मीट्रिक स्थान

गणित में, मीट्रिक स्थान या दूरीक समष्टि, इसके तत्वों (सामान्यतः बिंदु) के बीच की दूरी की धारणा के साथ एक समुच्चय है। इस दूरी को मीट्रिक या दूरी फलन नामक फलन द्वारा मापा जाता है। गणितीय विश्लेषण और ज्यामिति की कई अवधारणाओं का अध्ययन करने के लिए मीट्रिक स्थान सबसे सामान्य समायोजन हैं।

मीट्रिक स्थान का सबसे व्यावहारिक उदाहरण दूरी की सामान्य धारणा के साथ यूक्लिड का त्रि-विमीय अंतरिक्ष है। इसका एक अन्य प्रसिद्ध उदाहरण कोणीय दूरी और अतिपरवलयिक तल से सुसज्जित एक गोला है। एक मीट्रिक, भौतिक दूरी की धारणा के स्थान पर एक लाक्षणिक दूरी की धारणा के अनुरूप हो सकता है: उदाहरण के लिए, 100-वर्णीय एकल कूट श्रृंखलाओं (यूनिकोड स्ट्रिंग्स) के समुच्चय को हैमिंग दूरी से सुसज्जित किया जा सकता है, यह उन वर्णों की संख्या को मापता है जिन्हें प्राप्त करने के लिए एक श्रृंखला से दूसरी श्रृंखला में बदलने की आवश्यकता होती है।

मीट्रिक स्थान के अधिक सामान्य होने के कारण, यह गणित की कई विभिन्न शाखाओं में उपयोग किया जाने वाला उपकरण है। कई प्रकार की गणितीय वस्तुओं में दूरी की एक स्वाभाविक धारणा होती है और इसलिए ये एक मीट्रिक स्थान की संरचना को स्वीकार करते हैं, जिसमें रीमैनियन मैनिफोल्ड, आदर्श सदिश स्थान और ग्राफ (असतत गणित) सम्मिलित हैं। अमूर्त बीजगणित में, p-एडिक संख्याएँ परिमेय संख्याओं पर एक मीट्रिक संरचना की पूर्णता के तत्वों के रूप में उत्पन्न हुई हैं। मीट्रिक ज्यामिति और मीट्रिक स्थान के विश्लेषण में मीट्रिक स्थान का भी स्वयं में अध्ययन किया गया है।

गेंद, पूर्ण मीट्रिक स्थान, साथ ही समान सततता, लिप्सचिट्ज़ सततता और होल्डर सततता सहित गणितीय विश्लेषण के कई मौलिक धारणाओं को मीट्रिक स्थान के समायोजन में परिभाषित किया जा सकता है। सततता, सघनता, और खुले एवं बंद समुच्चय जैसी अन्य धारणाओं को मीट्रिक स्थान के लिए परिभाषित किया जा सकता है, लेकिन सांस्थितीय स्थान के और भी सामान्य समायोजन में भी परिभाषित किया जा सकता है।

प्रेरणा
दूरी की विभिन्न धारणाओं की उपयोगिता को देखने के लिए, पृथ्वी की सतह को बिन्दुओं के समुच्चय के रूप में लें। हम सतह के साथ सबसे छोटे पथ की लंबाई (ग्रेट-सर्कल दूरी) द्वारा दो ऐसे बिंदुओं के बीच की दूरी को माप सकते हैं, "जैसे कौआ उड़ता है"; यह नौवहन और विमानन के लिए विशेष रूप से उपयोगी है। हम पृथ्वी के आंतरिक भाग से होते हुए दो बिंदुओं के बीच की सीधी-रेखा की दूरी को भी माप सकते हैं; उदाहरण के लिए, यह धारणा भूकंप विज्ञान में स्वाभाविक है, क्योंकि यह उन दो बिंदुओं के बीच यात्रा करने के लिए भूकंपीय तरंगों के लिए लगने वाले समय के संगत है।

मीट्रिक स्थान अभिगृहीतों द्वारा एन्कोड की गई दूरी की धारणा में अपेक्षाकृत कम आवश्यकताएँ हैं। यह सामान्यतः मीट्रिक स्थान को बहुत अधिक लचीलापन प्रदान करती है। साथ ही, दूरी के अर्थ के बारे में कई सहज ज्ञान युक्त तथ्यों को एन्कोड करने के लिए यह धारणा काफी सुदृढ़ है। इसका अर्थ है कि मीट्रिक स्थान के बारे में सामान्य परिणाम कई अलग-अलग संदर्भों में प्रयुक्त किए जा सकते हैं।

कई मूलभूत गणितीय अवधारणाओं के समान, मीट्रिक स्थान पर मीट्रिक की कई अलग-अलग तरीकों से व्याख्या की जा सकती है। भौतिक दूरी को मापने के रूप में एक विशेष मीट्रिक को सर्वोत्तम नहीं माना जा सकता है, लेकिन एक अवस्था से दूसरे में बदलने की लागत (मापों के स्थान पर वासरस्टीन मीट्रिक के साथ के समान) या दो वस्तुओं के बीच अंतर की कोटि (उदाहरण के लिए, वर्णों की दो श्रृंखलाओं के बीच की हैमिंग दूरी, या स्वयं मीट्रिक स्थान के बीच ग्रोमोव-हॉसडॉर्फ दूरी) के रूप में सर्वोत्तम माना जा सकता है।

परिभाषा
औपचारिक रूप से, एक मीट्रिक स्थान एक क्रमित युग्म $(M, d)$ है, जहाँ $P$ एक समुच्चय है और $Q$, $M$ पर एक मीट्रिक है, अर्थात्, एक फलन$$d\,\colon M \times M \to \mathbb{R}$$सभी बिंदुओं $$x,y,z \in M$$ के लिए निम्नलिखित अभिगृहीतों को संतुष्ट करते हुए :

1. किसी बिंदु की स्वयं से दूरी शून्य होती है:

$$d(x, x) = 0.$$

2. (धनात्मकता) दो अलग-अलग बिंदुओं के बीच की दूरी हमेशा धनात्मक होती है:

$$x \neq y\text{, then }d(x, y)>0.$$

3. (समरूपता) एक बिंदु को स्वयं तक पहुँचने के लिए कभी कोई दूरी तय नहीं करनी पड़ती है।

$$d(x, y) = d(y, x)$$

इसमें लागत की असममित धारणाएँ असम्मिलित हैं, जो स्वाभाविक रूप से इस अवलोकन से उत्पन्न होती हैं कि नीचे की तुलना में ऊपर की ओर चलना कठिन होता है।

4. त्रिभुज की असमिका धारण करती है:

$$d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z).$$

यह दूरी की भौतिक और लाक्षणिक दोनों धारणाओं का एक प्राकृतिक गुण है: आप $d$ से होकर हुए एक चक्कर लगाते हुए $M$ से $y$ तक पहुंच सकते हैं, लेकिन यह आपकी यात्रा को सबसे छोटे पथ से तेज नहीं बनाएगा।

यदि मीट्रिक $x$ स्पष्ट है, तो इसे प्रायः " मेट्रिक स्थान $z$ " में संकेतन के दुरुपयोग से संदर्भित किया जाता है।

वास्तविक संख्याएँ
दूरी फलन $$d(x,y) = | y - x |$$ के साथ वास्तविक संख्याएँ शुद्ध अंतर द्वारा दी गई एक मीट्रिक स्थान बनाती हैं। उनके बीच मीट्रिक स्थान और कार्यों के कई गुण वास्तविक विश्लेषण में अवधारणाओं के सामान्यीकरण हैं और वास्तविक रेखा पर प्रयुक्त होने पर उन अवधारणाओं के साथ संगत होते हैं।

यूक्लिड स्थानों पर मीट्रिक
यूक्लिड समतल $$\R^2$$ कई अलग-अलग मीट्रिक से सुसज्जित हो सकता है। विद्यालयीय गणित से सम्बंधित यूक्लिड दूरी को निम्न समीकरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:$$d_2((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.$$टैक्सीकैब या मनहट्टन ज्यामिति को निम्न समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है:$$d_1((x_1,y_1),(x_2,y_2))=|x_2-x_1|+|y_2-y_1|$$और उस दूरी के बारे में विचार किया जा सकता है जो आपको एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक जाने के लिए क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाओं के साथ तय करने की आवश्यकता होती है, जैसा कि लेख के शीर्ष पर दिखाया गया है। अधिकतम, $$L^\infty$$ या चेबीशेव दूरी दूरी को निम्न समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है:$$d_\infty((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\max\{|x_2-x_1|,|y_2-y_1|\}.$$समतल में पथों के संदर्भ में इस दूरी की व्याख्या आसान नहीं है, लेकिन यह मीट्रिक स्थान अभिगृहीतों को संतुष्ट करती है।

वास्तव में, ये तीन दूरियाँ अलग-अलग गुण होने पर भी कुछ मायनों में समान हैं। अनौपचारिक रूप से, जो बिंदु एक में निकट हैं, वे दूसरों में भी निकट होते हैं। इस अवलोकन को निम्न सूत्र द्वारा परिमाणित किया जा सकता है:$$d_\infty(p,q) \leq d_2(p,q) \leq d_1(p,q) \leq 2d_\infty(p,q),$$जो प्रत्येक बिंदु-युग्म $$p, q \in \R^2$$ के लिए परिभाषित है

मौलिक रूप से भिन्न दूरी को निम्न समायोजन द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:$$d(p,q)=\begin{cases}0, & \text{if }p=q, \\ 1, & \text{otherwise.}\end{cases}$$इस असतत मीट्रिक में, सभी भिन्न बिंदु परस्पर 1 इकाई की दूरी पर होते हैं: इनमें से कोई भी बिंदु एक दूसरे के न ही समीप और न ही बहुत दूर होते हैं। सहज रूप से, असतत मीट्रिक अब इस पर ध्यान केन्द्रित नहीं करता है कि यह समुच्चय एक समतल है, बल्कि इसके साथ केवल बिंदुओं के एक अविभाज्य समुच्चय के रूप में व्यवहार करता है।

ये सभी मीट्रिक $$\R^2$$ के साथ-साथ $$\R^n$$ पर भी सत्य होते हैं।

उप-स्थान
एक दिए हुए मीट्रिक स्थान $(M, d)$ और एक उपसमुच्चय $$A \subseteq M$$ के साथ, हम $d$ को, $M$ के समान दूरियों को मापकर एक मीट्रिक स्थान मान सकते हैं। औपचारिक रूप से, $A$ पर प्रेरित मीट्रिक, निम्न द्वारा परिभाषित एक फलन $$d_A:A \times A \to \R$$ है:  $$d_A(x,y)=d(x,y).$$उदाहरण के लिए, यदि हम द्वि-विमीय गोले $S^{2}$ को $$\R^3$$ के उपसमुच्चय के रूप में लेते हैं, तो $$\R^3$$ पर यूक्लिड मीट्रिक, ऊपर वर्णित $S^{2}$ पर सरल-रेखा मीट्रिक को प्रेरित करता है। इसके दो और उपयोगी उदाहरण खुला अंतराल (0, 1) और बंद अंतराल $M$ हैं, जिन्हें वास्तविक रेखा के उप-स्थान माना जाता है।

इतिहास
1906 में मौरिस फ्रेचेट ने कार्यात्मक विश्लेषण के संदर्भ में अपने काम कार्यात्मक कलन के कुछ बिंदुओं पर में मीट्रिक रिक्त स्थान की शुरुआत की: उनकी मुख्य रुचि एक मीट्रिक स्थान से वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का अध्ययन करने में थी, कई या कई के कार्यों के सिद्धांत को सामान्य बनाना यहां तक ​​कि असीम रूप से कई चर, जैसा कि सिसारे अरजेला जैसे गणितज्ञों द्वारा अग्रणी है। इस विचार को और विकसित किया गया और इसके उचित संदर्भ में फ़ेलिक्स हॉसडॉर्फ़ ने सेट थ्योरी के अपने महान कृति सिद्धांतों में रखा, जिसने एक (हॉसडॉर्फ स्पेस) टोपोलॉजिकल स्पेस की धारणा भी पेश की।

सामान्य मीट्रिक स्थान गणितीय पाठ्यक्रम का मूलभूत हिस्सा बन गए हैं। गणितीय अनुसंधान में मीट्रिक रिक्त स्थान के प्रमुख उदाहरणों में रीमैनियन मैनिफोल्ड्स और नॉर्म्ड वेक्टर स्पेस शामिल हैं, जो क्रमशः अवकल ज्यामिति और कार्यात्मक विश्लेषण के डोमेन हैं। भग्न ज्यामिति कुछ विदेशी मीट्रिक रिक्त स्थान का एक स्रोत है। अन्य अलग-अलग या चिकनी वस्तुओं के अध्ययन के माध्यम से सीमा के रूप में उत्पन्न हुए हैं, जिसमें सांख्यिकीय भौतिकी में स्केल इनवेरिएंट सीमाएं शामिल हैं, एलेक्जेंड्रोव रिक्त स्थान रिमेंनियन मैनिफोल्ड्स के अनुक्रमों की ग्रोमोव-हॉसडॉर्फ सीमा के रूप में उत्पन्न होती हैं, और ज्यामितीय समूह सिद्धांत में सीमाएं और स्पर्शोन्मुख शंकु। अंत में, कंप्यूटर विज्ञान में परिमित और असतत मीट्रिक रिक्त स्थान के कई नए अनुप्रयोग उत्पन्न हुए हैं।

मूल धारणाएं
निकटता और अभिसरण की धारणाओं को परिभाषित करने के लिए एक दूरी का कार्य पर्याप्त है जो वास्तविक विश्लेषण में पहली बार विकसित हुए थे। गुण जो मीट्रिक स्थान की संरचना पर निर्भर करते हैं उन्हें मीट्रिक गुण कहा जाता है। प्रत्येक मेट्रिक स्पेस भी एक टोपोलॉजिकल स्पेस है, और कुछ मेट्रिक गुणों को टोपोलॉजी की भाषा में दूरी के संदर्भ के बिना भी रीफ़्रेश किया जा सकता है; अर्थात्, वे वास्तव में सामयिक गुण हैं।

एक मीट्रिक स्थान की टोपोलॉजी
मीट्रिक स्थान $A$ में किसी भी बिंदु $[0, 1]$ के लिए और कोई वास्तविक संख्या $r > 0$, $M$ के चारों ओर त्रिज्या $x$ की खुली गेंद को उन बिंदुओं के सेट के रूप में परिभाषित किया गया है जो $x$ से अधिकतम दूरी $r$ पर हैं:$$B_r(x)=\{y \in M : d(x,y) < r\}.$$यह उन बिंदुओं के समूह को परिभाषित करने का एक स्वाभाविक तरीका है जो $x$ के अपेक्षाकृत निकट हैं। इसलिए, एक समुच्चय $$N \subseteq M$$, $r$ का एक पड़ोस है (अनौपचारिक रूप से, इसमें $x$ के "पर्याप्त रूप से" सभी बिंदु होते हैं) यदि इसमें कुछ $r > 0$ के लिए $x$ के चारों ओर त्रिज्या $x$ की एक खुली गेंद होती है।

एक खुला सेट एक सेट है जो इसके सभी बिंदुओं का पड़ोस है। यह इस प्रकार है कि खुली गेंदें $x$ पर आधार (टोपोलॉजी) के लिए आधार बनाती हैं। दूसरे शब्दों में, $r$ के खुले सेट बिल्कुल खुली गेंदों के संघ हैं। किसी भी टोपोलॉजी की तरह, बंद सेट खुले सेट के पूरक हैं। सेट खुले और बंद दोनों हो सकते हैं और साथ ही न तो खुले और न ही बंद।

यह टोपोलॉजी मीट्रिक स्पेस के बारे में सारी जानकारी नहीं रखती है। उदाहरण के लिए, ऊपर दी गई दूरियां $d_{1}$, $d_{2}$, तथा $d_{∞}$ $$\R^2$$ पर समान टोपोलॉजी को प्रेरित करती हैं, हालांकि वे कई मायनों में अलग व्यवहार करती हैं। इसी तरह, $$\R$$ यूक्लिडियन मीट्रिक के साथ और इसके उप-अंतराल (0, 1) प्रेरित मीट्रिक के साथ समरूपता (होमियोमॉर्फिक) हैं लेकिन बहुत अलग मीट्रिक गुण हैं।

इसके विपरीत, प्रत्येक स्थलीय स्थान को एक मीट्रिक नहीं दिया जा सकता है। टोपोलॉजिकल स्पेस जो एक मीट्रिक के साथ संगत होते हैं, उन्हें मेट्रिज़ेबल कहा जाता है और विशेष रूप से कई तरह से अच्छा व्यवहार किया जाता है: विशेष रूप से, वे पैराकॉम्पैक्ट स्पेस हौसडॉर्फ स्पेस (इसलिए सामान्य) और प्रथम-गणनीय स्थान योग्य हैं। नागाटा– स्मिरनोव मेट्रिज़ेशन प्रमेय मेट्रिक्स के संदर्भ के बिना, अन्य टोपोलॉजिकल गुणों के संदर्भ में मेट्रिज़ेबिलिटी का लक्षण वर्णन करता है।

अभिसरण
यूक्लिडियन अंतरिक्ष में अनुक्रमों के अभिसरण को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:
 * एक अनुक्रम $(x_{n})$ एक बिंदु $M$ में परिवर्तित हो जाता है यदि प्रत्येक $ε > 0$ के लिए एक पूर्णांक $M$ है जैसे कि सभी $n > N$, $d(x_{n}, x) < ε$ के लिए।

टोपोलॉजिकल स्पेस में अनुक्रमों का अभिसरण निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:
 * एक अनुक्रम $(x_{n})$ एक बिंदु $x$ पर अभिसरण करता है यदि प्रत्येक खुले सेट $x$ के लिए जिसमें $N$ है, एक पूर्णांक $x$ है जैसे कि सभी $n > N$ के लिए, $$x_n \in U$$.

मीट्रिक रिक्त स्थान में, ये दोनों परिभाषाएँ समझ में आती हैं और वे समान हैं। यह मीट्रिक रिक्त स्थान के टोपोलॉजिकल गुणों के लिए एक सामान्य पैटर्न है: जबकि उन्हें विशुद्ध रूप से टोपोलॉजिकल तरीके से परिभाषित किया जा सकता है, अक्सर एक ऐसा तरीका होता है जो मीट्रिक का उपयोग करता है जो कि राज्य के लिए आसान है या वास्तविक विश्लेषण से अधिक परिचित है।

पूर्णता
अनौपचारिक रूप से, एक मीट्रिक स्थान पूर्ण होता है यदि इसमें कोई "लापता बिंदु" नहीं होता है: प्रत्येक क्रम जो ऐसा दिखता है कि उसे वास्तव में अभिसरण करना चाहिए।

इसे सटीक बनाने के लिए: मीट्रिक स्पेस $U$ में एक अनुक्रम $(x_{n})$कॉची है यदि प्रत्येक $ε > 0$ के लिए एक पूर्णांक $x$ है जैसे कि सभी $m, n > N$, $d(x_{m}, x_{n}) < ε$ के लिए। त्रिभुज असमानता से, कोई भी अभिसरण अनुक्रम कॉची है: यदि $N$ और $M$ दोनों सीमा से $ε$ से कम दूर हैं, तो वे एक दूसरे से $2ε$ से कम दूर हैं। यदि विलोम सत्य है - $N$ में प्रत्येक कॉची अनुक्रम अभिसरण करता है - तो $x_{m}$ पूर्ण है।

यूक्लिडियन रिक्त स्थान पूर्ण हैं, जैसा कि $$\R^2$$ ऊपर वर्णित अन्य मैट्रिक्स के साथ है। रिक्त स्थान के दो उदाहरण जो पूर्ण नहीं हैं (0, 1) और परिमेय हैं, जिनमें से प्रत्येक $$\R$$ से प्रेरित मीट्रिक के साथ है। कोई भी (0, 1) के बारे में सोच सकता है कि इसके समापन बिंदु 0 और 1 "अनुपलब्ध" हैं। परिमेय सभी अपरिमेय को याद कर रहे हैं, क्योंकि किसी भी अपरिमेय के पास $$\R$$ में परिमेय का एक क्रम होता है। {आर} (उदाहरण के लिए, इसके क्रमिक दशमलव सन्निकटन)। इन उदाहरणों से पता चलता है कि पूर्णता एक सांस्थितिक गुण नहीं है, क्योंकि $$\R$$ पूर्ण है, लेकिन होमियोमॉर्फिक स्पेस (0, 1) नहीं है।

"लापता अंक" की इस धारणा को सटीक बनाया जा सकता है। वास्तव में, प्रत्येक मीट्रिक स्थान में एक अद्वितीय पूर्णता होती है, जो एक पूर्ण स्थान होता है जिसमें दिए गए स्थान को घने उपसमुच्चय के रूप में शामिल किया जाता है। उदाहरण के लिए, $x_{n}$ (0, 1) की पूर्णता है, और वास्तविक संख्याएँ परिमेय की पूर्णता हैं।

चूंकि पूर्ण रिक्त स्थान के साथ काम करना आम तौर पर आसान होता है, पूरे गणित में पूर्णता महत्वपूर्ण होती है। उदाहरण के लिए, अमूर्त बीजगणित में, p-adic संख्या|p-adic संख्याओं को एक अलग मीट्रिक के तहत परिमेय के पूरा होने के रूप में परिभाषित किया गया है। कार्यात्मक विश्लेषण में एक उपकरण के रूप में पूर्णता विशेष रूप से आम है। अक्सर किसी के पास अच्छे कार्यों का एक सेट होता है और उनके बीच की दूरी को मापने का एक तरीका होता है। इस मीट्रिक स्थान को पूरा करने से कार्यों का एक नया सेट मिलता है जो कम अच्छा हो सकता है, लेकिन फिर भी उपयोगी हो सकता है क्योंकि वे महत्वपूर्ण तरीकों से मूल अच्छे कार्यों के समान व्यवहार करते हैं। उदाहरण के लिए, विभेदक समीकरणों के आम तौर पर अच्छे कार्यों के मूल स्थान के बजाय एक पूर्णता (एक ) में रहते हैं, जिसके लिए  वास्तव में समझ में आता है।

चूंकि पूर्ण स्थान के साथ काम करना आम तौर पर आसान होता है, पूरे गणित में पूर्णता महत्वपूर्ण होती है। उदाहरण के लिए, सार बीजगणित में, पी-एडिक संख्या को एक अलग मीट्रिक के तहत परिमेय के पूरा होने के रूप में परिभाषित किया गया है। समापन कार्यात्मक विश्लेषण में एक उपकरण के रूप में विशेष रूप से आम है। अक्सर किसी के पास अच्छे कार्यों का एक सेट होता है और उनके बीच दूरियों को मापने का एक तरीका होता है। इस मीट्रिक स्थान को पूरा करने से कार्यों का एक नया सेट मिलता है जो कम अच्छा हो सकता है, लेकिन फिर भी उपयोगी होता है क्योंकि वे महत्वपूर्ण तरीकों से मूल अच्छे कार्यों के समान व्यवहार करते हैं। उदाहरण के लिए, अंतर समीकरणों के कमजोर समाधान आम तौर पर अच्छे कार्यों के मूल स्थान के बजाय पूर्णता (एक सोबोलेव स्पेस) में रहते हैं जिसके लिए अवकल समीकरण वास्तव में समझ में आता है।

बंधे और पूरी तरह से बंधे हुए स्थान


एक मीट्रिक स्थान $M$ को घेरा जाता है यदि कोई $M$ ऐसा हो कि $[0, 1]$ में कोई भी बिंदु $M$r दूरी से अधिक न हो। कम से कम ऐसे $r$ को $M$ का कहा जाता है।

अंतरिक्ष $r$ को प्रीकॉम्पैक्ट या पूरी तरह से घिरा हुआ कहा जाता है यदि प्रत्येक $r > 0$ के लिए त्रिज्या $r$ की खुली गेंदों द्वारा $M$ का एक सीमित कवर होता है। हर पूरी तरह से घिरा हुआ स्थान घिरा हुआ है। इसे देखने के लिए, कुछ मनमाना आर के लिए $M$-बॉल्स द्वारा सीमित कवर से शुरू करें। चूँकि इन गेंदों के केंद्रों से मिलकर $r$ का उपसमुच्चय परिमित है, इसका परिमित व्यास है, $M$ कहते हैं। त्रिभुज असमानता से, पूरे स्थान का व्यास अधिकतम $D + 2r$ है। आक्षेप धारण नहीं करता है: एक मीट्रिक स्थान का एक उदाहरण जो घिरा हुआ है लेकिन पूरी तरह से घिरा नहीं है $$\R^2$$ असतत मीट्रिक के साथ।

सघनता
कॉम्पैक्टनेस एक टोपोलॉजिकल प्रॉपर्टी है जो यूक्लिडियन स्पेस के एक बंद और बंधे हुए उपसमुच्चय के गुणों को सामान्य करती है। मीट्रिक रिक्त स्थान में कॉम्पैक्टनेस की कई समान परिभाषाएँ हैं: एक कॉम्पैक्ट स्पेस का एक उदाहरण बंद अंतराल $r$ है।
 * 1) एक मीट्रिक स्पेस $M$ कॉम्पैक्ट है यदि प्रत्येक खुले कवर में एक परिमित उपकवर (सामान्य टोपोलॉजिकल परिभाषा) है।
 * 2) एक मीट्रिक स्पेस एम कॉम्पैक्ट होता है यदि प्रत्येक अनुक्रम में एक अभिसरण अनुक्रम होता है। (सामान्य टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए इसे अनुक्रमिक कॉम्पैक्टनेस कहा जाता है और कॉम्पैक्टनेस के बराबर नहीं है।)
 * 3) एक मीट्रिक स्पेस $D$ कॉम्पैक्ट है अगर यह पूर्ण और पूरी तरह से घिरा हुआ है। (यह परिभाषा मीट्रिक गुणों के संदर्भ में लिखी गई है और सामान्य टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए इसका कोई अर्थ नहीं है, लेकिन फिर भी यह स्थैतिक रूप से अपरिवर्तनीय है क्योंकि यह कॉम्पैक्टनेस के बराबर है।)

पूर्णता के समान कारणों के लिए कॉम्पैक्टनेस महत्वपूर्ण है: इससे सीमाएँ खोजना आसान हो जाता है। एक अन्य महत्वपूर्ण उपकरण लेब्सग्यू का नंबर लेम्मा है, जो दर्शाता है कि किसी कॉम्पैक्ट स्पेस के किसी भी खुले कवर के लिए, कवर के किसी एक सेट के अंदर प्रत्येक बिंदु अपेक्षाकृत गहरा होता है। <!-- क्या इसे मुख्य मेट्रिक स्पेस आलेख में होना आवश्यक है?

प्रत्येक कॉम्पैक्ट मीट्रिक स्थान दूसरा गणनीय है, और कैंटर सेट की एक सतत छवि है। (बाद का परिणाम पावेल अलेक्जेंड्रोव और पावेल सैमुइलोविच उरीसोहन के कारण है।)

मीट्रिक रिक्त स्थान के बीच कार्य
टोपोलॉजिकल स्पेस या बीजगणितीय संरचनाओं जैसे कि समूह (गणित)  या रिंग (गणित) के मामले के विपरीत, मीट्रिक रिक्त स्थान के बीच कोई भी सही प्रकार का आकारिकी नहीं है। संरचना-संरक्षण कार्य। इसके बजाय, व्यक्ति अपने लक्ष्यों के आधार पर विभिन्न प्रकार के कार्यों के साथ काम करता है। इस पूरे खंड में, मान लीजिए कि $$(M_1,d_1)$$ तथा $$(M_2,d_2)$$ दो मीट्रिक रिक्त स्थान हैं। फ़ंक्शन और मानचित्र शब्द का परस्पर उपयोग किया जाता है।

सममिति
संरचना-संरक्षण मानचित्र की एक व्याख्या वह है जो दूरी फ़ंक्शन को पूरी तरह से संरक्षित करती है:
 * एक समारोह $$f:M_1 \to M_2$$ दूरी-संरक्षण है यदि प्रत्येक जोड़ी अंक के लिए $M$ तथा $M$ में $M_{1}$, $$d_2(f(x),f(y))=d_1(x,y).$$

यह मीट्रिक अंतरिक्ष स्वयंसिद्धों से इस प्रकार है कि दूरी-संरक्षण कार्य इंजेक्शन है। एक विशेषण दूरी-संरक्षण कार्य को एक आइसोमेट्री कहा जाता है। इस आलेख में वर्णित रिक्त स्थान के बीच एक आइसोमेट्री का एक शायद गैर-स्पष्ट उदाहरण नक्शा है $$f:(\R^2,d_1) \to (\R^2,d_\infty)$$ द्वारा परिभाषित $$f(x,y)=(x+y,x-y).$$ यदि रिक्त स्थान के बीच एक आइसोमेट्री है $M_{1}$ तथा $M_{2}$, उन्हें आइसोमेट्रिक कहा जाता है। मीट्रिक रिक्त स्थान जो आइसोमेट्रिक हैं, समाकृतिकता  हैं।

सतत मानचित्र
स्पेक्ट्रम के दूसरे छोर पर, कोई पूरी तरह से मीट्रिक संरचना के बारे में भूल सकता है और निरंतर कार्य (टोपोलॉजी)  का अध्ययन कर सकता है, जो केवल टोपोलॉजिकल संरचना को संरक्षित करता है। मीट्रिक रिक्त स्थान के लिए निरंतरता की कई समान परिभाषाएँ हैं। सबसे महत्वपूर्ण हैं:
 * टोपोलॉजिकल परिभाषा। एक समारोह $$f\,\colon M_1\to M_2$$ निरंतर है यदि प्रत्येक खुले सेट के लिए $[0, 1]$ में $M_{2}$, पूर्व छवि  $$f^{-1}(U)$$ खुला है।
 * क्रमिक निरंतरता। एक समारोह $$f\,\colon M_1\to M_2$$ निरंतर है यदि जब भी कोई अनुक्रम $(x_{n})$ एक बिंदु में परिवर्तित हो जाता है $x$ में $M_{1}$, क्रम $$f(x_1),f(x_2),\ldots$$ बिंदु पर अभिसरण करता है $f(x)$ में $M_{2}$.
 * (ये पहली दो परिभाषाएं सभी टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए समान नहीं हैं।)

एक होमियोमॉर्फिज्म एक सतत नक्शा है जिसका व्युत्क्रम भी निरंतर है; अगर बीच में एक होमियोमॉर्फिज्म है $M_{1}$ तथा $ε > 0$, उन्हें होमियोमॉर्फिक कहा जाता है। होमोमोर्फिक रिक्त स्थान टोपोलॉजी के दृष्टिकोण से समान हैं, लेकिन बहुत भिन्न मीट्रिक गुण हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, $$\R$$ असीमित और पूर्ण है, जबकि $y$ सीमित है लेकिन पूर्ण नहीं है।
 * 'ε-δ परिभाषा।' एक समारोह $$f\,\colon M_1\to M_2$$ निरंतर है यदि प्रत्येक बिंदु के लिए $U$ में $δ > 0$ और हर $M_{1}$ वहां मौजूद $M_{1}$ ऐसा कि सभी के लिए $x$ में $M_{2}$ अपने पास $$d_1(x,y) < \delta \implies d_2(f(x),f(y)) < \varepsilon.$$

समान रूप से निरंतर नक्शे
एक समारोह $$f\,\colon M_1\to M_2$$ एकसमान निरंतरता है यदि प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए $ε > 0$ वहां मौजूद $δ > 0$ ऐसा है कि सभी बिंदुओं के लिए $x$ तथा $y$ में $M_{1}$ ऐसा है कि $$d(x,y)<\delta$$, अपने पास $$d_2(f(x),f(y)) < \varepsilon.$$ इस परिभाषा और निरंतरता की ε-δ परिभाषा के बीच एकमात्र अंतर क्वांटिफायर का क्रम है: का चुनाव केवल ε पर निर्भर होना चाहिए न कि बिंदु पर $(0, 1)$. हालाँकि, इस सूक्ष्म परिवर्तन से बहुत फर्क पड़ता है। उदाहरण के लिए, समान रूप से निरंतर नक्शे में कॉची अनुक्रम लेते हैं $M_{1}$ में कॉची दृश्यों के लिए $M_{2}$. इसका तात्पर्य यह है कि एक समान रूप से सतत मानचित्र के तहत एक पूर्ण स्थान की छवि पूर्ण है। दूसरे शब्दों में, एकसमान निरंतरता कुछ मीट्रिक गुणों को संरक्षित करती है जो विशुद्ध रूप से टोपोलॉजिकल नहीं हैं।

दूसरी ओर, हेन-कैंटोर प्रमेय कहता है कि यदि $M_{1}$ कॉम्पैक्ट है, तो हर निरंतर नक्शा समान रूप से निरंतर है। दूसरे शब्दों में, एकसमान निरंतरता कॉम्पैक्ट मीट्रिक रिक्त स्थान की किसी भी गैर-टोपोलॉजिकल विशेषताओं को अलग नहीं कर सकती है।

लिप्सचिट्ज़ मानचित्र और संकुचन
एक लिप्सित्ज़ निरंतरता वह है जो दूरी को अधिकतम एक सीमित कारक द्वारा फैलाती है। औपचारिक रूप से, एक वास्तविक संख्या दी गई $K > 0$, नक्शा $$f\,\colon M_1\to M_2$$ है $x$-लिप्सचिट्ज़ अगर $$d_2(f(x),f(y))\leq K d_1(x,y)\quad\text{for all}\quad x,y\in M_1.$$ लिप्सचिट्ज़ मानचित्र मीट्रिक ज्यामिति में विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि वे दूरी-संरक्षित मानचित्रों की तुलना में अधिक लचीलापन प्रदान करते हैं, लेकिन फिर भी मीट्रिक का आवश्यक उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, एक मीट्रिक स्थान में एक वक्र चाप की लंबाई (परिमित लंबाई है) है यदि और केवल अगर इसमें लिप्सचिट्ज़ पुनर्मूल्यांकन है।

1-लिप्सचिट्ज़ मानचित्र को कभी-कभी गैर-विस्तारित या मीट्रिक मानचित्र कहा जाता है। मीट्रिक मानचित्रों को आमतौर पर मीट्रिक रिक्त स्थान की श्रेणी  के आकारिकी के रूप में लिया जाता है।

ए $y$-लिप्सचिट्ज़ के लिए नक्शा $K < 1$ संकुचन मानचित्रण  कहलाता है।  बनच फिक्स्ड-पॉइंट प्रमेय  में कहा गया है कि अगर $x$ एक पूर्ण मीट्रिक स्थान है, तो प्रत्येक संकुचन $$f:M \to M$$ एक अद्वितीय  निश्चित बिंदु (गणित)  स्वीकार करता है। यदि मीट्रिक स्थान $K$ कॉम्पैक्ट है, परिणाम थोड़ी कमजोर स्थिति के लिए है $K$: नक्षा $$f:M \to M$$ एक अद्वितीय निश्चित बिंदु स्वीकार करता है यदि $$ d(f(x), f(y)) < d(x, y) \quad \mbox{for all} \quad x \ne y \in M_1.$$

अर्ध-सममिति
एक अर्ध isometry  एक नक्शा है जो एक मीट्रिक स्थान की बड़े पैमाने पर संरचना को संरक्षित करता है। अर्ध-सममिति निरंतर नहीं होनी चाहिए। उदाहरण के लिए, $$\R^2$$ और इसके उप-स्थान $$\Z^2$$ अर्ध-सममितीय हैं, भले ही एक जुड़ा हुआ है और दूसरा असतत है। ज्यामितीय समूह सिद्धांत में अर्ध-आइसोमेट्री का तुल्यता संबंध महत्वपूर्ण है: varc-Milnor lemma बताता है कि सभी रिक्त स्थान जिन पर समूह  ज्यामितीय समूह क्रिया  अर्ध-आइसोमेट्रिक हैं। औपचारिक रूप से, नक्शा $$f\,\colon M_1\to M_2$$ यदि स्थिरांक मौजूद हैं तो एक अर्ध-आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग है $A ≥ 1$ तथा $B ≥ 0$ ऐसा है कि $$\frac{1}{A} d_2(f(x),f(y))-B\leq d_1(x,y)\leq A d_2(f(x),f(y))+B \quad\text{ for all }\quad x,y\in M_1.$$ यह एक अर्ध-सममिति है यदि इसके अतिरिक्त यह अर्ध-विशेषण है, अर्थात एक स्थिरांक है $C ≥ 0$ ऐसा है कि हर बिंदु में $$M_2$$ सबसे अधिक दूरी पर है $M$ छवि के किसी बिंदु से $$f(M_1)$$.

मीट्रिक अंतरिक्ष तुल्यता की धारणा
दो मीट्रिक रिक्त स्थान दिए गए $$(M_1, d_1)$$ तथा $$(M_2, d_2)$$:
 * उन्हें होमोमोर्फिक (टोपोलॉजिकल रूप से आइसोमॉर्फिक) कहा जाता है यदि उनके बीच एक होमोमोर्फिज्म होता है (यानी, निरंतर व्युत्क्रम के साथ एक निरंतर द्विभाजन )। यदि $$M_1=M_2$$ और पहचान नक्शा एक समरूपता है, तो $$d_1$$ तथा $$d_2$$ टोपोलॉजिकली समकक्ष कहा जाता है।
 * यदि उनके बीच एक समान समरूपता है (अर्थात, एक समान रूप से निरंतर व्युत्क्रम के साथ एक समान रूप से निरंतर द्विभाजन)।
 * उन्हें बिलिप्सचिट्ज़ होमियोमॉर्फिक कहा जाता है यदि उनके बीच एक बिलिप्सचिट्ज़ आक्षेप होता है (यानी, लिप्सचिट्ज़ व्युत्क्रम के साथ एक लिप्सचिट्ज़ आक्षेप)।
 * यदि उनके बीच एक (विशेषण) आइसोमेट्री  है तो उन्हें आइसोमेट्रिक कहा जाता है। इस मामले में, दो मीट्रिक रिक्त स्थान अनिवार्य रूप से समान हैं।
 * यदि उनके बीच अर्ध-सममिति हो तो उन्हें अर्ध-सममितीय कहा जाता है।

सामान्य वेक्टर रिक्त स्थान
एक आदर्श वेक्टर स्पेस एक वेक्टर स्पेस है जो एक मानदंड (गणित)  से सुसज्जित है, जो एक ऐसा कार्य है जो वैक्टर की लंबाई को मापता है। एक वेक्टर का मानदंड $M$ आमतौर पर द्वारा निरूपित किया जाता है $$\lVert v \rVert$$. किसी भी मानक सदिश स्थान को एक मीट्रिक से सुसज्जित किया जा सकता है जिसमें दो वैक्टरों के बीच की दूरी $f$ तथा $C$ द्वारा दिया गया है $$d(x,y)=\lVert x-y \rVert.$$ मीट्रिक $v$ आदर्श से प्रेरित कहा जाता है $$\lVert{\cdot}\rVert$$. इसके विपरीत, अगर एक मीट्रिक $x$ एक वेक्टर अंतरिक्ष पर $y$ है तो यह मानदंड से प्रेरित मीट्रिक है $$\lVert x \rVert = d(x,0).$$ सेमिनॉर्म और  स्यूडोमेट्रिक स्पेस  के बीच एक समान संबंध है।
 * अनुवाद अपरिवर्तनीय: $$d(x,y) = d(x+a,y+a)$$ हरएक के लिए $d$, $d$, तथा $X$ में $x$; तथा
 * पूर्ण एकरूपता|: $$d(\alpha x, \alpha y) = |\alpha| d(x,y)$$ हरएक के लिए $y$ तथा $a$ में $X$ और वास्तविक संख्या $α$;

मानदंड से प्रेरित मीट्रिक के उदाहरणों में मेट्रिक्स हैं $d_{1}$, $d_{2}$, तथा $d_{∞}$ पर $$\R^2$$, जो क्रमशः मैनहट्टन मानदंड,  यूक्लिडियन मानदंड  और  अधिकतम मानदंड  से प्रेरित हैं। अधिक आम तौर पर,  कुराटोवस्की एम्बेडिंग  किसी को किसी भी मीट्रिक स्थान को एक आदर्श वेक्टर स्थान के उप-स्थान के रूप में देखने की अनुमति देता है।

कार्यात्मक विश्लेषण में अनंत-आयामी आदर्श वेक्टर रिक्त स्थान, विशेष रूप से कार्यों के रिक्त स्थान का अध्ययन किया जाता है। इस संदर्भ में पूर्णता विशेष रूप से महत्वपूर्ण है: एक पूर्ण आदर्श सदिश स्थान को बनच स्थान के रूप में जाना जाता है। आदर्श वेक्टर रिक्त स्थान की एक असामान्य संपत्ति यह है कि उनके बीच रैखिक परिवर्तन  निरंतर होते हैं यदि वे लिप्सचिट्ज़ हैं। इस तरह के परिवर्तनों को बाध्य ऑपरेटरों के रूप में जाना जाता है।

लंबाई रिक्त स्थान


मीट्रिक स्थान में वक्र  $(M, d)$ एक सतत कार्य है $$\gamma:[0,T] \to M$$. चाप की लंबाई $γ$ द्वारा मापा जाता है $$L(\gamma)=\sup_{0=x_0<x_1<\cdots<x_n=T} \left\{\sum_{k=1}^n d(\gamma(x_{k-1}),\gamma(x_k))\right\}.$$ सामान्य तौर पर, यह सर्वोच्च अनंत हो सकता है; परिमित लंबाई के वक्र को सुधारीय कहा जाता है। मान लीजिए कि वक्र की लंबाई $γ$ इसके समापन बिंदुओं के बीच की दूरी के बराबर है—अर्थात, यह इसके समापन बिंदुओं के बीच सबसे छोटा संभव पथ है। चाप की लंबाई से पुनरावृति के बाद, $γ$ भूगणित  बन जाता है: एक वक्र जो एक दूरी-संरक्षण कार्य है। जियोडेसिक अपने किन्हीं दो बिंदुओं के बीच सबसे छोटा संभव पथ है।

जियोडेसिक मेट्रिक स्पेस एक मेट्रिक स्पेस है जो अपने किन्हीं दो बिंदुओं के बीच एक जियोडेसिक को स्वीकार करता है। रिक्त स्थान $$(\R^2,d_1)$$ तथा $$(\R^2,d_2)$$ दोनों जियोडेसिक मेट्रिक स्पेस हैं। में $$(\R^2,d_2)$$, जियोडेसिक्स अद्वितीय हैं, लेकिन में $$(\R^2,d_1)$$, अक्सर दो बिंदुओं के बीच असीम रूप से कई भूगणित होते हैं, जैसा कि लेख के शीर्ष पर चित्र में दिखाया गया है।

अंतरिक्ष $x$ एक लंबा स्थान है (या मीट्रिक $y$ आंतरिक है) यदि किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी $X$ तथा $M$ उनके बीच पथों की लंबाई का न्यूनतम है। जियोडेसिक मेट्रिक स्पेस के विपरीत, अधिकतम को प्राप्त करने की आवश्यकता नहीं है। एक लंबाई वाले स्थान का एक उदाहरण जो भूगर्भीय नहीं है, यूक्लिडियन विमान माइनस द ओरिजिन है: पॉइंट्स $(1, 0)$ तथा $(-1, 0)$ लंबाई के पथों द्वारा मनमाने ढंग से 2 के करीब जोड़ा जा सकता है, लेकिन लंबाई 2 के पथ से नहीं। एक मीट्रिक स्थान का एक उदाहरण जो लंबाई की जगह नहीं है, गोले पर सीधी रेखा मीट्रिक द्वारा दिया जाता है: दो के बीच की सीधी रेखा पृथ्वी के केंद्र के माध्यम से बिंदु सतह के साथ किसी भी पथ से छोटा है।

किसी भी मीट्रिक स्थान को देखते हुए $(M, d)$, कोई एक नया, आंतरिक दूरी फ़ंक्शन परिभाषित कर सकता है $d_{intrinsic}$ पर $d$ बिंदुओं के बीच की दूरी निर्धारित करके $x$ तथा $y$ का न्यूनतम होना $M$-उनके बीच पथों की लंबाई। उदाहरण के लिए, यदि $x$ गोले पर सीधी रेखा की दूरी है, तो $d_{intrinsic}$ महान-वृत्त दूरी है। हालांकि, कुछ मामलों में $d_{intrinsic}$ अनंत मान हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि $y$ सबस्पेस मीट्रिक के साथ कोच हिमपात  है $d$ से प्रेरित $$\R^2$$, तो परिणामी आंतरिक दूरी अलग-अलग बिंदुओं के किसी भी जोड़े के लिए अनंत है।

रिमेंनियन मैनिफोल्ड्स
एक रिमेंनियन मैनिफोल्ड एक रिमेंनियन मीट्रिक टेंसर  से सुसज्जित एक स्थान है, जो हर बिंदु पर  स्पर्शरेखा स्थान  की लंबाई निर्धारित करता है। इसे असीम रूप से दूरी की धारणा को परिभाषित करने के बारे में सोचा जा सकता है। विशेष रूप से, एक अलग पथ $$\gamma:[0, T] \to M$$ रिमेंनियन मैनिफोल्ड में $d$ लंबाई को पथ के स्पर्शरेखा वेक्टर की लंबाई के अभिन्न के रूप में परिभाषित किया गया है: $$L(\gamma)=\int_0^T |\dot\gamma(t)|dt.$$ एक जुड़े हुए रिमेंनियन मैनिफोल्ड पर, एक तो दो बिंदुओं के बीच की दूरी को उनके बीच के चिकने रास्तों की लंबाई के रूप में परिभाषित करता है। यह निर्माण कई गुना पर अन्य प्रकार के इनफिनिटिमल मेट्रिक्स को सामान्यीकृत करता है, जैसे कि उप-रिमेंनियन मैनिफोल्ड |सब-रिमैनियन और  फिन्सलर मैनिफोल्ड ।

रीमैनियन मीट्रिक विशिष्ट रूप से दूरी फ़ंक्शन द्वारा निर्धारित किया जाता है; इसका मतलब यह है कि सिद्धांत रूप में, रिमेंनियन मैनिफोल्ड के बारे में सभी जानकारी को इसके डिस्टेंस फंक्शन से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। मीट्रिक ज्यामिति में एक दिशा रीमैनियन मैनिफोल्ड के गुणों के विशुद्ध रूप से मीट्रिक (सिंथेटिक ज्यामिति | सिंथेटिक) फॉर्मूलेशन ढूंढ रही है। उदाहरण के लिए, एक रीमैनियन मैनिफोल्ड एक CAT(k) स्थान है|$CAT(k)$ अंतरिक्ष (एक सिंथेटिक स्थिति जो पूरी तरह से मीट्रिक पर निर्भर करती है) यदि और केवल यदि इसकी अनुभागीय वक्रता  ऊपर से घिरी हुई है $M$. इस प्रकार $CAT(k)$ रिक्त स्थान ऊपरी वक्रता सीमाओं को सामान्य मीट्रिक रिक्त स्थान पर सामान्यीकृत करते हैं।

मीट्रिक माप स्थान
वास्तविक विश्लेषण दोनों मीट्रिक का उपयोग करता है $$\R^n$$ और Lebesgue उपाय। इसलिए, विश्लेषण से कई विचारों के सामान्यीकरण स्वाभाविक रूप से मीट्रिक माप रिक्त स्थान में रहते हैं: रिक्त स्थान जिनमें एक माप (गणित) और एक मीट्रिक दोनों होते हैं जो एक दूसरे के साथ संगत होते हैं। औपचारिक रूप से, एक मीट्रिक माप स्थान  एक बोरेल नियमित माप से सुसज्जित एक मीट्रिक स्थान होता है, जैसे कि प्रत्येक गेंद का सकारात्मक माप होता है। उदाहरण के लिए आयाम के यूक्लिडियन रिक्त स्थान $d$, और अधिक आम तौर पर $M$-आयामी रीमैनियन मैनिफोल्ड, स्वाभाविक रूप से एक मीट्रिक माप स्थान की संरचना होती है, जो लेबेस्ग माप से सुसज्जित होती है। कुछ  भग्न  मीट्रिक रिक्त स्थान जैसे सिएरपिन्स्की गैस्केट को α-आयामी हॉसडॉर्फ माप से सुसज्जित किया जा सकता है जहां α  हॉसडॉर्फ आयाम  है। सामान्य तौर पर, हालांकि, एक मीट्रिक स्थान में माप का स्पष्ट विकल्प नहीं हो सकता है।

मीट्रिक माप रिक्त स्थान का एक अनुप्रयोग रीमैनियन मैनिफोल्ड से परे रिक्की वक्रता की धारणा को सामान्य बना रहा है। जिस प्रकार $CAT(k)$ और अलेक्जेंड्रोव रिक्त स्थान स्केलर वक्रता सीमाओं को सामान्यीकृत करते हैं, आरसीडी रिक्त स्थान मीट्रिक माप रिक्त स्थान का एक वर्ग है जो रिक्की वक्रता पर निचली सीमाओं को सामान्यीकृत करता है।

रेखांकन और परिमित मीट्रिक रिक्त स्थान
ए यदि इसकी प्रेरित टोपोलॉजी  असतत टोपोलॉजी  है। हालांकि कई अवधारणाएं, जैसे कि पूर्णता और कॉम्पैक्टनेस, ऐसे रिक्त स्थान के लिए दिलचस्प नहीं हैं, फिर भी वे गणित की कई शाखाओं में अध्ययन का विषय हैं। विशेष रूप से,  (जिनके पास सीमित संख्या में अंक होते हैं) का अध्ययन  साहचर्य  और  सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान  में किया जाता है। अन्य मीट्रिक रिक्त स्थान में एम्बेडिंग का विशेष रूप से अच्छी तरह से अध्ययन किया जाता है। उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन स्पेस या  हिल्बर्ट स्पेस  में प्रत्येक परिमित मीट्रिक स्थान आइसोमेट्री नहीं हो सकता है। दूसरी ओर, सबसे खराब स्थिति में आवश्यक विकृति (बिलिप्सचिट्ज़ स्थिरांक) अंकों की संख्या में केवल लघुगणक है। किसी भी ग्राफ के लिए (असतत गणित) $k$, सेट $n$ के शीर्षों का $n$ कोने के बीच की दूरी (ग्राफ सिद्धांत)  को परिभाषित करके एक मीट्रिक स्थान में बदला जा सकता है $G$ तथा $V$ उन्हें जोड़ने वाले सबसे छोटे किनारे वाले पथ की लंबाई होना। इसे सबसे छोटी-पथ दूरी या भूगणितीय दूरी भी कहा जाता है। ज्यामितीय समूह सिद्धांत में यह निर्माण एक (आमतौर पर अनंत)  अंतिम रूप से उत्पन्न समूह  के  केली ग्राफ  पर लागू होता है, जो मीट्रिक शब्द देता है। एक बिलिप्सित्ज़ होमोमोर्फिज्म तक, मीट्रिक शब्द केवल समूह पर निर्भर करता है, न कि चुने हुए परिमित जनरेटिंग सेट पर।

गणितीय वस्तुओं के बीच की दूरी
आधुनिक गणित में, व्यक्ति अक्सर उन स्थानों का अध्ययन करता है जिनके अंक स्वयं गणितीय वस्तुएँ होते हैं। ऐसे स्थान पर दूरी फलन का उद्देश्य सामान्यतः दो वस्तुओं के बीच असमानता को मापना होता है। यहाँ कुछ उदाहरण हैं:
 * एक मीट्रिक स्थान के लिए कार्य करता है। यदि $G$ क्या कोई सेट है और $x$ एक मीट्रिक स्थान है, तो सभी बाध्य कार्यों का सेट $$f \colon X \to M$$ (अर्थात वे कार्य जिनकी छवि का एक परिबद्ध उपसमुच्चय  है $$M$$) दो बंधे हुए कार्यों के बीच की दूरी को परिभाषित करके एक मीट्रिक स्थान में बदल दिया जा सकता है $y$ तथा $X$ होना $$d(f,g) = \sup_{x \in X} d(f(x),g(x)).$$ इस मीट्रिक को एकसमान मीट्रिक या सर्वोच्च मीट्रिक कहा जाता है। यदि $M$ पूरा हो गया है, तो यह  समारोह स्थान  भी पूरा हो गया है; इसके अलावा, अगर $f$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस भी है, फिर सबस्पेस जिसमें सभी बाउंडेड कंटीन्यूअस फंक्शन (टोपोलॉजी) फंक्शन शामिल हैं $g$ प्रति $M$ भी पूर्ण है। कब $X$ का एक उप-स्थान है $$\R^n$$, इस फ़ंक्शन स्पेस को शास्त्रीय वीनर स्पेस के रूप में जाना जाता है।
 * स्ट्रिंग मीट्रिक ्स और दूरियों को संपादित करें। स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान)  के बीच की दूरी को मापने के कई तरीके हैं, जो  कोडिंग सिद्धांत  में कम्प्यूटेशनल भाषाविज्ञान या कोड शब्दों में  वाक्य (भाषाविज्ञान)  का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं।  दूरी संपादित करें  एक स्ट्रिंग से दूसरी स्ट्रिंग में जाने के लिए आवश्यक परिवर्तनों की संख्या को मापने का प्रयास करता है। उदाहरण के लिए, हैमिंग दूरी आवश्यक प्रतिस्थापन की न्यूनतम संख्या को मापती है, जबकि  लेवेनशेटिन दूरी  विलोपन, सम्मिलन और प्रतिस्थापन की न्यूनतम संख्या को मापती है; इन दोनों को एक उपयुक्त ग्राफ में दूरियों के रूप में माना जा सकता है।
 * ग्राफ़ संपादन दूरी दो ग्राफ़ (असतत गणित) के बीच असमानता का एक उपाय है, जिसे एक ग्राफ़ को दूसरे में बदलने के लिए आवश्यक ग्राफ़ संचालन की न्यूनतम संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है।
 * वासरस्टीन मेट्रिक्स एक ही मीट्रिक स्थान पर दो माप (गणित) के बीच की दूरी को मापते हैं। दो उपायों के बीच वासेरस्टीन की दूरी, मोटे तौर पर, एक से दूसरे में इष्टतम परिवहन  है।
 * सब का सेट $X$ द्वारा $M$ कुछ क्षेत्र (गणित)  पर  मैट्रिक्स (गणित)   रैंक (रैखिक बीजगणित)  दूरी के संबंध में एक मीट्रिक स्थान है $$d(A,B) = \mathrm{rank}(B - A)$$.
 * खेल सिद्धांत में  हेली मीट्रिक  एक गेम में रणनीति (गेम थ्योरी) के बीच अंतर को मापता है।

हॉसडॉर्फ और ग्रोमोव- हॉसडॉर्फ दूरी
गणितीय वस्तुओं के रिक्त स्थान का विचार एक मीट्रिक स्थान के उपसमुच्चय के साथ-साथ स्वयं मीट्रिक रिक्त स्थान पर भी लागू किया जा सकता है। हॉसडॉर्फ दूरी और ग्रोमोव-हॉसडॉर्फ अभिसरण|ग्रोमोव-हॉसडॉर्फ दूरी एक मीट्रिक स्थान के कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय और कॉम्पैक्ट मीट्रिक रिक्त स्थान के सेट पर क्रमशः मेट्रिक्स को परिभाषित करती है।

मान लीजिए $(M, d)$ एक मीट्रिक स्थान है, और चलो $X$ का एक सबसेट बनें $m$. से दूरी $n$ एक स्तर तक $S$ का $M$अनौपचारिक रूप से से दूरी है $S$ के निकटतम बिंदु तक $x$. हालांकि, चूंकि एक भी निकटतम बिंदु नहीं हो सकता है, इसे एक न्यूनतम के माध्यम से परिभाषित किया गया है: $$d(x,S) = \inf\{d(x,s) : s \in S \}.$$ विशेष रूप से, $$d(x, S)=0$$ अगर और केवल अगर $M$ के बंद होने (टोपोलॉजी) के अंतर्गत आता है $x$. इसके अलावा, बिंदुओं और सेटों के बीच की दूरी त्रिभुज असमानता के एक संस्करण को संतुष्ट करती है: $$d(x,S) \leq d(x,y) + d(y,S),$$ और इसलिए नक्शा $$d_S:M \to \R$$ द्वारा परिभाषित $$d_S(x)=d(x,S)$$ निरंतर है। संयोग से, यह दर्शाता है कि मीट्रिक रिक्त स्थान पूरी तरह से नियमित  हैं।

दो उपसमुच्चय दिए गए हैं $S$ तथा $x$ का $S$, उनकी हॉसडॉर्फ दूरी है $$d_H(S,T) = \max \{ \sup\{d(s,T) : s \in S \}, \sup\{ d(t,S) : t \in T \} \}.$$ अनौपचारिक रूप से, दो सेट $S$ तथा $T$ हौसडॉर्फ दूरी में एक दूसरे के करीब हैं यदि कोई तत्व नहीं है $M$ से बहुत दूर है $S$ और इसके विपरीत। उदाहरण के लिए, यदि $T$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक खुला सेट है $S$ एक डेलोन सेट है|ε-नेट इनसाइड $T$, फिर $$d_H(S,T)<\varepsilon$$. सामान्य तौर पर, हॉसडॉर्फ दूरी $$d_H(S,T)$$ अनंत या शून्य हो सकता है। हालांकि, दो अलग-अलग कॉम्पैक्ट सेटों के बीच हॉसडॉर्फ की दूरी हमेशा सकारात्मक और परिमित होती है। इस प्रकार हॉसडॉर्फ दूरी के कॉम्पैक्ट सबसेट के सेट पर एक मीट्रिक को परिभाषित करती है $S$.

ग्रोमोव-हॉसडॉर्फ मीट्रिक कॉम्पैक्ट मीट्रिक रिक्त स्थान (आइसोमेट्री कक्षाओं) के बीच की दूरी को परिभाषित करता है। कॉम्पैक्ट रिक्त स्थान के बीच ग्रोमोव-हॉसडॉर्फ दूरी $T$ तथा $S$ सभी मीट्रिक रिक्त स्थान पर हॉसडॉर्फ दूरी का न्यूनतम है $M$ जिसमें शामिल है $X$ तथा $Y$ उप-स्थानों के रूप में। जबकि ग्रोमोव-हॉसडॉर्फ दूरी का सटीक मूल्य जानने के लिए शायद ही कभी उपयोगी होता है, परिणामी टोपोलॉजी में कई अनुप्रयोग पाए गए हैं।

विविध उदाहरण

 * एक मीट्रिक स्थान दिया गया $(X, d)$ और एक बढ़ता हुआ अवतल कार्य  $$f \colon [0,\infty) \to [0,\infty)$$ ऐसा है कि $f(t) = 0$ अगर और केवल अगर $t = 0$, फिर $$d_f(x,y)=f(d(x,y))$$ पर एक मीट्रिक भी है $Z$. यदि $f(t) = t^{α}$ कुछ वास्तविक संख्या के लिए $α < 1$, इस तरह के एक मीट्रिक को स्नोफ्लेक के रूप में जाना जाता है $X$.
 * एक मीट्रिक स्थान की तंग अवधि  एक अन्य मीट्रिक स्थान है जिसे  उत्तल पतवार  के एक सार संस्करण के रूप में माना जा सकता है।
 * एक मानक वेक्टर स्थान पर ब्रिटिश रेल  मीट्रिक (जिसे पोस्ट ऑफिस मीट्रिक या  एस एन सी एफ  मीट्रिक भी कहा जाता है) द्वारा दिया जाता है $$d(x,y) = \lVert x \rVert + \lVert y \rVert$$ अलग-अलग बिंदुओं के लिए $$x$$ तथा $$y$$, तथा $$d(x,x) = 0$$. आम तौर पर अधिक $$\lVert \cdot \rVert$$ एक समारोह के साथ बदला जा सकता है $$f$$ एक मनमाना सेट लेना $$S$$ गैर-ऋणात्मक वास्तविकताओं के लिए और मूल्य लेना $$0$$ अधिकतम एक बार: फिर मीट्रिक को परिभाषित किया जाता है $$S$$ द्वारा $$d(x,y) = f(x) + f(y)$$ अलग-अलग बिंदुओं के लिए $$x$$ तथा $$y$$, तथा $d(x,x) = 0$. यह नाम लंदन (या पेरिस) के माध्यम से आगे बढ़ने के लिए रेलवे यात्रा की प्रवृत्ति को दर्शाता है, भले ही उनका अंतिम गंतव्य कुछ भी हो।
 * रॉबिन्सन-फॉल्ड्स मीट्रिक का उपयोग फाइलोजेनेटिक्स  में  फ़ाइलोजेनेटिक पेड़ ों के बीच की दूरी की गणना के लिए किया जाता है

गुणनफल मीट्रिक स्थान
यदि $$(M_1,d_1),\ldots,(M_n,d_n)$$ मीट्रिक रिक्त स्थान हैं, और $Y$ यूक्लिडियन मानदंड है $$\mathbb R^n$$, फिर $$\bigl(M_1 \times \cdots \times M_n, d_\times\bigr)$$ एक मीट्रिक स्थान है, जहां उत्पाद मीट्रिक  को परिभाषित किया जाता है$$d_\times\bigl((x_1,\ldots,x_n),(y_1,\ldots,y_n)\bigr) = N\bigl(d_1(x_1,y_1),\ldots,d_n(x_n,y_n)\bigr),$$और प्रेरित टोपोलॉजी गुणनफल टोपोलॉजी से सहमत है। परिमित आयामों में मानदंडों की तुल्यता से, एक टोपोलॉजिकल समकक्ष मीट्रिक प्राप्त किया जाता है यदि $X$ टैक्सीकैब मानदंड, एक पी-मानदंड, अधिकतम मानदंड, या कोई अन्य मानदंड है जो सकारात्मक $d$-ट्यूपल वृद्धि के निर्देशांक के रूप में घट रहा है (त्रिभुज असमानता उत्पन्न करना)। इसी तरह, मीट्रिक का उपयोग करके कई मीट्रिक रिक्त स्थान के टोपोलॉजिकल उत्पाद पर एक मीट्रिक प्राप्त किया जा सकता है$$d(x,y)=\sum_{i=1}^\infty \frac1{2^i}\frac{d_i(x_i,y_i)}{1+d_i(x_i,y_i)}.$$बेशुमार कई मीट्रिक रिक्त स्थान के टोपोलॉजिकल उत्पाद को मीट्रिक करने योग्य नहीं होना चाहिए। उदाहरण के लिए, $$\mathbb{R}$$ की प्रतियों का एक बेशुमार उत्पाद पहली-गणना योग्य नहीं है और इस प्रकार मेट्रिज़ेबल नहीं है।

भागफल मीट्रिक रिक्त स्थान
यदि $N$ मीट्रिक $N$ के साथ एक मीट्रिक स्थान है, और $$\sim$$, $n$ पर एक तुल्यता संबंध है, तो हम भागफल सेट $$M/\!\sim$$ एक छद्ममितीय के साथ। दो तुल्यता वर्गों के बीच की दूरी $$[x]$$ और $$[y]$$ के रूप में परिभाषित किया गया है$$d'([x],[y]) = \inf\{d(p_1,q_1)+d(p_2,q_2)+\dotsb+d(p_{n},q_{n})\},$$जहां सभी परिमित अनुक्रमों पर अधिकतम लिया जाता है$$(p_1, p_2, \dots, p_n)$$ और $$(q_1, q_2, \dots, q_n)$$ $$p_1 \sim x$$ के साथ, $$q_n \sim y$$, $$q_i \sim p_{i+1}, i=1,2,\dots, n-1$$ सामान्य तौर पर यह केवल एक स्यूडोमेट्रिक को परिभाषित करेगा, यानी $$d'([x],[y])=0$$ इसका मतलब यह नहीं है कि $$[x]=[y]$$ हालांकि, कुछ तुल्यता संबंधों के लिए (उदाहरण के लिए, चेहरे के साथ पॉलीहेड्रा को एक साथ चिपकाकर दिया गया), $$d'$$ एक मीट्रिक है।

भागफल मीट्रिक $$d'$$ की विशेषता निम्नलिखित सार्वभौमिक गुण द्वारा होती है। अगर $$f\,\colon(M,d)\to(X,\delta)$$ एक मेट्रिक है (यानी 1-लिप्सचिट्ज़) मीट्रिक रिक्त स्थान के बीच का नक्शा $f(x) = f(y)$ को संतुष्ट करता है जब भी $$x \sim y$$, तब प्रेरित फ़ंक्शन $$\overline{f}\,\colon {M/\sim}\to X$$ द्वारा दिया गया ])$$\overline{f}([x])=f(x)$$, एक मेट्रिक मैप है $$\overline{f}\,\colon (M/\sim,d')\to (X,\delta).$$

भागफल मीट्रिक हमेशा भागफल टोपोलॉजी को प्रेरित नहीं करता है। उदाहरण के लिए, मेट्रिक स्पेस $$\N \times [0,1]$$ का टोपोलॉजिकल भागफल $$(n, 0)$$ मेट्रिज़ेबल नहीं है क्योंकि यह पहले-गिनने योग्य नहीं है, लेकिन भागफल मीट्रिक उसी सेट पर एक अच्छी तरह से परिभाषित मीट्रिक है जो मोटे टोपोलॉजी को प्रेरित करता है। इसके अलावा, मूल टोपोलॉजिकल स्पेस पर अलग-अलग मेट्रिक्स (गणनीय रूप से कई अंतरालों का एक असंबद्ध संघ) भागफल पर अलग-अलग टोपोलॉजी का कारण बनता है।

एक टोपोलॉजिकल स्पेस अनुक्रमिक होता है अगर और केवल अगर यह एक मीट्रिक स्पेस का (टोपोलॉजिकल) भागफल है।

मीट्रिक रिक्त स्थान का सामान्यीकरण
रिक्त स्थान की कई धारणाएँ हैं जिनमें एक मीट्रिक स्थान की तुलना में कम संरचना होती है, लेकिन एक स्थलीय स्थान से अधिक होती है।
 * समान रिक्त स्थान वे स्पेस होते हैं जिनमें दूरियाँ परिभाषित नहीं होती हैं, लेकिन एकसमान निरंतरता होती है।
 * दृष्टिकोण स्थान वे स्पेस होते हैं जिनमें पॉइंट-टू-पॉइंट दूरियों के बजाय पॉइंट-टू-सेट डिस्टेंस को परिभाषित किया जाता है। श्रेणी सिद्धांत के दृष्टिकोण से उनके पास विशेष रूप से अच्छे गुण हैं।
 * निरंतरता रिक्त स्थान मीट्रिक रिक्त स्थान और पॉसेट का सामान्यीकरण है जिसका उपयोग मीट्रिक रिक्त स्थान और डोमेन की धारणाओं को एकीकृत करने के लिए किया जा सकता है।

मीट्रिक के लिए अभिगृहीतों को शिथिल करने के कई तरीके भी हैं, जो सामान्यीकृत मीट्रिक रिक्त स्थान की विभिन्न धारणाओं को जन्म देते हैं। इन सामान्यीकरणों को भी जोड़ा जा सकता है। उनका वर्णन करने के लिए प्रयुक्त शब्दावली पूरी तरह से मानकीकृत नहीं है। सबसे विशेष रूप से, कार्यात्मक विश्लेषण में स्यूडोमेट्रिक्स अक्सर वेक्टर रिक्त स्थान पर सेमिनॉर्म से आते हैं, और इसलिए उन्हें "सेमीमेट्रिक्स" कहना स्वाभाविक है। यह टोपोलॉजी में शब्द के उपयोग के साथ संघर्ष करता है।

विस्तारित मेट्रिक्स
कुछ लेखक मेट्रिक्स को परिभाषित करते हैं ताकि दूरी फ़ंक्शन डी को मान ∞ प्राप्त करने की अनुमति मिल सके, यानी विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा पर दूरी गैर-ऋणात्मक संख्याएं हैं। इस तरह के फ़ंक्शन को एक विस्तारित मीट्रिक या "∞-मीट्रिक" भी कहा जाता है। प्रत्येक विस्तारित मीट्रिक को एक परिमित मीट्रिक द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है जो स्थैतिक रूप से समतुल्य है। यह एक उप-योगात्मक कार्य नीरस रूप से बढ़ते बाउंडेड फ़ंक्शन का उपयोग करके किया जा सकता है जो शून्य पर शून्य है, उदा। $$d'(x, y) = d(x, y) / (1 + d(x, y))$$ या $$d''(x, y) = \min(1, d(x, y))$$।

वास्तविक संख्याओं के अतिरिक्त अन्य संरचनाओं में मूल्यवान मेट्रिक्स
आवश्यकता है कि मीट्रिक $$[0,\infty)$$ में मान लेता है, अन्य संरचनाओं में मानों के साथ मीट्रिक पर विचार करने के लिए छूट दी जा सकती है, जिसमें निम्न शामिल हैं: ये सामान्यीकरण अभी भी अंतरिक्ष पर एक समान संरचना को प्रेरित करते हैं।
 * आदेशित फ़ील्ड, एक सामान्यीकृत मीट्रिक की धारणा प्रदान करते हैं।
 * अधिक सामान्य निर्देशित सेट। एक अतिरिक्त ऑपरेशन के अभाव में, त्रिभुज असमानता का कोई मतलब नहीं है और इसे अल्ट्रामेट्रिक स्पेस से बदल दिया जाता है। यह सामान्यीकृत अल्ट्रामेट्रिक की धारणा की ओर ले जाता है।

स्यूडोमेट्रिक्स
$$X$$ पर एक स्यूडोमेट्रिक एक फलन है $$d: X \times X \to \R$$ जो सिद्धांतों को संतुष्ट करता है एक मीट्रिक के लिए, सिवाय इसके कि दूसरे के बजाय (अविवेकी की पहचान) केवल $$d(x,x)=0$$ सभी $$x$$ के लिए आवश्यक है दूसरे शब्दों में, छद्ममितीय के लिए स्वयंसिद्ध हैं:


 * 1) $$d(x, y) \geq 0$$
 * 2) $$d(x,x)=0$$
 * 3) $$d(x,y)=d(y,x)$$
 * 4) $$d(x,z)\leq d(x,y) + d(y,z)$$.

कुछ संदर्भों में, स्यूडोमेट्रिक्स को सेमिमेट्रिक्स के रूप में संदर्भित किया जाता है क्योंकि उनका सेमीनॉर्म्स से संबंध होता है।

क्वासिमेट्रिक्स
कभी-कभी, एक क्वासिमेट्रिक को एक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया जाता है जो समरूपता के संभावित अपवाद के साथ एक मीट्रिक के लिए सभी अभिगृहीतों को संतुष्ट करता है। इस सामान्यीकरण का नाम पूरी तरह से मानकीकृत नहीं है। वास्तविक जीवन में क्वासिमेट्रिक्स आम हैं। उदाहरण के लिए, पहाड़ के गाँवों का एक सेट $M$ दिया गया है, $d$ के तत्वों के बीच विशिष्ट चलने का समय एक क्वासिमेट्रिक बनाता है क्योंकि यात्रा की चढ़ाई नीचे की यात्रा की तुलना में अधिक समय लेती है। एक अन्य उदाहरण एक तरफ़ा सड़कों वाले शहर में कार की सवारी की लंबाई है: यहाँ, बिंदु $M$ से बिंदु $X$ तक का सबसे छोटा रास्ता $X$ से $A$ तक के सबसे छोटे रास्ते की तुलना में सड़कों के एक अलग सेट के साथ जाता है और इसकी लंबाई अलग हो सकती है। वास्तविक पर एक अर्ध मीट्रिक को सेटिंग द्वारा परिभाषित किया जा सकता है$$d(x,y)=\begin{cases} x-y & \text{if }x\geq y,\\ 1 & \text{otherwise.} \end{cases}$$1 को, उदाहरण के लिए, अनंत द्वारा या $$1 + \sqrt{y-x}$$ या $y-x$ के किसी अन्य सबएडिटिव फ़ंक्शन द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। यह क्वासिमेट्रिक धातु की छड़ी को संशोधित करने की लागत का वर्णन करता है: इसे दर्ज करके इसका आकार कम करना आसान है, लेकिन इसे बढ़ाना मुश्किल या असंभव है।
 * 1) $$d(x, y) \geq 0$$
 * 2) $$d(x,y)=0 \iff x=y $$
 * 3) $$d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$$

$B$ पर क्वासिमेट्रिक दिए जाने पर, कोई भी $B$ के चारों ओर एक $A$-गेंद को सेट $$\{y \in X | d(x,y) \leq R\}$$ के रूप में परिभाषित कर सकता है। जैसा कि एक मीट्रिक के मामले में, ऐसी गेंदें $X$ पर एक टोपोलॉजी के लिए आधार बनाती हैं, लेकिन इस टोपोलॉजी को मेट्रिज़ेबल होने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, ऊपर वर्णित वास्तविकताओं पर क्वासिमेट्रिक द्वारा प्रेरित टोपोलॉजी (उलट) सोरगेनफ्रे लाइन है।

मेटामेट्रिक्स या आंशिक मेट्रिक्स
एक मेटामेट्रिक में, एक मीट्रिक के सभी स्वयंसिद्ध संतुष्ट होते हैं सिवाय इसके कि समान बिंदुओं के बीच की दूरी आवश्यक रूप से शून्य नहीं है। दूसरे शब्दों में, मेटामेट्रिक के स्वयंसिद्ध हैं:

ग्रोमोव हाइपरबोलिक मीट्रिक रिक्त स्थान और उनकी सीमाओं के अध्ययन में मेटामेट्रिक्स दिखाई देते हैं। ऐसे स्थान पर दृश्य मेटामेट्रिक सीमा पर $$d(x,x)=0$$ बिंदुओं के लिए संतुष्ट करता है, लेकिन अन्यथा $$d(x,x)$$ लगभग $$x$$ से सीमा तक की दूरी है। मेटामेट्रिक्स को सबसे पहले जुसी वैसाला द्वारा परिभाषित किया गया था। अन्य कार्यों में, इन अभिगृहीतों को संतुष्ट करने वाला एक फ़ंक्शन आंशिक मीट्रिक या एक अव्यवस्थित मीट्रिक कहलाता है।
 * 1) $$d(x,y)\geq 0$$
 * 2) $$d(x,y)=0 \implies x=y$$
 * 3) $$d(x,y)=d(y,x)$$
 * 4) $$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).$$

सेमीमेट्रिक्स
$$X$$ पर एक सेमीमेट्रिक एक फ़ंक्शन है $$d: X \times X \to \R$$ जो पहले वाले को संतुष्ट करता है तीन स्वयंसिद्ध, लेकिन जरूरी नहीं कि त्रिभुज असमानता:

कुछ लेखक त्रिभुज असमानता के कमजोर रूप के साथ काम करते हैं, जैसे
 * 1) $$d(x,y)\geq 0$$
 * 2) $$d(x,y)=0 \iff x=y$$
 * 3) $$d(x,y)=d(y,x)$$



ρ-इन्फ्रामेट्रिक असमानता का अर्थ है ρ-रिलैक्स्ड त्रिकोण असमानता (पहली स्वयंसिद्ध मानकर), और ρ-रिलैक्स्ड त्रिकोण असमानता का अर्थ है 2ρ-इन्फ्रामेट्रिक असमानता। इन समतुल्य शर्तों को पूरा करने वाले सेमिमेट्रिक्स को कभी-कभी क्वासिमेट्रिक्स, नियरमेट्रिक्स या इन्फ्रामेट्रिक्स के रूप में संदर्भित किया जाता है।
 * $$d(x,z)\leq \rho\,(d(x,y)+d(y,z))$$
 * ρ-relaxed triangle inequality
 * $$d(x,z)\leq \rho\,\max\{d(x,y),d(y,z)\}$$
 * ρ-inframetric inequality
 * }
 * }

इंटरनेट में राउंड-ट्रिप विलम्ब समय को मॉडल करने के लिए -इन्फ़्रैमेट्रिक असमानताओं को पेश किया गया था। त्रिभुज असमानता का अर्थ है 2-इन्फ़्रैमेट्रिक असमानता, और अल्ट्रामेट्रिक असमानता बिल्कुल 1-इन्फ़्रैमेट्रिक असमानता है।

प्रीमेट्रिक्स
पिछले तीन अभिगृहीतों को शिथिल करने से एक प्रीमेट्रिक की धारणा बनती है, अर्थात एक ऐसा कार्य जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:

यह एक मानक शब्द नहीं है। कभी-कभी इसका उपयोग मेट्रिक्स के अन्य सामान्यीकरणों जैसे स्यूडोसेमिमेट्रिक्स या स्यूडोमेट्रिक्स को संदर्भित करने के लिए किया जाता है; रूसी पुस्तकों के अनुवाद में यह कभी-कभी "प्रैमेट्रिक" के रूप में प्रकट होता है। एक प्रीमेट्रिक जो समरूपता को संतुष्ट करता है, यानी एक स्यूडोसेमीमेट्रिक, को दूरी भी कहा जाता है।
 * 1) $$d(x,y)\geq 0$$
 * 2) $$d(x,x)=0$$

कोई भी प्रीमीट्रिक एक टोपोलॉजी को निम्नानुसार जन्म देता है। एक सकारात्मक वास्तविक $$r$$ के लिए, $r$-ball एक बिंदु पर केंद्रित है $$p$$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 * $$B_r(p)=\{ x | d(x,p) < r \}.$$

एक सेट को ओपन कहा जाता है यदि किसी भी बिंदु के लिए $$p$$ सेट में एक $r$-ball है जो $$p$$ पर केंद्रित है जो सेट में निहित है। प्रत्येक प्रीमेट्रिक स्पेस एक टोपोलॉजिकल स्पेस है, और वास्तव में एक अनुक्रमिक स्थान है। सामान्य तौर पर, इस टोपोलॉजी के संबंध में $r$-balls को स्वयं खुले सेट होने की आवश्यकता नहीं है। मेट्रिक्स के लिए, दो सेट $$A$$ और $$B$$ के बीच की दूरी को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 * $$d(A,B)=\underset{x\in A, y\in B}\inf d(x,y).$$

यह प्रीमेट्रिक स्पेस के अधि-समुच्चय पर प्रीमेट्रिक को परिभाषित करता है। यदि हम एक (स्यूडोसेमी-) मीट्रिक स्पेस से शुरू करते हैं, तो हमें एक स्यूडोसेमिमेट्रिक मिलता है, यानी एक सममित प्रीमेट्रिक। कोई भी प्रीमैट्रिक एक प्रीक्लोजर ऑपरेटर $$cl$$ को निम्नानुसार उत्पन्न करता है:
 * $$cl(A)=\{ x | d(x,A) = 0 \}.$$

स्यूडोक्वासिमेट्रिक्स
छद्म-, अर्ध- और अर्ध- उपसर्गों को भी जोड़ा जा सकता है, उदाहरण के लिए, एक स्यूडोक्वासिमेट्रिक (कभी-कभी हेमिमेट्रिक कहा जाता है) अविवेकी स्वयंसिद्ध और समरूपता स्वयंसिद्ध दोनों को आराम देता है और त्रिकोण असमानता को संतुष्ट करने वाला एक पूर्वमितीय है। स्यूडोक्वासिमेट्रिक स्पेस के लिए ओपन $r$-balls ओपन सेट का आधार बनते हैं। स्यूडोक्वासिमेट्रिक स्पेस का एक बहुत ही बुनियादी उदाहरण सेट है $$\{0,1\}$$} प्रीमेट्रिक के साथ $$d(0,1) = 1$$ और $$d(1,0) = 0.$$ संबंधित टोपोलॉजिकल स्पेस सीरपिन्स्की स्पेस है।

एक विस्तारित स्यूडोक्वासिमेट्रिक से लैस सेटों का अध्ययन विलियम लॉवेरे द्वारा "सामान्यीकृत मीट्रिक रिक्त स्थान" के रूप में किया गया था। एक स्पष्ट दृष्टिकोण से, विस्तारित स्यूडोमेट्रिक रिक्त स्थान और विस्तारित छद्म क्वासिमेट्रिक रिक्त स्थान, उनके संबंधित गैर-विस्तार वाले मानचित्रों के साथ, मीट्रिक स्पेस श्रेणियों का सबसे अच्छा व्यवहार किया जाता है। कोई व्यक्ति मनमाने उत्पाद और उत्पाद ले सकता है और दी गई श्रेणी के भीतर भागफल वस्तुएँ बना सकता है। यदि कोई "विस्तारित" छोड़ता है, तो वह केवल परिमित उत्पाद और सह-उत्पाद ले सकता है। यदि कोई "छद्म" छोड़ता है, तो कोई भागफल नहीं ले सकता।

लॉवरे ने के रूप में ऐसे रिक्त स्थान की वैकल्पिक परिभाषा भी दी। आदेश दिया सेट  एक रूपवाद के साथ एक   (गणित) के रूप में देखा जा सकता है  यदि  और कोई अन्यथा नहीं। का उपयोग करते हुए $+$  के रूप में और 0  के रूप में इस श्रेणी को एक  में बनाता है. प्रत्येक (विस्तारित स्यूडोक्वासी-)मीट्रिक स्पेस अब एक श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है  अधिक समृद्ध :

लॉवरे ने समृद्ध श्रेणियों के रूप में ऐसे रिक्त स्थान की वैकल्पिक परिभाषा भी दी। आदेशित सेट $$(\mathbb{R},\geq)$$ को एक रूपवाद के साथ एक श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है $$a\to b$$ यदि $$a\geq b$$ और कोई नहीं। + को टेंसर उत्पाद के रूप में और 0 को तत्समक तत्व के रूप में उपयोग करने से यह श्रेणी एक मोनोइडल श्रेणी में आ जाती है $$R^*$$। प्रत्येक (विस्तारित स्यूडोक्वासी-) मीट्रिक स्थान $$(M,d)$$ को अब एक श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है $$M^*$$ से अधिक समृद्ध $$R^*$$:
 * श्रेणी की वस्तुएं $x$ के बिंदु हैं।
 * अंक $R$ और $X$ की प्रत्येक जोड़ी के लिए जैसे कि $$d(x,y)<\infty$$, एक एकल रूपवाद है जिसे ऑब्जेक्ट सौंपा गया है $$d(x,y)$$ $$R^*$$ का।
 * त्रिभुज असमानता और तथ्य यह है कि $$d(x,x)=0$$ सभी बिंदुओं के लिए $M$ एक समृद्ध श्रेणी में रचना और पहचान के गुणों से प्राप्त होता है।
 * चूंकि $$R^*$$ एक पोसेट है, इसलिए एक समृद्ध श्रेणी के लिए आवश्यक सभी आरेख स्वचालित रूप से कम्यूट हो जाते हैं।

बहुसमुच्चयों पर मेट्रिक्स
एक मीट्रिक की धारणा को दो तत्वों के बीच की दूरी से तत्वों के एक मल्टीसेट को सौंपी गई संख्या तक सामान्यीकृत किया जा सकता है। एक मल्टीसेट एक सेट की धारणा का एक सामान्यीकरण है जिसमें एक तत्व एक से अधिक बार हो सकता है। मल्टीसेट यूनियन $$U=XY$$ को निम्नानुसार परिभाषित करें: यदि कोई तत्व $x$, $y$ में $x$ बार और $x$ में $X$ बार आता है, तो यह $m$ में $m + n$ बार आता है। एक सेट $Y$ के तत्वों के गैर-रिक्त परिमित मल्टीसेट का सेट एक मीट्रिक है यदि अभिगृहीत 1 और 2 के मामलों पर विचार करके जिसमें मल्टीसेट $n$ में दो तत्व होते हैं और स्वयंसिद्ध 3 के मामले में जिसमें मल्टीसेट $U$, $M$, तथा $X$ में प्रत्येक में एक तत्व होता है, एक मीट्रिक के लिए सामान्य सिद्धांतों को पुनर्प्राप्त करता है। अर्थात्, प्रत्येक मल्टीसेट मीट्रिक दो तत्वों के सेट तक सीमित होने पर एक सामान्य मीट्रिक उत्पन्न करता है।
 * 1) $$d(X)=0$$ यदि के सभी तत्व $X$ बराबर हैं और $$d(X) > 0$$ अन्यथा ( सकारात्मक निश्चितता )
 * 2) $$d(X)$$ केवल (अनियंत्रित) मल्टीसेट पर निर्भर करता है $X$ ( समरूपता )
 * 3) $$d(XY) \leq d(XZ)+d(ZY)$$ (असमानित त्रिकोण)

एक सरल उदाहरण $$d(X)=\max (X)- \min (X)$$ के साथ पूर्णांकों के सभी गैर-रिक्त परिमित मल्टीसेट्स $$X$$ का सेट है। (एक्स) - \ मिनट (एक्स)}। अधिक जटिल उदाहरण मल्टीसेट्स में सूचना दूरी हैं; और मल्टीसेट्स में सामान्यीकृत संपीडन दूरी (एनसीडी) ।

संदर्भ




बाहरी संबंध

 * Far and near &mdash; several examples of distance functions at cut-the-knot.
 * Far and near &mdash; several examples of distance functions at cut-the-knot.

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A metric is called an ultrametric if it satisfies the following stronger version of the triangle inequality for all $$x,y,z\in X$$:
 * $$d(x, y) \leq \max \{ d(x, z), d(y, z) \}.$$

A metric $$d$$ on a group $$G$$ (written multiplicatively) is said to be (resp. ) if for all $$x, y, z \in G$$
 * $$d(zx, zy) = d(x, y)$$ [resp. $$d(xz,yz)=d(x,y)$$].

A metric $$d$$ on a commutative additive group $$X$$ is said to be if for all $$x,y,z\in X$$
 * $$d(x, y) = d(x + z, y + z),$$or equivalently $$d(x, y) = d(x - y, 0).$$

Examples

 * The normed space $$(\R, {|\cdot |})$$ is a Banach space where the absolute value is a norm on the real line $$\R$$ that induces the usual Euclidean topology on $$\R.$$ Define a metric $$d : \R \times \R \to \R$$ on $$\R$$ by $$d(x, y) = {|\arctan(x) - \arctan(y)|}$$ for all $$x,y\in\R.$$ Just like ${ induced metric, the metric $$d$$ also induces the usual Euclidean topology on $$\R$$. However, $$d$$ is not a complete metric because the sequence $$x_{\bull} = \left(x_i\right)_{i=1}^{\infty}$$ defined by $$x_i := i$$ is a $d$‑Cauchy sequence but it does not converge to any point of $$\R$$. As a consequence of not converging, this $d$-Cauchy sequence cannot be a Cauchy sequence in $$(\R, {|\cdot |})$$ (i.e. it is not a Cauchy sequence with respect to the norm $${\|\cdot \|}$$) because if it was $ then the fact that $$(\R, {|\cdot |})$$ is a Banach space would imply that it converges (a contradiction).

Equivalence of metrics
For a given set X, two metrics $$d_1$$ and $$d_2$$ are called topologically equivalent (uniformly equivalent) if the identity mapping
 * $${\rm id}: (X,d_1)\to (X,d_2)$$

is a homeomorphism (uniform isomorphism).

For example, if $$d$$ is a metric, then $$\min (d, 1)$$ and $$\frac{d}{1+d}$$ are metrics equivalent to $$d.$$