क्रॉस अनुपात

ज्यामिति में, क्रॉस-अनुपात, जिसे दोहरा अनुपात और अनहार्मोनिक अनुपात भी कहा जाता है, एक संख्या है जो चार समरेख बिंदुओं की सूची से जुड़ी होती है, विशेष रूप से एक प्रक्षेपी रेखा पर अंक। चार अंक दिए $A$, $B$, $C$, $D$ एक रेखा पर, उनके पार अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है


 * $$(A,B;C,D) = \frac {AC\cdot BD}{BC\cdot AD}$$

जहां रेखा का एक अभिविन्यास प्रत्येक दूरी के चिह्न को निर्धारित करता है और दूरी को यूक्लिडियन अंतरिक्ष में प्रक्षेपित के रूप में मापा जाता है। (यदि चार बिंदुओं में से एक अनंत पर रेखा का बिंदु है, तो उस बिंदु से जुड़ी दो दूरियां सूत्र से विस्थापित कर दी जाती हैं।)

बिंदु $A'$ का प्रक्षेपी हार्मोनिक संयुग्म है $B'$ इसके संबंध में $C'$ और $D'$ ठीक है अगर चौगुनी का क्रॉस-अनुपात है $(A, B; C, D)$, हार्मोनिक अनुपात कहा जाता है। इसलिए क्रॉस-अनुपात को इस अनुपात से चौगुनी के विचलन को मापने के रूप में माना जा सकता है; इसलिए नाम अनहार्मोनिक अनुपात।

क्रॉस-अनुपात रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तनों द्वारा संरक्षित है। यह अनिवार्य रूप से समरेख बिंदुओं के चौगुने का एकमात्र प्रक्षेपी अपरिवर्तनीय (गणित) है; यह प्रक्षेपी ज्यामिति के लिए इसके महत्व को रेखांकित करता है।

क्रॉस-अनुपात को गहन पुरातनता में परिभाषित किया गया था, संभवतः पहले से ही यूक्लिड द्वारा, और अलेक्जेंड्रिया के पप्पस द्वारा माना जाता था, जिन्होंने इसकी प्रमुख अचल संपत्ति का उल्लेख किया था। 19वीं शताब्दी में इसका गहन अध्ययन किया गया। इस अवधारणा के रूपांतर प्रक्षेपी तल पर चौगुनी समवर्ती रेखाओं और रीमैन क्षेत्र पर चौगुनी बिंदुओं के लिए विद्यमान हैं।

अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति के केली-क्लेन मॉडल में, बिंदुओं के बीच की दूरी को एक निश्चित क्रॉस-अनुपात के रूप में व्यक्त किया जाता है।

शब्दावली और इतिहास
अलेक्जेंड्रिया के पप्पस ने अपने संग्रह: पुस्तक सप्तम में क्रॉस-अनुपात के समतुल्य अवधारणाओं का निहित उपयोग किया। पप्पस के प्रारंभिक उपयोगकर्ताओं में आइजैक न्यूटन, माइकल चेसल्स  और रॉबर्ट सिमसन संम्मिलित थे। 1986 में अलेक्जेंडर जोन्स ने पप्पस द्वारा मूल का अनुवाद किया, फिर एक टिप्पणी लिखी कि कैसे पप्पस के लेम्मास आधुनिक शब्दावली से संबंधित हैं। प्रक्षेपी ज्यामिति में क्रॉस अनुपात का आधुनिक उपयोग 1803 में लाज़ारे कार्नोट के साथ उनकी पुस्तक जियोमेट्री डे पोजीशन के साथ प्रारंम्भ हुआ। चासल्स ने फ्रांसीसी शब्द गढ़ा {रैपोर्ट अनहार्मोनिक}1837 में [अनहार्मोनिक अनुपात]। जर्मन जियोमीटर इसे कहते हैं डास डोपेल्वरहल्ट्निस [दोहरा अनुपात]।

कार्ल वॉन स्टॉड पूरी तरह कृत्रिम प्रक्षेपी ज्यामिति अवधारणाओं पर आधारित होने के अतिरिक्त यूक्लिडियन दूरियों के बीजगणितीय हेरफेर पर निर्भर क्रॉस-अनुपात की पिछली परिभाषाओं से असंतुष्ट थे। 1847 में, वॉन स्टॉड्ट ने प्रदर्शित किया कि प्रक्षेपी हार्मोनिक संयुग्म के निर्माण के आधार पर एक बीजगणित बनाकर, बीजगणितीय संरचना प्रक्षेपी ज्यामिति में निहित है, जिसे उन्होंने एक थ्रो (जर्मन: वुर्फ) कहा: एक रेखा पर तीन बिंदु दिए गए, हार्मोनिक संयुग्म एक चौथा बिंदु है जो क्रॉस अनुपात को $(A, B; C, D)$ समान बनाता है. उनका बीजगणित थ्रो संख्यात्मक प्रस्तावों के लिए एक दृष्टिकोण प्रदान करता है, जिसे सामान्यता स्वयंसिद्धों के रूप में लिया जाता है, लेकिन प्रक्षेपी ज्यामिति में सिद्ध होता है।

अंग्रेजी शब्द क्रॉस-अनुपात 1878 में विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड द्वारा प्रस्तुत किया गया था।

परिभाषा
अगर $A$, $B$, $C$, और $D$ उन्मुखी संयुक्त रेखा पर चार बिंदु हैं, उनका क्रॉस अनुपात है:


 * $$(A,B; C,D) = \frac{AC : BC}{AD : BD},$$ अंकन के साथ $$WX : YZ$$ विस्थापन के हस्ताक्षरित अनुपात का अर्थ परिभाषित किया गया है $D$ को $C$ से विस्थापन के लिए $A$ को $B$. कॉलिनियर विस्थापन के लिए यह एक आयाम रहित मात्रा है।

यदि विस्थापनों को वास्तविक संख्याओं पर हस्ताक्षर करने के लिए लिया जाता है, तो अंकों के बीच क्रॉस अनुपात लिखा जा सकता है


 * $$(A,B; C,D) = \frac{AC}{BC} \bigg/ \frac{AD}{BD} = \frac{AC\cdot BD}{BC\cdot AD}.$$

अगर $$\widehat\R = \R \cup \{\infty\}$$ अनुमानित रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा है, चार विभिन्न संख्याओं का क्रॉस-अनुपात $$x_1, x_2, x_3, x_4$$ में $$\widehat\R$$ द्वारा दिया गया है



(x_1, x_2; x_3, x_4) = \frac{x_3 - x_1}{x_3 - x_2} \bigg/ \frac{x_4 - x_1}{x_4 - x_2} = \frac{(x_3 - x_1)(x_4 - x_2)}{(x_3 - x_2)(x_4 - x_1)}. $$ जब $$x_1, x_2, x_3, x_4$$ अनंत पर बिंदु है ($\infty$), यह कम हो जाता है उदाहरण।

(\infty, x_2; x_3, x_4) = \frac{(x_3 - \infty)(x_4 - x_2)}{(x_3 - x_2)(x_4 - \infty)} = \frac{(x_4 - x_2)}{(x_3 - x_2)}. $$ एक ही सूत्र को चार विभिन्न जटिल संख्याओं पर लागू किया जा सकता है या, अधिक सामान्यतः, किसी भी क्षेत्र (गणित) के तत्वों के लिए, और उनमें से एक होने पर ऊपर की तरह अनुमानित रूप से विस्तारित किया जा सकता है। $$\infty = \tfrac10.$$

गुण
चार संरेख बिंदुओं का क्रॉस अनुपात $D$, $C$, $A$, और $B$ के रूप में लिखा जा सकता है
 * $$(A,B;C,D) = \frac {AC : CB}{AD : DB}$$ कहाँ $AC:CB$ उस अनुपात का वर्णन करता है जिसके साथ बिंदु $A$ रेखाखंड को विभाजित करता है $B$, और $AD:DB$  उस अनुपात का वर्णन करता है जिसके साथ बिंदु $C$ उसी रेखाखंड को विभाजित करता है। क्रॉस अनुपात तब दो बिंदुओं का वर्णन करते हुए अनुपात के अनुपात के रूप में प्रकट होता है $D$ और $W$ रेखा खंड के संबंध में स्थित हैं $X$. जब तक अंक $Y$, $Z$, $A$, और $B$ भिन्न हैं, क्रॉस अनुपात $−1$ अन्य-शून्य वास्तविक संख्या होगी। इसका आकलन हम सरलता से कर सकते हैं


 * $(A, B; C, D)$ यदि और मात्र यदि बिंदु C या D में से एक बिंदु A और B के बीच स्थित है और दूसरा नहीं है

छह क्रॉस-अनुपात
4 में चार बिंदुओं का आदेश दिया जा सकता है $−1$ विधियाँ, लेकिन उन्हें दो अनियंत्रित जोड़े में विभाजित करने के मात्र छह विधियाँ हैं। इस प्रकार, चार बिंदुओं में मात्र  छह विभिन्न क्रॉस-अनुपात हो सकते हैं, जो इस प्रकार संबंधित हैं:

\begin{align} & (A,B;C,D) = (B,A;D,C) = (C,D;A,B) = (D,C;B,A) = \lambda,\vphantom{\frac11}  \\[4mu] & (A,B;D,C) = (B,A;C,D) = (C,D;B,A) = (D,C;A,B) = \frac 1 \lambda,            \\[4mu] & (A,C;B,D) = (B,D;A,C) = (C,A;D,B) = (D,B;C,A) = 1-\lambda,\vphantom{\frac11} \\[4mu] & (A,C;D,B) = (B,D;C,A) = (C,A;B,D) = (D,B;A,C) = \frac 1 {1-\lambda},        \\[4mu] & (A,D;B,C) = (B,C;A,D) = (C,B;D,A) = (D,A;C,B) = \frac {\lambda-1} \lambda,  \\[4mu] & (A,D;C,B) = (B,C;D,A) = (C,B;A,D) = (D,A;B,C) = \frac \lambda {\lambda-1}. \end{align} $$ नीचे क्रॉस-अनुपात # अनहार्मोनिक समूह और क्लेन चार-समूह देखें।

प्रक्षेपीय ज्यामिति
क्रॉस-अनुपात एक प्रक्षेपीय अपरिवर्तनीय (गणित) है, इस अर्थ में कि यह प्रक्षेपीय  रेखा के  प्रक्षेपण परिवर्तन  द्वारा संरक्षित है।

विशेष रूप से, यदि चार बिंदु एक सीधी रेखा पर स्थित हों $L$ में $\bold{R}^2$  तब उनका क्रॉस-अनुपात एक अच्छी तरह से परिभाषित मात्रा है, क्योंकि मूल के किसी भी विकल्प और यहां तक ​​​​कि रेखा पर मापक्रम के क्रॉस-अनुपात के समान मूल्य प्राप्त होंगे।

इसके अतिरिक्त, चलो $\{L_i \mid 1 \le i \le 4\}$ एक ही बिंदु से गुजरने वाले समतल में चार विभिन्न रेखाएँ हों $Q$. फिर कोई रेखा $L$ से नहीं गुजर रहा $Q$  इन रेखाओं को चार विभिन्न बिंदुओं पर काटता है $P_i$  (अगर $L$  के समानांतर (ज्यामिति) है $L_i$  तो संबंधित प्रतिच्छेदन बिंदु अनंत पर है)। यह पता चला है कि इन बिंदुओं का क्रॉस-अनुपात (एक निश्चित क्रम में लिया गया) रेखा के चयन पर निर्भर नहीं करता है $L$, और इसलिए यह 4-ट्यूपल ऑफ़ रेखाओं का एक अपरिवर्तनीय है $L_i.$  इसे इस प्रकार समझा जा सकता है: यदि $L$  और $L'$  दो रेखाओं से नहीं जा रही हैं $Q$  फिर परिप्रेक्ष्य परिवर्तन से $L$  को $L'$  केंद्र के साथ $Q$  एक अनुमानित परिवर्तन है जो चौगुना लेता है $\{P_i\}$  बिंदुओं पर $L$  चौगुनी में $\{P_{i}'\}$  बिंदुओं पर $L'$.

इसलिए, रेखा के प्रक्षेपीय ऑटोमोर्फिज्म के अंतर्गत  क्रॉस-अनुपात का आविष्कार (वास्तव में, समतुल्य है) चार समरेख बिंदुओं के क्रॉस-अनुपात की स्वतंत्रता $\{P_{i}\}$  तर्ज पर $\{L_i\}$  उस पंक्ति की चयन से जिसमें वे संम्मिलित हैं।

सजातीय निर्देशांक में परिभाषा
यदि सदिश द्वारा सजातीय निर्देशांक में चार संरेख बिंदुओं का प्रतिनिधित्व किया जाता है $−1$ ऐसा है कि $(A, B; C, D)$ और $(A, B; C, D) < 0$, तो उनका क्रॉस-अनुपात है $(A, B; C, D) = 1 / (A, B; D, C)$.

अन्य-यूक्लिडियन ज्यामिति में भूमिका
आर्थर केली और फेलिक्स क्लेन ने अन्य-यूक्लिडियन ज्यामिति के क्रॉस-अनुपात का अनुप्रयोग पाया। वास्तविक प्रक्षेपी तल में एक व्युत्क्रमणीय शंकु $C$ को देखते हुए, प्रक्षेपी समूह में $(A, B; C, D) = (C, D; A, B)$ इसका स्थिरक $(A, B; C, D) ≠ (A, B; C, E) ↔ D ≠ E$ के आंतरिक बिंदुओं पर सकर्मक रूप से कार्य करता है।. यद्यपि, बिंदुओं के जोड़े पर $! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24$ की कार्यवाही के लिए अपरिवर्तनीय है। वास्तव में, ऐसा प्रत्येक अपरिवर्तनीय उचित क्रॉस अनुपात के कार्य के रूप में अभिव्यक्त होता है

अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति
स्पष्ट रूप से, शांकव को इकाई वृत्त होने दें। किन्हीं दो बिंदुओं के लिए $D$ और $C$, यूनिट सर्कल के अंदर। यदि उन्हें जोड़ने वाली रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर विभाजित करती है, $AB$ और $D$ और अंक क्रम में हैं, $a, b, c, d$. फिर बीच की अतिशयोक्तिपूर्ण दूरी $C$ और $D$ अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति के केली-क्लेन मॉडल में व्यक्त किया जा सकता है


 * $$ d_h(P,Q)=\frac{1}{2} \left| \log \frac{|XQ||PY|}{|XP||QY|} \right| $$

(वक्रता -1 बनाने के लिए गुणनखंड के आधे की आवश्यकता होती है). चूंकि क्रॉस-अनुपात प्रक्षेपीय रूपांतरण के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है, इसलिए यह इस प्रकार है कि अतिशयोक्तिपूर्ण दूरी प्रक्षेपीय रूपांतरण के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है जो शंकु $AB$ को संरक्षित करती है.

इसके विपरीत समूह $A$ बिंदुओं के जोड़े के समूह पर सकर्मक रूप से कार्य करता है $c = a + b$ एक निश्चित अतिशयोक्तिपूर्ण दूरी पर यूनिट डिस्क में।

बाद में, आंशिक रूप से हेनरी पोंकारे के प्रभाव के माध्यम से, वृत्त पर चार सम्मिश्र संख्याओं के क्रॉस अनुपात का उपयोग अतिशयोक्तिपूर्ण मेट्रिक्स के लिए किया गया था। एक वृत्त पर होने का अर्थ है कि मोबियस परिवर्तन के अंतर्गत चार बिंदु चार वास्तविक बिंदुओं की छवि हैं, और इसलिए क्रॉस अनुपात एक वास्तविक संख्या है। पोंकारे हाफ-प्लेन मॉडल और पोंकारे डिस्क मॉडल जटिल प्रक्षेपीय रेखा में अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति के दो मॉडल हैं।

ये मॉडल केली-क्लेन मेट्रिक्स के उदाहरण हैं।

अनहार्मोनिक समूह और क्लेन चार-समूह
क्रॉस-अनुपात को इन चार भावों में से किसी के द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:



(A,B;C,D) = (B,A;D,C) = (C,D;A,B) = (D,C;B,A). $$ ये चर के निम्नलिखित क्रम परिवर्तन से भिन्न होते हैं (चक्र संकेतन में):



1, \ (\,A\,B\,) (\,C\,D\,), \ (\,A\,C\,) (\,B\,D\,), \ (\,A\,D\,) (\,B\,C\,). $$ हम चार चर के कार्यों पर सममित समूह S4 की समूह क्रिया के रूप में चार चर के क्रम परिवर्तन पर विचार कर सकते हैं। चूंकि उपरोक्त चार क्रम परिवर्तन क्रॉस अनुपात को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं, वे क्रिया के अंतर्गत क्रॉस-अनुपात का स्थिरक  K का निर्माण करते हैं और यह भागफल समूह की एक प्रभावी समूह क्रिया को प्रेरित करता है $$ \mathrm{S}_4/K $$ क्रॉस-अनुपात की कक्षा पर। $B$ में चार क्रम परिवर्तन $d = ka + b$ में क्लेन चार-समूह का बोध कराते है, और भागफल $$\mathrm{S}_4/K$$ सममित समूह $k$ के लिए समरूपी है.

इस प्रकार, चार चरों के अन्य क्रम परिवर्तन निम्नलिखित छह मान देने के लिए क्रॉस-अनुपात को बदलते हैं, जो छह-तत्व समूह की कक्षा हैं $$\mathrm{S}_4/K\cong \mathrm{S}_3$$:


 * $$\begin{align}

(A, B; C, D) &=      \lambda             & (A, B; D, C) &= \frac 1 \lambda, \\[4mu] (A, C; D, B) &= \frac 1 {1-\lambda}      & (A, C; B, D) &= 1-\lambda,       \\[4mu] (A, D; C, B) &= \frac \lambda {\lambda-1} & (A, D; B, C) &= \frac{\lambda-1} \lambda. \end{align}$$

कार्यों के रूप में $$\lambda,$$ ये मोबियस परिवर्तन के उदाहरण हैं, जो कार्यों की संरचना के अंतर्गत मोबियस समूह बनाते हैं $G = PGL(3, R)$. छह परिवर्तनों से एक उपसमूह का निर्माण करते हैं जिसे अनहार्मोनिक समूह के रूप में जाना जाता है, फिर से $G_{C}$ के लिए समरूपी. वे $G_{C}$ में टोशन तत्व (अण्डाकार रूपांतर) में हैं. अर्थात्, $\tfrac{1}{\lambda}$, $$1-\lambda\,$$, और $\tfrac{\lambda}{\lambda-1}$ व्यवस्थित हैं $X, P, Q, Y$ संबंधित निश्चित बिंदु (गणित) के साथ $$-1,$$ $\tfrac12,$  और $$2,$$ (अर्थात्, हार्मोनिक क्रॉस-अनुपात की कक्षा)। इस बीच, तत्व $\tfrac{1}{1-\lambda}$ और $\tfrac{\lambda-1}{\lambda}$  व्यवस्थित हैं $(p, q)$ में $S_{4}$, और प्रत्येक दोनों मानों को ठीक करता है $e^{\pm i\pi/3} = \tfrac{1}{2} \pm \tfrac{\sqrt{3}}{2}i$  सबसे सममित क्रॉस-अनुपात (के समाधान $$x^2 - x + 1$$, प्रचीनता की छठी जड़ें)। क्रमागत $S_{3}$ तत्व इन दो तत्वों का आदान-प्रदान करते हैं (जैसा कि वे अपने निश्चित बिंदुओं के अतिरिक्त कोई भी जोड़ी करते हैं), और इस प्रकार अनहार्मोनिक समूह की क्रिया $$e^{\pm i\pi/3}$$ सममित समूहों का भागफल मानचित्र देता है $$\mathrm{S}_3 \to \mathrm{S}_2$$.

इसके अतिरिक्त, व्यक्ति के निश्चित बिंदु ${0, 1, ∞}$-चक्र हैं, क्रमशः, $$-1,$$ $\tfrac12,$ और $$2,$$ और यह समूह भी 3-चक्रों द्वारा संरक्षित और अनुमत है। ज्यामितीय रूप से, इसे त्रिकोणीय डायहेड्रॉन के रोटेशन समूह के रूप में देखा जा सकता है, जो त्रिभुज के डायहेड्रल समूह $D_{3}$ के लिए समरूपी है, जैसा कि दाईं ओर दिखाया गया है। बीजगणितीय रूप से, यह 2-चक्रों पर $0, 1, ∞$ की क्रिया के अनुरूप है (इसके साइलो 2-उपसमूह) संयुग्मन द्वारा और आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म के समूह के साथ समरूपता का अनुभव करता है, $\mathrm{S}_3 \mathrel{\overset{\sim}{\to}} \operatorname{Inn}(\mathrm{S}_3) \cong \mathrm{S}_3.$

अनहार्मोनिक समूह द्वारा उत्पन्न होता है $\lambda \mapsto \tfrac1\lambda$ और $\lambda \mapsto 1 - \lambda.$  इसकी कार्यवाही जारी है $$\{0, 1, \infty\}$$ ${0, 1, ∞}$ के साथ एक समरूपता देता है. इसका उल्लेख छह मोबियस परिवर्तनों के रूप में भी किया जा सकता है, जो किसी भी क्षेत्र पर $2$ का अनुमानित प्रतिनिधित्व देता है (चूंकि इसे पूर्णांक प्रविष्टियों के साथ परिभाषित किया गया है), और सदैव निष्ठावान/अन्तःक्षेपण होता है (चूंकि कोई भी दो शब्द मात्र  ${2, −1, 1/2},$ भिन्न नहीं होते हैं) ). दो तत्वों वाले क्षेत्र के ऊपर, प्रक्षेपी रेखा में मात्र  तीन बिंदु होते हैं, इसलिए यह प्रतिनिधित्व एक समरूपता है, और प्रक्षेपी रैखिक समूह $$\mathrm{S}_3 \approx \mathrm{PGL}(2, 2)$$असाधारण समरूपतावाद है . विशेषता $2$ में, यह बिंदु को स्थिर करता है $$-1 = [-1:1]$$, जो हार्मोनिक क्रॉस-अनुपात की कक्षा से मेल खाता है, मात्र  एक बिंदु है $2 = \tfrac12 = -1$ . तीन तत्वों वाले क्षेत्र के ऊपर, प्रक्षेपी रेखा में मात्र  4 अंक होते हैं और $$\mathrm{S}_4 \approx \mathrm{PGL}(2, 3)$$, और इस प्रकार प्रतिनिधित्व बिल्कुल हार्मोनिक क्रॉस-अनुपात का स्थिरक है, जो एक एम्बेडिंग प्रदान करता है $$\mathrm{S}_3 \hookrightarrow \mathrm{S}_4$$ बिंदु के स्थिरक  के समान  है $$-1$$.

असाधारण कक्षाएँ
$$\lambda$$ के कुछ मूल्यों के लिए अधिक समरूपता होगी और इसलिए क्रॉस-अनुपात के लिए छह से कम संभावित मान होंगे। $$\lambda$$ के इन मूल्यों  की कार्यवाही के निश्चित बिंदु (गणित) के अनुरूप $3$ रीमैन क्षेत्र पर (उपरोक्त छह कार्यों द्वारा दिया गया); या, समतुल्य रूप से, इस क्रम परिवर्तन समूह में एक अन्य-तुच्छ स्थिरक (समूह सिद्धांत) वाले बिंदु।

निश्चित बिंदुओं का पहला समूह है $$\{0, 1, \infty\}.$$ चूंकि, क्रॉस-अनुपात कभी भी इन मानों पर अंक नहीं ले सकता है $C$, $D$, $C$, और $P$ सभी अलग हैं। ये मान सीमित मान हैं क्योंकि निर्देशांक की एक जोड़ी एक-दूसरे के निकट आती है:


 * $$\begin{align}

(Z,B;Z,D) &= (A,Z;C,Z) = 0, \\[4mu] (Z,Z;C,D) &= (A,B;Z,Z) = 1, \\[4mu] (Z,B;C,Z) &= (A,Z;Z,D) = \infty. \end{align}$$ निश्चित बिंदुओं का दूसरा समूह है $\big\{{-1}, \tfrac12, 2\big\}.$ इस स्थिति को प्रतिष्ठित रूप हार्मोनिक क्रॉस-अनुपात  कहा जाता है, और प्रक्षेपी हार्मोनिक संयुग्मों में उत्पन्न होता है। वास्तविक स्थिति में, कोई अन्य असाधारण कक्षाएँ नहीं हैं।

जटिल स्थिति में, सबसे सममित क्रॉस-अनुपात तब होता है जब $$\lambda = e^{\pm i\pi/3}$$. तब ये क्रॉस-अनुपात के मात्र दो मान हैं, और इन पर क्रमचय के संकेत के अनुसार कार्य किया जाता है।

परिवर्तनकारी दृष्टिकोण
क्रॉस-अनुपात रेखा के प्रक्षेपीय रूपांतरण के अंतर्गत  अपरिवर्तनीय है। एक जटिल संख्या प्रक्षेपी रेखा, या रीमैन क्षेत्र के स्थिति में, इन परिवर्तनों को मोबियस परिवर्तनों के रूप में जाना जाता है। एक सामान्य मोबियस परिवर्तन का रूप है


 * $$f(z) = \frac{az+b}{cz+d}\;,\quad \mbox{where } a,b,c,d\in\mathbb{C} \mbox{ and } ad-bc \ne 0.$$

ये परिवर्तन रीमैन क्षेत्र, मोबियस समूह पर एक समूह (गणित) समूह क्रिया बनाते हैं।

क्रॉस-अनुपात के प्रक्षेपीय निश्चरता का अर्थ है


 * $$(f(z_1), f(z_2); f(z_3), f(z_4)) = (z_1, z_2; z_3, z_4).\ $$

यदि क्रॉस-अनुपात वास्तविक संख्या है और मात्र चार बिंदु या तो समरेख (ज्यामिति) या चक्रीय हैं, इस तथ्य को दर्शाते हुए कि प्रत्येक मोबियस परिवर्तन सामान्यीकृत वृत्त को सामान्यीकृत वृत्त में चिन्हित करता है।

मोबियस समूह की कार्यवाही रीमैन क्षेत्र के विभिन्न बिंदुओं के ट्रिपल के समूह पर मात्र सकर्मक है: विभिन्न बिंदुओं के किसी भी आदेशित ट्रिपल $exp(±iπ/3)$ को देखते हुए, एक अद्वितीय मोबियस परिवर्तन $exp(iπ/3)$ है जो इसे ट्रिपल $exp(−iπ/3)$ में चिन्हित करता है. क्रॉस-अनुपात का उपयोग करके इस परिवर्तन को सरलता से वर्णित किया जा सकता है: चूंकि $3$ के समान होना चाहिए $1/3$, जो बदले में $2$  समान  होता है, हमने प्राप्त


 * $$f(z)=(z, z_2; z_3, z_4) .$$न

क्रॉस-अनुपात के अपरिवर्तनीयता के लिए एक वैकल्पिक व्याख्या इस तथ्य पर आधारित है कि एक रेखा के प्रक्षेपी परिवर्तनों का समूह अनुवाद, समरूपता और गुणात्मक व्युत्क्रम द्वारा उत्पन्न होता है। अंतर $PGL(2, Z)$ अनुवाद के अंतर्गत अपरिवर्तनीय हैं (गणित)


 * $$z \mapsto z + a$$

जहाँ $Q$ मूल क्षेत्र में स्थिरांक $X$ (गणित) है. इसके अतिरिक्त, विभाजन अनुपात एक समरूपता परिवर्तन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय हैं


 * $$z \mapsto b z$$

एक अन्य-शून्य स्थिरांक के लिए $Y$ में $P$. इसलिए, क्रॉस-अनुपात संयुक्त परिवर्तन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है।

एक अच्छी तरह से परिभाषित गुणात्मक व्युत्क्रम प्राप्त करने के लिए


 * $$T : z \mapsto z^{-1},$$

संयुक्त रेखा को $S_{3}$ अनंत बिंदु पर इंगित करके बढ़ाया जाना चाहिए ,प्रक्षेपीय रेखा बनाते हुए $PGL(2, Z)$. प्रत्येक संयुक्त प्रतिचित्रण $2$ की प्रतिचित्रण के लिए विशिष्ट रूप से बढ़ाया जा सकता है $3$ अपने आप में जो बिंदु को अनंत पर ठीक करता है। वो चिन्ह $Q$ और $PGL(2, Z)$ रूपांतरण $2$ करता है. प्रक्षेपी समूह $2$ द्वारा उत्पन्न होता है और संयुक्त प्रतिचित्रण $D_{3}$को विस्तारित किया गया. यदि $S_{3}$, जटिल तल, इसका परिणाम मोबियस समूह में होता है। चूंकि क्रॉस-अनुपात $C$ अपने आप में $S_{3}$ किसी भी प्रक्षेपीय प्रतिचित्रण के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है  ।

समन्वय विवरण
यदि हम जटिल बिंदुओं को सदिशों के रूप में लिखते हैं $$\overrightarrow{x}_n = [\Re(z_n),\Im(z_n)]^{\rm T}$$ और परिभाषित करते है $$x_{nm}=x_n-x_m$$, और जाने $$(a,b)$$ का आदिश-गुणनफल हो $$a$$ साथ $$b$$, तो क्रॉस अनुपात का वास्तविक भाग निम्न द्वारा दिया जाता है:

C_1 = \frac{ (x_{12},x_{14}) (x_{23},x_{34}) - (x_{12},x_{34}) (x_{14},x_{23}) + (x_{12},x_{23}) (x_{14},x_{34}) } {|x_{23}|^2 |x_{14}|^2 } $$ यह व्युत्क्रम जैसे द्वि-आयामी विशेष अनुरूप परिवर्तन का एक अपरिवर्तनीय है $$x^\mu \rightarrow \frac{x^\mu}{|x|^2} $$.

काल्पनिक भाग को द्वि-आयामी क्रॉस उत्पाद का उपयोग करना चाहिए $$a\times b = [a,b] = a_2 b_1 - a_1 b_2$$

C_2 = \frac{ (x_{12},x_{14}) [x_{34},x_{23}] - (x_{43},x_{23}) [ x_{12},x_{34} ] } {|x_{23}|^2 |x_{14}|^2  } $$

रिंग होमोग्राफी
क्रॉस अनुपात की अवधारणा मात्र जोड़, गुणा और व्युत्क्रम के रिंग  संचालन पर निर्भर करती है (यद्यपि किसी दिए गए तत्व का व्युत्क्रम एक रिंग में निश्चित नहीं है)। क्रॉस अनुपात के लिए एक दृष्टिकोण इसे एक होमोग्राफी के रूप में व्याख्या करता है जो तीन निर्दिष्ट बिंदुओं को $S_{3}$और $1/−1$ तक लेता है. व्युत्क्रमों से संबंधित प्रतिबंधों के अंतर्गत, रिंग के ऊपर क्रॉस-अनुपात पर प्रक्षेपीय रेखा में रिंग ऑपरेशंस के साथ ऐसा प्रतिचित्रण उत्पन्न करना संभव है। चार बिंदुओं का क्रॉस अनुपात चौथे बिंदु पर इस होमोग्राफी का मूल्यांकन है।

विभेदक-ज्यामितीय दृष्टिकोण
सिद्धांत एक अंतर कलन पहलू पर ले जाता है क्योंकि चार बिंदुओं को निकटता में लाया जाता है। यह श्वार्ज़ियन व्युत्पत्ति के सिद्धांत की ओर जाता है, और अधिक सामान्य रूप से प्रक्षेपण कनेक्शन  के।

उच्च-आयामी सामान्यीकरण
क्रॉस-अनुपात उच्च आयामों के लिए सरल विधियाँ से सामान्यीकृत नहीं होता है, बिंदुओं के विन्यास के अन्य ज्यामितीय गुणों के कारण, विशेष रूप से संपार्श्विकता - विन्यास स्थान (गणित) अधिक जटिल और विशिष्ट होते हैं $G$-अंकों की संख्या सामान्य स्थिति में नहीं है।

जबकि प्रक्षेपी रेखा का प्रक्षेपी रेखीय समूह 3-सकर्मक है (किसी भी तीन विभिन्न बिंदुओं को किसी अन्य तीन बिंदुओं पर मैप किया जा सकता है), और वास्तव में मात्र 3-सकर्मक (किसी भी ट्रिपल को दूसरे ट्रिपल में ले जाने वाला एक अनूठा प्रक्षेपीय  मैप है) क्रॉस अनुपात इस प्रकार चार बिंदुओं के एक समूह का अद्वितीय प्रक्षेपीय  अपरिवर्तनीय है, उच्च आयाम में बुनियादी ज्यामितीय अपरिवर्तनीय हैं। का प्रक्षेपी रैखिक समूह $K$-अंतरिक्ष $$\mathbf{P}^n=\mathbf{P}(K^{n+1})$$ है $3$ आयाम (क्योंकि यह है $$\mathrm{PGL}(n,K) = \mathbf{P}(\mathrm{GL}(n+1,K)),$$ प्रक्षेपीय ाइजेशन एक आयाम को विस्थापित कर रहा है), लेकिन अन्य आयामों में प्रक्षेपीय  रैखिक समूह मात्र  2-संक्रमणीय है - क्योंकि तीन समरेख बिंदुओं को तीन समरेख बिंदुओं पर मैप किया जाना चाहिए (जो प्रक्षेपी रेखा में प्रतिबंध नहीं है) - और इस प्रकार सामान्यीकृत नहीं है का अद्वितीय अपरिवर्तनीय प्रदान करने वाला क्रॉस अनुपात $S_{3}$ अंक।

संरेखता बिंदुओं के विन्यास की एकमात्र ज्यामितीय संपत्ति नहीं है जिसे बनाए रखा जाना चाहिए - उदाहरण के लिए, पांच बिंदु एक शंकु का निर्धारण करते हैं, लेकिन छह सामान्य बिंदु एक शंकु पर स्थित नहीं होते हैं, इसलिए क्या कोई 6-टपल बिंदु एक शंकु पर स्थित है या नहीं एक प्रक्षेपी अपरिवर्तनीय। कोई सामान्य स्थिति में बिंदुओं की कक्षाओं का अध्ययन कर सकता है - रेखा में सामान्य स्थिति अलग होने के समान है, जबकि उच्च आयामों में इसके लिए ज्यामितीय विचारों की आवश्यकता होती है, जैसा कि चर्चा की गई है - लेकिन, जैसा कि ऊपर इंगित करता है, यह अधिक जटिल और कम जानकारीपूर्ण है।

यद्यपि, हाबिल-जैकोबी मानचित्र और थीटा कार्यों का उपयोग करते हुए, सकारात्मक जीनस (गणित) के रीमैन सतहों के लिए एक सामान्यीकरण विद्यमान है।

यह भी देखें

 * हिल्बर्ट मीट्रिक

संदर्भ

 * Lars Ahlfors (1953,1966,1979) Complex Analysis, 1st edition, page 25; 2nd & 3rd editions, page 78, McGraw-Hill ISBN 0-07-000657-1.
 * Viktor Blåsjö (2009) "Jakob Steiner's Systematische Entwickelung: The Culmination of Classical Geometry", Mathematical Intelligencer 31(1): 21–9.
 * John J. Milne (1911) An Elementary Treatise on Cross-Ratio Geometry with Historical Notes, Cambridge University Press.
 * Dirk Struik (1953) Lectures on Analytic and Projective Geometry, page 7, Addison-Wesley.
 * I. R. Shafarevich & A. O. Remizov (2012) Linear Algebra and Geometry, Springer ISBN 978-3-642-30993-9.

बाहरी संबंध

 * MathPages – Kevin Brown explains the cross-ratio in his article about Pascal's Mystic Hexagram
 * Cross-Ratio at cut-the-knot