विचरण का बहुभिन्नरूपी विश्लेषण

आँकड़ों में, विचरण का बहुभिन्नरूपी विश्लेषण (MANOVA) बहुभिन्नरूपी यादृच्छिक चर नमूना साधनों की तुलना करने की एक प्रक्रिया है। एक बहुभिन्नरूपी प्रक्रिया के रूप में, इसका उपयोग तब किया जाता है जब दो या दो से अधिक आश्रित चर होते हैं, और अक्सर अलग-अलग निर्भर चरों को अलग-अलग महत्व परीक्षणों के बाद किया जाता है। छवि के संबंध के बिना, आश्रित चर k जीवन संतुष्टि स्कोर हो सकते हैं जिन्हें अनुक्रमिक समय बिंदुओं पर मापा जाता है और p कार्य संतुष्टि स्कोर अनुक्रमिक समय बिंदुओं पर मापा जाता है। इस मामले में k+p निर्भर चर हैं जिनका रैखिक संयोजन एक बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण, बहुभिन्नरूपी प्रसरण-सहप्रसरण मैट्रिक्स एकरूपता, और रैखिक संबंध, कोई बहुसंरेखता नहीं है, और प्रत्येक बिना बाहरी कारकों के अनुसरण करता है।

एनोवा के साथ संबंध
MANOVA विचरण (ANOVA) के एकतरफा विश्लेषण का एक सामान्यीकृत रूप है, हालाँकि, विचरण के विश्लेषण के विपरीत, यह माध्य अंतरों के सांख्यिकीय महत्व के परीक्षण में परिणाम चर के बीच सहप्रसरण का उपयोग करता है।

जहां विचरण के अविभाज्य विश्लेषण में वर्गों के योग का विभाजन प्रकट होता है, विचरण के बहुभिन्नरूपी विश्लेषण में कुछ निश्चित सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स|सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स दिखाई देते हैं। विकर्ण प्रविष्टियाँ समान प्रकार के वर्ग हैं जो कि अविभाजित एनोवा में दिखाई देते हैं। ऑफ-डायगोनल प्रविष्टियां उत्पादों के संगत योग हैं। सांख्यिकी वितरण में त्रुटियों और अवशिष्टों के बारे में सामान्य धारणाओं के तहत, त्रुटि के कारण वर्गों के योग के समकक्ष में विशरट वितरण होता है।

मनोवा मॉडल विचरण मैट्रिक्स के उत्पाद पर आधारित है, $$\Sigma_\text{model}$$ और त्रुटि विचरण मैट्रिक्स का व्युत्क्रम, $$\Sigma_\text{res}^{-1}$$, या $$A=\Sigma_\text{model} \times \Sigma_\text{res}^{-1}$$. परिकल्पना है कि $$\Sigma_\text{model} = \Sigma_\text{residual}$$ तात्पर्य यह है कि उत्पाद $$A \sim I$$. अपरिवर्तनीय विचारों का अर्थ है कि मनोवा आंकड़े इस मैट्रिक्स उत्पाद के एकवचन मूल्य अपघटन के परिमाण (गणित) का माप होना चाहिए, लेकिन वैकल्पिक परिकल्पना की बहु-आयामी प्रकृति के कारण कोई अद्वितीय विकल्प नहीं है।

सबसे आम आँकड़े जड़ों (या eigenvalues) के आधार पर सारांश हैं $$\lambda_p$$ की $$A$$ आव्यूह: प्रत्येक की खूबियों पर चर्चा जारी है, हालांकि सबसे बड़ी जड़ केवल महत्व पर एक बंधन की ओर ले जाती है जो आम तौर पर व्यावहारिक हित में नहीं होती है। एक और जटिलता यह है कि, रॉय की सबसे बड़ी जड़ को छोड़कर, शून्य परिकल्पना के तहत इन आँकड़ों का वितरण सीधा नहीं है और केवल कुछ कम-आयामी मामलों को छोड़कर अनुमानित किया जा सकता है। अशक्त परिकल्पना के तहत रॉय की सबसे बड़ी जड़ के वितरण के लिए एक एल्गोरिथम में व्युत्पन्न किया गया था जबकि विकल्प के अंतर्गत वितरण का अध्ययन किया जाता है। विल्क्स लैम्ब्डा के लिए सबसे प्रसिद्ध सन्निकटन सी. आर. राव द्वारा निकाला गया था।
 * सैमुअल स्टेनली विल्क्स' $$\Lambda_\text{Wilks} = \prod_{1,\ldots,p}(1/(1 + \lambda_{p})) = \det(I + A)^{-1} = \det(\Sigma_\text{res})/\det(\Sigma_\text{res} + \Sigma_\text{model})$$ विल्क्स लैम्ब्डा वितरण (Λ) के रूप में वितरित
 * के.सी. श्रीधरन पिल्लई–एम. मैट्रिक्स का एस बार्टलेट ट्रेस, $$\Lambda_\text{Pillai} = \sum_{1,\ldots,p}(\lambda_p/(1 + \lambda_p)) = \operatorname{tr}(A(I + A)^{-1})$$
 * लॉली-हेरोल्ड होटलिंग ट्रेस, $$\Lambda_\text{LH} = \sum_{1,\ldots,p}(\lambda_{p}) = \operatorname{tr}(A)$$
 * रॉय की सबसे बड़ी जड़ (जिसे रॉय की सबसे बड़ी जड़ भी कहा जाता है), $$\Lambda_\text{Roy} = \max_p(\lambda_p) $$

दो समूहों के मामले में, सभी आँकड़े समतुल्य हैं और परीक्षण हॉटेलिंग के टी-स्क्वायर में कम हो जाता है।

निर्भर चर का सहसंबंध
मनोवा की शक्ति निर्भर चर के सहसंबंधों और उन चरों से जुड़े प्रभाव आकारों से प्रभावित होती है। उदाहरण के लिए, जब दो समूह और दो आश्रित चर होते हैं, तो MANOVA की शक्ति सबसे कम होती है जब सहसंबंध छोटे से बड़े मानकीकृत प्रभाव आकार के अनुपात के बराबर होता है।

यह भी देखें

 * विभेदक कार्य विश्लेषण
 * विहित सहसंबंध विश्लेषण
 * v: विचरण का बहुभिन्नरूपी विश्लेषण (विकिविश्वविद्यालय)
 * दोहराए गए उपाय डिजाइन

बाहरी संबंध

 * Multivariate Analysis of Variance (MANOVA) by Aaron French, Marcelo Macedo, John Poulsen, Tyler Waterson and Angela Yu, San Francisco State University


 * What is a MANOVA test used for?