लॉग-ध्रुवीय निर्देशांक

गणित में, लॉग-ध्रुवीय निर्देशांक (या लघुगणकीय ध्रुवीय निर्देशांक) दो आयामों में एक निर्देशांक निकाय है, जहां एक बिंदु को दो संख्याओं द्वारा पहचाना जाता है, एक निश्चित बिंदु की दूरी के लघुगणक के लिए, और एक कोण के लिए। लॉग-ध्रुवीय निर्देशांक ध्रुवीय निर्देशांक से निकटता से जुड़े होते हैं, जो आमतौर पर किसी प्रकार की घूर्णी समरूपता के साथ विमान में डोमेन का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाते हैं। हार्मोनिक और जटिल विश्लेषण जैसे क्षेत्रों में, ध्रुवीय निर्देशांक की तुलना में लॉग-ध्रुवीय निर्देशांक अधिक विहित हैं।

रूपांतरणों की परिभाषा और समन्वय
समतल में लॉग-ध्रुवीय निर्देशांक वास्तविक संख्याओं (ρ,θ) की एक जोड़ी से मिलकर बनता है, जहाँ ρ किसी दिए गए बिंदु और मूल बिंदु के बीच की दूरी का लघुगणक है और θ संदर्भ की रेखा (x-अक्ष) के बीच का कोण है ) और मूल और बिंदु के माध्यम से रेखा। कोणीय निर्देशांक ध्रुवीय निर्देशांक के समान है, जबकि रेडियल समन्वय नियम के अनुसार रूपांतरित होता है


 * $$ r = e^\rho$$.

कहाँ $$ r $$ उत्पत्ति की दूरी है। कार्तीय निर्देशांक से लॉग-ध्रुवीय निर्देशांक में परिवर्तन के सूत्र द्वारा दिए गए हैं


 * $$\begin{cases} \rho = \ln\left(\sqrt{ x^2 + y^2}\right), \\ \theta = \operatorname{atan2}(y,\, x). \end{cases}$$

और लॉग-ध्रुवीय से कार्टेशियन निर्देशांक में परिवर्तन के सूत्र हैं


 * $$\begin{cases}x = e^{\rho}\cos\theta, \\ y = e^{\rho}\sin\theta.\end{cases}$$

सम्मिश्र संख्याओं (x, y) = x + iy का उपयोग करके, बाद वाले परिवर्तन को इस रूप में लिखा जा सकता है
 * $$ x + iy = e^{\rho+i\theta} $$

यानी जटिल घातीय कार्य। इससे यह पता चलता है कि हार्मोनिक और जटिल विश्लेषण में बुनियादी समीकरणों का कार्टेशियन निर्देशांक के समान सरल रूप होगा। ध्रुवीय निर्देशांकों के लिए ऐसा नहीं है।

लाप्लास का समीकरण
दो विमाओं में लाप्लास का समीकरण किसके द्वारा दिया जाता है


 * $$ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$$

कार्टेशियन निर्देशांक में। समान समीकरण को ध्रुवीय निर्देशांकों में लिखने से अधिक जटिल समीकरण प्राप्त होता है


 * $$ r\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right) + \frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} = 0$$

या समकक्ष


 * $$ \left(r\frac{\partial}{\partial r}\right)^2 u + \frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} = 0$$

हालाँकि, रिश्ते से $$ r = e^\rho $$ यह इस प्रकार है कि $$ r\frac{\partial}{\partial r} = \frac{\partial}{\partial \rho}$$ तो लाप्लास का समीकरण लॉग-ध्रुवीय निर्देशांक में,
 * $$ \frac{\partial^2 u}{\partial \rho^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} = 0$$

कार्टेशियन निर्देशांक के समान ही सरल अभिव्यक्ति है। यह सभी समन्वय प्रणालियों के लिए सही है जहां कार्तीय निर्देशांक में परिवर्तन एक अनुरूप मानचित्रण द्वारा दिया जाता है। इस प्रकार, घूर्णन सममिति वाले समतल के एक भाग के लिए लाप्लास के समीकरण पर विचार करते समय, उदा. एक गोलाकार डिस्क, लॉग-ध्रुवीय निर्देशांक प्राकृतिक पसंद है।

कॉची-रीमैन समीकरण
विश्लेषणात्मक कार्यों पर विचार करते समय एक समान स्थिति उत्पन्न होती है। एक विश्लेषणात्मक कार्य $$ f(x,y) = u(x,y) + iv(x,y)$$ कार्तीय निर्देशांक में लिखा कॉची-रीमैन समीकरणों को संतुष्ट करता है:
 * $$ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y},\ \ \ \ \ \ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

यदि फ़ंक्शन को इसके बजाय ध्रुवीय रूप में व्यक्त किया जाता है $$f(re^{i\theta})=Re^{i\Phi}$$, कॉची-रीमैन समीकरण अधिक जटिल रूप लेते हैं


 * $$ r\frac{\partial \log R}{\partial r} = \frac{\partial \Phi}{\partial \theta},\ \ \ \ \ \ \frac{\partial \log R}{\partial \theta} = -r\frac{\partial \Phi}{\partial r},$$

जैसा कि लाप्लास के समीकरण के मामले में, कार्तीय निर्देशांक का सरल रूप ध्रुवीय को लॉग-ध्रुवीय निर्देशांक में बदलकर पुनर्प्राप्त किया जाता है (चलो $$ P = \log R $$):


 * $$ \frac{\partial P}{\partial \rho} = \frac{\partial \Phi}{\partial \theta},\ \ \ \ \ \ \frac{\partial P}{\partial \theta} = -\frac{\partial \Phi}{\partial \rho}$$

कॉची-रिमैन समीकरणों को एक एकल समीकरण में भी लिखा जा सकता है


 * $$ \left(\frac{\partial}{\partial x} + i\frac{\partial}{\partial y}\right)f(x+iy) = 0 $$

व्यक्त करके $$\frac{\partial}{\partial x}$$ और $$\frac{\partial}{\partial y}$$ के अनुसार $$\frac{\partial}{\partial \rho}$$ और $$\frac{\partial}{\partial \theta}$$ इस समीकरण को समतुल्य रूप में लिखा जा सकता है


 * $$ \left(\frac{\partial}{\partial \rho} + i\frac{\partial}{\partial \theta}\right)f(e^{\rho + i\theta}) = 0 $$

यूलर का समीकरण
जब कोई घूर्णी समरूपता वाले डोमेन में डिरिचलेट समस्या को हल करना चाहता है, तो सामान्य बात यह है कि ध्रुवीय रूप में लाप्लास के समीकरण के लिए आंशिक अंतर समीकरणों के लिए चर के पृथक्करण की विधि का उपयोग किया जाता है। इसका मतलब है कि आप लिखते हैं $$u(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta)$$. लाप्लास के समीकरण को तब दो साधारण अवकल समीकरणों में विभाजित किया जाता है


 * $$\begin{cases} \Theta(\theta) + \nu^2\Theta(\theta) = 0\\ r^2R(r) + rR'(r)-\nu^2 R(r) = 0 \end{cases}$$

कहाँ $$\nu $$ एक स्थिरांक है। इनमें से पहले में निरंतर गुणांक होते हैं और आसानी से हल हो जाते हैं। दूसरा यूलर के समीकरण का एक विशेष मामला है


 * $$ r^2R''(r) + c rR'(r) + d R(r) = 0 $$

कहाँ $$c, d $$ स्थिरांक हैं। यह समीकरण आमतौर पर ansatz द्वारा हल किया जाता है $$R(r) = r^{\lambda}$$, लेकिन लॉग-ध्रुवीय त्रिज्या के उपयोग के माध्यम से, इसे निरंतर गुणांक वाले समीकरण में बदला जा सकता है:


 * $$ P''(\rho) + (c-1) P'(\rho) + d P(\rho) = 0 $$

लाप्लास के समीकरण पर विचार करते समय, $$c = 1$$ और $$ d = -\nu^2 $$ इसलिए के लिए समीकरण $$ r $$ सरल रूप धारण कर लेता है


 * $$ P''(\rho) - \nu^2 P(\rho) = 0 $$

कार्टेशियन निर्देशांक में डिरिचलेट समस्या को हल करते समय, ये बिल्कुल समीकरण हैं $$x$$ और $$y$$ इस प्रकार, एक बार फिर घूर्णी समरूपता वाले डोमेन के लिए प्राकृतिक विकल्प ध्रुवीय नहीं है, बल्कि लॉग-ध्रुवीय, निर्देशांक है।

असतत ज्यामिति




एक डोमेन में पीडीई को संख्यात्मक रूप से हल करने के लिए, इस डोमेन में एक असतत निर्देशांक निकाय शुरू की जानी चाहिए। यदि डोमेन में घूर्णी समरूपता है और आप आयतों से युक्त एक ग्रिड चाहते हैं, तो ध्रुवीय निर्देशांक एक खराब विकल्प हैं, क्योंकि सर्कल के केंद्र में यह आयतों के बजाय त्रिभुजों को जन्म देता है। हालाँकि, निम्न तरीके से लॉग-ध्रुवीय निर्देशांक पेश करके इसका उपचार किया जा सकता है। समतल को भुजा लंबाई 2 वाले वर्गों के एक ग्रिड में विभाजित करें \$$\pi$$ /n, जहाँ n एक धनात्मक पूर्णांक है। समतल में लॉग-ध्रुवीय ग्रिड बनाने के लिए जटिल एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन का उपयोग करें। बाएं आधे विमान को यूनिट डिस्क पर मैप किया जाता है, जिसमें त्रिज्या की संख्या एन के बराबर होती है। इसके बजाय इन वर्गों में विकर्णों को मैप करना और भी अधिक फायदेमंद हो सकता है, जो यूनिट डिस्क में सर्पिल से युक्त एक असतत निर्देशांक निकाय देता है, दाईं ओर का आंकड़ा देखें।

डिरिचलेट-टू-न्यूमैन ऑपरेटर
उदाहरण के लिए बाद की निर्देशांक निकाय डिरिचलेट और न्यूमैन समस्याओं से निपटने के लिए उपयुक्त है। यदि असतत निर्देशांक निकाय को यूनिट डिस्क में एक अप्रत्यक्ष ग्राफ के रूप में व्याख्या किया जाता है, तो इसे विद्युत नेटवर्क के लिए एक मॉडल के रूप में माना जा सकता है। ग्राफ में प्रत्येक रेखा खंड के लिए एक फ़ंक्शन द्वारा दिया गया एक चालन जुड़ा हुआ है $$ \gamma $$। विद्युत नेटवर्क तब यूनिट डिस्क में डिरिचलेट समस्या के लिए असतत मॉडल के रूप में काम करेगा, जहां लाप्लास समीकरण किरचॉफ के नियम का रूप लेता है। सर्कल की सीमा पर नोड्स पर, एक विद्युत क्षमता (डिरिचलेट डेटा) परिभाषित की जाती है, जो सीमा नोड्स के माध्यम से विद्युत प्रवाह (न्यूमैन डेटा) को प्रेरित करती है। रैखिक संचालिका $$ \Lambda_\gamma $$ डिरिचलेट डेटा से न्यूमैन डेटा तक डिरिचलेट-टू-न्यूमैन ऑपरेटर कहा जाता है, और नेटवर्क की टोपोलॉजी और चालन पर निर्भर करता है।

निरंतर डिस्क के मामले में, यह इस प्रकार है कि यदि चालन सजातीय है, मान लीजिए $$ \gamma = 1 $$ हर जगह, तो डिरिचलेट-टू-न्यूमैन ऑपरेटर निम्नलिखित समीकरण को संतुष्ट करता है


 * $$ \Lambda_\gamma^2 + \frac{\partial^2\ }{\partial\theta^2} = 0 $$

डिरिचलेट समस्या का एक अच्छा असतत मॉडल प्राप्त करने के लिए, यूनिट डिस्क में एक ग्राफ खोजना उपयोगी होगा, जिसके (असतत) डिरिचलेट-टू-न्यूमैन ऑपरेटर के पास समान गुण हैं। भले ही ध्रुवीय निर्देशांक हमें कोई उत्तर नहीं देते हैं, यह अनुमानित/अप्रत्यक्ष रूप से है, जो कि लॉग-ध्रुवीय निर्देशांक द्वारा दिया गया घूर्णी सममित नेटवर्क हमें प्रदान करता है।

छवि विश्लेषण
पहले से ही 1970 के दशक के अंत में, छवि विश्लेषण (छवि पंजीकरण) में असतत सर्पिल निर्देशांक निकाय के लिए आवेदन दिए गए थे। कार्टेशियन निर्देशांक के बजाय इस निर्देशांक निकाय में एक छवि का प्रतिनिधित्व करने के लिए, एक छवि को घुमाने या ज़ूम करने पर कम्प्यूटेशनल लाभ देता है। इसके अलावा, मानव आंख में रेटिना में फोटो रिसेप्टर्स को इस तरह से वितरित किया जाता है जिसमें सर्पिल निर्देशांक निकाय के साथ बड़ी समानताएं होती हैं। यह मैंडेलब्रॉट फ्रैक्टल में भी पाया जा सकता है (दाईं ओर चित्र देखें)।

लॉग-ध्रुवीय निर्देशांक का उपयोग रेडॉन रूपांतरण और इसके व्युत्क्रम के लिए तेज़ विधियों के निर्माण के लिए भी किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * धुवीय निर्देशांक
 * कार्तीय निर्देशांक
 * बेलनाकार निर्देशांक
 * गोलाकार निर्देशांक
 * रेटिनोटॉपी में लॉग-ध्रुवीय प्रतिचित्रण

बाहरी संबंध

 * Non-Newtonian calculus website