वृत्ताकार त्रिभुज

ज्यामिति में, एक वृत्ताकार त्रिभुज वृत्ताकार चाप किनारों वाला त्रिभुज होता है।

उदाहरण
तीन वृत्ताकार चक्रों का प्रतिच्छेदन एक उत्तल वृत्ताकार त्रिभुज बनाता है। उदाहरण के लिए, एक रेलेक्स त्रिभुज इस निर्माण की एक विशेष स्थिति है जहां तीन चक्र एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षो पर केंद्रित होते हैं, जिसकी त्रिज्या त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई के समान होती है। हालाँकि, प्रत्येक उत्तल वृत्ताकार त्रिभुज इस तरह से चक्र के प्रतिच्छेदन के रूप में नहीं बनते है।

एक वृत्ताकार हॉर्न वाले त्रिभुज के सभी आंतरिक कोण शून्य के बराबर होते हैं। इनमें से कुछ त्रिभुजों को बनाने का एक तरीका यह है कि तीन वृत्तों को युग्मों में एक दूसरे से बाहरी स्पर्शरेखा पर रखा जाए; फिर इन वृत्तों से घिरा मध्य त्रिभुजाकार क्षेत्र एक हॉर्न त्रिभुज है। हालांकि, अन्य हॉर्न वाले त्रिभुज, जैसे कि अर्बेलोस (तीन संरेखी शीर्षो और इसके किनारों के रूप में तीन अर्धवृत्त) तीन स्पर्श वृत्तों में से एक के लिए आंतरिक हैं, जो तीनों के बाहरी होने के बजाय इसे बनाते हैं|

रोजर जोसेफ बोस्कोविच द्वारा पाया गया एक कारडायोड  जैसा वृत्ताकार  त्रिभुज एक रेखा पर समान रूप से तीन शीर्ष, रेखा के एक तरफ दो समान अर्धवृत्त और रेखा के दूसरी तरफ दो बार त्रिज्या का तीसरा अर्धवृत्त है। दो बाहरी शीर्षों का आंतरिक कोण $$\pi$$ और मध्य शीर्ष में आंतरिक कोण $$2\pi$$ होता है| इसका असामान्य गुण है कि मध्य शीर्ष से होकर जाने वाली सभी रेखाएँ इसके परिधि को समद्विभाजित करती हैं। अन्य वृत्ताकार त्रिभुजों में उत्तल और अवतल वृत्ताकार चाप किनारों का मिश्रण हो सकता है।

कोणों का अभिलक्षणन
अंतराल $$[0,2\pi]$$ में दिए गए तीन कोण $$\theta_1$$, $$\theta_2$$ और $$\theta_3$$ एक वृत्ताकार त्रिभुज के आंतरिक कोण बनाते हैं (स्व-प्रतिच्छेदन के बिना) अगर और केवल अगर वे असमताओं की पद्धति का पालन करते हैं $$ \begin{align} -2\pi &< \theta_1 + \theta_2 - \theta_3 < 2\pi\\ -2\pi &< \theta_1 + \theta_3 - \theta_2 < 2\pi\\ -2\pi &< \theta_2 + \theta_3 - \theta_1 < 2\pi. \end{align} $$ एक दूसरे के समान अंतःकोण वाले सभी वृत्ताकार त्रिभुज मोबियस रूपांतरण के अंतर्गत एक दूसरे के तुल्य हैं।

आइसोपेरिमेट्री
वृत्ताकार त्रिभुज एक आइसोपरमेट्रिक समस्या का समाधान देते हैं जिसमें एक न्यूनतम लंबाई के वक्र की खोज करता है जो तीन दिए गए बिंदुओं को घेरता है और एक नियत क्षेत्र है। जब क्षेत्रफल कम से कम बिंदुओं के परिवृत्त जितना बड़ा हो, तो समाधान बिंदुओं के चारों ओर उस क्षेत्र का कोई भी वृत्त होता है। छोटे क्षेत्रों के लिए, इष्टतम वक्र तीन बिंदुओं के साथ एक वृत्ताकार त्रिभुज होगा, और इसके किनारों के समान त्रिज्या के वृत्ताकार चाप के साथ, उस क्षेत्र के नीचे जहां इस तरह के त्रिभुज के तीन आंतरिक कोणों में से एक शून्य तक पहुंच जाता है। उस क्षेत्र के नीचे, वक्र एंटीना के साथ एक वृत्ताकार त्रिभुज में पतित हो जाता है, सीधे खंड इसके शीर्ष से एक या अधिक निर्दिष्ट बिंदुओं तक पहुंचते हैं। क्षेत्र के शून्य हो जाने की सीमा में, वृत्ताकार त्रिभुज दिए गए तीन बिंदुओं के फर्मेट बिंदु की ओर परिसीमित हो जाता है।

यह भी देखें
* हार्ट वृत्त, कुछ वृत्ताकार त्रिभुजों से जुड़ा एक वृत्त
 * अतिपरवलयिक त्रिभुज, एक त्रिभुज जिसकी अतिपरवलयिक ज्यामिति में सीधी भुजाएँ होती हैं, लेकिन अतिपरवलयिक ज्यामिति के कुछ प्रतिरूपों में वृत्ताकार रूप में खींचा जाता है
 * लून और लेंस, वृत्ताकार चापों से घिरी दो-तरफ़ा आकृतियाँ
 * त्रिपर्ण चाप (ट्रेफॉइल), एक वृत्ताकार त्रिभुज जो इसके तीन शीर्षों से बाहर की ओर उभरा हुआ है, जिसका उपयोग आर्किटेक्चर में किया जाता है