संख्यात्मक विभेदन

संख्यात्मक विश्लेषण में, संख्यात्मक विभेदन कलन विधि फ़ंक्शन के मूल्यों और शायद फ़ंक्शन के बारे में अन्य ज्ञान का उपयोग करके गणितीय फ़ंक्शन या फ़ंक्शन सबरूटीन के व्युत्पन्न का अनुमान लगाते हैं।



परिमित अंतर
सबसे सरल विधि परिमित अंतर सन्निकटन का उपयोग करना है।

एक सरल दो-बिंदु अनुमान बिंदुओं (x, f(x)) और (x + h, f (x + h)) के माध्यम से पास की छेदक रेखा के ढलान की गणना करना है। एक छोटी संख्या h चुनना, h x में एक छोटे परिवर्तन को दर्शाता है, और यह या तो सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है। इस रेखा का ढलान है
 * $$\frac{f(x + h) - f(x)}{h}.$$

यह अभिव्यक्ति आइजैक न्यूटन का अंतर भागफल है (जिसे प्रथम-क्रम विभाजित अंतर के रूप में भी जाना जाता है)।

इस छेदक रेखा का ढलान स्पर्शरेखा रेखा के ढलान से उस मात्रा में भिन्न होता है जो लगभग h के समानुपाती होता है। जैसे-जैसे h शून्य के करीब पहुंचता है, छेदक रेखा का ढलान स्पर्शरेखा रेखा के ढलान के करीब पहुंचता है। इसलिए, 'f' 'at' 'x' का वास्तविक 'व्युत्पन्न अंतर भागफल के मान की सीमा है क्योंकि छेदक रेखाएं एक स्पर्श रेखा होने के करीब और करीब आती हैं:
 * $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}.$$

चूँकि h के स्थान पर तुरंत प्रतिस्थापन (तर्क) 0 का परिणाम आता है $$\frac{0}{0}$$ अनिश्चित रूप, सीधे व्युत्पन्न की गणना करना सहज ज्ञान युक्त नहीं हो सकता है।

समान रूप से, ढलान का अनुमान पदों (x - h) और x का उपयोग करके लगाया जा सकता है।

एक अन्य दो-बिंदु सूत्र बिंदुओं (x - h, f(x - h)) और (x + h, f (x + h)) के माध्यम से पास की छेदक रेखा के ढलान की गणना करना है। इस रेखा का ढलान है
 * $$\frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h}.$$

इस सूत्र को सममित अंतर भागफल के रूप में जाना जाता है। इस मामले में प्रथम-क्रम त्रुटियाँ रद्द हो जाती हैं, इसलिए इन छेदक रेखाओं का ढलान स्पर्शरेखा रेखा के ढलान से उस मात्रा में भिन्न होता है जो लगभग आनुपातिक होता है $$h^2$$. इसलिए h के छोटे मानों के लिए यह एकतरफा अनुमान की तुलना में स्पर्शरेखा रेखा का अधिक सटीक अनुमान है। हालाँकि, हालांकि ढलान की गणना x पर की जा रही है, x पर फ़ंक्शन का मान शामिल नहीं है।

अनुमान त्रुटि द्वारा दिया गया है


 * $$R = \frac{-f^{(3)}(c)}{6} h^2$$,

कहाँ $$c$$ के बीच कुछ बिंदु है $$x - h$$ और $$x + h$$. संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने और सीमित परिशुद्धता में गणना किए जाने के कारण इस त्रुटि में पूर्णांकन त्रुटि शामिल नहीं है।

सममित अंतर भागफल को TI-82, TI-83, TI-84, TI-85 सहित कई कैलकुलेटरों में व्युत्पन्न का अनुमान लगाने की विधि के रूप में नियोजित किया जाता है, जो सभी h = 0.001 के साथ इस विधि का उपयोग करते हैं।

चरण आकार
व्यवहार में एक महत्वपूर्ण विचार जब फ़ंक्शन की गणना परिमित परिशुद्धता के फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित का उपयोग करके की जाती है, तो चरण आकार का विकल्प होता है, एच। यदि बहुत छोटा चुना जाता है, तो घटाव में बड़ी गोलाई त्रुटि उत्पन्न होगी। वास्तव में, सभी परिमित-अंतर सूत्र असंबद्ध हैं और यदि h काफी छोटा है तो रद्दीकरण के कारण शून्य का मान उत्पन्न होगा। यदि बहुत बड़ा है, तो छेदक रेखा के ढलान की गणना अधिक सटीक रूप से की जाएगी, लेकिन छेदक का उपयोग करके स्पर्शरेखा के ढलान का अनुमान बदतर हो सकता है। बुनियादी केंद्रीय अंतरों के लिए, इष्टतम चरण मशीन ईपीएसलॉन का क्यूब-रूट है। x और x + h पर मूल्यांकित संख्यात्मक व्युत्पन्न सूत्र के लिए, h के लिए एक विकल्प जो बड़ी गोलाई त्रुटि उत्पन्न किए बिना छोटा है $$\sqrt{\varepsilon} x$$ (हालांकि तब नहीं जब x = 0), जहां मशीन ईपीएसलॉन ε आम तौर पर 2.2 के क्रम का होता है दोहरी परिशुद्धता के लिए। एच के लिए एक सूत्र जो इष्टतम सटीकता के लिए सेकेंट त्रुटि के विरुद्ध गोलाई त्रुटि को संतुलित करता है
 * $$h = 2\sqrt{\varepsilon\left|\frac{f(x)}{f''(x)}\right|}$$

(हालांकि कब नहीं $$f''(x) = 0$$), और इसे नियोजित करने के लिए फ़ंक्शन के ज्ञान की आवश्यकता होगी।

कंप्यूटर गणनाओं के लिए समस्याएँ और भी बढ़ जाती हैं क्योंकि, हालाँकि x आवश्यक रूप से कुछ परिशुद्धता (32 या 64-बिट, आदि) में एक प्रतिनिधित्व योग्य फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्या रखता है, x + h लगभग निश्चित रूप से उस परिशुद्धता में बिल्कुल प्रतिनिधित्व करने योग्य नहीं होगा। इसका मतलब यह है कि x + h को पास की मशीन-प्रतिनिधित्व योग्य संख्या में (गोल या काट-छाँट करके) बदल दिया जाएगा, जिसके परिणामस्वरूप (x + h) − x, h के बराबर नहीं होगा; दो फ़ंक्शन मूल्यांकन बिल्कुल अलग नहीं होंगे। इस संबंध में, चूंकि अधिकांश दशमलव अंश बाइनरी में आवर्ती अनुक्रम होते हैं (जैसे 1/3 दशमलव में होता है) एक प्रतीत होता है कि गोल चरण जैसे कि h = 0.1 बाइनरी में एक गोल संख्या नहीं होगी; यह 0.000110011001100 है...2 एक संभावित दृष्टिकोण इस प्रकार है: h := sqrt(eps) * x; एक्सपीएच := एक्स + एच; dx := xph - x; ढलान := (F(xph) - F(x)) / dx; हालाँकि, कंप्यूटर के साथ, कंपाइलर अनुकूलन सुविधाएं वास्तविक कंप्यूटर अंकगणित के विवरण में भाग लेने में विफल हो सकती हैं और इसके बजाय यह अनुमान लगाने के लिए गणित के सिद्धांतों को लागू करती हैं कि dx और h समान हैं। सी (प्रोग्रामिंग भाषा) और समान भाषाओं के साथ, एक निर्देश कि xph एक अस्थिर चर है, इसे रोक देगा।

उच्च-क्रम विधियाँ
व्युत्पन्न का अनुमान लगाने के लिए उच्च-क्रम विधियाँ, साथ ही उच्च व्युत्पन्न के लिए विधियाँ मौजूद हैं।

पहले व्युत्पन्न (एक आयाम में पांच-बिंदु स्टैंसिल) के लिए पांच-बिंदु विधि नीचे दी गई है:
 * $$f'(x) = \frac{-f(x + 2h) + 8 f(x + h) - 8 f(x - h) + f(x - 2h)}{12h} + \frac{h^4}{30} f^{(5)}(c),$$

कहाँ $$c \in [x - 2h, x + 2h]$$.

अन्य स्टैंसिल कॉन्फ़िगरेशन और व्युत्पन्न आदेशों के लिए, परिमित अंतर गुणांक कैलकुलेटर एक उपकरण है जिसका उपयोग किसी भी व्युत्पन्न क्रम के साथ किसी भी स्टैंसिल के लिए व्युत्पन्न सन्निकटन विधियों को उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है (बशर्ते कोई समाधान मौजूद हो)।

उच्चतर डेरिवेटिव
न्यूटन के अंतर भागफल का उपयोग करते हुए,


 * $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$

निम्नलिखित दिखाया जा सकता है (n>0 के लिए):


 * $$f^{(n)}(x) = \lim_{h\to 0} \frac{1}{h^n} \sum_{k=0}^n (-1)^{k+n} \binom{n}{k} f(x + kh)$$

जटिल-परिवर्तनीय विधियाँ
संख्यात्मक विभेदन के लिए शास्त्रीय परिमित-अंतर सन्निकटन ख़राब स्थिति वाले हैं। हालांकि, यदि $$f$$ एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन है, जो वास्तविक रेखा पर वास्तविक-मूल्यवान है, जिसका मूल्यांकन पास के जटिल विमान में बिंदुओं पर किया जा सकता है $$x$$, फिर संख्यात्मक स्थिरता विधियाँ हैं। उदाहरण के लिए, पहले व्युत्पन्न की गणना जटिल-चरण व्युत्पन्न सूत्र द्वारा की जा सकती है:
 * $$f^\prime(x) = \frac{\Im(f(x + \mathrm{i}h))}{h} + O(h^2), \quad \mathrm{i^2}:=-1.$$

विभिन्न स्थितियों के लिए सटीक डेरिवेटिव प्राप्त करने के लिए अनुशंसित चरण आकार है $$h = 10^{-200}$$. यह सूत्र टेलर श्रृंखला विस्तार द्वारा प्राप्त किया जा सकता है:


 * $$f(x+\mathrm{i}h) = f(x)+\mathrm{i}hf^\prime(x)-h^2f''(x)/2!-\mathrm{i}h^3f^{(3)}(x)/3!+\cdots.$$

जटिल-चरण व्युत्पन्न सूत्र केवल प्रथम-क्रम व्युत्पन्न की गणना के लिए मान्य है। किसी भी क्रम के डेरिवेटिव की गणना के लिए उपरोक्त का सामान्यीकरण मल्टीकॉम्प्लेक्स संख्याएँ को नियोजित करता है, जिसके परिणामस्वरूप मल्टीकॉम्प्लेक्स डेरिवेटिव होते हैं।
 * $$f^{(n)}(x) \approx \frac{\mathcal{C}^{(n)}_{n^2-1}(f(x + \mathrm{i}^{(1)} h + \ldots + \mathrm{i}^{(n)} h))}{h^n}$$

जहां $$\mathrm{i}^{(k)}$$ मल्टीकॉम्प्लेक्स काल्पनिक इकाइयों को निरूपित करें; $$\mathrm{i}^{(1)} \equiv \mathrm{i}$$. $$\mathcal{C}^{(n)}_k$$ h> ऑपरेटर निकालता है $$k$$स्तर के एक बहुसंकेतन संख्या का वां घटक $$n$$, जैसे, $$\mathcal{C}^{(n)}_0$$ वास्तविक घटक निकालता है और $$\mathcal{C}^{(n)}_{n^2-1}$$ अंतिम, "सबसे काल्पनिक" घटक निकालता है। इस विधि को मिश्रित डेरिवेटिव पर लागू किया जा सकता है, जैसे दूसरे क्रम के व्युत्पन्न के लिए


 * $$\frac{\partial^2 f(x, y)}{\partial x \,\partial y} \approx \frac{\mathcal{C}^{(2)}_3(f(x + \mathrm{i}^{(1)} h, y + \mathrm{i}^{(2)} h))}{h^2}$$

मल्टीकॉम्प्लेक्स अंकगणित का C++ कार्यान्वयन उपलब्ध है। सामान्य तौर पर, किसी भी क्रम के व्युत्पन्न की गणना कॉची के अभिन्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:
 * $$f^{(n)}(a) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)}{(z - a)^{n+1}} \,\mathrm{d}z,$$

जहां एकीकरण संख्यात्मक एकीकरण किया जाता है।

संख्यात्मक विभेदन के लिए जटिल चर का उपयोग 1967 में लिनेस और मोलर द्वारा शुरू किया गया था। उनका एल्गोरिदम उच्च-क्रम डेरिवेटिव पर लागू होता है।

जटिल लाप्लास परिवर्तन के संख्यात्मक व्युत्क्रम पर आधारित एक विधि एबेट और डबनेर द्वारा विकसित की गई थी। एक एल्गोरिदम जिसका उपयोग विधि या फ़ंक्शन के चरित्र के बारे में ज्ञान की आवश्यकता के बिना किया जा सकता है, फोर्नबर्ग द्वारा विकसित किया गया था।

विभेदक चतुर्भुज
विभेदक चतुर्भुज फ़ंक्शन मानों के भारित योग का उपयोग करके डेरिवेटिव का अनुमान है। विभेदक चतुर्भुज व्यावहारिक रुचि का है क्योंकि यह किसी को शोर वाले डेटा से डेरिवेटिव की गणना करने की अनुमति देता है। नाम चतुर्भुज के अनुरूप है, जिसका अर्थ है संख्यात्मक एकीकरण, जहां भारित रकम का उपयोग सिम्पसन की विधि या ट्रेपेज़ॉइडल नियम जैसी विधियों में किया जाता है। वज़न गुणांक निर्धारित करने के लिए विभिन्न विधियाँ हैं, उदाहरण के लिए, सविट्ज़की-गोले फ़िल्टर। आंशिक अवकल समीकरणों को हल करने के लिए विभेदक चतुर्भुज का उपयोग किया जाता है। शोर वाले डेटा से डेरिवेटिव की गणना के लिए और भी तरीके हैं।

यह भी देखें

 * संख्यात्मक-विश्लेषण सॉफ्टवेयर की सूची
 * संख्यात्मक-विश्लेषण सॉफ्टवेयर की सूची
 * संख्यात्मक-विश्लेषण सॉफ्टवेयर की सूची
 * संख्यात्मक-विश्लेषण सॉफ्टवेयर की सूची
 * संख्यात्मक-विश्लेषण सॉफ्टवेयर की सूची
 * संख्यात्मक-विश्लेषण सॉफ्टवेयर की सूची
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बाहरी संबंध

 * Numerical Differentiation from wolfram.com
 * Numerical Differentiation Resources: Textbook notes, PPT, Worksheets, Audiovisual YouTube Lectures at Numerical Methods for STEM Undergraduate
 * Fortran code for the numerical differentiation of a function using Neville's process to extrapolate from a sequence of simple polynomial approximations.
 * NAG Library numerical differentiation routines
 * http://graphulator.com Online numerical graphing calculator with calculus function.
 * Boost. Math numerical differentiation, including finite differencing and the complex step derivative
 * Complex Step Differentiation
 * Differentiation With(out) a Difference by Nicholas Higham, SIAM News.
 * findiff Python project