कार्नो चक्र

कार्नोट चक्र 1824 में फ्रांसीसी भौतिक विज्ञानी निकोलस लियोनार्ड सादी कार्नोट द्वारा प्रस्तावित एक आदर्श ऊष्मागतिकी चक्र है और 1830 और 1840 के दशक में दूसरों द्वारा विस्तारित किया गया। कार्नोट के सिद्धांत के अनुसार, यह किसी भी पारम्परिक ऊष्मागतिकी इंजन की प्रदर्शकता के ऊपरी सीमा प्रदान करता है जब वह ऊष्मा को कार्य में परिवर्तित करता है, या उल्टा, एक प्रशीतन प्रणाली की प्रदर्शकता को जब वह कार्य को प्रणाली पर लागू करके तापमान मे अंतर करता है।

कार्नोट चक्र में,एक प्रणाली या इंजन एक ऊष्मीय भंडारण $$T_H$$और एक शीतल भंडारण $$T_C$$ के मध्य ऊष्मा के रूप में ऊर्जा स्थानांतरित करती है, जिसे गर्म और शीत भंडारण के रूप में कहा जाता है, और इस स्थानांतरित ऊर्जा का एक भाग प्रणाली द्वारा किये गए कार्य में परिवर्तित होता है। यह चक्र परिवर्तनीय होता है, और भेदक उत्पन्न नहीं होता है। दूसरे शब्दों में, भेदक संरक्षित होता है; भेदक केवल ऊष्मा भंडारणों और प्रणाली के मध्य स्थानांतरित होता है और उसमें बढ़ोतरी या हानि नहीं होती है। जब प्रणाली पर कार्य लागू किया जाती है, तो ऊष्मा शीतल भंडारण से गर्म भंडारण में स्थानांतरित होती है, जिससे प्रणाली पर्यावरण पर काम करती है। प्रति कार्नोट चक्र में पर्यावरण के द्वारा किया गया कार्य $$W$$ प्राथमिकता रखता है, जो ऊष्मा भंडारणों के तापमानों और गर्म भंडारण से प्रणाली में स्थानांतरित भेदक $$\Delta S$$ के अनुसार होता है,जहां

$$W = (T_H - T_C) \Delta S = (T_H - T_C) \frac{Q_H}{T_H}$$, है जहां $$Q_H$$प्रति कार्नोट चक्र गर्म भंडारण से प्रणाली में स्थानांतरित ऊष्मा है।

चरण
एक ऊष्मा इंजन (कार्नोट ऊष्मा इंजन) द्वारा निष्पादित एक आदर्श ऊष्मागतिकी चक्र के रूप में एक कार्नोट चक्र में निम्नलिखित चरण होते हैं। 1. Carnot Cycle Figure - Step 1.jpg Isothermal expansion. Heat (as an energy) is transferred reversibly from hot temperature reservoir at constant temperature TH to the gas at temperature infinitesimally less than TH (to allow heat transfer to the gas without practically changing the gas temperature so isothermal heat addition or absorption). During this step (1 to 2 on $$, A to B in $$), the gas is thermally in contact with the hot temperature reservoir (while thermally isolated from the cold temperature reservoir) and the gas is allowed to expand, doing work on the surroundings by gas pushing up the piston (stage 1 figure, right). Although the pressure drops from points 1 to 2 (figure 1) the temperature of the gas does not change during the process because the heat transferred from the hot temperature reservoir to the gas is exactly used to do work on the surroundings by the gas, so no gas internal energy changes (no gas temperature change for an ideal gas). Heat QH > 0 is absorbed from the hot temperature reservoir, resulting in an increase in the entropy $S$ of the gas by the amount $\Delta S_H = Q_H/T_H$.

2. Carnot Cycle Figure - Step 2.png Isentropic (reversible adiabatic) expansion of the gas (isentropic work output). For this step (2 to 3 on $$, B to C in $$) the gas in the engine is thermally insulated from both the hot and cold reservoirs, thus they neither gain nor lose heat, an 'adiabatic' process. The gas continues to expand with reduction of its pressure, doing work on the surroundings (raising the piston; stage 2 figure, right), and losing an amount of internal energy equal to the work done. The gas expansion without heat input causes the gas to cool to the "cold" temperature (by losing its internal energy), that is infinitesimally higher than the cold reservoir temperature T$C$. The entropy remains unchanged as no heat Q transfers (Q = 0) between the system (the gas) and its surroundings, so an isentropic process, meaning no entropy change in the process).

3. Carnot Cycle Figure - Step 3.png Isothermal compression. Heat transferred reversibly to low temperature reservoir at constant temperature TC (isothermal heat rejection). In this step (3 to 4 on $$, C to D on $$), the gas in the engine is in thermal contact with the cold reservoir at temperature TC (while thermally isolated from the hot temperature reservoir) and the gas temperature is infinitesimally higher than this temperature (to allow heat transfer from the gas to the cold reservoir without practically changing the gas temperature). The surroundings do work on the gas, pushing the piston down (stage 3 figure, right). An amount of energy earned by the gas from this work exactly transfers as a heat energy QC < 0 (negative as leaving from the system, according to the universal convention in thermodynamics) to the cold reservoir so the entropy of the system decreases by the amount $\Delta S_C = Q_C/T_C$. $\Delta S_C < 0 $ because the isothermal compression decreases the multiplicity of the gas.

4. Carnot Cycle Figure - Step 4.png Isentropic compression. (4 to 1 on $$, D to A on $$) Once again the gas in the engine is thermally insulated from the hot and cold reservoirs, and the engine is assumed to be frictionless and the process is slow enough, hence reversible. During this step, the surroundings do work on the gas, pushing the piston down further (stage 4 figure, right), increasing its internal energy, compressing it, and causing its temperature to rise back to the temperature infinitesimally less than TH due solely to the work added to the system, but the entropy remains unchanged. At this point the gas is in the same state as at the start of step 1. [[File:Carnot cycle p-V diagram.svg|400px|thumb|$$: किए गए कार्य को दर्शाने के लिए एक पीवी आरेख पर एक कार्नोट चक्र दिखाया गया है।

1-टू-2 (इज़ोटेर्मल एक्सपेंशन), ​​2-टू-3 (आइसेंट्रोपिक एक्सपेंशन), ​​3-टू-4 (इज़ोथर्मल कम्प्रेशन), 4-टू-1 (आइसेंट्रोपिक कम्प्रेशन)।]]इस मामले में, चूंकि यह एक प्रतिवर्ती प्रक्रिया (ऊष्मागतिकी्स) ऊष्मागतिकी चक्र है (प्रणाली में कोई शुद्ध परिवर्तन नहीं है और प्रति चक्र इसके आसपास है) $$\Delta S_H + \Delta S_C = \Delta S_\text{cycle} = 0, $$ या, $$ \frac{Q_H}{T_H} = - \frac{Q_C}{T_C}.$$ यह सच है $$ Q_C $$ और $$ T_C $$ दोनों परिमाण में छोटे हैं और वास्तव में समान अनुपात में हैं $$ Q_H/T_H $$.

दबाव-आयतन आरेख
जब एक कार्नोट चक्र को दबाव-आयतन आरेख पर प्लॉट किया जाता है ($$), इज़ोटेर्मल चरण कार्यशील तरल पदार्थ के लिए इज़ोटेर्म लाइनों का अनुसरण करते हैं, एडियाबेटिक चरण इज़ोटेर्म के मध्य चलते हैं, और पूर्ण चक्र पथ से घिरा क्षेत्र कुल कार्य का प्रतिनिधित्व करता है जो एक चक्र के समय  किया जा सकता है। बिंदु 1 से 2 और बिंदु 3 से 4 तक तापमान स्थिर (इज़ोटेर्मल प्रक्रिया) है। बिंदु 4 से 1 और बिंदु 2 से 3 तक ऊष्मा का स्थानांतरण शून्य (एडियाबेटिक प्रक्रिया) के बराबर है।

तापमान-एन्ट्रॉपी आरेख


कार्नोट इंजन या प्रशीतक के व्यवहार को तापमान-एन्ट्रॉपी आरेख (टी-एस आरेख) का उपयोग करके सबसे अच्छी तरह से समझा जाता है, जिसमें ऊष्मागतिकी स्थिति को क्षैतिज अक्ष और तापमान के रूप में एंट्रॉपी (एस) के साथ आरेख पर एक बिंदु द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है ( टी) ऊर्ध्वाधर अक्ष के रूप में ((चित्र 2). एक साधारण बंद प्रणाली के लिए, आरेख पर कोई भी बिंदु प्रणाली की एक विशेष स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है। प्रारंभिक अवस्था (A) और अंतिम अवस्था (B) को जोड़ने वाले वक्र द्वारा एक ऊष्मागतिकी प्रक्रिया का प्रतिनिधित्व किया जाता है। वक्र के अंतर्गत क्षेत्र है:

यदि प्रक्रिया प्रणाली को अधिक भेदक की ओर ले जाती है, तो वक्र के नीचे क्षेत्र उस प्रक्रिया में प्रणाली द्वारा शोषित ऊष्मा की मात्रा होती है; अन्यथा, यह प्रक्रिया में से निकाली गई या प्रणाली से बाहर निकलने वाली ऊष्मा की मात्रा होती है। किसी भी चक्रीय प्रक्रिया के लिए, चक्र का एक ऊपरी भाग और एक निचला भाग होता है। टी-एस आरेखणों में एक घड़े की दिशा में चक्रीय प्रक्रिया के लिए, ऊचे भाग के नीचे का क्षेत्र प्रक्रिया के समय प्रणाली द्वारा शोषित ऊर्जा को दर्शाता है, जबकि निचले भाग के नीचे का क्षेत्र प्रक्रिया के समय  प्रणाली से हटाई गई ऊर्जा को दर्शाता है। चक्र के अंदर का क्षेत्र तब दोनों के मध्य  का अंतर है, चूंकि प्रणाली  की आंतरिक ऊर्जा अपने प्रारंभिक मूल्य पर पुनरावर्तित हो जाती है, यह अंतर प्रणाली द्वारा प्रति चक्र किए गए कार्य की मात्रा होती है। प्रतिवर्ती प्रक्रिया के लिए, गणितीय रूप से $$, का संदर्भ लेते हुए, हम एक चक्रीय प्रक्रिया पर किए गए कार्य की मात्रा को इस प्रकार लिख सकते हैं:

चूँकि डीयू एक सटीक परिशिष्ट है, तो किसी भी बंद लूप पर इसकी समाकलनिका शून्य होती है, और इससे प्राप्त होता है कि टी-एस आरेखण पर लूप के अंदरीकृत क्षेत्र उस प्रणाली द्वारा पर्यावरण पर संपूर्ण कार्य के बराबर होता है, यदि लूप को दक्षिणावर्त दिशा मे पार किया जाता है, तो परिवेश द्वारा प्रणाली पर किए गए कुल कार्य के बराबर है क्योंकि लूप वामावर्त दिशा में घूमता है।



कार्नोट चक्र
उपरोक्त समाकलित का मूल्यांकन कार्नोट चक्र के लिए विशेष रूप से सरल है। कार्य के रूप में स्थानांतरित ऊर्जा की मात्रा है

$$W = \oint PdV = \oint TdS = (T_H-T_C)(S_B-S_A)$$ गर्म जलाशय से प्रणाली में स्थानांतरित गर्मी की कुल मात्रा होगी $$Q_H = T_H (S_B-S_A) = T_H \Delta S_H$$ और प्रणाली से ठंडे जलाशय में स्थानांतरित गर्मी की कुल मात्रा होगी $$Q_C = T_C (S_A - S_B) = T_C \Delta S_C < 0$$ ऊर्जा संरक्षण के कारण, शुद्ध ऊष्मा हस्तांतरित, $$Q$$, किए गए कार्य के बराबर है $$W = Q = Q_H + Q_C$$ क्षमता $$\eta$$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

जहाँ पे
 * $|Q_{C}|$ प्रणाली द्वारा किया गया कार्य है
 * $$Q_C$$ <0 प्रणाली से ली गई ऊष्मा है ऊष्मा ऊर्जा प्रणाली को छोड़ती है,
 * $$Q_H$$ > 0 प्रणाली में डाली गई गर्मी है (प्रणाली में प्रवेश करने वाली ऊष्मा ऊर्जा),
 * $$T_C$$ ठंडे जलाशय का पूर्ण तापमान है, और
 * $$T_H$$ गर्म जलाशय का पूर्ण तापमान है।
 * $$S_B$$ अधिकतम प्रणाली एन्ट्रापी है
 * $$S_A$$ न्यूनतम प्रणाली एन्ट्रापी है

ऊपर दिए गए भेदकता संबंधित निरूपण से इस रूप में एक अभिव्यक्ति प्राप्त की जा सकती है: $$\eta= 1-\frac{T_C}{T_H}$$ हॉट भंडारण का तापमान है :

$$Q_H = T_H (S_B - S_A) = T_H \Delta S_H $$ और $$Q_C = T_C (S_A - S_B) = T_C \Delta S_C < 0$$. तब से $$ \Delta S_C = S_A - S_B = - \Delta S_H $$, के लिए $$\eta$$.अंतिम अभिव्यक्ति में एक ऋण चिह्न प्रकट होता है.

यह कार्नोट ऊष्मा इंजन की कार्य क्षमता की परिभाषा है जिसमें प्रणाली द्वारा किया गया कार्य प्रति चक्र में गर्म भंडारण से प्राप्त ऊष्मिक ऊर्जा के अनुपात के रूप में प्रकट होती है। यह ऊष्मिक ऊर्जा प्रणाली का चक्र प्रारंभ करने वाली ऊर्जा होती है

विपरीत कार्नोट चक्र
एक कार्नोट ऊष्मा-इंजन चक्र विवरणित करता है जो पूर्णतः पुनर्वर्तनीय चक्र है। अर्थात, इसका सभी प्रक्रियाएँ पुनर्वर्तित की जा सकती हैं, जिसके परिणामस्वरूप यह कार्नोट ऊष्मा पंप और शीतलन चक्र बन जाता है। इस बार, चक्र ठीक वैसा ही रहता है, केवल इसका गर्म और कार्य संवेदनों की दिशाओं को पलट दिया जाता है। निम्न-तापमान भंडारण से ऊष्मा अवशोषित की जाती है, उच्च-तापमान भंडारण को ऊष्मा प्रदान की जाती है, और इस सब को साधने के लिए कार्य प्रविष्टि की जाती है। पुनर्वर्तित  कार्नोट चक्र का पी-वी आरेख कार्नो ऊष्मा-इंजन चक्र के लिए ही होता है, केवल प्रक्रियाओं की दिशाएँ पलटी जाती हैं।

कार्नोट का प्रमेय
उपरोक्त आरेख से यह देखा जा सकता है कि तापमान के मध्य चलने वाले किसी भी चक्र के लिए $$T_H$$ और $$T_C$$, कोई भी कार्नोट चक्र की दक्षता से अधिक नहीं हो सकता।

कार्नोट की प्रमेय इस तथ्य का एक औपचारिक कथन है: दो ताप जलाशयों के मध्य चलने वाला कोई भी इंजन उन्हीं जलाशयों के मध्य  चलने वाले कार्नोट इंजन की तुलना में अधिक कुशल नहीं हो सकता है। इस प्रकार, समीकरण $$ इसी तापमान का उपयोग करके किसी भी इंजन के लिए अधिकतम संभव दक्षता देता है। कार्नोट के प्रमेय के परिणाम में कहा गया है कि: समान ताप जलाशयों के मध्य  काम करने वाले सभी उत्क्रमणीय इंजन समान रूप से कुशल होते हैं। समीकरण के दाहिने भाग को पुनर्व्यवस्थित करने से समीकरण का अधिक सरलता से समझा जाने वाला रूप हो सकता है, अर्थात् ताप इंजन की सैद्धांतिक अधिकतम दक्षता गर्म जलाशय के पूर्ण तापमान से विभाजित गर्म और ठंडे जलाशय के मध्य तापमान में अंतर के बराबर होती है। इस सूत्र को देखने पर एक रोचक तथ्य स्पष्ट हो जाता है।: ठंडे जलाशय के तापमान को कम करने से ताप इंजन की छत दक्षता पर अधिक प्रभाव पड़ता है, उसी मात्रा में गर्म जलाशय के तापमान को बढ़ाने से। वास्तविक दुनिया में, इसे हासिल करना मुश्किल हो सकता है क्योंकि ठंडा जलाशय प्रायः उपस्थित परिवेश का तापमान होता है।

दूसरे शब्दों में, अधिकतम दक्षता तभी प्राप्त की जाती है यदि एंट्रॉपी प्रति चक्र नहीं बदलती है। चक्र प्रति चक्र में एंट्रोपी परिवर्तन होता है, उदाहरण के लिए, यदि घर्षण होती है और कार्य को ऊष्मा में विपथन में बदल दिया जाता है। उस मामले में, चक्र पुनर्वर्ती नहीं होता है और क्लॉसियस प्रमेय के सिद्धांत में अतिरिक्त असमानता होती है, क्योंकि एंट्रोपी एक क्षेत्रीय आवेश है, इसलिए अतिरिक्त एंट्रोपी को नष्ट करने के लिए पर्यावरण में ऊष्मा को छोड़ना आवश्यक होता है, जिससे न्यूनतम क्षमता में कमी होती है। इसलिए, समीकरण 3 किसी भी पुनर्वर्ती ऊष्मा इंजन की क्षमता देता है।

मेसोस्कोपिक ऊष्मा इंजनों में, सामान्य रूप से संचालन प्रति चक्र में कार्य तापीय शोर के कारण बदलता रहता है। यदि चक्र को क्वासी-स्थिरता से पूरा किया जाता है, तो तरंगों का अभाव हो जाता है। यद्यपि, चक्र कार्य करने का समय कार्य करने वाले माध्यम के संतुलन के समय से तेज होता है, तो कार्य के अस्थिरता अपरिहार्य होती है। जब कार्य और ऊष्मा की अस्थिरता को गणना की जाती है, एक सटीक समानता होती है जो किसी भी ऊष्मा इंजन द्वारा किये गए कार्य के अभिवर्तीय औसत को गर्म ऊष्मा से ऊष्मा संचार से जोड़ती है।

वास्तविक ताप इंजन की क्षमता
कार्नोट ने महसूस किया कि, वास्तव में, एक ऊष्मा पुनर्वर्ती इंजन बनाना संभव नहीं है। इसलिए, वास्तविक ऊष्मा इंजन इसके फलस्वरूप समीकरण 3 द्वारा दिखाए गए से भी कम दक्ष होते हैं।इसके अतिरिक्त, कार्नोट चक्र के विधियों से संचालित वास्तविक इंजन अत्यंत दुर्लभ होते हैं यद्यपि, समीकरण 3 एक अत्यंत उपयोगी साधक है जो दिए गए तापीय जलाशय के लिए कभी भी अपेक्षित सर्वोच्च क्षमता का निर्धारण करने में मदद करता है।

यद्यपि कार्नोट का चक्र एक आदर्शीकरण है, समीकरण $$ क्योंकि कार्नोट दक्षता की अभिव्यक्ति अभी भी उपयोगी है। औसत तापमान पर विचार करें, $$\langle T_H\rangle = \frac{1}{\Delta S} \int_{Q_\text{in}} TdS$$ $$\langle T_C\rangle = \frac{1}{\Delta S} \int_{Q_\text{out}} TdS$$ जिसमें पहला निरक्षर्ष चक्र के एक हिस्से पर है जहां ऊष्मा प्रणाली में जाती है और दूसरा निरक्षर्ष चक्र के एक हिस्से पर होता है जहां ऊष्मा प्रणाली से बाहर जाती है। पुनः, समीकरण 3 में TH और TC. को संबंधित रूप से ⟨TH⟩ और ⟨TC.⟩ से बदलकर, एक ऊष्मा इंजन की क्षमता का अनुमान लगाने के लिए प्रयोग करें।

कार्नोट चक्र के लिए, या उसके समकक्ष के लिए, औसत मान ⟨TH⟩ सबसे ऊचा उपलब्ध तापमान, अर्थात TH के बराबर होगा, और ⟨TC⟩ सबसे निचला, अर्थात TC के बराबर होगा। अन्य कम क्षमता वाले ऊष्मागतिकी चक्रों के लिए, TH से कम होगा और TC से अधिक होगा।. यह समझाने में मदद कर सकता है, उदाहरण के लिए, क्यों एक अर्थशास्त्री या पुनर्योजी हीट एक्सचेंजर भाप बिजली संयंत्रों की तापीय दक्षता में सुधार कर सकता है और क्यों संयुक्त-चक्र बिजली संयंत्रों की तापीय दक्षता से अधिक है पारंपरिक भाप संयंत्र डीजल इंजन का पहला प्रोटोटाइप कार्नोट चक्र पर आधारित था।

एक अव्यावहारिक स्थूलदर्शीय निर्माण के रूप में कार्नोट ताप इंजन
एक कार्नोट ताप इंजन एक ऊष्मा इंजन है जो एक कार्नोट चक्र का प्रदर्शन करता है, और स्थूलदर्शीय पैमाने पर इसकी प्राप्ति अव्यावहारिक है। उदाहरण के लिए, कार्नोट चक्र के समतापीय प्रक्रिया भाग के लिए, विस्तार में प्रत्येक चरण पर एक साथ निम्नलिखित नियमों को पूरा किया जाता है:
 * गर्म भंडारण तापमान TH सिस्टम गैस के तापमान T से अत्यल्प रूप से ऊँचा होता है, तो गर्म भंडारण से गैस में ऊष्मीय प्रवाह बिना T को बढ़ाने किया जाता है गैस द्वारा परिसर पर अत्यल्प कार्य के माध्यम से); यदि TH T से काफी ऊँचा होता है, तो T गैस में समान नहीं हो सकता है, इसलिए सिस्टम थर्मल समता से अनुतीर्ण होगा और प्रक्रिया पुनरावृत्ति नहीं होगी या T में पर्याप्त वृद्धि हो सकती है, तो यह एक समतापीय प्रक्रिया नहीं होगी।
 * चकली पर बाहरी रूप से लागू बल को अत्यल्प रूप से कम करने की आवश्यकता होती है। इस बाहरी सहायता के बिना, यदि एक घन चकली आयतन खंड पर चला जाना संभव नहीं होगा। क्योंकि इस खंड का पालन करना यह मानना होगा कि गैस- चकली बल (दबाव) घटता है जबकि आयतन विस्तार होता है। यदि यह सहायता इतनी मजबूत होती है कि आयतन विस्तार पर्याप्त होता है, तो प्रणाली तापीय समता से अनुतीर्ण हो सकता है और प्रक्रिया पुनरावृत्ति नहीं होगी।

ये "अत्यल्प" आवश्यकताएं कर्नोट  चक्र को अनंत समय लेने के लिए बनाती हैं। कर्नोट  चक्र को प्रारम्भिक रूप से अनुभव कराने के लिए अन्य व्यावहारिक आवश्यकताएं भी होती हैं, जैसे गैस को संचालित करने का तंत्र, पर्यावरण के साथ तापीय संपर्क जिसमें उच्च और निम्न तापमान रखे जाते हैं। इसलिए, कर्नोट  इंजन को व्यापक स्तर पर वाणिज्यिक यंत्र के रूप में नहीं बल्कि  सिद्धांतिक सीमा के रूप में समझना चाहिए, जिसे कभी निर्मित किया जा सकने वाला एक प्राकृतिक उपकरण कहा जा सकता है।

यह भी देखें

 * कार्नोट हीट इंजन
 * प्रतिवर्ती प्रक्रिया (ऊष्मागतिकी्स)

संदर्भ

 * Notes


 * Sources
 * Carnot, Sadi, Reflections on the Motive Power of Fire
 * Ewing, J. A. (1910) The Steam-Engine and Other Engines edition 3, page 62, via Internet Archive
 * American Institute of Physics, 2011. ISBN 978-0-7354-0985-9. Abstract at: . Full article (24 pages ), also at.
 * American Institute of Physics, 2011. ISBN 978-0-7354-0985-9. Abstract at: . Full article (24 pages ), also at.
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बाहरी कड़ियाँ

 * Hyperphysics article on the Carnot cycle.
 * S. M. Blinder Carnot Cycle on Ideal Gas powered by Wolfram Mathematica