टेंसर बीजगणित

गणित में, सदिश समष्टि v का टेंसर बीजगणित, जिसे T(V) या 'T•(V) ' के रूप में दर्शाया जाता है, V (किसी भी श्रेणी के) पर टेन्सर का बीजगणित होता है, जिसमें गुणन टेंसर गुणनफल होता है। यह V पर मुक्त बीजगणित है, बीजगणित से सदिश रिक्त स्थान के लिए विस्मरण प्रकार्यक के समीप छोड़ने के अर्थ में: यह संबंधित सार्वभौमिक गुण (नीचे देखें) के अर्थ में "सबसे सामान्य" बीजगणित है जिसमें V सम्मिलित है।

टेंसर बीजगणित महत्वपूर्ण है क्योंकि कई अन्य बीजगणित T(V) के भागफल साहचर्य बीजगणित के रूप में उत्पन्न होते हैं। इनमें बाह्य बीजगणित, सममित बीजगणित, क्लिफोर्ड बीजगणित, वेइल बीजगणित और सार्वभौमिक आच्छादक बीजगणित सम्मिलित हैं।

टेंसर बीजगणित में भी दो सहबीजगणित संरचनाएं होती हैं; साधारण एक, जो इसे द्विबीजगणित नहीं बनाता है, परन्तु एक कोफ़्री सहबीजगणित की अवधारणा की ओर ले जाता है, और अधिक जटिल, जो द्विबीजगणित की उपज देता है, और एक हॉफ बीजगणित संरचना बनाने के लिए एक प्रतिध्रुव देकर इसे बढ़ाया जा सकता है।

नोट: इस लेख में, सभी बीजगणितों को इकाई बीजगणित और साहचर्य बीजगणित माना जाता है। इकाई को स्पष्ट रूप से सहउत्पाद को परिभाषित करने के लिए आवश्यक है।

संरचना
मान लीजिए V क्षेत्र (गणित) K पर एक सदिश समष्टि है। किसी भी गैर-नकारात्मक पूर्णांक k के लिए, हम V की k-वीं टेंसर शक्ति को V के टेंसर उत्पाद के रूप में परिभाषित करते हैं, जो स्वयं k बार होता है:
 * $$T^kV = V^{\otimes k} = V\otimes V \otimes \cdots \otimes V.$$

अर्थात, TkV में टेंसर क्रम k के V पर सभी टेन्सर होते हैं। परम्परागत के अनुसार T0V मूल(क्षेत्र) K (स्वयं के ऊपर एक आयामी सदिश स्थान के रूप में) है।

फिर हम k = 0,1,2,… के लिए TkV के प्रत्यक्ष योग के रूप में T(V) की संरचना करते हैं।
 * $$T(V)= \bigoplus_{k=0}^\infty T^kV = K\oplus V \oplus (V\otimes V) \oplus (V\otimes V\otimes V) \oplus \cdots.$$

T(V) में गुणन टेंसर उत्पाद द्वारा दिए गए विहित समरूपता
 * $$T^kV \otimes T^\ell V \to T^{k + \ell}V$$

द्वारा निर्धारित किया जाता है, जिसे बाद में सभी T(V) तक रैखिकता द्वारा विस्तारित किया जाता है। इस गुणन नियम का अर्थ है कि टेंसर बीजगणित T(V) स्वाभाविक रूप से एक क्रमिक बीजगणित है जिसमें TkV क्रम-k-उपस्थान के रूप में कार्य करता है। उपस्थान जोड़कर इस श्रेणीकरण को 'z' श्रेणीकरण तक बढ़ाया जा सकता है $$T^{k}V=\{0\}$$ नकारात्मक पूर्णांक k के लिए ।

संरचना क्रम विनिमेय वलय पर किसी भी मॉड्यूल (गणित) M के टेंसर बीजगणित के लिए सरल विधि से सामान्यीकरण करता है। यदि R एक गैर-क्रम विनिमेय वलय है, तो कोई भी किसी भी R-R द्विप्रतिरूपक M के लिए संरचना कर सकता है। (यह सामान्य R-मॉड्यूल के लिए कार्य नहीं करता है क्योंकि पुनरावृत्त टेंसर उत्पादों का गठन नहीं किया जा सकता है।)

सहायक और सार्वभौमिक गुण
टेंसर बीजगणित $T(V)$ को सदिश समष्टि $V$ पर मुक्त बीजगणित भी कहा जाता है, और क्रियात्मक है; इसका तात्पर्य है कि प्रतिचित्र $$V\mapsto T(V)$$ $K$ -सदिश स्थान की श्रेणी (गणित) से साहचर्य बीजगणित की श्रेणी के लिए एक प्रकार्यक बनाने के लिए रैखिक प्रतिचित्रों तक फैली हुई है। इसी प्रकार अन्य मुक्त संरचनाओं के साथ, प्रकार्यक $T$ को विस्मरण प्रकार्यक के समीप छोड़ दिया जाता है जो प्रत्येक सहयोगी $K$- बीजगणित को अपने अंतर्निहित सदिश स्थान में भेजता है।

स्पष्ट रूप से, टेंसर बीजगणित निम्नलिखित सार्वभौमिक गुण को संतुष्ट करता है, जो औपचारिक रूप से इस कथन को व्यक्त करता है कि यह V युक्त सबसे सामान्य बीजगणित है:

कोई रैखिक प्रतिचित्र $V$ से एक साहचर्य बीजगणित $A$ पर $K$ पर $$f:V \to A$$ विशिष्ट रूप से $T(V)$ से $A$ तक बीजगणित समरूपता के लिए विस्तारित किया जा सकता है जैसा कि निम्नलिखित क्रम विनिमेय आरेख द्वारा इंगित किया गया है:यहां $i$ $V$ का $T(V)$ में विहित समावेशन है। अन्य सार्वभौमिक गुणों के लिए, टेंसर बीजगणित $T(V)$ इस गुण को संतुष्ट करने वाले अद्वितीय बीजगणित के रूप में परिभाषित किया जा सकता है (विशेष रूप से, यह अद्वितीय समरूपता के लिए अद्वितीय है), परन्तु इस परिभाषा को यह सिद्ध करने की आवश्यकता है कि इस गुण को संतुष्ट करने वाली वस्तु स्थित है।

उपरोक्त सार्वभौमिक गुण का अर्थ है कि $T$, $K$-बीजगणित की श्रेणी के लिए, $K$-पर सदिश रिक्त स्थान की श्रेणी से एक प्रकार्यक है। इसका अर्थ है कि $K$-सदिश रिक्त स्थान $U$ और $W$ के बीच किसी भी रैखिक प्रतिचित्र विशिष्ट रूप से T(U) से T(W) तक K-बीजगणित समाकारिता तक विस्तारित होता है।

गैर- क्रम विनिमेय बहुपद
यदि v में परिमित आयाम n है, तो टेंसर बीजगणित को देखने की एक और विधि "n गैर- संगणना चर में k पर बहुपदों के बीजगणित" के रूप में है। यदि हम V के लिए आधार सदिश लेते हैं, तो वे T(V) में गैर- आगंतुक चर (या अनिश्चित (चर)) बन जाते हैं, जो संबद्धता, वितरण विधि और K-रैखिकता के अतिरिक्त कोई बाधा नहीं है।

ध्यान दें कि V पर बहुपदों का बीजगणित $$T(V)$$ नहीं है, यद्यपि $$T(V^*)$$ है: V पर एक (सजातीय) रैखिक कार्य  $$V^*$$का एक अवयव है, उदाहरण के लिए सदिश स्थान पर $$x^1,\dots,x^n$$ निर्देशांक सहसदिश हैं, क्योंकि वे एक सदिश लेते हैं और एक अदिश (सदिश के दिए गए निर्देशांक) देते हैं।

उद्धरण
टेंसर बीजगणित की व्यापकता के कारण, ब्याज के कई अन्य बीजगणितों का संरचना टेंसर बीजगणित के साथ प्रारम्भ करके और फिर उत्पादक पर कुछ संबंधों को लागू करके किया जा सकता है, अर्थात् T(V) के कुछ भागफल सहयोगी बीजगणित का संरचना करके। इसके उदाहरण बाह्य बीजगणित, सममित बीजगणित, क्लिफोर्ड बीजगणित, वेइल बीजगणित और सार्वभौमिक आच्छादक बीजगणित हैं।

सहबीजगणित
टेंसर बीजगणित में दो अलग-अलग सहबीजगणित संरचनाएं हैं। एक टेंसर उत्पाद के साथ संगत है, और इस प्रकार इसे द्विबीजगणित तक बढ़ाया जा सकता है, और इसे आगे प्रतिध्रुव के साथ हॉफ बीजगणित संरचना के लिए बढ़ाया जा सकता है। अन्य संरचना, यद्यपि है, इसे एक द्विबीजगणित तक नहीं बढ़ाया जा सकता है। पूर्व संरचना को तुरंत नीचे विकसित किया गया है; दूसरे संरचना कोफ्री सहबीजगणित पर अनुभाग में और नीचे दी गई है।

नीचे दिए गए विकास को वेज प्रतीक का उपयोग करके बाह्य बीजगणित पर समान रूप से अच्छी प्रकार से लागू किया जा सकता है $$\wedge$$ टेंसर प्रतीक के स्थान पर $$\otimes$$; बाह्य बीजगणित के अवयवों को अनुमति देते समय संकेत को भी पता लगाना चाहिए। यह पत्राचार भी द्विबीजगणित की परिभाषा के माध्यम से, और हॉफ बीजगणित की परिभाषा पर भी रहता है। अर्थात्, बाह्य बीजगणित को भी हॉफ बीजगणित संरचना दी जा सकती है।

इसी प्रकार, सममित बीजगणित को हॉफ बीजगणित की संरचना भी दी जा सकती है, ठीक उसी प्रकार, हर जगह टेंसर उत्पाद को बदलकर $$\otimes$$ सममित टेंसर उत्पाद द्वारा $$\otimes_\mathrm{Sym}$$, अर्थात वह उत्पाद जहां $$v\otimes_\mathrm{Sym} w = w\otimes_\mathrm{Sym} v.$$

प्रत्येक विषय में, यह संभव है क्योंकि वैकल्पिक उत्पाद $$\wedge$$ और सममित उत्पाद $$\otimes_\mathrm{Sym}$$ एक द्विबीजगणित और हॉफ बीजगणित की परिभाषा के लिए आवश्यक स्थिरता स्थितियों का पालन करें; इसे स्पष्ट रूप से नीचे दिए गए विधि से जांचा जा सकता है। जब भी किसी के समीप इन स्थिरता स्थितियों का पालन करने वाला उत्पाद होता है, तो संरचना से गुजरता है; जहां तक ​​इस प्रकार के उत्पाद ने भागफल स्थान को जन्म दिया है, भागफल स्थान हॉफ बीजगणित संरचना को प्राप्त करता है।

श्रेणी सिद्धांत की भाषा में, कोई कहता है कि $K$-सदिश रिक्त स्थान की श्रेणी से $K$-सहयोगी बीजगणित की श्रेणी में प्रकार्यक $T$ है। परन्तु सदिश रिक्त स्थान बाह्य बीजगणित की श्रेणी में ले जाने वाला प्रकार्यक $Λ$ भी है, और सममित बीजगणित के लिए सदिश रिक्त स्थान ले जाने वाला प्रकार्यक $Sym$ है। इनमें से प्रत्येक के लिए $T$ प्राकृतिक परिवर्तन है । यह सत्यापित करना कि भागफल हॉफ बीजगणित संरचना को संरक्षित करता है, यह सत्यापित करने के समान है कि प्रतिचित्र निश्चित ही प्राकृतिक हैं।

सहउत्पाद
सहबीजगणित एक सह-उत्पाद या विकर्ण संचालक को परिभाषित करके प्राप्त किया जाता है


 * $$\Delta: TV\to TV\boxtimes TV$$

यहां, कोष्ठकों के विस्फोटन से बचने के लिए $$TV$$ का उपयोग $$T(V)$$ के लिए शॉर्ट-हैंड के रूप में किया जाता है। सहबीजगणित की परिभाषा के लिए आवश्यक "बाह्य" टेंसर उत्पाद को दर्शाने के लिए $$\boxtimes$$ प्रतीक का उपयोग किया जाता है। इसका उपयोग इसे आंतरिक टेंसर उत्पाद से अलग करने के लिए किया जा रहा है $$\otimes$$, जो पूर्व से ही टेंसर बीजगणित में गुणन को निरूपित करने के लिए उपयोग किया जा रहा है (इस मुद्दे पर और स्पष्टीकरण के लिए, नीचे अनुभाग गुणन देखें) इन दो प्रतीकों के बीच भ्रम से बचने के लिए, अधिकांश पाठ बदल दिए जाएंगे $$\otimes$$ एक सादे बिंदु द्वारा, या इसे पूरी प्रकार से छोड़ दें, इस समझ के साथ कि यह संदर्भ से निहित है। यह तब $$\otimes$$ प्रतीक को $$\boxtimes$$ प्रतीक के स्थान पर उपयोग करने की अनुमति देता है। यह नीचे नहीं किया गया है, और दो प्रतीकों का मुक्त रूप से और स्पष्ट रूप से उपयोग किया जाता है, ताकि प्रत्येक का उचित स्थान दिखाया जा सके। परिणाम थोड़ा शब्दाडंबरपूर्ण है, परन्तु समझना सरल होना चाहिए।

संचालक की परिभाषा $$\Delta$$ सबसे सरलता से चरणों में बनाया गया है, पूर्व इसे अवयवों के लिए परिभाषित करके $$v\in V\subset TV$$ और फिर समरूपी रूप से इसे पूरे बीजगणित तक विस्तारित करके। तब सहउत्पाद के लिए उपयुक्त विकल्प है


 * $$\Delta: v \mapsto v\boxtimes 1 + 1\boxtimes v$$

और
 * $$\Delta: 1 \mapsto 1 \boxtimes 1$$

जहाँ $$1\in K=T^0V\subset TV$$ क्षेत्र $$K$$ की इकाई है। रैखिकता से, स्पष्ट रूप से है
 * $$\Delta(k)=k(1\boxtimes 1)=k\boxtimes 1=1\boxtimes k$$

सभी के लिए $$k\in K.$$ यह सत्यापित करना स्पष्ट है कि यह परिभाषा सहबीजगणित के अभिगृहीत को संतुष्ट करती है: अर्थात्, जो कि
 * $$(\mathrm{id}_{TV} \boxtimes \Delta) \circ \Delta = (\Delta \boxtimes \mathrm{id}_{TV}) \circ \Delta$$

जहाँ $$\mathrm{id}_{TV}: x\mapsto x$$ $$TV$$ पर पहचान प्रतिचित्र है। निश्चित ही, एक को
 * $$((\mathrm{id}_{TV} \boxtimes \Delta) \circ \Delta)(v) =

v\boxtimes 1 \boxtimes 1 + 1\boxtimes v \boxtimes 1 + 1 \boxtimes 1 \boxtimes v$$ मिलता है और इसी प्रकार दूसरे पक्ष को भी। इस बिंदु पर, कोई एक लेम्मा को आमंत्रित कर सकता है, और कह सकते है कि $$\Delta$$ साधारणता से, रैखिकता द्वारा, सभी के लिए $$TV$$, चूंकि $$TV$$ मुक्त वस्तु है और $$V$$ मुक्त बीजगणित का एक उत्पादक (गणित) है, और $$\Delta$$ एक समरूपता है। यद्यपि, स्पष्ट अभिव्यक्तियाँ प्रदान करना व्यावहारिक है। अभी तक के लिए तो $$v\otimes w \in T^2V$$, एक (परिभाषा के अनुसार) समरूपता है


 * $$\Delta: v\otimes w \mapsto \Delta(v)\otimes \Delta(w)$$

विस्तार, एक है
 * $$\begin{align} \Delta (v\otimes w) &= (v\boxtimes 1 + 1\boxtimes v) \otimes (w\boxtimes 1 + 1\boxtimes w) \\

&= (v\otimes w) \boxtimes 1 + v\boxtimes w + w\boxtimes v + 1 \boxtimes (v\otimes w) \end{align}$$ उपरोक्त विस्तार में, कभी भी $$1\otimes v$$ लिखने की कोई आवश्यकता नहीं है जैसा कि बीजगणित में मात्र सादा-पूर्व अदिश गुणन है;अर्थात, साधारण रूप से अर्थात $$1\otimes v = 1\cdot v = v.$$

ऊपर का विस्तार बीजगणित श्रेणीकरण को संरक्षित करता है। अर्थात,
 * $$\Delta: T^2V \to \bigoplus_{k=0}^2 T^kV \boxtimes T^{2-k}V$$

इस प्रकार से जारी रखते हुए, कोई भी ऑर्डर एम के समरूप अवयव पर कार्य करने वाले सहउत्पाद के लिए स्पष्ट अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकता है:
 * $$\begin{align}

\Delta(v_1\otimes\cdots\otimes v_m) &= \Delta(v_1)\otimes\cdots\otimes\Delta(v_m) \\ &= \sum_{p=0}^m \left(v_1\otimes \cdots \otimes v_p\right) \;\omega \; \left(v_{p+1}\otimes \cdots \otimes v_m\right) \\ &= \sum_{p=0}^m \; \sum_{\sigma\in\mathrm{Sh}(p,m-p)} \; \left(v_{\sigma(1)}\otimes\dots\otimes v_{\sigma(p)}\right) \boxtimes \left(v_{\sigma(p+1)}\otimes\dots\otimes v_{\sigma(m)}\right) \end{align}$$ जहां $$\omega$$ प्रतीक, जिसे ш के रूप में प्रकट होना चाहिए, sha, फेरबदल उत्पाद को दर्शाता है। यह दूसरे योग में व्यक्त किया गया है, जिसे सभी (p, m-p) -फेरबदल पर ले लिया गया है। फेरबदल है


 * $$\begin{aligned}

\operatorname{Sh}(p,q) = \{\sigma:\{1,\dots,p+q\}\to\{1,\dots,p+q\}\;\mid \;&\sigma \text{ is bijective},\;\sigma(1)<\sigma(2)< \cdots < \sigma(p),\\ &\text{and }\;\sigma(p+1) <\sigma(p+2)<\cdots < \sigma(m)\}. \end{aligned}$$ परम्परागत द्वारा, sh(m, 0) और sh(0, m) बराबर {id: {1,...,m} → → {1,..., m}} लेते हैं। शुद्ध टेंसर उत्पादों $$v_{\sigma(1)}\otimes\dots\otimes v_{\sigma(p)}$$ और $$v_{\sigma(p+1)}\otimes\dots\otimes v_{\sigma(m)}$$ को क्रमशः p= 0 और p= m के लिए 1 के बराबर लेना भी सुविधाजनक है ($$TV$$ में खाली उत्पाद)। फेरबदल एक सह-वृद्धि के पूर्व अभिगृहीत से सीधे अनुसरण करता है: अवयवों का सापेक्ष क्रम $$v_k$$ राइफल फेरबदल में संरक्षित है: राइफल फेरबदल मात्र आदेशित अनुक्रम को दो क्रमबद्ध अनुक्रमों में विभाजित करता है, एक बाईं ओर, और एक दाईं ओर।

समान रूप से,


 * $$\Delta(v_1\otimes\cdots\otimes v_n)

= \sum_{S\subseteq \{1,\dots,n\}} \left(\prod_{k=1 \atop k \in S}^n v_k\right) \boxtimes \left(\prod_{k=1 \atop k \notin S}^n v_k\right)\!,$$ जहां उत्पाद $$TV$$ हैं, और राशि के सभी उपसम्मुचय से अधिक $$\{1,\dots,n\}$$ है।

पूर्व प्रकार, बीजगणित श्रेणीकरण संरक्षित है:
 * $$\Delta: T^mV \to \bigoplus_{k=0}^m T^kV \boxtimes T^{(m-k)}V$$

कौनित
कौनित $$\epsilon : TV \to K$$ बीजगणित से क्षेत्र घटक के प्रक्षेपण द्वारा दिया जाता है। इसे $$v\in V$$ के लिए $$\epsilon: v\mapsto 0 $$ और $$k\in K=T^0V$$ के लिए $$\epsilon: k\mapsto k $$ के रूप में लिखा जा सकता है। टेंसर उत्पाद के द्वारा समरूपता द्वारा $$\otimes$$, यह तक फैली हुई है
 * $$\epsilon: x\mapsto 0 $$

सभी के लिए $$x\in T^1V \oplus T^2V\oplus \cdots$$ यह सत्यापित करने के लिए स्पष्ट विषय है कि यह परामर्श सहबीजगणित के लिए आवश्यक अभिगृहीत को संतुष्ट करता है:
 * $$(\mathrm{id} \boxtimes \epsilon) \circ \Delta = \mathrm{id} = (\epsilon \boxtimes \mathrm{id}) \circ \Delta.$$

यह स्पष्ट रूप से कार्य करते हुए, एक है
 * $$\begin{align}

((\mathrm{id} \boxtimes \epsilon) \circ \Delta)(x) &=(\mathrm{id} \boxtimes \epsilon)(1\boxtimes x + x \boxtimes 1) \\ &=1\boxtimes \epsilon(x) + x \boxtimes  \epsilon(1) \\ &=0 + x \boxtimes 1 \\ &\cong x \end{align}$$ जहां, अंतिम चरण के लिए, एक ने समरूपता का उपयोग किया है $$TV\boxtimes K \cong TV$$, जैसा कि कौनित के परिभाषित अभिगृहीत के लिए उपयुक्त है।

द्विबीजगणित
एक द्विबीजगणित गुणन, और सहगुणन दोनों को परिभाषित करता है, और उन्हें संगत होने की आवश्यकता होती है।

गुणन
गुणन एक संचालक द्वारा दिया जाता है
 * $$\nabla: TV\boxtimes TV\to TV$$

जो, इस विषय में, पूर्व से ही आंतरिक टेंसर उत्पाद के रूप में दिया गया था। अर्थात,
 * $$\nabla: x\boxtimes y\mapsto x \otimes y$$

अर्थात, $$\nabla(x\boxtimes y) = x \otimes y.$$ उपरोक्त को यह स्पष्ट करना चाहिए कि $$\boxtimes$$ प्रतीक का उपयोग करने की आवश्यकता क्यों है: $$\otimes$$ निश्चित ही एक और एक ही बात थी $$\nabla$$;और यहाँ उल्लेखनीय ढलान से अराजकता होगी। इसे मजबूत करने के लिए: टेंसर उत्पाद $$\otimes$$ टेंसर बीजगणित गुणन से मेल खाता है $$\nabla$$ बीजगणित की परिभाषा में उपयोग किया जाता है, जबकि टेंसर उत्पाद $$\boxtimes$$ सहबीजगणित में सहगुणन की परिभाषा में आवश्यक है। ये दो टेंसर उत्पाद एक ही बात नहीं हैं!

इकाई
बीजगणित के लिए इकाई
 * $$\eta: K\to TV$$

मात्र अंतःस्थापन है, ताकि
 * $$\eta: k\mapsto k$$

यह इकाई टेंसर उत्पाद के साथ संगत है $$\otimes$$ साधारण है: यह सदिश रिक्त स्थान के टेंसर उत्पाद की मानक परिभाषा का हिस्सा है। अर्थात, $$k\otimes x = kx$$ क्षेत्र अवयव k और किसी भी के लिए $$x\in TV.$$ अधिक मौखिक रूप से, एक साहचर्य बीजगणित के लिए अभिगृहीत को दो समरूपता की आवश्यकता होती है (या आरेखों को कम करने):
 * $$\nabla\circ(\eta \boxtimes\mathrm{id}_{TV}) = \eta\otimes \mathrm{id}_{TV} = \eta\cdot \mathrm{id}_{TV}$$

पर $$K\boxtimes TV$$, और उस सममित रूप से, पर $$TV\boxtimes K$$, जो कि
 * $$\nabla\circ(\mathrm{id}_{TV}\boxtimes\eta) = \mathrm{id}_{TV}\otimes\eta = \mathrm{id}_{TV}\cdot\eta$$

जहां इन समीकरणों के दाहिने हाथ को अदिश उत्पाद के रूप में समझा जाना चाहिए।

संगतता
इकाई और कौनित, और गुणन और सहगुणन, सभी को संगतता स्थितियों को संतुष्ट करना होगा। यह देखना स्पष्ट है कि
 * $$\epsilon \circ \eta = \mathrm{id}_K.$$

इसी प्रकार, इकाई सहगुणन के साथ संगत है:
 * $$\Delta \circ \eta = \eta \boxtimes \eta \cong \eta$$

उपरोक्त को समरूपता के उपयोग की आवश्यकता है $$K\boxtimes K \cong K$$ कार्य करने के लिए; इसके बिना, रैखिकता खो देता है। घटक-विधि,
 * $$(\Delta \circ \eta)(k) = \Delta(k) = k(1 \boxtimes 1) \cong k $$

दाहिने हाथ की ओर समरूपता का उपयोग करने के साथ।

गुणन और कौनित संगत हैं:
 * $$(\epsilon \circ \nabla)(x\boxtimes y) = \epsilon(x\otimes y) = 0$$

जब भी x या y $$K$$ के अवयव नहीं होते हैं, और अन्यथा, किसी के समीप क्षेत्र पर अदिश गुणन है: $$k_1\otimes k_2=k_1 k_2.$$ सत्यापित करने के लिए सबसे जटिल गुणन और सहगुणन की संगतता है:
 * $$\Delta \circ\nabla = (\nabla \boxtimes \nabla)

\circ (\mathrm{id} \boxtimes \tau \boxtimes \mathrm{id}) \circ (\Delta \boxtimes \Delta)$$ जहाँ $$\tau(x\boxtimes y)= y \boxtimes x$$ अवयवों का आदान-प्रदान करता है। संगतता की स्थिति को मात्र $$V\subset TV$$ पर सत्यापित करने की आवश्यकता है; पूर्ण संगतता सभी $$TV$$ के लिए समरूपी विस्तार के रूप में अनुसरण करती है। सत्यापन क्रिया परन्तु स्पष्ट है;यह यहां नहीं दिया गया है, अंतिम परिणाम को छोड़कर:
 * $$(\Delta \circ\nabla)(v\boxtimes w) = \Delta(v\otimes w)$$

$$v,w\in V$$के लिए, स्पष्ट अभिव्यक्ति उपरोक्त सह बीजगणित खंड में दी गई थी।

हॉफ बीजगणित
हॉफ बीजगणित द्विबीजगणित अभिगृहीत में एक प्रतिध्रुव जोड़ता है। प्रतिध्रुव $$S$$ पर $$k\in K=T^0V$$ द्वारा दिया गया है
 * $$S(k)=k$$

इसे कभी-कभी प्रति-समरूपता कहा जाता है। $$v\in V=T^1V$$ पर प्रतिध्रुव
 * $$S(v)=-v$$

द्वारा और $$v \otimes w\in T^2V$$ पर
 * $$S(v \otimes w) = S(w) \otimes S(v) = w\otimes v$$ द्वारा दिया गया है

यह समरूप रूप से फैली हुई है

\begin{align} S(v_1 \otimes \cdots \otimes v_m) &= S(v_m) \otimes\cdots\otimes S(v_1) \\ &= (-1)^m v_m \otimes\cdots\otimes v_1 \end{align}$$

संगतता
गुणन और सहगुणन के साथ प्रतिध्रुव की संगतता के लिए आवश्यक है
 * $$\nabla \circ (S \boxtimes \mathrm{id}) \circ \Delta

= \eta \circ \epsilon = \nabla \circ (\mathrm{id} \boxtimes S) \circ \Delta$$ यह $$k\in K$$ घटक पर सत्यापित करने के लिए स्पष्ट है:

\begin{align} (\nabla \circ (S \boxtimes \mathrm{id}) \circ \Delta)(k) &= (\nabla \circ (S \boxtimes \mathrm{id})) (1\boxtimes k) \\ &= \nabla(1 \boxtimes k) \\ &= 1 \otimes k \\ &= k \end{align}$$ इसी प्रकार, $$v\in V$$ पर :

\begin{align} (\nabla \circ (S \boxtimes \mathrm{id}) \circ \Delta)(v) &= (\nabla \circ (S \boxtimes \mathrm{id})) (v\boxtimes 1 + 1 \boxtimes v) \\ &= \nabla(-v \boxtimes 1 + 1 \boxtimes v) \\ &= -v \otimes 1 + 1 \otimes v \\ &= -v + v\\ &= 0 \end{align}$$ याद करें कि
 * $$(\eta \circ \epsilon)(k)=\eta(k)=k$$

और वह
 * $$(\eta \circ \epsilon)(x)=\eta(0)=0$$

किसी भी ऐसे $$x\in TV$$ के लिए जो $$K$$ नहीं है।

समरूपता द्वारा समान विधि से आगे बढ़ सकता है,यह सत्यापित करते हुए कि प्रतिध्रुव फेरबदल में उचित रद्द करने वाले संकेतों को सम्मिलित करता है, जो कि $$T^2V$$ पर अनुकूलता की स्थिति से प्रारम्भ होता है और प्रेरण द्वारा आगे बढ़ता है।

कोफ़्री सहपूर्ण सहबीजगणित
टेंसर बीजगणित पर अलग उत्पाद को परिभाषित किया जा सकता है, जो ऊपर दिए गए से सरल है। यह
 * $$\Delta(v_1 \otimes \dots \otimes v_k) := \sum_{j=0}^{k} (v_0 \otimes \dots \otimes v_j) \boxtimes (v_{j+1} \otimes \dots \otimes v_{k+1})$$

द्वारा दिया गया है,यहाँ, पूर्व के प्रकार, कोई सांकेतिक योजना का उपयोग करता है $$v_0=v_{k+1}=1\in K$$ (उस $$v\otimes 1=v$$ को साधारण रूप से याद करते हुए)।

यह सहउत्पाद एक सहबीजगणित को जन्म देता है। यह सहबीजगणित का वर्णन करता है जो T(V∗) पर बीजगणित संरचना के लिए द्वंद्व (रैखिक बीजगणित) है, जहाँ V∗ रैखिक प्रतिचित्र V→ 'F ' के दोहरे सदिश स्थान को दर्शाता है। उसी प्रकार से कि टेंसर बीजगणित एक मुक्त बीजगणित है, इसी सहबीजगणित को सह-मुक्त कहा जाता है। सामान्य उत्पाद के साथ यह द्विबीजगणित नहीं है। इसे गुणनफल $$v_i\cdot v_j=(i,j)v_{i+j}$$ के साथ द्विबीजगणित में बदला जा सकता है,जहां (i,j) $$\tbinom{i+j}{i}$$ के द्विपद गुणांक को दर्शाता है। इस द्विबीजगणित को विभाजित शक्ति संरचना के रूप में जाना जाता है।

इसके और अन्य सहबीजगणित के बीच का अंतर $$T^2V$$ अवधि में सबसे सरलता से देखा जाता है। यहां, किसी के समीप

$$v,w\in V$$

के लिए
 * $$\Delta(v\otimes w) = 1\boxtimes (v\otimes w) + v \boxtimes w + (v\otimes w) \boxtimes 1$$

है, जिसमें पूर्व की तुलना में स्पष्ट रूप से फेरबदल शब्द को याद कर रहा है।

यह भी देखें

 * गुंफित सदिश स्थान
 * गुंफित हॉफ बीजगणित
 * मोनोइडल श्रेणी
 * बहुस्तरीय बीजगणित
 * स्टैनिस्लाव लेम का प्यार और टेंसर बीजगणित
 * फॉक स्थान



संदर्भ

 * (See Chapter 3 §5)