हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्र

गणित और भौतिकी में, सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड पर हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्र किसी भी ऊर्जा फलन या हैमिल्टनियन के लिए परिभाषित सदिश क्षेत्र है। भौतिक विज्ञान और गणितज्ञ विलियम रोवन हैमिल्टन के नाम पर, हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्र यांत्रिकी में हैमिल्टन के समीकरणों की ज्यामितीय अभिव्यक्ति है। हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्र के अभिन्न वक्र हैमिल्टनियन रूप में गति के समीकरणों के समाधान का प्रतिनिधित्व करते हैं। हेमिल्टनियन सदिश क्षेत्र के प्रवाह (गणित) से उत्पन्न होने वाले सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड की भिन्नता को भौतिकी में  विहित परिवर्तन  और गणित में (हैमिल्टनियन) सिम्प्लेक्टमॉर्फिसंस के रूप में जाना जाता है।

हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्रों को सामान्यतः स्वेच्छ पॉइसन मैनिफोल्ड पर अधिक परिभाषित किया जा सकता है। मैनिफोल्ड f और g के कार्यों के अनुरूप दो हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्र का लाई ब्रैकेट स्वयं हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्र है, जिसमें f और g पॉइसन ब्रैकेट द्वारा दिए गए हैमिल्टनियन हैं।

परिभाषा
मान लीजिए कि $(M, ω)$ सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड है। चूंकि सिंपलेक्टिक रूप $ω$ अविकृत है, यह फाइबरवाइज-रैखिक समरूपता स्थापित करता है


 * $$\omega:TM\to T^*M, $$

स्पर्शरेखा बंडल $TM$ और कॉटैंजेंट बंडल $T*M$ के मध्य, व्युत्क्रम के साथ


 * $$\Omega:T^*M\to TM, \quad \Omega=\omega^{-1}.$$

इसलिए, सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड पर रूप $M$ को सदिश क्षेत्रों और प्रत्येक भिन्न-भिन्न कार्य के साथ पहचाना जा सकता है $H: M → R$ एक अद्वितीय सदिश क्षेत्र निर्धारित करता है $X_{H}$, हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्र को हैमिल्टनियन के साथ कहा जाता है $H$, हर सदिश क्षेत्र के लिए परिभाषित करके $Y$ पर $M$,


 * $$\mathrm{d}H(Y) = \omega(X_H,Y).$$

नोट: कुछ लेखक हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्र को विपरीत चिह्न के साथ परिभाषित करते हैं। भौतिक और गणितीय साहित्य में अलग-अलग परिपाटियों के प्रति सचेत रहना होगा।

उदाहरण
लगता है कि $M$ है $2n$-डायमेंशनल सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड। फिर स्थानीय रूप से, कोई विहित निर्देशांक चुन सकता है $(q^{1}, ..., q^{n}, p_{1}, ..., p_{n})$ पर $M$, जिसमें सहानुभूतिपूर्ण रूप व्यक्त किया गया है: $$\omega=\sum_i \mathrm{d}q^i \wedge \mathrm{d}p_i,$$ कहाँ $d$ बाहरी व्युत्पन्न को दर्शाता है और $∧$ बाहरी उत्पाद को दर्शाता है। फिर हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्र हैमिल्टनियन के साथ $H$ रूप लेता है: $$\Chi_H=\left( \frac{\partial H}{\partial p_i}, - \frac{\partial H}{\partial q^i} \right) = \Omega\,\mathrm{d}H,$$ कहाँ $Ω$ एक है $2n × 2n$ स्क्वायर मैट्रिक्स


 * $$\Omega =

\begin{bmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \\ \end{bmatrix},$$ और


 * $$ \mathrm{d}H=\begin{bmatrix} \frac{\partial H}{\partial q^i} \\

\frac{\partial H}{\partial p_i} \end{bmatrix}.$$ गणित का सवाल $Ω$ को अक्सर दर्शाया जाता है $J$.

मान लीजिए कि एम = 'आर'2n (वैश्विक) विहित निर्देशांकों वाला 2n-आयामी सिम्पलेक्टिक सदिश स्थान है।


 * अगर $$H = p_i$$ तब $$X_H=\partial/\partial q^i; $$
 * अगर $$H = q_i$$ तब $$X_H=-\partial/\partial p^i; $$
 * अगर $$H=1/2\sum (p_i)^2$$ तब $$X_H=\sum p_i\partial/\partial q^i; $$
 * अगर $$H=1/2\sum a_{ij} q^i q^j, a_{ij}=a_{ji} $$ तब $$X_H=-\sum a_{ij} q_i\partial/\partial p^j. $$

गुण

 * सौंपा गया काम $f ↦ X_{f}$ रैखिक नक्शा है, ताकि दो हैमिल्टनियन कार्यों का योग संगत हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्रों के योग में परिवर्तित हो जाए।
 * लगता है कि $(q^{1}, ..., q^{n}, p_{1}, ..., p_{n})$ विहित निर्देशांक हैं $M$ (ऊपर देखें)। फिर एक वक्र $γ(t) = (q(t),p(t))$ हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्र का एक अभिन्न वक्र है $X_{H}$ अगर और केवल अगर यह हैमिल्टन के समीकरणों का समाधान है: $$\dot{q}^i = \frac {\partial H}{\partial p_i}$$
 * $$\dot{p}_i = - \frac {\partial H}{\partial q^i}.$$


 * हैमिल्टनियन $H$ अभिन्न वक्रों के साथ स्थिर है, क्योंकि $$\langle dH, \dot{\gamma}\rangle = \omega(X_H(\gamma),X_H(\gamma)) = 0$$. वह है, $H(γ(t))$ वास्तव में स्वतंत्र है $t$. यह संपत्ति हैमिल्टनियन यांत्रिकी में ऊर्जा के संरक्षण से मेल खाती है।
 * अधिक सामान्यतः, यदि दो कार्य करते हैं $F$ और $H$ के पास एक शून्य पोइसन ब्रैकेट है (cf. नीचे), फिर $F$ के अभिन्न वक्रों के साथ स्थिर है $H$, और इसी तरह, $H$ के अभिन्न वक्रों के साथ स्थिर है $F$. यह तथ्य नोएदर के प्रमेय के पीछे अमूर्त गणितीय सिद्धांत है।
 * सहानुभूति रूप $ω$ हैमिल्टनियन प्रवाह द्वारा संरक्षित है। समान रूप से, झूठ व्युत्पन्न $$\mathcal{L}_{X_H} \omega= 0.$$

पॉइसन ब्रैकेट
हेमिल्टनियन सदिश क्षेत्र की धारणा एक द्विरेखीय रूप की ओर ले जाती है # सममित, तिरछा-सममित और प्रत्यावर्ती रूप | तिरछा-सममित द्विरेखीय संचालन एक सहानुभूतिपूर्ण मैनिफोल्ड एम पर अलग-अलग कार्यों पर, 'पॉसन ब्रैकेट', सूत्र द्वारा परिभाषित


 * $$\{f,g\} = \omega(X_g, X_f)= dg(X_f) = \mathcal{L}_{X_f} g$$

कहाँ $$\mathcal{L}_X$$ सदिश क्षेत्र X के साथ लाइ डेरिवेटिव को दर्शाता है। इसके अलावा, कोई यह जांच सकता है कि निम्नलिखित पहचान रखती है: $$ X_{\{f,g\}}= [X_f,X_g], $$ जहां दाहिने हाथ की ओर हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्रों के ले ब्रैकेट को हैमिल्टनियन एफ और जी के साथ दर्शाता है। परिणाम के रूप में (पॉइसन ब्रैकेट में एक सबूत), पॉसॉन ब्रैकेट जैकोबी पहचान को संतुष्ट करता है: $$ \{\{f,g\},h\}+\{\{g,h\},f\}+\{\{h,f\},g\}=0, $$ जिसका अर्थ है कि अलग-अलग कार्यों का वेक्टर स्थान चालू है $M$, पोइसन ब्रैकेट के साथ संपन्न, एक झूठ बीजगणित ओवर की संरचना है $R$, और असाइनमेंट $f ↦ X_{f}$ एक लाइ बीजगणित समरूपता है, जिसका कर्नेल (रैखिक बीजगणित) स्थानीय रूप से स्थिर कार्यों (निरंतर कार्यों यदि $M$ जुड़ा है)।

कार्य उद्धृत

 * अनुभाग 3.2 देखें।

श्रेणी:हैमिल्टन यांत्रिकी श्रेणी:सहानुभूति ज्यामिति श्रेणी:विलियम रोवन हैमिल्टन