मौलिक पुनरावर्ती फलन

कम्प्यूटेबिलिटी सिद्धांत में, प्राचीन पुनरावर्ती कार्य, मोटे तौर पर बोलना, एक ऐसा कार्य है जिसकी गणना एक कंप्यूटर प्रोग्राम द्वारा की जा सकती है, जिसके लूप सभी "फॉर" लूप हैं लूप के लिए (अर्थात, प्रत्येक लूप के पुनरावृत्तियों की संख्या की ऊपरी सीमा पहले निर्धारित की जा सकती है) प्राचीन पुनरावर्ती कार्य उन सामान्य पुनरावर्ती कार्यो का एक सख्त उपसमुच्चय बनाते हैं जो कुल कार्य भी हैं।

प्राचीन पुनरावर्ती कार्यों का महत्व इस तथ्य में निहित है कि संख्या सिद्धांत (और सामान्यतः गणित में) में अध्ययन किए जाने वाले अधिकांश संगणनीय कार्य प्राचीन पुनरावर्ती हैं। उदाहरण के लिए, योग और विभाजन, क्रमगुणित और चरघातांकी फलन, और जो फलन n अभाज्य को लौटाता है, सभी प्राचीन पुनरावर्ती हैं। वास्तव में, यह दिखाने के लिए कि एक संगणनीय कार्य प्राचीन पुनरावर्ती है, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि इसकी समय जटिलता इनपुट आकार के एक प्राचीन पुनरावर्ती कार्य से ऊपर है। इसलिए एक संगणनीय कार्य को तैयार करना इतना आसान नहीं है कि प्राचीन पुनरावर्ती नहीं है; कुछ उदाहरण नीचे अनुभाग § सीमाएँ में दिखाए गए हैं।

कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत में प्राचीन पुनरावर्ती कार्यों के सेट को पीआर के रूप में जाना जाता है।

परिभाषा
एक प्राचीन पुनरावर्ती फ़ंक्शन तर्कों की एक निश्चित संख्या लेता है, प्रत्येक एक प्राकृतिक संख्या (गैर-नकारात्मक पूर्णांक: {0, 1, 2, ...}), और एक प्राकृतिक संख्या देता है। यदि यह n तर्क लेता है तो इसे n-ary कहा जाता है।

बुनियादी प्राचीन पुनरावर्ती कार्य इन स्वयंसिद्धों द्वारा दिए गए हैं:

इन स्वयंसिद्धों द्वारा दिए गए कार्यों को लागू करके अधिक जटिल प्राचीन पुनरावर्ती कार्य प्राप्त किए जा सकते हैं:

'प्राचीन पुनरावर्ती कार्य' मूल कार्य हैं और इन कार्यों को सीमित संख्या में लागू करके मूल कार्यों से प्राप्त किए जाते हैं।

जोड़
2-एरी फ़ंक्शन की परिभाषा $$Add$$, इसके तर्कों के योग की गणना करने के लिए, प्रिमिटिव रिकर्सन ऑपरेटर का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है $$\rho$$. इसके लिए, प्रसिद्ध समीकरण
 * $$\begin{array}{rcll}

0+y & = & y & \text{ and} \\ S(x)+y & = & S(x+y) &. \\ \end{array}$$ "प्राचीन पुनरावर्ती कार्य शब्दावली में पुनर्प्रकाशित" हैं: की परिभाषा में $$\rho(g,h)$$, पहला समीकरण चुनने का सुझाव देता है $$g = P_1^1$$ प्राप्त करने के लिए $$Add(0,y) = g(y) = y$$; दूसरा समीकरण चुनने का सुझाव देता है $$h = S \circ P_2^3$$ प्राप्त करने के लिए $$Add(S(x),y) = h(x,Add(x,y),y) = (S \circ P_2^3)(x,Add(x,y),y) = S(Add(x,y))$$. इसलिए, अतिरिक्त फ़ंक्शन को इस रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$Add = \rho(P_1^1,S \circ P_2^3)$$. गणना उदाहरण के रूप में,
 * $$\begin{array}{lll}

& Add(1,7) \\ = & \rho(P_1^1,S \circ P_2^3) \; (S(0),7) & \text{ by Def. } Add, S \\ = & (S \circ P_2^3)(0,Add(0,7),7) & \text{ by case } \rho(g,h) \; (S(...),...) \\ = & S(Add(0,7)) & \text{ by Def. } \circ, P_2^3 \\ = & S( \; \rho(P_1^1,S \circ P_2^3) \; (0,7) \; ) & \text{ by Def. } Add \\ = & S(P_1^1(7)) & \text{ by case } \rho(g,h) \; (0,...) \\ = & S(7) & \text{ by Def. } P_1^1 \\ = & 8 & \text{ by Def. } S. \\ \end{array}$$

दोहरीकरण
दिया गया $$Add$$, 1-एरी फ़ंक्शन $$Add \circ (P_1^1,P_1^1)$$ इसके तर्क को दोगुना करता है, $$(Add \circ (P_1^1,P_1^1))(x) = Add(x,x) = x+x$$.

गुणन
योग की तरह, गुणन को किसके द्वारा परिभाषित किया जा सकता है $$Mul = \rho(C_0^1,Add \circ(P_2^3,P_3^3))$$. यह प्रसिद्ध गुणा समीकरणों को पुन: उत्पन्न करता है:
 * $$\begin{array}{lll}

& Mul(0,y) \\ = & \rho(C_0^1,Add \circ(P_2^3,P_3^3)) \; (0,y) & \text{ by Def. } Mul \\ = & C_0^1(y) & \text{ by case } \rho(g,h) \; (0,...)\\ = & 0 & \text{ by Def. } C_0^1. \\ \end{array}$$ और
 * $$\begin{array}{lll}

& Mul(S(x),y) \\ = & \rho(C_0^1,Add \circ(P_2^3,P_3^3)) \; (S(x),y) & \text{ by Def. } Mul \\ = & (Add \circ(P_2^3,P_3^3)) \; (x,Mul(x,y),y) & \text{ by case } \rho(g,h) \; (S(...),...) \\ = & Add(Mul(x,y),y) & \text{ by Def. } \circ, P_2^3, P_3^3 \\ = & Mul(x,y)+y & \text{ by property of } Add. \\ \end{array}$$

पूर्ववर्ती
पूर्ववर्ती कार्य उत्तराधिकारी कार्य के विपरीत कार्य करता है और नियमों द्वारा पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया जाता है $$Pred(0) = 0$$ और $$Pred(S(n)) = n$$. एक प्राचीन पुनरावर्ती परिभाषा है $$Pred = \rho(C_0^0, P_1^2)$$. गणना उदाहरण के रूप में,
 * $$\begin{array}{lll}

& Pred(8) \\ = & \rho(C_0^0, P_1^2) \; (S(7)) & \text{ by Def. } Pred, S \\ = & P_1^2(7,Pred(7)) & \text{ by case } \rho(g,h) \; (S(...),...) \\ = & 7 & \text{ by Def. } P_1^2. \\ \end{array}$$

कटा हुआ घटाव
सीमित घटाव फ़ंक्शन (जिसे monus भी कहा जाता है, और निरूपित किया जाता है$$\stackrel.-$$) पूर्ववर्ती कार्य से निश्चित है। यह समीकरणों को संतुष्ट करता है
 * $$\begin{array}{rcll}

y \stackrel.- 0 & = & y & \text{and} \\ y \stackrel.- S(x) & = & Pred(y \stackrel.- x) &. \\ \end{array}$$ चूंकि पुनरावर्तन दूसरे तर्क पर चलता है, हम उलटे घटाव की एक प्राचीन पुनरावर्ती परिभाषा के साथ प्रारंभ करते हैं, $$RSub(y,x) = x \stackrel.- y$$. इसका पुनरावर्तन तब पहले तर्क पर चलता है, इसलिए इसकी प्राचीन पुनरावर्ती परिभाषा प्राप्त की जा सकती है, इसके अतिरिक्त, जैसा $$RSub = \rho(P_1^1, Pred \circ P_2^3)$$. उल्टे तर्क क्रम से छुटकारा पाने के लिए, फिर परिभाषित करें $$Sub = RSub \circ (P_2^2,P_1^2)$$. गणना उदाहरण के रूप में,
 * $$\begin{array}{lll}

& Sub(8,1) \\ = & (RSub \circ (P_2^2,P_1^2)) \; (8,1) & \text{ by Def. } Sub \\ = & RSub(1,8) & \text{ by Def. } \circ, P_2^2, P_1^2 \\ = & \rho(P_1^1, Pred \circ P_2^3) \; (S(0),8) & \text{ by Def. } RSub, S \\ = & (Pred \circ P_2^3) \; (0,RSub(0,8),8) & \text{ by case } \rho(g,h) \; (S(...),...) \\ = & Pred(RSub(0,8)) & \text{ by Def. } \circ, P_2^3 \\ = & Pred( \; \rho(P_1^1, Pred \circ P_2^3) \; (0,8) \; ) & \text{ by Def. } RSub \\ = & Pred(P_1^1(8)) & \text{ by case } \rho(g,h) \; (0,...) \\ = & Pred(8) & \text{ by Def. } P_1^1 \\ = & 7 & \text{ by property of } Pred. \\ \end{array}$$

विधेय को संख्यात्मक कार्यों में परिवर्तित करना
कुछ सेटिंग्स में प्राचीन पुनरावर्ती कार्यों पर विचार करना स्वाभाविक है,जो इनपुट के रूप में लेते हैं जो सत्य मानों के साथ संख्याओं को मिलाते हैं (जो कि सत्य के लिए t है और असत्य के लिए f है), या जो आउटपुट के रूप में सत्य मान उत्पन्न करते हैं। इसे किसी निश्चित विधि से संख्याओं के साथ सत्य मानों की पहचान करके पूरा किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, संख्या 1 के साथ सत्य मान t और संख्या 0 के साथ सत्य मान f की पहचान करना आम है। एक बार यह पहचान हो जाने के बाद, सेट A का विशिष्ट कार्य, जो हमेशा 1 या 0 देता है, हो सकता है एक विधेय के रूप में देखा जाता है जो बताता है कि सेट ए में कोई संख्या है या नहीं। संख्यात्मक कार्यों के साथ विधेय की ऐसी पहचान इस लेख के शेष भाग के लिए मानी जाएगी।

विधेय "शून्य है"

प्राचीन पुनरावर्ती विधेय के लिए एक उदाहरण के रूप में, 1-एरी फ़ंक्शन $$IsZero$$ इस प्रकार परिभाषित किया जाएगा $$IsZero(x) = 1$$ यदि $$x = 0$$, और

$$IsZero(x) = 0$$, अन्यथा। इसे परिभाषित करके प्राप्त किया जा सकता है $$IsZero = \rho(C_1^0,C_0^2)$$. तब, $$IsZero(0) = \rho(C_1^0,C_0^2)(0) = C_1^0(0) = 1$$ और उदा. $$IsZero(8) = \rho(C_1^0,C_0^2)(S(7)) = C_0^2(7,IsZero(7)) = 0$$.

विधेय कम या बराबर
संपत्ति का उपयोग करना $$x \leq y \iff x \stackrel.- y = 0$$, 2-एरी फ़ंक्शन $$Leq$$ द्वारा परिभाषित किया जा सकता है $$Leq = IsZero \circ Sub$$. तब $$Leq(x,y) = 1$$ यदि $$x \leq y$$, और $$Leq(x,y) = 0$$, अन्यथा। गणना उदाहरण के रूप में,
 * $$\begin{array}{lll}

& Leq(8,3) \\ = & IsZero(Sub(8,3)) & \text{ by Def. } Leq \\ = & IsZero(5) & \text{ by property of } Sub \\ = & 0 & \text{ by property of } IsZero \\ \end{array}$$

विधेय ग्रेटर या बराबर
एक बार की परिभाषा $$Leq$$ प्राप्त होता है, तो विलोम विधेय को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है $$Geq = Leq \circ (P_2^2,P_1^2)$$. तब, $$Geq(x,y) = Leq(y,x)$$ सत्य है (अधिक त्रुटिहीन: मान 1 है) यदि, और केवल यदि, $$x \geq y$$.

यदि-तो-और
प्रोग्रामिंग भाषाओं से ज्ञात 3-एरी if-then-else ऑपरेटर द्वारा परिभाषित किया जा सकता है $$\textit{If} = \rho(P_2^2,P_3^4)$$. फिर, मनमानी के लिए $$x$$,
 * $$\begin{array}{lll}

& \textit{If}(S(x),y,z) \\ = & \rho(P_2^2,P_3^4) \; (S(x),y,z) & \text{ by Def. } \textit{If} \\ = & P_3^4(x,\textit{If}(x,y,z),y,z) & \text{ by case } \rho(S(...),...) \\ = & y & \text{ by Def. } P_3^4 \\ \end{array}$$ और
 * $$\begin{array}{lll}

& \textit{If}(0,y,z) \\ = & \rho(P_2^2,P_3^4) \; (0,y,z) & \text{ by Def. } \textit{If} \\ = & P_2^2(y,z) & \text{ by case } \rho(0,...) \\ = & z & \text{ by Def. } P_2^2. \\ \end{array}$$. वह है, $$\textit{If}(x,y,z)$$ तत्कालीन भाग देता है, $$y$$, यदि-भाग, $$x$$, सत्य है, और अन्य भाग, $$z$$, अन्यथा।

जंक्शन
पर आधारित $$\textit{If}$$ कार्य, तार्किक जंक्शनों को परिभाषित करना आसान है। उदाहरण के लिए परिभाषित करना $$And = \textit{If} \circ (P_1^2,P_2^2,C_0^2)$$, एक प्राप्त करता है $$And(x,y) = \textit{If}(x,y,0)$$, वह है, $$And(x,y)$$ सच है यदि, और केवल यदि, दोनों $$x$$ और $$y$$ सत्य हैं (तार्किक संयोजन $$x$$ और $$y$$).

इसी प्रकार, $$Or = \textit{If} \circ (P_1^2,C_1^2,P_2^2)$$ और $$Not = \textit{If} \circ (P_1^1,C_0^1,C_1^1)$$ वियोजन और निषेध की उपयुक्त परिभाषाओं की ओर ले जाते हैं: $$Or(x,y) = \textit{If}(x,1,y)$$ और $$Not(x) = \textit{If}(x,0,1)$$.

समानता विधेय
उपरोक्त कार्यों का उपयोग करना $$Leq$$, $$Geq$$ और $$And$$, मानहानि $$Eq = And \circ (Leq, Geq)$$ समानता विधेय को लागू करता है। वास्तव में, $$Eq(x,y) = And( Leq(x,y), Geq(x,y) )$$ सच है यदि, और केवल यदि, $$x$$ के बराबर होती है $$y$$.

इसी प्रकार, परिभाषा $$Lt = Not \circ Geq$$ कम-से-कम विधेय को लागू करता है, और $$Gt = Not \circ Leq$$ से अधिक लागू करता है।

प्राकृत संख्याओं पर अन्य संक्रियाएं
घातांक और प्रारंभिक परीक्षण प्राचीन पुनरावर्ती हैं। प्राचीन पुनरावर्ती कार्यों e, f, g, और h को देखते हुए, एक फ़ंक्शन जो e≤f होने पर g का मान लौटाता है और अन्यथा h का मान प्राचीन पुनरावर्ती होता है।

पूर्णांकों और परिमेय संख्याओं पर संक्रियाएं
गोडेल नंबरिंग का उपयोग करके, प्राचीन पुनरावर्ती कार्यों को पूर्णांक और परिमेय संख्याओं जैसे अन्य वस्तुओं पर संचालित करने के लिए बढ़ाया जा सकता है। यदि पूर्णांकों को गोडेल संख्याओं द्वारा एक मानक विधि से एन्कोड किया जाता है, तो जोड़, घटाव और गुणा सहित अंकगणितीय संक्रियाएं सभी प्राचीन पुनरावर्ती हैं। इसी तरह, यदि परिमेय गोडेल संख्याओं द्वारा दर्शाए जाते हैं तो फ़ील्ड (गणित) संक्रियाएँ सभी प्राचीन पुनरावर्ती हैं।

कुछ सामान्य प्राचीन पुनरावर्ती कार्य

 * निम्नलिखित उदाहरण और परिभाषाएँ क्लेन (1952) पीपी. 223–231 से हैं - कई सबूतों के साथ दिखाई देते हैं। बूलोस-बर्गेस-जेफरी 2002 पीपी। 63-70 में अधिकांश समान नामों के साथ, या तो प्रमाण के रूप में या उदाहरण के रूप में दिखाई देते हैं; वे त्रुटिहीन व्युत्पत्ति के आधार पर लघुगणक lo(x, y) या lg(x, y) जोड़ते हैं।

निम्नलिखित में हम देखते हैं कि आदिम पुनरावर्ती कार्य चार प्रकार के हो सकते हैं:
 * 1) संक्षेप में कार्य: "संख्या-सैद्धांतिक कार्य" {0, 1, 2, ...} से {0, 1, 2, ...} तक,
 * 2) विधेय: {0, 1, 2, ...} से सत्य मान {t =सत्य, f =असत्य},
 * 3) तर्कवाक्य संयोजक: सत्य मान {t, f} से सत्य मान {t, f},
 * 4) कार्यों का प्रतिनिधित्व: सत्य मान {टी, एफ} से {0, 1, 2, ...}। कई बार एक विधेय को विधेय के आउटपुट { t, f } को { 0, 1 } में परिवर्तित करने के लिए एक प्रतिनिधित्व समारोह की आवश्यकता होती है (~sg परिभाषित के साथ "t" से "0" और "f" से "1" के क्रम पर ध्यान दें नीचे)। परिभाषा के अनुसार एक फ़ंक्शन φ(x) विधेय P(x) का एक "प्रतिनिधित्व फ़ंक्शन" है यदि φ केवल मान 0 और 1 लेता है और 0 उत्पन्न करता है जब P सत्य है"।

निम्नलिखित में चिह्न " ' ", उदा. a' आदिम चिह्न है जिसका अर्थ है "का उत्तराधिकारी", सामान्यतः " +1", के रूप में माना जाता है, उदा a +1 = डीईएफ़ a'। कार्यों 16-20 और #G आदिम पुनरावर्ती विधेय को परिवर्तित करने और उन्हें निकालने के संबंध में विशेष रुचि रखते हैं, उनके "अंकगणितीय" रूप को गोडेल संख्या के रूप में व्यक्त किया गया है।


 * जोड़: a+b
 * गुणन: a×b


 * घातांक: ab
 * क्रमगुणित ए! :0! = 1, a'! = a!×a'
 * पूर्ववर्ती (ए): (पूर्ववर्ती या कमी): यदि a > 0 तो a-1 और 0
 * उचित घटाव a ∸ b: यदि a ≥ b तो a-b और 0
 * न्यूनतम (a1, ... an)
 * अधिकतम (a1, ... an)
 * पूर्ण अंतर: | a-b | =def (a ∸ b) + (b ∸ a)
 * ~sg(a): NOT[signum(a)]: यदि a=0 तो 1 और 0
 * sg(a): signum a: यदि a=0 तो 0 और 1
 * a | b: (a b को विभाजित करता है): यदि b=k×a कुछ k के लिए तो 0 और 1
 * शेष (a, b): बचे हुए यदि बी "समान रूप से" विभाजित नहीं करता है। एमओडी (a, b) भी कहा जाता है
 * a = b: sg | a - b | (क्लीन की प्रथा 0 से सत्य और 1 से असत्य का प्रतिनिधित्व करना था; वर्तमान में, विशेष रूप से कंप्यूटर में, सबसे आम सम्मेलन रिवर्स है, अर्थात् 1 से सत्य और 0 से गलत का प्रतिनिधित्व करने के लिए, जो यहाँ और sg में ~sg को बदलने की मात्रा है। अगला आइटम)
 * a < b:: sg( a' ∸ b)
 * Pr(a): a एक अभाज्य संख्या है Pr(a) =def a>1 & NOT(उपस्थित c)1 1 तो सबसे बड़ा x ऐसा है कि bx | a अन्य 0


 * निम्नलिखित में संक्षिप्त रूप 'x' =def एक्स1, ... एक्सn; अर्थ की आवश्यकता होने पर सबस्क्रिप्ट लागू किया जा सकता है।


 * #A: एक फ़ंक्शन φ स्पष्ट रूप से फ़ंक्शन Ψ और स्थिरांक q से निश्चित है q1, ... qn Ψ में प्राचीन पुनरावर्ती है।
 * #B: परिमित योग Σy<z ψ(x, y) और उत्पाद Πy<zψ(x, y) ψ में प्राचीन पुनरावर्ती हैं।
 * #C: एक विधेय पी कार्यों χ प्रतिस्थापन द्वारा प्राप्त कियाχ1,..., χm एक विधेय के संबंधित चर के लिए क्यू χ में प्राचीन पुनरावर्ती है χ1,..., χm, Q
 * #D: निम्नलिखित विधेय Q और R में प्राचीन पुनरावर्ती हैं:
 * NOT_Q('x').
 * *   Q OR R: Q(x) V R(x),
 * *  Q और R:  Q(x) & R(x),
 * Q का तात्पर्य R: Q('x') → R('x')
 * Q, R के समतुल्य है: Q('x') ≡ R('x')


 * #E: निम्नलिखित विधेय R विधेय में प्राचीन पुनरावर्ती हैं:
 * (Ey)y<z R(x, y) जहां(Ey)y<z इंगित करता है कि कम से कम एक y उपस्थित है जो कि z से कम है
 * (y)y<z R(x, y) जहां (y)y<z सभी y के लिए z से कम दर्शाता है यह सच है कि
 * μyy<z R(x, y)। ऑपरेटर μyy<z R(x, y) तथाकथित न्यूनीकरण- या mu-ऑपरेटर का एक बाध्य रूप है: z से कम y के न्यूनतम मान के रूप में परिभाषित किया गया है जैसे कि R(x, y) सत्य है; या z यदि ऐसा कोई मान नहीं है।


 * #F: स्थितियों द्वारा परिभाषा: इस प्रकार परिभाषित फ़ंक्शन, जहाँ Q1, ..., Qm पारस्परिक रूप से अनन्य विधेय हैं (या"ψ(x) पहले खंड द्वारा दिया गया मान होगा जो लागू होता है), φ में प्राचीन पुनरावर्ती है φ1, ..., Q1, ... Qm:
 * φ(x) =
 * फी1(एक्स) यदि क्यू1(एक्स) सच है,
 * φm(एक्स) यदि क्यूm(एक्स) सच है
 * φm+1(एक्स) अन्यथा
 * φm+1(एक्स) अन्यथा


 * #G: यदि φ समीकरण को संतुष्ट करता है:
 * φ(y,x) = χ(y, COURSE-φ(y; x2, ... एक्सn ), एक्स2, ... एक्सn तो φ χ में प्राचीन पुनरावर्ती है। मान पाठ्यक्रम -φ(y; x2 to n ) कोर्स-ऑफ-वैल्यू फ़ंक्शन मानों के अनुक्रम को एन्कोड करता है φ(0,x2 to n), ..., φ(y-1,x2 to n) मूल समारोह का।

पहले क्रम के पीनो अंकगणितीय
में प्रयोग करें प्रथम-क्रम तर्क में | प्रथम-क्रम पीआनो अंकगणित में असीमित रूप से कई चर (0-एरी प्रतीक) हैं, लेकिन कोई k-ary गैर-तार्किक प्रतीक नहीं है जिसमें k>0 S, +, *, और ≤ के अतिरिक्त है। इस प्रकार प्राचीन पुनरावर्ती कार्यों को परिभाषित करने के लिए गोडेल द्वारा निम्नलिखित चाल का उपयोग करना होगा।

अनुक्रमों के लिए गोडेल नंबरिंग का उपयोग करके, उदाहरण के लिए गोडेल के β फ़ंक्शन, संख्याओं के किसी भी परिमित अनुक्रम को एक संख्या द्वारा एन्कोड किया जा सकता है। इस तरह की संख्या किसी दिए गए एन तक प्राचीन पुनरावर्ती फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व कर सकती है।

चलो एच एक 1-ary प्राचीन पुनरावर्तन समारोह द्वारा परिभाषित किया गया है:
 * $$ h(0) = C$$
 * $$ h(n+1) = g(n,h(n))$$

जहाँ C एक नियतांक है और g पहले से परिभाषित फलन है।

प्राकृतिक संख्याओं के किसी भी क्रम के लिए गोडेल के β फ़ंक्शन का उपयोग करना (k0, k1, ..., kn), प्राकृतिक संख्याएँ b और c ऐसी हैं कि, प्रत्येक i ≤ n के लिए, β(b, c, i) = ki. इस प्रकार हम h को परिभाषित करने के लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं; अधिक त्रुटिहीन रूप से, m=h(n) निम्नलिखित के लिए एक आशुलिपि है:


 * $$\exists b: \exists c: \beta(b, c, 0) = C \land \forall i: (i<n) \rightarrow (\beta(b, c, i+1) = g(i,\beta(b, c, i))) \land (m = \beta(b, c, n))$$

और जी के बराबर, पहले से ही परिभाषित किया जा रहा है, वास्तव में कुछ अन्य पहले से परिभाषित सूत्र के लिए आशुलिपि है (जैसा कि β है, जिसका सूत्र गोडेल का β फ़ंक्शन दिया गया है)।

किसी भी k-ary प्राचीन पुनरावर्तन समारोह का सामान्यीकरण तुच्छ है।

पुनरावर्ती कार्यों से संबंध
आंशिक पुनरावर्ती कार्यों के व्यापक वर्ग को एक असीमित खोज ऑपरेटर की प्रारंभ करके परिभाषित किया गया है। इस ऑपरेटर के उपयोग के परिणामस्वरूप आंशिक फ़ंक्शन हो सकता है, अर्थात, प्रत्येक तर्क के लिए अधिकतम एक मान के साथ संबंध, लेकिन किसी भी तर्क के लिए कोई मान आवश्यक नहीं है (डोमेन देखें)। एक समतुल्य परिभाषा बताती है कि एक आंशिक पुनरावर्ती कार्य वह है जिसे ट्यूरिंग मशीन द्वारा गणना की जा सकती है। टोटल रिकर्सिव फंक्शन एक आंशिक रिकर्सिव फंक्शन है जिसे हर इनपुट के लिए परिभाषित किया गया है।

प्रत्येक प्राचीन पुनरावर्ती कार्य कुल पुनरावर्ती है, लेकिन सभी कुल पुनरावर्ती कार्य प्राचीन पुनरावर्ती नहीं हैं। एकरमैन समारोह A(m,n) कुल पुनरावर्ती फ़ंक्शन (वास्तव में, सिद्ध करने योग्य कुल) का एक प्रसिद्ध उदाहरण है, जो प्राचीन पुनरावर्ती नहीं है। एकरमैन फ़ंक्शन का उपयोग करके कुल पुनरावर्ती कार्यों के सबसेट के रूप में प्राचीन पुनरावर्ती कार्यों का एक लक्षण वर्णन है। यह लक्षण वर्णन बताता है कि एक फ़ंक्शन प्राचीन पुनरावर्ती है, यदि कोई प्राकृतिक संख्या m है जैसे कि फ़ंक्शन की गणना ट्यूरिंग मशीन द्वारा की जा सकती है जो हमेशा A(m,n) या उससे कम चरणों में रुकती है, जहां n का योग है प्राचीन पुनरावर्ती क्रिया के तर्क।

प्राचीन पुनरावर्ती कार्यों की एक महत्वपूर्ण संपत्ति यह है कि वे सभी कुल पुनरावर्ती कार्यों के सेट का पुनरावर्ती रूप से गणना करने योग्य उपसमुच्चय हैं (जो स्वयं पुनरावर्ती गणना योग्य नहीं है)। इसका मतलब यह है कि एक एकल संगणनीय कार्य f(m,n) है जो प्राचीन पुनरावर्ती कार्यों की गणना करता है, अर्थात्: f को प्राचीन पुनरावर्ती कार्यों को बनाने के सभी संभावित तरीकों को दोहराकर स्पष्ट रूप से बनाया जा सकता है। इस प्रकार, यह कुल प्रमाण होता है। एक विकर्ण लेम्मा तर्क का उपयोग यह दिखाने के लिए कर सकता है कि f अपने आप में पुनरावर्ती प्राचीन नहीं है: यदि ऐसा होता, तो h(n) = f(n,n)+1 होता। लेकिन यदि यह कुछ प्राचीन पुनरावर्ती फ़ंक्शन के बराबर है, तो एक एम ऐसा है कि h(n) = f(m,n) सभी एन के लिए, और फिर एच (एम) = एफ (एम, एम), विरोधाभास के लिए अग्रणी।
 * प्रत्येक प्राचीन पुनरावर्ती क्रिया g के लिए, एक m ऐसा है कि g(n) = f(m,n) सभी n के लिए, और
 * प्रत्येक एम के लिए, फ़ंक्शन h(n) = f(m,n) प्राचीन पुनरावर्ती है।

चूँकि, प्राचीन पुनरावर्ती कार्यों का सेट सभी कुल पुनरावर्ती कार्यों के सेट का सबसे बड़ा पुनरावर्ती गणनीय उपसमुच्चय नहीं है। उदाहरण के लिए, प्रमाण कुल कार्यों का सेट (पीनो अंकगणित में) भी पुनरावर्ती गणना योग्य है, क्योंकि सिद्धांत के सभी सबूतों की गणना कर सकते हैं। जबकि सभी प्राचीन पुनरावर्ती कार्य सिद्ध रूप से कुल हैं, इसका विलोम सत्य नहीं है।

सीमाएं
प्राचीन पुनरावर्ती कार्य हमारे अंतर्ज्ञान के साथ बहुत निकटता से मेल खाते हैं कि एक संगणनीय कार्य क्या होना चाहिए। निश्चित रूप से प्रारंभिक कार्य सहज रूप से संगणनीय हैं (उनकी बहुत सरलता में), और दो ऑपरेशन जिनके द्वारा कोई नया प्राचीन पुनरावर्ती कार्य बना सकता है, वे भी बहुत सीधे हैं। चूँकि, प्राचीन पुनरावर्ती कार्यों के सेट में हर संभव कुल गणना योग्य कार्य सम्मलित नहीं है - इसे कैंटर के विकर्ण तर्क के एक संस्करण के साथ देखा जा सकता है। यह तर्क कुल संगणनीय कार्य प्रदान करता है जो प्राचीन पुनरावर्ती नहीं है। सबूत का एक स्केच इस प्रकार है:

यह तर्क गणना योग्य (कुल) कार्यों के किसी भी वर्ग पर लागू किया जा सकता है जिसे इस तरह से गणना की जा सकती है, जैसा लेख मशीन में समझाया गया है जो हमेशा रुकता है। चूँकि ध्यान दें कि आंशिक संगणनीय कार्य (जिन्हें सभी तर्कों के लिए परिभाषित करने की आवश्यकता नहीं है) को स्पष्ट रूप से गणना की जा सकती है, उदाहरण के लिए ट्यूरिंग मशीन एन्कोडिंग की गणना करके।

कुल पुनरावर्ती लेकिन प्राचीन पुनरावर्ती कार्यों के अन्य उदाहरण ज्ञात नहीं हैं:
 * फ़ंक्शन जो m को एकरमैन फ़ंक्शन(m,m) में ले जाता है वह एक एकल कुल पुनरावर्ती फ़ंक्शन है जो प्राचीन पुनरावर्ती नहीं है।
 * पेरिस-हैरिंगटन प्रमेय में कुल पुनरावर्ती कार्य सम्मलित है जो प्राचीन पुनरावर्ती नहीं है।
 * सूडान समारोह
 * गुडस्टीन समारोह

लगातार कार्य
के बजाय $$C_n^k$$, वैकल्पिक परिभाषाएँ केवल एक 0-एरी शून्य फ़ंक्शन का उपयोग करती हैं $$C_0^0$$ एक प्राचीन कार्य के रूप में जो हमेशा शून्य लौटाता है, और शून्य कार्य, उत्तराधिकारी कार्य और संरचना ऑपरेटर से निरंतर कार्यों का निर्माण करता है।

कमजोर प्राचीन पुनरावर्तन
1-स्थान का पूर्ववर्ती कार्य प्राचीन पुनरावर्ती है, अनुभाग #Predecessor देखें। फिशर, फिशर और बेगेल प्रत्यावर्तन नियम से अंतर्निहित पूर्ववर्ती को हटा दिया, इसे कमजोर नियम से बदल दिया

\begin{array}{lcl} f (0, x_1, \ldots, x_k) & = & g (x_1, \ldots, x_k) & \text{and} \\ f (S(y), x_1, \ldots, x_k) & = & h (S(y), f (y, x_1, \ldots, x_k), x_1, \ldots, x_k) \end{array} $$ उन्होंने प्रमाण किया कि पूर्ववर्ती कार्य अभी भी परिभाषित किया जा सकता है, और इसलिए कमजोर प्राचीन पुनरावर्तन प्राचीन पुनरावर्ती कार्यों को भी परिभाषित करता है।

पुनरावृत्ति कार्य
कार्यों का उपयोग करके इसे और भी कमजोर कर रहा है $$h$$ arity k+1 का, हटाना $$y$$ और $$S(y)$$ के तर्कों से $$h$$ पूरी तरह से, हमें पुनरावृति नियम मिलता है:

$$\begin{array}{lcll} f(0,x_1,\ldots,x_k) & = & g(x_1,\ldots,x_k) &\textrm{and} \\ f(S(y),x_1,\ldots,x_k) & = & h(f(y,x_1,\ldots,x_k),x_1,\ldots,x_k) \end{array}$$

पुनरावृत्त कार्यों के वर्ग को उसी तरह परिभाषित किया जाता है जैसे इस कमजोर नियम को छोड़कर प्राचीन पुनरावर्ती कार्यों के वर्ग को। इन्हें प्राचीन पुनरावर्ती कार्यों का उचित उपसमुच्चय माना जाता है।

अतिरिक्त प्राचीन पुनरावर्ती रूप
पुनरावर्तन के कुछ अतिरिक्त रूप भी उन कार्यों को परिभाषित करते हैं जो वास्तव में हैं

प्राचीन पुनरावर्ती इन रूपों में परिभाषाएँ खोजना आसान हो सकता है या पढ़ने या लिखने के लिए अधिक स्वाभाविक। कोर्स-ऑफ़-वैल्यू रिकर्सन प्राचीन पुनरावर्ती कार्यों को परिभाषित करता है। आपसी पुनरावर्तन के कुछ रूप प्राचीन पुनरावर्ती कार्यों को भी परिभाषित करते हैं।

लूप (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज) में जिन कार्यों को प्रोग्राम किया जा सकता है, वे वास्तव में प्राचीन पुनरावर्ती कार्य हैं। यह इन कार्यों की शक्ति का एक अलग लक्षण वर्णन करता है। ट्यूरिंग-पूर्ण भाषा की तुलना में लूप भाषा की मुख्य सीमा यह है कि लूप भाषा में लूप चलने से पहले प्रत्येक लूप चलने की संख्या निर्दिष्ट होती है।

कंप्यूटर भाषा परिभाषा
प्राचीन पुनरावर्ती प्रोग्रामिंग भाषा का एक उदाहरण वह है जिसमें बुनियादी अंकगणितीय ऑपरेटर (जैसे + और -, या ADD और SUBTRACT), सशर्त और तुलना (IF-THEN, EQUALS, LESS-THAN), और परिबद्ध लूप, जैसे बुनियादी सम्मलित हैं लूप के लिए, जहां सभी लूपों के लिए ज्ञात या गणना योग्य ऊपरी सीमा होती है (FOR i FROM 1 TO n, लूप बॉडी द्वारा न तो i और न ही संशोधित किया जा सकता है)। अधिक सामान्यता की कोई नियंत्रण संरचना, जैसे कि लूप या IF-THEN प्लस GOTO, प्राचीन पुनरावर्ती भाषा में स्वीकार नहीं की जाती है।

लूप (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज), 1967 में अल्बर्ट आर. मेयर और डेनिस एम. रिची द्वारा प्रस्तुत किया गया, एक ऐसी भाषा है। इसकी कंप्यूटिंग शक्ति प्राचीन पुनरावर्ती कार्यों के साथ मेल खाती है। लूप भाषा का एक प्रकार है डगलस हॉफस्टाटर का ब्लूपी और गोडेल, एस्चेर, बाख में फ़्लूपी। अनबाउंड लूप्स (WHILE, GOTO) को जोड़ने से भाषा सामान्य पुनरावर्ती कार्य करती है और ट्यूरिंग पूर्णता | ट्यूरिंग-पूर्ण, जैसा कि सभी वास्तविक दुनिया की कंप्यूटर प्रोग्रामिंग भाषाएं हैं।

प्राचीन पुनरावर्ती कार्यों की परिभाषा का तात्पर्य है कि उनकी गणना हर इनपुट पर रुक जाती है (सीमित संख्या में चरणों के बाद)। दूसरी ओर, सामान्य पुनरावर्ती कार्यों के लिए रुकने की समस्या अनिर्णीत समस्या है, यदिवे कुल कार्य हों। यही है, ऐसे प्रोग्राम हैं जो हर इनपुट पर रुकते हैं, लेकिन जिसके लिए इसे एल्गोरिथम द्वारा सत्यापित नहीं किया जा सकता है।

फिनिटिज्म और संगति परिणाम
प्राचीन पुनरावर्ती कार्य गणितीय फ़िनिटिज़्म से निकटता से संबंधित हैं, और गणितीय तर्क में कई संदर्भों में उपयोग किए जाते हैं जहाँ विशेष रूप से रचनात्मक प्रणाली वांछित होती है। आदिम पुनरावर्ती अंकगणित (पीआरए), प्राकृतिक संख्याओं के लिए एक औपचारिक स्वयंसिद्ध प्रणाली और उन पर आदिम पुनरावर्ती कार्यों का उपयोग अधिकांशतः इस उद्देश्य के लिए किया जाता है।

पीआरए पीआनो अंकगणित की तुलना में बहुत कमजोर है, जो कि परिमित प्रणाली नहीं है। फिर भी, पीआरए में संख्या सिद्धांत और प्रूफ सिद्धांत में कई परिणाम सिद्ध किए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, गोडेल की अपूर्णता प्रमेय को निम्नलिखित प्रमेय देते हुए पीआरए में औपचारिक रूप दिया जा सकता है:
 * यदि T गोडेल वाक्य GT, के साथ कुछ परिकल्पनाओं को संतुष्ट करने वाला अंकगणित का सिद्धांत है, तो पीआरए निहितार्थ Con(T)→GT. को सिद्ध करता है।

इसी तरह, प्रूफ थ्योरी में कई सिंटैक्टिक परिणाम PRA में सिद्ध किए जा सकते हैं, जिसका अर्थ है कि आदिम पुनरावर्ती कार्य हैं जो प्रूफ के संबंधित सिंटैक्टिक ट्रांसफॉर्मेशन को अंजाम देते हैं।

प्रूफ थ्योरी और सेट थ्योरी में, फ़िनिटिस्टिक कंसिस्टेंसी प्रूफ़ में रोचकी है, अर्थात, कंसिस्टेंसी प्रूफ जो खुद फ़ाइनिस्टिक रूप से स्वीकार्य हैं। इस तरह का प्रमाण यह स्थापित करता है कि एक सिद्धांत टी की संगति का तात्पर्य एक सिद्धांत एस की संगति से है, जो एक आदिम पुनरावर्ती कार्य का निर्माण करता है, जो एस से असंगति के किसी भी प्रमाण को टी से असंगतता के प्रमाण में बदल सकता है। संगति प्रमाण के लिए एक पर्याप्त शर्त परिमित होना पीआरए में इसे औपचारिक रूप देने की क्षमता है। उदाहरण के लिए, सेट थ्योरी में कई संगति परिणाम जो कि फोर्सिंग द्वारा प्राप्त किए जाते हैं, उन्हें सिंटैक्टिक प्रूफ के रूप में पुनर्गठित किया जा सकता है जिन्हें PRA में औपचारिक रूप दिया जा सकता है।

इतिहास
पहले पुनरावर्ती परिभाषाओं का गणित में अधिक या कम औपचारिक रूप से उपयोग किया गया था, लेकिन प्राचीन पुनरावर्तन के निर्माण का पता रिचर्ड डेडेकिंड के प्रमेय 126 में लगाया गया था, जो कि सिंड अंड सोलेन डाई ज़ाहलेन था? (1888)। यह पहला काम था जिसने एक प्रमाण दिया कि एक निश्चित पुनरावर्ती निर्माण एक अद्वितीय कार्य को परिभाषित करता है।

प्राचीन पुनरावर्ती अंकगणित पहली बार 1923 में थोराल्फ़ स्कोलेम द्वारा प्रस्तावित किया गया था।।

एकरमैन द्वारा 1928 में यह प्रमाण करने के बाद कि वर्तमान शब्दावली को रोज़ा पेटर (1934) द्वारा गढ़ा गया था कि आज जिस फ़ंक्शन का नाम उनके नाम पर रखा गया है, वह आदिम पुनरावर्ती नहीं था, एक ऐसी घटना जिसने उस समय तक नाम बदलने की आवश्यकता को प्रेरित किया जिसे केवल पुनरावर्ती कार्य कहा जाता था।

यह भी देखें

 * ग्रेज़गोर्स्की पदानुक्रम
 * रिकर्सन (कंप्यूटर विज्ञान)
 * प्राचीन पुनरावर्ती कार्यात्मक
 * डबल रिकर्सन
 * प्राचीन पुनरावर्ती सेट समारोह
 * प्राचीन पुनरावर्ती क्रमिक कार्य

संदर्भ

 * Brainerd, W.S., Landweber, L.H. (1974), Theory of Computation, Wiley, ISBN 0-471-09585-0
 * Robert I. Soare, Recursively Enumerable Sets and Degrees, Springer-Verlag, 1987. ISBN 0-387-15299-7
 * Stephen Kleene (1952) Introduction to Metamathematics, North-Holland Publishing Company, New York, 11th reprint 1971: (2nd edition notes added on 6th reprint). In Chapter XI. General Recursive Functions §57
 * George Boolos, John Burgess, Richard Jeffrey (2002), Computability and Logic: Fourth Edition, Cambridge University Press, Cambridge, UK. Cf pp. 70–71.
 * Robert I. Soare 1995 Computability and Recursion http://www.people.cs.uchicago.edu/~soare/History/compute.pdf
 * Daniel Severin 2008, Unary primitive recursive functions, J. Symbolic Logic Volume 73, Issue 4, pp. 1122–1138 arXiv projecteuclid
 * Daniel Severin 2008, Unary primitive recursive functions, J. Symbolic Logic Volume 73, Issue 4, pp. 1122–1138 arXiv projecteuclid