वृत्ताकार फलन

जटिल विश्लेषण के गणितीय क्षेत्र में, अण्डाकार फ़ंक्शन एक विशेष प्रकार के मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन फ़ंक्शन होते हैं, जो दो आवधिकता शर्तों को पूरा करते हैं। इन्हें अण्डाकार फलन नाम दिया गया है क्योंकि ये अण्डाकार समाकलन से आते हैं। मूल रूप से वे अभिन्न अंग एक दीर्घवृत्त की चाप लंबाई की गणना पर घटित हुए।

महत्वपूर्ण अण्डाकार फलन हैं जैकोबी अण्डाकार फलन और वीयरस्ट्रैस के अण्डाकार फलन|वीयरस्ट्रैस $$\wp$$-समारोह।

इस सिद्धांत के आगे विकास से हाइपरलिप्टिक वक्र और मॉड्यूलर रूप सामने आए।

परिभाषा
एक मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन को अण्डाकार फ़ंक्शन कहा जाता है, यदि दो हैं $$\mathbb{R}$$-रैखिक स्वतंत्रता जटिल संख्याएँ $$\omega_1,\omega_2\in\mathbb{C}$$ ऐसा है कि


 * $$f(z + \omega_1) = f(z)$$ और $$f(z + \omega_2) = f(z), \quad \forall z\in\mathbb{C}$$.

अतः अण्डाकार फलनों के दो आवर्त होते हैं और इसलिए वे दोहरे आवर्त फलन होते हैं।

अवधि जालक और मौलिक डोमेन
अगर $$f$$ आवर्त के साथ एक अण्डाकार फलन है $$\omega_1,\omega_2$$ यह भी वैसा ही है


 * $$f(z+\gamma)=f(z)$$

प्रत्येक रैखिक संयोजन के लिए $$\gamma=m\omega_1+n\omega_2$$ साथ $$m,n\in\mathbb{Z} $$.

एबेलियन समूह


 * $$\Lambda:=\langle \omega_1,\omega_2\rangle_{\mathbb Z}:=\mathbb Z\omega_1+\mathbb Z\omega_2:=\{m\omega_1+n\omega_2\mid m,n\in\mathbb Z\}$$

आवर्त जालक कहलाता है।

द्वारा उत्पन्न समांतर चतुर्भुज $$\omega_1$$और $$\omega_2$$
 * $$\{\mu\omega_1+\nu\omega_2\mid 0\leq\mu,\nu\leq 1\}$$

का एक मौलिक डोमेन है $$\Lambda$$ समूह कार्रवाई चालू $$\C$$.

ज्यामितीय रूप से जटिल तल को समांतर चतुर्भुजों से टाइल किया गया है। जो कुछ भी एक मौलिक क्षेत्र में होता है वह अन्य सभी में दोहराया जाता है। इसी कारण से हम अण्डाकार फलन को भागफल समूह वाले फलन के रूप में देख सकते हैं $$\mathbb{C}/\Lambda$$ उनके डोमेन के रूप में. इस भागफल समूह, जिसे अण्डाकार वक्र कहा जाता है, को एक समांतर चतुर्भुज के रूप में देखा जा सकता है जहां विपरीत पक्षों की पहचान की जाती है, जो टोपोलॉजी एक टोरस्र्स  है।

लिउविले के प्रमेय
निम्नलिखित तीन प्रमेयों को जोसेफ लिउविले के प्रमेय (1847) के रूप में जाना जाता है।

पहला प्रमेय
एक होलोमोर्फिक अण्डाकार फलन स्थिर होता है। यह लिउविल प्रमेय (जटिल विश्लेषण) का मूल रूप है|लिउविल प्रमेय और इसे इससे प्राप्त किया जा सकता है। एक होलोमोर्फिक अण्डाकार फ़ंक्शन परिबद्ध है क्योंकि यह मौलिक डोमेन पर अपने सभी मान लेता है जो कॉम्पैक्ट है। तो यह लिउविल के प्रमेय द्वारा स्थिर है।

दूसरा प्रमेय
प्रत्येक अण्डाकार फलन में परिमित रूप से कई ध्रुव होते हैं $$\mathbb{C}/\Lambda$$ और इसके अवशेष (जटिल विश्लेषण) का योग शून्य है। इस प्रमेय का तात्पर्य यह है कि मौलिक डोमेन में ऑर्डर एक के बिल्कुल एक ध्रुव या ऑर्डर एक के बिल्कुल एक शून्य के साथ शून्य के बराबर कोई अण्डाकार फ़ंक्शन नहीं है।

तीसरा प्रमेय
एक गैर-स्थिर अण्डाकार फ़ंक्शन प्रत्येक मान पर समान संख्या में बार लेता है $$\mathbb{C}/\Lambda$$ बहुलता से गिना जाता है.

वीयरस्ट्रैस ℘-फ़ंक्शन
सबसे महत्वपूर्ण अण्डाकार कार्यों में से एक वीयरस्ट्रैस है $$\wp$$-समारोह। एक निश्चित अवधि के लिए जाली $$\Lambda$$ इसे परिभाषित किया गया है


 * $$\wp(z)=\frac1{z^2}+\sum_{\lambda\in\Lambda\setminus\{0\}}\left(\frac1{(z-\lambda)^2}-\frac1{\lambda^2}\right).$$

इसका निर्माण इस प्रकार किया गया है कि इसके प्रत्येक जाली बिंदु पर क्रम दो का एक खंभा है। शब्द $$-\frac1{\lambda^2}$$ श्रृंखला को अभिसरण बनाने के लिए है।

$$\wp$$ इसका मतलब यह है कि यह एक सम अण्डाकार फलन है $$\wp(-z)=\wp(z)$$. इसका व्युत्पन्न


 * $$\wp'(z)=-2\sum_{\lambda\in\Lambda}\frac1{(z-\lambda)^3}$$

एक अजीब कार्य है, अर्थात $$\wp'(-z)=-\wp'(z).$$

अण्डाकार कार्यों के सिद्धांत के मुख्य परिणामों में से एक निम्नलिखित है: किसी दिए गए अवधि जाली के संबंध में प्रत्येक अण्डाकार कार्य $$\Lambda$$ के संदर्भ में एक तर्कसंगत कार्य के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$\wp$$ और $$\wp'$$.

$$\wp$$वें>-फ़ंक्शन अंतर समीकरण को संतुष्ट करता है


 * $$\wp'^2(z)=4\wp(z)^3-g_2\wp(z)-g_3.$$

$$g_2$$ और $$g_3$$ स्थिरांक हैं जो निर्भर करते हैं $$\Lambda$$. ज्यादा ठीक $$g_2(\omega_1,\omega_2)=60G_4(\omega_1,\omega_2)$$ और $$g_3(\omega_1,\omega_2)=140G_6(\omega_1,\omega_2)$$, कहाँ $$G_4$$ और $$G_6$$ तथाकथित आइज़ेंस्टीन श्रृंखला कहलाती हैं। बीजगणितीय भाषा में: अण्डाकार फलनों का क्षेत्र, क्षेत्र के समरूपी होता है


 * $$\mathbb C(X)[Y]/(Y^2-4X^3+g_2X+g_3)$$,

जहां समरूपता मानचित्र है $$\wp$$ को $$X$$ और $$\wp'$$ को $$Y$$.

अण्डाकार समाकलन से संबंध
एलिप्टिक इंटीग्रल के संबंध में मुख्य रूप से एक ऐतिहासिक पृष्ठभूमि है। एलिप्टिक इंटीग्रल्स का अध्ययन एड्रियन मैरी लीजेंड्रे द्वारा किया गया था, जिसका काम नील्स हेनरिक एबेल और कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी ने लिया था।

एबेल ने व्युत्क्रम फलन लेकर अण्डाकार फलन की खोज की $$\varphi$$ अण्डाकार अभिन्न कार्य का


 * $$\alpha(x)=\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-c^2t^2)(1+e^2t^2)}}$$

साथ $$x=\varphi(\alpha)$$. इसके अतिरिक्त उन्होंने कार्यों को भी परिभाषित किया
 * $$f(\alpha)=\sqrt{1-c^2\varphi^2(\alpha)}$$

और


 * $$F(\alpha)=\sqrt{1+e^2\varphi^2(\alpha)}$$.

जटिल तल की निरंतरता के बाद वे दोगुने आवधिक हो गए और एबेल अण्डाकार फलन के रूप में जाने जाते हैं।

जैकोबी अण्डाकार फलन को अण्डाकार समाकलन के व्युत्क्रम फलन के समान ही प्राप्त किया जाता है।

जैकोबी ने अभिन्न कार्य पर विचार किया


 * $$\xi(x)=\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}}$$

और इसे उलट दिया: $$x=\operatorname{sn}(\xi)$$. $$\operatorname{sn}$$ साइनस आयाम को दर्शाता है और यह नए फ़ंक्शन का नाम है। इसके बाद उन्होंने कोसाइन आयाम और डेल्टा आयाम फ़ंक्शन पेश किए, जिन्हें इस प्रकार परिभाषित किया गया है:


 * $$\operatorname{cn}(\xi):=\sqrt{1-x^2}

$$
 * $$\operatorname{dn}(\xi):=\sqrt{1-k^2x^2}

$$.

केवल यह कदम उठाकर, जैकोबी 1827 में अण्डाकार अभिन्नों के अपने सामान्य परिवर्तन सूत्र को सिद्ध कर सके।

इतिहास
कैलकुलस के विकास के तुरंत बाद अण्डाकार कार्यों का सिद्धांत इतालवी गणितज्ञ गिउलिओ डि फागनानो और स्विस गणितज्ञ लियोनहार्ड यूलर द्वारा शुरू किया गया था। जब उन्होंने लेम्निस्केट की चाप लंबाई की गणना करने की कोशिश की तो उन्हें अभिन्नों से जुड़ी समस्याओं का सामना करना पड़ा जिसमें डिग्री 3 और 4 के बहुपदों का वर्गमूल शामिल था। यह स्पष्ट था कि उन तथाकथित अण्डाकार अभिन्नों को प्राथमिक कार्यों का उपयोग करके हल नहीं किया जा सकता था। फाग्नानो ने अण्डाकार इंटीग्रल्स के बीच एक बीजगणितीय संबंध देखा, जिसे उन्होंने 1750 में प्रकाशित किया था। यूलर ने तुरंत फाग्नानो के परिणामों को सामान्यीकृत किया और अण्डाकार अभिन्नों के लिए अपने बीजगणितीय जोड़ प्रमेय को प्रस्तुत किया।

जॉन लैंडेन की एक टिप्पणी को छोड़कर उनके विचारों को 1786 तक आगे नहीं बढ़ाया गया, जब एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे ने आर्क्स ऑफ एलिप्से द्वारा एकीकरण पर अपना पेपर मेमोयर्स प्रकाशित किया। लीजेंड्रे ने बाद में अण्डाकार इंटीग्रल्स का अध्ययन किया और उन्हें अण्डाकार कार्य कहा। लिजेंड्रे ने तीन प्रकार का वर्गीकरण प्रस्तुत किया - जो उस समय के अपेक्षाकृत जटिल सिद्धांत का एक महत्वपूर्ण सरलीकरण था। लिजेंड्रे की अन्य महत्वपूर्ण कृतियाँ हैं: मेमोइरे सुर लेस ट्रान्सेंडैंटेस इलिप्टिक्स (1792), इंटीग्रल कैलकुलस में अभ्यास (1811-1817), अण्डाकार कार्यों पर ग्रंथ (1825-1832)। 1826 तक लिजेंड्रे का काम ज्यादातर गणितज्ञों द्वारा अछूता रहा था।

इसके बाद, नील्स हेनरिक एबेल और कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी ने जांच फिर से शुरू की और तुरंत नए परिणाम खोजे। सबसे पहले उन्होंने अण्डाकार अभिन्न फलन को उल्टा कर दिया। 1829 में जैकोबी के एक सुझाव के बाद इन व्युत्क्रम फलनों को अब अण्डाकार फलन कहा जाता है। जैकोबी की सबसे महत्वपूर्ण कृतियों में से एक है फंडामेंटा नोवा थियोरिया फंक्शनम एलिप्टिकेरम जो 1829 में प्रकाशित हुई थी। यूलर द्वारा पाया गया अतिरिक्त प्रमेय 1829 में एबेल द्वारा प्रस्तुत और उसके सामान्य रूप में सिद्ध किया गया था। ध्यान दें कि उन दिनों अण्डाकार कार्यों के सिद्धांत और दोगुने आवधिक कार्यों के सिद्धांत को अलग-अलग सिद्धांत माना जाता था। उन्हें 1856 में चार्ल्स अगस्टे ब्रिओट और जीन-क्लाउड बाउक्वेट द्वारा एक साथ लाया गया था। कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने 30 साल पहले अण्डाकार कार्यों के कई गुणों की खोज की थी लेकिन इस विषय पर कभी कुछ भी प्रकाशित नहीं किया।

यह भी देखें

 * अण्डाकार अभिन्न
 * अण्डाकार वक्र
 * मॉड्यूलर समूह
 * थीटा फ़ंक्शन

साहित्य

 * (केवल वास्तविक अपरिवर्तनीयों के मामले पर विचार करता है)।
 * नौम अखिएज़र|एन. आई. अख़िएज़र, एलिमेंट्स ऑफ़ द थ्योरी ऑफ़ एलिप्टिक फ़ंक्शंस, (1970) मॉस्को, एएमएस ट्रांसलेशन्स ऑफ़ मैथमेटिकल मोनोग्राफ्स वॉल्यूम 79 (1990) एएमएस, रोड आइलैंड के रूप में अंग्रेजी में अनुवादित ISBN 0-8218-4532-2 }
 * टॉम एम. अपोस्टोल, मॉड्यूलर फ़ंक्शंस और नंबर थ्योरी में डिरिचलेट सीरीज़, स्प्रिंगर-वेरलाग, न्यूयॉर्क, 1976। ISBN 0-387-97127-0 (अध्याय 1 देखें)
 * ई. टी. व्हिटेकर और जी. एन. वॉटसन। व्हिटेकर और वॉटसन, कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, 1952

बाहरी संबंध

 * MAA, Translation of Abel's paper on elliptic functions.
 * , lecture by William A. Schwalm (4 hours)
 * , lecture by William A. Schwalm (4 hours)