क्रमगुणित (फैक्टोरियल)

गणित में, अऋणात्मक पूर्णांक $$ {\displaystyle n}$$ का क्रमगुणित (क्रमगुणित), जिसे $$ {\displaystyle n!}$$ द्वारा निरूपित किया जाता है, $$ {\displaystyle n}$$ से कम या उसके बराबर सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल होता है। $$ {\displaystyle n}$$ का क्रमगुणित इसके अगले छोटे क्रमगुणित के साथ $$ {\displaystyle n}$$ के गुणनफल के बराबर होता है:$$ \begin{align} n! &= n \times  (n-1)  \times (n-2)  \times  (n-3) \times \cdots \times  3 \times  2 \times  1 \\ &= n\times(n-1)!\\ \end{align}$$उदाहरण के लिए,$$5! = 5 \times  4  \times  3  \times  2  \times  1 = 5\times 24 = 120. $$शुन्य गुणनफल की परंपरा के अनुसार $$ {\displaystyle 0!}$$ का मान 1 है।

कई प्राचीन संस्कृतियों में क्रमगुणित की खोज की गई, विशेष रूप से भारतीय गणित में जैन साहित्य के धर्म वैधानिक कार्यों में, और यहूदी मनीषियों द्वारा तल्मूडिक पुस्तक सेफर यतिजीरा में। गणित के कई क्षेत्रों में क्रमगुणित संक्रिया का उपयोग करना पड़ता है, विशेष रूप से साहचर्य (कॉम्बिनेटरिक्स) में, जहां इसका सबसे मूल उपयोग संभावित विशिष्ट अनुक्रमों की गणना करता है - क्रमचय- $$n$$ विशिष्ट वस्तुओं के $$ {\displaystyle n!}$$ हैं। गणितीय विश्लेषण में, घातांक फलन और अन्य कार्यों के लिए घात श्रेणी में क्रमगुणित का उपयोग किया जाता है, और इनके बीजगणित, संख्या सिद्धांत, प्रायिकता सिद्धांत और संगणक विज्ञान में भी अनुप्रयोग हैं।

क्रमगुणित फलन के अधिकांश गणित का विकास 18वीं सदी के अंत और 19वीं शताब्दी के प्रारंभ में हुआ था। स्टर्लिंग का सन्निकटन बड़ी संख्या के क्रमगुणित को सटीक सन्निकटन प्रदान करता है, यह दर्शाता है कि यह घातीय वृद्धि की तुलना में अधिक तेज़ी से बढ़ता है। लीजेंड्रे का सूत्र क्रमगुणित के अभाज्य गुणनखंड में अभाज्य संख्याओं के घातांक का वर्णन करता है, और इसका उपयोग क्रमगुणित के अनुगामी शून्यों की गणना के लिए किया जा सकता है। डेनियल बर्नौली और लियोनहार्ड यूलर ने ऋणात्मक पूर्णांकों, (प्रतिसंतुलन) गामा फलन को छोड़कर, समिश्र संख्याओं के सतत फलन के लिए क्रमगुणित फलन को अंतर्वेशित किया।

कई अन्य उल्लेखनीय फलन और संख्या अनुक्रम क्रमगुणित से निकटता से संबंधित हैं, जिसमें द्विपद गुणांक, द्विक क्रमगुणित, अवरोही क्रमगुणित, प्रिमोरिअल्स और उपक्रमगुणित शामिल हैं। क्रमगुणित फलन के कार्यान्वयन को आमतौर पर विभिन्न संगणक प्रोग्रामिंग शैलियों के उदाहरण के रूप में उपयोग किया जाता है, और वैज्ञानिक परिगणक और वैज्ञानिक संगणना सॉफ़्टवेयर प्रोग्राम संग्रह में शामिल होते हैं। यद्यपि गुणनफल सूत्र या प्रतिवर्तन का उपयोग करके बड़े भाज्यों की सीधे गणना करना कुशल नहीं है, अतः एक नियत घटक समय के भीतर ज्ञात तीव्र एल्गोरिदम समान अंकों के साथ संख्याओं के लिए तीव्र गुणन एल्गोरिदम।

इतिहास
कई संस्कृतियों में क्रमगुणित की अवधारणा स्वतंत्र रूप से उत्पन्न हुई है: 15वीं शताब्दी के उत्तरार्ध से, पश्चिमी गणितज्ञों द्वारा क्रमगुणित अध्ययन का विषय बन गया। 1494 के एक ग्रंथ में, इटलियन गणितज्ञ लुका पैसिओली ने भोजन मेज की व्यवस्था की समस्या के संबंध में 11! तक क्रमगुणितों की गणना की। क्रिस्टोफर क्लावियस ने जोहान्स डी सैक्रोबोस्को के काम पर 1603 कमेंट्री में क्रमगुणितों पर चर्चा की, और 1640 के दशक में, फ्रांसीसी पॉलीमैथ मारिन मेर्सन ने क्लावियस के काम के आधार पर, 64! तक, क्रमगुणित की बड़ी (लेकिन पूरी तरह से सही नहीं) तालिका प्रकाशित की। घातांक फलन के लिए घात श्रेणी, इसके गुणांकों के लिए क्रमगुणित के व्युत्क्रम के साथ, पहली बार 1676 में आइजैक न्यूटन द्वारा गॉटफ्रीड विल्हेम लाइबनिज़ को एक पत्र में सूत्रित किया गया था। क्रमगुणित पर प्रारंभिक यूरोपीय गणित के अन्य महत्वपूर्ण कार्यों में जॉन वालिस द्वारा 1685 के ग्रंथ में व्यापक विस्तृत सूचना शामिल है, जो 1721 में अब्राहम डी मोइवर द्वारा $$n$$ के बड़े मानों के लिए उनके अनुमानित मानों का एक अध्ययन, जेम्स स्टर्लिंग से 1729 का एक पत्र है। डी मोइवर बताते हैं कि स्टर्लिंग के सन्निकटन के रूप में क्या जाना जाता है, और एक ही समय में डेनियल बर्नौली और लियोनहार्ड यूलर द्वारा गामा फलन के क्रमगुणित फलन के निरंतर विस्तार को तैयार करते हुए काम करते हैं। एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे ने 1808 के संख्या थ्योरी के पाठ में लीजेंड्रे के सूत्र को शामिल किया, जिसमें घातांकों को अभाज्य घातो में गुणनखंड का वर्णन किया गया था।
 * भारतीय गणित में, जैन साहित्य के विहित कार्यों में से एक, क्रमगुणित के सबसे पहले ज्ञात विवरणों में से एक अनुयोगद्वारा-सूत्र से प्राप्त होता है, जिसे 300 ईसा पूर्व से 400 सीई तक की तारीखें दी गई है। यह क्रमबद्ध और प्रतिलोम अनुक्रम वाले वस्तुओं के समुच्चय को अन्य ("मिश्रित") अनुक्रम से अलग करता है, क्रमगुणित के लिए सामान्य गुणनसूत्र से दो घटाकर मिश्रित अनुक्रम की संख्या का मूल्यांकन करता है। क्रमचय के गुणन सूत्र का वर्णन छठी शताब्दी सीई के जैन भिक्षु जिनभद्र द्वारा भी किया गया था। हिंदू विद्वान कम से कम 1150 के बाद से भास्कर द्वितीय ने अपने काम लीलावती में क्रमगुणित सूत्रों का उपयोग किया, इस समस्या के संबंध में कि विष्णु अपनी चार विशिष्ट वस्तुओं (शंख, चक्र, गदा और कमल का फूल) को कितने तरीकों से पकड़ सकते थे। उनके चार हाथों में, और दस-हाथ वाले देवता के लिए भी इसी तरह की समस्या।
 * मध्य पूर्व के गणित में, तल्मूडिक काल (200 से 500 सीई) की हिब्रू रहस्यवादी पुस्तक निर्माण सेफर यतिज़िराह, हिब्रू वर्णमाला से बनने वाले शब्दों की संख्या की जांच के हिस्से के रूप में 7! तक के क्रमगुणितों को सूचीबद्ध करता है। इसी तरह के कारणों के लिए 8वीं सदी के अरब व्याकरणविद् अल-खलील इब्न अहमद अल-फ़राहीदी द्वारा भी क्रमगुणित का अध्ययन किया गया था। अरब गणितज्ञ इब्न अल-हेथम (जिसे अलहाज़ेन के नाम से भी जाना जाता है, c. 965 - c. 1040) सबसे पहले विल्सन के प्रमेय को अभाज्य संख्याओं के साथ जोड़ने वाले थे।
 * यूरोप में, हालांकि ग्रीक गणित में कुछ सांयोगिक शामिल थे, और प्लाटो ने एक आदर्श समुदाय की जनसंख्या के रूप में प्रसिद्ध रूप से 5040 (एक क्रमगुणित) का उपयोग किया, आंशिक रूप से इसकी विभाज्यता गुणों के कारण, प्राचीन यूनानी अध्ययन का कोई प्रत्यक्ष प्रमाण नहीं है। इसके बजाय, यूरोप में क्रमगुणित पर पहला काम यहूदी विद्वानों जैसे शब्बेथाई डोनोलो द्वारा किया गया था, जो सेफ़र यतिज़िरा मार्ग की व्याख्या करता था। 1677 में, ब्रिटिश लेखक फैबियन स्टेडमैन ने रिंगिंग को बदलने के लिए क्रमगुणितों के अनुप्रयोग का वर्णन किया, एक संगीत कला जिसमें कई ट्यून की गई घंटियों का बजना शामिल है।

क्रमगुणित के लिए संकेतन $${\displaystyle n!}$$ को 1808 में फ्रांसीसी गणितज्ञ क्रिश्चियन क्रैम्प द्वारा पेश किया गया था। कई अन्य संकेतन भी इस्तेमाल किए गए हैं। ब्रिटेन और अमेरिका में कुछ समय के लिए लोकप्रिय एक और संकेतन, जिसमें क्रमगुणित का तर्क एक बॉक्स के बाईं और नीचे की तरफ से आधा जुड़ा हुआ था, लेकिन उपयोग से बाहर हो गया, क्योंकि शायद इसे टंकित करना कठिन होता है। शब्द "क्रमगुणित" (मूल रूप से फ्रेंच: क्रमगुणित) का इस्तेमाल पहली बार 1800 में लुई फ्रांकोइस एंटोनी अर्बोगैस्ट द्वारा किया गया, फ़ैस डि ब्रूनो के सूत्र पर पहले काम में, लेकिन समान्तर श्रेणी के गुणनों की एक अधिक सामान्य अवधारणा का जिक्र करते हुए। यह नाम जिन "कारकों" को संदर्भित करता है, वे क्रमगुणित के लिए गुणन सूत्र की शर्तें हैं।

परिभाषा
धनात्मक पूर्णांक $$n$$ का क्रमगुणित फलन उन सभी धनात्मक पूर्णांकों के गुणनफल से परिभाषित होता है जो $$n$$ से अधिक नहीं होते हैं। $$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-2) \cdot (n-1) \cdot n.$$इसे गुणन संकेतन में अधिक संक्षेप में लिखा जा सकता है $$n! = \prod_{i = 1}^n i.$$यदि इस गुणन सूत्र को अंतिम पद के अलावा शेष सभी के लिए बदल दिया जाता है, तो यह एक ही रूप के गुणन को एक छोटे क्रमगुणित के लिए परिभाषित करेगा। यह एक आवर्तन संबंध की ओर अग्रसित होता है, जिसके अनुसार पिछले मान को by $n$: से गुणा करके क्रमगुणित फलन के प्रत्येक मान को प्राप्त किया जा सकता है:$$ n! = n\cdot (n-1)!.$$उदाहरण के लिए, $5! = 5\cdot 4!=5\cdot 24=120$.

शून्य का क्रमगुणित
$0$ का क्रमगुणित $1$ है, या सांकेतिक रूप में, $0!=1$ है। इस परिभाषा के कई कारण हैं:
 * $n=0$, के लिए, गुणन के रूप में $$n!$$ की परिभाषा में बिना किसी संख्या के गुणन शामिल है, और इसलिए व्यापक परिपाटी का एक उदाहरण है कि रिक्त गुणन, बिना गुणनखंडों का गुणन, गुणात्मक अस्मिता के बराबर है।
 * शून्य वस्तुओं का ठीक क्रमचय है: कुछ भी क्रम बदलना के लिए नहीं, केवल पुनर्व्यवस्था कुछ भी नहीं करना है।
 * यह अभिसमय साहचर्य में कई सर्वसमिकाओं को उनके मापदंडों के सभी मान्य विकल्पों के लिए मान्य बनाता है। उदाहरण के लिए, एक समुच्चय $$n$$ से सभी $$n$$ तत्वों के चयन के तरीकों की संख्या $\tbinom{n}{n} = \tfrac{n!}{n!0!} = 1$  है, द्विपद गुणांक सर्वसमिका जो केवल $0!=1$. के साथ मान्य होगी।
 * $0!=1$, के साथ, क्रमगुणित के लिए प्रतिवर्तन संबंध $n=1$ पर मान्य रहता है। इसलिए, इस सम्मेलन के साथ, क्रमगुणित की प्रतिवर्तन गणना में आधार स्थिति के रूप में केवल शून्य का मान होना चाहिए जो गणना को सरल और अतिरिक्त विशेष स्थितियों की आवश्यकता से बचाता है।
 * $$0!=1$$ की स्थापना कई सूत्रों की संक्षिप्त व्यंजक की अनुमति देती है, जैसे कि घातांक फलन, घात श्रेणी के रूप में: $ e^x = \sum_{n = 0}^\infty \frac{x^n}{n!}.$।
 * यह विकल्प गामा फलन $0! = \Gamma(0+1) = 1$ के सामान है, और गामा फलन में यह मान एक सतत फलन होता है।

अनुप्रयोग
क्रमगुणित फलन के शुरुआती उपयोगों में क्रमचय की गणना शामिल है: $$n$$ अलग अलग वस्तुओं को एक क्रम में व्यवस्थित करने के $$n!$$ अलग-अलग तरीके हो सकते हैं। वस्तुओं के विभिन्न क्रमों को ध्यान में रखते हुए, संयोजन में कई सूत्रों में क्रमगुणित अधिक व्यापक रूप से दिखाई देते हैं। उदाहरण के लिए द्विपद गुणांक $$\tbinom{n}{k}$$ $k$-तत्व संयोजनों ($k$ तत्वों के उपसमुच्चय) को $n$ तत्वों वाले एक समुच्चय से गिनता है, और सूत्र का उपयोग करके क्रमगुणित से गणना की जा सकती है$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$पहली तरह की स्टर्लिंग संख्याएँ क्रमगुणितों का योग करती हैं, और $$n$$ के क्रमचय को समान संख्या में चक्रों के साथ उपसमुच्चय में वर्गीकृत करती हैं। एक और संयोजनीय अनुप्रयोग विचलन, क्रमचय की गणना में है जो किसी भी तत्व को उसकी मूल स्थिति में नहीं छोड़ते हैं; $$n$$ मदों के विचलन की संख्या $n!/e$. का निकटतम पूर्णांक है।

बीजगणित में, द्विपद प्रमेय के माध्यम से भाज्य उत्पन्न होते हैं, जो योग की शक्तियों का विस्तार करने के लिए द्विपद गुणांक का उपयोग करता है। वे बहुपदों के कुछ परिवारों को एक-दूसरे से जोड़ने के लिए प्रयुक्त गुणांकों में भी होते हैं, उदाहरण के लिए सममित बहुपदों के लिए न्यूटन की सर्वसमिका में। क्रमचय गिनने में उनके उपयोग को बीजगणितीय रूप से भी पुनर्कथित किया जा सकता है: भाज्य परिमित सममित समूहों के क्रम हैं। कलन में, उच्च व्युत्पन्नों को श्रृंखलित करने के लिए Faà di Bruno के सूत्र में भाज्य होते हैं। गणितीय विश्लेषण में, गुणनखंड अक्सर घात श्रेणी के हर में दिखाई देते हैं, विशेष रूप से घातांकीय कार्य के लिए श्रृंखला में, $$e^x=1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^i}{i!},$$और अन्य टेलर श्रृंखला के गुणांकों में (विशेषकर त्रिकोणमितीय और अतिपरवलयिक कार्यों के), जहां वे $n$th derivative of $x^n$. से आने वाले $$n!$$ के गुणनखंडों को रद्द करते हैं। पावर सीरीज़ में क्रमगुणितों का यह उपयोग एक्सपोनेंशियल जनरेटिंग फलन के माध्यम से एनालिटिक कॉम्बिनेटरिक्स से वापस जुड़ता है, जो कि size $i$ के आकार के $$n_i$$ तत्वों के साथ एक कॉम्बीनेटरियल क्लास के लिए पावर सीरीज़ के रूप में परिभाषित किया जाता है। $$\sum_{i=0}^{\infty} \frac{x^i n_i}{i!}.$$संख्या सिद्धांत में, क्रमगुणितों की सबसे प्रमुख गुण $$n!$$ की विभाज्यता है, जो कि सभी सकारात्मक पूर्णांकों से $n$ तक है, जिसे लीजेंड्रे के सूत्र द्वारा अभाज्य घटको के लिए अधिक सटीक रूप से वर्णित किया गया है। यह इस प्रकार है कि यादृच्छिक रूप से बड़ी अभाज्य संख्याओं को संख्या $$n!\pm 1$$ के अभाज्य गुणनखंडों के रूप में पाए जा सकते है, जिससे यूक्लिड की प्रमेय प्रमाणित होती है कि अभाज्य संख्याओं की संख्या अनंत है। जब $$n!\pm 1$$ स्वयं अभाज्य होता है तो इसे भाज्य अभाज्य कहा जाता है; संबंधित रूप से, ब्रोकार्ड की समस्या, जिसे श्रीनिवास रामानुजन ने भी प्रस्तुत किया, प्रपत्र $n!+1$. की वर्ग संख्याओं के अस्तित्व से संबंधित है। इसके विपरीत, संख्या $$n!+2,n!+3,\dots n!+n$$ सभी संयुक्त होनी चाहिए, जो मनमाने ढंग से बड़े अभाज्य अंतरालों के अस्तित्व को साबित करती है। फॉर्म $[n,2n]$ के किसी भी अंतराल में अभाज्य के अस्तित्व पर बर्ट्रेंड के अभिधारणा का एक प्राथमिक प्रमाण, पॉल एर्डोस के पहले परिणामों में से एक, क्रमगुणित के विभाज्यता गुणों पर आधारित था। क्रमगुणित संख्या प्रणाली संख्याओं के लिए एक मिश्रित मूलांक संकेतन है जिसमें प्रत्येक अंक के स्थानीय मान भाज्य हैं।

प्रायिकता सिद्धांत में क्रमगुणित का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए पॉइसन बंटन में और यादृच्छिक क्रमचय की संभावनाओं में। संगणक विज्ञान में, क्रमचय पर पाशविक-बल खोजों के विश्लेषण में प्रकट होने से परे, $$n$$ वस्तुओं के एक समुच्चय की तुलना करने के लिए आवश्यक तुलनाओं की संख्या पर $$\log_2 n!=n\log_2n-O(n)$$ की निचली सीमा में क्रमगुणित उत्पन्न होते है, और शृंखलित हैश तालिका के विश्लेषण में, जहां प्रति सेल संकेत का वितरण पॉइसन बंटन द्वारा सटीक रूप से अनुमानित किया जा सकता है। इसके अलावा, क्रमगुणित स्वाभाविक रूप से क्वांटम और सांख्यिकीय भौतिकी के सूत्रों में दिखाई देते हैं, जहां अक्सर कणों के एक समूह के सभी संभावित क्रमचय पर विचार किया जाता है। सांख्यिकीय यांत्रिकी में, बोल्ट्जमैन के एन्ट्रॉपी सूत्र या सैकर-टेट्रोड समीकरण जैसे एन्ट्रॉपी की गणना को गिब्स विडम्बना से बचने के लिए प्रत्येक प्रकार के अविशेषणीय कण की संख्या के क्रमगुणितों द्वारा विभाजित करके सूक्ष्म अवस्था की गणना को सही करना चाहिए। क्वांटम भौतिकी इन सुधारों के आवश्यक होने का अंतर्निहित कारण प्रदान करती है।

विकास और सन्निकटन


$$ {\displaystyle n}$$ के एक फलन के रूप में, क्रमगुणित में घातांकीय वृद्धि की तुलना में तेज़ है, लेकिन एक दिव्क घातांक फलन की तुलना में अधिक धीरे-धीरे बढ़ता है। इसकी वृद्धि दर $$ {\displaystyle n^{n}}$$ के समान है, लेकिन एक घातांक घटक के कारण मंद है। इस परिणाम तक पहुंचने का एक तरीका क्रमगुणित का प्राकृतिक लघुगणक लेना है, जो इसके गुणन सूत्र को योग में बदल देता है, और फिर योग को एक समाकल के द्वारा प्राप्त किया जाता है:$$\ln n! = \sum_{x=1}^n \ln x \approx \int_1^n\ln x\, dx=n\ln n-n+1.$$

परिणाम का घातांक (और नगण्य $$+1$$ पद को अनदेखा करते हुए) $$n!$$ को $(n/e)^n$. के रूप में अनुमानित करता है। ट्रैपिज़इड नियम का उपयोग करते हुए, ऊपर और नीचे दोनों के योग को अधिक सावधानी से सीमांकन करते है, यह दर्शाता है कि इस अनुमान को $\sqrt n$ के अनुपात में एक सुधार पद की आवश्यकता है। इस सुधार के लिए समानुपातता की निरंतरता वालिस गुणनफल से प्राप्त के जा सकती है, जो $$\pi$$ को क्रमगुणित और दो की घातो को सीमित अनुपात के रूप में व्यक्त करता है। इन सुधारों का परिणाम स्टर्लिंग का सन्निकटन है: $$n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\,.$$यहाँ, $$\sim$$ प्रतीक का अर्थ है कि, जैसे $$n$$ मान अनंत तक हो सकता है, बाएँ और दाएँ पक्षों के बीच का अनुपात एक सीमा तक पहुँच जाता है। स्टर्लिंग का सूत्र एक स्पर्शोन्मुख श्रृंखला में पहला पद प्रदान करता है जो अधिक संख्या में पदों को लेने पर और भी सटीक हो जाता है: $$ n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 +\frac{1}{12n}+\frac{1}{288n^2} - \frac{139}{51840n^3} -\frac{571}{2488320n^4}+ \cdots \right).$$वैकल्पिक संस्करण सुधार की शर्तों में केवल विषम घातांक का उपयोग करता है: $$ n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \exp\left(\frac{1}{12n} - \frac{1}{360n^3} + \frac{1}{1260n^5} -\frac{1}{1680n^7}+ \cdots \right).$$ श्रीनिवास रामानुजन, बिल गोस्पर, और अन्य लोगों द्वारा इन सूत्रों के कई अन्य रूपों को भी विकसित किया गया है।

तुलनात्मक प्रवरण का विश्लेषण करने के लिए उपयोग किए जाने वाले क्रमगुणित के द्विआधारी लॉगरिदम का स्टर्लिंग के सन्निकटन का उपयोग करके अत्यधिक यथार्थ अनुमान लगाया जाता है। नीचे दिए गए सूत्र में, $$O(1)$$ पद बड़े O संकेतन का उपयोग  करता है। $$\log_2 n! = n\log_2 n-(\log_2 e)n + \frac12\log_2 n + O(1).$$

विभाजन और अंक
क्रमगुणित के लिए गुणनफल सूत्र का तात्पर्य है कि $$n!$$ सभी अभाज्य संख्याओं से विभाज्य है, अधिकतम $n$ हैं, और कोई बड़ी अभाज्य संख्या नहीं है। इसकी विभाज्यता के बारे में अधिक सटीक जानकारी लीजेंड्रे के सूत्र द्वारा दी गई है, जो निम्नलिखित के रूप में $$n!$$ के अभाज्य गुणनखंड में प्रत्येक अभाज्य $$p$$ के घातांक को निम्न प्रकार देता है $$\sum_{i=1}^\infty \left \lfloor \frac n {p^i} \right \rfloor=\frac{n - s_p(n)}{p - 1}.$$यहाँ $$s_p(n)$$, $n$ के आधार-$p$ अंकों के योग को दर्शाता है, और इस सूत्र द्वारा दिए गए घातांक को भी उन्नत गणित में क्रमगुणित के $5,040$-एडिक मूल्यांकन के रूप में व्याख्यायित किया जा सकता है। द्विपद गुणांक के गुणन सूत्र में लीजेंड्रे के सूत्र को लागू करने से कुमेर का प्रमेय उत्पन्न होता है, एक द्विपद गुणांक के गुणनखंड में प्रत्येक अभाज्य के घातांक पर एक समान परिणाम होता है। क्रमगुणित के अभाज्य घटको को अलग-अलग तरीकों से अभाज्य घात में समूहित करने से क्रमगुणितों के गुणनात्मक विभाजन उत्पन्न होते हैं।

लीजेंड्रे के $$p=5$$ के सूत्र के विशेष स्थिति क्रमगुणित के दशमलव निरूपण में अनुगामी शून्यों की संख्या देता है। इस सूत्र के अनुसार, $$n$$ के आधार-5 अंकों को $$n$$ से घटाकर, और परिणाम को चार से विभाजित करके शून्यों की संख्या प्राप्त की जा सकती है। लीजेंड्रे के सूत्र का अर्थ है कि अभाज्य $$p=2$$ का घातांक हमेशा $p=5$ के घातांक से बड़ा होता है, इसलिए पांच के प्रत्येक गुणनखंड को दो के गुणनखंड के साथ जोड़ा जा सकता है ताकि इन अनुगामी शून्यों में से एक का निर्माण किया जा सके। क्रमगुणित के प्रमुख अंक बेनफोर्ड के नियम के अनुसार वितरित किए जाते हैं। किसी भी आधार में अंकों का प्रत्येक क्रम, उस आधार में किसी क्रमगुणित संख्या के आरंभिक अंकों का क्रम होता है।

क्रमगुणित की विभाज्यता का एक अन्य परिणाम, विल्सन के प्रमेय के अनुसार $$(n-1)!+1$$, $$n$$ से विभाज्य है यदि और केवल यदि $$n$$ एक अभाज्य संख्या है। किसी दिए गए पूर्णांक $x$ के लिए, $x$     का केम्पनर फलन सबसे छोटे $$n$$ द्वारा दिया जाता है, जिसके लिए $x$ $n!$. को विभाजित करता है। लगभग सभी संख्याओं के लिए (उपगामी घनत्व शून्य वाले अपवादों के एक उपसमुच्चय को छोड़कर), यह $x$. के सबसे बड़े अभाज्य गुणनखंड के संपाती होता है।

दो क्रमगुणितों का गुणनफल, $m!\cdot n!$ हमेशा समान रूप से $(m+n)!$. को विभाजित करता है। असीम रूप से कई क्रमगुणित, अन्य क्रमगुणित के गुणनफल के बराबर हैं: यदि $$n$$ स्वयं क्रमगुणित का कोई गुणनफल है, तो $$n!$$ उसी गुणनफल को एक और क्रमगुणित $(n-1)!$ से गुणा करने के बराबर है। क्रमगुणित के एकमात्र ज्ञात उदाहरण जो अन्य क्रमगुणित के गुणनफल हैं, लेकिन "नगण्य" रूप के नहीं हैं, वे $9!=7!\cdot 3!\cdot 3!\cdot 2!$, $10!=7!\cdot 6!=7!\cdot 5!\cdot 3!$, $16!=14!\cdot 5!\cdot 2!$. हैं। यह $40,320$ अनुमान से अनुसरण करेगा कि केवल परिमित रूप से गैर-तुच्छ उदाहरण हैं।

घात $$d$$ के आदि बहुपद के मानों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक पूर्णांकों पर समान रूप से $d!$. को विभाजित करता है।

सतत प्रक्षेप और अपूर्णांक सामान्यीकरण


क्रमगुणितों को एक सतत फलन में विस्तारित करने के लिए अनंत रूप से कई तरीके हैं। इनमें से सबसे व्यापक रूप से गामा फलन का उपयोग करता है, जिसे सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए समाकल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है$$ \Gamma(z) = \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x}\,dx.$$परिणामी फलन समीकरण द्वारा एक अऋणात्मक पूर्णांक $$n$$ के क्रमगुणित से संबंधित है$$ n!=\Gamma(n+1),$$जिसे अपूर्णांक तर्कों के लिए क्रमगुणित की परिभाषा के रूप में उपयोग किया जा सकता है। सभी मानों पर $$x$$ जिसके लिए दोनों $$\Gamma(x)$$ और $$\Gamma(x-1)$$ परिभाषित हैं, गामा फलन क्रियात्मक समीकरण का पालन करता है$$ \Gamma(n)=(n-1)\Gamma(n-1),$$क्रमगुणित के लिए प्रतिवर्तन संबंध को सामान्य बनाना।

समान समाकलन किसी भी सम्मिश्र संख्या $$z$$ जिसका वास्तविक भाग धनात्मक है, के लिए अधिक सामान्यतः अभिसरण करता है। यूलर के परावर्तन सूत्र को हल करके इसे शेष जटिल तल में गैर-पूर्णांक बिंदुओं तक बढ़ाया जा सकता है$$\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin\pi z}.$$हालाँकि, इस सूत्र का उपयोग पूर्णांकों पर नहीं किया जा सकता है, क्योंकि उनके लिए, $$\sin\pi z$$ पद शून्य से एक विभाजन उत्पन्न करेगा। इस विस्तार प्रक्रिया का परिणाम एक विश्लेषणात्मक कार्य है, गामा फलन के अभिन्न सूत्र की विश्लेषणात्मक निरंतरता। गैर-सकारात्मक पूर्णांकों को छोड़कर, जहां इसके सरल ध्रुव हैं, सभी जटिल संख्याओं पर इसका एक गैर-शून्य मान है। इसके अनुरूप, यह ऋणात्मक पूर्णांकों के अलावा अन्य सभी सम्मिश्र संख्याओं पर भाज्य के लिए एक परिभाषा प्रदान करता है। गामा फलन की एक संपत्ति, इसे भाज्य के अन्य निरंतर प्रक्षेपों से अलग करती है, बोहर-मोलरुप प्रमेय द्वारा दी गई है, जिसमें कहा गया है कि गामा फलन (एक द्वारा ऑफसमुच्चय) सकारात्मक वास्तविक संख्याओं पर एकमात्र लॉग-उत्तल कार्य है जो कि क्रमगुणितों को इंटरपोलेट करता है और समान कार्यात्मक समीकरण का पालन करता है। हेल्मुट वाइलैंड्ट के एक संबंधित विशिष्टता प्रमेय में कहा गया है कि जटिल गामा फलन और इसके स्केलर गुणक सकारात्मक जटिल अर्ध-तल पर एकमात्र होलोमोर्फिक फलन हैं जो कार्यात्मक समीकरण का पालन करते हैं और जटिल संख्याओं के लिए 1 और 2 के बीच वास्तविक भाग के साथ बंधे रहते हैं।

भाज्य मानों को प्रक्षेपित करने वाले अन्य जटिल कार्यों में हैडामर्ड का गामा फलन शामिल है, जो गैर-धनात्मक पूर्णांकों सहित सभी जटिल संख्याओं पर एक संपूर्ण कार्य है। $362,880$-एडिक संख्याओं में, क्रमगुणित फलन को सीधे इंटरपोलेट करना संभव नहीं है, क्योंकि बड़े पूर्णांकों के क्रमगुणित ($3,628,800$-एडिक्स का एक घना उपसमुच्चय) लीजेंड्रे के सूत्र के अनुसार शून्य में परिवर्तित हो जाते हैं, जो किसी भी निरंतर फलन को बंद करने के लिए मजबूर करते हैं। उनका मान हर जगह शून्य हो। इसके बजाय, $39,916,800$-एडिक गामा फलन भाज्य के संशोधित रूप का एक सतत प्रक्षेप प्रदान करता है, भाज्य में उन कारकों को छोड़ कर जो $479,001,600$ से विभाज्य हैं।

डिगामा फलन गामा फलन का लघुगणकीय व्युत्पन्न है। जिस तरह गामा फलन क्रमगुणितों का एक सतत अंतःक्षेप प्रदान करता है, एक से ऑफसेट, डिगामा फलन हार्मोनिक संख्याओं का सतत अंतःक्षेप प्रदान करता है, जो यूलर-माशेरोनी स्थिरांक द्वारा ऑफसेट होता है।

गणना
वैज्ञानिक परिगणक में क्रमगुणित फलन एक सामान्य विशेषता है। यह वैज्ञानिक प्रोग्राम संग्रह में भी शामिल है जैसे कि पाइथन गणितीय फलन इकाई और बूस्ट सी++ संग्रह। यदि दक्षता कोई चिंता का विषय नहीं है, तो क्रमगुणितों की गणना करना तुच्छ है: केवल $n$ तक के पूर्णांकों द्वारा $1$ से आरंभ किए गए चर को क्रमिक रूप से गुणा करें। इस गणना की सादगी इसे विभिन्न संगणक प्रोग्रामिंग शैलियों और विधियों के उपयोग में एक सामान्य उदाहरण बनाती है।

$$n!$$ की गणना को पुनरावृति का उपयोग करके स्यूडोकोड में व्यक्त किया जा सकता है: क्रमगुणित (n) को परिभाषित करें: f := 1 i := 1, 2, 3, ..., n: के लिए f := f × i प्रत्युत्तर f या इसके पुनरावर्तन संबंध के आधार पर पुनरावर्तन का उपयोग करना क्रमगुणित (n) को परिभाषित करें: यदि n = 0 प्रत्युत्तर 1 प्रत्युत्तर n × क्रमगुणित (n - 1) इसकी गणना के लिए उपयुक्त अन्य विधियों में संस्मरण, गत्यात्मक प्रोग्रामिंग, और कार्यात्मक प्रोग्रामिंग शामिल हैं। इन एल्गोरिदम की अभिकलनात्मक जटिलता का विश्लेषण इकाई लागत रैंडम-एक्सेस मशीन अभिकलन के मॉडल का उपयोग करके किया जा सकता है, जिसमें प्रत्येक अंकगणितीय संक्रिया में नियत समय लगता है और प्रत्येक संख्या नियत मात्रा में भंडारण स्थान का उपयोग करती है। इस मॉडल में, ये विधियाँ समय $O(n)$ में $$n!$$ की गणना कर सकती हैं, और पुनरावृत्तीय संस्करण $O(1)$ स्थान का उपयोग करता है। जब तक टेल रिकर्सन के लिए अनुकूलित नहीं किया जाता है, प्रतिवर्तन संस्करण अपने कॉल स्टैक को संग्रहीत करने के लिए रैखिक समष्‍टि प्राप्त करता है। हालांकि, गणना का यह मॉडल केवल तभी उपयुक्त होता है जब $$n$$ इतना छोटा हो कि $$n!$$ को एक मशीनी शब्द में फिट किया जा सके। मान12! और 20! सबसे बड़े क्रमगुणित हैं, जिन्हें क्रमशः 32-बिट और 64-बिट पूर्णांकों में संग्रहीत किया जा सकता है। फ़्लोटिंग पॉइंट बड़े क्रमगुणित का प्रतिनिधित्व कर सकता है, लेकिन लगभग के बजाय यथार्थता:, और अभी भी $170!$. से बड़े क्रमगुणित के लिए अधिप्रवाह होगा।

तेजी से विकास और पूर्णांक अतिप्रवाह की वजह से बड़े क्रमगुणितों की सटीक गणना में यादृच्छिक परिष्कृति अंकगणित शामिल है। गणना के समय का विश्लेषण परिणाम में अंकों या बिट्स की संख्या के एक फलन के रूप में किया जा सकता है। स्टर्लिंग के सूत्र के अनुसार, $$n!$$ में $$b = O(n\log n)$$ बिट्स हैं। शॉनहेज-स्ट्रासेना एल्गोरिथम $O(b\log b\log\log b)$ समय में एक $b$-बिट गुणन का गुणनन कर सकता है, और $$O(b\log b)$$ समय लेने वाले तेज़ गुणन एल्गोरिदम ज्ञात हैं। हालांकि, क्रमगुणित की गणना में एक गुणन के बजाय बार-बार गुणन शामिल होते हैं, इसलिए ये समय सीमा सीधे लागू नहीं होती है। इस व्यवस्था में, संख्याओं को 1 से $$n$$ तक अनुक्रम में गुणा करके $$n!$$ की गणना करना अक्षम है, क्योंकि इसमें $$n$$ गुणन शामिल हैं, जिनमें से एक निरंतर अंश में से प्रत्येक में समय $$O(n\log^2 n)$$ लगता है, कुल समय $O(n^2\log^2 n)$ देता है। एक बेहतर तरीका यह है कि गुणा को एक के रूप में किया जाए। डिवाइड-एंड-कॉनकॉर एल्गोरिथम जो $$i$$ संख्याओं के अनुक्रम को $$i/2$$ संख्याओं के दो बाद के अनुक्रमों में विभाजित करके गुणा करता है, प्रत्येक बाद को गुणा करता है, और परिणामों को एक अंतिम गुणन के साथ जोड़ता है। क्रमगुणित के प्रति इस दृष्टिकोण में कुल $O(n\log^3 n)$ समय लगता है: एक लघुगणक क्रमगुणित में बिट्स की संख्या से आता है, दूसरा गुणन एल्गोरिथ्म से आता है, और तीसरा विभाजन और जीत से आता है।

इसके प्रमुख गुणनखंड से $S_{n}$ की गणना करके और भी बेहतर दक्षता प्राप्त की जाती है, इस सिद्धांत के आधार पर कि घातांक को एक गुणन में विस्तारित करने की तुलना में वर्गीकरण द्वारा घातांक तेज होता है। अर्नोल्ड शॉनहेज द्वारा इसके लिए एक एल्गोरिथम $n$ तक के अभाज्य संख्याओं की सूची खोजने से शुरू होता है, उदाहरण के लिए एराटोस्थनीज की सीव का उपयोग करते हुए, और प्रत्येक अभाज्य के लिए प्रतिपादक की गणना करने के लिए लीजेंड्रे के सूत्र का उपयोग करता है। फिर यह इन घातांक के साथ अभाज्य घातों के गुणन की गणना करता है, प्रतिवर्तन एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हुए, निम्नानुसार है: अभाज्य संख्या प्रमेय द्वारा $$n$$ तक के सभी अभाज्य संख्याओं का गुणनफल $$O(n)$$-बिट संख्या है, अतः पहले चरण का समय $$O(n\log^2 n)$$ है, जिसमें एक लघुगणक विभाजन और परास्त से प्राप्त होता है और दूसरा गुणन एल्गोरिथ्म से प्राप्त होता है। एल्गोरिथ्म के लिए प्रतिवर्तन आवाहन में, अभाज्य संख्या प्रमेय को पुनः यह प्रमाणित करने के लिए लागू किया जा सकता है कि संबंधित गुणनों में बिट्स की संख्या प्रतिवर्तन के प्रत्येक स्तर पर एक स्थिर कारक से घट जाती है, इसलिए इन चरणों के लिए कुल समय प्रतिवर्तन के सभी स्तरों पर गुणोत्तर श्रेणी में $O(n\log^2 n)$ में जोड़ता है। दूसरे चरण में वर्ग का समय और तीसरे चरण में गुणन का समय फिर से $O(n\log^2 n)$ है, क्योंकि प्रत्येक $$O(n\log n)$$ बिट्स वाली संख्या का एकल गुणन होता है। पुनः, प्रतिवर्तन के प्रत्येक स्तर पर शामिल संख्याओं में एक नियत प्रभाज होता है कई बिट्स की तरह (क्योंकि अन्यथा बार-बार उनका वर्ग करने से अंतिम परिणाम बहुत बड़ा होता है) इसलिए पुनः प्रतिवर्तन कॉल में इन चरणों के लिए समय की मात्रा गुणोत्तर श्रेणी में $O(n\log^2 n)$ में जुड़ जाती है। परिणामस्वरूप, पूरे एल्गोरिथ्म में समय $O(n\log^2 n)$ लगता है, इसके परिणाम में समान संख्या में बिट्स के साथ एकल गुणन के समानुपाती होता है।
 * उन अभाज्य संख्याओं के गुणनफल की गणना करने के लिए, जिनके घातांक विषम हैं, विभाजित करें और कॉन्कर का प्रयोग करें
 * सभी घातांक को दो से विभाजित करें (पूर्णांक के लिए नीचे की ओर), इन छोटे घातांकों के साथ अभाज्य घातों के गुणन की प्रतिवर्तन गणना करें, और परिणाम को वर्गित करें
 * पिछले दो चरणों के परिणामों को एक साथ गुणा करें

संबंधित अनुक्रम और फलन
कई अन्य पूर्णांक अनुक्रम क्रमगुणितों के समान या उससे संबंधित हैं:

एकांतर (अल्टरनेटिंग) क्रमगुणित

 * एकांतर क्रमगुणित पहले $$n$$ क्रमगुणितों के एकांतर योग का निरपेक्ष मान है, $\sum_{i = 1}^n (-1)^{n - i}i!$। इनका मुख्य रूप से अध्ययन उनकी मौलिकता के संबंध में किया गया है, उनमें से केवल परिमित रूप से कई अभाज्य हो सकते हैं, लेकिन इस रूप के अभाज्य संख्याओं की पूर्ण सूची ज्ञात नहीं है।


 * भार्गव क्रमगुणित
 * भार्गव क्रमगुणित मंजुल भार्गव द्वारा परिभाषित पूर्णांक अनुक्रमों का एक वर्ग है, जिसमें क्रमगुणित के समान संख्या-सैद्धांतिक गुण होते हैं, जिसमें एक विशेष स्थिति के रूप में क्रमगुणित भी शामिल है।

द्विक क्रमगुणित

 * किसी विषम धनात्मक पूर्णांक $${\displaystyle n}$$ तक के सभी विषम पूर्णांकों के गुणनफल $${\displaystyle n}$$ का द्विक क्रमगुणित कहलाता है, और इसे $n!!$. से दर्शाया जाता है। अर्थात्,$$(2k-1)!! = \prod_{i=1}^k (2i-1) = \frac{(2k)!}{2^k k!}.$$उदाहरण के लिए, 9!! = 1 × 3 × 5 × 7 × 9 = 945। त्रिकोणमितीय समाकलों, अर्ध-पूर्णांकों पर गामा फलन के लिए व्यंजक और बृहत् क्षेत्र (हाइपरस्फीयर) के आयतन, और बाइनरी ट्री और उचित सुमेलन की गणना में द्विक क्रमगुणित का उपयोग किया जाता है।
 * घातीय क्रमगुणित
 * जिस प्रकार त्रिकोणीय संख्याएँ $$1$$ से $${\displaystyle n}$$ तक की संख्याओं का योग करती हैं, और क्रमगुणित उनके गुणनफल को लेते हैं, उसी प्रकार घातांकीय क्रमगुणित घातांक गुणनफल को लेते हैं। घातांकीय क्रमगुणित को $${\displaystyle a_{0}=1,\ a_{n}=n^{a_{n-1}}}$$ के रूप में प्रतिवर्तन रूप से परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, 4 का घातांकीय क्रमगुणित निम्न है$$4\$= 4^{3^{2^{1}}}=262144.$$ये संख्या सामान्य क्रमगुणित की तुलना में बहुत अधिक तेजी से बढ़ती है।

अवरोही क्रमगुणित

 * संकेतन $$(x)_{n}$$ या $$x^{\underline n}$$ का उपयोग कभी-कभी $$n$$ पूर्णांकों के गुणनफल का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है, जो कि $x!/(x-n)!$. के बराबर और $$x$$ सहित गिनते हैं। इसे अवरोही क्रमगुणित या पश्चगामी क्रमगुणित के रूप में भी जाना जाता है, और $$(x)_{n}$$ संकेतन पोचहैमर प्रतीक है। अवरोही क्रमगुणित n अलग-अलग वस्तुओं के विभिन्न अनुक्रमों की संख्या की गणना करते हैं जिन्हें $$x$$ वस्तुओं के व्योम से लिया जा सकता है। वे बहुपदों के उच्च व्युत्पन्नों, और यादृच्छिक चरों के क्रमगुणितआघूर्ण में गुणांक के रूप में होते हैं।


 * हाइपरक्रमगुणित
 * $$n$$ संख्याओं का हाइपरक्रमगुणित $$1^1\cdot 2^2\cdots n^n$$ गुणनफल होता है। ये संख्याएँ हरमाइट बहुपदों के विविक्‍तिकर बनाती हैं। उन्हें K-फलन द्वारा लगातार अंतर्वेशित किया जाता है, और स्टर्लिंग के सूत्र और विल्सन के प्रमेय के अनुरूपता का पालन करते हैं।


 * जॉर्डन-पोल्या संख्या
 * जॉर्डन-पोलिया संख्या क्रमगुणितों के गुणनफल होते है, जो पुनरावर्तन की अनुमति देते हैं। प्रत्येक ट्री में एक सममित समूह होता है जिसकी सममितियों की संख्या जॉर्डन-पोल्या संख्या होती है, और प्रत्येक जॉर्डन-पोल्या संख्या किसी न किसी ट्री की सममिति की गणना करती है।


 * प्रिमोरियल
 * प्रिमोरियल $$n\#$$, $$n$$ से कम या उसके बराबर अभाज्य संख्याओं का गुणनफल होता है, यह निर्माण उन्हें क्रमगुणितों के समान कुछ समान विभाज्यता गुण देता है, लेकिन क्रमगुणित के विपरीत वे वर्ग मुक्त (स्क्वायर-फ्री) होता है। जैसा क्रमगुणित अभाज्य $n!\pm 1$, की तरह, शोधकर्ताओं ने प्रिमोरियल अभाज्य $n\#\pm 1$. का अध्ययन किया है।


 * उपक्रमगुणित
 * उपक्रमगुणित $$n$$ वस्तुओं के एक समुच्चय के अपविन्यास की संख्या देता है। इसे कभी-कभी $$!n$$ से निरूपित किया जाता है, और $n!/e$. के निकटतम पूर्णांक के बराबर होता है।


 * सुपरक्रमगुणित
 * $$n$$ का सुपरक्रमगुणित पहले $$n$$ क्रमगुणितों का गुणनफल होता है। सुपरक्रमगुणितों बार्न्स G-फलन द्वारा लगातार अंतर्वेशित किए जाते हैं।

बाहरी संबंध


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