डिक्सन बहुपद

गणित में, डिक्सन बहुपद, जिसे $D_{n}(x,α)$ द्वारा निरूपित किया जाता है, द्वारा प्रस्तुत एक बहुपद अनुक्रम बनाता है।  द्वारा ब्रेवर योगों के अपने अध्ययन में उन्हें फिर से खोजा गया  कई बार, यद्यपि  कदाचित, ब्रेवर बहुपद के रूप में संदर्भित किया गया हो।

सम्मिश्र संख्याओं में, डिक्सन बहुपद चर के परिवर्तन के साथ अनिवार्य रूप से चेबीशेव बहुपदों के समतुल्य हैं, और, वस्तुतः, डिक्सन बहुपदों को कभी-कभी चेबीशेव बहुपद कहा जाता है।

डिक्सन बहुपदों का अध्ययन सामान्यतः परिमित क्षेत्रों  पर किया जाता है, जहाँ वे कभी-कभी चेबीशेव बहुपदों के समतुल्य नहीं हो सकते हैं। उनमें  रुचि का एक मुख्य कारण निश्चित $α$  के लिए, वे  क्रमपरिवर्तन बहुपदों के कई उदाहरण देते हैं; परिमित क्षेत्रों के क्रमपरिवर्तन के रूप में कार्य करने वाले बहुपद।

प्रथम प्रकार
पहचान के साथ क्रमविनिमेय वलय $R$ में पूर्णांक $n > 0$ और $α$ के लिए   (प्रायः  परिमित क्षेत्र $F_{q} = GF(q)$ चुना जाता है ) $R$ पर  डिक्सन बहुपद (प्रथम प्रकार का)
 * $$D_n(x,\alpha)=\sum_{i=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}\frac{n}{n-i} \binom{n-i}{i} (-\alpha)^i x^{n-2i} \,$$
 * द्वारा दिया जाता है।

पूर्व कुछ डिक्सन बहुपद


 * $$\begin{align}

D_1(x,\alpha) &= x \\ D_2(x,\alpha) &= x^2 - 2\alpha \\ D_3(x,\alpha) &= x^3 - 3x\alpha \\ D_4(x,\alpha) &= x^4 - 4x^2\alpha + 2\alpha^2 \\ D_5(x,\alpha) &= x^5 - 5x^3\alpha + 5x\alpha^2 \, \end{align}$$
 * हैं।

वे प्रारंभिक शर्तों $D_{0}(x,α) = 2$ और $D_{1}(x,α) = x$ के साथ $n ≥ 2$,


 * $$D_n(x,\alpha) = xD_{n-1}(x,\alpha)-\alpha D_{n-2}(x,\alpha) \,,$$

के लिए पुनरावृत्ति संबंध द्वारा भी उत्पन्न हो सकते हैं।

गुणांक पूर्व दो पदों के लिए न्यूनतम अंतर के साथ ओईआईएस   में कई स्थानों पर दिए गए हैं।

द्वितीय प्रकार
द्वितीय प्रकार के डिक्सन बहुपद, $E_{n}(x,α)$ द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$E_n(x,\alpha)=\sum_{i=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}\binom{n-i}{i} (-\alpha)^i x^{n-2i}. $$

उनका अधिक अध्ययन नहीं किया गया है, और प्रथम प्रकार के डिक्सन बहुपदों के समान गुण हैं। द्वितीय प्रकार के पूर्व कुछ डिक्सन बहुपद हैं


 * $$\begin{align}

E_0(x,\alpha) &= 1 \\ E_1(x,\alpha) &= x \\ E_2(x,\alpha) &= x^2 - \alpha \\ E_3(x,\alpha) &= x^3 - 2x\alpha \\ E_4(x,\alpha) &= x^4 - 3x^2\alpha + \alpha^2 \,. \end{align}$$ वे पुनरावृत्ति संबंध द्वारा भी उत्पन्न हो सकते हैं $n ≥ 2$,


 * $$E_n(x,\alpha) = xE_{n-1}(x,\alpha)-\alpha E_{n-2}(x,\alpha) \,,$$

प्रारंभिक शर्तों के साथ $E_{0}(x,α) = 1$ और $E_{1}(x,α) = x$.

गुणांक भी ओईआईएस में दिए गए हैं।

गुण
$D_{n}$} कार्यात्मक समीकरण को संतुष्ट करने वाले अद्वितीय मोनिक बहुपद हैं


 * $$D_n\left(u + \frac{\alpha}{u},\alpha\right) = u^n + \left(\frac{\alpha}{u}\right)^n, $$

कहाँ $α ∈ F_{q}$ और $u ≠ 0 ∈ F_{q^{2}}|undefined$. वे एक रचना नियम को भी पूरा करते हैं, :$$D_{mn}(x,\alpha) = D_m\bigl(D_n(x,\alpha),\alpha^n\bigr) \,= D_n\bigl(D_m(x,\alpha),\alpha^m\bigr) \,. $$

$E_{n}$} एक कार्यात्मक समीकरण को भी संतुष्ट करता है :$$E_n\left(y + \frac{\alpha}{y}, \alpha\right) = \frac{y^{n+1} - \left(\frac{\alpha}{y}\right)^{n+1}}{y - \frac{\alpha}{y}} \,,$$ के लिए $y ≠ 0$, $y^{2} ≠ α$, साथ $α ∈ F_{q}$ और $y ∈ F_{q^{2}}|undefined$.

डिक्सन बहुपद $y = D_{n}$ साधारण अवकल समीकरण का एक हल है
 * $$\left(x^2-4\alpha\right)y'' + xy' - n^2y=0 \,, $$

और डिक्सन बहुपद $y = E_{n}$ अवकल समीकरण का एक हल है
 * $$\left(x^2-4\alpha\right)y'' + 3xy' - n(n+2)y=0 \,. $$

इनका जनरेटिंग फंक्शन#साधारण जनरेटिंग फंक्शन हैं
 * $$\begin{align}

\sum_n D_n(x,\alpha)z^n &= \frac{2-xz}{1-xz+\alpha z^2} \\ \sum_n E_n(x,\alpha)z^n &= \frac{1}{1-xz+\alpha z^2} \,. \end{align}$$

अन्य बहुपदों के लिंक
उपरोक्त पुनरावृत्ति संबंध से, डिक्सन बहुपद लुकास अनुक्रम हैं। विशेष तौर पर $α = −1$, पूर्व प्रकार के डिक्सन बहुपद फाइबोनैचि बहुपद बहुपद हैं, और दूसरे प्रकार के डिक्सन बहुपद लुकास बहुपद हैं।

उपरोक्त रचना नियम के अनुसार, जब α इडेम्पोटेंट (रिंग थ्योरी) है, तो प्रथम प्रकार के डिक्सन बहुपदों की रचना क्रमविनिमेय है।
 * पैरामीटर के साथ डिक्सन बहुपद $α = 0$ एकपदी दें।

$$D_n(x,0) = x^n \,. $$
 * पैरामीटर के साथ डिक्सन बहुपद $α = 1$ चेबिशेव बहुपदों से संबंधित हैं $T_{n}(x) = cos (n arccos x)$ द्वारा प्रथम प्रकार का

$$D_n(2x, 1) = 2T_n(x) \,.$$
 * डिक्सन बहुपद के बाद से $D_{n}(x,α)$ को अतिरिक्त idempotent वाले रिंगों पर परिभाषित किया जा सकता है, $D_{n}(x,α)$ प्रायः चेबीशेव बहुपद से संबंधित नहीं होता है।

क्रमपरिवर्तन बहुपद और डिक्सन बहुपद
एक क्रमचय बहुपद (किसी दिए गए परिमित क्षेत्र के लिए) वह है जो परिमित क्षेत्र के तत्वों के क्रमचय के रूप में कार्य करता है।

डिक्सन बहुपद $D_{n}(x, α)$ (के एक कार्य के रूप में माना जाता है $x$ स्थिर α के साथ) क्षेत्र के लिए एक क्रमचय बहुपद है $q$ तत्व अगर और केवल अगर $n$ कोप्राइम है $q^{2} − 1$.

ने साबित किया कि कोई भी अभिन्न बहुपद जो अनंत रूप से कई प्रमुख क्षेत्रों के लिए एक क्रमचय बहुपद है, डिक्सन बहुपद और रैखिक बहुपद (तर्कसंगत गुणांक के साथ) की एक रचना है।  यह दावा शूर के अनुमान के रूप में जाना जाता है, यद्यपि  वस्तुतः शूर ने यह अनुमान नहीं लगाया था।  चूंकि फ्राइड के पेपर में कई त्रुटियां थीं, एक सही खाता दिया गया था, और बाद में  ने शूर के कारण तर्क की तर्ज पर एक सरल प्रमाण दिया।

आगे, सिद्ध किया कि परिमित क्षेत्र पर कोई भी क्रमचय बहुपद $F_{q}$ जिसकी डिग्री एक साथ coprime है $q$ और उससे कम $q^$ डिक्सन बहुपदों और रैखिक बहुपदों का संयोजन होना चाहिए।

सामान्यीकरण
परिमित क्षेत्रों पर दोनों प्रकार के डिक्सन बहुपदों को सामान्यीकृत डिक्सन बहुपदों के अनुक्रम के प्रारंभिक सदस्यों के रूप में माना जा सकता है, जिन्हें डिक्सन बहुपद कहा जाता है। ( k + 1)}वें प्रकार। विशेष तौर पर $α ≠ 0 ∈ F_{q}$ साथ $q = p^{e}$ कुछ प्राइम के लिए $p$ और कोई पूर्णांक $n ≥ 0$ और $0 ≤ k < p$, द$n$वें डिक्सन बहुपद (k + 1)}वें प्रकार खत्म $F_{q}$, द्वारा चिह्नित $D_{n,k}(x,α)$ द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$D_{0,k}(x,\alpha) = 2 - k$$

और
 * $$D_{n,k}(x,\alpha)=\sum_{i=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}\frac{n - ki}{n-i}\binom{n-i}{i} (-\alpha)^i x^{n-2i} \,. $$

$D_{n,0}(x,α) = D_{n}(x,α)$ और $D_{n,1}(x,α) = E_{n}(x,α)$, यह दर्शाता है कि यह परिभाषा डिक्सन के मूल बहुपदों को एकीकृत और सामान्यीकृत करती है।

डिक्सन बहुपदों के महत्वपूर्ण गुण भी सामान्यीकरण करते हैं:
 * पुनरावृत्ति संबंध: के लिए $n ≥ 2$,
 * $$D_{n,k}(x,\alpha) = xD_{n-1,k}(x,\alpha)-\alpha D_{n-2,k}(x,\alpha)\,,$$
 * प्रारंभिक शर्तों के साथ $D_{0,k}(x,α) = 2 − k$ और $D_{1,k}(x,α) = x$.


 * कार्यात्मक समीकरण:

D_{n,k}\left(y + \alpha y^{-1}, \alpha\right) = \frac{y^{2n} +k\alpha y^{2n-2} + \cdots +k\alpha^{n-1}y^2 + \alpha^n}{y^n} = \frac{y^{2n} + {\alpha}^n}{y^n} + \left(\frac{k\alpha}{y^n} \right) \frac{y^{2n} - {\alpha}^{n-1}y^2}{y^2 - \alpha} \,,$$
 * कहाँ $y ≠ 0$, $y^{2} ≠ α$.


 * उत्पन्न समारोह:
 * $$\sum_{n=0}^{\infty} D_{n,k}(x,\alpha)z^n = \frac{2 - k + (k-1)xz}{1 - xz + \alpha z^2} \,.$$