अभिलक्षण फलन (संभावना सिद्धांत)

संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, किसी भी वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर का विशिष्ट कार्य पूरी तरह से इसकी संभाव्यता वितरण को परिभाषित करता है। यदि कोई यादृच्छिक चर संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन को स्वीकार करता है, तो विशेषता फ़ंक्शन संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण है। इस प्रकार यह संभाव्यता घनत्व कार्यों या संचयी वितरण कार्यों के साथ सीधे काम करने की तुलना में विश्लेषणात्मक परिणामों के लिए एक वैकल्पिक मार्ग प्रदान करता है। यादृच्छिक चर के भारित योग द्वारा परिभाषित वितरण के विशिष्ट कार्यों के लिए विशेष रूप से सरल परिणाम हैं।

अविभाज्य वितरण के अलावा, विशेषता कार्यों को वेक्टर- या मैट्रिक्स-मूल्यवान यादृच्छिक चर के लिए परिभाषित किया जा सकता है, और इसे अधिक सामान्य मामलों तक भी बढ़ाया जा सकता है।

क्षण-उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन के विपरीत, वास्तविक-मूल्य वाले तर्क के फ़ंक्शन के रूप में व्यवहार किए जाने पर विशेषता फ़ंक्शन हमेशा मौजूद रहता है। वितरण के विशिष्ट कार्य के व्यवहार और वितरण के गुणों के बीच संबंध होते हैं, जैसे क्षणों का अस्तित्व और घनत्व फ़ंक्शन का अस्तित्व।

परिचय
विशेषता फ़ंक्शन एक यादृच्छिक चर का वर्णन करने का एक तरीका है। विशेषता कार्य,
 * $$   \varphi_X(t) = \operatorname{E} \left [ e^{itX} \right ],$$

टी का एक कार्य, यादृच्छिक चर X के संभाव्यता वितरण के व्यवहार और गुणों को पूरी तरह से निर्धारित करता है। विशेषता फ़ंक्शन संचयी वितरण फ़ंक्शन के समान है,
 * $$F_X(x) = \operatorname{E} \left [\mathbf{1}_{\{X\leq x\}} \right]$$

(जहाँ 1{X ≤ x} सूचक फ़ंक्शन है - यह 1 के बराबर है जब X ≤ x, और शून्य अन्यथा), जो यादृच्छिक चर यादृच्छिक चर की विशेषताओं को समझने के लिए विभिन्न अंतर्दृष्टि प्रदान करें। इसके अलावा, विशेष मामलों में, इसमें अंतर हो सकता है कि क्या इन कार्यों को सरल मानक कार्यों से जुड़े अभिव्यक्तियों के रूप में दर्शाया जा सकता है।

यदि एक यादृच्छिक चर एक संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन को स्वीकार करता है, तो विशेषता फ़ंक्शन इसकी द्वंद्व (गणित) है, इस अर्थ में कि उनमें से प्रत्येक दूसरे का फूरियर रूपांतरण है। यदि किसी यादृच्छिक चर में क्षण-उत्पन्न करने वाला कार्य होता है $$M_X(t)$$, तो विशेषता फ़ंक्शन के डोमेन को जटिल विमान तक बढ़ाया जा सकता है, और


 * $$   \varphi_X(-it) = M_X(t). $$

हालाँकि, ध्यान दें कि वितरण का विशिष्ट कार्य हमेशा मौजूद रहता है, तब भी जब संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन या क्षण-उत्पन्न फ़ंक्शन मौजूद नहीं होता है।

विशेषता फ़ंक्शन दृष्टिकोण स्वतंत्र यादृच्छिक चर के रैखिक संयोजनों के विश्लेषण में विशेष रूप से उपयोगी है: केंद्रीय सीमा प्रमेय का एक शास्त्रीय प्रमाण विशेषता कार्यों और लेवी की निरंतरता प्रमेय का उपयोग करता है। एक अन्य महत्वपूर्ण अनुप्रयोग यादृच्छिक चर के अविभाज्य वितरण के सिद्धांत का है।

परिभाषा
एक अदिश यादृच्छिक चर X के लिए 'विशेषता फलन' को e के अपेक्षित मान के रूप में परिभाषित किया गया हैitX, जहां i काल्पनिक इकाई है, और t ∈ R विशेषता फ़ंक्शन का तर्क है:


 * $$\begin{cases} \displaystyle \varphi_X\!:\mathbb{R}\to\mathbb{C} \\ \displaystyle \varphi_X(t) = \operatorname{E}\left[e^{itX}\right] = \int_{\mathbb{R}} e^{itx}\,dF_X(x) = \int_{\mathbb{R}} e^{itx} f_X(x)\,dx = \int_0^1 e^{it Q_X(p)}\,dp \end{cases}$$

यहां एफXX, f का संचयी वितरण फलन हैXसंगत संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन, Q हैX(पी) संगत व्युत्क्रम संचयी वितरण फ़ंक्शन है जिसे मात्रात्मक कार्य भी कहा जाता है, और इंटीग्रल रीमैन-स्टिल्टजेस इंटीग्रल|रीमैन-स्टिल्टजेस प्रकार के हैं। यदि एक यादृच्छिक चर. विशेषता फ़ंक्शन की परिभाषा में दिखाई देने वाले स्थिरांक के लिए यह परिपाटी फूरियर रूपांतरण के लिए सामान्य परिपाटी से भिन्न है। उदाहरण के लिए, कुछ लेखक परिभाषित करना, जो मूलतः पैरामीटर का परिवर्तन है। साहित्य में अन्य संकेतन का सामना किया जा सकता है: संभाव्यता माप पी के लिए विशेषता फ़ंक्शन के रूप में, या  घनत्व एफ के अनुरूप विशेषता कार्य के रूप में।

सामान्यीकरण
विशिष्ट कार्यों की धारणा यादृच्छिक चर और अधिक जटिल यादृच्छिक तत्वों को बहुभिन्नरूपी बनाने के लिए सामान्यीकृत होती है। विशेषता फ़ंक्शन का तर्क हमेशा उस स्थान के निरंतर दोहरे से संबंधित होगा जहां यादृच्छिक चर X अपना मान लेता है। सामान्य मामलों के लिए ऐसी परिभाषाएँ नीचे सूचीबद्ध हैं:


 * यदि X एक k-आयामी यादृच्छिक वेक्टर है, तो के लिए $t ∈ R^{k}$ $$ \varphi_X(t) = \operatorname{E}\left[\exp( i t^T\!X)\right], $$ कहाँ $ t^T$ वेक्टर का स्थानांतरण है$ t $ ,
 * यदि X एक k×p-आयामी यादृच्छिक मैट्रिक्स है, तो के लिए $t ∈ R^{k×p}$ $$ \varphi_X(t) = \operatorname{E}\left[\exp \left( i \operatorname{tr}(t^T\!X) \right )\right], $$ कहाँ $ \operatorname{tr}(\cdot) $ ट्रेस (रैखिक बीजगणित) ऑपरेटर है,
 * यदि X एक जटिल यादृच्छिक चर है, तो के लिए $t ∈ C$ $$\varphi_X(t) = \operatorname{E}\left[\exp\left( i \operatorname{Re}\left(\overline{t}X\right) \right)\right], $$ कहाँ $\overline t$  का जटिल संयुग्म है$t$  और $ \operatorname{Re}(z)$  सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग है $ z $ ,
 * यदि X एक k-आयामी जटिल यादृच्छिक वेक्टर है, तो के लिए $t ∈ C^{k}$   $$ \varphi_X(t) = \operatorname{E}\left[\exp(i\operatorname{Re}(t^*\!X))\right], $$ कहाँ $ t^* $ वेक्टर का संयुग्मी स्थानान्तरण है$ t$ ,
 * यदि X(s) एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है, तो सभी कार्यों के लिए t(s) ऐसा है कि अभिन्न $ \int_{\mathbb R} t(s)X(s)\,\mathrm{d}s $ एक्स की लगभग सभी अनुभूतियों के लिए अभिसरण होता है  $$\varphi_X(t) = \operatorname{E}\left[\exp \left ( i\int_\mathbf{R} t(s)X(s) \, ds \right ) \right].  $$

उदाहरण
ओबरहेटिंगर (1973) विशिष्ट कार्यों की व्यापक तालिकाएँ प्रदान करता है।

गुण

 * एक वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर का विशिष्ट कार्य हमेशा मौजूद रहता है, क्योंकि यह एक स्थान पर एक बंधे हुए निरंतर फ़ंक्शन का एक अभिन्न अंग है जिसका माप (गणित) परिमित है।
 * एक विशिष्ट कार्य संपूर्ण स्थान पर एकसमान निरंतरता है।
 * यह शून्य के आसपास के क्षेत्र में लुप्त नहीं होता है: φ(0) = 1.
 * यह परिबद्ध है: |φ(t)| ≤ 1.
 * यह हर्मिटियन फ़ंक्शन है: φ(−t) = $\overline{φ(t)}$. विशेष रूप से, एक सममित (मूल के आसपास) यादृच्छिक चर का विशिष्ट कार्य वास्तविक-मूल्यवान और सम और विषम कार्य है।
 * संभाव्यता वितरण और विशिष्ट कार्यों के बीच एक आपत्ति है। अर्थात्, किन्हीं दो यादृच्छिक चर X के लिए1, एक्स2, दोनों का संभाव्यता वितरण समान है यदि और केवल यदि $$ \varphi_{X_1}=\varphi_{X_2}$$.
 * यदि एक यादृच्छिक चर X में k-वें क्रम तक क्षण (गणित) है, तो विशेषता फ़ंक्शन φX संपूर्ण वास्तविक रेखा पर k गुना निरंतर अवकलनीय है। इस मामले में $$\operatorname{E}[X^k] = i^{-k} \varphi_X^{(k)}(0).$$
 * यदि एक विशिष्ट फलन φ हैX शून्य पर k-वें अवकलज है, तो यादृच्छिक चर X में k तक के सभी क्षण हैं यदि k सम है, लेकिन केवल तक k – 1 यदि k विषम है। $$ \varphi_X^{(k)}(0) = i^k \operatorname{E}[X^k] $$
 * यदि एक्स1, ..., एक्सnस्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं, और ए1, ..., एnकुछ स्थिरांक हैं, तो एक्स के रैखिक संयोजन की विशेषता कार्यi का है $$\varphi_{a_1X_1+\cdots+a_nX_n}(t) = \varphi_{X_1}(a_1t)\cdots \varphi_{X_n}(a_nt).$$ एक विशिष्ट मामला दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर X का योग है1 और एक्स2 किस मामले में किसी के पास है $$\varphi_{X_1+X_2}(t) = \varphi_{X_1}(t)\cdot\varphi_{X_2}(t).$$
 * होने देना $$X$$ और $$Y$$ विशिष्ट कार्यों के साथ दो यादृच्छिक चर बनें $$\varphi_{X}$$ और $$\varphi_{Y}$$. $$X$$ और $$Y$$ स्वतंत्र हैं यदि और केवल यदि $$\varphi_{X, Y}(s, t)= \varphi_{X}(s) \varphi_{Y}(t) \quad \text { for all } \quad(s, t) \in \mathbb{R}^{2}$$.
 * विशेषता फ़ंक्शन का टेल व्यवहार संबंधित घनत्व फ़ंक्शन की चिकनाई (संभावना सिद्धांत) निर्धारित करता है।
 * यादृच्छिक चर चलो $$Y = aX + b$$ एक यादृच्छिक चर का रैखिक परिवर्तन हो $$X$$. का चारित्रिक कार्य $$Y$$ है $$\varphi_Y(t)=e^{itb}\varphi_X(at)$$. यादृच्छिक वैक्टर के लिए $$X$$ और $$Y = AX + B$$ (जहाँ A एक स्थिर मैट्रिक्स है और B एक स्थिर वेक्टर है), हमारे पास है $$\varphi_Y(t) = e^{it^\top B}\varphi_X(A^\top t)$$.

निरंतरता
संभाव्यता वितरण और विशिष्ट कार्यों के बीच ऊपर बताया गया आक्षेप क्रमिक रूप से निरंतर है। अर्थात्, जब भी वितरण का कोई क्रम F कार्य करता हैj(x) कुछ वितरण F(x) में (कमजोर रूप से) अभिसरण करता है, विशेषता कार्यों का संगत क्रम φj(टी) भी अभिसरण होगा, और सीमा φ(टी) कानून एफ के विशिष्ट कार्य के अनुरूप होगी। अधिक औपचारिक रूप से, इसे इस प्रकार कहा गया है


 * 'लेवी की निरंतरता प्रमेय:' एक अनुक्रम एक्सjn-चर यादृच्छिक चर का यादृच्छिक चर X में वितरण में अभिसरण यदि और केवल यदि अनुक्रम φ''X j बिंदुवार एक फ़ंक्शन φ में परिवर्तित होता है जो मूल पर निरंतर है। जहाँ φ X का अभिलक्षणिक फलन है।

इस प्रमेय का उपयोग विशिष्ट कार्यों के अभिसरण और केंद्रीय सीमा प्रमेय #प्रमाण का उपयोग करके बड़ी संख्या के नियम #प्रमाण को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है।

व्युत्क्रम सूत्र
संचयी वितरण कार्यों और विशिष्ट कार्यों के बीच एक-से-एक पत्राचार होता है, इसलिए यदि हम दूसरे को जानते हैं तो इनमें से एक फ़ंक्शन को ढूंढना संभव है। विशेषता फ़ंक्शन की परिभाषा में सूत्र हमें φ की गणना करने की अनुमति देता है जब हम वितरण फ़ंक्शन एफ (या घनत्व एफ) जानते हैं। दूसरी ओर, यदि हम विशेषता फ़ंक्शन φ को जानते हैं और संबंधित वितरण फ़ंक्शन को ढूंढना चाहते हैं, तो निम्नलिखित 'व्युत्क्रम प्रमेय' में से एक का उपयोग किया जा सकता है।

'प्रमेय'. यदि विशेषता फ़ंक्शन φXएक यादृच्छिक चर का X एकीकृत कार्य है, फिर FXबिल्कुल निरंतर है, और इसलिए एक्स में संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन है। अविभाज्य मामले में (यानी जब एक्स अदिश-मूल्यवान है) घनत्व फ़ंक्शन द्वारा दिया जाता है $$ f_X(x) = F_X'(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbf{R}} e^{-itx}\varphi_X(t)\,dt.$$ बहुभिन्नरूपी मामले में यह है $$ f_X(x) = \frac{1}{(2\pi)^n} \int_{\mathbf{R}^n} e^{-i(t\cdot x)}\varphi_X(t)\lambda(dt)$$ कहाँ $ t\cdot x$ डॉट उत्पाद है.

घनत्व फ़ंक्शन वितरण μ का रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न हैXलेब्सेग माप के संबंध में λ: $$ f_X(x) = \frac{d\mu_X}{d\lambda}(x). $$ प्रमेय (लेवी)। यदि एफX वितरण फलन F का अभिलक्षणिक फलन हैX, दो बिंदु a<b ऐसे हैं {x μ का एक निरंतरता सेट हैX (एकविभिन्न मामले में यह स्थिति एफ की निरंतरता के बराबर हैXबिंदु ए और बी पर), फिर प्रमेय. यदि ए (संभवतः) एक्स का एक परमाणु है (एकतरफा मामले में इसका मतलब एफ का असंततता बिंदु है)X) तब प्रमेय (गिल-पेलेज़)। एक अविभाज्य यादृच्छिक चर X के लिए, यदि x, F का एक निरंतरता बिंदु हैXतब
 * यदि X अदिश राशि है: $$F_X(b) - F_X(a) = \frac{1} {2\pi} \lim_{T \to \infty} \int_{-T}^{+T} \frac{e^{-ita} - e^{-itb}} {it}\, \varphi_X(t)\, dt.$$ इस सूत्र को संख्यात्मक गणना के लिए अधिक सुविधाजनक रूप में पुनः बताया जा सकता है $$ \frac{F(x+h) - F(x-h)}{2h} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin ht}{ht} e^{-itx} \varphi_X(t) \, dt .$$ नीचे से घिरे एक यादृच्छिक चर के लिए कोई भी प्राप्त कर सकता है $$F(b)$$ ले कर $$a$$ ऐसा है कि $$F(a)=0.$$ अन्यथा, यदि कोई यादृच्छिक चर नीचे से परिबद्ध नहीं है, तो इसकी सीमा $$a\to-\infty$$ देता है $$F(b)$$, लेकिन संख्यात्मक रूप से अव्यावहारिक है।
 * यदि X एक सदिश यादृच्छिक चर है: $$\mu_X\big(\{a<x<b\}\big) = \frac{1}{(2\pi)^n} \lim_{T_1\to\infty}\cdots\lim_{T_n\to\infty} \int\limits_{-T_1\leq t_1\leq T_1} \cdots \int\limits_{-T_n \leq t_n \leq T_n} \prod_{k=1}^n\left(\frac{e^{-i t_k a_k}-e^{-i t_k b_k}}{it_k}\right)\varphi_X(t)\lambda(dt_1 \times \cdots \times dt_n)$$
 * यदि X अदिश राशि है: $$F_X(a) - F_X(a-0) = \lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T} \int_{-T}^{+T} e^{-ita}\varphi_X(t)\,dt$$
 * यदि X एक सदिश यादृच्छिक चर है: $$\mu_X(\{a\}) = \lim_{T_1\to\infty}\cdots\lim_{T_n\to\infty} \left(\prod_{k=1}^n\frac{1}{2T_k}\right) \int\limits_{[-T_1, T_1] \times \dots \times [-T_n, T_n]} e^{-i(t\cdot a)}\varphi_X(t)\lambda(dt)$$
 * $$F_X(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{\pi}\int_0^\infty \frac{\operatorname{Im}[e^{-itx}\varphi_X(t)]}{t}\,dt$$

जहां एक सम्मिश्र संख्या का काल्पनिक भाग $$z$$ द्वारा दिया गया है $$\mathrm{Im}(z) = (z - z^*)/2i$$.

और इसका घनत्व कार्य है:
 * $$f_X(x) = \frac{1}{\pi}\int_0^\infty \operatorname{Re}[e^{-itx}\varphi_X(t)]\,dt$$

अभिन्न लेब्सग-अभिन्न नहीं हो सकता है; उदाहरण के लिए, जब X असतत यादृच्छिक चर होता है जो हमेशा 0 होता है, तो यह डिरिचलेट इंटीग्रल बन जाता है।

बहुभिन्नरूपी वितरण के लिए व्युत्क्रम सूत्र उपलब्ध हैं।

विशिष्ट कार्यों के लिए मानदंड
सभी विशिष्ट कार्यों का सेट कुछ परिचालनों के तहत बंद है:
 * एक उत्तल संयोजन $ \sum_n a_n\varphi_n(t)$ (साथ $ a_n\geq0,\ \sum_n a_n=1$ ) चारित्रिक कार्यों की एक परिमित या गणनीय संख्या भी एक अभिलक्षणिक फलन है।
 * विशिष्ट कार्यों की एक सीमित संख्या का गुणनफल भी एक विशिष्ट कार्य है। यही बात अनंत उत्पाद के लिए भी लागू होती है, बशर्ते कि यह मूल बिंदु पर निरंतर एक फ़ंक्शन में परिवर्तित हो।
 * यदि φ एक अभिलाक्षणिक फलन है और α एक वास्तविक संख्या है, तो $$\bar{\varphi}$$, पुनः(φ), |φ|2, और φ(αt) भी विशिष्ट कार्य हैं।

यह सर्वविदित है कि सीमा F(−∞) = 0, F(+∞) = 1 के साथ कोई भी गैर-घटता हुआ फ़ंक्शन F कुछ यादृच्छिक चर के संचयी वितरण फ़ंक्शन से मेल खाता है। ऐसे ही सरल मानदंड खोजने में भी रुचि है जब कोई दिया गया फ़ंक्शन φ किसी यादृच्छिक चर का विशिष्ट फ़ंक्शन हो सकता है। यहां केंद्रीय परिणाम बोचनर का प्रमेय है|बोचनर का प्रमेय, हालांकि इसकी उपयोगिता सीमित है क्योंकि प्रमेय की मुख्य स्थिति, सकारात्मक-निश्चित फ़ंक्शन|गैर-नकारात्मक निश्चितता, को सत्यापित करना बहुत कठिन है। अन्य प्रमेय भी मौजूद हैं, जैसे खिन्चिन, मैथियास, या क्रैमर, हालांकि उनका अनुप्रयोग उतना ही कठिन है। दूसरी ओर, जॉर्ज पोल्या|पोल्या का प्रमेय, एक बहुत ही सरल उत्तलता स्थिति प्रदान करता है जो पर्याप्त है लेकिन आवश्यक नहीं है। इस शर्त को पूरा करने वाले विशिष्ट कार्यों को पोलिया-प्रकार कहा जाता है।

बोचनर का प्रमेय|बोचनर का प्रमेय। एक मनमाना फलन φ : आरn → 'C' कुछ यादृच्छिक चर का विशिष्ट कार्य है यदि और केवल यदि φ सकारात्मक-निश्चित फ़ंक्शन है, जो मूल पर निरंतर है, और यदि φ(0) = 1 है।

'खिंचाइन की कसौटी'. एक जटिल-मूल्यवान, बिल्कुल निरंतर फ़ंक्शन φ, φ(0) = 1 के साथ, एक विशिष्ट फ़ंक्शन है यदि और केवल यदि यह प्रतिनिधित्व को स्वीकार करता है
 * $$\varphi(t) = \int_{\mathbf{R}} g(t+\theta)\overline{g(\theta)} \, d\theta .$$

मैथियास का प्रमेय. एक वास्तविक-मूल्यवान, सम, निरंतर, बिल्कुल पूर्णांकित फ़ंक्शन φ, φ(0) = 1 के साथ, एक विशिष्ट फ़ंक्शन है यदि और केवल यदि
 * $$(-1)^n \left ( \int_{\mathbf{R}} \varphi(pt)e^{-t^2/2} H_{2n}(t) \, dt \right ) \geq 0$$

n = 0,1,2,..., और सभी p > 0 के लिए। यहाँ H2n घात 2n के हर्माइट बहुपद को दर्शाता है।

पोल्या का प्रमेय. अगर $$ \varphi $$ एक वास्तविक-मूल्यवान, सम, निरंतर कार्य है जो शर्तों को पूरा करता है तब φ(t) 0 के बारे में एक बिल्कुल निरंतर वितरण सममिति का विशिष्ट कार्य है।
 * $$ \varphi(0) = 1 $$,
 * $$ \varphi $$ के लिए उत्तल कार्य है $$ t>0 $$,
 * $$ \varphi(\infty) = 0 $$,

उपयोग
लेवी निरंतरता प्रमेय के कारण, केंद्रीय सीमा प्रमेय के सबसे अधिक बार देखे जाने वाले प्रमाण में विशिष्ट कार्यों का उपयोग किया जाता है। किसी विशिष्ट फ़ंक्शन के साथ गणना करने में शामिल मुख्य तकनीक फ़ंक्शन को किसी विशेष वितरण के विशिष्ट फ़ंक्शन के रूप में पहचानना है।

वितरण का बुनियादी हेरफेर
सांख्यिकीय स्वतंत्रता यादृच्छिक चर के रैखिक कार्यों से निपटने के लिए विशेषता फ़ंक्शन विशेष रूप से उपयोगी होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि X1, X2, ..., Xn स्वतंत्र (और जरूरी नहीं कि समान रूप से वितरित) यादृच्छिक चर का एक क्रम है, और


 * $$S_n = \sum_{i=1}^n a_i X_i,\,\!$$

जहां एi स्थिरांक हैं, तो S के लिए अभिलक्षणिक फलन हैn द्वारा दिया गया है


 * $$\varphi_{S_n}(t)=\varphi_{X_1}(a_1t)\varphi_{X_2}(a_2t)\cdots \varphi_{X_n}(a_nt) \,\!$$

विशेष रूप से, φX+Y(t) = φX(t)φY(t). इसे देखने के लिए, विशेषता फ़ंक्शन की परिभाषा लिखें:


 * $$\varphi_{X+Y}(t)= \operatorname{E}\left [e^{it(X+Y)}\right]= \operatorname{E}\left [e^{itX}e^{itY}\right] =  \operatorname{E}\left [e^{itX}\right] \operatorname{E}\left [e^{itY}\right] =\varphi_X(t) \varphi_Y(t)$$

तीसरे और चौथे भाव की समानता स्थापित करने के लिए X और Y की स्वतंत्रता आवश्यक है।

समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर के लिए रुचि का एक और विशेष मामला है जब और फिर एसnनमूना माध्य है. इस मामले में, लेखन $\overline{X}$ माध्य के लिए,


 * $$\varphi_{\overline{X}}(t)= \varphi_X\!\left(\tfrac{t}{n} \right)^n$$

क्षण
किसी यादृच्छिक चर के क्षण (गणित) को खोजने के लिए विशेषता कार्यों का भी उपयोग किया जा सकता है। बशर्ते कि एनवें क्षण मौजूद है, विशेषता फ़ंक्शन को n बार विभेदित किया जा सकता है:

$$ \operatorname{E}\left[ X^n\right] = i^{-n}\left[\frac{d^n}{dt^n}\varphi_X(t)\right]_{t=0} = i^{-n}\varphi_X^{(n)}(0) ,\!$$ इसे डिराक डेल्टा फ़ंक्शन के डेरिवेटिव का उपयोग करके औपचारिक रूप से लिखा जा सकता है:$$f_X(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!}\delta^{(n)}(x)\operatorname{E}[X^n] $$जो तत्काल समस्या का औपचारिक समाधान संभव बनाता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि X में मानक कॉची वितरण है। तब. यह t = 0 पर अवकलनीय फलन नहीं है, जो दर्शाता है कि कॉची वितरण का कोई अपेक्षित मूल्य नहीं है। इसके अलावा, नमूना माध्य का विशिष्ट कार्य $\overline{X}$n की सांख्यिकीय स्वतंत्रता प्रेक्षणों का विशिष्ट कार्य होता है φ$\overline{X}$(t) = (e−)n = e−, पिछले अनुभाग के परिणाम का उपयोग करते हुए। यह मानक कॉची वितरण का विशिष्ट कार्य है: इस प्रकार, नमूना माध्य का वितरण जनसंख्या के समान ही होता है।

एक और उदाहरण के रूप में, मान लीजिए कि X गाऊसी वितरण का अनुसरण करता है अर्थात $$X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$$. तब $$\varphi_{X}(t) = e^{\mu i t - \frac{1}{2} \sigma^2 t^2} $$ और


 * $$\operatorname{E}\left[ X\right] = i^{-1} \left[\frac{d}{dt}\varphi_X(t)\right]_{t=0} = i^{-1} \left[(i \mu - \sigma^2 t) \varphi_X(t) \right]_{t=0} = \mu $$

इसी तरह की गणना से पता चलता है $$ \operatorname{E}\left[ X^2\right] = \mu^2 + \sigma^2 $$ और मूल्यांकन के लिए अपेक्षा की परिभाषा को लागू करने और भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करने की तुलना में इसे लागू करना आसान है $$ \operatorname{E}\left[ X^2\right] $$.

एक विशिष्ट फ़ंक्शन का लघुगणक एक संचयी जनरेटिंग फ़ंक्शन है, जो क्यूम्युलेंट खोजने के लिए उपयोगी है; इसके बजाय कुछ लोग संचयी जनरेटिंग फ़ंक्शन को पल-जनरेटिंग फ़ंक्शन के लघुगणक के रूप में परिभाषित करते हैं, और विशेषता फ़ंक्शन के लघुगणक को दूसरा क्यूम्युलेंट जनरेटिंग फ़ंक्शन कहते हैं।

डेटा विश्लेषण
डेटा के नमूनों में संभाव्यता वितरण को फिट करने के लिए प्रक्रियाओं के हिस्से के रूप में विशेषता कार्यों का उपयोग किया जा सकता है। ऐसे मामले जहां यह अन्य संभावनाओं की तुलना में एक व्यावहारिक विकल्प प्रदान करता है, उनमें स्थिर वितरण को फिट करना शामिल है क्योंकि घनत्व के लिए बंद फॉर्म अभिव्यक्तियां उपलब्ध नहीं हैं जो अधिकतम संभावना अनुमान के कार्यान्वयन को कठिन बनाती हैं। अनुमान प्रक्रियाएं उपलब्ध हैं जो डेटा से गणना की गई सैद्धांतिक विशेषता फ़ंक्शन को अनुभवजन्य विशेषता फ़ंक्शन से मेल खाती हैं। पॉलसन एट अल. (1975) और हीथकोट (1977) ऐसी आकलन प्रक्रिया के लिए कुछ सैद्धांतिक पृष्ठभूमि प्रदान करें। इसके अलावा, यू (2004) समय श्रृंखला मॉडल में फिट होने के लिए अनुभवजन्य विशेषता कार्यों के अनुप्रयोगों का वर्णन करता है जहां संभावना प्रक्रियाएं अव्यावहारिक हैं। अंसारी एट अल द्वारा अनुभवजन्य विशेषता कार्यों का भी उपयोग किया गया है। (2020) और ली एट अल। (2020) जनरेटिव प्रतिकूल नेटवर्क के प्रशिक्षण के लिए।

उदाहरण
स्केल पैरामीटर θ और आकार पैरामीटर k के साथ गामा वितरण में विशेषता कार्य होता है
 * $$(1 - \theta i t)^{-k}.$$

अब मान लीजिए कि हमारे पास है
 * $$ X ~\sim \Gamma(k_1,\theta) \mbox{ and } Y \sim \Gamma(k_2,\theta)$$

एक्स और वाई एक दूसरे से स्वतंत्र हैं, और हम जानना चाहते हैं कि एक्स + वाई का वितरण क्या है। चारित्रिक कार्य हैं
 * $$\varphi_X(t)=(1 - \theta i t)^{-k_1},\,\qquad \varphi_Y(t)=(1 - \theta it)^{-k_2}$$

जो स्वतंत्रता और चारित्रिक कार्य के मूल गुणों की ओर ले जाता है
 * $$\varphi_{X+Y}(t)=\varphi_X(t)\varphi_Y(t)=(1 - \theta i t)^{-k_1}(1 - \theta i t)^{-k_2}=\left(1 - \theta i t\right)^{-(k_1+k_2)}.$$

यह गामा वितरण स्केल पैरामीटर θ और आकार पैरामीटर k का विशिष्ट कार्य है1 + क2, और इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं
 * $$X+Y \sim \Gamma(k_1+k_2,\theta)$$

परिणाम को समान स्केल पैरामीटर के साथ n स्वतंत्र गामा वितरित यादृच्छिक चर तक विस्तारित किया जा सकता है और हमें मिलता है
 * $$\forall i \in \{1,\ldots, n\} : X_i \sim \Gamma(k_i,\theta) \qquad \Rightarrow \qquad \sum_{i=1}^n X_i \sim \Gamma\left(\sum_{i=1}^nk_i,\theta\right).$$

संपूर्ण चारित्रिक कार्य
जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, विशेषता फ़ंक्शन के तर्क को वास्तविक संख्या के रूप में माना जाता है: हालांकि, विशेषता कार्यों के सिद्धांत के कुछ पहलुओं को विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा जटिल विमान में परिभाषा का विस्तार करके उन्नत किया जाता है, ऐसे मामलों में जहां यह संभव है।

संबंधित अवधारणाएँ
संबंधित अवधारणाओं में क्षण-उत्पादक फ़ंक्शन और संभाव्यता-उत्पन्न फ़ंक्शन शामिल हैं। सभी संभाव्यता वितरणों के लिए विशेषता फ़ंक्शन मौजूद है। यह क्षण-उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन के मामले में नहीं है।

विशेषता फ़ंक्शन फूरियर ट्रांसफॉर्म से निकटता से संबंधित है: संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन पी (एक्स) का विशेषता फ़ंक्शन पी (एक्स) के निरंतर फूरियर ट्रांसफॉर्म का जटिल संयुग्म है (सामान्य सम्मेलन के अनुसार; निरंतर फूरियर ट्रांसफॉर्म # अन्य देखें) सम्मेलन|निरंतर फूरियर रूपांतरण - अन्य सम्मेलन)।


 * $$\varphi_X(t) = \langle e^{itX} \rangle = \int_{\mathbf{R}} e^{itx}p(x)\, dx = \overline{\left( \int_{\mathbf{R}} e^{-itx}p(x)\, dx \right)} = \overline{P(t)},$$

जहां P(t) संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन p(x) के निरंतर फूरियर रूपांतरण को दर्शाता है। इसी तरह, p(x) को φ से पुनर्प्राप्त किया जा सकता हैX(टी) व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण के माध्यम से:


 * $$p(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{\mathbf{R}} e^{itx} P(t)\, dt = \frac{1}{2\pi} \int_{\mathbf{R}} e^{itx} \overline{\varphi_X(t)}\, dt.$$

दरअसल, जब यादृच्छिक चर में घनत्व नहीं होता है, तब भी विशेषता फ़ंक्शन को यादृच्छिक चर के अनुरूप माप के फूरियर रूपांतरण के रूप में देखा जा सकता है।

एक अन्य संबंधित अवधारणा वितरण के कर्नेल एम्बेडिंग के माध्यम से पुनरुत्पादित कर्नेल हिल्बर्ट स्पेस के तत्वों के रूप में संभाव्यता वितरण का प्रतिनिधित्व है। इस ढांचे को कर्नेल फ़ंक्शन के विशिष्ट विकल्पों के तहत विशेषता फ़ंक्शन के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है।

यह भी देखें

 * उपनिर्भरता, स्वतंत्रता की तुलना में एक कमजोर स्थिति है, जिसे विशिष्ट कार्यों के संदर्भ में परिभाषित किया गया है।
 * क्यूमुलेंट, क्यूम्युलेंट जनरेटिंग फ़ंक्शंस का एक शब्द, जो विशिष्ट फ़ंक्शंस के लॉग हैं।