ज्यामितीय अनुक्रम

गणित में, ज्यामितीय प्रगति, जिसे ज्यामितीय अनुक्रम के रूप में भी जाना जाता है, गैर-शून्य संख्याओं का अनुक्रम है, जहां पहले के बाद प्रत्येक पद को पिछले एक को एक निश्चित, गैर-शून्य संख्या से गुणा करके पाया जाता है, जिसे सामान्य अनुपात कहा जाता है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम 2, 6, 18, 54, ... सामान्य अनुपात 3 के साथ एक ज्यामितीय प्रगति है। इसी तरह 10, 5, 2.5, 1.25, ... सामान्य अनुपात 1/2 के साथ एक ज्यामितीय अनुक्रम है।

एक ज्यामितीय अनुक्रम के उदाहरण एक निश्चित गैर-शून्य संख्या r की शक्तियां हैं, जैसे कि 2k और 3k। ज्यामितीय अनुक्रम का सामान्य रूप है।


 * $$a,\ ar,\ ar^2,\ ar^3,\ ar^4,\ \ldots$$

जहां r ≠ 0 सामान्य अनुपात है और a ≠ 0 एक पैमाना कारक है, जो अनुक्रम के प्रारंभ मान के बराबर है।

एक प्रगति और एक श्रृंखला के बीच का अंतर यह है कि एक प्रगति एक अनुक्रम है, जबकि एक श्रृंखला योग है।

प्राथमिक गुण
प्रारंभिक मान a = a1 और सामान्य अनुपात r के साथ एक ज्यामितीय अनुक्रम का n-th टर्म1और सामान्य अनुपात r द्वारा दिया गया है।
 * $$a_n = a\,r^{n-1}.$$

ऐसा ज्यामितीय अनुक्रम भी पुनरावर्ती संबंध का अनुसरण करता है।
 * $$a_n = r\,a_{n-1}$$ हर पूर्णांक के लिए $$n\geq 2.$$

आम तौर पर, यह जांचने के लिए कि क्या कोई अनुक्रम ज्यामितीय है, बस यह जांचता है कि क्या अनुक्रम में क्रमिक प्रविष्टियों में सभी समान अनुपात हैं।

ज्यामितीय अनुक्रम का सामान्य अनुपात नकारात्मक हो सकता है, जिसके परिणामस्वरूप वैकल्पिक अनुक्रम होता है, जिसमें सकारात्मक और नकारात्मक के बीच वैकल्पिक संख्या होती है। उदाहरणार्थ
 * 1, −3, 9, −27, 81, −243, ...

सामान्य अनुपात −3 के साथ ज्यामितीय अनुक्रम है।

ज्यामितीय अनुक्रम का व्यवहार सामान्य अनुपात के मूल्य पर निर्भर करता है। यदि सामान्य अनुपात है:
 * सकारात्मक, शर्तें सभी प्रारंभिक शब्द के समान संकेत हो जाएगा।
 * नकारात्मक, शर्तें सकारात्मक और नकारात्मक के बीच वैकल्पिक होंगें।
 * 1 से अधिक, सकारात्मक या नकारात्मक अनंतता की ओर घातीय वृद्धि होगी (प्रारंभिक शब्द के संकेत के आधार पर) ।
 * 1, प्रगति एक निरंतर अनुक्रम है।
 * −1 और 1 के बीच लेकिन शून्य नहीं, शून्य (→ 0) की ओर घातीय क्षय होगा।
 * -1, अनुक्रम में प्रत्येक शब्द का निरपेक्ष मान स्थिर है और शब्द चिह्न में वैकल्पिक हैं।
 * , 1 से कम, निरपेक्ष मूल्यों के लिए वैकल्पिक संकेत के कारण, अनस्केक्ट (अनसाइड) अनंत के प्रति घातीय वृद्धि होती है।

ज्यामितीय अनुक्रम (सामान्य अनुपात के साथ −1, 1 या 0 के बराबर नहीं) घातीय वृद्धि या घातीय क्षय दिखाते हैं, जैसा कि अंकगणितीय प्रगति के रैखिक विकास (या गिरावट) के विपरीत है जैसे कि 4, 15, 26, 37, 48, ... (सामान्य अंतर 11 के साथ)। इस परिणाम को टी.आर माल्थस द्वारा जनसंख्या के अपने सिद्धांत के गणितीय नींव के रूप में। ध्यान दें कि दो प्रकार की प्रगति संबंधित हैं: अंकगणितीय प्रगति के प्रत्येक पद को प्रतिपादित करने से एक ज्यामितीय प्रगति होती है, जबकि एक सकारात्मक सामान्य अनुपात के साथ एक ज्यामितीय प्रगति में प्रत्येक शब्द के लघुगणक को एक अंकगणितीय प्रगति प्राप्त होती है।

ज्यामितीय प्रगति की परिभाषा का दिलचस्प परिणाम यह है कि कोई भी तीन क्रमागत पद ए, बी और सी निम्नलिखित समीकरण को संतुष्ट करेंगे:


 * $$b^2=ac$$

जहां बी को ए और सी के बीच ज्यामितीय माध्य माना जाता है।

ज्यामितीय श्रृंखला
ज्यामितीय श्रृंखला ज्यामितीय प्रगति में संख्याओं का योग है। उदाहरण के लिए:


 * $$2 + 10 + 50 + 250 = 2 + 2 \times 5 + 2 \times 5^2 + 2 \times 5^3. $$

A को पहला पद (यहाँ 2) होने पर, n पदों की संख्या (यहाँ 4) है, और r वह स्थिरांक है जिसे प्रत्येक पद को अगले पद को प्राप्त करने के लिए गुणा किया जाता है (यहाँ 5), योग किसके द्वारा दिया गया है:


 * $$\frac{a(1-r^n)}{1-r}$$

ऊपर दिए गए उदाहरण में, यह देता है:


 * $$2 + 10 + 50 + 250 = \frac{2(1-5^4)}{1-5} = \frac{-1248}{-4} = 312.$$

सूत्र किसी भी वास्तविक संख्या ए और आर के लिए काम करता है।(आर = 1 को छोड़कर, जिसके परिणामस्वरूप शून्य से एक विभाजन होता है) उदाहरण के लिए:
 * $$-2\pi + 4\pi^2 - 8\pi^3 = -2\pi + (-2\pi)^2 + (-2\pi)^3 = \frac{-2\pi(1 - (-2\pi)^3)}{1-(-2\pi)} = \frac{-2\pi(1 + 2\pi^3)}{1+2\pi} \approx -54.360768. $$

चूंकि व्युत्पत्ति (नीचे) a और r वास्तविक होने पर निर्भर नहीं करती है, इसलिए यह जटिल संख्याओं के लिए भी रखती है।

व्युत्पत्ति
इस सूत्र को प्राप्त करने के लिए, पहले एक सामान्य ज्यामितीय श्रृंखला लिखें:


 * $$\sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} = ar^0+ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1}. $$

हम उपरोक्त समीकरण के दोनों पक्षों को 1 − r से गुणा करके इस योग के लिए एक सरल सूत्र प्राप्त करा सकते हैं, और हम देखेंगे कि


 * $$\begin{align}

(1-r) \sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} & = (1-r)(ar^0 + ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1}) \\ & = ar^0 + ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1} - ar^1-ar^2-ar^3-\cdots-ar^{n-1} - ar^n \\ & = a - ar^n \end{align}$$ चूंकि अन्य सभी शब्दों को रद्द कर दिया जाता हैं। यदि r ≠ 1, हम एक ज्यामितीय श्रृंखला के लिए सुविधाजनक सूत्र प्राप्त करने के लिए उपरोक्त को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं जो n शर्तों के योग की गणना करता है:


 * $$\sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} = \frac{a(1-r^n)}{1-r}.$$

संबंधित सूत्र
यदि कोई k = 1 से योग शुरू करने के लिए था, लेकिन एक अलग मूल्य से, M कहें, तो


 * $$\sum_{k=m}^n ar^k=\frac{a(r^m-r^{n+1})}{1-r},$$

परंतु $$r \neq 1$$।यदि $$r=1$$ तब योग सिर्फ अचरों का है $$a$$ इसलिए बराबर है। $$a(n-m+1)$$

इस सूत्र को r के सापेक्ष पृथक करने से हम योग के सूत्र पर पहुँच सकते हैं:
 * $$G_s(n, r) := \sum_{k=0}^n k^s r^k.$$

उदाहरण के लिए:


 * $$\frac{d}{dr}\sum_{k=0}^nr^k = \sum_{k=1}^n kr^{k-1}=

\frac{1-r^{n+1}}{(1-r)^2}-\frac{(n+1)r^n}{1-r}.$$ एक ज्यामितीय श्रृंखला के लिए जिसमें r की केवल सम शक्तियां होती हैं, 1 − r2 से गुणा करती हैं:


 * $$(1-r^2) \sum_{k=0}^{n} ar^{2k} = a-ar^{2n+2}.$$

फिर


 * $$\sum_{k=0}^{n} ar^{2k} = \frac{a(1-r^{2n+2})}{1-r^2}.$$

समतुल्य रूप से, सामान्य अनुपात के रूप में r2 लें और मानक सूत्रीकरण का उपयोग करें।

r की केवल विषम शक्तियों वाली एक श्रृंखला के लिए
 * $$(1-r^2) \sum_{k=0}^{n} ar^{2k+1} = ar-ar^{2n+3}$$

तथा


 * $$\sum_{k=0}^{n} ar^{2k+1} = \frac{ar(1-r^{2n+2})}{1-r^2}.$$

सामान्यीकृत योग के लिए एक सटीक सूत्र $$G_s(n, r)$$ जब $$s \in \mathbb{N}$$ दूसरे प्रकार की स्टर्लिंग संख्याओं द्वारा विस्तारित किया जाता है कि


 * $$G_s(n, r) = \sum_{j=0}^s \left\lbrace{s \atop j}\right\rbrace x^j \frac{d^j}{dx^j}\left[\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\right]. $$

अनंत ज्यामितीय श्रृंखला
एक अनंत ज्यामितीय श्रृंखला एक अनंत श्रृंखला है जिसकी क्रमिक पदों का एक सामान्य अनुपात है।इस तरह की एक श्रृंखला अभिसरण करती है यदि और केवल यदि सामान्य अनुपात का निरपेक्ष मूल्य एक से कम है ($|r|$ 1)।इसके मान को फिर परिमित योग सूत्र से गणना की जा सकती है।


 * $$\sum_{k=0}^\infty ar^k = \lim_{n\to\infty}{\sum_{k=0}^{n} ar^k} = \lim_{n\to\infty}\frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}= \frac{a}{1-r} - \lim_{n\to\infty}{\frac{ar^{n+1}}{1-r}} $$

ज्यामितीय प्रगति के आंशिक रकम का अभिसरण $$\sum\limits_{k=0}^{n}q^k$$ (लाल रेखा) इसकी राशि के लिए $${1\over 1-q}$$ (नीली रेखा) के लिए $$|q|<1$$। तब से:
 * $$ r^{n+1} \to 0 \mbox{ as } n \to \infty \mbox{ when } |r| < 1.$$

फिर:
 * $$\sum_{k=0}^\infty ar^k = \frac{a}{1-r} - 0 = \frac{a}{1-r}$$

केवल शक्तियों वाली श्रृंखला के लिए $$r$$,


 * $$\sum_{k=0}^\infty ar^{2k} = \frac{a}{1-r^2}$$

और केवल विषम शक्तियों के लिए,


 * $$\sum_{k=0}^\infty ar^{2k+1} = \frac{ar}{1-r^2}$$

ऐसे मामलों में जहां योग k = 0 पर शुरू नहीं होती है,


 * $$\sum_{k=m}^\infty ar^k=\frac{ar^m}{1-r}$$

ऊपर दिए गए सूत्र केवल $|r|$p के लिए मान्य हैं <1। बाद का सूत्र प्रत्येक बानाच बीजगणित में मान्य है, जब तक कि आर का आदर्श एक से कम है, और पी-एडिक नंबरों के क्षेत्र में भी। पी-एडिक नंबर अगर $|r|$p <1।जैसा कि एक परिमित राशि के लिए मामले में, हम संबंधित रकम के लिए सूत्रों की गणना करने के लिए अंतर कर सकते हैं।उदाहरण के लिए,


 * $$\frac{d}{dr}\sum_{k=0}^\infty r^k = \sum_{k=1}^\infty kr^{k-1}=

\frac{1}{(1-r)^2}$$ यह सूत्र केवल $|r|$ के लिए काम करता है < x1 के रूप में भी। इससे, यह इस प्रकार है कि, $|r|$ के लिए <1,


 * $$\sum_{k=0}^{\infty} k r^k = \frac{r}{\left(1-r\right)^2} \,;\, \sum_{k=0}^{\infty} k^2 r^k = \frac{r \left( 1+r \right)}{\left(1-r\right)^3} \, ; \, \sum_{k=0}^{\infty} k^3 r^k = \frac{r \left( 1+4 r + r^2\right)}{\left( 1-r\right)^4}$$

उपर्युक्त श्रृंखला का व्युत्क्रम 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ एक श्रृंखला का एक प्राथमिक उदाहरण है जो बिल्कुल परिवर्तित होता है।

यह एक ज्यामितीय श्रृंखला है जिसका पहला पद 1/2 है और जिसका सामान्य अनुपात 1/2 है, इसलिए इसका योग है।
 * $$\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots=\frac{1/2}{1-(+1/2)} = 1.$$

उपरोक्त श्रृंखला का उलटा 1/2 है - 1/4 + 1/8 - 1/16 + ⋯ एक वैकल्पिक श्रृंखला का एक सरल उदाहरण है जो पूरी तरह से अभिसरण करता है।

यह एक ज्यामितीय श्रृंखला है जिसका पहला शब्द 1/2 है और जिसका सामान्य अनुपात −1/2 है, इसलिए इसका योग है।
 * $$\frac12-\frac14+\frac18-\frac{1}{16}+\cdots=\frac{1/2}{1-(-1/2)} = \frac13.$$

जटिल संख्या
ज्यामितीय श्रृंखला के लिए योग सूत्र तब भी मान्य रहता है जब सामान्य अनुपात एक जटिल संख्या होती है। इस मामले में यह शर्त है कि r का निरपेक्ष मान 1 से कम है, यह हो जाता है कि r का मापांक 1 से कम है। कुछ गैर-स्पष्ट ज्यामितीय श्रृंखला के योगों की गणना करना संभव है। उदाहरण के लिए, प्रस्ताव पर विचार करें।


 * $$ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin(kx)}{r^k} = \frac{r \sin(x)}{1 + r^2 - 2 r \cos(x)} $$

इसका प्रमाण इस तथ्य से मिलता है कि
 * $$\sin(kx) = \frac{e^{ikx} - e^{-ikx}}{2i}, $$

जो यूलर के सूत्र का परिणाम है। मूल श्रृंखला में इसे प्रतिस्थापित करने से मिलता है।
 * $$ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin(kx)}{r^k} = \frac{1}{2 i} \left[ \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{e^{ix}}{r} \right)^k - \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{e^{-ix}}{r}\right)^k\right]$$।

यह दो ज्यामितीय श्रृंखलाओं का अंतर है, और इसलिए यह अनंत ज्यामितीय श्रृंखला के लिए सूत्र का एक सीधा अनुप्रयोग है जो प्रमाण को पूरा करता है।

उत्पाद
एक ज्यामितीय प्रगति का उत्पाद सभी शब्दों का उत्पाद है। इसे प्रगति के पहले और अंतिम व्यक्तिगत शब्दों के ज्यामितीय माध्य को लेकर जल्दी से गणना की जा सकती है, और शब्दों की संख्या द्वारा दी गई शक्ति के लिए इसका मतलब उठाया जा सकता है।(यह एक अंकगणितीय अनुक्रम पदों के योग के लिए सूत्र के समान है: पहले और अंतिम व्यक्तिगत पदों का अंकगणित माध्य लें, और पदों की संख्या से गुणा करें।)

चूंकि दो संख्याओं का ज्यामितीय माध्य उनके उत्पाद के वर्गमूल के बराबर होता है, एक ज्यामितीय प्रगति का उत्पाद है:


 * $$\prod_{i=0}^{n} ar^i = (\sqrt{a \cdot ar^n})^{n+1} = (\sqrt{a^{2}r^n})^{n+1}$$।

(इस सूत्र का एक दिलचस्प पहलू यह है कि, भले ही इसमें संभावित-नकारात्मक आर की संभावित-विषम शक्ति का वर्ग मूल लेना शामिल है $r$, यह एक जटिल परिणाम उत्पादन नहीं कर सकता है यदि न तो ए न ही आर का एक काल्पनिक हिस्सा है।यह संभव है, क्या आर नकारात्मक होना चाहिए और एन विषम होना चाहिए, वर्ग मूल को नकारात्मक मध्यवर्ती परिणाम से लिया जाना चाहिए, जिससे बाद के मध्यवर्ती परिणाम एक काल्पनिक संख्या हो सकते हैं। हालांकि, इस तरह से एक काल्पनिक मध्यवर्ती जल्द ही बनने के बाद की शक्ति के लिए उठाया जाएगा $$\textstyle n + 1$$, जो एक सम संख्या होनी चाहिए क्योंकि $n$ अपने आप में अजीब था; इस प्रकार, गणना का अंतिम परिणाम एक विषम संख्या हो सकती है, लेकिन यह कभी भी एक काल्पनिक नहीं हो सकता है।)

प्रूफ
मान लीजिए $P$ उत्पाद का प्रतिनिधित्व करता है। परिभाषा के अनुसार, कोई भी प्रत्येक व्यक्तिगत शब्द को एक साथ गुणा करके इसकी गणना करता है। पूर्ण रूप से लिखा,


 * $$P = a \cdot ar \cdot ar^2 \cdots ar^{n-1} \cdot ar^n$$।

गुणन को बाहर ले जाना और शब्दों की तरह इकट्ठा करना,


 * $$P = a^{n+1} r^{1+2+3+ \cdots +(n-1)+n}$$।

$r$ का प्रतिपादक अंकगणितीय अनुक्रम का योग है।उस गणना के लिए सूत्र को प्रतिस्थापित करना,


 * $$P = a^{n+1} r^\frac{n(n+1)}{2}$$,

जो अभिव्यक्ति को सरल बनाने में सक्षम बनाता है।


 * $$P = (ar^\frac{n}{2})^{n+1} = (a\sqrt{r^n})^{n+1}$$।

पुनर्लेखन $a$ जैसा $$\textstyle \sqrt{a^2}$$,


 * $$P = (\sqrt{a^{2}r^n})^{n+1}$$,

जोकि प्रमाण का समापन करता है।

इतिहास
मेसोपोटामिया, एमएस 3047 में प्रारंभिक वंशवादी अवधि से एक मिट्टी की गोली, आधार 3 और गुणक 1/2 के साथ एक ज्यामितीय प्रगति होती है। शूरुप्पक शहर से सुमेरियन होने का सुझाव दिया गया है। यह बेबीलोन के गणित के समय से पहले से एक ज्यामितीय प्रगति का एकमात्र ज्ञात रिकॉर्ड है।

यूक्लिड के तत्वों की पुस्तकें VIII और IX ज्यामितीय प्रगति का विश्लेषण करती हैं (जैसे कि दो की शक्तियां, विवरण के लिए लेख देखें) और उनके कई गुणों को दें।

संदर्भ

 * Hall & Knight, Higher Algebra, p. 39, ISBN 81-8116-000-2

बाहरी संबंध

 * Derivation of formulas for sum of finite and infinite geometric progression at Mathalino.com
 * Geometric Progression Calculator
 * Nice Proof of a Geometric Progression Sum at sputsoft.com
 * Nice Proof of a Geometric Progression Sum at sputsoft.com