सीरपिंस्की कालीन

सीरपिन्स्की कालीन एक प्लेन भग्न  है जिसे पहली बार 1916 में वाक्लाव सीरपिन्स्की द्वारा वर्णित किया गया था। कालीन कैंटर धूल एक सामान्यीकरण है जो दो आयामों पर समुच्चय है; दूसरा कैंटर समुच्चय है।

रेप-टाइल की तकनीक, एक या एक से अधिक प्रतियों को हटाने और पुनरावर्तन जारी रखने की तकनीक को अन्य आकृतियों में विस्तारित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक समबाहु त्रिभुज को चार समबाहु त्रिभुजों में उप-विभाजित करना, मध्य त्रिभुज को हटाना और पुनरावर्ती सिएरपिन्स्की त्रिभुज की ओर ले जाता है। तीन आयामों में, क्यूब्स पर आधारित एक समान निर्माण मेन्जर स्पंज के रूप में जाना जाता है।

निर्माण
Sierpinski कालीन का निर्माण एक वर्ग (ज्यामिति) से प्रारंभ होता है। वर्ग को 3-बाई-3 ग्रिड में 9 सर्वांगसम (ज्यामिति) उपवर्गों में काटा जाता है, और केंद्रीय उपवर्ग हटा दिया जाता है। उसी प्रक्रिया को फिर शेष 8 उपवर्गों, एड इनफिनिटम पर पुनरावर्तन प्रयुक्त किया जाता है। इसे इकाई वर्ग में बिंदुओं के समुच्चय के रूप में महसूस किया जा सकता है, जिनके निर्देशांक आधार तीन में लिखे गए हैं, दोनों में एक ही स्थिति में अंक '1' नहीं है, जो कि अपरिमेय संख्या प्रतिनिधित्व का उपयोग करता है। $$0.1111\dots=0.2$$. पुनरावर्ती वर्गों को हटाने की प्रक्रिया परिमित उपखंड नियम का एक उदाहरण है।

गुण
कालीन का क्षेत्रफल शून्य है (मानक Lebesgue माप में)।
 * सबूत: के रूप में निरूपित करें $a_{i}$ पुनरावृत्ति का क्षेत्र $i$. तब $a_{i + 1} = 8⁄9a_{i}$. इसलिए $a_{i} = (8⁄9)i$, जो 0 के रूप में जाता है $i$ अनंत तक जाता है।

कालीन का आंतरिक भाग (टोपोलॉजी) खाली होता है।
 * प्रमाण: मान लीजिए विरोधाभास से कि एक बिंदु है $P$ कालीन के भीतरी भाग में। फिर वहाँ पर केन्द्रित एक वर्ग है $P$ जो पूरी तरह से कालीन में निहित है। इस वर्ग में एक छोटा वर्ग है जिसके निर्देशांक के गुणक हैं $1⁄3^{k}$ कुछ के लिए $k$. लेकिन, यदि इस वर्ग को पहले नहीं हटाया गया है, तो इसे पुनरावृति में छेद किया गया होगा $k + 1$, इसलिए इसे कालीन में समाहित नहीं किया जा सकता है - एक विरोधाभास।

कालीन का हॉसडॉर्फ आयाम है $$\frac{\log 8}{\log 3} \approx 1.8928$$. सिएरपिन्स्की ने प्रदर्शित किया कि उनका कालीन एक सार्वभौमिक समतल वक्र है। अर्थात्: सीरपिंस्की कालीन लेबेस्ग कवरिंग आयाम 1 के साथ विमान का एक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय है, और इन गुणों के साथ विमान का प्रत्येक उपसमुच्चय सिएरपिन्स्की कालीन के कुछ उपसमुच्चय के लिए होमियोमॉर्फिक है।

सिएरपिन्स्की कालीन की यह सार्वभौमिकता श्रेणी सिद्धांत के अर्थ में एक सच्ची सार्वभौमिक संपत्ति नहीं है: यह विशिष्ट रूप से इस स्थान को होमोमोर्फिज्म तक नहीं दर्शाती है। उदाहरण के लिए, सिएरपिन्स्की कालीन और एक वृत्त का असंयुक्त मिलन भी एक सार्वभौमिक समतल वक्र है। हालाँकि, 1958 में गॉर्डन व्हाईबर्न विशिष्ट रूप से सिएरपिन्स्की कालीन की विशेषता इस प्रकार है: कोई भी वक्र जो स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ है और जिसमें कोई 'स्थानीय कट-पॉइंट' नहीं है, सिएरपिन्स्की कालीन के लिए होमियोमॉर्फिक है। यहाँ एक स्थानीय कट-प्वाइंट एक बिंदु है $p$ जिसके लिए कुछ जुड़ा हुआ पड़ोस $U$ का $p$ के पास वह गुण है $U − {p}$ जुड़ा नहीं है। इसलिए, उदाहरण के लिए, वृत्त का कोई भी बिंदु एक स्थानीय कट बिंदु है।

उसी पेपर में व्हाईबर्न ने सीरपिन्स्की कालीन का एक और लक्षण वर्णन किया। याद रखें कि कॉन्टिनम (टोपोलॉजी) एक गैर-खाली कनेक्टेड कॉम्पैक्ट मीट्रिक स्पेस है। कल्पना करना $X$ समतल में सन्निहित एक सातत्य है। मान लीजिए कि विमान में इसके पूरक में कई जुड़े हुए घटक हैं $C_{1}, C_{2}, C_{3}, ...$ और मान लीजिए:


 * का व्यास $C_{i}$ के रूप में शून्य हो जाता है $i → ∞$;
 * की सीमा $C_{i}$ और की सीमा $C_{j}$ यदि असंबद्ध हैं $i ≠ j$;
 * की सीमा $C_{i}$ प्रत्येक के लिए एक साधारण बंद वक्र है $i$;
 * समुच्चय की सीमाओं का मिलन $C_{i}$ सघन है $X$.

तब $X$ Sierpinski कालीन के लिए होमियोमॉर्फिक है।

सीरपिन्स्की कालीन पर एक प्रकार कि गति
सिएरपिन्स्की कालीन पर ब्राउनियन गति के विषय ने हाल के वर्षों में रुचि को आकर्षित किया है। मार्टिन बारलो और रिचर्ड बास ने दिखाया है कि सीरपिन्स्की कालीन पर एक यादृच्छिक चलना विमान में एक अप्रतिबंधित यादृच्छिक चलने की तुलना में धीमी गति से फैलता है। उत्तरार्द्ध आनुपातिक दूरी तक पहुंचता है $√n$ बाद $n$ कदम, लेकिन असतत सिएरपिन्स्की कालीन पर यादृच्छिक चलना केवल एक औसत दूरी तक पहुंचता है जो आनुपातिक है $\sqrt{n$ कुछ के लिए $β > 2$. उन्होंने यह भी दिखाया कि यह यादृच्छिक चलना मजबूत बड़े विचलन सिद्धांत असमानताओं (तथाकथित उप-गॉसियन असमानताओं) को संतुष्ट करता है और यह परवलयिक को संतुष्ट किए बिना अण्डाकार हार्नैक असमानता को संतुष्ट करता है। ऐसे उदाहरण का अस्तित्व कई वर्षों से एक विवृत समस्या थी।

वालिस छलनी
सिएरपिन्स्की कालीन की एक भिन्नता, जिसे वालिस छलनी कहा जाता है, उसी तरह से प्रारंभ होती है, इकाई वर्ग को नौ छोटे वर्गों में उप-विभाजित करके और उनके मध्य को हटाकर। उपखंड के अगले स्तर पर, यह प्रत्येक वर्ग को 25 छोटे वर्गों में उपविभाजित करता है और बीच वाले को हटा देता है, और यह जारी रहता है $i$वाँ चरण प्रत्येक वर्ग को उप-विभाजित करके $(2i + 1)^{2}$ (वर्ग संख्या ) छोटे वर्ग और बीच वाले को हटा दें। वालिस उत्पाद द्वारा, परिणामी समुच्चय का क्षेत्रफल है $\pi⁄4$, मानक सिएरपिन्स्की कालीन के विपरीत जिसमें शून्य सीमित क्षेत्र है। हालांकि वालिस छलनी में सकारात्मक लेबेस्गु माप है, कोई भी उपसमुच्चय जो वास्तविक संख्याओं के दो समुच्चयों का कार्टेशियन उत्पाद नहीं है, में यह गुण है, इसलिए इसका जॉर्डन माप शून्य है।

अनुप्रयोग
सिएरपिन्स्की कालीन के कुछ पुनरावृत्तियों के रूप में मोबाइल फोन और वाई-फाई भग्न एंटीना  का उत्पादन किया गया है। अपनी आत्म-समानता और स्केल इनवेरियन के कारण, वे आसानी से कई आवृत्तियों को समायोजित करते हैं। वे समान प्रदर्शन के पारंपरिक एंटेना की तुलना में बनाना और छोटा करना भी आसान है, इस प्रकार पॉकेट-आकार वाले मोबाइल फोन के लिए इष्टतम है।

यह भी देखें

 * हॉसडॉर्फ आयाम द्वारा भग्नों की सूची
 * मेन्जर स्पंज

बाहरी संबंध

 * Variations on the Theme of Tremas II
 * Sierpiński Cookies
 * Sierpinski Carpet Project
 * Sierpinski Carpet solved by means of modular arithmetics