ब्रेम्सरेडिएशन

ब्रेम्सरेडिएशन, से ब्रेमसेन रोधक और विकिरण विकिरण; अर्थात , आरोधन विकिरण या मंदन विकिरण, विद्युत चुम्बकीय विकिरण है, जो एक आवेशित कण के अवमंदन द्वारा उत्पन्न होता है, जब किसी अन्य आवेशित कण द्वारा विक्षेपित किया जाता है, सामान्यतः एक परमाणु नाभिक द्वारा एक इलेक्ट्रॉन। गतिमान कण गतिज ऊर्जा खो देता है, जो विकिरण (अर्थात, फोटॉन) में परिवर्तित हो जाता है, इस प्रकार ऊर्जा के संरक्षण को संतुष्ट करता है। तथ्य का उपयोग विकिरण के उत्पादन की प्रक्रिया को संदर्भित करने के लिए भी किया जाता है। ब्रेम्सरेडिएशन में एक सतत वर्णक्रम होता है, जो अधिक तीव्र हो जाता है और जिसकी परम तीव्रता उच्च आवृत्तियों की ओर स्थानांतरित हो जाती है, क्योंकि मन्‍द कणों की ऊर्जा में परिवर्तन बढ़ जाता है।

बड़े पैमाने पर बोलना, ब्रेम्सरेडिएशन या 'आरोधन विकिरण' एक आवेशित कण के मंदन (ऋणात्मक त्वरण) के कारण उत्पन्न होने वाला कोई भी विकिरण है, जिसमें सिंक्रोट्रॉन विकिरण (अर्थात, एक सापेक्षिक कण द्वारा फोटॉन उत्सर्जन), साइक्लोट्रॉन विकिरण (अर्थात एक गैर-आपेक्षिकीय कण द्वारा फोटॉन उत्सर्जन), और बीटा क्षय के समय इलेक्ट्रॉनों और पॉज़िट्रॉन का उत्सर्जन सम्मिलित है।। यद्यपि, तथ्य का प्रयोग प्रायः इलेक्ट्रॉनों से विकिरण के अधिक संकीर्ण अर्थ में किया जाता है (जो भी स्रोत से) पदार्थ में धीमा हो जाता है।

प्लाज्मा (भौतिकी) से उत्सर्जित ब्रेम्सरेडिएशन को कभी-कभी 'मुक्त-मुक्त विकिरण' कहा जाता है। यह इस तथ्य को संदर्भित करता है कि इस स्थिति में विकिरण उन इलेक्ट्रॉनों द्वारा निर्मित होता है जो पूर्व मुक्त होते हैं (अर्थात, परमाणु या आणविक बाध्य अवस्था में नहीं), और एक फोटॉन के उत्सर्जन के बाद मुक्त रहते हैं। उसी भाषा में, 'बद्ध-बद्ध' विकिरण वर्णक्रमीय रेखा (एक इलेक्ट्रॉन दो बद्ध अवस्था के बीच चला जाता है) को संदर्भित करता है, जबकि 'मुक्त-बद्ध' विकिरण विकिरण पुनर्संयोजन (प्लाज्मा) प्रक्रिया को संदर्भित करता है, जिसमें एक मुक्त इलेक्ट्रॉन एक आयन के साथ प्लाज्मा पुनर्संयोजन होता है।

शास्त्रीय विवरण
यदि क्वांटम यांत्रिकी प्रभाव नगण्य हैं, तो एक त्वरित आवेशित कण लारमोर सूत्र और इसके सापेक्ष सामान्यीकरण द्वारा वर्णित शक्ति को विकीर्ण करता है।

कुल विकीर्ण शक्ति
कुल विकीर्ण शक्ति
 * $$P = \frac{q^2 \gamma^4}{6 \pi \varepsilon_0 c}

\left( \dot{\beta}^2 + \frac{\left(\boldsymbol{\beta} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}\right)^2}{1 - \beta^2}\right)$$ है, जहाँ $\boldsymbol\beta = \frac{\mathbf v}{c}$ (प्रकाश की गति से विभाजित कण का वेग), $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$  लोरेंत्ज़ कारक है, $$\varepsilon_0$$ निर्वात पारगम्यता है, $$\dot{\boldsymbol\beta}$$ $$\boldsymbol\beta$$ का समय व्युत्पन्न दर्शाता है, और q कण का आवेश है। ऐसी स्थिति में जहां वेग त्वरण (अर्थात, रैखिक गति) के समानांतर होता है, अभिव्यक्ति
 * $$P_{a \parallel v} = \frac{q^2 a^2 \gamma^6}{6 \pi \varepsilon_0 c^3},$$

में घट जाती है जहाँ $$a \equiv \dot{v} = \dot{\beta}c$$ त्वरण होता है। वेग ($$\boldsymbol{\beta} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}} = 0$$) की लंबवत त्वरण की स्थिति में, उदाहरण के लिए सिंक्रोटॉन में, कुल शक्ति


 * $$P_{a \perp v} = \frac{q^2 a^2 \gamma^4 }{6 \pi \varepsilon_0 c^3}$$ है।

दो सीमित स्थितियों में विकीर्ण शक्ति $$\gamma^4$$ $$\left(a \perp v\right)$$ या $$\gamma^6$$ $$\left(a \parallel v\right)$$ समानुपाती होती है। $$E = \gamma m c^2$$के बाद से, हम देखते हैं कि समान ऊर्जा $$E$$ वाले कणों के लिए कुल विकिरणित शक्ति $$m^{-4}$$ या $$m^{-6}$$के रूप में जाती है, जो इस बात का कारण है कि क्यों इलेक्ट्रॉन भारी आवेशित कणों की तुलना में अधिक तीव्रता से ब्रेम्सरेडिएशन विकिरण में ऊर्जा खो देते हैं (जैसे, म्यूऑन, प्रोटॉन, अल्फा कण)। यही कारण है कि एक टीईवी ऊर्जा इलेक्ट्रॉन-पॉजिट्रॉन कोलाइडर (जैसे प्रस्तावित अंतर्राष्ट्रीय रैखिक कोलाइडर) एक गोलाकार सुरंग (निरंतर त्वरण की आवश्यकता) का उपयोग नहीं कर सकते है, जबकि एक प्रोटॉन-प्रोटॉन कोलाइडर (जैसे व्यापक हैड्रान कोलाइडर) एक गोलाकार सुरंग का उपयोग कर सकते है। प्रोटॉन की तुलना में $$(m_p/m_e)^4 \approx 10^{13}$$ गुना अधिक दर पर ब्रेम्सरेडिएशन के कारण इलेक्ट्रॉन ऊर्जा खो देते हैं।

कोणीय वितरण
कोण के कार्य के रूप में विकिरणित शक्ति के लिए सबसे सामान्य सूत्र है:
 * $$\frac{d P}{d\Omega} = \frac{q^2}{16\pi^2 \varepsilon_0 c} \frac{\left|\hat{\mathbf n} \times \left(\left(\hat{\mathbf n} - \boldsymbol{\beta}\right) \times \dot{\boldsymbol{\beta}}\right)\right|^2}{\left(1 - \hat{\mathbf n}\cdot\boldsymbol{\beta}\right)^5}$$

जहाँ $$\hat{\mathbf n}$$ एक इकाई सदिश है जो कण से पर्यवेक्षक की ओर संकेत करता है, और $$d\Omega$$ ठोस कोण का एक अतिसूक्ष्म अंश है।

ऐसी स्थिति में जहां वेग त्वरण के समानांतर होता है (उदाहरण के लिए, रैखिक गति), यह

$$\frac{dP_{a \parallel v}}{d\Omega} = \frac{q^2a^2}{16\pi^2 \varepsilon_0 c^3}\frac{\sin^2 \theta}{(1 - \beta \cos\theta)^5}$$

को सरल करता है जहां $$\theta$$, $$\mathbf{a}$$ और अवलोकन की दिशा के बीच का कोण है।

सरलीकृत क्वांटम-यांत्रिक विवरण
ब्रेम्सस्ट्राहलंग का पूर्ण क्वांटम-यांत्रिक उपचार बहुत सम्मिलित है। शुद्ध कूलम्ब क्षमता का उपयोग करते हुए एक इलेक्ट्रॉन, एक आयन और एक फोटॉन की परस्पर क्रिया के निर्वात स्थिति का एक यथार्थ हल है जो संभवत: प्रथमतः 1931 में ए. सोमरफेल्ड द्वारा प्रकाशित किया गया था। इस विश्लेषणात्मक हल में जटिल गणित सम्मिलित है, और कई संख्यात्मक गणनाएँ प्रकाशित की गई हैं, जैसे कर्ज़स और लैटर द्वारा। अन्य अनुमानित सूत्र प्रस्तुत किए गए हैं, जैसे वेनबर्ग और प्राडलर और सेमेलरॉक द्वारा हाल के कार्य में।

यह खंड पूर्व खंड का एक क्वांटम-यांत्रिक एनालॉग देता है, परन्तु कुछ सरलीकरण के साथ महत्वपूर्ण भौतिकी को चित्रित करता है। हम द्रव्यमान $$m_e$$ के एक इलेक्ट्रॉन की विशेष स्थिति के गैर-सापेक्षवादी उपचार देते हैं, आवेश$$-e$$, और प्रारंभिक गति $$v$$ आवेश $$Ze$$ और संख्या घनत्व $$n_i$$ के भारी आयनों की गैस के कूलम्ब क्षेत्र में घटते हैं। उत्सर्जित विकिरण आवृत्ति $$\nu=c/\lambda$$ और ऊर्जा $$h\nu$$ का एक फोटॉन है। हम उत्सर्जकता $$j(v,\nu)$$ को खोजना चाहते हैं जो प्रति उत्सर्जित शक्ति है (फोटॉन वेग समष्टि *में ठोस कोण फोटॉन आवृत्ति), दोनों अनुप्रस्थ फोटॉन ध्रुवीकरणों पर अभिव्यक्त की गई है। हम इसे क्वांटम और अन्य सुधारों के लिए मुक्त-मुक्त उत्सर्जन गौंट कारक gff लेखांकन के अनुमानित शास्त्रीय परिणाम के रूप में व्यक्त करते हैं:

$$j(v,\nu) = {8\pi\over 3\sqrt3}\left({e^2\over 4\pi\epsilon_0}\right)^3 {Z^2n_i \over c^3m_e^2v}g_{\rm ff}(v,\nu)$$

$$j(\nu,v)=0$$ यदि $$h\nu > mv^2/2$$, अर्थात्, इलेक्ट्रॉन में फोटॉन उत्सर्जित करने के लिए पर्याप्त गतिज ऊर्जा नहीं है। $$g_{\rm ff}$$ के लिए एक सामान्य, क्वांटम-यांत्रिक सूत्र स्थित है परन्तु बहुत जटिल है, और सामान्यतः संख्यात्मक गणनाओं द्वारा पाया जाता है। हम निम्नलिखित अतिरिक्त मान्यताओं के साथ कुछ अनुमानित परिणाम प्रस्तुत करते हैं:


 * निर्वात परस्पर क्रिया: हम परिप्रेक्ष्य माध्यम के किसी भी प्रभाव की उपेक्षा करते हैं, जैसे कि प्लाज्मा आवरण प्रभाव। यह प्लाज्मा इलेक्ट्रॉन घनत्व $$n_e$$के साथ प्लाज्मा दोलन $$\nu_{\rm pe} \propto n_{\rm e}^{1/2}$$ की तुलना में बहुत अधिक फोटॉन आवृत्ति के लिए उचित है। ध्यान दें कि प्रकाश तरंगें $$\nu<\nu_{\rm pe}$$ के लिए क्षणभंगुर हैं और एक महत्वपूर्ण भिन्न दृष्टिकोण की आवश्यकता होगी।
 * शीतल फोटॉन: $$h\nu\ll m_ev^2/2$$, अर्थात्, फोटॉन ऊर्जा प्रारंभिक इलेक्ट्रॉन गतिज ऊर्जा से बहुत कम है।

इन धारणाओं के साथ, दो इकाई रहित पैरामीटर प्रक्रिया की विशेषता बताते हैं: $$\eta_Z \equiv Ze^2/\hbar v$$, जो इलेक्ट्रॉन-आयन कूलम्ब परस्पर क्रिया की सामर्थ्य को मापता है, और $$\eta_\nu \equiv h\nu/2m_ev^2$$, जो फोटॉन की मृदुता को मापता है और हम मानते हैं कि यह सदैव छोटा होता है (कारक 2 का विकल्प बाद की सुविधा के लिए है)। सीमा में $$\eta_Z\ll 1$$, क्वांटम-यांत्रिक रूढ़ सन्निकटन देता है:

$$g_{\rm ff,Born} = {\sqrt3 \over \pi}\ln{1\over\eta_\nu}$$ विपरीत सीमा $$\eta_Z\gg 1$$ में, पूर्ण क्वांटम-मैकेनिकल परिणाम विशुद्ध शास्त्रीय परिणाम

$$g_{\rm ff,class} = {\sqrt3\over\pi}\left[\ln\left({1\over \eta_Z\eta_\nu}\right)- \gamma \right]$$ में घट जाता है जहाँ $$\gamma\approx 0.577$$ यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक है। ध्यान दें कि $$1/\eta_Z\eta_\nu=m_ev^3/\pi Ze^2\nu$$ जो कि प्लैंक स्थिरांक $$h$$ के बिना विशुद्ध शास्त्रीय अभिव्यक्ति है।

गौंट कारक को समझने का एक अर्ध-शास्त्रीय, अनुमानी विधि इसे $$g_{\rm ff} \approx \ln(b_{\rm max}/b_{\rm min})$$ के रूप में लिखना है जहां $$b_{\max}$$ और $$b_{\rm min}$$ इलेक्ट्रॉन-आयन टक्कर के लिए फोटॉन विद्युत क्षेत्र की उपस्थिति में अधिकतम और न्यूनतम "प्रभाव पैरामीटर" हैं। हमारी धारणाओं के साथ, $$b_{\rm max}=v/\nu$$: बड़े प्रभाव मापदंडों के लिए, फोटॉन क्षेत्र का ज्यावक्रीय दोलन "चरण मिश्रण" प्रदान करता है जो परस्पर क्रिया को दृढ़ता से कम करता है। $$b_{\rm min}$$ क्वांटम-यांत्रिक डीब्रॉली तरंग $$\approx h/m_ev$$ से बड़ा है और निकटतम दृष्टिकोण $$\approx e^2/4\pi\epsilon_0m_ev^2$$ की शास्त्रीय दूरी है जहाँ इलेक्ट्रॉन-आयन कूलम्ब संभावित ऊर्जा इलेक्ट्रॉन की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा के बराबर है।

उपरोक्त सन्निकटन सामान्यतः तब तक लागू होते हैं जब तक लघुगणक का तर्क बड़ा होता है, और जब यह एकता से कम होता है तो टूट जाता है। अर्थात्, गॉट गुणक के लिए ये रूप ऋणात्मक हो जाते हैं, जो अभौतिक है। पूर्ण गणनाओं के लिए एक अपूर्ण सन्निकटन, उपयुक्त जन्म और शास्त्रीय सीमाओं के साथ,

$$g_{\rm ff} \approx \max\left[1, {\sqrt3\over\pi}\ln\left[{1\over \eta_\nu\max(1,e^\gamma\eta_Z)}\right] \right]$$है

थर्मल आरोधन विकिरण: उत्सर्जन और अवशोषण
यह खंड मैक्रोस्कोपिक माध्यम में ब्रेम्सस्ट्रालंग उत्सर्जन और उलटा अवशोषण प्रक्रिया (इनवर्स ब्रेम्सरेडिएशन कहा जाता है) पर चर्चा करता है। हम विकिरण अंतरण के समीकरण से शुरू करते हैं, जो सामान्य प्रक्रियाओं पर लागू होता है न कि सिर्फ ब्रम्सस्ट्राह्लुंग पर:

$$\frac{1}{c} \partial_t I_\nu + \hat \mathbf n\cdot\nabla I_\nu = j_\nu-k_\nu I_\nu$$

$$I_\nu(t,\mathbf x)$$ विकिरण वर्णक्रमीय तीव्रता है, या शक्ति प्रति (क्षेत्र * फोटॉन वेग अंतरिक्ष * फोटॉन आवृत्ति में ठोस कोण) दोनों ध्रुवीकरणों पर अभिव्यक्त है। $$j_\nu$$ उत्सर्जन है, के अनुरूप $$j(v,\nu)$$ऊपर परिभाषित, और $$k_\nu$$ अवशोषकता है। $$j_\nu$$ और $$k_\nu$$ पदार्थ के गुण हैं, विकिरण नहीं, और माध्यम में सभी कणों के लिए खाते हैं - न कि केवल एक इलेक्ट्रॉन और एक आयन की एक जोड़ी जैसा कि पूर्व खंड में है। यदि $$I_\nu$$ अंतरिक्ष और समय में एक समान है, तो स्थानांतरण समीकरण का बायां हाथ शून्य है, और हम पाते हैं

$$I_\nu={j_\nu \over k_\nu}$$ यदि द्रव्य और विकिरण भी किसी ताप पर तापीय साम्यावस्था में हों, तब $$I_\nu$$ श्याम पिंडों से उत्पन्न विकिरण होना चाहिए:

$$B_\nu(\nu, T_e) = \frac{2h\nu^3}{c^2}\frac{1}{e^{h\nu/k_{\rm B}T_e} - 1}$$ तब से $$j_\nu$$ और $$k_\nu$$ से स्वतंत्र हैं $$I_\nu$$, इस का मतलब है कि $$j_\nu/k_\nu$$ विकिरण की स्थिति की परवाह किए बिना - जब भी मामला कुछ तापमान पर संतुलन में होता है तो ब्लैकबॉडी वर्णक्रम होना चाहिए। इससे हम दोनों को तुरंत जान सकते हैं $$j_\nu$$ और $$k_\nu$$ एक बार ज्ञात हो जाने के बाद - संतुलन में पदार्थ के लिए।

प्लाज्मा में
नोट: यह खंड वर्तमान में रेले-जीन्स सीमा में लागू होने वाले सूत्र देता है $$\hbar \omega \ll k_{\rm B}T_e$$, और विकिरण के परिमाणित (प्लैंक) उपचार का उपयोग नहीं करता है। इस प्रकार एक सामान्य कारक जैसे $$\exp(-\hbar\omega/k_{\rm B}T_e)$$ प्रकट नहीं होता है। निम्न का प्रकटन $$\hbar \omega / k_{\rm B}T_e$$ में $$y$$ नीचे टक्करों के क्वांटम-यांत्रिक उपचार के कारण है।

एक प्लाज्मा (भौतिकी) में, मुक्त इलेक्ट्रॉन लगातार आयनों से टकराते हैं, जिससे ब्रेम्सरेडिएशन का निर्माण होता है। एक पूर्ण विश्लेषण के लिए बाइनरी कूलम्ब टक्करों के साथ-साथ सामूहिक (ढांकता हुआ) व्यवहार दोनों के लिए लेखांकन की आवश्यकता होती है। बेकेफी द्वारा एक विस्तृत उपचार दिया गया है, जबकि एक सरलीकृत इचिमारू द्वारा दिया गया है। इस खंड में हम बेकेफी के ढांकता हुआ उपचार का पालन करते हैं, जिसमें कटऑफ वेवनंबर के माध्यम से लगभग टकराव सम्मिलित हैं, $$k_{\rm max}$$।

तापमान के साथ मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण के अनुसार वितरित थर्मल इलेक्ट्रॉनों के साथ एक समान प्लाज्मा पर विचार करें $$T_e$$। बेकेफी के बाद, शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व (शक्ति प्रति कोणीय आवृत्ति अंतराल प्रति आयतन, पूरे पर एकीकृत $$4\pi$$ ठोस कोण के steradian, और दोनों ध्रुवीकरणों में) ब्रम्हस्त्राह्लुंग विकीर्ण, की गणना की जाती है


 * $$ {dP_\mathrm{Br} \over d\omega} = {8\sqrt 2 \over 3\sqrt\pi} \left[{e^2 \over 4\pi\varepsilon_0} \right]^3 {1 \over (m_ec^2)^{3/2}} \left[1-{\omega_{\rm p}^2 \over \omega^2}\right]^{1/2} {Z_i^2 n_i n_e \over (k_{\rm B} T_e)^{1/2}} E_1(y),

$$ जहाँ $$\omega_p \equiv (n_ee^2/\varepsilon_0m_e)^{1/2}$$ इलेक्ट्रॉन प्लाज्मा आवृत्ति है, $$\omega$$ फोटॉन आवृत्ति है, $$n_e, n_i$$ इलेक्ट्रॉनों और आयनों की संख्या घनत्व है, और अन्य प्रतीक भौतिक स्थिरांक हैं। दूसरा ब्रैकेटेड कारक एक प्लाज्मा में एक प्रकाश तरंग के अपवर्तन का सूचकांक है, और यह दर्शाता है कि उत्सर्जन बहुत कम हो गया है $$\omega < \omega_{\rm p}$$ (यह एक प्लाज्मा में प्रकाश तरंग के लिए कटऑफ स्थिति है, इस स्थिति में प्रकाश तरंग क्षणभंगुर तरंग है)। इस प्रकार यह सूत्र केवल के लिए लागू होता है $$\omega>\omega_{\rm p}$$। इस सूत्र को बहु-प्रजाति के प्लाज्मा में आयन प्रजातियों पर अभिव्यक्त किया जाना चाहिए।

विशेष समारोह $$E_1$$ घातीय अभिन्न आर्टिकल और यूनिटलेस क्वांटिटी में परिभाषित किया गया है $$y$$ है


 * $$y = {1\over 2}{\omega^2 m_e \over k_{\rm max}^2 k_{\rm B} T_e} $$

$$k_{\rm max}$$ एक अधिकतम या कटऑफ वेवनंबर है, जो बाइनरी टक्करों के कारण उत्पन्न होता है, और आयन प्रजातियों के साथ भिन्न हो सकता है। अंदाज़न, $$k_{\rm max} = 1/\lambda_{\rm B}$$ कब $$k_{\rm B} T_{\rm e} > Z_i^2 E_{\rm h}$$ (प्लास्मा में विशिष्ट जो बहुत ठंडा नहीं है), जहां $$E_{\rm h} \approx 27.2$$ eV परमाणु इकाइयाँ हैं, और $$\lambda_{\rm B} = \hbar/(m_{\rm e} k_{\rm B} T_{\rm e})^{1/2}$$ इलेक्ट्रॉन थर्मल डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य है। अन्यथा, $$k_{\rm max} \propto 1/l_{\rm C}$$ जहाँ $$l_{\rm C}$$ निकटतम दृष्टिकोण की शास्त्रीय कूलम्ब दूरी है।

सामान्य स्थिति के लिए $$k_m = 1/\lambda_B$$, हम देखतें है


 * $$y = {1\over2}\left[\frac{\hbar\omega}{k_{\rm B} T_e}\right]^2. $$

के लिए सूत्र $$dP_\mathrm{Br}/d\omega$$ अनुमानित है, जिसमें यह बढ़े हुए उत्सर्जन की उपेक्षा करता है $$\omega$$ थोड़ा ऊपर $$\omega_{\rm p}$$।

सीमा में $$y\ll 1$$, हम अनुमान लगा सकते हैं $$E_1 $$ जैसा $$E_1(y) \approx -\ln [y e^\gamma] + O(y) $$ जहाँ $$\gamma\approx 0.577$$ यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक है। अग्रणी, लॉगरिदमिक तथ्य का प्रायः उपयोग किया जाता है, और कूलम्ब लॉगरिदम जैसा दिखता है जो अन्य संपार्श्विक प्लाज्मा गणनाओं में होता है। के लिए $$y>e^{-\gamma}$$ लघुगणक तथ्य ऋणात्मक है, और सन्निकटन स्पष्ट रूप से अपर्याप्त है। बेकेफी लघुगणक तथ्य के लिए सही अभिव्यक्ति देता है जो विस्तृत बाइनरी-टकराव गणनाओं से मेल खाता है।

कुल उत्सर्जन शक्ति घनत्व, सभी आवृत्तियों पर एकीकृत है


 * $$\begin{align}

P_\mathrm{Br} &= \int_{\omega_{\rm p}}^\infty d\omega {dP_\mathrm{Br}\over d\omega} = {16 \over 3} \left[ {e^2 \over 4\pi\varepsilon_0} \right]^3 {1 \over m_e^2c^3} Z_i^2 n_i n_e k_{\rm max} G(y_{\rm p}) \\ G(y_p) &= {1 \over 2\sqrt{\pi}} \int_{y_{\rm p}}^\infty dy \, y^{-\frac{1}{2}} \left[1 - {y_{\rm p} \over y}\right]^\frac{1}{2} E_1(y) \\ y_{\rm p} &= y(\omega=\omega_{\rm p}) \end{align}$$
 * $$G(y_{\rm p}=0)=1$$ और साथ घटता है $$y_{\rm p}$$; यह सदैव सकारात्मक होता है। के लिए $$k_{\rm max} = 1/\lambda_{\rm B}$$, हम देखतें है


 * $$P_\mathrm{Br} = {16 \over 3} {\left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\right)^3 \over (m_e c^2)^\frac{3}{2}\hbar} Z_i^2 n_i n_e (k_{\rm B} T_e)^\frac{1}{2} G(y_{\rm p})$$

की उपस्थिति पर ध्यान दें $$\hbar$$ की क्वांटम प्रकृति के कारण $$\lambda_{\rm B}$$। व्यावहारिक इकाइयों में, इस सूत्र का सामान्यतः इस्तेमाल किया जाने वाला संस्करण $$G=1$$ है
 * $$P_\mathrm{Br} [\textrm{W}/\textrm{m}^3] = {Z_i^2 n_i n_e \over \left[7.69 \times 10^{18} \textrm{m}^{-3}\right]^2} T_e[\textrm{eV}]^\frac{1}{2}. $$

बाइनरी टक्करों के विवरण के कारण अंतर के साथ, यह सूत्र ऊपर दिए गए सूत्र का 1.59 गुना है। इस तरह की अस्पष्टता को प्रायः गौण कारक पेश करके व्यक्त किया जाता है $$g_{\rm B}$$, उदा. में एक पाता है


 * $$\varepsilon_\mathrm{ff} = 1.4\times 10^{-27} T^\frac{1}{2} n_e n_i Z^2 g_{\rm B},\,$$

जहां सीजीएस इकाइयों में सब कुछ व्यक्त किया गया है।

सापेक्ष सुधार
बहुत अधिक तापमान के लिए इस सूत्र में सापेक्षिक सुधार होते हैं, अर्थात, के क्रम की अतिरिक्त शर्तें $$k_{\rm B} T_e/m_e c^2\,.$$

ब्रेम्सस्ट्रालंग कूलिंग
यदि प्लाज्मा ऑप्टिकल गहराई है, तो ब्रम्हस्त्राह्लुंग विकिरण हानि को छोड़ देता है, आंतरिक प्लाज्मा ऊर्जा का हिस्सा ले जाता है। इस प्रभाव को ब्रेम्सस्ट्राहलंग कूलिंग के रूप में जाना जाता है। यह एक प्रकार का विकिरण शीतलन है। ब्रेम्सरेडिएशन द्वारा ले जाई जाने वाली ऊर्जा को ब्रेम्सरेडिएशन loss कहा जाता है और यह एक प्रकार के विकिरण संबंधी नुकसान का प्रतिनिधित्व करता है। सामान्यतः ब्रेम्सरेडिएशन लॉस तथ्य का उपयोग उस संदर्भ में किया जाता है जब प्लाज्मा कूलिंग अवांछित होती है, उदाहरण के लिए। परमाणु संलयन में।

ध्रुवीकरण संबंधी ब्रेम्सरेडिएशन
ध्रुवीकरण संबंधी ब्रेम्सरेडिएशन (कभी-कभी परमाणु ब्रेम्सरेडिएशन के रूप में जाना जाता है) लक्ष्य के परमाणु इलेक्ट्रॉनों द्वारा उत्सर्जित विकिरण होता है क्योंकि लक्ष्य परमाणु को आवेशित कण के कूलम्ब क्षेत्र द्वारा ध्रुवीकृत किया जाता है। कुल ब्रेम्सस्ट्रालंग वर्णक्रम में ध्रुवीकरण संबंधी ब्रेम्सरेडिएशन योगदान को अपेक्षाकृत बड़े पैमाने पर घटना वाले कणों से जुड़े प्रयोगों में देखा गया है, अनुनाद प्रक्रियाएं, और मुक्त परमाणु। यद्यपि, अभी भी कुछ बहस चल रही है कि ठोस लक्ष्यों पर तीव्रता से इलेक्ट्रॉनों की घटना से जुड़े प्रयोगों में महत्वपूर्ण ध्रुवीकरण ब्रेम्सस्ट्राहलंग योगदान हैं या नहीं। यह ध्यान देने योग्य है कि ध्रुवीकरण तथ्य का अर्थ यह नहीं है कि उत्सर्जित ब्रेम्सरेडिएशन ध्रुवीकृत है। साथ ही, ध्रुवीकरण वाले ब्रेम्सस्ट्राहलंग का कोणीय वितरण सैद्धांतिक रूप से सामान्य ब्रेम्सरेडिएशन से काफी अलग है।

एक्स-रे ट्यूब


एक एक्स-रे ट्यूब में, इलेक्ट्रॉनों को लक्ष्य नामक धातु के एक टुकड़े की ओर एक विद्युत क्षेत्र द्वारा निर्वात में त्वरित किया जाता है। एक्स-रे उत्सर्जित होते हैं क्योंकि धातु में इलेक्ट्रॉनों की गति धीमी (धीमी) हो जाती है। आउटपुट वर्णक्रम में एक्स-रे का एक सतत वर्णक्रम होता है, जिसमें कुछ ऊर्जाओं पर अतिरिक्त तेज चोटियां होती हैं। निरंतर वर्णक्रम ब्रेम्सरेडिएशन के कारण होता है, जबकि तेज चोटियां विशिष्ट एक्स-रे हैं। लक्ष्य में परमाणुओं से जुड़ी विशेषता एक्स-रे। इस कारण से, इस संदर्भ में ब्रेम्सरेडिएशन को निरंतर एक्स-रे भी कहा जाता है। इस सातत्य वर्णक्रम का आकार लगभग क्रामर्स के कानून द्वारा वर्णित है।

क्रेमर्स के नियम का सूत्र सामान्यतः तीव्रता के वितरण (फोटॉन काउंट) के रूप में दिया जाता है $$I$$ तरंग दैर्ध्य के खिलाफ $$\lambda$$ उत्सर्जित विकिरण की:
 * $$ I(\lambda) \, d\lambda = K \left( \frac{\lambda}{\lambda_{\min}} - 1 \right)\frac{1}{\lambda^2} \, d\lambda $$

निरंतर K लक्ष्य तत्व की परमाणु संख्या के समानुपाती होता है, और $$\lambda_{\min}$$ डुआन-हंट कानून द्वारा दी गई न्यूनतम तरंग दैर्ध्य है।

वर्णक्रम में तेज कटऑफ है $$\lambda_{\min}$$, जो आने वाले इलेक्ट्रॉनों की सीमित ऊर्जा के कारण है। उदाहरण के लिए, यदि ट्यूब में एक इलेक्ट्रॉन को 60 किलोवोल्ट के माध्यम से त्वरित किया जाता है, तो यह 60 इलेक्ट्रॉन वोल्ट की गतिज ऊर्जा प्राप्त करेगा, और जब यह लक्ष्य से टकराता है, तो यह ऊर्जा के संरक्षण द्वारा अधिकतम 60 keV की ऊर्जा के साथ एक्स-रे बना सकता है। । (यह ऊपरी सीमा केवल एक एक्स-रे फोटॉन उत्सर्जित करके एक स्टॉप पर आने वाले इलेक्ट्रॉन से मेल खाती है। सामान्यतः इलेक्ट्रॉन कई फोटॉन उत्सर्जित करता है, और प्रत्येक में 60 केवी से कम ऊर्जा होती है।) अधिकतम 60 केवी की ऊर्जा वाले फोटॉन में तरंग दैर्ध्य होता है। कम से कम 21 पीकोमीटर, इसलिए निरंतर एक्स-रे वर्णक्रम में ठीक वही कटऑफ है, जैसा कि ग्राफ में देखा गया है। अधिक सामान्यतः कम-तरंग दैर्ध्य कटऑफ, डुआन-हंट कानून के लिए सूत्र है:
 * $$\lambda_\min = \frac{h c}{e V} \approx \frac{1239.8}{V}\text{ pm/kV}$$

जहाँ h प्लैंक स्थिरांक है, c प्रकाश की गति है, V वह वोल्टेज है जिसके माध्यम से इलेक्ट्रॉनों को त्वरित किया जाता है, e प्राथमिक आवेश है, और pm पिकोमेट्रेस है।

बीटा क्षय
बीटा कण उत्सर्जक पदार्थ कभी-कभी निरंतर वर्णक्रम के साथ एक कमजोर विकिरण प्रदर्शित करते हैं जो कि ब्रेम्सरेडिएशन के कारण होता है (नीचे बाहरी ब्रेम्सरेडिएशन देखें)। इस संदर्भ में, ब्रेम्सरेडिएशन एक प्रकार का द्वितीयक विकिरण है, जिसमें यह प्राथमिक विकिरण (बीटा कण) को रोकने (या धीमा करने) के परिणामस्वरूप उत्पन्न होता है। यह एक्स-रे जनरेटर (जैसा कि ऊपर) में इलेक्ट्रॉनों के साथ धातु के लक्ष्यों पर बमबारी करके उत्पादित एक्स-रे के समान है, सिवाय इसके कि यह बीटा विकिरण से उच्च गति वाले इलेक्ट्रॉनों द्वारा निर्मित होता है।

आंतरिक और बाहरी ब्रेम्सरेडिएशन
आंतरिक ब्रेम्सरेडिएशन (जिसे आंतरिक ब्रेम्सरेडिएशन के रूप में भी जाना जाता है) इलेक्ट्रॉन के निर्माण और इसके ऊर्जा के नुकसान से उत्पन्न होता है (नाभिक के क्षेत्र में मजबूत विद्युत क्षेत्र के कारण क्षय हो रहा है) क्योंकि यह नाभिक को छोड़ देता है। इस तरह के विकिरण नाभिक में बीटा क्षय की एक विशेषता है, परन्तु यह कभी-कभी (कम सामान्यतः) प्रोटॉन के लिए मुक्त न्यूट्रॉन के बीटा क्षय में देखा जाता है, जहां इसे बनाया जाता है क्योंकि बीटा इलेक्ट्रॉन प्रोटॉन छोड़ देता है।

बीटा क्षय द्वारा इलेक्ट्रॉन और पॉज़िट्रॉन उत्सर्जन में, फोटॉन की ऊर्जा इलेक्ट्रॉन-न्यूक्लियॉन जोड़ी से आती है, जिसमें बीटा कण की बढ़ती ऊर्जा के साथ ब्रेम्सस्ट्राहलंग का वर्णक्रम लगातार घटता जाता है। इलेक्ट्रॉन कैप्चर में, ऊर्जा न्युट्रीनो की कीमत पर आती है, और वर्णक्रम सामान्य न्यूट्रिनो ऊर्जा का लगभग एक तिहाई होता है, जो सामान्य न्यूट्रिनो ऊर्जा पर शून्य विद्युत चुम्बकीय ऊर्जा तक कम हो जाता है। ध्यान दें कि इलेक्ट्रॉन कैप्चर की स्थिति में, कोई आवेशित कण उत्सर्जित नहीं होने पर भी ब्रेम्सरेडिएशन उत्सर्जित होता है। इसके बजाय, ब्रेम्सरेडिएशन विकिरण को उत्पन्न होने के बारे में सोचा जा सकता है क्योंकि कैप्चर किए गए इलेक्ट्रॉन को अवशोषित होने की दिशा में त्वरित किया जाता है। इस तरह के विकिरण आवृत्तियों पर हो सकते हैं जो नरम गामा विकिरण के समान होते हैं, परन्तु यह गामा क्षय की तेज वर्णक्रमीय रेखाओं में से कोई भी प्रदर्शित नहीं करता है, और इस प्रकार तकनीकी रूप से गामा विकिरण नहीं है।

जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, बाहर से आने वाले इलेक्ट्रॉनों के नाभिक (अर्थात, किसी अन्य नाभिक द्वारा उत्सर्जित) पर टकराने के कारण आंतरिक प्रक्रिया को बाहरी ब्रेम्सरेडिएशन से अलग किया जाना है।

विकिरण सुरक्षा
कुछ मामलों में, जैसे कि क्षय, सामान्य रूप से उपयोग की जाने वाली सघन सामग्री (जैसे सीसा) के साथ विकिरण ढाल बीटा विकिरण द्वारा उत्पादित ब्रेम्सरेडिएशन अपने आप में खतरनाक है; ऐसे मामलों में, कम घनत्व वाली सामग्री, जैसे प्लेक्सीग्लास (ल्यूसाइट), प्लास्टिक, लकड़ी, या पानी के साथ परिरक्षण पूरा किया जाना चाहिए; चूंकि इन सामग्रियों के लिए परमाणु संख्या कम है, ब्रम्हस्त्राह्लुंग की तीव्रता काफी कम हो जाती है, परन्तु इलेक्ट्रॉनों (बीटा विकिरण) को रोकने के लिए परिरक्षण की एक बड़ी मोटाई की आवश्यकता होती है।

खगोल भौतिकी में
आकाशगंगाओं के समूह में प्रमुख चमकदार घटक 10 है7 से 108 केल्विन इंट्राक्लस्टर माध्यम। इंट्राक्लस्टर माध्यम से उत्सर्जन थर्मल ब्रेम्सरेडिएशन द्वारा विशेषता है। यह विकिरण एक्स-रे की ऊर्जा सीमा में है और आसानी से चंद्रा एक्स-रे वेधशाला, XMM- न्यूटन, आरओएसएटी, कॉस्मोलॉजी और एस्ट्रोफिजिक्स के लिए उन्नत उपग्रह, एक्सोसैट, सुजाकू (उपग्रह), रेवेन जैसे अंतरिक्ष-आधारित दूरबीनों के साथ देखा जा सकता है। रेमाटी उच्च ऊर्जा सौर स्पेक्ट्रोस्कोपिक इमेजर और भविष्य के मिशन जैसे अंतर्राष्ट्रीय एक्स-रे वेधशाला और एस्ट्रो-एच [https: //web.archive.org/web/20071112015825/http://www.astro.isas.ac.jp/future/NeXT/]।

ब्रेम्सरेडिएशन रेडियो तरंग दैर्ध्य पर H II क्षेत्रों के लिए प्रमुख उत्सर्जन तंत्र भी है।

इलेक्ट्रिक डिस्चार्ज में
विद्युत निर्वहन में, उदाहरण के लिए दो इलेक्ट्रोड के बीच प्रयोगशाला निर्वहन के रूप में या बादल और जमीन के बीच या बादलों के भीतर बिजली के निर्वहन के रूप में, इलेक्ट्रॉन हवा के अणुओं को बिखेरते हुए ब्रेम्सरेडिएशन फोटोन का उत्पादन करते हैं। ये फोटोन स्थलीय गामा-किरण चमक में प्रकट होते हैं और इलेक्ट्रॉनों, पॉज़िट्रॉन, न्यूट्रॉन और प्रोटॉन के बीम के स्रोत होते हैं। ब्रेम्सरेडिएशन फोटॉनों की उपस्थिति ऑक्सीजन के कम प्रतिशत वाले नाइट्रोजन-ऑक्सीजन मिश्रण में निर्वहन के प्रसार और आकारिकी को भी प्रभावित करती है।

क्वांटम यांत्रिक विवरण
पूर्ण क्वांटम यांत्रिक विवरण सबसे पूर्व बेथे और हेटलर द्वारा किया गया था। उन्होंने इलेक्ट्रॉनों के लिए समतल तरंगें ग्रहण कीं जो एक परमाणु के नाभिक में बिखरती हैं, और एक क्रॉस सेक्शन प्राप्त किया जो उस प्रक्रिया की पूरी ज्यामिति को उत्सर्जित फोटॉन की आवृत्ति से संबंधित करता है। चौगुनी अंतर क्रॉस सेक्शन जो जोड़ी उत्पादन के लिए क्वांटम यांत्रिक समरूपता दिखाता है, है:


 * $$\begin{align}

d^4\sigma ={} &\frac{Z^2 \alpha_\text{fine}^3 \hbar^2}{(2\pi)^2}\frac{\left|\mathbf{p}_f\right|}{\left|\mathbf{p}_i\right|} \frac{d\omega}{\omega}\frac{d\Omega_i \, d\Omega_f \, d\Phi}{\left|\mathbf{q}\right|^4} \\ &{}\times \left[ \frac{\mathbf{p}_f^2\sin^2\Theta_f}{\left(E_f - c\left|\mathbf{p}_f\right| \cos\Theta_f\right)^2}\left(4E_i^2 - c^2\mathbf{q}^2\right) + \frac{\mathbf{p}_i^2\sin^2\Theta_i}{\left(E_i - c\left|\mathbf{p}_i\right| \cos\Theta_i\right)^2}\left(4E_f^2 - c^2\mathbf{q}^2\right) \right. \\               & {} \qquad+ 2\hbar^2\omega^2 \frac {\mathbf{p}_i^2 \sin^2\Theta_i + \mathbf{p}_f^2 \sin^2\Theta_f} {(E_f - c\left|\mathbf{p}_f\right| \cos\Theta_f)\left(E_i - c\left|\mathbf{p}_i\right| \cos\Theta_i\right)} \\ & {} \qquad- 2\left. \frac {\left|\mathbf{p}_i\right| \left|\mathbf{p}_f\right| \sin\Theta_i \sin\Theta_f \cos\Phi} {\left(E_f - c\left|\mathbf{p}_f\right| \cos\Theta_f\right)\left(E_i - c\left|\mathbf{p}_i\right| c1\cos\Theta_i\right)} \left(2E_i^2 + 2E_f^2 - c^2\mathbf{q}^2\right) \right]. \end{align}$$ वहाँ $$Z$$ परमाणु संख्या है, $$\alpha_\text{fine}\approx 1/137$$ ठीक-संरचना स्थिरांक, $$\hbar$$ कम प्लैंक स्थिरांक और $$c$$ प्रकाश की गति। गतिज ऊर्जा $$E_{\text{kin},i/f}$$ प्रारंभिक और अंतिम अवस्था में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा से जुड़ा होता है $$E_{i,f}$$ या इसका क्षण $$\mathbf{p}_{i,f}$$ के जरिए



E_{i, f} = E_{\text{kin}, i/f} + m_e c^2 = \sqrt{m_e^2 c^4 + \mathbf{p}_{i, f}^2 c^2}, $$ जहाँ $$m_e$$ एक इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है। ऊर्जा का संरक्षण देता है



E_f = E_i - \hbar\omega, $$ जहाँ $$ \hbar\omega $$ फोटॉन ऊर्जा है। उत्सर्जित फोटॉन और प्रकीर्णित इलेक्ट्रॉन की दिशाएँ किसके द्वारा दी गई हैं


 * $$\begin{align}

\Theta_i &= \sphericalangle(\mathbf{p}_i, \mathbf{k}),\\ \Theta_f &= \sphericalangle(\mathbf{p}_f, \mathbf{k}),\\ \Phi &= \text{Angle between the planes } (\mathbf{p}_i, \mathbf{k}) \text{ and } (\mathbf{p}_f, \mathbf{k}), \end{align}$$ जहाँ $$\mathbf{k}$$ फोटॉन की गति है।

अंतर के रूप में दिया गया है


 * $$\begin{align}

d\Omega_i &= \sin\Theta_i\ d\Theta_i,\\ d\Omega_f &= \sin\Theta_f\ d\Theta_f. \end{align}$$ नाभिक और इलेक्ट्रॉन के बीच आभासी फोटॉन का निरपेक्ष मान है


 * $$\begin{align}

-\mathbf{q}^2 ={} & -\left|\mathbf{p}_i\right|^2 - \left|\mathbf{p}_f\right|^2 - \left(\frac{\hbar}{c}\omega\right)^2 + 2\left|\mathbf{p}_i\right|\frac{\hbar}{c} \omega\cos\Theta_i - 2\left|\mathbf{p}_f\right|\frac{\hbar}{c} \omega\cos\Theta_f \\ & {} + 2\left|\mathbf{p}_i\right| \left|\mathbf{p}_f\right| \left(\cos\Theta_f\cos\Theta_i + \sin\Theta_f\sin\Theta_i\cos\Phi\right). \end{align}$$ वैधता की सीमा बोर्न सन्निकटन द्वारा दी गई है



v \gg \frac{Zc}{137} $$ जहां वेग के लिए इस संबंध को पूरा करना होता है $$ v $$ प्रारंभिक और अंतिम अवस्था में इलेक्ट्रॉन की।

व्यावहारिक अनुप्रयोगों के लिए (उदाहरण के लिए मोंटे कार्लो एन-पार्टिकल ट्रांसपोर्ट कोड में) आवृत्ति के बीच संबंध पर ध्यान देना दिलचस्प हो सकता है $$\omega$$ उत्सर्जित फोटॉन और इस फोटॉन और घटना इलेक्ट्रॉन के बीच का कोण। कोह्न और एबर्ट बाहर ने बेथे और हेटलर द्वारा चौगुनी अंतर क्रॉस सेक्शन को एकीकृत किया $$\Phi$$ और $$\Theta_f$$ और प्राप्त किया:

\frac{d^2\sigma (E_i, \omega, \Theta_i)}{d\omega \, d\Omega_i} = \sum\limits_{j=1}^6 I_j $$ साथ


 * $$\begin{align}

I_1 ={} &\frac{2\pi A}{\sqrt{\Delta_2^2 + 4p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i}} \ln\left(\frac              { \Delta_2^2 + 4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i - \sqrt{\Delta_2^2 + 4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i}\left(\Delta_1 + \Delta_2\right) + \Delta_1\Delta_2}               {-\Delta_2^2 - 4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i - \sqrt{\Delta_2^2 + 4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i}\left(\Delta_1 - \Delta_2\right) + \Delta_1\Delta_2}           \right) \\ & {} \times\left[ 1 +           \frac{c\Delta_2}{p_f\left(E_i - cp_i\cos\Theta_i\right)} - \frac{p_i^2 c^2 \sin^2\Theta_i}{\left(E_i - cp_i\cos\Theta_i\right)^2} - \frac{2\hbar^2\omega^2 p_f \Delta_2}{c\left(E_i - cp_i\cos\Theta_i\right)\left(\Delta_2^2 + 4p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i\right)} \right], \\ I_2 ={} &-\frac{2\pi Ac}{p_f\left(E_i - cp_i\cos\Theta_i\right)}\ln\left(\frac{E_f + p_fc}{E_f - p_fc}\right), \\ I_3 = {} & \frac{2\pi A}{\sqrt{\left(\Delta_2E_f + \Delta_1 p_f c\right)^4 + 4m^2 c^4 p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i}} \times \ln\left[\left(\left[E_f + p_fc\right]\right.\right. \\         & \left.\left[4p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i\left(E_f - p_f c\right) +              \left(\Delta_1 + \Delta_2\right)\left(\left[\Delta_2 E_f + \Delta_1 p_f c\right] - \sqrt{\left[\Delta_2 E_f + \Delta_1 p_f c\right]^2 + 4m^2 c^4 p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i}\right)\right]\right) \\ &\left[\left(E_f - p_f c\right)\left(4p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i\left[-E_f - p_f c\right]\right.\right. \\         & {} + \left.\left.\left(\Delta_1 - \Delta_2\right)\left(\left[\Delta_2 E_f + \Delta_1 p_f c\right] - \sqrt{\left(\Delta_2 E_f + \Delta_1 p_f c\right)^2 + 4m^2 c^4 p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i}\right]\right)\right]^{-1} \\         & {} \times \left[-\frac{              \left(\Delta_2^2 + 4p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i\right)\left(E_f^3 + E_f p_f^2 c^2\right) +              p_f c\left(2\left[\Delta_1^2 - 4p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i\right]E_f p_f c + \Delta_1 \Delta_2\left[3E_f^2 + p_f^2 c^2\right]\right)           }            {\left(\Delta_2E_f + \Delta_1 p_f c\right)^2 + 4m^2 c^4 p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i}        \right.\\          & {} -\frac{c\left(\Delta_2 E_f + \Delta_1 p_f c\right)}{p_f\left(E_i - cp_i \cos\Theta_i\right)} -              \frac{                  4E_i^2 p_f^2 \left(2\left[\Delta_2 E_f + \Delta_1 p_f c\right]^2 - 4m^2 c^4 p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i\right)\left(\Delta_1 E_f + \Delta_2 p_f c\right)               }                {\left(\left[\Delta_2 E_f + \Delta_1 p_f c\right]^2 + 4m^2 c^4 p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i\right)^2} \\          & {} + \left.\frac{              8p_i^2 p_f^2 m^2 c^4 \sin^2\Theta_i\left(E_i^2 + E_f^2\right) -              2\hbar^2\omega^2 p_i^2 \sin^2\Theta_i p_f c\left(\Delta_2 E_f + \Delta_1 p_f c\right) +              2\hbar^2 \omega^2 p_f m^2 c^3\left(\Delta_2 E_f + \Delta_1 p_f c\right)            }            {\left(E_i - cp_i\cos\Theta_i\right)\left(\left[\Delta_2 E_f + \Delta_1 p_f c\right]^2 + 4m^2 c^4 p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i\right)}\right], \\  I_4 ={} & {} -\frac              {4\pi A p_f c\left(\Delta_2 E_f + \Delta_1 p_f c\right)}              {\left(\Delta_2E_f + \Delta_1 p_f c\right)^2 + 4m^2 c^4 p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i} -            \frac {16\pi E_i^2 p_f^2 A\left(\Delta_2E_f + \Delta_1 p_f c\right)^2} {\left(\left[\Delta_2 E_f + \Delta_1 p_f c\right]^2 + 4m^2 c^4 p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i\right)^2}, \\ I_5 ={} & \frac {4\pi A}             { \left(-\Delta_2^2 + \Delta_1^2 - 4 p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i\right) \left(\left[\Delta_2 E_f + \Delta_1 p_f c\right]^2 + 4m^2 c^4 p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i\right) } \\         & {} \times\left[\frac{\hbar^2 \omega^2 p_f^2}{E_i - cp_i\cos\Theta_i}\right.\\ & {} \times\frac{ E_f\left(2\Delta_2^2\left[\Delta_2^2 - \Delta_1^2\right] + 8p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i\left[\Delta_2^2 + \Delta_1^2\right]\right) + p_f c\left(2\Delta_1\Delta_2\left[\Delta_2^2 - \Delta_1^2\right] + 16\Delta_1\Delta_2 p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i\right) }              {\Delta_2^2 + 4p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i} \\ & {} + \frac {2\hbar^2 \omega^2 p_i^2 \sin^2\Theta_i \left(2\Delta_1\Delta_2 p_f c + 2\Delta_2^2 E_f + 8p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i E_f\right)} {E_i - cp_i\cos\Theta_i} \\ & {} + \frac {2E_i^2 p_f^2 \left(                  2\left[\Delta_2^2 - \Delta_1^2\right]\left[\Delta_2 E_f + \Delta_1 p_f c\right]^2 +                   8p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i\left[\left(\Delta_1^2 + \Delta_2^2\right)\left(E_f^2 + p_f^2 c^2\right) + 4\Delta_1\Delta_2 E_f p_f c\right]                 \right) }              {\left(\Delta_2 E_f + \Delta_1 p_f c\right)^2 + 4m^2 c^4 p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i} \\ & {} + \left.\frac{8p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i\left(E_i^2 + E_f^2\right)\left(\Delta_2p_fc + \Delta_1 E_f\right)}{E_i - cp_i\cos\Theta_i}\right], \\ I_6 ={} & \frac{16\pi E_f^2 p_i^2 \sin^2\Theta_i A}{\left(E_i - cp_i\cos\Theta_i\right)^2 \left(-\Delta_2^2 + \Delta_1^2 - 4p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i\right)}, \end{align}$$ और


 * $$\begin{align}

A &= \frac{Z^2\alpha_\text{fine}^3}{(2\pi)^2} \frac{\left|\mathbf{p}_f\right|}{\left|\mathbf{p}_i\right|} \frac{\hbar^2}{\omega} \\ \Delta_1 &= -\mathbf{p}_i^2 - \mathbf{p}_f^2 - \left(\frac{\hbar}{c}\omega\right)^2 + 2\frac{\hbar}{c} \omega\left|\mathbf{p}_i\right|\cos\Theta_i, \\ \Delta_2 &= -2\frac{\hbar}{c}\omega\left|\mathbf{p}_f\right| + 2\left|\mathbf{p}_i\right|\left|\mathbf{p}_f\right|\cos\Theta_i. \end{align}$$ यद्यपि, एक ही अभिन्न के लिए एक बहुत ही सरल अभिव्यक्ति में पाया जा सकता है (Eq। 2BN) और में (समीकरण 4.1)।

ऊपर दिए गए दोहरे अंतर क्रॉस सेक्शन के विश्लेषण से पता चलता है कि जिन इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा बाकी ऊर्जा (511 keV) से बड़ी है, वे आगे की दिशा में फोटॉनों का उत्सर्जन करते हैं, जबकि कम ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन आइसोट्रोपिक रूप से फोटॉनों का उत्सर्जन करते हैं।

इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन ब्रेम्सरेडिएशन
एक क्रियाविधि, जिसे छोटे परमाणु क्रमांकों के लिए महत्वपूर्ण माना जाता है $$Z$$, एक परमाणु या अणु के खोल इलेक्ट्रॉनों पर एक मुक्त इलेक्ट्रॉन का प्रकीर्णन है। चूँकि इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन ब्रेम्सरेडिएशन का एक कार्य है $$Z$$ और सामान्य इलेक्ट्रॉन-नाभिक ब्रेम्सस्ट्राहलंग का एक कार्य है $$Z^2$$, इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन ब्रेम्सरेडिएशन धातुओं के लिए नगण्य है। यद्यपि, हवा के लिए, यह स्थलीय गामा-किरण चमक के उत्पादन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

यह भी देखें

 * बीम विकिरण
 * साइक्लोट्रॉन विकिरण
 * विगलर ​​(सिंक्रोट्रॉन)
 * फ्री-इलेक्ट्रॉन लेजर
 * एक्स-रे#इतिहास|एक्स-रे का इतिहास
 * लैंडौ-पोमेरानचुक-मिग्डल प्रभाव
 * प्लाज्मा भौतिकी लेखों की सूची
 * न्यूक्लियर फ्यूजन#ब्रेम्सस्ट्राह्लुंग लॉसेज इन क्वैसिनेट्रल, आइसोट्रोपिक प्लास्मा|न्यूक्लियर फ्यूजन: ब्रेम्सस्ट्राह्लुंग लॉसेस
 * पदार्थ में उच्च ऊर्जा इलेक्ट्रॉनों द्वारा ब्रेम्सस्ट्रालुंग द्वारा ऊर्जा हानि को चिह्नित करने वाली विकिरण लंबाई
 * सिंक्रोट्रॉन प्रकाश स्रोत

बाहरी संबंध

 * Index of Early ब्रेम्सरेडिएशन Articles