हर्मिटियन सममित समिष्ट

गणित में, एक हर्मिटियन सममित स्थान एक हर्मिटियन मैनिफोल्ड है जिसमें हर बिंदु पर हर्मिटियन संरचना को संरक्षित करने वाली व्युत्क्रम समरूपता होती है। सबसे पहले एली कार्टन द्वारा अध्ययन किया गया, वे वास्तविक मैनिफोल्ड से लेकर वास्तविक विविधता तक रीमानियन सममित स्थान की धारणा का एक प्राकृतिक सामान्यीकरण बनाते हैं।

प्रत्येक हर्मिटियन सममित स्थान अपने आइसोमेट्री समूह के लिए एक सजातीय स्थान है और इसमें इरेड्यूसबल रिक्त स्थान और यूक्लिडियन स्पेस के उत्पाद के रूप में एक अद्वितीय अपघटन होता है। इरेड्यूसेबल स्पेस जोड़े में एक गैर-कॉम्पैक्ट स्पेस के रूप में उत्पन्न होते हैं, जैसा कि आर्मंड बोरेल ने दिखाया है, इसे इसके कॉम्पैक्ट डुअल स्पेस के खुले उप-स्पेस के रूप में एम्बेड किया जा सकता है। हरीश चंद्र ने दिखाया कि प्रत्येक गैर-कॉम्पैक्ट स्थान को एक जटिल वेक्टर स्थान में एक सीमित सममित डोमेन के रूप में महसूस किया जा सकता है। सबसे सरल मामले में समूह SU(2), SU(1,1) और उनका सामान्य जटिलता SL(2,C) शामिल है। इस मामले में गैर-कॉम्पैक्ट स्पेस यूनिट डिस्क है, एसयू(1,1) के लिए एक सजातीय स्थान। यह जटिल समतल C में एक घिरा हुआ डोमेन है। C, रीमैन क्षेत्र का एक-बिंदु संघनन, दोहरी जगह है, SU(2) और SL(2,C) के लिए एक सजातीय जगह है।

इरेड्यूसिबल कॉम्पैक्ट हर्मिटियन सममित स्थान अधिकतम बंद जुड़े उपसमूहों द्वारा सरल कॉम्पैक्ट झूठ समूहों के बिल्कुल सजातीय स्थान हैं जिनमें अधिकतम टोरस होता है और सर्कल समूह में केंद्र आइसोमोर्फिक होता है। कार्टन द्वारा अध्ययन की गई चार शास्त्रीय श्रृंखलाओं और दो असाधारण मामलों के साथ, अपरिवर्तनीय स्थानों का एक पूरा वर्गीकरण है; वर्गीकरण बोरेल-डी सीबेंथल सिद्धांत से निकाला जा सकता है, जो अधिकतम टोरस वाले बंद जुड़े उपसमूहों को वर्गीकृत करता है। जॉर्डन ट्रिपल सिस्टम के सिद्धांत में हर्मिटियन सममित स्थान, कई जटिल चर, जटिल ज्यामिति, स्वचालित रूप और समूह प्रतिनिधित्व दिखाई देते हैं, विशेष रूप से अर्धसरल झूठ समूहों के होलोमोर्फिक असतत श्रृंखला प्रतिनिधित्व के निर्माण की अनुमति देते हैं।

परिभाषा
मान लीजिए कि H एक जुड़ा हुआ सघन अर्धसरल झूठ समूह है, σ क्रम 2 और H के H का एक ऑटोमोर्फिज्म हैσ का निश्चित बिंदु उपसमूह। मान लीजिए K, H का एक बंद उपसमूह है जो H के बीच स्थित हैσऔर इसका पहचान घटक। सघन सजातीय स्थान H/K को सममित स्थान कहा जाता है। झूठ बीजगणित $$\mathfrak{h}$$ विघटन को स्वीकार करता है


 * $$\displaystyle{\mathfrak{h}=\mathfrak{k}\oplus\mathfrak{m},}$$

कहाँ $$\mathfrak{k}$$, K का झूठ बीजगणित, σ और का +1 eigenspace है $$\mathfrak{m}$$ -1 ईजेनस्पेस। अगर $$\mathfrak{k}$$ इसमें कोई सरल सारांश नहीं है $$\mathfrak{h}$$, जोड़ी ($$\mathfrak{h}$$, σ) को कॉम्पैक्ट प्रकार का ऑर्थोगोनल सममित झूठ बीजगणित कहा जाता है। किसी भी आंतरिक उत्पाद पर $$\mathfrak{h}$$, आसन्न प्रतिनिधित्व और σ के तहत अपरिवर्तनीय, एच / के पर एक रीमैनियन संरचना को प्रेरित करता है, जिसमें एच आइसोमेट्री द्वारा कार्य करता है। एक विहित उदाहरण माइनस द संहार रूप  द्वारा दिया गया है। ऐसे आंतरिक उत्पाद के तहत, $$\mathfrak{k}$$ और $$\mathfrak{m}$$ ऑर्थोगोनल हैं. एच/के तब कॉम्पैक्ट प्रकार का एक रीमैनियन सममित स्थान है। सममित स्थान H/K को 'हर्मिटियन सममित स्थान' कहा जाता है यदि इसमें रीमैनियन मीट्रिक को संरक्षित करने वाली लगभग जटिल संरचना होती है। यह J के साथ एक रेखीय मानचित्र J के अस्तित्व के बराबर है2 = −मैं चालू $$\mathfrak{m}$$ जो आंतरिक उत्पाद को सुरक्षित रखता है और K की क्रिया के साथ संचारित होता है।

समरूपता और आइसोट्रॉपी उपसमूह का केंद्र
अगर ($$\mathfrak{h}$$,σ) हर्मिटियन है, K का केंद्र गैर-तुच्छ है और समरूपता σ आंतरिक है, जिसे K के केंद्र के एक तत्व द्वारा कार्यान्वित किया जाता है।

वास्तव में जे निहित है $$\mathfrak{k}$$ और exp tJ, K के केंद्र में एक-पैरामीटर समूह बनाता है। यह इस प्रकार है क्योंकि यदि A, B, C, D स्थित हैं $$\mathfrak{m}$$, फिर आंतरिक उत्पाद की अपरिवर्तनीयता से $$\mathfrak{h}$$
 * $$\displaystyle{([[A,B],C],D)=([A,B],[C,D])=([[C,D],B],A).}$$

ए और बी को जेए और जेबी से प्रतिस्थापित करने पर यह उसका अनुसरण करता है


 * $$\displaystyle{[JA,JB] = [A,B].}$$

एक रेखीय मानचित्र d को परिभाषित करें $$\mathfrak{h}$$ J को 0 पर विस्तारित करके $$\mathfrak{k}$$. अंतिम संबंध दर्शाता है कि δ की व्युत्पत्ति है $$\mathfrak{h}$$. तब से $$\mathfrak{h}$$ अर्धसरल है, δ एक आंतरिक व्युत्पत्ति होनी चाहिए, ताकि


 * $$\displaystyle{\delta(X)=[T + A,X],}$$

टी इन के साथ $$\mathfrak{k}$$ और ए में $$\mathfrak{m}$$. एक्स को अंदर ले जाना $$\mathfrak{k}$$, यह इस प्रकार है कि A = 0 और T के केंद्र में स्थित है $$\mathfrak{k}$$ और इसलिए कि K गैर-अर्धसरल है। समरूपता σ को z = exp πT द्वारा कार्यान्वित किया जाता है और लगभग जटिल संरचना exp π/2 T द्वारा कार्यान्वित की जाती है। σ की आंतरिकता का तात्पर्य है कि K में H का अधिकतम टोरस है, इसलिए अधिकतम रैंक है। दूसरी ओर, तत्वों exp tT के टोरस S द्वारा उत्पन्न उपसमूह का सेंट्रलाइज़र जुड़ा हुआ है, क्योंकि यदि x K में कोई तत्व है तो x और S युक्त एक अधिकतम टोरस होता है, जो सेंट्रलाइज़र में स्थित होता है। दूसरी ओर, इसमें K शामिल है क्योंकि S, K में केंद्रीय है और K में समाहित है क्योंकि z, S में स्थित है। इसलिए K, S का केंद्रक है और इसलिए जुड़ा हुआ है। विशेष रूप से K में H का केंद्र शामिल है।

अघुलनशील अपघटन
सममित स्थान या युग्म ($$\mathfrak{h}$$, σ) को अघुलनशील कहा जाता है यदि की संयुक्त क्रिया $$\mathfrak{k}$$ (या समकक्ष रूप से एच का पहचान घटकσया K) पर अपरिवर्तनीय है $$\mathfrak{m}$$. यह की अधिकतमता के बराबर है $$\mathfrak{k}$$ एक उपबीजगणित के रूप में. वास्तव में मध्यवर्ती उपबीजगणित के बीच एक-एक पत्राचार होता है $$\mathfrak{l}$$ और K-अपरिवर्तनीय उपस्थान $$\mathfrak{m}_1$$ का $$\mathfrak{m}$$ द्वारा दिए गए


 * $$\displaystyle{\mathfrak{l}=\mathfrak{k}\oplus \mathfrak{m}_1,\,\,\,\ \mathfrak{m}_1=\mathfrak{l}\cap \mathfrak{m}.}$$

कोई भी ऑर्थोगोनल सममित बीजगणित ($$\mathfrak{g}$$, σ) हर्मिटियन प्रकार को हर्मिटियन प्रकार के इरेड्यूसिबल ऑर्थोगोनल सममित बीजगणित के (ऑर्थोगोनल) प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित किया जा सकता है। वास्तव में $$\mathfrak{h}$$ सरल बीजगणित के प्रत्यक्ष योग के रूप में लिखा जा सकता है


 * $$\displaystyle{\mathfrak{h}=\oplus_{i=1}^N \mathfrak{h}_i,}$$

जिनमें से प्रत्येक को ऑटोमोर्फिज्म σ और जटिल संरचना जे द्वारा अपरिवर्तित छोड़ दिया गया है, क्योंकि वे दोनों आंतरिक हैं। ईजेनस्पेस अपघटन $$\mathfrak{h}_1$$ इसके प्रतिच्छेदन के साथ मेल खाता है $$\mathfrak{k}$$ और $$\mathfrak{m}$$. तो σ का प्रतिबंध $$\mathfrak{h}_1$$ अपरिवर्तनीय है.

ऑर्थोगोनल सममित झूठ बीजगणित का यह अपघटन संबंधित कॉम्पैक्ट सममित स्थान एच / के का प्रत्यक्ष उत्पाद अपघटन उत्पन्न करता है जब एच बस जुड़ा होता है। इस मामले में निश्चित बिंदु उपसमूह एचσ स्वचालित रूप से कनेक्ट होता है. सरलता से जुड़े हुए H के लिए, सममित स्थान H/K, H का प्रत्यक्ष उत्पाद हैi / कi एच के साथi बस जुड़ा हुआ और सरल। इरेड्यूसिबल मामले में, K, H का अधिकतम जुड़ा उपसमूह है। चूंकि K इरेड्यूसिबल रूप से कार्य करता है $$\mathfrak{m}$$ (जे द्वारा परिभाषित जटिल संरचना के लिए एक जटिल स्थान के रूप में माना जाता है), के का केंद्र एक आयामी टोरस 'टी' है, जो ऑपरेटर एक्सपी टीटी द्वारा दिया गया है। चूँकि प्रत्येक H बस जुड़ा हुआ है और K जुड़ा हुआ है, भागफल H/K बस जुड़ा हुआ है।

जटिल संरचना
यदि H / K, K गैर-अर्धसरल के साथ अपरिवर्तनीय है, तो कॉम्पैक्ट समूह H सरल होना चाहिए और K अधिकतम रैंक का होना चाहिए। बोरेल-डी सीबेंथल सिद्धांत से, इनवोल्यूशन σ आंतरिक है और K इसके केंद्र का केंद्रक है, जो 'T' के लिए आइसोमोर्फिक है। विशेष रूप से K जुड़ा हुआ है। इसका तात्पर्य यह है कि एच/के बस जुड़ा हुआ है और एच के जटिलीकरण (झूठ समूह) जी में एक परवलयिक उपसमूह पी है जैसे कि एच/के = जी/पी। विशेष रूप से एच/के और क्रिया पर एक जटिल संरचना है H का होलोमोर्फिक है। चूँकि कोई भी हर्मिटियन सममित स्थान अपरिवर्तनीय स्थानों का उत्पाद है, सामान्य तौर पर भी यही सच है।

लाई बीजगणित स्तर पर, एक सममित अपघटन होता है
 * $$\mathfrak h = \mathfrak k\oplus\mathfrak m,$$

कहाँ $$(\mathfrak m,J)$$ एक जटिल संरचना J वाला एक वास्तविक सदिश समष्टि है, जिसका जटिल आयाम तालिका में दिया गया है। तदनुसार, एक श्रेणीबद्ध लाई बीजगणित अपघटन है
 * $$\mathfrak g = \mathfrak{m}_{+}\oplus\mathfrak l\oplus\mathfrak{m}_-$$

कहाँ $$\mathfrak m\otimes\mathbb C= \mathfrak m_{-}\oplus\mathfrak m_{+}$$ J और के +i और −i eigenspaces में अपघटन है $$\mathfrak l=\mathfrak k\otimes\mathbb C$$. P का झूठ बीजगणित अर्धप्रत्यक्ष गुणनफल है $$\mathfrak m^{+}\oplus\mathfrak l$$. जटिल झूठ बीजगणित $$\mathfrak{m}_\pm$$ एबेलियन हैं. वास्तव में, यदि U और V अंदर हैं $$\mathfrak{m}_\pm$$, [यू,वी] = जे[यू,वी] = [जेयू,जेवी] = [±iU,±iV] = -[यू,वी], इसलिए लाई ब्रैकेट गायब हो जाना चाहिए।

जटिल उपस्थान $$\mathfrak{m}_\pm$$ का $$\mathfrak{m}_{\mathbb C}$$ K की क्रिया के लिए अप्रासंगिक हैं, क्योंकि J, K के साथ संचार करता है ताकि प्रत्येक समरूपी हो $$\mathfrak{m}$$ जटिल संरचना के साथ ±जे. समान रूप से K का केंद्र 'T' कार्य करता है $$\mathfrak{m}_+$$ पहचान प्रतिनिधित्व और पर द्वारा $$\mathfrak{m}_-$$ इसके संयुग्म द्वारा. एक सामान्यीकृत ध्वज विविधता जी/पी के रूप में एच/के की प्राप्ति तालिका में जी को लेने से प्राप्त होती है (एच का जटिलता (झूठ समूह)) और पी को एल के अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद के बराबर परवलयिक उपसमूह माना जाता है, जटिलता के, जटिल एबेलियन उपसमूह ऍक्स्प के साथ $$\mathfrak{m}_+$$. (बीजगणितीय समूहों की भाषा में, L, P का लेवी गुणनखंड है।)

वर्गीकरण
कॉम्पैक्ट प्रकार का कोई भी हर्मिटियन सममित स्थान बस जुड़ा हुआ है और इसे इरेड्यूसबल हर्मिटियन सममित स्थान एच के प्रत्यक्ष उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है।i / कi एच के साथi सरल, केi केंद्र टी के साथ अधिकतम रैंक से जुड़ा हुआ है। अत: अप्रासंगिक मामले वास्तव में बोरेल-डी सीबेंथल सिद्धांत द्वारा वर्गीकृत गैर-अर्धसरल मामले हैं। तदनुसार, इरेड्यूसिबल कॉम्पैक्ट हर्मिटियन सममित स्थान एच/के को निम्नानुसार वर्गीकृत किया गया है।

कॉम्पैक्ट रीमैनियन सममित स्थानों के वर्गीकरण के संदर्भ में, हर्मिटियन सममित स्थान चार अनंत श्रृंखला AIII, DIII, CI और BDI हैं जिनमें p = 2 या q = 2 और दो असाधारण स्थान हैं, अर्थात् EIII और EVII।

शास्त्रीय उदाहरण
कॉम्पैक्ट प्रकार के इरेड्यूसिबल हर्मिटियन सममित स्थान सभी आसानी से जुड़े हुए हैं। सरल रूप से जुड़े सरल कॉम्पैक्ट लाई समूह की संगत समरूपता σ आंतरिक है, जो अवधि 2 के Z(K) / Z(H) में अद्वितीय तत्व S द्वारा संयुग्मन द्वारा दी गई है। शास्त्रीय समूहों के लिए, जैसा कि ऊपर दी गई तालिका में है, ये समरूपताएं हैं निम्नानुसार हैं:
 * एIII: $$S=\begin{pmatrix}-\alpha I_p & 0\\ 0 & \alpha I_q\end{pmatrix}$$ S(U(p)×U(q)) में, जहां αp+q=(−1)प.
 * DIII: S = iI in U(n) ⊂ SO(2n); यह विकल्प समतुल्य है $$J_n=\begin{pmatrix}0 &I_n \\ -I_n & 0\end{pmatrix}$$.
 * CI: S=iI in U(n) ⊂ Sp(n) = Sp(n,'C') ∩ U(2n); यह विकल्प जे के बराबर हैn.
 * बीडीआई: $$S=\begin{pmatrix}I_p & 0\\ 0 & -I_2\end{pmatrix}$$ SO(p)×SO(2) में।

अधिकतम परवलयिक उपसमूह पी को इन शास्त्रीय मामलों में स्पष्ट रूप से वर्णित किया जा सकता है। AIII के लिए


 * $$\displaystyle{P(p,q)= \begin{pmatrix}A_{pp} & B_{pq}\\ 0 & D_{qq}\end{pmatrix}}$$

SL(p+q,'C') में। P(p,q) 'C' में आयाम p के उप-स्थान का स्टेबलाइज़र हैp+q.

अन्य समूह सम्मिलन के निश्चित बिंदुओं के रूप में उभरते हैं। मान लीजिए कि J एक n × n मैट्रिक्स है जिसमें प्रतिविकर्ण पर 1 है और अन्यत्र 0 है और सेट है


 * $$\displaystyle{A=\begin{pmatrix} 0 & J\\ -J & 0\end{pmatrix}.}$$

फिर Sp(n,'C') इनवोल्यूशन का निश्चित बिंदु उपसमूह है θ(g) = A (gटी)−1ए−1s of SL(2n,'C'). SO(n,'C') को ψ(g) = B (g) के निश्चित बिंदुओं के रूप में महसूस किया जा सकता हैटी)−1बी−1 SL(n,'C') में जहां B = J. ये समावेश DIII और CI के मामले में अपरिवर्तनीय P(n,n) और BDI के मामले में P(p,2) को छोड़ देते हैं। संबंधित परवलयिक उपसमूह P को निश्चित बिंदु लेकर प्राप्त किया जाता है। सघन समूह H, G/P पर सकर्मक रूप से कार्य करता है, जिससे G/P = H/K होता है।

परिभाषा
सामान्यतः सममित स्थानों की तरह, प्रत्येक कॉम्पैक्ट हर्मिटियन सममित स्थान H/K में एक गैर-कॉम्पैक्ट दोहरा H होता है*/K को H को बंद वास्तविक लाई उपसमूह H से प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है*ली बीजगणित के साथ जटिल लाई समूह जी का
 * $$\mathfrak h^* = \mathfrak k \oplus i\mathfrak m\subset\mathfrak g.$$

बोरेल एम्बेडिंग
जबकि H/K से G/P तक का प्राकृतिक मानचित्र एक समरूपता है, H से प्राकृतिक मानचित्र*/K से G/P एक खुले उपसमुच्चय में केवल एक समावेशन है। इस समावेशन को आर्मंड बोरेल के बाद 'बोरेल एम्बेडिंग' कहा जाता है। वास्तव में पी ∩ एच = के = पी ∩ एच*। H और H* की छवियों का आयाम समान है इसलिए वे खुले हैं। चूँकि H की छवि सघन है, इसलिए बंद है, यह इस प्रकार है कि H/K = G/P.

कार्टन अपघटन
जटिल रैखिक समूह G में ध्रुवीय अपघटन का तात्पर्य कार्टन अपघटन H* = K ⋅ exp से है $$i\mathfrak{m}$$ एच में*। इसके अलावा, अधिकतम एबेलियन उपबीजगणित दिया गया है $$\mathfrak{a}$$ टी में, ए = क्स्प $$\mathfrak{a}$$ एक टोरल उपसमूह इस प्रकार है कि σ(a) = a−1ए पर; और कोई दो ऐसे $$\mathfrak{a}$$K के एक तत्व द्वारा संयुग्मित होते हैं। एक समान कथन लागू होता है $$\mathfrak{a}^*=i\mathfrak{a}$$. इसके अलावा यदि A* = क्स्प $$\mathfrak{a}^*$$, तब


 * $$\displaystyle{H^*=KA^*K.}$$

ये परिणाम किसी भी रीमैनियन सममित स्थान और उसके दोहरे में कार्टन अपघटन के विशेष मामले हैं। सजातीय स्थानों में मूल से निकलने वाले जियोडेसिक्स को जनरेटर के साथ एक पैरामीटर समूहों के साथ पहचाना जा सकता है $$i\mathfrak{m}$$ या $$\mathfrak{m}$$. कॉम्पैक्ट मामले में भी इसी तरह के परिणाम सामने आते हैं: H= K ⋅ exp $$i\mathfrak{m}$$ और एच = केएके.

पूरी तरह से जियोडेसिक उपस्थान ए के गुणों को सीधे दिखाया जा सकता है। A बंद है क्योंकि A का बंद होना एक टोरल उपसमूह है जो σ(a) = a को संतुष्ट करता है−1, तो यह झूठ बीजगणित में निहित है $$\mathfrak{m}$$ और इसलिए बराबर है $$\mathfrak{a}$$ अधिकतमता से. A को एकल तत्व exp X द्वारा टोपोलॉजिकल रूप से उत्पन्न किया जा सकता है $$\mathfrak{a}$$ एक्स इन का सेंट्रलाइज़र है $$\mathfrak{m}$$. के किसी भी तत्व की K-कक्षा में $$\mathfrak{m}$$ एक तत्व Y इस प्रकार है कि (X,Ad k Y) को k = 1 पर न्यूनतम किया जाता है। k = exp tT को T के साथ सेट करना $$\mathfrak{k}$$, यह इस प्रकार है कि (X,[T,Y]) = 0 और इसलिए [X,Y] = 0, ताकि Y को अंदर आना चाहिए $$\mathfrak{a}$$. इस प्रकार $$\mathfrak{m}$$ के संयुग्मों का मिलन है $$\mathfrak{a}$$. विशेष रूप से एक्स के कुछ संयुग्म किसी अन्य विकल्प में निहित हैं $$\mathfrak{a}$$, जो उस संयुग्म को केंद्रीकृत करता है; इसलिए अधिकतमता से केवल संभावनाएं ही संयुग्मित होती हैं $$\mathfrak{a}$$. विघटन


 * $$\displaystyle{H=KAK,\,\,\,H = K\cdot \exp \mathfrak{m}}$$

H/K पर K की क्रिया के लिए परिवर्तन समूह के लिए स्लाइस प्रमेय (अंतर ज्यामिति) को लागू करके सीधे सिद्ध किया जा सकता है। वास्तव में स्थान H/K से पहचाना जा सकता है


 * $$\displaystyle{M=\{ \sigma(g)g^{-1}:g\in H\},}$$

H का एक बंद सबमैनिफोल्ड, और कार्टन अपघटन यह दर्शाता है कि M, kAk का मिलन है−1K में k के लिए। चूँकि यह संघ K × A की सतत छवि है, यह सघन और जुड़ा हुआ है। इसलिए यह दिखाना पर्याप्त है कि संघ एम में खुला है और इसके लिए यह दिखाना पर्याप्त है कि ए में प्रत्येक ए का इस संघ में एक खुला पड़ोस है। अब 0 पर डेरिवेटिव की गणना करके, संघ में 1 का एक खुला पड़ोस शामिल है। यदि ए केंद्रीय है तो संघ ए से गुणा के तहत अपरिवर्तनीय है, इसलिए इसमें ए का एक खुला पड़ोस शामिल है। यदि a केंद्रीय नहीं है, तो a = b लिखें2ए में बी के साथ। फिर τ = विज्ञापन बी - विज्ञापन बी−1 एक तिरछा-सलायक संचालिका है $$\mathfrak{h}$$ σ के साथ एंटीकम्यूटिंग, जिसे Z माना जा सकता है2-ग्रेडिंग ऑपरेटर σ पर $$\mathfrak{h}$$. यूलर-पोंकारे विशेषता तर्क से यह इस प्रकार है कि सुपरडायमेंशन $$\mathfrak{h}$$ के कर्नेल के सुपरडिमेंशन के साथ मेल खाता है। दूसरे शब्दों में,


 * $$\displaystyle{\mathrm{dim} \,\mathfrak{k} - \mathrm{dim} \,\mathfrak{k}_a = \mathrm{dim} \,\mathfrak{m} - \mathrm{dim} \,\mathfrak{m}_a,}$$

कहाँ $$\mathfrak{k}_a$$ और $$\mathfrak{m}_a$$ विज्ञापन ए द्वारा निर्धारित उप-स्थान हैं। मान लीजिए कि ओर्थोगोनल का पूरक है $$\mathfrak{k}_a$$ में $$\mathfrak{k}$$ होना $$\mathfrak{k}_a^\perp$$. डेरिवेटिव की गणना करते हुए, यह इस प्रकार है कि विज्ञापन ईएक्स (ए औरY), जहां X स्थित है $$\mathfrak{k}_a^\perp$$ और वाई में $$\mathfrak{m}_a$$, संघ में एक खुला पड़ोस है। यहां शर्तें ए ईYकेंद्रीय a के तर्क द्वारा संघ में स्थित है: वास्तव में a, a के केंद्रीकरणकर्ता के पहचान घटक के केंद्र में है जो σ के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है और इसमें A शामिल है।

का आयाम $$\mathfrak{a}$$ हर्मिटियन सममित स्थान की रैंक कहा जाता है।

मजबूत ऑर्थोगोनल जड़ें
हर्मिटियन सममित स्थानों के मामले में, हरीश-चंद्र ने एक विहित विकल्प दिया $$\mathfrak{a}$$. इस विकल्प का $$\mathfrak{a}$$ लाई बीजगणित के साथ K में H का अधिकतम टोरस T लेकर निर्धारित किया जाता है $$\mathfrak{t}$$. चूँकि समरूपता σ, मूल स्थान, H के केंद्र में स्थित T के एक तत्व द्वारा कार्यान्वित की जाती है $$\mathfrak{g}_\alpha$$ में $$\mathfrak{g}$$ σ द्वारा अपरिवर्तनीय छोड़ दिया जाता है। यह उनमें निहित लोगों पर पहचान के रूप में कार्य करता है $$\mathfrak{k}_{\mathbb{C}}$$ और उनमें शामिल लोगों की पहचान को घटा दिया जाए $$\mathfrak{m}_{\mathbb{C}}$$.

जड़ स्थान वाली जड़ें $$\mathfrak{k}_{\mathbb{C}}$$ सघन जड़ें कहलाती हैं और जिनमें जड़ों के लिए स्थान होता है $$\mathfrak{m}_{\mathbb{C}}$$ असंहत जड़ें कहलाती हैं। (यह शब्दावली नॉनकॉम्पैक्ट प्रकार के सममित स्थान से उत्पन्न होती है।) यदि H सरल है, तो K के केंद्र के जनरेटर Z का उपयोग सकारात्मक जड़ों के एक सेट को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। α(Z) के चिन्ह तक। जड़ों की इस पसंद के साथ $$\mathfrak{m}_+$$ और $$\mathfrak{m}_-$$ मूल स्थानों का प्रत्यक्ष योग हैं $$\mathfrak{g}_\alpha$$ सकारात्मक और नकारात्मक गैर-कॉम्पैक्ट जड़ों पर α। रूट वैक्टर ईα इसलिए चुना जा सकता है


 * $$\displaystyle{X_\alpha=E_\alpha + E_{-\alpha}, \,\,\, Y_\alpha=i(E_\alpha - E_{-\alpha})}$$

रिहायश $$\mathfrak{h}$$. सरल जड़ें α1, ...., एn अविभाज्य सकारात्मक जड़ें हैं। इन्हें क्रमांकित किया जा सकता है ताकि αi के केन्द्र पर लुप्त हो जाता है $$\mathfrak{h}$$ i के लिए, जबकि α1 नहीं करता। इस प्रकार α1 अद्वितीय गैर सघन सरल जड़ है और अन्य सरल जड़ें सघन हैं। किसी भी धनात्मक असंहत मूल का रूप β = α होता है1 + सी2 α2 + ⋅⋅⋅ + सीn αn गैर-नकारात्मक गुणांक के साथ सीi. ये गुणांक सकारात्मक जड़ों पर एक शब्दकोषीय क्रम की ओर ले जाते हैं। α का गुणांक1 हमेशा एक है क्योंकि $$\mathfrak{m}_-$$ K के लिए अप्रासंगिक है, इसलिए इसे कम करने वाले ऑपरेटरों E को क्रमिक रूप से लागू करके प्राप्त वैक्टर द्वारा फैलाया जाता है–α सरल सघन जड़ों के लिए α.

दो जड़ों α और β को दृढ़ता से ऑर्थोगोनल कहा जाता है यदि ±α ±β जड़ें या शून्य नहीं हैं, तो α ≐ β लिखा जाता है। उच्चतम धनात्मक मूल ψ1 नॉनकॉम्पैक्ट है. ψ लीजिए2 ψ के लिए दृढ़ता से ऑर्थोगोनल उच्चतम गैर-कॉम्पैक्ट सकारात्मक जड़ होना1 (शब्दकोषीय क्रम के लिए)। फिर इसी प्रकार ψ लेते हुए आगे बढ़ेंi + 1 ψ के लिए दृढ़ता से ऑर्थोगोनल उच्चतम गैर-कॉम्पैक्ट सकारात्मक जड़ होना1, ..., पी.एसi जब तक प्रक्रिया समाप्त नहीं हो जाती. संगत सदिश


 * $$\displaystyle{X_i= E_{\psi_i} + E_{-\psi_i}}$$

रिहायश $$\mathfrak{m}$$ और मजबूत रूढ़िवादिता द्वारा आवागमन करें। उनका विस्तार $$\mathfrak{a}$$ हरीश-चंद्र का विहित अधिकतम एबेलियन उपबीजगणित है। (जैसा कि सुगिउरा ने बाद में दिखाया, निश्चित टी होने पर, दृढ़ता से ऑर्थोगोनल जड़ों का सेट K के वेइल समूह में एक तत्व को लागू करने के लिए विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है। )

अधिकतमता को यह दिखाकर जांचा जा सकता है कि यदि


 * $$\displaystyle{[\sum c_\alpha E_\alpha + \overline{c_\alpha}E_{-\alpha}, E_{\psi_i} + E_{-\psi_i}]=0}$$

सभी के लिए मैं, फिर सीα = ψ से भिन्न सभी सकारात्मक गैर-कॉम्पैक्ट जड़ों α के लिए 0j'एस। इससे यह पता चलता है कि यदि cα ≠ 0, तो α दृढ़ता से ψ के लिए ओर्थोगोनल है1, पी2, ... एक विरोधाभास। दरअसल, उपरोक्त संबंध ψ दर्शाता हैi + α जड़ नहीं हो सकता; और वह यदि ψi - α एक जड़ है, तो इसका रूप आवश्यक रूप से β - ψ होगाi. यदि पी.एसi - α ऋणात्मक थे, तो α, ψ से अधिक उच्च धनात्मक मूल होगाi, ψ के लिए दृढ़ता से ओर्थोगोनलj j <i के साथ, जो संभव नहीं है; इसी प्रकार यदि β – ψi सकारात्मक थे.

पॉलीस्फेयर और पॉलीडिस्क प्रमेय
हरीश-चंद्र की विहित पसंद $$\mathfrak{a}$$ H*/K और H/K में एक पॉलीडिस्क और पॉलीस्फेयर प्रमेय की ओर ले जाता है। यह परिणाम ज्यामिति को एसएल (2,'सी'), एसयू (1,1) और एसयू (2) से जुड़े प्रोटोटाइप उदाहरण के उत्पादों तक कम कर देता है, अर्थात् रीमैन क्षेत्र के अंदर इकाई डिस्क।

H = SU(2) के मामले में समरूपता σ को विकर्ण मैट्रिक्स द्वारा प्रविष्टियों ±i के साथ संयुग्मन द्वारा दिया जाता है ताकि


 * $$\displaystyle{\sigma\begin{pmatrix} \alpha & \beta\\ -\overline{\beta} & \overline{\alpha}\end{pmatrix} =

\begin{pmatrix} \alpha & -\beta\\ \overline{\beta} & \overline{\alpha}\end{pmatrix}}$$ निश्चित बिंदु उपसमूह अधिकतम टोरस टी है, प्रविष्टियों के साथ विकर्ण मैट्रिक्स ई±यह. एसयू(2) रीमैन क्षेत्र पर कार्य करता है $$\mathbf{CP}^1$$ मोबियस ट्रांसफॉर्मेशन द्वारा सकर्मक रूप से और टी 0 का स्टेबलाइज़र है। एसएल (2, 'सी'), एसयू (2) का जटिलीकरण, मोबियस ट्रांसफॉर्मेशन द्वारा भी कार्य करता है और 0 का स्टेबलाइज़र निचले त्रिकोणीय मैट्रिक्स का उपसमूह बी है। नॉनकॉम्पैक्ट उपसमूह SU(1,1) सटीक तीन कक्षाओं के साथ कार्य करता है: खुली इकाई डिस्क |z| <1; इकाई वृत्त z = 1; और इसका बाहरी हिस्सा |z| > 1. इस प्रकार


 * $$\displaystyle{\mathrm{SU}(1,1)/\mathbf{T} = \{z: |z|<1\} \,\,\, \subset \,\,\, B_+/\mathbf{T}_{\mathbb{C}} = \mathbb{C}\,\,\, \subset \,\,\,\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})/B = \mathbb{C}\cup\{\infty\},}$$

जहां बी+ और टीC SL(2,C) में ऊपरी त्रिकोणीय और विकर्ण आव्यूहों के उपसमूहों को निरूपित करें। मध्य पद ऊपरी इकाईत्रिकोणीय आव्यूहों के अंतर्गत 0 की कक्षा है


 * $$\displaystyle{\begin{pmatrix} 1 & z\\ 0 & 1\end{pmatrix} =\exp \begin{pmatrix} 0 & z\\ 0 & 0\end{pmatrix}.}$$

अब प्रत्येक मूल ψ के लिएi π की एक समरूपता हैi SU(2) का H में जो समरूपता के साथ संगत है। यह विशिष्ट रूप से SL(2,'C') की समरूपता को G में विस्तारित करता है। विभिन्न ψ के लिए लाई बीजगणित की छवियांiका आवागमन क्योंकि वे दृढ़ता से ऑर्थोगोनल हैं। इस प्रकार प्रत्यक्ष उत्पाद SU(2) का एक समरूपता π हैआरएच में समरूपता के साथ संगत। यह SL(2,'C') की समरूपता तक विस्तारित हैआरजी में। π का ​​कर्नेल केंद्र में निहित है (±1)SU(2) का rआरजो समरूपता द्वारा बिंदुवार तय किया गया है। तो π के नीचे केंद्र की छवि K में निहित है। इस प्रकार पॉलीस्फीयर (SU(2)/T) का एक एम्बेडिंग होता हैr को H/K = G/P में बदलें और पॉलीस्फेयर में पॉलीडिस्क (SU(1,1)/T) होता हैर. पॉलीस्फीयर और पॉलीडिस्क रीमैन क्षेत्र और यूनिट डिस्क की आर प्रतियों का प्रत्यक्ष उत्पाद हैं। एसयू(2) और एसयू(1,1) में कार्टन अपघटन द्वारा, बहुमंडल T की कक्षा हैrएच/के में ए और पॉलीडिस्क टी की कक्षा हैrए*, जहां टीr = π(टीr) ⊆ K. दूसरी ओर, H = KAK और H* = K A* K.

इसलिए कॉम्पैक्ट हर्मिटियन सममित स्थान H/K में प्रत्येक तत्व पॉलीस्फेयर में एक बिंदु की K-कक्षा में है; और नॉनकॉम्पैक्ट हर्मिटियन सममित स्थान H* / K के बोरेल एम्बेडिंग के तहत छवि में प्रत्येक तत्व पॉलीडिस्क में एक बिंदु की K-कक्षा में है।

हरीश-चंद्र एम्बेडिंग
एच*/के, नॉनकॉम्पैक्ट प्रकार का हर्मिटियन सममित स्थान, की छवि में निहित है $$\exp \mathfrak m_+$$, एच / के बिहोलोमोर्फिक का एक घना खुला उपसमुच्चय $$\mathfrak m_+$$. संबंधित डोमेन में $$\mathfrak m_+$$ घिरा है। यह हरीश-चंद्र एम्बेडिंग है जिसका नाम हरीश-चंद्र के नाम पर रखा गया है। वास्तव में हरीश-चंद्र ने अंतरिक्ष के निम्नलिखित गुण दिखाए $$\mathbf{X}=\exp (\mathfrak{m}_+)\cdot K_{\mathbb{C}} \cdot \exp(\mathfrak{m}_-)=\exp (\mathfrak{m}_+)\cdot P$$:


 * 1) एक स्थान के रूप में, X तीन कारकों का प्रत्यक्ष उत्पाद है।
 * 2) X G में खुला है.
 * 3) X G में सघन है।
 * 4) X में H* शामिल है.
 * 5) X / P में H* / K का बंद होना = $$\exp \mathfrak{m}_+ $$ सघन है.

वास्तव में $$M_\pm=\exp \mathfrak{m}_\pm$$ K द्वारा सामान्यीकृत जटिल एबेलियन समूह हैंC. इसके अतिरिक्त, $$[\mathfrak{m}_+,\mathfrak{m}_-] \subset \mathfrak{k}_{\mathfrak{C}}$$ तब से $$[\mathfrak{m},\mathfrak{m}] \subset \mathfrak{k}$$.

इसका तात्पर्य P ∩ M है+ = {1}. यदि x = e के लिएएक्सएक्स इन के साथ $$\mathfrak{m}_+$$ P में स्थित है, इसे M को सामान्य करना होगा− और इसलिए $$\mathfrak{m}_-$$. लेकिन अगर Y अंदर है $$\mathfrak{m}_-$$, तब


 * $$\displaystyle{Y=\mathrm{Ad}(X)\cdot Y= Y + [X,Y] + {1\over 2} [X,[X,Y]]\in \mathfrak{m}_+ \oplus \mathfrak{k}_{\mathbb{C}} \oplus \mathfrak{m}_-,}$$

ताकि X साथ यात्रा करे $$\mathfrak{m}_-$$. लेकिन यदि+ × P अंतःक्षेपण है इसलिए (1) अनुसरण करता है। इसी प्रकार (x,p) पर μ का अवकलज है


 * $$\displaystyle{\mu^\prime(X,Y)=\mathrm{Ad}(p^{-1})X + Y =\mathrm{Ad}(p^{-1})(X\oplus\mathrm{Ad}(p)Y),}$$

जो कि इंजेक्शन है, इसलिए (2) अनुसरण करता है। विशेष मामले के लिए एच = एसयू(2), एच* = एसयू(1,1) और जी = एसएल(2,'सी') शेष दावे रीमैन क्षेत्र, 'सी' और यूनिट डिस्क के साथ पहचान के परिणाम हैं. उन्हें प्रत्येक मूल ψ के लिए परिभाषित समूहों पर लागू किया जा सकता हैi. पॉलीस्फेयर और पॉलीडिस्क प्रमेय के अनुसार H*/K, 'X'/P और H/K पॉलीडिस्क के K-अनुवादों का मिलन है, 'C'आरऔर बहुमंडल. तो H* 'X' में है, H*/K का समापन 'X'/P में सघन है, जो बदले में H/K में सघन है।

ध्यान दें कि (2) और (3) भी इस तथ्य के परिणाम हैं कि जी/पी में एक्स की छवि बड़े सेल बी की है+कॉम्प्लेक्सिफिकेशन में बी (झूठ समूह)#जी का गॉस अपघटन। सममित स्थानों H/K और H*/K की प्रतिबंधित जड़ प्रणाली पर परिणामों का उपयोग करना, रॉबर्ट हरमन (गणितज्ञ) ने दिखाया कि H*/K की छवि $$\mathfrak{m}_+$$ एक सामान्यीकृत इकाई डिस्क है. वास्तव में यह एक्स का उत्तल सेट है जिसके लिए विज्ञापन आईएम एक्स का ऑपरेटर मानदंड एक से कम है।

परिबद्ध सममित डोमेन
एक जटिल सदिश समष्टि में एक परिबद्ध डोमेन Ω को 'परिबद्ध सममित डोमेन' कहा जाता है यदि Ω में प्रत्येक x के लिए, एक अनैच्छिक बिहोलोमोर्फिज्म σ हैx Ω का जिसके लिए x एक पृथक निश्चित बिंदु है। हरीश-चंद्र एम्बेडिंग गैर-कॉम्पैक्ट प्रकार H* / K के प्रत्येक हर्मिटियन सममित स्थान को एक बंधे हुए सममित डोमेन के रूप में प्रदर्शित करता है। एच का बिहोलोमोर्फिज्म समूह* / K इसके आइसोमेट्री समूह H के बराबर है*.

इसके विपरीत प्रत्येक परिबद्ध सममित डोमेन इस प्रकार उत्पन्न होता है। दरअसल, एक घिरा हुआ सममित डोमेन Ω दिया गया है, बर्गमैन कर्नेल Ω, बर्गमैन मीट्रिक पर एक रीमैनियन मीट्रिक को परिभाषित करता है, जिसके लिए प्रत्येक बायोलोमोर्फिज्म एक आइसोमेट्री है। यह Ω को गैर-कॉम्पैक्ट प्रकार के हर्मिटियन सममित स्थान के रूप में महसूस करता है।

वर्गीकरण
इरेड्यूसिबल बाउंड सममित डोमेन को कार्टन डोमेन कहा जाता है और इन्हें निम्नानुसार वर्गीकृत किया गया है।

शास्त्रीय डोमेन
शास्त्रीय मामलों (I-IV) में, गैर-कॉम्पैक्ट समूह को 2 × 2 ब्लॉक मैट्रिक्स द्वारा महसूस किया जा सकता है
 * $$\displaystyle{g=\begin{pmatrix} A & B \\ C & D\end{pmatrix}}$$

सामान्यीकृत मोबियस परिवर्तनों द्वारा कार्य करना


 * $$\displaystyle{g(Z)=(AZ+B)(CZ+D)^{-1}.}$$

पॉलीडिस्क प्रमेय शास्त्रीय मामलों में निम्नलिखित ठोस रूप लेता है:
 * टाइप Ipq (पी ≤ क्यू): प्रत्येक पी × क्यू मैट्रिक्स एम के लिए एकात्मक मैट्रिक्स हैं जैसे कि यूएमवी विकर्ण है। वास्तव में यह p × p आव्यूहों के ध्रुवीय अपघटन से प्राप्त होता है।
 * 'टाइप III'n: प्रत्येक जटिल सममित n × n मैट्रिक्स M के लिए एक एकात्मक मैट्रिक्स U है जैसे कि UMUटीविकर्ण है. यह बात कार्ल लुडविग सीगल के शास्त्रीय तर्क से सिद्ध होती है। V एकात्मक लें ताकि V*M*MV विकर्ण हो। फिर वीटीएमवी सममित है और इसके वास्तविक और काल्पनिक हिस्से चलते हैं। चूंकि वे वास्तविक सममित मैट्रिक्स हैं, इसलिए उन्हें वास्तविक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स डब्ल्यू द्वारा एक साथ विकर्ण किया जा सकता है। इसलिए यूएमयूt विकर्ण है यदि U = WVटी.
 * 'टाइप II'n: प्रत्येक जटिल तिरछा सममित n × n मैट्रिक्स M के लिए एक एकात्मक मैट्रिक्स होता है जैसे कि UMUटीविकर्ण ब्लॉकों से बना है $$\begin{pmatrix} 0 & a\\ -a & 0\end{pmatrix}$$ और एक शून्य यदि n विषम है। जैसा कि सीगल के तर्क में है, इसे ऐसे मामले में घटाया जा सकता है जहां एम के वास्तविक और काल्पनिक हिस्से आवागमन करते हैं। किसी भी वास्तविक तिरछा-सममित मैट्रिक्स को ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स द्वारा दिए गए तिरछा-सममित मैट्रिक्स #स्पेक्ट्रल सिद्धांत में कम किया जा सकता है और यह मैट्रिक्स को कम्यूट करने के लिए एक साथ किया जा सकता है।
 * 'टाइप IV'n: SO(n) × SO(2) में परिवर्तन द्वारा किसी भी वेक्टर को रूपांतरित किया जा सकता है ताकि पहले दो निर्देशांक को छोड़कर सभी गैर-शून्य हों।

सीमा घटक
नॉनकॉम्पैक्ट समूह H* केवल सीमित संख्या में कक्षाओं के साथ जटिल हर्मिटियन सममित स्थान H/K = G/P पर कार्य करता है। कक्षा संरचना का विस्तार से वर्णन किया गया है. विशेष रूप से बंधे हुए डोमेन H*/K के बंद होने की एक अद्वितीय बंद कक्षा होती है, जो डोमेन की शिलोव सीमा है। सामान्य तौर पर कक्षाएँ निचले आयाम के हर्मिटियन सममित स्थानों के संघ हैं। डोमेन के जटिल फ़ंक्शन सिद्धांत, विशेष रूप से कॉची अभिन्न सूत्र के एनालॉग, कार्टन डोमेन के लिए वर्णित हैं. बंधे हुए डोमेन का बंद होना H*/K का बेली-बोरेल कॉम्पेक्टिफिकेशन है। केली परिवर्तन का उपयोग करके सीमा संरचना का वर्णन किया जा सकता है। गैर-कॉम्पैक्ट जड़ों में से एक द्वारा परिभाषित एसयू (2) की प्रत्येक प्रतिलिपि के लिएi, एक केली ट्रांसफॉर्म सी हैi जो मोबियस परिवर्तन के रूप में यूनिट डिस्क को ऊपरी आधे तल पर मैप करता है। दृढ़तापूर्वक ऑर्थोगोनल परिवार ψ के सूचकांकों का एक उपसमुच्चय I दिया गया है1, ..., पी.एसr, आंशिक केली परिवर्तन सीI सी के उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया हैiसमूह π के गुणनफल में I के साथ I हैi. मान लीजिए G(I) G और H*(I) = H* ∩ G(I) में इस उत्पाद का केंद्रीयकर्ता है। चूँकि σ H*(I) को अपरिवर्तनीय छोड़ता है, इसलिए एक संगत हर्मिटियन सममित स्थान M हैI एच*(आई)/एच*(आई)∩के ⊂ एच*/के = एम। उपसमुच्चय I के लिए सीमा घटक c के K-अनुवादों का मिलन हैI MI. जब I सभी सूचकांकों का समुच्चय हो, तो MI एक एकल बिंदु है और सीमा घटक शिलोव सीमा है। इसके अलावा, एमI एम के समापन में हैJ यदि और केवल यदि मैं ⊇ जे.

ज्यामितीय गुण
प्रत्येक हर्मिटियन सममित स्थान एक काहलर मैनिफोल्ड है। उन्हें समान रूप से एक समानांतर जटिल संरचना वाले रीमैनियन सममित स्थानों के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसके संबंध में रीमैनियन मीट्रिक हर्मिटियन मीट्रिक है। जटिल संरचना मीट्रिक के आइसोमेट्री समूह एच द्वारा स्वचालित रूप से संरक्षित होती है, और इसलिए कोई भी हर्मिटियन सममित स्थान एम एक सजातीय जटिल मैनिफोल्ड है। कुछ उदाहरण जटिल वेक्टर स्थान और जटिल प्रक्षेप्य स्थान हैं, उनके सामान्य हर्मिटियन मेट्रिक्स और फ़ुबिनी-स्टडी मेट्रिक्स के साथ, और उपयुक्त मेट्रिक्स के साथ जटिल इकाई गेंदें ताकि वे पूर्ण मीट्रिक स्थान और रीमैनियन सममित बन जाएं। सघन स्थान  हर्मिटियन सममित स्थान प्रक्षेप्य विविधता हैं, और बिहोलोमोर्फिज्म के एक सख्ती से बड़े लाई समूह जी को स्वीकार करते हैं जिसके संबंध में वे सजातीय हैं: वास्तव में, वे सामान्यीकृत ध्वज मैनिफोल्ड हैं, यानी, जी अर्धसरल लाई समूह है और एक बिंदु का स्टेबलाइज़र है जी का एक परवलयिक उपसमूह पी है। (जटिल) सामान्यीकृत ध्वज कई गुना जी/पी के बीच, उन्हें उन लोगों के रूप में वर्णित किया गया है जिनके लिए पी के झूठ बीजगणित के झूठ बीजगणित का नीलरेडिकल एबेलियन है। इस प्रकार वे सममित आर-स्पेस के परिवार में समाहित हैं, जिसमें इसके विपरीत हर्मिटियन सममित स्थान और उनके वास्तविक रूप शामिल हैं। गैर-कॉम्पैक्ट हर्मिटियन सममित स्थानों को जटिल वेक्टर स्थानों में बंधे हुए डोमेन के रूप में महसूस किया जा सकता है।

जॉर्डन बीजगणित
यद्यपि शास्त्रीय हर्मिटियन सममित स्थानों का निर्माण तदर्थ तरीकों से किया जा सकता है, जॉर्डन ट्रिपल सिस्टम, या समकक्ष जॉर्डन जोड़े, कॉम्पैक्ट प्रकार के हर्मिटियन सममित स्थान और इसके गैर-कॉम्पैक्ट दोहरे से जुड़े सभी बुनियादी गुणों का वर्णन करने का एक समान बीजगणितीय साधन प्रदान करते हैं। इस सिद्धांत का विस्तार से वर्णन किया गया है और  और संक्षेप में प्रस्तुत किया गया. कॉम्पैक्ट लाई समूहों के संरचना सिद्धांत का उपयोग करते हुए विकास इसके विपरीत क्रम में है। इसका प्रारंभिक बिंदु एक बंधे हुए सममित डोमेन के रूप में महसूस किए गए गैर-कॉम्पैक्ट प्रकार का हर्मिटियन सममित स्थान है। इसे जॉर्डन जोड़ी या हर्मिटियन जॉर्डन ट्रिपल सिस्टम के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है। इस जॉर्डन बीजगणित संरचना का उपयोग कॉम्पैक्ट प्रकार के दोहरे हर्मिटियन सममित स्थान के पुनर्निर्माण के लिए किया जा सकता है, जिसमें विशेष रूप से सभी संबंधित लाई बीजगणित और लाई समूह शामिल हैं।

सिद्धांत का वर्णन करना सबसे आसान है जब इरेड्यूसिबल कॉम्पैक्ट हर्मिटियन सममित स्थान ट्यूब प्रकार का होता है। उस स्थिति में स्थान एक साधारण वास्तविक लाई बीजगणित द्वारा निर्धारित किया जाता है $$\mathfrak{g}$$ नकारात्मक निश्चित संहार रूप के साथ। इसे एसयू(2) की एक कार्रवाई को स्वीकार करना होगा जो केवल तुच्छ और आसन्न प्रतिनिधित्व के माध्यम से कार्य करता है, दोनों प्रकार के होते हैं। तब से $$\mathfrak{g}$$ सरल है, यह क्रिया आंतरिक है, इसलिए इसमें SU(2) के लाई बीजगणित को शामिल करके कार्यान्वित किया गया है $$\mathfrak{g}$$. का जटिलीकरण $$\mathfrak{g}$$ SU(2) में विकर्ण आव्यूहों के लिए तीन eigenspaces के प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित होता है। यह एक तीन-वर्गीकृत जटिल लाई बीजगणित है, जिसमें SU(2) का वेइल समूह तत्व शामिल होता है। ±1 ईजेनस्पेस में से प्रत्येक में यूनिटल कॉम्प्लेक्स जॉर्डन बीजगणित की संरचना होती है जो स्पष्ट रूप से यूक्लिडियन जॉर्डन बीजगणित की जटिलता के रूप में उत्पन्न होती है। इसे SU(2) के आसन्न प्रतिनिधित्व के बहुलता स्थान से पहचाना जा सकता है $$\mathfrak{g}$$.

ट्यूब प्रकार के इरेड्यूसिबल हर्मिटियन सममित स्थानों का वर्णन एक सरल यूक्लिडियन जॉर्डन बीजगणित ई से शुरू होता है। यह जॉर्डन फ्रेम (जॉर्डन बीजगणित) को स्वीकार करता है, यानी ऑर्थोगोनल न्यूनतम इडेम्पोटेंट्स के सेट1, ..., यह हैm. कोई भी दो ई के ऑटोमोर्फिज्म से संबंधित हैं, इसलिए पूर्णांक एम एक अपरिवर्तनीय है जिसे ई का 'रैंक' कहा जाता है। इसके अलावा, यदि ए ई का जटिलीकरण है, तो इसमें एक एकात्मक संरचना समूह (जॉर्डन बीजगणित) है। यह जीएल (ए) का एक उपसमूह है जो ए पर प्राकृतिक जटिल आंतरिक उत्पाद को संरक्षित करता है। ए में किसी भी तत्व में ध्रुवीय अपघटन होता है $a = u Σ α_{i} a_{i}$ साथ $α_{i} ≥ 0$. वर्णक्रमीय मानदंड को ||a|| द्वारा परिभाषित किया गया है = समर्थन αi. संबंधित परिबद्ध सममित डोमेन ए में खुली इकाई गेंद डी है। डी और ट्यूब डोमेन टी = ई + आईसी के बीच एक बायोलोमोर्फिज्म है जहां सी फॉर्म के ई में तत्वों का खुला स्व-दोहरा उत्तल शंकु है $a = u Σ α_{i} a_{i}$ आपके साथ ई और α का ऑटोमोर्फिज्म हैi > 0. यह गैर-कॉम्पैक्ट प्रकार के हर्मिटियन सममित स्थान के दो विवरण देता है। अंतरिक्ष ए को संकुचित करने के लिए जॉर्डन बीजगणित ए के उत्परिवर्तन (जॉर्डन बीजगणित) का उपयोग करने का एक प्राकृतिक तरीका है। कॉम्पैक्टिफिकेशन एक्स एक जटिल मैनिफोल्ड और परिमित-आयामी झूठ बीजगणित है $$\mathfrak{g}$$ एक्स पर होलोमोर्फिक वेक्टर फ़ील्ड को स्पष्ट रूप से निर्धारित किया जा सकता है। बिहोलोमोर्फिज्म के एक पैरामीटर समूह को इस तरह परिभाषित किया जा सकता है कि संबंधित होलोमोर्फिक वेक्टर फ़ील्ड का विस्तार हो $$\mathfrak{g}$$. इसमें SL(2,C) में मैट्रिक्स के अनुरूप सभी जटिल मोबियस परिवर्तनों का समूह शामिल है। उपसमूह SU(1,1) यूनिट बॉल और उसके समापन को अपरिवर्तित छोड़ देता है। उपसमूह SL(2,R) ट्यूब डोमेन और उसके समापन को अपरिवर्तित छोड़ देता है। सामान्य केली ट्रांसफॉर्म और इसका उलटा, सी में यूनिट डिस्क को ऊपरी आधे तल पर मैप करते हुए, डी और टी के बीच अनुरूप मानचित्र स्थापित करता है। पॉलीडिस्क एक निश्चित जॉर्डन फ्रेम द्वारा उत्पन्न वास्तविक और जटिल जॉर्डन उप-बीजगणित से मेल खाता है। यह SU(2) की एक सकर्मक क्रिया को स्वीकार करता हैएम और यह क्रिया एक्स तक फैली हुई है। बायोलोमोर्फिज्म के एक-पैरामीटर समूहों द्वारा उत्पन्न समूह जी ईमानदारी से कार्य करता है $$\mathfrak{g}$$. एकात्मक संरचना समूह के पहचान घटक K और SU(2) में संचालकों द्वारा उत्पन्न उपसमूहम. यह एक कॉम्पैक्ट लाई ग्रुप एच को परिभाषित करता है जो एक्स पर सकर्मक रूप से कार्य करता है। इस प्रकार एच/के कॉम्पैक्ट प्रकार का संबंधित हर्मिटियन सममित स्थान है। समूह G को H के जटिलीकरण (Lie समूह) से पहचाना जा सकता है। D को अपरिवर्तनीय छोड़ने वाला उपसमूह H*, G का एक गैर-कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप है। यह D पर सकर्मक रूप से कार्य करता है ताकि H* / K नॉनकॉम्पैक्ट का दोहरा हर्मिटियन सममित स्थान हो। प्रकार। समावेशन डी ⊂ ए ⊂ एक्स बोरेल और हरीश-चंद्र एम्बेडिंग को पुन: उत्पन्न करता है। ट्यूब प्रकार के हर्मिटियन सममित स्थानों का वर्गीकरण सरल यूक्लिडियन जॉर्डन बीजगणित के समान हो जाता है। इन्हें वर्गीकृत किया गया था यूक्लिडियन हर्विट्ज़ बीजगणित के संदर्भ में, एक विशेष प्रकार की रचना बीजगणित।

सामान्य तौर पर एक हर्मिटियन सममित स्थान एक 3-वर्गीकृत लाई बीजगणित को जन्म देता है जिसमें अवधि 2 संयुग्मित रैखिक ऑटोमोर्फिज्म डिग्री ±1 के हिस्सों को स्विच करता है और डिग्री 0 भाग को संरक्षित करता है। यह जॉर्डन जोड़ी या हर्मिटियन जॉर्डन ट्रिपल सिस्टम की संरचना को जन्म देता है, जिससे जॉर्डन बीजगणित के सिद्धांत का विस्तार किया। सभी इरेड्यूसिबल हर्मिटियन सममित स्थानों का निर्माण इस ढांचे के भीतर समान रूप से किया जा सकता है। ने अवधि 2 ऑटोमोर्फिज्म के साथ एक सरल यूक्लिडियन जॉर्डन बीजगणित से गैर-ट्यूब प्रकार के इरेड्यूसबल हर्मिटियन सममित स्थान का निर्माण किया। ऑटोमोर्फिज्म के −1 आइगेनस्पेस में जॉर्डन जोड़ी की संरचना होती है, जिसे बड़े जॉर्डन बीजगणित से निकाला जा सकता है। टाइप II के  सील डोमेन  के अनुरूप गैर-ट्यूब प्रकार के मामले में, वास्तविक या जटिल मोबियस परिवर्तनों का कोई विशिष्ट उपसमूह नहीं है। इरेड्यूसिबल हर्मिटियन सममित स्थानों के लिए, ट्यूब प्रकार को शिलोव सीमा के वास्तविक आयाम की विशेषता है $S$ के जटिल आयाम के बराबर होना $D$.

यह भी देखें

 * अपरिवर्तनीय उत्तल शंकु

संदर्भ

 * The standard book on Riemannian symmetric spaces.
 * . Chapter 8 contains a self-contained account of Hermitian symmetric spaces of compact type.
 * . This contains a detailed account of Hermitian symmetric spaces of noncompact type.
 * The standard book on Riemannian symmetric spaces.
 * . Chapter 8 contains a self-contained account of Hermitian symmetric spaces of compact type.
 * . This contains a detailed account of Hermitian symmetric spaces of noncompact type.
 * The standard book on Riemannian symmetric spaces.
 * . Chapter 8 contains a self-contained account of Hermitian symmetric spaces of compact type.
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 * The standard book on Riemannian symmetric spaces.
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 * . This contains a detailed account of Hermitian symmetric spaces of noncompact type.
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 * . This contains a detailed account of Hermitian symmetric spaces of noncompact type.
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 * . This contains a detailed account of Hermitian symmetric spaces of noncompact type.
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