सीमा (श्रेणी सिद्धांत)

श्रेणी सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, एक सीमा की अमूर्त धारणा सार्वभौमिक निर्माणों जैसे उत्पादों, पुलबैक और व्युत्क्रम सीमाओं के आवश्यक गुणधर्मो को अधिकृत करती है। एक सह-सीमा की द्विक धारणा निर्माणों को सामान्यीकृत करती है जैसे कि असंयुक्त संघ, प्रत्यक्ष योग, सह-उत्पाद, बहिकर्षी और प्रत्यक्ष सीमा हैं।

सीमाएं और सह-सीमाएं, सार्वभौमिक गुणधर्मो और आसन्न प्रकार्यको की दृढ़ता से संबंधित धारणाओं की तरह, अमूर्तता के उच्च स्तर पर उपस्थित हैं। उन्हें समझने के लिए, पहले उन विशिष्ट उदाहरणों का अध्ययन करना सहायक होता है जो इन अवधारणाओं को सामान्य बनाने के लिए हैं।

परिभाषा
एक श्रेणी $$C$$ में सीमाओं और सह-सीमाओं को $$C$$ में आरेखों के माध्यम से परिभाषित किया गया है औपचारिक रूप से, आकृति का आरेख $$J$$ में $$C$$ का एक प्रकार्यक $$J$$ से $$C$$ है:
 * $$F:J\to C$$

श्रेणी $$J$$ को सूचकांक श्रेणी और आरेख के रूप में माना जाता है, $$F$$ में वस्तुओं और आकारिता $$C$$ प्रतिरूपित $$J$$ के संग्रह को अनुक्रमणित करने के रूप में माना जाता है।

किसी को प्रायः उस स्थिति में रुचि होती है जहां श्रेणी $$J$$ एक छोटी या परिमित श्रेणी है। आरेख को छोटा या परिमित कहा जाता है, जब कभी भी $$J$$ है।

सीमाएं
मान लीजिए कि $$F : J \to C$$ आकृति $$J$$ एक श्रेणी में $$C$$ का आरेख है। एक शंकु $$F$$, वस्तु $$N$$ के $$C$$ एक वर्ग के साथ $$\psi_X:N\to F(X)$$ में वस्तुओं $$X$$ से $$J$$ द्वारा अनुक्रमित आकारिता है, ऐसा कि प्रत्येक आकारिता $$J$$ में $$f: X \to Y$$ के लिए है, हमारे पास $$F(f)\circ\psi_X=\psi_Y$$ है।

आरेख की एक सीमा $$F:J\to C$$ एक शंकु $$F$$ से $$(L, \phi)$$ ऐसा है कि प्रत्येक दूसरे शंकु $$F$$ से $$(N, \psi)$$ के लिए एक अद्वितीय आकारिता $$u:N\to L$$ ऐसा है कि सभी $$X$$ में $$J$$ के लिए $$\phi_X\circ u=\psi_X$$ है; एक का कहना है कि शंकु $$(N, \psi)$$, शंकु $$(L, \phi)$$ के माध्यम से कारक के साथ अद्वितीय गुणनखंड $$u$$ है। आकारिता $$u$$ को कभी-कभी मध्यस्थ आकारिता कहा जाता है।

सीमाओं को "सार्वभौमिक शंकु" के रूप में भी संदर्भित किया जाता है क्योंकि वे एक सार्वभौमिक गुणधर्मो द्वारा अभिलक्षित हैं (अधिक सूचना के लिए नीचे देखें)। प्रत्येक सार्वभौमिक गुणधर्मो के साथ, उपरोक्त परिभाषा सामान्यता की संतुलित स्थिति का वर्णन करती है: सीमा वस्तु $$L$$ को इतना सामान्य होना चाहिए कि किसी अन्य शंकु को इसके माध्यम से गुणनखंड करने की अनुमति प्राप्त हो सके; वहीं दूसरी ओर, $$L$$ पर्याप्त रूप से विशिष्ट होना चाहिए, ताकि प्रत्येक शंकु के लिए केवल एक ही ऐसा गुणनखंड संभव हो सके।

सीमाओं को F से शंकु की श्रेणी में सीमावर्ती वस्तु के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है।

यह संभव है कि आरेख की कोई सीमा न हो। हालाँकि, यदि आरेख की कोई सीमा है तो यह सीमा अनिवार्य रूप से अद्वितीय है: यह एक अद्वितीय समरूपता तक अद्वितीय है। इस कारण प्रायः F की सीमा की बात की जाती है।

सह-सीमाएं
एक सीमा और शंकु की द्विक धारणा सह-सीमा और सह-शंकु हैं। यद्यपि उपरोक्त परिभाषाओं में सभी रूपों को प्रतिलोम कर इनकी परिभाषाएँ प्राप्त करना सरल है, हम उन्हें यहाँ स्पष्ट रूप से बताएंगे:

आरेख का सह-शंकु $$F:J\to C$$ एक वस्तु आकारिता के एक वर्ग $$N$$ के $$C$$ के साथ है।
 * $$\psi_X:F(X) \to N$$

प्रत्येक वस्तु $$X$$ के $$J$$ के लिए, ऐसा है कि प्रत्येक आकारिता $$J$$ में $$f:X\to Y$$ के लिए है, हमारे पास $$\psi_Y\circ F(f)=\psi_X$$है।

आरेख की एक सह सीमा $$F:J\to C$$ एक सह-शंकु $$F$$ का $$(L, \phi)$$ ऐसा है कि किसी अन्य सह-शंकु $$F$$ के $$(N, \psi)$$ के लिए एक अद्वितीय आकारिता $$u:L\to N$$ उपस्थित है, ऐसा है कि सभी $$X$$ में $$J$$ के लिए $$u\circ \phi_X = \psi_X$$ है;

सह-सीमाओं को सार्वभौमिक सह-शंकु भी कहा जाता है। उन्हें $$F$$ सह-शंकु की श्रेणी में प्रारंभिक वस्तुओं के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

सीमाओं के साथ, यदि एक आरेख $$F$$ एक सह-सीमा है तो यह सह-सीमा एक अद्वितीय समरूपता तक अद्वितीय है।

विविधताएं
आरेखों के उपयोग के बिना वस्तुओं और आकारिता के संग्रहों के लिए सीमाएं और सह-सीमाएं भी परिभाषित किए जा सकते हैं। परिभाषाएँ समान हैं (ध्यान दें कि ऊपर दी गई परिभाषाओं में हमें $$J$$ में आकारिकी की संरचना का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है)। हालाँकि, यह भिन्नता कोई नई सूचना नहीं जोड़ती है। वस्तुओं और आकारिता का कोई संग्रह एक (संभवतः बड़े) निर्देशित आरेख $G$ को परिभाषित करता है। यदि हम माने कि $$G$$ द्वारा उत्पन्न मुक्त श्रेणी $$J$$ है, एक सार्वभौमिक आरेख $$F:J\to C$$ है, जिसकी छवि $$G$$ सम्मिलित है। इस आरेख की सीमा (या सह-सीमा) वस्तुओं और रूपों के मूल संग्रहों की सीमा (या सह-सीमा) के समान है।

दुर्बल सीमाओं और दुर्बल सह-सीमाओं को सीमाओं और सह-सीमाओं की तरह परिभाषित किया जाता है, अतिरिक्त इसके कि मध्यस्थ आकारिता की विशिष्टता को छोड़ दिया जाता है।

सीमाएं
व्यावहारिक समायोजन में उपयोगी कई निर्माणों को समाहित करने के लिए सीमा की परिभाषा सामान्य है। निम्नलिखित में हम आरेख F: J → C की सीमा (L, φ) पर विचार करेंगे।
 * अवसानक वस्तु- यदि J रिक्त श्रेणी है तो आकृति J का केवल एक रिक्त आरेख (समुच्चय सिद्धांत में रिक्त फलन के समान) है। रिक्त आरेख के लिए एक शंकु अनिवार्य रूप से C की एक वस्तु है। F की सीमा कोई भी वस्तु है जो अद्वितीय रूप से प्रत्येक दूसरी वस्तु के माध्यम से होती है। यह केवल अवसानक वस्तु की परिभाषा है।
 * उत्पाद- यदि J एक असतत श्रेणी है तो एक आरेख F अनिवार्य रूप से C की वस्तुओं का एक वर्ग है, जो J द्वारा अनुक्रमित है। F की सीमा L को इन वस्तुओं का उत्पाद कहा जाता है। शंकु φ आकारिकी के एक वर्ग φX: L → F(X) से बना है जिसे उत्पाद का प्रक्षेपण कहा जाता है। उदाहरण के लिए, समुच्चय की श्रेणी में, उत्पाद कार्तीय उत्पादों द्वारा दिए गए हैं और प्रक्षेपण विभिन्न कारकों पर केवल प्राकृतिक प्रक्षेपण हैं।
 * घात- किसी उत्पाद की एक विशेष स्थिति तब होती है जब आरेख F, C की वस्तु X के लिए एक स्थिर प्रकार्यक होता है। इस आरेख की सीमा को X की Jth घात कहा जाता है और XJ को निरूपित किया जाता है।
 * समकारी- यदि J दो वस्तुओं वाली एक श्रेणी है और एक वस्तु से दूसरी वस्तु में दो समानांतर आकारिकी है, तो आकृति J का आरेख C में समानांतर आकारिकी का एक युग्म है। ऐसे आरेख की सीमा L को उन आकारिकी का एक तुल्यकारक कहा जाता है।
 * अष्ठि- एक अष्ठि एक तुल्यकारक की एक विशेष स्थिति है जहां आकारिकी में एक शून्य आकारिकी है।
 * पुलबैक- माना F एक आरेख है, जो C में तीन वस्तुओं X, Y और Z का चयन करता है, जहां केवल गैर-पहचान आकारिता f: X → Z और g: Y → Z हैं। F की सीमा L को पुलबैक या तंतु उत्पाद कहा जाता है।यह अच्छी तरह से एक क्रमविनिमेय वर्ग के रूप में देखा जा सकता है:
 * प्रतिलोम सीमा- माना J एक निर्देशित समुच्चय है (शरों i → j यदि और केवल यदि i ≥ j को जोड़कर एक छोटी श्रेणी के रूप में माना जाता है) और माना F: Jop → C एक आरेख है। F की सीमा को (भ्रामक रूप से) एक व्युत्क्रम सीमा या प्रक्षेप्य सीमा कहा जाता है।
 * यदि J = 1, एकल वस्तु और आकारिकी श्रेणी है, तो आकृति J का एक आरेख अनिवार्य रूप से C का एक वस्तु X है। वस्तु X के लिए एक शंकु सह-कार्यक्षेत्र X के साथ एक आकारिकी है। एक आकारिकी f: Y → X आरेख X की एक सीमा है यदि और केवल यदि f एक तुल्याकारिता है। सामान्यतः, यदि J प्रारंभिक वस्तु i के साथ कोई श्रेणी है, तो आकृति J के किसी भी आरेख की एक सीमा होती है, अर्थात् कोई भी वस्तु F(i) के लिए समरूपता होती है। इस तरह की समरूपता विशिष्ट रूप से F के लिए एक सार्वभौमिक शंकु निर्धारित करती है।
 * सांस्थितिक सीमाएँ- फलन की सीमाएँ सांस्थिति में निस्यंदक की एक विशेष स्थिति है, जो निम्नानुसार श्रेणीबद्ध सीमा से संबंधित हैं। एक सांस्थितिक समष्टि X दिया गया है, F द्वारा X पर निस्यंदक के समुच्चय एक बिंदु x ∈ X को निरूपित करें, x के प्रतिवैस निस्यंदक V(x) ∈ F है, A ∈ F एक विशेष निस्यंदक और $$F_{x,A}=\{G\in F \mid V(x)\cup A \subset G\} $$ A से सूक्ष्मतर निस्यंदक का समुच्चय है और जो x में परिवर्तित होता है। निस्यंदक F को शर A → B जोड़कर एक छोटी और पतली श्रेणी संरचना प्रदान की जाती है यदि और केवल यदि A ⊆ B है। अन्तःक्षेपण $$I_{x,A}:F_{x,A}\to F$$ एक प्रकार्यक बन जाता है और निम्नलिखित तुल्यता धारण करता है:


 * x, A की सांस्थितिकीय सीमा है यदि और केवल यदि A की श्रेणीबद्ध सीमा $$I_{x,A}$$है।

सह-सीमाएँ
उपरोक्त उदाहरणों के दोहरे संस्करणों द्वारा सह-सीमाओं के उदाहरण दिए गए हैं:
 * प्रारंभिक वस्तुएँ रिक्त आरेखों की सह-सीमाएँ हैं।
 * सह-उत्पाद असतत श्रेणियों द्वारा अनुक्रमित आरेखों की सह-सीमाएँ हैं।
 * सह-घात असतत श्रेणियों से निरंतर आरेखों की सह-सीमाएँ हैं।
 * समतुल्य आकारिता के समानांतर युग्म की सह-सीमाएँ हैं।
 * सह-अष्ठि आकारिकी और समानांतर शून्य आकारिकी के सह-तुल्यकारक हैं।
 * बहिकर्षी सामान्य कार्यक्षेत्र के साथ आकारिकी के एक युग्म की सह-सीमाएँ हैं।
 * प्रत्यक्ष सीमाएँ निर्देशित समुच्चयों द्वारा अनुक्रमित आरेखों की सह-सीमाएँ हैं।

सीमाओं का अस्तित्व
एक दिया गया आरेख F: J → C, C में एक सीमा (या सह-सीमा) हो सकता है या नहीं भी हो सकता है। वास्तव में, F के लिए एक शंकु भी नहीं हो सकता है, माना एकाकी एक सार्वभौमिक शंकु है।

एक श्रेणी C को आकृति J की सीमाएँ कहा जाता है। यदि आकृति J के प्रत्येक आरेख की C में एक सीमा है। विशेष रूप से, एक श्रेणी C को कहा जाता है। एक पूर्ण श्रेणी एक ऐसी श्रेणी है जिसमें सभी छोटी सीमाएँ होती हैं (अर्थात प्रत्येक छोटी श्रेणी J के लिए आकृति J की सभी सीमाएँ है)।
 * उत्पाद हैं, यदि इसमें प्रत्येक छोटी असतत श्रेणी J के लिए आकृति J की सीमाएँ हैं (इसमें बड़े उत्पाद होने की आवश्यकता नहीं है),
 * समकारी है, यदि इसमें आकृति $$\bullet\rightrightarrows\bullet$$ की सीमाएँ हैं (अर्थात, आकारिकी के प्रत्येक समानांतर युग्म में एक तुल्यकारक होता है),
 * पुलबैक हैं, यदि इसमें आकृति $$\bullet\rightarrow\bullet\leftarrow\bullet$$ की सीमाएँ हैं तो (अर्थात, सामान्य सह-कार्यक्षेत्र वाले आकारिकी के प्रत्येक युग्म में एक पुलबैक होता है)।

कोई दोहरी परिभाषा भी बना सकता है। एक श्रेणी में J आकृति की सह-सीमा होती है, यदि आकृति J के प्रत्येक आरेख में C में एक सह-सीमा होती है। एक सह-पूर्ण श्रेणी वह है जिसमें सभी छोटी सह-सीमाएँ होती हैं।

सीमाओं के अस्तित्व प्रमेय में कहा गया है कि यदि श्रेणी C में तुल्यकारक हैं और वर्ग Ob(J) और Hom(J) द्वारा अनुक्रमित सभी उत्पाद हैं, तो C में आकृति J की सभी सीमाएं हैं। इस स्थिति में, आरेख F: J → C की सीमा को दो आकारिकी के तुल्यकारक के रूप में बनाया जा सकता है।
 * $$s,t : \prod_{i\in\operatorname{Ob}(J)}F(i) \rightrightarrows \prod_{f\in\operatorname{Hom}(J)} F(\operatorname{cod}(f))$$

द्वारा दिए गए (घटक रूप में)।
 * $$\begin{align}

s &= \bigl( F(f)\circ\pi_{\operatorname{dom}(f)}\bigr)_{f\in\operatorname{Hom}(J)} \\ t &= \bigl( \pi_{\operatorname{cod}(f)}\bigr)_{f\in\operatorname{Hom}(J)} \end{align}$$ सह-तुल्यकारकों और सह-उत्पादों के संदर्भ में सह-सीमाओं के लिए एक दोहरी अस्तित्व प्रमेय है। ये दोनों प्रमेय आकृति J की सभी (सह) सीमाओं के अस्तित्व के लिए पर्याप्त और आवश्यक प्रतिबन्ध प्रदान करते हैं।

सार्वभौमिक गुणधर्म
सीमा और सह-सीमा सार्वभौमिक निर्माण के महत्वपूर्ण विशेष स्थिति हैं।

माना C एक श्रेणी है और माना J को एक छोटी अनुक्रमणिका श्रेणी है। प्रकार्यक श्रेणी CJ को C में आकृति J के सभी आरेखों की श्रेणी के रूप में माना जा सकता है। विकर्ण प्रकार्यक;
 * $$\Delta : \mathcal C \to \mathcal C^{\mathcal J}$$

वह प्रकार्यक है जो C में प्रत्येक वस्तु N को निरंतर प्रकार्यक Δ(N): J → C से N तक प्रतिचित्र करता है। अर्थात, Δ(N)(X) = N, J में प्रत्येक वस्तु X के लिए और J में प्रत्येक आकारिकी f के लिए Δ(N)(f) ) = idN है।

एक आरेख F: J → C (CJ में एक वस्तु के रूप में माना जाता है) दिया गया है, एक प्राकृतिक परिवर्तन ψ: Δ(N) → F (जो कि श्रेणी CJ में केवल एक आकारिकी है) N से F तक एक शंकु के समान है। इसे देखने के लिए, पहले ध्यान दें कि सभी X के लिए Δ(N)(X) = N का तात्पर्य है कि ψ के घटक ψX: N → F(X) हैं, जो सभी कार्यक्षेत्र N

साझा करते हैं। इसके अतिरिक्त, आवश्यकता है कि शंकु के आरेखों का परिवर्तन केवल इसलिए सत्य है क्योंकि यह ψ एक प्राकृतिक परिवर्तन है। (द्वैत रूप से, एक प्राकृतिक परिवर्तन ψ: F → Δ(N) वही है जो F से N तक एक सह-शंकु है)।

इसलिए, सीमाओं और सह-सीमाओं की परिभाषाओं को फिर से रूप में पुन: स्थापित किया जा सकता है:
 * F की सीमा Δ से F तक एक सार्वभौमिक आकारिकी है।
 * F की सह-सीमा F से Δ तक एक सार्वभौमिक आकारिकी है।

संयोजन
सभी सार्वभौमिक निर्माणों की तरह, सीमाओं और सह-सीमाओं का निर्माण प्रकृति में कार्यात्मक है। दूसरे शब्दों में, यदि आकृति J के प्रत्येक आरेख की C (J छोटे के लिए) में एक सीमा है, तो एक सीमा प्रकार्यक उपस्थित है;
 * $$\lim : \mathcal{C}^\mathcal{J} \to \mathcal{C}$$

जो प्रत्येक आरेख को इसकी सीमा और प्रत्येक प्राकृतिक परिवर्तन η: F → G को निर्दिष्ट करता है। अद्वितीय आकारिकी lim η: lim F → lim G संबंधित सार्वभौमिक शंकुओं के साथ आवागमन करता है। यह प्रकार्यक विकर्ण प्रकार्यक Δ: C → CJ के ठीक निकट है। यह संयोजन N से लिम F तक सभी आकारिकी के समुच्चय और N से F तक सभी संकेतों के समुच्चय के मध्य एक द्विभाजन प्रदान करता है।
 * $$\operatorname{Hom}(N,\lim F) \cong \operatorname{Cone}(N,F)$$

जो चर N और F में स्वाभाविक है। इस संयोजन की सह-इकाई लिम F से F तक सार्वभौमिक शंकु है। यदि सूचकांक श्रेणी J जुड़ा (और गैर-रिक्त) हुआ है तो जुड़ाव की इकाई एक समरूपता है ताकि लिम Δ का बायाँ व्युत्क्रम हो। यदि J जुड़ा नहीं है, तो यह विफल हो जाता है। उदाहरण के लिए, यदि J एक असतत श्रेणी है, तो इकाई के घटक विकर्ण आकारिकी δ: N → NJ हैं।

वास्तव में, यदि आकृति J के प्रत्येक आरेख C (J छोटे के लिए) में एक सह-सीमा है, उस स्थान पर एक सह-सीमा प्रकार्यक उपस्थित है।
 * $$\operatorname{colim} : \mathcal{C}^\mathcal{J} \to \mathcal{C}$$

जो प्रत्येक आरेखों को उसकी सह-सीमा प्रदान करता है। यह प्रकार्यक विकर्ण प्रकार्यक Δ: C → CJ के निकट छोड़ दिया गया है और किसी के पास प्राकृतिक समरूपता है।
 * $$\operatorname{Hom}(\operatorname{colim}F,N) \cong \operatorname{Cocone}(F,N)$$

इस संयोजन की इकाई F से कोलिम F तक सार्वभौमिक सह-शंकु है। यदि J जुड़ा हुआ है (और गैर-रिक्त) तो सह-इकाई एक समरूपता है, ताकि कोलिम Δ का एक बाएं व्युत्क्रम हो।

ध्यान दें कि सीमा और सह-सीमा प्रकार्यक दोनों ही सहसंयोजक प्रकार्यक हैं।

प्रकार्यक के प्रतिनिधित्व के रूप में
एक श्रेणी C में सीमा और सह-सीमा की समुच्चय श्रेणी में सीमा से संबंधित करने के लिए होम प्रकार्यक का उपयोग कर सकते हैं। यह आंशिक रूप से इस तथ्य का अनुसरण करता है कि सहपरिवर्ती होम प्रकार्यक होम(N, –): C समुच्चय C में सभी सीमाओं को सुरक्षित रखता है।

यदि एक आरेख F: J → C की C में एक सीमा है, जिसे लिम F द्वारा निरूपित किया जाता है, तो एक विहित समरूपता है,
 * $$\operatorname{Hom}(N,\lim F)\cong \lim\operatorname{Hom}(N,F-)$$

जो चर N में स्वाभाविक है। यहाँ प्रकार्यक होम (N, F–) F के साथ होम प्रकार्यक होम (N, –) की संरचना है। यह समरूपता अद्वितीय है जो सीमित शंकुओं का सम्मान करती है।

C में F की सीमा को परिभाषित करने के लिए उपरोक्त संबंध का उपयोग किया जा सकता है। प्रथम चरण यह देखना है कि प्रकार्यक होम (N, F–) की सीमा को N से F तक सभी शंकुओं के समुच्चय के साथ पहचाना जा सकता है:
 * $$\lim\operatorname{Hom}(N,F-) = \operatorname{Cone}(N,F)$$

सीमित शंकु मानचित्र πX: शंकु(N, F) → होम(N, FX) के वर्ग द्वारा दिया गया है जहां $\pi$X(ψ) = ψX है। यदि किसी को एक प्राकृतिक समरूपता Φ: होम(L, –) → शंकु(–, F) के साथ C का एक वस्तु L दिया जाता है, तो वस्तु L, ΦL(idL) द्वारा दिए गए सीमित शंकु के साथ F की एक सीमा होगी। विचित्र भाषा में, यह कहने के समान है कि F की एक सीमा प्रकार्यक शंकु(–, F): C → समुच्चय का निरूपण है।

वास्तव में, यदि एक आरेख F: J → C में C में एक सह-सीमा है, जिसे कोलिम F से निरूपित किया जाता है, तो एक अद्वितीय विहित समरूपता होती है,
 * $$\operatorname{Hom}(\operatorname{colim} F, N)\cong\lim\operatorname{Hom}(F-,N)$$

जो चर N में स्वाभाविक है और सह-सीमित शंकुओं का सम्मान करता है। समुच्चय सह-शंकु (F, N) के साथ होम (F–, N) की सीमा की पहचान करना, इस संबंध का उपयोग आरेख F के सह-सीमा को प्रकार्यक सह-शंकु (F, –) के प्रतिनिधित्व के रूप में परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है।

समुच्चय की सीमा और सह-सीमा का अंतर्विनिमय
मान लीजिए कि I एक सीमित श्रेणी है और J एक छोटी निस्यंदित श्रेणी है। किसी भी द्विभाजक के लिए,


 * $$F : I\times J \to \mathbf{Set}$$

एक प्राकृतिक समरूपता है।


 * $$\operatorname{colim}\limits_J \lim_I F(i, j) \rightarrow \lim_I\operatorname{colim}\limits_J F(i, j)$$

शब्दों में, परिमित सीमाओं के साथ समुच्चय परिवर्तन में निस्यंदक किए गए सह-सीमा है। यह भी मानता है कि छोटे सह-सीमा छोटी सीमाओं के साथ रूपान्तरित करते हैं।

प्रकार्यक और सीमाएँ
यदि F: J → C, C में एक आरेख है और G: C → D एक प्रकार्यक है, तो रचना द्वारा (याद रखें कि एक आरेख केवल एक प्रकार्यक है) एक आरेख GF: J → D प्राप्त करता है। एक स्वाभाविक प्रश्न तब है:
 * “GF की सीमाएँ F से कैसे संबंधित हैं?”

सीमाओं का संरक्षण
एक प्रकार्यक G: C → D, Cone(F) से Cone(GF) तक एक मानचित्र को प्रेरित करता है: यदि Ψ N से F तक एक शंकु है तो GΨ GN से GF तक एक शंकु है। प्रकार्यक G को F की सीमा को संरक्षित करने के लिए कहा जाता है यदि (GL, Gφ) GF की एक सीमा है, जब भी (L, φ) F की एक सीमा है। (ध्यान दें कि यदि F की सीमा उपस्थित नहीं है, तो G रिक्त रूप F की सीमा को सुरक्षित रखता है)।

कहा जाता है कि एक प्रकार्यक G को आकृति J की सभी सीमाओं को संरक्षित करता है यदि यह सभी आरेखों F: J → C की सीमाओं को संरक्षित करता है। उदाहरण के लिए, कोई कह सकता है कि G उत्पादों, तुल्यकारक, पुलबैक इत्यादि को संरक्षित करता है। एक निरंतर प्रकार्यक वह है जो सभी छोटी सीमाओं को संरक्षित करता है।

कोई सह-सीमाओं के लिए समान परिभाषाएं बना सकता है। उदाहरण के लिए, एक प्रकार्यक G, F की सह-सीमाओं को संरक्षित करता है यदि G(L, φ) GF की एक सह-सीमा है जब भी (L, φ) F की एक सह-सीमा होती है।

यदि C एक पूर्ण श्रेणी है, तो सीमा के लिए उपरोक्त अस्तित्व प्रमेय द्वारा, एक प्रकार्यक G: C → D निरंतर है यदि और केवल यदि यह (छोटे) उत्पादों और तुल्यकारकों को संरक्षित करता है। वास्तव में, G सह-सतत है यदि और केवल यदि यह (छोटे) सह-उत्पादों और सह-तुल्यकारकों को संरक्षित करता है।

आसन्न प्रकार्यकों का एक महत्वपूर्ण गुणधर्म यह है कि प्रत्येक दायां आसन्न प्रकार्यक निरंतर होता है और प्रत्येक बाएं आसन्न प्रकार्यक सहवर्ती होता है। चूँकि निकटस्थ प्रकार्यक बहुतायत में उपस्थित हैं, यह निरंतर और सहवर्ती प्रकार्यकों के कई उदाहरण प्रदान करता है।

किसी दिए गए आरेख F: J → C और प्रकार्यक G: C → D के लिए, यदि F और GF दोनों में निर्दिष्ट सीमाएँ हैं तो एक अद्वितीय विहित आकारिकी है।
 * $$\tau_F : G \lim F \to \lim GF$$

जो संगत सीमा शंकु का सम्मान करता है। प्रकार्यक G, F की सीमाओं को संरक्षित रखता है यदि और केवल यह प्रतिचित्र एक समरूपता है। यदि श्रेणियों C और D में आकृति J की सभी सीमाएँ हैं तो लिम एक प्रकार्यक है और आकारिता τF प्राकृतिक परिवर्तन के घटकों का निर्माण करता है।
 * $$\tau:G \lim \to \lim G^J.$$

प्रकार्यक G आकृति J की सभी सीमाओं को संरक्षित करता है यदि और केवल यदि τ एक प्राकृतिक समरूपता है। इस अर्थ में, प्रकार्यक G को सीमा के साथ रूपान्तरित करने के लिए कहा जा सकता है (एक विहित प्राकृतिक समरूपता तक)।

सीमाओं और सह-सीमाओं का संरक्षण एक ऐसी अवधारणा है जो केवल सहसंयोजक प्रकार्यकों पर अनुप्रयुक्त होती है। प्रतिपरिवर्ती प्रकार्यकों के लिए संबंधित धारणा एक प्रकार्यक होगी जो सह-सीमाओं को सीमाओं तक ले जाती है, या वह जो सह-सीमाओं की सीमाओं लेती है।

सीमा का उत्थान
एक प्रकार्यक G: C → D को आरेख F: J → C के लिए सीमा का उत्थान कहा जाता है: यदि जब भी (L, φ) GF की सीमा होती है तो F की एक सीमा (L′, φ′) उपस्थित होती है जैसे कि G(L′, φ′) = (L, φ) है। एक प्रकार्यक G, आकृति J की सीमाओं का उत्थान करता है यदि यह आकृति J के सभी आरेखों की सीमाओं का उत्थान करता है। इसलिए कोई उत्पादों, तुल्यकारकों, पुलबैक आदि के उत्थापन के विषय में बात कर सकता है। अंत में, कोई कहता है कि G सीमाओं का उत्थान करता है। सह-सीमाओं के उत्थान के लिए दोहरी परिभाषाएँ हैं।

एक प्रकार्यक G एक आरेख F के लिए विशिष्ट रूप से सीमाओं का उत्थान करता है यदि एक अद्वितीय पूर्व छवि शंकु (L′, φ′) है, जैसे कि (L′, φ′) F और G(L′, φ′) = (L, φ) की एक सीमा है। कोई दर्शा सकता है कि G सह-सीमाओं का विशिष्ट रूप से उत्थान करता है यदि और केवल यदि यह सह-सीमाओं का उत्थान करता है और स्मृतिलोपी है।

सीमाओं का उत्थान स्पष्ट रूप से सीमाओं के संरक्षण से संबंधित है। यदि G आरेख F के लिए सीमाओं का उत्थान करता है और GF की सीमा होती है, तो F की भी सीमा होती है और G, F की सीमा को संरक्षित करता है। यह इस प्रकार है: सह-सीमाओं के लिए दोहरे कथन समान रूप से मान्य हैं।
 * यदि G सभी आकृति J की सीमाओं का उत्थान कर देता है और D के पास J आकृति की सभी सीमाएँ हैं, तो C के पास J आकृति की सभी सीमाएँ भी हैं और G इन सीमाओं को संरक्षित करता है।
 * यदि G सभी छोटी सीमाओं का उत्थान कर है और D पूर्ण है, तो C भी पूर्ण है और G निरंतर है।

सीमाओं का निर्माण और प्रतिबिंब
मान लीजिए F: J → C एक आरेख है और एक प्रकार्यक G: C → D कहलाता है। दोहरे रूप से, सह-सीमाओं के निर्माण और प्रतिबिंब को परिभाषित किया जा सकता है।
 * F के लिए सीमाएँ बनाएँ यदि जब भी (L, φ) GF की एक सीमा होती है तो F के लिए एक अद्वितीय शंकु (L′, φ′) उपस्थित है जैसे कि G(L′, φ′) = (L, φ) है, और इसके अतिरिक्त, यह शंकु F की एक सीमा है।
 * F के लिए सीमा को प्रतिबिंबित करें यदि प्रत्येक शंकु F के लिए जिसकी G के अंतर्गत छवि GF की सीमा पूर्व से ही F की सीमा है।

निम्नलिखित विवरणों को सरलता से समतुल्य देखा जा सकता है: प्रकार्यक के ऐसे उदाहरण हैं जो विशिष्ट रूप से सीमाओं का उत्थान करते हैं परन्तु न तो उन्हें बनाते हैं और न ही उन्हें प्रतिबिंबित करते हैं।
 * प्रकार्यक G सीमा का निर्माण करता है।
 * प्रकार्यक G विशिष्ट रूप से सीमाओं का उत्थान करता है और सीमाओं को दर्शाता है।

उदाहरण

 * प्रत्येक प्रतिनिधित्व करने योग्य प्रकार्यक C → समुच्चय सीमा को संरक्षित करता है (परन्तु आवश्यक नहीं कि सह सीमा हो)। विशेष रूप से, C के किसी वस्तु A के लिए, यह सहपरिवर्ती होम फलक होम(A,–): C → समुच्चय के लिए सत्य है।
 * अनवहित प्रकार्यक U: जीआरपी → समुच्चय सभी छोटी सीमाएं और निस्यंदक किए गए सह-सीमाओं का निर्माण करता है (और संरक्षित करता है); हालाँकि, U सह-उत्पादों का संरक्षण नहीं करता है। यह स्थिति बीजगणितीय अनवहित प्रकार्यकों की विशिष्ट है।
 * मुक्त कारक F: समुच्चय → जीआरपी (जो प्रत्येक समुच्चय S को S के ऊपर मुक्त समूह निर्दिष्ट करता है) को अनवहित प्रकार्यक U के साथ छोड़ दिया जाता है और इसलिए, सहवर्ती है। यह बताता है कि दो मुक्त समूहों G और H का मुक्त उत्पाद G और H के जनित के असंयुक्त संघ द्वारा उत्पन्न मुक्त समूह क्यों है।
 * समावेशन प्रकार्यक एबी → जीआरपी सीमाओं का निर्माण करता है परन्तु सह-उत्पादों को संरक्षित नहीं करता है (दो एबेलियन समूहों का प्रतिफल प्रत्यक्ष योग है)।
 * अनवहित प्रकार्यक टॉप → समुच्चय विशिष्ट रूप से सीमाओं और सह-सीमाओं का उत्थान करता है परन्तु कोई भी नहीं बनाता है।
 * मान लीजिए कि मेटc आकारिकी के लिए निरंतर फलनों के साथ मापीय रिक्त स्थान की श्रेणी है। अनवहित कारक मेटc → समुच्चय सीमित सीमाओं का उत्थान करता है परन्तु उन्हें विशिष्ट रूप से उत्थान नहीं करता है।

शब्दावली पर टिप्पणी
पुरानी शब्दावली को "प्रतिलोम सीमा" या "प्रक्षेपी सीमा" के रूप में और "प्रत्यक्ष सीमा" या "आगमनात्मक सीमा" के रूप में सह-सीमाओं के रूप में संदर्भित किया जाता है। यह बहुत भ्रम का स्रोत रहा है।

आधुनिक शब्दावली को याद रखने के कई तरीके हैं। सर्वप्रथम, सह-सीमाओं के प्रकार हैं, जबकि सीमाएं के प्रकार हैं। दूसरा, उपसर्ग "सह" का तात्पर्य प्रथम चर होम से है। "सह-समरूपता" और "सह-तंतु" जैसे शब्दों का प्रथम चर के साथ थोड़ा प्रबल जुड़ाव है, अर्थात, होम द्वि-प्रकार्यक का प्रतिपरिवर्तक चर हैं।
 * सह-अष्ठि,
 * सह-उत्पाद,
 * सह-तुल्यकारक और
 * सह-कार्यक्षेत्र
 * अष्ठि,
 * उत्पाद,
 * तुल्यकारक और
 * कार्यक्षेत्र

बाहरी संबंध

 * Interactive Web page which generates examples of limits and colimits in the category of finite sets. Written by Jocelyn Paine.