सदिश समष्टि

गणित और भौतिकी में, एक सदिश स्थान (जिसे रैखिक स्थान भी कहा जाता है) एक समुच्चय (गणित) होता है, जिसके तत्व, जिन्हें अक्सर  वेक्टर (गणित और भौतिकी)  कहा जाता है, एक साथ सदिश जोड़ और अदिश गुणन (स्केल किया हुआ) हो सकते हैं। संख्याओं को  अदिश (गणित)  कहा जाता है। अदिश राशियाँ अक्सर वास्तविक संख्या एँ होती हैं, लेकिन  जटिल संख्या एँ या, अधिक सामान्यतः, किसी भी  क्षेत्र (गणित)  के तत्व हो सकते हैं। सदिश जोड़ और अदिश गुणन के संचालन को कुछ आवश्यकताओं को पूरा करना चाहिए, जिन्हें 'वेक्टर स्वयंसिद्ध' कहा जाता है। शब्द वास्तविक सदिश स्थान और जटिल सदिश स्थान अक्सर स्केलर्स की प्रकृति को निर्दिष्ट करने के लिए उपयोग किए जाते हैं:  वास्तविक समन्वय स्थान  या  जटिल समन्वय स्थान ।

सदिश स्थान यूक्लिडियन सदिशों का सामान्यीकरण करते हैं, जो भौतिक मात्रा ओं के मॉडलिंग की अनुमति देते हैं, जैसे बल और  वेग, जिसमें न केवल एक परिमाण होता है, बल्कि एक दिशा भी होती है। वेक्टर रिक्त स्थान की अवधारणा  मैट्रिक्स (गणित)  की अवधारणा के साथ रैखिक बीजगणित के लिए मूलभूत है, जो वेक्टर रिक्त स्थान में कंप्यूटिंग की अनुमति देता है। यह रेखीय समीकरणों की प्रणालियों में हेरफेर करने और उनका अध्ययन करने के लिए एक संक्षिप्त और सिंथेटिक तरीका प्रदान करता है।

वेक्टर रिक्त स्थान उनके आयाम (वेक्टर स्थान)  द्वारा वर्णित हैं, जो मोटे तौर पर बोल रहा है, अंतरिक्ष में स्वतंत्र दिशाओं की संख्या निर्दिष्ट करता है। इसका मतलब यह है कि, समान आयाम वाले दो सदिश स्थानों के लिए, वे गुण जो केवल सदिश-अंतरिक्ष संरचना पर निर्भर करते हैं, बिल्कुल समान होते हैं (तकनीकी रूप से सदिश स्थान  समरूप ी होते हैं)। एक सदिश समष्टि परिमित-विमीय है यदि इसकी विमा एक  प्राकृतिक संख्या  है। अन्यथा, यह  अनंत-आयामी  है, और इसका आयाम  अनंत कार्डिनल  है।  ज्यामिति  और संबंधित क्षेत्रों में परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान स्वाभाविक रूप से होते हैं। अनंत-आयामी सदिश स्थान गणित के कई क्षेत्रों में पाए जाते हैं। उदाहरण के लिए, बहुपद के छल्ले अनगिनत अनंत-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान हैं, और कई फ़ंक्शन रिक्त स्थान में एक आयाम के रूप में  सातत्य की प्रमुखता  होती है।

कई वेक्टर रिक्त स्थान जिन्हें गणित में माना जाता है, अन्य गणितीय संरचना  से भी संपन्न हैं। यह  एक क्षेत्र पर बीजगणित  का मामला है, जिसमें  क्षेत्र विस्तार, बहुपद वलय,  साहचर्य बीजगणित  और  झूठ बीजगणित  शामिल हैं। यह  टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस  का भी मामला है, जिसमें  समारोह स्थान ,  आंतरिक उत्पाद स्थान ,  आदर्श स्थान ,  हिल्बर्ट अंतरिक्ष  और  बनच स्पेस  शामिल हैं।

परिभाषा और बुनियादी गुण
इस लेख में, वैक्टर को स्केलर से अलग करने के लिए उन्हें बोल्डफेस में दर्शाया गया है। एक क्षेत्र पर एक सदिश स्थान (गणित) $F$ एक सेट (गणित) है$V$ एक साथ दो बाइनरी ऑपरेशन  के साथ जो नीचे सूचीबद्ध आठ स्वयंसिद्धों को पूरा करते हैं। इस संदर्भ में, के तत्व $V$ सामान्यतः सदिश कहलाते हैं, और के तत्व$F$ स्केलर कहलाते हैं।

एक सदिश समष्टि होने के लिए, निम्नलिखित आठ अभिगृहीतों को प्रत्येक के लिए संतुष्ट होना चाहिए $v$, $w$ तथा $v + 2w$ में $V$, तथा $V$ तथा $a$ में $F$.
 * पहला ऑपरेशन, जिसे वेक्टर जोड़ कहा जाता है या केवल जोड़ किसी भी दो वैक्टर को असाइन करता है$v$ तथा $w$ में $V$ में एक तीसरा वेक्टर $V$ जिसे आमतौर पर लिखा जाता है $v + w$, और इन दो सदिशों का योग कहते हैं।
 * दूसरी संक्रिया, जिसे अदिश गुणन कहते हैं, किसी भी अदिश को निर्दिष्ट करती है$V$ में $a$ और कोई वेक्टर$v$ में $b$ एक और वेक्टर में $F$, जो दर्शाया गया है$av$.

जब स्केलर फ़ील्ड वास्तविक संख्या होती है तो वेक्टर स्पेस को वास्तविक वेक्टर स्पेस कहा जाता है। जब अदिश क्षेत्र सम्मिश्र संख्याएँ हों, तो सदिश स्थान को सम्मिश्र सदिश समष्टि कहा जाता है। ये दो मामले सबसे आम हैं, लेकिन एक मनमाना क्षेत्र में स्केलर के साथ वेक्टर रिक्त स्थान $F$ भी सामान्यतः माना जाता है। ऐसे सदिश समष्टि को an. कहा जाता है $F$-वेक्टर स्पेस या वेक्टर स्पेस ओवर $F$.

एक सदिश स्थान की एक समतुल्य परिभाषा दी जा सकती है, जो बहुत अधिक संक्षिप्त लेकिन कम प्राथमिक है: पहले चार अभिगृहीत कहते हैं कि एक सदिश स्थान योग के अंतर्गत एक आबेली समूह है, और शेष चार अभिगृहीत कहते हैं कि अदिश गुणन एक वलय समरूपता को परिभाषित करता है मैदान से $u$ इस समूह के एंडोमोर्फिज्म रिंग  में।

दो सदिशों के घटाव को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है
 * $$\mathbf{v} - \mathbf{w} = \mathbf{v} + (-\mathbf{w}).$$

स्वयंसिद्धों के प्रत्यक्ष परिणामों में शामिल हैं कि, प्रत्येक के लिए $$s\in F$$ तथा $$\mathbf v\in V,$$ किसी के पास
 * $$0\mathbf v = \mathbf 0,$$
 * $$s\mathbf 0=\mathbf 0,$$
 * $$(-1)\mathbf v = -\mathbf v,$$
 * $$s\mathbf v = \mathbf 0$$ तात्पर्य $$s=0$$ या $$\mathbf v= \mathbf 0.$$

संबंधित अवधारणाएं और गुण
; रैखिक संयोजन
 * एक सेट दिया $F$ a . के तत्वों का $G$-सदिश स्थल $F$, के तत्वों का एक रैखिक संयोजन $V$ का एक तत्व है $G$ फॉर्म का $$ a_1 \mathbf{g}_1 + a_2 \mathbf{g}_2 + \cdots + a_k \mathbf{g}_k,$$ कहाँ पे $$a_1, \ldots, a_k\in F$$ तथा $$\mathbf{g}_1, \ldots, \mathbf{g}_k\in G.$$ अदिश $$a_1, \ldots, a_k$$ रैखिक संयोजन के गुणांक कहलाते हैं।


 * रैखिक स्वतंत्रता
 * एक उपसमुच्चय के अवयव $V$ एक का $G$-सदिश स्थल $F$ को रैखिक रूप से स्वतंत्र कहा जाता है यदि कोई तत्व नहीं है $V$ के अन्य तत्वों के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है $G$. समान रूप से, वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं यदि तत्व के दो रैखिक संयोजन $G$ के समान तत्व को परिभाषित करें $G$ अगर और केवल अगर उनके पास समान गुणांक हैं। समतुल्य रूप से, वे रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं यदि एक रैखिक संयोजन का परिणाम शून्य सदिश होता है यदि और केवल यदि इसके सभी गुणांक शून्य हैं।


 * रैखिक उप-स्थान
 * एक रेखीय उपसमष्टि या सदिश उपसमष्टि $V$ एक वेक्टर अंतरिक्ष की $W$ का एक गैर-रिक्त उपसमुच्चय है $V$ वह वेक्टर जोड़ और अदिश गुणन के तहत क्लोजर (गणित) है; यानी के दो तत्वों का योग $V$ और के एक तत्व का उत्पाद $W$ एक अदिश से संबंधित हैं $V$. इसका तात्पर्य है कि के तत्वों का प्रत्येक रैखिक संयोजन $W$ का है $W$. एक रेखीय उपसमष्टि प्रेरित जोड़ और अदिश गुणन के लिए सदिश समष्टि है; इसका मतलब है कि क्लोजर प्रॉपर्टी का मतलब है कि वेक्टर स्पेस के स्वयंसिद्ध संतुष्ट हैं। क्लोजर प्रॉपर्टी का मतलब यह भी है कि लीनियर सबस्पेस का हर इंटरसेक्शन (सेट थ्योरी) एक लीनियर सबस्पेस है।


 * रैखिक अवधि
 * एक उपसमुच्चय दिया है $W$ एक वेक्टर अंतरिक्ष की $G$, रैखिक अवधि या केवल अवधि $V$ की सबसे छोटी रैखिक उपसमष्टि है $G$ उसमें सम्मिलित है $V$, इस अर्थ में कि यह सभी रैखिक उप-स्थानों का प्रतिच्छेदन है जिसमें शामिल है $G$. की अवधि $G$ के तत्वों के सभी रैखिक संयोजनों का समुच्चय भी है $G$ अगर $G$ की अवधि है $W$, एक कहता है कि $G$ फैलता या उत्पन्न करता है $G$, और कि $W$ एक फैले सेट  या जनरेटिंग सेट है $G$.


 * आधार (रैखिक बीजगणित) और आयाम (वेक्टर स्थान)
 * सदिश समष्टि का उपसमुच्चय एक आधार है यदि इसके अवयव रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं और सदिश समष्टि को फैलाते हैं। प्रत्येक सदिश समष्टि का कम से कम एक आधार होता है, आम तौर पर अनेक (देखें ) इसके अलावा, एक सदिश समष्टि के सभी आधारों में एक ही प्रमुखता  होती है, जिसे सदिश समष्टि का आयाम कहा जाता है (सदिश समष्टि के लिए आयाम प्रमेय देखें)। यह सदिश समष्टियों का मूलभूत गुण है, जिसका विवरण शेष खंड में दिया गया है।

bases सदिश स्थानों के अध्ययन के लिए एक मौलिक उपकरण हैं, विशेष रूप से जब आयाम परिमित होता है। अनंत-आयामी मामले में, अनंत आधारों का अस्तित्व, जिसे अक्सर हामेल आधार कहा जाता है, पसंद के स्वयंसिद्ध पर निर्भर करता है। यह इस प्रकार है कि, सामान्य तौर पर, किसी भी आधार का स्पष्ट रूप से वर्णन नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याएँ परिमेय संख्या ओं पर एक अनंत-आयामी सदिश स्थान बनाती हैं, जिसके लिए कोई विशिष्ट आधार ज्ञात नहीं है।

एक आधार पर विचार करें $$ (\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \ldots, \mathbf{b}_n)$$ एक वेक्टर अंतरिक्ष की $W$ आयाम का $V$ एक मैदान के ऊपर $n$. आधार की परिभाषा का तात्पर्य है कि प्रत्येक $$\mathbf v \in V$$ लिखा जा सकता है
 * $$\mathbf v = a_1\mathbf b_1 +\cdots +a_n \mathbf b_n,$$ साथ $$a_1,\dots, a_n$$ में $F$, और यह कि यह अपघटन अद्वितीय है। अदिश $$a_1, \ldots, a_n$$ के निर्देशांक कहलाते हैं $v$ आधार पर। इन्हें के अपघटन का गुणांक भी कहा जाता है $w$ आधार पर। एक यह भी कहता है कि $F$-निर्देशांक का टपल  का समन्वय सदिश है $u + (v + w) = (u + v) + w$ आधार पर, सेट के बाद से $$F^n$$ की $n$- के तत्वों का समूह $n$ घटकवार संक्रिया जोड़ और अदिश गुणन के लिए सदिश स्थान है, जिसका आयाम है $F$.

सदिशों और उनके निर्देशांक सदिशों के बीच एक-से-एक पत्राचार सदिश योग और अदिश गुणन से अदिश गुणन के लिए सदिश जोड़ को मैप करता है। इस प्रकार यह एक सदिश अंतरिक्ष समरूपता है, जो सदिशों पर तर्क और संगणनाओं को उनके निर्देशांक पर तर्क और संगणना में अनुवाद करने की अनुमति देता है। यदि, बदले में, इन निर्देशांकों को मैट्रिक्स (गणित) के रूप में व्यवस्थित किया जाता है, तो निर्देशांक पर इन तर्कों और संगणनाओं को मैट्रिक्स पर तर्क और संगणना के रूप में संक्षेप में व्यक्त किया जा सकता है। इसके अलावा, मैट्रिसेस से संबंधित एक रेखीय समीकरण  को रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली में विस्तारित किया जा सकता है, और, इसके विपरीत, ऐसी प्रत्येक प्रणाली को मैट्रिसेस पर एक रेखीय समीकरण में संकुचित किया जा सकता है।

इसलिए, संक्षेप में, परिमित-विम रैखिक बीजगणित को तीन समकक्ष भाषाओं में व्यक्त किया जा सकता है:
 * वेक्टर रिक्त स्थान, जो संक्षिप्त और समन्वय-मुक्त कथन प्रदान करते हैं,
 * मैट्रिसेस, जो संक्षिप्त रूप से स्पष्ट संगणनाओं को व्यक्त करने के लिए सुविधाजनक हैं,
 * रैखिक समीकरणों की प्रणालियाँ, जो अधिक प्रारंभिक योग प्रदान करती हैं।

इतिहास
विमान या त्रि-आयामी अंतरिक्ष में निर्देशांक की शुरूआत के माध्यम से वेक्टर रिक्त स्थान एफ़िन ज्यामिति से उत्पन्न होते हैं। 1636 के आसपास, फ्रांसीसी गणितज्ञ रेने डेसकार्टेस और पियरे डी फर्मेट  ने समतल  वक्र  पर बिंदुओं के साथ दो चर के समीकरण के समाधान की पहचान करके  विश्लेषणात्मक ज्यामिति  की स्थापना की। निर्देशांक का उपयोग किए बिना ज्यामितीय समाधान प्राप्त करने के लिए,  बर्नहार्ड बोलजानो  ने 1804 में बिंदुओं, रेखाओं और विमानों पर कुछ संचालन शुरू किए, जो वैक्टर के पूर्ववर्ती हैं।   बैरीसेंट्रिक निर्देशांक (गणित)  की धारणा पेश की।  एक द्विबिंदु की धारणा पेश की, यानी, एक उन्मुख खंड जिसका एक छोर मूल है और दूसरा एक लक्ष्य है।  जीन-रॉबर्ट Argand  और  विलियम रोवन हैमिल्टन  द्वारा जटिल संख्याओं की प्रस्तुति और बाद में चतुर्धातुक की स्थापना के साथ वैक्टर पर पुनर्विचार किया गया। वे R. में तत्व हैं2 और आर4; रैखिक संयोजनों का उपयोग करके उनका इलाज करना 1867 में युद्ध  के पास जाता है, जिन्होंने रैखिक समीकरणों की प्रणाली को भी परिभाषित किया था।

1857 में, आर्थर केली  ने  मैट्रिक्स अंकन  पेश किया जो रैखिक मानचित्रों के सामंजस्य और सरलीकरण की अनुमति देता है। लगभग उसी समय,  ग्रासमैन  ने मोबियस द्वारा शुरू की गई बेरेंट्रिक कलन का अध्ययन किया। उन्होंने संचालन के साथ संपन्न अमूर्त वस्तुओं के सेट की परिकल्पना की। उनके काम में, रैखिक स्वतंत्रता और  आयाम, साथ ही साथ  अदिश उत्पाद ों की अवधारणाएं मौजूद हैं। वास्तव में ग्रासमैन का 1844 का काम वेक्टर रिक्त स्थान के ढांचे से अधिक है, क्योंकि उनके विचार गुणन ने भी उन्हें आज के  बीजगणित  कहा जाता है। इतालवी गणितज्ञ  जोसेफ पीनो  ने 1888 में वेक्टर रिक्त स्थान और रैखिक मानचित्रों की आधुनिक परिभाषा देने वाले पहले व्यक्ति थे। वेक्टर रिक्त स्थान का एक महत्वपूर्ण विकास हेनरी लेबेस्गुए  द्वारा फ़ंक्शन रिक्त स्थान के निर्माण के कारण है। इसे बाद में 1920 के आसपास  स्टीफन बानाच  और  डेविड हिल्बर्ट  द्वारा औपचारिक रूप दिया गया। उस समय, बीजगणित और  कार्यात्मक विश्लेषण  के नए क्षेत्र ने बातचीत करना शुरू कर दिया, विशेष रूप से एलपी स्पेस | पी-इंटीग्रेबल फ़ंक्शंस के रिक्त स्थान और हिल्बर्ट रिक्त स्थान जैसी प्रमुख अवधारणाओं के साथ। इसके अलावा, इस समय, अनंत-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान से संबंधित पहला अध्ययन किया गया था।

विमान में तीर
एक सदिश स्थान के पहले उदाहरण में एक निश्चित तल (ज्यामिति) में तीर (प्रतीक)  होते हैं, जो एक निश्चित बिंदु से शुरू होते हैं। इसका उपयोग भौतिकी में बल या वेग का वर्णन करने के लिए किया जाता है। ऐसे किन्हीं दो तीरों को देखते हुए, $u + v = v + u$ तथा $0 ∈ V$, इन दो तीरों द्वारा फैलाए गए समांतर चतुर्भुज में एक विकर्ण तीर होता है जो मूल बिंदु से भी शुरू होता है। इस नए तीर को दो तीरों का योग कहा जाता है और इसे निरूपित किया जाता है $v + 0 = v$. एक ही रेखा पर दो तीरों के विशेष मामले में, उनका योग इस रेखा पर तीर है जिसकी लंबाई योग या लंबाई का अंतर है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि तीरों की दिशा समान है या नहीं। एक और ऑपरेशन जो तीरों के साथ किया जा सकता है, वह है स्केलिंग: किसी भी सकारात्मक वास्तविक संख्या को देखते हुए $v ∈ V$, वह तीर जिसकी दिशा समान है $v ∈ V$, लेकिन इसकी लंबाई को से गुणा करके पतला या छोटा किया जाता है $−v ∈ V$, को का गुणन कहते हैं $v$ द्वारा $v + (−v) = 0$. यह दर्शाया गया है $a(bv) = (ab)v$. कब $1v = v$ नकारात्मक है, $1$ इसके बजाय विपरीत दिशा में इंगित करने वाले तीर के रूप में परिभाषित किया गया है।

निम्नलिखित कुछ उदाहरण दिखाता है: यदि $a(u + v) = au + av$, परिणामी वेक्टर $(a + b)v = av + bv$ के समान दिशा है $F$, लेकिन की दोगुनी लंबाई तक फैला हुआ है $v$ (नीचे सही छवि)। समान रूप से, $R^{2}$ योग है $R^{2}$. इसके अतिरिक्त, $v = xe_{1} + ye_{2}$ विपरीत दिशा और समान लंबाई है $v = f_{1} + f_{2}$ (दाईं छवि में नीचे की ओर इशारा करते हुए नीला वेक्टर)।

दूसरा उदाहरण: संख्याओं के क्रमित जोड़े
सदिश समष्टि का दूसरा प्रमुख उदाहरण वास्तविक संख्याओं के युग्मों द्वारा प्रदान किया जाता है $n$ तथा $x$. (घटकों का क्रम $y$ तथा $x$ महत्वपूर्ण है, इसलिए ऐसे युग्म को क्रमित युग्म  भी कहा जाता है।) ऐसे युग्म को इस प्रकार लिखा जाता है $v$. ऐसे दो युग्मों का योग और एक संख्या वाले युग्म का गुणन इस प्रकार परिभाषित किया गया है:


 * $$ (x_1, y_1) + (x_2 , y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$$

तथा


 * $$ a(x, y)=(ax, ay) .$$

ऊपर दिया गया पहला उदाहरण इस उदाहरण को कम करता है, यदि एक तीर को उसके समापन बिंदु के कार्टेशियन निर्देशांक की एक जोड़ी द्वारा दर्शाया गया है।

समन्वय स्थान
एक क्षेत्र पर सदिश स्थान का सबसे सरल उदाहरण $v$ मैदान है $v$ स्वयं (जैसा कि यह जोड़ के लिए एक एबेलियन समूह है, एक फ़ील्ड (गणित) होने की आवश्यकताओं का एक हिस्सा है), इसके अतिरिक्त (यह वेक्टर जोड़ बन जाता है।) और गुणा (यह अदिश गुणन बन जाता है।) से सुसज्जित है। अधिक आम तौर पर, सभी tuple|$v$-टुपल्स (लंबाई का क्रम $w$)

तत्वों का $v + w$ का $a$ एक सदिश स्थान बनाते हैं जिसे आमतौर पर निरूपित किया जाता है $v$ और एक समन्वय स्थान कहा जाता है। मुकदमा $a$ उपर्युक्त सबसे सरल उदाहरण है, जिसमें field $v$ इसे अपने ऊपर एक सदिश स्थान भी माना जाता है। मुकदमा $a$ तथा $av$ (इसलिए आर2) की चर्चा ऊपर के परिचय में की गई थी।

जटिल संख्याएं और अन्य फ़ील्ड एक्सटेंशन
जटिल संख्याओं का समूह $a$, यानी वे संख्याएँ जिन्हें फॉर्म में लिखा जा सकता है $av$ वास्तविक संख्या  के लिए $a = 2$ तथा $aw$ कहाँ पे $w$  काल्पनिक इकाई  है, सामान्य जोड़ और गुणा के साथ वास्तविक पर एक सदिश स्थान बनाते हैं: $w$ तथा $2w$ वास्तविक संख्याओं के लिए $w + w$, $(−1)v = −v$, $v$, $v + w$ तथा $v$. एक सदिश समष्टि के विभिन्न अभिगृहीत इस तथ्य का अनुसरण करते हैं कि सम्मिश्र संख्या अंकगणित के लिए समान नियम लागू होते हैं।

वास्तव में, सम्मिश्र संख्याओं का उदाहरण अनिवार्य रूप से ऊपर वर्णित वास्तविक संख्याओं के क्रमित युग्मों के सदिश समष्टि (अर्थात यह समरूपी है) के समान है: यदि हम सम्मिश्र संख्या के बारे में सोचते हैं $w$ आदेशित जोड़ी का प्रतिनिधित्व करने के रूप में $−v$ जटिल तल में हम देखते हैं कि जोड़ और अदिश गुणन के नियम पिछले उदाहरण के बिल्कुल अनुरूप हैं।

अधिक आम तौर पर, फ़ील्ड एक्सटेंशन वेक्टर रिक्त स्थान के उदाहरणों का एक और वर्ग प्रदान करते हैं, विशेष रूप से बीजगणित और बीजगणितीय संख्या सिद्धांत  में: एक फ़ील्ड $2w$ जिसमें फील्ड एक्सटेंशन है $(x, y)$ एक $F$-वेक्टर स्थान, दिए गए गुणन और योग संचालन द्वारा $F$. उदाहरण के लिए, सम्मिश्र संख्याएँ सदिश समष्टि हैं $n$, और फ़ील्ड एक्सटेंशन $$\mathbf{Q}(i\sqrt{5})$$ एक सदिश स्थान है $n$.

फंक्शन स्पेस
किसी निश्चित सेट से कार्य करता है $(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n})$ एक मैदान में $a_{i}$ योग और अदिश गुणन बिंदुवार प्रदर्शन करके वेक्टर रिक्त स्थान भी बनाते हैं। यानी दो कार्यों का योग $F$ तथा $F^{n}$ समारोह है $n = 1$ के द्वारा दिया गया

और इसी तरह गुणन के लिए। ऐसे कार्य स्थान कई ज्यामितीय स्थितियों में होते हैं, जब $F$ वास्तविक रेखा  या एक  अंतराल (गणित), या अन्य उपसमुच्चय है $F = R$. टोपोलॉजी और विश्लेषण में कई धारणाएँ, जैसे कि निरंतर कार्य,  अभिन्न  या विभेदीकरण, रैखिकता के संबंध में अच्छी तरह से व्यवहार किया जाता है: ऐसी संपत्ति रखने वाले कार्यों के योग और स्केलर गुणकों में अभी भी वह संपत्ति है। इसलिए, ऐसे कार्यों का सेट वेक्टर रिक्त स्थान है, जिसका अध्ययन कार्यात्मक विश्लेषण से संबंधित है।

रेखीय समीकरण
सजातीय रैखिक समीकरण ों की प्रणाली वेक्टर रिक्त स्थान से निकटता से जुड़ी हुई हैं। उदाहरण के लिए, के समाधान

मनमानी के साथ ट्रिपल द्वारा दिया जाता है $n = 2$, $C$, तथा $x + iy$. वे एक सदिश समष्टि बनाते हैं: ऐसे त्रिगुणों के योग और अदिश गुणज अभी भी तीन चरों के समान अनुपातों को संतुष्ट करते हैं; इस प्रकार वे समाधान भी हैं। मैट्रिक्स (गणित) का उपयोग कई रैखिक समीकरणों को एक सदिश समीकरण में संघनित करने के लिए किया जा सकता है, अर्थात्
 * style="text-align:right;"|$x$
 * style="text-align:right;"|$y$
 * }
 * style="text-align:right;"|$i$
 * }
 * style="text-align:right;"|$(x + iy) + (a + ib) = (x + a) + i(y + b)$
 * }
 * }
 * }
 * }
 * }
 * }
 * }
 * }
 * }
 * <स्पैन आईडी=समीकरण3>$c ⋅ (x + iy) = (c ⋅ x) + i(c ⋅ y)$ ,

कहाँ पे $$A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 4 & 2 & 2\end{bmatrix}$$ मैट्रिक्स है जिसमें दिए गए समीकरणों के गुणांक हैं, $x$ सदिश है $y$, $a$ मैट्रिक्स उत्पाद  को दर्शाता है, और $b$ शून्य वेक्टर है। इसी तरह, सजातीय रैखिक अंतर समीकरणों के समाधान वेक्टर रिक्त स्थान बनाते हैं। उदाहरण के लिए,
 * <स्पैन आईडी=समीकरण1>$c$

पैदावार $x + i y$, कहाँ पे $(x, y)$ तथा $F$ मनमाना स्थिरांक हैं, और $E$ प्राकृतिक घातीय कार्य  है।

रैखिक मानचित्र और मैट्रिक्स
दो सदिश समष्टियों के संबंध को रैखिक मानचित्र या रैखिक रूपांतरण द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। वे फ़ंक्शन (गणित) हैं जो वेक्टर अंतरिक्ष संरचना को दर्शाते हैं, अर्थात, वे रकम और स्केलर गुणन को संरक्षित करते हैं:
 * $$f(\mathbf v + \mathbf w) = f(\mathbf v) + f(\mathbf w)$$ तथा $E$ सभी के लिए $F$ तथा $R$ में $y$, सब $V$ में $a$.

एक समरूपता एक रैखिक नक्शा है $Q$ ऐसा है कि वहाँ एक उलटा नक्शा  मौजूद है $Q(α)$, जो एक नक्शा है जैसे कि दो संभावित कार्य संरचना $Q$ तथा $α$  पहचान समारोह  हैं। समान रूप से, $Q(α)$ एक-से-एक ( इंजेक्शन ) और ऑन ( विशेषण ) दोनों है। यदि बीच में एक समरूपता मौजूद है $Q$ तथा $α$, दो स्थानों को समरूपी कहा जाता है; वे तब अनिवार्य रूप से वेक्टर रिक्त स्थान के समान होते हैं, क्योंकि सभी पहचानें पकड़ में आती हैं $Ω$ हैं, के माध्यम से $F$, में समान लोगों के लिए ले जाया गया $f$, और इसके विपरीत के माध्यम से $g$.

उदाहरण के लिए, विमान में तीर और परिचय में सदिश स्थानों की संख्याओं के क्रमित जोड़े आइसोमोर्फिक हैं: एक समतलीय तीर $(f + g)$ कुछ (निश्चित) समन्वय प्रणाली के मूल (गणित)  पर प्रस्थान को विचार करके एक आदेशित जोड़ी के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $(f + g)(w) = f(w) + g(w)$- तथा $Ω$-तीर का घटक, जैसा कि दाईं ओर की छवि में दिखाया गया है। इसके विपरीत, एक जोड़ा दिया गया $R$, तीर चल रहा है $a$ दाईं ओर (या बाईं ओर, यदि $+$ नकारात्मक है), और $3b$ ऊपर (नीचे, अगर $+$ ऋणात्मक है) तीर को वापस करता है $c$.

रैखिक नक्शे $= 0$ दो सदिश समष्टियों के बीच एक सदिश समष्टि होती है $4a$, भी निरूपित $+$, या $2b$. से रैखिक मानचित्रों का स्थान $+$ प्रति $2c$ दोहरी वेक्टर अंतरिक्ष  कहा जाता है, निरूपित $= 0$. इंजेक्शन प्राकृतिक (श्रेणी सिद्धांत)  मानचित्र के माध्यम से $a$, किसी भी सदिश स्थान को उसके बिडुअल में एम्बेड किया जा सकता है; नक्शा एक समरूपता है यदि और केवल अगर अंतरिक्ष परिमित-आयामी है। एक बार का आधार $b = a/2$ चुना गया है, रैखिक मानचित्र $c = −5a/2$ आधार वैक्टर की छवियों को निर्दिष्ट करके पूरी तरह से निर्धारित किया जाता है, क्योंकि कोई भी तत्व $Ax = 0$ उनके रैखिक संयोजन के रूप में विशिष्ट रूप से व्यक्त किया जाता है। यदि $x$, एक आक्षेप | के निश्चित आधारों के बीच 1-से-1 पत्राचार $(a, b, c)$ तथा $Ax$ एक रैखिक मानचित्र को जन्म देता है जो किसी भी आधार तत्व को मानचित्रित करता है $0 = (0, 0)$ के संबंधित आधार तत्व के लिए $f′′(x) + 2f′(x) + f(x) = 0$. यह एक समरूपता है, इसकी परिभाषा के अनुसार। इसलिए, दो सदिश समष्टियाँ तुल्याकारी होती हैं यदि उनके आयाम सहमत हों और इसके विपरीत। इसे व्यक्त करने का एक अन्य तरीका यह है कि किसी भी सदिश स्थान को उसके आयाम, एक एकल संख्या द्वारा पूरी तरह से वर्गीकृत (समरूपता तक ) किया जाता है। विशेष रूप से, कोई एन-आयामी $f(x) = a&thinsp;e^{−x} + bx&thinsp;e^{−x}$-सदिश स्थल $a$ isomorphic to. है $b$. हालांकि, कोई विहित या पसंदीदा समरूपता नहीं है; वास्तव में एक समरूपता $e^{x}$ के आधार की पसंद के बराबर है $f(a · v) = a · f(v)$, के मानक आधार का मानचित्रण करके $v$ प्रति $w$, के जरिए $f : V → W$. सुविधाजनक आधार चुनने की स्वतंत्रता अनंत-आयामी संदर्भ में विशेष रूप से उपयोगी है; inf मंद संदर्भ में # आधार देखें।

मैट्रिक्स
रैखिक मानचित्रों को एन्कोड करने के लिए मैट्रिसेस एक उपयोगी धारणा है। वे अदिश के आयताकार सरणी के रूप में लिखे गए हैं जैसा कि दाईं ओर की छवि में है। कोई $g : W → V$-द्वारा-$f ∘ g : W → W$ आव्यूह $g ∘ f : V → V$ से एक रेखीय मानचित्र को जन्म देता है $f$ प्रति $V$, निम्नलिखित द्वारा
 * $$\mathbf x = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \mapsto \left(\sum_{j=1}^n a_{1j}x_j, \sum_{j=1}^n a_{2j}x_j, \ldots, \sum_{j=1}^n a_{mj}x_j \right)$$, कहाँ पे $$\sum$$ योग  दर्शाता है,

या, मैट्रिक्स के मैट्रिक्स गुणा का उपयोग करना $W$ निर्देशांक वेक्टर के साथ $V$:
 * $f$।

इसके अलावा, के आधार चुनने के बाद $W$ तथा $g$, कोई रैखिक नक्शा $v$ इस असाइनमेंट के माध्यम से एक मैट्रिक्स द्वारा विशिष्ट रूप से दर्शाया गया है।

निर्धारक $x$ एक वर्ग मैट्रिक्स  का $y$ एक अदिश राशि है जो बताती है कि संबंधित नक्शा एक समरूपता है या नहीं: ऐसा होने के लिए यह पर्याप्त और आवश्यक है कि निर्धारक अशून्य है। का रैखिक परिवर्तन $v$ एक वास्तविक एन-बाय-एन मैट्रिक्स के अनुरूप  अभिविन्यास (वेक्टर स्थान)  है यदि और केवल अगर इसका निर्धारक सकारात्मक है।

ईजेनवैल्यू और ईजेनवेक्टर
एंडोमोर्फिज्म, रैखिक मानचित्र $x$, विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं क्योंकि इस मामले में वैक्टर $y$ उनकी छवि के साथ तुलना की जा सकती है $(x, y)$, $x$. कोई भी अशून्य वेक्टर $x$ संतुष्टि देने वाला $y$, कहाँ पे $y$ एक अदिश राशि है, का आइजनवेक्टर कहा जाता है $v$ आइगेनवैल्यू के साथ $V → W$. समान रूप से, $Hom_{F}(V, W)$ अंतर के कर्नेल (रैखिक बीजगणित)  का एक तत्व है $L(V, W)$ (जहां आईडी पहचान कार्य है $𝓛(V, W)$. यदि $V$ परिमित-आयामी है, इसे निर्धारकों का उपयोग करके दोहराया जा सकता है: $F$ eigenvalue होना $V^{∗}$ के बराबर है

सारणिक की परिभाषा को स्पष्ट करके, बाईं ओर के व्यंजक को एक बहुपद फलन के रूप में देखा जा सकता है $V → V^{∗∗}$, का अभिलाक्षणिक बहुपद कहलाता है $V$. यदि क्षेत्र $f : V → W$ इस बहुपद का शून्य समाहित करने के लिए काफी बड़ा है (जो स्वचालित रूप से के लिए होता है) $V$ बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र, जैसे $dim V = dim W$) किसी भी रेखीय मानचित्र में कम से कम एक ईजेनवेक्टर होता है। वेक्टर स्थान $V$ एक eigenbasis  हो सकता है या नहीं हो सकता है, एक आधार जिसमें eigenvectors शामिल हैं। यह घटना मानचित्र के  जॉर्डन विहित रूप  द्वारा नियंत्रित होती है। के एक विशेष eigenvalue के अनुरूप सभी eigenvectors का सेट $W$ एक सदिश स्थान बनाता है जिसे आइगेनस्पेस के रूप में जाना जाता है जो आइगेनवैल्यू (और $V$) प्रश्न में।  वर्णक्रमीय प्रमेय  को प्राप्त करने के लिए, अनंत-आयामी मामले में संबंधित कथन, कार्यात्मक विश्लेषण की मशीनरी की आवश्यकता है, #लेबलस्पेक्ट्रल प्रमेय देखें।

बुनियादी निर्माण
उपरोक्त ठोस उदाहरणों के अलावा, कई मानक रैखिक बीजगणितीय निर्माण हैं जो दिए गए सदिश स्थानों से संबंधित हैं। नीचे दी गई परिभाषाओं के अतिरिक्त, उन्हें सार्वभौमिक संपत्ति  द्वारा भी वर्णित किया जाता है, जो किसी वस्तु को निर्धारित करता है $W$ से रैखिक नक्शे निर्दिष्ट करके $F$ किसी अन्य सदिश स्थान के लिए।

उप-स्थान और भागफल रिक्त स्थान
एक सदिश समष्टि V का एक अरिक्त उपसमुच्चय W जो योग और अदिश गुणन के तहत बंद है (और इसलिए V का '0'-वेक्टर शामिल है) को V का एक रैखिक उप-समूह कहा जाता है, या केवल V का एक उप-स्थान कहा जाता है, जब परिवेश स्थान होता है स्पष्ट रूप से एक वेक्टर स्थान। V की उपसमष्टियाँ अपने आप में सदिश समष्टियाँ (उसी क्षेत्र में) हैं। सदिशों के दिए गए समुच्चय S वाले सभी उपस्थानों के प्रतिच्छेदन को इसका रेखीय विस्तार कहा जाता है, और यह समुच्चय S वाले V का सबसे छोटा उपस्थान है। एस. का

आयाम 1 की एक रेखीय उपसमष्टि एक सदिश रेखा है। आयाम 2 का एक रैखिक उपसमष्टि एक सदिश तल है। एक रेखीय उप-स्थान जिसमें सभी तत्व होते हैं लेकिन परिवेश स्थान का एक आधार एक सदिश हाइपरप्लेन है। परिमित आयाम के सदिश स्थान में $F$, एक वेक्टर हाइपरप्लेन इस प्रकार आयाम का एक उप-स्थान है $V$.

उप-स्थानों के समकक्ष भागफल वेक्टर रिक्त स्थान हैं। कोई उप-स्थान दिया गया है $F^{n}$भागफल स्थान V/W (V मॉड्यूलर अंकगणित ीय W) को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: एक सेट के रूप में, इसमें शामिल हैं $φ : F^{n} → V$ जहाँ v V में एक स्वेच्छ सदिश है। ऐसे दो तत्वों का योग $V$ तथा $F^{n}$ है $V$ और अदिश गुणन द्वारा दिया जाता है $φ$. इस परिभाषा का मुख्य बिंदु यह है कि $m$ अगर और केवल अगर  v का अंतर1 और वी2 डब्ल्यू में स्थित है। इस तरह, भागफल स्थान W सबस्पेस में निहित जानकारी को भूल जाता है।

एक रैखिक मानचित्र का कर्नेल (बीजगणित) ker(f) $n$ वेक्टर वी के होते हैं जिन्हें 'डब्ल्यू' में 0 पर मैप किया जाता है। कर्नेल और छवि (गणित)  $A$ क्रमशः V और W की उपसमष्टियाँ हैं। गुठली और छवियों का अस्तित्व इस कथन का हिस्सा है कि  वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी  (एक निश्चित क्षेत्र एफ पर) एक एबेलियन श्रेणी है, जो कि गणितीय वस्तुओं का एक संग्रह है और उनके बीच संरचना-संरक्षण मानचित्र (एक  श्रेणी (गणित) ) ) जो अबेलियन समूहों की श्रेणी की तरह व्यवहार करता है। इस वजह से, कई कथन जैसे कि  पहला समरूपता प्रमेय  (जिसे मैट्रिक्स-संबंधित शर्तों में रैंक-शून्यता प्रमेय भी कहा जाता है)
 * वी / केर (एफ) ≡ आईएम (एफ)।

और दूसरे और तीसरे समरूपता प्रमेय को समूह (गणित)  के संबंधित बयानों के समान तरीके से तैयार और सिद्ध किया जा सकता है।

एक महत्वपूर्ण उदाहरण एक रेखीय मानचित्र का कर्नेल है $F^{n}$ कुछ निश्चित मैट्रिक्स ए के लिए, # समीकरण 2 के रूप में। इस मानचित्र का कर्नेल सदिश x का उप-स्थान है जैसे कि $F^{m}$, जो ए से संबंधित सजातीय रैखिक समीकरणों की प्रणाली के समाधान का सटीक सेट है। यह अवधारणा रैखिक अंतर समीकरणों तक भी फैली हुई है
 * $$a_0 f + a_1 \frac{d f}{d x} + a_2 \frac{d^2 f}{d x^2} + \cdots + a_n \frac{d^n f}{d x^n} = 0$$, जहां गुणांक एi x में भी फंक्शन हैं।

संबंधित मानचित्र में
 * $$f \mapsto D(f) = \sum_{i=0}^n a_i \frac{d^i f}{d x^i}$$,

फ़ंक्शन f के यौगिक  रैखिक रूप से दिखाई देते हैं (f′′(x) के विपरीत2, उदाहरण के लिए)। चूँकि विभेदीकरण एक रेखीय प्रक्रिया है (अर्थात, $A$ तथा $x$ स्थिरांक के लिए $n$) यह नियतन रेखीय है, जिसे रेखीय अवकल संकारक कहा जाता है। विशेष रूप से, अंतर समीकरण के समाधान $x ↦ Ax$ एक वेक्टर स्पेस बनाएं (ओवर $V$ या $W$).

प्रत्यक्ष उत्पाद और प्रत्यक्ष योग
वेक्टर रिक्त स्थान का प्रत्यक्ष उत्पाद और वेक्टर रिक्त स्थान का प्रत्यक्ष योग वेक्टर रिक्त स्थान के अनुक्रमित परिवार को एक नए वेक्टर स्थान में संयोजित करने के दो तरीके हैं।

प्रत्यक्ष उत्पाद $$\textstyle{\prod_{i \in I} V_i}$$ वेक्टर रिक्त स्थान V. के एक परिवार केi सभी टुपल्स के सेट से मिलकर बनता है ($f : V → W$, जो प्रत्येक इंडेक्स i के लिए कुछ सूचकांक सेट  I में एक तत्व 'v' निर्दिष्ट करता हैi वी काi. जोड़ और अदिश गुणन घटक के अनुसार किया जाता है। इस निर्माण का एक प्रकार प्रत्यक्ष योग है $\bigoplus_{i \in I} V_i$  (जिसे सह उत्पाद  भी कहा जाता है और निरूपित किया जाता है $\coprod_{i \in I}V_i$ ), जहां केवल बहुत से गैर-शून्य वैक्टर वाले टुपल्स की अनुमति है। यदि सूचकांक सेट I परिमित है, तो दो निर्माण सहमत हैं, लेकिन सामान्य तौर पर वे अलग हैं।

टेंसर उत्पाद
टेंसर उत्पाद $r_{1}$, या केवल $r_{2}$, दो सदिश समष्टियों में से V और W बहुरेखीय बीजगणित  की केंद्रीय धारणाओं में से एक है जो कई चरों के रैखिक मानचित्रों जैसे विस्तारित विचारों से संबंधित है। नक्षा $r_{3}$ यदि g दोनों चरों 'v' और 'w' में रैखिक हो तो  द्विरेखीय नक्शा  कहा जाता है। यानी तय 'w' मैप के लिए $det (A)$ ऊपर के अर्थ में रैखिक है और इसी तरह निश्चित वी के लिए।

टेन्सर उत्पाद एक विशेष सदिश स्थान है जो बिलिनियर मैप्स g का सार्वभौमिक प्राप्तकर्ता है, जो निम्नानुसार है। इसे सदिश स्थान के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें टेंसर नामक प्रतीकों के परिमित (औपचारिक) योग शामिल हैं
 * वि1 मैं1 + वि2 मैं2 + + वीn मैंn,

नियमों के अधीन
 * a · ('v' 'w') = (a · 'v') ⊗ 'w' = 'v' (a · 'w'), जहां a एक अदिश राशि है,
 * ('वी'1 + वि2) ⊗ डब्ल्यू = वी1 ⊗ डब्ल्यू + वी2 डब्ल्यू, और
 * वी ⊗ (डब्ल्यू1 + में2) = वी ⊗ डब्ल्यू1 + वी ⊗ डब्ल्यू2.

ये नियम सुनिश्चित करते हैं कि नक्शा f. से $A$ प्रति $R^{n}$ जो एक टपल को मैप करता है $f : V → V$ प्रति $v$ द्विरेखीय है। सार्वभौमिकता बताती है कि किसी भी सदिश स्थान X और किसी भी बिलिनियर मानचित्र को दिया गया है $f$, एक अद्वितीय नक्शा यू मौजूद है, आरेख में एक बिंदीदार तीर के साथ दिखाया गया है, जिसका कार्य संयोजन एफ के बराबर है: $f(v)$. इसे टेंसर उत्पाद की सार्वभौमिक संपत्ति कहा जाता है, विधि का एक उदाहरण - उन्नत अमूर्त बीजगणित में बहुत अधिक उपयोग किया जाता है - अप्रत्यक्ष रूप से इस वस्तु से या इस वस्तु को मानचित्र निर्दिष्ट करके वस्तुओं को परिभाषित करता है।

अतिरिक्त संरचना के साथ वेक्टर रिक्त स्थान
रेखीय बीजगणित के दृष्टिकोण से, वेक्टर रिक्त स्थान पूरी तरह से समझा जाता है क्योंकि किसी भी सदिश स्थान की विशेषता, समरूपता तक, इसके आयाम से होती है। हालांकि, सदिश स्थान अपने आप में प्रश्न से निपटने के लिए एक रूपरेखा प्रदान नहीं करते हैं - विश्लेषण के लिए महत्वपूर्ण - क्या कार्यों का एक क्रम किसी अन्य कार्य के अनुक्रम की सीमा  है। इसी तरह, रेखीय बीजगणित को  अनंत श्रृंखला  से निपटने के लिए अनुकूलित नहीं किया गया है, क्योंकि अतिरिक्त ऑपरेशन केवल बहुत से शब्दों को जोड़ने की अनुमति देता है। इसलिए, कार्यात्मक विश्लेषण की आवश्यकताओं के लिए अतिरिक्त संरचनाओं पर विचार करने की आवश्यकता है।

एक सदिश समष्टि को एक आंशिक क्रम ≤ दिया जा सकता है, जिसके अंतर्गत कुछ सदिशों की तुलना की जा सकती है। उदाहरण के लिए, एन-डायमेंशनल रियल स्पेस 'आर'n को इसके सदिशों की घटकवार तुलना करके आदेश दिया जा सकता है। आदेशित वेक्टर रिक्त स्थान, उदाहरण के लिए रिज़ रिक्त स्थान, लेब्सग एकीकरण के लिए मौलिक हैं, जो दो सकारात्मक कार्यों के अंतर के रूप में एक फ़ंक्शन को व्यक्त करने की क्षमता पर निर्भर करता है
 * $$f = f^{+} - f^{-}$$,

कहाँ पे $$f^{+}$$ के सकारात्मक भाग को दर्शाता है $$f$$ तथा $$f^{-}$$ नकारात्मक हिस्सा।

सामान्य वेक्टर रिक्त स्थान और आंतरिक उत्पाद रिक्त स्थान
सदिशों का मापन मानदंड (गणित)  निर्दिष्ट करके किया जाता है, एक ऐसा डेटा जो सदिशों की लंबाई को मापता है, या एक आंतरिक उत्पाद द्वारा, जो सदिशों के बीच कोणों को मापता है। मानदंड और आंतरिक उत्पादों को निरूपित किया जाता है $$| \mathbf v|$$ तथा $\lang \mathbf v, \mathbf w \rang$, क्रमश। एक आंतरिक उत्पाद के डेटा में यह शामिल होता है कि संबंधित मानदंड को परिभाषित करके वैक्टर की लंबाई को भी परिभाषित किया जा सकता है $ इस तरह के डेटा से संपन्न वेक्टर स्पेस को क्रमशः नॉर्म्ड वेक्टर स्पेस और इनर प्रोडक्ट स्पेस के रूप में जाना जाता है। समन्वय स्थान एफn को मानक डॉट उत्पाद  से लैस किया जा सकता है:
 * $$\lang \mathbf x, \mathbf y \rang = \mathbf x \cdot \mathbf y = x_1 y_1 + \cdots + x_n y_n.$$

आर में2, यह कोज्या के नियम के अनुसार दो सदिशों x और y के बीच के कोण की सामान्य धारणा को दर्शाता है:
 * $$\mathbf x \cdot \mathbf y = \cos\left(\angle (\mathbf x, \mathbf y)\right) \cdot |\mathbf x| \cdot |\mathbf y|.$$

इस वजह से, दो वैक्टर संतोषजनक $$\lang \mathbf x, \mathbf y \rang = 0$$ ओर्थोगोनल  कहलाते हैं। मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष में मानक डॉट उत्पाद का एक महत्वपूर्ण संस्करण उपयोग किया जाता है: आर4 लोरेंत्ज़ उत्पाद के साथ संपन्न
 * $$\lang \mathbf x | \mathbf y \rang = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3 - x_4 y_4.$$

मानक डॉट उत्पाद के विपरीत, यह सकारात्मक निश्चित द्विरेखीय रूप  नहीं है: $$\lang \mathbf x | \mathbf x \rang$$ उदाहरण के लिए, नकारात्मक मान भी लेता है $$\mathbf x = (0, 0, 0, 1)$$. चौथे निर्देशांक को अलग करना - तीन अंतरिक्ष-आयामों के विपरीत, timelike  - इसे  विशेष सापेक्षता  के गणितीय उपचार के लिए उपयोगी बनाता है।

टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस
अभिसरण प्रश्नों का इलाज वेक्टर स्पेस वी पर एक संगत टोपोलॉजिकल स्पेस  ले जाने पर विचार करके किया जाता है, एक संरचना जो किसी को  पड़ोस (टोपोलॉजी)  के तत्वों के बारे में बात करने की अनुमति देती है।  यहाँ संगत का अर्थ है कि जोड़ और अदिश गुणन निरंतर मानचित्र होना चाहिए। मोटे तौर पर, यदि V में x और y, और F में a एक परिबद्ध राशि से भिन्न होते हैं, तो ऐसा करें $v$ तथा $λv = f(v)$. एक अदिश परिवर्तन की राशि को निर्दिष्ट करने की समझ बनाने के लिए, फ़ील्ड F को भी इस संदर्भ में एक टोपोलॉजी रखना पड़ता है; एक सामान्य विकल्प वास्तविक या सम्मिश्र संख्याएँ हैं।

ऐसे सांस्थितिक सदिश समष्टियों में सदिशों की श्रृंखला (गणित)  पर विचार किया जा सकता है। अनंत योग
 * $$\sum_{i=0}^{\infty} f_i$$

अनुक्रम के संबंधित परिमित आंशिक योगों के अनुक्रम की सीमा को दर्शाता है (एफi)i∈N वी के तत्वों की। उदाहरण के लिए, fi कुछ फ़ंक्शन स्पेस वी से संबंधित (वास्तविक या जटिल) फ़ंक्शन हो सकते हैं, इस मामले में श्रृंखला एक फ़ंक्शन श्रृंखला है। श्रृंखला के अभिसरण के तरीके  कार्य स्थान पर लगाए गए टोपोलॉजी पर निर्भर करते हैं। ऐसे मामलों में  बिंदुवार अभिसरण  और समान अभिसरण इसके दो प्रमुख उदाहरण हैं।

कुछ अनंत श्रृंखलाओं की सीमाओं के अस्तित्व को सुनिश्चित करने का एक तरीका उन स्थानों पर ध्यान केंद्रित करना है जहां किसी भी कॉची अनुक्रम  की सीमा होती है; इस तरह के सदिश स्थान को  पूर्णता (टोपोलॉजी)  कहा जाता है। मोटे तौर पर, एक सदिश समष्टि पूर्ण होती है, बशर्ते उसमें सभी आवश्यक सीमाएँ हों। उदाहरण के लिए, यूनिट अंतराल [0,1] पर बहुपदों का सदिश स्थान,  समान अभिसरण की टोपोलॉजी  से सुसज्जित नहीं है, क्योंकि [0,1] पर किसी भी निरंतर कार्य को बहुपदों के अनुक्रम द्वारा समान रूप से अनुमानित किया जा सकता है। वीयरस्ट्रास सन्निकटन प्रमेय। इसके विपरीत, एक ही टोपोलॉजी के साथ [0,1] पर सभी निरंतर कार्यों का स्थान पूर्ण है। एक मानदंड परिभाषित करके एक टोपोलॉजी को जन्म देता है कि वैक्टर v का एक क्रमn v में अभिसरित होता है यदि और केवल यदि
 * $$\lim_{n \to \infty} |\mathbf v_n - \mathbf v| = 0.$$

बनच और हिल्बर्ट रिक्त स्थान पूर्ण टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान हैं जिनके टोपोलॉजी क्रमशः एक मानक और एक आंतरिक उत्पाद द्वारा दिए गए हैं। उनका अध्ययन - कार्यात्मक विश्लेषण का एक महत्वपूर्ण हिस्सा - अनंत-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान पर केंद्रित है, क्योंकि परिमित-आयामी टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान पर सभी मानदंड अभिसरण की समान धारणा को जन्म देते हैं। दाईं ओर की छवि आर पर 1-मानक और ∞-मानक की समानता दिखाती है2: जैसे ही यूनिट बॉल्स एक-दूसरे को घेरती हैं, एक सीक्वेंस एक मानदंड में शून्य में परिवर्तित हो जाता है यदि और केवल तभी जब दूसरे मानदंड में ऐसा होता है। अनंत-आयामी मामले में, हालांकि, आम तौर पर असमान टोपोलॉजी होंगे, जो अतिरिक्त डेटा के बिना वेक्टर रिक्त स्थान की तुलना में टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान के अध्ययन को समृद्ध बनाता है।

एक वैचारिक दृष्टिकोण से, टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस से संबंधित सभी धारणाओं को टोपोलॉजी से मेल खाना चाहिए। उदाहरण के लिए, सभी रैखिक मानचित्रों पर विचार करने के बजाय (जिन्हें कार्यात्मक (गणित)  भी कहा जाता है) $λ$, टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान के बीच मानचित्र निरंतर होना आवश्यक है। विशेष रूप से, (topological) दोहरी जगह $f$ में निरंतर कार्यात्मक होते हैं $λ$ (या करने के लिए $v$) मौलिक हैन-बनाक प्रमेय का संबंध निरंतर कार्यात्मकताओं द्वारा उपयुक्त टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान के उप-स्थानों को अलग करने से है।

बनच स्पेस
स्टीफन बनच द्वारा पेश किए गए बानाच रिक्त स्थान, पूर्ण आदर्श वेक्टर रिक्त स्थान हैं। पहला उदाहरण है एलपी स्पेस|वेक्टर स्पेस $$\ell^p$$वास्तविक प्रविष्टियों के साथ अनंत वैक्टर से मिलकर $$\mathbf{x} = \left(x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots\right)$$ जिसका पी-नॉर्म|$$p$$-आदर्श $$(1\leq{p}\leq\infty)$$ के द्वारा दिया गया
 * $$\left\|\mathbf{x}\right\|_p := \left(\sum_i \left\vert x_i\right\vert^p\right)^\frac{1}{p}$$ के लिये $$p < \infty$$तथा $$\left\|\mathbf x\right\|_{\infty} := \sup_i \left| x_i \right|$$.

अनंत-आयामी अंतरिक्ष पर टोपोलॉजी $$\ell^p$$ भिन्न के लिए असमान हैं $$p$$. उदाहरण के लिए, वैक्टर का क्रम $$\mathbf{x}_n = \left(2^{-n}, 2^{-n}, \ldots, 2^{-n}, 0, 0, \ldots\right)$$, जिसमें सबसे पहले $$2^n$$ घटक हैं $$2^{-n}$$ और निम्नलिखित हैं: $$0$$, शून्य वेक्टर  के लिए अभिसरण करता है $$p = \infty$$, लेकिन के लिए नहीं $$p = 1$$:

\left\Vert\mathbf{x}_{n}\right\Vert_{_\infty} = \sup (2^{-n}, 0) = 2^{-n} \rightarrow 0 $$, लेकिन $$ \left\Vert\mathbf{x}_{n}\right\Vert_{1} = \sum_{i=1}^{2^n} 2^{-n} = 2^n \cdot 2^{-n} = 1. $$ वास्तविक संख्याओं के अनुक्रमों से अधिक सामान्य रूप से, कार्य $$f\colon \Omega \to \mathbb{R}$$ एक मानदंड के साथ संपन्न हैं जो उपरोक्त योग को लेबेस्ग इंटीग्रल  द्वारा प्रतिस्थापित करता है

\left\Vert{f}\right\Vert_{p} := \left(   \int_{\Omega} \left\vert{f}\left(x\right)\right\vert^{p} \, {d\mu\left(x\right)}   \right)^\frac{1}{p}. $$ किसी फ़ंक्शन के दिए गए डोमेन पर पूर्णांकीय फ़ंक्शन का स्थान $$\Omega$$ (उदाहरण के लिए एक अंतराल) संतोषजनक $$\left\Vert{f}\right\Vert_{p} < \infty$$, और इस मानदंड से लैस एलपी स्पेस  कहा जाता है, जिसे निरूपित किया जाता है $$L^{\;\!p}\left(\Omega\right)$$. ये रिक्त स्थान पूर्ण हैं। (यदि कोई इसके बजाय रीमैन इंटीग्रल  का उपयोग करता है, तो स्थान पूर्ण नहीं है, जिसे लेब्सग के एकीकरण सिद्धांत के औचित्य के रूप में देखा जा सकता है। ) ठोस रूप से इसका मतलब यह है कि Lebesgue-integrable कार्यों के किसी भी अनुक्रम के लिए $$f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n}, \ldots$$ साथ $$\left\Vert{f}_{n}\right\Vert_{p}<\infty$$, स्थिति को संतुष्ट करना
 * $$\lim_{k,\ n \to \infty}\int_{\Omega}

\left\vert{f}_{k}(x) - {f}_{n}(x)\right\vert^{p} \, {d\mu\left(x\right)} = 0 $$ एक समारोह मौजूद है $${f}\left(x\right)$$ वेक्टर अंतरिक्ष से संबंधित $$L^{\;\!p}\left(\Omega\right)$$ ऐसा है कि
 * $$\lim_{k \to \infty}\int_{\Omega}

\left\vert{f}\left(x\right) - {f}_{k}\left(x\right)\right\vert^{p} \, {d\mu\left(x\right)} = 0. $$ न केवल फ़ंक्शन पर, बल्कि इसके डेरिवेटिव पर भी बाध्यता की स्थिति को लागू करने से सोबोलेव रिक्त स्थान होता है।

हिल्बर्ट रिक्त स्थान
डेविड हिल्बर्ट के सम्मान में पूर्ण आंतरिक उत्पाद रिक्त स्थान को हिल्बर्ट रिक्त स्थान के रूप में जाना जाता है। हिल्बर्ट अंतरिक्ष L2(Ω), जिसका आंतरिक गुणनफल इसके द्वारा दिया गया है
 * $$ \langle f\, \ g \rangle = \int_\Omega f(x) \overline{g(x)} \, dx,$$

कहाँ पे $$\overline{g(x)}$$ जी (एक्स) के जटिल संयुग्म को दर्शाता है, प्रमुख मामला है।

परिभाषा के अनुसार, हिल्बर्ट स्पेस में कोई भी कॉची अनुक्रम एक सीमा तक परिवर्तित हो जाता है। इसके विपरीत, कार्यों का अनुक्रम खोजना fn वांछित गुणों के साथ जो किसी दिए गए सीमा समारोह का अनुमान लगाता है, उतना ही महत्वपूर्ण है। प्रारंभिक विश्लेषण, टेलर सन्निकटन  की आड़ में, बहुपदों द्वारा भिन्न-भिन्न कार्यों का एक सन्निकटन स्थापित किया। स्टोन-वीयरस्ट्रास प्रमेय द्वारा, प्रत्येक निरंतर कार्य $f − λ · Id$ बहुपद द्वारा वांछित के रूप में बारीकी से अनुमानित किया जा सकता है। त्रिकोणमितीय कार्यों द्वारा एक समान सन्निकटन तकनीक को आमतौर पर  फूरियर विस्तार  कहा जाता है, और इसे इंजीनियरिंग में बहुत अधिक लागू किया जाता है, #labelFourier देखें। अधिक आम तौर पर, और अधिक अवधारणात्मक रूप से, प्रमेय मूल कार्यों का एक सरल विवरण उत्पन्न करता है, या अमूर्त हिल्बर्ट रिक्त स्थान में, हिल्बर्ट स्पेस एच उत्पन्न करने के लिए कौन से बुनियादी वैक्टर पर्याप्त हैं, इस अर्थ में कि उनकी अवधि के बंद (टोपोलॉजी) है, परिमित रैखिक संयोजन और उनकी सीमाएँ) संपूर्ण स्थान है। इस तरह के कार्यों के एक सेट को एच का आधार कहा जाता है, इसकी प्रमुखता को  हिल्बर्ट अंतरिक्ष आयाम  के रूप में जाना जाता है। प्रमेय न केवल सन्निकटन उद्देश्यों के लिए उपयुक्त आधार कार्यों को प्रदर्शित करता है, बल्कि ग्राम-श्मिट प्रक्रिया के साथ मिलकर, यह एक ओर्थोगोनल आधार बनाने में सक्षम बनाता है। इस तरह के ऑर्थोगोनल बेस परिमित-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में समन्वय अक्षों के हिल्बर्ट अंतरिक्ष सामान्यीकरण हैं।

विभिन्न विभेदक समीकरणों के समाधानों की व्याख्या हिल्बर्ट रिक्त स्थान के संदर्भ में की जा सकती है। उदाहरण के लिए, भौतिकी और इंजीनियरिंग में बहुत सारे क्षेत्र ऐसे समीकरणों की ओर ले जाते हैं और विशेष भौतिक गुणों के साथ अक्सर समाधान आधार कार्यों के रूप में उपयोग किए जाते हैं, अक्सर ऑर्थोगोनल। भौतिकी से एक उदाहरण के रूप में, क्वांटम यांत्रिकी  में समय-निर्भर श्रोडिंगर समीकरण आंशिक अंतर समीकरण के माध्यम से समय में भौतिक गुणों के परिवर्तन का वर्णन करता है, जिनके समाधान को  तरंग क्रिया  कहा जाता है। भौतिक गुणों जैसे कि ऊर्जा, या संवेग के लिए निश्चित मान, एक निश्चित (रैखिक) विभेदक संकारक के  eigenvalue s ​​​​के अनुरूप होते हैं और संबद्ध तरंगों को  eigenstate s कहा जाता है। स्पेक्ट्रल प्रमेय इन eigenफ़ंक्शंस और उनके eigenvalues ​​​​के संदर्भ में फ़ंक्शंस पर कार्य करने वाले एक रैखिक  कॉम्पैक्ट ऑपरेटर  को विघटित करता है।

क्षेत्रों पर बीजगणित
सामान्य वेक्टर रिक्त स्थान में वैक्टर के बीच गुणन नहीं होता है। दो वैक्टर के गुणन को परिभाषित करने वाले एक अतिरिक्त बिलिनियर ऑपरेटर  से लैस एक वेक्टर स्पेस एक क्षेत्र पर एक बीजगणित है। कई बीजगणित कुछ ज्यामितीय वस्तु पर कार्यों से उत्पन्न होते हैं: चूंकि किसी दिए गए क्षेत्र में मूल्यों के साथ कार्यों को बिंदुवार गुणा किया जा सकता है, ये संस्थाएं बीजगणित बनाती हैं। स्टोन-वीयरस्ट्रैस प्रमेय, उदाहरण के लिए,  बनच बीजगणित  पर निर्भर करता है जो कि बनच रिक्त स्थान और बीजगणित दोनों हैं।

कम्यूटेटिव बीजगणित एक या कई चरों में बहुपद वलय का बहुत अच्छा उपयोग करता है, पेश किया #labelPolynomialRing। उनका गुणन क्रम विनिमेय और साहचर्य दोनों है। ये वलय और उनके भागफल वलय  बीजगणितीय ज्यामिति  का आधार बनते हैं, क्योंकि ये निर्देशांक वलय हैं। एक अन्य महत्वपूर्ण उदाहरण ले बीजगणित हैं, जो न तो क्रमविनिमेय हैं और न ही साहचर्य हैं, लेकिन ऐसा होने में विफलता बाधाओं द्वारा सीमित है ($V → V)$ के उत्पाद को दर्शाता है $V$ तथा $f$): उदाहरणों में n-by-n मेट्रिसेस की वेक्टर स्पेस शामिल है, साथ में $λ$, दो आव्यूहों का कम्यूटेटर, और $det(f − λ · Id) = 0$, क्रॉस उत्पाद के साथ संपन्न।
 * $λ$ ( anticommutativity ), और
 * $f$ ( जैकोबी पहचान )।

टेंसर बीजगणित टी (वी) बीजगणित प्राप्त करने के लिए किसी भी वेक्टर स्पेस वी में उत्पादों को जोड़ने का एक औपचारिक तरीका है। एक सदिश स्थान के रूप में, इसे प्रतीकों द्वारा फैलाया जाता है, जिसे सरल टेंसर कहा जाता है
 * $F$, जहां एक टेंसर की रैंक  $F$ भिन्न होता है।

गुणन ऐसे प्रतीकों को जोड़कर दिया जाता है, इसके अलावा वितरण कानून  लागू किया जाता है, और उस स्केलर गुणन को टेंसर उत्पाद के साथ कम्यूट करने की आवश्यकता होती है, ठीक उसी तरह जैसे दो वेक्टर स्पेस के टेंसर उत्पाद के साथ #Tensor उत्पाद पेश किया जाता है। सामान्य तौर पर, के बीच कोई संबंध नहीं हैं $F = C$ तथा $V$. दो ऐसे तत्वों को समान होने के लिए मजबूर करना सममित बीजगणित  की ओर ले जाता है, जबकि मजबूर करना $f$ बाह्य बीजगणित उत्पन्न करता है। जब एक मैदान, $f$ स्पष्ट रूप से कहा गया है, एक सामान्य शब्द है $X$-बीजगणित।

वेक्टर बंडल
एक वेक्टर बंडल सदिश रिक्त स्थान का एक परिवार है जो एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स द्वारा लगातार पैरामीट्रिज्ड होता है। अधिक सटीक रूप से, एक्स पर एक वेक्टर बंडल एक सतत मानचित्र से लैस एक स्थलीय स्थान ई है
 * π : ई → एक्स

जैसे कि X में प्रत्येक x के लिए, फाइबर (गणित)  π−1(x) एक सदिश समष्टि है। मामला मंद $X$  लाइन बंडल  कहा जाता है। किसी भी सदिश समष्टि V के लिए, प्रक्षेपण $R^{3}$ उत्पाद बनाती है $n – 1$ एक तुच्छ बंडल में | तुच्छ वेक्टर बंडल। X पर वेक्टर बंडलों को स्थानीय रूप से X और कुछ (निश्चित) वेक्टर स्पेस V का उत्पाद होना आवश्यक है: X में प्रत्येक x के लिए, x का एक पड़ोस (टोपोलॉजी) U है जैसे कि π से π का ​​प्रतिबंध−1(U) समरूपी है तुच्छ बंडल के लिए $W ⊂ V$. उनके स्थानीय रूप से तुच्छ चरित्र के बावजूद, वेक्टर बंडलों (अंतर्निहित स्थान X के आकार के आधार पर) को बड़े में घुमाया जा सकता है (अर्थात, बंडल को तुच्छ बंडल (वैश्विक रूप से समरूप) होने की आवश्यकता नहीं है $v + W = {v + w : w ∈ W},$). उदाहरण के लिए, मोबियस पट्टी को सर्कल S. पर एक लाइन बंडल के रूप में देखा जा सकता है1 (होमियोमोर्फिज्म द्वारा#उदाहरण)। हालांकि, यह सिलेंडर (ज्यामिति)  से अलग है $v_{1} + W$, क्योंकि बाद वाला उन्मुख कई गुना है जबकि पूर्व नहीं है। कुछ वेक्टर बंडलों के गुण अंतर्निहित टोपोलॉजिकल स्पेस के बारे में जानकारी प्रदान करते हैं। उदाहरण के लिए, स्पर्शरेखा बंडल  में अलग-अलग मैनिफोल्ड के बिंदुओं द्वारा पैरामीट्रिज्ड स्पर्शरेखा रिक्त स्थान का संग्रह होता है। वृत्त S का स्पर्शरेखा बंडल1 विश्व स्तर पर isomorphic to. है $v_{2} + W$, क्योंकि S पर वैश्विक अशून्य सदिश क्षेत्र है{{sup|1। इसके विपरीत, बालों वाली गेंद प्रमेय  द्वारा, 2-गोले S. पर कोई (स्पर्शरेखा) सदिश क्षेत्र नहीं है{{sup|2}} जो हर जगह अशून्य है। के-सिद्धांत कुछ टोपोलॉजिकल स्पेस पर सभी वेक्टर बंडलों के आइसोमोर्फिज्म वर्गों का अध्ययन करता है। टोपोलॉजिकल और ज्यामितीय अंतर्दृष्टि को गहरा करने के अलावा, इसके विशुद्ध रूप से बीजगणितीय परिणाम हैं, जैसे कि परिमित-आयामी वास्तविक विभाजन बीजगणित  का वर्गीकरण: आर, सी, चतुर्भुज एच और  ऑक्टोनियन  ओ।

एक अलग-अलग मैनिफोल्ड के कोटेंजेंट बंडल  में कई गुना के हर बिंदु पर, टेंगेंट स्पेस के दोहरे,  स्पर्शरेखा स्थान  होते हैं। उस बंडल के  खंड (फाइबर बंडल)  को  विभेदक रूप  | डिफरेंशियल वन-फॉर्म के रूप में जाना जाता है।

मॉड्यूल
मॉड्यूल रिंग करने के लिए हैं (गणित) फ़ील्ड के लिए वेक्टर रिक्त स्थान क्या हैं: वही स्वयंसिद्ध, फ़ील्ड एफ के बजाय रिंग आर पर लागू होते हैं, उपज मॉड्यूल। मॉड्यूल का सिद्धांत, वेक्टर रिक्त स्थान की तुलना में, रिंग तत्वों की उपस्थिति से जटिल है, जिनमें गुणक व्युत्क्रम नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए मुफ्त मॉड्यूल में आधार नहीं होना चाहिए, जैसा कि Z-मॉड्यूल (अर्थात, एबेलियन समूह) मॉड्यूलर अंकगणित | Z/2Z दिखाता है; वे मॉड्यूल जो करते हैं (सभी वेक्टर रिक्त स्थान सहित) मुक्त मॉड्यूल के रूप में जाने जाते हैं। फिर भी, एक वेक्टर स्पेस को एक रिंग (गणित) पर एक  मॉड्यूल (गणित)  के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो एक फ़ील्ड (गणित) है, जिसमें तत्वों को वैक्टर कहा जाता है। कुछ लेखक 'वेक्टर स्पेस' शब्द का प्रयोग  विभाजन की अंगूठी  के ऊपर मॉड्यूल्स के लिए करते हैं। रिंग के उनके स्पेक्ट्रम के माध्यम से कम्यूटेटिव रिंगों की बीजगणित-ज्यामितीय व्याख्या  स्थानीय रूप से मुक्त मॉड्यूल, वेक्टर बंडलों के बीजगणितीय समकक्ष जैसी अवधारणाओं के विकास की अनुमति देती है।

एफ़िन और प्रोजेक्टिव स्पेस
मोटे तौर पर, affine रिक्त स्थान सदिश स्थान होते हैं जिनके मूल निर्दिष्ट नहीं होते हैं। अधिक सटीक रूप से, एक सजातीय स्थान एक सकर्मक समूह क्रिया  वेक्टर अंतरिक्ष  समूह क्रिया (गणित)  के साथ एक सेट है। विशेष रूप से, मानचित्र द्वारा एक सदिश स्थान अपने आप में एक सघन स्थान है

यदि W एक सदिश समष्टि है, तो एक परिबद्ध उप-समष्टि W का एक उपसमुच्चय है जो एक निश्चित सदिश द्वारा रैखिक उप-समष्टि V का अनुवाद करके प्राप्त किया जाता है। $(v_{1} + v_{2}) + W,$; यह स्थान द्वारा निरूपित किया जाता है $a · (v + W) = (a · v) + W$ (यह W में V का सहसमुच्चय है) और इसमें फॉर्म के सभी वैक्टर शामिल हैं $v_{1} + W = v_{2} + W$ के लिये $f : V → W$ एक महत्वपूर्ण उदाहरण विषम रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के समाधान का स्थान है

सजातीय मामले # समीकरण 3 का सामान्यीकरण, जिसे सेट करके पाया जा सकता है $im(f) = {f(v) : v ∈ V}$ इस समीकरण में। समाधान का स्थान affine उप-स्थान है $x ↦ Ax$ जहाँ x समीकरण का एक विशेष समाधान है, और V सजातीय समीकरण के समाधान का स्थान है (A का रिक्त स्थान)।

एक निश्चित परिमित-आयामी वेक्टर खाली स्थान  V के एक-आयामी उप-समूहों के सेट को प्रोजेक्टिव स्पेस के रूप में जाना जाता है; इसका उपयोग अनंत पर प्रतिच्छेद करने वाली  समानांतर (ज्यामिति)  रेखाओं के विचार को औपचारिक रूप देने के लिए किया जा सकता है।  ग्रासमैनियन मैनिफोल्ड  और  झंडा कई गुना  क्रमशः निश्चित आयाम k और फ्लैग (रैखिक बीजगणित) के उप-स्थानों के रैखिक उप-स्थानों को पैरामीट्रिज करके इसे सामान्य करते हैं।

संबंधित अवधारणाएं

 * सदिश स्थान में विशिष्ट सदिश
 * शून्य वेक्टर (कभी-कभी अशक्त वेक्टर भी कहा जाता है और इसके द्वारा निरूपित किया जाता है $$\mathbf{0}$$), सदिश स्थान में योगात्मक पहचान। एक आदर्श सदिश समष्टि में, यह मानक शून्य का अद्वितीय सदिश है। एक यूक्लिडियन सदिश समष्टि में, यह शून्य लंबाई का अद्वितीय सदिश है।
 * आधार वेक्टर, वेक्टर स्पेस के दिए गए आधार (रैखिक बीजगणित) का एक तत्व।
 * इकाई वेक्टर, एक नॉर्म्ड वेक्टर स्पेस में एक वेक्टर जिसका नॉर्म (गणित) 1 है, या लंबाई एक का यूक्लिडियन वेक्टर। * समदैशिक सदिश या अशक्त सदिश, द्विघात रूप  वाले सदिश स्थान में, एक अशून्य सदिश जिसके लिए रूप शून्य है। यदि एक अशक्त वेक्टर मौजूद है, तो द्विघात रूप को समदैशिक द्विघात रूप कहा जाता है।

विशिष्ट सदिश स्थानों में सदिश
 * पंक्ति और स्तंभ वैक्टर, केवल एक स्तंभ वाला एक मैट्रिक्स। पंक्तियों की एक निश्चित संख्या वाले स्तंभ वैक्टर एक वेक्टर स्थान बनाते हैं।
 * पंक्ति और स्तंभ वैक्टर, केवल एक पंक्ति वाला एक मैट्रिक्स। पंक्तियों की एक निश्चित संख्या वाले पंक्ति वैक्टर एक वेक्टर स्थान बनाते हैं।
 * समन्वय वेक्टर, टपल |$c$के आधार (रैखिक बीजगणित) के आधार पर एक सदिश के निर्देशांकों का टपल $n$ तत्व एक क्षेत्र के ऊपर एक सदिश स्थान के लिए (गणित) $n$, इन $F$-टुपल्स वेक्टर स्पेस बनाते हैं $$F^n$$ (जहां संक्रिया बिंदुवार योग और अदिश गुणन है)।
 * विस्थापन वेक्टर, एक वेक्टर जो पिछली स्थिति के सापेक्ष किसी बिंदु की स्थिति में परिवर्तन को निर्दिष्ट करता है। विस्थापन वैक्टर अनुवाद (ज्यामिति)  के वेक्टर स्थान से संबंधित हैं।
 * एक बिंदु की स्थिति वेक्टर, विस्थापन वेक्टर एक संदर्भ बिंदु (जिसे मूल कहा जाता है) से बिंदु तक। एक स्थिति सदिश एक यूक्लिडियन अंतरिक्ष या एक affine अंतरिक्ष में एक बिंदु की स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है।
 * वेग सदिश, व्युत्पन्न, समय के संबंध में, स्थिति सदिश का। यह उत्पत्ति की पसंद पर निर्भर नहीं करता है, और इस प्रकार अनुवाद के सदिश स्थान से संबंधित है।
 * स्यूडोवेक्टर, जिसे अक्षीय वेक्टर भी कहा जाता है
 * कोवेक्टर, सदिश स्थान के दोहरे स्थान का एक तत्व। एक आंतरिक उत्पाद स्थान में, आंतरिक उत्पाद अंतरिक्ष और उसके दोहरे के बीच एक समरूपता को परिभाषित करता है, जो एक वेक्टर से एक कोवेक्टर को अलग करना मुश्किल बना सकता है। अंतर तब स्पष्ट हो जाता है जब कोई निर्देशांक बदलता है (गैर-ऑर्थोगोनली)।
 * स्पर्शरेखा सदिश, वक्र के स्पर्शरेखा स्थान का एक तत्व, एक सतह (गणित)  या, अधिक सामान्यतः, एक दिए गए बिंदु पर एक  अंतर कई गुना  (ये स्पर्शरेखा स्थान स्वाभाविक रूप से सदिश स्थान की संरचना से संपन्न होते हैं)
 * सामान्य वेक्टर या केवल सामान्य, एक यूक्लिडियन स्थान में या, अधिक सामान्यतः, एक आंतरिक उत्पाद स्थान में, एक वेक्टर जो एक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान के लंबवत होता है।
 * ग्रेडिएंट, कई वास्तविक चरों के एक फ़ंक्शन के आंशिक डेरिवेटिव के निर्देशांक वेक्टर। यूक्लिडियन अंतरिक्ष में ढाल  स्केलर क्षेत्र की अधिकतम वृद्धि की परिमाण और दिशा देता है। ढाल एक कोवेक्टर है जो एक  स्तर वक्र  के लिए सामान्य है।
 * चार-सदिश, सापेक्षता के सिद्धांत में, एक चार-आयामी वास्तविक वेक्टर अंतरिक्ष में एक वेक्टर जिसे मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष कहा जाता है

यह भी देखें

 * वेक्टर (गणित और भौतिकी), विभिन्न प्रकार के वैक्टर की सूची के लिए


 * कार्तीय समन्वय प्रणाली
 * ग्रेडेड वेक्टर स्पेस
 * मीट्रिक स्थान
 * पी-वेक्टर
 * रिज-फिशर प्रमेय
 * अंतरिक्ष (गणित)
 * आदेशित सदिश स्थान

ऐतिहासिक संदर्भ

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 * पीआनो, जी. (1901) गणितीय सूत्र : vct axioms वाया  इंटरनेट संग्रह
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