व्युत्क्रम फलन प्रमेय

गणित में, विशेष रूप से विभेदक कैलकुलस, व्युत्क्रम फलन प्रमेय एक फलन (गणित) के लिए एक फलन के डोमेन में एक बिंदु के प्रतिवेश (गणित) में व्युत्क्रमणीय फलन होने की आवश्यकता और पर्याप्तता देता है: अर्थात्, इसका व्युत्पन्न है बिंदु पर निरंतर और गैर-शून्य। प्रमेय व्युत्क्रम फलन के अवकलज के लिए एक सूत्र भी देता है।

बहुपरिवर्तनीय कलन में, इस प्रमेय को किसी भी निरंतर भिन्न, सदिश-मूल्यवान फलन के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है जिसका जैकोबियन निर्धारक अपने डोमेन में एक बिंदु पर गैर-शून्य है, जो व्युत्क्रम के जैकोबियन आव्यूह के लिए एक सूत्र देता है। जटिल संख्याओं के होलोमोर्फिक फलन के लिए, मैनीफोल्ड के बीच विभेदित मानचित्रों के लिए, बानाच समिष्ट के बीच विभेदित फलनों के लिए, इत्यादि के लिए व्युत्क्रम फलन प्रमेय के संस्करण भी हैं।

प्रमेय को पहली बार एमिल पिकार्ड और एडौर्ड गौरसैट द्वारा एक पुनरावृत्त योजना का उपयोग करके स्थापित किया गया था: मूल विचार संकुचन मानचित्रण प्रमेय का उपयोग करके एक निश्चित बिंदु प्रमेय को प्रमाणित करना है।

कथन
एकल चर (गणित) के फलनों के लिए, प्रमेय कहता है कि यदि $$f$$ बिंदु पर गैर-शून्य व्युत्पन्न के साथ एक निरंतर भिन्न फलन $$a$$ है; तब $$f$$ के प्रतिवेश में इंजेक्शन (या छवि पर विशेषण) $$a$$ है, व्युत्क्रम निरंतर $$b=f(a)$$ के निकट अवकलनीय है, और $$b$$ पर व्युत्क्रम फलन का अवकलज, $$a$$ पर $$f$$ के अवकलज का व्युत्क्रम है: $$\bigl(f^{-1}\bigr)'(b) = \frac{1}{f'(a)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(b))}.$$ ऐसा हो सकता है कि कोई फलन $$f$$ एक बिंदु $$a$$ के निकट इंजेक्टिव हो सकता है जबकि $$f'(a) = 0$$। एक उदाहरण $$f(x) = (x - a)^3$$ है। वास्तव में, ऐसे फलन $$b = f(a)$$ के लिए, अवकलज को अलग नहीं किया जा सकता है, चूँकि यदि $$f^{-1}$$, $$b$$ पर अवकलनीय होता, तो, श्रृंखला नियम द्वारा, $$1 = (f^{-1} \circ f)'(a) = (f^{-1})'(b)f'(a)$$, जो $$f'(a) \ne 0$$ दर्शाता है। (होलोमोर्फिक फलन के लिए स्थिति अलग है; नीचे होलोमोर्फिक व्युत्क्रम फलन प्रमेय देखें।)

एक से अधिक चर वाले फलनों के लिए, प्रमेय कहता है कि यदि $f$ एक संवृत उपसमुच्चय से निरंतर भिन्न होने वाला फलन है $$A$$ का $$\mathbb{R}^n$$ में $$\R^n$$, और कुल व्युत्पन्न $$f'(a)$$ एक बिंदु पर उलटा है $a$ (अर्थात, जैकोबियन आव्यूह का निर्धारक और का निर्धारक $f$ पर $a$ गैर-शून्य है), तो प्रतिवेश उपस्थित हैं $$U$$ का $$a$$ में $$A$$ और $$V$$ का $$b = f(a)$$ ऐसा है कि $$f(U) \subset V$$ और $$f : U \to V$$ वस्तुनिष्ठ है। लेखन $$f=(f_1,\ldots,f_n)$$, इसका अर्थ यह है कि की प्रणाली $n$ समीकरण $$y_i = f_i(x_1, \dots, x_n)$$ के लिए एक अनोखा समाधान $$x_1, \dots, x_n$$ है, $$y_1, \dots, y_n$$ के अनुसार  जब $$x \in U, y \in V$$। ध्यान दें कि प्रमेय यह नहीं कहता है $$f$$ जहां छवि पर विशेषण $$f'$$ उलटा है लेकिन यह स्थानीय रूप से विशेषण $$f'$$ उलटा है।

इसके अलावा, प्रमेय कहता है कि व्युत्क्रम फलन $$f^{-1} : V \to U$$ निरंतर अवकलनीय है, और इसका व्युत्पन्न $$b=f(a)$$ है, $$f'(a)$$ का व्युत्क्रम मानचित्र है; अर्थात।,
 * $$(f^{-1})'(b) = f'(a)^{-1}.$$

दूसरे शब्दों में, यदि $$Jf^{-1}(b), Jf(a)$$ जैकोबियन आव्यूह का प्रतिनिधित्व $$(f^{-1})'(b), f'(a)$$ कर रहे हैं, इसका अर्थ यह है:
 * $$Jf^{-1}(b) = Jf(a)^{-1}.$$

प्रमेय का कठिन हिस्सा अस्तित्व और भिन्नता $$f^{-1}$$ है। इसे मानते हुए, व्युत्क्रम व्युत्पन्न सूत्र प्रयुक्त श्रृंखला नियम का $$f^{-1}\circ f = I$$ अनुसरण करता है। (वास्तव में, $$I = (f^{-1} \circ f)^'(a) = (f^{-1})'(b) \circ f'(a).$$) चूँकि व्युत्क्रम लेना अपरिमित रूप से भिन्न है, व्युत्क्रम के अवकलज का सूत्र दर्शाता है कि यदि $$f$$ निरंतर है $$k$$ समय अवकलनीय, बिंदु पर व्युत्क्रमणीय व्युत्पन्न के साथ $a$, तो व्युत्क्रम भी सतत् है $$k$$ समय अलग-अलग। यहाँ $$k$$ एक धनात्मक पूर्णांक है या $$\infty$$.

व्युत्क्रम फलन प्रमेय के दो प्रकार हैं। एक निरंतर भिन्न मानचित्र दिया गया $$f : U \to \mathbb{R}^m$$, पहला है और दूसरा है
 * व्युत्पन्न $$f'(a)$$ विशेषण है (अर्थात, इसका प्रतिनिधित्व करने वाले जैकोबियन आव्यूह की रैंक $$m$$ है) यदि और केवल यदि $$b = f(a)$$ के निकट $$V$$ पर निरंतर भिन्न फलन $$g$$ उपस्थित है, जैसे कि $$b$$ के पास $$f \circ g = I$$,
 * व्युत्पन्न $$f'(a)$$ इंजेक्टिव है, यदि और केवल यदि $$b = f(a)$$ के निकट $$V$$ पर निरंतर भिन्न फलन $$g$$ उपस्थित है जैसे कि $$a$$ के निकट $$g \circ f = I$$।

पहली स्थिति में (जब $$f'(a)$$ विशेषण है), बिंदु $$b = f(a)$$ को नियमित मान कहा जाता है। चूँकि $$m = \dim \ker(f'(a)) + \dim \operatorname{im}(f'(a))$$, पहली स्थिति यह कहने के बराबर है कि $$b = f(a)$$ महत्वपूर्ण बिंदु $$a$$ की छवि में नहीं है (महत्वपूर्ण बिंदु $$a$$ है जैसे कि $$f'(a)$$ का कर्नेल गैर-शून्य है)। पहली स्थिति में कथन विसर्जन प्रमेय का एक विशेष स्थिति है।

ये प्रकार व्युत्क्रम फलन प्रमेय के पुनर्कथन हैं। वास्तव में, पहली स्थिति में जब $$f'(a)$$ विशेषण है, तो हम एक (विशेषण) रेखीय मानचित्र $$T$$ पा सकते हैं, जैसे कि $$f'(a) \circ T = I$$। $$h(x) = a + Tx$$ परिभाषित करना ,है इसलिए हमारे पास:
 * $$(f \circ h)'(0) = f'(a) \circ T = I.$$

इस प्रकार, व्युत्क्रम फलन प्रमेय के अनुसार, $$f \circ h$$ का व्युत्क्रम $$0$$ के निकट है; अर्थात, $$f \circ h \circ (f \circ h)^{-1} = I$$ $$b$$ के पास में है। दूसरी स्थिति ($$f'(a)$$ इंजेक्टिव है) इसी तरह से देखा जाता है।

उदाहरण
सदिश-वैल्यू फलन पर विचार करें, $$F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\!$$ द्वारा परिभाषित:

F(x,y)= \begin{bmatrix} {e^x \cos y}\\ {e^x \sin y}\\ \end{bmatrix}. $$ जैकोबियन आव्यूह है:

J_F(x,y)= \begin{bmatrix} {e^x \cos y} & {-e^x \sin y}\\ {e^x \sin y} & {e^x \cos y}\\ \end{bmatrix} $$ जैकोबियन निर्धारक के साथ:

\det J_F(x,y)= e^{2x} \cos^2 y + e^{2x} \sin^2 y= e^{2x}. \,\!$$ निर्धारक $$e^{2x}\!$$ सर्वत्र शून्येतर है। इस प्रकार प्रमेय प्रत्येक $$\mathbb{R}^2\!$$ में बिंदु $p$ के लिए इसकी गारंटी देता है, वहाँ एक प्रतिवेश $p$ उपस्थित है, जिस पर $F$ व्युत्क्रमणीय है। इसका यह अर्थ नहीं है कि $F$ अपने संपूर्ण डोमेन पर विपरीत है: इस स्थिति में $F$ इंजेक्टिव भी नहीं है क्योंकि यह आवधिक है: $$F(x,y)=F(x,y+2\pi)\!$$।

प्रति-उदाहरण
यदि कोई इस धारणा को छोड़ देता है कि व्युत्पन्न निरंतर है, तो फलन को अब व्युत्क्रमणीय होने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए $$f(x) = x + 2x^2\sin(\tfrac1x)$$ और $$f(0)= 0$$ असतत व्युत्पन्न है। $$f'\!(x) = 1 -2\cos(\tfrac1x) + 4x\sin(\tfrac1x)$$ और $$f'\!(0) = 1$$, जो इच्छानुसार ढंग से लगभग $$x=0$$ के निकट है। ये महत्वपूर्ण बिंदु $$f$$ के स्थानीय अधिकतम/न्यूनतम बिंदु हैं, इसलिए $$x=0$$ वाले किसी भी अंतराल पर $$f$$ एक-से-एक (और उलटा नहीं) नहीं है। सहज रूप से, ढलान $$f'\!(0)=1$$ आस-पास के बिंदुओं तक नहीं फैलता है, जहां ढलान अशक्त लेकिन तीव्र दोलन द्वारा नियंत्रित होते हैं।

प्रमाण की विधियाँ
एक महत्वपूर्ण परिणाम के रूप में, व्युत्क्रम फलन प्रमेय को कई प्रमाण दिए गए हैं। पाठ्यपुस्तकों में सबसे अधिक देखा जाने वाला प्रमाण संकुचन मानचित्रण सिद्धांत पर निर्भर करता है, जिसे बानाच निश्चित-बिंदु प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है (जिसे साधारण अंतर समीकरणों के समाधान के पिकार्ड-लिंडेलोफ़ प्रमेय के प्रमाण में महत्वपूर्ण चरण के रूप में भी उपयोग किया जा सकता है)।

चूंकि निश्चित बिंदु प्रमेय अनंत-आयामी (बैनाच समिष्ट) सेटिंग्स में प्रयुक्त होता है, यह प्रमाण व्युत्क्रम फलन प्रमेय के अनंत-आयामी संस्करण को तुरंत सामान्यीकृत करता है (व्युत्क्रम फलन प्रमेय सामान्यीकरण नीचे देखें)।

परिमित आयामों में एक वैकल्पिक प्रमाण एक कॉम्पैक्ट सेट पर फलनों के लिए चरम मूल्य प्रमेय पर निर्भर करता है।

फिर भी एक अन्य प्रमाण न्यूटन की विधि का उपयोग करता है, जिसमें प्रमेय की एक प्रभावी विधि प्रदान करने का लाभ होता है: फलन के व्युत्पन्न पर सीमाएं प्रतिवेश के आकार का अनुमान लगाती हैं, जिस पर फलन विपरीत होता है।

क्रमिक सन्निकटन का उपयोग करते हुए एक प्रमाण
अस्तित्व को सिद्ध करने के लिए, एक एफ़िन परिवर्तन के बाद यह माना जा सकता है कि $$f(0)=0$$ और $$f^\prime(0)=I$$, जिससे $$ a=b=0$$।

माध्य मान प्रमेय द्वारा सदिश-मूल्यवान फलनों के लिए माध्य मान प्रमेय|किसी फलन के लिए सदिश-मूल्यवान फलनों के लिए माध्य मान प्रमेय $$u:[0,1]\to\mathbb R^m$$, $\|u(1)-u(0)\|\le \sup_{0\le t\le 1} \|u^\prime(t)\|$ । सेटिंग $$u(t)=f(x+t(x^\prime -x)) - x-t(x^\prime-x)$$, यह इस प्रकार है कि


 * $$\|f(x) - f(x^\prime) - x + x^\prime\| \le \|x -x^\prime\|\,\sup_{0\le t \le 1} \|f^\prime(x+t(x^\prime -x))-I\|.$$

अब चुनें $$\delta>0$$ जिससे $\|f'(x) - I\| < {1\over 2}$ के लिए $$\|x\|< \delta$$। लगता है कि $$\|y\|<\delta/2$$ और परिभाषित करें $$x_n$$ आगमनात्मक रूप से $$x_0=0$$ और $$ x_{n+1}=x_n + y - f(x_n)$$। धारणाएँ दर्शाती हैं कि यदि $$ \|x\|, \,\, \|x^\prime\| < \delta$$ तब


 * $$\|f(x)-f(x^\prime) - x + x^\prime\| \le \|x-x^\prime\|/2$$.

विशेष रूप से $$f(x)=f(x^\prime)$$ तात्पर्य $$x=x^\prime$$।. आगमनात्मक योजना में $$\|x_n\| <\delta$$ और $$\|x_{n+1} - x_n\| < \delta/2^n$$। इस प्रकार $$(x_n)$$ एक कॉची अनुक्रम $$x$$ है, जो प्रवृत्त होता है। निर्माण द्वारा $$f(x)=y$$ आवश्यकता अनुसार।

उसे जांचने के लिए $$g=f^{-1}$$ सी है1, लिखो $$g(y+k) = x+h$$ जिससे $$f(x+h)=f(x)+k$$। उपरोक्त असमानताओं से, $$\|h-k\| <\|h\|/2$$ जिससे $$\|h\|/2<\|k\| < 2\|h\|$$। दूसरी ओर यदि $$A=f^\prime(x)$$, तब $$\|A-I\|<1/2$$। $$B=I-A$$ के लिए ज्यामितीय श्रृंखला का उपयोग करना, यह इस प्रकार है कि $$\|A^{-1}\| < 2$$। परन्तु फिर


 * $$ {\|g(y+k) -g(y) - f^\prime(g(y))^{-1}k \| \over \|k\|}

= {\|h -f^\prime(x)^{-1}[f(x+h)-f(x)]\| \over \|k\|} \le 4 {\|f(x+h) - f(x) -f^\prime(x)h\|\over \|h\|} $$ $$k$$ और $$h$$, 0 की ओर प्रवृत्त होता है, यह प्रमाणित करते हुए कि 0 की ओर $$g$$ C1 $$g^\prime(y)=f^\prime(g(y))^{-1}$$ के साथ प्रवृत्त होते हैं।

उपरोक्त प्रमाण एक परिमित-आयामी स्थान के लिए प्रस्तुत किया गया है, लेकिन बनच स्थानों के लिए भी समान रूप से प्रयुक्त होता है। यदि एक व्युत्क्रमणीय फलन $$f$$ Ck है $$k>1$$ के साथ, तो इसका उलटा भी वैसा ही है। यह इस तथ्य का उपयोग करके प्रेरण द्वारा अनुसरण करता है कि मानचित्र $$F(A)=A^{-1}$$ ऑपरेटरों पर Ck है, किसी के लिए भी $$k$$ (परिमित-आयामी स्थिति में यह एक प्राथमिक तथ्य है क्योंकि आव्यूह का व्युत्क्रम उसके निर्धारक द्वारा विभाजित सहायक आव्यूह के रूप में दिया जाता है)। यहां प्रमाण की विधि हेनरी कर्तन, जीन डियूडोने, सर्ज लैंग, रोजर गोडेमेंट और लार्स होर्मेंडर की पुस्तकों में पाई जा सकती है।

संकुचन मानचित्रण सिद्धांत का उपयोग करते हुए एक प्रमाण
यहाँ संकुचन मानचित्रण प्रमेय पर आधारित एक प्रमाण है। विशेष रूप से, टी. ताओ का अनुसरण करते हुए, यह संकुचन मानचित्रण प्रमेय के निम्नलिखित परिणाम का उपयोग करता है।

मूल रूप से, लेम्मा का कहना है कि संकुचन मानचित्र द्वारा पहचान मानचित्र का एक छोटा सा गड़बड़ी इंजेक्शन है और कुछ अर्थों में एक गेंद को संरक्षित करता है। एक पल के लिए प्रमेय मानकर, हम पहले प्रमेय को सिद्ध करते हैं। जैसा कि उपरोक्त प्रमाण में है, यह विशेष स्थिति को कब सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है $$a = 0, b = f(a) = 0$$ और $$f'(0) = I$$. होने देना $$g = f - I$$. माध्य मूल्य असमानता पर प्रयुक्त होता है $$t \mapsto g(x + t(y - x))$$ कहते हैं:
 * $$|g(y) - g(x)| \le |y-x|\sup_{0 < t < 1} |g'(x + t(y - x))|.$$

तब से $$g'(0) = I - I = 0$$ और $$g'$$ निरंतर है, हम एक पा सकते हैं $$r > 0$$ ऐसा है कि
 * $$|g(y) - g(x)| \le 2^{-1}|y-x|$$

सभी के लिए $$x, y$$ में $$B(0, r)$$. फिर प्रारंभिक लेम्मा यही कहती है $$f = g + I$$ इंजेक्शन चालू है $$B(0, r)$$ और $$B(0, r/2) \subset f(B(0, r))$$. तब
 * $$f : U = B(0, r) \cap f^{-1}(B(0, r/2)) \to V = B(0, r/2)$$

विशेषण है और इस प्रकार इसका व्युत्क्रम है। आगे, हम उलटा दिखाते हैं $$f^{-1}$$ निरंतर भिन्न है (तर्क का यह भाग पिछले प्रमाण के समान है)। इस बार माना $$g = f^{-1}$$ का व्युत्क्रम निरूपित करें $$f$$ और $$A = f'(x)$$. के लिए $$x = g(y)$$, हम लिखते हैं $$g(y + k) = x + h$$ या $$y + k = f(x+h)$$. अब, प्रारंभिक अनुमान के अनुसार, हमारे पास है
 * $$|h - k| = |f(x+h) - f(x) - h| \le |h|/2$$

इसलिए $$|h|/2 \le |k|$$. लिखना $$\| \cdot \|$$ ऑपरेटर मानदंड के लिए,
 * $$|g(y+k) - g(y) - A^{-1} k| = |h - A^{-1}(f(x + h) - f(x))| \le \|A^{-1}\||Ah - f(x+h) + f(x)|.$$

जैसा $$k \to 0$$, अपने पास $$h \to 0$$ और $$|h|/|k|$$ घिरा है। इस तरह, $$g$$ पर भिन्न है $$y$$ व्युत्पन्न के साथ $$g'(y) = f'(g(y))^{-1}$$. भी, $$g'$$ रचना के समान ही है $$\iota \circ f' \circ g$$ कहाँ $$\iota : T \mapsto T^{-1}$$; इसलिए $$g'$$ सतत है.

यह लेम्मा दिखाना बाकी है। सबसे पहले, नक्शा $$f$$ इंजेक्शन चालू है $$B(0, r)$$ यदि के बाद से $$f(x) = f(y)$$, तब $$g(y) - g(x) = x - y$$ इसलिए
 * $$|g(y) - g(x)| = |y - x|$$,

जो एक विरोधाभास है जब तक $$y = x$$. (इस भाग को धारणा की आवश्यकता नहीं है $$g(0) = 0$$.) आगे हम दिखाते हैं $$f(B(0, r)) \supset B(0, (1-c)r)$$. विचार यह है कि यह ध्यान देने योग्य है कि यह एक बिंदु के बराबर है $$y$$ में $$B(0, (1-c) r)$$, मानचित्र का एक निश्चित बिंदु खोजें
 * $$F : \overline{B}(0, r') \to \overline{B}(0, r'), \, x \mapsto y - g(x)$$

कहाँ $$0 < r' < r$$ ऐसा है कि $$|y| \le (1-c)r'$$ और बार का अर्थ है एक बंद गेंद। एक निश्चित बिंदु खोजने के लिए, हम संकुचन मानचित्रण प्रमेय का उपयोग करते हैं और उसकी जाँच करते हैं $$F$$ एक अच्छी तरह से परिभाषित सख्त-संकुचन मानचित्रण सीधा है। अंततः, हमारे पास है: $$f(B(0, r)) \subset B(0, (1+c)r)$$ तब से
 * $$|f(x)| = |x + g(x) - g(0)| \le (1+c)|x|. \square$$

जैसा कि स्पष्ट हो सकता है, यह प्रमाण पिछले वाले से बहुत अलग नहीं है, क्योंकि संकुचन मानचित्रण प्रमेय का प्रमाण क्रमिक सन्निकटन द्वारा होता है।

अंतर्निहित फलन प्रमेय
व्युत्क्रम फलन प्रमेय का उपयोग समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए किया जा सकता है
 * $$\begin{align}

&f_1(x) = y_1 \\ &\quad \vdots\\ &f_n(x) = y_n,\end{align}$$ यानी, व्यक्त करना $$y_1, \dots, y_n$$ के फलनों के रूप में $$x = (x_1, \dots, x_n)$$, बशर्ते जैकोबियन आव्यूह उलटा हो। अंतर्निहित फलन प्रमेय समीकरणों की अधिक सामान्य प्रणाली को हल करने की अनुमति देता है:
 * $$\begin{align}

&f_1(x, y) = 0 \\ &\quad \vdots\\ &f_n(x, y) = 0\end{align}$$ के लिए $$y$$ के अनुसार $$x$$. यद्यपि अधिक सामान्य, प्रमेय वास्तव में व्युत्क्रम फलन प्रमेय का परिणाम है। सबसे पहले, अंतर्निहित फलन प्रमेय का सटीक कथन इस प्रकार है: इसे देखने के लिए मानचित्र पर विचार करें $$F(x, y) = (x, f(x, y))$$. व्युत्क्रम फलन प्रमेय द्वारा, $$F : U \times V \to W$$ उलटा है $$G$$ कुछ प्रतिवेश के लिए $$U, V, W$$. फिर हमारे पास है:
 * एक नक्शा दिया $$f : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m$$, अगर $$f(a, b) = 0$$, $$f$$ के प्रतिवेश में निरंतर भिन्न होता है $$(a, b)$$ और का व्युत्पन्न $$y \mapsto f(a, y)$$ पर $$b$$ उलटा है, तो एक भिन्न मानचित्र उपस्थित है $$g : U \to V$$ कुछ प्रतिवेश के लिए $$U, V$$ का $$a, b$$ ऐसा है कि $$f(x, g(x)) = 0$$. इसके अलावा, यदि $$f(x, y) = 0, x \in U, y \in V$$, तब $$y = g(x)$$; अर्थात।, $$g(x)$$ एक अनोखा समाधान है.
 * $$(x, y) = F(G_1(x, y), G_2(x, y)) = (G_1(x, y), f(G_1(x, y), G_2(x, y)),$$

जिसका अर्थ $$x = G_1(x, y)$$ और $$y = f(x, G_2(x, y)).$$ इस प्रकार $$g(x) = G_2(x, 0)$$ आवश्यक संपत्ति है. $$\square$$

विविध संरचना देना
विभेदक ज्यामिति में, व्युत्क्रम फलन प्रमेय का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जाता है कि एक सुचारू मानचित्र के तहत नियमित मान की पूर्व-छवि कई गुना है। वास्तव में, चलो $$f : U \to \mathbb{R}^r$$ के एक संवृत उपसमुच्चय से इतना सहज मानचित्र बनें $$\mathbb{R}^n$$ (चूंकि परिणाम स्थानीय है, ऐसे मानचित्र पर विचार करने से व्यापकता का कोई नुकसान नहीं होता है)। एक बिंदु तय करें $$a$$ में $$f^{-1}(b)$$ और फिर, निर्देशांकों को क्रमपरिवर्तित करके $$\mathbb{R}^n$$, आव्यूह मान लें $$\left [ \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a) \right]_{1 \le i, j \le r}$$ रैंक है $$r$$. फिर नक्शा $$F : U \to \mathbb{R}^r \times \mathbb{R}^{n-r} = \mathbb{R}^n, \, x \mapsto (f(x), x_{r+1}, \dots, x_n)$$ इस प्रकार कि $$F'(a)$$ रैंक है $$n$$. इसलिए, व्युत्क्रम फलन प्रमेय द्वारा, हम सहज व्युत्क्रम पाते हैं $$G$$ का $$F$$ प्रतिवेश में परिभाषित $$V \times W$$ का $$(b, a_{r+1}, \dots, a_n)$$. फिर हमारे पास है
 * $$x = (F \circ G)(x) = (f(G(x)), G_{r+1}(x), \dots, G_n(x)),$$

जो ये दर्शाता हे
 * $$(f \circ G)(x_1, \dots, x_n) = (x_1, \dots, x_r).$$

अर्थात्, निर्देशांक के परिवर्तन के बाद $$G$$, $$f$$ एक समन्वय प्रक्षेपण है (इस तथ्य को जलमग्न प्रमेय के रूप में जाना जाता है)। इसके अलावा, तब से $$G : V \times W \to U' = G(V \times W)$$ मानचित्र वस्तुनिष्ठ है
 * $$g = G(b, \cdot) : W \to f^{-1}(b) \cap U', \, (x_{r+1}, \dots, x_n) \mapsto G(b, x_{r+1}, \dots, x_n)$$

सहज व्युत्क्रम के साथ विशेषण है। यानी, $$g$$ का स्थानीय पैरामीटरीकरण देता है $$f^{-1}(b)$$ आस-पास $$a$$. इस तरह, $$f^{-1}(b)$$ अनेक गुना है. $$\square$$ (ध्यान दें कि प्रमाण अंतर्निहित फलन प्रमेय के प्रमाण के समान है और वास्तव में, इसके बजाय अंतर्निहित फलन प्रमेय का भी उपयोग किया जा सकता है।)

अधिक सामान्यतः, प्रमेय से पता चलता है कि यदि एक सुचारू मानचित्र $$f : P \to E$$ एक सबमैनिफोल्ड के लिए अनुप्रस्थ है $$M \subset E$$, फिर पूर्व-छवि $$f^{-1}(M) \hookrightarrow P$$ एक उपमान है.

वैश्विक संस्करण
व्युत्क्रम फलन प्रमेय एक स्थानीय परिणाम है; यह प्रत्येक बिंदु पर प्रयुक्त होता है. एक प्राथमिकता, प्रमेय इस प्रकार केवल फलन दिखाता है $$f$$ स्थानीय रूप से विशेषण है (या किसी वर्ग का स्थानीय रूप से भिन्न रूप)। अगले टोपोलॉजिकल लेम्मा का उपयोग स्थानीय इंजेक्टिविटी को कुछ हद तक वैश्विक इंजेक्टिविटी में अपग्रेड करने के लिए किया जा सकता है।

सबूत: पहले मान लीजिये $$X$$ सघन स्थान है. यदि प्रमेय का निष्कर्ष गलत है, तो हम दो अनुक्रम पा सकते हैं $$x_i \ne y_i$$ ऐसा है कि $$f(x_i) = f(y_i)$$ और $$x_i, y_i$$ प्रत्येक कुछ बिंदुओं पर अभिसरण करता है $$x, y$$ में $$A$$. तब से $$f$$ इंजेक्शन चालू है $$A$$, $$x = y$$. अब अगर $$i$$ काफी बड़ा है, $$x_i, y_i$$ के प्रतिवेश में हैं $$x = y$$ कहाँ $$f$$ इंजेक्शन है; इस प्रकार, $$x_i = y_i$$, एक विरोधाभास.

सामान्य तौर पर, सेट पर विचार करें $$E = \{ (x, y) \in X^2 \mid x \ne y, f(x) = f(y) \}$$. यह से असंयुक्त है $$S \times S$$ किसी भी उपसमुच्चय के लिए $$S \subset X$$ कहाँ $$f$$ इंजेक्शन है. होने देना $$X_1 \subset X_2 \subset \cdots $$ संघ के साथ सघन उपसमुच्चय का बढ़ता क्रम बनें $$X$$ और साथ $$X_i$$ के आंतरिक भाग में समाहित है $$X_{i+1}$$. फिर, प्रमाण के पहले भाग द्वारा, प्रत्येक के लिए $$i$$, हम एक प्रतिवेश ढूंढ सकते हैं $$U_i$$ का $$A \cap X_i$$ ऐसा है कि $$U_i^2 \subset X^2 - E$$. तब $$U = \bigcup_i U_i$$ आवश्यक संपत्ति है. $$\square$$ (यह सभी देखें वैकल्पिक दृष्टिकोण के लिए।)

लेम्मा का तात्पर्य व्युत्क्रम फलन प्रमेय के निम्नलिखित (एक प्रकार के) वैश्विक संस्करण से है:

ध्यान दें कि यदि $$A$$ एक बिंदु है, तो उपरोक्त सामान्य व्युत्क्रम फलन प्रमेय है।

होलोमोर्फिक व्युत्क्रम फलन प्रमेय
होलोमोर्फिक मानचित्रों के लिए व्युत्क्रम फलन प्रमेय का एक संस्करण है।

प्रमेय सामान्य व्युत्क्रम फलन प्रमेय से अनुसरण करता है। वास्तव में, चलो $$J_{\mathbb{R}}(f)$$ के जैकोबियन आव्यूह को निरूपित करें $$f$$ चर में $$x_i, y_i$$ और $$J(f)$$ उसके लिए $$z_j, \overline{z}_j$$. तो हमारे पास हैं $$\det J_{\mathbb{R}}(f) = |\det J(f)|^2$$, जो अनुमान से अशून्य है। इसलिए, सामान्य व्युत्क्रम फलन प्रमेय द्वारा, $$f$$ निकट इंजेक्शन है $$0$$ निरंतर अवकलनीय व्युत्क्रम के साथ। शृंखला नियम से, साथ $$w = f(z)$$,
 * $$\frac{\partial}{\partial \overline{z}_j} (f_j^{-1} \circ f)(z) = \sum_k \frac{\partial f_j^{-1}}{\partial w_k}(w) \frac{\partial f_k}{\partial \overline{z}_j}(z) + \sum_k \frac{\partial f_j^{-1}}{\partial \overline{w}_k}(w) \frac{\partial \overline{f}_k}{\partial \overline{z}_j}(z)$$

जहां से बायीं ओर और दायीं ओर का पहला पद गायब हो जाता है $$f_j^{-1} \circ f$$ और $$f_k$$ होलोमोर्फिक हैं। इस प्रकार, $$\frac{\partial f_j^{-1}}{\partial \overline{w}_k}(w) = 0$$ प्रत्येक के लिए $$k$$. $$\square$$ इसी प्रकार, होलोमोर्फिक फलनों के लिए अंतर्निहित फलन प्रमेय है। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, ऐसा हो सकता है कि एक इंजेक्टिव स्मूथ फलन का व्युत्क्रम सुचारू न हो (उदाहरण के लिए, $$f(x) = x^3$$ वास्तविक चर में)। होलोमोर्फिक फलनों की स्थिति में ऐसा नहीं है क्योंकि:

मैनिफोल्ड्स के लिए फॉर्मूलेशन
व्युत्क्रम फलन प्रमेय को भिन्न-भिन्न मैनिफोल्ड्स के बीच भिन्न-भिन्न मानचित्रों के संदर्भ में दोबारा दोहराया जा सकता है। इस संदर्भ में प्रमेय बताता है कि एक भिन्न मानचित्र के लिए $$F: M \to N$$ (कक्षा का $$C^1$$), यदि $$F$$  का पुशफॉरवर्ड (अंतर),
 * $$dF_p: T_p M \to T_{F(p)} N$$

एक बिंदु $$p$$ पर एक रैखिक समरूपता $$M$$ है, फिर वहाँ एक संवृत प्रतिवेश $$U$$ उपस्थित है जैसे कि $$p$$
 * $$F|_U: U \to F(U)$$

एक भिन्नरूपता है। ध्यान दें कि इसका तात्पर्य यह है कि p और F(p) युक्त $M$ और $N$ के जुड़े घटकों का आयाम समान है, जैसा कि पहले से ही इस धारणा से सीधे तौर पर निहित है कि dFp समरूपता है। यदि $F$ का व्युत्पन्न $M$ में सभी बिंदुओं $p$ पर एक समरूपता है तो मानचित्र $F$ एक स्थानीय भिन्नता है।

बैनाच समिष्ट
व्युत्क्रम फलन प्रमेय को बानाच समिष्ट $X$ और$Y$ के बीच विभेदित मानचित्रों के लिए भी सामान्यीकृत किया जा सकता है। मान लीजिये कि $U$, $X$ में मूल का एक संवृत प्रतिवेश हो और $$F: U \to Y\!$$ एक निरंतर भिन्न फलन हो, और मान लें कि 0 पर $F$ का फ़्रेचेट व्युत्पन्न $$dF_0: X \to Y\!$$, $X$  पर $Y$ की बंधी हुई रैखिक समरूपता है। फिर $Y$ में $$F(0)\!$$ का संवृत पड़ोस $V$ और एक निरंतर भिन्न मानचित्र $$G: V \to X\!$$ उपस्थित होता है, जैसे कि $y$ में सभी $V$ के लिए $$F(G(y)) = y$$। इसके अतिरिक्त, $$G(y)\!$$  समीकरण $$F(x) = y\!$$. का एकमात्र पर्याप्त छोटा समाधान $x$ है।

बनच मैनिफोल्ड के लिए व्युत्क्रम फलन प्रमेय भी है।

स्थिर रैंक प्रमेय
व्युत्क्रम फलन प्रमेय (और अंतर्निहित फलन प्रमेय) को निरंतर रैंक प्रमेय की एक विशेष स्थिति के रूप में देखा जा सकता है, जिसमें कहा गया है कि एक बिंदु के पास स्थिर रैंक (विभेदक टोपोलॉजी)  के साथ एक सुचारू मानचित्र को उसके पास एक विशेष सामान्य रूप में रखा जा सकता है। विशेष रूप से, यदि $$F:M\to N$$ एक बिंदु $$p\in M\!$$ के निकट स्थिर रैंक होती है, फिर संवृत प्रतिवेश $U$ का $p$ और $V$ का $$F(p)\!$$  हैं, और भिन्नताएँ $$u:T_pM\to U\!$$ और $$v:T_{F(p)}N\to V\!$$  हैं; जैसे कि $$F(U)\subseteq V\!$$ और जैसे कि व्युत्पन्न $$dF_p:T_pM\to T_{F(p)}N\!$$, $$v^{-1}\circ F\circ u\!$$  के बराबर है; वह है, $F$ इसके व्युत्पन्न निकट जैसा $p$ दिखता है। $M$ में बिंदु $$p\in M$$ का समुच्चय इस प्रकार है कि $$p$$ के पड़ोस में रैंक स्थिर है, M का एक खुला सघन उपसमुच्चय है; यह रैंक फ़ंक्शन की अर्धनिरंतरता का परिणाम है। इस प्रकार स्थिर रैंक प्रमेय डोमेन के सामान्य बिंदु पर प्रयुक्त होता है।

जब $F$ का व्युत्पन्न किसी बिंदु $p$ पर अंतःक्षेपण (सम्मान विशेषण) होता है, तो यह $p$ के पड़ोस में भी अंतःक्षेपण (सम्मान विशेषण) होता है, और इसलिए उस पड़ोस पर $F$ की रैंक स्थिर होती है, और स्थिर रैंक प्रमेय प्रयुक्त होता है।

बहुपद फलन
यदि यह सत्य है, तो जैकोबियन अनुमान बहुपदों के लिए व्युत्क्रम फलन प्रमेय का एक प्रकार होगा। इसमें कहा गया है कि यदि एक सदिश-मूल्य वाले बहुपद फलन में एक जैकोबियन निर्धारक है जो एक उलटा बहुपद है (जो कि एक गैर-शून्य स्थिरांक है), तो इसका एक व्युत्क्रम है जो एक बहुपद फलन भी है। यह अज्ञात है कि यह सत्य है या असत्य, यहाँ तक कि दो चरों की स्थिति में भी। बहुपद के सिद्धांत में यह एक प्रमुख खुली समस्या है।

चयन
जब $$f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$$के साथ $$m\leq n$$, $$f$$ $$k$$ समय निरंतर भिन्न होता है, और जैकोबियन $$A=\nabla f(\overline{x})$$ एक बिंदु पर $$\overline{x}$$ रैंक $$m$$ का है, $$f$$ का व्युत्क्रम अद्वितीय नहीं हो सकता है। चूँकि, हाँ एक स्थानीय चयन फलन $$s$$ उपस्थित है, जिससे कि पड़ोस में सभी $$y$$ के लिए $$f(s(y)) = y$$, $$s(\overline{y}) = \overline{x}$$, $$s$$  प्रतिवेश में उपस्थित है। $$\overline{y} = f(\overline{x})$$, $$k$$ प्रतिवेश में समय निरंतर भिन्न होता जा रहा है, और $$\nabla s(\overline{y}) = A^T(A A^T)^{-1}$$ ($$\nabla s(\overline{y})$$ मूर-पेनरोज़ का छद्म व्युत्क्रम $$A$$ है)।

यह भी देखें

 * नैश-मोजर प्रमेय

संदर्भ


Satz von der impliziten Funktion