प्रतिवर्ती समापन

गणित में, समुच्चय X पर द्विआधारी संबंध R का प्रतिवर्ती समापन X पर सबसे छोटा प्रतिवर्ती संबंध होता है जिसमें R सम्मिलित होता है।

उदाहरण के लिए, यदि X भिन्न संख्याओं का एक समूह है और x R y का अर्थ है "x, y से कम है", तो R का प्रतिवर्ती समापन संबंध "x, y से कम है या उसके बराबर है"।

परिभाषा
समुच्चय X पर संबंध R का प्रतिवर्ती समापन S द्वारा दिया जाता है


 * $$S = R \cup \left\{ (x, x) : x \in X \right\}$$

अंग्रेजी में, R का प्रतिवर्ती समापन X पर पहचान संबंध के साथ R का समुच्चय है।

उदाहरण
उदाहरण के तौर पर, यदि
 * $$X = \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$$
 * $$R = \left\{ (1,1), (2,2), (3,3), (4,4) \right\}$$

तो संबंध $$R$$ पहले से ही स्वयं प्रतिवर्ती है, इसलिए यह इसके प्रतिवर्ती समापन से भिन्न नहीं है।

हालाँकि, यदि $$R$$ में कोई भी युग्म अनुपस्थित था, तो इसे प्रतिवर्ती समापन के लिए अन्तर्निविष्ट किया जाएगा। उदाहरण के लिए, यदि एक ही समुच्चय $$X$$ पर
 * $$R = \left\{ (1,1), (2,2), (4,4) \right\}$$

तब प्रतिवर्ती समापन है
 * $$S = R \cup \left\{ (x,x): x \in X \right\} = \left\{ (1,1), (2,2), (3,3), (4,4) \right\} .$$

यह भी देखें

 * सकर्मक समापन
 * सममित समापन

संदर्भ

 * Franz Baader and Tobias Nipkow, Term Rewriting and All That, Cambridge University Press, 1998, p. 8