रैखिक समीकरण निकाय

गणित में, रैखिक समीकरणों की प्रणाली (या रैखिक प्रणाली) एक या एक से अधिक रैखिक समीकरणों का संग्रह है जिसमें समान चर (गणित) होते हैं। उदाहरण के लिए,
 * $$\begin{cases}

3x+2y-z=1\\ 2x-2y+4z=-2\\ -x+\frac{1}{2}y-z=0 \end{cases}$$ तीन चर $x, y, z$ में तीन समीकरणों की प्रणाली है। रेखीय प्रणाली का समाधान चर के मानों का समनुदेशन है जैसे कि सभी समीकरण साथ संतुष्ट होते हैं। उपरोक्त प्रणाली का समाधान आदेशित ट्रिपल द्वारा दिया गया है
 * $$(x,y,z)=(1,-2,-2),$$

क्योंकि यह तीनों समीकरणों को मान्य बनाता है। प्रणाली शब्द इंगित करता है कि समीकरणों को अलग-अलग के अतिरिक्त सामूहिक रूप से माना जाना चाहिए।

गणित में, रेखीय प्रणालियों का सिद्धांत रेखीय बीजगणित का आधार और मूलभूत हिस्सा है, एक ऐसा विषय जिसका उपयोग आधुनिक गणित के अधिकांश भागों में किया जाता है। समाधान खोजने के लिए संगणनात्मक कलन विधि संख्यात्मक रैखिक बीजगणित का महत्वपूर्ण हिस्सा हैं, और अभियांत्रिकी, भौतिकी, रसायन विज्ञान, कंप्यूटर विज्ञान और अर्थशास्त्र में प्रमुख भूमिका निभाते हैं। गैर-रैखिक समीकरणों की प्रणाली अधिकांशतः रैखिक प्रणाली (रैखिकीकरण देखें) द्वारा अनुमानित हो सकती है, अपेक्षाकृत जटिल प्रणाली के गणितीय मॉडल या अभिकलित्र अनुकार बनाते समय सहायक तकनीक हैं।

अधिकांशतः, समीकरणों के गुणांक वास्तविक संख्या या जटिल संख्या होते हैं और संख्याओं के एक ही समुच्चय में समाधान खोजे जाते हैं, लेकिन सिद्धांत और कलन विधि किसी भी क्षेत्र (गणित) में गुणांक और समाधान के लिए लागू होते हैं। पूर्णांक के वलय (गणित) जैसे पूर्णंकी प्रांत में समाधान के लिए, या अन्य बीजगणितीय संरचनाओं में, अन्य सिद्धांत विकसित किए गए हैं, वलय पर रैखिक समीकरण देखें। पूर्णांक रैखिक प्रोग्रामिंग सर्वोत्तम पूर्णांक समाधान (जब कई हैं) खोजने के तरीकों का संग्रह है। ग्रोबनर आधार सिद्धांत कलन विधि प्रदान करता है जब गुणांक और अज्ञात बहुपद होते हैं। इसके अतिरिक्त उष्णकटिबंधीय ज्यामिति अधिक विदेशी संरचना में रैखिक बीजगणित का उदाहरण है।

तुच्छ उदाहरण
एक अज्ञात में समीकरण की प्रणाली
 * $$2x = 4$$

समाधान है
 * $$x = 2.$$

हालाँकि, रेखीय प्रणाली को सामान्यतः कम से कम दो समीकरणों के रूप में माना जाता है।

सरल गैर तुच्छ उदाहरण
सरलतम प्रकार की गैर-तुच्छ रैखिक प्रणाली में दो समीकरण और दो चर सम्मिलित हैं:


 * $$\begin{alignat}{5}

2x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 6 & \\ 4x &&\; + \;&& 9y &&\; = \;&& 15&. \end{alignat}$$ ऐसी प्रणाली को हल करने की विधि इस प्रकार है। सबसे पहले, शीर्ष समीकरण को हल करें $$x$$ के अनुसार $$y$$:


 * $$x = 3 - \frac{3}{2}y.$$

अब प्रतिस्थापन (बीजगणित) $$x$$ के लिए इस अभिव्यक्ति को नीचे के समीकरण में:


 * $$4\left( 3 - \frac{3}{2}y \right) + 9y = 15.$$

इसका परिणाम एकल समीकरण में होता है जिसमें केवल चर $$y$$ सम्मिलित होता है, समाधान $$y = 1$$ देता है, और इसे वापस समीकरण में प्रतिस्थापित करने के लिए $$x$$ देता है $$x = 3/2$$ यह विधि अतिरिक्त चर वाले प्रणाली के लिए सामान्यीकरण करती है (नीचे चरों का विलोपन देखें, या प्राथमिक बीजगणित पर लेख।)

सामान्य रूप
n चर (गणित) और गुणांक वाले m रैखिक समीकरणों की सामान्य प्रणाली को इस रूप में प्रणाली लिखा जा सकता है
 * $$\begin{cases}

a_{11} x_1 + a_{12} x_2 +\dots + a_{1n} x_n + b_1 = 0 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \dots + a_{2n} x_n + b_2 = 0 \\ \vdots\\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \dots + a_{mn} x_n + b_m = 0, \end{cases}$$ जहाँ पे $$x_1, x_2,\dots,x_n$$ अज्ञात हैं, $$a_{11},a_{12},\dots,a_{mn}$$ प्रणाली के गुणांक ऐसे हैं कि $$a_{11} + a_{12} + \dots + a_{mn}\neq 0 $$, तथा $$b_1,b_2,\dots,b_m$$ स्थिर पद हैं।

अधिकांशतः गुणांक और अज्ञात वास्तविक संख्या या जटिल संख्याएं होती हैं, लेकिन पूर्णांक और परिमेय संख्याएं भी देखी जाती हैं, जैसे बहुपद और अमूर्त बीजगणितीय संरचना के तत्व हैं।

सदिश समीकरण
अत्यंत उपयोगी दृश्य यह है कि प्रत्येक अज्ञात रेखीय संयोजन में स्तंभ सदिश के लिए भार है।

x_1\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\ \vdots \\a_{m1}\end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix}a_{12}\\a_{22}\\ \vdots \\a_{m2}\end{bmatrix} + \dots + x_n\begin{bmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\ \vdots \\a_{mn}\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\ \vdots \\b_m\end{bmatrix} = 0 $$ यह सदिश समष्टि (या अधिक सामान्यतः, मॉड्यूल (गणित)) की सभी भाषा और सिद्धांत को जानने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, बाईं ओर सदिशों के सभी संभावित रैखिक संयोजनों के संग्रह को उनका विस्तार (रैखिक बीजगणित) कहा जाता है, और समीकरणों का समाधान ठीक तभी होता है जब दाएँ हाथ का सदिश उस विस्तार के भीतर होता है। यदि उस स्पैन के भीतर प्रत्येक सदिश में दिए गए बाएं हाथ वाले सदिश के रैखिक संयोजन के रूप में ठीक अभिव्यक्ति है, तो कोई भी समाधान अद्वितीय है। किसी भी घटना में, स्पैन में रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिश का आधार (रैखिक बीजगणित) होता है जो वास्तव में अभिव्यक्ति की गारंटी देता है; और उस आधार पर सदिशों की संख्या (इसका आयाम (रैखिक बीजगणित)) m या n से बड़ा नहीं हो सकता, लेकिन यह छोटा हो सकता है। यह महत्वपूर्ण है क्योंकि यदि हमारे पास m स्वतंत्र सदिश हैं तो समाधान की गारंटी दी जाती है, भले ही दाईं ओर कोई भी हो, और अन्यथा गारंटी नहीं है।

आव्यूह समीकरण
सदिश समीकरण फॉर्म के आव्यूह (गणित) समीकरण के बराबर है
 * $$A\mathbf{x}=\mathbf{b} $$

जहां A एक m×n आव्यूह है, 'x ' n प्रविष्टियों वाला कॉलम सदिश है, और 'b ' m प्रविष्टियों वाला कॉलम सदिश है।

A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix},\quad \mathbf{x}= \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix},\quad \mathbf{b}= \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix} $$ अवधि के आधार पर सदिशों की संख्या अब आव्यूह के कोटि (रैखिक बीजगणित) के रूप में व्यक्त की जाती है।

समाधान समुच्चय
रेखीय प्रणाली का समाधान चर के मानों का समनुदेशन है x1, x2, ..., xn जैसे कि प्रत्येक समीकरण संतुष्ट है। सभी संभव हलों के समुच्चय (गणित) को हल समुच्चय कहा जाता है।

रैखिक प्रणाली तीन संभावित तरीकों में से किसी एक में व्यवहार कर सकती है:
 * 1) प्रणाली में 'अपरिमित रूप से कई समाधान' हैं।
 * 2) प्रणाली में एक ही अद्वितीय समाधान है।
 * 3) प्रणाली के पास कोई समाधान नहीं है।

ज्यामितीय व्याख्या
दो चर (x और y) वाली प्रणाली के लिए, प्रत्येक रैखिक समीकरण xy-कार्टेशियन समन्वय प्रणाली पर रेखा (गणित) निर्धारित करता है। क्योंकि रेखीय प्रणाली के समाधान को सभी समीकरणों को संतुष्ट करना चाहिए, समाधान समुच्चय इन पंक्तियों का प्रतिच्छेदन (समुच्चय सिद्धांत) है, और इसलिए या तो एक रेखा, बिंदु या रिक्त समुच्चय है।

तीन चर के लिए, प्रत्येक रैखिक समीकरण त्रिविम समष्टि में द्वि-विम समष्टि (गणित) निर्धारित करता है, और समाधान समुच्चय इन समष्टि का प्रतिच्छेदन है। इस प्रकार समाधान समुच्चय समष्टि, रेखा, बिंदु या रिक्त समुच्चय हो सकता है। उदाहरण के लिए, चूंकि तीन समांतर समष्टि में उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है, इसलिए उनके समीकरणों का हल समुच्चय खाली है; एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करने वाले तीन समष्टि के समीकरणों का हल समुच्चय एकल बिंदु होता है; यदि तीन तल दो बिन्दुओं से होकर गुजरते हैं, तो उनके समीकरणों के कम से कम दो उभयनिष्ठ हल होते हैं; वास्तव में समाधान समुच्चय अनंत है और इन बिंदुओं से गुजरने वाली सभी रेखाओं में समाहित है।

n चरों के लिए, प्रत्येक रेखीय समीकरण n-आयामी समष्टि में अधिसमतल निर्धारित करता है। समाधान समुच्चय इन अधिसमतल का प्रतिच्छेदन है, और फ्लैट (ज्यामिति) है, जिसका कोई भी आयाम n से कम हो सकता है।

सामान्य व्यवहार
सामान्यतः, रैखिक प्रणाली का व्यवहार समीकरणों की संख्या और अज्ञात की संख्या के बीच के संबंध से निर्धारित होता है। यहाँ, सामान्यतः इसका मतलब है कि समीकरणों के गुणांकों के विशिष्ट मान के लिए अलग व्यवहार हो सकता है। पहले मामले में, समाधान समुच्चय का आयाम सामान्य रूप से बराबर होता है n &minus; m, जहाँ n चरों की संख्या है और m समीकरणों की संख्या है।
 * सामान्यतः, अज्ञात की तुलना में कम समीकरणों वाली प्रणाली के असीम रूप से कई समाधान होते हैं, लेकिन इसका कोई समाधान नहीं हो सकता है। इस तरह की प्रणाली को अनिर्धारित प्रणाली के रूप में जाना जाता है।
 * सामान्यतः, समीकरणों और अज्ञातों की समान संख्या वाली प्रणाली का अनूठा समाधान होता है।
 * सामान्यतः, अज्ञात से अधिक समीकरणों वाली प्रणाली का कोई समाधान नहीं होता है। ऐसी प्रणाली को अतिनिर्धारित प्रणाली के रूप में भी जाना जाता है।

निम्नलिखित चित्र दो चरों के मामले में इस त्रिभाजन को दर्शाते हैं:
 * {| border=0 cellpadding=5

पहली प्रणाली में असीमित रूप से कई समाधान हैं, अर्थात् नीली रेखा पर सभी बिंदु हैं। दूसरी प्रणाली का अनूठा समाधान है, अर्थात् दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन हैं। तीसरी प्रणाली का कोई समाधान नहीं है, क्योंकि तीन रेखाएँ कोई सामान्य बिंदु साझा नहीं करती हैं।
 * width="150" align="center" | [[Image:One Line.svg|120px]]
 * width="150" align="center" | [[Image:Two Lines.svg|120px]]
 * width="150" align="center" | [[Image:Three Lines.svg|120px]]
 * align="center"|एक समीकरण
 * align="center"|दो समीकरण
 * align="center"|तीन समीकरण
 * }
 * align="center"|तीन समीकरण
 * }

यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि ऊपर दी गई तस्वीरें केवल सबसे सामान्य मामला (सामान्य मामला) दिखाती हैं। यह संभव है कि दो समीकरणों और दो अज्ञातों की प्रणाली का कोई समाधान न हो (यदि दो रेखाएं समानांतर हैं), या तीन समीकरणों की प्रणाली और दो अज्ञात हल करने योग्य हैं (यदि तीन रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं)।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली सामान्य मामले से अलग व्यवहार करती है यदि समीकरण रैखिक स्वतंत्रता हैं, या यदि यह संगतता है और इसमें अज्ञात से अधिक समीकरण नहीं हैं।

स्वतंत्रता
रेखीय प्रणाली के समीकरण स्वतंत्र होते हैं यदि कोई भी समीकरण बीजगणितीय रूप से दूसरों से प्राप्त नहीं किया जा सकता है। जब समीकरण स्वतंत्र होते हैं, तो प्रत्येक समीकरण में चरों के बारे में नई जानकारी होती है, और किसी भी समीकरण को हटाने से समाधान समुच्चय का आकार बढ़ जाता है। रैखिक समीकरणों के लिए, तार्किक स्वतंत्रता वही है जो रैखिक स्वतंत्रता है।

उदाहरण के लिए, समीकरण
 * $$3x+2y=6\;\;\;\;\text{and}\;\;\;\;6x+4y=12$$

स्वतंत्र नहीं हैं - दो के कारक द्वारा मापक्रम किए जाने पर वे समान समीकरण होते हैं, और वे समान ग्राफ़ उत्पन्न करते हैं। यह रैखिक समीकरणों की प्रणाली में समानता का उदाहरण है।

अधिक जटिल उदाहरण के लिए, समीकरण
 * $$\begin{alignat}{5}

x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& -1 & \\ 3x &&\; + \;&& 5y &&\; = \;&& 8 & \\ 4x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 7 & \end{alignat}$$ स्वतंत्र नहीं हैं, क्योंकि तीसरा समीकरण अन्य दो का योग है। वास्तव में, इन समीकरणों में से कोई भी अन्य दो से प्राप्त किया जा सकता है, और समाधान समुच्चय को प्रभावित किए बिना समीकरणों में से किसी एक को हटाया जा सकता है। इन समीकरणों के ग्राफ़ तीन रेखाएँ हैं जो एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

संगत
रैखिक प्रणाली असंगत है यदि इसका कोई हल नहीं है, और अन्यथा इसे सुसंगत कहा जाता है। जब प्रणाली असंगत होती है, तो समीकरणों से एक विरोधाभास प्राप्त करना संभव होता है, जिसे हमेशा बयान के रूप में फिर से लिखा जा सकता है 1.

उदाहरण के लिए, समीकरण
 * $$3x+2y=6\;\;\;\;\text{and}\;\;\;\;3x+2y=12$$

असंगत हैं। वास्तव में, पहले समीकरण को दूसरे से घटाकर और परिणाम के दोनों पक्षों को 1/6 से गुणा करके, हम 1 प्राप्त करते हैं, xy-प्लेन पर इन समीकरणों के ग्राफ़ समानांतर (ज्यामिति) रेखाओं की जोड़ी हैं।

तीन रैखिक समीकरणों का असंगत होना संभव है, भले ही उनमें से कोई दो संगत होते है । उदाहरण के लिए, समीकरण
 * $$\begin{alignat}{7}

x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 & \\ 2x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 & \\ 3x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 3 & \end{alignat}$$ असंगत हैं। पहले दो समीकरणों को एक साथ जोड़ने पर 3x + 2y = 2 प्राप्त होता है, जिसे तीसरे समीकरण से उपज के लिए 1 घटाया जा सकता है, इनमें से किन्हीं दो समीकरणों का उभयनिष्ठ हल है। एक ही घटना किसी भी संख्या के समीकरणों के लिए हो सकती है।

सामान्यतः, विसंगतियां तब होती हैं जब प्रणाली में समीकरणों के बाएं हाथ के पक्ष रैखिक रूप से निर्भर होते हैं, और निरंतर शर्तें निर्भरता संबंध को संतुष्ट नहीं करती हैं। समीकरणों की प्रणाली जिसके बाएँ हाथ के पक्ष रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं, हमेशा संगत होता है।

इसे दूसरे तरीके से रखते हुए, रोचे-कैपेली प्रमेय के अनुसार, समीकरणों की कोई भी प्रणाली (अतिनिर्धारित या अन्यथा) असंगत है यदि संवर्धित आव्यूह का कोटि (रैखिक बीजगणित) गुणांक आव्यूह के कोटि से अधिक है। यदि, दूसरी ओर, इन दो आव्यूहों की कोटि समान हैं, तो तंत्र में कम से कम एक हल होना चाहिए। समाधान अद्वितीय है यदि और केवल यदि कोटि चर की संख्या के बराबर है। अन्यथा सामान्य समाधान में k मुक्त पैरामीटर हैं जहाँ k चर और कोटि की संख्या के बीच का अंतर है; इसलिए ऐसे मामले में अनंत समाधान होते हैं। समीकरणों की प्रणाली का कोटि (अर्थात संवर्धित आव्यूह का कोटि) कभी भी [चरों की संख्या] + 1 से अधिक नहीं हो सकता है, जिसका अर्थ है कि किसी भी संख्या में समीकरणों वाली प्रणाली को हमेशा एक प्रणाली में घटाया जा सकता है स्वतंत्र समीकरण की संख्या जो अधिक से अधिक [चरों की संख्या] + 1 के बराबर है।

समानता
चर के समान समुच्चय का उपयोग करने वाली दो रैखिक प्रणालियाँ समतुल्य हैं यदि दूसरी प्रणाली में प्रत्येक समीकरण को पहली प्रणाली में समीकरणों से बीजगणितीय रूप से प्राप्त किया जा सकता है, और इसके विपरीत किया जा सकता है। दो प्रणालियाँ समतुल्य हैं यदि या तो दोनों असंगत हैं या उनमें से प्रत्येक का प्रत्येक समीकरण दूसरे के समीकरणों का रैखिक संयोजन है। यह इस प्रकार है कि दो रैखिक प्रणालियां समतुल्य हैं यदि और केवल यदि उनके पास एक ही समाधान समुच्चय है।

रैखिक प्रणाली को हल करना
रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए कई कलन विधि हैं।

समाधान का वर्णन
जब समाधान समुच्चय परिमित होता है, तो इसे तत्व में घटा दिया जाता है। इस मामले में, अद्वितीय समाधान को समीकरणों के अनुक्रम द्वारा वर्णित किया गया है, जिनके बाएँ हाथ के पक्ष अज्ञात के नाम हैं और दाएँ हाथ के पक्ष संबंधित मान हैं, उदाहरण के लिए $$(x=3, \;y=-2,\; z=6)$$, जब अज्ञात पर क्रम तय किया गया है, उदाहरण के लिए वर्णानुक्रमिक क्रम समाधान को मानों के सदिश समष्टि के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जैसे $$(3, \,-2,\, 6)$$ पिछले उदाहरण के लिए था।

अनंत संख्या में समाधानों के साथ समुच्चय का वर्णन करने के लिए, सामान्यतः कुछ चर को मुक्त (या स्वतंत्र, या पैरामीटर के रूप में) के रूप में नामित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि उन्हें कोई भी मान लेने की अनुमति है, जबकि शेष चर के मान मुक्त चर पर निर्भर हैं।

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित प्रणाली पर विचार करें:
 * $$\begin{alignat}{7}

x &&\; + \;&& 3y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 5 & \\ 3x &&\; + \;&& 5y &&\; + \;&& 6z &&\; = \;&& 7 & \end{alignat}$$ इस प्रणाली के समाधान को निम्नलिखित समीकरणों द्वारा वर्णित किया जा सकता है:
 * $$x=-7z-1\;\;\;\;\text{and}\;\;\;\;y=3z+2\text{.}$$

यहाँ z मुक्त चर है, जबकि x और y z पर निर्भर हैं। समाधान समुच्चय में कोई भी बिंदु पहले z के लिए मान चुनकर प्राप्त किया जा सकता है, और फिर x और y के लिए संगत मानों की गणना करके प्राप्त किया जा सकता है।

प्रत्येक मुक्त चर समाधान समष्टि को स्वतंत्र की एक डिग्री (सांख्यिकी) देता है, जिसकी संख्या समाधान समुच्चय के आयाम के बराबर होती है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त समीकरण के लिए समाधान समुच्चय एक रेखा है, क्योंकि पैरामीटर z के मान को निर्दिष्ट करके समाधान समुच्चय में एक बिंदु चुना जा सकता है। उच्च क्रम का अनंत समाधान एकद्वि-विम समष्टि या उच्च-आयामी समुच्चय का वर्णन कर सकता है।

मुक्त चर के लिए अलग-अलग विकल्प एक ही समाधान समुच्चय के अलग-अलग विवरण का कारण बन सकते हैं। उदाहरण के लिए, उपरोक्त समीकरणों के समाधान को वैकल्पिक रूप से निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है:
 * $$y=-\frac{3}{7}x + \frac{11}{7}\;\;\;\;\text{and}\;\;\;\;z=-\frac{1}{7}x-\frac{1}{7}\text{.}$$

यहाँ x मुक्त चर है, और y और z आश्रित हैं।

चर का उन्मूलन
रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने का सबसे सरल तरीका चरों को बार-बार हटाना है। इस विधि का वर्णन इस प्रकार किया जा सकता है:
 * 1) पहले समीकरण में, एक चर के लिए दूसरों के संदर्भ में हल करें।
 * 2) इस व्यंजक को शेष समीकरणों में प्रतिस्थापित करें। यह एक कम समीकरण और अज्ञात के साथ समीकरणों की प्रणाली उत्पन्न करता है।
 * 3) चरण 1 और 2 को तब तक दोहराएं जब तक कि प्रणाली एक रैखिक समीकरण में कम न हो जाए।
 * 4) इस समीकरण को हल करें, और तब तक पिछला-विकल्प करें जब तक कि संपूर्ण समाधान न मिल जाए।

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित प्रणाली पर विचार करें:
 * $$\begin{cases}

x+3y-2z=5\\ 3x+5y+6z=7\\ 2x+4y+3z=8 \end{cases}$$ x के लिए पहला समीकरण हल x = 5 + 2z - 3y देता है, और इसे दूसरे और तीसरे समीकरण में लगाने से प्राप्त होता है
 * $$\begin{cases}

y=3z+2\\ y=\tfrac{7}{2}z+1 \end{cases}$$ चूँकि इन दोनों समीकरणों का एलएचएस बराबर y है, जो समीकरणों के आरएचएस को बराबर करता है। अब हमारे पास है:
 * $$\begin{align}

3z+2=\tfrac{7}{2}z+1\\ \Rightarrow z=2 \end{align} $$ दूसरे या तीसरे समीकरण में z = 2 को प्रतिस्थापित करने पर y = 8 प्राप्त होता है, और पहले समीकरण में y और z के मान x = -15 प्राप्त होते हैं। इसलिए, समाधान समुच्चय $$(x,y,z)=(-15,8,2) $$ आदेशित ट्रिपल है।

पंक्ति में कमी
पंक्ति में कमी (गाऊसी उन्मूलन के रूप में भी जाना जाता है) में, रैखिक प्रणाली को संवर्धित आव्यूह के रूप में दर्शाया गया है:
 * $$\left[\begin{array}{rrr|r}

1 & 3 & -2 & 5 \\ 3 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 4 & 3 & 8 \end{array}\right]\text{.} $$ इस आव्यूह को तब तक प्राथमिक पंक्ति संचालन का उपयोग करके संशोधित किया जाता है जब तक कि यह कम पंक्ति सोपानक रूप तक नहीं पहुंच जाता हैं। तीन प्रकार के प्राथमिक पंक्ति संचालन हैं:
 * टाइप 1: दो पंक्तियों की स्थिति बदलें।
 * टाइप 2: एक पंक्ति को गैर-शून्य अदिश (गणित) से गुणा करें।
 * प्रकार 3: एक पंक्ति में दूसरे का अदिश गुणक जोड़ें।

क्योंकि ये ऑपरेशन प्रतिवर्ती हैं, उत्पादित संवर्धित आव्यूह हमेशा रैखिक प्रणाली का प्रतिनिधित्व करता है जो मूल के बराबर होता है।

संवर्धित आव्यूह को पंक्ति-कम करने के लिए कई विशिष्ट कलन विधि हैं, जिनमें से सबसे सरल गॉसियन उन्मूलन और गॉस-जॉर्डन उन्मूलन हैं। निम्नलिखित संगणना उपरोक्त आव्यूह पर लागू गॉस-जॉर्डन उन्मूलन को दर्शाती है:
 * $$\begin{align}\left[\begin{array}{rrr|r}

1 & 3 & -2 & 5 \\ 3 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 4 & 3 & 8 \end{array}\right]&\sim \left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & -2 & 5 \\ 0 & -4 & 12 & -8 \\ 2 & 4 & 3 & 8 \end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & -2 & 5 \\ 0 & -4 & 12 & -8 \\ 0 & -2 & 7 & -2 \end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & -2 & 5 \\ 0 & 1 & -3 & 2 \\ 0 & -2 & 7 & -2 \end{array}\right] \\ &\sim \left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & -2 & 5 \\ 0 & 1 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & -2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 0 & 9 \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & -15 \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right].\end{align}$$ अंतिम आव्यूह कम पंक्ति सोपानक रूप में है, और प्रणाली, , का प्रतिनिधित्व करता है चरों के बीजगणितीय विलोपन पर पिछले खंड में उदाहरण के साथ तुलना से पता चलता है कि ये दो विधियां वास्तव में समान हैं; अंतर यह है कि गणना कैसे लिखी जाती है।

क्रैमर-नियम
क्रैमर-नियम दो निर्धारकों के भागफल द्वारा दिए गए प्रत्येक चर के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणाली के समाधान के लिए स्पष्ट सूत्र है। उदाहरण के लिए, प्रणाली का समाधान
 * $$\begin{alignat}{7}

x &\; + &\; 3y &\; - &\; 2z &\; = &\; 5 \\ 3x &\; + &\; 5y &\; + &\; 6z &\; = &\; 7 \\ 2x &\; + &\; 4y &\; + &\; 3z &\; = &\; 8 \end{alignat}$$ द्वारा दिया गया है

x=\frac {\, \begin{vmatrix}5&3&-2\\7&5&6\\8&4&3\end{vmatrix} \,} {\, \begin{vmatrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{vmatrix} \,} ,\;\;\;\; y=\frac {\, \begin{vmatrix}1&5&-2\\3&7&6\\2&8&3\end{vmatrix} \,} {\, \begin{vmatrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{vmatrix} \,} ,\;\;\;\; z=\frac {\, \begin{vmatrix}1&3&5\\3&5&7\\2&4&8\end{vmatrix} \,} {\, \begin{vmatrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{vmatrix} \,}. $$ प्रत्येक चर के लिए, भाजक गुणांक के आव्यूह का निर्धारक होता है, जबकि अंश आव्यूह का निर्धारक होता है जिसमें स्तंभ को निरंतर शर्तों के सदिश द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

यद्यपि क्रैमर-नियम सैद्धांतिक रूप से महत्वपूर्ण है, बड़े आव्यूहों के लिए इसका बहुत कम व्यावहारिक मान है, क्योंकि बड़े निर्धारकों की गणना कुछ बोझिल है। (वास्तव में, बड़े निर्धारकों को पंक्ति में कमी का उपयोग करके सबसे आसानी से गणना की जाती है।) इसके अतिरिक्त, क्रैमर के नियम में बहुत कम संख्यात्मक गुण होते हैं, जो इसे छोटी प्रणालियों को मज़बूती से हल करने के लिए अनुपयुक्त बनाता है, जब तक कि संचालन असीमित सटीकता के साथ तर्कसंगत अंकगणित में नहीं किया जाता है।

आव्यूह समाधान
यदि समीकरण प्रणाली आव्यूह रूप $$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$$ में व्यक्त की जाती है, संपूर्ण समाधान समुच्चय को आव्यूह रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। यदि आव्यूह A वर्गाकार है (इसमें m पंक्तियाँ और n = m स्तंभ हैं) और इसकी पूर्ण कोटि है (सभी m पंक्तियाँ स्वतंत्र हैं), तो प्रणाली द्वारा दिया गया अनूठा समाधान है


 * $$\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$$

जहाँ पे $$A^{-1}$$, A का आव्यूह व्युत्क्रम है। अधिक सामान्यतः, भले ही m=n या नहीं और A के कोटि की परवाह किए बिना, सभी समाधान (यदि कोई सम्मिलित हैं) A के मूर-पेनरोज़ व्युत्क्रम का उपयोग करके दिए गए हैं, निरूपित $$A^+$$, निम्नलिखित नुसार:


 * $$\mathbf{x}=A^+ \mathbf{b} + \left(I - A^+ A\right)\mathbf{w}$$

जहाँ पे $$\mathbf{w}$$ मुक्त मापदंडों का सदिश है जो सभी संभव n × 1 सदिश की सीमा में है। किसी भी समाधान के अस्तित्व के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि संभावित समाधान $$\mathbf{w}=\mathbf{0}$$ का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है संतुष्ट करता है $$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$$ - वह $$AA^+ \mathbf{b}=\mathbf{b}.$$ है, यदि यह स्थिति लागू नहीं होती है, तो समीकरण प्रणाली असंगत है और इसका कोई हल नहीं है। यदि स्थिति बनी रहती है, तो प्रणाली सुसंगत है और कम से कम एक समाधान सम्मिलित है। उदाहरण के लिए, उपर्युक्त मामले में जिसमें A वर्गाकार है और पूर्ण कोटि का है, $$A^+$$ बस बराबर है $$A^{-1}$$ और सामान्य समाधान समीकरण को सरल करता है
 * $$\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b} + \left(I - A^{-1}A\right)\mathbf{w} = A^{-1}\mathbf{b} + \left(I-I\right)\mathbf{w} = A^{-1}\mathbf{b}$$

जैसा कि पहले कहा गया है, जहां $$\mathbf{w}$$ पूरी तरह से समाधान से बाहर हो गया है, केवल एक ही समाधान बचा है। चूंकि अन्य मामलों में, $$\mathbf{w}$$ बनी हुई है और इसलिए मुक्त पैरामीटर सदिश के संभावित मानों की अनंतता है $$\mathbf{w}$$ समीकरण के समाधान की अनंतता देता है।

अन्य तरीके
जबकि तीन या चार समीकरणों की प्रणालियों को आसानी से हाथ से हल किया जा सकता है (क्रेकोवियन देखें), कंप्यूटर अधिकांशतः बड़ी प्रणालियों के लिए उपयोग किए जाते हैं। रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए मानक कलन विधि कुछ संशोधनों के साथ गॉसियन विलोपन पर आधारित है। सबसे पहले, छोटी संख्याओं से विभाजन से बचना आवश्यक है, जिससे गलत परिणाम हो सकते हैं। यह आवश्यक होने पर समीकरणों को पुनर्क्रमित करके किया जा सकता है, एक प्रक्रिया जिसे धुरी तत्व के रूप में जाना जाता है। दूसरे, कलन विधि वास्तव में गॉसियन उन्मूलन नहीं करता है, लेकिन यह आव्यूह A के एलयू अपघटन की गणना करता है। यह ज्यादातर संगठनात्मक उपकरण है, लेकिन यह बहुत तेज है यदि किसी को एक ही आव्यूह A के साथ लेकिन विभिन्न सदिश ' b ' कई प्रणालियों को हल करना है ।

यदि आव्यूह A में कुछ विशेष संरचना है, तो इसका उपयोग तेज या अधिक सटीक कलन विधि प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सममित आव्यूह धनात्मक निश्चित आव्यूह वाले प्रणाली को चॉल्स्की अपघटन के साथ दोगुनी तेजी से हल किया जा सकता है। लेविंसन पुनरावर्तन टोएपलित्ज़ आव्यूह के लिए तेज़ तरीका है। कई शून्य तत्वों (तथाकथित विरल आव्यूह) के साथ आव्यूह के लिए भी विशेष तरीके सम्मिलित हैं, जो अधिकांशतः अनुप्रयोगों में दिखाई देते हैं।

बहुत बड़ी प्रणालियों के लिए अधिकांशतः पूरी तरह से अलग दृष्टिकोण लिया जाता है, जो अन्यथा बहुत अधिक समय या स्मृति लेता है। विचार यह है कि समाधान के प्रारंभिक सन्निकटन के साथ शुरू किया जाए (जिसका बिल्कुल भी सटीक होना जरूरी नहीं है), और इस सन्निकटन को कई चरणों में बदलकर इसे वास्तविक समाधान के करीब लाना है। एक बार सन्निकटन पर्याप्त रूप से सटीक होने के बाद, इसे प्रणाली का समाधान माना जाता है। यह पुनरावृत्ति विधियों के वर्ग की ओर जाता है। कुछ विरल आव्यूह के लिए, यादृच्छिकता की प्रारंभिक पुनरावृत्त विधियों की गति में सुधार करती है।

समीकरणों की रैखिक प्रणालियों के लिए क्वांटम कलन विधि भी है।

सजातीय प्रणाली
रैखिक समीकरणों की प्रणाली सजातीय है यदि सभी स्थिर शब्द शून्य हैं:
 * $$\begin{alignat}{7}

a_{11} x_1 &&\; + \;&& a_{12} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{1n} x_n &&\; = \;&&& 0 \\ a_{21} x_1 &&\; + \;&& a_{22} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{2n} x_n &&\; = \;&&& 0 \\ &&      &&            &&              &&  &&   \vdots\;\  &&&  \\ a_{m1} x_1 &&\; + \;&& a_{m2} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{mn} x_n &&\; = \;&&& 0. \\ \end{alignat}$$ सजातीय प्रणाली फॉर्म के आव्यूह समीकरण के बराबर है
 * $$A\mathbf{x}=\mathbf{0}$$

जहां A, m × n आव्यूह है, x, n प्रविष्टियों वाला कॉलम सदिश है, और 0, m प्रविष्टियों वाला शून्य सदिश है।

सजातीय समाधान समुच्चय
प्रत्येक सजातीय प्रणाली में कम से कम एक समाधान होता है, जिसे शून्य (या तुच्छ) समाधान के रूप में जाना जाता है, जो प्रत्येक चर के लिए शून्य का मान निर्दिष्ट करके प्राप्त किया जाता है। यदि प्रणाली में व्‍युत्‍क्रमणीय आव्यूह ($det(A) ≠ 0$) है तो यह भी एकमात्र समाधान है। यदि प्रणाली में विलक्षण आव्यूह है तो अनंत संख्या में समाधानों के साथ समाधान समुच्चय है। इस समाधान समुच्चय में निम्नलिखित अतिरिक्त गुण हैं: ये वास्तव में Rn के यूक्लिडियन उप-समूह होने के लिए समाधान समुच्चय के लिए आवश्यक गुण हैं, विशेष रूप से, सजातीय प्रणाली के लिए समुच्चय समाधान संबंधित आव्यूह A के कर्नेल (आव्यूह) के समान होता है। सजातीय प्रणाली के लिए संख्यात्मक समाधान विलक्षण मान अपघटन के साथ पाया जा सकता है सजातीय रैखिक समीकरणों को हल करना है।
 * 1) यदि u और v सजातीय प्रणाली के समाधान का प्रतिनिधित्व करने वाले दो सदिश (गणित) हैं, तो सदिश योग u + v व्यवस्था का समाधान भी है।
 * 2) यदि u सदिश है जो सजातीय प्रणाली के समाधान का प्रतिनिधित्व करता है, और r कोई अदिश (गणित) है, तो ru भी प्रणाली का एक समाधान है।

गैर-सजातीय प्रणालियों से संबंध
रेखीय प्रणाली के समाधान और संबंधित सजातीय प्रणाली के समाधान के बीच घनिष्ठ संबंध है:
 * $$A\mathbf{x}=\mathbf{b}\qquad \text{and}\qquad A\mathbf{x}=\mathbf{0}.$$

विशेष रूप से, यदि p रैखिक प्रणाली का कोई विशिष्ट समाधान Ax = b है, तो पूरे समाधान समुच्चय को इस रूप में वर्णित किया जा सकता है
 * $$\left\{ \mathbf{p}+\mathbf{v} : \mathbf{v}\text{ is any solution to }A\mathbf{x}=\mathbf{0} \right\}.$$

ज्यामितीय रूप से, यह कहता है कि समाधान के लिए निर्धारित है Ax = b के लिए निर्धारित समाधान Ax = 0 का स्थानांतरण (ज्यामिति) है, विशेष रूप से, पहली प्रणाली के लिए फ्लैट (ज्यामिति) सदिश p द्वारा सजातीय प्रणाली के लिए यूक्लिडियन उप-समष्टि का स्थानांतरण करके प्राप्त किया जा सकता है।

यह तर्क केवल तभी लागू होता है जब प्रणाली Ax = b कम से कम एक समाधान है। यह तब होता है जब सदिश b रैखिक परिवर्तन A की  प्रक्षेपण (गणित) में निहित होता है।

यह भी देखें
• Arrangement of hyperplanes

• Iterative refinement

• Coates graph

• LAPACK (the free standard package to solve linear equations numerically; available in Fortran, C, C++)

• Linear equation over a ring

• Linear least squares

• Matrix decomposition

• Matrix splitting

• NAG Numerical Library (NAG Library versions of LAPACK solvers)

• Rybicki Press algorithm

• Simultaneous equations

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