हर्मिटियन सममित समिष्ट

गणित में, हर्मिटियन सममित समिष्ट हर्मिटियन मैनिफोल्ड है जिसमें प्रत्येक बिंदु पर हर्मिटियन संरचना को संरक्षित करने वाली व्युत्क्रम समरूपता होती है। सबसे पहले ली कार्टन द्वारा अध्ययन किया गया था, वे वास्तविक मैनिफोल्ड से लेकर वास्तविक विविधता तक रीमानियन सममित समिष्ट की धारणा का प्राकृतिक सामान्यीकरण बनाते हैं।

प्रत्येक हर्मिटियन सममित समिष्ट अपने आइसोमेट्री समूह के लिए सजातीय समिष्ट है और इसमें इरेड्यूसबल रिक्त समिष्ट और यूक्लिडियन समिष्ट के उत्पाद के रूप में अद्वितीय अपघटन होता है। इरेड्यूसेबल समिष्ट जोड़े में गैर-कॉम्पैक्ट समिष्ट के रूप में उत्पन्न होते हैं, जैसा कि आर्मंड बोरेल ने दिखाया है, इसे इसके कॉम्पैक्ट डुअल समिष्ट के विवृत उप-स्पेस के रूप में एम्बेड किया जा सकता है। इस प्रकार हरीश चंद्र ने दिखाया कि प्रत्येक गैर-कॉम्पैक्ट समिष्ट को समष्टि सदिश समिष्ट में सीमित सममित डोमेन के रूप में अनुभव किया जा सकता है। सबसे सरल स्थिति में समूह SU(2), SU(1,1) और उनका सामान्य समष्टिता SL(2,C) सम्मिलित है। इस स्थिति में गैर-कॉम्पैक्ट समिष्ट यूनिट डिस्क है, SU(1,1) के लिए सजातीय समिष्ट यह समष्टि समतल C में घिरा हुआ डोमेन है। रीमैन क्षेत्र C, का एक-बिंदु संघनन, दोहरी समिष्ट है, इस प्रकार SU(2) और SL(2,C) के लिए सजातीय समिष्ट है।

इरेड्यूसिबल कॉम्पैक्ट हर्मिटियन सममित समिष्ट अधिकतम संवृत जुड़े उपसमूहों द्वारा सरल कॉम्पैक्ट लाई समूहों के बिल्कुल सजातीय समिष्ट हैं जिनमें अधिकतम टोरस होता है और सर्कल समूह में केंद्र आइसोमोर्फिक होता है। कार्टन द्वारा अध्ययन की गई चार मौलिक श्रृंखलाओं और दो असाधारण स्थितियों के साथ, अपरिवर्तनीय समिष्टों का पूरा वर्गीकरण है; वर्गीकरण बोरेल-डी सीबेंथल सिद्धांत से निकाला जा सकता है, जो अधिकतम टोरस वाले संवृत जुड़े उपसमूहों को वर्गीकृत करता है। जॉर्डन ट्रिपल प्रणाली के सिद्धांत में हर्मिटियन सममित समिष्ट, कई समष्टि चर, समष्टि ज्यामिति, स्वचालित रूप और समूह प्रतिनिधित्व दिखाई देते हैं, विशेष रूप से अर्धसरल लाई समूहों के होलोमोर्फिक असतत श्रृंखला प्रतिनिधित्व के निर्माण की अनुमति देते हैं।

परिभाषा
मान लीजिए कि H एक जुड़ा हुआ कॉम्पैक्ट सेमीसिंपल लाई समूह है, σ क्रम 2 के H का एक ऑटोमोर्फिज्म है और Hσ σ का निश्चित बिंदु उपसमूह है। मान लीजिए K, H का एक संवृत उपसमूह है जो Hσ और उसके पहचान घटक के मध्य स्थित है। सघन सजातीय समिष्ट H/K को सघन प्रकार का सममित समिष्ट कहा जाता है। लाई बीजगणित $$\mathfrak{h}$$ एक अपघटन को स्वीकार करता है


 * $$\displaystyle{\mathfrak{h}=\mathfrak{k}\oplus\mathfrak{m},}$$

जहां $$\mathfrak{k}$$, K का बीजगणित, σ का +1 ईजेनस्पेस है और $$\mathfrak{m}$$, -1 ईजेनस्पेस है। यदि $$\mathfrak{k}$$ में $$\mathfrak{h}$$ का कोई सरल योग नहीं है, तो जोड़ी ($$\mathfrak{h}$$, σ) को कॉम्पैक्ट प्रकार का ऑर्थोगोनल सममित लाई बीजगणित कहा जाता है।

$$\mathfrak{h}$$ पर कोई भी आंतरिक उत्पाद, आसन्न प्रतिनिधित्व और σ के अनुसार अपरिवर्तनीय, H/K पर एक रीमैनियन संरचना को प्रेरित करता है, जिसमें H आइसोमेट्री द्वारा कार्य करता है। एक विहित उदाहरण माइनस द किलिंग फॉर्म द्वारा दिया गया है। ऐसे आंतरिक उत्पाद के अनुसार, $$\mathfrak{k}$$ और $$\mathfrak{m}$$ ऑर्थोगोनल हैं। H/K तब कॉम्पैक्ट प्रकार का एक रीमैनियन सममित समिष्ट है।

सममित समिष्ट H/K को 'हर्मिटियन सममित समिष्ट' कहा जाता है यदि इसमें रीमैनियन मीट्रिक को संरक्षित करने वाली लगभग समष्टि संरचना होती है। यह J के साथ रेखीय मानचित्र J के अस्तित्व के समान है जिसमें J2 = −I पर $$\mathfrak{m}$$ है जो आंतरिक उत्पाद को संरक्षित करता है और K की क्रिया के साथ आवागमन करता है।

समरूपता और आइसोट्रॉपी उपसमूह का केंद्र
यदि ($$\mathfrak{h}$$,σ) हर्मिटियन है, K का केंद्र सामान्य है और समरूपता σ आंतरिक है, जिसे K के केंद्र के अवयव द्वारा कार्यान्वित किया जाता है।

वास्तव में J $$\mathfrak{k}$$ में स्थित है और exp tJ, K के केंद्र में एक-मापदंड समूह बनाता है। यह इस प्रकार है क्योंकि यदि A, B, C, D $$\mathfrak{h}$$ में स्थित है, तो $$\mathfrak{m}$$ पर आंतरिक उत्पाद के अपरिवर्तनीयता है
 * $$\displaystyle{([[A,B],C],D)=([A,B],[C,D])=([[C,D],B],A).}$$

A और B को जेए और जेबी से प्रतिस्थापित करने पर यह उसका अनुसरण करता है


 * $$\displaystyle{[JA,JB] = [A,B].}$$

$$\mathfrak{h}$$ पर J को 0 तक विस्तारित करके $$\mathfrak{k}$$ पर एक रेखीय मानचित्र δ को परिभाषित करें। अंतिम संबंध दर्शाता है कि δ $$\mathfrak{h}$$ की व्युत्पत्ति है। चूँकि $$\mathfrak{h}$$ अर्धसरल है, इसलिए δ एक आंतरिक व्युत्पत्ति होनी चाहिए


 * $$\displaystyle{\delta(X)=[T + A,X],}$$

$$\mathfrak{k}$$ में T और $$\mathfrak{m}$$ में A के साथ $$\mathfrak{k}$$ में X लेते हुए, यह इस प्रकार है कि A = 0 और T $$\mathfrak{k}$$ के केंद्र में स्थित है और इसलिए K गैर-अर्धसरल है। समरूपता σ को z = exp πT द्वारा कार्यान्वित किया जाता है और लगभग समष्टि संरचना exp π/2 T द्वारा कार्यान्वित की जाती है।

σ की आंतरिकता का तात्पर्य है कि K में H का अधिकतम टोरस है, इसलिए अधिकतम रैंक है। दूसरी ओर, अवयवों exp tT के टोरस S द्वारा उत्पन्न उपसमूह का सेंट्रलाइज़र जुड़ा हुआ है, क्योंकि यदि x K में कोई अवयव है तो x और S युक्त अधिकतम टोरस होता है, जो सेंट्रलाइज़र में स्थित होता है। दूसरी ओर, इसमें K सम्मिलित है क्योंकि S, K में केंद्रीय है और K में समाहित है क्योंकि z, S में स्थित है। इसलिए K, S का केंद्रक है और इसलिए जुड़ा हुआ है। विशेष रूप से K में H का केंद्र सम्मिलित है।

अघुलनशील अपघटन
सममित समिष्ट या जोड़ी ($$\mathfrak{h}$$, σ) को इरेड्यूसिबल कहा जाता है यदि $$\mathfrak{k}$$ (या समकक्ष Hσ या K का पहचान घटक) की संयुक्त क्रिया $$\mathfrak{m}$$ पर इरेड्यूसिबल है। यह उपबीजगणित के रूप में $$\mathfrak{k}$$ की अधिकतमता के समान है।

वास्तव में मध्यवर्ती उप-बीजगणित $$\mathfrak{l}$$ और K-अपरिवर्तनीय उप-समिष्ट के मध्य एक-एक पत्राचार है जो कि दिया गया है


 * $$\displaystyle{\mathfrak{l}=\mathfrak{k}\oplus \mathfrak{m}_1,\,\,\,\ \mathfrak{m}_1=\mathfrak{l}\cap \mathfrak{m}.}$$

कोई भी ऑर्थोगोनल सममित बीजगणित ($$\mathfrak{g}$$, σ) हर्मिटियन प्रकार को हर्मिटियन प्रकार के इरेड्यूसिबल ऑर्थोगोनल सममित बीजगणित के (ऑर्थोगोनल) प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित किया जा सकता है। वास्तव में $$\mathfrak{h}$$ सरल बीजगणित के प्रत्यक्ष योग के रूप में लिखा जा सकता है


 * $$\displaystyle{\mathfrak{h}=\oplus_{i=1}^N \mathfrak{h}_i,}$$

जिनमें से प्रत्येक को ऑटोमोर्फिज्म σ और समष्टि संरचना जे द्वारा अपरिवर्तित छोड़ दिया गया है, क्योंकि वे दोनों आंतरिक हैं। ईजेनस्पेस अपघटन $$\mathfrak{h}_1$$ इसके प्रतिच्छेदन $$\mathfrak{k}$$ और $$\mathfrak{m}$$ के साथ मेल खाता है जिससे σ का प्रतिबंध $$\mathfrak{h}_1$$ अपरिवर्तनीय है.

ऑर्थोगोनल सममित लाई बीजगणित का यह अपघटन संबंधित कॉम्पैक्ट सममित समिष्ट H/K का प्रत्यक्ष उत्पाद अपघटन उत्पन्न करता है जब H बस जुड़ा होता है। इस स्थिति में निश्चित बिंदु उपसमूह Hσ स्वचालित रूप से जुड़ा हुआ है। सरलता से जुड़े हुए H के लिए, सममित समिष्ट H/K, Hi /Ki का सीधा उत्पाद है, जिसमें Hi सरलता से जुड़ा हुआ और सरल है। इरेड्यूसिबल स्थिति में, K, H का एक अधिकतम जुड़ा हुआ उपसमूह है। चूँकि K $$\mathfrak{m}$$ पर इरेड्यूसिबल रूप से कार्य करता है (J द्वारा परिभाषित समष्टि संरचना के लिए एक समष्टि समिष्ट के रूप में माना जाता है), K का केंद्र एक आयामी टोरस T है, जो ऑपरेटर्स exp tT द्वारा दिया गया है। चूँकि प्रत्येक H बस जुड़ा हुआ है और K जुड़ा हुआ है, भागफल H/K बस जुड़ा हुआ है।

समष्टि संरचना
यदि H / K, K गैर-अर्धसरल के साथ अपरिवर्तनीय है, तो कॉम्पैक्ट समूह H सरल होना चाहिए और K अधिकतम रैंक का होना चाहिए। बोरेल-डी सीबेंथल सिद्धांत से, इनवोल्यूशन σ आंतरिक है और K इसके केंद्र का केंद्रक है, जो 'T' के लिए आइसोमोर्फिक है। विशेष रूप से K जुड़ा हुआ है। इसका तात्पर्य यह है कि H/K बस जुड़ा हुआ है और H के समष्टिीकरण (लाई समूह) g में परवलयिक उपसमूह p+ है.

है जैसे कि H/K = g/p। विशेष रूप से H/K और क्रिया पर समष्टि संरचना है H का होलोमोर्फिक है। चूँकि कोई भी हर्मिटियन सममित समिष्ट अपरिवर्तनीय समिष्टों का उत्पाद है, सामान्यतः भी यही सही है।

लाई बीजगणित स्तर पर, सममित अपघटन होता है
 * $$\mathfrak h = \mathfrak k\oplus\mathfrak m,$$

जहाँ $$(\mathfrak m,J)$$ समष्टि संरचना J वाला वास्तविक सदिश समष्टि है, जिसका समष्टि आयाम तालिका में दिया गया है। इसलिए, श्रेणीबद्ध लाई बीजगणित अपघटन है
 * $$\mathfrak g = \mathfrak{m}_{+}\oplus\mathfrak l\oplus\mathfrak{m}_-$$

जहां $$\mathfrak m\otimes\mathbb C= \mathfrak m_{-}\oplus\mathfrak m_{+}$$, J और $$\mathfrak l=\mathfrak k\otimes\mathbb C$$ के +i और −i ईजेनस्पेस में अपघटन है। P का लाई बीजगणित अर्धप्रत्यक्ष गुणनफल $$\mathfrak m^{+}\oplus\mathfrak l$$ है। समष्टि लाई बीजगणित $$\mathfrak{m}_\pm$$ एबेलियन हैं। सामान्यतः, यदि U और V $$\mathfrak{m}_\pm$$ [U,V] = J[U,V] = [JU,JV] = [±iU,±iV] = –[U,V] में हैं, तो लाई ब्रैकेट विलुप्त हो जाना चाहिए।

समष्टि उप-समिष्ट $$\mathfrak{m}_\pm$$ $$\mathfrak{m}_{\mathbb C}$$ K की क्रिया के लिए अघुलनशील हैं, क्योंकि J, K के साथ संचार करता है जिससे प्रत्येक समष्टि संरचना ±J के साथ $$\mathfrak{m}_{\mathbb C}$$ के समरूपी हो। समान रूप से K का केंद्र T पहचान निरूपण द्वारा $$\mathfrak{m}_+$$ पर और उसके संयुग्म द्वारा $$\mathfrak{m}_-$$ पर कार्य करता है।

एक सामान्यीकृत फ्लैग विविधता g/p के रूप में H/K की प्राप्ति तालिका के अनुसार g (H का समष्टिता) और p को L के अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद के समान परवलयिक उपसमूह, K के समष्टिता, समष्टि एबेलियन उपसमूह ऍक्स्प के साथ प्राप्त करके प्राप्त की जाती है। (बीजगणितीय समूहों की भाषा में, L, P का लेवी गुणनखंड है।)

वर्गीकरण
कॉम्पैक्ट प्रकार का कोई भी हर्मिटियन सममित समिष्ट बस जुड़ा हुआ है और इसे इरेड्यूसबल हर्मिटियन सममित समिष्ट H के प्रत्यक्ष उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है। केंद्र t के साथ अधिकतम रैंक से जुड़ा हुआ है। अत: अप्रासंगिक स्थिति वास्तव में बोरेल-डी सीबेंथल सिद्धांत द्वारा वर्गीकृत गैर-अर्धसरल स्थिति हैं।

तदनुसार, इरेड्यूसिबल कॉम्पैक्ट हर्मिटियन सममित समिष्ट H/K को निम्नानुसार वर्गीकृत किया गया है। कॉम्पैक्ट रीमैनियन सममित समिष्टों के वर्गीकरण के संदर्भ में, हर्मिटियन सममित समिष्ट चार अनंत श्रृंखला AIII, DIII, CI और बीडीआई हैं जिनमें p = 2 या q = 2 और दो असाधारण समिष्ट हैं, अर्थात् EIII और EVII।

मौलिक उदाहरण
कॉम्पैक्ट प्रकार के इरेड्यूसिबल हर्मिटियन सममित समिष्ट सभी सरलता से जुड़े हुए हैं। सरल रूप से जुड़े सरल कॉम्पैक्ट लाई समूह की संगत समरूपता σ आंतरिक है, जो अवधि 2 के Z(K) / Z(H) में अद्वितीय अवयव S द्वारा संयुग्मन द्वारा दी गई है। मौलिक समूहों के लिए, जैसा कि ऊपर दी गई तालिका में है, ये समरूपताएं हैं निम्नानुसार हैं:
 * AIII: $$S=\begin{pmatrix}-\alpha I_p & 0\\ 0 & \alpha I_q\end{pmatrix}$$ S(U(p)×U(q)) में, जहां αp+q=(−1)प.
 * DIII: S = iI in U(n) ⊂ SO(2n); यह विकल्प समतुल्य है $$J_n=\begin{pmatrix}0 &I_n \\ -I_n & 0\end{pmatrix}$$.
 * CI: S=iI in U(n) ⊂ Sp(n) = Sp(n,'C') ∩ U(2n); यह विकल्प जे के समान हैn.
 * बीडीआई: $$S=\begin{pmatrix}I_p & 0\\ 0 & -I_2\end{pmatrix}$$ SO(p)×SO(2) में।

अधिकतम परवलयिक उपसमूह p को इन मौलिक स्थितियों में स्पष्ट रूप से AIII के लिए वर्णित किया जा सकता है।


 * $$\displaystyle{P(p,q)= \begin{pmatrix}A_{pp} & B_{pq}\\ 0 & D_{qq}\end{pmatrix}}$$

SL(p+q,'C') में। P(p,q) 'C' में आयाम pp+q के उप-समिष्ट का स्टेबलाइज़र है.

अन्य समूह सम्मिलन के निश्चित बिंदुओं के रूप में प्रदर्शित करते हैं। मान लीजिए कि J n × n आव्यूह है जिसमें प्रतिविकर्ण पर 1 है और अन्यत्र 0 है और समुच्चय है


 * $$\displaystyle{A=\begin{pmatrix} 0 & J\\ -J & 0\end{pmatrix}.}$$

फिर Sp(n,C) SL(2n,C) के इनवॉल्यूशन θ(g) = A (gt)−1 A−1 का निश्चित बिंदु उपसमूह है। SO(n,C) को SL(n,C) में ψ(g) = B (gt)−1 B−1 के निश्चित बिंदुओं के रूप में अनुभव किया जा सकता है, जहां B = J. ये परिवर्तन DIII और CI के स्थिति में अपरिवर्तनीय P(n,n) को छोड़ देते हैं और बीडीआई के स्थिति में P(p,2) को छोड़ देते हैं। संबंधित परवलयिक उपसमूह P को निश्चित बिंदु लेकर प्राप्त किया जाता है। सघन समूह H, G/P पर सकर्मक रूप से कार्य करता है, जिससे G/P = H/K होता है।

परिभाषा
सामान्य रूप से सममित समिष्ट की तरह, प्रत्येक कॉम्पैक्ट हर्मिटियन सममित समिष्ट H/K में एक गैर-कॉम्पैक्ट दोहरी H/K होता है, जो ली बीजगणित के साथ कॉम्प्लेक्स लाई समूह g के संवृत वास्तविक लाई उपसमूह h* के साथ H को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है।
 * $$\mathfrak h^* = \mathfrak k \oplus i\mathfrak m\subset\mathfrak g.$$

बोरेल एम्बेन्डिंग
जबकि H/K से G/P तक का प्राकृतिक मानचित्र समरूपता है, H*/K से G/P से प्राकृतिक मानचित्र विवृत उपसमुच्चय में केवल समावेशन है। इस समावेशन को आर्मंड बोरेल के बाद 'बोरेल एम्बेन्डिंग' कहा जाता है। वास्तव में p ∩ H = K = p ∩ H*। H और H* की छवियों का आयाम समान है इसलिए वे विवृत हैं। चूँकि H की छवि सघन है, इसलिए संवृत है, यह इस प्रकार है कि H/K = G/P.

कार्टन अपघटन
समष्टि रैखिक समूह G में ध्रुवीय अपघटन का तात्पर्य कार्टन अपघटन H* = K ⋅ exp $$i\mathfrak{m}$$ H से है। इसके अतिरिक्त, अधिकतम एबेलियन उपबीजगणित दिया गया है इस प्रकार $$\mathfrak{a}$$ t में, A = x $$\mathfrak{a}$$ टोरल उपसमूह इस प्रकार है कि σ(a) = a−1a पर; और कोई दो ऐसे $$\mathfrak{a}$$K के अवयव द्वारा संयुग्मित होते हैं। एक समान कथन $$\mathfrak{a}^*=i\mathfrak{a}$$ के लिए है यदि $$\mathfrak{a}^*$$ = exp तो


 * $$\displaystyle{H^*=KA^*K.}$$

ये परिणाम किसी भी रीमैनियन सममित समिष्ट और उसके दोहरे में कार्टन अपघटन के विशेष स्थिति हैं। सजातीय समिष्टों में मूल से निकलने वाले जियोडेसिक्स को जनरेटर के साथ मापदंड समूहों $$i\mathfrak{m}$$ या $$\mathfrak{m}$$ के साथ पहचाना जा सकता है. कॉम्पैक्ट स्थिति में भी इसी तरह के परिणाम सामने आते हैं.

पूरी तरह से जियोडेसिक उपसमिष्ट A के गुणों को सीधे दिखाया जा सकता है। A संवृत है क्योंकि A का संवृत होना टोरल उपसमूह है जो σ(a) = a−1 को संतुष्ट करता है, तो यह लाई बीजगणित में निहित है इस प्रकार $$\mathfrak{m}$$ और इसलिए समान है अधिकतमता $$\mathfrak{a}$$ से. A को एकल अवयव exp X द्वारा टोपोलॉजिकल रूप से उत्पन्न किया जा सकता है $$\mathfrak{a}$$ x इन का सेंट्रलाइज़र है $$\mathfrak{m}$$. के किसी भी अवयव की K-कक्षा में $$\mathfrak{m}$$ अवयव Y इस प्रकार है कि (X,Ad k Y) को k = 1 पर न्यूनतम किया जाता है। k = exp tT को T के साथ समुच्चय करना $$\mathfrak{k}$$, यह इस प्रकार है कि (X,[T,Y]) = 0 और इसलिए [X,Y] = 0, जिससे Y $$\mathfrak{a}$$ को अंदर आना चाहिए. इस प्रकार $$\mathfrak{m}$$ के संयुग्मों $$\mathfrak{a}$$ का मिलन है. विशेष रूप से x के कुछ संयुग्म किसी अन्य विकल्प $$\mathfrak{a}$$ में निहित हैं, जो उस संयुग्म को केंद्रीकृत करता है; इसलिए अधिकतमता से केवल संभावनाएं ही संयुग्मित $$\mathfrak{a}$$ होती हैं


 * $$\displaystyle{H=KAK,\,\,\,H = K\cdot \exp \mathfrak{m}}$$

H/K पर K की क्रिया के लिए परिवर्तन समूह के लिए स्लाइस प्रमेय (अंतर ज्यामिति) को प्रयुक्त करके सीधे सिद्ध किया जा सकता है। वास्तव में समिष्ट H/K से पहचाना जा सकता है


 * $$\displaystyle{M=\{ \sigma(g)g^{-1}:g\in H\},}$$

H का संवृत सबमैनिफोल्ड, और कार्टन अपघटन यह दर्शाता है कि M, kAk−1K में k के लिए का मिलन है। चूँकि यह संघ K × A की सतत छवि है, यह सघन और जुड़ा हुआ है। इसलिए यह दिखाना पर्याप्त है कि संघ m में विवृत है और इसके लिए यह दिखाना पर्याप्त है कि A में प्रत्येक A का इस संघ में विवृत वर्ग है। अब 0 पर डेरिवेटिव की गणना करके, संघ में 1 का विवृत वर्ग सम्मिलित है। यदि A केंद्रीय है तो संघ A से गुणा के अनुसार अपरिवर्तनीय है, इसलिए इसमें A का विवृत वर्ग सम्मिलित है। यदि a केंद्रीय नहीं है, तो a = b तिरछा-सलायक संचालिका है $$\mathfrak{h}$$ σ के साथ एंटीकम्यूटिंग, जिसे Z2 माना जा सकता है-ग्रेडिंग ऑपरेटर σ पर $$\mathfrak{h}$$. यूलर-पोंकारे विशेषता तर्क से यह इस प्रकार है कि सुपरडायमेंशन $$\mathfrak{h}$$ के कर्नेल के सुपरडिमेंशन के साथ मेल खाता है। दूसरे शब्दों में,


 * $$\displaystyle{\mathrm{dim} \,\mathfrak{k} - \mathrm{dim} \,\mathfrak{k}_a = \mathrm{dim} \,\mathfrak{m} - \mathrm{dim} \,\mathfrak{m}_a,}$$

जहाँ $$\mathfrak{k}_a$$ और $$\mathfrak{m}_a$$ विज्ञापन A द्वारा निर्धारित उप-समिष्ट हैं। मान लीजिए कि ओर्थोगोनल का पूरक है $$\mathfrak{k}_a$$ में $$\mathfrak{k}$$ होना $$\mathfrak{k}_a^\perp$$. डेरिवेटिव की गणना करते हुए, यह इस प्रकार है कि विज्ञापन ex (aY), जहां X स्थित है $$\mathfrak{k}_a^\perp$$ और y में $$\mathfrak{m}_a$$, संघ में विवृत वर्ग है। यहां शर्तें A eY केंद्रीय a के तर्क द्वारा संघ में स्थित है: वास्तव में a, a के केंद्रीकरणकर्ता के पहचान घटक के केंद्र में है जो σ के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है और इसमें A सम्मिलित है।

$$\mathfrak{a}$$ का आयाम हर्मिटियन सममित समिष्ट की रैंक कहा जाता है।

सशक्त ऑर्थोगोनल रूट
हर्मिटियन सममित समिष्टों $$\mathfrak{a}$$ के स्थिति में, हरीश-चंद्र ने विहित विकल्प दिया था. इस विकल्प का $$\mathfrak{a}$$ लाई बीजगणित के साथ K में H का अधिकतम टोरस T लेकर निर्धारित $$\mathfrak{t}$$ किया जाता है. चूँकि समरूपता σ, मूल समिष्ट, H के केंद्र में स्थित T के अवयव द्वारा कार्यान्वित की जाती है इस प्रकार $$\mathfrak{g}_\alpha$$ में $$\mathfrak{g}$$ σ द्वारा अपरिवर्तनीय छोड़ दिया जाता है। यह उनमें निहित लोगों पर पहचान के रूप में कार्य करता है इस प्रकार $$\mathfrak{k}_{\mathbb{C}}$$ और $$\mathfrak{m}_{\mathbb{C}}$$ उनमें सम्मिलित लोगों की पहचान को घटा दिया जाता है.

रूट समिष्ट वाली रूट $$\mathfrak{k}_{\mathbb{C}}$$ सघन रूट कहलाती हैं और जिनमें रूट के लिए समिष्ट होता है जो की $$\mathfrak{m}_{\mathbb{C}}$$ असंहत रूट कहलाती हैं। (यह शब्दावली नॉनकॉम्पैक्ट प्रकार के सममित समिष्ट से उत्पन्न होती है।) यदि H सरल है, तो K के केंद्र के जनरेटर Z का उपयोग धनात्मक रूट के समुच्चय को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। α(Z) के चिन्ह तक। रूट की इस पसंद के साथ $$\mathfrak{m}_+$$ और $$\mathfrak{m}_-$$ मूल समिष्टों का प्रत्यक्ष योग हैं जो की $$\mathfrak{g}_\alpha$$ धनात्मक और ऋणात्मक गैर-कॉम्पैक्ट रूट पर α रूट सदिश eα इसलिए चुना जा सकता है


 * $$\displaystyle{X_\alpha=E_\alpha + E_{-\alpha}, \,\,\, Y_\alpha=i(E_\alpha - E_{-\alpha})}$$

रिहायश $$\mathfrak{h}$$. सरल रूट α1, ...., αn अविभाज्य धनात्मक रूट हैं। इन्हें क्रमांकित किया जा सकता है जिससे αi के केन्द्र पर लुप्त हो जाता है $$\mathfrak{h}$$ i के लिए, जबकि α1 नहीं करता है। इस प्रकार α1 अद्वितीय गैर सघन सरल रूट है और अन्य सरल रूट सघन हैं। किसी भी धनात्मक असंहत मूल का रूप β = α1 + c2 α2 + ⋅⋅⋅ + cn αn होता है गैर-ऋणात्मक गुणांक के साथ ci. ये गुणांक धनात्मक रूट पर शब्दकोषीय क्रम की ओर ले जाते हैं। α1 का गुणांक सदैव है क्योंकि $$\mathfrak{m}_-$$ K के लिए अप्रासंगिक है, इसलिए इसे कम करने वाले ऑपरेटरों E को क्रमिक रूप से प्रयुक्त करके प्राप्त सदिश द्वारा फैलाया जाता है

दो रूट α और β को दृढ़ता से ऑर्थोगोनल कहा जाता है यदि ±α ±β रूट या शून्य नहीं हैं, तो α ≐ β लिखा जाता है। उच्चतम धनात्मक मूल ψ1 नॉनकॉम्पैक्ट है. ψ2 ψ1 लीजिए के लिए दृढ़ता से ऑर्थोगोनल उच्चतम गैर-कॉम्पैक्ट धनात्मक रूट होना (शब्दकोषीय क्रम के लिए)। फिर इसी प्रकार ψi + 1 ψ1, ..., p.si लेते हुए आगे बढ़ें के लिए दृढ़ता से ऑर्थोगोनल उच्चतम गैर-कॉम्पैक्ट धनात्मक रूट होना जब तक प्रक्रिया समाप्त नहीं हो जाती है


 * $$\displaystyle{X_i= E_{\psi_i} + E_{-\psi_i}}$$

रिहायश $$\mathfrak{m}$$ और सशक्त रूढ़िवादिता द्वारा आवागमन करें। उनका विस्तार $$\mathfrak{a}$$ हरीश-चंद्र का विहित अधिकतम एबेलियन उपबीजगणित है। (जैसा कि सुगिउरा ने बाद में दिखाया, निश्चित t होने पर, दृढ़ता से ऑर्थोगोनल रूट का समुच्चय K के वेइल समूह में अवयव को प्रयुक्त करने के लिए विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है। )

अधिकतमता को यह दिखाकर जांचा जा सकता है कि यदि


 * $$\displaystyle{[\sum c_\alpha E_\alpha + \overline{c_\alpha}E_{-\alpha}, E_{\psi_i} + E_{-\psi_i}]=0}$$

सभी के लिए मैं, फिर cα = ψ से भिन्न सभी धनात्मक गैर-कॉम्पैक्ट रूट α के लिए 0j's इससे यह पता चलता है कि यदि cα ≠ 0, तो α दृढ़ता से ψ1, p2, ... के लिए ओर्थोगोनल है विरोधाभास सामान्यतः, उपरोक्त संबंध ψi + α दर्शाता है रूट नहीं हो सकता; और वह यदि ψi - α रूट है, तो इसका रूप आवश्यक रूप से β - ψi होगा. यदि psi - α ऋणात्मक थे, तो α, ψ से अधिक उच्च धनात्मक मूल होता है

पॉलीस्फेयर और पॉलीडिस्क प्रमेय
हरीश-चंद्र की विहित पसंद $$\mathfrak{a}$$ H*/K और H/K में पॉलीडिस्क और पॉलीस्फेयर प्रमेय की ओर ले जाता है। यह परिणाम ज्यामिति को एसL (2,'सी'), SU (1,1) और SU (2) से जुड़े प्रोटोटाइप उदाहरण के उत्पादों तक कम कर देता है, अर्थात् रीमैन क्षेत्र के अंदर इकाई डिस्क है।

H = SU(2) के स्थिति में समरूपता σ को विकर्ण आव्यूह द्वारा प्रविष्टियों ±i के साथ संयुग्मन द्वारा दिया जाता है जिससे


 * $$\displaystyle{\sigma\begin{pmatrix} \alpha & \beta\\ -\overline{\beta} & \overline{\alpha}\end{pmatrix} =

\begin{pmatrix} \alpha & -\beta\\ \overline{\beta} & \overline{\alpha}\end{pmatrix}}$$ निश्चित बिंदु उपसमूह अधिकतम टोरस t है, प्रविष्टियों के साथ विकर्ण आव्यूह SU(2) रीमैन क्षेत्र पर कार्य करता है इस प्रकार $$\mathbf{CP}^1$$ मोबियस ट्रांसफॉर्मेशन द्वारा सकर्मक रूप से और t 0 का स्टेबलाइज़र है। sL (2, 'सी'), SU (2) का समष्टिीकरण, मोबियस ट्रांसफॉर्मेशन द्वारा भी कार्य करता है और 0 का स्टेबलाइज़र निचले त्रिकोणीय आव्यूह का उपसमूह B है। नॉनकॉम्पैक्ट उपसमूह SU(1,1) स्पष्ट तीन कक्षाओं के साथ कार्य करता है: विवृत इकाई डिस्क |z| <1; इकाई वृत्त z = 1; और इसका बाहरी भाग |z| > 1 है. इस प्रकार


 * $$\displaystyle{\mathrm{SU}(1,1)/\mathbf{T} = \{z: |z|<1\} \,\,\, \subset \,\,\, B_+/\mathbf{T}_{\mathbb{C}} = \mathbb{C}\,\,\, \subset \,\,\,\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})/B = \mathbb{C}\cup\{\infty\},}$$

जहां b+ और tC SL(2,C) में ऊपरी त्रिकोणीय और विकर्ण आव्यूहों के उपसमूहों को निरूपित करें। मध्य पद ऊपरी इकाईत्रिकोणीय आव्यूहों के अंतर्गत 0 की कक्षा है


 * $$\displaystyle{\begin{pmatrix} 1 & z\\ 0 & 1\end{pmatrix} =\exp \begin{pmatrix} 0 & z\\ 0 & 0\end{pmatrix}.}$$

अब प्रत्येक मूल ψi के लिए πi SU(2) का H में की समरूपता है जो समरूपता के साथ संगत है। यह विशिष्ट रूप से SL(2,'C') की समरूपता को G में विस्तारित करता है। विभिन्न ψi के लिए लाई बीजगणित की छवियां का आवागमन क्योंकि वे दृढ़ता से ऑर्थोगोनल हैं। इस प्रकार प्रत्यक्ष उत्पाद SU(2) का समरूपता πr है H में समरूपता के साथ संगत। यह SL(2,'C') की समरूपता तक विस्तारित है π का ​​कर्नेल केंद्र में निहित है (±1)SU(2) जो समरूपता द्वारा बिंदुवार तय किया गया है। तो π के नीचे केंद्र की छवि K में निहित है। इस प्रकार पॉलीस्फीयर (SU(2)/T) का एम्बेन्डिंग होता है H/K = G/P में बदलें और पॉलीस्फेयर में पॉलीडिस्क (SU(1,1)/T) होता है पॉलीस्फीयर और पॉलीडिस्क रीमैन क्षेत्र और यूनिट डिस्क की आर प्रतियों का प्रत्यक्ष उत्पाद हैं। SU(2) और SU(1,1) में कार्टन अपघटन द्वारा,बहुमंडल T की कक्षा है A और पॉलीडिस्क t की कक्षा है

इसलिए कॉम्पैक्ट हर्मिटियन सममित समिष्ट H/K में प्रत्येक अवयव पॉलीस्फेयर में बिंदु की K-कक्षा में है; और नॉनकॉम्पैक्ट हर्मिटियन सममित समिष्ट H* / K के बोरेल एम्बेन्डिंग के अनुसार छवि में प्रत्येक अवयव पॉलीडिस्क में बिंदु की K-कक्षा में है।

हरीश-चंद्र एम्बेन्डिंग
H*/K, नॉनकॉम्पैक्ट प्रकार का हर्मिटियन सममित समिष्ट, की छवि में निहित है H/K बिहोलोमोर्फिक का घना विवृत उपसमुच्चय $$\mathfrak m_+$$. संबंधित डोमेन में $$\mathfrak m_+$$ घिरा है। यह हरीश-चंद्र एम्बेन्डिंग है जिसका नाम हरीश-चंद्र के नाम पर रखा गया है। वास्तव में हरीश-चंद्र ने समिष्ट के निम्नलिखित गुण दिखाए $$\mathbf{X}=\exp (\mathfrak{m}_+)\cdot K_{\mathbb{C}} \cdot \exp(\mathfrak{m}_-)=\exp (\mathfrak{m}_+)\cdot P$$:


 * 1) एक समिष्ट के रूप में, X तीन कारकों का प्रत्यक्ष उत्पाद है।
 * 2) X G में विवृत है.
 * 3) X G में सघन है।
 * 4) X में H* सम्मिलित है.
 * 5) X / P में H* / K का संवृत होना = $$\exp \mathfrak{m}_+ $$ सघन है.

वास्तव में $$M_\pm=\exp \mathfrak{m}_\pm$$ K द्वारा सामान्यीकृत समष्टि एबेलियन समूह हैं इसके अतिरिक्त, $$[\mathfrak{m}_+,\mathfrak{m}_-] \subset \mathfrak{k}_{\mathfrak{C}}$$ तब से $$[\mathfrak{m},\mathfrak{m}] \subset \mathfrak{k}$$.

इसका तात्पर्य P ∩ M+ = {1} है. यदि x = e के लिए x इन के साथ

$$\mathfrak{m}_+$$ P में स्थित है, इसे M को सामान्य करना होगा और इसलिए $$\mathfrak{m}_-$$. किन्तु यदि Y अंदर $$\mathfrak{m}_-$$ है, तब
 * $$\displaystyle{Y=\mathrm{Ad}(X)\cdot Y= Y + [X,Y] + {1\over 2} [X,[X,Y]]\in \mathfrak{m}_+ \oplus \mathfrak{k}_{\mathbb{C}} \oplus \mathfrak{m}_-,}$$

जिससे X साथ यात्रा करे $$\mathfrak{m}_-$$.+ × P किन्तु यदि अंतःक्षेपण है इसलिए (1) अनुसरण करता है। इसी प्रकार (x,p) पर μ का अवकलज है


 * $$\displaystyle{\mu^\prime(X,Y)=\mathrm{Ad}(p^{-1})X + Y =\mathrm{Ad}(p^{-1})(X\oplus\mathrm{Ad}(p)Y),}$$

जो कि इंजेक्शन है, इसलिए (2) अनुसरण करता है। विशेष स्थिति के लिए H = SU(2), H* = SU(1,1) और g = sL(2,'c') शेष दावे रीमैन क्षेत्र, 'c' और यूनिट डिस्क के साथ पहचान के परिणाम हैं. उन्हें प्रत्येक मूल ψ के लिए परिभाषित समूहों पर प्रयुक्त किया जा सकता है पॉलीस्फेयर और पॉलीडिस्क प्रमेय के अनुसार H*/K, 'X'/P और H/K पॉलीडिस्क के K-अनुवादों का मिलन है, 'C'आरऔर बहुमंडल. तो H* 'X' में है, H*/K का समापन 'X'/P में सघन है, जो बदले में H/K में सघन है।

ध्यान दें कि (2) और (3) भी इस तथ्य के परिणाम हैं कि g/p में x की छवि बड़े सेल B+ की है कॉम्प्लेक्सिफिकेशन में B (लाई समूह) g का गॉस अपघटन सममित समिष्टों H/K और H*/K की प्रतिबंधित रूट प्रणाली पर परिणामों का उपयोग करना रॉबर्ट हरमन (गणितज्ञ) ने दिखाया कि H*/K की छवि $$\mathfrak{m}_+$$ सामान्यीकृत इकाई डिस्क है. वास्तव में यह x का उत्तल समुच्चय है जिसके लिए विज्ञापन Im x का ऑपरेटर मानदंड से कम है।

परिबद्ध सममित डोमेन
एक समष्टि सदिश समष्टि में परिबद्ध डोमेन Ω को 'परिबद्ध सममित डोमेन' कहा जाता है यदि Ω में प्रत्येक x के लिए, अनैच्छिक बिहोलोमोर्फिज्म σx Ω का है जिसके लिए x पृथक निश्चित बिंदु है। हरीश-चंद्र एम्बेन्डिंग गैर-कॉम्पैक्ट प्रकार H* / K के प्रत्येक हर्मिटियन सममित समिष्ट को बंधे हुए सममित डोमेन के रूप में प्रदर्शित करता है। H का बिहोलोमोर्फिज्म समूह* / K इसके आइसोमेट्री समूह H के समान है*.

इसके विपरीत प्रत्येक परिबद्ध सममित डोमेन इस प्रकार उत्पन्न होता है। सामान्यतः, घिरा हुआ सममित डोमेन Ω दिया गया है, बर्गमैन कर्नेल Ω, बर्गमैन मीट्रिक पर रीमैनियन मीट्रिक को परिभाषित करता है, जिसके लिए प्रत्येक बायोलोमोर्फिज्म आइसोमेट्री है। यह Ω को गैर-कॉम्पैक्ट प्रकार के हर्मिटियन सममित समिष्ट के रूप में अनुभव करता है।

वर्गीकरण
इरेड्यूसिबल बाउंड सममित डोमेन को कार्टन डोमेन कहा जाता है और इन्हें निम्नानुसार वर्गीकृत किया गया है।

मौलिक डोमेन
मौलिक स्थितियों (I-IV) में, गैर-कॉम्पैक्ट समूह को 2 × 2 ब्लॉक आव्यूह द्वारा अनुभव किया जा सकता है
 * $$\displaystyle{g=\begin{pmatrix} A & B \\ C & D\end{pmatrix}}$$

सामान्यीकृत मोबियस परिवर्तनों द्वारा कार्य करना


 * $$\displaystyle{g(Z)=(AZ+B)(CZ+D)^{-1}.}$$

पॉलीडिस्क प्रमेय मौलिक स्थितियों में निम्नलिखित ठोस रूप लेता है:
 * टाइप Ipq (p ≤ q): प्रत्येक p × q आव्यूह m के लिए एकात्मक आव्यूह हैं जैसे कि विकर्ण है। वास्तव में यह p × p आव्यूहों के ध्रुवीय अपघटन से प्राप्त होता है।
 * 'टाइप III'n: प्रत्येक समष्टि सममित n × n आव्यूह M के लिए एकात्मक आव्यूह U है जैसे कि UMUt विकर्ण है. यह बात कार्ल लुडविग सीगल के मौलिक तर्क से सिद्ध होती है। V एकात्मक लें जिससे V*M*MV विकर्ण हो। फिर vtmv सममित है और इसके वास्तविक और काल्पनिक भाग चलते हैं। चूंकि वे वास्तविक सममित आव्यूह हैं, इसलिए उन्हें वास्तविक ऑर्थोगोनल आव्यूह डब्ल्यू द्वारा साथ विकर्ण किया जा सकता है।
 * 'टाइप II'n: प्रत्येक समष्टि तिरछा सममित n × n आव्यूह M के लिए एकात्मक आव्यूह होता है जैसे कि UMUt विकर्ण ब्लॉकों से बना है $$\begin{pmatrix} 0 & a\\ -a & 0\end{pmatrix}$$ और शून्य यदि n विषम है। जैसा कि सीगल के तर्क में है, इसे ऐसे स्थिति में घटाया जा सकता है जहां m के वास्तविक और काल्पनिक भाग आवागमन करते हैं। किसी भी वास्तविक तिरछा-सममित आव्यूह को ऑर्थोगोनल आव्यूह द्वारा दिए गए तिरछा-सममित आव्यूह स्पेक्ट्रल सिद्धांत में कम किया जा सकता है और यह आव्यूह को कम्यूट करने के लिए साथ किया जा सकता है।
 * 'टाइप IV'n: SO(n) × SO(2) में परिवर्तन द्वारा किसी भी सदिश को रूपांतरित किया जा सकता है जिससे पहले दो निर्देशांक को छोड़कर सभी गैर-शून्य होंता है।

===सीमा घटक                                                                                                                                                                                                                                                                                                === नॉनकॉम्पैक्ट समूह H* केवल सीमित संख्या में कक्षाओं के साथ समष्टि हर्मिटियन सममित समिष्ट H/K = G/P पर कार्य करता है। कक्षा संरचना का विस्तार से वर्णन किया गया है. विशेष रूप से बंधे हुए डोमेन H*/K के संवृत होने की अद्वितीय संवृत कक्षा होती है, जो डोमेन की शिलोव सीमा है। सामान्यतः कक्षाएँ निचले आयाम के हर्मिटियन सममित समिष्टों के संघ हैं। डोमेन के समष्टि फलन सिद्धांत, विशेष रूप से कॉची अभिन्न सूत्र के एनालॉग, कार्टन डोमेन के लिए वर्णित हैं. बंधे हुए डोमेन का संवृत होना H*/K का बेली-बोरेल कॉम्पेक्टिफिकेशन है।

केली परिवर्तन का उपयोग करके सीमा संरचना का वर्णन किया जा सकता है। गैर-कॉम्पैक्ट रूट में से द्वारा परिभाषित SU (2) की प्रत्येक प्रतिलिपि के लिए केली ट्रांसफॉर्म ci है जो मोबियस परिवर्तन के रूप में यूनिट डिस्क को ऊपरी आधे तल पर मैप करता है। दृढ़तापूर्वक ऑर्थोगोनल वर्ग ψ के सूचकांकों का उपसमुच्चय दिया गया है आंशिक केली परिवर्तन cI ci के उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है समूह π के गुणनफल में I के साथ Ii है. मान लीजिए G(I) G और H*(I) = H* ∩ G(I) में इस उत्पाद का केंद्रीयकर्ता है। चूँकि σ H*(I) को अपरिवर्तनीय छोड़ता है, इसलिए संगत हर्मिटियन सममित समिष्ट MI H*(I)/H*(I)∩K ⊂ H*/K = m। है उपसमुच्चय I के लिए सीमा घटक c के KI MI-अनुवादों का मिलन है. जब I सभी सूचकांकों का समुच्चय हो, तो MI एकल बिंदु है और सीमा घटक शिलोव सीमा है। इसके अतिरिक्त, mI mJ के समापन में है यदि और केवल यदि I ⊇ J है. ==ज्यामितीय गुण                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            == प्रत्येक हर्मिटियन सममित समिष्ट काहलर मैनिफोल्ड है। उन्हें समान रूप से समानांतर समष्टि संरचना वाले रीमैनियन सममित समिष्टों के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसके संबंध में रीमैनियन मीट्रिक हर्मिटियन मीट्रिक है। समष्टि संरचना मीट्रिक के आइसोमेट्री समूह H द्वारा स्वचालित रूप से संरक्षित होती है, और इसलिए कोई भी हर्मिटियन सममित समिष्ट m सजातीय समष्टि मैनिफोल्ड है। कुछ उदाहरण समष्टि सदिश समिष्ट और समष्टि प्रक्षेप्य समिष्ट हैं, उनके सामान्य हर्मिटियन मेट्रिक्स और फ़ुबिनी-स्टडी मेट्रिक्स के साथ, और उपयुक्त मेट्रिक्स के साथ समष्टि इकाई गेंदें जिससे वे पूर्ण मीट्रिक समिष्ट और रीमैनियन सममित बन जाएं। सघन समिष्ट हर्मिटियन सममित समिष्ट प्रक्षेप्य विविधता हैं, और बिहोलोमोर्फिज्म के सख्ती से बड़े लाई समूह g को स्वीकार करते हैं जिसके संबंध में वे सजातीय हैं: वास्तव में, वे सामान्यीकृत फ्लैग मैनिफोल्ड हैं, अर्थात, g अर्धसरल लाई समूह है और बिंदु का स्टेबलाइज़र है g का परवलयिक उपसमूह पी है। (समष्टि) सामान्यीकृत फ्लैग मैनिफोल्ड g/p के बीच, उन्हें उन लोगों के रूप में वर्णित किया गया है जिनके लिए p के लाई बीजगणित के लाई बीजगणित का नीलरेडिकल एबेलियन है। इस प्रकार वे सममित आर-स्पेस के वर्ग में समाहित हैं, जिसमें इसके विपरीत हर्मिटियन सममित समिष्ट और उनके वास्तविक रूप सम्मिलित हैं। गैर-कॉम्पैक्ट हर्मिटियन सममित समिष्टों को समष्टि सदिश समिष्टों में बंधे हुए डोमेन के रूप में अनुभव किया जा सकता है।

==जॉर्डन बीजगणित                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     ==

यद्यपि मौलिक हर्मिटियन सममित समिष्टों का निर्माण तदर्थ विधियों से किया जा सकता है, जॉर्डन ट्रिपल सिस्टम, या समकक्ष जॉर्डन जोड़े, कॉम्पैक्ट प्रकार के हर्मिटियन सममित समिष्ट और इसके गैर-कॉम्पैक्ट दोहरे से जुड़े सभी मूलभूत गुणों का वर्णन करने का समान बीजगणितीय साधन प्रदान करते हैं। इस सिद्धांत का विस्तार से वर्णन किया गया है इस प्रकार और  और संक्षेप में प्रस्तुत किया गया. कॉम्पैक्ट लाई समूहों के संरचना सिद्धांत का उपयोग करते हुए विकास इसके विपरीत क्रम में है। इसका प्रारंभिक बिंदु बंधे हुए सममित डोमेन के रूप में अनुभव किए गए गैर-कॉम्पैक्ट प्रकार का हर्मिटियन सममित समिष्ट है। इसे जॉर्डन जोड़ी या हर्मिटियन जॉर्डन ट्रिपल प्रणाली के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है। इस जॉर्डन बीजगणित संरचना का उपयोग कॉम्पैक्ट प्रकार के दोहरे हर्मिटियन सममित समिष्ट के पुनर्निर्माण के लिए किया जा सकता है, जिसमें विशेष रूप से सभी संबंधित लाई बीजगणित और लाई समूह सम्मिलित हैं।

सिद्धांत का वर्णन करना सबसे सरल है जब इरेड्यूसिबल कॉम्पैक्ट हर्मिटियन सममित समिष्ट ट्यूब प्रकार का होता है। उस स्थिति में समिष्ट साधारण वास्तविक लाई बीजगणित $$\mathfrak{g}$$ द्वारा निर्धारित किया जाता है ऋणात्मक निश्चित किलिंग फॉर्म के साथ इसे SU(2) को स्वीकार करना होगा जो केवल सामान्य और आसन्न प्रतिनिधित्व के माध्यम से कार्य करता है, दोनों प्रकार के होते हैं। तब से $$\mathfrak{g}$$ सरल है, यह क्रिया आंतरिक है, इसलिए इसमें SU(2) के लाई बीजगणित को सम्मिलित करके कार्यान्वित किया गया है इस प्रकार $$\mathfrak{g}$$ का समष्टिीकरण $$\mathfrak{g}$$ SU(2) में विकर्ण आव्यूहों के लिए तीन ईजेनस्पेस के प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित होता है। यह तीन-वर्गीकृत समष्टि लाई बीजगणित है, जिसमें SU(2) का वेइल समूह अवयव सम्मिलित होता है। ±1 ईजेनस्पेस में से प्रत्येक में यूनिटल कॉम्प्लेक्स जॉर्डन बीजगणित की संरचना होती है जो स्पष्ट रूप से यूक्लिडियन जॉर्डन बीजगणित की समष्टिता के रूप में उत्पन्न होती है। इसे SU(2) के आसन्न प्रतिनिधित्व के बहुलता समिष्ट $$\mathfrak{g}$$ से पहचाना जा सकता है.

ट्यूब प्रकार के इरेड्यूसिबल हर्मिटियन सममित समिष्टों का वर्णन सरल यूक्लिडियन जॉर्डन बीजगणित e से प्रारंभ होता है। यह जॉर्डन फ्रेम (जॉर्डन बीजगणित) को स्वीकार करता है, अर्थात ऑर्थोगोनल न्यूनतम इडेम्पोटेंट्स के कोई भी दो e के ऑटोमोर्फिज्म से संबंधित हैं, इसलिए पूर्णांक m अपरिवर्तनीय है जिसे e का 'रैंक' कहा जाता है। इसके अतिरिक्त, यदि A e का समष्टिीकरण है, तो इसमें एकात्मक संरचना समूह (जॉर्डन बीजगणित) है। यह gL (a) का उपसमूह है जो A पर प्राकृतिक समष्टि आंतरिक उत्पाद को संरक्षित करता है। A में किसी भी अवयव में ध्रुवीय अपघटन होता है इस प्रकार $a = u Σ α_{i} a_{i}$ साथ $α_{i} ≥ 0$. वर्णक्रमीय मानदंड को ||a|| द्वारा परिभाषित किया गया है. संबंधित परिबद्ध सममित डोमेन A में विवृत इकाई गेंद d है। d और ट्यूब डोमेन t = e + Ic के मध्य बायोलोमोर्फिज्म है जहां c फॉर्म के e में अवयवों का विवृत स्व-दोहरा उत्तल शंकु है $a = u Σ α_{i} a_{i}$ आपके साथ e और αi > 0 का ऑटोमोर्फिज्म है. यह गैर-कॉम्पैक्ट प्रकार के हर्मिटियन सममित समिष्ट के दो विवरण देता है। समिष्ट A को संकुचित करने के लिए जॉर्डन बीजगणित A के उत्परिवर्तन (जॉर्डन बीजगणित) का उपयोग करने का प्राकृतिक विधि है। कॉम्पैक्टिफिकेशन x समष्टि मैनिफोल्ड और परिमित-आयामी लाई बीजगणित है इस प्रकार $$\mathfrak{g}$$ x पर होलोमोर्फिक सदिश क्षेत्र को स्पष्ट रूप से निर्धारित किया जा सकता है। बिहोलोमोर्फिज्म के मापदंड समूह को इस तरह परिभाषित किया जा सकता है कि संबंधित होलोमोर्फिक सदिश क्षेत्र का विस्तार हो $$\mathfrak{g}$$. इसमें SL(2,C) में आव्यूह के अनुरूप सभी समष्टि मोबियस परिवर्तनों का समूह सम्मिलित है। उपसमूह SU(1,1) यूनिट बॉल और उसके समापन को अपरिवर्तित छोड़ देता है। उपसमूह SL(2,R) ट्यूब डोमेन और उसके समापन को अपरिवर्तित छोड़ देता है। सामान्य केली ट्रांसफॉर्म और इसका विपरीत, c में यूनिट डिस्क को ऊपरी आधे तल पर मैप करते हुए, d और t के मध्य अनुरूप मानचित्र स्थापित करता है। पॉलीडिस्क निश्चित जॉर्डन फ्रेम द्वारा उत्पन्न वास्तविक और समष्टि जॉर्डन उप-बीजगणित से मेल खाता है। यह SU(2) की सकर्मक क्रिया को स्वीकार करता है और यह क्रिया xm तक फैली हुई है। बायोलोमोर्फिज्म के एक-मापदंड समूहों द्वारा उत्पन्न समूह g सही से कार्य $$\mathfrak{g}$$ करता है. एकात्मक संरचना समूह के पहचान घटक K और SU(2) में संचालकों द्वारा उत्पन्न उपसमूह यह कॉम्पैक्ट लाई ग्रुप H को परिभाषित करता है जो x पर सकर्मक रूप से कार्य करता है। इस प्रकार H/K कॉम्पैक्ट प्रकार का संबंधित हर्मिटियन सममित समिष्ट है। समूह G को H के समष्टिीकरण (Lie समूह) से पहचाना जा सकता है। D को अपरिवर्तनीय छोड़ने वाला उपसमूह H*, G का गैर-कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप है। यह D पर सकर्मक रूप से कार्य करता है जिससे H* / K नॉनकॉम्पैक्ट का दोहरा हर्मिटियन सममित समिष्ट होता है। समावेशन d ⊂ A ⊂ x बोरेल और हरीश-चंद्र एम्बेन्डिंग को पुन: उत्पन्न करता है। ट्यूब प्रकार के हर्मिटियन सममित समिष्टों का वर्गीकरण सरल यूक्लिडियन जॉर्डन बीजगणित के समान हो जाता है। इन्हें वर्गीकृत किया गया था यूक्लिडियन हर्विट्ज़ बीजगणित के संदर्भ में, विशेष प्रकार की रचना बीजगणित है।

सामान्यतः हर्मिटियन सममित समिष्ट 3-वर्गीकृत लाई बीजगणित को जन्म देता है जिसमें अवधि 2 संयुग्मित रैखिक ऑटोमोर्फिज्म डिग्री ±1 के भागो को स्विच करता है और डिग्री 0 भाग को संरक्षित करता है। यह जॉर्डन जोड़ी या हर्मिटियन जॉर्डन ट्रिपल प्रणाली की संरचना को जन्म देता है, जिससे जॉर्डन बीजगणित के सिद्धांत का विस्तार किया था। सभी इरेड्यूसिबल हर्मिटियन सममित समिष्टों का निर्माण इस प्रारूप के अन्दर समान रूप से किया जा सकता है। ने अवधि 2 ऑटोमोर्फिज्म के साथ सरल यूक्लिडियन जॉर्डन बीजगणित से गैर-ट्यूब प्रकार के इरेड्यूसबल हर्मिटियन सममित समिष्ट का निर्माण किया था। ऑटोमोर्फिज्म के −1 आइगेनस्पेस में जॉर्डन जोड़ी की संरचना होती है, जिसे बड़े जॉर्डन बीजगणित से निकाला जा सकता है। टाइप II के सील डोमेन के अनुरूप गैर-ट्यूब प्रकार के स्थिति में, वास्तविक या समष्टि मोबियस परिवर्तनों का कोई विशिष्ट उपसमूह नहीं है। इरेड्यूसिबल हर्मिटियन सममित समिष्टों के लिए, ट्यूब प्रकार को शिलोव सीमा के वास्तविक आयाम $S$ की विशेषता है इस प्रकार $D$ के समष्टि आयाम के समान होती है.

==यह भी देखें                                                                                                                                                                                                                    ==
 * अपरिवर्तनीय उत्तल शंकु

==टिप्पणियाँ                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               ==

संदर्भ

 * The standard book on Riemannian symmetric spaces.
 * . Chapter 8 contains a self-contained account of Hermitian symmetric spaces of compact प्रकार.
 * . This contains a detailed account of Hermitian symmetric spaces of noncompact प्रकार.
 * The standard book on Riemannian symmetric spaces.
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 * The standard book on Riemannian symmetric spaces.
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 * The standard book on Riemannian symmetric spaces.
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 * . This contains a detailed account of Hermitian symmetric spaces of noncompact प्रकार.
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