जर्म (गणित)

गणित में, टोपोलॉजिकल समष्टि में/पर किसी वस्तु के जर्म की धारणा उस वस्तु और उसी प्रकार की अन्य वस्तुओं का एक समतुल्य वर्ग है जो उनके साझा समष्टिीय गुणों को पकड़ लेता है। विशेष रूप से, विचाराधीन वस्तुएँ अधिकतर फलन (गणित) (या मानचित्र (गणित)) और उपसमुच्चय हैं। इस विचार के विशिष्ट कार्यान्वयन में, विचाराधीन कार्यों या उपसमुच्चय में कुछ गुण होंगे, जैसे कि विश्लेषणात्मक या सुचारू होना, किंतु सामान्यतः इसकी आवश्यकता नहीं है (प्रश्नाधीन कार्यों को निरंतर कार्य करने की भी आवश्यकता नहीं है) चूँकि यह आवश्यक है कि जिस समष्टि पर/जिसमें वस्तु को परिभाषित किया गया है वह एक टोपोलॉजिकल समष्टि हो, जिससे समष्टिीय शब्द का कुछ अर्थ होता हो।

नाम
यह नाम शीफ (गणित) रूपक की निरंतरता में अनाज के जर्म से लिया गया है क्योंकि एक जर्म (समष्टिीय रूप से) एक कार्य का हृदय है जैसे कि यह एक अनाज के लिए है।

मूल परिभाषा
टोपोलॉजिकल समष्टि X का एक बिंदु x और दो मानचित्र $$f, g: X \to Y$$ दिया गया है (जहाँ Y कोई समुच्चय है), तो f और g, x पर एक ही जर्म को परिभाषित करते हैं यदि x का निकटतम U है, जो U तक सीमित है, f और g समान हैं; जिसका अर्थ है कि U में सभी u के लिए $$f(u)=g(u)$$ है ।

इसी प्रकार, यदि S और T, X के कोई दो उपसमुच्चय हैं, तो वे x पर एक ही जर्म को परिभाषित करते हैं यदि फिर से x का निकटतम U है, जैसे कि


 * $$S \cap U = T \cap U.$$

यह देखना सीधा है कि समान जर्म को x पर परिभाषित करना एक समतुल्य संबंध है (चाहे वह मानचित्रों या समुच्चयों पर हो) और समतुल्य वर्गों को जर्म (मानचित्र-जर्म, या इसलिए समुच्चय-जर्म) कहा जाता है। तुल्यता संबंध सामान्यतः लिखा जाता है


 * $$f \sim_x g \quad \text{or} \quad S \sim_x T.$$

X पर एक मानचित्र f दिया गया है, तो x पर इसका जर्म सामान्यतः [f ]x दर्शाया जाता है। इसी प्रकार, समुच्चय S के x पर जर्म को [S]x लिखा जाता है। इस प्रकार,


 * $$[f]_x = \{g:X\to Y \mid g \sim_x f\}.$$

X में x पर एक मानचित्र जर्म जो X में बिंदु x को Y में बिंदु y तक मैप करता है, उसे इस रूप में दर्शाया गया है


 * $$f:(X,x) \to (Y,y).$$

इस नोटेशन का उपयोग करते समय, f को किसी भी प्रतिनिधि (गणित) मानचित्र के लिए समान अक्षर f का उपयोग करते हुए मानचित्रों के संपूर्ण समतुल्य वर्ग के रूप में अभिप्रेत किया जाता है।

ध्यान दें कि दो समुच्चय x पर जर्म-समतुल्य हैं यदि और केवल यदि उनके संकेतक कार्य x पर जर्म-समतुल्य हैं:


 * $$S\sim_x T \Longleftrightarrow \mathbf{1}_S \sim_x \mathbf{1}_T.$$

अधिक सामान्यतः
मानचित्रों को सभी X पर परिभाषित करने की आवश्यकता नहीं है, और विशेष रूप से उन्हें समान डोमेन की आवश्यकता नहीं है। चूँकि यदि f के पास डोमेन S है और g के पास डोमेन T है, जो X के दोनों उपसमुच्चय हैं, तो f और g, X में x पर जर्म समतुल्य हैं, यदि पहले S और T, x पर जर्म समतुल्य हैं, तो मान लीजिए $$S \cap U = T\cap U \neq \emptyset,$$ और फिर इसके अतिरिक्त $$f|_{S\cap V} = g|_{T\cap V}$$, कुछ छोटे निकट के लिए V के साथ $$x\in V \subseteq U$$. यह दो समुच्चयिंग्स में विशेष रूप से प्रासंगिक है:
 * 1) f को X की उप-विविधता V पर परिभाषित किया गया है, और
 * 2) f में x पर किसी प्रकार का एक ध्रुव है, इसलिए इसे x पर भी परिभाषित नहीं किया गया है, उदाहरण के लिए एक तर्कसंगत फलन, जिसे एक उपविविधता से परिभाषित किया जाता है।

मूलभूत गुण
यदि f और g x पर जर्म समकक्ष हैं, तो वे सभी समष्टिीय गुणों को साझा करते हैं, जैसे निरंतरता, भिन्नता इत्यादि, इसलिए एक अलग या विश्लेषणात्मक जर्म इत्यादि के बारे में बात करना समझ में आता है। इसी तरह उपसमुच्चय के लिए: यदि जर्म का एक प्रतिनिधि एक विश्लेषणात्मक समुच्चय है तो सभी प्रतिनिधि भी हैं, कम से कम x के कुछ निकट पर समुच्चय है।

लक्ष्य Y पर बीजीय संरचनाएँ Y में मान वाले जर्मओं के समूह द्वारा विरासत में मिली हैं। उदाहरण के लिए, यदि लक्ष्य Y एक समूह है, तो जर्मओं को गुणा करना समझ में आता है: [f]x[g]x को परिभाषित करने के लिए, पहले लें प्रतिनिधि एफ और जी, क्रमशः निकट U और वी पर परिभाषित हैं, और बिंदुवार उत्पाद मानचित्र fg के x पर जर्म होने के लिए [f]x[g]x, को परिभाषित करते हैं (जिसे $$U\cap V$$ पर परिभाषित किया गया है)। उसी तरह, यदि Y एक एबेलियन समूह, सदिश समष्टि या वलय है, तो जर्मओं का समूह भी ऐसा ही है।

X और Y तक के मानचित्रों के X पर जर्मओं के समुच्चय में असतत टोपोलॉजी को छोड़कर, कोई उपयोगी टोपोलॉजिकल समष्टि नहीं है। इसलिए जर्मओं के अभिसरण अनुक्रम के बारे में बात करना बहुत कम या कोई मतलब नहीं है। चूँकि यदि X और Y कई गुना हैं, तो जेट के रिक्त समष्टि (गणित) $$J_x^k(X,Y)$$ (मानचित्र के x पर परिमित क्रम टेलर श्रृंखला (-जर्म)) में टोपोलॉजी होती है क्योंकि उन्हें परिमित-आयामी वेक्टर समष्टिों से पहचाना जा सकता है।

शेवों से संबंध
शीव्स और प्रीशीव्स की परिभाषा के पीछे जर्मओं का विचार है। टोपोलॉजिकल समष्टि पर एबेलियन समूहों का प्रीशीफ $$\mathcal{F}$$ X, X में प्रत्येक विवर्त समुच्चय U के लिए एक एबेलियन समूह $$\mathcal{F}(U)$$ निर्दिष्ट करता है। यहां एबेलियन समूहों के विशिष्ट उदाहरण हैं: U पर वास्तविक मूल्यवान फलन, U पर अंतर रूप, U पर वेक्टर क्षेत्र, U पर होलोमोर्फिक फलन (जब x एक सम्मिश्र समष्टि है) U पर निरंतर फलन  और U पर अंतर संचालक है।

तो एक प्रतिबंध मानचित्र $$\mathrm{res}_{VU}:\mathcal{F}(U)\to \mathcal{F}(V),$$ है जो कुछ अनुकूलता शर्तों को पूरा करता है। एक निश्चित x के लिए, कोई कहता है कि तत्व $$f\in\mathcal{F}(U)$$ और $$g\in \mathcal{F}(V)$$ x पर समतुल्य हैं यदि x का निकट $$W\subseteq U\cap V$$ है जिसमें resWU(f) = resWV(g) (दोनों तत्व $$\mathcal{F}(W)$$ के हैं। समतुल्यता कक्षाएं प्रीशीफ़ $$\mathcal{F}_x$$के x पर डंठल $$\mathcal{F}$$ बनाती हैं। यह तुल्यता संबंध ऊपर वर्णित जर्म तुल्यता का एक अमूर्त है।

शिव्स के माध्यम से जर्मओं की व्याख्या करना जर्मओं के समुच्चय पर बीजगणितीय संरचनाओं की उपस्थिति के लिए एक सामान्य स्पष्टीकरण भी देता है। इसका कारण यह है कि डंठलों का निर्माण सीमित सीमाओं को बनाए रखता है। इसका तात्पर्य यह है कि यदि T एक लॉवर सिद्धांत है और एक शीफ़ F एक T-बीजगणित है, तो कोई भी डंठल Fx यह भी एक टी-बीजगणित है।

उदाहरण
यदि $$X$$ और $$Y$$ अतिरिक्त संरचना होने पर, X से Y तक के सभी मानचित्रों के समुच्चय के उपसमुच्चय को परिभाषित करना संभव है या अधिक सामान्यतः किसी दिए गए प्रीशीफ़ $$\mathcal{F}$$ और संबंधित जर्मओं के उप-प्रीशेव्स: कुछ उल्लेखनीय उदाहरण अनुसरण करते हैं।


 * यदि $$X, Y$$ दोनों टोपोलॉजिकल रिक्त समष्टि, उपसमुच्चय हैं
 * $$C^0(X,Y) \subseteq \mbox{Hom}(X,Y)$$ :निरंतर कार्यों का निरंतर कार्यों के जर्मओं को परिभाषित करता है।


 * यदि दोनों $$X$$ और $$Y$$ एक भिन्न संरचना, उपसमुच्चय को स्वीकार करें
 * $$C^k(X,Y) \subseteq \mbox{Hom}(X,Y)$$ :का $$k$$-बार-बार निरंतर भिन्न-भिन्न कार्य, उपसमुच्चय है
 * $$C^\infty(X,Y)=\bigcap\nolimits_k C^k(X,Y)\subseteq \mbox{Hom}(X,Y)$$ :सुचारु कार्यों और उपसमुच्चय का
 * $$C^\omega(X,Y)\subseteq \mbox{Hom}(X,Y)$$ :विश्लेषणात्मक कार्य को परिभाषित किया जा सकता है ($$\omega$$ यहाँ अनंत के लिए क्रमसूचक संख्या है; यह $$C^k$$ और $$C^{\infty}$$के अनुरूप अंकन का दुरुपयोग है, और फिर (अंततः) भिन्न, सुचारु, विश्लेषणात्मक कार्यों के जर्मओं के समष्टि का निर्माण किया जा सकता है


 * यदि $$X,Y$$ एक सम्मिश्र संरचना है (उदाहरण के लिए, वेक्टर समष्टि के उप्संमुच्चय हैं), उनके बीच होलोमोर्फिक फलन को परिभाषित किया जा सकता है, और इसलिए होलोमोर्फिक फलन के जर्मओं के समष्टि का निर्माण किया जा सकता है।
 * यदि $$X,Y$$ एक बीजगणितीय संरचना है, तो उनके बीच नियमित कार्य (और तर्कसंगत कार्य) कार्यों को परिभाषित किया जा सकता है, और नियमित कार्यों (और इसी तरह तर्कसंगत) के जर्मओं को परिभाषित किया जा सकता है।
 * सकारात्मक अनंत पर f : ℝ → Y का जर्म (या बस f का जर्म) $$\{g: \exists x \forall y > x \, f(y) = g(y)\}$$ है। इन जर्मओं का उपयोग स्पर्शोन्मुख विश्लेषण और हार्डी क्षेत्रों में किया जाता है।

संकेतन
एक पूले का डंठल (शेफ)। $$\mathcal{F}$$ एक टोपोलॉजिकल समष्टि पर $$X$$ एक बिंदु पर $$x$$ का $$X$$ सामान्यतः द्वारा दर्शाया जाता है $$\mathcal{F}_x.$$ परिणामस्वरूप, विभिन्न प्रकार के कार्यों के शिव्स के डंठल बनाने वाले जर्म, अंकन की इस योजना को ऋण लेते हैं:
 * $$\mathcal{C}_x^0$$ $$x$$ पर निरंतर कार्य करने वाले जर्मओं का समष्टि है
 * प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $$k$$ के लिए {डिस्प्लेस्टाइल $$\mathcal{C}_x^k$$ $$x$$ पर k-समय-विभेदी कार्यों के जर्मओं का समष्टि है।
 * $$\mathcal{C}_x^\infty$$ $$x$$ पर असीम रूप से भिन्न (सुचारू) कार्यों के जर्मओं का समष्टि है.
 * $$\mathcal{C}_x^\omega$$ $$x$$ विश्लेषणात्मक कार्यों के जर्मओं का समष्टि है
 * $$\mathcal{O}_x$$ $$x$$ होलोमोर्फिक कार्यों के जर्मओं का समष्टि (सम्मिश्र ज्यामिति में), या नियमित कार्यों के जर्मओं का समष्टि (बीजगणितीय ज्यामिति में) है.

समुच्चय और विविध के जर्मओं के लिए, संकेतन इतनी अच्छी तरह से स्थापित नहीं है: साहित्य में पाए जाने वाले कुछ संकेतन में सम्मिलित हैं:


 * $$\mathfrak{V}_x$$ पर विश्लेषणात्मक किस्मों के जर्मओं का समष्टि है। जब बिंदु $$x$$ स्थिर और ज्ञात हो (उदाहरण के लिए जब $$X$$ एक टोपोलॉजिकल वेक्टर समष्टि है और $$x=0$$) इसे उपरोक्त प्रत्येक प्रतीक में छोड़ा जा सकता है: साथ ही, जब $$\dim X=n$$, प्रतीक से पहले एक सबस्क्रिप्ट जोड़ा जा सकता है। उदाहरण के रूप में
 * $${_n\mathcal{C}^0}, {_n\mathcal{C}^k}, {_n\mathcal{C}^\infty}, {_n\mathcal{C}^\omega}, {_n\mathcal{O}}, {_n\mathfrak{V}}$$ ऊपर दिखाए गए जर्मओं के समष्टि हैं जब $$X$$ एक n-आयामी वेक्टर समष्टि है और $$x=0$$ है।

अनुप्रयोग
जर्मओं के अनुप्रयोगों में मुख्य शब्द समष्टिीयता है: किसी बिंदु पर किसी फलन की सभी समष्टिीय संपत्ति का अध्ययन उसके जर्म का विश्लेषण करके किया जा सकता है। वे टेलर श्रृंखला का एक सामान्यीकरण हैं, और वास्तव में एक जर्म (एक अलग कार्य की) की टेलर श्रृंखला को परिभाषित किया गया है: आपको डेरिवेटिव की गणना करने के लिए केवल समष्टिीय जानकारी की आवश्यकता है।

जर्म अपने चरण समष्टि के चुने हुए बिंदुओं के निकट गतिशील प्रणाली (परिभाषा) के गुणों को निर्धारित करने में उपयोगी होते हैं: वे विलक्षणता सिद्धांत और आपदा सिद्धांत में मुख्य उपकरणों में से एक हैं।

जब टोपोलॉजिकल रिक्त समष्टि पर विचार किया जाता है तो रीमैन सतह या अधिक सामान्यतः विश्लेषणात्मक विविधता या सम्मिश्र-विश्लेषणात्मक विविधता होती हैं, उन पर होलोमोर्फिक कार्य के जर्मओं को शक्ति श्रृंखला के रूप में देखा जा सकता है, और इस प्रकार जर्मओं के समुच्चय को एक विश्लेषणात्मक कार्य की विश्लेषणात्मक निरंतरता माना जा सकता है.

अंतर ज्यामिति में स्पर्शरेखा सदिश की परिभाषा में जर्मओं का भी उपयोग किया जा सकता है। एक स्पर्शरेखा वेक्टर को उस बिंदु पर जर्मओं के बीजगणित पर एक बिंदु-व्युत्पन्न के रूप में देखा जा सकता है।

बीजगणितीय गुण
जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, जर्मओं के समुच्चय में बीजगणितीय संरचनाएं हो सकती हैं जैसे कि वलय कई स्थितियों में, जर्मओं के वलय इच्छानुसार वलय नहीं होते किंतु उनमें अधिक विशिष्ट गुण होते हैं।

मान लीजिए कि X किसी प्रकार का एक समष्टि है। अधिकांशतः ऐसा होता है कि, प्रत्येक x ∈ X पर, x पर कार्यों के जर्मओं का वलय एक समष्टिीय वलय होता है। यह स्थति है, उदाहरण के लिए, टोपोलॉजिकल समष्टि पर निरंतर कार्यों के लिए; वास्तविक मैनिफोल्ड पर k- बार विभेदित, सुचारु, या विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए (जब ऐसे कार्यों को परिभाषित किया जाता है); एक सम्मिश्र मैनिफोल्ड पर होलोमोर्फिक कार्यों के लिए; और बीजगणितीय विविधता पर नियमित कार्यों के लिए यह गुण कि जर्मओं के वलय समष्टिीय वलय हैं, समष्टिीय रूप से वलयित समष्टिों के सिद्धांत द्वारा स्वयंसिद्ध है।

चूँकि उत्पन्न होने वाले समष्टिीय वलय के प्रकार विचाराधीन सिद्धांत पर अधिक सीमा तक निर्भर करते हैं। वीयरस्ट्रैस तैयारी प्रमेय का तात्पर्य है कि होलोमोर्फिक कार्यों के जर्मओं के वलय नोथेरियन वलय हैं। यह भी दिखाया जा सकता है कि ये नियमित वलय हैं। दूसरी ओर, चलो $$\mathcal{C}_0^\infty(\mathbf{R})$$ आर पर सुचारु कार्यों के मूल में जर्मओं की वलय बनें है। यह वलय समष्टिीय है किंतु नोथेरियन नहीं है। इसका कारण जानने के लिए, देखें कि इस वलय के अधिकतम आदर्श m में वे सभी जर्म सम्मिलित हैं जो मूल में विलुप्त हो जाते हैं, और शक्ति mk में वे जर्म सम्मिलित होते हैं जिनका पहला k − 1 व्युत्पन्न लुप्त हो जाता है। यदि यह वलय नोथेरियन होता, तो क्रुल प्रतिच्छेदन प्रमेय का अर्थ यह होगा कि एक सुचारू कार्य जिसकी टेलर श्रृंखला विलुप्त हो गई वह शून्य कार्य होगा। परन्तु यह मिथ्या है, ऐसा विचार करने से ज्ञात होता है
 * $$f(x) = \begin{cases}

e^{-1/x^2}, &x \neq 0, \\ 0, &x = 0. \end{cases}$$ यह वलय भी एक अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन नहीं है। ऐसा इसलिए है क्योंकि सभी यूएफडी प्रमुख आदर्शों पर आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करते हैं, किंतु प्रमुख आदर्शों की एक अनंत आरोही श्रृंखला होती है
 * $$\cdots \subsetneq (x^{-j+1} f(x)) \subsetneq (x^{-j} f(x)) \subsetneq (x^{-j-1} f(x)) \subsetneq \cdots.$$

समावेशन सख्त हैं क्योंकि x अधिकतम आदर्श m में है।

वलय $$\mathcal{C}_0^0(\mathbf{R})$$ आर पर निरंतर कार्यों के मूल में जर्मओं का यह गुण भी है कि इसका अधिकतम आदर्श m2 = m को संतुष्ट करता है किसी भी जर्म f ∈ m को इस प्रकार लिखा जा सकता है
 * $$f = |f|^{1/2} \cdot \big(\operatorname{sgn}(f)|f|^{1/2}\big),$$

जहां एसजीएन साइन फलन है। चूंकि |f| मूल में विलुप्त हो जाता है, यह F को M में दो कार्यों के उत्पाद के रूप में व्यक्त करता है, जहां से निष्कर्ष निकलता है। यह लगभग वलय की स्थापना से संबंधित है।

यह भी देखें

 * विश्लेषणात्मक विविधता
 * प्रलय सिद्धांत
 * चिपकने का सिद्धांत
 * रीमैन सतह
 * शीफ़ (गणित)
 * डंठल (शेफ)

संदर्भ

 * , chapter I, paragraph 6, subparagraph 10 "Germs at a point".
 * , chapter 2, paragraph 2.1, "Basic Definitions".
 * , chapter 2 "Local Rings of Holomorphic Functions", especially paragraph A "The Elementary Properties of the Local Rings" and paragraph E "Germs of Varieties".
 * Ian R. Porteous (2001) Geometric Differentiation, page 71, Cambridge University Press ISBN 0-521-00264-8.
 * , paragraph 31, "Germi di funzioni differenziabili in un punto $$P$$ di $$V_n$$ (Germs of differentiable functions at a point $$P$$ of $$V_n$$)" (in Italian).

बाहरी संबंध

 * A research preprint dealing with germs of analytic varieties in an infinite dimensional setting.
 * A research preprint dealing with germs of analytic varieties in an infinite dimensional setting.
 * A research preprint dealing with germs of analytic varieties in an infinite dimensional setting.