यंग टैबलॉ

गणित में एक युवा झाँकी एक साहचर्य वस्तु है जो प्रतिनिधित्व सिद्धांत और शुबर्ट गणना में उपयोगी संयोजन वस्तु है यह सममित समूह और सामान्य रैखिक समूह के समूहों का निरूपण का वर्णन करने और उनके गुणों का अध्ययन करने का एक सुविधाजनक तरीका प्रदान करता है 1900 में कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय के गणितज्ञ अल्फ्रेड यंग द्वारा युवा झांकी पेश की गई थी  इसके बाद उन्हें 1903 में जॉर्ज फ्रोबेनियस द्वारा सममित समूह के अध्ययन के लिए लागू किया गया था उनके सिद्धांत को आगे चलकर कई गणितज्ञों द्वारा विकसित किया गया था जिनमें पर्सी मैकमोहन, डब्ल्यू.वी.डी. हॉज, गिल्बर्ट डी ब्योरगार्ड रॉबिन्सन जी. डी बी रॉबिन्सन, जियान-कार्लो रोटा, एलेन लास्कौक्स, मार्सेल-पॉल शुट्ज़ेनबर्गर और रिचर्ड पी स्टेनली का विशेष योगदान रहा है।

परिभाषाएँ
नोट: यह लेख यंग डायग्राम और झांकी प्रदर्शित करने के लिए अंग्रेजी सम्मेलन का उपयोग करता है।

आरेख
एक युवा आकृति जिसे फेरर्स आरेख भी कहा जाता है जबकि विशेष रूप से बिन्दु का उपयोग करके जब यह दर्शाया जाता है तो यह गैर-बढ़ते क्रम में पंक्ति की लंबाई के साथ बाएं-न्याय संगत पंक्तियों में व्यवस्थित बक्से या कोशिकाओं का एक सीमित संग्रह है प्रत्येक पंक्ति में बक्सों की संख्या सूचीबद्ध करने से एक विभाजन संख्या सिद्धांत मिलता है जिसम $λ$ एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक का $n$ आरेख के बक्सों की कुल संख्या है युवा आरेख n आकार का कहा जाता है और $λ$ विभाजन के समान जानकारी रखता है एक युवा आरेख को दूसरे में समाहित करना सभी विभाजनों के समूह पर एक आंशिक क्रम को परिभाषित करता है जो वास्तव में एक जाली क्रम संरचना है जिसे युवा आरेख की जाली के रूप में जाना जाता है तथा प्रत्येक कॉलम में एक युवा आरेख के बक्सों की संख्या को सूचीबद्ध करने से एक और विभाजन मिलता है इसका संयुग्म या स्थानांतरण विभाजन $λ$ मूल आरेख को इसके मुख्य विकर्ण के साथ प्रतिबिंबित करके उस आकार का एक युवा आरेख प्राप्त करता है।

लगभग सार्वभौमिक सहमति यह है कि पूर्णांक के जोड़े द्वारा युवा आरेख के प्लास्टिक बॉक्स में पहला अनुक्रमणिका आरेख की पंक्ति का चयन करता है और दूसरा अनुक्रमणिका पंक्ति के भीतर बॉक्स का चयन करता है फिर भी इन आरेखों को प्रदर्शित करने के लिए दो अलग-अलग सम्मेलन एकत्रित हैं और इसके परिणामस्वरूप झांकी पहली प्रत्येक पंक्ति को पिछले एक के नीचे रखती है और दूसरी पंक्ति को पिछले एक के शीर्ष पर रखती है चूंकि पूर्व सम्मेलन मुख्य रूप से अंग्रेजी बोलने वाली दुनिया द्वारा उपयोग किया जाता है जबकि बाद वाले को प्रायः वाक्य की स्पष्टता द्वारा पसंद किया जाता है यह इन सम्मेलनों को क्रमशः अंग्रेजी संकेतन और फ्रेंच संकेतन के रूप में संदर्भित करने के लिए प्रथागत है उदाहरण के लिए सममित कार्यों पर अपनी पुस्तक में इयान जी मैकडोनाल्ड पाठकों को सलाह देते हैं कि फ्रांसीसी परंपरा को पसंद करते हुए इस पुस्तक को एक दर्पण में उल्टा पढ़ें यह नामकरण संभवतः मजाक के रूप में शुरू हुआ अंग्रेजी संकेतन पंक्ति के लिए सार्वभौमिक रूप से उपयोग किए जाने वाले संकेतन से मेल खाता है जबकि फ्रांसीसी संकेतन लिप्यन्तरण निर्देशांक के सम्मेलन के करीब है जबकि फ्रांसीसी संकेतन पहले ऊर्ध्वाधर निर्देशांक को रखकर उस सम्मेलन से भिन्न होता है अंग्रेजी संकेतन का उपयोग करते हुए दाईं ओर का आंकड़ा संख्या 10 के विभाजन 5, 4, 1 के अनुरूप युवा आरेख दिखाता है तथा संयुग्मित विभाजन स्तंभ की लंबाई को मापता है।

हाथ और पैर की लंबाई
कई अनुप्रयोगों में, उदाहरण के लिए जब जैक कार्यों को परिभाषित करते हैं, तो हाथ की लंबाई ए को परिभाषित करना सुविधाजनक होता हैλ(s) अंग्रेजी संकेतन में आरेख λ में s के दाईं ओर बक्से की संख्या के रूप में एक बॉक्स s। इसी तरह, 'पैर की लंबाई' एलλ(एस) एस के नीचे बक्से की संख्या है। एक बॉक्स एस की 'हुक लंबाई' अंग्रेजी नोटेशन में एस के दाईं ओर या नीचे के बॉक्स की संख्या है, जिसमें बॉक्स एस भी शामिल है; दूसरे शब्दों में, हुक की लंबाई एक हैλ(एस) + एलλ(एस) + 1।

टेबल्स
यंग आरेख के बक्सों में कुछ 'वर्णमाला' से लिए गए प्रतीकों को भरकर एक युवा झांकी प्राप्त की जाती है, जिसे आमतौर पर पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सेट की आवश्यकता होती है। मूल रूप से वह वर्णमाला अनुक्रमित चर का एक समूह था $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$..., लेकिन अब आमतौर पर संक्षिप्तता के लिए संख्याओं के एक सेट का उपयोग किया जाता है। सममित समूह के प्रतिनिधित्व के लिए उनके मूल आवेदन में, युवा झाँकियों के पास है $n$ अलग-अलग प्रविष्टियाँ, मनमाने ढंग से आरेख के बक्सों को सौंपी गईं। एक झांकी को मानक कहा जाता है यदि प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ में प्रविष्टियाँ बढ़ रही हों। विशिष्ट मानक युवा झांकियों की संख्या पर $n$ प्रविष्टियाँ इनवॉल्यूशन नंबर ों द्वारा दी गई हैं
 * 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496, ....

अन्य अनुप्रयोगों में, एक झांकी में एक ही संख्या को एक से अधिक बार (या बिल्कुल नहीं) प्रकट होने की अनुमति देना स्वाभाविक है। एक झांकी को अर्धमानक, या 'स्तंभ सख्त' कहा जाता है, यदि प्रविष्टियाँ प्रत्येक पंक्ति के साथ कमजोर रूप से बढ़ती हैं और प्रत्येक स्तंभ को सख्ती से बढ़ाती हैं। एक झांकी में प्रत्येक संख्या कितनी बार दिखाई देती है, इसे रिकॉर्ड करने से एक क्रम मिलता है जिसे झांकी के वजन के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार मानक युवा झांकी वजन (1,1,...,1) की अर्धमानक झांकी है, जिसके लिए प्रत्येक पूर्णांक तक की आवश्यकता होती है $n$ ठीक एक बार घटित होना।

एक मानक यंग झांकी में, पूर्णांक $$k$$ एक वंश है अगर $$k+1$$ सख्ती से नीचे एक पंक्ति में दिखाई देता है $$k$$. अवरोहण के योग को झांकी का प्रमुख सूचकांक कहा जाता है।

रूपांतर
इस परिभाषा की कई विविधताएँ हैं: उदाहरण के लिए, एक पंक्ति-सख्त झांकी में प्रविष्टियाँ पंक्तियों के साथ सख्ती से बढ़ती हैं और स्तंभों में कमजोर रूप से बढ़ती हैं। इसके अलावा, घटती प्रविष्टियों वाली झांकी पर विचार किया गया है, विशेष रूप से, समतल विभाजन के सिद्धांत में। डोमिनोज़ झांकी या रिबन झांकी जैसे सामान्यीकरण भी हैं, जिसमें उन्हें प्रविष्टियाँ सौंपने से पहले कई बक्सों को एक साथ रखा जा सकता है।

तिरछी झांकी
तिरछा आकार विभाजनों की एक जोड़ी है ($λ$, $μ$) ऐसा है कि युवा आरेख $λ$ का यंग आरेख शामिल है $μ$; इसे द्वारा दर्शाया गया है $λ/μ$. अगर $λ = (λ_{1}, λ_{2}, ...)$ और $μ = (μ_{1}, μ_{2}, ...)$, तो आरेखों के सम्‍मिलन का अर्थ है कि $μ_{i} ≤ λ_{i}$ सभी के लिए $i$. तिरछी आकृति का तिरछा आरेख $λ/μ$ के युवा आरेखों का सेट-सैद्धांतिक अंतर है $λ$ और $μ$: वर्गों का समूह जो आरेख से संबंधित है $λ$ लेकिन उससे नहीं $μ$. आकार की तिरछी झांकी $λ/μ$ संबंधित तिरछा आरेख के वर्गों को भरकर प्राप्त किया जाता है; इस तरह की झांकी अर्ध-मानक होती है यदि प्रविष्टियाँ प्रत्येक पंक्ति के साथ कमजोर रूप से बढ़ती हैं, और प्रत्येक स्तंभ के नीचे सख्ती से बढ़ती हैं, और यह मानक है यदि इसके अलावा 1 से लेकर तिरछा आरेख के वर्गों की संख्या ठीक एक बार आती है। जबकि विभाजन से लेकर उनके यंग डायग्राम तक का नक्शा इंजेक्टिव है, यह तिरछा आकार से लेकर तिरछा डायग्राम तक के नक्शे के लिए नहीं है; इसलिए तिरछा आरेख का आकार हमेशा केवल भरे हुए वर्गों के सेट से निर्धारित नहीं किया जा सकता है। हालाँकि तिरछी झांकी के कई गुण केवल भरे हुए वर्गों पर निर्भर करते हैं, उन पर परिभाषित कुछ संक्रियाओं के लिए स्पष्ट ज्ञान की आवश्यकता होती है $λ$ और $μ$, इसलिए यह महत्वपूर्ण है कि तिरछी झांकी इस जानकारी को रिकॉर्ड करे: दो अलग-अलग तिरछी झांकियां केवल उनके आकार में भिन्न हो सकती हैं, जबकि वे वर्गों के एक ही सेट पर कब्जा कर लेती हैं, प्रत्येक एक ही प्रविष्टि से भरा होता है। युवा झांकी को तिरछी झांकी से पहचाना जा सकता है जिसमें $A$ खाली विभाजन (0) (0 का अद्वितीय विभाजन) है।

कोई तिरछा अर्धमानक झाँकी $B$ आकार का $μ = (5,3,2,1)$ सकारात्मक पूर्णांक प्रविष्टियों के साथ शुरू करके विभाजन (या युवा आरेख) के अनुक्रम को जन्म देता है $A$, और विभाजन के लिए ले रहा है $B$ उस क्रम में आगे रखता है जिसका चित्र उससे प्राप्त किया गया है $μ$ मान वाले सभी बक्सों को जोड़कर  ≤$T$ में $μ$; यह विभाजन अंततः के बराबर हो जाता है$i$. इस तरह के क्रम में क्रमिक आकृतियों का कोई भी जोड़ा तिरछा आकार होता है, जिसके आरेख में प्रत्येक कॉलम में अधिकतम एक बॉक्स होता है; ऐसी आकृतियों को क्षैतिज पट्टियां कहा जाता है। विभाजनों का यह क्रम पूरी तरह से निर्धारित करता है $μ$, और यह वास्तव में इस तरह के अनुक्रमों के रूप में अर्ध-मानक झांकी को परिभाषित करना संभव है, जैसा कि मैकडोनाल्ड (मैकडोनाल्ड 1979, पृष्ठ 4) द्वारा किया गया है। यह परिभाषा विभाजन को शामिल करती है $i$ और $T$ तिरछी झांकी वाले डेटा में।

अनुप्रयोगों का अवलोकन
नई झांकी में कॉम्बिनेटरिक्स, प्रतिनिधित्व सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति में कई अनुप्रयोग हैं। यंग झांकी की गिनती के विभिन्न तरीकों का पता लगाया गया है और शूर बहुपद की पहचान और पहचान की ओर ले जाता है।

झांकी पर कई संयोजी एल्गोरिदम ज्ञात हैं, जिसमें शुत्ज़ेनबर्गर के ज्यू डे टैक्विन और रॉबिन्सन-शेंस्टेड-नुथ पत्राचार शामिल हैं। Lascoux और Schützenberger ने सभी सेमी-स्टैंडर्ड यंग झांकी के सेट पर एक साहचर्य उत्पाद का अध्ययन किया, इसे प्लैक्टिक मोनोइड (फ्रेंच: le monoïde plaxique) नामक संरचना दी।

प्रतिनिधित्व सिद्धांत में, आकार की मानक युवा झांकी $λ$ पर सममित समूह के अलघुकरणीय अभ्यावेदन में आधारों का वर्णन करें $T$ अक्षर। सामान्य रेखीय समूह के परिमित-आयामी इर्रेड्यूबल प्रतिनिधित्व में मानक मोनोमियल आधार $λ = (5,4,2,1)$ अक्षर {1, 2, ..., $λ$}. अपरिवर्तनीय सिद्धांत के लिए इसका महत्वपूर्ण परिणाम है, ग्रासमानियन  के सजातीय समन्वय रिंग पर डब्ल्यूवीडी हॉज के काम से शुरू होता है और आगे सहयोगियों, कॉन्सिनी का कोराडो और  क्लॉडियस प्रोसी  और डेविड ईसेनबड के साथ जियान-कार्लो रोटा द्वारा खोजा गया। लिटिलवुड-रिचर्डसन नियम का वर्णन (अन्य बातों के अलावा) अप्रासंगिक प्रतिनिधित्व के टेन्सर उत्पादों के अपघटन $AB$ अलघुकरणीय घटकों में कुछ तिरछा अर्धमानक झांकी के संदर्भ में तैयार किया गया है।

बीजगणितीय ज्यामिति के अनुप्रयोग ग्रासमानियन और ध्वज किस्मों पर शूबर्ट कैलकुलस के आसपास केंद्रित हैं। कुछ महत्वपूर्ण कोहोलॉजी वर्ग को शुबर्ट बहुपदों द्वारा दर्शाया जा सकता है और युवा झांकी के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है।

प्रतिनिधित्व सिद्धांत में अनुप्रयोग
यंग डायग्राम जटिल संख्याओं पर सममित समूह के अलघुकरणीय निरूपण के साथ एक-से-एक पत्राचार में हैं। वे युवा समरूपताओं को निर्दिष्ट करने का एक सुविधाजनक तरीका प्रदान करते हैं जिससे सममित समूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत का निर्माण होता है। एक निरूपण के बारे में कई तथ्यों को संबंधित आरेख से निकाला जा सकता है। नीचे, हम दो उदाहरणों का वर्णन करते हैं: एक प्रतिनिधित्व और प्रतिबंधित प्रतिनिधित्व के आयाम का निर्धारण करना। दोनों ही मामलों में, हम देखेंगे कि किसी निरूपण के कुछ गुणों को उसके आरेख का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। युवा झांकी में सममित समूह के उपयोग में शामिल हैं क्वांटम रसायन विज्ञान परमाणुओं, अणुओं और ठोस पदार्थों का अध्ययन करता है। युवा आरेख सामान्य रेखीय समूह के अलघुकरणीय बहुपद अभ्यावेदन को भी पैरामीट्रिज करते हैं $BA$ (जब उनके पास अधिक से अधिक हो $μ$ गैर-खाली पंक्तियां), या विशेष रैखिक समूह के अलघुकरणीय निरूपण $λ/μ$ (जब उनके पास अधिक से अधिक हो $GL_{n}$ गैर-खाली पंक्तियाँ), या विशेष एकात्मक समूह के अलघुकरणीय जटिल निरूपण $GL_{n}$ (फिर जब उनके पास अधिक से अधिक हो $GL_{n}$ गैर-खाली पंक्तियाँ)। इन मामलों में प्रविष्टियों के साथ अर्धमानक झांकी $k$ मानक झांकी के बजाय केंद्रीय भूमिका निभाएं; विशेष रूप से यह उन झांकी की संख्या है जो प्रतिनिधित्व के आयाम को निर्धारित करती है।

एक प्रतिनिधित्व का आयाम
अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व का आयाम $SL_{n}$ सममित समूह का $n − 1$ एक विभाजन के अनुरूप $k$ का $n$ विभिन्न मानक यंग झांकी की संख्या के बराबर है जो प्रतिनिधित्व के आरेख से प्राप्त की जा सकती है। इस संख्या की गणना हुक लंबाई सूत्र द्वारा की जा सकती है।

एक हुक लंबाई $SU_{n}$ बॉक्स का $n$ यंग डायग्राम में $n − 1$ आकार का $n$ उन बक्सों की संख्या है जो इसके दाईं ओर एक ही पंक्ति में हैं और इसके नीचे एक ही कॉलम में वे बॉक्स हैं, साथ ही एक (बॉक्स के लिए)। हुक-लम्बाई सूत्र द्वारा, एक अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व का आयाम है $\pi_{λ}$ प्रतिनिधित्व के आरेख में सभी बक्से की हुक लंबाई के उत्पाद से विभाजित:


 * $$\dim\pi_\lambda = \frac{n!}{\prod_{x \in Y(\lambda)} \operatorname{hook}(x)}.$$

दाईं ओर का आंकड़ा विभाजन 10 = 5 + 4 + 1 के आरेख में सभी बक्सों के लिए हुक-लंबाई दिखाता है। इस प्रकार


 * $$\dim\pi_\lambda = \frac{10!}{7\cdot5\cdot 4 \cdot 3\cdot 1\cdot 5\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot1} = 288.$$

इसी तरह, अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व का आयाम $S_{n}$ का $hook(x)$ n के विभाजन λ के अनुरूप (अधिकतम r भागों के साथ) आकार λ की अर्ध-मानक युवा झांकी की संख्या है (केवल 1 से r तक की प्रविष्टियाँ हैं), जो हुक-लंबाई सूत्र द्वारा दी गई है:


 * $$\dim W(\lambda) = \prod_{(i,j) \in Y(\lambda)} \frac{r+j-i}{\operatorname{hook}(i,j)},$$

जहां सूचकांक मैं एक बॉक्स की पंक्ति और जे कॉलम देता हूं। उदाहरण के लिए, विभाजन (5,4,1) के लिए हम इसी इर्रेड्यूबल प्रतिनिधित्व के आयाम के रूप में प्राप्त करते हैं $Y(λ)$ (पंक्तियों द्वारा बक्सों को पार करना):


 * $$\dim W(\lambda) = \frac{7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 5}{7\cdot5\cdot 4 \cdot 3\cdot 1\cdot 5\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot1} = 66 528.$$

प्रतिबंधित प्रतिनिधित्व
पर सममित समूह का एक प्रतिनिधित्व $λ$ तत्व, $n!$ भी सममित समूह का प्रतिनिधित्व है $W(λ)$ तत्व, $GL_{r}$. हालांकि, का एक अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व $GL_{7}$ के लिए अलघुकरणीय नहीं हो सकता है $S_{n}$. इसके बजाय, यह कई अभ्यावेदन के अभ्यावेदन का प्रत्यक्ष योग हो सकता है, जिसके लिए अप्रासंगिक हैं $n − 1$. इन अभ्यावेदन को तब प्रतिबंधित प्रतिनिधित्व के कारक कहा जाता है (प्रेरित प्रतिनिधित्व भी देखें)।

एस के दिए गए अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व के प्रतिबंधित प्रतिनिधित्व के इस अपघटन को निर्धारित करने का प्रश्नn, एक विभाजन के अनुरूप $n$ का $x$, का उत्तर इस प्रकार है। एक सभी यंग डायग्राम का सेट बनाता है जिसे शेप डायग्राम से प्राप्त किया जा सकता है $λ$ सिर्फ एक बॉक्स को हटाकर (जो इसकी पंक्ति और कॉलम दोनों के अंत में होना चाहिए); प्रतिबंधित प्रतिनिधित्व तब के अप्रासंगिक अभ्यावेदन के प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित हो जाता है $S_{n−1}$ उन आरेखों के अनुरूप, प्रत्येक योग में ठीक एक बार होता है।

यह भी देखें

 * रॉबिन्सन-शेंस्टेड पत्राचार
 * शूर-वेइल द्वैत

संदर्भ

 * William Fulton. Young Tableaux, with Applications to Representation Theory and Geometry. Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-56724-6.
 * Lecture 4
 * Howard Georgi, Lie Algebras in Particle Physics, 2nd Edition - Westview
 * Macdonald, I. G. Symmetric functions and Hall polynomials. Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford, 1979. viii+180 pp. ISBN 0-19-853530-9
 * Laurent Manivel. Symmetric Functions, Schubert Polynomials, and Degeneracy Loci. American Mathematical Society.
 * Jean-Christophe Novelli, Igor Pak, Alexander V. Stoyanovskii, "A direct bijective proof of the Hook-length formula", Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science 1 (1997), pp. 53–67.
 * Bruce E. Sagan. The Symmetric Group. Springer, 2001, ISBN 0-387-95067-2
 * Predrag Cvitanović, Group Theory: Birdtracks, Lie's, and Exceptional Groups. Princeton University Press, 2008.
 * Predrag Cvitanović, Group Theory: Birdtracks, Lie's, and Exceptional Groups. Princeton University Press, 2008.
 * Predrag Cvitanović, Group Theory: Birdtracks, Lie's, and Exceptional Groups. Princeton University Press, 2008.

बाहरी संबंध

 * Eric W. Weisstein. "Ferrers Diagram". From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
 * Eric W. Weisstein. "Young Tableau." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
 * Semistandard tableaux entry in the FindStat database
 * Standard tableaux entry in the FindStat database