घूर्णन पृष्ठ

क्रांति की एक सतह यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक सतह (गणित) है जो रोटेशन की धुरी के चारों ओर एक वक्र (Generatrix) को घुमाकर बनाई गई है। एक सीधी रेखा द्वारा उत्पन्न क्रांति की सतहों के उदाहरण बेलन (ज्यामिति) और शंक्वाकार सतहें हैं जो इस बात पर निर्भर करती हैं कि रेखा अक्ष के समानांतर है या नहीं। एक वृत्त जो किसी भी व्यास के चारों ओर घूमता है, एक गोला उत्पन्न करता है, जो तब एक बड़ा वृत्त होता है, और यदि वृत्त को एक अक्ष के चारों ओर घुमाया जाता है जो किसी वृत्त के आंतरिक भाग को नहीं काटता है, तो यह एक टोरस उत्पन्न करता है जो स्वयं को प्रतिच्छेद नहीं करता है ( एक रिंग टोरस)।

गुण
अक्ष के माध्यम से विमानों द्वारा बनाई गई क्रांति की सतह के खंड भूमध्य रेखा खंड कहलाते हैं। किसी भी मध्याह्न खंड को इसके और अक्ष द्वारा निर्धारित विमान में जेनरेट्रिक्स माना जा सकता है। विमानों द्वारा बनाई गई क्रांति की सतह के खंड जो अक्ष के लंबवत हैं, वृत्त हैं।

हाइपरबोलाइड्स के कुछ विशेष मामले (या तो एक या दो शीट्स के) और अण्डाकार पैराबोलॉइड्स क्रांति की सतह हैं। इन्हें उन द्विघात सतहों के रूप में पहचाना जा सकता है जिनके सभी क्रॉस सेक्शन (ज्यामिति) अक्ष के लंबवत हैं।

क्षेत्र सूत्र
यदि वक्र पैरामीट्रिक वक्र कार्यों द्वारा वर्णित है $x = 2 + cos(z)$, $x(t)$, साथ $z$ कुछ अंतराल से लेकर $y(t)$, और क्रांति की धुरी है $t$-अक्ष, फिर क्षेत्र $y$ अभिन्न द्वारा दिया जाता है


 * $$ A_y = 2 \pi \int_a^b x(t) \, \sqrt{\left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dy \over dt}\right)^2} \, dt, $$

उसे उपलब्ध कराया $[a,b]$ एंडपॉइंट्स के बीच कभी भी नकारात्मक नहीं होता है $A_{y}$ और $a$. यह सूत्र पप्पस के केन्द्रक प्रमेय के समतुल्य है। मात्रा


 * $$\sqrt{ \left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dy \over dt}\right)^2 }$$

पाइथागोरस प्रमेय से आता है और वक्र के चाप के एक छोटे खंड का प्रतिनिधित्व करता है, जैसा कि चाप लंबाई सूत्र में है। मात्रा $x(t)$ इस छोटे खंड का पथ (केंद्रक) है, जैसा कि पप्पस प्रमेय द्वारा आवश्यक है।

इसी तरह, जब रोटेशन की धुरी है $b$-अक्ष और वह प्रदान किया $2πx(t)$ कभी भी ऋणात्मक नहीं होता, क्षेत्रफल द्वारा दिया जाता है
 * $$ A_x = 2 \pi \int_a^b y(t) \, \sqrt{\left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dy \over dt}\right)^2} \, dt. $$

यदि फ़ंक्शन द्वारा निरंतर वक्र का वर्णन किया गया है $y(t)$, $y = f(x)$, तो अभिन्न बन जाता है


 * $$A_x = 2\pi\int_a^b y \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx = 2\pi\int_a^bf(x)\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2} \, dx$$

चारों ओर क्रांति के लिए $x$-अक्ष, और


 * $$A_y =2\pi\int_a^b x \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx$$

वाई-अक्ष के चारों ओर क्रांति के लिए (बशर्ते $a ≤ x ≤ b$). ये उपरोक्त सूत्र से आते हैं। उदाहरण के लिए, इकाई त्रिज्या वाला गोला वक्र द्वारा उत्पन्न होता है $a ≥ 0$, $y(t) = sin(t)$, कब $x$ के दायरे में है $x(t) = cos(t)$. इसलिए इसका क्षेत्रफल है
 * $$\begin{align}

A &{}= 2 \pi \int_0^\pi \sin(t) \sqrt{\big(\cos(t)\big)^2 + \big(\sin(t)\big)^2} \, dt \\ &{}= 2 \pi \int_0^\pi \sin(t) \, dt \\ &{}= 4\pi. \end{align}$$ त्रिज्या के साथ गोलाकार वक्र के मामले में $t$, $[0,π]$ के बारे में घुमाया गया $r$-एक्सिस
 * $$\begin{align}

A &{}= 2 \pi \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2}\,\sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\ &{}= 2 \pi r\int_{-r}^{r} \,\sqrt{r^2 - x^2}\,\sqrt{\frac{1}{r^2 - x^2}}\,dx \\ &{}= 2 \pi r\int_{-r}^{r} \,dx \\ &{}= 4 \pi r^2\, \end{align}$$ क्रांति की एक न्यूनतम सतह दो दिए गए बिंदुओं के बीच वक्र की क्रांति की सतह है जो गणितीय अनुकूलन सतह क्षेत्र है। भिन्नताओं की कलन में एक बुनियादी समस्या दो बिंदुओं के बीच वक्र का पता लगाना है जो क्रांति की इस न्यूनतम सतह को उत्पन्न करता है।

क्रांति की केवल दो न्यूनतम सतहें हैं (क्रांति की सतहें जो न्यूनतम सतहें भी हैं): समतल (ज्यामिति) और कैटेनॉइड।

समन्वय भाव
द्वारा वर्णित वक्र को घुमाकर दी गई क्रांति की सतह $$y = f(x)$$ एक्स-अक्ष के आसपास सबसे सरल रूप से वर्णित किया जा सकता है $$y^2+z^2 = f(x)^2$$. यह के संदर्भ में parametrization पैदा करता है $$x$$ और $$\theta$$ जैसा $$(x,f(x) \cos(\theta), f(x) \sin(\theta))$$. यदि इसके बजाय हम वक्र को y-अक्ष के चारों ओर घुमाते हैं, तो वक्र द्वारा वर्णित किया जाता है $$y = f(\sqrt{x^2+z^2})$$, अभिव्यक्ति दे रहा है $$(x \cos(\theta), f(x), x \sin(\theta))$$ मापदंडों के संदर्भ में $$x$$ और $$\theta$$.

यदि x और y को एक प्राचल के रूप में परिभाषित किया जाता है $$t$$, तो हम के संदर्भ में एक parametrization प्राप्त करते हैं $$t$$ और $$\theta$$. अगर $$x$$ और $$y$$ के कार्य हैं $$t$$, तो एक्स-अक्ष के चारों ओर वक्र की परिक्रमा करके प्राप्त क्रांति की सतह द्वारा वर्णित है $$(x(t),y(t)\cos(\theta), y(t)\sin(\theta))$$, और वक्र को y-अक्ष के चारों ओर घुमाकर प्राप्त क्रांति की सतह द्वारा वर्णित है $$(x(t)\cos(\theta),y(t),x(t)\sin(\theta) )$$.

जियोडेसिक्स
मेरिडियन (भूगोल) क्रांति की सतह पर हमेशा भूगर्भिक होते हैं। अन्य जियोडेसिक्स क्लेराट के संबंध द्वारा शासित होते हैं।

टॉरॉयड्स
एक छिद्र के साथ परिक्रमण की सतह, जहाँ परिक्रमण की धुरी सतह को नहीं काटती है, टोरॉयड कहलाती है। उदाहरण के लिए, जब एक आयत को उसके किनारों में से एक के समानांतर अक्ष के चारों ओर घुमाया जाता है, तो एक खोखला वर्ग-अनुभाग वलय उत्पन्न होता है। यदि घूमी हुई आकृति एक वृत्त है, तो वस्तु को टोरस कहा जाता है।

अनुप्रयोग
भौतिकी और इंजीनियरिंग के कई क्षेत्रों में क्रांति की सतहों का उपयोग आवश्यक है। जब कुछ वस्तुओं को डिजिटल रूप से डिजाइन किया जाता है, तो इस तरह की क्रांतियों का उपयोग डिजाइन की जा रही वस्तु की लंबाई और त्रिज्या को मापने के उपयोग के बिना सतह क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * चैनल सतह, क्रांति की सतह का एक सामान्यीकरण
 * गेब्रियल हॉर्न
 * सामान्यीकृत हेलिकॉइड
 * नींबू (ज्यामिति), एक गोलाकार चाप की क्रांति की सतह
 * लिउविल सतह, क्रांति की सतह का एक और सामान्यीकरण
 * क्रांति का ठोस
 * उपगोल
 * भूतल अभिन्न
 * अनुवाद सतह (अंतर ज्यामिति)