आकारिक वर्ग नियम

गणित में, एक आकारिक वर्ग नियम (सामान्यतः) एक आकारिक शक्ति श्रृंखला है, जो ऐसा व्यवहार करता है, जैसे कि यह एक लाई वर्ग का उत्पाद था। उन्हें एस बोचनर (1946) द्वारा पेश किया गया था। आकारिक वर्ग शब्द का अर्थ कभी-कभी आकारिक वर्ग नियम के समान होता है, और कभी-कभी इसका अर्थ कई सामान्यीकरणों में से एक होता है। आकारिक वर्ग लाई वर्ग (या बीजगणितीय वर्गों) और लाई बीजगणित के बीच मध्यवर्ती हैं। उनका उपयोग बीजगणितीय संख्या सिद्धांत और बीजगणितीय टोपोलॉजी में किया जाता है।

परिभाषाएँ
एक क्रमविनिमेय वलय आर पर एक आयामी आकारिक वर्ग नियम एक शक्ति श्रृंखला एफ (x, y) है जिसमें आर में गुणांक होते हैं, जैसे कि सबसे सरल उदाहरण योजक आकारिक वर्ग कानून एफ(x, y) = x + y है। परिभाषा का विचार यह है, कि एफ को एक लाई वर्ग के उत्पाद के आकारिक शक्ति श्रृंखला विस्तार की तरह कुछ होना चाहिए, जहां हम निर्देशांक चुनते हैं, ताकि लाई वर्ग की पहचान मूल सकती है।
 * 1) F(x,y) = x + y + उच्च डिग्री के पद
 * 2) F(x, F(y,z)) = F(F(x ,y), z) (सहयोगिता)।

अधिक आम तौर पर, एक एन-आयामी आकारिक वर्ग कानून 2n चर में एन पावर श्रृंखला एफआई Fi(x1, x2, ..., xn, y1, y2, ..., yn)) का एक संग्रह है, जैसे कि जहां हम एफ के लिए (F1, ..., Fn), x के लिए (x1, ..., xn), और इसी तरह लिखते हैं।
 * 1) F(x,y) = x + y + उच्च डिग्री के पद
 * 2) F(x, F(y,z)) = F(F(x,y), z)

आकारिक वर्ग कानून को कम्यूटेटिव कहा जाता है, यदि F(x,y) = F(y,x) यदि आर टॉरशन फ्री है, तो कोई आर को क्यू-बीजगणित में एम्बेड कर सकता है, और किसी भी एक-आयामी आकारिक वर्ग कानून एफ को F(x,y) = exp(log(x) + log(y)) के रूप में लिखने के लिए घातांकीय और लघुगणक का उपयोग कर सकता है, इसलिए एफ आवश्यक रूप से कम्यूटेटिव है। अधिक आम तौर पर, हमारे पास है।
 * प्रमेय. आर पर प्रत्येक एक-आयामी आकारिक वर्ग कानून क्रमविनिमेय है, यदि आर में कोई नॉनज़ीरो टोरसन निलपोटेंट नहीं है, (यानी, कोई गैर-शून्य तत्व नहीं है जो मरोड़ और निलपोटेंट दोनों हैं)।

वर्ग (गणित) के लिए व्युत्क्रम तत्वों के अस्तित्व के अनुरूप स्वयंसिद्ध की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि यह आकारिक वर्ग कानून की परिभाषा से स्वचालित रूप से अनुसरण करता है। जैसे कि F(x,G(x)) = 0 दूसरे शब्दों में, हम हमेशा एक (अद्वितीय) पावर श्रृंखला पा सकते हैं।

आयाम m के आकारिक वर्ग नियम F से आयाम n के आकारिक वर्ग नियम जी तक एक समरूपता m चर में n शक्ति श्रृंखला का एक संग्रह f है, जैसे कि
 * G(f(x), f(y)) = f(F(x,y)).

व्युत्क्रम के साथ एक समरूपता को आइसोमोर्फिज्म कहा जाता है, और इसे सख्त आइसोमोर्फिज्म कहा जाता है, यदि इसके अलावाf(x) = x + उच्च डिग्री की शर्तें, उनके बीच एक आइसोमोर्फिज्म के साथ दो आकारिक वर्ग कानून अनिवार्य रूप से समान हैं, वे केवल "निर्देशांक के परिवर्तन" से भिन्न होते हैं।

उदाहरण

 * योगात्मक आकारिक वर्ग नियम द्वारा दिया गया है।
 * $$F(x,y) = x + y.\ $$


 * गुणात्मक आकारिक वर्ग नियम द्वारा दिया गया है।
 * $$F(x,y) = x + y + xy.\ $$
 * इस नियम को इस प्रकार समझा जा सकता है। रिंग आर के गुणक समूह में गुणनफल G को G(a,b) = ab द्वारा दिया गया है। यदि हम a = 1 + x, b = 1 + y, और G = 1 + F डालकर 0 को पहचान बनाने के लिए "निर्देशांक बदलते हैं", तो हम पाते हैं कि F(x,y) = x + y + xy.

तर्कसंगत संख्याओं पर, योगात्मक आकारिक वर्ग नियम से गुणक तक एक आइसोमोर्फिज्म होता है, जो एक्सपी (एक्स) − 1 द्वारा दिया जाता है। सामान्य कम्यूटेटिव रिंग्स आर पर ऐसा कोई समरूपता नहीं है, क्योंकि इसे परिभाषित करने के लिए गैर-अभिन्न तर्कसंगत संख्याओं की आवश्यकता होती है, और योजक और गुणक आकारिक वर्ग आमतौर पर आइसोमोर्फिक नहीं होते हैं।


 * सामान्यतः, आम तौर पर, हम पहचान पर निर्देशांक लेकर और उत्पाद मानचित्र के आकारिक शक्ति श्रृंखला विस्तार को लिखकर किसी भी बीजगणितीय समूह या आयाम एन के लाई समूह से आयाम एन के एक आकारिक समूह कानून का निर्माण कर सकते हैं। योगात्मक और गुणक आकारिक समूह कानून इस तरह से योगात्मक और गुणक बीजगणितीय वर्गों से प्राप्त किए जाते हैं। इसका एक और महत्वपूर्ण विशेष मामला एक अंडाकार वक्र (या एबेलियन किस्म) का आकारिक समूह (नियम) है।
 * F(x,y) = (x + y)/(1 + xy) हाइपरबॉलिक स्पर्शरेखा फ़ंक्शन के लिए अतिरिक्त सूत्र से आने वाला एक आकारिक समूह नियम है: tanh(x + y) = F(tanh(x), tanh(y)), और यह विशेष सापेक्षता में वेगों को जोड़ने का सूत्र भी है (1 के बराबर प्रकाश की गति के साथ)।
 * $F(x,y) = \left. \left(x\sqrt{1-y^4} +y\sqrt{1-x^4}\right) \right/ \!(1+x^2y^2)$ जेड पर एक आकारिक समूह कानून है[1/2] यूलर द्वारा पाया गया, एक एलिप्टिक इंटीग्रल (स्ट्रिकलैंड) के लिए अतिरिक्त सूत्र के रूप में:


 * $$\int_0^x{dt\over \sqrt{1-t^4}} + \int_0^y{dt\over \sqrt{1-t^4}} = \int_0^{F(x,y)}{dt\over \sqrt{1-t^4}}.$$

लाई बीजगणित
कोई भी एन-आयामी आकारिक समूह कानून रिंग आर पर एक एन-आयामी लाई बीजगणित देता है, जिसे आकारिक समूह कानून के द्विघात भाग एफ 2 के संदर्भ में परिभाषित किया गया है।
 * [x,y] = एफ2(एक्स,वाई) - एफ2(वाई,एक्स)

लाई वर्गों या बीजगणितीय समूहों से लाई बीजगणित तक के प्राकृतिक कार्य को लाई वर्गों से आकारिक समूह कानूनों में शामिल किया जा सकता है, इसके बाद आकारिक समूह के लाई बीजगणित को लिया जा सकता है:
 * लाई वर्ग → आकारिक वर्ग नियम → लाई बीजगणित

विशेषता (बीजगणित) 0 के क्षेत्रों में, आकारिक समूह कानून अनिवार्य रूप से परिमित-आयामी लाई बीजगणित के समान होते हैं, अधिक सटीक रूप से, परिमित-आयामी आकारिक समूह कानूनों से परिमित-आयामी लाई बीजगणित तक फ़ैक्टर श्रेणियों का एक समतुल्य है। गैर-शून्य विशेषता वाले क्षेत्रों में, आकारिक समूह कानून लाई बीजगणित के समकक्ष नहीं हैं। वास्तव में, इस मामले में यह सर्वविदित है, कि एक बीजगणितीय समूह से उसके लाई बीजगणित में जाने से अक्सर बहुत अधिक जानकारी दूर हो जाती है, लेकिन इसके बजाय आकारिक समूह कानून में जाने से अक्सर पर्याप्त जानकारी बच जाती है। तो कुछ अर्थों में आकारिक समूह कानून विशेषता पी > 0 में लाई बीजगणित के लिए "सही" विकल्प हैं।

क्रमविनिमेय आकारिक वर्ग नियम का लघुगणक
यदि एफ एक कम्यूटेटिव क्यू-बीजगणित आर पर एक कम्यूटेटिव एन-आयामी आकारिक समूह कानून है, तो यह योगात्मक आकारिक समूह कानून के लिए सख्ती से आइसोमोर्फिक है। दूसरे शब्दों में, योगात्मक आकारिक समूह से एफ तक एक सख्त आइसोमोर्फिज्म एफ है, जिसे एफ का लघुगणक कहा जाता है, ताकि
 * f(F(x,y)) = f(x) + f(y).

उदाहरण:
 * F(x,y) = x + y का लघुगणक f(x) = है एक्स।
 * F(x,y) = x + y +xy का लघुगणक f(x) है ) = लॉग(1+x), क्योंकि लॉग(1+x+y+xy) = लॉग(1+x)+ लॉग(1+y).

यदि आर में परिमेय नहीं है, तो आर ⊗ क्यू तक अदिश राशि के विस्तार द्वारा एक मानचित्र एफ का निर्माण किया जा सकता है, लेकिन यदि आर में सकारात्मक विशेषता है, तो यह सब कुछ शून्य पर भेज दिया जाता है। रिंग आर पर आकारिक समूह कानून अक्सर उनके लघुगणक को आर ⊗ क्यू में गुणांक के साथ एक शक्ति श्रृंखला के रूप में लिखकर बनाया जाता है, और फिर यह साबित किया जाता है, कि आर ⊗ क्यू पर संबंधित आकारिक समूह के गुणांक वास्तव में आर में हैं। सकारात्मक में काम करते समय विशेषता, कोई आम तौर पर आर को एक मिश्रित विशेषता रिंग से बदल देता है, जिसका आर पर प्रक्षेपण होता है, जैसे कि विट वैक्टर की रिंग डब्ल्यू (आर), और अंत में आर तक कम हो जाती है।

अपरिवर्तनीय अंतर
जब एफ एक-आयामी होता है, तो कोई इसके लघुगणक को अपरिवर्तनीय विभेदक ω(t) के संदर्भ में लिख सकता है। होने देना $$\omega(t) = \frac{\partial F}{\partial x}(0,t)^{-1} dt \in Rtdt,$$कहाँ $Rt dt$ नि: शुल्क है, $Rt$ -एक प्रतीक डीटी पर रैंक 1 का मॉड्यूल, तो फिर ω इस अर्थ में अनुवाद अपरिवर्तनीय है कि $$F^* \omega = \omega,$$अगर हम लिखते हैं, $\omega(t) = p(t)dt$, तो परिभाषा के अनुसार$$F^* \omega := p(F(t,s)) \frac{\partial F}{\partial x}(t,s) dt.$$यदि कोई विस्तार पर विचार करता है।$\omega(t) = (1 + c_1 t + c_2 t^2 + \dots) dt$ , सूत्र$$f(t) = \int \omega(t) = t + \frac{c_1}{2} t^2 + \frac{c_2}{3} t^3 + \dots$$एफ के लघुगणक को परिभाषित करता है।

आकारिक वर्ग नियम का आकारिक वर्ग वलय
एक आकारिक वर्ग नियम की आकारिक वर्ग वलय एक वर्ग के वर्ग वलय के अनुरूप एक सह-विनिमेय हॉपफ बीजगणित है, और एक ली बीजगणित के सार्वभौमिक आवरण बीजगणित के समान है, जिनमें से दोनों कोकम्यूटेटिव हॉफ बीजगणित भी हैं। सामान्य तौर पर सह-विनिमेय हॉपफ बीजगणित वर्गों की तरह व्यवहार करते हैं।

सादगी के लिए हम 1-आयामी मामले का वर्णन करते हैं; उच्च-आयामी मामला समान है, सिवाय इसके कि नोटेशन अधिक शामिल हो जाता है।

सरलता के लिए हम 1-आयामी मामले का वर्णन करते हैं; उच्च-आयामी मामला समान है सिवाय इसके कि अंकन अधिक शामिल हो जाता है।

मान लीजिए कि एफ, आर पर एक (1-आयामी) आकारिक समूह कानून है। इसकी आकारिक समूह वलय (जिसे हाइपरलेजेब्रा या इसका 'सहसंयोजक बायलजेब्रा' भी कहा जाता है) एक सह-विनिमेय हॉपफ बीजगणित एच है जिसका निर्माण निम्नानुसार किया गया है।
 * एक आर-मॉड्यूल (गणित) के रूप में, एच एक आधार 1 = डी (0), डी (1), डी (2), ...
 * सह-उत्पाद त्रिभुज (n) = Σडी(i)‍⊗ डी(n−i) द्वारा दिया गया है, (इसलिए इस को बीजगणित का कोलजेब्रा का द्वैत केवल आकारिक शक्ति श्रृंखला की वलय है)।
 * गणक η डी (0) के गुणांक द्वारा दिया गया है।
 * पहचान 1 = डी(0) है।
 * एंटीपोड एस डी (n) से (−1)एनडी(एन) तक ले जाता है।
 * गुणांक डी(i)डी(j) में डी(1) का गुणांक, F(x,y) में xiyj का गुणांक है।

इसके विपरीत, एक हॉपफ बीजगणित को देखते हुए जिसकी को बीजगणित संरचना ऊपर दी गई है, हम इससे एक आकारिक समूह कानून एफ पुनर्प्राप्त कर सकते हैं। इसलिए 1-आयामी आकारिक समूह कानून अनिवार्य रूप से हॉपफ बीजगणित के समान हैं जिनकी को बीजगणित संरचना ऊपर दी गई है।

कार्यकर्ताओं के रूप में आकारिक वर्ग नियम
आर पर एक n-आयामी आकारिक वर्ग नियम एफ और एक क्रमविनिमेय आर-बीजगणित स को देखते हुए, हम एक समूह एफ(स) बना सकते हैं, जिसका अंतर्निहित सेट Nn है जहां N, स के निलपोटेंट तत्वों का समुच्चय है। उत्पाद को एनएन के तत्वों को गुणा करने के लिए एफ का उपयोग करके दिया जाता है, मुद्दा यह है, कि सभी आकारिक शक्ति श्रृंखलाएं अब एकत्रित करती हैं, क्योंकि उन्हें निलपोटेंट तत्वों पर लागू किया जा रहा है, इसलिए केवल गैर-शून्य शब्दों की एक सीमित संख्या है।

यह एफ को क्रमविनिमेय आर-बीजगणित एस से समूहों में एक फ़नकार बनाता है।

हम एफ (एस) की परिभाषा को कुछ टोपोलॉजिकल आर-बीजगणित तक बढ़ा सकते हैं। विशेष रूप से, यदि एस असतत आर बीजगणित की व्युत्क्रम सीमा है, तो हम एफ (एस) को संबंधित वर्गों की व्युत्क्रम सीमा के रूप में परिभाषित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यह हमें पी-एडिक संख्याओं में मानों के साथ एफ (जेडपी) को परिभाषित करने की अनुमति देता है।

एफ के वर्ग-मूल्यवान फ़ैक्टर को एफ के आकारिक समूह रिंग एच का उपयोग करके भी वर्णित किया जा सकता है। सरलता के लिए हम मान लेंगे कि एफ 1-आयामी है; सामान्य मामला समान है। किसी भी सह-विनिमेय हॉपफ बीजगणित के लिए, एक तत्व जी को 'वर्ग-समान' कहा जाता है, यदि Δg = g ⊗ g और εg = 1, और समूह जैसे तत्व गुणन के तहत एक समूह बनाते हैं। एक रिंग पर एक आकारिक समूह कानून के हॉपफ बीजगणित के मामले में, समूह जैसे तत्व बिल्कुल फॉर्म के होते हैं।
 * D(0) + D(1)x + D(2)x2 + ...

निलोपोटेंट तत्वों के लिए x, विशेष रूप से हम एस के निलपोटेंट तत्वों के साथ एच ⊗ एस के समूह जैसे तत्वों की पहचान कर सकते हैं, और एच ⊗ एस के वर्ग जैसे तत्वों पर समूह संरचना को तब एफ (एस) पर समूह संरचना के साथ पहचाना जाता है।

ऊंचाई
मान लीजिए कि एफ विशेषता पी > 0 के क्षेत्र पर एक-आयामी आकारिक समूह कानूनों के बीच एक समरूपता है। फिर f या तो शून्य है, या इसकी शक्ति श्रृंखला विस्तार में पहला गैर-शून्य पद क्या है? $$ax^{p^h}$$

कुछ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक H के लिए ax^{p^h}, जिसे समरूपता f की ऊंचाई कहा जाता है। शून्य समरूपता की ऊंचाई को ∞ के रूप में परिभाषित किया गया है।

विशेषता p > 0 के क्षेत्र पर एक आयामी आकारिक समूह कानून की ऊंचाई को p मानचित्र द्वारा इसके गुणन की ऊंचाई के रूप में परिभाषित किया गया है।

विशेषता p > 0 के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर दो एक-आयामी आकारिक समूह नियम आइसोमोर्फिक हैं यदि उनके पास समान ऊंचाई है, और ऊंचाई कोई भी सकारात्मक पूर्णांक या ∞ हो सकती है।

उदाहरण:
 * योगात्मक आकारिक समूह कानून F(x,y) = x + y की ऊंचाई ∞ है, क्योंकि इसका pth पावर मैप 0 है।
 * गुणक आकारिक समूह नियम F(x,y) = x + y + xy की ऊंचाई 1 है, क्योंकि इसका pth पावर मैप (1 + x)p − 1 = xp है।
 * एक अंडाकार वक्र के आकारिक समूह नियम में ऊंचाई या तो एक या दो होती है, जो इस बात पर निर्भर करता है कि वक्र साधारण है, या सुपरसिंगुलर। आइसेनस्टीन श्रृंखला के लुप्त होने से सुपरसिंगुलैरिटी का पता लगाया जा सकता है। $$E_{p-1}$$.

लेज़ार्ड रिंग
एक सार्वभौमिक क्रमविनिमेय वलय पर एक सार्वभौमिक क्रमविनिमेय एक-आयामी आकारिक समूह कानून निम्नानुसार परिभाषित है। हम अनुमति देते हैं।


 * एफ(एक्स,वाई)

होना


 * x + y + Σci,j xमैंyज

अनिश्चित के लिए


 * सीi,j,

और हम सार्वभौमिक रिंग आर को तत्वों द्वारा उत्पन्न क्रमविनिमेय वलय के रूप में परिभाषित करते हैं, जो आकारिक समूह कानूनों के लिए संबद्धता और क्रमविनिमेयता नियमों द्वारा मजबूर संबंधों के साथ हैं। परिभाषा के अनुसार कम या ज्यादा, वलय आर में निम्नलिखित सार्वभौमिक गुण हैं।
 * किसी भी कम्यूटेटिव वलय एस के लिए, एस पर एक-आयामी आकारिक वर्ग नियम आर से एस तक वलय समरूपता के अनुरूप हैं।

ऊपर निर्मित कम्यूटेटिव वलय आर को लाजार्ड की सार्वभौमिक वलय के रूप में जाना जाता है। पहली नज़र में यह अविश्वसनीय रूप से जटिल लगता है: इसके जनरेटर के बीच संबंध बहुत गड़बड़ हैं। हालांकि लाजार्ड ने साबित कर दिया कि इसकी एक बहुत ही सरल संरचना है। यह डिग्री 2, 4, 6, ... (जहां ci, j की डिग्री 2 (i + j − 1)) है। डेनियल क्विलेन ने साबित किया कि जटिल कोबोर्डिज्म की गुणांक रिंग स्वाभाविक रूप से लाजार्ड की सार्वभौमिक रिंग के लिए एक वर्गीकृत रिंग के रूप में आइसोमोर्फिक है, जो असामान्य ग्रेडिंग की व्याख्या करती है।

आकारिक वर्ग
एक आकारिक वर्ग आकारिक योजनाओं की श्रेणी (गणित) में एक वर्ग वस्तु है।
 * अगर $$G$$ आर्टिन बीजगणित से उन वर्गों तक एक नियम है जिन्हें सटीक छोड़ दिया जाता है, तो यह प्रतिनिधित्व योग्य है (G एक आकारिक समूह के बिंदुओं का कारक है)। (एक लापरवाह की बाईं सटीकता परिमित प्रोजेक्टिव सीमाओं के साथ यात्रा करने के बराबर है)।
 * अगर $$G$$ तब एक वर्ग योजना है ,$$ \widehat{G} $$, पहचान पर G के आकारिक समापन में, एक आकारिक समूह की संरचना है।
 * एक सुचारु वर्ग योजना का आकारिक समापन समरूपी के लिए आइसोमोर्फिक है, $$\mathrm{Spf}(RT_1,\ldots,T_n)$$, कुछ लोग एक आकारिक समूह योजना को सुचारू कहते हैं, यदि विपरीत प्रभाव होती है, अन्य इस रूप की स्थानीय वस्तुओं के लिए "आकारिक वर्ग" शब्द आरक्षित करते हैं।
 * आकारिक सहजता विकृतियों की लिफ्टों के अस्तित्व का जोर करती है, और आकारिक योजनाओं पर लागू हो सकती है, जो बिंदुओं से बड़ी हैं। एक सहज आकारिक समूह योजना एक आकारिक समूह योजना का एक विशेष मामला है।
 * एक सहज आकारिक समूह को देखते हुए, कोई भी वर्गों के एक समान सेट का चयन करके एक आकारिक समूह कानून और एक क्षेत्र का निर्माण कर सकता है।
 * मापदंडों के परिवर्तन से प्रेरित आकारिक समूह कानूनों के बीच (गैर-सख्त) आइसोमोर्फिज्म आकारिक समूह पर समन्वय परिवर्तनों के समूह के तत्वों को बनाते हैं।

आकारिक वर्गों और आकारिक वर्ग नियमों को मनमानी योजना (गणित) पर भी परिभाषित किया जा सकता है, न कि केवल क्रमविनिमेय रिंगों या क्षेत्रों पर, और परिवारों को आधार से एक परमेट्रिंग ऑब्जेक्ट तक मानचित्रों द्वारा वर्गीकृत किया जा सकता है।

आकारिक वर्ग नियमों का मॉड्यूलि स्पेस अनंत-आयामी एफिन रिक्त स्थान का एक असंयुक्त संघ है, जिसके घटकों को आयाम द्वारा परमेट्राइज्ड किया जाता है, और जिनके बिंदुओं को पावर श्रृंखला एफ के स्वीकार्य गुणांक द्वारा परमेट्राइज्ड किया जाता है। सुचारू आकारिक वर्गों का संबंधित मॉड्यूलि स्टैक समन्वय परिवर्तनों के अनंत-आयामी वर्ग की विहित कार्रवाई द्वारा इस स्थान का एक भागफल है।

बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर, एक-आयामी आकारिक समूहों का उप-स्टैक या तो एक बिंदु (विशेषता शून्य में) या स्टैकी पॉइंट पैरामीट्रिज़िंग ऊंचाइयों की एक अनंत श्रृंखला है। विशेषता शून्य में, प्रत्येक बिंदु के बंद होने में अधिक ऊंचाई के सभी बिंदु शामिल होते हैं। यह अंतर आकारिक वर्गों को सकारात्मक और मिश्रित विशेषता में एक समृद्ध ज्यामितीय सिद्धांत देता है, जिसमें स्टीनरोड बीजगणित, पी-विभाज्य वर्ग, डायडोने सिद्धांत और गैलोइस अभ्यावेदन के संबंध हैं। उदाहरण के लिए, सेरे-टेट प्रमेय का तात्पर्य है कि एक वर्ग योजना की विकृतियाँ उसके आकारिक समूह द्वारा दृढ़ता से नियंत्रित की जाती हैं, विशेष रूप से सुपरसिंगुलर एबेलियन किस्मों के मामले में। सुपरसिंगुलर अण्डाकार वक्रों के लिए, यह नियंत्रण पूर्ण है, और यह विशेषता शून्य स्थिति से काफी अलग है जहां आकारिक समूह में कोई विकृति नहीं है।

एक आकारिक वर्ग को कभी-कभी सह-विनिमेय हॉपफ बीजगणित के रूप में परिभाषित किया जाता है (आमतौर पर कुछ अतिरिक्त शर्तों के साथ, जैसे कि पॉइंटेड या जुड़ा होना)। यह उपरोक्त धारणा के लिए कमोबेश दोहरा है। सहज मामले में, निर्देशांक चुनना आकारिक समूह रिंग का एक विशिष्ट आधार लेने के बराबर है।

कुछ लेखक आकारिक समूह शब्द का उपयोग आकारिक समूह कानून के अर्थ के लिए करते हैं।

लुबिन-टेट आकारिक वर्ग नियम
हम जेडपी को पी-एडीक पूर्णांक की वलय मानते हैं। लुबिन-टेट औपचारिक समूह कानून अद्वितीय (1-आयामी) औपचारिक समूह कानून एफ है जैसे कि ई (एक्स) = पीएक्स + एक्सपी दूसरे शब्दों में एफ का एक एंडोमोर्फिज्म है।
 * $$e(F(x,y)) = F(e(x), e(y)).\ $$

अधिक आम तौर पर हम ई को किसी भी पावर श्रृंखला होने की अनुमति दे सकते हैं जैसे कि ई (एक्स) = पीएक्स + उच्च-डिग्री शब्द और ई (एक्स) = एक्सपी मॉड पी। इन शर्तों को पूरा करने के विभिन्न विकल्पों के लिए सभी समूह कानून सख्ती से आइसोमोर्फिक हैं।

'Z' में प्रत्येक तत्व ए के लिए लुबिन-टेट औपचारिक समूह कानून का एक अद्वितीय एंडोमोर्फिज्म एफ है, जैसे कि एफ (एक्स) = एक्स + उच्च-डिग्री शब्द। यह लुबिन-टेट औपचारिक समूह कानून पर रिंग जेडपी की कार्रवाई देता है।

Z के साथ एक समान निर्माण है, जिसे परिमित अवशेष वर्ग क्षेत्र के साथ किसी भी पूर्ण असतत मूल्यांकन रिंग द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है।

यह निर्माण ल्यूबिन और टेट (1965) द्वारा अण्डाकार कार्यों के जटिल गुणन के शास्त्रीय सिद्धांत के स्थानीय क्षेत्र भाग को अलग करने के एक सफल प्रयास में पेश किया गया था। यह स्थानीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत के कुछ दृष्टिकोणों में एक प्रमुख घटक है। और रंगीन समरूपता सिद्धांत में मोरावा ई-सिद्धांत के निर्माण में एक आवश्यक घटक है।

यह भी देखें

 * विट वेक्टर
 * आर्टिन-हस्से घातीय
 * ग्रुप फ़ैक्टर
 * अतिरिक्त प्रमेय

संदर्भ

 * P. Gabriel, Étude infinitésimale des schémas en groupes SGA 3 Exp. VIIB
 * Formal Groups and Applications (Pure and Applied Math 78) Michiel Hazewinkel Publisher: Academic Pr (June 1978) ISBN 0-12-335150-2
 * P. Gabriel, Étude infinitésimale des schémas en groupes SGA 3 Exp. VIIB
 * Formal Groups and Applications (Pure and Applied Math 78) Michiel Hazewinkel Publisher: Academic Pr (June 1978) ISBN 0-12-335150-2
 * P. Gabriel, Étude infinitésimale des schémas en groupes SGA 3 Exp. VIIB
 * Formal Groups and Applications (Pure and Applied Math 78) Michiel Hazewinkel Publisher: Academic Pr (June 1978) ISBN 0-12-335150-2

Формална група