इनफिनिटिमल स्ट्रेन थ्योरी

सातत्य यांत्रिकी में, अतिसूक्ष्म विकृति सिद्धांत एक ठोस निकाय के विरूपण (यांत्रिकी) के वर्णन के लिए एक गणितीय दृष्टिकोण है जिसमें भौतिक कणों के विस्थापन (वेक्टर) को किसी भी तुलना में बहुत छोटा (वास्तव में, अत्यंत सूक्ष्म रूप से छोटा) माना जाता है। निकाय का प्रासंगिक आयाम; ताकि समष्टि के प्रत्येक बिंदु पर इसकी ज्यामिति और भौतिक के संवैधानिक गुणों (जैसे घनत्व और कठोरता) को विरूपण द्वारा अपरिवर्तित माना जा सके।

इस धारणा के साथ, सातत्य यांत्रिकी के समीकरण अपेक्षाकृत अधिक सरल हो जाते हैं। इस दृष्टिकोण को लघु विरूपण सिद्धांत, लघु विस्थापन सिद्धांत या लघु विस्थापन-प्रवणता सिद्धांत भी कहा जा सकता है। यह परिमित विकृति सिद्धांत के विपरीत है जहां विपरीत धारणा बनाई जाती है।

कंक्रीट और इस्पात जैसी अपेक्षाकृत कठोर प्रत्यास्थ (भौतिकी) भौतिक से निर्मित संरचनाओं के प्रतिबल -विश्लेषण के लिए सामान्य रूप से व्यावहारिक और यांत्रिक अभियांत्रिकी में अतिसूक्ष्म विकृति सिद्धांत को स्वीकृत किया जाता है, क्योंकि ऐसी संरचनाओं के डिजाइन में एक सामान्य लक्ष्य विशिष्ट संरचनात्मक भार के अंतर्गत उनके विरूपण को कम करना है। । हालांकि, यह सन्निकटन पतले नमनीय पिंडों, की स्थिति में सावधानी की आवश्यकता होती है, जैसे कि छड़, प्लेट और गोले जो महत्वपूर्ण घूर्णनों के लिए अतिसंवेदनशील होते हैं, इस प्रकार परिणाम अविश्वसनीय बनाते हैं।

अतिसूक्ष्म विकृति टेन्सर (प्रदिश)
सातत्य यांत्रिकी के अतिसूक्ष्म विकृतियों के लिए,जिसमें विस्थापन प्रवणता (दूसरा क्रम टेन्सर) इकाई की तुलना में छोटा है, अर्थात $$\|\nabla \mathbf u\| \ll 1 $$ परिमित विकृति सिद्धांत में प्रयुक्त (अपरिमित रूप से कई संभव) विकृति टेंसरों में से किसी एक का ज्यामितीय रैखिककरण करना संभव है, उदाहरण लैग्रेंजियन विकृति टेन्सर $$\mathbf E$$, और यूलेरियन विकृति टेन्सर $$\mathbf e$$ है। इस तरह के रेखीयकरण में, परिमित विकृति टेन्सर के गैर-रैखिक या दूसरे क्रम की शर्तों की उपेक्षा की जाती है। इस प्रकार हमारे पास है

$$\mathbf E = \frac{1}{2} \left(\nabla_{\mathbf X}\mathbf u + (\nabla_{\mathbf X}\mathbf u)^T + (\nabla_{\mathbf X}\mathbf u)^T\nabla_{\mathbf X}\mathbf u\right)\approx \frac{1}{2}\left(\nabla_{\mathbf X}\mathbf u + (\nabla_{\mathbf X}\mathbf u)^T\right)$$ या $$E_{KL}= \frac{1}{2} \left(\frac{\partial U_K}{\partial X_L} +\frac{\partial U_L}{\partial X_K}+ \frac{\partial U_M}{\partial X_K} \frac{\partial U_M}{\partial X_L}\right)\approx \frac{1}{2}\left(\frac{\partial U_K}{\partial X_L}+\frac{\partial U_L}{\partial X_K}\right)$$ और $$\mathbf e =\frac{1}{2} \left(\nabla_{\mathbf x}\mathbf u + (\nabla_{\mathbf x}\mathbf u)^T - \nabla_{\mathbf x}\mathbf u(\nabla_{\mathbf x}\mathbf u)^T\right)\approx \frac{1}{2}\left(\nabla_{\mathbf x}\mathbf u + (\nabla_{\mathbf x}\mathbf u)^T\right)$$ या $$e_{rs}=\frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_r}{\partial x_s} +\frac{\partial u_s}{\partial x_r} -\frac{\partial u_k}{\partial x_r} \frac{\partial u_k}{\partial x_s}\right)\approx \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_r}{\partial x_s} +\frac{\partial u_s}{\partial x_r}\right)$$ इस रेखीयकरण का अर्थ है कि लैग्रेंजियन विवरण और यूलेरियन विवरण लगभग समान हैं क्योंकि सातत्य में दिए गए भौतिक बिंदु के भौतिक और स्थानिक निर्देशांक में बहुत कम अंतर है। इसलिए, भौतिक विस्थापन प्रवणता घटक और स्थानिक विस्थापन प्रवणता घटक लगभग बराबर हैं। इस प्रकार हमारे पास है $$\mathbf E \approx \mathbf e \approx \boldsymbol \varepsilon = \frac{1}{2}\left((\nabla\mathbf u)^T + \nabla\mathbf u\right) $$ या $$ E_{KL}\approx e_{rs}\approx\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} \left(u_{i,j}+u_{j,i}\right)$$ जहाँ $$\varepsilon_{ij}$$ अतिसूक्ष्म विकृति प्रदिश $$\boldsymbol \varepsilon$$ के घटक हैं जिसको कॉची विकृति टेन्सर, रैखिक विकृति टेन्सर, या लघु विकृति टेन्सर भी कहा जाता है।

$$\begin{align} \varepsilon_{ij} &= \frac{1}{2}\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right) \\ &= \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\ \varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33} \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \frac{\partial u_1}{\partial x_1} & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_1}{\partial x_2}+\frac{\partial u_2}{\partial x_1}\right) & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_1}{\partial x_3}+\frac{\partial u_3}{\partial x_1}\right) \\ \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_2}{\partial x_1}+\frac{\partial u_1}{\partial x_2}\right) & \frac{\partial u_2}{\partial x_2} & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_2}{\partial x_3}+\frac{\partial u_3}{\partial x_2}\right) \\ \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_3}{\partial x_1}+\frac{\partial u_1}{\partial x_3}\right) & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_3}{\partial x_2}+\frac{\partial u_2}{\partial x_3}\right) & \frac{\partial u_3}{\partial x_3} \\ \end{bmatrix} \end{align} $$ या अलग संकेतन का उपयोग करना: $$\begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} & \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{xz} \\ \varepsilon_{yx} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{yz} \\ \varepsilon_{zx} & \varepsilon_{zy} & \varepsilon_{zz} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\partial u_x}{\partial x} & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_x}{\partial y}+\frac{\partial u_y}{\partial x}\right) & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_x}{\partial z}+\frac{\partial u_z}{\partial x}\right) \\ \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_y}{\partial x}+\frac{\partial u_x}{\partial y}\right) & \frac{\partial u_y}{\partial y} & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_y}{\partial z}+\frac{\partial u_z}{\partial y}\right) \\ \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_z}{\partial x}+\frac{\partial u_x}{\partial z}\right) & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_z}{\partial y}+\frac{\partial u_y}{\partial z}\right) & \frac{\partial u_z}{\partial z} \\ \end{bmatrix} $$ इसके अतिरिक्त, चूंकि विरूपण प्रवणता को $$\boldsymbol{F} = \boldsymbol{\nabla}\mathbf{u} + \boldsymbol{I}$$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $$\boldsymbol{I}$$ दूसरे क्रम की समरूपता टेन्सर है, हमारे पास है $$\boldsymbol\varepsilon = \frac{1}{2} \left(\boldsymbol{F}^T+\boldsymbol{F}\right)-\boldsymbol{I}$$ साथ ही, लैग्रैन्जियन और यूलेरियन परिमित विकृति टेन्सरों के सामान्यीकृत विकृति टेंसरों के पद से हमारे पास है $$ \begin{align} \mathbf E_{(m)}& =\frac{1}{2m} (\mathbf U^{2m}-\boldsymbol{I}) = \frac{1}{2m} [(\boldsymbol{F}^T\boldsymbol{F})^m - \boldsymbol{I}] \approx \frac{1}{2m} [\{\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u}+(\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u})^T + \boldsymbol{I}\}^m - \boldsymbol{I}]\approx \boldsymbol{\varepsilon}\\ \mathbf e_{(m)}& = \frac{1}{2m} (\mathbf V^{2m}-\boldsymbol{I})= \frac{1}{2m} [(\boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T)^m - \boldsymbol{I}]\approx \boldsymbol{\varepsilon} \end{align} $$

ज्यामितीय व्युत्पत्ति
$$dy$$ (चित्र 1) द्वारा आयामों $$dx$$ के साथ एक अतिसूक्ष्म आयताकार भौतिक तत्व के द्वि-आयामी विरूपण पर विचार करें, जो विरूपण के बाद एक समचतुर्भुज का रूप ले लेता है। चित्र 1 की ज्यामिति से हमारे पास है

$$\begin{align} \overline {ab} &= \sqrt{\left(dx+\frac{\partial u_x}{\partial x}dx \right)^2 + \left( \frac{\partial u_y}{\partial x}dx \right)^2} \\ &= dx\sqrt{1+2\frac{\partial u_x}{\partial x}+\left(\frac{\partial u_x}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial u_y}{\partial x}\right)^2} \\ \end{align}$$ बहुत छोटे विस्थापन प्रवणता के लिए, अर्थात $$\|\nabla \mathbf u\| \ll 1 $$, अपने पास $$\overline {ab} \approx dx + \frac{\partial u_x}{\partial x} dx$$ आयताकार तत्व की $$x$$-दिशा में सामान्य प्रतिबल द्वारा परिभाषित किया गया है $$\varepsilon_x = \frac{\overline {ab}-\overline {AB}}{\overline {AB}}$$ और यह जानते हुए कि $$\overline {AB}= dx$$, हमारे पास है $$\varepsilon_x = \frac{\partial u_x}{\partial x}$$ इसी प्रकार y-दिशा और z-दिशा में सामान्य विकृति हो जाती है $$\varepsilon_y = \frac{\partial u_y}{\partial y} \quad, \qquad \varepsilon_z = \frac{\partial u_z}{\partial z}$$ अभियांत्रिकी अपरूपण या दो मूल रूप से लंबकोणीय भौतिक रेखाओ के बीच कोण में परिवर्तन, इस स्थिति में रेखा $$\overline {AC}$$ और $$\overline {AB}$$, को इस रूप में परिभाषित किया गया है $$\gamma_{xy}= \alpha + \beta$$ चित्र 1 की ज्यामिति से हमारे पास है $$\tan \alpha = \frac{\dfrac{\partial u_y}{\partial x}dx}{dx + \dfrac{\partial u_x}{\partial x} dx} = \frac{\dfrac{\partial u_y}{\partial x}}{1+\dfrac{\partial u_x}{\partial x}} \quad, \qquad \tan \beta=\frac{\dfrac{\partial u_x}{\partial y} dy}{dy+\dfrac{\partial u_y}{\partial y} dy}=\frac{\dfrac{\partial u_x}{\partial y}}{1+\dfrac{\partial u_y}{\partial y}}$$ छोटे घुमावों के लिए, अर्थात $$\alpha$$ और $$\beta$$ $$\ll 1$$ हैं, हमें प्राप्त होता है $$\tan \alpha \approx \alpha \quad, \qquad \tan \beta \approx \beta$$ और, फिर से, छोटे विस्थापन प्रवणताओं के लिए, हमारे पास है $$\alpha=\frac{\partial u_y}{\partial x} \quad, \qquad \beta=\frac{\partial u_x}{\partial y}$$ इस प्रकार $$\gamma_{xy}= \alpha + \beta = \frac{\partial u_y}{\partial x} + \frac{\partial u_x}{\partial y}$$ $$x$$ और $$y$$ और $$u_x$$ और $$u_y$$ को आपस मे परिवर्तित करके यह दिखाया जा सकता है कि $$\gamma_{xy} = \gamma_{yx}$$ है।

इसी प्रकार, $$y$$-$$z$$ और $$x$$-$$z$$ तलों के लिए, हमारे पास है $$\gamma_{yz} = \gamma_{zy} = \frac{\partial u_y}{\partial z} + \frac{\partial u_z}{\partial y} \quad, \qquad \gamma_{zx} = \gamma_{xz} = \frac{\partial u_z}{\partial x} + \frac{\partial u_x}{\partial z}$$ यह देखा जा सकता है कि अति-सूक्ष्म विकृति टेन्सर के टेंसोरियल अपरूपण विकृति घटकों को तब अभियांत्रिकी विकृति परिभाषा, $\gamma$ का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है, जैसा कि $$ \begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} & \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{xz} \\ \varepsilon_{yx} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{yz} \\ \varepsilon_{zx} & \varepsilon_{zy} & \varepsilon_{zz} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} & \gamma_{xy}/2 & \gamma_{xz}/2 \\ \gamma_{yx}/2 & \varepsilon_{yy} & \gamma_{yz}/2 \\ \gamma_{zx}/2 & \gamma_{zy}/2 & \varepsilon_{zz} \\ \end{bmatrix}$$

भौतिक व्याख्या
परिमित विरूपण टेंसर से हमारे पास है $$d\mathbf{x}^2 - d\mathbf{X}^2 = d\mathbf X \cdot 2\mathbf E \cdot d\mathbf X \quad\text{or}\quad (dx)^2 - (dX)^2 = 2E_{KL}\,dX_K\,dX_L$$ अत: अतिसूक्ष्म विकृति के लिए हमारे पास है $$d\mathbf{x}^2 - d\mathbf{X}^2 = d\mathbf X \cdot 2\mathbf{\boldsymbol \varepsilon} \cdot d\mathbf X \quad\text{or}\quad (dx)^2 - (dX)^2 = 2\varepsilon_{KL}\,dX_K\,dX_L$$ $$(dX)^2$$ द्वारा विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है $$\frac{dx-dX}{dX}\frac{dx+dX}{dX}=2\varepsilon_{ij}\frac{dX_i}{dX}\frac{dX_j}{dX}$$ छोटी विकृतियों के लिए हम यह मान लेते हैं कि $$dx \approx dX$$, इस प्रकार बाएँ पक्ष का दूसरा पद $$\frac{dx+dX}{dX} \approx 2$$ बन जाता है

तब हमे प्राप्त होता है $$\frac{dx-dX}{dX} = \varepsilon_{ij}N_iN_j = \mathbf N \cdot \boldsymbol \varepsilon \cdot \mathbf N$$ जहाँ $$N_i=\frac{dX_i}{dX}$$, की दिशा में इकाई वेक्टर $$d\mathbf X$$ है, और बायीं ओर की अभिव्यक्ति सामान्य विकृति $$e_{(\mathbf N)}$$ की दिशा मे $$\mathbf N$$ है।  $$\mathbf N$$ के विशेष स्थिति के लिए $$X_1$$ दिशा मे, अर्थात, $$\mathbf N = \mathbf I_1$$है, तब हमे प्राप्त होता है $$e_{(\mathbf I_1)}=\mathbf I_1 \cdot \boldsymbol \varepsilon \cdot \mathbf I_1 = \varepsilon_{11}.$$ इसी प्रकार, $$\mathbf N=\mathbf I_2$$ और $$\mathbf N=\mathbf I_3$$ के लिए हम सामान्य विकृति  $$\varepsilon_{22}$$ और $$\varepsilon_{33}$$, क्रमश प्राप्त कर सकते हैं। इसलिए, अति-सूक्ष्म विकृति टेन्सर के विकर्ण तत्व समन्वय दिशाओं में सामान्य विकृति हैं।

विकृति रूपांतरण नियम
यदि हम एक प्रसामान्य लांबिक निर्देशांक प्रणाली ($$\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3$$) चयन करते हैं, तो हम टेन्सर को उन आधार वेक्टरों के संबंध में घटकों के संदर्भ में लिख सकते हैं। $$ \boldsymbol{\varepsilon} = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \varepsilon_{ij} \mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j $$ आव्यूह रूप में, $$\underline{\underline{\boldsymbol{\varepsilon}}} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ \varepsilon_{12} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\ \varepsilon_{13} & \varepsilon_{23} & \varepsilon_{33} \end{bmatrix} $$ हम आसानी से अन्य प्रसामान्य लांबिक निर्देशांक प्रणाली ($$\hat{\mathbf{e}}_1,\hat{\mathbf{e}}_2,\hat{\mathbf{e}}_3$$) का उपयोग करना चयन कर सकते हैं इसके अतिरिक्त उस स्थिति में टेंसर के घटक भिन्न होते हैं, कहते हैं $$  \boldsymbol{\varepsilon} = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \hat{\varepsilon}_{ij} \hat{\mathbf{e}}_i\otimes\hat{\mathbf{e}}_j \quad \implies \quad \underline{\underline{\hat{\boldsymbol{\varepsilon}}}} = \begin{bmatrix} \hat{\varepsilon}_{11} & \hat{\varepsilon}_{12} & \hat{\varepsilon}_{13} \\ \hat{\varepsilon}_{12} & \hat{\varepsilon}_{22} & \hat{\varepsilon}_{23} \\ \hat{\varepsilon}_{13} & \hat{\varepsilon}_{23} & \hat{\varepsilon}_{33} \end{bmatrix} $$ दो समन्वय प्रणालियों में विकृति के घटक संबंधित हैं $$ \hat{\varepsilon}_{ij} = \ell_{ip}~\ell_{jq}~\varepsilon_{pq} $$ जहां पुनरावृत्त सूचकांकों के लिए आइंस्टीन योग संकेत का उपयोग किया गया है और $$\ell_{ij} = \hat{\mathbf{e}}_i\cdot{\mathbf{e}}_j$$ आव्यूह रूप में $$  \underline{\underline{\hat{\boldsymbol{\varepsilon}}}} = \underline{\underline{\mathbf{L}}} ~\underline{\underline{\boldsymbol{\varepsilon}}}~ \underline{\underline{\mathbf{L}}}^T $$ या $$ \begin{bmatrix} \hat{\varepsilon}_{11} & \hat{\varepsilon}_{12} & \hat{\varepsilon}_{13} \\ \hat{\varepsilon}_{21} & \hat{\varepsilon}_{22} & \hat{\varepsilon}_{23} \\ \hat{\varepsilon}_{31} & \hat{\varepsilon}_{32} & \hat{\varepsilon}_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \ell_{11} & \ell_{12} & \ell_{13} \\ \ell_{21} & \ell_{22} & \ell_{23} \\ \ell_{31} & \ell_{32} & \ell_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\ \varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \ell_{11} & \ell_{12} & \ell_{13} \\ \ell_{21} & \ell_{22} & \ell_{23} \\ \ell_{31} & \ell_{32} & \ell_{33} \end{bmatrix}^T $$

विकृति अचर
विकृति टेन्सर पर कुछ संचालन बिना किसी संबंध के समान परिणाम देते हैं जो विकृति के घटकों का प्रतिनिधित्व करने के लिए ऑर्थोनॉर्मल (प्रसामान्य लांबिक) समन्वय प्रणाली का उपयोग किया जाता है। इन संक्रियाओ के परिणामों को विकृति अचर कहा जाता है। सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला विकृति अचर हैं $$ \begin{align} I_1 & = \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon}) \\ I_2 & = \tfrac{1}{2}\{[\mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})]^2 - \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon}^2)\} \\ I_3 & = \det(\boldsymbol{\varepsilon}) \end{align} $$ घटकों के संदर्भ में $$ \begin{align} I_1 & = \varepsilon_{11} + \varepsilon_{22} + \varepsilon_{33} \\ I_2 & = \varepsilon_{11}\varepsilon_{22} + \varepsilon_{22}\varepsilon_{33} + \varepsilon_{33}\varepsilon_{11} - \varepsilon_{12}^2 - \varepsilon_{23}^2 - \varepsilon_{31}^2 \\ I_3 & = \varepsilon_{11}(\varepsilon_{22}\varepsilon_{33} - \varepsilon_{23}^2) - \varepsilon_{12}(\varepsilon_{21}\varepsilon_{33}-\varepsilon_{23}\varepsilon_{31}) + \varepsilon_{13}(\varepsilon_{21}\varepsilon_{32}-\varepsilon_{22}\varepsilon_{31}) \end{align} $$

मुख्य विकृति
यह दिखाया जा सकता है कि एक समन्वय प्रणाली ($$\mathbf{n}_1,\mathbf{n}_2,\mathbf{n}_3$$) को खोजना संभव है, जिसमें विकृति टेन्सर के घटक होते हैं $$  \underline{\underline{\boldsymbol{\varepsilon}}} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \varepsilon_{2} & 0 \\ 0 & 0 & \varepsilon_{3} \end{bmatrix} \quad \implies \quad \boldsymbol{\varepsilon} = \varepsilon_{1} \mathbf{n}_1\otimes\mathbf{n}_1 + \varepsilon_{2} \mathbf{n}_2\otimes\mathbf{n}_2 + \varepsilon_{3} \mathbf{n}_3\otimes\mathbf{n}_3 $$ ($$\mathbf{n}_1,\mathbf{n}_2,\mathbf{n}_3$$) समन्वय प्रणाली में विकृति टेन्सर के घटक को मुख्य विकृति और दिशाएं $$\mathbf{n}_i$$ मुख्य विकृति की दिशाएँ कहलाती हैं। चूंकि इस समन्वय प्रणाली में कोई अपरूपण विकृति घटक नहीं हैं, इसलिए मुख्य विकृति एक मौलिक मात्रा के अधिकतम और न्यूनतम भागों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

यदि हमें एक एकपक्षीय प्रसामान्य लांबिक निर्देशांक प्रणाली में विकृति टेन्सर के घटक दिए गए हैं, तो हम समीकरणों की प्रणाली को हल करके निर्धारित आइगेनमान अपघटन का उपयोग करके प्रमुख विकृति प्राप्त कर सकते हैं। $$ (\underline{\underline{\boldsymbol{\varepsilon}}} - \varepsilon_i~\underline{\underline{\mathbf{I}}})~\mathbf{n}_i = \underline{\mathbf{0}} $$ समीकरणों की यह प्रणाली वेक्टर $$\mathbf{n}_i$$ खोजने के बराबर है, जिसके साथ विकृति टेन्सर बिना अपरूपण घटक के शुद्ध तनाव बन जाता है।

आयतनमितीय विकृति
विस्तारण (आयतन की सापेक्ष भिन्नता) पहला विकृति अपरिवर्तनीय या टेंसर का चिन्ह है: $$\delta=\frac{\Delta V}{V_0} = I_1 = \varepsilon_{11} + \varepsilon_{22} + \varepsilon_{33}$$ वास्तव में, यदि हम एक कोर की लंबाई के साथ एक घन पर विचार करते हैं, तो यह विरूपण के बाद एक अर्ध-घन है (कोणों की भिन्नता मात्रा नहीं बदलती है) आयामों के साथ$$a \cdot (1 + \varepsilon_{11}) \times a \cdot (1 + \varepsilon_{22}) \times a \cdot (1 + \varepsilon_{33})$$ और V0 = a3 है, इस प्रकार $$\frac{\Delta V}{V_0} = \frac{\left ( 1 + \varepsilon_{11} + \varepsilon_{22} + \varepsilon_{33} + \varepsilon_{11} \cdot \varepsilon_{22} + \varepsilon_{11} \cdot \varepsilon_{33}+ \varepsilon_{22} \cdot \varepsilon_{33} + \varepsilon_{11} \cdot \varepsilon_{22} \cdot \varepsilon_{33} \right ) \cdot a^3 - a^3}{a^3}$$ जैसा कि हम छोटे विकृतियों पर विचार करते हैं, $$1 \gg \varepsilon_{ii} \gg \varepsilon_{ii} \cdot \varepsilon_{jj} \gg \varepsilon_{11} \cdot \varepsilon_{22} \cdot \varepsilon_{33} $$ इसलिए सूत्र



शुद्ध अपरूपण की स्थिति में, हम देख सकते हैं कि आयतन में कोई परिवर्तन नहीं हुआ है।

विकृति विचलनकर्ता टेन्सर
अतिसूक्ष्म विकृति टेन्सर $$\varepsilon_{ij}$$, कॉची विकृति टेन्सर के समान, दो अन्य टेंसरों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
 * 1) औसत विकृति टेन्सर या आयतनी विकृति टेन्सर या गोलाकार विकृति टेन्सर, $$\varepsilon_M\delta_{ij}$$से संबंधित या आयतन परिवर्तन से संबंधित; और
 * 2) विरूपण से संबंधित एक विचलित करने वाला घटक विकृति विचलन टेंसर, $$\varepsilon'_{ij}$$, कहलाता है।

$$\varepsilon_{ij}= \varepsilon'_{ij} + \varepsilon_M\delta_{ij}$$ जहाँ $$\varepsilon_M$$ द्वारा दिया गया औसत विकृति है $$\varepsilon_M = \frac{\varepsilon_{kk}}{3} = \frac{\varepsilon_{11} + \varepsilon_{22} + \varepsilon_{33}}{3} = \tfrac{1}{3}I^e_1$$ विचलन विकृति प्रदिश को औसत विकृति टेन्सर को अतिसूक्ष्म विकृति टेन्सर से घटाकर प्राप्त किया जा सकता है: $$\begin{align} \ \varepsilon'_{ij} &= \varepsilon_{ij} - \frac{\varepsilon_{kk}}{3}\delta_{ij} \\ \begin{bmatrix} \varepsilon'_{11} & \varepsilon'_{12} & \varepsilon'_{13} \\ \varepsilon'_{21} & \varepsilon'_{22} & \varepsilon'_{23} \\ \varepsilon'_{31} & \varepsilon'_{32} & \varepsilon'_{33} \\ \end{bmatrix} &=\begin{bmatrix} \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\ \varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33} \\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \varepsilon_M & 0 & 0 \\ 0 & \varepsilon_M & 0 \\ 0 & 0 & \varepsilon_M \\ \end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix} \varepsilon_{11}-\varepsilon_M & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22}-\varepsilon_M & \varepsilon_{23} \\ \varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33}-\varepsilon_M \\ \end{bmatrix} \\ \end{align}$$

अष्टफलकीय विकृति
मान लीजिए ($$\mathbf{n}_1, \mathbf{n}_2, \mathbf{n}_3$$) तीन मुख्य विकृति की दिशा हो। एक अष्टफलकीय तल वह है जिसका अभिलंब तीन प्रमुख दिशाओं के साथ समान कोण बनाता है। एक अष्टफलकीय तल पर अभियांत्रिकी अपरूपण विकृति को अष्टफलकीय अपरूपण विकृति कहते हैं और इसके द्वारा दिया जाता है $$ \gamma_{\mathrm{oct}} = \tfrac{2}{3}\sqrt{(\varepsilon_1-\varepsilon_2)^2 + (\varepsilon_2-\varepsilon_3)^2 + (\varepsilon_3-\varepsilon_1)^2} $$ जहाँ $$\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$$ मुख्य विकृति हैं।

एक अष्टफलकीय तल पर सामान्य विकृति किसके द्वारा दिया जाता है $$ \varepsilon_{\mathrm{oct}} = \tfrac{1}{3}(\varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \varepsilon_3) $$

समतुल्य विकृति
समतुल्य विकृति या वॉन मिज़ समतुल्य विकृति नामक एक अदिश राशि का उपयोग प्रायः ठोस पदार्थों में विकृति की स्थिति का वर्णन करने के लिए किया जाता है। साहित्य में समतुल्य विकृति की कई परिभाषाएँ पाई जा सकती हैं। परिभाषा जो सामान्य रूप से नमनीयता (भौतिकी) पर साहित्य में प्रयोग की जाती है $$  \varepsilon_{\mathrm{eq}} = \sqrt{\tfrac{2}{3} \boldsymbol{\varepsilon}^{\mathrm{dev}}:\boldsymbol{\varepsilon}^{\mathrm{dev}}}  = \sqrt{\tfrac{2}{3}\varepsilon_{ij}^{\mathrm{dev}}\varepsilon_{ij}^{\mathrm{dev}}} ~; \boldsymbol{\varepsilon}^{\mathrm{dev}} = \boldsymbol{\varepsilon} - \tfrac{1}{3}\mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})~\boldsymbol{I} $$ यह परिणाम कार्य के रूप में परिभाषित समतुल्य विकृति के संयुग्मी है $$ \sigma_{\mathrm{eq}} = \sqrt{\tfrac{3}{2} \boldsymbol{\sigma}^{\mathrm{dev}}:\boldsymbol{\sigma}^{\mathrm{dev}}} $$

संगतता समीकरण
निर्धारित विकृति घटकों के लिए $$\varepsilon_{ij}$$ विकृति टेन्सर समीकरण $$u_{i,j}+u_{j,i}= 2 \varepsilon_{ij}$$ तीन विस्थापन घटकों $$u_i$$ के निर्धारण के लिए छह अंतर समीकरणों की एक प्रणाली का प्रतिनिधित्व करता है, एक अति-निर्धारित प्रणाली दे रहा है। इस प्रकार, विकृति घटकों की एकपक्षीय चयन के लिए सामान्य रूप से कोई समाधान सम्मिलित नहीं होता है। इसलिए, कुछ प्रतिबंध, नामित अनुकूलता समीकरण, विकृति घटकों पर लगाए जाते हैं। तीन संगतता समीकरणों को जोड़ने के साथ अज्ञात विस्थापन घटकों की संख्या से समरूप वाले स्वतंत्र समीकरणों की संख्या घटाकर तीन कर दी गई है। विकृति टेन्सर पर पर इन बाधाओं की खोज सेंट-वेनेंट द्वारा की गई थी, और इसे "सेंट वेनेंट संगतता समीकरण" कहा जाता है।

संगतता फलन एकल-मूल्य वाले सतत विस्थापन फलन $$u_i$$को निश्चित करने के लिए कार्य करते हैं। यदि प्रत्यास्थ माध्यम को अप्रतिबंधित अवस्था में अत्यंत सूक्ष्म घनों के एक समुच्चय के रूप में देखा जाता है, तो माध्यम के विकृतिपूर्ण होने के बाद, एक एकपक्षीय विकृति टेन्सर ऐसी स्थिति उत्पन्न नहीं कर सकता है जिसमें विकृत घन अभी भी अतिच्छादन के बिना एक साथ निर्धारित होते हैं।

अनुक्रमणिका संकेतन में, संगतता समीकरणों को इस रूप में व्यक्त किया जाता है $$\varepsilon_{ij,km}+\varepsilon_{km,ij}-\varepsilon_{ik,jm}-\varepsilon_{jm,ik}=0$$ अभियांत्रिकी संकेतन में,
 * $$\frac{\partial^2 \epsilon_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \epsilon_y}{\partial x^2} = 2 \frac{\partial^2 \epsilon_{xy}}{\partial x \partial y}$$
 * $$\frac{\partial^2 \epsilon_y}{\partial z^2} + \frac{\partial^2 \epsilon_z}{\partial y^2} = 2 \frac{\partial^2 \epsilon_{yz}}{\partial y \partial z}$$
 * $$\frac{\partial^2 \epsilon_x}{\partial z^2} + \frac{\partial^2 \epsilon_z}{\partial x^2} = 2 \frac{\partial^2 \epsilon_{zx}}{\partial z \partial x}$$
 * $$\frac{\partial^2 \epsilon_x}{\partial y \partial z} = \frac{\partial}{\partial x} \left ( -\frac{\partial \epsilon_{yz}}{\partial x} + \frac{\partial \epsilon_{zx}}{\partial y} + \frac{\partial \epsilon_{xy}}{\partial z}\right)$$
 * $$\frac{\partial^2 \epsilon_y}{\partial z \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} \left ( \frac{\partial \epsilon_{yz}}{\partial x} - \frac{\partial \epsilon_{zx}}{\partial y} + \frac{\partial \epsilon_{xy}}{\partial z}\right)$$
 * $$\frac{\partial^2 \epsilon_z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial z} \left ( \frac{\partial \epsilon_{yz}}{\partial x} + \frac{\partial \epsilon_{zx}}{\partial y} - \frac{\partial \epsilon_{xy}}{\partial z}\right)$$

समतल विकृति
वास्तविक अभियांत्रिकी घटकों में, विकृति (भौतिकी) (और विकृति) 3-डी टेन्सर हैं लेकिन प्रिज्मीय संरचनाओं जैसे लंबी धातु बिलेट में, संरचना की लंबाई अन्य दो आयामों की तुलना में बहुत अधिक है। लंबाई के साथ जुड़े विकृति, अर्थात सामान्य विकृति $$\varepsilon_{33}$$ और अपरूपण विकृति $$\varepsilon_{13}$$ और $$\varepsilon_{23}$$ (यदि लंबाई 3-दिशा है) पास की भौतिक से प्रतिबंधित हैं और प्रतिनिध्यात्मक विकृति की तुलना में छोटी हैं। समतल विकृति तब एक स्वीकार्य सन्निकटन है। समतल विकृति के लिए विकृति टेन्सर को इस प्रकार लिखा जाता है: $$\underline{\underline{\boldsymbol{\varepsilon}}} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & 0 \\ \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & 0 \\ 0     &     0       & 0 \end{bmatrix}$$ जिसमें दोहरी अधोरेखा दूसरे क्रम के टेंसर को संकेत करता है। इस विकृति अवस्था को समतल विकृति कहते हैं। संबंधित विकृति टेन्सर है: $$\underline{\underline{\boldsymbol{\sigma}}} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & 0 \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & 0 \\ 0     &     0       & \sigma_{33} \end{bmatrix}$$ जिसमें $$\sigma_{33}$$ प्रतिबंधित को बनाए रखने के लिए $$\epsilon_{33} = 0$$ की आवश्यकता होती है। इस विकृति पद को केवल समतल मे पदों को छोड़ने के लिए विश्लेषण से अस्थायी रूप से हटाया जा सकता है, प्रभावी रूप से 3-डी समस्या को बहुत सरल 2-डी समस्या में कम कर सकता है।

प्रतिसमतल विकृति
प्रतिसमतल विकृति की एक अन्य विशेष अवस्था है जो निकाय में हो सकती है, उदाहरण के लिए एक विकृति अव्यवस्था के समीप के क्षेत्र में हो सकती है। प्रतिसमतल विकृति के लिए विकृति टेन्सर किसके द्वारा दिया जाता है $$\underline{\underline{\boldsymbol{\varepsilon}}} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \varepsilon_{13} \\ 0 & 0 & \varepsilon_{23}\\ \varepsilon_{13} & \varepsilon_{23} & 0 \end{bmatrix}$$

अतिसूक्ष्म घूर्णन टेन्सर
अतिसूक्ष्म विकृति टेन्सर को इस रूप में परिभाषित किया गया है $$ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2} [\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u} + (\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u})^T]$$ इसलिए विस्थापन प्रवणता को व्यक्त किया जा सकता है $$ \boldsymbol{\nabla}\mathbf{u} = \boldsymbol{\varepsilon} + \boldsymbol{\omega}$$ जहाँ $$ \boldsymbol{\omega} := \frac{1}{2} [\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u} - (\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u})^T]$$ मात्रा $$\boldsymbol{\omega}$$ अतिसूक्ष्म घूर्णन प्रदिश है। यह टेंसर विषम सममित है। अतिसूक्ष्म विकृतियों $$\boldsymbol{\omega}$$ के लिए अदिश घटक $$|\omega_{ij}| \ll 1$$ शर्त को पूरा करें। ध्यान दें कि विस्थापन प्रवणता केवल तभी छोटी होती है जब विकृति टेन्सर और घूर्णन प्रदिश दोनों अपरिमेय हों।

अक्षीय वेक्टर
विषम सममित दूसरे क्रम के टेंसर में तीन स्वतंत्र अदिश घटक होते हैं। अक्षीय वेक्टर $$\mathbf{w}$$ को परिभाषित करने के लिए इन तीन घटकों का उपयोग किया जाता है, निम्नानुसार $$ \omega_{ij} = -\epsilon_{ijk}~w_k ~; w_i = -\tfrac{1}{2}~\epsilon_{ijk}~\omega_{jk} $$ जहाँ $$\epsilon_{ijk}$$ क्रमपरिवर्तन प्रतीक है। तब आव्यूह के रूप में $$ \underline{\underline{\boldsymbol{\omega}}} = \begin{bmatrix} 0 & -w_3 & w_2 \\ w_3 & 0 & -w_1 \\ -w_2 & w_1 & 0\end{bmatrix} ~; \underline{\mathbf{w}} = \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{bmatrix} $$ अक्षीय वेक्टर को अतिसूक्ष्म घूर्णन वेक्टर भी कहा जाता है। घूर्णन वेक्टर संबंध द्वारा विस्थापन प्रवणता से संबंधित है $$ \mathbf{w} = \tfrac{1}{2}~ \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{u} $$ सूचक संकेतन में $$ w_i = \tfrac{1}{2}~\epsilon_{ijk}~u_{k,j} $$ यदि $$\lVert\boldsymbol{\omega}\rVert \ll 1 $$ और $$\boldsymbol{\varepsilon} = \boldsymbol{0}$$ है, तब भौतिक वेक्टर $$|\mathbf{w}|$$ के चारों ओर परिमाण $$\mathbf{w}$$ के अनुमानित दृढ पिंड के घूर्णन से गुजरती है।

विकृति टेन्सर और घूर्णन वेक्टर के बीच संबंध
सतत, एकल-मान विस्थापन क्षेत्र $$\mathbf{u}$$ और संबंधित अतिसूक्ष्म विकृति टेन्सर $$\boldsymbol{\varepsilon}$$ को देखते हुए, हमारे पास है (टेन्सर अवकल (सतत यांत्रिकी) देखें) $$\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{\varepsilon} = e_{ijk}~\varepsilon_{lj,i}~\mathbf{e}_k\otimes\mathbf{e}_l = \tfrac{1}{2}~e_{ijk}~[u_{l,ji} + u_{j,li}]~\mathbf{e}_k\otimes\mathbf{e}_l $$ चूँकि अवकलन के क्रम में परिवर्तन से परिणाम $$u_{l,ji} = u_{l,ij}$$ में परिवर्तन नहीं होता है, इसलिए $$ e_{ijk} u_{l,ji} = (e_{12k}+e_{21k}) u_{l,12} + (e_{13k}+e_{31k}) u_{l,13} + (e_{23k} + e_{32k}) u_{l,32} = 0 $$ भी $$ \tfrac{1}{2}~e_{ijk}~u_{j,li} = \left(\tfrac{1}{2}~e_{ijk}~u_{j,i}\right)_{,l} = \left(\tfrac{1}{2} ~ e_{kij}~u_{j,i}\right)_{,l} = w_{k,l} $$ इस तरह $$ \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{\varepsilon} = w_{k,l}~\mathbf{e}_k\otimes\mathbf{e}_l = \boldsymbol{\nabla}\mathbf{w} $$

घूर्णन टेन्सर और घूर्णन वेक्टर के बीच संबंध
टेंसर अवकल (सतत यांत्रिकी) के बारे में एक महत्वपूर्ण समरूपता से हम जानते हैं कि सतत, एकल-मान $$\mathbf{u}$$ वाले विस्थापन क्षेत्र के लिए, $$ \boldsymbol{\nabla}\times(\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u}) = \boldsymbol{0}. $$ तब से $$\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u} = \boldsymbol{\varepsilon} + \boldsymbol{\omega}$$ हमारे पास $$ \boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{\omega} = -\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{\varepsilon} = - \boldsymbol{\nabla} \mathbf{w}. $$

बेलनाकार निर्देशांक में विकृति टेन्सर
बेलनाकार ध्रुवीय निर्देशांक ($$r, \theta, z$$) में, विस्थापन वेक्टर के रूप में लिखा जा सकता है $$ \mathbf{u} = u_r~\mathbf{e}_r + u_\theta~\mathbf{e}_\theta + u_z~\mathbf{e}_z $$ बेलनाकार समन्वय प्रणाली में विकृति टेन्सर के घटक निम्न द्वारा दिए गए हैं: $$\begin{align} \varepsilon_{rr} & = \cfrac{\partial u_r}{\partial r} \\ \varepsilon_{\theta\theta} & = \cfrac{1}{r}\left(\cfrac{\partial u_\theta}{\partial \theta} + u_r\right) \\ \varepsilon_{zz} & = \cfrac{\partial u_z}{\partial z} \\ \varepsilon_{r\theta} & = \cfrac{1}{2} \left(\cfrac{1}{r}\cfrac{\partial u_r}{\partial \theta} + \cfrac{\partial u_\theta}{\partial r} - \cfrac{u_\theta}{r}\right) \\ \varepsilon_{\theta z} & = \cfrac{1}{2} \left(\cfrac{\partial u_\theta}{\partial z} + \cfrac{1}{r} \cfrac{\partial u_z}{\partial \theta}\right) \\ \varepsilon_{zr} & = \cfrac{1}{2} \left(\cfrac{\partial u_r}{\partial z} + \cfrac{\partial u_z}{\partial r}\right) \end{align}$$

गोलाकार निर्देशांक में तन्यता विकृति
गोलाकार निर्देशांक में ($$r, \theta, \phi$$), विस्थापन वेक्टर के रूप में लिखा जा सकता है $$  \mathbf{u} = u_r~\mathbf{e}_r + u_\theta~\mathbf{e}_\theta + u_\phi~\mathbf{e}_\phi $$ गोलाकार समन्वय प्रणाली में विकृति टेन्सर के घटकों द्वारा दिया जाता है $$\begin{align} \varepsilon_{rr} & = \cfrac{\partial u_r}{\partial r} \\ \varepsilon_{\theta\theta} & = \cfrac{1}{r}\left(\cfrac{\partial u_\theta}{\partial \theta} + u_r\right) \\ \varepsilon_{\phi\phi} & = \cfrac{1}{r\sin\theta}\left(\cfrac{\partial u_\phi}{\partial \phi} + u_r\sin\theta + u_\theta\cos\theta\right)\\ \varepsilon_{r\theta} & = \cfrac{1}{2}\left(\cfrac{1}{r}\cfrac{\partial u_r}{\partial \theta} + \cfrac{\partial u_\theta}{\partial r}- \cfrac{u_\theta}{r}\right) \\ \varepsilon_{\theta \phi} & = \cfrac{1}{2r}\left(\cfrac{1}{\sin\theta}\cfrac{\partial u_\theta}{\partial \phi} + \cfrac{\partial u_\phi}{\partial \theta} - u_\phi\cot\theta\right) \\ \varepsilon_{\phi r} & = \cfrac{1}{2}\left(\cfrac{1}{r\sin\theta}\cfrac{\partial u_r}{\partial \phi} + \cfrac{\partial u_\phi}{\partial r} - \cfrac{u_\phi}{r}\right) \end{align} $$

यह भी देखें

 * विरूपण (यांत्रिकी)
 * अनुकूलता (यांत्रिकी)
 * विकृति (भौतिकी)
 * विकृति प्रमापक
 * प्रत्यास्थ टेंसर
 * विकृति-विकृति वक्र
 * हुक का नियम
 * पिज़ोन अनुपात
 * परिमित विकृति सिद्धांत
 * विकृति दर
 * विमान विकृति
 * डिजिटल छवि सहसंबंध