प्रतिच्छेदन

गणित में, दो या दो से अधिक वस्तुओं के प्रतिच्छेदन से अन्य वस्तु होता है जिसमें वह सब कुछ सम्मिलित है जो सभी वस्तुओं में समकालिकत समाहित होता है। उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन [[ज्यामिति]] में, जब एक समतल में दो रेखाएँ समानांतर नहीं होती हैं, तो उनका प्रतिच्छेदन वह बिंदु (ज्यामिति) होता है जिस पर वे मिलते हैं। अधिक सामान्यतः, सेट सिद्धांत में, समुच्चय के प्रतिच्छेदन को उन सभी तत्वों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है जो उन सभी से संबंधित होते हैं। यूक्लिडियन परिभाषा के विपरीत, यह नहीं माना जाता है कि विचाराधीन वस्तुएं एक सामान्य स्थान में स्थित हैं ।

प्रतिच्छेदन ज्यामिति की आधारिक अवधारणाओं में से एक है। एक चौराहे के विभिन्न ज्यामितीय आकार हो सकते हैं, लेकिन एक बिंदु (ज्यामिति) एक में सबसे आम है समतल ज्यामिति। घटना ज्यामिति एक परिभाषित करता है चौराहा (आमतौर पर, फ्लैट (ज्यामिति) का) निचले आयाम (गणित) की एक वस्तु के रूप में जो प्रत्येक मूल वस्तु के लिए घटना (ज्यामिति) है। इस दृष्टिकोण में एक चौराहे को कभी-कभी अपरिभाषित किया जा सकता है, जैसे समांतर रेखाओं के लिए। दोनों ही मामलों में प्रतिच्छेदन की अवधारणा तार्किक संयोजन पर निर्भर करती है। बीजगणितीय ज्यामिति प्रतिच्छेदन सिद्धांत के साथ अपने तरीके से चौराहों को परिभाषित करती है।

अद्वितीयता
एक से अधिक आदिम वस्तुएँ हो सकती हैं, जैसे बिंदु (ऊपर चित्र), जो एक चौराहा बनाते हैं। चौराहे को सामूहिक रूप से सभी साझा वस्तुओं के रूप में देखा जा सकता है (यानी, चौराहे के संचालन (गणित) के परिणामस्वरूप एक सेट (गणित), संभवतः खाली), या बहुविकल्पीय फ़ंक्शन (आंशिक फ़ंक्शन) के रूप में देखा जा सकता है।

सेट सिद्धांत में


दो समुच्चयों A और B का प्रतिच्छेदन उन अवयवों का समुच्चय है जो A और B दोनों में हैं। औपचारिक रूप से,


 * $$A \cap B = \{ x: x \in A \text{  and  } x \in B\}$$.

उदाहरण के लिए, यदि $$A = \{1, 3, 5, 7\}$$ और $$B = \{1, 2, 4, 6\}$$, तब $$A \cap B = \{1\}$$. एक अधिक विस्तृत उदाहरण (अनंत सेट शामिल) है:
 * A = {x एक सम पूर्णांक है}
 * B = {x एक पूर्णांक है जो 3 से विभाज्य है}
 * $$A \cap B = \{6, 12, 18, \dots\}$$

एक अन्य उदाहरण के रूप में, संख्या 5 अभाज्य संख्याओं के समुच्चय {2, 3, 5, 7, 11, …} और सम संख्याओं के समुच्चय {2, 4, 6, 8, 10,…} के प्रतिच्छेदन में निहित नहीं है। }, क्योंकि यद्यपि 5 एक अभाज्य संख्या है, यह सम नहीं है। वास्तव में, संख्या 2 इन दो सेटों के प्रतिच्छेदन में एकमात्र संख्या है। इस मामले में, प्रतिच्छेदन का गणितीय अर्थ है: संख्या 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।

नोटेशन
चौराहे द्वारा चिह्नित किया गया है यूनिकोड गणितीय ऑपरेटरों से।

प्रतीक का पहली बार हरमन ग्रासमैन द्वारा 1844 में डाई ऑस्देहनुंगस्लेह्रे वॉन 1844 में सामान्य ऑपरेशन प्रतीक के रूप में उपयोग किया गया था, जो चौराहे के लिए विशेष नहीं था। वहां से, इसका उपयोग ग्यूसेप पीआनो (1858-1932) द्वारा प्रतिच्छेदन के लिए किया गया था, 1888 में कैलको जियोमेट्रिको सेकंडो ल'ऑस्देहनुंगस्लेह्रे डि एच. ग्रासमैन में। पीआनो ने अपनी 1908 की पुस्तक फ़ॉर्मूलेरियो मैथेमेटिको में सामान्य प्रतिच्छेदन और दो से अधिक वर्गों के संघ (सेट सिद्धांत) के लिए बड़े प्रतीक भी बनाए।

यह भी देखें

 * रचनात्मक ठोस ज्यामिति, बूलियन चौराहा 2D/3D आकृतियों के संयोजन के तरीकों में से एक है
 * विमीय रूप से विस्तारित 9-चौराहा मॉडल
 * मिलो (जाली सिद्धांत)
 * चौराहा (सेट सिद्धांत)
 * संघ (सेट सिद्धांत)

बाहरी संबंध
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