प्रायिकता

प्रायिकता गणित की ऐसी शाखा है, जो गणित में संख्यात्मक विवरणों से संबंधित है, जिसके अनुसार किसी घटना का प्रायिकता सिद्धांत द्वारा उसकी प्रायिकता कैसे निकालनी होती है, या यह कितनी प्रायिकता है, इस प्रस्ताव की सत्यता को प्राप्त करने की विधि है। इस प्रकार किसी घटना की प्रायिकता 0 और 1 के बीच की संख्या हो सकती है, जहां मुख्यतः बोलते हुए 0 घटना की असंभवता को इंगित करता है और 1 निश्चितता को इंगित करता है। किसी घटना के होन जाने की प्रायिकता जितनी अधिक होगी, उस घटना के घटित होने की उतनी ही अधिक प्रायिकता होती है। इसका एक साधारण उदाहरण निष्पक्ष सिक्के का टॉसिंग है।चूंकि सिक्का उचित है, इसलिए दो परिणाम हेड और टेल दोनों समान रूप से संभावित होते हैं, इस प्रकार हेड की प्रायिकता टेल की प्रायिकता के बराबर होती है, और चूंकि कोई अन्य परिणाम संभव नहीं है, इसलिए हेड या टेल की प्रायिकता 1/2 है, जिसे 0.5 या 50%के रूप में भी लिखा जा सकता है।

इन अवधारणाओं को प्रायिकता सिद्धांत में प्रायिकता स्वयंसिद्ध गणितीय औपचारिकता दी गई है, जिसका उपयोग अध्ययन के क्षेत्र में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, जैसे कि सांख्यिकी, गणित, विज्ञान, वित्त , जुआ , कृत्रिम बुद्धिमत्ता, मशीन सीखने, कंप्यूटर विज्ञान, खेल सिद्धांत और दर्शन ,उदाहरण के लिए घटनाओं की अपेक्षित आवृत्ति के बारे में निष्कर्ष निकालना इसका प्रमुख उदाहरण हैं। इस कारण प्रायिकता सिद्धांत का उपयोग अंतर्निहित यांत्रिकी और जटिल प्रणालियों के नियमितताओं का वर्णन करने के लिए भी किया जाता है।

व्याख्या
जब विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक प्रयोग के लिए जैसे सिक्के को उछालने में यादृच्छिक और अच्छी तरह से परिभाषित किए गए प्रयोगों से निपटते हैं, तो प्रायिकताओं को संख्यात्मक रूप से वांछित परिणामों की संख्या से वर्णित किया जा सकता है, जो सभी परिणामों की कुल संख्या से विभाजित है। उदाहरण के लिए यदि दो बार सिक्के को टॉस करने से हेड, हेड-टेल, टेल-हेड और टेल-टेल परिणाम मिलेंगे। जिसके आधार पर हेड-हेड का परिणाम प्राप्त करने की प्रायिकता 4 परिणामों में से 1 है, या संख्यात्मक शब्दों में यदि कहें तो 1/4, 0.25 या 25% द्वार इसके मान को प्रदर्शित कर सकते हैं। चूंकि इस प्रकार व्यावहारिक रूप से यदि अनुप्रयोगों की बात आती है, तो इस प्रकार प्रायिकता व्याख्याओं की दो प्रमुख प्रतिस्पर्धी श्रेणियां होती हैं, जिनके अनुयायी प्रायिकता की मौलिक प्रकृति के बारे में अलग -अलग विचार रखते हैं:


 * वस्तुनिष्ठता दर्शन के लिए कुछ उद्देश्यों या भौतिक स्थिति का वर्णन करने के लिए संख्याएं प्रदान करते हैं। इस कारण उन उद्देश्यों से जुड़ी प्रायिकता का सबसे लोकप्रिय संस्करण निरंतर प्रायिकता को प्रदर्शित करता है, जो प्रमाणित करता है कि यादृच्छिक घटना की प्रायिकता प्रयोग के परिणाम की घटना की सापेक्ष आवृत्ति को दर्शाती है जब प्रयोग अनिश्चित काल तक दोहराया जाता है। यह व्याख्या परिणामों के लंबे समय में सापेक्ष आवृत्ति होने की प्रायिकता मानती है। इसका संशोधन प्रवृत्ति प्रायिकता है, जो इस प्रकार निश्चित परिणाम प्राप्त करने के लिए कुछ प्रयोग की प्रवृत्ति के रूप में प्रायिकता की व्याख्या करता है, भले ही यह केवल बार किया गया हो।
 * व्यक्तिपरक प्रायिकता का उद्देश्य और व्यक्तिपरक बायेसियन प्रायिकताएं प्रति व्यक्तिपरक प्रायिकता संख्या प्रदान करती हैं, अर्थात विश्वास की डिग्री के रूप में किया जाता हैं। इस प्रकार उक्त डिग्री की व्याख्या उस मान के रूप में की गई है जिस पर आप शर्त लगाएंगे या बेचेंगे जो 1 यूनिट उपयोगिता का भुगतान करता है, इस प्रकार यदि ई, 0 यदि ई नहीं है, यद्यपि इस प्रकार उस व्याख्या को सार्वभौमिक रूप से सहमति नहीं दी गई है। व्यक्तिपरक प्रायिकता का सबसे लोकप्रिय संस्करण बायेसियन प्रायिकता है, जिसमें इस प्रकार प्रायिकताओं का उत्पादन करने के लिए विशेषज्ञ ज्ञान के साथ -साथ प्रयोगात्मक डेटा भी सम्मिलित है। इसके आधार पर विशेषज्ञ ज्ञान का प्रतिनिधित्व कुछ व्यक्तिपरक पूर्व प्रायिकता वितरण द्वारा किया जाता है। ये डेटा प्रायिकता फलन में सम्मिलित हैं। इसके पूर्व और प्रायिकता का उत्पाद, जब सामान्य किया जाता है, तो इस प्रकार पश्चाक प्रायिकता वितरण होता है जो आज तक ज्ञात सभी जानकारी को सम्मिलित करता है। औमन के समझौते के सिद्धांत द्वारा, बायेसियन एजेंट जिनके पूर्व विश्वास समान हैं, समान पोस्टीरियर मान्यताओं के साथ समाप्त होंगे। चूंकि पर्याप्त रूप से अलग -अलग पुजारी अलग -अलग निष्कर्ष निकाल सकते हैं, भले ही एजेंट कितनी जानकारी साझा करते हैं।

व्युत्पत्ति
शब्द प्रायिकता व्युत्पत्ति लैटिन से प्रायिकता, जिसका अर्थ यह भी हो सकता है: विकेटरी: प्रोबिटी, यूरोप में नियमी मामले में गवाह के अधिकार का उपाय, और अधिकांशतः गवाह के बड़प्पन के साथ सहसंबद्ध होता है। इसके अर्थ में यदि प्रायिकता के आधुनिक अर्थ से बहुत भिन्न होता है, जो इसके विपरीत अनुभवजन्य साक्ष्य के वजन का उपाय है, और आगमनात्मक तर्क और सांख्यिकीय अनुमान से आया है।

इतिहास
प्रायिकता का वैज्ञानिक अध्ययन गणित का आधुनिक विकास है। इसके अनुसार सहस्राब्दी के लिए प्रायिकता के विचारों को निर्धारित करने में प्रकार रही है, किन्तु सटीक गणितीय विवरण बहुत बाद में उत्पन्न हुए हैं।प्रायिकता के गणित के धीमे विकास के कारण हैं। जबकि किसी खेल में प्रायिकता, मौलिक मुद्दों के गणितीय अध्ययन के लिए प्रेरणा प्रदान की हैं। इस प्रकार आज के समय जुआरियों के अंधविश्वासों से अस्पष्ट हैं।  रिचर्ड जेफरी के अनुसार, सत्रहवीं शताब्दी के मध्य से पहले, 'संभावित' शब्द (लैटिन प्रोबिलिलिस) शब्द का अर्थ अनुमोदन योग्य था, और उस अर्थ में, अविभाज्य, राय और कार्रवाई के लिए लागू किया गया था। एक संभावित राय ऐसी थी जैसे कि समझदार लोग परिस्थितियों में, कार्य करेंगे या धारण करेंगे। चूंकि, नियमी संदर्भों में, विशेष रूप से, 'संभावित' भी प्रस्तावों पर लागू हो सकता है जिसके लिए अच्छा प्रमाण हैं।

सोलहवीं शताब्दी के इटली पॉलीमथ गेरोलमो कार्डानो ने प्रतिकूल परिणामों के अनुकूल के अनुपात के रूप में बाधाओं को परिभाषित करने की प्रभावकारिता का प्रदर्शन किया हैं। जिसका अर्थ है कि किसी घटना की प्रायिकता संभावित परिणामों की कुल संख्या के लिए अनुकूल परिणामों के अनुपात द्वारा दी गई है। जकोब बर्नौली की इस विधि के अनुमान को उनके मरणोपरांत, 1713 में और अब्राहम डे मोइवर के अवसरों का सिद्धांत ने 1718 के इस विषय को गणित की शाखा के रूप में माना हैं। इस प्रकार इयान हैकिंग की प्रायिकता का उद्भव देखें और जेम्स फ्रैंकलिन (दार्शनिक) या जेम्स फ्रैंकलिन की द साइंस ऑफ कॉनजेक्ट्योर गणितीय प्रायिकता की बहुत अवधारणा के प्रारंभिक विकास के इतिहास के लिए उपयोगी हैं।

त्रुटियों के सिद्धांत को रोजर कोट्स के ओपेरा मेसिटेलैना (मरणोपरांत, 1722) पर वापस खोजा जा सकता है, किन्तु 1755 में थॉमस सिम्पसन द्वारा तैयार किए गए संस्मरण (1756 में मुद्रित) ने पहले सिद्धांत को अवलोकन की त्रुटियों की चर्चा के लिए लागू किया हैं। इस संस्मरण का पुनर्मुद्रण (1757) स्वयंसिद्धों को बताता है कि इस प्रकार धनात्मक और ऋणात्मक त्रुटियां समान रूप से संभावित हैं, और यह कि कुछ असाइन करने योग्य सीमाएं सभी त्रुटियों की सीमा को परिभाषित करती हैं। इसके कारण सिम्पसन निरंतर त्रुटियों पर भी चर्चा करता है और प्रायिकता वक्र का वर्णन करता है।

चूंकि इस त्रुटि के पहले दो नियमों को जो प्रस्तावित किए गए थे, दोनों की उत्पत्ति पियरे-साइमन लाप्लास के साथ हुई थी। इसका पहला नियम 1774 में प्रकाशित किया गया था, और कहा गया था कि डाइज्रेरिंग साइन के अनुसार त्रुटि की आवृत्ति को त्रुटि के संख्यात्मक परिमाण के घातीय कार्य के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इस प्रकार त्रुटियों से जुड़ा दूसरा नियम 1778 में लाप्लास द्वारा प्रस्तावित किया गया था, और कहा गया था कि त्रुटि की आवृत्ति त्रुटि के वर्ग का घातीय कार्य है। इस प्रकार इन त्रुटियों के दूसरे नियम को सामान्य वितरण या गॉस नियम कहा जाता है। इसका ऐतिहासिक रूप से यह बताना कठिन है कि गॉस को उस नियम, जो अपने प्रसिद्ध पूर्वसर्ग के अतिरिक्त संभवतः दो साल की उम्र से पहले यह खोज नहीं कर चुके थे।

डैनियल बर्नौली (1778) ने समवर्ती त्रुटियों की प्रणाली की प्रायिकताओं के अधिकतम उत्पाद का सिद्धांत को प्रस्तुत किया था। एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे (1805) ने कम से कम वर्गों की विधि विकसित की हैं, और धूमकेतु की कक्षाओं के निर्धारण के लिए अपने नए तरीकों में इसे प्रस्तुत किया तथा धूमकेतु की कक्षाओं का निर्धारण करने के लिए नए तरीके विकसित किए हैं। इस प्रकार लीजेंड्रे के योगदान की अनदेखी में, आयरिश-अमेरिकी लेखक, रॉबर्ट एड्रेन, विश्लेषक के संपादक (1808), ने पहले त्रुटि की सुविधा के नियम को कम कर दिया था,
 * $$\phi(x) = ce^{-h^2 x^2},$$

जहाँ $$h$$ अवलोकन की सटीकता पर निर्भर करता है, और $$c$$ पैमाना कारक है जो यह सुनिश्चित करता है कि वक्र के बराबर क्षेत्र 1 के बराबर है। उसने दो प्रमाण दिए, दूसरा अनिवार्य रूप से जॉन हर्शेल (1850) के समान है। इस प्रकार कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने पहला प्रमाण दिया हैं, जो इस प्रकार 1809 में यूरोप में (एड्रेन के बाद तीसरा) जाना जाता है। लाप्लास (1810, 1812), गॉस (1823), जेम्स आइवरी (गणितज्ञ) (1825, 1826, 1826, 1825, 1826, 1825, 1826 (1823), गॉस (1823),), हेगन (1837), फ्रेडरिक बेसेल (1838), विलियम फिशबर्न डोनकिन या डब्ल्यू.एफ या डोनकिन (1844, 1856), और मॉर्गन क्रॉफ्टन (1870) में किया गया था। इस प्रकार अन्य योगदानकर्ता रॉबर्ट लेस्ली एलिस (1844), ऑगस्टस डे मॉर्गन (1864), जेम्स व्हिटब्रेड ली ग्लेशर (1872), और गियोवानी शिआपरेली (1875) थे। क्रिश्चियन अगस्त फ्रेडरिक पीटर्स (1856) फॉर्मूला आर के लिए, एकल अवलोकन की संभावित त्रुटि, अच्छी तरह से ज्ञात है।

उन्नीसवीं शताब्दी में, सामान्य सिद्धांत के लेखकों में लाप्लास, सिलेवेसर लैक्रोइक्स (1816), लिटट्रो (1833), एडोल्फे क्वेटलेट (1853), रिचर्ड डेडेकिंड (1860), हेल्मर्ट (1872), हरमन लॉरेंट (1873), लिआग्रे, लिआग्रे और कार्ल पियर्सन सम्मिलित थे। ऑगस्टस डी मॉर्गन और जॉर्ज बोले ने सिद्धांत के विस्तार में सुधार किया हैं।

1906 में, एंड्री मार्कोव ने प्रस्तुत किया था, जिसके अनुसार मार्कोव चेन की धारणा, जिसने स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं सिद्धांत और इसके अनुप्रयोगों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई हैं। इस प्रकार उक्त माप (गणित) के आधार पर प्रायिकता का आधुनिक सिद्धांत 1931 में एंड्री कोलमोगोरोव द्वारा विकसित किया गया था। यहाँ पर इस प्रकार ज्यामितीय पक्ष में, शैक्षिक समय के योगदानकर्ताओं में मिलर, क्रॉफ्टन, मैककोल, वोल्स्टेनहोल, वाटसन और आर्टेमास मार्टिन सम्मिलित थे। इसकी अधिक जानकारी के लिए अभिन्न ज्यामिति देखें।

सिद्धांत
अन्य सिद्धांतों के समान प्रायिकता सिद्धांत औपचारिक रूप से इसकी अवधारणाओं का प्रतिनिधित्व है, अर्थात् उन शब्दों में जिन्हें उनके अर्थ से अलग से माना जा सकता है। इन औपचारिक शब्दों को गणित और तर्क के नियमों द्वारा इसे परिवर्तित किया जाता है, और किसी भी परिणाम की व्याख्या या समस्या डोमेन में वापस अनुवाद की जाती है।

प्रायिकता को औपचारिक रूप देने के लिए कम से कम दो सफल प्रयास किए गए हैं, अर्थात् इस प्रकार कोल्मोगोरोव सूत्रीकरण और रिचर्ड थ्रेल्केल्ड कॉक्स सूत्रीकरण से किया गया हैं। कोलमोगोरोव के सूत्रीकरण में प्रायिकता स्थान भी देखें जहाँ पर समुच्चय (गणित) को समुच्चय के वर्ग पर माप के रूप में घटना को प्रायिकता सिद्धांत और प्रायिकता के रूप में व्याख्या की जाती है। यहाँ पर कॉक्स के प्रमेय में, प्रायिकता को आगे विश्लेषण नहीं किया गया हैं, जिसके रूप में यह मान लिया जाता है, और प्रस्तावों के लिए प्रायिकता मानों के सुसंगत असाइनमेंट के निर्माण पर बल दिया जाता है। इस प्रकार दोनों स्थितियों में, तकनीकी विवरण को छोड़कर, प्रायिकता स्वयंसिद्ध समान हैं।

अनिश्चितता को निर्धारित करने के लिए अन्य विधियाँ हैं, जैसे कि डेम्पस्टर-शफर सिद्धांत या प्रायिकता सिद्धांत, किन्तु वे अनिवार्य रूप से अलग-अलग हैं और प्रायिकता के सामान्यतः समझने वाले नियमों के साथ संगत नहीं हैं।

अनुप्रयोग
प्रायिकता सिद्धांत के खतरे का मूल्यांकन और सांख्यिकीय मॉडल में रोजमर्रा की जिंदगी में लागू होता है। इसके आधार पर बीमा उद्योग और बाजार (अर्थशास्त्र) मूल्य निर्धारण का निर्धारण करने और व्यापारिक निर्णय लेने के लिए एक्चुएरियल विज्ञान का उपयोग करते हैं। जिसके लिए सरकारें पर्यावरण विनियमन, पात्रता विश्लेषण और वित्तीय विनियमन में प्रायिकता तरीके लागू करती हैं।

इक्विटी ट्रेडिंग में प्रायिकता सिद्धांत के उपयोग का उदाहरण तेल की कीमतों पर किसी भी व्यापक मध्य पूर्व संघर्ष की कथित प्रायिकता का प्रभाव है, जो समग्र रूप से अर्थव्यवस्था में लहर प्रभाव डालते हैं। इसके आधार पर कमोडिटी ट्रेडर द्वारा आकलन कि युद्ध अधिक प्रायिकता है उस वस्तु की कीमतों को ऊपर या नीचे भेज सकता है, और उस राय के अन्य व्यापारियों को संकेत देता है। तदानुसार प्रायिकताओं का न तो स्वतंत्र रूप से मूल्यांकन किया जाता है और न ही आवश्यक रूप से तर्कसंगत रूप से।व्यवहार वित्त का सिद्धांत मूल्य निर्धारण पर, नीति पर और शांति और संघर्ष पर इस तरह के समूह के प्रभाव का वर्णन करने के लिए उभारा हैं।

वित्तीय मूल्यांकन के अतिरिक्त, प्रायिकता का उपयोग जीव विज्ञान जैसे, रोग प्रसार के साथ -साथ पारिस्थितिकी जैसे, जैविक पननेट वर्गों में पाए जाने वाले इस प्रकार के रुझानों का विश्लेषण करने के लिए किया जा सकता है। इसके आधार पर वित्त के साथ होने वाले खतरे के मूल्यांकन का उपयोग अवांछनीय घटनाओं की प्रायिकता की गणना करने के लिए सांख्यिकीय उपकरण के रूप में किया जा सकता है, और ऐसी परिस्थितियों का सामना करने से बचने के लिए प्रोटोकॉल को लागू करने में सहायता कर सकते हैं। इस प्रकार प्रायिकता का उपयोग इसको डिजाइन करने के लिए किया जाता है जिससे कि कैसिनो गारंटीकृत लाभ कमा सके, फिर भी उन खिलाड़ियों को भुगतान प्रदान करें जो निरंतर खेल को प्रोत्साहित करने के लिए अधिकांशतः पर्याप्त होते हैं।

रोजमर्रा के जीवन में प्रायिकता सिद्धांत का और महत्वपूर्ण अनुप्रयोग विश्वसनीयता (सांख्यिकी) है। इसके कई उपभोक्ता उत्पाद, जैसे कि ऑटोमोबाइल और उपभोक्ता इलेक्ट्रॉनिक्स, विफलता की प्रायिकता को कम करने के लिए उत्पाद डिजाइन में विश्वसनीयता सिद्धांत का उपयोग करते हैं। इस प्रकार विफलता की प्रायिकता किसी उत्पाद की गारंटी पर निर्माता के फैसलों को प्रभावित कर सकती है। कैश भाषा मॉडल और अन्य सांख्यिकीय भाषा मॉडल जो प्राकृतिक भाषा प्रसंस्करण में उपयोग किए जाते हैं, वे भी प्रायिकता सिद्धांत के अनुप्रयोगों के उदाहरण हैं।

गणितीय उपचार
एक प्रयोग पर विचार करें जो कई परिणामों का उत्पादन कर सकता है। इस प्रकार सभी संभावित परिणामों के संग्रह को प्रयोग का नमूना स्थान कहा जाता है, जिसे $$\Omega$$ द्वारा निरूपित किया जाता है। इन प्रमाणों के स्थान का सत्ता स्थापित संभावित परिणामों के सभी अलग -अलग संग्रहों पर विचार करके बनता है। उदाहरण के लिए, रोलिंग के छह संभावित परिणाम हो सकते हैं। जिसमें इस प्रकार संभावित परिणामों का संग्रह खत्म होने पर विषम संख्या देता है। इस प्रकार, उपसमुच्चय {1,3,5} पासा रोल करने के प्रमाण के उचित स्थान के इस समुच्चय का तत्व है। इन संग्रहों को ईवेंट कहा जाता है। इस स्थिति में, {1,3,5} वह घटना है जो कुछ विषम संख्या पर गिरती है। यदि वास्तव में किसी दिए गए घटना में होने वाले परिणाम होते हैं, तो घटना के बारे में कहा जाता है।

एक प्रायिकता फ़ंक्शन (गणित) है, प्रत्येक घटना शून्य और के बीच मूल्य है, इस आवश्यकता के साथ कि घटना सभी संभावित परिणामों से बनाई गई है (हमारे उदाहरण में, घटना {1,2,3,4,5,6}}) पर इसका मान सौंपा गया है। इस प्रायिकता के रूप में अर्हता प्राप्त करने के लिए, मूल्यों के असाइनमेंट को इस आवश्यकता को पूरा करना होगा कि पारस्परिक रूप से अनन्य घटनाओं के किसी भी संग्रह के लिए (कोई सामान्य परिणाम नहीं, जैसे कि घटनाओं {1,6}, {3}, और {2,4}), प्रायिकता है कि कम से कम घटनाएं घटित होंगी, इस प्रकार सभी व्यक्तिगत घटनाओं की प्रायिकताओं के मान द्वारा दी जाती है। इस घटना के आधार पर प्रायिकता सिद्धांत की प्रायिकता $$P(A)$$, $$p(A)$$, या $$\text{Pr}(A)$$. के रूप में लिखा गया है, यहाँ पर प्रायिकता की यह गणितीय परिभाषा उपाय की अवधारणा का उपयोग करके अनंत प्रमाणों के स्थानों, और यहां तक कि इन प्रमाणों के स्थानों तक विस्तारित हो सकती है।

किसी घटना A के विपरीत या पूरक घटना [नहीं] है, अर्ताथ, होने की घटना नहीं होने की घटना, जिसे अधिकांशतः $$A', A^c$$, $$\overline{A}, A^\complement, \neg A$$, या $${\sim}A$$ द्वारा निरूपित किया जाता है, इसकी प्रायिकता P(not A) = 1 − P(A) द्वारा दी गई है, इसके उदाहरण के रूप में, छह फलक वाले पासे पर छह को रोल न करने का मौका 1 – (chance of rolling a six) $$= 1 - \tfrac{1}{6} = \tfrac{5}{6}$$ है । इसके अधिक व्यापक उपचार के लिए पूरक घटना देखें।

यदि दो घटनाओं A और B प्रयोग के एकल प्रदर्शन पर होते हैं, तो इसे A और B का संयुक्त वितरण कहा जाता है, जिसे $$P(A \cap B)$$ द्वारा निरूपित किया जाता है ।

स्वतंत्र घटनाएं
यदि दो घटनाएं, A और B स्वतंत्रता (प्रायिकता सिद्धांत) हैं तो संयुक्त प्रायिकता $$P(A \mbox{ and }B) = P(A \cap B) = P(A) P(B).$$ है। उदाहरण के लिए, यदि दो सिक्के फ़्लिप किए जाते हैं, तो दोनों हेड होने का मौका $$\tfrac{1}{2}\times\tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{4}$$ है।

पारस्परिक रूप से अनन्य घटनाएं
यदि या तो ईवेंट A या इवेंट B हो सकता है, किन्तु दोनों साथ कभी नहीं हो सकते हैं, तो उन्हें पारस्परिक रूप से अनन्य घटनाएं कहा जाता है।

यदि दो घटनाएं पारस्परिक रूप से अनन्य घटनाएं हैं, तो दोनों होने की प्रायिकता को $$P(A \cap B)$$ द्वारा निरूपित किया जाता है, और
 * $$P(A \mbox{ and }B) = P(A \cap B) = 0$$

यदि दो घटनाएं पारस्परिक रूप से अनन्य घटनाएं हैं, तो या तो होने की प्रायिकता को $$P(A \cup B)$$ द्वारा निरूपित किया गया है, और
 * $$P(A\mbox{ or }B) = P(A \cup B)= P(A) + P(B) - P(A \cap B) = P(A) + P(B) - 0 = P(A) + P(B)$$

उदाहरण के लिए, छह-पक्षीय पर 1 या 2 रोल करने का मौका $$P(1\mbox{ or }2) = P(1) + P(2) = \tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{3}.$$ है।

पारस्परिक रूप से अनन्य घटनाएं नहीं
यदि घटनाएं पारस्परिक रूप से अनन्य नहीं हैं तो
 * $$P\left(A \hbox{ or } B\right) = P(A \cup B) = P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A \mbox{ and } B\right).$$

उदाहरण के लिए, कार्ड के डेक से कार्ड खींचते समय, हार्ट या फेस कार्ड (j, q, k) (या दोनों) प्राप्त करने का मौका $$\tfrac{13}{52} + \tfrac{12}{52} - \tfrac{3}{52} = \tfrac{11}{26}$$ है, चूंकि डेक के 52 कार्डों में से, 13 हार्ट हैं, 12 फेस कार्ड हैं, और 3 दोनों हैं: यहां 3 में सम्मिलित प्रायिकताएं जो दोनों 13 हार्टों और 12 फेस कार्ड में से प्रत्येक में सम्मिलित हैं, किन्तु यह मान चाहिए जिसे केवल एक बार गिना जाता हैं।

सशर्त प्रायिकता
सशर्त प्रायिकता कुछ घटना A की प्रायिकता है, किसी अन्य घटना B की घटना को देखते हुए बी सशर्त प्रायिकता $$P(A \mid B)$$ द्वारा लिखा गया है, और A की प्रायिकता को पढ़ा जाता है, बी।यह द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.\,$$

यदि $$P(B)=0$$ तब $$P(A \mid B)$$ इस अभिव्यक्ति द्वारा औपचारिक रूप से अपरिभाषित (गणित) है। इस स्थिति में $$A$$ और $$B$$ स्वतंत्र हैं, तब से $$P(A \cap B) = P(A)P(B) = 0$$ हैं। चूंकि, कुछ शून्य-प्रायिकता घटनाओं के लिए सशर्त प्रायिकता को परिभाषित करना संभव है, इस प्रकार के घटनाओं के σ- बीजगणित का उपयोग करके जैसे कि निरंतर यादृच्छिक चर से उत्पन्न होने वाले घटत उपलब्ध हैं। उदाहरण के लिए, 2 लाल गेंदों और 2 नीली गेंदों (कुल 4 गेंदों) के बैग में, लाल गेंद लेने की प्रायिकता $$1/2$$ है, चूंकि, दूसरी गेंद लेते समय, इसकी प्रायिकता लाल गेंद या नीली गेंद होने की प्रायिकता पहले की गई गेंद पर निर्भर करती है।उदाहरण के लिए, यदि लाल गेंद ली गई थी, तो फिर से लाल गेंद लेने की प्रायिकता $$1/3$$ होगी, चूंकि केवल 1 लाल और 2 नीली गेंदें शेष होती थीं। इस प्रकार यदि नीली गेंद पहले ली गई थी, तो लाल गेंद लेने की प्रायिकता $$2/3$$ होगी।

व्युत्क्रम प्रायिकता
प्रायिकता सिद्धांत और अनुप्रयोगों में, बेयस का नियम घटना के बाधाओं से संबंधित है, यहाँ पर $$A_1$$ इवेंट करना $$A_2$$, पहले (पहले) और बाद में (पीछे) अन्य घटना पर सशर्त प्रायिकता $$B$$ पर बाधाओं $$A_1$$ इवेंट करना $$A_2$$ बस दो घटनाओं की प्रायिकताओं का अनुपात है। जब इस प्रकार की कई घटनाएं $$A$$ प्रकार की हैं, न केवल दो, नियम को फिर से तैयार किया जा सकता है क्योंकि पीछे के समय की प्रायिकता के लिए आनुपातिक $$P(A|B)\propto P(A) P(B|A)$$ है,  जहां आनुपातिकता प्रतीक का अर्थ है कि बाएं हाथ की ओर का आनुपातिक है अर्ताथ, स्थिर समय के बराबर दाहिने हाथ की ओर $$A$$ अलग -अलग, तय या दिए गए के लिए $$B$$  ली, 2012, बर्टश मैकग्रेने, 2012 हैं। इस प्रकार इस रूप में यह लाप्लास (1774) और कोर्टन (1843) में वापस चला जाता है,फीनबर्ग (2005) देखें। उलटा प्रायिकता और बेयस नियम देखें।

क्वांटम यांत्रिकी में यादृच्छिकता और प्रायिकता से संबंध
न्यूटोनियन मैकेनिक्स अवधारणाओं के आधार पर, नियतत्ववाद ब्रह्मांड में, कोई प्रायिकता नहीं होगी यदि सभी स्थितियां ज्ञात थीं, किन्तु ऐसी परिस्थितियां हैं जिनमें अराजकता सिद्धांत उन्हें मापने की हमारी क्षमता से अधिक है। इस प्रकार रूले व्हील की स्थिति में, यदि हाथ का बल और उस बल की अवधि ज्ञात होती है, तो जिस संख्या पर गेंद बंद होगी, वह निश्चितता होगी चूंकि इस प्रकार व्यावहारिक मामला के रूप में, यह संभवतः केवल का सच होगारूलेट व्हील जिसे बिल्कुल समतल नहीं किया गया था - जैसा कि थॉमस ए बास ' यूडैमोन्स से पता चला था। इसके आधार पर इस पहिये का जड़त्व और घर्षण का ज्ञान, वजन, समतल, और गेंद के गोलाई, मोड़ के समय हाथ की गति में भिन्नता, और इसके आगे का ज्ञान भी मानता है। इस प्रकार प्रायिकता विवरण इस प्रकार रूले व्हील के बार -बार रोल के परिणामों के पैटर्न का विश्लेषण करने के लिए न्यूटोनियन यांत्रिकी की तुलना में अधिक उपयोगी हो सकता है। इस प्रकार इसके आधार पर भौतिकविदों को गैसों के गतिज सिद्धांत में ही स्थिति का सामना करना पड़ता है, जहां प्रणाली, जबकि सिद्धांत रूप में नियतात्मक है, इतना जटिल है जिसके आधार पर अणुओं की संख्या के साथ सामान्यतः एवोगैड्रो स्थिरांक के परिमाण का क्रम $6.02$) कि इसके गुणों का केवल सांख्यिकीय विवरण संभव है।

क्वांटम घटना का वर्णन करने के लिए प्रायिकता सिद्धांत की आवश्यकता है। इस प्रकार 20 वीं शताब्दी के प्रारंभ में भौतिकी की क्रांतिकारी खोज सभी भौतिक प्रक्रियाओं का यादृच्छिक चरित्र था जो उप-परमाणु पैमानों पर होती है और क्वांटम यांत्रिकी के नियमों द्वारा शासित होती है। इसके लिए ऑब्जेक्टिव तरंग क्रिया दृढ़ता से विकसित होता है, किन्तु इस प्रकार कोपेनहेगन व्याख्या के अनुसार, यह अवलोकन की प्रायिकताओं से संबंधित है, इसका अवलोकन किए जाने पर तरंग फ़ंक्शन पतन द्वारा समझाया जा रहा परिणाम प्राप्त होता हैं। चूंकि इस प्रकार वाद्ययंत्रवाद के लिए नियतत्ववाद की हानि सार्वभौमिक अनुमोदन के साथ नहीं मिला हैं। इस प्रकार अल्बर्ट आइंस्टीन प्रसिद्ध: डी: अल्बर्ट आइंस्टीन क्वेलेनंगबेन अनमेकुंगेन को मैक्स के लिए पत्र में जन्म दिया हैं: यहाँ पर आश्वस्त हूं कि भगवान पासा नहीं खेलते हैं। आइंस्टीन की तरह, एरविन श्रोडिंगर, जो श्रोडिंगर समीकरण ऐतिहासिक पृष्ठभूमि और विकास कार्य का विकास करते हैं, जिनका मानना था कि क्वांटम यांत्रिकी अंतर्निहित नियतात्मक वास्तविकता का सांख्यिकीय अनुमान है। इसकी माप के सांख्यिकीय यांत्रिकी की कुछ आधुनिक व्याख्याओं में, परिमाण को विषयगत रूप से प्रायिकता प्रयोगात्मक परिणामों की उपस्थिति के लिए उत्तरदायी ठहराया जाता है।

यह भी देखें

 * अव्यवस्था
 * वर्ग सदस्यता प्रायिकताएं
 * आकस्मिकता (दर्शन)
 * सुसंगतता
 * निर्णय और निर्णय लेने में उत्तराधिकारिणी
 * सिद्धांत प्रायिकता
 * यादृच्छिकता
 * सांख्यिकी
 * अनुमानक
 * अनुमान सिद्धांत
 * प्रायिकता घनत्व आकलन
 * प्रायिकता सघनता फ़ंक्शन
 * जोड़ीदार स्वतंत्रता


 * प्रायिकताओं का संतुलन

ग्रन्थसूची

 * Kallenberg, O. (2005) Probabilistic Symmetries and Invariance Principles. Springer-Verlag, New York. 510 pp. ISBN 0-387-25115-4
 * Kallenberg, O. (2002) Foundations of Modern Probability, 2nd ed. Springer Series in Statistics. 650 pp. ISBN 0-387-95313-2
 * Olofsson, Peter (2005) Probability, Statistics, and Stochastic Processes, Wiley-Interscience. 504 pp ISBN 0-471-67969-0.

बाहरी कड़ियाँ

 * Virtual Laboratories in Probability and Statistics (Univ. of Ala.-Huntsville)
 * Probability and Statistics EBook
 * Edwin Thompson Jaynes. Probability Theory: The Logic of Science. Preprint: Washington University, (1996). — HTML index with links to PostScript files and PDF (first three chapters)
 * People from the History of Probability and Statistics (Univ. of Southampton)
 * Probability and Statistics on the Earliest Uses Pages (Univ. of Southampton)
 * Earliest Uses of Symbols in Probability and Statistics on Earliest Uses of Various Mathematical Symbols
 * A tutorial on probability and Bayes' theorem devised for first-year Oxford University students
 * pdf file of An Anthology of Chance Operations (1963) at UbuWeb
 * Introduction to Probability – eBook, by Charles Grinstead, Laurie Snell Source (GNU Free Documentation License)
 * Bruno de Finetti, Probabilità e induzione, Bologna, CLUEB, 1993. ISBN 88-8091-176-7 (digital version)
 * Richard Feynman's Lecture on probability.
 * Richard Feynman's Lecture on probability.