सजातीय विविधता

बीजगणितीय ज्यामिति में, बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र $k$ पर एफ़ाइन विविधता, बीजगणितीय विविधता, $k$  में गुणांक वाले $n$ चर के बहुपदों  के कुछ परिमित परिवार  के  एफ़ाइन अंतरिक्ष $k^{n}$ में शून्य-बिंदु है जो प्रमुख आदर्श उत्पन्न करता है। यदि अभाज्य गुणज उत्पन्न करने की स्थिति को हटा दिया जाता है, ऐसे समुच्चय को बीजगणितीय समुच्चय ( एफ़ाइन) कहा जाता है। एफ़ाइन विविधता की जरिस्की टोपोलॉजी  की उप-विविधता को अर्ध-एफ़ाइन  विविधता कहा जाता है।

कुछ ग्रंथों को प्रमुख आदर्श की आवश्यकता नहीं होती है, और प्रधान आदर्श द्वारा परिभाषित बीजगणितीय विविधता को इरिड्यूसिबल  कहते हैं। यह लेख आवश्यक रूप से प्रमुख आदर्शों के शून्य-लोकस को संदर्भित नहीं करता है जैसे कि बीजीय बीजगणितीय समुच्चयहै।

कुछ संदर्भों में, बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र $K$ (युक्त $k$) से  $k$ को अलग करना उपयोगी होता है  जिसमें गुणांक माना जाता है, जिस पर शून्य-लोकस माना जाता है (अर्थात् एफ़ाइन विविधता के बिंदु  $K^{n}$में हैं). इस स्तिथि में, विविधता को $k$ पर परिभाषित कहा जाता है, और $k$ से संबंधित विविधता को बिंदु $k$ तर्कसंगत कहा जाता है। सामान्य स्थिति में जहाँ k वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र है, $k$- तर्कसंगत बिंदु को वास्तविक बिंदु कहते हैं। जब क्षेत्र $k$ निर्दिष्ट नहीं  होता है, तब परिमेय बिंदु वह बिंदु है जो परिमेय संख्याओं पर परिमेय होता है। उदाहरण के लिए, फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय का प्रमाणित है कि $x^{n} + y^{n} − 1 = 0$ द्वारा परिभाषित एफ़ाइन बीजगणितीय विविधता (यह वक्र है) में दो से अधिक पूर्णांक के $n$ लिए कोई परिमेय बिंदु नहीं है।

परिचय
एफ़ाइन बीजगणितीय समुच्चय $k$ में गुणांक वाले बहुपद समीकरणों की प्रणाली के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र $k$ में समाधान का समुच्चयहै। यदि $$f_1, \ldots, f_m$$ में गुणांक वाले बहुपद है, वे एफ़ाइन बीजगणितीय समुच्चयको परिभाषित करते हैं
 * $$ V(f_1,\ldots, f_m) = \left\{(a_1,\ldots,a_n)\in k^n \;|\;f_1(a_1,\ldots, a_n)=\ldots=f_m(a_1,\ldots, a_n)=0\right\}.$$

एफ़ाइन (बीजीय) विविधता एफ़ाइन बीजगणितीय समुच्चयहै जो दो उचित एफ़ाइन बीजगणितीय उपसमुच्चय का मिलन नहीं है। इस प्रकार के सजातीय बीजगणितीय समुच्चयको अधिकतर अलघुकरणीय  कहा जाता है।

यदि $X$ सजातीय बीजगणितीय समुच्चय है, और $I$ उन सभी बहुपदों की गुणजावली है जिन $X$ पर शून्य है, तब भागफल वलय $$R=k[x_1, \ldots, x_n]/I$$ को X का ऑर्डिनेटवलयकहा जाता है  निर्देशांक वलय  R  के तत्वों को विविधता पर नियमित कार्य  या बहुपद कार्य  भी कहा जाता है।  वे विविधता पर नियमित कार्यों की वलय  बनाते हैं, विविधता की वलय; दूसरे शब्दों में (संरचना शीफ देखें), यह एक्स के संरचना बंड़ल के वैश्विक खंड का अंतरिक्ष है।

विविधता का आयाम प्रत्येक विविधता से जुड़ा पूर्णांक है, और यहां प्रत्येक बीजगणितीय समुच्चय के लिए, जिसका महत्व बड़ी संख्या में इसकी समकक्ष परिभाषाओं पर निर्भर करता है (बीजगणितीय विविधता का आयाम देखें)।

उदाहरण

 * एफ़ाइन विविधता में $X$  (जो कि कुछ बहुपद  $f$  के लिए $X - { f = 0 }$ है) में हाइपरसफेस का पूरक एफ़िन है। इसके परिभाषित समीकरणों को $X$  के परिभाषित आदर्श $f$  द्वारा संतृप्ति करके प्राप्त किया जाता है। समन्वय वलय इस प्रकार स्थानीयकरण $$k[X][f^{-1}]$$ है।
 * विशेष रूप से, $$\mathbb C - 0$$ (एफ़ाइन रेखा जिसके मूल को हटा दिया गया है) एफ़ाइन है।
 * वहीं दूसरी ओर, $$\mathbb C^2 - 0$$ (ऐफिन प्लेन जिसकी उत्पत्ति हटा दी गई है) सजातीय विविधता नहीं है; सी एफ हार्टोगएक्सका विस्तार प्रमेय।
 * एफ़िन अंतरिक्ष में कोडिमेंशन वन की उप- विविधताओं $$k^n$$ वास्तव में हाइपरसर्फएक्स हैं, जो कि बहुपद द्वारा परिभाषित विविधताओं हैं।
 * इरेड्यूसिबल एफाइन विविधता का सामान्यीकरण एफाइन है; सामान्यीकरण का समन्वय वलय विविधता के समन्वय वलय का अभिन्न समापन है। (इसी प्रकार, प्रक्षेपी विविधता का सामान्यीकरण प्रक्षेपी विविधता है।)

तर्कसंगत बिंदु


एफ़िन विविधता के लिए $$V\subseteq K^n$$ बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र $y^{2} = x^{3} − x^{2} − 16x.$ पर, और $K$ का उपक्षेत्र $k$, $K$  का $V$-तार्किक बिंदु है $$p\in V\cap k^n.$$ यानी $k$ का बिंदु जिसके निर्देशांक $V$ के तत्व हैं। एफ़िन विविधता $k$  के $V$- तर्कसंगत बिंदुओं का संग्रह अधिकतर निरूपित किया जाता है $$V(k).$$ अधिकतर, यदि आधार क्षेत्र सम्मिश्र संख्याएँ  $k$ हैं, वे बिंदु जो $C$-तर्कसंगत हैं (जहां $R$ वास्तविक संख्या है) विविधता के वास्तविक बिंदु कहलाते हैं, और $R$-तर्कसंगतबिंदु($Q$ परिमेय संख्याएँ) अधिकतर परिमेय बिंदु कहलाते हैं। उदाहरण के लिए, $Q$ विविधता का $(1, 0)$-तर्कसंगत और $Q$- तर्कसंगत बिंदु $$V = V(x^2+y^2-1)\subseteq\mathbf{C}^2,$$ क्योंकि यह $R$  में है और इसके सभी निर्देशांक पूर्णांक हैं। बिंदु $V$  $V$  का वास्तविक बिंदु है जो कि $(√2/2, √2/2)$-तर्कसंगत नहीं है ,और  $$(i,\sqrt{2})$$  $Q$  का बिन्दु है  जो कि $V$-तर्कसंगत नहीं है। इस  विविधता को वृत्त कहा जाता है, क्योंकि इसका $R$-तर्कसंगत बिंदुओं का समुच्चय इकाई वृत्त है। इसमें अपरिमित रूप से अनेक $R$-तर्कसंगत बिंदु हैं
 * $$\left(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}\right)$$

जहाँ $t$ परिमेय संख्या है।

वृत्त $$V(x^2+y^2-3)\subseteq\mathbf{C}^2$$ डिग्री दो के बीजगणितीय वक्र का उदाहरण है जिसमें कोई $Q$-तर्कसंगत बिंदु नहीं है। यह इस तथ्य से निकाला जा सकता है, मॉड्यूलर $Q$, दो वर्गों का योग $4$ नहीं हो सकता है।

यह सिद्ध किया जा सकता है कि $3$ तर्कसंगत बिंदु के साथ डिग्री दो का बीजगणितीय वक्र के अपरिमित रूप से कई अन्य $Q$ तर्कसंगतबिंदुहोते हैं; ऐसा प्रत्येक बिंदु वक्र का दूसरा प्रतिच्छेदन बिंदु है और परिमेय बिंदु से गुजरने वाली परिमेय ढलान वाली रेखा है।

जटिल विविधता  $$V(x^2+y^2+1)\subseteq\mathbf{C}^2$$ का कोई  $Q$-तर्कसंगत बिंदु नहीं  हैं, किंतु कई जटिल बिंदु हैं।

यदि $R$ जटिल संख्या $V$ पर परिभाषित $C$ में एफ़ाइन विविधता हैं $C^{2}$ के  $V$-तर्कसंगत बिंदु को कागज के समूह पर या रेखांकन सॉफ्टवेयर द्वारा खींचा जा सकता है। दाईं ओर का आंकड़ा  $R$-तर्कसंगत बिंदु दर्शाता है$$V(y^2-x^3+x^2+16x)\subseteq\mathbf{C}^2.$$

वचन बिंदु और स्पर्शरेखा स्थान
मान लीजिए $V$ बहुपदों द्वारा परिभाषित सजातीय विविधता  हो $$f_1, \dots, f_r\in  k[x_1, \dots, x_n],$$ और $$a=(a_1, \dots,a_n)$$ का बिंदु हो.

$a$ पर $V$ का जैकबियन मैट्रिक्स $R$ आंशिक डेरिवेटिव का मैट्रिक्स है
 * $$ \frac{\partial f_j} {\partial {x_i}}(a_1, \dots, a_n).$$

बिंदु $a$ नियमित है यदि $JV(a)$ की रैंक $V$ बीजगणितीय विविधता के आयाम के समान है,औरअन्यथा एकवचन है ।

यदि $a$ नियमित है, $V$ पर $a$ पर स्पर्शरेखा स्थान एफिन उपस्थान है $$k^n$$ रैखिक समीकरणों द्वारा परिभाषित
 * $$\sum_{i=1}^n \frac{\partial f_j} {\partial {x_i}}(a_1, \dots, a_n) (x_i - a_i) = 0, \quad j = 1, \dots, r.$$

यदि बिंदु एकवचन है, तो इन समीकरणों द्वारा परिभाषित एफ़िन उप-स्थान को कुछ लेखकों द्वारा स्पर्शरेखा स्थान भी कहा जाता है, जबकि अन्य लेखकों का कहना है कि एकवचन बिंदु पर कोई स्पर्शरेखा स्थान नहीं है। अधिक आंतरिक परिभाषा, जो निर्देशांक का उपयोग नहीं करती है, ज़रिस्की टेंगेंट स्पेस द्वारा दी गई है।

जारिस्की टोपोलॉजी
kn के संबध बीजगणितीय समुच्चय kn पर एक टोपोलॉजी के बंद समुच्चय बनाते हैं, जिसे 'ज़ारिस्की टोपोलॉजी' कहा जाता है। यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि $$V(0)=k[x_1,\ldots, x_n],$$ $$V(1)=\emptyset,$$ $$V(S)\cup V(T)=V(ST),$$ और $$V(S)\cap V(T)=V(S+T)$$ (वास्तव में, एफ़ाइन बीजगणितीय सेटों का गणनीय प्रतिच्छेदन एफ़ाइन बीजगणितीय समुच्चय है)।

ज़ारिस्की टोपोलॉजी को बुनियादी खुले सेटों के माध्यम से भी वर्णित किया जा सकता है, जहाँ ज़ारिस्की-खुले समुच्चयफॉर्म के सेटों के गणनीय संघ हैं $$U_f = \{p\in k^n:f(p)\neq 0\}$$ के लिए $$f\in k[x_1,\ldots, x_n].$$ ये बुनियादी खुले समुच्चय बंद सेट kn  में पूरक हैं $$V(f)=D_f=\{p\in k^n:f(p)=0\},$$ बहुपद का शून्य लोकी। यदि k नोथेरियन वलय है (उदाहरण के लिए, यदि k  क्षेत्र या प्रमुख आदर्श डोमेन है),  k का प्रत्येक आदर्श अंतिम रूप से उत्पन्न होता है, इसलिए प्रत्येक खुला समुच्चयबुनियादी खुले सेटों का परिमित संघ है।

यदि V, kn  संबधित उप-संस्कृति है, V पर ज़ारिस्की टोपोलॉजी एकमात्र kn पर ज़ारिस्की टोपोलॉजी से विरासत में मिली अंतरिक्ष टोपोलॉजी है।.

ज्यामिति-बीजगणित पत्राचार
सजातीय विविधता की ज्यामितीय संरचना इसके समन्वय वलय की बीजगणितीय संरचना से गहरे तरीके से जुड़ी हुई है। I और J को k [V] के आदर्श होने दें, जो एफ़ाइन विविधता V का समन्वय वलय है। I (V) को सभी बहुपदों का समुच्चय होने दें $$k[x_1, \ldots, x_n],$$ जो वी पर लुप्त हो जाता है, और जाने दो $$\sqrt{I}$$ आदर्श I के मूलांक को दर्शाता है, बहुपद f का समुच्चय जिसके लिए f की कुछ शक्ति I में है। आधार क्षेत्र को बीजगणितीय रूप से बंद करने का कारण यह है कि एफ़ाइन विविधताओं स्वचालित रूप से हिल्बर्ट के नलस्टेलेंसैट्ज को संतुष्ट करती हैं: आदर्श के लिए जे में $$k[x_1, \ldots, x_n],$$ जहाँ k  बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है, $$I(V(J))=\sqrt{J}.$$

k[V] के कट्टरपंथी आदर्श (आदर्श जो अपने स्वयं के कट्टरपंथी हैं) V के बीजगणितीय उपसमुच्चय के अनुरूप हैं। वास्तव में, कट्टरपंथी आदर्शों I और J के लिए, $$I\subseteq J$$ यदि $$V(J)\subseteq V(I).$$ इसलिए V(I)=V(J) यदि I=J इसके अलावा, फलन बीजगणितीय समुच्चयW को ग्रहण करता है और I(W) लौटाता है, सभी कार्यों का समुच्चयजो W के सभी बिंदुओं पर भी गायब हो जाता है, फ़ंक्शन का व्युत्क्रम होता है, जो बीजगणितीय समुच्चयको कट्टरपंथी आदर्श के लिए निर्दिष्ट करता है, नलस्टेलेंसैट द्वारा। इसलिए एफ़ाइन बीजगणितीय समुच्चय और कट्टरपंथी आदर्शों के मध्य पत्राचार आपत्ति है। एफ़ाइन बीजगणितीय समुच्चयका समन्वय वलय कम हो जाती है  (शून्य से मुक्त) ,वलय R में आदर्श I के रूप में कट्टरपंथी है यदि  भागफल वलय R/I कम हो जाता है।

समन्वयित वलय के प्रधान आदर्श एफ़िन उप- विविधताओं के अनुरूप होते हैं। सजातीय बीजीय समुच्चय V(I) को दो अन्य बीजगणितीय समुच्चयों के मिलन के रूप में लिखा जा सकता है यदि I=JK उचित आदर्शों के लिए J और K I   $$V(I)=V(J)\cup V(K)$$). यह स्तिथि है यदि मैं प्रधान नहीं हूं। एफ़ाइन उपप्रकार ठीक वे हैं जिनकी समन्वय वलयअभिन्न डोमेन है। ऐसा इसलिए है क्योंकि आदर्श प्रधान है यदि आदर्श द्वारावलयका भागफल अभिन्न डोमेन है।

k[V] के अधिकतम आदर्श V के बिंदुओं के अनुरूप हैं। यदि I और J कट्टरपंथी आदर्श हैं, तो $$V(J)\subseteq V(I)$$ यदि $$I\subseteq J.$$ जैसा कि अधिकतम आदर्श कट्टरपंथी हैं, अधिकतम आदर्श न्यूनतम बीजगणितीय समुच्चय (जिनमें कोई उचित बीजगणितीय उपसमुच्चय नहीं होते है) के अनुरूप हैं, जो V में बिंदु हैं। यदि V समन्वय वलय के साथ परिशोधित विविधता है $$R=k[x_1, \ldots, x_n]/\langle f_1, \ldots, f_m\rangle,$$ यह पत्राचार मानचित्र के माध्यम से स्पष्ट हो जाता है $$(a_1,\ldots, a_n) \mapsto \langle \overline{x_1-a_1}, \ldots, \overline{x_n-a_n}\rangle,$$ कहाँ  $$\overline{x_i-a_i}$$ बहुपद के भागफल बीजगणित  R में छवि को दर्शाता है $$x_i-a_i.$$  बीजगणितीय उपसमुच्चय  बिंदु है यदि उपसमुच्चय का समन्वय वलय क्षेत्र है, क्योंकि अधिकतम आदर्श द्वारा वलय का भागफल क्षेत्र है।

निम्न तालिका इस पत्राचार को सारांशित करती है, सजातीय विविधता के बीजगणितीय उपसमुच्चय और संबंधित समन्वय वलय के आदर्शों के लिए:

एफ़ाइन विविधताओं के उत्पाद
एफ़ाइन विविधताओं के उत्पाद को समरूपता $JV(a)$ का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है, तब उत्पाद को इस आधुनिक एफ़ाइन स्थान में एम्बेड किया जा सकता है। मान लीजिए $A^{n} × A^{m} = A^{n+m}$ और $A^{n}$ के निर्देशांक वलय  $A^{m}$ और $k[x_{1},..., x_{n}]$ हैं, जिससे कि उनके गुणनफल  $k[y_{1},..., y_{m}]$ में निर्देशांक वलय है $A^{n+m}$. मान लीजिए $k[x_{1},..., x_{n}, y_{1},..., y_{m}]$ $V = V( f_{1},..., f_{N})$का बीजगणितीय उपसमुच्चय हो  और $A^{n}$$W = V( g_{1},..., g_{M})$ का  बीजगणितीय उपसमुच्चय है। तबप्रत्येक $A^{m}$  $f_{i}$ में  बहुपद है,और प्रत्येक $k[x_{1},..., x_{n}]$  $g_{j}$ में है। $V$ और $W$ के गुणनफल को $k[y_{1},..., y_{m}]$ में बीजीय समुच्चय $A^{n+m}$ के रूप में परिभाषित किया गया है। उत्पाद अलघुकरणीय है यदि प्रत्येक $V$, $W$ अलघुकरणीय है।

$V × W = V( f_{1},..., f_{N}, g_{1},..., g_{M})$पर जरिस्की टोपोलॉजी दो स्थानों पर ज़ारिस्की टोपोलॉजी का उत्पाद टोपोलॉजी नहीं है। यथार्थतः, उत्पाद टोपोलॉजी मूल खुले समुच्चय के उत्पादों द्वारा उत्पन्न होती है $A^{n} × A^{m}$ और $U_{f} = A^{n} − V( f )$ इसलिए, बहुपद जो $T_{g} = A^{m} − V( g )।$ में हैं लेकिन $k[x_{1},..., x_{n}, y_{1},..., y_{m}]$ में बहुपद के उत्पाद के रूप में प्राप्त नहीं किया जा सकता है जिसमें बहुपद के साथ $k[x_{1},..., x_{n}]$ उन बीजगणितीय सेटों को परिभाषित करेगा जो ज़रिस्की टोपोलॉजी में $k[y_{1},..., y_{m}]$हैं लेकिन उत्पाद टोपोलॉजी में नहीं हैं।

सजातीय विविधताओं की रूपात्मकता
एफ़िन विविधताओं का रूपवाद, या नियमित मानचित्र, एफ़िन विविधताओं के मध्य कार्य है जो प्रत्येक समन्वय में बहुपद है: अधिक त्रुटिहीन रूप से, एफ़िन विविधताओं के लिए $A^{n} × A^{m}$ और $V ⊆ k^{n}$, $W ⊆ k^{m}$ को $V$ तक आकारिकी नक्शा $W$ हैं $φ : V →$ के रूप का W, कहाँ $φ(a_{1}, ..., a_{n}) = (f_{1}(a_{1}, ..., a_{n}), ..., f_{m}(a_{1}, ..., a_{n}))$ प्रत्येक के लिए $f_{i} ∈ k[X_{1}, ..., X_{n}]$। ये एफ़ाइन विविधताओं की श्रेणी (गणित) में आकारिकी हैं।

बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर एफ़ाइन विविधताओं के आकारिकी के मध्य से पत्राचार होता है और विपरीत दिशा में जाने वाले $i = 1, ..., m.$ पर एफ़ाइन विविधताओं के समन्वय के छल्ले के समरूपता है। इस कारण से, इस तथ्य के साथ $k$ और उनके समन्वय के छल्ले के मध्य एफ़ाइन विविधताओं के मध्य से पत्राचार होता है, $k$ से अधिक एफ़ाइन विविधताओं की श्रेणी $k$ से अधिक एफ़ाइन विविधताओं के समन्वय के छल्ले की श्रेणी के दोहरी (श्रेणी सिद्धांत) होती है। $k$ से अधिक एफ़ाइन विविधताओं के समन्वय के छल्ले की श्रेणी उचित जनित, निलपोटेंट-मुक्त बीजगणित की श्रेणी है।

त्रुटिहीन, प्रत्येक आकृतिवाद के लिए $k$ एफ़ाइन विविधताओं में, समाकारिता होती है $φ : V → W$ समन्वय वलयों (विपरीत दिशा में में जाने) के मध्य, और इस प्रकार के प्रत्येक समरूपता के लिए, निर्देशांक वलयों से जुड़ी  विविधताओं का आकार है। इसे स्पष्ट रूप से दिखाया जा सकता है: मान लीजिए $φ^{#} : k[W] → k[V]$ और $V ⊆ k^{n}$ समन्वय के छल्ले $W ⊆ k^{m}$ और $k[V] = k[X_{1}, ..., X_{n}] / I$ क्रमशः। मान लीजिए $k[W] = k[Y_{1}, ..., Y_{m}] / J$ आकारिकी है। यथार्थतः, बहुपद के छल्ले के मध्य समरूपता $φ : V → W$ कारक अद्वितीय से वलय  $θ : k[Y_{1}, ..., Y_{m}] / J → k[X_{1}, ..., X_{n}] / I$ के माध्यम से, और  समरूपता $k[X_{1}, ..., X_{n}]$  विशिष्ट रूप से $ψ : k[Y_{1}, ..., Y_{m}] / J → k[X_{1}, ..., X_{n}]$ की छवियों द्वारा निर्धारित किया जाता है। इसलिए, प्रत्येक समरूपता $Y_{1}, ..., Y_{m}$  विशिष्ट रूप से प्रत्येक के लिए छवि पसंद से मिलता है z है $φ^{#} : k[W] → k[V]$. तब $Y_{i}$ से $V$ तक किसी भी आकारिकी  $W$ देखते हुए, समाकारिता का निर्माण किया जा सकता है $φ = (f_{1}, ..., f_{m})$ जो $φ^{#} : k[W] → k[V]$ भेजता है  $$\overline{f_i},$$ कहाँ$Y_{i}$ में $$\overline{f_i}$$ का तुल्यता वर्ग है।

इसी प्रकार ,समन्वय के छल्ले के प्रत्येक समरूपता के लिए, विपरीत दिशा में चक्करदार विविधताओं का रूपवाद बनाया जा सकता है। उपरोक्त अनुच्छेद को प्रतिबिंबित करते हुए, समरूपता $k[V]$ $φ^{#} : k[W] → k[V]$ को बहुपद में भेजता है $$f_i(X_1,\dots,X_n)$$ में $Y_{i}$. यह $k[V]$ $φ : V → W$ द्वारा परिभाषित विविधताओं के आकारिकी से मिलता है।

संरचना शीफ ​​
नीचे वर्णित संरचना शीफ ​​से सुसज्जित, सजातीय विविधता स्थानीय रूप से चक्राकार स्थान है।

समन्वय की वलय A के साथ एफ़ाइन विविधता X दी गई है, जो k-बीजगणित का शीफ ​​है $$\mathcal{O}_X$$ देकर परिभाषित किया गया है $$\mathcal{O}_X(U) = \Gamma(U, \mathcal{O}_X)$$ U पर नियमित कार्यों की वलय बनें।

माना D(f) = { x | A में प्रत्येक f के लिए  f(x) ≠ 0}। वे X के टोपोलॉजी के लिए आधार बनाते हैं और इसलिए $$\mathcal{O}_X$$ खुले समुच्चय D(f )  पर इसके मूल्यों से निर्धारित होता है। (यह भी देखें: मॉड्यूल का शीफ मॉड्यूल से जुड़ा शीफ)

मुख्य तथ्य, जो आवश्यक रूप से हिल्बर्ट शून्य प्रमेय पर निर्भर करता है, निम्नलिखित है:

सबूत: समावेश ⊃ स्पष्ट है। इसके विपरीत के लिए, g को बाएं हाथ की ओर होने दें और $$J = \{ h \in A | hg \in A \}$$ है, जो आदर्श है। यदि x D(f) में है, चूंकि g, x के पास नियमित है, x के कुछ खुले संबंध पड़ोस  D(h) हैं जैसे कि $$g \in k[D(h)] = A[h^{-1}]$$; अर्थात्, hm g, A में है और इसलिए x, V(J) में नहीं है। दूसरे शब्दों में, $$V(J) \subset \{ x | f(x) = 0 \}$$ और इस प्रकार हिल्बर्ट नलस्टेलेंसैट्ज का अर्थ है कि  f,J के रेडिकल में है; अर्थात, $$f^n g \in A$$. $$\square$$

प्रमाणित है, सबसे पूर्व, यह दर्शाता है कि X तब से स्थानीय रूप से वलय किया हुआ स्थान है।
 * $$\mathcal{O}_{X, x} = \varinjlim_{f(x) \ne 0} A[f^{-1}] = A_{\mathfrak{m}_x}$$

कहाँ $$\mathfrak{m}_x = \{ f \in A | f(x) = 0 \}$$. दूसरे, प्रमाणित का तात्पर्य है $$\mathcal{O}_X$$ पुलिंदा है; वास्तव में, यह कहता है कि यदि कोई समारोह D(f ) पर नियमित (बिंदुवार) है, तो यह D(f ) की समन्वय वलय में होना चाहिए; तात्यर्य "नियमित-नेस को साथ पैच किया जा सकता है।

इस प्रकार, $$(X, \mathcal{O}_X)$$ स्थानीय रूप से चक्राकार स्थान है।

आत्मीयता पर सेरे का प्रमेय
आत्मीयता पर सेरे का प्रमेय सजातीय विविधता का कोहोमोलॉजिकल लक्षण वर्णन देती है; यह कहता है कि बीजगणितीय विविधता एफ़ाइन है यदि $$H^i(X, F) = 0$$ किसी के लिए भी  $$i > 0$$ और एक्स पर कोई भी अर्ध-सुसंगत शीफ एफ (cf. कार्टन की प्रमेय बी।) यह प्रक्षेपी स्तिथि के विपरीत, जिसमें लाइन बंडलों के कोहोलॉजी समूह होते हैं, गैर-अस्तित्व में एफ़ाइन विविधता का कोहोलॉजिकल अध्ययन करता है।

एफ़ाइन बीजगणितीय समूह
बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर $φ(a_{1}, ..., a_{n}) = (f_{1}(a_{1}, ..., a_{n}), ..., f_{m}(a_{1}, ..., a_{n}))$ पर एफ़िन विविधता $k$ को एफ़ाइन बीजगणितीय समूह कहा जाता है यदि इसमें:
 *  गुणन  $G$, जो नियमित रूपवाद है जो सहयोगीता स्वयंसिद्ध का अनुसरण करता है-अर्थात्, जैसे कि $μ: G × G → G$ के लिए $μ(μ(f, g), h) = μ(f, μ(g, h))$ में सभी बिंदु  $G$, $f$ और $g$ है ;
 * पहचान तत्व $h$ ऐसा है कि $e$ के लिए $G$ है;
 * व्युत्क्रम रूपवाद, नियमित आक्षेप $μ(e, g) = μ(g, e) = g$ ऐसा है कि $ι: G → G$ $μ(ι(g), g) = μ(g, ι(g)) = e$ में प्रत्येक $G$ के लिए है;

साथ में, ये विविधता पर समूह (संरचना) को परिभाषित करते हैं। उपरोक्त रूपवाद अधिकतर साधारण समूह संकेतन का उपयोग करते हुए लिखा जाता है: $g$ को  $μ(f, g)$, $f + g$ या $f&sdot;g,$ के रूप में लिखा जा सकता है; व्युत्क्रम $fg$ को $ι(g)$ या $−g$ के रूप में लिखा जा सकता है गुणात्मक संकेतन का उपयोग करके, साहचर्य, पहचान और व्युत्क्रम कानूनों को तब से लिखा जा सकता है: $g^{−1}$, $f(gh) = (fg)h$ और $ge = eg = g$.

एफ़िन बीजगणितीय समूह का सबसे प्रमुख उदाहरण $gg^{−1} = g^{−1}g = e$ है, डिग्री $GL_{n}(k)$ का सामान्य रैखिक समूह है। यह सदिश स्थान $n$ के रैखिक परिवर्तनों का समूह है; यदि $k^{n}$ का आधार (रैखिक बीजगणित) का  नियत है, यह $k^{n}$ में  प्रविष्टियों के साथ $k$ व्युत्क्रमणीय आव्यूहों के समूह के समतुल्य है। यह दिखाया जा सकता है कि कोई भी बीजगणितीय समूह $n×n$ के उपसमूह के लिए आइसोमोर्फिक है। इस कारण से, एफ़ाइन बीजगणितीय समूहों को अधिकतर रैखिक बीजगणितीय समूह कहा जाता है।

एफ़िन बीजगणितीय समूह परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, क्योंकि असत्य प्रकार के समूह एफ़िन बीजगणितीय समूह के $GL_{n}(k)$ तर्कसंगत बिंदुओं के सभी समुच्चयहैं, जहां $F_{q}$ परिमित क्षेत्र है।

सामान्यीकरण

 * यदि लेखक को बीजगणितीय रूप से बंद होने के लिए एफ़ाइन विविधता के आधार क्षेत्र की आवश्यकता होती है (जैसा कि यह लेख करता है), गैर-बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों पर इरेड्यूसिबल एफ़ाइन बीजगणितीय समुच्चय एफ़ाइन  विविधता का सामान्यीकरण है। इस सामान्यीकरण में विशेष रूप से वास्तविक संख्याओं पर एफ़िन विविधताओं को सम्मिलित किया गया है।


 * बीजगणितीय विविधताओं के लिए स्थानीय विविधता स्थानीय चार्ट की भूमिका निभाती है; कहने का तात्पर्य यह है कि सामान्य बीजगणितीय  विविधताओं  जैसे कि प्रोजेक्टिव  विविधता ग्लूइंग एफाइन  विविधताओं द्वारा प्राप्त किया जाता है। रेखीय संरचनाएं जो विविधताओं से जुड़ी होती हैं, वे भी (तुच्छ रूप से) एफ़िन विविधता होती हैं; उदाहरण के लिए, स्पर्श रेखा रिक्त स्थान, बीजगणितीय वेक्टर बंडलों के तंतु है।


 * एफ़ाइन विविधता एफ़ाइन योजना की विशेष स्थिति, है, स्थानीय रूप से वलय वाली स्थान जो कम्यूटेटिव वलय (श्रेणियों की समानता तक) के स्पेक्ट्रम के लिए आइसोमोर्फिक है। प्रत्येक एफ़ाइन विविधता  से जुड़ी एफ़ाइन योजना होती है: यदि $F_{q}$$V(I)$  में समन्वयित वलय$k^{n}$ के साथ एफ़ाइन  विविधता है,$R = k[x_{1}, ..., x_{n}] / I,$ से संबंधित योजना है $V(I)$ $युक्ति (आर),$ के प्रमुख आदर्शों का सेट है। एफ़िन योजना में शास्त्रीय बिंदु होते हैं जो विविधता के बिंदुओं के अनुरूप होते हैं ( इसलिए विविधता के समन्वयवलयके अधिकतम आदर्श), और प्रत्येक बंद उप- विविधता के लिए बिंदु भी विविधता के (ये बिंदु समन्वय वलय के अभाज्य, गैर-अधिकतम आदर्शों के अनुरूप हैं)। यह प्रत्येक बंद उप- विविधता को खुला बिंदु निर्दिष्ट करके, जो उप- विविधता में घना है, संबधित विविधता के "जेनेरिक बिंदु" की अच्छी प्रकार से परिभाषित धारणा बनाता है।  सामान्यतः, एफ़िन योजना एफ़िन विविधता है यदि यह बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र k पर कम, इर्रेड्यूसबल और परिमित प्रकार की है।

यह भी देखें

 * बीजगणितीय विविधता
 * एफ़िन योजना
 * समन्वय के छल्ले पर प्रतिनिधित्व

संदर्भ
The original article was written as a partial human translation of the corresponding French article.
 * Milne, Lectures on Étale cohomology
 * Milne, Lectures on Étale cohomology
 * Milne, Lectures on Étale cohomology
 * Milne, Lectures on Étale cohomology