त्रिकोणमिति का इतिहास

मिस्र के गणितज्ञ रिंद गणितीय पेपिरस और बेबीलोनियन गणित में त्रिभुजों के प्रारंभिक अध्ययन का पता दूसरी सहस्राब्दी ईसा पूर्व में लगाया था। कुश गणित के साम्राज्य में त्रिकोणमिति भी प्रचलित थी।

त्रिकोणमितीय फलन का व्यवस्थित अध्ययन हेलेनिस्टिक गणित में प्रारंभ हुआ, हेलेनिस्टिक खगोल विज्ञान के संस्करण के रूप में भारत पहुंचा था। भारतीय खगोल विज्ञान में, त्रिकोणमितीय फलन का अध्ययन गुप्त काल में प्रसारित हुआ था, मुख्य रूप से आर्यभट्ट (छठी शताब्दी सीई) के कारण इसका उदगम और अधिक हुआ, जिन्होंने साइन फलन की खोज की थी। मध्य युग के समय, अलखावरिज़मी और अबू अल-वफा जैसे गणितज्ञों द्वारा त्रिकोणमिति का अध्ययन इस्लामिक गणित में चलता रहा। यह इस्लामी दुनिया में स्वतंत्र अनुशासन बन गया, जहां सभी छह त्रिकोणमितीय फलन को जाना जाता था। 12वीं शताब्दी के लैटिन अनुवादों के कारण लैटिन पश्चिम में विषय के रूप में त्रिकोणमिति को अपनाया गया, जिसका प्रारंभ रेजीओमोंटानस के साथ पुनर्जागरण में हुई थी। आधुनिक त्रिकोणमिति का विकास 17वीं शताब्दी के गणित (आइजैक न्यूटन और जेम्स स्टर्लिंग (गणितज्ञ)) से प्रारंभ होकर, ज्ञानोदय के पश्चिमी युग के समय स्थानांतरित हुआ और लियोनहार्ड यूलर (1748) के साथ अपने आधुनिक रूप तक पहुंचा था।

व्युत्पत्ति
त्रिकोणमिति शब्द की उत्पत्ति प्राचीन यूनानी शब्द: त्रिकोण और शब्द:μετρον|μετρον मेट्रोन, माप से हुई थी।

आधुनिक शब्द साइन और कोसाइन लैटिन शब्द से लिए गए हैं, जिसे sinus अरबी भाषा से त्रुटिपूर्ण अनुवाद के माध्यम से साइन और कोसाइन व्युत्पत्ति विज्ञान के रूप में देखा जा सकता हैं। विशेष रूप से फाइबोनैचि का सीधा धनुष शब्द को स्थापित करने में प्रभावशाली प्रमाणित हुआ था।

स्पर्शरेखा शब्द लैटिन शब्द tangens से आया है, जिसका अर्थ स्पर्श करना हैं, चूंकि रेखा इकाई त्रिज्या के वृत्त को स्पर्श करती है, जबकि छेदक लैटिन से उत्पन्न होता है secans काटना क्योंकि रेखा वृत्त को काटती है। इसका उपसर्ग सह (फ़ंक्शन प्रीफ़िक्स) - (कोसाइन में, कॉटैंजेंट, कॉसेकेंट) एडमंड गुंटर के कैनन त्रिकोणीय (1620) में पाया जाता है, जो कोसिनस को साइनस पूरक (पूरक कोण की साइन) के संक्षिप्त नाम के रूप में परिभाषित करता है और परिभाषित करने के लिए आगे बढ़ता है। जो कोटैंजे्ट्स के द्वारा जाना जाता हैं।

इसी प्रकार शब्द मिनट और सेकंड लैटिन वाक्यांश पहले मिनट के हिस्से और मिनट सेकंड के हिस्से से लिए गए हैं। यह याद किया जाना चाहिए कि आधुनिक समय तक हिप्पार्कस के दिनों से त्रिकोणमितीय अनुपात जैसी कोई चीज नहीं थी। यूनानियों, और उनके बाद हिंदुओं और अरबों ने त्रिकोणमितीय रेखाओं का उपयोग किया था। जैसा कि हमने देखा है, सबसे पहले इन्होंने वृत्त में जीवाओं का रूप लिया, और जीवाओं के साथ संख्यात्मक मानों (या सन्निकटन) को जोड़ना टॉलेमी पर निर्भर था। इस प्रकार यह संभावना नहीं है कि 260 डिग्री माप खगोल विज्ञान से लिया गया था, जहां राशि चक्र को बारह राशियों या 36 डिकान में विभाजित किया गया था। मुख्य रूप से 360 दिनों के ऋतुओं के चक्र को प्रत्येक राशि को तीस भागों में उपविभाजित करके और प्रत्येक राशि को दस भागों में उपविभाजित करके राशि चक्र चिन्हों की प्रणाली के अनुरूप आसानी से बनाया जा सकता है। इस प्रकार कोण माप की हमारी सामान्य प्रणाली इस पत्राचार से उपजी हो सकती है। इसके अतिरिक्त चूंकि अंशों के लिए बेबीलोन की स्थिति प्रणाली स्पष्ट रूप से मिस्र के इकाई अंशों और ग्रीक सामान्य अंशों से बेहतर थी, इसलिए टॉलेमी के लिए यह स्वाभाविक था कि वह अपनी डिग्री को साठ भागों में मिनुटे प्राइमे में विभाजित करे, इनमें से प्रत्येक को बाद में साठ भागों में मिनुटे सेकुंडे, और इसलिए यह लैटिन वाक्यांशों से है कि अनुवादकों ने इस संबंध में उपयोग किया है कि हमारे शब्द मिनट और सेकंड व्युत्पन्न हुए हैं। निस्संदेह यह सेक्सजेसिमल प्रणाली थी जिसने टॉलेमी को अपने त्रिकोणमितीय वृत्त के व्यास को 120 भागों में उप-विभाजित करने के लिए प्रेरित किया; इनमें से प्रत्येक को उन्होंने साठ मिनट और साठ सेकंड की लंबाई के प्रत्येक मिनट में विभाजित किया था। ये मुख्य रूप से पहले छोटे भागों और दूसरे छोटे भागों में अनुवादित होते हैं।

प्राचीन निकट पूर्व
प्राचीन मिस्र के गणित और बेबीलोनियन गणित को कई सदियों से समान त्रिभुजों की भुजाओं के अनुपात पर प्रमेयों के बारे में पता था। चूंकि, पूर्व-यूनानी समाजों में कोण माप की अवधारणा का अभाव था, वे इसके अतिरिक्त त्रिभुजों की भुजाओं का अध्ययन करने तक सीमित थे।

बेबीलोनियन खगोलविदों ने तारों के उदय और अस्त होने, ग्रहों की गति, और सौर और चंद्र ग्रहण पर विस्तृत रिकॉर्ड रखा, जिनमें से सभी को आकाशीय क्षेत्र पर मापी गई कोण दूरी के साथ परिचित होने की आवश्यकता थी। इस प्रकार प्लिमपटन 322 क्यूनिफॉर्म लिपि टैबलेट (1900 ईसा पूर्व) की व्याख्या के आधार पर, कुछ ने यह भी प्रमाणित किया है कि प्राचीन बेबीलोनियों के पास सेकेंट की सूची थी, अपितु इस संदर्भ में कार्य नहीं करता है, क्योंकि आधुनिक त्रिकोणमितीय संकेतन में विभिन्न भागों और कोणों का उपयोग किए बिना लागू नहीं होगा। चूंकि, इस बात पर बहुत वाद विवाद है कि क्या यह पाइथागोरस के त्रिगुणों की सूची है, द्विघात समीकरणों का समाधान है, या जनरेटिंग त्रिकोणमितीय सूची हैं।

दूसरी ओर, मिस्रवासियों ने दूसरी सहस्राब्दी ईसा पूर्व में पिरामिड बनाने के लिए त्रिकोणमिति के आदिम रूप का उपयोग किया था। इस प्रकार द राइंड मैथमेटिकल पेपिरस, मिस्र के लिपिक अहम्स (सी. 1680-1620 ईसा पूर्व) द्वारा लिखित, त्रिकोणमिति से संबंधित निम्नलिखित समस्या सम्मिलित है:

"'यदि एक पिरामिड 250 हाथ ऊँचा है और इसके आधार का किनारा 360 हाथ लंबा है, तो इसका सेकेड क्या है?'" अहम्स की समस्या का समाधान पिरामिड के आधार के आधे हिस्से की ऊंचाई का अनुपात है, या इसके चेहरे का रन-टू-राइज अनुपात है। दूसरे शब्दों में, सेकेड के लिए उसने जो मात्रा पाई, वह पिरामिड के आधार और उसके फलक के कोण की कोटिस्पर्श रेखा है।

मौलिक पुरातनता
प्राचीन ग्रीक गणित ने जीवा (ज्यामिति) का उपयोग किया था। वृत्त पर वृत्त और चाप दिया हुआ है, जीवा वह रेखा है जो चाप को अंतरित करती है। जीवा का लंब समद्विभाजक वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है और कोण को समद्विभाजित करता है। समद्विभाजित जीवा का आधा भाग समद्विभाजित कोण के आधे भाग की ज्या है, अर्थात,


 * $$\mathrm{chord}\ \theta = 2 r\sin \frac{\theta}{2}, $$

और फलस्वरूप साइन फ़ंक्शन को अर्ध-राग के रूप में भी जाना जाता है। इस संबंध के कारण, कई त्रिकोणमितीय पहचान और प्रमेय जो आज ज्ञात हैं, हेलेनिस्टिक सभ्यता के गणितज्ञों के लिए भी जाने जाते थे, अपितु उनके समकक्ष राग रूप में किया जाता हैं।

यद्यपि यूक्लिड और आर्किमिडीज के फलन में कोई त्रिकोणमिति नहीं है, शब्द के सख्त अर्थ में, ऐसे प्रमेय हैं जो ज्यामितीय तरीके से प्रस्तुत किए गए हैं (त्रिकोणमितीय तरीके के अतिरिक्त) जो विशिष्ट त्रिकोणमितीय नियमों या सूत्रों के बराबर हैं। उदाहरण के लिए, तत्वों की पुस्तक दो के बारह और तेरह प्रस्ताव क्रमशः अधिक कोण और तीव्र कोण के लिए कोसाइन के नियम हैं। जीवाओं की लंबाई पर प्रमेय जीवा के नियम के अनुप्रयोग हैं। और आर्किमिडीज की टूटी जीवा पर प्रमेय राशियों की ज्या और कोणों के अंतर के सूत्रों के बराबर है। जीवाओं की सूची की कमी की भरपाई करने के लिए, समोस के समय के एरिस्टार्चस के गणितज्ञ कभी-कभी इस कथन का उपयोग करते थे कि, आधुनिक संकेतन में, sin α/sin β < α/β < tan α/tan β जब भी 0°< β < α < 90°, जिसे अब एरिस्टार्चस की असमानता के रूप में जाना जाता है।

पहली त्रिकोणमितीय सूची जाहिरा के रूप में नीसीआए के हिप्पार्कस (180 - 125 ईसा पूर्व) द्वारा संकलित की गई थी, जो अब परिणामस्वरूप त्रिकोणमिति के पिता के रूप में जाने जाते हैं। हिप्पार्कस कोणों की श्रृंखला के लिए चाप और जीवा के संबंधित मूल्यों को सारणीबद्ध करने वाला पहला व्यक्ति था।

चूंकि यह ज्ञात नहीं है कि 360° वृत्त का व्यवस्थित उपयोग कब गणित में आया, यह ज्ञात है कि 360° वृत्त का व्यवस्थित परिचय सूर्य और चंद्रमा के आकार और दूरियों पर रचित समोस के एरिस्टार्चस के कुछ समय बाद (260 ईसा पूर्व) आया था, क्योंकि उन्होंने कोण को चतुर्थांश के अंश के रूप में मापा गया था। इस प्रकार ऐसा लगता है कि 360° वृत्त का व्यवस्थित उपयोग काफी हद तक हिप्पार्कस और उसकी जीवाओं की सूची के कारण है। इस प्रकार यह हो सकता है कि हिप्पार्कस ने इस विभाजन का विचार हिप्सिकल्स से लिया हो, जिसने पहले दिन को 360 भागों में विभाजित किया था, इस प्रकार दिन का विभाजन जो संभवतः बेबीलोनियन खगोल विज्ञान द्वारा सुझाया गया था। प्राचीन खगोल विज्ञान में, राशि चक्र को बारह राशियों या छत्तीस डिकानों में विभाजित किया गया था। इस प्रकार मुख्य रूप से 360 दिनों का मौसमी चक्र प्रत्येक राशि को तीस भागों में और प्रत्येक राशि को दस भागों में विभाजित करके राशि चक्र के संकेतों और दशाओं के अनुरूप हो सकता था। यह बेबीलोनियन साठवाँ अंक प्रणाली के कारण है कि प्रत्येक डिग्री को साठ मिनट में विभाजित किया जाता है और प्रत्येक मिनट को साठ सेकंड में विभाजित किया जाता है।

अलेक्जेंड्रिया के मेनेलॉस (सी.ए. 100 ई.) ने तीन पुस्तकों में अपनी स्पैरिका लिखी थी। इस पुस्तक में, उन्होंने समतल त्रिभुजों के लिए यूक्लिडियन आधार के समान गोलाकार त्रिभुजों के लिए आधार स्थापित किया था। उन्होंने प्रमेय की स्थापना की जो यूक्लिडियन एनालॉग के बिना है, कि दो गोलाकार त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं यदि संगत कोण समान हों, अपितु उन्होंने सर्वांगसम और सममित गोलाकार त्रिभुजों के बीच अंतर नहीं किया था। किसी अन्य प्रमेय जो उन्होंने स्थापित किया वह यह है कि गोलाकार त्रिभुज के कोणों का योग 180° से अधिक होता है। स्पैरिका की पुस्तक II खगोल विज्ञान के लिए गोलाकार ज्यामिति लागू करती है। और पुस्तक III में मेनेलॉस का प्रमेय है। उन्होंने आगे छह मात्राओं का अपना प्रसिद्ध नियम दिया था।

इसके पश्चात टॉलेमी (सीए 90 - सीए 168 ईस्वी) ने अपने अल्मागेस्ट, या गणितीय सिंटैक्सिस में सर्कल में हिप्पार्कस कॉर्ड्स पर विस्तार किया था। इस प्रकार अल्मागेस्ट मुख्य रूप से खगोल विज्ञान पर कार्य है, और खगोल विज्ञान त्रिकोणमिति पर निर्भर करता है। टॉलेमी की जीवाओं की सूची व्यास 120 के वृत्त की जीवाओं की लंबाई को वृत्त के संबंधित चाप में डिग्री n की संख्या के फलन के रूप में देती है, n के लिए 1/2 से 180 तक 1/2 की वृद्धि करके प्राप्त किया था। इस प्रकार अल्मागेस्ट की तेरह पुस्तकें सभी पुरातनता का सबसे प्रभावशाली और महत्वपूर्ण त्रिकोणमितीय कार्य हैं। एक प्रमेय जो टॉलेमी की जीवाओं की गणना के लिए केंद्रीय था, वह आज भी टॉलेमी के प्रमेय के रूप में जाना जाता है, कि चक्रीय चतुर्भुज के विपरीत पक्षों के उत्पादों का योग विकर्णों के उत्पाद के बराबर है। यूक्लिड के डेटा में टॉलेमी के प्रमेय का विशेष स्थिति प्रस्ताव 93 के रूप में प्रकट हुआ। टॉलेमी की प्रमेय साइन और कोसाइन के लिए योग और अंतर के चार सूत्रों के बराबर की ओर ले जाती है, जिन्हें आज टॉलेमी के सूत्रों के रूप में जाना जाता है, चूंकि टॉलेमी ने स्वयं साइन और कोसाइन के अतिरिक्त कॉर्ड का उपयोग किया था। टॉलेमी ने आगे अर्ध-कोण सूत्र के समतुल्य व्युत्पन्न किया था।


 * $$\sin^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1 - \cos(x)}{2}.$$

टॉलेमी ने अपनी त्रिकोणमितीय सूची बनाने के लिए इन परिणामों का उपयोग किया, अपितु क्या ये सूची हिप्पार्कस के कार्य से प्राप्त की गई थीं, यह निर्धारित नहीं किया जा सकता है।: "The theorem of Menelaus played a fundamental role in spherical trigonometry and astronomy, but by far the most influential and significant trigonometric work of all antiquity was composed by Ptolemy of Alexandria about half a century after Menelaus. [...] Of the life of the author we are as little informed as we are of that of the author of the Elements. We do not know when or where Euclid and Ptolemy were born. We know that Ptolemy made observations at Alexandria from AD. 127 to 151 and, therefore, assume that he was born at the end of the 1st century. Suidas, a writer who lived in the 10th century, reported that Ptolemy was alive under Marcus Aurelius (emperor from AD 161 to 180). Ptolemy's Almagest is presumed to be heavily indebted for its methods to the Chords in a Circle of Hipparchus, but the extent of the indebtedness cannot be reliably assessed. It is clear that in astronomy Ptolemy made use of the catalog of star positions bequeathed by Hipparchus, but whether or not Ptolemy's trigonometric tables were derived in large part from his distinguished predecessor cannot be determined. [...] Central to the calculation of Ptolemy's chords was a geometric proposition still known as "Ptolemy's theorem": [...] that is, the sum of the products of the opposite sides of a cyclic quadrilateral is equal to the product of the diagonals. [...] A special case of Ptolemy's theorem had appeared in Euclid's Data (Proposition 93): [...] Ptolemy's theorem, therefore, leads to the result sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin Β. Similar reasoning leads to the formula [...] These four sum-and-difference formulas consequently are often known today as Ptolemy's formulas. It was the formula for sine of the difference – or, more accurately, chord of the difference – that Ptolemy found especially useful in building up his tables. Another formula that served him effectively was the equivalent of our half-angle formula." इस प्रकार न तो हिप्पार्कस की सूची और न ही टॉलेमी की सूची आज तक बची हैं, चूंकि अन्य प्राचीन लेखकों द्वारा किए गए विवरणों में कोई संदेह नहीं है कि वे बार अस्तित्व में थे।

पाइथागोरस ने त्रिकोणमितीय फलन बनने वाले कई गुणों की खोज की। पायथागॉरियन प्रमेय, P2 + B2 = H2 मौलिक त्रिकोणमितीय पहचान sin2(x) + cos2(x) = 1 का प्रतिनिधित्व करता है. लंबाई 1 किसी भी समकोण त्रिभुज का कर्ण है, और पैरों की लंबाई sin(x) और cos(x) है, जिसमें x दो गैर-समकोणों में से है। इसे ध्यान में रखते हुए, जिस पहचान पर त्रिकोणमिति आधारित है वह पाइथागोरस प्रमेय बन जाती है।

भारतीय गणित
त्रिकोणमिति के कुछ प्रारंभिक और बहुत महत्वपूर्ण विकास भारत के इतिहास में थे। चौथी-पांचवीं शताब्दी ईस्वी के प्रभावशाली कार्य, सिद्धांत के रूप में जाने जाते हैं, जिनमें से पांच थे, जिनमें से सबसे महत्वपूर्ण सूर्य सिद्धांत है जिसने सबसे पहले ज्या को आधे कोण और आधी जीवा के बीच के आधुनिक संबंध के रूप में परिभाषित किया, जबकि कोज्या, व्युत्क्रम और व्युत्क्रम ज्या को भी परिभाषित किया था। इसके पश्चात, अन्य भारतीय गणित और भारतीय खगोल विज्ञान, आर्यभट्ट (476-550 ईस्वी), ने आर्यभटीय नामक महत्वपूर्ण कार्य में सिद्धांतों के विकास पर एकत्र और विस्तार किया था। यह सिद्धांत और आर्यभट्ट में 4 दशमलव स्थानों की सटीकता के लिए 0° से 90° तक 3.75° के अंतराल में ज्या मानों और वरसाइन (1 − कोसाइन) मानों की सबसे पुरानी जीवित सारणियां हैं। इस प्रकार उन्होंने साइन के लिए जाना, कोसाइन के लिए कोज्या, वर्सीन के लिए उत्क्रम-ज्या और व्युत्क्रम ज्या के लिए ओत्क्रम ज्या शब्दों का उपयोग किया था। इसके ऊपर वर्णित गलत अनुवाद के बाद क्रमशः ज्या और कोज्या शब्द क्रमशः साइन और कोज्या बन गए थे।

7वीं शताब्दी में, भास्कर का ने सूची के उपयोग के बिना न्यून कोण की ज्या की गणना के लिए भास्कर के ज्या सन्निकटन सूत्र का निर्माण किया था। उन्होंने sin(x) के लिए निम्नलिखित सन्निकटन सूत्र भी दिया, जिसमें 1.9% से कम की सापेक्ष त्रुटि थी:


 * $$\sin x \approx \frac{16x (\pi - x)}{5 \pi^2 - 4x (\pi - x)}, \qquad \left(0\leq x\leq\pi\right).$$

इसके पश्चात 7वीं शताब्दी में ब्रह्मगुप्त ने सूत्र का पुनर्विकास किया


 * $$\ 1 - \sin^2(x) = \cos^2(x) = \sin^2\left (\frac{\pi}{2} - x\right )$$

इसके पहले भी व्युत्पन्न, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है और ज्या मूल्यों की गणना के लिए ब्रह्मगुप्त प्रक्षेप सूत्र का सूत्र हैं।

त्रिकोणमिति पर और बाद के भारतीय लेखक 12वीं शताब्दी में भास्कर द्वितीय थे। भास्कर द्वितीय ने गोलाकार त्रिकोणमिति का विकास किया, और कई त्रिकोणमितीय परिणामों की खोज की।

भास्कर द्वितीय ने सबसे पहले इसकी खोज की थी $$ \sin\left(a + b\right)$$ और $$\sin\left(a - b\right)$$ त्रिकोणमितीय परिणाम जैसे:


 * $$\sin\left(a + b\right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$$

संगमग्राम के माधव (सी. 1400) ने त्रिकोणमितीय फलन और उनकी श्रृंखला (गणित) के विस्तार के गणितीय विश्लेषण में प्रारंभिक प्रगति की थी। उन्होंने शक्ति श्रृंखला और टेलर श्रृंखला की अवधारणाओं को विकसित किया, और साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और चाप स्पर्शरेखा के माधव श्रृंखला विस्तार का निर्माण किया था। साइन और कोसाइन के टेलर श्रृंखला सन्निकटन का उपयोग करते हुए, उन्होंने सटीकता के 12 दशमलव स्थानों पर साइन सूची और सटीकता के 9 दशमलव स्थानों के लिए कोसाइन सूची का निर्माण किया था। उन्होंने त्रिकोणमितीय फलन के संदर्भ में Pi|π की शक्ति श्रृंखला और वृत्त के कोण, त्रिज्या, व्यास और परिधि को भी दिया था। केरल स्कूल ऑफ एस्ट्रोनॉमी एंड मैथमेटिक्स में उनके अनुयायियों द्वारा 16 वीं शताब्दी तक उनके फलन का विस्तार किया गया था।

युक्तिभाषा के भारतीय पाठ में कोसाइन फलन के विस्तार के लिए प्रमाण और व्युत्क्रम स्पर्शरेखा के लिए व्युत्क्रम और शक्ति श्रृंखला का प्रमाण सम्मिलित है, जिसे माधव ने खोजा था। युक्तिभाषा में दो कोणों के योग और अंतर की ज्या और कोज्या खोजने के नियम भी सम्मिलित हैं।

चीनी गणित
चीन में, आर्यभट्ट की ज्याओं की सूची का तांग राजवंश के समय 718 ईस्वी में संकलित कैयुआन युग के ज्योतिष पर ग्रंथ की चीनी गणित की पुस्तक में अनुवाद किया गया था। चूंकि चीनी गणित के अन्य क्षेत्रों जैसे कि ठोस ज्यामिति, द्विपद प्रमेय, और जटिल बीजगणितीय सूत्रों में उत्कृष्ट थे, त्रिकोणमिति के प्रारंभिक रूपों को पहले के ग्रीक, हेलेनिस्टिक, भारतीय और इस्लामी दुनिया के समान व्यापक रूप से सराहा नहीं गया था। इस प्रकार इसके अतिरिक्त, प्रारंभिक चीनी चोंग चा के रूप में जाना जाने वाला अनुभवजन्य विकल्प का उपयोग करते थे, जबकि साइन, स्पर्शरेखा और छेदक का उपयोग करने में समतल त्रिकोणमिति का व्यावहारिक उपयोग ज्ञात था। चूंकि, चीन में त्रिकोणमिति की यह भ्रूण अवस्था धीरे-धीरे सोंग राजवंश (960-1279) के समय परिवर्तित करने और आगे बढ़ने लगी, जहां चीनी गणितज्ञों ने कैलेंडर विज्ञान और खगोलीय गणनाओं में गोलाकार त्रिकोणमिति की आवश्यकता के लिए अधिक जोर देना प्रारंभ किया था। बहुश्रुत चीनी वैज्ञानिक, गणितज्ञ और आधिकारिक एस कु (1031-1095) हैं। जीवाओं और चापों की गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए त्रिकोणमितीय फलन का उपयोग करते थे। विक्टर जे. काट्ज़ लिखते हैं कि शेन के वृत्तों को प्रतिच्छेद करने की सूत्र तकनीक में, उन्होंने व्यास d, सगिट्टा (ज्यामिति) v, और चाप को अंतरित करने वाली जीवा की लंबाई, दिए गए वृत्त के चाप का अनुमान बनाया था। जिसे उन्होंने अनुमानित किया है


 * $$s = c + \frac{2v^2}{d}.$$

सैल रेस्टिवो लिखते हैं कि वृत्तों के चापों की लंबाई में शेन के कार्य ने 13वीं शताब्दी में गणितज्ञ और खगोलशास्त्री गुओ शौजिंग (1231-1316) द्वारा विकसित गोलाकार त्रिकोणमिति के लिए आधार प्रदान किया था। जैसा कि इतिहासकार एल गौशेट और जोसेफ नीधम कहते हैं, इस प्रकार गुओ शौजिंग ने चीनी कैलेंडर और चीनी खगोल विज्ञान में सुधार के लिए अपनी गणना में गोलाकार त्रिकोणमिति का उपयोग किया था। गुओ के गणितीय प्रमाणों के पश्चात 17वीं शताब्दी के चीनी चित्रण के साथ, नीधम ने कहा कि:"गुओ ने चतुष्कोणीय गोलाकार पिरामिड का उपयोग किया, जिसमें से बेसल चतुर्भुज में विषुवतीय और क्रांतिवृत्त चाप सम्मिलित था, साथ में दो मध्याह्न चाप थे, जिनमें से ग्रीष्म संक्रांति बिंदु से होकर गुजरा था, इस प्रकार के तरीकों से वह डु लू प्राप्त करने में सक्षम था (एक्लिप्टिक की डिग्री के अनुरूप भूमध्य रेखा की डिग्री), जी चा (दी गई एक्लिप्टिक आर्क के लिए जीवाओं का मान), और चा लू (आर्क की जीवाओं के बीच का अंतर 1 डिग्री से भिन्न होता है)।"त्रिकोणमिति में शेन और गुओ के कार्य की उपलब्धियों के अतिरिक्त, चीनी आधिकारिक और खगोलशास्त्री एक्स यूजी यू होल्ड अप (1562-1633) और इतालवी जेसुइट माटेओ रिक्की द्वारा यूक्लिड के तत्वों के दोहरे प्रकाशन के साथ, चीनी त्रिकोणमिति में और महत्वपूर्ण कार्य 1607 तक फिर से प्रकाशित नहीं किया जाएगा। (1552-1610)।

मध्यकालीन इस्लामी दुनिया
पिछले फलन को बाद में इस्लामिक स्वर्ण युग में मध्यकालीन इस्लाम में गणित द्वारा ईरानी वैज्ञानिकों और विद्वानों की सूची और अरब वैज्ञानिकों और विद्वानों की सूची में विस्तारित किया गया, जिन्होंने बड़ी संख्या में प्रमेयों को प्रतिपादित किया, जिसने त्रिकोणमिति के विषय को निर्भरता से मुक्त कर दिया था। पूर्ण चतुर्भुज, जैसा कि मेनेलॉस प्रमेय के अनुप्रयोग के कारण हेलेनिस्टिक गणित में हुआ था। इस प्रकार ई.एस. कैनेडी के अनुसार, इस्लामी गणित में इस विकास के बाद ही पहली वास्तविक त्रिकोणमिति का उदय हुआ, इस अर्थ में कि तभी अध्ययन का उद्देश्य गोलाकार त्रिकोणमिति या समतल त्रिकोण, इसकी भुजाएं और कोण बन गए थे। गोलीय त्रिभुजों से निपटने के तरीके भी ज्ञात थे, विशेष रूप से अलेक्जेंड्रिया के मेनेलॉस की विधि, जिन्होंने गोलाकार समस्याओं से निपटने के लिए मेनेलॉस प्रमेय विकसित किया था। चूंकि इस प्रकार ईएस केनेडी बताते हैं कि पूर्व-इस्लामिक गणित में गोलाकार आकृति के परिमाण की गणना करना संभव था, सिद्धांत रूप में, जीवाओं की सूची और मेनेलॉस के प्रमेय के उपयोग से, गोलाकार समस्याओं के लिए प्रमेय का अनुप्रयोग बहुत अधिक था जो व्यवहार में कठिन था। इस्लामी कैलेंडर पर पवित्र दिनों का निरीक्षण करने के लिए जिसमें चंद्रमा के चरणों द्वारा समय निर्धारित किया गया था, खगोलविदों ने प्रारंभ में चंद्रमा और सितारों के स्थान की गणना करने के लिए मेनेलॉस की विधि का उपयोग किया था, चूंकि यह विधि अनाड़ी और कठिन प्रमाणित हुई। इसमें दो प्रतिच्छेदी समकोण त्रिभुजों को स्थापित करना सम्मिलित था; मेनेलॉस के प्रमेय को लागू करके छह पक्षों में से को हल करना संभव था, अपितु केवल तभी जब अन्य पांच पक्ष ज्ञात हों। उदाहरण के लिए, सूर्य की ऊंचाई से समय बताने के लिए, मेनेलॉस प्रमेय के बार-बार उपयोग की आवश्यकता थी। इस प्रकार मध्ययुगीन इस्लाम में मध्यकालीन खगोल विज्ञान के लिए, सरल त्रिकोणमितीय पद्धति को खोजने की स्पष्ट चुनौती थी।

9वीं शताब्दी ईसवी के प्रारंभ में, मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी ने सटीक साइन और कोसाइन सूचीओं और स्पर्शरेखाओं की पहली सूची का निर्माण किया था। वह गोलाकार त्रिकोणमिति में भी अग्रणी थे। 830 ईस्वी में, हबश अल-हकूब अल-मरवाज़ी ने कॉटैंगेंट्स की पहली सूची तैयार की। मुहम्मद इब्न जाबिर अल-हररानी अल-बट्टानी (अल्बाटेनियस) (853-929 ईस्वी) ने छेदक और व्युत्क्रमज्या के पारस्परिक फलन की खोज की, और 1° से 90° तक प्रत्येक डिग्री के लिए व्युत्क्रमज्या की पहली सूची तैयार की गई थी।

10वीं शताब्दी ईस्वी तक, अबू अल-वफा अल-बुज्जानी के कार्य में, सभी छह त्रिकोणमितीय फलन का उपयोग किया गया था। अबू अल-वफा में 0.25 डिग्री वृद्धि में साइन टेबल, सटीकता के 8 दशमलव स्थानों तक, और स्पर्शरेखा मानों की सटीक सूची थीं। इस प्रकार उन्होंने निम्न त्रिकोणमितीय सूत्र भी विकसित किया था:
 * $$\ \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) $$ (टॉलेमी के कोण-जोड़ सूत्र का विशेष स्थिति को ऊपर देखें)

अपने मूल पाठ में, अबू अल-वफ़ा' कहता है: यदि हम चाहते हैं कि, हम दिए गए साइन को चाप के कोसाइन मिनट से गुणा करते हैं, और परिणाम डबल की आधी साइन है। अबू अल-वफ़ा ने पूर्ण प्रमाणों के साथ प्रस्तुत कोण जोड़ और अंतर की पहचान भी स्थापित की:


 * $$\sin(\alpha \pm \beta) = \sqrt{\sin^2 \alpha - (\sin \alpha \sin \beta)^2} \pm \sqrt{\sin^2 \beta- (\sin \alpha\sin \beta)^2}$$
 * $$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta $$

दूसरे के लिए, पाठ कहता है: हम दो चापों में से प्रत्येक की ज्या को अन्य मिनटों के कोसाइन से गुणा करते हैं। यदि हम राशि की ज्या चाहते हैं, तो हम गुणनफल जोड़ते हैं, यदि हम अंतर की ज्या चाहते हैं, तो हम उनका अंतर लेते हैं।

उन्होंने गोलाकार त्रिकोणमिति के लिए साइन #वक्रता के नियम की भी खोज की:
 * $$\frac{\sin A}{\sin a} = \frac{\sin B}{\sin b} = \frac{\sin C}{\sin c}.$$

इसके अतिरिक्त 10वीं सदी के अंत और 11वीं सदी के प्रारंभ में, मिस्र के खगोलशास्त्री इब्न यूनुस ने कई सावधान त्रिकोणमितीय गणनाएं कीं और निम्नलिखित त्रिकोणमितीय पहचान का प्रदर्शन किया था:
 * $$\cos a \cos b = \frac{\cos(a+b) + \cos(a-b)}{2}$$

अन्दलुस के आनुवंशिक (989–1079) ने गोले के अज्ञात चाप की पुस्तक लिखी, जिसे गोलीय त्रिकोणमिति पर पहला ग्रंथ माना जाता है। इस प्रकार इसमें विशेष समकोण त्रिभुजों के सूत्र हैं। दाएं हाथ के त्रिकोण, ज्या के सामान्य नियम और ध्रुवीय त्रिकोण के माध्यम से गोलाकार त्रिकोण का समाधान हैं। इस ग्रंथ का बाद में यूरोपीय गणित पर गहरा प्रभाव पड़ा, और अनुपात की उनकी परिभाषा के रूप में संख्या और गोलाकार त्रिकोण को हल करने की विधि जब सभी पक्ष अज्ञात हैं, तो रेजीओमोंटानस को प्रभावित करने की संभावना है।

त्रिकोणासन की विधि सबसे पहले मुस्लिम गणितज्ञों द्वारा विकसित की गई थी, जिन्होंने इसे सर्वेक्षण जैसे व्यावहारिक उपयोगों के लिए लागू किया और इस्लामी भूगोल, जैसा कि अबू रेहान बिरूनी ने 11वीं सदी के प्रारंभ में वर्णित किया था। अबू रेहान बिरूनी जियोडेसी और भूगोल और विभिन्न स्थानों के बीच की दूरी के लिए खुद बिरूनी ने त्रिकोणासन तकनीकों का परिचय दिया था। 11वीं शताब्दी के अंत में, उमर खय्याम (1048-1131) ने त्रिकोणमितीय सूचीओं में अंतर्वेशन द्वारा प्राप्त अनुमानित संख्यात्मक समाधानों का उपयोग करके घन समीकरणों को हल किया था। इस प्रकार 13वीं शताब्दी में, नसीर अल-दीन अल-तुसी त्रिकोणमिति को खगोल विज्ञान से स्वतंत्र गणितीय अनुशासन के रूप में मानने वाले पहले व्यक्ति थे, और उन्होंने गोलाकार त्रिकोणमिति को इसके वर्तमान स्वरूप में विकसित किया था। उन्होंने गोलाकार त्रिकोणमिति में समकोण त्रिभुज के छह अलग-अलग स्थितियों को सूचीबद्ध किया, और अपने ऑन द सेक्टर फिगर में, उन्होंने समतल और गोलाकार त्रिकोणों के लिए ज्या के नियम को बताया, गोलाकार त्रिकोणों के लिए स्पर्शरेखा के नियम की खोज की, और दोनों के लिए प्रमाण प्रदान किए थे। इस प्रकार इन नियमों के अनुसार नासिर अल-दीन अल-तुसी को त्रिकोणमिति के निर्माता के रूप में गणितीय अनुशासन के रूप में वर्णित किया गया है।

15वीं सदी में, जमशेद अल-काशी ने कोसाइन के नियम का पहला स्पष्ट विवरण त्रिकोणीयकरण के लिए उपयुक्त रूप में प्रदान किया था। फ्रांस में, कोसाइन के नियम को अभी भी :fr:Theorème d'Al-Kashi|Theorem of Al-Kashi कहा जाता है। उन्होंने प्रत्येक 1° के तर्क के लिए चार सेक्सेजिमल अंकों (8 दशमलव स्थानों के बराबर) के लिए साइन फ़ंक्शन के मानों की त्रिकोणमितीय सूची भी दीं, जिनमें 1° के प्रत्येक 1/60 के लिए अंतर जोड़े जाने थे। उलूग बेग ही समय के आसपास 8 दशमलव स्थानों तक ज्या और स्पर्शरेखाओं की सटीक सारणी भी देता है।

यूरोपीय पुनर्जागरण और उसके पश्चात
1342 में, लेवी बेन गेर्शोन, जिसे गर्सोनाइडेस के नाम से जाना जाता है, ने ऑन साइन्स, कॉर्ड्स एंड आर्क्स लिखा, विशेष रूप से प्लेन त्रिकोणों के लिए सेन लो को प्रमाणित करना और पांच-फिगर साइन टेबल देना आवश्यक था।

मार्गदर्शन पाठ्यक्रमों की गणना करने के लिए 14वीं-15वीं शताब्दी के समय भूमध्य सागर में नाविकों द्वारा सरलीकृत त्रिकोणमितीय सूची, टोलेला डे मारर्टेलोइओ का उपयोग किया गया था। यह 1295 में मालोर्का के रेमन ललुल द्वारा वर्णित है, और वेनिस के कप्तान एंड्रयू व्हाइट के 1436 एटलस में रखी गई है।

रेगिओमोंटानस संभवतः यूरोप का पहला गणितज्ञ था, जिसने त्रिकोणमिति को विशिष्ट गणितीय अनुशासन के रूप में माना था, इस प्रकार 1464 में लिखी गई उनकी डी ट्रायंगुलिस ओम्निमोडिस में, साथ ही साथ उनकी बाद की तबुला डायरेक्शनम जिसमें टेंगेंट फ़ंक्शन सम्मिलित था, जिसका नाम नहीं था।

कोपरनिकस के छात्र, जॉर्ज जोआचिम रेटिकस का ओपस पैलेटिनम डे ट्रायंगुलिस, संभवतः यूरोप में पहला था, इस प्रकार जिसने सभी छह त्रिकोणमितीय फलन के लिए सूचीओं के साथ, मंडलियों के अतिरिक्त सीधे त्रिकोणमितीय फलन को सीधे त्रिकोणमितीय फलन को परिभाषित किया; यह कार्य 1596 में रेटिकस के छात्र वेलेंटाइन ओथो द्वारा समाप्त किया गया था।

17वीं शताब्दी में, आइजैक न्यूटन और जेम्स स्टर्लिंग (गणितज्ञ) ने त्रिकोणमितीय फलन के लिए सामान्य न्यूटन-स्टर्लिंग प्रक्षेप सूत्र विकसित किया था।

18वीं शताब्दी में, लियोनहार्ड यूलर का इंट्रोडक्शन इनफिनिटोरम एनालिसिस (1748) यूरोप में त्रिकोणमितीय फलन के विश्लेषणात्मक उपचार की स्थापना, उनकी अनंत श्रृंखला ix = cos x + i sin x प्राप्त करने और यूलर के सूत्र को प्रस्तुत करने के लिए अधिक उत्तरदायी था। इस प्रकार यूलर ने निकट-आधुनिक संक्षिप्ताक्षरों sin., cos., tang., cot., sec., और cosec का उपयोग किया था। इससे पहले, रोजर कोट्स ने अपने हार्मोनिया मेनसुरारम (1722) में ज्या के व्युत्पन्न की गणना की थी।

इसके अतिरिक्त 18वीं शताब्दी में, ब्रुक टेलर ने सामान्य टेलर श्रृंखला को परिभाषित किया और सभी छह त्रिकोणमितीय फलन के लिए श्रृंखला विस्तार और सन्निकटन थे। 17वीं सदी में जेम्स ग्रेगोरी (खगोलविद और गणितज्ञ) और 18वीं सदी में कॉलिन मैकलॉरिन के कार्य भी त्रिकोणमितीय श्रृंखला के विकास में बहुत प्रभावशाली थे।

यह भी देखें

 * ग्रीक गणित
 * गणित का इतिहास
 * त्रिकोणमितीय फलन
 * त्रिकोणमिति
 * टॉलेमी की जीवाओं की सूची
 * आर्यभट्ट की साइन टेबल
 * वाजिब त्रिकोणमिति