मध्यबिंदु विधि

संख्यात्मक विश्लेषण में, व्यावहारिक गणित की एक शाखा, मध्यबिंदु विधि संख्यात्मक साधारण अंतर समीकरणों के लिए साधारण अंतर समीकरण को हल करने की एक-चरणीय विधि है,
 * $$ y'(t) = f(t, y(t)), \quad y(t_0) = y_0 .$$

स्पष्ट मध्यबिंदु विधि सूत्र द्वारा दी गई है

द्वारा अंतर्निहित मध्यबिंदु विधि

के लिए $$n=0, 1, 2, \dots$$ यहाँ, $$h$$ चरण का आकार है - एक छोटी धनात्मक संख्या, $$t_n=t_0 + n h,$$ और $$y_n$$ का परिकलित अनुमानित मान है $$y(t_n).$$ स्पष्ट मध्यबिंदु विधि को कभी-कभी संशोधित यूलर विधि के रूप में भी जाना जाता है, अंतर्निहित विधि सबसे सरल संयोजन विधि है, और, हैमिल्टनियन गतिशीलता पर लागू, एक सहानुभूतिपूर्ण इंटीग्रेटर है। ध्यान दें कि संशोधित यूलर विधि ह्यून की विधि को संदर्भित कर सकती है, अधिक स्पष्टता के लिए रनगे-कुट्टा विधियों की सूची देखें।

विधि का नाम इस तथ्य से आता है कि उपरोक्त सूत्र में, फ़ंक्शन $$f$$ समाधान का ढलान देते हुए इसका मूल्यांकन किया जाता है $$t = t_n + h/2= \tfrac{t_n+t_{n+1}}{2},$$ के बीच का मध्यबिंदु $$t_n$$ जिस पर का मूल्य $$y(t)$$ ज्ञात है और $$t_{n+1}$$ जिस पर का मूल्य $$y(t)$$ खोजने की जरूरत है.

एक ज्यामितीय व्याख्या विधि की बेहतर सहज समझ प्रदान कर सकती है (दाईं ओर चित्र देखें)। मूल यूलर विधि में, वक्र की स्पर्शरेखा $$(t_n, y_n)$$ का उपयोग करके गणना की जाती है $$f(t_n, y_n)$$. अगला मान $$ y_{n+1}$$ वहां पाया जाता है जहां स्पर्शरेखा ऊर्ध्वाधर रेखा को काटती है $$t=t_{n+1}$$. हालाँकि, यदि दूसरा व्युत्पन्न केवल बीच में सकारात्मक है $$t_n$$ और $$t_{n+1}$$, या केवल नकारात्मक (जैसा कि चित्र में है), वक्र तेजी से स्पर्शरेखा से दूर चला जाएगा, जिससे बड़ी त्रुटियां होंगी $$h$$ बढ़ती है। आरेख दर्शाता है कि मध्यबिंदु (ऊपरी, हरी रेखा खंड) पर स्पर्शरेखा संभवतः उस अंतराल में वक्र का अधिक सटीक अनुमान देगी। हालाँकि, इस मध्यबिंदु स्पर्शरेखा की सटीक गणना नहीं की जा सकी क्योंकि हम वक्र को नहीं जानते हैं (यही गणना की जानी है)। इसके बजाय, इस स्पर्शरेखा का मूल्य का अनुमान लगाने के लिए मूल यूलर विधि का उपयोग करके अनुमान लगाया जाता है $$y(t)$$ मध्यबिंदु पर, फिर स्पर्शरेखा के ढलान की गणना करें $$f$$. अंत में, बेहतर स्पर्शरेखा का उपयोग के मूल्य की गणना के लिए किया जाता है $$y_{n+1}$$ से $$y_n$$. यह अंतिम चरण आरेख में लाल कॉर्ड द्वारा दर्शाया गया है। ध्यान दें कि मान का अनुमान लगाने में त्रुटि के कारण, लाल कॉर्ड हरे खंड (सच्चे स्पर्शरेखा) के बिल्कुल समानांतर नहीं है $$y(t)$$ मध्यबिंदु पर.

मध्यबिंदु विधि के प्रत्येक चरण पर स्थानीय त्रुटि क्रमबद्ध है $$O\left(h^3\right)$$, आदेश की वैश्विक त्रुटि दे रहा है $$O\left(h^2\right)$$. इस प्रकार, जबकि यूलर की विधि की तुलना में अधिक कम्प्यूटेशनल रूप से गहन, मध्यबिंदु विधि की त्रुटि आम तौर पर तेजी से घट जाती है $$h \to 0$$.

विधियाँ उच्च-क्रम विधियों के एक वर्ग के उदाहरण हैं जिन्हें रनगे-कुट्टा विधियों के रूप में जाना जाता है।

मध्यबिंदु विधि की व्युत्पत्ति
फ़ाइल:संख्यात्मक एकीकरण चित्रण, चरण=1.svg|right|thumb|समीकरण के लिए संख्यात्मक एकीकरण का चित्रण $$y'=y, y(0)=1.$$ नीला: यूलर विधि, हरा: मध्यबिंदु विधि, लाल: सटीक समाधान, $$y=e^t.$$ चरण का आकार है $$h=1.0.$$फ़ाइल:संख्यात्मक एकीकरण चित्रण चरण=0.25.svg|right|thumb|के लिए वही चित्रण $$h=0.25.$$ यह देखा गया है कि मध्यबिंदु विधि यूलर विधि की तुलना में तेजी से अभिसरण करती है।

मध्यबिंदु विधि यूलर विधि का परिशोधन है
 * $$ y_{n+1} = y_n + hf(t_n,y_n),\, $$

और इसी तरह से व्युत्पन्न किया गया है। यूलर की विधि प्राप्त करने की कुंजी अनुमानित समानता है

जो ढलान सूत्र से प्राप्त होता है

और उसे ध्यान में रखते हुए $$ y' = f(t, y).$$ मध्यबिंदु विधि के लिए, (3) को अधिक सटीक से बदलें
 * $$ y'\left(t+\frac{h}{2}\right) \approx \frac{y(t+h) - y(t)}{h} $$

जब (2) के स्थान पर हम पाते हैं

कोई भी इस समीकरण का उपयोग खोजने के लिए नहीं कर सकता $$ y(t+h)$$ जैसे कोई नहीं जानता $$y$$ पर $$t+h/2$$. समाधान यह है कि टेलर श्रृंखला विस्तार का ठीक उसी तरह उपयोग किया जाए जैसे कि हल करने के लिए यूलर विधि का उपयोग किया जा रहा हो $$y(t+h/2)$$:
 * $$y\left(t + \frac{h}{2}\right) \approx y(t) + \frac{h}{2}y'(t)=y(t) + \frac{h}{2}f(t, y(t)),$$

जो (4) प्लग इन करने पर हमें देता है
 * $$y(t + h) \approx y(t) + hf\left(t + \frac{h}{2}, y(t) + \frac{h}{2}f(t, y(t))\right)$$

और स्पष्ट मध्यबिंदु विधि (1e)।

अंतर्निहित विधि (1i) आधे चरण पर मान का अनुमान लगाकर प्राप्त की जाती है $$t+h/2$$ से रेखाखंड के मध्यबिंदु तक $$y(t)$$ को $$y(t+h)$$
 * $$y\left(t+\frac h2\right)\approx \frac12\bigl(y(t)+y(t+h)\bigr)$$

और इस तरह
 * $$\frac{y(t+h)-y(t)}{h}\approx y'\left(t+\frac h2\right)\approx k=f\left(t+\frac h2,\frac12\bigl(y(t)+y(t+h)\bigr)\right)$$ सन्निकटन सम्मिलित करना $$y_n+h\,k$$ के लिए $$y(t_n+h)$$

अंतर्निहित रनगे-कुट्टा पद्धति में परिणाम होता है
 * $$\begin{align}

k&=f\left(t_n+\frac h2,y_n+\frac h2 k\right)\\ y_{n+1}&=y_n+h\,k \end{align}$$ जिसमें चरण आकार के साथ अंतर्निहित यूलर विधि शामिल है $$h/2$$ इसके पहले भाग के रूप में.

अंतर्निहित विधि की समय समरूपता के कारण, सभी सम डिग्री की शर्तें $$h$$ स्थानीय त्रुटि को रद्द करें, ताकि स्थानीय त्रुटि स्वचालित रूप से व्यवस्थित हो जाए $$\mathcal O(h^3)$$. के निर्धारण में अन्तर्निहित को स्पष्ट यूलर विधि से बदलना $$k$$ स्पष्ट मध्यबिंदु विधि में फिर से परिणाम।

यह भी देखें

 * आयत विधि
 * ह्यून की विधि
 * लीपफ्रॉग एकीकरण और वेरलेट एकीकरण