रिब ग्राफ

रिब ग्राफ (रेने थॉम द्वारा जॉर्ज रीब के नाम पर रखा गया) गणित वस्तु है जो भिन्न-भिन्न मैनिफोल्ड पर वास्तविक-मूल्यवान फलन (गणित) के लेवल सेट के विकास को दर्शाती है। इसके अनुसार इसी तरह की अवधारणा जॉर्जी एडेल्सन-वेल्स्की या जी.एम. द्वारा प्रस्तुत की गई थी। इस प्रकार एडेलसन-वेल्स्की और अलेक्जेंडर क्रोनरोड या ए.एस. क्रोनरोड और हिल्बर्ट की तेरहवीं समस्या के विश्लेषण के लिए आवेदन किया था। मोर्स सिद्धांत में उपकरण के रूप में जी. रीब द्वारा प्रस्तावित किया गया था, रीब ग्राफ़ 2डी अदिश क्षेत्रों के बीच $$\psi$$, $$\lambda$$, और $$\phi$$ स्थितियों का बहुमूल्यवान कार्यात्मक संबंधों का अध्ययन करने का प्राकृतिक उपकरण है जो स्थितियों से उत्पन्न होते हैं। $$ \nabla \psi = \lambda \nabla \phi $$ और $$\lambda \neq 0$$, क्योंकि रीब ग्राफ़ के व्यक्तिगत किनारे से जुड़े क्षेत्र तक सीमित होने पर ये सम्बन्ध एकल-मूल्यवान होते हैं। इस सामान्य सिद्धांत का उपयोग सबसे पहले समुद्र विज्ञान में तटस्थ घनत्व स्थानिक निर्भरता का अध्ययन करने के लिए किया गया था। रीब ग्राफ़ को कम्प्यूटेशनल ज्यामिति और कंप्यूटर चित्रलेख में भी विविध प्रकार के अनुप्रयोग मिले हैं, इस प्रकार जिसमें कंप्यूटर सहायता प्राप्त ज्यामितीय डिज़ाइन, टोपोलॉजी-आधारित आकार मिलान सम्मिलित है,  टोपोलॉजिकल डेटा विश्लेषण, टोपोलॉजिकल सरलीकरण और सफाई, सतह विभाजन और पैरामीट्रिज़ेशन, लेवल सेट की कुशल गणना, तंत्रिका विज्ञान, और ज्यामितीय ऊष्मप्रवैगिकी है। समतल समिष्ट (तकनीकी रूप से सरल रूप से जुड़ा हुआ डोमेन) पर फलन के विशेष स्थिति में, रीब ग्राफ़ पॉलीट्री बनाता है और इस प्रकार इसे कंटूर ट्री भी कहा जाता है। लेवल सेट ग्राफ़ संभाव्यता घनत्व कार्यों और प्रतिगमन विश्लेषण कार्यों के आकलन से संबंधित सांख्यिकीय अनुमान में सहायता करते हैं, और उनका उपयोग अन्य चीजों के अतिरिक्त क्लस्टर विश्लेषण और फलन अनुकूलन समस्या में किया जा सकता है।

औपचारिक परिभाषा
एक टोपोलॉजिकल स्पेस f−1(c) कुछ वास्तविक c के लिए 'रीब ग्राफ' भागफल समिष्ट (टोपोलॉजी) X ∼/∼ भागफल टोपोलॉजी से संपन्न है।

मोर्स फलन के लिए विवरण
यदि f विशिष्ट महत्वपूर्ण मान वाला मोर्स फलन है, जिससे रीब ग्राफ़ को अधिक स्पष्ट रूप से वर्णित किया जा सकता है। इस प्रकार इसके नोड्स, या शीर्ष, महत्वपूर्ण लेवल सेट f−1(c) के अनुरूप हैं. वह क्रम जिसमें चाप, या किनारे, नोड्स/शीर्षों पर मिलते हैं, लेवल सेट f−1(t) की टोपोलॉजी में परिवर्तन को दर्शाता है जैसे ही t महत्वपूर्ण मान c से होकर निकलता है। उदाहरण के लिए, यदि c न्यूनतम या अधिकतम f है, तो घटक बनाया या नष्ट किया जाता है; परिणामस्वरूप, चाप संबंधित नोड पर उत्पन्न या समाप्त होता है, जिसकी डिग्री (ग्राफ सिद्धांत) 1 है। यदि c सूचकांक 1 का सैडल बिंदु है और f−1(t) के दो घटक हैं जैसे-जैसे t बढ़ता है, इस प्रकार t = c पर विलीन हो जाता है, रीब ग्राफ़ के संगत शीर्ष की डिग्री 3 होती है और यह अक्षर Y जैसा दिखता है; इस प्रकार यदि c का सूचकांक मंद X−1 है और f−1(c) का घटक है तो भी यही तर्क प्रयुक्त होता है दो भागों में विभाजित हो जाता है।