रैखिक स्वतंत्रता

सदिश समष्टि के सिद्धांत में, सदिश (गणित) के समुच्चय (गणित) को कहा जाता हैयदि शून्य वेक्टर के बराबर वैक्टर का एक गैर-तुच्छ रैखिक संयोजन  है। यदि ऐसा कोई रैखिक संयोजन मौजूद नहीं है, तो सदिश सदिश कहलाते हैं. ये अवधारणाएँ आयाम (वेक्टर स्पेस) की परिभाषा के केंद्र में हैं।

रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिशों की अधिकतम संख्या के आधार पर एक सदिश स्थान परिमित आयाम या अनंत आयाम का हो सकता है। रैखिक निर्भरता की परिभाषा और यह निर्धारित करने की क्षमता कि वेक्टर अंतरिक्ष में वैक्टरों का एक सबसेट रैखिक रूप से निर्भर है, वेक्टर अंतरिक्ष के आयाम को निर्धारित करने के लिए केंद्रीय हैं।

परिभाषा
वैक्टर का एक क्रम $$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k$$ एक वेक्टर अंतरिक्ष से $V$ यदि स्केलर (गणित) मौजूद है, तो इसे रैखिक रूप से निर्भर कहा जाता है $$a_1, a_2, \dots, a_k,$$ सभी शून्य नहीं, ऐसा
 * $$a_1\mathbf{v}_1 + a_2\mathbf{v}_2 + \cdots + a_k\mathbf{v}_k = \mathbf{0},$$

कहाँ पे $$\mathbf{0}$$ शून्य वेक्टर को दर्शाता है।

इसका तात्पर्य है कि कम से कम एक अदिश अशून्य है, कहते हैं $$a_1\ne 0$$, और उपरोक्त समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है
 * $$\mathbf{v}_1 = \frac{-a_2}{a_1}\mathbf{v}_2 + \cdots + \frac{-a_k}{a_1} \mathbf{v}_k,$$

अगर $$k>1,$$ और $$\mathbf{v}_1 = \mathbf{0}$$ यदि $$k=1.$$ इस प्रकार, सदिशों का एक समुच्चय रैखिक रूप से आश्रित होता है यदि और केवल यदि उनमें से एक शून्य हो या अन्य का एक रैखिक संयोजन हो।

वैक्टर का एक क्रम $$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n$$ रैखिक रूप से स्वतंत्र कहा जाता है यदि यह रैखिक रूप से निर्भर नहीं है, अर्थात यदि समीकरण
 * $$a_1\mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + a_n\mathbf{v}_n = \mathbf{0},$$

द्वारा ही संतुष्ट किया जा सकता है $$a_i=0$$ के लिए $$i=1,\dots,n.$$ इसका तात्पर्य यह है कि अनुक्रम में कोई भी वेक्टर अनुक्रम में शेष वैक्टरों के रैखिक संयोजन के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, सदिशों का एक क्रम रैखिक रूप से स्वतंत्र होता है यदि केवल प्रतिनिधित्व करता है $$\mathbf 0$$ इसके वैक्टरों के एक रैखिक संयोजन के रूप में तुच्छ प्रतिनिधित्व है जिसमें सभी स्केलर हैं $$a_i$$ शून्य हैं। इससे भी अधिक संक्षेप में, वैक्टरों का अनुक्रम रैखिक रूप से स्वतंत्र होता है यदि और केवल यदि $$\mathbf 0$$ एक अनूठे तरीके से अपने वैक्टरों के रैखिक संयोजन के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है।

यदि सदिशों के अनुक्रम में एक ही सदिश दो बार होता है, तो यह आवश्यक रूप से आश्रित होता है। सदिशों के अनुक्रम की रैखिक निर्भरता अनुक्रम में पदों के क्रम पर निर्भर नहीं करती है। यह सदिशों के परिमित समुच्चय के लिए रैखिक स्वतंत्रता को परिभाषित करने की अनुमति देता है: सदिशों का एक परिमित समुच्चय रैखिक रूप से स्वतंत्र होता है यदि उनके क्रम से प्राप्त अनुक्रम रैखिक रूप से स्वतंत्र होता है। दूसरे शब्दों में, एक का निम्नलिखित परिणाम होता है जो अक्सर उपयोगी होता है।

सदिशों का एक क्रम रैखिक रूप से स्वतंत्र होता है यदि और केवल यदि इसमें एक ही सदिश दो बार नहीं होता है और इसके सदिशों का समुच्चय रैखिक रूप से स्वतंत्र होता है।

अनंत मामला
सदिशों का एक अनंत सबसेट  रैखिक रूप से स्वतंत्र होता है यदि प्रत्येक गैर-रिक्त परिमित उपसमुच्चय रैखिक रूप से स्वतंत्र हो। इसके विपरीत, सदिशों का एक अनंत सेट रैखिक रूप से निर्भर होता है यदि इसमें एक परिमित उपसमुच्चय होता है जो रैखिक रूप से निर्भर होता है, या समतुल्य होता है, यदि सेट में कुछ वेक्टर सेट में अन्य वैक्टरों का एक रैखिक संयोजन होता है।

सदिशों का एक अनुक्रमित परिवार  रैखिक रूप से स्वतंत्र होता है यदि इसमें एक ही सदिश दो बार नहीं होता है, और यदि इसके सदिशों का सेट रैखिक रूप से स्वतंत्र होता है। अन्यथा, परिवार को रैखिक रूप से निर्भर कहा जाता है।

सदिशों का एक समूह जो रैखिक रूप से स्वतंत्र है और कुछ सदिश स्थान को फैलाता है, उस सदिश स्थान के लिए एक आधार (रैखिक बीजगणित)  बनाता है। उदाहरण के लिए, सभी  बहुपद ों का सदिश स्थान $x$ रियल में (अनंत) सबसेट है ${1, x, x^{2}, ...}$ आधार रूप से।

ज्यामितीय उदाहरण
* $$\vec u$$ और $$\vec v$$ स्वतंत्र हैं और समतल P को परिभाषित करते हैं।
 * $$\vec u$$, $$\vec v$$ और $$\vec w$$ आश्रित हैं क्योंकि तीनों एक ही तल में समाहित हैं।
 * $$\vec u$$ और $$\vec j$$ निर्भर हैं क्योंकि वे एक दूसरे के समानांतर हैं।
 * $$\vec u$$, $$\vec v$$ और $$\vec k$$ स्वतंत्र हैं क्योंकि $$\vec u$$ और $$\vec v$$ एक दूसरे से स्वतंत्र हैं और $$\vec k$$ उनका एक रैखिक संयोजन नहीं है या, समतुल्य रूप से, क्योंकि वे एक सामान्य तल से संबंधित नहीं हैं। तीन वैक्टर एक त्रि-आयामी स्थान को परिभाषित करते हैं।
 * वैक्टर $$\vec o$$ (अशक्त वेक्टर, जिसके घटक शून्य के बराबर हैं) और $$\vec k$$ से आश्रित हैं $$\vec o = 0 \vec k$$

भौगोलिक स्थिति
एक व्यक्ति किसी निश्चित स्थान के स्थान का वर्णन कर सकता है, यह कह सकता है, यह यहाँ से 3 मील उत्तर और 4 मील पूर्व में है। स्थान का वर्णन करने के लिए यह पर्याप्त जानकारी है, क्योंकि भौगोलिक समन्वय प्रणाली को 2-आयामी सदिश स्थान (पृथ्वी की सतह की ऊंचाई और वक्रता की उपेक्षा) के रूप में माना जा सकता है। वह व्यक्ति जोड़ सकता है, यह स्थान यहाँ से 5 मील उत्तर-पूर्व में है। यह अंतिम कथन सत्य है, लेकिन स्थान का पता लगाना आवश्यक नहीं है। इस उदाहरण में 3 मील उत्तर सदिश और 4 मील पूर्व सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। कहने का तात्पर्य यह है कि उत्तर सदिश को पूर्व सदिश के संदर्भ में वर्णित नहीं किया जा सकता है, और इसके विपरीत। तीसरा 5 मील पूर्वोत्तर वेक्टर अन्य दो वैक्टरों का एक रैखिक संयोजन है, और यह वैक्टरों के सेट को रैखिक रूप से निर्भर करता है, अर्थात, तीन वैक्टरों में से एक एक विमान पर एक विशिष्ट स्थान को परिभाषित करने के लिए अनावश्यक है।

यह भी ध्यान दें कि यदि ऊंचाई को नजरअंदाज नहीं किया जाता है, तो रैखिक रूप से स्वतंत्र सेट में तीसरा वेक्टर जोड़ना आवश्यक हो जाता है। सामान्य रूप में, $n$ सभी स्थानों का वर्णन करने के लिए रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर की आवश्यकता होती है $n$-आयामी स्थान।

शून्य वेक्टर
यदि सदिशों के दिए गए अनुक्रम में से एक या अधिक सदिश $$\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k$$ शून्य सदिश है $$\mathbf{0}$$ फिर वेक्टर $$\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k$$ आवश्यक रूप से रैखिक रूप से निर्भर हैं (और परिणामस्वरूप, वे रैखिक रूप से स्वतंत्र नहीं हैं)। देखने के लिए क्यों, मान लीजिए $$i$$ एक सूचकांक है (अर्थात का एक तत्व $$\{ 1, \ldots, k \}$$) ऐसा है कि $$\mathbf{v}_i = \mathbf{0}.$$ तो करने दें $$a_{i} := 1$$ (वैकल्पिक रूप से, दे $$a_{i}$$ be equal कोई अन्य गैर-शून्य स्केलर भी काम करेगा) और फिर अन्य सभी स्केलर होने दें $$0$$ (स्पष्ट रूप से, इसका मतलब है कि किसी भी इंडेक्स के लिए $$j$$ के अलावा अन्य $$i$$ (यानी के लिए $$j \neq i$$), होने देना $$a_{j} := 0$$ ताकि फलस्वरूप $$a_{j} \mathbf{v}_j = 0 \mathbf{v}_j = \mathbf{0}$$). सरल बनाना $$a_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + a_k\mathbf{v}_k$$ देता है:
 * $$a_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + a_k\mathbf{v}_k = \mathbf{0} + \cdots + \mathbf{0} + a_i \mathbf{v}_i + \mathbf{0} + \cdots + \mathbf{0} = a_i \mathbf{v}_i = a_i \mathbf{0} = \mathbf{0}.$$

क्योंकि सभी अदिश शून्य नहीं होते (विशेष रूप से, $$a_{i} \neq 0$$), यह साबित करता है कि वैक्टर $$\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k$$ रैखिक रूप से आश्रित हैं।

नतीजतन, शून्य वेक्टर संभवतः वेक्टर के किसी भी संग्रह से संबंधित नहीं हो सकता है जो रैखिक रूप से स्वतंत्र है।

अब विशेष मामले पर विचार करें जहां का क्रम $$\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k$$ लंबाई है $$1$$ (यानी मामला जहां $$k = 1$$). सदिशों का एक संग्रह जिसमें ठीक एक सदिश होता है, रैखिक रूप से निर्भर होता है यदि और केवल यदि वह सदिश शून्य है। स्पष्ट रूप से, अगर $$\mathbf{v}_1$$ कोई वेक्टर है तो अनुक्रम $$\mathbf{v}_1$$ (जो लंबाई का एक क्रम है $$1$$) रैखिक रूप से निर्भर है अगर और केवल अगर $\mathbf{v}_1 = \mathbf{0}$; वैकल्पिक रूप से, संग्रह $$\mathbf{v}_1$$ रैखिक रूप से स्वतंत्र है अगर और केवल अगर $$\mathbf{v}_1 \neq \mathbf{0}.$$

रैखिक निर्भरता और दो वैक्टरों की स्वतंत्रता
यह उदाहरण उस विशेष मामले पर विचार करता है जहां बिल्कुल दो वेक्टर हैं $$\mathbf{u}$$ और $$\mathbf{v}$$ कुछ वास्तविक या जटिल सदिश समष्टि से। वैक्टर $$\mathbf{u}$$ और $$\mathbf{v}$$ रैखिक रूप से निर्भर हैं यदि और केवल यदि निम्न में से कम से कम एक सत्य है: यदि $$\mathbf{u} = \mathbf{0}$$ फिर सेटिंग करके $$c := 0$$ अपने पास $$c \mathbf{v} = 0 \mathbf{v} = \mathbf{0} = \mathbf{u}$$ (इस समानता का कोई मूल्य नहीं है $$\mathbf{v}$$ is), जो दर्शाता है कि (1) इस विशेष मामले में सत्य है। इसी प्रकार यदि $$\mathbf{v} = \mathbf{0}$$ तब (2) सत्य है क्योंकि $$\mathbf{v} = 0 \mathbf{u}.$$ यदि $$\mathbf{u} = \mathbf{v}$$ (उदाहरण के लिए, यदि वे दोनों शून्य सदिश के बराबर हैं $$\mathbf{0}$$) तो (1) और (2) दोनों सत्य हैं (उपयोग करके $$c := 1$$ दोंनो के लिए)।
 * 1) $$\mathbf{u}$$ का अदिश गुणक है $$\mathbf{v}$$ (स्पष्ट रूप से, इसका मतलब है कि एक स्केलर मौजूद है $$c$$ ऐसा है कि $$\mathbf{u} = c \mathbf{v}$$) या
 * 2) $$\mathbf{v}$$ का अदिश गुणक है $$\mathbf{u}$$ (स्पष्ट रूप से, इसका मतलब है कि एक स्केलर मौजूद है $$c$$ ऐसा है कि $$\mathbf{v} = c \mathbf{u}$$).

यदि $$\mathbf{u} = c \mathbf{v}$$ तब $$\mathbf{u} \neq \mathbf{0}$$ केवल तभी संभव है $$c \neq 0$$ और $$\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$$; इस स्थिति में, दोनों पक्षों को इससे गुणा करना संभव है $\frac{1}{c}$ समाप्त करने के लिए $\mathbf{v} = \frac{1}{c} \mathbf{u}.$  इससे पता चलता है कि अगर $$\mathbf{u} \neq \mathbf{0}$$ और $$\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$$ तब (1) सत्य है यदि और केवल यदि (2) सत्य है; अर्थात्, इस विशेष मामले में या तो दोनों (1) और (2) सत्य हैं (और सदिश रैखिक रूप से निर्भर हैं) या फिर दोनों (1) और (2) असत्य हैं (और सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं)। यदि $$\mathbf{u} = c \mathbf{v}$$ लेकिन बदले $$\mathbf{u} = \mathbf{0}$$ तो कम से कम एक $$c$$ और $$\mathbf{v}$$ शून्य होना चाहिए। इसके अलावा, अगर बिल्कुल एक $$\mathbf{u}$$ और $$\mathbf{v}$$ है $$\mathbf{0}$$ (जबकि दूसरा शून्य नहीं है) तो (1) और (2) में से एक सही है (दूसरा गलत होने के साथ)।

वैक्टर $$\mathbf{u}$$ और $$\mathbf{v}$$ यदि और केवल यदि रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं $$\mathbf{u}$$ का अदिश गुणज नहीं है $$\mathbf{v}$$ और $$\mathbf{v}$$ का अदिश गुणज नहीं है $$\mathbf{u}$$.

आर में वैक्टर2
तीन सदिश: सदिशों के समुच्चय पर विचार करें $$\mathbf{v}_1 = (1, 1),$$ $$\mathbf{v}_2 = (-3, 2),$$ और $$\mathbf{v}_3 = (2, 4),$$ फिर रैखिक निर्भरता के लिए शर्त गैर-शून्य अदिशों के एक सेट की तलाश करती है, जैसे कि
 * $$a_1 \begin{bmatrix} 1\\1\end{bmatrix} + a_2 \begin{bmatrix} -3\\2\end{bmatrix} + a_3 \begin{bmatrix} 2\\4\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix},$$

या
 * $$\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}.$$

प्राप्त करने के लिए दूसरी पंक्ति से पहली पंक्ति घटाकर इस मैट्रिक्स समीकरण को पंक्ति घटाएं,
 * $$\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 0 & 5 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}.$$

(i) दूसरी पंक्ति को 5 से विभाजित करके, और फिर (ii) 3 से गुणा करके और पहली पंक्ति में जोड़कर पंक्ति घटाना जारी रखें, अर्थात
 * $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 16/5 \\ 0 & 1 & 2/5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}.$$

इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने से हमें प्राप्त करने की अनुमति मिलती है
 * $$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix}=-a_3\begin{bmatrix} 16/5\\2/5\end{bmatrix}.$$

जो दर्शाता है कि अशून्य ai ऐसे मौजूद हैं $$\mathbf{v}_3 = (2, 4)$$ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$\mathbf{v}_1 = (1, 1)$$ और $$\mathbf{v}_2 = (-3, 2).$$ इस प्रकार, तीन वैक्टर रैखिक रूप से निर्भर हैं।

दो सदिश: अब दो सदिशों की रैखिक निर्भरता पर विचार करें $$\mathbf{v}_1 = (1, 1)$$ और $$\mathbf{v}_2 = (-3, 2),$$ और जाँच करें,
 * $$a_1 \begin{bmatrix} 1\\1\end{bmatrix} + a_2 \begin{bmatrix} -3\\2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix},$$

या
 * $$\begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 2  \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}.$$

पैदावार के ऊपर प्रस्तुत एक ही पंक्ति में कमी,
 * $$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}.$$

यह दर्शाता है कि $$a_i = 0,$$ जिसका अर्थ है कि वैक्टर v1 = (1, 1) और वी2 = (−3, 2) रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

आर में वैक्टर4
यह निर्धारित करने के लिए कि क्या तीन वैक्टर में $$\mathbb{R}^4,$$ :$$\mathbf{v}_1= \begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}, \mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}, \mathbf{v}_3=\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}.$$ रैखिक रूप से निर्भर हैं, मैट्रिक्स समीकरण बनाते हैं,


 * $$\begin{bmatrix}1&7&-2\\4& 10& 1\\2&-4&5\\-3&-1&-4\end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}.$$

पंक्ति प्राप्त करने के लिए इस समीकरण को कम करें,
 * $$\begin{bmatrix} 1& 7 & -2 \\ 0& -18& 9\\ 0 & 0 & 0\\ 0& 0& 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}.$$

v के लिए हल करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करें3 और प्राप्त करें,
 * $$\begin{bmatrix} 1& 7 \\ 0& -18 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix} =  -a_3\begin{bmatrix}-2\\9\end{bmatrix}.$$

शून्येतर a को परिभाषित करने के लिए इस समीकरण को आसानी से हल किया जा सकता हैi,
 * $$a_1 = -3 a_3 /2, a_2 = a_3/2,$$

कहां $$a_3$$ मनमाने ढंग से चुना जा सकता है। इस प्रकार, वैक्टर $$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,$$ और $$\mathbf{v}_3$$ रैखिक रूप से आश्रित हैं।

निर्धारकों का उपयोग करके वैकल्पिक विधि
एक वैकल्पिक तरीका इस तथ्य पर निर्भर करता है कि $$n$$ वैक्टर में $$\mathbb{R}^n$$ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं यदि और केवल तभी जब मैट्रिक्स (गणित)  के निर्धारक वैक्टर को इसके कॉलम के रूप में ले कर गैर-शून्य है।

इस मामले में, वैक्टर द्वारा गठित मैट्रिक्स है
 * $$A = \begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix} .$$

हम स्तंभों के एक रैखिक संयोजन को इस प्रकार लिख सकते हैं
 * $$A \Lambda = \begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\lambda_1 \\ \lambda_2 \end{bmatrix} .$$

हमें इसमें दिलचस्पी है कि क्या $AΛ = 0$ कुछ अशून्य वेक्टर Λ के लिए। यह के निर्धारक पर निर्भर करता है $$A$$, जो है
 * $$\det A = 1\cdot2 - 1\cdot(-3) = 5 \ne 0.$$

चूंकि निर्धारक गैर-शून्य है, इसलिए सदिश $$(1, 1)$$ और $$(-3, 2)$$ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

अन्यथा, मान लीजिए हमारे पास है $$m$$ के वैक्टर $$n$$ के साथ समन्वय करता है $$m < n.$$ फिर ए एक एम × एन मैट्रिक्स है और Λ एक कॉलम वेक्टर है $$m$$ प्रविष्टियाँ, और हम फिर से AΛ = '0' में रुचि रखते हैं। जैसा कि हमने पहले देखा, यह एक सूची के बराबर है $$n$$ समीकरण। पहले पर विचार करें $$m$$ की पंक्तियों $$A$$, सबसे पहला $$m$$ समीकरण; समीकरणों की पूरी सूची का कोई भी समाधान घटी हुई सूची के लिए भी सही होना चाहिए। वास्तव में, अगर $⟨i_{1},...,i_{m}⟩$ की कोई सूची है $$m$$ पंक्तियाँ, तो उन पंक्तियों के लिए समीकरण सत्य होना चाहिए।
 * $$A_{\lang i_1,\dots,i_m \rang} \Lambda = \mathbf{0} .$$

इसके अलावा, विपरीत सत्य है। यानी, हम परीक्षण कर सकते हैं कि क्या $$m$$ वैक्टर रैखिक रूप से परीक्षण द्वारा निर्भर हैं कि क्या
 * $$\det A_{\lang i_1,\dots,i_m \rang} = 0$$

की सभी संभावित सूचियों के लिए $$m$$ पंक्तियाँ। (यदि $$m = n$$, इसके लिए केवल एक निर्धारक की आवश्यकता होती है, जैसा कि ऊपर बताया गया है। यदि $$m > n$$, तो यह एक प्रमेय है कि वैक्टर को रैखिक रूप से निर्भर होना चाहिए।) यह तथ्य सिद्धांत के लिए मूल्यवान है; व्यावहारिक गणनाओं में अधिक कुशल विधियाँ उपलब्ध हैं।

आयामों से अधिक वैक्टर
यदि आयामों की तुलना में अधिक वैक्टर हैं, तो वैक्टर रैखिक रूप से निर्भर हैं। यह तीन वैक्टरों के ऊपर के उदाहरण में दिखाया गया है $$\R^2.$$

प्राकृतिक आधार वैक्टर
होने देना $$V = \R^n$$ और निम्नलिखित तत्वों पर विचार करें $$V$$, मानक आधार  वैक्टर के रूप में जाना जाता है:


 * $$\begin{matrix}

\mathbf{e}_1 & = & (1,0,0,\ldots,0) \\ \mathbf{e}_2 & = & (0,1,0,\ldots,0) \\ & \vdots \\ \mathbf{e}_n & = & (0,0,0,\ldots,1).\end{matrix}$$ फिर $$\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n$$ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

$$

कार्यों की रैखिक स्वतंत्रता
होने देना $$V$$ वास्तविक चर के सभी अलग-अलग कार्यों (गणित) के वेक्टर स्थान बनें $$t$$. फिर कार्य करता है $$e^t$$ और $$e^{2t}$$ में $$V$$ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

प्रमाण
मान लीजिए $$a$$ और $$b$$ ऐसी दो वास्तविक संख्याएँ हैं


 * $$ae ^ t + be ^ {2t} = 0$$

उपरोक्त समीकरण का पहला व्युत्पन्न लें:


 * $$ae ^ t + 2be ^ {2t} = 0$$

के लिए के मान $$t.$$ हमें वह दिखाने की जरूरत है $$a = 0$$ और $$b = 0.$$ ऐसा करने के लिए, हम पहले समीकरण को दूसरे समीकरण से घटाकर देते हैं $$be^{2t} = 0$$. तब से $$e^{2t}$$ कुछ के लिए शून्य नहीं है $$t$$, $$b=0.$$ यह इस प्रकार है कि $$a = 0$$ भी। इसलिए, रैखिक स्वतंत्रता की परिभाषा के अनुसार, $$e^{t}$$ और $$e^{2t}$$ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

रैखिक निर्भरता का स्थान
सदिशों के बीच एक रैखिक निर्भरता या रैखिक संबंध  $v_{1}, ..., v_{n}$ एक  टपल  है $(a_{1}, ..., a_{n})$ साथ $n$ अदिश (गणित) घटक जैसे कि


 * $$a_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + a_n \mathbf{v}_n= \mathbf{0}.$$

यदि ऐसी रैखिक निर्भरता कम से कम एक अशून्य घटक के साथ मौजूद है, तो $n$ वैक्टर रैखिक रूप से निर्भर हैं। के बीच रैखिक निर्भरता $v_{1}, ..., v_{n}$ एक वेक्टर स्थान बनाएँ।

यदि सदिश उनके निर्देशांक द्वारा व्यक्त किए जाते हैं, तो रैखिक निर्भरता रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली के समाधान हैं, जिसमें सदिशों के निर्देशांक गुणांक के रूप में होते हैं। रैखिक निर्भरता के सदिश स्थान का एक आधार (रैखिक बीजगणित) इसलिए गॉसियन विलोपन द्वारा गणना की जा सकती है।

आत्मीय स्वतंत्रता
सदिशों के एक समुच्चय को बंधुतापूर्ण रूप से आश्रित कहा जाता है यदि समुच्चय में सदिशों में से कम से कम एक सदिशों को दूसरों के सजातीय संयोजन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। अन्यथा, सेट को आत्मीयता से स्वतंत्र कहा जाता है। कोई भी affine संयोजन एक रैखिक संयोजन है; इसलिए प्रत्येक आत्मीय आश्रित समुच्चय रैखिक रूप से आश्रित होता है। इसके विपरीत, प्रत्येक रैखिक रूप से स्वतंत्र सेट आत्मीयता से स्वतंत्र होता है।

के एक सेट पर विचार करें $$m$$ वैक्टर $$\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_m$$ आकार का $$n$$ प्रत्येक, और के सेट पर विचार करें $$m$$ संवर्धित वैक्टर $\left(\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ \mathbf{v}_1\end{smallmatrix}\right], \ldots, \left[\begin{smallmatrix}1 \\ \mathbf{v}_m\end{smallmatrix}\right]\right)$ आकार का $$n + 1$$ प्रत्येक। मूल सदिश आत्मीयता से स्वतंत्र होते हैं यदि और केवल यदि संवर्धित सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र हों।

रैखिक रूप से स्वतंत्र वेक्टर उप-स्थान
दो वेक्टर उप-स्थान $$M$$ और $$N$$ एक वेक्टर अंतरिक्ष की $$X$$ कहा जाता है अगर $$M \cap N = \{0\}.$$ अधिक आम तौर पर, एक संग्रह $$M_1, \ldots, M_d$$ के उप-स्थानों का $$X$$ कहा जाता है  अगर $M_i \cap \sum_{k \neq i} M_k = \{0\}$  प्रत्येक सूचकांक के लिए $$i,$$ कहाँ पे $\sum_{k \neq i} M_k = \Big\{m_1 + \cdots + m_{i-1} + m_{i+1} + \cdots + m_d : m_k \in M_k \text{ for all } k\Big\} = \operatorname{span} \bigcup_{k \in \{1,\ldots,i-1,i+1,\ldots,d\}} M_k.$  वेक्टर स्थान $$X$$ ए कहा जाता है  का $$M_1, \ldots, M_d$$ अगर ये सबस्पेस रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं और $$M_1 + \cdots + M_d = X.$$

बाहरी कड़ियाँ

 * Linearly Dependent Functions at WolframMathWorld.
 * Tutorial and interactive program on Linear Independence.
 * Introduction to Linear Independence at KhanAcademy.
 * Introduction to Linear Independence at KhanAcademy.