रीमैन श्रृंखला प्रमेय

गणित में, रीमैन श्रृंखला प्रमेय, जिसे रीमैन पुनर्व्यवस्था प्रमेय भी कहा जाता है, जिसका नाम 19वीं सदी के जर्मन गणितज्ञ बर्नहार्ड रीमैन के नाम पर रखा गया है, कहना है कि यदि वास्तविक संख्याओं की एक अनंत श्रृंखला सशर्त रूप से अभिसरण है, तो इसकी परिस्थितियों को क्रमपरिवर्तन में व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि नई श्रृंखला एक मनमानी वास्तविक संख्या, या अपसारी श्रृंखला में अभिसरण हो जाती है। इसका तात्पर्य यह है कि वास्तविक संख्याओं की एक श्रृंखला पूर्ण अभिसरण है यदि और केवल तभी जब यह बिना परिस्थिति अभिसरण है।

एक उदाहरण के रूप में, श्रृंखला 1 - 1 + 1/2 - 1/2 + 1/3 - 1/3 + ⋯ 0 में अभिसरण होता है (पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में पदों के लिए, आंशिक योग मनमाने ढंग से 0 के निकट हो जाता है); लेकिन सभी पदों को उनके पूर्ण मूल्यों के साथ प्रतिस्थापित करने से 1 + 1 + 1/2 + 1/2 + 1/3 + 1/3 + ⋯ प्राप्त होता है, जिसका योग अनंत होता है। इस प्रकार मूल श्रृंखला सशर्त रूप से अभिसरण है, और इसे पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है (पहले दो सकारात्मक पदों के बाद पहला नकारात्मक पद, उसके बाद अगले दो सकारात्मक पद और फिर अगला नकारात्मक पद, आदि) एक श्रृंखला देने के लिए जो एक अलग योग में  अभिसरण करती : 1 + 1/2 - 1 + 1/3 + 1/4 - 1/2 + ⋯ = प्राकृतिक लघुगणक 2। इस प्रक्रिया का उपयोग p सकारात्मक के साथ करने के बाद  q नकारात्मक  का उपयोग करने से एलएन (पी / क्यू) का योग मिलता है। अन्य पुनर्व्यवस्थाएँ अन्य सीमित राशियाँ देती हैं या किसी राशि में अभिसरण नहीं होती हैं।

इतिहास
यह एक मूल परिणाम है कि परिमित रूप से कई संख्याओं का योग उस क्रम पर निर्भर नहीं करता है जिसमें उन्हें जोड़ा जाता है। उदाहरण के लिए, $2 + 3 + 7 = 7 + 2 + 3$। यह अवलोकन कि संख्याओं के अनंत अनुक्रम का योग सारांश के क्रम पर निर्भर हो सकता है, इसका श्रेय आमतौर पर 1833 में ऑगस्टिन-लुई कॉची को  जिम्मेदार ठहराया जाता है। उन्होंने वैकल्पिक हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) का विश्लेषण किया, जिसमें दिखाया गया कि इसके सारांशों की कुछ पुनर्व्यवस्थाओं के परिणामस्वरूप अलग-अलग सीमाएँ होती हैं। लगभग उसी समय, पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट ने इस बात पर प्रकाश डाला कि ऐसी घटनाओं को पूर्ण अभिसरण के संदर्भ में निरस्त कर दिया गया है, और कुछ अन्य श्रृंखलाओं के लिए कॉची की घटनाओं के और उदाहरण दिए जो पूरी तरह से अभिसरण होने में विफल रहते हैं।

फूरियर श्रृंखला और रीमैन एकीकरण के सिद्धांत के अपने विश्लेषण के दौरान, बर्नहार्ड रीमैन ने पुनर्व्यवस्था घटना का पूरा विवरण दिया। उन्होंने प्रमाणित किया कि एक अभिसरण श्रृंखला के विषय में जो पूरी तरह से अभिसरण नहीं करती है (सशर्त अभिसरण के रूप में जाना जाता है), पुनर्व्यवस्था पाई जा सकती है ताकि नई श्रृंखला किसी भी मनमाने ढंग से निर्धारित वास्तविक संख्या में अभिसरण हो जाए। रीमैन के प्रमेय को अब गणितीय विश्लेषण के क्षेत्र का एक मूल भाग माना जाता है।

किसी भी श्रृंखला के लिए, कोई सभी संभावित समरूपी के सेट पर विचार कर सकता है, जो योगों के सभी संभावित पुनर्व्यवस्था के अनुरूप है।। रीमैन के प्रमेय को यह कहते हुए तैयार किया जा सकता है कि, वास्तविक संख्याओं की श्रृंखला के लिए, यह सेट या तो खाली है, एक एकल बिंदु (पूर्ण अभिसरण के विषय में), या संपूर्ण वास्तविक संख्या रेखा (सशर्त अभिसरण के विषय में)। इस सूत्रीकरण में, रीमैन के प्रमेय को पॉल लेवी और अर्नेस्ट स्टीनिट्ज़ द्वारा श्रृंखला तक विस्तारित किया गया था, जिनके सारांश जटिल संख्याएं हैं या, इससे भी अधिक आम तौर पर, एक परिमित-आयामी वास्तविक वेक्टर स्थान के तत्व हैं। उन्होंने सिद्ध किया कि संभावित योगों का समुच्चय एक वास्तविक एफ़िन उपस्थान बनाता है। कई लेखकों द्वारा अनंत-आयामी स्थानों में श्रृंखला के लिए लेवी-स्टीनित्ज़ प्रमेय के विस्तार पर कई लेखकों द्वारा विचार किया गया है।

परिभाषाएँ
एक श्रृंखला $\sum_{n=1}^\infty a_n$ यदि कोई मान उपस्थित है तो अभिसरण श्रृंखला $$\ell$$ इस प्रकार कि आंशिक योगों का क्रम


 * $$(S_1, S_2, S_3, \ldots), \quad S_n = \sum_{k=1}^n a_k,$$

$$\ell$$ में अभिसरण होता है। अर्थात्, किसी भी ε > 0 के लिए, एक पूर्णांक N उपस्थित है जैसे कि यदि n ≥ N, तो


 * $$\left\vert S_n - \ell \right\vert \le \varepsilon.$$

यदि श्रृंखला $\sum_{n=1}^\infty a_n$ अभिसरण होती है लेकिन श्रृंखला  $\sum_{n=1}^\infty \left\vert a_n \right\vert$  अलग हो जाता है।

क्रमपरिवर्तन केवल धनात्मक पूर्णांकों के समुच्चय (गणित) से स्वयं पर एक आक्षेप है। इसका मतलब है कि यदि $$\sigma$$ एक क्रमपरिवर्तन है, तो किसी भी धनात्मक पूर्णांक $$b$$ के लिए, वास्तव में एक धनात्मक पूर्णांक $$a$$ उपस्थित है जैसे कि $$\sigma (a) = b.$$ विशेषकर, यदि $$x \ne y$$, तो $$\sigma (x) \ne \sigma (y)$$।

प्रमेय का कथन
मान लीजिए कि $$(a_1, a_2, a_3, \ldots)$$ वास्तविक संख्याओं का एक क्रम है, और यह कि $ \sum_{n=1}^\infty a_n$ सशर्त रूप से अभिसरण है। $$M$$ को एक वास्तविक संख्या होने दें।  फिर एक क्रमपरिवर्तन $$\sigma$$ उपस्थित है जैसे कि


 * $$\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma (n)} = M.$$।

एक क्रमपरिवर्तन $$\sigma$$ उपस्थित है


 * $$\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma (n)} = \infty.$$।

योग को $$-\infty$$ तक विस्तारित करने या किसी भी सीमा, परिमित या अनंत तक पहुंचने में विफल रहने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।

योग बदलना
प्रत्यावर्ती हार्मोनिक श्रृंखला एक सशर्त अभिसरण श्रृंखला का एक क्लासिक उदाहरण है:$$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}$$

अभिसारी है, जबकि $$\sum_{n=1}^\infty \left| \frac{(-1)^{n+1}}{n} \right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$$ साधारण हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) है, जो अलग हो जाती है। यद्यपि मानक प्रस्तुति में वैकल्पिक हार्मोनिक श्रृंखला $ln(2)$ में परिवर्तित हो जाती है, इसके पदों को किसी भी संख्या में अभिसरण करने या यहां तक ​​कि विचलन करने के लिए व्यवस्थित किया जा सकता है। इसका एक उदाहरण इस प्रकार है। सामान्य क्रम में लिखी गई श्रृंखला से आरंभ करें,


 * $$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$$

और परिस्थितियों को पुनर्व्यवस्थित करें:


 * $$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} - \frac{1}{8} + \frac{1}{5} - \frac{1}{10} - \frac{1}{12} + \cdots$$

जहां पैटर्न है: पहले दो पद 1 और −1/2 हैं, जिनका योग 1/2 है। अगला पद −1/4 है। अगले दो पद 1/3 और −1/6 हैं, जिनका योग 1/6 है। अगला पद -1/8 है। अगले दो पद 1/5 और −1/10 हैं, जिनका योग 1/10 है। सामान्य तौर पर, योग तीन के ब्लॉक से बना होता है:


 * $$\frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2(2k - 1)} - \frac{1}{4k},\quad k = 1, 2, \dots.$$

यह वास्तव में प्रत्यावर्ती हार्मोनिक श्रृंखला का एक पुनर्व्यवस्था है: प्रत्येक विषम पूर्णांक एक बार सकारात्मक रूप से होता है, और सम पूर्णांक एक बार नकारात्मक रूप से होते हैं (उनमें से आधे 4 के गुणज के रूप में, अन्य आधे दोगुने विषम पूर्णांक के रूप में)। चूंकि


 * $$\frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2(2k - 1)} = \frac{1}{2(2k - 1)},$$

यह शृंखला वास्तव में लिखी जा सकती है:


 * $$\begin{align}

&\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{8} + \frac{1}{10} + \cdots + \frac{1}{2(2k - 1)} - \frac{1}{2(2k)} + \cdots \\ ={}& \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \cdots\right) = \frac{1}{2} \ln(2) \end{align}$$ जो सामान्य राशि का आधा है।

मनमाना योग प्राप्त करना
पिछले अनुभाग के परिणाम को पुनर्प्राप्त करने और सामान्यीकृत करने का एक प्रभावी तरीका इस तथ्य का उपयोग करना है कि


 * $$1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + \cdots + {1 \over n} = \gamma + \ln n + o(1),$$

जहां γ यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है, और जहां संकेतन ओ(1) एक मात्रा को दर्शाता है जो वर्तमान चर पर निर्भर करता है (यहां, चर एन है)इस तरह से कि यह मात्रा 0 तक जाती है जब चर अनंत की ओर जाता है।

यह इस प्रकार है कि q सम पदों का योग$${1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 6} + \cdots + {1 \over 2 q} = {1 \over 2} \, \gamma + {1 \over 2} \ln q + o(1)$$ को संतुष्ट करता है और अंतर लेने से, कोई देखता है कि p विषम पदों का योग


 * $${1} + {1 \over 3} + {1 \over 5} + \cdots + {1 \over 2 p - 1} = {1 \over 2} \, \gamma + {1 \over 2} \ln p + \ln 2 + o(1)$$ को संतुष्ट करता है।

मान लीजिए कि दो सकारात्मक पूर्णांक ए और बी दिए गए हैं, और यह कि वैकल्पिक हार्मोनिक श्रृंखला का एक पुनर्व्यवस्था, क्रम में, वैकल्पिक हार्मोनिक श्रृंखला से एक सकारात्मक शब्द, उसके बाद बी नकारात्मक शब्दों को लेने और इस पैटर्न को अनंत पर दोहराने से बनती है ( प्रत्यावर्ती श्रृंखला स्वयं a = b = 1 से मेल खाती है, पूर्ववर्ती खंड में उदाहरण a = 1 से मेल खाता है,  b = 2):

$${1} + {1 \over 3} + \cdots + {1 \over 2 a - 1} - {1 \over 2} - {1 \over 4} - \cdots - {1 \over 2 b} + {1 \over 2 a + 1} + \cdots + {1 \over 4 a - 1} - {1 \over 2b + 2} - \cdots$$

फिर इस पुनर्व्यवस्थित श्रृंखला के क्रम (a+b)n के आंशिक योग में p = an धनात्मक विषम पद और q = bn ऋणात्मक सम पद सम्मिलित हैं, अतः


 * $$S_{(a+b)n} = {1 \over 2} \ln p + \ln 2 - {1 \over 2} \ln q + o(1) = {1 \over 2} \ln\left(\frac ab\right) + \ln 2 + o(1).$$

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि इस पुनर्व्यवस्थित श्रृंखला का योग है
 * $${1 \over 2} \ln\left(\frac ab\right) + \ln 2 = \ln\left( 2 \sqrt{\frac ab} \right).$$।

अब मान लीजिए कि, अधिक सामान्यतः, प्रत्यावर्ती हार्मोनिक श्रृंखला की एक पुनर्व्यवस्थित श्रृंखला इस तरह से व्यवस्थित की जाती है कि क्रम n के आंशिक योग में सकारात्मक और नकारात्मक शब्दों की संख्या के बीच का अनुपात pn/qn एक सकारात्मक सीमा r की ओर जाता है। फिर, इस तरह की पुनर्व्यवस्था का योग होगा

$$\ln\left( 2 \sqrt{r} \right),$$

और यह बताता है कि किसी भी वास्तविक संख्या x को वैकल्पिक हार्मोनिक श्रृंखला की पुनर्व्यवस्थित श्रृंखला के योग के रूप में प्राप्त किया जा सकता है: यह एक पुनर्व्यवस्था बनाने के लिए पर्याप्त है जिसके लिए सीमा r से e2x/ 4 समान है।

प्रमाण
एक पुनर्व्यवस्था का अस्तित्व जो किसी भी सकारात्मक वास्तविक एम को दर्शाता है।

रीमैन ने प्रमेय और इसके प्रमाण का वर्णन किया है:: "... infinite series fall into two distinct classes, depending on whether or not they remain convergent when all the terms are made positive. In the first class the terms can be arbitrarily rearranged; in the second, on the other hand, the value is dependent on the ordering of the terms. Indeed, if we denote the positive terms of a series in the second class by $a_{1}, a_{2}, a_{3}, ...$ and the negative terms by $−b_{1}, −b_{2}, −b_{3}, ...$ then it is clear that $Σa$ as well as $Σb$ must be infinite. For if they were both finite, the series would still be convergent after making all the signs the same. If only one were infinite, then the series would diverge. Clearly now an arbitrarily given value $C$ can be obtained by a suitable reordering of the terms. We take alternately the positive terms of the series until the sum is greater than $C$, and then the negative terms until the sum is less than $C$. The deviation from $C$ never amounts to more than the size of the term at the last place the signs were switched. Now, since the number $a$ as well as the numbers $b$ become infinitely small with increasing index, so also are the deviations from $C$. If we proceed sufficiently far in the series, the deviation becomes arbitrarily small, that is, the series converges to $C$."

इसे निम्नानुसार अधिक विस्तार दिया जा सकता है। याद रखें कि वास्तविक पदों की सशर्त अभिसरण श्रृंखला में अनंत रूप से कई नकारात्मक पद और अनंत रूप से कई सकारात्मक पद होते हैं। सबसे पहले, दो मात्राएँ $$a_{n}^{+}$$ और $$a_{n}^{-}$$ निम्न द्वारा परिभाषित करें:


 * $$a_{n}^{+} = \begin{cases}a_n&\text{if }a_n\geq 0\\ 0&\text{if }a_n<0,\end{cases} \qquad a_{n}^{-} = \begin{cases}0&\text{if }a_n\geq 0\\ a_n&\text{if }a_n<0.\end{cases}$$

यही है, श्रृंखला $\sum_{n=1}^\infty a_n^{+}$  में सभी एn सकारात्मक सम्मिलित हैं, सभी नकारात्मक शब्दों को शून्यशून्य द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है और श्रृंखला  $\sum_{n=1}^\infty a_n^{-}$  से सभी एn नकारात्मक सम्मिलित हैं, जिसमें सभी सकारात्मक शब्दों को शून्य द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है। चूंकि $\sum_{n=1}^\infty a_n$  सशर्त रूप से अभिसरण है, इसलिए 'सकारात्मक' और 'नकारात्मक' श्रृंखला दोनों अलग हो जाते हैं। $M$  को कोई वास्तविक संख्या होने दें। केवल धनात्मक शब्दों $$a_{n}^{+}$$ को पर्याप्त मात्रा में लें ताकि उनका योग $M$. से अधिक हो जाए । यही है,  $p_{1}$ को सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक माना जाए जैसे कि


 * $$M < \sum_{n=1}^{p_1} a_{n}^{+}.$$।

यह संभव है क्योंकि $$a_{n}^{+}$$ शृंखला आंशिक योग $$+\infty$$ होते हैं। अब मान लीजिए कि $q_{1}$ सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक है जैसे कि
 * $$M>\sum_{n=1}^{p_1} a_n^++\sum_{n=1}^{q_1} a_n^-.$$।

यह संख्या उपस्थित है क्योंकि $$a_{n}^{-}$$के आंशिक योग $$-\infty$$ होते हैं। अब आगमनात्मक रूप से जारी रखें $p_{2}$ को $p_{1}$  से बड़े सबसे छोटे पूर्णांक के रूप में परिभाषित करें जैसे कि
 * $$M<\sum_{n=1}^{p_2}a_n^++\sum_{n=1}^{q_1}a_n^-,$$

और इसी तरह। परिणाम को एक नए अनुक्रम $$a_1^+,\ldots,a_{p_1}^+,a_1^-,\ldots,a_{q_1}^-,a_{p_1+1}^+,\ldots,a_{p_2}^+,a_{q_1+1}^-,\ldots,a_{q_2}^-,a_{p_2+1}^+,\ldots.$$के रूप में देखा जा सकता है।

इसके अतिरिक्त इस नए अनुक्रम के आंशिक योग $M$ में परिवर्तित होती है।से इस तथ्य से देखा जा सकता है कि किसी भी $i$ के लिए,
 * $$\sum_{n=1}^{p_{i+1}-1} a_n^+ +\sum_{n=1}^{q_i}a_n^-\leq M<\sum_{n=1}^{p_{i+1}}a_n^+ +\sum_{n=1}^{q_i}a_n^-, $$

इस तथ्य के कारण पहली असमानता के साथ कि $p_{i+1}$ को $p_{i}$  से बड़ी सबसे छोटी संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है जो दूसरी असमानता को सच बनाता है; परिणामस्वरूप, यह मानता है कि
 * $$0<\left(\sum_{n=1}^{p_{i+1}}a_n^+ +\sum_{n=1}^{q_i}a_n^-\right) - M \leq a_{p_{i+1}}^+.$$।

चूँकि सशर्त अभिसरण की धारणा के कारण दाहिनी ओर शून्य में अभिसरण हो जाता है, इससे पता चलता है कि नए अनुक्रम का $(p_{i+1} + q_{i})$' वां आंशिक योग अभिसरित होता है $M$ जैसा बढ़ती है। इसी प्रकार, $(p_{i+1} + q_{i+1})$'वाँ का आंशिक योग $i$  बढ़ने के साथ $M$. में परिवर्तित हो जाता है। चूँकि $(p_{i+1} + q_{i} + 1)$'वां, $(p_{i+1} + q_{i} + 2)$'वां, ... $(p_{i+1} + q_{i+1} − 1)$'वें की आंशिक योग का मान $(p_{i+1} + q_{i})$'वें और $(p_{i+1} + q_{i+1})$'वां आंशिक योग के बीच होता है, यह इस प्रकार है कि आंशिक योगों का पूरा अनुक्रम $M$ अभिसरित होता है।

मूल अनुक्रम $a_{n}$ में प्रत्येक प्रविष्टि इस नए अनुक्रम में प्रकट होता है जिसका आंशिक योग $M$  में अभिसरण होता है। मूल अनुक्रम की वे प्रविष्टियाँ जो शून्य हैं, नए अनुक्रम में दो बार दिखाई देंगी (एक बार 'सकारात्मक' अनुक्रम में और एक बार 'नकारात्मक' अनुक्रम में), और हर सेकंड ऐसी उपस्थिति को हटाया जा सकता है, जो किसी भी तरह से योग को प्रभावित नहीं करता है। नया अनुक्रम इस प्रकार मूल अनुक्रम का क्रमपरिवर्तन है।

एक पुनर्व्यवस्था का अस्तित्व जो अनंत तक विचरण करता है
मान लें कि $ \sum_{i=1}^\infty a_i$ एक सशर्त रूप से अभिसरण श्रृंखला बनें। निम्नलिखित इस बात का प्रमाण है कि इस श्रृंखला की पुनर्व्यवस्था उपस्थित है जो $$\infty$$ की ओर जाता है  (यह दिखाने के लिए एक समान तर्क का उपयोग किया जा सकता है कि $$-\infty$$ भी प्राप्त किया जा सकता है)।

रीमैन के मूल सूत्रीकरण के उपरोक्त प्रमाण को केवल संशोधित करने की आवश्यकता है ताकि $p_{i+1}$ को $p_{i}$ से बड़े सबसे छोटे पूर्णांक के रूप में चुना जा सके, जैसे कि,
 * $$i+1<\sum_{n=1}^{p_{i+1}}a_n^+ +\sum_{n=1}^{q_i}a_n^-, $$

और $q_{i+1}$ के साथ $q_{i}$ से बड़े सबसे छोटे पूर्णांक के रूप में चुना गया है जैसे कि
 * $$i+1>\sum_{n=1}^{p_{i+1}}a_n^+ +\sum_{n=1}^{q_{i+1}}a_n^-.$$

बाईं ओर $i+1$ का चुनाव महत्वहीन है, क्योंकि इसे अनंत तक बढ़ते हुए किसी भी क्रम से बदला जा सकता है। चूँकि $$a_n^-$$ $n$ बढ़ने के साथ शून्य में अभिसरण होता है, पर्याप्त रूप से बड़े $i$ के लिए
 * $$\sum_{n=1}^{p_{i+1}}a_n^+ +\sum_{n=1}^{q_{i+1}}a_n^- > i,$$

होता है और यह प्रमाणित करता है (जैसा कि उपरोक्त अभिसरण के विश्लेषण के साथ) कि नए अनुक्रम के आंशिक योगों का क्रम अनंत तक भिन्न होता है।

एक पुनर्व्यवस्था का अस्तित्व जो किसी भी सीमा, परिमित या अनंत तक पहुंचने में विफल रहता है
उपरोक्त प्रमाण को केवल संशोधित करने की आवश्यकता है ताकि $p_{i+1}$ को $p_{i}$ से बड़े सबसे छोटे पूर्णांक के रूप में चुना जाए जैसे कि
 * $$1<\sum_{n=1}^{p_{i+1}}a_n^+ +\sum_{n=1}^{q_i}a_n^-, $$

और $q_{i+1}$ साथ $q_{i}$ से बड़े सबसे छोटे पूर्णांक के रूप में चुना गया ऐसा है जैसे
 * $$-1>\sum_{n=1}^{p_{i+1}}a_n^+ +\sum_{n=1}^{q_{i+1}}a_n^-.$$

यह सीधे दर्शाता है कि आंशिक योगों के अनुक्रम में अनंत रूप से कई प्रविष्टियाँ होती हैं जो 1 से बड़ी हैं, और अनंत रूप से कई प्रविष्टियाँ भी होती हैं जो $−1$ से कम होती हैं, ताकि आंशिक योगों का क्रम अभिसरित न कर सके।

सिएरपिंस्की प्रमेय
एक अनंत श्रृंखला $$a = (a_1, a_2, ...)$$ दी गई है, हम $$I \subset \N$$ निश्चित बिंदुओं के एक सेट पर विचार कर सकते हैं, और वास्तविक संख्याओं का अध्ययन कर सकते हैं जिन्हें श्रृंखला केवल $$I$$ सूचकांकों को म्यूट करने की अनुमति है। हम$$S(a, I) = \left\{\sum_{n\in \N} a_{\pi(n)}: \pi\text{ is a permutation on }\N, \text{ such that }\forall n\not\in I, \pi(n) =n, \text{ and the summation converges.}\right\}$$इस अंकन के साथ, हमारे पास है:


 * यदि $$I \Delta I'$$ परिमित है, तो $$S(a, I) = S(a, I')$$. यहाँ $$\Delta$$ का अर्थ है सममित अंतर।
 * यदि $$I \subset I'$$ तो $$S(a, I) \subset S(a, I')$$।
 * यदि श्रृंएक पूरी तरह से अभिसरण योग है, तो किसी भी $$I$$ के लिए $$S(a, I) = \left\{\sum_{n\in\N} a_n\right\}$$।
 * एक सशर्त अभिसरण योग है, तो रीमैन श्रृंखला प्रमेय द्वारा, $$S(a, \N) = [-\infty, +\infty]$$।
 * एक सशर्त अभिसरण योग है, तो रीमैन श्रृंखला प्रमेय द्वारा, $$S(a, \N) = [-\infty, +\infty]$$।

सिएरपिंस्की ने प्रमाणित किया कि केवल सकारात्मक शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करने से मूल श्रृंखला के योग से कम या उसके समान किसी भी निर्धारित मूल्य में अभिसरण प्राप्त किया जा सकता है, लेकिन सामान्य रूप से बड़े मूल्य प्राप्त नहीं किए जा सकते हैं।  अर्थात्, मान लीजिए कि $$a$$  एक सशर्त अभिसरण योग है, तो $$S(a, \{n\in \N: a_n > 0\})$$ में $$\left[-\infty, \sum_{n\in\N} a_n\right]$$सम्मिलित है, लेकिन इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि इसमें कोई अन्य संख्या है।

अधिक आम तौर पर, $$J$$ को $$\N$$ का आदर्श (सेट सिद्धांत) माना जाता है, तब हम $$S(a, J) = \cup_{I\in J} S(a, I)$$ परिभाषित कर सकते हैं।

मान लें कि $$J_d$$ सभी प्राकृतिक घनत्व सेटों का सेट है $$I\subset \N$$, वह है, $$\lim_{n\to\infty}\frac{|[0,n]\cap I|}{n} = 0$$. यह स्पष्ट है कि $$J_d$$ $$\N$$ का एक आदर्श है।

प्रमाण रेखाचित्र: दिया गया $$a$$, सशर्त रूप से अभिसरण योग, कुछ $$I\in J_d$$ का निर्माण इस प्रकार करें कि $$\sum_{n\in I}a_n$$ और $$\sum_{n\not\in I}a_n$$ दोनों सशर्त रूप से अभिसरण हैं। फिर, $$\sum_{n\in I}a_n$$ को पुनर्व्यवस्थित करना  $$[-\infty, +\infty]$$ में किसी भी संख्या में अभिसरण करने के लिए पर्याप्त है।

फिलिपो और स्ज़ुका ने सिद्ध किया कि अन्य आदर्शों में भी यह गुण है।

स्टीनित्ज़ का प्रमेय
जटिल संख्याओं की $\sum a_n$ अभिसरण श्रृंखला को देखते हुए, उस श्रृंखला की शर्तों को पुन: व्यवस्थित करके प्राप्त सभी श्रृंखला $\sum a_{\sigma(n)} $ के लिए संभावित योगों के सेट पर विचार करते समय कई मामले हो सकते हैं:


 * श्रृंखला $\sum a_n$ बिना परिस्थिति अभिसरण हो सकती है; फिर, सभी पुनर्व्यवस्थित श्रृंखलाएं एकत्रित हो जाती हैं, और उनका योग समान होता है: पुनर्व्यवस्थित श्रृंखला के योगों का सेट एक बिंदु तक कम हो जाता है;
 * श्रृंखला $\sum a_n$ बिना परिस्थिति एकजुट होने में विफल हो सकता है; यदि S उन पुनर्व्यवस्थित श्रृंखलाओं के योगों के समुच्चय को दर्शाता है जो अभिसरण करते हैं, तो, या तो समुच्चय S जटिल तल 'C' में एक रेखा L है, जिसका रूप$$L = \{a + t b : t \in \R \}, \quad a, b \in \Complex, \ b \ne 0,$$ या समुच्चय S संपूर्ण जटिल तल 'C' है।

अधिक आम तौर पर, एक परिमित-आयामी वास्तविक सदिश स्थल ई में वैक्टर की एक अभिसरण श्रृंखला को देखते हुए, पुनर्व्यवस्थित श्रृंखला के अभिसरण योगों का सेट ई का एक एफ़िन स्थान है।