कार्य-कारण की स्थितियाँ

लोरेंट्ज़ियन मैनिफोल्ड अंतरिक्ष समय  के अध्ययन में कार्य-कारण स्थितियों का एक पदानुक्रम मौजूद है जो ऐसे मैनिफोल्ड्स की वैश्विक संरचना के बारे में गणितीय प्रमेयों को साबित करने में महत्वपूर्ण हैं। ये स्थितियाँ 1970 के दशक के अंत में एकत्र की गईं। स्पेसटाइम पर कार्य-कारण की स्थिति जितनी कमजोर होगी, स्पेसटाइम उतना ही अधिक अभौतिक होगा। उदाहरण के लिए, बंद समय-सदृश वक्रों वाला स्पेसटाइम, गंभीर व्याख्यात्मक कठिनाइयाँ प्रस्तुत करता है। दादाजी विरोधाभास देखें.

यह विश्वास करना उचित है कि कोई भी भौतिक स्पेसटाइम सबसे मजबूत कार्य-कारण स्थिति को संतुष्ट करेगा: वैश्विक अतिशयोक्ति। ऐसे स्पेसटाइम के लिए सामान्य सापेक्षता में समीकरणों को कॉची सतह पर प्रारंभिक मूल्य समस्या के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है।

पदानुक्रम
कार्य-कारण स्थितियों का एक पदानुक्रम है, जिनमें से प्रत्येक पिछले की तुलना में सख्ती से मजबूत है। इसे कभी-कभी कारण सीढ़ी भी कहा जाता है। सबसे कमजोर से सबसे मजबूत तक स्थितियाँ हैं:


 * पूर्णतया दुष्ट नहीं
 * कालानुक्रमिक
 * कारण
 * भेद करना
 * प्रबल कारणात्मक
 * स्थिर कारण
 * कारणतः निरंतर
 * कारणतः सरल
 * विश्व स्तर पर अतिशयोक्तिपूर्ण

लोरेंत्ज़ियन मैनिफ़ोल्ड के लिए इन कार्य-कारण स्थितियों की परिभाषाएँ दी गई हैं $$(M,g)$$. जहां दो या दो से अधिक दिए गए हैं वे समतुल्य हैं।

संकेतन: (की परिभाषाओं के लिए कारण संरचना#कारण संबंध देखें $$\,I^+(x)$$, $$\,I^-(x)$$ और $$\,J^+(x)$$, $$\,J^-(x)$$.)
 * $$p \ll q$$ कालानुक्रमिक संबंध को दर्शाता है.
 * $$p \prec q$$ कारण संबंध को दर्शाता है.

गैर-पूरी तरह से शातिर

 * कुछ बिंदुओं के लिए $$p \in M$$ अपने पास $$p \not\ll p$$.

कालानुक्रमिक

 * कोई बंद कालानुक्रमिक (टाइमलाइक) वक्र नहीं हैं।
 * कालानुक्रमिक संबंध अपरिवर्तनीय है: $$p \not\ll p$$ सभी के लिए $$ p \in M $$.

कारण

 * कोई बंद कारण (गैर-स्पेसलाइक) वक्र नहीं हैं।
 * अगर दोनों $$p \prec q$$ और $$q \prec p$$ तब $$p = q$$

अतीत-भेद

 * दो बिंदु $$p, q \in M$$ जो समान कालानुक्रमिक अतीत साझा करते हैं वे समान बिंदु हैं:
 * $$I^-(p) = I^-(q) \implies p = q $$


 * किसी भी पड़ोस के लिए $$U$$ का $$p \in M$$ वहाँ एक पड़ोस मौजूद है $$V \subset U, p \in V$$ ऐसा कि कोई भी अतीत-निर्देशित गैर-अंतरिक्ष जैसा वक्र नहीं $$p$$ काटती है $$V$$ एक से ज्यादा बार।

भविष्य-भेद

 * दो बिंदु $$p, q \in M$$ जो समान कालानुक्रमिक भविष्य साझा करते हैं वे समान बिंदु हैं:
 * $$I^+(p) = I^+(q) \implies p = q $$


 * किसी भी पड़ोस के लिए $$U$$ का $$p \in M$$ वहाँ एक पड़ोस मौजूद है $$V \subset U, p \in V$$ ऐसा कि भविष्य-निर्देशित गैर-अंतरिक्ष जैसा कोई वक्र नहीं $$p$$ काटती है $$V$$ एक से ज्यादा बार।

प्रबल कारण

 * किसी भी पड़ोस के लिए $$U$$ का $$p \in M$$ वहाँ एक पड़ोस मौजूद है $$V \subset U, p \in V$$ ऐसा कि वहां से गुजरने वाला कोई समय-सदृश वक्र मौजूद नहीं है $$V$$ एक से ज्यादा बार।
 * किसी भी पड़ोस के लिए $$U$$ का $$p \in M$$ वहाँ एक पड़ोस मौजूद है $$V \subset U, p \in V$$ ऐसा है कि $$V$$ कारणतः उत्तल है $$M$$ (और इस प्रकार में $$U$$).
 * अलेक्जेंडर टोपोलॉजी मैनिफोल्ड टोपोलॉजी से सहमत है।

स्थिर कारण
यदि मीट्रिक को एक छोटा गड़बड़ी सिद्धांत दिया जाता है, तो ऊपर परिभाषित किसी भी कमजोर कार्य-कारण की स्थिति को संतुष्ट करने वाला मैनिफोल्ड ऐसा करने में विफल हो सकता है। एक स्पेसटाइम स्थिर रूप से कारणात्मक होता है यदि इसे मीट्रिक के मनमाने ढंग से छोटे गड़बड़ी द्वारा बंद कारण वक्रों को शामिल करने के लिए नहीं बनाया जा सकता है। स्टीफन हॉकिंग ने दिखाया यह इसके बराबर है:


 * वहाँ पर एक वैश्विक समय फ़ंक्शन मौजूद है $$M$$. यह एक अदिश (भौतिकी) क्षेत्र है $$t$$ पर $$M$$ जिसका ग्रेडिएंट#रीमानियन मैनिफोल्ड्स पर ग्रेडिएंट $$\nabla^a t$$ हर जगह समयानुरूप और भविष्य-निर्देशित है। यह वैश्विक समय फ़ंक्शन हमें स्पेसटाइम के प्रत्येक बिंदु के लिए भविष्य और अतीत के बीच अंतर करने का एक स्थिर तरीका देता है (और इसलिए हमारे पास कोई कारणात्मक उल्लंघन नहीं है)।

विश्व स्तर पर अतिशयोक्तिपूर्ण
रॉबर्ट गेरोच ने दिखाया कि एक स्पेसटाइम विश्व स्तर पर अतिशयोक्तिपूर्ण है यदि और केवल तभी जब इसके लिए एक कॉची सतह मौजूद हो $$M$$. इस का मतलब है कि:
 * $$\,M$$ कार्य-कारण स्थितियाँ#प्रबल कारण-कारण और प्रत्येक सेट है $$J^+(x) \cap J^-(y)$$ (अंकों के लिए $$x,y \in M$$) सघन स्थान है।
 * $$M$$ स्थलाकृतिक रूप से समतुल्य है $$\mathbb{R} \times\!\, S$$ कुछ कॉची सतह के लिए $$S$$ (यहाँ $$\mathbb{R}$$ वास्तविक रेखा को दर्शाता है)।

यह भी देखें

 * अंतरिक्ष समय
 * लोरेंट्ज़ियन मैनिफोल्ड
 * कारण संरचना
 * विश्व स्तर पर अतिपरवलयिक विविधता
 * बंद समय जैसा वक्र