रैखिक बहुपद

गणित में, एक रैखिक बहुपद (या क्यू-बहुपद) एक बहुपद है जिसके लिए सभी घटक एकपद  के घातांक क्यू की शक्ति (गणित) हैं और गुणांक परिमित के कुछ विस्तार क्षेत्र से आते हैं। आदेश का क्षेत्र क्यू।

हम एक विशिष्ट उदाहरण लिखते हैं $$L(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^{q^i},$$ जहां प्रत्येक $$a_i$$ में है $$F_{q^m} (= \operatorname{GF}(q^m))$$ कुछ निश्चित सकारात्मक पूर्णांक के लिए $$m$$.

बहुपदों का यह विशेष वर्ग सैद्धांतिक और अनुप्रयोग दोनों दृष्टिकोण से महत्वपूर्ण है। किसी कार्य के मूल की अत्यधिक संरचित प्रकृति इन जड़ों को निर्धारित करना आसान बनाती है।

गुण

 * वो नक्शा $x ↦ L(x)$ एफ वाले किसी भी क्षेत्र (गणित) पर एक रेखीय नक्शा हैक्यू.
 * एल की जड़ों का सेट (गणित) एक 'एफ' हैक्यू- सदिश स्थल और क्यू- फ्रोबेनियस नक्शा  के तहत बंद है।
 * इसके विपरीत, यदि यू कोई 'एफ' हैक्यू एफ युक्त कुछ परिमित क्षेत्र के रैखिक उप-स्थानक्यू, तो वह बहुपद जो यू पर बिल्कुल लुप्त हो जाता है, एक रैखिक बहुपद है।
 * किसी दिए गए क्षेत्र पर रैखिककृत बहुपदों का सेट बहुपदों के जोड़ और कार्य संरचना के तहत बंद है।
 * यदि एल एक शून्येतर रैखिक बहुपद है $$F_{q^n}$$ जिसकी सारी जड़ें खेत में पड़ी हों $$F_{q^s}$$ का एक विस्तार क्षेत्र $$F_{q^n}$$, तो एल के प्रत्येक मूल की समान बहुलता है, जो या तो एक है, या क्यू की धनात्मक घात है।

प्रतीकात्मक गुणन
सामान्य तौर पर, दो रैखिक बहुपदों का गुणनफल एक रैखिककृत बहुपद नहीं होगा, लेकिन चूंकि दो रैखिककृत बहुपदों की रचना के परिणामस्वरूप एक रैखिक बहुपद होता है, रचना को गुणन के प्रतिस्थापन के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है और, इस कारण से, रचना को अक्सर प्रतीकात्मक कहा जाता है इस सेटिंग में गुणन। सांकेतिक रूप से, यदि एलएक(एक्स) और एलदो(एक्स) रैखिक बहुपद हैं जिन्हें हम परिभाषित करते हैं $$L_1(x) \otimes L_2(x) = L_1(L_2(x))$$ जब यह दृष्टिकोण लिया जा रहा है।

संबंधित बहुपद
बहुपद $L(x)$ और $$l(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i $$ क्यू-एसोसिएट्स हैं (ध्यान दें: एक्सपोनेंट्स क्यूएल(एक्स) के i को एल(एक्स) में i से बदल दिया गया है)। विशेष रूप से, एल(एक्स) को एल(एक्स) का पारंपरिक क्यू-सहयोगी कहा जाता है, और एल(एक्स) एल(एक्स) का रैखिकीकृत क्यू-सहयोगी है।

क्यू-बहुपद 'एफ' परक्यू
एफ में गुणांकों के साथ रेखीयकृत बहुपदक्यू अतिरिक्त गुण हैं जो प्रतीकात्मक विभाजन, प्रतीकात्मक न्यूनीकरण और प्रतीकात्मक गुणनखंड को परिभाषित करना संभव बनाते हैं। इस प्रकार के रैखिक बहुपद के दो महत्वपूर्ण उदाहरण फ्रोबेनियस ऑटोमोर्फिज्म हैं $$x \mapsto x^q$$ और ट्रेस फ़ंक्शन $\operatorname{Tr}(x) = \sum_{i=0}^{n-1} x^{q^i}.$ इस विशेष मामले में यह दिखाया जा सकता है कि, एक ऑपरेशन (गणित) के रूप में, प्रतीकात्मक गुणन क्रमविनिमेय गुण, साहचर्य और वितरणात्मक गुण साधारण योग से अधिक है। इसके अलावा, इस विशेष मामले में, हम सांकेतिक विभाजन के संचालन को परिभाषित कर सकते हैं। अगर एल(एक्स) और एलएक(एक्स) 'एफ' पर रैखिक बहुपद हैंक्यू, हम कहते हैं कि एलएक(एक्स) प्रतीकात्मक रूप से एल (एक्स) को विभाजित करता है यदि एक रैखिक बहुपद एल मौजूद हैदो(एक्स) 'एफ' से अधिकक्यू जिसके लिए: $$L(x) = L_1(x) \otimes L_2(x).$$ अगर एलएक(एक्स) और एलदो(एक्स) 'एफ' पर रैखिक बहुपद हैंक्यू पारंपरिक क्यू-सहयोगियों एल के साथएक(एक्स) और एलदो(एक्स) क्रमशः, फिर एलएक(एक्स) प्रतीकात्मक रूप से एल को विभाजित करता हैदो(एक्स) अगर और केवल अगर एलएक(एक्स) एल को विभाजित करता हैदो(एक्स)। आगे, एलएक(एक्स) एल को विभाजित करता हैदो(एक्स) इस मामले में सामान्य अर्थों में। 'एफ' पर एक रैखिक बहुपद एल(एक्स)क्यू एक बहुपद की डिग्री> एक 'एफ' पर प्रतीकात्मक रूप से अलघुकरणीय हैक्यू यदि केवल प्रतीकात्मक अपघटन $$L(x) = L_1(x) \otimes L_2(x),$$ एल के साथi एफ परक्यू वे हैं जिनके लिए कारकों में से एक की डिग्री एक है। ध्यान दें कि एक प्रतीकात्मक रूप से अलघुकरणीय बहुपद हमेशा सामान्य अर्थों में कम करने योग्य बहुपद होता है क्योंकि डिग्री के किसी भी रैखिक बहुपद > एक में गैर-कारक एक्स होता है। 'एफ' पर एक रैखिक बहुपद एल(एक्स)क्यू सांकेतिक रूप से अप्रासंगिक है अगर और केवल अगर इसका पारंपरिक क्यू-एसोसिएट एल (एक्स) 'एफ' पर इरेड्यूसेबल हैक्यू.

'एफ' पर प्रत्येक क्यू-बहुपद एल(एक्स)क्यू डिग्री का > एक का 'एफ' पर प्रतीकात्मक रूप से अलघुकरणीय बहुपदों में एक प्रतीकात्मक गुणनखंड हैक्यू और यह गुणनखंड अनिवार्य रूप से अद्वितीय है (कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने और एफ के गैर-शून्य तत्वों से गुणा करने तक)।क्यू.)

उदाहरण के लिए, दो-बहुपद एल(एक्स) = एक्स पर विचार करेंएक6 + एक्स8 + एक्सदो + एक्स ओवर 'एफ'दो और इसका पारंपरिक दो-सहयोगी एल(एक्स) = एक्स4 + एक्स3 + एक्स + एक. एल(एक्स) = (एक्स) के इरेड्यूसिबल में गुणनखंडदो + एक्स + एक)(एक्स + एक)दो एफ मेंदो[एक्स], प्रतीकात्मक गुणनखंड देता है $$L(x) = (x^4 + x^2 + x) \otimes (x^2 + x) \otimes (x^2 + x).$$

अफिन बहुपद
मान लीजिए कि एल एक रैखिक बहुपद है $$F_{q^n}$$. रूप का एक बहुपद $$A(x) = L(x) - \alpha \text{ for } \alpha \in F_{q^n},$$ एक सजातीय बहुपद है $$F_{q^n}$$.

प्रमेय: यदि ए एक शून्येतर सजातीय बहुपद है $$F_{q^n}$$ जिसकी सारी जड़ें खेत में पड़ी हों $$F_{q^s}$$ का एक विस्तार क्षेत्र $$F_{q^n}$$, तो ए के प्रत्येक मूल की समान बहुलता है, जो या तो एक है, या क्यू की धनात्मक घात है।