स्टोक्स स्ट्रीम फ़ंक्शन

द्रव गतिकी में, स्टोक्स स्ट्रीम फ़ंक्शन का उपयोग अक्षसममिति के साथ त्रि-आयामी असंपीड्य प्रवाह में धारारेखा और प्रवाह वेग का वर्णन करने के लिए किया जाता है। स्टोक्स स्ट्रीम फ़ंक्शन के निरंतर मूल्य वाली एक सतह एक स्ट्रीमट्यूब को घेरती है, जो हर जगह प्रवाह वेग वैक्टर के स्पर्शरेखा है। इसके अतिरिक्त, इस स्ट्रीमट्यूब के भीतर वॉल्यूम फ्लक्स स्थिर है, और प्रवाह की सभी स्ट्रीमलाइनें इस सतह पर स्थित हैं। स्टोक्स स्ट्रीम फ़ंक्शन से जुड़ा वेग क्षेत्र सोलेनोइडल है - इसमें शून्य विचलन है। इस स्ट्रीम फ़ंक्शन का नाम जॉर्ज गैब्रियल स्टोक्स के सम्मान में रखा गया है।

बेलनाकार निर्देशांक
एक बेलनाकार समन्वय प्रणाली ( ρ, φ , z ) पर विचार करें, जिसमें z-अक्ष वह रेखा है जिसके चारों ओर असम्पीडित प्रवाह अक्ष-सममित है, φ अज़ीमुथल कोण और ρ z-अक्ष की दूरी है। तब प्रवाह वेग घटकों uρऔर uz को स्टोक्स स्ट्रीम फ़ंक्शन $$\Psi$$ के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

\begin{align} u_\rho &= - \frac{1}{\rho}\, \frac{\partial \Psi}{\partial z}, \\ u_z    &= + \frac{1}{\rho}\, \frac{\partial \Psi}{\partial \rho}. \end{align} $$ दिगंशीय वेग घटक uφ धारा फ़ंक्शन पर निर्भर नहीं करता है। अक्षसममिति के कारण, सभी तीन वेग घटक ( uρ, uφ , uz) केवल ρ और z पर निर्भर करते हैं, अज़ीमुथ φ पर नहीं।

स्टोक्स स्ट्रीम फ़ंक्शन के स्थिर मान ψ से घिरी सतह के माध्यम से आयतन प्रवाह, 2π ψ के बराबर है।

गोलाकार निर्देशांक
गोलाकार निर्देशांक (r, θ , φ) में, r मूल बिंदु से रेडियल दूरी है, θ आंचल कोण है और φ अज़ीमुथल कोण है। अक्षीय सममिति प्रवाह में, θ = 0 घूर्णी समरूपता अक्ष के साथ, प्रवाह का वर्णन करने वाली मात्राएँ फिर से दिगंश φ से स्वतंत्र होती हैं। प्रवाह वेग घटक ur और uθ स्टोक्स स्ट्रीम फ़ंक्शन $$\Psi$$ से संबंधित हैं:

\begin{align} u_r     &= + \frac{1}{r^2\, \sin \theta}\, \frac{\partial \Psi}{\partial \theta}, \\ u_\theta &= - \frac{1}{r\, \sin \theta}\, \frac{\partial \Psi}{\partial r}. \end{align} $$ पुनः, अज़ीमुथल वेग घटक uφ स्टोक्स स्ट्रीम फ़ंक्शन ψ का एक फ़ंक्शन नहीं है। स्थिरांक ψ की सतह से घिरी एक धारा ट्यूब के माध्यम से प्रवाह की मात्रा, पहले की तरह, 2π ψ के बराबर होती है।

वर्टिसिटी
वर्टिसिटी को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:


 * $$\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \boldsymbol{u} = \nabla \times \nabla \times \boldsymbol{\psi}$$,
 * जहाँ $$\boldsymbol{\psi}=-\frac{\Psi}{r\sin\theta}\boldsymbol{\hat \phi},$$

$$\boldsymbol{\hat \phi}$$ के साथ,$$\phi\,$$-दिशा में इकाई वेक्टर
 * {| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"

!स्टोक्स स्ट्रीम फ़ंक्शन का उपयोग करके वर्टिसिटी की व्युत्पत्ति 𝜔
 * Consider the vorticity as defined by
 * Consider the vorticity as defined by


 * $$\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \boldsymbol{u}.$$

From the definition of the curl in spherical coordinates:



\begin{align} \omega_r     &= {1 \over r\sin\theta}\left({\partial \over \partial \theta} \left( u_\phi\sin\theta \right) - {\partial u_\theta \over \partial \phi}\right) \boldsymbol{\hat r}, \\ \omega_\theta &= {1 \over r}\left({1 \over \sin\theta}{\partial u_r \over \partial \phi} - {\partial \over \partial r} \left( r u_\phi \right) \right) \boldsymbol{\hat \theta}, \\ \omega_\phi  &= {1 \over r}\left({\partial \over \partial r} \left( r u_\theta \right) - {\partial u_r \over \partial \theta}\right) \boldsymbol{\hat \phi}. \end{align} $$

First notice that the $$r$$ and $$\theta$$ components are equal to 0. Secondly substitute $$u_r$$ and $$u_\theta$$ into $$\omega_\phi.$$ The result is:



\begin{align} \omega_r     &= 0, \\ \omega_\theta &= 0, \\ \omega_\phi  &= {1 \over r}\left({\partial \over \partial r} \left( r \left(-\frac{1}{r \sin\theta}\frac{\partial\Psi}{\partial r}\right) \right) - {\partial \over \partial \theta}\left(\frac{1}{r^2 \sin\theta}\frac{\partial\Psi}{\partial \theta}\right)\right). \end{align} $$

Next the following algebra is performed:



\begin{align} \omega_\phi  &= {1 \over r}\left(-\frac{1}{\sin\theta}\left({\partial \over \partial r} \left(\frac{\partial\Psi}{\partial r}\right)\right) - \frac{1}{r^2 }{\partial \over \partial \theta}\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial\Psi}{\partial \theta}\right)\right) \\ &= {1 \over r}\left(-\frac{1}{\sin\theta}\left(\frac{\partial^2\Psi}{\partial r^2}\right) - \frac{\sin\theta}{r^2 \sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial\Psi}{\partial \theta}\right)\right) \\ &= -\frac{1}{r\sin\theta} \left(\frac{\partial^2\Psi}{\partial r^2} + \frac{\sin\theta}{r^2}{\partial \over \partial \theta}\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial\Psi}{\partial \theta}\right)\right). \end{align} $$ परिणामस्वरूप, गणना से वर्टिसिटी वेक्टर इसके बराबर पाया जाता है:
 * }


 * $$\boldsymbol{\omega} =

\begin{pmatrix} 0 \\[1ex] 0 \\[1ex] \displaystyle -\frac{1}{r\sin\theta} \left(\frac{\partial^2\Psi}{\partial r^2} + \frac{\sin\theta}{r^2}{\partial \over \partial \theta}\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial\Psi}{\partial \theta}\right)\right) \end{pmatrix}. $$

बेलनाकार के साथ तुलना
बेलनाकार और गोलाकार समन्वय प्रणालियाँ संबंधित हैं


 * $$z = r\, \cos\theta\,$$ और $$\rho = r\, \sin\theta.\,$$

विपरीत चिह्न के साथ वैकल्पिक परिभाषा
जैसा कि सामान्य स्ट्रीम फ़ंक्शन लेख में बताया गया है, स्टोक्स स्ट्रीम फ़ंक्शन और प्रवाह वेग के बीच संबंध के लिए - विपरीत संकेत फ़ंक्शन का उपयोग करने वाली परिभाषाएं भी उपयोग में हैं।

शून्य विचलन
बेलनाकार निर्देशांक में, वेग क्षेत्र का विचलन u हो जाता है:

\begin{align} \nabla \cdot \boldsymbol{u} &= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho}\Bigl( \rho\, u_\rho \Bigr) + \frac{\partial u_z}{\partial z}  \\ &= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} \left( - \frac{\partial \Psi}{\partial z} \right) + \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{1}{\rho} \frac{\partial \Psi}{\partial \rho} \right) = 0, \end{align} $$ जैसा कि एक असम्पीडित प्रवाह के लिए अपेक्षित था।

और गोलाकार निर्देशांक में:

\begin{align} \nabla \cdot \boldsymbol{u} &= \frac{1}{r\, \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta}( u_\theta\, \sin\theta) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\Bigl( r^2\, u_r \Bigr) \\ &=  \frac{1}{r\, \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( - \frac{1}{r} \frac{\partial \Psi}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial \Psi}{\partial \theta} \right) = 0. \end{align} $$

निरंतर स्ट्रीम फ़ंक्शन के वक्र के रूप में सुव्यवस्थित करें
कैलकुलस से, यह ज्ञात होता है कि ग्रेडिएंट वेक्टर $$\nabla \Psi$$ वक्र $$\Psi = C$$ के लिए सामान्य है (उदाहरण के लिए लेवल सेट#लेवल सेट बनाम ग्रेडिएंट देखें)। यदि यह दिखाया गया है कि हर जगह $$\boldsymbol{u} \cdot \nabla \Psi = 0,$$ के संदर्भ में $$\boldsymbol{u}$$ के सूत्र का उपयोग किया जाता है

$$\Psi,$$ तो इससे सिद्ध होता है कि $$\Psi$$ के स्तर वक्र सुव्यवस्थित हैं।

बेलनाकार निर्देशांक में,
 * बेलनाकार निर्देशांक


 * $$\nabla \Psi = {\partial \Psi \over \partial \rho} \boldsymbol{e}_\rho + {\partial \Psi \over \partial z} \boldsymbol{e}_z$$.

और



\boldsymbol{u} = u_\rho \boldsymbol{e}_\rho + u_z \boldsymbol{e}_z = - {1 \over \rho} {\partial \Psi \over \partial z} \boldsymbol{e}_\rho + {1 \over \rho} {\partial \Psi \over \partial \rho} \boldsymbol{e}_z. $$ चूँकि


 * $$\nabla \Psi \cdot \boldsymbol{u} = {\partial \Psi \over \partial \rho} (- {1 \over \rho} {\partial \Psi \over \partial z}) + {\partial \Psi \over \partial z} {1 \over \rho} {\partial \Psi \over \partial \rho} = 0. $$

और गोलाकार निर्देशांक में
 * गोलाकार निर्देशांक


 * $$\nabla \Psi = {\partial \Psi \over \partial r} \boldsymbol{e}_r + {1 \over r} {\partial \Psi \over \partial \theta} \boldsymbol{e}_\theta$$

और



\boldsymbol{u} = u_r \boldsymbol{e}_r + u_\theta \boldsymbol{e}_\theta = {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \Psi \over \partial \theta} \boldsymbol{e}_r - {1 \over r \sin \theta} {\partial \Psi \over \partial r} \boldsymbol{e}_\theta. $$ चूँकि


 * $$\nabla \Psi \cdot \boldsymbol{u} = {\partial \Psi \over \partial r} \cdot {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \Psi \over \partial \theta} + {1 \over r} {\partial \Psi \over \partial \theta} \cdot \Big( - {1 \over r \sin \theta} {\partial \Psi \over \partial r} \Big) = 0 .$$

संदर्भ

 * Originally published in 1879, the 6th extended edition appeared first in 1932.
 * Reprinted in:
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