डोर स्पेस

गणित में, विशेष रूप से टोपोलॉजी के क्षेत्र में, टोपोलॉजिकल स्पेस को डोर स्पेस कहा जाता है यदि प्रत्येक उपसमुच्चय विवृत या संवृत (या दोनों) हो। यह शब्द परिचयात्मक टोपोलॉजी स्मरक से आया है कि "उपसमुच्चय डोर की तरह नहीं है: यह विवृत, संवृत, एक भी या दोनों हो सकता है।"।

गुण और उदाहरण
प्रत्येक डोर स्पेस T0 है (क्योंकि यदि $$x$$ और $$y$$ दो स्थैतिक रूप से अविभाज्य बिंदु हैं, तो सिंगलटन $$\{x\}$$ न तो विवृत है और न ही संवृत है)।

डोर स्पेस का प्रत्येक सबस्पेस एक डोर स्पेस है। डोर स्पेस का हर भाग ऐसा ही है।

प्रत्येक टोपोलॉजी समुच्चय पर डोर टोपोलॉजी से अधिक उत्कृष्ट होती है $$X$$ भी एक डोर टोपोलॉजी है।

प्रत्येक पृथक स्पेस एक डोर स्पेस है। ये संचय बिंदु रहित रिक्त स्पेस हैं अर्थात जिनका प्रत्येक बिंदु एक पृथक बिंदु होता है।

ठीक संचय बिंदु (और अन्य सभी बिंदु अलग) के साथ प्रत्येक स्पेस $$X$$ डोर स्पेस है (चूंकि उपसमुच्चय जिसमें केवल अलग-अलग बिंदु होते हैं, विवृत होते हैं, और संचय बिंदु वाले उपसमुच्चय संवृत होते हैं)। कुछ उदाहरण हैं: (1) असतत स्पेस (जिसे फोर्ट स्पेस भी कहा जाता है) का एक-बिंदु संघनन, जहां इन्फिनिटी का बिंदु संचय बिंदु होता है; (2) अपवर्जित बिंदु टोपोलॉजी वाला एक स्पेस, जहां "बहिष्कृत बिंदु" संचय बिंदु है।

प्रत्येक हाउसडॉर्फ डोर स्पेस या तो असततत है या ठीक संचय बिंदु है। (इसे देखने के लिए, यदि $$X$$ अलग संचय बिंदुओं के साथ एक स्पेस है $$x$$ और $$y$$ संबंधित संयुक्त प्रतिवेश $$U$$ और, $$V,$$ समुच्चय ($$(U\setminus\{x\})\cup\{y\}$$ न तो संवृत है और न ही $$X.$$ में विवृत है।)

एक से अधिक संचय बिंदु वाले डोर स्पेस का एक उदाहरण समुच्चय $$X$$ पर न्यूनतम तीन बिंदुओं वाले विशेष बिंदु टोपोलॉजी द्वारा दिया गया है। विवृत समुच्चय वे उपसमुच्चय हैं जिनमें रिक्त समुच्चय के साथ एक विशेष बिंदु $$p\in X,$$ होता है। बिन्दु $$p$$ पृथक बिन्दु है तथा अन्य सभी बिन्दु संचय बिन्दु हैं। (यह डोर स्पेस है क्योंकि $$p$$ युक्त प्रत्येक समुच्चय विवृत है और $$p$$ युक्त प्रत्येक समुच्चय संवृत है।) एक अन्य उदाहरण विशेष बिंदु टोपोलॉजी और अलग स्पेस के साथ एक स्पेस का टोपोलॉजिकल योग होगा।

बिना किसी पृथक बिंदु वाले डोर स्पेस $$(X,\tau)$$ बिल्कुल वही होते हैं जिनमें $$X.$$ पर कुछ स्वतंत्र अल्ट्राफ़िल्टर $$\mathcal U$$ के लिए $$\tau=\mathcal U \cup \{\emptyset\}$$ फॉर्म की टोपोलॉजी होती है। ऐसे स्पेस अनिवार्यतः अनंत हैं।

वास्तव में संबद्ध डोर तीन प्रकार के होते हैं $$(X,\tau)$$:


 * अपवर्जित बिंदु टोपोलॉजी स्पेस;
 * सम्मिलित बिंदु टोपोलॉजी स्पेस;
 * टोपोलॉजी $$\tau$$ स्पेस इस प्रकार है कि $$\tau\setminus\{\emptyset\}$$ पर स्वतंत्र अल्ट्राफ़िल्टर $$X.$$ है।