अनबाउंड ऑपरेटर

गणित में, विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण और ऑपरेटर सिद्धांत में, अनबाउंड ऑपरेटर की धारणा अवकल संचालक, क्वांटम यांत्रिकी में असीमित वेधशालाओं और अन्य स्तिथियों से निपटने के लिए अमूर्त रूपरेखा प्रदान करती है।

चूंकि असीमित ऑपरेटर शब्द भ्रामक हो सकता है।
 * असीमित को कभी-कभी यह समझा जाना चाहिए कि आवश्यक रूप से बाध्य नहीं है;
 * ऑपरेटर को रैखिक ऑपरेटर के रूप में समझा जाना चाहिए (जैसा कि अनबाउंड ऑपरेटर के स्तिथि में होता है);
 * ऑपरेटर का कार्यक्षेत्र रैखिक उप-समष्टि है, आवश्यक नहीं कि संपूर्ण समष्टि हो;
 * यह रैखिक उपसमष्टि आवश्यक रूप से संवृत समुच्चय नहीं है; अधिकांशतः (किन्तु सदैव नहीं) इसे सघन (सांस्थितिक) माना जाता है;
 * एक अनबाउंड ऑपरेटर के विशेष स्तिथि में, फिर भी, कार्यक्षेत्र को सामान्यतः संपूर्ण समष्टि माना जाता है।

अनबाउंड संचालक के विपरीत, किसी दिए गए समष्टि पर असीमित ऑपरेटर किसी क्षेत्र पर बीजगणित नहीं बनाते हैं, न ही रैखिक समष्टि बनाते हैं, क्योंकि प्रत्येक को अपने स्वयं के कार्यक्षेत्र पर परिभाषित किया जाता है।

ऑपरेटर शब्द का अर्थ अधिकांशतः अनबाउंड रेखीय ऑपरेटर होता है, किन्तु इस लेख के संदर्भ में इसका अर्थ ऊपर दिए गए आरक्षणों के साथ, असीमित ऑपरेटर है। और दिया गया समष्टि हिल्बर्ट समष्टि माना जाता है। बनच समष्टि और अधिक सामान्य संसमष्टििक सदिश समष्टि के लिए कुछ सामान्यीकरण संभव हैं।

संक्षिप्त इतिहास
हिल्बर्ट समष्टि क्वांटम यांत्रिकी के लिए कठोर गणितीय रूप विकसित करने के भाग के रूप में असीमित संचालक का सिद्धांत 1920 के दशक के अंत और 1930 के दशक की आरंभ में विकसित हुआ। किन्तु सिद्धांत का विकास जॉन वॉन न्यूमैन और मार्शल स्टोन के कारण हुआ है। वॉन न्यूमैन ने 1932 में असीमित संचालक का विश्लेषण करने के लिए फलन के ग्राफ़ का उपयोग प्रारंभ किया।

परिभाषाएँ और मूलभूत गुण
मान लीजिए कि $X, Y$ बनच समष्टि हैं। असीमित ऑपरेटर (या बस ऑपरेटर) $T : D(T) → Y$ रेखीय मानचित्र $T$ है जो एक रैखिक उपसमष्टि से $D(T) ⊆ X$—का कार्यक्षेत्र $T$—समष्टि $Y$ तक है। सामान्य परिपाटी के विपरीत, $T$ को संपूर्ण समष्टि $X$ पर परिभाषित नहीं किया जा सकता है।

एक ऑपरेटर $T$ को संवृत ऑपरेटर कहा जाता है यदि इसका फलन ग्राफ़ $Γ(T)$ एक संवृत समुच्चय है. (यहाँ, ग्राफ $Γ(T)$ के प्रत्यक्ष योग $X ⊕ Y$ हिल्बर्ट रिक्त समष्टि के प्रत्यक्ष योग का रैखिक उपसमष्टि है जिसे, सभी जोड़ियों $(x, Tx)$ के समुच्चय के रूप में परिभाषित, जहाँ $x$, $T$ के कार्यक्षेत्र पर चलता है.) स्पष्ट रूप से, इसका अर्थ यह है कि $T$ प्रत्येक अनुक्रम {xn} के लिए कार्यक्षेत्र इस प्रकार है कि $x_{n} → x$ और $Tx_{n} → y$, यह उसे धारण करता है की $x$, $T$ और $Tx = y$ के कार्यक्षेत्र के अंतर्गत आता है. क्लोजनेस को ग्राफ मानदंड के संदर्भ में भी तैयार किया जा सकता है: ऑपरेटर $T$ संवृत है यदि और केवल यदि इसका कार्यक्षेत्र $D(T)$ मानक के संबंध में पूर्ण समष्टि है:
 * $$\|x\|_T = \sqrt{ \|x\|^2 + \|Tx\|^2 }.$$

एक ऑपरेटर $T$ को सघन रूप से परिभाषित ऑपरेटर कहा जाता है यदि इसका कार्यक्षेत्र $X$ सघन रूप से समुच्चय है. इसमें संपूर्ण समष्टि $X$ पर परिभाषित ऑपरेटर भी सम्मिलित हैं, चूंकि संपूर्ण समष्टि अपने आप में सघन है। कार्यक्षेत्र की सघनता सहायक के अस्तित्व के लिए आवश्यक और पर्याप्त है (यदि $X$ और $Y$ हिल्बर्ट रिक्त समष्टि हैं) और समष्टिान्तरण; नीचे अनुभाग देखें.

यदि $T : X → Y$ अपने कार्यक्षेत्र पर संवृत, सघन रूप से परिभाषित और निरंतर ऑपरेटर है, तो इसका कार्यक्षेत्र संपूर्ण $X$ है.

हिल्बर्ट समष्टि $T$ पर सघन रूप से परिभाषित ऑपरेटर $T$ को नीचे से अनबाउंड हुआ कहा जाता है यदि $g ∈ X$ किसी वास्तविक संख्या $Y$ के लिए धनात्मक संकारक है। अर्थात्, $T$ के कार्यक्षेत्र में सभी $T$ के लिए $(&thinsp;f_{j}&thinsp;, T&thinsp;f_{j}&thinsp;)$ के क्षेत्र में (या वैकल्पिक रूप से $(&thinsp;f&thinsp;, T&thinsp;f&thinsp;)$ चूँकि से $&thinsp;f&thinsp; = g$ मनमाना है)। यदि दोनों $H$ और $T + a$ फिर नीचे से बाध्य हैं तो $T$ अनबाउंड है।

उदाहरण
मान लीजिए कि $⟨Tx|x⟩ ≥ −a x^{2}$ इकाई अंतराल पर निरंतर कार्यों के समष्टि को निरूपित करें, और $⟨Tx|x⟩ ≥ a x^{2}$ निरंतर भिन्न-भिन्न कार्यों के समष्टि को निरूपित करें। हम $$C([0,1])$$ सर्वोच्च मानदंड $$\|\cdot\|_{\infty}$$ के साथ, सुसज्जित करते हैं, इसे बानाच समष्टि बना रहा है। मौलिक विभेदीकरण ऑपरेटर को $a$ सामान्य सूत्र द्वारा परिभाषित करें :


 * $$ \left (\frac{d}{dx}f \right )(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}, \qquad \forall x \in [0, 1].$$

प्रत्येक अवकलनीय फलन सतत है, इसलिए $−T$. हम इसका प्रभुत्व करते हैं,कि $C([0, 1])$ कार्यक्षेत्र $C^{1}([0, 1])$ के साथ अच्छी तरह से परिभाषित असीमित ऑपरेटर है. इसके लिए हमें वो दिखाना होगा कि $$\frac{d}{dx}$$ रैखिक है और फिर, उदाहरण के लिए, कुछ $$\{f_n\}_n \subset C^1([0,1])$$ को इस प्रकार प्रदर्शित करें कि $$\|f_n\|_\infty=1$$ और $$\sup_n \|\frac{d}{dx} f_n\|_\infty=+\infty$$.

यह एक रैखिक ऑपरेटर है, क्योंकि दो निरंतर अवकलनीय फलनों $d⁄dx : C^{1}([0, 1]) → C([0, 1])$ का एक रैखिक संयोजन $C^{1}([0, 1]) ⊆ C([0, 1])$ भी निरंतर अवकलनीय है, और


 * $$\left (\tfrac{d}{dx} \right )(af+bg)= a \left (\tfrac{d}{dx} f \right ) + b \left (\tfrac{d}{dx} g \right ).$$

ऑपरेटर बाध्य नहीं है. उदाहरण के लिए,


 * $$\begin{cases} f_n : [0, 1] \to [-1, 1] \\ f_n(x) = \sin (2\pi n x) \end{cases}$$

संतुष्ट


 * $$ \left \|f_n \right \|_{\infty} = 1,$$

किन्तु


 * $$ \left \| \left (\tfrac{d}{dx} f_n \right ) \right \|_{\infty} = 2\pi n \to \infty$$

जैसा $$n\to\infty$$.

ऑपरेटर सघन रूप से परिभाषित और संवृत है।

एक ही ऑपरेटर को बनच समष्टि $a$ के कई विकल्पों के लिए ऑपरेटर $d⁄dx : C([0, 1]) → C([0, 1])$ के रूप में माना जा सकता है और उनमें से किसी के बीच सीमित नहीं किया जा सकता है। साथ ही, इसे बानाच समष्टिों $C^{1}([0, 1])$ के अन्य जोड़े के लिए,ऑपरेटर $&thinsp;f&thinsp;, g$ के रूप में भी $a&thinsp;f&thinsp; + bg$ कुछ संसमष्टििक सदिश समष्टि के लिए $T$ ऑपरेटर के रूप में भी बाध्य किया जा सकता है। उदाहरण के रूप से आइए $Z → Z$ विवृत अंतराल बनें और विचार करें


 * $$\frac{d}{dx} : \left (C^1 (I), \|\cdot \|_{C^1} \right ) \to \left ( C (I), \| \cdot \|_{\infty} \right),$$

जहाँ:


 * $$\| f \|_{C^1} = \| f \|_{\infty} + \| f' \|_{\infty}.$$

संयुक्त
एक असीमित ऑपरेटर के एडजॉइंट को दो समान विधियों से परिभाषित किया जा सकता है। मान लीजिए कि $$T : D(T) \subseteq H_1 \to H_2$$ हिल्बर्ट समष्टिों के बीच असीमित ऑपरेटर बनें।

सबसे पहले, इस प्रकार से परिभाषित किया जा सकता है जैसे कोई बंधे हुए ऑपरेटर के जोड़ को कैसे परिभाषित करता है। अर्थात्, जोड़ $$T^* : D\left(T^*\right) \subseteq H_2 \to H_1$$ का $x$ को गुण वाले ऑपरेटर के रूप में परिभाषित किया गया है: $$\langle Tx \mid y \rangle_2 = \left \langle x \mid T^*y \right \rangle_1, \qquad x \in D(T).$$ अधिक स्पष्ट रूप से, $$T^* y$$ निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित किया गया है। यदि $$y \in H_2$$ इस प्रकार कि $$x \mapsto \langle Tx \mid y \rangle$$ ,$T$ के क्षेत्र पर सतत रैखिक कार्यात्मक है, तब $$y$$ को $$D\left(T^*\right),$$ का अवयव घोषित किया गया है और हैन-बानाच प्रमेय के माध्यम से पूरे समष्टि में रैखिक कार्यात्मकता का विस्तार करने के बाद, कुछ खोजना संभव है $$z$$ में $$H_1$$ ऐसा है कि$$\langle Tx \mid y \rangle_2 = \langle x \mid z \rangle_1, \qquad x \in D(T),$$

चूँकि रिज़्ज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय हिल्बर्ट समष्टि $$H_1$$ के निरंतर दोहरेपन की अनुमति देता है आंतरिक उत्पाद द्वारा दिए गए रैखिक कार्यात्मकताओं के समुच्चय से पहचानने की अनुमति देता है। यह सदिश $$z$$ द्वारा विशिष्ट रूप से $$y$$ निर्धारित किया जाता है यदि और केवल यदि रैखिक कार्यात्मक $$x \mapsto \langle Tx \mid y \rangle$$ सघन रूप से परिभाषित है; या समकक्ष, यदि $T$ सघन रूप से परिभाषित है। अंत में, $$T^* y = z$$ को $$T^*,$$ का निर्माण पूरा करता है जो आवश्यक रूप से रेखीय मानचित्र है। संयुक्त $$T^* y$$ अस्तित्व में है यदि और केवल यदि $Z$ सघन रूप से परिभाषित किया गया है।

परिभाषा के अनुसार, $$T^*$$का कार्यक्षेत्र $$H_2$$ में अवयवों $$y$$ से मिलकर बनता है में ऐसा है कि $$x \mapsto \langle Tx \mid y \rangle$$, $Z$ के क्षेत्र में निरंतर है. नतीजतन,$$T^*$$ का कार्यक्षेत्र कुछ भी हो सकता है; यह तुच्छ हो सकता है (अर्थात इसमें केवल शून्य होता है)। ऐसा हो सकता है कि $$T^*$$ का कार्यक्षेत्र संवृत हाइपरप्लेन है और $$T^*$$ कार्यक्षेत्र पर सभी समष्टि गायब हो जाता है। इस प्रकार, की सीमा इसके कार्यक्षेत्र $$T^*$$ की सीमा $T$ का तात्पर्य नहीं है. दूसरी ओर, यदि $$T^*$$ तब संपूर्ण समष्टि पर परिभाषित किया गया है तो $T$ अपने कार्यक्षेत्र पर घिरा हुआ है और इसलिए इसे संपूर्ण समष्टि पर बंधे हुए ऑपरेटर तक निरंतरता द्वारा बढ़ाया जा सकता है। यदि का कार्यक्षेत्र $$T^*$$ घना है, तो उसका निकटवर्ती $$T^{**}.$$ है एक संवृत सघन रूप से परिभाषित ऑपरेटर $T$ अनबाउंड है यदि और केवल यदि $$T^*$$अनबाउंड है।

योजक की अन्य समकक्ष परिभाषा सामान्य तथ्य पर ध्यान देकर प्राप्त की जा सकती है। रैखिक ऑपरेटर $$J$$ को निम्नलिखित नुसार परिभाषित करें : $$\begin{cases} J: H_1 \oplus H_2 \to H_2 \oplus H_1 \\ J(x \oplus y) = -y \oplus x \end{cases}$$

तब से $$J$$ सममितीय अनुमान है, यह एकात्मक है। इस तरह: $$J(\Gamma(T))^{\bot}$$ कुछ ऑपरेटर $$S$$ का ग्राफ़ है यदि और केवल यदि $T$ सघन रूप से परिभाषित है। साधारण गणना से पता चलता है कि यह कुछ$$S$$ है संतुष्ट करता है:$$\langle Tx \mid y \rangle_2 = \langle x \mid Sy \rangle_1,$$$T$ के कार्यक्षेत्र में प्रत्येक $T$ के लिए। इस प्रकार $$S$$, $T$ का जोड़ है।

उपरोक्त परिभाषा से यह तुरंत पता चलता है कि जोड़ $$T^*$$ बन्द है। विशेष रूप से, स्व-सहायक ऑपरेटर (अर्थ $$T = T^*$$) बन्द है। ऑपरेटर $T$ संवृत है और सघन रूप से परिभाषितयदि और केवल यदि $$T^{**} = T.$$ है:

अनबाउंड संचालक के लिए कुछ प्रसिद्ध गुण संवृत सघन रूप से परिभाषित संचालक के लिए सामान्यीकरण करते हैं। संवृत ऑपरेटर का कर्नेल संवृत है। इसके अतिरिक्त, संवृत सघन रूप से परिभाषित ऑपरेटर $$T : H_1 \to H_2$$ का कर्नेल जोड़ की सीमा के ऑर्थोगोनल पूरक के साथ मेल खाता है। वह है, $$\operatorname{ker}(T) = \operatorname{ran}(T^*)^\bot.$$वॉन न्यूमैन का प्रमेय यह बताता है कि $$T^* T$$ और $$T T^*$$ स्व-सहायक हैं, और वह $$I + T^* T$$ और $$I + T T^*$$ दोनों में सीमित व्युत्क्रम हैं। यदि $$T^*$$ इसमें तुच्छ कर्नेल है, तो $T$ की सघन सीमा है (उपरोक्त पहचान के अनुसार।) इसके अतिरिक्त:


 * $T$ विशेषण है यदि और केवल यदि कोई $$K > 0$$ ऐसा है कि सभी $$f$$ के लिए $$\|f\|_2 \leq K \left\|T^* f\right\|_1$$ में $$D\left(T^*\right).$$ है (यह अनिवार्य रूप से तथाकथित संवृत सीमा प्रमेय का प्रकार है।) विशेष रूप से, $T$ ने यदि और केवल यदि $$T^*$$ की सीमा संवृत कर दी है संवृत सीमा है.

अनबाउंड स्तिथि के विपरीत, यह आवश्यक नहीं है चूँकि $$(T S)^* = S^* T^*,$$ उदाहरण के लिए, यह भी संभव है कि $$(T S)^*$$ अस्तित्व में न हो। चूँकि, यह स्तिथि है, उदाहरण के लिए, $T$ घिरा है।

एक सघन रूप से परिभाषित, संवृत ऑपरेटर $T$ को सामान्य ऑपरेटर कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित समकक्ष नियमो को पूरा करता है:
 * $$T^* T = T T^*$$;
 * $x$ का कार्यक्षेत्र इस कार्यक्षेत्र में प्रत्येक $T$ के लिए $$T^*,$$ और $$\|T x\| = \left\|T^* x\right\|$$ के कार्यक्षेत्र के सामान्य है;
 * स्व-सहायक ऑपरेटर $$A, B$$ उपस्तिथ हैं कि $T$ के क्षेत्र में प्रत्येक $T$ के लिए $$T = A + i B,$$$$T^* = A - i B,$$ और $$\|T x\|^2 = \|A x\|^2 + \|B x\|^2$$ हैं।

प्रत्येक स्व-सहायक ऑपरेटर सामान्य है।

समष्टिांतरण
मान लीजिए कि $$T : B_1 \to B_2$$ बनच समष्टिों के बीच ऑपरेटर बनें। फिर समष्टिान्तरण (या दोहरा) $${}^t T: {B_2}^* \to {B_1}^*$$ का $$T$$ क्या रैखिक ऑपरेटर संतोषजनक है: $$\langle T x, y' \rangle = \langle x, \left({}^t T\right) y' \rangle$$ सभी के लिए $$x \in B_1$$ और $$y \in B_2^*.$$ यहां, हमने संकेतन $$\langle x, x' \rangle = x'(x).$$ का उपयोग किया है:

$$T$$ के समष्टिान्तरण के अस्तित्व के लिए आवश्यक और पर्याप्त नियम यह है कि $$T$$ सघन रूप से परिभाषित किया गया है (अनिवार्य रूप से उसी कारण से जो जोड़ों के लिए है, जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है।)

किसी भी हिल्बर्ट समष्टि $$H,$$ के लिए वहाँ विरोधी रेखीय समरूपता है: $$J: H^* \to H$$ द्वारा दिए गए $$J f = y$$ जहाँ $$f(x) = \langle x \mid y \rangle_H, (x \in H).$$ इस समरूपता के माध्यम से, समष्टिान्तरण $${}^t T$$ जोड़ $$T^*$$से संबंधित है इस अनुसार: $$T^* = J_1 \left({}^t T\right) J_2^{-1},$$ जहाँ $$J_j: H_j^* \to H_j$$. (परिमित-आयामी स्तिथि के लिए, यह इस तथ्य से मेल खाता है कि आव्यूह का जोड़ इसका संयुग्म समष्टिान्तरण है।) ध्यान दें कि यह समष्टिान्तरण के संदर्भ में जोड़ की परिभाषा देता है।

संवृत रैखिक ऑपरेटर
संवृत रेखीय ऑपरेटर्स बानाच समष्टि पर रेखीय ऑपरेटर्स का वर्ग है। वे बंधे हुए संचालक की तुलना में अधिक सामान्य हैं, और इसलिए आवश्यक रूप से निरंतर कार्य नहीं करते हैं, किन्तु वे अभी भी पर्याप्त गुण स्थिर रखते हैं कि कोई ऐसे संचालक के लिए वर्णक्रम (कार्यात्मक विश्लेषण) और (कुछ मान्यताओं के साथ) कार्यात्मक कैलकुलस को परिभाषित कर सकता है। कई महत्वपूर्ण रैखिक ऑपरेटर जो अनबाउंड होने में विफल रहते हैं, संवृत हो जाते हैं, जैसे व्युत्पन्न और अंतर संचालक का बड़ा वर्ग।

मान लीजिए कि $X → Y$ दो बनच समष्टि हों। एक रेखीय परिवर्तन $X, Y$ $Z → Z$संवृत है यदि प्रत्येक अनुक्रम के लिए $T$ में $I ⊂ R$ किसी अनुक्रम की सीमा $X, Y$ में $T$ ऐसा है जैसा $A : D(A) ⊆ X → Y$ किसी के पास ${x_{n}} |undefined$ और $D(A)$.समान रूप से, $T$ संवृत है यदि इसका फलन ग्राफ़ बनच रिक्त समष्टि के प्रत्यक्ष योग $Ax_{n} → y ∈ Y$ में संवृत समुच्चय है.

एक रैखिक ऑपरेटर $T$ दी गई है, आवश्यक नहीं कि संवृत हो, यदि $n → ∞$ इसके ग्राफ को संवृत किया जाए किसी ऑपरेटर का ग्राफ होता है, उस ऑपरेटर $T$ को संवृत ऑफ कहा जाता है , और हम ऐसा कहते हैं कि $T$ संवृत करने योग्य है. $x ∈ D(A)$ को $Ax = y$ द्वारा संवृत करने को निरूपित करें। इससे पता चलता है कि $X ⊕ Y$,$X ⊕ Y$ से $\overline{A}$ तक का प्रतिबंध है।

एक संवृत करने योग्य ऑपरेटर का कोर (या आवश्यक कार्यक्षेत्र) $\overline{A}$ का एक उपसमुच्चय $T$ है, जैसे कि $T$ को $T$ प्रतिबंध का समापन है.

उदाहरण
व्युत्पन्न ऑपरेटर $\overline{A}$ पर विचार करें जहाँ $\overline{A}$ अंतराल $D(A)$ पर सभी निरंतर कार्यों का बानाच समष्टि है (गणित) .यदि कोई इसका कार्यक्षेत्र $D(A)$ को $A = d⁄dx$ मानता है, तब $x$ संवृत ऑपरेटर है जो बाध्य नहीं है। दूसरी ओर यदि D(A) = C∞([a, b]), तब $T$ अब संवृत नहीं होगा, किन्तु यह संवृत होने योग्य $X = Y = C([a, b])$ होगा, संवृत होने पर इसका विस्तार परिभाषित किया जाएगा. .

सममित ऑपरेटर और स्व-सहायक ऑपरेटर
हिल्बर्ट समष्टि पर ऑपरेटर T सममित है यदि और केवल यदि $x$ के कार्यक्षेत्र में प्रत्येक x और y के लिए हमारे पास $$\langle Tx \mid y \rangle = \lang x \mid Ty \rang$$ है. सघन रूप से परिभाषित ऑपरेटर $x$ सममित है यदि और केवल यदि यह अपने निकटवर्ती T∗ से सहमत है जो T के कार्यक्षेत्र तक ही सीमित है, दूसरे शब्दों में जब T∗ $X$ का विस्तार है।

सामान्य रूप पर, यदि T सघन रूप से परिभाषित और सममित है, तो आसन्न T∗ का कार्यक्षेत्र को T के कार्यक्षेत्र के सामान्य होने की आवश्यकता नहीं है। यदि T सममित है और T का कार्यक्षेत्र और एडजॉइंट का कार्यक्षेत्र मेल खाता है, तो हम कहते हैं कि T स्व-सहायक है। ध्यान दें कि, जब T स्वयं-सहायक है, तो सहायक के अस्तित्व का अर्थ है कि T सघन रूप से परिभाषित है और चूँकि T∗ आवश्यक रूप से संवृत है, T संवृत है।

एक सघन रूप से परिभाषित ऑपरेटर T सममित है, यदि उप-समष्टि $[a, b]$ (पिछले अनुभाग में परिभाषित) J के अंतर्गत इसकी छवि $D(A)$ के लिए ऑर्थोगोनल है (जहाँ J(x,y):=(y,-x))।

समान रूप से, ऑपरेटर T स्व-सहायक है यदि यह सघन रूप से परिभाषित, संवृत, सममित है, और चौथी नियम को संतुष्ट करता है: दोनों ऑपरेटर $C^{1}([a, b])$, $C^{1}([a, b])$ विशेषण हैं, अर्थात, T के कार्यक्षेत्र को संपूर्ण समष्टि H पर मैप करें। दूसरे शब्दों में: H में प्रत्येक x के लिए T के कार्यक्षेत्र में y और z जैसे कि $Γ(T)$ और $J(Γ(T))$. उपस्तिथ हैं:

यदि ऑपरेटर T स्व-सहायक है दो उपसमष्टि $T – i$, $T + i$ ऑर्थोगोनल हैं और उनका योग संपूर्ण समष्टि $$ H \oplus H .$$ है।

यह दृष्टिकोण गैर-सघन रूप से परिभाषित संवृत संचालक को कवर नहीं करता है। गैर-घनत्व परिभाषित सममित संचालक को सीधे या ग्राफ़ के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है, किन्तु सहायक संचालक के माध्यम से नहीं।

एक सममित ऑपरेटर का अध्ययन अधिकांशतः इसके केली परिवर्तन के माध्यम से किया जाता है।

सम्मिश्र हिल्बर्ट समष्टि पर ऑपरेटर T सममित है यदि और केवल यदि इसका द्विघात रूप वास्तविक है, अर्थात संख्या $$ \langle Tx \mid x \rangle $$ T के कार्यक्षेत्र में सभी x के लिए वास्तविक है।

एक सघन रूप से परिभाषित संवृत सममित ऑपरेटर T स्व-सहायक है यदि और केवल यदि T∗सममित है। ऐसा हो सकता है कि ऐसा न हो.

सघन रूप से परिभाषित संकारक T को धनात्मक कहा जाता है (या गैर-नकारात्मक ) यदि इसका द्विघात रूप अऋणात्मक है, अर्थात, $$\langle Tx \mid x \rangle \ge 0 $$ T के कार्यक्षेत्र में सभी x के लिए ऐसा ऑपरेटर आवश्यक रूप से सममित है।

प्रत्येक सघन रूप से परिभाषित, संवृत टी के लिए संचालक T∗T स्व-सहायक है और सकारात्मक है।

स्वयं-संयुक्त ऑपरेटर वर्णक्रमीय प्रमेय स्वयं-संयुक्त ऑपरेटर्स पर प्रयुक्त होता है और इसके अतिरिक्त, सामान्य संचालक के लिए, किन्तु सामान्य रूप पर सघन रूप से परिभाषित, संवृत संचालक के लिए नहीं, क्योंकि इस स्तिथि में वर्णक्रम रिक्त हो सकता है।

सभी समष्टि परिभाषित सममित ऑपरेटर संवृत है, इसलिए घिरा हुआ है, जो हेलिंगर-टोएप्लिट्ज़ प्रमेय है।

विस्तार-संबंधी
परिभाषा के अनुसार, ऑपरेटर T, ऑपरेटर S का विस्तार है यदि $Ty – iy = x$. समतुल्य प्रत्यक्ष परिभाषा: S के कार्यक्षेत्र में प्रत्येक x के लिए, x, T के $Tz + iz = x$ कार्यक्षेत्र से संबंधित है.

ध्यान दें कि प्रत्येक ऑपरेटर के लिए सभी समष्टि परिभाषित विस्तार उपस्तिथ है, जो कि विशुद्ध रूप से बीजगणितीय तथ्य है और पसंद के सिद्धांत पर आधारित है। यदि दिया गया ऑपरेटर अनबाउंड नहीं है तो विस्तार असंतत रैखिक मानचित्र है। इसका बहुत कम उपयोग है क्योंकि यह दिए गए ऑपरेटर के महत्वपूर्ण गुणों को संरक्षित नहीं कर सकता है (नीचे देखें), और सामान्यतः अत्यधिक गैर-अद्वितीय है।

एक ऑपरेटर T को संवृत करने योग्य कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित समकक्ष नियमो को पूरा करता है:
 * T का संवृत विस्तार है;
 * T के ग्राफ का संवृत होना किसी ऑपरेटर का ग्राफ है;
 * T के डोमेन से बिंदुओं के प्रत्येक अनुक्रम (xn) के लिए, जैसे कि xn → 0 और Txn → y भी यह मानता है कि y = 0 है।

सभी ऑपरेटर संवृत करने योग्य नहीं हैं.

एक संवृत करने योग्य ऑपरेटर T का संवृत विस्तार $$ \overline T $$ सबसे कम है इसे T का समापन कहा जाता है। T के ग्राफ़ का समापन $$ \overline T. $$, के ग्राफ़ के सामान्य है अन्य, गैर-न्यूनतम संवृत विस्तार उपस्तिथ हो सकते हैं।

सघन रूप से परिभाषित ऑपरेटर T संवृत हो सकता है यदि और केवल यदि T∗ सघन रूप से परिभाषित है। इस स्तिथि में $$\overline T = T^{**} $$ और $$ (\overline T)^* = T^*. $$

यदि S सघन रूप से परिभाषित है और T, S का विस्तार है तो S∗ T का विस्तार है∗.

प्रत्येक सममित ऑपरेटर संवृत करने योग्य है।

एक सममित ऑपरेटर को अधिकतम सममित कहा जाता है यदि उसके पास स्वयं को छोड़कर कोई सममित विस्तार नहीं है। प्रत्येक स्व-सहायक ऑपरेटर अधिकतम सममित है। विपरीत असत्य है.

एक ऑपरेटर को अनिवार्य रूप से स्व-सहायक कहा जाता है यदि उसका समापन स्व-सहायक है। एक ऑपरेटर अनिवार्य रूप से स्व-सहायक होता है यदि और केवल तभी जब उसके पास और केवल स्व-सहायक विस्तार हो।

एक सममित ऑपरेटर के पास से अधिक स्व-सहायक विस्तार और यहां तक ​​कि उनका सातत्य भी हो सकता है।

एक सघन रूप से परिभाषित, सममित ऑपरेटर T अनिवार्य रूप से स्व-सहायक है यदि और केवल यदि दोनों ऑपरेटर हों $Γ(T)$, $J(Γ(T))$ सघन सीमा है।

मान लीजिए T सघन रूप से परिभाषित ऑपरेटर है। संबंध "T, S का विस्तार है" को S ⊂ T (Γ(S) ⊆ Γ(T) के लिए पारंपरिक संक्षिप्त नाम) निम्नलिखित है।
 * यदि T सममित है तो T ⊂ T∗∗ ⊂ T∗।
 * यदि T बंद और सममित है तो T = T∗∗ ⊂ T∗.
 * यदि T स्व-संयुक्त है तो T = T∗∗ = T∗.
 * यदि T अनिवार्य रूप से स्व-संयुक्त है तो T ⊂ T∗∗ = T∗।

स्वयं-सहायक संचालक का महत्व
गणितीय भौतिकी में स्व-सहायक संचालकों का वर्ग विशेष रूप से महत्वपूर्ण है। प्रत्येक स्व-सहायक ऑपरेटर सघन रूप से परिभाषित, संवृत और सममित है। यह वार्तालाप अनबाउंड हुए संचालक के लिए है किन्तु सामान्य रूप पर विफल रहती है। स्व-संयुक्तता इन तीन गुणों की तुलना में अधिक सीमा तक अधिक प्रतिबंधित है। प्रसिद्ध स्वयं-संयुक्त ऑपरेटर वर्णक्रमीय प्रमेय स्वयं-संयुक्त संचालक के लिए प्रयुक्त है। एक-पैरामीटर एकात्मक समूहों पर स्टोन के प्रमेय के साथ संयोजन में यह पता चलता है कि स्व-सहायक ऑपरेटर दृढ़ता से निरंतर एक-पैरामीटर एकात्मक समूहों के असीम रूप से छोटे जनरेटर हैं, देखें। ऐसे एकात्मक समूह मौलिक और क्वांटम यांत्रिकी में समय विकास का वर्णन करने के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं।

यह भी देखें

 * स्टोन-वॉन न्यूमैन प्रमेय
 * अनबाउंड ऑपरेटर
 * अनबाउंड ऑपरेटर

ग्रन्थसूची

 * (see Chapter 12 "General theory of unbounded operators in Hilbert spaces").
 * (see Chapter 5 "Unbounded operators").
 * (see Chapter 8 "Unbounded operators").
 * (see Chapter 5 "Unbounded operators").
 * (see Chapter 8 "Unbounded operators").
 * (see Chapter 5 "Unbounded operators").
 * (see Chapter 8 "Unbounded operators").
 * (see Chapter 8 "Unbounded operators").

Linearer Operator