प्रायोगिक अनिश्चितता विश्लेषण

प्रायोगिक अनिश्चितता विश्लेषण एक ऐसी तकनीक है जो एक व्युत्पन्न मात्रा का विश्लेषण करती है प्रयोगात्मक रूप से मापी गई मात्राओं में अनिश्चितताओं के आधार पर जो उस व्युत्पन्न मात्रा की गणना करने के लिए गणितीय संबंध ("मॉडल") के किसी रूप में उपयोग की जाती है। माप को व्युत्पन्न मात्रा में परिवर्तित करने के लिए उपयोग किया जाने वाला मॉडल सामान्यतः विज्ञान या अभियांत्रिकी अनुशासन के मूलभूत सिद्धांतों पर आधारित होता है।

अनिश्चितता के दो घटक होते हैं, अर्थात् पूर्वाग्रह (परिशुद्धता से संबंधित) और अपरिहार्य यादृच्छिक भिन्नता जो बार-बार माप (परिशुद्धता से संबंधित) करते समय होती है। मापी गई मात्राओं में पूर्वाग्रह हो सकते हैं, और उनमें निश्चित रूप से यादृच्छिक भिन्नता होती है इसलिए जिस पर ध्यान देने की आवश्यकता होती है वह यह है कि व्युत्पन्न मात्रा की अनिश्चितता में इन्हें "प्रचारित" कैसे किया जाता है। अनिश्चितता विश्लेषण को प्रायः "त्रुटि का प्रसार" कहा जाता है।

परिचय
उदाहरण के लिए, एक पूर्वस्नातक भौतिकी प्रयोगशाला प्रयोग का एक प्रयोगात्मक अनिश्चितता विश्लेषण जिसमें एक लोलक स्थानीय गुरुत्वाकर्षण त्वरण निरंतर G के मान का अनुमान लगाया जा सकता है। प्रासंगिक समीकरण एक आदर्श सरल पेंडुलम के लिए, लगभग है,



T\,=\,2\,\pi \,\sqrt \,\,\left[ {1\,\,\, + \,\,\,{1 \over 4}\sin ^2 \left(  \right)\,} \right]{\mathbf{\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(1)}}$$ जहाँ T दोलन की आवृत्ति (सेकंड) है, L लंबाई (मीटर) है, और θ प्रारंभिक कोण है। चूंकि θ इस प्रणाली का एकल समय-निर्भर समन्वय है, इसलिए θ का उपयोग करना बेहतर हो सकता है0प्रारंभिक (प्रारंभिक) विस्थापन (ज्यामिति) कोण को निरूपित करने के लिए, लेकिन यह अंकन के लिए सबस्क्रिप्ट को छोड़ना अधिक सुविधाजनक होगा। स्थिरांक g के लिए समीकरण (1) को हल करने पर,



\hat g\, = \,{{4\,\pi ^2 L} \over {T^2 }}\,\,\left[ {\,1\,\,\, + \,\,\,{1 \over 4}\sin ^2 \left( \right)\,} \right]^2{\mathbf{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(2)}}$$ प्रेक्षित डेटा से जी का अनुमान लगाने के लिए उपयोग किया जाने वाला यह समीकरण या मॉडल है। इस तथ्य से जी के अनुमान में कुछ मामूली पूर्वाग्रह पेश किए जाएंगे कि ब्रैकेट में शब्द केवल टेलर श्रृंखला की पहली दो शर्तें हैं, लेकिन व्यावहारिक प्रयोगों में इस पूर्वाग्रह को अनदेखा किया जा सकता है और अनदेखा किया जाएगा।

प्रक्रिया पेंडुलम की लंबाई एल को मापने के लिए है और फिर अवधि टी के दोहराए गए मापों को हर बार एक ही प्रारंभिक विस्थापन कोण θ से पेंडुलम गति शुरू करने के लिए है। टी के प्रतिकृति माप औसत हैं और फिर जी का अनुमान प्राप्त करने के लिए ईक (2) में उपयोग किया जाता है। समीकरण (2) मापा मात्रा एल, टी, और θ से व्युत्पन्न मात्रा जी तक प्राप्त करने का साधन है।

ध्यान दें कि एक वैकल्पिक दृष्टिकोण सभी व्यक्तिगत टी मापों को ईक (2) का उपयोग करके जी के अनुमानों में परिवर्तित करना होगा, और फिर अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए उन जी मूल्यों को औसत करना होगा। मशीनीकृत कंप्यूटिंग क्षमता (यानी, कंप्यूटर या कैलकुलेटर) के बिना यह व्यावहारिक नहीं होगा, क्योंकि कई टी मापों के लिए ईक्यू (2) का मूल्यांकन करने में संख्यात्मक गणना की मात्रा थकाऊ और गलतियों की संभावना होगी।

परिचय
ऐसी तीन मात्राएँ हैं जिन्हें मापा जाना चाहिए: (1) पेंडुलम की लंबाई, इसके निलंबन बिंदु से "बॉब" के द्रव्यमान के केंद्र तक; (2) दोलन की अवधि; (3) प्रारंभिक विस्थापन कोण। इस प्रयोग में लंबाई को तय माना गया है, और इसे एक बार मापा जाना है, हालांकि बार-बार माप किए जा सकते हैं, और परिणाम औसत हैं।

अवधि टी के प्रत्येक प्रतिकृति माप के लिए प्रारंभिक विस्थापन कोण निर्धारित किया जाना चाहिए, और इस कोण को स्थिर माना जाता है। प्राय: प्रारंभिक कोण को छोटा रखा जाता है (लगभग 10 डिग्री से कम) ताकि इस कोण के लिए सुधार को नगण्य माना जाए; यानी, Eq (2) में कोष्ठक में शब्द को एकता के रूप में लिया जाता है। यहां अध्ययन किए गए प्रयोग के लिए, हालांकि, यह सुधार रुचि का है, ताकि एक सामान्य प्रारंभिक विस्थापन मान 30 से 45 डिग्री तक हो सकता है।

मान लीजिए कि यह मामला था, छात्रों के लिए अज्ञात, कि लंबाई माप 5 मिमी से बहुत छोटा था। यह एक दोषपूर्ण माप उपकरण (उदाहरण के लिए एक मीटर स्टिक) के कारण हो सकता है, या, अधिक संभावना है, एल को मापने में उस उपकरण के उपयोग में एक व्यवस्थित त्रुटि। यह तब हो सकता है जब छात्र द्रव्यमान के केंद्र को मापना भूल जाते हैं। बॉब, और इसके बजाय लगातार उस बिंदु पर मापा जाता है जहां स्ट्रिंग उससे जुड़ी होती है। इस प्रकार, यह त्रुटि यादृच्छिक नहीं है; यह हर बार होता है जब लंबाई मापी जाती है।

अगला, दोलन टी की अवधि एक व्यवस्थित त्रुटि से ग्रस्त हो सकती है, उदाहरण के लिए, छात्रों ने चक्रों की एक पूर्णांक संख्या प्राप्त करने के लिए लगातार पेंडुलम के आगे-पीछे की गति को गलत माना। (अक्सर प्रायोगिक प्रक्रिया कई चक्रों के समय की मांग करती है, उदाहरण के लिए, पांच या दस, केवल एक नहीं।) या शायद उनके द्वारा उपयोग की जाने वाली डिजिटल स्टॉपवॉच में एक इलेक्ट्रॉनिक समस्या थी, और लगातार 0.02 सेकंड तक बहुत बड़ा मान पढ़ा। निश्चित रूप से यादृच्छिक समय परिवर्तन भी होंगे; उस मुद्दे को बाद में संबोधित किया जाएगा। पेंडुलम के दोलन की अवधि के माप में एक सुसंगत, व्यवस्थित, गैर-यादृच्छिक त्रुटि यहाँ चिंता का विषय है।

अंत में, प्रारंभिक कोण को एक साधारण प्रोट्रैक्टर से मापा जा सकता है। प्रारंभिक कोण को उच्च सटीकता (या उस मामले के लिए सटीक, इस माप के लिए खराब पुनरुत्पादन) के साथ प्रारंभिक कोण को स्थिति और पढ़ना मुश्किल है। मान लें कि छात्र लगातार चांदा की स्थिति को गलत स्थिति में रखते हैं ताकि पढ़ने वाला कोण 5 डिग्री से बहुत छोटा हो। फिर सभी प्रारंभिक कोण माप इस राशि से पक्षपाती हैं।

संवेदनशीलता त्रुटियाँ
हालांकि, प्रयोग के दौरान पूर्वाग्रहों का पता नहीं चलता है। उदाहरण के लिए, यदि यह ज्ञात था कि लंबाई की माप 5 मिमी कम थी, तो छात्र या तो अपनी माप की गलती को सुधार सकते हैं या पूर्वाग्रह को दूर करने के लिए अपने डेटा में 5 मिमी जोड़ सकते हैं। बल्कि, प्रयोग किए जाने से पहले गैर-यादृच्छिक, व्यवस्थित त्रुटि संभावनाओं के प्रभावों का अध्ययन करना अधिक महत्वपूर्ण है। यह संवेदनशीलता विश्लेषण का एक रूप है।

विचार यह है कि व्युत्पन्न मात्रा में अंतर, या भिन्नात्मक आवेश का अनुमान लगाया जाए, यहाँ जी, यह देखते हुए कि मापी गई मात्राएँ कुछ दी गई राशि से पक्षपाती हैं। उदाहरण के लिए, यदि प्रारंभिक कोण लगातार 5 डिग्री कम था, तो इसका अनुमानित g पर क्या प्रभाव पड़ेगा? यदि लंबाई लगातार 5 मिमी कम है, तो जी के अनुमान में क्या परिवर्तन है? यदि अवधि माप लगातार 0.02 सेकेंड से बहुत लंबा है, अनुमानित जी कितना बदलता है? जी के अनुमान का क्या होता है यदि ये पूर्वाग्रह विभिन्न संयोजनों में होते हैं?

इन सवालों की खोज का एक कारण यह है कि प्रायोगिक डिजाइन, इस अर्थ में कि किस उपकरण और प्रक्रिया का उपयोग किया जाना है (प्रयोगों का डिजाइन नहीं; जिसे बाद में संबोधित किया जाएगा), मापी गई मात्राओं में व्यवस्थित त्रुटियों के सापेक्ष प्रभाव पर निर्भर करता है। यदि प्रारंभिक कोण में 5 डिग्री पूर्वाग्रह जी के अनुमान में अस्वीकार्य परिवर्तन का कारण बनता है, तो शायद इस माप के लिए एक अधिक विस्तृत और सटीक विधि तैयार की जानी चाहिए। दूसरी ओर, यदि प्रयोग किए जाने से पहले यह दिखाया जा सकता है कि इस कोण का g पर नगण्य प्रभाव पड़ता है, तो चाँदे का उपयोग करना स्वीकार्य है।

संवेदनशीलता विश्लेषण के इस रूप के लिए एक और प्रेरणा प्रयोग किए जाने के बाद होती है, और डेटा विश्लेषण जी के अनुमान में पूर्वाग्रह दिखाता है। जी में परिवर्तन की जांच करना जो कि कई इनपुट पैरामीटर, यानी मापी गई मात्राओं में पक्षपात से उत्पन्न हो सकता है, जी के अनुमान में पूर्वाग्रह के कारण क्या हो सकता है, इसके बारे में जानकारी दे सकता है। यह विश्लेषण ऐसी समस्याओं को अलग करने में मदद कर सकता है जैसे माप की गलतियाँ, उपकरण के साथ समस्याएँ, मॉडल के बारे में गलत धारणाएँ, आदि।

पूर्वाग्रह की प्रत्यक्ष (सटीक) गणना
सबसे सीधा, स्पष्ट नहीं कहने के लिए, इस तक पहुंचने का तरीका सीधे ईक (2) का उपयोग करके परिवर्तन की गणना करना होगा, एक बार सैद्धांतिक पक्षपातपूर्ण मूल्यों के साथ और फिर सही, निष्पक्ष, पैरामीटर के मूल्यों के साथ:



\Delta \hat g\,\,\, = \,\,\,\,\hat g\left( {L + \Delta L,\,\,\,T + \Delta T,\,\,\,\theta + \Delta \theta } \right)\,\,\, - \,\,\,\hat g\left( {L,\,\,T,\,\,\theta } \right){\mathbf{\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(3)}}$$ जहां ΔL आदि संबंधित मापी गई मात्राओं में पूर्वाग्रहों का प्रतिनिधित्व करते हैं। (जी से अधिक कैरेट का अर्थ है जी का अनुमानित मूल्य।) इसे और अधिक ठोस बनाने के लिए, 30 डिग्री के प्रारंभिक विस्थापन कोण के साथ 0.5 मीटर लंबाई के एक आदर्श पेंडुलम पर विचार करें; Eq (1) से अवधि तब 1.443 सेकंड होगी। मान लें कि L, θ, और T के लिए पूर्वाग्रह क्रमशः −5 मिमी, −5 डिग्री और +0.02 सेकंड हैं। फिर, पहले केवल लंबाई बायस ΔL पर विचार करते हुए,



\Delta \hat g\,\,\, = \,\,\,\hat g\left( {0.495,\,\,\,1.443,\,\,\,30} \right)\,\,\, - \,\,\,\hat g\left( {0.500,\,\,1.443,\,\,30} \right)\,\,\, = \,\,\, - 0.098{\rm\,\,\,m/s^2}$$ और इसके लिए और अन्य माप पैरामीटर टी और θ जी में परिवर्तन #Results तालिका में दर्ज किए गए हैं।

संवेदनशीलता विश्लेषण में परिवर्तनों को अंशों (या प्रतिशत) के रूप में व्यक्त करना आम बात है। फिर जी में सटीक भिन्नात्मक परिवर्तन है



{{\Delta \hat g} \over {\hat g}}\,\,\, = \,\,\,\,{{\hat g\left( {L + \Delta L,\,\,\,T + \Delta T,\,\,\,\theta + \Delta \theta } \right)\,\,\, - \,\,\,\hat g\left( {L,\,\,T,\,\,\theta } \right)} \over {\hat g\left( {L,\,\,T,\,\,\theta } \right)}}{\mathbf{\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(4)}}$$ पेंडुलम प्रणाली के उदाहरण के लिए इन गणनाओं के परिणाम तालिका 1 में संक्षेपित हैं।

रैखिक सन्निकटन; परिचय
इसके बाद, मान लीजिए कि इनपुट, मापा पैरामीटर (एल, टी, θ) पर व्युत्पन्न मात्रा (जी) की निर्भरता खोजने के लिए प्रत्यक्ष दृष्टिकोण का उपयोग करना अव्यावहारिक है। क्या कोई वैकल्पिक तरीका है? कलन से, कुल व्युत्पन्न की अवधारणा यहाँ उपयोगी है:



dz = {{\partial z} \over {\partial x_1 }}dx_1 \,\,\, + \,\,\,{{\partial z} \over {\partial x_2 }}dx_2 \,\,\, + \,\,\,{{\partial z} \over {\partial x_3 }}dx_3 \,\,\, + \,\,\, \cdots \,\,\,\,\, = \,\,\,\sum\limits_{i\,\, = \,\,1}^p {\,{{\partial z} \over {\partial x_i }}dx_i }{\mathbf{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(5)}}$$ जहाँ z अनेक (p) चर x का कोई फलन है। प्रतीक ∂z / ∂x1 z को प्रभावित करने वाले कई चर x में से एक के संबंध में फलन z के आंशिक व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व करता है। वर्तमान उद्देश्य के लिए, इस व्युत्पत्ति को खोजने में उस चर के अतिरिक्त अन्य सभी चरों को स्थिर रखना सम्मिलित है, जिसके संबंध में आंशिक पाया जा रहा है और फिर सामान्य तरीके से पहला व्युत्पन्न खोजना (जो और प्रायः श्रृंखला नियम को सम्मिलित करता है) ऐसे फलनों में जिनमें कोण सम्मिलित होते हैं जैसा कि समीकरण (2) करता है, कोणों को कांति में मापा जाना चाहिए। समीकरण (5) एक रैखिक कार्य है जो रैखिक सन्निकटन है, उदाहरण के लिए, दो आयामों में एक वक्र (p=1) उस वक्र पर एक बिंदु पर एक स्पर्श रेखा द्वारा या तीन आयामों में (p=2) यह एक सतह का अनुमान लगाता है उस सतह पर एक बिंदु पर स्पर्शरेखा तल का विचार यह है कि एक विशिष्ट बिंदु के निकट के क्षेत्र में z में कुल परिवर्तन समीकरण (5) से पाया जाता है। व्यवहार में, अंतरों के अतिरिक्त परिमित अंतरों का उपयोग किया जाता है, ताकि



\Delta z \approx {{\partial z} \over {\partial x_1 }}\Delta x_1 \,\,\, + \,\,\,{{\partial z} \over {\partial x_2 }}\Delta x_2 \,\,\, + \,\,\,{{\partial z} \over {\partial x_3 }}\Delta x_3 \,\,\, + \,\,\, \cdots \,\,\,\,\, = \,\,\,\sum\limits_{i\,\, = \,\,1}^p {\,{{\partial z} \over {\partial x_i }}\Delta x_i }{\mathbf{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(6)}}$$ यह तब तक बहुत अच्छी तरह से कार्य करता है जब तक वेतन वृद्धि Δx पर्याप्त रूप से कम है। अत्यधिक घूर्णन फलन भी एक छोटे पर्याप्त क्षेत्र में लगभग रेखीय होते हैं। आंशिक परिवर्तन तब है:



{{\Delta z} \over z}\,\,\, \approx \,\,\,{1 \over z}\,\,\sum\limits_{i\,\, = \,\,1}^p {\,{{\partial z} \over {\partial x_i }}\Delta x_i }{\mathbf{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(7)}}$$ समीकरण (6) को लिखने का एक वैकल्पिक उपयोगी तरीका सदिश-आव्यूह औपचारिकता का उपयोग करता है:

\Delta z\,\, \approx \,\, \begin{pmatrix} {\partial z \over \partial x_1} & {\partial z \over \partial x_2} & {\partial z \over \partial x_3}  &  \cdots  & {\partial z \over \partial x_p}  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {\Delta x_1 } \\ {\Delta x_2} \\ {\Delta x_3} \\ {\vdots}    \\ {\Delta x_p} \end{pmatrix} {\mathbf{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(8)}}$$ इन आंशिक समाकलन के अनुप्रयोगों में, ध्यान दें कि वे ऐसे कार्य हैं जिनका मानांकन एक बिंदु पर किया जाता है अर्थात, आंशिक समीकरण में दिखाई देने वाले सभी पैरामीटर में संख्यात्मक मान होंगे। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, समीकरण (8) में सदिश गुणनफल का परिणाम एकल संख्यात्मक मान होगा। पूर्वाग्रह अध्ययनों के लिए, आंशिकों समीकरणों में उपयोग किए जाने वाले मान सही पैरामीटर मान हैं, क्योंकि हम इन वास्तविक मानों के पास एक छोटे से क्षेत्र में फलन z का अनुमान लगा रहे हैं।

रैखिक सन्निकटन पूर्ण परिवर्तन उदाहरण
लोलक उदाहरण पर वापस और इन समीकरणों को प्रयुक्त करने पर, G के अनुमान में पूर्ण परिवर्तन होता है:



\Delta \hat g\,\, \approx \,\,{{\partial \hat g} \over {\partial L}}\Delta L\,\,\, + \,\,\,{{\partial \hat g} \over {\partial T}}\Delta T\,\,\, + \,\,\,{{\partial \hat g} \over {\partial \theta }}\Delta \theta{\mathbf{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(9)}}$$ और अब कार्य इस समीकरण में आंशिक अवकलज ज्ञात करना है। यह परिभाषित करने की प्रक्रिया को अपेक्षाकृत सरल करता है:



\alpha (\theta )\,\, \equiv \,\,\left[ {\,1\,\,\, + \,\,\,{1 \over 4}\sin ^2 \left( \right)\,} \right]^2$$ समीकरण (2) को फिर से लिखना और आंशिक मान



\begin{align} \hat g &= {{4\pi ^2 L} \over {T^2 }}\alpha (\theta ) \\ \\ {{\partial \hat g} \over {\partial L}}\,\, &= \,\,\,{{4\,\pi ^2 } \over {T^2 }}\alpha (\theta )\\ \\ {{\partial \hat g} \over {\partial T}}\,\, &= \,\,{{- 8\,L\,\pi ^2 } \over {T^3 }}\alpha (\theta )\\ \\ {{\partial \hat g} \over {\partial \theta }}\,\, &= \,\,{{L\,\pi ^2 } \over {T^2 }}\,\,\sqrt {\alpha (\theta )} \,\,\sin (\theta ) \\ \\ {\mathbf{\,\,\,\,Eq(10)}} \end{align} $$ इन व्युत्पन्न को समीकरण (9) में प्रयुक्त करना,



\Delta \hat g\,\,\, \approx \,\,\,\left[ {{{4\,\pi ^2 } \over {T^2 }}\alpha (\theta )} \right]\,\Delta L\,\,\,\,\, + \,\,\,\,\,\,\left[ {{{ - 8\,L\,\pi ^2 } \over {T^3 }}\alpha (\theta )} \right]\Delta T\,\,\, + \,\,\,\,\left[ {{{L\,\pi ^2 } \over {T^2 }}\,\,\sqrt {\alpha (\theta )} \,\,\sin (\theta )} \right]\Delta \theta{\mathbf{\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(11)}}$$ और फिर मापदंडों और उनके पूर्वाग्रहों के लिए समान संख्यात्मक मान प्रयुक्त करने से पहले, तालिका 1 में परिणाम प्राप्त होते हैं। समीकरण (3) का उपयोग करके पाए गए मानों के अपेक्षाकृत निकट हैं, लेकिन L को छोड़कर प्रयुक्त नहीं हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि g में परिवर्तन L के साथ रैखिक है, जिसे इस तथ्य से घटाया जा सकता है कि (w.r.t.) के संबंध में आंशिक एल एल पर निर्भर नहीं करता है। इस प्रकार रैखिक सन्निकटन L के लिए उपयुक्त हो जाता है। आंशिक w.r.t. θ अधिक समिश्र है और श्रृंखला नियम को α पर प्रयुक्त करने का परिणाम है। साथ ही, समीकरण (9) में समीकरण (10) का उपयोग करते समय ध्यान दें कि Δθ सहित कोण के माप को डिग्री से रेडियन में परिवर्तित किया जाना आवश्यक हैं।

रैखिक सन्निकटन आंशिक परिवर्तन उदाहरण
G के अनुमान में रेखीयकृत-सन्निकटन भिन्नात्मक आवेश है, समीकरण (7) को लोलक उदाहरण पर प्रयुक्त करना,


 * $${{\Delta \hat g} \over {\hat g}}\,\,\,\, \approx \,\,\,\,{1 \over {\hat g}}\,\,{{\partial \hat g} \over {\partial L}}\Delta L\,\,\, + \,\,\,\,{1 \over {\hat g}}\,\,{{\partial \hat g} \over {\partial T}}\Delta T\,\,\, + \,\,\,\,{1 \over {\hat g}}\,\,{{\partial \hat g} \over {\partial \theta }}\Delta \theta$$

जो बहुत जटिल दिखता है, लेकिन गणित में यह सामान्यतः भिन्नात्मक परिवर्तन के लिए एक सरल संबंध में परिणत होता है। इस प्रकार,



{{\Delta \hat g} \over {\hat g}}\,\,\, \approx \,\,\,\left[ \right]\,\Delta L\,\,\,\,\, + \,\,\,\,\,\,\left[  \right]\Delta T\,\,\, + \,\,\,\,\left[  \right]\Delta \theta$$ जो अपेक्षाकृत कम हो जाता है



{{\Delta \hat g} \over {\hat g}}\,\,\, \approx \,\,\,{{\Delta L} \over L}\,\,\, - \,\,\,2\,\,{{\Delta T} \over T}\,\,\, + \,\,\,{{\sin (\theta )} \over {4\,\sqrt {\alpha (\theta )} }}\Delta \theta$$ यह, अंतिम समय को छोड़कर, उल्लेखनीय रूप से सरल परिणाम है। अंतिम पद को θ में एक श्रृंखला के रूप में विस्तारित करने पर,



{{\sin (\theta )} \over {4\left[ {1\,\,\, + \,\,\,{1 \over 4}\sin ^2 \left( \right)} \right]}}\,\,\, \approx \,\,\,{\theta  \over 4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{\theta  \over 4}\,\,\Delta \theta \,\,\, = \,\,\,{{\theta ^2 } \over 4}{{\Delta \theta } \over \theta }$$ इसलिए G के अनुमान में भिन्नात्मक परिवर्तन के लिए रैखिक सन्निकटन का परिणाम है:



{{\Delta \hat g} \over {\hat g}}\,\,\, \approx \,\,\,{{\Delta L} \over L}\,\,\,\,\, - \,\,\,2\,\,{{\Delta T} \over T}\,\,\,\,\, + \,\,\,\,\,\left( \right)^2 {{\Delta \theta } \over \theta }{\mathbf{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(12)}}$$ यह याद करते हुए कि कोण रेडियन माप में हैं, और उदाहरण में उपयोग किया जा रहा मान 30 डिग्री है, यह लगभग 0.524 रेडियन है; θ में आंशिक परिवर्तन के गुणांक के रूप में आधा और चुकता कहते हैं, यह गुणांक लगभग 0.07 है। समीकरण (12) से यह आसानी से निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि सबसे कम प्रभावशाली पैरामीटर टी, एल, θ हैं। इसे कहने का दूसरा तरीका यह है कि व्युत्पन्न मात्रा g, L या θ की तुलना में मापी गई मात्रा T के प्रति अधिक संवेदनशील है। उदाहरण के संख्यात्मक मानों को प्रतिस्थापित करते हुए, परिणाम तालिका 1 में दर्शाए गए हैं, और समीकरण (4) का उपयोग करने वालों के साथ यथोचित रूप से सहमत हैं।

समीकरण (12) का रूप सामान्यतः एक संवेदनशीलता विश्लेषण का लक्ष्य होता है, क्योंकि यह सामान्य है, अर्थात, पैरामीटर मानों के एक विशिष्ट सेट से बंधा नहीं है, जैसा कि समीकरण (3) या (की प्रत्यक्ष-गणना विधि के मामले में था) 4), और यह मूल रूप से निरीक्षण से स्पष्ट है कि कौन से मापदंडों का सबसे अधिक प्रभाव पड़ता है, यदि उनकी व्यवस्थित त्रुटियां हैं। उदाहरण के लिए, यदि लंबाई माप एल दस प्रतिशत अधिक था, तो G का अनुमान भी दस प्रतिशत अधिक होगा। यदि अवधि टी को 20 प्रतिशत से कम करके आंका गया था, तो G के अनुमान को 40 प्रतिशत से अधिक अनुमानित किया जाएगा (टी अवधि के लिए ऋणात्मक चिह्न पर ध्यान दें)। यदि प्रारंभिक कोण θ को दस प्रतिशत से अधिक अनुमानित किया गया था, तो G का अनुमान लगभग 0.7 प्रतिशत अधिक होगा।

प्रयोग के बाद के आंकड़ा विश्लेषण में यह जानकारी बहुत मानवान है, यह पता लगाने के लिए कि कौन से मापों ने समग्र परिणाम (जी का अनुमान) में देखे गए पूर्वाग्रह में योगदान दिया हो सकता है। उदाहरण के लिए, कोण को जल्दी से G में पूर्वाग्रह के एकमात्र स्रोत के रूप में समाप्त किया जा सकता है, कहते हैं, 10 प्रतिशत। कोण को लगभग 140 प्रतिशत की त्रुटि की आवश्यकता होगी, जो कि, उम्मीद की जा सकती है, शारीरिक रूप से प्रशंसनीय नहीं है।

परिणाम तालिका
 तालिका 1. पूर्वाग्रह गणना के लिए संख्यात्मक परिणाम, लोलक उदाहरण (G अनुमान m/s2)



परिचय
इसके बाद, इस तथ्य पर विचार करें कि, जब छात्र बार-बार लोलक की दोलन अवधि को मापते हैं, तो वे प्रत्येक माप के लिए अलग-अलग मान प्राप्त करेंगे। ये उतार-चढ़ाव यादृच्छिक हैं- स्टॉपवॉच के संचालन में प्रतिक्रिया समय में छोटे अंतर, अनुमान लगाने में अंतर कि लोलक अपनी अधिकतम कोणीय यात्रा पर पहुंच गया है, और आगे; ये सभी चीजें मापी गई मात्रा में भिन्नता उत्पन्न करने के लिए परस्पर क्रिया करती हैं। यह पूर्वाग्रह नहीं है जिस पर ऊपर चर्चा की गई थी, जहां स्टॉपवॉच रीडिंग और वास्तविक अवधि टी के बीच 0.02 सेकंड की विसंगति मानी गई थी। पूर्वाग्रह एक निश्चित, स्थिर मान है; यादृच्छिक भिन्नता बस यही है यादृच्छिक भिन्नता का अनुमान नहीं लगाया जा सकता है, लेकिन वे कुछ नियमों का अनुसरण करते हैं और उन नियमों को सामान्यतः एक गणितीय निर्माण द्वारा संक्षेपित किया जाता है जिसे संभाव्यता घनत्व फलन (पीडीएफ) कहा जाता है। बदले में, इस फलन में कुछ पैरामीटर होते हैं जो देखे गए मापों की भिन्नता का वर्णन करने में बहुत उपयोगी होते हैं। ऐसे दो पैरामीटर पीडीएफ का माध्य और विचरण हैं। अनिवार्य रूप से, औसत वास्तविक संख्या रेखा पर पीडीएफ का स्थान है, और विचरण पीडीएफ के फैलाव या चौड़ाई का विवरण है।

वर्णन करने के लिए, गैलरी तथाकथित सामान्य वितरण को दिखाती है, जिसे लोलक प्रयोग में देखी गई समय अवधि का वितरण माना जाएगा। पल के लिए माप में सभी पूर्वाग्रहों को अनदेखा करते हुए, इस पीडीएफ का मतलब 0.5 मीटर आदर्शित लोलक के लिए टी के सही मान पर होगा, जिसका प्रारंभिक कोण 30 डिग्री है, अर्थात ईक (1), 1.443 से सेकंड आंकड़े में हिस्टोग्राम में 10000 अनुरूपित माप हैं (जो वितरण आकार दिखाने के लिए आंकड़ा को छोटी चौड़ाई के डिब्बे में सॉर्ट करता है), और सामान्य पीडीएफ ठोस रेखा है ऊर्ध्वाधर रेखा माध्य है।

यादृच्छिक उतार-चढ़ाव के साथ दिलचस्प मुद्दा विचरण है। विचरण के धनात्मक वर्गमूल को मानक विचलन के रूप में परिभाषित किया गया है, और यह पीडीएफ की चौड़ाई का एक माप है; अन्य उपाय भी हैं, लेकिन मानक विचलन, जिसे ग्रीक अक्षर σ सिग्मा द्वारा दर्शाया गया है, अब तक सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। इस अनुकरण के लिए, T के मापन के लिए 0.03 सेकंड के सिग्मा का उपयोग किया गया था L और θ के मापन ने नगण्य परिवर्तनशीलता है।

चित्र में एक- दो- और तीन-सिग्मा की चौड़ाई को संकेत के साथ खड़ी बिन्दु रेखाओं द्वारा दर्शाया गया है। यह देखा गया है कि माध्य के दोनों ओर तीन-सिग्मा चौड़ाई में सामान्य पीडीएफ के लिए लगभग सभी आंकड़ा होते हैं। देखे गए समय मानों की सीमा लगभग 1.35 से 1.55 सेकंड तक है, लेकिन इनमें से अधिकांश समय माप अंतराल से कम अंतराल में आते हैं।

व्युत्पन्न-मात्रा पीडीएफ

 * 1) चित्रा गैलरी लोलक अवधि टी के कई दोहराए गए मापों के लिए माप परिणाम दिखाती है। मान लीजिए कि इन मापों का उपयोग किया गया था, एक समय में, ईक (2) में G का अनुमान लगाने के लिए। उन G अनुमानों का पीडीएफ क्या होगा? उस पीडीएफ के होने से, g अनुमानों का माध्य और विचरण क्या हैं? यह उत्तर देने के लिए एक सरल प्रश्न नहीं है, इसलिए क्या होता है यह देखने के लिए एक अनुकरण सबसे अच्छा तरीका होगा। चित्रा 2 में फिर से T के 10000 माप हैं, जो तब G अनुमान लगाने के लिए ईक (2) में उपयोग किए जाते हैं, और उन 10000 अनुमानों को हिस्टोग्राम में रखा जाता है। माध्य 9.8 m/s2 के g के ज्ञात मान के साथ (ऊर्ध्वाधर काली रेखा) अपेक्षाकृत रूप से सहमत है।

रूपांतरित आंकड़ा के वास्तविक पीडीएफ को प्राप्त करना कभी-कभी संभव होता है। लोलक उदाहरण में, समय माप T, समीकरण (2) में हैं, चुकता और कुछ कारकों में विभाजित हैं जिन्हें अब स्थिर माना जा सकता है। यादृच्छिक चर के रूपांतरण के लिए नियमों का उपयोग करना यह दिखाया जा सकता है कि यदि टी माप सामान्य रूप से वितरित किए जाते हैं, जैसा कि चित्र 1 में है, तो G के अनुमान दूसरे (जटिल) वितरण का पालन करते हैं जो विश्लेषणात्मक रूप से प्राप्त किए जा सकते हैं। उस जी-पीडीएफ को हिस्टोग्राम (ब्लैक लाइन) के साथ प्लॉट किया गया है और आंकड़ा के साथ समझौता बहुत अच्छा है। चित्रा 2 में भी दिखाया गया है टी के पक्षपाती मानों के लिए एक जी-पीडीएफ वक्र (लाल धराशायी रेखा) है जो पूर्वाग्रह की पिछली चर्चा में उपयोग किया गया था। इस प्रकार बायस्ड-T g-पीडीएफ का माध्य 9.800 - 0.266 m/s पर है।undefined(तालिका 1 देखें)।

फिर से विचार करें, जैसा कि ऊपर एक फलन मे पूर्वाग्रह चर्चा में किया गया था।



z\,\,\, = \,\,\,f\left( {x_1 \,\,\,x_2 \,\,\,x_3 \,\,...\,\,\,x_p } \right)$$ जहाँ f की आवश्यकता नहीं है और प्रायः रैखिक नहीं होता है और x यादृच्छिक चर होते हैं जिन्हें सामान्य रूप से वितरित करने की आवश्यकता नहीं होती है, और जो सामान्य रूप से पारस्परिक रूप से सहसंबद्ध हो सकते हैं। एक प्रयोग के परिणामों का विश्लेषण करने में, व्युत्पन्न मात्रा z का माध्य और विचरण, जो एक यादृच्छिक चर होगा, रुचिकर है। इन्हें अपेक्षित मानों के रूप में परिभाषित किया गया है:



\mu _z \,\, = \,\,\,{\rm E}\,[z]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sigma _z^2 \,\,\, = \,\,\,{\rm E}\,\left[ {\left( {z\,\, - \,\,\mu _z } \right)^2 } \right]$$ यानी, उत्पत्ति के बारे में पीडीएफ का पहला क्षण (गणित), और व्युत्पन्न यादृच्छिक चर z के माध्य के बारे में पीडीएफ का दूसरा क्षण। इन अपेक्षित मानों को यहां पर विचार किए जा रहे निरंतर चर के लिए एक अभिन्न का उपयोग करके पाया जाता है। हालाँकि, इन इंटीग्रल्स का मानांकन करने के लिए व्युत्पन्न मात्रा z के पीडीएफ के लिए एक कार्यात्मक रूप की आवश्यकता होती है। यह नोट किया गया है कि
 * त्रुटि के अधीन चर के गैर-रैखिक फलनों की भिन्नता की सटीक गणना सामान्यतः महान गणितीय जटिलता की समस्या है। वास्तव में, गणितीय आँकड़ों का एक बड़ा हिस्सा ऐसे कार्यों के पूर्ण आवृत्ति वितरण पीडीएफ को प्राप्त करने की सामान्य समस्या से संबंधित है जिससे भिन्नता प्राप्त की जा सकती है।

वर्णन करने के लिए, इस प्रक्रिया का एक सरल उदाहरण व्युत्पन्न मात्रा z = x2 का माध्य और विचरण ज्ञात करना है, जहाँ मापी गई मात्रा x सामान्य रूप से माध्य μ और विचरण σ2 के साथ वितरित की जाती है। व्युत्पन्न मात्रा z में कुछ नया पीडीएफ होगा, जिसे प्रायिकता कलन के नियमों का उपयोग करके (कभी-कभी) पाया जा सकता है। ऐसे में इन नियमों का प्रयोग करके दिखाया जा सकता है कि z का पीडीएफ होगा



{\rm PDF}_z \,\,\, \sim \,\,\,{1 \over {2\sqrt z }}\,\,\,{1 \over {\sqrt {2\pi } \,\,\sigma }}\left[ {\exp \left( { - \,\,{{\left( {\sqrt z - \mu } \right)^2 } \over {2\,\sigma ^2 }}} \right)\,\,\, + \,\,\,\exp \left( { - \,\,{{\left( { - \sqrt z  - \mu } \right)^2 } \over {2\,\sigma ^2 }}} \right)} \right]$$ इसे शून्य से धनात्मक अनंत तक एकीकृत करने से एकता मिलती है, जो सत्यापित करती है कि यह एक पीडीएफ है। इसके बाद, व्युत्पन्न मात्रा z को चिह्नित करने के लिए, इस पीडीएफ के माध्य और प्रसरण की आवश्यकता है। माध्य और प्रसरण (वास्तव में, औसत वर्ग त्रुटि, एक भेद जो यहां पीछा नहीं किया जाएगा) अभिन्न से पाए जाते हैं



\mu _z \,\, = \,\,\,\int_{\,\,0}^{\,\,\infty } {z\,{\rm PDF}_z } \,dz\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sigma _z^2 \,\, = \,\,\int_{\,\,0}^{\,\,\infty } {\left( {z - \mu _z } \right)^2 \,} {\rm PDF}_z \,dz$$ यदि ये कार्य बिल्कुल भी पूर्ण हैं। जैसा कि इस स्थिति में होता है विश्लेषणात्मक परिणाम संभव हैं, और यह पाया गया है:



\mu _z = \mu ^2  + \,\,\sigma ^2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sigma _z^2 \,\, = \,\,2\,\sigma ^2 \left( {2\mu ^2  + \,\,\sigma ^2 } \right)$$ ये परिणाम सटीक हैं। ध्यान दें कि z का माध्य (अपेक्षित मान) वह नहीं है जिसकी तार्किक रूप से अपेक्षा की जा सकती है, अर्थात, केवल x के माध्य का वर्ग है इस प्रकार, यहां तक ​​​​कि सबसे सरल अरैखिक फलन का उपयोग करते हुए, एक यादृच्छिक चर का वर्ग, व्युत्पन्न मात्रा का माध्य और भिन्नता खोजने की प्रक्रिया कठिन है, और अधिक जटिल कार्यों के लिए यह कहना सुरक्षित है कि यह प्रक्रिया व्यावहारिक प्रयोगात्मक आंकड़ा विश्लेषण नहीं है।

जैसा कि इन अध्ययनों में अच्छा अभ्यास है, उपरोक्त परिणामों को अनुकरण के साथ जांचा जा सकता है। चित्रा 3 जेड के 10000 नमूनों का हिस्टोग्राम दिखाता है, ऊपर दिए गए पीडीएफ के साथ भी रेखांकन किया गया है समझौता उत्तम है। इस सिमुलेशन में x आंकड़ा का माध्य 10 और मानक विचलन 2 था। इस प्रकार z के लिए सहज अपेक्षित मान निश्चित रूप से 100 होगा। पक्षपाती माध्य ऊर्ध्वाधर रेखा μ के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति का उपयोग करके पाई जाती है। और यह देखे गए माध्य से अच्छी तरह सहमत है (अर्थात, आंकड़ा से गणना की गई; धराशायी खड़ी रेखा), और पक्षपाती माध्य 100 के अपेक्षित मान से ऊपर है। इस आंकड़े में दिखाया गया धराशायी वक्र एक सामान्य पीडीएफ है जिसे बाद में संबोधित किया जा सकता है

व्युत्पन्न-मात्रा माध्य और विचरण के लिए रैखिक सन्निकटन
यदि जैसा कि सामान्यतः होता है, व्युत्पन्न मात्रा का पीडीएफ नहीं मिला है, और यहां तक ​​​​कि अगर मापा मात्रा के पीडीएफ ज्ञात नहीं हैं, तो यह पता चलता है कि माध्य और भिन्नता का अनुमान लगाना अभी भी संभव है (और इस प्रकार मानक विचलन) व्युत्पन्न मात्रा का। यह तथाकथित अंतर विधि आगे वर्णित किया जाएगा। समीकरण (13) और (14) की व्युत्पत्ति के लिए, नीचे त्रुटि समीकरणों के प्रसार की #व्युत्पत्ति देखें।)

जैसा कि प्रयुक्त गणित में सामान्य है, जटिलता से बचने के लिए एक दृष्टिकोण दूसरे, सरल, कार्य के साथ एक फलन का अनुमान लगाना है और प्रायः यह निम्न-क्रम टेलर श्रृंखला विस्तार का उपयोग करके किया जाता है। इसे दिखाया जा सकता है कि, यदि फलन z को प्रत्येक p चर x के औसत मानों द्वारा परिभाषित बिंदु के बारे में प्रथम-क्रम विस्तार के साथ प्रतिस्थापित किया जाता है, तो रैखिककृत फलन का भिन्नता अनुमानित है:



\sigma _z^2 \,\,\, \approx \,\,\,\sum\limits_{i\, = \,1}^p {\,\sum\limits_{j\, = \,1}^p {\left( \right)} } \left(  \right)\sigma _{i,j}{\mathbf{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(13)}}$$ जहाँ σij दो चर xi और xj के सहप्रसरण का प्रतिनिधित्व करता है। दोहरे योग को i और j के सभी संयोजनों पर लिया जाता है, इस समझ के साथ कि एक चर का स्वयं के साथ सहसंयोजक उस चर का विचरण है, अर्थात, σii = σi2। साथ ही, सहप्रसरण सममित हैं, ताकि σij = σji हो। फिर से, जैसा कि पूर्वाग्रह की गणना की स्थिति में था, आंशिक डेरिवेटिव का मूल्यांकन एक विशिष्ट बिंदु पर किया जाता है, इस मामले में, प्रत्येक स्वतंत्र चर के औसत (औसत) मान या अन्य सर्वोत्तम अनुमान पर ध्यान दें कि यदि f रैखिक है, और केवल तब, समीकरण (13) सटीक है।

व्युत्पन्न पीडीएफ का अपेक्षित मान (माध्य) अनुमानित किया जा सकता है, उस मामले के लिए जहां Z एक या दो मापा चर का एक फलन है:

\mu _z \,\, \approx \,\,z\left( {\mu _1 ,\mu _2 } \right)\,\,\, + \,\,\,{1 \over 2}\left\{ {\,{{\partial ^2 z} \over {\partial x_1^2 }}\sigma _1^2 \,\,\, + \,\,\,{{\partial ^2 z} \over {\partial x_2^2 }}\sigma _2^2 } \right\}\,\,\, + \,\,\,{{\partial z^2 } \over {\partial x_1\,\partial x_2}}\sigma _{12}{\mathbf{\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(14)}}$$ जहां आंशिकों का मानांकन संबंधित माप चर के माध्य पर किया जाता है। (दो से अधिक इनपुट चर के लिए यह समीकरण विस्तारित है, जिसमें विभिन्न मिश्रित आंशिक सम्मिलित हैं।)

Z = x2 के सरल उदाहरण की स्थिति पर वापस माध्य द्वारा अनुमानित है



\mu _z \,\, \approx \,\,\mu ^2 \,\, + \,\,\,{1 \over 2}\,\,\sigma ^2 \,\,{{\partial ^2 z} \over {\partial x^2 }}\,\,\, = \,\,\,\mu ^2 + \,\,\,{1 \over 2}\,\,\sigma ^2 \,\,\left[ 2 \right]\,\,\,\, = \,\,\,\mu ^2  + \,\sigma ^2$$ जो इस विशेष स्थिति में सटीक परिणाम के समान है। विचरण के लिए (वास्तव में MSe),



\sigma _z^2 \approx \left(  \right)^2 \sigma ^2 \,\, = \,\,4\,x^2 \,\sigma ^2 \,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,4\left( {\mu ^2} \right)\sigma ^2  = \,\,\,\,4\,\mu ^2 \sigma ^2 $$ जो केवल अंतिम पद की अनुपस्थिति से भिन्न होता है जो सटीक परिणाम में था चूंकि σ μ की तुलना में छोटा होना चाहिए, यह एक प्रमुख मुद्दा नहीं होना चाहिए।

चित्रा 3 में दिखाया गया है कि एक सामान्य पीडीएफ (धराशायी रेखाएं) इन अनुमानों से माध्य और भिन्नता के साथ है। सामान्य पीडीएफ विशेष रूप से कम अंत में इस व्युत्पन्न आंकड़ा का विशेष रूप से अच्छी तरह से वर्णन नहीं करता है। इस सिमुलेशन में या ऊपर के भावों में x मानों के ज्ञात माध्य (10) और विचरण (4) को प्रतिस्थापित करते हुए, यह देखा गया है कि अनुमानित (1600) और सटीक (1632) प्रसरण केवल थोड़ा (2%) भिन्न होते हैं।

विचरण सन्निकटन का आव्यूह प्रारूप
त्रुटि विचरण समीकरण के तथाकथित प्रसार को लिखने का एक अधिक सुरुचिपूर्ण तरीका आव्यूह (गणित) का उपयोग करना है। पहले आंशिक डेरिवेटिव के एक सदिश को परिभाषित करें, जैसा कि ऊपर समीकरण (8) में प्रयुक्त किया गया था:



\boldsymbol{\gamma}^T \equiv \begin{pmatrix} {\partial z \over \partial x_1} & {\partial z \over \partial x_2} & {\partial z \over \partial x_3} & \cdots  & {\partial z \over \partial x_p } \end{pmatrix}$$ जहां सुपरस्क्रिप्ट T आव्यूह परिवर्त को दर्शाता है फिर सहप्रसरण आव्यूह को परिभाषित करें



\mathbf{C}\,\, \equiv \, \begin{pmatrix} {\sigma _1^2 } & {\sigma _{12}} & {\sigma _{13}} &  \cdots  & {\sigma _{1p} }  \\ {\sigma _{21}} & {\sigma _2^2} & {\sigma _{23}} &  \cdots  & {\sigma _{2p} }  \\ {\sigma _{31}} & {\sigma _{32}} & {\sigma _3^2 } & \cdots  & {\sigma _{3p} }  \\ \vdots &  \vdots  &  \vdots  &   \ddots   &   \vdots    \\ {\sigma _{p1} } & {\sigma _{p2} } & {\sigma _{p3} } & \cdots  & {\sigma _p^2 } \end{pmatrix}$$ त्रुटि सन्निकटन का प्रसार तब संक्षिप्त रूप से द्विघात रूप में लिखा जा सकता है:



\sigma _z^2 \,\, \approx \,\,\boldsymbol{\gamma}^T \,\mathbf{C}\,\,\boldsymbol{\gamma} {\mathbf{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(15)}}$$ यदि पी चर के बीच सहसंबंध सभी शून्य हैं, जैसा कि प्रायः माना जाता है, तो सहप्रसरण आव्यूह 'सी' विकर्ण हो जाता है, जिसमें मुख्य विकर्ण के साथ अलग-अलग भिन्नताएं होती हैं। बिंदु पर फिर से जोर देने के लिए, सदिश 'γ' में आंशिक सभी का मानांकन एक विशिष्ट बिंदु पर किया जाता है, ताकि समीकरण (15) एकल संख्यात्मक परिणाम देता है।

p = 2 के लिए समीकरण (13) या (15) का उपयोग करके प्रसरण के व्यंजक को विस्तार से लिखना उपयोगी होगा।



\sigma _z^2 \,\,\, \approx \,\,\,\left( \right)\left(  \right)\sigma _{11} \,\,\, + \,\,\,\left(  \right)\left(  \right)\sigma _{22} \,\,\, + \,\,\,\left(  \right)\left(  \right)\sigma _{12} \,\,\, + \,\,\,\,\left(  \right)\left(  \right)\sigma _{21}$$ जो कि पिछले दो पदों के बाद से एक ही फलन है:



\sigma _z^2 \,\,\, \approx \,\,\,\left( \right)^2 \sigma _1^2 \,\,\, + \,\,\,\left(  \right)^2 \sigma _2^2 \,\,\, + \,\,\,2\left(  \right)\left(  \right)\,\,\sigma _{12}$$

रैखिक सन्निकटन: विचरण के लिए सरल उदाहरण
अधिक सम्मिलित लोलक उदाहरण पर लौटने से पहले अपेक्षाकृत सरल बीजगणितीय उदाहरण पर विचार करें।

माना कि



z\,\, = \,\,x^2 \,y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{\partial z} \over {\partial x}}\,\, = \,\,2x\,y\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{\partial z} \over {\partial y}}\,\, = \,\,x^2$$ ताकि



\sigma _z^2 \,\,\, \approx \,\,\,\left( {2\,x\,y} \right)^2 \sigma _x^2 \,\,\, + \,\,\,\left( {x^2 } \right)^2 \sigma _y^2 \,\,\, + \,\,\,2\left( {2\,x\,y} \right)\left( {x^2 } \right)\sigma _{x,y} $$ यह व्यंजक इस रूप में रह सकता है, लेकिन इसे z2 से विभाजित करना सामान्य है चूंकि इससे कई कारक रद्द हो जाएंगे, और अधिक उपयोगी परिणाम भी उत्पन्न होंगे:



{{\sigma _z^2 \,} \over {z^2 }}\,\, \approx \,\,\,{{\left( {2xy} \right)^2 } \over {\left( {x^2 y} \right)^2 }}\sigma _x^2 \,\,\, + \,\,\,{{\left( {x^2 } \right)^2 } \over {\left( {x^2 y} \right)^2 }}\sigma _y^2 \,\,\, + \,\,\,{{2\left( {2xy} \right)\left( {x^2 } \right)} \over {\left( {x^2 y} \right)^2 }}\sigma _{x,y}$$ जो कम हो जाता है



{{\sigma _z^2 } \over {z^2 }}\,\, \approx \,\,\,\left( \right)^2 \,\, + \,\,\,\,\left(  \right)^2 \, + \,\,\,4\left(  \right) $$ चूँकि z का मानक विचलन सामान्यतः रुचि का होता है, इसका अनुमान है



\hat \sigma _z \,\, \approx \,\,\bar z\,\,\sqrt {\,\,\left( \right)^2 \,\, + \,\,\,\,\left(  \right)^2 \, + \,\,\,4\left(  \right)}$$ जहाँ चरों के साधनों (औसत) के उपयोग को ओवरबार्स द्वारा इंगित किया जाता है, और कैरेट इंगित करते हैं कि घटक (सह) प्रसरणों का भी अनुमान लगाया जाना चाहिए, जब तक कि उनके बारे में कुछ ठोस प्राथमिक ज्ञान न हो। सामान्यतः ऐसा नहीं होता है, इसलिए अनुमानक



\hat \sigma _i \,\,\, = \,\,\,\sqrt \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\hat \sigma _{i,j} \,\,\, = \,\,\,\sqrt $$ प्रायः उपयोग किया जाता है, एन टिप्पणियों (माप) के आधार पर।

रैखिक सन्निकटन: लोलक उदाहरण, माध्य
सादगी के लिए, केवल मापे गए समय को एक यादृच्छिक चर के रूप में मानें, ताकि व्युत्पन्न मात्रा, G का अनुमान, के बराबर हो



\hat g = \,\,{k \over {T^2 }}$$ जहाँ k समीकरण (2) में उन कारकों को एकत्रित करता है जो फिलहाल स्थिर हैं। प्रायिकता कलन के नियमों को फिर से प्रयुक्त करते हुए, G के अनुमानों के लिए एक पीडीएफ निकाला जा सकता है (यह पीडीएफ चित्र 2 में चित्रित किया गया था)। इस मामले में, पहले प्रयुक्त किए गए उदाहरण के विपरीत, माध्य और विचरण विश्लेषणात्मक रूप से नहीं पाया जा सकता है इस प्रकार रैखिक सन्निकटन का उपयोग करने के अतिरिक्त कोई विकल्प नहीं है। माध्य के लिए, g के अनुमान के लिए सरलीकृत समीकरण के साथ, समीकरण (14) का उपयोग करके,



{{\partial \hat g} \over {\partial T}}\,\, = \,\,\,{{- 2k} \over {T^3 }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{\partial ^2 \hat g} \over {\partial T^2 }}\,\,\, = \,\,\, - 2\,k{{- 3} \over {T^4 }}\,\,\, = \,\,{{6\,k} \over {T^4 }}$$ तब अनुमानित G का अपेक्षित मान होगा



{\rm E}[\hat g]\,\,\, = \,\,\,{k \over {\mu _T^2}}\,\,\, + \,\,\,{1 \over 2}\left( \right)\sigma _T^2{\mathbf{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(16)}}$$ जहां, यदि लोलक अवधि का समय T निष्पक्ष है, तो पहला पद 9.80 m/s है, यह परिणाम कहता है कि अनुमानित G मानों का माध्य उच्च पक्षपाती है। इसे नीचे एक सिमुलेशन के साथ चेक किया जाएगा।

रैखिक सन्निकटन: लोलक उदाहरण, विचरण
इसके बाद, लोलक उदाहरण के लिए भिन्नता का अनुमान लगाने के लिए, चूंकि आंशिक डेरिवेटिव पहले से ही ईक (10) में पाए गए हैं, सभी चर समस्या पर वापस आ जाएंगे। आंशिक सदिश γ में जाते हैं। सामान्य अभ्यास का पालन करते हुए, विशेष रूप से यदि इसके विपरीत कोई सबूत नहीं है, तो यह माना जाता है कि सहप्रसरण सभी शून्य हैं, इसलिए C विकर्ण है। तब



\sigma _{\hat g}^2 \,\,\, \approx \,\,\,\, \begin{pmatrix} {{\partial \hat g} \over {\partial L}} & {{\partial \hat g} \over {\partial T}} & {{\partial \hat g} \over {\partial \theta }} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {\sigma _L^2 } & 0 & 0 \\ 0 & {\sigma _T^2 } & 0 \\ 0 & 0 & {\sigma _\theta ^2 } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \\    \\ \end{pmatrix}\,= \,\left( \right)^2 \sigma _L^2 \,\,\, + \,\,\,\left(  \right)^2 \sigma _T^2 \,\,\, + \,\,\,\left(  \right)^2 \sigma _\theta ^2 {\mathbf{\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(17)}}$$ समीकरण (13) का उपयोग करके समान परिणाम प्राप्त किया जाता है। इस बात पर जोर दिया जाना चाहिए कि ये सिग्मा ऐसे प्रसरण हैं जो L, T, और θ के मापन में यादृच्छिक भिन्नता का वर्णन करते हैं; उन्हें पहले प्रयुक्त किए गए पूर्वाग्रहों से भ्रमित नहीं होना चाहिए। प्रसरण (या मानक विचलन) और पूर्वाग्रह एक ही चीज़ नहीं हैं।

इस गणना को स्पष्ट करने के लिए, चित्र 2 से सिमुलेशन परिणामों पर विचार करें। यहां, केवल समय मापन को यादृच्छिक भिन्नता माना गया था, और इसके लिए मानक विचलन 0.03 सेकंड था। इस प्रकार, समीकरण (17) का उपयोग करके,



\sigma _{\hat g}^2 \,\,\, \approx \,\,\,\left( \right)^2 \sigma _T^2 \,\,\,\, = \,\,\,\left( {{{ - 8L\,\pi ^2 } \over {T^3 }}\alpha (\theta )} \right)^2 \sigma _T^2 $$ और, इस उदाहरण के लिए पहले निर्दिष्ट संख्यात्मक मानों का उपयोग करके,



\sigma _{\hat g}^2 \,\,\, \approx \,\,\,\left( {{{ - 8 \times 0.5 \times \pi ^2 } \over {1.443^3 }}1.0338} \right)^2 0.03^2 \,\, = \,\,0.166$$ जो अनुकार कार्यक्रम द्वारा गणना के अनुसार, 0.171 के देखे गए विचरण के अनुकूल है। (अनुमानित भिन्नताओं में काफी मात्रा में परिवर्तनशीलता है और इन मानों से सटीक रूप से सहमत होने की उम्मीद नहीं की जाएगी।) औसत मान के लिए, समीकरण (16) केवल लगभग 0.01 m/s का पूर्वाग्रह उत्पन्न करता है।2, जो चित्र 2 में दिखाई नहीं दे रहा है।

यह स्पष्ट करने के लिए कि माप चर में यादृच्छिक त्रुटि बढ़ने पर क्या होता है, चित्र 4 पर विचार करें, जहां समय मापन का मानक विचलन 0.15 s, या लगभग दस प्रतिशत तक बढ़ जाता है। अनुमानित g मानों के लिए पीडीएफ को भी रेखांकन किया गया है, जैसा कि चित्र 2 में था; ध्यान दें कि बड़े-समय-भिन्नता के मामले के लिए पीडीएफ तिरछा है, और अब पक्षपाती माध्य स्पष्ट रूप से देखा जाता है। अनुमानित (पक्षपाती) माध्य और आंकड़ा से सीधे देखे गए माध्य अच्छी तरह से सहमत हैं। धराशायी वक्र एक सामान्य पीडीएफ है जिसमें सन्निकटन से माध्य और विचरण होता है; यह विशेष रूप से अच्छी तरह से आंकड़ा का प्रतिनिधित्व नहीं करता है।

रैखिक सन्निकटन: लोलक उदाहरण, सापेक्ष त्रुटि (परिशुद्धता)
प्रसरण के बजाय, प्रायः एक अधिक उपयोगी माप मानक विचलन σ होता है, और जब इसे माध्य μ से विभाजित किया जाता है तो हमारे पास एक मात्रा होती है जिसे 'सापेक्ष त्रुटि', या 'भिन्नता का गुणांक' कहा जाता है। यह परिशुद्धता का एक उपाय है:



{\rm RE}_{\hat g} \equiv \,\,\,{{\sigma _{\hat g} } \over {\mu _{\hat g} }}\,\,\, = \,\,\,{{\sqrt {0.166} } \over {9.8}}\,\,\, = \,\,0.042$$ लोलक उदाहरण के लिए, यह 4 प्रतिशत से थोड़ा अधिक की शुद्धता देता है। पूर्वाग्रह के साथ, व्युत्पन्न मात्रा में सापेक्ष त्रुटि को मापी गई मात्रा में सापेक्ष त्रुटि से संबंधित करना उपयोगी होता है। ईक (17) को G के वर्ग से विभाजित करें:



{{\sigma _{\hat g}^2 \,} \over {\hat g^2 }}\,\,\, \approx \,\,\,{1 \over {\hat g^2 }}\,\left( \right)^2 \sigma _L^2 \,\,\, + \,\,\,\,{1 \over {\hat g^2 }}\,\left(  \right)^2 \sigma _T^2 \,\,\, + \,\,\,\,{1 \over {\hat g^2 }}\,\left(  \right)^2 \sigma _\theta ^2 $$ और देने के लिए आंशिक परिवर्तन पूर्वाग्रह गणना से प्राप्त परिणामों का उपयोग करें (समीकरण (12) की तुलना करें):



{{\sigma _{\hat g}^2 \,} \over {\hat g^2 }}\,\,\, \approx \,\,\,{{\sigma _L^2 \,} \over {L^2 }}\,\,\, + \,\,\,\,4{{\sigma _T^2 } \over {T^2 }}\,\,\, + \,\,\,\,\left( \right)^4 {{\sigma _\theta ^2 } \over {\theta ^2 }}$$ वर्गमूल लेने पर RE देता है:



RE_{\hat g} \,\, = \,\,{{\sigma _g \,} \over {\hat g}}\,\,\, \approx \,\,\,\sqrt {\,\,\left( \right)^2 \,\,\, + \,\,\,\,4\left(  \right)^2 \,\, + \,\,\,\,\left(  \right)^4 \left(  \right)^2 \,} {\mathbf{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(18)}}$$ उदाहरण के मामले में यह देता है



{\rm RE}_{\hat g} \,\,\, \approx \,\,\,2\,\,{{\sigma _T } \over T}\,\,\, = \,\,\,2{{0.03} \over {1.443}}\,\,\, = \,\,\,0.042$$ जो पहले प्राप्त आरई से सहमत है। समीकरण (17) जैसा संबंध प्राप्त करने के लिए गणित किए जाने के बाद, घटक (मापी गई) मात्राओं में सापेक्ष त्रुटियों का उपयोग करने वाली यह विधि सरल है। याद रखें कि समीकरण (17) में प्रयुक्त कोणों को रेडियन में व्यक्त किया जाना चाहिए।

यदि, जैसा कि प्रायः होता है, अनुमानित G के मानक विचलन की आवश्यकता स्वयं ही होनी चाहिए, यह ईक (18) की सरल पुनर्व्यवस्था द्वारा आसानी से प्राप्त किया जाता है। यह मानक विचलन सामान्यतः माध्य मान के बिंदु अनुमान के साथ उद्धृत किया जाता है: अनुकरण के लिए यह 9.81 ± 0.41 मी/सेकण्ड होगा, इस तरह से उद्धृत अंतरालों से क्या निष्कर्ष निकाला जाना है, इस पर बहुत सावधानी से विचार करने की आवश्यकता है। इस महत्वपूर्ण विषय की चर्चा इस लेख के दायरे से बाहर है, लेकिन इस मुद्दे को नैट्रेला की पुस्तक में कुछ विस्तार से संबोधित किया गया है।

रैखिक सन्निकटन: लोलक उदाहरण, सिमुलेशन चेक
सिमुलेशन का उपयोग करके अनिश्चितता गणनाओं की जांच करना अच्छा अभ्यास है। ये गणनाएँ बहुत जटिल हो सकती हैं और गलतियाँ आसानी से हो जाती हैं। उदाहरण के लिए, यह देखने के लिए कि क्या केवल कोण मापन के लिए सापेक्ष त्रुटि सही थी, एक सामान्य पीडीएफ से कोणों को औसत 30 डिग्री और मानक विचलन 5 डिग्री के साथ प्रतिरूप करने के लिए एक सिमुलेशन बनाया गया था; दोनों सिमुलेशन में रेडियन में परिवर्तित हो जाते हैं। कोण में सापेक्ष त्रुटि लगभग 17 प्रतिशत है। समीकरण (18) से अनुमानित g में सापेक्ष त्रुटि है, अन्य मापों को नगण्य भिन्नता पर रखते हुए,



{\rm RE}_{\hat g} \,\,\, \approx \,\,\,\left( \right)^2 {{\sigma _\theta  } \over \theta }\,\,\, = \,\,\,\left(  \right)^2 {{0.0873} \over {0.524}}\,\,\, \approx \,\,\,0.0114$$ सिमुलेशन G में देखी गई सापेक्ष त्रुटि को लगभग 0.011 दिखाता है, जो दर्शाता है कि कोण अनिश्चितता की गणना सही है। इस प्रकार, जैसा कि पूर्वाग्रह गणनाओं के साथ देखा गया था, प्रारंभिक कोण (17 प्रतिशत) में एक अपेक्षाकृत बड़ी यादृच्छिक भिन्नता G के अनुमान में केवल एक प्रतिशत सापेक्ष त्रुटि का कारण बनती है।

चित्रा 5 इन G अनुमानों के लिए हिस्टोग्राम दिखाता है। चूंकि कोण में सापेक्ष त्रुटि अपेक्षाकृत बड़ी थी, g अनुमानों का पीडीएफ तिरछा है (सामान्य नहीं, सममित नहीं), और माध्य थोड़ा पक्षपाती है। इस मामले में पीडीएफ ज्ञात नहीं है, लेकिन ईक (14) का उपयोग करके माध्य का अनुमान लगाया जा सकता है। समीकरण (2) के कोण वाले हिस्से के लिए दूसरा आंशिक, अन्य चरों को स्थिरांक के रूप में रखते हुए, k में एकत्रित, दिखाया जा सकता है



{{\partial ^2 \hat g} \over {\partial \theta ^2 }}\,\,\, = \,\,\,{k \over {32}}\left[ {9\cos \left( {\mu _\theta } \right)\,\,\, - \,\,\,\cos \left( {2\mu _\theta  } \right)} \right]$$ ताकि अपेक्षित मान हो



{\rm E}[\hat g]\,\,\, \approx \,\,\,\,k\alpha \left( {\mu _\theta } \right)\,\,\, + \,\,\,{1 \over 2}\,\,{k \over {32}}\left[ {9\cos \left( {\mu _\theta  } \right)\,\,\, - \,\,\,\cos \left( {2\mu _\theta  } \right)} \right]\sigma _\theta ^2$$ और बिंदीदार ऊर्ध्वाधर रेखा, जो इस समीकरण से उत्पन्न होती है, प्रेक्षित माध्य से सहमत होती है।

परिचय
परिचय में यह उल्लेख किया गया था कि लोलक के दोलन टी की अवधि के माप के एक सेट का विश्लेषण करने के दो तरीके हैं:


 * 'पद्धति 1': T के n मापों का औसत निकालें, अंतिम g अनुमान प्राप्त करने के लिए समीकरण (2) में उस माध्य का उपयोग करें;


 * 'विधि 2': g के n अनुमान प्राप्त करने के लिए, समीकरण (2) में T के सभी n अलग-अलग मापों का उपयोग करें, एक समय में एक, अंतिम g अनुमान प्राप्त करने के लिए उनका औसत करें।

यह सोचना उचित होगा कि ये एक ही चीज़ के बराबर होंगे, और यह कि एक विधि को दूसरे के ऊपर पसंद करने का कोई कारण नहीं है। हालाँकि, विधि 2 के परिणामस्वरूप एक पूर्वाग्रह होता है जिसे प्रतिरूप आकार बढ़ाकर नहीं हटाया जाता है। विधि 1 भी पक्षपाती है, लेकिन वह पूर्वाग्रह प्रतिरूप आकार के साथ घटता है। यह पूर्वाग्रह, दोनों मामलों में, विशेष रूप से बड़ा नहीं है, और इसे पहले खंड में चर्चा की गई पूर्वाग्रह से भ्रमित नहीं होना चाहिए। माप प्रक्रिया में एक व्यवस्थित त्रुटि से प्रकार I पूर्वाग्रह परिणाम क्या कहा जा सकता है; प्रकार II पूर्वाग्रह परिणाम एक गैर-रैखिक मॉडल के माध्यम से माप यादृच्छिक चर के परिवर्तन से होता है; यहाँ, समीकरण (2).

प्रकार II पूर्वाग्रह समीकरण (14) में पहले के बाद की शर्तों की विशेषता है। जैसा कि चित्र 4 में सिमुलेशन के लिए गणना की गई थी, मापा समय (0.03 एस) में उचित परिवर्तनशीलता के लिए अनुमानित G में पूर्वाग्रह ईक (16) से प्राप्त किया गया था और केवल 0.01 एम/एस के बारे में था 2। समीकरण (16) के पूर्वाग्रह भाग (दूसरा पद) को पुनर्व्यवस्थित करना, और पूर्वाग्रह के लिए β का उपयोग करना,



\beta \,\,\, \approx \,\,\,{{3\,k} \over {\mu _T^2 }}\,\left( \right)^2 \,\,\, \approx \,\,\,30\,\,\left(  \right)^2 {\mathbf{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(19)}}$$ उदाहरण लोलक पैरामीटर का उपयोग करना। इससे यह देखा जाता है कि अवधि टी में सापेक्ष त्रुटि के वर्ग के रूप में पूर्वाग्रह भिन्न होता है; एक बड़ी सापेक्ष त्रुटि के लिए, लगभग दस प्रतिशत, बायस लगभग 0.32 मी/से है2, जो अधिक चिंता का विषय है।

प्रतिरूप आकार
यहाँ क्या गायब है, और पूर्व की सभी सामग्री में जानबूझकर टाला गया है, इन गणनाओं पर प्रतिरूप आकार का प्रभाव है। मापों की संख्या n अब तक किसी भी समीकरण में प्रकट नहीं हुई है। स्पष्ट रूप से, सभी विश्लेषण विधि 2 दृष्टिकोण के लिए किया गया है, एक समय में एक माप (उदाहरण के लिए, टी का) लेना, और G का अनुमान प्राप्त करने के लिए ईक (2) के माध्यम से इसे संसाधित करना।

ऊपर विकसित विभिन्न समीकरणों का उपयोग करने के लिए, उन समीकरणों में दिखाई देने वाले कई मापदंडों के माध्य और भिन्नता के लिए मानों की आवश्यकता होती है। व्यावहारिक प्रयोगों में, इन मानों का अनुमान देखे गए आंकड़ा, यानी माप से लगाया जाएगा। इन मापों को समीकरणों में उपयोग करने के लिए अनुमानित माध्य मानों का उत्पादन करने के लिए औसत किया जाता है, उदाहरण के लिए, आंशिक व्युत्पन्न के मानांकन के लिए इस प्रकार, ब्याज का विचरण माध्य का विचरण है, न कि जनसंख्या का, और इसलिए, उदाहरण के लिए,



\sigma _{\hat g}^2 \,\,\, \approx \,\,\,\left( \right)^2 \sigma _T^2 \,\,\,\, = \,\,\,\left( {{{ - 8L\,\pi ^2 } \over {T^3 }}\alpha (\theta )} \right)^2 \sigma _T^2 \,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\left( {{{ - 8\bar L\,\pi ^2 } \over {\bar T^3 }}\alpha (\bar \theta )} \right)^2 {{\sigma _T^2 } \over {n_T }}$$ जो इस तथ्य को दर्शाता है कि जैसे-जैसे T के मापों की संख्या बढ़ती है, T के माध्य मान का प्रसरण घटता जाएगा। टी माप में कुछ अंतर्निहित परिवर्तनशीलता है, और इसे स्थिर रहने के लिए माना जाता है, लेकिन औसत T की परिवर्तनशीलता n बढ़ने पर घट जाएगी। मापदंडों (माप) के बीच कोई सहप्रसरण नहीं मानते हुए, समीकरण (13) या (15) के विस्तार को फिर से कहा जा सकता है



\sigma _z^2 \,\,\, \approx \,\,\,\sum\limits_{i\,\, = \,\,1}^p {\,\left( \right)_{\bar x_i }^2 } \,\,{{\sigma _i^2 } \over {n_i }}$$ जहां n पर सबस्क्रिप्ट इस तथ्य को दर्शाता है कि माप की विभिन्न संख्याएं कई चरों पर की जा सकती हैं (उदाहरण के लिए, L के लिए 3, T के लिए 10, θ के लिए 5, आदि)

मापन की संख्या पर समग्र विचरण की इस निर्भरता का अर्थ है कि सांख्यिकीय प्रायोगिक डिजाइन का एक घटक इन प्रतिरूप आकारों को कुछ उचित सीमाओं के भीतर समग्र सापेक्ष त्रुटि (परिशुद्धता) रखने के लिए परिभाषित करना होगा। व्यक्तिगत माप की परिवर्तनशीलता का अनुमान लगाने के बाद, शायद एक पायलट अध्ययन से, यह अनुमान लगाना संभव होना चाहिए कि प्रतिरूप आकार (मापने के लिए प्रतिकृति की संख्या, उदाहरण के लिए, लोलक उदाहरण में टी) की आवश्यकता होती है।

विधि 2 के दृष्टिकोण में प्रकार II पूर्वाग्रह पर लौटते हुए, समीकरण (19) को अब अधिक सटीक रूप से फिर से कहा जा सकता है।



\beta \,\,\, \approx \,\,\,{{3\,k} \over {\mu _T^2 }}\,\left( \right)^2 \,\,\, \approx \,\,\,30\,\,\left(  \right)^2$$ जहाँ s, n का अनुमानित मानक विचलन है विधि 2 में, प्रत्येक व्यक्ति T माप का उपयोग g का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है, ताकि nT= 1 इस दृष्टिकोण के लिए। दूसरी ओर, विधि 1 के लिए, समीकरण (2) का उपयोग करने से पहले T माप पहले औसत किए जाते हैं, ताकि nT एक से बड़ा है। इस का अर्थ है कि



\beta _{\,\,1} \,\,\, \approx \,\,\,\,30\,\,\left( \right)^2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\beta _{\,\,2} \,\,\, \approx \,\,30\,\,\left(  \right)^2$$ जो कहता है कि विधि 2 का प्रकार II पूर्वाग्रह प्रतिदर्श आकार के साथ घटता नहीं है यह स्थिर है। दूसरी ओर, G के अनुमान का विचरण दोनों ही स्थिति में है



\sigma _{\hat g}^2 \,\,\, \approx \,\,\,\left( {{{ - 8\bar L\,\pi ^2 } \over {\bar T^3 }}\alpha (\bar \theta )} \right)^2 {{\sigma _T^2 } \over {n_T }}$$ क्योंकि दोनों विधियों में nTमाप का उपयोग औसत G अनुमान बनाने के लिए किया जाता है। इस प्रकार दोनों विधियों के लिए प्रतिरूप आकार के साथ भिन्नता घट जाती है।

इन प्रभावों को आंकड़े 6 और 7 में चित्रित किया गया है। चित्रा 6 में अलग-अलग प्रतिरूप आकारों के साथ टी माप में तुलनात्मक रूप से बड़ी सापेक्ष त्रुटि के लिए विधि 2 अनुमानित G की एक श्रृंखला पीडीएफ है। टी में सापेक्ष त्रुटि उचित से बड़ी हो सकती है ताकि पूर्वाग्रह का प्रभाव अधिक स्पष्ट रूप से देखा जा सके। आकृति में डॉट्स माध्य दिखाते हैं; पूर्वाग्रह स्पष्ट है, और यह $ n $ के साथ नहीं बदलता है। पीडीएफ का प्रसरण, या चौड़ाई n बढ़ने के साथ छोटा होता जाता है, और पीडीएफ भी अधिक सममित हो जाता है। चित्र 7 में विधि 1 के लिए पीडीएफ हैं, और यह देखा गया है कि साधन 9.8 m/s2 के सही g मान की ओर अभिसरण करते हैं जैसे-जैसे मापों की संख्या बढ़ती है, और प्रसरण भी घटता जाता है।

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि लोलक या अन्य आंकड़ा को संसाधित करने के लिए विधि 1 तरीका है।

चर्चा
प्रायोगिक मात्राओं के मापन में व्यवस्थित त्रुटियां व्युत्पन्न मात्रा में पूर्वाग्रह की ओर ले जाती हैं, जिसके परिमाण की गणना समीकरण (6) या समीकरण (7) का उपयोग करके की जाती है। हालाँकि, पूर्वाग्रह का एक अधिक सूक्ष्म रूप भी है जो तब भी हो सकता है जब इनपुट, मापी गई, मात्राएँ निष्पक्ष हों समीकरण (14) में पहले के बाद सभी शर्तें इस पूर्वाग्रह का प्रतिनिधित्व करती हैं। यह यादृच्छिक चरों के अरैखिक परिवर्तनों से उत्पन्न होता है जो प्रायः व्युत्पन्न मात्रा प्राप्त करने में प्रयुक्त होते हैं। परिवर्तन पूर्वाग्रह इसके माध्य की तुलना में मापी गई मात्रा के विचरण के सापेक्ष आकार से प्रभावित होता है। यह अनुपात जितना बड़ा होगा, व्युत्पन्न-मात्रा पीडीएफ उतनी ही तिर्यक हो सकती है, और उतना ही अधिक पक्षपात हो सकता है।

टेलर-श्रृंखला सन्निकटन उन मामलों के लिए पूर्वाग्रह और परिवर्तनशीलता दोनों का अनुमान लगाने के लिए एक बहुत ही उपयोगी तरीका प्रदान करता है जहां व्युत्पन्न मात्रा का पीडीएफ अज्ञात या अट्रैक्टिव है। माध्य का अनुमान समीकरण (14) और समीकरण (13) या समीकरण (15) का उपयोग करके लगाया जा सकता है। हालाँकि, ऐसी स्थितियाँ हैं, जिनमें यह प्रथम-क्रम टेलर श्रृंखला सन्निकटन दृष्टिकोण उपयुक्त नहीं है - विशेष रूप से यदि कोई घटक चर गायब हो सकता है। फिर, एक दूसरे क्रम का विस्तार उपयोगी होगा; मेयर देखें प्रासंगिक अभिव्यक्तियों के लिए प्रायोगिक डिजाइन में प्रतिरूप आकार एक महत्वपूर्ण विचार है। प्रतिरूप आकार के प्रभाव को स्पष्ट करने के लिए, समीकरण (18) को फिर से लिखा जा सकता है



RE_{\hat g} \,\, = \,\,{{\hat\sigma _g \,} \over {\hat g}}\,\,\, \approx \,\,\,\sqrt {\,\,\left( \right)^2 \,\,\, + \,\,\,\,4\left(  \right)^2 \,\, + \,\,\,\,\left(  \right)^4 \left(  \right)^2 \,}$$ जहां औसत मान (बार) और अनुमानित मानक विचलन दिखाए गए हैं, जैसा कि संबंधित प्रतिरूप आकार हैं। सिद्धांत रूप में, बहुत बड़े एन का उपयोग करके अनुमानित G के आरई को मनमाने ढंग से छोटे मान तक ले जाया जा सकता है। हालांकि, माप की अपेक्षाकृत कम संख्या के लिए प्रायः बाधाएं या व्यावहारिक कारण होते हैं।

विचरण और 'मीन-स्क्वेर्ड एरर' (MSe) के बीच के अंतर से संबंधित विवरण को छोड़ दिया गया है। अनिवार्य रूप से, एमएसई एक वितरण के सही (लेकिन अज्ञात) माध्य के बारे में परिवर्तनशीलता का अनुमान लगाता है। यह परिवर्तनशीलता (1) वास्तविक, प्रेक्षित माध्य के बारे में परिवर्तनशीलता, और (2) एक शब्द है जो इस बात का लेखा-जोखा रखता है कि प्रेक्षित माध्य सही माध्य से कितनी दूर है। इस प्रकार


 * $${\rm MSe}\,\,\, = \,\,\,\sigma ^2 + \,\,\,\beta ^2$$

जहां β पूर्वाग्रह (दूरी) है। यह यांत्रिकी से समांतर-अक्ष प्रमेय का एक सांख्यिकीय अनुप्रयोग है। संक्षेप में, अपेक्षित मान (माध्य) के लिए रैखिक सन्निकटन और एक गैर-रैखिक रूप से परिवर्तित यादृच्छिक चर का विचरण बहुत उपयोगी है, और इसके पीडीएफ को खोजने की अधिक जटिल प्रक्रिया और उसके पहले दो क्षणों की तुलना में प्रयुक्त करना बहुत सरल है। कई मामलों में, बाद वाला दृष्टिकोण बिल्कुल भी संभव नहीं है। रेखीयकृत सन्निकटन का गणित तुच्छ नहीं है, और यादृच्छिक चर के प्रायः सामने आने वाले कार्यों के लिए एकत्र किए गए परिणामों का उपयोग करके इसे टाला जा सकता है।

प्रक्रिया की रूपरेखा

 * 1) कई यादृच्छिक चर x के फलन z को देखते हुए, z का माध्य और विचरण मांगा जाता है।
 * 2) सीधा तरीका यह है कि z का पीडीएफ खोजा जाए और फिर उसका माध्य और विचरण खोजा जाए:



{\rm E}[z]\,\,\, = \,\,\,\int {z\,\,{\rm PDF}_z } \,\,dz\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm Var}[z]\,\, = \,\,\int {\left( {z - {\rm E}[z]} \right)^2 \,\,{\rm PDF}_z } \,\,dz$$ 3. पीडीएफ़ ढूँढना गैर-तुच्छ है, और कुछ मामलों में संभव भी नहीं हो सकता है, और सामान्य आंकड़ा विश्लेषण उद्देश्यों के लिए निश्चित रूप से एक व्यावहारिक तरीका नहीं है। भले ही पीडीएफ मिल जाए, क्षणों (ऊपर) को ढूंढना मुश्किल हो सकता है।

4. समाधान दूसरे क्रम की टेलर श्रृंखला में फलन z का विस्तार करना है; विस्तार कई चर x के माध्य मानों के आसपास किया जाता है। (सामान्यतः विस्तार पहले क्रम में किया जाता है; माध्य में पूर्वाग्रह खोजने के लिए दूसरे क्रम के शब्दों की आवश्यकता होती है। उन दूसरे क्रम के शब्दों को सामान्यतः विचरण करते समय छोड़ दिया जाता है; नीचे देखें)।

5. हाथ में विस्तार के साथ, अपेक्षित मान पाएं। यह z के माध्य के लिए एक सन्निकटन देगा, और इसमें ऐसे शब्द सम्मिलित होंगे जो किसी पूर्वाग्रह का प्रतिनिधित्व करते हैं। प्रभाव में विस्तार यादृच्छिक चर x को "पृथक" करता है ताकि उनकी अपेक्षाओं को पाया जा सके।

6. जेड के अपेक्षित मान के लिए अभिव्यक्ति होने पर, जिसमें आंशिक डेरिवेटिव सम्मिलित होंगे और यादृच्छिक चर एक्स के साधन और भिन्नताएं सम्मिलित होंगी, भिन्नता की अपेक्षा के लिए अभिव्यक्ति स्थापित करें:



{\rm Var}[z]\,\,\, \equiv \,\,{\rm E}\left[ {\left( {\,z\,\, - \,\,{\rm E}[z]\,} \right)^2 } \right] $$ अर्थात्, ( z − E[z] ) खोजें और शर्तों को इकट्ठा करने और सरल बनाने के लिए आवश्यक बीजगणित करें।

7. अधिकांश उद्देश्यों के लिए, केवल प्रथम-क्रम की शर्तों को रखना पर्याप्त है; उस मात्रा का वर्ग करें।

8. उस परिणाम का अपेक्षित मान ज्ञात कीजिए। यह z के विचरण का सन्निकटन होगा।

बहुभिन्नरूपी टेलर श्रृंखला
सन्निकटन में प्रयुक्त दूसरे क्रम के विस्तार के लिए यह मूलभूत संबंध है:
 * $$\begin{align}

z\left( {x_1 \,\,\,x_2 \, \cdots \,\,\,x_p } \right)\,\,\, \approx \,\,\,z\left( {\bar x_1 \,\,\,\bar x_2 \,\, \cdots \,\,\,\bar x_p } \right)\,\,\,\, + \,\,\,\,\sum\limits_{i\, = \,1}^p {\left. \right|} _{\bar x_i } \left( {x_i - \bar x_i } \right)\,\,\,\,\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+ \,\,\,\,{1 \over 2}\sum\limits_{i\, = \,1}^p {\sum\limits_{j\, = \,1}^p {\left. \right|} } _{\bar x_i ,\bar x_j } \left( {x_i - \bar x_i } \right)\left( {x_j  - \bar x_j } \right)\end{align}$$

उदाहरण विस्तार: P = 2
सांकेतिक अव्यवस्था को कम करने के लिए, मानांकन-पर-मतलब प्रतीकों को नहीं दिखाया गया है:


 * $$\begin{align}

& z\left( {x_1 \,\,x_2 } \right)\,\,\,\, \approx \,\,\,z\left( {\bar x_1 \,\,\bar x_2 } \right)\,\,\, + \,\,\,\,{{\partial z} \over {\partial x_1 }}\left( {x_1 - \,\,\bar x_1 } \right)\,\,\, + \,\,\,{{\partial z} \over {\partial x_2 }}\left( {x_2  - \,\,\bar x_2 } \right)\,\,\, \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \,\,\,{1 \over 2}{{\partial ^2 z} \over {\partial x_1 \partial x_2 }}\left( {x_1 - \,\,\bar x_1 } \right)\left( {x_2  - \,\,\bar x_2 } \right)\,\,\, + \,\,\,{1 \over 2}{{\partial ^2 z} \over {\partial x_2 \partial x_1 }}\left( {x_2  - \,\,\bar x_2 } \right)\left( {x_1  - \,\,\bar x_1 } \right)  \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \,\,\,{1 \over 2}{{\partial ^2 z} \over {\partial x_1 \partial x_1 }}\left( {x_1 - \,\,\bar x_1 } \right)\left( {x_1  - \,\,\bar x_1 } \right)\,\,\, + \,\,\,{1 \over 2}{{\partial ^2 z} \over {\partial x_2 \partial x_2 }}\left( {x_2  - \,\,\bar x_2 } \right)\left( {x_2  - \,\,\bar x_2 } \right)\end{align}$$ जो कम हो जाता है


 * $$\begin{align}

& z\left( {x_1 \,\,x_2 } \right)\,\,\,\, \approx \,\,\,z\left( {\bar x_1 \,\,\bar x_2 } \right)\,\,\, + \,\,\,\,{{\partial z} \over {\partial x_1 }}\left( {x_1 - \,\,\bar x_1 } \right)\,\,\, + \,\,\,{{\partial z} \over {\partial x_2 }}\left( {x_2  - \,\,\bar x_2 } \right)\,\,\, + \,\,\,{{\partial ^2 z} \over {\partial x_1 \partial x_2 }}\left( {x_1  - \,\,\bar x_1 } \right)\left( {x_2  - \,\,\bar x_2 } \right)  \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \,\,\,{1 \over 2}\,\,{{\partial ^2 z} \over {\partial x_1^2 }}\left( {x_1 - \,\,\bar x_1 } \right)^2 \,\,\, + \,\,\,\,{1 \over 2}\,\,{{\partial ^2 z} \over {\partial x_2^2 }}\left( {x_2  - \,\,\bar x_2 } \right)^2\end{align}$$

z के माध्य के लिए सन्निकटन
पिछले परिणाम का उपयोग करते हुए, अपेक्षित मान लें:



{\rm E}\left[ {z\left( {\bar x_1 \,\,\,\bar x_2 } \right)} \right]\,\,\, = \,\,\,z\left( {\mu _1 \,\,\,\mu _2 \,} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm E}\left[ {{{\partial z} \over {\partial x_1 }}\left( {x_1 - \,\,\bar x_1 } \right)} \right]\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\,{{\partial z} \over {\partial x_1 }}{\rm E}\left[ {\left( {x_1  - \,\,\bar x_1 } \right)} \right]\,\,\, = \,\,0$$ और इसी तरह x2 के लिए आंशिक अपेक्षाओं के बाहर आते हैं, क्योंकि संबंधित औसत मानों पर मानांकन किया जाता है, वे स्थिरांक होंगे। उपरोक्त शून्य परिणाम इस प्रकार है क्योंकि योग या अंतर का अपेक्षित मान अपेक्षित मानों का योग या अंतर है, ताकि किसी भी i के लिए



{\rm E}\left[ {x_i - \bar x_i } \right]\,\,\, = \,\,\,{\rm E}\left[ {x_i } \right]\,\,\, - \,\,\,{\rm E}\left[ {\bar x_i } \right]\,\,\, = \,\,\,\mu _i  - \,\,\mu _i \,\,\, = \,\,\,0$$



{\rm E}\left[ {{1 \over 2}{{\partial ^2 z} \over {\partial x_1 ^2 }}\left( {x_1 - \,\,\bar x_1 } \right)^2 } \right]\,\,\, = \,\,\,{1 \over 2}\,{{\partial ^2 z} \over {\partial x_1 ^2 }}\,{\rm E}\left[ {\left( {x_1  - \,\,\bar x_1 } \right)^2 } \right]\,\,\, = \,\,\,{1 \over 2}\,{{\partial ^2 z} \over {\partial x_1 ^2 }}\sigma _1^2$$ और इसी तरह x2 के लिए,



{\rm E}\left[ {{{\partial ^2 z} \over {\partial x_1 \partial x_2 }}\left( {x_1 - \,\,\bar x_1 } \right)\left( {x_2  - \,\,\bar x_2 } \right)} \right]\,\,\, = \,\,\,{{\partial ^2 z} \over {\partial x_1 \partial x_2 }}\,{\rm E}\left[ {\left( {x_1  - \,\,\bar x_1 } \right)\left( {x_2  - \,\,\bar x_2 } \right)} \right]\,\,\, = \,\,\,{{\partial ^2 z} \over {\partial x_1 \partial x_2 }}\sigma _{1,2} $$ जहां P1,2 x2 का सहप्रसरण है और x2 (यह प्रायः शून्य के रूप में लिया जाता है, सही है या नहीं।) फिर व्युत्पन्न यादृच्छिक चर z के माध्य के लिए सन्निकटन के लिए अभिव्यक्ति है:



{\rm E}[z] \approx \,\,\,z\left( {\mu _1 \,\,\mu _2 } \right)\,\,\, + \,\,\,{1 \over 2}\left\{ {{{\partial ^2 z} \over {\partial x_1^2 }}\,\,\sigma _1^2 \,\, + \,\,\,{{\partial ^2 z} \over {\partial x_2^2 }}\,\,\sigma _2^2 } \right\}\,\,\, + \,\,\,{{\partial ^2 z} \over {\partial x_1 \partial x_2 }}\,\,\sigma _{1,2}$$ जहाँ पहले के बाद के सभी पद z में बायस का प्रतिनिधित्व करते हैं। प्रसरण सन्निकटन को खोजने के लिए इस समीकरण की आवश्यकता है, लेकिन यह अपने आप में उपयोगी है; उल्लेखनीय रूप से, यह आंकड़ा विश्लेषण पर अधिकांश पाठों में प्रकट नहीं होता है।

विचरण की परिभाषा से, अगला कदम पहले पाए गए z के विस्तार से अपेक्षित मान घटाना होगा, जो अभी पाया गया है। इससे ये होता है



\begin{array}{l} \left( {z - {\rm E}[z]} \right)^2 \approx \,\,\,\left[ \begin{array}{l} \left\{ {\frac\left( {x_1 - \,\,\bar x_1 } \right)\,\, + \,\,\,\frac\left( {x_2  - \,\,\bar x_2 } \right)} \right\}\,\,\, +  \\ \,\,\,\frac\left[ {\left( {x_1 - \,\,\bar x_1 } \right)\left( {x_2  - \,\,\bar x_2 } \right)\,\, - \,\,\sigma _{1,2} } \right]\,\,\, +  \\ \,\,\,\frac{1}{2}\frac\left[ {\left( {x_1 - \,\,\bar x_1 } \right)^2  - \,\,\sigma _1^2 } \right]\,\,\, + \,\,\,\frac{1}{2}\frac\left[ {\left( {x_2  - \,\,\bar x_2 } \right)^2  - \,\,\sigma _2^2 } \right] \\ \end{array} \right]^2 \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\ \end{array}$$ स्पष्ट रूप से, दूसरे क्रम की शर्तों पर विचार करने से एक बहुत ही जटिल और अव्यावहारिक परिणाम सामने आने वाला है (हालांकि, यदि पहले क्रम की शर्तें गायब हो जाती हैं, तो उपरोक्त सभी शर्तों के उपयोग की आवश्यकता होती है (देखें मेयर, पृष्ठ 46)। इसलिए, केवल रैखिक शब्द (कोष्ठक में) और वर्ग लें:



\left( {z\,\, - \,\,{\rm E}[z]} \right)^2 \approx \,\,\,\left( {\frac} \right)^2 \left( {x_1  - \bar x_1 } \right)^2 \,\, + \,\,\,\,\left( {\frac} \right)^2 \left( {x_2  - \bar x_2 } \right)^2 \,\, + \,\,\,2\left( {\frac} \right)\left( {\frac} \right)\left( {x_1  - \bar x_1 } \right)\left( {x_2  - \bar x_2 } \right)$$ अंतिम चरण इसका अपेक्षित मान लेना है



\begin{array}{l} {\rm Var}[z]\,\, \equiv \,{\rm E}\left[ {\left( {z\,\, - \,\,{\rm E}[z]} \right)^2 } \right]\,\,\, \approx \,\,\,\left( {\frac} \right)^2 {\rm E}\left[ {\left( {x_1 - \bar x_1 } \right)^2 } \right]\,\, +  \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {\frac} \right)^2 {\rm E}\left[ {\left( {x_2 - \bar x_2 } \right)^2 } \right]\,\,\,\,\, + \,\,\,\,2\left( {\frac} \right)\left( {\frac} \right){\rm E}\left[ {\left( {x_1  - \bar x_1 } \right)\left( {x_2  - \bar x_2 } \right)} \right] \\ \end{array}$$ जो प्रसिद्ध परिणाम की ओर ले जाता है



{\rm Var}[z]\,\,\,\, \approx \,\,\,\left( {\frac} \right)^2 \sigma _1^2 \,\,\, + \,\,\,\,\left( {\frac} \right)^2 \sigma _2^2 \,\,\, + \,\,\,\,2\left( {\frac} \right)\left( {\frac} \right)\sigma _{1,2}$$ और यह त्रुटि सूत्र के सामान्य प्रसार के रूप में पी चर के लिए सामान्यीकृत है



{\rm Var}[z]\,\,\, \approx \,\,\,\sum\limits_{i = 1}^p {\sum\limits_{j = 1}^p {\left( {\frac} \right)} } \left( {\frac} \right)\sigma _{i,j} $$ इस समझ के साथ कि किसी चर का स्वयं के साथ सहप्रसरण ही उसका प्रसरण है। यह पहचानना आवश्यक है कि इन सभी आंशिक डेरिवेटिव का मानांकन संबंधित x चर के माध्य पर किया जाना है, और यह कि संगत प्रसरण उन साधनों के प्रसरण हैं। इसे सुदृढ़ करने के लिए,



{\rm E}[z] \approx \,\,\,z\left( {\bar x _1 \,\,\bar x _2 } \right)\,\,\, + \,\,\,\frac{1}{2}\left\{ {\left. {\frac} \right|_{\bar x_1 } \,\,{\sigma _1^2 \over n_1} \,\,\,\, + \,\,\,\,\,\left. {\frac} \right|_{\bar x_2 } \,{\sigma _2^2 \over n_2} } \right\}\,\,\, + \,\,\,\,\left. {\frac} \right|_{\bar x_1 ,\bar x_2 } \,\,{\sigma _{1,2} \over n_{1,2}}$$

{\rm Var}[z]\,\,\, \approx \,\,\,\sum\limits_{i = 1}^p {\,\sum\limits_{j = 1}^p {\,\left( {\frac} \right)_{\bar x_i } } } \left( {\frac} \right)_{\bar x_j } {\sigma _{i,j} \over n_{i,j}}$$

अविभाज्य स्थिति 1


z\,\, = \,\,a\,x^r \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\,\,\sim\,\,N\left( {\mu ,\,\,\sigma ^2 } \right)\,\,\,\,\,\,\,a,r\,\,{\rm constants}\,\,\,\,$$ टिप्पणियाँ: r पूर्णांक या भिन्नात्मक, धनात्मक या ऋणात्मक (या शून्य) हो सकता है। यदि r ऋणात्मक है, तो सुनिश्चित करें कि x की श्रेणी में शून्य सम्मिलित नहीं है। यदि r एक सम भाजक के साथ भिन्नात्मक है, तो सुनिश्चित करें कि x ऋणात्मक नहीं है। n प्रतिरूप आकार है। ये व्यंजक विधि 1 आंकड़ा विश्लेषण पर आधारित हैं, जहाँ x के देखे गए मानों को परिवर्तन से पहले औसत किया जाता है (अर्थात, इस स्थिति में, एक घात तक बढ़ाना और एक स्थिरांक से गुणा करना) प्रयुक्त किया जाता है।

'प्रकार I पूर्वाग्रह, निरपेक्ष........................................... ........................ समीकरण (1.1)'


 * $$\Delta z\,\, \approx \,\,a\,r\,\mu ^{r - 1} \,\Delta x$$

''प्रकार I बायस, आपेक्षिक (भिन्नात्मक)........................................ .................. समीकरण (1.2)''


 * $${{\Delta z} \over z}\,\,\, \approx \,\,\,r\,\,{{\Delta x} \over \mu }$$

''माध्य (अपेक्षित मान)........................................... ........................... समीकरण(1.3)''



{\rm E}[z]\,\,\, = \,\,\,\mu _z \approx \,\,a\mu ^r \,\,\, + \,\,\,{1 \over 2}a\,r\left( {r - 1} \right)\,\,\mu ^{r - 2} \,\,{{\sigma ^2 } \over n}$$ ''प्रकार II बायस, आकलन........................... ........................ समी(1.4)''



\beta \,\, \approx \,\,{{a\,r\left( {r - 1} \right)\mu ^r } \over {2\,n}}\left( \right)^2$$ ''प्रकार II बायस, भिन्नात्मक........................................... ........................... समीकरण(1.5)''



{\beta \over z}\,\,\, \approx \,\,\,{{r\left( {r - 1} \right)} \over {2\,n}}\,\,\left(  \right)^2$$ '' विचरण, निरपेक्ष ........................................... ......................... समीकरण(1.6)''



\sigma _z^2 \approx \,\,\,\left( {a\,r\,\mu ^{r - 1} } \right)^2 {{\sigma ^2 } \over n}\,\,\, = \,\,\,\,{{\left( {a\,r\,\mu ^r } \right)^2 } \over n}\left(  \right)^2 $$ ''मानक विचलन, भिन्नात्मक........................................... ............ समीकरण (1.7)''



{{\sigma _z } \over z}\,\,\,\,\, \approx \,\,\,\,\sqrt \,\,\,\,\, = \,\,\,\,\,{r \over {\sqrt n }}\left(  \right)$$ टिप्पणियाँ:


 * (1) प्रकार I पूर्वाग्रह समीकरण 1.1 और 1.2 प्रतिरूप आकार n से प्रभावित नहीं होते हैं।


 * (2) समीकरण (1.4) समीकरण (1.3) के दूसरे पद की पुनर्व्यवस्था है।


 * (3) प्रकार II पूर्वाग्रह और विचरण और मानक विचलन सभी बढ़ते प्रतिरूप के आकार के साथ घटते हैं, और वे किसी दिए गए प्रतिरूप के आकार के लिए भी घटते हैं, जब x का मानक विचलन σ इसके माध्य μ की तुलना में छोटा हो जाता है

अविभाजित स्थिति 2


z\,\, = \,\,a\,e^{b\,x} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\,\, \sim \,\,N\left( {\mu ,\,\,\sigma ^2 } \right)\,\,\,\,\,\,\,a,b\,\,{\rm constants}$$ टिप्पणियाँ: बी धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है। "N" प्रतिरूप आकार है। विदित हो कि इन अनुमानों की प्रभावशीलता μ, σ, और b के सापेक्ष आकारों पर 'बहुत दृढ़ता से निर्भर' है।

'प्रकार I पूर्वाग्रह, निरपेक्ष........................................... ........................ समीकरण (2.1)'


 * $$\Delta z\,\, \approx \,\,a\,b\,e^{b\,\mu } \,\Delta x$$

''प्रकार I बायस, आपेक्षिक (भिन्नात्मक)........................................ .................. समीकरण (2.2)''


 * $$\frac{z}\,\,\, \approx \,\,\,b\,\Delta x$$

''माध्य (अपेक्षित मान)........................................... ........................... समीकरण(2.3)''



{\rm E}[z]\,\,\, = \,\,\,\mu _z \approx \,\,ae^{b\,\mu } \,\,\, + \,\,\,\frac{1}{2}\,\,a\,b^2 e^{b\,\mu } \,\,\frac{n}$$ ''प्रकार II बायस, आकलन........................... ........................ समीकरण(2.4)''



\beta \,\, \approx \,\,\frac{1}{2}\,\,a\,b^2 e^{b\,\mu } \,\,\frac{n}$$ ''प्रकार II बायस, भिन्नात्मक........................................... ........................... समीकरण(2.5)''


 * $$\frac{\beta }{z}\,\,\, \approx \,\,\,\frac$$

'' विचरण, निरपेक्ष ........................................... ......................... समीकरण(2.6)''



\sigma _z^2 \approx \,\,\,\left( {a\,b\,e^{b\mu } } \right)^2 \,\,\frac{n} $$ ''मानक विचलन, भिन्नात्मक........................................... .........समीकरण(2.7)''



\frac{z}\,\,\,\,\, \approx \,\,\,\,\sqrt {\frac} \,\,\,\, = \,\,\,\,b\,\,\frac{\sigma }{n}$$

अविभाज्य स्थिति 3


z\,\, = \,\,a\,\ln \,(b\,x)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\,\, \sim \,\,N\left( {\mu ,\,\,\sigma ^2 } \right)\,\,\,\,\,\,\,a,b\,\,{\rm constants}$$ टिप्पणियाँ: बी और एक्स धनात्मक होना चाहिए। "N" प्रतिरूप आकार है। विदित हो कि इन अनुमानों की प्रभावशीलता μ, σ, और b के सापेक्ष आकारों पर 'बहुत दृढ़ता से निर्भर' है।

'प्रकार I पूर्वाग्रह, निरपेक्ष........................................... ........................ समीकरण(3.1)'


 * $$\Delta z\,\, \approx \,\,a\,\,\frac{\mu }$$

''प्रकार I बायस, आपेक्षिक (भिन्नात्मक)........................................ .................. समीकरण (3.2)''


 * $$\frac{z}\,\,\, \approx \,\,\,\frac$$

''माध्य (अपेक्षित मान)........................................... ........................... समीकरण(3.3)''



{\rm E}[z]\,\,\, = \,\,\,\mu _z \approx \,\,a\ln (b\mu )\,\,\, - \,\,\,\,\frac{1}{2}\,\,\frac{a}\,\,\frac{n}$$ ''प्रकार II बायस, आकलन.......................... ........................ समी(3.4)''



\beta \,\, \approx \,\,\, - \,\,\,\frac{a}\left( {\frac{\sigma }{\mu }} \right)^2 $$ ''प्रकार II बायस, भिन्नात्मक........................................... ........................... समीकरण(3.5)''



\frac{\beta }{z}\,\,\, \approx \,\,\, - \,\,\frac{1}\left( {\frac{\sigma }{\mu }} \right)^2$$ '' विचरण, निरपेक्ष ........................................... ......................... समीकरण(3.6)''



\sigma _z^2 \approx \,\,\,\frac{n}\,\left( {\frac{\sigma }{\mu }} \right)^2 \,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\sigma _z  \approx \,\,\,\frac{a}\,\,\left( {\frac{\sigma }{\mu }} \right)$$ ''मानक विचलन, भिन्नात्मक........................................... .........समीकरण(3.7)''



\frac{z}\,\,\,\,\, \approx \,\,\,\,\,\frac{1}\,\,\left( {\frac{\sigma }{\mu }} \right)$$

बहुचर स्थिति 1


z\,\, = \,\,a\,x_1 \, + \,\,b\,x_2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ {x_1 \,\,x_2 } \right]\,\, \sim \,\,BVN\left( {\mu _1 ,\,\,\mu _2 ,\,\,\sigma _1^2 ,\,\,\sigma _2^2 ,\,\,\sigma _{1,2} } \right)\,\,\,\,\,\,\,a,b\,\,{\rm constants}$$ टिप्पणियाँ: बीवीएन द्विभाजित सामान्य पीडीएफ है। "एन" प्रतिरूप आकार है।

'प्रकार I पूर्वाग्रह, निरपेक्ष........................................... ........................ समीकरण (4.1)'


 * $$\Delta z\,\, \approx \,\,a\,\Delta x_1 + \,\,b\,\Delta x_2$$

''प्रकार I बायस, आपेक्षिक (भिन्नात्मक)........................................ .........समीकरण(4.2)''



\frac{z}\,\,\, \approx \,\,\,\frac$$ ''माध्य (अपेक्षित मान)........................................... ........................... समीकरण(4.3)''


 * $${\rm E}[z]\,\,\, = \,\,\,\mu _z \,\, \approx \,\,\,\,a\mu _1 + \,\,b\mu _2$$

''प्रकार II बायस, आकलन........................... ........................ समीकरण(4.4)''


 * $$\beta \,\, = \,\,\,0$$

''प्रकार II बायस, भिन्नात्मक........................................... ........................... समीकरण(4.5)''


 * $$\frac{\beta }{z}\,\,\, = \,\,\,0$$

'' विचरण, निरपेक्ष ........................................... ........................ समीकारण(4.6)''



\sigma _z^2 \approx \,\,\,\frac{1}{n}\,\,\left[ {a^2 \sigma _1^2 \,\, + \,\,\,b^2 \sigma _2^2 \,\,\, + \,\,\,2\,a\,b\,\sigma _{1,2} } \right]$$ ''मानक विचलन, भिन्नात्मक........................................... .........समीकरण(4.7)''

 यह जटिल है, कोई बात नहीं, उपयोगी कुछ भी सरल नहीं करता; उपयोग (4.6)

बहुचर स्थिति 2


z\,\, = \,\,a\,\,x_1^\alpha \,x_2^\beta  \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ {x_1 \,\,x_2 } \right]\,\, \sim \,\,BVN\left( {\mu _1 ,\,\,\mu _2 ,\,\,\sigma _1^2 ,\,\,\sigma _2^2 ,\,\,\sigma _{1,2} } \right)\,\,\,\,\,\,\,\alpha ,\beta \,\,{\rm constants}$$ ''प्रकार I बायस, आकलन........................... ......................... समीकरण(5.1)''



\Delta z\,\, \approx \,\,\left( {a\,\alpha \,\mu _1^{\alpha - 1} \,\mu _2^\beta  } \right)\Delta x_1 \,\,\, + \,\,\,\,\left( {a\,\beta \,\mu _1^\alpha  \mu _2^{\beta  - 1} } \right)\Delta x_2$$ ''प्रकार I बायस, आपेक्षिक (भिन्नात्मक)........................................ .........समीकरण(5.2)''



\frac{z}\,\,\, \approx \,\,\,\alpha \frac\,\,\, + \,\,\,\beta \frac$$ ''माध्य (अपेक्षित मान)........................................... ........................... समीकरण(5.3)''



{\rm E}[z]\,\,\, = \,\,\,\mu _z \,\, \approx \,\,\,\,a\mu _1^\alpha \mu _2^\beta  \,\, + \,\,\,\frac{a}{2n}\left[ \begin{array}{l} \left( {\alpha \left( {\alpha - 1} \right)\mu _1^{\alpha  - 2} \mu _2^\beta  } \right)\sigma _1^2  +  \\ \left( {\beta \left( {\beta - 1} \right)\mu _1^\alpha  \mu _2^{\beta  - 2} } \right)\sigma _2^2  +  \\ \left( {2\,\alpha \,\beta \,\mu _1^{\alpha - 1} \,\mu _2^{\beta  - 1} } \right)\sigma _{1,2}  \\ \end{array} \right]$$ ''प्रकार II बायस, आकलन........................... ........................ समीकरण(5.4)''



\beta \,\,\,\, \approx \,\,\,\,\frac{a}{2n}\left[ \begin{array}{l} \left( {\alpha \left( {\alpha - 1} \right)\mu _1^{\alpha  - 2} \mu _2^\beta  } \right)\sigma _1^2  +  \\ \left( {\beta \left( {\beta - 1} \right)\mu _1^\alpha  \mu _2^{\beta  - 2} } \right)\sigma _2^2  +  \\ \left( {2\,\alpha \,\beta \,\mu _1^{\alpha - 1} \,\mu _2^{\beta  - 1} } \right)\sigma _{1,2}  \\ \end{array} \right]$$ ''प्रकार II बायस, भिन्नात्मक........................................... ........................... समीकरण(5.5)''



\frac{\beta }{z}\,\,\, = \,\,\,\frac{1}\left[ {\alpha \left( {\alpha - 1} \right)\left( {\frac} \right)^2  + \,\,\,\beta \left( {\beta  - 1} \right)\left( {\frac} \right)^2 \,\, + \,\,\,\,2\,\alpha \,\beta \left( {\frac} \right)\,} \right]$$ '' विचरण, निरपेक्ष ........................................... .........................समीकरण(5.6)''



\sigma _z^2 \approx \,\,\,\frac{a^2 }{n}\,\,\left[ {\left( \alpha \,\mu _1^{\alpha  - 1} \mu _2^\beta \right)^2 \sigma _1^2 \,\,\, + \,\,\,\left( \beta \,\mu _1^\alpha  \mu _2^{\beta  - 1} \right)^2 \sigma _2^2 \,\,\, + \,\,\,\left( 2\alpha \,\beta \,\mu _1^{2\alpha  - 1} \mu _2^{2\beta  - 1} \right)\sigma _{1,2} } \right]$$ ''मानक विचलन, भिन्नात्मक........................................... .........समीकरण(5.7)''



\frac{\sigma _z }{z}\,\,\, \approx \,\,\,\sqrt {\,\,\frac{\alpha ^2 }{n}\left( \frac{\sigma _1 }{\mu _1 } \right)^2 + \,\,\,\,\frac{\beta ^2 }{n}\left( \frac{\sigma _2 }{\mu _2 } \right)^2 \,\, + \,\,\,\frac{2\,\alpha \,\beta }{n}\left( \frac{\sigma _{1,2} }{\mu _1 \,\mu _2 } \right)}$$

यह भी देखें

 * संवेदनशीलता का विश्लेषण
 * अनिश्चितता का प्रसार
 * अनिश्चितता विश्लेषण
 * मानक विचलन का निष्पक्ष अनुमान
 * अंतराल परिमित तत्व

बाहरी संबंध

 * A Java interactive graphic that illustrates the Method 1 vs. Method 2 processing biases.