आंतरिक मॉडल

समुच्चय सिद्धान्त में, गणितीय तर्क की एक शाखा, एक आंतरिक मॉडल थ्योरी (गणितीय तर्क) के लिए टी एक सेट सिद्धांत के मॉडल (गणितीय तर्क) एम का एक सबस्ट्रक्चर (गणित) है जो टी के लिए एक मॉडल है और इसमें एम के सभी क्रम शामिल हैं।

परिभाषा
होने देना $$L = \langle \in \rangle$$ सेट सिद्धांत की भाषा हो। मान लीजिए कि S एक विशेष समुच्चय सिद्धांत है, उदाहरण के लिए ZFC अभिगृहीत और मान लीजिए T (संभवतः S के समान ही) भी एक सिद्धांत है $$L$$.

यदि एम एस के लिए एक मॉडल है, और एन एक है $$L$$-संरचना ऐसी है कि


 * N, M का एक उपसंरचना है, अर्थात व्याख्या (मॉडल सिद्धांत) $$\in_N$$ का $$\in$$ एन में है $${\in_M} \cap N^2$$
 * N, T के लिए एक मॉडल है
 * 1) एन का प्रांत एम का सकर्मक वर्ग है
 * 2) N में M की सभी क्रमिक संख्याएँ शामिल हैं

तब हम कहते हैं कि N, T (M में) का एक 'आंतरिक मॉडल' है। आमतौर पर T, S के बराबर (या उप-सम्मिलित) होगा, ताकि N, S के मॉडल M के 'अंदर' S के लिए एक मॉडल हो।

यदि केवल शर्तें 1 और 2 मान्य हैं, तो N को T का 'मानक मॉडल' (M में) कहा जाता है, T का 'मानक सबमॉडल' (यदि S = T और) N, M में एक सेट है। M को 'सकर्मक' कहा जाता है जब यह मानक और स्थिति 3 धारण करता है। यदि नींव के स्वयंसिद्ध को नहीं माना जाता है (अर्थात, एस में नहीं है) इन तीनों अवधारणाओं को अतिरिक्त शर्त दी गई है कि एन अच्छी तरह से स्थापित हो | अच्छी तरह से स्थापित हो। इसलिए आंतरिक मॉडल सकर्मक हैं, सकर्मक मॉडल मानक हैं, और मानक मॉडल अच्छी तरह से स्थापित हैं।

यह धारणा कि ZFC (किसी दिए गए ब्रह्मांड में) का एक मानक सबमॉडल मौजूद है, इस धारणा से अधिक मजबूत है कि एक मॉडल मौजूद है। वास्तव में, यदि कोई मानक सबमॉडल है, तो सबसे छोटा मानक सबमॉडल है सभी मानक सबमॉडल्स में निहित 'न्यूनतम मॉडल (सेट सिद्धांत)' कहा जाता है। न्यूनतम सबमॉडल में कोई मानक सबमॉडल नहीं है (क्योंकि यह न्यूनतम है) लेकिन (ZFC की निरंतरता को मानते हुए) इसमें शामिल है गोडेल पूर्णता प्रमेय द्वारा ZFC का कुछ मॉडल। यह मॉडल आवश्यक रूप से अच्छी तरह से स्थापित नहीं है अन्यथा इसका मोस्टोव्स्की पतन एक मानक सबमॉडल होगा। (यह ब्रह्मांड में एक संबंध के रूप में अच्छी तरह से स्थापित नहीं है, हालांकि यह नींव के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करता है इसलिए आंतरिक रूप से अच्छी तरह से स्थापित है। अच्छी तरह से स्थापित होना कोई परम संपत्ति नहीं है। ) विशेष रूप से न्यूनतम सबमॉडल में ZFC का एक मॉडल है लेकिन ZFC का कोई मानक सबमॉडल नहीं है।

प्रयोग करें
आमतौर पर जब कोई सिद्धांत के आंतरिक मॉडल के बारे में बात करता है, तो जिस सिद्धांत पर चर्चा की जा रही है वह ZFC या ZFC का कुछ विस्तार है (जैसे ZFC+$$\exists$$ एक औसत दर्जे का कार्डिनल)। जब किसी सिद्धांत का उल्लेख नहीं किया जाता है, तो आमतौर पर यह माना जाता है कि चर्चा के तहत मॉडल ZFC का एक आंतरिक मॉडल है। हालाँकि, ZFC के उप-सिद्धांतों के आंतरिक मॉडल (जैसे ज़र्मेलो-फ्रैंकल सेट सिद्धांत या क्रिपके-प्लेटेक सेट सिद्धांत) के बारे में बात करना असामान्य नहीं है।

संबंधित विचार
गोडेल|कर्ट गोडेल द्वारा यह साबित किया गया था कि ZF के किसी भी मॉडल में ZF का कम से कम आंतरिक मॉडल होता है (जो कि ZFC + सामान्यीकृत सातत्य परिकल्पना का एक आंतरिक मॉडल भी है), जिसे रचनात्मक ब्रह्मांड या L कहा जाता है।

सेट थ्योरी की एक शाखा है जिसे इनर मॉडल थ्योरी कहा जाता है जो ZF तक विस्तारित सिद्धांतों के कम से कम इनर मॉडल के निर्माण के तरीकों का अध्ययन करती है। आंतरिक मॉडल सिद्धांत ने कई महत्वपूर्ण सेट सैद्धांतिक गुणों की सटीक स्थिरता शक्ति की खोज की है।

यह भी देखें

 * फोर्सिंग_(गणित)#Countable_transitive_models_and_generic_filters