एप्सिलॉन नंबर

गणित में, इप्साइलन संख्याएँ ट्रांसफिनिट संख्या का एक संग्रह है, जिसकी विशेषता को इस प्रकार परिभाषित करना है कि वे घातीय मानचित्र निश्चित बिंदु (गणित) हैं। परिणामस्वरूप, वे चुने हुए घातीय मानचित्र के अनुप्रयोगों की एक परिमित श्रृंखला के माध्यम से 0 से उपलब्ध नहीं हैं और जोड़ और गुणा जैसे दुर्बल संचालन के माध्यम से 0 से पहुंच योग्य नहीं हैं। क्रमसूचक संख्या अंकगणित के संदर्भ में जॉर्ज कैंटर द्वारा मूल इप्साइलन संख्या प्रस्तुत किए गए थे; वे क्रमसूचक संख्या हैं जो समीकरण को संतुष्ट करते हैं


 * $$\varepsilon = \omega^\varepsilon, \, $$

जिसमें ω सबसे छोटा अनंत क्रमसूचक है।

कम से कम इस तरह के क्रमसूचक ε0 (उच्चारण इप्साइलन शून्य या इप्साइलन शून्य ), जिसे छोटे सीमा क्रम के अनुक्रम से ट्रांसफिनिट पुनरावृत्ति द्वारा प्राप्त सीमा के रूप में देखा जा सकता है:


 * $$\varepsilon_0 = \omega^{\omega^{\omega^{\cdot^{\cdot^\cdot}}}} = \sup \{ \omega, \omega^{\omega}, \omega^{\omega^{\omega}}, \omega^{\omega^{\omega^\omega}}, \dots \}\,,$$

कहाँ $sup$ अंतिम फलन है, जो वॉन न्यूमैन प्रतिनिधित्व के स्थिति में संघ को समुच्चय करने के बराबर है।

घातीय मानचित्र के बड़े क्रमिक निश्चित बिंदुओं को क्रमबद्ध सदस्यता द्वारा अनुक्रमित किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप$$\varepsilon_1, \varepsilon_2,\ldots,\varepsilon_\omega, \varepsilon_{\omega+1}, \ldots, \varepsilon_{\varepsilon_0}, \ldots, \varepsilon_{\varepsilon_1}, \ldots, \varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_{\cdot_{\cdot_{\cdot}}}}},\ldots$$. क्रमसूचक ε0 अभी भी गिनती योग्य है, जैसा कि कोई भी इप्साइलन संख्या है जिसका सूचकांक गिनती योग्य है (अगणनीय क्रमसूचक संख्या उपस्थित हैं, और अगणनीय इप्साइलन संख्या जिनका सूचकांक एक अगणनीय क्रमसूचक संख्या है)।

सबसे छोटा इप्साइलन संख्या ε0 कई गणितीय प्रेरण प्रमाणों में दिखाई देता है, क्योंकि कई उद्देश्यों के लिए, ट्रांसफिनिट प्रेरण केवल ε तक आवश्यक है0 (जैसा कि हम वास्तविक हैं की संगति प्रमाण और गुडस्टीन के प्रमेय के प्रमाण में है)।गेंटज़ेन द्वारा इसका उपयोग मीनो अंकगणित की स्थिरता को प्रमाणित करने के लिए, गोडेल के दूसरे अपूर्णता प्रमेय के साथ दिखाते हैं कि मीनो अंकगणित अच्छी तरह से स्थापित संबंध प्रमाणित नहीं कर सकता है। जैसे, प्रूफ-थ्योरिटिक क्रमसूचक संख्या विश्लेषण में, मीनो अंकगणित के सिद्धांत की शक्ति के उपाय के रूप में उपयोग किया जाता है)।

कई बड़े इप्साइलन संख्याओं को वेबलेन फलन का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है।

इप्साइलन संख्याओं के एक अधिक सामान्य वर्ग की पहचान जॉन हॉर्टन कॉनवे और डोनाल्ड नुथ द्वारा वास्तविक संख्या प्रणाली में की गई है, जिसमें सभी सर्जरी सम्मिलित हैं जो आधार के निश्चित बिंदु हैं।

परिभाषित गामा (Gamma) संख्याएं (योगात्मक क्रमसूचक संख्या देखें), γ> 0 होने के लिए जैसे कि α+γ = γ जब भी α <γ, और डेल्टा संख्या (देखें योगात्मक क्रमसूचक संख्या मल्टीविकालय देखें) Δ> 1 ऐसा है कि αΔ = Δजब भी 0 <α <Δ, और इप्साइलन संख्या संख्या ε> 2 हो जैसे कि αω= e जहाँ भी 1  1, मानचित्र (गणित) $$\beta \mapsto \alpha^\beta$$ एक सामान्य फलन है, इसलिए यह सामान्य कार्यों के लिए निश्चित बिंदु लेम्मा द्वारा मनमाने ढंग से बड़े निश्चित बिंदु (गणित) है।जब $$\alpha = \omega$$, ये निश्चित बिंदु ठीक से क्रमसूचक संख्या इप्साइलन संख्या हैं।
 * $$\varepsilon_0 = \sup \lbrace 1, \omega, \omega^\omega, \omega^{\omega^\omega}, \omega^{\omega^{\omega^\omega}}, \ldots\rbrace \,,$$
 * $$\varepsilon_\beta = \sup \lbrace {\varepsilon_{\beta-1}+1}, \omega^{\varepsilon_{\beta-1}+1}, \omega^{\omega^{\varepsilon_{\beta-1}+1}}, \omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_{\beta-1}+1}}}, \ldots\rbrace \,,$$ जब $$\beta$$ एक तत्काल पूर्ववर्ती $$\beta - 1$$ है।
 * $$\varepsilon_\beta=\sup \lbrace \varepsilon_\delta \mid \delta < \beta \rbrace$$, जब कभी भी $$\beta$$ एक सीमा क्रमसूचक है।

क्योंकि
 * $$\omega^{\varepsilon_0 + 1} = \omega^{\varepsilon_0} \cdot \omega^1 = \varepsilon_0 \cdot \omega \,,$$
 * $$\omega^{\omega^{\varepsilon_0 + 1}} = \omega^{(\varepsilon_0 \cdot \omega)} = {(\omega^{\varepsilon_0})}^\omega = \varepsilon_0^\omega \,,$$
 * $$\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0 + 1}}} = \omega^{{\varepsilon_0}^\omega} = \omega^{{\varepsilon_0}^{1+\omega}} = \omega^{(\varepsilon_0\cdot{\varepsilon_0}^\omega)} = {(\omega^{\varepsilon_0})}^{{\varepsilon_0}^\omega} = {\varepsilon_0}^{{\varepsilon_0}^\omega} \,,$$

एक ही सुप्रीम के साथ एक अलग अनुक्रम, $$\varepsilon_1$$, 0 से प्रारम्भ करके प्राप्त किया जाता है और आधार0 के साथ घातांक होता है, के अतिरिक्त:
 * $$\varepsilon_1 = \sup\{1, \varepsilon_0, {\varepsilon_0}^{\varepsilon_0}, {\varepsilon_0}^{{\varepsilon_0}^{\varepsilon_0}}, \ldots\},$$

सामान्यतः, इप्साइलन संख्या $$\varepsilon_{\beta}$$ किसी भी क्रमसूचक द्वारा अनुक्रमित जो एक तत्काल पूर्ववर्ती है $$\beta-1$$ में इसी तरह का निर्माण किया जा सकता है।
 * $$\varepsilon_{\beta} = \sup\{1, \varepsilon_{\beta-1}, \varepsilon_{\beta-1}^{\varepsilon_{\beta-1}}, \varepsilon_{\beta-1}^{\varepsilon_{\beta-1}^{\varepsilon_{\beta-1}}}, \dots\}$$

विशेष रूप से, सूचकांक β एक सीमा क्रमसूचक है या नहीं, $$\varepsilon_\beta$$ एक निश्चित बिंदु है न केवल आधार ω घातांक का बल्कि सभी क्रमसूचक के लिए आधार of घातांक का भी $$1 < \delta < \varepsilon_\beta$$ क्रमसूचक है।

चूंकि इप्साइलन संख्या क्रमसूचक संख्याओं का एक अनबाउंड सबक्लास हैं, इसलिए वे स्वयं क्रमिक संख्याओं का उपयोग करके गणना की जाती हैं। क्रमवाचक संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जो किसी स्थान पर किसी वस्तु या व्यक्ति की सटीक स्थिति को दर्शाती हैं। यदि किसी सूची में वस्तुओं/व्यक्तियों की संख्या निर्दिष्ट की गई है: वस्तुओं/व्यक्तियों की स्थिति क्रमिक संख्याओं द्वारा परिभाषित की जाती है। किसी चीज/किसी के क्रम को दर्शाने के लिए जिन विशेषण शब्दों का उपयोग किया जाता है, वे हैं पहला - पहला, दूसरा-दूसरा, तीसरा-तीसरा, चौथा-चौथा, पांचवां-पांचवां, छठा-छठा, और इसी तरह ये सभी शब्द क्रमिक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। जबकि गिनने वाली संख्याओं को क्रमसूचक संख्या कहते हैं, जैसे 0, 1, 2, 3, 4, 5, आदि। किसी भी क्रमसूचक संख्या के लिए $$\beta$$, $$\varepsilon_\beta$$ क्या कम से कम इप्साइलन संख्या (घातीय मानचित्र का निश्चित बिंदु) पहले से ही समुच्चय में $$\{ \varepsilon_\delta\mid \delta < \beta \}$$ नहीं है। ऐसा प्रतीत हो सकता है कि यह पुनरावृत्त घातांक का उपयोग करके रचनात्मक परिभाषा के गैर-निर्माण समतुल्य है; लेकिन दो परिभाषाएँ सीमा अध्यादेशों द्वारा अनुक्रमित चरणों में समान रूप से गैर-कंस्ट्रक्टिव हैं, जो एक घातीय श्रृंखला के सुप्रीम को लेने की तुलना में एक उच्च क्रम के ट्रांसफिनिट पुनरावृत्ति का प्रतिनिधित्व करती हैं।

इप्साइलन संख्याओं के बारे में निम्नलिखित तथ्य प्रमाणित करने के लिए सीधे हैं:
 * हालांकि यह काफी बड़ी संख्या है, $$\varepsilon_0$$ अभी भी गिनती करने योग्य है, गणना योग्य अध्यादेशों का एक गिनती करने योग्य संघ है; वास्तव में, $$\varepsilon_\beta$$ यदि और केवल और केवल $$\beta$$ गिनती योग्य है।
 * इप्साइलन संख्याओं के किसी भी गैर -रिक्त समुच्चय का संघ (या सुप्रीम) एक इप्साइलन संख्या है; उदाहरण के लिए
 * $$\varepsilon_\omega = \sup\{\varepsilon_0, \varepsilon_1, \varepsilon_2, \ldots\}$$
 * एक इप्साइलन संख्या है। इस प्रकार, मानचित्रण $$\beta \mapsto \varepsilon_\beta$$ एक सामान्य फलन है।


 * किसी भी अगणनीय समुच्चय आधारभूत संख्या का वॉन न्यूमैन क्रमसूचक असाइनमेंट एक इप्साइलन संख्या है।
 * $$\alpha \ge 1 \Rightarrow \varepsilon_{\omega_{\alpha}} = \omega_{\alpha} \,.$$

ट्री-मूल द्वारा ε0 का निरूपण
किसी भी इप्साइलन संख्या ε0 में कैंटर सामान्य रूप $$\varepsilon =\omega ^{\varepsilon }$$ है, जिसका अर्थ है कि कैंटर सामान्य रूप इप्साइलन संख्याओं के लिए बहुत उपयोगी नहीं है। Ε से कम क्रम, हालांकि, उनके कैंटर सामान्य रूपों द्वारा उपयोगी रूप से वर्णित किया जा सकता है, जो ε0 का प्रतिनिधित्व करता है जिसके रूप में सभी ट्री (ग्राफ सिद्धांत) मूल के आदेशित समुच्चय के रूप में, निम्नानुसार है। किसी भी क्रमसूचक $$\alpha<\varepsilon_0$$ कैंटर सामान्य रूप है $$\alpha=\omega^{\beta_1}+\omega^{\beta_2}+\cdots+\omega^{\beta_k}$$ जहां k एक प्राकृतिक संख्या है और $$\beta_1,\ldots,\beta_k$$ के साथ क्रमसूचक हैं $$\alpha>\beta_1\geq\cdots\geq\beta_k$$, विशिष्ट रूप से निर्धारित किया गया $$\alpha$$। प्रत्येक क्रमसूचक $$\beta_1,\ldots,\beta_k$$ बदले में एक समान कैंटर सामान्य रूप है। हम परिमित रूट किए गए ट्री को प्राप्त करते हैं जो α का प्रतिनिधित्व करते हैं, जो ट्री की मूलों में सम्मिलित होकर प्रतिनिधित्व करते हैं $$\beta_1,\ldots,\beta_k$$ एक नई मूल के लिए (इसका परिणाम यह है कि संख्या 0 को एक ही रूट द्वारा दर्शाया गया है जबकि संख्या $$1=\omega^0$$ एक मूल और एक पत्ती युक्त एक ट्री द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है।) परिमित रूट किए गए ट्री के समुच्चय पर एक आदेश को पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया गया है: हम पहले आदेश घटाने के क्रम में मूल में सम्मिलित हो गए, और फिर इन आदेशित अनुक्रमों पर लेक्सिकोग्राफिकल आदेश का उपयोग करें। इस तरह से सभी परिमित रूट किए गए ट्री का समुच्चय एक अच्छी तरह से आदेश बन जाता है। अच्छी तरह से आदेश किया गया समुच्चय जो ऑर्डर-आइसोमॉर्फिक है।

यह प्रतिनिधित्व गुडस्टीन के प्रमेय के प्रमाण से संबंधित है, जो एक ग्राफ-थ्योरिटिक गेम के रूप में क्रमसूचक के घटते दृश्यों का प्रतिनिधित्व करता है।

वेबलन पदानुक्रम
इप्साइलन मैपिंग के निश्चित बिंदु $$x \mapsto \varepsilon_x$$ एक सामान्य फलन बनाते हैं, जिनके निश्चित बिंदु एक सामान्य कार्य बनाते हैं, इसे वेबलन फलन के रूप में जाना जाता है। (वेबलन फलन के साथ φ0(α)ωα) वेलब्लेन पदानुक्रम के अंकन में, इप्साइलन मैपिंग φ1 है, और इसके निश्चित बिंदुओं को φ2 द्वारा गणना की जाती है।

इस वेन में जारी रखते हुए, कोई भी नक्शे को परिभाषित कर सकता है, उत्तरोत्तर बड़े क्रमसूचक αα के लिए (सहित, इस दुर्लभ रूप से ट्रांसफ़िनेट पुनरावृत्ति के रूप में, सीमाएँ सीमाएँ), उत्तरोत्तर बड़े कम से कम निश्चित बिंदुओं के साथ φα+1(०) इस प्रक्रिया से 0 से कम से कम क्रमिक नहीं कम से कम क्रमसूचक संख्या α जिसके लिए φα(0) = α, या समकक्ष रूप से नक्शे का पहला निश्चित बिंदु $$\alpha \mapsto \varphi_\alpha(0)$$—इस फफर्मन - शेट्टे क्रमसूचक संख्या γ0 एक समुच्चय सिद्धांत में जहां इस तरह के एक क्रमसूचक का अस्तित्व प्रमाणित हो सकता है, एक का नक्शा है, जो निश्चित बिंदुओं को दर्शाता है γ0, सी1, सी2, ... का $$\alpha \mapsto \varphi_\alpha(0)$$; ये सभी अभी भी इप्साइलन संख्या हैं, क्योंकि वे φβ की छवि में असत्य प्रमाण देते हैं हर γ, γ0 के लिए, नक्शे के साथ Y1, यह इप्साइलन संख्याओं की गणना करता है।

असली ε संख्याएँ
संख्या और खेलों में, वास्तविक संख्या पर क्लासिक प्रदर्शनी, जॉन हॉर्टन कॉनवे ने अवधारणाओं के कई उदाहरण प्रदान किए, जिनमें क्रमसूचक से लेकर सरेल तक प्राकृतिक एक्सटेंशन थे। ऐसा ही एक कार्य है। $$\omega$$-नक्शा $$n \mapsto \omega^n$$, यह मैपिंग स्वाभाविक रूप से एक फलन के अपने डोमेन में सभी वास्तविक संख्याओं को सम्मिलित करने के लिए सामान्य रूप से सामान्यीकरण करता है, जो बदले में सर्जरी संख्या के लिए क्रमिक अंकगणित कैंटर सामान्य रूप का एक प्राकृतिक सामान्यीकरण प्रदान करता है।

इस विस्तारित नक्शे के किसी भी निश्चित बिंदु पर एक इप्साइलन संख्या पर विचार करना स्वाभाविक है, चाहे वह कड़ाई से एक क्रमिक संख्या हो या नहीं। गैर-क्रमसूचक संख्या इप्साइलन संख्याओं के कुछ उदाहरण हैं


 * $$\varepsilon_{-1} = \{0, 1, \omega, \omega^\omega, \ldots \mid \varepsilon_0 - 1, \omega^{\varepsilon_0 - 1}, \ldots\}$$

और


 * $$\varepsilon_{1/2} = \{\varepsilon_0 + 1, \omega^{\varepsilon_0 + 1}, \ldots \mid \varepsilon_1 - 1, \omega^{\varepsilon_1 - 1}, \ldots\}.$$

परिभाषित करने का एक स्वाभाविक तरीका $$\varepsilon_n$$है, प्रत्येक वास्तविक संख्या n के लिए, और नक्शा ऑर्डर-संरक्षण रहता है। कॉनवे ने इरेड्यूसिबल वास्तविक संख्याओं के एक व्यापक वर्ग को परिभाषित किया है जिसमें विशेष रूप से दिलचस्प उपक्लास के रूप में इप्साइलन संख्या सम्मिलित हैं।

यह भी देखें

 * क्रमसूचक अंकगणित
 * बड़े गिनती योग्य अध्यादेश

संदर्भ

 * J.H. Conway, On Numbers and Games (1976) Academic Press ISBN 0-12-186350-6
 * Section XIV.20 of