द्वि प्रतिनिरूपण

गणित में, यदि $G$ एक समूह है और $ρ$ सदिश समष्टि $V$ पर इसका एक रैखिक निरूपण है, तो दोहरे निरूपण $ρ*$ को दोहरे सदिश समष्टि $V*$ पर इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
 * $ρ*(g)$ $ρ(g^{−1})$ का स्थानान्तरण है, अर्थात सभी $g ∈ G$ के लिए $ρ*(g)$ = $ρ(g^{−1})^{T}$ है।

इस प्रकार दोहरे निरूपण को विरोधाभासी निरूपण के रूप में भी जाना जाता है।

यदि $g$ एक लाई बीजगणित है और π सदिश समष्टि $V$ पर इसका निरूपण करता है, तो दोहरे निरूपण $π*$ को दोहरे सदिश समष्टि $V*$ पर इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
 * $π*(X)$ = $−π(X)^{T}$ सभी के लिए $X ∈ g$.

इस परिभाषा के लिए प्रेरणा यह है कि लाई समूह निरूपण के दोहरे से जुड़े लाई बीजगणित निरूपण की गणना उपरोक्त सूत्र द्वारा की जाती है। किन्तु लाई बीजगणित निरूपण के दोहरे की परिभाषा समझ में आती है, तथापि यह लाई समूह निरूपण से नहीं आती है।

दोनों स्थितियों में, दोहरा निरूपण सामान्य अर्थ में निरूपण है।

इरेड्यूसिबिलिटी और सेकंड ड्यूल
यदि (परिमित-आयामी) निरूपण अपरिवर्तनीय है, तो दोहरा निरूपण भी अपरिवर्तनीय है -किन्तु आवश्यक नहीं कि यह मूल निरूपण के समरूपी होता है। दूसरी ओर, किसी भी निरूपण के दोहरे का द्वैत मूल निरूपण के लिए समरूपी है।

एकात्मक निरूपण
इस प्रकार समूह $$G$$ के एकात्मक निरूपण $$\rho$$ पर विचार करें, और आइए हम ऑर्थोनॉर्मल आधार पर कार्य करें। इस प्रकार, $$\rho$$ $$G$$ को एकात्मक आव्यूहों के समूह में मैप करता है। फिर दोहरे निरूपण की परिभाषा में अमूर्त ट्रांसपोज़ को सामान्य आव्यूह ट्रांसपोज़ के साथ पहचाना जा सकता है। चूँकि आव्यूह का जोड़ स्थानान्तरण का सम्मिश्र संयुग्म है, स्थानान्तरण आसन्न का संयुग्म है। इस प्रकार, $$\rho^\ast(g)$$ $$\rho(g)$$ के व्युत्क्रम के जोड़ का सम्मिश्र संयुग्म है। किन्तु चूँकि $$\rho(g)$$ को एकात्मक माना जाता है, इसलिए $$\rho(g)$$ के व्युत्क्रम का जोड़ सिर्फ $$\rho(g)$$ है

इस विचार का निष्कर्ष यह है कि जब ऑर्थोनॉर्मल आधार पर एकात्मक निरूपण के साथ कार्य किया जाता है, तो $$\rho^*(g)$$ $$\rho(g)$$ का सम्मिश्र संयुग्म होता है

SU(2) और SU(3) स्थिति
इस प्रकार SU(2) के निरूपण सिद्धांत में, प्रत्येक अपरिवर्तनीय निरूपण का दोहरा निरूपण के लिए समरूपी हो जाता है। किन्तु SU(3) के अभ्यावेदन के लिए, लेबल के साथ इरेड्यूसेबल निरूपण का दोहरा, लेबल $$(m_1,m_2)$$ के साथ इरेड्यूसेबल निरूपण का दोहरा है। विशेष रूप से, SU(3) का मानक त्रि-आयामी निरूपण (उच्चतम वजन $$(1,0)$$ के साथ) इसके दोहरे के लिए आइसोमोर्फिक नहीं है। इस प्रकार भौतिकी साहित्य में क्वार्क के सिद्धांत में, मानक निरूपण और इसके दोहरे को $$3$$ और $$\bar 3$$ कहा जाता है

सामान्य अर्धसरल लाई बीजगणित
अधिक सामान्यतः, अर्धसरल लाई बीजगणित (या कॉम्पैक्ट लाई समूहों के निकट से संबंधित निरूपण सिद्धांत) के निरूपण सिद्धांत में, दोहरे निरूपण के वजन मूल निरूपण के वजन के ऋणात्मक होते हैं। (आंकड़ा देखें।) अब, किसी दिए गए बीजगणित के लिए, यदि ऐसा होना चाहिए कि ऑपरेटर $$-I$$ वेइल समूह का एक अवयव है, तो मानचित्र के अंतर्गत प्रत्येक निरूपण का भार स्वचालित रूप से अपरिवर्तनीय है। इस प्रकार $$\mu\mapsto -\mu$$ ऐसे लाई बीजगणित के लिए, प्रत्येक अघुलनशील निरूपण अपने दोहरे के लिए समरूपी होगा। (यह su (2) के लिए स्थिति है, जहां वेइल समूह $$\{I,-I\}$$ है।) इस प्रोपर्टी के साथ लाई बीजगणित में विषम ऑर्थोगोनल लाई बीजगणित $$\operatorname{so}(2n+1;\mathbb C)$$ सम्मिलित हैं (प्रकार $$B_n$$ और सिम्प्लेक्टिक लाई बीजगणित $$\operatorname{sp}(n;\mathbb C)$$ (प्रकार $$C_n$$) है

यदि, किसी दिए गए बीजगणित के लिए, $$-I$$ वेइल समूह में नहीं है, तो एक अपरिवर्तनीय निरूपण का दोहरा मूल रूप से मूल निरूपण के लिए आइसोमोर्फिक नहीं होगा। यह समझने के लिए कि यह कैसे काम करता है, हम ध्यान दें कि सदैव एक अद्वितीय वेइल समूह अवयव $$w_0$$ होता है जो मौलिक वेइल कक्ष के नकारात्मक को मौलिक वेइल कक्ष में मैप करता है। फिर यदि हमारे पास उच्चतम वजन $$-\mu$$ के साथ एक अपरिवर्तनीय निरूपण है, तो दोहरे निरूपण का सबसे कम वजन $$-\mu$$ होगा। इसके पश्चात् यह निष्कर्ष निकलता है कि दोहरे निरूपण का उच्चतम भार होगा $$w_0\cdot(-\mu)\,$$ चूँकि हम मान रहे हैं कि -I वेइल समूह में नहीं है, $$\mu\mapsto w_0\cdot(-\mu)$$ नहीं हो सकता है, जिसका अर्थ है कि मानचित्र $$w_0\cdot(-\mu)\,$$ पहचान नहीं है. निःसंदेह, यह अभी भी हो सकता है कि $$-\mu$$ के कुछ विशेष विकल्पों के लिए, हमारे पास $$\mu=w_0\cdot(-\mu)$$ हो सकता है। उदाहरण के लिए, आसन्न निरूपण सदैव अपने दोहरे से समरूपी होता है।

इस प्रकार su (3) (या इसके सम्मिश्र बीजगणित, $$\operatorname{sl}(3;\mathbb C)$$) के स्थिति में, हम दो जड़ों से युक्त आधार चुन सकते हैं। $$\{\alpha_1,\alpha_2\}$$ 120 डिग्री के कोण पर, जिससे तीसरा धनात्मक मूल हो 2}}. इस स्थिति में, अवयव $$\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2$$ के लंबवत रेखा के बारे में प्रतिबिंब है। तब मानचित्र $$\mu\mapsto w_0\cdot(-\mu)$$ से होकर जाने वाली रेखा के बारे में प्रतिबिंब है। इस प्रकार तब स्व-दोहरे निरूपण वे होते हैं जो $$\alpha_3$$ से होकर निकलने वाली रेखा के साथ स्थित होते हैं। यह $$(m,m)$$ फॉर्म के लेबल वाले निरूपण हैं, जो ऐसे निरूपण हैं जिनके वजन आरेख नियमित षट्भुज हैं।

प्रेरणा
इस प्रकार निरूपण सिद्धांत में, दोनों सदिश $V$ और रैखिक कार्यात्मकताएं $V*$ को कॉलम वैक्टर के रूप में माना जाता है जिससे निरूपण बाईं ओर से (आव्यूह गुणन द्वारा) कार्य कर सके। $V$ के लिए आधार दिया गया और $V*$ के लिए दोहरा आधार, रैखिक कार्यात्मक की कार्रवाई $φ$ पर $v$, $φ(v)$ आव्यूह गुणन द्वारा व्यक्त किया जा सकता है,
 * $$\langle\varphi, v\rangle \equiv \varphi(v) = \varphi^Tv$$,

जहां सुपरस्क्रिप्ट $T$ आव्यूह ट्रांसपोज़ है। अनुरूपि की आवश्यकता है
 * $$\langle{\rho}^*(g)\varphi, \rho(g)v\rangle = \langle\varphi, v\rangle.$$

दी गई परिभाषा के साथ,
 * $$\langle{\rho}^*(g)\varphi, \rho(g)v\rangle = \langle\rho(g^{-1})^T\varphi, \rho(g)v\rangle = (\rho(g^{-1})^T\varphi)^T \rho(g)v = \varphi^T\rho(g^{-1})\rho(g)v = \varphi^Tv = \langle\varphi, v\rangle.$$

इस प्रकार लाई बीजगणित निरूपण के लिए व्यक्ति संभावित समूह निरूपण के साथ एकरूपता चुनता है। सामान्यतः, यदि $Π$ एक लाई समूह का निरूपण है, तो $π$ द्वारा दिया जाता है
 * $$\pi(X) = \frac{d}{dt}\Pi(e^{tX})|_{t = 0}.$$

इसके लाई बीजगणित का निरूपण है। यदि $Π*$, $Π$ से दोहरा है, तो इसका अनुरूप बीजगणित निरूपण $π*$ द्वारा दिया जाता है
 * $$\pi^*(X) = \frac{d}{dt}\Pi^*(e^{tX})|_{t = 0} = \frac{d}{dt}\Pi(e^{-tX})^T|_{t = 0} = -\pi(X)^T.$$

उदाहरण
इस प्रकार निरपेक्ष मान $$G=U(1)$$ की सम्मिश्र संख्याओं के समूह पर विचार करें। शूर के लेम्मा के परिणामस्वरूप, अप्रासंगिक निरूपण सभी एक आयामी हैं। इस प्रकार इरेड्यूसिबल अभ्यावेदन को पूर्णांक $$n$$ द्वारा मानकीकृत किया जाता है और स्पष्ट रूप से दिया जाता है
 * $$\rho_n(e^{i\theta})=[e^{in\theta}].$$

इस प्रकार $$\rho_n$$ का दोहरा निरूपण इस वन बाई वन आव्यूह के स्थानान्तरण का व्युत्क्रम है, अर्थात,
 * $$\rho_n^*(e^{i\theta})=[e^{-in\theta}]=\rho_{-n}(e^{i\theta}).$$

तात्पर्य यह है कि, निरूपण $$\rho_{-n}$$ का द्वैत $$\rho_n$$ है

सामान्यीकरण
सामान्य रिंग मॉड्यूल (गणित) दोहरे निरूपण को स्वीकार नहीं करता है। चूंकि, हॉपफ बीजगणित के मॉड्यूल ऐसा करते हैं।

यह भी देखें

 * सम्मिश्र संयुग्म निरूपण
 * अभ्यावेदन का टेंसर उत्पाद
 * किरिलोव कैरेक्टर सूत्र