वैन डेर पोल ऑसिलेटर

गतिशील प्रणालियों के अध्ययन में, वैन डेर पोल ऑसिलेटर (डच भौतिक विज्ञानी बल्थाजार वैन डेर पोल के नाम पर) एक गैर-रूढ़िवादी बल है, जो गैर-रैखिक दोलन प्रणाली है। यह दूसरे क्रम के अंतर समीकरण के अनुसार समय के साथ विकसित होता है $${d^2x \over dt^2} - \mu(1-x^2){dx \over dt} + x = 0, $$ जहां $x$ स्थिति निर्देशांक है - जो समय $t$ का एक कार्य है - और $μ$ एक अदिश पैरामीटर है जो गैर-रैखिकता और अवमंदन की ताकत को दर्शाता है।



इतिहास
वैन डेर पोल ऑसिलेटर मूल रूप से डच विद्युत अभियन्त्रण और भौतिक विज्ञानी बलथासर वैन डेर पोल द्वारा प्रस्तावित किया गया था जब वह फिलिप्स में काम कर रहे थे। वैन डेर पोल ने स्थिर दोलन पाया गया, जिसे उन्होंने बाद में रिलैक्सेशन ऑसिलेटर या रिलैक्सेशन-ऑसिलेशन कहा गया था और अब वेक्यूम - ट्यूब को नियोजित करने वाले विद्युत परिपथों में एक प्रकार के सीमा चक्र के रूप में जाना जाता है। जब इन परिपथों को सीमा चक्र के पास चलाया जाता है, तो वे एंट्रेंस (भौतिकी) बन जाते हैं, अथार्त ड्राइविंग सिग्नल (इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग) धारा को अपने साथ खींच लेते हैं। वैन डेर पोल और उनके सहयोगी, वैन डेर मार्क ने प्रकृति (पत्रिका) के सितंबर 1927 के अंक में बताया कि निश्चित ड्राइव आवृत्ति पर एक अनियमित ध्वनि (इलेक्ट्रॉनिक) सुना गया था, जो बाद में अराजकता सिद्धांत का परिणाम पाया गया था।

वैन डेर पोल समीकरण का भौतिक विज्ञान और जीव विज्ञान दोनों में उपयोग किए जाने का एक लंबा इतिहास रहा है। उदाहरण के लिए, जीव विज्ञान में, फ़ित्ज़ुघ और नागुमो न्यूरॉन्स की कार्य क्षमता के मॉडल के रूप में एक समतल क्षेत्र में समीकरण का विस्तार किया। समीकरण का उपयोग भूकंप विज्ञान में भूगर्भीय दोष में दो प्लेटों को मॉडल करने के लिए किया गया है, और दाएं और बाएं वोकल फोल्ड ऑसिलेटर्स को मॉडल करने के लिए स्वर उत्पादन के अध्ययन में भी किया गया है। ।

द्विविम रूप
लियोनार्ड के प्रमेय का उपयोग यह सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है कि प्रणाली में एक सीमा चक्र है। लीनार्ड परिवर्तन को प्रयुक्त करना $$y = x - x^3/3 - \dot x/\mu$$, जहां डॉट समय व्युत्पन्न इंगित करता है, वैन डेर पोल ऑसीलेटर को इसके द्वि-आयामी रूप में लिखा जा सकता है:
 * $$\dot x = \mu \left(x-\tfrac{1}{3}x^3-y\right)$$
 * $$\dot y = \frac{1}{\mu} x$$.

परिवर्तन के आधार पर एक और सामान्यतः उपयोग किया जाने वाला रूप $$y = \dot x $$ ओर जाता है:
 * $$\dot x = y$$
 * $$\dot y = \mu(1-x^2) y-x$$.

सहज ऑसिलेटर के लिए परिणाम
\frac{d^2x}{dt^2} + x = 0. $$यह लयबद्ध दोलक का एक रूप है, और सदैव ऊर्जा का संरक्षण होता है।
 * जब $μ = 0$, अर्थात कोई अवमंदन फलन नहीं है, समीकरण बन जाता है $$

T = \frac{2\pi}{1- \mu^2/16 + 17 \mu^4/3072 + O(\mu^6)}.$$ \dot x = \mu \left(x-\frac{1}{3}x^3-y\right) \! , \quad \dot y = \frac{1}{\mu} x. $$ इस रूप में, दोलक एक चक्र इस प्रकार पूरा करता है: T = 2\int dt = 2\int \mu\frac{dy}{x} = 2\mu \int_2^1\frac{dy}{dx} \frac{dx}{x} = (3-2\ln 2)\mu $$ चक्र की अवधि के उच्च क्रम है $$ T = (3-2\ln 2)\mu + 3\alpha \mu^{-1/3} - \frac{23}{\mu^{-1}} \ln \mu+ O (\ln \mu^{-1}). $$ जहाँ $μ > 0$ की सबसे छोटी जड़ है $f(x)$, जहाँ $(2, –2/3)$ ऐरी कार्य है। (धारा 9.7 ) ( एक व्युत्पत्ति सम्मिलित है, किंतु $(1, 2/3)$ से $(1, 2/3)$ की गलत छाप है।)
 * जब $(–2, 2/3)$, सभी प्रारंभिक स्थितियाँ विश्व स्तर पर अद्वितीय सीमा चक्र में परिवर्तित हो जाती हैं। उत्पत्ति के पास $$x = \tfrac{dx}{dt} = 0,$$ प्रणाली अस्थिर है, और मूल से बहुत दूर, प्रणाली अवमंदित है।
 * वैन डेर पोल ऑसिलेटर के पास स्पष्ट, विश्लेषणात्मक समाधान नहीं है। चूँकि ऐसा समाधान सीमा चक्र के लिए उपस्थित है यदि $α ≈ 2.338$ रेखीय समीकरण में एक स्थिर टुकड़ा वार कार्य है।
 * छोटी अवधि $&mu;$ का श्रृंखला विस्तार है $$
 * क्रम 2 तक व्युत्पत्ति के लिए पोंकारे-लिंडस्टेड विधि देखें। क्रम 3 तक की व्युत्पत्ति के लिए का अध्याय 10 देखें, और क्रम 164 तक संख्यात्मक व्युत्पत्ति के लिए देखें।
 * बड़े के लिए $x$, ऑसिलेटर के व्यवहार में एक धीमी बिल्डअप, तेजी से रिलीज चक्र (तनाव के निर्माण और तनाव को मुक्त करने का एक चक्र, इस प्रकार एक विश्राम दोलन) होता है। यह रूप में सबसे आसानी से देखा जाता है $$
 * घन वक्र की दाहिनी शाखा पर धीरे-धीरे चढ़ना $$y = x - \tfrac{x^3}{3},$$ से $Ai(–&alpha;) = 0$ को $Ai$.
 * तेजी से घनीय वक्र की बाईं शाखा की ओर बढ़ रहा है, से $3&alpha;$ को $2&alpha;$.
 * बायीं शाखा पर दो चरणों को दोहराएं।
 * चक्र की अवधि में अग्रणी शब्द धीरे-धीरे आरोही और अवरोही होने के कारण है, जिसकी गणना इस प्रकार की जा सकती है:$$
 * चक्र का आयाम है $$2 +\frac \alpha 3 \mu^{-4/3} - \frac{16}{27}\mu^{-2} \ln \mu + O(\mu^{-2})$$

हॉप द्विभाजन
जैसा $μ$ शून्य से कम से शून्य से अधिक की ओर बढ़ता है, मूल रूप से स्पाइरल सिंक एक स्पाइरल स्रोत बन जाता है, और त्रिज्या दो के साथ नीले रंग से एक सीमा चक्र प्रकट होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि संक्रमण सामान्य नहीं है: जब $&epsilon; = 0$, दोनों अंतर समीकरण रैखिक हो जाते हैं, और मूल एक गोलाकार नोड बन जाता है।

यह जानते हुए कि हॉफ द्विभाजन में, सीमा चक्र का आकार होना चाहिए $$\propto \varepsilon^{1/2},$$ हम चरों के परिवर्तन का उपयोग करके इसे हॉफ द्विभाजन में बदलने का प्रयास कर सकते हैं $$u = \varepsilon^{1/2} x,$$ जो देता है$$\ddot{u}+u+u^2 \dot{u}-\varepsilon \dot{u}=0$$यह वास्तव में एक हॉफ द्विभाजन है।

वैन डेर पोल ऑसिलेटर के लिए हैमिल्टनियन
वैन डेर पोल ऑसिलेटर के लिए एक समय-स्वतंत्र हैमिल्टनियन प्रणाली औपचारिकता भी लिख सकता है, इसे एक चार-आयामी स्वायत्त गतिशील प्रणाली में एक सहायक द्वितीय-क्रम गैर-रैखिक अंतर समीकरण का उपयोग करके निम्न प्रकार से बढ़ाया जा सकता है:


 * $$\ddot{x}-\mu(1-x^2)\dot{x}+x=0,$$
 * $$\ddot{y}+\mu(1-x^2)\dot{y}+y=0.$$

ध्यान दें कि एक्स और वाई चर के समय-विकास के बीच एक तरफा युग्मन के कारण मूल वैन डेर पोल ऑसीलेटर की गतिशीलता प्रभावित नहीं होती है। समीकरणों की इस प्रणाली के लिए हैमिल्टनियन एच दिखाया जा सकता है
 * $$H(x,y,p_x,p_y)=p_xp_y+xy-\mu(1-x^2)yp_y, $$

जहाँ $$p_x=\dot{y} + \mu(1-x^2)y$$ और $$p_y=\dot{x}$$ क्रमशः एक्स और वाई के संगत विहित निर्देशांक हैं। यह, सिद्धांत रूप में, वैन डेर पोल ऑसिलेटर के परिमाणीकरण का कारण बन सकता है। ऐसा हैमिल्टनियन भी जोड़ता है सीमा चक्र प्रणाली का ज्यामितीय चरण संबंधित हैमिल्टनियन प्रणाली के हन्ने कोण के साथ समय पर निर्भर पैरामीटर है।

क्वांटम ऑसिलेटर
क्वांटम वैन डेर पोल ऑसिलेटर, जो मौलिक वैन डेर पोल ऑसिलेटर का क्वांटम यांत्रिकी संस्करण है जिसको इसकी क्वांटम गतिकी और क्वांटम तुल्यकालन का अध्ययन करने के लिए लिंडब्लैड समीकरण का उपयोग करके प्रस्तावित किया गया है। ध्यान दें कि उपरोक्त हैमिल्टनियन दृष्टिकोण एक सहायक द्वितीय-क्रम समीकरण के साथ असीमित चरण-स्थान प्रक्षेपवक्र उत्पन्न करता है और इसलिए वैन डेर पोल ऑसिलेटर को परिमाणित करने के लिए उपयोग नहीं किया जा सकता है। अशक्त अरेखीयता की सीमा में (अथार्त μ→0) वैन डेर पोल ऑसिलेटर स्टुअर्ट-लैंडौ समीकरण को कम कर देता है। स्टुअर्ट-लैंडौ समीकरण वास्तव में अशक्त -गैर-रैखिक सीमा में सीमा-चक्र दोलक की एक पूरी कक्षा का वर्णन करता है। मौलिक स्टुअर्ट-लैंडौ समीकरण का रूप बहुत सरल है, और संभवतः आश्चर्यजनक रूप से नहीं है लिंडब्लाड समीकरण द्वारा परिमाणित किया जा सकता है जो वैन डेर पोल ऑसिलेटर के लिए लिंडब्लैड समीकरण से भी सरल है। क्वांटम स्टुअर्ट-लैंडौ मॉडल ने क्वांटम तुल्यकालन के अध्ययन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई है (जहां इसे अधिकांशतः वैन डेर पोल ऑसिलेटर कहा जाता है, चूँकि यह वैन डेर पोल ऑसिलेटर के साथ विशिष्ट रूप से जुड़ा नहीं हो सकता है)। मौलिक स्टुअर्ट-लैंडौ मॉडल (μ→0) और अधिक सामान्य सीमा-चक्र ऑसिलेटर्स (इच्छानुसार μ) के बीच संबंध को भी संबंधित क्वांटम मॉडल में संख्यात्मक रूप से प्रदर्शित किया गया है।

विवश वैन डेर पोल ऑसिलेटर
विवश, या संचालित, वैन डेर पोल ऑसिलेटर 'मूल' फलन लेता है और फॉर्म का एक अंतर समीकरण देने के लिए एक ड्राइविंग फलन $Asin(ωt)$ जोड़ता है:


 * $${d^2x \over dt^2}-\mu(1-x^2){dx \over dt}+x-A \sin(\omega t)= 0,$$

जहाँ $&mu;$ तरंग समीकरण का आयाम, या विस्थापन (वेक्टर) है और $&mu;$ इसका कोणीय वेग है।

लोकप्रिय संस्कृति
लेखक जेम्स ग्लीक ने 1987 की कैओस: मेकिंग ए न्यू साइंस से अपनी पुस्तक में एक वैक्यूम ट्यूब वैन डेर पोल ऑसिलेटर का वर्णन किया गया था। न्यूयॉर्क टाइम्स के एक लेख के अनुसार, ग्लीक ने 1988 में एक पाठक से एक आधुनिक इलेक्ट्रॉनिक वैन डेर पोल ऑसिलेटर प्राप्त किया।

यह भी देखें

 * मैरी कार्टराईट, ब्रिटिश गणितज्ञ, नियतात्मक अराजकता के सिद्धांत का अध्ययन करने वाले पहले लोगों में से एक, विशेष रूप से इस ऑसिलेटर पर प्रयुक्त है।

बाहरी संबंध

 * वैन डेर पोल oscillator on Scholarpedia
 * Van Der Pol Oscillator Interactive Demonstrations
 * Van Der Pol Oscillator Interactive Demonstrations