पुनरावृत्त सीमा

बहुपरिवर्तनीय कलन में, एक पुनरावृत्त सीमा (इटरेटेड सीमा) किसी अनुक्रम की सीमा या किसी फलन की सीमा होती है


 * $$\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} a_{n,m} = \lim_{m \to \infty} \left( \lim_{n \to \infty} a_{n,m} \right)$$,


 * $$\lim_{y \to b} \lim_{x \to a} f(x, y) = \lim_{y \to b} \left( \lim_{x \to a} f(x, y) \right)$$,

या अन्य समान रूप.

एक पुनरावृत्त सीमा केवल उस अभिव्यक्ति के लिए परिभाषित की जाती है जिसका मान कम से कम दो चर पर निर्भर करता है। ऐसी सीमा का मूल्यांकन करने के लिए, यह माना जा सकता है कि कोई अगर सीमित करने की प्रक्रिया अपनाता है क्योंकि दो चर में से एक किसी संख्या के निकट पहुंचता है, एक अभिव्यक्ति प्राप्त करता है जिसका मान केवल दूसरे चर पर निर्भर करता है, और फिर जब दूसरा चर किसी संख्या के निकट पहुंचता है तो फिर सीमा लिया जा सकता है।

पुनरावृत्त सीमाओं के प्रकार
यह खंड दो चरों में पुनरावृत्त सीमाओं की परिभाषाएँ प्रस्तुत करता है। इन्हें अनेक चरों में आसानी से सामान्यीकृत किया जा सकता है।

अनुक्रम की पुनरावृत्त सीमा
प्रत्येक के लिए $$n, m \in \mathbf{N}$$, मान लीजिये $$a_{n,m} \in \mathbf{R}$$ एक वास्तविक दोहरा अनुक्रम बनें। फिर पुनरावृत्त सीमाओं के दो रूप हैं, अर्थात्


 * $$\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} a_{n,m} \qquad \text{and} \qquad \lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} a_{n,m}$$.

उदाहरण के लिए, मान लीजिये


 * $$a_{n,m} = \frac{n}{n+m}$$.

तब


 * $$\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} a_{n,m} = \lim_{m \to \infty} 1 = 1$$, और


 * $$\lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} a_{n,m} = \lim_{n \to \infty} 0 = 0$$.

फलन की पुनरावृत्त सीमा
मान लीजिये $$f: X\times Y \to \mathbf{R}$$. फिर पुनरावृत्त सीमाओं के भी दो रूप हैं, अर्थात्


 * $$\lim_{y \to b} \lim_{x \to a} f(x, y) \qquad \text{and} \qquad \lim_{x \to a} \lim_{y \to b} f(x, y)$$.

उदाहरण के लिए, मान लीजिये $$f : \mathbf{R}^2\setminus\{(0,0)\} \to \mathbf{R}$$ ऐसा है कि


 * $$f(x,y) = \frac{x^2}{x^2+y^2}$$.

तब


 * $$\lim_{y \to 0} \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2+y^2} = \lim_{y \to 0} 0 = 0$$, और

x और/या y के लिए सीमा(ओं) को अनंत पर भी लिया जा सकता है, यानी,
 * $$\lim_{x \to 0} \lim_{y\to0} \frac{x^2}{x^2+y^2} = \lim_{x \to 0} 1 = 1$$.


 * $$\lim_{y \to \infty} \lim_{x \to \infty} f(x, y) \qquad \text{and} \qquad \lim_{x \to \infty} \lim_{y \to \infty} f(x, y)$$.

कार्यों के अनुक्रम की पुनरावृत्त सीमा
प्रत्येक के लिए $$n \in \mathbf{N}$$, मान लीजिये $$f_n : X \to \mathbf{R}$$ फलन का एक क्रम हो. फिर पुनरावृत्त सीमाओं के दो रूप हैं, अर्थात्


 * $$\lim_{n \to \infty} \lim_{x \to a} f_n(x) \qquad \text{and} \qquad \lim_{x \to a} \lim_{n \to \infty} f_n(x)$$.

उदाहरण के लिए, मान लीजिये $$f_n : [0, 1] \to \mathbf{R}$$ ऐसा है कि


 * $$f_n(x) = x^n$$.

तब


 * $$\lim_{n \to \infty} \lim_{x \to 1} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} 1^n = 1$$, और

x में सीमा अनंत पर भी ली जा सकती है, अर्थात,
 * $$\lim_{x \to 1} \lim_{n \to \infty} f_n(x) = \lim_{x \to 1} 0 = 0$$.


 * $$\lim_{n \to \infty} \lim_{x \to \infty} f_n(x) \qquad \text{and} \qquad \lim_{x \to \infty} \lim_{n \to \infty} f_n(x)$$.

ध्यान दें कि n में सीमा अलग से ली जाती है, जबकि x में सीमा लगातार ली जाती है।

कई चरों में अन्य सीमाओं के साथ तुलना
यह खंड दो चरों में सीमाओं की विभिन्न परिभाषाएँ प्रस्तुत करता है। इन्हें अनेक चरों में आसानी से सामान्यीकृत किया जा सकता है।

अनुक्रम की सीमा
दोहरे क्रम के लिए $$a_{n,m} \in \mathbf{R}$$, किसी अनुक्रम की सीमा की एक और परिभाषा है, जिसे सामान्यतः दोहरी सीमा (डबल लिमिट) के रूप में जाना जाता है, द्वारा निरूपित करें
 * $$L = \lim_{\begin{smallmatrix}

n \to \infty \\ m \to \infty \end{smallmatrix}} a_{n,m}$$, जिसका तात्पर्य है कि सभी के लिए $$\epsilon > 0$$, वहां है $$N=N(\epsilon) \in \mathbf{N}$$ ऐसा है कि $$n,m > N$$ तात्पर्य $$\left| a_{n,m} - L \right| < \epsilon$$.

निम्नलिखित प्रमेय दोहरी सीमा और पुनरावृत्त सीमा के बीच संबंध बताता है।


 * प्रमेय 1. अगर $$\lim_{\begin{smallmatrix}

n \to \infty \\ m \to \infty \end{smallmatrix}} a_{n,m}$$ उपस्थित है और L के बराबर है, $$\lim_{n \to \infty}a_{n,m}$$ प्रत्येक बड़े मी के लिए उपस्थित है, और $$\lim_{m \to \infty}a_{n,m}$$ तब प्रत्येक बड़े n के लिए उपस्थित है $$\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} a_{n,m}$$ और $$\lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} a_{n,m}$$ भी उपस्थित हैं, और वे L के बराबर हैं, यानी,
 * $$\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} a_{n,m} = \lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} a_{n,m} = \lim_{\begin{smallmatrix}

n \to \infty \\ m \to \infty \end{smallmatrix}} a_{n,m}$$. उदाहरण के लिए, मान लीजिये
 * $$a_{n,m} = \frac{1}{n} + \frac{1}{m}$$.

तब से $$\lim_{\begin{smallmatrix} n \to \infty \\ m \to \infty \end{smallmatrix}} a_{n,m} = 0$$, $$\lim_{n \to \infty} a_{n,m} = \frac{1}{m}$$, और $$\lim_{m \to \infty} = \frac{1}{n}$$, अपने पास
 * $$\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} a_{n,m} = \lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} a_{n,m} = 0 $$.

इस प्रमेय के लिए एकल सीमा की आवश्यकता है $$\lim_{n \to \infty} a_{n,m}$$ और $$\lim_{m \to \infty} a_{n,m}$$ जुटना. इस शर्त को छोड़ा नहीं जा सकता. उदाहरण के लिए, विचार करें


 * $$a_{n,m} = (-1)^m\left( \frac{1}{n} + \frac{1}{m} \right)$$.

तब हम उसे देख सकते हैं


 * $$\lim_{\begin{smallmatrix}

n \to \infty \\ m \to \infty \end{smallmatrix}} a_{n,m} = \lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} a_{n,m} = 0$$,
 * लेकिन $$\lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} a_{n,m}$$ उपस्थित नहीं होना।

यह है क्योंकि $$ \lim_{m \to \infty} a_{n,m}$$ प्रथम स्थान पर उपस्थित नहीं है.

फलन की सीमा
दो-चर वाले फलन के लिए $$f : X \times Y \to \mathbf{R}$$, किसी फलन की सीमा दो अन्य प्रकार की होती है एक से अधिक चर के फलन एक सामान्य सीमा है, जिसे द्वारा से्शाया गया है


 * $$L = \lim_{(x,y) \to (a, b)} f(x, y)$$,

जिसका तात्पर्य है कि सभी के लिए $$\epsilon > 0$$, वहां है $$\delta=\delta(\epsilon) > 0$$ ऐसा है कि $$0 < \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} < \delta $$ तात्पर्य $$\left| f(x,y) - L \right| < \epsilon$$.

इस सीमा के अस्तित्व के लिए, f(x, y) को बिंदु (a, b) तक पहुंचने वाले हर संभावित पथ के साथ इच्छानुसार L के निकट बनाया जा सकता है। इस परिभाषा में, बिंदु (a, b) को पथ से बाहर रखा गया है। इसलिए, बिंदु (a, b)) पर f का मान, भले ही परिभाषित हो, सीमा को प्रभावित नहीं करता है।

दूसरा प्रकार 'दोहरी सीमा ' है, जिसे द्वारा से्शाया गया है
 * $$L = \lim_{\begin{smallmatrix}

x \to a \\ y \to b \end{smallmatrix}} f(x,y)$$, जिसका तात्पर्य है कि सभी के लिए $$\epsilon > 0$$, वहां है $$\delta=\delta(\epsilon) > 0$$ ऐसा है कि $$0 < \left|x - a \right| < \delta$$ और $$0 < \left|y - b \right| < \delta$$ तात्पर्य $$\left| f(x,y) - L \right| < \epsilon$$.

इस सीमा के अस्तित्व के लिए, रेखाओं x=a और y=b को छोड़कर, बिंदु (a, b) तक पहुंचने वाले हर संभावित पथ पर f(x, y) को इच्छानुसार L के निकट बनाया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, x=a और y=b रेखाओं के अनुदिश f का मान सीमा को प्रभावित नहीं करता है। यह सामान्य सीमा से भिन्न है जहां केवल बिंदु (a, b) को बाहर रखा गया है। इस अर्थ में, साधारण सीमा दोहरी सीमा से अधिक प्रबल धारणा है:
 * प्रमेय 2. अगर $$\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y)$$ तब अस्तित्व में है और L के बराबर है$$\lim_{\begin{smallmatrix}

x \to a \\ y \to b \end{smallmatrix}} f(x, y)$$ उपस्थित है और L के बराबर है, यानी,


 * $$\lim_{\begin{smallmatrix}

x \to a \\ y \to b \end{smallmatrix}} f(x, y) = \lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y)$$.

इन दोनों सीमाओं में पहले एक सीमा और फिर दूसरी सीमा लेना सम्मिलित नहीं है। यह पुनरावृत्त सीमाओं के विपरीत है जहां सीमित प्रक्रिया को पहले x-दिशा में और फिर y-दिशा में (या उल्टे क्रम में) लिया जाता है।

निम्नलिखित प्रमेय दोहरी सीमा और पुनरावृत्त सीमा के बीच संबंध बताता है:


 * प्रमेय 3. अगर $$\lim_{\begin{smallmatrix}

x \to a \\ y \to b \end{smallmatrix}} f(x, y)$$ उपस्थित है और L के बराबर है, $$\lim_{x \to a} f(x,y)$$ b, और के पास प्रत्येक y के लिए उपस्थित है $$\lim_{y \to b} f(x,y)$$ फिर, a के पास प्रत्येक x के लिए उपस्थित है $$\lim_{x \to a} \lim_{y \to b} f(x, y)$$ और $$\lim_{y \to b} \lim_{x \to a} f(x, y)$$ भी उपस्थित हैं, और वे L के बराबर हैं, यानी,
 * $$\lim_{x \to a} \lim_{y \to b} f(x, y) = \lim_{y \to b} \lim_{x \to a} f(x, y) = \lim_{\begin{smallmatrix}

x \to a \\ y \to b \end{smallmatrix}} f(x, y)$$.

उदाहरण के लिए, मान लीजिये


 * $$f(x,y) = \begin{cases}

1 \quad \text{for} \quad xy \ne 0 \\ 0 \quad \text{for} \quad xy = 0 \end{cases}$$.

तब से $$\lim_{\begin{smallmatrix} x \to 0 \\ y \to 0 \end{smallmatrix}} f(x, y) = 1$$, $$\lim_{x \to 0} f(x, y) = \begin{cases} 1 \quad \text{for} \quad y \ne 0 \\ 0 \quad \text{for} \quad y = 0 \end{cases}$$ और $$\lim_{y \to 0} f(x, y) = \begin{cases} 1 \quad \text{for} \quad x \ne 0 \\ 0 \quad \text{for} \quad x = 0 \end{cases}$$, अपने पास
 * $$\lim_{x \to 0} \lim_{y \to 0} f(x, y) = \lim_{y \to 0} \lim_{x \to 0} f(x, y) = 1$$.

(ध्यान दें कि इस उदाहरण में, $$\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$$ उपस्थित नहीं होना।)

इस प्रमेय के लिए एकल सीमा की आवश्यकता है $$\lim_{x \to a} f(x, y)$$ और $$\lim_{y \to b} f(x, y)$$ अस्तित्व के लिए। इस शर्त को छोड़ा नहीं जा सकता. उदाहरण के लिए, विचार करें


 * $$f(x, y) = x \sin \left( \frac{1}{y} \right)$$.

तब हम उसे देख सकते हैं


 * $$\lim_{\begin{smallmatrix}

x \to 0 \\ y \to 0 \end{smallmatrix}} f(x, y) = \lim_{y \to 0} \lim_{x \to 0} f(x,y) = 0$$,
 * लेकिन $$\lim_{x \to 0} \lim_{y \to 0} f(x,y)$$ उपस्थित नहीं होना।

यह है क्योंकि $$\lim_{y \to 0} f(x,y)$$ पहले स्थान पर 0 के निकट x के लिए अस्तित्व नहीं है।

प्रमेय 2 और 3 को मिलाने पर हमें निम्नलिखित परिणाम मिलते हैं:


 * परिणाम 3.1. अगर $$\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x, y)$$ उपस्थित है और L के बराबर है, $$\lim_{x \to a} f(x,y)$$ b, और के पास प्रत्येक y के लिए उपस्थित है $$\lim_{y \to b} f(x,y)$$ फिर, a के पास प्रत्येक x के लिए उपस्थित है $$\lim_{x \to a} \lim_{y \to b} f(x, y)$$ और $$\lim_{y \to b} \lim_{x \to a} f(x, y)$$ भी उपस्थित हैं, और वे L के बराबर हैं, यानी,
 * $$\lim_{x \to a} \lim_{y \to b} f(x, y) = \lim_{y \to b} \lim_{x \to a} f(x, y) = \lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x, y)$$.

फलन की अनंत पर सीमा
दो-चर वाले फलन के लिए $$f : X \times Y \to \mathbf{R}$$, हम अनंत पर दोहरी सीमा को भी परिभाषित कर सकते हैं
 * $$L = \lim_{\begin{smallmatrix}

x \to \infty \\ y \to \infty \end{smallmatrix}} f(x,y)$$, जिसका तात्पर्य है कि सभी के लिए $$\epsilon > 0$$, वहां है $$M = M(\epsilon) > 0$$ ऐसा है कि $$x > M$$ और $$y > M$$ तात्पर्य $$\left| f(x,y) - L \right| < \epsilon$$.

ऋणात्मक अनंत की सीमाओं के लिए भी ऐसी ही परिभाषाएँ दी जा सकती हैं।

निम्नलिखित प्रमेय अनंत पर दोहरी सीमा और अनंत पर पुनरावृत्त सीमा के बीच संबंध बताता है:


 * प्रमेय 4. अगर $$\lim_{\begin{smallmatrix}

x \to \infty \\ y \to \infty \end{smallmatrix}} f(x, y)$$ उपस्थित है और L के बराबर है, $$\lim_{x \to \infty} f(x,y)$$ प्रत्येक बड़े y के लिए उपस्थित है, और $$\lim_{y \to \infty} f(x,y)$$ प्रत्येक बड़े x के लिए उपस्थित है $$\lim_{x \to \infty} \lim_{y \to \infty} f(x, y)$$ और $$\lim_{y \to \infty} \lim_{x \to \infty} f(x, y)$$ भी उपस्थित हैं, और वे L के बराबर हैं, यानी,
 * $$\lim_{x \to \infty} \lim_{y \to \infty} f(x, y) = \lim_{y \to \infty} \lim_{x \to \infty} f(x, y) = \lim_{\begin{smallmatrix}

x \to \infty \\ y \to \infty \end{smallmatrix}} f(x, y)$$.

उदाहरण के लिए, मान लीजिये
 * $$f(x,y) = \frac{x\sin y}{xy + y}$$.

तब से $$\lim_{\begin{smallmatrix} x \to \infty \\ y \to \infty \end{smallmatrix}}(x,y) = 0$$, $$\lim_{x \to \infty}f(x, y) = \frac{\sin y}{y}$$ और $$\lim_{y \to \infty} f(x, y) = 0$$, अपने पास
 * $$\lim_{y \to \infty} \lim_{x \to \infty} f(x,y) = \lim_{x \to \infty} \lim_{y \to \infty} f(x,y) = 0$$.

पुनः, इस प्रमेय के लिए एकल सीमा की आवश्यकता है $$\lim_{x \to \infty} f(x, y)$$ और $$\lim_{y \to \infty} f(x, y)$$ अस्तित्व के लिए। इस शर्त को छोड़ा नहीं जा सकता. उदाहरण के लिए, विचार करें


 * $$f(x, y) =\frac{\cos x}{y}$$.

तब हम उसे देख सकते हैं


 * $$\lim_{\begin{smallmatrix}

x \to \infty \\ y \to \infty \end{smallmatrix}} f(x, y) = \lim_{x \to \infty} \lim_{y \to \infty} f(x,y) = 0$$,
 * लेकिन $$\lim_{y \to \infty} \lim_{x \to \infty} f(x,y)$$ उपस्थित नहीं होना।

यह है क्योंकि $$\lim_{x \to \infty} f(x,y)$$ पहले स्थान पर निश्चित y के लिए उपस्थित नहीं है।

प्रमेयों की अमान्य बातचीत
प्रमेय 1, 3 और 4 के व्युत्क्रम मान्य नहीं हैं, अर्थात, पुनरावृत्त सीमाओं का अस्तित्व, भले ही वे समान हों, दोहरी सीमा के अस्तित्व का संकेत नहीं देते हैं। एक प्रति-उदाहरण है


 * $$f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$$

बिंदु (0, 0) के निकट। एक तरफ़,


 * $$\lim_{x \to 0} \lim_{y \to 0} f(x,y) = \lim_{y \to 0} \lim_{x \to 0} f(x,y) = 0$$.

दूसरी ओर, दोगुनी सीमा $$\lim_{\begin{smallmatrix} x \to a \\ y \to b \end{smallmatrix}} f(x, y)$$ उपस्थित नहीं होना। इसे पथ (x, y) = (t, t) → (0,0) के अनुदिश सीमा लेकर देखा जा सकता है, जो देता है


 * $$\lim_{\begin{smallmatrix}

t \to 0 \\ t \to 0 \end{smallmatrix}} f(t,t) = \lim_{t \to 0} \frac{t^2}{t^2+t^2} = \frac{1}{2}$$,

और पथ के अनुदिश (x, y) = (t, t2) → (0,0), जो देता है


 * $$\lim_{\begin{smallmatrix}

t \to 0 \\ t^2 \to 0 \end{smallmatrix}} f(t,t^2) = \lim_{t \to 0} \frac{t^3}{t^2+t^4} = 0$$.

सीमाओं के अंतर्विनिमय के लिए मूर-ऑस्गुड प्रमेय
उपरोक्त उदाहरणों में, हम देख सकते हैं कि अंतर्विनिमय सीमाएँ समान परिणाम दे भी सकती हैं और नहीं भी हैं। सीमाओं के अंतर्विनिमय के लिए एक पर्याप्त शर्त मूर-ऑसगूड प्रमेय द्वारा दी गई है। विनिमेयता का सार एकसमान अभिसरण पर निर्भर करता है।

अनुक्रमों की अंतर्विनिमय सीमा
निम्नलिखित प्रमेय हमें अनुक्रमों की दो सीमाओं को बदलने की अनुमति देता है।


 * प्रमेय 5. अगर $$\lim_{n \to \infty} a_{n,m} = b_m$$ समान रूप से (एम में), और $$\lim_{m \to \infty} a_{n,m} = c_n$$ प्रत्येक बड़े n के लिए, फिर दोनों $$\lim_{m \to \infty} b_m$$ और $$\lim_{n \to \infty} c_n$$ उपस्थित हैं और दोगुनी सीमा के बराबर हैं, यानी,


 * $$\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} a_{n,m} = \lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} a_{n,m} = \lim_{\begin{smallmatrix}

n \to \infty \\ m \to \infty \end{smallmatrix}} a_{n,m}$$.


 * सबूत। एक समान अभिसरण द्वारा, किसी के लिए $$\epsilon > 0$$ वहां है $$N_1(\epsilon)\in\mathbf{N}$$ ऐसा कि सभी के लिए $$m \in \mathbf{N}$$, $$n, k > N_1$$ तात्पर्य $$\left| a_{n,m} - a_{k,m} \right| < \frac{\epsilon}{3}$$.


 * जैसा $$m \to \infty$$, अपने पास $$\left|c_{n} - c_{k} \right| < \frac{\epsilon}{3}$$, जिसका अर्थ है कि $$c_n$$ एक कॉची अनुक्रम है जो एक सीमा तक परिवर्तित होता है $$L$$. इसके अलावा, जैसे $$k \to \infty$$, अपने पास $$\left|c_n - L\right| < \frac{\epsilon}{3}$$.


 * दूसरी ओर, यदि हम लेते हैं $$k \to \infty$$ सबसे पहले, हमारे पास है $$\left| a_{n,m} - b_m \right| < \frac{\epsilon}{3}$$.


 * बिंदुवार अभिसरण द्वारा, किसी के लिए $$\epsilon > 0$$ और $$n > N_1$$, वहां है $$N_2(\epsilon, n) \in \mathbf{N}$$ ऐसा है कि $$m > N_2$$ तात्पर्य $$\left| a_{n,m} - c_n \right| < \frac{\epsilon}{3}$$.


 * फिर उसके लिए तय हो गया $$n$$, $$m > N_2$$ तात्पर्य $$\left| b_m - L \right| \le \left| b_m - a_{n,m} \right| + \left| a_{n,m} - c_n \right| + \left| c_n - L \right| \le \epsilon$$.


 * इससे यह सिद्ध होता है $$\lim_{m \to \infty}b_m = L = \lim_{n \to \infty}c_n$$.


 * इसके अलावा, ले कर $$N = \max\{N_1, N_2\}$$, हम देखते हैं कि यह सीमा भी बराबर है $$\lim_{\begin{smallmatrix}

n \to \infty \\ m \to \infty \end{smallmatrix}} a_{n,m}$$.

एक परिणाम अनंत राशि की विनिमेयता के बारे में है।


 * परिणाम 5.1. अगर $$\sum^\infty_{n=1} a_{n,m}$$ समान रूप से अभिसरण (एम में), और $$\sum^\infty_{m =1} a_{n,m}$$ फिर, प्रत्येक बड़े n के लिए अभिसरण होता है $$\sum^\infty_{m=1} \sum^\infty_{n=1} a_{n,m} = \sum^\infty_{n=1} \sum^\infty_{m=1} a_{n,m}$$.


 * सबूत। प्रमेय 5 का प्रत्यक्ष अनुप्रयोग $$S_{k,\ell} = \sum_{m=1}^k \sum_{n=1}^\ell a_{n,m}$$.

फलन की अंतर्विनिमय सीमाएँ
समान परिणाम बहुपरिवर्तनीय कार्यों के लिए होते हैं।


 * प्रमेय 6. अगर $$\lim_{x \to a} f(x,y) = g(y)$$ समान रूप से (y में) चालू $$Y \setminus\{b\}$$, और $$\lim_{y \to b} f(x,y) = h(x)$$ a के पास प्रत्येक एक्स के लिए, फिर दोनों $$\lim_{y \to b} g(y)$$ और $$\lim_{x \to a} h(x)$$ उपस्थित हैं और दोगुनी सीमा के बराबर हैं, यानी,


 * $$\lim_{y \to b} \lim_{x \to a} f(x,y) = \lim_{x \to a} \lim_{y \to b} f(x,y) = \lim_{\begin{smallmatrix}

x \to a \\ y \to b \end{smallmatrix}} f(x,y)$$.
 * यहाँ a और b संभवतः अनंत हो सकते हैं।


 * सबूत। अस्तित्व से एक समान सीमा, किसी के लिए $$\epsilon > 0$$ वहां है $$\delta_1(\epsilon) > 0$$ ऐसा कि सभी के लिए $$y \in Y \setminus \{b\}$$, $$0 <\left|

x - a \right| < \delta_1$$ और $$0 <\left| w - a \right| < \delta_1$$ तात्पर्य $$\left| f(x,y) - f(w,y) \right| < \frac{\epsilon}{3}$$.


 * जैसा $$y \to b$$, अपने पास $$\left|h(x) - h(w) \right| < \frac{\epsilon}{3}$$. कॉची मानदंड से, $$\lim_{x\to a}h(x)$$ उपस्थित है और एक संख्या के बराबर है $$L$$. इसके अलावा, जैसे $$w \to a$$, अपने पास $$\left|h(x) - L\right| < \frac{\epsilon}{3}$$.


 * दूसरी ओर, यदि हम लेते हैं $$w \to a$$ सबसे पहले, हमारे पास है $$\left| f(x,y) - g(y) \right| < \frac{\epsilon}{3}$$.


 * बिंदुवार सीमा के अस्तित्व से, किसी के लिए $$\epsilon > 0$$ और $$x$$ पास में $$a$$, वहां है $$\delta_2(\epsilon, x) > 0$$ ऐसा है कि $$0 < \left| y - b \right| < \delta_2$$ तात्पर्य $$\left| f(x,y) - h(x) \right| < \frac{\epsilon}{3}$$.


 * फिर उसके लिए तय हो गया $$x$$, $$0 < \left| y - b \right| < \delta_2$$ तात्पर्य $$\left| g(y) - L \right| \le \left| g(y) - f(x,y) \right| + \left| f(x,y) - h(x) \right| + \left| h(x) - L \right| \le \epsilon$$.


 * इससे यह सिद्ध होता है $$\lim_{y \to b}g(y) = L = \lim_{x \to a}h(x)$$.


 * इसके अलावा, ले कर $$\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$$, हम देखते हैं कि यह सीमा भी बराबर है $$\lim_{\begin{smallmatrix}

x \to a \\ y \to b \end{smallmatrix}} f(x,y)$$.

ध्यान दें कि यह प्रमेय अस्तित्व का संकेत नहीं देता है $$\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)$$. एक प्रति-उदाहरण है $$f(x,y) = \begin{cases} 1 \quad \text{for} \quad xy \ne 0 \\ 0 \quad \text{for} \quad xy = 0 \end{cases}$$ निकट (0,0).

फलन के अनुक्रमों की अंतर्विनिमय सीमाएँ
मूर-ऑस्गुड प्रमेय का एक महत्वपूर्ण बदलाव विशेष रूप से कार्यों के अनुक्रम के लिए है।


 * प्रमेय 7. अगर $$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$$ समान रूप से (x में) चालू $$X\setminus\{a\}$$, और $$\lim_{x \to a} f_n(x) = L_n$$ प्रत्येक बड़े n के लिए, फिर दोनों $$\lim_{x \to a} f(x)$$ और $$\lim_{n \to \infty} L_n$$ उपस्थित हैं और समान हैं, यानी,


 * $$\lim_{n \to \infty} \lim_{x \to a} f_n(x) = \lim_{x \to a} \lim_{n \to \infty} f_n(x) $$.
 * यहाँ a संभवतः अनंत हो सकता है।


 * सबूत। एक समान अभिसरण द्वारा, किसी के लिए $$\epsilon > 0$$ वहां है $$N(\epsilon)\in\mathbf{N}$$ ऐसा कि सभी के लिए $$x \in D\setminus\{a\}$$, $$n, m > N$$ तात्पर्य $$\left| f_n(x) - f_m(x) \right| < \frac{\epsilon}{3}$$.


 * जैसा $$x \to a$$, अपने पास $$\left|L_n - L_m \right| < \frac{\epsilon}{3}$$, जिसका अर्थ है कि $$L_n$$ एक कॉची अनुक्रम है जो एक सीमा तक परिवर्तित होता है $$L$$. इसके अलावा, जैसे $$m \to \infty$$, अपने पास $$\left|L_n - L\right| < \frac{\epsilon}{3}$$.


 * दूसरी ओर, यदि हम लेते हैं $$m \to \infty$$ सबसे पहले, हमारे पास है $$\left| f_n(x) - f(x) \right| < \frac{\epsilon}{3}$$.


 * बिंदुवार सीमा के अस्तित्व से, किसी के लिए $$\epsilon > 0$$ और $$n > N$$, वहां है $$\delta(\epsilon, n) > 0$$ ऐसा है कि $$0 < \left| x - a \right| < \delta$$ तात्पर्य $$\left| f_n(x) - L_n \right| < \frac{\epsilon}{3}$$.


 * फिर उसके लिए तय हो गया $$n$$, $$0 < \left| x - a \right| < \delta$$ तात्पर्य $$\left| f(x) - L \right| \le \left| f(x) - f_n(x) \right| + \left| f_n(x) - L_n \right| + \left| L_n - L \right| \le \epsilon$$.


 * इससे यह सिद्ध होता है $$\lim_{x \to a}f(x) = L = \lim_{n \to \infty}L_n$$.

एकसमान अभिसरण के लिए एक परिणाम निरंतरता प्रमेय इस प्रकार है:


 * परिणाम 7.1. अगर $$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$$ समान रूप से (x में) निरंतर $$X$$, और $$f_n(x)$$ पर सतत कार्य कर रहे हैं $$x=a \in X$$, तब $$f(x)$$ पर भी निरंतर है $$x=a$$.


 * दूसरे शब्दों में, सतत फलनों की एकसमान सीमा सतत होती है।


 * सबूत। प्रमेय 7 के अनुसार, $$\lim_{x\to a}f(x) = \lim_{x\to a} \lim_{n \to \infty} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} \lim_{x\to a} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(a) = f(a) $$.

एक अन्य परिणाम सीमा और अनंत राशि की विनिमेयता के बारे में है।


 * परिणाम 7.2. अगर $$\sum^\infty_{n=0} f_n(x)$$ पर समान रूप से (x में) अभिसरित होता है $$X \setminus \{a\}$$, और $$\lim_{x \to a} f_n(x)$$ तब प्रत्येक बड़े n के लिए उपस्थित है $$\lim_{x \to a} \sum^\infty_{n=0} f_n(x) = \sum^\infty_{n=0} \lim_{x \to a} f_n(x)$$.


 * सबूत। प्रमेय 7 का प्रत्यक्ष अनुप्रयोग $$S_k(x) = \sum_{n=0}^k f_n(x)$$ पास में $$x = a$$.

आव्यूह में अनंत प्रविष्टियों का योग
अनंत प्रविष्टियों के एक आव्यूह (गणित) पर विचार करें
 * $$\begin{bmatrix}

1 & -1 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 1 & -1 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 1 & -1 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix}$$.

मान लीजिए हम सभी प्रविष्टियों का योग ज्ञात करना चाहेंगे। यदि हम इसे पहले कॉलम से कॉलम जोड़ते हैं, तो हम पाएंगे कि पहला कॉलम 1 देता है, जबकि अन्य सभी कॉलम 0 देते हैं। इसलिए सभी कॉलमों का योग 1 है। हालाँकि, यदि हम इसे पहले रोव से रोव जोड़ते हैं, तो यह पाएंगे कि सभी रोव 0 देती हैं। इसलिए सभी रोव का योग 0 है।

इस विरोधाभास की व्याख्या यह है कि ऊर्ध्वाधर योग से अनंत और क्षैतिज योग से अनंत तक दो सीमित प्रक्रियाएं हैं जिन्हें आपस में बदला नहीं जा सकता है। मान लीजिये $$S_{n,m}$$ प्रविष्टियों (n, m) तक प्रविष्टियों का योग बनें। तो हमारे पास हैं $$\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} S_{n,m} = 1$$, लेकिन $$\lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} S_{n,m} = 0$$. इस स्थिति में, दोगुनी सीमा $$\lim_{\begin{smallmatrix} n \to \infty \\ m \to \infty \end{smallmatrix}} S_{n,m}$$ अस्तित्व में नहीं है, और इस प्रकार यह समस्या अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है।

असीमित अंतराल पर एकीकरण
एक समान अभिसरण के लिए एकीकरण प्रमेय द्वारा, एक बार हमारे पास $$\lim_{n \to \infty} f_n(x)$$ पर समान रूप से अभिसरित होता है $$X$$, n में सीमा और एक बंधे हुए अंतराल पर एकीकरण $$[a, b] \subseteq X$$ आपस में बदला जा सकता है:
 * $$ \lim_{n\to \infty} \int_a^b f_n(x) \mathrm{d}x = \int_a^b \lim_{n\to \infty} f_n(x) \mathrm{d}x$$.

हालाँकि, ऐसी गुण एक असीमित अंतराल पर अनुचित अभिन्न अंग के लिए विफल हो सकती है $$[a, \infty) \subseteq X$$. इस स्थिति में, कोई मूर-ऑस्गुड प्रमेय पर भरोसा कर सकता है।

विचार करना $$L = \int_0^\infty \frac{x^2}{e^x - 1} \mathrm{d}x = \lim_{b\to \infty} \int_0^b\frac{x^2}{e^x - 1} \mathrm{d}x $$ उदहारण के लिए।

हम सबसे पहले इंटीग्रैंड का विस्तार करते हैं $$\frac{x^2}{e^x - 1} = \frac{x^2 e^{-x}}{1- e^{-x}} = \sum_{k=0}^\infty x^2 e^{-kx}$$ के लिए $$x \in [0, \infty)$$. (यहाँ x=0 एक सीमित स्थिति है।)

कोई भी इसे गणना  द्वारा सिद्ध कर सकता है $$x \in [0, \infty)$$ और $$k \ge 1$$, अपने पास $$x^2 e^{-kx} \le \frac{4}{e^2 k^2}$$. वीयरस्ट्रैस M-टेस्ट द्वारा, $$\sum_{k=0}^\infty x^2 e^{-kx}$$ पर समान रूप से अभिसरित होता है $$[0, \infty)$$.

फिर एकसमान अभिसरण के लिए एकीकरण प्रमेय द्वारा, $$L = \lim_{b \to \infty} \int_0^b \sum_{k=0}^\infty x^2 e^{-kx} \mathrm{d}x = \lim_{b \to \infty} \sum_{k=0}^\infty \int_0^b x^2 e^{-kx} \mathrm{d}x$$.

सीमा को और अधिक बदलने के लिए $$\lim_{b \to \infty}$$ अनंत योग के साथ $$\sum_{k=0}^\infty$$, मूर-ओस्गुड प्रमेय के लिए अनंत श्रृंखला को समान रूप से अभिसरण की आवश्यकता होती है।

ध्यान दें कि $$\int_0^b x^2 e^{-kx}\mathrm{d}x \le \int_0^\infty x^2 e^{-kx} \mathrm{d}x = \frac{2}{k^3}$$. फिर से, वीयरस्ट्रैस एम-टेस्ट द्वारा, $$\sum_{k=0}^\infty \int_0^b x^2 e^{-kx}$$ पर समान रूप से अभिसरित होता है $$[0, \infty)$$.

फिर मूर-ओस्गुड प्रमेय द्वारा, $$L = \lim_{b \to \infty} \sum_{k=0}^\infty \int_0^b x^2 e^{-kx} = \sum_{k=0}^\infty \lim_{b \to \infty} \int_0^b x^2 e^{-kx} = \sum_{k=0}^\infty \frac{2}{k^3} = 2 \zeta(3)$$. (यहां रीमैन ज़ेटा फलन है।)

यह भी देखें

 * अनुक्रम की सीमा
 * किसी फलन की सीमा
 * एकसमान अभिसरण
 * सीमित संचालन का अंतर्विनिमय