संतुलन (ज्यामिति)

यूक्लिडियन ज्यामिति में, निर्देशित रेखा-खंडो के बीच तुल्यता एक  द्विआधारी संबंध  है। बिंदु 'A' से बिंदु 'B' तक एक रेखा-खंड AB की दिशा, रेखा-खंड BA के विपरीत है। जब दो समानांतर रेखा-खंडो की लंबाई और दिशा समान होती है, तो वे समानांतर रेखाखंड समतुल्य होते हैं ।

समानांतर चतुर्भुज का गुण
यूक्लिडियन त्रिविम क्षेत्र की एक निश्चित विशेषता, सदिशो का समांतर चतुर्भुज गुण है। यदि दो रेखा-खंड समतुल्य हैं, तो वे समांतर चतुर्भुज की दो भुजाएँ बनाते हैं ।

यदि कोई दिया गया सदिश a और b, c और d के बीच है, तो a और c के बीच होने वाला सदिश वही है जो b और d के बीच है।

इतिहास
समतुल्य रेखा-खंडो की अवधारणा को 1835 में जिउस्तो बेलावाइटिस द्वारा दिया गया था। इसके बाद सदिश शब्द को समतुल्य रेखा-खंडो के एक वर्ग के लिए अपनाया गया था।  बेलावाइटिस द्वारा विभिन्न लेकिन एक जैसी दिखने वाली वस्तुओं की तुलना करने का विचार, विशेष रूप से  तुल्यता संबंधों के उपयोग में, एक सामान्य गणितीय तकनीक बन गया है। बेलावाइटिस ने AB और CD रेखाखंडों की समरूपता के लिए एक विशेष संकेतन का उपयोग किया:
 * $$AB \bumpeq CD .$$

माइकल जे.क्रो द्वारा अनुवादित निम्नलिखित अंश, इस अनुमान को दिखाते हैं कि बेलावाइटिस में यूक्लिडियन सदिश अवधारणाएं थीं :
 * समतुल्यता तब भी बनी रहती हैं जब कोई उनमें रेखाओं के लिए स्थानापन्न करता है, अन्य रेखाएँ जो क्रमशः उनसे समतुल्य होती हैं, वे अंतरिक्ष में स्थित हो सकती हैं। इससे यह समझा जा सकता है कि किसी भी संख्या और किसी भी प्रकार की रेखाओं का योग कैसे किया जा सकता है, और इन पंक्तियों को जिस क्रम में लिया जाता है, उसी क्रम में समविभव-योग भी प्राप्त होता है।
 * साम्यावस्था में, जैसा कि समीकरणों में होता है, एक रेखा को एक तरफ से दूसरी तरफ स्थानांतरित किया जा सकता है, केवल शर्त यह है कि उसका चिह्न बदल गया हो।

इस प्रकार विपरीत दिशा वाले रेखाखंड एक दूसरे के ऋणात्मक हैं :

$$AB + BA \bumpeq 0 .$$
 * समरूपता $$AB \bumpeq n.CD ,$$ जहाँ n एक धनात्मक संख्या के लिए होता है। यह दर्शाता है कि AB दोनों के समानांतर है और CD के समान दिशा है, और यह कि उनकी लंबाई में AB = n.CD द्वारा व्यक्त संबंध है।

यूक्लिडियन सदिश की भाषा में, A से B तक का रेखाखंड एक बाध्य सदिश है, जबकि इसके समतुल्य रेखाखंडों का वर्ग एक मुक्त सदिश है।

विस्तार
गोले पर ज्यामितीय समतुल्यता का भी उपयोग किया जाता है :
 * हैमिल्टन की विधि की प्रशंसा करते हुए, आइए हम पहले त्रि-आयामी यूक्लिडियन क्षेत्र में, एबेलियन समूह के अनुवाद की सबसे सरल स्थिति को याद करते हैं। प्रत्येक अनुवाद अंतरिक्ष में, केवल दिशा और परिमाण को महत्वपूर्ण और स्थान को अप्रासंगिक मानते हुए, एक सदिश के रूप में प्रतिनिधित्व करने योग्य है। दो अनुवादों की संरचना, सदिश योग के "सिर से पूंछ" के समांतर चतुर्भुज नियम और व्युत्क्रम मात्राओं को उलटने की दिशा के नियम द्वारा दी गई है। हैमिल्टन के मोड़ के सिद्धांत में, हमारे पास एबेलियन अनुवाद समूह से गैर-एबेलियन SU(2) तक ऐसी तस्वीर का सामान्यीकरण है। अंतरिक्ष में सदिशों के अतिरिक्त, हम यूक्लिडियन त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक इकाई क्षेत्र S2 पर लंबाई < π के निर्देशित बड़े वृत्त चाप से करते हैं। इस तरह के दो चापों को समतुल्य माना जाता है यदि एक को इसके बड़े वृत्त के साथ खिसका कर इसे दूसरे के साथ मिलाने के लिए बनाया जा सकता है।

एक गोले के एक बड़े वृत्त पर, दो निर्देशित वृत्ताकार चाप समान होते हैं, जब वे दिशा और चाप की लंबाई में समान होते हैं। ऐसे चापों का एक तुल्यता वर्ग एक चतुर्भुज संस्करण से जुड़ा होता है।
 * $$\exp(a r) = \cos a + r \sin a ,$$
 * जहाँ a चाप की लंबाई है और r लंबवतता द्वारा बड़े वृत्त के तल को निर्धारित करता है।

संदर्भ

 * Giusto Bellavitis (1835) "Saggio di applicazioni di un nuovo metodo di Geometria Analitica (Calcolo delle equipollenze)", Annali delle Scienze del Regno Lombardo-Veneto, Padova 5: 244–59.
 * Giusto Bellavitis (1854) Sposizione del Metodo della Equipollenze, link from Google Books.
 * Charles-Ange Laisant (1874): French translation with additions of Bellavitis (1854) Exposition de la méthode des equipollences, link from Google Books.


 * Giusto Bellavitis (1858) Calcolo dei Quaternioni di W.R. Hamilton e sua Relazione col Metodo delle Equipollenze, link from HathiTrust.
 * Charles-Ange Laisant (1887) Theorie et Applications des Equipollence, Gauthier-Villars, link from University of Michigan Historical Math Collection.
 * Lena L. Severance (1930) The Theory of Equipollences; Method of Analytical Geometry of Sig. Bellavitis, link from HathiTrust.

बाहरी संबंध

 * Axiomatic definition of equipollence