रैखिक स्वतंत्रता

सदिश समष्टि के सिद्धांत में, सदिश के समुच्चय को कहा जाता है यदि सदिशों का एक शून्य सदिश रैखिक संयोजन होता है जो शून्य सदिश के बराबर होता है। यदि ऐसा कोई रैखिक संयोजन उपस्थित नहीं है, तो सदिश को  कहा जाता है। ये अवधारणाएँ आयाम की परिभाषा के केंद्र में हैं।

एकघाततः स्वतंत्र सदिशों की अधिकतम संख्या के आधार पर एक सदिश समिष्ट परिमित आयाम या अपरिमित आयाम का हो सकता है। एकघाततः परतंत्र की परिभाषा और यह निर्धारित करने की क्षमता कि सदिश समष्टि में सदिशों का एक उपसमुच्चय एकघाततः परतंत्र है तथा सदिश समष्टि के आयाम को निर्धारित करने के लिए केंद्रीय होता हैं।

परिभाषा
सदिश का अनुक्रम $$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k$$ एक सदिश समष्टि मे $V$ अदिश उपस्थित है, तो इसे एकघाततः परतंत्र कहा जाता है। यदि $$a_1, a_2, \dots, a_k,$$ सभी शून्य नहीं है,

जैसे कि $$a_1\mathbf{v}_1 + a_2\mathbf{v}_2 + \cdots + a_k\mathbf{v}_k = \mathbf{0},$$

जहाँ $$\mathbf{0}$$ शून्य सदिश को दर्शाता है।

इसका अर्थ है कि कम से कम एक अदिश शून्य नहीं है, मान लीजिए $$a_1\ne 0$$ और उपरोक्त समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है
 * $$\mathbf{v}_1 = \frac{-a_2}{a_1}\mathbf{v}_2 + \cdots + \frac{-a_k}{a_1} \mathbf{v}_k,$$

यदि $$k>1,$$ और $$\mathbf{v}_1 = \mathbf{0}$$ यदि $$k=1.$$

इस प्रकार, सदिशों का एक समुच्चय एकघाततः परतंत्र होता है यदि और केवल यदि उनमें से एक शून्य हो या अन्य का एक रैखिक संयोजन हो।

सदिश का क्रम $$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n$$ को एकघाततः स्वतंत्र कहा जाता है यदि यह एकघाततः परतंत्र नहीं है, अर्थात यदि समीकरण
 * $$a_1\mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + a_n\mathbf{v}_n = \mathbf{0},$$

द्वारा ही संतुष्ट किया जा सकता है $$a_i=0$$ के लिए $$i=1,\dots,n.$$ इसका तात्पर्य यह है कि अनुक्रम में कोई भी सदिश अनुक्रम में शेष सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, सदिशों का एक क्रम रैखिक स्वतंत्र होता है यदि केवल प्रतिनिधित्व करता है कि $$\mathbf 0$$ इसके सदिशों के एक रैखिक संयोजन के रूप में तुच्छ प्रतिनिधित्व है जिसमें सभी $$a_i$$ अदिश शून्य हैं। इससे भी अधिक संक्षेप में, सदिशों का अनुक्रम एकघाततः स्वतंत्र होता है यदि और केवल यदि $$\mathbf 0$$ एक अनूठे तरीके से अपने सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है।

यदि सदिशों के अनुक्रम में एक ही सदिश दो बार होता है, तो यह आवश्यक रूप से आश्रित होता है। सदिशों के अनुक्रम की रैखिक निर्भरता अनुक्रम में पदों के क्रम पर निर्भर नहीं करती है। यह सदिशों के परिमित समुच्चय के लिए एकघाततः स्वतंत्र को परिभाषित करने की अनुमति देता है: सदिशों का एक परिमित समुच्चय एकघाततः स्वतंत्र होता है यदि उनके क्रम से प्राप्त अनुक्रम एकघाततः स्वतंत्र होता है। दूसरे शब्दों में, एक का निम्नलिखित परिणाम होता है जो अक्सर उपयोगी होता है।

सदिशों का एक क्रम एकघाततः स्वतंत्र होता है यदि और केवल यदि इसमें एक ही सदिश दो बार नहीं होता है और इसके सदिशों का समुच्चय एकघाततः स्वतंत्र होता है।

अनंत मामला
सदिशों का एक अनंत उपसमुच्चय एकघाततः स्वतंत्र होता है यदि प्रत्येक गैर-रिक्त परिमित उपसमुच्चय एकघाततः स्वतंत्र हो। इसके विपरीत, सदिशों का एक अनंत समुच्चय एकघाततः परतंत्र होता है यदि इसमें एक परिमित उपसमुच्चय होता है जो एकघाततः परतंत्र होता है, या समतुल्य होता है, यदि समुच्चय में कुछ सदिश समुच्चय में अन्य सदिशों का एक रैखिक संयोजन होता है।

सदिशों का एक अनुक्रमित परिवार एकघाततः स्वतंत्र होता है यदि इसमें एक ही सदिश दो बार नहीं होता है, और यदि इसके सदिशों का समुच्चय एकघाततः स्वतंत्र होता है। अन्यथा, परिवार को एकघाततः परतंत्र कहा जाता है।

सदिशों का एक समूह जो एकघाततः स्वतंत्र है और कुछ सदिश समिष्ट को फैलाता है, उस सदिश समिष्ट के लिए एक आधार (रैखिक बीजगणित) बनाता है। उदाहरण के लिए, सभी बहुपद ों का सदिश समिष्ट $x$ रियल में (अनंत) उपसमुच्चय है ${1, x, x^{2}, ...}$ आधार रूप से।

ज्यामितीय उदाहरण
* $$\vec u$$ और $$\vec v$$ स्वतंत्र हैं और समतल P को परिभाषित करते हैं।
 * $$\vec u$$, $$\vec v$$ और $$\vec w$$ आश्रित हैं क्योंकि तीनों एक ही तल में समाहित हैं।
 * $$\vec u$$ और $$\vec j$$ निर्भर हैं क्योंकि वे एक दूसरे के समानांतर हैं।
 * $$\vec u$$, $$\vec v$$ और $$\vec k$$ स्वतंत्र हैं क्योंकि $$\vec u$$ और $$\vec v$$ एक दूसरे से स्वतंत्र हैं और $$\vec k$$ उनका एक रैखिक संयोजन नहीं है या, समतुल्य रूप से, क्योंकि वे एक सामान्य तल से संबंधित नहीं हैं। तीन सदिश एक त्रि-आयामी समिष्ट को परिभाषित करते हैं।
 * सदिश $$\vec o$$ (अशक्त सदिश, जिसके घटक शून्य के बराबर हैं) और $$\vec k$$ से आश्रित हैं $$\vec o = 0 \vec k$$

भौगोलिक स्थिति
एक व्यक्ति किसी निश्चित समिष्ट के समिष्ट का वर्णन कर सकता है, यह कह सकता है, यह यहाँ से 3 मील उत्तर और 4 मील पूर्व में है। समिष्ट का वर्णन करने के लिए यह पर्याप्त जानकारी है, क्योंकि भौगोलिक समन्वय प्रणाली को 2-आयामी सदिश समिष्ट (पृथ्वी की सतह की ऊंचाई और वक्रता की उपेक्षा) के रूप में माना जा सकता है। वह व्यक्ति जोड़ सकता है, यह समिष्ट यहाँ से 5 मील उत्तर-पूर्व में है। यह अंतिम कथन सत्य है, लेकिन समिष्ट का पता लगाना आवश्यक नहीं है। इस उदाहरण में 3 मील उत्तर सदिश और 4 मील पूर्व सदिश एकघाततः स्वतंत्र हैं। कहने का तात्पर्य यह है कि उत्तर सदिश को पूर्व सदिश के संदर्भ में वर्णित नहीं किया जा सकता है, और इसके विपरीत। तीसरा 5 मील पूर्वोत्तर सदिश अन्य दो सदिशों का एक रैखिक संयोजन है, और यह सदिशों के समुच्चय को एकघाततः परतंत्र करता है, अर्थात, तीन सदिशों में से एक एक समतल पर एक विशिष्ट समिष्ट को परिभाषित करने के लिए अनावश्यक है।

यह भी ध्यान दें कि यदि ऊंचाई को नजरअंदाज नहीं किया जाता है, तो एकघाततः स्वतंत्र समुच्चय में तीसरा सदिश जोड़ना आवश्यक हो जाता है। सामान्य रूप में, $n$ सभी समिष्टों का वर्णन करने के लिए एकघाततः स्वतंत्र सदिश की आवश्यकता होती है $n$-आयामी समिष्ट।

शून्य सदिश
यदि सदिशों के दिए गए अनुक्रम में से एक या अधिक सदिश $$\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k$$ शून्य सदिश है $$\mathbf{0}$$ फिर सदिश $$\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k$$ आवश्यक रूप से एकघाततः परतंत्र हैं (और परिणामस्वरूप, वे एकघाततः स्वतंत्र नहीं हैं)। देखने के लिए क्यों, मान लीजिए $$i$$ एक सूचकांक है (अर्थात का एक तत्व $$\{ 1, \ldots, k \}$$) ऐसा है कि $$\mathbf{v}_i = \mathbf{0}.$$ तो करने दें $$a_{i} := 1$$ (वैकल्पिक रूप से, दे $$a_{i}$$ be equal कोई अन्य गैर-शून्य अदिश भी काम करेगा) और फिर अन्य सभी अदिश होने दें $$0$$ (स्पष्ट रूप से, इसका मतलब है कि किसी भी इंडेक्स के लिए $$j$$ के अलावा अन्य $$i$$ (यानी के लिए $$j \neq i$$), होने देना $$a_{j} := 0$$ ताकि फलस्वरूप $$a_{j} \mathbf{v}_j = 0 \mathbf{v}_j = \mathbf{0}$$). सरल बनाना $$a_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + a_k\mathbf{v}_k$$ देता है:
 * $$a_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + a_k\mathbf{v}_k = \mathbf{0} + \cdots + \mathbf{0} + a_i \mathbf{v}_i + \mathbf{0} + \cdots + \mathbf{0} = a_i \mathbf{v}_i = a_i \mathbf{0} = \mathbf{0}.$$

क्योंकि सभी अदिश शून्य नहीं होते (विशेष रूप से, $$a_{i} \neq 0$$), यह साबित करता है कि सदिश $$\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k$$ रैखिक परतंत्र हैं।

नतीजतन, शून्य सदिश संभवतः सदिश के किसी भी संग्रह से संबंधित नहीं हो सकता है जो एकघाततः स्वतंत्र है।

अब विशेष मामले पर विचार करें जहां का क्रम $$\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k$$ लंबाई है $$1$$ (यानी मामला जहां $$k = 1$$). सदिशों का एक संग्रह जिसमें ठीक एक सदिश होता है, एकघाततः परतंत्र होता है यदि और केवल यदि वह सदिश शून्य है। स्पष्ट रूप से, अगर $$\mathbf{v}_1$$ कोई सदिश है तो अनुक्रम $$\mathbf{v}_1$$ (जो लंबाई का एक क्रम है $$1$$) एकघाततः परतंत्र है अगर और केवल अगर $\mathbf{v}_1 = \mathbf{0}$; वैकल्पिक रूप से, संग्रह $$\mathbf{v}_1$$ एकघाततः स्वतंत्र है अगर और केवल अगर $$\mathbf{v}_1 \neq \mathbf{0}.$$

रैखिक निर्भरता और दो सदिशों की स्वतंत्रता
यह उदाहरण उस विशेष मामले पर विचार करता है जहां बिल्कुल दो सदिश हैं $$\mathbf{u}$$ और $$\mathbf{v}$$ कुछ वास्तविक या जटिल सदिश समष्टि से। सदिश $$\mathbf{u}$$ और $$\mathbf{v}$$ एकघाततः परतंत्र हैं यदि और केवल यदि निम्न में से कम से कम एक सत्य है: यदि $$\mathbf{u} = \mathbf{0}$$ फिर समुच्चयिंग करके $$c := 0$$ अपने पास $$c \mathbf{v} = 0 \mathbf{v} = \mathbf{0} = \mathbf{u}$$ (इस समानता का कोई मूल्य नहीं है $$\mathbf{v}$$ is), जो दर्शाता है कि (1) इस विशेष मामले में सत्य है। इसी प्रकार यदि $$\mathbf{v} = \mathbf{0}$$ तब (2) सत्य है क्योंकि $$\mathbf{v} = 0 \mathbf{u}.$$ यदि $$\mathbf{u} = \mathbf{v}$$ (उदाहरण के लिए, यदि वे दोनों शून्य सदिश के बराबर हैं $$\mathbf{0}$$) तो (1) और (2) दोनों सत्य हैं (उपयोग करके $$c := 1$$ दोंनो के लिए)।
 * 1) $$\mathbf{u}$$ का अदिश गुणक है $$\mathbf{v}$$ (स्पष्ट रूप से, इसका मतलब है कि एक अदिश उपस्थित है $$c$$ ऐसा है कि $$\mathbf{u} = c \mathbf{v}$$) या
 * 2) $$\mathbf{v}$$ का अदिश गुणक है $$\mathbf{u}$$ (स्पष्ट रूप से, इसका मतलब है कि एक अदिश उपस्थित है $$c$$ ऐसा है कि $$\mathbf{v} = c \mathbf{u}$$).

यदि $$\mathbf{u} = c \mathbf{v}$$ तब $$\mathbf{u} \neq \mathbf{0}$$ केवल तभी संभव है $$c \neq 0$$ और $$\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$$; इस स्थिति में, दोनों पक्षों को इससे गुणा करना संभव है $\frac{1}{c}$ समाप्त करने के लिए $\mathbf{v} = \frac{1}{c} \mathbf{u}.$  इससे पता चलता है कि अगर $$\mathbf{u} \neq \mathbf{0}$$ और $$\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$$ तब (1) सत्य है यदि और केवल यदि (2) सत्य है; अर्थात्, इस विशेष मामले में या तो दोनों (1) और (2) सत्य हैं (और सदिश एकघाततः परतंत्र हैं) या फिर दोनों (1) और (2) असत्य हैं (और सदिश एकघाततः स्वतंत्र हैं)। यदि $$\mathbf{u} = c \mathbf{v}$$ लेकिन बदले $$\mathbf{u} = \mathbf{0}$$ तो कम से कम एक $$c$$ और $$\mathbf{v}$$ शून्य होना चाहिए। इसके अलावा, अगर बिल्कुल एक $$\mathbf{u}$$ और $$\mathbf{v}$$ है $$\mathbf{0}$$ (जबकि दूसरा शून्य नहीं है) तो (1) और (2) में से एक सही है (दूसरा गलत होने के साथ)।

सदिश $$\mathbf{u}$$ और $$\mathbf{v}$$ यदि और केवल यदि एकघाततः स्वतंत्र हैं $$\mathbf{u}$$ का अदिश गुणज नहीं है $$\mathbf{v}$$ और $$\mathbf{v}$$ का अदिश गुणज नहीं है $$\mathbf{u}$$.

आर में सदिश2
तीन सदिश: सदिशों के समुच्चय पर विचार करें $$\mathbf{v}_1 = (1, 1),$$ $$\mathbf{v}_2 = (-3, 2),$$ और $$\mathbf{v}_3 = (2, 4),$$ फिर रैखिक निर्भरता के लिए शर्त गैर-शून्य अदिशों के एक समुच्चय की तलाश करती है, जैसे कि
 * $$a_1 \begin{bmatrix} 1\\1\end{bmatrix} + a_2 \begin{bmatrix} -3\\2\end{bmatrix} + a_3 \begin{bmatrix} 2\\4\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix},$$

या
 * $$\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}.$$

प्राप्त करने के लिए दूसरी पंक्ति से पहली पंक्ति घटाकर इस मैट्रिक्स समीकरण को पंक्ति घटाएं,
 * $$\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 0 & 5 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}.$$

(i) दूसरी पंक्ति को 5 से विभाजित करके, और फिर (ii) 3 से गुणा करके और पहली पंक्ति में जोड़कर पंक्ति घटाना जारी रखें, अर्थात
 * $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 16/5 \\ 0 & 1 & 2/5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}.$$

इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने से हमें प्राप्त करने की अनुमति मिलती है
 * $$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix}=-a_3\begin{bmatrix} 16/5\\2/5\end{bmatrix}.$$

जो दर्शाता है कि अशून्य ai ऐसे उपस्थित हैं $$\mathbf{v}_3 = (2, 4)$$ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$\mathbf{v}_1 = (1, 1)$$ और $$\mathbf{v}_2 = (-3, 2).$$ इस प्रकार, तीन सदिश एकघाततः परतंत्र हैं।

दो सदिश: अब दो सदिशों की रैखिक निर्भरता पर विचार करें $$\mathbf{v}_1 = (1, 1)$$ और $$\mathbf{v}_2 = (-3, 2),$$ और जाँच करें,
 * $$a_1 \begin{bmatrix} 1\\1\end{bmatrix} + a_2 \begin{bmatrix} -3\\2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix},$$

या
 * $$\begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 2  \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}.$$

पैदावार के ऊपर प्रस्तुत एक ही पंक्ति में कमी,
 * $$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}.$$

यह दर्शाता है कि $$a_i = 0,$$ जिसका अर्थ है कि सदिश v1 = (1, 1) और वी2 = (−3, 2) एकघाततः स्वतंत्र हैं।

आर में सदिश4
यह निर्धारित करने के लिए कि क्या तीन सदिश में $$\mathbb{R}^4,$$ :$$\mathbf{v}_1= \begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}, \mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}, \mathbf{v}_3=\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}.$$ एकघाततः परतंत्र हैं, मैट्रिक्स समीकरण बनाते हैं,


 * $$\begin{bmatrix}1&7&-2\\4& 10& 1\\2&-4&5\\-3&-1&-4\end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}.$$

पंक्ति प्राप्त करने के लिए इस समीकरण को कम करें,
 * $$\begin{bmatrix} 1& 7 & -2 \\ 0& -18& 9\\ 0 & 0 & 0\\ 0& 0& 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}.$$

v के लिए हल करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करें3 और प्राप्त करें,
 * $$\begin{bmatrix} 1& 7 \\ 0& -18 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix} =  -a_3\begin{bmatrix}-2\\9\end{bmatrix}.$$

शून्येतर a को परिभाषित करने के लिए इस समीकरण को आसानी से हल किया जा सकता हैi,
 * $$a_1 = -3 a_3 /2, a_2 = a_3/2,$$

कहां $$a_3$$ मनमाने ढंग से चुना जा सकता है। इस प्रकार, सदिश $$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,$$ और $$\mathbf{v}_3$$ रैखिक परतंत्र हैं।

निर्धारकों का उपयोग करके वैकल्पिक विधि
एक वैकल्पिक तरीका इस तथ्य पर निर्भर करता है कि $$n$$ सदिश में $$\mathbb{R}^n$$ एकघाततः स्वतंत्र हैं यदि और केवल तभी जब मैट्रिक्स (गणित) के निर्धारक सदिश को इसके कॉलम के रूप में ले कर गैर-शून्य है।

इस मामले में, सदिश द्वारा गठित मैट्रिक्स है
 * $$A = \begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix} .$$

हम स्तंभों के एक रैखिक संयोजन को इस प्रकार लिख सकते हैं
 * $$A \Lambda = \begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\lambda_1 \\ \lambda_2 \end{bmatrix} .$$

हमें इसमें दिलचस्पी है कि क्या $AΛ = 0$ कुछ अशून्य सदिश Λ के लिए। यह के निर्धारक पर निर्भर करता है $$A$$, जो है
 * $$\det A = 1\cdot2 - 1\cdot(-3) = 5 \ne 0.$$

चूंकि निर्धारक गैर-शून्य है, इसलिए सदिश $$(1, 1)$$ और $$(-3, 2)$$ एकघाततः स्वतंत्र हैं।

अन्यथा, मान लीजिए हमारे पास है $$m$$ के सदिश $$n$$ के साथ समन्वय करता है $$m < n.$$ फिर ए एक एम × एन मैट्रिक्स है और Λ एक कॉलम सदिश है $$m$$ प्रविष्टियाँ, और हम फिर से AΛ = '0' में रुचि रखते हैं। जैसा कि हमने पहले देखा, यह एक सूची के बराबर है $$n$$ समीकरण। पहले पर विचार करें $$m$$ की पंक्तियों $$A$$, सबसे पहला $$m$$ समीकरण; समीकरणों की पूरी सूची का कोई भी समाधान घटी हुई सूची के लिए भी सही होना चाहिए। वास्तव में, अगर $⟨i_{1},...,i_{m}⟩$ की कोई सूची है $$m$$ पंक्तियाँ, तो उन पंक्तियों के लिए समीकरण सत्य होना चाहिए।
 * $$A_{\lang i_1,\dots,i_m \rang} \Lambda = \mathbf{0} .$$

इसके अलावा, विपरीत सत्य है। यानी, हम परीक्षण कर सकते हैं कि क्या $$m$$ सदिश रैखिक रूप से परीक्षण द्वारा निर्भर हैं कि क्या
 * $$\det A_{\lang i_1,\dots,i_m \rang} = 0$$

की सभी संभावित सूचियों के लिए $$m$$ पंक्तियाँ। (यदि $$m = n$$, इसके लिए केवल एक निर्धारक की आवश्यकता होती है, जैसा कि ऊपर बताया गया है। यदि $$m > n$$, तो यह एक प्रमेय है कि सदिश को एकघाततः परतंत्र होना चाहिए।) यह तथ्य सिद्धांत के लिए मूल्यवान है; व्यावहारिक गणनाओं में अधिक कुशल विधियाँ उपलब्ध हैं।

आयामों से अधिक सदिश
यदि आयामों की तुलना में अधिक सदिश हैं, तो सदिश एकघाततः परतंत्र हैं। यह तीन सदिशों के ऊपर के उदाहरण में दिखाया गया है $$\R^2.$$

प्राकृतिक आधार सदिश
होने देना $$V = \R^n$$ और निम्नलिखित तत्वों पर विचार करें $$V$$, मानक आधार सदिश के रूप में जाना जाता है:


 * $$\begin{matrix}

\mathbf{e}_1 & = & (1,0,0,\ldots,0) \\ \mathbf{e}_2 & = & (0,1,0,\ldots,0) \\ & \vdots \\ \mathbf{e}_n & = & (0,0,0,\ldots,1).\end{matrix}$$ फिर $$\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n$$ एकघाततः स्वतंत्र हैं।

$$

कार्यों की एकघाततः स्वतंत्र
होने देना $$V$$ वास्तविक चर के सभी अलग-अलग कार्यों (गणित) के सदिश समिष्ट बनें $$t$$. फिर कार्य करता है $$e^t$$ और $$e^{2t}$$ में $$V$$ एकघाततः स्वतंत्र हैं।

प्रमाण
मान लीजिए $$a$$ और $$b$$ ऐसी दो वास्तविक संख्याएँ हैं


 * $$ae ^ t + be ^ {2t} = 0$$

उपरोक्त समीकरण का पहला व्युत्पन्न लें:


 * $$ae ^ t + 2be ^ {2t} = 0$$

के लिए के मान $$t.$$ हमें वह दिखाने की जरूरत है $$a = 0$$ और $$b = 0.$$ ऐसा करने के लिए, हम पहले समीकरण को दूसरे समीकरण से घटाकर देते हैं $$be^{2t} = 0$$. तब से $$e^{2t}$$ कुछ के लिए शून्य नहीं है $$t$$, $$b=0.$$ यह इस प्रकार है कि $$a = 0$$ भी। इसलिए, एकघाततः स्वतंत्र की परिभाषा के अनुसार, $$e^{t}$$ और $$e^{2t}$$ एकघाततः स्वतंत्र हैं।

रैखिक निर्भरता का समिष्ट
सदिशों के बीच एक रैखिक निर्भरता या रैखिक संबंध $v_{1}, ..., v_{n}$ एक टपल है $(a_{1}, ..., a_{n})$ साथ $n$ अदिश (गणित) घटक जैसे कि


 * $$a_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + a_n \mathbf{v}_n= \mathbf{0}.$$

यदि ऐसी रैखिक निर्भरता कम से कम एक अशून्य घटक के साथ उपस्थित है, तो $n$ सदिश एकघाततः परतंत्र हैं। के बीच रैखिक निर्भरता $v_{1}, ..., v_{n}$ एक सदिश समिष्ट बनाएँ।

यदि सदिश उनके निर्देशांक द्वारा व्यक्त किए जाते हैं, तो रैखिक निर्भरता रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली के समाधान हैं, जिसमें सदिशों के निर्देशांक गुणांक के रूप में होते हैं। रैखिक निर्भरता के सदिश समिष्ट का एक आधार (रैखिक बीजगणित) इसलिए गॉसियन विलोपन द्वारा गणना की जा सकती है।

आत्मीय स्वतंत्रता
सदिशों के एक समुच्चय को बंधुतापूर्ण रूप से आश्रित कहा जाता है यदि समुच्चय में सदिशों में से कम से कम एक सदिशों को दूसरों के सजातीय संयोजन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। अन्यथा, समुच्चय को आत्मीयता से स्वतंत्र कहा जाता है। कोई भी affine संयोजन एक रैखिक संयोजन है; इसलिए प्रत्येक आत्मीय आश्रित समुच्चय रैखिक परतंत्र होता है। इसके विपरीत, प्रत्येक एकघाततः स्वतंत्र समुच्चय आत्मीयता से स्वतंत्र होता है।

के एक समुच्चय पर विचार करें $$m$$ सदिश $$\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_m$$ आकार का $$n$$ प्रत्येक, और के समुच्चय पर विचार करें $$m$$ संवर्धित सदिश $\left(\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ \mathbf{v}_1\end{smallmatrix}\right], \ldots, \left[\begin{smallmatrix}1 \\ \mathbf{v}_m\end{smallmatrix}\right]\right)$ आकार का $$n + 1$$ प्रत्येक। मूल सदिश आत्मीयता से स्वतंत्र होते हैं यदि और केवल यदि संवर्धित सदिश एकघाततः स्वतंत्र हों।

एकघाततः स्वतंत्र सदिश उप- समिष्ट
दो सदिश उप- समिष्ट $$M$$ और $$N$$ एक सदिश समष्टि की $$X$$ कहा जाता है अगर $$M \cap N = \{0\}.$$ अधिक आम तौर पर, एक संग्रह $$M_1, \ldots, M_d$$ के उप- समिष्टों का $$X$$ कहा जाता है  अगर $M_i \cap \sum_{k \neq i} M_k = \{0\}$  प्रत्येक सूचकांक के लिए $$i,$$ कहाँ पे $\sum_{k \neq i} M_k = \Big\{m_1 + \cdots + m_{i-1} + m_{i+1} + \cdots + m_d : m_k \in M_k \text{ for all } k\Big\} = \operatorname{span} \bigcup_{k \in \{1,\ldots,i-1,i+1,\ldots,d\}} M_k.$  सदिश समिष्ट $$X$$ ए कहा जाता है  का $$M_1, \ldots, M_d$$ अगर ये सबस्पेस एकघाततः स्वतंत्र हैं और $$M_1 + \cdots + M_d = X.$$

बाहरी कड़ियाँ

 * Linearly Dependent Functions at WolframMathWorld.
 * Tutorial and interactive program on Linear Independence.
 * Introduction to Linear Independence at KhanAcademy.
 * Introduction to Linear Independence at KhanAcademy.