अनुकूली फिल्टर

एक अनुकूली फ़िल्टर एक रेखीय फ़िल्टर (सिग्नल प्रोसेसिंग) वाली एक प्रणाली है जिसमें चर मापदंडों द्वारा नियंत्रित एक स्थानांतरण फ़ंक्शन होता है और एक अनुकूलन एल्गोरिथम के अनुसार उन मापदंडों को समायोजित करने का एक साधन होता है। अनुकूलन एल्गोरिदम की जटिलता के कारण, लगभग सभी अनुकूली फ़िल्टर डिजिटल फिल्टर होते हैं। कुछ अनुप्रयोगों के लिए अनुकूली फिल्टर की आवश्यकता होती है क्योंकि वांछित प्रसंस्करण संचालन के कुछ पैरामीटर (उदाहरण के लिए, एक प्रतिध्वनि स्थान में परावर्तक सतहों के स्थान) पहले से ज्ञात नहीं होते हैं या बदल रहे हैं। बंद लूप अनुकूली फ़िल्टर अपने स्थानांतरण फ़ंक्शन को परिष्कृत करने के लिए त्रुटि संकेत के रूप में प्रतिक्रिया का उपयोग करता है।

सामान्यतः बोलते हुए, बंद लूप अनुकूली प्रक्रिया में लॉस फंकशन का उपयोग सम्मलित होता है, जो फ़िल्टर के इष्टतम प्रदर्शन के लिए एक मानदंड है, एक एल्गोरिदम को खिलाने के लिए, जो यह निर्धारित करता है कि अगले पुनरावृत्ति पर लागत को कम करने के लिए फ़िल्टर स्थानांतरण प्रकार्य को कैसे संशोधित किया जाए। सबसे सामान्य लागत फलन त्रुटि संकेत का माध्य वर्ग है।

चूंकि डिजिटल सिग्नल प्रोसेसर की शक्ति में वृद्धि हुई है, अनुकूली फिल्टर अधिक सामान्य हो गए हैं और अब नियमित रूप से मोबाइल फोन और अन्य संचार उपकरणों, कैमकोर्डर और डिजिटल कैमरे, और चिकित्सा निगरानी उपकरण जैसे उपकरणों में उपयोग किए जाते हैं।

उदाहरण आवेदन
दिल की धड़कन (एक ईसीजी) की रिकॉर्डिंग, बिजली की आपूर्ति से शोर से दूषित हो सकती है। शक्ति और उसके हार्मोनिक्स की सटीक आवृत्ति पल-पल भिन्न हो सकती है।

शोर को दूर करने का एक विधि मुख्य आवृत्ति और उसके आसपास के क्षेत्र में एक पायदान फिल्टर के साथ सिग्नल को फ़िल्टर करना है, किन्तु यह ईसीजी की गुणवत्ता को अत्यधिक कम कर सकता है क्योंकि दिल की धड़कन में भी अस्वीकृत सीमा में आवृत्ति घटक होंगे।

सूचना के इस संभावित नुकसान को रोकने के लिए, एक अनुकूली फ़िल्टर का उपयोग किया जा सकता है। अनुकूली फ़िल्टर रोगी और मुख्य दोनों से इनपुट लेगा और इस प्रकार शोर की वास्तविक आवृत्ति को ट्रैक करने में सक्षम होगा क्योंकि यह रिकॉर्डिंग से शोर घटाता है और घटाता है। ऐसी अनुकूली तकनीक सामान्यतः एक छोटी अस्वीकृति सीमा के साथ एक फिल्टर की अनुमति देती है, जिसका अर्थ है, इस स्थितियों में, चिकित्सा उद्देश्यों के लिए आउटपुट सिग्नल की गुणवत्ता अधिक सटीक है।

ब्लॉक आरेख
एक बंद लूप अनुकूली फ़िल्टर के पीछे का विचार यह है कि एक चर फ़िल्टर को तब तक समायोजित किया जाता है जब तक कि त्रुटि (फ़िल्टर आउटपुट और वांछित सिग्नल के बीच का अंतर) कम नहीं हो जाता। कम से कम माध्य वर्ग फ़िल्टर | न्यूनतम माध्य वर्ग (LMS) फ़िल्टर और पुनरावर्ती न्यूनतम वर्ग फ़िल्टर | पुनरावर्ती न्यूनतम वर्ग (RLS) फ़िल्टर अनुकूली फ़िल्टर के प्रकार हैं।


 * Adaptive Filter General.png

अनुकूली फ़िल्टर के लिए दो इनपुट सिग्नल हैं: $$ d_k $$ और $$ x_k $$ जिन्हें कभी-कभी क्रमशः प्राथमिक इनपुट और संदर्भ इनपुट कहा जाता है। अनुकूलन एल्गोरिदम अवशिष्ट सिग्नल को कम करके वांछित इनपुट की प्रतिकृति में संदर्भ इनपुट को फ़िल्टर करने का प्रयास करता है, $$ \epsilon_k $$. जब अनुकूलन सफल होता है, तो फ़िल्टर का आउटपुट $$ y_k $$ प्रभावी रूप से वांछित संकेत का अनुमान है।


 * $$ d_k $$ जिसमें वांछित सिग्नल प्लस अवांछित हस्तक्षेप सम्मलित है और
 * $$ x_k $$ जिसमें ऐसे सिग्नल सम्मलित हैं जो कुछ अवांछित हस्तक्षेप से संबंधित हैं $$ d_k $$.
 * k असतत नमूना संख्या का प्रतिनिधित्व करता है।

फ़िल्टर को L+1 गुणांक या भार के सेट द्वारा नियंत्रित किया जाता है।
 * $$\mathbf{W}_{k}=\left[w_{0k},\,w_{1k},\, ...,\,w_{Lk} \right]^{T}$$ वज़न के सेट या वेक्टर का प्रतिनिधित्व करता है, जो नमूना समय k पर फ़िल्टर को नियंत्रित करता है।
 * कहाँ $$ w_{lk} $$ यह आपकी जानकारी के लिए है $$l$$'जन्म के समय वजन।
 * $$\mathbf{\Delta W}_{k} $$ नमूना समय k पर गणना किए गए समायोजन के परिणामस्वरूप होने वाले वज़न में परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है।
 * ये परिवर्तन नमूना समय k के बाद और नमूना समय k+1 पर उपयोग किए जाने से पहले लागू किए जाएंगे।

आउटपुट सामान्यतः होता है $$ \epsilon_k $$ किन्तु यह हो सकता है $$ y_k $$ या यह फ़िल्टर गुणांक भी हो सकता है। (विधवा)

इनपुट संकेतों को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:


 * $$ d_k = g_k + u_k + v_k $$
 * $$ x_k = g_{k}^' + u_{k}^' + v_{k}^' $$
 * कहाँ:
 * जी = वांछित संकेत,
 * जी' = एक सिग्नल जो वांछित सिग्नल जी से संबंधित है,
 * u = एक अवांछित संकेत जो g में जोड़ा गया है, किन्तु g या g से संबंधित नहीं है'
 * में' = एक सिग्नल जो अवांछित सिग्नल यू से संबंधित है, किन्तु जी या जी से सहसंबंधित नहीं है',
 * v = एक अवांछित संकेत (सामान्यतः यादृच्छिक शोर) जी, जी के साथ सहसंबद्ध नहीं है', में, में' या वी',
 * में' = एक अवांछित संकेत (सामान्यतः यादृच्छिक शोर) जी, जी के साथ सहसंबद्ध नहीं है', में, में' या वी.

आउटपुट सिग्नल निम्नानुसार परिभाषित किए गए हैं:
 * $$ y_k= \hat{g}_k +  \hat{u}_k  +  \hat{v}_k     $$
 * $$ \epsilon_k = d_k-y_k $$.
 * जहाँ:
 * $$ \hat{g} $$ = फ़िल्टर का आउटपुट यदि इनपुट केवल g था',
 * $$ \hat{u} $$ = फ़िल्टर का आउटपुट यदि इनपुट केवल u था',
 * $$ \hat{v} $$ = फ़िल्टर का आउटपुट यदि इनपुट केवल v था'.

टैप की गई देरी लाइन एफआईआर फ़िल्टर
यदि चर फ़िल्टर में टैप की गई विलंब रेखा परिमित आवेग प्रतिक्रिया | परिमित आवेग प्रतिक्रिया (FIR) संरचना है, तो आवेग प्रतिक्रिया फ़िल्टर गुणांक के बराबर होती है। फ़िल्टर का आउटपुट द्वारा दिया जाता है


 * $$ y_k= \sum_{l=0}^L w_{lk} \ x_{(k-l)}   = \hat{g}_k  +  \hat{u}_k  +  \hat{v}_k     $$
 * जहाँ $$ w_{lk} $$ यह आपकी जानकारी के लिए है $$l$$'जन्म के समय वजन।

आदर्श स्थिति
आदर्श स्थिति में $$ v \equiv 0, v' \equiv 0,  g' \equiv 0   $$. सभी अवांछित संकेत अंदर $$ d_k $$ द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है $$ u_k $$. $$ \ x_k $$ में अवांछित संकेत के साथ सहसंबद्ध एक संकेत के पूरी तरह से होते हैं $$ u_k $$.

आदर्श स्थितियों में वेरिएबल फ़िल्टर का आउटपुट है
 * $$ y_k = \hat{u}_k$$.

त्रुटि संकेत या हानि फंक्शन के बीच का अंतर है $$ d_k $$ और $$ y_k $$
 * $$ \epsilon_k = d_k-y_k = g_k+ u_k - \hat{u}_k $$. वांछित संकेत gk बिना बदले गुजरता है।

त्रुटि संकेत $$ \epsilon_k $$ माध्य वर्ग अर्थ में न्यूनतम किया जाता है जब $$ [u_k - \hat{u}_k] $$ कम किया जाता है। दूसरे शब्दों में, $$ \hat{u}_k $$ का सर्वोत्तम माध्य वर्ग अनुमान है $$ u_k $$. आदर्श स्थिति में, $$ u_k = \hat{u}_k $$ और $$ \epsilon_k = g_k $$, और घटाव के बाद जो कुछ बचा है वह है $$ g $$ जो अपरिवर्तित वांछित सिग्नल है जिसमें सभी अवांछित सिग्नल हटा दिए गए हैं।

संदर्भ इनपुट में सिग्नल घटक
कुछ स्थितियों में, संदर्भ इनपुट $$x_k$$ वांछित संकेत के घटक सम्मलित हैं। इसका अर्थ है जी' ≠ 0।

स्थितियों में अवांछित हस्तक्षेप का पूर्ण रद्दीकरण संभव नहीं है, किन्तु हस्तक्षेप अनुपात के संकेत में सुधार संभव है। आउटपुट होगा
 * $$ \epsilon_k = d_k-y_k = g_k - \hat{g}_k+ u_k - \hat{u}_k $$. वांछित संकेत संशोधित किया जाएगा (सामान्यतः घटाया गया)।

आउटपुट सिग्नल टू इंटरफेरेंस अनुपात का एक सरल सूत्र है जिसे पावर इनवर्जन कहा जाता है।
 * $$ \rho_{\mathsf{out}}(z) =  \frac{1}{ \rho_{\mathsf{ref}}(z)}    $$.
 * जहाँ
 * $$ \rho_{\mathsf{out}}(z) \ $$ = हस्तक्षेप अनुपात के लिए आउटपुट सिग्नल।
 * $$ \rho_{\mathsf{ref}}(z) \ $$ = हस्तक्षेप अनुपात के संदर्भ संकेत।
 * $$ z \ $$ = z-डोमेन में आवृत्ति।

इस सूत्र का अर्थ है कि एक विशेष आवृत्ति पर आउटपुट सिग्नल टू इंटरफेरेंस रेफरेंस रेफरेंस सिग्नल टू इंटरफेरेंस रेशियो का व्युत्क्रम है।

उदाहरण: एक फास्ट फूड रेस्तरां में एक ड्राइव-अप विंडो होती है। विंडो पर जाने से पहले, ग्राहक माइक्रोफ़ोन में बोलकर अपना ऑर्डर देते हैं। माइक्रोफोन इंजन और पर्यावरण से शोर भी उठाता है। यह माइक्रोफोन प्राथमिक संकेत प्रदान करता है। ग्राहक की आवाज से सिग्नल की शक्ति और इंजन से शोर की शक्ति बराबर होती है। रेस्टोरेंट के कर्मचारियों के लिए ग्राहक को समझना मुश्किल होता है। प्राथमिक माइक्रोफ़ोन में व्यवधान की मात्रा को कम करने के लिए, एक दूसरा माइक्रोफ़ोन उस स्थान पर स्थित होता है जहाँ इसका निश्चय इंजन से ध्वनियाँ लेने का होता है। यह ग्राहक की आवाज भी उठाता है। यह माइक्रोफोन संदर्भ संकेत का स्रोत है। ऐसे में इंजन का शोर ग्राहक की आवाज से 50 गुना अधिक शक्तिशाली होता है। एक बार कैंसिलर के अभिसरण हो जाने के बाद, प्राथमिक संकेत और हस्तक्षेप अनुपात 1:1 से 50:1 तक सुधर जाएगा।

अनुकूली रैखिक संयोजन

 * Adaptive Linear Combiner General.png  Adaptive Linear Combiner Compact.pngएडेप्टिव लीनियर कॉम्बिनर (एएलसी) एडेप्टिव टैप्ड डिले लाइन एफआईआर फिल्टर जैसा दिखता है सिवाय इसके कि X वैल्यू के बीच कोई अनुमानित संबंध नहीं है। यदि X मान एक टैप की गई विलंब रेखा के आउटपुट से थे, तो टैप की गई विलंब रेखा और ALC के संयोजन में एक अनुकूली फ़िल्टर सम्मलित होगा। चूँकि, X मान पिक्सेल की एक सरणी के मान हो सकते हैं। या वे एकाधिक टैप की गई विलंब लाइनों के आउटपुट हो सकते हैं। एएलसी को हाइड्रोफ़ोन या एंटेना के सरणी के लिए पूर्व अनुकूली बीम के रूप में उपयोग मिलता है।


 * $$ y_k= \sum_{l=0}^L w_{lk} \ x_{lk} = \mathbf{W}_k^T \mathbf{x}_k $$ ::जहाँ$$ w_{lk}  $$ यह आपकी जानकारी के लिए है $$l$$'जन्म के समय वजन।

LMS एल्गोरिथ्म
यदि चर फ़िल्टर में टैप की गई विलंब रेखा एफआईआर संरचना है, तो एलएमएस अपडेट एल्गोरिथ्म विशेष रूप से सरल है। सामान्यतः, प्रत्येक नमूने के बाद, एफआईआर फ़िल्टर के गुणांक निम्नानुसार समायोजित किए जाते हैं: (विद्रो )


 * के लिए $$ l = 0 \dots L $$
 * $$ w_{l,k+1} = w_{lk} + 2 \mu \ \epsilon_k \ x_{k-l}   $$ :::μ को अभिसरण कारक कहा जाता है।

LMS एल्गोरिथम के लिए यह आवश्यक नहीं है कि X मानों का कोई विशेष संबंध हो; इसलिए इसका उपयोग लीनियर कॉम्बिनर के साथ-साथ एफआईआर फिल्टर को अनुकूलित करने के लिए किया जा सकता है। इस स्थितियों में अद्यतन सूत्र इस प्रकार लिखा गया है:


 * $$ w_{l,k+1} = w_{lk} + 2 \mu \ \epsilon_k \ x_{lk}   $$

LMS एल्गोरिथम का प्रभाव प्रत्येक समय, k, प्रत्येक भार में एक छोटा परिवर्तन करने के लिए होता है। परिवर्तन की दिशा ऐसी है कि यदि इसे समय k पर लागू किया गया होता तो यह त्रुटि को कम कर देता। प्रत्येक भार में परिवर्तन का परिमाण μ, संबद्ध X मान और समय k पर त्रुटि पर निर्भर करता है। भार उत्पादन में सबसे बड़ा योगदान देता है, $$ y_k $$, सबसे ज्यादा बदले जाते हैं। यदि त्रुटि शून्य है, तो भार में कोई परिवर्तन नहीं होना चाहिए। यदि X का संबंधित मान शून्य है, तो वजन बदलने से कोई अंतर नहीं पड़ता, इसलिए इसे नहीं बदला जाता है।

अभिसरण
μ नियंत्रित करता है कि एल्गोरिथ्म कितनी तेजी से और कितनी अच्छी तरह से इष्टतम फिल्टर गुणांक में परिवर्तित होता है। यदि μ बहुत बड़ा है, तो एल्गोरिथम एकाग्र नहीं होगा। यदि μ बहुत छोटा है तो एल्गोरिदम धीरे-धीरे अभिसरण करता है और बदलती स्थितियों को ट्रैक करने में सक्षम नहीं हो सकता है। यदि μ बड़ा है किन्तु अभिसरण को रोकने के लिए बहुत बड़ा नहीं है, एल्गोरिथ्म तेजी से स्थिर स्थिति तक पहुंचता है किन्तु इष्टतम वजन वेक्टर को लगातार ओवरशूट करता है। कभी-कभी, μ को पहले तेजी से अभिसरण के लिए बड़ा बनाया जाता है और फिर ओवरशूट को कम करने के लिए घटाया जाता है।

विड्रो और स्टर्न्स ने 1985 में कहा कि उन्हें इस बात का कोई ज्ञान नहीं है कि LMS एल्गोरिथम सभी स्थितियों में अभिसरण करेगा।

चूँकि स्थिरता और स्वतंत्रता के बारे में कुछ धारणाओं के अनुसार यह दिखाया जा सकता है कि एल्गोरिथम अभिसरण करेगा यदि


 * $$ 0 < \mu < \frac {1} {\sigma^2} $$
 * जहाँ
 * $$\sigma^2 = \sum_{l=0}^L \sigma_l^2 $$ = सभी इनपुट शक्ति का योग


 * $$\sigma_l$$ का मूल माध्य वर्ग मान है $$l $$वें इनपुट

टैप किए गए विलंब लाइन फ़िल्टर के स्थितियों में, प्रत्येक इनपुट का समान RMS मान होता है क्योंकि वे केवल वही मान विलंबित होते हैं। इस स्थितियों में कुल शक्ति है
 * $$ \sigma^2 = (L+1) \sigma_0^2 $$
 * जहाँ
 * $$\sigma_0$$ का RMS मान है $$x_k$$, इनपुट स्ट्रीम।

यह सामान्यीकृत LMS एल्गोरिदम की ओर जाता है:


 * $$ w_{l,k+1} = w_{lk} + \left ( \frac { 2 \mu_{\sigma} } {\sigma^2} \right ) \epsilon_k \ x_{k-l}    $$ किस स्थितियों में अभिसरण मानदंड बन जाता है: $$ 0 < \mu_{\sigma} < 1 $$.

अरेखीय अनुकूली फिल्टर
गैर-रैखिक फिल्टर का लक्ष्य रैखिक मॉडल की सीमा को दूर करना है। कुछ सामान्य रूप से उपयोग किए जाने वाले दृष्टिकोण हैं: वोलटेर्रा LMS, कर्नेल अनुकूली फ़िल्टर, तख़्ता अनुकूली फ़िल्टर और उरीसोहन अनुकूली फ़िल्टर। कई लेखक इस सूची में तंत्रिका नेटवर्क भी सम्मलित करें। वोलटेर्रा LMS और कर्नेल LMS के पीछे सामान्य विचार यह है कि डेटा नमूनों को अलग-अलग अरैखिक बीजगणितीय व्यंजकों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाए। वोलटेर्रा LMS के लिए यह अभिव्यक्ति वोलटेर्रा सीरीज है। तख़्ता अनुकूली फ़िल्टर में मॉडल रैखिक गतिशील ब्लॉक और स्थैतिक गैर-रैखिकता का एक झरना है, जिसे स्प्लिन द्वारा अनुमानित किया जाता है। उरिसोह्न अनुकूली फ़िल्टर में एक मॉडल में रैखिक शब्द


 * $$ y_i= \sum_{j=0}^m w_{j} \ x_{ij} $$ टुकड़ों के रैखिक कार्यों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है


 * $$ y_i= \sum_{j=0}^m f_{j} ( x_{ij}) $$ जिनकी पहचान डेटा नमूनों से की जाती है।

अनुकूली फिल्टर के अनुप्रयोग

 * अनुकूली शोर रद्द करना
 * सक्रिय शोर नियंत्रण
 * रैखिक भविष्यवाणी
 * अनुकूली प्रतिक्रिया रद्द करना
 * गूंज रद्दीकरण

फ़िल्टर कार्यान्वयन

 * कम से कम औसत वर्ग फ़िल्टर
 * पुनरावर्ती कम से कम वर्ग फ़िल्टर
 * बहुविलंब ब्लॉक आवृत्ति डोमेन अनुकूली फ़िल्टर

यह भी देखें

 * 2D अनुकूली फिल्टर
 * फ़िल्टर (सिग्नल प्रोसेसिंग)
 * कलमन फिल्टर
 * कर्नेल अनुकूली फ़िल्टर
 * रेखीय भविष्यवाणी
 * MMSE अनुमानक
 * विनीज़ फ़िल्टर
 * वीनर-हॉफ समीकरण

स्रोत


श्रेणी:डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग श्रेणी:गैर रेखीय फ़िल्टर