सूचना में अस्थिरता जटिलता

इनफार्मेशन में फ्लक्चुएशन कोम्प्लेक्सिटी इनफार्मेशन सैद्धांतिक मात्रा है जिसे एन्ट्रॉपी (इनफार्मेशन सिद्धांत) के बारे में जानकारी के फ्लक्चुएशन के रूप में परिभाषित किया गया है। यह डायनामिक प्रणाली में व्यवस्था और चाओस की प्रबलता में फ्लक्चुएशन से व्युत्पन्न है और इसका उपयोग अनेक विविध क्षेत्रों में कोम्प्लेक्सिटी के माप के रूप में किया गया है। इसे बेट्स और शेपर्ड द्वारा 1993 के पेपर में प्रस्तुत किया गया था।

परिभाषा
असतत डायनामिक प्रणाली की इनफार्मेशन में फ्लक्चुएशन की कोम्प्लेक्सिटी स्तिथि की संभाव्यता वितरण का कार्य है जब यह रैंडम बाहरी इनपुट डेटा के अधीन होता है। प्रणाली को समृद्ध इनफार्मेशन सोर्स जैसे कि रैंडम संख्या जनरेटर या वाइट नॉइज़ सिग्नल के साथ चलाने का उद्देश्य प्रणाली की आंतरिक डायनामिक का परीक्षण करना है, जैसे सिग्नल प्रोसेसिंग में आवृत्ति-समृद्ध आवेग का उपयोग किया जाता है।

यदि कोई प्रणाली $N$ है संभावित अवस्था  $p_i$ ज्ञात हैं, तब इसकी इनफार्मेशन एन्ट्रापी है:


 * $$\Eta = \sum_{i=1}^N p_i I_i = - \sum_{i=1}^N p_i \log p_i,$$

जहाँ $I_i = -\log p_i$ अवस्था की इनफार्मेशन सामग्री $i$  है।

प्रणाली की इनफार्मेशन फ्लक्चुएशन कोम्प्लेक्सिटी को मानक विचलन या फ्लक्चुएशन के रूप में परिभाषित किया गया है $I$ माध्य के बारे में $\Eta$  इस प्रकार है:


 * $$\sigma_I = \sqrt{\sum_{i=1}^N p_i(I_i - \Eta)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^N p_iI_i^2 - \Eta^2}$$

या


 * $$\sigma_I = \sqrt{\sum_{i=1}^N p_i \log^2 p_i - \Biggl(\sum_{i=1}^N p_i \log p_i \Biggr)^2}.$$

स्तिथि की जानकारी में फ्लक्चुएशन $$\sigma_I $$ सभी के साथ अधिकतम अव्यवस्थित प्रणाली में शून्य है प्रणाली अपने रैंडम इनपुट $$p_i = 1/N$$ को कॉपी करता है। जब प्रणाली केवल निश्चित स्थिति के साथ सम्पूर्ण रूप से व्यवस्थित होता है, तब $$\sigma_I $$ भी शून्य होता है $$(p_1 = 1)$$, इनपुट को ध्यान किए बिना $$\sigma_I $$ इन दो शीर्ष सीमाओं के मध्य उच्च-संभावना वाली अवस्था और निम्न-संभावना वाली अवस्था के मिश्रण के साथ स्थान को संपन्न करने वाला अशून्य है।

इनफार्मेशन की फ्लक्चुएशन मेमोरी और गणना की अनुमति देता है
जैसे-जैसे काम्प्लेक्स डायनामिक प्रणाली समय के साथ विकसित होती है, यह अवस्था के मध्य कैसे परिवर्तन करती है यह अनियमित विधियों से बाहरी उत्तेजनाओं पर निर्भर करता है। कभी-कभी यह बाहरी उत्तेजनाओं के प्रति अधिक संवेदनशील (अस्थिर) हो सकता है और कभी-कभी कम संवेदनशील (स्थिर) हो सकता है। यदि किसी विशेष स्तिथि में अनेक संभावित स्तिथि हैं, तब बाहरी जानकारी यह निर्धारित करती है कि कौन सा अगला होगा और प्रणाली स्थान में विशेष प्रक्षेपवक्र का पालन करके उस जानकारी को प्राप्त करता है। किंतु यदि अनेक भिन्न-भिन्न स्थितियां एक ही अवस्था की ओर ले जाते हैं, तब नेक्स्ट स्तिथि में प्रवेश करने पर प्रणाली यह जानकारी विलुप्त कर देता है कि कौन सी स्तिथि उससे पहले आई थी। इस प्रकार, काम्प्लेक्स प्रणाली समय के साथ विकसित होने पर समय-समय से इनफार्मेशन लाभ और हानि प्रदर्शित करती है। इनफार्मेशन का परिवर्तन या फ्लक्चुएशन याद रखने और भूलने के समान है।

स्थितियों के मध्य ट्रांजीशन से जुड़ी जानकारी का लाभ या हानि अवस्था की जानकारी से संबंधित हो सकती है। अवस्था से ट्रांजीशन का इनफार्मेशन लाभ $$i$$, $$j$$ स्तिथि छोड़ते समय प्राप्त की गई जानकारी है $$i$$ अवस्था में प्रवेश करते समय विलुप्त हुई जानकारी $$j$$ कम होगी:


 * $$\Gamma_{ij} = -\log p_{i \rightarrow j} + \log p_{i \leftarrow j}.$$

यहाँ $p_{i \rightarrow j}$ यदि वर्तमान स्थिति है तब आगे की सशर्त संभावना है फिर अगली स्थिति $$i$$ है विपरीत सशर्त संभावना $$j$$ और  $$p_{i \leftarrow j}$$ है यदि वर्तमान स्थिति है तब पूर्व स्थिति $$j$$ थी, सशर्त संभावनाएँ ट्रांजीशन संभावना $$j$$ से संबंधित हैं $$p_{ij}$$, स्थिति संभावना का कहना है कि $$i $$ स्थिति द्वारा ट्रांजीशन $$j$$ होता है:


 * $$p_{ij} = p_i p_{i \rightarrow j} = p_j p_{i \leftarrow j}.$$

सशर्त संभावनाओं को समाप्त करना:


 * $$\Gamma_{ij} = -\log (p_{ij}/p_i) + \log (p_{ij}/p_j) = \log p_i - \log p_j = I_j - I_i.$$

इसलिए ट्रांजीशन के परिणामस्वरूप प्रणाली द्वारा प्राप्त शुद्ध जानकारी केवल प्रारंभिक से अंतिम स्थिति तक जानकारी में वृद्धि पर निर्भर करती है। यह दिखाया जा सकता है कि यह निरंतर अनेक परिवर्तन के लिए भी सत्य है।

$$\Gamma = \Delta I$$ बल और संभावित ऊर्जा के मध्य संबंध है किसी क्षमता $$I$$ से व्युत्पन्न $$\Phi$$ और $$\Gamma$$ बल के जैसे है $$\mathbf{F}$$ में $$\mathbf{F}={\nabla \Phi}$$ बाहरी जानकारी मेमोरी स्टोरेज को पूर्ण करने के लिए प्रणाली को उच्च इनफार्मेशन क्षमता की स्थिति में "ऊपर की ओर" पुश करती है, ठीक उसी प्रकार जैसे किसी द्रव्यमान को उच्च गुरुत्वाकर्षण क्षमता की स्थिति में ऊपर की ओर पुश करना ऊर्जा को संग्रहीत करता है। ऊर्जा स्टोरेज की मात्रा केवल अंतिम ऊंचाई पर निर्भर करती है, पहाड़ी के मार्ग पर नहीं पर निर्भर करती है। इसी प्रकार, इनफार्मेशन स्टोरेज की मात्रा स्थिति स्थान में दो स्थिति के मध्य ट्रांजीशन पथ पर निर्भर नहीं करती है। जब कोई प्रणाली उच्च इनफार्मेशन क्षमता वाली दुर्लभ स्थिति में पहुंच जाता है, तब यह पहले से संग्रहीत जानकारी विलुप्त करके अधिक सामान्य स्थिति में आ सकता है।

मानक विचलन असतत रैंडम चर की गणना करना उपयोगी हो सकता है, इसके माध्य $$\Gamma$$ के बारे में (जो शून्य है), अर्थात् शुद्ध इनफार्मेशन लाभ की फ्लक्चुएशन $$\sigma_\Gamma$$, किंतु $$\sigma_I$$ अवस्था स्थान में बहु-ट्रांजीशन मेमोरी लूप को ध्यान में रखता है और इसलिए यह प्रणाली की कम्प्यूटेशनल शक्ति का उत्तम संकेतक होना चाहिए। इसके अतिरिक्त, $$\sigma_I$$ गणना करना सरल है क्योंकि अवस्था की तुलना में अनेक अधिक ट्रांजीशन हो सकते हैं।

कैओस और व्यवस्था
डायनामिक प्रणाली जो बाहरी जानकारी के प्रति संवेदनशील है (अस्थिर) कैओस सिद्धांत व्यवहार प्रदर्शित करती है जबकि बाहरी जानकारी के प्रति असंवेदनशील है (स्थिर) व्यवस्थित व्यवहार प्रदर्शित करती है। काम्प्लेक्स प्रणाली दोनों व्यवहार प्रदर्शित करते है, समृद्ध इनफार्मेशन सोर्स के अधीन होने पर डायनामिक संतुलन में उनके मध्य फ्लक्चुएशन होता है। फ्लक्चुएशन की डिग्री की मात्रा निर्धारित की जाती है $$\sigma_I$$; समय के साथ विकसित होने पर काम्प्लेक्स प्रणाली में कैओस और व्यवस्था की प्रबलता में परिवर्तन करता है।

उदाहरण: प्राथमिक सेलुलर ऑटोमेटन का नियम 110 संस्करण
प्राथमिक सेलुलर ऑटोमेटन का नियम 110 संस्करण सार्वभौमिक गणना में सक्षम सिद्ध हुआ है। प्रमाण ग्लाइडर या स्पेसशिप के रूप में जाने जाने वाले एकजुट और स्वयं-स्थायी सेल पैटर्न के अस्तित्व और इंटरैक्शन पर आधारित है, जो आकस्मिक घटना है, जो ऑटोमेटन सेल्स के ग्रुपों की यह याद रखने की क्षमता का संकेत देता है कि ग्लाइडर उनके मध्य से निकल रहा है। इसलिए यह आशा की जाती है कि इनफार्मेशन लाभ और हानि, फ्लक्चुएशन और अवस्था, चाओस और व्यवस्था के विकल्पों के परिणामस्वरूप अवस्था स्थान में मेमोरी लूप होंगे।

आसन्न ऑटोमेटन सेल्स के 3-सेल ग्रुप पर विचार किया जाता है, जो नियम 110 का पालन करते हैं: सेण्टर सेल की अगली स्थिति स्वयं की वर्तमान स्थिति और नियम द्वारा निर्दिष्ट अंतिम सेल्स पर निर्भर करती है:

इस प्रणाली की इनफार्मेशन फ्लक्चुएशन कोम्प्लेक्सिटी की गणना करने के लिए, 3-सेल ग्रुप के प्रत्येक एंड पर ड्राइवर सेल संलग्न किया जाता है, जिससे रैंडम बाहरी उत्तेजना प्रदान की जा सके, जिससे नियम को दो अंतिम सेल्स पर प्रारम्भ किया जा सके। आगे की सशर्त संभावनाओं को निर्धारित करने के लिए, आगे निर्धारित करें कि प्रत्येक संभावित वर्तमान स्थिति के लिए और ड्राइवर सेल सामग्री के प्रत्येक संभावित संयोजन के लिए अगली स्थिति क्या है।

इस प्रणाली का स्तिथि आरेख नीचे दर्शाया गया है, जिसमें वृत्त स्थितियों का प्रतिनिधित्व करते हैं और एरो स्थितियों के मध्य ट्रांजीशन का प्रतिनिधित्व करते हैं। इस प्रणाली की आठ अवस्थाएँ, को  को 3-सेल ग्रुप की 3-बिट सामग्री के ऑक्टल समकक्ष के साथ लेबल किया गया है: 7 से 0 ट्रांजीशन एरो को आगे की सशर्त संभावनाओं के साथ लेबल किया गया है। ध्यान दें कि चाओस और व्यवस्था, संवेदनशीलता और असंवेदनशीलता, ड्राईवर सेल से बाहरी जानकारी के लाभ और हानि में परिवर्तनशीलता के अनुरूप एरो के विचलन और अभिसरण में परिवर्तनशीलता है। आगे की सशर्त संभावनाएं संभावित ड्राइवर सेल सामग्री के अनुपात से निर्धारित होती हैं जो विशेष ट्रांजीशन को चलाती हैं। उदाहरण के लिए, दो ड्राइवर सेल सामग्री के चार संभावित संयोजनों के लिए, स्थिति 7 स्थिति 5, 4, 1 और 0 की ओर ले जाती है इसलिए $$p_{7 \rightarrow 5}$$, $$p_{7 \rightarrow 4}$$, $$p_{7 \rightarrow 1}$$, और $$p_{7 \rightarrow 0}$$ प्रत्येक ¼ या 25% हैं। इसी प्रकार, अवस्था 0 अवस्था 0, 1, 0 और 1 की ओर ले जाती है $$p_{0 \rightarrow 1}$$और $$p_{0 \rightarrow 0}$$ प्रत्येक ½ या 50% हैं। इत्यादि।

अवस्था की संभावनाएँ इससे संबंधित हैं


 * $$p_j = \sum_{i=0}^7 p_i p_{i \rightarrow j}$$ और $$\sum_{i=0}^7 p_i = 1.$$

इन रैखिक बीजगणितीय समीकरणों को अवस्था संभावनाओं के लिए मैन्युअल रूप से या कंप्यूटर प्रोग्राम की सहायता से निम्नलिखित परिणामों के साथ समाधान किया जा सकता है:

इनफार्मेशन एन्ट्रापी और काम्प्लेक्स की गणना अवस्था संभावनाओं से की जा सकती है:


 * $$\Eta = - \sum_{i=0}^7 p_i \log_2 p_i = 2.86 \text{ bits},$$
 * $$\sigma_I = \sqrt{\sum_{i=0}^7 p_i \log_2^2 p_i - \Eta^2} = 0.56 \text{ bits}.$$

ध्यान दें कि आठ अवस्थाओं के लिए अधिकतम संभव एन्ट्रापी $$\log_2 8 = 3 \text{ bits},$$ है यही स्थिति होगी यदि सभी आठ अवस्थाओं में ⅛ (रैंडम) की संभावनाओं के साथ समान संभावना हो। इस प्रकार नियम 110 में 2.86 बिट्स पर अपेक्षाकृत उच्च एन्ट्रापी का उपयोग हो। किंतु यह एन्ट्रापी के बारे में अवस्था की जानकारी में पर्याप्त फ्लक्चुएशन और इस प्रकार काम्प्लेक्स से पर्याप्त मान को नहीं रोकता है। जबकि, अधिकतम एन्ट्रापी समष्टिता को दूर कर देगी।

जब ऊपर उपयोग की गई विश्लेषणात्मक विधि अव्यवहार्य हो तब अवस्था की संभावनाओं को प्राप्त करने के लिए वैकल्पिक विधि का उपयोग किया जा सकता है। अनेक पीढ़ियों के लिए रैंडम सोर्स के साथ प्रणाली को उसके इनपुट (ड्राइवर सेल) पर चलाएं और अनुभवजन्य रूप से अवस्था की संभावनाओं का निरीक्षण किया जाता है। जब यह 10 मिलियन पीढ़ियों तक कंप्यूटर सिमुलेशन के माध्यम से किया जाता है तब परिणाम इस प्रकार हैं:

चूंकि दोनों $$\Eta$$ और $$\sigma_I$$ आकार के साथ बढ़ता है, उनका आयाम रहित अनुपात $$\sigma_I/\Eta$$ विभिन्न आकारों की प्रणालियों की उत्तम तुलना करने के लिए सापेक्ष इनफार्मेशन फ्लक्चुएशन कोम्प्लेक्सिटी को सम्मिलित किया गया है। ध्यान दें कि अनुभवजन्य और विश्लेषणात्मक परिणाम 3-सेल ऑटोमेटन के लिए सहमत हैं।

बेट्स और शेपर्ड के पेपर में, $$\sigma_I$$ की गणना सभी प्राथमिक सेलुलर ऑटोमेटन नियमों के लिए की जाती है और यह देखा गया है कि जो धीमी गति से चलने वाले ग्लाइडर और संभवतः स्थिर वस्तुओं को प्रदर्शित करते हैं, जैसा कि नियम 110 करता है, बड़े मानों के साथ अत्यधिक $$\sigma_I$$ सहसंबद्ध हैं। $$\sigma_I$$ इसलिए इसे सार्वभौमिक गणना के लिए उम्मीदवार नियमों का चयन करने के लिए फिल्टर के रूप में उपयोग किया जा सकता है, जिसे सिद्ध करना कठिन है।

अनुप्रयोग
यद्यपि इनफार्मेशन फ्लक्चुएशन कोम्प्लेक्सिटी सूत्र की व्युत्पत्ति डायनामिक प्रणाली में इनफार्मेशन के फ्लक्चुएशन पर आधारित है, सूत्र केवल अवस्था संभावनाओं पर निर्भर करता है और इसलिए यह किसी भी संभाव्यता वितरण पर भी प्रारम्भ होता है, जिसमें स्थैतिक इमेजेज या टेक्स्ट से प्राप्त वितरण भी सम्मिलित है।

वर्षों से मूल पेपर अनेक विविध क्षेत्रों में शोधकर्ताओं द्वारा संदर्भित किया गया है: कोम्प्लेक्सिटी सिद्धांत, काम्प्लेक्स प्रणाली विज्ञान, काम्प्लेक्स नेटवर्क, चाओटिस डायनामिक, अनेक-निकाय स्थानीयकरण इंटेंगलेमेंट, पर्यावरणीय इंजीनियरिंग, एकोसिस्टमकोम्प्लेक्सिटी, पारिस्थितिक समय-श्रृंखला विश्लेषण, एकोप्रणाली सस्टेनेबिलिटी, वायु और पानी प्रदूषण, जलवैज्ञानिक तरंगिका विश्लेषण, मृदा जल प्रवाह, मिट्टी की नमी, हेडवाटर अपवाह, भूजल की गहराई, हवाई यातायात नियंत्रण, प्रवाह पैटर्न और बाढ़ की घटनाएँ, टोपोलॉजी, अर्थशास्त्र, धातु का बाजार पूर्वानुमान और विद्युत कास्ट्स, स्वास्थ्य इनफार्मेशन विज्ञान, मानव संज्ञान, मानव गाइट कीनेमेटिक्स, न्यूरोलॉजी, ईईजी विश्लेषण, शिक्षा, निवेश, कृत्रिम जीवन और सौंदर्यशास्त्र आदि।