टाइकोनोफ़ का प्रमेय

गणित में, टाइकोनोफ़ के प्रमेय में कहा गया है कि सघन स्थान  टोपोलॉजिकल स्पेस के किसी भी संग्रह का उत्पाद उत्पाद टोपोलॉजी के संबंध में कॉम्पैक्ट है। प्रमेय का नाम एंड्री निकोलाइविच तिखोनोव (जिनका उपनाम कभी-कभी टाइकोनोफ़ लिखा जाता है) के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने बंद इकाई अंतराल की शक्तियों के लिए इसे पहली बार 1930 में सिद्ध किया था और 1935 में इस टिप्पणी के साथ पूर्ण प्रमेय बताया था कि इसका प्रमाण था विशेष मामले के समान। सबसे पहला ज्ञात प्रकाशित प्रमाण टाइकोनोफ़, ए., उबेर एइनेन फंकटियोनेंरम, अंक शास्त्र एनल्स, 111, पीपी. 762-766 (1935) के 1935 के लेख में निहित है। (यह संदर्भ हॉकिंग एंड यंग, ​​डोवर पब्लिकेशंस, इंडस्ट्रीज़ द्वारा टोपोलॉजी में उल्लिखित है।)

टाइकोनोफ़ के प्रमेय को अक्सर सामान्य टोपोलॉजी में शायद सबसे महत्वपूर्ण परिणाम माना जाता है (यूरीसोहन के लेम्मा के साथ)। यह प्रमेय फ़ज़ी सेटों पर आधारित टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए भी मान्य है।

टोपोलॉजिकल परिभाषाएँ
प्रमेय कॉम्पैक्ट स्पेस और उत्पाद टोपोलॉजी की सटीक परिभाषाओं पर महत्वपूर्ण रूप से निर्भर करता है; वास्तव में, टाइकोनॉफ़ का 1935 का पेपर पहली बार उत्पाद टोपोलॉजी को परिभाषित करता है। इसके विपरीत, इसके महत्व का एक हिस्सा यह विश्वास दिलाना है कि ये विशेष परिभाषाएँ सबसे उपयोगी (यानी सबसे अच्छी तरह से व्यवहार की जाने वाली) हैं।

वास्तव में, सघनता की हेइन-बोरेल परिभाषा - कि खुले सेटों द्वारा किसी स्थान का प्रत्येक आवरण एक परिमित उपकवरिंग को स्वीकार करता है - अपेक्षाकृत हाल ही में है। 19वीं और 20वीं सदी की शुरुआत में बोलजानो-विअरस्ट्रास मानदंड अधिक लोकप्रिय था कि प्रत्येक घिरा हुआ अनंत अनुक्रम एक अभिसरण परिणाम को स्वीकार करता है, जिसे अब क्रमिक रूप से कॉम्पैक्ट कहा जाता है। ये स्थितियाँ मेट्रिज़ेबल रिक्त स्थान के लिए समतुल्य हैं, लेकिन सभी टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के वर्ग में कोई भी दूसरे का तात्पर्य नहीं करता है।

यह साबित करना लगभग तुच्छ है कि दो क्रमिक रूप से कॉम्पैक्ट स्थानों का उत्पाद क्रमिक रूप से कॉम्पैक्ट होता है - एक पहले घटक के लिए एक अनुवर्ती में जाता है और फिर दूसरे घटक के लिए एक उपअनुक्रम में जाता है। केवल थोड़ा अधिक विस्तृत विकर्णीकरण तर्क क्रमिक रूप से कॉम्पैक्ट स्थानों के गणनीय उत्पाद की अनुक्रमिक कॉम्पैक्टनेस स्थापित करता है। हालाँकि, कॉन्टिनम (सेट सिद्धांत) का उत्पाद बंद इकाई अंतराल की कई प्रतियां (इसकी सामान्य टोपोलॉजी के साथ) उत्पाद टोपोलॉजी के संबंध में क्रमिक रूप से कॉम्पैक्ट होने में विफल रहता है, भले ही यह टाइकोनॉफ के प्रमेय द्वारा कॉम्पैक्ट है (उदाहरण के लिए, देखें) ).

यह एक गंभीर विफलता है: यदि एक्स पूरी तरह से नियमित हॉसडॉर्फ स्थान है, तो एक्स से [0,1] में एक प्राकृतिक एम्बेडिंग हैC(X,[0,1]), जहां C(X,[0,1]) X से [0,1] तक सतत मानचित्रों का समूह है। [0,1] की सघनताC(X,[0,1]) इस प्रकार दर्शाता है कि प्रत्येक पूरी तरह से नियमित हॉसडॉर्फ़ स्थान एक कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ स्थान में एम्बेड होता है (या, कॉम्पैक्ट किया जा सकता है।) यह निर्माण स्टोन-सेच कॉम्पेक्टिफिकेशन है। इसके विपरीत, कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ रिक्त स्थान के सभी उप-स्थान पूरी तरह से नियमित हॉसडॉर्फ़ हैं, इसलिए यह पूरी तरह से नियमित हॉसडॉर्फ़ रिक्त स्थान की विशेषता बताता है जिन्हें कॉम्पैक्ट किया जा सकता है। ऐसे स्थानों को अब टाइकोनोफ़ स्थान कहा जाता है।

अनुप्रयोग
टाइकोनोफ़ के प्रमेय का उपयोग कई अन्य गणितीय प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए किया गया है। इनमें कुछ स्थानों की सघनता के बारे में प्रमेय शामिल हैं जैसे कि एक मानक वेक्टर अंतरिक्ष के दोहरे स्थान की यूनिट बॉल की कमजोर-* सघनता पर बानाच-अलाओग्लू प्रमेय, और अर्ज़ेला-अस्कोली प्रमेय जो कार्यों के अनुक्रमों की विशेषता बताते हैं जिनमें प्रत्येक अनुवर्ती एक समान अभिसरण अनुवर्ती है। इनमें कॉम्पैक्टनेस से कम स्पष्ट रूप से संबंधित कथन भी शामिल हैं, जैसे कि डी ब्रुजन-एर्डोस प्रमेय (ग्राफ सिद्धांत)|डी ब्रुजन-एर्डोस प्रमेय जिसमें कहा गया है कि प्रत्येक महत्वपूर्ण ग्राफ|न्यूनतम के-क्रोमैटिक ग्राफ परिमित है, और कर्टिस-हेडलंड-लिंडन प्रमेय सेलुलर ऑटोमेटन का टोपोलॉजिकल लक्षण वर्णन प्रदान करना।

सामान्य नियम के रूप में, किसी भी प्रकार का निर्माण जो इनपुट के रूप में एक काफी सामान्य वस्तु (अक्सर एक बीजगणितीय, या टोपोलॉजिकल-बीजगणितीय प्रकृति का) लेता है और एक कॉम्पैक्ट स्पेस आउटपुट करता है, टाइकोनॉफ का उपयोग करने की संभावना है: उदाहरण के लिए, अधिकतम आदर्शों का गेलफैंड प्रतिनिधित्व एक क्रमविनिमेय C*-बीजगणित, एक बूलियन बीजगणित (संरचना) के अधिकतम आदर्शों का पत्थर की जगह, और एक क्रमविनिमेय बनच अंगूठी का बर्कोविच स्पेक्ट्रम।

टाइकोनोफ़ के प्रमेय के प्रमाण
1) टाइकोनोफ़ के 1930 प्रमाण में पूर्ण संचय बिंदु की अवधारणा का उपयोग किया गया।

2) यह प्रमेय अलेक्जेंडर सबबेस प्रमेय का त्वरित परिणाम है।

अधिक आधुनिक प्रमाण निम्नलिखित विचारों से प्रेरित हुए हैं: बाद के अनुक्रमों के अभिसरण के माध्यम से कॉम्पैक्टनेस का दृष्टिकोण गणनीय सूचकांक सेट के मामले में एक सरल और पारदर्शी प्रमाण की ओर ले जाता है। हालाँकि, अनुक्रमों का उपयोग करके टोपोलॉजिकल स्पेस में अभिसरण का दृष्टिकोण पर्याप्त है जब स्पेस काउंटेबिलिटी के पहले सिद्धांत को संतुष्ट करता है (जैसा कि मेट्रिज़ेबल स्पेस करते हैं), लेकिन आम तौर पर अन्यथा नहीं। हालाँकि, बेशुमार कई मेट्रिज़ेबल स्थानों का उत्पाद, प्रत्येक कम से कम दो बिंदुओं के साथ, पहले गणनीय होने में विफल रहता है। इसलिए यह आशा करना स्वाभाविक है कि मनमाने स्थानों में अभिसरण की एक उपयुक्त धारणा, मेट्रिज़ेबल स्थानों में अनुक्रमिक कॉम्पैक्टनेस को सामान्य बनाने वाली कॉम्पैक्टनेस मानदंड को जन्म देगी जो उत्पादों की कॉम्पैक्टनेस को कम करने के लिए आसानी से लागू की जाएगी। ये तो बात हो गयी.

3) फिल्टर के माध्यम से अभिसरण का सिद्धांत, हेनरी कर्तन  के कारण और 1937 में निकोलस बॉर्बकी द्वारा विकसित, निम्नलिखित मानदंड की ओर ले जाता है: अल्ट्राफिल्टर लेम्मा मानते हुए, एक स्थान कॉम्पैक्ट होता है यदि और केवल यदि अंतरिक्ष पर प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर (सेट सिद्धांत) अभिसरण करता है . इसे हाथ में लेने से, प्रमाण आसान हो जाता है: किसी भी प्रक्षेपण मानचित्र के तहत उत्पाद स्थान पर एक अल्ट्राफिल्टर की छवि (फ़िल्टर द्वारा उत्पन्न) कारक स्थान पर एक अल्ट्राफ़िल्टर है, जो इसलिए कम से कम एक x में परिवर्तित हो जाती हैi. फिर एक दिखाता है कि मूल अल्ट्राफ़िल्टर x = (x) में परिवर्तित हो जाता हैi). अपनी पाठ्यपुस्तक में, जेम्स मंक्रेस कार्टन-बोरबाकी प्रमाण का पुनर्मूल्यांकन करते हैं जो स्पष्ट रूप से किसी फ़िल्टर-सैद्धांतिक भाषा या प्रारंभिक का उपयोग नहीं करता है।

4) इसी तरह, नेट के माध्यम से अभिसरण का मूर-स्मिथ अनुक्रम|मूर-स्मिथ सिद्धांत, जैसा कि केली की नेट (गणित) की धारणा से पूरक है, इस मानदंड की ओर ले जाता है कि एक स्थान कॉम्पैक्ट है यदि और केवल तभी जब प्रत्येक सार्वभौमिक नेट अंतरिक्ष पर हो जुटता है. यह मानदंड टाइकोनोफ़ के प्रमेय के प्रमाण (केली, 1950) की ओर ले जाता है, जो शब्द दर शब्द, फ़िल्टर का उपयोग करके कार्टन/बोरबाकी प्रमाण के समान है, अल्ट्राफ़िल्टर बेस के लिए यूनिवर्सल नेट के बार-बार प्रतिस्थापन को छोड़कर।

5) 1992 में पॉल चेर्नॉफ़ द्वारा जालों का उपयोग करते हुए, लेकिन सार्वभौमिक जालों का नहीं, एक प्रमाण दिया गया था।

टाइकोनोफ़ का प्रमेय और पसंद का स्वयंसिद्ध
उपरोक्त सभी प्रमाण किसी न किसी रूप में पसंद के सिद्धांत (एसी) का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, तीसरा प्रमाण यह उपयोग करता है कि प्रत्येक फ़िल्टर एक अल्ट्राफिल्टर (यानी, एक अधिकतम फ़िल्टर) में समाहित होता है, और इसे ज़ोर्न के लेम्मा को लागू करके देखा जाता है। ज़ोर्न की लेम्मा का उपयोग केली के प्रमेय को साबित करने के लिए भी किया जाता है, कि प्रत्येक नेट में एक सार्वभौमिक सबनेट होता है। वास्तव में एसी के ये उपयोग आवश्यक हैं: 1950 में केली ने साबित किया कि टाइकोनॉफ़ का प्रमेय ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत में पसंद के सिद्धांत का तात्पर्य है। ध्यान दें कि एसी का एक सूत्रीकरण यह है कि गैर-रिक्त सेटों के परिवार का कार्टेशियन उत्पाद गैर-रिक्त है; लेकिन चूंकि खाली सेट निश्चित रूप से कॉम्पैक्ट है, इसलिए प्रमाण इतनी सीधी रेखाओं के साथ आगे नहीं बढ़ सकता है। इस प्रकार टाइकोनॉफ़ का प्रमेय एसी के समतुल्य होने में कई अन्य बुनियादी प्रमेयों (जैसे कि प्रत्येक वेक्टर स्पेस का एक आधार होता है) से जुड़ता है।

दूसरी ओर, यह कथन कि प्रत्येक फिल्टर एक अल्ट्राफिल्टर में समाहित है, इसका अर्थ एसी नहीं है। वास्तव में, यह देखना कठिन नहीं है कि यह बूलियन प्राइम आदर्श प्रमेय (बीपीआई) के समतुल्य है, जो ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत (जेडएफ) के सिद्धांतों और पसंद के सिद्धांत द्वारा संवर्धित जेडएफ सिद्धांत के बीच एक प्रसिद्ध मध्यवर्ती बिंदु है। (जेडएफसी)। टाइचनॉफ़ के दूसरे प्रमाण पर पहली नज़र यह सुझाव दे सकती है कि उपरोक्त के विपरीत, प्रमाण (बीपीआई) से अधिक का उपयोग नहीं करता है। हालाँकि, वे स्थान जिनमें प्रत्येक अभिसरण फ़िल्टर की एक अद्वितीय सीमा होती है, सटीक रूप से हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान होते हैं। सामान्य तौर पर हमें इंडेक्स सेट के प्रत्येक तत्व के लिए, अनुमानित अल्ट्राफिल्टर बेस की सीमाओं के गैर-रिक्त सेट का एक तत्व चुनना होगा, और निश्चित रूप से यह एसी का उपयोग करता है। हालाँकि, यह यह भी दर्शाता है कि कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान के उत्पाद की कॉम्पैक्टनेस (बीपीआई) का उपयोग करके साबित की जा सकती है, और वास्तव में इसका विपरीत भी लागू होता है। रिक्त स्थान के विभिन्न प्रतिबंधित वर्गों के लिए टाइकोनॉफ़ के प्रमेय की ताकत का अध्ययन सेट-सैद्धांतिक टोपोलॉजी में एक सक्रिय क्षेत्र है।

व्यर्थ टोपोलॉजी में टाइकोनोफ़ के प्रमेय के एनालॉग को पसंद के स्वयंसिद्ध के किसी भी रूप की आवश्यकता नहीं होती है।

टाइकोनोफ़ के प्रमेय से पसंद के स्वयंसिद्ध का प्रमाण
यह साबित करने के लिए कि टाइकोनॉफ़ का प्रमेय अपने सामान्य संस्करण में पसंद के स्वयंसिद्ध को दर्शाता है, हम स्थापित करते हैं कि गैर-रिक्त सेटों का प्रत्येक अनंत कार्टेशियन उत्पाद गैर-रिक्त है। प्रमाण का सबसे पेचीदा हिस्सा सही टोपोलॉजी का परिचय देना है। सही टोपोलॉजी, जैसा कि पता चला है, एक छोटे से मोड़ के साथ सहपरिमित टोपोलॉजी है। यह पता चला है कि इस टोपोलॉजी को दिया गया प्रत्येक सेट स्वचालित रूप से एक कॉम्पैक्ट स्पेस बन जाता है। एक बार जब हमारे पास यह तथ्य आ जाए, तो टाइकोनोफ़ के प्रमेय को लागू किया जा सकता है; फिर हम सघनता की परिमित प्रतिच्छेदन संपत्ति (एफआईपी) परिभाषा का उपयोग करते हैं। प्रमाण स्वयं (जे.एल. केली के कारण) इस प्रकार है:

चलो {एi} I के लिए, गैर-रिक्त सेटों का एक अनुक्रमित परिवार बनें I (जहां I एक मनमाना अनुक्रमण सेट है)। हम यह दिखाना चाहते हैं कि इन सेटों का कार्टेशियन उत्पाद गैर-रिक्त है। अब, प्रत्येक i के लिए, X लेंiबनने के लिएiजिस सूचकांक पर मैंने स्वयं काम किया है (यदि आवश्यक हो तो असंयुक्त संघ का उपयोग करके सूचकांकों का नाम बदलना, हम मान सकते हैं कि मैं ए का सदस्य नहीं हूं)i, तो बस एक्स ले लोi= एi∪ {i}).

अब कार्तीय गुणनफल को परिभाषित करें $$X = \prod_{i \in I} X_i$$ प्राकृतिक प्रक्षेपण मानचित्रों के साथ πiजो X के एक सदस्य को उसके आठवें पद तक ले जाता है।

हम प्रत्येक को एक्स देते हैंjटोपोलॉजी जिसके खुले सेट हैं: खाली सेट, सिंगलटन {i}, सेट एक्सi. इससे एक्स बनता हैiकॉम्पैक्ट, और टाइकोनोफ़ के प्रमेय के अनुसार, एक्स भी कॉम्पैक्ट है (उत्पाद टोपोलॉजी में)। प्रक्षेपण मानचित्र सतत होते हैं; सभी एis बंद हैं, X में सिंगलटन (गणित) ओपन सेट {i} के पूरक हैंi. तो व्युत्क्रम छवियाँ πi−1(एi) X के बंद उपसमुच्चय हैं। हम उस पर ध्यान देते हैं $$\prod_{i \in I} A_i = \bigcap_{i \in I} \pi_i^{-1}(A_i) $$ और सिद्ध करें कि इन व्युत्क्रम छवियों में FIP है। चलो मैं1, ..., मैंNI में सूचकांकों का एक सीमित संग्रह हो। फिर परिमित उत्पाद Ai 1 × ... × एi N गैर-रिक्त है (यहां केवल सीमित विकल्प हैं, इसलिए एसी की आवश्यकता नहीं है); इसमें केवल एन-टुपल्स शामिल हैं। माना a = (a1, ..., एN) ऐसे एन-ट्यूपल बनें। हम a को संपूर्ण सूचकांक सेट तक विस्तारित करते हैं: a को f(j) = a द्वारा परिभाषित फ़ंक्शन f पर ले जाते हैंkअगर जे = मैंk, और f(j) = j अन्यथा। यह चरण वह है जहां प्रत्येक स्थान पर अतिरिक्त बिंदु जोड़ना महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह हमें बिना किसी विकल्प के सटीक तरीके से एन-टुपल के बाहर हर चीज के लिए एफ को परिभाषित करने की अनुमति देता है (हम पहले से ही निर्माण द्वारा, एक्स से जे चुन सकते हैं)j). अनुकरणीयi k (एफ) = एkस्पष्ट रूप से प्रत्येक ए का एक तत्व हैi k ताकि प्रत्येक व्युत्क्रम छवि में f हो; इस प्रकार हमारे पास है $$\bigcap_{k = 1}^N \pi_{i_k}^{-1}(A_{i_k}) \neq \varnothing.$$ कॉम्पैक्टनेस की एफआईपी परिभाषा के अनुसार, I पर पूरा चौराहा गैर-रिक्त होना चाहिए, और प्रमाण पूरा हो गया है।

बाहरी संबंध

 * Mizar system proof: http://mizar.org/version/current/html/yellow17.html#T23