गॉस-कोडैज़ी समीकरण

रीमैनियन ज्यामिति और स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड ज्यामिति में, गॉस-कोडैज़ी समीकरण (जिसे गॉस कोडाज़ी वेनगार्टन मेनार्डी समीकरण या गॉस पीटरसन कोडाज़ी सूत्र भी कहा जाता है) मौलिक सूत्र हैं जो एक रिमेंनियन मैनिफोल्ड या स्यूडो- रीमैनियन कई गुना के सबमैनिफोल्ड (या विसर्जन) के प्रेरित मीट्रिक और दूसरे मौलिक रूप को एक साथ जोड़ते हैं।

समीकरण मूल रूप से त्रि-आयामी यूक्लिडियन समष्टि में सतहों के संदर्भ में खोजे गए थे। इस संदर्भ में, पहला समीकरण, जिसे अधिकांशतः गॉस समीकरण कहा जाता है (इसके खोजकर्ता कार्ल फ्रेडरिक गॉस के पश्चात), कहा जाता है की सतह के गॉस वक्रता, किसी भी बिंदु पर, गॉस मानचित्र के यौगिक द्वारा निर्धारित होती है, जैसा कि इसे दूसरे मौलिक रूप द्वारा एन्कोड किया गया हैं। दूसरा समीकरण, जिसे कोडाज़ी समीकरण या कोडाज़ी मेनर्डी समीकरण कहा जाता है, यह भी कहा जाता है कि दूसरे मौलिक रूप का सहसंयोजक व्युत्पन्न पूरी प्रकार से सममित है। इसका नाम गैस्पर मेनार्डी (1856) और डेलफिनो कोडाज़ी (1868-1869) के नाम पर रखा गया था, जिन्होंने स्वतंत्र रूप से परिणाम प्राप्त किया, चूंकि इसकी खोज पहले कार्ल मिखाइलोविच पीटरसन ने की थी।

औपचारिक बयान
मान लीजिये $$i \colon M \subset P$$ आयाम के रिमेंनियन मैनिफोल्ड P के n-आयामी अंतर्निहित सबमैनिफोल्ड $$n+p$$ बनें, पुशफॉरवर्ड (अवकल) द्वारा M के स्पर्शरेखा बंडल का P में एक प्राकृतिक समावेश है, और कोकर्नेल M का सामान्य बंडल है:
 * $$0 \rightarrow T_xM \rightarrow T_xP|_M \rightarrow T_x^\perp M \rightarrow 0.$$

मीट्रिक इस संक्षिप्त उपयुक्त अनुक्रम को विभाजित करता है, और इसी प्रकार
 * $$TP|_M = TM\oplus T^\perp M.$$

इस बंटवारे के सापेक्ष, लेवी-सिविटा संयोजन $$\nabla'$$ P का स्पर्शरेखा और सामान्य घटकों में विघटित होता है। प्रत्येक के लिए $$X\in TM$$ और M पर सदिश क्षेत्र Y,
 * $$\nabla'_X Y = \top\left(\nabla'_X Y\right) + \bot\left(\nabla'_X Y\right).$$

मान लीजिये
 * $$\nabla_X Y = \top\left(\nabla'_X Y\right),\quad \alpha(X, Y) = \bot\left(\nabla'_X Y\right).$$

गॉस सूत्र अब यह प्रमाणित करता है $$\nabla_X$$ M के लिए लेवी-सिविटा संयोजन है, और $$\alpha$$ सामान्य बंडल में मूल्यों के साथ एक सममित सदिश-मूल्यवान रूप है। इसे अधिकांशतः दूसरे मौलिक रूप में जाना जाता है।

एक तात्कालिक परिणाम 'वक्रता टेंसर के लिए गॉस समीकरण' $$X, Y, Z, W \in TM$$ है।
 * $$\langle R'(X, Y)Z, W\rangle = \langle R(X, Y)Z, W\rangle + \langle \alpha(X, Z), \alpha(Y, W)\rangle - \langle \alpha(Y, Z), \alpha(X, W)\rangle $$

जहाँ $$R'$$, P का रीमैन वक्रता टेन्सर है और R, M का वक्रता टेंसर है।

सामान्य बंडल में संयोजन के लिए वेनगार्टन समीकरण गॉस सूत्र का एक एनालॉग है। मान लीजिए कि $$X \in TM$$ और $$\xi$$ एक सामान्य सदिश क्षेत्र है। फिर X के साथ स्पर्शरेखा और सामान्य घटकों में $$\xi$$ के परिवेश सहसंयोजक व्युत्पन्न को विघटित करें:
 * $$\nabla'_X\xi = \top \left(\nabla'_X\xi\right) + \bot\left(\nabla'_X\xi\right) = -A_\xi(X) + D_X(\xi).$$

जब
 * 1) वेनगार्टन समीकरण: $$\langle A_\xi X, Y\rangle = \langle \alpha(X, Y), \xi\rangle$$
 * 2) DX सामान्य बंडल में एक मीट्रिक संयोजन है।

इस प्रकार संयोजन की एक जोड़ी है: ∇, M के स्पर्शरेखा बंडल पर परिभाषित; और D, M के सामान्य बंडल पर परिभाषित ये TM और T⊥M की प्रतियों के किसी भी टेंसर उत्पाद पर एक संयोजन बनाने के लिए गठबंधन करते हैं। विशेष रूप से, उन्होंने $$\alpha$$ के सहपरिवर्ती व्युत्पन्न को परिभाषित किया:
 * $$\left(\tilde{\nabla}_X \alpha\right)(Y, Z) = D_X\left(\alpha(Y, Z)\right) - \alpha\left(\nabla_X Y, Z\right) - \alpha\left(Y, \nabla_X Z\right).$$

कोडाज़ी मेनार्डी का एक समीकरण यह है,
 * $$\bot\left(R'(X, Y)Z\right) = \left(\tilde{\nabla}_X\alpha\right)(Y, Z) - \left(\tilde{\nabla}_Y\alpha\right)(X, Z).$$

चूंकि प्रत्येक विसर्जन (गणित) विशेष रूप से एक स्थानीय एम्बेडिंग है, उपरोक्त सूत्र भी विसर्जन के लिए मान्य हैं।

मौलिक समीकरणों का कथन
सतहों के मौलिक अंतर ज्यामिति में, कोडाज़ी-मेनर्डी समीकरण दूसरे मौलिक रूप (एल, एम, एन) के माध्यम से व्यक्त किए जाते हैं:
 * $$L_v-M_u = L\Gamma^1{}_{12} + M\left({\Gamma^2}_{12} - {\Gamma^1}_{11}\right) - N{\Gamma^2}_{11}$$
 * $$M_v-N_u = L\Gamma^1{}_{22} + M\left({\Gamma^2}_{22} - {\Gamma^1}_{12}\right) - N{\Gamma^2}_{12}$$

गॉसियन वक्रता को परिभाषित करने के लिए कोई कैसे चुनता है, इस पर निर्भर करते हुए गॉस सूत्र, एक पुनरुक्ति हो सकता है। इसे इस प्रकार कहा जा सकता है।
 * $$K = \frac{LN - M^2}{eg - f^2},$$

जहां (e, f, g) पहले मौलिक रूप के घटक हैं।

मौलिक समीकरणों की व्युत्पत्ति
यूक्लिडियन 3-स्पेस में पैरामीट्रिक सतह पर विचार करें,


 * $$\mathbf{r}(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v))$$

जहां तीन घटक कार्य uv-प्लेन में कुछ विवृत डोमेन u में ऑर्डर किए गए जोड़े (u,v) पर सुचारू रूप से निर्भर करते हैं। मान लें कि यह सतह 'नियमित' है, जिसका अर्थ है कि सदिश ru और rv रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। सदिश समष्टि के आधार पर इसे पूरा करें {ru,rv,n}, सतह के लिए सामान्य इकाई सदिश n का चयन करते है। r के दूसरे आंशिक यौगिक को व्यक्त करना संभव है ($$\mathbb{R^3}$$ के वैक्टर) क्रिस्टोफेल प्रतीकों और दूसरे मौलिक रूप के तत्वों के साथ हम आधार के पहले दो घटकों को चुनते हैं क्योंकि वे सतह के आंतरिक हैं और गॉसियन वक्रता की आंतरिक संपत्ति को सिद्ध करने की इच्छा रखते हैं। आधार में अंतिम शब्द बाह्य है।
 * $$\mathbf{r}_{uu} = {\Gamma^1}_{11} \mathbf{r}_u + {\Gamma^2}_{11} \mathbf{r}_v + L \mathbf{n}$$
 * $$\mathbf{r}_{uv} = {\Gamma^1}_{12} \mathbf{r}_u + {\Gamma^2}_{12} \mathbf{r}_v + M \mathbf{n}$$
 * $$\mathbf{r}_{vv} = {\Gamma^1}_{22} \mathbf{r}_u + {\Gamma^2}_{22} \mathbf{r}_v + N \mathbf{n}$$

दूसरे अवकलज की समरूपता क्लेराट.27s के प्रमेय में कहा गया है कि आंशिक यौगिक अभिकलन करते हैं::
 * $$\left(\mathbf{r}_{uu}\right)_v = \left(\mathbf{r}_{uv}\right)_u$$

यदि हम ruu को v के संबंध में और ruv के संबंध में अंतर करते हैं, तो हमें मिलता है:


 * $$\left({\Gamma^1}_{11}\right)_v \mathbf{r}_u + {\Gamma^1}_{11} \mathbf{r}_{uv} + \left({\Gamma^2}_{11}\right)_v \mathbf{r}_v + {\Gamma^2}_{11} \mathbf{r}_{vv} + L_v \mathbf{n} + L \mathbf{n}_v $$$$ = \left({\Gamma^1}_{12}\right)_u \mathbf{r}_u + {\Gamma^1}_{12} \mathbf{r}_{uu} + \left(\Gamma_{12}^2\right)_u \mathbf{r}_v + {\Gamma^2}_{12} \mathbf{r}_{uv} + M_u \mathbf{n} + M \mathbf{n}_u$$

अब उपरोक्त अभिव्यक्तियों को दूसरे यौगिक के लिए प्रतिस्थापित करें और n के गुणांकों को समान करें:
 * $$ M {\Gamma^1}_{11} + N {\Gamma^2}_{11} + L_v = L {\Gamma^1}_{12} + M {\Gamma^2}_{12} + M_u $$

इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने से पहला कोडाज़ी-मेनर्डी समीकरण मिलता है।

दूसरा समीकरण इसी प्रकार निकाला जा सकता है।

औसत वक्रता
M को (m + k)-आयामी चिकनी कई गुना पी में विसर्जित एक चिकनी m-आयामी कई गुना होने दें, मान लीजिये $$e_1, e_2, \ldots, e_k$$, M के लिए सामान्य सदिश क्षेत्र का स्थानीय ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम बना है। तब हम लिख सकते हैं,


 * $$\alpha(X, Y) = \sum_{j=1}^k\alpha_j(X, Y)e_j.$$

यदि, अब, $$E_1, E_2, \ldots, E_m$$, M के समान विवृत उपसमुच्चय पर एक स्थानीय ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम (स्पर्शरेखा सदिश क्षेत्रों का) है, तो हम माध्य को विसर्जन की वक्रता द्वारा परिभाषित कर सकते हैं।


 * $$H_j=\sum_{i=1}^m\alpha_j(E_i, E_i).$$

विशेष रूप से, यदि M, P की एक अतिसतह है, अर्थात $$k=1$$, तो बोलने के लिए मात्र एक माध्य वक्रता है। यदि सभी $$H_j$$ समान रूप से शून्य हैं तो विसर्जन को न्यूनतम सतह कहा जाता है।

ध्यान दें कि औसत वक्रता किसी दिए गए घटक के लिए दूसरे मौलिक रूप का निशान या औसत है। कभी-कभी औसत वक्रता को दायीं ओर के योग को गुणा करके $$1/m$$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।

अब हम गॉस-कोडैज़ी समीकरणों को इस रूप में लिख सकते हैं।


 * $$\langle R'(X, Y)Z, W \rangle = \langle R(X,Y)Z, W \rangle + \sum_{j=1}^k \left(\alpha_j(X,Z) \alpha_j(Y, W) - \alpha_j(Y, Z) \alpha_j(X, W)\right). $$

$$Y, Z$$ कॉअनुबंध को सिकोड़ने से हमें मिलता है।


 * $$\operatorname{Ric}'(X, W) = \operatorname{Ric}(X,W) + \sum_{j=1}^k \langle R'(X, e_j)e_j, W\rangle + \sum_{j=1}^k  \left(\sum_{i=1}^m\alpha_j(X, E_i) \alpha_j(E_i, W)- H_j \alpha_j(X, W)\right).$$

जब M एक हाइपरसफेस है, तो यह सरल हो जाता है।


 * $$\operatorname{Ric}'(X, W) = \operatorname{Ric}(X, W) + \langle R'(X, n)n, W \rangle + \sum_{i=1}^mh(X, E_i) h(E_i, W) - H h(X, W)$$

जहाँ $$n = e_1,$$ $$h = \alpha_1$$ और $$H = H_1$$, उस स्थिति में एक और संकुचन उत्पन्न होता है,


 * $$R' = R + 2 \operatorname{Ric}'(n, n) + \|h\|^2 - H^2$$

जहाँ $$R'$$ और $$R$$ क्रमशः P और M की अदिश वक्रताएँ हैं, और


 * $$\|h\|^2 = \sum_{i,j=1}^m h(E_i, E_j)^2.$$

यदि $$k>1$$, अदिश वक्रता समीकरण अधिक जटिल हो सकता है।

कुछ निष्कर्ष निकालने के लिए हम पहले से ही इन समीकरणों का उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, कोई न्यूनतम विसर्जन गोले में $$ x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_{m+k+1}^2 = 1 $$ रूप का होना चाहिए,


 * $$\Delta x_j + \lambda x_j = 0$$

जहाँ $$j$$ 1 से $$m + k + 1$$ तक चलता है और


 * $$\Delta = \sum_{i=1}^m \nabla_{E_i}\nabla_{E_i}$$

M पर लाप्लासियन है, और $$\lambda > 0$$ एक धनात्मक स्थिरांक है।

यह भी देखें

 * डार्बौक्स फ्रेम

संदर्भ
Historical references Textbooks Articles
 * ("General Discussions about Curved Surfaces")
 * ("General Discussions about Curved Surfaces")
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 * do Carmo, Manfredo P. Differential geometry of curves & surfaces. Revised & updated second edition. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2016. xvi+510 pp. ISBN 978-0-486-80699-0
 * do Carmo, Manfredo Perdigão. Riemannian geometry. Translated from the second Portuguese edition by Francis Flaherty. Mathematics: Theory & Applications. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992. xiv+300 pp. ISBN 0-8176-3490-8
 * Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi. Foundations of differential geometry. Vol. II. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 15 Vol. II Interscience Publishers John Wiley & Sons, Inc., New York-London-Sydney 1969 xv+470 pp.
 * O'Neill, Barrett. Semi-Riemannian geometry. With applications to relativity. Pure and Applied Mathematics, 103. Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York, 1983. xiii+468 pp. ISBN 0-12-526740-1
 * Simons, James. Minimal varieties in riemannian manifolds. Ann. of Math. (2) 88 (1968), 62–105.
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बाहरी संबंध

 * Peterson–Mainardi–Codazzi Equations – from Wolfram MathWorld
 * Peterson–Codazzi Equations