मेन्जर स्पंज

गणित में, मेंजर स्पंज (जिसे मेंजर क्यूब, मेन्जर यूनिवर्सल कर्व, सीरपिंस्की क्यूब या सीरपिन्स्की स्पंज के नाम से भी जाना जाता है)  एक  भग्न वक्र  है। यह एक-आयामी  कैंटर सेट  और द्वि-आयामी सिएरपिन्स्की कालीन का त्रि-आयामी सामान्यीकरण है। यह पहली बार 1926 में सामयिक आयाम की अवधारणा के अपने अध्ययन में  कार्ल मेन्जर  द्वारा वर्णित किया गया था।

निर्माण
मेन्जर स्पंज के निर्माण को इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है:
 * 1) क्यूब से शुरू करें।
 * 2) रूबिक क्यूब की तरह क्यूब के हर चेहरे को नौ वर्गों में विभाजित करें। यह घन को 27 छोटे घनों में उप-विभाजित करता है।
 * 3) प्रत्येक चेहरे के बीच में छोटे घन को हटा दें, और 20 छोटे घनों को छोड़कर बड़े घन के केंद्र में छोटे घन को हटा दें। यह एक स्तर -1 मेन्जर स्पंज (एक  शून्य घन  जैसा दिखता है) है।
 * 4) शेष छोटे क्यूब्स में से प्रत्येक के लिए चरण दो और तीन को दोहराएं, और अनंत तक पुनरावृति जारी रखें।

दूसरा पुनरावृत्ति स्तर-2 स्पंज देता है, तीसरा पुनरावृत्ति स्तर-3 स्पंज देता है, और इसी तरह। अनंत संख्या में पुनरावृत्तियों के बाद मेन्जर स्पंज ही इस प्रक्रिया की सीमा है।



गुण
$$n$$मेन्जर स्पंज का वां>वां चरण, $$M_n$$, का बना है $$20^n$$ छोटे घन, प्रत्येक की भुजा की लंबाई तीन|(1/3)एन. की कुल मात्रा $$M_n$$ ऐसा इसलिए $\left(\frac{20}{27}\right)^n$. कुल सतह क्षेत्र $$M_n$$ अभिव्यक्ति द्वारा दिया गया है $$2(20/9)^n + 4(8/9)^n$$. इसलिए निर्माण की मात्रा शून्य तक पहुंच जाती है जबकि इसकी सतह का क्षेत्रफल बिना किसी सीमा के बढ़ जाता है। फिर भी निर्माण में किसी भी चुनी हुई सतह को पूरी तरह से पंचर किया जाएगा क्योंकि निर्माण जारी रहता है ताकि सीमा न तो ठोस हो और न ही सतह; इसका टोपोलॉजिकल आयाम 1 है और तदनुसार इसे एक वक्र के रूप में पहचाना जाता है।

निर्माण का प्रत्येक चेहरा एक सीरपिंस्की कालीन बन जाता है, और क्यूब के किसी भी विकर्ण या चेहरों की किसी भी मध्य रेखा के साथ स्पंज का चौराहा एक कैंटर सेट होता है। स्पंज का क्रॉस-सेक्शन इसके केन्द्रक  के माध्यम से और एक  अंतरिक्ष विकर्ण  के लंबवत एक नियमित षट्भुज है जो छह गुना समरूपता में व्यवस्थित  hexagram  के साथ छिद्रित होता है। अवरोही आकार में इन हेक्साग्रामों की संख्या किसके द्वारा दी गई है $$a_n=9a_{n-1}-12a_{n-2}$$, साथ $$a_0=1, \ a_1=6$$. स्पंज का हॉसडॉर्फ आयाम  है $log 20⁄log 3$ ≅ 2.727। मेन्जर स्पंज का  लेबेस्ग कवरिंग आयाम  एक है, किसी भी  वक्र  के समान। मेन्जर ने 1926 के निर्माण में दिखाया, कि स्पंज एक उरीसोहन सार्वभौमिक स्थान है, जिसमें प्रत्येक वक्र मेन्जर स्पंज के एक सबसेट के लिए  होमियोमॉर्फिक  है, जहां एक वक्र का अर्थ है लेबेस्ग्यू का कोई  कॉम्पैक्ट जगह   मीट्रिक स्थान  जिसमें एक आयाम शामिल है; इसमें ट्री (ग्राफ थ्योरी)  पेड़ ([[ ग्राफ सिद्धांत ) ]] शामिल हैं, जिसमें मनमाने तरीके से जुड़े हुए किनारों, कोने और बंद लूप की एक मनमाना गणना योग्य संख्या है। इसी तरह, सीरपिंस्की कालीन सभी वक्रों के लिए एक सार्वभौमिक वक्र है जिसे द्वि-आयामी विमान पर खींचा जा सकता है। तीन आयामों में निर्मित मेन्जर स्पंज इस विचार को उन ग्राफ़ों तक विस्तारित करता है जो  प्लेनर ग्राफ  नहीं हैं और किसी भी संख्या में आयामों में एम्बेड किए जा सकते हैं।

मेन्जर स्पंज एक बंद सेट  है; चूँकि यह परिबद्ध भी है, हेइन-बोरेल प्रमेय का तात्पर्य है कि यह संहत समुच्चय है। इसमें Lebesgue माप 0 है। क्योंकि इसमें निरंतर पथ हैं, यह एक  बेशुमार सेट  है।

प्रयोगों से यह भी पता चला है कि मेन्जर स्पंज संरचना वाले क्यूब्स बिना किसी छिद्र वाले क्यूब्स की तुलना में समान सामग्री के लिए पांच गुना बेहतर झटके दे सकते हैं।

औपचारिक परिभाषा
औपचारिक रूप से, मेन्जर स्पंज को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:


 * $$M := \bigcap_{n\in\mathbb{N}} M_n$$

कहां $$M_0$$ इकाई घन  है और


 * $$M_{n+1} := \left\{\begin{matrix}

(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: & \begin{matrix}\exists i,j,k\in\{0,1,2\}: (3x-i,3y-j,3z-k)\in M_n \\ \mbox{and at most one of }i,j,k\mbox{ is equal to 1}\end{matrix} \end{matrix}\right\}.$$

मेगामेंजर
MegaMenger सबसे बड़ा फ्रैक्टल मॉडल बनाने का लक्ष्य रखने वाली एक परियोजना थी, जिसका नेतृत्व लंदन की क्वीन मैरी यूनिवर्सिटी  के  मैट पार्कर  और  जेम्स मैडिसन विश्वविद्यालय  के  लौरा तलमन  ने किया था। प्रत्येक छोटे क्यूब को छह इंटरलॉकिंग फोल्डिंग बिजनेस कार्ड से बनाया जाता है, जिससे लेवल-चार स्पंज के लिए कुल 960 000 मिलते हैं। बाहरी सतहों को तब पेपर या कार्डबोर्ड पैनलों के साथ कवर किया जाता है जो सीरपिंस्की कालीन डिजाइन के साथ मुद्रित होते हैं ताकि वे अधिक सौंदर्यपूर्ण रूप से प्रसन्न हो सकें। 2014 में, बीस स्तर-तीन मेन्जर स्पंज का निर्माण किया गया था, जो संयुक्त रूप से एक वितरित स्तर-चार मेन्जर स्पंज का निर्माण करेगा।

जेरूसलम क्यूब
जेरूसलम क्यूब 2011 में एरिक बेयर्ड द्वारा वर्णित एक भग्न  वस्तु है। इसे क्यूब में  ग्रीक क्रॉस -आकार के छेदों को पुनरावर्ती रूप से ड्रिल करके बनाया गया है।  निर्माण मेन्जर स्पंज के समान है लेकिन दो अलग-अलग आकार के क्यूब्स के साथ। यह नाम  जेरूसलम क्रॉस  पैटर्न से मिलते-जुलते क्यूब के चेहरे से आया है।

जेरूसलम क्यूब के निर्माण को इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है:
 * 1) क्यूब से शुरू करें।
 * 2) मूल घन के कोनों पर आठ क्यूब्स (रैंक +1 के) छोड़कर, घन के प्रत्येक पक्ष के माध्यम से एक क्रॉस काटें, साथ ही क्यूब्स के बीच मूल घन के किनारों पर केंद्रित बारह छोटे क्यूब्स (रैंक +2 के) रैंक +1 की।
 * 3) रैंक 1 और 2 के क्यूब्स पर प्रक्रिया को दोहराएं।

जेरूसलम घन में अनंत बार पुनरावृत्ति का परिणाम होता है।

चूंकि रैंक एन के घन की किनारे की लंबाई रैंक एन + 1 के 2 क्यूब्स और रैंक एन + 2 के घन के बराबर है, यह निम्नानुसार है कि स्केलिंग कारक को संतुष्ट करना चाहिए $$k^2 + 2k = 1$$, इसलिए $$k = \sqrt{2} - 1$$ जिसका अर्थ है कि फ्रैक्टल को तर्कसंगत ग्रिड पर नहीं बनाया जा सकता है।

चूँकि रैंक N का एक घन रैंक N+1 के 8 घनों और रैंक N+2 के 12 में उप-विभाजित हो जाता है, इसलिए हौसडॉर्फ आयाम को संतुष्ट करना चाहिए $$8k^d + 12(k^2)^d = 1$$. अचूक उपाय है
 * $$d=\frac{\log\left(\frac{\sqrt{7}}{6}-\frac{1}{3}\right)}{\log\left(\sqrt{2}-1\right)}$$

जो लगभग 2.529 है

मेन्जर स्पंज की तरह, जेरूसलम घन के फलक भग्न होते हैं समान स्केलिंग कारक के साथ। इस मामले में, हॉसडॉर्फ आयाम को संतुष्ट होना चाहिए $$4k^d + 4(k^2)^d = 1$$. अचूक उपाय है
 * $$d=\frac{\log\left(\frac{\sqrt{2}-1}{2}\right)}{\log\left(\sqrt{2}-1\right)}$$

जो लगभग 1.786 है

अन्य
*एक मोटे तौर पर हिमपात का एक खंड  एक क्यूब-आधारित फ्रैक्टल है जिसके कोनों को पुनरावर्ती रूप से हटा दिया जाता है।
 * सीरपिंस्की टेट्राहेड्रॉन एक टेट्राहेड्रॉन आधारित फ्रैक्टल है जो एक टेट्राहेड्रॉन में व्यवस्थित चार छोटी प्रतियों से बना है।
 * सीरपिंस्की-मेंजर स्नोफ्लेक एक क्यूब-आधारित फ्रैक्टल है जिसमें आठ कोने वाले क्यूब्स और एक केंद्रीय क्यूब को हर बार निचले और निचले रिकर्सन चरणों में रखा जाता है। इस अजीबोगरीब त्रि-आयामी फ्रैक्टल में मूल रूप से द्वि-आयामी वस्तु जैसे विमान यानी हॉसडॉर्फ आयाम है। $log 9⁄log 3$=2

यह भी देखें

 * अपोलोनियन गैसकेट
 * कैंटर क्यूब
 * बर्फ के टुकड़े प्यार करो
 * सीरपिंस्की चतुष्फलक|सीरपिंस्की चतुष्फलक
 * सीरपिंस्की त्रिकोण|सीरपिंस्की त्रिकोण
 * हॉसडॉर्फ आयाम द्वारा भग्नों की सूची

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * अंक शास्त्र
 * सीरपिंस्की कालीन
 * टोपोलॉजिकल आयाम
 * अनन्त तक
 * लेबेस्ग उपाय
 * कॉम्पैक्ट सेट
 * गणनीय
 * उरीसोहन यूनिवर्सल स्पेस
 * कोच स्नोफ्लेक्स

बाहरी कड़ियाँ

 * Menger sponge at Wolfram MathWorld
 * The 'Business Card Menger Sponge' by Dr. [[Jeannine Mosely] – an online exhibit about this giant origami fractal at the Institute For Figuring]
 * An interactive Menger sponge
 * Interactive Java models
 * Puzzle Hunt — Video explaining Zeno's paradoxes using Menger–Sierpinski sponge
 * Menger sphere, rendered in SunFlow
 * Post-It Menger Sponge – a level-3 Menger sponge being built from Post-its
 * The Mystery of the Menger Sponge. Sliced diagonally to reveal stars
 * Woolly Thoughts Level 2 Menger Sponge by two "Mathekniticians"
 * Dickau, R.: Jerusalem Cube Further discussion.
 * Dickau, R.: Jerusalem Cube Further discussion.