समिश्र गतिशीलता

कॉम्प्लेक्स डायनेमिक्स, या होलोमोर्फिक डायनेमिक्स, पुनरावृत्त फ़ंक्शन द्वारा प्राप्त जटिल विश्लेषणात्मक मैपिंग द्वारा प्राप्त गतिशील प्रणाली का अध्ययन है। यह आलेख बीजगणितीय गतिशीलता के मामले पर केंद्रित है, जहां एक बहुपद या तर्कसंगत फ़ंक्शन को दोहराया जाता है। ज्यामितीय शब्दों में, यह कुछ बीजगणितीय विविधता से मानचित्रण को पुनरावृत्त करने के समान है। अंकगणितीय गतिशीलता का संबंधित सिद्धांत जटिल संख्याओं के बजाय तर्कसंगत संख्याओं या पी-एडिक संख्याओं पर पुनरावृत्ति का अध्ययन करता है।

जटिल आयाम में गतिशीलता 1
एक सरल उदाहरण जो जटिल गतिशीलता में कुछ मुख्य मुद्दों को दिखाता है वह है मैपिंग $$f(z)=z^2$$ सम्मिश्र संख्या C से स्वयं तक। इसे जटिल प्रक्षेप्य रेखा से मानचित्र के रूप में देखना उपयोगी है $$\mathbf{CP}^1$$ अपने आप में, एक बिंदु जोड़कर $$\infty$$ जटिल संख्याओं के लिए. ($$\mathbf{CP}^1$$ सघन स्थान  होने का फायदा है।) मूल प्रश्न यह है: एक बिंदु दिया गया है $$z$$ में $$\mathbf{CP}^1$$, इसकी कक्षा (या आगे की कक्षा) कैसे होती है
 * $$z,\; f(z)=z^2,\; f(f(z))=z^4, f(f(f(z)))=z^8,\; \ldots $$

व्यवहार करें, गुणात्मक? उत्तर है: यदि निरपेक्ष मान#सम्मिश्र संख्याएँ |z| 1 से कम है, तो कक्षा 0 में परिवर्तित हो जाती है, वास्तव में तेजी से घातीय क्षय से अधिक। यदि |z| 1 से अधिक है, तो कक्षा बिंदु पर परिवर्तित हो जाती है $$\infty$$ में $$\mathbf{CP}^1$$, फिर से बहुत तेजी से। (यहाँ 0 और $$\infty$$ एफ के निश्चित बिंदु (गणित) सुपरआकर्षक हैं, जिसका अर्थ है कि उन बिंदुओं पर एफ का व्युत्पन्न शून्य है। एक आकर्षक निश्चित बिंदु का मतलब वह है जहां एफ के व्युत्पन्न का पूर्ण मूल्य 1 से कम है।)

दूसरी ओर, मान लीजिए कि $$|z|=1$$, जिसका अर्थ है कि z 'C' में इकाई वृत्त पर है। इन बिंदुओं पर, f की गतिशीलता विभिन्न तरीकों से अराजक है। उदाहरण के लिए, माप सिद्धांत के संदर्भ में वृत्त पर लगभग सभी बिंदुओं z के लिए, z की आगे की कक्षा वृत्त में सघन सेट है, और वास्तव में वृत्त पर समान रूप से वितरित अनुक्रम है। वृत्त पर अनन्त रूप से अनेक आवर्त बिन्दु भी होते हैं, अर्थात् बिन्दुओं के साथ $$f^r(z)=z$$ किसी धनात्मक पूर्णांक r के लिए। (यहाँ $$f^r(z)$$ इसका अर्थ है f से z r बार लगाने का परिणाम, $$f(f(\cdots(f(z))\cdots))$$.) यहां तक ​​कि वृत्त पर आवधिक बिंदुओं z पर भी, f की गतिशीलता को अराजक माना जा सकता है, क्योंकि z के पास के बिंदु f की पुनरावृत्ति पर z से तेजी से विचलन करते हैं। (यूनिट सर्कल पर एफ के आवधिक बिंदु प्रतिकर्षित कर रहे हैं: यदि $$f^r(z)=z$$, का व्युत्पन्न $$f^r$$ z का निरपेक्ष मान 1 से अधिक है।)

पियरे फतौ और गैस्टन जूलिया ने 1910 के दशक के अंत में दिखाया कि इस कहानी का अधिकांश भाग किसी भी जटिल बीजगणितीय मानचित्र तक फैला हुआ है। $$\mathbf{CP}^1$$ निरंतर मानचित्रण की डिग्री 1 से अधिक होती है। (ऐसा मानचित्रण एक बहुपद द्वारा दिया जा सकता है) $$f(z)$$ जटिल गुणांकों के साथ, या अधिक सामान्यतः एक तर्कसंगत फ़ंक्शन द्वारा।) अर्थात्, हमेशा एक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय होता है $$\mathbf{CP}^1$$, जूलिया सेट, जिस पर एफ की गतिशीलता अव्यवस्थित है। मैपिंग के लिए $$f(z)=z^2$$, जूलिया सेट यूनिट सर्कल है। अन्य बहुपद मानचित्रणों के लिए, जूलिया सेट अक्सर अत्यधिक अनियमित होता है, उदाहरण के लिए एक भग्न इस अर्थ में कि इसका हॉसडॉर्फ आयाम एक पूर्णांक नहीं है। यह मैपिंग जैसे सरल कार्य के लिए भी होता है $$f(z)=z^2+c$$ एक स्थिरांक के लिए $$c\in\mathbf{C}$$. मैंडेलब्रॉट सेट जटिल संख्याओं का सेट है, जैसे कि जूलिया सेट $$f(z)=z^2+c$$ जुड़ा हुआ स्थान है. एक परिमेय फलन के फ़तौ घटकों का एक पूर्ण वर्गीकरण है $$f\colon\mathbf{CP}^1\to \mathbf{CP}^1$$ फतौ सेट में, जूलिया सेट का पूरक, जहां गतिशीलता संयमित है। अर्थात्, डेनिस सुलिवान  ने दिखाया कि फतौ सेट का प्रत्येक जुड़ा हुआ घटक (टोपोलॉजी) यू पूर्व-आवधिक है, जिसका अर्थ है कि प्राकृतिक संख्याएं हैं $$a<b$$ ऐसा है कि $$f^a(U)=f^b(U)$$. इसलिए, किसी घटक यू पर गतिशीलता का विश्लेषण करने के लिए, कोई एफ को पुनरावृत्त द्वारा प्रतिस्थापित करने के बाद मान सकता है $$f(U)=U$$. फिर या तो (1) यू में एफ के लिए एक आकर्षक निश्चित बिंदु शामिल है; (2) यू इस अर्थ में परवलयिक है कि यू में सभी बिंदु यू की सीमा में एक निश्चित बिंदु तक पहुंचते हैं; (3) यू एक सील डिस्क  है, जिसका अर्थ है कि यू पर एफ की कार्रवाई खुली इकाई डिस्क के एक तर्कहीन रोटेशन से जुड़ी है; या (4) यू एक  हरमन अंगूठी  है, जिसका अर्थ है कि यू पर एफ की कार्रवाई एक खुले एनलस (गणित) के एक तर्कहीन रोटेशन से जुड़ी है। (ध्यान दें कि U में बिंदु z की पिछली कक्षा, बिंदुओं का समुच्चय है $$\mathbf{CP}^1$$ f के कुछ पुनरावृत्त के अंतर्गत z का वह मानचित्र, U में समाहित होने की आवश्यकता नहीं है।)

एंडोमोर्फिज्म का संतुलन माप
जटिल गतिशीलता को किसी भी आयाम में प्रभावी ढंग से विकसित किया गया है। यह अनुभाग जटिल प्रक्षेप्य स्थान से मानचित्रण पर केंद्रित है $$\mathbf{CP}^n$$ अपने आप में, उदाहरणों का सबसे समृद्ध स्रोत। के लिए मुख्य परिणाम $$\mathbf{CP}^n$$ किसी भी प्रक्षेप्य किस्म से तर्कसंगत मानचित्रों के एक वर्ग तक विस्तारित किया गया है। हालाँकि, ध्यान दें कि कई किस्मों में कोई दिलचस्प स्व-मानचित्र नहीं होता है।

मान लीजिए कि f एक एंडोमोर्फिज्म है $$\mathbf{CP}^n$$, जिसका अर्थ है बीजगणितीय किस्मों का एक रूपवाद $$\mathbf{CP}^n$$ स्वयं के लिए, एक सकारात्मक पूर्णांक n के लिए। ऐसी मैपिंग सजातीय निर्देशांक में दी गई है
 * $$f([z_0,\ldots,z_n])=[f_0(z_0,\ldots,z_n),\ldots,f_n(z_0,\ldots,z_n)]$$

कुछ सजातीय बहुपदों के लिए $$f_0,\ldots,f_n$$ समान घात d का जिसमें कोई उभयनिष्ठ शून्य नहीं है $$\mathbf{CP}^n$$. (Algebraic_geometry_and_analytic_geometry#Chow's_theorem|Chow's प्रमेय के अनुसार, यह होलोमार्फिक  मैपिंग के समान है $$\mathbf{CP}^n$$ स्वयं के लिए।) मान लें कि d 1 से बड़ा है; तो मैपिंग की डिग्री f है $$d^n$$, जो 1 से भी बड़ा है।

फिर एक अनोखा संभाव्यता माप है $$\mu_f$$ पर $$\mathbf{CP}^n$$, एफ का संतुलन माप, जो एफ की गतिशीलता के सबसे अराजक हिस्से का वर्णन करता है। (इसे ग्रीन माप या अधिकतम एन्ट्रॉपी का माप भी कहा जाता है।) इस माप को एक चर में बहुपदों के लिए हंस ब्रोलिन (1965) द्वारा, अलेक्जेंड्रे फ़्रेयर, आर्थर ऑस्कर लोप्स, रिकार्डो माने और मिखाइल लुबिच द्वारा परिभाषित किया गया था। $$n=1$$ (1983 के आसपास), और किसी भी आयाम में जॉन एच. हबर्ड, पीटर पापाडोपोल, जॉन फ़ोर्नेस और सिबोनी हवा  द्वारा (1994 के आसपास)। छोटा जूलिया सेट $$J^*(f)$$ में संतुलन माप का समर्थन (माप सिद्धांत) है $$\mathbf{CP}^n$$; यह बस जूलिया सेट है जब $$n=1$$.

उदाहरण

 * मैपिंग के लिए $$f(z)=z^2$$ पर $$\mathbf{CP}^1$$, संतुलन उपाय $$\mu_f$$ यूनिट सर्कल पर हार माप (मानक माप, कुल माप 1 के लिए स्केल किया गया) है $$|z|=1$$.
 * अधिक सामान्यतः, एक पूर्णांक के लिए $$d>1$$, होने देना $$f\colon \mathbf{CP}^n\to\mathbf{CP}^n$$ मैपिंग हो
 * $$f([z_0,\ldots,z_n])=[z_0^d,\ldots,z_n^d].$$
 * फिर संतुलन माप $$\mu_f$$ एन-डायमेंशनल टोरस्र्स  पर हार माप है $$\{[1,z_1,\ldots,z_n]: |z_1|=\cdots=|z_n|=1\}.$$ अधिक सामान्य होलोमोर्फिक मैपिंग के लिए $$\mathbf{CP}^n$$ अपने आप में, संतुलन माप कहीं अधिक जटिल हो सकता है, जैसा कि जूलिया सेट की तस्वीरों से पहले से ही जटिल आयाम 1 में देखा जा सकता है।

संतुलन माप की विशेषताएँ
संतुलन माप की एक बुनियादी संपत्ति यह है कि यह एफ के तहत अपरिवर्तनीय है, इस अर्थ में कि पुशफॉरवर्ड माप $$f_*\mu_f$$ के बराबर है $$\mu_f$$. चूँकि f एक परिमित रूपवाद है, पुलबैक माप है $$f^*\mu_f$$ भी परिभाषित किया गया है, और $$\mu_f$$ इस अर्थ में पूरी तरह से अपरिवर्तनीय है $$f^*\mu_f=\deg(f)\mu_f$$.

संतुलन माप की एक उल्लेखनीय विशेषता यह है कि यह लगभग हर बिंदु के स्पर्शोन्मुखता का वर्णन करता है $$\mathbf{CP}^n$$ जब जीन-यवेस ब्रिएंड, जूलियन डुवाल, पैलेस टीएन-कुओंग|तिएन-कुओंग दिन्ह और सिबोनी द्वारा समय के साथ पीछे की ओर पीछा किया गया। अर्थात्, एक बिंदु z के लिए $$\mathbf{CP}^n$$ और एक धनात्मक पूर्णांक r, संभाव्यता माप पर विचार करें $$(1/d^{rn})(f^r)^*(\delta_z)$$ जो समान रूप से वितरित है $$d^{rn}$$ अंक w के साथ $$f^r(w)=z$$. फिर एक ज़ारिस्की बंद उपसमुच्चय है $$E\subsetneq \mathbf{CP}^n$$ ऐसा है कि ई में नहीं सभी बिंदुओं के लिए, उपायों ने संतुलन माप के उपायों के कमजोर अभिसरण को परिभाषित किया है $$\mu_f$$ जैसे r अनंत तक जाता है। अधिक विस्तार से: केवल सीमित रूप से कई बंद जटिल उपस्थान $$\mathbf{CP}^n$$ एफ के अंतर्गत पूरी तरह से अपरिवर्तनीय हैं (जिसका अर्थ है $$f^{-1}(S)=S$$), और कोई असाधारण सेट ई को अद्वितीय सबसे बड़ा पूरी तरह से अपरिवर्तनीय बंद जटिल उप-स्थान के बराबर नहीं ले सकता है $$\mathbf{CP}^n$$. संतुलन माप का एक और लक्षण वर्णन (ब्रिएंड और डुवल के कारण) इस प्रकार है। प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक r के लिए, अवधि r के आवधिक बिंदुओं की संख्या (अर्थात् $$f^r(z)=z$$), बहुलता के साथ गिना जाता है, है $$(d^{r(n+1)}-1)/(d^r-1)$$, जो मोटे तौर पर है $$d^{rn}$$. संभाव्यता माप पर विचार करें जो अवधि r के बिंदुओं पर समान रूप से वितरित है। फिर ये उपाय भी संतुलन उपाय में परिवर्तित हो जाते हैं $$\mu_f$$ जैसे r अनंत तक जाता है। इसके अलावा, अधिकांश आवधिक बिंदु विकर्षक होते हैं और झूठ बोलते हैं $$J^*(f)$$, और इसलिए किसी को केवल प्रतिकर्षित आवधिक बिंदुओं पर औसत करके समान सीमा माप प्राप्त होता है $$J^*(f)$$. बाहर प्रतिकारक आवधिक बिंदु भी हो सकते हैं $$J^*(f)$$. संतुलन माप किसी भी बंद जटिल उपस्थान को शून्य द्रव्यमान देता है $$\mathbf{CP}^n$$ वह संपूर्ण स्थान नहीं है. चूंकि आवधिक बिंदु अंदर हैं $$J^*(f)$$ में सघन हैं $$J^*(f)$$, यह इस प्रकार है कि एफ के आवधिक बिंदु ज़ारिस्की घना हैं $$\mathbf{CP}^n$$. इस ज़ारिस्की घनत्व का अधिक बीजगणितीय प्रमाण नजमुद्दीन फखरुद्दीन द्वारा दिया गया था। का एक और परिणाम $$\mu_f$$ बंद जटिल उपस्थानों को शून्य द्रव्यमान देना न के बराबर है $$\mathbf{CP}^n$$ यह है कि प्रत्येक बिंदु का द्रव्यमान शून्य है। परिणामस्वरूप, समर्थन $$J^*(f)$$ का $$\mu_f$$ इसमें कोई पृथक बिंदु नहीं है, और इसलिए यह एक पूर्ण सेट है।

सहारा $$J^*(f)$$ संतुलन माप बहुत छोटा नहीं है, इस अर्थ में कि इसका हॉसडॉर्फ आयाम हमेशा शून्य से अधिक होता है। उस अर्थ में, 1 से अधिक डिग्री के साथ जटिल प्रक्षेप्य स्थान का एंडोमोर्फिज्म हमेशा कम से कम अंतरिक्ष के हिस्से पर अराजक व्यवहार करता है। (ऐसे उदाहरण हैं जहां $$J^*(f)$$ सब कुछ है $$\mathbf{CP}^n$$. ) यह स्पष्ट करने का एक और तरीका है कि f में कुछ अराजक व्यवहार है, f की टोपोलॉजिकल एन्ट्रापी हमेशा शून्य से अधिक होती है, वास्तव में इसके बराबर होती है $$n\log d$$मिखाइल ग्रोमोव (गणितज्ञ), माइकल मिसिउरेविक्ज़, और फेलिक्स प्रेज़िटिकी द्वारा। कॉम्पैक्ट मेट्रिक स्पेस $$\mathbf{CP}^n$$, संतुलन उपाय $$\mu_f$$ ब्रिएंड और डुवल द्वारा अधिकतम एन्ट्रापी का अद्वितीय अपरिवर्तनीय माप है। यह कहने का एक और तरीका है कि एफ का सबसे अराजक व्यवहार संतुलन माप के समर्थन पर केंद्रित है।

अंत में, कोई संतुलन माप के समर्थन पर एफ की गतिशीलता के बारे में अधिक कह सकता है: एफ ergodic  है और, अधिक दृढ़ता से, फोर्नेस और सिबोनी द्वारा उस माप के संबंध में मिश्रण (गणित)। उदाहरण के लिए, यह इस प्रकार है कि लगभग हर बिंदु के संबंध में $$\mu_f$$, इसकी आगे की कक्षा समान रूप से सापेक्ष रूप से वितरित है $$\mu_f$$.

लैटेस मानचित्र
लैटेस मानचित्र एक एंडोमोर्फिज्म एफ है $$\mathbf{CP}^n$$ एक परिमित समूह द्वारा विभाजित करके एबेलियन किस्म के एंडोमोर्फिज्म से प्राप्त किया गया। इस मामले में, एफ का संतुलन माप लेब्सेग माप के संबंध में बिल्कुल निरंतर माप है $$\mathbf{CP}^n$$. इसके विपरीत, अन्ना ज़डुनिक, फ्रांकोइस बर्टेलूट और क्रिस्टोफ़ ड्यूपॉन्ट द्वारा, एकमात्र एंडोमोर्फिज्म $$\mathbf{CP}^n$$ जिसका संतुलन माप लेबेस्ग माप के संबंध में बिल्कुल निरंतर है, लैटेस उदाहरण हैं। अर्थात्, सभी गैर-लैट्स एंडोमोर्फिज्म के लिए, $$\mu_f$$ लेब्सगेग माप 0 के कुछ बोरेल सेट को अपना पूर्ण द्रव्यमान 1 निर्दिष्ट करता है। आयाम 1 में, संतुलन माप की अनियमितता के बारे में अधिक जानकारी है। अर्थात्, संभाव्यता माप के हॉसडॉर्फ आयाम को परिभाषित करें $$\mu$$ पर $$\mathbf{CP}^1$$ (या अधिक आम तौर पर एक चिकनी मैनिफोल्ड पर) द्वारा
 * $$\dim(\mu)=\inf \{\dim_H(Y):\mu(Y)=1\},$$

कहाँ $$\dim_H(Y)$$ बोरेल सेट वाई के हॉसडॉर्फ आयाम को दर्शाता है। एंडोमोर्फिज्म एफ के लिए $$\mathbf{CP}^1$$ 1 से अधिक डिग्री की, ज़डुनिक ने दिखाया कि का आयाम $$\mu_f$$ इसके समर्थन के हॉसडॉर्फ आयाम (जूलिया सेट) के बराबर है यदि और केवल यदि एफ लैटेस मानचित्र, चेबीशेव बहुपद (हस्ताक्षर तक), या पावर मानचित्र से संयुग्मित है $$f(z)=z^{\pm d}$$ साथ $$d\geq 2$$. (बाद के मामलों में, जूलिया सेट सभी का है $$\mathbf{CP}^1$$, क्रमशः एक बंद अंतराल, या एक वृत्त। ) इस प्रकार, उन विशेष मामलों के बाहर, संतुलन माप अत्यधिक अनियमित है, जो पूरे जूलिया सेट की तुलना में छोटे हॉसडॉर्फ आयाम के साथ जूलिया सेट के कुछ बंद उपसमुच्चय को सकारात्मक द्रव्यमान प्रदान करता है।

प्रक्षेपी किस्मों की स्वचालितता
अधिक सामान्यतः, जटिल गतिशीलता पुनरावृत्ति के तहत तर्कसंगत मानचित्रों के व्यवहार का वर्णन करना चाहती है। एक मामला जिसका कुछ सफलता के साथ अध्ययन किया गया है, वह एक चिकनी योजना जटिल प्रक्षेप्य किस्म एक्स के ऑटोमोर्फिज्म का है, जिसका अर्थ है एक्स से स्वयं तक आइसोमोर्फिज्म एफ। मुख्य रुचि का मामला वह है जहां एफ एकवचन कोहोलॉजी पर गैर-तुच्छ रूप से कार्य करता है $$H^*(X,\mathbf{Z})$$.

ग्रोमोव और योसेफ योमडिन ने दिखाया कि एक चिकनी जटिल प्रोजेक्टिव किस्म के एंडोमोर्फिज्म (उदाहरण के लिए, एक ऑटोमोर्फिज्म) की टोपोलॉजिकल एन्ट्रॉपी कोहोमोलॉजी पर इसकी कार्रवाई से निर्धारित होती है। स्पष्ट रूप से, जटिल आयाम n और के X के लिए $$0\leq p\leq n$$, होने देना $$d_p$$ हॉज सिद्धांत समूह पर पुलबैक द्वारा कार्य करने वाली f की वर्णक्रमीय त्रिज्या बनें $$H^{p,p}(X)\subset H^{2p}(X,\mathbf{C})$$. फिर f की टोपोलॉजिकल एन्ट्रापी है
 * $$h(f)=\max_p \log d_p.$$

(एफ की टोपोलॉजिकल एन्ट्रॉपी संपूर्ण कोहोमोलॉजी पर एफ के वर्णक्रमीय त्रिज्या का लघुगणक भी है $$H^*(X,\mathbf{C})$$.) इस प्रकार f में कुछ अराजक व्यवहार है, इस अर्थ में कि इसकी टोपोलॉजिकल एन्ट्रापी शून्य से अधिक है, यदि और केवल यदि यह 1 से अधिक पूर्ण मूल्य के eigenvalue के साथ कुछ सह-समरूपता समूह पर कार्य करता है। कई प्रक्षेप्य किस्मों में ऐसी ऑटोमोर्फिज्म नहीं होती है, लेकिन (उदाहरण के लिए) कई तर्कसंगत सतहों और K3 सतहों में ऐसी स्वचालितताएं होती हैं। बता दें कि एक्स एक कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड है, जिसमें एक चिकनी जटिल प्रोजेक्टिव किस्म का मामला शामिल है। मान लें कि X के एक ऑटोमोर्फिज्म f का सह-समरूपता पर सरल प्रभाव पड़ता है यदि: ऐसी केवल एक संख्या p है $$d_p$$ इसका अधिकतम मान लेता है, f की क्रिया $$H^{p,p}(X)$$ निरपेक्ष मान के साथ केवल एक eigenvalue है $$d_p$$, और यह एक सरल eigenvalue है। उदाहरण के लिए, सर्ज कैंटैट ने दिखाया कि सकारात्मक टोपोलॉजिकल एन्ट्रॉपी के साथ कॉम्पैक्ट काहलर सतह के प्रत्येक ऑटोमोर्फिज्म में कोहोलॉजी पर सरल कार्रवाई होती है। (यहां एक ऑटोमोर्फिज्म जटिल विश्लेषणात्मक है, लेकिन एक्स पर काहलर मीट्रिक को संरक्षित करने के लिए नहीं माना जाता है। वास्तव में, प्रत्येक ऑटोमोर्फिज्म जो एक मीट्रिक को संरक्षित करता है, उसमें टोपोलॉजिकल एन्ट्रापी शून्य होती है।)

कोहोमोलॉजी पर सरल क्रिया के साथ एक ऑटोमोर्फिज्म एफ के लिए, जटिल गतिशीलता के कुछ लक्ष्यों को प्राप्त किया गया है। दीन्ह, सिबोनी और हेनरी डी थेलिन ने दिखाया कि एक अद्वितीय अपरिवर्तनीय संभाव्यता माप है $$\mu_f$$ एफ के लिए अधिकतम एन्ट्रॉपी का, जिसे 'संतुलन माप' (या 'हरा माप', या 'अधिकतम एन्ट्रॉपी का माप') कहा जाता है। (विशेष रूप से, $$\mu_f$$ एन्ट्रापी है $$\log d_p$$ एफ के संबंध में) का समर्थन $$\mu_f$$ छोटा जूलिया सेट कहा जाता है $$J^*(f)$$. अनौपचारिक रूप से: f में कुछ अराजक व्यवहार है, और सबसे अराजक व्यवहार छोटे जूलिया सेट पर केंद्रित है। कम से कम जब X प्रक्षेप्य हो, $$J^*(f)$$ सकारात्मक हॉसडॉर्फ़ आयाम है। (ज्यादा ठीक, $$\mu_f$$ पर्याप्त रूप से छोटे हॉसडॉर्फ आयाम के सभी सेटों को शून्य द्रव्यमान निर्दिष्ट करता है।)

कुमेर ऑटोमोर्फिज्म
कुछ एबेलियन किस्मों में सकारात्मक एन्ट्रापी का ऑटोमोर्फिज्म होता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि E एक जटिल अण्डाकार वक्र है और मान लीजिए कि X एबेलियन सतह है $$E\times E$$. फिर समूह $$GL(2,\mathbf{Z})$$ उलटा का $$2\times 2$$ पूर्णांक मैट्रिक्स X पर कार्य करता है। कोई भी समूह तत्व f जिसका ट्रेस (रैखिक बीजगणित) का पूर्ण मान 2 से अधिक है, उदाहरण के लिए $$\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$$, का वर्णक्रमीय त्रिज्या 1 से अधिक है, और इसलिए यह X का एक सकारात्मक-एन्ट्रॉपी ऑटोमोर्फिज्म देता है। F का संतुलन माप X पर Haar माप (मानक लेबेस्ग माप) है। कुमेर ऑटोमोर्फिज्म को ऑटोमोर्फिज्म के साथ एबेलियन सतह के एक सीमित समूह द्वारा भागफल स्थान लेकर और फिर सतह को चिकना बनाने के लिए उड़ाकर परिभाषित किया जाता है। परिणामी सतहों में कुछ विशेष K3 सतहें और तर्कसंगत सतहें शामिल हैं। कुमेर ऑटोमोर्फिज्म के लिए, संतुलन माप को X के बराबर समर्थन प्राप्त है और यह सीमित रूप से कई वक्रों के बाहर सुचारू रूप से कार्य करता है। इसके विपरीत, कैंटैट और ड्यूपॉन्ट ने दिखाया कि कुमेर उदाहरणों को छोड़कर सकारात्मक एन्ट्रापी के सभी सतह ऑटोमोर्फिज्म के लिए, लेबेस्ग माप के संबंध में संतुलन माप बिल्कुल निरंतर नहीं है। इस अर्थ में, ऑटोमोर्फिज्म के संतुलन माप का कुछ हद तक अनियमित होना सामान्य है।

सैडल आवधिक बिंदु
f के एक आवर्त बिंदु z को सैडल आवर्त बिंदु कहा जाता है, यदि, एक सकारात्मक पूर्णांक r के लिए ऐसा हो $$f^r(z)=z$$, के व्युत्पन्न का कम से कम एक eigenvalue $$f^r$$ z पर स्पर्शरेखा स्थान पर निरपेक्ष मान 1 से कम है, कम से कम एक का निरपेक्ष मान 1 से अधिक है, और किसी का भी निरपेक्ष मान 1 के बराबर नहीं है। (इस प्रकार f कुछ दिशाओं में विस्तार कर रहा है और z के निकट अन्य दिशाओं में सिकुड़ रहा है।) कोहोमोलोजी पर सरल क्रिया के साथ एक ऑटोमोर्फिज्म एफ, काठी आवधिक बिंदु समर्थन में घने होते हैं $$J^*(f)$$ संतुलन माप का $$\mu_f$$. दूसरी ओर, माप $$\mu_f$$ एक्स के बराबर नहीं बंद जटिल उपस्थानों पर गायब हो जाता है। यह इस प्रकार है कि एफ के आवधिक बिंदु (या यहां तक ​​कि केवल काठी आवधिक बिंदु के समर्थन में निहित हैं $$\mu_f$$) X में ज़ारिस्की घने हैं।

कोहोमोलोजी पर सरल क्रिया के साथ एक ऑटोमोर्फिज्म एफ के लिए, एफ और इसका व्युत्क्रम मानचित्र एर्गोडिक हैं और, अधिक दृढ़ता से, संतुलन माप के संबंध में मिश्रण करते हैं $$\mu_f$$. यह इस प्रकार है कि लगभग हर बिंदु z के संबंध में $$\mu_f$$, z की आगे और पीछे की कक्षाएँ दोनों के संबंध में समान रूप से वितरित हैं $$\mu_f$$.

एंडोमोर्फिज्म के मामले में एक उल्लेखनीय अंतर $$\mathbf{CP}^n$$ क्या यह है कि कोहोमोलोजी पर सरल क्रिया के साथ ऑटोमोर्फिज्म एफ के लिए, एक्स का एक गैर-खाली खुला उपसमुच्चय हो सकता है, जिस पर न तो आगे और न ही पीछे की कक्षाएँ समर्थन तक पहुँचती हैं $$J^*(f)$$ संतुलन माप का. उदाहरण के लिए, एरिक बेडफोर्ड, क्यूंघी किम और कर्टिस मैकमुलेन ने सकारात्मक टोपोलॉजिकल एन्ट्रापी (इसलिए कोहोमोलॉजी पर सरल कार्रवाई) के साथ एक चिकनी प्रक्षेप्य तर्कसंगत सतह के ऑटोमोर्फिज्म एफ का निर्माण किया, जैसे कि एफ में एक सीगल डिस्क है, जिस पर एफ की कार्रवाई एक से संयुग्मित है तर्कहीन रोटेशन. उस खुले सेट में अंक कभी भी निकट नहीं आते $$J^*(f)$$ f या इसके व्युत्क्रम की क्रिया के अंतर्गत।

कम से कम जटिल आयाम 2 में, एफ का संतुलन माप एफ के पृथक आवधिक बिंदुओं के वितरण का वर्णन करता है। (एफ या पुनरावृत्त द्वारा तय किए गए जटिल वक्र भी हो सकते हैं, जिन्हें यहां नजरअंदाज कर दिया गया है।) अर्थात्, सकारात्मक टोपोलॉजिकल एन्ट्रापी के साथ एफ एक कॉम्पैक्ट काहलर सतह एक्स का एक ऑटोमोर्फिज्म है। $$h(f)=\log d_1$$. संभाव्यता माप पर विचार करें जो अवधि आर के अलग-अलग आवधिक बिंदुओं पर समान रूप से वितरित किया जाता है (जिसका अर्थ है $$f^r(z)=z$$). तब यह उपाय कमजोर रूप से परिवर्तित होता है $$\mu_f$$ जैसा कि आर अनंत तक जाता है, एरिक बेडफोर्ड, ल्यूबिच और जॉन स्मिली (गणितज्ञ) द्वारा। सैडल आवधिक बिंदुओं के सबसेट के लिए भी यही बात लागू होती है, क्योंकि आवधिक बिंदुओं के दोनों सेट की दर से बढ़ते हैं $$(d_1)^r$$.

यह भी देखें

 * जटिल आयाम 1 में गतिशीलता
 * जटिल विश्लेषण
 * जटिल द्विघात बहुपद
 * विश्लेषणात्मक कार्यों की अनंत रचनाएँ
 * मॉन्टेल का प्रमेय
 * पोंकारे मीट्रिक
 * ब्लैक लेम्मा
 * रीमैन मानचित्रण प्रमेय
 * कैराथोडोरी का प्रमेय (अनुरूप मानचित्रण)
 * बॉटचर का समीकरण
 * कक्षा चित्र
 * जीन-क्रिस्टोफ़ योकोज़ पहेलियाँ


 * गतिकी के संबंधित क्षेत्र
 * अंकगणितीय गतिशीलता
 * अराजकता सिद्धांत
 * प्रतीकात्मक गतिशीलता

बाहरी संबंध

 * Gallery of dynamics (Curtis McMullen)
 * Surveys in Dynamical Systems