प्रचारक

क्वांटम यांत्रिकी और क्वांटम फील्ड थ्योरी में, प्रोपेगेटर एक ऐसा कार्य है जो किसी कण के लिए एक निश्चित अवधि में एक स्थान से दूसरे स्थान पर यात्रा करने या एक निश्चित ऊर्जा और गति के साथ यात्रा करने के लिए संभाव्यता आयाम निर्दिष्ट करता है। फेनमैन आरेखों में, जो क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में टकराव की दर की गणना करने के लिए काम करते हैं, आभासी कण संबंधित आरेख द्वारा वर्णित बिखरने वाली घटना की दर में उनके प्रचारक का योगदान करते हैं। इन्हें कण के लिए उपयुक्त लहर ऑपरेटर  के व्युत्क्रम संचालन के रूप में भी देखा जा सकता है, और इसलिए, अक्सर (कारण) ग्रीन का कार्य (कई-शरीर सिद्धांत) कहा जाता है। ग्रीन के कार्य ('कारण' कहा जाता है) इसे अण्डाकार लाप्लासियन ग्रीन के कार्य से अलग करने के लिए)।

गैर-सापेक्षवादी प्रचारक
गैर-सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी में, प्रचारक एक प्राथमिक कण के लिए एक स्थानिक बिंदु (x') से एक समय (t') से दूसरे स्थानिक बिंदु (x) पर बाद के समय (t) में यात्रा करने के लिए संभाव्यता आयाम देता है।

हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) के साथ एक प्रणाली पर विचार करें $H$. श्रोडिंगर समीकरण के लिए ग्रीन का कार्य (मौलिक समाधान) एक कार्य है
 * $$G(x, t; x', t') = \frac{1}{i\hbar} \Theta(t - t') K(x, t; x', t')$$

संतुष्टि देने वाला
 * $$\left( i\hbar \frac{\partial}{\partial t} - H_x \right) G(x, t; x', t') = \delta(x - x') \delta(t - t'),$$

कहाँ $H_{x}$ के संदर्भ में लिखे गए हैमिल्टनियन को दर्शाता है $x$ निर्देशांक, $δ(x)$ Dirac डेल्टा-फ़ंक्शन को दर्शाता है, $Θ(t)$ हैवीसाइड स्टेप फंक्शन है और $K(x, t ;x′, t′)$ बड़े कोष्ठकों में उपरोक्त श्रोडिंगर डिफरेंशियल ऑपरेटर का अभिन्न परिवर्तन है। इस संदर्भ में 'प्रचारक' शब्द का प्रयोग कभी-कभी संदर्भित करने के लिए किया जाता है $G$, और कभी-कभी $K$. यह लेख संदर्भित करने के लिए शब्द का उपयोग करेगा $K$ (डुहमेल का सिद्धांत देखें)।

इस प्रचारक को संक्रमण आयाम के रूप में भी लिखा जा सकता है
 * $$K(x, t; x', t') = \big\langle x \big| \hat{U}(t, t') \big| x' \big\rangle,$$

कहाँ $Û(t, t′)$ समय पर राज्यों को लेने वाली प्रणाली के लिए एकात्मक संचालक समय-विकास संचालक है $t′$ समय पर राज्यों के लिए $t$. द्वारा लागू प्रारंभिक स्थिति पर ध्यान दें $$\lim_{t \to t'} K(x, t; x', t') = \delta(x - x')$$.

पथ अभिन्न सूत्रीकरण का उपयोग करके क्वांटम-मैकेनिकल प्रोपेगेटर भी पाया जा सकता है:
 * $$K(x, t; x', t') = \int \exp \left[\frac{i}{\hbar} \int_t^{t'} L(\dot{q}, q, t) \, dt\right] D[q(t)],$$

जहां पथ अभिन्न की सीमा शर्तें शामिल हैं $q(t) = x, q(t′) = x′$. यहाँ $L$ सिस्टम के Lagrangian यांत्रिकी को दर्शाता है। सम्‍मिलित पथ केवल समय में आगे बढ़ते हैं और अंतर के साथ एकीकृत होते हैं $$D[q(t)]$$ समय में पथ का अनुसरण करना।

गैर-सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी में, प्रोपेगेटर एक प्रारंभिक तरंग फ़ंक्शन और एक समय अंतराल दिए जाने पर सिस्टम के तरंग फ़ंक्शन को ढूंढने देता है। नया तरंग फ़ंक्शन समीकरण द्वारा निर्दिष्ट किया गया है
 * $$\psi(x, t) = \int_{-\infty}^\infty \psi(x', t') K(x, t; x', t') \, dx'.$$

अगर $K(x, t; x&prime;, t&prime;)$ केवल अंतर पर निर्भर करता है $x − x′$, यह इनिशियल वेव फंक्शन और प्रोपगेटर का कनवल्शन है।

मूल उदाहरण: मुक्त कण के प्रचारक और हार्मोनिक ऑसीलेटर
समय-अनुवादिक रूप से अपरिवर्तनीय प्रणाली के लिए, प्रचारक केवल समय के अंतर पर निर्भर करता है $t − t′$, इसलिए इसे फिर से लिखा जा सकता है $$K(x, t; x', t') = K(x, x'; t - t').$$ वेव पैकेट#फ्री प्रोपगेटर|एक-आयामी फ्री पार्टिकल का प्रोपगैटर, जिसे पाथ इंटीग्रल फॉर्मूलेशन#फ्री पार्टिकल से प्राप्त किया जा सकता है, तब है

इसी प्रकार, एक आयामी क्वांटम हार्मोनिक ऑसीलेटर # प्राकृतिक लंबाई और ऊर्जा स्केल का प्रचारक मेहलर कर्नेल है,

वैन कॉर्ट्रीक के SU(1,1) लाइ-ग्रुप आइडेंटिटी का उपयोग करने पर पिछले मुक्त-कण परिणाम से उत्तरार्द्ध प्राप्त किया जा सकता है, $$\begin{align} &\exp \left( -\frac{it}{\hbar} \left( \frac{1}{2m} \mathsf{p}^2 + \frac{1}{2} m\omega^2 \mathsf{x}^2 \right) \right) \\ &= \exp \left( -\frac{im\omega}{2\hbar} \mathsf{x}^2\tan\frac{\omega t}{2} \right) \exp \left( -\frac{i}{2m\omega \hbar}\mathsf{p}^2 \sin(\omega t) \right) \exp \left( -\frac{im\omega }{2\hbar} \mathsf{x}^2 \tan\frac{\omega t}{2} \right), \end{align}$$ ऑपरेटरों के लिए मान्य $$\mathsf{x}$$ और $$\mathsf{p}$$ हाइजेनबर्ग संबंध को संतुष्ट करना $$[\mathsf{x},\mathsf{p}] = i\hbar$$.

के लिए $N$-आयामी मामला, प्रचारक को केवल उत्पाद द्वारा प्राप्त किया जा सकता है $$K(\vec{x}, \vec{x}'; t) = \prod_{q=1}^N K(x_q, x_q'; t).$$

सापेक्षवादी प्रचारक
सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में प्रचारक लोरेंट्ज़-इनवेरिएंट हैं। वे दो अंतरिक्ष-समय बिंदुओं के बीच यात्रा करने के लिए प्राथमिक कण के लिए आयाम देते हैं।

स्केलर प्रचारक
क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, एक मुक्त (या गैर-अंतःक्रियात्मक) स्केलर क्षेत्र का सिद्धांत एक उपयोगी और सरल उदाहरण है जो अधिक जटिल सिद्धांतों के लिए आवश्यक अवधारणाओं को स्पष्ट करने के लिए कार्य करता है। यह स्पिन (भौतिकी) -शून्य कणों का वर्णन करता है। मुक्त अदिश क्षेत्र सिद्धांत के लिए कई संभावित प्रचारक हैं। अब हम सबसे आम का वर्णन करते हैं।

स्थिति स्थान
क्लेन-गॉर्डन समीकरण के लिए स्थिति अंतरिक्ष प्रचारक ग्रीन के कार्य हैं। इसका मतलब है कि वे कार्य हैं $G(x, y)$ संतुष्टि देने वाला $$\left(\square_x + m^2\right) G(x, y) = -\delta(x - y),$$ कहाँ
 * $x, y$ मिन्कोवस्की अंतरिक्ष-समय में दो बिंदु हैं,
 * $$\square_x = \tfrac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2$$ पर अभिनय करने वाला डी'अलेम्बर्टियन ऑपरेटर है $x$ निर्देशांक,
 * $δ(x − y)$ Dirac डेल्टा फ़ंक्शन है।

(विशिष्ट आपेक्षिकता क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत गणनाओं में विशिष्ट के रूप में, हम उन इकाइयों का उपयोग करते हैं जहां प्रकाश की गति होती है $c$ और प्लैंक कॉन्स्टेंट | प्लैंक का रिड्यूस्ड कॉन्स्टेंट $ħ$ एकता पर सेट हैं।)

हम 4-आयामी मिन्कोव्स्की स्पेसटाइम पर ध्यान केंद्रित करेंगे। हम प्राप्त करने वाले प्रचारक के लिए समीकरण का फूरियर रूपांतरण कर सकते हैं $$\left(-p^2 + m^2\right) G(p) = -1.$$ इस समीकरण को वितरण (गणित) के अर्थ में उल्टा किया जा सकता है, यह देखते हुए कि समीकरण $xf(x) = 1$ का समाधान है (सोखोत्स्की-प्लेमेलज प्रमेय देखें) $$f(x) = \frac{1}{x \pm i\varepsilon} = \frac{1}{x} \mp i\pi\delta(x),$$ साथ $ε$ शून्य की सीमा लागू करना। नीचे, हम करणीय आवश्यकताओं से उत्पन्न होने वाले चिन्ह के सही विकल्प पर चर्चा करते हैं।

समाधान है

कहाँ $$p(x - y) := p_0(x^0 - y^0) - \vec{p} \cdot (\vec{x} - \vec{y})$$ 4-वेक्टर आंतरिक उत्पाद है।

उपरोक्त अभिव्यक्ति में समोच्च एकीकरण के तरीकों को कैसे विकृत करना है, इसके लिए अलग-अलग विकल्प प्रचारक के लिए विभिन्न रूपों को जन्म देते हैं। समोच्च का चुनाव आमतौर पर के संदर्भ में किया जाता है $$p_0$$ अभिन्न।

इंटीग्रैंड में तब दो ध्रुव होते हैं $$p_0 = \pm \sqrt{\vec{p}^2 + m^2},$$ इसलिए इनसे बचने के लिए अलग-अलग विकल्प अलग-अलग प्रचारकों के पास जाते हैं।

मंदबुद्धि प्रचारक
दोनों ध्रुवों पर दक्षिणावर्त जाने वाला एक समोच्च कारण मंद प्रवर्तक देता है। यह शून्य है अगर $x-y$ स्पेसलाइक है या अगर $x ⁰< y ⁰$ (यानी अगर $y$ के भविष्य के लिए है $x$).

समोच्च का यह चुनाव सीमा (गणित) की गणना के बराबर है, $$G_\text{ret}(x,y) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{(p_0+i\varepsilon)^2 - \vec{p}^2 - m^2} = -\frac{\Theta(x-y)}{2\pi} \delta(\tau_{xy}^2) + \Theta(x-y)\Theta(\tau_{xy}^2)\frac{m J_1(m \tau_{xy})}{4 \pi \tau_{xy}}$$ यहाँ $$\Theta (x) := \begin{cases} 1 & x \ge 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}$$ हीविसाइड स्टेप फंक्शन है और $$\tau_{xy}:= \sqrt{ (x^0 - y^0)^2 - (\vec{x} - \vec{y})^2}$$ से उचित समय है $x$ को $y$ और $$J_1$$ प्रथम प्रकार का बेसेल फलन है। इजहार $$y \prec x$$ साधन $y$ कारण संरचना $x$ जो, मिन्कोवस्की अंतरिक्ष-समय के लिए, का अर्थ है
 * $$y^0 < x^0$$ और $$\tau_{xy}^2 \geq 0 ~.$$

यह अभिव्यक्ति फ्री स्केलर फील्ड ऑपरेटर के कम्यूटेटर के वैक्यूम अपेक्षा मूल्य से संबंधित हो सकती है, $$G_\text{ret}(x,y) = i \langle 0| \left[ \Phi(x), \Phi(y) \right] |0\rangle \Theta(x^0 - y^0)$$ कहाँ $$\left[\Phi(x), \Phi(y) \right] := \Phi(x) \Phi(y) - \Phi(y) \Phi(x)$$ कम्यूटेटर है।

उन्नत प्रचारक
दोनों ध्रुवों के नीचे एंटी-क्लॉकवाइज जाने वाला एक समोच्च कारण उन्नत प्रोपेगेटर देता है। यह शून्य है अगर $x-y$ स्पेसलाइक है या अगर $x ⁰> y ⁰$ (यानी अगर $y$ का अतीत है $x$).

समोच्च का यह चुनाव सीमा की गणना के बराबर है $$ G_\text{adv}(x,y) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{(2\pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{(p_0 - i\varepsilon)^2 - \vec{p}^2 - m^2} = -\frac{\Theta(y-x)}{2\pi}\delta(\tau_{xy}^2) + \Theta(y-x)\Theta(\tau_{xy}^2)\frac{m J_1(m \tau_{xy})}{4 \pi \tau_{xy}} $$ यह अभिव्यक्ति मुक्त स्केलर क्षेत्र के कम्यूटेटर के वैक्यूम अपेक्षा मूल्य के संदर्भ में भी व्यक्त की जा सकती है। इस मामले में, $$G_\text{adv}(x,y) = -i \langle 0|\left[ \Phi(x), \Phi(y) \right]|0\rangle \Theta(y^0 - x^0)~.$$

फेनमैन प्रचारक
1948 में रिचर्ड फेनमैन द्वारा पेश किए गए फेनमैन प्रचारक, बाएं ध्रुव के नीचे और दाएं ध्रुव के ऊपर जाने वाला एक समोच्च देता है। समोच्च का यह चुनाव सीमा की गणना के बराबर है $$G_F(x,y) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{p^2 - m^2 + i\varepsilon} = \begin{cases} -\frac{1}{4 \pi} \delta(s) + \frac{m}{8 \pi \sqrt{s}} H_1^{(1)}(m \sqrt{s}) & s \geq 0 \\ -\frac{i m}{ 4 \pi^2 \sqrt{-s}} K_1(m \sqrt{-s}) & s < 0. \end{cases} $$ यहाँ $$s:= (x^0 - y^0)^2 - (\vec{x} - \vec{y})^2,$$ कहाँ $x$ और $y$ Minkowski स्पेसटाइम में दो बिंदु हैं, और घातांक में डॉट एक चार-वेक्टर आंतरिक उत्पाद है। $H_{1}^{(1)}$ एक बेसेल फलन है# हैंकेल फलन: H.CE.B1.281.29.2C H.CE.B1.282.29 और $K_{1}$ एक बेसेल कार्य है # संशोधित बेसेल कार्य: I.CE.B1.2C K.CE.B1।

यह अभिव्यक्ति सीधे क्षेत्र सिद्धांत से मुक्त स्केलर क्षेत्र के समय-आदेशित उत्पाद के निर्वात अपेक्षा मूल्य के रूप में प्राप्त की जा सकती है, अर्थात, उत्पाद हमेशा ऐसा लिया जाता है कि स्पेसटाइम बिंदुओं का समय क्रम समान होता है, $$ \begin{align} G_F(x-y) & = -i \lang 0|T(\Phi(x) \Phi(y))|0 \rang \\[4pt] & = -i \left \lang 0| \left [\Theta(x^0 - y^0) \Phi(x)\Phi(y) + \Theta(y^0 - x^0) \Phi(y)\Phi(x) \right] |0 \right \rang. \end{align}$$ यह अभिव्यक्ति लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीय है, जब तक कि फ़ील्ड ऑपरेटर एक दूसरे के साथ बिंदुओं पर आवागमन करते हैं $x$ और $y$ को एक spacelike  अंतराल द्वारा अलग किया जाता है।

सामान्य व्युत्पत्ति लोरेंत्ज़ सहसंयोजक सामान्यीकरण वाले क्षेत्रों के बीच एकल-कण संवेग अवस्थाओं का एक पूरा सेट सम्मिलित करना है, और फिर यह दिखाना है कि $Θ$ कारण समय क्रम प्रदान करने वाले कार्य ऊर्जा अक्ष के साथ एक रेखा अभिन्न  द्वारा प्राप्त किए जा सकते हैं, यदि इंटीग्रैंड ऊपर जैसा है (इसलिए इनफिनिटिमल काल्पनिक भाग), ध्रुव को वास्तविक रेखा से दूर ले जाने के लिए।

प्रचारक को क्वांटम सिद्धांत के पथ अभिन्न सूत्रीकरण का उपयोग करके भी प्राप्त किया जा सकता है।

गति अंतरिक्ष प्रचारक
पोजीशन स्पेस प्रोपेगेटर्स के फूरियर रूपांतरण को गति स्थान  में प्रोपेगेटर्स के रूप में सोचा जा सकता है। ये स्थान स्थान प्रचारकों की तुलना में बहुत सरल रूप लेते हैं।

वे अक्सर एक स्पष्ट के साथ लिखे जाते हैं $ε$ शब्द हालांकि यह एक अनुस्मारक के रूप में समझा जाता है जिसके बारे में एकीकरण समोच्च उपयुक्त है (ऊपर देखें)। यह $ε$ शब्द सीमा शर्तों और करणीयता (नीचे देखें) को शामिल करने के लिए शामिल किया गया है।

4-गति के लिए $p$ संवेग स्थान में कारण और फेनमैन प्रचारक हैं:


 * $$\tilde{G}_\text{ret}(p) = \frac{1}{(p_0+i\varepsilon)^2 - \vec{p}^2 - m^2}$$
 * $$\tilde{G}_\text{adv}(p) = \frac{1}{(p_0-i\varepsilon)^2 - \vec{p}^2 - m^2}$$
 * $$\tilde{G}_F(p) = \frac{1}{p^2 - m^2 + i\varepsilon}. $$

फेनमैन आरेख गणनाओं के प्रयोजनों के लिए, आमतौर पर इन्हें एक अतिरिक्त समग्र कारक के साथ लिखना सुविधाजनक होता है $−i$ (परंपराएं बदलती हैं)।

प्रकाश से भी तेज?
फेनमैन प्रचारक के पास कुछ गुण हैं जो पहली बार में चौंकाने वाले लगते हैं। विशेष रूप से, कम्यूटेटर के विपरीत, प्रोपेगेटर प्रकाश शंकु के बाहर शून्य नहीं है, हालांकि यह स्पेसिक अंतराल के लिए तेजी से गिरता है। कण गति के लिए एक आयाम के रूप में व्याख्या की गई, यह प्रकाश की तुलना में तेजी से यात्रा करने वाले आभासी कण का अनुवाद करता है। यह तुरंत स्पष्ट नहीं है कि इसे कार्य-कारण के साथ कैसे सामंजस्य स्थापित किया जा सकता है: क्या हम प्रकाश-से-प्रकाश संदेशों को भेजने के लिए तेज़-से-प्रकाश आभासी कणों का उपयोग कर सकते हैं?

उत्तर नहीं है: जबकि शास्त्रीय यांत्रिकी में अंतराल जिसके साथ कण और कारण प्रभाव यात्रा कर सकते हैं, यह क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में अब सत्य नहीं है, जहां यह कम्यूटेटर हैं जो निर्धारित करते हैं कि कौन से ऑपरेटर एक दूसरे को प्रभावित कर सकते हैं।

तो प्रचारक का स्पेसलाइक हिस्सा क्या दर्शाता है? QFT में निर्वात एक सक्रिय भागीदार है, और कण संख्या और क्षेत्र मान एक अनिश्चितता सिद्धांत से संबंधित हैं; कण संख्या शून्य के लिए भी क्षेत्र मान अनिश्चित हैं। क्षेत्र के निर्वात मान में महत्वपूर्ण उतार-चढ़ाव का पता लगाने के लिए एक गैर-संभाव्यता आयाम है $Φ(x)$ यदि कोई इसे स्थानीय रूप से मापता है (या, अधिक सटीक होने के लिए, यदि कोई एक छोटे से क्षेत्र में क्षेत्र के औसत से प्राप्त ऑपरेटर को मापता है)। इसके अलावा, क्षेत्रों की गतिशीलता कुछ हद तक स्थानिक रूप से सहसंबद्ध उतार-चढ़ाव का पक्ष लेती है। स्पेसलाइक-पृथक क्षेत्रों के लिए गैर-शून्य समय-आदेशित उत्पाद तब इन वैक्यूम उतार-चढ़ाव में एक गैर-स्थानीय सहसंबंध के लिए आयाम को मापता है, जो ईपीआर विरोधाभास के अनुरूप है। दरअसल, प्रचारक को अक्सर मुक्त क्षेत्र के लिए दो-बिंदु सहसंबंध समारोह कहा जाता है।

चूंकि, क्वांटम फील्ड थ्योरी के अभिधारणाओं के अनुसार, सभी प्रेक्षण योग्य ऑपरेटर्स स्पेसलाइक पृथक्करण पर एक दूसरे के साथ आवागमन करते हैं, संदेश इन सहसंबंधों के माध्यम से किसी भी अन्य ईपीआर सहसंबंधों के माध्यम से नहीं भेजे जा सकते हैं; सहसंबंध यादृच्छिक चर में हैं।

आभासी कणों के संबंध में, स्पेसलाइक पृथक्करण पर प्रचारक को आभासी कण-प्रतिपक्षी जोड़ी बनाने के लिए आयाम की गणना के साधन के रूप में माना जा सकता है जो अंततः वैक्यूम में गायब हो जाता है, या वैक्यूम से उभरने वाली आभासी जोड़ी का पता लगाने के लिए। रिचर्ड फेनमैन की भाषा में, इस तरह के निर्माण और विनाश की प्रक्रिया एक आभासी कण के बराबर होती है जो समय के माध्यम से पीछे और आगे घूमते हैं, जो इसे प्रकाश शंकु के बाहर ले जा सकते हैं। हालांकि, समय में वापस सिग्नलिंग की अनुमति नहीं है।

सीमा का उपयोग करते हुए स्पष्टीकरण
द्रव्यमान रहित फोटॉन के लिए प्रोपेगेटर को निम्नलिखित रूप में लिखकर इसे और स्पष्ट किया जा सकता है: $$G^\varepsilon_F(x, y) = \frac{\varepsilon}{(x - y)^2 + i \varepsilon^2}.$$ यह सामान्य परिभाषा है लेकिन के एक कारक द्वारा सामान्यीकृत है $$\varepsilon$$. फिर नियम यह है कि एक ही सीमा लेता है $$\varepsilon \to 0$$ एक गणना के अंत में।

एक देखता है $$G^\varepsilon_F(x, y) = \frac{1}{\varepsilon} \quad\text{if} (x - y)^2 = 0,$$ और $$\lim_{\varepsilon \to 0} G^\varepsilon_F(x, y) = 0 \quad\text{if} (x - y)^2 \neq 0.$$ इसका मतलब है कि एक फोटॉन हमेशा प्रकाश शंकु पर रहेगा। यह भी दिखाया गया है कि किसी भी समय एक फोटान के लिए कुल संभाव्यता को निम्न कारक के व्युत्क्रम द्वारा सामान्यीकृत किया जाना चाहिए: $$ \lim_{\varepsilon \to 0} \int |G^\varepsilon_F(0, x)|^2 \, dx^3 = \lim_{\varepsilon \to 0} \int \frac{\varepsilon^2}{(\mathbf{x}^2 - t^2)^2 + \varepsilon^4} \, dx^3 = 2 \pi^2 |t|. $$ हम देखते हैं कि प्रकाश शंकु के बाहर के हिस्से आमतौर पर सीमा में शून्य होते हैं और केवल फेनमैन आरेखों में महत्वपूर्ण होते हैं।

फेनमैन आरेखों में प्रचारक
प्रोपेगेटर का सबसे आम उपयोग फेनमैन आरेखों का उपयोग करके कण इंटरैक्शन के लिए संभाव्यता आयाम की गणना करने में है। ये गणना आमतौर पर गति स्थान में की जाती हैं। आम तौर पर, आयाम प्रत्येक आंतरिक रेखा के लिए प्रचारक का कारक प्राप्त करता है, यानी, प्रत्येक पंक्ति जो प्रारंभिक या अंतिम स्थिति में आने वाले या बाहर जाने वाले कण का प्रतिनिधित्व नहीं करती है। यह प्रत्येक आंतरिक शीर्ष के लिए जहां रेखाएं मिलती हैं, सिद्धांत के लैग्रैंगियन (क्षेत्र सिद्धांत) में एक अंतःक्रियात्मक शब्द के समानुपातिक और समान रूप में एक कारक भी प्राप्त करेगा। इन नुस्खों को फेनमेन रूल्स के नाम से जाना जाता है।

आंतरिक रेखाएँ आभासी कणों के अनुरूप होती हैं। चूंकि गति के शास्त्रीय समीकरणों द्वारा अस्वीकृत ऊर्जा और संवेग के संयोजन के लिए प्रचारक गायब नहीं होता है, हम कहते हैं कि आभासी कणों को खोल से बाहर होने की अनुमति है। वास्तव में, चूंकि प्रचारक तरंग समीकरण को पलट कर प्राप्त किया जाता है, सामान्य तौर पर, इसमें शेल पर विलक्षणता होगी।

प्रोपेगेटर में कण द्वारा वहन की जाने वाली ऊर्जा ऋणात्मक भी हो सकती है। इसे केवल उस स्थिति के रूप में समझा जा सकता है, जिसमें एक कण एक दिशा में जाने के बजाय, इसका प्रतिकण दूसरी दिशा में जा रहा है, और इसलिए सकारात्मक ऊर्जा के विपरीत प्रवाह को ले जा रहा है। प्रचारक दोनों संभावनाओं को शामिल करता है। इसका मतलब यह है कि किसी को फरमिओन्स के मामले में माइनस साइन्स के बारे में सावधान रहना होगा, जिनके प्रचारक ऊर्जा और संवेग में भी कार्य नहीं करते हैं (नीचे देखें)।

आभासी कण ऊर्जा और संवेग का संरक्षण करते हैं। हालाँकि, चूँकि वे खोल से बाहर हो सकते हैं, जहाँ भी आरेख में एक बंद लूप होता है, लूप में भाग लेने वाले आभासी कणों की ऊर्जा और संवेग आंशिक रूप से अप्रतिबंधित होंगे, क्योंकि लूप में एक कण के लिए मात्रा में परिवर्तन द्वारा संतुलित किया जा सकता है दूसरे में एक समान और विपरीत परिवर्तन। इसलिए, फेनमैन आरेख में प्रत्येक पाश को संभावित ऊर्जा और गति की निरंतरता पर एक अभिन्न अंग की आवश्यकता होती है। सामान्य तौर पर, प्रचारकों के उत्पादों के ये अभिन्न अंग विचलन कर सकते हैं, एक ऐसी स्थिति जिसे पुन: सामान्यीकरण की प्रक्रिया द्वारा नियंत्रित किया जाना चाहिए।

स्पिन $1/2$
यदि कण में स्पिन (भौतिकी) है तो इसका प्रचारक सामान्य रूप से कुछ अधिक जटिल होता है, क्योंकि इसमें कण के स्पिन या ध्रुवीकरण सूचकांक शामिल होंगे। स्पिन के लिए प्रचारक द्वारा संतुष्ट अंतर समीकरण $1/2$ कण द्वारा दिया जाता है
 * $$(i\not\nabla' - m)S_F(x', x) = I_4\delta^4(x'-x),$$

कहाँ $I_{4}$ चार आयामों में यूनिट मैट्रिक्स है, और फेनमैन स्लैश नोटेशन को नियोजित करता है। यह स्पेसटाइम में डेल्टा फ़ंक्शन स्रोत के लिए डिराक समीकरण है। गति प्रतिनिधित्व का उपयोग करना, $$S_F(x', x) = \int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\exp{\left[-ip \cdot(x'-x)\right]}\tilde S_F(p),$$ समीकरण बन जाता है



\begin{align} & (i \not \nabla' - m)\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\tilde S_F(p)\exp{\left[-ip \cdot(x'-x)\right]} \\[6pt] = {} & \int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}(\not p - m)\tilde S_F(p)\exp{\left[-ip \cdot(x'-x)\right]} \\[6pt] = {} & \int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}I_4\exp{\left[-ip \cdot(x'-x)\right]} \\[6pt] = {} & I_4\delta^4(x'-x), \end{align} $$ जहां दाईं ओर चार-आयामी डेल्टा फ़ंक्शन का एक अभिन्न प्रतिनिधित्व प्रयोग किया जाता है। इस प्रकार


 * $$(\not p - m I_4)\tilde S_F(p) = I_4.$$

बायें से गुणा करके $$(\not p + m)$$ (यूनिट मैट्रिसेस को नोटेशन से छोड़ना) और गामा मैट्रिक्स के गुणों का उपयोग करना, $$\begin{align} \not p \not p & = \tfrac{1}{2}(\not p \not p + \not p \not p) \\[6pt] & = \tfrac{1}{2}(\gamma_\mu p^\mu \gamma_\nu p^\nu + \gamma_\nu p^\nu \gamma_\mu p^\mu) \\[6pt] & = \tfrac{1}{2}(\gamma_\mu \gamma_\nu + \gamma_\nu\gamma_\mu)p^\mu p^\nu \\[6pt] & = g_{\mu\nu}p^\mu p^\nu = p_\nu p^\nu = p^2, \end{align}$$ क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स में इलेक्ट्रॉन का प्रतिनिधित्व करने वाले डायराक समीकरण क्षेत्र के लिए फेनमैन आरेख में उपयोग किए जाने वाले संवेग-अंतरिक्ष प्रसारक का रूप पाया जाता है


 * $$ \tilde{S}_F(p) = \frac{(\not p + m)}{p^2 - m^2 + i \varepsilon} = \frac{(\gamma^\mu p_\mu + m)}{p^2 - m^2 + i \varepsilon}.$$

$iε$} कॉम्प्लेक्स में डंडे को कैसे संभालना है, इसके लिए नीचे एक नुस्खा है $p_{0}$-विमान। यह स्वचालित रूप से ध्रुवों को उचित रूप से स्थानांतरित करके फेनमैन प्रचारक उत्पन्न करता है। यह कभी-कभी लिखा जाता है


 * $$\tilde{S}_F(p) = {1 \over \gamma^\mu p_\mu - m + i\varepsilon} = {1 \over \not p - m + i\varepsilon} $$

छोटे के लिए। यह याद रखना चाहिए कि यह अभिव्यक्ति केवल आशुलिपि संकेतन के लिए है $(γ_{μ}p^{μ} − m)^{−1}$. एक ओवर मैट्रिक्स अन्यथा बकवास है। स्थिति स्थान में एक है $$S_F(x-y) = \int \frac{d^4 p}{(2\pi)^4} \, e^{-i p \cdot (x-y)} \frac{\gamma^\mu p_\mu + m}{p^2 - m^2 + i \varepsilon} = \left( \frac{\gamma^\mu (x-y)_\mu}{|x-y|^5} + \frac{m}{|x-y|^3} \right) J_1(m |x-y|).$$ यह द्वारा फेनमैन प्रचारक से संबंधित है


 * $$S_F(x-y) = (i \not \partial + m) G_F(x-y)$$

कहाँ $$\not \partial := \gamma^\mu \partial_\mu$$.

स्पिन 1
गेज सिद्धांत में गेज बोसॉन के लिए प्रचारक गेज को ठीक करने के लिए सम्मेलन की पसंद पर निर्भर करता है। फेनमैन और अर्नस्ट स्टुएकेलबर्ग द्वारा उपयोग किए जाने वाले गेज के लिए, एक फोटॉन के लिए प्रचारक है
 * $${-i g^{\mu\nu} \over p^2 + i\varepsilon }.$$

गेज पैरामीटर के साथ सामान्य रूप $λ$, समग्र संकेत और के कारक तक $$i$$, पढ़ता है
 * $$ -i\frac{g^{\mu\nu} + \left(1-\frac{1}{\lambda}\right)\frac{p^\mu p^\nu}{p^2}}{p^2+i\varepsilon}.$$

बड़े पैमाने पर सदिश क्षेत्र के प्रचारक को स्टुकेलबर्ग लैग्रैंगियन से प्राप्त किया जा सकता है। गेज पैरामीटर के साथ सामान्य रूप $λ$, समग्र संकेत और के कारक तक $$i$$, पढ़ता है
 * $$ \frac{g_{\mu\nu} - \frac{k_\mu k_\nu}{m^2}}{k^2-m^2+i\varepsilon}+\frac{\frac{k_\mu k_\nu}{m^2}}{k^2-\frac{m^2}{\lambda}+i\varepsilon}.$$

इन सामान्य रूपों के साथ प्रचारकों को एकात्मक गेज में प्राप्त होता है $λ = 0$, फेनमैन या 'टी हूफ्ट गेज में प्रचारक $λ = 1$ और लैंडौ या लॉरेंज गेज में $λ = ∞$. अन्य नोटेशन भी हैं जहां गेज पैरामीटर का व्युत्क्रम है $λ$, आमतौर पर निरूपित $ξ$ (देखें गेज फिक्सिंग#Rξ गेज|$R_{ξ}$ गेज)। प्रचारक का नाम, हालांकि, इसके अंतिम रूप को संदर्भित करता है और गेज पैरामीटर के मान के लिए जरूरी नहीं है।

एकात्मक गेज:
 * $$\frac{g_{\mu\nu} - \frac{k_\mu k_\nu}{m^2}}{k^2-m^2+i\varepsilon}.$$

फेनमैन ('टी हूफ्ट) गेज:
 * $$\frac{g_{\mu\nu}}{k^2-m^2+i\varepsilon}.$$

लैंडौ (लॉरेंज) गेज:
 * $$\frac{g_{\mu\nu} - \frac{k_\mu k_\nu}{k^2}}{k^2-m^2+i\varepsilon}.$$

ग्रेविटन प्रचारक
सामान्य सापेक्षता में मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष के लिए ग्रेविटॉन प्रचारक है $$G_{\alpha\beta~\mu\nu} = \frac{\mathcal{P}^2_{\alpha\beta~\mu\nu}}{k^2} - \frac{\mathcal{P}^0_s{}_{\alpha\beta~\mu\nu}}{2k^2} = \frac{g_{\alpha\mu} g_{\beta\nu}+ g_{\beta\mu}g_{\alpha\nu}- \frac{2}{D-2} g_{\mu\nu}g_{\alpha\beta}}{k^2},$$ कहाँ $$D$$ स्पेसटाइम आयामों की संख्या है, $$\mathcal{P}^2$$ अनुप्रस्थ और ट्रेसलेस स्पिन (भौतिकी) # स्पिन प्रक्षेपण क्वांटम संख्या और बहुलता है। स्पिन -2 प्रक्षेपण ऑपरेटर और $$\mathcal{P}^0_s$$ एक स्पिन-0 स्केलर मल्टीप्लेट है। एंटी-डी सिटर स्पेस|(एंटी) डी सिटर स्पेस के लिए ग्रेविटॉन प्रोपेगेटर है $$G = \frac{\mathcal{P}^2}{2H^2-\Box} + \frac{\mathcal{P}^0_s}{2(\Box+4H^2)},$$ कहाँ $$H$$ हबल का नियम है। ध्यान दें कि सीमा लेने पर $$H \to 0$$ और $$\Box \to -k^2$$, AdS प्रचारक Minkowski प्रचारक को कम कर देता है।

संबंधित एकवचन कार्य
क्लेन-गॉर्डन समीकरण के लिए स्केलर प्रचारक ग्रीन के कार्य हैं। संबंधित विलक्षण कार्य हैं जो क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में महत्वपूर्ण हैं। हम ब्योर्केन और ड्रेल में संकेतन का पालन करते हैं। बोगोलीबॉव और शिरकोव (परिशिष्ट ए) भी देखें। फील्ड ऑपरेटरों के उत्पादों की वैक्यूम अपेक्षा मूल्य के संदर्भ में इन कार्यों को सबसे सरल रूप से परिभाषित किया गया है।

पाउली-जॉर्डन समारोह
दो स्केलर फील्ड ऑपरेटरों के कम्यूटेटर वोल्फगैंग पाउली- पास्कल जॉर्डन फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं $$\Delta(x-y)$$ द्वारा


 * $$\langle 0 | \left[ \Phi(x),\Phi(y) \right] | 0 \rangle = i \, \Delta(x-y)$$

साथ
 * $$\,\Delta(x-y) = G_\text{adv} (x-y) - G_\text{ret}(x-y)$$

यह संतुष्ट करता है
 * $$\Delta(x-y) = -\Delta(y-x)$$ और शून्य है अगर $$(x-y)^2 < 0$$.

सकारात्मक और नकारात्मक आवृत्ति भागों (प्रचारकों में कटौती)
हम के सकारात्मक और नकारात्मक आवृत्ति भागों को परिभाषित कर सकते हैं $$\Delta(x-y)$$, कभी-कभी सापेक्ष रूप से अपरिवर्तनीय तरीके से कट प्रचारक कहलाते हैं।

यह हमें सकारात्मक आवृत्ति भाग को परिभाषित करने की अनुमति देता है:
 * $$\Delta_+(x-y) = \langle 0 | \Phi(x) \Phi(y) |0 \rangle, $$

और नकारात्मक आवृत्ति भाग:
 * $$\Delta_-(x-y) = \langle 0 | \Phi(y) \Phi(x) |0 \rangle. $$

ये संतुष्ट करते हैं
 * $$\,i \Delta = \Delta_+ - \Delta_-$$

और
 * $$(\Box_x + m^2) \Delta_{\pm}(x-y) = 0.$$

सहायक कार्य
दो स्केलर फील्ड ऑपरेटरों के एंटी-कम्यूटेटर को परिभाषित करता है $$\Delta_1(x-y)$$ द्वारा समारोह
 * $$\langle 0 | \left\{ \Phi(x),\Phi(y) \right\} | 0 \rangle = \Delta_1(x-y)$$

साथ
 * $$\,\Delta_1(x-y) = \Delta_+ (x-y) + \Delta_-(x-y).$$

यह संतुष्ट करता है $$\,\Delta_1(x-y) = \Delta_1(y-x).$$

क्लेन-गॉर्डन समीकरण के लिए ग्रीन के कार्य
ऊपर परिभाषित मंदबुद्धि, उन्नत और फेनमैन प्रचारक क्लेन-गॉर्डन समीकरण के लिए सभी ग्रीन के कार्य हैं।

वे द्वारा विलक्षण कार्यों से संबंधित हैं :$$G_\text{ret}(x-y) = -\Delta(x-y) \Theta(x_0-y_0) $$
 * $$G_\text{adv}(x-y) = \Delta(x-y) \Theta(y_0-x_0) $$
 * $$2 G_F(x-y) = -i \,\Delta_1(x-y) + \varepsilon(x_0 - y_0) \,\Delta(x-y) $$

कहाँ $$\varepsilon(x_0-y_0)$$ की निशानी है $$x_0-y_0$$.

संदर्भ

 * (Appendix C.)
 * (Especially pp. 136–156 and Appendix A)
 * (section Dynamical Theory of Groups & Fields, Especially pp. 615–624)
 * (Has useful appendices of Feynman diagram rules, including propagators, in the back.)
 * Scharf, G. (1995). Finite Quantum Electrodynamics, The Causal Approach. Springer. ISBN 978-3-642-63345-4.
 * (Has useful appendices of Feynman diagram rules, including propagators, in the back.)
 * Scharf, G. (1995). Finite Quantum Electrodynamics, The Causal Approach. Springer. ISBN 978-3-642-63345-4.
 * (Has useful appendices of Feynman diagram rules, including propagators, in the back.)
 * Scharf, G. (1995). Finite Quantum Electrodynamics, The Causal Approach. Springer. ISBN 978-3-642-63345-4.
 * (Has useful appendices of Feynman diagram rules, including propagators, in the back.)
 * Scharf, G. (1995). Finite Quantum Electrodynamics, The Causal Approach. Springer. ISBN 978-3-642-63345-4.
 * Scharf, G. (1995). Finite Quantum Electrodynamics, The Causal Approach. Springer. ISBN 978-3-642-63345-4.
 * Scharf, G. (1995). Finite Quantum Electrodynamics, The Causal Approach. Springer. ISBN 978-3-642-63345-4.

बाहरी संबंध

 * Three Methods for Computing the Feynman Propagator