ज्यामितीय ब्राउनियन गति

एक ज्यामितीय एक प्रकार कि गति (GBM) (जिसे एक्सपोनेंशियल ब्राउनियन गति के रूप में भी जाना जाता है) एक निरंतर-समय की स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है जिसमें यादृच्छिक रूप से भिन्न मात्रा का लघुगणक स्टोकेस्टिक बहाव के साथ ब्राउनियन गति (जिसे वीनर प्रक्रिया भी कहा जाता है) का अनुसरण करता है। यह स्टोचैस्टिक अंतर समीकरण (SDE) को संतुष्ट करने वाली स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं का एक महत्वपूर्ण उदाहरण है; विशेष रूप से, इसका उपयोग गणितीय वित्त में ब्लैक-स्कोल्स मॉडल में स्टॉक की कीमतों को मॉडल करने के लिए किया जाता है।

तकनीकी परिभाषा: एसडीई
एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया एसt कहा जाता है कि यह GBM का पालन करता है यदि यह निम्नलिखित स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन (SDE) को संतुष्ट करता है:


 * $$ dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t $$

कहाँ $$ W_t $$ एक वीनर प्रक्रिया है, और $$ \mu $$ ('प्रतिशत बहाव') और $$ \sigma $$ ('प्रतिशत अस्थिरता') स्थिरांक हैं।

पूर्व का उपयोग नियतात्मक रुझानों के मॉडल के लिए किया जाता है, जबकि बाद वाले शब्द का उपयोग अक्सर इस गति के दौरान होने वाली अप्रत्याशित घटनाओं के एक सेट को मॉडल करने के लिए किया जाता है।

SDE
को हल करना

एक मनमाना प्रारंभिक मूल्य के लिए S0 उपरोक्त एसडीई में विश्लेषणात्मक समाधान है (इटो कैलकुस के तहत | आईटीओ की व्याख्या):


 * $$ S_t = S_0\exp\left( \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2} \right)t + \sigma W_t\right).$$

व्युत्पत्ति के लिए इटो कैलकुलस के उपयोग की आवश्यकता होती है। इटो के सूत्र को लागू करने से होता है


 * $$d(\ln S_t) = (\ln S_t)'  d S_t + \frac{1}{2} (\ln S_t)'' \,dS_t \,dS_t

= \frac{d S_t}{S_t} -\frac{1}{2} \,\frac{1}{S_t^2} \, dS_t \, dS_t $$ कहाँ $$ dS_t \, dS_t$$ SDE का द्विघात रूपांतर है।


 * $$ d S_t \, d S_t \, = \, \sigma^2 \, S_t^2 \, d W_t^2 + 2 \sigma S_t^2 \mu \, d W_t \, d t + \mu^2 S_t^2 \, d t^2 $$

कब $$ d t \to 0 $$, $$ d t$$ की तुलना में तेजी से 0 में परिवर्तित हो जाता है $$ d W_t$$, तब से $$ d W_t^2 = O(d t) $$. तो ऊपर के इनफिनिटिमल को सरल बनाया जा सकता है


 * $$ d S_t \, d S_t \, = \, \sigma^2 \, S_t^2 \, dt $$

का मान प्लग करना $$dS_t$$ उपरोक्त समीकरण और सरलीकरण में हम प्राप्त करते हैं


 * $$\ln \frac{S_t}{S_0} = \left(\mu -\frac{\sigma^2}{2}\,\right) t + \sigma W_t\,.$$

घातीय लेना और दोनों पक्षों को से गुणा करना $$S_0$$ ऊपर दावा किया गया समाधान देता है।

गुण
उपरोक्त समाधान $$ S_t $$ (टी के किसी भी मूल्य के लिए) एक लॉग-सामान्य वितरण है | लॉग-सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर अपेक्षित मूल्य और भिन्नता द्वारा दिया गया है
 * $$\operatorname{E}(S_t)= S_0e^{\mu t},$$
 * $$\operatorname{Var}(S_t)= S_0^2e^{2\mu t} \left( e^{\sigma^2 t}-1\right).$$

उन्हें इस तथ्य का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है कि $$ Z_t = \exp\left(\sigma W_t - \frac{1}{2}\sigma^2 t\right) $$ एक मार्टिंगेल (संभाव्यता सिद्धांत) है, और वह


 * $$ \operatorname{E}\left[ \exp\left(2\sigma W_t - \sigma^2 t\right) \mid \mathcal{F}_s\right] = e^{\sigma^2(t - s)} \exp\left(2\sigma W_s - \sigma^2 s\right),\quad \forall 0 \leq s < t. $$

की संभावना घनत्व समारोह $$ S_t $$ है:
 * $$f_{S_t}(s; \mu, \sigma, t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\, \frac{1}{s \sigma \sqrt{t}}\, \exp \left( -\frac{ \left( \ln s - \ln S_0 - \left( \mu - \frac{1}{2} \sigma^2 \right) t \right)^2}{2\sigma^2 t} \right).$$

GBM के प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन को प्राप्त करने के लिए, हमें PDF के समय विकास का मूल्यांकन करने के लिए फोकर-प्लैंक समीकरण का उपयोग करना चाहिए:


 * $${\partial p\over{\partial t}} + {\partial\over{\partial S}}[\mu(t,S)p(t,S)] = {1\over{2}}{\partial^{2}\over{\partial S^{2}}}[\sigma^{2}(t,S)p(t,S)], \quad p(0,S) = \delta(S)$$

कहाँ $$\delta(S)$$ डिराक डेल्टा समारोह है। संगणना को सरल बनाने के लिए, हम एक लघुगणक परिवर्तन प्रस्तुत कर सकते हैं $$x = \log (S/S_{0})$$, GBM के रूप में अग्रणी:


 * $$dx = \left(\mu - {1\over{2}}\sigma^{2}\right)dt + \sigma dW$$

तब पीडीएफ के विकास के लिए समतुल्य फोकर-प्लैंक समीकरण बन जाता है:


 * $${\partial p\over{\partial t}} + \left(\mu - {1\over{2}}\sigma^{2}\right){\partial p\over{\partial x}} = {1\over{2}}\sigma^{2}{\partial^{2}p\over{\partial x^{2}}}, \quad p(0,x) = \delta(x) $$

परिभाषित करना $$V=\mu-\sigma^{2}/2$$ और $$D=\sigma^{2}/2$$. नए चरों को पेश करके $$\xi = x-Vt$$ और $$\tau = Dt$$, फोकर-प्लैंक समीकरण में डेरिवेटिव को इस रूप में रूपांतरित किया जा सकता है:


 * $$\begin{aligned}\partial_{t}p &= D\partial_{\tau}p - V\partial_{\xi}p \\ \partial_{x}p &= \partial_{\xi}p \\ \partial_{x}^{2}p &= \partial_{\xi}^{2}p \end{aligned}$$

फोकर-प्लैंक समीकरण के नए रूप की ओर अग्रसर:


 * $${\partial p\over{\partial\tau}} = {\partial^{2}p\over{\partial \xi^{2}}}, \quad p(0,\xi) = \delta(\xi)$$

हालाँकि, यह ऊष्मा समीकरण का विहित रूप है। जिसमें ऊष्मा गिरी द्वारा दिया गया घोल है:


 * $$p(\tau,\xi) = {1\over{\sqrt{4\pi \tau}}}\exp\left(-{\xi^{2}\over{4\tau}} \right)$$

मूल चरों को जोड़ने से GBM के लिए PDF प्राप्त होता है:


 * $$p(t,S) = {1\over{S\sqrt{2\pi \sigma^{2}t}}}\exp\left\{-{\left[\log(S/S_{0})-\left( \mu - {1\over{2}}\sigma^{2}\right)t \right]^{2}\over{2\sigma^{2}t}} \right\}$$

GBM के और गुणों को प्राप्त करते समय, SDE का उपयोग किया जा सकता है जिसका GBM समाधान है, या ऊपर दिए गए स्पष्ट समाधान का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, स्टोकेस्टिक प्रोसेस लॉग पर विचार करें (St). यह एक दिलचस्प प्रक्रिया है, क्योंकि ब्लैक-स्कोल्स मॉडल में यह स्टॉक मूल्य के लॉग वापसी से संबंधित है। f(S) = log(S) के साथ इटो के लेम्मा का उपयोग करना देता है

\begin{alignat}{2} d\log(S) & = f'(S)\,dS + \frac{1}{2} f'' (S)S^2\sigma^2 \, dt \\[6pt] & = \frac{1}{S} \left( \sigma S\,dW_t + \mu S\,dt\right) - \frac{1}{2}\sigma^2\,dt \\[6pt] &= \sigma\,dW_t +(\mu-\sigma^2/2)\,dt. \end{alignat} $$ यह इस प्रकार है कि $$\operatorname{E} \log(S_t)=\log(S_0)+(\mu-\sigma^2/2)t$$.

यह परिणाम GBM के स्पष्ट समाधान के लघुगणक को लागू करके भी प्राप्त किया जा सकता है:

\begin{alignat}{2} \log(S_t) &=\log\left(S_0\exp\left(\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2} \right)t + \sigma W_t\right)\right)\\[6pt] & =\log(S_0) +\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2} \right)t + \sigma W_t. \end{alignat} $$ उम्मीद लेने से ऊपर जैसा ही परिणाम मिलता है: $$\operatorname{E} \log(S_t)=\log(S_0)+(\mu-\sigma^2/2)t $$.

बहुभिन्नरूपी संस्करण
जीबीएम को उस मामले में बढ़ाया जा सकता है जहां कई सहसंबद्ध मूल्य पथ हैं।

प्रत्येक मूल्य पथ अंतर्निहित प्रक्रिया का अनुसरण करता है


 * $$dS_t^i = \mu_i S_t^i\,dt + \sigma_i S_t^i\,dW_t^i,$$

जहां वीनर प्रक्रियाएं सहसंबद्ध हैं $$ \operatorname{E}(dW_{t}^i \,dW_{t}^j) = \rho_{i,j} \, dt$$ कहाँ $$\rho_{i,i} = 1$$.

बहुभिन्नरूपी मामले के लिए, इसका तात्पर्य है
 * $$\operatorname{Cov}(S_t^i, S_t^j) = S_0^i S_0^j e^{(\mu_i + \mu_j) t }\left(e^{\rho_{i,j} \sigma_i \sigma_j t}-1\right).$$

वित्त में प्रयोग करें
ब्लैक-स्कोल्स मॉडल में स्टॉक की कीमतों को मॉडल करने के लिए ज्यामितीय ब्राउनियन गति का उपयोग किया जाता है और यह स्टॉक मूल्य व्यवहार का सबसे व्यापक रूप से इस्तेमाल किया जाने वाला मॉडल है। मॉडल स्टॉक की कीमतों के लिए GBM का उपयोग करने के कुछ तर्क हैं:
 * GBM का अपेक्षित प्रतिफल प्रक्रिया के मूल्य (स्टॉक मूल्य) से स्वतंत्र है, जो वास्तविकता में हमारी अपेक्षा से सहमत है। *GBM प्रक्रिया वास्तविक स्टॉक कीमतों की तरह ही केवल सकारात्मक मान लेती है।
 * GBM प्रक्रिया अपने रास्तों में उसी तरह का 'खुरदरापन' दिखाती है जैसा कि हम वास्तविक स्टॉक कीमतों में देखते हैं।
 * GBM प्रक्रियाओं के साथ गणना करना अपेक्षाकृत आसान है।

हालाँकि, GBM पूरी तरह से यथार्थवादी मॉडल नहीं है, विशेष रूप से यह निम्नलिखित बिंदुओं में वास्तविकता से कम है:
 * वास्तविक स्टॉक कीमतों में, समय के साथ अस्थिरता में परिवर्तन होता है (संभवतः स्टोकेस्टिक अस्थिरता), लेकिन GBM में, अस्थिरता को स्थिर माना जाता है।
 * वास्तविक जीवन में, स्टॉक की कीमतें अक्सर अप्रत्याशित घटनाओं या समाचारों के कारण उछाल दिखाती हैं, लेकिन GBM में, पथ निरंतर (कोई अनिरंतरता नहीं) है।

मॉडलिंग स्टॉक की कीमतों के अलावा, ज्यामितीय ब्राउनियन गति ने व्यापारिक रणनीतियों की निगरानी में भी आवेदन पाया है।

एक्सटेंशन
GBM को स्टॉक की कीमतों के लिए एक मॉडल के रूप में अधिक यथार्थवादी बनाने के प्रयास में, कोई इस धारणा को छोड़ सकता है कि अस्थिरता ($$\sigma$$) स्थिर है। यदि हम मानते हैं कि अस्थिरता शेयर की कीमत और समय का एक नियतात्मक कार्य है, तो इसे स्थानीय अस्थिरता मॉडल कहा जाता है। यदि इसके बजाय हम मानते हैं कि अस्थिरता की अपनी यादृच्छिकता होती है - जिसे अक्सर एक अलग ब्राउनियन मोशन द्वारा संचालित एक अलग समीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है - मॉडल को स्टोकेस्टिक अस्थिरता मॉडल कहा जाता है।

यह भी देखें

 * भूरी सतह

बाहरी संबंध

 * Geometric Brownian motion models for stock movement except in rare events.
 * Excel Simulation of a Geometric Brownian Motion to simulate Stock Prices
 * Non-Newtonian calculus website
 * Trading Strategy Monitoring: Modeling the PnL as a Geometric Brownian Motion
 * Trading Strategy Monitoring: Modeling the PnL as a Geometric Brownian Motion