प्रक्षेपवक्र अनुकूलन

प्रक्षेपवक्र अनुकूलन प्रक्षेपवक्र को डिजाइन करने की प्रक्रिया है जो बाधाओं के  सेट को संतुष्ट करते हुए गणितीय अनुकूलन (या अधिकतम) प्रदर्शन के कुछ उपाय करता है। सामान्यतया, प्रक्षेपवक्र अनुकूलन  इष्टतम नियंत्रण समस्या के लिए  ओपन-लूप समाधान की गणना करने की  विधि है। यह अधिकांशतः उन प्रणालियों के लिए उपयोग किया जाता है जहां पूर्ण बंद-लूप समाधान की गणना करना आवश्यक नहीं है, यह अव्यावहारिक या असंभव है। यदि  प्रक्षेपवक्र अनुकूलन समस्या को लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक के व्युत्क्रम द्वारा दी गई दर पर हल किया जा सकता है, तो इसे कैराथियोडोरी-π समाधान के अर्थ में  बंद-लूप समाधान उत्पन्न करने के लिए पुनरावृत्त रूप से उपयोग किया जा सकता है। यदि अनंत-क्षितिज समस्या के लिए केवल प्रक्षेपवक्र का पहला चरण निष्पादित किया जाता है, तो इसे मॉडल भविष्यवाणी नियंत्रण | मॉडल प्रिडिक्टिव कंट्रोल (एमपीसी) के रूप में जाना जाता है।

यद्यपि प्रक्षेपवक्र अनुकूलन का विचार लगभग सैकड़ों वर्षों से है (विविधताओं की गणना, ब्राचिस्टोक्रोन वक्र), यह केवल कंप्यूटर के आगमन के साथ वास्तविक विश्व की समस्याओं के लिए व्यावहारिक बन गया। प्रक्षेपवक्र अनुकूलन के कई मूल अनुप्रयोग एयरोस्पेस उद्योग, कंप्यूटिंग रॉकेट और मिसाइल प्रक्षेपण प्रक्षेपवक्र में थे। हाल ही में, औद्योगिक प्रक्रिया और रोबोटिक्स अनुप्रयोगों की  विस्तृत विविधता में प्रक्षेपवक्र अनुकूलन का भी उपयोग किया गया है।

इतिहास
प्रक्षेपवक्र अनुकूलन पहली बार 1697 में ब्रेकीस्टोक्रोन समस्या की प्रारंभ के साथ दिखाई दिया:  तार के आकार का पता लगाएं, जैसे कि इसके साथ फिसलने वाला  मनका न्यूनतम समय में दो बिंदुओं के बीच चलेगा। इस समस्या के बारे में रोचक तथ्य यह है कि यह  संख्या के अतिरिक्तवक्र (तार के आकार) पर अनुकूलन कर रही है। विविधताओं के कलन का उपयोग करके सबसे प्रसिद्ध समाधानों की गणना की गई थी।

1950 के दशक में, डिजिटल कंप्यूटर ने वास्तविक विश्व की समस्याओं को हल करने के लिए प्रक्षेपवक्र अनुकूलन को व्यावहारिक बनाना आरम्भ  किया। गिल्बर्ट एम्स ब्लिस और ब्रायसन के शोध के आधार पर विविधताओं की गणना से पहला इष्टतम नियंत्रण दृष्टिकोण विकसित हुआ अमेरिका में, और पोंट्रीगिन रसिया में। पोंट्रीगिन का अधिकतम सिद्धांत विशेष ध्यान देने योग्य है। इन प्रारंभिक  शोधकर्ताओं ने उस नींव का निर्माण किया जिसे अब हम प्रक्षेपवक्र अनुकूलन के लिए अप्रत्यक्ष विधियाँ कहते हैं।

प्रक्षेपवक्र अनुकूलन में प्रारंभिक कार्य का अधिकांश भाग वैक्यूम और वातावरण दोनों में रॉकेट थ्रस्ट प्रोफाइल की गणना पर केंद्रित था। इस प्रारंभिक शोध ने कई मूलभूत  सिद्धांतों की खोज की जो आज भी उपयोग किए जाते हैं। अन्य सफल अनुप्रयोग प्रारंभिक जेट विमानों के लिए ऊंचाई के प्रक्षेपवक्र पर चढ़ना था। ट्रांसोनिक ड्रैग क्षेत्र से जुड़े उच्च ड्रैग और प्रारंभिक  जेट विमानों के कम जोर के कारण, प्रक्षेपवक्र अनुकूलन ऊंचाई के प्रदर्शन को अधिकतम करने की कुंजी थी। कुछ विश्व रिकॉर्ड के लिए इष्टतम नियंत्रण आधारित प्रक्षेपवक्र जिम्मेदार थे। इन स्थितियों में, पायलट ने इष्टतम नियंत्रण समाधानों के आधार पर मच बनाम ऊंचाई अनुसूची का पालन किया।

प्रक्षेपवक्र अनुकूलन में महत्वपूर्ण प्रारंभिक समस्याओं में से एकवचन नियंत्रण का था, जहां पोंट्रीगिन का अधिकतम सिद्धांत पूर्ण समाधान प्राप्त करने में विफल रहता है। एकल नियंत्रण के साथ  समस्या का  उदाहरण  निरंतर ऊंचाई पर उड़ने वाली मिसाइल के जोर का अनुकूलन है और जिसे कम गति से प्रक्षेपित किया जाता है। यहां समस्या  बैंग-बैंग नियंत्रण में से  है जब तक कि एकवचन चाप तक नहीं पहुंच जाता। फिर एकवचन नियंत्रण का समाधान बर्नआउट तक  निम्न चर थ्रस्ट प्रदान करता है। उस बिंदु पर बैंग-बैंग नियंत्रण प्रदान करता है कि नियंत्रण या जोर शून्य के न्यूनतम मूल्य पर जाता है। यह समाधान मिसाइल प्रदर्शन को अधिकतम करने के लिए आज व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले बूस्ट-सस्टेनेबल रॉकेट मोटर प्रोफाइल की नींव है।

अनुप्रयोग
प्रक्षेपवक्र अनुकूलन के लिए मुख्य रूप से रोबोटिक्स में अनुप्रयोगों की विस्तृत विविधता है: उद्योग, हेरफेर, चलना, पथ-योजना और एयरोस्पेस। इसका उपयोग मॉडलिंग और अनुमान के लिए भी किया जा सकता है।

रोबोटिक जोड़तोड़
कॉन्फ़िगरेशन के आधार पर, ओपन-चेन रोबोटिक मैनिपुलेटर्स को प्रक्षेपवक्र अनुकूलन की डिग्री की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, 7 जोड़ों और 7 लिंक (7-डीओएफ) के साथ रोबोटिक आर्म  अनावश्यक प्रणाली है जहां अंत-प्रभावक की  कार्टेशियन स्थिति संयुक्त कोण पदों की अनंत संख्या के अनुरूप हो सकती है, इस प्रकार इस अतिरेक का उपयोग अनुकूलित करने के लिए किया जा सकता है। प्रक्षेपवक्र, उदाहरण के लिए, कार्यक्षेत्र में किसी भी बाधा से बचने या जोड़ों में टोक़ को कम करने के लिए।

क्वाड्रोटर हेलीकॉप्टर
प्रक्षेपवक्र अनुकूलन का उपयोग अधिकांशतः quadcopter के प्रक्षेपवक्र की गणना करने के लिए किया जाता है। ये एप्लिकेशन सामान्यतः अत्यधिक विशिष्ट एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं। U.Penn GRASP लैब द्वारा दिखाया गया रोचक  एप्लिकेशन  प्रक्षेपवक्र की गणना कर रहा है जो  चतुष्कोण को  घेरा के माध्यम से उड़ने की अनुमति देता है क्योंकि इसे फेंका जाता है।  अन्य, इस बार ETH ज्यूरिख फ्लाइंग मशीन एरिना द्वारा, दो क्वाडरोटर सम्मिलित  हैं जो  पोल को आगे और पीछे उछाल रहे हैं, यह  उलटे पेंडुलम की तरह संतुलित है। क्वाडकॉप्टर के लिए न्यूनतम-ऊर्जा प्रक्षेप पथ की गणना करने की समस्या का भी हाल ही में अध्ययन किया गया है।

निर्माण
प्रक्षेपवक्र अनुकूलन का उपयोग निर्माण में किया जाता है, विशेष रूप से रासायनिक प्रक्रियाओं को नियंत्रित करने के लिए (जैसे कि ) या रोबोटिक जोड़तोड़ के लिए वांछित पथ की गणना करना (जैसे कि in ).

चलने वाले रोबोट
चलने वाले रोबोटिक्स के क्षेत्र में प्रक्षेपवक्र अनुकूलन के लिए विभिन्न प्रकार के विभिन्न अनुप्रयोग हैं। उदाहरण के लिए, पेपर ने  सरल मॉडल पर बाइपेडल गैट्स के प्रक्षेपवक्र अनुकूलन का उपयोग यह दिखाने के लिए किया कि चलना कम गति पर चलने के लिए ऊर्जावान रूप से अनुकूल है और तेज गति से चलने के लिए दौड़ना ऊर्जावान रूप से अनुकूल है। कई अन्य अनुप्रयोगों की तरह, प्रक्षेपवक्र अनुकूलन का उपयोग नाममात्र प्रक्षेपवक्र की गणना करने के लिए किया जा सकता है, जिसके चारों ओर स्थिर नियंत्रक बनाया गया है। प्रक्षेपवक्र अनुकूलन को एटलस (रोबोट) जैसे विस्तृत गति नियोजन जटिल ह्यूमनॉइड रोबोट में प्रयुक्त किया जा सकता है। अंत में, कम जटिलता मॉडल का उपयोग करते हुए, जटिल गतिशीलता बाधाओं वाले रोबोटों की पथ-योजना के लिए प्रक्षेपवक्र अनुकूलन का उपयोग किया जा सकता है।

एयरोस्पेस
सामरिक मिसाइलों के लिए, उड़ान प्रोफाइल जोर और भार कारक (वैमानिकी) इतिहास द्वारा निर्धारित की जाती हैं। इन इतिहासों को कई विधियों से नियंत्रित किया जा सकता है, जिसमें ऐसी विधियाँ सम्मिलित हैं जैसे हमले के कमांड इतिहास के कोण का उपयोग करना या मिसाइल को पालन करने वाली ऊंचाई/डाउनरेंज शेड्यूल। मिसाइल डिजाइन कारकों, वांछित मिसाइल प्रदर्शन और प्रणाली  बाधाओं के प्रत्येक संयोजन के परिणामस्वरूप इष्टतम नियंत्रण मापदंडों का  नया सेट तैयार होता है।

शब्दावली
निर्णय चर
 * ऑप्टिमाइज़ेशन का उपयोग करके अज्ञात का सेट पाया जाना है।

प्रक्षेपवक्र अनुकूलन समस्या
 * विशेष प्रकार की अनुकूलन समस्या जहां वास्तविक संख्या के अतिरिक्तनिर्णय चर कार्य होते हैं।

गणितीय अनुकूलन
 * कोई भी अनुकूलन समस्या जहाँ निर्णय चर वास्तविक संख्याएँ हैं।

नॉनलाइनियर प्रोग्रामिंग
 * विवश पैरामीटर अनुकूलन का वर्ग जहां या तो उद्देश्य फलन या प्रतिबंध अरैखिक होते हैं।

अप्रत्यक्ष विधि
 * प्रक्षेपवक्र अनुकूलन समस्या को हल करने के लिए अप्रत्यक्ष विधि तीन चरणों में आगे बढ़ती है: 1) विश्लेषणात्मक रूप से इष्टतमता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तों का निर्माण, 2) इन शर्तों को अलग करें,  विवश पैरामीटर अनुकूलन समस्या का निर्माण, 3) उस अनुकूलन समस्या को हल करें।
 * सीधी विधि
 * प्रक्षेपवक्र अनुकूलन समस्या को हल करने के लिए प्रत्यक्ष विधि में दो चरण होते हैं: 1) प्रक्षेपवक्र अनुकूलन समस्या को सीधे विखंडित करें, इसे  विवश पैरामीटर अनुकूलन समस्या में परिवर्तित करें, 2) उस अनुकूलन समस्या को हल करें।

ट्रांसक्रिप्शन
 * वह प्रक्रिया जिसके द्वारा प्रक्षेपवक्र अनुकूलन समस्या को पैरामीटर अनुकूलन समस्या में परिवर्तित किया जाता है। इसे कभी-कभी विवेकीकरण के रूप में संदर्भित किया जाता है। प्रतिलेखन विधियाँ सामान्यतः दो श्रेणियों में आती हैं: शूटिंग विधियाँ और सहस्थापन विधियाँ।

शूटिंग विधि
 * ट्रांसक्रिप्शन विधि जो सिमुलेशन पर आधारित है, सामान्यतः स्पष्ट रूंज-कुट्टा योजनाओं का उपयोग करती है।

कोलोकेशन विधि ( साथ विधि)
 * ट्रांसक्रिप्शन विधि जो फ़ंक्शन सन्निकटन पर आधारित है, सामान्यतः अंतर्निहित रन--कुट्टा योजनाओं का उपयोग करती है।

छद्म वर्णक्रमीय विधि (वैश्विक स्थानान्तरण)
 * प्रतिलेखन विधि जो पूरे प्रक्षेपवक्र को एकल उच्च-क्रम वाले ऑर्थोगोनल बहुपद के रूप में दर्शाती है।

मेष (ग्रिड)
 * ट्रांसक्रिप्शन के बाद, पूर्व में निरंतर प्रक्षेपवक्र अब बिंदुओं के असतत सेट द्वारा दर्शाया जाता है, जिसे मेश पॉइंट या ग्रिड पॉइंट के रूप में जाना जाता है।

मेश रिफाइनमेंट
 * प्रक्रिया जिसके द्वारा प्रक्षेपवक्र अनुकूलन समस्याओं के अनुक्रम को हल करके विखंडन जाल में सुधार किया जाता है। जाल शोधन या तो प्रक्षेपवक्र खंड को उप-विभाजित करके या उस खंड का प्रतिनिधित्व करने वाले बहुपद के क्रम को बढ़ाकर किया जाता है।

बहु-चरण प्रक्षेपवक्र अनुकूलन समस्या
 * हाइब्रिड प्रणाली के साथ प्रणाली पर प्रक्षेपवक्र अनुकूलन को बहु-चरण प्रक्षेपवक्र अनुकूलन समस्या के रूप में प्रस्तुत करके प्राप्त किया जा सकता है। यह मानक प्रक्षेपवक्र अनुकूलन समस्याओं के अनुक्रम की रचना करके किया जाता है जो बाधाओं का उपयोग करके जुड़े हुए हैं।

प्रक्षेपवक्र अनुकूलन विधि
किसी भी अनुकूलन (गणित) की विधियों को दो श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है: अप्रत्यक्ष और प्रत्यक्ष। अप्रत्यक्ष विधि इष्टतमता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तों का विश्लेषणात्मक रूप से निर्माण करके काम करती है, जो बाद में संख्यात्मक रूप से हल हो जाती हैं।  प्रत्यक्ष विधि इष्टतम समाधान के लिए निरंतर सुधार अनुमानों के अनुक्रम का निर्माण करके प्रत्यक्ष संख्यात्मक समाधान का प्रयास करती है।

इष्टतम नियंत्रण समस्या अनंत-आयामी अनुकूलन समस्या है, क्योंकि वास्तविक संख्या के अतिरिक्तनिर्णय चर कार्य हैं। सभी समाधान विधियाँ प्रतिलेखन करती हैं,  प्रक्रिया जिसके द्वारा प्रक्षेपवक्र अनुकूलन समस्या (कार्यों पर अनुकूलन) को  विवश पैरामीटर अनुकूलन समस्या (वास्तविक संख्याओं पर अनुकूलन) में परिवर्तित किया जाता है। सामान्यतः, यह विवश पैरामीटर अनुकूलन समस्या  गैर-रैखिक कार्यक्रम है, चूंकि  विशेष स्थितियों में इसे द्विघात प्रोग्रामिंग या रैखिक प्रोग्रामिंग में घटाया जा सकता है।

एकल शूटिंग
सिंगल शूटिंग प्रक्षेपवक्र अनुकूलन विधि का सबसे सरल प्रकार है। मूल विचार तोप को निशाना बनाने के विधियाँ के समान है: प्रक्षेपवक्र के लिए मापदंडों का  सेट चुनें, पूरी चीज़ का अनुकरण करें, और फिर यह देखने के लिए जांचें कि क्या आप निशाने पर लगे हैं। पूरे प्रक्षेपवक्र को  खंड के रूप में दर्शाया गया है, जिसमें  बाधा है, जिसे  दोष बाधा के रूप में जाना जाता है, जिसके लिए आवश्यक है कि सिमुलेशन की अंतिम स्थिति प्रणाली की वांछित अंतिम स्थिति से मेल खाती है। एकल शूटिंग उन समस्याओं के लिए प्रभावी है जो या तो सरल हैं या बहुत अच्छी प्रारंभ  हैं। अप्रत्यक्ष और प्रत्यक्ष दोनों प्रकार के सूत्रीकरण में अन्यथा कठिनाइयाँ होती हैं।

एकाधिक शूटिंग
एकाधिक शूटिंग एकल शूटिंग का सरल विस्तार है जो इसे और अधिक प्रभावी बनाता है। पूरे प्रक्षेपवक्र को  सिमुलेशन (खंड) के रूप में प्रस्तुत करने के अतिरिक्त, एल्गोरिथ्म प्रक्षेपवक्र को कई छोटे खंडों में तोड़ता है, और प्रत्येक के बीच  दोष बाधा जोड़ी जाती है। नतीजा बड़ा विरल गैर-रैखिक कार्यक्रम है, जो एकल शूटिंग द्वारा उत्पादित छोटे घने कार्यक्रमों की तुलना में हल करना आसान होता है।

प्रत्यक्ष मोरचा
प्रत्यक्ष सहस्थापन विधियाँ राज्य का अनुमान लगाकर काम करती हैं और बहुपद स्पलाइन (गणित) का उपयोग करके प्रक्षेपवक्र को नियंत्रित करती हैं। इन विधियों को कभी-कभी प्रत्यक्ष प्रतिलेखन कहा जाता है। ट्रेपेज़ॉइडल मोरचा सामान्यतः उपयोग  किया जाने वाला निम्न-क्रम प्रत्यक्ष स्थानापन्न विधि है। गतिकी, पथ उद्देश्य, और नियंत्रण सभी को रेखीय स्प्लिन का उपयोग करके दर्शाया जाता है, और गतिकी ट्रैपेज़ॉइडल नियम का उपयोग करके संतुष्ट होती हैं। हर्मिट-सिम्पसन कॉलोकेशन  सामान्य मध्यम-क्रम प्रत्यक्ष कॉलोकेशन विधि है। राज्य को क्यूबिक हर्मिट स्पलाइन | क्यूबिक-हर्माइट स्पलाइन द्वारा दर्शाया गया है, और सिम्पसन के नियम का उपयोग करके गतिकी संतुष्ट हैं।

ऑर्थोगोनल मोरचा
ओर्थोगोनल मोरचा विधिक रूप से प्रत्यक्ष मोरचा का उपसमुच्चय है, किंतु कार्यान्वयन विवरण इतने अलग हैं कि इसे यथोचित विधियों का अपना सेट माना जा सकता है। ऑर्थोगोनल सहस्थापन प्रत्यक्ष स्थान से भिन्न होता है जिसमें यह सामान्यतः  उच्च-क्रम स्प्लिन का उपयोग करता है, और प्रक्षेपवक्र के प्रत्येक खंड को  अलग क्रम के  पट्टी द्वारा दर्शाया जा सकता है। यह नाम राज्य में ऑर्थोगोनल बहुपदों के उपयोग और विभाजनों को नियंत्रित करने से आता है।

स्यूडोस्पेक्ट्रल विवेक
स्यूडोस्पेक्ट्रल विवेकीकरण में संपूर्ण प्रक्षेपवक्र को समय डोमेन (स्वतंत्र चर) में आधार कार्यों के संग्रह द्वारा दर्शाया गया है। आधार कार्यों को बहुपद नहीं होना चाहिए। स्यूडोस्पेक्ट्रल विवेकीकरण को स्पेक्ट्रल कोलोकेशन के रूप में भी जाना जाता है।  जब  प्रक्षेपवक्र अनुकूलन समस्या को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है जिसका समाधान सुचारू होता है, तो  स्यूडोस्पेक्ट्रल विधि वर्णक्रमीय (घातीय) अभिसरण प्राप्त करेगी। यदि प्रक्षेपवक्र सुचारू नहीं है, तो अभिसरण अभी भी बहुत तेज है, रनगे-कुट्टा विधियों की तुलना में तेज है।

लौकिक परिमित तत्व
1990 में डेवी एच. होजेस और रॉबर्ट आर. ब्लेस इष्टतम नियंत्रण समस्याओं के लिए कमजोर हैमिल्टनियन परिमित तत्व विधि प्रस्तावित की। यह विचार इष्टतमता के लिए पहले क्रम की आवश्यक शर्तों के  कमजोर परिवर्तनशील रूप को प्राप्त करने के लिए था, परिमित अंतरालों में समय डोमेन को असतत करना और प्रत्येक अंतराल पर राज्यों, नियंत्रणों और आसन्नों के सरल शून्य क्रम बहुपद प्रतिनिधित्व का उपयोग करना था। दस वर्ष  बाद मैसिमिलियानो वासिल ने  प्रत्यक्ष प्रतिलेखन विधि विकसित की, जिसे समय में प्रत्यक्ष परिमित तत्व कहा जाता है, जहां गति के समीकरण कमजोर रूप में डाले जाते हैं, समय डोमेन को अलग-अलग अंतरालों के  सेट में विभाजित किया जाता है और प्रत्येक अंतराल पर राज्यों और नियंत्रणों का प्रतिनिधित्व किया जाता है स्पेक्ट्रल आधार पर परिवर्तनीय क्रम बहुपद।  इस पद्धति को जटिल अंतर्ग्रहीय स्थानान्तरण के डिजाइन के लिए सफलतापूर्वक प्रयुक्त  किया गया है,  क्षुद्रग्रह विक्षेपण, चढ़ाई और पुनः प्रवेश पथ। हाल ही में बर्नस्टीन बहुपदों के उपयोग की अनुमति देने के लिए दृष्टिकोण का विस्तार किया गया था, बहुउद्देश्यीय इष्टतम नियंत्रण समस्याओं का समाधान और अनिश्चितता का इलाज।

विभेदक गतिशील प्रोग्रामिंग
डिफरेंशियल डायनेमिक प्रोग्रामिंग, यहाँ वर्णित अन्य विधियों से थोड़ी अलग है। विशेष रूप से, यह ट्रांसक्रिप्शन और अनुकूलन को स्पष्ट रूप से अलग नहीं करता है। इसके अतिरिक्त, यह प्रक्षेपवक्र के साथ आगे और पीछे की ओर चलने का क्रम करता है। प्रत्येक फ़ॉरवर्ड पास प्रणाली डायनेमिक्स को संतुष्ट करता है, और प्रत्येक बैकवर्ड पास नियंत्रण के लिए इष्टतम स्थिति को संतुष्ट करता है। आखिरकार, यह पुनरावृत्ति  ऐसे प्रक्षेपवक्र में परिवर्तित हो जाती है जो व्यवहार्य और इष्टतम दोनों है।

विधियों की तुलना
प्रक्षेपवक्र अनुकूलन समस्या को हल करते समय चुनने के लिए कई विधियाँ हैं I कोई सर्वोत्तम विधि नहीं है, किंतु कुछ विधियाँ विशिष्ट समस्याओं पर उत्तम काम कर सकते हैं। यह खंड विधियों के बीच व्यापार-नापसंद की मोटी समझ प्रदान करता है।

अप्रत्यक्ष बनाम प्रत्यक्ष विधियाँ
अप्रत्यक्ष विधि के साथ प्रक्षेपवक्र अनुकूलन समस्या को हल करते समय, आपको स्पष्ट रूप से आसन्न समीकरणों और उनके ढालों का निर्माण करना चाहिए। ऐसा करना अधिकांशतः कठिन होता है, किंतु यह समाधान के लिए  उत्कृष्ट त्रुटिहीन  मीट्रिक देता है। प्रत्यक्ष विधियाँ स्थापित करना और हल करना बहुत आसान है, किंतु इसमें अंतर्निहित त्रुटिहीन  मीट्रिक नहीं है। परिणाम स्वरुप, प्रत्यक्ष विधियों का अधिक व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, खासकर गैर-महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों में। अप्रत्यक्ष विधियों का अभी भी विशेष अनुप्रयोगों में  स्थान है, विशेष रूप से एयरोस्पेस, जहां त्रुटिहीन  महत्वपूर्ण है।

जगह जहां अप्रत्यक्ष विधियों में विशेष कठिनाई होती है, वह पथ असमानता बाधाओं के साथ समस्याओं पर है। इन समस्याओं का समाधान होता है जिसके लिए बाधा आंशिक रूप से सक्रिय होती है। अप्रत्यक्ष विधि के लिए आसन्न समीकरणों का निर्माण करते समय, उपयोगकर्ता को स्पष्ट रूप से लिखना चाहिए जब बाधा समाधान में सक्रिय हो, जो कि प्राथमिकता जानना कठिनाई है।  समाधान  प्रारंभिक अनुमान की गणना करने के लिए  प्रत्यक्ष विधि का उपयोग करना है, जिसका उपयोग बहु-चरणीय समस्या के निर्माण के लिए किया जाता है जहां बाधा निर्धारित की जाती है। परिणामी समस्या को अप्रत्यक्ष विधि का उपयोग करके स्पष्ट  रूप से हल किया जा सकता है।

शूटिंग बनाम कोलोकेशन
उन समस्याओं के लिए एकल शूटिंग विधियों का सबसे अच्छा उपयोग किया जाता है जहाँ नियंत्रण बहुत सरल होता है (या बहुत अच्छा प्रारंभिक अनुमान होता है)। उदाहरण के लिए,  उपग्रह मिशन नियोजन समस्या जहां एकमात्र नियंत्रण इंजनों से प्रारंभिक आवेग की परिमाण और दिशा है।

एकाधिक शूटिंग अपेक्षाकृत सरल नियंत्रण, किंतु जटिल गतिकी के साथ समस्याओं के लिए अच्छा होता है। चूंकि पथ बाधाओं का उपयोग किया जा सकता है, वे परिणामी अरैखिक कार्यक्रम को हल करने के लिए अपेक्षाकृत कठिन बनाते हैं।

उन समस्याओं के लिए प्रत्यक्ष सहस्थापन विधियाँ अच्छी होती हैं जहाँ नियंत्रण और स्थिति की त्रुटिहीन समान होती है। ये विधियां दूसरों की तुलना में कम स्पष्ट  होती हैं (उनके निम्न क्रम के कारण), किंतु कठिन पथ बाधाओं वाली समस्याओं के लिए विशेष रूप से शक्तिशाली  हैं।

उन समस्याओं के लिए उच्च त्रुटिहीन समाधान प्राप्त करने के लिए ऑर्थोगोनल कोलोकेशन विधियां सर्वोत्तम हैं जहां नियंत्रण प्रक्षेपवक्र की त्रुटिहीन  महत्वपूर्ण है। कुछ क्रियान्वयनों में पथ बाधाओं के साथ समस्या है। ये विधियाँ विशेष रूप से अच्छे होते हैं जब समाधान चिकना होता है।

यह भी देखें

 * विभेदक खेल
 * इष्टतम नियंत्रण
 * पीछा वक्र

बाहरी कड़ियाँ

 * Applied Trajectory Optimization