क्षेत्रफल

क्षेत्र वह मात्रा होती है जो समतल या एक घुमावदार सतह पर एक क्षेत्र की सीमा को व्यक्त करती है। एक समतल क्षेत्र या समतल क्षेत्र का क्षेत्र एक आकृति या समतल पटल के क्षेत्र को संदर्भित करता है, जबकि सतह क्षेत्र एक खुली सतह के क्षेत्र या त्रि-आयामी वस्तु की सीमा को संदर्भित करता है। क्षेत्र में दी गई मोटाई के सापेक्ष सामग्री की मात्रा के रूप में समझा जा सकता है जो आकार के एक प्रतिरूप को बनाने के लिए आवश्यक होगा, या सतह को एक कोट के सापेक्ष कवर करने के लिए आवश्यक रंग की मात्रा की आवश्यकता होगी। यह एक समतल वक्र की लंबाई या एक ठोस  की मात्रा का द्वि-आयामी एनालॉग होती है।दो भिन्न क्षेत्रों का क्षेत्रफल समान हो सकता है ; सिनेकडोचे द्वारा, "क्षेत्र" का उपयोग कभी-कभी क्षेत्र को संदर्भित करने के लिए किया जाता है, जैसा कि "बहुभुज क्षेत्र" में होता है।

एक निश्चित आकार के वर्गों के आकार की तुलना करके किसी आकृति का क्षेत्रफल मापा जा सकता है। इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली (Sआई) में, क्षेत्र की मानक इकाई वर्ग मीटर (M2 के रूप में लिखा गया है) होता है, जो एक वर्ग का क्षेत्रफल होता है जिसकी भुजाएँ एक मीटर लंबी होती हैं। तीन वर्ग मीटर के क्षेत्रफल वाली आकृति का क्षेत्रफल ऐसे तीन वर्गों के समान होता हैं। गणित में, इकाई वर्ग को क्षेत्रफल एक के रूप में परिभाषित किया गया है, और किसी अन्य आकार या सतह का क्षेत्रफल एक आयाम रहित वास्तविक संख्या होती है। त्रिभुज, आयत और वृत्त जैसे सरल आकृतियों के क्षेत्रों के लिए कई प्रसिद्ध सूत्र होते हैं। इन सूत्रों का प्रयोग करके बहुभुज को त्रिभुजों में विभाजित करके किसी भी बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात किया जा सकता है। घुमावदार सीमा वाली आकृतियों के लिए, क्षेत्र की गणना करने के लिए सामान्यतः कलन की आवश्यकता होती है। वास्तव में समतल आकृतियों का क्षेत्रफल निर्धारित करने की समस्या कलन के इतिहास की एक प्रमुख प्रेरणा थी। एक ठोस आकार जैसे कि एक गोले, शंकु या बेलन के लिए, इसकी सीमा सतह के क्षेत्रफल को पृष्ठीय क्षेत्रफल कहा जाता है। सरल आकार के सतह क्षेत्रों के सूत्रों की गणना प्राचीन यूनानियों गणित द्वारा की जाती थी, परंतु अधिक जटिल आकार के सतह क्षेत्र की गणना करने के लिए सामान्यतः बहुभिन्नरूपी कलन की आवश्यकता होती है।

क्षेत्र आधुनिक गणित में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। ज्यामिति और कलन में इसके स्पष्ट महत्व के अतिरिक्त, क्षेत्र रेखीय बीजगणित में निर्धारकों की परिभाषा से संबंधित होती है, और अंतर ज्यामिति में सतहों की एक मूलभूत विशेषता होती है। विश्लेषण में, समतल के एक उपसमुच्चय का क्षेत्रफल लेबेस्गु माप का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, यद्यपि हर सबसमुच्चय औसत दर्जे का नहीं होता है। सामान्य तौर पर, उच्च गणित में क्षेत्र को द्वि-आयामी क्षेत्रों के लिए आयतन के एक विशेष स्थिति के रूप में देखा जाता है।

क्षेत्र को स्वयंसिद्धों के उपयोग के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है, इसे वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के लिए कुछ समतल आकृतियों के संग्रह के फलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। यह सिद्ध किया जा सकता है कि ऐसा कार्य भी उपस्थित होते है।

औपचारिक परिभाषा
क्षेत्रफल से यह अभिप्राय है कि इसे परिभाषित करने का दृष्टिकोण स्वयंसिद्धों के माध्यम से है। क्षेत्रफल को एक विशेष प्रकार के समतल आकृतियों के संग्रह M से वास्तविक संख्याओं के समुच्चय तक एक फलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है:
 * M में सभी S के लिए, a (S) ≥ 0 होता हैं।
 * यदि S और T, M में हैं तो S ∪ T और S ∩ T, और a(S∪T) = a(S) + a(T) − a(S∩T) भी हैं।
 * यदि S और T M में S ⊆ T के सापेक्ष हैं तो T - S M में है तो a (T-S) = a (T) - ए (S) होता है।
 * यदि समुच्चय S, M में है और S, T के सर्वांगसम है तो T भी M और a(S) = a(T) में है.।
 * प्रत्येक आयत R, M में है। यदि आयत की लंबाई h और चौड़ाई k है तो a(R) = hk होता हैं।
 * मान लीजिए Q दो चरण क्षेत्रों S और T के मध्य परिबद्ध एक समुच्चय है। एक सामान्य आधार पर स्थित निकटवर्ती आयतों के एक परिमित संघ से एक चरण क्षेत्र, अर्थात S ⊆ Q ⊆ T बनता है । यदि कोई अद्वितीय संख्या c है जैसे कि a (S) ≤ c ≤ a (T) ऐसे सभी चरण क्षेत्रों S और T के लिए, पुनः a (Q) = c बनता हैं।

यह प्रमाणित किया जा सकता है कि ऐसा क्षेत्र फलन वास्तव में उपस्थित होते है।

इकाइयां
लंबाई की प्रत्येक इकाई में क्षेत्रफल की एक संगत इकाई होती है, अर्थात् दी गई भुजा लंबाई वाले वर्ग का क्षेत्रफल होती' है। इस प्रकार क्षेत्रों को वर्ग मीटर (M2), वर्ग सेंटीमीटर (सेमी2), वर्ग मिलीमीटर (मिमी2), वर्ग किलोमीटर (किमी2), वर्ग फुट (फीट2), वर्ग गज (yd2), वर्ग मील (मी2), इत्यादि में मापा जा सकता है ।  बीजगणितीय रूप से, इन इकाइयों को संबंधित लंबाई इकाइयों के वर्ग के रूप में माना जा सकता है।

क्षेत्रफल की एसआई इकाई वर्ग मीटर होता है, जिसे एसआई व्युत्पन्न इकाई माना जाता है।

रूपांतरण
एक वर्ग जिसकी लंबाई और चौड़ाई 1 मीटर होती है, क्षेत्रफल की गणना निम्न होगी:

1 मीटर × 1 मीटर = 1 वर्ग मीटर

और इसलिए, भिन्न-भिन्न भुजाओं वाले एक आयत (जैसे 3 मीटर की लंबाई और 2 मीटर की चौड़ाई) का क्षेत्रफल वर्ग इकाइयों में होगा जिसकी गणना इस प्रकार की जा सकती है:

3 मीटर × 2 मीटर = 6 मीटर 2। यह 6 मिलियन वर्ग मिलीमीटर के समान होता है। अन्य उपयोगी रूपांतरण निम्न हैं:


 * 1 वर्ग किलोमीटर = 1,000,000 वर्ग मीटर
 * 1 वर्ग मीटर = 10,000 वर्ग सेंटीमीटर = 1,000,000 वर्ग मिलीमीटर
 * 1 वर्ग सेंटीमीटर = 100 वर्ग मिलीमीटर।

गैर-मीट्रिक इकाइयां
गैर-मीट्रिक इकाइयों में, दो वर्ग इकाइयों के मध्य का रूपांतरण लंबाई की संबंधित इकाइयों के मध्य रूपांतरण का वर्ग होता है।
 * 1 फुट = 12 इंच,

वर्ग फुट और वर्ग इंच के मध्य संबंध होता है
 * 1 वर्ग फुट = 144 वर्ग इंच,

जहां 144 = 122 = 12 × 12 होता है, इसी प्रकार: इसके अतिरिक्त, रूपांतरण कारकों में सम्मिलित होते हैं:
 * 1 वर्ग गज = 9 वर्ग फुट
 * 1 वर्ग मील = 3,097,600 वर्ग गज = 27,878,400 वर्ग फुट
 * 1 वर्ग इंच = 6.4516 वर्ग सेंटीमीटर
 * 1 वर्ग फुट = 0.092 903  04 वर्ग मीटर
 * 1 वर्ग गज = 0.836 127  36 वर्ग मीटर
 * 1 वर्ग मील = 2.589 988  110  336 वर्ग किलोमीटर

ऐतिहासिक सहित अन्य इकाइयां
क्षेत्र के लिए कई अन्य सामान्य इकाइयाँ होती हैं।मीट्रिक प्रणाली में क्षेत्र की मूल इकाई होती थी, इसके सापेक्ष: यद्यपि ये उपयोग से बाहर हो गए हैं, हैक्टर अभी भी सामान्यतः भूमि को मापने के लिए उपयोग किया जाता है: क्षेत्र की अन्य असामान्य मीट्रिक इकाइयों में टेट्राद (क्षेत्र की इकाई), हेक्टाड और असंख्य क्षेत्र सम्मिलित होते हैं।
 * 1 = 100 वर्ग मीटर
 * 1 हेक्टेयर = 100 क्षेत्रफल = 10,000 वर्ग मीटर = 0.01 वर्ग किलोमीटर

एकड़ का उपयोग सामान्यतः भूमि क्षेत्रों को मापने के लिए भी किया जाता है, जहां एक एकड़ एक हेक्टेयर का लगभग 40% होता है।
 * 1 एकड़ = 4,840 वर्ग गज = 43,560 वर्ग फुट।

परमाणु पैमाने पर, क्षेत्र को खलिहान की इकाइयों में मापा जाता है, जैसे कि: *

1 खलिहान = 10−28 वर्ग मीटर

खलिहान का उपयोग सामान्यतः परमाणु भौतिकी में परस्पर क्रिया के क्रॉस-आंशिक क्षेत्र का वर्णन करने के लिए किया जाता है।

इन भारत,
 * 20 धुरकी = 1 धुर
 * 20 धुर = 1 खाता
 * 20 खता = 1 बीघा
 * 32 खता = 1 एकड़

सर्किल क्षेत्र
5 वीं शताब्दी ईसा पूर्व में, चिओस के हिप्पोक्रेट्स ने पहली बार दर्शाया था कि डिस्क का क्षेत्रफल उसके व्यास के वर्ग के समानुपाती के समानुपाती होता है हिप्पोक्रेट्स के लून के चतुर्भुज के भाग के रूप में होता है।, परंतु आनुपातिकता के स्थिरांक की पहचान नहीं की जा सकती है। कनिडस के यूडोक्सस, ने भी 5वीं शताब्दी ईसा पूर्व में, यह भी पाया कि एक डिस्क का क्षेत्रफल उसकी त्रिज्या के वर्ग के समानुपाती होता है।  इसके बाद, यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक I|यूक्लिड के तत्वों ने द्वि-आयामी आंकड़ों के बीच क्षेत्रों की समानता से निपटा। गणितज्ञ आर्किमिडीज़ ने यूक्लिडियन ज्यामिति के उपकरणों का उपयोग यह दिखाने के लिए किया कि एक वृत्त के अंदर का क्षेत्रफल एक समकोण त्रिभुज के बराबर होता है, जिसका आधार वृत्त की परिधि की लंबाई के बराबर होता है और जिसकी ऊँचाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है, अपनी पुस्तक मापन ऑफ़ ए सर्कल में। (परिधि 2 है$\pi$आर, और एक त्रिभुज का क्षेत्रफल आधा आधार गुणा ऊँचाई है, जो क्षेत्रफल प्रदान करता है πr2 डिस्क के लिए।) आर्किमिडीज़ ने डिस्क के क्षेत्रफल के साथ π (और इसलिए एक इकाई-त्रिज्या वृत्त का क्षेत्रफल) के मान का अनुमान लगाया #Archimedes' दोहरीकरण विधि, जिसमें उन्होंने एक वृत्त में एक नियमित त्रिकोण अंकित किया और इसके क्षेत्र को नोट किया, फिर एक नियमित षट्भुज देने के लिए भुजाओं की संख्या को दोगुना किया, फिर भुजाओं की संख्या को बार-बार दोगुना किया क्योंकि बहुभुज का क्षेत्रफल वृत्त के निकट और निकट होता गया (और परिवृत्त बहुभुजों के साथ भी ऐसा ही किया)।

स्विस वैज्ञानिक जोहान हेनरिक लैम्बर्ट ने 1761 में साबित किया कि π, एक वृत्त के क्षेत्रफल का वर्ग त्रिज्या से अनुपात, अपरिमेय संख्या है, जिसका अर्थ है कि यह किन्हीं दो पूर्ण संख्याओं के भागफल के बराबर नहीं है।

इसके उपरांत, यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक I ने द्वि-आयामी आंकड़ों के मध्य क्षेत्रों की समानता से निपटारा किया था। गणितज्ञ आर्किमिडीज़ ने यूक्लिडियन ज्यामिति के उपकरणों का उपयोग यह दर्शाने के लिए किया कि एक वृत्त के अंदर का क्षेत्रफल एक समकोण त्रिभुज के समान होता है, जिसका आधार वृत्त की परिधि की लंबाई के समान होती है और जिसकी ऊँचाई वृत्त की त्रिज्या के समान होती है, अपनी पुस्तक मापन ऑफ़ ए वृत्त में (परिधि 2πr है, और एक त्रिभुज का क्षेत्रफल आधार गुणा ऊंचाई का आधा है, जो डिस्क के लिए πr2 क्षेत्र प्रदान करता है।) आर्किमिडीज़ ने π के मान (और इसलिए एक इकाई-त्रिज्या वृत्त का क्षेत्रफल) का अनुमान लगाया हैं। विधि, जिसमें उन्होंने एक वृत्त में एक नियमित त्रिभुज को अंकित किया और उसके क्षेत्रफल को नोट किया, पुनः एक नियमित षट्भुज बनाने के लिए भुजाओं की संख्या को दोगुना किया, पुनः बार-बार भुजाओं की संख्या को दोगुना किया जैसे-जैसे बहुभुज का क्षेत्रफल वृत्त के क्षेत्रफल के करीब और करीब आता गया हैं।

त्रिभुज क्षेत्र
अलेक्जेंड्रिया के हेरॉन (या हीरो) ने त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए उसकी भुजाओं के संदर्भ में हीरोन के सूत्र के रूप में जाना जाता है, और एक प्रमाण उसकी पुस्तक मेट्रिका में पाया जा सकता है, जो लगभग 60 सेनचुरी में लिखी गई थी। यह सुझाव दिया गया है कि आर्किमिडीज़ को दो सदियों पहले सूत्र पता था, और क्योंकी मेट्रिका प्राचीन दुनिया में उपलब्ध गणितीय ज्ञान का एक संग्रह है, यह संभव है कि सूत्र उस फलन में दिए गए संदर्भ से पहले का हो।

499 में, भारतीय गणित और भारतीय खगोल विज्ञान के शास्त्रीय युग के एक महान गणितज्ञ-खगोलविद आर्यभट ने आर्यभTय (धारा 2.6) में त्रिकोण के क्षेत्रफल को ऊंचाई के आधार गुणा आधा के रूप में व्यक्त किया था।

हेरोन के समतुल्य सूत्र की खोज चीनियों ने यूनानियों से स्वतंत्र रूप से की थी। यह 1247 में शुशु जिउझांग (नौ खंडों में गणितीय ग्रंथ) में प्रकाशित हुआ था, जिसे किन जिउशाओ ने लिखा था।

चतुर्भुज क्षेत्र
7वीं शताब्दी में, ब्रह्मगुप्त ने एक चक्रीय चतुर्भुज (एक वृत्त में एक चतुर्भुज खुदी हुई आकृति) के क्षेत्रफल के लिए इसकी भुजाओं के संदर्भ में एक सूत्र विकसित किया, जिसे अब ब्रह्मगुप्त के सूत्र के रूप में जाना जाता है, । 1842 में, जर्मन गणितज्ञ कार्ल एंटन ब्रेट्सचाइनाइडर और कार्ल जॉर्ज क्रिश्चियन वॉन स्टॉड्ट ने स्वतंत्र रूप से किसी भी चतुर्भुज के क्षेत्र के लिए एक सूत्र पाया, जिसे ब्रेट्सचाइनाइडर के सूत्र के रूप में जाना जाता है।

सामान्य बहुभुज क्षेत्र
17वीं शताब्दी में रेने डेसकार्टेस द्वारा कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के विकास ने 19वीं शताब्दी में गॉस द्वारा ज्ञात शीर्ष स्थानों के सापेक्ष किसी भी बहुभुज के क्षेत्र के लिए सर्वेक्षक के सूत्र के विकास की अनुमति दी।

समाकलन का उपयोग करके निर्धारित क्षेत्र
17वीं शताब्दी के अंत में समाकलन गणित के विकास ने ऐसे उपकरण प्रदान किए जिनका उपयोग उपरांत में अधिक जटिल क्षेत्रों की गणना के लिए किया जा सकता था, जैसे कि दीर्घवृत्त का क्षेत्र और विभिन्न घुमावदार त्रि-आयामी वस्तुओं का सतह क्षेत्र होता हैं।

बहुभुज सूत्र
एक गैर-स्व-प्रतिच्छेदी बहुभुज के लिए, कार्टेशियन समन्वय प्रणाली $$(x_i, y_i)$$ (i=0, 1, ..., n-1) होते हैं, जिनके n शीर्ष ज्ञात होते हैं,और' इसे सर्वेक्षणकर्ता सूत्र द्वारा दिया गया है।
 * $$A = \frac{1}{2} \Biggl\vert \sum_{i = 0}^{n - 1}( x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i) \Biggr\vert$$

जहां जब i=n-1, तो i+1 को मॉड्यूलर अंकगणित n के रूप में व्यक्त किया जाता है और इसलिए इसे 0 से संदर्भित करता है।

आयताकार
सबसे मूलभूत क्षेत्र सूत्र एक आयत के क्षेत्रफल का सूत्र होता है। लंबाई $lw$ और चौड़ाई $l$ के सापेक्ष एक आयत के लिए क्षेत्र का सूत्र दिया गया है:
 * $w$ (आयत)।

अर्थात्, आयत का क्षेत्रफल चौड़ाई से गुणा की गई लंबाई होती है। एक विशेष स्थिति के रूप में, एक वर्ग के स्थिति में $l = w$ कर रूप में, भुजा की लंबाई $$ वाले वर्ग का क्षेत्रफल  सूत्र द्वारा दिया गया है:  :

$s$ (वर्ग)।

एक आयत के क्षेत्र के लिए सूत्र सीधे क्षेत्र के मूल गुणों का अनुसरण करता है, और कभी-कभी परिभाषा या स्वयंसिद्ध के रूप में लिया जाता है। दूसरी ओर, यदि अंकगणित से पहले ज्यामिति का विकास किया जाता है, तो इस सूत्र का उपयोग वास्तविक संख्याओं के गुणन को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है।

विच्छेदन, समांतर चतुर्भुज, और त्रिकोण
क्षेत्र के लिए अधिकांश अन्य सरल सूत्र विच्छेदन की विधि से अनुसरण करते हैं।इसमें एक आकृति को टुकड़ों में काटना सम्मिलित होता' है, जिसका क्षेत्रफल मूल आकृति के क्षेत्रफल के समान होना चाहिए। उदाहरण के लिए, किसी समांतर चतुर्भुज को समलंब और समकोण त्रिभुज में विभाजित किया जा सकता है, जैसा कि बाईं ओर की आकृति में दर्शाया गया है। यदि त्रिभुज को समलंब के दूसरी ओर ले जाया जाता है, तो परिणामी आकृति एक आयत होती है। यह इस प्रकार है कि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आयत के क्षेत्रफल के समान होता है:

यद्यपि, समान समांतर चतुर्भुज को विकर्ण के सापेक्ष दो सर्वांगसम (ज्यामिति) त्रिभुजों में भी काटा जा सकता है, जैसा कि दाईं ओर की आकृति में दर्शाया गया है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा है:



समलम्ब चतुर्भुज के सापेक्ष ही अधिक जटिल बहुभुज के लिए क्षेत्रफल सूत्रों को खोजने के लिए समान तर्कों का उपयोग किया जा सकता है।

मंडलियां


एक वृत्त के क्षेत्र के लिए सूत्र एक समान विधि पर आधारित होती है। त्रिज्या $r$ के एक चक्र को देखते हुए, वृत्त को सर्कुलर सेक्टर में विभाजित करना संभव है, जैसा कि चित्र में दाईं ओर दर्शाया गया है। प्रत्येक क्षेत्र आकार में लगभग त्रिकोणीय होता है, और एक अनुमानित समांतर चतुर्भुज बनाने के लिए क्षेत्रों को पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। इस समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई $r$ होती है और चौड़ाई वृत्त की आधी परिधि $πr$. होती है, इस प्रकार,, वृत्त का कुल क्षेत्रफल $πr^{2}$ होता है



यद्यपि इस सूत्र में उपयोग किया गया विच्छेदन केवल अनुमानित है, त्रुटि छोटी और छोटी हो जाती है क्योंकि वृत्त को अधिक से अधिक क्षेत्रों में विभाजित किया जाता है। अनुमानित समांतर चतुर्भुजों के क्षेत्रों की सीमा (गणित) ठीक $πr^{2}$ होती है, जो वृत्त का क्षेत्रफल होता है।

यह तर्क वास्तव में कलन के विचारों का एक सरल अनुप्रयोग है। प्राचीन काल में, वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए इसी तरह से निःशेष विधि का उपयोग किया जाता था, और इस पद्धति को अब अभिन्न कलन के अग्रदूत के रूप में पहचाना जाता है। आधुनिक विधियों का उपयोग करते हुए, एक वृत्त के क्षेत्रफल की गणना एक निश्चित समाकल का उपयोग करके की जा सकती है:
 * $$A \;=\;2\int_{-r}^r \sqrt{r^2 - x^2}\,dx \;=\; \pi r^2.$$

दीर्घवृत्त
एक दीर्घवृत्त द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल का सूत्र एक वृत्त के सूत्र से संबंधित होता है;अर्ध-प्रमुख और अर्ध-लघु अक्ष $x$ तथा $y$ के साथ दीर्घवृत्त के लिए सूत्र होता है: :

$$A = \pi xy .$$

गैर-तलीय सतह क्षेत्र
सतह क्षेत्र के लिए सबसे आधारभूत सूत्र सतहों को काटकर और उन्हें समतल करके प्राप्त किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, यदि किसी बेलन की पार्श्व सतह को लंबाई में काटा जाता है, तो सतह को चपटा करके एक आयत बनाया जा सकता है। इसी तरह, यदि एक शंकु के किनारे पर एक कट बनाया जाता है, तो पार्श्व सतह को एक वृत्त के एक खंड में चपटा किया जा सकता है, और परिणामी क्षेत्र की गणना की जा सकती है।

एक गोले के सतह क्षेत्र के लिए सूत्र प्राप्त करना अधिक कठिन होता है: क्योंकि एक गोले में गैर-गाऊसी वक्रता होती है, इसे चपटा नहीं किया जा सकता है। एक गोले के सतह क्षेत्र के लिए सूत्र सबसे पहले आर्किमिडीज़ ने अपने कार्य गोले और सिलेंडर पर में प्राप्त किया था।सूत्र है:

$A = 4πr^{2}$ (वृत्त),
जहाँ पे $r$ गोले की त्रिज्या है। वृत्त के क्षेत्रफल के सूत्र की तरह, इस सूत्र की कोई भी व्युत्पत्ति स्वाभाविक रूप से कलन के समान विधियों का उपयोग करती है।

2-आयामी आंकड़ों के क्षेत्र
* एक त्रिभुज: $$\tfrac12Bh$$ जहाँ B कोई भुजा है, और h उस रेखा से दूरी है जिस पर B त्रिभुज के दूसरे शीर्ष तक स्थित है। यदि ऊँचाई h ज्ञात हो तो इस सूत्र का उपयोग किया जा सकता है। यदि तीनों भुजाओं की लंबाइयाँ ज्ञात हों तो हीरोन के सूत्र का उपयोग किया जा सकता है: $$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$ जहाँ a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और $$s = \tfrac12(a + b + c)$$ इसकी परिधि का आधा है। यदि एक कोण और उसकी दो सम्मिलित भुजाएँ दी गई हों, तो वो $$\tfrac12 a b \sin(C)$$क्षेत्रफल है जहाँ पे $C$ कोण दिया गया होता है और $a$ तथा $b$ इसके सम्मिलित पक्ष होता हैं। यदि त्रिभुज को एक समन्वय तल पर रेखांकन किया जाता है, तो एक मैट्रिक्स का उपयोग किया जा सकता है और इसे निरपेक्ष मान $$\tfrac12(x_1 y_2 + x_2 y_3 + x_3 y_1 - x_2 y_1 - x_3 y_2 - x_1 y_3)$$ के लिए सरल किया जाता है. इस सूत्र को शूलेस के सूत्र के रूप में भी जाना जाता है और यह 3 बिंदुओं (x1, y1), (x2, y2), और (x3, y3). शूलेस के सूत्र का उपयोग अन्य बहुभुजों के क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए भी किया जा सकता है, जब उनके शीर्ष ज्ञात हों। एक समन्वय त्रिकोण के लिए एक अन्य दृष्टिकोण क्षेत्र को खोजने के लिए कलन का उपयोग किया जाता है।
 * समान-दूरी वाले बिंदुओं (अर्थात, पूर्णांक निर्देशांक वाले बिंदु) के ग्रिड पर निर्मित एक साधारण बहुभुज, जैसे कि सभी बहुभुज के कोने ग्रिड बिंदु $$i + \frac{b}{2} - 1$$ होते हैं:, जहाँ i बहुभुज के अंदर ग्रिड बिंदुओं की संख्या है और b सीमा बिंदुओं की संख्या होती है। इस परिणाम को पिक प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

कैलकुलस में क्षेत्रफल
* एक सकारात्मक-मूल्यवान वक्र और क्षैतिज अक्ष के मध्य का क्षेत्र, क्षैतिज अक्ष पर दो मानों a और b (b को दो मानों में से बड़े के रूप में परिभाषित किया गया है) के मध्य मापा जाता है, जो फलन के a से b के अभिन्न अंग द्वारा दिया जाता है जो वक्र का प्रतिनिधित्व करता है: :

$$ A = \int_a^{b} f(x) \, dx.$$
 * दो फलन के ग्राफ के मध्य का क्षेत्र एक फलन के अभिन्न अंग के समान होता है, f (x), दूसरे फलन का अभिन्न घटाव होता है, g (x):
 * $$ A = \int_a^{b} ( f(x) - g(x) ) \, dx, $$
 * जहाँ पे $$ f(x) $$ अधिक y- मान वाला वक्र होता है।

$$A = {1 \over 2} \int r^2 \, d\theta. $$
 * एक फलन से घिरा क्षेत्र $$r = r(\theta)$$ ध्रुवीय निर्देशांक में व्यक्त होता है: :
 * पैरामीट्रिक वक्र से घिरा क्षेत्र $$\vec u(t) = (x(t), y(t)) $$ समापन बिंदुओं के सापेक्ष $$ \vec u(t_0) = \vec u(t_1) $$ रेखा अभिन्न द्वारा दिया गया है:
 * $$ \oint_{t_0}^{t_1} x \dot y \, dt = - \oint_{t_0}^{t_1} y \dot x \, dt  =  {1 \over 2} \oint_{t_0}^{t_1} (x \dot y - y \dot x) \, dt $$
 * या का z-घटक के
 * $${1 \over 2} \oint_{t_0}^{t_1} \vec u \times \dot{\vec u} \, dt.$$
 * यह प्लैनीमीटर यांत्रिक उपकरण का सिद्धांत है।

दो द्विघात फलनों के मध्य परिबद्ध क्षेत्र
दो द्विघात फलनों के मध्य परिबद्ध क्षेत्र ज्ञात करने के लिए, हम अंतर को लिखने के लिए एक को दूसरे से घटाते हैं
 * $$f(x)-g(x)=ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)$$

जहाँ f(x) द्विघात ऊपरी सीमा है और g(x) द्विघात निचली सीमा है। f(x)-g(x) के विविक्तकर को परिभाषित करते हैं
 * $$\Delta=b^2-4ac.$$

दो फलनों के ग्राफ के मध्य अभिन्न सूत्र को सरल बनाकर और वीटा के सूत्रों का उपयोग करके वीटा का सूत्र, हम प्राप्त कर सकते हैं
 * $$A=\frac{\Delta\sqrt{\Delta}}{6a^2}=\frac{a}{6}(\beta-\alpha)^3,\qquad a\neq0.$$

उपरोक्त वैध है कि यदि बाध्यकारी फलनों में से एक द्विघात के अतिरिक्त रैखिक होती है।

3-आयामी आकृतियों का सतही क्षेत्रफल

 * शंकु: $$\pi r\left(r + \sqrt{r^2 + h^2}\right)$$, जहाँ r वृत्ताकार आधार की त्रिज्या होती है, और h ऊँचाई होती है। इसे $$\pi r^2 + \pi r l $$ या $$\pi r (r + l) \,\!$$ पुनः से लिखा भी जा सकता है जहाँ r त्रिज्या होता है और l शंकु की तिरछी ऊँचाई होती है।जबकि $$\pi r^2 $$ आधार क्षेत्र होता है  शंकु का $$\pi r l $$ पार्श्व सतह क्षेत्र होता है।
 * घनक्षेत्र: $$6s^2$$, जहाँ s किनारे की लंबाई है।
 * सिलेंडर: $$2\pi r(r + h)$$, जहाँ r आधार की त्रिज्या है और h ऊँचाई है। जहां $$2\pi r$$ h> को पुनः से $$\pi d$$ लिखा जा सकता है, जहाँ d व्यास होता है।
 * प्रिज्म : $$2B + Ph$$, जहां B आधार का क्षेत्रफल है,और P आधार का परिमाप है, और h प्रिज्म की ऊंचाई होती है।
 * पिरामिड: $$B + \frac{PL}{2}$$, जहां B आधार का क्षेत्रफल है,और P आधार का परिमाप होती है, और L तिरछी लंबाई है।
 * आयताकार आयत: $$2 (\ell w + \ell h + w h)$$, जहाँ पे $$\ell$$ लंबाई है, w चौड़ाई है, और h ऊंचाई है।

सतह क्षेत्र के लिए सामान्य सूत्र
निरंतर अवकलनीय फलन के ग्राफ के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सामान्य सूत्र $$z=f(x,y),$$ होता हैं, जहाँ पे $$(x,y)\in D\subset\mathbb{R}^2$$ तथा $$D$$ चिकनी सीमा के सापेक्ष x-प्लेन में एक क्षेत्र होता है:
 * $$ A=\iint_D\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2+1}\,dx\,dy. $$

सदिश रूप में पैरामीट्रिक सतह के ग्राफ के क्षेत्र के लिए एक और भी सामान्य सूत्र $$\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v),$$होता हैं, जहाँ पे $$\mathbf{r}$$ का एक सतत अवकलनीय सदिश फलन $$(u,v)\in D\subset\mathbb{R}^2$$ होता है: : $$ A=\iint_D \left|\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}\times\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v}\right|\,du\,dv. $$

सूत्रों की सूची
उपरोक्त गणना दर्शाती है कि कई सामान्य आकृतियों के क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें।

अनियमित बहुभुजों के क्षेत्रों की गणना सर्वेयर के सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है।

परिधि से क्षेत्रफल का संबंध
आइसोपेरिमेट्रिक असमानता बताती है कि, लंबाई L के एक बंद वक्र के लिए और उस क्षेत्र के क्षेत्र A के लिए इसे घेरता है,


 * $$4\pi A \le L^2,$$

और समानता धारण करती है यदि वक्र एक वृत्त होता है। इस प्रकार एक परिधि के सापेक्ष एक वृत्त में किसी भी बंद आकृति का सबसे बड़ा क्षेत्रफल होता है।

दूसरे चरम पर, दी गई परिधि L के सापेक्ष एक आकृति में एक अव्यवस्थिततः ढंग से छोटा क्षेत्र हो सकता है, जैसा कि एक समचतुर्भुज द्वारा दर्शाया गया है जो अव्यवस्थिततः ढंग से दूर तक सूचना दे दी जाती है क्योंकी इसके दो कोण अव्यवस्थिततः ढंग से 0° के करीब हों और अन्य दो अव्यवस्थिततः ढंग से 180 के करीब हों जाती है।

एक वृत्त के लिए, क्षेत्रफल और परिधि का अनुपात ) आधी त्रिज्या r के समान होता है। इसे क्षेत्रफल सूत्र πr2 और परिधि सूत्र 2πr से देखा जा सकता है।

एक नियमित बहुभुज का क्षेत्रफल इसके परिमाप के गुणा अंतःत्रिज्या का आधा होता है।

भग्न
किसी बहुभुज के किनारे की लंबाई को दोगुना करने से उसका क्षेत्रफल चार से गुणा हो जाता है, जो दो है (नई से पुरानी भुजा की लंबाई का अनुपात) दो की शक्ति तक बढ़ जाता है। परंतु अगर दो आयामों में खींचे गए फ्रैक्टल की एक-आयामी लंबाई दोगुनी हो जाती है, तो फ्रैक्टल स्केल की स्थानिक सामग्री दो की शक्ति से होती है जो जरूरी नहीं कि एक पूर्णांक हो। इस शक्ति को भग्न का भग्न आयाम कहा जाता है।

किसी बहुभुज के किनारे की लंबाई को दोगुना करने से उसका क्षेत्रफल चार से गुणा हो जाता है, जो दो है दो की शक्ति तक बढ़ जाता है (बहुभुज जिस स्थान पर रहता है उसका आयाम)। लेकिन अगर दो आयामों में खींचे गए फ्रैक्टल की एक-आयामी लंबाई दोगुनी हो जाती है, तो फ्रैक्टल स्केल की स्थानिक सामग्री दो की घात से होती है जो जरूरी नहीं कि एक पूर्णांक हो। इस शक्ति को भग्न का भग्न आयाम कहा जाता है। [27]

क्षेत्र द्विभाजक
ऐसी अनंत रेखाएँ हैं जो त्रिभुज के क्षेत्रफल को समद्विभाजित करती हैं। उनमें से तीन त्रिभुज की माध्यिका होती हैं, और ये त्रिभुज के केन्द्रक पर समवर्ती रेखाएँ हैं; वास्तव में, वे ही एन्यूनतमात्र क्षेत्र द्विभाजक होता हैं जो केन्द्रक से गुजरते हैं। त्रिकोण के माध्यम से कोई भी रेखा जो त्रिभुज के क्षेत्र और इसकी परिधि दोनों को आधे में विभाजित करती है, त्रिकोण के अंतःकेंद्र से होकर जाती है। किसी दिए गए त्रिकोण के लिए इनमें से एक, दो या तीन हैं।

समांतर चतुर्भुज के मध्यबिंदु से होकर जाने वाली कोई भी रेखा क्षेत्रफल को समद्विभाजित करती है।

एक वृत्त या अन्य दीर्घवृत्त के सभी क्षेत्र समद्विभाजक केंद्र से गुजरते हैं, और केंद्र के माध्यम से कोई भी जीवा क्षेत्र को द्विभाजित करता है। एक वृत्त के स्थिति में वे वृत्त के व्यास हैं।

अनुकूलन
एक तार समोच्च को देखते हुए, न्यूनतम से न्यूनतम क्षेत्र की सतह यह एक न्यूनतम सतह होती है। परिचित उदाहरणों में साबुन के बुलबुले सम्मिलित हैं।

रिमानियन वृत्त के फिलिंग एरिया अनुमान का सवाल खुला रहता है।

समान परिमाप वाली किसी भी द्वि-आयामी वस्तु में वृत्त का क्षेत्रफल सबसे बड़ा होता है।

एक चक्रीय बहुभुज में किसी भी बहुभुज का सबसे बड़ा क्षेत्रफल होता है जिसमें समान लंबाई की दी गई भुजाएँ होती हैं।

त्रिभुजों के लिए समपरिमितीय असमानता के एक संस्करण में कहा गया है कि दी गई परिधि वाले सभी के मध्य सबसे बड़े क्षेत्र का त्रिभुज समबाहु है।

किसी दिए गए वृत्त में अंकित सभी के सबसे बड़े क्षेत्रफल का त्रिभुज समबाहु है; और किसी दिए गए वृत्त के चारों ओर परिचालित उन सभी के सबसे छोटे क्षेत्रफल का त्रिभुज समबाहु होता है।

अंतर्वृत्त के क्षेत्रफल का एक समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल से अनुपात, $$\frac{\pi}{3\sqrt{3}}$$, किसी भी गैर-समबाहु त्रिभुज से बड़ा है।

एक समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल और परिमाप के वर्ग का अनुपात, $$\frac{1}{12\sqrt{3}},$$ किसी अन्य त्रिभुज से बड़ा है।

यह भी देखें

 * ब्रह्मगुप्त चतुर्भुज, पूर्णांक पक्षों, पूर्णांक विकर्णों और पूर्णांक क्षेत्रफल वाला एक चक्रीय चतुर्भुज होता हैं।
 * समरेखीय नक्शा
 * हेरोनियन त्रिभुज, पूर्णांक भुजाओं और पूर्णांक क्षेत्रफल वाला त्रिभुज होता हैं।
 * त्रिभुज असमानताओं की सूची ।
 * एक-सातवां क्षेत्र त्रिकोण, एक आंतरिक त्रिकोण एक-सातवें संदर्भ त्रिकोण के क्षेत्र के सापेक्ष होता हैं
 * रूथ का प्रमेय, एक-सातवें क्षेत्र त्रिकोण का एक सामान्यीकरण करता है।


 * परिमाण के आदेश - आकार के अनुसार क्षेत्रों की सूची होती हैं।
 * पंचकोण के सूत्र की व्युत्पत्ति।
 * प्लैनीमीटर, छोटे क्षेत्रों को मापने के लिए एक उपकरण होता है, उदाहरण मानचित्रों पर।
 * एक उत्तल चतुर्भुज का क्षेत्रफल होता है।
 * रॉबिन्स पंचकोण, एक चक्रीय पंचकोण जिसकी भुजाओं की लंबाई और क्षेत्रफल सभी परिमेय संख्याएँ होती हैं।