लैग्रेंज बहुपद

संख्यात्मक विश्लेषण में, लैग्रेंज अंतर्वेशन बहुपद की निम्नतम कोटि का अद्वितीय बहुपद है जो बहुपद डेटा के समुच्चय को प्रक्षेपित करता है।

किसी फलन के ग्राफ़ के डेटा समुच्चय को देखते हुए $$(x_j, y_j)$$ के साथ निर्देशांक युग्म $$0 \leq j \leq k,$$ $$x_j$$ को नोड कहा जाता है और $$y_j$$ मान कहलाते हैं। लैग्रेंज बहुपद $$L(x)$$ कोटि $\leq k$ है और प्रत्येक मान $$L(x_j) = y_j$$ को संबंधित बिन्दु पर मान लेता है।

हालांकि इसका नाम जोसेफ-लुई लाग्रेंज के नाम पर रखा गया, जिन्होंने इसे 1795 में प्रकाशित किया था, इस विधि की खोज सबसे पहले 1779 में एडवर्ड वारिंग ने की थी। यह लियोनहार्ड यूलर द्वारा 1783 में प्रकाशित एक सूत्र का भी आसान परिणाम है।

लैग्रेंज बहुपदों के उपयोग में न्यूटन-कोट्स सूत्र सम्मिलित हैं। न्यूटन-कोट्स संख्यात्मक एकीकरण की विधि और क्रिप्टोग्राफी (कूटलेखन) में शमीर की गुप्त साझाकरण योजना सम्मिलित है।

समस्थानिक नोड्स के लिए, लैग्रेंज अंतर्वेशन बड़े दोलन की रूंज की घटना के लिए अतिसंवेदनशील है।

परिभाषा
$k + 1$ नोड्स $$\{x_0, x_1, \ldots, x_k\}$$ का एक समुच्चय दिया दिया गया है, जो सभी अलग-अलग होने चाहिए, $$x_j \neq x_m$$ सूचकांकों $$j \neq m$$ के लिए, कोटि के बहुपदों के लिए लैग्रेंज आधार $\leq k$  उन नोड्स के लिए बहुपदों $\{\ell_0(x), \ell_1(x), \ldots, \ell_k(x)\}$ का समूह है प्रत्येक कोटि $k$  जो मान लेते हैं $\ell_j(x_m) = 0$  यदि $m \neq j$  और $\ell_j(x_j) = 1$  क्रोनकर डेल्टा $\ell_j(x_m) = \delta_{jm}$  का उपयोग करके इसे लिखा जा सकता है। प्रत्येक आधार बहुपद को गुणनफल द्वारा स्पष्ट रूप से वर्णित किया जा सकता है:

$$\begin{aligned} \ell_j(x) &= \frac{(x-x_0)}{(x_j-x_0)} \cdots \frac{(x-x_{j-1})}{(x_j-x_{j - 1})} \frac{(x-x_{j+1})}{(x_j-x_{j+1})} \cdots \frac{(x-x_k)}{(x_j-x_k)} \\[10mu] &= \prod_{\begin{smallmatrix}0\le m\le k\\ m\neq j\end{smallmatrix}} \frac{x-x_m}{x_j-x_m}. \end{aligned}$$ ध्यान दें कि अंश $\prod_{m \neq j}(x - x_m)$ मे $k$  नोड्स पर $\{x_m\}_{m \neq j}$  मूल पद है जबकि भाजक $\prod_{m \neq j}(x_j - x_m)$  परिणामी बहुपद को प्रवर्धित करता है ताकि $\ell_j(x_j) = 1.$

संबंधित मानों के माध्यम से उन नोड्स के लिए लैग्रेंज अंतर्वेशन बहुपद $$\{y_0, y_1, \ldots, y_k\}$$ रैखिक संयोजन है:

$$L(x) = \sum_{j=0}^{k} y_j \ell_j(x).$$ प्रत्येक आधार बहुपद की कोटि $k$ होती है इसलिए योग $L(x)$  की कोटि $\leq k$  है, और यह डेटा को प्रक्षेपित करता है क्योंकि

$L(x_m) = \sum_{j=0}^{k} y_j \ell_j(x_m) = \sum_{j=0}^{k} y_j \delta_{mj} = y_m.$

अंतर्वेशन बहुपद अद्वितीय है। प्रमाण: मान लें कि डिग्री का बहुपद $M(x)$ कोटि $\leq k$  डेटा को प्रक्षेपित करता है। फिर शेष $M(x) - L(x)$  पर $k + 1$  विशिष्ट नोड्स $\{x_0, x_1, \ldots, x_k\}$  शून्य है। लेकिन कोटि का एकमात्र बहुपद $\leq k$  से अधिक के साथ $k$  मूल पदो वाले घात का $M(x) - L(x) = 0,$  या $M(x) = L(x)$  अचर शून्य फलन है

केंद्रकीय व्यंजक
प्रत्येक लाग्रेंज आधार बहुपद $\ell_j(x)$ तीन भागों, एक फलन के गुणनफल $\ell(x) = \prod_m (x - x_m)$  के रूप में फिर से लिखा जा सकता है प्रत्येक आधार बहुपद के लिए सामान्य, एक नोड-विशिष्ट स्थिरांक $w_j = \prod_{m\neq j}(x_j - x_m)^{-1}$  (केंद्रकीय भार कहा जाता है), और $x_j$  से $x$  तक विस्थापन का प्रतिनिधित्व करने वाला एक भाग:

$$\ell_j(x) = \ell(x) \dfrac{w_j}{x - x_j}$$ गुणनखंडन द्वारा $\ell(x)$ योग से बाहर, हम लैग्रेंज बहुपद को तथाकथित प्रथम केंद्रकीय रूप में लिख सकते हैं:


 * $$L(x) = \ell(x) \sum_{j=0}^k \frac{w_j}{x-x_j}y_j.$$

यदि भार $$w_j$$ पूर्व-गणना की गई है, तो प्रत्येक लाग्रेंज आधार बहुपद $$\mathcal O(k)$$ का अलग-अलग मूल्यांकन करने के लिए $$\mathcal O(k^2)$$ की तुलना में केवल $$\ell_j(x)$$ संक्रिया की आवश्यकता होती है।

प्रत्येक $$x_{k+1}$$ को $$w_j$$, $$j=0 \dots k$$ द्वारा विभाजित करके नया नोड $$(x_j - x_{k+1})$$ शामिल करने के लिए बैरीसेंट्रिक (केन्द्रकीय) अंतर्वेशन सूत्र और नया निर्माण $$w_{k+1}$$ ऊपरोक्त को भी आसानी से अवगत किया जा सकता है।।

किसी भी $x,$ $\sum_{j=0}^k \ell_j(x) = 1$  के लिए क्योंकि नियतांक फलन $g(x) = 1$  है कोटि का $$\leq k$$ अद्वितीय बहुपद डेटा को $\{(x_0, 1), (x_1, 1), \ldots, (x_k, 1) \}$  के द्वारा प्रक्षेपित करना। इस प्रकार हम $$L(x) = L(x) / g(x)$$ को विभाजित करके केन्द्रकीय सूत्र को और सरल बना सकते हैं
 * $$\begin{aligned}

L(x) &= \ell(x) \sum_{j=0}^k \frac{w_j}{x-x_j}y_j \Bigg/ \ell(x) \sum_{j=0}^k \frac{w_j}{x-x_j} \\[10mu] &= \sum_{j=0}^k \frac{w_j}{x-x_j}y_j \Bigg/ \sum_{j=0}^k \frac{w_j}{x-x_j}. \end{aligned}$$ इसे केन्द्रकीय अंतर्वेशन सूत्र का द्वितीय व्यंजक या सत्य व्यंजक कहा जाता है।

इस दूसरे रूप में संगणना कीमत और परिशुद्धता में लाभ हैं: यह $$\ell(x)$$ के मूल्यांकन से बचा जाता है; भाजक $$w_j/(x-x_j)$$ में प्रत्येक पद की गणना करने का कार्य अभिकलन $$\bigl(w_j/(x-x_j)\bigr)y_j$$ में किया जा चुका है और इसलिए हर में योग की गणना करने में केवल $k-1$ अतिरिक्त संक्रिया होती है; मूल्यांकन बिंदुओं के लिए $x$  जो एक नोड के समीप $x_j$  हैं, विपाती निरस्तीकरण सामान्य रूप से $(x-x_j)$  मूल्य के लिए एक समस्या होगी, हालांकि यह परिणाम अंश और हर दोनों में दिखाई देती है और अंतिम परिणाम में अच्छी सापेक्ष परिशुद्धता छोड़ते हुए दोनों निरस्त हो जाते हैं।

किसी एक नोड $$L(x)$$ पर $$x_j$$ का मूल्यांकन करने के लिए इस सूत्र का उपयोग करने से परिणाम अनिश्चित $$\infty y_j/\infty$$ होगा; कंप्यूटर कार्यान्वयन को ऐसे परिणामों $$L(x_j) = y_j$$को प्रतिस्थापित करना चाहिए। प्रत्येक लाग्रेंज आधार बहुपद को केंद्रकीय रूप में भी लिखा जा सकता है:



\ell_j(x) = \frac{w_j}{x-x_j} \Bigg/ \sum_{m=0}^k \frac{w_m}{x-x_m}. $$

रैखिक बीजगणित से एक परिप्रेक्ष्य
बहुपद अंतर्वेशन को हल करने से रैखिक बीजगणित में मैट्रिक्स के व्युत्क्रम की मात्रा में समस्या आती है। हमारे अंतर्वेशन बहुपद $L(x) = \sum_{j=0}^k x^j m_j$ के लिए एक मानक एकपदी आधार का उपयोग करते हुए, हमें वैंडरमोंड मैट्रिक्स को $$(x_i)^j$$ को हल करने के लिए $$L(x_i) = y_i$$ गुणांक के लिए $$m_j$$ का $$L(x)$$ है। अधिकतम आधार चयन करके, $L(x) = \sum_{j=0}^k l_j(x) y_j$, हम केवल सर्वसमिका $$\delta_{ij}$$ मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं, जो इसका अपना प्रतिलोम है: लैग्रेंज आधार स्वचालित रूप से वैंडरमोंड मैट्रिक्स के एनालॉग को प्रतिवर्त देता है।

यह रचना चीनी शेष प्रमेय के अनुरूप है। पूर्णांक मॉडुलो अभाज्य संख्याओं के अवशेषों की जाँच करने के अतिरिक्त, हम रैखिकों द्वारा विभाजित किए जाने पर बहुपदों के अवशेषों की जाँच कर रहे हैं।

इसके अतिरिक्त, जब क्रम बड़ा होता है, तो अंतर्वेशन बहुपद के गुणांकों को हल करने के लिए निर्धारित फूरियर रूपांतरण का उपयोग किया जा सकता है।

उदाहरण
हम तीन नोड्स $$f(x) = x^2$$ पर $$1 \leq x \leq 3$$ प्रक्षेत्र $\{1,\, 2,\, 3\}$ प्रक्षेपित करना चाहते हैं:



\begin{align} x_0 & = 1, & & & y_0 = f(x_0) & = 1, \\[3mu] x_1 & = 2, & & & y_1 = f(x_1) & = 4, \\[3mu] x_2 & = 3, & & & y_2 = f(x_2) & =9. \end{align} $$ नोड बहुपद $$\ell$$ है
 * $$\ell(x) = (x-1)(x-2)(x-3) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6.$$

केंद्रकीय भार हैं
 * $$\begin{align}

w_0 &= (1-2)^{-1}(1-3)^{-1} = \tfrac12, \\[3mu] w_1 &= (2-1)^{-1}(2-3)^{-1} = -1, \\[3mu] w_2 &= (3-1)^{-1}(3-2)^{-1} = \tfrac12. \end{align}$$ लाग्रेंज आधार बहुपद हैं


 * $$\begin{align}

\ell_0(x) &= \frac{x - 2}{1 - 2}\cdot\frac{x - 3}{1 - 3} = \tfrac12x^2 - \tfrac52x + 3, \\[5mu] \ell_1(x) &= \frac{x - 1}{2 - 1}\cdot\frac{x - 3}{2 - 3} = -x^2 + 4x - 3, \\[5mu] \ell_2(x) &= \frac{x - 1}{3 - 1}\cdot\frac{x - 2}{3 - 2} = \tfrac12x^2 - \tfrac32x + 1. \end{align}$$ लैग्रेंज अंतर्वेशन बहुपद है:
 * $$ \begin{align}

L(x) &= 1\cdot\frac{x - 2}{1 - 2}\cdot\frac{x - 3}{1 - 3} + 4\cdot\frac{x - 1}{2 - 1}\cdot\frac{x - 3}{2 - 3} + 9\cdot\frac{x - 1}{3 - 1}\cdot\frac{x - 2}{3 - 2} \\[6mu] &= x^2. \end{align} $$ (द्वितीय) केन्द्रकीय रूप में,



L(x) = \frac {\displaystyle \sum_{j=0}^2 \frac{w_j}{x-x_j}y_j} {\displaystyle \sum_{j=0}^2 \frac{w_j}{x-x_j}} = \frac {\displaystyle \frac{\tfrac12}{x - 1} + \frac{-4}{x - 2} + \frac{\tfrac92}{x - 3}} {\displaystyle \frac{\tfrac12}{x - 1} + \frac{-1}{x - 2} + \frac{\tfrac12}{x - 3}}. $$

टिप्पणियाँ


अंतर्वेशन बहुपद का लैग्रेंज रूप बहुपद अंतर्वेशन के रैखिक विशेषता और अंतर्वेशन बहुपद की विशिष्टता को दर्शाता है। इसलिए, इसे प्रमाणों और सैद्धांतिक तर्कों में चयन किया जाता है। वैंडरमोंड निर्धारक के समाप्त न होने के कारण, वैंडरमोंड मैट्रिक्स की व्युत्क्रमणीयता से विशिष्टता भी देखी जा सकती है।

लेकिन, जैसा कि निर्माण से देखा जा सकता है, हर बार एक नोड xk बदलता है, सभी लैग्रेंज आधार बहुपदों को पुनर्गणना करना पड़ता है। व्यावहारिक (या कम्प्यूटेशनल) उद्देश्यों के लिए अंतर्वेशन बहुपद का अधिकतम रूप लैग्रेंज अंतर्वेशन (नीचे देखें) या न्यूटन बहुपदों का केंद्रकीय रूप है।

लैग्रेंज और अन्य अंतर्वेशन समान दूरी वाले बिंदुओं पर, जैसा कि ऊपर के उदाहरण में है, वास्तविक कार्य के ऊपर और नीचे एक बहुपद दोलन करता है। यह व्यवहार अंकों की संख्या के साथ बढ़ने लगता है, जिससे विचलन होता है जिसे रन्ज की घटना के रूप में जाना जाता है; चेबीशेव नोड्स पर अंतर्वेशन बिंदु चयन करके समस्या को समाप्त किया जा सकता है।

न्यूटन-कोट्स सूत्र प्राप्त करने के लिए लाग्रेंज आधार बहुपदों का संख्यात्मक एकीकरण में उपयोग किया जा सकता है।

लैग्रेंज अंतर्वेशन सूत्र में अवशेष
किसी दिए गए फलन f को कोटि के बहुपद द्वारा प्रक्षेपित करते समय $k$ नोड्स पर $$x_0,...,x_k$$ हमें शेष मिलता है $$R(x) = f(x) - L(x)$$ जिसे व्यक्त किया जा सकता है
 * $$ R(x) = f[x_0,\ldots,x_k,x] \ell(x) = \ell(x) \frac{f^{(k+1)}(\xi)}{(k+1)!}, \quad \quad x_0 < \xi < x_k,$$

जहाँ $$f[x_0,\ldots,x_k,x]$$ विभाजित अंतरों के लिए संकेतन है। वैकल्पिक रूप से, शेष को जटिल प्रक्षेत्र में समोच्च अभिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है


 * $$R(x) = \frac{\ell(x)}{2\pi i} \int_C \frac{f(t)}{(t-x)(t-x_0) \cdots (t-x_k)} dt = \frac{\ell(x)}{2\pi i} \int_C \frac{f(t)}{(t-x)\ell(t)} dt.$$

शेष के रूप में बाध्य किया जा सकता है


 * $$|R(x)| \leq \frac{(x_k-x_0)^{k+1}}{(k+1)!}\max_{x_0 \leq \xi \leq x_k} |f^{(k+1)}(\xi)|. $$

व्युत्पत्ति
स्पष्ट रूप से, $$R(x) $$ नोड्स पर शून्य है। बिंदु $$R(x)$$ पर $$x_p $$ को पता लगाने के लिए एक नया फलन परिभाषित करें $$F(x)=R(x)-\tilde{R}(x)=f(x)-L(x)-\tilde{R}(x)$$ और $\tilde{R}(x)=C\cdot\prod_{i=0}^k(x-x_i)$  चयन करे जहाँ $$C$$ वह स्थिरांक है जिसे हमें दिए गए $$x_p$$के लिए, हम $$C$$ चयन करते हैं ताकि $$F(x)$$ शून्य $$k+2$$ है (सभी नोड्स पर और $$x_p$$) बीच में $$x_0$$ और $$x_k$$ (अंतिम बिंदुओं सहित) निर्धारित करना है।। ये मानते हुए $$f(x)$$ गुना अवकलनीय $$k+1$$-है, क्योंकि $$L(x)$$ और $$\tilde{R}(x)$$ बहुपद हैं, और इसलिए, अधिकतम सीमा तक भिन्न $$F(x)$$ हैं और $$k+1$$-गुना अवकलनीय होगा। रोल की प्रमेय के अनुसार, $$F^{(1)}(x)$$ शून्य $$k+1$$है, $$F^{(2)}(x)$$ है जहां $$k$$ पर... $$F^{(k+1)}$$ 1 शून्य, $$\xi,\, x_0<\xi<x_k$$ है, मान लीजिए कि $$F^{(k+1)}(\xi)$$ को स्पष्ट रूप से लिखना:


 * $$F^{(k+1)}(\xi)=f^{(k+1)}(\xi)-L^{(k+1)}(\xi)-\tilde{R}^{(k+1)}(\xi)$$
 * $$L^{(k+1)}=0,\tilde{R}^{(k+1)}=C\cdot(k+1)!$$ (क्योंकि उच्चतम पावर $$x$$ में $$\tilde{R}(x)$$ है $$k+1$$)


 * $$0=f^{(k+1)}(\xi)-C\cdot(k+1)!$$

समीकरण के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है


 * $$C=\frac{f^{(k+1)}(\xi)}{(k+1)!}$$

तब से $$F(x_p) = 0$$ हमारे पास $$R(x_p)=\tilde{R}(x_p) = \frac{f^{k+1}(\xi)}{(k+1)!}\prod_{i=0}^k(x_p-x_i)$$ है।

अवकलन
d लाग्रेंज अंतर्वेशी बहुपद के वें व्युत्पन्न आधार बहुपद के अवकलन के संदर्भ में लिखा जा सकता है,
 * $$L^{(d)}(x) := \sum_{j=0}^{k} y_j \ell_j^{(d)}(x).$$

स्मरण (ऊपर § परिभाषा देखें) कि प्रत्येक लाग्रेंज आधार बहुपद है

$$\begin{aligned} \ell_j(x) &= \prod_{\begin{smallmatrix}m = 0\\ m\neq j\end{smallmatrix}}^k \frac{x-x_m}{x_j-x_m}. \end{aligned}$$ गुणनफल नियम दो से अधिक कारकों के गुणनफल का उपयोग करके पहला अवकलज पाया जा सकता है:


 * $$\begin{align}

\ell_j'(x) &= \sum_{\begin{smallmatrix}i=0 \\ i\not=j\end{smallmatrix}}^k \Biggl[ \frac{1}{x_j-x_i}\prod_{\begin{smallmatrix}m=0 \\ m\not = (i, j)\end{smallmatrix}}^k \frac{x-x_m}{x_j-x_m} \Biggr] \\[5mu] &= \ell_j(x)\sum_{\begin{smallmatrix}i=0 \\i\not=j\end{smallmatrix}}^k \frac{1}{x-x_i}. \end{align}$$ दूसरा अवकलन है


 * $$\begin{align}

\ell_j''(x) &= \sum_{\begin{smallmatrix}i=0 \\ i\ne j\end{smallmatrix}}^{k} \frac{1}{x_j-x_i} \Biggl[ \sum_{\begin{smallmatrix}m=0 \\ m\ne(i,j)\end{smallmatrix}}^{k} \Biggl( \frac{1}{x_j-x_m}\prod_{\begin{smallmatrix}n=0 \\ n\ne(i,j,m)\end{smallmatrix}}^{k} \frac{x-x_n}{x_j-x_n} \Biggr) \Biggr] \\[10mu] &= \ell_j(x) \sum_{0 \leq i < m \leq k} \frac{2}{(x-x_i)(x - x_m)} \\[10mu] &= \ell_j(x)\Biggl[\Biggl(\sum_{\begin{smallmatrix}i=0 \\i\not=j\end{smallmatrix}}^k \frac{1}{x-x_i}\Biggr)^2-\sum_{\begin{smallmatrix}i=0 \\i\not=j\end{smallmatrix}}^k \frac{1}{(x-x_i)^2}\Biggr]. \end{align}$$ तीसरा अवकलन है


 * $$\begin{align}

\ell_j'''(x) &= \ell_j(x) \sum_{0 \leq i < m < n \leq k} \frac{3!}{(x-x_i)(x - x_m)(x - x_n)} \end{align}$$ और इसी प्रकार उच्च अवकलन के लिए।

परिमित क्षेत्र
लाग्रेंज बहुपद की गणना परिमित क्षेत्रों में भी की जा सकती है। इसमें क्रिप्टोग्राफी में अनुप्रयोग हैं, जैसे शमीर की गुप्त साझाकरण योजना में है।

यह भी देखें

 * नेविल का एल्गोरिदम
 * अंतर्वेशन बहुपद का न्यूटन बहुपद
 * बर्नस्टीन बहुपद
 * कार्लसन की प्रमेय
 * लेबेस्ग स्थिरांक (अंतर्वेशन)
 * चेबफन
 * न्यूटोनियन श्रृंखला की तालिका
 * फ्रोबेनियस सहसंयोजक
 * सिल्वेस्टर का सूत्र
 * परिमित शेष गुणांक
 * हर्मिट अंतर्वेशन

बाहरी संबंध

 * ALGLIB has an implementations in C++ / C# / VBA / Pascal.
 * GSL has a polynomial interpolation code in C
 * SO has a MATLAB example that demonstrates the algorithm and recreates the first image in this article
 * लाग्रेंज Method of Interpolation &mdash; Notes, PPT, Mathcad, Mathematica, MATLAB, Maple at Holistic Numerical Methods Institute
 * लाग्रेंज interpolation polynomial on www.math-linux.com
 * लाग्रेंज interpolation polynomial on www.math-linux.com


 * Dynamic Lagrange interpolation with JSXGraph
 * Numerical computing with functions: The Chebfun Project
 * Excel Worksheet Function for Bicubic Lagrange Interpolation
 * Lagrange polynomials in Python