द्रव का आयतन विधि

कम्प्यूटेशनल द्रव गतिकी में, द्रव की आयतन (वीओएफ) विधि मुक्त-सतह मॉडलिंग तकनीक है, अर्थात मुक्त सतह (या द्रव इंटरफ़ेस या तरल-द्रव इंटरफ़ेस) को ट्रैक करने और पता लगाने के लिए संख्यात्मक विधि यह यूलेरियन विधियों के वर्ग से संबंधित है जो बहुभुज जालक की विशेषता है जो या तो स्थिर है या इंटरफ़ेस के विकसित आकार को समायोजित करने के लिए निश्चित निर्धारित विधि से चल रहा है। जैसे, वीओएफ संवहन पद्धति है - संख्यात्मक विधि जो प्रोग्रामर को इंटरफ़ेस के आकार और स्थिति को ट्रैक करने की अनुमति देता है, किन्तु यह स्टैंडअलोन प्रवाह समाधान एल्गोरिदम नहीं है। प्रवाह की गति का वर्णन करने वाले नेवियर-स्टोक्स समीकरणों को भिन्न प्रकार से हल करना होगा। यही बात अन्य सभी संवहन एल्गोरिदम के लिए भी प्रयुक्त होती है।

इतिहास
द्रव विधि की आयतन पहले की मार्कर-और-सेल विधि या मार्कर-और-सेल (एमएसी) विधियों पर आधारित है। जिसे अब वीओएफ के नाम से जाना जाता है उसका पहला विवरण 1976 में नोह और वुडवर्ड द्वारा दिया गया था, जहां भिन्न फलन $$C$$ (नीचे देखें) दिखाई दिया, चूँकि जर्नल में पहला प्रकाशन 1981 में हर्ट और निकोल्स द्वारा किया गया था चूंकि वीओएफ पद्धति ने कंप्यूटर संग्रहण आवश्यकताओं को कम करके मैक को पीछे छोड़ दिया था, इसलिए यह जल्दी ही लोकप्रिय हो गई। प्रारंभिक अनुप्रयोगों में टॉरे एट अल सम्मिलित हैं। लॉस अलामोस राष्ट्रीय प्रयोगशाला से, जिन्होंने नासा के लिए वीओएफ कोड बनाए (1985,1987) वीओएफ का पहला कार्यान्वयन अपूर्ण इंटरफ़ेस विवरण से आसक्त था, जिसे पश्चात् में पीसवाइज़-लीनियर इंटरफ़ेस कैलकुलेशन (पीएलआईसी) पद्धति प्रारंभ करके ठीक किया गया था। पीएलआईसी के साथ वीओएफ का उपयोग करना समकालीन मानक है, जिसका उपयोग फ्लो साइंस, इंक. या फ्लो-3डी, गेरिस (सॉफ्टवेयर), फ्लुएंट, इंक., ओपन फ़ोम, सिमसेंटर स्टार-सीसीएम+ और कन्वर्जेंट साइंस जैसे अनेक कंप्यूटर कोड में किया जाता है।

जहां भिन्न फलन $$C$$ (नीचे देखें) दिखाई दिया था, चूँकि जर्नल में पहला प्रकाशन 1981 में हर्ट और निकोल्स द्वारा किया गया था

अवलोकन
विधि तथाकथित अंश फलन $$C$$ के विचार पर आधारित है। यह स्केलर फलन है, जिसे नियंत्रण आयतन में तरल पदार्थ के विशिष्ट फलन के अभिन्न अंग के रूप में परिभाषित किया गया है, अर्थात् कम्प्यूटेशनल नियमित ग्रिड सेल की आयतन प्रत्येक तरल पदार्थ का आयतन अंश कम्प्यूटेशनल ग्रिड में प्रत्येक सेल के माध्यम से ट्रैक किया जाता है, इस प्रकार जबकि सभी तरल पदार्थ गति समीकरणों का सेट साझा करते हैं, अर्थात प्रत्येक स्थानिक दिशा के लिए सेल-वॉल्यूम औसत परिप्रेक्ष्य से, जब कोई सेल ट्रैक किए गए चरण से रिक्त होता है, तो $$C$$ का मान शून्य होता है; जब सेल ट्रैक किए गए चरण $$C=1$$ से भरा होता है; और जब सेल में ट्रैक किए गए और गैर-ट्रैक किए गए वॉल्यूम के मध्य इंटरफ़ेस होता है. स्थानीय बिंदु के परिप्रेक्ष्य से जिसमें कोई वॉल्यूम $$ 0 < C < 1$$ नहीं होता है, जबकि $$C$$ असंतत फलन है जहां तक इसका मान 0 से 1 तक बढ़ जाता है जब स्थानीय बिंदु गैर-ट्रैक किए गए चरण से ट्रैक किए गए चरण की ओर बढ़ता है। द्रव इंटरफ़ेस की सामान्य दिशा वहां पाई जाती है जहां $$C$$ का मान सबसे तेज़ी से परिवर्तित होता है। इस पद्धति के साथ, मुक्त-सतह को स्पष्ट रूप से परिभाषित नहीं किया जाता है, किन्तु इसे सेल की ऊंचाई पर वितरित किया जाता है। इस प्रकार, स्पष्ट परिणाम प्राप्त करने के लिए, स्थानीय ग्रिड परिशोधन करना होगा शोधन मानदंड सरल है,$$ 0<C<1 $$ वाली सेल्स को परिष्कृत करना होगा। इसके लिए विधि, जिसे मार्कर और माइक्रो-सेल विधि के रूप में जाना जाता है, 1997 में राड और उनके सहयोगियों द्वारा विकसित की गई है।

$$n$$ तरल पदार्थों पर प्रणाली में $$m$$-वें तरल पदार्थ का विकास परिवहन समीकरण द्वारा नियंत्रित होता है (वास्तव में वही समीकरण जिसे लेवल-सेट विधि दूरी फलन $$\phi$$ द्वारा पूरा किया जाना है


 * $$ \frac{\partial C_{m}}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla C_{m} =0,$$

निम्नलिखित बाधा के साथ


 * $$ \sum_{m=1}^{n} C_{m} = 1 $$,

अर्थात, तरल पदार्थों का आयतन स्थिर है। प्रत्येक सेल के लिए घनत्व $$ \rho $$ जैसे गुणों की गणना सेल में सभी तरल पदार्थों के आयतन अंश औसत से की जाती है


 * $$ \rho=\sum_{m=1}^{n} \rho_{m} C_{m}.$$

फिर इन गुणों का उपयोग डोमेन के माध्यम से एकल गति समीकरण को हल करने के लिए किया जाता है, और प्राप्त वेग क्षेत्र को तरल पदार्थों के मध्य साझा किया जाता है।

वीओएफ विधि कम्प्यूटेशनल रूप से अनुकूल है, क्योंकि यह केवल अतिरिक्त समीकरण प्रस्तुत करती है और इस प्रकार न्यूनतम संग्रहण की आवश्यकता होती है। इस पद्धति की विशेषता अत्यधिक गैर-रेखीय समस्याओं से सामना करने की इसकी क्षमता भी है जिसमें मुक्त सतह तीव्र टोपोलॉजिकल परिवर्तनों का अनुभव करती है। वीओएफ विधि का उपयोग करके, कोई सतह-ट्रैकिंग विधियों द्वारा उपयोग किए जाने वाले सम्मिश्र जालक विरूपण एल्गोरिदम के उपयोग से भी बच सकता है। इस प्रकार इस विधि से जुड़ी प्रमुख कठिनाई मुक्त सतह पर अभिमिश्रण लगाना है। यह समस्या परिवहन समीकरण के अत्यधिक प्रसार से उत्पन्न होती है।

विवेकीकरण
मुक्त सतह पर अभिमिश्रण लगने से बचने के लिए, परिवहन समीकरण को अत्यधिक प्रसार के बिना हल करना होगा। इस प्रकार, वीओएफ विधि की सफलता $$C$$ क्षेत्र के संवहन के लिए उपयोग की जाने वाली पद्धति पर अधिक सीमा तक निर्भर करती है। किसी भी चुनी गई पद्धति को इस तथ्य से सामना करने की आवश्यकता है कि $$C$$ असंतत है, उदाहरण के विपरीत लेवल-सेट विधि में दूरी फलन $$\phi$$ का उपयोग किया जाता है।

जबकि पहले क्रम की अपविंड पद्धति इंटरफ़ेस को व्यर्थ कर देती है, उसी क्रम की डाउनविंड पद्धति गलत वितरण समस्या का कारण बनेगी जो ग्रिड लाइन के साथ प्रवाह उन्मुख नहीं होने की स्थिति में अनियमित व्यवहार का कारण बनेगी। चूँकि यह निचले-क्रम की पद्धतिएँ गलत हैं, और उच्च-क्रम की पद्धतिएँ अस्थिर हैं और दोलनों को प्रेरित करती हैं, ऐसी पद्धतियो को विकसित करना आवश्यक हो गया है जो मुक्त-सतह को तेज रखने के साथ-साथ मोनोटोनिक $$C$$ प्रोफाइल भी तैयार करती हैं। इस प्रकार पिछले कुछ वर्षों में, संवहन के उपचार के लिए विभिन्न विधियों का विकास किया गया है। हर्ट द्वारा मूल वीओएफ-लेख में, दाता-स्वीकर्ता पद्धति नियोजित की गई थी। इस पद्धति ने कंप्रेसिव डिफरेंसिंग पद्धतियो के लिए आधार बनाया था।

वीओएफ के उपचार के लिए विभिन्न विधियों को सामान्यतः तीन श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है, अर्थात् दाता-स्वीकर्ता फॉर्मूलेशन, उच्च क्रम भिन्न पद्धति और लाइन तकनीक आदि है।

दाता-स्वीकर्ता पद्धति
दाता-स्वीकर्ता पद्धति दो मूलभूत मानदंडों पर आधारित है, अर्थात् सीमा मानदंड और उपलब्धता मानदंड पहला बताता है कि $$C$$ का मान शून्य और के मध्य सीमित होना होगा। इसके पश्चात् वाला मानदंड यह सुनिश्चित करता है कि समय चरण के समय चेहरे पर संवहित द्रव की आयतन दाता सेल में उपलब्ध आयतन से कम या उसके सामान है, अर्थात, इस प्रकार वह सेल जहां से द्रव स्वीकर्ता सेल में प्रवाहित हो रहा है। अपने मूल कार्य में, हर्ट ने इसे मिश्रित पद्धति के साथ व्यवहार किया जिसमें नियंत्रित डाउनवाइंडिंग और अपवाइंडिंग भिन्नता सम्मिलित थी।

उच्च क्रम विभेदक पद्धतिएँ
उच्च क्रम विभेदक पद्धतियो में, जैसा कि नाम से पता चलता है, संवहन परिवहन समीकरण को उच्च क्रम या मिश्रित भिन्न पद्धतियो के साथ विभेदित किया जाता है। इस तरह के विधियों में आर्बिट्रेरी मेशेज के लिए कंप्रेसिव इंटरफ़ेस कैप्चरिंग स्कीम (सीआईसीएसएएम) सम्मिलित है। और उच्च रिज़ॉल्यूशन इंटरफ़ेस कैप्चरिंग (एचआरआईसी) पद्धति, जो दोनों लियोनार्ड द्वारा सामान्यीकृत परिवर्तनीय आरेख (एनवीडी) पर आधारित हैं।

ज्यामितीय पुनर्निर्माण तकनीक
लाइन तकनीकें सेल में इंटरफ़ेस को स्पष्ट रूप से ट्रैक न करके परिवहन समीकरण के विवेकीकरण से जुड़ी समस्याओं को दूर करती हैं। इसके अतिरिक्त, इंटरफ़ेस सेल में द्रव वितरण वर्ग सेल्स के वॉल्यूम अंश वितरण का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है। 1976 से नोह और वुडवर्ड द्वारा सिंपल लाइन इंटरफ़ेस कैलकुलेशन (एसएलआईसी) इंटरफ़ेस के पुनर्निर्माण के लिए सरल ज्यामिति का उपयोग करता है। इस प्रकार प्रत्येक सेल में इंटरफ़ेस को समन्वय अक्षों में से के समानांतर रेखा के रूप में अनुमानित किया जाता है और क्रमशः क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर आंदोलनों के लिए भिन्न-भिन्न द्रव विन्यास ग्रहण करता है। आज व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली तकनीक यंग्स द्वारा पीसवाइज़ लीनियर इंटरफ़ेस कैलकुलेशन है। पीएलआईसी इस विचार पर आधारित है कि इंटरफ़ेस को $R^{2}$ में रेखा या $R^{3}$ में विमान के रूप में दर्शाया जा सकता है, इसके पश्चात् वाले स्थिति में हम इंटरफ़ेस का वर्णन इस प्रकार कर सकते हैं:


 * $$\mathbf{n}_x+\mathbf{n}_y+\mathbf{n}_z=\alpha,$$

जहां $$\mathbf{n}$$ इंटरफ़ेस के लिए सामान्य सदिश है। सामान्य के अवयव पाए जाते हैं जैसे परिमित अंतर विधि या न्यूनतम वर्ग अनुकूलन के साथ इसके संयोजन का उपयोग करके। कम्प्यूटेशनल सेल के अन्दर बड़े मापदंड पर संरक्षण को प्रयुक्त करके मुक्त शब्द $$\alpha$$ को (विश्लेषणात्मक रूप से या सन्निकटन द्वारा) पाया जाता है। एक बार इंटरफ़ेस का विवरण स्थापित हो जाने के पश्चात्, $$C$$ के संवहन समीकरण को ज्यामितीय तकनीकों का उपयोग करके हल किया जाता है जैसे कि ग्रिड सेल्स के मध्य $$C$$ के प्रवाह को खोजना या द्रव वेग के असतत मूल्यों का उपयोग करके इंटरफ़ेस के अंतिम बिंदुओं को संवहन करता है।

इंटरफ़ेस कैप्चर समस्याएँ
दो-चरण प्रवाह में, जिसमें दो चरणों के गुण अधिक भिन्न होते हैं, इंटरफ़ेस पर सतह तनाव बल की गणना में त्रुटियां फ्रंट-कैप्चरिंग विधियों जैसे द्रव की आयतन (वीओएफ) और स्तर-सेट विधि या स्तर- का कारण बनती हैं। इस प्रकार इंटरफेशियल प्रतिरूपी धाराओं को विकसित करने के लिए सेट विधि (एलएस) ऐसे प्रवाहों को उत्तम विधि से हल करने के लिए, ऐसे प्रतिरूपी धाराओं को कम करने के लिए विशेष उपचार की आवश्यकता होती है। कुछ अध्ययनों ने लेवल-सेट विधि और द्रव विधियों की आयतन को मिलाकर इंटरफ़ेस ट्रैकिंग में सुधार करने पर ध्यान दिया है, जबकि कुछ अन्य ने स्मूथनिंग लूप जोड़कर या गुण औसत तकनीकों में सुधार करके संख्यात्मक समाधान एल्गोरिदम में सुधार करने पर ध्यान दिया है।

यह भी देखें

 * निमग्न सीमा विधि


 * स्टोकेस्टिक यूलेरियन लैग्रेंजियन विधि


 * लेवल-सेट विधि
 * स्लोशिंग