टाइट बाइंडिंग

ठोस-राज्य भौतिकी में, तंग-बाध्यकारी मॉडल (या टीबी मॉडल) प्रत्येक परमाणु साइट पर स्थित पृथक परमाणुओं के लिए तरंग कार्यों के सुपरपोजिशन के आधार पर तरंग कार्यों के एक अनुमानित सेट का उपयोग करके इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना की गणना के लिए एक दृष्टिकोण है।विधि रसायन विज्ञान में उपयोग किए जाने वाले LCAO विधि (परमाणु ऑर्बिटल्स विधि के रैखिक संयोजन) से निकटता से संबंधित है।तंग-बाध्यकारी मॉडल विभिन्न प्रकार के ठोस पदार्थों पर लागू होते हैं।मॉडल कई मामलों में अच्छे गुणात्मक परिणाम देता है और इसे अन्य मॉडलों के साथ जोड़ा जा सकता है जो बेहतर परिणाम देते हैं जहां तंग-बाध्यकारी मॉडल विफल हो जाता है।यद्यपि तंग-बाध्यकारी मॉडल एक-इलेक्ट्रॉन मॉडल है, लेकिन मॉडल सतह के राज्यों की गणना और विभिन्न प्रकार के कई शरीर की समस्याओं और क्वासिपार्टिकल गणना के लिए आवेदन जैसे अधिक उन्नत गणना के लिए एक आधार भी प्रदान करता है।

परिचय
इस इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना मॉडल के तंग बाइंडिंग नाम से पता चलता है कि यह क्वांटम मैकेनिकल मॉडल ठोस पदार्थों में कसकर बाध्य इलेक्ट्रॉनों के गुणों का वर्णन करता है।इस मॉडल में इलेक्ट्रॉनों को कसकर उस परमाणु के लिए बाध्य किया जाना चाहिए जिससे वे हैं और उन्हें ठोस के आसपास के परमाणुओं पर राज्यों और क्षमता के साथ सीमित बातचीत करनी चाहिए।नतीजतन, इलेक्ट्रॉन का तरंग फ़ंक्शन मुक्त परमाणु के परमाणु कक्षीय के समान होगा, जिसमें वह है।इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा भी मुक्त परमाणु या आयन में इलेक्ट्रॉन की आयनीकरण ऊर्जा के करीब होगी क्योंकि पड़ोसी परमाणुओं पर क्षमता और राज्यों के साथ बातचीत सीमित है।

हालांकि गणितीय सूत्रीकरण एक-कण तंग-बाध्यकारी हैमिल्टन में पहली नज़र में जटिल लग सकता है, मॉडल बिल्कुल भी जटिल नहीं है और इसे आसानी से आसानी से समझा जा सकता है। केवल #THE_TIGHT_BINDING_MATRIX_ELEMENTS हैं। तीन प्रकार के मैट्रिक्स तत्व जो सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। उन तीन प्रकार के तत्वों में से दो शून्य के करीब होने चाहिए और अक्सर उपेक्षित हो सकते हैं। मॉडल में सबसे महत्वपूर्ण तत्व इंटरटोमिक मैट्रिक्स तत्व हैं, जिन्हें बस एक रसायनज्ञ द्वारा बॉन्ड एनर्जी कहा जाएगा।

सामान्य तौर पर मॉडल में शामिल परमाणु ऊर्जा स्तर और परमाणु ऑर्बिटल्स की संख्या होती है। यह जटिल बैंड संरचनाओं को जन्म दे सकता है क्योंकि ऑर्बिटल्स विभिन्न बिंदु-समूह अभ्यावेदन से संबंधित हैं। पारस्परिक जाली और ब्रिलॉइन ज़ोन अक्सर ठोस के क्रिस्टल की तुलना में एक अलग अंतरिक्ष समूह से संबंधित होते हैं। ब्रिलोइन ज़ोन में उच्च-समरूपता बिंदु विभिन्न बिंदु-समूह अभ्यावेदन से संबंधित हैं। जब तत्वों या सरल यौगिकों के लैटिस जैसी सरल प्रणालियों का अध्ययन किया जाता है, तो उच्च-समरूपता बिंदुओं में विश्लेषणात्मक रूप से ईजेनस्टेट की गणना करना अक्सर बहुत मुश्किल नहीं होता है। तो तंग-बाध्यकारी मॉडल उन लोगों के लिए अच्छे उदाहरण प्रदान कर सकता है जो समूह सिद्धांत के बारे में अधिक जानना चाहते हैं।

तंग-बाध्यकारी मॉडल का एक लंबा इतिहास है और इसे कई तरीकों से और कई अलग-अलग उद्देश्यों और विभिन्न परिणामों के साथ लागू किया गया है। मॉडल अपने आप खड़ा नहीं है। मॉडल के कुछ हिस्सों को अन्य प्रकार की गणनाओं और लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल जैसे मॉडल द्वारा भरा या बढ़ाया जा सकता है। मॉडल स्वयं, या इसके कुछ हिस्सों, अन्य गणनाओं के आधार के रूप में काम कर सकते हैं। प्रवाहकीय पॉलिमर के अध्ययन में, कार्बनिक सेमीकंडक्टर्स और आणविक इलेक्ट्रॉनिक्स, उदाहरण के लिए, तंग-बाध्यकारी जैसे मॉडल लागू किए जाते हैं, जिसमें मूल अवधारणा में परमाणुओं की भूमिका को संयुग्मित प्रणालियों के आणविक कक्षाओं और जहां इंटरटॉमिक मैट्रिक्स तत्वों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता हैइंटर- या इंट्रामोल्युलर होपिंग और टनलिंग मापदंडों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।इन कंडक्टरों में लगभग सभी बहुत अनिसोट्रोपिक गुण होते हैं और कभी-कभी लगभग पूरी तरह से एक आयामी होते हैं।

ऐतिहासिक पृष्ठभूमि
1928 तक, एक आणविक कक्षीय का विचार रॉबर्ट एस। मुलिकेन द्वारा उन्नत किया गया था। रॉबर्ट मुलिकेन, जो फ्रेडरिक हंड के काम से काफी प्रभावित थे।आणविक ऑर्बिटल्स को अनुमानित करने के लिए LCAO विधि को 1928 में बी। एन। फिंकलेस्टीन और जी। ई। होरोविट्ज़ द्वारा पेश किया गया था, जबकि 1928 में उनके डॉक्टरेट शोध प्रबंध के हिस्से के रूप में, फेलिक्स ब्लोच द्वारा एलसीएओ विधि को फेलिक्स ब्लोच द्वारा विकसित किया गया था, जो कि एलसीओओ-एमओ दृष्टिकोण के स्वतंत्र और स्वतंत्र रूप से।इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना को अनुमानित करने के लिए एक बहुत सरल प्रक्षेप योजना, विशेष रूप से संक्रमण धातुओं के डी-बैंड के लिए, जॉन सी। स्लेटर द्वारा 1954 में कल्पना की गई तंग-बाध्यकारी विधि है। जॉन क्लार्क स्लेटर और जॉर्ज फ्रेड कोस्टर, कभी-कभी #TABLE_OF_INTERATOMIC_MATRIX_ELEMENTS | SK तंग-बाध्यकारी विधि के रूप में संदर्भित किया जाता है। एसके टाइट-बाइंडिंग विधि के साथ, एक ठोस पर इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना की गणना को मूल ब्लोच के प्रमेय के रूप में पूर्ण कठोरता के साथ नहीं किया जाता है, बल्कि, बल्कि, पहले-सिद्धांतों की गणना केवल उच्च समरूपता बिंदुओं और बैंड संरचना पर की जाती है। इन बिंदुओं के बीच Brillouin ज़ोन के शेष भाग पर प्रक्षेपित है।

इस दृष्टिकोण में, विभिन्न परमाणु साइटों के बीच बातचीत को गड़बड़ी के रूप में माना जाता है। कई प्रकार के इंटरैक्शन मौजूद हैं जिन पर हमें विचार करना चाहिए। क्रिस्टल हैमिल्टनियन केवल अलग -अलग साइटों पर स्थित परमाणु हैमिल्टनियन का एक योग है और परमाणु तरंग कार्यों को क्रिस्टल में आसन्न परमाणु साइटों को ओवरलैप करता है, और इसलिए सटीक तरंग फ़ंक्शन के सटीक प्रतिनिधित्व नहीं हैं। कुछ गणितीय अभिव्यक्तियों के साथ अगले भाग में और स्पष्टीकरण हैं।

दृढ़ता से सहसंबद्ध सामग्री के बारे में हाल के शोध में तंग बाध्यकारी दृष्टिकोण बुनियादी सन्निकटन है क्योंकि 3-डी संक्रमण धातु इलेक्ट्रॉनों जैसे अत्यधिक स्थानीयकृत इलेक्ट्रॉन कभी-कभी दृढ़ता से सहसंबद्ध व्यवहार प्रदर्शित करते हैं। इस मामले में, इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन इंटरैक्शन की भूमिका को कई-शरीर सिद्धांत का उपयोग करके माना जाना चाहिए। कई-बॉडी भौतिकी विवरण।

तंग-बाध्यकारी मॉडल का उपयोग आमतौर पर स्थिर शासन में इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना और बैंड अंतराल की गणना के लिए किया जाता है। हालांकि, यादृच्छिक चरण सन्निकटन (आरपीए) मॉडल जैसे अन्य तरीकों के साथ संयोजन में, सिस्टम की गतिशील प्रतिक्रिया का भी अध्ययन किया जा सकता है।

गणितीय सूत्रीकरण
हम परमाणु ऑर्बिटल्स का परिचय देते हैं $$\varphi_m( \mathbf{r} )$$, जो हैमिल्टनियन के eigenfunctions हैं $$H_{\rm at}$$ एक एकल अलग -अलग परमाणु।जब परमाणु को एक क्रिस्टल में रखा जाता है, तो यह परमाणु तरंग फ़ंक्शन आसन्न परमाणु साइटों को ओवरलैप करता है, और इसलिए क्रिस्टल हैमिल्टनियन के सच्चे ईजेनफंक्शन नहीं हैं।ओवरलैप कम होता है जब इलेक्ट्रॉन कसकर बंधे होते हैं, जो कि डिस्क्रिप्टर तंग-बाध्यकारी का स्रोत है।परमाणु क्षमता के लिए कोई सुधार $$\Delta U$$ सही हैमिल्टन को प्राप्त करने के लिए आवश्यक है $$H$$ सिस्टम के, छोटे ग्रहण किए गए हैं:


 * $$H (\mathbf{r}) = H_{\mathrm{at}}(\mathbf{r}) + \sum_{\mathbf{R_n} \neq \mathbf{0}} V(\mathbf{r} - \mathbf{R_n}) = H_{\mathrm{at}}(\mathbf{r}) + \Delta U (\mathbf{r}) \, $$

कहाँ पे $$V(\mathbf{r} - \mathbf{R_n})$$ साइट पर स्थित एक परमाणु की परमाणु क्षमता को दर्शाता है $$\mathbf{R}_n$$ क्रिस्टल जाली में।एक समाधान $$\psi_m$$ समय-स्वतंत्र एकल इलेक्ट्रॉन श्रोडिंगर समीकरण को परमाणु ऑर्बिटल्स के एक रैखिक संयोजन के रूप में अनुमानित किया गया है $$\varphi_m(\mathbf{r- R_n})$$:


 * $$\psi_m(\mathbf{r}) = \sum_{\mathbf{R_n}} b_m (\mathbf{R_n}) \ \varphi_m (\mathbf{r-R_n})$$,

कहाँ पे $$m$$ एम-टी परमाणु ऊर्जा स्तर को संदर्भित करता है।

ट्रांसलेशनल समरूपता और सामान्यीकरण
बलोच प्रमेय का कहना है कि एक क्रिस्टल में तरंग फ़ंक्शन केवल एक चरण कारक द्वारा अनुवाद के तहत बदल सकता है:


 * $$\psi(\mathbf{r+R_{\ell}}) = e^{i\mathbf{k \cdot R_{\ell}}}\psi(\mathbf{r}) \, $$

कहाँ पे $$\mathbf{k}$$ तरंग फ़ंक्शन का वेव वेक्टर है।नतीजतन, गुणांक संतुष्ट करते हैं


 * $$\sum_{\mathbf{R_n}} b_m (\mathbf{R_n}) \ \varphi_m (\mathbf{r-R_n+R_{\ell}})=e^{i\mathbf{k \cdot R_{\ell}}}\sum_{\mathbf{R_n}} b_m ( \mathbf{R_n}) \ \varphi_m (\mathbf{r-R_n})\ .$$

प्रतिस्थापित करके $$\mathbf{R_p}= \mathbf{R_n} - \mathbf{R_\ell}$$, हम देखतें है


 * $$b_m (\mathbf{R_p+R_{\ell}}) = e^{i\mathbf{k \cdot R_{\ell}}}b_m ( \mathbf{R_p}) \, $$ (जहां आरएचएस में हमने डमी इंडेक्स को बदल दिया है $$\mathbf{R_n}$$ साथ $$\mathbf{R_p} $$)

या


 * $$ b_m (\mathbf{R_l}) = e^{i\mathbf{k \cdot R_{l}}} b_m (\mathbf{0}) \ . $$

एकता के लिए तरंग फ़ंक्शन को सामान्य करना:


 * $$ \int d^3 r \ \psi_m^* (\mathbf{r}) \psi_m (\mathbf{r}) = 1 $$
 * $$= \sum_{\mathbf{R_n}} b_m^* (\mathbf{R_n})\sum_{\mathbf{R_{\ell}}} b_m ( \mathbf{R_{\ell}})\int d^3 r \ \varphi_m^* (\mathbf{r-R_n}) \varphi_m (\mathbf{r-R_{\ell}})$$
 * $$= b_m^*(0)b_m(0)\sum_{\mathbf{R_n}} e^{-i \mathbf{k \cdot R_n}}\sum_{\mathbf{R_{\ell}}} e^ {i \mathbf{k \cdot R_{\ell}}}\ \int d^3 r \ \varphi_m^* (\mathbf{r-R_n}) \varphi_m (\mathbf{r-R_{\ell}})$$
 * $$=N b_m^*(0)b_m(0)\sum_{\mathbf{R_p}} e^{-i \mathbf{k \cdot R_p}}\ \int d^3 r \ \varphi_m^* (\mathbf{r-R_p}) \varphi_m (\mathbf{r})\ $$
 * $$=N b_m^*(0)b_m(0)\sum_{\mathbf{R_p}} e^{i \mathbf{k \cdot R_p}}\ \int d^3 r \ \varphi_m^* (\mathbf{r}) \varphi_m (\mathbf{r-R_p})\ ,$$

तो सामान्यीकरण सेट करता है$$b_m(0)$$जैसा


 * $$ b_m^*(0)b_m(0) = \frac {1} {N}\ \cdot \ \frac {1}{1 + \sum_{\mathbf{R_p \neq 0}} e^{i \mathbf{k \cdot R_p}} \alpha_m (\mathbf{R_p})} \, $$

जहां αm('आर'p ) परमाणु ओवरलैप इंटीग्रल हैं, जो अक्सर उपेक्षित होते हैं जिसके परिणामस्वरूप
 * $$ b_m (0) \approx \frac {1} {\sqrt{N}} \, $$

तथा
 * $$\psi_m (\mathbf{r}) \approx \frac {1} {\sqrt{N}} \sum_{\mathbf{R_n}} e^{i \mathbf{k \cdot R_n}} \ \varphi_m (\mathbf{r-R_n}) \ .$$

तंग बंधन हैमिल्टनियन
तरंग फ़ंक्शन के लिए तंग बाइंडिंग फॉर्म का उपयोग करना, और केवल एम-टीएच परमाणु ऊर्जा स्तर मान लेना एम-टी ऊर्जा बैंड, बलोच ऊर्जा के लिए महत्वपूर्ण है $$\varepsilon_m$$ रूप के हैं


 * $$ \varepsilon_m = \int d^3 r \ \psi^*_m (\mathbf{r})H(\mathbf{r})  \psi (\mathbf{r}) $$
 * $$=\sum_{\mathbf{R_n}} b^* (\mathbf{R_n})\ \int d^3 r \  \varphi^* (\mathbf{r-R_n})H(\mathbf{r})  \psi (\mathbf{r}) \ $$
 * $$=\sum_{\mathbf{R_{\ell}}} \ \sum_{\mathbf{R_n}} b^* (\mathbf{R_n})\  \int d^3 r \   \varphi^* (\mathbf{r-R_n})H_{\mathrm{at}}(\mathbf{r-R_{\ell}})  \psi (\mathbf{r}) \ + \sum_{\mathbf{R_n}} b^*( \mathbf{R_n})\  \int d^3 r \  \varphi^* (\mathbf{r-R_n})\Delta U (\mathbf{r})  \psi (\mathbf{r}) \ .$$
 * $$\approx E_m + b^*(0)\sum_{\mathbf{R_n}} e^{-i \mathbf{k \cdot R_n}}\ \int d^3 r \  \varphi^* (\mathbf{r-R_n})\Delta U (\mathbf{r})  \psi (\mathbf{r}) \ .$$

यहाँ पर परमाणु हैमिल्टन को शामिल करने वाली शर्तों के अलावा अन्य स्थानों पर जहां यह केंद्रित है, की उपेक्षा की जाती है।ऊर्जा तो बन जाती है


 * $$\varepsilon_m(\mathbf{k}) = E_m - N\ |b (0)|^2 \left(\beta_m + \sum_{\mathbf{R_n}\neq 0}\sum_l \gamma_{m,l}(\mathbf{R_n}) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{R_n}}\right) \ ,$$
 * $$= E_m - \  \frac {\beta_m + \sum_{\mathbf{R_n}\neq 0}\sum_l  e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{R_n}} \gamma_{m,l}(\mathbf{R_n})}{\ \ 1 + \sum_{\mathbf{R_n \neq 0}}\sum_l  e^{i \mathbf{k \cdot R_n}} \alpha_{m,l} (\mathbf{R_n})} \, $$

जहां ईm एम-वें परमाणु स्तर की ऊर्जा है, और $$\alpha_{m,l}$$, $$\beta_m$$ तथा $$\gamma_{m,l}$$ क्या तंग बाइंडिंग मैट्रिक्स तत्व नीचे चर्चा की गई हैं।

तंग बाइंडिंग मैट्रिक्स तत्व
अवयव $$\beta_m = -\int{ \varphi_m^*(\mathbf{r}) \Delta U(\mathbf{r}) \varphi_m(\mathbf{r}) \,d^3r} \text{,}$$ पड़ोसी परमाणुओं पर क्षमता के कारण परमाणु ऊर्जा बदलाव हैं।यह शब्द ज्यादातर मामलों में अपेक्षाकृत छोटा है।यदि यह बड़ा है तो इसका मतलब है कि पड़ोसी परमाणुओं पर क्षमता केंद्रीय परमाणु की ऊर्जा पर एक बड़ा प्रभाव डालती है।

शर्तों का अगला वर्ग $$\gamma_{m,l}(\mathbf{R_n}) = -\int{ \varphi_m^*(\mathbf{r}) \Delta U(\mathbf{r}) \varphi_l(\mathbf{r} - \mathbf{R_n}) \,d^3r} \text{,}$$ #Table_of_interatomic_matrix_elements है।इसे बॉन्ड एनर्जी या दो सेंटर इंटीग्रल भी कहा जाता है और यह तंग बाध्यकारी मॉडल में प्रमुख & nbsp; शब्द है।

शर्तों का अंतिम वर्ग $$\alpha_{m,l}(\mathbf{R_n}) = \int{ \varphi_m^*(\mathbf{r}) \varphi_l(\mathbf{r - R_n}) \,d^3r} \text{,}$$ आसन्न परमाणुओं पर परमाणु ऑर्बिटल्स एम और एल के बीच ओवरलैप इंटीग्रल को निरूपित करें।ये भी, आमतौर पर छोटे होते हैं;यदि नहीं, तो पाउली प्रतिकर्षण का केंद्रीय परमाणु की ऊर्जा पर एक गैर-नगण्य प्रभाव है।

मैट्रिक्स तत्वों का मूल्यांकन
जैसा कि के मूल्यों से पहले उल्लेख किया गया है $$\beta_m$$-मेट्रिक्स तत्व आयनीकरण ऊर्जा की तुलना में इतने बड़े नहीं हैं क्योंकि केंद्रीय परमाणु पर पड़ोसी परमाणुओं की संभावनाएं सीमित हैं।यदि $$\beta_m$$ अपेक्षाकृत छोटा नहीं है इसका मतलब यह है कि केंद्रीय परमाणु पर पड़ोसी परमाणु की क्षमता भी छोटी नहीं है।उस स्थिति में यह एक संकेत है कि तंग बाइंडिंग मॉडल किसी कारण से बैंड संरचना के विवरण के लिए बहुत अच्छा मॉडल नहीं है।इंटरटोमिक दूरी बहुत छोटी हो सकती है या जाली में परमाणुओं या आयनों पर शुल्क उदाहरण के लिए गलत है।

इंटरटोमिक मैट्रिक्स तत्व $$\gamma_{m,l}$$ यदि परमाणु तरंग कार्यों और क्षमता को विस्तार से जाना जाता है, तो सीधे गणना की जा सकती है।सबसे अधिक बार ऐसा नहीं होता है।इन मैट्रिक्स तत्वों के लिए पैरामीटर प्राप्त करने के कई तरीके हैं।पैरामीटर रासायनिक बंधन ऊर्जा डेटा से प्राप्त किए जा सकते हैं।Brillouin ज़ोन में कुछ उच्च समरूपता बिंदुओं पर ऊर्जा और eigenstates का मूल्यांकन किया जा सकता है और मैट्रिक्स तत्वों में अभिन्न मान अन्य स्रोतों से बैंड संरचना डेटा के साथ मिलान किया जा सकता है।

इंटरटोमिक ओवरलैप मैट्रिक्स तत्व $$\alpha_{m,l}$$ बल्कि छोटा या उपेक्षित होना चाहिए। यदि वे बड़े हैं तो यह फिर से एक संकेत है कि तंग बाध्यकारी मॉडल कुछ उद्देश्यों के लिए सीमित मूल्य का है। बड़े ओवरलैप उदाहरण के लिए बहुत कम इंटरटोमिक दूरी के लिए एक संकेत है। धातुओं और संक्रमण धातुओं में व्यापक एस-बैंड या एसपी-बैंड को एक मौजूदा बैंड संरचना गणना के लिए बेहतर तरीके से फिट किया जा सकता है, जो अगली-निकट-पड़ोसी मैट्रिक्स तत्वों की शुरूआत और ओवरलैप इंटीग्रल द्वारा किया जा सकता है, लेकिन इस तरह से फिट बैठता है एक धातु के इलेक्ट्रॉनिक तरंग फ़ंक्शन के लिए। घने सामग्रियों में व्यापक बैंड लगभग एक मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल द्वारा बेहतर वर्णित हैं।

तंग बाइंडिंग मॉडल विशेष रूप से उन मामलों में अच्छी तरह से काम करता है जहां बैंड की चौड़ाई छोटी होती है और इलेक्ट्रॉनों को दृढ़ता से स्थानीयकृत किया जाता है, जैसे कि डी-बैंड और एफ-बैंड के मामले में। मॉडल भी डायमंड या सिलिकॉन जैसे खुले क्रिस्टल संरचनाओं के मामले में अच्छे परिणाम देता है, जहां पड़ोसियों की संख्या छोटी होती है। मॉडल को आसानी से एक हाइब्रिड एनएफई-टीबी मॉडल में लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल के साथ जोड़ा जा सकता है।

Wannier कार्यों के लिए कनेक्शन
बलोच के प्रमेय | बलोच फ़ंक्शंस एक आवधिक क्रिस्टल जाली में इलेक्ट्रॉनिक राज्यों का वर्णन करते हैं।बलोच कार्यों को एक फूरियर श्रृंखला के रूप में दर्शाया जा सकता है
 * $$\psi_m\mathbf{(k,r)}=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{n}{a_m\mathbf{(R_n,r)}} e^{\mathbf{ik\cdot R_n}}\ ,$$

जहाँ  r n एक आवधिक क्रिस्टल जाली में एक परमाणु साइट को दर्शाता है,  के  बलोच के फ़ंक्शन का वेव वेक्टर है,  आर  इलेक्ट्रॉन स्थिति है,  एम  बैंड इंडेक्स है, और योग सब खत्म हो गया है एन  परमाणु साइटें।बलोच का कार्य एक ऊर्जा  ई  के अनुरूप एक आवधिक क्रिस्टल क्षमता में एक इलेक्ट्रॉन के तरंग फ़ंक्शन के लिए एक सटीक eigensolution है।m ( k ), और पूरे क्रिस्टल वॉल्यूम में फैलता है।

फूरियर ट्रांसफॉर्म विश्लेषण का उपयोग करते हुए,  एम  के लिए एक स्थानिक रूप से स्थानीयकृत तरंग फ़ंक्शन-TH एनर्जी बैंड का निर्माण कई बलोच के कार्यों से किया जा सकता है:


 * $$a_m\mathbf{(R_n,r)}=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{\mathbf{k}}{e^{\mathbf{-ik\cdot R_n}}\psi_m\mathbf{(k,r)}}=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{\mathbf{k}}{e^{\mathbf{ik\cdot (r-R_n)}}u_m\mathbf{(k,r)}}.$$

ये वास्तविक अंतरिक्ष तरंग कार्य $${a_m\mathbf{(R_n,r)}}$$ Wannier फ़ंक्शन कहा जाता है, और परमाणु साइट  R  के लिए काफी निकटता से स्थानीयकृत हैंn।बेशक, यदि हमारे पास सटीक वानियर फ़ंक्शन हैं, तो सटीक बलोच फ़ंक्शंस को उलटा फूरियर ट्रांसफॉर्म का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।

हालाँकि, सीधे बलोच के प्रमेय की गणना करना आसान नहीं है। बलोच फ़ंक्शंस या वानियर फ़ंक्शंस।ठोस पदार्थों की इलेक्ट्रॉनिक संरचनाओं की गणना में एक अनुमानित दृष्टिकोण आवश्यक है।यदि हम पृथक परमाणुओं के चरम मामले पर विचार करते हैं, तो Wannier फ़ंक्शन एक पृथक परमाणु कक्षीय बन जाएगा।यह सीमा एक परमाणु तरंग फ़ंक्शन की पसंद का सुझाव देती है, जो कि Wannier फ़ंक्शन के लिए एक अनुमानित रूप के रूप में, तथाकथित तंग बाध्यकारी सन्निकटन है।

दूसरा परिमाणीकरण
टी-जे मॉडल और हबर्ड मॉडल जैसे इलेक्ट्रॉनिक संरचना की आधुनिक स्पष्टीकरण तंग बाध्यकारी मॉडल पर आधारित हैं। एक दूसरे परिमाणीकरण औपचारिकता के तहत काम करके तंग बंधन को समझा जा सकता है।

एक आधार राज्य के रूप में परमाणु कक्षीय का उपयोग करते हुए, तंग बाध्यकारी ढांचे में दूसरा परिमाणीकरण हैमिल्टनियन ऑपरेटर के रूप में लिखा जा सकता है:
 * $$ H = -t \sum_{\langle i,j \rangle,\sigma}(c^{\dagger}_{i,\sigma} c^{}_{j,\sigma}+ h.c.)$$,
 * $$ c^\dagger_{i\sigma}, c_{j\sigma}$$ - सृजन और सत्यानाश संचालक


 * $$\displaystyle\sigma$$ - स्पिन ध्रुवीकरण


 * $$\displaystyle t$$ - इंटीग्रल को रोकना


 * $$\displaystyle \langle i,j \rangle $$ - निकटतम पड़ोसी सूचकांक


 * $$\displaystyle h.c. $$ - अन्य शब्द (एस) का हर्मिटियन संयुग्म

यहाँ, अभिन्न अंग $$\displaystyle t$$ हस्तांतरण अभिन्न अंग के अनुरूप है $$\displaystyle\gamma$$ तंग बाध्यकारी मॉडल में।के चरम मामलों को ध्यान में रखते हुए $$t\rightarrow 0$$, एक इलेक्ट्रॉन के लिए पड़ोसी साइटों में आशा करना असंभव है।यह मामला पृथक परमाणु प्रणाली है।यदि होपिंग टर्म चालू है ($$\displaystyle t>0$$) इलेक्ट्रॉन अपनी गतिज ऊर्जा को कम करने वाली दोनों साइटों में रह सकते हैं।

दृढ़ता से सहसंबद्ध इलेक्ट्रॉन प्रणाली में, इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन इंटरैक्शन पर विचार करना आवश्यक है।यह शब्द में लिखा जा सकता है
 * $$\displaystyle H_{ee}=\frac{1}{2}\sum_{n,m,\sigma}\langle n_1 m_1, n_2 m_2|\frac{e^2}{|r_1-r_2|}|n_3 m_3, n_4 m_4\rangle c^\dagger_{n_1 m_1 \sigma_1}c^\dagger_{n_2 m_2 \sigma_2}c_{n_4 m_4 \sigma_2} c_{n_3 m_3 \sigma_1}$$

इस इंटरैक्शन हैमिल्टन में प्रत्यक्ष कूलम्ब का नियम शामिल है। इलेक्ट्रॉनों के बीच कूलम्ब इंटरैक्शन एनर्जी और एक्सचेंज इंटरैक्शन एनर्जी।इस इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन इंटरैक्शन एनर्जी से प्रेरित कई उपन्यास भौतिकी हैं, जैसे कि मेटल-इन्सुलेटर ट्रांज़िशन (MIT), उच्च-तापमान सुपरकंडक्टिविटी और कई क्वांटम चरण संक्रमण।

उदाहरण: एक-आयामी एस-बैंड
यहाँ तंग बाइंडिंग मॉडल को एक सिंगल क्यूबिक हार्मोनिक#द एस-ऑर्बिटल्स के साथ परमाणुओं की एक स्ट्रिंग के लिए एक एस-बैंड मॉडल के साथ चित्रित किया गया है। एस-ऑर्बिटल एक सीधी रेखा में एक सीधी रेखा में   'और परमाणु साइटों के बीच σ बॉन्ड के साथ।

हैमिल्टन के अनुमानित eigenstates को खोजने के लिए, हम परमाणु कक्षा के एक रैखिक संयोजन का उपयोग कर सकते हैं


 * $$|k\rangle =\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{n=1}^N e^{inka} |n\rangle $$

जहां n = कुल साइटों की संख्या और $$k$$ के साथ एक वास्तविक पैरामीटर है $$-\frac{\pi}{a}\leqq k\leqq\frac{\pi}{a}$$।(यह तरंग फ़ंक्शन एकता के लिए एकता के लिए सामान्य किया जाता है 1/ofn बशर्ते परमाणु तरंग कार्यों के ओवरलैप को नजरअंदाज कर दिया जाता है।) केवल निकटतम पड़ोसी ओवरलैप मानते हुए, हैमिल्टन के केवल गैर-शून्य मैट्रिक्स तत्वों को व्यक्त किया जा सकता है।


 * $$ \langle n|H|n\rangle= E_0 = E_i - U \ .$$
 * $$ \langle n\pm 1|H|n\rangle=-\Delta \ $$
 * $$ \langle n|n\rangle= 1 \ ;$$ & nbsp; $$\langle n \pm 1|n\rangle= S \ .$$

ऊर्जा ईi क्या चुने हुए परमाणु कक्षीय के अनुरूप आयनीकरण ऊर्जा है और यू पड़ोसी परमाणुओं की क्षमता के परिणामस्वरूप कक्षीय की ऊर्जा पारी है। $$ \langle n\pm 1|H|n\rangle=-\Delta $$ H> तत्व, जो #Table_of_interatomic_matrix_elements | स्लेटर और कोस्टर इंटरटोमिक मैट्रिक्स तत्व हैं, बॉन्ड ऊर्जा हैं $$E_{i,j}$$।इस एक आयामी एस-बैंड मॉडल में हमारे पास केवल है $$\sigma$$बांड ऊर्जा के साथ एस-ऑर्बिटल्स के बीच -बोंड्स $$E_{s,s} = V_{ss\sigma}$$।पड़ोसी परमाणुओं पर राज्यों के बीच ओवरलैप एस है। हम राज्य की ऊर्जा प्राप्त कर सकते हैं $$|k\rangle$$ उपरोक्त समीकरण का उपयोग करना:


 * $$ H|k\rangle=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_n e^{inka} H |n\rangle $$
 * $$ \langle k| H|k\rangle =\frac{1}{N}\sum_{n,\ m} e^{i(n-m)ka} \langle m|H|n\rangle $$& nbsp;$$=\frac{1}{N}\sum_n \langle n|H|n\rangle+\frac{1}{N}\sum_n \langle n-1|H|n\rangle e^{+ika}+\frac{1}{N}\sum_n\langle n+1|H|n\rangle e^{-ika}$$& nbsp;$$= E_0 -2\Delta\,\cos(ka)\ ,$$

उदाहरण के लिए, जहां


 * $$ \frac{1}{N}\sum_n \langle n|H|n\rangle = E_0 \frac{1}{N}\sum_n 1 = E_0 \, $$

तथा
 * $$\frac{1}{N}\sum_n \langle n-1|H|n\rangle e^{+ika}=-\Delta e^{ika}\frac{1}{N}\sum_n 1 = -\Delta e^{ika} \ .$$
 * $$\frac{1}{N}\sum_n \langle n-1|n\rangle e^{+ika}= S e^{ika}\frac{1}{N}\sum_n 1 = S e^{ika} \ .$$

इस प्रकार इस राज्य की ऊर्जा $$|k\rangle$$ ऊर्जा फैलाव के परिचित रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है:


 * $$ E(k)= \frac{E_0-2\Delta\,\cos(ka)}{1 + 2 S\,\cos(ka)}$$।


 * के लिये $$k = 0$$ ऊर्जा है $$E = (E_0 - 2 \Delta)/ (1 + 2 S)$$ और राज्य में सभी परमाणु ऑर्बिटल्स का योग होता है।इस राज्य को बॉन्डिंग ऑर्बिटल्स की श्रृंखला के रूप में देखा जा सकता है।
 * के लिये $$k = \pi / (2 a)$$ ऊर्जा है $$E = E_0$$ और राज्य में परमाणु ऑर्बिटल्स का एक योग होता है जो एक कारक हैं $$e^{i \pi / 2}$$ चरण से बाहर।इस राज्य को गैर-बॉन्डिंग ऑर्बिटल्स की श्रृंखला के रूप में देखा जा सकता है।
 * अंत में के लिए $$k = \pi / a$$ ऊर्जा है $$E = (E_0 + 2 \Delta) / (1 - 2 S)$$ और राज्य में परमाणु ऑर्बिटल्स का एक वैकल्पिक योग होता है।इस राज्य को एंटी-बॉन्डिंग ऑर्बिटल्स की श्रृंखला के रूप में देखा जा सकता है।

इस उदाहरण को आसानी से तीन आयामों तक बढ़ाया जाता है, उदाहरण के लिए, शरीर-केंद्रित क्यूबिक या चेहरे-केंद्रित घन जाली के लिए निकटतम पड़ोसी वेक्टर स्थानों को केवल n a के स्थान पर पेश करके। इसी तरह, विधि को प्रत्येक साइट पर कई अलग -अलग परमाणु ऑर्बिटल्स का उपयोग करके कई बैंडों तक बढ़ाया जा सकता है।ऊपर दिए गए सामान्य सूत्रीकरण से पता चलता है कि इन एक्सटेंशन को कैसे पूरा किया जा सकता है।

इंटरटोमिक मैट्रिक्स तत्वों की तालिका
1954 में जे.सी. स्लेटर और जी.एफ.कोस्टर प्रकाशित, मुख्य रूप से संक्रमण धातु डी-बैंड की गणना के लिए, इंटरटोमिक मैट्रिक्स तत्वों की एक तालिका :$$E_{i,j}(\vec{\mathbf{r}}_{n,n'}) = \langle n,i|H|n',j\rangle$$ जिसे क्यूबिक हार्मोनिक ऑर्बिटल्स से भी सीधे तौर पर लिया जा सकता है।तालिका मैट्रिक्स तत्वों को दो क्यूबिक हार्मोनिक ऑर्बिटल्स, आई और जे, आसन्न परमाणुओं पर दो क्यूबिक हार्मोनिक ऑर्बिटल्स, आई और जे के बीच के कार्यों के रूप में व्यक्त करती है।बॉन्ड इंटीग्रल उदाहरण के लिए हैं $$V_{ss\sigma}$$, $$V_{pp\pi}$$ तथा $$V_{dd\delta}$$ सिग्मा, पीआई और डेल्टा बॉन्ड के लिए (ध्यान दें कि ये इंटीग्रल परमाणुओं के बीच की दूरी पर भी निर्भर होना चाहिए, अर्थात का एक कार्य है $$(l, m, n)$$, भले ही यह स्पष्ट रूप से हर बार नहीं कहा गया है।)।

इंटरटोमिक वेक्टर के रूप में व्यक्त किया जाता है
 * $$\vec{\mathbf{r}}_{n,n'} = (r_x,r_y,r_z) = d (l,m,n)$$

जहां डी परमाणुओं और एल के बीच की दूरी है, एम और एन पड़ोसी परमाणु के लिए दिशा कोसाइन हैं।
 * $$E_{s,s} = V_{ss\sigma}$$
 * $$E_{s,x} = l V_{sp\sigma}$$
 * $$E_{x,x} = l^2 V_{pp\sigma} + (1 - l^2) V_{pp\pi}$$
 * $$E_{x,y} = l m V_{pp\sigma} - l m V_{pp\pi}$$
 * $$E_{x,z} = l n V_{pp\sigma} - l n V_{pp\pi}$$
 * $$E_{s,xy} = \sqrt{3} l m V_{sd\sigma}$$
 * $$E_{s,x^2-y^2} = \frac{\sqrt{3}}{2} (l^2 - m^2) V_{sd\sigma}$$
 * $$E_{s,3z^2-r^2} = [n^2 - (l^2 + m^2) / 2] V_{sd\sigma}$$
 * $$E_{x,xy} = \sqrt{3} l^2 m V_{pd\sigma} + m (1 - 2 l^2) V_{pd\pi}$$
 * $$E_{x,yz} = \sqrt{3} l m n V_{pd\sigma} - 2 l m n V_{pd\pi}$$
 * $$E_{x,zx} = \sqrt{3} l^2 n V_{pd\sigma} + n (1 - 2 l^2) V_{pd\pi}$$
 * $$E_{x,x^2-y^2} = \frac{\sqrt{3}}{2} l (l^2 - m^2) V_{pd\sigma} +

l (1 - l^2 + m^2) V_{pd\pi}$$
 * $$E_{y,x^2-y^2} = \frac{\sqrt{3}}{2} m(l^2 - m^2) V_{pd\sigma} -

m (1 + l^2 - m ^2) V_{pd\pi}$$
 * $$E_{z,x^2-y^2} = \frac{\sqrt{3}}{2} n(l^2 - m^2) V_{pd\sigma} - n(l^2 - m^2) V_{pd\pi}$$
 * $$E_{x,3z^2-r^2} = l[n^2 - (l^2 + m^2)/2]V_{pd\sigma} - \sqrt{3} l n^2 V_{pd\pi}$$
 * $$E_{y,3z^2-r^2} = m [n^2 - (l^2 + m^2) / 2] V_{pd\sigma} - \sqrt{3} m n^2 V_{pd\pi}$$
 * $$E_{z,3z^2-r^2} = n [n^2 - (l^2 + m^2) / 2] V_{pd\sigma} +

\sqrt{3} n (l^2 + m^2) V_{pd\pi}$$
 * $$E_{xy,xy} = 3 l^2 m^2 V_{dd\sigma} + (l^2 + m^2 - 4 l^2 m^2) V_{dd\pi} +

(n^2 + l^2 m^2) V_{dd\delta}$$
 * $$E_{xy,yz} = 3 l m^2 nV_{dd\sigma} + l n (1 - 4 m^2) V_{dd\pi} +

l n (m^2 - 1) V_{dd\delta}$$
 * $$E_{xy,zx} = 3 l^2 m n V_{dd\sigma} + m n (1 - 4 l^2) V_{dd\pi} +

m n (l^2 - 1) V_{dd\delta}$$
 * $$E_{xy,x^2-y^2} = \frac{3}{2} l m (l^2 - m^2) V_{dd\sigma} +

2 l m (m^2 - l^2) V_{dd\pi} + [l m (l^2 - m^2) / 2] V_{dd\delta}$$
 * $$E_{yz,x^2-y^2} = \frac{3}{2} m n (l^2 - m^2) V_{dd\sigma} -

m n [1 + 2(l^2 - m^2)] V_{dd\pi} + m n [1 + (l^2 - m^2) / 2] V_{dd\delta}$$
 * $$E_{zx,x^2-y^2} = \frac{3}{2} n l (l^2 - m^2) V_{dd\sigma} +

n l [1 - 2(l^2 - m^2)] V_{dd\pi} - n l [1 - (l^2 - m^2) / 2] V_{dd\delta}$$
 * $$E_{xy,3z^2-r^2} = \sqrt{3} \left[ l m (n^2 - (l^2 + m^2) / 2) V_{dd\sigma} -

2 l m n^2 V_{dd\pi} + [l m (1 + n^2) / 2] V_{dd\delta} \right]$$
 * $$E_{yz,3z^2-r^2} = \sqrt{3} \left[ m n (n^2 - (l^2 + m^2) / 2) V_{dd\sigma} +

m n (l^2 + m^2 - n^2) V_{dd\pi} -[ m n (l^2 + m^2) / 2 ]V_{dd\delta} \right]$$
 * $$E_{zx,3z^2-r^2} = \sqrt{3} \left[ l n (n^2 - (l^2 + m^2) / 2) V_{dd\sigma} +

l n (l^2 + m^2 - n^2) V_{dd\pi} - [l n (l^2 + m^2) / 2] V_{dd\delta} \right]$$
 * $$E_{x^2-y^2,x^2-y^2} = \frac{3}{4} (l^2 - m^2)^2 V_{dd\sigma} +

[l^2 + m^2 - (l^2 - m^2)^2] V_{dd\pi} + [n^2 + (l^2 - m^2)^2 / 4] V_{dd\delta}$$
 * $$E_{x^2-y^2,3z^2-r^2} = \sqrt{3} \left[

(l^2 - m^2) [n^2 - (l^2 + m^2) / 2] V_{dd\sigma} / 2 + n^2 (m^2 - l^2) V_{dd\pi} + [(1 + n^2)(l^2 - m^2) / 4 ]V_{dd\delta}\right]$$
 * $$E_{3z^2-r^2,3z^2-r^2} = [n^2 - (l^2 + m^2) / 2]^2 V_{dd\sigma} +

3 n^2 (l^2 + m^2) V_{dd\pi} + \frac{3}{4} (l^2 + m^2)^2 V_{dd\delta}$$ सभी इंटरटोमिक मैट्रिक्स तत्व स्पष्ट रूप से सूचीबद्ध नहीं हैं।मैट्रिक्स तत्व जो इस तालिका में सूचीबद्ध नहीं हैं, उन्हें तालिका में अन्य मैट्रिक्स तत्वों के सूचकांकों और कोसाइन दिशाओं के क्रमपरिवर्तन द्वारा निर्मित किया जा सकता है।ध्यान दें कि ऑर्बिटल इंडेक्स मात्रा को स्वैप करने के लिए $$(l,m,n) \rightarrow (-l,-m,-n)$$, अर्थात। $$E_{\alpha,\beta}(l,m,n) = E_{\beta,\alpha}(-l,-m,-n)$$।उदाहरण के लिए, $$E_{x,s} = -l V_{sp\sigma}$$।

यह भी देखें

 * इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना
 * लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल
 * बलोच के प्रमेय
 * क्रोनिग-पेनी मॉडल
 * फर्मी सतह
 * Wannier फ़ंक्शन
 * हबर्ड मॉडल
 * टी-जे मॉडल
 * प्रभावी द्रव्यमान (ठोस-राज्य भौतिकी) | प्रभावी द्रव्यमान
 * एंडरसन का नियम
 * विवर्तन का गतिशील सिद्धांत
 * भौतिक विज्ञान की ठोस अवस्था
 * परमाणु ऑर्बिटल्स आणविक कक्षीय विधि (LCAO) का रैखिक संयोजन (LCAO)
 * होलस्टीन -हेरिंग विधि
 * Peierls प्रतिस्थापन
 * हेकल विधि

संदर्भ

 * N. W. Ashcroft and N. D. Mermin, Solid State Physics (Thomson Learning, Toronto, 1976).
 * Stephen Blundell Magnetism in Condensed Matter(Oxford, 2001).
 * S.Maekawa et al. Physics of Transition Metal Oxides (Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2004).
 * John Singleton Band Theory and Electronic Properties of Solids (Oxford, 2001).

बाहरी संबंध

 * Crystal-field Theory, Tight-binding Method, and Jahn-Teller Effect in E. Pavarini, E. Koch, F. Anders, and M. Jarrell (eds.): Correlated Electrons: From Models to Materials, Jülich 2012, ISBN 978-3-89336-796-2
 * Tight-Binding Studio: A Technical Software Package to Find the Parameters of Tight-Binding Hamiltonian