि प्रणाली ($M$) का अनूठा समाधान है
 * $$\begin{align}x&=2\\y&=3\\z&=-1.\end{align}$$

रैखिक प्रणालियों की इस आव्यूह व्याख्या से यह पता चलता है कि रैखिक प्रणालियों को हल करने के लिए और आव्यूह उलटा रैखिक परिवर्तनों पर कई कार्यों के लिए समान विधियों को अनुप्रयुक्त किया जा सकता है, जिसमें आव्यूह, कर्नेल (रैखिक बीजगणित), आव्यूह व्युत्क्रम की रैंक की गणना सम्मिलित है।

अंतराकारिता और स्क्वायर मैट्रिसेस
एक रेखीय अंतराकारिता एक रेखीय मानचित्र है जो एक सदिश समष्टि को मानचित्रित करता है $$ खुद को। यदि $V$ का आधार है $V$ तत्व, इस तरह के अंतराकारिता को आकार के वर्ग आव्यूह द्वारा दर्शाया जाता है $n$.

सामान्य रेखीय नक्शों के संबंध में, रेखीय अंतराकारिता और स्क्वायर मैट्रिसेस में कुछ विशिष्ट गुण होते हैं जो उनके अध्ययन को रेखीय बीजगणित का एक महत्वपूर्ण हिस्सा बनाते हैं, जिसका उपयोग गणित के कई हिस्सों में किया जाता है, जिसमें ज्यामितीय परिवर्तन, समन्वय परिवर्तन, द्विघात रूप और कई अन्य भाग सम्मिलित हैं। गणित का।

निर्धारक
एक वर्ग आव्यूह का निर्धारक $n$ होना परिभाषित किया गया है
 * $$\sum_{\sigma \in S_n} (-1)^{\sigma} a_{1\sigma(1)} \cdots a_{n\sigma(n)}, $$

जहाँ पे $(−1)^{σ}$ का सममित समूह है $A$ तत्व, $n$ एक क्रमचय है, और $n = 2$ क्रमचय के क्रमपरिवर्तन की समानता। एक आव्यूह व्युत्क्रमणीय आव्यूह है यदि और केवल यदि निर्धारक व्युत्क्रमणीय है (अर्थात, अशून्य यदि स्केलर एक क्षेत्र से संबंधित हैं)।

क्रैमर का नियम निर्धारकों के संदर्भ में रैखिक समीकरणों की प्रणाली के समाधान की एक बंद-रूप अभिव्यक्ति है। $σ$ में रैखिक समीकरण $n$ अज्ञात। समाधान के बारे में तर्क करने के लिए क्रैमर का नियम उपयोगी है, लेकिन इसके अतिरिक्त $3$ या $f(v) = av$, किसी समाधान की गणना करने के लिए इसका उपयोग सम्भवतः ही कभी किया जाता है, क्योंकि गाऊसी उन्मूलन एक तेज़ कलन विधि है।

एक अंतराकारिता का निर्धारक आव्यूह का निर्धारक है जो कुछ क्रमबद्ध आधार के संदर्भ में अंतराकारिता का प्रतिनिधित्व करता है। यह परिभाषा समझ में आती है, क्योंकि यह निर्धारक आधार की पसंद से स्वतंत्र है।

ईजेनवैल्यू और ईजेनवेक्टर
यदि $n$ एक सदिश समष्टि का एक रैखिक अंतराकारिता है $f$ एक क्षेत्र के ऊपर $V$, का एक आइजनवेक्टर $F$ एक अशून्य सदिश है $f$ का $v$ ऐसा है कि $M – aI$ कुछ अदिश के लिए $V$ में $a$. यह अदिश $F$ का आइगेनवैल्यू है $a$.

यदि का आयाम $f$ परिमित है, और एक आधार चुना गया है, $V$ तथा $f$ एक वर्ग आव्यूह द्वारा क्रमशः प्रतिनिधित्व किया जा सकता है $v$ और एक स्तम्भ आव्यूह $M$; eigenvectors और eigenvalues ​​​​को परिभाषित करने वाला समीकरण बन जाता है
 * $$Mz=az.$$

पहचान आव्यूह का उपयोग करना $z$, जिनकी प्रविष्टियाँ सभी शून्य हैं, मुख्य विकर्ण को छोड़कर, जो एक के बराबर हैं, इसे फिर से लिखा जा सकता है
 * $$(M-aI)z=0.$$

जैसा $I$ अशून्य माना जाता है, इसका अर्थ है कि $det (M − aI)$ एक विलक्षण आव्यूह है, और इस प्रकार यह निर्धारक है $v_{1}, ..., v_{n}$ शून्य के बराबर। आइगेनवैल्यू इस प्रकार बहुपद के एक समारोह की जड़ हैं
 * $$\det(xI-M).$$

यदि $z$ आयाम का है $V$, यह डिग्री का एक मोनिक बहुपद है $n$, आव्यूह (या अंतराकारिता) की विशेषता बहुपद कहा जाता है, और अधिकतर, $n$ eigenvalues.

यदि कोई आधार उपस्थित है जिसमें केवल ईजेनवेक्टर होते हैं, तो का आव्यूह $n$ इस आधार पर एक बहुत ही सरल संरचना है: यह एक विकर्ण आव्यूह है, जैसे कि मुख्य विकर्ण पर प्रविष्टियाँ आइगेनवैल्यू हैं, और अन्य प्रविष्टियाँ शून्य हैं। इस स्थिति में, अंतराकारिता और आव्यूह को विकर्णीय आव्यूह कहा जाता है। अधिक सामान्यतः, एक अंतराकारिता और एक आव्यूह को भी विकर्णीय कहा जाता है, यदि वे स्केलर्स के क्षेत्र के विस्तार के बाद विकर्ण हो जाते हैं। इस विस्तारित अर्थ में, यदि विशेषता बहुपद वर्ग-मुक्त बहुपद | वर्ग-मुक्त है, तो आव्यूह विकर्णीय है।

एक सममित आव्यूह हमेशा विकर्णीय होता है। नॉन-डायगोनलाइज़ेबल मेट्रिसेस हैं, सबसे सरल
 * $$\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}$$

(यह विकर्ण नहीं हो सकता क्योंकि इसका वर्ग शून्य आव्यूह है, और एक गैर-शून्य विकर्ण आव्यूह का वर्ग कभी शून्य नहीं होता है)।

जब एक अंतराकारिता विकर्णीय नहीं होता है, तो ऐसे आधार होते हैं जिन पर इसका एक सरल रूप होता है, हालांकि विकर्ण रूप जितना सरल नहीं होता है। फ्रोबेनियस सामान्य रूप को स्केलर के क्षेत्र को विस्तारित करने की आवश्यकता नहीं होती है और आव्यूह पर विशेषता बहुपद को तुरंत पढ़ने योग्य बनाता है। जॉर्डन सामान्य रूप में सभी eigenvalues ​​​​को समाहित करने के लिए स्केलर के क्षेत्र का विस्तार करने की आवश्यकता होती है, और केवल कुछ प्रविष्टियों द्वारा विकर्ण रूप से भिन्न होता है जो मुख्य विकर्ण के ठीक ऊपर होते हैं और 1 के बराबर होते हैं।

द्वैत
एक रेखीय रूप सदिश समष्टि से एक रेखीय मानचित्र है $f$ एक क्षेत्र के ऊपर $V$ स्केलर्स के क्षेत्र में $F$, स्वयं के ऊपर एक सदिश समष्टि के रूप में देखा जाता है। एक अदिश द्वारा बिंदुवार जोड़ और गुणा से सुसज्जित, रैखिक रूप एक सदिश समष्टि बनाते हैं, जिसे दोहरा समष्टि कहा जाता है $F$, और आमतौर पर निरूपित किया जाता है $V$ या $V*$. यदि $i = 1, ..., n$ का एक आधार है $V$ (यह बताता है कि $V$ परिमित-आयामी है), तो कोई परिभाषित कर सकता है, के लिए $v_{i}*$, एक रेखीय मानचित्र $v_{i}*(v_{i}) = 1$ ऐसा है कि $v_{i}*(v_{j}) = 0$ तथा $j ≠ i$ यदि $V*$. ये रेखीय मानचित्र एक आधार बनाते हैं $v_{1}, ..., v_{n}$, का दोहरा आधार कहा जाता है $v_{i}*$. (यदि $V$ परिमित-आयामी नहीं है, द $v$ इसी तरह परिभाषित किया जा सकता है; वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, लेकिन कोई आधार नहीं बनाते हैं।)

के लिये $(V*)*$ में $V$, मानचित्र
 * $$f\to f(\mathbf v)$$

पर एक रेखीय रूप है $V$. यह विहित मानचित्र को परिभाषित करता है $V*$ में $f(x)$, का दोहरा $V$, की बोली कहा जाता है $V*$. यह विहित मानचित्र एक समरूपता है यदि $V$ परिमित-आयामी है, और यह पहचानने की अनुमति देता है $V$ इसकी बोली के साथ। (अनंत आयामी स्थिति में, विहित मानचित्र इंजेक्शन है, लेकिन विशेषण नहीं है।)

इस प्रकार परिमित-विम सदिश समष्टि और इसके द्वैत के मध्य एक पूर्ण समरूपता है। इस संदर्भ में, यह ब्रा-केट नोटेशन के बार-बार उपयोग को प्रेरित करता है
 * $$\langle f, \mathbf x\rangle$$

दर्शाने के लिए $h ∘ f$.

दोहरा मानचित्र
मान लीजिए कि
 * $$f:V\to W$$

एक रेखीय मानचित्र बनें। प्रत्येक रेखीय रूप के लिए $V$ पर $h$, समग्र कार्य $M^{T}$ पर एक रेखीय रूप है $W$. यह एक रेखीय मानचित्र को परिभाषित करता है
 * $$f^*:W^*\to V^*$$

दोहरी जगहों के मध्य, जिसे दोहरी या स्थानान्तरण कहा जाता है $V$.

यदि $f$ तथा $V$ परिमित आयामी हैं, और $W$ का आव्यूह है $M$ कुछ आदेशित आधारों के संदर्भ में, फिर का आव्यूह $f$ दोहरे आधारों पर स्थानान्तरण है $u, v, w$ का $f*$, पंक्तियों और स्तंभों का आदान-प्रदान करके प्राप्त किया।

यदि सदिश समष्टि के तत्व और उनके दोहरे स्तंभ सदिश द्वारा दर्शाए जाते हैं, तो इस द्वंद्व को ब्रा-केट नोटेशन द्वारा व्यक्त किया जा सकता है
 * $$\langle h^\mathsf T, M \mathbf v\rangle = \langle h^\mathsf T M, \mathbf v\rangle.$$

इस समरूपता को उजागर करने के लिए कभी-कभी इस समानता के दो सदस्यों को लिखा जाता है
 * $$\langle h^\mathsf T \mid M \mid \mathbf v\rangle.$$

आंतरिक-उत्पाद समष्टि
इन बुनियादी अवधारणाओं के अतिरिक्त, रैखिक बीजगणित अतिरिक्त संरचना के साथ सदिश समष्टि का भी अध्ययन करता है, जैसे आंतरिक उत्पाद। आंतरिक उत्पाद द्विरेखीय रूप का एक उदाहरण है, और यह लंबाई और कोणों की परिभाषा की अनुमति देकर सदिश समष्टि को एक ज्यामितीय संरचना देता है। औपचारिक रूप से, एक आंतरिक उत्पाद एक मानचित्र है


 * $$ \langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \to F $$

जो सभी सदिशों के लिए निम्नलिखित तीन अभिगृहीतों को संतुष्ट करता है $V$ में $a$ और सभी स्केलर्स $F$ में $v = 0$: 
 * जटिल संयुग्म समरूपता:
 * $$\langle \mathbf u, \mathbf v\rangle =\overline{\langle \mathbf v, \mathbf u\rangle}.$$
 * में $$\mathbb{R}$$, यह सममित है।

\langle a \mathbf u, \mathbf v\rangle &= a \langle \mathbf u, \mathbf v\rangle. \\ \langle \mathbf u + \mathbf v, \mathbf w\rangle &= \langle \mathbf u, \mathbf w\rangle+ \langle \mathbf v, \mathbf w\rangle. \end{align}$$
 * पहले तर्क में रैखिकता:
 * $$\begin{align}
 * निश्चित द्विरेखीय रूप|सकारात्मक-निश्चितता:
 * $$\langle \mathbf v, \mathbf v\rangle \geq 0$$
 * केवल समानता के साथ $⟨u, v⟩ = 0$.

हम 'V' में एक सदिश v की लंबाई को परिभाषित कर सकते हैं
 * $$\|\mathbf v\|^2=\langle \mathbf v, \mathbf v\rangle,$$

और हम कॉची-श्वार्ज़ असमानता को सिद्ध कर सकते हैं:
 * $$|\langle \mathbf u, \mathbf v\rangle| \leq \|\mathbf u\| \cdot \|\mathbf v\|.$$

विशेष रूप से, मात्रा
 * $$\frac{|\langle \mathbf u, \mathbf v\rangle|}{\|\mathbf u\| \cdot \|\mathbf v\|} \leq 1,$$

और इसलिए हम इस मात्रा को दो सदिशों के मध्य के कोण की कोज्या कह सकते हैं।

दो सदिश ऑर्थोगोनल हैं यदि $T$. एक ऑर्थोनॉर्मल आधार एक आधार है जहां सभी आधार सदिश की लंबाई 1 होती है और एक दूसरे के लिए ऑर्थोगोनल होते हैं। किसी परिमित-आयामी सदिश समष्टि को देखते हुए, ग्राम-श्मिट प्रक्रिया द्वारा एक अलौकिक आधार पाया जा सकता है। ऑर्थोनॉर्मल बेस विशेष रूप से निपटने में आसान होते हैं, क्योंकि यदि v = a1 v1 + ⋯ + an vn, फिर
 * $$a_i = \langle \mathbf v, \mathbf v_i \rangle.$$

आंतरिक उत्पाद कई उपयोगी अवधारणाओं के निर्माण की सुविधा प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, एक परिवर्तन दिया $T*$, हम इसके हर्मिटियन संयुग्म को परिभाषित कर सकते हैं $T$ रैखिक परिवर्तन संतोषजनक के रूप में
 * $$ \langle T \mathbf u, \mathbf v \rangle = \langle \mathbf u, T^* \mathbf v\rangle.$$

यदि $TT* = T*T$ संतुष्ट $T$, हम बुलाते है $V$ सामान्य आव्यूह। यह पता चला है कि सामान्य मैट्रिसेस ठीक ऐसे मेट्रिसेस होते हैं जिनमें ईजेनवेक्टरों की एक ऑर्थोनॉर्मल प्रणाली होती है जो फैलती है $V*$.

ज्यामिति के साथ संबंध
रेखीय बीजगणित और ज्यामिति के मध्य एक मजबूत संबंध है, जो 1637 में कार्तीय निर्देशांक के रेने डेसकार्टेस द्वारा परिचय के साथ प्रारंभ हुआ। इस नए (उस समय) ज्यामिति में, जिसे अब कार्टेशियन ज्यामिति कहा जाता है, बिंदुओं को कार्टेशियन निर्देशांक द्वारा दर्शाया जाता है, जो तीन वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम हैं (सामान्य त्रि-आयामी समष्टि के स्थिति में)। रेखागणित की मूल वस्तुएँ, जो रेखा (ज्यामिति) और तल (ज्यामिति) हैं, को रैखिक समीकरणों द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रकार, रेखाओं और समतलों के चौराहों की गणना करना रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के समान है। यह रेखीय बीजगणित के विकास के लिए मुख्य प्रेरणाओं में से एक था।

अधिकांश ज्यामितीय परिवर्तन, जैसे कि अनुवाद (ज्यामिति), घुमाव, प्रतिबिंब (गणित), कठोर गति, आइसोमेट्री, और प्रोजेक्शन (गणित) रेखाओं को रेखाओं में बदल देते हैं। यह इस प्रकार है कि उन्हें रैखिक मानचित्रों के संदर्भ में परिभाषित, निर्दिष्ट और अध्ययन किया जा सकता है। यह होमोग्राफी और मोबियस ट्रांसफॉर्मेशन का भी मामला है, जब इसे प्रक्षेपण समष्टि के ट्रांसफॉर्मेशन के रूप में माना जाता है।

19वीं शताब्दी के अंत तक, ज्यामितीय समष्टि संबंधित बिंदुओं, रेखाओं और विमानों (सिंथेटिक ज्यामिति) से संबंधित स्वयंसिद्धों द्वारा परिभाषित किए गए थे। इस तिथि के आसपास, ऐसा प्रतीत हुआ कि सदिश समष्टि से जुड़े निर्माणों द्वारा ज्यामितीय समष्टि को भी परिभाषित किया जा सकता है (देखें, उदाहरण के लिए, प्रोजेक्टिव समष्टि और एफ़िन समष्टि)। यह दिखाया गया है कि दो दृष्टिकोण अनिवार्य रूप से समकक्ष हैं। शास्त्रीय ज्यामिति में, सम्मिलित सदिश समष्टि वास्तविक से अधिक सदिश समष्टि होते हैं, लेकिन निर्माण किसी भी क्षेत्र में सदिश समष्टि तक बढ़ाया जा सकता है, जिससे परिमित क्षेत्रों सहित मनमाने क्षेत्रों पर ज्यामिति पर विचार किया जा सकता है।

वर्तमान में, अधिकांश पाठ्यपुस्तकें, रेखीय बीजगणित से ज्यामितीय समष्टि का परिचय देती हैं, और ज्यामिति को प्रायः प्राथमिक स्तर पर, रेखीय बीजगणित के एक उपक्षेत्र के रूप में प्रस्तुत किया जाता है।

उपयोग और अनुप्रयोग
रेखीय बीजगणित का उपयोग गणित के लगभग सभी क्षेत्रों में किया जाता है, इस प्रकार यह गणित का उपयोग करने वाले लगभग सभी वैज्ञानिक क्षेत्रों में प्रासंगिक हो जाता है। इन अनुप्रयोगों को कई विस्तृत श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है।

परिवेश समष्टि की ज्यामिति
परिवेश समष्टि का गणितीय प्रतिरूप ज्यामिति पर आधारित है। इस समष्टि से संबंधित विज्ञान व्यापक रूप से ज्यामिति का उपयोग करते हैं। कठोर शरीर गतिकी का वर्णन करने के लिए यांत्रिकी और रोबोटिक्स के स्थिति में यही स्थिति है; पृथ्वी के आकार का वर्णन करने के लिए जियोडेसी; एक दृश्य और उसके समतल प्रतिनिधित्व के मध्य संबंध का वर्णन करने के लिए परिप्रेक्ष्य, अभिकलक दृष्टि और अभिकलक ग्राफिक्स; और कई अन्य वैज्ञानिक डोमेन।

इन सभी अनुप्रयोगों में, सिंथेटिक ज्यामिति का उपयोग प्रायः सामान्य विवरण और गुणात्मक दृष्टिकोण के लिए किया जाता है, लेकिन स्पष्ट स्थितियों के अध्ययन के लिए, किसी को निर्देशांक के साथ गणना करनी चाहिए। इसके लिए रेखीय बीजगणित के भारी उपयोग की आवश्यकता है।

कार्यात्मक विश्लेषण
कार्यात्मक विश्लेषण कार्य समष्टि का अध्ययन करता है। ये अतिरिक्त संरचना वाले सदिश समष्टि हैं, जैसे हिल्बर्ट समष्टि। इस प्रकार रैखिक बीजगणित कार्यात्मक विश्लेषण और इसके अनुप्रयोगों का एक मूलभूत हिस्सा है, जिसमें विशेष रूप से, क्वांटम यांत्रिकी (तरंग कार्य) सम्मिलित हैं।

जटिल प्रणालियों का अध्ययन
अधिकांश भौतिक घटनाएं आंशिक अंतर समीकरणों द्वारा प्रतिरूपित की जाती हैं। उन्हें हल करने के लिए, आमतौर पर उस समष्टि को विघटित कर दिया जाता है जिसमें समाधानों को छोटे, पारस्परिक रूप से अंतःक्रियात्मक विवेक में खोजा जाता है। रैखिक प्रणालियों के लिए इस अंतःक्रिया में रैखिक कार्य सम्मिलित होते हैं। अरेखीय प्रणालियों के लिए, यह अंतःक्रिया प्रायः रैखिक कार्यों द्वारा अनुमानित होती है।इसे एक रेखीय प्रतिरूप या प्रथम-क्रम सन्निकटन कहा जाता है। रेखीय प्रतिरूप प्रायः जटिल अरेखीय वास्तविक दुनिया प्रणालियों के लिए उपयोग किए जाते हैं क्योंकि यह पैरामीट्रिजेशन (ज्यामिति) को अधिक प्रबंधनीय बनाता है। दोनों ही मामलों में, सामान्यतः बहुत बड़े आव्यूह सम्मिलित होते हैं। मौसम का पूर्वानुमान (या अधिक विशेष रूप से, पैरामीट्रिजेशन (वायुमंडलीय मॉडलिंग)) वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोग का एक विशिष्ट उदाहरण है, जहां पूरे पृथ्वी के वातावरण को 100 किमी चौड़ाई और 100 किमी ऊंचाई की कोशिकाओं में विभाजित किया गया है।

वैज्ञानिक संगणना
लगभग सभी वैज्ञानिक संगणनाओं में रेखीय बीजगणित सम्मिलित होता है। नतीजतन, रैखिक बीजगणित एल्गोरिदम को अत्यधिक अनुकूलित किया गया है। बुनियादी रेखीय बीजगणित उपप्रोग्राम और LAPACK सबसे प्रसिद्ध कार्यान्वयन हैं। दक्षता में सुधार के लिए, उनमें से कुछ एल्गोरिदम को अभिकलक की विशिष्टताओं (कैश (अभिकलन) आकार, उपलब्ध मल्टी-कोर प्रोसेसर की संख्या, ...) के अनुकूल बनाने के लिए स्वचालित रूप से एल्गोरिदम को कॉन्फ़िगर करते हैं।

रैखिक बीजगणित के संचालन को अनुकूलित करने के लिए कुछ प्रोसेसर (अभिकलन), आमतौर पर ग्राफिक्स प्रोसेसिंग यूनिट (जीपीयू), एक आव्यूह संरचना के साथ डिज़ाइन किए गए हैं।

एक्सटेंशन और सामान्यीकरण
यह खंड कई संबंधित विषयों को प्रस्तुत करता है जो आमतौर पर रैखिक बीजगणित पर प्रारंभिक पाठ्यपुस्तकों में प्रकट नहीं होते हैं, लेकिन आमतौर पर उन्नत गणित में रैखिक बीजगणित के भागों के रूप में माने जाते हैं।

मॉड्यूल सिद्धांत
क्षेत्रों में गुणात्मक व्युत्क्रमों का अस्तित्व सदिश समष्टि को परिभाषित करने वाले स्वयंसिद्धों में सम्मिलित नहीं है। इस प्रकार अदिशों के क्षेत्र को एक वलय (गणित) द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है $M$, और यह मॉड्यूल ओवर नामक संरचना देता है $R$, या $R$-मापांक।

रैखिक स्वतंत्रता, अवधि, आधार, और रैखिक मानचित्रों (जिसे मॉड्यूल समरूपता भी कहा जाता है) की अवधारणाओं को आवश्यक अंतर के साथ सदिश समष्टि के रूप में मॉड्यूल के लिए परिभाषित किया गया है, यदि $R$ एक क्षेत्र नहीं है, ऐसे मॉड्यूल हैं जिनका कोई आधार नहीं है। जिन मॉड्यूलों का आधार होता है वे मुक्त मॉड्यूल होते हैं, और जो एक परिमित समुच्चय द्वारा फैलाए जाते हैं वे सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल होते हैं। सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मुक्त मॉड्यूल के मध्य मॉड्यूल समरूपता को मेट्रिसेस द्वारा दर्शाया जा सकता है। रिंग के ऊपर मैट्रिसेस का सिद्धांत एक क्षेत्र पर मैट्रिसेस के समान है, सिवाय इसके कि निर्धारक केवल तभी उपस्थित होते हैं जब रिंग क्रमविनिमेय अंगूठी हो, और यह कि एक कम्यूटेटिव रिंग के ऊपर एक वर्ग आव्यूह केवल इनवर्टेबल आव्यूह होता है, यदि इसके निर्धारक में गुणक व्युत्क्रम होता है। अंगूठी।

सदिश समष्टि पूरी तरह से उनके आयाम (एक समरूपता तक) की विशेषता है। सामान्य तौर पर, मॉड्यूल के लिए ऐसा कोई पूर्ण वर्गीकरण नहीं है, भले ही कोई खुद को सीमित रूप से जेनरेट किए गए मॉड्यूल तक सीमित कर दे। हालाँकि, प्रत्येक मॉड्यूल मुक्त मॉड्यूल के समरूपता का एक cokernel है।

पूर्णांकों पर मॉड्यूल को अबेलियन समूहों के साथ पहचाना जा सकता है, क्योंकि एक पूर्णांक द्वारा गुणा को बार-बार जोड़ने के लिए पहचाना जा सकता है। अबेलियन समूहों के अधिकांश सिद्धांत को एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर मॉड्यूल तक बढ़ाया जा सकता है। विशेष रूप से, एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर, एक मुफ्त मॉड्यूल का प्रत्येक सबमॉड्यूल मुफ़्त है, और मुख्य रूप से उत्पन्न अबेलियन समूहों के मौलिक प्रमेय को सीधे तौर पर एक प्रमुख रिंग पर परिमित रूप से उत्पन्न मॉड्यूल तक बढ़ाया जा सकता है।

ऐसे कई छल्ले हैं जिनके लिए रैखिक समीकरणों और रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए एल्गोरिदम हैं। हालाँकि, इन एल्गोरिदम में आमतौर पर एक कम्प्यूटेशनल जटिलता होती है जो एक क्षेत्र में समान एल्गोरिदम की तुलना में बहुत अधिक होती है। अधिक विवरण के लिए, रिंग पर रैखिक समीकरण देखें।

बहुरेखीय बीजगणित और टेंसर
बहुरेखीय बीजगणित में, एक व्यक्ति बहुभिन्नरूपी रेखीय परिवर्तनों पर विचार करता है, अर्थात् मानचित्रण जो विभिन्न चरों में से प्रत्येक में रेखीय होते हैं। जांच की यह रेखा स्वाभाविक रूप से दोहरे समष्टि, सदिश समष्टि के विचार की ओर ले जाती है $f : V → F$ रैखिक मानचित्रों से मिलकर $T : V^{n} → F$ जहाँ F अदिशों का क्षेत्र है। बहुरेखीय मानचित्र $V*$ के तत्वों के टेंसर उत्पादों के माध्यम से वर्णित किया जा सकता है $V × V → V$.

यदि, सदिश जोड़ और स्केलर गुणन के अतिरिक्त, बिलिनियर सदिश उत्पाद है $L^{2}$सदिश समष्टि को एक क्षेत्र के ऊपर बीजगणित कहा जाता है; उदाहरण के लिए, साहचर्य बीजगणित एक सहयोगी सदिश उत्पाद के साथ बीजगणित होते हैं (जैसे कि वर्ग आव्यूहों का बीजगणित, या बहुपदों का बीजगणित)।

सांस्थितिक सदिश समष्टि
सदिश समष्टि जो परिमित आयामी नहीं हैं, उन्हें प्रायः ट्रैक्टेबल होने के लिए अतिरिक्त संरचना की आवश्यकता होती है। एक नॉर्म्ड सदिश समष्टि एक सदिश समष्टि है, जिसमें एक फलन होता है जिसे नॉर्म (गणित) कहा जाता है, जो तत्वों के आकार को मापता है। मानदंड एक मापीय (गणित) को प्रेरित करता है, जो तत्वों के मध्य की दूरी को मापता है, और एक सांस्थितिक समष्टि को प्रेरित करता है, जो निरंतर मानचित्रों की परिभाषा की अनुमति देता है। मापीय सीमा (गणित) और पूर्ण मापीय समष्टि की परिभाषा के लिए भी अनुमति देता है - एक मापीय समष्टि जो पूर्ण होता है उसे बनच समष्टि के रूप में जाना जाता है। एक आंतरिक उत्पाद समष्टि (एक संयुग्मित सममित sesquilinear रूप) की अतिरिक्त संरचना के साथ एक पूर्ण मापीय समष्टि को हिल्बर्ट समष्टि के रूप में जाना जाता है, जो कुछ अर्थों में एक विशेष रूप से अच्छी तरह से व्यवहार किया जाने वाला बनच समष्टि है। कार्यात्मक विश्लेषण विभिन्न कार्य समष्टियों का अध्ययन करने के लिए गणितीय विश्लेषण के साथ-साथ रैखिक बीजगणित के तरीकों को अनुप्रयुक्त करता है; कार्यात्मक विश्लेषण में अध्ययन की केंद्रीय वस्तुएं एलपी समष्टि हैं$R$ समष्टि, जो बनच समष्टि हैं, और विशेष रूप से ᙭᙭᙭᙭᙭ स्क्वायर इंटीग्रेबल फ़ंक्शंस का समष्टि, जो उनमें से एकमात्र हिल्बर्ट समष्टि है। क्वांटम यांत्रिकी, आंशिक अंतर समीकरणों के सिद्धांत, डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग और इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग के लिए कार्यात्मक विश्लेषण का विशेष महत्व है। यह नींव और सैद्धांतिक ढांचा भी प्रदान करता है जो फूरियर रूपांतरण और संबंधित विधियों को रेखांकित करता है।

यह भी देखें

 * मौलिक आव्यूह (अभिकलक दृष्टि)
 * ज्यामितीय बीजगणित
 * रैखिक प्रोग्रामिंग
 * रेखीय प्रतिगमन, एक सांख्यिकीय आकलन पद्धति
 * रेखीय बीजगणित विषयों की सूची
 * बहुरेखीय बीजगणित
 * संख्यात्मक रैखिक बीजगणित
 * परिवर्तन आव्यूह

इतिहास

 * Fearnley-Sander, Desmond, Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra, American Mathematical Monthly 86 (1979) , पीपी। 809-817।

परिचयात्मक पाठ्यपुस्तकें

 * मूर्ति, कट्टा जी (2014) कम्प्यूटेशनल और कलन विधि रैखिक बीजगणित और एन-डायमेंशनल ज्योमेट्री, वर्ल्ड साइंटिफिक पब्लिशिंग, ISBN 978-981-4366-62-5. अध्याय 1: युगपत रैखिक समीकरणों की प्रणाली
 * नोबल, बी. और डेनियल, जे.डब्ल्यू. (दूसरा संस्करण 1977), पियर्सन हायर एजुकेशन, ISBN 978-0130413437.
 * द मंगा गाइड टू रैखिक अलजेब्रा (2012), न्यू ताकाहाशी, इरोहा इनूए और ट्रेंड-प्रो कं, लिमिटेड द्वारा। ISBN 978-1-59327-413-9
 * मूर्ति, कट्टा जी (2014) कम्प्यूटेशनल और कलन विधि रैखिक बीजगणित और एन-डायमेंशनल ज्योमेट्री, वर्ल्ड साइंटिफिक पब्लिशिंग, ISBN 978-981-4366-62-5. अध्याय 1: युगपत रैखिक समीकरणों की प्रणाली
 * नोबल, बी. और डेनियल, जे.डब्ल्यू. (दूसरा संस्करण 1977), पियर्सन हायर एजुकेशन, ISBN 978-0130413437.
 * द मंगा गाइड टू रैखिक अलजेब्रा (2012), न्यू ताकाहाशी, इरोहा इनूए और ट्रेंड-प्रो कं, लिमिटेड द्वारा। ISBN 978-1-59327-413-9
 * मूर्ति, कट्टा जी (2014) कम्प्यूटेशनल और कलन विधि रैखिक बीजगणित और एन-डायमेंशनल ज्योमेट्री, वर्ल्ड साइंटिफिक पब्लिशिंग, ISBN 978-981-4366-62-5. अध्याय 1: युगपत रैखिक समीकरणों की प्रणाली
 * नोबल, बी. और डेनियल, जे.डब्ल्यू. (दूसरा संस्करण 1977), पियर्सन हायर एजुकेशन, ISBN 978-0130413437.
 * द मंगा गाइड टू रैखिक अलजेब्रा (2012), न्यू ताकाहाशी, इरोहा इनूए और ट्रेंड-प्रो कं, लिमिटेड द्वारा। ISBN 978-1-59327-413-9
 * नोबल, बी. और डेनियल, जे.डब्ल्यू. (दूसरा संस्करण 1977), पियर्सन हायर एजुकेशन, ISBN 978-0130413437.
 * द मंगा गाइड टू रैखिक अलजेब्रा (2012), न्यू ताकाहाशी, इरोहा इनूए और ट्रेंड-प्रो कं, लिमिटेड द्वारा। ISBN 978-1-59327-413-9
 * द मंगा गाइड टू रैखिक अलजेब्रा (2012), न्यू ताकाहाशी, इरोहा इनूए और ट्रेंड-प्रो कं, लिमिटेड द्वारा। ISBN 978-1-59327-413-9
 * द मंगा गाइड टू रैखिक अलजेब्रा (2012), न्यू ताकाहाशी, इरोहा इनूए और ट्रेंड-प्रो कं, लिमिटेड द्वारा। ISBN 978-1-59327-413-9
 * द मंगा गाइड टू रैखिक अलजेब्रा (2012), न्यू ताकाहाशी, इरोहा इनूए और ट्रेंड-प्रो कं, लिमिटेड द्वारा। ISBN 978-1-59327-413-9
 * द मंगा गाइड टू रैखिक अलजेब्रा (2012), न्यू ताकाहाशी, इरोहा इनूए और ट्रेंड-प्रो कं, लिमिटेड द्वारा। ISBN 978-1-59327-413-9

ऑनलाइन संसाधन

 * MIT रैखिक बीजगणित वीडियो लेक्चर, प्रोफेसर गिल्बर्ट स्ट्रांग द्वारा रिकॉर्ड किए गए 34 व्याख्यानों की एक श्रृंखला (वसंत 2010)
 * इंटरनेशनल रैखिक अलजेब्रा सोसाइटी
 * रैखिक बीजगणित MathWorld पर
 * Economics.soton.ac.uk/staff/aldrich/matrices.htm आव्यूह और रेखीय बीजगणित शर्तें पर कुछ के शुरुआती ज्ञात उपयोग गणित के शब्द
 * आव्यूह और सदिश के लिए प्रतीकों का सबसे पुराना उपयोग विभिन्न गणितीय प्रतीकों का सबसे पुराना उपयोग
 * रैखिक बीजगणित का सार, ज्यामितीय, आव्यूह और अमूर्त बिंदुओं के मध्य संबंधों पर जोर देने के साथ रैखिक बीजगणित की मूल बातें 3Blue1Brown से एक वीडियो प्रस्तुति मानना ​​है कि
 * रैखिक बीजगणित का सार, ज्यामितीय, आव्यूह और अमूर्त बिंदुओं के मध्य संबंधों पर जोर देने के साथ रैखिक बीजगणित की मूल बातें 3Blue1Brown से एक वीडियो प्रस्तुति मानना ​​है कि

ऑनलाइन किताबें

 * शारिपोव, रुस्लान, रैखिक बीजगणित और बहुआयामी ज्यामिति का पाठ्यक्रम
 * ट्रेल, सर्गेई, रेखीय बीजगणित गलत हो गया
 * शारिपोव, रुस्लान, रैखिक बीजगणित और बहुआयामी ज्यामिति का पाठ्यक्रम
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 * शारिपोव, रुस्लान, रैखिक बीजगणित और बहुआयामी ज्यामिति का पाठ्यक्रम
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