वीक ऑपरेटर टोपोलॉजी

कार्यात्मक विश्लेषण में वीक ऑपरेटर टोपोलॉजी, अधिकांशतः संक्षिप्त डब्लूओटी हिल्बर्ट स्पेस पर परिबद्ध प्रचालकों के समूह की सबसे वीक टोपोलॉजी है। $$H$$, जैसे कि हिल्बर्ट स्पेस में किसी भी सदिश $$x$$ और $$y$$ के लिए जटिल संख्या $$\langle Tx, y\rangle$$ में एक ऑपरेटर $$T$$ भेजने वाला कार्यात्मक (गणित) निरंतर है।

स्पष्ट रूप से, एक ऑपरेटर $$T$$ के लिए निम्न प्रकार के प्रतिवेश का आधार है: एक ही परिमित समूह $$I$$ द्वारा अनुक्रमित सदिश $$x_i$$, निरंतर कार्यात्मक $$y_i$$, और सकारात्मक वास्तविक स्थिरांक $$\varepsilon_i$$ की एक परिमित संख्या चुनी गयी है। यदि और सिर्फ यदि $$| y_i(T(x_i) - S(x_i))| < \varepsilon_i$$ सभी $$i \in I$$ के लिए, एक ऑपरेटर $$S$$ प्रतिवेश में स्थित है।

समतुल्य रूप से, बाध्य ऑपरेटरों का शुद्ध $$T_i \subseteq B(H)$$ डब्लूओटी में $$T \in B(H)$$ में परिवर्तित हो जाता है यदि सभी $$ y \in H^*$$ और $$x \in H$$ के लिए, $$y(T_i x)$$ जाल, $$ y(T x)$$ में परिवर्तित हो जाता है।

$$B(H)$$ पर अन्य टोपोलॉजी के साथ संबंध
हिल्बर्ट स्पेस $$H$$ पर बंधे हुए ऑपरेटर, डब्लूओटी $$B(H)$$ पर सभी सामान्य टोपोलॉजी में सबसे वीक है।

मजबूत ऑपरेटर टोपोलॉजी
$$B(H)$$ पर मजबूत ऑपरेटर टोपोलॉजी, या एसओटी, बिंदुवार अभिसरण की टोपोलॉजी है, क्योंकि आंतरिक उत्पाद एक सतत कार्य है, एसओटी डब्ल्यूओटी से अधिक मजबूत है। निम्नलिखित उदाहरण से पता चलता है कि यह समावेश सख्त है। मान लीजिए $$H = \ell^2(\mathbb N)$$ और एकतरफा पारियों के अनुक्रम $$\{T^n\}$$ पर विचार करें, $$T^n \to 0$$ डब्ल्यूओटी में कौशी-श्वार्ज़ के एक प्रयोग से यह पता चलता है। एसओटी में $$0$$ लेकिन स्पष्ट रूप से $$T^n$$ अभिसरण नहीं करता है।

मजबूत ऑपरेटर टोपोलॉजी में निरंतर हिल्बर्ट स्पेस पर बंधे ऑपरेटरों के समूह पर रैखिक कार्यात्मक ठीक वही हैं जो डब्ल्यूओटी में निरंतर हैं (वास्तव में, डब्ल्यूओटी सबसे वीक ऑपरेटर टोपोलॉजी है, हिल्बर्ट स्पेस एच पर बंधे ऑपरेटरों के समूह $$B(H)$$ जो निरंतर सभी दृढ़ता से निरंतर रैखिक कार्यात्मक छोड़ देता है। इस तथ्य के कारण, डब्लूओटी में ऑपरेटरों के एक उत्तल समूह का बंद होना, एसओटी में उस समूह के बंद होने के समान है।

यह ध्रुवीकरण पहचान के अनुसार होता है कि यदि और सिर्फ यदि $$T_\alpha^* T_\alpha \to 0$$ डब्लूओटी में एक शुद्ध $$\{T_\alpha\}$$ एसओटी में $$0$$ में अभिसरण करता है।

वीक-स्टार ऑपरेटर टोपोलॉजी
$$B(H)$$ का पूर्ववर्ती ट्रेस क्लास ऑपरेटर्स C1(H) है, और यह $$B(H)$$ पर w* -टोपोलॉजी उत्पन्न करता है, जिसे वीक-स्टार ऑपरेटर टोपोलॉजी या σ-वीक टोपोलॉजी कहा जाता है। वीक-ऑपरेटर और σ-वीक टोपोलॉजी $$B(H)$$ में मानदंड-बद्ध समूह पर सहमत हैं।

एक शुद्ध {Tα} ⊂ $$B(H)$$ डब्लूओटी में T में परिवर्तित होता है यदि और सिर्फ Tr(TαF) सभी परिमित-रैंक ऑपरेटर F के लिए Tr(TF) में परिवर्तित होता है। चूंकि प्रत्येक परिमित-रैंक ऑपरेटर ट्रेस-क्लास है, इसका तात्पर्य है कि डब्लूओटी σ-वीक टोपोलॉजी से वीक है। यह देखने के लिए कि प्रमाणित सत्य क्यों है, याद रखें कि प्रत्येक परिमित-रैंक ऑपरेटर F एक परिमित योग है


 * $$ F = \sum_{i=1}^n \lambda_i u_i v_i^*.$$

तो {Tα} डब्लूओटी में T में परिवर्तित हो जाता है


 * $$ \text{Tr} \left ( T_{\alpha} F \right ) =  \sum_{i=1}^n \lambda_i v_i^* \left ( T_{\alpha} u_i \right ) \longrightarrow \sum_{i=1}^n \lambda_i v_i^* \left ( T u_i \right ) = \text{Tr} (TF).$$

थोड़ा विस्तार करते हुए, कोई कह सकता है कि वीक-संचालक और σ-वीक टोपोलॉजी $$B(H)$$ में मानक-बद्ध समूह पर सहमत हैं: प्रत्येक ट्रेस-क्लास ऑपरेटर का रूप है


 * $$ S = \sum_i \lambda_i u_i v_i^*,$$

जहाँ श्रृंखला $$\sum\nolimits_i \lambda_i$$ अभिसरित होती है। मान लीजिए $$\sup\nolimits_{\alpha} \|T_{\alpha} \| = k < \infty,$$ और $$T_{\alpha} \to T$$ डब्लूओटी में हर ट्रेस-क्लास S के लिए,


 * $$ \text{Tr} \left ( T_{\alpha} S \right ) =  \sum_i \lambda_i v_i^* \left ( T_{\alpha} u_i \right ) \longrightarrow \sum_i \lambda_i v_i^* \left ( T u_i \right ) = \text{Tr} (TS),$$

उदाहरण के लिए, वर्चस्व वाले अभिसरण प्रमेय का आह्वान करते है।

इसलिए बानाच-अलाग्लु प्रमेय द्वारा डब्लूओटी में प्रत्येक मानदंड-बद्ध सेट कॉम्पैक्ट है।

अन्य गुण
आसन्न ऑपरेशन T → T*, इसकी परिभाषा के तत्काल परिणाम के रूप में, डब्लूओटी में निरंतर है।

गुणन डब्लूओटी में संयुक्त रूप से निरंतर नहीं है: फिर से $$T$$ को एकतरफा बदलाव होने दें कॉची-श्वार्ज़ से अपील करते हुए, एक ने कहा कि $$Tn$$ और $$T*n$$ दोनों डब्लूओटी में 0 में परिवर्तित हो जाते हैं, लेकिन $$T*nTn$$ सभी $$n$$ के लिए आइडेंटिटी ऑपरेटर है। (क्योंकि डब्लूओटी बंधे हुए समूह पर σ-वीक टोपोलॉजी के साथ मेल खाता है, गुणन σ-वीक टोपोलॉजी में संयुक्त रूप से निरंतर नहीं है।)

चूंकि, एक वीक प्रमाणित किया जा सकता है: यदि डब्लूओटी में एक शुद्ध Ti → T, तो डब्लूओटी में STi → ST और TiS → TS, गुणा भिन्न से निरंतर है।

B(X,Y) पर एसओटी और डब्लूओटी जब X और Y आदर्श स्थान हैं
हम एसओटी और डब्ल्यूओटी की परिभाषाओं को और अधिक सामान्य सेटिंग तक बढ़ा सकते हैं जहां X और Y मानक स्थान हैं और $$B(X,Y)$$ प्रपत्र के सीमित रैखिक ऑपरेटरों $$T:X\to Y$$ का स्थान है, इस स्थितिे में, प्रत्येक जोड़ी $$x\in X$$ और $$y^*\in Y^*$$ नियम $$\|\cdot\|_{x,y^*}$$ के माध्यम से $$B(X,Y)$$ पर एक सेमीनॉर्मा $$\|T\|_{x,y^*}=|y^*(Tx)|$$ परिभाषित करती है। सेमीनॉर्म्स का परिणामी परिवार $$B(X,Y)$$ पर वीक ऑपरेटर टोपोलॉजी उत्पन्न करता है। समान रूप से, $$B(X,Y)$$ पर डब्लूओटी फॉर्म के उन समूहों को आधार (टोपोलॉजी) मानकर बनाया जाता है


 * $$N(T,F,\Lambda,\epsilon):= \left \{S\in B(X,Y): \left |y^*((S-T)x) \right |<\epsilon,x\in F,y^*\in\Lambda \right \},$$

जहां $$T\in B(X,Y), F\subseteq X$$ एक सीमित समूह है और $$\epsilon>0$$, $$\Lambda\subseteq Y^*$$ भी एक सीमित समूह है, स्पेस $$B(X,Y)$$ एक स्थानीय रूप से उत्तल स्थलीय सदिश स्पेस है जब डब्ल्यूओटी के साथ संपन्न होता है।

नियमों के माध्यम से $$\|T\|_x=\|Tx\|$$, $$B(X,Y)$$ पर मजबूत ऑपरेटर टोपोलॉजी सेमीनॉर्म्स के परिवार द्वारा उत्पन्न होती है, $$\|\cdot\|_x, x\in X,$$ इस प्रकार, एसओटी के लिए एक सांस्थितिकीय आधार फॉर्म के ओपन प्रतिवेश द्वारा दिया जाता है


 * $$N(T,F,\epsilon):=\{S\in B(X,Y):\|(S-T)x\|<\epsilon,x\in F\},$$ जहां पहले का प्रकार $$T\in B(X,Y), F\subseteq X$$ एक परिमित समूह है, और $$\epsilon>0.$$

B(X,Y) पर विभिन्न टोपोलॉजी के बीच संबंध
विभिन्न टोपोलॉजी के लिए भिन्न-भिन्न शब्दावली $$B(X,Y)$$ कभी-कभी भ्रमित हो सकती है। उदाहरण के लिए, एक मानक स्थान में सदिश के लिए मजबूत अभिसरण कभी-कभी मानदंड-अभिसरण को संदर्भित करता है, जो एसओटी-अभिसरण की तुलना में अधिकांशतः भिन्न (और इससे अधिक मजबूत) होता है जब प्रश्न में $$B(X,Y)$$ मानक स्थान होता है, एक आदर्श स्थान पर वीक टोपोलॉजी $$X$$ सबसे मोटी टोपोलॉजी है जो रैखिक कार्यों को बनाता है $$X^*$$ निरंतर; जब हम लेते हैं $$B(X,Y)$$ की जगह $$X$$, वीक टोपोलॉजी वीक ऑपरेटर टोपोलॉजी से बहुत भिन्न हो सकती है, और जबकि डब्लूओटी औपचारिक रूप से एसओटी से वीक है, और एसओटी ऑपरेटर मानक टोपोलॉजी से वीक होती है।

सामान्यतः, निम्नलिखित समावेशन धारण करते हैं:


 * $$\{ \text{WOT-open sets in } B(X,Y)\} \subseteq \{\text{SOT-open sets in }B(X,Y)\} \subseteq \{\text{operator-norm-open sets in }B(X,Y)\},$$ और ये $$X$$ और $$Y$$ समावेशन विकल्पों के आधार पर सख्त हो सकते हैं या नहीं भी हो सकते हैं।

$$B(X,Y)$$ पर डब्लूओटी औपचारिक रूप से एसओटी की तुलना में वीक टोपोलॉजी है, लेकिन फिर भी वे कुछ महत्वपूर्ण गुणों को साझा करते हैं। उदाहरण के लिए,


 * $$(B(X,Y),\text{SOT})^*=(B(X,Y),\text{WOT})^*.$$

परिणाम स्वरुप, यदि $$S \subseteq B(X,Y)$$ तब उत्तल है,

$$\overline{S}^\text{SOT}=\overline{S}^\text{WOT},$$

दूसरे शब्दों में, एसओटी-क्लोजर और डब्ल्यूओटी-क्लोजर उत्तल समूह के लिए समानता रखते हैं।