उत्तल विश्लेषण

उत्तल विश्लेषण उत्तल कार्यों और उत्तल सेटों के गुणों के अध्ययन के लिए समर्पित गणित की शाखा है, अक्सर उत्तल अनुकूलन में अनुप्रयोगों के साथ, अनुकूलन का एक उपडोमेन (गणित)।

उत्तल सेट
उपसमुच्चय $$C \subseteq X$$ कुछ सदिश स्थान का $$X$$ है यदि यह निम्न समतुल्य शर्तों में से किसी को भी संतुष्ट करता है:
 * 1) अगर $$0 \leq r \leq 1$$ वास्तविक है और $$x, y \in C$$ तब $$r x + (1 - r) y \in C.$$ #अगर $$0 < r < 1$$ वास्तविक है और $$x, y \in C$$ साथ $$x \neq y,$$ तब $$r x + (1 - r) y \in C.$$

लगातार, $$f : X \to [-\infty, \infty]$$ विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा में मूल्यवान मानचित्र होगा $$[-\infty, \infty] = \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \}$$ किसी फ़ंक्शन के डोमेन के साथ $$\operatorname{domain} f = X$$ यह कुछ सदिश समष्टि का उत्तल उपसमुच्चय है। वो नक्शा $$f : X \to [-\infty, \infty]$$ एक है अगर

किसी भी वास्तविक के लिए धारण करता है $$0 < r < 1$$ और कोई भी $$x, y \in X$$ साथ $$x \neq y.$$ अगर यह सच रहता है $$f$$ जब परिभाषित असमानता ($$) सख्त असमानता द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है

तब $$f$$ कहा जाता है. उत्तल कार्य उत्तल सेट से संबंधित हैं। विशेष रूप से, समारोह $$f$$ उत्तल है अगर और केवल अगर इसका एपिग्राफ (गणित) |

एक उत्तल सेट है। विस्तारित वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के एपिग्राफ उत्तल विश्लेषण में एक भूमिका निभाते हैं जो वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के एक समारोह के ग्राफ द्वारा निभाई गई भूमिका के अनुरूप है। विशेष रूप से, एक विस्तारित वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन का एपिग्राफ ज्यामितीय अंतर्ज्ञान प्रदान करता है जिसका उपयोग सूत्र की मदद करने या अनुमानों को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है।

किसी फ़ंक्शन का डोमेन $$f : X \to [-\infty, \infty]$$ द्वारा निरूपित किया जाता है $$\operatorname{domain} f$$ जबकि यह समुच्चय है

कार्यक्रम $$f : X \to [-\infty, \infty]$$ कहा जाता है अगर $$\operatorname{dom} f \neq \varnothing$$ और $$f(x) > -\infty$$ के लिए $$x \in \operatorname{domain} f.$$ वैकल्पिक रूप से, इसका मतलब है कि कुछ मौजूद हैं $$x$$ के अधिकार क्षेत्र में $$f$$ जिस पर $$f(x) \in \mathbb{R}$$ और $$f$$ ई आल्सो  के बराबर $$-\infty.$$ शब्दों में, एक कार्य है  यदि इसका डोमेन खाली नहीं है, तो यह कभी भी मान नहीं लेता है $$-\infty,$$ और यह भी समान रूप से बराबर नहीं है $$+\infty.$$ अगर $$f : \mathbb{R}^n \to [-\infty, \infty]$$ एक उचित उत्तल कार्य है तो कुछ वेक्टर मौजूद हैं $$b \in \mathbb{R}^n$$ और कुछ $$r \in \mathbb{R}$$ ऐसा है कि
 * $$f(x) \geq x \cdot b - r$$ हरएक के लिए $$x$$

कहाँ $$x \cdot b$$ इन वैक्टरों के डॉट उत्पाद को दर्शाता है।

उत्तल संयुग्म
वह एक विस्तारित वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन का $$f : X \to [-\infty, \infty]$$ (जरूरी नहीं उत्तल) कार्य है $$f^* : X^* \to [-\infty, \infty]$$ दोहरी जगह से | (निरंतर) दोहरी जगह $$X^*$$ का $$X,$$ और


 * $$f^*\left(x^*\right) = \sup_{z \in X} \left\{ \left\langle x^*, z \right\rangle - f(z) \right\}$$

जहां कोष्ठक $$\left\langle \cdot, \cdot \right\rangle$$ दोहरी प्रणाली को निरूपित करें $$\left\langle x^*, z \right\rangle := x^*(z).$$ } का $$f$$ नक्शा है $$f^{**} = \left( f^* \right)^* : X \to [-\infty, \infty]$$ द्वारा परिभाषित $$f^{**}(x) := \sup_{z^* \in X^*} \left\{ \left\langle x, z^* \right\rangle - f\left( z^* \right) \right\}$$ हरएक के लिए $$x \in X.$$ अगर $$\operatorname{Func}(X; Y)$$ के सेट को दर्शाता है $$Y$$-मूल्यवान कार्यों पर $$X,$$ फिर नक्शा $$\operatorname{Func}(X; [-\infty, \infty]) \to \operatorname{Func}\left( X^*; [-\infty, \infty] \right)$$ द्वारा परिभाषित $$f \mapsto f^*$$ कहा जाता है.

सबडिफरेंशियल सेट और फेनशेल-यंग असमानता
अगर $$f : X \to [-\infty, \infty]$$ और $$x \in X$$ फिर है



\begin{alignat}{4} \partial f(x)
 * &= \left\{ x^* \in X^* ~:~ f(z) \geq f(x) + \left\langle x^*, z - x \right\rangle \text{ for all } z \in X \right\} && (\text{“} z \in X \text{} \text{ can be replaced with: } \text{“} z \in X \text{ such that } z \neq x \text{}) \\

&= \left\{ x^* \in X^* ~:~ \left\langle x^*, x \right\rangle - f(x) \geq \left\langle x^*, z \right\rangle - f(z) \text{ for all } z \in X \right\} && \\ &= \left\{ x^* \in X^* ~:~ \left\langle x^*, x \right\rangle - f(x) \geq \sup_{z \in X} \left\langle x^*, z \right\rangle - f(z) \right\} && \text{ The right hand side is } f^*\left( x^* \right) \\ &= \left\{ x^* \in X^* ~:~ \left\langle x^*, x \right\rangle - f(x) = f^*\left( x^* \right) \right\} && \text{ Taking } z := x \text{ in the } \sup{} \text{ gives the inequality } \leq. \\ \end{alignat} $$ उदाहरण के लिए, महत्वपूर्ण विशेष मामले में जहां $$f = \| \cdot \|$$ पर एक आदर्श है $$X$$, दिखाया जा सकता है कि अगर $$0 \neq x \in X$$ तो यह परिभाषा कम हो जाती है:


 * $$\partial f (x) = \left\{ x^* \in X^* ~:~ \left\langle x^*, x \right\rangle = \| x \| \text{ and } \left\| x^* \right\| = 1 \right\}$$ और $$\partial f(0) = \left\{ x^* \in X^* ~:~ \left\| x^* \right\| \leq 1 \right\}.$$ किसी के लिए $$x \in X$$ और $$x^* \in X^*,$$ $$f(x) + f^*\left(x^*\right) \geq \left\langle x^*, x \right\rangle,$$ जिसे कहा जाता है . यह असमानता एक समानता है (अर्थात $$f(x) + f^*\left(x^*\right) = \left\langle x^*, x \right\rangle$$) अगर और केवल अगर $$x^* \in \partial f(x).$$ यह इस तरह से है कि सबडिफरेंशियल सेट $$\partial f (x)$$ उत्तल संयुग्म से सीधे संबंधित है $$f^*\left( x^* \right).$$

उभयलिंगी
} एक समारोह के $$f : X \to [-\infty, \infty]$$ संयुग्म का संयुग्म है, जिसे आमतौर पर लिखा जाता है $$f^{**} : X \to [-\infty, \infty].$$ जब प्रबल द्वैत या दुर्बल द्वैत होता है (परेशान क्रिया के माध्यम से) तो यह दिखाने के लिए उभयलिंगी उपयोगी होता है।

किसी के लिए $$x \in X,$$ असमानता $$f^{**}(x) \leq f(x)$$ से अनुसरण करता है. उचित उत्तल कार्य के लिए, $$f = f^{**}$$ अगर और केवल अगर $$f$$ फेन्शेल-मोरो प्रमेय द्वारा उत्तल और निचला अर्ध-निरंतर है।

उत्तल न्यूनीकरण
ए   रूपों में से एक है


 * पाना $$\inf_{x \in M} f(x)$$ जब एक उत्तल कार्य दिया जाता है $$f : X \to [-\infty, \infty]$$ और एक उत्तल उपसमुच्चय $$M \subseteq X.$$

दोहरी समस्या
अनुकूलन सिद्धांत में, बताता है कि अनुकूलन समस्याओं को दो दृष्टिकोणों, मूल समस्या या दोहरी समस्या से देखा जा सकता है।

सामान्य तौर पर दो दोहरे जोड़े अलग-अलग स्थान को स्थानीय रूप से उत्तल स्थान देते हैं $$\left(X, X^*\right)$$ और $$\left(Y, Y^*\right).$$ फिर फंक्शन दिया $$f : X \to [-\infty, \infty],$$ हम खोजने के रूप में मौलिक समस्या को परिभाषित कर सकते हैं $$x$$ ऐसा है कि


 * $$\inf_{x \in X} f(x).$$

यदि बाधा की स्थिति है, तो इन्हें फ़ंक्शन में बनाया जा सकता है $$f$$ जैसे भी हो $$f = f + I_{\mathrm{constraints}}$$ कहाँ $$I$$ विशेषता कार्य (उत्तल विश्लेषण) है। तो करने दें $$F : X \times Y \to [-\infty, \infty]$$ एक गड़बड़ी कार्य हो जैसे कि $$F(x, 0) = f(x).$$

{{em|dual problem}em}} चुने हुए गड़बड़ी समारोह के संबंध में द्वारा दिया गया है


 * $$\sup_{y^* \in Y^*} -F^*\left(0, y^*\right)$$

कहाँ $$F^*$$ के दोनों चरों में उत्तल संयुग्म है $$F.$$ द्वैत अंतर असमानता के दाएं और बाएं हाथ के पक्षों का अंतर है


 * $$\sup_{y^* \in Y^*} -F^*\left(0, y^*\right) \le \inf_{x \in X} F(x, 0).$$

यह सिद्धांत कमजोर द्वैत के समान है। यदि दोनों पक्ष एक दूसरे के बराबर हैं, तो समस्या को मजबूत द्वैत को संतुष्ट करने वाला कहा जाता है।

प्रबल द्वैत धारण करने की कई शर्तें होती हैं जैसे:
 * $$F = F^{**}$$ कहाँ $$F$$ प्रारंभिक और दोहरी समस्याओं से संबंधित गड़बड़ी कार्य है और $$F^{**}$$ का उत्तल संयुग्म है $$F$$;
 * मूल समस्या एक रेखीय अनुकूलन है;
 * उत्तल अनुकूलन के लिए स्लेटर की स्थिति।

लैग्रेंज द्वैत
असमानता बाधाओं के साथ उत्तल न्यूनीकरण समस्या के लिए,


 * $$\min {}_{x} f(x)$$ का विषय है $$g_i(x) \leq 0$$ के लिए $$i = 1, \ldots, m.$$

Lagrangian दोहरी समस्या है


 * $$\sup {}_{u} \inf {}_{x} L(x, u)$$ का विषय है $$u_i(x) \geq 0$$ के लिए $$i = 1, \ldots, m.$$

जहां उद्देश्य समारोह $$L(x, u)$$ लैग्रेंज दोहरा कार्य है जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:


 * $$L(x, u) = f(x) + \sum_{j=1}^m u_j g_j(x)$$