नॉनकम्यूटेटिव ज्योमेट्री

नॉनकम्यूटेटिव ज्योमेट्री (एनसीजी) गणित की शाखा है जो नॉनकम्यूटेटिव बीजगणित के लिए ज्यामितीय दृष्टिकोण से संबंधित है और रिक्त स्थान के निर्माण के साथ जो स्थानीय रूप से कार्यों के गैर-कम्यूटेटिव बीजगणित द्वारा प्रस्तुत किए जाते हैं इस प्रकार संभवतः कुछ सामान्यीकृत अर्थों में गैर क्रम विनिमेय बीजगणित साहचर्य बीजगणित है जिसमें गुणन क्रमविनिमेय नहीं है, अर्थात जिसके लिए $$xy$$ सदैव समान्तर नहीं होता $$yx$$; या अधिक सामान्यतः बीजगणितीय संरचना जिसमें प्रमुख बाइनरी ऑपरेशनों में से क्रमविनिमेय नहीं है; इस प्रकार कोई अतिरिक्त संरचनाओं की भी अनुमति देता है, उदा. टोपोलॉजी या मानदंड, संभवतः कार्यों के नॉनकम्यूटेटिव बीजगणित द्वारा किया जाना है।

नॉनकम्यूटेटिव स्थानों के बारे में गहरी जानकारी देने वाला दृष्टिकोण ऑपरेटर बीजगणित (अर्थात हिल्बर्ट स्थान पर परिबद्ध रैखिक ऑपरेटरों के बीजगणित) के माध्यम से होता है। इस प्रकार संभवतः नॉनकम्यूटेटिव स्थानों के विशिष्ट उदाहरणों में से "नॉनकम्यूटेटिव टोरी" है, जिसने साल 1980 के दशक में इस क्षेत्र के प्रारंभिक विकास में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई और सदिश बंडल, कनेक्शन (सदिश बंडल), वक्रता आदि के नॉनकम्यूटेटिव संस्करणों को जन्म दिया।

प्रेरणा
मुख्य प्रेरणा रिक्त स्थान और कार्यों के मध्य क्रमविनिमेय द्वंद्व को गैरअनुवांशिक सेटिंग तक विस्तारित करना है। गणित में, रिक्त स्थान, जो प्रकृति में ज्यामितीय होते हैं, उन पर संख्यात्मक फलन (गणित) से संबंधित हो सकते हैं। सामान्यतः , ऐसे फलन क्रमविनिमेय वलय बनाएंगे। उदाहरण के लिए, कोई टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान एक्स पर निरंतर फलन जटिल संख्या-मूल्य वाले फलन का रिंग सी(एक्स) ले सकता है। इस प्रकार अनेक स्थितियों में (उदाहरण के लिए, यदि इसलिए यह कहना उचित होगा कि एक्स के पास क्रमविनिमेय टोपोलॉजी है।

अधिक विशेष रूप से, टोपोलॉजी में, कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ स्थान टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान को अंतरिक्ष पर कार्यों के बानाच बीजगणित (गेलफैंड-नैमार्क) से पुनर्निर्मित किया जा सकता है। इस प्रकार क्रमविनिमेय बीजगणितीय ज्यामिति में, बीजगणितीय योजनाएँ क्रमविनिमेय इकाई वलय (ए. ग्रोथेंडिक) के स्थानीय रूप से प्रमुख स्पेक्ट्रा हैं, और प्रत्येक अर्ध-पृथक योजना $$X$$ के क्वासिकोहेरेंट शीव्स की श्रेणी से योजनाओं की समरूपता तक पुनर्निर्माण किया जा सकता है $$O_X$$-मॉड्यूल (पी. गेब्रियल-ए. रोसेनबर्ग) ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी के लिए, किसी साइट के कोहोमोलॉजिकल गुण सेट के ढेरों की संबंधित श्रेणी के अपरिवर्तनीय होते हैं जिन्हें अमूर्त रूप से टोपोस (ए ग्रोथेंडिक) के रूप में देखा जाता है। इन सभी स्थितियों में, किसी स्थान का पुनर्निर्माण कार्यों के बीजगणित या उसके वर्गीकृत संस्करण से किया जाता है - इस प्रकार उस स्थान पर कुछ श्रेणियों के समूह हैं।

टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान पर फलन को बिंदुवार गुणा और जोड़ा जा सकता है इसलिए वे क्रमविनिमेय बीजगणित बनाते हैं; वास्तव में ये ऑपरेशन बेस स्पेस की टोपोलॉजी में स्थानीय हैं, इसलिए फलन बेस स्पेस पर कम्यूटेटिव रिंग्स का समूह बनाते हैं।

नॉनकम्यूटेटिव ज्योमेट्री का सपना इस द्वंद्व को नॉनकम्यूटेटिव बीजगणित, या नॉनकम्यूटेटिव बीजगणित के ढेर, या शीफ-जैसे नॉनकम्यूटेटिव बीजगणित या ऑपरेटर-बीजगणितीय संरचनाओं और कुछ प्रकार की ज्यामितीय इकाइयां और इस द्वंद्व के माध्यम से उनके बीजगणितीय और ज्यामितीय विवरण के मध्य बातचीत देते हैं।

इस संबंध में कि कम्यूटेटिव रिंग सामान्य एफ़िन योजनाओं के अनुरूप हैं और क्रमविनिमेय सी*-बीजगणित सामान्य टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के अनुरूप हैं, नॉनकम्यूटेटिव वलय और बीजगणित के विस्तार के लिए "नॉन-कम्यूटेटिव स्पेस" के रूप में टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के गैर-तुच्छ सामान्यीकरण की आवश्यकता होती है। इस कारण से गैर-कम्यूटेटिव टोपोलॉजी के बारे में कुछ चर्चा है, चूंकि इस शब्द के अन्य अर्थ भी हैं।

गणितीय भौतिकी में अनुप्रयोग
कण भौतिकी में कुछ अनुप्रयोगों को नॉनकम्यूटेटिव मानक मॉडल और नॉनकम्यूटेटिव क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत प्रविष्टियों में वर्णित किया गया है। इस प्रकार साल 1997 में एम-सिद्धांत में इसकी भूमिका की अटकलों के बाद भौतिकी में नॉनकम्यूटेटिव ज्यामिति में रुचि में अचानक वृद्धि हुई है।

एर्गोडिक सिद्धांत से प्रेरणा
तकनीकी स्तर पर नॉनकम्यूटेटिव ज्यामिति को संभालने के लिए एलेन कोन्स द्वारा विकसित कुछ सिद्धांतों की जड़ें पुराने प्रयासों में हैं, विशेष रूप से एर्गोडिक सिद्धांत में आभासी उपसमूह सिद्धांत बनाने के लिए जॉर्ज मैके का प्रस्ताव, जिसके संबंध में एर्गोडिक समूह क्रियाएं (गणित) विस्तारित प्रकार के सजातीय स्थान बन जाएंगी, अब तक सम्मिलित हो चुकी है।

नॉनकम्यूटेटिव सी*-बीजगणित, वॉन न्यूमैन बीजगणित
गैर-कम्यूटेटिव सी*-बीजगणित के (औपचारिक) दोहरे को अब अधिकांशतः गैर-कम्यूटेटिव रिक्त स्थान कहा जाता है। इस प्रकार यह गेलफैंड प्रतिनिधित्व के अनुरूप है, जो दर्शाता है कि क्रमविनिमेय सी*-बीजगणित स्थानीय रूप स्थानीय रूप से सघन हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान के लिए द्वैत (गणित) हैं। सामान्यतः, कोई भी किसी भी सी*-बीजगणित एस को टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान एस से जोड़ सकता है; सी*-बीजगणित का स्पेक्ट्रम देखें।

σ-परिमित माप स्थान और क्रमविनिमेय वॉन न्यूमैन बीजगणित के मध्य द्वंद्व (गणित) के लिए, नॉनकम्यूटेटिव वॉन न्यूमैन बीजगणित को नॉनकम्यूटेटिव माप स्थान कहा जाता है।

नॉनकम्यूटेटिव डिफरेंशियल मैनिफोल्ड्स
एक चिकनी रीमैनियन मैनिफोल्ड एम बहुत सारी अतिरिक्त संरचना वाला टोपोलॉजिकल स्थान है। इस प्रकार इसके निरंतर फलनों सी(एम) के बीजगणित से हम केवल एम को स्थलीय रूप से पुनर्प्राप्त करते हैं। बीजगणितीय अपरिवर्तनीय जो रीमैनियन संरचना को पुनः प्राप्त करता है वह वर्णक्रमीय त्रिक है। इसका निर्माण एम के ऊपर चिकने सदिश बंडल ई से किया गया है, उदाहरण के लिए बाहरी बीजगणित बंडल ई के वर्गाकार समाकलनीय खंडों का हिल्बर्ट स्पेस एल2(एम, ई) गुणन ऑपरेटरों द्वारा सी(एम) का प्रतिनिधित्व करता है और हम एल2(एम, ई) में कॉम्पैक्ट रिज़ॉल्वेंट (उदाहरण के लिए हस्ताक्षर ऑपरेटर) के साथ अनबाउंड ऑपरेटर डी पर विचार करते हैं। जैसे कि कम्यूटेटर [डी, एफ] जब भी एफ सुचारू होता है तो बंधे होते हैं। इस प्रकार गहन प्रमेय बताता है कि एम को रीमैनियन मैनिफोल्ड के रूप में इस डेटा से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।

इससे पता चलता है कि कोई नॉनकम्यूटेटिव रीमैनियन मैनिफोल्ड को वर्णक्रमीय ट्रिपल (ए, एच, डी) के रूप में परिभाषित कर सकता है, जिसमें हिल्बर्ट स्पेस एच पर सी*-बीजगणित ए का प्रतिनिधित्व सम्मिलित है, साथ में एच पर असीमित ऑपरेटर डी, कॉम्पैक्ट के साथ रिसॉल्वेंट, जैसे कि [डी, ए] ए के कुछ घने उपबीजगणित में सभी ए के लिए घिरा हुआ है। इस प्रकार वर्णक्रमीय त्रिगुणों में अनुसंधान बहुत सक्रिय है, और नॉनकम्यूटेटिव मैनिफ़ोल्ड के अनेक उदाहरण बनाए गए हैं।

नॉनकम्यूटेटिव एफ़िन और प्रोजेक्टिव योजनाएँ
एफ़िन योजनाओं और क्रमविनिमेय रिंगों के मध्य द्वंद्व के अनुरूप, हम नॉनकम्यूटेटिव एफ़िन योजनाओं की श्रेणी को सहयोगी यूनिटल रिंगों की श्रेणी के दोहरे के रूप में परिभाषित करते हैं। उस संदर्भ में ज़ारिस्की टोपोलॉजी के कुछ एनालॉग हैं जिससे कि कोई ऐसी एफ़िन योजनाओं को अधिक सामान्य वस्तुओं से जोड़ सके।

प्रोज पर जीन पियरे सेरे के प्रमेय की नकल करते हुए, क्रमविनिमेय श्रेणीबद्ध रिंग के शंकु और प्रोज के सामान्यीकरण भी हैं। अर्थात् क्रमविनिमेय श्रेणीबद्ध बीजगणित की परियोजना पर ओ-मॉड्यूल के क्वासिकोहेरेंट शीव्स की श्रेणी, परिमित लंबाई के श्रेणीबद्ध मॉड्यूल की सेरे की उपश्रेणी पर स्थानीयकृत रिंग पर श्रेणीबद्ध मॉड्यूल की श्रेणी के समान्तर है; इस प्रकार जब बीजगणित नोथेरियन हो तो सुसंगत ढेरों के लिए अनुरूप प्रमेय भी होता है। इस प्रकार प्रमेय को माइकल आर्टिन और जे.जे. झांग द्वारा नॉनकम्यूटेटिव प्रक्षेप्य ज्यामिति की परिभाषा के रूप में विस्तारित किया गया है। जो कुछ सामान्य रिंग-सैद्धांतिक स्थितियों (उदाहरण के लिए आर्टिन-शेल्टर नियमितता) भी जोड़ते हैं।

इस प्रकार प्रक्षेप्य योजनाओं के अनेक गुण इस संदर्भ तक विस्तारित हैं। उदाहरण के लिए, आर्टिन और झांग की नॉनकम्यूटेटिव प्रोजेक्टिव योजनाओं के लिए प्रसिद्ध सेरे द्वैत का एनालॉग उपस्तिथ है।

ए.एल. रोसेनबर्ग ने नॉनकम्यूटेटिव क्वासिकॉम्पैक्ट योजना (एक आधार श्रेणी पर) की सामान्य सापेक्ष अवधारणा बनाई है, जो क्वासिकोहेरेंट शीव्स और फ्लैट स्थानीयकरण फ़ैक्टर्स की श्रेणियों के संदर्भ में योजनाओं और कवरों के आकारिकी के ग्रोथेंडिक के अध्ययन को सारगर्भित करती है। इस प्रकार स्थानीयकरण सिद्धांत के माध्यम से और रोचक दृष्टिकोण भी है, फ्रेड वान ओयस्टेयेन, ल्यूक विलार्ट और एलेन वर्सचोरेन के कारण, जहां मुख्य अवधारणा योजनाबद्ध बीजगणित की है।

नॉनकम्यूटेटिव स्थानों के लिए अपरिवर्तनीय
सिद्धांत के कुछ प्रेरक प्रश्न ज्ञात टोपोलॉजिकल अपरिवर्तनीय को नॉनकम्यूटेटिव (ऑपरेटर) बीजगणित के औपचारिक दोहरे और नॉनकम्यूटेटिव रिक्त स्थान के लिए अन्य प्रतिस्थापन और उम्मीदवारों तक विस्तारित करने से संबंधित हैं। इस प्रकार नॉनकम्यूटेटिव ज्यामिति में एलेन कॉन्स की दिशा के मुख्य प्रारंभिक बिंदुओं में से नॉनकम्यूटेटिव साहचर्य बीजगणित और नॉनकम्यूटेटिव ऑपरेटर बीजगणित से जुड़े नए होमोलॉजी सिद्धांत की उनकी खोज है, अर्थात् चक्रीय समरूपता और बीजगणितीय के-सिद्धांत से इसके संबंध (मुख्य रूप से कॉन्स के माध्यम से) चेर्न चरित्र मानचित्र)।

ऑपरेटर के-सिद्धांत और चक्रीय कोहोलॉजी के उपकरणों को नियोजित करते हुए, चिकनी मैनिफोल्ड्स की विशेषता वर्ग के सिद्धांत को वर्णक्रमीय ट्रिपल तक बढ़ाया गया है। इस प्रकार अब-मौलिक सूचकांक प्रमेय के अनेक सामान्यीकरण वर्णक्रमीय त्रिगुणों से संख्यात्मक अपरिवर्तकों के प्रभावी निष्कर्षण की अनुमति देते हैं। चक्रीय कोहोलॉजी में मौलिक विशेषता वर्ग, जेएलओ सहचक्र, मौलिक चेर्न चरित्र को सामान्यीकृत करता है।

नॉनकम्यूटेटिव रिक्त स्थान के उदाहरण

 * क्वांटम यांत्रिकी के चरण स्थान निर्माण में, शास्त्रीय यांत्रिकी के सहानुभूतिपूर्ण चरण स्थान को स्थिति और गति ऑपरेटरों द्वारा उत्पन्न गैर-कम्यूटेटिव चरण स्थान में विकृत कर दिया जाता है।
 * नॉनकम्यूटेटिव मानक मॉडल कण भौतिकी के मानक मॉडल का प्रस्तावित विस्तार है।
 * नॉनकम्यूटेटिव टोरस, साधारण टोरस के फलन बीजगणित की विकृति, को वर्णक्रमीय ट्रिपल की संरचना दी जा सकती है। उदाहरणों के इस वर्ग का गहनता से अध्ययन किया गया है और यह अभी भी अधिक जटिल स्थितियों के लिए परीक्षण स्थितियों के रूप में कार्य करता है।
 * स्नाइडर स्पेस
 * पर्णसमूह से उत्पन्न होने वाले गैर-विनिमेय बीजगणित।
 * संख्या सिद्धांत से उत्पन्न होने वाली गतिशील प्रणालियों से संबंधित उदाहरण, जैसे कि निरंतर अंशों पर गॉस शिफ्ट, नॉनकम्यूटेटिव बीजगणित को जन्म देते हैं जो दिलचस्प नॉनकम्यूटेटिव ज्यामिति वाले प्रतीत होते हैं।

कॉन्स के अर्थ में
एक कॉन्स कनेक्शन अंतर ज्यामिति में कनेक्शन (गणित) का नॉनकम्यूटेटिव सामान्यीकरण है। इस प्रकार इसे एलेन कोन्स द्वारा प्रस्तुत किया गया था, और बाद में जोआचिम कुंत्ज़ और डेनियल क्विलेन द्वारा सामान्यीकृत किया गया था।

परिभाषा
एक सही ए-मॉड्यूल ई दिया गया है, ई पर कॉन्स कनेक्शन रैखिक मानचित्र है
 * $$\nabla : E \to E \otimes_A \Omega^1 A$$

जो लीबनिज नियम को संतुष्ट करता है $$\nabla_r(sa) = \nabla_r(s) a + s \otimes da$$.

यह भी देखें

 * परिवर्तनशीलता
 * फ़ज़ी गोला
 * कनेक्शन शर्ट
 * मोयल उत्पाद
 * [[क्रमपरिवर्तनशीलता बीजगणितीय ज्यामिति]]
 * नॉनकम्यूटेटिव टोपोलॉजी
 * चरण स्थान सूत्रीकरण
 * अर्ध-मुक्त बीजगणित

बाहरी संबंध

 * Introduction to Quantum Geometry by Micho Đurđevich
 * (An easier introduction that is still rather technical)
 * Noncommutative geometry on arxiv.org
 * MathOverflow, Theories of Noncommutative Geometry
 * Noncommutative geometry and particle physics
 * connection in noncommutative geometry in nLab
 * Noncommutative geometry on arxiv.org
 * MathOverflow, Theories of Noncommutative Geometry
 * Noncommutative geometry and particle physics
 * connection in noncommutative geometry in nLab
 * Noncommutative geometry and particle physics
 * connection in noncommutative geometry in nLab