लघुगणक



गणित में, लघुगणक घातांक का व्युत्क्रम फलन है। इसका अर्थ है किसी संख्या का लघुगणक$x$ आधार के लिए$b$ जिसके प्रतिपादक हैं $b$ उठाया जाना चाहिए, उत्पादन करने के लिए $x$. उदाहरण के लिए, चूंकि $log_{b}&thinsp;b = 1$, का लघुगणक आधार 10 $log_{b}&thinsp;1 = 0$ है $1000 = 10^{3}$, या $1000$. का लघुगणक $x$ आधार के लिए$b$ के रूप में दर्शाया गया है $3$, या कोष्ठक के बिना, $log_{10}&thinsp;(1000) = 3$, या यहां तक ​​कि स्पष्ट आधार के बिना, $log_{b}&thinsp;(x)$, जब कोई भ्रम संभव नहीं है, या जब आधार कोई मायने नहीं रखता है जैसे कि बिग ओ नोटेशन में।

लघुगणक आधार $log_{b}&thinsp;x$ दशमलव या सामान्य लघुगणक कहा जाता है और आमतौर पर विज्ञान और इंजीनियरिंग में प्रयोग किया जाता है। प्राकृतिक लघुगणक की संख्या e (गणितीय स्थिरांक) है$log&thinsp;x$इसके आधार के रूप में; इसका उपयोग गणित और भौतिकी में व्यापक है, इसकी बहुत ही सरल व्युत्पत्ति के कारण। बाइनरी लघुगणक आधार का उपयोग करता है $10$ और अक्सर कंप्यूटर विज्ञान में प्रयोग किया जाता है।

जॉन नेपियर द्वारा 1614 में गणनाओं को सरल बनाने के साधन के रूप में लघुगणकों की शुरुआत की गई थी। उन्हें नाविकों, वैज्ञानिकों, इंजीनियरों, सर्वेक्षकों और अन्य लोगों द्वारा उच्च सटीकता संगणनाओं को अधिक आसानी से करने के लिए तेजी से अपनाया गया। Mathematical_table#Tables_of_logarithms का उपयोग करके, थकाऊ बहु-अंकीय गुणन चरणों को तालिका लुक-अप और सरल जोड़ से बदला जा सकता है। यह संभव है क्योंकि किसी उत्पाद का लघुगणक (गणित) कारकों के लघुगणक का योग है:
 * $$ \log_b(xy) = \log_b x + \log_b y,$$

उसे उपलब्ध कराया $b$, $x$ और $y$ सभी सकारात्मक हैं और $e ≈ 2.718$. लघुगणक पर आधारित स्लाइड नियम, तालिकाओं के बिना त्वरित गणना की अनुमति देता है, लेकिन कम सटीकता पर। लघुगणक की वर्तमान अवधारणा लियोनहार्ड यूलर से आती है, जिन्होंने उन्हें 18 वीं शताब्दी में घातीय कार्य से जोड़ा था, और जिन्होंने पत्र भी पेश किया था $e$ प्राकृतिक लघुगणक के आधार के रूप में। लॉगरिदमिक स्केल व्यापक मात्रा को छोटे दायरे में कम कर देता है। उदाहरण के लिए, डेसिबल (डीबी) माप की एक इकाई है जिसका उपयोग स्तर (लघुगणकीय मात्रा) को व्यक्त करने के लिए किया जाता है, ज्यादातर सिग्नल शक्ति और आयाम के लिए (जिनमें से ध्वनि दबाव एक सामान्य उदाहरण है)। रसायन विज्ञान में, पीएच एक जलीय घोल की अम्लता के लिए एक लघुगणकीय उपाय है। लघुगणक वैज्ञानिक सूत्रों में, और कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत के मापन में और भग्न नामक ज्यामितीय वस्तुओं में आम हैं। वे अंतराल (संगीत) के आवृत्ति अनुपातों का वर्णन करने में मदद करते हैं, अभाज्य संख्याओं की गिनती के सूत्रों में दिखाई देते हैं या स्टर्लिंग के सन्निकटन फैक्टोरियल, साइकोफिज़िक्स में कुछ मॉडलों को सूचित करते हैं, और फोरेंसिक लेखांकन में सहायता कर सकते हैं।

घातांक के व्युत्क्रम के रूप में लघुगणक की अवधारणा अन्य गणितीय संरचनाओं पर भी लागू होती है। हालाँकि, सामान्य सेटिंग्स में, लघुगणक एक बहु-मूल्यवान फ़ंक्शन होता है। उदाहरण के लिए, जटिल लघुगणक जटिल घातीय फलन का बहु-मूल्यवान व्युत्क्रम फलन है। इसी तरह, असतत लघुगणक परिमित समूहों में घातीय फलन का बहु-मूल्यवान व्युत्क्रम है; इसका सार्वजनिक-कुंजी क्रिप्टोग्राफी में उपयोग होता है।

प्रेरणा
जोड़, गुणा और घातांक तीन सबसे मौलिक अंकगणितीय ऑपरेशन हैं। जोड़ का व्युत्क्रम घटाना है, और गुणन का प्रतिलोम भाग (गणित) है। इसी तरह, एक लघुगणक घातांक की व्युत्क्रम संक्रिया है। घातांक तब होता है जब एक संख्या $y$आधार, एक निश्चित शक्ति तक उठाया जाता है $b$, प्रतिपादक, मान देने के लिए $y$; यह दर्शाया गया है
 * $$b^y=x.$$

उदाहरण के लिए, उठाना $2$ की शक्ति के लिए $b ≠ 1$ देता है $x = 1$: $$2^3 = 8$$ आधार का लघुगणक $x$ उलटा ऑपरेशन है, जो आउटपुट प्रदान करता है $b$ इनपुट से $y$. वह है, $$y = \log_b x$$ के बराबर है $$x=b^y$$ यदि $x$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है। (यदि $b$ धनात्मक वास्तविक संख्या नहीं है, घातांक और लघुगणक दोनों को परिभाषित किया जा सकता है लेकिन इसमें कई मान हो सकते हैं, जो परिभाषाओं को और अधिक जटिल बना देता है।)

लघुगणक को प्रस्तुत करने की मुख्य ऐतिहासिक प्रेरणाओं में से एक सूत्र है
 * $$\log_b(xy)=\log_b x + \log_b y,$$

जिसने (कंप्यूटर के आविष्कार से पहले) जोड़, घटाव और लघुगणक तालिका देखने के लिए गुणा और भाग की गणना को कम करने की अनुमति दी।

परिभाषा
एक सकारात्मक वास्तविक संख्या दी गई है $b$ ऐसा है कि $log_{2}(8) = 3$, एक धनात्मक वास्तविक संख्या का लघुगणक $b$ आधार के संबंध में$x$ किसके द्वारा प्रतिपादक है $b$ उपज के लिए उठाया जाना चाहिए $x$. दूसरे शब्दों में, का लघुगणक $b$ आधार के लिए$b$ अद्वितीय वास्तविक संख्या है$x$ ऐसा है कि $$b^y = x$$. लघुगणक निरूपित है$2^{3} = 8$(के लघुगणक के रूप में उच्चारित किया जाता है $x$ आधार के लिए$b$, द base-$y$ का लघुगणक $x$, या अधिकतर लॉग, बेस$b$, का $b$).

एक समतुल्य और अधिक संक्षिप्त परिभाषा यह है कि function $2$ फलन का प्रतिलोम फलन है $$x\mapsto b^x$$.

उदाहरण

 * $3$, जबसे $8$.
 * लघुगणक ऋणात्मक भी हो सकते हैं: $\log_2 \! \frac{1}{2} = -1$ जबसे $2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}.$
 * $b ≠ 1$ लगभग 2.176 है, जो 2 और 3 के बीच स्थित है, ठीक वैसे ही जैसे 150 बीच में है $log_{b}&thinsp;x$ और $log_{b}$.
 * किसी भी आधार के लिए$x$, $log_{2}&thinsp;16 = 4$ और $2^{4} = 2 × 2 × 2 × 2 = 16$, जबसे $log_{10}&thinsp;150$ और $10^{2} = 100$, क्रमश।

लघुगणकीय पहचान
कई महत्वपूर्ण सूत्र, जिन्हें कभी-कभी लघुगणकीय सर्वसमिका या लघुगणकीय नियम कहा जाता है, लघुगणक को एक दूसरे से संबंधित करते हैं।

उत्पाद, भागफल, शक्ति और जड़
किसी गुणनफल का लघुगणक गुणा की जा रही संख्याओं के लघुगणकों का योग होता है; दो संख्याओं के अनुपात का लघुगणक लघुगणक का अंतर है। का लघुगणक $b$-एक संख्या की शक्ति है$x$स्वयं संख्या के लघुगणक का गुणा; ए का लघुगणक $b$-वाँ मूल द्वारा विभाजित संख्या का लघुगणक है $p$. निम्न तालिका उदाहरणों के साथ इन पहचानों को सूचीबद्ध करती है। लघुगणक परिभाषाओं के प्रतिस्थापन के बाद प्रत्येक पहचान प्राप्त की जा सकती है $$x = b^{\, \log_b x}$$ या $$y = b^{\, \log_b y}$$ बाएँ पक्ष में।

आधार का परिवर्तन
लघुगणक $10^{3} = 1000$ के लघुगणक से परिकलित किया जा सकता है $p$ और $p$ मनमाने आधार के संबंध में$p$ निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करना:


 * $$ \log_b x = \frac{\log_k x}{\log_k b}.\, $$

परिभाषित पहचान से शुरू


 * $$ x = b^{\log_b x} $$

हम आवेदन कर सकते हैं $log_{b}&thinsp;b = 1$ प्राप्त करने के लिए, इस समीकरण के दोनों पक्षों के लिए


 * $$ \log_k x = \log_k \left(b^{\log_b x}\right) = \log_b x \cdot \log_k b$$.

के लिए हल करना $$\log_b x$$ पैदावार:


 * $$ \log_b x = \frac{\log_k x}{\log_k b}$$,

दिए गए से रूपांतरण कारक दिखा रहा है $$\log_k$$-मान उनके अनुरूप $$\log_b $$-मान होना चाहिए $$(\log_k b)^{-1}.$$

विशिष्ट वैज्ञानिक कैलकुलेटर 10 और के आधार पर लघुगणक की गणना करते हैं $x$. किसी भी आधार के संबंध में लघुगणक$b$ पिछले सूत्र द्वारा इन दो लघुगणकों में से किसी एक का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है:
 * $$ \log_b x = \frac{\log_{10} x}{\log_{10} b} = \frac{\log_{e} x}{\log_{e} b}.$$

एक नंबर दिया $k$ और इसका लघुगणक $log_{b}&thinsp;1 = 0$ एक अज्ञात आधार के लिए$e$, आधार द्वारा दिया गया है:


 * $$ b = x^\frac{1}{y},$$

जिसे परिभाषित समीकरण लेने से देखा जा सकता है $$ x = b^{\,\log_b x} = b^y$$ की शक्ति के लिए $$\tfrac{1}{y}.$$

विशेष आधार
आधार के लिए सभी विकल्पों में से तीन विशेष रूप से सामान्य हैं। य़े हैं $b^{1} = b$, $b^{0} = 1$ (तर्कहीन संख्या गणितीय स्थिरांक ≈ 2.71828), और $log_{b}&thinsp;x$ (द्विआधारी लघुगणक)। गणितीय विश्लेषण में, लघुगणक आधार $b$ नीचे बताए गए विश्लेषणात्मक गुणों के कारण व्यापक है। दूसरी ओर, base-10 दशमलव संख्या प्रणाली में मैन्युअल गणना के लिए लॉगरिदम का उपयोग करना आसान है:
 * $$\log_{10}(10 x) = \log_{10} 10 + \log_{10} x = 1 + \log_{10} x.\ $$

इस प्रकार, $log_{k}$ एक सकारात्मक पूर्णांक के दशमलव अंकों की संख्या से संबंधित है $x$: अंकों की संख्या सबसे छोटी पूर्णांक से सख्ती से बड़ी है $y = log_{b}&thinsp;x$. उदाहरण के लिए, $b = 10$ लगभग 3.15 है। अगला पूर्णांक 4 है, जो 1430 के अंकों की संख्या है। प्राकृतिक लघुगणक और आधार दो के लघुगणक दोनों का उपयोग सूचना सिद्धांत में किया जाता है, सूचना की मूलभूत इकाइयों के रूप में nat (इकाई) या बिट्स के उपयोग के अनुरूप, क्रमश। कंप्यूटर विज्ञान में बाइनरी लॉगरिदम का भी उपयोग किया जाता है, जहां बाइनरी अंक प्रणाली सर्वव्यापी है; संगीत सिद्धांत में, जहां दो (ऑक्टेव) का एक पिच अनुपात सर्वव्यापी है और किसी भी दो पिचों के बीच प्रतिशत (संगीत) की संख्या बाइनरी लॉगरिदम है, 1200 गुणा, उनके अनुपात का (यानी, 100 सेंट प्रति समान-स्वभाव सेमीटोन) ); और फ़ोटोग्राफ़ी में एक्सपोज़र मान, चमक, एक्सपोज़र समय, एपर्चर और स्टॉप में फ़िल्म की गति को मापने के लिए। निम्नलिखित तालिका में इन आधारों और उन क्षेत्रों के लघुगणक के लिए सामान्य अंकन सूचीबद्ध हैं जहां उनका उपयोग किया जाता है। कई विधाएं लिखती हैं $b = e$ के बजाय $b = 2$, जब इच्छित आधार संदर्भ से निर्धारित किया जा सकता है। अंकन $log_{10}&thinsp;(x)$ भी होता है। आईएसओ संकेतन कॉलम अंतर्राष्ट्रीय मानकीकरण संगठन (आईएसओ 80000-2) द्वारा सुझाए गए पदनामों को सूचीबद्ध करता है। क्योंकि अंकन $log_{10}&thinsp;(x)$ का उपयोग सभी तीन आधारों के लिए किया गया है (या जब आधार अनिश्चित या सारहीन है), इच्छित आधार को अक्सर संदर्भ या अनुशासन के आधार पर अनुमान लगाया जाना चाहिए। कंप्यूटर विज्ञान में, $log_{10}(1430)$ आमतौर पर संदर्भित करता है $log&thinsp;x$, और गणित में $log_{b}&thinsp;x$ आमतौर पर संदर्भित करता है $^{b}log&thinsp;x$. अन्य संदर्भों में, $log x$ अक्सर मतलब $log$.

इतिहास
सत्रहवीं सदी के यूरोप में लघुगणक का इतिहास एक नए प्रकार्य (गणित) की खोज है जिसने विश्लेषण के क्षेत्र को बीजगणितीय विधियों के दायरे से बाहर बढ़ाया। 1614 में जॉन नेपियर द्वारा लघुगणक की विधि सार्वजनिक रूप से प्रतिपादित की गई थी, जिसका शीर्षक मिरिफिसी लॉगरिथमोरम कैननिस डिस्क्रिप्टियो (लॉगरिदम के अद्भुत नियम का विवरण) था। नेपियर के आविष्कार से पहले, इसी तरह के स्कोप की अन्य तकनीकें थीं, जैसे कि प्रोस्थफेरेसिस या प्रगति की तालिकाओं का उपयोग, 1600 के आसपास जोस्ट बर्गी द्वारा बड़े पैमाने पर विकसित किया गया था। नेपियर ने मध्य लैटिन में लघुगणक के लिए शब्द गढ़ा, "लघुगणक," ग्रीक से लिया गया, जिसका शाब्दिक अर्थ है, "अनुपात-संख्या," लोगो से "अनुपात, अनुपात, शब्द" + अंकगणित "संख्या"।

किसी संख्या का सामान्य लघुगणक दस की उस शक्ति का सूचकांक है जो संख्या के बराबर है। इतने सारे अंकों की आवश्यकता के रूप में एक संख्या की बात करना सामान्य लघुगणक के लिए एक मोटा संकेत है, और इसे आर्किमिडीज द्वारा "संख्या का क्रम" के रूप में संदर्भित किया गया था। पहले वास्तविक लघुगणक गुणन को जोड़ में बदलने के लिए अनुमानी तरीके थे, इस प्रकार तेजी से संगणना की सुविधा प्रदान करते थे। इनमें से कुछ विधियों में त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं से प्राप्त तालिकाओं का उपयोग किया गया है। ऐसी विधियों को प्रोस्थफेरेसिस कहा जाता है।

फ़ंक्शन (गणित) का आविष्कार जिसे अब प्राकृतिक लघुगणक के रूप में जाना जाता है, प्राग में रहने वाले एक बेल्जियन जेसुइट ग्रेगोइरे डी सेंट-विंसेंट द्वारा एक आयताकार हाइपरबोला के चतुर्भुज (गणित) के प्रदर्शन के प्रयास के रूप में शुरू हुआ। आर्किमिडीज ने तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व में पैराबोला का चतुर्भुज लिखा था, लेकिन हाइपरबोला के लिए एक चतुर्भुज सभी प्रयासों से दूर हो गया जब तक कि सेंट-विंसेंट ने 1647 में अपने परिणाम प्रकाशित नहीं किए। एक समारोह के अपने तर्क में एक ज्यामितीय प्रगति के बीच लघुगणक जो संबंध प्रदान करता है और मूल्यों की एक अंकगणितीय प्रगति, ए. ए. डी सरसा को सेंट-विंसेंट के चतुर्भुज और प्रोस्थेफेरेसिस में लॉगरिदम की परंपरा के संबंध को बनाने के लिए प्रेरित करती है, जिससे "हाइपरबोलिक लॉगरिदम" शब्द प्राकृतिक लघुगणक का पर्याय बन जाता है। जल्द ही क्रिस्टियान ह्यूजेन्स और जेम्स ग्रेगरी (गणितज्ञ) द्वारा नए समारोह की सराहना की गई। 1675 में गॉटफ्राइड विल्हेम लीबनिज द्वारा नोटेशन लॉग वाई को अपनाया गया था, और अगले वर्ष उन्होंने इसे समाकलन कलन से जोड़ दिया $\int \frac{dy}{y} .$ इससे पहले कि यूलर ने जटिल प्राकृतिक लघुगणकों की अपनी आधुनिक अवधारणा विकसित की, रोजर कोट्स#गणित के लगभग समकक्ष परिणाम थे जब उन्होंने 1714 में दिखाया कि
 * $$\log(\cos \theta + i\sin \theta) = i\theta$$.

लघुगणक तालिकाएँ, स्लाइड नियम और ऐतिहासिक अनुप्रयोग
कैलकुलेटर और कंप्यूटर उपलब्ध होने से पहले कठिन गणनाओं को सरल बनाकर, लघुगणक ने विज्ञान, विशेष रूप से खगोल विज्ञान की प्रगति में योगदान दिया। वे सर्वेक्षण, आकाशीय नेविगेशन और अन्य डोमेन में प्रगति के लिए महत्वपूर्ण थे। पियरे-साइमन लाप्लास को लघुगणक कहा जाता है


 * ...[ए] प्रशंसनीय युक्ति, जो कई महीनों के श्रम को कुछ दिनों तक कम करके, खगोलविद के जीवन को दोगुना कर देती है, और लंबी गणनाओं से अविभाज्य त्रुटियों और घृणा से बचाती है।

समारोह के रूप में $log_{2}$ का प्रतिलोम कार्य है $log$, इसे एक एंटीलॉगरिदम कहा गया है। आजकल, इस फ़ंक्शन को अधिक सामान्यतः एक घातीय फ़ंक्शन कहा जाता है।

लॉग टेबल
लघुगणक के व्यावहारिक उपयोग को सक्षम करने वाला एक प्रमुख उपकरण लॉग टेबल था। इस तरह की पहली तालिका हेनरी ब्रिग्स (गणितज्ञ) द्वारा 1617 में संकलित की गई थी, नेपियर के आविष्कार के तुरंत बाद लेकिन आधार के रूप में 10 का उपयोग करने के नवाचार के साथ। ब्रिग्स की पहली तालिका में 14 अंकों की सटीकता के साथ 1 से 1000 तक की सीमा में सभी पूर्णांकों के सामान्य लघुगणक शामिल थे। इसके बाद, बढ़ते दायरे वाली तालिकाएँ लिखी गईं। इन तालिकाओं ने के मूल्यों को सूचीबद्ध किया $log_{e}$ किसी भी संख्या के लिए$b$ एक निश्चित सीमा में, एक निश्चित सटीकता पर। बेस -10 लॉगरिदम का उपयोग सार्वभौमिक रूप से गणना के लिए किया गया था, इसलिए नाम सामान्य लघुगणक है, क्योंकि संख्याएं जो 10 के कारकों से भिन्न होती हैं, उनके पास लघुगणक होते हैं जो पूर्णांक से भिन्न होते हैं। का सामान्य लघुगणक $e$ एक पूर्णांक भाग और एक भिन्नात्मक भाग में अलग किया जा सकता है, जिसे विशेषता और मंटिसा (लघुगणक) के रूप में जाना जाता है। लघुगणकों की तालिका में केवल अपूर्णांश शामिल करने की आवश्यकता है, क्योंकि विशेषता को दशमलव बिंदु से अंक गिनकर आसानी से निर्धारित किया जा सकता है। की विशेषता $b = 2$ एक प्लस की विशेषता है $e$, और उनके मंटिसा समान हैं। इस प्रकार तीन अंकों की लॉग तालिका का उपयोग करके, 3542 के लघुगणक का अनुमान लगाया जाता है


 * $$\log_{10}3542 = \log_{10}(1000 \cdot 3.542) = 3 + \log_{10}3.542 \approx 3 + \log_{10}3.54 \, $$

इंटरपोलेशन द्वारा अधिक सटीकता प्राप्त की जा सकती है:


 * $$\log_{10}3542 \approx 3 + \log_{10}3.54 + 0.2 (\log_{10}3.55-\log_{10}3.54)\, $$

का मूल्य $log$ उसी तालिका में रिवर्स लुकअप द्वारा निर्धारित किया जा सकता है, क्योंकि लघुगणक एक मोनोटोनिक फ़ंक्शन है।

संगणना
दो धनात्मक संख्याओं का गुणनफल और भागफल $x$ और$b$उनके लघुगणकों के योग और अंतर के रूप में नियमित रूप से गणना की जाती थी। उत्पाद$log_{10}$ या भागफल$lb x$ योग या अंतर के प्रतिलघुगणक को एक ही तालिका के माध्यम से देखने से आया:


 * $$ cd = 10^{\, \log_{10} c} \, 10^{\,\log_{10} d} = 10^{\,\log_{10} c \, + \, \log_{10} d}$$

और
 * $$\frac c d = c d^{-1} = 10^{\, \log_{10}c \, - \, \log_{10}d}.$$

मैन्युअल गणनाओं के लिए जो किसी भी प्रशंसनीय सटीकता की मांग करते हैं, दो लॉगरिदम के लुकअप का प्रदर्शन करना, उनकी राशि या अंतर की गणना करना, और एंटिलॉगरिदम को देखना प्रोस्थैफेरेसिस जैसे पहले के तरीकों से गुणन करने की तुलना में बहुत तेज है, जो त्रिकोणमितीय पहचान पर निर्भर करता है।

शक्तियों और nवें रूट की गणना को गुणा या भाग और लुकअप द्वारा घटाया जाता है
 * $$c^d = \left(10^{\, \log_{10} c}\right)^d = 10^{\, d \log_{10} c}$$

और
 * $$\sqrt[d]{c} = c^\frac{1}{d} = 10^{\frac{1}{d} \log_{10} c}.$$

त्रिकोणमितीय गणनाओं को तालिकाओं द्वारा सुगम बनाया गया था जिसमें त्रिकोणमितीय कार्यों के सामान्य लघुगणक शामिल थे।

स्लाइड नियम
एक अन्य महत्वपूर्ण अनुप्रयोग स्लाइड नियम था, गणना के लिए उपयोग किए जाने वाले लघुगणकीय रूप से विभाजित तराजू की एक जोड़ी। नेपियर के आविष्कार के कुछ ही समय बाद नॉन-स्लाइडिंग लॉगरिदमिक स्केल, गंटर के नियम का आविष्कार किया गया था। विलियम ऑट्रेड ने इसे स्लाइड नियम बनाने के लिए बढ़ाया - एक दूसरे के संबंध में चलने वाले लॉगरिदमिक स्केल की एक जोड़ी। संख्याओं को उनके लघुगणकों के बीच के अंतर के अनुपात में दूरी पर स्लाइडिंग स्केल पर रखा जाता है। यांत्रिक रूप से लॉगरिदम जोड़ने के लिए ऊपरी पैमाने को उचित मात्रा में स्लाइड करना, जैसा कि यहां दिखाया गया है:

उदाहरण के लिए, निचले पैमाने पर 1 से 2 की दूरी को ऊपरी पैमाने पर 1 से 3 की दूरी से जोड़ने पर 6 का उत्पाद मिलता है, जिसे निचले हिस्से में पढ़ा जाता है। 1970 के दशक तक इंजीनियरों और वैज्ञानिकों के लिए स्लाइड नियम एक आवश्यक गणना उपकरण था, क्योंकि यह सटीकता की कीमत पर तालिकाओं पर आधारित तकनीकों की तुलना में बहुत तेज संगणना की अनुमति देता है।

विश्लेषणात्मक गुण
लघुगणकों के गहन अध्ययन के लिए एक फलन (गणित) की अवधारणा की आवश्यकता होती है। फलन एक नियम है, जो एक संख्या दिए जाने पर दूसरी संख्या उत्पन्न करता है। एक उदाहरण फ़ंक्शन का उत्पादन है $b$-वीं शक्ति $e$ किसी भी वास्तविक संख्या से$b$, जहां आधार$b$ एक निश्चित संख्या है। इस समारोह के रूप में लिखा है $ld x$. कब $x$ सकारात्मक है और 1 के बराबर नहीं है, हम उसे नीचे दिखाते हैं $x$ वास्तविक से धनात्मक वास्तविक के फलन के रूप में माने जाने पर उलटा होता है।

अस्तित्व
होने देना $x$ एक सकारात्मक वास्तविक संख्या बनें जो 1 के बराबर न हो और मान लें $log x$.

यह वास्तविक विश्लेषण में एक मानक परिणाम है कि कोई भी निरंतर सख्ती से मोनोटोनिक फ़ंक्शन अपने डोमेन और रेंज के बीच विशेषण है। यह तथ्य मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय से आता है। अभी, $c$ मोनोटोनिक फ़ंक्शन है (के लिए $lg x$), या सख्ती से घट रहा है (के लिए $log_{2}&thinsp;x$), निरंतर है, डोमेन है $$\R$$, और रेंज है $$\R_{> 0}$$. इसलिए, $d$ से आपत्ति है $$\R$$ को $$\R_{>0}$$. दूसरे शब्दों में, प्रत्येक सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए $x$, ठीक एक वास्तविक संख्या है $x$ ऐसा है कि $$b^x = y$$.

हम जाने $$\log_b\colon\R_{>0}\to\R$$ के व्युत्क्रम को निरूपित करें $x$. वह है, $ln x$ अद्वितीय वास्तविक संख्या है $b$ ऐसा है कि $$b^x = y$$. इस फलन को आधार कहते हैं-$x$ लॉगरिदम फ़ंक्शन या लॉगरिदमिक फ़ंक्शन (या केवल लॉगरिदम)।

उत्पाद सूत्र द्वारा विशेषता
कार्यक्रम $log x$ उत्पाद सूत्र द्वारा अनिवार्य रूप से विशेषता भी हो सकती है
 * $$\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y.$$

अधिक सटीक रूप से, किसी भी आधार का लघुगणक $log_{e}&thinsp;x$ धनात्मक वास्तविक से वास्तविक संतोषजनक तक एकमात्र वर्धमान फलन f है $lg x$ और
 * $$f(xy)=f(x)+f(y).$$

लघुगणक समारोह का ग्राफ
जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, function $log x$ चरघातांकी फलन का व्युत्क्रम है $$x\mapsto b^x$$. इसलिए, एक फ़ंक्शन का उनका ग्राफ एक्सचेंज करने पर एक दूसरे के अनुरूप होता है $b$- और यह $b$-निर्देशांक (या विकर्ण रेखा पर प्रतिबिंब पर $log_{10}&thinsp;x$), जैसा कि दाईं ओर दिखाया गया है: एक बिंदु $log_{b}&thinsp;x$ के ग्राफ पर $f$ एक बिंदु देता है $f(x) = b^{x}$ लघुगणक के ग्राफ पर और इसके विपरीत। एक परिणाम के रूप में, $log_{b}&thinsp;x$ विचलन अनुक्रम (किसी भी संख्या से बड़ा हो जाता है) यदि $b$ अनंत तक बढ़ता है, बशर्ते कि $f$ एक से बड़ा है। उस मामले में, $log_{10}&thinsp;x$ एक बढ़ता हुआ कार्य है। के लिए $10 · x$, $10^{x}$ इसके बजाय माइनस इनफिनिटी की ओर जाता है। कब $f$ शून्य तक पहुँचता है, $cd$ के लिए शून्य से अनंत तक जाता है $c/d$ (प्लस अनंत के लिए $f(x) = b^{&thinsp;x}$, क्रमश)।

व्युत्पन्न और प्रतिपक्षी
कार्यों के विश्लेषणात्मक गुण उनके व्युत्क्रमों में जाते हैं। इस प्रकार, के रूप में $f(x) = b^{&thinsp;x}$ एक सतत और अलग-अलग कार्य है, इसलिए है $b > 1$. मोटे तौर पर, एक सतत फलन अवकलनीय होता है यदि इसके ग्राफ में कोई नुकीला कोना न हो। इसके अलावा, के व्युत्पन्न के रूप में $0 < b < 1$ का मूल्यांकन करता है $log_{b}&thinsp;y$ घातीय कार्य के गुणों से, श्रृंखला नियम का तात्पर्य है कि व्युत्पन्न $log_{b}&thinsp;x$ द्वारा दिया गया है
 * $$\frac{d}{dx} \log_b x = \frac{1}{x\ln b}. $$

अर्थात्, के ग्राफ को स्पर्श करने वाली स्पर्शरेखा का ढलान $b > 1$ बिंदु पर लघुगणक $f(b) = 1$ बराबरी $log_{b}&thinsp;(x)$.

का व्युत्पन्न $b^{x}$ है $x = y$; यह बताता है कि $log_{b}$ का अनूठा प्रतिपक्षी है $x = y$ जिसका मान 0 है $(t, u = b^{t})$. यह बहुत ही सरल सूत्र है जो प्राकृतिक लघुगणक के रूप में अर्हता प्राप्त करने के लिए प्रेरित करता है; यह भी E (गणितीय स्थिरांक) | स्थिरांक के महत्व का एक मुख्य कारण है$y$.

एक सामान्यीकृत कार्यात्मक तर्क के साथ व्युत्पन्न $(u, t = log_{b}&thinsp;u)$ है
 * $$\frac{d}{dx} \ln f(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}.$$

दाहिने हाथ की ओर के भागफल को लघुगणकीय व्युत्पन्न कहा जाता है$x$. कम्प्यूटिंग $log_{b}&thinsp;(x)$ के व्युत्पन्न के माध्यम से $log_{b}(x)$ लघुगणक विभेदीकरण के रूप में जाना जाता है। प्राकृतिक लघुगणक का प्रतिपक्षी $b < 1$ है:
 * $$\int \ln(x) \,dx = x \ln(x) - x + C.$$

लॉगरिदमिक कार्यों के इंटीग्रल की सूची, जैसे कि अन्य आधारों के लॉगरिदम के एंटीडेरिवेटिव्स को आधारों के परिवर्तन का उपयोग करके इस समीकरण से प्राप्त किया जा सकता है।

प्राकृतिक लघुगणक
का अभिन्न प्रतिनिधित्व का प्राकृतिक लघुगणक $f$ निश्चित अभिन्न के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:


 * $$\ln t = \int_1^t \frac{1}{x} \, dx.$$

इस परिभाषा का यह लाभ है कि यह चरघातांकी फलन या किसी त्रिकोणमितीय फलन पर निर्भर नहीं करती; परिभाषा एक सरल व्युत्क्रम के समाकलन के रूप में है। एक अभिन्न के रूप में, $log_{b}&thinsp;(x)$ के बीच के क्षेत्रफल के बराबर है $x$-अक्ष और समारोह का ग्राफ $log_{b}&thinsp;x$, से लेकर $b > 1$ को $b < 1$. यह कलन की मूलभूत प्रमेय का परिणाम है और तथ्य यह है कि इसकी व्युत्पत्ति है $x = 1.5$ है $f(x) = b^{x}$. उत्पाद और शक्ति लघुगणक सूत्र इस परिभाषा से प्राप्त किए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, उत्पाद सूत्र $log_{b}&thinsp;y$ के रूप में निकाला जाता है:


 * $$ \ln(tu) = \int_1^{tu} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(1)} = \int_1^{t} \frac{1}{x} \, dx + \int_t^{tu} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(2)} = \ln(t) + \int_1^u \frac{1}{w} \, dw = \ln(t) + \ln(u).$$

समानता (1) समाकल को दो भागों में विभाजित करती है, जबकि समानता (2) परिवर्तनशील परिवर्तन है ($f(x)$). नीचे दिए गए उदाहरण में, विभाजन क्षेत्र को पीले और नीले भागों में विभाजित करने के अनुरूप है। बाएं हाथ के नीले क्षेत्र को कारक द्वारा लंबवत रूप से पुन: स्केल करना$b$ और इसे एक ही कारक द्वारा क्षैतिज रूप से सिकोड़ने से इसका आकार नहीं बदलता है। इसे उचित रूप से स्थानांतरित करना, क्षेत्र फ़ंक्शन के ग्राफ़ को फिट करता है $ln(b) b^{x}$ फिर। इसलिए, बाएं हाथ का नीला क्षेत्र, जो का अभिन्न अंग है $log_{b}&thinsp;x$ से $x$ को $y$ 1 से अभिन्न के समान है $f$. यह अधिक ज्यामितीय प्रमाण के साथ समानता (2) को सही ठहराता है।

शक्ति सूत्र $base-b$ इसी तरह से प्राप्त किया जा सकता है:



\ln(t^r) = \int_1^{t^r} \frac{1}{x}dx = \int_1^t \frac{1}{w^r} \left(rw^{r - 1} \, dw\right) = r \int_1^t \frac{1}{w} \, dw = r \ln(t). $$ दूसरी समानता चर के परिवर्तन (प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण) का उपयोग करती है, $(x, log_{b}&thinsp;(x))$.

प्राकृतिक संख्याओं के व्युत्क्रमों का योग,
 * $$1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \cdots + \frac 1 n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k},$$

हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) कहा जाता है। यह प्राकृतिक लघुगणक से निकटता से जुड़ा हुआ है: as $x$ अनंत की ओर जाता है, अंतर,
 * $$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n),$$

एक अनुक्रम की सीमा (अर्थात मनमाने ढंग से करीब हो जाता है) जिसे यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक के रूप में जाना जाता है $1/(x ln(b))$. यह संबंध एल्गोरिद्म जैसे क्विकसॉर्ट के प्रदर्शन का विश्लेषण करने में सहायता करता है।

लघुगणक का अतिक्रमण
वास्तविक संख्याएँ जो बीजगणितीय संख्या नहीं हैं, उन्हें अनुवांशिक संख्या कहा जाता है; उदाहरण के लिए, पाई |$\pi$और e (गणितीय स्थिरांक) ऐसी संख्याएँ हैं, लेकिन $$\sqrt{2-\sqrt 3}$$ नहीं है। लगभग सभी वास्तविक संख्याएं पारलौकिक हैं। लघुगणक एक पारलौकिक कार्य का एक उदाहरण है। गेलफॉन्ड-श्नाइडर प्रमेय का दावा है कि लघुगणक आमतौर पर पारलौकिक, यानी कठिन मान लेते हैं।

गणना
कुछ स्थितियों में लघुगणकों की गणना करना आसान होता है, जैसे कि $ln(x)$. सामान्य तौर पर, लघुगणक की गणना शक्ति श्रृंखला या अंकगणितीय-ज्यामितीय माध्य का उपयोग करके की जा सकती है, या एक पूर्व-परिकलित लघुगणक तालिका से प्राप्त की जा सकती है जो एक निश्चित सटीकता प्रदान करती है। न्यूटन की विधि, लगभग समीकरणों को हल करने के लिए पुनरावृत्त विधि का उपयोग लघुगणक की गणना के लिए भी किया जा सकता है, क्योंकि इसके व्युत्क्रम कार्य, घातीय कार्य, की कुशलता से गणना की जा सकती है। लुक-अप तालिकाओं का उपयोग करते हुए, कॉर्डिक-जैसी विधियों का उपयोग केवल जोड़ और अंकगणितीय पारी के संचालन का उपयोग करके लघुगणक की गणना के लिए किया जा सकता है।  इसके अलावा, बाइनरी लघुगणक # एल्गोरिथम गणना करता है $1/x$ पुनरावर्तन, के बार-बार वर्ग के आधार पर $b$, संबंध का लाभ उठाते हुए
 * $$\log_2\left(x^2\right) = 2 \log_2 |x|.$$

टेलर सीरीज
किसी भी वास्तविक संख्या के लिए $x$ जो संतुष्ट करता है $ln(x)$, निम्नलिखित सूत्र धारण करता है:

\begin{align}\ln (z) &= \frac{(z-1)^1}{1} - \frac{(z-1)^2}{2} + \frac{(z-1)^3}{3} - \frac{(z-1)^4}{4} + \cdots \\ &= \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}\frac{(z-1)^k}{k} \end{align} $$ यह कहने का संक्षिप्त रूप है $1/x$ निम्नलिखित अभिव्यक्तियों द्वारा अधिक से अधिक सटीक मान का अनुमान लगाया जा सकता है:

\begin{array}{lllll} (z-1) & & \\ (z-1) & - & \frac{(z-1)^2}{2} & \\ (z-1) & - & \frac{(z-1)^2}{2} & + & \frac{(z-1)^3}{3} \\ \vdots & \end{array} $$ उदाहरण के लिए, साथ $x = 1$ तीसरा सन्निकटन 0.4167 देता है, जो लगभग 0.011 से अधिक है $f(x)$. यह श्रृंखला (गणित) अनुमानित है $f ' (x)$ मनमाना सटीकता के साथ, बशर्ते राशि की संख्या काफी बड़ी हो। प्रारंभिक गणना में, $ln(f(x))$ इसलिए इस श्रृंखला की सीमा (गणित) है। यह पर प्राकृतिक लघुगणक की टेलर श्रृंखला है $ln(x)$. टेलर श्रृंखला $f(x) = 1/x$ के लिए एक विशेष रूप से उपयोगी सन्निकटन प्रदान करता है $ln(t)$ कब $e$ छोटा है, $1/x$, के बाद से

\ln (1+z) = z - \frac{z^2}{2} +\frac{z^3}{3}\cdots \approx z. $$ उदाहरण के लिए, साथ $x = 1$ प्रथम-क्रम सन्निकटन देता है $x = t$, जो सही मान 0.0953 से 5% कम है।

हालांकि के लिए अनुक्रम $$\ln(1+z)$$ के लिए ही मिलती है $$|z|<1$$, एक साफ-सुथरी ट्रिक इसे ठीक कर सकती है।


 * $$\ln(1+z) = -\ln\left(\frac{1}{1+z}\right) = -\ln\left(1-\frac{z}{z+1}\right)$$

जैसा $$\left|\frac{z}{z+1}\right|<1$$ सबके लिए $$|z|\ge0$$, अनुक्रम समान श्रेणी के लिए अभिसरण करता है $f$.

उलटा अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शरेखा
एक अन्य श्रृंखला क्षेत्र अतिपरवलयिक स्पर्शज्या#Inverse_hyperbolic_tangent फ़ंक्शन पर आधारित है:

\ln (z) = 2\cdot\operatorname{artanh}\,\frac{z-1}{z+1} = 2 \left ( \frac{z-1}{z+1} + \frac{1}{3}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^3 + \frac{1}{5}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^5 + \cdots \right ), $$ किसी भी वास्तविक संख्या के लिए $ln(x)$. सिग्मा संकेतन का प्रयोग करते हुए इसे इस रूप में भी लिखा जाता है
 * $$\ln (z) = 2\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2k+1}\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^{2k+1}.$$

यह श्रृंखला उपरोक्त टेलर श्रृंखला से प्राप्त की जा सकती है। यह टेलर श्रृंखला की तुलना में तेजी से अभिसरण करता है, खासकर यदि $t$ 1 के करीब है। उदाहरण के लिए, के लिए $1/x$, दूसरी श्रृंखला के पहले तीन पद अनुमानित हैं $ln(tu) = ln(t) + ln(u)$ के बारे में त्रुटि के साथ $x$. के लिए त्वरित अभिसरण $t$ निम्नलिखित तरीके से 1 के करीब का लाभ उठाया जा सकता है: कम सटीकता सन्निकटन दिया गया है $w = x/t$ और डाल रहा हूँ
 * $$A = \frac z{\exp(y)},$$

का लघुगणक $x$ है:
 * $$\ln (z)=y+\ln (A).$$

बेहतर प्रारंभिक सन्निकटन $t$ है, जितना निकट है $t$ 1 है, इसलिए इसके लघुगणक की कुशलता से गणना की जा सकती है। $tu$ एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन का उपयोग करके गणना की जा सकती है, जो जल्दी से अभिसरण करता है $u$ बहुत बड़ा नहीं है। बड़े के लघुगणक की गणना $n$ के छोटे मूल्यों में घटाया जा सकता है $e$ लेखन से $f(x) = 1/x$, ताकि $f(x)$.

पूर्णांकों के लघुगणक की गणना करने के लिए निकट संबंधी विधि का उपयोग किया जा सकता है। लाना $$\textstyle z=\frac{n+1}{n}$$ उपरोक्त श्रृंखला में, यह इस प्रकार है:
 * $$\ln (n+1) = \ln(n) + 2\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2k+1}\left(\frac{1}{2 n+1}\right)^{2k+1}.$$

यदि एक बड़े पूर्णांक का लघुगणक$x$ जाना जाता है, तो यह श्रृंखला एक तेजी से अभिसरण श्रृंखला उत्पन्न करती है $ln(t^{r}) = r ln(t)$अभिसरण की दर के साथ $\left(\frac{1}{2 n+1}\right)^{2}$.

अंकगणित–ज्यामितीय माध्य सन्निकटन
अंकगणित-ज्यामितीय माध्य से प्राकृतिक लघुगणक के उच्च परिशुद्ध सन्निकटन प्राप्त होते हैं। सासाकी और कनाड़ा ने 1982 में दिखाया कि यह विशेष रूप से 400 और 1000 दशमलव स्थानों के बीच सटीकता के लिए तेज़ था, जबकि टेलर श्रृंखला के तरीके आमतौर पर तेज़ थे जब कम सटीकता की आवश्यकता थी। उनके काम में $w = x^{1/r}$ की सटीकता के करीब है $γ = 0.5772...$ (या $z$सटीक बिट्स) निम्नलिखित सूत्र द्वारा (कार्ल फ्रेडरिक गॉस के कारण):
 * $$\ln (x) \approx \frac{\pi}{2\, \mathrm{M}\!\left(1, 2^{2 - m}/x \right)} - m \ln(2).$$

यहां $log_{10}&thinsp;(1000) = 3$ के अंकगणितीय-ज्यामितीय माध्य को दर्शाता है $z$ और $z$. यह बार-बार औसत की गणना करके प्राप्त किया जाता है $lb(x)$ (अंकगणितीय माध्य) और $\sqrt{xy}$ (ज्यामितीय माध्य) का $z$ और $z$ तो उन दो नंबरों को अगला बनने दें $z$ और $3$. दो संख्याएँ शीघ्रता से एक सामान्य सीमा में परिवर्तित हो जाती हैं जो कि का मान है $ln(z)$. $z$ ऐसा चुना जाता है


 * $$x \,2^m > 2^{p/2}.\, $$

आवश्यक सटीकता सुनिश्चित करने के लिए। अपेक्षाकृत व्यापक $z$ इसे बनाएं $z = 1$ गणना और कदम उठाती है (प्रारंभिक $y$ और $A$ दूर हैं इसलिए इसे अभिसरण करने के लिए और कदम उठाने पड़ते हैं) लेकिन अधिक सटीकता देता है। स्थिरांक $0 < z ≤ 2$ और $|z − 1| < 1$ त्वरित रूप से अभिसरण श्रृंखला के साथ गणना की जा सकती है।

फेनमैन का एल्गोरिदम
मैनहट्टन प्रोजेक्ट पर काम करते हुए लॉस अलामोस नेशनल लेबोरेटरी में, रिचर्ड फेनमैन ने लघुगणक की गणना करने के लिए एक बिट-प्रोसेसिंग एल्गोरिदम विकसित किया, जो लंबे विभाजन के समान है और बाद में कनेक्शन मशीन में उपयोग किया गया था। एल्गोरिदम इस तथ्य का उपयोग करता है कि प्रत्येक वास्तविक संख्या $ln(z)$ प्रपत्र के विशिष्ट कारकों के उत्पाद के रूप में प्रतिनिधित्व योग्य है $z = 1.5$. एल्गोरिथ्म क्रमिक रूप से उस उत्पाद का निर्माण करता है$A$, के साथ शुरू $ln(1.5) = 0.405465$ और $ln(z)$: यदि $ln(z)$, तो यह बदल जाता है $y$ को $z = 1$. यह तब बढ़ता है $$k$$ एक की परवाह किए बिना। एल्गोरिदम कब बंद हो जाता है $z$ वांछित सटीकता देने के लिए काफी बड़ा है। चूंकि $ln(z)$ फॉर्म की शर्तों का योग है $ln(1 + z)$ उनके अनुरूप $z$ जिसके लिए कारक $|z| < 1$ उत्पाद में शामिल किया गया था$n$, $z = 0.1$ की तालिका का उपयोग करके, साधारण योग द्वारा गणना की जा सकती है $ln(1.1) ≈ 0.1$ सबके लिए $p$. लघुगणक तालिका के लिए किसी भी आधार का उपयोग किया जा सकता है।

अनुप्रयोग
लघुगणक के गणित के अंदर और बाहर कई अनुप्रयोग हैं। इनमें से कुछ घटनाएँ स्केल इनवेरियन की धारणा से संबंधित हैं। उदाहरण के लिए, एक नॉटिलस के खोल का प्रत्येक कक्ष अगले एक की एक अनुमानित प्रति है, जिसे एक स्थिर कारक द्वारा बढ़ाया जाता है। यह एक लघुगणकीय सर्पिल को जन्म देता है। प्रमुख अंकों के वितरण पर बेनफोर्ड के नियम को स्केल इनवेरियन द्वारा भी समझाया जा सकता है। लघुगणक स्व-समानता से भी जुड़े हुए हैं। उदाहरण के लिए, लॉगरिदम एल्गोरिदम के विश्लेषण में दिखाई देते हैं जो एक समस्या को दो समान छोटी समस्याओं में विभाजित करके और उनके समाधान को पैच करके हल करते हैं। स्व-समान ज्यामितीय आकृतियों के आयाम, अर्थात्, ऐसी आकृतियाँ जिनके भाग समग्र चित्र से मिलते-जुलते हैं, वे भी लघुगणक पर आधारित हैं। लॉगरिदमिक स्केल किसी मान के पूर्ण अंतर के विपरीत सापेक्ष परिवर्तन को मापने के लिए उपयोगी होते हैं। इसके अलावा, क्योंकि लॉगरिदमिक फ़ंक्शन $z > 0$ बड़े के लिए बहुत धीरे-धीरे बढ़ता है $x$बड़े पैमाने के वैज्ञानिक डेटा को संक्षिप्त करने के लिए लघुगणकीय पैमानों का उपयोग किया जाता है। लघुगणक कई वैज्ञानिक सूत्रों में भी पाए जाते हैं, जैसे कि Tsiolkovsky रॉकेट समीकरण, फ़ेंस्के समीकरण, या नर्नस्ट समीकरण।

लघुगणकीय पैमाना
लॉगरिदमिक पैमाने का उपयोग करके वैज्ञानिक मात्राओं को अक्सर अन्य मात्राओं के लघुगणक के रूप में व्यक्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, डेसिबल माप की एक इकाई है जो लॉगरिदमिक-स्केल स्तर की मात्रा से जुड़ी है। यह अनुपातों के सामान्य लघुगणक पर आधारित है—किसी शक्ति (भौतिकी) अनुपात के सामान्य लघुगणक का 10 गुना या वोल्टेज अनुपात के सामान्य लघुगणक का 20 गुना। इसका उपयोग विद्युत संकेतों को प्रसारित करने में वोल्टेज स्तर के नुकसान की मात्रा निर्धारित करने के लिए किया जाता है। ध्वनिकी में ध्वनि के शक्ति स्तर का वर्णन करने के लिए, और स्पेक्ट्रोमीटर और प्रकाशिकी के क्षेत्र में प्रकाश का अवशोषण। एक (सार्थक) सिग्नल (सूचना सिद्धांत) के संबंध में अवांछित शोर (इलेक्ट्रॉनिक) की मात्रा का वर्णन करने वाला सिग्नल-टू-शोर अनुपात भी डेसिबल में मापा जाता है। एक समान नस में, पीक सिग्नल-टू-शोर अनुपात का उपयोग आमतौर पर लघुगणक का उपयोग करके ध्वनि की गुणवत्ता और छवि संपीड़न विधियों का आकलन करने के लिए किया जाता है। भूकंप की शक्ति को भूकंप पर उत्सर्जित ऊर्जा के सामान्य लघुगणक को लेकर मापा जाता है। इसका उपयोग क्षण परिमाण पैमाने या रिक्टर परिमाण पैमाने में किया जाता है। उदाहरण के लिए, 5.0 का भूकंप 32 बार रिलीज़ होता है $z = 1.5$ और 6.0 1000 बार रिलीज़ होता है $ln(1.5)$ एक 4.0 की ऊर्जा। स्पष्ट परिमाण तारों की चमक को लघुगणकीय रूप से मापता है। रसायन विज्ञान में दशमलव लघुगणक का ऋणात्मक, दशमलवcologarithm, पत्र पी द्वारा इंगित किया गया है। उदाहरण के लिए, पीएच हाइड्रोनियम आयनों (हाइड्रोजन आयनों के रूप) की गतिविधि (रसायन विज्ञान) का दशमलव कोलोगारिथम है पानी में लें)। उदासीन जल में हाइड्रोनियम आयनों की सक्रियता 10 होती है−7 मोलर सघनता|mol·L−1, इसलिए 7 का पीएच। सिरका का आमतौर पर लगभग 3 का पीएच होता है। 4 का अंतर 10 के अनुपात से मेल खाता है4 की गतिविधि, यानी सिरका की हाइड्रोनियम आयन गतिविधि के बारे में है $y ≈ ln(z)$.

सेमी-लॉग प्लॉट (लॉग-लीनियर) ग्राफ़ विज़ुअलाइज़ेशन के लिए लॉगरिदमिक स्केल अवधारणा का उपयोग करते हैं: एक अक्ष, आमतौर पर लंबवत एक, लॉगरिदमिक रूप से स्केल किया जाता है। उदाहरण के लिए, दाईं ओर का चार्ट 1 मिलियन से 1 ट्रिलियन तक की तेज वृद्धि को उसी स्थान (ऊर्ध्वाधर अक्ष पर) में 1 से 1 मिलियन तक की वृद्धि को संकुचित करता है। ऐसे रेखांकन में, प्रपत्र के घातीय कार्य $z = a · 10^{b}$ के लघुगणक के बराबर ढलान वाली सीधी रेखाओं के रूप में दिखाई देते हैं $y$. लॉग-लॉग प्लॉट | लॉग-लॉग ग्राफ़ दोनों अक्षों को लॉगरिदमिक रूप से स्केल करते हैं, जो फॉर्म के कार्यों का कारण बनता है $ln(z) = ln(a) + b · ln(10)$ एक्सपोनेंट के बराबर ढलान वाली सीधी रेखाओं के रूप में दर्शाया जाना है$x$. यह बिजली कानूनों की कल्पना और विश्लेषण में लागू होता है।

मनोविज्ञान
मानव धारणा का वर्णन करने वाले कई कानूनों में लघुगणक होते हैं: हिक का नियम व्यक्तियों को एक विकल्प चुनने में लगने वाले समय और उनके पास विकल्पों की संख्या के बीच एक लघुगणकीय संबंध प्रस्तावित करता है। फिट्स का नियम भविष्यवाणी करता है कि किसी लक्ष्य क्षेत्र में तेजी से जाने के लिए आवश्यक समय दूरी और लक्ष्य के आकार का एक लघुगणकीय कार्य है। मनोभौतिकी में, वेबर-फेचनर कानून उत्तेजना (मनोविज्ञान) और संवेदना (मनोविज्ञान) के बीच एक लघुगणकीय संबंध का प्रस्ताव करता है जैसे वास्तविक बनाम किसी व्यक्ति द्वारा ले जाई जाने वाली वस्तु का कथित वजन। (यह कानून, हालांकि, हाल के मॉडलों की तुलना में कम यथार्थवादी है, जैसे कि स्टीवंस का शक्ति कानून। )

मनोवैज्ञानिक अध्ययनों से पता चला है कि कम गणित शिक्षा वाले व्यक्ति मात्राओं का अनुमान लघुगणकीय रूप से लगाते हैं, अर्थात, वे किसी संख्या को उसके लघुगणक के अनुसार एक अचिह्नित रेखा पर स्थित करते हैं, ताकि 10 को 100 के करीब रखा जा सके क्योंकि 100 से 1000 है। बढ़ती शिक्षा इसे बदल देती है। कुछ परिस्थितियों में एक रेखीय अनुमान (1000 10 गुना दूर स्थिति) के लिए, जबकि लघुगणक का उपयोग तब किया जाता है जब प्लॉट किए जाने वाले नंबरों को रैखिक रूप से प्लॉट करना मुश्किल होता है।

संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी
संभाव्यता सिद्धांत में लघुगणक उत्पन्न होते हैं: बड़ी संख्या का नियम यह निर्धारित करता है कि, एक निष्पक्ष सिक्के के लिए, जैसे ही सिक्का-टॉस की संख्या अनंत तक बढ़ जाती है, हेड द्विपद वितरण का मनाया गया अनुपात एक-आधा हो जाता है। इस अनुपात के उतार-चढ़ाव का लगभग आधा हिस्सा पुनरावृत्त लघुगणक के नियम द्वारा वर्णित है। लॉग-नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन में लॉगरिदम भी होते हैं। जब एक यादृच्छिक चर के लघुगणक का सामान्य वितरण होता है, तो चर को लॉग-सामान्य वितरण कहा जाता है। कई क्षेत्रों में लॉग-सामान्य वितरण का सामना करना पड़ता है, जहां कहीं भी कई स्वतंत्र सकारात्मक यादृच्छिक चर के उत्पाद के रूप में एक चर बनता है, उदाहरण के लिए विक्षोभ के अध्ययन में। पैरामीट्रिक सांख्यिकीय मॉडल के अधिकतम संभावना अनुमान के लिए लघुगणक का उपयोग किया जाता है। ऐसे मॉडल के लिए, संभावना फ़ंक्शन कम से कम एक पैरामीट्रिक मॉडल पर निर्भर करता है जिसका अनुमान लगाया जाना चाहिए। संभावना का अधिकतम फ़ंक्शन उसी पैरामीटर-मान पर होता है जो संभावना के अधिकतम लघुगणक (लॉग संभावना ) के अधिकतम के रूप में होता है, क्योंकि लघुगणक एक वर्धमान फ़ंक्शन है। लॉग-संभावना को अधिकतम करना आसान है, विशेष रूप से स्वतंत्रता (संभावना) यादृच्छिक चर के लिए गुणा संभावना के लिए। बेनफोर्ड का नियम कई डेटा सेटों में अंकों की घटना का वर्णन करता है, जैसे इमारतों की ऊँचाई। बेनफोर्ड के नियम के अनुसार, डेटा नमूने में किसी आइटम का पहला दशमलव-अंक होने की संभावना है $y$ (1 से 9 तक) बराबर है $log(n+1)$, माप की इकाई की परवाह किए बिना। इस प्रकार, लगभग 30% डेटा के पहले अंक के रूप में 1 होने की उम्मीद की जा सकती है, 18% की शुरुआत 2 से होती है, आदि। लेखा परीक्षक कपटपूर्ण लेखांकन का पता लगाने के लिए बेनफोर्ड के कानून से विचलन की जांच करते हैं। लघुगणक परिवर्तन एक प्रकार का डेटा परिवर्तन (सांख्यिकी) है जिसका उपयोग अनुभवजन्य वितरण को अनुमानित वितरण के करीब लाने के लिए किया जाता है।

कम्प्यूटेशनल जटिलता
एल्गोरिदम का विश्लेषण कंप्यूटर विज्ञान की एक शाखा है जो एल्गोरिदम की समय जटिलता (कंप्यूटर प्रोग्राम एक निश्चित समस्या को हल करने) का अध्ययन करता है। लॉगरिदम एल्गोरिदम का वर्णन करने के लिए मूल्यवान हैं जो एल्गोरिदम को छोटे लोगों में विभाजित और जीतते हैं, और उप-समस्याओं के समाधान में शामिल होते हैं। उदाहरण के लिए, एक क्रमबद्ध सूची में एक नंबर खोजने के लिए, बाइनरी सर्च एल्गोरिदम मध्य प्रविष्टि की जांच करता है और मध्य प्रविष्टि से पहले या बाद में आधे के साथ आगे बढ़ता है यदि संख्या अभी भी नहीं मिली है। इस एल्गोरिथम की आवश्यकता है, औसतन, $ln(x)$ तुलना, कहाँ $x$ सूची की लंबाई है। इसी तरह, मर्ज सॉर्ट एल्गोरिथम सूची को आधे में विभाजित करके और परिणामों को मर्ज करने से पहले इन्हें सॉर्ट करके एक अनसोर्टेड लिस्ट को सॉर्ट करता है। मर्ज सॉर्ट एल्गोरिदम को आमतौर पर एक बड़े O नोटेशन की आवश्यकता होती है $2^{−p}$. लघुगणक का आधार यहां निर्दिष्ट नहीं है, क्योंकि परिणाम केवल एक स्थिर कारक द्वारा बदलता है जब दूसरे आधार का उपयोग किया जाता है। मानक समान लागत मॉडल के तहत एल्गोरिदम के विश्लेषण में आमतौर पर एक स्थिर कारक की उपेक्षा की जाती है। एक समारोह$M(x, y)$ लघुगणक वृद्धि को कहा जाता है यदि $(x + y)/2$ (बिल्कुल या लगभग) के लघुगणक के समानुपाती है $y$. (जीव विकास के जैविक विवरण, हालांकि, इस शब्द का उपयोग एक घातीय कार्य के लिए करते हैं। ) उदाहरण के लिए, कोई प्राकृतिक संख्या$m$ से अधिक में बाइनरी अंक प्रणाली में प्रदर्शित किया जा सकता है $M(x, y)$बिट्स। दूसरे शब्दों में, स्टोर करने के लिए आवश्यक मेमोरी (कंप्यूटिंग) की मात्रा $m$ के साथ लघुगणकीय रूप से बढ़ता है $x$.

एन्ट्रापी और अराजकता
एन्ट्रापी मोटे तौर पर किसी प्रणाली के विकार का एक उपाय है। सांख्यिकीय ऊष्मप्रवैगिकी में, कुछ भौतिक प्रणाली की एन्ट्रॉपी एस को इस रूप में परिभाषित किया जाता है
 * $$ S = - k \sum_i p_i \ln(p_i).\, $$

योग सभी संभव राज्यों से अधिक है$y$ विचाराधीन प्रणाली की, जैसे कि एक कंटेनर में गैस कणों की स्थिति। इसके अतिरिक्त, $M(x, y)$ संभावना है कि राज्य है$P$ प्राप्त होता है और $P$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है। इसी प्रकार एन्ट्रॉपी (सूचना सिद्धांत) सूचना की मात्रा को मापता है। यदि कोई संदेश प्राप्तकर्ता इनमें से किसी एक की अपेक्षा कर सकता है $k$ समान संभावना वाले संभावित संदेश, तो ऐसे किसी एक संदेश द्वारा दी गई जानकारी की मात्रा निर्धारित की जाती है $\pi$ बिट्स। लायपुनोव के प्रतिपादक एक गतिशील प्रणाली की अराजकता की डिग्री को मापने के लिए लघुगणक का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, एक अंडाकार बिलियर्ड टेबल पर गतिमान एक कण के लिए, प्रारंभिक स्थितियों के छोटे परिवर्तन भी कण के बहुत भिन्न पथों में परिणत होते हैं। इस तरह की प्रणालियाँ नियतात्मक प्रणाली के तरीके से अराजकता सिद्धांत हैं, क्योंकि प्रारंभिक अवस्था की छोटी माप त्रुटियाँ मोटे तौर पर अलग-अलग अंतिम अवस्थाओं की ओर ले जाती हैं। नियतात्मक रूप से अराजक प्रणाली का कम से कम एक Lyapunov प्रतिपादक सकारात्मक है।

भग्न
लघुगणक भग्न के भग्न आयाम की परिभाषाओं में पाए जाते हैं। भग्न ज्यामितीय वस्तुएं हैं जो इस अर्थ में स्व-समान हैं कि छोटे हिस्से, कम से कम मोटे तौर पर, संपूर्ण वैश्विक संरचना का पुनरुत्पादन करते हैं। Sierpinski त्रिभुज (चित्रित) को स्वयं की तीन प्रतियों द्वारा कवर किया जा सकता है, प्रत्येक की भुजाएँ मूल लंबाई से आधी होती हैं। यह इस संरचना का हॉसडॉर्फ आयाम बनाता है $ln(2)$. प्रश्न में भग्न को कवर करने के लिए आवश्यक बॉक्स-गिनती आयाम द्वारा आयाम की एक अन्य लघुगणक-आधारित धारणा प्राप्त की जाती है।

संगीत
लघुगणक संगीत स्वर और अंतराल (संगीत) से संबंधित हैं। समान स्वभाव में, आवृत्ति अनुपात केवल दो स्वरों के बीच के अंतराल पर निर्भर करता है, व्यक्तिगत स्वरों की विशिष्ट आवृत्ति, या पिच (संगीत) पर नहीं। उदाहरण के लिए, ए (म्यूजिकल नोट)|नोट ए की आवृत्ति 440 हर्ट्ज और बी♭ (म्यूजिकल नोट)|बी-फ्लैट की आवृत्ति 466 हर्ट्ज है। ए और बी-फ्लैट के बीच का अंतराल सेमीटोन है, जैसा कि बी-फ्लैट और बी (म्यूजिकल नोट) (आवृत्ति 493 हर्ट्ज) के बीच है। तदनुसार, आवृत्ति अनुपात सहमत हैं:
 * $$\frac{466}{440} \approx \frac{493}{466} \approx 1.059 \approx \sqrt[12]2.$$

इसलिए, अंतरालों का वर्णन करने के लिए लॉगरिदम का उपयोग किया जा सकता है: एक अंतराल को सेमिटोन में मापा जाता है base-$1 < x < 2$ आवृत्ति अनुपात का लघुगणक, जबकि base-$1 + 2^{−k}$ आवृत्ति अनुपात का लघुगणक अंतराल को प्रतिशत (संगीत) में व्यक्त करता है, एक अर्धस्वर का सौवां भाग। उत्तरार्द्ध का उपयोग महीन कोडिंग के लिए किया जाता है, क्योंकि यह गैर-समान स्वभाव के लिए आवश्यक है।

संख्या सिद्धांत
प्राकृतिक लघुगणक प्राइम-काउंटिंग फ़ंक्शन (2, 3, 5, 7, 11, ...) से निकटता से जुड़े हुए हैं, संख्या सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण विषय है। किसी पूर्णांक के लिए$k$, अभाज्य संख्याओं की मात्रा इससे कम या इसके बराबर $P$ निरूपित किया जाता है $P = 1$. प्रधान संख्या प्रमेय यह दावा करता है $k = 1$ द्वारा लगभग दिया गया है
 * $$\frac{x}{\ln(x)},$$

इस अर्थ में कि का अनुपात $P · (1 + 2^{−k}) < x$ और वह अंश 1 तक पहुँचता है जब $k$ अनंत की ओर जाता है। परिणामस्वरूप, संभावना है कि 1 और के बीच यादृच्छिक रूप से चुनी गई संख्या $x$ अभाज्य दशमलव अंकों की संख्या के व्युत्क्रमानुपाती (गणित) है $b$. का कहीं बेहतर अनुमान है $P · (1 + 2^{−k})$ लघुगणक समाकल फलन फलन द्वारा दिया जाता है $log(x)$, द्वारा परिभाषित
 * $$ \mathrm{Li}(x) = \int_2^x \frac1{\ln(t)} \,dt. $$

रीमैन परिकल्पना, सबसे पुराने खुले गणितीय अनुमानों में से एक है, जिसे तुलना के संदर्भ में कहा जा सकता है $log(1 + 2^{−k})$ और $1 + 2^{−k}$. अलग-अलग प्रमुख कारकों की संख्या का वर्णन करने वाले एर्डोस-केएसी प्रमेय में प्राकृतिक लघुगणक भी शामिल है।

एन भाज्य का लघुगणक, $log(x)$, द्वारा दिया गया है
 * $$ \ln (n!) = \ln (1) + \ln (2) + \cdots + \ln (n).$$

इसका उपयोग स्टर्लिंग के सूत्र को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है, जिसका एक अनुमान है $log(1 + 2^{−k})$ बड़े के लिए $k$.

जटिल लघुगणक
सभी जटिल संख्याएँ $d$ जो समीकरण को हल करता है


 * $$e^a=z$$

के जटिल लघुगणक कहलाते हैं $N$, कब $x$ एक जटिल संख्या है (के रूप में माना जाता है)। एक सम्मिश्र संख्या को आमतौर पर इस रूप में दर्शाया जाता है $log(x)$, कहां $N$ और $N$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $N$ एक काल्पनिक इकाई है, जिसका वर्ग -1 है। इस तरह की संख्या को जटिल विमान में एक बिंदु द्वारा देखा जा सकता है, जैसा कि दाईं ओर दिखाया गया है। ध्रुवीय रूप एक गैर-शून्य जटिल संख्या को कूटबद्ध करता है$i$ इसके पूर्ण मूल्य से, यानी (सकारात्मक, वास्तविक) दूरी$i$ मूल (गणित) के लिए, और वास्तविक के बीच एक कोण ($k$) एक्सिस$(10^{1.5})$ तथा मूल दोनों से होकर जाने वाली रेखा तथा $N$. इस कोण को तर्क (जटिल विश्लेषण) कहा जाता है $x$.

निरपेक्ष मूल्य $x$ का $x$ द्वारा दिया गया है


 * $$\textstyle r=\sqrt{x^2+y^2}.$$

साइन और कोसाइन की ज्यामितीय व्याख्या और उनकी आवधिकता का उपयोग करना $(10^{3})$, कोई जटिल संख्या$x$ के रूप में दर्शाया जा सकता है


 * $$z = x + iy = r (\cos \varphi + i \sin \varphi )= r (\cos (\varphi + 2k\pi) + i \sin (\varphi + 2k\pi)),$$

किसी भी पूर्णांक संख्या के लिए$x$. जाहिर तौर पर का तर्क $n$ विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट नहीं है: दोनों $φ$ और $10^{−3} mol·L^{−1}$ के वैध तर्क हैं $φ'$ सभी पूर्णांकों के लिए$z$, क्योंकि जोड़ना $f(x) = a · b$ रेडियन या k⋅360° को $a$ द्वारा वामावर्त मूल के चारों ओर घुमावदार से मेल खाती है $z$मोड़ (ज्यामिति)। परिणामी सम्मिश्र संख्या हमेशा होती है $z$, जैसा कि दाईं ओर दिखाया गया है $f(x) = a · x$. कोई संभावित तर्कों में से एक का चयन कर सकता है $x$ तथाकथित प्रमुख तर्क के रूप में, निरूपित $μ$, पूंजी के साथ$log_{10}&thinsp;(d + 1) − log_{10}&thinsp;(d)$, आवश्यकता से $y$ एक से संबंधित, आसानी से चयनित मोड़, उदा। $log_{2}&thinsp;(N)$ या $N · log(N)$. ये क्षेत्र, जहां का तर्क है $i$ विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है जिसे तर्क समारोह की प्रमुख शाखा कहा जाता है।

यूलर का सूत्र त्रिकोणमितीय कार्यों साइन और कोसाइन को जटिल घातांक से जोड़ता है:
 * $$e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi .$$

इस सूत्र का उपयोग करते हुए, और फिर से आवधिकता, निम्नलिखित सर्वसमिका धारण करती है:
 * $$ \begin{array}{lll}z& = & r \left (\cos \varphi + i \sin \varphi\right) \\

& = & r \left (\cos(\varphi + 2k\pi) + i \sin(\varphi + 2k\pi)\right) \\ & = & r e^{i (\varphi + 2k\pi)} \\ & = & e^{\ln(r)} e^{i (\varphi + 2k\pi)} \\ & = & e^{\ln(r) + i(\varphi + 2k\pi)} = e^{a_k}, \end{array} $$ कहां $f(x)$ अद्वितीय वास्तविक प्राकृतिक लघुगणक है, $f(x)$ के जटिल लघुगणकों को निरूपित करें $z$, और $r$ एक मनमाना पूर्णांक है। इसलिए, के जटिल लघुगणक $x$, जो वे सभी जटिल मूल्य हैं $log_{2}&thinsp;N + 1$ जिसके लिए $p_{i}$किसकी सत्ता $z$ बराबरी $z$, अपरिमित रूप से अनेक मान हैं


 * $$a_k = \ln (r) + i ( \varphi + 2 k \pi ),\quad$$ मनमानी पूर्णांकों के लिए$r$.

ले रहा $z$ ऐसा है कि $log_{2}&thinsp;N$ प्रमुख तर्कों के लिए परिभाषित अंतराल के भीतर है, तब $ln(3)/ln(2) ≈ 1.58$ लघुगणक का मुख्य मान कहा जाता है, निरूपित $2^{1/12}$, फिर से पूंजी के साथ$2^{1/1200}$. किसी भी सकारात्मक वास्तविक संख्या का मुख्य तर्क$z$ 0 है; इसलिए $\pi(x)$ एक वास्तविक संख्या है और वास्तविक (प्राकृतिक) लघुगणक के बराबर है। हालाँकि, उत्पादों और शक्तियों के लघुगणक के लिए उपरोक्त सूत्र घातांक # शक्ति की विफलता और जटिल लघुगणक के प्रमुख मूल्य के लिए लघुगणक पहचान। दाईं ओर का चित्रण दर्शाता है $\pi(x)$, के तर्कों को सीमित करना $k$ अंतराल तक $z$. इस तरह जटिल लघुगणक की संबंधित शाखा में सभी नकारात्मक वास्तविक के साथ विच्छिन्नता है $φ$एक्सिस, जिसे वहां के रंग में उछाल में देखा जा सकता है। यह विच्छिन्नता एक ही शाखा में दूसरी सीमा पर छलांग लगाने से उत्पन्न होती है, जब एक सीमा पार करते हैं, अर्थात संबंधित में नहीं बदलते $z$लगातार पड़ोसी शाखा का मूल्य। ऐसे लोकस को ब्रांच कट कहा जाता है। तर्क पर सीमा प्रतिबंधों को छोड़ने से संबंधों का तर्क बन जाता है $k$, और फलस्वरूप का लघुगणक $φ$, बहु-मूल्यवान कार्य।

अन्य घातीय कार्यों के व्युत्क्रम
घातांक गणित के कई क्षेत्रों में होता है और इसके व्युत्क्रम कार्य को अक्सर लघुगणक के रूप में संदर्भित किया जाता है। उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स का लघुगणक मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल का (बहु-मूल्यवान) व्युत्क्रम कार्य है। एक और उदाहरण पी-एडिक लॉगरिदम फ़ंक्शन है। पी-एडिक लॉगरिदम, पी-एडिक एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन का उलटा फ़ंक्शन। दोनों को वास्तविक मामले के अनुरूप टेलर श्रृंखला के माध्यम से परिभाषित किया गया है। डिफरेंशियल ज्योमेट्री के संदर्भ में, एक्सपोनेंशियल मैप (रीमैनियन ज्योमेट्री) उस बिंदु के एक पड़ोस (गणित) के लिए अलग-अलग कई गुना के बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान को मैप करता है। इसके व्युत्क्रम को लघुगणक (या लॉग) मानचित्र भी कहा जाता है। परिमित समूहों के संदर्भ में एक समूह तत्व को बार-बार गुणा करके घातांक दिया जाता है$k$ खुद के साथ। असतत लघुगणक पूर्णांक है$z$समीकरण को हल करना
 * $$b^n = x,$$

कहां $z$ समूह का एक अंग है। घातांक को कुशलता से किया जा सकता है, लेकिन कुछ समूहों में असतत लघुगणक की गणना करना बहुत कठिन माना जाता है। सार्वजनिक कुंजी क्रिप्टोग्राफी में इस विषमता के महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं, उदाहरण के लिए डिफी-हेलमैन कुंजी एक्सचेंज में, एक रूटीन जो असुरक्षित सूचना चैनलों पर क्रिप्टोग्राफी कुंजियों के सुरक्षित आदान-प्रदान की अनुमति देता है। ज़ेच का लघुगणक परिमित क्षेत्र के गैर-शून्य तत्वों के गुणात्मक समूह में असतत लघुगणक से संबंधित है।

आगे के लघुगणक-जैसे व्युत्क्रम कार्यों में दोहरा लघुगणक शामिल है$\pi(x)$, सुपर-लघुगणक | सुपर- या हाइपर-4-लघुगणक (जिसकी थोड़ी भिन्नता को कंप्यूटर विज्ञान में पुनरावृत्त लघुगणक कहा जाता है), लैम्बर्ट डब्ल्यू फ़ंक्शन और लॉगिट। वे डबल एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन, टेट्रेशन, के व्युत्क्रम कार्य हैं $\pi(x)$, और रसद समारोह की, क्रमशः।

संबंधित अवधारणाएं
समूह सिद्धांत के दृष्टिकोण से, पहचान $Li(x)$ गुणन के तहत सकारात्मक वास्तविक संख्या और अतिरिक्त के तहत वास्तविक के बीच एक समूह समरूपता व्यक्त करता है। लॉगरिदमिक फ़ंक्शंस इन समूहों के बीच एकमात्र निरंतर समरूपता हैं। उस समरूपता के माध्यम से, हार उपाय (लेबेस्गु माप)$\pi(x)$ वास्तविक पर हार उपाय से मेल खाती है$Li(x)$ सकारात्मक वास्तविकताओं पर। गैर-ऋणात्मक वास्तविक में न केवल गुणा होता है, बल्कि जोड़ भी होता है, और एक सेमिरिंग बनाता है, जिसे प्रायिकता सेमीरिंग कहा जाता है; यह वास्तव में एक सेमीफ़ील्ड है। इसके बाद लॉगरिदम गुणन को जोड़ (लॉग गुणन) में ले जाता है, और लॉग जोड़ (LogSumExp) में जोड़ लेता है, प्रायिकता सेमीरिंग और लॉग सेमीरिंग के बीच सेमीरिंग का एक समरूपता देता है।

लघुगणकीय रूप | लघुगणकीय एक-रूप$n! = 1 · 2 · ... · n$ लॉगरिदमिक पोल (जटिल विश्लेषण) के साथ अंतर रूपों के रूप में जटिल विश्लेषण और बीजगणितीय ज्यामिति में दिखाई देते हैं। बहुलघुगणक द्वारा परिभाषित कार्य है

\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s}. $$ यह द्वारा प्राकृतिक लघुगणक से संबंधित है $n!$. इसके अतिरिक्त, $z = x + iy$ रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के बराबर है $z = x + iy$.

यह भी देखें

 * दशमलव प्रतिपादक (डेक्स)
 * घातांक प्रकार्य
 * लघुगणक लेखों का सूचकांक

बाहरी कड़ियाँ

 * Khan Academy: Logarithms, free online micro lectures
 * Khan Academy: Logarithms, free online micro lectures
 * Khan Academy: Logarithms, free online micro lectures
 * Khan Academy: Logarithms, free online micro lectures
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