विभाजन (गणित)

 डिवीजन अंकगणित के चार बुनियादी संक्रियाओं में से एक है, जिन तरीकों से संख्याओं को नई संख्या बनाने के लिए संयुक्त किया जाता है। अन्य संक्रियाऐ जोड़, घटाव और गुणन हैं।

एक प्राथमिक स्तर पर दो प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन अन्य संभावित व्याख्याओं के बीच है, एक संख्या को दूसरी संख्या में समाहित होने की गणना करने की प्रक्रिया है। इस संख्या का पूर्णांक होना आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि 20 सेब को समान रूप से 4 लोगों के बीच विभाजित किया जाता है, तो हर कोई 5 सेब प्राप्त करता है (चित्र देखें)।

दो प्राकृतिक संख्याओं के शेष या यूक्लिडियन डिवीजन के साथ विभाजन एक पूर्णांक भागफल प्रदान करता है, जो कि दूसरी संख्या पूरी तरह से पहले संख्या में निहित है, और शेष, जो पहले संख्या का हिस्सा है, भागफल की गणना के दौरान, दूसरी संख्या के आकार का कोई हिस्सा आवंटित नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि 21 सेब को 4 लोगों के बीच विभाजित किया जाता है, तो सभी को फिर से 5 सेब मिलते हैं, और 1 सेब बचा रहता है।

विभाजन के लिए हमेशा एक भागफल के बजाय एक संख्या प्राप्त करने के लिए, प्राकृतिक संख्याओं को परिमेय संख्या या वास्तविक संख्या तक बढ़ाया जाना चाहिए। इन बढ़े हुए संख्या प्रणालियों में, विभाजन गुणन के लिए उलटा संचालन है, अर्थात $a = c / b$ का अर्थ है $a × b = c$, जब तक कि $b$ शून्य नहीं हो। यदि $b = 0$, फिर यह शून्य द्वारा एक विभाजन है, जिसे परिभाषित नहीं किया गया है। 21 सेब के उदाहरण में, सभी को 5 सेब और एक सेब का एक चौथाई हिस्सा मिलेगा, इस प्रकार किसी भी बचे हुए से बचा जा सकता है।

विभाजन के दोनों रूप विभिन्न बीजीय संरचनाओं में दिखाई देते हैं, गणितीय संरचना को परिभाषित करने के विभिन्न तरीके हैं। जिनमें एक यूक्लिडियन विभाजन (शेष के साथ) को परिभाषित किया जाता है, उन्हें यूक्लिडियन डोमेन कहा जाता है और इसमें एक अनिश्चित (जो एकल-चर वाले सूत्रों पर गुणा और जोड़ को परिभाषित करते हैं) में बहुपद के छल्ले शामिल होते हैं। जिनमें सभी गैर-शून्य तत्वों द्वारा विभाजन (एक ही परिणाम के साथ) को परिभाषित किया जाता है, उन्हें फ़ील्ड और विभाजन रिंग कहा जाता है। एक रिंग में जिन तत्वों के द्वारा विभाजन हमेशा संभव होता है, उन्हें इकाइयां (उदाहरण के लिए, पूर्णांक की रिंग में 1 और −1) कहा जाता है । बीजगणितीय संरचनाओं के लिए विभाजन का एक और सामान्यीकरण भागफल समूह है, जिसमें विभाजन का परिणाम एक संख्या के बजाय एक समूह होता है।

परिचय
विभाजन को देखने का सबसे सरल तरीका उद्धरण और विखंडन के संदर्भ में है: उद्धरण के दृष्टिकोण से, $lim_{x→0} sin x⁄x = 1.$ का अर्थ है 5 की संख्या जिसे 20 प्राप्त करने के लिए जोड़ा जाना चाहिए। विभाजन के संदर्भ में, $20 / 5$ का अर्थ है 5 भागों में से प्रत्येक के आकार का मतलब है जिसमें आकार 20 का एक सेट विभाजित है।उदाहरण के लिए, 20 सेब चार सेब के पांच समूहों में विभाजित होते हैं, जिसका अर्थ है कि पांच से विभाजित बीस चार के बराबर है। इसे $20 / 5$, या $20 / 5 = 4$ के रूप में दर्शाया गया है। जिसे विभाजक द्वारा विभाजित किया जाता है, उसे भाज्य कहा जाता है और परिणाम को भागफल कहा जाता है। उदाहरण में, 20 भाज्य है, 5 विभाजक है, और 4 भागफल है।

अन्य बुनियादी संचालन के विपरीत, प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करते समय कभी कुछ शेष होता है जो समान रूप से भाज्य में नहीं जाएगा;उदाहरण के लिए, $20⁄5 = 4$ के बाद 1 का शेषफल मिलता है, क्योंकि 10, 3 का गुणज नहीं है। कभी -कभी यह शेष भाग को एक भिन्नात्मक भाग के रूप में जोड़ा जाता है, इसलिए $10 / 3$ के बराबर है $10 / 3$ या $3 1⁄3$, लेकिन पूर्णांक डिवीजन के संदर्भ में, जहां संख्याओं का कोई भिन्नात्मक हिस्सा नहीं है, शेष को अलग से रखा जाता है (या असाधारण रूप से, छोड़ दिया जाता है)। जब शेष को एक अंश के रूप में रखा जाता है, तो यह एक परिमेय संख्या की ओर ले जाता है।सभी परिमेय संख्याओं का सेट पूर्णांक के सभी संभावित परिणामों के साथ पूर्णांक का विस्तार करके बनाया गया है।

गुणा और जोड़ के विपरीत, विभाजन क्रमविनिमेय नहीं है, जिसका अर्थ है कि $3.33...$ हमेशा $a / b$ बराबर नहीं होता है। विभाजन भी सामान्य रूप से, साहचर्य में नहीं है, जिसका अर्थ है कि कई बार विभाजित करते समय, विभाजन का क्रम परिणाम बदल सकता है। उदाहरण के लिए, $b / a$, लेकिन $(24 / 6) / 2 = 2$ (जहां कोष्ठक का उपयोग इंगित करता है कि कोष्ठक के अंदर के संचालन कोष्ठक के बाहर संचालन से पहले किए जाते हैं)।

विभाजन को पारंपरिक रूप से वाम-सहयोगी माना जाता है। यदि एक पंक्ति में कई विभाजन हैं, तो गणना का क्रम बाएं से दाएं चला जाता है:
 * $$a / b / c = (a / b) / c = a / (b \times c) \;\ne\; a/(b/c)= (a\times c)/b.$$

विभाजन इस अर्थ में जोड़ और घटाव पर सही-वितरण है
 * $$\frac{a \pm b}{c} = (a \pm b) / c = (a/c)\pm (b/c) =\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}.$$

यह गुणा के लिए समान है, जैसा कि $$(a + b) \times c = a \times c + b \times c$$।हालांकि, विभाजन बाएँ वितरक नहीं है, जैसा कि
 * $$\frac{a}{b + c} = a / (b + c) \;\ne\; (a/b) + (a/c) = \frac{ac+ab}{bc}.$$ & nbsp;उदाहरण के लिए $$\frac{12}{2+4} = \frac{12}{6} = 2 ,$$ लेकिन $$\frac{12}{2} + \frac{12}{4} = 6+3 = 9 .$$

यह गुणन के विपरीत है, जो कि बाएं-वितरित और दाएं-वितरण दोनों है, और और इस प्रकार वितरणात्मक है।

संकेतन
विभाजन को अक्सर बीजगणित और विज्ञान में एक क्षैतिज रेखा के साथ विभाजक पर भाज्य रखकर दिखाया जाता है, जिसे भिन्न बार भी कहा जाता है, के बीच रखकर दिखाया जाता है। उदाहरण के लिए, बी (b) द्वारा विभाजित एक (a) इस प्रकार लिखा जा सकता है:
 * $$\frac ab$$

जिसे "डिवाइड ए बाय बी" या "ए ओवर बी" के रूप में भी पढ़ा जा सकता है। एक पंक्ति पर विभाजन को व्यक्त करने का एक तरीका है भाज्य (या अंश) लिखना है, फिर एक स्लैश, फिर विभाजक (या भाजक), निम्नानुसार है:
 * $$a/b$$

अधिकांश कंप्यूटर प्रोग्रामिंग भाषाओं में विभाजन को निर्दिष्ट करने का सामान्य तरीका है, क्योंकि इसे आसानी से ASCII वर्णों के एक सरल अनुक्रम के रूप में टाइप किया जा सकता है।(यह अमूर्त बीजगणित में भागफल वस्तुओं के लिए उपयोग किया जाने वाला एकमात्र संकेतन भी है।) कुछ गणितीय सॉफ़्टवेयर, जैसे कि MATLAB और GNU ऑक्टेव, विभाजन ऑपरेटर के रूप में बैकस्लैश का उपयोग करके ऑपरेंड को उल्टे क्रम में लिखने की अनुमति देते हैं:
 * $$b\backslash a$$

इन दोनों रूपों के बीच एक टाइपोग्राफिक भिन्नता आधी एक ठोस (अंश स्लैश) का उपयोग करती है, लेकिन भाज्य को बढ़ाती है और विभाजक को कम करती है:
 * $${}^{a}\!/{}_{b}$$

इनमें से किसी भी रूप का उपयोग भिन्न प्रदर्शित करने के लिए किया जा सकता है। एक भिन्न एक विभाजन अभिव्यक्ति है जहां भाज्य और विभाजक दोनों पूर्णांक होते हैं (आमतौर पर भिन्न और हर कहा जाता है), और इस बात का कोई निहितार्थ नहीं है कि विभाजन का आगे मूल्यांकन किया जाना चाहिए। विभाजन को दिखाने का एक दूसरा तरीका विभाजन चिह्न का उपयोग करना है (÷, जिसे ओबेलस के रूप में भी जाना जाता है, हालांकि इस शब्द के अतिरिक्त अर्थ हैं), जो इस तरह से अंकगणित में सामान्य हैं:
 * $$a \div b$$

प्रारंभिक अंकगणित को छोड़कर यह रूप दुर्लभ है। ISO 80000-2-9.6 कहता है कि इसका उपयोग नहीं किया जाना चाहिए। इस विभाजन चिह्न का उपयोग अकेले विभाजन संचालन का प्रतिनिधित्व करने के लिए भी किया जाता है, उदाहरण के लिए कैलकुलेटर की कुंजी पर एक लेबल के रूप में। ओबिलस को 1659 में स्विस गणितज्ञ जोहान राहन (Johann Rahn) ने टुट्शे बीजगणित में पेश किया था। कुछ यूरोपीय देशों में घटाव को इंगित करने के लिए ÷ प्रतीक का उपयोग किया जाता है, इसलिए इसके उपयोग को गलत समझा जा सकता है।

कुछ गैर-अंग्रेज़ी-भाषी देशों में, विभाजन को दर्शाने के लिए एक कोलोन का उपयोग किया जाता है:
 * $$a : b$$

इस संकेतन को गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज़ (Gottfried Wilhelm Leibniz) ने अपने 1684 एक्टा एरुडिटोरम में पेश किया था। लीबनिज़ (Leibniz) ने अनुपात और विभाजन के लिए अलग -अलग प्रतीकों को नापसंद किया। हालांकि, अंग्रेजी उपयोग में कोलोन अनुपात की संबंधित अवधारणा को व्यक्त करने के लिए प्रतिबंधित है।

19 वीं शताब्दी के बाद से, अमेरिकी पाठ्यपुस्तकों ने विभाजित को दर्शाने के लिए $$b)a$$  या  $$b \overline{)a}$$ का इस्तेमाल किया है b द्वारा विभाजित को निरूपित करने के लिए, खासकर जब लॉन्ग डिवीजन पर चर्चा की जाती है।इस संकेतन का इतिहास पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है क्योंकि यह समय के साथ विकसित हुआ।

मैनुअल तरीके
विभाजन को अक्सर वस्तुओं के एक सेट को साझा करने की धारणा के माध्यम से पेश किया जाता है, उदाहरण के लिए, लॉलीज़ के ढेर, कई समान भागों में। प्रत्येक भाग को साझा करने के प्रत्येक दौर में एक समय में कई वस्तुओं को वितरित करने से 'चंकिंग' का विचार होता है – विभाजन का एक रूप भाजक के गुणकों को भाज्य से ही घटाता है।

किसी दिए गए चरण में आंशिक शेष की अनुमति से अधिक गुणकों को घटाने की अनुमति देकर, अधिक लचीले विधियाँ, जैसे कि चंकिंग के द्विदिश संस्करण, के रूप में अच्छी तरह से विकसित किया जा सकता है।

अधिक व्यवस्थित और अधिक कुशलता से, दो पूर्णांक को लघु विभाजन की विधि के साथ पेंसिल और कागज के साथ विभाजित किया जा सकता है, यदि विभाजक छोटा है, या लंबा विभाजन है, यदि विभाजक बड़ा है।यदि भाज्य में एक भिन्नात्मक भाग (दशमलव भिन्न के रूप में व्यक्त किया गया) है, तो कोई भी जहां तक ​​चाहें, इकाई के स्थान से आगे की प्रक्रिया को जारी रख सकता है। यदि भाजक का एक भिन्नात्मक भाग है, तो कोई भी दशमलव को दोनों नंबरों में दाईं ओर ले जाकर समस्या को फिर से बताया जा सकता है जब तक कि भाजक में कोई भिन्न न हो, जो समस्या को हल करना आसान बना सकता है (जैसे, 10/2.5 = 100/25 = 4)।

विभाजन की गणना अबेकस (abacus) से की जा सकती है।

लॉगरिथम तालिकाओं का उपयोग दो नंबरों को विभाजित करने के लिए किया जा सकता है, दो नंबरों के लॉगरिथम को घटाकर, फिर परिणाम के एंटिलोग्रिथम को देखते हुए।

विभाजन की गणना d स्केल पर भाज्य के साथ c स्केल पर विभाजक को संरेखित करके एक स्लाइड नियम के साथ की जा सकती है। भागफल को d पैमाने पर पाया जा सकता है जहां इसे c पैमाने पर बाएं सूचकांक के साथ संरेखित किया जाता है। हालांकि, उपयोगकर्ता दशमलव बिंदु के मानसिक ट्रैक के लिए जिम्मेदार है।

कंप्यूटर द्वारा
आधुनिक कैलकुलेटर और कंप्यूटर या तो लंबे विभाजन के समान तरीकों से या तेज तरीकों से गणना करते हैं; डिवीजन एल्गोरिथ्म देखें।

मॉड्यूलर अंकगणित (मॉड्यूलो एक अभाज्य संख्या) और वास्तविक संख्याओं के लिए, गैर-शून्य संख्याओं में एक गुणात्मक प्रतिलोम होता है। इन मामलों में, x से एक भाग की गणना x के गुणनात्मक प्रतिलोम द्वारा गुणनफल के रूप में की जा सकती है। यह दृष्टिकोण अक्सर कंप्यूटर अंकगणित में तेज तरीकों से जुड़ा होता है।

यूक्लिडियन डिवीजन
यूक्लिडियन विभाजन पूर्णांक के विभाजन की सामान्य प्रक्रिया के परिणाम का गणितीय सूत्रीकरण है। यह दावा करता है कि दो पूर्णांक a भाज्य और b भाजक को देखते हुए, जैसे कि b ≠ 0 अद्वितीय पूर्णांक Q भागफल और R शेष हैं, जैसे कि a = b q + r और 0 ≤ r < $|b|$, जहां $|b|$ निरपेक्ष मान को दर्शाता है।

पूर्णांकों का विभाजन के अंतर्गत पूर्णांकों को बंद नहीं किया जाता है। शून्य द्वारा विभाजन अपरिभाषित होने के अलावा, भागफल तब तक पूर्णांक नहीं है जब तक कि भाज्य भाजक का एक पूर्णांक गुणज न हो। उदाहरण के लिए, 26 को पूर्णांक देने के लिए 11 से विभाजित नहीं किया जा सकता है। ऐसा मामला पांच दृष्टिकोणों में से एक का उपयोग करता है:
 * 1) मान लीजिए कि 26 को 11 से विभाजित नहीं किया जा सकता है; विभाजन एक भिन्नात्मक फलन बन जाता है।
 * 2) चल बिन्दु संख्या (floating point number) के रूप में अनुमानित उत्तर दें। यह आमतौर पर संख्यात्मक गणना में लिया जाता है।
 * 3) उत्तर को एक परिमेय संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले भिन्न के रूप में दें, इसलिए 26 से 11 के विभाजन का परिणाम है $$\tfrac{26}{11}$$ (या मिश्रित संख्या के रूप में, इसलिए $$\tfrac{26}{11} = 2 \tfrac 4{11}.$$) आमतौर पर परिणामी भिन्न को सरल बनाया जाना चाहिए: 22 से 52 के विभाजन का परिणाम भी  $$\tfrac{26}{11}$$ होता है। यह सरलीकरण सबसे बड़े सामान्य भाजक का गुणन करके किया जा सकता है।
 * 4) एक पूर्णांक भागफल और शेष के रूप में उत्तर दें, इसलिए $$\tfrac{26}{11} = 2 \mbox{ remainder } 4.$$ पिछले मामले के साथ अंतर करने के लिए, परिणाम के रूप में दो पूर्णांक वाले इस विभाजन को कभी-कभी यूक्लिडियन डिवीजन कहा जाता है, क्योंकि यह यूक्लिडियन एल्गोरिदम का आधार है।
 * 5) उत्तर के रूप में पूर्णांक भागफल दें, इसलिए $$\tfrac{26}{11} = 2.$$ यह केस 2 या 3 पर लागू फर्श (Floor) फलन है। इसे कभी -कभी 'पूर्णांक डिवीजन' कहा जाता है, और // द्वारा दर्शाया जाता है।

कंप्यूटर प्रोग्राम में पूर्णांक को विभाजित करने के लिए विशेष देखभाल की आवश्यकता होती है। कुछ प्रोग्रामिंग भाषाएं, पूर्णांक विभाजन को 5 के मामले में मानती हैं, इसलिए उत्तर एक पूर्णांक है। अन्य भाषाएं, जैसे कि MATLAB और प्रत्येक कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली उत्तर के रूप में एक परिमेय संख्या लौटाती है, जैसा कि ऊपर 3 केस में है। ये भाषाएं अन्य मामलों के परिणाम प्राप्त करने के लिए, सीधे या केस 3 के परिणाम से कार्य प्रदान करती हैं।

पूर्णांक विभाजन के लिए उपयोग किए जाने वाले नामों और प्रतीकों में div, /, \, और % शामिल हैं। पूर्णांक विभाजन के संबंध में परिभाषाएं अलग-अलग होती हैं जब भाज्य या भाजक नकारात्मक होता है: पूर्णांकन शून्य  (तथाकथित टी-डिवीजन) या (एफ-डिवीजन) की ओर हो सकता है - विवरण के लिए मोडुलो ऑपरेशन देखें।

विभाजन नियमों का उपयोग कभी -कभी यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि क्या एक पूर्णांक दूसरे में विभाजित होता है।

परिमेय संख्याओं का
दो परिमेय संख्याओं को विभाजित करने का परिणाम एक और परिमेय संख्या है जब विभाजक 0 नहीं है। दो परिमेय संख्याओं P/Q और R/S के विभाजन की गणना इस प्रकार की जा सकती है
 * $${p/q \over r/s} = {p \over q} \times {s \over r} = {ps \over qr}.$$

सभी चार मात्राएँ पूर्णांक हैं, और केवल p 0 हो सकता है। यह परिभाषा सुनिश्चित करती है कि विभाजन गुणन का व्युत्क्रम संचालन है।

वास्तविक संख्याओं का
दो वास्तविक संख्याओं के विभाजन से एक और वास्तविक संख्या प्राप्त होती है (जब भाजक नॉनज़ेरो होता है)। यह ऐसा परिभाषित किया गया है कि a/b = c केवल अगर a = cb और b ≠ 0 हो।

जटिल संख्याओं का
दो जटिल संख्याओं को विभाजित करना (जब भाजक अशून्य होता है) एक और जटिल संख्या में परिणाम होता है, जो कि हर के संयुग्मक का उपयोग करके पाया जाता है:
 * $${p+iq \over r+is} = {(p+iq)(r-is) \over (r+is)(r-is)} = {pr+qs + i(qr-ps) \over r^2+s^2} = {pr+qs \over r^2+s^2} + i{qr-ps \over r^2+s^2}.$$

गुणा करने और विभाजित करने की यह प्रक्रिया $$r-is$$ को 'प्राप्ति' या (सादृश्य द्वारा) युक्तिकरण कहा जाता है। सभी चार मात्राएँ P, Q, R, S वास्तविक संख्याएं हैं, R और S दोनों 0 नहीं हो सकते हैं।

ध्रुवीय रूप में व्यक्त जटिल संख्याओं के लिए विभाजन ऊपर की परिभाषा की तुलना में सरल है:
 * $${p e^{iq} \over r e^{is}} = {p e^{iq} e^{-is} \over r e^{is} e^{-is}} = {p \over r}e^{i(q - s)}. $$

फिर से सभी चार मात्राएँ p, q, r, s वास्तविक संख्याएं हैं, और r 0 नहीं हो सकता है।

बहुपद का
एक क्षेत्र में बहुपद के लिए विभाजन संक्रिया को एक चर में परिभाषित किया जा सकता है। फिर, जैसा कि पूर्णांक के मामले में, एक शेष है। बहुपदों का यूक्लिडियन विभाजन और हाथ से लिखी गणना के लिए, बहुपद लंबा विभाजन या सिंथेटिक विभाजन देखें।

मैट्रिसेस का
कोई मैट्रिस के लिए विभाजन संक्रिया को परिभाषित कर सकता है। ऐसा करने का सामान्य तरीका A / B = AB−1 को परिभाषित करना है, जहां B−1 B के व्युत्क्रम को दर्शाता है, लेकिन यह लिखना कहीं अधिक सामान्य है AB−1 भ्रम से बचने के लिए। हदामार्ड (Hadamard) उत्पाद के संदर्भ में एक तत्ववर्धक विभाजन को भी परिभाषित किया जा सकता है।

बाएं और दाएं विभाजन
क्योंकि मैट्रिक्स गुणन क्रमविनिमेय नहीं है, कोई भी बाएँ भाग या तथाकथित बैकस्लैश-विभाजन को A \ B = A−1B के रूप में परिभाषित कर सकता है। इसे अच्छी तरह से परिभाषित करने के लिए, B−1 का अस्तित्व आवश्यक नहीं है, हालांकि A−1 का अस्तित्व होना आवश्यक है। भ्रम से बचने के लिए, A / B = AB−1 द्वारा परिभाषित विभाजन को कभी-कभी इस संदर्भ में सही विभाजन या स्लैश-विभाजन कहा जाता है।

ध्यान दें कि बाएं और दाएं विभाजन के साथ इस तरह से परिभाषित किया गया है, A / (BC) सामान्य रूप से समान नहीं है (A / B) / C, और न ही है (AB) \ C बराबर A \ (B \ C)।हालाँकि, यह मानता है कि A / (BC) = (A / C) / B तथा (AB) \ C = B \ (A \ C)।

छद्म व्युत्क्रम (Pseudoinverse)
समस्याओं से बचने के लिए A−1 और/या B−1 मौजूद नहीं है, विभाजन को भी छद्म व्युत्क्रम द्वारा गुणन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। अर्थात्, A / B = AB+ तथा A \ B = A+B, जहाँ A+ तथा B+ a और b के छद्म विलोम को दर्शाते हैं।

संक्षेप बीजगणित
अमूर्त बीजगणित में, बाइनरी ऑपरेशन के साथ एक मैग्मा दिया गया (जिसे नाममात्र रूप से गुणा कहा जा सकता है), b के बाएं विभाजन को a (लिखा गया a \ b) को आमतौर पर समीकरण a x = b के समाधान x के रूप में परिभाषित किया जाता है, यदि यह मौजूद है और अद्वितीय है। इसी तरह, b का a (लिखित b / a) से सही विभाजन समीकरण y a = b का हल y है। इस अर्थ में विभाजन को किसी विशेष गुण (जैसे कम्यूटेटिविटी, एसोसिएटिविटी, या एक पहचान तत्व) की आवश्यकता नहीं होती है।

निरस्त करने के अर्थ में विभाजन किसी भी मैग्मा में निरस्तीकरण संपत्ति के साथ एक तत्व द्वारा किया जा सकता है। उदाहरणों में मैट्रिक्स बीजगणित और चतुर्भुज बीजगणित शामिल हैं। अर्धसमूह एक संरचना है जिसमें एक पहचान तत्व के बिना भी विभाजन हमेशा संभव होता है और इसलिए व्युत्क्रम होता है। एक अभिन्न डोमेन में, जहां प्रत्येक तत्व की आवश्यकता नहीं होती है, निरस्त तत्व द्वारा विभाजन a को अभी भी क्रमशः ab या ca के तत्वों पर बाएं या दाएं निरस्तीकरण किया जा सकता है। यदि गोला परिमित है और प्रत्येक गैर-शून्य तत्व   निरस्त कर दिया जाता है, तो पिजनहोल सिद्धांत के एक अनुप्रयोग द्वारा, गोले का प्रत्येक गैर-शून्य तत्व उलटा है, और किसी भी गैर-शून्य तत्व द्वारा विभाजन संभव है। यह जानने के लिए कि बीजगणित (तकनीकी अर्थ में) में विभाजन संक्रिया कब होती है, विभाजन बीजगणित पर पृष्ठ देखें। विशेष रूप से बॉट आवधिकता का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि किसी भी वास्तविक मानदंड विभाजन बीजगणित को वास्तविक संख्या 'r', जटिल संख्या 'c', चतुर्भुज 'h', या ऑक्टोनियन 'o' के लिए समरूप होना चाहिए।

कैलकुलस
दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न भागफल नियम द्वारा दिया गया है:
 * $${\left(\frac fg\right)}' = \frac{f'g - fg'}{g^2}.$$

शून्य द्वारा विभाजन
अधिकांश गणितीय प्रणालियों में शून्य से किसी भी संख्या का विभाजन अपरिभाषित है, क्योंकि किसी भी परिमित संख्या से गुणा करने पर हमेशा शून्य गुणनफल प्राप्त होता है। अधिकांश कैलकुलेटर में ऐसे व्यंजक का प्रवेश एक त्रुटि संदेश पैदा करता है। हालांकि, कुछ उच्च स्तरीय गणित में शून्य द्वारा शून्य रिंग और बीजगणित जैसे पहियों द्वारा संभव है। इन बीजगणितों में, विभाजन का अर्थ पारंपरिक परिभाषाओं से भिन्न है।

यह भी देखें

 * 400AD सुन्जी डिवीजन एल्गोरिथ्म
 * दो द्वारा विभाजन
 * गैली डिवीजन
 * उलटा तत्व
 * कार्रवाई के आदेश
 * दशमलव को दोहराना

बाहरी संबंध

 * Planetmath division
 * Division on a Japanese abacus selected from Abacus: Mystery of the Bead
 * Chinese Short Division Techniques on a Suan Pan
 * Rules of divisibility