सजातीय बहुपद

गणित में, एक सजातीय बहुपद, जिसे कभी-कभी कहा जाता है: पुराने ग्रंथों में मात्रा, एक बहुपद है जिसके गैर-शून्य शब्दों में बहुपद की समान डिग्री होती है। उदाहरण के लिए, $$x^5 + 2 x^3 y^2 + 9 x y^4$$ दो चरों में घात 5 का एक समांगी बहुपद है; प्रत्येक पद में घातांकों का योग हमेशा 5 होता है। बहुपद $$x^3 + 3 x^2 y + z^7$$ सजातीय नहीं है, क्योंकि घातांक का योग एक पद से दूसरे पद पर मेल नहीं खाता है। एक समांगी बहुपद द्वारा परिभाषित फलन हमेशा एक समांगी फलन होता है।

एक बीजीय रूप, या बस रूप, एक सजातीय बहुपद द्वारा परिभाषित एक फ़ंक्शन (गणित) है। एक द्विआधारी रूप दो चरों में एक रूप है। एक फॉर्म भी एक सदिश स्थल  पर परिभाषित एक फ़ंक्शन है, जिसे किसी भी  आधार (रैखिक बीजगणित)  पर निर्देशांक के एक सजातीय कार्य के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

घात 0 वाला एक बहुपद हमेशा समांगी होता है; यह केवल गुणांकों के क्षेत्र (गणित)  या वलय (गणित) का एक तत्व है, जिसे आमतौर पर स्थिर या अदिश कहा जाता है। डिग्री 1 का एक रूप एक रैखिक रूप है। डिग्री 2 का एक रूप  द्विघात रूप  है।  ज्यामिति  में,  यूक्लिडियन दूरी  द्विघात रूप का  वर्गमूल  है।

सजातीय बहुपद गणित और भौतिकी में सर्वव्यापी हैं। वे बीजगणितीय ज्यामिति में एक मौलिक भूमिका निभाते हैं, क्योंकि एक प्रक्षेपी बीजगणितीय किस्म को सजातीय बहुपदों के समुच्चय के उभयनिष्ठ शून्यों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है।

गुण
एक समांगी बहुपद एक समांगी फलन को परिभाषित करता है। इसका अर्थ यह है कि, यदि एक बहुभिन्नरूपी बहुपद  P, घात d का समांगी है, तो
 * $$P(\lambda x_1, \ldots, \lambda x_n)=\lambda^d\,P(x_1,\ldots,x_n)\,,$$

हरएक के लिए $$\lambda$$ P के गुणांक वाले किसी भी क्षेत्र (गणित) में। इसके विपरीत, यदि उपरोक्त संबंध अपरिमित रूप से अनेकों के लिए सत्य है $$\lambda$$ तब बहुपद घात d का समांगी है।

विशेष रूप से, यदि P सजातीय है तो
 * $$P(x_1,\ldots,x_n)=0 \quad\Rightarrow\quad P(\lambda x_1, \ldots, \lambda x_n)=0,$$

हरएक के लिए $$\lambda.$$ यह गुण प्रक्षेपी किस्म  की परिभाषा में मौलिक है।

किसी भी गैर-शून्य बहुपद को अलग-अलग डिग्री के सजातीय बहुपदों के योग के रूप में एक अनोखे तरीके से विघटित किया जा सकता है, जिसे बहुपद के सजातीय घटक कहा जाता है।

एक बहुपद वलय  दिया गया है $$R=K[x_1, \ldots,x_n]$$ एक क्षेत्र के ऊपर (गणित) (या, अधिक सामान्यतः, एक वलय (गणित)) K, डिग्री d रूप के सजातीय बहुपद एक सदिश स्थान (या एक मॉड्यूल (गणित) ), आमतौर पर निरूपित $$R_d.$$ उपरोक्त अद्वितीय अपघटन का अर्थ है कि $$R$$ का  प्रत्यक्ष योग  है $$R_d$$ (सभी गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का योग)।

सदिश स्थान का आयाम (या मुक्त मॉड्यूल) $$R_d$$ n चर में डिग्री d के विभिन्न मोनोमियल की संख्या है (जो कि n चर में डिग्री d के एक सजातीय बहुपद में गैर-शून्य पदों की अधिकतम संख्या है)। यह द्विपद गुणांक  के बराबर है


 * $$\binom{d+n-1}{n-1}=\binom{d+n-1}{d}=\frac{(d+n-1)!}{d!(n-1)!}.$$

समांगी बहुपद यूलर के समांगी फलन प्रमेय को संतुष्ट करता है | समांगी फलनों के लिए यूलर की पहचान। यानी अगर $P$ घात का एक समांगी बहुपद है $d$ अनिश्चित में $$x_1, \ldots, x_n,$$ एक है, जो भी गुणांकों का क्रमविनिमेय वलय है,
 * $$dP=\sum_{i=1}^n x_i\frac{\partial P}{\partial x_i},$$

कहाँ पे $$\textstyle \frac{\partial P}{\partial x_i}$$ के औपचारिक व्युत्पन्न  को दर्शाता है $P$ इसके संबंध में $$x_i.$$

समरूपीकरण
एक गैर-सजातीय बहुपद P(x .)1,...,एक्सn) एक अतिरिक्त चर x . को पेश करके समरूप बनाया जा सकता है0 और कभी-कभी निरूपित सजातीय बहुपद को परिभाषित करना एचपी:
 * $${^h\!P}(x_0,x_1,\dots, x_n) = x_0^d P \left (\frac{x_1}{x_0},\dots, \frac{x_n}{x_0} \right ),$$

जहाँ d, P के बहुपद की घात है। उदाहरण के लिए, यदि
 * $$P=x_3^3 + x_1 x_2+7,$$

फिर
 * $$^h\!P=x_3^3 + x_0 x_1x_2 + 7 x_0^3.$$

अतिरिक्त चर x. को सेट करके एक समरूप बहुपद को डीहोमोजेनाइज़ किया जा सकता है0 = 1. वह है
 * $$P(x_1,\dots, x_n)={^h\!P}(1,x_1,\dots, x_n).$$

यह भी देखें

 * बहु-सजातीय बहुपद
 * अर्ध-सजातीय बहुपद
 * विकर्ण रूप
 * ग्रेडेड बीजगणित
 * हिल्बर्ट श्रृंखला और हिल्बर्ट बहुपद
 * बहुरेखीय रूप
 * बहुरेखीय नक्शा
 * बीजीय रूप का ध्रुवीकरण
 * शूर बहुपद
 * डिफरेंशियल ऑपरेटर का सिंबल