पडोवन अनुक्रम

संख्या सिद्धांत में, पदोवन अनुक्रम पूर्णांक अनुक्रम P(n) परिभाषित है प्रारंभिक मूल्यों द्वारा


 * $$P(0) = P(1) = P(2) = 1,$$

और पुनरावृत्ति संबंध


 * $$P(n) = P(n-2)+P(n-3).$$

P(n) के पहले कुछ मान हैं


 * 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, 265, ...

पाडोवन अभाज्य एक पाडोवन संख्या है जो अभाज्य संख्या है। प्रथम पदोवन अभाज्य हैं:


 * 2, 3, 5, 7, 37, 151, 3329, 23833, 13091204281, 3093215881333057, 13630055524346660782174212846212799336271027808810533584 73, 1558877695141608507751098941899265975115403618621811951868598809164180630185566719, ....

पाडोवन अनुक्रम का नाम रिचर्ड पदोवन के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने अपने 1994 के निबंध डोम में इसकी खोज का श्रेय नीदरलैंड के वास्तुकार हंस वान डेर लान को दिया था। हंस वैन डेर लान: आधुनिक आदिम। इस अनुक्रम का वर्णन इयान स्टीवर्ट (गणितज्ञ) ने जून 1996 में अपने वैज्ञानिक अमेरिकी कॉलम गणितीय मनोरंजन में किया था। उन्होंने इसके बारे में अपनी एक किताब, मैथ हिस्टीरिया: फन गेम्स विद मैथमेटिक्स में भी लिखा है। उपरोक्त परिभाषा इयान स्टीवर्ट और मैथवर्ल्ड द्वारा दी गई है। अन्य स्रोत किसी भिन्न स्थान पर अनुक्रम शुरू कर सकते हैं, ऐसी स्थिति में इस आलेख में कुछ पहचानों को उचित ऑफसेट के साथ समायोजित किया जाना चाहिए।

पुनरावृत्ति संबंध
सर्पिल में, प्रत्येक त्रिभुज दो अन्य के साथ एक भुजा साझा करता है जो इसका दृश्य प्रमाण देता है पडोवन अनुक्रम पुनरावृत्ति संबंध को भी संतुष्ट करता है
 * $$P(n)=P(n-1)+P(n-5)$$

इससे शुरू करके, परिभाषित पुनरावृत्ति और अन्य पुनरावृत्तियों की खोज की जाती है, बार-बार प्रतिस्थापित करके कोई अनंत संख्या में पुनरावृत्तियां बना सकता है $$P(m)$$ द्वारा $$P(m - 2) + P(m - 3)$$ पेरिन स्यूडोप्राइम पाडोवन अनुक्रम के समान पुनरावृत्ति संबंधों को संतुष्ट करता है, हालांकि इसमें अलग-अलग प्रारंभिक मूल्य हैं।

पेरिन अनुक्रम को पडोवन अनुक्रम से प्राप्त किया जा सकता है निम्नलिखित सूत्र:


 * $$\mathrm{Perrin}(n)=P(n+1)+P(n-10).\,$$

नकारात्मक मापदंडों का विस्तार
पुनरावृत्ति संबंध द्वारा परिभाषित किसी भी अनुक्रम की तरह, m<0 के लिए पाडोवन संख्या P(m) को पुनरावृत्ति संबंध को फिर से लिखकर परिभाषित किया जा सकता है


 * $$P(m) = P(m+3) - P(m+1),$$

m = −1 से शुरू करके और पीछे की ओर काम करते हुए, हम P(m) को नकारात्मक सूचकांक तक बढ़ाते हैं:


 * {| class="wikitable" style="text-align:right"


 * P−20
 * P−19
 * P−18
 * P−17
 * P−16
 * P−15
 * P−14
 * P−13
 * P−12
 * P−11
 * P−10
 * P−9
 * P−8
 * P−7
 * P−6
 * P−5
 * P−4
 * P−3
 * P−2
 * P−1
 * P0
 * P1
 * P2
 * 7
 * −7
 * 4
 * 0
 * −3
 * 4
 * −3
 * 1
 * 1
 * −2
 * 2
 * −1
 * 0
 * 1
 * −1
 * 1
 * 0
 * 0
 * 1
 * 0
 * 1
 * 1
 * 1
 * }
 * 1
 * }
 * }

शब्दों का योग
पदोवन अनुक्रम में पहले n पदों का योग P(n+5) से 2 कम है, अर्थात।


 * $$\sum_{m=0}^n P(m)=P(n+5)-2.$$

वैकल्पिक पदों का योग, प्रत्येक तीसरे पद का योग और प्रत्येक पांचवें पद का योग भी अनुक्रम के अन्य पदों से संबंधित हैं:


 * $$\sum_{m=0}^n P(2m)=P(2n+3)-1$$


 * $$\sum_{m=0}^n P(2m+1)=P(2n+4)-1$$
 * $$\sum_{m=0}^n P(3m)=P(3n+2)$$


 * $$\sum_{m=0}^n P(3m+1)=P(3n+3)-1$$
 * $$\sum_{m=0}^n P(3m+2)=P(3n+4)-1$$
 * $$\sum_{m=0}^n P(5m)=P(5n+1).$$

पडोवन अनुक्रम में शब्दों के उत्पादों से जुड़े योग निम्नलिखित पहचान को संतुष्ट करते हैं:


 * $$\sum_{m=0}^n P(m)^2=P(n+2)^2-P(n-1)^2-P(n-3)^2$$
 * $$\sum_{m=0}^n P(m)^2P(m+1)=P(n)P(n+1)P(n+2)$$
 * $$\sum_{m=0}^n P(m)P(m+2)=P(n+2)P(n+3)-1.$$

अन्य पहचान
पडोवन अनुक्रम भी पहचान को संतुष्ट करता है


 * $$P(n)^2-P(n+1)P(n-1)=P(-n-7).\,$$

पदोवन अनुक्रम निम्नलिखित पहचान द्वारा द्विपद गुणांकों के योग से संबंधित है:


 * $$P(k-2) = \sum_{2m+n=k}{m \choose n} = \sum_{m=\lceil k/3\rceil}^{\lfloor k/2\rfloor}{m \choose k-2m}.$$

उदाहरण के लिए, k = 12 के लिए, 2m + n = 12 के साथ जोड़ी (m, n) के लिए मान जो गैर-शून्य द्विपद गुणांक देते हैं (6, 0), (5, 2) और (4, 4) हैं। और:


 * $${6 \choose 0}+{5 \choose 2}+{4 \choose 4} = 1+10+1=12 = P(10).\,$$

बिनेट जैसा सूत्र
पडोवन अनुक्रम संख्याओं को समीकरण के बहुपद की जड़ की शक्तियों के संदर्भ में लिखा जा सकता है


 * $$x^3 -x -1 = 0.\,$$

इस समीकरण के 3 मूल हैं; एक वास्तविक संख्या मूल p (प्लास्टिक संख्या के रूप में जाना जाता है) और दो जटिल संयुग्मी मूल q और r। इन तीन जड़ों को देखते हुए, पडोवन अनुक्रम को पी, क्यू और आर  वाले सूत्र द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:


 * $$P(n) = a p^n + b q^n + c r^n$$

जहां ए, बी और सी स्थिरांक हैं।

चूंकि जटिल संख्या जड़ों q और r दोनों का निरपेक्ष मान 1 से कम है (और इसलिए p एक पिसोट-विजयराघवन संख्या है), इन जड़ों की शक्तियां बड़े n के लिए अनुक्रम 0 की सीमा तय करती हैं, और $$P(n) - a p^n$$ शून्य हो जाता है.

सभी के लिए $$n \ge 0$$, P(n) निकटतम पूर्णांक है $$\frac{p^5}{2p+3} p^n$$. वास्तव में, $$\frac{p^5}{2p+3}$$ उपरोक्त स्थिरांक a का मान है, जबकि b और c को क्रमशः p को q और r से प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है।

पदोवन अनुक्रम में क्रमिक पदों का अनुपात p तक पहुँच जाता है, जिसका मान लगभग 1.324718 है। यह स्थिरांक पाडोवन अनुक्रम और पेरिन अनुक्रम के साथ वही संबंध रखता है जैसा कि स्वर्णिम अनुपात फाइबोनैचि अनुक्रम के साथ करता है।

संयुक्त व्याख्याएँ

 * P(n) n + 2 को क्रमित योग के रूप में लिखने के तरीकों की संख्या है जिसमें प्रत्येक पद या तो 2 या 3 है (अर्थात n + 2 की संरचना की संख्या (संख्या सिद्धांत) जिसमें प्रत्येक पद या तो 2 है या 3). उदाहरण के लिए, P(6) = 4, और 8 को 2s और 3s के क्रमबद्ध योग के रूप में लिखने के 4 तरीके हैं:


 * 2 + 2 + 2 + 2 ; 2 + 3 + 3 ; 3 + 2 + 3 ; 3 + 3 + 2


 * n को एक क्रमित योग के रूप में लिखने के तरीकों की संख्या जिसमें कोई पद 2 नहीं है, P(2n − 2) है। उदाहरण के लिए, पी(6) = 4, और 4 को एक क्रमित योग के रूप में लिखने के 4 तरीके हैं जिनमें कोई पद 2 नहीं है:


 * 4 ; 1+3 ; 3 + 1 ; 1 + 1 + 1 + 1


 * n को एक पैलिंड्रोमिक क्रमित योग के रूप में लिखने के तरीकों की संख्या जिसमें कोई पद 2 नहीं है, P(n) है। उदाहरण के लिए, पी(6) = 4, और 6 को एक पैलिंड्रोमिक क्रमित योग के रूप में लिखने के 4 तरीके हैं जिसमें कोई भी पद 2 नहीं है:


 * 6 ; 3 + 3 ; 1 + 4 + 1 ; 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1


 * n को एक क्रमबद्ध योग के रूप में लिखने के तरीकों की संख्या जिसमें प्रत्येक पद समता (गणित) है और 1 से अधिक P(n − 5) के बराबर है। उदाहरण के लिए, पी(6) = 4, और 11 को क्रमबद्ध योग के रूप में लिखने के 4 तरीके हैं जिनमें प्रत्येक पद विषम और 1 से बड़ा है:


 * 11 ; 5 + 3 + 3 ; 3 + 5 + 3 ; 3 + 3 + 5


 * n को एक क्रमबद्ध योग के रूप में लिखने के तरीकों की संख्या जिसमें प्रत्येक पद 2 mod 3 के लिए मॉड्यूलर अंकगणित है, P(n − 4) के बराबर है। उदाहरण के लिए, पी(6) = 4, और 10 को क्रमबद्ध योग के रूप में लिखने के 4 तरीके हैं जिनमें प्रत्येक पद 2 मॉड 3 के सर्वांगसम है:


 * 8 + 2 ; 2 + 8 ; 5+5 ; 2 + 2 + 2 + 2 + 2

कार्य उत्पन्न करना
पडोवन अनुक्रम का जनक कार्य है


 * $$G(P(n);x)=\frac{x+x^2}{1-x^2-x^3}.$$

इसका उपयोग ज्यामितीय श्रृंखला के साथ पडोवन अनुक्रम के उत्पादों से जुड़ी पहचान को साबित करने के लिए किया जा सकता है, जैसे:


 * $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{P(n)}{2^n} = \frac{12}{5}.$$
 * $$\sum_{n=0}^\infty \frac{P(n)}{\alpha^n} = \frac{\alpha^2(\alpha+1)}{\alpha^3-\alpha-1}.$$

सामान्यीकरण
फाइबोनैचि संख्याओं के समान जिसे बहुपदों के एक सेट में सामान्यीकृत किया जा सकता है फाइबोनैचि बहुपद कहा जाता है, पडोवन अनुक्रम संख्याओं को सामान्यीकृत किया जा सकता है पडोवन बहुपद प्राप्त करें।

पडोवन एल प्रणाली
यदि हम निम्नलिखित सरल व्याकरण को परिभाषित करें:


 * चर: ए बी सी
 * स्थिरांक : कोई नहीं
 * शुरू में एक
 * नियम: (ए → बी), (बी → सी), (सी → एबी)

तब यह लिंडेनमेयर सिस्टम या एल-सिस्टम स्ट्रिंग्स का निम्नलिखित क्रम उत्पन्न करता है:


 * एन = 0 : ए
 * एन = 1 : बी
 * एन = 2 : सी
 * एन = 3 : एबी
 * एन = 4 : बीसी
 * एन = 5 : सीएबी
 * एन = 6 : एबीबीसी
 * एन = 7 : बीसीसीएबी
 * एन = 8 : सीएबीएबीबीसी

और यदि हम प्रत्येक स्ट्रिंग की लंबाई गिनते हैं, तो हमें पडोवन संख्याएँ प्राप्त होती हैं:


 * 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5,...

साथ ही, यदि आप प्रत्येक स्ट्रिंग में ए, बी और सी की संख्या गिनते हैं, तो एनवें के लिए स्ट्रिंग, आपके पास P(n −5) As, P(n −3) Bs और P है '(एन −4) सी। बीबी जोड़ियों की गिनती और सीसी जोड़े भी पडोवन संख्याएं हैं।

घनाकार सर्पिल
3-आयामी घनाभों के एक सेट के कोनों को जोड़ने के आधार पर एक सर्पिल बनाया जा सकता है। यह पडोवन घनाकार सर्पिल है। इस सर्पिल की क्रमिक भुजाओं की लंबाई होती है पदोवन संख्याओं को 2 के वर्गमूल से गुणा किया गया।

पास्कल का त्रिकोण
एरव विल्सन ने अपने पेपर द स्केल्स ऑफ माउंट मेरू में पास्कल के त्रिकोण में कुछ विकर्णों को देखा (आरेख देखें) और उन्हें 1993 में कागज पर चित्रित किया। पाडोवन संख्याएं 1994 में खोजी गईं। पॉल बैरी (2004) ने दिखाया कि ये विकर्ण विकर्ण संख्याओं को जोड़कर पाडोवन अनुक्रम उत्पन्न करते हैं।



संदर्भ

 * Ian Stewart, A Guide to Computer Dating (Feedback), Scientific American, Vol. 275, No. 5, November 1996, Pg. 118.

बाहरी संबंध

 * A Padovan sequence calculator
 * A Padovan sequence calculator