असतत तरंगिका परिवर्तन

संख्यात्मक विश्लेषण और फलनिक विश्लेषण में, एक विविक्त तरंगिका रूपांतरण (डीडब्ल्यूटी) कोई भी तरंगिका रूपांतरण है जिसके लिए तरंगिकाओं का विविक्त प्रतिदर्श लिया जाता है। अन्य तरंगिका रूपांतरणों की तरह, फूरियर रूपांतरणों की तुलना में इसका एक प्रमुख लाभ कालिक विभेदन है, यह आवृत्ति और  स्थान की सूचना (समय में स्थान) दोनों को प्रग्रहण करता है।

हार तरंगिकाएँ
पहले डीडब्ल्यूटी का आविष्कार हंगेरियन गणितज्ञ अल्फ्रेड हार ने किया था। $$2^n$$ संख्याओं की सूची द्वारा दर्शाए गए निविष्ट के लिए, हार तरंगिका रूपांतरण को निविष्ट मानों को जोड़ने, अंतर को संग्रहीत करने और योग को पास करने के लिए माना जा सकता है। इस प्रक्रिया को पुनरावर्ती रूप से दोहराया जाता है, अगले पैमाने को सिद्ध करने के लिए योगों को जोड़ा जाता है, जिससे $$2^n-1$$ अंतर और एक अंतिम योग बनता है।

डौबेचीज़ तरंगिकाएँ
विविक्त तरंगिका रूपांतरणों का सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला समुच्चय 1988 में बेल्जियम के गणितज्ञ इंग्रिड डौबेचीज़ द्वारा तैयार किया गया था। यह सूत्रीकरण अंतर्निहित मातृ तरंगिका फलन के उत्तरोत्तर बेहतर विविक्त प्रतिदर्श उत्पन्न करने के लिए पुनरावृत्ति संबंधों के उपयोग पर आधारित है, प्रत्येक वियोजन पिछले पैमाने से दोगुना है। अपने मौलिक पेपर में, डौबेचीज़ ने तरंगिकाओं का एक समूह प्राप्त किया है, जिनमें से पहला हार तरंगिका है। तब से इस क्षेत्र में रुचि बढ़ी है, और ड्यूबेचीज़ की मूल तरंगिकाओं की कई विविधताएँ विकसित की गईं।

द्वैती-वृक्ष सम्मिश्र तरंगिका रूपांतरण (डीसीडब्ल्यूटी)
द्वैती वृक्ष सम्मिश्र तरंगिका रूपांतरण ($$\mathbb{C}$$डब्ल्यूटी) महत्वपूर्ण अतिरिक्त गुणों के साथ विविक्त तरंगिका रूपांतरण (डीडब्ल्यूटी) में एक अपेक्षाकृत आधुनिक वृद्धि है, यह दो और उच्चतर आयामों में लगभग परिवर्तनशील और दिशात्मक रूप से चयनात्मक है। यह केवल $$2^d$$ के अतिरेक कारक के साथ प्राप्त किया जा सकता है, जो कि अनिर्दिष्ट डीडब्ल्यूटी से काफी कम है। बहुआयामी (एम-डी) द्वैती वृक्ष $$\mathbb{C}$$डब्ल्यूटी अविभाज्य है लेकिन अभिकलनीय रूप से दक्ष, पृथक्करणीय निस्यंदक बैंक (एफबी) पर आधारित है।

अन्य
विविक्त तरंगिका रूपांतरण के अन्य रूपों में 1988 में डिडिएर ले गैल और अली जे. तबताबाई द्वारा विकसित ले गैल-तबताबाई (एलजीटी) 5/3 तरंगिका शामिल है (जेपीईजी 2000 या जेपीईजी एक्सएस में प्रयुक्त),  1990 में अली नासी अकन्सो द्वारा विकसित द्विपद QMF, 1996 में विलियम ए. पर्लमैन के साथ अमीर सईद द्वारा विकसित पदानुक्रमित पेड़ों में सेट विभाजन (एसपीआईएचटी) एल्गोरिदम, स्थिर तरंगिका रूपांतरण | गैर- या अनिर्धारित तरंगिका रूपांतरण (जहाँ डाउनसैंपलिंग को छोड़ दिया जाता है), और न्यूलैंड रूपांतरण (जहाँ आवृत्ति स्थान में उचित रूप से निर्मित टॉप-हैट फ़िल्टर से तरंगिकाओं का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनता है)। तरंगिका पैकेट विघटन भी विविक्त तरंगिका रूपांतरण से संबंधित हैं। सम्मिश्र तरंगिका रूपांतरण दूसरा रूप है।

गुण
हार डीडब्ल्यूटी सामान्य रूप से तरंगिकाओं के वांछनीय गुणों को दर्शाता है। सबसे पहले, इसे  $$O(n)$$ संचालन में  निष्पादित किया जा सकता है, दूसरा, यह विभिन्न पैमानों पर जांच करके न केवल निविष्ट की आवृत्ति सामग्री की धारणा को प्रग्रहण करता है, बल्कि कालिक सामग्री, अर्थात वह समय जिस पर ये आवृत्तियां होती हैं। संयुक्त रूप से, ये दोनों गुण तीव्र तरंगिका रूपांतरण (एफडब्ल्यूटी) को पारंपरिक तीव्र फूरियर रूपांतरण (एफएफटी) का विकल्प बनाते हैं।

समय के मुद्दे
निस्यंदक बैंक में दर-रूपांतरण संचालको के कारण, विविक्त डब्ल्यूटी समय-अपरिवर्तनीय नहीं है, लेकिन वास्तव में समय में संकेत के संरेखण के प्रति बहुत संवेदनशील है। तरंगिका रूपांतरणों का समय-भिन्न-भिन्न समस्या का समाधान करने के लिए, मल्लाट और झोंग ने संकेत के तरंगिका प्रतिनिधित्व के लिए एक नया कलन विधि प्रस्तावित किया, जो समय रूपांतरण के लिए अपरिवर्तनीय है। इस कलन विधि के अनुसार, जिसे टीआई-डीडब्ल्यूटी कहा जाता है, केवल मापनी प्राचल को द्वैयकीय अनुक्रम 2^j (j∈Z) के साथ प्रतिदर्श किया जाता है और समय में प्रत्येक बिंदु के लिए तरंगिका रूपांतरण की गणना की जाती है।

अनुप्रयोग
विविक्त तरंगिका रूपांतरण का विज्ञान, इंजीनियरिंग, गणित और कंप्यूटर विज्ञान में बड़ी संख्या में अनुप्रयोग है। विशेष रूप से, इसका उपयोग, एक अलग संकेत को अधिक अनावश्यक रूप में प्रस्तुत करने के लिए, प्रायः डेटा संपीड़न के लिए पूर्व शर्त के रूप में संकेत कोडिंग के लिए किया जाता है। गति विश्लेषण प्रतिबिंब प्रक्रमण के लिए त्वरण के संकेत संसाधन में व्यावहारिक अनुप्रयोग भी पाए जा सकते हैं, मूर्ति प्रोद्योगिकी,  डिजिटल संचार और कई अन्य में।

यह दिखाया गया है कि कम-शक्ति पेसमेकर के डिजाइन के लिए बायोमेडिकल संकेत प्रोसेसिंग में और अल्ट्रा-वाइडबैंड (यूडब्ल्यूबी) वायरलेस संचार में भी विविक्त तरंगिका रूपांतरण (स्केल और शिफ्ट में अलग, और समय में निरंतर) को एनालॉग फिल्टर बैंक के रूप में सफलतापूर्वक लागू किया गया है।

प्रतिबिम्ब प्रसंस्करण में उदाहरण
वेवलेट्स का उपयोग प्रायः छवियों जैसे दो आयामी संकेतों को दर्शाने के लिए किया जाता है। निम्नलिखित उदाहरण दिखाए गए शोर वाली प्रतिबिम्ब से अवांछित सफेद गाऊसी शोर को हटाने के लिए तीन चरण प्रदान करता है। मैटलैब का उपयोग प्रतिबिम्ब को आयात और फ़िल्टर करने के लिए किया गया था।

पहला कदम तरंगिका प्रकार और अपघटन का स्तर एन चुनना है। इस मामले में बायोर्थोगोनल तरंगिका 3.5 वेवलेट्स को 10 के स्तर एन के साथ चुना गया था। बायोर्थोगोनल वेवलेट्स का उपयोग आमतौर पर सफेद गॉसियन शोर का पता लगाने और फ़िल्टर करने के लिए प्रतिबिम्ब प्रसंस्करण में किया जाता है, पड़ोसी पिक्सेल तीव्रता मानों के उनके उच्च कंट्रास्ट के कारण। इन तरंगिकाओं का उपयोग करके द्वि-आयामी प्रतिबिम्ब पर एक तरंगिका रूपांतरण किया जाता है।

प्रतिबिम्ब फ़ाइल के अपघटन के बाद, अगला कदम 1 से एन तक प्रत्येक स्तर के लिए थ्रेशोल्ड मान निर्धारित करना है। बिरगे-मास्सार्ट रणनीति इन सीमाओं को चुनने के लिए यह एक काफी सामान्य तरीका है। इस प्रक्रिया का उपयोग करके एन = 10 स्तरों के लिए अलग-अलग सीमाएँ बनाई जाती हैं। इन थ्रेशोल्ड को लागू करने से संकेत की अधिकांश वास्तविक फ़िल्टरिंग होती है।

अंतिम चरण संशोधित स्तरों से प्रतिबिम्ब का पुनर्निर्माण करना है। यह व्युत्क्रम तरंगिका रूपांतरण का उपयोग करके पूरा किया जाता है। परिणामी छवि, सफेद गॉसियन शोर को हटाकर, मूल प्रतिबिम्ब के नीचे दिखाई गई है। किसी भी प्रकार के डेटा को फ़िल्टर करते समय परिणाम के सिग्नल-टू-शोर अनुपात|सिग्नल-टू-शोर-अनुपात को मापना महत्वपूर्ण है। इस मामले में, मूल की तुलना में शोर वाली प्रतिबिम्ब का एसएनआर 30.4958% था, और अस्वीकृत प्रतिबिम्ब का एसएनआर 32.5525% है। तरंगिका फ़िल्टरिंग के परिणामस्वरूप सुधार से 2.0567% का एसएनआर लाभ प्राप्त होता है। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि अन्य तरंगिकाएँ, स्तर और थ्रेशोल्डिंग रणनीतियों को चुनने से विभिन्न प्रकार के फ़िल्टरिंग हो सकते हैं। इस उदाहरण में, सफ़ेद गॉसियन शोर को हटाने के लिए चुना गया था। हालाँकि, अलग-अलग सीमा के साथ, इसे आसानी से बढ़ाया जा सकता था।

विविक्त फूरियर रूपांतरण के साथ विविक्त तरंगिका रूपांतरण के बीच अंतर और समानता को स्पष्ट करने के लिए, निम्नलिखित अनुक्रम के डीडब्ल्यूटी और डीएफटी पर विचार करें: (1,0,0,0), एक इकाई आवेग।

डीएफटी का ऑर्थोगोनल आधार (डीएफटी मैट्रिक्स) है:



\begin{bmatrix} 1 & 1 &  1 &  1\\ 1 & -i & -1 &  i\\ 1 & -1 & 1 & -1\\ 1 &  i & -1 & -i \end{bmatrix} $$ जबकि लंबाई 4 डेटा के लिए Haar तरंगिकाओं के साथ डीडब्ल्यूटी की पंक्तियों में ऑर्थोगोनल आधार है:



\begin{bmatrix} 1 & 1 &  1 &  1\\ 1 &  1 & -1 & -1\\ 1 & -1 &  0 &  0\\ 0 &  0 &  1 & -1 \end{bmatrix} $$ (नोटेशन को सरल बनाने के लिए, पूर्ण संख्याओं का उपयोग किया जाता है, इसलिए आधार ओर्थोगोनल  हैं लेकिन ऑर्थोनॉर्मल नहीं हैं।)

प्रारंभिक टिप्पणियों में शामिल हैं:
 * साइनसोइडल तरंगें केवल उनकी आवृत्ति में भिन्न होती हैं। पहला कोई चक्र पूरा नहीं करता है, दूसरा एक पूर्ण चक्र पूरा करता है, तीसरा दो चक्र पूरा करता है, और चौथा तीन चक्र पूरा करता है (जो विपरीत दिशा में एक चक्र पूरा करने के बराबर है)। चरण में अंतर को किसी दिए गए आधार वेक्टर को एक सम्मिश्र स्थिरांक से गुणा करके दर्शाया जा सकता है।
 * इसके विपरीत, तरंगिकाओं में आवृत्ति और स्थान दोनों होते हैं। पहले की तरह, पहला शून्य चक्र पूरा करता है, और दूसरा एक चक्र पूरा करता है। हालाँकि, तीसरे और चौथे दोनों की आवृत्ति समान है, पहले की तुलना में दोगुनी। आवृत्ति में भिन्न होने के बजाय, वे स्थान में भिन्न होते हैं - तीसरा पहले दो तत्वों पर गैर-शून्य है, और चौथा दूसरे दो तत्वों पर गैर-शून्य है।


 * $$\begin{align}

(1,0,0,0) &= \frac{1}{4}(1,1,1,1) + \frac{1}{4}(1,1,-1,-1) + \frac{1}{2}(1,-1,0,0) \qquad \text{Haar DWT}\\ (1,0,0,0) &= \frac{1}{4}(1,1,1,1) + \frac{1}{4}(1,i,-1,-i) + \frac{1}{4}(1,-1,1,-1) + \frac{1}{4}(1,-i,-1,i) \qquad \text{DFT} \end{align}$$ डीडब्ल्यूटी स्थानीयकरण को प्रदर्शित करता है: (1,1,1,1) शब्द औसत संकेत मान देता है, (1,1,-1,-1) संकेत को डोमेन के बाईं ओर रखता है, और (1,–1,0,0) इसे बाईं ओर के बाईं ओर रखता है, और किसी भी स्तर पर ट्रंक करने से संकेत का डाउनसैंपल्ड संस्करण प्राप्त होता है:
 * $$\begin{align}

&\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)\\ &\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0,0\right)\qquad\text{2-term truncation}\\ &\left(1,0,0,0\right) \end{align}$$ इसके विपरीत, डीएफटी, विभिन्न आवृत्तियों की तरंगों के हस्तक्षेप द्वारा अनुक्रम को व्यक्त करता है - इस प्रकार श्रृंखला को छोटा करने से श्रृंखला का एक लो पास फिल्टर संस्करण प्राप्त होता है:
 * $$\begin{align}

&\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)\\ &\left(\frac{3}{4},\frac{1}{4},-\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)\qquad\text{2-term truncation}\\ &\left(1,0,0,0\right) \end{align}$$ विशेष रूप से, मध्य सन्निकटन (2-अवधि) भिन्न होता है। फ़्रीक्वेंसी डोमेन परिप्रेक्ष्य से, यह एक बेहतर सन्निकटन है, लेकिन समय डोमेन परिप्रेक्ष्य से इसमें कमियां हैं - यह अंडरशूट (सिग्नल) प्रदर्शित करता है - मूल्यों में से एक नकारात्मक है, हालांकि मूल श्रृंखला हर जगह गैर-नकारात्मक है - और रिंगिंग (सिग्नल), जहां दाईं ओर गैर-शून्य है, तरंगिका रूपांतरण के विपरीत। दूसरी ओर, फूरियर सन्निकटन सही ढंग से एक शिखर दिखाता है, और सभी बिंदु भीतर हैं $$1/4$$ उनके सही मान का, हालाँकि सभी बिंदुओं में त्रुटि है। इसके विपरीत, तरंगिका सन्निकटन, बाएं आधे भाग पर एक शिखर रखता है, लेकिन पहले बिंदु पर कोई शिखर नहीं होता है, और जबकि यह आधे मानों (स्थान को दर्शाते हुए) के लिए बिल्कुल सही है, इसमें एक त्रुटि है $$1/2$$ अन्य मूल्यों के लिए.

यह इन रूपांतरणों के बीच व्यापार-बंद के प्रकार को दर्शाता है, और कैसे कुछ मामलों में डीडब्ल्यूटी बेहतर व्यवहार प्रदान करता है, विशेष रूप से क्षणिक मॉडलिंग के लिए।

रूपांतरण का एक स्तर
संकेत का डीडब्ल्यूटी $$x$$ इसे फ़िल्टर की एक श्रृंखला के माध्यम से पारित करके गणना की जाती है। सबसे पहले नमूनों को आवेग प्रतिक्रिया के साथ एक कम-पास फिल्टर के माध्यम से पारित किया जाता है $$g$$ जिसके परिणामस्वरूप दोनों का संविलियन हुआ:


 * $$y[n] = (x * g)[n] = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty  {x[k] g[n - k]} $$

उच्च पास फिल्टर का उपयोग करके संकेत को एक साथ विघटित भी किया जाता है $$h$$. आउटपुट विवरण गुणांक (उच्च-पास फ़िल्टर से) और सन्निकटन गुणांक (निम्न-पास से) देते हैं। यह महत्वपूर्ण है कि दोनों फ़िल्टर एक-दूसरे से संबंधित हों और उन्हें चतुर्भुज दर्पण फ़िल्टर के रूप में जाना जाता है।

हालाँकि, चूंकि संकेत की आधी आवृत्तियों को अब हटा दिया गया है, आधे नमूनों को नाइक्विस्ट के नियम के अनुसार खारिज किया जा सकता है। लो-पास फ़िल्टर का फ़िल्टर आउटपुट $$g$$ ऊपर दिए गए चित्र में फिर 2 से डाउनसैंपलिंग की जाती है और इसे एक नए लो-पास फिल्टर के माध्यम से फिर से पास करके आगे की प्रक्रिया की जाती है $$g$$ और एक हाई-पास फ़िल्टर $$h$$ पिछले वाले की आधी कट-ऑफ आवृत्ति के साथ, यानी:


 * $$y_{\mathrm{low}} [n] = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty  {x[k] g[2 n - k]} $$
 * $$y_{\mathrm{high}} [n] = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty  {x[k] h[2 n - k]} $$

इस अपघटन ने समय वियोजन को आधा कर दिया है क्योंकि प्रत्येक फ़िल्टर आउटपुट का केवल आधा हिस्सा ही संकेत को दर्शाता है। हालाँकि, प्रत्येक आउटपुट में निविष्ट का आधा फ़्रीक्वेंसी बैंड होता है, इसलिए फ़्रीक्वेंसी वियोजन दोगुना कर दिया गया है।

डाउनसैंपलिंग के साथ $$\downarrow$$
 * $$(y \downarrow k)[n] = y[k n] $$

उपरोक्त सारांश को अधिक संक्षेप में लिखा जा सकता है।


 * $$y_{\mathrm{low}} = (x*g)\downarrow 2 $$
 * $$y_{\mathrm{high}} = (x*h)\downarrow 2 $$

हालाँकि एक पूर्ण कनवल्शन की गणना $$x*g$$ बाद में डाउनसैंपलिंग से गणना का समय बर्बाद होगा।

लिफ्टिंग योजना एक अनुकूलन है जहां ये दोनों गणनाएं आपस में जुड़ी हुई हैं।

कैस्केडिंग और निस्यंदक बैंक
इस अपघटन को आवृत्ति वियोजन को और बढ़ाने के लिए दोहराया जाता है और सन्निकटन गुणांक को उच्च और निम्न-पास फिल्टर के साथ विघटित किया जाता है और फिर डाउन-सैंपल किया जाता है। इसे एक बाइनरी वृक्ष के रूप में दर्शाया गया है जिसमें नोड्स एक अलग समय-आवृत्ति स्थानीयकरण के साथ उप-स्थान का प्रतिनिधित्व करते हैं। इस पेड़ को फिल्टर बैंक के नाम से जाना जाता है।

उपरोक्त आरेख में प्रत्येक स्तर पर संकेत निम्न और उच्च आवृत्तियों में विघटित हो जाता है। अपघटन प्रक्रिया के कारण निविष्ट संकेत का गुणज होना चाहिए $$2^n$$ कहाँ $$n$$ स्तरों की संख्या है.

उदाहरण के लिए 32 नमूनों वाला एक सिग्नल, आवृत्ति सीमा 0 से $$f_n$$ और अपघटन के 3 स्तर, 4 आउटपुट स्केल उत्पन्न होते हैं:



मां तरंगिका से संबंध
वेवलेट्स के फिल्टरबैंक कार्यान्वयन की व्याख्या वेवलेट#विविक्त तरंगिका रूपांतरणों के तरंगिका गुणांक की गणना के रूप में की जा सकती है। किसी दिए गए मदर तरंगिका के लिए .28विविक्त बदलाव और स्केल पैरामीटर।29 $$\psi(t)$$. विविक्त तरंगिका रूपांतरण के मामले में, मातृ तरंगिका को दो की शक्तियों द्वारा स्थानांतरित और स्केल किया जाता है

$$ \psi_{j,k}(t)= \frac{1}{\sqrt{2^j}} \psi \left( \frac{t - k 2^j}{2^j} \right) $$ कहाँ $$j$$ स्केल पैरामीटर है और $$k$$ शिफ्ट पैरामीटर है, जो दोनों पूर्णांक हैं।

याद रखें कि तरंगिका गुणांक $$\gamma$$ एक संकेत का $$x(t)$$ का प्रक्षेपण है $$x(t)$$ एक तरंगिका पर, और जाने दो $$x(t)$$ लंबाई का संकेत हो $$2^N$$. उपरोक्त अलग-अलग समूह में एक बच्चे के तरंगिका के मामले में,

$$ \gamma_{jk} = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \frac{1}{\sqrt{2^j}} \psi \left( \frac{t - k 2^j}{2^j} \right) dt $$ अब ठीक करो $$j$$ एक विशेष पैमाने पर, ताकि $$ \gamma_{jk} $$ का एक कार्य है $$k$$ केवल। उपरोक्त समीकरण के आलोक में, $$\gamma_{jk}$$ के संलयन के रूप में देखा जा सकता है $$x(t)$$ मातृ तरंगिका के विस्तारित, प्रतिबिंबित और सामान्यीकृत संस्करण के साथ, $$h(t) =  \frac{1}{\sqrt{2^j}} \psi \left( \frac{-t}{2^j} \right) $$, बिंदुओं पर प्रतिदर्श लिया गया $$1, 2^j, 2^{2j}, ..., 2^{N}$$. लेकिन यह बिल्कुल वही है जो विवरण गुणांक स्तर पर देते हैं $$j$$ विविक्त तरंगिका रूपांतरण का। इसलिए, एक उचित विकल्प के लिए $$h[n]$$ और $$g[n]$$, निस्यंदक बैंक का विवरण गुणांक किसी दिए गए मदर तरंगिका के लिए चाइल्ड वेवलेट्स के एक अलग सेट के तरंगिका गुणांक से बिल्कुल मेल खाता है $$\psi(t)$$.

उदाहरण के तौर पर, विविक्त हार तरंगिका पर विचार करें, जिसकी मातृ तरंगिका है $$\psi = [1, -1]$$. फिर इस तरंगिका का विस्तारित, परावर्तित और सामान्यीकृत संस्करण है $$h[n] = \frac{1}{\sqrt{2}} [-1, 1]$$, जो वास्तव में, विविक्त हार तरंगिका रूपांतरण के लिए हाईपास अपघटन फ़िल्टर है।

समय सम्मिश्रता
विविक्त तरंगिका रूपांतरण का फिल्टरबैंक कार्यान्वयन कुछ मामलों में केवल बिग ओ नोटेशन | ओ (एन) लेता है, जबकि तेज फूरियर रूपांतरण के लिए ओ (एन लॉग एन) की तुलना में।

ध्यान दें कि यदि $$g[n]$$ और $$h[n]$$ दोनों एक स्थिर लंबाई हैं (अर्थात उनकी लंबाई N से स्वतंत्र है), तो $$x * h$$ और $$x * g$$ प्रत्येक बिग ओ नोटेशन|ओ(एन) समय लेता है। तरंगिका फ़िल्टरबैंक इन दो बिग O नोटेशन|O(N) कनवल्शन में से प्रत्येक को करता है, फिर संकेत को आकार N/2 की दो शाखाओं में विभाजित करता है। लेकिन यह केवल ऊपरी शाखा को पुनरावर्ती रूप से विभाजित करता है $$g[n]$$ (एफएफटी के विपरीत, जो ऊपरी शाखा और निचली शाखा दोनों को पुनरावर्ती रूप से विभाजित करता है)। इससे निम्नलिखित पुनरावृत्ति संबंध बनता है


 * $$T(N) = 2N + T\left( \frac N 2 \right)$$

जो पूरे ऑपरेशन के लिए एक बिग ओ नोटेशन|ओ(एन) समय की ओर ले जाता है, जैसा कि उपरोक्त संबंध के ज्यामितीय श्रृंखला विस्तार द्वारा दिखाया जा सकता है।

उदाहरण के तौर पर, विविक्त हार तरंगिका रूपांतरण रैखिक है, क्योंकि उस मामले में $$h[n]$$ और $$g[n]$$ स्थिर लंबाई हैं 2.


 * $$h[n] = \left[\frac{-\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right] g[n] =  \left[\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$$

तरंगिकाओं का स्थान, O(N) सम्मिश्रता के साथ मिलकर, गारंटी देता है कि रूपांतरण की गणना ऑनलाइन (स्वृक्षमिंग के आधार पर) की जा सकती है। यह संपत्ति एफएफटी के बिल्कुल विपरीत है, जिसके लिए एक ही बार में पूरे संकेत तक पहुंच की आवश्यकता होती है। यह बहु-स्तरीय रूपांतरण और बहु-आयामी रूपांतरणों (जैसे, 2-डी डीडब्ल्यूटी) पर भी लागू होता है।

अन्य परिवर्तन
{\cal W^+} {\bf y} = {\cal W^+} f + {\cal W^+} {f ({\bf X} -1)}, $$ जहां विस्तार गुणांक $$ {\cal W^+} {f ({\bf X} -1)}$$ के योगदान के कारण सामान्यतः विरल नहीं माना जा सकता $$f$$ बाद की अभिव्यक्ति में. गुणक ढांचे में, तरंगिका रूपांतरण ऐसा होता है $$ {\cal W^\times} {\bf y} = \left({\cal W^\times} f\right) \times \left({\cal W^\times} { {\bf X}}\right). $$ गुणक बीजगणित में तरंगिकाओं के इस 'एम्बेडिंग' में सामान्यीकृत गुणक सन्निकटन और विवरण ऑपरेटर शामिल होते हैं: उदाहरण के लिए, हार तरंगिकाओं के मामले में, सामान्यीकरण गुणांक तक $$\alpha$$, मानक $${\cal W^+}$$ सन्निकटन (अंकगणित माध्य) $$c_{k} = \alpha(y_{k} + y_{k-1})$$ और विवरण (अंकगणितीय अंतर) $$d_{k} = \alpha(y_{k} - y_{k-1})$$ क्रमशः ज्यामितीय माध्य सन्निकटन बनें $$c_{k}^\ast = (y_{k} \times y_{k-1})^\alpha$$ और ज्यामितीय अंतर (विवरण) $$d_{k}^\ast = \left(\frac{y_{k}}{y_{k-1}}\right)^\alpha$$ उपयोग करते समय $${\cal W^\times}$$.
 * पोर्टेबल नेटवर्क ग्राफ़िक्स (पीएनजी) प्रारूप में इंटरलेसिंग (बिटमैप्स) के लिए उपयोग किया जाने वाला एडम7 एल्गोरिदम, डेटा का एक मल्टीस्केल मॉडल है जो हार वेवलेट्स के साथ डीडब्ल्यूटी के समान है। डीडब्ल्यूटी के विपरीत, इसका एक विशिष्ट पैमाना है - यह 8×8 ब्लॉक से शुरू होता है, और यह डिकिमेशन (संकेत प्रोसेसिंग) (कम-पास फ़िल्टरिंग, फिर डाउनसैंपलिंग) के बजाय प्रतिबिम्ब को डाउनसैंपल करता है। इस प्रकार यह सरल कार्यान्वयन के बदले में प्रारंभिक चरण में कलाकृतियों (पिक्सेलेशन) को दिखाते हुए बदतर आवृत्ति व्यवहार प्रदान करता है।
 * गुणात्मक (या ज्यामितीय) विविक्त तरंगिका रूपांतरण एक प्रकार है जो अवलोकन मॉडल पर लागू होता है $${\bf y} = f { {\bf X} }$$ एक सकारात्मक नियमित कार्य की अंतःक्रियाओं को शामिल करना $$f$$ और एक गुणात्मक स्वतंत्र सकारात्मक शोर $$X$$, साथ $$\mathbb{E} X = 1$$. निरूपित $${\cal W}$$, एक तरंगिका परिवर्तन। तब से $$f { {\bf X} } = f + {f ({\bf X} -1)}$$, फिर मानक (योज्य) विविक्त तरंगिका रूपांतरण $${\cal W^+}$$ इस प्रकार कि $$

कोड उदाहरण
अपने सरलतम रूप में, डीडब्ल्यूटी की गणना करना उल्लेखनीय रूप से आसान है।

जावा में हार तरंगिका (प्रोग्रामिंग भाषा): हार वेवलेट, ड्यूबेचिस वेवलेट, कोइफ़लेट और लीजेंड्रे तरंगिका वेवलेट्स का उपयोग करके 1-डी और 2-डी डीडब्ल्यूटी के लिए पूरा जावा कोड ओपन सोर्स प्रोजेक्ट से उपलब्ध है: JWave। इसके अलावा, जेपीईजी 2000 प्रतिबिम्ब संपीड़न मानक में उपयोग किए जाने वाले सी (प्रोग्रामिंग भाषा) में विविक्त बायोरथोगोनल कोहेन-डौबेचिस-फ़्यूव्यू तरंगिका 9/7 तरंगिका रूपांतरण का तेजी से उठाने वाला कार्यान्वयन पाया जा सकता है वेब/20120305164605/http://www.embl.de/~gpau/misc/dwt97.c यहां (5 मार्च 2012 को संग्रहीत)।

उपरोक्त कोड का उदाहरण
यह आंकड़ा ध्वनि तरंग पर हार तरंगिका गुणांक की गणना करने के लिए उपरोक्त कोड को लागू करने का एक उदाहरण दिखाता है। यह उदाहरण तरंगिका रूपांतरण के दो प्रमुख गुणों पर प्रकाश डालता है:


 * प्राकृतिक संकेतों में प्रायः कुछ हद तक सहजता होती है, जो उन्हें तरंगिका क्षेत्र में विरल बना देती है। इस उदाहरण में तरंगिका डोमेन में समय डोमेन की तुलना में बहुत कम महत्वपूर्ण घटक हैं, और अधिकांश महत्वपूर्ण घटक बाईं ओर मोटे गुणांक की ओर हैं। इसलिए, प्राकृतिक संकेत तरंगिका डोमेन में संपीड़ित होते हैं।
 * तरंगिका रूपांतरण एक संकेत का मल्टीवियोजन, बैंडपास प्रतिनिधित्व है। इसे इस आलेख में दी गई विविक्त तरंगिका रूपांतरण की फ़िल्टरबैंक परिभाषा से सीधे देखा जा सकता है। लंबाई के संकेत के लिए $$2^N$$, सीमा में गुणांक $$[2^{N-j}, 2^{N-j+1}]$$ मूल संकेत के एक संस्करण का प्रतिनिधित्व करें जो पास-बैंड में है $$ \left[ \frac{\pi}{2^j}, \frac{\pi}{2^{j-1}} \right]$$. यही कारण है कि तरंगिका गुणांक की इन श्रेणियों पर ज़ूम करने पर मूल संकेत की संरचना समान दिखती है। श्रेणियाँ जो बाईं ओर के करीब हैं (बड़ी)। $$j$$ उपरोक्त नोटेशन में), संकेत के मोटे प्रतिनिधित्व हैं, जबकि दाईं ओर की श्रेणियां बारीक विवरण का प्रतिनिधित्व करती हैं।

यह भी देखें

 * विविक्त कोसाइन रूपांतरण (डीसीटी)
 * तरंगिका
 * तरंगिका परिवर्तन
 * तरंगिका संपीड़न
 * तरंगिका-संबंधित रूपांतरणों की सूची

बाहरी संबंध

 * Stanford's WaveLab in matlab
 * libdwt, a cross-platform डीडब्ल्यूटी library written in C
 * Concise Introduction to Wavelets by René Puschinger

Wavelet-Transformation Ondelette