नेगल बिंदु

[[Image:Extouch Triangle and Nagel Point.svg|thumb|325px|

]]ज्यामिति में, नागल बिंदु (ईसाई हेनरिक वॉन नागल के नाम पर) एक त्रिभुज केंद्र है, जो दिए गए त्रिकोण से जुड़े बिंदुओं में से एक है, जिसकी परिभाषा त्रिभुज के स्थान या पैमाने पर निर्भर नहीं करती है। यह त्रिभुज के तीनों विखंडन (ज्यामिति) की समवर्ती रेखाओं का बिंदु है।

निर्माण
एक त्रिकोण दिया $△ABC$, होने देना $TA, TB, TC$ एक्सटच त्रिकोण हो जिसमें द $\overline{AT}A, \overline{BT}B, \overline{CT}C$-excircle रेखा से मिलता है $N$, द $TA, TB, TC$-excircle रेखा से मिलता है $A$, और यह $BC$-excircle रेखा से मिलता है $B$, क्रमश। रेखाएं $CA$ नागल बिंदु में समवर्ती रेखाएँ $C$ त्रिभुज का $△ABC$.

बिंदु का एक और निर्माण $AB$ को शुरू करना है $ATA, BTB, CTC$ और त्रिकोण के चारों ओर ट्रेस करें $△TATBTC$ अर्द्धपरिधि, और इसी तरह के लिए $N$ और $TA$. इस निर्माण के कारण, नागल बिंदु को कभी-कभी समद्विभाजित परिधि बिंदु और खंड भी कहा जाता है $A$ को त्रिभुज का विभाजक (ज्यामिति) कहा जाता है।

नागल बिंदु का एक आसान निर्माण मौजूद है। एक त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष से शुरू होकर, यह विपरीत किनारे की लंबाई से दोगुनी लंबाई ले जाने के लिए पर्याप्त है। हम तीन रेखाएँ प्राप्त करते हैं जो नागल बिंदु पर मिलती हैं।



अन्य त्रिकोण केन्द्रों से संबंध
नागल बिंदु गेरगोन बिंदु का समस्थानिक संयुग्म है। नागल बिंदु, केन्द्रक और अंतःकेंद्र एक रेखा पर संरेख होते हैं जिसे नागल रेखा कहा जाता है। मध्य मध्य त्रिकोण का नागल बिंदु है; समतुल्य रूप से, नागल बिंदु प्रतिपूरक त्रिभुज का अंत:केंद्र है। किसी त्रिभुज का मिश्रित रेखीय अंतःवृत्त, मिश्रित रैखिक स्पर्श बिंदु और विपरीत शीर्ष को मिलाने वाली रेखाओं का संगामिति बिंदु होता है।

बैरीसेंट्रिक निर्देशांक
नागल बिंदु की गैर-सामान्यीकृत बैरीसेंट्रिक समन्वय प्रणाली हैं $$ (s-a:s-b:s-c) $$ कहाँ $$s = \tfrac{a+b+c}{2}$$ संदर्भ त्रिभुज की अर्ध-परिधि है $△ABC$.

ट्रिलिनियर निर्देशांक
नागल बिंदु के त्रिरेखीय निर्देशांक हैं जैसा


 * $$\csc^2\left(\frac{A}{2}\right)\,:\,\csc^2\left(\frac{B}{2}\right)\,:\,\csc^2\left(\frac{C}{2}\right)$$

या, समतुल्य, पक्ष की लंबाई के संदर्भ में $$a=\left|\overline{BC}\right|, b=\left|\overline{CA}\right|, c=\left|\overline{AB}\right|,$$
 * $$\frac{b + c - a}{a}\,:\,\frac{c + a - b}{b}\,:\,\frac{a + b - c}{c}.$$

इतिहास
नागल बिंदु का नाम उन्नीसवीं सदी के जर्मन गणितज्ञ क्रिश्चियन हेनरिक वॉन नागल के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1836 में इसके बारे में लिखा था। इस बिंदु के अध्ययन में प्रारंभिक योगदान अगस्त लियोपोल्ड क्रेले और कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी द्वारा भी किया गया था।

यह भी देखें

 * मैंडार्ट इनलिप्से
 * त्रिविभाजित परिधि बिंदु

बाहरी संबंध

 * Nagel Point from Cut-the-knot
 * Nagel Point, Clark Kimberling
 * Spieker Conic and generalization of Nagel line at Dynamic Geometry Sketches Generalizes Spieker circle and associated Nagel line.
 * Spieker Conic and generalization of Nagel line at Dynamic Geometry Sketches Generalizes Spieker circle and associated Nagel line.

Cercles inscrit et exinscrits d'un triangle