पी-एडिक हॉज सिद्धांत

गणित में p-एडिक हॉज थ्योरी एक सिद्धांत है | जो गैलोज प्रतिनिधित्व को वर्गीकृत और अध्ययन करने की विधि प्रदान करता है। अवशिष्ट विशेषता p के साथ (जैसे p-एडिक नंबर क्यू'p) सिद्धांत की प्रारंभ जीन पियरे सेरे और जॉन टेट (गणितज्ञ) के एबेलियन किस्म के टेट मॉड्यूल के अध्ययन और हॉज-टेट प्रतिनिधित्व की धारणा से हुई है। हॉज-टेट निरूपण हॉज अपघटन के अनुरूप p-एडिक सह-समरूपता सिद्धांतों के कुछ अपघटन से संबंधित हैं | इसलिए नाम p-एडिक हॉज सिद्धांत है। आगे के घटनाक्रम बीजगणितीय विविधता के ईटेल कोहोलॉजी से उत्पन्न होने वाले p-एडिक गैलोइस निरूपण के गुणों से प्रेरित थे। जीन-मार्क फॉनटेन ने क्षेत्र की कई मूलभूत अवधारणाओं को प्रस्तुत किया था।

p-एडिक निरूपण का सामान्य वर्गीकरण
बता दें कि K विशेषता p के अवशेष क्षेत्र k के साथ एक स्थानीय क्षेत्र है। इस लेख में K (या GK का, K का निरपेक्ष गैलोज़ समूह) का p-एडिक प्रतिनिधित्व एक निरंतर (गणित) प्रतिनिधित्व होगा ρ: GK→ GL(V), जहाँ V Qp पर एक परिमित-आयामी सदिश स्थान है। K के सभी p-एडिक निरूपण का संग्रह एक एबेलियन श्रेणी को निरूपित $$\mathrm{Rep}_{\mathbf{Q}_p}(K)$$ इस लेख में करता है। p-एडिक हॉज सिद्धांत p-एडिक निरूपण के उप-संग्रह प्रदान करता है कि वे कितने अच्छे हैं, और रैखिक बीजगणितीय वस्तुओं की श्रेणियों के लिए स्वतंत्र फ़ैक्टर भी प्रदान करते हैं | जो कि अध्ययन करना आसान है। मूल वर्गीकरण इस प्रकार है |
 * $$\operatorname{Rep}_\mathrm{cris}(K)\subsetneq\operatorname{Rep}_{st}(K) \subsetneq \operatorname{Rep}_{dR}(K)\subsetneq \operatorname{Rep}_{HT}(K) \subsetneq \operatorname{Rep}_{\mathbf{Q}_p}(K)$$

जहां प्रत्येक संग्रह एक निरपेक्ष उपश्रेणी है | जो सही से अगले में निहित है। क्रम में, ये क्रिस्टलीय निरूपण, अर्धस्थिर निरूपण, डी राम निरूपण, हॉज-टेट निरूपण और सभी p-एडिक निरूपण की श्रेणियां हैं। इसके अतिरिक्त, प्रतिनिधित्व की दो अन्य श्रेणियां प्रस्तुत की जा सकती हैं | संभावित क्रिस्टलीय प्रतिनिधित्व Reppcris(K) और संभावित अर्ध-स्थिर प्रतिनिधित्व Reppst(K) उत्तरार्द्ध में कठोरता से पूर्व सम्मिलित है | जो बदले में सामान्यतः रेपक्रिस (के) को कठोरता से सम्मिलित करता है | इसके अतिरिक्त, Reppst(K) में सामान्यतः कठोरता से Repst(K) होता है, और RepdR(K) में समाहित होता है (समानता के साथ जब K का अवशेष क्षेत्र परिमित होता है, एक कथन जिसे p-एडिक मोनोड्रोमी प्रमेय कहा जाता है)।

अंकगणितीय ज्यामिति में आवर्त वलय और समरूपता की तुलना
फॉनटेन द्वारा प्रस्तुत किए गए p-एडिक हॉज सिद्धांत की सामान्य रणनीति, कुछ तथाकथित अवधि के छल्ले जैसे कि बीडीआर, बीएसटी, बीक्रिस और बीएचटी का निर्माण करना है | जिसमें कुछ रैखिक बीजगणितीय संरचना और दोनों द्वारा समूह क्रिया (गणित) है। तथाकथित डायडोने मॉड्यूल पर विचार करें |
 * $$D_B(V)=(B\otimes_{\mathbf{Q}_p}V)^{G_K}$$

(जहाँ B अवधि वलय है, और V p-एडिक प्रतिनिधित्व है) जिसमें अब GK-फलन, नहीं है | किन्तु रिंग B से विरासत में मिली रैखिक बीजगणितीय संरचनाओं से संपन्न हैं। विशेष रूप से, वे $$E:=B^{G_K}$$ निश्चित क्षेत्र पर सदिश रिक्त स्थान हैं | यह निर्माण B-एडिक प्रतिनिधित्व की औपचारिकता में फिट बैठता है | फॉनटेन द्वारा प्रारंभ किए गए B-एडिक प्रतिनिधित्व अवधि के लिए पूर्वोक्त B की तरह रिंग करें (∗ = HT, dR, st, cris) के लिए, p-एडिक निरूपण प्रतिनिधि की श्रेणी (k) ऊपर वर्णित B-एडिक प्रतिनिधित्व की श्रेणी है। B∗-एडिक वाले, अर्थात वे p-एडिक निरूपण वी जिसके लिए
 * $$\dim_ED_{B_\ast}(V)=\dim_{\mathbf{Q}_p}V$$

या, समकक्ष, बी-एडिक प्रतिनिधित्व
 * $$\alpha_V:B_\ast\otimes_ED_{B_\ast}(V)\longrightarrow B_\ast \otimes_{\mathbf{Q}_p}V$$

समरूपता है।

यह औपचारिकता (और नाम की अवधि की रिंग) अंकगणितीय ज्यामिति और जटिल ज्यामिति में तुलनात्मक समरूपता के संबंध में कुछ परिणामों और अनुमानों से बढ़ी है |
 * यदि एक्स 'जटिल संख्या' पर उचित सुचारू योजना (गणित) है, तो 'c' पर एक्स के बीजगणितीय डी रम कोहोलॉजी और एक्स ('c') के एकवचन कोहोलॉजी के बीच मौलिक तुलना समरूपता है।
 * $$H^\ast_{\mathrm{dR}}(X/\mathbf{C})\cong H^\ast(X(\mathbf{C}),\mathbf{Q})\otimes_\mathbf{Q}\mathbf{C}.$$
 * इस समरूपता को बीजगणितीय डी राम कोहोलॉजी में अभिन्न अंतर रूपों द्वारा प्राप्त एक जोड़ी पर विचार करके प्राप्त किया जा सकता है | जो एकवचन कोहोलॉजी में बीजगणितीय चक्र पर होता है। इस तरह के एकीकरण के परिणाम को अवधियों का वलय कहा जाता है और यह सामान्यतः सम्मिश्र संख्या होती है। यह बताता है कि एकवचन कोहोलॉजी को स्केलर्स का c तक विस्तार क्यों होना चाहिए, और इस दृष्टिकोण से, c को एकवचन कोहोलॉजी के साथ बीजगणितीय डी रम कोहोलॉजी की तुलना करने के लिए आवश्यक सभी अवधियों को समाहित करने के लिए कहा जा सकता है, और इसलिए इसे p रियड रिंग कहा जा सकता है।


 * मध्य साठ के दशक में, टेट ने अनुमान लगाया बीजगणितीय डी रम कोहोलॉजी और p-एडिक एटले कोहोलॉजी (हॉज-टेट अनुमान, जिसे c भी कहा जाता है) के बीच एक समान आइसोमोर्फिज्म उचित सुचारूयोजनाओं एक्स ओवर के के लिए होना चाहिए। विशेष रूप से, माना cK K के बीजगणितीय समापन का निरपेक्ष (टोपोलॉजी) होना, 'C'K(i) निरूपित 'c'K जहां g की फलन Kg·z = χ(g) के माध्यम से है | g·zi (जहाँ χ साइक्लोटॉमिक कैरेक्टर है p-एडिक साइक्लोटॉमिक कैरेक्टर है, और i निरपेक्षांक है), और मान लीजिए $$B_{\mathrm{HT}}:=\oplus_{i\in\mathbf{Z}}\mathbf{C}_K(i)$$. फिर क्रियात्मक समरूपता है |
 * $$B_{\mathrm{HT}}\otimes_K\mathrm{gr}H^\ast_{\mathrm{dR}}(X/K)\cong B_{\mathrm{HT}}\otimes_{\mathbf{Q}_p}H^\ast_{\mathrm{\acute{e}t}}(X\times_K\overline{K},\mathbf{Q}_p)$$
 * gK के साथ वर्गीकृत सदिश रिक्त स्थान फलन (डी रम कोहोलॉजी हॉज निस्पंदन से लैस है, और $$\mathrm{gr}H^\ast_{\mathrm{dR}}$$ इसकी संबद्ध श्रेणीबद्ध है)। अस्सी के दशक के उत्तरार्ध में गर्ड फाल्टिंग्स द्वारा इस अनुमान को सिद्ध किया गया था कई अन्य गणितज्ञों (स्वयं टेट सहित) द्वारा आंशिक परिणामों के बाद होता है।


 * पी-एडिक फील्ड पर अच्छी कमी के साथ एक एबेलियन किस्म एक्स के लिए के अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक ने टेट के एक प्रमेय को यह कहने के लिए सुधारा कि क्रिस्टलीय कोहोलॉजी H1(X/W(k)) ⊗ क्यूपी विशेष फाइबर (इस पर फ्रोबेनियस एंडोमोर्फिज्म के साथ) समूह और इस समूह पर हॉज निस्पंदन K के साथ टेंसर) और p-एडिक एटले कोहोलॉजी H1(X,Qp) (K के फ़्रांसीसी समूह की कार्य के साथ) में समान जानकारी थी। दोनों एक्स से जुड़े पी-विभाज्य समूह के समतुल्य हैं | जो आइसोजेनी तक हैं। ग्रोथेंडिक ने अनुमान लगाया कि पी-एडिक क्षेत्रों पर अच्छी कमी के साथ सभी किस्मों के लिए पी-एडिक एटेल कोहोलॉजी से सीधे क्रिस्टलीय कोहोलॉजी (और पीछे) तक जाने का एक विधि होना चाहिए। यह सुझाया गया संबंध रहस्यमय कारक के रूप में जाना जाने लगा है ।

हॉज-टेट अनुमान को डी रम कोहोलॉजी (न केवल इसके संबद्ध ग्रेडेड) से जुड़े एक में सुधार करने के लिए, फॉनटेन ने निर्माण किया फिल्ट्रेशन (गणित) रिंग BdR जिसका संबद्ध ग्रेड BHT है और अनुमान लगाया निम्नलिखित (कहा जाता है cdR) K के ऊपर किसी भी सुचारू उचित योजना X के लिए
 * $$B_{\mathrm{dR}}\otimes_KH^\ast_{\mathrm{dR}}(X/K)\cong B_{\mathrm{dR}}\otimes_{\mathbf{Q}_p}H^\ast_{\mathrm{\acute{e}t}}(X\times_K\overline{K},\mathbf{Q}_p)$$

gK-कार्य के साथ फ़िल्टर किए गए सदिश रिक्त स्थान के रूप में इस प्रकार, BdR कहा जा सकता है कि सभी (p-एडिक) अवधियों को p-एडिक एटले कोहोलॉजी के साथ बीजगणितीय डे राम कोहोलॉजी की तुलना करने की आवश्यकता होती है | जैसे उपरोक्त जटिल संख्याएं एकवचन कोहोलॉजी के साथ तुलना के साथ उपयोग की जाती हैं। यहीं पर BdR p-एडिक काल के वलय का अपना नाम प्राप्त करता है।

इसी तरह, ग्रोथेंडिक के रहस्यमय फ़ंक्टर की व्याख्या करने के लिए अनुमान तैयार करने के लिए, फॉनटेन ने रिंग Bcris प्रस्तुत किया gK-फलन के साथ, फ्रोबेनियस φ, और K0 से अदिशों के विस्तार के बाद निस्पंदन होता है। उन्होंने अनुमान लगाया निम्नलिखित (कहा जाता है ccris) अच्छी कमी के साथ K के ऊपर किसी भी सुचारू उचित योजना X के लिए
 * $$B_{\mathrm{cris}}\otimes_{K_0}H^\ast_{\mathrm{dR}}(X/K)\cong B_{\mathrm{cris}}\otimes_{\mathbf{Q}_p}H^\ast_{\mathrm{\acute{e}t}}(X\times_K\overline{K},\mathbf{Q}_p)$$

φ-फलन के साथ सदिश समष्टियों के रूप में, GK-कार्य, और फिल्ट्रेशन स्केलर्स को K तक विस्तारित करने के बाद (यहाँ $$H^\ast_{\mathrm{dR}}(X/K)$$ K0 के रूप में इसकी संरचना दी गई है सदिश अंतरिक्ष के साथ φ-फलन क्रिस्टलीय कोहोलॉजी के साथ इसकी तुलना द्वारा दी गई है)। दोनों cdR और ccris फाल्टिंग द्वारा अनुमान सिद्ध किए गए थे।

B की धारणा के साथ इन दो अनुमानों की तुलना करने पर∗उपरोक्त एडिक निरूपण, यह देखा गया है कि यदि X K (अच्छी कमी के साथ) पर उचित सुचारू योजना है और V p-एडिक फ़्रांसीसी प्रतिनिधित्व है | जैसा कि इसका ith p-एडिक कोहोलॉजी समूह है, तो
 * $$D_{B_\ast}(V)=H^i_{\mathrm{dR}}(X/K).$$

दूसरे शब्दों में, डायडोने मॉड्यूल को वी से संबंधित अन्य कोहोलॉजी देने के बारे में सोचा जाना चाहिए।

अस्सी के दशक के अंत में, फॉनटेन और उवे जैनसेन ने एक और तुलना समरूपतावाद अनुमान तैयार किया, cst, इस बार X को अर्ध-स्थिर कमी की अनुमति देता है। फॉन्टेन का निर्माण किया रिंग Bst gK-कार्य के साथ, फ्रोबेनियस φ, के स्केलर को विस्तारित करने के बाद निस्पंदन से K0 (और p-एडिक लघुगणक p-एडिक लघुगणक का विस्तार तय करना), और मोनोड्रोमी संचालक N जब X में अर्ध-स्थिर कमी होती है, तो कोहोलॉजी को φ-क्रिया और मोनोड्रोमी संचालक से सुसज्जित किया जा सकता है। ओसामु ह्योडो द्वारा पहली बार प्रस्तुत किए गए लॉग-क्रिस्टलीय कोहोलॉजी के साथ इसकी तुलना अनुमान तब कहता है |
 * $$B_{\mathrm{st}}\otimes_{K_0}H^\ast_{\mathrm{dR}}(X/K)\cong B_{\mathrm{st}}\otimes_{\mathbf{Q}_p}H^\ast_{\mathrm{\acute{e}t}}(X\times_K\overline{K},\mathbf{Q}_p)$$

φ-फलन के साथ सदिश समष्टियों के रूप में, GK-फलन, स्केलर को K तक विस्तारित करने के बाद फिल्ट्रेशन, और मोनोड्रोमी संचालक N. यह अनुमान नब्बे के दशक के उत्तरार्ध में सूजी द्वारा सिद्ध किया गया था।

यह भी देखें

 * हॉज सिद्धांत
 * अरकेलोव सिद्धांत
 * हॉज-अराकेलोव सिद्धांत
 * p-एडिक टेचमुलर सिद्धांत

माध्यमिक स्रोत


श्रेणी:बीजगणितीय संख्या सिद्धांत श्रेणी:गैलोइस सिद्धांत श्रेणी:समूहों का प्रतिनिधित्व सिद्धांत श्रेणी:हॉज सिद्धांत श्रेणी:अंकगणित ज्यामिति