बल (गणित)

समुच्चय सिद्धान्त के गणितीय अनुशासन में, मजबूती एक स्थिरता और स्वतंत्रता ([[गणितीय तर्क)]] परिणाम साबित करने के लिए एक तकनीक है। यह पहली बार 1963 में पॉल कोहेन (गणितज्ञ) द्वारा पसंद के स्वयंसिद्ध की स्वतंत्रता और ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत से सातत्य परिकल्पना को साबित करने के लिए इस्तेमाल किया गया था।

बाद के वर्षों में फ़ोर्सिंग पर काफ़ी हद तक फिर से काम किया गया और इसे सरल बनाया गया, और तब से सेट थ्योरी और गणितीय तर्क जैसे रिकर्सन थ्योरी दोनों में एक शक्तिशाली तकनीक के रूप में काम किया है। वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत पुनरावर्तन सिद्धांत और समुच्चय सिद्धांत दोनों से बल प्रयोग की धारणाओं का उपयोग करता है। मॉडल सिद्धांत में भी फोर्सिंग का उपयोग किया गया है, लेकिन मॉडल थ्योरी में यह सामान्य है कि बिना फोर्सिंग का उल्लेख किए सीधे सामान्य फ़िल्टर को परिभाषित किया जाए।

अंतर्ज्ञान
सहज रूप से, बल में सेट सैद्धांतिक ब्रह्मांड (गणित) का विस्तार होता है $$ V $$ एक बड़े ब्रह्मांड के लिए $$ V^{*} $$. इस बड़े ब्रह्मांड में, उदाहरण के लिए, सेट के सबसेट के साथ पहचाने जाने वाले कई नए वास्तविक नंबर हो सकते हैं $$\mathbb{N}$$ प्राकृतिक संख्याएँ, जो पुराने ब्रह्मांड में नहीं थीं, और इस तरह सातत्य परिकल्पना का उल्लंघन करती हैं।

जबकि परिमित सेट सेट (गणित) के साथ व्यवहार करना असंभव है, यह अनंत के बारे में कैंटर के विरोधाभास का सिर्फ एक और संस्करण है। सिद्धांत रूप में, कोई विचार कर सकता है:


 * $$ V^{*} = V \times \{ 0,1 \}, $$

पहचान करना $$ x \in V $$ साथ $$ (x,0) $$, और फिर एक विस्तारित सदस्यता संबंध प्रस्तुत करें जिसमें प्रपत्र के नए सेट शामिल हों $$ (x,1) $$. जबरदस्ती इस विचार का एक अधिक विस्तृत संस्करण है, एक नए सेट के अस्तित्व के विस्तार को कम करता है, और विस्तारित ब्रह्मांड के गुणों पर ठीक नियंत्रण की अनुमति देता है।

कोहेन की मूल तकनीक, जिसे अब शाखा मजबूर कहा जाता है, यहां बताए गए असम्बद्ध फोर्सिंग से थोड़ा अलग है। फोर्सिंग भी बूलियन-मूल्यवान मॉडल की विधि के बराबर है, जो कुछ लोगों को वैचारिक रूप से अधिक स्वाभाविक और सहज लगता है, लेकिन आमतौर पर इसे लागू करना अधिक कठिन होता है।

जबरदस्ती पोसेट्स
एक मजबूर पोसेट एक आदेशित ट्रिपल है, $$ (\mathbb{P},\leq,\mathbf{1}) $$, कहाँ $$ \leq $$ पर एक अग्रिम आदेश है $$ \mathbb{P} $$ वह एटम (आदेश सिद्धांत) है, जिसका अर्थ है कि यह निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:

के सदस्यों $$ \mathbb{P} $$ मजबूर करने की स्थिति या सिर्फ स्थिति कहा जाता है। एक पढ़ता है $$ p \leq q $$ जैसा$$ p $$ से ज्यादा मजबूत है $$ q $$. सहज रूप से, छोटी स्थिति अधिक जानकारी प्रदान करती है, जैसे कि छोटा अंतराल $$ [3.1415926,3.1415927] $$ Pi| संख्या के बारे में अधिक जानकारी प्रदान करता है$\pi$अंतराल की तुलना में $$ [3.1,3.2] $$ करता है।
 * प्रत्येक के लिए $$ p \in \mathbb{P} $$, वहाँ हैं $$ q,r \in \mathbb{P} $$ ऐसा है कि $$ q,r \leq p $$, कोई साथ $$ s \in \mathbb{P} $$ ऐसा है कि $$ s \leq q,r $$. का सबसे बड़ा तत्व है $$ \mathbb{P} $$ है $$ \mathbf{1} $$, वह है, $$ p \leq \mathbf{1} $$ सभी के लिए $$ p \in \mathbb{P} $$.

उपयोग में विभिन्न सम्मेलन हैं। कुछ लेखकों की आवश्यकता होती है $$ \leq $$ प्रतिसममित संबंध भी होना चाहिए, ताकि संबंध एक आंशिक क्रम हो। कुछ वैसे भी आंशिक आदेश शब्द का उपयोग करते हैं, जो मानक शब्दावली के साथ परस्पर विरोधी हैं, जबकि कुछ शब्द प्रीऑर्डर का उपयोग करते हैं। सबसे बड़े तत्व के साथ तिरस्कृत किया जा सकता है। रिवर्स ऑर्डरिंग का भी उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से सहारों शेलाह और उनके सह-लेखकों द्वारा।

पी-नाम
एक मजबूर पोसेट के साथ संबद्ध $$ \mathbb{P} $$ वर्ग है (सेट सिद्धांत) $$ V^{(\mathbb{P})} $$ का $$ \mathbb{P} $$-नाम। ए $$ \mathbb{P} $$-नाम एक सेट है $$ A $$ फार्म का


 * $$ A \subseteq \{ (u,p) \mid u ~ \text{is a} ~ \mathbb{P} \text{-name and} ~ p \in \mathbb{P} \}. $$

यह वास्तव में ट्रांसफिनिट रिकर्सन द्वारा परिभाषा है। साथ $$\varnothing$$ खाली सेट, $$\alpha + 1$$ क्रमसूचक का उत्तराधिकारी $$\alpha$$, $$\mathcal{P}$$ सत्ता स्थापित | पावर-सेट ऑपरेटर, और $$\lambda$$ एक सीमा क्रमसूचक, निम्नलिखित पदानुक्रम को परिभाषित करें:


 * $$ \begin{align}

\operatorname{Name}(\varnothing) & = \varnothing, \\ \operatorname{Name}(\alpha + 1) & = \mathcal{P}(\operatorname{Name}(\alpha) \times \mathbb{P}), \\ \operatorname{Name}(\lambda)    & = \bigcup \{ \operatorname{Name}(\alpha) \mid \alpha < \lambda \}. \end{align} $$ फिर की कक्षा $$ \mathbb{P} $$-नाम के रूप में परिभाषित किया गया है


 * $$ V^{(\mathbb{P})} = \bigcup \{ \operatorname{Name}(\alpha) ~|~ \alpha ~ \text{is an ordinal} \}. $$

$$ \mathbb{P} $$वें>-नाम, वास्तव में, वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड का विस्तार हैं। दिया गया $$ x \in V $$, एक परिभाषित करता है $$ \check{x} $$ होना के लिए $$ \mathbb{P} $$-नाम


 * $$ \check{x} = \{ (\check{y},\mathbf{1}) \mid y \in x \}. $$

दोबारा, यह वास्तव में ट्रांसफिनिट रिकर्सन द्वारा परिभाषा है।

व्याख्या
कोई उपसमुच्चय दिया गया है $$ G $$ का $$ \mathbb{P} $$, अगला व्याख्या या मूल्यांकन मानचित्र को परिभाषित करता है $$ \mathbb{P} $$-नाम द्वारा


 * $$ \operatorname{val}(u,G) = \{ \operatorname{val}(v,G) \mid \exists p \in G: ~ (v,p) \in u \}. $$

यह फिर से ट्रांसफिनिट रिकर्सन द्वारा परिभाषा है। ध्यान दें कि अगर $$ \mathbf{1} \in G $$, तब $$ \operatorname{val}(\check{x},G) = x $$. एक तो परिभाषित करता है


 * $$ \underline{G} = \{ (\check{p},p) \mid p \in G \} $$

ताकि $$ \operatorname{val}(\underline{G},G) = \{\operatorname{val}(\check p, G) \mid p \in G\} = G $$.

उदाहरण
फोर्सिंग पोसेट का एक अच्छा उदाहरण है $$ (\operatorname{Bor}(I),\subseteq,I) $$, कहाँ $$ I = [0,1] $$ और $$ \operatorname{Bor}(I) $$ के बोरेल उपसमूहों का संग्रह है $$ I $$ गैर-शून्य Lebesgue माप होना। इस मामले में, परिस्थितियों के बारे में संभावनाओं के रूप में बात की जा सकती है, और ए $$ \operatorname{Bor}(I) $$-नाम संभाव्य अर्थ में सदस्यता प्रदान करता है। तैयार अंतर्ज्ञान के कारण यह उदाहरण प्रदान कर सकता है, संभाव्य भाषा का प्रयोग कभी-कभी अन्य अलग-अलग मजबूर पॉसेट्स के साथ किया जाता है।

गणनीय सकर्मक मॉडल और सामान्य फ़िल्टर
बाध्य करने में मुख्य चरण दिया गया है a $$ \mathsf{ZFC} $$ ब्रह्मांड $$ V $$, एक उपयुक्त वस्तु खोजने के लिए $$ G $$ अंदर नही $$ V $$. की सभी व्याख्याओं का परिणामी वर्ग $$ \mathbb{P} $$-नाम का एक मॉडल होगा $$ \mathsf{ZFC} $$ जो मूल रूप से मूल का विस्तार करता है $$ V $$ (तब से $$ G \notin V $$).

के साथ काम करने के बजाय $$ V $$, एक गणनीय सकर्मक मॉडल पर विचार करना उपयोगी है $$ M $$ साथ $$ (\mathbb{P},\leq,\mathbf{1}) \in M $$. मॉडल सेट थ्योरी के मॉडल को संदर्भित करता है, या तो सभी में से $$ \mathsf{ZFC} $$, या एक बड़े लेकिन परिमित उपसमुच्चय का एक मॉडल $$ \mathsf{ZFC} $$, या उसका कोई संस्करण। सकर्मकता का अर्थ है कि यदि $$ x \in y \in M $$, तब $$ x \in M $$. मोस्टोव्स्की पतन लेमो में कहा गया है कि सदस्यता संबंध अच्छी तरह से स्थापित होने पर यह माना जा सकता है। सकर्मकता का प्रभाव यह है कि सदस्यता और अन्य प्राथमिक धारणाओं को सहजता से नियंत्रित किया जा सकता है। मॉडल की गणना लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय पर निर्भर करती है।

जैसा $$ M $$ एक सेट है, इसमें सेट नहीं हैं $$ M $$ - यह रसेल के विरोधाभास से आता है। उपयुक्त सेट $$ G $$ चुनना और जोड़ना $$ M $$ एक सामान्य फ़िल्टर चालू है $$ \mathbb{P} $$. फ़िल्टर स्थिति का अर्थ है कि:

के लिए $$ G $$ सामान्य होने का अर्थ है:
 * $$ G \subseteq \mathbb{P}; $$
 * $$ \mathbf{1} \in G; $$
 * अगर $$ p \geq q \in G $$, तब $$ p \in G; $$
 * अगर $$ p,q \in G $$, तो वहाँ एक मौजूद है $$ r \in G $$ ऐसा है कि $$ r \leq p,q. $$


 * अगर $$ D \in M $$ का सघन उपसमुच्चय है $$ \mathbb{P} $$ (यानी, प्रत्येक के लिए $$ p \in \mathbb{P} $$, वहाँ मौजूद है $$ q \in D $$ ऐसा है कि $$ q \leq p $$), तब $$ G \cap D \neq \varnothing $$.

एक सामान्य फ़िल्टर का अस्तित्व $$ G $$ रसिओवा-सिकोर्स्की लेम्मा से आता है। वास्तव में, थोड़ा और सत्य है: एक शर्त दी गई है $$ p \in \mathbb{P} $$, कोई एक सामान्य फ़िल्टर पा सकता है $$ G $$ ऐसा है कि $$ p \in G $$. बंटवारे की स्थिति के कारण $$\mathbb{P}$$ (ऊपर 'एटमलेस' कहा जा रहा है), अगर $$ G $$ एक फिल्टर है, फिर $$ \mathbb{P} \setminus G $$ घना है। अगर $$ G \in M $$, तब $$ \mathbb{P} \setminus G \in M $$ क्योंकि $$ M $$ का एक मॉडल है $$ \mathsf{ZFC} $$. इस कारण से, एक सामान्य फ़िल्टर कभी नहीं होता है $$ M $$.

जबरदस्ती
एक सामान्य फ़िल्टर दिया गया $$ G \subseteq \mathbb{P}$$, एक निम्नानुसार आगे बढ़ता है। का उपवर्ग $$ \mathbb{P} $$-नामों में $$ M $$ निरूपित किया जाता है $$ M^{(\mathbb{P})} $$. होने देना


 * $$ M[G] = \left\{ \operatorname{val}(u,G) ~ \Big| ~ u \in M^{(\mathbb{P})} \right\}.$$

के सेट सिद्धांत के अध्ययन को कम करने के लिए $$ M[G] $$ उसके वहां के लिए $$ M $$, एक जबरदस्ती भाषा के साथ काम करता है, जो बाइनरी रिलेशन के रूप में सदस्यता के साथ सामान्य प्रथम-क्रम तर्क की तरह निर्मित होता है और सभी $$ \mathbb{P} $$-नाम स्थिरांक के रूप में।

परिभाषित करना $$ p \Vdash_{M,\mathbb{P}} \varphi(u_1,\ldots,u_n) $$ (के रूप में पढ़ने के लिए$$p$$ ताकतों $$ \varphi $$ मॉडल में $$ M $$ पोसेट के साथ $$ \mathbb{P} $$), कहाँ $$ p $$ एक शर्त है, $$ \varphi $$ जबरदस्ती भाषा में एक सूत्र है, और $$ u_{i} $$के हैं $$ \mathbb{P} $$-नाम, इसका मतलब है कि अगर $$ G $$ एक सामान्य फ़िल्टर युक्त है $$ p $$, तब $$ M[G] \models \varphi(\operatorname{val}(u_1,G),\ldots,\operatorname{val}(u_{n},G)) $$. विशेष मामला $$ \mathbf{1} \Vdash_{M,\mathbb{P}} \varphi $$ अक्सर के रूप में लिखा जाता है$$ \mathbb{P} \Vdash_{M,\mathbb{P}} \varphi $$या केवल$$ \Vdash_{M,\mathbb{P}} \varphi $$. में ऐसे कथन सत्य हैं $$ M[G] $$, कोई बात नहीं क्या $$ G $$ है।

महत्वपूर्ण बात यह है कि यह जबरदस्ती संबंध की बाहरी परिभाषा है $$ p \Vdash_{M,\mathbb{P}} \varphi $$ भीतर एक आंतरिक परिभाषा के बराबर है $$ M $$, पार परिमित प्रेरण द्वारा परिभाषित किया गया है $$ \mathbb{P} $$-नाम के उदाहरणों पर $$ u \in v $$ और $$ u = v $$, और फिर सूत्रों की जटिलता पर साधारण प्रेरण द्वारा। इसका प्रभाव यह है कि के सभी गुण $$ M[G] $$ के गुण हैं $$ M $$, और का सत्यापन $$ \mathsf{ZFC} $$ में $$ M[G] $$ सीधा हो जाता है। इसे आमतौर पर निम्नलिखित तीन प्रमुख गुणों के रूप में संक्षेपित किया जाता है:


 * सच: $$ M[G] \models \varphi(\operatorname{val}(u_1,G),\ldots,\operatorname{val}(u_n,G)) $$ अगर और केवल अगर इसके द्वारा मजबूर किया जाता है $$ G $$यानी कुछ शर्तों के लिए $$ p \in G $$, अपने पास $$ p \Vdash_{M,\mathbb{P}} \varphi(u_1,\ldots,u_n) $$.
 * निश्चितता: कथन$$ p \Vdash_{M,\mathbb{P}} \varphi(u_1,\ldots,u_n) $$में निश्चित है $$ M $$.
 * सुसंगतता: $$ p \Vdash_{M,\mathbb{P}} \varphi(u_1,\ldots,u_n) \land q \leq p \implies q \Vdash_{M,\mathbb{P}} \varphi(u_1,\ldots,u_n) $$.

हम जबरदस्ती संबंध को परिभाषित करते हैं $$ \Vdash_{M,\mathbb{P}} $$ में $$ M $$ सूत्रों की जटिलता पर प्रेरण द्वारा, जिसमें हम पहले परमाणु सूत्रों के संबंध को परिभाषित करते हैं $$ \in $$-इंडक्शन और फिर इसे मनमाने फॉर्मूलों के लिए उनकी जटिलता पर इंडक्शन द्वारा परिभाषित करें।

हम पहले परमाणु सूत्रों पर बल संबंध को परिभाषित करते हैं, ऐसा दोनों प्रकार के सूत्रों के लिए करते हैं, $$x\in y$$ और $$x=y$$, इसके साथ ही। इसका मतलब है कि हम एक संबंध को परिभाषित करते हैं $$R(p,a,b,t,\mathbb{P})$$ कहाँ $$t$$ सूत्र के प्रकार को निम्नानुसार दर्शाता है:
 * 1) $$R(p,a,b,0,\mathbb{P})$$ साधन $$p\Vdash_{\mathbb{P}}a\in b$$.
 * 2) $$R(p,a,b,1,\mathbb{P})$$ साधन $$p\Vdash_{\mathbb{P}}a=b$$.
 * 3) $$R(p,a,b,2,\mathbb{P})$$ साधन $$p\Vdash_{\mathbb{P}}a\subseteq b$$.

यहाँ $$p$$ एक शर्त है और $$a$$ और $$b$$ हैं $$\mathbb{P}$$-नाम। होने देना $$R(p,a,b,t,\mathbb{P})$$ द्वारा परिभाषित एक सूत्र हो $$\in$$-प्रवेश:

आर 1। $$R(p,a,b,0,\mathbb{P})$$ अगर और केवल अगर $$(\forall q\leq p)(\exists r\leq q)(\exists(c,s)\in b)(r\leq s\,\land\,R(r,a,c,1,\mathbb{P}))$$.

देखना। $$R(p,a,b,1,\mathbb{P})$$ अगर और केवल अगर $$R(r,a,b,2,\mathbb{P})\,\land\,R(r,b,a,2,\mathbb{P})$$पी 3 $$R(p,a,b,2,\mathbb{P})$$ अगर और केवल अगर $$(\forall(c,s)\in a)(\forall q\leq p)(\exists r\leq q)(r\leq s\,\Rightarrow\,R(r,c,b,0,\mathbb{P}))$$.

अधिक औपचारिक रूप से, हम निम्नलिखित द्विआधारी संबंध का उपयोग करते हैं $$\mathbb{P}$$-नाम: चलो $$S(a,b)$$ नामों के लिए रखता है $$a$$ और $$b$$ अगर और केवल अगर $$(a,p)\in b$$ कम से कम एक शर्त के लिए $$p$$. यह संबंध अच्छी तरह से स्थापित है, जिसका अर्थ है कि किसी भी नाम के लिए $$a$$ सभी नामों का वर्ग $$b$$, ऐसा है कि $$S(a,b)$$ धारण करता है, एक समुच्चय है और कोई फलन नहीं है $$f:\omega\longrightarrow \text{Names}$$ ऐसा है कि $$(\forall n\in\omega)S(f(n+1),f(n))$$.

सामान्य तौर पर एक अच्छी तरह से स्थापित संबंध एक पूर्व-आदेश नहीं है, क्योंकि यह सकर्मक नहीं हो सकता है। लेकिन, अगर हम इसे एक क्रम के रूप में मानते हैं, तो यह अनंत घटते क्रम के बिना एक संबंध है और जहां किसी भी तत्व के लिए उसके नीचे के तत्वों का वर्ग एक सेट है।

ट्रांज़िटिविटी के लिए किसी भी बाइनरी रिलेशन को बंद करना आसान है। नामों के लिए $$a$$ और $$b$$, $$a0$$ ऐसा है कि $$c_0=a$$, $$c_n=b$$ और किसी के लिए $$i<n$$, $$S(c_{i-1},c_i)$$ रखती है। इस तरह का आदेश भी अच्छी तरह से स्थापित है।

हम नामों के जोड़े पर निम्नलिखित सुपरिभाषित क्रम को परिभाषित करते हैं: $$T((a,b),(c,d))$$ यदि निम्न में से कोई एक धारण करता है: रिश्ता $$R(p,a,b,t,\mathbb{P})$$ जोड़े पर रिकर्सन द्वारा परिभाषित किया गया है $$(a,b)$$ नामों का। किसी भी जोड़ी के लिए यह सरल जोड़े पर समान संबंध द्वारा परिभाषित किया गया है। दरअसल, पुनरावर्तन प्रमेय द्वारा एक सूत्र है $$R(p,a,b,t,\mathbb{P})$$ जैसे कि R1, R2 और R3 प्रमेय हैं क्योंकि किसी बिंदु पर इसका सत्य मान इसके सत्य मानों द्वारा छोटे बिंदुओं में परिभाषित किया जाता है, जो कि कुछ अच्छी तरह से स्थापित संबंधों के सापेक्ष होता है, जो एक आदेश के रूप में उपयोग किया जाता है। अब, हम बल संबंध को परिभाषित करने के लिए तैयार हैं: दरअसल, यह एक मनमाने फार्मूले का रूपांतरण है $$f(x_1,\dots,x_n)$$ सूत्र के लिए $$p\Vdash_{\mathbb{P}}f(x_1,\dots,x_n)$$ कहाँ $$p$$ और $$\mathbb{P}$$ अतिरिक्त चर हैं। यह ब्रह्मांड में जबरदस्ती संबंध की परिभाषा है $$V$$ किसी भी गणनीय सकर्मक मॉडल की परवाह किए बिना सभी सेटों की। हालाँकि, बल के इस वाक्यात्मक सूत्रीकरण और कुछ गणनीय सकर्मक मॉडल पर बल के शब्दार्थ सूत्रीकरण के बीच एक संबंध है $$M$$.
 * 1) $$\max\{a,b\}<\max\{c,d\},$$
 * 2) $$\max\{a,b\}=\max\{c,d\}$$ और $$\min\{a,b\}<\min\{c,d\},$$
 * 3) $$\max\{a,b\}=\max\{c,d\}$$ और $$\min\{a,b\}=\min\{c,d\}$$ और $$a<c.$$
 * 1) $$p\Vdash_{\mathbb P}a\in b$$ साधन $$a,b\in \text{Name}\,\land\,R(p,a,b,0,\mathbb{P}).$$
 * 2) $$p\Vdash_{\mathbb P}a=b$$ साधन $$a,b\in \text{Name}\,\land\,R(p,a,b,1,\mathbb{P}).$$
 * 3) $$p\Vdash_{\mathbb P}\lnot f(a_1,\dots,a_n)$$ साधन $$a_1,\dots,a_n\in \text{Name}\,\land\,\lnot(\exists q\leq p)q\Vdash_{\mathbb P} f(a_1,\dots,a_n).$$
 * 4) $$p\Vdash_{\mathbb P}(f(a_1,\dots,a_n)\land g(a_1,\dots,a_n))$$ साधन $$a_1,\dots,a_n\in \text{Name} \,\land\,(p\Vdash_{\mathbb P}f(a_1,\dots,a_n))\land(p\Vdash_{\mathbb P}g(a_1,\dots,a_n)).$$
 * 5) $$p\Vdash_{\mathbb{P}}(\forall x)f(a_1,\dots,a_n,x)$$ साधन $$a_1,\dots,a_n\in \text{Name} \,\land\,(\forall b \in \text{Names})p\Vdash_{\mathbb{P}}f(a_1,\dots,a_n,b).$$

इसे जबरदस्ती संबंध की निश्चितता का गुण कहा जाता है।
 * 1) किसी भी सूत्र के लिए $$f(x_1,\dots,x_n)$$ एक प्रमेय है $$T$$ सिद्धांत का $$\mathsf{ZFC}$$ (उदाहरण के लिए स्वयंसिद्धों की परिमित संख्या का संयोजन) जैसे कि किसी भी गणनीय सकर्मक मॉडल के लिए $$M$$ ऐसा है कि $$M\models T$$ और कोई परमाणु रहित आंशिक क्रम $$\mathbb{P}\in M$$ और कोई भी $$\mathbb{P}$$-सामान्य फिल्टर $$G$$ ऊपर $$M$$ $$(\forall a_1,\ldots,a_n\in M^{\mathbb{P}})(\forall p \in\mathbb{P})(p\Vdash_{M,\mathbb{P}} f(a_1,\dots,a_n) \,\Leftrightarrow \, M\models p \Vdash_{\mathbb{P}}f(a_1, \dots, a_n)).$$

संगति
ऊपर की चर्चा को मौलिक स्थिरता परिणाम द्वारा संक्षेपित किया जा सकता है, जो कि एक जबरदस्त पोसेट दिया गया है $$ \mathbb{P} $$, हम एक सामान्य फ़िल्टर के अस्तित्व को मान सकते हैं $$ G $$, ब्रह्मांड से संबंधित नहीं $$ V $$, ऐसा है कि $$ V[G] $$ फिर से एक सेट-सैद्धांतिक ब्रह्मांड है जो मॉडल करता है $$ \mathsf{ZFC} $$. इसके अलावा, सभी सत्य $$ V[G] $$ में सत्य को कम किया जा सकता है $$ V $$ जबरदस्ती संबंध शामिल है।

दोनों शैलियों, आसन्न $$ G $$ या तो एक गणनीय सकर्मक मॉडल के लिए $$ M $$ या पूरा ब्रह्मांड $$ V $$, आमतौर पर उपयोग किए जाते हैं। फोर्सिंग की आंतरिक परिभाषा का उपयोग करने वाला दृष्टिकोण आमतौर पर कम देखा जाता है, जिसमें सेट या क्लास मॉडल का कोई उल्लेख नहीं किया जाता है। यह कोहेन की मूल पद्धति थी, और एक विस्तार में, यह बूलियन-मूल्यवान विश्लेषण की पद्धति बन जाती है।

कोहेन मजबूर
सबसे सरल गैर-तुच्छ फोर्सिंग पोसेट है $$ (\operatorname{Fin}(\omega,2),\supseteq,0) $$, परिमित आंशिक कार्य से $$ \omega $$ को $$ 2 ~ \stackrel{\text{df}}{=} ~ \{ 0,1 \} $$ रिवर्स समावेशन के तहत। यानी एक शर्त $$ p $$ अनिवार्य रूप से दो असंयुक्त परिमित उपसमुच्चय हैं $$ {p^{-1}}[1] $$ और $$ {p^{-1}}[0] $$ का $$ \omega $$, हां और नहीं के हिस्से के रूप में सोचा जाना चाहिए $ p $, के डोमेन के बाहर मूल्यों पर कोई जानकारी प्रदान नहीं की गई है $$ p $$.$$ q $$ से ज्यादा मजबूत है $$ p $$मतलब कि $$ q \supseteq p $$, दूसरे शब्दों में, हां और ना के हिस्से $$ q $$ हां और नहीं के हिस्से के सुपरसेट हैं $$ p $$, और उस अर्थ में, अधिक जानकारी प्रदान करें।

होने देना $$ G $$ इस पॉसेट के लिए एक सामान्य फ़िल्टर बनें। अगर $$ p $$ और $$ q $$ दोनों में हैं $$ G $$, तब $$ p \cup q $$ एक शर्त है क्योंकि $$ G $$ एक फिल्टर है। इस का मतलब है कि $$ g = \bigcup G $$ से एक अच्छी तरह से परिभाषित आंशिक कार्य है $$ \omega $$ को $$ 2 $$ क्योंकि किन्हीं दो स्थितियों में $$ G $$ उनके सामान्य डोमेन पर सहमत हैं।

वास्तव में, $$ g $$ कुल कार्य है। दिया गया $$ n \in \omega $$, होने देना $$ D_{n} = \{ p \mid p(n) ~ \text{is defined} \} $$. तब $$ D_{n} $$ घना है। (कोई दिया गया $$ p $$, अगर $$ n $$ इसमें नहीं है $$ p $$का डोमेन, के लिए एक मान संलग्न करें $$ n $$-परिणाम आ गया है $$ D_{n} $$।) एक शर्त $$ p \in G \cap D_{n} $$ है $$ n $$ इसके डोमेन में, और उसके बाद से $$ p \subseteq g $$, हम पाते हैं $$ g(n) $$ परिभाषित किया गया।

होने देना $$ X = {g^{-1}}[1] $$, सामान्य स्थितियों के सभी हाँ सदस्यों का सेट। के लिए एक नाम देना संभव है $$ X $$ सीधे। होने देना


 * $$ \underline{X} = \left \{ \left (\check{n},p \right ) \mid p(n) = 1 \right \}.$$

तब $$\operatorname{val}(\underline{X},G) = X.$$ अब मान लीजिए $$ A \subseteq \omega $$ में $$ V $$. हम यह दावा करते हैं $$ X \neq A $$. होने देना


 * $$ D_{A} = \{ p \mid (\exists n)(n \in \operatorname{Dom}(p) \land (p(n) = 1 \iff n \notin A)) \}.$$

तब $$D_A$$ घना है। (कोई दिया गया $$ p $$, पाना $$ n $$ जो इसके डोमेन में नहीं है, और इसके लिए एक मान संलग्न करें $$ n $$ की स्थिति के विपरीत$$ n \in A $$।) फिर कोई $$ p \in G \cap D_A$$ गवाहों $$ X \neq A $$. संक्षेप में, $$ X $$ का नया उपसमुच्चय है $$ \omega $$, अनिवार्य रूप से अनंत।

की जगह $$ \omega $$ साथ $$ \omega \times \omega_{2} $$, अर्थात्, परिमित आंशिक कार्यों पर विचार करें जिनके इनपुट फॉर्म के हैं $$ (n,\alpha) $$, साथ $$ n < \omega $$ और $$ \alpha < \omega_{2} $$, और जिनके आउटपुट हैं $$ 0 $$ या $$ 1 $$, एक मिलता है $$ \omega_{2} $$ के नए उपसमुच्चय $$ \omega $$. घनत्व तर्क द्वारा वे सभी अलग हैं: दिया गया $$ \alpha < \beta < \omega_{2} $$, होने देना


 * $$ D_{\alpha,\beta} = \{ p \mid (\exists n)(p(n,\alpha) \neq p(n,\beta)) \},$$ फिर प्रत्येक $$ D_{\alpha,\beta} $$ सघन है, और इसमें एक सामान्य स्थिति यह साबित करती है कि αth नया सेट कहीं से असहमत है $$ \beta $$वें नया सेट।

यह अभी तक सातत्य परिकल्पना का मिथ्याकरण नहीं है। किसी को यह साबित करना होगा कि कौन सा नक्शा कोई नया नक्शा पेश नहीं किया गया है $$ \omega $$ पर $$ \omega_{1} $$, या $$ \omega_{1} $$ पर $$ \omega_{2} $$. उदाहरण के लिए, यदि कोई इसके बजाय विचार करता है $$ \operatorname{Fin}(\omega,\omega_{1}) $$, परिमित आंशिक कार्य $$ \omega $$ को $$ \omega_{1} $$, पहला बेशुमार क्रमसूचक, एक अंदर आता है $$ V[G] $$ से एक आपत्ति $$ \omega $$ को $$ \omega_{1} $$. दूसरे शब्दों में, $$ \omega_{1} $$ ढह गया है, और जबरदस्ती विस्तार में, एक गणनीय क्रमसूचक है।

सातत्य परिकल्पना की स्वतंत्रता दिखाने में अंतिम चरण, तब, यह दिखाना है कि कोहेन फोर्सिंग कार्डिनल्स को नहीं गिराती है। इसके लिए, एक पर्याप्त दहनशील संपत्ति यह है कि फोर्सिंग पोसेट के सभी antichain्स गणनीय हैं।

गणनीय श्रृंखला की स्थिति
एक मजबूत एंटीचैन | (मजबूत) एंटीचैन $$ A $$ का $$ \mathbb{P} $$ एक उपसमुच्चय है जैसे कि अगर $$ p,q \in A $$, तब $$ p $$ और $$ q $$ असंगत हैं (लिखित $$ p \perp q $$), मतलब नहीं है $$ r $$ में $$ \mathbb{P} $$ ऐसा है कि $$ r \leq p $$ और $$ r \leq q $$. बोरेल सेट के उदाहरण में, असंगति का अर्थ है कि $$ p \cap q $$ शून्य माप है। परिमित आंशिक कार्यों के उदाहरण में, असंगति का अर्थ है कि $$ p \cup q $$ एक कार्य नहीं है, दूसरे शब्दों में, $$ p $$ और $$ q $$ कुछ डोमेन इनपुट के लिए अलग-अलग मान असाइन करें।

$$ \mathbb{P} $$ गणनीय श्रृंखला की स्थिति (c.c.c.) को संतुष्ट करता है अगर और केवल अगर हर एंटीचैन में $$ \mathbb{P} $$ गणनीय है। (नाम, जो स्पष्ट रूप से अनुपयुक्त है, पुरानी शब्दावली से लिया गया है। कुछ गणितज्ञ c.a.c. गणनीय एंटीचेन स्थिति के लिए लिखते हैं।)

इसे देखना आसान है $$ \operatorname{Bor}(I) $$ c.c.c को संतुष्ट करता है क्योंकि उपायों का योग अधिकतम होता है $$ 1 $$. भी, $$ \operatorname{Fin}(E,2) $$ c.c.c. को संतुष्ट करता है, लेकिन प्रमाण अधिक कठिन है।

एक बेशुमार उपपरिवार दिया $$ W \subseteq \operatorname{Fin}(E,2) $$, सिकुड़ना $$ W $$ एक बेशुमार उपपरिवार के लिए $$ W_{0} $$ आकार के सेट के $$ n $$, कुछ के लिए $$n < \omega $$. अगर $$ p(e_{1}) = b_{1} $$ अनगिनत के लिए $$ p \in W_{0} $$, इसे एक बेशुमार उपपरिवार में सिकोड़ें $$ W_{1} $$ और दोहराएँ, परिमित समुच्चय प्राप्त करें $$ \{ (e_{1},b_{1}),\ldots,(e_{k},b_{k}) \} $$ और एक बेशुमार परिवार $$ W_{k} $$ आकार की असंगत स्थितियों का $$ n - k $$ ऐसा है कि हर $$ e $$ में है $$ \operatorname{Dom}(p) $$ अधिक से अधिक गणनीय कई के लिए $$ p \in W_{k} $$. अब, एक मनमाना चुनें $$ p \in W_{k} $$, और से चुनें $$ W_{k} $$ कोई $$ q $$ यह उन गिने-चुने सदस्यों में से एक नहीं है जिनके साथ एक डोमेन सदस्य उभयनिष्ठ है $$ p $$. तब $$ p \cup \{ (e_{1},b_{1}),\ldots,(e_{k},b_{k}) \} $$ और $$q \cup \{ (e_{1},b_{1}),\ldots,(e_{k},b_{k}) \} $$ संगत हैं, इसलिए $$ W $$ एक एंटीचैन नहीं है। दूसरे शब्दों में, $$ \operatorname{Fin}(E,2) $$-एंटीचेन्स गणनीय हैं।

फोर्सिंग में एंटीचेन्स का महत्व यह है कि अधिकांश उद्देश्यों के लिए, घने सेट और अधिकतम एंटीचेन्स समकक्ष हैं। एक अधिकतम एंटीचैन $$ A $$ एक ऐसा है जिसे एक बड़े एंटीचैन तक नहीं बढ़ाया जा सकता है। इसका मतलब है कि हर तत्व $$ p \in \mathbb{P} $$ के कुछ सदस्यों के साथ संगत है $$ A $$. अधिकतम एंटीचेन का अस्तित्व ज़ोर्न के लेम्मा से आता है | ज़ोर्न की लेम्मा। एक अधिकतम एंटीचैन दिया गया $$ A $$, होने देना


 * $$ D = \left \{ p \in \mathbb{P} \mid (\exists q \in A)(p \leq q) \right \}.$$

तब $$ D $$ घना है, और $$ G \cap D \neq \varnothing $$ अगर और केवल अगर $$ G \cap A \neq \varnothing $$. इसके विपरीत, एक घना सेट दिया $$ D $$, ज़ोर्न का लेम्मा दर्शाता है कि एक अधिकतम एंटीचेन मौजूद है $$ A \subseteq D $$, और तब $$ G \cap D \neq \varnothing $$ अगर और केवल अगर $$ G \cap A \neq \varnothing $$.

ये मान लीजिए $$ \mathbb{P} $$ c.c.c को संतुष्ट करता है दिया गया $$ x,y \in V $$, साथ $$ f: x \to y $$ में एक समारोह $$ V[G] $$, अनुमान लगाया जा सकता है $$ f $$ अंदर $$ V $$ निम्नलिखित नुसार। होने देना $$ u $$ के लिए एक नाम हो $$ f $$ (की परिभाषा के अनुसार $$ V[G] $$) और जाने $$ p $$ ऐसी स्थिति हो जो मजबूर करे $$ u $$ से एक समारोह होना $$ x $$ को $$ y $$. एक समारोह परिभाषित करें $$ F $$, जिसका डोमेन है $$ x $$, द्वारा


 * $$ F(a) \stackrel{\text{df}}{=} \left \{ b \left | (\exists q \in \mathbb{P}) \left [(q \leq p) \land \left (q \Vdash ~ u \left (\check{a} \right ) = \check{b} \right ) \right ] \right \}. \right.$$ जबरदस्ती की निश्चितता से, यह परिभाषा समझ में आती है $$ V $$. जबरदस्ती के सामंजस्य से, एक अलग $$ b $$ एक असंगत से आते हैं $$ p $$. सी.सी.सी. द्वारा, $$ F(a) $$ गणनीय है।

सारांश, $$ f $$ में अज्ञात है $$ V $$ जैसा कि यह निर्भर करता है $$ G $$, लेकिन यह एक सी.सी.सी.-फोर्सिंग के लिए बेतहाशा अज्ञात नहीं है। के मूल्य के लिए अनुमानों के एक गणनीय सेट की पहचान कर सकते हैं $$ f $$ से स्वतंत्र किसी भी इनपुट पर है $$ G $$.

इसके निम्नलिखित बहुत महत्वपूर्ण परिणाम हैं। मैं फ़िन $$ V[G] $$, $$ f: \alpha \to \beta $$ एक अनंत क्रमवाचक से दूसरे पर एक अनुमान है, तो एक अनुमान है $$ g: \omega \times \alpha \to \beta $$ में $$ V $$, और फलस्वरूप, एक अनुमान $$ h: \alpha \to \beta $$ में $$ V $$. विशेष रूप से, कार्डिनल्स पतन नहीं कर सकते। निष्कर्ष यह है $$2^{\aleph_{0}} \geq \aleph_{2} $$ में $$ V[G] $$.

ईस्टन फोर्सिंग
उपरोक्त कोहेन मॉडल में सातत्य का सटीक मूल्य, और जैसे वेरिएंट $$ \operatorname{Fin}(\omega \times \kappa,2) $$ कार्डिनल्स के लिए $$ \kappa $$ सामान्य तौर पर, रॉबर्ट एम. सोलोवे द्वारा काम किया गया था, जिन्होंने यह भी पता लगाया था कि उल्लंघन कैसे किया जाए $$ \mathsf{GCH} $$ (सातत्य परिकल्पना#सामान्यीकृत सातत्य परिकल्पना), केवल नियमित कार्डिनल्स के लिए, सीमित संख्या में बार। उदाहरण के लिए, उपरोक्त कोहेन मॉडल में, यदि $$ \mathsf{CH} $$ में रखता है $$ V $$, तब $$ 2^{\aleph_{0}} = \aleph_{2} $$ में रखता है $$ V[G] $$.

विलियम बिगेलो ईस्टन|विलियम बी. ईस्टन ने उल्लंघन करने के लिए उचित वर्ग संस्करण तैयार किया $$ \mathsf{GCH} $$ नियमित कार्डिनल्स के लिए, मूल रूप से दिखा रहा है कि ज्ञात प्रतिबंध, (एकरसता, कैंटर का प्रमेय | कैंटर का प्रमेय | कैंटर का प्रमेय और कोनिग का प्रमेय (सेट सिद्धांत) | कोनिग का प्रमेय), केवल $$ \mathsf{ZFC} $$-साध्य प्रतिबंध (देखें ईस्टन का प्रमेय | ईस्टन का प्रमेय)।

ईस्टन का काम इस मायने में उल्लेखनीय था कि इसमें परिस्थितियों के एक उचित वर्ग के साथ जबरदस्ती करना शामिल था। सामान्य तौर पर, परिस्थितियों के एक उचित वर्ग के साथ बल देने की विधि का एक मॉडल देने में विफल रहती है $$ \mathsf{ZFC} $$. उदाहरण के लिए, जबरदस्ती करना $$ \operatorname{Fin}(\omega \times \mathbf{On},2) $$, कहाँ $$ \mathbf{On} $$ सभी अध्यादेशों का उचित वर्ग है, सातत्य को एक उचित वर्ग बनाता है। दूसरी ओर, साथ जबरदस्ती $$ \operatorname{Fin}(\omega,\mathbf{On}) $$ अध्यादेशों की एक गणनीय गणना प्रस्तुत करता है। दोनों ही मामलों में, परिणामी $$ V[G] $$ का आदर्श नहीं है $$ \mathsf{ZFC} $$.

एक समय में, यह सोचा गया था कि अधिक परिष्कृत बल भी नियमित कार्डिनल्स की शक्तियों में मनमाने ढंग से बदलाव की अनुमति देगा। हालाँकि, यह एक कठिन, सूक्ष्म और यहाँ तक कि आश्चर्यजनक समस्या बन गई है, जिसमें कई और PCF सिद्धांत शामिल हैं $$ \mathsf{ZFC} $$ और विभिन्न बड़े कार्डिनल | बड़े-कार्डिनल गुणों की स्थिरता के आधार पर मजबूर मॉडल के साथ। कई खुली समस्याएं बनी हुई हैं।

रैंडम रीलों
रैंडम फोर्सिंग को सेट पर फोर्सिंग के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$P$$ के सभी कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय $$[0,1]$$ संबंध द्वारा आदेशित सकारात्मक उपाय $$\subseteq$$ (शामिल करने के संदर्भ में छोटा सेट क्रम में छोटा सेट है और अधिक जानकारी के साथ स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है)। दो प्रकार के महत्वपूर्ण सघन सेट हैं:


 * 1) किसी भी सकारात्मक पूर्णांक के लिए $$n$$ सेट $$D_n= \left \{p\in P : \operatorname{diam}(p)<\frac 1n \right \}$$ घना है, कहाँ है $$\operatorname{diam}(p)$$ सेट का व्यास है $$p$$.
 * 2) किसी भी बोरेल सबसेट के लिए $$B \subseteq [0,1]$$ माप 1 का, सेट $$D_B=\{p\in P : p\subseteq B\}$$ घना है।

किसी भी फिल्टर के लिए $$G$$ और किसी भी निश्चित रूप से कई तत्वों के लिए $$p_1,\ldots,p_n\in G$$ वहाँ है $$q\in G$$ ऐसा जो धारण करता है $$q\leq p_1,\ldots,p_n$$. इस आदेश के मामले में, इसका मतलब है कि कोई भी फ़िल्टर परिमित चौराहे की संपत्ति के साथ कॉम्पैक्ट सेट का सेट है। इस कारण से, किसी भी फ़िल्टर के सभी तत्वों का प्रतिच्छेदन खाली नहीं है। अगर $$G$$ सघन समुच्चय को प्रतिच्छेद करने वाला एक फिल्टर है $$D_n$$ किसी भी सकारात्मक पूर्णांक के लिए $$n$$, फिर फ़िल्टर करें $$G$$ मनमाने ढंग से छोटे सकारात्मक व्यास की शर्तें शामिल हैं। इसलिए, से सभी स्थितियों का प्रतिच्छेदन $$G$$ व्यास 0 है। लेकिन व्यास 0 के केवल गैर-रिक्त सेट सिंगलटन हैं। अतः ठीक एक वास्तविक संख्या है $$r_G$$ ऐसा है कि $$r_G\in\bigcap G$$.

होने देना $$B\subseteq[0,1]$$ माप का कोई भी बोरेल सेट हो 1. यदि $$G$$ काटती है $$D_B$$, तब $$r_G\in B$$.

हालाँकि, एक गणनीय सकर्मक मॉडल पर एक सामान्य फ़िल्टर $$V$$ इसमें नहीं है $$V$$. असली $$r_G$$ द्वारा परिभाषित $$G$$ का अंग नहीं है $$V$$. समस्या यह है कि अगर $$p\in P$$, तब $$V\models$$ $$p$$ कॉम्पैक्ट है, लेकिन कुछ बड़े ब्रह्मांड के दृष्टिकोण से $$U\supset V$$, $$p$$ गैर-कॉम्पैक्ट हो सकता है और सामान्य फ़िल्टर से सभी स्थितियों का प्रतिच्छेदन हो सकता है $$G$$ वास्तव में खाली है। इस कारण से, हम सेट पर विचार करते हैं $$C=\{\bar p : p\in G\}$$ जी से शर्तों के सांस्थितिक बंद होने की। की वजह से $$\bar p\supseteq p$$ और परिमित चौराहे की संपत्ति $$G$$, सेट $$C$$ परिमित चौराहा संपत्ति भी है। सेट के तत्व $$C$$ परिबद्ध संवृत समुच्चय परिबद्ध समुच्चय के संवरक के रूप में होते हैं। इसलिए, $$C$$ कॉम्पैक्ट सेट का एक सेट है परिमित चौराहा संपत्ति के साथ और इस प्रकार गैर-खाली चौराहा है। तब से $$\operatorname{diam}(\bar p) = \operatorname{diam}(p)$$ और ग्राउंड मॉडल $$V$$ ब्रह्मांड से एक मीट्रिक प्राप्त करता है $$U$$, सेट $$C$$ मनमाने ढंग से छोटे व्यास के तत्व हैं। अंत में, वास्तव में एक वास्तविक है जो सेट के सभी सदस्यों से संबंधित है $$C$$. सामान्य फ़िल्टर $$G$$ से पुनर्निर्माण किया जा सकता है $$r_G$$ जैसा $$G=\{p\in P : r_G\in\bar p\}$$.

अगर $$a$$ का नाम है $$r_G$$, और के लिए $$B\in V$$ रखती है $$V\models$$ $$B$$ माप 1 का बोरेल सेट है, फिर होल्ड करता है


 * $$V[G]\models \left (p\Vdash_{\mathbb{P}}a\in\check{B} \right )$$ कुछ के लिए $$p\in G$$. नाम है $$a$$ ऐसा कि किसी भी सामान्य फ़िल्टर के लिए $$G$$ रखती है


 * $$\operatorname{val}(a,G)\in\bigcup_{p\in G}\bar p.$$ तब


 * $$V[G]\models \left (p\Vdash_{\mathbb{P}}a\in\check{B} \right )$$ किसी भी शर्त के लिए रखता है $$p$$.

हर बोरेल सेट, गैर-विशिष्ट रूप से, बनाया जा सकता है, तर्कसंगत समापन बिंदुओं के साथ अंतराल से शुरू होता है और पूरक और गणनीय यूनियनों के संचालन को लागू करता है, कई बार। ऐसे निर्माण के रिकॉर्ड को बोरेल कोड कहा जाता है। बोरेल सेट दिया $$B$$ में $$V$$, एक बोरेल कोड पुनर्प्राप्त करता है, और फिर उसी निर्माण अनुक्रम को लागू करता है $$V[G]$$, बोरेल सेट प्राप्त करना $$B^*$$. यह सिद्ध किया जा सकता है कि एक ही सेट के निर्माण से स्वतंत्र हो जाता है $$B $$, और वह मूल गुण संरक्षित हैं। उदाहरण के लिए, यदि $$B \subseteq C$$, तब $$B^* \subseteq C^*$$. अगर $$B$$ माप शून्य है, फिर $$B^*$$ माप शून्य है। यह मैपिंग $$B\mapsto B^*$$ इंजेक्शन है।

किसी भी सेट के लिए $$B\subseteq[0,1]$$ ऐसा है कि $$B\in V$$ और $$V\models$$ $$B$$ माप 1 का बोरेल सेट है $$r\in B^*$$.

इस का मतलब है कि $$r$$ के दृष्टिकोण से 0s और 1s का अनंत यादृच्छिक क्रम है $$V$$, जिसका अर्थ है कि यह जमीनी मॉडल से सभी सांख्यिकीय परीक्षणों को पूरा करता है $$V$$.

तो दिया $$r$$, एक यादृच्छिक वास्तविक, कोई यह दिखा सकता है


 * $$ G = \left \{ B ~ (\text{in } V) \mid r \in B^* ~ (\text{in } V[G]) \right \}. $$

के बीच पारस्परिक अंतर-निश्चितता के कारण $$r$$ और $$ G $$, एक आम तौर पर लिखता है $$V[r]$$ के लिए $$V[G]$$.

में वास्तविक की एक अलग व्याख्या $$V[G]$$ दाना स्कॉट द्वारा प्रदान किया गया था। में तर्कसंगत संख्या $$ V[G] $$ ऐसे नाम हैं जो गिनती के अनुरूप हैं - कई अलग-अलग तर्कसंगत मूल्यों को बोरेल सेट के एक अधिकतम एंटीचैन को सौंपा गया है - दूसरे शब्दों में, एक निश्चित तर्कसंगत-मूल्यवान कार्य $$I = [0,1] $$. में वास्तविक संख्याएँ $$V[G]$$ फिर ऐसे कार्यों के डेडेकाइंड कट के अनुरूप है, जो औसत दर्जे का कार्य है।

बूलियन-मूल्यवान मॉडल
शायद अधिक स्पष्ट रूप से, विधि को बूलियन-मूल्यवान मॉडल के संदर्भ में समझाया जा सकता है। इनमें, किसी भी कथन को केवल एक सत्य/असत्य मान के बजाय कुछ पूर्ण परमाणु रहित बूलियन बीजगणित (संरचना) से एक सत्य मान निर्दिष्ट किया जाता है। फिर इस बूलियन बीजगणित में एक ultrafilter चुना जाता है, जो हमारे सिद्धांत के कथनों को सही/गलत मान प्रदान करता है। मुद्दा यह है कि परिणामी सिद्धांत में एक मॉडल होता है जिसमें यह अल्ट्राफिल्टर होता है, जिसे पुराने मॉडल को इस अल्ट्राफिल्टर के साथ विस्तारित करके प्राप्त एक नए मॉडल के रूप में समझा जा सकता है। बूलियन-मूल्यवान मॉडल को उचित तरीके से चुनकर, हम वांछित संपत्ति वाला मॉडल प्राप्त कर सकते हैं। इसमें, केवल कथन जो सत्य होना चाहिए (सत्य होने के लिए मजबूर किया जाता है) एक अर्थ में सत्य होगा (क्योंकि इसमें यह विस्तार/न्यूनतम संपत्ति है)।

मेटा-गणितीय स्पष्टीकरण
मजबूर करने में, हम आमतौर पर यह दिखाना चाहते हैं कि कुछ वाक्य (गणितीय तर्क) के साथ संगति प्रमाण है $$ \mathsf{ZFC} $$ (या वैकल्पिक रूप से कुछ विस्तार $$ \mathsf{ZFC} $$). तर्क की व्याख्या करने का एक तरीका यह मान लेना है $$ \mathsf{ZFC} $$ सुसंगत है और फिर उसे सिद्ध कीजिए $$ \mathsf{ZFC} $$ नए वाक्य के साथ संयुक्त (गणितीय तर्क) भी सुसंगत है।

प्रत्येक स्थिति सूचना का एक परिमित टुकड़ा है - विचार यह है कि केवल परिमित टुकड़े ही संगति के लिए प्रासंगिक हैं, क्योंकि, कॉम्पैक्टनेस प्रमेय द्वारा, एक सिद्धांत संतोषजनक है अगर और केवल अगर इसके स्वयंसिद्धों का प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय संतोषजनक है। तब हम अपने मॉडल का विस्तार करने के लिए निरंतर स्थितियों का एक अनंत सेट चुन सकते हैं। इसलिए, की निरंतरता मानते हुए $$ \mathsf{ZFC} $$, हम की निरंतरता साबित करते हैं $$ \mathsf{ZFC} $$ इस अनंत सेट द्वारा विस्तारित।

तार्किक व्याख्या
गोडेल की दूसरी अपूर्णता प्रमेय द्वारा, कोई भी पर्याप्त रूप से मजबूत औपचारिक सिद्धांत की निरंतरता को सिद्ध नहीं कर सकता है, जैसे कि $$ \mathsf{ZFC} $$, सिद्धांत के केवल स्वयंसिद्धों का उपयोग करते हुए, जब तक कि सिद्धांत असंगत न हो। नतीजतन, गणितज्ञ निरंतरता को साबित करने का प्रयास नहीं करते हैं $$ \mathsf{ZFC} $$ के केवल अभिगृहीतों का उपयोग करना $$ \mathsf{ZFC} $$, या यह साबित करने के लिए $$ \mathsf{ZFC} + H $$ किसी भी परिकल्पना के अनुरूप है $$ H $$ केवल उपयोग करना $$ \mathsf{ZFC} + H $$. इस कारण से, एक संगति प्रमाण का उद्देश्य की संगति को सिद्ध करना है $$ \mathsf{ZFC} + H $$ की संगति के सापेक्ष $$ \mathsf{ZFC} $$. ऐसी समस्याओं को सापेक्ष संगति की समस्याओं के रूप में जाना जाता है, जिनमें से एक सिद्ध होती है

सापेक्ष संगति प्रमाणों की सामान्य स्कीमा इस प्रकार है। जैसा कि कोई भी प्रमाण परिमित है, यह केवल स्वयंसिद्धों की एक सीमित संख्या का उपयोग करता है:


 * $$ \mathsf{ZFC} + \lnot \operatorname{Con}(\mathsf{ZFC} + H) \vdash (\exists T)(\operatorname{Fin}(T) \land T \subseteq \mathsf{ZFC} \land (T \vdash \lnot H)). $$

किसी दिए गए प्रमाण के लिए, $$ \mathsf{ZFC} $$ इस प्रमाण की वैधता को सत्यापित कर सकते हैं। यह प्रमाण की लंबाई पर प्रेरण द्वारा सिद्ध होता है।


 * $$ \mathsf{ZFC} \vdash (\forall T)((T \vdash \lnot H) \rightarrow (\mathsf{ZFC} \vdash (T \vdash \lnot H))). $$

फिर संकल्प करें


 * $$ \mathsf{ZFC} + \lnot \operatorname{Con}(\mathsf{ZFC} + H) \vdash (\exists T)(\operatorname{Fin}(T) \land T \subseteq \mathsf{ZFC} \land (\mathsf{ZFC} \vdash (T \vdash \lnot H))). $$

निम्नलिखित को सिद्ध करके

यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है


 * $$ \mathsf{ZFC} + \lnot \operatorname{Con}(\mathsf{ZFC} + H) \vdash (\exists T)(\operatorname{Fin}(T) \land T \subseteq \mathsf{ZFC} \land (\mathsf{ZFC} \vdash (T \vdash \lnot H)) \land (\mathsf{ZFC} \vdash \operatorname{Con}(T + H))), $$

जो बराबर है


 * $$ \mathsf{ZFC} + \lnot \operatorname{Con}(\mathsf{ZFC} + H) \vdash \lnot \operatorname{Con}(\mathsf{ZFC}), $$

जो देता है (*)। सापेक्ष संगति प्रमाण का मूल प्रमाण (**) है। ए $$ \mathsf{ZFC} $$ का सबूत $$ \operatorname{Con}(T + H) $$ किसी भी परिमित उपसमुच्चय के लिए बनाया जा सकता है $$ T $$ की $$ \mathsf{ZFC} $$ सिद्धांत (द्वारा $$ \mathsf{ZFC} $$ बेशक उपकरण)। (इसका कोई सार्वभौमिक प्रमाण नहीं है $$ \operatorname{Con}(T + H) $$ बिल्कुल।)

में $$ \mathsf{ZFC} $$, यह सिद्ध है कि किसी भी स्थिति के लिए $$ p $$, सूत्रों का सेट (नामों द्वारा मूल्यांकन) द्वारा मजबूर किया गया $$ p $$ कटौती से बंद है। इसके अलावा, किसी के लिए $$ \mathsf{ZFC} $$ स्वयंसिद्ध, $$ \mathsf{ZFC} $$ साबित करता है कि इस स्वयंसिद्ध द्वारा मजबूर किया गया है $$ \mathbf{1} $$. फिर यह साबित करने के लिए पर्याप्त है कि कम से कम एक शर्त है जो बल देती है $$ H $$.

बूलियन-वैल्यू फोर्सिंग के मामले में, प्रक्रिया समान है: यह साबित करना कि बूलियन मान $$ H $$ क्या नहीं है $$ \mathbf{0} $$.

एक अन्य दृष्टिकोण परावर्तन प्रमेय का उपयोग करता है। के किसी भी परिमित सेट के लिए $$ \mathsf{ZFC} $$ स्वयंसिद्ध, एक है $$ \mathsf{ZFC} $$ सबूत है कि स्वयंसिद्धों के इस सेट में एक गणनीय सकर्मक मॉडल है। किसी दिए गए परिमित समुच्चय के लिए $$ T $$ का $$ \mathsf{ZFC} $$ अभिगृहीत, एक परिमित समुच्चय है $$ T' $$ का $$ \mathsf{ZFC} $$ सिद्धांत ऐसे हैं $$ \mathsf{ZFC} $$ साबित करता है कि अगर एक गणनीय सकर्मक मॉडल $$ M $$ संतुष्ट $$ T' $$, तब $$ M[G] $$ संतुष्ट $$ T $$. सिद्ध करके कि परिमित समुच्चय है $$ T $$ का $$ \mathsf{ZFC} $$ स्वयंसिद्ध ऐसे हैं कि यदि एक गणनीय सकर्मक मॉडल $$ M $$ संतुष्ट $$ T $$, तब $$ M[G] $$ परिकल्पना को संतुष्ट करता है $$ H $$. फिर, किसी दिए गए परिमित समुच्चय के लिए $$ T $$ का $$ \mathsf{ZFC} $$ स्वयंसिद्ध, $$ \mathsf{ZFC} $$ को सिद्ध करता $$ \operatorname{Con}(T + H) $$.

कभी-कभी (**) में, एक मजबूत सिद्धांत $$ S $$ बजाय $$ \mathsf{ZFC} $$ सिद्ध करने के लिए प्रयोग किया जाता है $$ \operatorname{Con}(T + H) $$. तब हमारे पास निरंतरता का प्रमाण है $$ \mathsf{ZFC} + H $$ की संगति के सापेक्ष $$ S $$. ध्यान दें कि $$ \mathsf{ZFC} \vdash \operatorname{Con}(\mathsf{ZFC}) \leftrightarrow \operatorname{Con}(\mathsf{ZFL}) $$, कहाँ $$ \mathsf{ZFL} $$ है $$ \mathsf{ZF} + V = L $$ (रचनात्मकता का स्वयंसिद्ध)।

यह भी देखें

 * जबरन धारणाओं की सूची
 * अच्छा नाम

संदर्भ

 * Bell, J. L. (1985). Boolean-Valued Models and Independence Proofs in Set Theory, Oxford. ISBN 0-19-853241-5

बाहरी संबंध

 * Gunther, E.; Pagano, M.; Sánchez Terraf, P. Formalization of Forcing in Isabelle/ZF (Formal Proof Development, Archive of Formal Proofs)
 * Nik Weaver's book Forcing for Mathematicians was written for mathematicians who want to learn the basic machinery of forcing. No background in logic is assumed, beyond the facility with formal syntax which should be second nature to any well-trained mathematician.
 * Timothy Chow's article A Beginner's Guide to Forcing is a good introduction to the concepts of forcing that avoids a lot of technical detail. This paper grew out of Chow's newsgroup article Forcing for dummies .  In addition to improved exposition, the Beginner's Guide includes a section on Boolean-valued models.
 * See also Kenny Easwaran's article A Cheerful Introduction to Forcing and the Continuum Hypothesis, which is also aimed at the beginner but includes more technical details than Chow's article.
 * Cohen, P. J. The Independence of the Continuum Hypothesis, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, Vol. 50, No. 6. (Dec. 15, 1963), pp. 1143–1148.
 * Cohen, P. J. The Independence of the Continuum Hypothesis, II, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, Vol. 51, No. 1. (Jan. 15, 1964), pp. 105–110.
 * Paul Cohen gave a historical lecture The Discovery of Forcing (Rocky Mountain J. Math. Volume 32, Number 4 (2002), 1071–1100) about how he developed his independence proof. The linked page has a download link for an open access PDF but your browser must send a referer header from the linked page to retrieve it.
 * Akihiro Kanamori: Set theory from Cantor to Cohen