संख्यात्मक द्वारक

प्रकाशिकी (ऑप्टिक्स) में, एक प्रकाशिक प्रणाली का संख्यातमक द्वारक (एनए) एक विमाहीन संख्या है जो कोणों की सीमा को दर्शाता है जिस पर प्रणाली प्रकाश को ग्रहण या उत्सर्जित कर सकती है। इसकी परिभाषा में अपवर्तन के सूचकांक को समाविष्ट करते हुए, एनए की विशेशता है कि यह किरण (किरणपुंज) के लिए स्थिर है क्योंकि यह एक उपकरण से दूसरे उपकरण में जाती है, परंतु अंतरापृष्ठ पर कोई अपवर्तक शक्ति न हो। प्रकाशिकी के विभिन्न क्षेत्रफल के बीच शब्द की यथार्थ परिभाषा थोड़ी भिन्न होती है। संख्यात्मक द्वारक का उपयोग सामान्यतः सूक्ष्मदर्शी में एक उद्देश्य (और इसलिए इसकी प्रकाश-संग्रह करने की क्षमता और संकल्प) के स्वीकृति कोन का वर्णन करने के लिए किया जाता है, और फाइबर प्रकाशिकी में, जिसमें यह कोणों की सीमा का वर्णन करते है जिसके अन्तर्गत प्रकाश होता है। फाइबर पर इसके साथ प्रेषित किया जाता है।

सामान्य प्रकाशिकी
प्रकाशिकी के सर्वाधिक क्षेत्रफल में, और विशेष रूप से सूक्ष्मदर्शी में, एक प्रकाशिक प्रणाली के संख्यात्मक द्वारक जैसे अभिदृश्यक लेन्स को परिभाषित किया जाता है


 * $$\mathrm{NA} = n \sin \theta,$$

जहाँ $θ_{1}$ उस माध्यम के अपवर्तक का सूचकांक है जिसमें लेंस काम कर रहा है (1.00 हवा के लिए, 1.33 शुद्ध पानी के लिए, और सामान्यतः 1.52 अंतर्वेशी आयल के लिए; अपवर्तक सूचकांकों की सूची भी देखें), और θ प्रकाश के अधिकतम कोन का आधा कोण है जो लेंस में प्रवेश या बाहर निकल सकता है। सामान्य रूप में, यह प्रणाली में पूर्णतः उपांत किरण का कोण है। क्योंकि अपवर्तन सूचकांक सम्मिलित है, किरणों की एक पेंसिल का एनए एक अपरिवर्तनीय है क्योंकि किरणों की एक पेंसिल एक पदार्थ से दूसरे में एक समतल सतह से गुजरती है। स्नेल के नियम को पुनर्व्यवस्थित करके यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि $θ_{2}$ एक अंतरापृष्ठ में स्थिर है।

हवा में, लेंस का कोणीय द्वारक इस मान से लगभग दोगुना होता है (उपाक्षीय सादृश्य के अन्तर्गत)। एनए को सामान्यतः किसी विशेष वस्तु या प्रतीक बिंदु के संबंध में मापा जाता है और उस बिंदु के स्थानांतरित होने पर भिन्न होगा। सूक्ष्मदर्शी में, एनए सामान्यतः वस्तु-स्थान एनए को संदर्भित करता है जब तक कि अन्यथा उल्लेख नहीं किया जाता।

सूक्ष्मदर्शी में, एनए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह एक लेंस की विभेदन क्षमता को इंगित करता है। बेहतरीन विवरण का आकार जिसे सुलझाया जा सकता है (समाधान) के समानुपाती होता $n$ है, कहां $n sin θ$ प्रकाश की तरंग दैर्ध्य है। बड़े संख्यात्मक द्वारक वाला लेंस छोटे संख्यात्मक द्वारक वाले लेंस की तुलना में बेहतर विवरण देखने में सक्षम होगा।

गुणवत्ता (विवर्तन-सीमित) प्रकाशिकी मानते हुए, बड़े संख्यात्मक द्वारक वाले लेंस अधिक प्रकाश एकत्र करते हैं और सामान्यतः एक उज्जवल प्रतीक प्रदान करेंगे, लेकिन क्षेत्र की उथली गहराई प्रदान करेंगे।

प्रकाशिक डिस्क स्वरूपों में गड्ढे के आकार को परिभाषित करने के लिए संख्यात्मक द्वारक का उपयोग किया जाता है।

आवर्धन और उद्देश्य के संख्यात्मक द्वारक को बढ़ाने से कार्य दूरी कम हो जाती है, अर्थात् सामने वाले लेंस और प्रतिदर्शी के बीच की दूरी।

संख्यात्मक द्वारक बनाम एफ-संख्या
फ़ोटोग्राफ़ी में सामान्यतः संख्यात्मक द्वारक का उपयोग नहीं किया जाता है। इसके बदले में, एक लेंस (या एक प्रतिबिंब दर्पण) का कोणीय द्वारक f-संख्या द्वारा लिखित रूप में व्यक्त किया जाता है, लिखित f/N, जहां N प्रवेश प्यूपिल D के व्यास के फोकल लम्बाई f अनुपात द्वारा दी गई f-संख्या है:


 * $$N = \frac{f}{D}.$$

जब लेंस अनंत पर केंद्रित होता है तो यह अनुपात प्रतिबिंब स्थान संख्यात्मक द्वारक से संबंधित होता है। दाईं ओर आरेख के आधार पर, लेंस का प्रतिबिंब स्थान संख्यात्मक द्वारक है:


 * $$\text{NA}_\text{i} = n \sin \theta = n \sin \left[ \arctan \left( \frac{D}{2f} \right) \right] \approx n \frac{D}{2f},$$

इस प्रकार $λ⁄2NA$, हवा में सामान्य उपयोग मानते हुए ($λ$).

संख्यात्मक द्वारक छोटा होने पर सन्निकटन होता है, लेकिन यह पता चला है कि कैमरे के लेंस जैसे अच्छी तरह से सही प्रकाशिक प्रणाली के लिए, एक अधिक विस्तृत विश्लेषण से पता चलता है कि $N ≈ 1⁄2NA_{i}$ लगभग बराबर है $n = 1$ बड़े संख्यात्मक द्वारक पर भी है। जैसा कि रुडोल्फ किंग्सलेक बताते हैं, यह मान लेना एक सामान्य त्रुटि है कि अनुपात [$N$] वास्तव में $1⁄2NA_{i}$ के बराबर है, और $D⁄2f$ के नहीं... स्पर्शरेखा निश्चित रूप से सही होगी यदि मुख्य तल वास्तव में समतल हों। तथापि, ऐबे ज्या अवस्था का पूरा सिद्धांत दिखाता है कि यदि एक लेंस कोमा और गोलीय विपथन के लिए सही किया जाता है, जैसा कि सभी अच्छे फोटोग्राफिक अभिदृश्यक होने चाहिए, तो दूसरा मुख्य तल त्रिज्या f के गोले का एक हिस्सा बन जाता है जो केंद्र बिंदु के बारे में केंद्रित होता है"। इस अर्थ में, पारंपरिक पतले-लैन्स की परिभाषा और f-संख्या का दृष्टांत भ्रामक है, और संख्यात्मक द्वारक के संदर्भ में इसे परिभाषित करना अधिक अर्थपूर्ण हो सकता है।

कार्य (प्रभावी) f-संख्या
f संख्या उस स्थिति में लेंस की प्रकाश-संग्रह क्षमता का वर्णन करती है जहां वस्तु की ओर सीमांत किरणें लेंस के अक्ष के समानांतर होती हैं। यह विषय सामान्यतः फ़ोटोग्राफ़ी में सामने आता है, जहाँ फ़ोटोग्राफ़ी की जा रही वस्तुएँ प्रायः कैमरे से दूर होती हैं। जब वस्तु लेंस से दूर नहीं होती है, तथापि, प्रतीक अब लेंस के नाभीय समतल में नहीं बनती है, और $f$-संख्या अब लेंस की प्रकाश-संग्रह करने की क्षमता या प्रतीक-पक्ष संख्यात्मक द्वारक का यथार्थ वर्णन नहीं करता है। इस मामले में, संख्यात्मक द्वारक उस से संबंधित है जिसे कभी-कभी कार्य $f$-संख्या या "प्रभावी $f$-संख्या" कहा जाता है।

काम कर रहे $f$-संख्या को उपरोक्त संबंध को संशोधित करके परिभाषित किया गया है, वस्तु से प्रतीक तक आवर्धन को ध्यान में रखते हुए:


 * $$\frac{1}{2 \text{NA}_\text{i}} = N_\text{w} = \left(1 - \frac{m}{P}\right) N, $$

कहां $tan θ$ कार्यशील $f$-संख्या है, $sin θ$ किसी विशेष दूरी पर किसी वस्तु के लिए लेंस का आवर्धन है, $N_{w}$ प्यूपिल का आवर्धन है, और NA को पहले की तरह उपांत किरण के कोण के रूप में परिभाषित किया गया है। यहाँ आवर्धन सामान्यतः ऋणात्मक होता है, और प्यूपिल आवर्धन को प्रायः 1 माना जाता है - जैसा कि एलेन आर। ग्रीनलीफ़ बताते हैं, "लेंस के बाहर निकलने वाले प्यूपिल और प्लेट या फिल्म की स्थिति के बीच की दूरी के वर्ग के रूप में रोशनी भिन्न होती है। क्योंकि निर्गम प्यूपिल की स्थिति सामान्यतः लेंस के उपयोगकर्ता के लिए अज्ञात होती है, इसके बदले में पश्च संयुग्म नाभीय दूरी का उपयोग किया जाता है; इस प्रकार प्रस्तावित की गई परिणामी सैद्धांतिक त्रुटि अधिकांश प्रकार के फोटोग्राफिक लेंसों के लिए नगण्य है।

फोटोग्राफी में, कारक को कभी-कभी $m$ के रूप में लिखा जाता है, जहाँ $P$ आवर्धन के निरपेक्ष मान का प्रतिनिधित्व करता है; किसी भी स्थिति में, सुधार कारक 1 या अधिक है। उपरोक्त समीकरण में दो समानताएं विभिन्न लेखकों द्वारा कार्य $f$-संख्या की परिभाषा के रूप में लिया जाता है, $f$-संख्या, जैसा कि उद्धृत स्रोत बताते हैं। जरूरी नहीं कि वे दोनों यथार्थ हों, लेकिन प्रायः उनके साथ ऐसा उपचारित किया जाता है जैसे वे हैं।

इसके विपरीत, वस्तु-दिशा संख्यात्मक द्वारक आवर्धन के माध्यम से $f$-संख्या से संबंधित है (दूर की वस्तु के लिए शून्य की ओर प्रवृत्त):


 * $$\frac{1}{2 \text{NA}_\text{o}} = \frac{m - P}{mP} N. $$

लेजर भौतिकी
लेज़र भौतिकी में, संख्यात्मक द्वारक को थोड़ा अलग तरीके से परिभाषित किया गया है। लेज़र किरणपुंज प्रसार के साथ फैलती हैं, लेकिन धीरे-धीरे फैलती हैं। किरणपुंज के सबसे संकीर्ण भाग से दूर, प्रसार लगभग दूरी के साथ रैखिक है—लेज़र किरणपुंज "सुदूर क्षेत्र" में प्रकाश का एक कोन बनाता है। लेज़र किरणपुंज के एनए को परिभाषित करने के लिए प्रयुक्त संबंध वही है जो प्रकाशिक प्रणाली के लिए उपयोग किए जाते है,


 * $$\text{NA} = n \sin \theta,$$

लेकिन $1 + m$ अलग तरह से परिभाषित किया गया है। लेज़र किरणपुंज में सामान्यतः तीक्ष्ण किनारे नहीं होते हैं जैसे प्रकाश की कोन जो लेंस के द्वारक से होकर गुजरती है। इसके बदले में, किरणपुंज के केंद्र से विकिरण धीरे-धीरे दूर हो जाता है। किरणपुंज के लिए गॉसियन परिच्छेदिका होना बहुत सामान्य है। लेजर भौतिक विज्ञानी सामान्यतः किरणपुंज के विचलन को θ बनाने के लिए चुनते हैं: किरणपुंज अक्ष के बीच का दूर-क्षेत्र का कोण और उस अक्ष से दूरी जिस पर विकिरण पर अक्ष विकिरण से $m$ गुना तक गिर जाता है। गॉसियन लेज़र किरणपुंज का एनए तब इसके न्यूनतम स्थान आकार (किरणपुंज) से संबंधित होता है।


 * $$\text{NA} \simeq \frac{\lambda_0}{\pi w_0},$$

जहां $θ$ प्रकाश की निर्वात तरंगदैर्घ्य है, और $e^{−2}$ इसके सबसे संकरे स्थान पर किरणपुंज का व्यास है, जिसे $λ_{0}$ विकिरण बिंदुओं के बीच मापा जाता है ("तीव्रता की अधिकतम e−2 पर पूर्ण चौड़ाई")। इसका मतलब यह है कि एक छोटे से स्थान पर केंद्रित एक लेजर किरणपुंज केंद्रित से दूर जाने पर तेजी से फैल जाएगी, यद्यपि एक बड़े व्यास वाली लेज़र किरणपुंज बहुत लंबी दूरी पर मोटे तौर पर एक ही आकार में रह सकती है। यह भी देखें: गॉसियन किरणपुंज चौड़ाई।

फाइबर प्रकाशिकी
एक बहु मोड प्रकाशिक फाइबर केवल प्रकाश का प्रसार करेगा जो फाइबर के एक निश्चित सीमा के भीतर फाइबर में प्रवेश करता है, जिसे फाइबर की स्वीकृति कोन के रूप में जाना जाता है। इस कोन के आधे कोण को स्वीकृति कोण, $2w_{0}$ कहा जाता है। किसी दिए गए माध्यम में पद-सूचक बहुविधा फाइबर के लिए, स्वीकृति कोण केवल कोर, अथिपट्टन और माध्यम के अपवर्तन के सूचकांकों द्वारा निर्धारित किया जाता है:
 * $$n \sin \theta_\max = \sqrt{n_\text{core}^2 - n_\text{clad}^2},$$

जहाँ $e^{−2}$ फाइबर के चारों ओर माध्यम का अपवर्तक सूचकांक है, $n_{2}$ फाइबर कोर का अपवर्तक सूचकांक है, और $n_{1}$ आवरण का अपवर्तक सूचकांक है। यद्यपि कोर उच्च कोणों पर प्रकाश को स्वीकार करेगा, वे किरणें कोर-अथिपट्टन अंतरापृष्ठ से आंतरिक प्रतिबिंब को पूरा नहीं करेंगी, और इसलिए फाइबर के दूसरे अंत पर प्रेषित नहीं होंगी। इस सूत्र की व्युत्पत्ति नीचे दी गई है।

जब एक प्रकाश किरण अपवर्तक सूचकांक $n$ के माध्यम से अधिकतम स्वीकृति कोण पर सूचकांक $θ_{max}$ के कोर से टकराती है, तो मध्यम-कोर अंतरापृष्ठ पर स्नेल नियम देता है
 * $$n\sin\theta_\max = n_\text{core}\sin\theta_r.\ $$

उपरोक्त आकृति की ज्यामिति से हमारे पास है:
 * $$\sin\theta_{r} = \sin\left({90^\circ} - \theta_{c}\right) = \cos\theta_{c}$$

कहां
 * $$ \theta_{c} = \arcsin \frac{n_\text{clad}}{n_\text{core}}$$

पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए क्रांतिक कोण है।

स्नेल नियम में $n$ के लिए $n_{core}$ को प्रतिस्थापित करने पर हमें मिलता है:
 * $$\frac{n}{n_\text{core}}\sin\theta_\max = \cos\theta_{c}.$$

दोनों भुजाओ को समकोणन करके
 * $$\frac{n^{2}}{n_\text{core}^{2}}\sin^{2}\theta_\max = \cos^{2}\theta_{c} = 1 - \sin^{2}\theta_{c} = 1 - \frac{n_\text{clad}^{2}}{n_\text{core}^{2}}.$$

हल करने पर, हम ऊपर बताए गए सूत्र को पाते हैं:


 * $$n \sin \theta_\max = \sqrt{n_\text{core}^2 - n_\text{clad}^2},$$

यह अन्य प्रकाशिक प्रणालियों में संख्यात्मक द्वारक (एनए) के समान रूप है, इसलिए किसी भी प्रकार के फाइबर के एनए को परिभाषित करना सामान्य हो गया है
 * $$\mathrm{NA} = \sqrt{n_\text{core}^2 - n_\text{clad}^2},$$

जहाँ $n_{clad}$ फाइबर के केंद्रीय अक्ष के साथ अपवर्तक सूचकांक है। ध्यान दें कि जब इस परिभाषा का उपयोग किया जाता है, तो एनए और फाइबर के स्वीकृति कोण के बीच का संबंध केवल एक सन्निकटन बन जाता है। विशेष रूप से, निर्माता प्रायः इस सूत्र के आधार पर एकल-मोड फाइबर के लिए एनए उद्धृत करते हैं, भले ही एकल-मोड फाइबर के लिए स्वीकृति कोण काफी अलग है और अकेले अपवर्तन के सूचकांक से निर्धारित नहीं किया जा सकता है।

परिबद्ध मोड की संख्या, मोड आयतन, सामान्यीकृत आवृत्ति से संबंधित है और इस प्रकार एनए से संबंधित है।

बहुमोड फाइबर में, संतुलन संख्यात्मक द्वारक शब्द का प्रयोग कभी-कभी किया जाता है। यह एक फाइबर से निकलने वाली किरण के अत्यधिक निकास कोण के संबंध में संख्यात्मक द्वारक को संदर्भित करते है जिसमें संतुलन मोड वितरण स्थापित किया गया है।

यह भी देखें

 * $f$-संख्या
 * संख्यात्मक द्वारक प्रमोचन करें
 * निर्देशित किरण, प्रकाशिक फाइबर संदर्भ
 * स्वीकृति कोण (सौर संकेंद्रक), आगे का संदर्भ

बाहरी कड़ियाँ

 * "Microscope Objectives: Numerical Aperture and Resolution" by Mortimer Abramowitz and Michael W. Davidson, Molecular Expressions: Optical Microscopy Primer (website), Florida State University, April 22, 2004.
 * "Basic Concepts and Formulas in Microscopy: Numerical Aperture" by Michael W. Davidson, Nikon MicroscopyU (website).
 * "Numerical aperture", Encyclopedia of Laser Physics and Technology (website).
 * "Numerical Aperture and Resolution", UCLA Brain Research Institute Microscopy Core Facilities (website), 2007.