आश्लेषी वृत्त

वक्रों की विभेदक ज्यामिति में, वक्र पर दिए गए बिंदु p पर पूर्ण रूप से कोमल समतल वक्र के दोलन चक्र को काटतींपरिक रूप से p से गुजरने वाले वृत्त और वक्र पर अतिरिक्त बिंदुओं की एक जोड़ी के रूप में परिभाषित किया गया है। इसका केंद्र आंतरिक सामान्य रेखा पर स्थित है और इसकी वक्रता उस बिंदु पर दिए गए वक्र की वक्रता को परिभाषित करती है। यह वृत्त,जो दिए गए बिंदु पर प्रत्येक स्पर्शरेखा व्रतों में से एक है, जो वक्र को सबसे अधिक दृढ़ता से प्राप्त करता है, को गॉटफ्राइड विल्हेम लिबनिज़ो  द्वारा सर्कुलस ऑस्कुलन्स (चुंबन चक्र के लिए लैटिन) नाम दिया गया था।

किसी दिए गए बिंदु पर दोलन वृत्त के केंद्र और त्रिज्या को वक्रता का केंद्र और उस बिंदु पर वक्र की  वक्रता त्रिज्या  कहा जाता है। आइजैक न्यूटन ने अपने फिलॉसोफी नेचुरलिस प्रिंसिपिया मैथमैटिका में एक ज्यामितीय निर्माण का वर्णन किया था:

गैर-तकनीकी विवरण
एक विशाल समतल पर घुमावदार सड़क के साथ चलती कार की कल्पना करें। अचानक, सड़क के एक बिंदु पर,चालन चक्र अपनी वर्तमान स्थिति में समाप्त हो जाता है। इसके बाद,कार एक वृत्त में चलती है जो समाप्त होने के बिंदु पर सड़क को स्पर्श करती है। वृत्त की वक्रता उस बिंदु पर सड़क की वक्रता के बराबर होती है। वह वृत्त उस बिंदु पर सड़क वक्र का दोलनशील वृत्त है।

गणितीय विवरण
मान लीजिए γ(s) एक नियमित पैरामीट्रिक समतल वक्र है,जहाँ s चाप की लंबाई (प्राकृतिक प्राचल) है। यह इकाई स्पर्शरेखा सदिश T(s), इकाई सामान्य सदिश N(s), हस्ताक्षरित वक्रता k(s) और प्रत्येक बिंदु पर वक्रता R(s) की त्रिज्या निर्धारित करता है जिसके लिए s बना है: $$ T(s)=\gamma'(s),\quad T'(s)=k(s)N(s),\quad R(s)=\frac{1}{\left|k(s)\right|}.$$ मान लीजिए कि P, γ पर एक बिंदु है जहां k ≠ 0 है। वक्रता का संगत केंद्र N के साथ दूरी R पर बिंदु Q है, उसी दिशा में यदि k धनात्मक है और यदि k ऋणात्मक है तो विपरीत दिशा में। Q केंद्र वाले और R त्रिज्या वाले वृत्त को बिंदु P का वक्र पर ' स्पष्ट रूप से दोलन ' कहा जाता है।

यदि C एक नियमित अन्तराल वक्र है तो मुख्य सामान्य सदिश N का उपयोग करके आश्लेषी वृत्त को इसी तरह परिभाषित करता है। यह आश्लेषी समतल में स्थित है, स्पर्शरेखा और प्रमुख सामान्य सदिश Tऔर N द्वारा बिंदु P पर फैला हुआ समतल।

समतल वक्र को एक भिन्न नियमित प्राचलिकता में भी दिया जा सकता है: $$ \gamma(t) = \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{bmatrix} $$ जहां नियमित का अर्थ है कि $$\gamma'(t) \ne 0$$ सभी के लिए $$t$$. पुनः हस्ताक्षरित वक्रता k(t), सामान्य इकाई सदिश N(t), वक्रता त्रिज्या R(t), और केंद्र Q(t) के सूत्र हैं $$k(t) = \frac{x_1'(t) \, x_2(t) - x_1(t) \, x_2'(t)}{\left( x_1'\left(t\right)^2+x_2'\left(t\right)^2 \right)^{{3}/{2}}}, \qquad N(t) = \frac{1}{\|\gamma'(t)\|} \begin{bmatrix} -x_2'(t) \\ x_1'(t) \end{bmatrix}$$ $$R(t) = \left| \frac{\left( x_1'\left(t\right)^2+x_2'\left(t\right)^2 \right)^{{3}/{2}}}{x_1'(t) \, x_2(t) - x_1(t) \, x_2'(t)} \right| \qquad \text{and} \qquad Q(t) = \gamma(t) + \frac{1}{k(t) \| \gamma'(t)\|} \begin{bmatrix} -x_2'(t) \\ x_1'(t) \end{bmatrix}\,. $$

कार्तीय निर्देशांक
यदि हम स्थानापन्न करें तो हम कार्तीय निर्देशांक में आश्लेषी वृत्त का केंद्र प्राप्त कर सकते हैं $t = x$ तथा $y = f(x)$ किसी फलन के लिए f। यदि हम गणना करते हैं तो आश्लेषी वृत्त के केंद्र के X और Y निर्देशांक के परिणाम हैं: $$x_c = x - f'\frac{1 + f'^2}{f} \quad\text{and}\quad y_c = f + \frac{1 + f'^2}{f}$$

प्रत्यक्ष ज्यामितीय व्युत्पत्ति
तीन बिंदुओं पर विचार करें $P_{0}$ ,$P_{1}$ तथा $P_{2}$ ,जहां $P_{i} = (x_{i},y_{i})$. इन बिंदुओं से गुजरने वाले वृत्त का केंद्र ज्ञात करने के लिए, हमें पहले $P_{0} P_{1}$ तथा $P_{1} P_{2}$   के खंड समद्विभाजक ज्ञात करने होंगे और पुनः बिंदु $C$  जहां ये रेखाएं काटती हैं। इसलिए,$C$  के निर्देशांक दो समीकरणों की एक रैखिक प्रणाली को हल करके प्राप्त किया जाता है: $$\left(\delta x_i\right)x_c + \left(\delta y_i\right) y_c = \tfrac{1}{2} \left(\delta^2 x_i + \delta^2 y_i\right) \quad i=1,2$$ जहां $\delta u_{i}=u_{i}-u_{i-1}$, $\delta^{2}u_{i}=u_{i}^{2}-u_{i-1}^{2}$ के लिये $u=x,y$.

अब वक्र पर विचार करें $P=P(\tau)$ और स्थापित करें $P_{0}=P(\tau-d\tau)$, $P_{1}=P(\tau)$  तथा $P_{2}=P(\tau+d\tau)$. दूसरे क्रम में $d\tau$ ,प्राप्त किया $$\begin{aligned} \delta u_1 = & \dot{u}d\tau - \frac{1}{2}\ddot{u} \, d\tau^2\\ \delta^2 u_1 = & 2 u\dot{u} \, d\tau - d\tau^2 \left(\dot{u}^2 + u\ddot{u}\right) \end{aligned}$$ और $\delta u_{2}$ तथा $\delta^{2}u_{2}$   के लिए एक समान अभिव्यक्ति जहां का चिन्ह $d\tau^{2}$  परिवर्तित जाता है। $x_{c},y_{c}$  के लिए समीकरण विकसित करना और शर्तों को $d\tau$  में समूहित करना तथा $d\tau^{2}$, हमने प्राप्त किया $$\begin{align} \dot{x}(x_{c}-x)+\dot{y}(y_{c}-y) &= 0 \\ \ddot{x}(x_{c}-x)+\ddot{y}(y_{c}-y) &= \dot{x}^{2}+\dot{y}^{2} \end{align}$$ $\mathbf{r}=\overrightarrow{P_{1}C}$ दर्शाते हुए, पहले समीकरण का अर्थ है कि $\mathbf{r}$  इकाई स्पर्शरेखा सदिश $P_{1}$  के लिए आयतीय है: $$\mathbf{r} \cdot \mathbf{t}=0$$ दूसरे संबंध का अर्थ है कि $$\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}=1$$ जहां $$\mathbf{k} = \frac{d\mathbf{t}}{ds} = \frac{1}{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}} \begin{bmatrix} \ddot x \\ \ddot y \end{bmatrix}$$ वक्रता सदिश है। समतल ज्यामिति में, $\mathbf{k}$ यह आयतीय है $\mathbf{t}$  इसलिये $$\mathbf{t} \cdot \mathbf{k} = \mathbf{t}\frac{d\mathbf{t}}{ds} = \frac{1}{2}\frac{d}{ds}(\mathbf{t} \cdot \mathbf{t}) = \frac{1}{2}\frac{d}{ds}(1) = 0$$ इसलिए $\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} = kr$ और दोलन वृत्त की त्रिज्या वक्रता के ठीक व्युत्क्रम है।

$C$ ,के निर्देशांक के लिए समीकरण को हल करना पर हम देखतें है $$\begin{aligned} x_{c} - x = & \frac{\dot{y}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)}{\dot{y}\ddot{x}-\dot{x}\ddot{y}}\\ y_{c} - y = & \frac{-\dot{x}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)}{\dot{y}\ddot{x}-\dot{x}\ddot{y}} \end{aligned}$$

न्यूनीकरण समस्या के रूप में आश्लेषी वृत्त
एक वक्र $C$ पर विचार करें जहां समीकरण द्वारा आंतरिक रूप से परिभाषित $$f(x,y) = 0$$ $z = f(x,y)$ जिसे हम सतह के खंड के रूप में कल्पना कर सकते हैं समतल से $z = 0$ । साधारण $\mathbf{n}$  एक बिंदु पर वक्र के लिए $P_{0}=(x_{0},y_{0})$  इस बिंदु पर ढाल है $$\mathbf{n}=(f_{x},f_{y})$$ इसलिए,स्पर्शरेखा वृत्तों के केंद्र $ B_{\alpha}$  द्वारा दिए गए हैं $$X_c = x_0 - \alpha f_x \,\, ;\,\, Y_c = y_0 - \alpha f_y $$ जहां $\alpha$ परिमाप है। किसी प्रदत्त $\alpha$  के लिए त्रिज्या $R$  का $B_{\alpha}$  है $$R^2 = \alpha^2 (f_x^2 + f_y^2)$$ हम सभी संभावित वृतों में से $B_{\alpha}$  खोजना चाहते हैं, वह जो सबसे उत्तम वक्र से सम्बंधित है।

एक बिंदु के निर्देशांक $P_{1} \in B_{\alpha}$ के रूप में लिखा जा सकता है $$x_1 = X_c +R\cos\theta\,\,;\,\, y_1 = Y_c + R\sin\theta$$ जहां $\theta=\theta_{0}$ के लिए, $P_1 = P_0$, अर्थात। $$R\cos\theta_{0}=\alpha f_{x}\,\,;\,\,R\sin\theta_{0}=\alpha f_y$$ अब एक बिंदु पर विचार करें $P_{1}\in B_{\alpha}$ के समीप  $P_0$, जहां इसका कोण $\theta_{1} = \theta_{0} + d\theta$  है। त्रिकोणमितीय कार्यों को दूसरे क्रम में विकसित करना $d\theta$  और उपरोक्त संबंधों का उपयोग करते हुए, $$P_1$$के निर्देशांक हैं $$\begin{aligned} x_1 = & x_0 - \alpha f_y d\theta - \tfrac{1}{2} \alpha f_x \left(d\theta\right)^2\\ y_1 = & y_0 + \alpha f_x d\theta - \tfrac{1}{2} \alpha f_y \left(d\theta\right)^2 \end{aligned}$$ अब हम फलन $f$ का मूल्यांकन बिंदु $P_{1}$  पर कर सकते हैं और इसकी भिन्नता  $$f(x_1, y_1) - f(x_0, y_0)$$. निर्माण द्वारा $d\theta$ में पहले क्रम में भिन्नता शून्य है (पहले क्रम में $\theta$, $P_{1}$  वक्र की स्पर्श रेखा $C$  पर है) के अनुपात में भिन्नता $$ (d\theta)^2$$ है $$df = -\frac{1}{2} \alpha \left(f_x^2 + f_y^2\right) + \frac{1}{2}\alpha^{2}\left(f_y^2 f_{xx} + f_x^2 f_{yy} - f_x f_y f_{xy}\right)$$ और यह भिन्नता शून्य है यदि हम उपयोग करते हैं $$\alpha = \frac{f_x^2 + f_y^2}{f_y^2 f_{xx} + f_x^2 f_{yy} - f_x f_y f_{xy}}$$ अत: दोलन वृत्त की त्रिज्या है $$R=\left| \frac{\left(f_x^2 + f_y^2\right)^{3/2}}{\left(f_y^2 f_{xx} + f_x^2 f_{yy} - f_x f_y f_{xy}\right)} \right|$$ एक स्पष्ट फलन के लिए $$ f(x,y) = y - g(x) $$, हम पिछले अनुभाग के परिणाम पाते हैं।

गुण
पर्याप्त रूप से कोमल प्राचलिक समीकरणों (दो बार लगातार अलग-अलग) द्वारा दिए गए वक्र $C$ के लिए, आश्लेषी वृत्त एक सीमित प्रक्रिया द्वारा प्राप्त किया जा सकता है: यह सी पर तीन अलग-अलग बिंदुओं से गुजरने वाले वृत्तों की सीमा है क्योंकि ये बिंदु P के समीप पहुंचते हैं। यह पूर्णतयः वक्र के स्पर्शरेखा के निर्माण के समान है, जो कि $C$  पर अलग-अलग बिंदुओं के जोड़े के माध्यम से छेदक रेखाओं की सीमा के रूप में है, जो कि P के निकट है।

एक नियमित बिंदु P पर एक समतल वक्र C से दोलनशील वृत्त S को निम्नलिखित गुणों द्वारा चित्रित किया जा सकता है: इसे सामन्यतः वक्र के रूप में व्यक्त किया जाता है और इसके आश्लेषी वृत्त में P पर दूसरा या उच्च क्रम संपर्क (गणित) होता है। संक्षेप में, C और S का प्रतिनिधित्व करने वाले सदिश फलन P पर उनके पहले और दूसरे व्युत्पन्न के साथ सहमत होते हैं।
 * वृत्त S, P से होकर गुजरता है।
 * वृत्त S और वक्र C की P पर उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है और इसलिए उभयनिष्ठ सामान्य रेखा है।
 * P के समीप, सामान्य दिशा में वक्र C और वृत्त S के बिंदुओं के बीच की दूरी घन के रूप में या स्पर्शरेखा दिशा में P की दूरी की उच्च शक्ति के रूप में घट जाती है।

यदि s के संबंध में वक्रता का व्युत्पन्न P पर गैर-शून्य है, तो दोलन वृत्त वक्र C को P पर काटता है। बिंदु P जिस पर वक्रता का व्युत्पन्न शून्य होता है, शीर्ष (वक्र)  कहलाता है। यदि P एक शीर्ष है तो C और उसके दोलन वृत्त में कम से कम तीन क्रम का संपर्क है। यदि इसके अलावा, वक्रता में P पर एक गैर-शून्य  स्थानीय अधिकतम  या न्यूनतम होता है, तो दोलन वृत्त वक्र C को P पर स्पर्श करता है लेकिन इसे काटता नहीं है।

वक्र C को इसके दोलन वृत्तों के एक-मापदण्ड परिवार के पत्र(गणित) के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। उनके केंद्र, यानी वक्रता के केंद्र, एक और वक्र बनाते हैं, जिसे C का  केन्द्रज कहा जाता है। C के शीर्ष इसके केन्द्रज पर एकवचन बिंदुओं के अनुरूप होते हैं।

वक्र C के किसी भी चाप के अन्दर, जिसके अन्दर वक्रता एक ताल है (अर्थात, वक्र के किसी भी शीर्ष (वक्र) से दूर), आश्लेषी वृत्त सभी एक दूसरे के अन्दर अलग और नेस्टेड हैं। इस परिणाम को टैट-नेसर प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

परवलय
परवलय के लिए $$\gamma(t) = \begin{bmatrix} t \\ t^2 \end{bmatrix}$$ वक्रता त्रिज्या है $$R(t)= \left| \frac{ \left(1 + 4 t^2 \right)^{3/2}}{2} \right| $$ शीर्ष पर $$\gamma(0) = \begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix}$$ वक्रता त्रिज्या $R(0) = 0.5$ बराबर होती है (रेखा - चित्र देखें)। परवलय का चौथे क्रम का संपर्क वहां अपने दोलन चक्र के साथ होता है। बड़े $t$ के लिए वक्रता त्रिज्या  ~$t$बढ़ जाती है, यानी वक्र अधिक से अधिक सीधा होता है।

लिसाजस वक्र
आवृत्तियों के अनुपात (3:2) के साथ एक लिसाजस वक्र  को निम्नानुसार प्राचलिक किया जा सकता है
 * $$ \gamma(t) = \begin{bmatrix} \cos(3t) \\ \sin(2t) \end{bmatrix}. $$

इसने वक्रता $k(t)$ पर सांकेतिक किए हैं, सामान्य इकाई सदिश $N(t)$ और वक्रता त्रिज्या $R(t)$ के द्वारा दिया गया $$k(t) = \frac{6\cos(t)(8(\cos t)^4-10(\cos t)^2+5)}{\left(232(\cos t)^4-97(\cos t)^2 + 13 - 144(\cos t)^6\right)^{3/2}} \,, $$ $$N(t) = \frac{1}{\| \gamma'(t)\|} \cdot \begin{bmatrix} -2\cos(2t) \\ -3\sin(3t) \end{bmatrix}$$ तथा $$R(t) = \left| \frac{\left(232\cos^4(t) -97 \cos^2(t) + 13 - 144 \cos^6(t)\right)^{3/2}}{6\cos(t)\left(8\cos^4(t) - 10\cos^2(t) +5\right)} \right|.$$ सजीवता के लिए चित्र देखें। वहाँ त्वरण सदिश दूसरा व्युत्पन्न है $\frac{d^2\gamma}{ds^2}$ चाप की लंबाई $s$ के संबंध में

चक्रवात
त्रिज्या वाला एक चक्रज  $r$ निम्नानुसार प्राचलिक किया जा सकता है: $$ \gamma(t) = \begin{bmatrix} r\left(t - \sin t\right) \\ r\left(1 - \cos t\right) \end{bmatrix} $$ इसकी वक्रता निम्न सूत्र द्वारा दी गई है: $$\kappa(t) = - \frac{\left| \csc \left( \frac{t}{2} \right) \right|}{4r}$$ जो देता है: $$R(t) = \frac{4r}{\left| \csc \left( \frac{t}{2} \right) \right|}$$

यह भी देखें

 * वृत्त पैकिंग प्रमेय
 * ओस्कुलेटिंग कर्व
 * ओस्कुलेटिंग क्षेत्र

अग्रिम पठन
For some historical notes on the study of curvature, see For application to maneuvering vehicles see
 * JC Alexander and JH Maddocks (1988): On the maneuvering of vehicles

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक लिंक की सूची

 * आर्किमिडीयन सर्पिल
 * बहुत छोता
 * वक्राकार लंबाई
 * प्रमुख सामान्य सदिश
 * वृत्तों की स्पर्श रेखाएं
 * टैट-कनेसर प्रमेय
 * लिफाफा (गणित)

बाहरी संबंध

 * math3d : osculating_circle
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