विद्युत प्रतिरोधकता और चालकता

विद्युत प्रतिरोधकता (जिसे विशिष्ट विद्युत प्रतिरोध या आयतन प्रतिरोधकता भी कहा जाता है) एक सामग्री की एक मौलिक संपत्ति है जो मापती है कि यह विद्युत प्रवाह  का कितनी दृढ़ता से विरोध करती है। कम प्रतिरोधकता एक ऐसी सामग्री को इंगित करती है जो आसानी से विद्युत प्रवाह की अनुमति देती है। प्रतिरोधकता को आमतौर पर  ग्रीक वर्णमाला  द्वारा दर्शाया जाता है $ρ$(आरओ (पत्र))। विद्युत प्रतिरोधकता की एसआई इकाई  ओम - मीटर  (Ω⋅m) है। उदाहरण के लिए, यदि a $ρ$ सामग्री के ठोस घन में दो विपरीत फलकों पर शीट संपर्क होते हैं, और इन संपर्कों के बीच प्रतिरोध होता है $1 m3$, तो सामग्री की प्रतिरोधकता है $1 Ω$.

विद्युत चालकता या विशिष्ट चालकता विद्युत प्रतिरोधकता का पारस्परिक है। यह विद्युत प्रवाह का संचालन करने के लिए सामग्री की क्षमता का प्रतिनिधित्व करता है। यह आमतौर पर ग्रीक अक्षर. द्वारा दर्शाया जाता है $1 Ω.m$( सिग्मा (पत्र) ), लेकिन $σ$( रूई ) (विशेषकर इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में) और $κ$( गामा ) कभी-कभी उपयोग किया जाता है। विद्युत चालकता की एसआई इकाई सीमेंस (इकाई)  प्रति  मीटर  (एस/एम) है।

प्रतिरोधकता और चालकता सामग्री की गहन संपत्ति  है, जो सामग्री के मानक घन के विरोध को वर्तमान में देती है। विद्युत प्रतिरोध और चालन संबंधित व्यापक गुण हैं जो विद्युत प्रवाह के लिए एक विशिष्ट वस्तु का विरोध देते हैं।

आदर्श मामला
एक आदर्श मामले में, जांच की गई सामग्री का क्रॉस-सेक्शन और भौतिक संरचना पूरे नमूने में समान होती है, और विद्युत क्षेत्र और वर्तमान घनत्व दोनों समानांतर और स्थिर होते हैं। कई प्रतिरोधों और विद्युत कंडक्टर ों में वास्तव में विद्युत प्रवाह के एक समान प्रवाह के साथ एक समान क्रॉस सेक्शन होता है, और वे एक ही सामग्री से बने होते हैं, ताकि यह एक अच्छा मॉडल हो। (आसन्न आरेख देखें।) जब ऐसा होता है, विद्युत प्रतिरोधकता $γ$(ग्रीक: Rho (अक्षर)) द्वारा गणना की जा सकती है:

$$\rho = R \frac{A}{\ell},$$ कहाँ पे 1=

$R$ is the electrical resistance of a uniform specimen of the material

$\ell$ is the length of the specimen

$A$ is the cross-sectional area of the specimen

प्रतिरोधकता को एसआई इकाई ओम मीटर (Ω⋅m) का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है - यानी ओम को वर्ग मीटर (क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र के लिए) से गुणा किया जाता है और फिर मीटर (लंबाई के लिए) से विभाजित किया जाता है।

प्रतिरोध और प्रतिरोधकता दोनों वर्णन करते हैं कि किसी सामग्री के माध्यम से विद्युत प्रवाह बनाना कितना मुश्किल है, लेकिन प्रतिरोध के विपरीत, प्रतिरोधकता एक आंतरिक संपत्ति  है। इसका मतलब यह है कि सभी शुद्ध तांबे के तार (जो उनकी क्रिस्टलीय संरचना आदि के विरूपण के अधीन नहीं हैं), उनके आकार और आकार के बावजूद, एक ही प्रतिरोधकता है, लेकिन एक लंबे, पतले तांबे के तार में मोटे तार की तुलना में बहुत अधिक प्रतिरोध होता है।, लघु तांबे के तार। प्रत्येक सामग्री की अपनी विशिष्ट प्रतिरोधकता होती है। उदाहरण के लिए, रबर में तांबे की तुलना में बहुत अधिक प्रतिरोधकता होती है।

हाइड्रोलिक सादृश्य में, एक उच्च-प्रतिरोधक सामग्री के माध्यम से करंट पास करना रेत से भरे पाइप के माध्यम से पानी को धकेलने जैसा है - जबकि कम-प्रतिरोधक सामग्री के माध्यम से करंट पास करना एक खाली पाइप के माध्यम से पानी को धकेलने जैसा है। यदि पाइप समान आकार और आकार के हैं, तो रेत से भरे पाइप में प्रवाह के लिए उच्च प्रतिरोध होता है। प्रतिरोध, हालांकि, केवल रेत की उपस्थिति या अनुपस्थिति से निर्धारित नहीं होता है। यह पाइप की लंबाई और चौड़ाई पर भी निर्भर करता है: छोटे या चौड़े पाइप में संकीर्ण या लंबे पाइप की तुलना में कम प्रतिरोध होता है।

उपरोक्त समीकरण को पॉइलेट के नियम ( क्लाउड पौइलेट के नाम पर) प्राप्त करने के लिए स्थानांतरित किया जा सकता है:

$$R = \rho \frac{\ell}{A}.$$किसी दिए गए तत्व का प्रतिरोध लंबाई के समानुपाती होता है, लेकिन अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल के व्युत्क्रमानुपाती होता है। उदाहरण के लिए, यदि $ρ$ = $A$, $$\ell$$ = $1 m2$ (विपरीत चेहरों पर पूरी तरह से प्रवाहकीय संपर्कों के साथ एक घन बनाना), तो ओम में इस तत्व का प्रतिरोध संख्यात्मक रूप से उस सामग्री की प्रतिरोधकता के बराबर होता है जिससे यह Ω⋅m में बना होता है।

चालकता, $1 m$, प्रतिरोधकता का विलोम है:

$$\sigma = \frac{1}{\rho}.$$ चालकता में सीमेंस (इकाई) प्रति मीटर (एस/एम) की एसआई इकाइयां हैं।

सामान्य अदिश राशियां
कम आदर्श मामलों के लिए, जैसे कि अधिक जटिल ज्यामिति, या जब सामग्री के विभिन्न हिस्सों में वर्तमान और विद्युत क्षेत्र  भिन्न होते हैं, तो अधिक सामान्य अभिव्यक्ति का उपयोग करना आवश्यक होता है जिसमें किसी विशेष बिंदु पर प्रतिरोधकता को अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है विद्युत क्षेत्र वर्तमान के  वर्तमान घनत्व  के लिए उस बिंदु पर बनाता है:

$$\rho=\frac{E}{J},$$ कहाँ पे

1=

$\rho$ is the resistivity of the conductor material,

$E$ is the magnitude of the electric field,

$J$ is the magnitude of the current density,

जिसमें $$E$$ तथा $$J$$ कंडक्टर के अंदर हैं।

चालकता प्रतिरोधकता का विलोम (पारस्परिक) है। यहाँ, इसके द्वारा दिया गया है:

$$\sigma = \frac{1}{\rho} = \frac{J}{E}.$$ उदाहरण के लिए, रबर एक ऐसी सामग्री है जिसमें बड़े $σ$ और छोटा $ρ$- क्योंकि रबर में एक बहुत बड़ा विद्युत क्षेत्र भी इसके माध्यम से लगभग कोई प्रवाह नहीं करता है। दूसरी ओर, तांबा एक छोटा सा पदार्थ है $σ$ और बड़ा $ρ$- क्योंकि एक छोटा विद्युत क्षेत्र भी इसके माध्यम से बहुत अधिक धारा खींचता है।

जैसा कि नीचे दिखाया गया है, जब विद्युत क्षेत्र और सामग्री में वर्तमान घनत्व स्थिर होता है, तो यह अभिव्यक्ति एकल संख्या तक सरल हो जाती है।


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! Derivation from general definition of resistivity
 * There are three equations to be combined here. The first is the resistivity for parallel current and electric field:
 * There are three equations to be combined here. The first is the resistivity for parallel current and electric field:

$$\rho=\frac{E}{J},$$

If the electric field is constant, the electric field is given by the total voltage $σ$ across the conductor divided by length $V$ of the conductor:

$$E = \frac{V}{\ell}.$$

If the current density is constant, it is equal to the total current divided by the cross sectional area:

$$J = \frac{I}{A}.$$

Plugging in the values of $ℓ$ and $E$ into the first expression, we obtain:

$$\rho = \frac{V A}{I\ell}.$$

Finally, we apply Ohm's law, $σ, κ, γ$:

$$\rho = R\frac{A}{\ell}.$$
 * }

टेंसर प्रतिरोधकता
जब किसी सामग्री की प्रतिरोधकता में एक दिशात्मक घटक होता है, तो प्रतिरोधकता की सबसे सामान्य परिभाषा का उपयोग किया जाना चाहिए। यह ओम के नियम के टेंसर-वेक्टर रूप से शुरू होता है, जो एक सामग्री के अंदर विद्युत क्षेत्र को विद्युत प्रवाह से जोड़ता है। यह समीकरण पूरी तरह से सामान्य है, जिसका अर्थ है कि यह सभी मामलों में मान्य है, जिसमें ऊपर वर्णित भी शामिल है। हालांकि, यह परिभाषा सबसे जटिल है, इसलिए इसका उपयोग केवल असमदिग्वर्ती होने की दशा  मामलों में किया जाता है, जहां अधिक सरल परिभाषाओं को लागू नहीं किया जा सकता है। यदि सामग्री अनिसोट्रोपिक नहीं है, तो टेंसर-वेक्टर परिभाषा को अनदेखा करना और इसके बजाय एक सरल अभिव्यक्ति का उपयोग करना सुरक्षित है।

यहाँ, अनिसोट्रॉपी का अर्थ है कि सामग्री के अलग-अलग दिशाओं में अलग-अलग गुण हैं। उदाहरण के लिए, सीसा  के एक क्रिस्टल में सूक्ष्म रूप से चादरों का ढेर होता है, और प्रत्येक शीट के माध्यम से प्रवाह बहुत आसानी से होता है, लेकिन एक शीट से आसन्न एक तक बहुत आसानी से प्रवाहित होता है। ऐसे मामलों में, विद्युत क्षेत्र के समान दिशा में करंट प्रवाहित नहीं होता है। इस प्रकार, उपयुक्त समीकरणों को त्रि-आयामी टेंसर रूप में सामान्यीकृत किया जाता है:

$$\mathbf{J} = \boldsymbol\sigma \mathbf{E} \,\, \rightleftharpoons \,\, \mathbf{E} = \boldsymbol\rho \mathbf{J},$$ जहां चालकता $J$ और प्रतिरोधकता $σ$ रैंक -2 टेन्सर  और विद्युत क्षेत्र हैं $V/I = R$ और वर्तमान घनत्व $E$ वेक्टर हैं। इन टेंसरों को 3×3 मैट्रिसेस द्वारा दर्शाया जा सकता है, 3×1 मैट्रिसेस वाले वैक्टर, इन समीकरणों के दाईं ओर उपयोग किए गए  मैट्रिक्स गुणन  के साथ। मैट्रिक्स रूप में, प्रतिरोधकता संबंध द्वारा दिया जाता है:

$$ \begin{bmatrix} E_x \\ E_y \\ E_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \rho_{xx} & \rho_{xy} & \rho_{xz} \\ \rho_{yx} & \rho_{yy} & \rho_{yz} \\ \rho_{zx} & \rho_{zy} & \rho_{zz} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} J_x \\ J_y \\ J_z \end{bmatrix}, $$ कहाँ पे

1=

$\mathbf{E}$ is the electric field vector, with components ($J$);

$\boldsymbol{\rho}$ is the resistivity tensor, in general a three by three matrix;

$\mathbf{J}$ is the electric current density vector, with components ($E_{x}, E_{y}, E_{z}$).

समान रूप से, अधिक कॉम्पैक्ट आइंस्टीन संकेतन  में प्रतिरोधकता दी जा सकती है:

$$\mathbf{E}_i = \boldsymbol\rho_{ij} \mathbf{J}_j ~.$$ किसी भी स्थिति में, प्रत्येक विद्युत क्षेत्र घटक के लिए परिणामी व्यंजक है:

$$\begin{align} E_x &= \rho_{xx} J_x + \rho_{xy} J_y + \rho_{xz} J_z \\ E_y &= \rho_{yx} J_x + \rho_{yy} J_y + \rho_{yz} J_z \\ E_z &= \rho_{zx} J_x + \rho_{zy} J_y + \rho_{zz} J_z \end{align}.$$ चूंकि समन्वय प्रणाली का चुनाव स्वतंत्र है, इसलिए सामान्य परंपरा यह है कि a. को चुनकर व्यंजक को सरल बनाया जाए $ρ$-अक्ष वर्तमान दिशा के समानांतर, इसलिए $J_{x}, J_{y}, J_{z}$. यह छोड़ देता है:

$$\rho_{xx}=\frac{E_x}{J_x}, \quad \rho_{yx}=\frac{E_y}{J_x}, \text{ and }\rho_{zx}=\frac{E_z}{J_x}.$$ चालकता को इसी तरह परिभाषित किया गया है:

$$ \begin{bmatrix} J_x \\ J_y \\ J_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} E_x \\ E_y \\ E_z \end{bmatrix} $$ या

$$\mathbf{J}_i = \boldsymbol{\sigma}_{ij} \mathbf{E}_{j},$$ दोनों के परिणामस्वरूप:

$$\begin{align} J_x = \sigma_{xx} E_x + \sigma_{xy} E_y + \sigma_{xz} E_z \\ J_y = \sigma_{yx} E_x + \sigma_{yy} E_y + \sigma_{yz} E_z \\ J_z = \sigma_{zx} E_x + \sigma_{zy} E_y + \sigma_{zz} E_z \end{align}.$$ दो भावों को देखते हुए, $$\boldsymbol{\rho}$$ तथा $$\boldsymbol{\sigma}$$ एक दूसरे के उलटा मैट्रिक्स  हैं। हालांकि, सबसे सामान्य मामले में, व्यक्तिगत मैट्रिक्स तत्व जरूरी नहीं कि एक दूसरे के पारस्परिक हों; उदाहरण के लिए, $J_{y} = J_{z} = 0$ के बराबर नहीं हो सकता $σ_{xx}$. इसे हॉल प्रभाव  में देखा जा सकता है, जहां $$\rho_{xy}$$ शून्येतर है। हॉल प्रभाव में, के बारे में घूर्णी अपरिवर्तनशीलता के कारण $x$-एक्सिस, $$ \rho_{yy}=\rho_{xx} $$ तथा $$ \rho_{yx}=-\rho_{xy}$$, इसलिए प्रतिरोधकता और चालकता के बीच संबंध सरल हो जाता है:

$$\sigma_{xx}=\frac{\rho_{xx}}{\rho_{xx}^2 + \rho_{xy}^2}, \quad \sigma_{xy} = \frac{-\rho_{xy}}{\rho_{xx}^2 + \rho_{xy}^2}.$$ यदि विद्युत क्षेत्र लागू धारा के समानांतर है, $$\rho_{xy}$$ तथा $$\rho_{xz}$$ शून्य हैं। जब वे शून्य हों, एक संख्या, $$\rho_{xx}$$, विद्युत प्रतिरोधकता का वर्णन करने के लिए पर्याप्त है। फिर इसे सरलता से लिखा जाता है $$\rho$$, और यह सरल अभिव्यक्ति को कम कर देता है।

वर्तमान घनत्व और विद्युत प्रवाह वेग के बीच संबंध
विद्युत प्रवाह विद्युत आवेश ों की क्रमबद्ध गति है।

बैंड सिद्धांत सरलीकृत
प्राथमिक क्वांटम यांत्रिकी  के अनुसार, एक परमाणु या क्रिस्टल में एक इलेक्ट्रॉन में केवल कुछ निश्चित ऊर्जा स्तर हो सकते हैं; इन स्तरों के बीच ऊर्जा असंभव है। जब इस तरह के अनुमत स्तरों की एक बड़ी संख्या में निकट-अंतराल ऊर्जा मान होते हैं - यानी ऐसी ऊर्जाएँ होती हैं जो केवल सूक्ष्म रूप से भिन्न होती हैं - संयोजन में उन निकट ऊर्जा स्तरों को ऊर्जा बैंड कहा जाता है। किसी पदार्थ में ऐसे कई ऊर्जा बैंड हो सकते हैं, जो घटक परमाणुओं की परमाणु संख्या पर निर्भर करता है और क्रिस्टल के भीतर उनका वितरण। सामग्री के इलेक्ट्रॉन कम ऊर्जा वाले राज्यों में बसकर सामग्री में कुल ऊर्जा को कम करना चाहते हैं; हालाँकि, पाउली अपवर्जन सिद्धांत  का अर्थ है कि ऐसे प्रत्येक राज्य में केवल एक ही मौजूद हो सकता है। तो इलेक्ट्रॉन नीचे से शुरू होकर बैंड संरचना को भरते हैं। वह अभिलाक्षणिक ऊर्जा स्तर जिस तक इलेक्ट्रॉन भर चुके हैं,  फर्मी स्तर  कहलाते हैं। बैंड संरचना के संबंध में फर्मी स्तर की स्थिति विद्युत चालन के लिए बहुत महत्वपूर्ण है: केवल फर्मी स्तर के पास या उससे ऊपर के ऊर्जा स्तरों में इलेक्ट्रॉन व्यापक सामग्री संरचना के भीतर जाने के लिए स्वतंत्र हैं, क्योंकि इलेक्ट्रॉन आसानी से आंशिक रूप से कब्जे वाले के बीच कूद सकते हैं उस क्षेत्र में राज्यों। इसके विपरीत, कम ऊर्जा वाले राज्य हर समय इलेक्ट्रॉनों की संख्या पर एक निश्चित सीमा से भरे होते हैं, और उच्च ऊर्जा वाले राज्य हर समय इलेक्ट्रॉनों से खाली होते हैं।

विद्युत प्रवाह में इलेक्ट्रॉनों का प्रवाह होता है। धातुओं में फर्मी स्तर के पास कई इलेक्ट्रॉन ऊर्जा स्तर होते हैं, इसलिए स्थानांतरित करने के लिए कई इलेक्ट्रॉन उपलब्ध होते हैं। यही धातुओं की उच्च इलेक्ट्रॉनिक चालकता का कारण बनता है।

बैंड सिद्धांत का एक महत्वपूर्ण हिस्सा यह है कि ऊर्जा के प्रतिबंधित बैंड हो सकते हैं: ऊर्जा अंतराल जिसमें कोई ऊर्जा स्तर नहीं होता है। इंसुलेटर और सेमीकंडक्टर्स में, इलेक्ट्रॉनों की संख्या कम ऊर्जा बैंड की एक निश्चित पूर्णांक संख्या को बिल्कुल सीमा तक भरने के लिए सही मात्रा है। इस मामले में, फर्मी स्तर एक बैंड गैप के भीतर आता है। चूंकि फर्मी स्तर के पास कोई उपलब्ध अवस्था नहीं है, और इलेक्ट्रॉन स्वतंत्र रूप से चलने योग्य नहीं हैं, इसलिए इलेक्ट्रॉनिक चालकता बहुत कम है।

धातुओं में
एक धातु  में  परमाणु ओं की एक  क्रिस्टल लैटिस  होती है, प्रत्येक में इलेक्ट्रॉनों के बाहरी आवरण होते हैं जो अपने मूल परमाणुओं से स्वतंत्र रूप से अलग हो जाते हैं और जाली के माध्यम से यात्रा करते हैं। इसे एक सकारात्मक आयनिक जाली के रूप में भी जाना जाता है। वियोज्य इलेक्ट्रॉनों का यह 'समुद्र' धातु को विद्युत प्रवाह का संचालन करने की अनुमति देता है। जब एक विद्युत संभावित अंतर (एक  वोल्टेज ) धातु पर लागू होता है, तो परिणामी विद्युत क्षेत्र इलेक्ट्रॉनों को सकारात्मक टर्मिनल की ओर ले जाने का कारण बनता है। मीटर प्रति घंटे के परिमाण के क्रम में इलेक्ट्रॉनों का वास्तविक बहाव वेग आमतौर पर छोटा होता है। हालांकि, गतिमान इलेक्ट्रॉनों की भारी संख्या के कारण, यहां तक ​​कि एक धीमी बहाव वेग के परिणामस्वरूप एक बड़ा वर्तमान घनत्व होता है। यह क्रियाविधि न्यूटन के पालने में गेंदों के संवेग के स्थानांतरण के समान है लेकिन एक तार के साथ विद्युत ऊर्जा का तेजी से प्रसार यांत्रिक बलों के कारण नहीं होता है, बल्कि तार द्वारा निर्देशित ऊर्जा-वाहक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का प्रसार होता है।

अधिकांश धातुओं में विद्युत प्रतिरोध होता है। सरल मॉडल (गैर क्वांटम मैकेनिकल मॉडल) में इसे इलेक्ट्रॉनों और क्रिस्टल जाली को तरंग जैसी संरचना से बदलकर समझाया जा सकता है। जब इलेक्ट्रॉन तरंग जाली के माध्यम से यात्रा करती है, तो तरंगें हस्तक्षेप करती हैं, जो प्रतिरोध का कारण बनती हैं। जाली जितनी अधिक नियमित होती है, उतनी ही कम अशांति होती है और इस प्रकार कम प्रतिरोध होता है। इस प्रकार प्रतिरोध की मात्रा मुख्य रूप से दो कारकों के कारण होती है। सबसे पहले, यह तापमान और इस प्रकार क्रिस्टल जाली के कंपन की मात्रा के कारण होता है। उच्च तापमान बड़े कंपन पैदा करते हैं, जो जाली में अनियमितताओं के रूप में कार्य करते हैं। दूसरा, धातु की शुद्धता प्रासंगिक है क्योंकि विभिन्न आयनों का मिश्रण भी एक अनियमितता है। शुद्ध धातुओं के पिघलने पर चालकता में थोड़ी कमी लंबी दूरी के क्रिस्टलीय क्रम के नुकसान के कारण होती है। शॉर्ट रेंज ऑर्डर बना रहता है और आयनों की स्थिति के बीच मजबूत सहसंबंध के परिणामस्वरूप आसन्न आयनों द्वारा विवर्तित तरंगों के बीच सामंजस्य होता है।

अर्धचालक और इन्सुलेटर में
धातुओं में, फर्मी स्तर कंडक्शन बैंड में होता है (ऊपर बैंड थ्योरी देखें) मुक्त चालन इलेक्ट्रॉनों को जन्म देता है। हालांकि, अर्धचालकों  में फर्मी स्तर की स्थिति बैंड गैप के भीतर होती है, कंडक्शन बैंड न्यूनतम (अनफिल्ड इलेक्ट्रॉन ऊर्जा स्तरों के पहले बैंड के नीचे) और वैलेंस बैंड अधिकतम (कंडक्शन के नीचे बैंड का शीर्ष) के बीच लगभग आधा होता है। बैंड, भरे हुए इलेक्ट्रॉन ऊर्जा स्तरों का)। यह आंतरिक (अनडॉप्ड) अर्धचालकों के लिए लागू होता है। इसका मतलब है कि परम शून्य तापमान पर, कोई मुक्त चालन इलेक्ट्रॉन नहीं होगा, और प्रतिरोध अनंत है। हालांकि, कंडक्शन बैंड में चार्ज कैरियर घनत्व (यानी, आगे की जटिलताओं को पेश किए बिना, इलेक्ट्रॉनों का घनत्व) के रूप में प्रतिरोध कम हो जाता है। बाह्य (डॉप्ड) अर्धचालकों में, डोपेंट परमाणु  चालन बैंड  में इलेक्ट्रॉनों को दान करके या वैलेंस बैंड में छेद पैदा करके बहुसंख्यक चार्ज वाहक एकाग्रता को बढ़ाते हैं। (एक छेद एक ऐसी स्थिति है जहां एक इलेक्ट्रॉन गायब है; ऐसे छेद इलेक्ट्रॉनों के समान व्यवहार कर सकते हैं।) दोनों प्रकार के दाता या स्वीकर्ता परमाणुओं के लिए, डोपेंट घनत्व बढ़ने से प्रतिरोध कम हो जाता है। इसलिए, अत्यधिक डोप किए गए अर्धचालक धात्विक रूप से व्यवहार करते हैं। बहुत अधिक तापमान पर, डोपेंट परमाणुओं के योगदान पर ऊष्मीय रूप से उत्पन्न वाहकों का योगदान हावी होता है, और तापमान के साथ प्रतिरोध तेजी से घटता है।

आयनिक तरल पदार्थ/इलेक्ट्रोलाइट्स में
इलेक्ट्रोलाइट ्स में, विद्युत चालन बैंड इलेक्ट्रॉनों या छिद्रों से नहीं होता है, बल्कि पूर्ण परमाणु प्रजातियों ( आयन ों) द्वारा यात्रा करता है, जिनमें से प्रत्येक में विद्युत आवेश होता है। आयनिक विलयनों (इलेक्ट्रोलाइट्स) की प्रतिरोधकता सांद्रता के साथ काफी भिन्न होती है - जबकि आसुत जल लगभग एक इन्सुलेटर है, खारा पानी  एक उचित विद्युत कंडक्टर है। आयनिक द्रवों में चालन भी आयनों की गति से नियंत्रित होता है, लेकिन यहाँ हम विलेय आयनों की बजाय गलित लवणों की बात कर रहे हैं।  कोशिका झिल्ली  में धाराएं आयनिक लवणों द्वारा प्रवाहित होती हैं। कोशिका झिल्लियों में छोटे छेद, जिन्हें  आयन चैनल  कहा जाता है, विशिष्ट आयनों के लिए चयनात्मक होते हैं और झिल्ली प्रतिरोध को निर्धारित करते हैं।

एक तरल में आयनों की एकाग्रता (उदाहरण के लिए, एक जलीय घोल में) एक हदबंदी गुणांक द्वारा विशेषता, भंग पदार्थ के पृथक्करण की डिग्री पर निर्भर करती है $$\alpha$$, जो आयनों की सांद्रता का अनुपात है $$N$$ भंग पदार्थ के अणुओं की एकाग्रता के लिए $$N_0$$:

$$N = \alpha N_0 ~.$$ विशिष्ट विद्युत चालकता ($$\sigma$$) एक समाधान के बराबर है:

$$ \sigma = q\left(b^+ + b^-\right)\alpha N_0 ~,$$ कहाँ पे $$q$$: आयन चार्ज का मॉड्यूल, $$b^+$$ तथा $$b^-$$: धनात्मक तथा ऋणावेशित आयनों की गतिशीलता, $$N_0$$: घुले हुए पदार्थ के अणुओं की सांद्रता, $$\alpha$$: हदबंदी का गुणांक।

अतिचालकता
तापमान कम होने पर धातु के कंडक्टर की विद्युत प्रतिरोधकता धीरे-धीरे कम हो जाती है। तांबे या चांदी  जैसे सामान्य (अर्थात गैर-अतिचालक) कंडक्टरों में, यह कमी अशुद्धियों और अन्य दोषों से सीमित होती है। निरपेक्ष शून्य के पास भी, एक सामान्य कंडक्टर का वास्तविक नमूना कुछ प्रतिरोध दिखाता है। एक सुपरकंडक्टर में, जब सामग्री को उसके महत्वपूर्ण तापमान से नीचे ठंडा किया जाता है, तो प्रतिरोध अचानक शून्य हो जाता है। एक सामान्य कंडक्टर में, करंट एक वोल्टेज ग्रेडिएंट द्वारा संचालित होता है, जबकि एक सुपरकंडक्टर में, कोई वोल्टेज ग्रेडिएंट नहीं होता है और करंट इसके बजाय सुपरकंडक्टिंग ऑर्डर पैरामीटर के फेज ग्रेडिएंट से संबंधित होता है। इसका एक परिणाम यह होता है कि  अतिचालक तार  के लूप में बहने वाली विद्युत धारा बिना किसी शक्ति स्रोत के अनिश्चित काल तक बनी रह सकती है। सुपरकंडक्टर्स के एक वर्ग में टाइप II सुपरकंडक्टर ्स के रूप में जाना जाता है, जिसमें सभी ज्ञात उच्च-तापमान सुपरकंडक्टर्स शामिल हैं, एक बेहद कम लेकिन गैर-शून्य प्रतिरोधकता नाममात्र सुपरकंडक्टिंग संक्रमण से बहुत नीचे तापमान पर दिखाई देती है जब एक विद्युत प्रवाह एक मजबूत चुंबकीय क्षेत्र के संयोजन के साथ लागू होता है, जो विद्युत प्रवाह के कारण हो सकता है। यह इलेक्ट्रॉनिक सुपरफ्लुइड में एब्रिकोसोव भंवर की गति के कारण है, जो वर्तमान द्वारा की गई कुछ ऊर्जा को नष्ट कर देता है। इस प्रभाव के कारण प्रतिरोध गैर-अतिचालक सामग्री की तुलना में छोटा है, लेकिन संवेदनशील प्रयोगों में इसे ध्यान में रखा जाना चाहिए। हालांकि, जैसे-जैसे तापमान नाममात्र सुपरकंडक्टिंग संक्रमण से काफी कम हो जाता है, ये भंवर जमे हुए हो सकते हैं ताकि सामग्री का प्रतिरोध वास्तव में शून्य हो जाए।

प्लाज्मा
प्लाज्मा बहुत अच्छे चालक होते हैं और विद्युत विभव एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

आवेशित कणों के बीच की जगह में औसतन मौजूद होने की क्षमता, इस सवाल से स्वतंत्र है कि इसे कैसे मापा जा सकता है, इसे प्लाज्मा क्षमता या अंतरिक्ष क्षमता कहा जाता है। यदि एक इलेक्ट्रोड को प्लाज्मा में डाला जाता है, तो इसकी क्षमता आमतौर पर प्लाज्मा क्षमता से काफी कम होती है, जिसे डेबी म्यान कहा जाता है। प्लाज़्मा की अच्छी विद्युत चालकता उनके विद्युत क्षेत्र को बहुत छोटा कर देती है। इसका परिणाम क्वासिन्युट्रैलिटी की महत्वपूर्ण अवधारणा में होता है, जो कहता है कि ऋणात्मक आवेशों का घनत्व प्लाज्मा के बड़े आयतन पर धनात्मक आवेशों के घनत्व के लगभग बराबर होता है ($1/ρ_{xx}$), लेकिन डेबी की लंबाई के पैमाने पर चार्ज असंतुलन हो सकता है। विशेष मामले में जब डबल परत (प्लाज्मा)  बनती है, चार्ज पृथक्करण कुछ दसियों  डेबी लंबाई  बढ़ा सकता है।

क्षमता और विद्युत क्षेत्रों का परिमाण केवल शुद्ध आवेश घनत्व को खोजने के अलावा अन्य माध्यमों से निर्धारित किया जाना चाहिए। एक सामान्य उदाहरण यह मान लेना है कि इलेक्ट्रॉन बोल्ट्जमान संबंध  को संतुष्ट करते हैं: $$n_\text{e} \propto e^{e\Phi/k_\text{B} T_\text{e}}.$$ इस संबंध को अलग करने से घनत्व से विद्युत क्षेत्र की गणना करने का एक साधन मिलता है: $$\mathbf{E} = -\frac{k_\text{B} T_\text{e}}{e}\frac{\nabla n_\text{e}}{n_\text{e}}.$$ (∇ वेक्टर ढाल  ऑपरेटर है; अधिक जानकारी के लिए  नाबला प्रतीक  और ग्रेडिएंट देखें।)

ऐसे प्लाज्मा का उत्पादन करना संभव है जो क्वासीन्यूट्रल नहीं है। उदाहरण के लिए, एक इलेक्ट्रॉन बीम में केवल ऋणात्मक आवेश होते हैं। गैर-तटस्थ प्लाज्मा का घनत्व आम तौर पर बहुत कम होना चाहिए, या यह बहुत छोटा होना चाहिए। अन्यथा, प्रतिकारक विद्युत बल  इसे नष्ट कर देता है।

एस्ट्रोफिजिकल प्लाज़्मा में,  विद्युत क्षेत्र स्क्रीनिंग  बिजली के क्षेत्रों को बड़ी दूरी पर प्लाज्मा को सीधे प्रभावित करने से रोकती है, यानी डेबी लंबाई से अधिक। हालांकि, आवेशित कणों के अस्तित्व के कारण प्लाज्मा उत्पन्न होता है, और  चुंबकीय क्षेत्र  से प्रभावित होता है। यह अत्यंत जटिल व्यवहार का कारण बन सकता है और करता है, जैसे प्लाज्मा डबल परतों की पीढ़ी, एक वस्तु जो कुछ दसियों डेबी लंबाई पर चार्ज को अलग करती है।  मैग्नेटोहाइड्रोडायनामिक्स  के अकादमिक अनुशासन में बाहरी और स्व-निर्मित चुंबकीय क्षेत्रों के साथ बातचीत करने वाले प्लाज़्मा की गतिशीलता का अध्ययन किया जाता है।

प्लाज्मा को अक्सर ठोस, तरल और गैसों के बाद पदार्थ की चौथी अवस्था कहा जाता है। यह इन और पदार्थ की अन्य निम्न-ऊर्जा अवस्थाओं से अलग है। यद्यपि यह गैस चरण से निकटता से संबंधित है, इसका कोई निश्चित रूप या आयतन भी नहीं है, यह निम्नलिखित सहित कई तरीकों से भिन्न होता है:

विभिन्न सामग्रियों की प्रतिरोधकता और चालकता

 * धातु जैसे सेमीकंडक्टर  में उच्च चालकता और कम प्रतिरोधकता होती है।
 * कांच जैसे विद्युत इन्सुलेशन में कम चालकता और उच्च प्रतिरोधकता होती है।
 * अर्धचालक की चालकता आम तौर पर मध्यवर्ती होती है, लेकिन विभिन्न परिस्थितियों में व्यापक रूप से भिन्न होती है, जैसे कि विद्युत क्षेत्र या प्रकाश की विशिष्ट आवृत्तियों के लिए सामग्री का एक्सपोजर, और सबसे महत्वपूर्ण, अर्धचालक सामग्री के तापमान  और संरचना के साथ।

डोपिंग की डिग्री (अर्धचालक) चालकता में एक बड़ा अंतर बनाती है। एक बिंदु तक, अधिक डोपिंग से उच्च चालकता होती है। एक पानी (अणु)  /  जलीय  घोल (रसायन विज्ञान) की चालकता भंग  लवण ों की सांद्रता, और अन्य रासायनिक प्रजातियों पर अत्यधिक निर्भर है जो समाधान में  आयनीकरण  करते हैं। पानी के नमूनों की विद्युत चालकता का उपयोग इस बात के संकेतक के रूप में किया जाता है कि नमूना कितना नमक-मुक्त, आयन-मुक्त या अशुद्धता-मुक्त है; पानी जितना शुद्ध होगा, चालकता उतनी ही कम होगी (प्रतिरोधकता जितनी अधिक होगी)। पानी में चालकता माप को अक्सर शुद्ध पानी की चालकता के सापेक्ष विशिष्ट चालकता के रूप में रिपोर्ट किया जाता है $z$. एक ईसी मीटर  आमतौर पर एक समाधान में चालकता को मापने के लिए प्रयोग किया जाता है। एक मोटा सारांश इस प्रकार है:

यह तालिका प्रतिरोधकता दर्शाती है ($25 °C$), विभिन्न सामग्रियों की चालकता और तापमान गुणांक  20 C.

प्रभावी तापमान गुणांक सामग्री के तापमान और शुद्धता स्तर के साथ बदलता रहता है। अन्य तापमानों पर उपयोग किए जाने पर 20 डिग्री सेल्सियस मान केवल एक अनुमान है। उदाहरण के लिए, तांबे के लिए उच्च तापमान पर गुणांक कम हो जाता है, और मान 0.00427 आमतौर पर निर्दिष्ट किया जाता है $ρ$. चांदी की अत्यंत कम प्रतिरोधकता (उच्च चालकता) धातुओं की विशेषता है। जॉर्ज गामो  ने अपनी लोकप्रिय विज्ञान पुस्तक वन, टू, थ्री ... इन्फिनिटी (1947) में इलेक्ट्रॉनों के साथ धातुओं के व्यवहार की प्रकृति को स्पष्ट रूप से अभिव्यक्त किया: "The metallic substances differ from all other materials by the fact that the outer shells of their atoms are bound rather loosely, and often let one of their electrons go free. Thus the interior of a metal is filled up with a large number of unattached electrons that travel aimlessly around like a crowd of displaced persons. When a metal wire is subjected to electric force applied on its opposite ends, these free electrons rush in the direction of the force, thus forming what we call an electric current."

अधिक तकनीकी रूप से, मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल  धातुओं में इलेक्ट्रॉन प्रवाह का मूल विवरण देता है।

लकड़ी को व्यापक रूप से एक अत्यंत अच्छा इन्सुलेटर माना जाता है, लेकिन इसकी प्रतिरोधकता नमी की मात्रा पर संवेदनशील रूप से निर्भर होती है, जिसमें नम लकड़ी कम से कम एक कारक होती है। $ρ$ ओवन-ड्राई से भी बदतर इंसुलेटर। किसी भी मामले में, पर्याप्त रूप से उच्च वोल्टेज - जैसे कि बिजली के हमलों या कुछ उच्च-तनाव वाली बिजली लाइनों में - स्पष्ट रूप से सूखी लकड़ी के साथ भी इन्सुलेशन टूटने और इलेक्ट्रोक्यूशन जोखिम पैदा कर सकता है।

रैखिक सन्निकटन
अधिकांश सामग्रियों की विद्युत प्रतिरोधकता तापमान के साथ बदलती है। यदि तापमान $ρ$ बहुत अधिक भिन्न नहीं होता है, आमतौर पर एक रैखिक सन्निकटन  का उपयोग किया जाता है: $$\rho(T) = \rho_0[1 + \alpha (T - T_0)],$$ कहाँ पे $$\alpha$$ प्रतिरोधकता का तापमान गुणांक कहलाता है, $$T_0$$ एक निश्चित संदर्भ तापमान है (आमतौर पर कमरे का तापमान), और $$\rho_0$$ तापमान पर प्रतिरोधकता है $$T_0$$. पैरामीटर $$\alpha$$ माप डेटा से लगाया गया एक अनुभवजन्य पैरामीटर है. क्योंकि रैखिक सन्निकटन केवल एक सन्निकटन है, $$\alpha$$ विभिन्न संदर्भ तापमान के लिए अलग है। इस कारण से तापमान को निर्दिष्ट करना सामान्य है कि $$\alpha$$ एक प्रत्यय के साथ मापा गया था, जैसे कि $$\alpha_{15}$$, और संबंध केवल संदर्भ के आस-पास के तापमान की एक सीमा में रहता है। जब तापमान एक बड़ी तापमान सीमा में भिन्न होता है, तो रैखिक सन्निकटन अपर्याप्त होता है और अधिक विस्तृत विश्लेषण और समझ का उपयोग किया जाना चाहिए।

धातु
सामान्य तौर पर, धातुओं की विद्युत प्रतिरोधकता तापमान के साथ बढ़ जाती है। इलेक्ट्रॉन-फोनन इंटरेक्शनल एक महत्वपूर्ण भूमिका निभा सकता है। उच्च तापमान पर, धातु का प्रतिरोध तापमान के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है। जैसे ही धातु का तापमान कम होता है, प्रतिरोधकता की तापमान निर्भरता तापमान के एक शक्ति कानून के कार्य का अनुसरण करती है। गणितीय रूप से प्रतिरोधकता की तापमान निर्भरता $20 °C$ बलोच-ग्रुनेसेन सूत्र के माध्यम से एक धातु का अनुमान लगाया जा सकता है:

$$\rho(T) = \rho(0) + A\left(\frac{T}{\Theta_R}\right)^n \int_0^{\Theta_R/T} \frac{x^n}{(e^x - 1)(1 - e^{-x})} \, dx ,$$ कहाँ पे $$\rho(0)$$ दोष प्रकीर्णन के कारण अवशिष्ट प्रतिरोधकता है, A एक स्थिरांक है जो फर्मी सतह  पर इलेक्ट्रॉनों के वेग,  डेबी त्रिज्या  और धातु में इलेक्ट्रॉनों की संख्या घनत्व पर निर्भर करता है। $$\Theta_R$$ प्रतिरोधकता माप से प्राप्त  डेबी तापमान  है और विशिष्ट ताप माप से प्राप्त डेबी तापमान के मूल्यों के साथ बहुत निकटता से मेल खाता है। n एक पूर्णांक है जो अंतःक्रिया की प्रकृति पर निर्भर करता है:


 * $σ$= 5 का तात्पर्य है कि प्रतिरोध फोनन द्वारा इलेक्ट्रॉनों के बिखरने के कारण होता है (जैसा कि साधारण धातुओं के लिए होता है)
 * $20 °C$= 3 का तात्पर्य है कि प्रतिरोध s-d इलेक्ट्रॉन प्रकीर्णन के कारण है (जैसा कि संक्रमण धातुओं के मामले में है)
 * $1.65$= 2 का तात्पर्य है कि प्रतिरोध इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन परस्पर क्रिया के कारण है।

बलोच-ग्रुनेसेन फॉर्मूला एक अनुमान है जो यह मानते हुए प्राप्त किया गया है कि अध्ययन की गई धातु में गोलाकार फर्मी सतह है जो पहले ब्रिलौइन क्षेत्र और एक डेबी मॉडल  के भीतर अंकित है। यदि प्रकीर्णन के एक से अधिक स्रोत एक साथ मौजूद हैं, तो मैथिसेन का नियम (पहली बार 1860 के दशक में ऑगस्टस मैथिसेसेन  द्वारा तैयार किया गया)  बताता है कि कुल प्रतिरोध का अनुमान कई अलग-अलग शब्दों को जोड़कर लगाया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक का उचित मान है$20 °C$.

चूंकि धातु का तापमान पर्याप्त रूप से कम हो जाता है (ताकि सभी फोनों को 'फ्रीज' कर दिया जाए), प्रतिरोधकता आमतौर पर एक स्थिर मूल्य तक पहुंच जाती है, जिसे अवशिष्ट प्रतिरोधकता के रूप में जाना जाता है। यह मान न केवल धातु के प्रकार पर निर्भर करता है, बल्कि इसकी शुद्धता और थर्मल इतिहास पर भी निर्भर करता है। किसी धातु की अवशिष्ट प्रतिरोधकता का मान उसकी अशुद्धता सान्द्रता से निर्धारित होता है। अतिचालकता  नामक प्रभाव के कारण कुछ पदार्थ पर्याप्त रूप से कम तापमान पर सभी विद्युत प्रतिरोधकता खो देते हैं।

धातुओं की निम्न-तापमान प्रतिरोधकता की एक जांच, हेइक कामेरलिंग ओन्स के प्रयोगों की प्रेरणा थी, जिसके कारण 1911 में अतिचालकता की खोज हुई। विवरण के लिए अतिचालकता का इतिहास  देखें।

विडेमैन-फ्रांज कानून
विडेमैन-फ्रांज कानून कहता है कि सामान्य तापमान पर धातुओं की विद्युत चालकता का गुणांक तापमान के व्युत्क्रमानुपाती होता है:

$$\sigma \thicksim {1 \over T}.$$ उच्च तापमान पर धातुओं के लिए, विडेमैन-फ्रांज कानून मानता है:

$${K \over \sigma} = {\pi^2 \over 3} \left(\frac{k}{e}\right)^2 T,$$ कहाँ पे $$K$$ धातु की तापीय चालकता है, $$k$$ बोल्ट्जमान नियतांक है, $$e$$ इलेक्ट्रॉन चार्ज है, $$T$$ तापमान है, और $$\sigma$$ विद्युत चालकता गुणांक है।

अर्धचालक
सामान्य तौर पर, बढ़ते तापमान के साथ आंतरिक अर्धचालक  प्रतिरोधकता कम हो जाती है। इलेक्ट्रॉनों को तापीय ऊर्जा द्वारा चालन बैंड से टकराया जाता है, जहां वे स्वतंत्र रूप से प्रवाहित होते हैं, और ऐसा करने में  संयोजी बंध  में  इलेक्ट्रॉन छेद  को पीछे छोड़ देते हैं, जो स्वतंत्र रूप से भी बहता है। एक विशिष्ट आंतरिक अर्धचालक (गैर डोप्ड) अर्धचालक का विद्युत प्रतिरोध तापमान के साथ  घातीय क्षय  को कम करता है:

$$\rho = \rho_0 e^{-aT}.$$ स्टीनहार्ट-हार्ट समीकरण द्वारा अर्धचालक की प्रतिरोधकता की तापमान निर्भरता का और भी बेहतर अनुमान दिया गया है:

$$\frac{1}{T} = A + B \ln\rho + C (\ln\rho)^3,$$ कहाँ पे $α$, $1.59$ तथा $6.3$ तथाकथित स्टीनहार्ट-हार्ट गुणांक हैं।

इस समीकरण का उपयोग thermistor ्स को कैलिब्रेट करने के लिए किया जाता है।

बाहरी अर्धचालक | एक्सट्रिंसिक (डॉप्ड) सेमीकंडक्टर्स का तापमान प्रोफाइल कहीं अधिक जटिल होता है। जैसे ही तापमान पूर्ण शून्य से शुरू होता है, वे पहले प्रतिरोध में तेजी से कम हो जाते हैं क्योंकि वाहक दाताओं या स्वीकारकर्ताओं को छोड़ देते हैं। अधिकांश दाताओं या स्वीकर्ता के अपने वाहक खो जाने के बाद, वाहकों की घटती गतिशीलता (एक धातु के समान) के कारण प्रतिरोध फिर से थोड़ा बढ़ने लगता है। उच्च तापमान पर, वे आंतरिक अर्धचालकों की तरह व्यवहार करते हैं क्योंकि दाताओं/स्वीकर्ता के वाहक थर्मली उत्पन्न वाहक की तुलना में महत्वहीन हो जाते हैं। गैर-क्रिस्टलीय अर्धचालकों में, एक स्थानीय साइट से दूसरे स्थान पर क्वांटम टनलिंग  चार्ज द्वारा चालन हो सकता है। इसे  परिवर्तनीय रेंज hopping  के रूप में जाना जाता है और इसका विशिष्ट रूप है $$\rho = A\exp\left(T^{-\frac{1}{n}}\right),$$ कहाँ पे $3.8$ = 2, 3, 4, सिस्टम की आयामीता पर निर्भर करता है।

जटिल प्रतिरोधकता और चालकता
वैकल्पिक विद्युत क्षेत्रों ( ढांकता हुआ स्पेक्ट्रोस्कोपी ) के लिए सामग्री की प्रतिक्रिया का विश्लेषण करते समय, विद्युत प्रतिबाधा टोमोग्राफी  जैसे अनुप्रयोगों में, प्रतिरोधकता को एक  जटिल संख्या  मात्रा के साथ प्रतिस्थापित करना सुविधाजनक है जिसे प्रतिबाधा कहा जाता है ( विद्युत प्रतिबाधा  के अनुरूप)। प्रतिबाधा एक वास्तविक घटक, प्रतिरोधकता और एक काल्पनिक घटक, प्रतिक्रियाशीलता ( प्रतिक्रिया (इलेक्ट्रॉनिक्स)  के अनुरूप) का योग है। प्रतिबाधा का परिमाण प्रतिरोधकता और प्रतिक्रियाशीलता के परिमाण के वर्गों के योग का वर्गमूल है।

इसके विपरीत, ऐसे मामलों में चालकता को एक सम्मिश्र संख्या (या यहाँ तक कि जटिल संख्याओं के मैट्रिक्स के रूप में, एनिस्ट्रोपिक  सामग्री के मामले में) के रूप में व्यक्त किया जाना चाहिए, जिसे  प्रवेश  कहा जाता है। स्वीकार्यता एक वास्तविक घटक का योग है जिसे चालकता कहा जाता है और एक काल्पनिक घटक जिसे संवेदनशीलता कहा जाता है।

प्रत्यावर्ती धाराओं की प्रतिक्रिया का एक वैकल्पिक विवरण वास्तविक पारगम्यता के साथ-साथ वास्तविक (लेकिन आवृत्ति-निर्भर) चालकता का उपयोग करता है। चालकता जितनी बड़ी होती है, उतनी ही तेजी से वैकल्पिक-वर्तमान संकेत सामग्री द्वारा अवशोषित होता है (यानी, अधिक अस्पष्टता (प्रकाशिकी)  सामग्री है)। विवरण के लिए,  अस्पष्टता का गणितीय विवरण  देखें।

जटिल ज्यामिति में प्रतिरोध बनाम प्रतिरोधकता
भले ही सामग्री की प्रतिरोधकता ज्ञात हो, इससे बनी किसी चीज के प्रतिरोध की गणना, कुछ मामलों में, सूत्र से कहीं अधिक जटिल हो सकती है $$R = \rho \ell /A $$ के ऊपर। एक उदाहरण प्रतिरोध प्रोफाइलिंग फैला रहा है, जहां सामग्री अमानवीय है (विभिन्न स्थानों में अलग प्रतिरोधकता), और वर्तमान प्रवाह के सटीक पथ स्पष्ट नहीं हैं।

ऐसे मामलों में, सूत्र $$J = \sigma E \,\, \rightleftharpoons \,\, E = \rho J$$ के साथ प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए $$\mathbf{J}(\mathbf{r}) = \sigma(\mathbf{r}) \mathbf{E}(\mathbf{r}) \,\, \rightleftharpoons \,\, \mathbf{E}(\mathbf{r}) = \rho(\mathbf{r}) \mathbf{J}(\mathbf{r}),$$ कहाँ पे $1.68$ तथा $n_{e} = ⟨Z⟩>n_{i}$ अब वेक्टर क्षेत्र  हैं। यह समीकरण, निरंतरता समीकरण के साथ $5.96$ और पॉइसन के समीकरण के लिए $4.04$आंशिक अवकल समीकरणों का समुच्चय बनाते हैं। विशेष मामलों में, इन समीकरणों का एक सटीक या अनुमानित समाधान हाथ से तैयार किया जा सकता है, लेकिन जटिल मामलों में बहुत सटीक उत्तरों के लिए, कंप्यूटर विधियों जैसे परिमित तत्व विधि की आवश्यकता हो सकती है।

प्रतिरोधकता- घनत्व उत्पाद
कुछ अनुप्रयोगों में जहां किसी वस्तु का वजन बहुत महत्वपूर्ण होता है, प्रतिरोधकता और घनत्व का उत्पाद पूर्ण निम्न प्रतिरोधकता की तुलना में अधिक महत्वपूर्ण होता है - उच्च प्रतिरोधकता के लिए कंडक्टर को मोटा बनाना अक्सर संभव होता है; और फिर एक कम प्रतिरोधकता-घनत्व-उत्पाद सामग्री (या समकक्ष रूप से एक उच्च चालकता-से-घनत्व अनुपात) वांछनीय है। उदाहरण के लिए, लंबी दूरी की ओवरहेड बिजली लाइनों के लिए, तांबे (Cu) के बजाय अक्सर एल्यूमीनियम का उपयोग किया जाता है क्योंकि यह समान चालन के लिए हल्का होता है।

चांदी, हालांकि यह ज्ञात सबसे कम प्रतिरोधी धातु है, उच्च घनत्व है और इस उपाय से तांबे के समान प्रदर्शन करता है, लेकिन यह बहुत अधिक महंगा है। कैल्शियम और क्षार धातुओं में सबसे अच्छा प्रतिरोधकता-घनत्व वाले उत्पाद होते हैं, लेकिन पानी और ऑक्सीजन (और शारीरिक शक्ति की कमी) के साथ उनकी उच्च प्रतिक्रियाशीलता के कारण कंडक्टरों के लिए शायद ही कभी उपयोग किया जाता है। एल्युमीनियम कहीं अधिक स्थिर है। विषाक्तता बेरिलियम की पसंद को बाहर करती है। (शुद्ध बेरिलियम भी भंगुर होता है।) इस प्रकार, एल्यूमीनियम आमतौर पर पसंद की धातु होती है जब कंडक्टर का वजन या लागत ड्राइविंग विचार होता है।

यह भी देखें

 * चार्ज परिवहन तंत्र
 * रसायनज्ञ
 * परमिटिविटी#सामग्री का वर्गीकरण
 * परकोलेशन थ्रेशोल्ड के पास चालकता
 * संपर्क प्रतिरोध
 * तत्वों की विद्युत प्रतिरोधकता (डेटा पृष्ठ)
 * विद्युत प्रतिरोधकता टोमोग्राफी
 * पत्रक प्रतिरोध
 * एसआई विद्युत चुंबकत्व इकाइयाँ
 * त्वचा प्रभाव
 * स्पिट्जर प्रतिरोधकता
 * ढांकता हुआ ताकत

अग्रिम पठन

 * Measuring Electrical Resistivity and Conductivity
 * Measuring Electrical Resistivity and Conductivity

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक कड़ियों की सूची

 * रो (पत्र)
 * तथा
 * व्यापक संपत्ति
 * विद्युत प्रतिरोध और चालकता
 * अवरोध
 * बहाव का वेग
 * तरंग हस्तक्षेप
 * दोपंत
 * आयनिक तरल
 * परम शुन्य
 * ताँबा
 * अब्रीकोसोव भंवर
 * उच्च तापमान सुपरकंडक्टर
 * बिजली चमकना
 * देबी म्यान
 * चार्ज का घनत्व
 * वस्तुस्थिति
 * द्रव्य की अवस्थाएं
 * डोपिंग (अर्धचालक)
 * एकाग्रता
 * समाधान (रसायन विज्ञान)
 * रोशनी
 * विद्युतीय इन्सुलेशन
 * फोनोन
 * ब्रिलॉइन क्षेत्र
 * ऊष्मीय चालकता
 * ग्रहणशीलता
 * परावैद्युतांक
 * प्रसार प्रतिरोध रूपरेखा
 * सातत्य समीकरण
 * आंशिक विभेदक समीकरण
 * सीमित तत्व विधि
 * ओवरहेड पावर लाइन
 * अंतःस्रावी दहलीज के पास चालकता
 * त्वचा का प्रभाव

बाहरी संबंध

 * Comparison of the electrical conductivity of various elements in WolframAlpha
 * Comparison of the electrical conductivity of various elements in WolframAlpha