सतत तरंगिका परिवर्तन

गणित में सतत तरंगिका परिवर्तन (सीडब्ल्यूटी) एक औपचारिक (अथार्त, गैर-संख्यात्मक) उपकरण है जो तरंगिकाओं के अनुवाद और मापदंड पैरामीटर को निरन्तर भिन्न होने देकर संकेत का एक पूर्ण प्रतिनिधित्व प्रदान करता है।

किसी फलन $$x(t)$$ का मापदंड (a>0) $$a\in\mathbb{R^{+*}}$$ और अनुवादात्मक मान $$b\in\mathbb{R}$$ पर सतत तरंगिका रूपांतरण है निम्नलिखित अभिन्न द्वारा व्यक्त किया गया है
 * $$X_w(a,b)=\frac{1}{|a|^{1/2}} \int_{-\infty}^\infty x(t)\overline\psi\left(\frac{t-b}{a}\right)\, dt$$

जहाँ $$\psi(t)$$ समय डोमेन और आवृत्ति डोमेन दोनों में एक सतत कार्य है जिसे मदर वेवलेट कहा जाता है और ओवरलाइन जटिल संयुग्म के संचालन का प्रतिनिधित्व करता है। मदर वेवलेट का मुख्य उद्देश्य डॉटर वेवलेट उत्पन्न करने के लिए एक स्रोत फलन प्रदान करना है जो कि केवल मदर वेवलेट के अनुवादित और मापदंड किए गए संस्करण हैं। मूल संकेत को पुनः प्राप्त करने के लिए $$x(t)$$, पहले व्युत्क्रम सतत तरंगिका परिवर्तन का लाभ उठाया जा सकता है।


 * $$x(t)=C_\psi^{-1}\int_{0}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} X_w(a,b)\frac{1}{|a|^{1/2}}\tilde\psi\left(\frac{t-b}{a}\right)\, db\ \frac{da}{a^2}$$

$$\tilde\psi(t)$$ $$\psi(t)$$ और का दोहरा कार्य है
 * $$C_\psi=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\overline\hat{\psi}(\omega)\hat{\tilde\psi}(\omega)}{|\omega|}\, d\omega$$

स्वीकार्य स्थिरांक है, जहां हैट का अर्थ फूरियर रूपांतरण ऑपरेटर है। कभी-कभी $$\tilde\psi(t)=\psi(t)$$ तो स्वीकार्य स्थिरांक बन जाता है
 * $$C_\psi = \int_{-\infty}^{+\infty}

\frac{\left| \hat{\psi}(\omega) \right|^2}{\left| \omega \right|} \, d\omega $$ परंपरागत रूप से, इस स्थिरांक को तरंगिका स्वीकार्य स्थिरांक कहा जाता है। एक तरंगिका जिसका स्वीकार्य स्थिरांक संतुष्ट करता है
 * $$0<C_\psi <\infty$$

स्वीकार्य तरंगिका कहलाती है। एक स्वीकार्य तरंगिका का तात्पर्य है कि $$\hat{\psi}(0) = 0$$ जिससे एक स्वीकार्य तरंगिका को शून्य में एकीकृत होना चाहिए। मूल संकेत $$x(t)$$ को पुनर्प्राप्त करने के लिए, दूसरे व्युत्क्रम सतत तरंगिका परिवर्तन का उपयोग किया जा सकता है।
 * $$x(t)=\frac{1}{2\pi\overline\hat{\psi}(1)}\int_{0}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{a^2}X_w(a,b)\exp\left(i\frac{t-b}{a}\right)\, db\ da$$

यह व्युत्क्रम परिवर्तन बताता है कि एक तरंगिका को इस प्रकार परिभाषित किया जाना चाहिए
 * $$\psi(t)=w(t)\exp(it) $$

जहाँ $$w(t)$$ एक विंडो है. ऐसी परिभाषित तरंगिका को विश्लेषण तरंगिका कहा जा सकता है, क्योंकि यह समय-आवृत्ति विश्लेषण को स्वीकार करती है। एक विश्लेषणात्मक तरंगिका का स्वीकार्य होना अनावश्यक है।

मापदंड कारक
मापदंड कारक $$a$$ संकेत को या तो फैलाता है या संपीड़ित करता है। जब मापदंड कारक अपेक्षाकृत कम होता है, तो संकेत अधिक सिकुड़ जाता है जिसके परिणामस्वरूप परिणामी ग्राफ अधिक विस्तृत होता है। चूँकि कमी यह है कि निम्न परिमाण कारक संकेत की पूरी अवधि तक नहीं रहता है। दूसरी ओर जब मापदंड कारक अधिक होता है, तो संकेत खिंच जाता है जिसका अर्थ है कि परिणामी ग्राफ़ कम विवरण में प्रस्तुत किया जाएगा। फिर भी, यह सामान्यतः संकेत की पूरी अवधि तक रहता है।

सतत तरंगिका परिवर्तन गुण
परिभाषा में, सतत तरंगिका परिवर्तन, मदर तरंगिका द्वारा उत्पन्न कार्यों के एक सेट के साथ इनपुट डेटा अनुक्रम का एक कनवल्शन है। तीव्र फूरियर रूपांतरण (एफएफटी) एल्गोरिदम का उपयोग करके कनवल्शन की गणना की जा सकती है। सामान्यतः आउटपुट $$X_w(a,b)$$ एक वास्तविक मूल्यवान फलन होता है, सिवाय इसके कि जब मदर वेवलेट जटिल होता है। एक जटिल मातृ तरंगिका सतत तरंगिका परिवर्तन को एक जटिल मूल्यवान फलन में परिवर्तित कर देगी। सतत तरंगिका परिवर्तन के पावर स्पेक्ट्रम को $$\frac{1}{a}\cdot|X_w(a,b)|^2$$ द्वारा दर्शाया जा सकता है।

तरंगिका परिवर्तन के अनुप्रयोग
तरंगिका परिवर्तन के सबसे लोकप्रिय अनुप्रयोगों में से एक छवि संपीड़न है। छवि संपीड़न में वेवलेट-आधारित कोडिंग का उपयोग करने का लाभ यह है कि यह पारंपरिक तकनीकों की तुलना में उच्च संपीड़न अनुपात पर चित्र गुणवत्ता में महत्वपूर्ण सुधार प्रदान करता है। चूंकि तरंगिका परिवर्तन में जटिल जानकारी और पैटर्न को प्राथमिक रूपों में विघटित करने की क्षमता होती है, इसलिए इसका उपयोग सामान्यतः ध्वनिकी प्रसंस्करण और पैटर्न पहचान में किया जाता है, किंतु इसे तात्कालिक आवृत्ति अनुमानक के रूप में भी प्रस्तावित किया गया है। इसके अतिरिक्त तरंगिका परिवर्तन को निम्नलिखित वैज्ञानिक अनुसंधान क्षेत्रों में प्रयुक्त किया जा सकता है: किनारे और कोने का पता लगाना है और आंशिक अंतर समीकरण समाधान, क्षणिक पता लगाना, फिल्टर डिजाइन, इलेक्ट्रोकार्डियोग्राम (ईसीजी) विश्लेषण बनावट विश्लेषण, व्यापार सूचना विश्लेषण और चाल विश्लेषण एपिलेप्टिक के परिणामस्वरूप होने वाली एपिलेप्टिक की स्पाइक्स की पहचान करने के लिए इलेक्ट्रोएन्सेफलोग्राफी (ईईजी) डेटा विश्लेषण में वेवलेट रूपांतरण का भी उपयोग किया जा सकता है। भूस्खलन की समय श्रृंखला की व्याख्या के लिए वेवलेट रूपांतरण का भी सफलतापूर्वक उपयोग किया गया है और महामारी की बदलती आवधिकता की गणना के लिए उपयोग किया जाता है।

सतत तरंगिका रूपांतरण (सीडब्ल्यूटी) दोलन संकेतों के अवमंदन अनुपात (उदाहरण के लिए गतिशील प्रणालियों में अवमंदन की पहचान) को निर्धारित करने में बहुत कुशल है। सीडब्ल्यूटी संकेत में ध्वनि के प्रति भी बहुत प्रतिरोधी है।

यह भी देखें

 * सतत तरंगिका
 * एस परिवर्तन
 * समय-आवृत्ति विश्लेषण

संदर्भ

 * A. Grossmann & J. Morlet, 1984, Decomposition of Hardy functions into square integrable wavelets of constant shape, Soc. Int. Am. Math. (SIAM), J. Math. Analys., 15, 723–736.
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 * Ding, Jian-Jiun (2008), Time-Frequency Analysis and Wavelet Transform, viewed 19 January 2008
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 * WaveMetrics (2004), Time Frequency Analysis, viewed 18 January 2008
 * Valens, Clemens (2004), A Really Friendly Guide to Wavelets, viewed 18 September 2018]
 * Mathematica Continuous Wavelet Transform
 * Lewalle, Jacques: Continuous wavelet transform, viewed 6 February 2010
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बाहरी संबंध


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