ऑपरेटर मानदंड

गणित में, ऑपरेटर मानदंड प्रत्येक रैखिक ऑपरेटर को एक वास्तविक संख्या निर्दिष्ट करके उसके आकार को मापता है. औपचारिक रूप से, यह दो दिए गए मानक वेक्टर स्थानों के बीच बंधे हुए रैखिक ऑपरेटरों के स्थान पर परिभाषित एक नॉर्म (गणित) है। अनौपचारिक रूप से, ऑपरेटर मानदंड $$\|T\|$$ एक रेखीय मानचित्र का $$T : X \to Y$$ वह अधिकतम कारक है जिसके द्वारा यह सदिशों को लंबा करता है।

परिचय एवं परिभाषा
दो मानक सदिश स्थान दिए गए हैं $$V$$ और $$W$$ (उसी आधार क्षेत्र (गणित) पर, या तो वास्तविक संख्याएँ $$\R$$ या सम्मिश्र संख्याएँ $$\Complex$$), एक रेखीय मानचित्र $$A : V \to W$$ सतत है यदि और केवल तभी जब कोई वास्तविक संख्या मौजूद हो $$c$$ ऐसा है कि $$\|Av\| \leq c \|v\| \quad \mbox{ for all } v\in V.$$ बायीं ओर का मानक अंदर वाला है $$W$$ और दाहिनी ओर का मानक अंदर वाला है $$V$$. सहज रूप से, सतत संचालक $$A$$ कभी भी किसी सदिश की लंबाई को एक गुणनखंड से अधिक नहीं बढ़ाता $$c.$$ इस प्रकार एक सतत ऑपरेटर के तहत एक परिबद्ध सेट की छवि (गणित) भी परिबद्ध है। इस गुण के कारण, सतत रैखिक ऑपरेटरों को परिबद्ध ऑपरेटरों के रूप में भी जाना जाता है।

का आकार मापने के लिए $$A,$$ कोई अधिकतम संख्या ले सकता है $$c$$ इस प्रकार कि उपरोक्त असमानता सभी पर लागू होती है $$v \in V.$$ यह संख्या अधिकतम अदिश गुणनखंड को दर्शाती है $$A$$ सदिशों को लंबा करता है। दूसरे शब्दों में, का आकार $$A$$ इसे इस बात से मापा जाता है कि यह सबसे बड़े मामले में वैक्टर को कितना लंबा करता है। तो हम ऑपरेटर मानदंड को परिभाषित करते हैं $$A$$ जैसा $$\|A\|_{op} = \inf\{ c \geq 0 : \|Av\| \leq c \|v\| \mbox{ for all } v \in V \}.$$ ऐसे सभी के समुच्चय के रूप में अनंत को प्राप्त किया जाता है $$c$$ नीचे से बंद सेट, खाली सेट और बंधा हुआ सेट है।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यह ऑपरेटर मानदंड मानक वेक्टर रिक्त स्थान के लिए मानदंडों की पसंद पर निर्भर करता है $$V$$ और $$W$$.

उदाहरण
हर वास्तविक $$m$$-द्वारा-$$n$$ मैट्रिक्स (गणित) से एक रेखीय मानचित्र से मेल खाती है $$\R^n$$ को $$\R^m.$$ वास्तविक वेक्टर स्थानों पर लागू (वेक्टर) मानदंड (गणित) की बहुतायत की प्रत्येक जोड़ी सभी के लिए एक ऑपरेटर मानदंड उत्पन्न करती है $$m$$-द्वारा-$$n$$ वास्तविक संख्याओं के आव्यूह; ये प्रेरित मानदंड मैट्रिक्स मानदंडों का एक उपसमूह बनाते हैं।

यदि हम विशेष रूप से दोनों पर यूक्लिडियन मानदंड चुनते हैं $$\R^n$$ और $$\R^m,$$ फिर मैट्रिक्स को दिया गया मैट्रिक्स मानदंड $$A$$ मैट्रिक्स के सबसे बड़े आइगेनवैल्यू का वर्गमूल है $$A^{*} A$$ (कहाँ $$A^{*}$$ के संयुग्म स्थानान्तरण को दर्शाता है $$A$$). यह का सबसे बड़ा एकवचन मान निर्दिष्ट करने के बराबर है $$A.$$ एक विशिष्ट अनंत-आयामी उदाहरण से गुजरते हुए, अनुक्रम स्थान पर विचार करें $$\ell^2,$$ जो कि एक एलपी स्पेस है|एलपीस्पेस, द्वारा परिभाषित $$l^2 = \left\{ \left(a_n\right)_{n \geq 1} : \; a_n \in \Complex, \; \sum_n |a_n|^2 < \infty \right\}.$$ इसे यूक्लिडियन अंतरिक्ष के अनंत-आयामी एनालॉग के रूप में देखा जा सकता है $$\Complex^n.$$ अब एक बंधे हुए अनुक्रम पर विचार करें $$s_{\bull} = \left(s_n\right)_{n=1}^{\infty}.$$ क्रम $$s_{\bull}$$ अंतरिक्ष का एक तत्व है $$\ell^{\infty},$$ द्वारा दिए गए एक मानदंड के साथ $$\left\|s_{\bull}\right\|_{\infty} = \sup _n \left|s_n\right|.$$ एक ऑपरेटर को परिभाषित करें $$T_s$$ बिंदुवार गुणन द्वारा: $$\left(a_n\right)_{n=1}^{\infty} \;\stackrel{T_s}{\mapsto}\;\ \left(s_n \cdot a_n\right)_{n=1}^{\infty}.$$ परिचालक $$T_s$$ ऑपरेटर मानदंड से बंधा हुआ है $$\left\|T_s\right\|_{op} = \left\|s_{\bull}\right\|_{\infty}.$$ यह चर्चा सीधे उस मामले तक फैली हुई है $$\ell^2$$ एक जनरल द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $$L^p$$ अंतरिक्ष के साथ $$p > 1$$ और $$\ell^{\infty}$$ द्वारा प्रतिस्थापित $$L^{\infty}.$$

समतुल्य परिभाषाएँ
होने देना $$A : V \to W$$ मानक स्थानों के बीच एक रैखिक ऑपरेटर बनें। पहली चार परिभाषाएँ हमेशा समतुल्य होती हैं, और यदि इसके अतिरिक्त भी हों $$V \neq \{0\}$$ तो वे सभी समतुल्य हैं:

\begin{alignat}{4} \|A\|_{op} &= \inf &&\{ c \geq 0 ~&&:~ \| A v \| \leq c \| v \| ~&&~ \mbox{ for all } ~&&v \in V \} \\ &= \sup &&\{ \| Av \| ~&&:~ \| v \| \leq 1 ~&&~\mbox{ and } ~&&v \in V \} \\ &= \sup &&\{ \| Av \| ~&&:~ \| v \| < 1 ~&&~\mbox{ and } ~&&v \in V \} \\ &= \sup &&\{ \| Av \| ~&&:~ \| v \| \in \{0,1\} ~&&~\mbox{ and } ~&&v \in V \} \\ &= \sup &&\{ \| Av \| ~&&:~ \| v \| = 1 ~&&~\mbox{ and } ~&&v \in V \} \;\;\;\text{ this equality holds if and only if } V \neq \{ 0 \} \\ &= \sup &&\bigg\{ \frac{\| Av \|}{\| v \|} ~&&:~ v \ne 0 ~&&~\mbox{ and } ~&&v \in V \bigg\} \;\;\;\text{ this equality holds if and only if } V \neq \{ 0 \}. \\ \end{alignat} $$ अगर $$V = \{0\}$$ तो अंतिम दो पंक्तियों में सेट खाली हो जाएंगे, और परिणामस्वरूप सेट पर उनका वर्चस्व हो जाएगा $$[-\infty, \infty]$$ बराबर होगा $$-\infty$$ के सही मान के बजाय $$0.$$ यदि सेट पर सर्वोच्च अधिकार ले लिया जाए $$[0, \infty]$$ इसके बजाय, खाली सेट का सर्वोच्च है $$0$$ और सूत्र किसी के लिए भी मान्य हैं $$V.$$ महत्वपूर्ण रूप से, एक रैखिक ऑपरेटर $$A : V \to W$$ सामान्य तौर पर, इसके मानक को प्राप्त करने की गारंटी नहीं है $$\|A\|_{op} = \sup \{\|A v\| : \|v\| \leq 1, v \in V\}$$ बंद यूनिट बॉल पर $$\{v \in V : \|v\| \leq 1\},$$ इसका मतलब है कि कोई वेक्टर मौजूद नहीं हो सकता है $$u \in V$$ आदर्श का $$\|u\| \leq 1$$ ऐसा है कि $$\|A\|_{op} = \|A u\|$$ (यदि ऐसा कोई वेक्टर मौजूद है और यदि $$A \neq 0,$$ तब $$u$$ आवश्यक रूप से इकाई मानदंड होगा $$\|u\| = 1$$). आर.सी. जेम्स ने 1964 में जेम्स के प्रमेय को सिद्ध किया, जिसमें कहा गया है कि एक बानाच स्थान $$V$$ प्रतिवर्ती स्थान है यदि और केवल यदि प्रत्येक परिबद्ध रैखिक क्रियाशील हो $$f \in V^*$$ बंद यूनिट बॉल पर अपना दोहरा मानदंड प्राप्त करता है।

विशेष रूप से, यह इस प्रकार है कि प्रत्येक गैर-रिफ्लेक्सिव बैनाच स्पेस में कुछ बाउंडेड लीनियर फंक्शनल (एक प्रकार का बाउंडेड लीनियर ऑपरेटर) होता है जो बंद यूनिट बॉल पर अपने मानक को प्राप्त नहीं करता है।

अगर $$A : V \to W$$ तब परिबद्ध है $$\|A\|_{op} = \sup \left\{\left|w^*(A v)\right| : \|v\| \leq 1, \left\|w^*\right\| \leq 1 \text{ where } v \in V, w^* \in W^*\right\}$$ और $$\|A\|_{op} = \left\|{}^tA\right\|_{op}$$ कहाँ $${}^t A : W^* \to V^*$$ के एक रेखीय मानचित्र का स्थानान्तरण है $$A : V \to W,$$ जो रैखिक ऑपरेटर द्वारा परिभाषित है $$w^* \,\mapsto\, w^* \circ A.$$

गुण
ऑपरेटर मानदंड वास्तव में सभी परिबद्ध ऑपरेटरों के बीच के स्थान पर एक मानक है $$V$$ और $$W$$. इसका मतलब यह है $$\|A\|_{op} \geq 0 \mbox{ and } \|A\|_{op} = 0 \mbox{ if and only if } A = 0,$$$$\|aA\|_{op} = |a| \|A\|_{op} \mbox{ for every scalar } a ,$$$$\|A + B\|_{op} \leq \|A\|_{op} + \|B\|_{op}.$$ निम्नलिखित असमानता परिभाषा का तत्काल परिणाम है: $$\|Av\| \leq \|A\|_{op} \|v\| \ \mbox{ for every }\ v \in V.$$ ऑपरेटर मानदंड ऑपरेटरों की संरचना, या गुणन के साथ भी संगत है: यदि $$V$$, $$W$$ और $$X$$ एक ही आधार क्षेत्र पर तीन मानक स्थान हैं, और $$A : V \to W$$ और $$B : W \to X$$ यदि दो परिबद्ध संकारक हैं, तो यह एक उप-गुणक मानदंड है, अर्थात: $$\|BA\|_{op} \leq \|B\|_{op} \|A\|_{op}.$$ बाउंडेड ऑपरेटरों के लिए $$V$$, इसका तात्पर्य यह है कि ऑपरेटर गुणन संयुक्त रूप से निरंतर है।

परिभाषा से यह पता चलता है कि यदि ऑपरेटरों का अनुक्रम ऑपरेटर मानदंड में परिवर्तित होता है, तो यह बंधे हुए सेटों पर समान रूप से परिवर्तित होता है।

सामान्य ऑपरेटर मानदंडों की तालिका
डोमेन के लिए अलग-अलग मानदंड चुनकर, कंप्यूटिंग में उपयोग किया जाता है $$\|Av\|$$, और कोडोमेन, कंप्यूटिंग में उपयोग किया जाता है $$\|v\|$$, हम ऑपरेटर मानदंड के लिए अलग-अलग मान प्राप्त करते हैं। कुछ सामान्य ऑपरेटर मानदंडों की गणना करना आसान है, और अन्य एनपी कठिन  हैं।

एनपी-हार्ड मानदंडों को छोड़कर, इन सभी मानदंडों की गणना की जा सकती है $$N^2$$ संचालन (एक के लिए) $$N \times N$$ मैट्रिक्स), के अपवाद के साथ $$\ell_2 - \ell_2$$ मानक (जिसकी आवश्यकता है $$N^3$$ सटीक उत्तर के लिए संचालन, या यदि आप इसे पावर पुनरावृत्ति या लैंज़ोस एल्गोरिदम के साथ अनुमानित करते हैं तो कम)।

संयुग्म ट्रांसपोज़ या ट्रांसपोज़ के मानदंड की गणना निम्नानुसार की जा सकती है। हमारे पास वह किसी के लिए भी है $$p, q,$$ तब $$\|A\|_{p\rightarrow q} = \|A^*\|_{q'\rightarrow p'}$$ कहाँ $$p', q'$$ होल्डर की असमानताएं|होल्डर से संयुग्मित हैं $$p, q,$$ वह है, $$1/p + 1/p' = 1$$ और $$1/q + 1/q' = 1.$$

हिल्बर्ट स्पेस पर ऑपरेटर्स
कल्पना करना $$H$$ एक वास्तविक या जटिल हिल्बर्ट स्थान है। अगर $$A : H \to H$$ एक परिबद्ध रैखिक संचालिका है, तो हमारे पास है $$\|A\|_{op} = \left\|A^*\right\|_{op}$$ और $$\left\|A^* A\right\|_{op} = \|A\|_{op}^2,$$ कहाँ $$A^{*}$$ के सहायक संचालक को दर्शाता है $$A$$ (जो मानक आंतरिक उत्पाद के साथ यूक्लिडियन रिक्त स्थान में मैट्रिक्स के संयुग्म स्थानान्तरण से मेल खाता है $$A$$).

सामान्य तौर पर, की वर्णक्रमीय त्रिज्या $$A$$ के ऑपरेटर मानदंड से ऊपर घिरा हुआ है $$A$$: $$\rho(A) \leq \|A\|_{op}.$$ यह देखने के लिए कि समानता हमेशा कायम क्यों नहीं रह सकती, परिमित-आयामी मामले में मैट्रिक्स के जॉर्डन विहित रूप पर विचार करें। क्योंकि सुपरडायगोनल पर गैर-शून्य प्रविष्टियाँ हैं, समानता का उल्लंघन हो सकता है। क्वासिनिलपोटेंट ऑपरेटर्स ऐसे उदाहरणों का एक वर्ग है। एक अशून्य क्वासिनिलपोटेंट ऑपरेटर $$A$$ स्पेक्ट्रम है $$\{0\}.$$ इसलिए $$\rho(A) = 0$$ जबकि $$\|A\|_{op} > 0.$$ हालाँकि, जब एक मैट्रिक्स $$N$$ सामान्य मैट्रिक्स है, इसका जॉर्डन विहित रूप विकर्ण (एकात्मक तुल्यता तक) है; यह वर्णक्रमीय प्रमेय है. ऐसे में यह देखना आसान है $$\rho(N) = \|N\|_{op}.$$ इस सूत्र का उपयोग कभी-कभी किसी दिए गए परिबद्ध ऑपरेटर के ऑपरेटर मानदंड की गणना करने के लिए किया जा सकता है $$A$$: हर्मिटियन ऑपरेटर को परिभाषित करें $$B = A^{*} A,$$ इसकी वर्णक्रमीय त्रिज्या निर्धारित करें, और ऑपरेटर मानदंड प्राप्त करने के लिए मैट्रिक्स का वर्गमूल लें $$A.$$ बाउंडेड ऑपरेटरों का स्थान $$H,$$ ऑपरेटर मानदंड से प्रेरित टोपोलॉजिकल स्पेस के साथ, अलग करने योग्य स्पेस नहीं है। उदाहरण के लिए, एलपी स्पेस पर विचार करें $$L^2[0, 1],$$ जो एक हिल्बर्ट स्थान है। के लिए $$0 < t \leq 1,$$ होने देना $$\Omega_t$$ का संकेतक कार्य हो $$[0, t],$$ और $$P_t$$ द्वारा दिया गया गुणन संकारक हो $$\Omega_t,$$ वह है, $$P_t (f) = f \cdot \Omega_t.$$ फिर प्रत्येक $$P_t$$ ऑपरेटर मानदंड 1 और के साथ एक परिबद्ध ऑपरेटर है $$\left\|P_t - P_s\right\|_{op} = 1 \quad \mbox{ for all } \quad t \neq s.$$ लेकिन $$\{P_t : 0 < t \leq 1\}$$ एक अनगिनत समुच्चय है. इसका तात्पर्य बाउंडेड ऑपरेटरों के स्थान से है $$L^2([0, 1])$$ ऑपरेटर मानक में, अलग करने योग्य नहीं है। इसकी तुलना इस तथ्य से की जा सकती है कि अनुक्रम स्थान $$\ell^{\infty}$$ अलग करने योग्य नहीं है.

हिल्बर्ट स्पेस पर सभी बंधे हुए ऑपरेटरों का सहयोगी बीजगणित, ऑपरेटर मानदंड और सहायक ऑपरेशन के साथ मिलकर, एक C*-बीजगणित उत्पन्न करता है।