श्वार्ज़स्चिल्ड जियोडेसिक्स

सामान्य सापेक्षता में, श्वार्ज़स्चिल्ड जियोडेसिक्स एक केंद्रीय निश्चित द्रव्यमान $M,$ के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में परीक्षण कणों की गति अर्थात्, श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक में गति का वर्णन करता है। आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता सिद्धांत के सामान्य सापेक्षता के परीक्षण में श्वार्ज़स्चिल्ड जियोडेसिक्स महत्वपूर्ण रहा है। उदाहरण के लिए, वे सौर मंडल में ग्रहों की असामान्य पूर्वता और गुरुत्वाकर्षण द्वारा प्रकाश के विक्षेपण की स्पष्ट भविष्यवाणी प्रदान करते हैं।

श्वार्ज़स्चिल्ड जियोडेसिक्स मात्र इतने छोटे द्रव्यमान के कणों की गति से संबंधित होता है कि वे गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में बहुत कम योगदान देते हैं। यद्यपि, वे कई खगोलभौतिकी परिदृश्यों में अत्यधिक स्पष्ट होता हैं, परंतु $m$ केंद्रीय द्रव्यमान $M$  से कई गुना लघु होता है, उदाहरण के लिए, अपने तारे की परिक्रमा करने वाले ग्रहों के लिए। श्वार्ज़स्चिल्ड जियोडेसिक्स भी एकपक्षीय द्रव्यमान के दो पिंडों की सापेक्ष गति का एक अच्छा प्राक्कलन होता है, परंतु श्वार्ज़स्चिल्ड द्रव्यमान $M$  दो अलग-अलग द्रव्यमानों $m_1$  और $m_2$  के योग के समान किया जाता है। सामान्य सापेक्षता में द्विआधारी तारों की गति की भविष्यवाणी करने में यह महत्वपूर्ण होता है।

ऐतिहासिक संदर्भ
श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक का नाम इसके अन्वेषक कार्ल श्वार्ज़स्चिल्ड के सम्मान में रखा गया है, जिन्होंने आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत के प्रकाशन के प्राक्कलित एक महीने पश्चात् ही 1915 में इसका समाधान प्राप्त कर लिया था। यह तुच्छ मिन्कोवस्की स्पेसटाइम के अतिरिक्त आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों का पहला स्पष्ट समाधान था।

1931 में, युसुके हागिवारा ने एक पेपर प्रकाशित किया जिसमें दिखाया गया कि श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक में एक परीक्षण कण के प्रक्षेपवक्र को दीर्घ वृत्ताकार फलनों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है।

1949 में सैमुअल कपलान ने दिखाया कि श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक में गोलाकार कक्षा के स्थिर होने के लिए एक न्यूनतम त्रिज्या उपस्थित होती है।

श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक
आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों का एक स्पष्ट समाधान श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक होता है, जो एक अनावेशित, गैर-घूर्णन, गोलाकार रूप से सममित द्रव्यमान $M$ वाले पिंड के बाहरी गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के समरूप होता है। श्वार्ज़स्चिल्ड समाधान को इस प्रकार लिखा जा सकता है



c^2 {d \tau}^{2} = \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) c^{2} dt^{2} - \frac{dr^{2}}{1 - \frac{r_\text{s}}{r}} - r^{2} d\theta^{2} - r^{2} \sin^{2} \theta \, d\varphi^{2} $$ जहाँ
 * $$\tau$$ छोटे धनात्मक द्रव्यमान के एक परीक्षण कण की स्थिति में, उचित समय (कण के साथ चलती घड़ी द्वारा मापा गया समय) सेकंड में होता है,
 * $$c$$ प्रकाश की गति प्रति सेकंड मीटर में होती है,
 * $$t$$, $$r > r_\text{s}$$के लिए और समय निर्देशांक (अनंत पर स्थिर घड़ी द्वारा मापा गया समय) सेकंड में होता है,
 * $$r$$, $$r > r_\text{s}$$के लिए और रेडियल निर्देशांक (तारे पर केन्द्रित एक वृत्त की परिधि को विभाजित किया गया है $$2\pi$$) मीटर में होता है,
 * $$\theta$$ रेडियन में कोलैटिट्यूड (उत्तर से कोण) होता है,
 * $$\varphi$$ रेडियन में देशांतर होता है, और
 * $$r_\text{s}$$ विशाल पिंड का श्वार्जस्चिल्ड त्रिज्या (मीटर में) होती है, जो उसके द्रव्यमान $M$ से संबंधित होती है

r_\text{s} = \frac{2GM}{c^{2}}, $$
 * जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक होता है। गुरुत्वाकर्षण का मौलिक न्यूटोनियन सिद्धांत सीमा में पुनः प्राप्त हो जाता है क्योंकि अनुपात $\frac{r_\text{s}}{r}$  शून्य हो जाता है। उस सीमा में, मीट्रिक विशेष सापेक्षता द्वारा परिभाषित सीमा पर वापस आ जाता है।

व्यवहार में, यह अनुपात प्राक्कलित सदैव लघु होता है। उदाहरण के लिए, श्वार्ज़स्चिल्ड त्रिज्या $r_\text{s}$ पृथ्वी का क्षेत्रफल प्राक्कलित 9 मिमी ($3/8$ इंच); पृथ्वी की सतह पर, न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण में सुधार एक अरब में मात्र एक भाग होता है। सूर्य की श्वार्ज़स्चिल्ड त्रिज्या बहुत बड़ी होती है, प्राक्कलित 2953 मीटर, इसकी सतह पर, अनुपात $\frac{r_\text{s}}{r}$  एक मिलियन में प्राक्कलित 4 भाग होते हैं। एक सफ़ेद बौना तारा बहुत अधिक सघन होता है, परन्तु यहाँ भी इसकी सतह पर अनुपात एक मिलियन में प्राक्कलित 250 भाग होता है। अनुपात मात्र न्यूट्रॉन स्टार (जहां अनुपात प्राक्कलित 50% है) और ब्लैक होल जैसी अति-सघन वस्तुओं के समीप ही बड़ा हो जाता है।

परीक्षण कणों की कक्षाएँ
हम विचार से एक चर को हटाने के लिए समरूपता का उपयोग करके समस्या को सरल बना सकते हैं। चूंकि श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक प्राक्कलित $\theta = \frac{\pi}{2}$ सममित होता है, कोई भी यदि जियोडेसिक जो उस विमान में चलना प्रारम्भ करता है वह अनिश्चित काल तक उस विमान में रहेगा (प्लेन पूरी तरह से जियोडेसिक है)। इसलिए, हम समन्वय प्रणाली को उन्मुख करते हैं जिससे कण की कक्षा उस विमान में स्थित हो, और समन्वय $\theta$  को $\frac{\pi}{2}$ पर पर ठीक करते जिससें मीट्रिक (इस विमान का) सरल हो जाती है



c^2 d \tau^{2} = \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) c^{2} dt^{2} - \frac{dr^{2}}{1 - \frac{r_\text{s}}{r}} - r^{2} d\varphi^{2}. $$ गति के दो स्थिरांक (मान जो उचित समय $$\tau$$ के साथ नहीं परिवर्तित होते हैं ) की पहचान की जा सकती है (सीएफ. व्युत्पत्ति को लैग्रेंजियन दृष्टिकोण दिया गया है)। $E$ एक समग्र ऊर्जा होती है:

\left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} = \frac{E}{m c^{2}}. $$ और दूसरा विशिष्ट सापेक्ष कोणीय गति इस प्रकार है:

h = \frac{L}{\mu} = r^{2} \frac{d\varphi}{d\tau}, $$ जहाँ $L$ दोनों पिंडों का कुल कोणीय संवेग होता है, और $\mu$  कम हुआ द्रव्यमान होता है। जब $M \gg m$  होता है, तो घटा हुआ द्रव्यमान प्राक्कलित $m$  के समान होता है । कभी-कभी $m = \mu$  मान लिया जाता है। बुध ग्रह की स्थिति में यह सरलीकरण सापेक्षतावादी प्रभाव से दोगुने से भी अधिक बड़ी त्रुटि उत्पन्न करता है। भूगणित विज्ञान पर चर्चा करते समय, $m$  काल्पनिक माना जा सकता है, और जो बहुत महत्वपूर्ण होता है वह स्थिरांक $\frac{E}{m}$  और $h$  होता है। सभी संभावित जियोडेसिक्स को कवर करने के लिए, हमें ऐसे स्थितियों पर विचार करने की आवश्यकता है जहाँ $\frac{E}{m}$  अनंत (फोटॉन के प्रक्षेप पथ दे रहा है) या काल्पनिक (टैचीओनिक जियोडेसिक्स के लिए) होता है। फोटोनिक स्थति के लिए, हमें दो स्थिरांकों के अनुपात के अनुरूप एक संख्या भी निर्दिष्ट करने की आवश्यकता होती है, अर्थात् $\frac{mh}{E}$  जो शून्य या गैर-शून्य वास्तविक संख्या हो सकती है।

इन स्थिरांकों को श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक की परिभाषा में प्रतिस्थापित करना



c^{2} = \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) c^{2} \left( \frac{dt}{d\tau} \right)^{2} - \frac{1}{1 - \frac{r_\text{s}}{r}} \left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} - r^{2} \left( \frac{d\varphi}{d\tau} \right)^{2}, $$ उचित समय $\tau$ के फलन के रूप में त्रिज्या के लिए गति का एक समीकरण उत्पन्न करता है:



\left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} = \frac{E^{2}}{m^{2}c^{2}} - \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \left( c^{2} + \frac{h^{2}}{r^{2}} \right). $$ इसका औपचारिक समाधान इस प्रकार है



\tau = \int \frac{dr}{\pm\sqrt{\frac{E^{2}}{m^{2}c^{2}} - \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \left( c^{2} + \frac{h^{2}}{r^{2}} \right)}}. $$ ध्यान दें कि टैकियोनिक जियोडेसिक्स के लिए वर्गमूल काल्पनिक होगा।

$\frac{dt}{d\tau}$ और $E$  के मध्य उच्चतर संबंध का उपयोग करके, हम भी लिख सकते हैं



t = \int \frac{dr}{\pm c\left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right)\sqrt{1 - \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \left( c^{2} + \frac{h^{2}}{r^{2}}\right)\frac{m^2 c^2}{E^2}}}. $$ चूँकि स्पर्शोन्मुख रूप से समाकलन $r - r_\text{s}$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है, इससे पता चलता है कि संदर्भ के $r, \theta, \varphi, t$  फ्रेम में यदि $r$  $r_\text{s}$  तक पहुंचता है तो यह उस तक पहुंचे बिना ही शीघ्रता से ऐसा करता है। यद्यपि, $\tau$  के एक फलन के रूप में, $r$  $r_\text{s}$  तक पहुँचता है।

उपरोक्त समाधान मान्य हैं जबकि समाकलन परिमित है, परन्तु कुल समाधान में दो या अनंत टुकड़े सम्मिलित हो सकते हैं, प्रत्येक को समाकलन द्वारा वर्णित किया गया है परन्तु वर्गमूल के लिए वैकल्पिक संकेतों के साथ।

जब $E = mc^2$ और $h = 0$  होता है, तो हम $t$  और $\tau$  का स्पष्ट रूप से समाधान कर सकते हैं:


 * $$\begin{align}

t &= \text{constant} \pm \frac{r_\text{s}}c\left(\frac{2}{3}\left(\frac r{r_\text{s}}\right)^\frac{3}{2} + 2\sqrt{\frac r{r_\text{s}}} + \ln\frac{\left|\sqrt{\frac{r}{r_\text{s}}} - 1\right|}{\sqrt{\frac{r}{r_\text{s}}} + 1}\right) \\ \tau &= \text{constant}\pm\frac{2}{3}\frac{r_\text{s}}c\left(\frac r{r_\text{s}}\right)^\frac{3}{2} \end{align}$$ और फोटोनिक जियोडेसिक्स के लिए ($m = 0$ ) शून्य कोणीय गति के साथ


 * $$\begin{align}

t &= \text{constant} \pm \frac{1}{c}\left(r + r_\text{s}\ln\left|\frac{r}{r_\text{s}} - 1\right|\right) \\ \tau &= \text{constant}. \end{align}$$ (यद्यपि फोटोनिक स्थति में उचित समय तुच्छ होता है, कोई एक एफ़िन पैरामीटर $\lambda$ को परिभाषित कर सकता है, और फिर जियोडेसिक समीकरण का समाधान $r = c_1\lambda + c_2$  होता है।)

दूसरा समाधान योग्य स्थिति वह है जिसमें $E = 0$ और $t$  और $\varphi$  स्थिर होता हैं। मात्रा में जहाँ $r < r_\text{s}$  होता इससे उचित समय प्राप्त होता है


 * $$\tau=\text{constant}\pm\frac{r_\text{s}}c\left(\arcsin\sqrt{\frac r{r_\text{s}}}-\sqrt{\frac r{r_\text{s}}\left(1-\frac r{r_\text{s}}\right)}\right).$$

यह $\frac{E^2}{m^2}$ लघु और सकारात्मक समाधान के समीप होता है। $r_\text{s}$  के बाहर $E = 0$  समाधान टैच्योनिक होता है और "उचित समय" अंतरिक्ष जैसा होता है:


 * $$\tau=\text{constant}\pm i\frac{r_\text{s}}c\left(\ln\left(\sqrt{\frac r{r_\text{s}}}+\sqrt{\frac r{r_\text{s}}-1}\right)+\sqrt{\frac r{r_\text{s}}\left(\frac r{r_\text{s}}-1\right)}\right).$$

यह $\frac{E^2}{m^2}$ लघु और ऋणात्मक अन्य टैच्योनिक समाधानों के समीप होता है। $r_\text{s}$  के बाहर एक स्थिरांक $t$  टैच्योनिक जियोडेसिक, $r_\text{s}$  के अंदर एक स्थिरांक $t$  निरंतर नहीं होता है, जबकि एक समानांतर बाहरी क्षेत्र में निरंतर होता है (क्रुस्कल-सेकेरेस निर्देशांक देखें)। अन्य टैकियोनिक समाधान ब्लैक होल में प्रवेश कर सकते हैं और समानांतर बाहरी क्षेत्र में फिर से बाहर निकल सकते हैं। स्थिरांक $t$  घटना क्षितिज के अंदर समाधान ($r_\text{s}$ ) एक स्थिरांक $t$  एक समाधान वाइट होलमें निरंतर होता है।

जब कोणीय संवेग शून्य न हो तो हम उचित समय पर निर्भरता को $h$ की परिभाषा का उपयोग करके कोण $\varphi$  पर निर्भरता से बदल सकते हैं

\left( \frac{dr}{d\varphi} \right)^{2} = \left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} \left( \frac{d\tau}{d\varphi} \right)^{2} = \left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} \left( \frac{ r^{2}}{h} \right)^{2}, $$ जो कक्षा के लिए समीकरण उत्पन्न करता है

\left( \frac{dr}{d\varphi} \right)^{2} = \frac{r^{4}}{b^{2}} - \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \left( \frac{r^{4}}{a^{2}} + r^{2} \right) $$ जहां, संक्षिप्तता के लिए, दो लंबाई-मापदंडों को, $a$ और $b$, द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$\begin{align}

a &= \frac{h}{c}, \\ b &= \frac{cL}{E} = \frac{hmc}E. \end{align}$$ ध्यान दें कि टैच्योनिक स्थति में, $a$ काल्पनिक और $b$  वास्तविक या अनंत होगा।

यही समीकरण लैग्रेंजियन यांत्रिकी का उपयोग करके भी प्राप्त किया जा सकता है या हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण (देखें कक्षा समीकरण की वैकल्पिक व्युत्पत्ति)। कक्षा समीकरण का हल इस प्रकार है



\varphi = \int \frac{dr}{\pm r^{2} \sqrt{\frac{1}{b^{2}} - \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{r^{2}} \right)}}. $$ इसे वीयरस्ट्रैस के दीर्घ वृत्ताकार फलनों $\wp$ के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है।

स्थानीय और विलंबित वेग
मौलिक यांत्रिकी के विपरीत, श्वार्ज़स्चिल्ड में निर्देशांक $\frac{{\rm d}r}{{\rm d}\tau}$ और $r\ \frac{{\rm d}\varphi}{{\rm d}\tau}$  रेडियल $v_{\parallel}$  और अनुप्रस्थ $v_{\perp}$  स्थानीय वेग के घटक $v$  (एक स्थिर पर्यवेक्षक के सापेक्ष) नही होते है, इसके अतिरिक्त वे उचित वेग के लिए घटक देते हैं जो $v$  द्वारा संबंधित होते हैं


 * $$\frac{{\rm d}r}{{\rm d}\tau} = v_\parallel \sqrt{1 - \frac{r_\text{s}}{r}}\ \gamma$$

रेडियल के लिए और


 * $$\frac{{\rm d}\varphi}{{\rm d}\tau} = \frac{v_{\perp}}{r} \ \gamma$$

गति के अनुप्रस्थ घटक के लिए, $v^2 = v_{\parallel}^2 + v_{\perp}^2$ के साथ। घटनास्थल से दूर समन्वयित मुनीम शापिरो-विलंबित वेग $\hat{v}$ का निरीक्षण करता है, जो संबंध द्वारा इस प्रकार दिया गया है


 * $${\hat v}_{\perp} = v_{\perp}\sqrt{1 - \frac{r_\text{s}}{r}}$$ और $${\hat v}_{\parallel} = v_{\parallel}\left(1 - \frac{r_\text{s}}{r}\right)$$.

मुनीम और गतिशील परीक्षण-कण के मध्य समय फैलाव कारक को भी फॉर्म में रखा जा सकता है


 * $$\frac{{\rm d}\tau}{{\rm d}t} = \frac{\sqrt{1 - \frac{r_\text{s}}{r}}}{\gamma}$$

जहाँ अंश गुरुत्वाकर्षण होता है, और हर समय फैलाव का गतिक घटक होता है। अनंत से गिरने वाले कण के लिए बायाँ कारक दाएँ कारक के समान होता है, क्योंकि इस स्थति में गिरने का वेग $v$ पलायन वेग $c \sqrt{\frac{r_\text{s}}{r}}$  के समरूप होता है।

$m$ द्रव्यमान वाले एक परीक्षण-कण के दो स्थिरांक कोणीय गति $L$  और कुल ऊर्जा $E$  $v$  के संदर्भ में इस प्रकार हैं।
 * $$L = m\ v_{\perp}\ r\ \gamma$$

और


 * $$E = m c^2 \ \sqrt{1 - \frac{r_\text{s}}{r}}\ \gamma$$

जहाँ


 * $$E = E_{\rm rest} + E_{\rm kin} + E_{\rm pot}$$

और


 * $$E_{\rm rest} = m c^2\ ,\ \ E_{\rm kin} = (\gamma - 1)mc^2\ ,\ \ E_{\rm pot} = \left(\sqrt{1 - \frac{r_\text{s}}{r}} - 1\right)\ \gamma\ m c^2$$

बड़े मापदंडों पर परीक्षण कणों $\gamma$ के लिए लोरेंत्ज़ कारक $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$  होता है और $\tau$  यह उचित समय होता है, जबकि फोटॉन जैसे द्रव्यमान रहित कणों $\gamma$  के लिए लिए सेट $1$  होता है और $\tau$  एफ़िन पैरामीटर की भूमिका लेता है। यदि कण द्रव्यमान $E_{\rm rest}$ रहित होता है तो इसे गया है $E_{\rm kin}$  और $m c^2$  साथ $h f$  के साथ प्रतिस्थापित कर दिया जाता है, जहाँ $h$  प्लैंक स्थिरांक होता है और $f$  स्थानीय रूप से देखी गई आवृत्ति होती है।

दीर्घवृत्तीय फलनों का उपयोग करके स्पष्ट समाधान
कक्षा के मूलभूत समीकरण को हल करना सरल होता है यदि इसे व्युत्क्रम त्रिज्या $u = \frac{1}{r}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है

\left( \frac{du}{d\varphi} \right)^{2} = \frac{1}{b^{2}} - \left( 1 - u r_\text{s} \right) \left( \frac{1}{a^{2}} + u^{2} \right) $$ इस समीकरण का दाहिना भाग एक घन फलन होता है, जिसमें फलन के तीन मूल होते हैं, जिन्हें यहाँ इस प्रकार $u_1$, $u_2$ , और $u_3$ प्रदर्शित किया गया है

\left( \frac{du}{d\varphi} \right)^{2} = r_\text{s} \left( u - u_{1} \right)  \left( u - u_{2} \right)  \left( u - u_{3} \right) $$ तीन मूलों का योग पद $u^2$ के गुणांक के समान होता है



u_{1} + u_{2} + u_{3} = \frac{1}{r_\text{s}} $$ वास्तविक गुणांक वाले एक घन बहुपद में या तो तीन वास्तविक जड़ें हो सकती हैं, या एक वास्तविक जड़ और दो जटिल संयुग्मी जड़ें हो सकती हैं। यदि तीनों मूल वास्तविक संख्याएँ होती हैं, तो मूलों को इस प्रकार $u_1 < u_2 < u_3$ प्रदर्शित किया जाता है। यदि इसके स्थान पर मात्र एक ही वास्तविक जड़ है, तो उसे इस रूप $u_3$ में प्रदर्शित किया जाता है; जटिल संयुग्मी जड़ों को $u_1$  और $u_2$ इस प्रकार प्रदर्शित किया जाता है।डेसकार्टेस के संकेतों के नियम का उपयोग करते हुए, अधिकतम एक ऋणात्मक मूल हो सकता है; $u_1$  ऋणात्मक है यदि और मात्र यदि $b < a$  होता है। जैसा कि नीचे चर्चा की गई है, जड़ें संभावित कक्षाओं के प्रकार निर्धारित करने में उपयोगी होती हैं।

जड़ों की इस लेबलिंग को देखते हुए, मौलिक कक्षीय समीकरण का समाधान इस प्रकार है



u = u_{1} + \left( u_{2} - u_{1} \right) \, \mathrm{sn}^{2}\left( \frac{1}{2} \varphi \sqrt{r_\text{s} \left( u_{3} - u_{1} \right)} + \delta \right) $$ जहाँ $\mathrm{sn}$ साइनस एम्प्लिट्यूडिनस फलन (जेकोबी दीर्घ वृत्ताकार फ़ंक्शंस में से एक) का प्रतिनिधित्व करता है और $\delta$  प्रारंभिक स्थिति को प्रतिबिंबित करने वाला एकीकरण स्थिरांक होता है। दीर्घ वृत्ताकार मापांक $k$  इस दीर्घ वृत्ताकार फलन को इस प्रकार सूत्र द्वारा प्रदर्शित किया गया है



k = \sqrt{\frac{u_{2} - u_{1}}{u_{3} - u_{1}}} $$

न्यूटोनियन सीमा
ग्रहों की कक्षाओं के लिए न्यूटोनियन समाधान को पुनर्प्राप्त करने के लिए, व्यक्ति श्वार्ज़स्चिल्ड त्रिज्या $r_\text{s}$ के रूप में सीमा लेता है और शून्य हो जाता है। इस स्थति में, तीसरी जड़ $u_3$ मोटे तौर पर $\frac{1}{r_\text{s}}$  हो जाता है, और $u_1$  या $u_2$  से भी बहुत बड़ा होता है इसलिए, मापांक $k$  शून्य हो जाता है; उस सीमा में, $\mathrm{sn}$  त्रिकोणमितीय फलन बन जाता है



u = u_{1} + \left( u_{2} - u_{1} \right) \, \sin^{2}\left( \frac{1}{2} \varphi + \delta \right) $$ ग्रहों की गति के लिए न्यूटन के समाधान के अनुरूप, यह सूत्र विलक्षणता $e$ के एक फोकल शंकु का वर्णन करता है

e = \frac{u_{2} - u_{1}}{u_{2} + u_{1}} $$ अगर $u_1$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है, तो कक्षा एक दीर्घवृत्त होती है $u_1$  और $u_2$  क्रमशः सबसे दूर और निकटतम दृष्टिकोण की दूरी का प्रतिनिधित्व करते हैं। अगर $u_1$  शून्य या ऋणात्मक वास्तविक संख्या है, कक्षा क्रमशः एक परवलय या अतिपरवलय होती है। इन पश्चात् की दो स्थितियों में, $u_2$  निकटतम दृष्टिकोण की दूरी का प्रतिनिधित्व करता है; चूँकि कक्षा अनंत ($u = 0$ ) तक जाती है, सबसे दूर के दृष्टिकोण की कोई दूरी नहीं होती है।

संभावित कक्षाओं की जड़ें और अवलोकन
जड़ कक्षा के एक बिंदु का प्रतिनिधित्व करती है जहां व्युत्पन्न लुप्त हो जाता है, अर्थात्, जहां $\frac{du}{d\phi} = 0$ होता है। ऐसे मोड़ पर, $u$  दूसरे व्युत्पन्न के मूल्य के आधार पर अधिकतम, न्यूनतम या विभक्ति बिंदु तक पहुंचता है, जो सूत्र द्वारा दिया गया है



\frac{d^{2}u}{d\varphi^{2}} = \frac{r_\text{s}}{2} \left[ \left( u - u_{2} \right)  \left( u - u_{3} \right)   +  \left( u - u_{1} \right)  \left( u - u_{3} \right)   +  \left( u - u_{1} \right)  \left( u - u_{2} \right)  \right] $$ यदि सभी तीन मूल अलग-अलग वास्तविक संख्याएँ हैं, तो दूसरा व्युत्पन्न क्रमशः u1, u2 और u3 पर सकारात्मक, ऋणात्मक और सकारात्मक है। इसका तात्पर्य यह है कि u विरूद्ध φ का ग्राफ या तो u1 और u2के मध्य दोलन कर सकता है, या यह u3 से दूर अनंत की ओर जा सकता है(जो r के शून्य की ओर जाने के समरूप होता है)। यदि u1 ऋणात्मक है, तो वास्तव में "दोलन" का केवल एक भाग ही घटित होगा। यह कण के अनंत से आने, केंद्रीय द्रव्यमान के निकट पहुंचने और फिर मौलिक समाधान में अतिशयोक्तिपूर्ण प्रक्षेपवक्र की तरह फिर से अनंत की ओर बढ़ने के समरूप होता है।

यदि कण में उसके कोणीय संवेग के लिए सही मात्रा में ऊर्जा है, तो u2 और u3 विलीन हो जायेगा। इस स्थति में तीन समाधान हैं। कक्षा में सर्पिलाकार हो $r = \frac{1}{u_2} = \frac{1}{u_3}$ सकता है, उस त्रिज्या के पास (स्पर्शोन्मुख रूप से) φ में घटते घातांक के रूप में, $\tau$, या $t$  या उस त्रिज्या पर एक गोलाकार कक्षा हो सकती है। या किसी की एक कक्षा हो सकती है जो उस त्रिज्या से केंद्रीय बिंदु तक नीचे की ओर सर्पिल होती है। प्रश्न में त्रिज्या को आंतरिक त्रिज्या कहा जाता है और यह मध्य में $\frac{3}{2}$  और rs तीन गुने होता है। एक वृत्ताकार कक्षा भी तब फलित होती है जब $u_2$  $u_1$ के समान होता है, और इसे बाहरी त्रिज्या कहा जाता है। इन विभिन्न प्रकार की कक्षाओं की चर्चा नीचे की गई है।

यदि कण पर्याप्त ऊर्जा और पर्याप्त कम कोणीय गति के साथ केंद्रीय द्रव्यमान पर आता है तभी $u_1$ वास्तविक होगा। यह कण के ब्लैक होल में गिरने के समरूप होता है। कक्षा φ में एक सीमित परिवर्तन के साथ सर्पिल होती है।

कक्षाओं का पूर्वगमन
फलन sn और इसका वर्ग sn2 की अवधि क्रमशः 4K और 2K होती है, जहां K को समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है

K = \int_0^1 \frac{dy}{\sqrt{\left( 1 - y^2 \right) \left( 1 - k^2 y^2 \right)}} $$ इसलिए, एक दोलन पर φ में परिवर्तन $u$ (या, समकक्ष, एक दोलन $r$ ) समान होता है

\Delta\varphi = \frac{4K}{\sqrt{r_\text{s} \left(u_3 - u_1\right)}} $$ मौलिक सीमा में, u3 दृष्टिकोण $\frac{1}{r_\text{s}}$ और या $u_2$ से बहुत बड़ा है। इस तरह, $k^2$  प्राक्कलित इस प्रकार होता है

k^2 = \frac{u_2 - u_1}{u_3 - u_1} \approx r_\text{s} \left(u_2 - u_1\right) \ll 1 $$ उन्हीं कारणों से, Δφ का हर प्राक्कलित इस प्रकार होता है



\frac{1}{\sqrt{r_\text{s} \left(u_3 - u_1\right)}} = \frac{1}{\sqrt{1 - r_\text{s} \left(2u_1 + u_2\right)}} \approx 1 + \frac{1}{2} r_\text{s} \left(2u_1 + u_2\right) $$ मापांक के बाद से $k$ शून्य के समीप होता है, अवधि K को $k$  घातों में विस्तारित किया जा सकता है; निम्नतम क्रम तक, यह विस्तार इस प्रकार प्रदर्शित किया जाता है



K \approx \int_0^1 \frac{dy}{\sqrt{1 - y^2}} \left( 1 + \frac{1}{2} k^2 y^2 \right) = \frac{\pi}{2} \left( 1 + \frac{k^2}{4} \right) $$ इन सन्निकटनों को Δφ के सूत्र में प्रतिस्थापित करने से प्रति रेडियल दोलन कोणीय अग्रिम के लिए एक सूत्र प्राप्त होता है



\delta\varphi = \Delta\varphi - 2\pi \approx \frac{3}{2} \pi r_\text{s} \left( u_1 + u_2 \right) $$ एक दीर्घ वृत्ताकार कक्षा के लिए, $u_1$ और $u_2$  क्रमशः सबसे लंबी और सबसे छोटी दूरी का व्युत्क्रम निरूपित करें। इन्हें दीर्घवृत्त अर्ध-प्रमुख अक्ष $A$  के संदर्भ और इसकी कक्षीय विलक्षणता $e$  में व्यक्त किया जा सकती है,
 * $$\begin{align}

r_\text{max} &= \frac{1}{u_{1}} = A(1 + e) \\ r_\text{min} &= \frac{1}{u_{2}} = A(1 - e) \end{align}$$ इस प्रकार

u_1 + u_2 = \frac{2}{A\left( 1 - e^2 \right)} $$ $r_\text{s}$ की परिभाषा को प्रतिस्थापित करने से अंतिम समीकरण प्राप्त होता है

\delta\varphi \approx \frac{6\pi GM}{c^2 A\left( 1 - e^2 \right)} $$

गुरुत्वाकर्षण द्वारा प्रकाश का झुकना
सीमा में जैसे ही कण द्रव्यमान m शून्य पर जाता है (या, समतुल्य यदि प्रकाश सीधे केंद्रीय द्रव्यमान की ओर जाता है, जैसे लंबाई-मापदंडों पर अनंत तक जाता है), कक्षा के लिए समीकरण बन जाता है



\varphi = \int \frac{dr}{r^{2} \sqrt{\frac{1}{b^{2}} - \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \frac{1}{r^{2}}}} $$ $\frac{r_\text{s}}{r}$ की शक्तियों में विस्तार करते हुए, इस सूत्र में अग्रणी क्रम शब्द अनंत से आने वाले और अनंत तक वापस जाने वाले द्रव्यमान रहित कण के लिए प्राक्कलनित कोणीय विक्षेपण δφ देता है:



\delta \varphi \approx \frac{2r_\text{s}}{b} = \frac{4GM}{c^{2}b}. $$ यहाँ, $b$ प्रभाव पैरामीटर है, जो निकटतम दृष्टिकोण की दूरी से कुछ अधिक होता है, $r_3$  जो इस प्रकार है:

$$b = r_3\sqrt{\frac{r_3}{r_3 - r_\text{s}}}$$

यद्यपि यह सूत्र प्राक्कलनित होता है, तो अनुपात $\frac{r_\text{s}}{r}$ के छोटे होने के कारण, यह गुरुत्वाकर्षण लेंसिंग के अधिकांश मापों के लिए स्पष्ट होता है। सूर्य की सतह पर पड़ने वाले प्रकाश के लिए, प्राक्कलनित कोणीय विक्षेपण चाप का प्राक्कलित 1.75 मिनट होता है, जो एक वृत्त का प्राक्कलित दस लाखवाँ भाग होता है।

प्रभावी रेडियल स्थितिज ऊर्जा
ऊपर दिए गए कण के लिए गति का समीकरण इस प्रकार है



\left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} = \frac{E^2}{m^2 c^2} - c^{2} + \frac{ r_\text{s} c^2}{r} - \frac{L^2}{ m\mu r^2 } + \frac{ r_\text{s} L^2 }{ m \mu r^3 } $$ श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक rs की परिभाषा का उपयोग करके पुनः से लिखा जा सकता है जो इस प्रकार है



\frac{1}{2} m \left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} = \left[ \frac{E^2}{2 m c^2} - \frac{1}{2} m c^2 \right] + \frac{GMm}{r} - \frac{ L^2 }{ 2 \mu r^2 } + \frac{ G(M+m) L^2 }{c^2 \mu r^3}, $$ जो एक आयामी प्रभावी क्षमता में घूमने वाले कण के समान होता है



V(r) = -\frac{GMm}{r} + \frac{ L^2 }{ 2 \mu r^2 } - \frac{ G(M + m) L^2 }{ c^2 \mu r^3 } $$ पहले दो शब्द प्रसिद्ध मौलिक ऊर्जा होती हैं, पहला आकर्षक न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा और दूसरा प्रतिकारक "केन्द्रापसारक" बल के अनुरूप होता है। यद्यपि, तीसरा पद सामान्य सापेक्षता के लिए अद्वितीय एक आकर्षक ऊर्जा होती है। जैसा कि नीचे दिखाया गया है, यह व्युत्क्रम-घन ऊर्जा दीर्घ वृत्ताकार कक्षाओं को एक कोण δφ प्रति परिक्रमण से धीरे-धीरे आगे बढ़ने का कारण बनती है

\delta \varphi \approx \frac{ 6\pi G(M+m) }{ c^2 A \left( 1 - e^{2} \right)} $$ जहाँ $A$ अर्ध-प्रमुख धुरी और $e$  विलक्षणता होती है।

तीसरा कार्यकाल आकर्षक है और छोटे स्तर पर प्रभावी होता है $r$ मान, एक महत्वपूर्ण आंतरिक त्रिज्या rinner दे रहे है जिस पर एक कण निरंतर अंदर $r = 0$ की ओर खींचा जाता है; यह आंतरिक त्रिज्या कण के प्रति इकाई द्रव्यमान के कोणीय संवेग या, समकक्ष, का एक फलन होता है, $a$  लंबाई-मापदंड ऊपर परिभाषित किया गया है।

वृत्ताकार कक्षाएँ और उनकी स्थिरता
प्रभावी क्षमता $V$ लंबाई $a = \frac{h}{c}$  के अनुसार पुनः लिखा जा सकता है



V(r) = \frac{ \mu c^{2}}{2} \left[ - \frac{r_\text{s}}{r} + \frac{a^{2}}{r^{2}} - \frac{r_\text{s} a^{2}}{r^{3}} \right] $$ प्रभावी बल शून्य होने पर वृत्ताकार कक्षाएँ संभव होती हैं



F = -\frac{dV}{dr} = -\frac{ \mu c^{2}}{2r^{4}} \left[ r_\text{s} r^{2} - 2a^{2} r + 3r_\text{s} a^{2} \right] = 0 $$ अर्थात्, जब दो आकर्षक बल - न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण (पहला पद) और सामान्य सापेक्षता (तीसरा पद) के लिए अद्वितीय आकर्षण - प्रतिकारक केन्द्रापसारक बल (दूसरा पद) द्वारा बिल्कुल संतुलित होते हैं। ऐसी दो त्रिज्याएँ हैं जिन पर यह संतुलन हो सकता है, जिन्हें यहाँ rinner और router के रूप में प्रदर्शित गया है
 * $$\begin{align}

r_\text{outer} &= \frac{a^{2}}{r_\text{s}} \left( 1 + \sqrt{1 - \frac{3r_\text{s}^{2}}{a^{2}}} \right) \\[3pt] r_\text{inner} &= \frac{a^{2}}{r_\text{s}} \left( 1 - \sqrt{1 - \frac{3r_\text{s}^{2}}{a^{2}}} \right) = \frac{3a^{2}}{r_\text{outer}} \end{align}$$ जो द्विघात समीकरण और उसकी व्युत्पत्ति का उपयोग करके प्राप्त किए जाते हैं। आंतरिक त्रिज्या rinner अस्थि होती है, क्योंकि जब r लघु हो जाता है तो आकर्षक तीसरा बल अन्य दो बलों की तुलना में बहुत शीघ्रता से दृढ़ होता है; यदि कण rinner से थोड़ा अंदर की ओर फिसलता है (जहां तीनों बल संतुलन में हैं), तीसरा बल अन्य दो पर प्रभावी होता है और कण को ​​r = 0 तक अनिवार्य रूप से अंदर की ओर खींचता है। बाहरी त्रिज्या पर, यद्यपि, गोलाकार कक्षाएँ स्थिर होती हैं; तीसरा पद कम महत्वपूर्ण होता है और प्रणाली गैर-सापेक्षवादी केपलर समस्या की तरह अधिक व्यवहार करता है।

जब $a$, $r_\text{s}$ से बहुत अधिक होता है (मौलिक मामला), ये सूत्र प्राक्कलित इस प्रकार बन जाते हैं


 * $$\begin{align}

r_\text{outer} &\approx \frac{2a^{2}}{r_\text{s}} \\[3pt] r_\text{inner} &\approx \frac{3}{2} r_\text{s} \end{align}$$

router में $a$ और rs की परिभाषाओं को प्रतिस्थापित करने से द्रव्यमान के एक कण के लिए मौलिक सूत्र प्राप्त होता है, जो किसी $m$  द्रव्यमान के $M$  पिंड की परिक्रमा करता है।



r_{\mathrm{outer}}^{3} = \frac{G(M+m)}{\omega_{\varphi}^{2}} $$ जहां ωφ कण की कक्षीय कोणीय गति होती है। यह सूत्र गैर-सापेक्षवादी यांत्रिकी में केन्द्रापसारक बल को न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण बल के समान स्थापित करके प्राप्त किया जाता है:



\frac{GMm}{r^{2}} = \mu \omega_{\varphi}^{2} r $$ जहाँ $\mu$ कम हुआ द्रव्यमान होता है।

हमारे अंकन में, मौलिक कक्षीय कोणीय गति समान होती है



\omega_{\varphi}^{2} \approx \frac{GM}{r_{\mathrm{outer}}^{3}} = \left( \frac{r_\text{s} c^{2}}{2r_{\mathrm{outer}}^{3}} \right) = \left( \frac{r_\text{s} c^{2}}{2} \right) \left( \frac{r_\text{s}^{3}}{8a^{6}}\right) = \frac{c^{2} r_\text{s}^{4}}{16 a^{6}} $$ दूसरे चरम पर, जब a2 3rs2 के समीप पहुंचता है तो ऊपर से, दो त्रिज्याएँ एक ही मान में परिवर्तित हो जाती हैं



r_{\mathrm{outer}} \approx r_{\mathrm{inner}} \approx 3 r_\text{s} $$ उपरोक्त द्विघात समीकरणऔर इसकी व्युत्पत्ति यह सुनिश्चित करती है कि router सदैव 3rs से बड़ा होता है, जबकि rinner $3/2$ rs और 3rs मध्य मे स्थित होता है। स्थितवृत्ताकार कक्षाएँ 3⁄2 rs से छोटी संभव नहीं होती हैं। द्रव्यमानहीन कणों के लिए, a अनंत तक जाता है, जिसका अर्थ है कि r rinner = 3⁄2 rs पर फोटॉन के लिए एक गोलाकार कक्षा होती है। इस त्रिज्या के गोले को कभी-कभी फोटॉन गोले के रूप में जाना जाता है।

दीर्घ वृत्ताकार कक्षाओं का पूर्वगमन
इस रेडियल प्रभावी क्षमता V का उपयोग करके कक्षीय पूर्वसर्ग दर प्राप्त की जा सकती है। त्रिज्या router की गोलाकार कक्षा से एक लघु रेडियल कोणीय आवृत्ति के साथ स्थिर रूप से दोलन करेगा



\omega_{r}^{2} = \frac{1}{m} \left[ \frac{d^{2}V}{dr^{2}} \right]_{r=r_{\mathrm{outer}}} $$ जो निम्न प्रकार समान होता है



\omega_{r}^{2} = \left( \frac{c^{2} r_\text{s}}{2 r_{\mathrm{outer}}^{4}} \right) \left( r_{\mathrm{outer}} - r_{\mathrm{inner}}\right) = \omega_{\varphi}^{2} \sqrt{1 - \frac{3r_\text{s}^{2}}{a^{2}}} $$ दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने और टेलर श्रृंखला विस्तार करने से परिणाम मिलते हैं



\omega_{r} = \omega_{\varphi} \left[ 1 - \frac{3r_\text{s}^{2}}{4a^{2}} + \mathcal{O}\left( \frac{r_\text{s}^{4}}{a^{4}} \right) \right] $$ एक परिक्रमण की अवधि T से गुणा करने पर प्रति परिक्रमण कक्षा की पूर्वता प्राप्त होती है



\delta \varphi = T \left( \omega_{\varphi} - \omega_{r} \right) \approx 2\pi \left( \frac{3r_\text{s}^{2}}{4a^{2}} \right) = \frac{3\pi m^{2} c^{2}}{2L^{2}} r_\text{s}^{2} $$ जहां हमने ωφT = 2п और लंबाई-मापदंडों की परिभाषा a का उपयोग किया है। श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक rs की परिभाषा को प्रतिस्थापित करने देता है



\delta \varphi \approx \frac{3\pi m^{2} c^{2}}{2L^{2}} \left( \frac{4G^{2} M^{2}}{c^{4}} \right) = \frac{6\pi G^{2} M^{2} m^{2}}{c^{2} L^{2}} $$ सूत्र द्वारा संबंधित दीर्घ वृत्ताकार कक्षा के अर्ध-अक्ष a और विलक्षणता ई का उपयोग करके इसे सरल बनाया जा सकता है



\frac{ h^2 }{ G(M+m) } = A \left( 1 - e^2 \right) $$ पूर्वता कोण देने के लिए सूत्र इस प्रकार है



\delta \varphi \approx \frac{6\pi G(M+m)}{c^2 A \left( 1 - e^{2} \right)} $$

क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक
श्वार्ज़स्चिल्ड-मीट्रिक के लिए गैर-लुप्त होने वाले क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक इस प्रकार हैं:
 * $$\begin{align}

\Gamma^t_{rt} = -\Gamma^r_{rr} &= \frac{r_\text{s}}{2r(r - r_\text{s})} \\[3pt] \Gamma^r_{tt} &= \frac{r_\text{s}(r - r_\text{s})}{2r^3} \\[3pt] \Gamma^r_{\phi\phi} &= (r_\text{s} - r)\sin^2(\theta) \\[3pt] \Gamma^r_{\theta\theta} &= r_\text{s} - r \\[3pt] \Gamma^\theta_{r\theta} = \Gamma^\phi_{r\phi} &= \frac{1}{r} \\[3pt] \Gamma^\theta_{\phi\phi} &= -\sin(\theta)\cos(\theta) \\[3pt] \Gamma^\phi_{\theta\phi} &= \cot(\theta) \end{align}$$

जियोडेसिक समीकरण
आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता सिद्धांत के अनुसार, नगण्य द्रव्यमान के कण अंतरिक्ष-समय में भूगणित के साथ यात्रा करते हैं। समतल अंतरिक्ष-समय में, गुरुत्वाकर्षण के स्रोत से दूर, ये भूगणित सीधी रेखाओं के अनुरूप होते हैं; यद्यपि, जब स्पेस-टाइम घुमावदार होता है तो वे सीधी रेखाओं से विचलित हो सकते हैं। जियोडेसिक रेखाओं के लिए समीकरण इस प्रकार है

\frac{d^2x^{\lambda}}{d q^2} + \Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} \frac{dx^{\mu}}{d q} \frac{dx^{\nu}}{dq} = 0 $$ जहां Γ क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक और चर $q$ का प्रतिनिधित्व करता है अंतरिक्ष-समय, इसकी तथाकथित विश्व रेखा के माध्यम से कण के पथ को पैरामीट्रिज़ करता है। क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक मात्र मीट्रिक टेंसर $g_{\mu\nu}$ पर निर्भर करता है, या यों कहें कि यह स्थिति के साथ कैसे परिवर्तित होता है। परिवर्तनशील $q$  उचित समय $\tau$  का एक अचर गुणज होता है समयबद्ध कक्षाओं के लिए (जो बड़े कणों द्वारा यात्रा की जाती हैं), और सामान्यतः इसे इसके समान माना जाता है। हल्के (या शून्य) कक्षाओं के लिए (जो फोटॉन जैसे द्रव्यमान रहित कणों द्वारा यात्रा की जाती हैं), उचित समय शून्य होता है और, कठोरता से बोलते हुए, चर $q$  के रूप में उपयोग नहीं किया जा सकता है। फिर भी, प्रकाश-जैसी कक्षाओं को समय-समान कक्षाओं की अतिसापेक्षतावादी सीमा के रूप में प्राप्त किया जा सकता है, अर्थात, जब कण द्रव्यमान m अपनी कुल ऊर्जा को स्थिर रखते हुए शून्य हो जाता है तो सीमा शून्य हो जाती है।

इसलिए, किसी कण की गति को हल करने के लिए, सबसे सरल विधि जियोडेसिक समीकरण को हल करना होती है, जो आइंस्टीन द्वारा अपनाया गया एक दृष्टिकोण है। और दूसरे श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक को इस प्रकार लिखा जा सकता है



c^{2}d\tau^{2} = w(r) c^2 dt^{2} - v(r) dr^{2} - r^{2} d\theta^{2} - r^{2} \sin^{2} \theta d\phi^{2} \,$$ जहां दो फलन $w(r) = 1 - \frac{r_\text{s}}{r}$ $v(r)= \frac{1}{w(r)}$  पारस्परिक संक्षिप्तता के लिए परिभाषित होते हैं। इस मीट्रिक से, क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक $\Gamma_{\mu\nu}^{\lambda}$  की गणना की जा सकती है, और परिणामों को जियोडेसिक समीकरणों में प्रतिस्थापित किया जा सकता है


 * $$\begin{align}

0 &= \frac{d^{2}\theta}{dq^{2}} + \frac{2}{r} \frac{d\theta}{dq} \frac{dr}{dq} - \sin \theta \cos \theta \left( \frac{d\phi}{dq} \right)^{2} \\[3pt] 0 &= \frac{d^{2}\phi}{dq^{2}} + \frac{2}{r} \frac{d\phi}{dq} \frac{dr}{dq} + 2 \cot \theta \frac{d\phi}{dq} \frac{d\theta}{dq} \\[3pt] 0 &= \frac{d^{2}t}{dq^{2}} + \frac{1}{w} \frac{dw}{dr} \frac{dt}{dq} \frac{dr}{dq} \\[3pt] 0 &= \frac{d^{2}r}{dq^{2}} - \frac{1}{v} \frac{dv}{dr} \left( \frac{dr}{dq} \right)^{2} - \frac{r}{v} \left( \frac{d\theta}{dq} \right)^{2} - \frac{r\sin^{2}\theta}{v} \left( \frac{d\phi}{dq} \right)^{2} + \frac{c^{2}}{2v} \frac{dw}{dr} \left( \frac{dt}{dq} \right)^{2} \end{align}$$ यह सत्यापित किया जा सकता है कि इन चार समीकरणों में से पहले में प्रतिस्थापन द्वारा $\theta = \frac{\pi}{2}$ एक वैध समाधान होता है। समरूपता के अनुसार, कक्षा समतल होनी चाहिए, और हम समन्वय फ्रेम को व्यवस्थित करने के लिए स्वतंत्र होनी चाहिए जिससे भूमध्यरेखीय तल कक्षा का समतल हो। यह $\theta$  समाधान दूसरे और चौथे समीकरण को सरल बनाता है।

दूसरे और तीसरे समीकरण को हल करने के लिए, उन्हें क्रमशः $\frac{d\phi}{dq}$ और $\frac{dt}{dq}$  से विभाजित करना पर्याप्त होता है।


 * $$\begin{align}

0 &= \frac{d}{dq} \left[ \ln \frac{d\phi}{dq} + \ln r^{2} \right] \\[3pt] 0 &= \frac{d}{dq} \left[ \ln \frac{dt}{dq} + \ln w \right], \end{align}$$ जो गति के दो स्थिरांक उत्पन्न करता है।

लैग्रेंजियन दृष्टिकोण
क्योंकि परीक्षण कण एक निश्चित मीट्रिक में जियोडेसिक्स का पालन करते हैं, उन कणों की कक्षाओं को विविधताओं की गणना का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है, जिसे लैग्रेंजियन दृष्टिकोण भी कहा जाता है। अंतरिक्ष-समय में जियोडेसिक्स को ऐसे वक्रों के रूप में परिभाषित किया गया है, जिनके निर्देशांक में छोटे स्थानीय बदलाव (उनके समापन बिंदु की घटनाओं को स्थिर रखते हुए) उनकी समग्र लंबाई में कोई महत्वपूर्ण परिवर्तन नहीं करते हैं। इसे विविधताओं की गणना का उपयोग करके गणितीय रूप से व्यक्त किया जा सकता है



0 = \delta s = \delta \int ds = \delta \int \sqrt{g_{\mu\nu} \frac{dx^{\mu}}{d\tau} \frac{dx^{\nu}}{d\tau}} d\tau = \delta \int \sqrt{2T} d\tau $$ जहां τ उचित समय है, s = cτ अंतरिक्ष-समय में चाप-लंबाई है और T को इस प्रकार परिभाषित किया गया है



2T = c^{2} = \left( \frac{ds}{d\tau} \right)^{2} = g_{\mu\nu} \frac{dx^{\mu}}{d\tau} \frac{dx^{\nu}}{d\tau} = \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) c^{2} \left( \frac{dt}{d\tau} \right)^{2} - \frac{1}{1 - \frac{r_\text{s}}{r}} \left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} - r^{2} \left( \frac{d\varphi}{d\tau} \right)^{2} $$ गतिज ऊर्जा के अनुरूप यदि उचित समय के संबंध में व्युत्पन्न को संक्षिप्तता के लिए एक बिंदु द्वारा प्रदर्शित किया जाता है तो निम्न सूत्र प्राप्त होता है



\dot{x}^{\mu} = \frac{dx^{\mu}}{d\tau} $$ T को इस प्रकार लिखा जा सकता है



2T = c^{2} = \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) c^{2} \left( \dot{t} \right)^{2} - \frac{1}{1 - \frac{r_\text{s}}{r}} \left( \dot{r} \right)^{2} - r^{2} \left( \dot{\varphi} \right)^{2} $$ स्थिर कारक (जैसे कि सी या दो का वर्गमूल) परिवर्तनशील समस्या के उत्तर को प्रभावित नहीं करते हैं; इसलिए, अभिन्न के अंदर भिन्नता लेने से हैमिल्टन का सिद्धांत प्राप्त होता है



0 = \delta \int \sqrt{2T} d\tau = \int \frac{\delta T}{\sqrt{2T}} d\tau = \frac{1}{c} \delta \int T d\tau. $$ परिवर्तनशील समस्या का समाधान लैग्रेंज समीकरण द्वारा दिया जाता है



\frac{d}{d\tau} \left(\frac{\partial T}{\partial \dot{x}^{\sigma}} \right) = \frac{\partial T}{\partial x^{\sigma}}. $$ जब t और φ पर प्रयुक्त किया जाता है, तो ये समीकरण गति के दो स्थिरांक प्रकट करते हैं


 * $$\begin{align}

\frac{d}{d\tau} \left[ r^{2} \frac{d\varphi}{d\tau} \right] &= 0, \\ \frac{d}{d\tau} \left[ \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \right] &= 0, \end{align}$$ जिसे दो स्थिर लंबाई-मापदंडों के $a$ और $b$  रूप में व्यक्त किया जा सकता है
 * $$\begin{align}

r^{2} \frac{d\varphi}{d\tau} &= ac, \\ \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} &= \frac{a}{b}. \end{align}$$ जैसा कि जियोडेसिक समीकरण में दिखाया गया है, श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक की परिभाषा में इन समीकरणों के प्रतिस्थापन से कक्षा के लिए समीकरण प्राप्त होता है।

हैमिल्टनियन दृष्टिकोण
एक लैग्रेंजियन समाधान को समतुल्य हैमिल्टनियन रूप में पुनर्निर्मित किया जा सकता है। इस स्थति में, हैमिल्टनियन $$H$$ द्वारा दिया गया है



2 H = c^{2} = \frac{p_{t}^{2}}{c^{2} \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right)} - \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) p_{r}^{2} - \frac{p_{\theta}^{2}}{r^{2}} - \frac{p_{\varphi}^{2}}{r^{2}\sin^{2} \theta} $$ एक बार फिर, कक्षा को $\theta = \frac{\pi}{2}$ समरूपता द्वारा प्रतिबंधित किया जा सकता है। तब से $t$  और $\varphi$  हैमिल्टनियन में प्रकट नहीं होते, उनके संयुग्मी संवेग स्थिर होते हैं; उन्हें प्रकाश की गति $c$  और दो स्थिर लंबाई-मापदंडों $a$  और $b$  के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
 * $$\begin{align}

p_{\varphi} &= -ac \\ p_{\theta} &= 0 \\ p_{t} &= \frac{ac^{2}}{b} \end{align}$$ उचित समय के संबंध में व्युत्पन्न दिए गए हैं


 * $$\begin{align}

\frac{dr}{d\tau} &= \frac{\partial H}{\partial p_{r}} = - \left(1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) p_{r} \\ \frac{d\varphi}{d\tau} &= \frac{\partial H}{\partial p_{\varphi}} = \frac{-p_{\varphi}}{r^{2}} = \frac{ac}{r^{2}} \\ \frac{dt}{d\tau} &= \frac{\partial H}{\partial p_{t}} = \frac{p_{t}}{c^{2} \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right)} = \frac{a}{b \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right)} \end{align}$$ पहले समीकरण को दूसरे से विभाजित करने पर कक्षीय समीकरण प्राप्त होता है



\frac{dr}{d\varphi} = - \frac{r^{2}}{ac} \left(1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) p_{r} $$ रेडियल गति pr हैमिल्टनियन की स्थिरता का उपयोग करके r के संदर्भ में $H = \frac{c^{2}}{2}$ को व्यक्त किया जा सकता है; इससे मौलिक कक्षीय समीकरण प्राप्त होता है



\left( \frac{dr}{d\varphi} \right)^{2} = \frac{r^{4}}{b^{2}} - \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \left( \frac{r^{4}}{a^{2}} + r^{2} \right) $$

हैमिल्टन-जैकोबी दृष्टिकोण
कक्षीय समीकरण हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण से प्राप्त किया जा सकता है। इस दृष्टिकोण का लाभ यह है कि यह कण की गति को तरंग के प्रसार के समान करता है, और फ़र्मेट के सिद्धांत के माध्यम से, सामान्य सापेक्षता में गुरुत्वाकर्षण द्वारा प्रकाश के विक्षेपण की व्युत्पत्ति की ओर ले जाता है। मूल विचार यह है कि, समय की गुरुत्वाकर्षण धीमी गति के कारण, गुरुत्वाकर्षण द्रव्यमान के समीप तरंग-मुख के भाग आगे दूर वाले भागों की तुलना में अधिक धीमी गति से चलते हैं, इस प्रकार तरंग-मुख के प्रसार की दिशा झुक जाती है।

सामान्य सहप्रसरण का उपयोग करते हुए, इकाई द्रव्यमान के एक कण के लिए हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण को इच्छानुसार से निर्देशांक में व्यक्त किया जा सकता है



g^{\mu\nu} \frac{\partial S}{\partial x^{\mu}} \frac{\partial S}{\partial x^{\nu}} = c^{2}. $$ यह उपरोक्त हैमिल्टनियन सूत्रीकरण के समतुल्य है, जिसमें क्रिया के आंशिक व्युत्पन्न सामान्यीकृत संवेग का स्थान लेते हैं। श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक gμν का उपयोग करने से, यह निम्नलिखित समीकरण देता है



\frac{1}{c^{2} \left(1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right)} \left( \frac{\partial S}{\partial t} \right)^{2} - \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \left( \frac{\partial S}{\partial r} \right)^{2} - \frac{1}{r^{2}} \left( \frac{\partial S}{\partial \varphi} \right)^{2} = c^{2} $$ जहां हम फिर से गोलाकार समन्वय प्रणाली को कक्षा के तल के साथ उन्मुख करते हैं। समय t और अज़ीमुथल कोण φ चक्रीय निर्देशांक होता हैं, जिससें हैमिल्टन के प्रमुख फलन S का समाधान लिखा जा सकता है



S = -p_{t} t + p_{\varphi} \varphi + S_{r}(r) \, $$ जहाँ $$p_t$$ और $$p_{\varphi}$$ निरंतर सामान्यीकृत संवेग होता हैं। हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण रेडियल भाग $$S_r(r)$$ के लिए एक अभिन्न समाधान देता है

S_{r}(r) = \int^{r} \frac{dr}{1 - \frac{r_\text{s}}{r}} \sqrt{\frac{p_{t}^{2}}{c^{2}} - \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \left( c^{2} + \frac{p_{\varphi}^{2}}{r^{2}} \right)}. $$ संरक्षित संवेग pφ के संबंध में हैमिल्टन के प्रमुख फलन S का व्युत्पन्न इस प्रकार लिया जाता है



\frac{\partial S}{\partial p_{\varphi}} = \varphi + \frac{\partial S_{r}}{\partial p_{\varphi}} = \mathrm{constant} $$ जो निम्न प्रकार समान होता है



\varphi - \int^{r} \frac{p_{\varphi} dr}{r^{2}\sqrt{\frac{p_{t}^{2}}{c^{2}} - \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \left( c^{2} + \frac{p_{\varphi}^{2}}{r^{2}} \right)}} = \mathrm{constant} $$ φ और r में अतिसूक्ष्म भिन्नता लेने पर मौलिक कक्षीय समीकरण प्राप्त होता है



\left( \frac{dr}{d\varphi} \right)^{2} = \frac{r^{4}}{b^{2}} - \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \left( \frac{r^{4}}{a^{2}} + r^{2} \right). $$ जहां संरक्षित लंबाई-मापदंडों a और b को समीकरणों द्वारा संरक्षित संवेग द्वारा परिभाषित किया गया है


 * $$\begin{align}

\frac{\partial S}{\partial \varphi} = p_{\varphi} &= -ac \\ \frac{\partial S}{\partial t} = p_{t} &= \frac{ac^{2}}{b} \end{align}$$

हैमिल्टन का सिद्धांत
मात्र गुरुत्वाकर्षण से प्रभावित कण के लिए क्रिया अभिन्न होती है



S = \int{ - m c^2 d\tau} = - m c \int{ c \frac{d\tau}{dq} dq} = - m c \int{ \sqrt{-g_{\mu\nu} \frac{dx^{\mu}}{dq} \frac{dx^{\nu}}{dq} } dq} $$ जहाँ $\tau$ उचित समय है और $q$  कण की विश्व रेखा का कोई सहज मानकीकरण होता है। यदि कोई इसमें विविधताओं की गणना प्रयुक्त करता है, तो उसे फिर से जियोडेसिक के लिए समीकरण मिलते हैं। गणना को सरल बनाने के लिए, सबसे पहले एकीकृत के वर्ग की भिन्नता ली जाती है। इस स्थति के मीट्रिक और निर्देशांक के लिए और यह मानते हुए कि कण भूमध्यरेखीय तल $\theta = \frac{\pi}{2}$  में घूम रहा है, वह वर्ग इस प्रकार है



\left(c \frac{d\tau}{dq}\right)^2 = - g_{\mu\nu} \frac{dx^{\mu}}{dq} \frac{dx^{\nu}}{dq} = \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) c^{2} \left( \frac{dt}{dq} \right)^{2} - \frac{1}{1 - \frac{r_\text{s}}{r}} \left( \frac{dr}{dq} \right)^{2} - r^{2} \left( \frac{d\varphi}{dq} \right)^{2} \,.$$ इसकी भिन्नता लेने से लाभ मिलता है



\delta \left(c \frac{d\tau}{dq}\right)^2 = 2 c^{2} \frac{d\tau}{dq} \delta \frac{d\tau}{dq} = \delta \left[ \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) c^{2} \left( \frac{dt}{dq} \right)^{2} - \frac{1}{1 - \frac{r_\text{s}}{r}} \left( \frac{dr}{dq} \right)^{2} - r^{2} \left( \frac{d\varphi}{dq} \right)^{2} \right] \,.$$

देशांतर में गति
देशांतर के संबंध में भिन्नता $\varphi$ मात्र पाने के लिए



2 c^{2} \frac{d\tau}{dq} \delta \frac{d\tau}{dq} = - 2 r^{2} \frac{d\varphi}{dq} \delta \frac{d\varphi}{dq} \,.$$ एकीकृत की विविधता प्राप्त करने के लिए $2 c \frac{d\tau}{dq}$ से भाग करें



c \, \delta \frac{d\tau}{dq} = - \frac{r^{2}}{c} \frac{d\varphi}{d\tau} \delta \frac{d\varphi}{dq} = - \frac{r^{2}}{c} \frac{d\varphi}{d\tau} \frac{d \delta \varphi}{dq} \,.$$ इस प्रकार



0 = \delta \int { c \frac{d\tau}{dq} dq } = \int { c \delta \frac{d\tau}{dq} dq } = \int { - \frac{r^{2}}{c} \frac{d\varphi}{d\tau} \frac{d \delta \varphi}{dq} dq } \,.$$ भागों द्वारा एकीकृत करने से निम्न प्रकार लाभ प्राप्त होता है



0 = - \frac{r^{2}}{c} \frac{d\varphi}{d\tau} \delta \varphi - \int { \frac{d}{dq} \left[ - \frac{r^{2}}{c} \frac{d\varphi}{d\tau} \right] \delta \varphi dq } \,.$$ अंतिम बिंदुओं पर देशांतर की भिन्नता शून्य मानी जाती है, इसलिए पहला पद लुप्त हो जाता है। अभिन्न को विकृत विकल्प द्वारा अशून्य बनाया जा सकता है $\delta \varphi$ जब तक कि अंदर का दूसरा कारक प्रत्येक स्थान पर शून्य न हो। तो गति का समीकरण निम्न प्रकार है



\frac{d}{dq} \left[ - \frac{r^{2}}{c} \frac{d\varphi}{d\tau} \right] = 0 \,.$$

समय में गति
मात्र निम्न सूत्र प्राप्त करने के लिए $t$ के संबंध में परिवर्तन करें



2 c^{2} \frac{d\tau}{dq} \delta \frac{d\tau}{dq} = 2 \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) c^{2} \frac{dt}{dq} \delta \frac{dt}{dq} \,.$$ एकीकृत की विविधता प्राप्त करने के लिए $2 c \frac{d\tau}{dq}$ से भाग करें



c \delta \frac{d\tau}{dq} = c \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \delta \frac{dt}{dq} = c \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \frac{d \delta t}{dq} \,.$$ इस प्रकार



0 = \delta \int { c \frac{d\tau}{dq} dq } = \int { c \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \frac{d \delta t}{dq} dq } \,.$$ भागों द्वारा एकीकृत करने से निम्न प्रकार लाभ प्राप्त होता है



0 = c \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \delta t - \int { \frac{d}{dq} \left[ c \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \right] \delta t dq } \,.$$ तो गति का समीकरण इस प्रकार होता है



\frac{d}{dq} \left[ c \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \right] = 0 \,.$$

संरक्षित क्षण
एकीकरण प्राप्त करने के स्थिरांक निर्धारित करने के लिए गति के इन समीकरणों को एकीकृत करें


 * $$\begin{align}

L = p_{\phi} &= m r^{2} \frac{d\varphi}{d\tau}\,, \\ E = - p_{t} &= m c^2 \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau}\,. \end{align}$$ गति के स्थिरांक के लिए ये दो समीकरण $L$ (कोणीय गति) और $E$  (ऊर्जा) को एक समीकरण बनाने के लिए जोड़ा जा सकता है जो फोटॉन और अन्य द्रव्यमान रहित कणों के लिए भी सत्य है, जिनके लिए जियोडेसिक के साथ उचित समय शून्य होता है।



\frac{d\varphi}{dt} = \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \frac{L \, c^2}{E \, r^2} \,.$$

रेडियल गति
स्थानापन्न



\frac{d\varphi}{d\tau} = \frac{L}{m \, r^2} \,$$ और



\frac{dt}{d\tau} = \frac{E}{\left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) m \, c^2} \,$$ मीट्रिक समीकरण में (और उपयोग करके)। $\theta = \frac{\pi}{2}$ ) इस प्रकार देता है



c^{2} = \frac{1}{1 - \frac{r_\text{s}}{r}} \, \frac{E^2}{m^2 c^2} - \frac{1}{1 - \frac{r_\text{s}}{r}} \left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} - \frac{1}{r^{2}} \, \frac{L^2}{m^2} \,,$$ जिससे कोई भी निष्कर्ष प्राप्त किया जा सकता है



{\left( \frac{dr}{d\tau} \right)}^{2} = \frac{E^2}{m^2 c^2} - \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \left( c^{2} + \frac{L^2}{m^2 r^2} \right) \,,$$ जो गति $r$ का समीकरण होता है। इसे इससे विभाजित करके $r$  पर $\varphi$  की निर्भरता ज्ञात की जा सकती है
 * $${\left( \frac{d\varphi}{d\tau} \right)}^2 = \frac{L^2}{m^2 r^4}$$

इस प्रकार निम्न सूत्र प्राप्त करने के लिए



{\left( \frac{dr}{d\varphi} \right)}^{2} = \frac{E^2 r^4}{L^2 c^2} - \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \left( \frac{m^2 c^{2} r^4}{L^2} + r^2 \right) \,$$ जो बिना द्रव्यमान वाले कणों के लिए भी सत्य होता है। यदि लंबाई के मापदंडों को परिभाषित किया जाता है तो



a = \frac{L}{m \, c} $$ और



b = \frac{L \, c}{E} \,,$$ फिर $r$ की $\varphi$  पर निर्भरता सरल हो जाती है



{\left( \frac{dr}{d\varphi} \right)}^{2} = \frac{r^4}{b^2} - \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \left( \frac{r^4}{a^2} + r^2 \right) \,.$$

यह भी देखें

 * मौलिक केंद्रीय-बल समस्या
 * सामान्य सापेक्षता में फ़्रेम क्षेत्र
 * केप्लर समस्या
 * सामान्य सापेक्षता में दो-निकाय की समस्या

ग्रन्थसूची

 * Schwarzschild, K. (1916). Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einstein'schen Theorie. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1, 189–196.
 * scan of the original paper
 * text of the original paper, in Wikisource
 * translation by Antoci and Loinger
 * a commentary on the paper, giving a simpler derivation
 * Schwarzschild, K. (1916). Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1, 424-?.
 * (See Gravitation (book).)
 * (See Gravitation (book).)
 * (See Gravitation (book).)
 * (See Gravitation (book).)
 * (See Gravitation (book).)
 * (See Gravitation (book).)
 * (See Gravitation (book).)





बाहरी संबंध

 * Excerpt from Reflections on Relativity by Kevin Brown.