वायु द्रव्यमान (खगोल विज्ञान)

खगोल विज्ञान में, वायु द्रव्यमान पृथ्वी के वायुमण्डल (1992) के नीचे से किसी पिंड या अन्य आकाशीय स्रोत का अवलोकन करते समय दृष्टि रेखा के साथ वायु की मात्रा की माप है। इसे प्रकाश किरण (प्रकाशिकी) के साथ वायु घनत्व के समाकल भाग के रूप में तैयार किया गया है।

जैसे ही यह वायुमण्डल में प्रवेश करता है प्रकाश प्रसारण और अवशोषण (विद्युत चुम्बकीय विकिरण) से क्षीण हो जाता है यह जितना अधिक सघन वायुमण्डल से गुजरता है उतना ही अधिक क्षीण होता है जिसके परिणामस्वरूप आकाशीय पिंड जब क्षितिज के निकट होते हैं तो ये शीर्ष बिन्दु के निकट होने की तुलना में कम प्रकाशीय दिखाई देते हैं। वायुमंडलीय विलोपन के रूप में जाना जाने वाला यह क्षीणन, बीयर-लैंबर्ट नियम द्वारा परिमाणात्मक रूप से वर्णित है।

"वायु द्रव्यमान" सामान्य रूप से सापेक्ष वायु द्रव्यमान को इंगित करता है पूर्ण वायु द्रव्यमान का अनुपात (जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है) शीर्ष के सापेक्ष तिर्यक घटना पर परिभाषा के अनुसार शीर्ष कोण के सापेक्ष वायु द्रव्यमान 1 होता है वायु द्रव्यमान बढ़ता है क्योंकि स्रोत और शीर्ष बिंदु के बीच का कोण बढ़ता है क्षितिज पर लगभग 38 के मान तक हो जाता है। समुद्र तल से अधिक ऊंचाई पर वायु द्रव्यमान एक से कम हो सकता है हालाँकि, वायु द्रव्यमान के लिए अधिकांश रूप से अभिव्यक्ति में पर्यवेक्षक के विकसित प्रभाव सम्मिलित नहीं होते हैं इसलिए समायोजन को सामान्यतः अन्य तरीकों से पूर्ण किया जाता है।

पोराड (1904), एलन (1976), कास्टेन और यंग (1989) सहित कई लेखकों द्वारा वायु द्रव्यमान की तालिकाएँ प्रकाशित की गई हैं।

परिभाषा
पूर्ण वायु द्रव्यमान को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:


 * $$\sigma = \int \rho \, \mathrm d s \,.$$

जहां $$\rho$$ वायु का आयतन घनत्व है इस प्रकार $$\sigma$$ लंबवत स्तंभ घनत्व का एक प्रकार है।

ऊर्ध्वाधर दिशा में, शीर्ष पर पूर्ण वायु द्रव्यमान है:


 * $$\sigma_\mathrm{zen} = \int \rho \, \mathrm d z $$

इसलिए $$\sigma_\mathrm{zen}$$ एक प्रकार का लंबवत स्तंभ घनत्व है।

अंत में, सापेक्ष वायु का द्रव्यमान है:


 * $$X = \frac \sigma {\sigma_\mathrm{zen}} $$

वायु घनत्व को एकसमान मानकर इसे समाकल से बाहर निकालने की स्वीकृति देता है और पूर्ण वायु द्रव्यमान तब एक उत्पाद को सरल करता है:


 * $$\sigma = \bar\rho s$$

जहां $$\bar\rho=\mathrm{const.}$$ औसत घनत्व है लंबवत और शीर्ष प्रकाश पथ की चाप लंबाई हैं:


 * $$s = \int \, \mathrm d s$$
 * $$s_\mathrm{zen} = \int \, \mathrm d z$$

संबंधित सरलीकृत सापेक्ष वायु द्रव्यमान में औसत घनत्व भाग में नष्ट हो जाता है जिससे पथ की लंबाई का अनुपात बढ़ जाता है:


 * $$X = \frac s {s_\mathrm{zen}} \,.$$

जैसा कि नीचे चर्चा की गई है प्रत्यक्ष रेखा प्रसार (किरण की उपेक्षा) को मानते हुए और सरलीकरण प्रायः प्राप्त किए जाते हैं।

गणना
शीर्ष कोण के साथ एक खगोलीय पिंड का कोण शीर्ष कोण है जिसको खगोल विज्ञान में सामान्यतः शीर्ष बिन्दु के रूप में जाना जाता है एक पिंड की कोणीय स्थिति को ऊंचाई और ज्यामितीय क्षितिज के ऊपर के कोण के रूप में भी प्रदर्शित किया जा सकता है इस प्रकार ऊँचाई $$h$$ और शीर्ष कोण $$z$$ से संबंधित हैं:


 * $$h = 90^\circ - z \,.$$

वायुमंडलीय अपवर्तन के कारण प्रकाश वायुमंडल में प्रवेश करता है और लगभग वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है जो ज्यामितीय पथ से अपेक्षाकृत लंबा होता है। वायु द्रव्यमान को लंबे पथ (यंग 1994) को ध्यान में रखना चाहिए। इसके अतिरिक्त, अपवर्तन के कारण एक खगोलीय पिंड क्षितिज के ऊपर वास्तविक रूप से अधिक दिखाई देता है क्षितिज पर वास्तविक शीर्ष कोण और स्पष्ट शीर्ष कोण के बीच का अंतर लगभग 34 मिनट का चाप है। अधिकांश वायु द्रव्यमान सूत्र स्पष्ट शीर्ष कोण पर आधारित होते हैं लेकिन कुछ वास्तविक शीर्ष कोण पर आधारित होते हैं इसलिए यह सुनिश्चित करना महत्वपूर्ण है कि विशेष रूप से क्षितिज बिन्दु के निकतम मान का उपयोग किया जाता है।

समतल-समानांतर वायुमण्डल
जब शीर्ष कोण अपेक्षाकृत छोटे से मध्यम होता है तो एक सजातीय समतल-समानांतर वायुमण्डल अर्थात, जिसमें घनत्व स्थिर होता है और पृथ्वी की वक्रता को अस्वीकृत कर दिया जाता है यह मानकर एक अच्छा सन्निकटन दिया जाता है जो वायु द्रव्यमान $$X$$ और शीर्ष कोण $$z$$ का त्रिकोणमितीय फलन है:


 * $$X = \sec\, z \,.$$

60° के शीर्ष कोण पर, वायु द्रव्यमान लगभग 2 होता है। हालांकि, क्योंकि पृथ्वी समतल नहीं है यह सूत्र आवश्यकताओं के आधार पर लगभग 60° से 75° तक के शीर्ष कोणों के लिए ही प्रयोग करने योग्य है। अधिक शीर्ष कोणों पर $$X = \sec\, z$$ की तीव्रता से कम हो जाती है और क्षितिज पर अनंत हो जाती है अधिक यथार्थवादी वृत्तीय वायुमण्डल में क्षितिज वायु द्रव्यमान सामान्यतः 40 से कम होता है।

इंटरपोलेटिव सूत्र
वायु द्रव्यमान के सारणीबद्ध मानों को प्रयुक्त करने के लिए कई सूत्र विकसित किए गए हैं यंग और इरविन द्वारा एक (1967) में एक साधारण संरचनात्मक शब्द सम्मिलित है:


 * $$X = \sec\,z_\mathrm t \, \left [ 1 - 0.0012 \,(\sec^2 z_\mathrm t - 1) \right ] \,,$$

जहाँ $$z_\mathrm t$$शीर्ष कोण है। यह लगभग 80° तक प्रयोग करने योग्य परिणाम देता है लेकिन अधिक शीर्ष कोणों पर तीव्रता से घटता है। परिकलित वायु द्रव्यमान 86.6° पर अधिकतम 11.13 तक अभिगम्य होता है और 88° पर शून्य हो जाता है तथा क्षितिज पर ऋणात्मक अनंत तक बढ़ जाता है साथ के आरेख पर इस सूत्र में वायुमंडलीय अपवर्तन के लिए एक सुधार सम्मिलित है ताकि परिकलित वायु द्रव्यमान वास्तविक शीर्ष कोण के अतिरिक्त स्पष्ट सके।


 * 1) हार्डी (1962) ने एक बहुपद $$\sec\,z - 1$$ प्रस्तुत किया है:

जहाँ


 * $$X = \sec\,z \,-\, 0.0018167 \,(\sec\,z \,-\, 1) \,-\, 0.002875 \,(\sec\,z \,-\, 1)^2

\,-\, 0.0008083 \,(\sec\,z \,-\, 1)^3 \, $$ जो लगभग 85° तक के शीर्ष कोणों के लिए उपयोगी परिणाम देता है। पिछले सूत्र की तरह परिकलित वायु द्रव्यमान अधिकतम तक अभिगम्य हो जाता है और फिर क्षितिज पर ऋणात्मक अनंत तक अभिगम्य होता है।


 * 1) रोज़ेनबर्ग (1966) ने सुझाव दिया:
 * $$X = \left (\cos\,z + 0.025 e^{-11 \cos\, z} \right )^{-1} \,,$$

जो उच्च शीर्ष कोणों के लिए उपयुक्त परिणाम देता है 40° के क्षितिज वायु द्रव्यमान के साथ कास्टेन और यंग (1989) का सूत्र विकसित हुआ है:
 * $$X = \frac{1} { \cos\, z + 0.50572 \,(6.07995^\circ + 90^\circ - z)^{-1.6364}} \,,$$

जो क्षितिज पर लगभग 38° के वायु द्रव्यमान के साथ 90° तक के शीर्षिक कोणों के लिए उपयुक्त परिणाम देता है। यहाँ दूसरा $$z$$ अवधि डिग्री में है।


 * 1) यंग सूत्र (1994) विकसित हुआ:


 * $$X = \frac

{ 1.002432\, \cos^2 z_\mathrm t + 0.148386 \, \cos\, z_\mathrm t + 0.0096467 } { \cos^3 z_\mathrm t + 0.149864\, \cos^2 z_\mathrm t + 0.0102963 \, \cos\, z_\mathrm t + 0.000303978 } \, $$ शीर्ष कोण के संदर्भ में $$z_\mathrm t$$ जिसके लिए उन्होंने 0.0037 वायु द्रव्यमान की अधिकतम त्रुटि (क्षितिज पर) का निर्धारण किया।


 * 1) पिकरिंग (2002) विकसित हुई:
 * $$X = \frac{1} { \sin (h + {244}/(165+47 h^{1.1}) ) } \,,$$

जहाँ $$h$$ स्पष्ट ऊंचाई $$(90^\circ - z)$$ डिग्री में है पिकरिंग ने स्वीकृत किया कि उनके समीकरण में क्षितिज के निकट (1998) की दसवीं त्रुटि है।

वायुमंडलीय मॉडल
इंटरपोलेटिव सूत्र न्यूनतम कम्प्यूटेशनल संक्रिया का उपयोग करके वायु द्रव्यमान के सारणीबद्ध मानों के लिए एक अच्छा प्रयुक्त प्रदान करने का प्रयास करता है हालाँकि, सारणीबद्ध मानों को माप या वायुमंडलीय मॉडल से निर्धारित किया जाना चाहिए जो पृथ्वी और उसके वायुमण्डल के ज्यामितीय और भौतिक विचारों से प्राप्त होते हैं।

अपवर्तक वृत्तीय वायुमण्डल
यदि वायुमंडलीय अपवर्तन को उपेक्षित कर दिया जाता है तो यह सरल ज्यामितीय विचारों (स्कोनबर्ग 1929, 173) से दिखाया जा सकता है कि ऊंचाई के एक त्रिज्या सममित वायुमण्डल के माध्यम से शीर्ष कोण $$z$$ पर एक प्रकाश किरण का पथ $$y_{\mathrm {atm}}$$ ऊपर पृथ्वी द्वारा दिया गया है:

s = \sqrt {R_\mathrm {E}^2 \cos^2 z + 2 R_\mathrm {E} y_\mathrm{atm} + y_\mathrm{atm}^2} - R_\mathrm {E} \cos\, z \, $$ या वैकल्पिक रूप से,



s = \sqrt {\left ( R_\mathrm {E} + y_\mathrm{atm} \right )^2 - R_\mathrm {E}^2 \sin^2 z}   - R_\mathrm {E} \cos\, z \, $$ जहाँ $$R_\mathrm E$$ पृथ्वी की त्रिज्या है।

सापेक्ष वायु द्रव्यमान तब है:



X = \frac s {y_\mathrm{atm}} = \frac {R_\mathrm {E}} {y_\mathrm{atm}} \sqrt {\cos^2 z     + 2 \frac {y_\mathrm{atm}} {R_\mathrm {E}} + \left ( \frac {y_\mathrm{atm}} {R_\mathrm {E}} \right )^2 } - \frac {R_\mathrm {E}} {y_\mathrm{atm}} \cos\, z \,. $$

सजातीय वायुमण्डल
यदि वायुमण्डल एकरूपता (भौतिकी) है अर्थात घनत्व स्थिर है और वायुमंडलीय ऊंचाई $$y_{\mathrm {atm}}$$ स्थैतिक विचारों से इस प्रकार है:


 * $$y_\mathrm{atm} = \frac {kT_0} {mg} \,,$$

जहाँ $$k$$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है समुद्र तल का तापमान $$T_0$$ है वायु का आणविक द्रव्यमान $$m$$ है और $$g$$ गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है हालांकि यह एक समतापी वायुमण्डल के दाब पैमाने की ऊंचाई के समान है, इसका निहितार्थ अपेक्षालरित अलग है। समतापीय वायुमण्डल में, वायुमंडल का 37% (1/e (गणितीय स्थिरांक)) दाब पैमाने की ऊंचाई से ऊपर है सजातीय वायुमण्डल में, वायुमंडलीय ऊंचाई से ऊपर कोई वायुमण्डल नहीं होता है।

माना कि $$T_0 = \mathrm{288.15~K}$$, $$m = \mathrm{ 28.9644 \times 1.6605 \times 10^{-27} ~ kg}$$, और $$g = \mathrm{9.80665 ~ m/s^2}$$ है तब $$y_\mathrm{atm} \approx \mathrm{8435 ~ m}$$. 6371 किमी मे पृथ्वी की औसत त्रिज्या का उपयोग करते हुए, क्षितिज पर समुद्र-स्तर का वायु द्रव्यमान है:



X_\mathrm{horiz} = \sqrt {1 + 2 \frac {R_\mathrm {E}} {y_\mathrm{atm}}} \approx 38.87 \,. $$ सजातीय वृत्तीय मॉडल क्षितिज के पास वायु द्रव्यमान में वृद्धि की दर को अपेक्षाकृत कम करके मापा जाता है अधिक जटिल मॉडलों से निर्धारित मानों के लिए एक उपयुक्त समग्र प्रयुक्त वायु द्रव्यमान को 90 डिग्री से कम के शीर्ष कोण पर मान से संबद्ध करने के लिए प्राप्त किया जा सकता है। और वायु द्रव्यमान समीकरण को पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है:


 * $$\frac {R_\mathrm{E}} {y_\mathrm{atm}}

= \frac {X^2 - 1} {2 \left ( 1 - X \cos z \right )} \,;$$ बेम्पोराड के 19.787 मान $$z$$= 88°, $$R_\mathrm{E} / y_\mathrm{atm}$$≈ 631.01 और $$X_\mathrm{horiz}$$≈ 35.54 के लिए समान मान के साथ $$R_\mathrm{E}$$ ऊपरोक्त अनुसार, $$y_\mathrm{atm}$$≈ 10,096 मी के अनुरूप है।

जबकि सजातीय वायुमण्डल भौतिक रूप से यथार्थवादी मॉडल नहीं है सन्निकटन तब तक उपयुक्त है जब तक कि ग्रह की त्रिज्या की तुलना में वायुमंडल की पैमाने की ऊंचाई छोटी है। मॉडल प्रयोग करने योग्य है (अर्थात, यह विचलन नहीं करता है या शून्य पर नहीं जाता है) सभी शीर्ष कोणों पर, जिसमें 90 डिग्री से अधिक देखें) सम्मिलित हैं। मॉडल को तुलनात्मक रूप से कम कम्प्यूटेशनल संक्रिया की आवश्यकता होती है और यदि उच्च शुद्धता की आवश्यकता नहीं होती है, तो यह उपयुक्त परिणाम देता है। हालांकि, 90 डिग्री से कम शीर्ष कोणों के लिए, वायु द्रव्यमान के स्वीकृत मानों के लिए कई इंटरपोलेटिव सूत्रो के साथ प्रयुक्त हो सकता है।

चर-घनत्व वायुमण्डल
एक वास्तविक वायुमण्डल में, घनत्व स्थिर नहीं होता है यह औसत समुद्र तल अर्थात ऊपर की ऊंचाई के साथ घटता है। ऊपर की ऊंचाई चर्चा की गई ज्यामितीय प्रकाश पथ के लिए पूर्ण वायु द्रव्यमान, समुद्र-स्तर के पर्यवेक्षक के लिए बन जाता है:



\sigma = \int_0^{y_\mathrm{atm}} \frac {\rho \, \left ( R_\mathrm {E} + y \right ) \mathrm d y}            {\sqrt {R_\mathrm {E}^2 \cos^2 z + 2 R_\mathrm {E} y + y^2}} \,. $$

समतापीय वायुमण्डल
ऊंचाई के साथ घनत्व भिन्नता के लिए कई संरचनात्मक मॉडल सामान्यतः उपयोग किए जाते हैं। सबसे सरल, एक समतापी वायुमण्डल देता है:


 * $$\rho = \rho_0 e^{-y / H} \,,$$

जहां $$\rho_0$$ समुद्र तल का घनत्व है और $$H$$ दाब पैमाने की ऊंचाई है। जब एकीकरण की सीमा शून्य और अनंत होती है तो परिणाम को चैपमैन फलन के रूप में जाना जाता है। एक अनुमानित परिणाम प्राप्त होता है यदि कुछ उच्च-क्रम की शर्तों (यंग 1974, 147) को छोड़ दिया जाता है:



X \approx \sqrt { \frac {\pi R} {2 H}} \exp {\left ( \frac {R \cos^2 z} {2 H} \right )} \, \mathrm {erfc} \left ( \sqrt {\frac {R \cos^2 z} {2 H}} \right ) \,. $$ यंग 1974, 147 को लेकर अपवर्तन के लिए एक अनुमानित सुधार किया जा सकता है:


 * $$R = 7/6 \, R_\mathrm E \,,$$

जहाँ $$R_\mathrm E$$ पृथ्वी की भौतिक त्रिज्या है। क्षितिज पर, अनुमानित समीकरण बन जाता है:


 * $$X_\mathrm{horiz} \approx \sqrt { \frac {\pi R} {2 H}} \,.$$

8435 मीटर की ऊँचाई के पैमाने का उपयोग करते हुए, पृथ्वी की औसत त्रिज्या अपवर्तन के लिए सुधार सहित 6371 किमी है:


 * $$X_\mathrm{horiz} \approx 37.20 \,.$$

बहुउष्णकटिबंधीय वायुमण्डल
स्थिर तापमान की धारणा सरलीकृत है अधिक यथार्थवादी मॉडल बहुदैशिक वायुमण्डल है, जिसके लिए $$T = T_0 - \alpha y \,,$$ है।

जहाँ $$T_0$$ समुद्र के स्तर का तापमान है और $$\alpha$$ तापमान हानि दर है और ऊंचाई के एक फलन के रूप में घनत्व है:


 * $$\rho = \rho_0 \left ( 1 - \frac \alpha T_0 y \right )^{1 / (\kappa - 1)} \,,$$

जहाँ $$\kappa$$ बहुदैशिक प्रतिपादक या बहुदैशिक तालिका है बहुदैशिक मॉडल के लिए वायु द्रव्यमान समाकल अपने आप को एक संवृत विस्तार के लिए स्वीकृति नहीं देता है शीर्ष को छोड़कर संवृत विस्तार समाधान इसलिए समाकल सामान्यतः संख्यात्मक रूप से किया जाता है।

स्तरित वायुमण्डल
पृथ्वी के वायुमंडल में विभिन्न तापमान और घनत्व विशेषताओं के साथ कई परतें होती हैं सामान्य वायुमंडलीय मॉडल में अंतर्राष्ट्रीय मानक वायुमण्डल और यूएस मानक वायुमण्डल सम्मिलित हैं। कई उद्देश्यों के लिए एक अच्छा सन्निकटन 6.5 K/किमी की दर के साथ 11 किमी की ऊँचाई का एक बहुदैशिक क्षोभ मंडल है और अनंत ऊँचाई का एक समतापीय समताप मंडल है गारफिंकेल 1967 जो अंतर्राष्ट्रीय मानक वायुमंडल की पहली दो परतों के बहुत निकट से अनुरूप है। अधिक शुद्धता की आवश्यकता होने पर अधिक परतों का उपयोग किया जा सकता है।

रेडियल सममित वायुमण्डल को अपवर्तित करना
जब वायुमंडलीय अपवर्तन पर विचार किया जाता है तो किरण अनुरेखण (भौतिकी) की आवश्यक हो जाती है और निरपेक्ष वायु द्रव्यमान समाकल बन जाता है:

\sigma = \int_{r_\mathrm{obs}}^{r_\mathrm{atm}} \frac {\rho\, \mathrm d r}                      {\sqrt { 1 - \left ( \frac {n_\mathrm{obs}} n \frac {r_\mathrm{obs}} r \right )^2 \sin^2 z}} \, $$ जहाँ $$n_\mathrm{obs}$$ प्रेक्षक के उन्नयन पर वायु के अपवर्तन का सूचकांक है समुद्र स्तर से ऊपर $$n$$ ऊंचाई पर अपवर्तन का सूचकांक $$y_\mathrm{obs}$$ है समुद्र स्तर से ऊपर, $$r_\mathrm{obs} = R_\mathrm{E} + y_\mathrm{obs}$$, $$r = R_\mathrm{E} + y$$ पृथ्वी के केंद्र से ऊंचाई पर एक बिंदु की दूरी $$y$$ है $$y$$, और $$r_\mathrm{atm} = R_\mathrm{E} + y_\mathrm{atm}$$ ऊँचाई पर वायुमंडल की ऊपरी सीमा की दूरी है घनत्व $$y_\mathrm{atm}$$ के संदर्भ में अपवर्तन का सूचकांक सामान्यतः ग्लैडस्टोन-डेल संबंध द्वारा पर्याप्त शुद्धता को दिया जाता है:


 * $$\frac {n - 1} {n_\mathrm{obs} - 1} = \frac {\rho} {\rho_\mathrm{obs}} \,.$$

पूर्ण वायु द्रव्यमान समाकल में पुनर्व्यवस्था और प्रतिस्थापन देता है:



\sigma = \int_{r_\mathrm{obs}}^{r_\mathrm{atm}} \frac {\rho\, \mathrm d r}           {\sqrt { 1 - \left ( \frac {n_\mathrm{obs}} {1 + ( n_\mathrm{obs} - 1 ) \rho/\rho_\mathrm{obs}} \right )^2 \left ( \frac {r_\mathrm{obs}} r \right )^2 \sin^2 z}} \,. $$ राशि $$n_\mathrm{obs} - 1$$ अपेक्षाकृत छोटी है और कोष्ठकों में पहले पद का विस्तार करना, कई बार पुनर्व्यवस्थित करना और $$(n_\mathrm{obs} - 1)^2$$ प्रत्येक पुनर्व्यवस्था के बाद शब्दों को अनदेखा करना कास्टेन और यंग 1989 के अनुसार प्राप्त होता है:



\sigma = \int_{r_\mathrm{obs}}^{r_\mathrm{atm}} \frac {\rho\, \mathrm d r}           {\sqrt { 1 - \left [ 1 + 2 ( n_\mathrm{obs} - 1 )(1 - \frac \rho {\rho_\mathrm{obs}} ) \right ] \left ( \frac {r_\mathrm{obs}} r \right )^2 \sin^2 z}} \,. $$

ऊंचे प्रेक्षक के साथ सजातीय वृत्तीय वायुमण्डल
दाईं ओर की आकृति में, O पर एक प्रेक्षक एक ऊंचाई $$y_\mathrm{obs}$$ पर है ऊंचाई के एक समान रेडियल सममित वायुमण्डल में समुद्र तल से ऊपर $$y_\mathrm{atm}$$ शीर्ष कोण पर प्रकाश किरण की पथ लंबाई $$z$$ है और $$R_\mathrm{E}$$ पृथ्वी की त्रिज्या है। कोसाइन के नियम को त्रिभुज OAC पर प्रयुक्त करने पर,


 * $$ \begin{align}

\left(R_{E}+y_{atm}\right)^{2} & =s^{2}+\left(R_{E}+y_{obs}\right)^{2}-2\left(R_{E}+y_{obs}\right)s \cos\left(180^{\circ}-z\right)\\ & =s^{2}+\left(R_{E}+y_{obs}\right)^{2}+2\left(R_{E}+y_{obs}\right)s\cos z\end{align} $$ बाएँ और दाएँ पक्ष का विस्तार करना और सामान्य शब्दों को समाप्त या पुनर्व्यवस्थित करना होता है:


 * $${{s}^{2}}+2\left( {{R}_{\text{E}}}+{{y}_{\text{obs}}} \right)s\cos z-2{{R}_{\text{E}}}{{y}_{\text{atm}}}-y_{\text{atm}}^{2}+2{{R}_{\text{E}}}{{y}_{\text{obs}}}+y_{\text{obs}}^{2}=0 \,.$$

पथ की लंबाई s के लिए द्विघात को हल करना, गुणनखण्ड करना और पुनर्व्यवस्थित करना,


 * $$s=\pm \sqrt{{{\left( {{R}_{\text{E}}}+{{y}_{\text{obs}}} \right)}^{2}}{{\cos }^{2}}z+2{{R}_{\text{E}}}\left( {{y}_{\text{atm }}}-{{y}_{\text{obs}}} \right)+y_{\text{atm}}^{2}-y_{\text{obs}}^{2}}-({{R}_{\text{E}}}+{{y}_{\text{obs}}})\cos z \,.$$

मूलांक का ऋणात्मक चिह्न ऋणात्मक परिणाम देता है जो भौतिक रूप से सार्थक नहीं है धनात्मक चिह्न का उपयोग करके $$y_\mathrm{atm}$$ को विभाजित करना और सामान्य शर्तों को समाप्त करना और पुनर्व्यवस्थित करना सापेक्ष वायु द्रव्यमान देता है:


 * $$X=\sqrt{{{\left( \frac{{{R}_{\text{E}}}+{{y}_{\text{obs}}}} \right)}^{2}}{{\cos }^{2}}z+\frac{2{{R}_{\text{E}}}}{y_{\text{atm}}^{2}}\left( {{y}_{\text{atm}}}-{{y}_{\text{obs}}} \right)-{{\left( \frac{{{y}_{\text{obs}}}} \right)}^{2}}+1}-\frac{{{R}_{\text{E}}}+{{y}_{\text{obs}}}}\cos z \,.$$

प्रतिस्थापन के साथ $$\hat{r} = R_\mathrm{E} / y_\mathrm{atm}$$ और $$\hat{y} = y_\mathrm{obs} / y_\mathrm{atm}$$को इस रूप में दिया जा सकता है:


 * $$X=\sqrt{{{(\hat{r}+\hat{y})}^{2}}{{\cos }^{2}}z + 2 \hat{r} (1-\hat{y}) - \hat{y}^2 +1} \; - \; (\hat{r}+\hat{y})\cos z \,.$$

जब पर्यवेक्षक की ऊंचाई शून्य होता है तो वायु द्रव्यमान समीकरण सरल हो जाता है:


 * $$X=\sqrt{{{\left( \frac \right)}^{2}}{{\cos }^{2}}z+\frac{2{{R}_{\text{E}}}}+1}-\frac\cos z \,.$$

इस घटना की सीमा में पूर्ण वायु द्रव्यमान क्षितिज की दूरी के बराबर होता है। इसके अतिरिक्त यदि प्रेक्षक ऊंचा है तो क्षितिज का शीर्ष कोण 90° से अधिक हो सकता है।

क्षीणन प्रजातियों का गैर-समान वितरण
वायुमंडलीय मॉडल जो स्थैतिक विचारों से उत्पन्न होते हैं वे निरंतर संरचना के वायुमण्डल और विलुप्त होने के एकल तंत्र को मानते हैं, जो बिल्कुल सही नहीं है। क्षीणन के तीन मुख्य स्रोत हेस और लाथम 1975, वायु अणुओं द्वारा रैले प्रकीर्णन, एरोसोल द्वारा मी-प्रकीर्णन और आणविक अवशोषण (मुख्य रूप से ओजोन द्वारा) है प्रत्येक स्रोत का सापेक्ष योगदान समुद्र तल से ऊंचाई के साथ परिवर्तित रहता है और एयरोसोल और ओजोन की सांद्रता को केवल जलस्थैतिक विचारों से प्राप्त नहीं किया जा सकता है।

जटिल रूप से, जब विलुप्त होने का गुणांक ऊंचाई पर निर्भर करता है तो इसे थॉमसन, हरमन और रीगन (1983) द्वारा वर्णित वायु द्रव्यमान समाकल के भाग के रूप में निर्धारित किया जाना चाहिए। हालांकि, एक समझौता दृष्टिकोण प्रायः संभव है। शेफर (1993) और शेफर (1998) में संवृत सूत्र विस्तारण का उपयोग करके प्रत्येक प्रजाति से विलुप्त होने की अलग-अलग गणना करने के तरीकों का वर्णन किया गया है। बाद के संदर्भ में गणना करने के लिए एक साधारण प्रोग्राम के लिए स्रोत कोड सम्मिलित है। विलुप्त होने की यथोचित शुद्ध गणना कभी-कभी सरल वायु द्रव्यमान सूत्रों में से एक का उपयोग करके और अलग-अलग क्षीणन प्रजातियों (ग्रीन 1992, पिकरिंग 2002) के विलुप्त होने के गुणांक का निर्धारण करके की जा सकती है।

वायु द्रव्यमान और खगोल विज्ञान


प्रकाशीय खगोल विज्ञान में, वायु द्रव्यमान प्रेक्षित छवि के प्रसारण का संकेत प्रदान करता है और न केवल वर्णक्रमीय अवशोषण, प्रसारण और कम प्रकाशीय के प्रत्यक्ष प्रभावों के संबंध में, बल्कि प्रकाशीय विपथन का एकत्रीकरण वायुमंडलीय अशांति से उत्पन्न, सामूहिक रूप से "देखने" की गुणवत्ता के रूप में जाना जाता है। डब्ल्यूएचटी (वेन और वारसिक 1988) और वीएलटी (अविला, रुप्प्रेक्ट और बेकर 1997) जैसी बड़ी सूक्ष्मदर्शी पर, वायुमंडलीय प्रसार इतना अधिक हो सकता है कि यह दूरबीन के लक्ष्य की ओर संकेत करने को प्रभावित करता है। ऐसी स्थितियों में एक वायुमंडलीय प्रसारण प्रतिकारक का उपयोग किया जाता है जिसमें सामान्यतः दो प्रिज्म होते हैं।

अनुकूली प्रकाशिकी के लिए प्रासंगिक दोनों ग्रीनवुड आवृत्ति और फ्राइड पैरामीटर या अधिक विशेष रूप से शीर्ष कोण पर उनके ऊपर वायु द्रव्यमान पर निर्भर करते हैं।

रेडियो खगोल विज्ञान में वायु द्रव्यमान (जो प्रकाशीय पथ की लंबाई को प्रभावित करता है) प्रासंगिक नहीं होता है। वायुमंडल की निचली परतें, वायु द्रव्यमान द्वारा प्रतिरूपित, रेडियो तरंगों को महत्वपूर्ण रूप से बाधित नहीं करती हैं जो प्रकाशीय तरंगों की तुलना में बहुत कम आवृत्ति की होती हैं। इसके अतिरिक्त, ऊपरी वायुमंडल में कुछ रेडियो तरंगें आयनमंडल से प्रभावित होती हैं। नए एपर्चर संश्लेषण रेडियो टेलीस्कोप विशेष रूप से इससे प्रभावित होते हैं क्योंकि वे आकाश के एक बड़े भाग और इस प्रकार आयनमंडल को देखते हैं। वास्तव में, निम्न-आवृत्ति सारणी (एलओएफआर) को इन विकृत प्रभावों (वैन डेर टोल और वैन डेर वेन 2007 डी वोस, गनस्ट और निजबोएर 2009) के लिए स्पष्ट रूप से प्रयोग करने की आवश्यकता होती है लेकिन दूसरी ओर इन विकृतियों को मापने के अतिरिक्त आयनमंडल का अध्ययन भी कर सकते हैं।

वायु द्रव्यमान और सौर ऊर्जा


कुछ क्षेत्रों में, जैसे कि सौर ऊर्जा और फोटोवोल्टिक, वायु द्रव्यमान को परिवर्णी शब्द एएम द्वारा इंगित किया जाता है इसके अतिरिक्त वायु द्रव्यमान का मान प्रायः इसके मान को एएम में जोड़कर दिया जाता है ताकि एएम 1-1 के वायु द्रव्यमान को इंगित करता है, एएम 2-2 के वायु द्रव्यमान को इंगित करता है और इसी प्रकार पृथ्वी के वायुमंडल के ऊपर का क्षेत्र, जहाँ सौर विकिरण का कोई वायुमंडलीय क्षीणन नहीं होता है वहाँ "वायु द्रव्यमान शून्य" (एएम 0) माना जाता है।

सौर विकिरण का वायुमंडलीय क्षीणन सभी तरंग दैर्ध्य के लिए समान नहीं है जिसके परिणामस्वरूप, वायुमण्डल के माध्यम से पारित होने से न केवल तीव्रता कम हो जाती है बल्कि वर्णक्रमीय विकिरण भी परिवर्तित हो जाती है। फोटोवोल्टिक मॉड्यूल को सामान्यतः 1.5 (एएम 1.5) के वायु द्रव्यमान के लिए वर्णक्रमीय विकिरण का उपयोग करके स्थित किया जाता है इन मानक स्पेक्ट्रा की सारणियां एएसटीएमजी 173-03 में दी गई हैं। एएसटीएमई 490-00 में वर्णक्रमीय विकिरण (अर्थात, एएम 0 के लिए) को दिया गया है।

कई सौर ऊर्जा अनुप्रयोगों के लिए जब क्षितिज के निकट उच्च शुद्धता की आवश्यकता नहीं होती है तो वायु द्रव्यमान सामान्यतः समतल समानांतर वायुमण्डल खंड में वर्णित सरल व्युत्क्रम कोटिज्या सूत्र का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है।

यह भी देखें

 * वायु द्रव्यमान (सौर ऊर्जा)
 * वायुमंडलीय विलोपन
 * बीयर-लैंबर्ट-बाउगर नियम
 * चैपमैन फलन
 * वातावरण में रेडियो तरंग क्षीणन की गणना
 * विसरित आकाशी विकिरण
 * विलोपन गुणांक
 * प्रदीप्ति घनत्व
 * अंतर्राष्‍ट्रीय मानक वायुमंडल
 * विकिरण
 * वायुमंडल का नियम
 * प्रकाश प्रसारण
 * मी प्रकीर्णन
 * पथ हानि
 * प्रकाश वोल्टीय
 * रैले प्रकीर्णन
 * सौर विकिरण

संदर्भ

 * Optical Telescopes of Today and Tomorrow
 * Optical Telescopes of Today and Tomorrow

बाहरी संबंध

 * Reed Meyer's downloadable airmass calculator, written in C (notes in the source code describe the theory in detail)
 * NASA Astrophysics Data System A source for electronic copies of some of the references.