स्थिर-क्रिया सिद्धांत

स्थिर-क्रिया सिद्धांत - जिसे कम से कम क्रिया के सिद्धांत के रूप में भी जाना जाता है - एक भिन्नता सिद्धांत है, जिसे जब एक यांत्रिकी प्रणाली के कार्य पर लागू किया जाता है, उस प्रणाली के लिए गति के समीकरण उत्पन्न करता है। सिद्धांत बताता है कि प्रक्षेपवक्र (अर्थात गति के समीकरणों के समाधान) सिस्टम की क्रिया के स्थिर बिंदु हैं।

सिद्धांत का उपयोग गति के न्यूटोनियन, लैग्रेन्जियन और हैमिल्टनियन समीकरणों और यहां तक ​​कि सामान्य सापेक्षता, साथ ही शास्त्रीय इलेक्ट्रोडायनामिक्स और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है।इन मामलों में, एक अलग कार्रवाई को न्यूनतम या अधिकतम किया जाना चाहिए। सापेक्षता के लिए, यह आइंस्टीन-हिल्बर्ट क्रिया है। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के लिए, इसमें पथ अभिन्न सूत्रीकरण शामिल है।

शास्त्रीय यांत्रिकी और विद्युत चुम्बकीय अभिव्यक्तियाँ क्वांटम यांत्रिकी का परिणाम हैं। स्थिर क्रिया पद्धति ने क्वांटम यांत्रिकी के विकास में मदद की। 1933 में, भौतिक विज्ञानी पॉल डिराक नेआयामों के क्वांटम हस्तक्षेप में सिद्धांत के क्वांटम यांत्रिक आधार को समझकर प्रदर्शित किया कि इस सिद्धांत का उपयोग क्वांटम गणना में कैसे किया जा सकता है। इसके बाद जूलियन श्विंगर और रिचर्ड फेनमैन ने स्वतंत्र रूप से क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स में इस सिद्धांत को लागू किया।

यह सिद्धांत आधुनिक भौतिक विज्ञान और गणित में केंद्रीय बना हुआ है, जिसे थर्मोडायनामिक्स,  द्रव यांत्रिकी, सापेक्षता का सिद्धांत, क्वांटम यांत्रिकी, कण भौतिक विज्ञान, और स्ट्रिंग सिद्धांत में लागू किया जा रहा है। और मोर्स सिद्धांत में आधुनिक गणितीय जांच का केंद्र बिंदु है। मौपर्टुइस का सिद्धांत और हैमिल्टन का सिद्धांत स्थिर क्रिया के सिद्धांत का उदाहरण देते हैं।

क्रिया सिद्धांत प्रकाशिकी में पहले के विचारों से पहले आता है। प्राचीन ग्रीस में, यूक्लिड ने अपने कैटोप्ट्रिका में लिखा था कि, दर्पण से परावर्तित होने वाले प्रकाश के पथ के लिए, आपतन कोण प्रतिबिंब के कोण के बराबर होता है। अलेक्जेंड्रिया के हीरो ने बाद में दिखाया कि यह रास्ता सबसे कम लंबाई और सबसे कम समय का था।

विद्वान अक्सर कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत को प्रतिपादित करने के लिए पियरे लुईस मौपर्टुइस को श्रेय देते हैं क्योंकि उन्होंने इसके बारे में 1744 और 1746 में लिखा था। हालाँकि, लियोनहार्ड यूलर ने भी 1744 में इस सिद्धांत पर चर्चा की, और साक्ष्य से पता चलता है कि गॉटफ्रीड लीबनिज़ दोनों से 39 वर्ष पहले थे।

सामान्य कथन
क्रिया, निरूपित $$ \mathcal{S} $$, एक भौतिक प्रणाली को समय के उदाहरणों t1 और t2 के बीच लैग्रेंजियन L के अभिन्न अंग के रूप में परिभाषित किया गया है - तकनीकी रूप से N सामान्यीकृत निर्देशांक $q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{N})$का एक कार्यात्मक जो समय के कार्य हैं जो समय के कार्य हैं और सिस्टम के विन्यास को परिभाषित करते हैं:

$$ \mathbf{q} : \mathbf{R} \to \mathbf{R}^N $$$$ \mathcal{S}[\mathbf{q}, t_1, t_2] = \int_{t_1}^{t_2} L(\mathbf{q}(t),\mathbf{\dot{q}}(t), t) dt $$ जहां बिंदु समय व्युत्पन्न को दर्शाता है, और t समय है।

गणितीय रूप से सिद्धांत है $$ \delta \mathcal{S} = 0 ,$$ जहां δ (लोअरकेस ग्रीक डेल्टा) का अर्थ एक छोटा सा परिवर्तन है। शब्दों में यह पढ़ता है

न्यूनतम कार्रवाई के ऐतिहासिक नाम के बावजूद, स्थिर कार्रवाई हमेशा न्यूनतम नहीं होती है। यह पथ में पर्याप्त रूप से छोटे, सीमित खंडों के लिए एक न्यूनतम सिद्धांत है।

अनुप्रयोगों में कथन और कार्रवाई की परिभाषा को एक साथ लिया जाता है $$ \delta \int_{t_1}^{t_2} L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}},t) dt = 0 .$$एक्शन और लैग्रेंजियन दोनों में हर समय के लिए सिस्टम की गतिशीलता शामिल है। शब्द "पथ" बस कॉन्फ़िगरेशन स्थान में निर्देशांक के संदर्भ में सिस्टम द्वारा ट्रेस किए गए वक्र को संदर्भित करता है, यानी वक्र $t_{1}$, समय के अनुसार पैरामीटरयुक्त (इस अवधारणा के लिए पैरामीट्रिक समीकरण भी देखें)।

फर्मेट
1600 के दशक में, पियरे डी फ़र्मेट ने कहा कि "प्रकाश सबसे कम समय के पथ पर दो दिए गए बिंदुओं के बीच यात्रा करता है," जिसे कम से कम समय के सिद्धांत या फ़र्मेट के सिद्धांत के रूप में जाना जाता है।

मौपर्टुइस
कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत के निर्माण का श्रेय आमतौर पर पियरे लुईस मौपर्टुइस को दिया जाता है, जिन्होंने महसूस किया कि "प्रकृति अपने सभी कार्यों में मितव्ययी है", और इस सिद्धांत को व्यापक रूप से लागू किया:

"इस सिद्धांत से उत्पन्न गति और विश्राम के नियम बिल्कुल वही हैं जो प्रकृति में देखे गए हैं, हम सभी घटनाओं पर इसके अनुप्रयोग की प्रशंसा कर सकते हैं। पशुओं की गति, पौधों की वानस्पतिक वृद्धि... केवल इसके परिणाम हैं; और ब्रह्माण्ड का दृश्य इतना अधिक भव्य, इतना अधिक सुंदर, इसके रचयिता के योग्य बन जाता है, जब कोई जानता है कि थोड़ी संख्या में, सबसे बुद्धिमानी से स्थापित कानून, सभी गतिविधियों के लिए पर्याप्त हैं।"

- Pierre Louis Maupertuis

मौपर्टुइस की यह धारणा, हालांकि आज कुछ हद तक नियतात्मक है, यांत्रिकी के अधिकांश सार को ग्रहण करती है।

भौतिक विज्ञान के अनुप्रयोग में, मौपर्टुइस ने सुझाव दिया कि न्यूनतम की जाने वाली मात्रा "विज़ विवा" द्वारा एक प्रणाली के भीतर गति की अवधि (समय) का उत्पाद थी। जो कि प्रणाली की गतिज ऊर्जा T जिसे अब हम कहते हैं, के दोगुने का अभिन्न अंग है।

यूलर
लियोनहार्ड यूलर ने 1744 में अपने मेथडस इनवेनिएंडी लिनियास कर्वस मैक्सिमी मिनिव प्रोप्राइटेट गौडेंटेस के एडिटामेंटम 2 में बहुत ही पहचाने जाने योग्य शब्दों में एक्शन सिद्धांत का सूत्रीकरण दिया। दूसरे पैराग्राफ से शुरुआत::

माना प्रक्षेप्य का द्रव्यमान M है, और अनंत दूरी ds पर चलते समय इसकी गति v है। पिंड में एक संवेग Mv होगा, जिसे दूरी ds से गुणा करने पर, Mv ds देगा, दूरी ds पर एकीकृत पिंड का संवेग। अब मैं दावा करता हूं कि इस प्रकार शरीर द्वारा वर्णित वक्र (समान समापन बिंदुओं को जोड़ने वाले अन्य सभी वक्रों में से) है जो न्यूनतम करता है $\int Mv\,ds$ या, बशर्ते कि एम पथ के साथ स्थिर है, $M\int v\,ds.$ जैसा कि यूलर कहते हैं, $t_{2}$ तय की गई दूरी पर संवेग का अभिन्न अंग है, जो आधुनिक संकेतन में, संक्षिप्त या घटी हुई क्रिया के बराबर है

इस प्रकार, यूलर ने मौपर्टुइस के समान ही वर्ष में परिवर्तनशील सिद्धांत का एक समतुल्य और (स्पष्ट रूप से) स्वतंत्र बयान दिया, भले ही थोड़ा बाद में। मजे की बात यह है कि यूलर ने किसी प्राथमिकता का दावा नहीं किया, जैसा कि निम्नलिखित एपिसोड से पता चलता है।

विवादित प्राथमिकता
मौपर्टुइस की प्राथमिकता पर 1751 में गणितज्ञ सैमुअल कोनिग द्वारा विवाद किया गया था, जिन्होंने दावा किया था कि इसका आविष्कार 1707 में गॉटफ्राइड लाइबनिज द्वारा किया गया था। हालांकि लाइबनिज के कई तर्कों के समान, सिद्धांत को लाइबनिज के कार्यों में प्रलेखित नहीं किया गया है। कोनिग ने स्वयं सिद्धांत के साथ लाइबनिज से जैकब हरमन को लिखे 1707 के पत्र की एक प्रति दिखाई, लेकिन मूल पत्र खो गया है। विवादास्पद कार्यवाहियों में, कोनिग पर जालसाजी का आरोप लगाया गया था, और यहां तक ​​कि प्रशिया के राजा ने भी मौपर्टुइस (अपनी अकादमी के प्रमुख) का बचाव करते हुए बहस में प्रवेश किया, जबकि वोल्टेयर ने कोनिग का बचाव किया।

यूलर, प्राथमिकता का दावा करने के बजाय, मौपर्टुइस का एक कट्टर रक्षक था, और यूलर ने स्वयं 13 अप्रैल 1752 को बर्लिन अकादमी के समक्ष जालसाजी के लिए कोनिग पर मुकदमा चलाया। जालसाजी के दावों की 150 साल बाद फिर से जांच की गई, और अभिलेखीय कार्य सी.आई. द्वारा किया गया। 1898 में गेरहार्ड्ट और 1913 में डब्लू. काबिट्ज़ ने बर्नौली अभिलेखागार में पत्र की अन्य प्रतियां और कोनिग द्वारा उद्धृत तीन अन्य प्रतियां का खुलासा किया।

आगे का विकास
यूलर ने इस विषय पर लिखना जारी रखा; अपने रिफ्लेक्शंस सुर क्वेल्क्स लोइक्स जेनरालेस डे ला नेचर (1748) में, उन्होंने कार्रवाई प्रयास कहा। उनकी अभिव्यक्ति आधुनिक संभावित ऊर्जा से मेल खाती है, और कम से कम कार्रवाई के उनके बयान में कहा गया है कि आराम पर निकायों की एक प्रणाली की कुल संभावित ऊर्जा कम हो जाती है, जो आधुनिक स्थैतिकी का सिद्धांत है।

लैग्रेंज और हैमिल्टन
1760 में जोसफ-लुई लाग्रेंज द्वारा भिन्नताओं की अधिकांश गणनाएं बताई गई थीं और उन्होंने इसे गतिकी की समस्याओं पर लागू करना जारी रखा। मेकैनिक एनालिटिक (1788) में लाग्रेंज ने एक यांत्रिक निकाय की गति के सामान्य लैग्रैंगियन समीकरणों को व्युत्पन्न किया। 1834 और 1835 में विलियम रोवन हैमिल्टन शास्त्रीय Lagrangian यांत्रिकी समारोह (गणित) के लिए भिन्नता सिद्धांत लागू किया $$L = T - V$$ यूलर-लैग्रेंज समीकरणों को उनके वर्तमान रूप में प्राप्त करने के लिए।

जैकोबी, मोर्स और कैराथियोडोरी
1842 में, कार्ल गुस्ताव जैकोबी ने इस समस्या का समाधान निकाला कि क्या परिवर्तनशील सिद्धांत हमेशा अन्य स्थिर बिंदुओं (मैक्सिमा या स्थिर काठी बिंदुओं) के विपरीत मिनीमा पाता है; उनका अधिकांश कार्य द्वि-आयामी सतहों पर भू-भौतिक विज्ञान पर केंद्रित था। पहला स्पष्ट सामान्य कथन 1920 और 1930 के दशक में मारस्टन मोर्स द्वारा दिया गया था, जिसे अब मोर्स सिद्धांत के रूप में जाना जाता है। उदाहरण के लिए, मोर्स ने दिखाया कि एक प्रक्षेपवक्र में संयुग्मित बिंदुओं की संख्या लैग्रैंगियन की दूसरी भिन्नता में नकारात्मक eigenvalues ​​​​की संख्या के बराबर है। यूलर-लैग्रेंज समीकरण की एक विशेष रूप से सुरुचिपूर्ण व्युत्पत्ति कॉन्स्टेंटिन कैराथियोडोरी द्वारा तैयार की गई थी और 1935 में उनके द्वारा प्रकाशित की गई थी।

गॉस और हर्ट्ज
शास्त्रीय यांत्रिकी के अन्य चरम सिद्धांतों को तैयार किया गया है, जैसे कि गॉस का कम से कम बाधा का सिद्धांत और इसका परिणाम, हर्ट्ज़ का कम से कम वक्रता का सिद्धांत।

संभावित टेलिऑलॉजिकल पहलुओं के बारे में विवाद
गति के अवकल समीकरण समीकरणों की गणितीय तुल्यता और उनका समाकल समीकरण समकक्ष के महत्वपूर्ण दार्शनिक निहितार्थ हैं। अंतर समीकरण अंतरिक्ष में एक बिंदु या समय के एक क्षण के लिए स्थानीयकृत मात्राओं के बारे में कथन हैं। उदाहरण के लिए, न्यूटन के गति के नियम|न्यूटन का दूसरा नियम $$\mathbf{F} = m\mathbf{a}$$ बताता है कि किसी द्रव्यमान m पर लगाया गया तात्क्षणिक बल 'F' उसी क्षण त्वरण 'a' उत्पन्न करता है। इसके विपरीत, क्रिया सिद्धांत एक बिंदु पर स्थानीयकृत नहीं है; बल्कि, इसमें समय के एक अंतराल और (क्षेत्रों के लिए) अंतरिक्ष के एक विस्तारित क्षेत्र में समाकल शामिल हैं। इसके अलावा, शास्त्रीय भौतिक विज्ञान क्रिया सिद्धांतों के सामान्य सूत्रीकरण में, प्रणाली की प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाएँ निश्चित होती हैं, उदाहरण के लिए,

विशेष रूप से, अंतिम स्थिति के निर्धारण की व्याख्या कार्रवाई सिद्धांत को एक उद्देश्य देने के रूप में की गई है जो ऐतिहासिक रूप से विवादास्पद रहा है। हालांकि, डब्ल्यू. योरग्राउ और एस. मैंडेलस्टम के अनुसार, टेलीऑलॉजिकल दृष्टिकोण... यह मानता है कि परिवर्तनात्मक सिद्धांतों में स्वयं गणितीय विशेषताएँ होती हैं जो वास्तव में उनके पास नहीं होती हैं। इसके अलावा, कुछ आलोचकों का कहना है कि जिस तरह से सवाल पूछा गया था, उसके कारण यह स्पष्ट टेलीोलॉजी उत्पन्न होती है। प्रारंभिक और अंतिम दोनों स्थितियों (स्थितियां लेकिन वेग नहीं) के कुछ लेकिन सभी पहलुओं को निर्दिष्ट करके हम अंतिम स्थितियों से प्रारंभिक स्थितियों के बारे में कुछ अनुमान लगा रहे हैं, और यह पिछड़ा अनुमान है जिसे टेलीलॉजिकल स्पष्टीकरण के रूप में देखा जा सकता है. अगर हम शास्त्रीय वर्णन को पाथ इंटीग्रल फॉर्मूलेशन के क्वांटम यांत्रिकी औपचारिकता के एक सीमित मामले के रूप में मानते हैं, तो दूरदर्शिता पर भी काबू पाया जा सकता है, जिसमें सभी संभावित रास्तों के साथ एम्पलीट्यूड के हस्तक्षेप के परिणामस्वरूप स्थिर पथ प्राप्त होते हैं।

सट्टा कथा लेखक टेड चियांग द्वारा लघु कहानी स्टोरी ऑफ योर लाइफ में फ़र्मेट के सिद्धांत के दृश्य चित्रण के साथ-साथ इसके दूरसंचार आयाम की चर्चा भी शामिल है। कीथ डिवालिन की द मैथ इंस्टिंक्ट में एक अध्याय शामिल है, एल्विस द वेल्श कॉर्गी हू कैन डू कैलकुलस जो कुछ जानवरों में निहित कैलकुलस पर चर्चा करता है क्योंकि वे वास्तविक स्थितियों में कम से कम समय की समस्या को हल करते हैं।

यह भी देखें

 * क्रिया (भौतिकी)
 * पथ अभिन्न सूत्रीकरण
 * श्विंगर का क्वांटम एक्शन सिद्धांत
 * कम से कम प्रतिरोध का रास्ता
 * विश्लेषणात्मक यांत्रिकी
 * विविधताओं की गणना
 * हैमिल्टनियन यांत्रिकी
 * Lagrangian यांत्रिकी
 * ओकाम का उस्तरा

बाहरी कड़ियाँ

 * Interactive explanation of the principle of least action
 * Interactive applet to construct trajectories using principle of least action
 * The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 19: The Principle of Least Action
 * The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 19: The Principle of Least Action
 * The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 19: The Principle of Least Action
 * The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 19: The Principle of Least Action

Prinzip der kleinsten Wirkung Principi i Hamiltonit