ज्यामितीय समूह सिद्धांत

ज्यामितीय समूह सिद्धांत गणित में एक ऐसा क्षेत्र है जो ऐसे समूहों के बीजगणितीय गुणों और रिक्त स्थान के टोपोलॉजिकल और ज्यामितीय गुणों के बीच संबंधों की खोज के माध्यम से अंतिम रूप से उत्पन्न समूहों के अध्ययन के लिए समर्पित है, जिस पर ये समूह कार्य करते हैं, जब विचाराधीन समूहों को ज्यामितीय समरूपता या कुछ स्थानों का निरंतर परिवर्तन के रूप में महसूस किया जाता है।

ज्यामितीय समूह सिद्धांत में एक अन्य महत्वपूर्ण विचार यह है कि सूक्ष्म रूप से उत्पन्न समूहों को स्वयं ज्यामितीय वस्तुओं के रूप में माना जाए। यह आमतौर पर समूहों के केली ग्राफ़ का अध्ययन करके किया जाता है, जो ग्राफ़ संरचना के अतिरिक्त तथाकथित शब्द मीट्रिक द्वारा दिए गए मीट्रिक स्थान की संरचना के साथ संपन्न होते हैं।

ज्यामितीय समूह सिद्धांत, एक विशिष्ट क्षेत्र के रूप में अपेक्षाकृत नया है, और 1980 के दशक के अंत और 1990 के दशक की शुरुआत में गणित की स्पष्ट रूप से पहचान योग्य शाखा बन गया। ज्यामितीय समूह सिद्धांत निम्न-आयामी टोपोलॉजी, हाइपरबोलिक ज्यामिति, बीजगणितीय टोपोलॉजी, कम्प्यूटेशनल समूह सिद्धांत और अंतर ज्यामिति के साथ निकटता से संपर्क करता है। कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत, गणितीय तर्क, लाई समूहों  के अध्ययन और उनके असतत उपसमूहों गतिशील प्रणालियों संभाव्यता सिद्धांत गणित के अन्य क्षेत्रों के साथ भी पर्याप्त संबंध हैं।

जियोमेट्रिक समूह सिद्धांत में अपनी पुस्तक टॉपिक्स के परिचय में पियरे डे ला हार्पे ने लिखा है कि मेरी व्यक्तिगत मान्यताओं में से एक यह है कि समरूपता और समूहों के साथ आकर्षण जीवन की सीमाओं की कुंठाओं से मुकाबला करने का एक विधि है, हम समरूपता को पहचानना पसंद करते हैं जो हमें अधिक पहचानने की अनुमति देता है हम क्या देख सकते हैं। इस अर्थ में ज्यामितीय समूह सिद्धांत का अध्ययन संस्कृति का एक भाग है और कई चीजों की याद दिलाता है जो जॉर्जेस डी राम ने कई अवसरों पर अभ्यास किया था, जैसे कि गणित पढ़ाना, मलारमे का पाठ करना या किसी मित्र का अभिवादन करना।

इतिहास
ज्योमेट्रिक समूह सिद्धांत संयोजी समूह सिद्धांत से विकसित हुआ, जिसने समूह की प्रस्तुति का विश्लेषण करके असतत समूहों के गुणों का बड़े पैमाने पर अध्ययन किया, जो समूहों को मुक्त समूहों के भागफल समूह के रूप में वर्णित करता है, 1880 के दशक की शुरुआत में फेलिक्स क्लेन के छात्र वाल्थर वॉन डाइक द्वारा पहली बार इस क्षेत्र का व्यवस्थित अध्ययन किया गया था। जबकि एक प्रारंभिक रूप विलियम रोवन हैमिल्टन के 1856 के आइकोसियन कैलकुलस में पाया जाता है, जहां उन्होंने द्वादशफ़लक के किनारे के ग्राफ के माध्यम से आईकोसाहेड्रल समरूपता समूह का अध्ययन किया था। वर्तमान में संयोजी समूह सिद्धांत क्षेत्र के रूप में अधिक सीमा तक ज्यामितीय समूह सिद्धांत द्वारा समाहित होते है। इसके अतिरिक्त ज्यामितीय समूह सिद्धांत शब्द में प्रायिकता, माप सिद्धांत, अंकगणित, विश्लेषणात्मक और अन्य दृष्टिकोणों का उपयोग करते हुए असतत समूहों का अध्ययन करना सम्मलित है जो पारंपरिक संयोजी समूह सिद्धांत शस्त्रागार के बाहर विद्यमान होते है।

20वीं शताब्दी के पूर्वार्द्ध में, मैक्स डेहन, जैकब नीलसन (गणितज्ञ), कर्ट रिडेमिस्टर और ओटो श्रेयर, जे.एच.सी. व्हाइटहेड, एगबर्ट वैन कम्पेन, के अग्रणी कार्य ने असतत समूहों के अध्ययन में कुछ सामयिक और ज्यामितीय विचारों को प्रस्तुत किया। ज्यामितीय समूह सिद्धांत के अन्य अग्रदूतों में लघु निरस्तीकरण सिद्धांत और बास-सेरे सिद्धांत सम्मलित हैं। 1960 के दशक में मार्टिन ग्रिंडलिंगर द्वारा छोटा निरस्तीकरण सिद्धांत प्रस्तुत किया गया था  और आगे रोजर लिंडन और पॉल शूप द्वारा विकसित किया गया। यह वैन कम्पेन आरेख का अध्ययन करता है, परिमित समूह प्रस्तुतियों के अनुरूप, संयोजी वक्रता स्थितियों के माध्यम से और इस तरह के विश्लेषण से समूहों के बीजगणितीय और कलन विधि गुणों को संगृहीत करता है। बेस-सेरे सिद्धान्त जिसका 1977 में सेरे की पुस्तक में परिचय दिया गया है, ट्री ग्राफ सिद्धांत पर समूह क्रियाओं का अध्ययन द्वारा समूहों के बारे में संरचनात्मक बीजगणितीय जानकारी प्राप्त करता है। ज्यामितीय समूह सिद्धांत के बाह्य अग्रदूतों में लाई  समूहों में लेटेस का अध्ययन, विशेष रूप से मोस्टो की कठोरता प्रमेय, क्लेनियन समूह का अध्ययन तथा 1970 के दशक में कम आयामी टोपोलॉजी और हाइपरबोलिक रेखागणित में हुई प्रगति को विलियम थुरस्टन की जियोमेट्रिजेशन प्रोग्राम द्वारा प्रेरित किया गया है।

गणित के एक विशिष्ट क्षेत्र के रूप में ज्यामितीय समूह सिद्धांत का उद्भव सामान्यतः 1980 के दशक के अंत और 1990 के दशक के प्रारंभ में हुआ। यह मिखाइल ग्रोमोव हाइपरबोलिक समूहों के 1987 के मोनोग्राफ द्वारा प्रेरित किया गया था, इसने अतिपरवलयिक समूह की धारणा को पेश किया जिसे शब्द-अतिपरवलयिक या ग्रोमोव-अतिपरवलयिक या नकारात्मक रूप से घुमावदार समूह के रूप में भी जाना जाता है, जो बड़े पैमाने पर नकारात्मक वक्रता वाले एक परिमित रूप से उत्पन्न समूह के विचार को कैप्चर करता है, और उसके बाद के मोनोग्राफ में अनंत समूहों के अनंतस्पर्शी अपरिवर्तनीय रूप में होते है इसने ग्रोमोव के अर्ध-आइसोमेट्री तक असतत समूहों को समझने के प्रोग्राम को रेखांकित किया। ग्रोमोव के काम का असतत समूहों, के अध्ययन पर परिवर्तनकारी प्रभाव डालता है और इसके तुरंत बाद ज्यामितीय समूह सिद्धांत वाक्यांश दिखाई देने लगता है इसे एक उदाहरण के रूप में देखा जा सकता है।.

आधुनिक विषय और विकास
1990 और 2000 के दशक में ज्यामितीय समूह सिद्धांत के उल्लेखनीय विषयों और विकास के रूप में सम्मलित हैं।


 * समूहों के अर्ध-आइसोमेट्रिक गुणों का अध्ययन करने के लिए ग्रोमोव का प्रोग्राम इस प्रकार संदर्भित है।
 * इस क्षेत्र का एक विशेष रूप से प्रभावशाली व्यापक विषय मिखाइल ग्रोमोव (गणितज्ञ) का प्रोग्राम है जिसे फिनेंटली जनरेटिंग समूहों द्वारा उनके बड़े पैमाने पर ज्यामिति के अनुसार वर्गीकृत किया जाता है। औपचारिक रूप से इसका अर्थ है परिमित रूप से उत्पन्न समूहों को उनके शब्दावली और मीट्रिक ज्यामिति क्वैसी-आइसोमेट्री तक वर्गीकृत  किया जाता है। जो इस प्रोग्राम में सम्मलित है।.
 * क्वैसी-आइसोमेट्री के अनुसार अपरिवर्तनीय गुणों का अध्ययन सूक्ष्म रूप से उत्पन्न समूहों के ऐसे गुणों के उदाहरणों  में एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न समूह की वृद्धि दर के रूप में सम्मलित हैं,  समपरिमापीय फलन या एक अंतिम रूप से प्रस्तुत समूह का डीएचएन फ़ंक्शन समूह के सिरों की संख्या टोपोलॉजी रेखांकन और समूहों के अंत; अतिपरवलयिक समूह अतिपरवलयिक समूह की ग्रोमोव सीमा का होमियोमोर्फिज्म प्रकार; सूक्ष्म रूप से उत्पन्न समूहों के स्पर्शोन्मुख शंकु को एक उदाहरण के रूप में देखा जा सकता है   एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न समूह की व्यावहारिकता वास्तव में एबेलियन समूह के रूप में होते है अर्थात, अर्थात परिमित सूचकांक के एबेलियन उपसमूह में होते है; वस्तुतः निलपोटेंट समूह होने के कारण वस्तुतः नियोज्य शब्द समस्या तथा अन्य लोगों के साथ परिमित प्रस्तुतीकरण योग्य समूह होने के कारण इसका प्रदर्शन किया जा सकता है।
 * प्रमेय जो समूहों के बारे में बीजगणितीय परिणामों को सिद्ध करने के लिए अर्ध-आइसोमेट्री इनवेरिएंट का उपयोग करते हैं, उदाहरण के लिए बहुपद विकास के समूहों पर ग्रोमोव प्रमेय, ग्रोमोव का बहुपद विकास प्रमेय; समूहों के सिरों के बारे में स्टॉलिंग्स प्रमेय, मोस्टो कठोरता प्रमेय को समाप्त करता है।
 * अर्ध-सममितीय कठोरता प्रमेय, जिसमें कोई बीजगणितीय रूप से सभी समूहों को वर्गीकृत किया जाता है जो किसी दिए गए समूह या मीट्रिक स्थान के लिए अर्ध-सममितीय रूप में होते है। इस दिशा की शुरुआत रिचर्ड श्वार्ट्ज (गणितज्ञ) द्वारा रैंक-वन लैटिस की अर्ध-सममितीय कठोरता पर की गई थी। और बॉम्सलैग-सोलिटर समूहों की अर्ध-सममितीय कठोरता पर बेंसन रंग और ली मोशर का कार्य के रूप में देखा जा सकता है।


 * शब्द अतिपरवलयिक और अपेक्षाकृत अतिपरवलयिक समूहों का सिद्धांत इस प्रकार संदर्भित है। यहाँ एक विशेष रूप से महत्वपूर्ण विकास 1990 के दशक में ज़िल सेला का कार्य है जिसके परिणामस्वरूप शब्द अतिपरवलयिक समूहों के लिए समरूपता समस्या का समाधान हुआ। अपेक्षाकृत अतिपरवलयिक समूहों की धारणा मूल रूप से 1987 में ग्रोमोव द्वारा प्रस्तुत की गई थी और 1990 के दशक में फार्ब और ब्रायन बॉडिच, द्वारा परिष्कृत किया गया था। 2000 के दशक में अपेक्षाकृत अतिपरवलयिक समूहों के अध्ययन को प्रमुखता मिली।
 * गणितीय तर्क के साथ परस्पर क्रिया और मुक्त समूहों के प्रथम-क्रम सिद्धांत का अध्ययन इस प्रकार है। के साथ-साथ ओल्गा खारलामपोविच और एलेक्सी मायसनिकोव, के काम के कारण, प्रसिद्ध टार्स्की अनुमानों पर विशेष रूप से महत्वपूर्ण प्रगति हुई। सीमा समूहों के अध्ययन और गैर-अनुवर्ती बीजगणितीय ज्यामिति की भाषा और मशीनरी के परिचय ने प्रमुखता प्राप्त की।
 * कंप्यूटर विज्ञान, जटिलता सिद्धांत और औपचारिक भाषाओं के सिद्धांत के साथ सहभागिता के रूप में जाना जाता है। यह विषय स्वत: समूहों के सिद्धांत के विकास के उदाहरण है, एक धारणा जो एक निश्चित रूप से उत्पन्न समूह में गुणन संक्रिया पर कुछ ज्यामितीय और भाषा सिद्धांत संबंधी शर्तों को लागू करती है।
 * समपरिमापीय असमानताओं का अध्ययन, डीएचएन प्रकार्य और सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत समूह के लिए उनका सामान्यीकरण होता है। इसमें, विशेष रूप से, जीन-केमिली बिरगेट, अलेक्सांद्र ओलशांस्की, एलियाहू रिप्स और मार्क सपिर का काम सम्मलित है। परिमित रूप से प्रस्तुत समूहों के संभावित डीएचएन कार्यों को चिह्नित करने के साथ ही आंशिक डीएचएन फलनो वाले समूहों के स्पष्ट निर्माण प्रदान करने वाले परिणाम दिए जाते है।
 * 3 नलिका के लिए तोरल या जेएसजे अपघटन का सिद्धांत मूल रूप से पीटर क्रॉफोलर द्वारा एक समूह सैद्धांतिक सेटिंग में लाया गया था। यह धारणा कई लेखकों द्वारा सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत और सूक्ष्म रूप से उत्पन्न दोनों समूहों के लिए विकसित की गई है।
 * ज्यामितीय विश्लेषण के साथ कनेक्शन असतत समूहों से जुड़े सी * बीजगणित का अध्ययन और मुक्त संभाव्यता के सिद्धांत का। इस विषय का प्रतिनिधित्व, विशेष रूप से नोविकोव अनुमान और बॉम कॉन्स अनुमान पर काफी प्रगति और संबंधित समूह सिद्धांत संबंधी धारणाओं के विकास और अध्ययन से किया जाता है, जैसे हिल्बर्ट स्पेस में टोपोलॉजिकल एमेनेबिलिटी एसिम्प्टोटिक डायमेंशन यूनिफॉर्म एम्बेडेबिलिटी तेजी से क्षय गुण धर्म के रूप में किया जाता है। उदाहरण को इस प्रकार संदर्भित किया है।   ).
 * मेट्रिक स्पेस पर क्वैसिकोनफॉर्मल विश्लेषण के सिद्धांत के साथ सहभागिता, विशेष रूप से कैनन के अनुमान के संबंध में ग्रोमोव सीमा होमियोमॉर्फिक 2-स्फीयर के साथ हाइपरबोलिक समूहों के लक्षण वर्णन के संबंध में प्रस्तुत किये गए है।
 * कैनन के अनुमान के संबंध में भी परिमित उपखंड नियम को इस प्रकार संदर्भित किया है।
 * विभिन्न कॉम्पैक्ट रिक्त स्थान और समूह कॉम्पैक्टिफिकेशन, विशेष रूप से अभिसरण समूह विधियों पर असतत समूहों के कार्यों के अध्ययन के संदर्भ में सामयिक गतिशीलता के साथ सहभागिता प्रदान करते है
 * समूह क्रियाओं के सिद्धांत का विकास आर-ट्री विशेष रूप से रिप्स मशीन और उसके अनुप्रयोग को इस प्रकार संदर्भित किया है।
 * एलेक्जेंड्रोव ज्यामिति के विचारों से प्रेरित सीएटी(0) रिक्त स्थान और सीएटी(0) क्यूबिकल कॉम्प्लेक्स, पर समूह क्रियाओं का अध्ययन होता है।
 * निम्न-आयामी टोपोलॉजी और हाइपरबोलिक ज्यामिति के साथ सहभागिता, विशेष रूप से 3-कई गुना समूहों का अध्ययन उदाहरण में दिखाए गए है, ), सतहों के वर्ग समूहों का मानचित्रण समूहों और क्लेनियन समूहों का मानचित्रण के रूप में होते है।
 * यादृच्छिक समूह सैद्धांतिक वस्तुओं समूहों, समूह तत्वों, उपसमूहों, आदि के बीजगणितीय गुणों का अध्ययन करने के लिए संभाव्य विधियों का परिचय दिया गया है। यहां एक विशेष रूप से महत्वपूर्ण विकास ग्रोमोव का काम है जिसने सिद्ध करना करने के लिए संभाव्य विधियों का उपयोग  किया गया है एक अंतिम रूप से उत्पन्न समूह का अस्तित्व जो हिल्बर्ट स्पेस में समान रूप से एम्बेड करने योग्य नहीं होते है। अन्य उल्लेखनीय विकासों में समूह सैद्धांतिक और अन्य गणितीय कलन विधि और जेनेरिक समूहों के लिए बीजगणितीय कठोरता के परिणामों के लिए सामान्य स्थिति जटिलता की धारणा का परिचय और अध्ययन के रूप में सम्मलित है।
 * अनंत जड़ वाले ट्री के ऑटोमोर्फिज्म समूह के रूप में ऑटोमेटा समूह और पुनरावृत्त मोनोड्रोमी समूह का अध्ययन विशेष रूप से, ग्रिगोरचुक के मध्यवर्ती विकास के समूह और उनके सामान्यीकरण इस संदर्भ में दिखाई देते हैं।
 * माप स्थानों पर समूह क्रियाओं के माप-सैद्धांतिक गुणों का अध्ययन, विशेष रूप से माप तुल्यता और कक्षा तुल्यता की धारणाओं का परिचय और विकास साथ ही मोस्टो कठोरता के माप-सैद्धांतिक सामान्यीकरण रूप में होता है।
 * असतत समूहों और कज़दान की गुणधर्म (टी) के एकात्मक प्रतिनिधित्व का अध्ययन होता है
 * आउट का अध्ययन (एफn) (रैंक एन के एक मुक्त समूह का बाह्य ऑटोमोर्फिज्म समूह) और मुक्त समूहों के अलग-अलग ऑटोमोर्फिज्म। परिचय और Culler-Vogtmann के बाह्य अंतरिक्ष (समूह सिद्धांत) का अध्ययन और ट्रेन ट्रैक के सिद्धांत (गणित) नि: शुल्क समूह ऑटोमोर्फिज्म के लिए यहां विशेष रूप से प्रमुख भूमिका निभाई गई।
 * बास-सेरे सिद्धांत का विकास, विशेष रूप से विभिन्न अभिगम्यता परिणाम  और वृक्ष जाली का सिद्धांत। बास-सेरे सिद्धांत का सामान्यीकरण जैसे समूहों के परिसरों का सिद्धांत।
 * समूहों और संबंधित सीमा सिद्धांत पर यादृच्छिक चलने का अध्ययन, विशेष रूप से पॉइसन सीमा की धारणा (उदाहरण के लिए देखें। ). अनुमन्य समूह और उन समूहों का अध्ययन जिनकी प्रत्यास्थता स्थिति अभी भी अज्ञात है।
 * परिमित समूह सिद्धांत के साथ सहभागिता, विशेष रूप से उपसमूह वृद्धि के अध्ययन में प्रगति।
 * रैखिक समूहों में उपसमूहों और जाली का अध्ययन करना, जैसे $$SL(n, \mathbb R)$$, और अन्य लाई समूहों के माध्यम से, ज्यामितीय विधियों (जैसे बिल्डिंग (गणित)), बीजगणितीय ज्यामिति | बीजगणित-ज्यामितीय उपकरण (जैसे बीजगणितीय समूह और प्रतिनिधित्व किस्में), विश्लेषणात्मक विधियों (जैसे हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर एकात्मक प्रतिनिधित्व) और अंकगणितीय विधियों े।
 * समूह कोहोलॉजी, बीजगणितीय और टोपोलॉजिकल विधियों का उपयोग करते हुए, विशेष रूप से बीजगणितीय टोपोलॉजी के साथ बातचीत और मोर्स सिद्धांत के उपयोग को सम्मलित करना। कॉम्बीनेटरियल संदर्भ में मोर्स-सैद्धांतिक विचार; बड़े पैमाने पर, या मोटे (उदाहरण देखें। ) होमोलॉजिकल और कोहोलॉजिकल विधियों े।
 * बर्नसाइड समस्या जैसे पारंपरिक कॉम्बिनेटरियल समूह सिद्धांत विषयों पर प्रगति, Coxeter समूहों और Artin समूहों का अध्ययन, और इसी तरह (वर्तमान में इन प्रश्नों का अध्ययन करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधियाँ अधिकांशतः  ज्यामितीय और सामयिक हैं)।

उदाहरण
ज्यामितीय समूह सिद्धांत में निम्नलिखित उदाहरणों का अधिकांशतः अध्ययन किया जाता है:


 * अनुकूल समूह
 * बर्नसाइड समूह
 * अनंत चक्रीय समूह पूर्णांक
 * मुक्त समूह
 * मुफ्त उत्पाद
 * बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म समूह आउट(Fn)|आउट(Fn) (बाह्य अंतरिक्ष (समूह सिद्धांत) के माध्यम से)
 * अतिशयोक्तिपूर्ण समूह
 * मानचित्रण वर्ग समूह (सतहों के automorphisms)
 * सममित समूह
 * ब्रैड समूह
 * कॉक्सेटर समूह
 * जनरल आर्टिन समूह
 * थॉम्पसन समूह | थॉम्पसन का समूह एफ
 * कैट (0) समूह
 * अंकगणितीय समूह
 * स्वचालित समूह
 * फ्यूचियन समूह, क्लेनियन समूह, और अन्य समूह सममित रिक्त स्थान पर ठीक से काम कर रहे हैं, विशेष रूप से लैटिस (असतत उपसमूह) सेमीसिम्पल लाइ समूहों में।
 * वॉलपेपर समूह
 * बॉमस्लैग–सोलिटर समूह
 * समूहों का ग्राफ
 * ग्रिगोरचुक समूह

यह भी देखें

 * पिंग-पोंग लेम्मा, एक समूह को एक मुफ्त उत्पाद के रूप में प्रदर्शित करने का एक उपयोगी विधि
 * सहायक समूह
 * नीलसन परिवर्तन
 * टिट्ज परिवर्तन

पुस्तकें और मोनोग्राफ
ये ग्रंथ ज्यामितीय समूह सिद्धांत और संबंधित विषयों को कवर करते हैं।



बाह्य संबंध

 * Jon McCammond's Geometric Group Theory Page
 * What is Geometric Group Theory? By Daniel Wise
 * Open Problems in combinatorial and geometric group theory
 * Geometric group theory Theme on arxiv.org