परमाणु डोमेन

गणित में, विशेष रूप से रिंग सिद्धांत, एक परमाणु डोमेन या गुणनखंड डोमेन एक अभिन्न डोमेन है जिसमें प्रत्येक अशून्य गैर-इकाई को कम से कम एक तरह से अलघुकरणीय तत्वों के परिमित उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है। परमाणु डोमेन अद्वितीय गुणनखंड डोमेन से भिन्न होते हैं, क्योंकि किसी तत्व का अलघुकरणीय में अपघटन अद्वितीय होने की आवश्यकता नहीं है; अलग तरीके से कहा गया है, एक अलघुकरणीय तत्व आवश्यक रूप से एक प्रमुख तत्व नहीं है।

परमाणु डोमेन के महत्वपूर्ण उदाहरणों में सभी अद्वितीय गुणनखंड डोमेन और सभी नोथेरियन डोमेन की श्रेणी सम्मिलित है। अधिक आम तौर पर, प्रमुख आदर्शों (ACCP) पर आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करने वाला कोई भी अभिन्न डोमेन एक परमाणु डोमेन है। हालांकि कॉनवर्स (तर्क) कोहन के शोध पत्र में इसके विपरीत होने का दावा किया गया है, यह झूठा माना जाता है।

शब्द "परमाणु" पी. एम. कोह्न के कारण है, जिन्होंने एक अभिन्न डोमेन के एक अलघुकरणीय तत्व को "परमाणु" कहा था।

प्रेरणा
इस खंड में, एक वलय (गणित) को केवल एक अमूर्त समुच्चय के रूप में देखा जा सकता है जिसमें कोई जोड़ और गुणन की संक्रियाएँ कर सकता है; पूर्णांकों के समान।

पूर्णांकों का वलय (अर्थात् जोड़ और गुणन की प्राकृतिक संक्रियाओं के साथ पूर्णांकों का समुच्चय) कई महत्वपूर्ण गुणों को संतुष्ट करता है। ऐसा ही एक गुण है अंकगणित का मूलभूत प्रमेय। इस प्रकार, जब अमूर्त रिंग पर विचार किया जाता है, तो यह पूछने के लिए एक स्वाभाविक प्रश्न है कि ऐसी प्रमेय किन परिस्थितियों में होती है। चूंकि एक अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन सटीक रूप से एक वलय है जिसमें अंकगणित के मौलिक प्रमेय का एक अनुरूप धारण करता है, इस प्रश्न का उत्तर आसानी से दिया जाता है। हालांकि, एक ध्यान करता है कि अंकगणित के मौलिक प्रमेय के दो पहलू हैं: पहला, कि कोई भी पूर्णांक अभाज्य संख्याओं का परिमित गुणनफल है, और दूसरा, कि यह गुणनफल पुनर्व्यवस्था (और इकाइयों द्वारा गुणा तक) अद्वितीय है। इसलिए, यह पूछना भी स्वाभाविक है कि किन परिस्थितियों में किसी रिंग के विशेष तत्वों को विशिष्टता की आवश्यकता के बिना "विघटित": किया जा सकता है। एक परमाणु डोमेन की अवधारणा इसे संबोधित करती है।

परिभाषा
माना R एक पूर्णांकीय प्रांत है। यदि R की प्रत्येक अशून्य गैर-इकाई x को अलघुकरणीय तत्वों के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है, तो R को एक परमाणु डोमेन के रूप में संदर्भित किया जाता है। (उत्पाद आवश्यक रूप से परिमित है, क्योंकि अनंत उत्पादों को रिंग थ्योरी में परिभाषित नहीं किया गया है। इस तरह के उत्पाद को एक कारक के रूप में एक से अधिक बार एक ही अलघुकरणीय तत्व को सम्मिलित करने की अनुमति है।) ऐसी किसी भी अभिव्यक्ति को x का गुणनखंड कहा जाता है।

विशेष मामले
एक परमाणु डोमेन में, यह संभव है कि एक ही तत्व x के विभिन्न गुणनखंडों की लंबाई अलग-अलग हो। यह भी संभव है कि x के गुणनखंडों के बीच अलघुकरणीय कारकों की संख्या पर कोई बाध्यता नहीं है। यदि इसके विपरीत कारकों की संख्या प्रत्येक अशून्य गैर-इकाई x के लिए परिबद्ध है, तो R एक 'बाध्य कारककरण डोमेन' ('BFD') है; औपचारिक रूप से इसका अर्थ है कि ऐसे प्रत्येक x के लिए एक पूर्णांक N उस्थिपत है जैसे कि यदि  कोई भी xi व्युत्क्रमणीय नहीं है तो n < N।

यदि ऐसी कोई सीमा उस्थिपत है, तो x से 1 तक उचित विभाजकों की कोई भी श्रृंखला लंबाई में इस सीमा से अधिक नहीं हो सकती है (चूंकि प्रत्येक चरण में भागफल को कारक बनाया जा सकता है, श्रृंखला के प्रत्येक चरण के लिए कम से कम एक अप्रासंगिक कारक के साथ x का गुणनखंड उत्पन्न किया जा सकता है), इसलिए R के प्रमुख आदर्शों की कोई अनंत सख्ती से आरोही श्रृंखला नहीं हो सकती है। वह स्थिति, जिसे प्रमुख आदर्शों या एसीसीपी पर आरोही श्रृंखला की स्थिति कहा जाता है, बीएफडी की स्थिति से सख्ती से कमजोर है, और परमाणु स्थिति से सख्ती से मजबूत है (दूसरे शब्दों में, भले ही उचित विभाजकों की अनंत श्रृंखलाएं उस्थिपत हों, फिर भी यह हो सकता है कि प्रत्येक x में परिमित गुणनखंड हो )।

दो स्वतंत्र स्थितियाँ जो बीएफडी स्थिति की तुलना में सख्ती से मजबूत हैं, अर्ध-तथ्यात्मक डोमेन स्थिति हैं (एचएफडी: किसी दिए गए 'x के किसी भी दो गुणनखंडों की लंबाई समान है) और परिमित कारककरण गुणनखंडन डोमेन स्थिति (एफएफडी: किसी भी  x में एक परिमित संख्या है) गैर-सहयोगी विभाजकों की)। प्रत्येक विशिष्ट गुणनखंडन डोमेन स्पष्ट रूप से इन दो शर्तों को पूरा करता है, लेकिन न तो अद्वितीय गुणनखंड का अर्थ है।