गतिज ऊर्जा

भौतिकी में, किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा वह ऊर्जा होती है जो उसमें गति (भौतिकी) के कारण होती है। इसे किसी दिए गए द्रव्यमान के शरीर को आराम से उसके घोषित वेग में तेजी लाने के लिए आवश्यक कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है। अपने त्वरण के दौरान इस ऊर्जा को प्राप्त करने के बाद, शरीर इस गतिज ऊर्जा को बनाए रखता है जब तक कि इसकी गति में परिवर्तन न हो। अपनी वर्तमान गति से आराम की स्थिति में आने पर शरीर द्वारा उतना ही काम किया जाता है। औपचारिक रूप से, गतिज ऊर्जा प्रणाली के लाग्रंगियन में कोई शब्द है जिसमें समय के संबंध मेंआंशिक अवकलज शामिल है।

चिरसम्मत यांत्रिकी में, गति v से यात्रा करने वाले द्रव्यमान m के गैर-घूर्णन वस्तु की गतिज ऊर्जा $ \frac{1}{2}mv^2$ होती है। विशिष्ट आपेक्षिकता में, यह अच्छा सन्निकटन तभी होता है जब v प्रकाश की गति से बहुत कम हो।

गतिज ऊर्जा की इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली जूल है, जबकि गतिज ऊर्जा की अंग्रेजी इंजीनियरिंग इकाइयाँ पैर पाउंड है।

इतिहास और व्युत्पत्ति
प्रक्रिया सम्बन्धी गतिज की जड़ें प्राचीन ग्रीक शब्द κίνησις गतिक्रम में हैं, जिसका अर्थ गति है। गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा के बीच द्विभाजन अरस्तू की वास्तविकता और संभाव्यता की अवधारणाओं में खोजा जा सकता है।

चिरसम्मत यांत्रिकी में सिद्धांत है कि E ∝ mv2 को सबसे पहले गाटफ्रीड लैबनिट्ज़ और जोहान बर्नौली द्वारा विकसित किया गया था, जिन्होंने जीवित शक्ति के रूप में गतिज ऊर्जा का वर्णन किया था। नीदरलैंड के विलेम के ग्रेवसंडे ने इस संबंध के प्रायोगिक साक्ष्य प्रदान किए। मिट्टी के खंड में अलग-अलग ऊंचाइयों से वजन गिराकर, विलेम के ग्रेवसंडे ने निर्धारित किया कि उनकी प्रवेश गहराई उनके प्रभाव की गति के वर्ग के समानुपाती थी। एमिली डु शैटलेट ने प्रयोग के निहितार्थ को पहचाना और स्पष्टीकरण प्रकाशित किया।

शब्द गतिज ऊर्जा और उनके वर्तमान वैज्ञानिक अर्थों में कार्य 19वीं शताब्दी के मध्य से पहले के हैं। इन विचारों की प्रारंभिक समझ का श्रेय गैसपार्ड-गुस्ताव कोरिओलिस को दिया जा सकता है, जिन्होंने 1829 में गतिज ऊर्जा के गणित को रेखांकित करते हुए डू कैलकुल डे ल'एफ़ेट डेस मशीन नामक पेपर प्रकाशित किया था। विलियम थॉमसन, बाद में लॉर्ड केल्विन, को "गतिज ऊर्जा" शब्द गढ़ने का श्रेय दिया जाता है। 1849-1851। रैंकिन, जिन्होंने 1853 में "संभावित ऊर्जा" शब्द की शुरुआत की थी, और इसके पूरक के लिए वाक्यांश "वास्तविक ऊर्जा", बाद में विलियम थॉमसन और पीटर टैट (भौतिक विज्ञानी) को "वास्तविक" के लिए "गतिज" शब्द के प्रतिस्थापन के रूप में उद्धृत किया।

संक्षिप्त विवरण
ऊर्जा कई रूपों में होती है, जिसमें रासायनिक ऊर्जा, तापीय ऊर्जा, विद्युत चुम्बकीय विकिरण, गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा, विद्युत ऊर्जा, लोचदार ऊर्जा, परमाणु बाध्यकारी ऊर्जा और बाकी ऊर्जा शामिल हैं। इन्हें दो मुख्य वर्गों में वर्गीकृत किया जा सकता है: संभावित ऊर्जा और गतिज ऊर्जा। गतिज ऊर्जा किसी वस्तु की गति ऊर्जा है। गतिज ऊर्जा को वस्तुओं के बीच स्थानांतरित किया जा सकता है और अन्य प्रकार की ऊर्जा में परिवर्तित किया जा सकता है।

गतिज ऊर्जा को उन उदाहरणों से सबसे अच्छी तरह समझा जा सकता है जो प्रदर्शित करते हैं कि यह ऊर्जा के अन्य रूपों में और से कैसे रूपांतरित होता है। उदाहरण के लिए, साइकिलचालक भोजन द्वारा प्रदान की जाने वाली रासायनिक ऊर्जा का उपयोग साइकिल को चुनी हुई गति तक बढ़ाने के लिए करता है। एक स्तर की सतह पर, वायु प्रतिरोध और घर्षण को दूर करने के अलावा, इस गति को आगे के काम के बिना बनाए रखा जा सकता है। रासायनिक ऊर्जा को गतिज ऊर्जा, गति की ऊर्जा में परिवर्तित किया गया है, लेकिन यह प्रक्रिया पूरी तरह से कुशल नहीं है और साइकिल चालक के भीतर गर्मी पैदा करती है।

गतिमान साइकिल चालक और साइकिल में गतिज ऊर्जा को अन्य रूपों में परिवर्तित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, साइकिल सवार का सामना इतनी ऊंचाई पर एक पहाड़ी से हो सकता है कि वह ऊपर जा सके, जिससे साइकिल शीर्ष पर पूरी तरह से रुक जाए। गतिज ऊर्जा को अब बड़े पैमाने पर गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा में परिवर्तित कर दिया गया है जिसे पहाड़ी के दूसरी तरफ फ्रीव्हीलिंग करके छोड़ा जा सकता है। चूँकि साइकिल ने अपनी कुछ ऊर्जा घर्षण के कारण खो दी थी, यह अतिरिक्त पेडलिंग के बिना कभी भी अपनी पूरी गति को पुनः प्राप्त नहीं कर पाती है। ऊर्जा नष्ट नहीं होती, इसे केवल घर्षण द्वारा दूसरे रूप में परिवर्तित किया गया है। वैकल्पिक रूप से, साइकिल चालक डायनेमो को पहियों में से जोड़ सकता है और वंश पर कुछ विद्युत ऊर्जा उत्पन्न कर सकता है। साइकिल जनरेटर के बिना पहाड़ी के तल पर धीमी गति से यात्रा कर रही होगी क्योंकि कुछ ऊर्जा को विद्युत ऊर्जा में बदल दिया गया है। साइकिल चालक के लिए ब्रेक लगाने की एक और संभावना होगी, जिस स्थिति में गर्मी के रूप में घर्षण के माध्यम से गतिज ऊर्जा का प्रसार होगा।

किसी भी भौतिक मात्रा की तरह वेग का एक कार्य है, किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा वस्तु और पर्यवेक्षक के संदर्भ के ढांचा के बीच संबंध पर निर्भर करती है। इस प्रकार, किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा अपरिवर्तनीय नहीं होती है।

अंतरिक्ष यान प्रक्षेपित करने के लिए रासायनिक ऊर्जा का उपयोग करता है और कक्षीय वेग तक पहुँचने के लिए काफी गतिज ऊर्जा प्राप्त करता है। पूरी तरह से गोलाकार कक्षा में, यह गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है क्योंकि पृथ्वी के निकट अंतरिक्ष में लगभग कोई घर्षण नहीं होता है। हालांकि, यह पुन: प्रवेश पर स्पष्ट हो जाता है जब कुछ गतिज ऊर्जा गर्मी में परिवर्तित हो जाती है। यदि कक्षा अण्डाकार या अतिशयोक्तिपूर्ण है, तो कक्षा भर में गतिज और संभावित ऊर्जा का आदान-प्रदान होता है, गतिज ऊर्जा सबसे बड़ी और संभावित ऊर्जा पृथ्वी या अन्य विशाल शरीर के निकटतम दृष्टिकोण पर सबसे कम है, जबकि संभावित ऊर्जा सबसे बड़ी है और गतिज ऊर्जा अधिकतम दूरी पर सबसे कम है। हानि या लाभ की परवाह किए बिना, गतिज और संभावित ऊर्जा का योग स्थिर रहता है।

गतिज ऊर्जा को एक वस्तु से दूसरी वस्तु में स्थानांतरित किया जा सकता है। बिलियर्ड्स के खेल में खिलाड़ी क्यू गेंद पर क्यू स्टिक से प्रहार करके गतिज ऊर्जा लगाता है। यदि क्यू गेंद किसी अन्य गेंद से टकराती है, तो यह नाटकीय रूप से धीमी हो जाती है, और जिस गेंद को यह टकराती करती है, उसकी गति तेज हो जाती है क्योंकि गतिज ऊर्जा उस पर पारित हो जाती है। बिलियर्ड्स में टकराव प्रभावी रूप से लोचदार टक्कर होते हैं, जिसमें गतिज ऊर्जा संरक्षित होती है। अप्रत्यास्थ टक्करों में, गतिज ऊर्जा ऊर्जा के विभिन्न रूपों, जैसे ऊष्मा, ध्वनि और बाध्यकारी ऊर्जा (बाध्य संरचनाओं को तोड़कर) में नष्ट हो जाती है।

चक्का ऊर्जा भंडारण की विधि के रूप में विकसित किया गया है। यह दर्शाता है कि घूर्णी गति में गतिज ऊर्जा भी संग्रहित होती है।

गतिज ऊर्जा के कई गणितीय विवरण मौजूद हैं जो उपयुक्त भौतिक स्थिति में इसका वर्णन करते हैं। सामान्य मानव अनुभव में वस्तुओं और प्रक्रियाओं के लिए, न्यूटोनियन यांत्रिकी द्वारा दिया गया सूत्र ½mv² उपयुक्त है। हालाँकि, यदि वस्तु की गति प्रकाश की गति के बराबर है, तो सापेक्षतावादी प्रभाव महत्वपूर्ण हो जाते हैं और सापेक्षतावादी सूत्र का उपयोग किया जाता है। यदि वस्तु परमाणु या उप-परमाणु पैमाने पर है, तो क्वांटम यांत्रिक प्रभाव महत्वपूर्ण हैं, और क्वांटम यांत्रिक मॉडल को नियोजित किया जाना चाहिए।

दृढ़ पिंडों की गतिज ऊर्जा
चिरसम्मत यांत्रिकी में, बिंदु वस्तु की गतिज ऊर्जा (इतनी छोटी वस्तु कि उसके द्रव्यमान को बिंदु पर मौजूद माना जा सकता है), या गैर-घूर्णन कठोर शरीर शरीर के द्रव्यमान के साथ-साथ उसकी गति पर निर्भर करता है। गतिज ऊर्जा द्रव्यमान के गुणा और गति के वर्ग के 1/2 के बराबर होती है। सूत्र रूप में:
 * $$E_\text{k} = \frac{1}{2} mv^2$$

जहाँ पे $$m$$ द्रव्यमान है और $$v$$ शरीर की गति (वेग का परिमाण) है। मात्रक प्रणाली इकाइयों में, द्रव्यमान को किलोग्राम में, गति को मीटर प्रति सेकंड में और परिणामी गतिज ऊर्जा को जूल में मापा जाता है।

उदाहरण के लिए, 18 मीटर प्रति सेकंड (लगभग 40 मील प्रति घंटा, या 65 किमी/घंटा) की गति से यात्रा करने वाले 80 किग्रा द्रव्यमान (लगभग 180 पौंड) की गतिज ऊर्जा की गणना इस प्रकार की जाएगी
 * $$E_\text{k} = \frac{1}{2} \cdot 80 \,\text{kg} \cdot \left(18 \,\text{m/s}\right)^2 = 12,960 \,\text{J} = 12.96 \,\text{kJ}$$

जब कोई व्यक्ति गेंद फेंकता है, तो व्यक्ति गेंद को गति देने के लिए उस पर कार्य (भौतिकी) करता है क्योंकि वह हाथ से छूटती है। चलती हुई गेंद तब किसी चीज से टकरा सकती है और उसे धक्का दे सकती है, जो टकराती करती है उस पर काम कर रही है। गतिमान वस्तु की गतिज ऊर्जा उस कार्य के बराबर होती है जो उसे आराम से उस गति तक लाने के लिए आवश्यक होती है, या वह कार्य जो वस्तु आराम में लाते समय कर सकती है: कुल बल × विस्थापन = गतिज ऊर्जा, अर्थात,


 * $$Fs = \frac{1}{2} mv^2$$

चूंकि गति के वर्ग के साथ गतिज ऊर्जा बढ़ती है, इसलिए अपनी गति को दोगुना करने वाली वस्तु की गतिज ऊर्जा चार गुना अधिक होती है। उदाहरण के लिए, कार जो दुगनी गति से चलती है, उसे रुकने के लिए चार गुना अधिक दूरी की आवश्यकता होती है, निरंतर विभंजन बल मानते हुए। इस चौगुनी के परिणामस्वरूप, गति को दोगुना करने में चार गुना काम लगता है।

किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा उसके संवेग से संबंधित समीकरण द्वारा होती है:
 * $$E_\text{k} = \frac{p^2}{2m}$$

जहाँ पे:
 * $$p$$ गति है
 * $$m$$ शरीर का द्रव्यमान है

स्थानान्तरण गतिज ऊर्जा के लिए, जो स्थिर द्रव्यमान $$m$$ वाले कठोर शरीर की सीधी गति से जुड़ी गतिज ऊर्जा है, जिसका द्रव्यमान केंद्र गति $$v$$ के साथ सीधी रेखा में घूम रहा है , जैसा कि ऊपर देखा गया है के बराबर है


 * $$ E_\text{t} = \frac{1}{2} mv^2 $$

जहाँ पे:
 * $$m$$ शरीर का द्रव्यमान है
 * $$v$$ शरीर के द्रव्यमान के केंद्र की गति है।

किसी भी इकाई की गतिज ऊर्जा उस संदर्भ ढांचा पर निर्भर करती है जिसमें इसे मापा जाता है। हालांकि, पृथक प्रणाली की कुल ऊर्जा, यानी जिसमें ऊर्जा न तो प्रवेश कर सकती है और न ही छोड़ सकती है, उस संदर्भ ढांचा में समय के साथ नहीं बदलती है जिसमें इसे मापा जाता है। इस प्रकार, रॉकेट इंजन द्वारा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित रासायनिक ऊर्जा को चुने गए संदर्भ ढांचा के आधार पर रॉकेट जहाज और इसकी निकास धारा के बीच अलग-अलग विभाजित किया जाता है। इसे ओबेरथ प्रभाव कहा जाता है। लेकिन प्रणाली की कुल ऊर्जा, जिसमें गतिज ऊर्जा, ईंधन रासायनिक ऊर्जा, ऊष्मा आदि शामिल हैं, संदर्भ ढांचा की पसंद की परवाह किए बिना समय के साथ संरक्षित होती है। हालांकि अलग-अलग संदर्भ ढांचा के साथ चलने वाले अलग-अलग पर्यवेक्षक इस संरक्षित ऊर्जा के मूल्य पर असहमत होंगे।

ऐसी प्रणालियों की गतिज ऊर्जा संदर्भ ढांचा की पसंद पर निर्भर करती है: संदर्भ ढांचा जो उस ऊर्जा का न्यूनतम मूल्य देता है वह गति ढांचा का केंद्र है, यानी संदर्भ ढांचा जिसमें प्रणाली की कुल गति शून्य है। यह न्यूनतम गतिज ऊर्जा समग्र रूप से प्रणाली के अपरिवर्तनीय द्रव्यमान में योगदान करती है।

सदिश और कलन के बिना
F के समान्तर s दूरी पर किसी वस्तु पर बल F द्वारा किया गया कार्य W बराबर होता है


 * $$W = F \cdot s$$

न्यूटन के द्वितीय नियम का उपयोग करना

$$F = m a$$

m द्रव्यमान और a वस्तु का त्वरण और


 * $$s = \frac{a t^2}{2}$$

समय t में त्वरित वस्तु द्वारा तय की गई दूरी, हम साथ पाते हैं $$v = a t$$ वस्तु के वेग v के लिए


 * $$W = m a \frac{a t^2}{2} = \frac{m (at)^2}{2} = \frac{m v^2}{2}.$$

सदिशों और कलन के साथ
अत्यल्प समय अंतराल dt के दौरान द्रव्यमान m के साथ कण को ​​​​त्वरित करने में किया गया कार्य बल F के अदिश गुणनफल और अत्यल्प विस्थापन dx द्वारा दिया जाता है
 * $$\mathbf{F} \cdot d \mathbf{x} = \mathbf{F} \cdot \mathbf{v} d t = \frac{d \mathbf{p}}{d t} \cdot \mathbf{v} d t = \mathbf{v} \cdot d \mathbf{p} = \mathbf{v} \cdot d (m \mathbf{v})\,,$$

जहां हमने संबंध p = m v और न्यूटन के द्वितीय नियम की वैधता मान ली है। (हालांकि, विशेष सापेक्षवादी व्युत्पत्ति गतिज ऊर्जा कठोर पिंडों की सापेक्षिक गतिज ऊर्जा भी देखें।)

उत्पाद नियम को लागू करने पर हम देखते हैं कि:
 * $$d(\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}) = (d \mathbf{v}) \cdot \mathbf{v} + \mathbf{v} \cdot (d \mathbf{v}) = 2(\mathbf{v} \cdot d\mathbf{v}).$$

इसलिए, (स्थिर द्रव्यमान मानते हुए ताकि dm = 0), हमारे पास,
 * $$\mathbf{v} \cdot d (m \mathbf{v}) = \frac{m}{2} d (\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}) = \frac{m}{2} d v^2 = d \left(\frac{m v^2}{2}\right).$$

चूंकि यह कुल अंतर है (अर्थात, यह केवल अंतिम अवस्था पर निर्भर करता है, न कि कण वहां कैसे पहुंचा), हम इसे एकीकृत कर सकते हैं और परिणाम को गतिज ऊर्जा कह सकते हैं। यह मानते हुए कि वस्तु समय 0 पर आराम पर थी, हम समय 0 से समय t तक एकीकृत करते हैं क्योंकि बल द्वारा वस्तु को आराम से वेग v तक लाने के लिए किया गया कार्य विपरीत करने के लिए आवश्यक कार्य के बराबर होता है:
 * $$E_\text{k} = \int_0^t \mathbf{F} \cdot d \mathbf{x} = \int_0^t \mathbf{v} \cdot d (m \mathbf{v}) = \int_0^t d \left(\frac{m v^2}{2}\right) = \frac{m v^2}{2}.$$

यह समीकरण बताता है कि गतिज ऊर्जा ((Ek) किसी पिंड के वेग (v) के अदिश गुणनफल के समाकलन और पिंड के संवेग (p) के अतिसूक्ष्म परिवर्तन के बराबर है। यह माना जाता है कि जब शरीर आराम (गतिहीन) में होता है तो बिना गतिज ऊर्जा के शुरू होता है।

घूर्णन निकाय
यदि दृढ़ पिंड Q, द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली किसी रेखा के चारों ओर घूम रहा है, तो इसमें घूर्णी ऊर्जा होती है ($$E_\text{r}\,$$) जो केवल इसके गतिमान भागों की गतिज ऊर्जाओं का योग है, और इस प्रकार इसके द्वारा दिया गया है:


 * $$E_\text{r} = \int_Q \frac{v^2 dm}{2} = \int_Q \frac{(r \omega)^2 dm}{2} = \frac{\omega^2}{2} \int_Q {r^2}dm = \frac{\omega^2}{2} I = \frac{1}{2} I \omega^2$$

जहाँ पे:
 * ω शरीर का कोणीय वेग है
 * r उस रेखा से किसी द्रव्यमान dm की दूरी है
 * $$I$$ शरीर की जड़ता का क्षण है, के बराबर $\int_Q {r^2} dm$.

(इस समीकरण में जड़ता के क्षण को द्रव्यमान के केंद्र के माध्यम से अक्ष के बारे में लिया जाना चाहिए और ω द्वारा मापा गया घूर्णन उस अक्ष के चारों ओर होना चाहिए, अधिक सामान्य समीकरण उन प्रणालियों के लिए मौजूद हैं जहां वस्तु अपने विलक्षण आकार के कारण डगमगाने के अधीन है).

प्रणाली की गतिज ऊर्जा
प्रणाली में निकायों की सापेक्ष गति के कारण निकायों की प्रणाली में आंतरिक गतिज ऊर्जा हो सकती है। उदाहरण के लिए, सौर मंडल में ग्रह और कृत्रिम उपग्रह सूर्य की परिक्रमा कर रहे हैं। गैस के टैंक में अणु सभी दिशाओं में गति कर रहे हैं। प्रणाली की गतिज ऊर्जा इसमें शामिल निकायों की गतिज ऊर्जा का योग है।

स्थूल शरीर जो स्थिर है (अर्थात शरीर के संवेग केंद्र के अनुरूप संदर्भ ढांचा चुना गया है) में आणविक या परमाणु स्तर पर विभिन्न प्रकार की आंतरिक ऊर्जा हो सकती है, जिसे आणविक अनुवाद के कारण आंतरिक ऊर्जा हो सकती है, जिसे आणविक अनुवाद घूर्णन, और कंपन, इलेक्ट्रॉन अनुवाद और घुमाव, और परमाणु स्पिन के कारण गतिज ऊर्जा माना जा सकता है।। ये सभी शरीर के द्रव्यमान में योगदान करते हैं, जैसा कि सापेक्षता के विशेष सिद्धांत द्वारा प्रदान किया गया है। स्थूल शरीर के आंदोलनों पर चर्चा करते समय, संदर्भित गतिज ऊर्जा सामान्यतः केवल स्थूल आंदोलन की ही होती है। हालाँकि, सभी प्रकार की सभी आंतरिक ऊर्जाएँ शरीर के द्रव्यमान, जड़ता और कुल ऊर्जा में योगदान करती हैं।

द्रव गतिकी
द्रव गतिकी में, असंपीड्य द्रव प्रवाह क्षेत्र में प्रत्येक बिंदु पर प्रति इकाई आयतन गतिज ऊर्जा को उस बिंदु पर गतिशील दबाव कहा जाता है।
 * $$E_\text{k} = \frac{1}{2} mv^2$$

आयतन की इकाई V से भाग देने पर:
 * $$\begin{align}

\frac{E_\text{k}}{V} &= \frac{1}{2} \frac{m}{V}v^2 \\ q &= \frac{1}{2} \rho v^2 \end{align}$$ जहाँ पे $$q$$ गतिशील दबाव है, और ρ असंपीड्य द्रव का घनत्व है।

संदर्भ का ढांचा
गति, और इस प्रकार वस्तु की गतिज ऊर्जा ढांचा-निर्भर (सापेक्ष) है: संदर्भ के उपयुक्त जड़त्वीय ढांचा को चुनकर, यह कोई भी ऋणेतर मान ले सकता है। उदाहरण के लिए, एक पर्यवेक्षक के पास से गुजरने वाली गोली इस पर्यवेक्षक के संदर्भ ढांचा में गतिज ऊर्जा होती है। वही गोली, गोली के समान वेग से गतिमान पर्यवेक्षक के लिए स्थिर होती है, और इसलिए शून्य गतिज ऊर्जा होती है। इसके विपरीत, वस्तुओं की प्रणाली की कुल गतिज ऊर्जा को जड़त्वीय संदर्भ ढांचा के उपयुक्त विकल्प से शून्य तक कम नहीं किया जा सकता है, जब तक कि सभी वस्तुओं का वेग समान न हो। किसी भी अन्य मामले में, कुल गतिज ऊर्जा में अशून्य न्यूनतम होता है, क्योंकि कोई भी जड़त्वीय संदर्भ ढांचा नहीं चुना जा सकता है जिसमें सभी वस्तुएं स्थिर हों। यह न्यूनतम गतिज ऊर्जा प्रणाली के अपरिवर्तनीय द्रव्यमान में योगदान करती है, जो संदर्भ ढांचा से स्वतंत्र है।

प्रणाली की कुल गतिज ऊर्जा संदर्भ के जड़त्वीय ढांचा पर निर्भर करती है: यह गति के केंद्र में कुल गतिज ऊर्जा का योग है और द्रव्यमान के केंद्र में केंद्रित होने पर कुल द्रव्यमान की गतिज ऊर्जा होती है।

यह बस दिखाया जा सकता है: चलो $$\textstyle\mathbf{V}$$ ढांचा k में द्रव्यमान ढांचा i के केंद्र का सापेक्ष वेग हो। तब से

v^2 = \left(v_i + V\right)^2 = \left(\mathbf{v}_i + \mathbf{V}\right) \cdot \left(\mathbf{v}_i + \mathbf{V}\right) = \mathbf{v}_i \cdot \mathbf{v}_i + 2 \mathbf{v}_i \cdot \mathbf{V} + \mathbf{V} \cdot \mathbf{V} = v_i^2 + 2 \mathbf{v}_i \cdot \mathbf{V} + V^2, $$ फिर,
 * $$ E_\text{k} = \int \frac{v^2}{2} dm = \int \frac{v_i^2}{2} dm + \mathbf{V} \cdot \int \mathbf{v}_i dm + \frac{V^2}{2} \int dm.$$

हालाँकि, चलो $ \int \frac{v_i^2}{2} dm = E_i $ द्रव्यमान ढांचा के केंद्र में गतिज ऊर्जा, $ \int \mathbf{v}_i dm $  द्रव्यमान ढांचा के केंद्र में शून्य परिभाषा के अनुसार कुल गति होगी, और कुल द्रव्यमान दें: $ \int dm = M $. प्रतिस्थापन, हम प्राप्त करते हैं:
 * $$E_\text{k} = E_i + \frac{M V^2}{2}.$$

इस प्रकार प्रणाली की गतिज ऊर्जा संवेग संदर्भ ढांचा के केंद्र के लिए सबसे कम है, अर्थात, संदर्भ के ढांचा जिसमें द्रव्यमान का केंद्र स्थिर है (या तो द्रव्यमान ढांचा का केंद्र या संवेग ढांचा का कोई अन्य केंद्र)। संदर्भ के किसी भी अलग ढांचा में, द्रव्यमान के केंद्र की गति से चलने वाले कुल द्रव्यमान के अनुरूप अतिरिक्त गतिज ऊर्जा होती है। संवेग ढांचा के केंद्र में प्रणाली की गतिज ऊर्जा एक मात्रा है जो अपरिवर्तनीय है (सभी पर्यवेक्षक इसे समान मानते हैं)।

प्रणाली में घूर्णन
कभी-कभी किसी पिंड की कुल गतिज ऊर्जा को पिंड के केंद्र-द्रव्यमान की गतिज ऊर्जा और द्रव्यमान के केंद्र के चारों ओर घूमने की ऊर्जा (घूर्णी ऊर्जा) के योग में विभाजित करना सुविधाजनक होता है:


 * $$E_\text{k} = E_\text{t} + E_\text{r} $$

जहाँ पे:
 * Ek कुल गतिज ऊर्जा है
 * Et अनुवादिक गतिज ऊर्जा है
 * Er बाकी ढांचा में घूर्णी ऊर्जा या कोणीय गतिज ऊर्जा है

इस प्रकार उड़ान में टेनिस गेंद की गतिज ऊर्जा उसके घूर्णन के कारण गतिज ऊर्जा है, साथ ही इसके अनुवाद के कारण गतिज ऊर्जा है।

आपेक्षिकीय गतिज ऊर्जा
यदि शरीर की गति प्रकाश की गति का महत्वपूर्ण अंश है, तो इसकी गतिज ऊर्जा की गणना करने के लिए सापेक्षवादी यांत्रिकी का उपयोग करना आवश्यक है। विशेष आपेक्षिकता सिद्धांत में, रेखीय संवेग के लिए व्यंजक को संशोधित किया जाता है।

m किसी वस्तु का स्थिर द्रव्यमान, v और v उसका वेग और गति, और c निर्वात में प्रकाश की गति होने के कारण, हम रैखिक संवेग के लिए व्यंजक का उपयोग करते हैं $$\mathbf{p} = m\gamma \mathbf{v}$$, जहाँ पे $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$.

खंडशः समाकलन उपज देता है
 * $$E_\text{k} =

\int \mathbf{v} \cdot d \mathbf{p} = \int \mathbf{v} \cdot d (m \gamma \mathbf{v}) = m \gamma \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} - \int m \gamma \mathbf{v} \cdot d \mathbf{v} = m \gamma v^2 - \frac{m}{2} \int \gamma d \left(v^2\right) $$ तब से $$\gamma = \left(1 - v^2/c^2\right)^{-\frac{1}{2}}$$,
 * $$\begin{align}

E_\text{k} &= m \gamma v^2 - \frac{- m c^2}{2} \int \gamma d \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right) \\ &= m \gamma v^2 + m c^2 \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)^\frac{1}{2} - E_0 \end{align}$$

$$E_0$$ अनिश्चित समाकल के लिए समाकलन का स्थिरांक है।

हमें प्राप्त अभिव्यक्ति को सरल बनाना
 * $$\begin{align}

E_\text{k} &= m \gamma \left(v^2 + c^2 \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)\right) - E_0 \\ &= m \gamma \left(v^2 + c^2 - v^2\right) - E_0 \\ &= m \gamma c^2 - E_0 \end{align}$$

$$E_0$$ यह देखने से पता चलता है कि कब $$\mathbf{v} = 0,\ \gamma = 1$$ तथा $$ E_\text{k} = 0$$, दे रहा है
 * $$E_0 = m c^2 $$

परिणामस्वरूप सूत्र
 * $$E_\text{k} = m \gamma c^2 - m c^2 = \frac{m c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - m c^2 = (\gamma - 1) m c^2$$

इस सूत्र से पता चलता है कि किसी वस्तु को आराम से गति देने में लगने वाला कार्य अनंत तक पहुंचता है क्योंकि वेग प्रकाश की गति तक पहुंचता है। इस प्रकार किसी वस्तु को इस सीमा के पार गति देना असंभव है।

इस गणना का गणितीय उप-उत्पाद द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सूत्र है - शरीर में आराम की मात्रा में ऊर्जा सामग्री होनी चाहिए


 * $$E_\text{rest} = E_0 = m c^2 $$

कम गति (v ≪ c) पर, आपेक्षिकीय गतिज ऊर्जा चिरसम्मत गतिज ऊर्जा द्वारा अच्छी तरह अनुमानित है। यह द्विपद सन्निकटन द्वारा या पारस्परिक वर्गमूल के लिए टेलर विस्तार के पहले दो पदों को लेकर किया जाता है:


 * $$E_\text{k} \approx m c^2 \left(1 + \frac{1}{2} \frac{v^2}{c^2}\right) - m c^2 = \frac{1}{2} m v^2$$

तो, कुल ऊर्जा $$E_k$$ कम गति पर बाकी द्रव्यमान ऊर्जा और न्यूटोनियन गतिज ऊर्जा में विभाजित किया जा सकता है।

जब वस्तुएं प्रकाश की तुलना में बहुत धीमी गति से चलती हैं (उदाहरण के लिए पृथ्वी पर रोजमर्रा की घटनाओं में), तो श्रृंखला के पहले दो पद प्रबल होते हैं। टेलर श्रृंखला सन्निकटन में अगला शब्द


 * $$E_\text{k} \approx m c^2 \left(1 + \frac{1}{2} \frac{v^2}{c^2} + \frac{3}{8} \frac{v^4}{c^4}\right) - m c^2 = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{3}{8} m \frac{v^4}{c^2}$$

कम गति के लिए छोटा है। उदाहरण के लिए, की गति के लिए 10 km/s न्यूटोनियन गतिज ऊर्जा में सुधार 0.0417 J/kg (50 MJ/kg की न्यूटोनियन गतिज ऊर्जा पर) और 100 km/s की गति के लिए यह 417 J/kg (5 GJ/kg की न्यूटोनियन गतिज ऊर्जा पर) है

गतिज ऊर्जा और संवेग के बीच सापेक्षिक संबंध किसके द्वारा दिया जाता है


 * $$E_\text{k} = \sqrt{p^2 c^2 + m^2 c^4} - m c^2$$

इसे टेलर श्रृंखला के रूप में भी विस्तारित किया जा सकता है, जिसका पहला शब्द न्यूटोनियन यांत्रिकी से सरल अभिव्यक्ति है:
 * $$E_\text{k} \approx \frac{p^2}{2 m} - \frac{p^4}{8 m^3 c^2}.$$

इससे पता चलता है कि ऊर्जा और संवेग के सूत्र विशेष और स्वयंसिद्ध नहीं हैं, बल्कि द्रव्यमान और ऊर्जा की समानता और सापेक्षता के सिद्धांतों से उभरने वाली अवधारणाएँ हैं।

सामान्य सापेक्षता
समागम का उपयोग करना कि
 * $$g_{\alpha\beta} \, u^{\alpha} \, u^{\beta} \, = \, - c^2$$

जहाँ किसी कण का चतुष्कोण होता है
 * $$u^{\alpha} \, = \, \frac{d x^{\alpha}}{d \tau}$$

तथा $$\tau $$ कण का उचित समय है, सामान्य सापेक्षता में कण की गतिज ऊर्जा के लिए एक अभिव्यक्ति भी है।

यदि कण में संवेग है
 * $$p_{\beta} \, = \, m \, g_{\beta\alpha} \, u^{\alpha}$$

जैसा कि यह पर्यवेक्षक द्वारा चार-वेग uobs के साथ गुजरता है, तब देखे गए कण की कुल ऊर्जा के लिए व्यंजक (स्थानीय जड़त्वीय ढांचा में मापा गया) है
 * $$E \, = \, - \, p_{\beta} \, u_{\text{obs}}^{\beta}$$

और गतिज ऊर्जा को कुल ऊर्जा घटा शेष ऊर्जा के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$E_{k} \, = \, - \, p_{\beta} \, u_{\text{obs}}^{\beta} \, - \, m \, c^2 \,.$$

मीट्रिक के मामले पर विचार करें जो विकर्ण और स्थानिक रूप से समानुवर्ती है (gtt, gss, gss, gss) तब से
 * $$u^{\alpha} = \frac{d x^{\alpha}}{d t} \frac{d t}{d \tau} = v^{\alpha} u^{t} $$

जहां vα  साधारण वेग मापा जाता है। समन्वय प्रणाली के सन्दर्भ में मापा जाता है, हम प्राप्त करते हैं
 * $$-c^2 = g_{\alpha\beta} u^{\alpha} u^{\beta} = g_{tt} \left(u^{t}\right)^2 + g_{ss} v^2 \left(u^{t}\right)^2 \,.$$

आपके लिए समाधान ut देता है
 * $$u^{t} = c \sqrt{\frac{-1}{g_{tt} + g_{ss} v^2}} \,.$$

इस प्रकार स्थिर पर्यवेक्षक के लिए (v = 0)
 * $$u_{\text{obs}}^{t} = c \sqrt{\frac{-1}{g_{tt}}} $$

और इस प्रकार गतिज ऊर्जा का रूप ले लेती है
 * $$E_\text{k} = -m g_{tt} u^t u_{\text{obs}}^t - m c^2 = m c^2 \sqrt{\frac{g_{tt}}{g_{tt} + g_{ss} v^2}} - m c^2\,.$$

बाकी ऊर्जा को गुणन खंड करने से मिलता है:
 * $$E_\text{k} = m c^2 \left( \sqrt{\frac{g_{tt}}{g_{tt} + g_{ss} v^2}} - 1 \right) \,.$$

यह अभिव्यक्ति सपाटसमष्‍टि मीट्रिक के लिए विशेष सापेक्षतावादी मामले में कम हो जाती है
 * $$\begin{align}

g_{tt} &= -c^2 \\ g_{ss} &= 1 \,. \end{align}$$ सामान्य सापेक्षता के न्यूटोनियन सन्निकटन में
 * $$\begin{align}

g_{tt} &= -\left( c^2 + 2\Phi \right) \\ g_{ss} &= 1 - \frac{2\Phi}{c^2} \end{align}$$ जहां Φ न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण क्षमता है। इसका मतलब है कि घड़ियाँ धीमी चलती हैं और बड़े पिंडों के पास मापने की छड़ें छोटी होती हैं।

क्वांटम यांत्रिकी में गतिज ऊर्जा
क्वांटम यांत्रिकी में, गतिज ऊर्जा जैसे वेधशालाओं को ऑपरेटर (भौतिकी) के रूप में दर्शाया जाता है। द्रव्यमान m के कण के लिए, गतिज ऊर्जा ऑपरेटर हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) में शब्द के रूप में प्रकट होता है और इसे अधिक मौलिक गति ऑपरेटर $$\hat p$$ के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। गैर-सापेक्षतावादी मामले में गतिज ऊर्जा ऑपरेटर को इस रूप में लिखा जा सकता है


 * $$\hat T = \frac{\hat p^2}{2m}.$$

ध्यान दें कि इसे बदलकर प्राप्त किया जा सकता है $$p$$ द्वारा $$\hat p$$ संवेग के संदर्भ में गतिज ऊर्जा के लिए चिरसम्मत अभिव्यक्ति में,
 * $$E_\text{k} = \frac{p^2}{2m}.$$

श्रोडिंगर चित्र में, $$\hat p$$ रूप धारण कर लेता है $$-i\hbar\nabla $$ जहां व्युत्पादित को स्थिति निर्देशांक के संबंध में लिया जाता है और इसलिए


 * $$\hat T = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2.$$

इलेक्ट्रॉन गतिज ऊर्जा का अपेक्षित मूल्य, $$\left\langle\hat{T}\right\rangle$$ तरंग क्रिया द्वारा वर्णितN इलेक्ट्रॉनों की एक प्रणाली के लिए $$\vert\psi\rangle$$ 1-इलेक्ट्रॉन ऑपरेटर अपेक्षा मूल्यों का योग है:
 * $$\left\langle\hat{T}\right\rangle =

\left\langle \psi \left\vert \sum_{i=1}^N \frac{-\hbar^2}{2m_\text{e}} \nabla^2_i \right\vert \psi \right\rangle = -\frac{\hbar^2}{2m_\text{e}} \sum_{i=1}^N \left\langle \psi \left\vert \nabla^2_i \right\vert \psi \right\rangle $$ जहाँ पे $$m_\text{e}$$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है और $$\nabla^2_i$$, iवें निर्देशांक पर कार्य करने वाला लाप्लासियन संकारक है इलेक्ट्रॉन और योग सभी इलेक्ट्रॉनों पर चलता है।

क्वांटम यांत्रिकी के घनत्व कार्यात्मक सिद्धांत की औपचारिकता के लिए केवल इलेक्ट्रॉन घनत्व के ज्ञान की आवश्यकता होती है, अर्थात, इसे औपचारिक रूप से तरंग क्रिया के ज्ञान की आवश्यकता नहीं होती है। इलेक्ट्रॉन घनत्व दिया गया $$\rho(\mathbf{r})$$सटीक N-इलेक्ट्रॉन गतिज ऊर्जा कार्यात्मक अज्ञात है, हालाँकि, 1-इलेक्ट्रॉन प्रणाली के विशिष्ट मामले के लिए, गतिज ऊर्जा को इस रूप में लिखा जा सकता है
 * $$ T[\rho] = \frac{1}{8} \int \frac{ \nabla \rho(\mathbf{r}) \cdot \nabla \rho(\mathbf{r}) }{ \rho(\mathbf{r}) } d^3r $$

जहाँ पे $$T[\rho]$$ कार्ल फ्रेडरिक वॉन वीज़स्कर गतिज ऊर्जा फलनक के रूप में जाना जाता है।

यह भी देखें

 * पलायन वेग
 * फुट-पाउंड
 * जूल
 * गतिज ऊर्जा भेदक
 * प्रक्षेप्य के प्रति इकाई द्रव्यमान का गतिज ऊर्जा
 * गतिज प्रक्षेप्य
 * समानांतर अक्ष प्रमेय
 * संभावित ऊर्जा
 * हटना