चक्रीय(ट्रोकोइडल) तरंग

द्रव गतिकी में, एक ट्रोकोइडल तरंग या गेर्स्टनर तरंग आवधिक कार्य सतह गुरुत्व तरंगों के लिए यूलर समीकरणों (द्रव गतिकी) का एक सटीक समाधान है। यह अनंत गहराई के एक असंपीड्य द्रव की सतह पर स्थायी रूप की एक प्रगतिशील लहर का वर्णन करता है। इस तरंग विलयन की मुक्त सतह एक उलटा (उल्टा-नीचे) trochoid है - तेज शिखा (भौतिकी) और सपाट गर्त के साथ। इस तरंग समाधान की खोज फ्रांटिसेक जोसेफ गेर्स्टनर ने 1802 में की थी, और 1863 में विलियम जॉन मैक्कॉर्न रैंकिन द्वारा स्वतंत्र रूप से इसकी खोज की गई थी।

ट्रोकोइडल तरंग से जुड़ा प्रवाह क्षेत्र अघूर्णन प्रवाह नहीं है: इसमें vorticity है। वर्टिसिटी इतनी विशिष्ट शक्ति और ऊर्ध्वाधर वितरण की है कि द्रव पार्सल के प्रक्षेपवक्र बंद घेरे हैं। यह तरंग गति से जुड़े [[स्टोक्स लहर]] के सामान्य प्रयोगात्मक अवलोकन के विपरीत है। इसके अलावा चरण की गति ट्रोकोइडल तरंग के आयाम से स्वतंत्र है, अन्य गैर-रैखिक तरंग-सिद्धांतों (जैसे स्टोक्स तरंग और नोइडल तरंग की तरह) और टिप्पणियों के विपरीत। इन कारणों से - साथ ही इस तथ्य के लिए कि परिमित द्रव गहराई के समाधान की कमी है - इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों के लिए ट्रोकोइडल तरंगें सीमित उपयोग की हैं।

कंप्यूटर ग्राफिक्स में, तथाकथित गेर्स्टनर तरंगों के उपयोग से यथार्थवादी दिखने वाली समुद्री लहरों का प्रतिपादन (कंप्यूटर ग्राफिक्स) किया जा सकता है। यह पारंपरिक गेर्स्टनर तरंग का एक बहु-घटक और बहु-दिशात्मक विस्तार है, जो अक्सर (वास्तविक समय) एनीमेशन को व्यवहार्य बनाने के लिए तेजी से फूरियर रूपांतरण का उपयोग करता है।

क्लासिकल ट्रोकोइडल वेव
का विवरण

प्रवाह क्षेत्र के एक Lagrangian और Eulerian विनिर्देशन का उपयोग करते हुए, द्रव पार्सल की गति है - अनंत गहराई की द्रव परत की सतह पर एक आवधिक फ़ंक्शन तरंग के लिए: $$ \begin{align} X(a,b,t) &= a + \frac{e^{kb}}{k} \sin \left( k(a+ct) \right), \\ Y(a,b,t) &= b - \frac{e^{kb}}{k} \cos \left( k(a+ct) \right), \end{align}$$ कहाँ पे $$x = X(a,b,t)$$ तथा $$y = Y(a,b,t)$$ में द्रव पार्सल की स्थिति हैं $$(x,y)$$ समय पर विमान $$t$$, साथ $$x$$ क्षैतिज समन्वय और $$y$$ ऊर्ध्वाधर समन्वय (सकारात्मक ऊपर की ओर, गुरुत्वाकर्षण के विपरीत दिशा में)। Lagrangian निर्देशांक करता है $$(a,b)$$ द्रव पार्सल को लेबल करें $$(x,y)=(a,b)$$ वृत्ताकार कक्षाओं के केंद्र - जिसके चारों ओर संबंधित द्रव पार्सल निरंतर गति से चलता है $$c\,\exp(kb).$$ आगे $k = 2\pi/\lambda$ तरंग संख्या है (और $$\lambda$$ तरंग दैर्ध्य), जबकि $$c$$ वह चरण गति है जिसके साथ तरंग का प्रसार होता है $$x$$-दिशा। चरण गति फैलाव (जल तरंगों) संबंध को संतुष्ट करती है: $$c^2 = \frac{g}{k},$$ जो तरंग अरेखीयता से स्वतंत्र है (अर्थात तरंग की ऊँचाई पर निर्भर नहीं करता है $$H$$), और यह चरण गति $$c$$ हवादार तरंग सिद्धांत के समान | गहरे पानी में हवादार की रैखिक तरंगें।

मुक्त सतह निरंतर दबाव की एक रेखा है, और एक रेखा के अनुरूप पाई जाती है $$b = b_s$$, कहाँ पे $$b_s$$ एक (गैर-सकारात्मक) स्थिरांक है। के लिये $$b_s = 0$$ उच्चतम तरंगें एक पुच्छल (विलक्षणता)-आकार की शिखा के साथ होती हैं। ध्यान दें कि उच्चतम (इरोटेशनल) स्टोक्स तरंग में घूर्णी ट्रोकोइडल तरंग के लिए 0° के बजाय 120° का तरंग शिखा कोण होता है। ट्रोकोइडल तरंग की तरंग ऊंचाई होती है $H = \frac 2 k \exp(kb_s).$ में तरंग आवर्ती होती है $$x$$-दिशा, तरंग दैर्ध्य के साथ $$\lambda;$$ और आवृत्ति के साथ समय-समय पर भी $T = \lambda/c = \sqrt{2\pi\lambda/g}.$ चक्कर आना $$\varpi$$ ट्रोकोइडल तरंग के तहत है: $$\varpi(a,b,t) = - \frac{2kc e^{2kb}}{1 - e^{2kb}},$$ Lagrangian ऊंचाई के साथ भिन्न $$b$$ और मुक्त सतह के नीचे गहराई के साथ तेजी से घट रहा है।

कंप्यूटर ग्राफिक्स में
मुक्त-सतह गति के प्रवाह क्षेत्र के लैग्रेंगियन और यूलेरियन विनिर्देशन का एक बहु-घटक और बहु-दिशात्मक विस्तार - जैसा कि गेर्स्टनर की ट्रोकोइडल तरंग में उपयोग किया जाता है - समुद्र की लहरों के अनुकरण के लिए कंप्यूटर ग्राफिक्स में उपयोग किया जाता है। शास्त्रीय गेर्स्टनर तरंग के लिए द्रव गति गैर-रैखिक प्रणाली को पूरी तरह से संतुष्ट करती है, मुक्त सतह के नीचे असंपीड़ित और अदृश्य प्रवाह समीकरण। हालाँकि, विस्तारित गेर्स्टनर तरंगें सामान्य रूप से इन प्रवाह समीकरणों को सटीक रूप से संतुष्ट नहीं करती हैं (हालांकि वे उन्हें लगभग संतुष्ट करती हैं, अर्थात संभावित प्रवाह द्वारा रैखिककृत लैग्रैंगियन विवरण के लिए)। फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म (एफएफटी) के उपयोग से समुद्र के इस विवरण को बहुत कुशलता से प्रोग्राम किया जा सकता है। इसके अलावा, इस प्रक्रिया से परिणामी समुद्र की लहरें यथार्थवादी दिखती हैं, मुक्त सतह के गैर-रैखिक विरूपण के परिणामस्वरूप (गति के लैग्रैंगियन विनिर्देश के कारण): तेज शिखा (भौतिकी) और चापलूसी गर्त (भौतिकी)।

इन गेरस्टनर तरंगों में मुक्त-सतह का गणितीय विवरण इस प्रकार हो सकता है: क्षैतिज निर्देशांक के रूप में निरूपित किया जाता है $$x$$ तथा $$z$$, और ऊर्ध्वाधर निर्देशांक है $$y$$. मुक्त सतह का औसत स्तर पर है $$y = 0$$ और सकारात्मक $$y$$-दिशा ऊपर की ओर है, जो पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बल का विरोध करती है $$g.$$ मुक्त सतह को पैरामीट्रिक समीकरण को पैरामीटर के एक समारोह के रूप में वर्णित किया गया है $$\alpha$$ तथा $$\beta,$$ साथ ही समय का भी $$t.$$ पैरामीटर माध्य-सतह बिंदुओं से जुड़े होते हैं $$(x,y,z) = (\alpha,0,\beta)$$ जिसके चारों ओर लहरदार सतह की कक्षा में द्रव पार्सल होता है। मुक्त सतह के माध्यम से निर्दिष्ट किया गया है $$x = \xi(\alpha,\beta,t),$$ $$y = \zeta(\alpha,\beta,t)$$ तथा $$z = \eta(\alpha,\beta,t)$$ साथ: $$\begin{align} \xi  &= \alpha - \sum_{m=1}^M \frac{k_{x,m}}{k_m}\, \frac{a_m}{\tanh\left( k_m\, h \right)}\, \sin\left( \theta_m \right), \\ \eta &= \beta  - \sum_{m=1}^M \frac{k_{z,m}}{k_m}\, \frac{a_m}{\tanh\left( k_m\, h \right)}\, \sin\left( \theta_m \right), \\ \zeta &= \sum_{m=1}^M a_m\, \cos\left( \theta_m \right), \\ \theta_m &= k_{x,m}\, \alpha + k_{z,m}\, \beta - \omega_m\, t - \phi_m, \end{align}$$ कहाँ पे $$\tanh$$ अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शरेखा समारोह है, $$M$$ माना तरंग घटकों की संख्या है, $$a_m$$ घटक का आयाम है $${m=1\dots M}$$ तथा $$\phi_m$$ इसका चरण (लहरें)। आगे $k_m = \sqrt{\scriptstyle k_{x,m}^2 + k_{z,m}^2}$ इसकी तरंग संख्या है और $$\omega_m$$ इसकी कोणीय आवृत्ति। बाद के दो, $$k_m$$ तथा $$\omega_m,$$ स्वतंत्र रूप से नहीं चुना जा सकता है लेकिन फैलाव (जल तरंगों) के माध्यम से संबंधित हैं: $$\omega_m^2 = g\, k_m \tanh \left( k_m\, h \right),$$ साथ $$h$$ औसत पानी की गहराई। गहरे पानी में ($$h\to\infty$$) अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शरेखा एक को जाती है: $${\tanh(k_m\,h)\to 1.}$$ अवयव $$k_{x,m}$$ तथा $$k_{z,m}$$ क्षैतिज तरंग संख्या वेक्टर (गणित और भौतिकी) $$\boldsymbol{k}_m$$ घटक की तरंग प्रसार दिशा निर्धारित करें $$m.$$ विभिन्न मापदंडों का चुनाव $$a_m, k_{x,m}, k_{z,m}$$ तथा $$\phi_m$$ के लिये $$m = 1, \dots, M,$$ और एक निश्चित औसत गहराई $$h$$ समुद्र की सतह के रूप को निर्धारित करता है। एफएफटी के माध्यम से तेजी से संगणना की संभावना का फायदा उठाने के लिए एक चतुर विकल्प की जरूरत है। उदाहरण देखें यह कैसे करें के विवरण के लिए। अधिकतर, वेवनंबर्स को एक नियमित ग्रिड में चुना जाता है $$(k_x,k_z)$$-अंतरिक्ष। इसके बाद, आयाम $$a_m$$ और चरण $$\phi_m$$ वर्णक्रमीय घनत्व के अनुसार यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। एक निश्चित वांछित समुद्री राज्य के विचरण-घनत्व स्पेक्ट्रम। अंत में, एफएफटी द्वारा, महासागर की सतह का निर्माण इस तरह से किया जा सकता है कि यह अंतरिक्ष और समय दोनों में आवधिक कार्य करता है, टेसेलेशन (कंप्यूटर ग्राफिक्स) को सक्षम करता है - आवृत्तियों को थोड़ा सा स्थानांतरित करके समय में आवधिकता बनाना $$\omega_m$$ ऐसा है कि $$\omega_m = m\,\Delta\omega$$ के लिये $$m = 1, \dots, M.$$ प्रतिपादन में भी सामान्य (ज्यामिति) $$\boldsymbol{n}$$ सतह पर अक्सर जरूरत होती है। क्रॉस उत्पाद का उपयोग करके इनकी गणना की जा सकती है ($$\times$$) जैसा: $$ \boldsymbol{n} = \frac{\partial\boldsymbol{s}}{\partial\alpha} \times \frac{\partial\boldsymbol{s}}{\partial\beta} \quad \text{with} \quad \boldsymbol{s}(\alpha,\beta,t) = \begin{pmatrix} \xi(\alpha,\beta,t) \\ \zeta(\alpha,\beta,t) \\ \eta(\alpha,\beta,t) \end{pmatrix}. $$ इकाई वेक्टर सामान्य वेक्टर तब है $$\boldsymbol{e}_n = \boldsymbol{n}/\|\boldsymbol{n}\|,$$ साथ $$\|\boldsymbol{n}\|$$ का मानदंड (गणित)। $$\boldsymbol{n}.$$

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संदर्भ

 * . Reprinted in: Annalen der Physik 32(8), pp. 412–445, 1809.
 * Originally published in 1879, the 6th extended edition appeared first in 1932.
 * Originally published in 1879, the 6th extended edition appeared first in 1932.