बीजतः संवृत्त क्षेत्र

गणित में, एक क्षेत्र (गणित)  $F$ बीजगणितीय रूप से बंद है यदि एक बहुपद की प्रत्येक घात | गैर-स्थिर बहुपद  $F[x]$ (गुणांक के साथ अविभाज्य  बहुपद वलय  $F$) में एक फ़ंक्शन का शून्य $F$ है.

उदाहरण
उदाहरणतय:, वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र बीजगणितीय रूप से बंद नहीं है, क्योंकि बहुपद समीकरण x2 + 1 = 0  का वास्तविक संख्याओं में कोई हल नहीं है, भले ही इसके सभी गुणांक (1 और 0) वास्तविक हों। वही तर्क प्रमाणित करता है कि वास्तविक क्षेत्र का कोई भी उपक्षेत्र बीजगणितीय रूप से बंद नहीं है; विशेष रूप से,  परिमेय संख्याओं का क्षेत्र बीजगणितीय रूप से बंद नहीं होता है। साथ ही, कोई भी  परिमित क्षेत्र  F बीजगणितीय रूप से बंद नहीं है, क्योंकि यदि a1, a2, ..., an F के अवयव हैं, तो बहुपद (x − a1)(x − a2) ⋯ (x − an) + 1 F में कोई शून्य नहीं है। इसके विपरीत, बीजगणित के मौलिक प्रमेय में कहा गया है कि  जटिल संख्याओं का क्षेत्र बीजगणितीय रूप से बंद है। बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र का एक अन्य उदाहरण (जटिल)  बीजीय संख्याओं का क्षेत्र है।

समतुल्य गुण
एक क्षेत्र F को देखते हुए, अभिकथन "F बीजगणितीय रूप से बंद है ", अन्य अभिकथनों के बराबर है:

केवल एक घात वाले बहुपद हैं
क्षेत्र F बीजगणितीय रूप से बंद होता है यदि बहुपद वलय F[x] में एकमात्र अलघुकरणीय बहुपद घात एक के होते हैं।

किसी भी क्षेत्र के लिए यह दावा है कि घात एक के बहुपद अपरिवर्तनीय हैं, तुच्छ रूप से सच है। यदि F बीजगणितीय रूप से बंद है और p(x) F[x] का एक अपरिवर्तनीय बहुपद है, तो इसका कुछ मूल a है और इसलिए p(x) (x − a) का गुणज है। चूँकि p(x) अलघुकरणीय है, इसका अर्थ है कि p(x) = k(x − a), कुछ k ∈ F \ {0} के लिए। दूसरी ओर, यदि F बीजगणितीय रूप से बंद नहीं है, तो F[x] में कुछ गैर-स्थिर बहुपद p(x) है, जिसकी मूल F में नहीं हैं। मान लें कि q(x) p(x) का कुछ अपरिवर्तनीय कारक है। चूँकि p(x) का F में कोई मूल नहीं है, q(x) का भी F में कोई मूल नहीं है। इसलिए, q(x) की घात एक से अधिक होती है, क्योंकि प्रत्येक प्रथम घात बहुपद का F में एक मूल होता है।

प्रत्येक बहुपद प्रथम घात बहुपद का गुणनफल होता है
क्षेत्र F बीजगणितीय रूप से बंद होता है यदि और केवल यदि घात n ≥ 1 का प्रत्येक बहुपद p(x), F में गुणांकों के साथ, गुणनखंडन। दूसरे शब्दों में, तत्व k, x. हैंx1, x2, ..., xnक्षेत्र F का ऐसा है कि p(x) = k(x − x1)(x − x2) ⋯ (x − xn)

यदि F के पास यह गुण है, तो स्पष्ट रूप से F[x] में प्रत्येक गैर-स्थिर बहुपद का F में कुछ मूल होता है; दूसरे शब्दों में, F बीजगणितीय रूप से बंद है। दूसरी ओर, यहां वर्णित गुण F के लिए रखता है यदि F बीजगणितीय रूप से बंद है, तो पिछले गुण से इस तथ्य के साथ - साथ, किसी भी क्षेत्र के लिए, K[x] में किसी भी बहुपद को अपरिवर्तनीय बहुपद के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है.

अभाज्य घात वाले बहुपदों की मूल होता हैं
यदि अभाज्य घात वाले F से अधिक के प्रत्येक बहुपद का मूल F में होता है, तो प्रत्येक अचर बहुपद का मूल F में होता है। यह इस प्रकार है कि एक क्षेत्र बीजगणितीय रूप से बंद होता है यदि और केवल तभी जब अभाज्य घात के F पर प्रत्येक बहुपद की मूल F में होता है।

क्षेत्र का कोई उचित बीजीय विस्तार नहीं है
क्षेत्र F बीजगणितीय रूप से बंद है यदि और केवल यदि इसका कोई उचित बीजीय विस्तार नहीं है।

यदि F का कोई उचित बीजगणितीय विस्तार नहीं है, तो मान लें कि p(x) F[x] में कुछ अपरिवर्तनीय बहुपद है। फिर p(x) द्वारा उत्पन्न F[x] मॉड्यूलो द आइडियल (रिंग थ्योरी) का भागफल वलय, F का एक बीजीय विस्तार है जिसका क्षेत्र विस्तार की घात p(x) की घात के बराबर है। चूंकि यह उचित विस्तार नहीं है, इसकी घात 1 है और इसलिए p(x) की घात 1 है।

दूसरी ओर, यदि F का कुछ उचित बीजगणितीय विस्तार K है, तो K \ F में एक तत्व का न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत) अपरिवर्तनीय है और इसकी डिग्री 1 से अधिक है।

क्षेत्र का कोई उचित परिमित विस्तार नहीं है
क्षेत्र F को बीजगणितीय रूप से बंद किया जाता है यदि और केवल यदि इसका कोई उचित परिमित विस्तार नहीं है, क्योंकि यदि, क्षेत्र के भीतर कोई उचित बीजीय विस्तार नहीं है, तो बीजीय विस्तार शब्द को परिमित विस्तार शब्द से बदल दिया जाता है, तो प्रमाण अभी भी मान्य है। (ध्यान दें कि परिमित विस्तार अनिवार्य रूप से बीजीय हैं।)

 Fn के प्रत्येक एंडोमोर्फिज्म में कुछ आइजन वैक्टर होते है 

क्षेत्र F बीजगणितीय रूप से बंद है यदि और केवल यदि, प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n प्रत्येक रैखिक मानचित्र Fn के लिए अपने आप में कुछ आइजन वैक्टर है।

Fn का  एंडोमोर्फिज्म  में एक आइजन वैक्टर  होता है  यदि इसके अभिलक्षणिक बहुपद का कुछ मूल हो। इसलिए, जब F को बीजगणितीय रूप से बंद किया जाता है, तो Fn का प्रत्येक एंडोमोर्फिज्म में कुछ आइजन वैक्टर है। दूसरी ओर, यदि Fn का प्रत्येक एंडोमोर्फिज्म में एक आइजन वैक्टर है, मान लीजिए p(x) F[x] का एक अवयव है। इसके प्रमुख गुणांक से भाग देने पर, हमें एक और बहुपद q(x) प्राप्त होता है, जिसके मूल केवल तभी होते हैं जब p(x) के मूल हों। लेकिन अगर q(x) = xn + an &minus; 1xn − 1+ + a0, तो q(x) n×n साथी आव्यूह का अभिलक्षणिक बहुपद है
 * $$\begin{pmatrix}

0 & 0 & \cdots & 0 & -a_0\\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_1\\ 0 & 1 & \cdots & 0 & -a_2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{n-1} \end{pmatrix}.$$

परिमेय व्यंजकों का अपघटन
क्षेत्र F बीजगणितीय रूप से बंद होता है यदि एक चर x में प्रत्येक परिमेय फलन, F में गुणांकों के साथ, a/(x − b)n रूप के परिमेय फलनों के साथ एक बहुपद फलन के योग के रूप में लिखा जा सकता है।, जहाँ n एक प्राकृत संख्या है, और a और b, F के अवयव हैं।

यदि F को बीजगणितीय रूप से बंद कर दिया जाता है, क्योंकि F[x] में अलघुकरणीय बहुपद सभी घात 1 के होते हैं, ऊपर बताए गए गुण आंशिक अंश अपघटन प्रमेय के कथन द्वारा धारण की जाती है।

दूसरी ओर, मान लीजिए कि ऊपर बताए गए गुण F क्षेत्र के लिए है। मान लीजिए कि p(x) F[x] में एक अपरिवर्तनीय तत्व है। तब परिमेय फलन 1/p को a/(x − b)n के रूप के परिमेय फलनों के साथ बहुपद फलन q के योग के रूप में लिखा जा सकता है।. इसलिए, तर्कसंगत अभिव्यक्ति
 * $$\frac1{p(x)}-q(x)=\frac{1-p(x)q(x)}{p(x)}$$

दो बहुपदों के भागफल के रूप में लिखा जा सकता है जिसमें हर पहली घात बहुपद का एक उत्पाद है। चूंकि p(x) अलघुकरणीय है, इसलिए इसे इस उत्पाद को विभाजित करना चाहिए और इसलिए, यह एक प्रथम घात बहुपद भी होना चाहिए।

अपेक्षाकृत अभाज्य बहुपद और मूल
किसी भी क्षेत्र F के लिए, यदि दो बहुपद p(x),q(x) ∈ F[x] सहअभाज्य हैं तो उनका एक उभयनिष्ठ मूल नहीं होता, क्योंकि यदि a ∈ F एक उभयनिष्ठ मूल था, तो p(x) और q (x) दोनों (x − a) के गुणज होंगे और इसलिए वे अपेक्षाकृत अभाज्य नहीं होंगे। जिन क्षेत्रों के लिए विपरीत निहितार्थ होता है (अर्थात, ऐसे क्षेत्र जहां जब भी दो बहुपदों का कोई सामान्य मूल नहीं होती है तो वे अपेक्षाकृत प्रमुख होते हैं) ठीक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र होते हैं।

यदि क्षेत्र F बीजगणितीय रूप से बंद है, तो p(x) और q(x) दो बहुपद हैं जो अपेक्षाकृत अभाज्य नहीं हैं और r(x) को उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक मानते हैं। फिर, चूँकि r(x) अचर नहीं है, इसका कुछ मूल a होगा, जो तब p(x) और q(x) का एक उभयनिष्ठ मूल होगा।

यदि F बीजगणितीय रूप से बंद नहीं है, तो मान लीजिए कि p(x) एक बहुपद है जिसकी घात कम से कम 1 बिना मूल की है। तब p(x) और p(x) अपेक्षाकृत अभाज्य नहीं हैं, लेकिन उनकी कोई उभयनिष्ठ मूल नहीं हैं (क्योंकि उनमें से किसी के भी मूल नहीं हैं)।

अन्य गुण
यदि F एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है और n एक प्राकृतिक संख्या है, तो F में एकता की सभी nth मूल होते हैं, क्योंकि ये परिभाषा के अनुसार - बहुपद xn के n शून्य हैं − 1.उभयनिष्ठ मूल द्वारा उत्पन्न एक विस्तार में निहित एक क्षेत्र विस्तार एक चक्रवातीय विस्तार है, और उभयनिष्ठ मूलों द्वारा उत्पन्न क्षेत्र के विस्तार को कभी-कभी इसका साइक्लोटॉमिक क्लोजर कहा जाता है। इस प्रकार बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र चक्रीय रूप से बंद होते हैं। इसका उलट सत्य नहीं है। यह मानते हुए भी कि xn के रूप का प्रत्येक बहुपद - रैखिक कारकों में विभाजन यह सुनिश्चित करने के लिए पर्याप्त नहीं है कि क्षेत्र बीजगणितीय रूप से बंद है।

यदि एक प्रस्ताव जिसे प्रथम-क्रम तर्क की भाषा में व्यक्त किया जा सकता है, बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र के लिए सही है, तो यह प्रत्येक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र के लिए समान  विशेषता (बीजगणित) के साथ सच है। इसके अलावा, यदि ऐसा प्रस्ताव बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र के लिए विशेषता 0 के साथ मान्य है, तो यह न केवल अन्य सभी बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों के लिए मान्य है, लेकिन कुछ प्राकृतिक संख्या n है जैसे कि प्रत्येक बीजगणितीय रूप से बंद के लिए मान्य है विशेषता के साथ क्षेत्र p जब p > N.

प्रत्येक क्षेत्र F का कुछ विस्तार होता है जो बीजगणितीय रूप से बंद होता है। इस तरह के विस्तार को 'बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार' कहा जाता है। ऐसे सभी विस्तार में एक और केवल एक ( अनिवार्य रूप से अद्वितीय नहीं) है जो F का बीजीय विस्तार है; इसे F का बीजगणितीय समापन कहते हैं।

बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों के सिद्धांत में मात्रात्मक उन्मूलन है।

संदर्भ