अवकल समीकरण

गणित में, अवकल समीकरण एक समीकरण है जो एक या एक से अधिक अज्ञात फलनों और उनके व्युत्पन्नों से संबंधित होता है। अनुप्रयोगों में, फलन प्रायः भौतिक मात्रा का प्रतिनिधित्व करते हैं, व्युत्पन्न परिवर्तन की अपनी दरों का प्रतिनिधित्व करते हैं, और अवकल समीकरण दोनों के बीच संबंध को परिभाषित करता है। इस तरह के संबंध सामान्य हैं इसलिए अभियांत्रिकी, भौतिकी, अर्थशास्त्र और जीव विज्ञान सहित कई विषयों में अवकल समीकरण प्रमुख भूमिका निभाते हैं।

मुख्य रूप से अवकल समीकरणों के अध्ययन में उनके समाधान (प्रत्येक समीकरण को संतुष्ट करने वाले फलनों का समूह) और उनके समाधान के गुणों का अध्ययन सम्मिलित है। स्पष्ट सूत्रों द्वारा केवल सबसे सरल अवकल समीकरणों को हल किया जा सकता है हालाँकि, किसी दिए गए अवकल समीकरण के समाधान के कई गुणों को उनकी सटीक गणना किए बिना निर्धारित किया जा सकता है।

प्रायः जब समाधान के लिए एक संवृत रूप अभिव्यक्ति उपलब्ध नहीं होती है, तो कंप्यूटर का उपयोग करके समाधान को संख्यात्मक रूप से अनुमानित किया जा सकता है। गतिशील प्रणालियों का सिद्धांत अवकल समीकरणों द्वारा वर्णित प्रणालियों के गुणात्मक विश्लेषण पर जोर देता है, जबकि सटीकता की एक निश्चित डिग्री के साथ समाधान निर्धारित करने के लिए कई संख्यात्मक तरीके विकसित किए गए हैं।

इतिहास
अवकल समीकरण सर्वप्रथम आइजैक न्यूटन और लीबनिज द्वारा कलन के आविष्कार के साथ अस्तित्व में आया। उनके 1671 के कार्य मेथडस फ्लक्सियोनम एट सेरीरम इनफिनिटरम के अध्याय 2 में, आइजैक न्यूटन ने तीन प्रकार के अवकल समीकरणों को सूचीबद्ध किया।



\begin{align} & \frac {dy}{dx} = f(x) \\[5pt] & \frac {dy}{dx} = f(x,y) \\[5pt] & x_1 \frac {\partial y}{\partial x_1} + x_2 \frac {\partial y}{\partial x_2} = y \end{align} $$ इन सभी स्थितियों में, $y$, x (या x1और x2 का) का एक अज्ञात फलन है, और f एक दिया हुआ फलन है।

वह इन उदाहरणों और अन्य को अनंत श्रृंखला का उपयोग करके हल करता है और समाधानों की गैर-विशिष्टता पर चर्चा करता है।

जैकब बर्नौली ने 1695 में बरनौली अवकल समीकरण प्रस्तावित किया। यह प्ररूप का एक साधारण अवकल समीकरण है।
 * $$y'+ P(x)y = Q(x)y^n\,$$

जिसके लिए अगले वर्ष लीबनिज ने इसे सरल करके समाधान प्राप्त किया।

ऐतिहासिक रूप से, एक कंपन तार की समस्या जैसे कि एक संगीत वाद्ययंत्र की समस्या का अध्ययन जीन ले रोंड डी'अलेम्बर्ट, लियोनहार्ड यूलर, डेनियल बर्नौली और जोसेफ-लुई लैग्रेंज द्वारा किया गया था।   1746 में, डी'अलेम्बर्ट ने एक आयामी तरंग समीकरण की खोज की, और दस वर्षों के भीतर यूलर ने त्रि-आयामी तरंग समीकरण की खोज की।

यूलर-लैग्रेंज समीकरण को 1750 के दशक में यूलर और लैग्रेंज द्वारा टौटोक्रोन समस्या के अपने अध्ययन के संबंध में विकसित किया गया था। यह एक वक्र निर्धारित करने की समस्या है जिस पर एक भारित कण प्रारंभिक बिंदु से स्वतंत्र, निश्चित समय में एक निश्चित बिंदु पर गिर जाएगा। लैग्रेंज ने 1755 में इस समस्या को हल किया और इसका समाधान यूलर को भेजा। दोनों ने लैग्रेंज की पद्धति को और विकसित किया और इसे यांत्रिकी पर लागू किया, जिससे लैग्रेंजियन यांत्रिकी का निर्माण हुआ।

1822 में, जोसेफ फूरियर ने थ्योरी एनालिटिक डे ला चालुर (ऊष्मा का विश्लेषणात्मक सिद्धांत) में ऊष्मा के प्रवाह पर अपना काम प्रकाशित किया, जिसमें उन्होंने न्यूटन के शीतलन के नियम पर अपने तर्क को आधारित किया, अर्थात्, दो आसन्न अणुओं के बीच ऊष्मा का प्रवाह उनके तापमान के अत्यंत छोटे अंतर के समानुपाती होता है। इस पुस्तक में ऊष्मा के प्रवाहकीय प्रसार के लिए फूरियर के अपने ताप समीकरण का प्रस्ताव था। यह आंशिक अवकल समीकरण अब गणितीय भौतिकी के प्रत्येक छात्र को पढ़ाया जाता है।

उदाहरण
चिरसम्मत यांत्रिकी में, किसी पिंड की गति को उसकी स्थिति और वेग द्वारा वर्णित किया जाता है क्योंकि समय मान भिन्न होता है। न्यूटन के नियम समय के फलन के रूप में पिंड की अज्ञात स्थिति के लिए अवकल समीकरण के रूप में इन चरों (स्थिति, वेग, त्वरण और पिंड पर कार्यरत विभिन्न बल) को गतिशील रूप से व्यक्त करने की अनुमति देते हैं।

कुछ स्थितियों में, यह अवकल समीकरण (जिसे गति का समीकरण कहा जाता है) को स्पष्ट रूप से हल किया जा सकता है।

अवकल समीकरणों का उपयोग करके वास्तविक दुनिया की समस्या का मॉडलिंग करने का एक उदाहरण केवल गुरुत्वाकर्षण और वायु प्रतिरोध पर विचार करते हुए हवा के माध्यम से गिरने वाली गेंद के वेग का निर्धारण है। जमीन की ओर गेंद का त्वरण गुरुत्वाकर्षण के कारण होने वाला त्वरण है, जो वायु प्रतिरोध के कारण मंदी को घटाता है। गुरुत्वाकर्षण को स्थिर माना जाता है, और वायु प्रतिरोध को गेंद के वेग के समानुपाती के रूप में प्रतिरूपित किया जा सकता है। इसका मतलब यह है कि गेंद का त्वरण, जो उसके वेग का व्युत्पन्न है, वेग पर निर्भर करता है (और वेग समय पर निर्भर करता है)। समय के फलन के रूप में वेग का पता लगाने में एक अवकल समीकरण को हल करना और उसकी वैधता की पुष्टि करना सम्मिलित है।

प्रकार
अवकल समीकरणों को कई प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है। समीकरण के गुणों का वर्णन करने के अलावा, अवकल समीकरणों के ये वर्ग समाधान के दृष्टिकोण के विकल्प को सूचित करने में सहायता कर सकते हैं। प्रायः इस्तेमाल किए जाने वाले भेदों में यह सम्मिलित है कि समीकरण सामान्य या आंशिक, रैखिक या गैर-रैखिक, और सजातीय या विषम है। यह सूची संपूर्ण से बहुत दूर है अवकल समीकरणों के कई अन्य गुण और उपवर्ग हैं जो विशिष्ट संदर्भों में बहुत उपयोगी हो सकते हैं।

सामान्य अवकल समीकरण
एक सामान्य अवकल समीकरण (ODE) एक समीकरण है जिसमें एक वास्तविक या जटिल चर $x$, इसके व्युत्पन्न और $x$ के कुछ दिए गए फलनों का अज्ञात फलन होता है। अज्ञात फलन प्रायः एक चर (सामान्यतः $y$) द्वारा निरूपित किया जाता है, जो, इसलिए, $x$ पर निर्भर करता है। इस प्रकार $x$ को प्राय: समीकरण का स्वतंत्र चर कहा जाता है। शब्द "साधारण" का प्रयोग आंशिक अवकल समीकरण शब्द के विपरीत किया जाता है, जो एक से अधिक स्वतंत्र चर के संबंध में हो सकता है।

रेखीय अवकल समीकरण वे अवकल समीकरण होते हैं जो अज्ञात फलन और उसके व्युत्पन्नों में रेखीय होते हैं। उनका सिद्धांत अच्छी तरह से विकसित है, और कई स्थितियों में उनके समाधानों को अभिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

भौतिकी में पाए जाने वाले अधिकांश ओडीई रैखिक होते हैं। इसलिए, अधिकांश विशेष फलनों को रेखीय अवकल समीकरणों के हल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है (देखें होलोनोमिक फलन)।

जैसा कि, सामान्य तौर पर, एक अवकल समीकरण के समाधान को एक संवृत रूप अभिव्यक्ति द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता है, कंप्यूटर पर अवकल समीकरणों को हल करने के लिए प्रायः संख्यात्मक विधियों का उपयोग किया जाता है।

आंशिक अवकल समीकरण
एक आंशिक अवकल समीकरण (पीडीई) एक अवकल समीकरण है जिसमें अज्ञात बहुभिन्नरूपी कार्य और उनके आंशिक व्युत्पन्न सम्मिलित हैं। (यह सामान्य अवकल समीकरणों के विपरीत है, जो एक चर और उनके व्युत्पन्न के फलनों से निपटते हैं।) पीडीई का उपयोग कई चर के फलनों से संबंधित समस्याओं को तैयार करने के लिए किया जाता है, और या तो संवृत रूप में हल किया जाता है, या एक प्रासंगिक कंप्यूटर नमूना बनाने के लिए उपयोग किया जाता है।

पीडीई का उपयोग प्रकृति में विभिन्न प्रकार की घटनाओं का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है जैसे ध्वनि, ऊष्मा, स्थिर विद्युतिकी,  विद्युत् गतिकी, द्रव प्रवाह, प्रत्यास्थता या क्वांटम यांत्रिकी। पीडीई के संदर्भ में इन अलग-अलग भौतिक घटनाओं को समान रूप से औपचारिक रूप दिया जा सकता है। जिस तरह साधारण अवकल समीकरण प्रायः एक-आयामी गतिशील प्रणालियों का मॉडल बनाते हैं, उसी तरह आंशिक अवकल समीकरण प्रायः बहुआयामी प्रणालियों का मॉडल करते हैं। प्रसंभाव्य आंशिक अवकल समीकरण मॉडलिंग यादृच्छिकता के लिए आंशिक अवकल समीकरणों का सामान्यीकरण करते हैं।

अरैखिक अवकल समीकरण
एक अरैखिक अवकल समीकरण एक अवकल समीकरण है जो अज्ञात फलन और उसके व्युत्पन्न में रैखिक समीकरण नहीं है (फलन के तर्कों में रैखिकता या अरैखिकता पर विचार नहीं किया जाता है)। अरैखिक अवकल समीकरणों को सटीक रूप से हल करने की बहुत कम विधियाँ हैं। जो ज्ञात हैं वे विशेष रूप से विशेष समरूपता वाले समीकरण पर निर्भर करते हैं। अरैखिक अवकल समीकरण विस्तारित समय अंतराल पर बहुत जटिल व्यवहार प्रदर्शित कर सकते हैं, जो अराजकता की विशेषता है। यहां तक कि अरैखिक अवकल समीकरणों के लिए अस्तित्व, अद्वितीयता, और समाधानों की विस्तारशीलता के मौलिक प्रश्न, और अरैखिक पीडीई के लिए प्रारंभिक और सीमा मान समस्याओं की अच्छी तरह से प्रस्तुत की गई कठिन समस्याएं हैं और विशेष मामलों में उनके समाधान को गणितीय सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण प्रगति माना जाता है। (cf. नेवियर-स्टोक्स अस्तित्व और सहजता)। हालांकि, यदि अवकल समीकरण एक सार्थक भौतिक प्रक्रिया का सही ढंग से तैयार किया गया प्रतिनिधित्व है, तो कोई यह अपेक्षा करता है कि इसका समाधान होगा।

रेखीय अवकल समीकरण प्रायः अरेखीय समीकरणों के अनुमान के रूप में प्रकट होते हैं। ये अनुमान केवल प्रतिबंधित शर्तों के तहत मान्य हैं। उदाहरण के लिए, सरल आवर्ती दोलक समीकरण अरैखिक लोलक समीकरण का एक अनुमान है जो छोटे आयाम दोलनों के लिए मान्य है (नीचे देखें)।

समीकरण की कोटि
अवकल समीकरणों को उनके क्रम द्वारा वर्णित किया जाता है, जो कि उच्चतम व्युत्पन्न वाले पद द्वारा निर्धारित होता है। एक समीकरण जिसमें केवल पहला व्युत्पन्न होता है, एक प्रथम कोटि अवकल समीकरण होता है, एक समीकरण जिसमें दूसरा व्युत्पन्न होता है, एक द्वितीय कोटि अवकल समीकरण होता है, और इसी तरह आगे भी। अवकल समीकरण जो प्राकृतिक घटनाओं का वर्णन करते हैं, उनमें लगभग हमेशा प्रथम और द्वितीय कोटि के व्युत्पन्न होते हैं, लेकिन कुछ अपवाद हैं, जैसे कि पतली फिल्म समीकरण, जो चतुर्थ कोटि आंशिक अवकल समीकरण है।

उदाहरण
उदाहरणों के पहले समूह में u, x का एक अज्ञात फलन है, और c और ω स्थिरांक हैं जिन्हें ज्ञात माना जाता है। साधारण और आंशिक अवकल समीकरणों के दो व्यापक वर्गीकरण में रैखिक और अरैखिक अवकल समीकरणों के बीच और सजातीय अवकल समीकरणों और विषमताओं के बीच अंतर करना सम्मिलित है।


 * विषम प्रथम-कोटि रेखीय स्थिरांक गुणांक साधारण अवकल समीकरण


 * $$ \frac{du}{dx} = cu+x^2. $$


 * सजातीय द्वितीय कोटि रैखिक सामान्य अवकल समीकरण


 * $$ \frac{d^2u}{dx^2} - x\frac{du}{dx} + u = 0. $$


 * सरल आवर्ती दोलक का वर्णन करने वाले सजातीय द्वितीय-कोटि रैखिक स्थिरांक गुणांक सामान्य अवकल समीकरण


 * $$ \frac{d^2u}{dx^2} + \omega^2u = 0. $$


 * विषम प्रथम-कोटि अरेखीय सामान्य अवकल समीकरण


 * $$ \frac{du}{dx} = u^2 + 4. $$


 * द्वितीय-कोटि अरेखीय (साइन फलन के कारण) लंबाई L के लोलक की गति का वर्णन करने वाला सामान्य अवकल समीकरण


 * $$ L\frac{d^2u}{dx^2} + g\sin u = 0. $$

उदाहरणों के अगले समूह में, अज्ञात फलन u दो चरों x और t या x और y पर निर्भर करता है।


 * सजातीय प्रथम-कोटि रैखिक आंशिक अवकल समीकरण


 * $$ \frac{\partial u}{\partial t} + t\frac{\partial u}{\partial x} = 0. $$


 * दीर्घवृत्तीय प्रकार के सजातीय द्वितीय कोटि रैखिक स्थिरांक गुणांक आंशिक अवकल समीकरण, लाप्लास समीकरण


 * $$ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0. $$


 * सजातीय तृतीय-कोटि अरैखिक आंशिक अवकल समीकरण


 * $$ \frac{\partial u}{\partial t} = 6u\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial^3 u}{\partial x^3}. $$

समाधानों का अस्तित्व
अवकल समीकरणों को हल करना बीजगणितीय समीकरणों को हल करने जैसा नहीं है। न केवल उनके समाधान प्रायः अस्पष्ट होते हैं, बल्कि क्या समाधान अद्वितीय हैं या बिल्कुल मौजूद हैं, यह भी रुचि के उल्लेखनीय विषय हैं।

प्रथम कोटि के प्रारंभिक मान समस्याओं के लिए, पीआनो अस्तित्व प्रमेय परिस्थितियों का एक समुच्चय देता है जिसमें एक समाधान मौजूद होता है। xy-तल में, किसी बिंदु $$(a,b)$$ को देखते हुए, कुछ आयताकार क्षेत्र $$Z$$परिभाषित करें, जैसे कि $$Z = [l,m]\times[n,p]$$ तथा $$(a,b)$$ के भीतरी भाग में है। यदि हमें एक अवकल समीकरण दिया जाता है $$\frac{dy}{dx} = g(x,y)$$ और शर्त यह है कि $$y=b$$ जब $$x=a$$, तो स्थानीय रूप से इस समस्या का समाधान है यदि $$g(x,y)$$ और $$\frac{\partial g}{\partial x}$$ दोनों $$Z$$ पर निरंतर हैं।  यह समाधान कुछ अंतराल पर मौजूद है जिसका केंद्र $$a$$ है। समाधान अद्वितीय नहीं हो सकता।

(अन्य परिणामों के लिए सामान्य अवकल समीकरण देखें।)

हालाँकि, यह हमें केवल प्रथम क्रम के प्रारंभिक मान समस्याओं में मदद करता है। मान लीजिए कि हमारे पास nवें क्रम की एक रैखिक प्रारंभिक मान समस्या है



f_{n}(x)\frac{d^n y}{dx^n} + \cdots + f_{1}(x)\frac{d y}{dx} + f_{0}(x)y = g(x) $$ जैसे कि

y(x_{0})=y_{0}, y'(x_{0}) = y'_{0}, y(x_{0}) = y_{0}, \ldots $$ किसी भी अशून्य के लिए $$f_{n}(x)$$, यदि $$\{f_{0},f_{1},\ldots\}$$ तथा $$g$$ कुछ अंतराल पर निरंतर हैं जिसमें $$x_{0}$$, $$y$$ अद्वितीय है और मौजूद है।

संबंधित अवधारणाएं

 * विलंबातर अवकल समीकरण (DDE) एक एकल चर के फलन के लिए एक समीकरण है, जिसे प्रायः समय कहा जाता है, जिसमें एक निश्चित समय पर फलन के व्युत्पन्न को पहले के समय में फलन के मानोंं के संदर्भ में दिया जाता है।
 * एक पूर्णांक-अवकल समीकरण (IDE) एक समीकरण है जो एक अवकल समीकरण और एक अभिन्न समीकरण के पहलुओं को जोड़ता है।
 * एक प्रसंभाव्य आंशिक अवकल समीकरण (SDE) एक समीकरण है जिसमें अज्ञात मात्रा एक प्रसंभाव्य प्रक्रिया है और समीकरण में कुछ ज्ञात प्रसंभाव्य प्रक्रियाएँ सम्मिलित हैं, उदाहरण के लिए, प्रसार समीकरणों की स्थिति में वीनर प्रक्रिया।
 * एक प्रसंभाव्य अवकल समीकरण (एसपीडीई) एक समीकरण है जो क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और सांख्यिकीय यांत्रिकी में अनुप्रयोगों के साथ समष्टि काल शोर प्रक्रियाओं को सम्मिलित करने के लिए एसडीई को सामान्यीकृत करता है।
 * एक अल्ट्रामेट्रिक छद्म-विभेदक समीकरण एक ऐसा समीकरण है जिसमें अल्ट्रामेट्रिक नॉन-आर्किमिडीयन स्थान में पी-एडिक संख्याएं होती हैं। गणितीय मॉडल जिनमें अल्ट्रामेट्रिक छद्म-विभेदक समीकरण सम्मिलित होते हैं, अवकल संचालकों के बजाय छद्म-विभेदक संचालकों का प्रयोग करते हैं।
 * अवकल बीजगणितीय समीकरण (DAE) एक अवकल समीकरण है जिसमें अवकल और बीजगणितीय पद निहित रूप में दिए गए हैं।

अवकल समीकरणों से संबंध
अवकल समीकरणों का सिद्धांत अवकल समीकरणों के सिद्धांत से निकटता से संबंधित है, जिसमें निर्देशांक केवल असतत मान ग्रहण करते हैं, और संबंध में अज्ञात फलन या फलन के मान और पास के निर्देशांक पर मान सम्मिलित होते हैं। अवकल समीकरणों के संख्यात्मक हलों की गणना करने या अवकल समीकरणों के गुणों का अध्ययन करने की कई विधियों में संगत अवकल समीकरण के हल द्वारा अवकल समीकरण के हल का अनुमान लगाना सम्मिलित है।

अनुप्रयोग
अवकल समीकरणों का अध्ययन शुद्ध और अनुप्रयुक्त गणित, भौतिकी और अभियान्त्रिकी में एक विस्तृत क्षेत्र है। इन सभी विषयों का संबंध विभिन्न प्रकार के अवकल समीकरणों के गुणों से है। शुद्ध गणित समाधानों के अस्तित्व और अद्वितीयता पर ध्यान केंद्रित करता है, जबकि अनुप्रयुक्त गणित समाधानों के सन्निकटन के लिए विधियों के कठोर औचित्य पर जोर देता है। अवकल समीकरण लगभग हर भौतिक, तकनीकी या जैविक प्रक्रिया, खगोलीय गति से लेकर पुल डिजाइन, न्यूरॉन्स के बीच बातचीत के मॉडलिंग में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। वास्तविक जीवन की समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग किए जाने वाले अवकल समीकरण आवश्यक रूप से प्रत्यक्ष रूप से हल करने योग्य नहीं हो सकते हैं, अर्थात उनके पास संवृत रूप समाधान नहीं हैं। इसके बजाय, संख्यात्मक विधियों का उपयोग करके समाधानों का अनुमान लगाया जा सकता है।

भौतिक विज्ञान और रसायन विज्ञान के कई मूलभूत नियमों को अवकल समीकरणों के रूप में तैयार किया जा सकता है। जीव विज्ञान और अर्थशास्त्र में, अवकल समीकरणों का उपयोग जटिल प्रणालियों के व्यवहार को मॉडल करने के लिए किया जाता है। अवकल समीकरणों का गणितीय सिद्धांत सबसे पहले उन विज्ञानों के साथ मिलकर विकसित हुआ जहाँ समीकरणों की उत्पत्ति हुई थी और जहाँ परिणामों का अनुप्रयोग पाया गया था। हालांकि, विविध समस्याएं, कभी-कभी काफी विशिष्ट वैज्ञानिक क्षेत्रों में उत्पन्न होती हैं, समान अवकल समीकरणों को जन्म दे सकती हैं। जब भी ऐसा होता है, समीकरणों के पीछे गणितीय सिद्धांत को विविध परिघटनाओं के पीछे एकीकृत सिद्धांत के रूप में देखा जा सकता है। उदाहरण के तौर पर, वातावरण में प्रकाश और ध्वनि के प्रसार और तालाब की सतह पर तरंगों के प्रसार पर विचार करें। उन सभी को एक ही दूसरे क्रम के आंशिक अवकल समीकरण, तरंग समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जो हमें प्रकाश और ध्वनि को तरंगों के रूप में सोचने की अनुमति देता है, जैसे कि पानी में परिचित तरंगें। ऊष्मा का संचालन, जिसका सिद्धांत जोसेफ फूरियर द्वारा विकसित किया गया था, दूसरे क्रम के आंशिक अवकल समीकरण, ऊष्मा समीकरण द्वारा नियंत्रित होता है। यह पता चला है कि कई प्रसार प्रक्रियाएं, जबकि अलग-अलग प्रतीत होती हैं, एक ही समीकरण द्वारा वर्णित की जाती हैं उदाहरण के लिए, वित्त में ब्लैक-स्कोल्स समीकरण ऊष्मा समीकरण से संबंधित है।

भिन्न-भिन्न वैज्ञानिक क्षेत्रों में जितने अवकल समीकरणों को नाम प्राप्त हुआ है, वह इस विषय के महत्व का साक्षी है। नामांकित अवकल समीकरणों की सूची देखें।

सॉफ्टवेयर
कुछ सीएएस (CAS) सॉफ़्टवेयर अवकल समीकरणों को हल कर सकते हैं। ये कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली (सीएएस) सॉफ्टवेयर और उनके आदेश उल्लेखनीय हैं।


 * मेपल
 * गणित
 * मैक्सिमा
 * सेजमैथ
 * सिम्पी
 * Xcas

यह भी देखें

 * सटीक अवकल समीकरण
 * कार्यात्मक अवकल समीकरण
 * प्रारंभिक अवस्था
 * अभिन्न समीकरण
 * साधारण अवकल समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधियाँ
 * आंशिक अवकल समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधियाँ
 * अस्तित्व और समाधान की विशिष्टता पर पिकार्ड-लिंडेलोफ प्रमेय
 * पुनरावृत्ति संबंध, जिसे 'अवकल समीकरण' भी कहा जाता है
 * संक्षेप अवकल समीकरण
 * अवकल समीकरणों की प्रणाली

अग्रिम पठन

 * In University of Michigan Historical Math Collection
 * In University of Michigan Historical Math Collection
 * In University of Michigan Historical Math Collection
 * In University of Michigan Historical Math Collection
 * In University of Michigan Historical Math Collection
 * In University of Michigan Historical Math Collection

बाहरी संबंध

 * Lectures on Differential Equations MIT Open CourseWare Videos
 * Online Notes / Differential Equations Paul Dawkins, Lamar University
 * Differential Equations, S.O.S. Mathematics
 * Introduction to modeling via differential equations Introduction to modeling by means of differential equations, with critical remarks.
 * Mathematical Assistant on Web Symbolic ODE tool, using Maxima
 * Exact Solutions of Ordinary Differential Equations
 * Collection of ODE and DAE models of physical systems MATLAB models
 * Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers An introductory textbook on differential equations by Jiri Lebl of UIUC
 * Khan Academy Video playlist on differential equations Topics covered in a first year course in differential equations.
 * MathDiscuss Video playlist on differential equations
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