यूक्लिडियन क्षेत्र

गणित में, एक यूक्लिडियन क्षेत्र एक आदेशित क्षेत्र है $K$ जिसके लिए प्रत्येक गैर-ऋणात्मक तत्व एक वर्ग है: अर्थात, $x ≥ 0$ में $K$ इसका आशय है $x = y^{2}$ कुछ के लिए $y$ में $K$.

रचनात्मक संख्याएं यूक्लिडियन फ़ील्ड बनाती हैं। यह सबसे छोटा यूक्लिडियन क्षेत्र है, क्योंकि प्रत्येक यूक्लिडियन क्षेत्र में इसे एक आदेशित उपक्षेत्र के रूप में शामिल किया गया है। दूसरे शब्दों में, रचनात्मक संख्याएँ परिमेय संख्याओं के #यूक्लिडियन समापन का निर्माण करती हैं।

गुण

 * प्रत्येक यूक्लिडियन क्षेत्र एक आदेशित पायथागॉरियन क्षेत्र है, लेकिन इसका विलोम सत्य नहीं है।
 * यदि ई/एफ एक सीमित क्षेत्र विस्तार है, और ई यूक्लिडियन है, तो एफ भी है। यह गोइंग-डाउन प्रमेय डिलर-ड्रेस प्रमेय का परिणाम है।

उदाहरण
प्रत्येक वास्तविक बंद क्षेत्र एक यूक्लिडियन क्षेत्र है। निम्नलिखित उदाहरण भी वास्तविक बंद क्षेत्र हैं।
 * वास्तविक रचनात्मक संख्याएं, वे (हस्ताक्षरित) लंबाई जो रूलर और कम्पास निर्माणों द्वारा एक परिमेय खंड से निर्मित की जा सकती हैं, एक यूक्लिडियन क्षेत्र बनाती हैं।
 * वास्तविक संख्याएँ $$\mathbb{R}$$ सामान्य संचालन और आदेश के साथ एक यूक्लिडियन क्षेत्र बनता है।
 * वास्तविक बीजगणितीय संख्याओं का क्षेत्र $$\mathbb{R}\cap\mathbb{\overline Q}$$ एक यूक्लिडियन क्षेत्र है।
 * अतिवास्तविक संख्या का क्षेत्र एक यूक्लिडियन क्षेत्र है।

प्रति उदाहरण

 * परिमेय संख्याएँ $$\mathbb Q$$ सामान्य संचालन और क्रम के साथ एक यूक्लिडियन क्षेत्र नहीं बनता है। उदाहरण के लिए, 2 एक वर्ग नहीं है $$\mathbb Q$$ चूँकि 2 का वर्गमूल अपरिमेय संख्या है। ऊपर दिए गए परिणाम के अनुसार, कोई भी बीजगणितीय संख्या क्षेत्र यूक्लिडियन नहीं हो सकता है। * जटिल संख्याएँ $$\mathbb C$$ एक यूक्लिडियन क्षेत्र नहीं बनाते हैं क्योंकि उन्हें एक आदेशित क्षेत्र की संरचना नहीं दी जा सकती है।

यूक्लिडियन क्लोजर
एक आदेशित क्षेत्र का यूक्लिडियन बंद होना $K$ का विस्तार है $K$ के द्विघात समापन में $K$ जो एक आदेशित फ़ील्ड होने के संबंध में अधिकतम है, जिसमें एक आदेश का विस्तार होता है $K$. यह बीजगणितीय समापन का सबसे छोटा उपक्षेत्र भी है $K$ जो एक यूक्लिडियन क्षेत्र है और इसका एक आदेशित क्षेत्र विस्तार है $K$.