समूह विस्तार

गणित में, एक समूह विस्तार एक विशेष सामान्य उपसमूह और भागफल समूह के संदर्भ में एक समूह (गणित) का वर्णन करने का एक सामान्य साधन है। अगर $$Q$$ और $$N$$ दो समूह हैं, फिर $$G$$ का विस्तार है $$Q$$ द्वारा $$N$$ अगर कोई छोटा सटीक क्रम है


 * $$1\to N\;\overset{\iota}{\to}\;G\;\overset{\pi}{\to}\;Q \to 1.$$

अगर $$G$$ का विस्तार है $$Q$$ द्वारा $$N$$, तब $$G$$ एक समूह है, $$\iota(N)$$ का सामान्य उपसमूह है $$G$$ और भागफल समूह $$G/\iota(N)$$ समूह के लिए समरूप  है $$Q$$. समूह एक्सटेंशन विस्तार समस्या के संदर्भ में उत्पन्न होते हैं, जहां समूह $$Q$$ और $$N$$ ज्ञात हैं और के गुण $$G$$ निर्धारित किया जाना है। ध्यान दें कि वाक्यांश$$G$$ का विस्तार है $$N$$ द्वारा $$Q$$कुछ द्वारा प्रयोग भी किया जाता है। चूंकि कोई परिमित समूह $$G$$ एक अधिकतम सामान्य उपसमूह रखता है $$N$$ सरल समूह कारक समूह के साथ $$G/N$$, सभी परिमित समूहों को परिमित सरल समूहों के साथ विस्तार की एक श्रृंखला के रूप में बनाया जा सकता है। यह तथ्य परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण को पूरा करने के लिए एक प्रेरणा थी।

उपसमूह होने पर एक एक्सटेंशन को केंद्रीय एक्सटेंशन कहा जाता है $$N$$ के समूह के मध्य में स्थित है $$G$$.

सामान्य रूप में एक्सटेंशन
एक विस्तार, समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद, तत्काल स्पष्ट है। अगर किसी की आवश्यकता है $$G$$ और $$Q$$ एबेलियन समूह होने के लिए, फिर एक्सटेंशन के आइसोमोर्फिज्म वर्गों का सेट $$Q$$ किसी दिए गए (एबेलियन) समूह द्वारा $$N$$ वास्तव में एक समूह है, जो कि समरूपी है
 * $$\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(Q,N);$$

सी एफ Ext functor. एक्सटेंशन के कई अन्य सामान्य वर्ग ज्ञात हैं लेकिन कोई सिद्धांत मौजूद नहीं है जो एक समय में सभी संभावित एक्सटेंशन का इलाज करता हो। समूह विस्तार को आमतौर पर एक कठिन समस्या के रूप में वर्णित किया जाता है; इसे विस्तार समस्या कहा जाता है।

कुछ उदाहरणों पर विचार करने के लिए, यदि $G=K\times H$, तब $$G$$ दोनों का विस्तार है $$H$$ और $$K$$. अधिक सामान्यतः, यदि $$G$$ का अर्धप्रत्यक्ष उत्पाद है $$K$$ और $$H$$, के रूप में लिखा गया है $$G=K\rtimes H$$, तब $$G$$ का विस्तार है $$H$$ द्वारा $$K$$, इसलिए पुष्पांजलि उत्पाद जैसे उत्पाद एक्सटेंशन के और उदाहरण प्रदान करते हैं।

विस्तार समस्या
किस समूह का प्रश्न $$G$$ के विस्तार हैं $$H$$ द्वारा $$N$$ विस्तार समस्या कहा जाता है, और उन्नीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध से इसका गहन अध्ययन किया गया है। इसकी प्रेरणा के रूप में, विचार करें कि एक परिमित समूह की रचना श्रृंखला उपसमूहों का एक परिमित अनुक्रम है $$\{A_i\}$$, जहां प्रत्येक $$\{A_{i+1}\}$$ का विस्तार है $$\{A_i\}$$ किसी साधारण समूह द्वारा। परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण हमें परिमित सरल समूहों की पूरी सूची देता है; इसलिए विस्तार की समस्या का समाधान हमें सामान्य रूप से सभी परिमित समूहों के निर्माण और वर्गीकरण के लिए पर्याप्त जानकारी देगा।

एक्सटेंशन का वर्गीकरण
विस्तार समस्या को हल करना H के सभी विस्तारों को K द्वारा वर्गीकृत करने जैसा है; या अधिक व्यावहारिक रूप से, गणितीय वस्तुओं के संदर्भ में ऐसे सभी विस्तारों को व्यक्त करके जिन्हें समझना और गणना करना आसान है। सामान्य तौर पर, यह समस्या बहुत कठिन है, और सभी सबसे उपयोगी परिणाम एक्सटेंशन को वर्गीकृत करते हैं जो कुछ अतिरिक्त शर्तों को पूरा करते हैं।

यह जानना महत्वपूर्ण है कि दो एक्सटेंशन कब समतुल्य या सर्वांगसम होते हैं। हम कहते हैं कि एक्सटेंशन
 * $$1 \to K\stackrel{i}{{}\to{}} G\stackrel{\pi}{{}\to{}} H\to 1$$ और
 * $$1\to K\stackrel{i'}{{}\to{}} G'\stackrel{\pi'}{{}\to{}} H\to 1$$

समतुल्य (या सर्वांगसम) हैं यदि कोई समूह समरूपता मौजूद है $$T: G\to G'$$ चित्र 1 का आरेख क्रमविनिमेय बनाना। वास्तव में एक समूह समरूपता होना पर्याप्त है; आरेख, मानचित्र की कल्पित क्रमविनिमेयता के कारण $$T$$ छोटे पांच लेम्मा द्वारा एक समरूपता होने के लिए मजबूर किया जाता है।

चेतावनी
ऐसा हो सकता है कि एक्सटेंशन $$1\to K\to G\to H\to 1$$ और $$1\to K\to G^\prime\to H\to 1$$ असमान हैं लेकिन G और G' समूह के रूप में तुल्याकारी हैं। उदाहरण के लिए, हैं $$8$$ द्वारा क्लेन चार-समूह के असमान विस्तार $$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$, लेकिन समूह समरूपता तक, क्रम के केवल चार समूह हैं $$8$$ आदेश का एक सामान्य उपसमूह युक्त $$2$$ क्लेन चार-समूह के भागफल समूह आइसोमॉर्फिक के साथ।

तुच्छ विस्तार
एक तुच्छ विस्तार एक विस्तार है


 * $$1\to K\to G\to H\to 1$$

जो विस्तार के बराबर है


 * $$1\to K\to K\times H\to H\to 1$$

जहां बाएँ और दाएँ तीर क्रमशः प्रत्येक कारक का समावेश और प्रक्षेपण हैं $$K\times H$$.

स्प्लिट एक्सटेंशन का वर्गीकरण
एक स्प्लिट एक्सटेंशन एक एक्सटेंशन है


 * $$1\to K\to G\to H\to 1$$

एक समरूपता के साथ $$s\colon H \to G$$ जैसे कि H से G तक s से जाना और फिर वापस H पर लघु सटीक अनुक्रम के भागफल मानचित्र द्वारा H पर पहचान फ़ंक्शन को प्रेरित करता है, अर्थात। $$\pi \circ s=\mathrm{id}_H$$. इस स्थिति में, यह आमतौर पर कहा जाता है कि उपरोक्त सटीक अनुक्रम को 'विभाजित' करता है।

स्प्लिट एक्सटेंशन को वर्गीकृत करना बहुत आसान है, क्योंकि एक एक्सटेंशन को विभाजित किया जाता है अगर और केवल अगर समूह G K और H का एक सेमीडायरेक्ट उत्पाद है। सेमीडायरेक्ट उत्पाद स्वयं को वर्गीकृत करना आसान है, क्योंकि वे समरूपता के साथ एक-से-एक पत्राचार में हैं $$H\to\operatorname{Aut}(K)$$, जहां ऑट (के) के का automorphism  समूह है। यह क्यों सच है, इसकी पूरी चर्चा के लिए, सेमीडायरेक्ट उत्पाद देखें।

शब्दावली पर चेतावनी
गणित में सामान्य रूप से, संरचना K के विस्तार को आमतौर पर एक संरचना L के रूप में माना जाता है, जिसमें से K एक उपसंरचना है। उदाहरण के लिए फील्ड एक्सटेंशन देखें। हालांकि, समूह सिद्धांत में आंशिक रूप से अंकन के कारण विपरीत शब्दावली आ गई है $$\operatorname{Ext}(Q,N)$$, जो N द्वारा Q के विस्तार के रूप में आसानी से पढ़ता है, और ध्यान समूह Q पर है।

रोनाल्ड ब्राउन (गणितज्ञ) और टिमोथी पोर्टर का ओटो श्रेयर के नॉनबेलियन एक्सटेंशन के सिद्धांत पर एक पेपर इस शब्दावली का उपयोग करता है कि K का एक विस्तार एक बड़ी संरचना देता है।

केंद्रीय विस्तार
समूह G का एक केंद्रीय विस्तार समूहों का एक संक्षिप्त सटीक अनुक्रम है
 * $$1\to A\to E\to G\to 1$$

जैसे कि ए शामिल है $$Z(E)$$, समूह ई के एक समूह का केंद्र। ए द्वारा जी के केंद्रीय विस्तार के समरूपता वर्गों का समूह समूह कोहोलॉजी समूह के साथ एक-से-एक पत्राचार में है $$H^2(G,A)$$.

किसी भी समूह G और किसी एबेलियन समूह A को लेकर और E को सेट करके केंद्रीय विस्तार के उदाहरण बनाए जा सकते हैं $$A\times G$$. इस प्रकार का विभाजन उदाहरण तत्व 0 से मेल खाता है $$H^2(G,A)$$ उपरोक्त पत्राचार के तहत प्रक्षेपी अभ्यावेदन के सिद्धांत में अधिक गंभीर उदाहरण पाए जाते हैं, ऐसे मामलों में जहां प्रक्षेपी निरूपण को साधारण रेखीय निरूपण में नहीं उठाया जा सकता है।

परिमित पूर्ण समूहों के मामले में, एक सार्वभौमिक पूर्ण केंद्रीय विस्तार होता है।

इसी प्रकार, झूठ बीजगणित का केंद्रीय विस्तार $$\mathfrak{g}$$ सटीक क्रम है
 * $$0\rightarrow \mathfrak{a}\rightarrow\mathfrak{e}\rightarrow\mathfrak{g}\rightarrow 0$$

ऐसा है कि $$\mathfrak{a}$$ के केन्द्र में है $$\mathfrak{e}$$.

भागफल (सार्वभौमिक बीजगणित) में केंद्रीय विस्तार का एक सामान्य सिद्धांत है।

सामान्य विस्तार के लिए सामान्यीकरण
होमोमोर्फिज्म के संदर्भ में ए द्वारा जी के सभी एक्सटेंशन का एक समान वर्गीकरण है $$G\to\operatorname{Out}(A)$$, एक थकाऊ लेकिन स्पष्ट रूप से जांच योग्य अस्तित्व की स्थिति शामिल है $H^3(G, Z(A))$ और कोहोलॉजी समूह $H^2(G, Z(A))$.

झूठ समूह
लाइ समूह सिद्धांत में, केंद्रीय विस्तार बीजगणितीय टोपोलॉजी के संबंध में उत्पन्न होते हैं। मोटे तौर पर, असतत समूहों द्वारा लेटे समूहों के केंद्रीय विस्तार समूहों को कवर करने के समान हैं। अधिक सटीक रूप से, अंतरिक्ष को कवर करने वाला एक जुड़ा हुआ स्थान $G^{∗}$ एक जुड़े हुए समूह का $G$ स्वाभाविक रूप से का केंद्रीय विस्तार है $G$, इस तरह से कि प्रोजेक्शन


 * $$\pi\colon G^* \to G$$

एक समूह समरूपता है, और विशेषण है। (समूह संरचना पर $G^{∗}$ में पहचान के लिए एक पहचान तत्व मैपिंग की पसंद पर निर्भर करता है $G$।) उदाहरण के लिए, कब $G^{∗}$ का सार्वभौमिक आवरण है $G$, π का ​​कर्नेल मूलभूत समूह है $G$, जिसे एबेलियन के रूप में जाना जाता है (h-अंतरिक्ष देखें)। इसके विपरीत, एक झूठ समूह दिया $G$ और एक असतत केंद्रीय उपसमूह $Z$, भागफल $G/Z$ एक झूठ समूह है और $G$ इसका एक आवरण स्थान है।

अधिक आम तौर पर, जब समूह $A$, $E$ और $G$ एक केंद्रीय विस्तार में होने वाले झूठ समूह हैं, और उनके बीच के नक्शे झूठ समूहों के होमोमोर्फिज्म हैं, फिर यदि झूठ बीजगणित $G$ है $g$, की है कि $A$ है $a$, और वह $E$ है $e$, तब $e$ एक लाई बीजगणित विस्तार#केंद्रीय विस्तार है $g$ द्वारा $a$. सैद्धांतिक भौतिकी की शब्दावली में, के जनरेटर $a$ केंद्रीय प्रभार कहलाते हैं। ये जनरेटर के केंद्र में हैं $e$; नोएदर के प्रमेय द्वारा, समरूपता समूहों के जनरेटर संरक्षित मात्राओं के अनुरूप होते हैं, जिन्हें चार्ज (भौतिकी) कहा जाता है।

कवरिंग समूहों के रूप में केंद्रीय एक्सटेंशन के मूल उदाहरण हैं: के मामले में $SL_{2}(R)$ में एक मूलभूत समूह शामिल है जो अनंत चक्रीय है। यहां शामिल केंद्रीय विस्तार वजन के रूपों के मामले में मॉड्यूलर रूप  थ्योरी में अच्छी तरह से जाना जाता है $½$. वास्तविक रेखा पर इस मामले में, फूरियर रूपांतरण से निर्मित, वेइल प्रतिनिधित्व से मेल खाने वाला एक अनुमानित प्रतिनिधित्व है। क्वांटम यांत्रिकी में मेटाप्लेक्टिक समूह भी होते हैं।
 * स्पिन समूह, जो विशेष ऑर्थोगोनल समूहों को दोहराते हैं, जो (समान आयाम मेंप्रक्षेपी ओर्थोगोनल समूह समूह को दोगुना कवर करते हैं।
 * मेटाप्लेक्टिक समूह, जो सहानुभूति समूहों को दोहराते हैं।

यह भी देखें

 * झूठ बीजगणित विस्तार
 * रिंग एक्सटेंशन
 * विरासोरो बीजगणित
 * एचएनएन एक्सटेंशन
 * समूह संकुचन
 * एक सामयिक समूह का विस्तार

संदर्भ

 * R.L. Taylor, Covering groups  of  non  connected topological  groups, Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 5 (1954), 753–768.
 * R. Brown and O. Mucuk, Covering groups of non-connected topological groups revisited, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 115 (1994), 97–110.
 * R. Brown and O. Mucuk, Covering groups of non-connected topological groups revisited, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 115 (1994), 97–110.