स्टोक्स का नियम

1851 में, जॉर्ज गेब्रियल स्टोक्स ने घर्षण बल के लिए स्टोक्स के नियम के रूप में जाना जाने वाला एक अभिव्यक्ति निकाला, जिसे श्यान द्रव में बहुत कम रेनॉल्ड्स संख्या वाली गोलाकार वस्तुओं पर लगने वाला ड्रैग बल भी कहा जाता है। स्टोक्स का नियम नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के छोटे रेनॉल्ड्स नंबरों के लिए स्टोक्स प्रवाह सीमा को हल करके प्राप्त किया गया है।

नियम का कथन
किसी श्यान द्रव में गतिमान छोटे गोले पर श्यानता बल निम्न द्वारा दिया जाता है:
 * $$F_{\rm d} = 6 \pi \mu R v$$

जहाँ:
 * Fd घर्षण बल है जिसे स्टोक्स ड्रैग के रूप में जाना जाता है जो द्रव और कण के बीच इंटरफेस पर कार्य करता है।
 * μ गतिशील श्यानता (कुछ लेखक प्रतीक η का प्रयोग करते हैं) है।
 * R गोलाकार वस्तु की त्रिज्या है।
 * v वस्तु के सापेक्ष प्रवाह वेग है।

इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली में, Fd को न्यूटन में (= kg m s−2), μ में (Pa) पास्कल (यूनिट)·s (= kg m−1 s−1), R में मीटर में और v को m/s में दिया जाता है।

स्टोक्स का नियम तरल पदार्थ में कण के व्यवहार के लिए निम्नलिखित धारणाएँ बनाता है:
 * लामिना का प्रवाह
 * गोले के कण
 * सजातीय (रचना में समान) सामग्री
 * चिकनी सतहें
 * कण दूसरे के साथ हस्तक्षेप नहीं करते।

अणुओं के लिए स्टोक्स के नियम का उपयोग उनके स्टोक्स त्रिज्या को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।

गतिज श्यानता की सीजीएस इकाई को उनके कार्य के आधार पर स्टोक्स नाम दिया गया।

अनुप्रयोग
स्टोक्स का नियम गिरते-गोले विस्कोमीटर का आधार है, जिसमें द्रव ऊर्ध्वाधर कांच की नली में स्थिर होता है। तरल के माध्यम से ज्ञात आकार और घनत्व के गोले को नीचे उतरने दिया जाता है। यदि सही विधि से चुना जाता है, तो यह टर्मिनल वेग तक पहुंच जाता है, जिसे ट्यूब पर दो निशान पार करने में लगने वाले समय से मापा जा सकता है। अपारदर्शी तरल पदार्थों के लिए इलेक्ट्रॉनिक संवेदन का उपयोग किया जा सकता है। टर्मिनल वेग, गोले के आकार और घनत्व, और तरल के घनत्व को जानने के बाद, स्टोक्स के नियम का उपयोग द्रव की श्यानता की गणना के लिए किया जा सकता है। गणना की शुद्धता में सुधार के लिए क्लासिक प्रयोग में सामान्यतः विभिन्न व्यास के स्टील बॉल बेयरिंग की श्रृंखला का उपयोग किया जाता है। स्कूल प्रयोग तरल पदार्थ के रूप में ग्लिसरीन या  गोल्डन सिरप का उपयोग करता है, और विधि  का उपयोग प्रक्रियाओं में उपयोग किए जाने वाले तरल पदार्थों की श्यानता की जांच के लिए औद्योगिक रूप से किया जाता है। श्यानता पर इसके प्रभावों को प्रदर्शित करने के लिए कई स्कूल प्रयोगों में अधिकांशतः उपयोग किए जाने वाले पदार्थों के तापमान और / या एकाग्रता में भिन्नता सम्मिलित होती है। औद्योगिक तरीकों में कई अलग-अलग तेल और बहुलक तरल पदार्थ जैसे समाधान सम्मिलित हैं।

स्टोक्स के नियम के महत्व को इस तथ्य से स्पष्ट किया गया है कि कम से कम तीन नोबेल पुरस्कारों के शोध में इसने महत्वपूर्ण भूमिका निभाई।

स्टोक्स का नियम सूक्ष्मजीवों और शुक्राणुओं के तैरने, गुरुत्वाकर्षण बल के अनुसार पानी में छोटे कणों और जीवों के अवसादन को समझने के लिए महत्वपूर्ण है।

हवा में इसी सिद्धांत का उपयोग यह समझाने के लिए किया जा सकता है कि पानी की छोटी बूंदें (या बर्फ के क्रिस्टल) क्यों हवा में (बादलों के रूप में) तब तक निलंबित रह सकती हैं जब तक कि वे एक महत्वपूर्ण आकार तक नहीं बढ़ जाती हैं और बारिश (या बर्फ और ओलों) के रूप में गिरने लगती हैं। समीकरण का समान उपयोग पानी या अन्य तरल पदार्थों में सूक्ष्म कणों के जमाव में किया जा सकता है।

द्रव में गिरने वाले गोले का अंतिम वेग
टर्मिनल वेग (या सेटलिंग) वेग पर, गोले के वजन और उछाल के बीच अंतर के कारण अतिरिक्त बल Fg (दोनों पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण के कारण होते हैं )


 * $$F_g = \left( \rho_p - \rho_{\rm f} \right)\, g\, \frac{4}{3}\pi\, R^3,$$

द्वारा ρp और ρf के साथ क्रमशः गोले और द्रव के द्रव्यमान घनत्व, और पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण के साथ दिया जाता है। बल संतुलन Fd= Fg की आवश्यकता होती है और वेग v के लिए हल करने से अंतिम वेग vs मिलता है। ध्यान दें कि चूंकि अतिरिक्त बल R3 के रूप में बढ़ता है और स्टोक्स का ड्रैग आर के रूप में बढ़ता है, टर्मिनल वेग R2 के रूप में बढ़ता है और इस प्रकार कण आकार के साथ बहुत भिन्न होता है जैसा कि नीचे दिखाया गया है। यदि कोई कण किसी चिपचिपे तरल पदार्थ में गिरते समय केवल अपने वजन का अनुभव करता है, तो अंतिम वेग तक पहुँच जाता है जब तरल के कारण कण पर घर्षण और उत्प्लावन बल का योग गुरुत्वाकर्षण बल को ठीक से संतुलित करता है। यह वेग v (एम/एस) द्वारा दिया गया है:
 * $$v = \frac{2}{9}\frac{\left(\rho_p - \rho_{\rm f}\right)}{\mu} g\, R^2$$

(ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर यदि ρp> Pf, ऊपर की ओर यदि ρp< Pf), जहाँ:
 * जी गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की ताकत है (एम/एस2)
 * R गोलाकार कण (m) की त्रिज्या है
 * Rpकण का द्रव्यमान घनत्व है (किग्रा/मी3)
 * Rf द्रव का द्रव्यमान घनत्व है (किग्रा/मी3)
 * μ गतिशील श्यानता (किग्रा/(मी*से)) है।

स्थिर स्टोक्स प्रवाह
स्टोक्स प्रवाह में, बहुत कम रेनॉल्ड संख्या में, नेवियर-स्टोक्स समीकरणों में संवहन शर्तों की उपेक्षा की जाती है। तब प्रवाह समीकरण बन जाते हैं, असंगत प्रवाह स्थिर प्रवाह के लिए:

\begin{align} &\nabla p = \mu\, \nabla^2 \mathbf{u} = - \mu\, \nabla \times \mathbf{\boldsymbol{\omega}}, \\ &\nabla \cdot \mathbf{u} = 0, \end{align} $$ जहाँ: कुछ सदिश कैलकुलस पहचानों का उपयोग करके, इन समीकरणों को दाब के लिए लाप्लास के समीकरणों और आवर्त सदिश के प्रत्येक घटकों के परिणाम के रूप में दिखाया जा सकता है:
 * p द्रव का दबाव है (पा में),
 * 'u' प्रवाह वेग है (एम/एस में), और
 * 'ω' आवर्त है (से में-1), $$\boldsymbol{\omega}=\nabla\times\mathbf{u}$$ के रूप में परिभाषित किया गया है।


 * $$\nabla^2 \boldsymbol{\omega}=0$$ और $$\nabla^2 p = 0.$$

गुरुत्वाकर्षण और उछाल जैसे अतिरिक्त बलों को ध्यान में नहीं रखा गया है, किन्तु आसानी से जोड़ा जा सकता है क्योंकि उपरोक्त समीकरण रैखिक हैं, इसलिए समाधान और संबंधित बलों के रैखिक सुपरपोजिशन को प्रायुक्त किया जा सकता है।

गोले के चारों ओर अनुप्रस्थ प्रवाह
एकसमान दूरस्थ क्षेत्र प्रवाह में गोले के मामले में, बेलनाकार समन्वय प्रणाली (r, φ, z) का उपयोग करना लाभप्रद होता है। z-अक्ष गोले के केंद्र से होकर जाता है और औसत प्रवाह दिशा के साथ संरेखित होता है, जबकि r वह त्रिज्या है जिसे z-अक्ष के लंबवत मापा जाता है। मूल (गणित) गोले के केंद्र में है। क्योंकि प्रवाह z-अक्ष के चारों ओर अक्षीय है, यह दिगंश φ से स्वतंत्र है।

इस बेलनाकार समन्वय प्रणाली में, असम्पीडित प्रवाह को स्टोक्स स्ट्रीम फलन ψ के साथ वर्णित किया जा सकता है, जो क्रमशः r और z पर निर्भर करता है:

u_z = \frac{1}{r}\frac{\partial\psi}{\partial r}, \qquad u_r = -\frac{1}{r}\frac{\partial\psi}{\partial z}, $$ के साथ urऔर uz क्रमशः r और z दिशा में प्रवाह वेग घटक के साथ होता है। इस अक्षीय मामले में φ-दिशा में अज़ीमुथल वेग घटक शून्य के बराबर है। कुछ स्थिर मान ψ की सतह से बंधी ट्यूब के माध्यम से आयतन प्रवाह, 2π ψ के बराबर है और स्थिर है।

अक्षीय प्रवाह के इस मामले के लिए, आवर्त सदिश ω का एकमात्र गैर-शून्य घटक अज़ीमुथल φ-घटक ωφ है

\omega_\varphi = \frac{\partial u_r}{\partial z} - \frac{\partial u_z}{\partial r}   = - \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{1}{r}\frac{\partial\psi}{\partial r} \right) - \frac{1}{r}\, \frac{\partial^2\psi}{\partial z^2}. $$ लाप्लास ऑपरेटर, आवर्त ωφ पर प्रायुक्त होता है, अक्षीयता के साथ इस बेलनाकार समन्वय प्रणाली में बन जाता है:


 * $$\nabla^2 \omega_\varphi = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left( r\, \frac{\partial\omega_\varphi}{\partial r} \right) + \frac{\partial^2 \omega_\varphi}{\partial z^2} - \frac{\omega_\varphi}{r^{2}} = 0.$$

पिछले दो समीकरणों से, और उपयुक्त सीमा स्थितियों के साथ, z-दिशा में दूर-क्षेत्र समान-प्रवाह वेग u और त्रिज्या R के गोले के लिए, समाधान पाया जाता है

\psi(r,z) = - \frac{1}{2}\, u\, r^2\, \left[ 1   - \frac{3}{2} \frac{R}{\sqrt{r^2+z^2}} + \frac{1}{2} \left( \frac{R}{\sqrt{r^2+z^2}} \right)^3\; \right]. $$

बेलनाकार निर्देशांक प्रणाली और घटकों में वेग का समाधान इस प्रकार है:



u_r(r, z) = \frac{3R^3}{4} \cdot \frac{rz u}{\sqrt{r^2+z^2}^5} - \frac{3R}{4} \cdot\frac{rz u}{\sqrt{r^2+z^2}^3} $$

u_z(r, z) = \frac{R^3}{4}\cdot \left(\frac{3 u z^2}{\sqrt{r^2+z^2}^5} - \frac{u}{\sqrt{r^2+z^2}^3} \right) + u - \frac{3R}{4}\cdot \left( \frac{u}{\sqrt{r^2+z^2}} + \frac{u z^2}{\sqrt{r^2+z^2}^3} \right) $$ बेलनाकार निर्देशांक में आवर्त का समाधान इस प्रकार है:


 * $$\omega_\varphi(r, z) = - \frac{3 Ru}{2} \cdot \frac{r}{\sqrt{r^2+z^2}^3}$$

बेलनाकार निर्देशांक में दबाव का समाधान इस प्रकार है:


 * $$p(r, z) = - \frac{3 \mu R u}{2} \cdot \frac{z}{\sqrt{r^2+z^2}^3} $$

गोलाकार निर्देशांक में दबाव का समाधान इस प्रकार है:



p(r, \theta) = - \frac{3\mu R u}{2} \cdot \frac{\cos\theta}{r^2} $$ दबाव के सूत्र को इलेक्ट्रोस्टैटिक्स में अवधारणा के अनुरूप द्विध्रुवीय क्षमता भी कहा जाता है।

इच्छानुसार दूर-क्षेत्र वेग-सदिश के साथ अधिक सामान्य सूत्रीकरण $$\mathbf{u}_{\infty}$$कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में $$\mathbf{x}= (x, y, z)^T$$ इसके साथ आता है: $$\begin{align} \mathbf{u}(\mathbf{x}) &= \underbrace{\underbrace{\frac{R^3}{4} \cdot \left(\frac{3 \left(\mathbf{u}_{\infty} \cdot \mathbf{x}\right)\cdot \mathbf{x}}{\|\mathbf{x}\|^5} - \frac{\mathbf{u}_{\infty}}{\|\mathbf{x}\|^3} \right)}_{\text{conservative: curl=0, div=0}} + \underbrace{\mathbf{u}_{\infty}}_{\text{far-field}}}_{\text{Terms of Boundary-Condition}} \; \underbrace{- \frac{3R}{4}\cdot\left( \frac{\mathbf{u}_{\infty}}{\|\mathbf{x}\|} + \frac{\left(\mathbf{u}_{\infty} \cdot \mathbf{x}\right)\cdot \mathbf{x}}{\|\mathbf{x}\|^3} \right)}_{\text{non-conservative: curl}=\boldsymbol{\omega}(\mathbf{x}),\text{ div=0}} \\[8pt] &= \left[ \frac{3R^3}{4} \frac{\mathbf{x\otimes\mathbf{x}}}{\|\mathbf{x}\|^5} - \frac{R^3}{4} \frac{\mathbb{I}}{\|\mathbf{x}\|^3} - \frac{3R}{4} \frac{\mathbf{x}\otimes\mathbf{x}}{\|\mathbf{x}\|^3} - \frac{3R}{4} \frac{\mathbb{I}}{\|\mathbf{x}\|} + \mathbb{I} \right]\cdot \mathbf{u}_{\infty} \end{align} $$
 * $$\boldsymbol{\omega}(\mathbf{x}) = - \frac{3R}{2} \cdot \frac{\mathbf{u}_{\infty}\times \mathbf{x}}{\|\mathbf{x}\|^3}  $$
 * $$p\left(\mathbf{x}\right)= - \frac{3\mu R}{2} \cdot \frac{\mathbf{u}_{\infty} \cdot \mathbf{x}}{\|\mathbf{x}\|^3} $$

इस सूत्रीकरण में रूढ़िवादी बल | गैर-रूढ़िवादी शब्द प्रकार के तथाकथित स्टोक्स प्रवाह का प्रतिनिधित्व करता है। स्टोक्सलेट स्टोक्स-प्रवाह-संतुलन का ग्रीन का कार्य है। रूढ़िवादी शब्द मल्टीपोल विस्तार के बराबर है। आवर्त का सूत्र विद्युत  में बायोट-सावर्ट नियम के अनुरूप है।

निम्न सूत्र स्टोक्स प्रवाह के विशेष मामले के लिए चिपचिपा तनाव टेंसर का वर्णन करता है। कण पर कार्य करने वाले बल की गणना में इसकी आवश्यकता होती है। कार्तीय में सदिश-प्रवणता $$\nabla \mathbf{u}$$ का समन्वय करता है जैकबियन आव्यूह के समान है। गणित का सवाल $$\mathbf{I}$$ पहचान-आव्यूह का प्रतिनिधित्व करता है।


 * $$\boldsymbol{\sigma} = - p \cdot \mathbf{I} + \mu \cdot \left((\nabla \mathbf{u}) + (\nabla \mathbf{u})^T \right)$$

गोले पर कार्य करने वाले बल की गणना सतह-अभिन्न द्वारा की जाती है, जहाँ $$\mathbf{e_r} $$ गोलाकार समन्वय प्रणाली के रेडियल यूनिट-सदिश का प्रतिनिधित्व करता है | गोलाकार-निर्देशांक:


 * $$\mathbf{F} = \iint_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\supset \;\boldsymbol{\sigma}\cdot \text{d}\mathbf{S} =  \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi} \boldsymbol{\sigma}\cdot \mathbf{e_r}\cdot R^2 \sin\theta \text{d}\varphi\text{d}\theta =  \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi}  \frac{3\mu \cdot \mathbf{u}_{\infty}}{2 R}\cdot R^2 \sin\theta \text{d}\varphi\text{d}\theta = 6\pi\mu R \cdot \mathbf{u}_{\infty}  $$

गोले के चारों ओर घूर्णी प्रवाह

 * $$\boldsymbol{\omega}(\mathbf{x}) = \frac{R^3 \cdot \boldsymbol{\omega}_{R}}{\|\mathbf{x}\|^3} - \frac{3 R^3 \cdot (\boldsymbol{\omega}_{R} \cdot \mathbf{x})\cdot \mathbf{x}}{\|\mathbf{x}\|^5} $$
 * $$p(\mathbf{x}) = 0$$
 * $$\boldsymbol{\sigma} = - p \cdot \mathbf{I} + \mu \cdot \left( (\nabla \mathbf{u}) + (\nabla \mathbf{u})^T \right)$$
 * $$\mathbf{T} = \iint_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\supset \mathbf{x} \times \left( \boldsymbol{\sigma} \cdot \text{d}\boldsymbol{S} \right) = \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2\pi} (R \cdot \mathbf{e_r}) \times \left( \boldsymbol{\sigma} \cdot \mathbf{e_r} \cdot R^2 \sin\theta \text{d}\varphi \text{d}\theta \right) = 8\pi\mu R^3  \cdot \boldsymbol{\omega}_{R} $$

अन्य प्रकार के स्टोक्स प्रवाह
चूंकि तरल स्थिर है और गोला निश्चित वेग के साथ घूम रहा है, गोले के फ्रेम के संबंध में, गोला आराम पर है और तरल गोले की गति के विपरीत दिशा में बह रहा है।

यह भी देखें

 * आइंस्टीन संबंध (गतिज सिद्धांत)
 * लोगों के नाम पर वैज्ञानिक नियम
 * समीकरण खींचें
 * विस्कोमेट्री
 * समतुल्य गोलाकार व्यास
 * निक्षेपण (भूविज्ञान)

स्रोत

 * मूल रूप से 1879 में प्रकाशित, छठा विस्तारित संस्करण पहली बार 1932 में प्रकाशित हुआ था।
 * मूल रूप से 1879 में प्रकाशित, छठा विस्तारित संस्करण पहली बार 1932 में प्रकाशित हुआ था।