पायथागॉरियन टाइलिंग

एक पायथागॉरियन खपरैल या दो वर्ग चौकोर दो अलग-अलग आकारों के वर्ग (ज्यामिति) द्वारा एक यूक्लिडियन ज्यामिति विमान का एक टेसलेशन है, जिसमें प्रत्येक वर्ग अपने चार पक्षों पर दूसरे आकार के चार वर्गों को छूता है। पायथागॉरियन प्रमेय के कई प्रमाण|पाइथागोरस प्रमेय इस पर आधारित हैं, इसका नाम समझाते हुए। यह आमतौर पर टाइल # फ्लोर टाइल्स के लिए एक पैटर्न के रूप में उपयोग किया जाता है। इसके लिए उपयोग किए जाने पर इसे हॉपस्कॉच पैटर्न के रूप में भी जाना जाता है या पिनव्हील पैटर्न, लेकिन इसे गणितीय पिनव्हील टाइलिंग, एक असंबंधित पैटर्न के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। इस टाइलिंग में इसके प्रत्येक वर्ग के चारों ओर चार-तरफ़ा घूर्णी समरूपता है। जब दो वर्गों की भुजाओं की लंबाई का अनुपात एक अपरिमेय संख्या होती है जैसे कि सुनहरा अनुपात, तो इसके क्रॉस-सेक्शन फाइबोनैचि शब्द के समान पुनरावर्ती संरचना के साथ एपेरियोडिक टाइलिंग बनाते हैं। इस टाइलिंग के तीन आयामों के सामान्यीकरण का भी अध्ययन किया गया है।

टोपोलॉजी और समरूपता
पायथागॉरियन खपरैल दो अलग-अलग आकारों के वर्गों द्वारा अद्वितीय खपरैल है जो दोनों एकतरफा है (कोई भी दो वर्गों का एक आम पक्ष नहीं है) और समसंक्रमणीय (एक ही आकार के प्रत्येक दो वर्गों को खपरैल की समरूपता द्वारा एक दूसरे में मैप किया जा सकता है)। टोपोलॉजिकल रूप से, पायथागॉरियन टाइलिंग में समान संरचना होती है जैसे वर्गों और नियमित अष्टकोणों द्वारा काट-छाँट वर्ग टाइलिंग। पाइथागोरस की खपरैल में छोटे वर्ग चार बड़ी टाइलों से सटे हुए हैं, जैसे कि छोटे चौकोर खपरैल में वर्ग हैं, जबकि पाइथागोरस की खपरैल में बड़े वर्ग आठ पड़ोसियों से सटे हुए हैं, जो बड़े और छोटे के बीच वैकल्पिक होते हैं, जैसे कि अष्टकोण कटा हुआ वर्ग टाइलिंग। हालांकि, दो झुकावों में समरूपता के अलग-अलग सेट होते हैं, क्योंकि छोटा वर्ग टाइलिंग दर्पण प्रतिबिंबों के तहत सममित होता है जबकि पायथागॉरियन टाइलिंग नहीं है। गणितीय रूप से, इसे यह कहकर समझाया जा सकता है कि काटे गए वर्ग टाइलिंग में प्रत्येक टाइल के केंद्र के चारों ओर डायहेड्रल समूह समरूपता होती है, जबकि पायथागॉरियन टाइलिंग में संबंधित बिंदुओं के चारों ओर समरूपता का एक छोटा चक्रीय समूह सेट होता है, जो इसे वॉलपेपर समूह#समूह p4 देता है। यह एक chiral पैटर्न है, जिसका अर्थ है कि केवल अनुवाद और घुमाव का उपयोग करके इसे अपनी दर्पण छवि के शीर्ष पर रखना असंभव है।

एक समान टाइलिंग एक टाइलिंग है जिसमें प्रत्येक टाइल एक नियमित बहुभुज है और जिसमें टाइलिंग की समरूपता द्वारा प्रत्येक शीर्ष को हर दूसरे शीर्ष पर मैप किया जा सकता है। आम तौर पर, समान टाइलिंग के लिए अतिरिक्त रूप से टाइल्स की आवश्यकता होती है जो किनारे से किनारे तक मिलती हैं, लेकिन यदि इस आवश्यकता को आराम दिया जाता है तो आठ अतिरिक्त समान टाइलिंग होते हैं। चार वर्गों या समबाहु त्रिभुजों की अनंत पट्टियों से बनते हैं, और तीन समबाहु त्रिभुजों और नियमित षट्भुजों से बनते हैं। शेष एक पायथागॉरियन टाइलिंग है।

पाइथागोरस प्रमेय और विच्छेदन
इस टाइलिंग को पायथागॉरियन टाइलिंग कहा जाता है क्योंकि इसका उपयोग नौवीं शताब्दी के इस्लामी गणितज्ञों अल-नायरीज़ी और थाबित इब्न कुर्रा और 19वीं शताब्दी के ब्रिटिश शौकिया गणितज्ञ हेनरी पेरिगल द्वारा पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण के आधार के रूप में किया गया है। यदि टाइलिंग बनाने वाले दो वर्गों की भुजाएँ a और b हैं, तो सर्वांगसम वर्गों पर संबंधित बिंदुओं के बीच की निकटतम दूरी c है, जहाँ c भुजाओं a और b वाले समकोण त्रिभुज के कर्ण की लंबाई है। उदाहरण के लिए, बाईं ओर के चित्रण में, पायथागॉरियन टाइलिंग में दो वर्गों की साइड लंबाई 5 और 12 यूनिट लंबी है, और ओवरलेइंग स्क्वायर टाइलिंग में टाइल्स की साइड लंबाई 13 है, जो पायथागॉरियन ट्रिपल (5,12) पर आधारित है। ,13).

पायथागॉरियन टाइलिंग पर पार्श्व लंबाई c के एक वर्ग ग्रिड को ओवरले करके, इसका उपयोग साइड c के एक एकल वर्ग में भुजाओं a और b के दो असमान वर्गों की पांच-टुकड़ा विच्छेदन समस्या उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है, यह दर्शाता है कि दो छोटे वर्गों में बड़े के समान क्षेत्र। इसी तरह, दो पाइथागोरियन टाइलिंग को ओवरले करने से दो असमान वर्गों के छह-पीस विच्छेदन को एक अलग दो असमान वर्गों में उत्पन्न करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है।

एपेरियोडिक क्रॉस सेक्शन
हालांकि पायथागॉरियन खपरैल अपने आप में आवधिक है (इसमें ट्रांसलेशनल समरूपता का एक वर्गाकार जाली है) इसके क्रॉस सेक्शन (ज्यामिति) का उपयोग एक-आयामी एपरियोडिक टाइलिंग अनुक्रम उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है। एपेरियोडिक अनुक्रमों के लिए क्लॉट्ज़ निर्माण में (क्लॉट्ज़ एक ब्लॉक के लिए एक जर्मन शब्द है), एक पायथागॉरियन टाइलिंग बनाता है जिसमें दो वर्ग होते हैं जिनके आकार दो पक्षों की लंबाई के बीच के अनुपात को एक अपरिमेय संख्या x बनाने के लिए चुने जाते हैं। फिर, कोई वर्गों के किनारों के समानांतर एक रेखा चुनता है, और रेखा द्वारा पार किए गए वर्गों के आकार से बाइनरी मानों का अनुक्रम बनाता है: 0 एक बड़े वर्ग के क्रॉसिंग से मेल खाता है और 1 क्रॉसिंग से मेल खाता है एक छोटा वर्ग। इस क्रम में, 0s और 1s का आपेक्षिक अनुपात x:1 के अनुपात में होगा। यह अनुपात 0s और 1s के आवधिक अनुक्रम द्वारा प्राप्त नहीं किया जा सकता है, क्योंकि यह अपरिमेय है, इसलिए यह क्रम अपरिमित है।

यदि x को सुनहरे अनुपात के रूप में चुना जाता है, तो इस तरह से उत्पन्न 0s और 1s के अनुक्रम में फिबोनाची शब्द के समान पुनरावर्ती संरचना होती है: इसे 01 और 0 के रूप में सबस्ट्रिंग में विभाजित किया जा सकता है (अर्थात, कोई दो लगातार नहीं हैं वाले) और यदि इन दो सबस्ट्रिंग्स को लगातार छोटे स्ट्रिंग्स 0 और 1 से बदल दिया जाता है तो समान संरचना वाले दूसरे स्ट्रिंग का परिणाम मिलता है।

संबंधित परिणाम
केलर के अनुमान के अनुसार, सर्वांगसम वर्गों द्वारा समतल के किसी भी टाइलिंग में दो वर्ग शामिल होने चाहिए जो किनारे से किनारे तक मिलते हों। पायथागॉरियन टाइलिंग में कोई भी वर्ग किनारे से किनारे तक नहीं मिलता है, लेकिन यह तथ्य केलर के अनुमान का उल्लंघन नहीं करता है क्योंकि टाइल्स के अलग-अलग आकार होते हैं, इसलिए वे सभी एक दूसरे के अनुरूप नहीं होते हैं।

पायथागॉरियन टाइलिंग को दो अलग-अलग आकारों के क्यूब्स द्वारा यूक्लिडियन अंतरिक्ष के त्रि-आयामी टाइलिंग के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जो एकतरफा और समसंक्रमणीय भी है। अत्तिला बोल्स्की इस त्रि-आयामी टाइलिंग को रोजर्स फिलिंग कहते हैं। वह अनुमान लगाता है कि, तीन से अधिक किसी भी आयाम में, दो अलग-अलग आकारों के अतिविम्स द्वारा टाइलिंग स्पेस का एक अनूठा एकतरफा और समतुल्य तरीका है। बर्न्स और रिग्बी को कोच स्नोफ्लेक्स सहित कई प्रोटोटाइप के लिए मिले, जिनका उपयोग केवल दो या दो से अधिक विभिन्न आकारों में प्रोटोटाइल की प्रतियों का उपयोग करके विमान को टाइल करने के लिए किया जा सकता है। डेंजर, ग्रुनबाउम और शेफर्ड द्वारा पहले का पेपर एक और उदाहरण प्रदान करता है, एक उत्तल पेंटागन जो दो आकारों में संयुक्त होने पर ही विमान को टाइल करता है। हालांकि पायथागॉरियन टाइलिंग दो अलग-अलग आकार के वर्गों का उपयोग करती है, वर्ग में समान गुण नहीं होते हैं क्योंकि ये केवल समानता से टाइलिंग के प्रोटोटाइल होते हैं, क्योंकि एक ही आकार के केवल वर्गों का उपयोग करके विमान को टाइल करना भी संभव है।

आवेदन
पायथागॉरियन टाइलिंग का एक प्रारंभिक संरचनात्मक अनुप्रयोग लियोनार्डो दा विंची के कार्यों में दिखाई देता है, जिन्होंने इसे धरन के लिए कई अन्य संभावित पैटर्नों में से एक माना। इस टाइलिंग का लंबे समय से फर्श की टाइलों या अन्य समान पैटर्न के लिए सजावटी रूप से उपयोग किया जाता है, जैसा कि उदाहरण के लिए जैकब ओचटरवेल्ट की पेंटिंग स्ट्रीट म्यूज़िशियन एट द डोर (1665) में देखा जा सकता है। यह सुझाव दिया गया है कि पोलिक्रेट्स के महल में एक समान टाइलिंग को देखने से पाइथागोरस को अपने प्रमेय के लिए मूल प्रेरणा मिली होगी।

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * दरवाजे पर स्ट्रीट संगीतकार
 * कटा हुआ वर्ग टाइलिंग
 * अष्टकोना
 * नायरेज़
 * सही त्रिकोण
 * चौकोर जाली
 * लियोनार्डो दा विंसी
 * फर्श के टाइल