दीर्घ रेखा (टोपोलॉजी)

टोपोलॉजी में, लंबी लाइन (या पावेल अलेक्जेंड्रोव लाइन) वास्तविक रेखा के समान कुछ हद तक एक स्थलीय स्थान है, लेकिन एक निश्चित तरीके से लंबी है। यह वास्तविक रेखा की तरह ही स्थानीय रूप से व्यवहार करता है, लेकिन इसमें अलग-अलग बड़े पैमाने के गुण होते हैं (उदाहरण के लिए, यह न तो लिंडेलोफ स्पेस है | लिंडेलोफ और न ही अलग करने योग्य स्थान)। इसलिए, यह टोपोलॉजी के बुनियादी प्रतिउदाहरणों में से एक के रूप में कार्य करता है। सहजता से, सामान्य वास्तविक-संख्या रेखा में रेखा खंडों की एक गणनीय संख्या होती है $$[0,1)$$ अंत-से-अंत तक रखी जाती है, जबकि लंबी लाइन का निर्माण ऐसे खंडों की बेशुमार संख्या से किया जाता है।

परिभाषा
बंद लंबी किरण $$L$$ पहले बेशुमार क्रमसूचक के कार्तीय उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है। पहले बेशुमार क्रमसूचक $$\omega_1$$अंतराल (गणित) के साथ | आधा-खुला अंतराल $$[0, 1),$$ आदेश टोपोलॉजी से लैस है जो लेक्सिकोग्राफिक ऑर्डर से उत्पन्न होता है $$\omega_1 \times [0,1)$$. सबसे छोटे तत्व को हटाकर बंद लंबी किरण से खुली लंबी किरण प्राप्त की जाती है $$(0, 0).$$ प्रत्येक दिशा में एक लंबी किरण को एक साथ रखकर लंबी रेखा प्राप्त की जाती है। अधिक कठोर रूप से, इसे उलटी खुली लंबी किरण ("उलट" का अर्थ है कि क्रम उलटा हुआ है) के असंयुक्त संघ पर आदेश टोपोलॉजी के रूप में परिभाषित किया जा सकता है और (उलट नहीं) बंद लंबी किरण, बाद के बिंदुओं को पूरी तरह से आदेश देकर पूर्व के बिंदुओं से अधिक हो। वैकल्पिक रूप से, खुली लंबी किरण की दो प्रतियाँ लें और खुले अंतराल की पहचान करें $$\{ 0 \} \times (0, 1)$$ एक का दूसरे के समान अंतराल के साथ लेकिन अंतराल को उलट देना, अर्थात बिंदु की पहचान करना $$(0, t)$$ (कहाँ पे $$t$$ एक वास्तविक संख्या है जैसे कि $$0 < t < 1$$) बिंदु वाले का $$(0, 1 - t)$$ दूसरे की, और दोनों के बीच पहचाने गए खुले अंतराल के साथ दो खुली लंबी किरणों को ग्लूइंग करके प्राप्त टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में लंबी लाइन को परिभाषित करें। (पूर्व निर्माण इस अर्थ में बेहतर है कि यह लंबी लाइन पर ऑर्डर को परिभाषित करता है और दिखाता है कि टोपोलॉजी ऑर्डर टोपोलॉजी है; बाद वाला इस अर्थ में बेहतर है कि यह खुले सेट के साथ ग्लूइंग का उपयोग करता है, जो टोपोलॉजिकल से स्पष्ट है दृष्टिकोण।)

सहज रूप से, बंद लंबी किरण एक वास्तविक (बंद) अर्ध-रेखा की तरह होती है, सिवाय इसके कि यह एक दिशा में बहुत लंबी होती है: हम कहते हैं कि यह एक छोर पर लंबी होती है और दूसरे पर बंद होती है। खुली लंबी किरण वास्तविक रेखा (या समकक्ष रूप से एक खुली अर्ध-रेखा) की तरह है, सिवाय इसके कि यह एक दिशा में बहुत लंबी है: हम कहते हैं कि यह एक छोर पर लंबी और दूसरी तरफ छोटी (खुली) है। लंबी रेखा दोनों दिशाओं में वास्तविक रेखाओं से लंबी होती है: हम कहते हैं कि यह दोनों दिशाओं में लंबी है।

हालाँकि, कई लेखक "लंबी रेखा" की बात करते हैं जहाँ हमने (बंद या खुली) लंबी किरण की बात की है, और विभिन्न लंबी जगहों के बीच बहुत भ्रम है। कई उपयोगों या प्रतिउदाहरणों में, हालांकि, भेद अनावश्यक है, क्योंकि महत्वपूर्ण हिस्सा पंक्ति का "लंबा" अंत है, और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि दूसरे छोर पर क्या होता है (चाहे लंबा, छोटा या बंद)।

एक संबंधित स्थान, (बंद) विस्तारित लंबी किरण, $$L^*,$$ के एक-बिंदु संघनन के रूप में प्राप्त किया जाता है $$L$$ के दाईं ओर एक अतिरिक्त तत्व जोड़कर $$L.$$ समान रूप से लंबी रेखा में दो तत्वों को जोड़कर विस्तारित लंबी रेखा को परिभाषित किया जा सकता है, प्रत्येक छोर पर एक।

गुण
बंद लंबी किरण $$L = \omega_1 \times [0, 1)$$ की अनगिनत प्रतियों से मिलकर बनता है $$[0, 1)$$ 'एक साथ चिपकाया' शुरू से अंत तक। इसकी तुलना इस तथ्य से करें कि किसी के लिए भी क्रमसूचक संख्या $$\alpha$$, एक साथ चिपकाना $$\alpha$$ की प्रतियां $$[0, 1)$$ एक स्थान देता है जो अभी भी होमोमोर्फिक (और ऑर्डर-आइसोमॉर्फिक) है $$[0, 1).$$ (और अगर हमने एक साथ चिपकाने की कोशिश की  से $$\omega_1$$ की प्रतियां $$[0, 1),$$ परिणामी स्थान अब स्थानीय रूप से होमियोमॉर्फिक नहीं होगा $$\R.$$)

में हर बढ़ता क्रम $$L$$ में एक अनुक्रम की सीमा में परिवर्तित हो जाता है $$L$$; यह इस तथ्य का परिणाम है कि (1) के तत्व $$\omega_1$$ गणनीय क्रमसूचक हैं, (2) गणनीय क्रमसूचकों के प्रत्येक गणनीय परिवार का सर्वोच्च एक गणनीय क्रमसूचक है, और (3) वास्तविक संख्याओं का प्रत्येक बढ़ता हुआ और परिबद्ध अनुक्रम अभिसरण करता है। नतीजतन, कोई सख्ती से बढ़ता हुआ कार्य नहीं हो सकता है $$L \to \R.$$ वास्तव में, प्रत्येक निरंतर कार्य $$L \to \R$$ अंततः स्थिर है।

ऑर्डर टोपोलॉजी के रूप में, (संभवतः विस्तारित) लंबी किरणें और रेखाएँ सामान्य स्थान हॉसडॉर्फ स्पेस हैं। उन सभी में वास्तविक रेखा के समान प्रमुखता है, फिर भी वे 'काफी लंबी' हैं। ये सभी स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हैं। उनमें से कोई भी मेट्रिजेबल स्पेस नहीं है; इसे लंबी किरण के रूप में देखा जा सकता है जो क्रमिक रूप क्रमिक रूप से कॉम्पैक्ट स्थान है लेकिन कॉम्पैक्ट जगह नहीं है, या यहां तक ​​कि लिंडेलोफ स्पेस|लिंडेलोफ।

(गैर-विस्तारित) लंबी लाइन या किरण परा-सुसंहत नहीं है। यह पथ से जुड़ा हुआ है, स्थानीय रूप से पथ से जुड़ा हुआ है और बस जुड़ा हुआ है लेकिन अनुबंधित नहीं है। यह बंद किरण के मामले में सीमा के साथ एक आयामी टोपोलॉजिकल विविध है। यह प्रथम-गणनीय स्थान है | प्रथम-गणनीय है लेकिन द्वितीय-गणनीय स्थान नहीं है और अलग-अलग स्थान नहीं है, इसलिए जिन लेखकों को बाद के गुणों की आवश्यकता होती है, वे लंबी रेखा को कई गुना नहीं कहते हैं। एक बार में सभी लंबी जगहों पर विचार करना समझ में आता है क्योंकि प्रत्येक जुड़ा हुआ (गैर-खाली) एक आयामी (जरूरी नहीं कि वियोज्य स्थान) टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड संभवतः सीमा के साथ, सर्कल, बंद अंतराल, खुले अंतराल (वास्तविक) के लिए होमियोमॉर्फिक है लाइन), आधा खुला अंतराल, बंद लंबी किरण, खुली लंबी किरण, या लंबी रेखा। लंबी लाइन या किरण को एक (गैर-वियोज्य) विभेदक मैनिफोल्ड (बंद किरण के मामले में सीमा के साथ) की संरचना से सुसज्जित किया जा सकता है। हालांकि, टोपोलॉजिकल संरचना के विपरीत जो अद्वितीय है (सांस्कृतिक रूप से, वास्तविक रेखा को किसी भी छोर पर लंबा बनाने का एक ही तरीका है), अलग-अलग संरचना अद्वितीय नहीं है: वास्तव में, अनगिनत हैं ($$2^{\aleph_1}$$ सटीक होने के लिए) उस पर जोड़ीदार गैर-डिफियोमॉर्फिक चिकनी संरचनाएं। यह वास्तविक रेखा के बिल्कुल विपरीत है, जहां अलग-अलग चिकनी संरचनाएं भी हैं, लेकिन ये सभी मानक एक के लिए भिन्न हैं।

लंबी रेखा या किरण को एक (वास्तविक) विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड (बंद किरण के मामले में सीमा के साथ) की संरचना से सुसज्जित किया जा सकता है। हालाँकि, यह अलग-अलग मामले की तुलना में बहुत अधिक कठिन है (यह (अलग-अलग) एक-आयामी विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड के वर्गीकरण पर निर्भर करता है, जो अलग-अलग मैनिफोल्ड की तुलना में अधिक कठिन है)। फिर से, कोई दिया $$C^{\infty}$$ संरचना को असीम रूप से कई तरीकों से अलग-अलग तरीके से बढ़ाया जा सकता है $$C^{\omega}$$ (= विश्लेषणात्मक) संरचनाएं (जो विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड के रूप में जोड़ीदार गैर-विभेदक हैं)। लंबी रेखा या किरण को रिमेंनियन मीट्रिक से सुसज्जित नहीं किया जा सकता है जो इसकी टोपोलॉजी को प्रेरित करता है। इसका कारण यह है कि रीमैनियन मैनिफोल्ड्स, पैराकॉम्पैक्टनेस की धारणा के बिना भी, मेट्रिज़ेबल दिखाया जा सकता है। विस्तारित लंबी किरण $$L^*$$ कॉम्पैक्ट स्पेस है। यह बंद लंबी किरण का एक-बिंदु संघनन है $$L,$$ लकिन यह है इसका स्टोन-सीच कॉम्पैक्टिफिकेशन | स्टोन-चेक कॉम्पैक्टिफिकेशन, क्योंकि (बंद या खुली) लंबी किरण से लेकर वास्तविक रेखा तक कोई भी निरंतर कार्य अंततः स्थिर होता है। $$L^*$$ जुड़ा हुआ स्थान भी है, लेकिन कनेक्टेड स्पेस नहीं है | पाथ-कनेक्टेड क्योंकि लंबी लाइन एक पथ द्वारा कवर करने के लिए 'बहुत लंबी' है, जो एक अंतराल की एक सतत छवि है। $$L^*$$ बहुगुणित नहीं है और प्रथम गणनीय नहीं है।

पी-एडिक एनालॉग
लंबी लाइन का एक पी-एडिक|पी-एडिक एनालॉग मौजूद है, जो जॉर्ज बर्गमैन के कारण है। इस स्थान का निर्माण प्रतियों के बेशुमार निर्देशित सेट के बढ़ते संघ के रूप में किया गया है $$X_{\gamma}$$ एक गणनीय क्रमसूचक द्वारा अनुक्रमित p-adic पूर्णांकों के वलय का $$\gamma.$$ मानचित्र को परिभाषित कीजिए $$X_{\delta}$$को $$X_{\gamma}$$ जब कभी $$\delta < \gamma$$ निम्नलिखित नुसार: यह स्थान कॉम्पैक्ट नहीं है, लेकिन कॉम्पैक्ट सबस्पेस के किसी भी गणनीय सेट के संघ में कॉम्पैक्ट क्लोजर है।
 * यदि $$\gamma$$ उत्तराधिकारी है $$\varepsilon + 1$$ फिर से नक्शा $$X_{\varepsilon}$$ को $$X_{\gamma}$$ से केवल गुणा है $$p.$$ अन्य के लिए $$\delta$$ से नक्शा $$X_{\delta}$$ को $$X_{\gamma}$$ से मानचित्र की रचना है $$X_{\delta}$$ को $$X_{\varepsilon}$$ और नक्शा से $$X_{\varepsilon}$$ को $$X_{\gamma}.$$
 * यदि $$\gamma$$ एक सीमा क्रमसूचक है तो सेट की प्रत्यक्ष सीमा $$X_{\delta}$$ के लिए $$\delta < \gamma$$ पी-एडिक गेंदों का एक गणनीय संघ है, इसलिए इसमें एम्बेड किया जा सकता है $$X_{\gamma},$$ जैसा $$X_{\gamma}$$ हटाए गए बिंदु के साथ पी-एडिक गेंदों का एक गणनीय संघ भी है। यह संगत एम्बेडिंग को परिभाषित करता है $$X_{\delta}$$ में $$X_{\gamma}$$ सबके लिए $$\delta < \gamma.$$

उच्च आयाम
उच्च आयामों में गैर-पैराकॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड के कुछ उदाहरणों में प्रूफ़र मैनिफोल्ड, किसी गैर-पैराकॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड के उत्पाद किसी भी गैर-खाली मैनिफोल्ड, लंबी त्रिज्या की गेंद, और इसी तरह शामिल हैं। बैगपाइप प्रमेय से पता चलता है कि वहाँ हैं $$2^{\aleph_1}$$ गैर-पैराकॉम्पैक्ट सतहों के समरूपता वर्ग।

लंबी रेखा के कोई जटिल अनुरूप नहीं हैं क्योंकि प्रत्येक रीमैन सतह पैराकॉम्पैक्ट है, लेकिन कैलाबी और रोसेनलिच ने जटिल आयाम 2 के एक गैर-पैराकंपैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड का उदाहरण दिया।

यह भी देखें

 * यूनिट स्क्वायर पर लेक्सिकोग्राफिक ऑर्डर टोपोलॉजी
 * टोपोलॉजी की सूची