प्रत्यक्ष-चतुर्भुज-शून्य परिवर्तन

प्रत्यक्ष-चतुर्भुज-शून्य (DQZ या DQ0 या डीक्यूओ, कभी-कभी लोअरकेस) परिवर्तन या शून्य-प्रत्यक्ष-चतुर्भुज (0DQ या ODQ, कभी-कभी लोअरकेस) परिवर्तन एक टेन्सर  है जो विश्लेषण को सरल बनाने के प्रयास में तीन-तत्व वेक्टर या तीन-बाय-तीन तत्व मैट्रिक्स के संदर्भ फ्रेम को घुमाता है। डीक्यूजेड ट्रांसफॉर्म अल्फा-बीटा परिवर्तन और पार्क ट्रांसफॉर्म का उत्पाद है, जिसे पहली बार 1929 में रॉबर्ट एच. पार्क द्वारा प्रस्तावित किया गया था। डीक्यूजेड ट्रांसफॉर्म का उपयोग अक्सर तीन-चरण विद्युत शक्ति | तीन-चरण सर्किट के साथ इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग के संदर्भ में किया जाता है। परिवर्तन का उपयोग प्रत्यावर्ती धारा तरंगों के संदर्भ फ़्रेमों को घुमाने के लिए किया जा सकता है ताकि वे प्रत्यक्ष धारा सिग्नल बन जाएं। वास्तविक तीन-चरण एसी परिणामों को पुनर्प्राप्त करने के लिए व्युत्क्रम परिवर्तन करने से पहले इन डीसी मात्राओं पर सरलीकृत गणना की जा सकती है। उदाहरण के तौर पर, DQZ ट्रांसफॉर्म का उपयोग अक्सर तीन-चरण तुल्यकालिक मोटर  के विश्लेषण को सरल बनाने या तीन-चरण इन्वर्टर (इलेक्ट्रिकल) के नियंत्रण के लिए गणना को सरल बनाने के लिए किया जाता है। तीन-चरण तुल्यकालिक मशीनों के विश्लेषण में, परिवर्तन समय-भिन्न अधिष्ठापन के प्रभाव को खत्म करने और सिस्टम को एक रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली में बदलने के लिए तीन-चरण स्टेटर और रोटर मात्रा को एक एकल घूर्णन संदर्भ फ्रेम में स्थानांतरित करता है।

परिचय
DQZ ट्रांसफ़ॉर्म पार्क और क्लार्क ट्रांसफ़ॉर्मेशन मैट्रिसेस से बना है। क्लार्क ट्रांसफॉर्म (एडिथ क्लार्क के नाम पर) एबीसी संदर्भ फ्रेम में वैक्टर को αβγ संदर्भ फ्रेम में परिवर्तित करता है। क्लार्क परिवर्तन का प्राथमिक मूल्य एबीसी-संदर्भित वेक्टर के उस हिस्से को अलग करना है, जो वेक्टर के सभी तीन घटकों के लिए सामान्य है; यह सामान्य-मोड घटक (यानी, Z घटक) को अलग करता है। पावर-अपरिवर्तनीय, दाएं हाथ, समान रूप से स्केल किया गया क्लार्क ट्रांसफॉर्मेशन मैट्रिक्स है
 * $$K_{C} = \sqrt{\frac{2}{3}}\cdot\begin{bmatrix}

1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$$.

एबीसी-संदर्भित कॉलम वेक्टर को एक्सवाईजेड संदर्भ फ्रेम में परिवर्तित करने के लिए, वेक्टर को क्लार्क ट्रांसफॉर्मेशन मैट्रिक्स द्वारा पूर्व-गुणा किया जाना चाहिए:

\vec{u}_{XYZ} = K_{C}\cdot \vec{u}_{ABC} $$. और, XYZ-संदर्भित कॉलम वेक्टर से एबीसी संदर्भ फ्रेम में वापस कनवर्ट करने के लिए, वेक्टर को व्युत्क्रम क्लार्क परिवर्तन मैट्रिक्स द्वारा पूर्व-गुणा किया जाना चाहिए:

\vec{u}_{ABC} = K_{C}^{-1}\cdot \vec{u}_{XYZ} $$.

पार्क ट्रांसफ़ॉर्म (रॉबर्ट एच. पार्क के नाम पर) XYZ संदर्भ फ़्रेम में वैक्टर को DQZ संदर्भ फ़्रेम में परिवर्तित करता है। पार्क ट्रांसफॉर्म का प्राथमिक मूल्य एक वेक्टर के संदर्भ फ्रेम को एक मनमानी आवृत्ति पर घुमाना है। पार्क ट्रांसफॉर्म सिग्नल की आवृत्ति स्पेक्ट्रम को इस तरह से बदल देता है कि मनमानी आवृत्ति अब डीसी के रूप में दिखाई देती है, और पुरानी डीसी मनमानी आवृत्ति के नकारात्मक के रूप में दिखाई देती है। पार्क परिवर्तन मैट्रिक्स है
 * $$K_{P} = \begin{bmatrix}

\cos{\left(\theta\right)} & \sin{\left(\theta\right)} & 0 \\ -\sin{\left(\theta\right)} & \cos{\left(\theta\right)} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$, जहां θ एक मनमाना ω आवृत्ति का तात्कालिक कोण है। XYZ-संदर्भित वेक्टर को DQZ संदर्भ फ्रेम में परिवर्तित करने के लिए, कॉलम वेक्टर सिग्नल को पार्क ट्रांसफॉर्मेशन मैट्रिक्स द्वारा पूर्व-गुणा किया जाना चाहिए:

u_{DQZ} = K_{P}\cdot u_{XYZ} $$. और, DQZ-संदर्भित वेक्टर से XYZ संदर्भ फ्रेम में वापस कनवर्ट करने के लिए, कॉलम वेक्टर सिग्नल को व्युत्क्रम पार्क परिवर्तन मैट्रिक्स द्वारा पूर्व-गुणा किया जाना चाहिए:

u_{XYZ} = K_{P}^{-1}\cdot u_{DQZ} $$.

क्लार्क और पार्क मिलकर DQZ रूपांतरण बनाते हैं:
 * $$K_{CP} = K_{P}\cdot K_{C}$$
 * $$\to\begin{bmatrix}

\cos{\left(\theta\right)} & \sin{\left(\theta\right)} & 0 \\ -\sin{\left(\theta\right)} & \cos{\left(\theta\right)} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} \begin{bmatrix} 1 & \frac{-1}{2} & \frac{-1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$$
 * $$ \to \sqrt{\frac{2}{3}}\begin{bmatrix}

\cos{\left(\theta\right)} & \cos{\left(\theta - \frac{2\pi}{3}\right)} & \cos{\left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right)} \\ -\sin{\left(\theta\right)} & -\sin{\left(\theta - \frac{2\pi}{3}\right)} & -\sin{\left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right)} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$$ उलटा परिवर्तन है:
 * $$K_{CP}^{-1} = \sqrt{\frac{2}{3}}\begin{bmatrix}

\cos{\left(\theta\right)} & -\sin{\left(\theta\right)} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \cos{\left(\theta - \frac{2\pi}{3}\right)} & -\sin{\left(\theta - \frac{2\pi}{3}\right)} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \cos{\left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right)} & -\sin{\left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right)} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$$ एबीसी-संदर्भित वेक्टर को डीक्यूजेड संदर्भ फ्रेम में परिवर्तित करने के लिए, कॉलम वेक्टर सिग्नल को डीक्यूजेड ट्रांसफॉर्मेशन मैट्रिक्स द्वारा पूर्व-गुणा किया जाना चाहिए:

u_{DQZ} = K_{CP}\cdot u_{ABC} $$. और, डीक्यूजेड-संदर्भित वेक्टर से एबीसी संदर्भ फ्रेम में वापस कनवर्ट करने के लिए, कॉलम वेक्टर सिग्नल को व्युत्क्रम डीक्यूजेड ट्रांसफॉर्मेशन मैट्रिक्स द्वारा पूर्व-गुणा किया जाना चाहिए:

u_{ABC} = K_{CP}^{-1}\cdot u_{DQZ} $$.

इस परिवर्तन को बेहतर ढंग से समझने के लिए, परिवर्तन की व्युत्पत्ति शामिल की गई है।

पार्क परिवर्तन व्युत्पत्ति
पार्क परिवर्तन डॉट उत्पाद की अवधारणा और अन्य वैक्टर पर वैक्टर के प्रक्षेपण पर आधारित है। सबसे पहले, आइए दो इकाई सदिशों की कल्पना करें, $$\hat{u}_{D}$$ और $$\hat{u}_{Q}$$ (पुराने संदर्भ फ्रेम के परिप्रेक्ष्य से नए संदर्भ फ्रेम की इकाई वैक्टर, या अक्ष), और एक तीसरा, मनमाना, वेक्टर $$\vec{v}_{XY}$$. हम दो यूनिट वैक्टर और यादृच्छिक वेक्टर को पुराने संदर्भ फ्रेम में उनके कार्टेशियन समन्वय प्रणाली निर्देशांक के संदर्भ में परिभाषित कर सकते हैं:
 * $$\hat{u}_{D} =

\cos{\left(\theta\right)}\hat{u}_{X} + \sin{\left(\theta\right)}\hat{u}_{Y}$$
 * $$\hat{u}_{Q} =

-\sin{\left(\theta\right)}\hat{u}_{X} + \cos{\left(\theta\right)}\hat{u}_{Y}$$
 * $$\vec{v}_{XY} =

v_{X}\hat{u}_{X} + v_{Y}\hat{u}_{Y}$$, कहाँ $$\hat{u}_{X}$$ और $$\hat{u}_{Y}$$ पुरानी समन्वय प्रणाली के इकाई आधार वेक्टर हैं और $$\theta$$ के बीच का कोण है $$\hat{u}_{X}$$ और $$\hat{u}_{D}$$ यूनिट वैक्टर (यानी, दो संदर्भ फ़्रेमों के बीच का कोण)। दो नए इकाई वैक्टरों में से प्रत्येक पर मनमाना वेक्टर का प्रक्षेपण डॉट उत्पाद का तात्पर्य है:
 * $$v_{D} =

\hat{u}_{D}\cdot \vec{v}_{XY}$$
 * $$\to \cos{\left(\theta\right)} v_{X}

+ \sin{\left(\theta\right)} v_{Y}$$
 * $$v_{Q} =

\hat{u}_{Q}\cdot \vec{v}_{XY}$$
 * $$\to -\sin{\left(\theta\right)} v_{X}

+ \cos{\left(\theta\right)} v_{Y}$$. इसलिए, $$v_{D}$$ का प्रक्षेपण है $$\vec{v}_{XY}$$ उस पर $$\hat{u}_{D}$$ अक्ष, और $$v_{Q}$$ का प्रक्षेपण है $$\vec{v}_{XY}$$ उस पर $$\hat{u}_{Q}$$ एक्सिस। ये नए वेक्टर घटक, $$v_{D}$$ और $$v_{Q}$$, एक साथ मिलकर नया वेक्टर बनाएं $$\vec{v}_{DQ}$$, मूल वेक्टर $$\vec{v}_{XY}$$ नए DQ संदर्भ फ़्रेम के संदर्भ में। ध्यान दें कि सकारात्मक कोण $$\theta$$ उपरोक्त के कारण नए DQ संदर्भ फ़्रेम में परिवर्तित होने पर मनमाना वेक्टर पीछे की ओर घूमने लगा। दूसरे शब्दों में, नए संदर्भ फ्रेम से संबंधित इसका कोण पुराने संदर्भ फ्रेम से इसके कोण से कम है। ऐसा इसलिए है क्योंकि संदर्भ फ़्रेम, वेक्टर नहीं, को आगे की ओर घुमाया गया था। दरअसल, संदर्भ फ्रेम का आगे का घुमाव वेक्टर के नकारात्मक घुमाव के समान है। यदि पुराना संदर्भ फ्रेम आगे की ओर घूम रहा था, जैसे कि तीन-चरण विद्युत प्रणालियों में, तो परिणामी DQ वेक्टर स्थिर रहता है।

एक एकल मैट्रिक्स समीकरण उपरोक्त ऑपरेशन को संक्षेप में प्रस्तुत कर सकता है:
 * $$\vec{v}_{DQ} = \begin{bmatrix}

\cos{\left(\theta\right)} & \sin{\left(\theta\right)} \\ -\sin{\left(\theta\right)} & \cos{\left(\theta\right)} \end{bmatrix} \cdot \vec{v}_{XY}$$. इस टेंसर को त्रि-आयामी समस्याओं तक विस्तारित किया जा सकता है, जहां जिस अक्ष के बारे में घूर्णन होता है उसे अप्रभावित छोड़ दिया जाता है। निम्नलिखित उदाहरण में, घूर्णन Z अक्ष के बारे में है, लेकिन कोई भी अक्ष चुना जा सकता था:
 * $$K_{P} = \begin{bmatrix}

\cos{\left(\theta\right)} & \sin{\left(\theta\right)} & 0 \\  -\sin{\left(\theta\right)} & \cos{\left(\theta\right)} & 0 \\  0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$.

रैखिक बीजगणित परिप्रेक्ष्य से, यह बस z-अक्ष के बारे में एक दक्षिणावर्त घुमाव है और गणितीय रूप से List_of_trigonometric_identities#Angle_sum_and_difference_identities के बराबर है।

एबीसी इकाई आधार वैक्टर
इकाई आधार वैक्टर ए, बी और सी के साथ एक त्रि-आयामी स्थान पर विचार करें। नीचे दिए गए चित्र में गोले का उपयोग संदर्भ के लिए संदर्भ फ्रेम के पैमाने को दिखाने के लिए किया जाता है और बॉक्स का उपयोग घूर्णी संदर्भ प्रदान करने के लिए किया जाता है। आमतौर पर, इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग (या कोई अन्य संदर्भ जो तीन-चरण प्रणालियों का उपयोग करता है) में, तीन-चरण घटकों को दो-आयामी परिप्रेक्ष्य में दिखाया जाता है। हालाँकि, यह देखते हुए कि तीन चरण स्वतंत्र रूप से बदल सकते हैं, वे परिभाषा के अनुसार एक-दूसरे के लिए ऑर्थोगोनल हैं। इसका तात्पर्य त्रि-आयामी परिप्रेक्ष्य से है, जैसा कि ऊपर चित्र में दिखाया गया है। तो, द्वि-आयामी परिप्रेक्ष्य वास्तव में एक विमान पर त्रि-आयामी वास्तविकता का प्रक्षेपण दिखा रहा है। तीन चरण की समस्याओं को आम तौर पर इस विमान के भीतर संचालित होने के रूप में वर्णित किया जाता है। वास्तव में, समस्या संभवतः एक संतुलित चरण वाली समस्या है (अर्थात्, vA+ वीB+ वीC= 0) और शुद्ध वेक्टर
 * $$\vec{v} = v_{A}\hat{u}_{A} + v_{B}\hat{u}_{B} + v_{C}\hat{u}_{C}$$

सदैव इसी तल पर रहता है।

एवाईसी' इकाई आधार वैक्टर
क्लार्क ट्रांसफ़ॉर्म बनाने के लिए, हम वास्तव में दो चरणों में पार्क ट्रांसफ़ॉर्म का उपयोग करते हैं। हमारा लक्ष्य C अक्ष को बॉक्स के कोने में घुमाना है। इस प्रकार घुमाया गया C अक्ष ऊपर उल्लिखित द्वि-आयामी परिप्रेक्ष्य के तल पर ओर्थोगोनल होगा। क्लार्क ट्रांसफॉर्म के निर्माण की दिशा में पहले कदम के लिए ए अक्ष के बारे में एबीसी संदर्भ फ्रेम को घुमाने की आवश्यकता है। तो, इस बार, 1 पार्क परिवर्तन के पहले तत्व में होगा:
 * $$K_{1} = \begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 \\  0 & \cos{\left(-\frac{\pi}{4}\right)} & \sin{\left(-\frac{\pi}{4}\right)} \\ 0 & -\sin{\left(-\frac{\pi}{4}\right)} & \cos{\left(-\frac{\pi}{4}\right)} \end{bmatrix}$$
 * $$\to \begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 \\  0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$$ निम्नलिखित चित्र दिखाता है कि जब किसी वेक्टर को K द्वारा पूर्व-गुणा किया जाता है तो ABC संदर्भ फ़्रेम को AYC' संदर्भ फ़्रेम में कैसे घुमाया जाता है1 आव्यूह। सी' और वाई अक्ष अब बॉक्स के किनारों के मध्य बिंदुओं को इंगित करते हैं, लेकिन संदर्भ फ्रेम का परिमाण नहीं बदला है (यानी, गोला बढ़ता या सिकुड़ता नहीं है)। यह इस तथ्य के कारण है कि का मानदंड कश्मीर1 टेंसर 1 है: ||K1|| = 1. इसका मतलब यह है कि एबीसी संदर्भ फ्रेम में किसी भी वेक्टर को एवाईसी संदर्भ फ्रेम में घुमाए जाने पर समान परिमाण जारी रहेगा।

XYZ इकाई आधार वैक्टर
इसके बाद, निम्नलिखित टेंसर वेक्टर को नए Y अक्ष के बारे में Y अक्ष के संबंध में वामावर्त दिशा में घुमाता है (कोण इसलिए चुना गया ताकि C' अक्ष बॉक्स के कोने की ओर इंगित हो।):
 * $$K_{2} = \begin{bmatrix}

\cos{\left(\theta\right)} & 0 & -\sin{\left(\theta\right)} \\ 0 & 1 & 0 \\  \sin{\left(\theta\right)} & 0 & \cos{\left(\theta\right)} \end{bmatrix}$$
 * $$ \theta = \cos^{-1}\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right) \to 35.26^\circ$$,

या
 * $$K_{2} = \begin{bmatrix}

\sqrt{\frac{2}{3}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & 1 & 0 \\  \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \sqrt{\frac{2}{3}} \end{bmatrix}$$. ध्यान दें कि गोले के केंद्र से बॉक्स के किनारे के मध्य बिंदु तक की दूरी है $\sqrt{2}$ लेकिन गोले के केंद्र से बॉक्स के कोने तक है $\sqrt{3}$. यहीं से 35.26° कोण आया। कोण की गणना डॉट उत्पाद का उपयोग करके की जा सकती है। होने देना $$\vec{m}=\left(0,\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$ C' की दिशा में इकाई वेक्टर बनें और जाने दें $$\vec{n} = \left( \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \right) $$ बॉक्स के कोने की दिशा में एक यूनिट वेक्टर बनें $$\vec{n} = \left( 1, 1, 1 \right) $$. क्योंकि $$\vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}| |\vec{n}| \cos \theta,$$ कहाँ $$\theta$$ के बीच का कोण है $$\vec{m}$$ और $$\vec{n},$$ हमारे पास है



\left(0,\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \cos \theta $$
 * $$ \cos \theta = 0 + \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} +  \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$$
 * $$\theta = \cos^{-1} \left( \sqrt{\frac{2}{3}} \right)$$
 * $$\theta = 35.26^\circ.$$

के का मानदंड2 मैट्रिक्स भी 1 है, इसलिए यह भी K द्वारा पूर्व-गुणा किए गए किसी भी वेक्टर के परिमाण को नहीं बदलता है2 आव्यूह।

शून्य तल
इस बिंदु पर, Z अक्ष अब उस तल के ओर्थोगोनल है जिसमें सामान्य-मोड घटक के बिना कोई भी एबीसी वेक्टर पाया जा सकता है। कोई भी संतुलित एबीसी वेक्टर तरंग (एक सामान्य मोड के बिना एक वेक्टर) इस विमान के बारे में यात्रा करेगा। इस विमान को शून्य विमान कहा जाएगा और इसे नीचे षट्कोणीय रूपरेखा द्वारा दिखाया गया है। X और Y आधार सदिश शून्य तल पर हैं। ध्यान दें कि एक्स अक्ष शून्य तल पर ए अक्ष के प्रक्षेपण के समानांतर है। एक्स अक्ष शून्य तल पर ए अक्ष के प्रक्षेपण से थोड़ा बड़ा है। के कारक से यह बड़ा है $\sqrt{3/2}$. एबीसी संदर्भ फ्रेम से एक्सवाईजेड संदर्भ फ्रेम में इस रूपांतरण के माध्यम से मनमाना वेक्टर ने परिमाण नहीं बदला (यानी, गोले का आकार नहीं बदला)। यह क्लार्क परिवर्तन के शक्ति-अपरिवर्तनीय रूप के लिए सच है। निम्नलिखित आंकड़ा एबीसी और एक्सवाईजेड संदर्भ फ्रेम के सामान्य द्वि-आयामी परिप्रेक्ष्य को दर्शाता है। यह अजीब लग सकता है कि हालांकि वेक्टर का परिमाण नहीं बदला, लेकिन इसके घटकों का परिमाण बदल गया (यानी, एक्स और वाई घटक ए, बी और सी घटकों से अधिक लंबे हैं)। शायद इसे सहज रूप से इस बात पर विचार करके समझा जा सकता है कि सामान्य मोड के बिना एक वेक्टर के लिए, जिसे व्यक्त करने के लिए तीन मान (ए, बी, और सी घटक) लगते थे, अब केवल 2 (एक्स और वाई घटक) लगते हैं क्योंकि जेड घटक शून्य है। इसलिए, क्षतिपूर्ति के लिए X और Y घटक मान बड़े होने चाहिए।

टेन्सर्स का संयोजन
पावर-इनवेरिएंट क्लार्क ट्रांसफॉर्मेशन मैट्रिक्स K का एक संयोजन है1 और के2 टेंसर:
 * $$K_{C} = \underbrace{\begin{bmatrix}

\sqrt{\frac{2}{3}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & 1 & 0 \\  \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \sqrt{\frac{2}{3}} \end{bmatrix}}_{K_2}\cdot\underbrace{\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\  0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}}_{K_1}$$, या
 * $$K_{C} = \sqrt{\frac{2}{3}}\cdot\begin{bmatrix}

1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$$
 * $$\to \begin{bmatrix}

\frac{2}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{bmatrix}$$.

ध्यान दें कि जब गुणा किया जाता है, तो K की निचली पंक्तिCमैट्रिक्स 1/ है$\sqrt{3}$, 1/3 नहीं. (एडिथ क्लार्क ने पावर-वेरिएंट मामले के लिए 1/3 का उपयोग किया था।) Z घटक बिल्कुल A, B और C घटकों का औसत नहीं है। यदि केवल निचली पंक्ति के तत्वों को 1/3 में बदल दिया जाए, तो गोला Z अक्ष के अनुदिश कुचल दिया जाएगा। इसका मतलब यह है कि Z घटक में X और Y घटकों के समान स्केलिंग नहीं होगी। जैसा कि ऊपर लिखा गया है, क्लार्क परिवर्तन मैट्रिक्स का मानदंड अभी भी 1 है, जिसका अर्थ है कि यह केवल एबीसी वेक्टर को घुमाता है लेकिन इसे स्केल नहीं करता है। क्लार्क के मूल परिवर्तन के बारे में ऐसा नहीं कहा जा सकता।

यह सत्यापित करना आसान है (मैट्रिक्स गुणन द्वारा) कि K का व्युत्क्रम हैC है



K^{-1}_C = \begin{bmatrix} \frac{2}{\sqrt{6}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{3}}\\ -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{bmatrix} $$

पावर-वेरिएंट फॉर्म
कभी-कभी क्लार्क ट्रांसफॉर्मेशन मैट्रिक्स को स्केल करना वांछनीय होता है ताकि एक्स अक्ष शून्य विमान पर ए अक्ष का प्रक्षेपण हो। ऐसा करने के लिए, हम समान रूप से स्केलिंग कारक लागू करते हैं $\sqrt{2/3}$ और ए $\sqrt{1/radical$ पावर-वेरिएंट क्लार्क ट्रांसफॉर्मेशन मैट्रिक्स प्राप्त करने के लिए शून्य घटक पर:
 * $$K_{\hat{C}} = \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot

\underbrace{\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}}_{K_C}$$
 * $$\to \frac{2}{3} \begin{bmatrix}

1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$$ या
 * $$K_{\hat{C}} = \begin{bmatrix}

\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{bmatrix}$$.

यह आवश्यक रूप से गोले को एक कारक से छोटा कर देगा $\sqrt{2/3}$ जैसा कि नीचे दिया गया है। ध्यान दें कि यह नया एक्स अक्ष बिल्कुल शून्य तल पर ए अक्ष का प्रक्षेपण है। पावर-वेरिएंट क्लार्क ट्रांसफ़ॉर्म के साथ, मनमाना वेक्टर का परिमाण XYZ संदर्भ फ़्रेम में ABC संदर्भ फ़्रेम की तुलना में छोटा होता है (ट्रांसफ़ॉर्म का मानदंड है $\sqrt{2/3}$), लेकिन व्यक्तिगत वेक्टर घटकों के परिमाण समान हैं (जब कोई सामान्य मोड नहीं है)। तो, एक उदाहरण के रूप में, द्वारा परिभाषित एक संकेत
 * $$\begin{bmatrix}

A \\ B \\ C \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos{\left(\omega t\right)} \\ \cos{\left(\omega t - \frac{2\pi}{3}\right)} \\ \cos{\left(\omega t + \frac{2\pi}{3}\right)} \end{bmatrix}$$ XYZ संदर्भ फ़्रेम में, बन जाता है,
 * $$\begin{bmatrix}

X \\ Y \\ Z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos{\left(\omega t\right)} \\ \cos{\left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right)} \\ 0 \end{bmatrix}$$, एक नया वेक्टर जिसके घटक मूल घटकों के समान परिमाण के हैं: 1. कई मामलों में, यह पावर-वेरिएंट क्लार्क ट्रांसफॉर्म का एक लाभप्रद गुण है।

डीक्यूजेड रूपांतरण
डीक्यूजेड ट्रांसफॉर्मेशन एबीसी-संदर्भित वैक्टर को दो अंतर-मोड घटकों (यानी, एक्स और वाई) और एक सामान्य-मोड घटक (यानी, जेड) में परिवर्तित करने के लिए क्लार्क ट्रांसफॉर्म का उपयोग करता है और फिर संदर्भ फ्रेम को घुमाने के लिए पार्क ट्रांसफॉर्म लागू करता है। किसी दिए गए कोण पर Z अक्ष। एक्स घटक डी घटक बन जाता है, जो रोटेशन के वेक्टर के साथ सीधे संरेखण में होता है, और वाई घटक क्यू घटक बन जाता है, जो प्रत्यक्ष घटक के चतुर्भुज कोण पर होता है। DQZ परिवर्तन है
 * $$K_{CP} = K_{P}\cdot K_{C}$$
 * $$\to\begin{bmatrix}

\cos{\left(\theta\right)} & \sin{\left(\theta\right)} & 0 \\ -\sin{\left(\theta\right)} & \cos{\left(\theta\right)} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} \begin{bmatrix} 1 & \frac{-1}{2} & \frac{-1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$$.

कोड कार्यान्वयन
कम्प्यूटेशनल दक्षता के लिए, क्लार्क और पार्क परिवर्तनों को अलग रखना और उन्हें एक परिवर्तन में संयोजित नहीं करना समझ में आता है।

पावर-इनवेरिएंट क्लार्क ट्रांसफॉर्म का एक कम्प्यूटेशनल रूप से कुशल कार्यान्वयन है जबकि इसका उलटा है पावर-वेरिएंट क्लार्क ट्रांसफ़ॉर्म का कम्प्यूटेशनल रूप से कुशल कार्यान्वयन है जबकि इसका उलटा है जाहिर है, स्थिर गुणांकों की पूर्व-गणना की जा सकती है।

पार्क परिवर्तन का कम्प्यूटेशनल रूप से कुशल कार्यान्वयन है जबकि इसका उलटा है co और si की गणना केवल एक बार करना ही उचित है यदि पार्क और व्युत्क्रम पार्क रूपांतरण दोनों का उपयोग किया जा रहा हो।

उदाहरण
विद्युत प्रणालियों में, अक्सर ए, बी और सी मान इस तरह से दोलन कर रहे होते हैं कि नेट वेक्टर घूम रहा है। एक संतुलित प्रणाली में, वेक्टर Z अक्ष के चारों ओर घूम रहा है। बहुत बार, संदर्भ फ़्रेम को इस तरह घुमाना सहायक होता है कि इस घूमने के कारण एबीसी मानों में होने वाले अधिकांश परिवर्तन रद्द हो जाते हैं और कोई भी बारीक बदलाव अधिक स्पष्ट हो जाता है। यह अविश्वसनीय रूप से उपयोगी है क्योंकि यह अब सिस्टम को एक रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली में बदल देता है

DQZ परिवर्तन को ज्यामितीय शब्दों में साइनसोइडल चरण मात्राओं के समान कोणीय वेग के साथ घूमते हुए दो अक्षों पर तीन अलग-अलग साइनसॉइडल चरण मात्राओं के प्रक्षेपण के रूप में सोचा जा सकता है। ऊपर दिखाया गया DQZ ट्रांसफॉर्म है जैसा कि एक सिंक्रोनस मशीन के स्टेटर पर लागू होता है। 120 भौतिक डिग्री से अलग तीन वाइंडिंग हैं। तीन चरण धाराएं परिमाण में समान हैं और 120 विद्युत डिग्री द्वारा एक दूसरे से अलग होती हैं। तीन चरण धाराएँ अपने संगत चरण वोल्टेज से पीछे रहती हैं $$\delta$$. DQ अक्षों को समान कोणीय वेग से घूमते हुए दिखाया गया है $$\omega$$, चरण वोल्टेज और धाराओं के समान कोणीय वेग। D अक्ष एक कोण बनाता है $$\theta = \omega t$$ चरण ए वाइंडिंग के साथ जिसे संदर्भ के रूप में चुना गया है। धाराएँ $$I_D$$ और $$I_Q$$ स्थिर dc मात्राएँ हैं।

पार्क का परिवर्तन
पार्क द्वारा मूल रूप से प्रस्तावित परिवर्तन ऊपर दिए गए परिवर्तन से थोड़ा भिन्न है। पार्क के परिवर्तन में q-अक्ष, d-अक्ष, qd0 और से आगे है $$\theta$$ कोण चरण-ए और क्यू-अक्ष के बीच का कोण है, जैसा कि नीचे दिया गया है:


 * $$P= \frac{2}{3}\begin{bmatrix} \cos(\theta)&\cos(\theta - \frac{2\pi}{3})&\cos(\theta + \frac{2\pi}{3}) \\

\sin(\theta)& \sin(\theta - \frac{2\pi}{3})& \sin(\theta + \frac{2\pi}{3}) \\ \frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2} \end{bmatrix}$$ और


 * $$P^{-1} = \begin{bmatrix}\cos(\theta)& \sin(\theta)&1\\

\cos(\theta - \frac{2\pi}{3})& \sin(\theta - \frac{2\pi}{3})&1\\ \cos(\theta + \frac{2\pi}{3})& \sin(\theta + \frac{2\pi}{3})&1\end{bmatrix}$$ डी. होम्स और टी. लिपो, पावर कन्वर्टर्स के लिए पल्स चौड़ाई मॉड्यूलेशन: सिद्धांत और अभ्यास, विली-आईईईई प्रेस, 2003, और

पी. क्राउज़, ओ. वासिंकज़ुक और एस. सुधॉफ, इलेक्ट्रिक मशीनरी और ड्राइव सिस्टम का विश्लेषण, दूसरा संस्करण, पिस्काटावे, एनजे: आईईईई प्रेस, 2002।

औसत परिवर्तन
डीक्यूओ परिवर्तन वैचारिक रूप से αβγ परिवर्तन के समान है। जबकि dqo परिवर्तन एक घूर्णन दो-अक्ष संदर्भ फ्रेम पर चरण मात्राओं का प्रक्षेपण है, αβγ परिवर्तन को एक स्थिर दो-अक्ष संदर्भ फ्रेम पर चरण मात्राओं के प्रक्षेपण के रूप में माना जा सकता है।

संदर्भ

 * In-line references


 * General references


 * C.J. O'Rourke et al. "A Geometric Interpretation of Reference Frames and Transformations: dq0, Clarke, and Park," in IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 34, no. 4, pp. 2070-2083, Dec. 2019.
 * J. Lewis Blackburn Symmetrical Components for Power Systems Engineering, Marcel Dekker, New York (1993). ISBN 0-8247-8767-6
 * Zhang et al. A three-phase inverter with a neutral leg with space vector modulation IEEE APEC '97 Conference Proceedings (1997).
 * T.A.Lipo, “A Cartesian Vector Approach To Reference Theory of AC Machines”, Int. Conference On Electric Machines, Laussane, Sept. 18–24, 1984.

यह भी देखें

 * सममित घटक
 * अल्फा बीटा गामा परिवर्तन|$$\alpha\beta\gamma$$ परिवर्तन
 * वेक्टर नियंत्रण (मोटर)

श्रेणी:इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग श्रेणी:सिंक्रोनस मशीनें