आंतरिक गुणन समष्‍टि

गणित में, आंतरिक गुणन समष्‍टि (या, संभवतः कभी, हॉसडॉर्फ पूर्व-हिल्बर्ट स्पेस) वास्तविक सदिश समष्टि या संक्रिया जटिल सदिश समष्टि है जिसमें ऑपरेशन होता है जिसे आंतरिक गुणन कहा जाता है। स्पेस में दो सदिशों का आंतरिक गुणन अदिश है, जिसे अधिकांशतः कोण कोष्ठक के साथ निरूपित किया जाता है जैसे कि $$\langle a, b \rangle$$ दर्शाया जाता है, आंतरिक गुणन सदिश की लंबाई, कोण और ओर्थोगोनालिटी (शून्य आंतरिक गुणन) जैसी सहज ज्यामितीय धारणाओं की औपचारिक परिभाषा की अनुमति देते हैं। आंतरिक गुणन रिक्त समष्‍टि यूक्लिडियन सदिश अंतरिक्ष समष्‍टि को सामान्यीकृत करते हैं, जिसमें आंतरिक गुणन कार्टेशियन निर्देशांक का डॉट गुणन या अदिश गुणन है। कार्यात्मक विश्लेषण में अनंत आयाम (सदिश स्पेस) के आंतरिक गुणन रिक्त समष्‍टि का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। जटिल संख्याओं के क्षेत्र (गणित) पर आंतरिक गुणन रिक्त समष्‍टि को कभी-कभी 'एकात्मक स्थान' के रूप में संदर्भित किया जाता है। आंतरिक गुणन के साथ सदिश समष्‍टि की अवधारणा का प्रथम उपयोग 1898 में ग्यूसेप पीनो के कारण हुआ था। आंतरिक गुणन स्वाभाविक रूप से संबद्ध मानदंड को प्रेरित करता है, (जिसे निरूपित) $$|x|$$ तथा $$|y|$$ चित्र में चित्र में दिखाया गया है); इसलिए, प्रत्येक आंतरिक गुणन समष्‍टि आदर्श सदिश समष्‍टि है। यदि यह आदर्श समष्‍टि भी पूर्ण मीट्रिक समष्‍टि है (अर्थात, बानाच समष्‍टि) तो आंतरिक गुणन समष्‍टि हिल्बर्ट स्पेस है। यदि कोई आंतरिक गुणन समष्‍टि $H$ हिल्बर्ट स्पेस नहीं है, तो इसे पूर्ण टोपोलॉजिकल सदिश स्पेस समापन द्वारा हिल्बर्ट स्पेस $$\overline{H}$$ तक बढ़ाया जा सकता है I इस का तात्पर्य है कि $$H$$ का रैखिक उप-समष्टि $$\overline{H}$$ है, आंतरिक गुणन $$H$$ का प्रतिबंध (गणित) $$\overline{H}$$ है, तथा आदर्श द्वारा परिभाषित स्थिरीकरण (संरचना) के लिए $$H$$ में घना उपसमुच्चय $$\overline{H}$$ है I

परिभाषा
इस आलेख में, $F$ क्षेत्र (गणित) को दर्शाता है जो या तो वास्तविक संख्या है $$\R,$$ या जटिल संख्याएँ $$\Complex.$$ है इस प्रकार अदिश $F$ का तत्व है। अदिश का प्रतिनिधित्व करने वाली अभिव्यक्ति पर बार इस अदिश के जटिल संयुग्म को दर्शाता है। शून्य सदिश को अदिश 0 से अलग करने के लिए $$\mathbf 0$$ से दर्शाया जाता है।

आंतरिक गुणन समष्‍टि आंतरिक गुणन के साथ फ़ील्ड F पर सदिश स्थल V है, जो कि मानचित्र है:
 * $$ \langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \to F $$

जो सभी सदिशों $$x,y,z\in V$$ और सभी अदिशों $a,b\in F$. के लिए निम्नलिखित तीन गुणों को संतुष्ट करता है: a = \overline{a} $ यदि और केवल यदि a वास्तविक है, तो संयुग्मी सममिति का तात्पर्य है कि$$\langle x, x \rangle $$ हमेशा वास्तविक संख्या होती है। यदि $F$ $$\R$$, है तो संयुग्म समरूपता सिर्फ समरूपता है। \langle ax+by, z \rangle = a \langle x, z \rangle + b \langle y, z \rangle.$$ \langle x, x \rangle > 0 $$ (संयुग्म समरूपता का तात्पर्य है कि $$\langle x, x \rangle$$ वास्तविक है)।
 * संयुग्म समरूपता: $$\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}.$$ जैसा कि $
 * प्रथम तर्क में रेखीय मानचित्र है: $$
 * धनात्मक-निश्चितता: यदि तो, x शून्य नहीं है, $$

यदि धनात्मक-निश्चितता की स्थिति को केवल इसकी आवश्यकता से परिवर्तित कर दिया जाता हैं $$\langle x, x \rangle \geq 0$$ सभी के लिए $x$, तो कोई धनात्मक अर्ध-निश्चित हर्मिटियन रूप की परिभाषा प्राप्त करता है। धनात्मक अर्ध-निश्चित हर्मिटियन रूप $$\langle \cdot, \cdot \rangle$$ आंतरिक गुणन है यदि सभी x के लिए, $$\langle x, x \rangle = 0$$ फिर x = 0 है।

मूल गुण
निम्नलिखित गुणों में, जो आंतरिक गुणन की परिभाषा से लगभग तुरंत परिणाम देते हैं, x, y और z स्वेच्छ सदिश हैं, और a और b स्वेच्छ अदिश हैं।
 * $$\langle \mathbf{0}, x \rangle=\langle x,\mathbf{0}\rangle=0.$$
 * $$ \langle x, x \rangle$$ वास्तविक और नकारात्मक नहीं है।
 * $$\langle x, x \rangle = 0$$ यदि और केवल यदि $$x=\mathbf{0}.$$ है।
 * $$\langle x, ay+bz \rangle= \overline a \langle x, y \rangle + \overline b \langle x, z \rangle.$$ इसका तात्पर्य है कि आंतरिक गुणन सेस्क्विलिनियर रूप है।
 * $$\langle x + y, x + y \rangle = \langle x, x \rangle + 2\operatorname{Re}(\langle x, y \rangle) + \langle y, y \rangle,$$ जहाँ $$\operatorname{Re}$$ इसके तर्क के वास्तविक भाग को दर्शाता है।

ऊपर $$\R$$, संयुग्म-समरूपता समरूपता में कम हो जाती है, और सेस्क्विलाइनरिटी बिलिनियरिटी में कम हो जाती है। इसलिए वास्तविक सदिश समष्‍टि पर आंतरिक गुणन धनात्मक-निश्चित सममित द्विरेखीय रूप है। वर्ग का द्विपद प्रसार हो जाता है
 * $$\langle x + y, x + y \rangle = \langle x, x \rangle + 2\langle x, y \rangle + \langle y, y \rangle .$$

कन्वेंशन संस्करण
कुछ लेखक, विशेष रूप से भौतिकी और आव्यहू बीजगणित में, पूर्व के अतिरिक्त दूसरे तर्क में आंतरिक गुणनों और सेसक्विलिनियर रूपों को रैखिकता के साथ परिभाषित करना पसंद करते हैं। तब प्रथम तर्क दूसरे के अतिरिक्त संयुग्मी रैखिक बन जाता है।

वास्तविक और जटिल संख्या
आंतरिक गुणन रिक्त समष्‍टि के सबसे सरल उदाहरणों में से $$\R$$ तथा $$\Complex$$ हैं। वास्तविक संख्याएँ $$\R$$ सदिश समष्‍टि है $$\R$$ जो अपने आंतरिक गुणन के रूप में अंकगणितीय गुणन के साथ आंतरिक गुणन समष्‍टि बन जाता है: $$\langle x, y \rangle := x y \quad \text{ for } x, y \in \R.$$ जटिल संख्याएँ $$\Complex$$ सदिश समष्‍टि है $$\Complex$$ जो आंतरिक गुणन के साथ आंतरिक गुणन समष्‍टि बन जाता है: $$\langle x, y \rangle := x \overline{y} \quad \text{ for } x, y \in \Complex.$$ वास्तविक संख्याओं के विपरीत, असाइनमेंट $$(x, y) \mapsto x y$$ करता है जटिल आंतरिक गुणन $$\Complex$$ को परिभाषित करें।

यूक्लिडियन सदिश स्पेस
अधिक सामान्यतः, वास्तविक समन्वय स्थान|वास्तविक $$n$$-अंतरिक्ष $$\R^n$$ डॉट गुणन के साथ आंतरिक गुणन समष्‍टि है, जो यूक्लिडियन सदिश स्पेस का उदाहरण है। $$ \left\langle \begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix} \right\rangle = x^\textsf{T} y = \sum_{i=1}^n x_i y_i = x_1 y_1 + \cdots + x_n y_n, $$ जहाँ पर $$x^{\operatorname{T}}$$ का स्थानान्तरण $$x.$$ है, फंक्शन $$\langle \,\cdot, \cdot\, \rangle : \R^n \times \R^n \to \R$$ आंतरिक गुणन $$\R^n$$ है और केवल यदि सममित आव्यहू धनात्मक-निश्चित आव्यहू $\mathbf{M}$ सम्मलित है ऐसा है कि $$\langle x, y \rangle = x^{\operatorname{T}} \mathbf{M} y$$ सभी के लिए $$x, y \in \R^n.$$ यदि $$\mathbf{M}$$ तब पहचान आव्यहू है $$\langle x, y \rangle = x^{\operatorname{T}} \mathbf{M} y$$ डॉट गुणन है। दूसरे उदाहरण के लिए, यदि $$n = 2$$ तथा $$\mathbf{M} = \begin{bmatrix} a & b \\ b & d \end{bmatrix}$$ धनात्मक-निश्चित है (जो होता है यदि और केवल यदि $$\det \mathbf{M} = a d - b^2 > 0$$ और एक/दोनों विकर्ण तत्व धनात्मक हैं) तो किसी के लिए $$x := \left[x_1, x_2\right]^{\operatorname{T}}, y := \left[y_1, y_2\right]^{\operatorname{T}} \in \R^2,$$ $$\langle x, y \rangle
 * = x^{\operatorname{T}} \mathbf{M} y

= \left[x_1, x_2\right] \begin{bmatrix} a & b \\ b & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix} = a x_1 y_1 + b x_1 y_2 + b x_2 y_1 + d x_2 y_2.$$ जैसा कि पूर्व उल्लेख किया गया है, प्रत्येक आंतरिक गुणन $$\R^2$$ का रूप है (जहां $$b \in \R, a > 0$$ तथा $$d > 0$$ संतुष्ट करना $$a d > b^2$$).

जटिल समन्वय स्थान
आंतरिक गुणन का सामान्य रूप $$\Complex^n$$ हर्मिटियन रूप के रूप में जाना जाता है और इसके द्वारा दिया जाता है: $$\langle x, y \rangle = y^\dagger \mathbf{M} x = \overline{x^\dagger \mathbf{M} y},$$ जहाँ $$M$$ कोई हर्मिटियन आव्यहू धनात्मक-निश्चित आव्यहू है और $$y^{\dagger}$$ का संयुग्मी स्थानांतरण $$y.$$ है वास्तविक परिस्थिति के लिए, यह धनात्मक पैमाने के कारको और स्केलिंग के ऑर्थोगोनल दिशाओं के साथ दो सदिशों के प्रत्यक्ष रूप से भिन्न स्केलिंग (ज्यामिति) के परिणामों के डॉट गुणन से युग्मित होता है। यह धनात्मक भार के साथ डॉट गुणन का भारित-योग संस्करण है - ओर्थोगोनल रूपांतरण तक है ।

हिल्बर्ट अंतरिक्ष
हिल्बर्ट रिक्त समष्‍टि पर आलेख में आंतरिक गुणन रिक्त समष्‍टि के कई उदाहरण हैं, जिसमें आंतरिक गुणन द्वारा प्रेरित मीट्रिक पूर्ण मीट्रिक समष्‍टि उत्पन्न करता है। आंतरिक गुणन समष्‍टि का उदाहरण जो अपूर्ण मीट्रिक को प्रेरित करता है वह समष्‍टि $$C([a, b])$$ है निरंतर जटिल मूल्यवान कार्यों की $$f$$ तथा $$g$$ अंतराल पर $$[a, b].$$ आंतरिक गुणन है: $$\langle f, g \rangle = \int_a^b f(t) \overline{g(t)} \, \mathrm{d}t.$$ यह समष्‍टि पूर्ण नहीं है; उदाहरण के लिए, अंतराल के लिए विचार करें $[−1, 1]$ निरंतर चरण कार्यों का क्रम, $$\{ f_k \}_k,$$ द्वारा परिभाषित है : $$f_k(t) = \begin{cases} 0 & t \in [-1, 0] \\ 1 & t \in \left[\tfrac{1}{k}, 1\right] \\ kt & t \in \left(0, \tfrac{1}{k}\right) \end{cases}$$ यह अनुक्रम पूर्ववर्ती आंतरिक गुणन द्वारा प्रेरित मानदंड के लिए कॉची अनुक्रम है, जो a में परिवर्तित नहीं होता है  फलन है।

यादृच्छिक चर
वास्तविक यादृच्छिक चर के लिए $$X$$ तथा $$Y,$$ उनके गुणन का अपेक्षित मूल्य $$\langle X, Y \rangle = \mathbb{E}[XY]$$ आंतरिक गुणन है।  इस परिस्थिति में, $$\langle X, X \rangle = 0$$ और यदि $$\mathbb{P}[X = 0] = 1$$ (वह है, $$X = 0$$ लगभग निश्चित रूप से ), कहाँ $$\mathbb{P}$$ घटना की संभावना को दर्शाता है। आंतरिक गुणन के रूप में अपेक्षा की यह परिभाषा यादृच्छिक सदिशों तक भी विस्तारित की जा सकती है।

जटिल आव्यहू
ही आकार के जटिल वर्ग आव्यहू के लिए आंतरिक गुणन फ्रोबेनियस आंतरिक गुणन $$\langle A, B \rangle := \operatorname{tr}\left(AB^{\textsf{H}}\right)$$ है, चूँकि ट्रेस और स्थानांतरण रैखिक होते हैं और संयुग्मन दूसरे आव्यहू पर होता है, यह सेसक्विलिनियर ऑपरेटर होता है। हम आगे हर्मिटियन समरूपता प्राप्त करते हैं, $$\langle A, B \rangle = \operatorname{tr}\left(AB^{\textsf{H}}\right) = \overline{\operatorname{tr}\left(BA^{\textsf{H}}\right)} = \overline{\left\langle B,A \right\rangle}$$ अंत में, चूँकि $$A$$ अशून्य $$\langle A, A\rangle = \sum_{ij} \left|A_{ij}\right|^2 > 0 $$ हम पाते हैं कि फ्रोबेनियस आंतरिक गुणन भी धनात्मक निश्चित है, और इसलिए आंतरिक गुणन है।

रूपों के साथ सदिश रिक्त स्थान
आंतरिक गुणन समष्‍टि पर, या अधिक सामान्यतः गैर-अपघटित रूप के साथ सदिश समष्‍टि (इसलिए समरूपता $$V \to V^*$$), सदिश को को-सदिश (निर्देशांक में, ट्रांसपोज़ के माध्यम से) में भेजा जा सकता है, जिससे कि कोई दो सदिश के आंतरिक गुणन और बाहरी गुणन ले सके - न कि केवल सदिश और कोवेक्टर का।

सामान्य गुण
प्रत्येक आंतरिक गुणन समष्‍टि मानदंड (गणित) को प्रेरित करता है, जिसे इसका कहा जाता है, जिसके द्वारा परिभाषित किया गया है $$\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}.$$ इस मानदंड के साथ, प्रत्येक आंतरिक गुणन समष्‍टि आदर्श सदिश समष्‍टि बन जाता है।

तो, मानक सदिश रिक्त समष्‍टि की प्रत्येक सामान्य संपत्ति आंतरिक गुणन रिक्त समष्‍टि पर लागू होती है।

विशेष रूप से, इसमें निम्नलिखित गुण होते हैं:

आंतरिक गुणनों के वास्तविक और जटिल भाग
मान लो कि $$\langle \cdot, \cdot \rangle$$ आंतरिक गुणन है $$V$$ (इसलिए यह अपने दूसरे तर्क में प्रतिरेखीय है)। ध्रुवीकरण पहचान से ज्ञात होता है कि आंतरिक गुणन का वास्तविक भाग है: $$\operatorname{Re} \langle x, y \rangle = \frac{1}{4} \left(\|x + y\|^2 - \|x - y\|^2\right).$$ यदि $$V$$ तब वास्तविक सदिश समष्‍टि है: $$\langle x, y \rangle = \operatorname{Re} \langle x, y \rangle = \frac{1}{4} \left(\|x + y\|^2 - \|x - y\|^2\right)$$ और काल्पनिक भाग (यह भी कहा जाता है ) का $$\langle \cdot, \cdot \rangle$$ हमेशा से रहा है $$0.$$इस खंड के शेष भाग के लिए मान लें कि $$V$$ जटिल सदिश समष्‍टि है। जटिल सदिश स्थानों के लिए ध्रुवीकरण की पहचान यह दर्शाती है:
 * $$\begin{alignat}{4}

\langle x, \ y \rangle &= \frac{1}{4} \left(\|x + y\|^2 - \|x - y\|^2 + i\|x + iy\|^2 - i\|x - iy\|^2 \right) \\ &= \operatorname{Re} \langle x, y \rangle + i \operatorname{Re} \langle x, i y \rangle. \\ \end{alignat}$$ द्वारा परिभाषित मानचित्र $$\langle x \mid y \rangle = \langle y, x \rangle$$ सभी के लिए $$x, y \in V$$ आंतरिक गुणन के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है इसके अतिरिक्त कि यह अपने में प्रतिरेखीय है  इसके दूसरे, तर्क के अतिरिक्त । दोनों का असली भाग $$\langle x \mid y \rangle$$ तथा $$\langle x, y \rangle$$ के बराबर हैं $$\operatorname{Re} \langle x, y \rangle$$ किन्तु आंतरिक गुणन उनके जटिल भाग में भिन्न होते हैं:
 * $$\begin{alignat}{4}

\langle x \mid y \rangle &= \frac{1}{4} \left(\|x + y\|^2 - \|x - y\|^2 - i\|x + iy\|^2 + i\|x - iy\|^2 \right) \\ &= \operatorname{Re} \langle x, y \rangle - i \operatorname{Re} \langle x, i y \rangle. \\ \end{alignat}$$ अंतिम समानता अपने वास्तविक भाग के संदर्भ में रेखीय कार्यात्मक के वास्तविक और काल्पनिक भागों के सूत्र के समान है।

ये सूत्र बताते हैं कि प्रत्येक जटिल आंतरिक गुणन उसके वास्तविक भाग द्वारा पूरी तरह से निर्धारित होता है। इसके अतिरिक्त, यह वास्तविक भाग आंतरिक गुणन को परिभाषित करता है $$V,$$ वास्तविक सदिश समष्‍टि के रूप में माना जाता है। इस प्रकार जटिल सदिश समष्‍टि पर जटिल आंतरिक गुणनों के मध्य एक-से- पत्राचार होता है $$V,$$ और वास्तविक आंतरिक गुणन चालू हैं $$V.$$ उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि $$V = \Complex^n$$ कुछ पूर्णांक के लिए $$n > 0.$$ कब $$V$$ सामान्य तरीके से वास्तविक सदिश समष्‍टि के रूप में माना जाता है (जिसका अर्थ है कि इसकी पहचान की जाती है $$2 n-$$आयामी वास्तविक सदिश अंतरिक्ष $$\R^{2n},$$ प्रत्येक के साथ $$\left(a_1 + i b_1, \ldots, a_n + i b_n\right) \in \Complex^n$$ के साथ पहचान की गई $$\left(a_1, b_1, \ldots, a_n, b_n\right) \in \R^{2n}$$), फिर डॉट गुणन $$x \,\cdot\, y = \left(x_1, \ldots, x_{2n}\right) \, \cdot \, \left(y_1, \ldots, y_{2n}\right) := x_1 y_1 + \cdots + x_{2n} y_{2n}$$ इस समष्‍टि पर वास्तविक आंतरिक गुणन को परिभाषित करता है। अद्वितीय जटिल आंतरिक गुणन $$\langle \,\cdot, \cdot\, \rangle$$ पर $$V = \C^n$$ डॉट गुणन द्वारा प्रेरित वह चित्र है जो भेजता है $$c = \left(c_1, \ldots, c_n\right), d = \left(d_1, \ldots, d_n\right) \in \Complex^n$$ प्रति $$\langle c, d \rangle := c_1 \overline{d_1} + \cdots + c_n \overline{d_n}$$ (क्योंकि इस चित्र का असली भाग $$\langle \,\cdot, \cdot\, \rangle$$ डॉट गुणन के बराबर है)।

वास्तविक बनाम जटिल आंतरिक गुणन

$$V_{\R}$$ निरूपित $$V$$ जटिल संख्याओं के अतिरिक्त वास्तविक संख्याओं पर सदिश समष्‍टि के रूप में माना जाता है। जटिल आंतरिक गुणन का वास्तविक हिस्सा $$\langle x, y \rangle$$ चित्र है $$\langle x, y \rangle_{\R} = \operatorname{Re} \langle x, y \rangle ~:~ V_{\R} \times V_{\R} \to \R,$$ जो आवश्यक रूप से वास्तविक सदिश समष्‍टि पर वास्तविक आंतरिक गुणन $$V_{\R}.$$ बनाता है वास्तविक सदिश अंतरिक्ष पर प्रत्येक आंतरिक गुणन बिलिनियर मानचित्र और सममित मानचित्र है।

उदाहरण के लिए, यदि $$V = \Complex$$ आंतरिक गुणन के साथ $$\langle x, y \rangle = x \overline{y},$$ जहाँ $$V$$ क्षेत्र के ऊपर सदिश समष्‍टि है $$\Complex,$$ फिर $$V_{\R} = \R^2$$ सदिश समष्‍टि है $$\R$$ तथा $$\langle x, y \rangle_{\R}$$ डॉट गुणन है $$x \cdot y,$$ जहाँ $$x = a + i b \in V = \Complex$$ बिंदु के साथ पहचाना जाता है $$(a, b) \in V_{\R} = \R^2$$ (और इसी तरह के लिए $$y$$); इस प्रकार मानक आंतरिक गुणन $$\langle x, y \rangle = x \overline{y},$$ पर $$\Complex$$ डॉट गुणन का विस्तार है। यह भी था $$\langle x, y \rangle$$ इसे अतिरिक्त रूप में परिभाषित किया गया है $$ $$\langle x, y \rangle = x y$$ (सामान्य के अतिरिक्त $$ $$\langle x, y \rangle = x \overline{y}$$) तो इसका असली भाग $$\langle x, y \rangle_{\R}$$ चाहेंगे डॉट गुणन हो; इसके अतिरिक्त, जटिल संयुग्म के बिना, यदि $$x \in \C$$ किन्तु $$x \not\in \R$$ फिर $$\langle x, x \rangle = x x = x^2 \not\in [0, \infty)$$ तो असाइनमेंट $$x \mapsto \sqrt{\langle x, x \rangle}$$ मानदंड परिभाषित नहीं करेगा।

अगले उदाहरणों से पता चलता है कि वास्तविक और जटिल आंतरिक गुणनों में कई गुण और परिणाम समान हैं, वे पूरी तरह से विनिमेय नहीं हैं। उदाहरण के लिए, यदि $$\langle x, y \rangle = 0$$ फिर $$\langle x, y \rangle_{\R} = 0,$$ किन्तु अगले उदाहरण से पता चलता है कि बातचीत सामान्य रूप से है सच हैं। दिया गया कोई भी $$x \in V,$$ सदिश $$i x$$ (जो सदिश है $$x$$ 90° से घुमाया जाता है) से संबंधित है $$V$$ और इसलिए भी के अंतर्गत आता है $$V_{\R}$$ (चूंकि का अदिश गुणन $$x$$ द्वारा $$i = \sqrt{-1}$$ में परिभाषित नहीं है $$V_{\R},$$ सदिश $$V$$ द्वारा चिह्नित $$i x$$ फिर भी का तत्व है $$V_{\R}$$). जटिल आंतरिक गुणन के लिए, $$\langle x, ix \rangle = -i \|x\|^2,$$ जबकि वास्तविक आंतरिक गुणन के लिए मूल्य हमेशा होता है $$\langle x, ix \rangle_{\R} = 0.$$ यदि $$\langle \,\cdot, \cdot\, \rangle$$ जटिल आंतरिक गुणन है और $$A : V \to V$$ सतत रैखिक ऑपरेटर है जो संतुष्ट करता है $$\langle x, A x \rangle = 0$$ सभी के लिए $$x \in V,$$ फिर $$A = 0.$$ यह कथन अब सत्य नहीं है यदि $$\langle \,\cdot, \cdot\, \rangle$$ इसके अतिरिक्त वास्तविक आंतरिक गुणन है, जैसा कि यह अगला उदाहरण दिखाता है। मान लो कि $$V = \Complex$$ आंतरिक गुणन है $$\langle x, y \rangle := x \overline{y}$$ उपर्युक्त। फिर चित्र $$A : V \to V$$ द्वारा परिभाषित $$A x = ix$$ रेखीय चित्र है (दोनों के लिए रैखिक $$V$$ तथा $$V_{\R}$$) जो रोटेशन को दर्शाता है $$90^{\circ}$$ प्लेन में। इसलिये $$x$$ तथा $$A x$$ लंबवत सदिश और $$\langle x, Ax \rangle_{\R}$$ सिर्फ डॉट गुणन है, $$\langle x, Ax \rangle_{\R} = 0$$ सभी सदिश के लिए $$x;$$ फिर भी, यह रोटेशन मैप $$A$$ निश्चित रूप से समान नहीं है $$0.$$ इसके विपरीत, जटिल आंतरिक गुणन का उपयोग करने से $$\langle x, Ax \rangle = -i \|x\|^2,$$ जो समान रूप से शून्य नहीं है।

ऑर्थोनॉर्मल सीक्वेंस
$$V$$ को आयाम $$n.$$ का परिमित आयामी आंतरिक गुणन समष्‍टि होने दें। याद रखें कि V के प्रत्येक आधार (रैखिक बीजगणित) पर n रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिश होते हैं। ग्राम-श्मिट प्रक्रिया का उपयोग करके हम मनमाना आधार से शुरू कर सकते हैं और इसे ऑर्थोनॉर्मल आधार में परिवर्तित कर सकते हैं। अर्थात्, ऐसे आधार में जिसमें सभी तत्व ओर्थोगोनल हैं और इकाई मानदंड हैं। प्रतीकों में, आधार $$\{e_1, \ldots, e_n\}$$ 2 ऑर्थोनॉर्मल यदि $$\langle e_i, e_j \rangle = 0$$ प्रत्येक के लिए $$i \neq j$$ तथा $$\langle e_i, e_i \rangle = \|e_a\|^2 = 1$$ प्रत्येक सूचकांक के लिए $$i.$$ ऑर्थोनॉर्मल बेसिस की यह परिभाषा निम्नलिखित तरीके से अनंत-आयामी आंतरिक गुणन रिक्त समष्‍टि की परिस्थिति में सामान्यीकृत करती है। मान लें कि $$V$$ कोई आंतरिक गुणन समष्‍टि है। फिर संग्रह $$E = \left\{ e_a \right\}_{a \in A}$$ $$V$$ के लिए आधार है यदि $$V$$ के उप-समष्‍टि $$E$$ के तत्वों के परिमित रैखिक संयोजनों द्वारा उत्पन्न $$V$$ में सघन है (मानदंड से प्रेरित मानदंड में) अंदरूनी प्रोडक्ट)। $$E$$ के $$V$$ लिए है, यदि यह आधार है और $$\left\langle e_{a}, e_{b} \right\rangle = 0$$ यदि $$a \neq b$$ तथा $$\langle e_a, e_a \rangle = \|e_a\|^2 = 1$$ सभी के लिए $$a, b \in A.$$ ग्राम-श्मिट प्रक्रिया के अनंत-आयामी एनालॉग का उपयोग करके कोई दिखा सकता है:

प्रमेय। किसी भी वियोज्य समष्‍टि के आंतरिक गुणन समष्‍टि का अलौकिक आधार है।

हौसडॉर्फ अधिकतम सिद्धांत का उपयोग करना और तथ्य यह है कि हिल्बर्ट अंतरिक्ष में रैखिक उप-स्थानों पर ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण अच्छी तरह से परिभाषित है, कोई यह भी दिखा सकता है कि

प्रमेय। किसी भी हिल्बर्ट समष्‍टि का अलौकिक आधार है।

दो पिछले प्रमेय इस सवाल को उठाते हैं कि क्या सभी आंतरिक गुणन रिक्त समष्‍टि का अलौकिक आधार है। उत्तर, यह पता चला है नकारात्मक है। यह गैर-तुच्छ परिणाम है, और नीचे सिद्ध किया गया है। निम्नलिखित प्रमाण हेल्मोस की ए हिल्बर्ट स्पेस प्रॉब्लम बुक से लिया गया है (संदर्भ देखें)।
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!Proof
 * Recall that the dimension of an inner product space is the cardinality of a maximal orthonormal system that it contains (by Zorn's lemma it contains at least one, and any two have the same cardinality). An orthonormal basis is certainly a maximal orthonormal system but the converse need not hold in general. If $$G$$ is a dense subspace of an inner product space $$V,$$ then any orthonormal basis for $$G$$ is automatically an orthonormal basis for $$V.$$ Thus, it suffices to construct an inner product space $$V$$ with a dense subspace $$G$$ whose dimension is strictly smaller than that of $$V.$$
 * Recall that the dimension of an inner product space is the cardinality of a maximal orthonormal system that it contains (by Zorn's lemma it contains at least one, and any two have the same cardinality). An orthonormal basis is certainly a maximal orthonormal system but the converse need not hold in general. If $$G$$ is a dense subspace of an inner product space $$V,$$ then any orthonormal basis for $$G$$ is automatically an orthonormal basis for $$V.$$ Thus, it suffices to construct an inner product space $$V$$ with a dense subspace $$G$$ whose dimension is strictly smaller than that of $$V.$$

Let $$K$$ be a Hilbert space of dimension $\aleph_0.$ (for instance, $$K = \ell^2(\N)$$). Let $$E$$ be an orthonormal basis of $$K,$$ so $$|E| = \aleph_0.$$ Extend $$E$$ to a Hamel basis $$E \cup F$$ for $$K,$$where $$E \cap F = \varnothing.$$ Since it is known that the Hamel dimension of $$K$$ is $$c,$$ the cardinality of the continuum, it must be that $$|F| = c.$$

Let $$L$$ be a Hilbert space of dimension $$c$$ (for instance, $$L = \ell^2(\R)$$). Let $$B$$ be an orthonormal basis for $$L$$ and let $$\varphi : F \to B$$ be a bijection. Then there is a linear transformation $$T : K \to L$$ such that $$T f = \varphi(f)$$ for $$f \in F,$$ and $$Te = 0$$ for $$e \in E.$$

Let $$V = K \oplus L$$ and let $$G = \{ (k, T k) : k \in K \}$$ be the graph of $$T.$$ Let $$\overline{G}$$ be the closure of $$G$$ in $$V$$; we will show $$\overline{G} = V.$$ Since for any $$e \in E$$ we have $$(e, 0) \in G,$$ it follows that $$K \oplus 0 \subseteq \overline{G}.$$

Next, if $$b \in B,$$ then $$b = T f$$ for some $$f \in F \subseteq K,$$ so $$(f, b) \in G \subseteq \overline{G}$$; since $$(f, 0) \in \overline{G}$$ as well, we also have $$(0, b) \in \overline{G}.$$ It follows that $$0 \oplus L \subseteq \overline{G},$$ so $$\overline{G} = V,$$ and $$G$$ is dense in $$V.$$

Finally, $$\{(e, 0) : e \in E \}$$ is a maximal orthonormal set in $$G$$; if $$0 = \langle (e, 0), (k, Tk) \rangle = \langle e, k \rangle + \langle 0, Tk \rangle = \langle e, k \rangle$$ for all $$e \in E$$ then $$k = 0,$$ so $$(k, Tk) = (0, 0)$$ is the zero vector in $$G.$$ Hence the dimension of $$G$$ is $$|E| = \aleph_0,$$ whereas it is clear that the dimension of $$V$$ is $$c.$$ This completes the proof. परसेवल की पहचान तुरंत निम्नलिखित प्रमेय की ओर ले जाती है:
 * }

प्रमेय। होने देना $$V$$ वियोज्य आंतरिक गुणन समष्‍टि हो और $$\left\{e_k\right\}_k$$ का दैहिक आधार $$V.$$ फिर मानचित्र $$x \mapsto \bigl\{\langle e_k, x \rangle\bigr\}_{k \in \N}$$ सममितीय रेखीय मानचित्र है $$V \mapsto \ell^2$$ घनी छवि के साथ।

इस प्रमेय को फूरियर श्रृंखला का अमूर्त रूप माना जा सकता है, जिसमें मनमाना ऑर्थोनॉर्मल आधार त्रिकोणमितीय बहुपद के अनुक्रम की भूमिका निभाता है। ध्यान दें कि अंतर्निहित इंडेक्स सेट को किसी भी गणनीय सेट के रूप में लिया जा सकता है (और वास्तव में कोई भी सेट, बशर्ते $$\ell^2$$ उचित रूप से परिभाषित किया गया है, जैसा कि लेख हिल्बर्ट स्पेस में बताया गया है)। विशेष रूप से, हम फूरियर श्रृंखला के सिद्धांत में निम्नलिखित परिणाम प्राप्त करते हैं:

प्रमेय। होने देना $$V$$ आंतरिक गुणन समष्‍टि हो $$C[-\pi, \pi].$$ फिर निरंतर कार्यों का अनुक्रम (सभी पूर्णांकों के सेट पर अनुक्रमित)। $$e_k(t) = \frac{e^{i k t}}{\sqrt{2 \pi}}$$ अंतरिक्ष का लम्बवत आधार है $$C[-\pi, \pi]$$ साथ $$L^2$$ अंदरूनी प्रोडक्ट। मानचित्रण $$f \mapsto \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \left\{\int_{-\pi}^\pi f(t) e^{-i k t} \, \mathrm{d}t \right\}_{k \in \Z}$$ घनी छवि वाला आइसोमेट्रिक रैखिक मानचित्र है।

अनुक्रम की ओर्थोगोनलिटी $$\{ e_k \}_k$$ इस तथ्य से तुरंत अनुसरण करता है कि यदि $$k \neq j,$$ फिर $$\int_{-\pi}^\pi e^{-i (j - k) t} \, \mathrm{d}t = 0.$$ अनुक्रम की सामान्यता डिज़ाइन द्वारा होती है, अर्थात, गुणांकों को इस प्रकार चुना जाता है ताकि मानदंड 1 पर आ जाए। अंत में तथ्य यह है कि अनुक्रम में घने बीजीय विस्तार हैं,, इस तथ्य से अनुसरण करता है कि अनुक्रम में सघन बीजगणितीय विस्तार है, इस बार निरंतर आवधिक कार्यों के समष्‍टि पर $$[-\pi, \pi]$$ समान मानदंड के साथ। यह त्रिकोणमितीय बहुपदों के एकसमान घनत्व पर वीयरस्ट्रास सन्निकटन प्रमेय की सामग्री है।

आंतरिक गुणन रिक्त समष्‍टि पर ऑपरेटर
कई प्रकार के रैखिक चित्र $$A : V \to W$$ आंतरिक गुणन रिक्त समष्‍टि के मध्य $$V$$ तथा $$W$$ प्रासंगिकता के हैं:
 * : $$A : V \to W$$ ऊपर या समकक्ष रूप से परिभाषित मीट्रिक के संबंध में रैखिक और निरंतर है, $$A$$ रैखिक है और गैर-ऋणात्मक वास्तविकताओं का सेट है $$\{ \|Ax\| : \|x\| \leq 1\},$$ कहाँ $$x$$ की बंद इकाई गेंद पर पर्वतमाला $$V,$$ पे घिरा है।
 * : $$A : V \to W$$ रैखिक है और $$\langle Ax, y \rangle = \langle x, Ay \rangle$$ सभी के लिए $$x, y \in V.$$
 * : $$A : V \to W$$ संतुष्ट $$\|A x\| = \|x\|$$ सभी के लिए $$x \in V.$$  आइसोमेट्री है जो रेखीय मानचित्र भी है (प्रतिरेखीय मानचित्र)। आंतरिक गुणन रिक्त समष्‍टि के लिए, ध्रुवीकरण पहचान का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है $$A$$ आइसोमेट्री है यदि $$\langle Ax, Ay \rangle = \langle x, y \rangle$$ सभी के लिए $$x, y \in V.$$ सभी आइसोमेट्री इंजेक्शन हैं। मजूर-उलम प्रमेय स्थापित करता है कि दो के मध्य प्रत्येक विशेषण समरूपता  नॉर्म्ड स्पेस एफ़िन परिवर्तन है। परिणाम स्वरुप, आइसोमेट्री $$A$$ वास्तविक आंतरिक गुणन रिक्त समष्‍टि के मध्य रैखिक मानचित्र है यदि और केवल यदि $$A(0) = 0.$$ आइसोमेट्री आंतरिक गुणन रिक्त समष्‍टि के मध्य s रूपवाद हैं, और वास्तविक आंतरिक गुणन रिक्त समष्‍टि के रूपवाद ऑर्थोगोनल परिवर्तन हैं ( ओर्थोगोनल आव्यहू के साथ तुलना करें)।
 * : $$A : V \to W$$ आइसोमेट्री है जो विशेषण (और इसलिए विशेषण) है। आइसोमेट्रिकल आइसोमोर्फिम्स को एकात्मक ऑपरेटर ( एकात्मक आव्यहू के साथ तुलना) के रूप में भी जाना जाता है।

आंतरिक गुणन समष्‍टि सिद्धांत के दृष्टिकोण से, दो स्थानों के मध्य अंतर करने की कोई आवश्यकता नहीं है जो कि आइसोमेट्रिक रूप से आइसोमोर्फिक हैं। वर्णक्रमीय प्रमेय परिमित आयामी आंतरिक गुणन रिक्त समष्‍टि पर सममित, एकात्मक और अधिक सामान्यतः सामान्य आपरेटरों के लिए विहित रूप प्रदान करता है। स्पेक्ट्रल प्रमेय का सामान्यीकरण हिल्बर्ट रिक्त समष्‍टि में निरंतर सामान्य ऑपरेटरों के लिए होता है।

सामान्यीकरण
किसी आंतरिक गुणन के किसी भी स्वयंसिद्ध को कमजोर किया जा सकता है, जिससे सामान्यीकृत धारणाएं उत्पन्न होती हैं। सामान्यीकरण जो आंतरिक गुणनों के सबसे करीब होते हैं, जहां द्विरेखीयता और संयुग्म समरूपता को निरंतर रखा जाता है, किन्तु धनात्मक-निश्चितता कमजोर होती है।

आंतरिक गुणनों को पतित करें
यदि $$V$$ सदिश समष्‍टि है और $$\langle \,\cdot\,, \,\cdot\, \rangle$$ अर्ध-निश्चित सेसक्विलिनियर रूप, फिर कार्य: $$\|x\| = \sqrt{\langle x, x\rangle}$$ समझ में आता है और आदर्श के सभी गुणों को संतुष्ट करता है सिवाय इसके कि $$\|x\| = 0$$ मतलब नहीं है $$x = 0$$ (इस तरह के कार्यात्मक को तब अर्ध-मानक कहा जाता है)। हम भागफल पर विचार करके आंतरिक गुणन समष्‍टि का गुणनन कर सकते हैं $$W = V / \{x : \|x\| = 0\}.$$ सेसक्विलिनियर फॉर्म $$\langle \,\cdot\,, \,\cdot\, \rangle$$ के माध्यम से कारक $$W.$$ यह निर्माण कई संदर्भों में प्रयोग किया जाता है। गेलफैंड-नैमार्क-सेगल निर्माण इस तकनीक के उपयोग का विशेष रूप से महत्वपूर्ण उदाहरण है। और उदाहरण मर्सर के प्रमेय का प्रतिनिधित्व है।

गैरपतित संयुग्म सममित रूप
वैकल्पिक रूप से, किसी को आवश्यकता हो सकती है कि जोड़ी गैर-अपूर्ण रूप हो, जिसका अर्थ है कि सभी गैर-शून्य के लिए $$x \neq 0$$ कुछ सम्मलित है $$y$$ ऐसा है कि $$\langle x, y \rangle \neq 0,$$ यद्यपि $$y$$ बराबर $$x$$ नहीं चाहिए ; दूसरे शब्दों में, प्रेरित चित्र दोहरी जगह के लिए $$V \to V^*$$ इंजेक्शन है। अंतर ज्यामिति में यह सामान्यीकरण महत्वपूर्ण है: विविध जिसका स्पर्शरेखा रिक्त समष्‍टि आंतरिक गुणन है, छद्म रीमैनियन विविध है, जबकि यदि यह गैरपतित संयुग्मित सममित रूप से संबंधित है तो विविध छद्म- रीमैनियन विविध है। सिल्वेस्टर के जड़त्व के नियम के अनुसार, जिस तरह प्रत्येक आंतरिक गुणन सदिशों के सेट पर धनात्मक भार के साथ डॉट गुणन के समान होता है, उसी तरह प्रत्येक गैर-डीजेनरेट संयुग्म सममित रूप डॉट गुणन के समान होता है सदिश के सेट पर वजन, और धनात्मक और नकारात्मक वजन की संख्या को क्रमशः धनात्मक सूचकांक और नकारात्मक सूचकांक कहा जाता है। मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष में सदिश का गुणन अनिश्चित आंतरिक गुणन का उदाहरण है, चूंकि, तकनीकी रूप से बोलते हुए, यह उपरोक्त मानक परिभाषा के अनुसार आंतरिक गुणन नहीं है। मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष में चार आयाम (गणित) और सूचकांक 3 और 1 (साइन (गणित) का असाइनमेंट + और - उनके लिए साइन कन्वेंशन मीट्रिक हस्ताक्षर) हैं।

विशुद्ध रूप से बीजगणितीय कथन (वे जो धनात्मकता का उपयोग नहीं करते हैं) सामान्यतः केवल गैर-अपघटन (इंजेक्शनी होमोमोर्फिज्म) पर निर्भर करते हैं। $$V \to V^*$$) और इस प्रकार सामान्यतः धारण करते हैं।

संबंधित गुणन
आंतरिक गुणन शब्द बाहरी गुणन के विपरीत है, जो थोड़ा अधिक सामान्य और विपरीत है। सीधे शब्दों में, निर्देशांक में, आंतरिक गुणन a का गुणन है $$1 \times n$$ साथ $$n \times 1$$ सदिश, उपज a $$1 \times 1$$ आव्यहू (अदिश) है, जबकि बाहरी गुणन का गुणन है $$m \times 1$$ a के साथ सदिश $$1 \times n$$ कोसदिश, उपज $$m \times n$$ आव्यूह है। बाहरी गुणन को विभिन्न आयामों के लिए परिभाषित किया गया है, जबकि आंतरिक गुणन को समान आयाम की आवश्यकता है। यदि आयाम समान हैं, तो आंतरिक गुणन   है बाहरी गुणन का (ट्रेस केवल स्क्वायर मैट्रिसेस के लिए ठीक से परिभाषित किया जा रहा है)। अनौपचारिक सारांश में: आंतरिक क्षैतिज समय ऊर्ध्वाधर है और नीचे सिकुड़ता है, बाहरी ऊर्ध्वाधर समय क्षैतिज है और बाहर विस्तारित करता है।

अधिक संक्षेप में, बाहरी गुणन द्विरेखीय मानचित्र $$W \times V^* \to \hom(V, W)$$ है सदिश और कोवेक्टर को श्रेणी 1 रैखिक परिवर्तन (प्रकार का साधारण टेंसर (1, 1)) में भेज रहा है, जबकि आंतरिक गुणन बिलिनियर द्विरेखीय मानचित्र है $$V^* \times V \to F$$ है सदिश पर कोवेक्टर का मूल्यांकन करके दिया गया; यहाँ डोमेन सदिश रिक्त समष्‍टि का क्रम कोसदिश/सदिश भेद को दर्शाता है।

आंतरिक गुणन और बाहरी गुणन को आंतरिक गुणन और बाहरी गुणन के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जो इसके अतिरिक्त सदिश क्षेत्रों और अंतर रूपों, या अधिक सामान्यतः बाहरी बीजगणित पर संचालन होते हैं।

समष्‍टिता के रूप में, ज्यामितीय बीजगणित में आंतरिक गुणन और (ग्रासमैन) गुणन को ज्यामितीय गुणन (क्लिफोर्ड बीजगणित में क्लिफोर्ड गुणन) में संयोजित किया जाता है - आंतरिक गुणन दो सदिश (1-सदिश) को अदिश ( 0-सदिश) भेजता है, जबकि बाहरी गुणन दो सदिश को भेजता है। बायसदिश (2-सदिश) - और इस संदर्भ में बाहरी गुणन को सामान्यतः  (वैकल्पिक रूप से, ) कहा जाता है। इस संदर्भ में आंतरिक गुणन को अधिक उचित रूप से  गुणन कहा जाता है, क्योंकि प्रश्न में गैर-अपक्षयी द्विघात रूप धनात्मक निश्चित होना आवश्यक नहीं है (आंतरिक गुणन होने की आवश्यकता नहीं है)।