अस्पष्ट समुच्चय (फजी सेट)

गणित में, अस्पष्ट सेट (उर्फ अनिश्चित सेट) सेट (गणित) होते हैं जिनके तत्व (गणित) में सदस्यता की डिग्री होती है। 1965 में सेट की शास्त्रीय धारणा के विस्तार के रूप में लोत्फी आस्कर ज़ादेह|लोत्फी ए. ज़ादेह द्वारा स्वतंत्र रूप से फ़ज़ी सेट पेश किए गए थे। एक ही समय पर, ने एल-रिलेशन|एल-रिलेशन नामक एक अधिक सामान्य प्रकार की संरचना को परिभाषित किया, जिसका अध्ययन उन्होंने एक सार बीजगणितीय संदर्भ में किया। फ़ज़ी संबंध, जो अब फ़ज़ी गणित में उपयोग किए जाते हैं और भाषाविज्ञान जैसे क्षेत्रों में अनुप्रयोग हैं, निर्णय लेना|निर्णय लेना| , और क्लस्टर विश्लेषण , L-संबंधों के विशेष मामले हैं जब L इकाई अंतराल [0, 1] है।

क्लासिकल समुच्चय सिद्धान्त  में, एक सेट में तत्वों की सदस्यता का मूल्यांकन बायवैलेंस के सिद्धांत के अनुसार बाइनरी शब्दों में किया जाता है - एक तत्व या तो सेट से संबंधित है या नहीं है। इसके विपरीत, फ़ज़ी सेट सिद्धांत एक सेट में तत्वों की सदस्यता के क्रमिक मूल्यांकन की अनुमति देता है; यह वास्तविक संख्या इकाई अंतराल [0, 1] में मूल्यवान सदस्यता फ़ंक्शन (गणित) की सहायता से वर्णित है। फ़ज़ी सेट क्लासिकल सेट का सामान्यीकरण करते हैं, क्योंकि क्लासिकल सेट के सूचक समारोह (उर्फ विशेषता फ़ंक्शन) फ़ज़ी सेट के सदस्यता फ़ंक्शन के विशेष मामले होते हैं, यदि बाद वाला केवल मान 0 या 1 लेता है। फ़ज़ी सेट थ्योरी में, क्लासिकल बाइवेलेंट सेट को आमतौर पर क्रिस्प सेट कहा जाता है। फ़ज़ी सेट सिद्धांत का उपयोग डोमेन की एक विस्तृत श्रृंखला में किया जा सकता है जिसमें जानकारी अधूरी या गलत है, जैसे जैव सूचना विज्ञान।

परिभाषा
फ़ज़ी सेट एक जोड़ी है $$(U, m)$$ कहाँ $$U$$ एक सेट है (अक्सर खाली सेट होना आवश्यक है | गैर-खाली) और $$m\colon U \rightarrow [0,1]$$ एक सदस्यता समारोह। संदर्भ सेट $$U$$ (कभी-कभी द्वारा निरूपित किया जाता है $$\Omega$$ या $$X$$) प्रवचन का ब्रह्मांड कहा जाता है, और प्रत्येक के लिए $$x\in U,$$ मूल्य $$m(x)$$ की सदस्यता का ग्रेड कहा जाता है $$x$$ में $$(U,m)$$. कार्यक्रम $$m = \mu_A$$ फ़ज़ी सेट का सदस्यता कार्य कहा जाता है $$A = (U, m)$$.

परिमित सेट के लिए $$U=\{x_1,\dots,x_n\},$$ अस्पष्ट सेट $$(U, m)$$ द्वारा अक्सर दर्शाया जाता है $$\{m(x_1)/x_1,\dots,m(x_n)/x_n\}.$$ होने देना $$x \in U$$. तब $$x$$ कहा जाता है एक ब्रह्मांड पर सभी अस्पष्ट सेटों का (कुरकुरा) सेट $$U$$ के साथ दर्शाया गया है $$SF(U)$$ (या कभी-कभी बस $$F(U)$$).
 * फ़ज़ी सेट में शामिल नहीं है $$(U,m)$$ अगर $m(x) = 0$ (कोई सदस्य नहीं),
 * अगर पूरी तरह से शामिल है $m(x) = 1$ (पूर्ण सदस्य),
 * आंशिक रूप से शामिल अगर $0 < m(x) < 1$ (fuzzy member).

एक फजी सेट से संबंधित क्रिस्प सेट
किसी फजी सेट के लिए $$A = (U,m)$$ और $$\alpha \in [0,1]$$ निम्नलिखित क्रिस्प सेट परिभाषित हैं:
 * $$A^{\ge\alpha} = A_\alpha = \{x \in U \mid m(x)\ge\alpha\}$$ इसका α-कट कहा जाता है (उर्फ α-लेवल सेट)
 * $$A^{>\alpha} = A'_\alpha = \{x \in U \mid m(x)>\alpha\}$$ इसका मजबूत α-कट कहा जाता है (उर्फ मजबूत α-स्तर सेट)
 * $$S(A) = \operatorname{Supp}(A) = A^{>0} = \{x \in U \mid m(x)>0\}$$ उसका सहारा कहा जाता है
 * $$C(A) = \operatorname{Core}(A) = A^{=1} = \{x \in U \mid m(x)=1\}$$ इसका कोर कहा जाता है (या कभी-कभी कर्नेल $$\operatorname{Kern}(A)$$).

ध्यान दें कि कुछ लेखक कर्नेल को अलग तरीके से समझते हैं; नीचे देखें।

अन्य परिभाषाएं

 * एक फजी सेट $$A = (U,m)$$ खाली है ($$A = \varnothing$$) iff (यदि और केवल यदि)
 * सार्वभौमिक परिमाणीकरण # संकेतन |$$\forall$$$$ x \in U: \mu_A(x) = m(x) = 0$$


 * दो फ़ज़ी सेट $$A$$ और $$B$$ बराबर हैं ($$A = B$$) अगर
 * $$\forall x \in U: \mu_A(x) = \mu_B(x)$$


 * एक फजी सेट $$A$$ एक फ़ज़ी सेट में शामिल है $$B$$ ($$A \subseteq B$$) अगर
 * $$\forall x \in U: \mu_A(x) \le \mu_B(x)$$


 * किसी फजी सेट के लिए $$A$$, कोई तत्व $$x \in U$$ जो संतुष्ट करता है
 * $$\mu_A(x) = 0.5$$ : को क्रॉसओवर पॉइंट कहा जाता है।


 * फजी सेट दिया $$A$$, कोई $$\alpha \in [0,1]$$, जिसके लिए $$A^{=\alpha} = \{x \in U \mid \mu_A(x) = \alpha\}$$ खाली नहीं है, ए का स्तर कहा जाता है।
 * ए का स्तर सेट सभी स्तरों का सेट है $$\alpha\in[0,1]$$ अलग-अलग कटौती का प्रतिनिधित्व करना। यह की छवि (गणित) है $$\mu_A$$:
 * $$\Lambda_A = \{\alpha \in [0,1] : A^{=\alpha} \ne \varnothing\} = \{\alpha \in [0, 1] : {}$$अस्तित्वगत मात्रा का ठहराव |$$\exist$$$$x \in U(\mu_A(x) = \alpha)\} = \mu_A(U)$$


 * फजी सेट के लिए $$A$$, इसकी ऊंचाई द्वारा दी गई है
 * $$\operatorname{Hgt}(A) = \sup \{\mu_A(x) \mid x \in U\} = \sup(\mu_A(U))$$
 * कहाँ $$\sup$$ Infimum और supremum को दर्शाता है, जो मौजूद है क्योंकि $$\mu_A(U)$$ गैर-खाली है और ऊपर 1 से घिरा है। यदि यू परिमित है, तो हम सर्वोच्चता को अधिकतम से बदल सकते हैं।


 * एक फजी सेट $$A$$ सामान्यीकृत iff कहा जाता है
 * $$\operatorname{Hgt}(A) = 1$$
 * परिमित मामले में, जहां सुप्रीम अधिकतम है, इसका मतलब है कि फ़ज़ी सेट के कम से कम एक तत्व की पूर्ण सदस्यता है। एक गैर-खाली फ़ज़ी सेट $$A$$ परिणाम के साथ सामान्य किया जा सकता है $$\tilde{A}$$ फ़ज़ी सेट के सदस्यता समारोह को उसकी ऊँचाई से विभाजित करके:
 * $$\forall x \in U: \mu_{\tilde{A}}(x) = \mu_A(x)/\operatorname{Hgt}(A)$$
 * समानताओं के अलावा यह सामान्य सामान्यीकरण स्थिरांक से भिन्न होता है जिसमें सामान्यीकरण स्थिरांक योग नहीं होता है।


 * फजी सेट के लिए $$A$$ वास्तविक संख्या (यू ⊆ ℝ) की सीमाबद्ध सेट समर्थन के साथ, 'चौड़ाई' के रूप में परिभाषित किया गया है
 * $$\operatorname{Width}(A) = \sup(\operatorname{Supp}(A)) - \inf(\operatorname{Supp}(A))$$
 * मामले में जब $$\operatorname{Supp}(A)$$ एक परिमित समुच्चय है, या अधिक सामान्यतः एक बंद समुच्चय है, चौड़ाई न्यायसंगत है
 * $$\operatorname{Width}(A) = \max(\operatorname{Supp}(A)) - \min(\operatorname{Supp}(A))$$
 * एन-आयामी मामले में (यू ⊆ ℝn) उपरोक्त को n-आयामी मात्रा द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है $$\operatorname{Supp}(A)$$.
 * सामान्य तौर पर, इसे यू पर किसी भी माप (गणित) को देखते हुए परिभाषित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए एकीकरण (उदाहरण के लिए लेबेस्ग्यू एकीकरण) द्वारा $$\operatorname{Supp}(A)$$.


 * एक वास्तविक फ़ज़ी सेट $$A$$ (यू ⊆ ℝ) को 'उत्तल' कहा जाता है (फजी अर्थ में, एक कुरकुरा उत्तल सेट के साथ भ्रमित नहीं होना), iff
 * $$\forall x,y \in U, \forall\lambda\in[0,1]: \mu_A(\lambda{x} + (1-\lambda)y) \ge \min(\mu_A(x),\mu_A(y))$$.
 * व्यापकता के नुकसान के बिना, हम x ≤ y ले सकते हैं, जो समकक्ष सूत्रीकरण देता है
 * $$\forall z \in [x,y]: \mu_A(z) \ge \min(\mu_A(x),\mu_A(y))$$.
 * इस परिभाषा को एक सामान्य टोपोलॉजिकल स्पेस यू के लिए एक तक बढ़ाया जा सकता है: हम फ़ज़ी सेट कहते हैं $$A$$ उत्तल है जब, U के किसी उपसमुच्चय Z के लिए स्थिति
 * $$\forall z \in Z: \mu_A(z) \ge \inf(\mu_A(\partial Z))$$
 * रखता है, कहाँ $$\partial Z$$ Z और की सीमा (टोपोलॉजी) को दर्शाता है $$f(X) = \{f(x) \mid x \in X\}$$ एक सेट एक्स की छवि (गणित) को दर्शाता है (यहाँ $$\partial Z$$) एक फंक्शन f के तहत (यहाँ $$\mu_A$$).

फ़ज़ी सेट ऑपरेशन
हालांकि फ़ज़ी सेट के पूरक की एक सबसे सामान्य परिभाषा है, अन्य मुख्य संक्रियाओं, संघ और प्रतिच्छेदन में कुछ अस्पष्टता होती है।
 * दिए गए अस्पष्ट सेट के लिए $$A$$, इसका पूरक $$\neg{A}$$ (कभी-कभी के रूप में दर्शाया जाता है $$A^c$$ या $$cA$$) निम्नलिखित सदस्यता समारोह द्वारा परिभाषित किया गया है:
 * $$\forall x \in U: \mu_{\neg{A}}(x) = 1 - \mu_A(x)$$.


 * मान लीजिए कि टी एक टी-मानदंड है, और संबंधित एस-मानदंड (उर्फ टी-अनुरूप) है। फजी सेट की एक जोड़ी दी $$A, B$$, उनका चौराहा $$A\cap{B}$$ द्वारा परिभाषित किया गया है:
 * $$\forall x \in U: \mu_{A\cap{B}}(x) = t(\mu_A(x),\mu_B(x))$$,
 * और उनका संघ $$A\cup{B}$$ द्वारा परिभाषित किया गया है:
 * $$\forall x \in U: \mu_{A\cup{B}}(x) = s(\mu_A(x),\mu_B(x))$$.

टी-मानदंड की परिभाषा से, हम देखते हैं कि संघ और प्रतिच्छेदन क्रमविनिमेय, मोनोटोनिक, साहचर्य हैं, और दोनों में एक अवशोषक तत्व और एक पहचान तत्व है। चौराहे के लिए, ये क्रमशः ∅ और U हैं, जबकि संघ के लिए, ये उलटे हैं। हालांकि, एक फ़ज़ी सेट और उसके पूरक के मिलन का परिणाम पूर्ण ब्रह्मांड U नहीं हो सकता है, और उनका प्रतिच्छेदन खाली सेट ∅ नहीं दे सकता है। चूंकि प्रतिच्छेदन और संघ साहचर्य हैं, इसलिए यह स्वाभाविक है कि प्रतिच्छेदन और फ़ज़ी सेटों के परिमित अनुक्रमित परिवार के मिलन को पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया जाए।


 * यदि मानक नकारात्मक $$n(\alpha) = 1 - \alpha, \alpha \in [0, 1]$$ एक अन्य टी-मानक # गैर-मानक नकारात्मक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, फ़ज़ी सेट अंतर को इसके द्वारा सामान्यीकृत किया जा सकता है
 * $$\forall x \in U: \mu_{\neg{A}}(x) = n(\mu_A(x)).$$


 * फ़ज़ी इंटरसेक्शन, संघ और पूरक का ट्रिपल डी मॉर्गन ट्रिपलेट बनाता है। यही है, डी मॉर्गन के नियम इस ट्रिपल तक विस्तारित होते हैं।
 * मानक नकारात्मक के साथ फजी चौराहे/संघ जोड़े के उदाहरण टी-मानदंडों के बारे में लेख में प्रदान किए गए नमूने से प्राप्त किए जा सकते हैं।


 * फ़ज़ी चौराहा सामान्य रूप से Idempotence नहीं है, क्योंकि मानक टी-मानदंड $min$ ही एकमात्र ऐसा गुण है जिसके पास यह गुण है। वास्तव में, यदि अंकगणित गुणन का उपयोग टी-मानदंड के रूप में किया जाता है, तो परिणामी फ़ज़ी इंटरसेक्शन ऑपरेशन निष्क्रिय नहीं है। यही है, एक फ़ज़ी सेट के प्रतिच्छेदन को पुनरावृत्त रूप से अपने साथ ले जाना तुच्छ नहीं है। इसके बजाय यह एक फ़ज़ी सेट की m-th शक्ति को परिभाषित करता है, जिसे निम्नलिखित तरीके से गैर-पूर्णांक घातांकों के लिए विहित रूप से सामान्यीकृत किया जा सकता है:


 * किसी फजी सेट के लिए $$A$$ और $$\nu \in \R^+$$ ν-वें की शक्ति $$A$$ सदस्यता समारोह द्वारा परिभाषित किया गया है:
 * $$\forall x \in U: \mu_{A^{\nu}}(x) = \mu_{A}(x)^{\nu}.$$

प्रतिपादक दो का मामला विशेष रूप से एक नाम देने के लिए पर्याप्त है।
 * किसी फजी सेट के लिए $$A$$ एकाग्रचित्त होना $$CON(A) = A^2$$ परिभाषित किया गया
 * $$\forall x \in U: \mu_{CON(A)}(x) = \mu_{A^2}(x) = \mu_{A}(x)^2.$$

ले रहा $$0^0 = 1$$, अपने पास $$A^0 = U$$ और $$A^1 = A.$$
 * फजी सेट दिए गए $$A, B$$, फ़ज़ी सेट अंतर $$A \setminus B$$, भी निरूपित $$ A - B$$, सीधे सदस्यता समारोह के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है:
 * $$\forall x \in U: \mu_{A\setminus{B}}(x) = t(\mu_A(x),n(\mu_B(x))),$$
 * मतलब $$A \setminus B = A \cap \neg{B}$$, उदाहरण:
 * $$\forall x \in U: \mu_{A\setminus{B}}(x) = \min(\mu_A(x),1 - \mu_B(x)).$$
 * एक सेट अंतर के लिए एक और प्रस्ताव हो सकता है:
 * $$\forall x \in U: \mu_{A-{B}}(x) = \mu_A(x) - t(\mu_A(x),\mu_B(x)).$$


 * डुबोइस और प्रेड (1980) द्वारा सममित फ़ज़ी सेट अंतर के लिए प्रस्ताव किए गए हैं, या तो पूर्ण मूल्य लेकर, दे रहे हैं
 * $$\forall x \in U: \mu_{A \triangle B}(x) = |\mu_A(x) - \mu_B(x)|,$$
 * या Just $max$, $min$, और मानक निषेध, देना
 * $$\forall x \in U: \mu_{A \triangle B}(x) = \max(\min(\mu_A(x), 1 - \mu_B(x)), \min(\mu_B(x), 1 - \mu_A(x))).$$


 * वेमूर एट अल द्वारा टी-मानदंडों, टी-कॉनोर्म्स और नकारात्मकताओं के अनुरूप सामान्यीकृत सममित अंतरों की परिभाषा के लिए अभिगृहीत प्रस्तावित किए गए हैं। (2014) अलसीना एट अल द्वारा पूर्ववर्तियों के साथ। (2005) और बेडरेगल एट अल। (2009)।


 * क्रिस्प सेट के विपरीत, औसत संचालन को फ़ज़ी सेट के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है।

फजी सेटों को अलग करना
चौराहे और संघ संचालन की सामान्य अस्पष्टता के विपरीत, अस्पष्ट फजी सेटों के लिए स्पष्टता है: दो फ़ज़ी सेट $$A, B$$ असंयुक्त iff हैं
 * $$\forall x \in U: \mu_A(x) = 0 \lor \mu_B(x) = 0$$

जो बराबर है
 * अस्तित्वगत परिमाणीकरण#निषेध|$$\nexists$$ $$x \in U: \mu_A(x) > 0 \land \mu_B(x) > 0$$

और इसके समकक्ष भी
 * $$\forall x \in U: \min(\mu_A(x),\mu_B(x)) = 0$$

हम इसे ध्यान में रखते हैं $min$/$max$ एक टी/एस-नॉर्म जोड़ी है, और कोई अन्य यहां भी काम करेगा।

फ़ज़ी सेट असंयुक्त हैं यदि और केवल यदि उनके समर्थन क्रिस्प सेट के लिए मानक परिभाषा के अनुसार असंयुक्त सेट हैं।

असम्बद्ध फ़ज़ी सेट के लिए $$A, B$$ कोई भी चौराहा ∅ देगा, और कोई भी संघ वही परिणाम देगा, जिसे निरूपित किया जाता है
 * $$A \,\dot{\cup}\, B = A \cup B$$ द्वारा दिए गए इसके सदस्यता समारोह के साथ
 * $$\forall x \in U: \mu_{A \dot{\cup} B}(x) = \mu_A(x) + \mu_B(x)$$

ध्यान दें कि दोनों योगों में से केवल एक ही शून्य से बड़ा है।

असम्बद्ध फ़ज़ी सेट के लिए $$A, B$$ निम्नलिखित सत्य है:
 * $$\operatorname{Supp}(A \,\dot{\cup}\, B) = \operatorname{Supp}(A) \cup \operatorname{Supp}(B)$$

इसे फ़ज़ी सेट के परिमित परिवारों के लिए निम्नानुसार सामान्यीकृत किया जा सकता है: एक परिवार दिया $$A = (A_i)_{i \in I}$$ इंडेक्स सेट I के साथ अस्पष्ट सेटों की संख्या (उदाहरण I = {1,2,3,...,n})। यह परिवार '(जोड़ीवार) असंयुक्त' है, यदि
 * $$\text{for all } x \in U \text{ there exists at most one } i \in I \text{ such that } \mu_{A_i}(x) > 0.$$

फजी सेट का परिवार $$A = (A_i)_{i \in I}$$ असंयुक्त है, अगर अंतर्निहित समर्थन का परिवार $$\operatorname{Supp} \circ A = (\operatorname{Supp}(A_i))_{i \in I}$$ कुरकुरा सेट के परिवारों के लिए मानक अर्थों में अलग है।

टी/एस-मानदंड जोड़ी से स्वतंत्र, फ़ज़ी सेट के एक अलग परिवार का प्रतिच्छेदन ∅ फिर से देगा, जबकि संघ में कोई अस्पष्टता नहीं है:
 * $$\dot{\bigcup\limits_{i \in I}}\, A_i = \bigcup_{i \in I} A_i$$ द्वारा दिए गए इसके सदस्यता समारोह के साथ
 * $$\forall x \in U: \mu_{\dot{\bigcup\limits_{i \in I}} A_i}(x) = \sum_{i \in I} \mu_{A_i}(x)$$

फिर से केवल एक योग शून्य से अधिक है।

फजी सेट के असंबद्ध परिवारों के लिए $$A = (A_i)_{i \in I}$$ निम्नलिखित सत्य है:
 * $$\operatorname{Supp}\left(\dot{\bigcup\limits_{i \in I}}\, A_i\right) = \bigcup\limits_{i \in I} \operatorname{Supp}(A_i)$$

स्केलर कार्डिनैलिटी
फजी सेट के लिए $$A$$ परिमित समर्थन के साथ $$\operatorname{Supp}(A)$$ (यानी एक परिमित फ़ज़ी सेट), इसकी कार्डिनैलिटी (उर्फ स्केलर कार्डिनैलिटी या सिग्मा-काउंट) द्वारा दी गई है
 * $$\operatorname{Card}(A) = \operatorname{sc}(A) = |A| = \sum_{x \in U} \mu_A(x)$$.

इस मामले में कि यू स्वयं एक सीमित सेट है, 'सापेक्ष कार्डिनैलिटी' द्वारा दिया जाता है
 * $$\operatorname{RelCard}(A) = \|A\| = \operatorname{sc}(A)/|U| = |A|/|U|$$.

यह विभाजक के लिए गैर-खाली फ़ज़ी सेट होने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है: फ़ज़ी सेट के लिए $$A,G$$ G ≠ ∅ के साथ, हम 'रिलेटिव कार्डिनैलिटी' को इसके द्वारा परिभाषित कर सकते हैं:
 * $$\operatorname{RelCard}(A,G) = \operatorname{sc}(A|G) = \operatorname{sc}(A\cap{G})/\operatorname{sc}(G)$$,

जो सशर्त संभाव्यता के लिए अभिव्यक्ति के समान दिखता है. टिप्पणी:
 * $$\operatorname{sc}(G) > 0$$ यहाँ।
 * परिणाम चुने गए विशिष्ट चौराहे (टी-मानदंड) पर निर्भर हो सकता है।
 * के लिए $$G = U$$ परिणाम स्पष्ट है और पूर्व परिभाषा जैसा दिखता है।

दूरी और समानता
किसी फजी सेट के लिए $$A$$ सदस्यता समारोह $$\mu_A: U \to [0,1]$$ एक परिवार के रूप में माना जा सकता है $$\mu_A = (\mu_A(x))_{x \in U} \in [0,1]^U$$. उत्तरार्द्ध एक मीट्रिक स्थान है जिसमें कई मीट्रिक हैं $$d$$ ज्ञात। एक मानदंड (गणित) (वेक्टर मानदंड) से एक मीट्रिक प्राप्त किया जा सकता है $$\|\,\|$$ के जरिए
 * $$d(\alpha,\beta) = \| \alpha - \beta \|$$.

उदाहरण के लिए, अगर $$U$$ परिमित है, अर्थात् $$U = \{x_1, x_2, ... x_n\}$$, ऐसे मीट्रिक को इसके द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:
 * $$d(\alpha,\beta) := \max \{ |\alpha(x_i) - \beta(x_i)| : i=1, ..., n \}$$ कहाँ $$\alpha$$ और $$\beta$$ 0 और 1 के बीच वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम हैं।

अनंत के लिए $$U$$, अधिकतम को सर्वोच्च द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। क्योंकि फ़ज़ी सेट उनके सदस्यता फ़ंक्शन द्वारा स्पष्ट रूप से परिभाषित होते हैं, इस मीट्रिक का उपयोग उसी ब्रह्मांड पर फ़ज़ी सेट के बीच की दूरी को मापने के लिए किया जा सकता है:
 * $$d(A,B) := d(\mu_A,\mu_B)$$,

जो उपरोक्त नमूने में बन जाता है:
 * $$d(A,B) = \max \{ |\mu_A(x_i) - \mu_B(x_i)| : i=1,...,n \}$$.

फिर से अनंत के लिए $$U$$ अधिकतम को एक सर्वोच्च द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। अन्य दूरियां (जैसे विहित 2-मानदंड) अलग हो सकती हैं, यदि अनंत फ़ज़ी सेट बहुत अलग हैं, उदाहरण के लिए, $$\varnothing$$ और $$U$$.

समानता उपायों (यहाँ द्वारा निरूपित $$S$$) तब दूरी से प्राप्त किया जा सकता है, उदा। कोज़ी के एक प्रस्ताव के बाद:
 * $$S = 1 / (1 + d(A,B))$$ अगर $$d(A,B)$$ परिमित है, $$0$$ अन्य,

या विलियम्स और स्टील के बाद:
 * $$S = \exp(-\alpha{d(A,B)})$$ अगर $$d(A,B)$$ परिमित है, $$0$$ अन्य

कहाँ $$\alpha > 0$$ एक स्टीपनेस पैरामीटर है और $$\exp(x) = e^x$$. अंतराल मूल्यवान (बल्कि 'फ़ज़ी') समानता उपायों के लिए एक और परिभाषा $$\zeta$$ बेग और अशरफ द्वारा भी प्रदान किया जाता है।

एल-फ़ज़ी सेट
कभी-कभी, फ़ज़ी सेट की धारणा के अधिक सामान्य रूपों का उपयोग किया जाता है, सदस्यता कार्यों के साथ (निश्चित या चर) बीजगणितीय संरचना या संरचना (गणितीय तर्क) में मान लेते हैं। $$L$$ किसी दिए गए प्रकार का; आमतौर पर इसकी आवश्यकता होती है $$L$$ कम से कम एक poset  या जाली (आदेश) हो। इन्हें आमतौर पर 'एल'-फज़ी सेट कहा जाता है, ताकि उन्हें यूनिट अंतराल पर मूल्यवान से अलग किया जा सके। [0, 1] में मान वाले सामान्य सदस्यता फ़ंक्शन को [0, 1]-मूल्यवान सदस्यता फ़ंक्शन कहा जाता है। इस प्रकार के सामान्यीकरणों पर सबसे पहले 1967 में जोसेफ गोगुएन ने विचार किया था, जो कि ज़ादेह के छात्र थे। शास्त्रीय परिणाम {0,-1} के बजाय {f, t} द्वारा सत्य और सदस्यता मूल्यों का संकेत दे सकता है।

कसीमिर अटानासोव द्वारा फ़ज़ी सेट का विस्तार प्रदान किया गया है। एक अंतर्ज्ञानी फ़ज़ी सेट (IFS) $$A$$ दो कार्यों की विशेषता है:
 * 1. $$\mu_A(x)$$ - एक्स की सदस्यता की डिग्री
 * 2. $$\nu_A(x)$$ - एक्स की गैर-सदस्यता की डिग्री

कार्यों के साथ $$\mu_A, \nu_A: U \to [0,1]$$ साथ $$\forall x \in U: \mu_A(x) + \nu_A(x) \le 1$$.

यह किसी व्यक्ति द्वारा निरूपित जैसी स्थिति जैसा दिखता है $$x$$ मतदान आखिरकार, हमारे पास स्वीकृतियों का प्रतिशत, इनकारों का प्रतिशत और परिहार का प्रतिशत है।
 * प्रस्ताव के लिए $$A$$: ($$\mu_A(x)=1, \nu_A(x)=0$$),
 * उसके खिलाफ: ($$\mu_A(x)=0, \nu_A(x)=1$$),
 * या मतदान से दूर रहें: ($$\mu_A(x)=\nu_A(x)=0$$).

इस स्थिति के लिए, विशेष सहज ज्ञान युक्त नकारात्मक नकारात्मक, टी- और एस-मानदंड परिभाषित किए जा सकते हैं। साथ $$D^* = \{(\alpha,\beta) \in [0, 1]^2 : \alpha + \beta = 1 \}$$ और दोनों कार्यों को मिलाकर $$(\mu_A,\nu_A): U \to D^*$$ यह स्थिति एक विशेष प्रकार के L-फ़ज़ी सेट के समान होती है।

एक बार फिर, इसे 'पिक्चर फ़ज़ी सेट्स' (PFS) को निम्नानुसार परिभाषित करके विस्तारित किया गया है: एक PFS A को U से [0, 1] मैप करने वाले तीन फ़ंक्शन द्वारा चित्रित किया गया है: $$\mu_A, \eta_A, \nu_A$$, सकारात्मक सदस्यता की डिग्री, तटस्थ सदस्यता की डिग्री और नकारात्मक सदस्यता की डिग्री क्रमशः और अतिरिक्त शर्त $$\forall x \in U: \mu_A(x) + \eta_A(x) + \nu_A(x) \le 1$$ यह वोट देने से इनकार करने की एक अतिरिक्त संभावना से उपरोक्त वोटिंग नमूने का विस्तार करता है।

साथ $$D^* = \{(\alpha,\beta,\gamma) \in [0, 1]^3 : \alpha + \beta + \gamma = 1 \}$$ और विशेष चित्र फ़ज़ी नेगेटर्स, टी- और एस-मानदंड यह एक अन्य प्रकार के एल-फ़ज़ी सेट जैसा दिखता है।

न्यूट्रोसोफिक फ़ज़ी सेट
IFS की अवधारणा को दो प्रमुख मॉडलों में विस्तारित किया गया है। IFS के दो विस्तार न्यूट्रोसोफिक फ़ज़ी सेट और पायथागॉरियन फ़ज़ी सेट हैं। 1998 में स्मारंदचे द्वारा न्यूट्रोसोफिक फ़ज़ी सेट पेश किए गए थे। IFS की तरह, न्यूट्रोसोफिक फ़ज़ी सेट के पिछले दो कार्य हैं: एक सदस्यता के लिए $$\mu_A(x)$$ और दूसरा गैर-सदस्यता के लिए $$\nu_A(x)$$. प्रमुख अंतर यह है कि न्यूट्रोसोफिक फ़ज़ी सेट का एक और कार्य है: अनिश्चित के लिए $$i_A(x)$$. यह मान इंगित करता है कि इकाई x सेट से संबंधित अनिश्चितता की डिग्री है। अनिश्चित होने की यह अवधारणा $$i_A(x)$$ मूल्य विशेष रूप से तब उपयोगी हो सकता है जब कोई आइटम x के लिए सदस्यता या गैर-सदस्यता मूल्यों पर बहुत आश्वस्त नहीं हो सकता है। संक्षेप में, न्यूट्रोसोफिक फ़ज़ी सेट निम्नलिखित कार्यों से जुड़े हैं:


 * 1. $$\mu_A(x)$$-x की सदस्यता की डिग्री
 * 2. $$\nu_A(x)$$-x की गैर-सदस्यता की डिग्री
 * 3. $$i_A(x)$$- x के अनिश्चित मान की डिग्री

पायथागॉरियन फ़ज़ी सेट
IFS का दूसरा विस्तार पायथागॉरियन फ़ज़ी सेट के रूप में जाना जाता है। पायथागॉरियन फ़ज़ी सेट IFS की तुलना में अधिक लचीले होते हैं। आईएफएस बाधा पर आधारित हैं $$\mu_A(x) + \nu_A(x) \le 1$$, जिसे कुछ अवसरों पर बहुत अधिक प्रतिबंधात्मक माना जा सकता है। यही कारण है कि यागर ने पाइथोगोरियन फ़ज़ी सेट की अवधारणा का प्रस्ताव रखा। इस तरह के सेट बाधा को संतुष्ट करते हैं $$\mu_A(x)^2 + \nu_A(x)^2 \le 1$$, जो पाइथागोरस प्रमेय की याद दिलाता है।  पायथागॉरियन फ़ज़ी सेट वास्तविक जीवन अनुप्रयोगों पर लागू हो सकते हैं जिनमें पिछली स्थिति $$\mu_A(x) + \nu_A(x) \le 1$$ मान्य नहीं है। हालांकि, की कम प्रतिबंधात्मक स्थिति $$\mu_A(x)^2 + \nu_A(x)^2 \le 1$$ अधिक डोमेन में उपयुक्त हो सकता है।

फ़ज़ी लॉजिक
बहु-मूल्यवान तर्क के मामले के विस्तार के रूप में, मूल्यांकन ($$\mu : \mathit{V}_o \to \mathit{W}$$) प्रस्तावपरक चर के ($$\mathit{V}_o$$) सदस्यता डिग्री के एक सेट में ($$\mathit{W}$$) को सदस्यता फलन (गणित) मैपिंग प्रेडिकेट (गणितीय तर्क) के रूप में फ़ज़ी सेट में (या अधिक औपचारिक रूप से, फ़ज़ी जोड़े के एक ऑर्डर किए गए सेट में, फ़ज़ी संबंध कहा जाता है) के रूप में सोचा जा सकता है। इन मूल्यांकनों के साथ, अस्पष्ट परिसरों की अनुमति देने के लिए कई-मूल्यवान तर्कों को बढ़ाया जा सकता है जिससे श्रेणीबद्ध निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं। इस विस्तार को कभी-कभी व्यापक अर्थों में फ़ज़ी लॉजिक के विपरीत संकीर्ण अर्थ में फ़ज़ी लॉजिक कहा जाता है, जो स्वचालन  नियंत्रण और ज्ञान  अभियांत्रिकी  ज्ञान इंजीनियरिंग क्षेत्रों में उत्पन्न हुआ था, और जिसमें फ़ज़ी सेट और अनुमानित तर्क शामिल कई विषय शामिल हैं। फजी लॉजिक के संदर्भ में फ़ज़ी लॉजिक के व्यापक अर्थों में फ़ज़ी लॉजिक के औद्योगिक अनुप्रयोगों को फ़ज़ी लॉजिक में पाया जा सकता है।

अस्पष्ट संख्या और केवल संख्या
एक अस्पष्ट संख्या एक फ़ज़ी सेट है जो निम्नलिखित सभी शर्तों को पूरा करता है:
 * ए सामान्यीकृत है;
 * ए एक उत्तल सेट है;
 * $$\exists ! x^* \in A, \mu_{A}(x^*)=1$$;
 * सदस्यता समारोह $$\mu_{A}(x)$$ कम से कम खंड रूप से निरंतर है।

यदि ये शर्तें पूरी नहीं होती हैं, तो A एक अस्पष्ट संख्या नहीं है। इस अस्पष्ट संख्या का मूल एक सिंगलटन (गणित) है; इसका स्थान है:
 * $$ \, C(A) = x^* : \mu_A(x^*)=1$$

जब की विशिष्टता के बारे में स्थिति $${x^*}$$ पूरा नहीं होता है, तो फ़ज़ी सेट को फ़ज़ी इंटरवल के रूप में चित्रित किया जाता है। इस फ़ज़ी इंटरवल का मूल एक क्रिस्प इंटरवल है:


 * $$\,C(A) = \left[\min\{x \in \R \mid \mu_A(x)=1\} ; \max\{x \in \R \mid \mu_A(x)=1\} \right]$$.

फजी नंबरों की तुलना funfair  गेम से की जा सकती है, अपने वजन का अनुमान लगाएं, जहां कोई प्रतियोगी के वजन का अनुमान लगाता है, करीब अनुमान अधिक सही होने के साथ, और जहां अनुमान लगाने वाला जीतता है यदि वह प्रतियोगी के वजन के करीब अनुमान लगाता है, वास्तविक वजन पूरी तरह से होने के साथ सही (सदस्यता फ़ंक्शन द्वारा 1 पर मैपिंग)।

गिरी $$K(A) = \operatorname{Kern}(A)$$ एक फजी अंतराल का $$A$$ 'आउटबाउंड' भागों के बिना 'आंतरिक' भाग के रूप में परिभाषित किया गया है, जहां सदस्यता मूल्य निरंतर विज्ञापन अनंत है। दूसरे शब्दों में, का सबसे छोटा उपसमुच्चय $$\R$$ कहाँ $$\mu_A(x)$$ इसके बाहर स्थिर है, इसे कर्नेल के रूप में परिभाषित किया गया है।

हालांकि, अस्पष्ट संख्या और अंतराल की अन्य अवधारणाएं हैं क्योंकि कुछ लेखक उत्तलता पर जोर नहीं देते हैं।

फजी श्रेणियां
श्रेणी सिद्धांत के एक प्रमुख घटक के रूप में सेट सिद्धांत का उपयोग फ़ज़ी सेट के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। यह दृष्टिकोण, जो 1968 में फ़ज़ी सेट सिद्धांत की शुरुआत के तुरंत बाद शुरू हुआ, गोगुएन श्रेणियों के विकास के लिए नेतृत्व किया 21 वीं सदी में। इन श्रेणियों में, दो मूल्यवान सेट सदस्यता का उपयोग करने के बजाय, अधिक सामान्य अंतराल का उपयोग किया जाता है, और एल-फ़ज़ी सेट के रूप में जाली हो सकती है।

फ़ज़ी रिलेशन समीकरण
फजी संबंध समीकरण रूप का एक समीकरण है A · R = B, जहां A और B अस्पष्ट समुच्चय हैं, R एक अस्पष्ट संबंध है, और A · R, R के साथ A के समारोह रचना के लिए है.

एंट्रॉपी
ब्रह्मांड के फजी सेट के लिए फजीनेस का माप डी $$U$$ सभी के लिए निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना चाहिए $$x \in U$$:
 * 1) $$d(A) = 0$$ अगर $$A$$ एक कुरकुरा सेट है: $$\mu_A(x) \in \{0,\,1\}$$
 * 2) $$d(A)$$ एक अद्वितीय अधिकतम आईएफ़ है $$\forall x \in U: \mu_A(x) = 0.5$$
 * 3) $$\mu_A \leq \mu_B \iff$$
 * $$\mu_A \leq \mu_B \leq 0.5$$
 * $$\mu_A \geq \mu_B \geq 0.5$$
 * जिसका मतलब है कि बी ए की तुलना में कुरकुरा है।


 * 1) $$d(\neg{A}) = d(A)$$ इस मामले में $$d(A)$$ फ़ज़ी सेट 'ए' की एंट्रॉपी कहलाती है।

परिमित के लिए $$U = \{x_1, x_2, ... x_n\}$$ एक फ़ज़ी सेट की एन्ट्रापी $$A$$ द्वारा दिया गया है
 * $$d(A) = H(A) + H(\neg{A})$$,
 * $$H(A) = -k \sum_{i=1}^n \mu_A(x_i) \ln \mu_A(x_i)$$

या केवल
 * $$d(A) = -k \sum_{i=1}^n S(\mu_A(x_i))$$

कहाँ $$S(x) = H_e(x)$$ बाइनरी एंट्रॉपी फ़ंक्शन है | शैनन का फ़ंक्शन (प्राकृतिक एन्ट्रॉपी फ़ंक्शन)
 * $$S(\alpha) = -\alpha \ln \alpha - (1-\alpha) \ln (1-\alpha),\ \alpha \in [0,1]$$

और $$k$$ माप इकाई और प्रयुक्त लघुगणक आधार के आधार पर एक स्थिरांक है (यहाँ हमने प्राकृतिक आधार e (गणितीय स्थिरांक) का उपयोग किया है)। K की भौतिक व्याख्या Boltzmann स्थिरांक k है बी.

होने देना $$A$$ निरंतर सदस्यता फ़ंक्शन (फ़ज़ी वैरिएबल) के साथ फ़ज़ी सेट बनें। तब
 * $$H(A) = -k \int_{- \infty}^\infty \operatorname{Cr} \lbrace A \geq t \rbrace \ln \operatorname{Cr} \lbrace A \geq t \rbrace \,dt$$

और इसकी एन्ट्रापी है
 * $$d(A) = -k \int_{- \infty}^\infty S(\operatorname{Cr} \lbrace A \geq t \rbrace )\,dt.$$

एक्सटेंशन
फ़ज़ी सेट के समान या उससे अधिक सामान्य कई गणितीय निर्माण हैं। चूंकि 1965 में फ़ज़ी सेट पेश किए गए थे, कई नए गणितीय निर्माण और अशुद्धता, अशुद्धता, अस्पष्टता और अनिश्चितता का इलाज करने वाले सिद्धांत विकसित किए गए हैं। इन निर्माणों और सिद्धांतों में से कुछ फ़ज़ी सेट सिद्धांत के विस्तार हैं, जबकि अन्य गणितीय रूप से अशुद्धता और अनिश्चितता को एक अलग तरीके से मॉडल करने का प्रयास करते हैं।

यह भी देखें

 * वैकल्पिक सेट सिद्धांत
 * अस्पष्टीकरण
 * फजी अवधारणा
 * फजी गणित
 * फ़ज़ी सेट ऑपरेशन
 * फजी सबलजेब्रा
 * अंतराल परिमित तत्व
 * रैखिक आंशिक जानकारी
 * मल्टीसेट
 * न्यूरो फजी
 * किसी न किसी फजी संकरण
 * मोटा सेट
 * सोरेनसेन समानता सूचकांक
 * टाइप -2 फ़ज़ी सेट और सिस्टम
 * अनिश्चितता

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