एचपीओ औपचारिकता

इतिहास प्रक्षेपण ऑपरेटर (एचपीओ) औपचारिकता क्रिस्टोफर ईशम द्वारा विकसित अस्थायी क्वांटम नियम के लिए दृष्टिकोण है। यह समय के विभिन्न बिंदुओं पर क्वांटम यांत्रिकी प्रस्तावों की तार्किक संरचना से संबंधित है।

परिचय
मानक क्वांटम यांत्रिकी में भौतिक प्रणाली हिल्बर्ट अंतरिक्ष $$\mathcal{H}$$ से जुड़ी होती है, निश्चित समय पर प्रणाली की अवस्थाओं को अंतरिक्ष में सामान्यीकृत सदिश द्वारा दर्शाया जाता है एवं भौतिक वेधशालाओं को हर्मिटियन संचालक $$\mathcal{H}$$ द्वारा दर्शाया जाता है।

भौतिक प्रस्ताव $$\,P$$ निश्चित समय पर प्रणाली के विषय में ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण ऑपरेटर द्वारा $$\hat{P}$$ पर $$\mathcal{H}$$ दर्शाया जा सकता है। यह प्रतिनिधित्व तार्किक प्रस्तावों की लैटिस एवं हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर प्रक्षेपण ऑपरेटरों की जाली (आदेश) को साथ जोड़ता है (क्वांटम नियम क्वांटम यांत्रिक प्रणाली के प्रस्तावक जाली देखें)।

एचपीओ औपचारिकता प्रणाली के विषय में उन प्रस्तावों के लिए इन विचारों का स्वाभाविक विस्तार है जो अधिक बार संबंधित होते हैं।

सजातीय इतिहास
सजातीय इतिहास प्रस्ताव $$\,\alpha $$ एकल-बार प्रस्तावों का क्रम $$\alpha_{t_i}$$ है, भिन्न-भिन्न समय पर निर्दिष्ट $$t_1 < t_2 < \ldots < t_n $$ किया गया। इन समयों को इतिहास का लौकिक सहारा कहा जाता है। हम प्रस्ताव को $$\,\alpha$$ निरूपित करेंगे, जैसे $$(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$$ एवं इसे इस रूप में पढ़ें $$\alpha_{t_1}$$ समय पर $$t_1$$ सत्य है एवं तत्पश्चात $$\alpha_{t_2}$$ समय पर $$t_2$$ सत्य है एवं तत्पश्चात $$\ldots$$ एवं तब $$\alpha_{t_n}$$ समय पर $$t_n$$ क्या सत्य है।

अमानवीय इतिहास
सभी इतिहास प्रस्तावों को भिन्न-भिन्न समय पर प्रस्तावों के अनुक्रम द्वारा प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है। इन्हें अमानवीय इतिहास प्रस्ताव कहा जाता है। उदाहरण प्रस्ताव है $$\,\alpha$$ या $$\,\beta$$ दो सजातीय इतिहास के लिए $$\,\alpha, \beta$$ है।

इतिहास प्रक्षेपण ऑपरेटर
एचपीओ औपचारिकता का मुख्य अवलोकन इतिहास हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर प्रक्षेपण ऑपरेटरों द्वारा इतिहास प्रस्तावों का प्रतिनिधित्व करना है। यहीं से इतिहास प्रक्षेपण ऑपरेटर (HPO) नाम आता है।

समान इतिहास के लिए $$\alpha = (\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$$ हम प्रोजेक्टर को परिभाषित करने के लिए हिल्बर्ट अंतरिक्ष के टेंसर उत्पाद का उपयोग कर सकते हैं।

$$\hat{\alpha}:= \hat{\alpha}_{t_1} \otimes \hat{\alpha}_{t_2} \otimes \ldots \otimes \hat{\alpha}_{t_n}$$जहाँ $$\hat{\alpha}_{t_i}$$ प्रक्षेपण ऑपरेटर चालू है, $$\mathcal{H}$$ जो प्रस्ताव का प्रतिनिधित्व $$\alpha_{t_i}$$ समय में $$t_i$$ करता है।

यह $$\hat{\alpha}$$ टेंसर उत्पाद इतिहास हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर एक प्रोजेक्शन ऑपरेटर है $$H = \mathcal{H} \otimes \mathcal{H} \otimes \ldots \otimes \mathcal{H} $$ सभी प्रोजेक्शन ऑपरेटर चालू नहीं हैं $$H$$ प्रपत्र के टेंसर उत्पादों के योग के रूप में लिखा जा सकता है $$\hat{\alpha}$$. इन अन्य प्रोजेक्शन ऑपरेटरों का उपयोग सजातीय इतिहासों के जाली संचालन को लागू करके अमानवीय इतिहास का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है।

लौकिक क्वांटम नियम
इतिहास पर प्रोजेक्टरों द्वारा इतिहास प्रस्तावों का प्रतिनिधित्व हिल्बर्ट अंतरिक्ष स्वाभाविक रूप से इतिहास प्रस्तावों की तार्किक संरचना को कूटबद्ध करता है। इतिहास हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर प्रक्षेपण संचालन के सेट पर जाली (आदेश) संचालन $$H$$ इतिहास प्रस्तावों पर तार्किक संचालन के जाल के मॉडल के लिए लागू किया जा सकता है।

यदि दो सजातीय इतिहास $$\,\alpha $$ एवं $$\,\beta$$ उसी अस्थायी समर्थन को साझा न करें जिसे वे संशोधित कर सकते हैं ताकि वे ऐसा कर सकें। अगर $$\,t_i$$ के अस्थायी समर्थन में है $$\,\alpha$$ लेकिन नहीं $$\,\beta$$ (उदाहरण के लिए) तत्पश्चात एक नया सजातीय इतिहास प्रस्ताव जो इससे भिन्न है $$\,\beta$$ हर समय हमेशा सत्य प्रस्ताव को शामिल करके $$\,t_i$$ बन सकता है। इस प्रकार लौकिक का समर्थन करता है $$\,\alpha, \beta$$ हमेशा एक साथ जुड़ सकते हैं। इसलिए हम मान लेंगे कि सभी सजातीय इतिहास समान लौकिक समर्थन साझा करते हैं।

अब हम सजातीय इतिहास प्रस्तावों के लिए तार्किक संचालन प्रस्तुत करते हैं $$\,\alpha $$ एवं $$\,\beta$$ ऐसा है कि $$\hat{\alpha} \hat{\beta} = \hat{\beta}\hat{\alpha} $$

संयोजन (एवं)
अगर $$\alpha$$ एवं $$\beta$$ दो सजातीय इतिहास हैं तो इतिहास प्रस्ताव$$\,\alpha$$ एवं $$\,\beta$$एक समान इतिहास भी है। यह प्रक्षेपण ऑपरेटर द्वारा दर्शाया गया है

$$\widehat{\alpha \wedge \beta}:= \hat{\alpha} \hat{\beta}$$ $$(= \hat{\beta} \hat{\alpha})$$

वियोग (या)
अगर $$\alpha$$ एवं $$\beta$$ दो सजातीय इतिहास हैं तो इतिहास प्रस्ताव$$\,\alpha$$ या $$\,\beta$$आम तौर पर एक सजातीय इतिहास नहीं है। यह प्रक्षेपण ऑपरेटर द्वारा दर्शाया गया है

$$\widehat{\alpha \vee \beta}:= \hat{\alpha} + \hat{\beta} - \hat{\alpha}\hat{\beta}$$

निषेध (नहीं)
प्रक्षेपण ऑपरेटरों की जाली में नकारात्मक कार्रवाई होती है $$ \hat{P} $$ को

$$\neg \hat{P} := \mathbb{I} - \hat{P}$$ कहाँ $$\mathbb{I}$$ हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर  पहचान ऑपरेटर  है। इस प्रकार प्रोजेक्टर प्रस्ताव का प्रतिनिधित्व करता था $$\neg \alpha$$ (अर्थात् नहीं $$\alpha$$) है

$$\widehat{\neg \alpha}:= \mathbb{I} - \hat{\alpha}.$$

उदाहरण: दो बार का इतिहास
एक उदाहरण के रूप में, दो बार के सजातीय इतिहास प्रस्ताव के निषेध पर विचार करें $$\,\alpha = (\alpha_1, \alpha_2)$$. प्रोजेक्टर प्रस्ताव का प्रतिनिधित्व करने के लिए $$\neg \alpha$$ है

$$\widehat{\neg \alpha} = \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} - \hat{\alpha}_1 \otimes \hat{\alpha}_2$$ $$= (\mathbb{I} - \hat{\alpha}_1) \otimes \hat{\alpha}_2 + \hat{\alpha}_1 \otimes (\mathbb{I} - \hat{\alpha}_2) + (\mathbb{I} - \hat{\alpha}_1) \otimes (\mathbb{I} - \hat{\alpha}_2)$$ इस अभिव्यक्ति में आने वाले शब्द:


 * $$(\mathbb{I} - \hat{\alpha}_1) \otimes \hat{\alpha}_2$$
 * $$\hat{\alpha}_1 \otimes (\mathbb{I} - \hat{\alpha}_2) $$
 * $$(\mathbb{I} - \hat{\alpha}_1) \otimes (\mathbb{I} - \hat{\alpha}_2) $$.

प्रत्येक की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है:
 * $$\,\alpha_1 $$ झूठा है एवं $$\,\alpha_2 $$ क्या सत्य है
 * $$\,\alpha_1 $$ सत्य है एवं $$\,\alpha_2 $$ गलत है
 * दोनों $$\,\alpha_1 $$ झूठा है एवं $$\,\alpha_2 $$ गलत है

ये तीन सजातीय इतिहास, OR ऑपरेशन के साथ मिलकर, प्रस्ताव के तरीके के लिए सभी संभावनाएं शामिल करते हैं$$\,\alpha_1$$ एवं तब $$\,\alpha_2$$झूठा हो सकता है। इसलिए हम देखते हैं कि की परिभाषा $$\widehat{\neg \alpha}$$ किस प्रस्ताव से सहमत हैं $$\neg \alpha$$ मतलब होना चाहिए।

संदर्भ

 * C.J. Isham, Quantum Logic and the Histories Approach to Quantum Theory, J. Math. Phys. 35 (1994) 2157-2185, arXiv:gr-qc/9308006v1