स्वर्ण त्रिभुज (गणित)

स्वर्ण त्रिभुज, जिसे एक उदात्त(सबलाइम) त्रिभुज भी कहा जाता है, यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें दोहराई गई भुजा आधार भुजा के स्वर्ण अनुपात $$\varphi$$ में है:
 * $${a\over b} = \varphi = {1+\sqrt5\over2} \approx 1.618~034~.$$

कोण

 * शीर्ष कोण है:
 * $$\theta = 2\arcsin{b\over2a} = 2\arcsin{1\over2\varphi} = 2\arcsin{{\sqrt5-1}\over4} = {\pi\over5}~\text{rad} = 36^\circ.$$
 * इसलिए स्वर्ण त्रिभुज एक न्यून (समद्विबाहु) त्रिभुज है।


 * चूँकि त्रिभुज के कोणों का योग $$\pi$$ रेडियन होता है, प्रत्येक आधार कोण (CBX और CXB) है:
 * $$\beta = {{\pi-{\pi\over5}}\over2}~\text{rad} = {2\pi\over5}~\text{rad} = 72^\circ.$$


 * टिप्पणी:
 * $$\beta = \arccos\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)\,\text{rad} = {2\pi\over5}~\text{rad} = 72^\circ.$$


 * स्वर्ण त्रिभुज को विशिष्ट रूप से एकमात्र त्रिभुज के रूप में पहचाना जाता है जिसके तीनो कोण 1 : 2 : 2 (36°, 72°, 72°) के अनुपात में होते हैं।

अन्य ज्यामितीय आकृतियों में

 * स्वर्ण त्रिभुज नियमित पेंटाग्राम के स्पाइक्स में पाए जा सकते हैं।
 * केंद्र से किन्हीं भी दो आसन्न शीर्षों को जोड़कर, एक समकोणीय और समबाहु दस-भुजा बहुभुज से एक नियमित दसभुज में भी स्वर्ण त्रिभुज पाए जा सकते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि: 180(10−2)/10 = 144° आंतरिक कोण है, और इसे शीर्ष से केंद्र तक समद्विभाजित करना: 144/2 = 72°।
 * साथ ही, द्वादशफलक और विंशतिफलक के कई रेखाओं के समुह (ज्यामिति) में स्वर्ण त्रिभुज पाए जाते हैं।

लघुगणक सर्पिल
लघुगणकीय सर्पिल के कुछ बिंदुओं को बनाने के लिए स्वर्ण त्रिभुज का उपयोग किया जाता है। आधार कोणों में से एक को समद्विभाजित करके, एक नया बिंदु बनाया जाता है जो बदले में एक और स्वर्ण त्रिभुज बनाता है। समद्विभाजन प्रक्रिया को अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है, जिससे अनंत संख्या में स्वर्ण त्रिभुज बन सकते हैं। एक लघुगणकीय सर्पिल को शीर्षों के माध्यम से खींचा जा सकता है। इस सर्पिल को एक समानकोणीय सर्पिल के रूप में भी जाना जाता है, जो शब्द रेने डेसकार्टेस द्वारा लिया गया है। यदि ध्रुव से वक्र पर किसी भी बिंदु तक एक सीधी रेखा खींची जाती है, तो यह वक्र को ठीक उसी कोण पर काटती है, जिसके लिय समकोणीय होता है।

गोल्डन सूक्ति
स्वर्ण त्रिभुज से संबंधित स्वर्ण शंकु क्षेत्र है, जो समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें आधार लंबाई के बराबर भुजाओं का अनुपात $$\varphi$$ स्वर्णिम अनुपात $$\tfrac{1}{\varphi}$$ का व्युत्क्रम होता है।

स्वर्ण त्रिभुज में आधार लंबाई का अनुपात स्वर्ण अनुभाग φ के बराबर भुजा की लंबाई के बराबर होता है, जबकि स्वर्ण शंकु क्षेत्र में भुजा की लंबाई का अनुपात स्वर्ण खंड φ के बराबर होता है।
 * $${a'\over b'} = {1\over\varphi} = {{\sqrt5-1}\over2} \approx 0.618034.$$

कोण
(दूरियां AX और CX दोनों a' = a = φ हैं, और दूरी AC b' = φ² है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।)
 * शीर्ष कोण AXC है:
 * $$\theta' = 2\arcsin{b'\over{2a'}} = 2\arcsin{{\varphi^2}\over{2\varphi}} = 2\arcsin{{1+\sqrt5}\over4} = {3\pi\over5}~\text{rad} = 108^\circ.$$
 * इसलिए स्वर्ण शंकु क्षेत्र एक (समद्विबाहु) त्रिभुज है।


 * $$($$टिप्पणी: $$\theta' = \arccos\left(\frac{1-\sqrt5}{4}\right)\,\text{rad} = {3\pi\over5}~\text{rad} = 108^{\circ}.)$$


 * चूँकि त्रिभुज AXC के कोणों का योग $$\pi$$ रेडियन है, प्रत्येक आधार कोण CAX और ACX है:
 * $$\beta' = \theta = {\pi-{3\pi\over5}\over2}~\text{rad} = {\pi\over5}~\text{rad} = 36^{\circ}.$$
 * टिप्पणी: $$\beta' = \theta = \arccos\left(\frac{1+\sqrt5}{4}\right)\,\text{rad} = {\pi\over5}~\text{rad} = 36^{\circ}.$$


 * स्वर्ण शंकु क्षेत्र को विशिष्ट रूप से एक त्रिभुज के रूप में पहचाना जाता है जिसके तीन कोण 1 : 1 : 3 (36°, 36°, 108°) के अनुपात में होते हैं। इसका आधार कोण प्रत्येक 36° का है, जो स्वर्ण त्रिभुज के शीर्ष के समान है।

समद्विभाजन

 * इसके एक आधार कोण को समद्विभाजित करके, एक स्वर्ण त्रिभुज को एक स्वर्ण त्रिभुज और एक स्वर्ण शंकु क्षेत्र में उपविभाजित किया जा सकता है।
 * इसके शीर्ष कोण को त्रिगुणित करके, एक स्वर्ण शंकु क्षेत्र को एक स्वर्ण त्रिकोण और एक स्वर्ण शंकु क्षेत्र में उप-विभाजित किया जा सकता है।
 * एक स्वर्ण शंकु क्षेत्र और एक स्वर्ण त्रिकोण जिसकी समान भुजाएँ लंबाई में एक-दूसरे से बराबर है, जिसे रॉबिन्सन त्रिकोण के रूप में संदर्भित किया जाता है।

टाइलिंग

 * एक स्वर्ण त्रिभुज और दो स्वर्ण शंकु क्षेत्र एक नियमित पंचभुज का निर्माण करते हैं।
 * इन समद्विबाहु त्रिभुजों का उपयोग पंचभुज बनाने के लिए किया जा सकता है। पेंटोस टाइलें पतंग और डार्ट्स से बनाई जाती हैं। एक पतंग दो स्वर्ण त्रिभुजों से बनती है, और एक डार्ट दो शंकु क्षेत्र से बनती है।

यह भी देखें

 * स्वर्ण आयत
 * सुनहरा रोम्बस
 * केप्लर त्रिकोण
 * क्लार्क_किम्बरलिंग#किम्बरलिंग_स्वर्ण_त्रिकोण|किम्बरलिंग का स्वर्ण त्रिभुज
 * पाइथागोरस की वीणा
 * पेंटाग्राम
 * स्वर्ण त्रिभुज (रचना)

बाहरी संबंध

 * Robinson triangles at Tilings Encyclopedia
 * Golden triangle according to Euclid
 * The extraordinary reciprocity of golden triangles at Tartapelago by Giorgio Pietrocola
 * Golden triangle according to Euclid
 * The extraordinary reciprocity of golden triangles at Tartapelago by Giorgio Pietrocola