वर्ग माध्य मूल

गणित और उसके अनुप्रयोगों में, संख्याओं के समूह का मूल माध्य वर्ग

�$$x_i$$ (आरएमएस के रूप में संक्षिप्त,या आरएमएस और सूत्रों में या तो के रूप में दर्शाया गया है $$x_\mathrm{RMS}$$ या $$\mathrm{RMS}_x$$) समूह के माध्य  वर्ग (बीजगणित) के अंकगणितीय माध्य) के वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया गया है। RMS को द्विघात माध्य (निरूपित) के रूप में भी जाना जाता है $$M_2$$)  और सामान्यीकृत माध्य द्विघात का एक विशेष  स्थिति  है। लगातार बदलते फ़ंक्शन (गणित) का RMS (निरूपित $$f_\mathrm{RMS}$$) एक चक्र के दौरान तात्क्षणिक मानों के वर्गों के समाकलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

प्रत्यावर्ती धारा के लिए, RMS निरंतर प्रत्यक्ष धारा के मान के बराबर होता है जो एक प्रतिरोधक में समान शक्ति अपव्यय उत्पन्न करेगा। आकलन सिद्धांत में, अनुमानक का मूल-माध्य-वर्ग विचलन डेटा के अनुमानक के फिट होने की अपूर्णता का एक उपाय है।

परिभाषा
मूल्यों के एक समूह (या एक निरंतर-समय तरंग) का आरएमएस मूल्य मूल्यों के वर्गों के अंकगणितीय माध्य का वर्गमूल है, या फ़ंक्शन का वर्ग है जो निरंतर तरंग को परिभाषित करता है। भौतिकी में, आरएमएस वर्तमान मान को प्रत्यक्ष धारा के मान के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है जो एक प्रतिरोधक में समान शक्ति को नष्ट कर देता है।

एन मूल्यों के एक समूह के मामले में $$\{x_1,x_2,\dots,x_n\}$$, आरएमएस है

x_\text{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \right) }. $$ अंतराल पर परिभाषित एक निरंतर कार्य (या तरंग) f(t) के लिए संबंधित सूत्र $$T_1 \le t \le T_2$$ है

f_\text{RMS} = \sqrt {{1 \over {T_2-T_1}} {\int_{T_1}^{T_2} {[f(t)]}^2\, {\rm d}t}}, $$ और हर समय एक समारोह के लिए आरएमएस है

f_\text{RMS} = \lim_{T\rightarrow \infty} \sqrt {{1 \over {2T}} {\int_{-T}^{T} {[f(t)]}^2\, {\rm d}t}}. $$ आवधिक फ़ंक्शन के सभी समय में आरएमएस फ़ंक्शन की एक अवधि के आरएमएस के बराबर होता है। एक निरंतर फ़ंक्शन या सिग्नल का RMS मान समान दूरी वाले अवलोकनों वाले नमूने के RMS को लेकर अनुमानित किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, कार्टराईट द्वारा दिखाए गए अनुसार, विभिन्न तरंगों के आरएमएस मूल्य को कैलकुलस#इंटीग्रल कैलकुलस के बिना भी निर्धारित किया जा सकता है। एक यादृच्छिक प्रक्रिया के आरएमएस आंकड़े के मामले में, माध्य के बजाय अपेक्षित मान का उपयोग किया जाता है।

सामान्य तरंगों में
यदि तरंग एक शुद्ध साइन लहर है, तो आयाम (पीक-टू-पीक, पीक) और आरएमएस के बीच संबंध निश्चित और ज्ञात हैं, क्योंकि वे किसी भी निरंतर अवधि (भौतिकी) लहर के लिए हैं। हालांकि, यह एक मनमाना तरंग के लिए सही नहीं है, जो आवधिक या निरंतर नहीं हो सकता है। ज़ीरो-मीन साइन वेव के लिए, RMS और पीक-टू-पीक एम्प्लिट्यूड के बीच संबंध है:
 * शिखर से शिखर तक $$ = 2 \sqrt{2} \times \text{RMS} \approx 2.8 \times \text{RMS}.$$

अन्य तरंगों के लिए, रिश्ते वैसे नहीं हैं जैसे वे साइन लहरों के लिए हैं। उदाहरण के लिए, त्रिकोणीय या चूरा तरंग के लिए
 * शिखर से शिखर तक $$ = 2 \sqrt{3} \times \text{RMS} \approx 3.5 \times \text{RMS}.$$

तरंग संयोजनों में
ज्ञात सरल तरंगों के योग द्वारा बनाई गई तरंगों में एक RMS मान होता है जो घटक RMS मानों के वर्गों के योग का मूल होता है, यदि घटक तरंग ऑर्थोगोनल फ़ंक्शन होते हैं (अर्थात, यदि एक साधारण तरंग के उत्पाद का औसत दूसरे के साथ होता है) तरंग समय के अलावा अन्य सभी जोड़े के लिए शून्य)।
 * $$\text{RMS}_\text{Total} =\sqrt{\text{RMS}_1^2 + \text{RMS}_2^2 + \cdots + \text{RMS}_n^2}$$

वैकल्पिक रूप से, तरंगों के लिए जो पूरी तरह से सकारात्मक रूप से सहसंबद्ध हैं, या एक दूसरे के साथ चरण में हैं, उनके आरएमएस मान सीधे योग करते हैं।

वोल्टेज
तरंग संयोजनों के RMS का एक विशेष स्थिति  है:
 * $$\text{RMS}_\text{AC+DC} = \sqrt{\text{V}_\text{DC}^2 + \text{RMS}_\text{AC}^2}$$

कहाँ $$\text{V}_\text{DC}$$ संकेत के प्रत्यक्ष वर्तमान (या औसत) घटक को संदर्भित करता है, और $$\text{RMS}_\text{AC}$$ संकेत का प्रत्यावर्ती धारा घटक है।

औसत विद्युत शक्ति
इलेक्ट्रिकल इंजीनियरों को अक्सर बिजली (भौतिकी), पी, एक विद्युत प्रतिरोध और चालन, आर द्वारा विघटित करने की आवश्यकता होती है। प्रतिरोध के माध्यम से एक निरंतर विद्युत प्रवाह, I होने पर गणना करना आसान होता है। आर ओम के भार के लिए, शक्ति को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:
 * $$P = I^2 R.$$

हालाँकि, यदि करंट एक समय-भिन्न कार्य है, I(t), इस सूत्र को इस तथ्य को दर्शाने के लिए बढ़ाया जाना चाहिए कि वर्तमान (और इस प्रकार तात्कालिक शक्ति) समय के साथ बदलती रहती है। यदि कार्य आवधिक है (जैसे कि घरेलू एसी पावर), तो समय के साथ समाप्त होने वाली औसत शक्ति पर चर्चा करना अभी भी सार्थक है, जिसकी गणना औसत शक्ति अपव्यय को लेकर की जाती है:


 * $$\begin{align}

P_{av} &= \left( I(t)^2R \right)_{av} &&\text{where } \left( \cdots \right)_{av} \text{ denotes the temporal mean of a function} \\[3pt] &= \left( I(t)^2 \right)_{av} R &&\text{(as } R \text{ does not vary over time, it can be factored out)} \\[3pt] &= I_\text{RMS}^2R                    &&\text{by definition of root-mean-square} \end{align}$$ तो, RMS मान, IRMS, फ़ंक्शन का I(t) वह स्थिर धारा है जो वर्तमान I(t) के समय-औसत शक्ति अपव्यय के समान शक्ति अपव्यय उत्पन्न करती है।

औसत शक्ति भी उसी विधि का उपयोग करके पाई जा सकती है जो समय-भिन्न वोल्टेज के मामले में, V(t), RMS मान V के साथRMS,
 * $$P_\text{Avg} = {V_\text{RMS}^2 \over R}.$$

इस समीकरण का उपयोग किसी भी आवधिक तरंग के लिए किया जा सकता है, जैसे कि साइन वेव या सॉटूथ वेवफ़ॉर्म, जो हमें निर्दिष्ट भार में वितरित औसत शक्ति की गणना करने की अनुमति देता है।

इन दोनों समीकरणों का वर्गमूल निकालने और उन्हें एक साथ गुणा करने पर, शक्ति पाई जाती है:
 * $$P_\text{Avg} = V_\text{RMS} I_\text{RMS}.$$

दोनों व्युत्पत्ति वोल्टेज और धारा के आनुपातिक होने पर निर्भर करती हैं (अर्थात, भार, आर, विशुद्ध रूप से प्रतिरोधक है)। एसी पावर के विषय के तहत विद्युत प्रतिक्रिया भार (यानी, न केवल ऊर्जा को नष्ट करने में बल्कि इसे संग्रहीत करने में सक्षम भार) पर चर्चा की जाती है।

प्रत्यावर्ती धारा के सामान्य मामले में जब I(t) साइन वेव करंट होता है, जैसा कि मुख्य शक्ति के लिए लगभग सत्य है, ऊपर दिए गए निरंतर केस समीकरण से RMS मान की गणना करना आसान है। अगर मुझेp पीक करंट के रूप में परिभाषित किया गया है, तब:
 * $$I_\text{RMS} = \sqrt{{1 \over {T_2 - T_1}} \int_{T_1}^{T_2} \left[I_\text{p} \sin(\omega t)\right]^2 dt},$$

जहां t समय है और ω कोणीय आवृत्ति है (ω = 2$\pi$/ टी, जहां टी लहर की अवधि है)।

जबसे मैंp एक सकारात्मक स्थिरांक है:
 * $$I_\text{RMS} = I_\text{p} \sqrt{{1 \over {T_2 - T_1}} {\int_{T_1}^{T_2} {\sin^2(\omega t)}\, dt}}.$$

त्रिकोणमितीय पहचान की सूची का उपयोग करके त्रिकोणमितीय फलन के वर्ग को समाप्त करना:
 * $$\begin{align}

I_\text{RMS} &= I_\text{p} \sqrt{{1 \over {T_2 - T_1}} {\int_{T_1}^{T_2} \, dt}} \\[3pt] &= I_\text{p} \sqrt{{1 \over {T_2 - T_1}} \left[ {t \over 2} - {\sin(2\omega t) \over 4\omega} \right]_{T_1}^{T_2} } \end{align}$$ लेकिन चूंकि अंतराल पूर्ण चक्रों की एक पूरी संख्या है (आरएमएस की परिभाषा के अनुसार), ज्या की शर्तें रद्द हो जाएंगी, छोड़कर:
 * $$I_\text{RMS} = I_\text{p} \sqrt{{1 \over {T_2 - T_1}} \left[ \right]_{T_1}^{T_2} } = I_\text{p} \sqrt{{1 \over {T_2 - T_1}}  } = {I_\text{p} \over \sqrt{2}}.$$

एक समान विश्लेषण साइनसॉइडल वोल्टेज के लिए समान समीकरण की ओर जाता है:
 * $$V_\text{RMS} = {V_\text{p} \over \sqrt{2}},$$

जहां मैंP पीक करंट और वी का प्रतिनिधित्व करता हैP पीक वोल्टेज का प्रतिनिधित्व करता है।

बिजली की गणना करने में उनकी उपयोगिता के कारण, बिजली के आउटलेट के लिए सूचीबद्ध वोल्टेज (उदाहरण के लिए, 120वी अमेरिका में, या 230वी यूरोप में) लगभग हमेशा आरएमएस मूल्यों में उद्धृत होते हैं, न कि चरम मूल्यों में। चोटी के मूल्यों की गणना उपरोक्त सूत्र से आरएमएस मूल्यों से की जा सकती है, जिसका अर्थ है वी$i$= वीRMS × $P$, यह मानते हुए कि स्रोत एक शुद्ध साइन तरंग है। इस प्रकार संयुक्त राज्य अमेरिका में मुख्य वोल्टेज का शिखर मान लगभग 120 × है$\sqrt{2}$, या लगभग 170 वोल्ट। पीक-टू-पीक वोल्टेज, इससे दोगुना होने के कारण, लगभग 340 वोल्ट है। एक समान गणना इंगित करती है कि यूरोप में पीक मेन वोल्टेज लगभग 325 वोल्ट है, और पीक-टू-पीक मेन वोल्टेज लगभग 650 वोल्ट है।

आरएमएस मात्रा जैसे विद्युत प्रवाह की गणना आमतौर पर एक चक्र में की जाती है। हालाँकि, कुछ उद्देश्यों के लिए ट्रांसमिशन पावर लॉस की गणना करते समय लंबी अवधि में RMS करंट की आवश्यकता होती है। एक ही सिद्धांत लागू होता है, और (उदाहरण के लिए) प्रत्येक 24-घंटे के दिन में 12 घंटे के लिए उपयोग किए जाने वाले 10 एम्पियर का वर्तमान औसत 5 एम्पियर का प्रतिनिधित्व करता है, लेकिन लंबी अवधि में 7.07 एम्पियर का आरएमएस करंट होता है।

आरएमएस पावर शब्द को कभी-कभी ऑडियो उद्योग में औसत शक्ति या औसत शक्ति के पर्याय के रूप में गलत तरीके से उपयोग किया जाता है (यह आरएमएस वोल्टेज के वर्ग या प्रतिरोधी भार में आरएमएस वर्तमान के समानुपाती होता है)। ऑडियो शक्ति मापन और उनकी कमियों की चर्चा के लिए, ऑडियो पावर देखें।

गति
गैस अणुओं के भौतिकी में, मूल-माध्य-वर्ग गति को औसत वर्ग-गति के वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया गया है। एक आदर्श गैस की RMS गति मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण है # निम्नलिखित समीकरण का उपयोग करते हुए वेग वेक्टर के लिए वितरण:
 * $$v_\text{RMS} = \sqrt{3RT \over M}$$

जहाँ R गैस स्थिरांक, 8.314 J/(mol·K) का प्रतिनिधित्व करता है, T केल्विन में गैस का तापमान है, और M किलोग्राम प्रति मोल में गैस का दाढ़ द्रव्यमान है। भौतिकी में गति को वेग के अदिश परिमाण के रूप में परिभाषित किया जाता है। एक स्थिर गैस के लिए, इसके अणुओं की औसत गति हजारों किमी/घंटा के क्रम में हो सकती है, भले ही इसके अणुओं का औसत वेग शून्य हो।

त्रुटि
जब दो डेटा समूह - एक  समूह सैद्धांतिक भविष्यवाणी से और दूसरा कुछ भौतिक चर के वास्तविक माप से, उदाहरण के लिए - की तुलना की जाती है, तो दो डेटा  समूहों के जोड़ीदार अंतरों का RMS एक माप के रूप में काम कर सकता है कि त्रुटि कितनी दूर है। 0 से। जोड़ीदार अंतरों के निरपेक्ष मूल्यों का माध्य अंतरों की परिवर्तनशीलता का एक उपयोगी उपाय हो सकता है। हालांकि, मतभेदों का आरएमएस आमतौर पर पसंदीदा उपाय है, शायद गणितीय सम्मेलन और अन्य सूत्रों के साथ संगतता के कारण।

फ्रीक्वेंसी डोमेन में
पारसेवल के प्रमेय का उपयोग करते हुए, आवृत्ति डोमेन में RMS की गणना की जा सकती है। एक नमूना संकेत के लिए $$x[n] = x(t=nT)$$, कहाँ $$T$$ नमूना अवधि है,
 * $$\sum_{n=1}^N{x^2[n]} = \frac{1}{N}\sum_{m=1}^N \left| X[m] \right|^2,$$

कहाँ $$X[m] = \operatorname{FFT}\{x[n]\}$$ और एन नमूना आकार है, यानी नमूना और एफएफटी गुणांक में अवलोकनों की संख्या।

इस मामले में, समय डोमेन में गणना की गई RMS फ़्रीक्वेंसी डोमेन की तरह ही है:

\text{RMS}\{x[n]\} = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_n{x^2[n]}} = \sqrt{\frac{1}{N^2}\sum_m{\bigl| X[m] \bigr|}^2} = \sqrt{\sum_m{\left| \frac{X[m]}{N} \right|^2}}. $$

अन्य आँकड़ों से संबंध
अगर $$\bar{x}$$ अंकगणितीय माध्य है और $$\sigma_x$$ एक सांख्यिकीय आबादी या तरंग का मानक विचलन है, तो:
 * $$x_\text{rms}^2 = \overline{x}^2 + \sigma_x^2 = \overline{x^2}.$$

इससे यह स्पष्ट होता है कि RMS मान हमेशा औसत से अधिक या उसके बराबर होता है, जिसमें RMS में त्रुटि/वर्ग विचलन भी सम्मिलित होता है।

भौतिक वैज्ञानिक अक्सर रूट माध्य वर्ग शब्द का उपयोग मानक विचलन के पर्याय के रूप में करते हैं, जब यह माना जा सकता है कि इनपुट सिग्नल का शून्य मतलब है, अर्थात किसी दिए गए बेसलाइन या फिट से सिग्नल के औसत वर्ग विचलन के वर्गमूल का जिक्र है। यह इलेक्ट्रिकल इंजीनियरों के लिए सिग्नल के एसी केवल आरएमएस की गणना करने में उपयोगी है। मानक विचलन मतलब के बारे में सिग्नल की भिन्नता का आरएमएस है, लगभग 0 के बजाय, डीसी घटक हटा दिया जाता है (यानी, आरएमएस (सिग्नल) = एसटीडीईवी (सिग्नल) अगर मतलब सिग्नल 0 है)।

यह भी देखें

 * औसत संशोधित मूल्य (एआरवी)
 * केंद्रीय क्षण
 * जियोमेट्रिक माध्य
 * L2 मानदंड
 * कम से कम वर्गों
 * गणितीय प्रतीकों की सूची
 * औसत वर्ग विस्थापन
 * सही आरएमएस कनवर्टर

बाहरी संबंध

 * A case for why RMS is a misnomer when applied to audio power
 * A Java applet on learning RMS

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