आंतरिक पुनर्निर्माण

डिजिटल इमेजिंग में पुनरावृत्त पुनर्निर्माण में, आंतरिक पुनर्निर्माण (जिसे दृश्य के सीमित क्षेत्र (एलएफवी) पुनर्निर्माण के रूप में भी जाना जाता है) छवि डेटा को दृश्य के एक छोटे क्षेत्र तक सीमित करने के कारण होने वाली ट्रंकेशन कलाकृतियों को सही करने की एक तकनीक है। पुनर्निर्माण एक ऐसे क्षेत्र पर केंद्रित है जिसे रुचि का क्षेत्र (आरओआई) कहा जाता है। यद्यपि आंतरिक पुनर्निर्माण को दंत या कार्डियक एक्स-रे कंप्यूटेड टोमोग्राफी छवियों पर लागू किया जा सकता है, यह अवधारणा सीटी तक सीमित नहीं है। इसे कई तरीकों में से एक के साथ लागू किया जाता है।

तरीके
प्रत्येक विधि का उद्देश्य वेक्टर का समाधान करना है $$x$$ निम्नलिखित समस्या में:



\begin{bmatrix} f \\ g \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}. $$

होने देना $$X$$ रुचि का क्षेत्र हो (आरओआई) और $$Y$$ के बाहर का क्षेत्र हो $$X$$. मान लीजिए $$A$$, $$B$$, $$C$$, $$D$$ ज्ञात आव्यूह हैं; $$x$$ और $$y$$ जबकि, मूल छवि के अज्ञात वेक्टर हैं $$f$$ और $$g$$ प्रतिक्रियाओं के वेक्टर माप हैं ($$f$$ ज्ञात है और $$g$$ अज्ञात है)। $$x$$ क्षेत्र के अंदर है $$X$$, ($$x \in X$$) और $$y$$, क्षेत्र में $$Y$$, ($$y  \in Y$$), क्षेत्र से बाहर है $$X$$. $$f$$ के अनुरूप माप में एक क्षेत्र के अंदर है $$X$$. इस क्षेत्र को इस रूप में दर्शाया गया है $$F$$, ($$f \in F$$), जबकि $$g$$ क्षेत्र से बाहर है $$F$$. यह मेल खाता है $$Y$$ और के रूप में दर्शाया गया है $$G$$, ($$g \in G$$).

सीटी छवि-पुनर्निर्माण उद्देश्यों के लिए, $$ C = 0 $$.

आंतरिक पुनर्निर्माण की अवधारणा को सरल बनाने के लिए, मैट्रिक्स $$A$$, $$B$$, $$C$$, $$D$$ जटिल ऑपरेटर (गणित) के बजाय छवि पुनर्निर्माण के लिए लागू किया जाता है।

नीचे सूचीबद्ध पहली आंतरिक-पुनर्निर्माण विधि एक्सट्रपलेशन है। यह एक स्थानीय टोमोग्राफी विधि है जो ट्रंकेशन कलाकृतियों को समाप्त करती है लेकिन एक अन्य प्रकार की कलाकृतियों का परिचय देती है: एक कटोरा प्रभाव। एक सुधार को अनुकूली एक्सट्रपलेशन विधि के रूप में जाना जाता है, हालांकि नीचे दी गई पुनरावृत्त एक्सट्रपलेशन विधि भी पुनर्निर्माण परिणामों में सुधार करती है। कुछ मामलों में, आंतरिक पुनर्निर्माण के लिए सटीक पुनर्निर्माण पाया जा सकता है। नीचे दी गई स्थानीय उलटा विधि स्थानीय टोमोग्राफी विधि को संशोधित करती है, और स्थानीय टोमोग्राफी के पुनर्निर्माण परिणाम में सुधार कर सकती है; पुनरावृत्तीय पुनर्निर्माण पद्धति को आंतरिक पुनर्निर्माण पर लागू किया जा सकता है। उपरोक्त विधियों में, एक्सट्रपलेशन को अक्सर लागू किया जाता है।

एक्सट्रपलेशन विधि
f \\ g \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} $$

$$A$$, $$B$$, $$C$$, $$D$$ ज्ञात आव्यूह हैं; $$x$$ और $$y$$ अज्ञात सदिश हैं; $$f$$ एक ज्ञात वेक्टर है, और $$g$$ एक अज्ञात वेक्टर है. हमें वेक्टर को जानना होगा $$x$$. $$x$$ और $$y$$ जबकि, मूल छवि हैं $$f$$ और $$g$$ प्रतिक्रियाओं का माप हैं. वेक्टर $$x$$ रुचि के क्षेत्र के अंदर है $$X$$, ($$x \in X$$). वेक्टर $$y$$ क्षेत्र से बाहर है $$X$$. बाहरी क्षेत्र को कहा जाता है $$Y$$, ($$y \in Y$$) और $$f$$ के अनुरूप माप में एक क्षेत्र के अंदर है $$X$$. इस क्षेत्र को दर्शाया गया है $$F$$, ($$f \in F$$). वेक्टर का क्षेत्र $$g$$ (क्षेत्र के बाहर $$F$$) से भी मेल खाता है $$Y$$ और के रूप में दर्शाया गया है $$G$$, ($$g \in G$$). सीटी छवि पुनर्निर्माण में, यह है
 * $$ C = 0 $$

आंतरिक पुनर्निर्माण की अवधारणा को सरल बनाने के लिए, मैट्रिक्स $$A$$, $$B$$, $$C$$, $$D$$ एक जटिल ऑपरेटर के बजाय छवि पुनर्निर्माण के लिए लागू किया जाता है।

बाहरी क्षेत्र में प्रतिक्रिया का अंदाजा लगाया जा सकता है $$G$$; उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि यह है $$g_{ex}$$

\begin{bmatrix} x_0 \\ y_0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} f \\ g_{ex} \end{bmatrix} $$

का एक समाधान $$x$$ के रूप में लिखा गया है $$x_0$$, और इसे एक्सट्रपलेशन विधि के रूप में जाना जाता है। परिणाम इस बात पर निर्भर करता है कि एक्सट्रपलेशन फ़ंक्शन कितना अच्छा है $$g_{ex}$$ है। एक बारंबार पसंद है


 * $$g_{ex}|_{\partial G}=f |_{\partial F}$$

दो क्षेत्रों की सीमा पर. एक्सट्रपलेशन विधि को अक्सर प्राथमिक ज्ञान के साथ जोड़ दिया जाता है, और एक एक्सट्रपलेशन विधि जो गणना समय को कम करती है, नीचे दिखाई गई है।

अनुकूली एक्सट्रपलेशन विधि
एक मोटा समाधान मान लें, $$x_0$$ और $$y_0$$, ऊपर वर्णित एक्सट्रपलेशन विधि से प्राप्त किया गया है। बाहरी क्षेत्र में प्रतिक्रिया $$g_1$$ इसकी गणना इस प्रकार की जा सकती है:



g_1 = C x_0+D y_0 $$ पुनर्निर्मित छवि की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:



\begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} f \\ g_1+g_{1ex} \end{bmatrix} $$ यह मान लिया है कि
 * $$f |_{\partial F}=(g_1+g_{1ex})|_{\partial G}$$ आंतरिक क्षेत्र की सीमा पर; $$x_1$$ समस्या का समाधान करता है, और इसे अनुकूली एक्सट्रपलेशन विधि के रूप में जाना जाता है।

$$g_{1ex}$$ अनुकूली एक्सट्रपलेशन फ़ंक्शन है।

पुनरावृत्त एक्सट्रपलेशन विधि
यह माना जाता है कि एक मोटा समाधान, $$x_0$$ और $$y_0$$, नीचे वर्णित एक्सट्रपलेशन विधि से प्राप्त किया गया है:



\begin{bmatrix} f_1 \\ g_1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ y_0 \end{bmatrix} $$ या



f_1=B y_0 $$ पुनर्निर्माण के रूप में प्राप्त किया जा सकता है



\begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} f - f_1 \\ g_{ex} \end{bmatrix} $$ यहाँ $$g_{1ex}$$ एक एक्सट्रपलेशन फ़ंक्शन है, और यह माना जाता है
 * $$(f-f_1)|_{\partial F}=g_{1ex}|_{\partial G}$$

$$x_1$$ इस समस्या का एक समाधान है.

स्थानीय टोमोग्राफी
बहुत छोटे फिल्टर वाली स्थानीय टोमोग्राफी को लैम्ब्डा टोमोग्राफी के रूप में भी जाना जाता है।

स्थानीय व्युत्क्रम विधि
स्थानीय व्युत्क्रम विधि स्थानीय टोमोग्राफी की अवधारणा का विस्तार करती है। बाहरी क्षेत्र में प्रतिक्रिया की गणना इस प्रकार की जा सकती है:



f = A x + B y $$ सामान्यीकृत व्युत्क्रम पर विचार करें $$B^+$$ संतुष्टि देने वाला
 * $$B B^+ B = B $$

परिभाषित करना
 * $$Q=[I-BB^+]$$

ताकि
 * $$QB = 0$$

इस तरह,


 * $$Q f = Q A x$$

उपरोक्त समीकरण को इस प्रकार हल किया जा सकता है
 * $$x_1 = A^+ Q^+ Q f$$,

ध्यान में रख कर
 * $$QQ = Q $$
 * $$QQQ = Q $$

$$Q$$ का सामान्यीकृत व्युत्क्रम है $$Q$$, अर्थात।
 * $$Q^+ = Q $$

समाधान को इस प्रकार सरल बनाया जा सकता है
 * $$x_1 = A^+ Q f$$.

गणित का सवाल $$A^+Q = A^+ [I-BB^+]$$ मैट्रिक्स (गणित) के स्थानीय व्युत्क्रम के रूप में जाना जाता है $${\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \\ \end{bmatrix}} $$, तदनुसार $$A$$. इसे स्थानीय व्युत्क्रम विधि के रूप में जाना जाता है।

पुनरावृत्तीय पुनर्निर्माण विधि
यहां एक लक्ष्य फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है, और यह विधि लक्ष्य को पुनरावृत्त रूप से प्राप्त करती है। यदि लक्ष्य फ़ंक्शन किसी प्रकार का सामान्य हो सकता है, तो इसे न्यूनतम मानक विधि के रूप में जाना जाता है।


 * $$ \min( R\|x\| + S\|y\|+T\|g\|)$$,

का विषय है



\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} f \\ g \end{bmatrix} $$ और $$ f$$ ज्ञात है,

कहाँ $$R$$, $$S$$ और $$ T $$ न्यूनतमकरण के भार स्थिरांक हैं और $$\|\cdot\|$$ एक प्रकार का नॉर्म (गणित) है। अक्सर उपयोग किए जाने वाले मानदंड हैं $$L_0$$, $$L_1$$, $$L_2$$, $$L_{+\infty}$$ कुल भिन्नता (टीवी) मानदंड या उपरोक्त मानदंडों का संयोजन। इस विधि का एक उदाहरण उत्तल सेट (पीओसीएस) विधि पर प्रक्षेपण है।

विश्लेषणात्मक समाधान
विशेष परिस्थितियों में, आंतरिक पुनर्निर्माण को एक विश्लेषणात्मक समाधान के रूप में प्राप्त किया जा सकता है; का समाधान $$x$$ ऐसे मामलों में सटीक है.

तेज़ एक्सट्रपलेशन
एक्सट्रपोलेटेड डेटा अक्सर सकारात्मक-निश्चित कर्नेल में कनवल्शन होता है। डेटा को एक्सट्रपलेशन के बाद इसका आकार N गुना बढ़ जाता है, जहां N = 2 ~ 3. यदि डेटा को ज्ञात कर्नेल फ़ंक्शन में संयोजित करने की आवश्यकता है, तो संख्यात्मक गणना लॉग (N)·N गुना बढ़ जाएगी, यहां तक ​​कि तेज़ फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्मFFT) के साथ भी। एक एल्गोरिदम मौजूद है, जो एक्सट्रपलेटेड डेटा के हिस्से से योगदान की विश्लेषणात्मक गणना करता है। मूल कनवल्शन गणना की तुलना में गणना समय छोड़ा जा सकता है; इस कलन विधि  के साथ, एक्सट्रपोलेटेड डेटा का उपयोग करके कनवल्शन की गणना में उल्लेखनीय वृद्धि नहीं होती है। इसे तीव्र एक्सट्रपलेशन के रूप में जाना जाता है।

तरीकों की तुलना
एक्सट्रपलेशन विधि ऐसी स्थिति में उपयुक्त होती है
 * $$ |x| > |y|  $$ और $$ |X| > |Y|$$
 * यानी एक छोटी काट-छाँट कलाकृतियों की स्थिति।

अनुकूली एक्सट्रपलेशन विधि ऐसी स्थिति के लिए उपयुक्त है
 * $$ |x|  \sim |y|  $$ और $$ |X| \sim  |Y|$$
 * यानी एक सामान्य ट्रंकेशन कलाकृतियों की स्थिति। यह विधि बाहरी क्षेत्र के लिए एक मोटा समाधान भी प्रस्तुत करती है।

पुनरावृत्त एक्सट्रपलेशन विधि ऐसी स्थिति के लिए उपयुक्त है
 * $$ |x|  \sim |y|  $$ और $$ |X| \sim  |Y|$$
 * यानी एक सामान्य ट्रंकेशन कलाकृतियों की स्थिति। यद्यपि यह विधि अनुकूली पुनर्निर्माण की तुलना में बेहतर आंतरिक पुनर्निर्माण प्राप्त करती है, लेकिन बाहरी क्षेत्र में इसका परिणाम नहीं मिलता है।

ऐसी स्थिति के लिए स्थानीय टोमोग्राफी उपयुक्त है
 * $$ |x| \ll |y|  $$ और $$ |X| \ll |Y|$$
 * यानी सबसे बड़ी ट्रंकेशन कलाकृतियों की स्थिति। हालाँकि इस पद्धति में कोई काट-छाँट कलाकृतियाँ नहीं हैं, फिर भी एक निश्चित त्रुटि है (मूल्य से स्वतंत्र)। $$|y|$$) पुनर्निर्माण में।

स्थानीय व्युत्क्रम विधि, स्थानीय टोमोग्राफी के समान, ऐसी स्थिति में उपयुक्त है
 * $$ |x| \ll |y|  $$ और $$ |X| \ll |Y|$$
 * यानी सबसे बड़ी ट्रंकेशन कलाकृतियों की स्थिति। हालाँकि इस विधि के लिए कोई काट-छाँट कलाकृतियाँ नहीं हैं, फिर भी एक निश्चित त्रुटि है (मूल्य से स्वतंत्र)। $$|y|$$) पुनर्निर्माण में जो स्थानीय टोमोग्राफी से छोटा हो सकता है।

पुनरावृत्तीय पुनर्निर्माण विधि बड़ी गणनाओं के साथ अच्छा परिणाम प्राप्त करती है। यद्यपि विश्लेषणात्मक विधि सटीक परिणाम प्राप्त करती है, यह केवल कुछ स्थितियों में ही कार्यात्मक होती है। तेज़ एक्सट्रपलेशन विधि अन्य एक्सट्रपलेशन विधियों के समान परिणाम प्राप्त कर सकती है, और गणना को कम करने के लिए उपरोक्त आंतरिक पुनर्निर्माण विधियों पर लागू किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * भविष्यवाणी
 * न्यूनतम बहुपद एक्सट्रपलेशन
 * मल्टीग्रिड विधि
 * भविष्यवाणी अंतराल
 * प्रतिगमन विश्लेषण
 * रिचर्डसन एक्सट्रपलेशन
 * स्थिर विश्लेषण
 * रुझान अनुमान
 * प्रक्षेप
 * एक्सट्रपलेशन डोमेन विश्लेषण
 * मृत गणना
 * छवि पुनर्निर्माण
 * स्थानीय उलटा
 * सामान्यीकृत उलटा
 * एक्सट्रपोलेशन

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