एकसमान अभिसरण

गणितीय विश्लेषण के गणित क्षेत्र में, एकसमान अभिसरण बिंदुवार अभिसरण से अधिक मजबूत कार्यों के अभिसरण का एक तरीका है। फ़ंक्शन का एक क्रम (गणित) $$(f_n)$$ एक सीमित कार्य में समान रूप से परिवर्तित होता है $$f$$ एक सेट पर $$E$$ फ़ंक्शन डोमेन के रूप में, यदि कोई मनमाने ढंग से छोटी सकारात्मक संख्या दी गई हो $$\epsilon$$, एक संख्या $$N$$ ऐसा पाया जा सकता है कि प्रत्येक फ़ंक्शन $$f_N, f_{N+1},f_{N+2},\ldots$$ से मतभेद होना $$f$$ इससे अधिक नहीं $$\epsilon$$ हर बिंदु पर $$x$$ में $$E$$. यदि अनौपचारिक तरीके से वर्णित है $$f_n$$ में एकत्रित हो जाता है $$f$$ समान रूप से, फिर जिस दर पर $$f_n(x)$$ दृष्टिकोण $$f(x)$$ निम्नलिखित अर्थों में अपने पूरे क्षेत्र में एक समान है: यह दिखाने के लिए $$f_n(x)$$ एक निश्चित दूरी पर समान रूप से गिरता है $$\epsilon$$ का $$f(x)$$, हमें इसका मूल्य जानने की आवश्यकता नहीं है $$x\in E$$ प्रश्न में - का एक ही मूल्य पाया जा सकता है $$N=N(\epsilon)$$ स्वतंत्र $$x$$, ऐसे कि चुनना $$n\geq N$$ यह सुनिश्चित करेंगे $$f_n(x)$$ भीतर है $$\epsilon$$ का $$f(x)$$ सभी के लिए $$x\in E$$. इसके विपरीत, बिंदुवार अभिसरण $$f_n$$ को $$f$$ किसी के लिए केवल इसकी गारंटी देता है $$x\in E$$ पहले से दिया गया, हम पा सकते हैं $$N=N(\epsilon, x)$$ (अर्थात।, $$N$$ के मूल्य पर निर्भर हो सकता है$$x$$) ऐसा कि, उस विशेष के लिए$$x$$, $$f_n(x)$$ अंदर गिर जाता है $$\epsilon$$ का $$f(x)$$ जब कभी भी $$n\geq N$$ (एक अलग $$x$$ एक अलग की आवश्यकता है $$N$$ बिंदुवार अभिसरण के लिए)।

कैलकुलस के इतिहास में आरंभ में समान अभिसरण और बिंदुवार अभिसरण के बीच अंतर को पूरी तरह से सराहा नहीं गया था, जिससे दोषपूर्ण तर्क के उदाहरण सामने आए। अवधारणा, जिसे पहली बार कार्ल वीयरस्ट्रैस द्वारा औपचारिक रूप दिया गया था, महत्वपूर्ण है क्योंकि कार्यों के कई गुण हैं $$f_n$$, जैसे निरंतर फ़ंक्शन, रीमैन अभिन्न, और, अतिरिक्त परिकल्पनाओं के साथ, भिन्नता, एक फ़ंक्शन की सीमा में स्थानांतरित हो जाती है $$f$$ यदि अभिसरण एक समान है, लेकिन जरूरी नहीं कि यदि अभिसरण एक समान न हो।

इतिहास
1821 में ऑगस्टिन-लुई कॉची ने एक प्रमाण प्रकाशित किया कि निरंतर कार्यों का एक अभिसरण योग हमेशा निरंतर होता है, जिसके लिए 1826 में नील्स हेनरिक एबेल ने फूरियर श्रृंखला के संदर्भ में कथित प्रति-उदाहरण पाए, यह तर्क देते हुए कि कॉची का प्रमाण गलत होना चाहिए। उस समय अभिसरण की पूरी तरह से मानक धारणाएं मौजूद नहीं थीं, और कॉची ने अनंत तरीकों का उपयोग करके अभिसरण को संभाला। आधुनिक भाषा में कहें तो, कॉची ने जो साबित किया वह यह है कि निरंतर कार्यों के एक समान रूप से अभिसरण अनुक्रम की एक निरंतर सीमा होती है। निरंतर कार्यों को एक सतत कार्य में परिवर्तित करने के लिए केवल बिंदुवार-अभिसरण सीमा की विफलता कार्यों के अनुक्रमों को संभालते समय विभिन्न प्रकार के अभिसरण के बीच अंतर करने के महत्व को दर्शाती है। वर्दी अभिसरण शब्द का प्रयोग संभवत: सबसे पहले क्रिस्टोफर गुडरमैन ने 1838 में अण्डाकार कार्यों पर एक पेपर में किया था, जहां उन्होंने एक श्रृंखला के अभिसरण के मोड में एक समान तरीके से अभिसरण वाक्यांश को नियोजित किया था। $\sum_{n=1}^\infty f_n(x,\phi,\psi)$ चरों से स्वतंत्र है $$\phi$$ और $$\psi.$$ जबकि उन्होंने सोचा कि यह एक उल्लेखनीय तथ्य है जब एक श्रृंखला इस तरह से मिलती है, उन्होंने कोई औपचारिक परिभाषा नहीं दी, न ही अपने किसी भी प्रमाण में संपत्ति का उपयोग किया। बाद में गुडरमैन के शिष्य कार्ल वीयरस्ट्रैस, जिन्होंने 1839-1840 में अण्डाकार कार्यों पर उनके पाठ्यक्रम में भाग लिया, ने ग्लीचमाज़िग कन्वर्जेंट शब्द गढ़ा (uniformly convergent) जिसका उपयोग उन्होंने 1894 में प्रकाशित अपने 1841 के पेपर ज़ूर थियोरी डेर पोटेंज़रेइहेन में किया था। स्वतंत्र रूप से, समान अवधारणाओं को फिलिप लुडविग वॉन सीडेल द्वारा व्यक्त किया गया था। और जॉर्ज गेब्रियल स्टोक्स। जी. एच. हार्डी ने अपने पेपर सर जॉर्ज स्टोक्स में तीन परिभाषाओं और समान अभिसरण की अवधारणा की तुलना की और टिप्पणी की: वीयरस्ट्रैस की खोज सबसे प्रारंभिक थी, और उन्होंने अकेले ही विश्लेषण के मौलिक विचारों में से एक के रूप में इसके दूरगामी महत्व को पूरी तरह से महसूस किया।

वीयरस्ट्रैस और बर्नहार्ड रीमैन के प्रभाव में इस अवधारणा और संबंधित प्रश्नों का 19वीं शताब्दी के अंत में हरमन हैंकेल, पॉल डू बोइस-रेमंड, यूलिसिस दीनी, सेसारे अर्ज़ेला और अन्य द्वारा गहन अध्ययन किया गया।

परिभाषा
हम पहले वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन के लिए समान अभिसरण को परिभाषित करते हैं | वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन, हालांकि अवधारणा को मीट्रिक स्थान और अधिक सामान्यतः, एकसमान स्थान (यूनिफ़ॉर्म कन्वर्जेंस # सामान्यीकरण देखें) के लिए फ़ंक्शन मैपिंग के लिए आसानी से सामान्यीकृत किया जाता है।

कल्पना करना $$E$$ एक सेट (गणित) है और $$(f_n)_{n \in \N}$$ इस पर वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का एक क्रम है। हम क्रम कहते हैं $$(f_n)_{n \in \N}$$ पर समान रूप से अभिसरण है $$E$$ सीमा के साथ $$f: E \to \R$$ यदि प्रत्येक के लिए $$\epsilon > 0,$$ वहाँ एक प्राकृतिक संख्या मौजूद है $$N$$ ऐसा कि सभी के लिए $$n \geq N$$ और सभी के लिए $$x \in E$$
 * $$|f_n(x)-f(x)|<\epsilon.$$

के एकसमान अभिसरण के लिए संकेतन $$f_n$$ को $$f$$ काफी मानकीकृत नहीं है और विभिन्न लेखकों ने विभिन्न प्रकार के प्रतीकों का उपयोग किया है, जिनमें (लोकप्रियता के लगभग घटते क्रम में) शामिल हैं:


 * $$f_n\rightrightarrows f, \quad \underset{n\to\infty}{\mathrm{unif\ lim}}f_n = f, \quad f_n \overset{\mathrm{unif.}}{\longrightarrow} f, \quad f=u-\lim_{n\to\infty} f_n .$$

अक्सर, किसी विशेष प्रतीक का उपयोग नहीं किया जाता है, और लेखक बस लिखते हैं


 * $$f_n\to f \quad \mathrm{uniformly}$$ यह इंगित करने के लिए कि अभिसरण एक समान है। (इसके विपरीत, अभिव्यक्ति $$f_n\to f$$ पर $$E$$ क्रियाविशेषण के बिना का अर्थ बिंदुवार अभिसरण माना जाता है $$E$$: सभी के लिए $$ x \in E $$, $$f_n(x)\to f(x)$$ जैसा $$n\to\infty$$.)

तब से $$\R$$ एक पूर्ण मीट्रिक स्थान है, कॉची अनुक्रम का उपयोग समान अभिसरण के लिए समकक्ष वैकल्पिक सूत्रीकरण देने के लिए किया जा सकता है: $$(f_n)_{n\in\N}$$ पर समान रूप से अभिसरित होता है $$E$$ (पिछले अर्थ में) यदि और केवल यदि प्रत्येक के लिए $$ \epsilon > 0 $$, वहाँ एक प्राकृतिक संख्या मौजूद है $$N$$ ऐसा है कि


 * $$x\in E, m,n\geq N \implies |f_m(x)-f_n(x)|<\epsilon$$.

एक और समतुल्य सूत्रीकरण में, यदि हम परिभाषित करें


 * $$ d_n = \sup_{x\in E} |f_n(x) - f(x) |,$$

तब $$ f_n $$ में एकत्रित हो जाता है $$f$$ समान रूप से यदि और केवल यदि $$d_n\to 0$$ जैसा $$n\to\infty$$. इस प्रकार, हम एक समान अभिसरण की विशेषता बता सकते हैं $$(f_n)_{n \in \N}$$ पर $$E$$ (सरल) अभिसरण के रूप में $$(f_n)_{n \in \N}$$ कार्य स्थान में $$\R^E$$ द्वारा परिभाषित समान मानदंड (जिसे सर्वोच्च मीट्रिक भी कहा जाता है) के संबंध में


 * $$d(f,g)=\sup_{x\in E} |f(x)-g(x)|.$$

प्रतीकात्मक रूप से,


 * $$f_n\rightrightarrows f\iff d(f_n,f) \to 0$$.

क्रम $$(f_n)_{n \in \N}$$ कहा जाता है कि स्थानीय रूप से सीमा के साथ समान रूप से अभिसरण होता है $$f$$ अगर $$E $$ एक मीट्रिक स्थान है और प्रत्येक के लिए $$x\in E$$, वहाँ एक मौजूद है $$r > 0$$ ऐसा है कि $$(f_n)$$ पर समान रूप से अभिसरित होता है $$B(x,r)\cap E.$$ यह स्पष्ट है कि एकसमान अभिसरण का तात्पर्य स्थानीय एकसमान अभिसरण से है, जिसका तात्पर्य बिंदुवार अभिसरण से है।

टिप्पणियाँ
Intuitively, a sequence of functions $$f_n$$ converges uniformly to $$f$$ if, given an arbitrarily small $$\epsilon>0$$, we can find an $$N\in\N$$ so that the functions $$f_n$$ with $$n>N$$ all fall within a "tube" of width $$2\epsilon$$ centered around $$f$$ (i.e., between $$f(x)-\epsilon$$ and $$f(x)+\epsilon$$) for the entire domain of the function.

Note that interchanging the order of quantifiers in the definition of uniform convergence by moving "for all $$x\in E$$" in front of "there exists a natural number $$N$$" results in a definition of pointwise convergence of the sequence. To make this difference explicit, in the case of uniform convergence, $$N=N(\epsilon)$$ can only depend on $$\epsilon$$, and the choice of $$N$$ has to work for all $$x\in E$$, for a specific value of $$\epsilon$$ that is given. In contrast, in the case of pointwise convergence, $$N=N(\epsilon,x)$$ may depend on both $$\epsilon$$ and $$x$$, and the choice of $$N$$ only has to work for the specific values of $$\epsilon$$ and $$x$$ that are given. Thus uniform convergence implies pointwise convergence, however the converse is not true, as the example in the section below illustrates.

सामान्यीकरण
कोई सीधे तौर पर अवधारणा को फ़ंक्शन E → M तक विस्तारित कर सकता है, जहां (M, d) प्रतिस्थापित करके एक मीट्रिक स्थान है $$|f_n(x)-f(x)|$$ साथ $$d(f_n(x),f(x))$$.

सबसे सामान्य सेटिंग फ़ंक्शन ई → एक्स के नेट (गणित) का एक समान अभिसरण है, जहां एक्स एक समान स्थान है। हम कहते हैं कि नेट $$(f_\alpha)$$ सीमा f : E → X के साथ समान रूप से अभिसरण होता है यदि और केवल यदि X में प्रत्येक प्रतिवेश (टोपोलॉजी) V के लिए एक मौजूद है $$\alpha_0$$, जैसे कि E और प्रत्येक में प्रत्येक x के लिए $$\alpha\geq \alpha_0$$, $$(f_\alpha(x),f(x))$$ V में है। इस स्थिति में सतत फलनों की एकसमान सीमा सतत् बनी रहती है।

अतिवास्तविक सेटिंग में परिभाषा
एकसमान अभिसरण हाइपररियल संख्या सेटिंग में एक सरलीकृत परिभाषा को स्वीकार करता है। इस प्रकार, एक क्रम $$f_n$$ यदि के डोमेन में सभी x के लिए समान रूप से f में अभिसरण होता है $$f^*$$ और सभी अनंत n, $$f_n^*(x)$$ असीम रूप से करीब है $$f^*(x)$$ (समान निरंतरता की समान परिभाषा के लिए सूक्ष्म निरंतरता देखें)।

उदाहरण
के लिए $$x \in [0,1)$$, एक समान अभिसरण का एक मूल उदाहरण निम्नानुसार चित्रित किया जा सकता है: अनुक्रम $$(1/2)^{x+n}$$ जबकि, समान रूप से अभिसरण होता है $$x^n$$ नहीं करता। विशेष रूप से, मान लीजिए $$\epsilon=1/4$$. प्रत्येक कार्य $$(1/2)^{x+n}$$ से कम या बराबर है $$1/4$$ कब $$n \geq 2$$, के मूल्य की परवाह किए बिना $$x$$. वहीं दूसरी ओर, $$x^n$$ से कम या बराबर ही है $$1/4$$ के लगातार बढ़ते मूल्यों पर $$n$$ जब के मान $$x$$ 1 के करीब और करीब चुने गए हैं (नीचे और अधिक गहराई से बताया गया है)।

एक टोपोलॉजिकल स्पेस


 * $$d(f,g)=\|f-g\|_{\infty}=\sup_{x\in X} |f(x)-g(x)|.$$

फिर एकसमान अभिसरण का सीधा सा अर्थ है एकसमान मानदंड टोपोलॉजी में एक अनुक्रम की सीमा:


 * $$\lim_{n\to\infty}\|f_n-f\|_{\infty}=0$$.

कार्यों का क्रम $$(f_n)$$ :$$\begin{cases} f_n:[0,1]\to [0,1] \\ f_n(x)=x^n \end{cases}$$ फ़ंक्शंस के अनुक्रम का एक उत्कृष्ट उदाहरण है जो किसी फ़ंक्शन में परिवर्तित होता है $$f$$ बिंदुवार लेकिन समान रूप से नहीं। इसे दिखाने के लिए, हम सबसे पहले बिंदुवार सीमा का निरीक्षण करते हैं $$(f_n)$$ जैसा $$n\to\infty$$ कार्य है $$f$$, द्वारा दिए गए


 * $$f(x) = \lim_{n\to \infty} f_n(x) = \begin{cases} 0, & x \in [0,1); \\ 1, & x=1. \end{cases} $$

बिंदुवार अभिसरण: अभिसरण तुच्छ है $$x=0$$ और $$x=1$$, तब से $$f_n(0)=f(0)=0$$ और $$f_n(1)=f(1)=1$$, सभी के लिए $$n$$. के लिए $$x \in (0,1)$$ और दिया $$\epsilon>0$$, हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं $$|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$$ जब कभी भी $$n\geq N$$ चुनने के द्वारा $$N = \lceil\log\epsilon/\log x\rceil$$ (यहां ऊपरी वर्गाकार कोष्ठक गोलाकार होने का संकेत देते हैं, फर्श और छत के कार्य देखें)। इस तरह, $$f_n\to f$$ सभी के लिए बिंदुवार $$x\in[0,1]$$. ध्यान दें कि का चुनाव $$N$$ के मूल्य पर निर्भर करता है $$\epsilon$$ और $$x$$. इसके अलावा, एक निश्चित विकल्प के लिए $$\epsilon$$, $$N$$ (जिसे छोटे होने के रूप में परिभाषित नहीं किया जा सकता) बिना किसी सीमा के बढ़ता है $$x$$ दृष्टिकोण 1. ये अवलोकन एक समान अभिसरण की संभावना को रोकते हैं।

अभिसरण की गैर-एकरूपता: अभिसरण एक समान नहीं है, क्योंकि हम एक पा सकते हैं $$\epsilon>0$$ ताकि चाहे हम कितना भी बड़ा चुनें $$N,$$ के मान होंगे $$x \in [0,1]$$ और $$n \geq N$$ ऐसा है कि $$|f_n(x)-f(x)|\geq\epsilon.$$ इसे देखने के लिए पहले उसका निरीक्षण करें चाहे वह कितना भी बड़ा क्यों न हो $$n$$ बन जाता है, हमेशा एक होता है $$x_0 \in [0,1)$$ ऐसा है कि $$f_n(x_0)=1/2.$$ इस प्रकार, यदि हम चुनते हैं $$\epsilon = 1/4,$$ हम कभी नहीं पा सकते $$N$$ ऐसा है कि $$|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$$ सभी के लिए $$x\in[0,1]$$ और $$n\geq N$$. स्पष्ट रूप से, हम जो भी उम्मीदवार चुनते हैं $$N$$, के मूल्य पर विचार करें $$f_N$$ पर $$x_0 = (1/2)^{1/N}$$. तब से


 * $$\left|f_N(x_0) - f(x_0)\right| = \left| \left[ \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{N}} \right]^N - 0 \right| = \frac{1}{2} > \frac{1}{4} = \epsilon,$$

उम्मीदवार असफल हो जाता है क्योंकि हमें इसका एक उदाहरण मिला है $$x\in[0,1]$$ यह प्रत्येक को सीमित करने के हमारे प्रयास से बच गया $$f_n\ (n\geq N)$$ के दायरे में $$\epsilon$$ का $$f $$ सभी के लिए $$x\in[0,1]$$. वास्तव में, यह देखना आसान है
 * $$\lim_{n\to\infty}\|f_n-f\|_{\infty}=1,$$

उस आवश्यकता के विपरीत $$\|f_n-f\|_{\infty}\to 0$$ अगर $$f_n \rightrightarrows f$$.

इस उदाहरण में कोई आसानी से देख सकता है कि बिंदुवार अभिसरण भिन्नता या निरंतरता को संरक्षित नहीं करता है। जबकि अनुक्रम का प्रत्येक कार्य सुचारू है, कहने का तात्पर्य यह है कि सभी n के लिए, $$f_n\in C^{\infty}([0,1])$$, सीमा $$\lim_{n\to \infty}f_n$$ सतत भी नहीं है.

घातीय फलन
घातीय फलन के श्रृंखला विस्तार को किसी भी परिबद्ध उपसमुच्चय पर समान रूप से अभिसरण के रूप में दिखाया जा सकता है $$S \subset \C$$ वीयरस्ट्रैस एम-टेस्ट का उपयोग करना।

प्रमेय (वीयरस्ट्रैस एम-टेस्ट)। ''होने देना $$(f_n)$$ कार्यों का एक क्रम हो $$f_n:E\to \C$$ और जाने $$M_n $$ सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का ऐसा अनुक्रम बनें $$|f_n(x)|\le M_n$$ सभी के लिए $$x\in E$$ और $$n=1,2, 3, \ldots$$ अगर $\sum_n M_n$ फिर एकत्रित हो जाता है $\sum_n f_n$  बिल्कुल और समान रूप से अभिसरित होता है $$E$$.

जटिल घातीय फलन को श्रृंखला के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:


 * $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}.$$

कोई भी परिबद्ध उपसमुच्चय किसी डिस्क का उपसमुच्चय होता है $$D_R$$ त्रिज्या का $$R,$$ जटिल तल में उत्पत्ति पर केन्द्रित। वीयरस्ट्रैस एम-टेस्ट के लिए हमें ऊपरी सीमा खोजने की आवश्यकता होती है $$M_n$$ श्रृंखला की शर्तों पर, के साथ $$M_n$$ डिस्क में स्थिति से स्वतंत्र:


 * $$\left| \frac{z^n}{n!} \right|\le M_n, \forall z\in D_R.$$

ऐसा करने के लिए, हम नोटिस करते हैं


 * $$\left| \frac{z^n}{n!}\right| \le \frac{|z|^n}{n!} \le \frac{R^n}{n!}$$

और ले लो $$M_n=\tfrac{R^n}{n!}.$$ अगर $$\sum_{n=0}^{\infty}M_n$$ अभिसरण है, तो एम-परीक्षण यह दावा करता है कि मूल श्रृंखला समान रूप से अभिसरण है।

अनुपात परीक्षण का उपयोग यहां किया जा सकता है:


 * $$\lim_{n \to \infty}\frac{M_{n+1}}{M_n}=\lim_{n \to \infty}\frac{R^{n+1}}{R^n}\frac{n!}{(n+1)!}=\lim_{n \to \infty}\frac{R}{n+1}=0$$

जिसका मतलब है सीरीज खत्म $$M_n$$ अभिसारी है. इस प्रकार मूल श्रृंखला सभी के लिए समान रूप से अभिसरित होती है $$z\in D_R,$$ और तबसे $$S\subset D_R$$, श्रृंखला भी समान रूप से अभिसरण है $$S.$$

गुण

 * प्रत्येक समान रूप से अभिसरण अनुक्रम स्थानीय रूप से समान रूप से अभिसरण होता है।
 * प्रत्येक स्थानीय रूप से समान रूप से अभिसरण अनुक्रम सघन रूप से अभिसरण होता है।
 * स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थानों के लिए स्थानीय समान अभिसरण और कॉम्पैक्ट अभिसरण मेल खाते हैं।
 * मीट्रिक रिक्त स्थान पर निरंतर कार्यों का एक क्रम, छवि मीट्रिक स्थान पूर्ण होने के साथ, समान रूप से अभिसरण होता है यदि और केवल यदि यह समान रूप से कॉची अनुक्रम है।
 * अगर $$S$$ एक सघन स्थान  अंतराल (या सामान्य तौर पर एक कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल स्पेस) है, और $$ (f_n)$$ एक  एकरस  अनुक्रम है (अर्थ)। $$ f_n(x) \leq f_{n+1}(x)$$ बिंदुवार सीमा के साथ निरंतर कार्यों के सभी n और x) के लिए $$ f$$ जो निरंतर भी है, तो अभिसरण आवश्यक रूप से एक समान है (दीनी का प्रमेय)। यदि समान अभिसरण की भी गारंटी है $$ S$$ एक सघन अंतराल है और $$(f_n)$$ एक समसंगति अनुक्रम है जो बिंदुवार परिवर्तित होता है।

निरंतरता के लिए
अगर $$E$$ और $$M$$ टोपोलॉजिकल स्पेस हैं, तो फ़ंक्शंस के निरंतर फ़ंक्शन (टोपोलॉजी) के बारे में बात करना समझ में आता है $$f_n,f:E\to M$$. अगर हम आगे यह मान लें $$M$$ एक मीट्रिक स्थान है, तो (समान) अभिसरण $$f_n$$ को $$f$$ भी अच्छी तरह से परिभाषित है. निम्नलिखित परिणाम बताता है कि निरंतरता एक समान अभिसरण द्वारा संरक्षित है:

$$

यह प्रमेय किसके द्वारा सिद्ध होता है?$&epsilon;/3$ट्रिक, और इस ट्रिक का आदर्श उदाहरण है: किसी दी गई असमानता को साबित करने के लिए ($&epsilon;$), कोई 3 असमानताएँ उत्पन्न करने के लिए निरंतरता और एकसमान अभिसरण की परिभाषाओं का उपयोग करता है ($&epsilon;/3$), और फिर वांछित असमानता उत्पन्न करने के लिए उन्हें त्रिकोण असमानता के माध्यम से जोड़ता है।

यह प्रमेय वास्तविक और फूरियर विश्लेषण के इतिहास में एक महत्वपूर्ण है, क्योंकि 18वीं सदी के कई गणितज्ञों की सहज समझ थी कि निरंतर कार्यों का एक क्रम हमेशा एक निरंतर कार्य में परिवर्तित होता है। ऊपर दी गई छवि एक प्रति-उदाहरण दिखाती है, और कई असंतत फ़ंक्शन, वास्तव में, निरंतर कार्यों की फूरियर श्रृंखला के रूप में लिखे जा सकते हैं। यह गलत दावा कि निरंतर कार्यों के अनुक्रम की बिंदुवार सीमा निरंतर है (मूल रूप से निरंतर कार्यों की अभिसरण श्रृंखला के संदर्भ में कहा गया है) को कॉची के गलत प्रमेय के रूप में जाना जाता है। समान सीमा प्रमेय से पता चलता है कि सीमा फ़ंक्शन में निरंतरता के संरक्षण को सुनिश्चित करने के लिए अभिसरण, समान अभिसरण का एक मजबूत रूप आवश्यक है।

अधिक सटीक रूप से, यह प्रमेय बताता है कि समान रूप से निरंतर कार्यों की एक समान सीमा समान रूप से निरंतर होती है; स्थानीय रूप से सघन स्थान के लिए, निरंतरता स्थानीय समान निरंतरता के बराबर है, और इस प्रकार निरंतर कार्यों की एक समान सीमा निरंतर है।

विभिन्नता के लिए
अगर $$S$$ एक अंतराल और सभी कार्य हैं $$f_n$$ व्युत्पन्न हैं और एक सीमा तक अभिसरित होते हैं $$f$$, व्युत्पन्न फ़ंक्शन को निर्धारित करना अक्सर वांछनीय होता है $$f'$$ अनुक्रम की सीमा लेकर $$f'_n$$. हालाँकि, यह सामान्य रूप से संभव नहीं है: भले ही अभिसरण एक समान हो, सीमा फ़ंक्शन को विभेदित करने की आवश्यकता नहीं है (भले ही अनुक्रम में हर जगह-विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन फ़ंक्शंस शामिल हों, वीयरस्ट्रैस फ़ंक्शन देखें), और भले ही यह विभेदित हो, व्युत्पन्न सीमा फलन का व्युत्पन्न की सीमा के बराबर होना आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए विचार करें $$f_n(x) = n^{-1/2}{\sin(nx)}$$ एकसमान सीमा के साथ $$f_n\rightrightarrows f\equiv 0$$. स्पष्ट रूप से, $$f'$$ भी समान रूप से शून्य है. हालाँकि, कार्यों के अनुक्रम के व्युत्पन्न द्वारा दिए गए हैं $$f'_n(x)=n^{1/2}\cos nx,$$ और क्रम $$f'_n$$ जुटता नहीं है $$f',$$ या यहां तक ​​कि किसी भी समारोह के लिए भी। भिन्न-भिन्न कार्यों के अनुक्रम की सीमा और डेरिवेटिव के अनुक्रम की सीमा के बीच संबंध सुनिश्चित करने के लिए, डेरिवेटिव के अनुक्रम का एक समान अभिसरण और कम से कम एक बिंदु पर कार्यों के अनुक्रम का अभिसरण आवश्यक है:
 * अगर $$(f_n)$$ पर भिन्न-भिन्न कार्यों का एक क्रम है $$[a,b]$$ ऐसा है कि $$\lim_{n\to\infty} f_n(x_0)$$ कुछ के लिए अस्तित्व में है (और सीमित है)। $$x_0\in[a,b]$$ और क्रम $$(f'_n)$$ पर समान रूप से अभिसरित होता है $$[a,b]$$, तब $$f_n$$ एक फ़ंक्शन में समान रूप से परिवर्तित होता है $$f$$ पर $$[a,b]$$, और $$ f'(x) = \lim_{n\to \infty} f'_n(x)$$ के लिए $$x \in [a, b]$$.

अभिन्नता के लिए
इसी तरह, कोई भी अक्सर इंटीग्रल और सीमा प्रक्रियाओं का आदान-प्रदान करना चाहता है। रीमैन इंटीग्रल के लिए, यह तब किया जा सकता है जब एकसमान अभिसरण मान लिया जाए:
 * अगर $$(f_n)_{n=1}^\infty$$ एक कॉम्पैक्ट स्पेस अंतराल पर परिभाषित रीमैन इंटीग्रेबल फ़ंक्शंस का एक अनुक्रम है $$I$$ जो समान रूप से सीमा के साथ अभिसरण करता है $$ f$$, तब $$ f$$ रीमैन पूर्णांक है और इसके अभिन्न अंग की गणना इसके अभिन्नों की सीमा के रूप में की जा सकती है $$ f_n$$: $$\int_I f = \lim_{n\to\infty}\int_I f_n.$$

वास्तव में, एक अंतराल पर बंधे हुए कार्यों के एक समान रूप से अभिसरण परिवार के लिए, ऊपरी और निचले रीमैन इंटीग्रल्स सीमा फ़ंक्शन के ऊपरी और निचले रीमैन इंटीग्रल्स में परिवर्तित हो जाते हैं। इसका अनुसरण इसलिए किया जाता है क्योंकि, पर्याप्त रूप से बड़े n के लिए, का ग्राफ़ $$f_n$$ भीतर है $&epsilon;$ एफ के ग्राफ का, और इसलिए ऊपरी योग और निचला योग $$f_n$$ प्रत्येक के भीतर हैं $$\varepsilon |I|$$ के ऊपरी और निचले योग के मूल्य का $$f$$, क्रमश।

इस संबंध में अधिक मजबूत प्रमेय, जिनके लिए बिंदुवार अभिसरण से अधिक की आवश्यकता नहीं होती है, प्राप्त किए जा सकते हैं यदि कोई रीमैन इंटीग्रल को छोड़ देता है और इसके बजाय लेबेस्ग एकीकरण का उपयोग करता है।

विश्लेषणात्मकता के लिए
मोरेरा के प्रमेय का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि यदि विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन फ़ंक्शंस का अनुक्रम जटिल विमान के क्षेत्र एस में समान रूप से परिवर्तित होता है, तो सीमा एस में विश्लेषणात्मक है। यह उदाहरण दर्शाता है कि जटिल फ़ंक्शन वास्तविक कार्यों की तुलना में अधिक अच्छी तरह से व्यवहार किए जाते हैं, क्योंकि वास्तविक अंतराल पर विश्लेषणात्मक कार्यों की एकसमान सीमा को विभेदित करने की भी आवश्यकता नहीं है (वीयरस्ट्रैस फ़ंक्शन देखें)।

श्रृंखला के लिए
हम ऐसा कहते हैं $\sum_{n=1}^\infty f_n$ अभिसरण:

1. pointwise on E if and only if the sequence of partial sums $s_n(x)=\sum_{j=1}^{n} f_j(x)$ converges for every $x\in E$.

2. uniformly on E if and only if sn converges uniformly as $n\to\infty$.

3. absolutely on E if and only if $\sum_{n=1}^\infty

4. f_n

5. $ converges for every $x \in E$.

इस परिभाषा के साथ निम्नलिखित परिणाम आता है: <ब्लॉककोट>मान लीजिए x0 सेट ई और प्रत्येक एफ में समाहित होn x पर निरंतर रहें0. अगर $ f = \sum_{n=1}^\infty f_n$ E पर समान रूप से अभिसरित होता है तो x पर f सतत है0 ई में. मान लीजिए कि $$E = [a, b]$$ और प्रत्येक एफn ई. पर समाकलनीय है $\sum_{n=1}^\infty f_n$ E पर समान रूप से अभिसरण करता है तो f, E पर पूर्णांक है और f के अभिन्नों की श्रृंखला हैn एफ की श्रृंखला के अभिन्न अंग के बराबर हैn.

लगभग एकसमान अभिसरण
यदि फ़ंक्शंस का डोमेन एक माप स्थान ई है तो 'लगभग समान अभिसरण' की संबंधित धारणा को परिभाषित किया जा सकता है। हम कार्यों का एक क्रम कहते हैं $$(f_n)$$ यदि प्रत्येक के लिए E पर लगभग समान रूप से अभिसरण होता है $$\delta > 0$$ वहाँ एक मापने योग्य सेट मौजूद है $$E_\delta$$ से कम माप के साथ $$\delta$$ जैसे कि कार्यों का क्रम $$(f_n)$$ पर समान रूप से अभिसरित होता है $$E \setminus E_\delta$$. दूसरे शब्दों में, लगभग एकसमान अभिसरण का मतलब है कि मनमाने ढंग से छोटे माप के सेट हैं जिनके लिए कार्यों का क्रम उनके पूरक पर समान रूप से परिवर्तित होता है।

ध्यान दें कि अनुक्रम के लगभग एक समान अभिसरण का मतलब यह नहीं है कि अनुक्रम लगभग हर जगह समान रूप से अभिसरण करता है जैसा कि नाम से अनुमान लगाया जा सकता है। हालाँकि, ईगोरोव का प्रमेय यह गारंटी देता है कि एक सीमित माप स्थान पर, कार्यों का एक क्रम जो बिंदुवार अभिसरण को परिवर्तित करता है#लगभग हर जगह अभिसरण भी एक ही सेट पर लगभग समान रूप से अभिसरण करता है।

लगभग एकसमान अभिसरण का तात्पर्य लगभग हर जगह माप में अभिसरण और अभिसरण से है।

यह भी देखें

 * संभावना में एकसमान अभिसरण
 * अभिसरण के तरीके (एनोटेटेड सूचकांक)
 * दीनी का प्रमेय
 * अर्ज़ेला-एस्कोली प्रमेय

संदर्भ

 * Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series ; Blackie and Son, London, 1954, reprinted by Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2.
 * G. H. Hardy, Sir George Stokes and the concept of uniform convergence ; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19, pp. 148–156 (1918)
 * Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology. Chapters 5–10 (paperback) ; ISBN 0-387-19374-X
 * Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw–Hill, 1976.
 * Gerald Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0.
 * William Wade, An Introduction to Analysis, 3rd ed., Pearson, 2005

बाहरी संबंध

 * Graphic examples of uniform convergence of Fourier series from the University of Colorado
 * Graphic examples of uniform convergence of Fourier series from the University of Colorado