समांतर श्रेणी

अंकगणितीय प्रगति या अंकगणितीय अनुक्रम संख्याओं का एक ऐसा अनुक्रम है जिसमें लगातार शब्दों के बीच का अंतर स्थिर होता है। उदाहरण के लिए 5, 7, 9, 11, 13, 15 के अनुक्रम में सामान्य अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति दिखाई दे रही है।

यदि अंकगणितीय प्रगति का प्रारंभिक शब्द $$a_1$$है एवं क्रमिक सदस्यों का सामान्य अंतर $$d$$ है तत्कालीन $$n$$ अनुक्रम का शब्द ($$a_n$$) दिया गया है |
 * $$\ a_n = a_1 + (n - 1)d$$,

और सामान्य रूप से


 * $$\ a_n = a_m + (n - m)d$$।

अंकगणितीय प्रगति के परिमित हिस्से को परिमित अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है | कभी -कभी इस इकाई को केवल अंकगणितीय प्रगति भी कहा जाता है। वहीं एक परिमित अंकगणितीय प्रगति के योग को अंकगणित श्रृंखला कहा जाता है।

योग
एक परिमित अंकगणितीय प्रगति के कुल इकाई के योग को अंकगणित श्रृंखला कहा जाता है। उदाहरण के लिए नीचे दिए गए योगफल पर विचार करें |


 * $$2 + 5 + 8 + 11 + 14$$

यहाँ त्वरित रूप से जोड़े जा रहे रहे योग के अनुसार (5) की संख्या के लिए n को अंकगणितीय अनुक्रम में पहले और अंतिम संख्या के योग से गुणा करने पर (यहां 2 + 14 = 16), और 2 से विभाजित करने पर प्राप्त समीकरण


 * $$\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$

उपरोक्त विधि के अनुसार जो समीकरण मिलता है वह निम्नांकित है |


 * $$2 + 5 + 8 + 11 + 14 = \frac{5(2 + 14)}{2} = \frac{5 \times 16}{2} = 40.$$

यह सूत्र किसी भी वास्तविक संख्या के लिए काम करता है $$a_1$$ तथा $$a_n$$। उदाहरण के लिए नीचे के योग पर ध्यान दें |


 * $$\left(-\frac{3}{2}\right) + \left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2} = \frac{3\left(-\frac{3}{2} + \frac{1}{2}\right)}{2} = -\frac{3}{2}.$$

व्युत्पत्ति
उपरोक्त सूत्र को प्राप्त करने के लिए दो अलग -अलग तरीकों से अंकगणित श्रृंखला को व्यक्त करके कुछ इस तरह समीकरण शुरू करें |
 * $$ S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\cdots+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)$$
 * $$ S_n=(a_n-(n-1)d)+(a_n-(n-2)d)+\cdots+(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n.$$

d को हटाकर दो समीकरणों के दोनों किनारों के सभी शब्दों को जोड़ते हुए प्राप्त समीकरण


 * $$\ 2S_n=n(a_1 + a_n).$$

दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने से समीकरण का प्राप्त सामान्य रूप

$$ S_n=\frac{n}{2}( a_1 + a_n).$$

प्रतिस्थापन को पुनः सम्मिलित करने पर वैकल्पिक रूप से ज्ञात परिणाम $$a_n = a_1 + (n-1)d$$:


 * $$ S_n=\frac{n}{2}[ 2a_1 + (n-1)d].$$

इसके अलावा श्रृंखला केऔसत मूल्य की गणना इस समीकरण के माध्यम से की जा सकती है: $$S_n / n$$:


 * $$ \overline{a} =\frac{a_1 + a_n}{2}.$$

दिया गया यह सूत्र असतत समान वितरण(डिस्क्रीट यूनिफार्म डिस्ट्रीब्यूशन ) के मध्यमान के समान है।

उत्पाद
एक प्रारंभिक तत्व के साथ एक परिमित अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों का उत्पाद1 सामान्य अंतर d, और कुल कुल में n तत्व बंद अभिव्यक्ति में निर्धारित किया जाता है |


 * $$a_1a_2a_3\cdots a_n = a_1(a_1+d)(a_1+2d)...(a_1+(n-1)d)= \prod_{k=0}^{n-1} (a_1+kd) = d^n \frac{\Gamma \left(\frac{a_1}{d} + n\right) }{\Gamma \left( \frac{a_1}{d} \right)}$$

जहां $$\Gamma$$ गामा फ़ंक्शन को दर्शाता है। जब $$a_1/d$$ नकारात्मक या फिर शून्य है तब ऐसे में सूत्र मान्य नहीं है |

यह इस तथ्य से एक सामान्यीकरण है कि प्रगति का उत्पाद $$1 \times 2 \times \cdots \times n$$ फैक्टरियल द्वारा दिया जाता है $$n!$$ और वह उत्पाद


 * $$m \times (m+1) \times (m+2) \times \cdots \times (n-2) \times (n-1) \times n $$

सकारात्मक पूर्णांक के लिए $$m$$ तथा $$n$$ द्वारा दिया गया है |


 * $$\frac{n!}{(m-1)!}.$$

व्युत्पत्ति

 * $$\begin{align}

a_1a_2a_3\cdots a_n &=\prod_{k=0}^{n-1} (a_1+kd) \\ &= \prod_{k=0}^{n-1} d\left(\frac{a_1}{d}+k\right) = d \left (\frac{a_1}{d}\right) d \left (\frac{a_1}{d}+1 \right )d \left ( \frac{a_1}{d}+2 \right )\cdots d \left ( \frac{a_1}{d}+(n-1) \right ) \\ &= d^n\prod_{k=0}^{n-1} \left(\frac{a_1}{d}+k\right)=d^n {\left(\frac{a_1}{d}\right)}^{\overline{n}} \end{align}$$ जहाँ $$x^{\overline{n}}$$ बढ़ते फैक्टरियल को दर्शाता है।

पुनरावृत्ति सूत्र द्वारा $$\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$$, एक जटिल संख्या के लिए मान्य है $$z>0$$,


 * $$\Gamma(z+2)=(z+1)\Gamma(z+1)=(z+1)z\Gamma(z)$$,


 * $$\Gamma(z+3)=(z+2)\Gamma(z+2)=(z+2)(z+1)z\Gamma(z)$$,

ताकि


 * $$ \frac{\Gamma(z+m)}{\Gamma(z)} = \prod_{k=0}^{m-1}(z+k)$$

के लिये $$m$$ एक सकारात्मक पूर्णांक और $$z$$ सकारात्मक जटिल संख्या है |

इस प्रकार, अगर $$a_1/d > 0 $$,


 * $$\prod_{k=0}^{n-1} \left(\frac{a_1}{d}+k\right)= \frac{\Gamma \left(\frac{a_1}{d} + n\right) }{\Gamma \left( \frac{a_1}{d} \right)}$$,

और अंत में,


 * $$a_1a_2a_3\cdots a_n = d^n\prod_{k=0}^{n-1} \left(\frac{a_1}{d}+k\right) = d^n \frac{\Gamma \left(\frac{a_1}{d} + n\right) }{\Gamma \left( \frac{a_1}{d} \right)} $$

उदाहरण
उदाहरण $$ 3, 8, 13, 18, 23, 28, \ldots $$, द्वारा दिए गए अंकगणितीय प्रगति के तथ्य का 50 निश्चित अंक तक का परिणाम होगा $$a_n = 3 + 5(n-1) $$
 * उदाहरण 1
 * $$P_{50} = 5^{50} \cdot \frac{\Gamma \left(3/5 + 50\right) }{\Gamma \left( 3 / 5 \right) } \approx 3.78438 \times 10^{98}. $$

पहले 10 विषम संख्याओं का परिणाम $$(1,3,5,7,9,11,13,15,17,19)$$ द्वारा दिया गया है |
 * उदाहरण 2
 * $$ 1.3.5\cdots 19 =\prod_{k=0}^{9} (1+2k) = 2^{10} \cdot \frac{\Gamma \left(\frac{1}{2} + 10\right) }{\Gamma \left( \frac{1}{2} \right) } $$ = 654,729,075

मानक विचलन
किसी भी अंकगणितीय प्रगति के मानक विचलन की गणना कुछ इस तरह की जा सकती है |


 * $$ \sigma = |d|\sqrt{\frac{(n-1)(n+1)}{12}}$$

जहां पर $$ n$$ प्रगति में शर्तों की संख्या है और $$ d$$ शर्तों के बीच आम अंतर है।सूत्र एक असतत समान वितरण के मानक विचलन के समान है।

प्रतिच्छेदन
प्रतिच्छेदन को चीनी शेष प्रमेय यानि (चाइनीज रिमाइंडर थियोरम ) का उपयोग कर दो दोगुनी अंकगणतीय अनुक्रम या अन्य अंकगणतीय अनुक्रम को रिक्त किया जा सकता है |  यदि दोगुनी अनंत अंकगणितीय अनुक्रम के वर्ग में अनुक्रम की प्रत्येक जोड़ी में अरिक्‍त प्रतिच्छेदन है तो उन सभी के लिए एक सामान्य संख्या मौजूद है अर्थात् अनंत अंकगणितीय प्रगति एक हेल्ली परिवार (प्रतिच्छेदन फार्मूला का एक प्रकार ) का निर्माण करती है। हालांकि असीम रूप से कई अनंत अंकगणितीय प्रगति का अनुक्रम अनंत अनुक्रम होने के बजाय एकल संख्या के रूप में हो सकती है ।

इतिहास
अनिश्चित विश्वसनीयता के एक किस्से के अनुसार, प्राथमिक विद्यालय में युवा कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने इस पद्धति को पुनर्निवेशित किया, जिसमें 1 से 100 के माध्यम से पूर्णांक के योग की गणना करने के लिए गुणा करके $n⁄2$ प्रत्येक जोड़ी के मानों द्वारा योग में संख्याओं के जोड़े {गणित | n + 1}} पर काम किया। ।  हालांकि, इस कहानी की सच्चाई की परवाह किए बिना, गॉस इस सूत्र की खोज करने वाले पहले व्यक्ति नहीं थे | कुछ को यह संभावना है कि इसकी उत्पत्ति 5 वीं शताब्दी ईसा पूर्व में पाइथागोरस में वापस चली जाती है। इसी तरह के नियमों को पुरातनता में आर्किमिडीज, हाइपिकल्स और डायोफेंटस के लिए जाना जाता था | चीन में झांग किउजियान, भारत में आर्यभत, ब्रह्मगुप्त और भास्कर II, और मध्ययुगीन यूरोप में अल्कुइन, Dicuil, फाइबोनैचि, पवित्र और तल्मूड के अनाम टिप्पणीकारों को तोसाफिस्ट के रूप में जाना जाता है।

यह भी देखें

 * ज्यामितीय अनुक्रम
 * हार्मोनिक प्रगति
 * त्रिकोणीय संख्या
 * अंकगणित-ज्यामितीय अनुक्रम
 * अंकगणित और ज्यामितीय साधनों की असमानता
 * अंकगणितीय प्रगति में प्राइम
 * रैखिक अंतर समीकरण
 * सामान्यीकृत अंकगणितीय प्रगति, अंकगणितीय प्रगति के रूप में निर्मित पूर्णांक का एक सेट है, लेकिन कई संभावित अंतरों की अनुमति देता है
 * अंकगणितीय प्रगति में पक्षों के साथ हेरोनियन त्रिकोण
 * अंकगणितीय प्रगति से जुड़ी समस्याए
 * बहुपद अंकगणितीय प्रगति की शक्तियों की गणना करना