द्विसदिश

गणित में, द्विसदिश या 2- सदिश बाहरी बीजगणित या ज्यामितीय बीजगणित में परिमाण है जो अदिश (गणित) और सदिश के विचार को बढ़ाता है। यदि अदिश को डिग्री-शून्य परिमाण माना जाता है, और सदिश डिग्री-एक परिमाण है, तो एक द्विसदिश को डिग्री दो के रूप में माना जा सकता है। गणित और भौतिकी के कई क्षेत्रों में द्विसदिश के अनुप्रयोग हैं। वे दो आयामों में जटिल संख्या से और तीन आयामों में छद्म सदिश और चतुर्धातुक दोनों से संबंधित हैं। उनका उपयोग किसी भी आयाम में आवर्तन (गणित) उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है, और ऐसे घूर्णन को वर्गीकृत करने के लिए एक उपयोगी उपकरण है। उनका उपयोग भौतिकी में भी किया जाता है, जो कई अन्य असंबंधित परिमाणओं को एक साथ जोड़ते हैं।

सदिश पर बाहरी उत्पाद  द्वारा द्विसदिश उत्पन्न होते हैं: दो सदिश a और b दिए गए, उनके बाहरी उत्पाद a ∧ b द्विसदिश है, जैसा कि किसी भी द्विसदिश का योग है। सभी द्विसदिशों को एक बाहरी उत्पाद के रूप में उत्पन्न नहीं किया जा सकता है। अधिक सटीक रूप से, द्विसदिश जिसे बाहरी उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, सरल कहलाता है, तीन आयामों तक सभी द्विसदिश सरल होते हैं, लेकिन उच्च आयामों में ऐसा नहीं होता है। दो सदिशों का बाह्य गुणनफल बहुरेखीय मानचित्र का प्रत्यावर्ती गुणन है, इसलिए  b ∧ a द्विसदिश का निषेध है a ∧ b, विपरीत दिशा का निर्माण, और a ∧ a शून्य द्विसदिश है।

ज्यामितीय रूप से, साधारण द्विसदिश को उन्मुख समतल (ज्यामिति) खंड के रूप में व्याख्या किया जा सकता है, जितना कि यूक्लिडियन सदिश को निर्देशित रेखा खंड के रूप में माना जा सकता है। द्विसदिश a ∧ b किनारों 'a' और 'b' के साथ समांतारचतुर्भुज के क्षेत्र के बराबर एक परिमाण (गणित) है, 'a' और 'b' द्वारा फैला हुआ समतल का संस्थिति(ज्यामिति) है, और अभिविन्यास का अर्थ है आवर्तन जो 'a' को 'b' के साथ संरेखित करेगा।

आम शब्दों में, कोई भी सतह ही द्विसदिश होती है, यदि उसका क्षेत्रफल समान है, और एक ही तल के समानांतर है (आकृति देखें)।

इतिहास
द्विसदिश को पहली बार 1844 में जर्मन गणितज्ञ हरमन ग्रासमैन द्वारा बाहरी बीजगणित में दो सदिश के बाहरी उत्पाद के परिणाम के रूप में परिभाषित किया गया था। पिछले साल ही आयरलैंड में विलियम रोवन हैमिल्टन ने चतुष्कोणों की खोज की थी। हैमिल्टन ने सदिश और द्विसदिश दोनों को गढ़ा, बाद वाले ने अपने लेक्चर्स ऑन क्वाटरनियन्स (1853) में द्विगुणन की शुरुआत की, जिसमें उनके सदिश भागों के लिए द्विसदिश(जटिल) हैं। यह तब तक नहीं था जब 1888 में अंग्रेजी गणितज्ञ विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड ने ग्रासमैन के बीजगणित में ज्यामितीय उत्पाद को जोड़ा, जिसमें हैमिल्टन और ग्रासमैन दोनों के विचारों को शामिल किया गया, और क्लिफर्ड बीजगणि की स्थापना की, कि इस लेख का द्विसदिश उत्पन्न हुआ। 1941 में बाहरी बीजगणित को विकसित करने के लिए हेनरी फोर्डर ने द्विसदिश शब्द का इस्तेमाल किया।

1890 के दशक में योशिय्याह विलार्ड गिब्स और ओलिवर हीविसाइड ने सदिश गणना विकसित किया, जिसमें अलग-अलग क्रॉस उत्पाद और डॉट उत्पाद शामिल थे जो चतुर्धातुक गुणन से प्राप्त हुए थे।   सदिश गणना और गिब्स और एडविन बिडवेल विल्सन की पुस्तक सदिश विश्लेषण की सफलता का प्रभाव था कि हैमिल्टन और क्लिफोर्ड की अंतर्दृष्टि को लंबे समय तक अनदेखा किया गया था, क्योंकि 20वीं शताब्दी के अधिकांश गणित और भौतिकी  सदिश शब्दों में तैयार किए गए थे। गिब्स ने तीन आयामों में द्विसदिश की भूमिका को भरने के लिए सदिश का इस्तेमाल किया, और हैमिल्टन के अर्थ में द्विसदिश(कॉम्प्लेक्स) का इस्तेमाल किया, एक ऐसा प्रयोग जिसे कभी-कभी अनुकरण किया गया है।   आज द्विसदिश का व्यापक रूप से ज्यामितीय बीजगणित में विषय के रूप में अध्ययन किया जाता है, वास्तविक संख्या पर क्लिफर्ड बीजगणित या द्विघात रूप के साथ वास्तविक या जटिल वेक्टर रिक्त समष्टि। इसके पुनरुत्थान का नेतृत्व डेविड हेस्टेन्स  ने किया, जिन्होंने अन्य लोगों के साथ, भौतिकी में कई नए अनुप्रयोगों के लिए ज्यामितीय बीजगणित लागू किया।

व्युत्पत्ति
इस लेख के लिए द्विसदिश को केवल वास्तविक ज्यामितीय बीजगणित में माना जाएगा। यह व्यवहार में बहुत अधिक प्रतिबंध नहीं है, क्योंकि सभी उपयोगी अनुप्रयोग ऐसे बीजगणित से लिए गए हैं। इसके अलावा जब तक अन्यथा न कहा गया हो, सभी उदाहरणों में यूक्लिडियन मीट्रिक और इसलिए सकारात्मक-निश्चित द्विघात रूप होता है।

ज्यामितीय बीजगणित और ज्यामितीय गुणनफल
द्विसदिश सदिश समष्टि पर ज्यामितीय उत्पाद की परिभाषा से उत्पन्न होता है। सदिश a, b और c के लिए, सदिश पर ज्यामितीय उत्पाद निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

साहचर्य: $$ (\mathbf{ab})\mathbf{c} = \mathbf{a}(\mathbf{bc}) $$

बाएँ और दाएँ वितरण :

$$\begin{align} \mathbf{a}(\mathbf{b} + \mathbf{c}) &= \mathbf{ab} + \mathbf{ac} \\ (\mathbf{b} + \mathbf{c})\mathbf{a} &= \mathbf{ba} + \mathbf{ca} \end{align}$$
 * संक्षेपण: $$ {\mathbf{a}}^2 = Q(\mathbf{a}) = \epsilon_{\mathbf{a}}{\left |\mathbf{a}\right|}^2$$:जहाँ Q द्विघात रूप है, |a| a का परिमाण) है और a मीट्रिक हस्ताक्षर है। यूक्लिडियन मीट्रिक ϵa के साथ एक समष्टि के लिए 1 है इसलिए छोड़ा जा सकता है, और संकुचन की स्थिति बन जाती है:$$ {\mathbf{a}}^2 = {\left |\mathbf{a}\right|}^2$$

अदिश उत्पाद
साहचर्य से,, अदिश गुणा b. जब b समांतर नहीं है और इसलिए a का अदिश गुणज नहीं है, ab अदिश नहीं हो सकता। परंतु


 * $$ \frac{1}{2}(\mathbf{ab} + \mathbf{ba}) = \frac{1}{2} \left((\mathbf{a} + \mathbf{b})^2 - \mathbf{a}^2 - \mathbf{b}^2\right)$$

अदिशों का योग है और इसलिए अदिश है। सदिशों द्वारा बने त्रिभुज पर कोसाइन के नियम से इसका मान है $|a|$ $|b|$ cos θ, जहां θ सदिशों के बीच का कोण है। इसलिए यह दो सदिशों के बीच अदिश गुणनफल के समान है, और उसी तरह लिखा जाता है,


 * $$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \frac{1}{2}(\mathbf{ab} + \mathbf{ba}).$$

यह सममित, अदिश-मान है, और इसका उपयोग दो सदिशों के बीच के कोण को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है: विशेष रूप से यदि a और b ओर्थोगोनल हैं तो गुणनफल शून्य होता है।

बाहरी उत्पाद
जिस तरह अदिश उत्पाद को किसी अन्य परिमाण के ज्यामितीय उत्पाद के सममित भाग के रूप में तैयार किया जा सकता है, बाहरी उत्पाद (कभी-कभी पच्चर या प्रगतिशील उत्पाद के रूप में जाना जाता है) को इसके प्रतिसममित भाग के रूप में तैयार किया जा सकता है:


 * $$ \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = \frac{1}{2}(\mathbf{ab} - \mathbf{ba})$$

यह a और b में प्रतिसममित है
 * $$ \mathbf{b} \wedge \mathbf{a} = \frac{1}{2}(\mathbf{ba} - \mathbf{ab}) = -\frac{1}{2}(\mathbf{ab} - \mathbf{ba}) = -\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}$$

और इसके अलावा:


 * $$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = \frac{1}{2}(\mathbf{ab} + \mathbf{ba}) + \frac{1}{2}(\mathbf{ab} - \mathbf{ba}) = \mathbf{ab}$$

यही है, ज्यामितीय उत्पाद सममित अदिश उत्पाद और वैकल्पिक बाहरी उत्पाद का योग है।

प्रकृति का परीक्षण करना a ∧ b, सूत्र पर विचार करें
 * $$(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 - (\mathbf{a} \wedge \mathbf{b})^2 = \mathbf{a}^2\mathbf{b}^2 ,$$

जो पाइथागोरस त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करके का मान देता है (a ∧ b)2
 * $$ (\mathbf{a} \wedge \mathbf{b})^2 = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 - \mathbf{a}^2\mathbf{b}^2 = \left|\mathbf{a}\right|^2\left|\mathbf{b}\right|^2( \cos^2 \theta - 1) = -\left|\mathbf{a}\right|^2\left|\mathbf{b}\right|^2\sin^2 \theta$$

ऋणात्मक वर्ग के साथ अदिश या सदिश राशि नहीं हो सकती है, इसलिए यह नए प्रकार की वस्तु द्विसदिश है। इसमें परिमाण (गणित) है $|a|$ $|b||$ $|sin θ||$, जहां θ सदिशों के बीच का कोण है, और ऐसा ही समांतर सदिशों के लिए शून्य है।

उन्हें सदिशों से अलग करने के लिए, द्विसदिशों को बोल्ड कैपिटल के साथ यहां लिखा गया है, उदाहरण के लिए:


 * $$\mathbf{A} = \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = -\mathbf{b} \wedge \mathbf{a} \ ,$$

हालाँकि अन्य समागम का उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से क्योंकि सदिश और द्विसदिश ज्यामितीय बीजगणित के दोनों तत्व हैं।

समष्टि ⋀2Rn
ज्यामितीय उत्पाद द्वारा उत्पन्न बीजगणित सदिश समष्टि पर ज्यामितीय बीजगणित है। यूक्लिडियन सदिश समष्टि के लिए इसे लिखा जाता है $$\mathcal{G}_n$$ या Cln(R), जहां 'n सदिश समष्टि Rn का आयाम है। Cln(R), Rn में सदिश के बीच सभी उत्पादों द्वारा उत्पन्न सदिश समष्टि और बीजगणित दोनों है, इसलिए इसमें सभी सदिश और द्विसदिश शामिल हैं। अधिक सटीक रूप से सदिश समष्टि के रूप में इसमें रैखिक उप-समष्टिों के रूप में सदिश और द्विसदिश होते हैं, हालांकि उप-बीजगणित नहीं (चूंकि दो सदिशों का ज्यामितीय उत्पाद आम तौर पर एक और सदिश नहीं होता है)। सभी द्विसदिश का समष्टि ⋀2Rn लिखा जाता है। 

सम उप-बीजगणित
द्विसदिश द्वारा उत्पन्न उप-बीजगणित ज्यामितीय बीजगणित का सम उप-बीजगणित है, जिसे Cl+n(R) लिखा गया है। यह बीजगणित ज्यामितीय उत्पाद द्वारा उत्पन्न अदिश और द्विसदिश के सभी उत्पादों पर विचार करने का परिणाम है। इसका आयाम है 2n−1, और इसमें ⋀2Rn आयाम के साथ रेखीय उपसमष्टि के रूप में $1⁄2$n(n − 1) ( त्रिकोणीय संख्या) शामिल है। दो और तीन आयामों में सम उप-बीजगणित में केवल अदिश और द्विसदिश होते हैं, और प्रत्येक विशेष रुचि का होता है। दो आयामों में सम उप-बीजगणित जटिल संख्याओं C के समरूपी है,  जबकि तीन में यह चतुर्धातुक के लिए समरूप है, H। अधिक सामान्यतः सम उप-बीजगणित का उपयोग किसी भी आयाम में आवर्तन (गणित) उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है, और इसे उत्पन्न बीजगणित में द्विसदिश द्वारा किया जा सकता है।

परिमाण
जैसा कि पिछले खंड में उल्लेख किया गया है साधारण परिमाण, जो कि दो सदिश a और b का बाहरी उत्पाद है, है $|a|$ $|b|$ sin θ, जहां θ सदिशों के बीच का कोण है। यह लिखा है $|B|$, जहाँ B द्विसदिश है।

सामान्य द्विसदिश के लिए परिमाण की गणना समष्टि ⋀2Rn में सदिश के रूप में माने जाने वाले द्विसदिश की प्रमाण को लेकर की जा सकती है। यदि परिमाण शून्य है तो सभी द्विसदिश के घटक शून्य हैं, और द्विसदिश शून्य द्विसदिश है जो कि ज्यामितीय बीजगणित के तत्व के रूप में अदिश शून्य के बराबर होता है।

इकाई द्विसदिश
इकाई द्विसदिश इकाई परिमाण एक होता है। यह द्विसदिश को उसके परिमाण द्वारा विभाजित करके किसी भी गैर-शून्य द्विसदिश से प्राप्त किया जा सकता है, अर्थात


 * $$\frac{\mathbf{B}}{\left|\mathbf{B}\right|}.$$

विशेष रुचि के मानक आधार के उत्पादों से बने इकाई द्विसदिश हैं। अगर ei और ej अलग-अलग आधार सदिश हैं तो उत्पाद ei ∧ ej द्विसदिश है। चूंकि सदिश ऑर्थोगोनल हैं, यह सिर्फ eiej, लिखित eij है, जिसमें इकाई परिमाण के साथ सदिश इकाई सदिश हैं। ऐसे सभी द्विसदिश का समुच्चय ⋀2Rn के लिए एक आधार बनाता है। उदाहरण के लिए चार आयामों में  ⋀2R4 का आधार है (e1e2, e1e3, e1e4, e2e3, e2e4, e3e4) or (e12, e13, e14, e23, e24, e34)।.

सरल द्विसदिश
दो सदिशों का बाहरी उत्पाद द्विसदिश है, लेकिन सभी द्विसदिश दो सदिशों के बाहरी उत्पाद नहीं हैं। उदाहरण के लिए, चार आयामों में द्विसदिश


 * $$ \mathbf{B} = \mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3 \wedge \mathbf{e}_4 = \mathbf{e}_1\mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3\mathbf{e}_4 = \mathbf{e}_{12} + \mathbf{e}_{34}$$

दो सदिश के बाहरी उत्पाद के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। द्विसदिश जिसे दो सदिशों के बाह्य गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है, सरल है। दो और तीन आयामों में सभी द्विसदिश सरल होते हैं, लेकिन चार या अधिक आयामों में नहीं, चार आयामों में प्रत्येक द्विसदिश अधिकतम दो बाहरी उत्पादों का योग होता है। द्विसदिश का एक वास्तविक वर्ग होता है यदि और केवल यदि यह सरल है, और केवल साधारण द्विसदिश को एक उन्मुख समतल क्षेत्र द्वारा ज्यामितीय रूप से दर्शाया जा सकता है।

दो द्विसदिशों का गुणनफल
दो द्विसदिश, a और b का ज्यामितीय उत्पाद है


 * $$ \mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} + \mathbf{A} \times \mathbf{B}  + \mathbf{A} \wedge \mathbf{B}.  $$

परिमाण A · B अदिश-मान अदिश उत्पाद है, जबकि A ∧ B श्रेणी 4 बाहरी उत्पाद है जो चार या अधिक आयामों में उत्पन्न होता है।  परिमाण A × B द्वारा दिया गया द्विसदिश-वैल्यू   क्रमविनिमेयक उत्पाद है

द्विसदिश का समष्टि ⋀2Rn लाई बीजगणित 'R' के ऊपर है, जिसमें क्रमविनिमेयक उत्पाद लाई ब्रैकेट के रूप में है। द्विसदिश का पूर्ण ज्यामितीय गुणनफल सम उप-बीजगणित उत्पन्न करता है।
 * $$ \mathbf{A} \times \mathbf{B} = \frac{1}{2}(\mathbf{AB} - \mathbf{BA}),$$

विशेष रूप से रुचि स्वयं के साथ द्विसदिश का उत्पाद है। चूंकि क्रमविनिमेयक उत्पाद प्रतिसममित है, इसलिए उत्पाद को सरल करता है


 * $$ \mathbf{A}\mathbf{A} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A} + \mathbf{A} \wedge \mathbf{A}. $$

यदि द्विसदिश सरल है तो अंतिम शब्द शून्य है और उत्पाद अदिश-वैल्यू है A · A, जिसका उपयोग सरलता के लिए जाँच के रूप में किया जा सकता है। विशेष रूप से द्विसदिश का बाहरी उत्पाद केवल चार या अधिक आयामों में मौजूद होता है, इसलिए दो और तीन आयामों में सभी द्विसदिश सरल होते हैं।

सामान्य द्विसदिश और आव्यूह
द्विसदिश तिरछा-सममित आव्यूह के लिए समरूपी हैं। तिरछा-सममित आव्यूह, सामान्य द्विसदिश B23e23 + B31e31 + B12e12 आव्यूह के लिए मानचित्र


 * $$M_B = \begin{pmatrix} 0 & B_{12} & -B_{31} \\ -B_{12} & 0 & B_{23}\\ B_{31} & -B_{23} & 0  \end{pmatrix}.$$

यह दोनों पक्षों पर सदिश द्वारा गुणा किया जाता है, सदिश वही देता है जो सदिश के उत्पाद के रूप में होता है और द्विसदिश माइनस बाहरी उत्पाद होता है, उदाहरण कोणीय वेग टेन्सर है।

तिरछा सममित आव्यूह घातीय मानचित्र के माध्यम से निर्धारक 1 के साथ ऑर्थोगोनल आव्यूह उत्पन्न करता है। विशेष रूप से,आवर्तन से जुड़े द्विसदिश का चरघातांक आवर्तन आव्यूह है, जो कि आवर्तन आव्यूह MR है उपरोक्त तिरछा-सममित आव्यूह द्वारा दिया गया है


 * $$M_R = e^{M_B}.$$

MR द्वारा वर्णित घूर्णन रोटर आर द्वारा वर्णित R के समान है


 * $$ R = e^{\frac{B}{2}},$$

और आव्यूह MR सीधे रोटर आर से भी गणना की जा सकती है:


 * $$M_R = \begin{pmatrix} (R\mathbf{e}_1R^{-1}) \cdot \mathbf{e}_1 & (R\mathbf{e}_2R^{-1}) \cdot \mathbf{e}_1 & (R\mathbf{e}_3R^{-1}) \cdot \mathbf{e}_1 \\ (R\mathbf{e}_1R^{-1}) \cdot \mathbf{e}_2 & (R\mathbf{e}_2R^{-1}) \cdot \mathbf{e}_2 & (R\mathbf{e}_3R^{-1}) \cdot \mathbf{e}_2 \\ (R\mathbf{e}_1R^{-1}) \cdot \mathbf{e}_3 & (R\mathbf{e}_2R^{-1}) \cdot \mathbf{e}_3 & (R\mathbf{e}_3R^{-1}) \cdot \mathbf{e}_3 \end{pmatrix}.$$

द्विसदिश आवर्तन आव्यूह के अभिलक्षणिक मान s ​​​​से संबंधित हैं। आवर्तन आव्यूह M को देखते हुए अभिलक्षणिक मान उस आव्यूह 0 = det(M − λI) के लिए विशेषता समीकरण को हल करके गणना की जा सकती है। बीजगणित के मूल प्रमेय के अनुसार इसकी तीन जड़ें होती हैं (जिनमें से केवल एक ही वास्तविक है क्योंकि केवल अभिलक्षणिक सदिश है, यानी रोटेशन की धुरी)। अन्य जड़ें जटिल संयुग्मी जोड़ी होनी चाहिए। उनके पास इकाई परिमाण इतना विशुद्ध रूप से काल्पनिक लघुगणक है, जो रोटेशन से जुड़े द्विसदिश के परिमाण के बराबर है, जो कि रोटेशन का कोण भी है। जटिल अभिलक्षणिक मान ​​के साथ जुड़े अभिलक्षणिक सदिश द्विसदिश के विमान में हैं, इसलिए दो गैर-समानांतर अभिलक्षणिक सदिश के बाहरी उत्पाद का परिणाम द्विसदिश (या उसके एक गुणक) में होता है।

दो आयाम
ज्यामितीय बीजगणित में निर्देशांक के साथ काम करते समय आधार सदिश को लिखना सामान्य होता है (e1, e2, ...), समागम जिसका उपयोग यहां किया जाएगा।

वास्तविक द्वि-आयामी समष्टि में यूक्लिडियन सदिश R2 लिखा जा सकता है, जहाँ a1 और a2 वास्तविक संख्याएँ हैं,  e1 और e2 ऑर्थोनॉर्मल आधार सदिश हैं। ऐसे दो सदिशों का ज्यामितीय गुणनफल है


 * $$ \begin{align} \mathbf{a}\mathbf{b} &= (a_1\mathbf{e}_1 + a_2\mathbf{e}_2)(b_1\mathbf{e}_1 + b_2\mathbf{e}_2) \\&= a_1b_1\mathbf{e}_1\mathbf{e}_1 + a_1b_2\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2 + a_2b_1\mathbf{e}_2\mathbf{e}_1 + a_2b_2\mathbf{e}_2\mathbf{e}_2 \\&= a_1b_1 + a_2b_2 + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2. \end{align}$$

इसे सममित, अदिश-मान, अदिश उत्पाद और प्रतिसममित, द्विसदिश-मान बाहरी उत्पाद में विभाजित किया जा सकता है:


 * $$\begin{align} \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} &= a_1b_1 + a_2b_2, \\ \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} &= (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2 = (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{e}_{12}. \end{align}$$

दो आयामों में सभी द्विसदिश इस रूप के होते हैं, जो द्विसदिश e1e2 के गुणक होते हैं, लिखित e12 इस पर जोर देना सदिश के बजाय द्विसदिश है। e12का परिमाण 1 है, साथ


 * $$\mathbf{e}_{12}^2 = -1, $$

इसलिए इसे इकाई द्विसदिश कहा जाता है। शब्द इकाई द्विसदिश का उपयोग अन्य आयामों में किया जा सकता है लेकिन यह केवल दो आयामों में विशिष्ट रूप से परिभाषित (संकेत तक) है और सभी द्विसदिश e12 के गुणक हैं बीजगणित के उच्चतम श्रेणी तत्व के रूप में e12 स्यूडो अदिश (क्लिफर्ड बीजगणित) भी है जिसे प्रतीक i दिया गया है।

जटिल संख्या
ऋणात्मक वर्ग और इकाई परिमाण के गुणों के साथ, इकाई द्विसदिश को जटिल संख्याओं से  गुणा्पनिक इकाई के साथ पहचाना जा सकता है। द्विसदिश और अदिश मिलकर ज्यामितीय बीजगणित का सम उप बीजगणित बनाते हैं, जो सम्मिश्र संख्या C के लिए समरूप है। सम उप बीजगणित का आधार (1, e12) है, पूरे बीजगणित का आधार (1, e1, e2, e12) होता है।

जटिल संख्याओं को आमतौर पर समन्वय अक्षों और द्वि-आयामी सदिश के साथ पहचाना जाता है, जिसका अर्थ है कि उन्हें ज्यामितीय बीजगणित के सदिश तत्वों के साथ जोड़ना होगा। इसमें कोई विरोधाभास नहीं है, क्योंकि सामान्य सदिश से जटिल संख्या तक पहुंचने के लिए एक अक्ष को वास्तविक अक्ष e1 के रूप में पहचाना जाना चाहिए। यह सभी सदिशों द्वारा गुणा करके सम उप-बीजगणित के तत्व उत्पन्न करता है।

सम्मिश्र संख्याओं के सभी गुण द्विसदिश से प्राप्त किए जा सकते हैं, लेकिन दो विशेष रुचि के हैं। पहले के रूप में द्विसदिश के जटिल संख्या उत्पादों के साथ और इसलिए भी उप-बीजगणित क्रमविनिमेयता हैं। यह केवल दो आयामों में सच है, इसलिए दो आयामों में द्विसदिश के गुण जो क्रमविनिमेयता पर निर्भर करते हैं, आमतौर पर उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत नहीं होते हैं।

दूसरा सामान्य द्विसदिश लिखा जा सकता है


 * $$\theta\mathbf{e}_{12} = i\theta,$$

जहाँ वास्तविक संख्या है। घातांक फलन के लिए इसे टेलर श्रृंखला में रखना और e122 = −1 गुण का उपयोग करना का परिणाम यूलर के सूत्र के द्विसदिश संस्करण में होता है,


 * $$e^{\theta\mathbf{e}_{12}} = e^{i\theta} = \cos{\theta} + i\sin{\theta},$$

जो जब किसी सदिश से गुणा किया जाता है तो मूल के बारे में कोण θ के माध्यम से इसे घुमाता है:


 * $$ (x'\mathbf{e}_1 + y'\mathbf{e}_2) = (x\mathbf{e}_1 + y\mathbf{e}_2)e^{i\theta}.$$

दो आयामों में द्विसदिश के साथ सदिश का उत्पाद एंटीकम्यूटेटिव है, इसलिए निम्नलिखित उत्पाद सभी एक ही आवर्तन उत्पन्न करते हैं


 * $$ \mathbf{v}' = \mathbf{v}e^{i\theta}  = e^{-i\theta}\mathbf{v} = e^{\frac{-i\theta}{2}} \mathbf{v}e^{\frac{i\theta}{2}}.$$

इनमें से अंतिम उत्पाद वह है जो उच्च आयामों में सामान्यीकृत होता है। आवश्यक परिमाण को रोटर (गणित) कहा जाता है और इसे प्रतीक R दिया जाता है, इसलिए दो आयामों में एक रोटर जो कोण θ से घूमता है, लिखा जा सकता है


 * $$ R = e^{\frac{-i\theta}{2}} = e^{\frac{-\theta\mathbf{e}_{12}}{2}}, $$

और यह जो घुमाव उत्पन्न करता है वह है
 * $$\mathbf{v}' = R\mathbf{v}R^{-1}.\,$$

तीन आयाम
तीन विमाओं में दो सदिशों का गुणोत्तर गुणनफल होता है
 * $$ \begin{align} \mathbf{ab} &= (a_1\mathbf{e}_1 + a_2\mathbf{e}_2 + a_3\mathbf{e}_3)(b_1\mathbf{e}_1 + b_2\mathbf{e}_2 + b_3\mathbf{e}_3) \\ &= a_1 b_1{\mathbf{e}_1}^2 + a_2 b_2{\mathbf{e}_2}^2 + a_3 b_3{\mathbf{e}_3}^2 + (a_2 b_3 - a_3 b_2)\mathbf{e}_2\mathbf{e}_3  + (a_3 b_1 - a_1 b_3)\mathbf{e}_3\mathbf{e}_1 + (a_1 b_2 - a_2 b_1)\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2. \end{align}$$

इसे सममित, अदिश-मान, अदिश उत्पाद और प्रतिसममित, द्विसदिश-मान, बाहरी उत्पाद में विभाजित किया जा सकता है:


 * $$\begin{align} \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} &= a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \\ \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} &= (a_2 b_3 - a_3 b_2)\mathbf{e}_{23} + (a_3 b_1 - a_1 b_3)\mathbf{e}_{31} + (a_1 b_2 - a_2 b_1)\mathbf{e}_{12}. \end{align}$$

तीन आयामों में सभी द्विसदिश सरल हैं और इसलिए बाहरी उत्पाद का नतीजा है। इकाई द्विसदिश e23, e31 तथा e12 द्विसदिश के समष्टि के लिए आधार बनाएं ⋀2R3, जो अपने आप में एक त्रि-आयामी रैखिक समष्टि है। तो अगर एक सामान्य द्विसदिश है:


 * $$\mathbf{A} = A_{23}\mathbf{e}_{23} + A_{31}\mathbf{e}_{31} + A_{12}\mathbf{e}_{12}, $$

उन्हें सदिश की तरह जोड़ा जा सकता है


 * $$\mathbf{A} + \mathbf{B} = (A_{23} + B_{23})\mathbf{e}_{23} + (A_{31} + B_{31})\mathbf{e}_{31} + (A_{12} + B_{12})\mathbf{e}_{12}. $$

जब गुणा किया जाता है तो वे निम्नलिखित का उत्पादन करते हैं


 * $$\mathbf{A} \mathbf{B} = -A_{23}B_{23} - A_{31}B_{31} - A_{12}B_{12} + (A_{12}B_{31} - A_{31}B_{12})\mathbf{e}_{23} + (A_{23}B_{12} - A_{12}B_{23})\mathbf{e}_{31} + (A_{31}B_{23} - A_{23}B_{31})\mathbf{e}_{12} $$

जिसे सममित अदिश और  प्रतिसममित द्विसदिश भागों में निम्नानुसार विभाजित किया जा सकता है


 * $$\begin{align} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} &= -A_{12}B_{12} - A_{31}B_{31} - A_{23}B_{23} \\ \mathbf{A} \times \mathbf{B} &= (A_{23}B_{31} - A_{31}B_{23})\mathbf{e}_{12} + (A_{12}B_{23} - A_{23}B_{12})\mathbf{e}_{13} + (A_{31}B_{12} - A_{12}B_{31})\mathbf{e}_{23}. \end{align}$$

तीन आयामों में दो द्विसदिश का बाह्य गुणनफल शून्य होता है।

द्विसदिश B को उसके परिमाण और इकाई द्विसदिश के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए |B| के लिए β लिखा जा सकता है। और घातांक मानचित्र के लिए टेलर श्रृंखला का उपयोग करके यह दिखाया जा सकता है कि


 * $$e^\mathbf{B} = e^{\beta\frac{\mathbf{B}}{\beta}} = \cos{\beta} + \frac{\mathbf{B}}{\beta}\sin{\beta}.$$

यह यूलर के सूत्र का एक और संस्करण है, लेकिन तीन आयामों में एक सामान्य द्विसदिश के साथ। दो आयामों के विपरीत द्विसदिश क्रमविनिमेय नहीं होते हैं इसलिए क्रमविनिमेयता पर निर्भर गुण तीन आयामों में लागू नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, सामान्य तौर पर eA+B ≠ eAeB तीन (या अधिक) आयामों में। तीन आयामों में पूर्ण ज्यामितीय बीजगणित, Cl3(R), आधार (1, e1, e2, e3, e23, e31, e12, e123) तत्व है ज्यामिति के लिए ट्राइवेक्टर और स्यूडो अदिश है। तीन आयामों में द्विसदिशों को कभी-कभी स्यूडोसदिशों के साथ पहचाना जाता है जिससे वे संबंधित अक्षीय सदिश के रूप में हैं।

चतुष्कोण
जियोमेट्रिक उत्पाद के तहत द्विसदिश बंद नहीं होते हैं, लेकिन यहां तक ​​​​कि उप-बीजगणित भी है। तीन आयामों में इसमें ज्यामितीय बीजगणित के सभी अदिश और द्विसदिश तत्व होते हैं, इसलिए एक सामान्य तत्व को उदाहरण के लिए a + 'A' लिखा जा सकता है, जहाँ a अदिश भाग है और 'A' द्विसदिश भाग है। Cl' लिखा है$+ 3$ और इसका आधार है (1, e23, तथा31, तथा12) सम उप-बीजगणित के दो सामान्य तत्वों का गुणनफल होता है


 * $$(a + \mathbf{A})(b + \mathbf{B}) = ab + a\mathbf{B} + b\mathbf{A} + \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} + \mathbf{A} \times \mathbf{B}.$$

सम उप-बीजगणित, यानी बीजगणित जिसमें अदिश और द्विसदिशहोते हैं, चतुष्कोणों, एच के लिए आइसोमोर्फिक है। इसे क्वाटरनियन आधार के आधार की तुलना करके या उपरोक्त उत्पाद से देखा जा सकता है, जो क्वाटरनियन उत्पाद के समान है, को छोड़कर द्विसदिश  अदिश उत्पाद में  ऋणात्मक उत्पादों से संबंधित संकेत का परिवर्तन A · B. अन्य चतुर्धातुक गुण समान रूप से ज्यामितीय बीजगणित से संबंधित या व्युत्पन्न हो सकते हैं।

इससे पता चलता है कि एक चतुर्भुज का अदिश और सदिश भागों में सामान्य विभाजन को अदिश और द्विसदिश भागों में विभाजन के रूप में बेहतर ढंग से दर्शाया जाएगा, यदि ऐसा किया जाता है तो चतुर्धातुक गुणनफल केवल ज्यामितीय गुणनफल होता है। यह तीन आयामों में चतुर्भुजों को दो में जटिल संख्याओं से भी संबंधित करता है, क्योंकि प्रत्येक आयाम के लिए सम उप-बीजगणित के लिए समरूप है, एक संबंध जो उच्च आयामों को सामान्यीकृत करता है।

आवर्तन सदिश
आवर्तन  सदिश, आवर्तन  के  अक्ष - कोण  प्रतिनिधित्व से, तीन आयामों में आवर्तन  का प्रतिनिधित्व करने का एक कॉम्पैक्ट तरीका है। अपने सबसे कॉम्पैक्ट रूप में, इसमें एक  सदिश होता है, एक इकाई  सदिश ω का उत्पाद जो आवर्तन  के (हस्ताक्षरित) कोण के साथ आवर्तन  की धुरी है, ताकि समग्र आवर्तन   सदिश θω का परिमाण (अहस्ताक्षरित) के बराबर हो वर्तन कोण।

आवर्तन से जुड़ा चतुर्धातुक है


 * $$q = \left(\cos\left(\frac{\theta}{2}\right), \omega \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)$$

ज्यामितीय बीजगणित में घुमाव को द्विसदिश द्वारा दर्शाया जाता है। इसे चतुष्कोणों के संबंध में देखा जा सकता है। चलो Ω आवर्तन के  समतल में एक इकाई द्विसदिशबनें, और θ को आवर्तन  के कोण होने दें। फिर आवर्तन  द्विसदिशΩθ है। चतुष्कोणीय द्विसदिश Ωθ के आधे के घातांक के साथ निकटता से मेल खाता है। यही है, चतुर्धातुक के घटक निम्नलिखित अभिव्यक्ति के अदिश और द्विसदिश भागों के अनुरूप हैं: $$e^{\frac{\Omega\theta}{2}} = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + \Omega\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) $$ घातांक को इसकी शक्ति श्रृंखला के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है, और इस तथ्य का उपयोग करके आसानी से मूल्यांकन किया जा सकता है कि वर्ग -1 है।

तो घुमावों को द्विसदिश द्वारा दर्शाया जा सकता है। जैसे चतुर्भुज ज्यामितीय बीजगणित के तत्व हैं, वे उस बीजगणित में घातीय मानचित्र से संबंधित हैं।

रोटर्स
द्विसदिश θ घातांक मानचित्र के माध्यम से एक घूर्णन उत्पन्न करता है। सम तत्व उत्पन्न एक सामान्य सदिश को तीन आयामों में उसी तरह घुमाते हैं जैसे कि चतुर्धातुक: $$\mathbf{v}' = e^{-\frac{\boldsymbol{\Omega}\theta}{2}}\mathbf{v}e^{\frac{\boldsymbol{\Omega}\theta}{2}}.$$ दो आयामों के रूप में, परिमाण ई-Ωθ/2 को रोटर (गणित) कहा जाता है और इसे R लिखा जाता है।  परिमाण ईΩθ/2 फिर आर है-1, और वे घुमाव उत्पन्न करते हैं  यह दो आयामों के समान है, सिवाय इसके कि रोटर चतुष्कोणों के लिए चार-आयामी वस्तुएं  समरूपी हैं। यह सभी आयामों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, रोटर्स के साथ, इकाई परिमाण के साथ सम उप-बीजगणित के तत्व, द्विसदिशों से घातीय मानचित्र द्वारा उत्पन्न किया जा रहा है। वे आवर्तन  समूह पर एक  डबल कवरिंग ग्रुप  बनाते हैं, इसलिए रोटर्स आर और -आर एक ही आवर्तन  का प्रतिनिधित्व करते हैं।

अक्षीय सदिश
आवर्तन  सदिश एक अक्षीय  सदिश का एक उदाहरण है। अक्षीय सदिश, या स्यूडो सदिश, विशेष विशेषता वाले सदिश हैं कि उनके निर्देशांक सामान्य सदिश (जिसे ध्रुवीय सदिश भी कहा जाता है) के सापेक्ष एक संकेत परिवर्तन से गुजरते हैं, मूल के माध्यम से उलटा, एक  समतल में प्रतिबिंब, या अन्य अभिविन्यास-रिवर्सिंग रैखिक परिवर्तन। उदाहरणों में टोक़,  कोणीय गति  और  सदिश  चुंबकीय क्षेत्र  जैसी  परिमाणएँ शामिल हैं। सदिश बीजगणित में अक्षीय सदिश का उपयोग करने वाली  परिमाणएँ ज्यामितीय बीजगणित में द्विसदिशों द्वारा ठीक से प्रदर्शित की जाती हैं। अधिक सटीक रूप से, यदि एक अंतर्निहित अभिविन्यास चुना जाता है, तो अक्षीय सदिश सामान्य सदिश के साथ स्वाभाविक रूप से पहचाने जाते हैं, हॉज दोहरे # त्रि-आयामी उदाहरण तब अक्षीय सदिश और द्विवार्षिक के बीच समरूपता देता है, इसलिए प्रत्येक अक्षीय  सदिश एक द्विसदिश और इसके विपरीत जुड़ा होता है, वह है


 * $$\mathbf{A} = * \mathbf{a} \,,\quad \mathbf{a} = * \mathbf{A}$$

जहां ∗ हॉज दोहरे को इंगित करता है। ध्यान दें कि यदि अंतर्निहित अभिविन्यास मूल के माध्यम से व्युत्क्रम द्वारा उलटा हो जाता है, तो सामान्य सदिश और हॉज दोहरे परिवर्तन चिह्न के साथ अक्षीय सदिश की पहचान दोनों, लेकिन द्विसदिशहिलते नहीं हैं। वैकल्पिक रूप से, स्यूडो अदिश (क्लिफर्ड बीजगणित)#Cl में स्यूडो अदिश इकाई का उपयोग करना3(आर), i = e1e2e3 देता है


 * $$\mathbf{A} = \mathbf{a}i \,,\quad \mathbf{a} = - \mathbf{A} i. $$

इसका उपयोग करना आसान है क्योंकि उत्पाद केवल ज्यामितीय उत्पाद है। लेकिन यह प्रतिसममित है क्योंकि (दो आयामों के रूप में) इकाई स्यूडो अदिश i वर्ग -1 है, इसलिए उत्पादों में से एक में  ऋणात्मक की आवश्यकता है।

यह संबंध सदिश-मान क्रॉस उत्पाद और द्विसदिश-मान बाहरी उत्पाद जैसे संचालन तक फैला हुआ है, जब निर्धारक के रूप में लिखा जाता है तो उनकी गणना उसी तरह की जाती है:


 * $$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \mathbf{e}_3\\a_1 & a_2 & a_3\\b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} \,,\quad \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{e}_{23} & \mathbf{e}_{31} & \mathbf{e}_{12}\\a_1 & a_2 & a_3\\b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}\ ,$$

तो हॉज डुअल से संबंधित हैं:


 * $${* (\mathbf a \wedge \mathbf b )} = \mathbf {a \times b} \,,\quad {* (\mathbf {a \times b} )} = \mathbf a \wedge \mathbf b . $$

अक्षीय सदिशों की तुलना में द्विसदिशों के कई लाभ हैं। वे अक्षीय और ध्रुवीय सदिशों को बेहतर ढंग से अलग करते हैं, जो कि उनके द्वारा दर्शाई गई परिमाणएँ हैं, इसलिए यह स्पष्ट है कि कौन से संचालन की अनुमति है और उनके परिणाम क्या हैं। उदाहरण के लिए, एक ध्रुवीय  सदिश के आंतरिक उत्पाद और  ट्रिपल उत्पाद  में क्रॉस उत्पाद से उत्पन्न एक अक्षीय  सदिश का परिणाम स्यूडो अदिश में होना चाहिए, एक परिणाम जो अधिक स्पष्ट है यदि गणना को  सदिश और द्विसदिशके बाहरी उत्पाद के रूप में तैयार किया जाता है। वे अन्य आयामों के लिए सामान्यीकरण करते हैं, विशेष रूप से द्विसदिश का उपयोग दो और साथ ही तीन आयामों में टोक़ और कोणीय गति जैसी  परिमाणओं का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है। इसके अलावा, वे कई तरह से ज्यामितीय अंतर्ज्ञान से मेल खाते हैं, जैसा कि अगले भाग में देखा गया है।

ज्यामितीय व्याख्या
जैसा कि उनके और बीजगणित के नाम से पता चलता है, द्विसदिश के आकर्षण में से एक यह है कि उनके पास एक प्राकृतिक ज्यामितीय व्याख्या है। यह किसी भी आयाम में वर्णित किया जा सकता है लेकिन तीन में सबसे अच्छा किया जाता है जहां उच्च आयामों पर लागू होने से पहले अधिक परिचित वस्तुओं के साथ समानताएं खींची जा सकती हैं। दो आयामों में ज्यामितीय व्याख्या तुच्छ है, क्योंकि समष्टि द्वि-आयामी है, इसलिए इसमें केवल एक ही तल है, और सभी द्विसदिश इसके साथ जुड़े हुए हैं जो केवल एक पैमाने कारक से भिन्न होते हैं।

सभी द्विसदिशों को समतल (ज्यामिति) के रूप में व्याख्या किया जा सकता है, या अधिक सटीक रूप से निर्देशित  समतल खंडों के रूप में। तीन आयामों में एक द्विसदिश के तीन गुण होते हैं जिन्हें ज्यामितीय रूप से व्याख्या किया जा सकता है:
 * समष्टि में समतल की व्यवस्था,  समतल के सटीक दृष्टिकोण (ज्यामिति) (या वैकल्पिक रूप से आवर्तन  (गणित), ओरिएंटेशन (ज्यामिति) या  समतल के  ढाल ), द्विसदिश घटकों के अनुपात से जुड़ा हुआ है। विशेष रूप से तीन आधार द्विसदिश, ई23, तथा31 और ई12, या उनमें से अदिश गुणज क्रमशः yz-प्लेन, zx-प्लेन और xy-प्लेन से जुड़े होते हैं।
 * द्विसदिश का परिमाण (गणित) समतल खंड के क्षेत्र फल से जुड़ा होता है। क्षेत्र का कोई विशेष आकार नहीं है इसलिए किसी भी आकार का उपयोग किया जा सकता है। इसे अन्य तरीकों से भी दर्शाया जा सकता है, जैसे कि कोणीय माप द्वारा। लेकिन अगर सदिश की व्याख्या लंबाई के रूप में की जाती है, तो आमतौर पर द्विसदिश की व्याख्या समान इकाइयों वाले क्षेत्र के रूप में की जाती है, जैसा कि निम्नानुसार है।
 * एक यूक्लिडियन सदिश की दिशा की तरह एक द्विसदिश से जुड़े एक  समतल में  समतल में एक दिशा, एक परिसंचरण या घूर्णन की भावना होती है, जो  समतल में नहीं देखने के दृष्टिकोण से देखे जाने पर  दक्षिणावर्त और वामावर्त  के रूप में देखे जाने वाले दो मान लेता है। यह द्विसदिश में संकेत के परिवर्तन के साथ जुड़ा हुआ है, अर्थात यदि दिशा उलट जाती है तो द्विसदिश नकारा जाता है। वैकल्पिक रूप से यदि दो द्विसदिश का दृष्टिकोण और परिमाण समान लेकिन विपरीत दिशाएं हैं तो एक दूसरे का ऋणात्मक है।
 * यदि एक समांतर चतुर्भुज के रूप में कल्पना की जाती है, जिसकी उत्पत्ति 0 पर सदिश के लिए होती है, तो हस्ताक्षरित क्षेत्र सदिश के कार्टेशियन निर्देशांक के निर्धारक#2.C2.A0.C3.97.C2.A02 आव्यूह है (ax by − bxay).

तीन आयामों में सभी द्विसदिश दो सदिश के बाहरी उत्पाद द्वारा उत्पन्न किए जा सकते हैं। अगर द्विसदिश B = a ∧ b तो B का परिमाण है


 * $$\left|\mathbf{B}\right| = \left|\mathbf{a}\right|\left|\mathbf{b}\right|\sin{\theta},$$

जहाँ सदिशों के बीच का कोण है। यह 'a' और 'b' किनारों वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। एक व्याख्या यह है कि क्षेत्र 'बी' से बह जाता है क्योंकि यह 'ए' के ​​साथ चलता है। बाहरी उत्पाद प्रतिसममित है, इसलिए 'ए' और 'बी' के क्रम को उलटने से 'ए' को 'बी' के साथ ले जाने के लिए विपरीत दिशा के साथ एक द्विसदिश में परिणाम होता है जो कि पहले का  ऋणात्मक है। द्विसदिश का  समतल a ∧ b इसमें ए और बी दोनों शामिल हैं इसलिए वे दोनों  समतल के समानांतर हैं।

द्विसदिश और अक्षीय सदिश हॉज दोहरे # त्रि-आयामी उदाहरण से संबंधित हैं। एक वास्तविक सदिश समष्टि में हॉज दोहरी एक उप-समष्टि को अपने ऑर्थोगोनल पूरक  से संबंधित करता है, इसलिए यदि एक द्विसदिश को एक  समतल द्वारा दर्शाया जाता है तो इसके साथ जुड़े अक्षीय सदिश केवल  समतल की  सतह सामान्य  है।  समतल में दो मानक होते हैं, प्रत्येक तरफ एक,  समतल और द्विसदिश के लिए दो संभावित अभिविन्यास (ज्यामिति) देता है।

यह क्रॉस उत्पाद को बाहरी उत्पाद से संबंधित करता है। इसका उपयोग भौतिक परिमाणओं, जैसे टोक़ और कोणीय गति का प्रतिनिधित्व करने के लिए भी किया जा सकता है।  सदिश बीजगणित में वे आमतौर पर सदिश द्वारा दर्शाए जाते हैं, बल के  समतल के लंबवत, रैखिक गति या विस्थापन जिससे उनकी गणना की जाती है। लेकिन अगर इसके बजाय एक द्विसदिशका उपयोग किया जाता है, तो प्लेन द्विसदिशका प्लेन है, इसलिए  परिमाणओं और जिस तरह से वे कार्य करते हैं, उसका प्रतिनिधित्व करने का एक अधिक प्राकृतिक तरीका है। यह सदिश प्रतिनिधित्व के विपरीत भी अन्य आयामों में सामान्यीकरण करता है।

दो द्विसदिशों के उत्पाद की ज्यामितीय व्याख्या है। गैर-शून्य द्विसदिशए और बी के लिए उत्पाद को सममित और प्रतिसममित भागों में विभाजित किया जा सकता है:


 * $$ \mathbf{AB} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} + \mathbf{A} \times \mathbf{B}.$$

सदिशों की भाँति इनमें भी परिमाण होते हैं $|A · B|$ = $|A|$ $|B|$ cos θ तथा $|A × B|$ = $|A|$ $|B|$ sin θ, जहां θ समतलों के बीच का कोण है। तीन आयामों में यह समतलों के दोहरे सामान्य सदिशों के बीच के कोण के समान है, और यह कुछ हद तक उच्च आयामों में सामान्यीकरण करता है।

क्षेत्रों के रूप में बीवेटर्स को एक साथ जोड़ा जा सकता है। तीन आयामों में दो गैर-शून्य द्विसदिश बी और सी को देखते हुए हमेशा एक सदिश ढूंढना संभव होता है जो दोनों में निहित होता है, इसलिए द्विसदिश को बाहरी उत्पादों के रूप में लिखा जा सकता है जिसमें शामिल हैं:


 * $$\begin{align}\mathbf{B} &= \mathbf{a} \wedge \mathbf{b}\\ \mathbf{C} &= \mathbf{a} \wedge \mathbf{c}\end{align}$$

इसे ज्यामितीय रूप से समझा जा सकता है जैसा कि आरेख में देखा गया है: दो क्षेत्रों का योग एक तिहाई देता है, तीन क्षेत्रों के साथ एक प्रिज्म (ज्यामिति)  के चेहरे बनाते हैं जिसमें ए, बी, सी और b + c किनारों के रूप में। यह बाहरी उत्पाद की वितरणता का उपयोग करके क्षेत्र की गणना करने के दो तरीकों से मेल खाता है:


 * $$ \begin{align} \mathbf{B} + \mathbf{C} &= \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} + \mathbf{a} \wedge \mathbf{c} \\ &= \mathbf{a} \wedge (\mathbf{b} + \mathbf{c}).\end{align}$$

यह केवल तीन आयामों में काम करता है क्योंकि यह एकमात्र आयाम है जहां दोनों द्विसदिशों के समानांतर एक सदिश मौजूद होना चाहिए। उच्च आयामों में द्विसदिश आम तौर पर एक ही  समतल से जुड़े नहीं होते हैं, या यदि वे (सरल द्विसदिश) हैं तो दो द्विसदिशों में कोई सदिश सामान्य नहीं हो सकता है, और इसलिए एक गैर-साधारण द्विसदिश के योग।

चार आयाम
चार आयामों में समष्टि के लिए आधार तत्व ⋀2R4 द्विसदिश हैं (e12, तथा13, तथा14, तथा23, तथा24, तथा34), इसलिए एक सामान्य द्विसदिश फॉर्म का है


 * $$ \mathbf{A} = a_{12}\mathbf{e}_{12} + a_{13}\mathbf{e}_{13} + a_{14}\mathbf{e}_{14} + a_{23}\mathbf{e}_{23} + a_{24}\mathbf{e}_{24} + a_{34}\mathbf{e}_{34}.$$

ऑर्थोगोनलिटी
चार आयामों में एक द्विसदिशका हॉज डुअल एक द्विसदिशहै, और स्पेस ⋀2R4 स्वयं से द्वैत है। सामान्य सदिश अद्वितीय नहीं हैं, इसके बजाय प्रत्येक समतल अपने हॉज दोहरे समष्टि में सभी सदिशों के लिए ऑर्थोगोनल है। इसका उपयोग द्विसदिशों को दो 'हिस्सों' में विभाजित करने के लिए निम्न तरीके से किया जा सकता है। हमारे पास ऑर्थोगोनल द्विसदिश के तीन जोड़े हैं: (ई12, तथा34), (तथा13, तथा24) और (ई14, तथा23). पहले दो जोड़ियों में से प्रत्येक में से एक द्विसदिशचुनने के चार अलग-अलग तरीके हैं, और एक बार जब इन पहले दो को चुना जाता है तो दूसरी जोड़ी से तीसरा द्विसदिशप्राप्त होता है। उदाहरण के लिए, (ई12, तथा13, तथा14) और (ई23, तथा24, तथा34).

4D
में सरल द्विसदिश आर में सदिश के बाहरी उत्पाद द्वारा चार आयामों में द्विसदिशउत्पन्न होते हैं4, लेकिन R. से एक महत्वपूर्ण अंतर के साथ3 और आर 2. चार आयामों में सभी द्विसदिश सरल नहीं होते हैं। द्विसदिशहैं जैसे e12 + e34 जो दो सदिशों के बाह्य उत्पाद द्वारा उत्पन्न नहीं किया जा सकता है। इसका यह भी अर्थ है कि उनके पास वास्तविक, यानी अदिश, वर्ग नहीं है। इस मामले में


 * $$(\mathbf{e}_{12} + \mathbf{e}_{34})^2 =\mathbf{e}_{12} \mathbf{e}_{12} + \mathbf{e}_{12} \mathbf{e}_{34} + \mathbf{e}_{34} \mathbf{e}_{12} + \mathbf{e}_{34} \mathbf{e}_{34} = -2 + 2 \mathbf{e}_{1234}.$$

तत्व ई1234 Cl में स्यूडो अदिश है4, अदिश से भिन्न है, इसलिए वर्ग अदिश है।

अधिकतम दो बाहरी उत्पादों और चार सदिशों का उपयोग करके चार आयामों में सभी द्विसदिश उत्पन्न किए जा सकते हैं। उपरोक्त द्विसदिशके रूप में लिखा जा सकता है


 * $$\mathbf{e}_{12} + \mathbf{e}_{34} = \mathbf{e}_{1} \wedge \mathbf{e}_{2} + \mathbf{e}_{3} \wedge \mathbf{e}_{4}.$$

इसी तरह, प्रत्येक द्विसदिश को दो साधारण द्विसदिशों के योग के रूप में लिखा जा सकता है। इसके लिए दो ऑर्थोगोनल द्विसदिशचुनना उपयोगी होता है, और ऐसा करना हमेशा संभव होता है। इसके अलावा, एक सामान्य द्विसदिश के लिए साधारण द्विसदिश का विकल्प अद्वितीय है, अर्थात, ऑर्थोगोनल द्विसदिश में विघटित होने का केवल एक ही तरीका है, एकमात्र अपवाद तब होता है जब दो ऑर्थोगोनल द्विसदिशों का परिमाण समान होता है (जैसा कि उपरोक्त उदाहरण में है): इस मामले में अपघटन अद्वितीय नहीं है। सरल द्विसदिश के मामले में अपघटन हमेशा अद्वितीय होता है, अतिरिक्त बोनस के साथ कि ऑर्थोगोनल भागों में से एक शून्य है।

आर में घूर्णन4
जैसा कि तीन आयामों में चार आयामों में द्विसदिश घातीय मानचित्र के माध्यम से घुमाव उत्पन्न करते हैं, और सभी घुमाव इस तरह से उत्पन्न किए जा सकते हैं। जैसे तीन आयामों में यदि B एक द्विसदिश है तो रोटर R e हैB/2 और घुमाव एक ही तरह से उत्पन्न होते हैं:


 * $$v' = RvR^{-1}.\,$$

हालांकि उत्पन्न घुमाव अधिक जटिल हैं। उन्हें निम्नानुसार वर्गीकृत किया जा सकता है:
 * SO(4)#सरल घुमाव घुमाव वे हैं जो एक समतल को 4D में ठीक करते हैं, और इस  समतल के बारे में एक कोण से घुमाते हैं।
 * SO(4)#डबल आवर्तन आवर्तन  में केवल एक निश्चित बिंदु, मूल होता है, और दो कोणों के माध्यम से दो ऑर्थोगोनल  समतलों के माध्यम से घूमता है। आम तौर पर कोण अलग होते हैं और  समतल विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट होते हैं
 * SO(4)#आइसोक्लिनिक घुमाव घुमाव दोहरे घुमाव होते हैं जहां आवर्तन के कोण बराबर होते हैं। इस मामले में जिन तलों के बारे में घूर्णन हो रहा है वे अद्वितीय नहीं हैं।

ये द्विसदिश्स द्वारा सीधे तरीके से उत्पन्न होते हैं। साधारण घुमाव साधारण द्विसदिश द्वारा उत्पन्न होते हैं, फिक्स्ड प्लेन के साथ द्विसदिशके प्लेन के लिए डुअल या ऑर्थोगोनल। द्विसदिश के तल में उस तल के बारे में घूर्णन कहा जा सकता है। अन्य सभी द्विसदिश दोहरे घुमाव उत्पन्न करते हैं, घूर्णन के दो कोणों के साथ गैर-साधारण द्विसदिश दो सरल द्विसदिशों के परिमाण के बराबर होते हैं। जब ये परिमाण समान होते हैं, तो आइसोकलिनिक घुमाव उत्पन्न होते हैं, इस मामले में दो साधारण द्विसदिशों में अपघटन अद्वितीय नहीं होता है। सामान्य रूप से द्विसदिश कम्यूट नहीं करते हैं, लेकिन एक अपवाद ऑर्थोगोनल द्विसदिश और उनके प्रतिपादक हैं। तो अगर द्विसदिश, जहां बी1 और बी2 ऑर्थोगोनल सरल द्विसदिश हैं, इसका उपयोग एक आवर्तन उत्पन्न करने के लिए किया जाता है जो इसे दो सरल घुमावों में विघटित करता है जो निम्नानुसार है:


 * $$ R = e^{\frac{\mathbf{B}_1 + \mathbf{B}_2}{2}} = e^{\frac{\mathbf{B}_1}{2}}e^{\frac{\mathbf{B}_2}{2}} = e^{\frac{\mathbf{B}_2}{2}}e^{\frac{\mathbf{B}_1}{2}}$$

ऐसा करना हमेशा संभव है क्योंकि सभी सदिशों को ऑर्थोगोनल सदिशों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

समष्टि समय आवर्तन
स्पेसटाइम हमारे ब्रह्मांड के लिए एक गणितीय मॉडल है जिसका उपयोग विशेष सापेक्षता में किया जाता है। इसमें तीन यूक्लिडियन समष्टि आयाम और भौतिकी आयाम में एक बार एक चार-आयामी समष्टि में संयुक्त होते हैं। यह स्वाभाविक रूप से ज्यामितीय बीजगणित और द्विसदिशों का उपयोग करके वर्णित किया गया है,  यूक्लिडियन मीट्रिक  को  मिंकोव्स्की मीट्रिक  द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है। वह बीजगणित यूक्लिडियन समष्टि के समान है, सिवाय इसके कि मीट्रिक हस्ताक्षर बदल दिया गया है, इसलिए


 * $$ {\mathbf{e}_i}^2 = \begin{cases} 1, & i = 1, 2, 3 \\  -1, & i = 4 \end{cases} $$

(ध्यान दें कि उपरोक्त क्रम और सूचकांक सार्वभौमिक नहीं हैं - यहां ई4 समय जैसा आयाम है)। ज्यामितीय बीजगणित Cl. है3,1(आर), और द्विसदिश का उप-समष्टि ⋀ है2आर 3,1.

साधारण द्विसदिश दो प्रकार के होते हैं। साधारण द्विसदिश ई23, तथा31 और ई12 ऋणात्मक वर्ग हैं और यूक्लिडियन समष्टि, R. के अनुरूप त्रि-आयामी उप-समष्टि के द्विसदिश हैं 3। ये द्विसदिश आर में साधारण घुमाव उत्पन्न करते हैं 3।

साधारण द्विसदिश ई14, तथा24 और ई34 सकारात्मक वर्ग हैं और जैसे ही समतल एक समष्टि आयाम और समय आयाम फैलाते हैं। ये घातांक मानचित्र के माध्यम से भी घुमाव उत्पन्न करते हैं, लेकिन त्रिकोणमितीय कार्यों के बजाय, अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों की आवश्यकता होती है, जो निम्नानुसार एक रोटर उत्पन्न करता है:


 * $$e^{\frac{\boldsymbol{\Omega}\theta}{2}} = \cosh\left(\frac{\theta}{2}\right) + \boldsymbol{\Omega}\sinh\left(\frac{\theta}{2}\right), $$

जहां द्विसदिश है ('ई'14, आदि), आर के एक प्रतिसममित रैखिक परिवर्तन के साथ मीट्रिक के माध्यम से पहचाना गया3,1. ये लोरेंत्ज़ रूपांतरण हैं # किसी भी दिशा में बढ़ावा, एक विशेष रूप से कॉम्पैक्ट तरीके से व्यक्त किया गया है, उसी तरह के बीजगणित का उपयोग करके जैसा कि आर में है3 और आर 4.

सामान्य तौर पर सभी स्पेसटाइम आवर्तन द्विसदिश से घातीय मानचित्र के माध्यम से उत्पन्न होते हैं, अर्थात, द्विसदिश ए द्वारा उत्पन्न एक सामान्य रोटर फॉर्म का होता है


 * $$R = e^{\frac{\mathbf{A}}{2}}.$$

स्पेसटाइम में सभी घुमावों का सेट लोरेंत्ज़ समूह  बनाता है, और उनमें से विशेष सापेक्षता के अधिकांश परिणाम नि गुणाे जा सकते हैं। आम तौर पर यह दिखाता है कि यूक्लिडियन स्पेस और स्पेसटाइम में सभी परिवर्तनों को एक ही तरह के बीजगणित का उपयोग करके कैसे वर्णित किया जा सकता है।

मैक्सवेल के समीकरण
(नोट: इस खंड में पारंपरिक 3-सदिश को प्रतीकों और स्पेसटाइम सदिश और द्विसदिश के ऊपर की रेखाओं द्वारा बोल्ड प्रतीकों द्वारा दर्शाया गया है,  सदिश जे और ए के साथ अपरकेस में असाधारण रूप से)

मैक्सवेल के समीकरणों का उपयोग भौतिकी में विद्युत क्षेत्र  और चुंबकीय क्षेत्र क्षेत्रों के बीच संबंधों का वर्णन करने के लिए किया जाता है। आम तौर पर चार अंतर समीकरणों के रूप में दिए जाने पर उनके पास एक विशेष रूप से कॉम्पैक्ट रूप होता है जब फ़ील्ड को से स्पेसटाइम द्विसदिश के रूप में व्यक्त किया जाता है।2आर 3,1. यदि R. में विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र3 हैं $\overline{E}$ तथा $\overline{B}$ तब विद्युत चुम्बकीय द्विसदिश है


 * $$ \mathbf{F} = \frac{1}{c}\overline{E}\mathbf{e}_4 + \overline{B}\mathbf{e}_{123},$$

जहां ई4 समय जैसे आयाम के लिए फिर से आधार सदिश है और c प्रकाश की गति है। उत्पाद $\overline{B}$e123 हॉज ड्यूल टू बाई सदिश उत्पन्न करता है $\overline{B}$ तीन आयामों में, #अक्षीय सदिशों के रूप में, जबकि $\overline{E}$e4 ऑर्थोगोनल सदिश के उत्पाद के रूप में भी द्विसदिश-वैल्यू है। समग्र रूप से यह विद्युतचुंबकीय टेंसर  है जो एक द्विसदिश के रूप में अधिक सघन रूप से व्यक्त किया जाता है, और इसका उपयोग निम्नानुसार किया जाता है। सबसे पहले यह  4-वर्तमान  J से संबंधित है, जो द्वारा दी गई एक सदिश राशि है


 * $$ \mathbf{J} = \overline{j} + c\rho\mathbf{e}_4,$$

कहाँ पे $\overline{j}$ वर्तमान घनत्व  है और ρ आवेश घनत्व है। वे एक अंतर ऑपरेटर ∂ से संबंधित हैं, जो है


 * $$\partial = \nabla - \mathbf{e}_4\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}.$$

ऑपरेटर ∇ ज्यामितीय बीजगणित में एक विभेदक ऑपरेटर है, जो समष्टि आयामों पर कार्य करता है और इसके द्वारा दिया जाता है ∇M = ∇·M + ∇∧M. जब सदिशों पर लागू किया जाता है तो ·M विचलन  होता है और ∇∧M  कर्ल (गणित)  होता है, लेकिन  सदिश परिणाम के बजाय एक द्विसदिश के साथ, जो कर्ल के तीन आयामों में दोहरा होता है। सामान्य  परिमाण एम के लिए वे  श्रेणी कम करने और अंतर ऑपरेटरों को बढ़ाने के रूप में  का र्य करते हैं। विशेष रूप से यदि एम एक  अदिश है तो यह ऑपरेटर केवल ढाल है, और इसे ज्यामितीय बीजगणितीय डेल ऑपरेटर के रूप में माना जा सकता है।

इन्हें मिलाकर मैक्सवेल के स्रोतों के साथ समीकरणों के लिए एक विशेष रूप से कॉम्पैक्ट रूप देने के लिए उपयोग किया जा सकता है:


 * $$ \partial\mathbf{F} = \mathbf{J}.$$

यह समीकरण, जब ज्यामितीय बीजगणित के अनुसार विघटित हो जाता है, तो ज्यामितीय उत्पादों का उपयोग करते हुए, जिनमें श्रेणी बढ़ाने और  श्रेणी कम करने के प्रभाव दोनों होते हैं, मैक्सवेल के चार समीकरणों के बराबर होते हैं। यह  विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता  से भी संबंधित है, एक  सदिश ए द्वारा दिया गया है


 * $$ \mathbf{A} = \overline{A} + \frac{1}{c}V\mathbf{e}_4,$$

कहाँ पे $\overline{A}$ सदिश चुंबकीय क्षमता है और V विद्युत क्षमता है। यह इलेक्ट्रोमैग्नेटिक द्विसदिश से निम्नानुसार संबंधित है


 * $$ \partial\mathbf{A} = -\mathbf{F},$$

एक ही अंतर ऑपरेटर ∂ का उपयोग करना।

उच्च आयाम
जैसा कि पिछले खंडों में सुझाव दिया गया है कि ज्यामितीय बीजगणित का अधिकांश भाग उच्च आयामों में अच्छी तरह से सामान्य हो जाता है। वास्तविक समष्टि R के लिए ज्यामितीय बीजगणितn Cl हैn(आर), और द्विसदिश का उप-समष्टि ⋀ है2आर एन.

एक सामान्य द्विसदिश बनाने के लिए आवश्यक साधारण द्विसदिशों की संख्या आयाम के साथ बढ़ती है, इसलिए n विषम के लिए यह है (n − 1) / 2, n के लिए भी यह है n / 2. तो चार और पांच-आयामी समष्टि आयामों के लिए केवल दो सरल द्विसदिशों की आवश्यकता होती है, लेकिन छह-आयामी समष्टि और सात-आयामी समष्टि आयामों के लिए तीन की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, मानक आधार के साथ छह आयामों में (उदा1, तथा2, तथा3, तथा4, तथा5, तथा6) द्विसदिश


 * $$ \mathbf{e}_{12} + \mathbf{e}_{34} + \mathbf{e}_{56} $$

तीन साधारण द्विसदिशों का योग है लेकिन कम नहीं। जैसा कि चार आयामों में इस राशि के लिए ऑर्थोगोनल सरल द्विसदिशों को खोजना हमेशा संभव होता है।

उच्च आयामों में घुमाव
जैसा कि तीन और चार आयामों में रोटार घातीय मानचित्र द्वारा उत्पन्न होते हैं, इसलिए


 * $$e^{\frac{\mathbf{B}}{2}}$$

द्विसदिश बी द्वारा उत्पन्न रोटर है। सरल घुमाव, जो आयाम के एक निश्चित ब्लेड (ज्यामिति)  के चारों ओर आवर्तन  के  समतल में होता है (n − 2) साधारण द्विसदिशों द्वारा उत्पन्न होते हैं, जबकि अन्य द्विसदिश अधिक जटिल घुमाव उत्पन्न करते हैं, जिन्हें साधारण द्विसदिशों के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है, प्रत्येक आवर्तन  के  समतल से संबंधित हैं। सभी द्विसदिशों को ऑर्थोगोनल और कम्यूटेटिव सरल द्विसदिशों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, इसलिए इन द्विसदिशों से जुड़े  समतलों के बारे में आवर्तन  को हमेशा कम्यूटेटिव आवर्तन  के सेट में विघटित किया जा सकता है। एन आयामों में रोटर्स का समूह  स्पिन समूह, स्पिन (एन) है।

एक उल्लेखनीय विशेषता, साधारण द्विसदिशों की संख्या और इस प्रकार घूर्णन समतलों से संबंधित है, यह है कि विषम आयामों में प्रत्येक घुमाव में एक निश्चित धुरी होती है - इसे आवर्तन  की धुरी कहना भ्रामक है क्योंकि उच्च आयामों में घुमाव कई  समतलों में ऑर्थोगोनल हो रहे हैं। इसे। यह द्विसदिश से संबंधित है, क्योंकि विषम आयामों में द्विसदिश्स नीचे के समान आयामों के समान संख्या में द्विसदिश में विघटित होते हैं, इसलिए  समतलों की संख्या समान होती है, लेकिन एक अतिरिक्त आयाम होता है। जैसा कि प्रत्येक  समतल विषम आयामों में दो आयामों में घुमाव उत्पन्न करता है, एक आयाम होना चाहिए, वह एक अक्ष है, जिसे घुमाया नहीं जा रहा है। द्विसदिश n आयामों में आवर्तन आव्यूह से भी संबंधित हैं। जैसा कि तीन आयामों में अभिलक्षणिक बहुपद# आव्यूह के अभिलक्षणिक समीकरण को  अभिलक्षणिक मानs ​​खोजने के लिए हल किया जा सकता है। विषम आयामों में इसकी एक वास्तविक जड़ होती है,अभिलक्षणिक सदिश निश्चित अक्ष के साथ, और यहां तक ​​कि आयामों में इसकी कोई वास्तविक जड़ें नहीं होती हैं, इसलिए या तो सभी या सभी लेकिन जड़ों में से एक जटिल संयुग्म जोड़े हैं। प्रत्येक जोड़ी आवर्तन  से जुड़े द्विसदिश के एक साधारण घटक से जुड़ी होती है। विशेष रूप से प्रत्येक जोड़ी का लॉग ± परिमाण है, जबकि जड़ों से उत्पन्नअभिलक्षणिक सदिशs समानांतर हैं और इसलिए इसका उपयोग द्विसदिश उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है। सामान्य तौर पर अभिलक्षणिक मानs ​​और द्विसदिशs अद्वितीय होते हैं, और अभिलक्षणिक मानs ​​का समुच्चय सरल द्विसदिशs में पूर्ण अपघटन देता है, यदि जड़ों को दोहराया जाता है तो द्विसदिश का सरल द्विसदिश में अपघटन अद्वितीय नहीं है।

प्रोजेक्टिव ज्योमेट्री
ज्यामितीय बीजगणित को प्रक्षेपी ज्यामिति  पर सीधे तरीके से लागू किया जा सकता है। प्रयुक्त ज्यामितीय बीजगणित है Cln(R), n ≥ 3, वास्तविक सदिश समष्टि R का बीजगणितएन. इसका उपयोग वास्तविक प्रक्षेप्य समष्टि 'आरपी' में वस्तुओं का वर्णन करने के लिए किया जाता हैn−1. Cl. में शून्येतर सदिशn(आर) या आरn प्रोजेक्टिव स्पेस में बिंदुओं से जुड़े होते हैं, इसलिए सदिश जो केवल स्केल फ़ैक्टर से भिन्न होते हैं, इसलिए उनका बाहरी उत्पाद शून्य है, उसी बिंदु पर मैप करें। ⋀ में गैर-शून्य सरल द्विसदिश2आर n 'RP' में पंक्तियों का प्रतिनिधित्व करता हैn−1, द्विसदिश केवल एक ही रेखा का प्रतिनिधित्व करने वाले (सकारात्मक या  ऋणात्मक) स्केल कारक से भिन्न होते हैं।

बुनियादी संचालन का उपयोग करके ज्यामितीय बीजगणित में प्रोजेक्टिव ज्यामिति का विवरण बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 'RP' में दो अलग-अलग बिंदु दिए गए हैंn−1 को सदिशों 'a' और 'b' द्वारा प्रदर्शित किया जाता है, जिसमें वे रेखाएँ होती हैं a ∧ b (या b ∧ a) दो रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं यदि A ∧ B = 0 उनके द्विसदिश ए और बी के लिए। यह बिंदु सदिश द्वारा दिया गया है


 * $$ \mathbf{p} = \mathbf{A} \lor \mathbf{B} = (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) J^{-1}.$$

ऑपरेशन ∨ मीट है, जिसे ज्वाइन के संदर्भ में ऊपर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है,  गैर शून्य के लिए A ∧ B. इन संक्रियाओं का उपयोग करते हुए प्रक्षेपी ज्यामिति को ज्यामितीय बीजगणित के रूप में तैयार किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक तीसरा (गैर-शून्य) द्विसदिश सी दिया गया बिंदु पी सी द्वारा दी गई रेखा पर स्थित है यदि और केवल यदि


 * $$ \mathbf{p} \land \mathbf{C} = 0. $$

अत: A, B और C द्वारा दी गई रेखाओं के संरेख होने की शर्त है


 * $$ (\mathbf{A} \lor \mathbf{B}) \land \mathbf{C} = 0, $$

जो सीएल में3(आर) और आरपी2 को सरल करता है


 * $$ \langle \mathbf{ABC} \rangle = 0,$$

जहाँ कोण कोष्ठक ज्यामितीय उत्पाद के अदिश भाग को दर्शाते हैं। उसी तरह सभी प्रोजेक्टिव स्पेस ऑपरेशंस को ज्यामितीय बीजगणित के संदर्भ में लिखा जा सकता है, जिसमें द्विसदिश प्रोजेक्टिव स्पेस में सामान्य रेखाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, इसलिए ज्यामितीय बीजगणित का उपयोग करके पूरी ज्यामिति विकसित की जा सकती है।

टेंसर और मेट्रिसेस

 * 1) मैट्रिसेस के रूप में एक द्विसदिश को तिरछा-सममित आव्यूह के रूप में लिखा जा सकता है, जो घातीय मानचित्र के माध्यम से एक आवर्तन आव्यूह उत्पन्न करता है जो रोटर के समान आवर्तन  का वर्णन करता है, जो घातीय मानचित्र द्वारा भी उत्पन्न होता है लेकिन  सदिश पर लागू होता है। लेकिन इसका उपयोग अन्य द्विसदिश जैसे कोणीय वेग टेन्सर और इलेक्ट्रोमैग्नेटिक टेंसर के साथ भी किया जाता है, क्रमशः 3×3 और 4×4 तिरछा-सममित आव्यूह या टेंसर।

⋀ में वास्तविक द्विसदिश2Rn n×n तिरछा-सममित मैट्रिसेस के लिए समरूपी हैं, या वैकल्पिक रूप से 'R' पर डिग्री 2 के  प्रतिसममित  टेन्सर  के लिए हैं।एन. जबकि द्विसदिश तीन आयामों में सदिश (दोहरे के माध्यम से) के लिए समरूपी होते हैं, उन्हें किसी भी आयाम में तिरछा-सममित आव्यूह द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है। यह द्विसदिश को मैट्रिसेस द्वारा वर्णित समस्याओं से संबंधित करने के लिए उपयोगी है, इसलिए उन्हें बायोएक्टर्स के संदर्भ में फिर से कास्ट किया जा सकता है, एक ज्यामितीय व्याख्या दी जाती है, फिर अक्सर अधिक आसानी से या अन्य बायो सदिश समस्याओं से संबंधित ज्यामितीय रूप से हल किया जाता है। आम तौर पर हर वास्तविक ज्यामितीय बीजगणित क्लिफोर्ड बीजगणित का वर्गीकरण#वर्गीकरण है। इनमें द्विसदिश एक उप-समष्टि के रूप में होते हैं, हालांकि अक्सर एक तरह से जो विशेष रूप से उपयोगी नहीं होता है। क्लिफोर्ड बीजगणित को वर्गीकृत करने के तरीके के रूप में ये आव्यूह मुख्य रूप से रुचि रखते हैं।

यह भी देखें

 * मल्टी सदिश
 * बहुरेखीय बीजगणित
 * डायैडिक्स

सामान्य संदर्भ


श्रेणी:क्लिफर्ड बीजगणित|* श्रेणी:ज्यामितीय बीजगणित श्रेणी:बहुरेखीय बीजगणित श्रेणी: सदिश कलन श्रेणी:टेंसर