अर्ध-सीमित क्षेत्र

गणित में, अर्ध-सीमित क्षेत्र परिमित क्षेत्र का सामान्यीकरण है। मानक स्थानीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत सामान्यतः पूर्ण मूल्यवान क्षेत्रों से संबंधित होता है जिनका अवशेष क्षेत्र परिमित होता है (अर्थात गैर-आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र), किंतु सिद्धांत समान रूप से प्रारम्भ होता है जब अवशेष क्षेत्र को केवल अर्ध-परिमित माना जाता है।

औपचारिक परिभाषा
अर्ध-परिमित क्षेत्र टोपोलॉजिकल समूहों की समरूपता के साथ आदर्श क्षेत्र K है:
 * $$\phi : \hat{\mathbb Z} \to \operatorname{Gal}(K_s/K),$$

जहां K, Ks का बीजगणितीय समापन है (आवश्यक रूप से भिन्न करने योग्य क्योंकि K पूर्ण है)। क्षेत्र विस्तार Ks/K अनंत है, और गैलोज़ समूह को तदनुसार क्रुल टोपोलॉजी दी गई है। समूह $$\widehat{\mathbb{Z}}$$ परिमित सूचकांक के उपसमूहों के संबंध में पूर्णांकों की अनंत पूर्णता है।

यह परिभाषा कहने के समान है कि K के निकट प्रत्येक पूर्णांक n ≥ 1 के लिए डिग्री n का अद्वितीय (आवश्यक रूप से चक्रीय विस्तार) Kn है और इन विस्तारों का संघ Ks के समान है। इसके अतिरिक्त, अर्ध-परिमित क्षेत्र की संरचना के भाग के रूप में, जनरेटर Fn है प्रत्येक Gal(Kn/K) के लिए, जनरेटर Fn है, और जनरेटर को सुसंगत होना चाहिए, इस अर्थ में कि यदि n, m को विभाजित करता है, तो Fm से Kn तक का प्रतिबंध Fn के समान है।

उदाहरण
सबसे मूलभूत उदाहरण, जो परिभाषा को प्रेरित करता है, परिमित क्षेत्र K = 'GF'(q) है। इसमें डिग्री n, का अद्वितीय चक्रीय विस्तार है, अर्थात् Kn = GF(qn), Kn का संघ बीजगणितीय समापन Ks है। हम Fn को फ्रोबेनियस तत्व मानते हैं; अर्थात्, Fn(x) = xq है।

अन्य उदाहरण K = 'C'((T)) है, जो सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र 'C' के ऊपर T में औपचारिक लॉरेंट श्रृंखला का वलय है। (ये केवल औपचारिक शक्ति श्रृंखला हैं जिसमें हम ऋणात्मक डिग्री के सीमित कई पदों की भी अनुमति देते हैं।) फिर K का अद्वितीय चक्रीय विस्तार है:
 * $$K_n = \mathbf C((T^{1/n}))$$

प्रत्येक n ≥ 1 के लिए डिग्री n का, जिसका संघ K का बीजगणितीय समापन है जिसे पुइसेक्स श्रृंखला का क्षेत्र कहा जाता है, और यह Gal(Kn/K) जनरेटर द्वारा दिया जाता है:
 * $$F_n(T^{1/n}) = e^{2\pi i/n} T^{1/n}.$$

यह निर्माण तब कार्य करता है जब C को विशेषता शून्य के किसी बीजगणितीय रूप से विवृत क्षेत्र C से परिवर्तित कर दिया जाता है।