सरल आवर्ती दोलक

शास्त्रीय यांत्रिकी में, एक हार्मोनिक थरथरानवाला एक ऐसी प्रणाली है, जो अपनी यांत्रिक संतुलन स्थिति से विस्थापित होने पर, विस्थापन x के लिए एक पुनर्स्थापना बल F आनुपातिकता (गणित) का अनुभव करती है:

जहाँ k धनात्मक गुणांक है।

यदि सिस्टम पर अभिनय करने वाला एकमात्र बल F है, तो सिस्टम को 'सरल हार्मोनिक ऑसिलेटर' कहा जाता है, और यह सरल हार्मोनिक गति से गुजरता है: एक निरंतर आयाम और एक स्थिर आवृत्ति के साथ संतुलन बिंदु के बारे में साइनसोइडल दोलन (जो निर्भर नहीं करता है) आयाम)।

यदि वेग के समानुपाती घर्षण बल (डंपिंग अनुपात) भी मौजूद है, तो हार्मोनिक ऑसिलेटर को 'डंप्ड ऑसिलेटर' के रूप में वर्णित किया जाता है। घर्षण गुणांक के आधार पर, सिस्टम कर सकता है:
 * डंपिंग अनुपात मामले की तुलना में कम आवृत्ति के साथ दोलन करें, और समय के साथ एक आयाम घट रहा है (डंपिंग अनुपात थरथरानवाला)।
 * संतुलन की स्थिति में गिरावट, बिना दोलनों के (डंपिंग अनुपात थरथरानवाला)।

एक अंडरडैम्प्ड थरथरानवाला और एक ओवरडैम्प्ड थरथरानवाला के बीच का सीमा समाधान घर्षण गुणांक के एक विशेष मूल्य पर होता है और इसे गंभीर रूप से नम कहा जाता है।

यदि एक बाहरी समय-निर्भर बल मौजूद है, तो हार्मोनिक थरथरानवाला को एक संचालित थरथरानवाला के रूप में वर्णित किया जाता है।

यांत्रिक उदाहरणों में पेंडुलम (छोटे-कोण सन्निकटन के साथ#एक पेंडुलम की गति), वसंत (उपकरण) से जुड़े द्रव्यमान और ध्वनिकी शामिल हैं। अन्य #समतुल्य प्रणालियों में आरएलसी सर्किट जैसे विद्युत हार्मोनिक ऑसिलेटर शामिल हैं। हार्मोनिक थरथरानवाला मॉडल भौतिकी में बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि स्थिर संतुलन में बल के अधीन कोई भी द्रव्यमान छोटे कंपनों के लिए एक हार्मोनिक थरथरानवाला के रूप में कार्य करता है। हार्मोनिक ऑसिलेटर प्रकृति में व्यापक रूप से पाए जाते हैं और कई मानव निर्मित उपकरणों, जैसे घड़ियों और रेडियो सर्किट में उपयोग किए जाते हैं। वे लगभग सभी साइनसॉइडल कंपन और तरंगों के स्रोत हैं।

सरल हार्मोनिक थरथरानवाला
एक साधारण हार्मोनिक थरथरानवाला एक थरथरानवाला है जो न तो संचालित होता है और न ही भिगोना अनुपात। इसमें एक द्रव्यमान m होता है, जो एक एकल बल F का अनुभव करता है, जो द्रव्यमान को बिंदु की दिशा में खींचता है $x = 0$ और केवल द्रव्यमान की स्थिति x और स्थिर k पर निर्भर करता है। निकाय के लिए बलों का संतुलन (न्यूटन का दूसरा नियम) है $$F = m a = m \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = m\ddot{x} = -k x. $$ इस अवकल समीकरण को हल करने पर हम पाते हैं कि गति का वर्णन फलन द्वारा किया जाता है

कहाँ पे

गति आवधिक कार्य है, जो निरंतर आयाम ए के साथ साइन वेव फैशन में खुद को दोहराता है। इसके आयाम के अलावा, एक साधारण हार्मोनिक ऑसीलेटर की गति इसकी आवृत्ति द्वारा विशेषता है $$T = 2\pi/\omega$$, एकल दोलन या उसकी आवृत्ति के लिए समय $$f=1/T$$, प्रति यूनिट समय चक्रों की संख्या। किसी निश्चित समय पर स्थिति t भी चरण (तरंगों) पर निर्भर करती है, जो साइन लहर पर प्रारंभिक बिंदु निर्धारित करती है। अवधि और आवृत्ति द्रव्यमान m के आकार और बल स्थिरांक k द्वारा निर्धारित की जाती है, जबकि आयाम और चरण प्रारंभिक स्थिति और वेग से निर्धारित होते हैं।

एक साधारण हार्मोनिक थरथरानवाला का वेग और त्वरण स्थिति के समान आवृत्ति के साथ दोलन करता है, लेकिन स्थानांतरित चरणों के साथ। शून्य विस्थापन के लिए वेग अधिकतम होता है, जबकि त्वरण विस्थापन के विपरीत दिशा में होता है।

स्थिति x पर एक साधारण हार्मोनिक थरथरानवाला में संग्रहीत संभावित ऊर्जा है

नम हार्मोनिक थरथरानवाला
वास्तविक थरथरानवाला में, घर्षण, या भिगोना, सिस्टम की गति को धीमा कर देता है। घर्षण बल के कारण, अभिनय घर्षण बल के अनुपात में वेग कम हो जाता है। जबकि एक साधारण अप्रचलित हार्मोनिक थरथरानवाला में द्रव्यमान पर अभिनय करने वाला एकमात्र बल पुनर्स्थापन बल होता है, एक नम हार्मोनिक थरथरानवाला में इसके अलावा एक घर्षण बल होता है जो हमेशा गति का विरोध करने की दिशा में होता है। कई कंपन प्रणालियों में घर्षण बल Ff वस्तु के वेग v के समानुपाती होने के रूप में प्रतिरूपित किया जा सकता है: $F_{f} = −cv$, जहां c को श्यान अवमंदन गुणांक कहा जाता है।

नम हार्मोनिक ऑसिलेटर्स के लिए बलों का संतुलन (न्यूटन का दूसरा नियम) तब है $$ F = - kx - c\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = m \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2},$$ जिसे फॉर्म में फिर से लिखा जा सकता है $$ \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + 2\zeta\omega_0\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \omega_0^2 x = 0, $$ कहाँ पे
 * $\omega_0 = \sqrt{\frac k m}$ थरथरानवाला की अविरल कोणीय आवृत्ति कहलाती है,
 * अवमंदन अनुपात कहलाता है।

अवमंदन अनुपात का मान प्रणाली के व्यवहार को गंभीर रूप से निर्धारित करता है। एक नम हार्मोनिक थरथरानवाला हो सकता है: एक नम थरथरानवाला के क्यू कारक को परिभाषित किया गया है $$Q = 2\pi \times \frac{\text{energy stored}}{\text{energy lost per cycle}}.$$ Q, अवमंदन अनुपात से संबंधित है $Q = \frac{1}{2\zeta}.$
 * ओवरडैम्प्ड (ζ > 1): सिस्टम बिना दोलन के स्थिर अवस्था में (घातीय क्षय) वापस आ जाता है। अवमंदन अनुपात के बड़े मान अधिक धीरे-धीरे संतुलन में लौट आते हैं।
 * गंभीर रूप से नम (ζ = 1): सिस्टम बिना दोलन के जितनी जल्दी हो सके स्थिर स्थिति में लौटता है (हालांकि प्रारंभिक वेग गैर-शून्य होने पर ओवरशूट हो सकता है)। यह अक्सर दरवाजे जैसे सिस्टम की नमी के लिए वांछित होता है।
 * अंडरडैम्प्ड (ζ <1): सिस्टम दोलन करता है (अनडम्प्ड केस की तुलना में थोड़ी अलग आवृत्ति के साथ) आयाम के साथ धीरे-धीरे शून्य हो जाता है। अधपके हार्मोनिक थरथरानवाला की कोणीय आवृत्ति किसके द्वारा दी जाती है $\omega_1 = \omega_0\sqrt{1 - \zeta^2},$ अधपके हार्मोनिक थरथरानवाला का घातीय क्षय किसके द्वारा दिया जाता है $$\lambda = \omega_0\zeta.$$

चालित हार्मोनिक दोलक
चालित हार्मोनिक ऑसिलेटर्स एक बाहरी रूप से लागू बल F(t) द्वारा आगे प्रभावित होने वाले नम दोलक होते हैं।

न्यूटन का दूसरा नियम रूप लेता है $$F(t) - kx - c\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=m\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}. $$ इसे आमतौर पर फॉर्म में फिर से लिखा जाता है $$ \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + 2\zeta\omega_0\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \omega_0^2 x = \frac{F(t)}{m}. $$ इस समीकरण को किसी भी प्रेरक बल के लिए हल किया जा सकता है, समाधान z(t) का उपयोग करके जो अप्रभावित समीकरण को संतुष्ट करता है $$ \frac{\mathrm{d}^2z}{\mathrm{d}t^2} + 2\zeta\omega_0\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} + \omega_0^2 z = 0,$$ और जिसे नम साइनसॉइडल दोलनों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: $$z(t) = A e^{-\zeta \omega_0 t} \sin \left( \sqrt{1 - \zeta^2} \omega_0 t + \varphi \right), $$ मामले में जहां $ζ ≤ 1$. आयाम ए और चरण प्रारंभिक स्थितियों से मेल खाने के लिए आवश्यक व्यवहार निर्धारित करते हैं।

चरण इनपुट
यदि $ζ < 1$ और एक इकाई चरण इनपुट के साथ$x(0) = 0$: $$ \frac{F(t)}{m} = \begin{cases} \omega _0^2 & t \geq 0 \\ 0 & t < 0 \end{cases}$$ समाधान है $$ x(t) = 1 - e^{-\zeta \omega_0 t} \frac{\sin \left( \sqrt{1 - \zeta^2} \omega_0 t + \varphi \right)}{\sin(\varphi)},$$ चरण के साथ φ द्वारा दिया गया

$$\cos \varphi = \zeta.$$ एक थरथरानवाला को बदली हुई बाहरी परिस्थितियों के अनुकूल होने के लिए आवश्यक समय क्रम का होता है $τ = 1/(ζω_{0})$. भौतिकी में, अनुकूलन को विश्राम (भौतिकी) कहा जाता है, और को विश्राम समय कहा जाता है।

इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में, के गुणक को बसने का समय कहा जाता है, यानी सिग्नल को सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक समय अंतिम मूल्य से एक निश्चित प्रस्थान के भीतर है, आमतौर पर 10% के भीतर। ओवरशूट शब्द उस सीमा को संदर्भित करता है जब प्रतिक्रिया अधिकतम अंतिम मूल्य से अधिक हो जाती है, और अंडरशूट उस सीमा को संदर्भित करता है जो प्रतिक्रिया अधिकतम प्रतिक्रिया के बाद के समय के लिए अंतिम मूल्य से नीचे आती है।

साइनसॉइडल ड्राइविंग बल


साइनसॉइडल ड्राइविंग बल के मामले में: $$ \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + 2\zeta\omega_0\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \omega_0^2 x = \frac{1}{m} F_0 \sin(\omega t),$$ कहाँ पे $$F_0$$ ड्राइविंग आयाम है, और $$\omega$$ एक साइनसॉइडल ड्राइविंग तंत्र के लिए ड्राइविंग आवृत्ति है। इस प्रकार की प्रणाली बारी-बारी से चालू-चालित आरएलसी सर्किट (विद्युत प्रतिरोध-प्रेरक-संधारित्र) और आंतरिक यांत्रिक प्रतिरोध या बाहरी वायु प्रतिरोध वाले संचालित स्प्रिंग सिस्टम में दिखाई देती है।

सामान्य समाधान एक क्षणिक (दोलन) समाधान का योग है जो प्रारंभिक स्थितियों पर निर्भर करता है, और एक स्थिर स्थिति जो प्रारंभिक स्थितियों से स्वतंत्र होती है और केवल ड्राइविंग आयाम पर निर्भर करती है $$F_0$$, ड्राइविंग आवृत्ति $$\omega$$, अप्रकाशित कोणीय आवृत्ति $$\omega_0$$, और भिगोना अनुपात $$\zeta$$.

स्थिर-अवस्था समाधान एक प्रेरित चरण परिवर्तन के साथ ड्राइविंग बल के समानुपाती होता है $$\varphi$$: $$ x(t) = \frac{F_0}{m Z_m \omega} \sin(\omega t + \varphi),$$ कहाँ पे

यांत्रिक प्रतिबाधा या रैखिक प्रतिक्रिया समारोह का निरपेक्ष मूल्य है, और $$ \varphi = \arctan\left(\frac{2\omega \omega_0\zeta}{\omega^2 - \omega_0^2} \right) + n\pi$$ ड्राइविंग बल के सापेक्ष दोलन का चरण (लहरें) है। चरण मान को आमतौर पर −180° और 0 के बीच लिया जाता है (अर्थात, यह आर्कटिक तर्क के सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मानों के लिए एक चरण अंतराल का प्रतिनिधित्व करता है)।

एक विशेष ड्राइविंग आवृत्ति के लिए जिसे प्रतिध्वनि, या गुंजयमान आवृत्ति कहा जाता है $\omega_r = \omega_0 \sqrt{1 - 2\zeta^2}$, आयाम (दिए गए के लिए $$F_0$$) अधिकतम है। यह अनुनाद प्रभाव तभी होता है जब $$\zeta < 1 / \sqrt{2}$$, यानी महत्वपूर्ण रूप से कमजोर सिस्टम के लिए। जोरदार अंडरडैम्प सिस्टम के लिए, आयाम का मान गुंजयमान आवृत्ति के पास काफी बड़ा हो सकता है।

क्षणिक समाधान अनफोर्स्ड के समान हैं ($$F_0 = 0$$) नम हार्मोनिक थरथरानवाला और पहले हुई अन्य घटनाओं के लिए सिस्टम प्रतिक्रिया का प्रतिनिधित्व करता है। क्षणिक समाधान आम तौर पर इतनी तेजी से मर जाते हैं कि उन्हें अनदेखा किया जा सकता है।

पैरामीट्रिक ऑसिलेटर्स
एक पैरामीट्रिक थरथरानवाला एक संचालित हार्मोनिक थरथरानवाला है जिसमें थरथरानवाला के मापदंडों को अलग-अलग करके ड्राइव ऊर्जा प्रदान की जाती है, जैसे कि भिगोना या बहाल करना बल। पैरामीट्रिक दोलन का एक परिचित उदाहरण खेल के मैदान के झूले (सीट) पर पंप करना है। गतिमान झूले पर एक व्यक्ति बिना किसी बाहरी ड्राइव बल (धक्का) के झूले के दोलनों के आयाम को बढ़ा सकता है, झूले की जड़ता के क्षण को आगे और पीछे हिलाकर (पंपिंग) करके या बारी-बारी से खड़े होकर और लय में बैठकर, स्विंग के दोलनों के आयाम को बढ़ा सकता है। झूले के कंपन के साथ। मापदंडों के अलग-अलग सिस्टम को चलाते हैं। मापदंडों के उदाहरण जो भिन्न हो सकते हैं, वे हैं इसकी प्रतिध्वनि आवृत्ति $$\omega$$ और भिगोना $$\beta$$.

कई अनुप्रयोगों में पैरामीट्रिक ऑसिलेटर्स का उपयोग किया जाता है। जब डायोड की धारिता समय-समय पर बदलती रहती है, तो क्लासिकल वेरैक्टर पैरामीट्रिक ऑसिलेटर दोलन करता है। वह परिपथ जो डायोड की धारिता को बदलता है, पंप या चालक कहलाता है। माइक्रोवेव इलेक्ट्रॉनिक्स में, वेवगाइड (इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म) / येट्रियम एल्युमिनियम गार्नेट आधारित पैरामीट्रिक ऑसिलेटर उसी तरह से काम करते हैं। डिजाइनर दोलनों को प्रेरित करने के लिए समय-समय पर एक पैरामीटर बदलता रहता है।

पैरामीट्रिक ऑसिलेटर्स को कम शोर वाले एम्पलीफायरों के रूप में विकसित किया गया है, खासकर रेडियो और माइक्रोवेव फ़्रीक्वेंसी रेंज में। थर्मल शोर न्यूनतम है, क्योंकि एक प्रतिक्रिया (प्रतिरोध नहीं) विविध है। एक अन्य सामान्य उपयोग आवृत्ति रूपांतरण है, उदाहरण के लिए, ऑडियो से रेडियो आवृत्तियों में रूपांतरण। उदाहरण के लिए, ऑप्टिकल पैरामीट्रिक थरथरानवाला एक इनपुट लेजर तरंग को कम आवृत्ति की दो आउटपुट तरंगों में परिवर्तित करता है ($$\omega_s, \omega_i$$)

एक यांत्रिक प्रणाली में पैरामीट्रिक प्रतिध्वनि तब होती है जब एक प्रणाली पैरामीट्रिक रूप से उत्तेजित होती है और इसके गुंजयमान आवृत्तियों में से एक पर दोलन करती है। पैरामीट्रिक उत्तेजना मजबूर करने से अलग है, क्योंकि क्रिया एक सिस्टम पैरामीटर पर एक समय बदलती संशोधन के रूप में प्रकट होती है। यह प्रभाव नियमित अनुनाद से अलग है क्योंकि यह अस्थिरता की घटना को प्रदर्शित करता है।

सार्वभौमिक थरथरानवाला समीकरण
समीकरण $$\frac{\mathrm{d}^2q}{\mathrm{d} \tau^2} + 2 \zeta \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}\tau} + q = 0$$ सार्वभौमिक थरथरानवाला समीकरण के रूप में जाना जाता है, क्योंकि सभी दूसरे क्रम के रैखिक दोलक प्रणालियों को इस रूप में कम किया जा सकता है। यह गैर-आयामीकरण के माध्यम से किया जाता है।

अगर फोर्सिंग फंक्शन है $f(t) = cos(ωt) = cos(ωt_{c}τ) = cos(ωτ)$, कहाँ पे $ω = ωt_{c}$, समीकरण बन जाता है $$\frac{\mathrm{d}^2q}{\mathrm{d} \tau^2} + 2 \zeta \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}\tau} + q = \cos(\omega \tau).$$ इस अंतर समीकरण के समाधान में दो भाग होते हैं: क्षणिक और स्थिर-अवस्था।

क्षणिक समाधान
साधारण अवकल समीकरण को हल करने पर आधारित समाधान स्वेच्छ अचर c. के लिए है1 और सी2

$$q_t (\tau) = \begin{cases} e^{-\zeta\tau} \left( c_1 e^{\tau \sqrt{\zeta^2 - 1}} + c_2 e^{- \tau \sqrt{\zeta^2 - 1}} \right) & \zeta > 1 \text{ (overdamping)} \\ e^{-\zeta\tau} (c_1+c_2 \tau) = e^{-\tau}(c_1+c_2 \tau) & \zeta = 1 \text{ (critical damping)} \\ e^{-\zeta \tau} \left[ c_1 \cos \left(\sqrt{1-\zeta^2} \tau\right) + c_2 \sin\left(\sqrt{1-\zeta^2} \tau\right) \right] & \zeta < 1 \text{ (underdamping)} \end{cases}$$ क्षणिक समाधान फोर्सिंग फ़ंक्शन से स्वतंत्र है।

स्थिर-राज्य समाधान
नीचे दिए गए सहायक समीकरण को हल करके और उसके समाधान के वास्तविक भाग को खोजकर जटिल विश्लेषण पद्धति को लागू करें: $$\frac{\mathrm{d}^2 q}{\mathrm{d}\tau^2} + 2 \zeta \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}\tau} + q = \cos(\omega \tau) + i\sin(\omega \tau) = e^{ i \omega \tau}.$$ मान लीजिए कि समाधान फॉर्म का है $$q_s(\tau) = A e^{i (\omega \tau + \varphi) }. $$ शून्य से दूसरे क्रम तक इसके अवकलज हैं $$q_s = A e^{i (\omega \tau + \varphi) }, \quad \frac{\mathrm{d}q_s}{\mathrm{d} \tau} = i \omega A e^{i (\omega \tau + \varphi) }, \quad \frac{\mathrm{d}^2 q_s}{\mathrm{d} \tau^2} = -\omega^2 A e^{i (\omega \tau + \varphi) } .$$ इन राशियों को अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है $$-\omega^2 A e^{i (\omega \tau + \varphi)} + 2 \zeta i \omega A e^{i(\omega \tau + \varphi)} + A e^{i(\omega \tau + \varphi)} = (-\omega^2 A + 2 \zeta i \omega A + A) e^{i (\omega \tau + \varphi)} = e^{i \omega \tau}.$$ बाईं ओर के घातांक पद से भाग देने पर परिणाम होता है $$-\omega^2 A + 2 \zeta i \omega A + A = e^{-i \varphi} = \cos\varphi - i \sin\varphi.$$ वास्तविक और काल्पनिक भागों की बराबरी करने से दो स्वतंत्र समीकरण बनते हैं $$A (1 - \omega^2) = \cos\varphi, \quad 2 \zeta \omega A = -\sin\varphi.$$

आयाम भाग
दोनों समीकरणों का वर्ग करने और उन्हें एक साथ जोड़ने पर प्राप्त होता है $$\left. \begin{aligned} A^2 (1-\omega^2)^2 &= \cos^2\varphi \\ (2 \zeta \omega A)^2 &= \sin^2\varphi \end{aligned} \right\} \Rightarrow A^2[(1 - \omega^2)^2 + (2 \zeta \omega)^2] = 1.$$ इसलिए, $$A = A(\zeta, \omega) = \sgn \left( \frac{-\sin\varphi}{2 \zeta \omega} \right) \frac{1}{\sqrt{(1 - \omega^2)^2 + (2 \zeta \omega)^2}}.$$ इस परिणाम की तुलना अनुनाद पर सिद्धांत खंड के साथ-साथ आरएलसी सर्किट के परिमाण भाग से करें। दूसरे क्रम के सिस्टम की आवृत्ति प्रतिक्रिया के विश्लेषण और समझ में यह आयाम फ़ंक्शन विशेष रूप से महत्वपूर्ण है।

चरण भाग
हल करने के लिए $φ$, प्राप्त करने के लिए दोनों समीकरणों को विभाजित करें $$\tan\varphi = -\frac{2 \zeta \omega}{1 - \omega^2} = \frac{2 \zeta \omega}{\omega^2 - 1} \implies \varphi \equiv \varphi(\zeta, \omega) = \arctan \left( \frac{2 \zeta \omega}{\omega^2 - 1} \right ) + n\pi.$$ दूसरे क्रम के सिस्टम की आवृत्ति प्रतिक्रिया के विश्लेषण और समझ में यह चरण फ़ंक्शन विशेष रूप से महत्वपूर्ण है।

पूर्ण समाधान
आयाम और चरण भागों के संयोजन से स्थिर-राज्य समाधान प्राप्त होता है $$q_s(\tau) = A(\zeta,\omega) \cos(\omega \tau + \varphi(\zeta, \omega)) = A\cos(\omega \tau + \varphi).$$ मूल सार्वभौमिक थरथरानवाला समीकरण का समाधान क्षणिक और स्थिर-राज्य समाधानों का एक सुपरपोजिशन सिद्धांत (योग) है: $$q(\tau) = q_t(\tau) + q_s(\tau).$$ उपरोक्त समीकरण को हल करने के तरीके के बारे में अधिक संपूर्ण विवरण के लिए, सामान्य अंतर समीकरण # स्थिर गुणांक वाले रैखिक ओडीई देखें।

समतुल्य प्रणाली
इंजीनियरिंग के कई क्षेत्रों में होने वाले हार्मोनिक ऑसिलेटर इस अर्थ में समतुल्य हैं कि उनके गणितीय मॉडल समान हैं (ऊपर #Universal थरथरानवाला समीकरण देखें)। नीचे यांत्रिकी और इलेक्ट्रॉनिक्स में चार हार्मोनिक थरथरानवाला प्रणालियों में समान मात्रा दिखाने वाली एक तालिका है। यदि तालिका में एक ही पंक्ति के अनुरूप मापदंडों को संख्यात्मक रूप से समान मान दिया जाता है, तो ऑसिलेटर्स का व्यवहार – उनके आउटपुट तरंग, गुंजयमान आवृत्ति, भिगोना कारक, आदि। – समान हैं।

एक रूढ़िवादी बल के लिए आवेदन
सरल हार्मोनिक थरथरानवाला की समस्या अक्सर भौतिकी में होती है, क्योंकि किसी भी रूढ़िवादी बल के प्रभाव में संतुलन पर एक द्रव्यमान, छोटी गति की सीमा में, एक साधारण हार्मोनिक थरथरानवाला के रूप में व्यवहार करता है।

एक रूढ़िवादी बल वह है जो संभावित ऊर्जा से जुड़ा होता है। एक हार्मोनिक थरथरानवाला का संभावित-ऊर्जा कार्य है $$V(x) = \tfrac{1}{2} k x^2.$$ एक मनमाना संभावित-ऊर्जा फ़ंक्शन को देखते हुए $$V(x)$$, कोई टेलर श्रृंखला के संदर्भ में कर सकता है $$x$$ एक न्यूनतम ऊर्जा के आसपास ($$x = x_0$$) संतुलन से छोटे-छोटे विक्षोभों के व्यवहार का मॉडल तैयार करना।

$$V(x) = V(x_0) + V'(x_0) \cdot (x - x_0) + \tfrac{1}{2} V''(x_0) \cdot (x - x_0)^2 + O(x - x_0)^3.$$ इसलिये $$V(x_0)$$ न्यूनतम है, पहला व्युत्पन्न मूल्यांकन किया गया है $$x_0$$ शून्य होना चाहिए, इसलिए रैखिक पद समाप्त हो जाता है: $$V(x) = V(x_0) + \tfrac{1}{2} V''(x_0) \cdot (x - x_0)^2 + O(x - x_0)^3.$$ स्थिर पद $V(x_{0})$ मनमाना है और इस प्रकार गिराया जा सकता है, और एक समन्वय परिवर्तन सरल हार्मोनिक थरथरानवाला के रूप को पुनः प्राप्त करने की अनुमति देता है: $$V(x) \approx \tfrac{1}{2} V''(0) \cdot x^2 = \tfrac{1}{2} k x^2.$$ इस प्रकार, एक मनमाना संभावित-ऊर्जा फ़ंक्शन दिया गया है $$V(x)$$ एक गैर-लुप्त होने वाले दूसरे व्युत्पन्न के साथ, कोई भी सरल हार्मोनिक थरथरानवाला के समाधान का उपयोग संतुलन बिंदु के आसपास छोटे गड़बड़ी के लिए अनुमानित समाधान प्रदान करने के लिए कर सकता है।

सरल लोलक
कोई भिगोना नहीं मानते हुए, लंबाई के एक साधारण पेंडुलम को नियंत्रित करने वाला अंतर समीकरण $$l$$, कहाँ पे $$g$$ स्थानीय गुरुत्वीय त्वरण है, is

यदि लोलक का अधिकतम विस्थापन छोटा है, तो हम सन्निकटन का उपयोग कर सकते हैं $$\sin\theta \approx \theta$$ और इसके बजाय समीकरण पर विचार करें $$\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{l}\theta = 0.$$ इस अंतर समीकरण का सामान्य हल है $$\theta(t) = A \cos\left(\sqrt{\frac{g}{l}} t + \varphi \right),$$ कहाँ पे $$A$$ तथा $$\varphi$$ स्थिरांक हैं जो प्रारंभिक स्थितियों पर निर्भर करते हैं। प्रारंभिक स्थितियों के रूप में उपयोग करना $$\theta(0) = \theta_0$$ तथा $$\dot{\theta}(0) = 0$$, समाधान द्वारा दिया गया है $$\theta(t) = \theta_0 \cos\left(\sqrt{\frac{g}{l}} t\right),$$ कहाँ पे $$\theta_0$$ लोलक द्वारा प्राप्त सबसे बड़ा कोण है (अर्थात, $$\theta_0$$ पेंडुलम का आयाम है)। साइन, एक पूर्ण दोलन का समय, व्यंजक द्वारा दिया जाता है

जो वास्तविक अवधि का एक अच्छा सन्निकटन है जब $$\theta_0$$ छोटा है। ध्यान दें कि इस सन्निकटन में अवधि $$\tau$$ आयाम से स्वतंत्र है $$\theta_0$$. उपरोक्त समीकरण में, $$\omega$$ कोणीय आवृत्ति का प्रतिनिधित्व करता है।

वसंत/द्रव्यमान प्रणाली
जब एक स्प्रिंग को किसी द्रव्यमान द्वारा खींचा या संकुचित किया जाता है, तो स्प्रिंग एक प्रत्यानयन बल विकसित करता है। हुक का नियम वसंत द्वारा लगाए गए बल का संबंध देता है जब वसंत को संकुचित या एक निश्चित लंबाई तक बढ़ाया जाता है: $$F(t) = -kx(t),$$ जहां एफ बल है, के वसंत स्थिरांक है, और एक्स संतुलन की स्थिति के संबंध में द्रव्यमान का विस्थापन है। समीकरण में ऋण चिह्न इंगित करता है कि वसंत द्वारा लगाया गया बल हमेशा विस्थापन के विपरीत दिशा में कार्य करता है (अर्थात बल हमेशा शून्य स्थिति की ओर कार्य करता है), और इसलिए द्रव्यमान को अनंत तक उड़ने से रोकता है।

बल संतुलन या ऊर्जा विधि का उपयोग करके, यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि इस प्रणाली की गति निम्नलिखित अंतर समीकरण द्वारा दी गई है: $$ F(t) = -kx(t) = m \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} t^2} x(t) = ma, $$ दूसरा न्यूटन का गति का नियम है#न्यूटन का दूसरा नियम|न्यूटन का गति का दूसरा नियम।

यदि प्रारंभिक विस्थापन A है, और कोई प्रारंभिक वेग नहीं है, तो इस समीकरण का हल द्वारा दिया गया है $$ x(t) = A \cos \left( \sqrt{\frac{k}{m}} t \right).$$ एक आदर्श द्रव्यमान रहित वसंत को देखते हुए, $$m$$ वसंत के अंत में द्रव्यमान है। यदि वसंत में ही द्रव्यमान है, तो इसका प्रभावी द्रव्यमान (वसंत-द्रव्यमान प्रणाली) में शामिल किया जाना चाहिए $$m$$.

स्प्रिंग-डंपिंग सिस्टम में ऊर्जा भिन्नता
ऊर्जा के संदर्भ में, सभी प्रणालियों में दो प्रकार की ऊर्जा होती है: संभावित ऊर्जा और गतिज ऊर्जा। जब एक स्प्रिंग को खींचा या संकुचित किया जाता है, तो यह लोचदार स्थितिज ऊर्जा को संचित करता है, जिसे बाद में गतिज ऊर्जा में स्थानांतरित कर दिया जाता है। एक स्प्रिंग के भीतर स्थितिज ऊर्जा समीकरण द्वारा निर्धारित की जाती है $ U = \frac{1}{2}kx^2. $ जब स्प्रिंग को खींचा या संकुचित किया जाता है, तो द्रव्यमान की गतिज ऊर्जा स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। ऊर्जा के संरक्षण से, यह मानते हुए कि डेटम को संतुलन की स्थिति में परिभाषित किया गया है, जब वसंत अपनी अधिकतम संभावित ऊर्जा तक पहुंच जाता है, तो द्रव्यमान की गतिज ऊर्जा शून्य होती है। जब वसंत को छोड़ा जाता है, तो यह संतुलन में लौटने की कोशिश करता है, और इसकी सभी संभावित ऊर्जा द्रव्यमान की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।

यह भी देखें

 * एनहार्मोनिक थरथरानवाला
 * क्रिटिकल स्पीड
 * प्रभावी द्रव्यमान (वसंत-द्रव्यमान प्रणाली)
 * सामान्य मोड
 * पैरामीट्रिक थरथरानवाला
 * फासोर
 * क्यू फैक्टर
 * क्वांटम हार्मोनिक थरथरानवाला
 * बर्ट्रेंड की प्रमेय#रेडियल हार्मोनिक दोलक
 * लोचदार पेंडुलम

बाहरी संबंध

 * The Harmonic Oscillator from The Feynman Lectures on Physics