अंतिम टोपोलॉजी

गणित के सामान्य सांस्थिति और संबंधित क्षेत्रों में, अंतिम सांस्थिति (या सहप्रेरित, शक्तिशाली, कोलिमिट, या इंडक्टिव सांस्थिति) एक सम्मुच्चय $$X$$ पर, सांस्थितिक समष्टि से $$X$$ में कार्यों के वर्ग के संबंध में $$X$$ पर बेहतरीन सांस्थिति है जो उन सभी कार्यों को निरंतर बनाता है।

अनुपात स्थल (सांस्थिति) एक अंतिम सांस्थिति है, जो कि एकल विशेषण फलन के संबंध में है, अर्थात् भागफल मानचित्र। समावेशन मानचित्रों के संबंध में विसंधित संघ (सांस्थिति) अंतिम सांस्थिति है। अंतिम सांस्थिति भी सांस्थिति है जो सांस्थितिक समष्टि की श्रेणी में प्रत्येक सीधी सीमा से संपन्न है, और यह प्रत्यक्ष सीमा के संदर्भ में है कि अंतिम सांस्थिति प्रायः प्रकट होती है। एक सांस्थिति उपसमष्‍टि सांस्थिति के कुछ संग्रह के साथ सुसंगत सांस्थिति है यदि और केवल यदि यह प्राकृतिक समावेशन से प्रेरित अंतिम सांस्थिति है।

दोहरी धारणा प्रारंभिक सांस्थिति है, जो एक सम्मुच्चय से कार्यों के दिए गए वर्ग सांस्थितिक समष्टि के लिए $$X$$ है सांस्थितिक समष्टि में सबसे मोटे सांस्थिति $$X$$ है जो उन कार्यों को निरंतर करता है।

परिभाषा
संबंधित कार्यों के साथ सांस्थितिक स्थल $$\left(Y_i, \upsilon_i\right)$$ के सम्मुच्चय $$X$$ और $$I$$-तालिका वर्ग को देखते हुए $$f_i : Y_i \to X,$$ $$X$$ पर बेहतरीन सांस्थिति $$\tau_{\mathcal{F}}$$ है पर ऐसा है कि $$f_i : \left(Y_i, \upsilon_i\right) \to \left(X, \tau_{\mathcal{F}}\right)$$ प्रत्येक $$i\in I$$ के लिए निरंतर (सांस्थिति) है।

स्पष्ट रूप से, अंतिम सांस्थिति को निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है:
 * उपसमुच्चय $$U$$ का $$X$$ अंतिम सांस्थिति $$\left(X, \tau_{\mathcal{F}}\right)$$ (वह है, $$U \in \tau_{\mathcal{F}}$$) में खुला है यदि और केवल यदि $$f_i^{-1}(U)$$ में $$\left(Y_i, \upsilon_i\right)$$ खुला $$i\in I$$ है.

बंद उपसमुच्चय में एक समान विशेषता है:
 * उपसमुच्चय $$C$$ का $$X$$ अंतिम सांस्थिति में बंद $$\left(X, \tau_{\mathcal{F}}\right)$$ है यदि और केवल यदि $$f_i^{-1}(C)$$ में बंद $$\left(Y_i, \upsilon_i\right)$$ है।

$$X$$ पर अंतिम सांस्थिति को प्रेरित करने वाले कार्यों का वर्ग $$\mathcal{F}$$ सामान्यतः कार्यों का एक सम्मुच्चय है। लेकिन वही निर्माण किया जा सकता है यदि $$\mathcal{F}$$ कार्यों का एक उचित वर्ग है, और परिणाम अभी भी ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सम्मुच्चय सिद्धांत में अच्छी तरह से परिभाषित है। उस मामले में हमेशा $$\mathcal{F}$$ का एक उपवर्ग $$\mathcal{G}$$ होता है, जिसमें $$\mathcal{G}$$ एक सम्मुच्चय होता है, जैसे कि $$X$$ पर अंतिम सांस्थिति $$\mathcal{F}$$ द्वारा प्रेरित होती है। और $$\mathcal{G}$$ से संपाती हैं। इस पर अधिक जानकारी के लिए, उदाहरण के लिए यहां चर्चा देखें। एक उदाहरण के रूप में, सघन रूप से उत्पन्न स्थान की धारणा के एक सामान्य रूप से प्रयुक्त संस्करण को कार्यों के एक उचित वर्ग के संबंध में अंतिम सांस्थिति के रूप में परिभाषित किया गया है।

उदाहरण
महत्वपूर्ण विशेष स्तिथि जहां मानचित्र का वर्ग $$\mathcal{F}$$ एक विशेषण मानचित्र से मिलकर भागफल मानचित्र की धारणा का उपयोग करके पूरी तरह से चित्रित किया जा सकता है। एक विशेषण फलन $$f : (Y, \upsilon) \to \left(X, \tau\right)$$ सांस्थितिक समष्टि के बीच एक भागफल मानचित्र है यदि और केवल यदि सांस्थिति $$\tau$$ पर $$X$$ अंतिम सांस्थिति $$\mathcal{F}=\{f\}$$ वर्ग द्वारा प्रेरित  $$\tau_{\mathcal{F}}$$ के साथ मेल खाता है।  विशेष रूप से: भागफल स्थान (सांस्थिति) द्वारा प्रेरित भागफल स्थान पर भागफल सांस्थिति अंतिम सांस्थिति है।

$$X$$-मूल्यवान मानचित्र के एक वर्ग द्वारा प्रेरित एक सम्मुच्चय $$X$$ पर अंतिम सांस्थिति को भागफल सांस्थिति के दूरगामी सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है, जहां केवल एक के स्थान पर कई मानचित्रों का उपयोग किया जा सकता है और जहां इन मानचित्रों को अनुमान लगाने की आवश्यकता नहीं है।

सांस्थितिक रिक्त स्थान $$X_i$$ दिया गया, विसंधित संघ पर विसंधित संघ (सांस्थिति) $$\coprod_i X_i$$ प्राकृतिक अंतःक्षेपण द्वारा प्रेरित विसंधित संघ पर अंतिम सांस्थिति है।

सांस्थिति के सम्मुच्चय के एक वर्ग $$\left(\tau_i\right)_{i \in I}$$ को देखते हुए एक निश्चित सम्मुच्चय $$X$$ पर अंतिम सांस्थिति पहचान $$X$$ मानचित्र के संबंध में $$\operatorname{id}_{\tau_i} : \left(X, \tau_i\right) \to X$$ जैसा $$i$$ $$I,$$ से अधिक है इसे $$\tau,$$कहते हैं और इन सांस्थिति में से कम (या मिलना)  $$\left(\tau_i\right)_{i \in I}$$है सांस्थिति के जाल में $$X$$ यानी अंतिम सांस्थिति $$\tau$$ प्रतिच्छेदन $$\tau = \bigcap_{i \in I} \tau_i$$ (सम्मुच्चय सिद्धांत) के बराबर है। रिक्त स्थान और निरंतर मानचित्रों के किसी भी प्रत्यक्ष प्रणाली (गणित) की प्रत्यक्ष सीमा सम्मुच्चय-सैद्धांतिक प्रत्यक्ष सीमा है, जो कैनोनिकल मोर्फिज्म द्वारा निर्धारित अंतिम सांस्थिति के साथ है। स्पष्ट रूप से, इसका अर्थ यह है कि यदि $$\operatorname{Sys}_Y = \left(Y_i, f_{ji}, I\right)$$ सांस्थितिक रिक्त स्थान की श्रेणी में एक प्रत्यक्ष प्रणाली है और यदि $$\left(X, \left(f_i\right)_{i \in I}\right)$$ की सीधी सीमा सम्मुच्चय की श्रेणी में $$\operatorname{Sys}_Y$$ है, फिर एंडोइंग द्वारा $$X$$ अंतिम सांस्थिति के साथ $$\tau_{\mathcal{F}}$$ प्रेरक $$\mathcal{F} := \left\{ f_i : i \in I \right\},$$ $$\left(\left(X, \tau_{\mathcal{F}}\right), \left(f_i\right)_{i \in I}\right)$$ की सीधी सीमा शीर्ष श्रेणी में $$\operatorname{Sys}_Y$$ बन जाती है।

एक पुलिंदा के ईटेल स्थान को अंतिम सांस्थिति द्वारा टोपोलॉजीकृत किया जाता है।

एक प्रथम-गणनीय हौसडॉर्फ स्थान $$(X, \tau)$$ स्थानीय रूप से पथ से जुड़ा हुआ है यदि और केवल यदि $$\tau$$ पर $$C\left([0, 1]; X\right)$$अंतिम सांस्थिति के बराबर $$X$$ है। सम्मुच्चय से प्रेरित सभी निरंतर मानचित्रों की $$[0, 1] \to (X, \tau),$$ जहां ऐसे किसी मानचित्र को पथ (गणित) $$(X, \tau).$$ कहा जाता है यदि हॉसडॉर्फ स्थानीय रूप से उत्तल सांस्थितिक सदिश स्थल सांस्थितिक सदिश स्थल $$(X, \tau)$$ है तब एक फ्रेचेट-उरीसोहन स्थान $$\tau$$ पर अंतिम सांस्थिति के बराबर है $$X$$ सम्मुच्चय से प्रेरित $$\operatorname{Arc}\left([0, 1]; X\right)$$ $$(X, \tau)$$ सभी वृत्त (सांस्थिति) में जो परिभाषा के अनुसार निरंतर पथ $$[0, 1] \to (X, \tau)$$ (गणित) हैं जो सांस्थितिक अंतःस्थापन भी हैं।

निरंतर मानचित्रों के माध्यम से लक्षण वर्णन
सांस्थितिक समष्टि $$Y_i$$ से $$X$$ सम्मुच्चय पर दिए गए कार्य $$f_i : Y_i \to X,$$ अंतिम सांस्थिति चालू $$X$$ इन कार्यों के संबंध में $$f_i$$ निम्नलिखित संपत्ति को संतुष्ट करता है:
 * एक फलन $$g$$ से $$X$$ किसी जगह को $$Z$$ निरंतर है यदि और केवल यदि $$g \circ f_i$$ प्रत्येक $$i \in I.$$ के लिए निरंतर है

यह गुण इस अर्थ में अंतिम सांस्थिति की विशेषता बताता है कि यदि कोई सांस्थिति चालू है $$X$$ उपरोक्त संपत्ति को सभी रिक्त स्थान के लिए $$Z$$ और सभी कार्य $$g:X\to Z$$ संतुष्ट करता है, फिर सांस्थिति चालू $$X$$ के संबंध में अंतिम सांस्थिति $$f_i.$$ है

संरचना के अंतर्गत व्यवहार
मान लीजिये $$\mathcal{F} := \left\{ f_i:Y_i \to X \mid i \in I \right\}$$ मानचित्र का एक वर्ग है, और हर किसी $$i \in I,$$ के लिए सांस्थिति $$Y_i$$ पर $$\upsilon_i$$ कुछ वर्ग द्वारा प्रेरित अंतिम सांस्थिति $$\mathcal{G}_i$$ $$Y_i$$ में मूल्यवान मानचित्रों का है फिर अंतिम सांस्थिति चालू $$X$$ प्रेरक $$\mathcal{F}$$ पर अंतिम सांस्थिति $$X$$ के बराबर है। मानचित्रों $$\left\{ f_i \circ g ~:~ i \in I \text{ and } g \in \cal G_i \right\}$$ से प्रेरित है परिणामस्वरूप: यदि $$\tau_{\mathcal{F}}$$ पर अंतिम सांस्थिति है $$X$$ वर्ग द्वारा प्रेरित $$\mathcal{F} := \left\{ f_i : i \in I \right\}$$ और यदि $$\pi : X \to (S, \sigma)$$ क्या कोई आच्छादन मानचित्र है जिसका किसी सांस्थितिक समष्टि में महत्व है, $$(S, \sigma),$$ तब $$\pi : \left(X, \tau_{\mathcal{F}}\right) \to (S, \sigma)$$ यदि और केवल यदि एक भागफल मानचित्र $$(S, \sigma)$$ है  मानचित्र से प्रेरित अंतिम सांस्थिति $$\left\{ \pi \circ f_i ~:~ i \in I \right\}$$है, असंयुक्त संघ सांस्थिति की सार्वभौमिक संपत्ति से हम जानते हैं कि निरंतर मानचित्रों के किसी भी वर्ग $$f_i : Y_i \to X,$$ को दिया गया एक अनूठा निरंतर मानचित्र है $$f : \coprod_i Y_i \to X$$ यह प्राकृतिक अन्तःक्षेपण के साथ संगत है। यदि मानचित्र का वर्ग $$f_i$$ $$X$$ (यानी प्रत्येक $$x \in X$$ कुछ की छवि $$f_i$$ में निहित है) फिर मानचित्र $$f$$ यदि और केवल यदि एक भागफल मानचित्र होगा $$X$$ मानचित्र से प्रेरित अंतिम सांस्थिति $$f_i$$ है

मानचित्र के वर्ग बदलने के प्रभाव
मान लीजिये $$\mathcal{F} := \left\{ f_i : i \in I \right\}$$ का वर्ग $$X$$-मूल्यवान मानचित्र हो जिसमें प्रत्येक मानचित्र $$f_i : \left(Y_i, \upsilon_i\right) \to X$$ प्ररूप का हो और मान लीजिये $$\tau_{\mathcal{F}}$$ $$\mathcal{F}$$ द्वारा प्रेरित $$X$$ पर अंतिम सांस्थिति को निरूपित करें। अंतिम सांस्थिति की परिभाषा प्रत्याभुति देती है कि प्रत्येक सूचकांक $$i,$$ के लिए वो मानचित्र $$f_i : \left(Y_i, \upsilon_i\right) \to \left(X, \tau_{\mathcal{F}}\right)$$ सतत कार्य (सांस्थिति) है।

किसी उपसमुच्चय $$\mathcal{S} \subseteq \mathcal{F}$$ के लिए, अंतिम सांस्थिति $$\tau_{\mathcal{S}}$$ पर $$X$$ सांस्थिति की तुलना $$\tau_{\mathcal{F}}$$ में (और संभवतः इसके बराबर) सूक्ष्मतर होगी। इसका अर्थ है कि, $$\mathcal{S} \subseteq \mathcal{F}$$ तात्पर्य $$\tau_{\mathcal{F}} \subseteq \tau_{\mathcal{S}},$$ जहां सम्मुच्चय समानता हो सकती है भले ही $$\mathcal{S}$$ का उचित उपसमुच्चय $$\mathcal{F}$$ है। यदि $$\tau$$ क्या कोई सांस्थिति $$X$$ चालू है तो ऐसा है कि $$\tau \neq \tau_{\mathcal{F}}$$ और $$f_i : \left(Y_i, \upsilon_i\right) \to (X, \tau)$$ प्रत्येक सूचकांक के लिए निरंतर $$i \in I$$ है,  तब $$\tau$$ होना चाहिए सांस्थिति की तुलना | स्थान $$\tau_{\mathcal{F}}$$ पर  (मतलब है कि $$\tau \subseteq \tau_{\mathcal{F}}$$ और $$\tau \neq \tau_{\mathcal{F}};$$ यह लिखा जाएगा $$\tau \subsetneq \tau_{\mathcal{F}}$$) और इसके अतिरिक्त, किसी भी उपवर्ग के लिए $$\mathcal{S} \subseteq \mathcal{F}$$ सांस्थिति $$\tau$$ यह भी होगा  अंतिम सांस्थिति की तुलना में $$\tau_{\mathcal{S}}$$ वह $$\mathcal{S}$$ $$X$$ प्रवृत्त करता है  (क्योंकि $$\tau_{\mathcal{F}} \subseteq \tau_{\mathcal{S}}$$); अर्थात्, $$\tau \subsetneq \tau_{\mathcal{S}}$$। मान लीजिए कि इसके अतिरिक्त, $$\mathcal{G} := \left\{g_a : a \in A\right\}$$ एक $$A$$-अनुक्रमित वर्ग $$X$$-मूल्यवान मानचित्र $$g_a : Z_a \to X$$ जिनके कार्यक्षेत्र सांस्थितिक समष्टि $$\left(Z_a, \zeta_a\right)$$ हैं।  यदि हर $$g_a : \left(Z_a, \zeta_a\right) \to \left(X, \tau_{\mathcal{F}}\right)$$ निरंतर है तो इन मानचित्र को वर्ग में जोड़ रहा है अर्थात्, $$\tau_{\mathcal{F} \cup \mathcal{G}} = \tau_{\mathcal{F}}$$। स्पष्ट रूप से, इसका मतलब है कि अंतिम सांस्थिति $$X$$ चालू है  विस्तारित वर्ग से प्रेरित $$\mathcal{F} \cup \mathcal{G}$$ अंतिम सांस्थिति के बराबर है $$\tau_{\mathcal{F}}$$ मूल वर्ग से प्रेरित $$\mathcal{F} = \left\{ f_i : i \in I \right\}.$$ हालाँकि, क्या इसके स्थान पर सिर्फ एक मानचित्र $$g_{a_0}$$ भी उपस्थित था यह इस प्रकार है कि $$g_{a_0} : \left(Z_{a_0}, \zeta_{a_0}\right) \to \left(X, \tau_{\mathcal{F}}\right)$$ था  निरंतर, फिर अंतिम सांस्थिति $$\tau_{\mathcal{F} \cup \mathcal{G}}$$ पर $$X$$ विस्तारित वर्ग से प्रेरित $$\mathcal{F} \cup \mathcal{G}$$ अनिवार्य रूप से सांस्थिति की तुलना होगी  अंतिम सांस्थिति की तुलना में $$\tau_{\mathcal{F}}$$ प्रेरक $$\mathcal{F};$$ अर्थात, $$\tau_{\mathcal{F} \cup \mathcal{G}} \subsetneq \tau_{\mathcal{F}}$$ (यह फुटनोट देखें स्पष्टीकरण के लिए)।

उप-स्थानों के साथ सामंजस्य
मान लीजिए $$(X, \tau)$$ एक सांस्थितिक समष्टि है और $$\mathbb{S}$$ को $$(X, \tau)$$ के उपसमष्‍टि का एक वर्ग होने दें जहां महत्वपूर्ण रूप से, शब्द "उपसमष्‍टि" का उपयोग यह इंगित करने के लिए किया जाता है कि प्रत्येक उपसमुच्चय $$S \in \mathbb{S}$$ में उपसमष्‍टि सांस्थिति $$\tau_{\mathcal{S}}$$ है जो $$(X, \tau)$$ से विरासत में मिली है।} स्पेस $$(X, \tau)$$ कहा जाता है

$$\mathcal{S} := \left\{ \operatorname{In}_S^X ~:~ S \in \mathbb{S} \right\}$$समावेशन मानचित्र रूप लेता है
 * $$\operatorname{In}_S^X : \left( S, \tau\vert_S \right) \to X.$$ परिभाषा को सुलझाना, $$(X, \tau)$$ से सुसंगत है $$\mathbb{S}$$ यदि और केवल यदि निम्न कथन सत्य है:
 * प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए $$U \subseteq X,$$ $$U$$ में खुला है $$(X, \tau)$$ यदि और केवल यदि प्रत्येक के लिए $$S \in \mathbb{S},$$ $$U \cap S$$ उपसमष्‍टि सांस्थिति में खुला $$\left(S, \tau\vert_S\right)$$है।

इसके स्थान पर बंद सम्मुच्चयों की जाँच की जा सकती है: $$(X, \tau)$$ $$\mathbb{S}$$ से सुसंगत है यदि और केवल यदि हर उपवर्ग के लिए $$C \subseteq X,$$ $$C$$ में बंद $$(X, \tau)$$ है। यदि और केवल यदि प्रत्येक $$S \in \mathbb{S},$$ के लिए  $$C \cap S$$ में बंद $$\left( S, \tau\vert_S \right)$$है उदाहरण के लिए, यदि $$\mathbb{O}$$ एक सांस्थितिक समष्टि का आवरण $$(X, \tau)$$ है खुले उप-स्थानों द्वारा (यानी के खुले उपसमुच्चय $$(X, \tau)$$ उपसमष्‍टि सांस्थिति के साथ संपन्न) तब $$\tau$$ से सुसंगत $$\mathbb{O}$$ है  इसके विपरीत यदि $$\mathbb{S}$$ के सभी सिंगलटन सम्मुच्चय का सम्मुच्चय है $$(X, \tau)$$ (प्रत्येक सम्मुच्चय को अपनी अनूठी सांस्थिति के साथ संपन्न किया जा रहा है) तब $$(X, \tau)$$ से सुसंगत है $$\mathbb{S}$$ यदि और केवल यदि $$\tau$$ असतत सांस्थिति चालू है $$X$$ विहित अन्तःक्षेपण के वर्ग के संबंध में असंयुक्त सम्मिलन (सांस्थिति) अंतिम सांस्थिति है। एक स्थान $$(X, \tau)$$ कहा जाता है और  यदि $$\tau$$ सम्मुच्चय  $$\mathbb{K}$$ के सभी सघन उप-स्थानों में से $$(X, \tau)$$ के अनुरूप है। सभी प्रथम-गिनने योग्य स्थान और सभी हौसडॉर्फ स्थान स्थानीय रूप से सघन स्थान हैं -स्थल, ताकि विशेष रूप से, हर बहुविध और हर मेट्रिजेबल स्थल अपने सभी सघन उपसमष्‍टि के वर्ग के साथ सुसंगत हो।

जैसा कि बाद के उदाहरणों से प्रदर्शित होता है, कुछ परिस्थितियों में, उप-स्थानों के साथ सुसंगतता के संदर्भ में अधिक सामान्य अंतिम सांस्थिति को चिह्नित करना संभव हो सकता है।

मान लीजिये $$\mathcal{F} := \left\{ f_i : i \in I \right\}$$ का वर्ग हो $$X$$-वैल्यूड मानचित्र जिसमें प्रत्येक मानचित्र प्ररूप का हो $$f_i : \left(Y_i, \upsilon_i\right) \to X$$ और जाने $$\tau_{\mathcal{F}}$$ अंतिम सांस्थिति को निरूपित करें $$X$$ प्रेरक $$\mathcal{F}.$$ लगता है कि $$\tau$$ पर एक सांस्थिति है $$X$$ और हर सूचकांक के लिए $$i \in I,$$ छवि (गणित) $$\operatorname{Im} f_i := f_i(Y_i)$$ उपसमष्‍टि सांस्थिति से संपन्न है $$\tau\vert_{\operatorname{Im} f_i}$$ विरासत में मिला $$(X, \tau).$$ यदि प्रत्येक के लिए $$i \in I,$$ वो मानचित्र $$f_i : \left(Y_i, \upsilon_i\right) \to \left( \operatorname{Im} f_i, \tau\vert_{\operatorname{Im} f_i} \right)$$ तब एक भागफल मानचित्र है $$\tau = \tau_{\mathcal{F}}$$ यदि और केवल यदि $$(X, \tau)$$ सभी छवियों के सम्मुच्चय के साथ सुसंगत है $$\left\{ \left( \operatorname{Im} f_i, \tau\vert_{\operatorname{Im} f_i} \right) ~:~ i \in I \right\}.$$

परिमित-आयामी यूक्लिडियन रिक्त स्थान की सीधी सीमा पर अंतिम सांस्थिति
मान लीजिये $$\R^{\infty} ~:=~ \left\{ \left(x_1, x_2, \ldots\right) \in \R^{\N} ~:~ \text{ सभी लेकिन निश्चित रूप से बहुत } x_i \text{ से बराबर हैं } 0 \right\},$$ निरूपित करें, जहाँ $$\R^{\N}$$ सभी वास्तविक अनुक्रमों के स्थान को दर्शाता है। प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए $$n \in \N,$$ मान लीजिये $$\R^n$$ यूक्लिडियन सांस्थिति के साथ संपन्न सामान्य यूक्लिडियन अंतरिक्ष को निरूपित करें और जाने दें $$\operatorname{In}_{\R^n} : \R^n \to \R^{\infty}$$ द्वारा परिभाषित समावेशन मानचित्र को निरूपित करें $$\operatorname{In}_{\R^n}\left(x_1, \ldots, x_n\right) := \left(x_1, \ldots, x_n, 0, 0, \ldots\right)$$ ताकि इसकी छवि (गणित) हो $$\operatorname{Im} \left(\operatorname{In}_{\R^n}\right) = \left\{ \left(x_1, \ldots, x_n, 0, 0, \ldots\right) ~:~ x_1, \ldots, x_n \in \R \right\} = \R^n \times \left\{ (0, 0, \ldots) \right\}$$ और इसके परिणामस्वरूप, $$\R^{\infty} = \bigcup_{n \in \N} \operatorname{Im} \left(\operatorname{In}_{\R^n}\right).$$ $$\R^{\infty}$$ सम्मुच्चय वृत्तिदान करो अंतिम सांस्थिति के साथ $$\tau^{\infty}$$ सभी समावेशन मानचित्रों $$\mathcal{F} := \left\{ \; \operatorname{In}_{\R^n} ~:~ n \in \N \; \right\}$$ के वर्ग द्वारा समाप्त करें । इस सांस्थिति के साथ, $$\R^{\infty}$$ एक पूर्ण सांस्थितिक सदिश स्थल हॉसडॉर्फ स्थल स्थानीय रूप से उत्तल सांस्थितिक सदिश स्थल बन जाता है जो अनुक्रमिक स्थल सांस्थितिक सदिश स्थल है एक फ्रेचेट-उरीसोहन अंतरिक्ष। सांस्थिति $$\tau^{\infty}$$ प्रेरित उप-स्थान सांस्थिति की तुलना में सांस्थिति की तुलना $$\R^{\infty}$$ द्वारा $$\R^{\N}$$ है, जहाँ $$\R^{\N}$$ अपने सामान्य उत्पाद सांस्थिति से संपन्न है।

$$\operatorname{Im} \left(\operatorname{In}_{\R^n}\right)$$ आपत्ति द्वारा उस पर प्रेरित अंतिम सांस्थिति के साथ $$\operatorname{In}_{\R^n} : \R^n \to \operatorname{Im} \left(\operatorname{In}_{\R^n}\right)$$ छवि प्रदान करें। अर्थात्, यह यूक्लिडियन सांस्थिति से संपन्न है जिससे इसे $$\operatorname{In}_{\R^n}$$के माध्यम से $$\R^n$$ स्थानांतरित किया गया है यह सांस्थिति चालू है $$\operatorname{Im} \left( \operatorname{In}_{\R^n} \right)$$ इसके द्वारा प्रेरित उपसमष्‍टि सांस्थिति $$\left(\R^{\infty}, \tau^{\infty}\right)$$ के बराबर है। उपसमुच्चय $$S \subseteq \R^{\infty}$$ में खुला (क्रमशः, बंद) $$\left(\R^{\infty}, \tau^{\infty}\right)$$ है  यदि और केवल यदि प्रत्येक $$n \in \N$$ के लिए सम्मुच्चय $$S \cap \operatorname{Im} \left(\operatorname{In}_{\R^n}\right)$$ का एक खुला (क्रमशः, बंद) उपवर्ग $$\operatorname{Im} \left(\operatorname{In}_{\R^n}\right)$$ है सांस्थिति $$\tau^{\infty}$$ उपसमष्‍टि के वर्ग के साथ $$\mathbb{S} := \left\{ \; \operatorname{Im} \left(\operatorname{In}_{\R^n}\right) ~:~ n \in \N \; \right\}$$सुसंगत है। यह एलबी-स्थल में $$\left(\R^{\infty}, \tau^{\infty}\right)$$ बनाता है। नतीजतन, यदि $$v \in \R^{\infty}$$ और $$v_{\bull}$$ में क्रम $$\R^{\infty}$$ है तब $$v_{\bull} \to v$$ में $$\left(\R^{\infty}, \tau^{\infty}\right)$$ यदि और केवल यदि कुछ उपस्थित है $$n \in \N$$ ऐसा कि दोनों $$v$$ और $$v_{\bull}$$ में $$\operatorname{Im} \left(\operatorname{In}_{\R^n}\right)$$ निहित हैं  और $$v_{\bull} \to v$$ में $$\operatorname{Im} \left(\operatorname{In}_{\R^n}\right)$$। प्राय: प्रत्येक $$n \in \N,$$ के लिए  समावेशन मानचित्र $$\operatorname{In}_{\R^n}$$ पहचानने के लिए $$\R^n$$ प्रयोग किया जाता है इसकी छवि के साथ $$\operatorname{Im} \left(\operatorname{In}_{\R^n}\right)$$ में $$\R^{\infty};$$ स्पष्ट रूप से, तत्व $$\left( x_1, \ldots, x_n \right) \in \R^n$$ और $$\left(x_1, \ldots, x_n, 0, 0, 0, \ldots\right)$$ एक साथ पहचाने जाते हैं।

इस पहचान के अंतर्गत $$\left(\left(\R^{\infty}, \tau^{\infty}\right), \left(\operatorname{In}_{\R^n}\right)_{n \in \N}\right)$$ प्रत्यक्ष प्रणाली की प्रत्यक्ष सीमा $$\left(\left(\R^n\right)_{n \in \N}, \left(\operatorname{In}_{\R^m}^{\R^n}\right)_{m \leq n \text{ in } \N}, \N\right)$$ बन जाती है, जहां हर $$m \leq n,$$ के लिए  वो मानचित्र $$\operatorname{In}_{\R^m}^{\R^n} : \R^m \to \R^n$$ द्वारा परिभाषित समावेशन मानचित्र है $$\operatorname{In}_{\R^m}^{\R^n}\left(x_1, \ldots, x_m\right) := \left(x_1, \ldots, x_m, 0, \ldots, 0\right),$$ जहाँ n-m अनुगामी शून्य हैं।

श्रेणीबद्ध विवरण
श्रेणी सिद्धांत की भाषा में, अंतिम सांस्थिति निर्माण को निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है। $$Y$$ एक असतत श्रेणी $$J$$ से सांस्थितिक समष्टि की श्रेणी का एक प्रकार्यक है, जो $$i \in J$$ के लिए रिक्त स्थान $$Y_i$$ का चयन करता है। मान लीजिये $$\Delta$$ शीर्ष से शीर्ष फलक श्रेणी के लिए विकर्ण प्रकार्यक बनेंJ (यह प्रकार्यक प्रत्येक स्थान भेजता है $$X$$ निरंतर कारक के लिए $$X$$). अल्पविराम श्रेणी $$(Y \,\downarrow\, \Delta)$$ तब से सह-शंकु की श्रेणी $$Y$$ है, यानी वस्तुओं में $$(Y \,\downarrow\, \Delta)$$ $$(X, f)$$ जोड़े हैं जहाँ $$f_i : Y_i \to X$$ निरंतर मानचित्र का वर्ग $$X$$ है, यदि $$Y$$ शीर्ष से सम्मुच्चय तक भुलक्कड़ प्रकार्यक है और Δ' सम्मुच्चय से सम्मुच्चयJ तक का विकर्ण प्रकार्यक है फिर अल्पविराम श्रेणी $$\left(UY \,\downarrow\, \Delta^{\prime}\right)$$ से सभी सह-शंकु की श्रेणी $$UY$$ है। अंतिम सांस्थिति निर्माण को तब से एक प्रकार्यक के रूप $$\left(UY \,\downarrow\, \Delta^{\prime}\right)$$ को $$(Y \,\downarrow\, \Delta)$$ में वर्णित किया जा सकता है यह प्रकार्यक संबंधित भुलक्कड़ प्रकार्यक के लिए सहायक प्रकार्यक है।

यह भी देखें

 * प्रारंभिक सांस्थिति
 * एलबी-स्थल
 * एलएफ-स्थल
 * एलबी-स्थल
 * एलएफ-स्थल

संदर्भ

 * . (Provides a short, general introduction in section 9 and Exercise 9H)
 * . (Provides a short, general introduction in section 9 and Exercise 9H)