टॉलेमिक ग्राफ

ग्राफ़ सिद्धांत में, टॉलेमिक ग्राफ़ एक अप्रत्यक्ष ग्राफ़ है जिसकी सबसे छोटी पथ दूरी टॉलेमी की असमानता का पालन करती है, जिसे बदले में रोमन ग्रीस के खगोलशास्त्री और गणितज्ञ टॉलेमी के नाम पर रखा गया था। टॉलेमिक ग्राफ़ वास्तव में वे ग्राफ़ हैं जो कॉर्डल ग्राफ़ और दूरी-वंशानुगत ग्राफ़ दोनों हैं। दूरी-वंशानुगत; वे ब्लॉक ग्राफ़ शामिल करते हैं और सही रेखांकन का एक उपवर्ग हैं।

लक्षण वर्णन
एक ग्राफ टॉलेमिक है अगर और केवल अगर यह निम्नलिखित समकक्ष शर्तों में से किसी का पालन करता है:
 * सबसे छोटी पथ दूरी टॉलेमी की असमानता का पालन करती है: हर चार शीर्ष के लिए (ग्राफ सिद्धांत) $u$, $v$, $w$, और $x$, असमानता $d(u,v)d(w,x) + d(u,x)d(v,w) ≥ d(u,w)d(v,x)$ रखता है। उदाहरण के लिए, चित्रण में मणि ग्राफ (3-पंखा) टॉलेमिक नहीं है, क्योंकि इस ग्राफ में $d(u,w)d(v,x) = 4$, से अधिक $d(u,v)d(w,x) + d(u,x)d(v,w) = 3$.
 * प्रत्येक दो अतिव्यापी अधिकतम समूहों के लिए, दो समूहों का प्रतिच्छेदन वर्टेक्स विभाजक है जो दो समूहों के अंतर को विभाजित करता है। रत्न ग्राफ के चित्रण में, यह सत्य नहीं है: गुट $uvy$ और $wxy$ उनके चौराहे से अलग नहीं होते हैं, $y$, क्योंकि एक किनारा है $vw$ जो गुटों को जोड़ता है लेकिन चौराहे से बचता है।
 * प्रत्येक $k$-वर्टेक्स चक्र (ग्राफ सिद्धांत)  में कम से कम होता है $3(k &minus; 3)/2$ विकर्ण। * ग्राफ कॉर्डल ग्राफ दोनों है (तीन से अधिक लंबाई के प्रत्येक चक्र में एक विकर्ण होता है) और दूरी-वंशानुगत ग्राफ | दूरी-वंशानुगत (प्रत्येक जुड़े हुए प्रेरित सबग्राफ में पूरे ग्राफ के समान दूरी होती है)। दिखाया गया मणि कॉर्डल है लेकिन दूरी-वंशानुगत नहीं है: द्वारा प्रेरित सबग्राफ में $uvwx$, से दूरी $u$ को $x$ 3 है, जो पूरे ग्राफ़ में समान शीर्षों के बीच की दूरी से अधिक है। चूँकि कॉर्डल और दूरी-वंशानुगत ग्राफ़ दोनों ही सही ग्राफ़ हैं, इसलिए टॉलेमिक ग्राफ़ भी हैं। * ग्राफ कॉर्डल है और इसमें एक प्रेरित मणि नहीं है, एक पेंटागन में दो गैर-क्रॉसिंग विकर्णों को जोड़कर बनाया गया ग्राफ।
 * ग्राफ दूरी-वंशानुगत है और इसमें प्रेरित चक्र नहीं है | प्रेरित 4-चक्र।
 * ग्राफ़ को एक एकल शीर्ष से संचालन के अनुक्रम से बनाया जा सकता है जो एक नया डिग्री-एक (लटकन) शीर्ष जोड़ता है, या एक मौजूदा शीर्ष को डुप्लिकेट (जुड़वां) जोड़ता है, अपवाद के साथ एक जुड़वां ऑपरेशन जिसमें नया डुप्लिकेट वर्टेक्स होता है इसके जुड़वां (झूठे जुड़वाँ) से सटे नहीं, केवल तभी लागू किया जा सकता है जब जुड़वा बच्चों के पड़ोसी एक समूह बनाते हैं। अपवाद के बिना ये तीन ऑपरेशन सभी दूरी-वंशानुगत ग्राफ बनाते हैं। टॉलेमी के सभी ग्राफ़ बनाने के लिए, पेंडेंट वर्टिकल और ट्रू ट्विन्स का उपयोग करना पर्याप्त नहीं है; झूठे जुड़वाँ के असाधारण मामले की भी कभी-कभी आवश्यकता होती है।
 * एक पॉलीट्री से अधिकतम क्लिक्स के गैर खाली चौराहे पर उपसमुच्चय संबंध का कवरिंग संबंध।
 * शीर्षों के उत्तल उपसमुच्चय (उपसमुच्चय जिसमें उपसमुच्चय में दो शीर्षों के बीच हर सबसे छोटा रास्ता होता है) एक antimatroid बनाते हैं। अर्थात्, प्रत्येक उत्तल सेट को पूरे शीर्ष सेट से बार-बार एक चरम शीर्ष को हटाकर पहुँचा जा सकता है, जो कि शेष शीर्षों के बीच किसी भी सबसे छोटे पथ से संबंधित नहीं है। मणि में, उत्तल सेट $uxy$ इस तरह से नहीं पहुँचा जा सकता, क्योंकि न तो $v$ और न $w$ अत्यधिक है।

कम्प्यूटेशनल जटिलता
उन्मुख पेड़ों के लक्षण वर्णन के आधार पर, टॉलेमिक ग्राफ को रैखिक समय में पहचाना जा सकता है।

गणना
टॉलेमिक ग्राफ़ के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शन को प्रतीकात्मक विधि (कॉम्बिनेटरिक्स) के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जिससे इन ग्राफ़ की संख्याओं की तेज़ी से गणना की जा सकती है। इस पद्धति के आधार पर, टॉलेमिक रेखांकन की संख्या $n$ लेबल वाले शीर्ष, के लिए $$n=1,2,3,\dots$$, होना पाया गया है
 * 1, 1, 4, 35, 481, 9042, 216077, 6271057, 214248958, 8424002973, 374708368981, 18604033129948, 1019915376831963, ...