स्थानत: संहत समष्टि

टोपोलॉजी और गणित की संबंधित शाखाओं में, एक टोपोलॉजिकल स्पेस को स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट कहा जाता है, अगर मोटे तौर पर कहें तो, स्पेस का प्रत्येक छोटा हिस्सा सघन स्थान  के एक छोटे हिस्से जैसा दिखता है। अधिक सटीक रूप से, यह एक टोपोलॉजिकल स्पेस है जिसमें प्रत्येक बिंदु का एक कॉम्पैक्ट नेबरहुड (गणित) होता है।

गणितीय विश्लेषण में स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्पेस जो हॉसडॉर्फ़ स्थान हैं, विशेष रुचि रखते हैं; इन्हें एलसीएच स्पेस के रूप में संक्षिप्त किया गया है।

औपचारिक परिभाषा
एक्स को टपॉलजी का मूल्य रहने दें। आमतौर पर एक्स को 'स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट' कहा जाता है यदि एक्स के प्रत्येक बिंदु एक्स में एक कॉम्पैक्ट पड़ोस (टोपोलॉजी) है, यानी, एक खुला सेट यू और एक कॉम्पैक्ट सेट के मौजूद है, जैसे कि $$x\in U\subseteq K$$.

अन्य सामान्य परिभाषाएँ हैं: यदि X हॉसडॉर्फ स्थान (या पूर्व-नियमित) है तो वे सभी समतुल्य हैं। लेकिन वे सामान्य तौर पर समकक्ष नहीं हैं:
 * 1. X के प्रत्येक बिंदु का एक सघन पड़ोस (टोपोलॉजी) है।
 * 2. X के प्रत्येक बिंदु का एक बंद सेट कॉम्पैक्ट पड़ोस है।
 * 2′. X के प्रत्येक बिंदु का पड़ोस अपेक्षाकृत सघन है।
 * 2″. X के प्रत्येक बिंदु पर अपेक्षाकृत सघन पड़ोस का स्थानीय आधार है।
 * 3. X के प्रत्येक बिंदु पर सघन पड़ोस का एक स्थानीय आधार है।
 * 4. X के प्रत्येक बिंदु पर बंद सघन पड़ोस का एक स्थानीय आधार है।
 * 5. X हॉसडॉर्फ है और पिछली शर्तों में से किसी भी (या समकक्ष, सभी) को संतुष्ट करता है।

शर्तों के बीच तार्किक संबंध:
 * प्रत्येक शर्त का तात्पर्य (1) है।
 * शर्तें (2), (2′), (2″) समतुल्य हैं।
 * स्थिति (2), (3) में से कोई भी दूसरे का तात्पर्य नहीं है।
 * शर्त (4) का तात्पर्य (2) और (3) से है।
 * सघनता का तात्पर्य शर्तों (1) और (2) से है, लेकिन (3) या (4) से नहीं।

शर्त (1) शायद सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली परिभाषा है, क्योंकि यह सबसे कम प्रतिबंधात्मक है और जब एक्स हॉसडॉर्फ स्पेस है तो अन्य इसके बराबर हैं। यह तुल्यता इस तथ्य का परिणाम है कि हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान के कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय बंद हैं, और कॉम्पैक्ट रिक्त स्थान के बंद उपसमूह कॉम्पैक्ट हैं। संतोषजनक स्थान (1) को कभी-कभी 'भी कहा जाता है, क्योंकि वे यहां की सबसे कमजोर परिस्थितियों को भी संतुष्ट करते हैं।

जैसा कि उन्हें अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट सेट के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, (2), (2'), (2) को संतुष्ट करने वाले स्थानों को विशेष रूप से स्थानीय रूप से अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट कहा जा सकता है। स्टीन और सीबैक कॉल (2), (2'), (2) संपत्ति (1) के विपरीत दृढ़ता से स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट, जिसे वे स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट कहते हैं।

रिक्त स्थान संतोषजनक स्थिति (4) बिल्कुल हैं रिक्त स्थान. वास्तव में, ऐसा स्थान नियमित है, क्योंकि प्रत्येक बिंदु पर बंद पड़ोस का एक स्थानीय आधार होता है। इसके विपरीत, एक नियमित स्थानीय रूप से सघन स्थान में एक बिंदु मान लीजिए $$x$$ एक सघन पड़ोस है $$K$$. नियमितता से, एक मनमाना पड़ोस दिया गया $$U$$ का $$x$$, एक बंद पड़ोस है $$V$$ का $$x$$ में निहित $$K\cap U$$ और $$V$$ एक कॉम्पैक्ट सेट में एक बंद सेट के रूप में कॉम्पैक्ट है।

उदाहरण के लिए, शर्त (5) का उपयोग बॉर्बकी में किया जाता है। कोई भी स्थान जो स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है (शर्त (1) के अर्थ में) और हॉसडॉर्फ स्वचालित रूप से उपरोक्त सभी शर्तों को पूरा करता है। चूंकि अधिकांश अनुप्रयोगों में स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्पेस भी हॉसडॉर्फ हैं, इसलिए ये स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ (एलसीएच) स्पेस वे स्पेस होंगे जिनके बारे में यह लेख मुख्य रूप से चिंतित है।

कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान
प्रत्येक कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्थान स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट भी है, और कॉम्पैक्ट स्पेस के कई उदाहरण लेख कॉम्पैक्ट स्पेस में पाए जा सकते हैं। यहाँ हम केवल उल्लेख करते हैं:
 * इकाई अंतराल [0,1];
 * कैंटर सेट;
 * हिल्बर्ट क्यूब.

स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्थान जो कॉम्पैक्ट नहीं हैं

 * यूक्लिडियन स्थान आरn (और विशेष रूप से वास्तविक रेखा आर) हेइन-बोरेल प्रमेय के परिणामस्वरूप स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हैं।
 * टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड्स यूक्लिडियन रिक्त स्थान के स्थानीय गुणों को साझा करते हैं और इसलिए सभी स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट भी होते हैं। इसमें लंबी लाइन (टोपोलॉजी) जैसे परा-सुसंहत  मैनिफ़ोल्ड भी शामिल हैं।
 * सभी अलग-अलग स्थान स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट और हॉसडॉर्फ हैं (वे केवल 0 (संख्या)-आयामी मैनिफोल्ड हैं)। ये केवल तभी सघन होते हैं जब वे परिमित हों।
 * स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस के सभी खुले उपसमुच्चय या बंद उपसमुच्चय सबस्पेस टोपोलॉजी में स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट होते हैं। यह यूक्लिडियन रिक्त स्थान के स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय के कई उदाहरण प्रदान करता है, जैसे यूनिट डिस्क (या तो खुला या बंद संस्करण)।
 * अंतरिक्ष Qp पी-एडिक संख्या|पी-एडिक संख्या स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है, क्योंकि यह कैंटर सेट माइनस एक पॉइंट के लिए होम्योमॉर्फिक है। इस प्रकार स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्पेस पी-एडिक विश्लेषण|पी-एडिक विश्लेषण में उतने ही उपयोगी हैं जितने शास्त्रीय गणितीय विश्लेषण में।

हॉसडॉर्फ़ स्थान जो स्थानीय रूप से सघन नहीं हैं
जैसा कि निम्नलिखित अनुभाग में बताया गया है, यदि हॉसडॉर्फ़ स्थान स्थानीय रूप से सघन है, तो यह टाइकोनोफ़ स्थान भी है। इस कारण से, हॉसडॉर्फ़ रिक्त स्थान के उदाहरण जो स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट होने में विफल रहते हैं क्योंकि वे टाइकोनॉफ़ स्थान नहीं हैं, टाइकोनॉफ़ स्थान को समर्पित लेख में पाए जा सकते हैं। लेकिन टाइकोनोफ़ रिक्त स्थान के ऐसे उदाहरण भी हैं जो स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट होने में विफल रहते हैं, जैसे:


 * परिमेय संख्याओं का स्थान Q (R से टोपोलॉजी से संपन्न), क्योंकि किसी भी पड़ोस में एक अपरिमेय संख्या के अनुरूप एक कॉची अनुक्रम होता है, जिसका Q में कोई अभिसरण अनुवर्ती नहीं होता है;
 * उपस्थान $$\{(0, 0)\} \cup ((0, \infty) \times \mathbf{R})$$ का $$\mathbf{R}^2$$, चूंकि मूल में कोई सघन पड़ोस नहीं है;
 * वास्तविक संख्याओं के सेट आर पर निचली सीमा टोपोलॉजी या ऊपरी सीमा टोपोलॉजी (एकतरफा सीमाओं के अध्ययन में उपयोगी);
 * कोई भी T0 स्थान|T0, इसलिए हॉसडॉर्फ, टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस जो अनंत-आयामी है, जैसे अनंत-आयामी हिल्बर्ट स्थान ।

पहले दो उदाहरण दिखाते हैं कि स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान के सबसेट को स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट होने की आवश्यकता नहीं है, जो पिछले अनुभाग में खुले और बंद सबसेट के विपरीत है। अंतिम उदाहरण पिछले अनुभाग में यूक्लिडियन रिक्त स्थान के विपरीत है; अधिक विशिष्ट होने के लिए, हॉसडॉर्फ टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट होता है यदि और केवल यदि यह परिमित-आयामी है (जिस स्थिति में यह एक यूक्लिडियन स्पेस है)। यह उदाहरण कॉम्पैक्ट स्पेस के उदाहरण के रूप में हिल्बर्ट क्यूब से भी भिन्न है; इसमें कोई विरोधाभास नहीं है क्योंकि घन हिल्बर्ट अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु का पड़ोस नहीं हो सकता है।

गैर-हॉसडॉर्फ उदाहरण

 * परिमेय संख्या Q का एक-बिंदु संघनन संहत है और इसलिए इंद्रियों (1) और (2) में स्थानीय रूप से संहत है लेकिन यह इंद्रियों (3) या (4) में स्थानीय रूप से संहत नहीं है।
 * किसी भी अनंत सेट पर विशेष बिंदु टोपोलॉजी इंद्रियों (1) और (3) में स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट होती है, लेकिन इंद्रियों (2) या (4) में नहीं, क्योंकि किसी भी पड़ोस का बंद होना संपूर्ण स्थान है, जो गैर-कॉम्पैक्ट है।
 * उपरोक्त दो उदाहरणों का असंयुक्त संघ (टोपोलॉजी) अर्थ (1) में स्थानीय रूप से सघन है, लेकिन अर्थ (2), (3) या (4) में नहीं।
 * वास्तविक रेखा पर सही क्रम की टोपोलॉजी इंद्रियों (1) और (3) में स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है, लेकिन इंद्रियों (2) या (4) में नहीं, क्योंकि किसी भी पड़ोस का बंद होना संपूर्ण गैर-कॉम्पैक्ट स्थान है।
 * सिएरपिंस्की स्थान स्थानीय रूप से इंद्रियों (1), (2) और (3) में कॉम्पैक्ट है, और साथ ही कॉम्पैक्ट भी है, लेकिन यह हॉसडॉर्फ या नियमित (या यहां तक ​​कि प्रीरेगुलर) नहीं है, इसलिए यह इंद्रियों (4) या में स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट नहीं है। (5). सिएरपिंस्की स्पेस की अनगिनत प्रतियों का असंयुक्त संघ एक गैर-कॉम्पैक्ट स्पेस है जो अभी भी इंद्रियों (1), (2) और (3) में स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है, लेकिन (4) या (5) में नहीं।
 * अधिक सामान्यतः, बहिष्कृत बिंदु टोपोलॉजी इंद्रियों (1), (2) और (3) में स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है, और कॉम्पैक्ट है, लेकिन इंद्रियों (4) या (5) में स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट नहीं है।
 * अनंत सेट पर सहपरिमित टोपोलॉजी इंद्रियों (1), (2), और (3) में स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है, और कॉम्पैक्ट भी है, लेकिन यह हॉसडॉर्फ या नियमित नहीं है इसलिए यह इंद्रियों (4) या में स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट नहीं है (5).
 * कम से कम दो तत्वों वाले सेट पर अविवेकी टोपोलॉजी स्थानीय रूप से इंद्रियों (1), (2), (3), और (4) में कॉम्पैक्ट है, और कॉम्पैक्ट भी है, लेकिन यह हॉसडॉर्फ नहीं है इसलिए यह स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट नहीं है अर्थ में (5).

उदाहरणों के सामान्य वर्ग

 * अलेक्जेंडर टोपोलॉजी वाला प्रत्येक स्थान इंद्रियों (1) और (3) में स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है।

गुण
प्रत्येक स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट पूर्व नियमित स्थान, वास्तव में, पूरी तरह से नियमित स्थान है। इसका तात्पर्य यह है कि प्रत्येक स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ स्थान एक टाइकोनॉफ़ स्थान है। चूंकि सीधी नियमितता या तो पूर्व-नियमितता (जो आमतौर पर कमजोर होती है) या पूर्ण नियमितता (जो आमतौर पर मजबूत होती है) की तुलना में अधिक परिचित स्थिति है, स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट प्रीरेगुलर रिक्त स्थान को आमतौर पर गणितीय साहित्य में स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट नियमित स्थान के रूप में संदर्भित किया जाता है। इसी प्रकार स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट टाइकोनॉफ रिक्त स्थान को आमतौर पर स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान के रूप में संदर्भित किया जाता है।

प्रत्येक स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट नियमित स्थान, विशेष रूप से प्रत्येक स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्थान, एक बाहर जगह है। अर्थात्, बेयर श्रेणी प्रमेय का निष्कर्ष यह है: कहीं भी घने उपसमुच्चय के प्रत्येक गणनीय संघ का आंतरिक (टोपोलॉजी) खाली नहीं है।

स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस Y का एक उपस्थान (टोपोलॉजी)  X स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है यदि और केवल यदि X स्थानीय रूप से Y में बंद है (अर्थात, Y का). विशेष रूप से, स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस में प्रत्येक बंद सेट और प्रत्येक खुला सेट स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है। इसके अलावा, एक परिणाम के रूप में, स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस Y का एक सघन (टोपोलॉजी) उप-स्थान अभी भी Y में स्थानीय रूप से बंद होना चाहिए, हालाँकि इसका विपरीत (तर्क) सामान्य रूप से मान्य नहीं है।

हॉसडॉर्फ परिकल्पना के बिना, इनमें से कुछ परिणाम स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट की कमजोर धारणाओं के साथ टूट जाते हैं। कमजोर रूप से स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान (= उपरोक्त परिभाषाओं में स्थिति (1)) में प्रत्येक बंद सेट कमजोर रूप से स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है। लेकिन कमजोर स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान में प्रत्येक खुला सेट कमजोर रूप से स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट नहीं होता है। उदाहरण के लिए, एक-बिंदु संघनन $$\Q^*$$ तर्कसंगत संख्याओं का $$\Q$$ कॉम्पैक्ट है, और इसलिए स्थानीय रूप से कमजोर रूप से कॉम्पैक्ट है। लेकिन इसमें शामिल है $$\Q$$ एक खुले सेट के रूप में जो कमजोर रूप से स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट नहीं है।

स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान के भागफल स्थान (टोपोलॉजी) कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न स्थान हैं। इसके विपरीत, प्रत्येक कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न हॉसडॉर्फ़ स्पेस कुछ स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ स्पेस का भागफल है।

स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान पर परिभाषित कार्यों के लिए, स्थानीय समान अभिसरण कॉम्पैक्ट अभिसरण के समान है।

अनंत पर बिंदु
यह खंड स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थानों के संघनन (गणित)गणित) का पता लगाता है। प्रत्येक कॉम्पैक्ट स्पेस का अपना कॉम्पैक्टिफिकेशन होता है। इसलिए तुच्छताओं से बचने के लिए नीचे यह माना गया है कि अंतरिक्ष X सघन नहीं है।

चूँकि प्रत्येक स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ स्पेस $$b(X)$$ स्टोन-सेच कॉम्पेक्टिफिकेशन का उपयोग करना। लेकिन वास्तव में, स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट मामले में एक सरल विधि उपलब्ध है; एक-बिंदु कॉम्पेक्टिफिकेशन एक्स को कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस में एम्बेड करेगा $$a(X)$$ सिर्फ एक अतिरिक्त अंक के साथ. (एक-बिंदु संघनन को अन्य स्थानों पर लागू किया जा सकता है, लेकिन $$a(X)$$ हॉसडॉर्फ़ होगा यदि और केवल यदि एक्स स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट और हॉसडॉर्फ़ है।) इस प्रकार स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ रिक्त स्थान को कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ रिक्त स्थान के खुले उपसमुच्चय के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

सहज रूप से, अतिरिक्त बिंदु $$a(X)$$ अनंत पर एक बिंदु के रूप में सोचा जा सकता है। अनंत के बिंदु को X के प्रत्येक सघन उपसमुच्चय के बाहर स्थित माना जाना चाहिए। इस विचार का उपयोग करके स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्थानों में अनंत की ओर प्रवृत्ति के बारे में कई सहज धारणाएं तैयार की जा सकती हैं। उदाहरण के लिए, एक सतत फ़ंक्शन (टोपोलॉजी) वास्तविक संख्या या जटिल संख्या मूल्यवान फ़ंक्शन (गणित) एफ डोमेन (फ़ंक्शन) एक्स के साथ कहा जाता है कि यदि कोई सकारात्मक संख्या दी जाती है तो अनंत पर गायब हो जाती है ई, एक्स का एक सघन उपसमुच्चय के इस प्रकार है $$|f(x)| < e$$ जब भी बिंदु (ज्यामिति) x K के बाहर स्थित होता है। यह परिभाषा किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस X के लिए समझ में आती है। यदि $$a(X) = X \cup \{ \infty \}$$ कहाँ $$g(\infty) = 0.$$

गेलफैंड प्रतिनिधित्व
स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ स्पेस एक्स के लिए, सेट $$C_0(X)$$ एक्स पर सभी निरंतर जटिल-मूल्य वाले फ़ंक्शन जो अनंत पर गायब हो जाते हैं, एक क्रमविनिमेय सी-स्टार बीजगणित है|सी*-बीजगणित। वास्तव में, प्रत्येक क्रमविनिमेय C*-बीजगणित समरूपी है $$C_0(X)$$ कुछ अद्वितीय (गणित) (होमियोमोर्फिज्म तक) के लिए स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस एक्स। इसे गेलफैंड प्रतिनिधित्व का उपयोग करके दिखाया गया है।

स्थानीय रूप से सघन समूह
टोपोलॉजिकल समूहों के अध्ययन में स्थानीय कॉम्पैक्टनेस की धारणा महत्वपूर्ण है क्योंकि प्रत्येक हॉसडॉर्फ स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूह जी में प्राकृतिक माप सिद्धांत होता है जिसे हार माप कहा जाता है जो जी पर परिभाषित अभिन्न मापनीय कार्यों की अनुमति देता है। लेब्सग्यू वास्तविक रेखा पर मापता है $$\R$$ इसका एक विशेष मामला है.

टोपोलॉजिकल एबेलियन समूह ए का पोंट्रीगिन दोहरी स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है यदि और केवल यदि ए स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है। अधिक सटीक रूप से, पोंट्रीगिन द्वंद्व स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट एबेलियन समूहों के श्रेणी सिद्धांत के एक स्व-द्वैत (श्रेणी सिद्धांत) को परिभाषित करता है। स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट एबेलियन समूहों का अध्ययन हार्मोनिक विश्लेषण की नींव है, एक ऐसा क्षेत्र जो तब से गैर-एबेलियन स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूहों तक फैल गया है।

यह भी देखें

 * कोर-कॉम्पैक्ट स्पेस
 * कोर-कॉम्पैक्ट स्पेस
 * कोर-कॉम्पैक्ट स्पेस
 * कोर-कॉम्पैक्ट स्पेस
 * कोर-कॉम्पैक्ट स्पेस
 * कोर-कॉम्पैक्ट स्पेस
 * कोर-कॉम्पैक्ट स्पेस