यूलर विशेषता

गणित में, और अधिक विशेष रूप से बीजगणितीय टोपोलॉजी और पॉलीहेड्रल कॉम्बिनेटरिक्स में, यूलर विशेषता (या यूलर नंबर, या यूलर-पोंकेयर विशेषता) एक टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट है, एक संख्या जो एक टोपोलॉजिकल स्पेस के आकार या संरचना का वर्णन करती है, चाहे वह किसी भी तरह से हो। इसे आमतौर पर द्वारा निरूपित किया जाता है $$ \chi $$ (ग्रीक वर्णमाला|ग्रीक लोअर-केस अक्षर ची (अक्षर))।

यूलर की विशेषता को मूल रूप से बहुतल के लिए परिभाषित किया गया था और प्लेटोनिक ठोस पदार्थों के वर्गीकरण सहित उनके बारे में विभिन्न प्रमेयों को साबित करने के लिए प्रयोग किया जाता था। फ्रांसिस मौरोलिको द्वारा एक अप्रकाशित पांडुलिपि में 1537 में प्लेटोनिक ठोस के लिए कहा गया था। लियोनहार्ड यूलर, जिनके लिए अवधारणा का नाम दिया गया है, ने इसे उत्तल पॉलीहेड्रा के लिए अधिक आम तौर पर पेश किया लेकिन यह साबित करने में असफल रहा कि यह एक अपरिवर्तनीय है। आधुनिक गणित में, यूलर विशेषता होमोलॉजी (गणित) से उत्पन्न होती है, और अधिक संक्षेप में, होमोलॉजिकल बीजगणित।

पॉलीहेड्रा
यूलर विशेषता $$\chi$$ सूत्र के अनुसार, पॉलीहेड्रा की सतहों के लिए शास्त्रीय रूप से परिभाषित किया गया था


 * $$\chi=V-E+F $$

जहाँ V, E, और F क्रमशः दिए गए बहुफलक में वर्टेक्स (ज्यामिति) (कोनों), किनारे (ज्यामिति) और फलक (ज्यामिति) की संख्याएँ हैं। किसी भी उत्तल बहुफलक की सतह में यूलर विशेषता होती है


 * $$V - E + F = 2. $$

1758 में लियोनहार्ड यूलर द्वारा कहा गया यह समीकरण, यूलर के बहुफलक सूत्र के रूप में जाना जाता है। यह गोले की यूलर विशेषता (अर्थात् χ = 2) से मेल खाता है, और समान रूप से गोलाकार पॉलीहेड्रा पर लागू होता है। सभी प्लेटोनिक पॉलीहेड्रा पर सूत्र का एक उदाहरण नीचे दिया गया है।

गैर-उत्तल पॉलीहेड्रा की सतहों में विभिन्न यूलर विशेषताएं हो सकती हैं:

नियमित पॉलीहेड्रा के लिए, आर्थर केली ने घनत्व (पॉलीटॉप) डी, शीर्ष आकृति डेंसिटी डी का उपयोग करके यूलर के सूत्र का एक संशोधित रूप प्राप्त किया।v, और चेहरे का घनत्व $$d_f$$:
 * $$d_v V - E + d_f F = 2 D.$$

यह संस्करण उत्तल पॉलीहेड्रा (जहां घनत्व सभी 1 हैं) और गैर-उत्तल केप्लर-पॉइन्सॉट पॉलीहेड्रॉन | केप्लर-पॉइन्सॉट पॉलीहेड्रा दोनों के लिए है।

प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रा सभी में यूलर विशेषता 1 है, वास्तविक वास्तविक प्रक्षेपी विमान तरह, जबकि टॉरॉयडल पॉलीहेड्रा की सतहों में टोरस्र्स की तरह यूलर विशेषता 0 है।

समतल रेखांकन
यूलर विशेषता को उसी के द्वारा कनेक्टिविटी (ग्राफ सिद्धांत) विमान ग्राफ के लिए परिभाषित किया जा सकता है $$V - E + F$$ पॉलीहेड्रल सतहों के लिए सूत्र, जहां एफ बाहरी चेहरे सहित ग्राफ में चेहरों की संख्या है।

किसी भी विमान से जुड़े ग्राफ G की यूलर विशेषता 2 है। यह आधार मामले के रूप में एक पेड़ से शुरू होने वाले G द्वारा निर्धारित चेहरों की संख्या पर प्रेरण द्वारा आसानी से सिद्ध होता है। पेड़ों के लिए, $$ E = V-1 $$ तथा $$F = 1$$. यदि G में C घटक (डिस्कनेक्टेड ग्राफ़) हैं, तो F पर प्रेरण द्वारा समान तर्क यह दर्शाता है $$V - E + F - C = 1$$. कॉची के कुछ ग्राफ सिद्धांत पत्रों में से एक भी इस परिणाम को सिद्ध करता है।

त्रिविम प्रक्षेपण के माध्यम से प्लेन 2-गोले में मैप करता है, जैसे कि जुड़ा हुआ ग्राफ गोले के बहुभुज अपघटन के लिए मैप करता है, जिसमें यूलर विशेषता 2 है। यह दृष्टिकोण कॉची के नीचे दिए गए यूलर के सूत्र के प्रमाण में निहित है।

यूलर के सूत्र का प्रमाण
छवि:वी-ई+एफ=2 Proof Illustration.svg|frame|right|घन के मामले में प्रमाण के पहले चरण

यूलर सूत्र के अनेक प्रमाण हैं। एक 1811 में ऑगस्टिन लुइस कॉची द्वारा दिया गया था, जो इस प्रकार है। यह किसी भी उत्तल पॉलीहेड्रॉन पर लागू होता है, और आम तौर पर किसी भी पॉलीहेड्रॉन पर लागू होता है, जिसकी सीमा स्थलीय रूप से एक क्षेत्र के बराबर होती है और जिनके चेहरे स्थलीय रूप से डिस्क के बराबर होते हैं।

बहुफलकीय सतह के एक चेहरे को हटा दें। लापता चेहरे के किनारों को एक-दूसरे से दूर खींचकर, बाकी सभी को बिंदुओं और वक्रों के एक प्लानर ग्राफ में विकृत करें, इस तरह से कि गायब चेहरे की परिधि बाहरी रूप से रखी गई है, प्राप्त ग्राफ के आसपास, जैसा कि चित्र द्वारा दिखाया गया है घन के विशेष मामले के लिए तीन ग्राफों में से पहला। (यह धारणा है कि बहुफलकीय सतह शुरुआत में गोले के लिए होमियोमॉर्फिक है जो इसे संभव बनाती है।) इस विकृति के बाद, नियमित चेहरे आम तौर पर नियमित नहीं होते हैं। शीर्षों और किनारों की संख्या समान बनी हुई है, लेकिन चेहरों की संख्या 1 से कम हो गई है। इसलिए, पॉलीहेड्रॉन के लिए यूलर के सूत्र को साबित करने से इस विकृत, समतल वस्तु के लिए V - E + F =1 साबित करना कम हो जाता है।

यदि तीन से अधिक भुजाओं वाला एक चेहरा है, तो एक विकर्ण बनाएं—अर्थात्, दो शीर्षों को जोड़ने वाले फलक के माध्यम से एक वक्र जो अभी तक जुड़े नहीं हैं। यह एक किनारा और एक फलक जोड़ता है और शीर्षों की संख्या नहीं बदलता है, इसलिए यह मात्रा V − E + F नहीं बदलता है। ऑपरेशन से चेहरों की संख्या एक से बढ़ जाती है।) इस तरह से किनारों को जोड़ना जारी रखें जब तक कि सभी चेहरे त्रिकोणीय न हो जाएं।

निम्नलिखित दो परिवर्तनों में से किसी एक को बार-बार लागू करें, अपरिवर्तनीय बनाए रखें कि बाहरी सीमा हमेशा एक साधारण चक्र है: ये परिवर्तन अंततः प्लानर ग्राफ को एक त्रिभुज में कम कर देते हैं। (सरल-चक्र अपरिवर्तनीय के बिना, त्रिभुज को हटाने से शेष त्रिकोण डिस्कनेक्ट हो सकते हैं, शेष तर्क को अमान्य कर सकते हैं। वैध निष्कासन आदेश गोलाबारी (टोपोलॉजी) का एक प्रारंभिक उदाहरण है।)
 * 1) दूसरे ग्राफ द्वारा दिखाए गए अनुसार, बाहरी से सटे केवल एक किनारे के साथ एक त्रिकोण को हटा दें। यह किनारों और चेहरों की संख्या को एक-एक करके घटाता है और शीर्षों की संख्या को नहीं बदलता है, इसलिए यह V - E + F को संरक्षित करता है।
 * 2) नेटवर्क के बाहरी हिस्से द्वारा साझा किए गए दो किनारों के साथ एक त्रिकोण को हटा दें, जैसा कि तीसरे ग्राफ द्वारा दिखाया गया है। प्रत्येक त्रिकोण हटाने से एक शीर्ष, दो किनारे और एक फलक हट जाता है, इसलिए यह V - E + F को संरक्षित करता है।

इस बिंदु पर अकेले त्रिकोण में वी = 3, ई = 3, और एफ = 1 है, ताकि वी - ई + एफ = 1. चूंकि ऊपर दिए गए दो परिवर्तन चरणों में से प्रत्येक ने इस मात्रा को संरक्षित किया है, हमने वी - ई + एफ दिखाया है विकृत, तलीय वस्तु के लिए = 1 इस प्रकार बहुफलक के लिए V - E + F = 2 प्रदर्शित करता है। यह प्रमेय सिद्ध करता है।

अतिरिक्त प्रमाणों के लिए, डेविड एपस्टीन द्वारा यूलर के सूत्र के इक्कीस प्रमाण देखें। Imre Lakatos द्वारा Proofs and Refutations में उदाहरणों के रूप में उनकी खामियों और सीमाओं सहित कई प्रमाणों का उपयोग किया जाता है।

सामयिक परिभाषा
ऊपर चर्चा की गई पॉलीहेड्रल सतहें, आधुनिक भाषा में, द्वि-आयामी परिमित स.ग.-जटिल हैं। (जब केवल त्रिकोणीय चेहरों का उपयोग किया जाता है, तो वे द्वि-आयामी परिमित सरलीकृत परिसर होते हैं।) सामान्य तौर पर, किसी भी परिमित सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्स के लिए, यूलर विशेषता को वैकल्पिक योग के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।


 * $$\chi = k_0 - k_1 + k_2 - k_3 + \cdots,$$

जहां केn परिसर में आयाम n की कोशिकाओं की संख्या को दर्शाता है।

इसी तरह, एक साधारण परिसर के लिए, 'यूलर विशेषता' वैकल्पिक योग के बराबर होती है


 * $$\chi = k_0 - k_1 + k_2 - k_3 + \cdots,$$

जहां केn कॉम्प्लेक्स में सिम्प्लेक्स | एन-सिम्प्लेक्स की संख्या को दर्शाता है।

बेट्टी नंबर विकल्प
अधिक आम तौर पर अभी भी, किसी भी सांस्थितिक स्थान के लिए, हम nवें बेट्टी संख्या b को परिभाषित कर सकते हैंn n-वें एकवचन होमोलॉजी समूह के एबेलियन समूह के रैंक के रूप में। तब 'यूलर विशेषता' को वैकल्पिक योग के रूप में परिभाषित किया जा सकता है


 * $$\chi = b_0 - b_1 + b_2 - b_3 + \cdots.$$

यह मात्रा अच्छी तरह से परिभाषित है यदि बेट्टी संख्याएं सभी परिमित हैं और यदि वे एक निश्चित सूचकांक n से परे शून्य हैं0. साधारण परिसरों के लिए, यह पिछले पैराग्राफ की तरह ही परिभाषा नहीं है, लेकिन एक होमोलॉजी गणना से पता चलता है कि दो परिभाषाएँ समान मूल्य देंगी $$\chi$$.

गुण
यूलर विशेषता टोपोलॉजिकल स्पेस पर कई बुनियादी परिचालनों के संबंध में निम्नानुसार व्यवहार करती है।

होमोटॉपी इनवेरियंस
होमोलॉजी एक टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट है, और इसके अलावा एक होमोटॉपी अपरिवर्तनीय: दो टोपोलॉजिकल स्पेस जो होमोटॉपी समतुल्य हैं, में समूह समरूपता होमोलॉजी ग्रुप हैं। यह इस प्रकार है कि यूलर विशेषता भी एक होमोटॉपी इनवेरिएंट है।

उदाहरण के लिए, किसी भी अनुबंधित स्थान (अर्थात, एक बिंदु के समतुल्य एक होमोटॉपी) में तुच्छ समरूपता होती है, जिसका अर्थ है कि 0 वीं बेट्टी संख्या 1 है और अन्य 0. इसलिए, इसकी यूलर विशेषता 1 है। इस मामले में यूक्लिडियन अंतरिक्ष शामिल है $$\mathbb{R}^n$$ किसी भी आयाम के साथ-साथ किसी भी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में ठोस इकाई गेंद - एक आयामी अंतराल, द्वि-आयामी डिस्क, त्रि-आयामी गेंद, आदि।

एक अन्य उदाहरण के लिए, कोई भी उत्तल पॉलीहेड्रॉन त्रि-आयामी गेंद (गणित) के लिए होमियोमॉर्फिक है, इसलिए इसकी सतह द्वि-आयामी क्षेत्र के लिए होमियोमॉर्फिक (इसलिए होमोटोपी समतुल्य) है, जिसमें यूलर विशेषता 2 है। यह बताता है कि क्यों उत्तल पॉलीहेड्रा में यूलर विशेषता होती है 2.

समावेश-बहिष्करण सिद्धांत
यदि एम और एन कोई भी दो टोपोलॉजिकल स्थान हैं, तो उनके असंयुक्त संघ की यूलर विशेषता उनके यूलर विशेषताओं का योग है, क्योंकि होमोलॉजी असंयुक्त संघ के तहत योगात्मक है:


 * $$\chi(M \sqcup N) = \chi(M) + \chi(N).$$

अधिक आम तौर पर, यदि एम और एन एक बड़ी जगह एक्स के उप-स्थान हैं, तो उनका संघ और चौराहे भी हैं। कुछ मामलों में, यूलर विशेषता समावेश-बहिष्करण सिद्धांत के एक संस्करण का पालन करती है:


 * $$\chi(M \cup N) = \chi(M) + \chi(N) - \chi(M \cap N).$$

यह निम्नलिखित मामलों में सच है:

सामान्य तौर पर, समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत गलत है। X को वास्तविक रेखा, M को एक बिंदु से युक्त उपसमुच्चय और N को M का पूरक (सबसेट सिद्धांत) मानकर एक प्रतिउदाहरण दिया जाता है।
 * यदि M और N एक एक्सिसिव युगल हैं। विशेष रूप से, यदि संघ के अंदर M और N का आंतरिक (टोपोलॉजी) अभी भी संघ को कवर करता है।
 * यदि X स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट जगह है, और स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान सपोर्ट (गणित) के साथ यूलर विशेषताओं का उपयोग करता है, तो M या N पर कोई धारणा आवश्यक नहीं है।
 * यदि X एक स्थैतिक रूप से स्तरीकृत स्थान है, जिसके सभी स्तर सम-विमीय हैं, तो समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत धारण करता है यदि M और N स्तर के संघ हैं। यह विशेष रूप से लागू होता है यदि एम और एन एक जटिल संख्या बीजगणितीय विविधता की उप-किस्में हैं।

जुड़ा हुआ योग
दो जुड़े बंद एन-कई गुना के लिए $$M, N$$ एक नया कनेक्टेड मैनिफोल्ड प्राप्त कर सकता है $$M \# N$$ जुड़ा योग ऑपरेशन के माध्यम से। यूलर विशेषता सूत्र द्वारा संबंधित है
 * $$ \chi(M \# N) = \chi(M) + \chi(N) - \chi(S^n).$$

उत्पाद संपत्ति
साथ ही, किसी भी उत्पाद स्थान M × N की यूलर विशेषता है


 * $$\chi(M \times N) = \chi(M) \cdot \chi(N).$$

इन जोड़ और गुणन गुणों का सेट (गणित) के प्रमुखता द्वारा भी आनंद लिया जाता है। इस तरह, यूलर विशेषता को कार्डिनैलिटी के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है; देखें।

रिक्त स्थान को कवर करना
इसी तरह, के-शीट वाले अंतरिक्ष को कवर करना के लिए $$\tilde{M} \to M,$$ किसी के पास
 * $$\chi(\tilde{M}) = k \cdot \chi(M).$$

आम तौर पर, एक रेमीफाइड कवरिंग स्पेस के लिए, कवर की यूलर विशेषता की गणना ऊपर से की जा सकती है, जिसमें रेमीफिकेशन पॉइंट्स के लिए एक सुधार कारक होता है, जो रीमैन-हर्विट्ज फॉर्मूला देता है।

फाइब्रेशन संपत्ति
कुछ शर्तों के साथ कंपन के लिए उत्पाद की संपत्ति आम तौर पर अधिक होती है।

यदि $$p\colon E \to B$$ फाइबर एफ के साथ एक फ़िब्रेशन है, बेस बी पथ से जुड़ा हुआ है, और फ़िब्रेशन एक फ़ील्ड के पर उन्मुख है, फिर फील्ड के में गुणांक के साथ यूलर विशेषता उत्पाद संपत्ति को संतुष्ट करती है:
 * $$\chi(E) = \chi(F)\cdot \chi(B).$$

इसमें विशेष मामलों के रूप में उत्पाद स्थान और कवरिंग स्थान शामिल हैं, और एक कंपन के होमोलॉजी पर सेरे स्पेक्ट्रल अनुक्रम द्वारा सिद्ध किया जा सकता है।

फाइबर बंडलों के लिए, इसे स्थानांतरण नक्शा के संदर्भ में भी समझा जा सकता है $$\tau\colon H_*(B) \to H_*(E)$$ - ध्यान दें कि यह एक लिफ्टिंग है और गलत तरीके से जाती है - जिसकी रचना प्रक्षेपण मानचित्र के साथ है $$p_*\colon H_*(E) \to H_*(B)$$ फाइबर के यूलर वर्ग द्वारा गुणन है:
 * $$p_* \circ \tau = \chi(F) \cdot 1.$$

सतहें
यूलर विशेषता की गणना सामान्य सतहों के लिए सतह के बहुभुज (यानी, सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्स के रूप में एक विवरण) और उपरोक्त परिभाषाओं का उपयोग करके आसानी से की जा सकती है।

सॉकर बॉल
पेंटागोनल और हेक्सागोनल टुकड़ों को एक साथ सिलाई करके सॉकर गेंदों का निर्माण करना आम है, प्रत्येक शीर्ष पर तीन टुकड़े मिलते हैं (उदाहरण के लिए एडिडास टेलस्टार देखें)। यदि P पेंटागन और H हेक्सागोन का उपयोग किया जाता है, तो F = P + H फलक, V = (5 P + 6 H) / 3 शीर्ष, और E = (5 P + 6 H) / 2 किनारे होते हैं। यूलर विशेषता इस प्रकार है


 * $$V - E + F = \frac{5P + 6H}{3} - \frac{5P + 6H}{2} + P + H = \frac{P}{6}.$$

क्योंकि गोले में यूलर की विशेषता 2 है, यह P = 12 का अनुसरण करता है। यानी, इस तरह से निर्मित एक सॉकर बॉल में हमेशा 12 पेंटागन होते हैं। सिद्धांत रूप में, हेक्सागोन्स की संख्या अप्रतिबंधित है। यह परिणाम फुलरीन और गोल्डबर्ग पॉलीहेड्रा पर लागू होता है।

मनमाना आयाम
एन-डायमेंशनल स्फीयर में सिंगुलर होमोलॉजी ग्रुप्स बराबर हैं
 * $$H_k(S^n) = \begin{cases} \mathbb Z & k=0, n \\ \{0\} & \text{otherwise,} \end{cases}$$

इसलिए आयाम 0 और n में बेट्टी संख्या 1 है, और अन्य सभी बेट्टी संख्याएं 0 हैं। इसकी यूलर विशेषता तब 1 + (-1) हैn — यानी या तो 0 या 2।

एन-डायमेंशनल रियल प्रक्षेपण स्थान एंटीपोडल नक्शा द्वारा एन-स्फीयर का भागफल है। यह इस प्रकार है कि इसकी यूलर की विशेषता इसी क्षेत्र की आधी है - या तो 0 या 1।

एन-आयामी टोरस एन मंडलियों का उत्पाद स्थान है। उत्पाद गुण द्वारा इसकी यूलर विशेषता 0 है। अधिक आम तौर पर, किसी भी कॉम्पैक्ट लाइ समूह सहित किसी भी कॉम्पैक्ट समांतरकरण योग्य कई गुना में यूलर विशेषता 0 है। किसी भी बंद मैनिफोल्ड ऑड-डायमेंशनल मैनिफोल्ड की यूलर विशेषता भी 0 है। उन्मुख उदाहरणों का मामला पोंकारे द्वैत का एक परिणाम है। यह संपत्ति आमतौर पर किसी भी कॉम्पैक्ट स्पेस के लिए लागू होती है, जो स्थैतिक रूप से स्तरीकृत होती है, जिसके सभी स्तरों में विषम आयाम होते हैं। यह टू-टू-वन ओरिएंटेबिलिटी # ओरिएंटेबल डबल कवर के माध्यम से बंद विषम-आयामी गैर-उन्मुख मैनिफोल्ड पर भी लागू होता है।

अन्य आक्रमणकारियों से संबंध
एक बंद उन्मुखता सतह (टोपोलॉजी) की यूलर विशेषता की गणना इसके जीनस (गणित) जी (सतह के एक जुड़े योग अपघटन में टोरस की संख्या; सहजता से, हैंडल की संख्या) से की जा सकती है


 * $$\chi = 2 - 2g.$$

एक बंद गैर-उन्मुख सतह की यूलर विशेषता की गणना इसके गैर-उन्मुख जीनस k (सतह के एक जुड़े योग अपघटन में वास्तविक प्रक्षेपी विमानों की संख्या) से की जा सकती है


 * $$\chi = 2 - k.$$

बंद चिकने कई गुना के लिए, यूलर की विशेषता यूलर संख्या के साथ मेल खाती है, यानी, इसके स्पर्शरेखा बंडल के यूलर वर्ग का मूल्यांकन कई गुना मौलिक वर्ग पर किया जाता है। यूलर वर्ग, बदले में, सदिश बंडलों के अन्य सभी विशिष्ट वर्गों से संबंधित है।

बंद रीमैनियन कई गुना के लिए, वक्रता को एकीकृत करके यूलर विशेषता भी पाई जा सकती है; द्वि-आयामी मामले के लिए गॉस-बोनट प्रमेय और सामान्य मामले के लिए सामान्यीकृत गॉस-बोनट प्रमेय देखें।

गॉस-बोनट प्रमेय का एक असतत एनालॉग रेने डेसकार्टेस | डेसकार्टेस प्रमेय है कि एक पॉलीहेड्रॉन का कुल दोष, पूर्ण हलकों में मापा जाता है, पॉलीहेड्रॉन की यूलर विशेषता है; दोष देखें (ज्यामिति)।

हैडविगर की प्रमेय यूलर विशेषता को 'अद्वितीय' (स्केलर गुणन तक) अनुवाद-अपरिवर्तनीय, सूक्ष्म रूप से योज्य, गैर-जरूरी-गैर-नकारात्मक सेट फ़ंक्शन के रूप में वर्णित करती है, जो आर में कॉम्पैक्ट स्पेस उत्तल पॉलीहेड्रॉन सेट के परिमित संघों पर परिभाषित है।n जो 0 डिग्री का सजातीय है।

सामान्यीकरण
प्रत्येक संयोजक सेल परिसर के लिए, यूलर विशेषता को 0-कोशिकाओं की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है, 1-कोशिकाओं की संख्या घटाकर 2-कोशिकाओं की संख्या, आदि, यदि यह वैकल्पिक योग परिमित है। विशेष रूप से, एक परिमित सेट की यूलर विशेषता केवल इसकी प्रमुखता है, और एक ग्राफ (असतत गणित) की यूलर विशेषता किनारों की संख्या घटाकर किनारों की संख्या है। अधिक आम तौर पर, किसी भी श्रृंखला परिसर की यूलर विशेषता को श्रृंखला परिसर के होमोलॉजी समूहों के एक एबेलियन समूह के रैंक के वैकल्पिक योग के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, यह मानते हुए कि ये सभी रैंक परिमित हैं। बीजगणितीय ज्यामिति में प्रयुक्त यूलर विशेषता का एक संस्करण इस प्रकार है। किसी भी सुसंगत शेफ के लिए $$\mathcal{F}$$ एक उचित योजना (गणित) एक्स पर, कोई इसकी यूलर विशेषता को परिभाषित करता है
 * $$\chi ( \mathcal{F})= \sum_i (-1)^i h^i(X,\mathcal{F}),$$

कहाँ पे $$h^i(X, \mathcal{F}) $$ i-th sheaf cohomology group का आयाम है $$\mathcal{F}$$. इस मामले में, Coherent_sheaf_cohomology#Finite-dimensality_of_cohomology|Grothendieck's fininness theorem द्वारा आयाम सभी परिमित हैं। यह एक चेन कॉम्प्लेक्स की यूलर विशेषता का एक उदाहरण है, जहां चेन कॉम्प्लेक्स का परिमित रिज़ॉल्यूशन है $$\mathcal{F}$$ विश्वकोश ढेरों द्वारा।

मैनिफोल्ड्स पर यूलर विशेषता की अवधारणा का एक और सामान्यीकरण orbifold्स से आता है (ऑर्बिफोल्ड की यूलर विशेषता देखें)। जबकि प्रत्येक मैनिफोल्ड में एक पूर्णांक यूलर विशेषता होती है, एक ऑर्बिफोल्ड में एक भिन्नात्मक यूलर विशेषता हो सकती है। उदाहरण के लिए, टियरड्रॉप ऑर्बिफोल्ड में यूलर विशेषता 1+1/p है, जहां p शंकु कोण 2 के अनुरूप एक अभाज्य संख्या है$\pi$/ पी।

एक परिमित आंशिक रूप से आदेशित सेट के कम होमोलॉजी की यूलर विशेषता की अवधारणा एक और सामान्यीकरण है, जो साहचर्य में महत्वपूर्ण है। एक पॉसेट बाउंड होता है यदि उसमें सबसे छोटे और सबसे बड़े तत्व होते हैं; उन्हें 0 और 1 कहते हैं। ऐसे पॉसेट की यूलर विशेषता को पूर्णांक μ (0,1) के रूप में परिभाषित किया गया है, जहां μ उस पोसेट के घटना बीजगणित में मोबियस फ़ंक्शन है।

कुछ परिमित श्रेणी (गणित) के लिए एक 'क्यू'-मूल्यवान यूलर विशेषता को परिभाषित करके इसे और सामान्यीकृत किया जा सकता है, ऊपर उल्लिखित रेखांकन, ऑर्बिफोल्ड्स और पॉसेट्स के यूलर विशेषताओं के साथ संगत धारणा। इस सेटिंग में, एक परिमित समूह (गणित) या मोनोइड G की यूलर विशेषता 1/|G| है, और एक परिमित समूह की यूलर विशेषता 1/|G का योग हैi|, जहां हमने एक प्रतिनिधि समूह G को चुनाiGroupoid के प्रत्येक जुड़े हुए घटक के लिए।

यह भी देखें

 * यूलर कैलकुलस
 * यूलर वर्ग
 * लियोनहार्ड यूलर के नाम पर विषयों की सूची
 * वर्दी बहुफलक की सूची

ग्रन्थसूची

 * Richeson, David S.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology. Princeton University Press 2008.

अग्रिम पठन

 * Flegg, H. Graham; From Geometry to Topology, Dover 2001, p. 40.

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * अंक शास्त्र
 * ची (पत्र)
 * समरूपता (गणित)
 * समरूप बीजगणित
 * चेहरा (ज्यामिति)
 * किनारा (ज्यामिति)
 * वृत्त
 * समतल ग्राफ
 * सरल चक्र
 * जॉर्डन वक्र प्रमेय
 * सरल जटिल
 * एक एबेलियन समूह का पद
 * एकवचन समरूपता
 * सिकुड़ने योग्य
 * होमोटॉपी समकक्ष
 * संघ अलग करना
 * उत्कृष्ट युगल
 * इंटीरियर (टोपोलॉजी)
 * बीजगणितीय किस्म
 * समर्थन (गणित)
 * प्रति उदाहरण
 * पूरक (सेट सिद्धांत)
 * तंतु
 * समानांतर कई गुना
 * झूठ समूह
 * कई गुना बंद
 * विशेषता वर्ग
 * स्केलर गुणज
 * वेक्टर बंडल
 * दोष (ज्यामिति)
 * कोशिका परिसर
 * चेन कॉम्प्लेक्स
 * सुसंगत शीफ
 * समरूपता कम
 * groupoid
 * एकसमान पॉलीहेड्रा की सूची

बाहरी संबंध

 * An animated version of a proof of Euler's formula using spherical geometry.
 * An animated version of a proof of Euler's formula using spherical geometry.
 * An animated version of a proof of Euler's formula using spherical geometry.
 * An animated version of a proof of Euler's formula using spherical geometry.