स्थानीयकरण (कम्यूटेटिव बीजगणित)

क्रमविनिमेय बीजगणित और बीजगणितीय ज्यामिति में, स्थानीयकरण एक दिए गए वलय (गणित) या मॉड्यूल (गणित) में भाजक को परिचित कराने का एक औपचारिक तरीका है। अर्थात्, यह एक मौजूदा रिंग/मॉड्यूल 'आर' से बाहर एक नया रिंग/मॉड्यूल पेश करता है, ताकि इसमें बीजगणितीय अंश हो $$\frac{m}{s},$$ ऐसा है कि denominator एस आर के दिए गए सबसेट एस से संबंधित है। यदि एस एक अभिन्न डोमेन के गैर-शून्य तत्वों का सेट है, तो स्थानीयकरण अंशों का क्षेत्र है: यह मामला क्षेत्र के निर्माण को सामान्यीकृत करता है $$\Q$$ रिंग से परिमेय संख्याओं की $$\Z$$ पूर्णांकों का।

तकनीक मौलिक हो गई है, विशेष रूप से बीजगणितीय ज्यामिति में, क्योंकि यह शीफ (गणित) सिद्धांत के लिए एक प्राकृतिक लिंक प्रदान करती है। वास्तव में, स्थानीयकरण शब्द की उत्पत्ति बीजगणितीय ज्यामिति में हुई है: यदि R किसी ज्यामितीय वस्तु (बीजीय विविधता) V पर परिभाषित फ़ंक्शन (गणित) का एक वलय है, और कोई बिंदु p के पास स्थानीय रूप से इस विविधता का अध्ययन करना चाहता है, तो कोई इस पर विचार करता है सभी कार्यों के एस सेट करें जो पी पर शून्य नहीं हैं और एस के संबंध में आर को स्थानांतरित करते हैं। परिणामी अंगूठी $$S^{-1}R$$ पी के पास वी के व्यवहार के बारे में जानकारी शामिल है, और ऐसी जानकारी को बाहर करता है जो स्थानीय नहीं है, जैसे किसी फ़ंक्शन का शून्य जो वी के बाहर है (c.f. स्थानीय रिंग में दिया गया उदाहरण)।

एक अंगूठी का स्थानीयकरण
एक क्रमविनिमेय अंगूठी  का स्थानीयकरण $R$ गुणात्मक रूप से बंद सेट द्वारा  $S$ एक नई अंगूठी है $$S^{-1}R$$ जिनके तत्व अंशों के साथ अंश हैं $R$ और भाजक में $S$.

यदि वलय एक अभिन्न डोमेन है, तो निर्माण अंशों के क्षेत्र का सामान्यीकरण करता है और बारीकी से अनुसरण करता है, और विशेष रूप से, परिमेय संख्याओं का पूर्णांकों के भिन्नों के क्षेत्र के रूप में। उन रिंगों के लिए जिनमें शून्य विभाजक हैं, निर्माण समान है लेकिन अधिक देखभाल की आवश्यकता है।

गुणक सेट
स्थानीयकरण आमतौर पर गुणक रूप से बंद सेट के संबंध में किया जाता है $S$ (एक गुणक सेट या गुणक प्रणाली भी कहा जाता है) एक अंगूठी के तत्वों का $R$, यह इसका एक उपसमुच्चय है $R$ जो गुणन के तहत क्लोजर (गणित) है, और इसमें शामिल है $1$.

आवश्यकता है कि $S$ एक गुणक सेट होना स्वाभाविक है, क्योंकि इसका तात्पर्य है कि स्थानीयकरण द्वारा पेश किए गए सभी भाजक संबंधित हैं $S$. एक सेट द्वारा स्थानीयकरण $U$ जो गुणनात्मक रूप से बंद नहीं है, को भी परिभाषित किया जा सकता है, जितना संभव हो सके तत्वों के सभी उत्पादों को ले कर $U$. हालाँकि, गुणक रूप से बंद सेट का उपयोग करके समान स्थानीयकरण प्राप्त किया जाता है $S$ के तत्वों के सभी उत्पादों की $U$. जैसा कि यह अक्सर तर्क और अंकन को सरल बनाता है, यह गुणक सेटों द्वारा केवल स्थानीयकरणों पर विचार करने के लिए मानक अभ्यास है।

उदाहरण के लिए, एकल तत्व द्वारा स्थानीयकरण $s$ प्रपत्र के भिन्नों का परिचय देता है $$\tfrac a s,$$ लेकिन ऐसे अंशों के उत्पाद भी, जैसे $$\tfrac {ab} {s^2}.$$ इसलिए, भाजक गुणक समुच्चय से संबंधित होंगे $$\{1, s, s^2, s^3,\ldots\}$$ की शक्तियों का $s$. इसलिए, आम तौर पर एक तत्व द्वारा स्थानीयकरण के बजाय एक तत्व की शक्तियों द्वारा स्थानीयकरण की बात की जाती है।

एक अंगूठी का स्थानीयकरण $R$ गुणक समुच्चय द्वारा $S$ आम तौर पर निरूपित किया जाता है $$S^{-1}R,$$ लेकिन कुछ विशेष मामलों में आमतौर पर अन्य नोटेशन का उपयोग किया जाता है: यदि $$S= \{1, t, t^2,\ldots \}$$ एक तत्व की शक्तियों से मिलकर बनता है, $$S^{-1}R$$ अक्सर निरूपित किया जाता है $$R_t;$$ अगर $$S=R\setminus \mathfrak p$$ एक प्रमुख आदर्श का पूरक (सेट सिद्धांत) है $$\mathfrak p$$, तब $$S^{-1}R$$ निरूपित किया जाता है $$R_\mathfrak p.$$ इस लेख के शेष भाग में, गुणक सेट द्वारा केवल स्थानीयकरण पर विचार किया जाता है।

इंटीग्रल डोमेन
जब अंगूठी $R$ एक अभिन्न डोमेन है और $S$ शामिल नहीं है $0$, अंगूठी $$S^{-1}R$$ के अंशों के क्षेत्र का उपवलय है $R$. जैसे, एक डोमेन का स्थानीयकरण एक डोमेन है।

अधिक सटीक रूप से, यह के अंशों के क्षेत्र का सबरिंग है $R$, जिसमें अंश होते हैं $$\tfrac a s$$ ऐसा है कि $$s\in S.$$ योग के बाद से यह एक सबरिंग है $$\tfrac as + \tfrac bt = \tfrac {at+bs}{st},$$ और उत्पाद $$\tfrac as \, \tfrac bt = \tfrac {ab}{st}$$ के दो तत्वों का $$S^{-1}R$$ में हैं $$S^{-1}R.$$ यह एक गुणक समुच्चय की परिभाषित संपत्ति से उत्पन्न होता है, जिसका तात्पर्य यह भी है $$1=\tfrac 11\in S^{-1}R.$$ इस मामले में, $R$ का उपसमूह है $$S^{-1}R.$$ यह नीचे दिखाया गया है कि यह अब सामान्य रूप से सत्य नहीं है, आमतौर पर जब $S$ में शून्य विभाजक हैं।

उदाहरण के लिए, दशमलव अंश दस की शक्तियों के गुणात्मक सेट द्वारा पूर्णांकों की अंगूठी का स्थानीयकरण है। इस मामले में, $$S^{-1}R$$ में परिमेय संख्याएँ होती हैं जिन्हें इस रूप में लिखा जा सकता है $$\tfrac n{10^k},$$ कहाँ $n$ एक पूर्णांक है, और $k$ एक अऋणात्मक पूर्णांक है।

सामान्य निर्माण
सामान्य स्थिति में, शून्य भाजक के साथ समस्या उत्पन्न होती है। होने देना $S$ क्रमविनिमेय वलय में गुणक समुच्चय हो $R$. लगता है कि $$s\in S,$$ और $$0\ne a\in R$$ के साथ एक शून्य भाजक है $$as=0.$$ तब $$\tfrac a1$$ में छवि है $$S^{-1}R$$ का $$a\in R,$$ और एक है $$\tfrac a1 = \tfrac {as}s = \tfrac 0s = \tfrac 01.$$ इस प्रकार के कुछ अशून्य तत्व $R$ में शून्य होना चाहिए $$S^{-1}R.$$ इसके बाद का निर्माण इसे ध्यान में रखकर बनाया गया है।

दिया गया $R$ और $S$ ऊपर के रूप में, कोई तुल्यता संबंध पर विचार करता है $$R\times S$$ जिसके द्वारा परिभाषित किया गया है $$(r_1, s_1) \sim (r_2, s_2)$$ यदि कोई मौजूद है $$t\in S$$ ऐसा है कि $$t(s_1r_2-s_2r_1)=0.$$ स्थानीयकरण $$S^{-1}R$$ इस संबंध के लिए समकक्ष वर्गों के सेट के रूप में परिभाषित किया गया है। का वर्ग $(r, s)$ के रूप में दर्शाया गया है $$\frac rs,$$ $$r/s,$$ या $$s^{-1}r.$$ तो, एक के पास है $$\tfrac{r_1}{s_1}=\tfrac{r_2}{s_2}$$ अगर और केवल अगर वहाँ है $$t\in S$$ ऐसा है कि $$t(s_1r_2-s_2r_1)=0.$$ का कारण $$t$$ उपरोक्त जैसे मामलों को संभालना है $$\tfrac a1 = \tfrac 01,$$ कहाँ $$s_1r_2-s_2r_1$$ भले ही अंशों को समान माना जाना चाहिए, फिर भी शून्य नहीं है।

स्थानीयकरण $$S^{-1}R$$ जोड़ के साथ एक क्रमविनिमेय वलय है
 * $$\frac {r_1}{s_1}+\frac {r_2}{s_2} = \frac{r_1s_2+r_2s_1}{s_1s_2},$$

गुणा
 * $$\frac {r_1}{s_1}\,\frac {r_2}{s_2} = \frac{r_1r_2}{s_1s_2},$$

जोड़ने योग्य पहचान $$\tfrac 01,$$ और गुणक पहचान $$\tfrac 11.$$ समारोह (गणित)
 * $$r\mapsto \frac r1$$

से एक रिंग समरूपता को परिभाषित करता है $$R$$ में $$S^{-1}R,$$ जो इंजेक्शन समारोह है अगर और केवल अगर $S$ में कोई शून्य भाजक नहीं है।

अगर $$0\in S,$$ तब $$S^{-1}R$$ वह शून्य वलय है जिसके पास है $0$ अद्वितीय तत्व के रूप में।

अगर $S$ के सभी शून्य भाजक का समुच्चय है $R$ (वह तत्व हैं जो शून्य विभाजक नहीं हैं), $$S^{-1}R$$ के अंशों का कुल वलय कहा जाता है $R$.

सार्वभौमिक संपत्ति
(ऊपर परिभाषित) रिंग समरूपता $$j\colon R\to S^{-1}R$$ नीचे वर्णित एक सार्वभौमिक संपत्ति को संतुष्ट करता है। यह विशेषता है $$S^{-1}R$$ एक समरूपता तक। इसलिए स्थानीयकरण के सभी गुणों को सार्वभौमिक संपत्ति से स्वतंत्र रूप से उनके निर्माण के तरीके से घटाया जा सकता है। इसके अलावा, स्थानीयकरण के कई महत्वपूर्ण गुण सार्वभौमिक गुणों के सामान्य गुणों से आसानी से निकाले जाते हैं, जबकि उनका प्रत्यक्ष प्रमाण एक साथ तकनीकी, सीधा और उबाऊ हो सकता है।

सार्वभौमिक संपत्ति से संतुष्ट $$j\colon R\to S^{-1}R$$ निम्नलखित में से कोई:
 * अगर $$f\colon R\to T$$ एक रिंग समरूपता है जो प्रत्येक तत्व को मैप करता है $S$ एक इकाई (रिंग थ्योरी) (उलटा तत्व) में $T$, एक अद्वितीय रिंग समरूपता मौजूद है $$g\colon S^{-1}R\to T$$ ऐसा है कि $$f=g\circ j.$$

श्रेणी सिद्धांत का उपयोग करते हुए, यह कहकर व्यक्त किया जा सकता है कि स्थानीयकरण एक मज़ेदार है जो एक भुलक्कड़ ऑपरेटर के साथ छोड़ दिया गया है। अधिक सटीक, चलो $$\mathcal C$$ और $$\mathcal D$$ वे श्रेणियां हों जिनकी वस्तुओं को एक क्रमविनिमेय वलय और एक submonoid  की जोड़ी का क्रम दिया गया हो, क्रमशः गुणक मोनोइड या वलय की इकाइयों का समूह। इन श्रेणियों के morphisms रिंग होमोमोर्फिज्म हैं जो पहली वस्तु के सबमोनॉइड को दूसरे के सबमोनॉइड में मैप करते हैं। अंत में, चलो $$\mathcal F\colon \mathcal D \to \mathcal C$$ भुलक्कड़ फ़नकार बनें जो यह भूल जाता है कि जोड़ी के दूसरे तत्व के तत्व उलटे हैं।

फिर गुणनखंड $$f=g\circ j$$ सार्वभौमिक संपत्ति की एक आपत्ति को परिभाषित करता है
 * $$\hom_\mathcal C((R,S), \mathcal F(T,U))\to \hom_\mathcal D ((S^{-1}R, j(S)), (T,U)).$$

यह सार्वभौमिक संपत्ति को व्यक्त करने का एक मुश्किल तरीका प्रतीत हो सकता है, लेकिन यह इस तथ्य का उपयोग करके आसानी से कई गुणों को दिखाने के लिए उपयोगी है कि दो बाएं आसन्न फ़ैक्टरों की संरचना एक बाएं आसन्न फ़ैक्टर है।

उदाहरण

 * अगर $$R=\Z$$ पूर्णांकों का वलय है, और $$S=\Z\setminus \{0\},$$ तब $$S^{-1}R$$ मैदान है $$\Q$$ परिमेय संख्याओं का।
 * अगर $R$ एक अभिन्न डोमेन है, और $$S=R\setminus \{0\},$$ तब $$S^{-1}R$$ के अंशों का क्षेत्र है $R$. पूर्ववर्ती उदाहरण इसका एक विशेष मामला है।
 * अगर $R$ क्रमविनिमेय वलय है, और यदि $S$ इसके तत्वों का सबसेट है जो शून्य विभाजक नहीं हैं $$S^{-1}R$$ के अंशों का कुल वलय है $R$. इस मामले में, $S$ सबसे बड़ा बहुगुणक समुच्चय है जैसे समरूपता $$R\to S^{-1}R$$ इंजेक्शन है। पूर्ववर्ती उदाहरण इसका एक विशेष मामला है।
 * अगर $x$ क्रमविनिमेय वलय का एक तत्व है $R$ और $$S=\{1, x, x^2, \ldots\},$$ तब $$S^{-1}R$$ पहचाना जा सकता है ( विहित समरूपता है) $$R[x^{-1}]=R[s]/(xs-1).$$ (सबूत में यह दिखाना शामिल है कि यह अंगूठी उपरोक्त सार्वभौमिक संपत्ति को संतुष्ट करती है।) इस प्रकार का स्थानीयकरण एक संबंध योजना की परिभाषा में मौलिक भूमिका निभाता है।
 * अगर $$\mathfrak p$$ एक क्रमविनिमेय अंगूठी का एक प्रमुख आदर्श है $R$, सेट पूरक $$S=R\setminus \mathfrak p$$ का $$\mathfrak p$$ में $R$ एक गुणक समुच्चय है (एक प्रमुख आदर्श की परिभाषा के अनुसार)। अंगूठी $$S^{-1}R$$ एक स्थानीय वलय है जिसे आम तौर पर निरूपित किया जाता है $$R_\mathfrak p,$$ और की स्थानीय अंगूठी कहा जाता है $R$ पर $$\mathfrak p.$$ इस प्रकार का स्थानीयकरण क्रमविनिमेय बीजगणित में मूलभूत है, क्योंकि एक क्रमविनिमेय वलय के कई गुणों को इसके स्थानीय छल्लों पर पढ़ा जा सकता है। ऐसी संपत्ति को अक्सर स्थानीय संपत्ति कहा जाता है। उदाहरण के लिए, एक वलय नियमित वलय है यदि और केवल यदि इसके सभी स्थानीय वलय नियमित हैं।

अंगूठी गुण
स्थानीयकरण एक समृद्ध निर्माण है जिसमें कई उपयोगी गुण हैं। इस खंड में, केवल रिंगों और एकल स्थानीयकरण से संबंधित गुणों पर विचार किया जाता है। अन्य वर्गों में आदर्श (रिंग थ्योरी), मॉड्यूल (गणित), या कई गुणात्मक सेट से संबंधित गुणों पर विचार किया जाता है।


 * $$S^{-1}R = 0$$ अगर और केवल अगर $S$ रोकना $0$.
 * रिंग समरूपता $$R\to S^{-1}R$$ इंजेक्शन है अगर और केवल अगर $S$ में कोई शून्य भाजक नहीं है।
 * रिंग समरूपता $$R\to S^{-1}R$$ अंगूठियों की श्रेणी में एक अधिरूपता है, जो सामान्य रूप से विशेषण नहीं है।
 * अंगूठी $$S^{-1}R$$ एक फ्लैट मॉड्यूल है | फ्लैट $R$-मॉड्यूल (देखें जानकारी के लिए)।
 * अगर $$S=R\setminus \mathfrak p$$ एक प्रमुख आदर्श का पूरक (सेट सिद्धांत) है $$\mathfrak p$$, तब $$S^{-1} R,$$ लक्षित $$R_\mathfrak p,$$ एक स्थानीय वलय है; अर्थात्, इसका केवल एक अधिकतम आदर्श है।

संपत्तियों को दूसरे खंड में स्थानांतरित किया जाना है
 * स्थानीयकरण परिमित रकम, उत्पादों, चौराहों और रेडिकल्स के निर्माण के साथ शुरू होता है; उदा., यदि $$\sqrt{I}$$ R में एक आदर्श I के मूलांक को निरूपित करें, तब
 * $$\sqrt{I} \cdot S^{-1}R = \sqrt{I \cdot S^{-1}R}\,.$$
 * विशेष रूप से, आर कम अंगूठी है अगर और केवल अगर इसके अंशों की कुल अंगूठी कम हो जाती है।


 * मान लें कि R अंश K के क्षेत्र के साथ एक अभिन्न डोमेन है। फिर इसका स्थानीयकरण $$R_\mathfrak{p}$$ एक प्रमुख आदर्श पर $$\mathfrak{p}$$ K. के उप-वलय के रूप में देखा जा सकता है। इसके अलावा,
 * $$R = \bigcap_\mathfrak{p} R_\mathfrak{p} = \bigcap_\mathfrak{m} R_\mathfrak{m}$$
 * जहां पहला चौराहा सभी प्रमुख आदर्शों पर है और दूसरा अधिकतम आदर्शों पर है।


 * एस के प्रमुख आदर्शों के सेट के बीच एक आक्षेप है−1R और R के प्रमुख आदर्शों का समुच्चय जो S को नहीं काटते हैं। यह आक्षेप दिए गए समाकारिता R → S से प्रेरित है-1आर.

एक गुणक सेट की संतृप्ति
होने देना $$S \subseteq R$$ गुणक समुच्चय हो। संतृप्ति $$\hat{S}$$ का $$S$$ सेट है
 * $$\hat{S} = \{ r \in R \colon \exists s \in R, rs \in S \}.$$

गुणक सेट $S$ संतृप्त है यदि यह अपनी संतृप्ति के बराबर है, अर्थात यदि $$\hat{S}=S$$, या समकक्ष, अगर $$rs \in S$$ इसका आशय है $r$ और $s$ में हैं $S$.

अगर $S$ संतृप्त नहीं है, और $$rs \in S,$$ तब $$\frac s{rs}$$ की छवि का गुणक प्रतिलोम है $r$ में $$S^{-1}R.$$ तो, के तत्वों की छवियां $$\hat S$$ में सभी उलटे हैं $$S^{-1}R,$$ और सार्वभौमिक संपत्ति का तात्पर्य है $$S^{-1}R$$ और $$\hat {S}{}^{-1}R$$ कैनोनिकल आइसोमोर्फिज्म हैं, यानी उनके बीच एक अद्वितीय आइसोमोर्फिज्म है जो तत्वों की छवियों को ठीक करता है $R$.

अगर $S$ और $T$ तब दो गुणक समुच्चय हैं $$S^{-1}R$$ और $$T^{-1}R$$ आइसोमॉर्फिक हैं यदि और केवल यदि उनके पास समान संतृप्ति है, या, समकक्ष, यदि $s$ गुणक समुच्चय में से एक से संबंधित है, तो वहाँ मौजूद है $$t\in R$$ ऐसा है कि $st$ दूसरे का है।

संतृप्त गुणात्मक सेट व्यापक रूप से स्पष्ट रूप से उपयोग नहीं किए जाते हैं, क्योंकि यह सत्यापित करने के लिए कि एक सेट संतृप्त है, किसी को रिंग की सभी इकाई (रिंग थ्योरी) को जानना चाहिए।

संदर्भ द्वारा समझाया शब्दावली
स्थानीयकरण शब्द की उत्पत्ति आधुनिक गणित की सामान्य प्रवृत्ति से हुई है, जो स्थानीय रूप से ज्यामिति और टोपोलॉजी वस्तुओं का अध्ययन करने के लिए है, जो कि प्रत्येक बिंदु के पास उनके व्यवहार के संदर्भ में है। इस प्रवृत्ति के उदाहरण कई गुना, रोगाणु (गणित) और शीफ (गणित) की मौलिक अवधारणाएं हैं। बीजगणितीय ज्यामिति में, एक सजातीय बीजगणितीय सेट को एक बहुपद अंगूठी के भागफल की अंगूठी के साथ इस तरह से पहचाना जा सकता है कि बीजगणितीय सेट के बिंदु अंगूठी के अधिकतम आदर्शों के अनुरूप होते हैं (यह हिल्बर्ट का नलस्टेलेंसैट है)। इस पत्राचार को जरिस्की टोपोलॉजी से लैस एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक कम्यूटेटिव रिंग के प्रमुख आदर्शों के सेट को बनाने के लिए सामान्यीकृत किया गया है; इस टोपोलॉजिकल स्पेस को रिंग का स्पेक्ट्रम कहा जाता है।

इस संदर्भ में, गुणक सेट द्वारा एक स्थानीयकरण को प्रमुख आदर्शों (बिंदुओं के रूप में देखा गया) के उप-क्षेत्र के लिए एक अंगूठी के स्पेक्ट्रम के प्रतिबंध के रूप में देखा जा सकता है जो गुणक सेट को नहीं काटते हैं।

स्थानीयकरण के दो वर्गों को अधिक सामान्यतः माना जाता है:
 * गुणक समुच्चय एक प्रधान आदर्श का पूरक (समुच्चय सिद्धांत) है $$\mathfrak p$$ एक अंगूठी का $R$. इस मामले में, कोई स्थानीयकरण की बात करता है $$\mathfrak p$$, या एक बिंदु पर स्थानीयकरण। परिणामी अंगूठी, निरूपित $$R_\mathfrak p$$ एक स्थानीय वलय है, और एक रोगाणु (गणित) # कीटाणुओं का बीजगणितीय एनालॉग है।
 * गुणक समुच्चय में एक तत्व की सभी शक्तियाँ होती हैं $t$ एक अंगूठी का $R$. परिणामी अंगूठी को आमतौर पर निरूपित किया जाता है $$R_t,$$ और इसका स्पेक्ट्रम प्रमुख आदर्शों का ज़ारिस्की खुला सेट है जिसमें शामिल नहीं है $t$. इस प्रकार स्थानीयकरण एक स्थलीय स्थान के एक बिंदु के पड़ोस के प्रतिबंध का एनालॉग है (प्रत्येक प्रमुख आदर्श में एक पड़ोस का आधार होता है जिसमें इस फॉर्म के ज़रिस्की खुले सेट होते हैं)।

संख्या सिद्धांत और बीजगणितीय टोपोलॉजी में, जब रिंग पर काम कर रहे हों $$\Z$$ पूर्णांकों में से, एक पूर्णांक के सापेक्ष एक संपत्ति को संदर्भित करता है $n$ एक संपत्ति के रूप में सच है $n$ या दूर $n$, माने जाने वाले स्थानीयकरण पर निर्भर करता है। से दूर $n$ का अर्थ है कि संपत्ति को स्थानीयकरण के बाद की शक्तियों द्वारा माना जाता है $n$, और अगर $p$ एक प्रमुख संख्या है, पर $p$ का मतलब है कि संपत्ति को मुख्य आदर्श पर स्थानीयकरण के बाद माना जाता है $$p\Z$$. इस शब्दावली को इस तथ्य से समझाया जा सकता है कि, यदि $p$ प्रधान है, के स्थानीयकरण के अशून्य प्रमुख आदर्श $$\Z$$ या तो सिंगलटन सेट हैं $\{p\}$ या अभाज्य संख्याओं के समुच्चय में इसका पूरक।

स्थानीयकरण और आदर्शों की संतृप्ति
होने देना $S$ क्रमविनिमेय वलय में गुणक समुच्चय हो $R$, और $$j\colon R\to S^{-1}R$$ कैनोनिकल रिंग होमोमोर्फिज्म हो। एक आदर्श (रिंग थ्योरी) दिया गया $I$ में $R$, होने देना $$S^{-1}I$$ में अंशों का सेट $$S^{-1}R$$ जिसका अंश में है $I$. यह का एक आदर्श है $$S^{-1}R,$$ जिसके द्वारा उत्पन्न होता है $j(I)$, और का स्थानीयकरण कहा जाता है $I$ द्वारा $S$.

की संतृप्ति $I$ द्वारा $S$ है $$j^{-1}(S^{-1}I);$$ का एक आदर्श है $R$, जिसे तत्वों के समुच्चय के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है $$r\in R$$ ऐसा है कि वहाँ मौजूद है $$s\in S$$ साथ $$sr\in I.$$ आदर्शों के कई गुणों को या तो संतृप्ति और स्थानीयकरण द्वारा संरक्षित किया जाता है, या स्थानीयकरण और संतृप्ति के सरल गुणों की विशेषता हो सकती है। जो आगे हुआ, $S$ एक वलय में गुणक समुच्चय है $R$, और $I$ और $J$ के आदर्श हैं $R$; एक आदर्श की संतृप्ति $I$ गुणक समुच्चय द्वारा $S$ अंकित है $$\operatorname{sat}_S (I),$$ या, जब गुणक सेट $S$ संदर्भ से स्पष्ट है, $$\operatorname{sat}(I).$$ * $$1 \in S^{-1}I \quad\iff\quad 1\in \operatorname{sat}(I) \quad\iff\quad S\cap I \neq \emptyset$$
 * $$I \subseteq J \quad\ \implies \quad\ S^{-1}I \subseteq S^{-1}J \quad\ \text{and} \quad\ \operatorname{sat}(I)\subseteq \operatorname{sat}(J)$$ (यह सख्त उपसमुच्चय के लिए हमेशा सत्य नहीं होता है)
 * $$S^{-1}(I \cap J) = S^{-1}I \cap S^{-1}J,\qquad\, \operatorname{sat}(I \cap J) = \operatorname{sat}(I) \cap \operatorname{sat}(J)$$
 * $$S^{-1}(I + J) = S^{-1}I + S^{-1}J,\qquad \operatorname{sat}(I + J) = \operatorname{sat}(I) + \operatorname{sat}(J)$$
 * $$S^{-1}(I \cdot J) = S^{-1}I \cdot S^{-1}J,\qquad\quad \operatorname{sat}(I \cdot J) = \operatorname{sat}(I) \cdot \operatorname{sat}(J)$$
 * अगर $$\mathfrak p$$ एक प्रमुख आदर्श ऐसा है $$\mathfrak p \cap S = \emptyset,$$ तब $$S^{-1}\mathfrak p$$ एक प्रमुख आदर्श और है $$\mathfrak p = \operatorname{sat}(\mathfrak p)$$; यदि चौराहा खाली नहीं है, तो $$S^{-1}\mathfrak p = S^{-1}R$$ और $$\operatorname{sat}(\mathfrak p)=R.$$

एक मॉड्यूल का स्थानीयकरण
होने देना $R$ क्रमविनिमेय वलय हो, $S$ एक गुणक सेट हो $R$, और $M$ सेम $R$-मॉड्यूल (गणित)। मॉड्यूल का स्थानीयकरण $M$ द्वारा $S$, निरूपित $S^{−1}M$, एक $S^{−1}R$-मॉड्यूल जो बिल्कुल स्थानीयकरण के रूप में बनाया गया है $R$, सिवाय इसके कि अंशों के अंश किससे संबंधित हैं $M$. अर्थात्, एक समुच्चय के रूप में, इसमें निरूपित तुल्यता वर्ग होते हैं $$\frac ms$$, जोड़े का $(m, s)$, कहाँ $$m\in M$$ और $$s\in S,$$ और दो जोड़े $(m, s)$ और $(n, t)$ समान हैं यदि कोई तत्व है $u$ में $S$ ऐसा है कि
 * $$u(sn-tm)=0.$$

योग और अदिश गुणन को सामान्य भिन्नों के रूप में परिभाषित किया गया है (निम्नलिखित सूत्र में, $$r\in R,$$ $$s,t\in S,$$ और $$m,n\in M$$):
 * $$\frac{m}{s} + \frac{n}{t} = \frac{tm+sn}{st},$$
 * $$\frac rs \frac{m}{t} = \frac{r m}{st}.$$

इसके अतिरिक्त, $S^{−1}M$ भी एक है $R$-अदिश गुणन के साथ मॉड्यूल
 * $$ r\, \frac{m}{s} = \frac r1 \frac ms = \frac{rm}s.$$

यह जांचना सीधा है कि ये ऑपरेशन अच्छी तरह से परिभाषित हैं, अर्थात, वे भिन्नों के प्रतिनिधियों के विभिन्न विकल्पों के लिए समान परिणाम देते हैं।

मॉड्यूल के स्थानीयकरण को मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद का उपयोग करके समान रूप से परिभाषित किया जा सकता है:
 * $$S^{-1}M=S^{-1}R \otimes_R M.$$

तुल्यता का प्रमाण (कैनोनिकल आइसोमोर्फिज़्म तक) यह दिखा कर किया जा सकता है कि दो परिभाषाएँ एक ही सार्वभौमिक संपत्ति को संतुष्ट करती हैं।

मॉड्यूल गुण
अगर $M$ एक का submodule है $R$-मापांक $N$, और $S$ एक गुणक सेट है $R$, किसी के पास $$S^{-1}M\subseteq S^{-1}N.$$ इसका तात्पर्य यह है कि यदि $$f\colon M\to N$$ एक इंजेक्शन मॉड्यूल समरूपता है, तो
 * $$S^{-1}R\otimes_R f : \quad S^{-1}R\otimes_R M\to S^{-1}R\otimes_R N$$

एक इंजेक्शन समरूपता भी है।

चूंकि टेन्सर उत्पाद एक सही सटीक फ़ंक्टर है, इसका तात्पर्य है कि स्थानीयकरण द्वारा $S$ के सटीक अनुक्रमों को मैप करता है $R$-मॉड्यूल के सटीक अनुक्रम के लिए $$S^{-1}R$$-मॉड्यूल। दूसरे शब्दों में, स्थानीयकरण एक सटीक फ़ैक्टर है, और $$S^{-1}R$$ एक फ्लैट मॉड्यूल है | फ्लैट $R$-मापांक।

यह समतलता और तथ्य यह है कि स्थानीयकरण एक सार्वभौमिक संपत्ति को हल करता है जिससे स्थानीयकरण मॉड्यूल और रिंगों के कई गुणों को संरक्षित करता है, और अन्य सार्वभौमिक गुणों के समाधान के साथ संगत है। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक परिवर्तन
 * $$S^{-1}(M \otimes_R N) \to S^{-1}M \otimes_{S^{-1}R} S^{-1}N$$

एक समरूपता है। अगर $$M$$ एक बारीक रूप से प्रस्तुत किया गया मॉड्यूल, प्राकृतिक मानचित्र है
 * $$S^{-1} \operatorname{Hom}_R (M, N) \to \operatorname{Hom}_{S^{-1}R} (S^{-1}M, S^{-1}N)$$

एक समरूपता भी है। यदि एक मॉड्यूल M, R के ऊपर एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल है, तो एक के पास है
 * $$S^{-1}(\operatorname{Ann}_R(M)) = \operatorname{Ann}_{S^{-1}R}(S^{-1}M),$$

कहाँ $$\operatorname{Ann}$$ सर्वनाश (रिंग सिद्धांत) को दर्शाता है, जो कि रिंग के तत्वों का आदर्श है जो मॉड्यूल के सभी तत्वों को शून्य करने के लिए मैप करता है। विशेष रूप से,
 * $$S^{-1} M = 0\quad \iff \quad S\cap \operatorname{Ann}_R(M) \ne \emptyset,$$ वह है, अगर $$t M = 0$$ कुछ के लिए $$t \in S.$$

primes पर स्थानीयकरण
एक प्रधान आदर्श की परिभाषा का तात्पर्य तुरंत है कि सेट पूरक है $$S=R\setminus \mathfrak p$$ एक प्रमुख आदर्श का $$\mathfrak p$$ एक कम्यूटेटिव रिंग में $R$ एक गुणक समुच्चय है। इस मामले में, स्थानीयकरण $$S^{-1}R$$ सामान्य रूप से निरूपित किया जाता है $$R_\mathfrak p.$$ अंगूठी $$R_\mathfrak p$$ एक स्थानीय वलय है, जिसे स्थानीय वलय कहा जाता है $R$ पर $$\mathfrak p.$$ इस का मतलब है कि $$\mathfrak p\,R_\mathfrak p=\mathfrak p\otimes_R R_\mathfrak p$$ अंगूठी का अद्वितीय अधिकतम आदर्श है $$R_\mathfrak p.$$ इस तरह के स्थानीयकरण कई कारणों से क्रमविनिमेय बीजगणित और बीजगणितीय ज्यामिति के लिए मौलिक हैं। एक यह है कि सामान्य क्रमविनिमेय छल्लों की तुलना में स्थानीय छल्लों का अध्ययन करना अक्सर आसान होता है, विशेष रूप से एम्मा नाकायमा के कारण। हालांकि, मुख्य कारण यह है कि कई गुण एक रिंग के लिए सही हैं यदि और केवल अगर वे इसके सभी स्थानीय रिंगों के लिए सही हैं। उदाहरण के लिए, एक वलय नियमित वलय है यदि और केवल यदि इसके सभी स्थानीय वलय नियमित स्थानीय वलय हैं।

एक वलय के गुण जिन्हें इसके स्थानीय छल्लों पर चित्रित किया जा सकता है, स्थानीय गुण कहलाते हैं, और अक्सर बीजगणितीय किस्मों की ज्यामितीय स्थानीय संपत्ति के बीजगणितीय समकक्ष होते हैं, जो ऐसे गुण होते हैं जिनका अध्ययन विविधता के प्रत्येक बिंदु के एक छोटे से पड़ोस में प्रतिबंध द्वारा किया जा सकता है।. (स्थानीय संपत्ति की एक और अवधारणा है जो ज़रिस्की खुले सेटों के स्थानीयकरण को संदर्भित करती है; देखें, नीचे।)

कई स्थानीय गुण इस तथ्य का परिणाम हैं कि मॉड्यूल
 * $$\bigoplus_\mathfrak p R_\mathfrak p$$

एक भरोसेमंद फ्लैट मॉड्यूल है जब प्रत्यक्ष योग सभी प्रमुख आदर्शों (या सभी अधिकतम आदर्शों पर) पर लिया जाता है $R$). ईमानदारी से सपाट वंश भी देखें।

स्थानीय गुणों के उदाहरण
एक संपत्ति $P$ की एक $R$-मापांक $M$ एक स्थानीय संपत्ति है यदि निम्न स्थितियाँ समतुल्य हैं:
 * $P$ के लिए रखता है $M$.
 * $P$ सभी के लिए है $$M_\mathfrak{p},$$ कहाँ $$\mathfrak{p}$$ का प्रमुख आदर्श है $R$.
 * $P$ सभी के लिए है $$M_\mathfrak{m},$$ कहाँ $$\mathfrak{m}$$ का अधिकतम आदर्श है $R$.

निम्नलिखित स्थानीय गुण हैं:
 * $M$ शून्य है।
 * $M$ मरोड़-मुक्त है (मामले में जहां $R$ एक क्रमविनिमेय डोमेन  है)।
 * $M$ एक फ्लैट मॉड्यूल है।
 * $M$ एक उलटा मॉड्यूल है (मामले में जहां $R$ एक क्रमविनिमेय डोमेन है, और $M$ के अंशों के क्षेत्र का एक सबमॉड्यूल है $R$).
 * $$f\colon M \to N$$ इंजेक्शन (प्रतिक्रिया विशेषण) है, जहां $N$ दूसरा है $R$-मापांक।

दूसरी ओर, कुछ संपत्तियां स्थानीय संपत्तियां नहीं होती हैं। उदाहरण के लिए, क्षेत्र (गणित) का एक अनंत प्रत्यक्ष उत्पाद एक अभिन्न डोमेन नहीं है और न ही नोथेरियन रिंग है, जबकि इसके सभी स्थानीय रिंग फ़ील्ड हैं, और इसलिए नोथेरियन इंटीग्रल डोमेन हैं।

जरिस्की ओपन सेट
के लिए स्थानीयकरण

गैर-कम्यूटेटिव केस
गैर-कम्यूटेटिव रिंगों का स्थानीयकरण करना अधिक कठिन है। जबकि संभावित इकाइयों के प्रत्येक सेट एस के लिए स्थानीयकरण मौजूद है, यह ऊपर वर्णित एक के लिए एक अलग रूप ले सकता है। एक शर्त जो यह सुनिश्चित करती है कि स्थानीयकरण अच्छी तरह से व्यवहार किया जाता है वह अयस्क की स्थिति है।

गैर-कम्यूटेटिव रिंगों के लिए एक मामला जहां स्थानीयकरण का स्पष्ट हित अंतर ऑपरेटरों के रिंगों के लिए है। इसकी व्याख्या है, उदाहरण के लिए, एक औपचारिक व्युत्क्रम D से सटे हुए−1 एक अवकलन संकारक D के लिए। यह अवकल समीकरणों के तरीकों में कई संदर्भों में किया जाता है। इसके बारे में अब एक बड़ा गणितीय सिद्धांत है, जिसे माइक्रोलोकल विश्लेषण  कहा जाता है, जो कई अन्य शाखाओं से जुड़ता है। माइक्रो-टैग विशेष रूप से फूरियर सिद्धांत के साथ संबंध के साथ करना है।

यह भी देखें

 * स्थानीय विश्लेषण
 * एक श्रेणी का स्थानीयकरण
 * एक टोपोलॉजिकल स्पेस का स्थानीयकरण

संदर्भ

 * Atiyah and MacDonald. Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley.
 * Borel, Armand. Linear Algebraic Groups (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97370-2.
 * Matsumura. Commutative Algebra.  Benjamin-Cummings
 * Serge Lang, "Algebraic Number Theory," Springer, 2000. pages 3–4.
 * Matsumura. Commutative Algebra.  Benjamin-Cummings
 * Serge Lang, "Algebraic Number Theory," Springer, 2000. pages 3–4.
 * Serge Lang, "Algebraic Number Theory," Springer, 2000. pages 3–4.
 * Serge Lang, "Algebraic Number Theory," Springer, 2000. pages 3–4.

बाहरी संबंध

 * Localization from MathWorld.