पॉकेट सेट सिद्धांत

पॉकेट सेट सिद्धांत (पीएसटी) एक वैकल्पिक सेट सिद्धांत है जिसमें केवल दो अपरिमित कार्डिनल संख्याएं ℵ0 (एलेफ़-नॉट, सभी प्राकृतिक संख्याओं के सेट का  गणनांक) और c (सातत्य का गणनांक) हैं। इस सिद्धांत का सुझाव सर्वप्रथम रूडी रूकर ने अपनी इन्फिनिटी एंड द माइंड में दिया था। इस प्रविष्टि में दिए गए विवरण अमेरिकी गणितज्ञ रान्डेल एम. होम्स की देन हैं।

पीएसटी का समर्थन करने वाले तर्क
पीएसटी जैसे न्यूनतम सेट सिद्धांत के पक्ष में कम से कम दो स्वतंत्र तर्क हैं। इस प्रकार, यह सोचने के कारण हैं कि कैंटर का अनंतों का अनंत पदानुक्रम अनावश्यक है। पॉकेट सेट सिद्धांत एक "न्यूनतम" सेट सिद्धांत है जो केवल दो अनंत की अनुमति देता है: एलेफ़ संख्या#एलेफ़-नल|कार्डिनैलिटी $$\scriptstyle{\aleph_0}$$(मानक) प्राकृतिक संख्याओं और सातत्य की कार्डिनैलिटी|कार्डिनैलिटी $$\scriptstyle{2^{\aleph_0}}$$(मानक) वास्तविकताओं का।
 * 1) सेट सिद्धांत के बाहर गणितीय अभ्यास से कोई यह धारणा प्राप्त कर सकता है कि "केवल दो अनंत कार्डिनल हैं जो स्पष्ट रूप से 'प्रकृति में होते हैं' (प्राकृतिक संख्याओं की कार्डिनैलिटी और सातत्य की कार्डिनैलिटी)," इसलिए "सेट सिद्धांत शास्त्रीय गणित का समर्थन करने के लिए आवश्यकता से कहीं अधिक अधिरचना का उत्पादन करता है।" हालाँकि यह अतिशयोक्ति हो सकती है (कोई ऐसी स्थिति में आ सकता है जिसमें किसी को वास्तविक संख्याओं या वास्तविक कार्यों के मनमाने सेट के बारे में बात करनी पड़े), कुछ तकनीकी युक्तियों के साथ पीएसटी के भीतर गणित के एक बड़े हिस्से का पुनर्निर्माण किया जा सकता है; निश्चित रूप से इसके अधिकांश व्यावहारिक अनुप्रयोगों के लिए पर्याप्त है।
 * 2) दूसरा तर्क गणित की नींव के विचारों से उत्पन्न होता है। अधिकांश गणित सेट सिद्धांत में गणित का कार्यान्वयन स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत या इसके बड़े विकल्पों में से एक हो सकता है। दूसरी ओर, सेट सिद्धांतों को एक तार्किक प्रणाली के संदर्भ में पेश किया जाता है; अधिकांश मामलों में यह प्रथम-क्रम तर्क है। दूसरी ओर, प्रथम-क्रम तर्क का वाक्यविन्यास और शब्दार्थ सेट-सैद्धांतिक आधार पर बनाया गया है। इस प्रकार, एक मूलभूत वृत्ताकारता है, जो हमें बूटस्ट्रैपिंग के लिए यथासंभव कमजोर सिद्धांत चुनने के लिए मजबूर करती है। विचार की यह पंक्ति, फिर से, छोटे-छोटे सिद्धांतों की ओर ले जाती है।

सिद्धांत
पीएसटी पहचान और बाइनरी संबंध प्रतीक के साथ मानक प्रथम-क्रम भाषा का उपयोग करता है $$\scriptstyle{ \in }$$. साधारण चर अपर केस एक्स, वाई आदि हैं। इच्छित व्याख्या में, ये चर वर्ग (सेट सिद्धांत) और परमाणु सूत्र के लिए हैं $$\scriptstyle{ X \in Y }$$ इसका मतलब है कि कक्षा X, कक्षा Y का एक तत्व है। समुच्चय एक वर्ग है जो वर्ग का एक तत्व है। छोटे केस वेरिएबल x, y, आदि सेट के लिए खड़े हैं। एक उचित वर्ग वह वर्ग है जो समुच्चय नहीं है। यदि उनके बीच एक आक्षेप मौजूद है तो दो वर्ग समसंख्यात्मकता हैं। एक वर्ग अनंत है यदि वह अपने उचित उपवर्गों में से एक के साथ समतुल्य है। पीएसटी के अभिगृहीत हैं
 * '(ए1)' (विस्तारकता) - जिन वर्गों में समान तत्व होते हैं वे समान होते हैं।
 * $$ \forall z \, ( z \in X \leftrightarrow z \in Y ) \rightarrow X = Y $$
 * (ए2) (वर्ग समझ) - यदि $$ \scriptstyle{\phi (x)} $$ एक सूत्र है, तो एक वर्ग मौजूद है जिसके तत्व बिल्कुल वे सेट x हैं जो संतुष्ट करते हैं $$ \scriptstyle{\phi (x)} $$.
 * $$ \exists Y \forall x \, ( x \in Y \leftrightarrow \phi (x)) $$
 * (ए3) (अनंत का अभिगृहीत) - एक अनंत समुच्चय है, और सभी अनंत समुच्चय समसंख्य हैं।
 * $$ \exists x \, ( \mathrm{inf}(x) \land \forall y \, ( \mathrm{inf}(y) \rightarrow x \approx y ) ) $$
 * (inf(x) का अर्थ है "x अनंत है"; $$\scriptstyle{ x \approx y }$$ संक्षेप में बताता है कि x, y के बराबर है।)
 * '(ए4)' (आकार की सीमा) - एक वर्ग एक उचित वर्ग है यदि और केवल तभी जब वह सभी उचित वर्गों के साथ समतुल्य हो।


 * $$ \forall X \forall Y \, ( ( \mathrm{pr}(X) \land \mathrm{pr}(Y) ) \leftrightarrow ( \mathrm{pr}(X) \land X \approx Y ) )$$
 * (pr(X) का अर्थ है "X एक उचित वर्ग है"।)

अभिगृहीतों पर टिप्पणियाँ

 * हालाँकि कक्षाओं और सेटों के लिए विभिन्न प्रकार के चर का उपयोग किया जाता है, भाषा बहु-क्रमबद्ध नहीं होती है; सेट की पहचान समान एक्सटेंशन वाले वर्गों से की जाती है। छोटे केस वेरिएबल्स का उपयोग विभिन्न संदर्भों के लिए मात्र संक्षिप्ताक्षरों के रूप में किया जाता है; जैसे,
 * $$\forall x \, \phi (x) \Leftrightarrow_{\mathrm{def}} \forall X \, ( \mathrm{set}(X) \rightarrow \phi (X) )$$


 * चूँकि A2 में परिमाणीकरण वर्गों के आधार पर भिन्न-भिन्न होता है, अर्थात्, $$ \scriptstyle{\phi (x)} $$ सेट-बाउंड नहीं है, A2 मोर्स-केली सेट सिद्धांत की समझ योजना है, न कि वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट सिद्धांत की। A2 की यह अतिरिक्त ताकत ऑर्डिनल्स की परिभाषा में नियोजित है (यहां प्रस्तुत नहीं है)।
 * चूँकि युग्म का कोई स्वयंसिद्ध सिद्धांत नहीं है, इसलिए यह सिद्ध किया जाना चाहिए कि किन्हीं दो समुच्चयों x और y के लिए, क्रमित युग्म#कुराटोव्स्की परिभाषा {{x},{x,y}} अस्तित्व में है और एक समुच्चय है। इसलिए यह साबित करना कि दो वर्गों के बीच एक-से-एक पत्राचार मौजूद है, यह साबित नहीं होता है कि वे समसंख्यक हैं।
 * पॉकेट सेट सिद्धांत तीसरे क्रम के अंकगणित के अनुरूप है, जिसमें प्राकृतिक संख्याओं के उपसमुच्चय और प्राकृतिक संख्याओं के पावरसेट के उपसमुच्चय के अनुरूप सेट और वर्ग होते हैं।
 * पॉकेट सेट सिद्धांत के लिए एक मॉडल पॉकेट सेट सिद्धांत के सेट को HC के रचनात्मक तत्व (आनुवंशिक रूप से गणनीय सेट का सेट) और वर्गों को HC के रचनात्मक उपसमुच्चय के रूप में लेते हुए दिया गया है।

कुछ पीएसटी प्रमेय

 * 1. रसेल वर्ग $$\scriptstyle{ \mathrm{R}}$$ एक उचित वर्ग है. ($$\scriptstyle{ \mathrm{R} =_{\mathrm{def}} \{ x\,|\,x\notin x\} }$$)
 * सबूत। $$\scriptstyle{ \mathrm{R}}$$ रसेल के विरोधाभास द्वारा सेट नहीं किया जा सकता। ∎


 * 2. खाली कक्षा $$\scriptstyle{ \emptyset }$$ एक सेट है. ($$\scriptstyle{ \emptyset =_{\mathrm{def}} \{ x\,|\,x\neq x\} }$$)
 * सबूत। मान लीजिए (बेतुकेपन को कम करना#गणित में) वह $$\scriptstyle{ \emptyset }$$ एक उचित वर्ग है. द्वारा (ए4), $$\scriptstyle{ \emptyset }$$ के साथ समतुल्य होना चाहिए $$\scriptstyle{ \mathrm{R}}$$, किस स्थिति में $$\scriptstyle{ \mathrm{R}}$$ खाली है। मान लीजिए कि मैं एक अनंत समुच्चय हूं, और वर्ग पर विचार करता हूं $$\scriptstyle{ \{ i\} }$$. यह इसके बराबर नहीं है $$\scriptstyle{ \emptyset }$$, इस प्रकार यह एक समुच्चय है। यह सीमित है, लेकिन इसका एक तत्व अनंत है, इसलिए यह स्वयं का एक तत्व नहीं हो सकता। इसलिए, यह का एक तत्व है $$\scriptstyle{ \mathrm{R}}$$. यह उसका खंडन करता है $$\scriptstyle{ \mathrm{R}}$$ खाली है। ∎


 * 3. सिंगलटन वर्ग $$\scriptstyle{ \{\emptyset\} }$$ एक सेट है.
 * सबूत। लगता है कि $$\scriptstyle{ \{\emptyset\} }$$ एक उचित वर्ग है. फिर (A4) द्वारा, प्रत्येक उचित वर्ग एक सिंगलटन है। आइए मैं एक अनंत समुच्चय बनूं और वर्ग पर विचार करूं $$\scriptstyle{\{\emptyset,i\}}$$. यह न तो एक उचित वर्ग है (क्योंकि यह एकल नहीं है) और न ही स्वयं का एक तत्व है (क्योंकि यह न तो खाली है और न ही अनंत है)। इस प्रकार $$\scriptstyle{\{\emptyset,i\}\in R}$$ परिभाषा के अनुसार रखता है, इसलिए $$\scriptstyle{ \mathrm{R}}$$ कम से कम दो तत्व हैं, $$\scriptstyle{ \emptyset }$$ और $$\scriptstyle{\{\emptyset,i\}}$$. यह प्रारंभिक धारणा का खंडन करता है कि उचित वर्ग एकल हैं। ∎


 * 4. $$\scriptstyle{ \mathrm{R}}$$ अनंत है.
 * सबूत। होने देना $$\scriptstyle{\mathrm{R}^- =_{\mathrm{def}} \mathrm{R} \setminus \{\emptyset\}}$$. मान लीजिए कि यह वर्ग एक समुच्चय है। तो कोई $$\scriptstyle{\mathrm{R}^- \in \mathrm{R}^-}$$ या $$\scriptstyle{\mathrm{R}^- \notin \mathrm{R}^-}$$. पहले मामले में, की परिभाषा $$\scriptstyle{\mathrm{R}^-}$$ इसका आशय है $$\scriptstyle{\mathrm{R}^- \in \mathrm{R}}$$, से, जो इसका अनुसरण करता है $$\scriptstyle{\mathrm{R}^- \notin \mathrm{R}^-}$$, एक विरोधाभास. दूसरे मामले में, की परिभाषा $$\scriptstyle{\mathrm{R}^-}$$ या तो तात्पर्य है $$\scriptstyle{\mathrm{R}^- \notin \mathrm{R}}$$ और इसलिए $$\scriptstyle{\mathrm{R}^- \in \mathrm{R}^-}$$, एक विरोधाभास, या $$\scriptstyle{\mathrm{R}^- = \emptyset}$$. लेकिन $$\scriptstyle{\mathrm{R}^-}$$ खाली नहीं हो सकता क्योंकि इसमें कम से कम एक तत्व है $$\scriptstyle{\{\emptyset\}}$$. ∎


 * 5. प्रत्येक परिमित वर्ग एक समुच्चय है।
 * सबूत। माना कि X एक उचित वर्ग है। (ए4) द्वारा, एक मौजूद है $$\scriptstyle{F:X\longrightarrow \mathrm{R}}$$ इस प्रकार कि F एक आक्षेप है। इसमें एक जोड़ी शामिल है $$\scriptstyle{\langle x_0,\emptyset \rangle}$$, और प्रत्येक सदस्य आर के लिए $$\scriptstyle{\mathrm{R}^-}$$, एक जोड़ी $$\scriptstyle{\langle x,r\rangle}$$. होने देना $$\scriptstyle{X^-=X\setminus \lbrace x_0\rbrace}$$ और $$\scriptstyle{F^-=F\setminus \lbrace \langle x_0,\emptyset \rangle \rbrace}$$. (ए4) के अनुसार, ये दोनों वर्ग मौजूद हैं। अब, $$\scriptstyle{F^-:X^-\longrightarrow \mathrm{R}^-}$$ एक आक्षेप है. इस प्रकार (A4), $$\scriptstyle{X^-}$$ एक उचित वर्ग भी है. स्पष्ट रूप से, $$\scriptstyle{X^-\subseteq X}$$ और $$\scriptstyle{X^-\neq X}$$. अब, (ए4) का एक अन्य अनुप्रयोग दर्शाता है कि एक आपत्ति मौजूद है $$\scriptstyle{G:X\longrightarrow X^-}$$. इससे सिद्ध होता है कि X अनंत है। ∎

एक बार उपरोक्त तथ्य तय हो जाने पर निम्नलिखित परिणाम सिद्ध किये जा सकते हैं:
 * 6. सेट की कक्षा V ($$ \scriptstyle{\mathrm{V} =_{\mathrm{def}} \{ x\,|\mathrm{set}(x)\}} $$) सभी आनुवंशिक रूप से गणनीय सेटों से मिलकर बना है।
 * 7. प्रत्येक उचित वर्ग में प्रमुखता होती है $${\mathfrak c}$$.
 * सबूत। मान लीजिए कि i एक अनंत समुच्चय है, इस स्थिति में वर्ग $$ \scriptstyle{\mathcal{P}(i)} $$ प्रमुखता है $$\scriptstyle{2^{\aleph_0}}$$. (ए4) के अनुसार, सभी उचित वर्गों में प्रमुखता होती है $$\scriptstyle{2^{\aleph_0}}$$. ∎


 * 8. समुच्चय का संघ वर्ग समुच्चय है।

पीएसटी यह भी सत्यापित करता है:
 * सातत्य परिकल्पना. यह ऊपर (5) और (6) से अनुसरण करता है;
 * प्रतिस्थापन का सिद्धांत. यह (ए4) का परिणाम है;
 * पसंद का सिद्धांत. सबूत। सभी अध्यादेशों का वर्ग ऑर्ड परिभाषा के अनुसार सुव्यवस्थित है। क्रमशः बुराली-फोर्टी विरोधाभास और कैंटर विरोधाभास के कारण सभी सेटों के ऑर्ड और वर्ग वी दोनों उचित वर्ग हैं। इसलिए वी और ऑर्ड के बीच एक आपत्ति मौजूद है, जो वी को अच्छी तरह से व्यवस्थित करती है। ∎

पीएसटी में सभी सेटों की सुदृढता न तो साबित करने योग्य है और न ही अस्वीकार्य है।

संभावित विस्तार

 * 'पीएसटी' में मुक्त निर्माण के तथाकथित स्वयंसिद्ध को जोड़ने पर, सेट-सैद्धांतिक स्वयंसिद्धों की किसी भी सुसंगत प्रणाली के परिणामस्वरूप प्रणाली में एक आंतरिक मॉडल होगा।
 * यह 'पीएसटी' की एक अमित्र विशेषता है कि यह वास्तविक संख्याओं के सेटों की कक्षाओं या वास्तविक कार्यों के सेटों की कक्षाओं को संभाल नहीं सकता है। हालाँकि, यह कोई जरूरी नहीं है. (ए3) को सातत्य परिकल्पना के समर्थन के साथ या उसके बिना, अनंत के सामान्य पदानुक्रम के विभिन्न भागों की अनुमति देने के लिए विभिन्न तरीकों से संशोधित किया जा सकता है। एक उदाहरण है
 * $$ \exists x \exists y \,( \mathrm{inf}(x) \land \mathrm{inf}(y) \land |\mathcal{P}(x)| \neq |\mathcal{P}(y)| \land \forall z ( \mathrm{inf}(z) \rightarrow ( |z|=|x| \lor |z|=|y| ) ) ) $$
 * इस संस्करण में, एक अनंत सेट की कार्डिनैलिटी या तो है $$\aleph_0$$ या $$2^{\aleph_0}$$, और एक उचित वर्ग की प्रमुखता है $$2^{2^{\aleph_0}}$$ (जिसका अर्थ है कि सामान्यीकृत सातत्य परिकल्पना कायम है)।

यह भी देखें

 * बड़ा कार्डिनल

बाहरी संबंध

 * Randall Holmes: Notes on "Pocket Set Theory"