पृथक समय और निरंतर समय

गणितीय गतिशीलता में, असतत समय और निरंतर समय दो वैकल्पिक ढांचे हैं जिनके भीतर समय के साथ विकसित होने वाले चर (गणित) को मॉडल किया जाता है।

अलग समय
असतत समय चर के मूल्यों को समय के अलग-अलग, अलग-अलग बिंदुओं पर घटित होता है, या समकक्ष रूप से समय के प्रत्येक गैर-शून्य क्षेत्र (समय अवधि) में अपरिवर्तित माना जाता है - अर्थात, समय को एक अलग चर के रूप में देखा जाता है। इस प्रकार एक गैर-समय चर एक मान से दूसरे मान पर कूदता है क्योंकि समय एक समय अवधि से दूसरे समय में स्थानांतरित होता है। समय का यह दृश्य एक डिजिटल घड़ी से मेल खाता है जो थोड़ी देर के लिए 10:37 की एक निश्चित रीडिंग देता है, और फिर 10:38 की एक नई निश्चित रीडिंग पर चला जाता है, आदि। इस ढांचे में, ब्याज के प्रत्येक चर को प्रत्येक पर एक बार मापा जाता है समय सीमा। किन्हीं दो समयावधियों के बीच माप की संख्या सीमित है। माप आम तौर पर परिवर्तनीय समय के अनुक्रमिक पूर्णांक मानों पर किए जाते हैं।

असतत संकेत या असतत-समय संकेत एक समय श्रृंखला है जिसमें मात्राओं का अनुक्रम होता है।

निरंतर-समय संकेत के विपरीत, एक असतत-समय संकेत निरंतर तर्क का कार्य नहीं है; हालाँकि, यह निरंतर समय सिग्नल से नमूनाकरण (सिग्नल प्रोसेसिंग) द्वारा प्राप्त किया गया हो सकता है। जब एक समान दूरी वाले समय पर अनुक्रम का नमूना लेकर एक अलग-समय संकेत प्राप्त किया जाता है, तो इसमें एक संबद्ध नमूना दर होती है।

असतत-समय संकेतों के कई मूल हो सकते हैं, लेकिन आमतौर पर इन्हें दो समूहों में से एक में वर्गीकृत किया जा सकता है:
 * स्थिर या परिवर्तनीय दर पर एनालॉग संकेत  के मान प्राप्त करके। इस प्रक्रिया को सैम्पलिंग (सिग्नल प्रोसेसिंग) कहा जाता है।
 * स्वाभाविक रूप से अलग-अलग समय की प्रक्रिया का अवलोकन करके, जैसे कि किसी विशेष आर्थिक संकेतक का साप्ताहिक शिखर मूल्य।

निरंतर समय
इसके विपरीत, निरंतर समय चरों को केवल अत्यंत कम समय के लिए एक विशेष मान के रूप में देखता है। समय के किन्हीं दो बिंदुओं के बीच अनंत संख्या में अन्य समय बिंदु होते हैं। परिवर्तनीय समय संपूर्ण [[वास्तविक संख्या]] रेखा पर, या संदर्भ के आधार पर, इसके कुछ उपसमुच्चय जैसे कि गैर-नकारात्मक वास्तविक पर निर्भर करता है। इस प्रकार समय को एक सतत चर के रूप में देखा जाता है।

एक सतत संकेत या एक सतत-समय संकेत एक भिन्न मात्रा है (एक संकेत (सूचना सिद्धांत)) जिसका डोमेन, जो अक्सर समय होता है, एक सातत्य (सेट सिद्धांत) है (उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्या का एक जुड़ा हुआ स्थान अंतराल)। अर्थात्, फ़ंक्शन का डोमेन एक बेशुमार सेट है। फ़ंक्शन को निरंतर कार्य करने की आवश्यकता नहीं है। इसके विपरीत, एक असतत समय | असतत-समय सिग्नल में प्राकृतिक संख्याओं की तरह एक गणनीय सेट डोमेन होता है।

निरंतर आयाम और समय के सिग्नल को निरंतर-समय सिग्नल या एनालॉग सिग्नल के रूप में जाना जाता है। इसका (सिग्नल (इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग)) हर समय कुछ न कुछ मूल्य होगा। तापमान, दबाव, ध्वनि आदि भौतिक मात्राओं के अनुपात में प्राप्त विद्युत संकेत आम तौर पर निरंतर संकेत होते हैं। सतत संकेतों के अन्य उदाहरण साइन तरंग, कोसाइन तरंग, त्रिकोणीय तरंग आदि हैं।

सिग्नल को एक डोमेन पर परिभाषित किया जाता है, जो परिमित हो भी सकता है और नहीं भी, और डोमेन से सिग्नल के मूल्य तक एक कार्यात्मक मैपिंग होती है। वास्तविक संख्याओं के घनत्व के नियम के संबंध में समय चर की निरंतरता का मतलब है कि संकेत मान समय के किसी भी मनमाने बिंदु पर पाया जा सकता है।

अनंत अवधि सिग्नल का एक विशिष्ट उदाहरण है:


 * $$f(t) = \sin(t), \quad t \in \mathbb{R}$$

उपरोक्त सिग्नल का एक सीमित अवधि समकक्ष हो सकता है:


 * $$f(t) = \sin(t), \quad t \in [-\pi,\pi]$$ और $$f(t) = 0$$ अन्यथा।

एक परिमित (या अनंत) अवधि संकेत का मान परिमित हो भी सकता है और नहीं भी। उदाहरण के लिए,


 * $$f(t) = \frac{1}{t}, \quad t \in [0,1]$$ और $$f(t) = 0$$ अन्यथा,

यह एक सीमित अवधि का संकेत है लेकिन इसके लिए अनंत मान की आवश्यकता होती है $$t = 0\,$$.

कई विषयों में, परंपरा यह है कि एक सतत संकेत का हमेशा एक सीमित मूल्य होना चाहिए, जो भौतिक संकेतों के मामले में अधिक समझ में आता है।

कुछ उद्देश्यों के लिए, अनंत विलक्षणताएं तब तक स्वीकार्य हैं जब तक सिग्नल किसी भी सीमित अंतराल पर एकीकृत है (उदाहरण के लिए, $$t^{-1}$$ संकेत अनंत पर समाकलनीय नहीं है, लेकिन $$t^{-2}$$ है)।

कोई भी एनालॉग सिग्नल स्वभाव से निरंतर होता है। अंकीय संकेत प्रक्रिया  में उपयोग किए जाने वाले असतत-समय सिग्नल, निरंतर सिग्नल के नमूने (सिग्नल प्रोसेसिंग) और क्वांटिज़ेशन (सिग्नल प्रोसेसिंग) द्वारा प्राप्त किए जा सकते हैं।

सतत संकेत को समय के अलावा किसी स्वतंत्र चर पर भी परिभाषित किया जा सकता है। एक और बहुत सामान्य स्वतंत्र चर है स्पेस और विशेष रूप से मूर्ति प्रोद्योगिकी  में उपयोगी है, जहां दो स्पेस आयामों का उपयोग किया जाता है।

प्रासंगिक संदर्भ
जब अनुभवजन्य माप शामिल होते हैं तो अक्सर अलग-अलग समय का उपयोग किया जाता है, क्योंकि आम तौर पर चर को केवल क्रमिक रूप से मापना संभव होता है। उदाहरण के लिए, जबकि आर्थिक गतिविधि वास्तव में निरंतर होती रहती है, ऐसा कोई क्षण नहीं होता जब अर्थव्यवस्था पूरी तरह से रुक जाती है, केवल आर्थिक गतिविधि को विवेकपूर्वक मापना संभव है। इस कारण से, उदाहरण के लिए, सकल घरेलू उत्पाद पर प्रकाशित डेटा कैलेंडर वर्ष#तिमाही मूल्यों का एक क्रम दिखाएगा।

जब कोई ऐसे चर को अन्य चर और/या अपने पूर्व मूल्यों के संदर्भ में अनुभवजन्य रूप से समझाने का प्रयास करता है, तो वह समय श्रृंखला या प्रतिगमन विश्लेषण विधियों का उपयोग करता है जिसमें चर को एक सबस्क्रिप्ट के साथ अनुक्रमित किया जाता है जो उस समय अवधि को दर्शाता है जिसमें अवलोकन हुआ था। उदाहरण के लिए, वाईt अनिर्दिष्ट समय अवधि t, y में देखी गई आय के मूल्य को संदर्भित कर सकता है3 तीसरी समय अवधि में देखी गई आय का मूल्य, आदि।

इसके अलावा, जब एक शोधकर्ता यह समझाने के लिए एक सिद्धांत विकसित करने का प्रयास करता है कि अलग-अलग समय में क्या देखा जाता है, तो अक्सर समय श्रृंखला या प्रतिगमन मॉडल के विकास को सुविधाजनक बनाने के लिए सिद्धांत को अलग-अलग समय में व्यक्त किया जाता है।

दूसरी ओर, निरंतर समय में वैज्ञानिक सिद्धांतों का निर्माण करना अक्सर अधिक गणितीय रूप से बंद रूप वाला समाधान होता है, और अक्सर भौतिकी जैसे क्षेत्रों में सटीक विवरण के लिए निरंतर समय के उपयोग की आवश्यकता होती है। निरंतर समय के संदर्भ में, किसी अनिर्दिष्ट समय बिंदु पर चर y का मान y(t) के रूप में दर्शाया जाता है या, जब अर्थ स्पष्ट हो, तो बस y के रूप में दर्शाया जाता है।

अलग समय
असतत समय अंतर समीकरणों का उपयोग करता है, जिन्हें पुनरावृत्ति संबंध के रूप में भी जाना जाता है। एक उदाहरण, जिसे लॉजिस्टिक मानचित्र या लॉजिस्टिक समीकरण के रूप में जाना जाता है


 * $$ x_{t+1} = rx_t(1-x_t),$$

जिसमें r 2 से 4 तक की सीमा में एक पैरामीटर#गणितीय कार्य है, और x 0 से 1 तक की सीमा में एक चर है, जिसका अवधि t में मान गैर-रैखिकता अगले अवधि, t+1 में इसके मूल्य को प्रभावित करता है। उदाहरण के लिए, यदि $$r=4$$ और $$x_1 = 1/3$$, तो t=1 के लिए हमारे पास है $$x_2=4(1/3)(2/3)=8/9$$, और t=2 के लिए हमारे पास है $$x_3=4(8/9)(1/9)=32/81$$.

एक अन्य उदाहरण किसी उत्पाद की गैर-शून्य अतिरिक्त मांग के जवाब में मूल्य पी के समायोजन को मॉडल करता है


 * $$P_{t+1} = P_t + \delta \cdot f(P_t,...)$$

कहाँ $$\delta$$ समायोजन की सकारात्मक गति पैरामीटर है जो 1 से कम या उसके बराबर है, और कहाँ है $$f$$ अतिरिक्त मांग फलन है.

निरंतर समय
सतत समय विभेदक समीकरणों का उपयोग करता है। उदाहरण के लिए, किसी उत्पाद के लिए गैर-शून्य अतिरिक्त मांग के जवाब में मूल्य पी का समायोजन निरंतर समय में किया जा सकता है


 * $$\frac{dP}{dt}=\lambda \cdot f(P,...)$$

जहां बाईं ओर समय के संबंध में कीमत का पहला व्युत्पन्न है (अर्थात, कीमत में परिवर्तन की दर), $$\lambda$$ समायोजन की गति पैरामीटर है जो कोई भी सकारात्मक परिमित संख्या हो सकती है, और $$f$$ यह फिर से अतिरिक्त मांग फलन है।

चित्रमय चित्रण
असतत समय में मापा गया एक चर एक चरण फ़ंक्शन के रूप में प्लॉट किया जा सकता है, जिसमें प्रत्येक समय अवधि को हर अन्य समय अवधि के समान लंबाई के क्षैतिज अक्ष पर एक क्षेत्र दिया जाता है, और मापा चर को एक ऊंचाई के रूप में प्लॉट किया जाता है जो पूरे समय स्थिर रहता है समयावधि का क्षेत्र. इस ग्राफ़िकल तकनीक में, ग्राफ़ क्षैतिज चरणों के अनुक्रम के रूप में दिखाई देता है। वैकल्पिक रूप से, प्रत्येक समय अवधि को समय में एक अलग बिंदु के रूप में देखा जा सकता है, आमतौर पर क्षैतिज अक्ष पर एक पूर्णांक मान पर, और मापा चर को उस समय-अक्ष बिंदु से ऊपर की ऊंचाई के रूप में प्लॉट किया जाता है। इस तकनीक में, ग्राफ़ बिंदुओं के एक सेट के रूप में दिखाई देता है।

निरंतर समय में मापे गए एक चर के मानों को एक सतत फलन के रूप में आलेखित किया जाता है, क्योंकि समय के क्षेत्र को संपूर्ण वास्तविक अक्ष या कम से कम उसका कुछ जुड़ा हुआ भाग माना जाता है।

यह भी देखें

 * उपनाम करना
 * बर्नौली प्रक्रिया
 * डिजिटल डाटा
 * असतत कलन
 * अलग व्यवस्था
 * विवेकाधिकार
 * सामान्यीकृत आवृत्ति (डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग)
 * नाइक्विस्ट-शैनन नमूनाकरण प्रमेय
 * समय-पैमाने की गणना

संदर्भ