स्वतंत्रता (गणितीय तर्क)

गणितीय तर्क में, स्वतंत्रता अन्य वाक्यों से एक वाक्य (गणितीय तर्क) की अप्राप्यता है। एक वाक्य (गणितीय तर्क) σ किसी दिए गए सिद्धांत (गणितीय तर्क) से स्वतंत्र है| प्रथम-क्रम सिद्धांत T यदि T न तो σ को सिद्ध करता है और न ही उसका खंडन करता है; अर्थात्, T से σ सिद्ध करना असंभव है, और T से सिद्ध करना भी असंभव है कि σ असत्य है। कभी-कभी, σ को (समानार्थक रूप से) T से अनिर्णीत कहा जाता है; यह एक निर्णय समस्या के रूप में अनिर्णीत समस्या का एक ही अर्थ नहीं है।

एक सिद्धांत T स्वतंत्र है यदि T में प्रत्येक अभिगृहीत T में शेष अभिगृहीतों से सिद्ध नहीं होता है। एक सिद्धांत जिसके लिए सिद्धांतों का एक स्वतंत्र सेट है स्वतंत्र रूप से स्वयंसिद्ध है।

उपयोग नोट
कुछ लेखकों का कहना है कि σ T से स्वतंत्र है जब T केवल σ को सिद्ध नहीं कर सकता है, और जरूरी नहीं कि इसके द्वारा यह दावा किया जाए कि T σ का खंडन नहीं कर सकता है। ये लेखक कभी-कभी कहते हैं कि σ स्वतंत्र है और T के अनुरूप है, यह इंगित करने के लिए कि T न तो σ को साबित कर सकता है और न ही उसका खंडन कर सकता है।

सेट थ्योरी
में स्वतंत्रता का परिणाम है

समुच्चय सिद्धांत में कई रोचक कथन ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत (ZF) से स्वतंत्र हैं। सेट थ्योरी में निम्नलिखित कथनों को ZF से स्वतंत्र माना जाता है, इस धारणा के तहत कि ZF सुसंगत है:
 * पसंद का स्वयंसिद्ध
 * सातत्य परिकल्पना और सातत्य परिकल्पना#सामान्यीकृत सातत्य परिकल्पना
 * सुस्लिन की समस्या

ZFC से स्वतंत्र होने के लिए ZFC (Zermelo-Fraenkel सेट सिद्धांत और पसंद का स्वयंसिद्ध) में निम्नलिखित कथन (जिनमें से कोई भी झूठा साबित नहीं हुआ है) साबित नहीं किया जा सकता है, अतिरिक्त परिकल्पना के तहत कि ZFC संगत है।


 * दृढ़ता से दुर्गम कार्डिनल्स का अस्तित्व
 * बड़े कार्डिनल्स का अस्तित्व
 * कुरेपा वृक्षों का न होना

निम्नलिखित कथन पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ असंगत हैं, और इसलिए ZFC के साथ। हालाँकि, वे संभवतः ZF से स्वतंत्र हैं, उपरोक्त के अनुरूप: उन्हें ZF में सिद्ध नहीं किया जा सकता है, और कुछ कामकाजी सिद्धांतकार ZF में एक खंडन खोजने की उम्मीद करते हैं। हालाँकि ZF यह साबित नहीं कर सकता है कि वे ZF से स्वतंत्र हैं, यहाँ तक कि अतिरिक्त परिकल्पना के साथ भी कि ZF सुसंगत है।


 * दृढ़ संकल्प का सिद्धांत
 * वास्तविक निर्धारण का स्वयंसिद्ध
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भौतिक सिद्धांत के लिए अनुप्रयोग
2000 के बाद से, तार्किक स्वतंत्रता को भौतिकी की नींव में महत्वपूर्ण महत्व के रूप में समझा जाने लगा है।

यह भी देखें

 * ZFC से स्वतंत्र बयानों की सूची
 * ज्यामिति में एक उदाहरण के लिए समानांतर अभिधारणा