आंतरिक माप

गणित में, विशेष रूप से माप सिद्धांत में, एक आंतरिक माप किसी दिए गए सेट (गणित) के सत्ता स्थापित  पर एक फ़ंक्शन (गणित) होता है, जिसमें विस्तारित वास्तविक रेखा में मान होते हैं, जो कुछ तकनीकी स्थितियों को संतुष्ट करते हैं। सहज रूप से, किसी सेट का आंतरिक माप उस सेट के आकार की निचली सीमा है।

परिभाषा
एक आंतरिक माप एक निर्धारित फ़ंक्शन है $$\varphi : 2^X \to [0, \infty],$$ एक समुच्चय के सभी उपसमुच्चयों पर परिभाषित $$X,$$ जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:


 * शून्य खाली सेट: खाली सेट में शून्य आंतरिक माप है (यह भी देखें: शून्य मापें); वह है, $$\varphi(\varnothing) = 0$$
 * सुपरएडिटिविटी: किसी भी असंयुक्त सेट सेट के लिए $$A$$ और $$B,$$ $$\varphi(A \cup B) \geq \varphi(A) + \varphi(B).$$
 * घटते टावरों की सीमाएँ: किसी भी क्रम के लिए $$A_1, A_2, \ldots$$ ऐसे सेटों का $$ A_j \supseteq A_{j+1}$$ प्रत्येक के लिए $$j$$ और $$\varphi(A_1) < \infty$$ $$\varphi \left(\bigcap_{j=1}^\infty A_j\right) = \lim_{j \to \infty} \varphi(A_j)$$
 * अनंत तक पहुंचना चाहिए: यदि $$\varphi(A) = \infty$$ एक सेट के लिए $$A$$ फिर प्रत्येक सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए $$r,$$ वहाँ कुछ मौजूद है $$B \subseteq A$$ ऐसा है कि $$r \leq \varphi(B) < \infty.$$

किसी माप से प्रेरित आंतरिक माप
होने देना $$\Sigma$$ एक सेट पर σ-बीजगणित हो $$X$$ और $$\mu$$ एक उपाय (गणित) पर हो $$\Sigma.$$ फिर भीतर का माप $$\mu_*$$ प्रेरक $$\mu$$ द्वारा परिभाषित किया गया है $$\mu_*(T) = \sup\{\mu(S) : S \in \Sigma \text{ and } S \subseteq T\}.$$ अनिवार्य रूप से $$\mu_*$$ यह सुनिश्चित करके किसी भी सेट के आकार की निचली सीमा देता है कि वह कम से कम उतना बड़ा हो $$\mu$$-इसमें से किसी एक का माप $$\Sigma$$-मापने योग्य उपसमुच्चय. भले ही सेट फ़ंक्शन $$\mu_*$$ आमतौर पर कोई माप नहीं है, $$\mu_*$$ निम्नलिखित गुणों को उपायों के साथ साझा करता है:
 * 1) $$\mu_*(\varnothing) = 0,$$
 * 2) $$\mu_*$$ गैर-नकारात्मक है,
 * 3) अगर $$E \subseteq F$$ तब $$\mu_*(E) \leq \mu_*(F).$$

पूर्णता मापें
किसी माप को बड़े σ-बीजगणित तक विस्तारित करने के लिए प्रेरित आंतरिक मापों का उपयोग अक्सर बाहरी मापों के साथ संयोजन में किया जाता है। अगर $$\mu$$ σ-बीजगणित पर परिभाषित एक सीमित माप है $$\Sigma$$ ऊपर $$X$$ और $$\mu^*$$ और $$\mu_*$$ संगत प्रेरित बाहरी और आंतरिक उपाय हैं, फिर सेट $$T \in 2^X$$ ऐसा है कि $$\mu_*(T) = \mu^*(T)$$ एक σ-बीजगणित बनाएं <गणित शैली=वर्टिकल-एलाइन:0%; >\टोपी \सिग्मा के साथ <गणित शैली= लंबवत-संरेखण:-15%; >\Sigma\subseteq\hat\Sigma. सेट फ़ंक्शन $$\hat\mu$$ द्वारा परिभाषित $$\hat\mu(T) = \mu^*(T) = \mu_*(T)$$ सभी के लिए <गणित शैली=वर्टिकल-एलाइन:0%; >T \in \hat \Sigma \hat \Sigma के समापन के रूप में जाना जाता है मह>\मो.

संदर्भ

 * Halmos, Paul R., Measure Theory, D. Van Nostrand Company, Inc., 1950, pp. 58.
 * A. N. Kolmogorov & S. V. Fomin, translated by Richard A. Silverman, Introductory Real Analysis, Dover Publications, New York, 1970, ISBN 0-486-61226-0 (Chapter 7)