कोपुला (संभावना सिद्धांत)

संभाव्यता सिद्धांत और आंकड़ों में, कोपुला बहुभिन्नरूपी संचयी वितरण फलन है जिसके लिए प्रत्येक चर का सीमांत संभाव्यता वितरण अंतराल पर समान वितरण (निरंतर) होता है [0,1]। कोपुलस का उपयोग यादृच्छिक चर के मध्य आश्रित और स्वतंत्र चर (अंतर-सहसंबंध) का वर्णन/मॉडल करने के लिए किया जाता है। उनका नाम, व्यावहारिक गणितज्ञ अबे स्क्लर द्वारा 1959 में प्रस्तुतकिया गया था, जो लिंक या टाई के लिए लैटिन से आया है, जो भाषाविज्ञान में व्याकरणिक कोपुला (भाषाविज्ञान) के समान किन्तुअसंबंधित है। टेल जोखिम को मॉडल करने और कम करने के लिए मात्रात्मक वित्त में कोपुला का व्यापक रूप से उपयोग किया गया है और पोर्टफोलियो अनुकूलन|पोर्टफोलियो-अनुकूलन अनुप्रयोग।

अदिश के प्रमेय में कहा गया है कि किसी भी बहुभिन्नरूपी संचयी वितरण फलनयाबहुभिन्नरूपी स्थितियोंको अविभाज्य सीमांत वितरण कार्यों और कोप्युला के संदर्भ में लिखा जा सकता है जो चर के मध्य निर्भरता संरचना का वर्णन करता है।

कोपुला उच्च-आयामी सांख्यिकीय अनुप्रयोगों में लोकप्रिय हैं क्योंकि वे किसी को आसानी से सीमांत और कोपुला का अलग-अलग अनुमान लगाकर यादृच्छिक वैक्टर के वितरण का मॉडल और अनुमान लगाने की अनुमति देते हैं। ऐसे अनेक पैरामीट्रिक कोपुला परिवार उपलब्ध हैं, जिनमें सामान्यतः ऐसे पैरामीटर होते हैं जो निर्भरता की ताकत को नियंत्रित करते हैं। कुछ लोकप्रिय पैरामीट्रिक कॉपुला मॉडल नीचे उल्लिखित हैं।

द्वि-आयामी कोपुला को गणित के कुछ अन्य क्षेत्रों में पर्मुटन और डबल-स्टोकेस्टिक माप के नाम से जाना जाता है।

गणितीय परिभाषा
एक यादृच्छिक सदिश पर विचार करें $$(X_1,X_2,\dots,X_d)$$. मान लीजिए कि इसके सीमांत निरंतर हैं, अर्थात सीमांत संचयी वितरण फलन $$F_i(x) = \Pr[X_i\leq x] $$ सतत फलन हैं. प्रत्येक घटक के लिए संभाव्यता अभिन्न परिवर्तन को प्रयुक्त करके, यह यादृच्छिक सदिश हैं
 * $$(U_1,U_2,\dots,U_d)=\left(F_1(X_1),F_2(X_2),\dots,F_d(X_d)\right)$$

इसमें सीमांत हैं जो अंतराल [0, 1] पर समान वितरण (निरंतर) हैं [0, 1]।

$$(X_1,X_2,\dots,X_d)$$ को संचयी वितरण फलनयाबहुभिन्नरूपी स्थितियोंके रूप में परिभाषित किया गया है $$(U_1,U_2,\dots,U_d)$$:


 * $$C(u_1,u_2,\dots,u_d)=\Pr[U_1\leq u_1,U_2\leq u_2,\dots,U_d\leq u_d].$$

कोपुला C में $$(X_1,X_2,\dots,X_d)$$ घटकों के मध्य निर्भरता संरचना पर सभी जानकारी सम्मिलित है जबकि सीमांत संचयी वितरण फलन $$F_i$$ में $$X_i$$ के सीमांत वितरण पर सभी जानकारी सम्मिलित करता है

इन चरणों के विपरीत का उपयोग बहुभिन्नरूपी संभाव्यता वितरण के सामान्य वर्गों से छद्म-यादृच्छिक नमूने उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है। अर्थात सैंपल$$(U_1,U_2,\dots,U_d)$$ तैयार करने की प्रक्रिया दी गई है कोपुला फलन से, आवश्यक नमूने का निर्माण इस प्रकार किया जा सकता है
 * $$(X_1,X_2,\dots,X_d) = \left(F_1^{-1}(U_1),F_2^{-1}(U_2),\dots,F_d^{-1}(U_d)\right).$$

व्युत्क्रम $$F_i^{-1}$$ लगभग निश्चित रूप से समस्यारहित हैं, क्योंकि $$F_i$$ निरंतर माना जाता था। इसके अतिरिक्त, कोपुला फलन के लिए उपरोक्त सूत्र को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:
 * $$C(u_1,u_2,\dots,u_d)=\Pr[X_1\leq F_1^{-1}(u_1),X_2\leq F_2^{-1}(u_2),\dots,X_d\leq F_d^{-1}(u_d)] .$$

परिभाषा
संभाव्यता सिद्धांत के संदर्भ में, $$C:[0,1]^d\rightarrow [0,1]$$ डी-आयामी 'कॉपुला' है यदि C इकाई घन पर D -आयामी यादृच्छिक सदिश का संयुक्त संचयी वितरण फलन है समान $$[0,1]^d$$ वितरण (निरंतर) सीमांत वितरण के साथ।

बहुपरिवर्तनीय कलन शब्दों में, $$C:[0,1]^d\rightarrow [0,1]$$ यदि D-आयामी 'कॉपुला' है
 * $$C(u_1,\dots,u_{i-1},0,u_{i+1},\dots,u_d)=0 $$, यदि कोई तर्क शून्य है, तब युग्मक शून्य है,
 * $$C(1,\dots,1,u,1,\dots,1)=u $$, यदि तर्क u और अन्य सभी 1 हैं, तब युग्मक u के सामान्तर है,
 * C, d-नॉन-घटने वाला है, अर्थात, प्रत्येक हाइपर आयत के लिए $$B=\prod_{i=1}^{d}[x_i,y_i]\subseteq [0,1]^d $$ B का C-आयतन गैर-नकारात्मक है:
 * $$ \int_B \mathrm{d} C(u) =\sum_{\mathbf z\in \prod_{i=1}^{d}\{x_i,y_i\}} (-1)^{N(\mathbf z)} C(\mathbf z)\ge 0,$$
 * जहां $$N(\mathbf z)=\#\{k : z_k=x_k\}$$.

उदाहरण के लिए, द्विचर स्थितियोंमें, $$C:[0,1] \times[0,1]\rightarrow [0,1]$$ यदि द्विचर युग्म है $$C(0,u) = C(u,0) = 0 $$, $$C(1,u) = C(u,1) = u $$ और $$C(u_2,v_2)-C(u_2,v_1)-C(u_1,v_2)+C(u_1,v_1) \geq 0 $$ सभी के लिए $$0 \leq u_1 \leq u_2 \leq 1$$ और $$0 \leq v_1 \leq v_2 \leq 1$$ के लिए.

स्क्लर का प्रमेय
अदिश का प्रमेय, जिसका नाम अबे अदिश के नाम पर रखा गया है, कोपुलस के अनुप्रयोग के लिए सैद्धांतिक आधार प्रदान करता है। अदिश का प्रमेय बताता है कि प्रत्येक संचयी वितरण फलन या बहुभिन्नरूपी स्तिथि
 * $$H(x_1,\dots,x_d)=\Pr[X_1\leq x_1,\dots,X_d\leq x_d]$$

एक यादृच्छिक सदिश का $$(X_1,X_2,\dots,X_d)$$ इसके सीमांतों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है $$F_i(x_i) = \Pr[X_i\leq x_i] $$ और एक युग्म $$C$$. वास्तव में:
 * $$H(x_1,\dots,x_d) = C\left(F_1(x_1),\dots,F_d(x_d) \right). $$

यदि बहुभिन्नरूपी वितरण में घनत्व $$h$$ है, और यदि यह घनत्व उपलब्ध है, तब यह उसे भी धारण करता है
 * $$h(x_1,\dots,x_d)= c(F_1(x_1),\dots,F_d(x_d))\cdot f_1(x_1)\cdot\dots\cdot f_d(x_d),$$

जहाँ $$c$$ कोपुला का घनत्व है.

प्रमेय यह भी बताता है कि, $$H$$ दिया गया है, कोपुला अद्वितीय है $$ \operatorname{Ran}(F_1)\times\cdots\times \operatorname{Ran}(F_d) $$, जो सीमांत सीडीएफ के फलन की रेंज का कार्टेशियन उत्पाद है। इसका तात्पर्य यह है कि यदि हाशिए पर है तब कोपुला अद्वितीय है $$F_i$$ निरंतर हैं.

इसका विपरीत भी सत्य है: $$C:[0,1]^d\rightarrow [0,1] $$ और सीमांत $$F_i(x)$$ युग्म दिया गया है तब $$C\left(F_1(x_1),\dots,F_d(x_d) \right)$$ सीमांत वितरण के साथ D -आयामी संचयी वितरण फलन को परिभाषित करता है $$F_i(x)$$.

स्थिरता की स्थिति
कोपुलस मुख्य रूप से तब काम करते हैं जब समय श्रृंखला स्थिर प्रक्रिया होती है और निरंतर. इस प्रकार, बहुत ही महत्वपूर्ण पूर्व-प्रसंस्करण कदम ऑटो सहसंबंध | ऑटो-सहसंबंध, प्रवृत्ति-स्थिर प्रक्रिया और समय श्रृंखला के भीतर मौसमता की जांच करना है।

जब समय श्रृंखला स्वतः-सहसंबद्ध होती है, तब वे चर के समुच्चय के मध्य गैर-सम्मिलित निर्भरता उत्पन्न कर सकती हैं और परिणामस्वरूप गलत कोपुला निर्भरता संरचना हो सकती है।

फ़्रेचेट-होएफ़डिंग कोपुला सीमा
फ़्रेचेट-होएफ़डिंग प्रमेय (मौरिस रेने फ़्रेचेट और वासिली होफ़डिंग के पश्चात्) ) बताता है कि किसी भी कोपुला के लिए $$C:[0,1]^d\rightarrow [0,1]$$ और कोई भी $$(u_1,\dots,u_d)\in[0,1]^d$$ निम्नलिखित सीमाएँ कायम हैं:
 * $$W(u_1,\dots,u_d) \leq C(u_1,\dots,u_d) \leq M(u_1,\dots,u_d).$$

कार्यक्रम $W$ को निचला फ़्रेचेट-होएफ़डिंग बाउंड कहा जाता है और इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 * $$ W(u_1,\ldots,u_d) = \max\left\{1-d+\sum\limits_{i=1}^d {u_i} ,\, 0 \right\}.$$

कार्यक्रम $M$ को ऊपरी फ़्रेचेट-होएफ़डिंग बाउंड कहा जाता है और इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 * $$ M(u_1,\ldots,u_d) = \min \{u_1,\dots,u_d\}.$$

ऊपरी सीमा तीव्र है: $M$ हमेशा युग्मक होता है, यह सामान्यता से मेल खाता है।

निचली सीमा बिंदुवार तीव्र है, इस अर्थ में कि निश्चित u के लिए, $$\tilde{C}$$ युग्म है ऐसा है कि $$\tilde{C}(u) = W(u)$$. यद्यपि, $W$ केवल दो आयामों में कोपुला है, जिस स्थिति में यह काउंटरमोनोटोनिक यादृच्छिक चर से मेल खाता है।

दो आयामों में, अर्थात द्विचर स्थितियोंमें, फ़्रेचेट-होफ़डिंग प्रमेय बताता है
 * $$\max\{u+v-1, \,0\} \leq C(u,v) \leq \min\{u,v\}$$.

कोपुला के परिवार
कोपुला के अनेक परिवारों का वर्णन किया गया है।

गॉसियन कोपुला
गाऊसी कोपुला इकाई $$[0,1]^d$$ अतिविम पर वितरण है. इसका निर्माण बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण से किया गया है $$\mathbb{R}^d$$ संभाव्यता अभिन्न परिवर्तन का उपयोग करके।

किसी दिए गए सहसंबंध आव्युह के लिए $$R\in[-1, 1]^{d\times d}$$, पैरामीटर आव्युह के साथ गाऊसी कोपुला $$R$$ के रूप में लिखा जा सकता है
 * $$ C_R^{\text{Gauss}}(u) = \Phi_R\left(\Phi^{-1}(u_1),\dots, \Phi^{-1}(u_d) \right), $$

जहाँ $$\Phi^{-1}$$ मानक सामान्ययामानक सामान्य वितरण का व्युत्क्रम संचयी वितरण फलन है $$\Phi_R$$ माध्य सदिश शून्य और सहसंबंध आव्युह के सामान्तर सहप्रसरण आव्युह के साथ बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण का संयुक्त संचयी वितरण फलन है $$R$$. जबकि कोपुला फलन के लिए कोई सरल विश्लेषणात्मक सूत्र नहीं है, $$C_R^{\text{Gauss}}(u)$$, यह ऊपरी या निचली सीमा पर हो सकता है, और संख्यात्मक एकीकरण का उपयोग करके अनुमानित किया जा सकता है। घनत्व को इस प्रकार लिखा जा सकता है
 * $$ c_R^{\text{Gauss}}(u)

= \frac{1}{\sqrt{\det{R}}}\exp\left(-\frac{1}{2} \begin{pmatrix}\Phi^{-1}(u_1)\\ \vdots \\ \Phi^{-1}(u_d)\end{pmatrix}^T \cdot \left(R^{-1}-I\right) \cdot \begin{pmatrix}\Phi^{-1}(u_1)\\ \vdots \\ \Phi^{-1}(u_d)\end{pmatrix} \right), $$ जहाँ $$\mathbf{I}$$ पहचान आव्युह है.

आर्किमिडीयन कोपुलस
आर्किमिडीयन कोपुलस, कोपुलस का सहयोगी वर्ग है। अधिकांश आम आर्किमिडीयन कोपुला स्पष्ट सूत्र को स्वीकार करते हैं, उदाहरण के लिए गॉसियन कोपुला के लिए कुछ संभव नहीं है। व्यवहार में, आर्किमिडीज़ कोपुलस लोकप्रिय हैं क्योंकि वे निर्भरता की ताकत को नियंत्रित करते हुए, केवल पैरामीटर के साथ इच्छानुसारसे उच्च आयामों में मॉडलिंग निर्भरता की अनुमति देते हैं।

एक कोपुला C को आर्किमिडीयन कहा जाता है यदि यह प्रतिनिधित्व को स्वीकार करता है
 * $$ C(u_1,\dots,u_d;\theta) = \psi^{[-1]}\left(\psi(u_1;\theta)+\cdots+\psi(u_d;\theta);\theta\right) $$

जहाँ $$\psi\!:[0,1]\times\Theta \rightarrow [0,\infty)$$ सतत, कड़ाई से घटता हुआ और उत्तल फलन है जैसे कि $$\psi(1;\theta)=0$$, $$\theta$$ कुछ पैरामीटर स्पेस के भीतर पैरामीटर है $$\Theta$$, और $$\psi$$ तथाकथित जनरेटर फलन है और $$\psi^{[-1]}$$ इसका छद्म-प्रतिलोम द्वारा परिभाषित किया गया है


 * $$ \psi^{[-1]}(t;\theta) = \left\{\begin{array}{ll} \psi^{-1}(t;\theta) & \mbox{if }0 \leq t \leq \psi(0;\theta) \\ 0 & \mbox{if }\psi(0;\theta) \leq t \leq\infty. \end{array}\right. $$

इसके अतिरिक्त, C के लिए उपरोक्त सूत्र $$\psi^{-1}$$ से युग्म उत्पन्न होता है  यदि और केवल यदि $$\psi^{-1}$$ क्या डी-मोनोटोन फलन| डी-मोनोटोन चालू है $$[0,\infty)$$. अर्थात्, यदि ऐसा है $$d-2$$ समय अवकलनीय है और व्युत्पन्न संतुष्ट करते हैं


 * $$ (-1)^k\psi^{-1,(k)}(t;\theta) \geq 0 $$

सभी के लिए $$t\geq 0$$ और $$k=0,1,\dots,d-2$$ और $$(-1)^{d-2}\psi^{-1,(d-2)}(t;\theta)$$ गैर-बढ़नेवाला और उत्तल फलन है।

सबसे महत्वपूर्ण आर्किमिडीयन कोपुलस
निम्नलिखित तालिकाएँ सबसे प्रमुख द्विचर आर्किमिडीयन कोपुलस को उनके संबंधित जनरेटर के साथ उजागर करती हैं। उनमें से सभी पूरी तरह से मोनोटोन फलन नहीं हैं, अर्थात सभी के लिए d -मोनोटोन $$d\in\mathbb{N}$$ या निश्चित रूप से डी-मोनोटोन $$\theta \in \Theta$$ केवल।

कॉपुला मॉडल और मोंटे कार्लो एकीकरण के लिए अपेक्षा
सांख्यिकीय अनुप्रयोगों में, अनेक समस्याओं को निम्नलिखित तरीके से तैयार किया जा सकता है। किसी को प्रतिक्रिया फलन $$g:\mathbb{R}^d\rightarrow\mathbb{R}$$ की अपेक्षा में रुचि होती है कुछ यादृच्छिक सदिश पर प्रयुक्त किया गया $$(X_1,\dots,X_d)$$. यदि हम इस यादृच्छिक सदिश के सीडीएफ को $$H$$ निरूपित करते हैं, ब्याज की मात्रा इस प्रकार लिखी जा सकती है


 * $$ \operatorname{E}\left[ g(X_1,\dots,X_d) \right] = \int_{\mathbb{R}^d} g(x_1,\dots,x_d) \, \mathrm{d}H(x_1,\dots,x_d).$$

यदि $$H$$ कोपुला मॉडल द्वारा दिया गया है, अर्थात,


 * $$H(x_1,\dots,x_d)=C(F_1(x_1),\dots,F_d(x_d))$$

इस अपेक्षा को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है


 * $$\operatorname{E}\left[g(X_1,\dots,X_d)\right]=\int_{[0,1]^d}g(F_1^{-1}(u_1),\dots,F_d^{-1}(u_d)) \, \mathrm{d}C(u_1,\dots,u_d).$$

यदि कोपुला C पूर्णतः सतत है, अर्थात C का घनत्व c है, तब इस समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है


 * $$\operatorname{E}\left[g(X_1,\dots,X_d)\right]=\int_{[0,1]^d}g(F_1^{-1}(u_1),\dots,F_d^{-1}(u_d))\cdot c(u_1,\dots,u_d) \, du_1\cdots \mathrm{d}u_d,$$

और यदि प्रत्येक सीमांत वितरण में घनत्व $$f_i$$ है यह उससे भी आगे है
 * $$\operatorname{E}\left[g(X_1,\dots,X_d)\right]=\int_{\mathbb{R}^d}g(x_1,\dots x_d)\cdot c(F_1(x_1),\dots,F_d(x_d))\cdot f_1(x_1)\cdots f_d(x_d) \, \mathrm{d}x_1\cdots \mathrm{d}x_d.$$

यदि कोपुला और सीमांत ज्ञात हैं (या यदि उनका अनुमान लगाया गया है), तब इस अपेक्षा का अनुमान निम्नलिखित मोंटे कार्लो एल्गोरिदम के माध्यम से लगाया जा सकता है:
 * 1) एक नमूना बनाएं $$(U_1^k,\dots,U_d^k)\sim C\;\;(k=1,\dots,n)$$ कोप्युला C  से आकार n का
 * 2) व्युत्क्रम सीमांत सीडीएफ को प्रयुक्त करके, नमूना तैयार करें $$(X_1,\dots,X_d)$$ व्यवस्थित करके $$(X_1^k,\dots,X_d^k)=(F_1^{-1}(U_1^k),\dots,F_d^{-1}(U_d^k))\sim H\;\;(k=1,\dots,n)$$
 * 3) अनुमानित $$\operatorname{E}\left[g(X_1,\dots,X_d)\right]$$ इसके अनुभवजन्य मूल्य से:
 * $$\operatorname{E}\left[g(X_1,\dots,X_d)\right]\approx \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n g(X_1^k,\dots,X_d^k)$$

अनुभवजन्य युग्म
बहुभिन्नरूपी डेटा का अध्ययन करते समय, कोई व्यक्ति अंतर्निहित कोपुला की जांच करना चाह सकता है। मान लीजिए हमारे पास अवलोकन हैं
 * $$(X_1^i,X_2^i,\dots,X_d^i), \, i=1,\dots,n$$

एक यादृच्छिक सदिश से $$(X_1,X_2,\dots,X_d)$$ निरंतर सीमांत के साथ. संगत "सच्चा" युग्मक अवलोकन होगा
 * $$(U_1^i,U_2^i,\dots,U_d^i)=\left(F_1(X_1^i),F_2(X_2^i),\dots,F_d(X_d^i)\right), \, i=1,\dots,n.$$

यद्यपि, सीमांत वितरण फलन $$F_i$$ करता है सामान्यतः पता नहीं चलता. इसलिए, अनुभवजन्य वितरण कार्यों का उपयोग करके कोई छद्म कोपुला अवलोकन का निर्माण कर सकता है
 * $$F_k^n(x)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbf{1}(X_k^i\leq x)$$

बजाय। फिर, छद्म युग्मक अवलोकनों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 * $$(\tilde{U}_1^i,\tilde{U}_2^i,\dots,\tilde{U}_d^i)=\left(F_1^n(X_1^i),F_2^n(X_2^i),\dots,F_d^n(X_d^i)\right), \, i=1,\dots,n.$$

फिर संगत अनुभवजन्य युग्म को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 * $$C^n(u_1,\dots,u_d) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbf{1}\left(\tilde{U}_1^i\leq u_1,\dots,\tilde{U}_d^i\leq u_d\right).$$

छद्म कोपुला नमूनों के घटकों को $$\tilde{U}_k^i=R_k^i/n$$ इस प्रकार भी लिखा जा सकता है, जहाँ  $$R_k^i$$ अवलोकन का स्तर है $$X_k^i$$:
 * $$R_k^i=\sum_{j=1}^n \mathbf{1}(X_k^j\leq X_k^i)$$

इसलिए, अनुभवजन्य कोपुला को रैंक रूपांतरित डेटा के अनुभवजन्य वितरण के रूप में देखा जा सकता है।

स्पीयरमैन के rho का नमूना संस्करण:
 * $$r=\frac{12}{n^2-1}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \left[C^n \left(\frac{i}{n},\frac{j}{n}\right)-\frac{i}{n}\cdot\frac{j}{n}\right]$$

मात्रात्मक वित्त
मात्रात्मक वित्त में कोपुलस को जोखिम प्रबंधन, निवेश प्रबंधन और पोर्टफोलियो अनुकूलन और डेरिवेटिव मूल्य निर्धारण पर प्रयुक्त किया जाता है।

पूर्व के लिए, कोपुलस का उपयोग तनाव परीक्षण (वित्तीय)|तनाव-परीक्षण और मजबूती जांच करने के लिए किया जाता है जो नकारात्मक पक्ष/संकट/आतंक शासन के समयविशेष रूप से महत्वपूर्ण होते हैं जहां अत्यधिक नकारात्मक घटनाएं हो सकती हैं (उदाहरण के लिए, 2007-2008 का वैश्विक वित्तीय संकट). सूत्र को वित्तीय बाज़ारों के लिए भी अनुकूलित किया गया था और इसका उपयोग प्रतिभूतिकरण पर घाटे की संभाव्यता वितरण का अनुमान लगाने के लिए किया गया था।

गिरावट के दौर में, बड़ी संख्या में ऐसे निवेशक जिन्होंने इक्विटी या रियल एस्टेट जैसी जोखिम भरी परिसंपत्तियों में निवेश किया है, वे नकदी या बांड जैसे 'सुरक्षित' निवेशों में शरण ले सकते हैं। इसे उड़ान-से-गुणवत्ता प्रभाव के रूप में भी जाना जाता है और निवेशक कम समय में बड़ी संख्या में जोखिमपूर्ण परिसंपत्तियों में अपनी स्थिति से बाहर निकल जाते हैं। परिणामस्वरूप, गिरावट के दौर में, इक्विटी में सह-संबंध ऊपर की तुलना में गिरावट की ओर अधिक होता है और इसका अर्थव्यवस्था पर विनाशकारी प्रभाव पड़ सकता है। उदाहरण के लिए, हम अधिकांशतः वित्तीय समाचारों की सुर्खियाँ पढ़ते हैं जिनमें ही दिन में स्टॉक एक्सचेंज पर करोड़ों डॉलर के हानि की सूचना दी जाती है; यद्यपि, हम संभवतः ही कभी शेयर बाजार में समान परिमाण और समान कम समय सीमा में सकारात्मक लाभ की रिपोर्ट पढ़ते हैं।

कोपुलस बहुभिन्नरूपी संभाव्यता मॉडल के सीमांत वितरण और निर्भरता संरचना के मॉडलिंग की अनुमति देकर नकारात्मक पक्ष शासन के प्रभावों का विश्लेषण करने में सहायता करता है। उदाहरण के लिए, स्टॉक एक्सचेंज को ऐसे बाजार के रूप में मानें जिसमें बड़ी संख्या में व्यापारी सम्मिलित हैं, जिनमें से प्रत्येक लाभ को अधिकतम करने के लिए अपनी-अपनी रणनीतियों के साथ काम कर रहा है। प्रत्येक व्यापारी के व्यक्तिवादी व्यवहार को सीमांत मॉडलिंग द्वारा वर्णित किया जा सकता है। यद्यपि, चूंकि सभी व्यापारी ही एक्सचेंज पर काम करते हैं, इसलिए प्रत्येक व्यापारी के कार्यों का अन्य व्यापारियों के साथ परस्पर प्रभाव पड़ता है। इस अंतःक्रिया प्रभाव को निर्भरता संरचना का मॉडलिंग करके वर्णित किया जा सकता है। इसलिए, कोपुलस हमें उन अंतःक्रियात्मक प्रभावों का विश्लेषण करने की अनुमति देता है जो नकारात्मक पक्ष के समयविशेष रुचि रखते हैं क्योंकि निवेशक झुंड के व्यवहार की ओर प्रवृत्त होते हैं। (एजेंट-आधारित कम्प्यूटेशनल अर्थशास्त्र भी देखें, जहां कीमत को आकस्मिक घटना के रूप में माना जाता है, जो विभिन्न बाजार सहभागियों या एजेंटों की बातचीत से उत्पन्न होती है।)

सूत्र के उपयोगकर्ताओं की मूल्यांकन संस्कृतियाँ बनाने के लिए आलोचना की गई है जो सरल संस्करणों को उस उद्देश्य के लिए अपर्याप्त मानने के अतिरिक्त सरल कोपुलो का उपयोग करना जारी रखते हैं। इस प्रकार, पहले, बड़े आयामों के लिए स्केलेबल कोपुला मॉडल केवल अण्डाकार निर्भरता संरचनाओं (अर्थात, गॉसियन और स्टूडेंट-टी कोपुलस) के मॉडलिंग की अनुमति देते थे जो सहसंबंध विषमताओं की अनुमति नहीं देते थे जहां सहसंबंध ऊपर या नीचे के शासन पर भिन्न होते हैं। यद्यपि, बेल कोपुला का विकास (जोड़ी कोपुलस के रूप में भी जाना जाता है) बड़े आयामों के पोर्टफोलियो के लिए निर्भरता संरचना के लचीले मॉडलिंग को सक्षम बनाता है। क्लेटन कैनोनिकल वाइन कोपुला अत्यधिक नकारात्मक घटनाओं की घटना की अनुमति देता है और इसे पोर्टफोलियो अनुकूलन और जोखिम प्रबंधन अनुप्रयोगों में सफलतापूर्वक प्रयुक्त किया गया है। मॉडल अत्यधिक नकारात्मक सहसंबंधों के प्रभाव को कम करने में सक्षम है और गॉसियन और स्टूडेंट-टी कोपुला जैसे स्केलेबल अण्डाकार निर्भरता कोपुला की तुलना में श्रेष्ठ सांख्यिकीय और आर्थिक प्रदर्शन उत्पन्न करता है।

जोखिम प्रबंधन अनुप्रयोगों के लिए विकसित किए गए अन्य मॉडल पैनिक कोपुलस हैं जो पोर्टफोलियो लाभ और हानि वितरण पर वित्तीय घबराहट के प्रभावों का विश्लेषण करने के लिए सीमांत वितरण के बाजार अनुमानों से जुड़े होते हैं। वित्त में मोंटे कार्लो पद्धतियों द्वारा पैनिक कोपुला का निर्माण किया जाता है, जिसमें प्रत्येक परिदृश्य की संभावना को फिर से सम्मिलित किया जाता है।

जहां तक ​​डेरिवेटिव मूल्य निर्धारण का संबंध है, वित्तीय जोखिम मॉडलिंग और बीमांकिक विश्लेषण के अनुप्रयोगों में कॉपुला फलन के साथ निर्भरता मॉडलिंग का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है - उदाहरण के लिए संपार्श्विक ऋण दायित्वों (सीडीओ) के मूल्य निर्धारण में। कुछ लोगों का मानना ​​है कि क्रेडिट व्युत्पन्न में गॉसियन कोपुला को प्रयुक्त करने की पद्धति 2008-2009 के वैश्विक वित्तीय संकट के कारणों में से है; देखना डेविड एक्स. ली § सीडीओ और गॉसियन कोपुला।

इस धारणा के अतिरिक्त, गॉसियन कोपुला और कोपुला कार्यों की सीमाओं को संबोधित करने के लिए, विशेष रूप से निर्भरता गतिशीलता की कमी को संबोधित करने के लिए, वित्तीय उद्योग के भीतर संकट से पहले होने वाले प्रलेखित प्रयास हैं। गाऊसी कोपुला की कमी है क्योंकि यह केवल अण्डाकार निर्भरता संरचना की अनुमति देता है, क्योंकि निर्भरता केवल विचरण-सहप्रसरण आव्युह का उपयोग करके तैयार की जाती है। यह कार्यप्रणाली इतनी सीमित है कि यह निर्भरता को विकसित होने की अनुमति नहीं देती है क्योंकि वित्तीय बाजार असममित निर्भरता प्रदर्शित करते हैं, जिससे तेजी की तुलना में मंदी के समयपरिसंपत्तियों में सहसंबंध अधिक बढ़ जाते हैं। इसलिए, गॉसियन कोपुला का उपयोग करके मॉडलिंग दृष्टिकोण चरम मूल्य सिद्धांत का खराब प्रतिनिधित्व प्रदर्शित करते हैं। कुछ कोपुला सीमाओं को सुधारने वाले मॉडल प्रस्तावित करने का प्रयास किया गया है।

सीडीओ के अतिरिक्त, कोपुलस को बहु-परिसंपत्ति व्युत्पन्न उत्पादों के विश्लेषण में लचीले उपकरण के रूप में अन्य परिसंपत्ति वर्गों पर प्रयुक्त किया गया है। क्रेडिट के बाहर इस तरह का पहला अनुप्रयोग टोकरी विकल्प निहित अस्थिरता सतह के निर्माण के लिए कोपुला का उपयोग करना था, टोकरी घटकों की अस्थिरता मुस्कान को ध्यान में रखते हुए। तब से कोपुलस ने मूल्य निर्धारण और जोखिम प्रबंधन में लोकप्रियता प्राप्त की है इक्विटी व्युत्पन्न |इक्विटी-, विदेशी मुद्रा डेरिवेटिव|विदेशी मुद्रा- और ब्याज दर डेरिवेटिव में अस्थिरता मुस्कान की उपस्थिति में बहु-परिसंपत्तियों पर विकल्प।

सिविल इंजीनियरिंग
हाल ही में, राजमार्ग पुलों की विश्वसनीयता (सांख्यिकी) विश्लेषण के लिए डेटाबेस फॉर्मूलेशन और सिविल इंजीनियरिंग में विभिन्न बहुभिन्नरूपी सिमुलेशन अध्ययनों के लिए कोपुला फ़ंक्शंस को सफलतापूर्वक प्रयुक्त किया गया है। पवन और भूकंप इंजीनियरिंग की विश्वसनीयता, और मैकेनिकल एवं ऑफशोर इंजीनियरिंग। शोधकर्ता व्यक्तिगत ड्राइवरों के व्यवहार के मध्य की बातचीत को समझने के लिए परिवहन के क्षेत्र में भी इन कार्यों की कोशिश कर रहे हैं, जो कुल मिलाकर यातायात प्रवाह को आकार देता है।

विश्वसनीयता इंजीनियरिंग
प्रतिस्पर्धात्मक विफलता मोड के साथ मशीन घटकों की जटिल प्रणालियों के विश्वसनीयता (सांख्यिकी) विश्लेषण के लिए कोपुला का उपयोग किया जा रहा है।

गारंटी डेटा विश्लेषण
वारंटी डेटा विश्लेषण के लिए कोपुला का उपयोग किया जा रहा है जिसमें टेल निर्भरता का विश्लेषण किया जाता है।

अशांत दहन
कोपुलस का उपयोग अशांत आंशिक रूप से प्रीमिक्स्ड दहन के मॉडलिंग में किया जाता है, जो व्यावहारिक दहनकर्ताओं में आम है।

चिकित्सा
चिकित्सा के क्षेत्र में कोपुले के अनेक अनुप्रयोग हैं, उदाहरण के लिए,


 * 1) कोपुले का उपयोग चुंबकीय अनुनाद इमेजिंग (एमआरआई) के क्षेत्र में किया गया है, उदाहरण के लिए, छवि विभाजन के लिए, प्रकार का मानसिक विकार पर अध्ययन में इमेजिंग आनुवंशिकी में चित्रमय मॉडल की रिक्ति को भरने के लिए, और सामान्य और अल्जाइमर रोग के रोगियों के मध्य अंतर करना।
 * 2) कोपुले ईईजी संकेतों के आधार पर मस्तिष्क अनुसंधान के क्षेत्र में रहा है, उदाहरण के लिए, दिन की झपकी के समयउनींदापन का पता लगाने के लिए, तात्कालिक समतुल्य बैंडविड्थ (AWs) में परिवर्तन को ट्रैक करने के लिए, अल्जाइमर रोग के शीघ्र निदान के लिए समकालिकता प्राप्त करना, ईईजी चैनलों के मध्य दोलन गतिविधि में निर्भरता को चिह्नित करने के लिए, और उनके समय-भिन्न लिफाफों का उपयोग करके ईईजी चैनलों के जोड़े के मध्य निर्भरता को पकड़ने के तरीकों का उपयोग करने की विश्वसनीयता का आकलन करना। न्यूरोनल निर्भरता के विश्लेषण के लिए कोपुला फलन को सफलतापूर्वक प्रयुक्त किया गया है और तंत्रिका विज्ञान में स्पाइक गिनती।
 * 3) कैंसर विज्ञान के क्षेत्र में कोपुला मॉडल विकसित किया गया है, उदाहरण के लिए, विशिष्ट फेनोटाइप और अनेक आणविक विशेषताओं (जैसे उत्परिवर्तन और जीन अभिव्यक्ति परिवर्तन) के मध्य बातचीत की पहचान करने के लिए सेलुलर नेटवर्क के पुनर्निर्माण के लिए जीनोटाइप, फेनोटाइप और मार्गों को संयुक्त रूप से मॉडल करना। बाओ एट अल. आणविक विशेषताओं के अनेक उपसमूहों की पहचान करने के लिए NCI60 कैंसर सेल लाइन डेटा का उपयोग किया गया जो संयुक्त रूप से नैदानिक ​​​​फेनोटाइप के भविष्यवक्ताओं के रूप में फलन करते हैं। प्रस्तावित कोपुला का कैंसर के इलाज से लेकर बीमारी की रोकथाम तक, जैव चिकित्सा अनुसंधान पर प्रभाव पड़ सकता है। कोपुला का उपयोग colonoscopy छवियों से कोलोरेक्टल घावों के हिस्टोलॉजिकल निदान की भविष्यवाणी करने के लिए भी किया गया है, और कैंसर के उपप्रकारों को वर्गीकृत करना।
 * 4) हृदय और हृदय रोग के क्षेत्र में कोपुला-आधारित विश्लेषण मॉडल विकसित किया गया है, उदाहरण के लिए, हृदय गति (एचआर) भिन्नता की भविष्यवाणी करने के लिए। हृदय गति (एचआर) व्यायाम की तीव्रता और भार की डिग्री की निगरानी के लिए सबसे महत्वपूर्ण स्वास्थ्य संकेतकों में से है क्योंकि यह हृदय गति से निकटता से संबंधित है। इसलिए, स्पष्ट अल्पकालिक एचआर भविष्यवाणी विधि मानव स्वास्थ्य के लिए कुशल प्रारंभिक चेतावनी दे सकती है और हानिकारक घटनाओं को कम कर सकती है। नमाजी (2022) एचआर की भविष्यवाणी करने के लिए उपन्यास हाइब्रिड एल्गोरिदम का उपयोग किया।

जियोडेसी
एसएसए और कोपुला-आधारित तरीकों का संयोजन पहली बार ईओपी भविष्यवाणी के लिए उपन्यास स्टोकेस्टिक उपकरण के रूप में प्रयुक्त किया गया है।

जलविज्ञान अनुसंधान
कोपुलस का उपयोग जलजलवायु डेटा के सैद्धांतिक और व्यावहारिक दोनों विश्लेषणों में किया गया है। उदाहरण के लिए, दुनिया के विभिन्न हिस्सों में तापमान और वर्षा की निर्भरता संरचनाओं की श्रेष्ठ समझ प्राप्त करने के लिए सैद्धांतिक अध्ययनों ने कोप्युला-आधारित पद्धति को अपनाया।  व्यावहारिक अध्ययनों ने उदाहरण के लिए, कृषि सूखे की जांच के लिए कोपुला-आधारित पद्धति को अपनाया या वनस्पति विकास पर तापमान और वर्षा की चरम सीमा का संयुक्त प्रभाव।

जलवायु और मौसम अनुसंधान
जलवायु और मौसम संबंधी अनुसंधान में कोपुला का बड़े पैमाने पर उपयोग किया गया है।

सौर विकिरण परिवर्तनशीलता
स्थानिक नेटवर्क में और एकल स्थानों के लिए अस्थायी रूप से सौर विकिरण परिवर्तनशीलता का अनुमान लगाने के लिए कोपुला का उपयोग किया गया है।

यादृच्छिक सदिश पीढ़ी
छोटे डेटासेट की संपूर्ण निर्भरता संरचना को संरक्षित करते हुए अनुभवजन्य कोपुला का उपयोग करके वैक्टर और स्थिर समय श्रृंखला के बड़े सिंथेटिक निशान उत्पन्न किए जा सकते हैं। ऐसे अनुभवजन्य निशान विभिन्न सिमुलेशन-आधारित प्रदर्शन अध्ययनों में उपयोगी होते हैं। रेफरी नाम = ResQue >

विद्युत मोटरों की रैंकिंग
इलेक्ट्रॉनिक रूप से कम्यूटेटेड मोटरों के निर्माण में गुणवत्ता रैंकिंग के लिए कोपुलस का उपयोग किया गया है।

संकेत आगे बढ़ाना
कोपुला महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वे सीमांत वितरण का उपयोग किए बिना निर्भरता संरचना का प्रतिनिधित्व करते हैं। वित्त के क्षेत्र में कोपुला का व्यापक रूप से उपयोग किया गया है, किन्तुसिग्नल प्रोसेसिंग में उनका उपयोग अपेक्षाकृत नया है। राडार संकेतों को वर्गीकृत करने, रिमोट सेंसिंग अनुप्रयोगों में परिवर्तन का पता लगाने और चिकित्सा में ईईजी सिग्नल प्रोसेसिंग के लिए तार रहित संचार के क्षेत्र में कोपुलस को नियोजित किया गया है। इस खंड में, कोपुला घनत्व फलन प्राप्त करने के लिए संक्षिप्त गणितीय व्युत्पत्ति, उसके पश्चात् प्रासंगिक सिग्नल प्रोसेसिंग अनुप्रयोगों के साथ कोपुला घनत्व कार्यों की सूची प्रदान करने वाली तालिका प्रस्तुत की गई है।

खगोल विज्ञान
सक्रिय गैलेक्टिक नाभिक (एजीएन) के मुख्य रेडियो चमक फलन को निर्धारित करने के लिए कोपुलस का उपयोग किया गया है, जबकि नमूना पूर्णता में कठिनाइयों के कारण पारंपरिक तरीकों का उपयोग करके इसे साकार नहीं किया जा सकता है।

कॉपुला घनत्व फलन की गणितीय व्युत्पत्ति
किन्हीं दो यादृच्छिक चर X और Y के लिए, सतत संयुक्त संभाव्यता वितरण फलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है


 * $$F_{XY}(x,y) = \Pr \begin{Bmatrix} X \leq{x},Y\leq{y} \end{Bmatrix}, $$

जहाँ $F_X(x) = \Pr \begin{Bmatrix} X \leq{x} \end{Bmatrix} $  और $ F_Y(y) = \Pr \begin{Bmatrix} Y \leq{y} \end{Bmatrix} $  क्रमशः यादृच्छिक चर X और Y के सीमांत संचयी वितरण फलन हैं।

फिर कोपुला वितरण फलन $$C(u, v)$$ अदिश के प्रमेय का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है जैसा:

$$F_{XY}(x,y) = C( F_X (x), F_Y (y) ) \triangleq C( u, v ) $$,

जहाँ $$u = F_X(x) $$ और $$v = F_Y(y) $$ सीमांत वितरण फलन हैं, $$ F_{XY}(x,y) $$ संयुक्त और $$ u, v \in (0,1) $$.

यह मानते हुए $$F_{XY}(\cdot,\cdot) $$ ए.ई. है दो बार भिन्न करने योग्य, हम संयुक्त संभाव्यता घनत्व फलन (पीडीएफ) और संयुक्त संचयी वितरण फलन (सीडीएफ) और इसके आंशिक डेरिवेटिव के मध्य संबंध का उपयोग करके प्रारंभिक करते हैं।


 * $$\begin{alignat}{6}

f_{XY}(x,y) = {} & {\partial^2 F_{XY}(x,y) \over\partial x\,\partial y } \\ \vdots \\ f_{XY}(x,y) = {} & {\partial^2 C(F_X(x),F_Y(y)) \over\partial x\,\partial y} \\ \vdots \\ f_{XY}(x,y) = {} & {\partial^2 C(u,v) \over\partial u\,\partial v} \cdot {\partial F_X(x) \over\partial x} \cdot {\partial F_Y(y) \over\partial y} \\ \vdots \\ f_{XY}(x,y) = {} & c(u,v) f_X(x) f_Y(y) \\ \vdots \\ \frac{f_{XY}(x,y)}{f_X(x) f_Y(y) } = {} & c(u,v) \end{alignat}

$$ जहाँ $$c(u,v)$$ कोपुला घनत्व फलन है, $$f_X(x) $$ और $$f_Y(y) $$ क्रमशः X और Y के सीमांत संभाव्यता घनत्व फलन हैं। यह समझना महत्वपूर्ण है कि इस समीकरण में चार तत्व हैं, और यदि कोई तीन तत्व ज्ञात हैं, तब चौथे तत्व की गणना की जा सकती है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग किया जा सकता है,


 * जब दो यादृच्छिक चर के मध्य संयुक्त संभाव्यता घनत्व फलन ज्ञात होता है, कोपुला घनत्व फलन ज्ञात होता है, और दो सीमांत कार्यों में से ज्ञात होता है, तब, अन्य सीमांत फलन की गणना की जा सकती है, या
 * जब दो सीमांत फलन और कोपुला घनत्व फलन ज्ञात हो, तब दो यादृच्छिक चरों के मध्य संयुक्त संभाव्यता घनत्व फलन की गणना की जा सकती है, या
 * जब दो सीमांत फलन और दो यादृच्छिक चरों के मध्य संयुक्त संभाव्यता घनत्व फलन ज्ञात हो, तब कोपुला घनत्व फलन की गणना की जा सकती है।

कॉपुला घनत्व कार्यों और अनुप्रयोगों की सूची
सिग्नल प्रोसेसिंग के क्षेत्र में विभिन्न द्विचर कोपुला घनत्व फलन महत्वपूर्ण हैं। $$u=F_X(x)

$$ और $$v=F_Y(y)

$$ सीमांत वितरण फलन हैं और $$f_X(x)

$$ और $$f_Y(y)

$$ सीमांत घनत्व फलन हैं। सांख्यिकीय सिग्नल प्रोसेसिंग के लिए कोपुला के विस्तार और सामान्यीकरण को घातीय, वेइबुल और रिशियन वितरण के लिए नए द्विचर कोपुला का निर्माण करते हुए दिखाया गया है। ज़ेंग एट अल. सिग्नल प्रोसेसिंग में इन कोपुला के एल्गोरिदम, सिमुलेशन, इष्टतम चयन और व्यावहारिक अनुप्रयोग प्रस्तुत किए गए।

यह भी देखें

 * युग्मन (संभावना)

अग्रिम पठन

 * The standard reference for an introduction to copulas. Covers all fundamental aspects, summarizes the most popular copula classes, and provides proofs for the important theorems related to copulas
 * Roger B. Nelsen (1999), "An Introduction to Copulas", Springer. ISBN 978-0-387-98623-4


 * A book covering current topics in mathematical research on copulas:
 * Piotr Jaworski, Fabrizio Durante, Wolfgang Karl Härdle, Tomasz Rychlik (Editors): (2010): "Copula Theory and Its Applications" Lecture Notes in Statistics, Springer. ISBN 978-3-642-12464-8


 * A reference for sampling applications and stochastic models related to copulas is
 * Jan-Frederik Mai, Matthias Scherer (2012): Simulating Copulas (Stochastic Models, Sampling Algorithms and Applications). World Scientific. ISBN 978-1-84816-874-9


 * A paper covering the historic development of copula theory, by the person associated with the "invention" of copulas, Abe Sklar.
 * Abe Sklar (1997): "Random variables, distribution functions, and copulas – a personal look backward and forward" in Rüschendorf, L., Schweizer, B. und Taylor, M. (eds) Distributions With Fixed Marginals & Related Topics (Lecture Notes – Monograph Series Number 28). ISBN 978-0-940600-40-9


 * The standard reference for multivariate models and copula theory in the context of financial and insurance models
 * Alexander J. McNeil, Rudiger Frey and Paul Embrechts (2005) "Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques, and Tools", Princeton Series in Finance. ISBN 978-0-691-12255-7

बाहरी संबंध

 * Copula Wiki: community portal for researchers with interest in copulas
 * A collection of Copula simulation and estimation codes
 * Copulas & Correlation using Excel Simulation Articles
 * Chapter 1 of Jan-Frederik Mai, Matthias Scherer (2012) "Simulating Copulas: Stochastic Models, Sampling Algorithms, and Applications"
 * Chapter 1 of Jan-Frederik Mai, Matthias Scherer (2012) "Simulating Copulas: Stochastic Models, Sampling Algorithms, and Applications"