सबमैनिफोल्ड

गणित में, कई गुना  एम का एक सबमैनिफोल्ड एक उपसमुच्चय एस है, जिसमें स्वयं मैनिफोल्ड की संरचना होती है, और जिसके लिए समावेशन मानचित्र होता है S → M कुछ गुणों को संतुष्ट करता है। वास्तव में किन गुणों की आवश्यकता है, इसके आधार पर विभिन्न प्रकार के सबमैनिफोल्ड होते हैं। अलग-अलग लेखकों की अक्सर अलग-अलग परिभाषाएँ होती हैं।

औपचारिक परिभाषा
निम्नलिखित में हम मानते हैं कि सभी मैनिफोल्ड, अवकलनीयता वर्ग सी के भिन्न-भिन्न मैनिफोल्ड हैंrएक निश्चित के लिए r ≥ 1, और सभी आकारिकी वर्ग सी से भिन्न हैंर.

विसर्जित उपमान
मैनिफोल्ड एम का एक डूबा हुआ सबमैनफोल्ड एक विसर्जन (गणित) मानचित्र की छवि एस है f : N → M; सामान्य तौर पर यह छवि एक उपसमुच्चय के रूप में एक उपमान नहीं होगी, और एक विसर्जन मानचित्र को इंजेक्शन  (एक-से-एक) होने की भी आवश्यकता नहीं है - इसमें स्व-प्रतिच्छेदन हो सकते हैं। अधिक संकीर्ण रूप से, किसी को मानचित्र की आवश्यकता हो सकती है f : N → M एक इंजेक्शन (एक-से-एक) बनें, जिसमें हम इसे एक इंजेक्शन विसर्जन (गणित) कहते हैं, और एक टोपोलॉजी (संरचना) और विभेदक संरचना जैसे छवि उपसमुच्चय  एस  के रूप में एक डूबे हुए उपमान को परिभाषित करते हैं वह एस एक मैनिफोल्ड है और समावेशन एफ एक भिन्नरूपता है: यह सिर्फ एन पर टोपोलॉजी है, जो सामान्य तौर पर उपसमुच्चय टोपोलॉजी से सहमत नहीं होगा: सामान्य तौर पर उपसमुच्चय  उपसमुच्चय टोपोलॉजी में S, M का उपमान नहीं है।

किसी भी इंजेक्शन विसर्जन को देखते हुए f : N → M एम में एन की छवि (गणित) को विशिष्ट रूप से एक डूबे हुए सबमैनिफोल्ड की संरचना दी जा सकती है ताकि f : N → f(N) एक भिन्नरूपता है। इससे यह पता चलता है कि विसर्जित सबमैनिफोल्ड्स वास्तव में इंजेक्शन विसर्जन की छवियां हैं।

डूबे हुए सबमैनिफोल्ड पर सबमैनिफोल्ड टोपोलॉजी को एम से विरासत में मिली सबस्पेस टोपोलॉजी होने की आवश्यकता नहीं है। सामान्य तौर पर, यह सबस्पेस टोपोलॉजी की तुलना में बेहतर टोपोलॉजी होगी (यानी इसमें अधिक खुले सेट होंगे)।

डूबे हुए सबमैनिफोल्ड लाई समूहों के सिद्धांत में होते हैं जहां लाई उपसमूह स्वाभाविक रूप से डूबे हुए सबमैनिफोल्ड होते हैं। वे पत्तियों से सजाना  के अध्ययन में भी दिखाई देते हैं जहां डूबे हुए सबमैनिफोल्ड्स फ्रोबेनियस प्रमेय (डिफरेंशियल टोपोलॉजी) को साबित करने के लिए सही संदर्भ प्रदान करते हैं।

एंबेडेड सबमैनिफोल्ड्स
एक एम्बेडेड सबमैनिफोल्ड (जिसे रेगुलर सबमैनिफोल्ड भी कहा जाता है), एक डूबा हुआ सबमैनिफोल्ड है जिसके लिए समावेशन मानचित्र एक टोपोलॉजिकल एम्बेडिंग है। अर्थात्, एस पर सबमैनिफोल्ड टोपोलॉजी सबस्पेस टोपोलॉजी के समान है।

किसी भी एम्बेडिंग को देखते हुए f : N → Mएम में मैनिफोल्ड एन की छवि एफ(एन) में स्वाभाविक रूप से एक एम्बेडेड सबमैनिफोल्ड की संरचना होती है। अर्थात्, एम्बेडेड सबमैनिफोल्ड्स बिल्कुल एम्बेडिंग की छवियां हैं।

एम्बेडेड सबमैनिफोल्ड की एक आंतरिक परिभाषा है जो अक्सर उपयोगी होती है। मान लीजिए कि M एक n-आयामी मैनिफ़ोल्ड है, और मान लीजिए कि k एक पूर्णांक है 0 ≤ k ≤ n. एम का एक के-आयामी एम्बेडेड सबमैनिफोल्ड एक उपसमुच्चय है S ⊂ M ऐसा कि हर बिंदु के लिए p ∈ S एक चार्ट मौजूद है (टोपोलॉजी) (U ⊂ M, φ : U → Rn) जिसमें p इस प्रकार है φ(S ∩ U) φ(U) के साथ एक k-आयामी विमान (गणित) का प्रतिच्छेदन है। जोड़े (S ∩ U, φ एस पर विभेदक संरचना के लिए एक एटलस (टोपोलॉजी) बनाएं।

अलेक्जेंडर का प्रमेय और स्कोनफ्लाइज़ प्रमेय|जॉर्डन-स्कोनफ्लाइज़ प्रमेय सुचारू एम्बेडिंग के अच्छे उदाहरण हैं।

अन्य विविधताएँ
साहित्य में प्रयुक्त उपमानों की कुछ अन्य विविधताएँ भी हैं। एक साफ-सुथरा सबमैनिफोल्ड  एक ऐसा मैनिफोल्ड है जिसकी सीमा संपूर्ण मैनिफोल्ड की सीमा से मेल खाती है। शार्प (1997) एक प्रकार के सबमैनिफोल्ड को परिभाषित करता है जो एक एम्बेडेड सबमैनिफोल्ड और एक डूबे हुए सबमैनिफोल्ड के बीच कहीं स्थित होता है।

कई लेखक टोपोलॉजिकल सबमैनिफोल्ड्स को भी परिभाषित करते हैं। ये C के समान हैंआरसबमैनिफोल्ड्स के साथ r = 0. एम्बेडिंग का विस्तार करने वाले प्रत्येक बिंदु पर एक स्थानीय चार्ट के अस्तित्व के अर्थ में एक एम्बेडेड टोपोलॉजिकल सबमैनिफोल्ड आवश्यक रूप से नियमित नहीं है। प्रतिउदाहरणों में जंगली चाप और जंगली गांठें शामिल हैं।

गुण
एम के किसी भी डूबे हुए सबमैनफोल्ड एस को देखते हुए, एस में एक बिंदु पी के स्पर्शरेखा स्थान को स्वाभाविक रूप से एम में पी के स्पर्शरेखा स्थान के एक रैखिक उप-स्थान के रूप में माना जा सकता है। यह इस तथ्य से पता चलता है कि समावेशन मानचित्र एक विसर्जन है और एक प्रदान करता है इंजेक्शन
 * $$i_{\ast}: T_p S \to T_p M.$$

मान लीजिए कि S, M का एक डूबा हुआ सबमैनिफोल्ड है। यदि समावेशन मानचित्र i : S → M बंद नक्शा है तो एस वास्तव में एम का एक एम्बेडेड सबमैनिफोल्ड है। इसके विपरीत, यदि एस एक एम्बेडेड सबमैनिफोल्ड है जो एक बंद उपसमुच्चय भी है तो समावेशन नक्शा बंद है। समावेशन मानचित्र i : S → M बंद है यदि और केवल यदि यह एक उचित मानचित्र है (अर्थात कॉम्पैक्ट सेट की व्युत्क्रम छवियां कॉम्पैक्ट हैं)। यदि i बंद है तो S को M का 'क्लोज्ड एम्बेडेड सबमैनिफोल्ड' कहा जाता है। बंद एम्बेडेड सबमैनिफोल्ड्स सबमैनिफोल्ड्स का सबसे अच्छा वर्ग बनाते हैं।

वास्तविक समन्वय स्थान के उपमानव
स्मूथ मैनिफोल्ड्स को कभी-कभी वास्तविक समन्वय स्थान 'आर' के एम्बेडेड सबमैनिफोल्ड्स के रूप में परिभाषित किया जाता है।n, कुछ n के लिए। यह दृष्टिकोण सामान्य, अमूर्त दृष्टिकोण के बराबर है, क्योंकि, व्हिटनी एम्बेडिंग प्रमेय द्वारा, किसी भी दूसरे-गणनीय स्थान | दूसरे-गणनीय चिकनी (अमूर्त) एम-मैनिफोल्ड को 'आर' में आसानी से एम्बेड किया जा सकता है।2 मी.