मोनोमियल ऑर्डर

एकपद प्रणाली एक दिए गए बहुपद वृत्त में सभी (असफल) एकपद समूह पर कुल अनुक्रम होता है, जो गुणन के गुण को संतुष्ट करता है, अर्थात,
 * यदि $$u \leq v$$ और $$w$$ तब कोई अन्य एकपदी $$uw \leq vw$$ है।

एकपद क्रम का सबसे अधिक उपयोग ग्रोबनर आधार और बहुचर विभाजन के साथ किया जाता है। विशेष रूप से, ग्रोबनर आधार होने के गुण हमेशा एक विशिष्ट एकपद प्रणाली के सापेक्ष होती है।

परिभाषा, विवरण और विविधताएं
गुणन का सम्मान करने के अतिरिक्त, एकपदी प्रणाली को अधिकांशतः सुव्यवस्था होने की आवश्यकता होती है, चूंकि यह सुनिश्चित करता है कि बहुभिन्नरूपी विभाजन प्रक्रिया समाप्त हो जाएगी। चूंकि एकपदी स्थिति पर गुणा-सम्मानित क्रम संबंधों के लिए व्यावहारिक अनुप्रयोग भी हैं जो अच्छी स्थिति नहीं हैं।

परिमित रूप से कई चर के विषय में, एक एकपदी प्रणाली का सुव्यवस्थित क्रम निम्नलिखित दो स्थितियों के संयोजन के बराबर है: चूंकि इन शर्तों को एक स्पष्ट नियम के माध्यम से परिभाषित एक एकपदी प्रणाली के लिए सत्यापित करना आसान हो सकता है, सीधे यह प्रमाणित करने के लिए कि यह एक अच्छा क्रम है, उन्हें कभी-कभी एकपदी क्रम की परिभाषाओं में पसंद किया जाता है।
 * 1) अनुक्रम कुल प्रणाली है।
 * 2) यदि  u कोई एकपदी हैं तो $$1 \leq u$$ है।

प्रमुख एकपदी, शर्तें और गुणांक
एकपदी कुल क्रम का चुनाव बहुपद की शर्तों को क्रमबद्ध करने की अनुमति देता है। एक बहुपद का अग्रणी शब्द इस प्रकार सबसे बड़ा एकपदी का पद है।

ठोस रूप से, $R$ बहुपदों का कोई वलय हो। फिर सेट $M$ (मोनिक) एकपदी में $R$ का एक आधार है जिसे गुणांक के क्षेत्र में एक वेक्टर स्थान के रूप में माना जाता है। इस प्रकार, $R$ में किसी भी शून्येतर बहुपद $p$ का एक अद्वितीय व्यंजक होता है $$ p = \textstyle\sum_{u \in S} c_u u $$ एकपदी के एक रैखिक संयोजन के रूप में, जहां $S$, $M$ का परिमित उपसमुच्चय है और $c_{u}$ सभी शून्येतर हैं। जब एक एकपदी क्रम चुना जाता है, तो अग्रणी एकपदी $S$ में सबसे बड़ा $u$ होता है अग्रणी गुणांक संबंधित $c_{u}$ है, और अग्रणी शब्द संबंधित $c_{u}u$ है। शीर्ष एकपदी/गुणांक/शब्द को कभी-कभी "अग्रणी" के पर्याय के रूप में प्रयोग किया जाता है। कुछ लेखक एकपदी के अतिरिक्त समय और पावर प्रोडक्ट के अतिरिक्त एकपदी का उपयोग करते हैं। इस लेख में, एकपदी को गुणांक सम्मलित नहीं माना जाता है।

एकपदी प्रणाली की परिभाषित संपत्ति का तात्पर्य है कि एक बहुपद को एक एकपदी से गुणा करते समय शब्दों का क्रम रखा जाता है। साथ ही, बहुपदों के गुणनफल का अग्रणी पद गुणनखंडों के प्रमुख पदों का गुणनफल होता है।

उदाहरण
मंच पर $$ \left\{ x^n \mid n \in \mathbb{N} \right\} $$ किसी भी एक चर x की घात का, केवल एकपदी आदेश प्राकृतिक क्रम 1 < x < x हैं2 < x3 < ... और इसका विलोम, जिसका उत्तरार्द्ध एक सुव्यवस्थित नहीं है। चूंलिए, एकपद क्रम की धारणा केवल बहु चरों के महत्व में रोचक हो जाती है।

एकपदी प्रणाली का तात्पर्य व्यक्तिगत अनिश्चित पर एक प्रणाली से है। एकपदी प्रणाली के वर्गीकरण को सरल बनाया जा सकता है कि अनिर्धारकों को माना गया एकपदी प्रणाली के लिए घटते क्रम में x1, x2, x3, ... नाम दिया गया है, ताकि हमेशा x1 > x2 > x3 > &hellip;. (यदि अपरिमित रूप से अनेक अनिश्चित हों, तो यह परिपाटी अच्छे क्रम वाली होने की शर्त के साथ असंगत है, और किसी को विपरीत क्रम का उपयोग करने के लिए बाध्य किया जाएगा; चूंकि अपरिमित रूप से कई चरों में बहुपदों के विषय पर शायद ही कभी विचार किया जाता है।) उदाहरण में नीचे हम x1, x2 और x3 के अतिरिक्त x, y और z का उपयोग करते हैं। इस सम्मेलन के साथ अभी भी विभिन्न एकपदी प्रणाली के कई उदाहरण हैं।

शब्दकोशीय क्रम
शब्दकोषीय क्रम पहले एकपदी में x1 के घातांकों की तुलना करता है, और समानता की स्थिति में x2 के घातांकों की तुलना करता है, यह नाम शब्दकोशों के लिए कोशरचना में उपयोग किए जाने वाले सामान्य वर्णानुक्रमिक क्रम की समानता से लिया गया है, यदि एकपदी को अनिश्चित के प्रतिपादकों के अनुक्रम द्वारा दर्शाया जाता है। यदि अनिश्चित की संख्या निश्चित है (जैसा कि सामान्यतः होता है), कोशरचना प्रणाली एक अच्छा-अनुक्रम है, चूंकि यह विभिन्न लंबाई के अनुक्रमों पर लागू कोशक्रमानुसार प्रणाली के स्थिति में नहीं है । ग्रोबनर आधार संगणनाओं के लिए यह क्रम सबसे महंगा होता है; इस प्रकार जहां तक ​​संभव हो, अत्यंत सरल संगणनाओं को छोड़कर इससे बचना चाहिए।

क्रमिक शब्दकोशीय प्रणाली
क्रमिक शब्दकोशीय प्रणाली पहले कुल डिग्री (सभी प्रतिनिधि योग) की तुलना करता है, और एक ग्रंथि की स्थिति में शब्दकोशीय प्रणाली उपयुक्त होती है। यह क्रम न केवल एक अच्छा क्रम है, इसमें यह गुण भी है कि कोई भी एकपदी केवल अन्य एकपदी की परिमित संख्या से पहले होता है; यह शब्दकोशीय प्रणाली के लिए स्थिति नहीं है, जहां x की सभी शक्तियां y से कम हैं। चूंकि बहुत स्वाभाविक है, इस क्रम का उपयोग शायद ही कभी किया जाता है: श्रेणीबद्ध शब्दकोशीय प्रणाली के लिए ग्रोबनेर आधार, जो निम्नानुसार है, जिसकी गणना करना आसान है और बहुपदों के इनपुट सेट पर समान जानकारी प्रदान करता है।

श्रेणीबद्ध विपरीत शब्दकोशीय प्रणाली
श्रेणीबद्ध विपरीत शब्दकोशीय प्रणाली पहले कुल मात्रा की तुलना करता है, पुनः निर्णायक काल के रूप में विपरीत शब्दकोशीय प्रणाली का उपयोग करता है, परंतु यह शब्दकोशीय तुलना के परिणाम को परिवर्तन कर देता है जिसके वजह से शब्दकोशीय रूप से एक ही मात्रा के बड़े एकपदी डेग्रेव्लेक्स को छोटा माना जाता है। पारंपरिक क्रम x1 > x2 > … > xn के अनिश्चित को प्रदर्शित करने के लिए अंतिम आदेश के लिए, यह आवश्यक है कि विपरीत दिशा से पहले निर्णायक काल शब्दकोशीय क्रम अंतिम अनिश्चित xn को सबसे बड़ा मानते है, जिसका अर्थ है कि इसे उस अनिश्चित से प्रारंभ होना चाहिए। श्रेणीबद्ध विपरीत शब्दकोशीय प्रणाली के लिए पहले कुल मात्रा से तुलना करना है, पुनः अंतिम अनिश्चित xn के प्रतिपादक की तुलना करें परंतु परिणाम को परिवर्तन कर दें, इसके अतिरिक्त xn−1 की समान तुलना द्वारा, और x1 के साथ समाप्त होता है। क्रमिक शब्दकोशीय और श्रेणीबद्ध विपरीत शब्दकोशीय प्रणाली के बीच अंतर सूक्ष्म हैं, चूंकि वे वास्तव में 1 और 2 अनिश्चित के लिए मेल खाते हैं। पहला अंतर डिग्री 2 एकपदी के लिए 3 अनिश्चित में आता है, जो वर्गीकृत शब्दकोशीय के रूप में क्रमबद्ध हैं $$ x_1^2 > x_1 x_2 > x_1 x_3 > x_2^2 > x_2 x_3 > x_3^2 $$ परंतु श्रेणीबद्ध विपरीत शब्दकोशीय के रूप में मूलांक दिया गया $$ x_1^2 > x_1 x_2 > x_2^2 > x_1 x_3 > x_2 x_3 > x_3^2 $$ है। सामान्य प्रवृत्ति यह है कि प्रतिलोम प्रणाली किसी भी मात्रा के छोटे एकपदी के बीच सभी चर प्रदर्शित करता है, जबकि गैर-प्रतिलोम प्रणाली के साथ किसी भी मात्रा के सबसे छोटे एकपदी के अंतराल केवल सबसे छोटे चर से बनते हैं।

निष्कासन प्रणाली
विभाग प्रणाली या निष्कासन प्रणाली को किसी भी संख्या में विभाग के लिए परिभाषित किया जा सकता है, परंतु सादगी के लिए, हम केवल दो विभागों की स्थिति पर विचार करते हैं। इस क्रम के लिए, चरों को दो विभागों x1,..., xh, y1,...,yk में विभाजित किया जाता है और प्रत्येक विभाग के लिए एक एकपदी क्रम चुना जाता है, सामान्यतः क्रमिक विपरीत कोषगत प्रणाली है। जो दो एकपदी की तुलना उनके x भाग की तुलना करके की जाती है, और ग्रंथि की स्थिति में y भाग की तुलना करके की जाती है। यह क्रम महत्वपूर्ण है चूंकि यह उन्मूलन की अनुमति देता है, एक शल्य कक्ष जो बीजगणितीय ज्यामिति के प्रक्षेपण से मेल खाता है।

वजन क्रम
वजन क्रम एक वेक्टर पर निर्भर करता है $$(a_1,\ldots,a_n)\in\R_{\geq0}^n$$ जिसे वेट वेक्टर कहा जाता है। यह पहले इस वेट वेक्टर के साथ एकपदी के प्रतिनिधि अनुक्रमों के बिन्दु उत्पाद की तुलना करता है, और एक ग्रंथि की स्थिति में कुछ अन्य निश्चित एकपदी प्रणाली का उपयोग करता है। उदाहरण के लिए, क्रमिक प्रणाली "कुल मात्रा" वेट वेक्टर (1,1,...,1) के लिए वेट प्रणाली हैं। यदि एi तर्कसंगत निर्भरता संख्याएं हैं (इसलिए विशेष रूप से उनमें से कोई भी शून्य नहीं है और सभी भिन्न हैं $$\tfrac{a_i}{a_j}$$ अपरिमेय हैं) तो एक  ग्रंथि कभी नहीं हो सकती है, और वेट वेक्टर स्वयं एक एकपदी क्रम निर्दिष्ट करता है। इसके विपरीत स्थिति में, संबंधों को समाप्त करने के लिए एक और वेट वेक्टर का उपयोग किया जा सकता है, और इसी तरह; n रैखिक रूप से स्वतंत्र भार सदिशों का उपयोग करने के बाद, कोई शेष बंधन नहीं हो सकता। कोई वास्तव में वेट वैक्टर (#cox et al. पीपी। 72-73) के अनुक्रम द्वारा किसी एकपदी प्रणाली को परिभाषित कर सकता है, उदाहरण के लिए (1,0,0,...,0), (0,1,0, ...,0), ... (0,0,...,1)  विधि के लिए, या (1,1,1,...,1), (1,1,..., 1, 0), ... (1,0,...,0) ग्रेव्लेक्स के लिए।

उदाहरण के लिए, एकपदी प्रणाली $$xy^2z$$, $$z^2$$, $$x^3$$, और $$x^2z^2$$; इन चार एकपदी पर निर्भार करती है।


 * लेक्स: $$x^3 > x^2z^2 > xy^2z > z^2$$ ( पावर $$x$$ की प्रमुखता है)।
 * ग्रेलेक्स: $$x^2z^2 > xy^2z > x^3 > z^2$$ (कुल मात्रा की प्रमुखता है; की उच्च शक्ति $$x$$ पहले दो के बीच ग्रंथि समाप्त कर दी है)।
 * ग्रेवलेक्स: $$xy^2z > x^2z^2 > x^3 > z^2$$ (कुल मात्रा की प्रमुखता है; की न्यून शक्ति $$z$$ पहले दो के बीच ग्रंथि समाप्त कर दी है)।
 * वेट वेक्टर के साथ एक वेट प्रणाली (1,2,4): $$x^2z^2 > xy^2z > z^2 > x^3$$ ( बिंदु उत्पाद 10>9>8>3 विश्लेषण के लिए कोई भी अनुबंध अवशिष्ट नहीं है)।

संबंधित धारणाएँ

 * एक विलोपन प्रणाली यह निश्चित करती है कि एक एकपदी जिसमें अनिश्चित का कोई भी समूह सम्मलित है, जो हमेशा उस एकपदी से बड़ा होगा जो उनमें से किसी को सम्मलित नहीं करता है।
 * एक उत्पादन प्रणाली एक उन्मूलन प्रणाली का आसान उदाहरण है। यह उनके संघ पर एकपद प्रणाली में अनिश्चितताओं के असंबद्ध स्थितयों पर एकपद प्रणाली के संयोजन में सम्मलित है। यह पहले एकपद प्रणाली का उपयोग करके पहले स्थित में अनिश्चित के घातांक की तुलना करता है, पुनः दूसरी स्थित के अनिश्चित पर अन्य एकपद प्रणाली का उपयोग करके संबंधों का खंडन करता है। यह विधि स्पष्ट रूप से अनिश्चित के समुच्चय के किसी भी असम्बद्ध मिलन का सामान्यीकरण करती है; शब्दकोशीय प्रणाली एकल स्थित {x1}, {x2}, {x3}, ... (प्रत्येक एकल के लिए अद्वितीय एकपद क्रम के साथ) से प्राप्त किया जा सकता है।

ग्रोबनर आधारों की गणना करने के लिए एकपद क्रम का उपयोग करते समय, अलग-अलग प्रणाली अलग-अलग परिणाम दे सकते हैं, और गणना की समस्या आकस्मिक रूप से भिन्न हो सकती है। उदाहरण के लिए, क्रमिक विपरीत शब्दकोशीय प्रणाली के पास उत्पादन के लिए एक प्रतिष्ठा है, लगभग हमेशा, ग्रोबनर आधार जो गणना करने में सबसे आसान हैं (यह इस तथ्य से उचित होता है कि, आदर्श पर सामान्य परिस्थितियों के तहत, ग्रोबनर आधार में बहुपदों में एक है मात्रा जो चर की संख्या में सबसे अधिक घातीय है; ऐसा कोई जटिलता परिणाम किसी अन्य आदेश के लिए सम्मलित नहीं है)। दूसरी ओर, उन्मूलन सिद्धांत और सापेक्ष समस्याओं के लिए उन्मूलन प्रणाली आवश्यक हैं।