आव्यूह अवकल समीकरण

अवकल समीकरण एक या कई चर के अज्ञात फलन के लिए एक गणितीय समीकरण है जो फलन के मूल्यों और इसकी विभिन्न कोटियों के अवकलज से संबंधित होते है। एक आव्यूह अवकल समीकरण में एक से अधिक फलन होते हैं जो सदिश रूप में राशीकृत होते हैं, आव्यूह के साथ उनके अवकलज से संबंधित होते हैं।

उदाहरण के लिए, एक प्रथम-कोटि आव्यूह साधारण अवकल समीकरण है
 * $$\mathbf{\dot{x}}(t) = \mathbf{A}(t)\mathbf{x}(t)$$

जहाँ $$\mathbf{x}(t)$$ अंतर्निहित चर $$t$$ के फलनों का $$n \times 1$$ सदिश होता है, $$\mathbf{\dot{x}}(t)$$ इन फलनों के प्रथम अवकलज का सदिश है, और $$\mathbf{A}(t)$$ गुणांक का $$n \times n$$ आव्यूह है।

ऐसी स्थिति में जहाँ $$\mathbf{A}$$ नियतांक है और इसमें n एकघाततः स्वतंत्र आइगेनसदिश होता हैं, इस अवकल समीकरण का निम्नलिखित सामान्य हल है,
 * $$\mathbf{x}(t) = c_1 e^{\lambda_1 t} \mathbf{u}_1 + c_2 e^{\lambda_2 t} \mathbf{u}_2 + \cdots + c_n e^{\lambda_n t} \mathbf{u}_n ~,$$

जहाँ λ1, λ2, …, λn A के आइगेनमान हैं; u1, u2, …, un A के संबंधित आइगेनवेक्टर हैं; और c1, c2, …, cn स्थिरांक हैं।

अत्यधिक सामान्य रूप से, यदि $$\mathbf{A}(t)$$ अपने समाकल $$\int_a^t \mathbf{A}(s)ds$$ के साथ विनिमय करता है तो मैग्नस विस्तार अग्रणी क्रम में कम हो जाता है, और अवकल समीकरण का सामान्य हल होता है
 * $$\mathbf{x}(t)=e^{\int_a^t \mathbf{A}(s) ds} \mathbf{c} ~,$$

जहाँ $$ \mathbf{c} $$ एक $$ n \times 1 $$ एक नियत सदिश है।

कैले-हैमिल्टन प्रमेय और वैंडरमोंड-प्रकार आव्यूहों के उपयोग से, यह औपचारिक आव्यूह घातीय हल एक साधारण रूप में सरलीकृत किया जा सकता है। नीचे, यह हल पुट्ज़ेर के एल्गोरिथम के संदर्भ में प्रदर्शित किया गया है।

आव्यूह प्रणाली की स्थिरता और स्थिर अवस्था
आव्यूह समीकरण
 * $$\mathbf{\dot{x}}(t) = \mathbf{Ax}(t) + \mathbf{b}$$

n×1 पैरामीटर के साथ सतत सदिश b स्थिर है यदि और केवल तभी जब स्थिर आव्यूह A के सभी आइगेनमान ​​में ऋणात्मक वास्तविक भाग हो।

स्थिर स्थिति x* जिसमें स्थिर होने पर यह कन्वर्ज करता है, सेटिंग द्वारा पाया जाता है
 * $$\mathbf{\dot{x}}^* (t)=\mathbf{0}~,$$

इस प्रकार प्राप्त होता है
 * $$\mathbf{x}^* = -\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}~,$$

A को व्युत्क्रमणीय मानते हुए।

इस प्रकार, मूल समीकरण को सजातीय अवस्था से विचलन के संदर्भ में सजातीय रूप में लिखा जा सकता है,
 * $$ \mathbf{\dot{x}}(t)=\mathbf{A}[\mathbf{x}(t)-\mathbf{x}^*]~.$$

इसे व्यक्त करने का एक समतुल्य तरीका यह है कि x* असमघात समीकरण का एक विशेष हल है, जबकि सभी हल इस रूप में हैं
 * $$\mathbf{x}_h+\mathbf{x}^*  ~,$$

$$\mathbf{x}_h$$ के साथ सजातीय समीकरण (b=0) का हल।

दो-अवस्था-चर स्थिति में स्थिरता
n = 2 स्थिति में (दो अवस्था चर के साथ), स्थिरता की स्थिति है कि परिवर्ती आव्यूह A के दो आइगेनमान ​​प्रत्येक में एक ऋणात्मक वास्तविक भाग होता है, इस स्थिति के समकक्ष होता है कि A का ट्रेस ऋणात्मक होना चाहिए और इसकी सारणिक धनात्मक होनी चाहिए।

आव्यूह रूप में हल
$$\mathbf{\dot{x}}(t)=\mathbf{A}[\mathbf{x}(t)-\mathbf{x}^*]$$ के औपचारिक हल में आव्यूह घातीय रूप निम्नलिखित है
 * $$\mathbf{x}(t)=\mathbf{x}^*+e^{\mathbf{A}t}[\mathbf{x}(0)-\mathbf{x}^*] ~,$$

विभिन्न तकनीकों में से किसी का उपयोग करके मूल्यांकन किया गया।

$e^{At}$ की गणना के लिए पुट्जर एल्गोरिथम
$$\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$$ आइगेनमानों वाला आव्यूह A दिया गया है,
 * $$e^{\mathbf{A}t} = \sum_{j=0}^{n-1}r_{j+1}{\left(t\right)}\mathbf{P}_{j}$$

जहाँ
 * $$\mathbf{P}_0 = \mathbf{I}$$
 * $$\mathbf{P}_j = \prod_{k=1}^{j}\left(\mathbf{A}-\lambda_k \mathbf{I}\right)= \mathbf{P}_{j-1} \left(\mathbf{A}-\lambda_j \mathbf{I}\right), \qquad j=1,2,\dots,n-1$$
 * $$\dot{r}_1 = \lambda_1 r_1$$
 * $$r_1{\left(0\right)}=1$$
 * $$\dot{r}_{j} = \lambda_j r_j + r_{j-1}, \qquad j=2,3,\dots,n$$
 * $$r_j{\left(0\right)}=0, \qquad  j=2,3,\dots,n$$

$$r_i (t)$$ के समीकरण साधारण प्रथम कोटि के विषम ओडीई हैं।

ध्यान दें कि एल्गोरिथम के लिए यह आवश्यक नहीं है कि आव्यूह A विकर्णीय हो और सामान्य रूप से उपयोग किए जाने वाले जॉर्डन कैनोनिकल रूपों की जटिलताओं को बाईपास कर दिया जाता है।

आव्यूह साधारण अवकल समीकरण का विखंडित उदाहरण
दो फलनों x(t) और y(t) में एक प्रथम-कोटि सघातीय आव्यूह साधारण अवकल समीकरण, जब आव्यूह रूप में लिया जाता है, तो इसका निम्नलिखित रूप प्राप्त होता है:


 * $$\frac{dx}{dt}=a_1x+b_1y,\quad\frac{dy}{dt}=a_2x+b_2y$$

जहाँ $$a_1$$, $$a_2$$, $$b_1$$, और $$b_2$$ कोई भी यादृच्छिक अदिश हो सकते हैं।

उच्च कोटि आव्यूह ओडीई का अधिक जटिल रूप हो सकता है।

विघटित आव्यूह साधारण अवकल समीकरणों को हल करना
उपरोक्त समीकरणों को हल करने और इस विशेष क्रम और रूप के आवश्यक फलनों को प्राप्त करने की प्रक्रिया में 3 मुख्य चरण होते हैं। इन चरणों में से प्रत्येक का संक्षिप्त विवरण नीचे सूचीबद्ध किया गया हैं:


 * आइगेनमानों को ज्ञात करना
 * आइगेनसदिशों को ज्ञात करना
 * आवश्यक फलनों को ज्ञात करना

इस प्रकार के साधारण अवकल समीकरणों को हल करने में अंतिम, तीसरा, चरण सामान्य रूप से दो पूर्व चरणों में गणना किए गए मानों को एक विशेष सामान्य रूप समीकरण में प्लगिंग के माध्यम से किया जाता है, जिसका उल्लेख इस आलेख में बाद में किया गया है।

आव्यूह ओडीई का हल किया गया उदाहरण
प्रक्रिया में सरल आव्यूहों का उपयोग करते हुए, ऊपर दिए गए तीन चरणों के अनुसार आव्यूह ओडीई को हल करने के लिए, मान लीजिए, एक फलन $x$ और एक फलन $y$ दोनों को एक स्वतंत्र चर $t$ के संदर्भ में प्रथम कोटि के निम्नलिखित सघातीय रैखिक अवकल समीकरण में प्राप्त होते हैं।
 * $$\frac{dx}{dt}=3x-4y,\quad\frac{dy}{dt}=4x-7y~.$$

इस विशेष सामान्य अवकल समीकरण प्रणाली को हल करने के लिए, हल प्रक्रिया में किसी बिंदु पर, हमें दो प्रारंभिक मानों के एक समुच्चय की आवश्यकता होगी (शुरुआती बिंदु पर दो अवस्था चर के अनुरूप)। इस स्थिति में, हम $x(0) = y(0) = 1$ चयनित करते हैं।

प्रथम चरण
प्रथम चरण, जिसका पहले ही ऊपर उल्लेख किया जा चुका है, में A का आइगेनमान ज्ञात करना है
 * $$\begin{bmatrix} x'\\y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -4\\4 & -7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}~.$$

उपरोक्त सदिशों में से किसी एक में देखे गए अवकलज अंकन x' आदि को लाग्रेंज के संकेतन के रूप में जाना जाता है (सबसे पहले जोसेफ लुइस लाग्रेंज द्वारा प्रस्तुत किया गया। यह अवकलज संकेतन dx/dt के बराबर है जिसका उपयोग पूर्व समीकरण में किया गया था, जिसे लेबनिज़ के संकेतन के रूप में जाना जाता है, गॉटफ्राइड लाइबनिज़ के नाम का सम्मान करते हुए।)

एक बार जब दो चर के गुणांक ऊपर प्रदर्शित आव्यूह रूप A में लिखे गए हों, तो आइगेनमान का मूल्यांकन किया जा सकता है। उस अंत तक, एक आव्यूह के निर्धारक को प्राप्त करता है जो तब बनता है जब एक तत्समक आव्यूह, $$I_n$$, कुछ स्थिरांक λ से गुणा किया जाता है, इसे उपरोक्त गुणांक आव्यूह से घटाया जाता है ताकि इसकी अभिलाक्षणिक बहुपद प्राप्त हो सके,
 * $$\det\left(\begin{bmatrix} 3 & -4\\4 & -7 \end{bmatrix} - \lambda\begin{bmatrix} 1 & 0\\0 & 1 \end{bmatrix}\right)~,$$

और इसके शून्य के लिए हल करें।

आगे सरलीकरण और आव्यूह योग प्राप्ति के मूल नियमों को लागू करना
 * $$\det\begin{bmatrix} 3-\lambda & -4\\4 & -7-\lambda \end{bmatrix}~.$$

एकल 2×2 आव्यूह के निर्धारक को ज्ञात करने के नियमों को लागू करने से निम्नलिखित प्रारंभिक द्विघात समीकरण उत्पन्न होता है,
 * $$\det\begin{bmatrix} 3-\lambda & -4\\4 & -7-\lambda \end{bmatrix} = 0$$
 * $$-21 - 3\lambda + 7\lambda + \lambda^2 + 16 = 0 \,\!$$

जिसे उपरोक्त का सरल संस्करण प्राप्त करने के लिए और सरलीकृत किया जा सकता है,
 * $$\lambda^2 + 4\lambda - 5 = 0 ~.$$

अब गुणनखंड विधि को लागू करके दिए गए द्विघात समीकरण के दो मूल, $$\lambda_1$$ और $$\lambda_2$$ को ज्ञात करने पर प्राप्त होता है
 * $$\lambda^2 + 5\lambda - \lambda - 5 = 0$$
 * $$\lambda (\lambda + 5) - 1 (\lambda + 5) = 0$$
 * $$(\lambda - 1)(\lambda + 5) = 0$$
 * $$\lambda = 1, -5 ~.$$

ऊपर परिकलित किए गए मान $$\lambda_1 = 1$$ और $$\lambda_2 = -5$$, A के आवश्यक आइगेनमान हैं। कुछ स्थितियों में, माना अन्य आव्यूह ओडीई, आइगेनमान समिश्र हो सकते हैं, इस स्थिति में हल प्रक्रिया के अगले चरण के साथ-साथ अंतिम रूप और हल प्रभावशाली रूप से परिवर्तित कर सकते हैं।

द्वितीय चरण
जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, इस चरण में मूल रूप से प्रदान की गई जानकारी से A के आइजनसदिशों को ज्ञात करना सम्मिलित है।

गणना किए गए प्रत्येक आइगेनमान के लिए, हमारे पास एक विशिष्ट आइगेनसदिश है। पहले आइगेनमान के लिए, जो $$\lambda_1 = 1$$ है, हमें निम्न प्राप्त है
 * $$\begin{bmatrix} 3 & -4\\4 & -7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \alpha\\\beta \end{bmatrix} = 1\begin{bmatrix} \alpha\\\beta \end{bmatrix}. $$

मूल आव्यूह गुणन नियमों को लागू करके उपरोक्त व्यंजक को सरल बनाने पर प्राप्त होता है
 * $$3\alpha - 4\beta = \alpha$$
 * $$\alpha = 2\beta~.$$

ये सभी गणना केवल अंतिम व्यंजक प्राप्त करने के लिए की गई है, जो हमारी स्थिति में $α = 2β$ है। अब कुछ यादृच्छिक मान लेते हुए, संभवतः, एक छोटा महत्वहीन मान, जिसके साथ कार्य करना बहुत सरल होता है, $α$ या $β$ के लिए (अधिकतर स्थितियों में, यह वास्तव में कोई मायने नहीं रखता), हम इसे $α = 2β$ में प्रतिस्थापित करते हैं। ऐसा करने से एक साधारण सदिश उत्पन्न होता है, जो इस विशेष आइगेनमान के लिए आवश्यक आइगेनसदिश होता है। हमारी स्थिति में, हम $α = 2$ चयनित करते हैं, जो बदले में यह निर्धारित करता है कि $β = 1$ और, मानक सदिश संकेतन का उपयोग करके, हमारा सदिश कुछ इस प्रकार का होता है
 * $$\mathbf{\hat{v}}_1 = \begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix}. $$

हमारे द्वारा परिकलित किए गए दूसरे आइगेनमान, जो कि $$\lambda = -5$$ है, का उपयोग करके उसी संक्रिया को निष्पादित करते हुए, हम अपना दूसरा आइगेनमान प्राप्त करते हैं। इस सदिश को प्राप्त करने की प्रक्रिया नहीं दिखाई गई है, लेकिन अंतिम परिणाम निम्न है
 * $$\mathbf{\hat{v}}_2 = \begin{bmatrix} 1\\2 \end{bmatrix}. $$

तृतीय चरण
यह अंतिम चरण उन आवश्यक फलनों को ज्ञात करता है जो मूल रूप से हमें दिए गए अवकलज के पीछे 'छिपे हुए' हैं। दो फलन हैं, क्योंकि हमारे अवकल समीकरण दो चर के साथ काम करते हैं।

वह समीकरण जिसमें वह सभी जानकारी सम्मिलित है जो हमने पहले प्राप्त की थी,  इसका का निम्न रूप है:
 * $$\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} = Ae^{\lambda_1t}\mathbf{\hat{v}}_1 + Be^{\lambda_2t}\mathbf{\hat{v}}_2. $$

आइगेनमानों ​​और आइगेनसदिशों के मूल्यों को प्रतिस्थापित करने से प्राप्ति होती है
 * $$\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} = Ae^{t}\begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix} + Be^{-5t}\begin{bmatrix} 1\\2 \end{bmatrix}. $$

और अधिक सरलीकरण लागू करना,
 * $$\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1\\1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} Ae^{t}\\Be^{-5t} \end{bmatrix}. $$

और अधिक सरल करना और फलन $x$ और $y$ के लिए अलग-अलग समीकरण लिखना,
 * $$x = 2Ae^{t} + Be^{-5t} $$
 * $$y = Ae^{t} + 2Be^{-5t}.$$

उपर्युक्त समीकरण, वास्तव में, वांछित सामान्य फलन हैं, लेकिन वे अपने सामान्य रूप में होते हैं ($A$ और $B$ के अनिर्दिष्ट मूल्यों के साथ), जबकि हम वास्तव में उनके सटीक रूप और हल प्राप्त करना चाहते हैं। तो अब हम समस्या की दी गई प्रारंभिक शर्तों पर विचार करते हैं (दिए गए प्रारंभिक शर्तों सहित समस्या तथाकथित प्रारंभिक मूल्य समस्या है)। मान लीजिए कि हमें $$x(0) = y(0) = 1$$ दिया गया है, जो हमारे साधारण अवकल समीकरण के लिए शुरुआती बिंदु की भूमिका निभाता है; इन शर्तों का अनुप्रयोग स्थिरांक, $A$ और $B$ को निर्दिष्ट करता है। जैसा कि हम $$x(0) = y(0) = 1$$ स्थितियों से देखते हैं, जब $t = 0$, उपरोक्त समीकरणों के बाएँ पक्ष 1 के बराबर होते हैं। इस प्रकार हम रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली का निर्माण कर सकते हैं,
 * $$1 = 2A + B $$
 * $$1 = A + 2B~.$$

इन समीकरणों को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं कि दोनों स्थिरांक $A$ और $B$ 1/3 के बराबर हैं। इसलिए इन मानों को इन दो कार्यों के सामान्य रूप में प्रतिस्थापित करने से उनके सटीक रूप निर्दिष्ट होते हैं,$$x = \tfrac{2}{3}e^{t} + \tfrac{1}{3}e^{-5t} $$$$y = \tfrac{1}{3}e^{t} + \tfrac{2}{3}e^{-5t}~,$$

वांछित दो फलन।

आव्यूह घातांक का उपयोग करना
उपरोक्त समस्या को आव्यूह घातांक के अनुप्रयोग के साथ हल किया जा सकता था। अर्थात् हम ऐसा कह सकते हैं

$$\begin{bmatrix} x(t)\\y(t) \end{bmatrix} = \exp \left(\begin{bmatrix} 3 & -4\\4 & -7 \end{bmatrix} t\right) \begin{bmatrix} x_0(t)\\y_0(t) \end{bmatrix} $$ यह देखते हुए कि (जिसे किसी भी उपयुक्त उपकरण का उपयोग करके गणना की जा सकती है, जैसे कि एमएटीएलएबी का  टूल, या आव्यूह विकर्णकरण करके और संपत्ति का लाभ उठाकर कि विकर्ण आव्यूह का आव्यूह घातांक इसके तत्वों के तत्व-वार घातांक के समान है)

$$\exp \left(\begin{bmatrix} 3 & -4\\4 & -7 \end{bmatrix} t\right) = \begin{bmatrix} 4 e^t/3 - e^{-5t}/3 & 2e^{-5t}/3 - 2e^t/3\\2e^t/3 - 2e^{-5t}/3 & 4e^{-5t}/3 - e^t/3 \end{bmatrix} $$ अंतिम परिणाम है

$$\begin{bmatrix} x(t)\\y(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 e^t/3 - e^{-5t}/3 & 2e^{-5t}/3 - 2e^t/3\\2e^t/3 - 2e^{-5t}/3 & 4e^{-5t}/3 - e^t/3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix} $$

$$\begin{bmatrix} x(t)\\y(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e^{-5t}/3 + 2e^t/3\\ e^t/3 + 2e^{-5t}/3 \end{bmatrix} $$

यह पहले दिखाए गए आइगेनसदिश दृष्टिकोण जैसा ही है।

यह भी देखें

 * असमघातीय समीकरण
 * आव्यूह अवकल समीकरण
 * न्यूटन का शीतलन का नियम
 * फिबोनाची अनुक्रम
 * अवकल समीकरण
 * तरंग समीकरण
 * स्वायत्त प्रणाली (गणित)