एकगुणांकी बहुपद

बीजगणित में, एक मोनिक बहुपद एक एकल-चर बहुपद है (अर्थात, एक अविभाज्य बहुपद) जिसमें अग्रणी गुणांक (उच्चतम डिग्री का अशून्य गुणांक) 1 के बराबर है। इसलिए, एक मोनिक बहुपद का रूप है:
 * $$x^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_2x^2+c_1x+c_0$$

अविभाजित बहुपद
यदि एक बहुपद में केवल एक अनिश्चित (अविभाजित बहुपद) है, तो आमतौर पर शब्द या तो उच्चतम डिग्री से निम्नतम डिग्री ("अवरोही शक्तियां") या निम्नतम डिग्री से उच्चतम डिग्री ("आरोही शक्तियां") में लिखे जाते हैं। डिग्री n के x में एक अविभाज्य बहुपद फिर ऊपर प्रदर्शित सामान्य रूप लेता है, जहां


 * cn ≠ 0, cn−1, ..., c2, c1 और c0

अचर हैं, बहुपद के गुणांक हैं।

यहाँ शब्द cnxn को अग्रणी पद कहा जाता है, और इसका गुणांक cn प्रमुख गुणांक है; यदि अग्रणी गुणांक 1 है, तो अविभाजित बहुपद को मोनिक कहा जाता है।

गुणक रूप से बंद
सभी मोनिक बहुपदों का सेट (किसी दिए गए (एकात्मक) वलय A पर और किसी दिए गए चर x के लिए) गुणन के तहत बंद है, क्योंकि दो मोनिक बहुपदों के प्रमुख शब्दों का उत्पाद उनके उत्पाद का अग्रणी शब्द है। इस प्रकार, मोनिक बहुपद, बहुपद वलय A[x] का एक गुणनात्मक अर्धसमूह बनाते हैं। दरअसल, चूंकि निरंतर बहुपद 1 मोनिक है, यह सेमीग्रुप एक मोनोइड भी है।

आंशिक रूप से आदेशित
सभी मोनिक बहुपदों (दिए गए वलय के ऊपर) के समुच्चय के विभाज्यता संबंध का प्रतिबंध एक आंशिक क्रम है, और इस प्रकार इस सेट को एक पॉसेट बनाता है। कारण यह है कि यदि p(x) q(x) को विभाजित करता है और q(x), p(x) को दो मोनिक बहुपदों p और q के लिए विभाजित करता है, तो p और q बराबर होने चाहिए। संबंधित संपत्ति सामान्य रूप से बहुपदों के लिए सही नहीं है, अगर अंगूठी में 1 के अलावा उलटा तत्व शामिल हैं।

बहुपद समीकरण समाधान
अन्य मामलों में, मोनिक बहुपदों के गुण और उनके संबंधित मोनिक बहुपद समीकरण गुणांक रिंग ए पर निर्णायक रूप से निर्भर करते हैं। यदि A एक क्षेत्र है, तो प्रत्येक गैर-शून्य बहुपद p में ठीक एक संबद्ध मोनिक बहुपद q: p होता है जो इसके अग्रणी गुणांक से विभाजित होता है। इस तरीके से, तब, किसी भी गैर-तुच्छ बहुपद समीकरण p(x) = 0 को एक समतुल्य मोनिक समीकरण q(x) = 0 से बदला जा सकता है। उदाहरण के लिए, सामान्य वास्तविक द्वितीय डिग्री समीकरण
 * $$\ ax^2+bx+c = 0$$ (कहाँ पे $$ a \neq 0$$)

द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है
 * $$\ x^2+px+q = 0$$,

p = b/a  और  q = c/a को प्रतिस्थापित करके। इस प्रकार, समीकरण
 * $$2x^2+3x+1 = 0$$

मोनिक समीकरण के बराबर है
 * $$x^2+\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}=0.$$

सामान्य द्विघात समाधान सूत्र तब थोड़ा अधिक सरलीकृत रूप है:
 * $$x = \frac{1}{2} \left( -p \pm \sqrt{p^2 - 4q} \right).$$

अखंडता
दूसरी ओर, यदि गुणांक वलय कोई क्षेत्र नहीं है, तो और भी आवश्यक अंतर हैं। उदाहरण के लिए, पूर्णांक गुणांक वाले एक मोनिक बहुपद समीकरण के ऐसे परिमेय समाधान नहीं हो सकते जो पूर्णांक नहीं हैं। इस प्रकार समीकरण
 * $$\ 2x^2+3x+1 = 0$$

संभवतः कुछ परिमेय मूल हो सकते हैं, जो एक पूर्णांक नहीं है, (और संयोगवश इसकी जड़ों में से एक -1/2 है); जबकि समीकरण
 * $$\ x^2+5x+6 = 0$$

तथा
 * $$\ x^2+7x+8 = 0$$

केवल पूर्णांक समाधान या अपरिमेय समाधान हो सकते हैं।

पूर्णांक गुणांक वाले मोनिक बहुपदों की जड़ें बीजगणितीय पूर्णांक कहलाती हैं।

एक अभिन्न डोमेन पर मोनिक बहुपद समीकरणों के समाधान अभिन्न विस्तार और अभिन्न रूप से बंद डोमेन के सिद्धांत में महत्वपूर्ण हैं, और इसलिए बीजगणितीय संख्या सिद्धांत के लिए। सामान्य तौर पर, मान लें कि A एक अभिन्न डोमेन है, और अभिन्न डोमेन B का एक उपसमूह भी है। B के उपसमुच्चय C पर विचार करें, जिसमें B तत्व शामिल हैं, जो A पर मोनिक बहुपद समीकरणों को संतुष्ट करते हैं:
 * $$ C := \{b \in B : \exists\, p(x) \in A[x]\,, \hbox{ which is monic and such that } p(b) = 0\}\,.$$

समुच्चय C में A समाविष्ट है, क्योंकि कोई भी a ∈ A समीकरण x - a = 0 को संतुष्ट करता है। इसके अलावा, यह सिद्ध करना संभव है कि C योग और गुणन के अंतर्गत संवृत्त है। इस प्रकार, C, B का उपवलय है। वलय C को B में A का अभिन्न संवरण कहा जाता है; या ए का सिर्फ अभिन्न समापन, अगर बी ए का अंश क्षेत्र है; और C के तत्वों को A पर अभिन्न कहा जाता है। यदि यहाँ $$A=\mathbb{Z}$$ (पूर्णांकों का वलय) और $$B=\mathbb{C}$$ (जटिल संख्याओं का क्षेत्र) है, तो C बीजगणितीय पूर्णांकों का वलय है।

इर्रिड्यूसिबल
यदि $p$ एक अभाज्य संख्या है, तो $p$ तत्वों वाले परिमित क्षेत्र $$\mathrm{GF}(p)$$ पर डिग्री $n$ के मोनिक इरेड्यूसिबल बहुपदों की संख्या नेकलेस काउंटिंग फ़ंक्शन $N_p(n)$ के बराबर है।

यदि मणिक होने का बंधन हटा दिया जाए तो यह संख्या $(p-1)N_p(n)$ हो जाती है।

इन मोनिक इरेड्यूसिबल बहुपदों की जड़ों की कुल संख्या $nN_p(n)$ है। यह क्षेत्र $\mathrm{GF}(p^n)$ ($p^n$तत्वों के साथ) के तत्वों की संख्या है जो किसी भी छोटे क्षेत्र से संबंधित नहीं हैं।

$p = 2$ के लिए, इस तरह के बहुपदों का उपयोग आमतौर पर छद्म आयामी बाइनरी अनुक्रम उत्पन्न करने के लिए किया जाता है।

बहुभिन्नरूपी बहुपद
आमतौर पर, कई चर के बहुपदों के लिए मोनिक शब्द नियोजित नहीं होता है। हालांकि, कई चरों में एक बहुपद को केवल "अंतिम" चर में बहुपद के रूप में माना जा सकता है, लेकिन अन्य में बहुपद होने वाले गुणांक के साथ। यह कई तरीकों से किया जा सकता है, इस पर निर्भर करता है कि किस चर को "आखिरी वाले" के रूप में चुना गया है। उदाहरण के लिए, वास्तविक बहुपद
 * $$\ p(x,y) = 2xy^2+x^2-y^2+3x+5y-8$$

मोनिक है, जिसे R [y] [x] में एक तत्व के रूप में माना जाता है, अर्थात, चर x में एक अविभाजित बहुपद के रूप में, गुणांक के साथ जो स्वयं y में अविभाजित बहुपद हैं:
 * $$p(x,y) = 1\cdot x^2 + (2y^2+3) \cdot x + (-y^2+5y-8)$$;

लेकिन p(x, y) R[x] [y] में एक तत्व के रूप में मोनिक नहीं है, तब से उच्चतम डिग्री गुणांक (अर्थात, y2 गुणांक) 2x − 1 है।

एक वैकल्पिक सम्मेलन है, जो उपयोगी हो सकता है उदाहरण के लिए ग्रॉबनर आधार संदर्भों में: एक बहुपद को मोनिक कहा जाता है, यदि इसका अग्रणी गुणांक (बहुभिन्नरूपी बहुपद के रूप में) 1 है। दूसरे शब्दों में, मान लें कि p = p(x1,...,xn) n चरों में एक गैर-शून्य बहुपद है, और यह कि इन चरों में सभी ("मोनिक") एकपदी के समुच्चय पर एक एकपदी क्रम दिया गया है।, यानी, x1,...,xn द्वारा उत्पन्न मुक्त कम्यूटेटिव मोनॉयड का कुल क्रम, इकाई के साथ सबसे कम तत्व के रूप में, और गुणन का सम्मान करते हुए। उस मामले में, यह आदेश पी में उच्चतम गैर-लुप्त होने वाली अवधि को परिभाषित करता है, और पी को मोनिक कहा जा सकता है, यदि उस शब्द में एक गुणांक है।

किसी भी परिभाषा के अनुसार "मोनिक बहुभिन्नरूपी बहुपद" "साधारण" (अविभाजित) मोनिक बहुपद के साथ कुछ गुण साझा करते हैं। उल्लेखनीय रूप से, मोनिक बहुपदों का गुणनफल फिर से मोनिक होता है।

यह भी देखें

 * जटिल द्विघात बहुपद