अभिसरण के तरीके

गणित में, ऐसे कई अर्थ हैं जिनमें एक अनुक्रम या श्रृंखला को अभिसरण कहा जाता है। यह आलेख उन सेटिंग्स में अभिसरण के विभिन्न तरीकों (इंद्रियों या प्रजातियों) का वर्णन करता है जहां उन्हें परिभाषित किया गया है। अभिसरण के तरीकों की सूची के लिए, अभिसरण के तरीके (एनोटेटेड इंडेक्स) देखें

ध्यान दें कि निम्नलिखित वस्तुओं में से प्रत्येक अपने पूर्ववर्ती प्रकारों का एक विशेष मामला है: सेट (गणित), टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान, यूनिफ़ॉर्म स्पेस, टोपोलॉजिकल एबेलियन समूह (टोपोलॉजिकल एबेलियन समूह), सामान्यीकृत सदिश स्थान,  यूक्लिडियन स्थान  और वास्तविक/जटिल संख्याएँ। साथ ही, ध्यान दें कि कोई भी मीट्रिक स्थान एक समान स्थान है।

टोपोलॉजिकल स्पेस के तत्व
अभिसरण को प्रथम-गणनीय स्थानों में अनुक्रम की सीमा के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। नेट (गणित) अनुक्रमों का एक सामान्यीकरण है जो उन स्थानों में उपयोगी होते हैं जो पहले गणनीय नहीं होते हैं। फ़िल्टर (सेट सिद्धांत) अभिसरण की अवधारणा को और सामान्यीकृत करता है।

मीट्रिक रिक्त स्थान में, कोई कॉची अनुक्रमों को परिभाषित कर सकता है। कॉची नेट और फिल्टर एकसमान स्थानों के लिए सामान्यीकरण हैं। इससे भी अधिक सामान्यतः, कॉची रिक्त स्थान वे स्थान हैं जिनमें कॉची फ़िल्टर को परिभाषित किया जा सकता है। अभिसरण का अर्थ है कॉची-अभिसरण, और कॉची-अभिसरण, एक साथ एक अभिसरण अनुवर्ती के अस्तित्व का अर्थ है अभिसरण। मीट्रिक रिक्त स्थान के पूर्ण मीट्रिक स्थान की अवधारणा और इसके सामान्यीकरण को कॉची अनुक्रमों के संदर्भ में परिभाषित किया गया है।

टोपोलॉजिकल एबेलियन समूह में तत्वों की श्रृंखला
टोपोलॉजिकल एबेलियन समूह में, एक श्रृंखला (गणित) के अभिसरण को आंशिक योगों के अनुक्रम के अभिसरण के रूप में परिभाषित किया गया है। श्रृंखला पर विचार करते समय एक महत्वपूर्ण अवधारणा बिना शर्त अभिसरण है, जो गारंटी देती है कि श्रृंखला की सीमा सारांश के क्रमपरिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है।

एक मानक वेक्टर स्थान में, कोई पूर्ण अभिसरण को मानदंडों की श्रृंखला के अभिसरण के रूप में परिभाषित कर सकता है ($$\Sigma|b_k|$$). निरपेक्ष अभिसरण का अर्थ है आंशिक योगों के अनुक्रम का कॉची अभिसरण (त्रिभुज असमानता द्वारा), जो बदले में कुछ समूहों के पूर्ण-अभिसरण (पुनर्क्रमण नहीं) को दर्शाता है। समूहीकरण द्वारा प्राप्त आंशिक योगों का क्रम मूल श्रृंखला के आंशिक योगों का अनुवर्ती है। बिल्कुल अभिसरण श्रृंखला का मानक अभिसरण एक मानक रैखिक स्थान के लिए बानाच स्थान (यानी: पूर्ण) होने के लिए एक समतुल्य स्थिति है।

पूर्ण अभिसरण और अभिसरण एक साथ बिना शर्त अभिसरण का अर्थ है, लेकिन बिना शर्त अभिसरण सामान्य रूप से पूर्ण अभिसरण का अर्थ नहीं है, भले ही स्थान बनच हो, हालांकि निहितार्थ में निहित है $$\mathbb{R}^d$$.

टोपोलॉजिकल स्पेस पर कार्यों के अनुक्रम का अभिसरण
फ़ंक्शंस के अनुक्रम के लिए अभिसरण का सबसे बुनियादी प्रकार (विशेष रूप से, यह फ़ंक्शंस के फ़ंक्शन के डोमेन पर किसी भी टोपोलॉजिकल संरचना को नहीं मानता है) बिंदुवार अभिसरण है। इसे प्रत्येक बिंदु पर कार्यों के मूल्यों के अनुक्रम के अभिसरण के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि फ़ंक्शन अपने मानों को एक समान स्थान में लेते हैं, तो कोई बिंदुवार कॉची अभिसरण, समान अभिसरण और अनुक्रम के समान रूप से कॉची अनुक्रम को परिभाषित कर सकता है।

बिंदुवार अभिसरण का तात्पर्य बिंदुवार कॉची-अभिसरण से है, और यदि वह स्थान जिसमें फ़ंक्शन अपना मान लेते हैं, पूरा हो जाता है, तो इसका विपरीत माना जाता है। एकसमान अभिसरण का तात्पर्य बिंदुवार अभिसरण और एकसमान कॉची अभिसरण से है। एक समान कॉची अभिसरण और एक अनुवर्ती का बिंदुवार अभिसरण अनुक्रम का एक समान अभिसरण दर्शाता है, और यदि कोडोमेन पूरा हो गया है, तो एक समान कॉची अभिसरण एक समान अभिसरण दर्शाता है।

यदि फ़ंक्शंस का डोमेन एक टोपोलॉजिकल स्पेस है, तो स्थानीय समान अभिसरण (यानी प्रत्येक बिंदु के पड़ोस पर समान अभिसरण) और कॉम्पैक्ट अभिसरण | सघन उपसमुच्चयसमान) अभिसरण (यानी सभी कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय पर समान अभिसरण) को परिभाषित किया जा सकता है। ध्यान दें स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट एकसमान अभिसरण के लिए कॉम्पैक्ट अभिसरण हमेशा छोटा होता है, क्योंकि कॉम्पैक्ट बिंदुवार अभिसरण का मतलब बिंदुवार अभिसरण के समान ही होगा (बिंदु हमेशा कॉम्पैक्ट होते हैं)।

समान अभिसरण का तात्पर्य स्थानीय समान अभिसरण और कॉम्पैक्ट अभिसरण दोनों से है, क्योंकि दोनों स्थानीय धारणाएँ हैं जबकि समान अभिसरण वैश्विक है। यदि मोटे तौर पर कहें तो, ऐसा इसलिए है क्योंकि स्थानीय और कॉम्पैक्ट एक ही चीज़ को दर्शाते हैं।

टोपोलॉजिकल एबेलियन समूह पर कार्यों की श्रृंखला
कार्यों की श्रृंखला के बिंदुवार और समान अभिसरण को आंशिक योगों के अनुक्रम के अभिसरण के संदर्भ में परिभाषित किया गया है।

मानक रैखिक स्थान में मान लेने वाले कार्यों के लिए, पूर्ण अभिसरण सकारात्मक, वास्तविक-मूल्यवान कार्यों की श्रृंखला के अभिसरण को संदर्भित करता है $$\Sigma|g_k|$$. बिंदुवार निरपेक्ष अभिसरण तो बस बिंदुवार अभिसरण है $$\Sigma|g_k|$$. सामान्य अभिसरण गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्याओं की श्रृंखला का अभिसरण है जो श्रृंखला में प्रत्येक फ़ंक्शन के एकसमान मानदंड (अर्थात् सुपर) मानदंड को लेकर प्राप्त किया जाता है (समान अभिसरण) $$\Sigma|g_k|$$). बानाच स्थानों में, बिंदुवार पूर्ण अभिसरण का अर्थ बिंदुवार अभिसरण है, और सामान्य अभिसरण का अर्थ समान अभिसरण है।

टोपोलॉजिकल स्पेस पर परिभाषित कार्यों के लिए, कोई (ऊपर के अनुसार) स्थानीय समान अभिसरण और कॉम्पैक्ट अभिसरण | कॉम्पैक्ट (समान) अभिसरण को श्रृंखला के आंशिक योग के संदर्भ में परिभाषित कर सकता है। यदि, इसके अलावा, फ़ंक्शन एक मानक रैखिक स्थान में मान लेते हैं, तो सामान्य अभिसरण # स्थानीय सामान्य अभिसरण (स्थानीय, वर्दी, पूर्ण अभिसरण) और सामान्य अभिसरण # कॉम्पैक्ट सामान्य अभिसरण (कॉम्पैक्ट सेट पर पूर्ण अभिसरण) को परिभाषित किया जा सकता है।

सामान्य अभिसरण का तात्पर्य स्थानीय सामान्य अभिसरण और सघन सामान्य अभिसरण दोनों से है। और यदि डोमेन स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है (सबसे कमजोर अर्थ में भी), तो स्थानीय सामान्य अभिसरण का तात्पर्य कॉम्पैक्ट सामान्य अभिसरण से है।

माप स्थान पर परिभाषित कार्य
यदि कोई मापने योग्य कार्यों के अनुक्रम पर विचार करता है, तो अभिसरण के कई तरीके उत्पन्न होते हैं जो केवल टोपोलॉजिकल गुणों के बजाय माप-सैद्धांतिक पर निर्भर करते हैं। इसमें लगभग हर जगह बिंदुवार अभिसरण, पी-माध्य में अभिसरण और माप में अभिसरण शामिल है। ये संभाव्यता सिद्धांत में विशेष रुचि रखते हैं।

यह भी देखें


श्रेणी:टोपोलॉजी श्रेणी:अभिसरण (गणित)