अनुकोण प्रतिचित्रण



गणित में, एक अनुरूप नक्शा एक फलन (गणित) है जो स्थानीय रूप से कोण को पूर्वरत करता है, लेकिन लंबाई के लिए यह आवश्यक नहीं है।

अधिक औपचारिक रूप से, माना कि $$U$$ और $$V$$, $$\mathbb{R}^n$$के खुले उपसमुच्चय हों। एक फलन $$f:U\to V$$ एक बिंदु पर अनुरूप (या कोण-संरक्षण) कहा जाता है। $$u_0\in U$$ यदि यह निर्देशित वक्र के बीच $$u_0$$ द्वारा कोणों को पूर्वरत रखता है साथ ही अभिविन्यास को पूर्वरत रखता है। अनुरूप मानचित्र दोनों कोणों और अनंत रूप से छोटे आंकड़ों के आकार को पूर्वरत रखते हैं, लेकिन उनके आकर या वक्रता के लिए यह आवश्यक नहीं है।

एक समन्वय परिवर्तन के जैकोबियन आव्यूह और निर्धारक व्युत्पन्न आव्यूह के संदर्भ में अनुरूप संपत्ति का वर्णन किया जा सकता है। परिवर्तन अनुरूप है जब भी प्रत्येक बिंदु पर जैकोबियन एक सकारात्मक अदिश एक बार रोटेशन आव्यूह (निर्धारक एक के साथ ऑर्थोगोनल आव्यूह ) होता है। कुछ लेखक अभिविन्यास-उत्क्रमी प्रतिचित्रण को सम्मिलित करने के लिए अनुरूपता को परिभाषित करते हैं जिनके जैकबियन किसी भी अदिश समय के रूप में किसी ऑर्थोगोनल आव्यूह के रूप में लिखे जा सकते हैं।

दो आयामों में प्रतिचित्रण के लिए (अभिविन्यास-संरक्षण) अनुरूप प्रतिचित्रण सटीक रूप से स्थानीय रूप से व्युत्क्रम पूर्णसममितिक फलन फलन हैं। जैसे कि तीन और उच्च आयामों में, लिउविल का प्रमेय (अनुरूप मैपिंग)। लिउविल का प्रमेय कुछ प्रकार के अनुरूप प्रतिचित्रण को तेजी से सीमित करता है।

अनुरूपता की धारणा सामान्य रूप से रीमैनियन कई गुना या सेमी-रीमैनियन मैनिफोल्ड के बीच मानचित्रों के लिए सामान्य है।

दो आयामों में अनुरूप मानचित्र
यदि $$U$$ जटिल तल $$\mathbb{C}$$ का खुला समुच्चय है, फिर एक फलन (गणित) $$f:U\to\mathbb{C}$$ अनुरूप है यदि सिर्फ यह पूर्णसममितिक फलन है और इसका व्युत्पन्न हर स्थान पर गैर-शून्य है $$U$$. यदि $$f$$ एंटीपूर्णसममितिक फलन (पूर्णसममितिक फलन के लिए जटिल संयुग्म) है, यह कोणों को पूर्वरत करता है लेकिन उनके अभिविन्यास को व्युत्क्रम कर देता है।

साहित्य में, अनुरूपता की एक अन्य परिभाषा है: मानचित्रण $$f$$ जो समतल में एक खुले समुच्चय पर एकाएक और पूर्णसममितिक है। खुला प्रतिचित्रण प्रमेय व्युत्क्रम फलन $$f$$ (की छवि पर परिभाषित) को बाध्य करता है जिसका पूर्णसममितिक होना अनिवार्य है। इस प्रकार इस परिभाषा के तहत, एक नक्शा ऐसा अनुरूप है यदि सिर्फ यह द्वि-पूर्णसममितिक है। अनुरूप मानचित्रों के लिए दो परिभाषाएँ समतुल्य नहीं हैं। एकाएक और पूर्णसममितिक होने का अर्थ है गैर-शून्य व्युत्पन्न होना। हालांकि, घातीय कार्य एक गैर-अक्षीय व्युत्पन्न के साथ एक पूर्णसममितिक फलन है, लेकिन यह आवधिक होने के बाद से एकाएक नहीं है।

रीमैन प्रतिचित्रण प्रमेय, जटिल विश्लेषण के गहन परिणामों में से एक है, जिसमें कहा गया है कि कोई भी असंतृप्त खुला केवल उचित उपसमुच्चय से जुड़ा है, $$\mathbb{C}$$ खुला यूनिट डिस्क में एक द्विभाजन कंफर्मल मैप $$\mathbb{C}$$ को स्वीकार करता है।

रीमैन क्षेत्र पर वैश्विक अनुरूप मानचित्र
रीमैन स्फीयर के अनुमान का एक नक्शा स्वयं अनुरूप है यदि सिर्फ यह एक मोबियस परिवर्तन है।

मोबियस परिवर्तन का जटिल संयुग्म कोणों को पूर्वरत करता है, लेकिन अभिविन्यास को व्युत्क्रम कर देता है। उदाहरण के लिए व्युत्क्रम ज्यामिति#वृत्त व्युत्क्रम।

तीन प्रकार के कोणों के संबंध में अनुरूपता
समतल ज्यामिति में तीन प्रकार के कोण होते हैं जिन्हें अनुरूप मानचित्र में पूर्वरत किया जा सकता है। प्रत्येक को अपने स्वयं के वास्तविक बीजगणित, साधारण सम्मिश्र संख्याओं, विभाजित-जटिल संख्या ओं और दोहरी संख्या ओं द्वारा होस्ट किया जाता है। अनुरूप मानचित्रों को प्रत्येक प्रकरण में रैखिक आंशिक परिवर्तन अनुरूप संपत्ति द्वारा वर्णित किया गया है।

रिमानियन ज्यामिति
रीमैनियन ज्यामिति में, दो रिमेंनियन मीट्रिक $$g$$ और $$h$$ एक समतल मैनिफोल्ड पर $$M$$ अनुरूप रूप से समकक्ष कहा जाता है यदि $$ g = u h $$ किसी सकारात्मक कार्य के लिए $$u$$ पर $$M$$ कार्यक्रम $$u$$ अनुरूप कारक कहा जाता है।

दो रिमेंनियन मैनिफोल्ड्स के बीच एक भिन्नता को एक अनुरूप मानचित्र कहा जाता है, यदि खींची गई मीट्रिक मूल रूप से अनुरूप रूप से समतुल्य है। उदाहरण के लिए, समतल (गणित) पर एक गोले का त्रिविम प्रक्षेपण अनंत पर एक बिंदु के साथ संवर्धित एक अनुरूप मानचित्र है।

अनुरूप रूप से समकक्ष रीमैनियन मेट्रिक्स के एक वर्ग के रूप में, एक समतल कई गुना पर एक अनुरूप संरचना को भी परिभाषित किया जा सकता है।

यूक्लिडियन अंतरिक्ष
जोसेफ लिउविल की एक लिउविल की प्रमेय (अनुरूप मैपिंग) दर्शाती है कि दो आयामों की तुलना में उच्च आयामों में बहुत कम अनुरूप मानचित्र हैं। यूक्लिडियन अंतरिक्ष के एक खुले उपसमुच्चय से आयाम तीन या अधिक के एक ही यूक्लिडियन अंतरिक्ष में किसी भी अनुरूप मानचित्र को तीन प्रकार के परिवर्तनों से बनाया जा सकता है: जैसे कि एक होमोथेटिक परिवर्तन, एक आइसोमेट्री, और एक विशेष अनुरूप परिवर्तन।

मानचित्र कला
मानचित्र कला में, मर्केटर प्रोजेक्शन और स्टीरियोग्राफिक प्रोजेक्शन सहित कई नामित नक्शा प्रक्षेपण अनुरूप हैं। वे सीधे खंड के रूप में निरंतर प्रभाव के किसी भी पाठ्यक्रम का प्रतिनिधित्व करने की अपनी अनूठी संपत्ति के कारण समुद्री नेविगेशन में उपयोग के लिए विशेष रूप से उपयोगी हैं। इस तरह के एक कोर्स, जिसे रूंब (या, गणितीय रूप से, एक लॉक्सोड्रोम) के रूप में जाना जाता है, समुद्री नेविगेशन में पसंद किया जाता है क्योंकि जहाज एक निरंतर कम्पास दिशा में जा सकते हैं।

भौतिकी और इंजीनियरिंग
इंजीनियरिंग और भौतिकी में समस्याओं को हल करने के लिए अनुरूप मानचित्रण अमूल्य हैं, जिन्हें एक जटिल चर के कार्यों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, फिर भी असुविधाजनक ज्यामिति प्रदर्शित करता है। एक उपयुक्त मानचित्रण चुनकर, विश्लेषक असुविधाजनक ज्यामिति को और अधिक सुविधाजनक में बदल सकता है। उदाहरण के लिए, कोई विद्युत क्षेत्र $$E(z)$$ की गणना करना चाह सकता है, एक निश्चित कोण (जहाँ $$z$$ 2-स्पेस में एक बिंदु का जटिल समन्वय है) बंद रूप में हल करने के लिए यह समस्या अपने आप में अत्यधिक विफल है। हालाँकि, एक बहुत ही सरल अनुरूप मानचित्रण को नियोजित करके, असुविधाजनक कोण को सटीक रूप से मैप किया जाता है $$\pi$$ रेडियन, जिसका अर्थ है कि दो विमानों का कोना एक सीधी रेखा में बदल जाता है। इस नए डोमेन में, समस्या (संवाहक दीवार के पास स्थित बिंदु आवेश से प्रभावित विद्युत क्षेत्र की गणना करने की) को हल करना काफी आसान है। इस डोमेन में समाधान $$E(w)$$ प्राप्त होता है और फिर उसे नोट करके मूल डोमेन पर वापस मैप किया गया $$w$$ एक फलन के रूप में प्राप्त किया गया था (अर्थात, की फलन रचना $$E$$ और $$w$$) का $$z$$, कहाँ से $$E(w)$$ रूप में देखा जा सकता है $$E(w(z))$$, जिसका एक कार्य है $$z$$, मूल समन्वय आधार उपयोग किया जाता है। ध्यान दें कि यह एप्लिकेशन इस तथ्य का विरोधाभास नहीं है कि अनुरूप मानचित्रण कोणों को पूर्वरत करते हैं, वे ऐसा केवल अपने डोमेन के आंतरिक बिंदुओं के लिए करते हैं, न कि सीमा पर। एक अन्य उदाहरण टैंकों में सुस्त गतिकी की सीमा मान समस्या को हल करने के लिए अनुरूप मानचित्रण तकनीक का अनुप्रयोग है। यदि कोई फलन हार्मोनिक फलन है (अर्थात, यह लाप्लास के समीकरण को संतुष्ट करता है $$\nabla^2 f=0$$) एक समतल डोमेन (जो द्वि-आयामी है) पर है, और एक अनुरूप मानचित्र के माध्यम से दूसरे समतल डोमेन में रूपांतरित होता है, परिवर्तन भी हार्मोनिक है। इस कारण से, कोई भी कार्य जो एक संभावित द्वारा परिभाषित किया गया है, एक अनुरूप मानचित्र द्वारा रूपांतरित किया जा सकता है और फिर भी एक संभावित द्वारा शासित रहता है। एक संभावित द्वारा परिभाषित समीकरणों के भौतिकी के उदाहरणों में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र, और द्रव गतिकी में संभावित प्रवाह सम्मिलित हैं, जो कि निरंतर घनत्व, शून्य चिपचिपाहट और इर्रोटेशनल वेक्टर क्षेत्र मानते हुए द्रव प्रवाह का एक अनुमान है। अनुरूप मानचित्र के द्रव गतिशील अनुप्रयोग का एक उदाहरण जौकोव्स्की रूपांतरण है जिसका उपयोग जौकोव्स्की एयरफ़ोइल के चारों ओर प्रवाह के क्षेत्र की जांच के लिए किया जा सकता है।

कुछ विशिष्ट ज्यामिति में अरैखिक आंशिक अंतर समीकरणों को हल करने में अनुरूप मानचित्र भी मूल्यवान हैं। इस तरह के विश्लेषणात्मक समाधान गवर्निंग समीकरण के संख्यात्मक सिमुलेशन की सटीकता पर उपयोगी जांच प्रदान करते हैं। उदाहरण के लिए, अर्ध-अनंत दीवार के चारों ओर बहुत चिपचिपा मुक्त-सतह प्रवाह के प्रकरण में, डोमेन को आधे-प्लेन में मैप किया जा सकता है जिसमें समाधान एक-आयामी और गणना करने के लिए सीधा है।

असतत प्रणालियों के लिए, नॉरी और यांग ने ज्यामिति (उर्फ व्युत्क्रम ज्यामिति ) में एक अच्छी तरह से ज्ञात अनुरूप मानचित्रण के माध्यम से असतत सिस्टम रूट लोकस को निरंतर रूट लोकस में परिवर्तित करने का एक तरीका प्रस्तुत किया।

मैक्सवेल के समीकरण
मैक्सवेल के समीकरण लोरेंत्ज़ परिवर्तन द्वारा पूर्वरत हैं जो एक समूह बनाते हैं जिसमें परिपत्र और अतिशयोक्तिपूर्ण घुमाव सम्मिलित हैं। उत्तरार्द्ध को कभी-कभी लोरेंत्ज़ बूस्ट कहा जाता है ताकि उन्हें परिपत्र घुमावों से अलग किया जा सके। ये सभी परिवर्तन अनुरूप हैं क्योंकि अतिशयोक्तिपूर्ण घुमाव अतिशयोक्तिपूर्ण कोण (तेज़ी) को पूर्वरत करते हैं और अन्य घुमाव कोण को पूर्वरत करते हैं। पोइनकेयर समूह में अनुवाद के प्रारम्भ फिर से कोणों को पूर्वरत करती है।

एबेनेज़र कनिंघम (1908) और हैरी बेटमैन (1910) द्वारा मैक्सवेल के समीकरणों के संबंधित समाधानों के अनुरूप मानचित्रों के एक बड़े समूह की पहचान की गई थी। कैंब्रिज विश्वविद्यालय में उनके प्रशिक्षण ने उन्हें छवि आवेशों की विधि और गोले और व्युत्क्रमण के लिए छवियों के संबंधित तरीकों के साथ सुविधा प्रदान की थी। जैसा कि एंड्रयू वारविक (2003) मास्टर्स ऑफ थ्योरी द्वारा बताया गया है:
 * प्रत्येक चार-आयामी समाधान को छद्म-त्रिज्या के चार-आयामी हाइपर-क्षेत्र में व्युत्क्रम किया जा सकता है जो कि $$K$$ एक नया समाधान तैयार करने के लिए उपयोग किया जाता है।

वारविक ने सापेक्षता के इस नए प्रमेय को आइंस्टीन की कैम्ब्रिज प्रतिक्रिया के रूप में उजागर किया है, और जैसा कि व्युत्क्रम करने की विधि का उपयोग करके अभ्यास पर स्थापित किया गया है, जैसे कि जेम्स हॉपवुड जीन्स की पाठ्यपुस्तक गणितीय सिद्धांत विद्युत और चुंबकत्व में पाया गया।

सामान्य सापेक्षता
सामान्य सापेक्षता में, अनुरूप मानचित्र सबसे सरल और इस प्रकार सबसे सामान्य प्रकार के कारण परिवर्तन हैं। संरचनात्मक रूप से, ये अलग-अलग ब्रह्मांडों का वर्णन करते हैं जिसमें सभी समान घटनाएं और इंटरैक्शन अभी भी (कारण) संभव हैं, लेकिन इसे प्रभावित करने के लिए एक नया अतिरिक्त बल आवश्यक है (अर्थात, सभी समान प्रक्षेपवक्रों की प्रतिकृति के लिए ज्योडेसिक गति से प्रस्थान की आवश्यकता होगी क्योंकि मीट्रिक टेंसर (सामान्य सापेक्षता) अलग है)। इसका उपयोग प्रायः मॉडल को गुरुत्वीय विलक्षणता से सुदूर विस्तार के लिए उत्तरदायी बनाने का प्रयास करने के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए महाविस्फोट से पहले भी ब्रह्मांड के विवरण की अनुमति देना।

यह भी देखें

 * बिपूर्णसममितिक नक्शा
 * कैराथियोडोरी का प्रमेय (अनुरूप मानचित्रण), कैराथियोडोरी का प्रमेय - एक अनुरूप नक्शा सीमा तक लगातार फैलता है
 * पेनरोज़ आरेख
 * श्वार्ज़-क्रिस्टोफ़ेल मानचित्रण - एक साधारण बहुभुज के आंतरिक भाग में ऊपरी अर्ध-तल का एक अनुरूप परिवर्तन
 * विशेष रेखीय समूह - परिवर्तन जो आयतन (कोणों के विपरीत) और अभिविन्यास को पूर्वरत करते हैं

आगे की पढाई

 * Constantin Carathéodory (1932) Conformal Representation, Cambridge Tracts in Mathematics and Physics
 * Constantin Carathéodory (1932) Conformal Representation, Cambridge Tracts in Mathematics and Physics



बाहरी कड़ियाँ

 * Interactive visualizations of many conformal maps
 * Conformal Maps by Michael Trott, Wolfram Demonstrations Project.
 * Conformal Mapping images of current flow in different geometries without and with magnetic field by Gerhard Brunthaler.
 * Conformal Transformation: from Circle to Square.
 * Online Conformal Map Grapher.
 * Joukowski Transform Interactive WebApp