त्रिकोणमितीय फलनों का विभेदन

त्रिकोणमितीय फलनों का विभेदन,एक त्रिकोणमितीय फलन के डेरिवेटिव का पता लगाने की गणितीय प्रक्रिया है,या एक चर के संबंध में परिवर्तन की दर है।उदाहरण के रूप में,साइन फ़ंक्शन का डेरिवेटिव sin'(a) = cos(a) के रूप में लिखा जाता है,जिसका अर्थ है कि एक विशेष कोण x = a पर sin(x)की परिवर्तन दर उस कोण की कोसाइन द्वारा दी गई है।

वृत्तीय त्रिकोणमितीय फलनों के सभी डेरिवेटिव sin(x) और cos(x) से tan(x) = sin(x)/cos(x) जैसे फलनों पर लागू होने वाले भागफल नियम के माध्यम से पाए जा सकते हैं।इन डेरिवेटिव्स को जानने के लिए,व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलजों को निहितअवकलन का उपयोग करके खोजा जाता है।

sin(θ)/θ की सीमा θ के 0 के पास जाते हुए,
दायीं ओर का आरेख नीचे एक वृत्त दिखाता है जिसका केंद्र O है और त्रिज्या r = 1 है।यदि दो त्रिज्याएँ OA और OB,θ रेडियन का एक चाप बनाते हैं।θ के 0 के पास जाने की सीमा को विचार करते हुए,हम θ को एक छोटी सकारात्मक संख्या मान सकते हैं,कहें 0 < θ < ½ π पहली चतुर्थांश में।

आरेख में,त्रिभुज OAB को R1,वृत्तीय क्षेत्र OAB को R2 और त्रिभुज OAC को R3 लें।त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल है:


 * $$ \mathrm{Area}(R_1

) =\tfrac{1}{2} \ |OA| \ |OB| \sin\theta = \tfrac{1}{2}\sin\theta \, . $$ वृत्तीय क्षेत्र OAB का क्षेत्रफल है: $$\mathrm{Area}(R_2) =\tfrac{1}{2}\theta$$,जबकि त्रिभुज OAC का क्षेत्रफल निम्नलिखित है:
 * $$ \mathrm{Area}(R_3

) =\tfrac{1}{2} \ |OA| \ |AC| = \tfrac{1}{2} \tan\theta \, . $$ चूँकि प्रत्येक क्षेत्र अगले क्षेत्र में समाहित होता है,इसलिए निम्नलिखित सम्बंध होता है:


 * $$\text{Area}(R_1) < \text{Area}(R_2) < \text{Area}(R_3) \implies

\tfrac{1}{2}\sin\theta < \tfrac{1}{2}\theta < \tfrac{1}{2}\tan\theta \,. $$ और इसके अलावा,क्योंकि पहले चतुर्थांश में sin θ > 0 होता है,हम ½ sin θ से विभाजन कर सकते हैं,जिससे निम्नलिखित मिलता है:
 * $$1 < \frac{\theta}{\sin\theta} < \frac{1}{\cos\theta} \implies 1 > \frac{\sin\theta}{\theta} > \cos\theta \, . $$

अंतिम चरण में हमने असमानताओं को उलटते हुए,तीन सकारात्मक शब्दों का प्रतिपक्ष लिया।

हम निष्कर्ष निकालते हैं कि 0 < θ < ½ π के लिए,राशि sin(θ)/θ हमेशा 1 से छोटी होती हैऔर हमेशा cos(θ) से अधिक होती है।इस प्रकार,जब θ को 0 के पास ले जाते हैं, तो sin(θ)/θ को एक छत 1 के स्तर पर और एक नीचे cos θ के स्तर पर "दबाया" जाता है,जो 1 की ओर बढ़ता है;इसलिए θ को सकारात्मक दिशा से 0 की ओर ले जाते हुए, sin(θ)/θ 1 की ओर प्रवृत्त होना चाहिए:

"$\lim_{\theta \to 0^+} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1 \, . $"ऐसी स्थिति के लिए जहां θ एक छोटी ऋणात्मक संख्या हो -½ π < θ < 0,तब हम उस तथ्य का उपयोग करते हैं कि sine एक विषम फलन है:


 * $$\lim_{\theta \to 0^-}\! \frac{\sin\theta}{\theta}

\ =\ \lim_{\theta\to 0^+}\!\frac{\sin(-\theta)}{-\theta} \ =\ \lim_{\theta \to 0^+}\!\frac{-\sin\theta}{-\theta} \ =\ \lim_{\theta\to 0^+}\!\frac{\sin\theta}{\theta} \ =\ 1 \, . $$

(cos(θ)-1)/θ की सीमा होगी जब θ को 0 के पास ले जाते हैं
अंतिम खंड की मदद से हम इस नई सीमा की गणना को संबंधित रूप से आसानी से कर सकते हैं।इसे एक सरल तकनीक का उपयोग करके किया जाता है।इस गणना में, θ के चिह्न का महत्व नहीं होता है।
 * $$ \lim_{\theta \to 0}\, \frac{\cos\theta - 1}{\theta}

\ =\ \lim_{\theta \to 0} \left( \frac{\cos\theta - 1}{\theta} \right)\!\! \left( \frac{\cos\theta + 1}{\cos\theta + 1} \right) \ =\ \lim_{\theta \to 0}\, \frac{\cos^2\!\theta - 1}{\theta\,(\cos\theta + 1)}. $$ का उपयोग करते हुए cos2θ – 1 = –sin2θ,

तथ्य यह है कि किसी उत्पाद की सीमा सीमाओं का उत्पाद है,और पिछले अनुभाग से सीमा परिणाम,हम पाते हैं कि:


 * $$ \lim_{\theta \to 0}\,\frac{\cos\theta - 1}{\theta}

\ =\ \lim_{\theta \to 0}\, \frac{-\sin^2\theta}{\theta(\cos\theta+1)} \ =\ \left( -\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta}\right)\! \left( \lim_{\theta \to 0}\,\frac{\sin\theta}{\cos\theta + 1} \right) \ =\ (-1)\left(\frac{0}{2}\right) = 0 \,. $$

tan(θ)/θ की सीमा होगी जब θ को 0 के पास ले जाते हैं
ज्या फलन के लिए सीमा का उपयोग करते हुए,स्पर्शज्या फलन विषम होने के कारण,किसी उत्पाद की सीमा सीमाओं का उत्पाद है के तथ्य का उपयोग करते हुए,हमें निम्नलिखित मिलता है:

\lim_{\theta\to 0} \frac{\tan\theta}{\theta} \ =\ \left(\lim_{\theta\to 0} \frac{\sin\theta}{\theta}\right)\! \left( \lim_{\theta\to 0} \frac{1}{\cos\theta}\right) \ =\ (1)(1) \ =\   1 \, . $$

ज्या फलन का अवकलज
हम सीमा परिभाषा से ज्या फलन के अवकलज की गणना करते हैं:
 * $$ \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta = \lim_{\delta \to 0} \frac{\sin(\theta + \delta) - \sin \theta}{\delta} . $$

कोण समीकरण सूत्र sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α का उपयोग करते हुए,हमें निम्नलिखित मिलता है:
 * $$ \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta

= \lim_{\delta \to 0} \frac{\sin\theta\cos\delta + \sin\delta\cos\theta-\sin\theta}{\delta} = \lim_{\delta \to 0} \left( \frac{\sin\delta}{\delta} \cos\theta + \frac{\cos\delta -1}{\delta}\sin\theta \right). $$ ज्या और कोज्या फलनों की सीमाओं का उपयोग करते हुए:
 * $$ \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta

= (1)\cos\theta + (0)\sin\theta = \cos\theta \,. $$

अवकलज की परिभाषा से
हम फिर से सीमा परिभाषा से कोज्या फलन के अवकलज की गणना करते हैं:


 * $$ \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\cos\theta

= \lim_{\delta \to 0} \frac{\cos(\theta+\delta)-\cos\theta}{\delta}. $$ कोण जोड़ सूत्र cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β का उपयोग करते हुए,हमें निम्नलिखित मिलता है:
 * $$ \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\cos\theta

= \lim_{\delta \to 0} \frac{\cos\theta\cos\delta - \sin\theta\sin\delta-\cos\theta}{\delta} = \lim_{\delta \to 0} \left(\frac{\cos\delta -1}{\delta}\cos\theta \,-\, \frac{\sin\delta}{\delta} \sin\theta \right). $$ ज्या और कोज्या फलनों की सीमाओं का उपयोग करते हुए:
 * $$ \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\cos\theta

= (0) \cos\theta - (1) \sin\theta = -\sin\theta \,. $$

श्रृंखला नियम से
श्रृंखला नियम से कोज्या फलन के अवकलज की गणना करने के लिए,पहले निम्नलिखित तीन तथ्यों का ध्यान दें:
 * $$\cos\theta = \sin\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)$$
 * $$\sin\theta = \cos\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)$$
 * $$\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \sin\theta = \cos\theta$$

पहला और दूसरा तथ्य त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की समानताएं है,और तीसरा उपरोक्त प्रमाणित है।इन तीन तथ्यों का उपयोग करके हम निम्नलिखित लिख सकते हैं,
 * $$\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \cos\theta = \tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \sin\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)$$

हम श्रृंखला नियम का उपयोग करके अवकलन कर सकते हैं।यदि $$f(x) = \sin x,\ \ g(\theta) =\tfrac{\pi}{2}-\theta$$,तो हमारे पास यह होगा:


 * $$\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} f\!\left(g\!\left(\theta\right)\right) = f^\prime\!\left(g\!\left(\theta\right)\right) \cdot g^\prime\!\left(\theta\right) = \cos\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right) \cdot (0-1) = -\sin\theta$$.

इसलिए,हमने सिद्ध किया है कि
 * $$\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \cos\theta = -\sin\theta$$.

अवकलज की परिभाषा से
स्पर्शज्या फलन tan θ के अवकलज की गणना करने के लिए,हम प्राथमिक सिद्धांत का उपयोग करते हैं।परिभाषा के अनुसार:

\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta = \lim_{\delta \to 0} \left( \frac{\tan(\theta+\delta)-\tan\theta}{\delta} \right). $$ प्रसिद्ध कोण समीकरण सूत्र tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β) का उपयोग करते हुए,हमें निम्नलिखित मिलता है:

\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta = \lim_{\delta \to 0} \left[ \frac{\frac{\tan\theta + \tan\delta}{1 - \tan\theta\tan\delta} - \tan\theta}{\delta} \right] = \lim_{\delta \to 0} \left[ \frac{\tan\theta + \tan\delta - \tan\theta + \tan^2\theta\tan\delta}{\delta \left( 1 - \tan\theta\tan\delta \right)} \right]. $$ इस तथ्य कि किसी उत्पाद की सीमा सीमाओं का उत्पाद है का उपयोग करते हुए:

\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta = \lim_{\delta \to 0} \frac{\tan\delta}{\delta} \times \lim_{\delta \to 0} \left( \frac{1 + \tan^2\theta}{1 - \tan\theta\tan\delta} \right). $$ स्पर्शज्या फलन की सीमा का उपयोग करते हुए,और यह तथ्य की tan δ को 0 के पास ले जाते हुए δ को 0 के पास ले जाते हैं:

\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta = 1 \times \frac{1 + \tan^2\theta}{1 - 0} = 1 + \tan^2\theta. $$ हम तुरंत देखते हैं कि:

\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta = 1 + \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{\cos^2\theta + \sin^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta} = \sec^2\theta \,. $$

भागफल नियम से
स्पर्शज्या फलन के अवकलज को भागफल नियम का उपयोग करके की गणना भी कर सकता है।$$\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \tan\theta = \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\left(\sin\theta\right)^\prime \cdot \cos\theta - \sin\theta \cdot \left(\cos\theta\right)^\prime}{ \cos^2 \theta } = \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} $$

पायथागॉरियन सर्वसमिकाओं द्वारा अंश को1से सरलित किया जा सकता है,जिससे हमें निम्नलिखित मिलता है:
 * $$\frac{1}{\cos^2 \theta} = \sec^2 \theta$$

इसलिए,
 * $$\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \tan\theta = \sec^2 \theta$$

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलजों का प्रमाण
निम्नलिखित अवकलजों को हम एक मानक y को उस प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन के समान रखकर प्राप्त करते हैं जिसका हम अवकलज लेना चाहते हैं।निर्दिष्ट अवकलन का उपयोग करके और फिर dy/dx के लिए हल करके,प्रतिलोम फलन का अवकलज y के रूप में प्राप्त किया जाता है।dy/dx को फिर से x के रूप में प्रकट करने के लिए,हम एक इकाई वृत्त पर संदर्भ त्रिकोण बना सकते हैं,जहां y को θ के रूप में लेते हैं।पाइथागोरस प्रमेय और नियमित त्रिकोणमितीय फलनों की परिभाषा का उपयोग करके,हम अंततः dy/dx को x के आधार पर व्यक्त कर सकते हैं।

प्रतिलोम ज्या फलन को अवकलित करना
हम


 * $$y=\arcsin x\,\!$$

को लेते हैं, जहां


 * $$-\frac{\pi}{2}\le y \le \frac{\pi}{2}$$

होता है। फिर


 * $$\sin y=x\,\!$$

दोनों पक्षों से $$x$$ के संबंध में अवकलज को लेते हुए और dy/dx के लिए हल करते हुए:


 * $${d \over dx}\sin y={d \over dx}x$$
 * $$\cos y \cdot {dy \over dx} = 1\,\!$$

ऊपर से स्थानांतरण $$ \cos y = \sqrt{1-\sin^2 y}$$ करते हुए,


 * $$\sqrt{1-\sin^2 y} \cdot {dy \over dx} =1$$

ऊपर से स्थानांतरण $$x=\sin y$$ करते हुए,


 * $$\sqrt{1-x^2} \cdot {dy \over dx} =1$$
 * $${dy \over dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

प्रतिलोम कोज्या फलन को अवकलित करना
हम


 * $$y=\arccos x\,\!$$

को लेते हैं, जहां


 * $$0 \le y \le \pi$$

होता है। फिर


 * $$\cos y=x\,\!$$

दोनों पक्षों से $$x$$ के संबंध में अवकलज को लेते हुए और dy/dx के लिए हल करते हुए:


 * $${d \over dx}\cos y={d \over dx}x$$
 * $$-\sin y \cdot {dy \over dx} =1$$

ऊपर से स्थानांतरण $$\sin y = \sqrt{1-\cos^2 y}\,\!$$ करते हुए,


 * $$-\sqrt{1-\cos^2 y} \cdot {dy \over dx} =1$$

ऊपर से स्थानांतरण $$x=\cos y\,\!$$ करते हुए,


 * $$-\sqrt{1-x^2} \cdot {dy \over dx} =1$$
 * $${dy \over dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

वैकल्पिक रूप से,एक बार जब $$\arcsin x$$ का अवकलज स्थापित हो जाता है,तो $$\arccos x$$ का अवकलज तुरंत अनुसरण करता है,इसके लिए सर्वसमिका $$\arcsin x+\arccos x=\pi/2$$ का अवकलन करें ताकि  $$(\arccos x)'=-(\arcsin x)'$$ हो।

प्रतिलोम स्पर्शज्या फलन को अवकलित करना
हम


 * $$y=\arctan x\,\!$$

को लेते हैं,जहां


 * $$-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$

होता है।फिर,


 * $$\tan y=x\,\!$$

दोनों पक्षों से $$x$$ के संबंध में अवकलज को लेते हुए और dy/dx के लिए हल करते हुए:


 * $${d \over dx}\tan y={d \over dx}x$$

बाईं तरफ:



{d \over dx}\tan y = \sec^2 y \cdot {dy \over dx} = (1 + \tan^2 y) {dy \over dx} $$,पायथागॉरियन सर्वसमिका का उपयोग करना

दाईं तरफ:


 * $${d \over dx}x = 1$$

इसलिए,


 * $$(1+\tan^2 y){dy \over dx}=1$$

ऊपर से स्थानांतरण $$x=\tan y\,\!$$ करते हुए,हमें मिलता है


 * $$(1+x^2){dy \over dx}=1$$
 * $${dy \over dx}=\frac{1}{1+x^2}$$

प्रतिलोम कोटिस्पर्शज्या फलन को अवकलित करना
हम


 * $$y=\arccot x$$

को लेते हैं,जहां $$0<y<\pi$$

होता है।फिर,


 * $$\cot y=x$$

दोनों पक्षों से $$x$$ के संबंध में अवकलज को लेते हुए और dy/dx के लिए हल करते हुए:


 * $$\frac{d}{dx}\cot y=\frac{d}{dx}x$$

बाईं तरफ:



{d \over dx}\cot y = -\csc^2 y \cdot {dy \over dx} = -(1 + \cot^2 y) {dy \over dx} $$,पायथागॉरियन सर्वसमिका का उपयोग करके

दाईं तरफ:


 * $${d \over dx}x = 1$$

इसलिए,


 * $$-(1+\cot^2y)\frac{dy}{dx}=1$$

$$x=\cot y$$ स्थानांतरण करते हुए,


 * $$-(1+x^2)\frac{dy}{dx}=1$$
 * $$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{1+x^2}$$

वैकल्पिक रूप से,जैसा कि ऊपर दिखाया गया है,$$\arctan x$$ का अवकलज प्राप्त होने के बाद,फिर तुरंत उस सर्वसमिका $$\arctan x+\arccot x=\dfrac{\pi}{2}$$ का उपयोग करते हुए,ताकि$$\begin{align} \dfrac{d}{dx}\arccot x &=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\pi}{2}-\arctan x\right)\\ &=-\dfrac{1}{1+x^2} \end{align}  $$हो।

अंतर्निहित अवकलन का उपयोग करना
माना


 * $$ y = \arcsec x\ \mid |x| \geq 1$$

को लेते हैं,जहां


 * $$ x = \sec y \mid \ y \in \left [0,\frac{\pi}{2} \right )\cup \left (\frac{\pi}{2},\pi \right]

$$होता है।फिर,
 * $$ \frac{dx}{dy} = \sec y \tan y = |x|\sqrt{x^2-1}$$

(अभिव्यक्ति में अवशिष्ट मान आवश्यक है क्योंकि y के अंतराल में कोटिज्या और स्पर्शज्या का गुणनफल हमेशा अवनिश्चित होता है,जबकि प्रमुख वर्गमूल की परिभाषा के अनुसार वर्गमूल $$\sqrt{x^2-1}$$ हमेशा अवनिश्चित होता है,इसलिए शेष गुणक भी अवनिश्चित होना चाहिए,जो x के अवशिष्ट मान का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है।)
 * $$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$$

श्रृंखला नियम का उपयोग करना
वैकल्पिक रूप से,श्रृंखला नियम का उपयोग करके आर्ककोटिज्या का अवकलज आर्ककोज्या के अवकलज से प्राप्त किया जा सकता है।

माना


 * $$ y = \arcsec x = \arccos \left(\frac{1}{x}\right) $$

को लेते हैं,जहां


 * $$ |x| \geq 1 $$ और $$ y \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right] $$

होता है।फिर, $$ \arccos \left(\frac{1}{x}\right) $$के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए:


 * $$ \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{x})^2}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)

= \frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}} = \frac{1}{x^2\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2}}} = \frac{1}{\sqrt{x^2}\sqrt{x^2-1}} = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} $$

अंतर्निहित अवकलन का उपयोग करना
माना


 * $$y = \arccsc x\ \mid |x| \geq 1$$

को लेते हैं,जहां


 * $$ x = \csc y\ \mid \ y \in \left [-\frac{\pi}{2},0 \right )\cup \left (0,\frac{\pi}{2} \right]$$
 * होता है।फिर,
 * $$ \frac{dx}{dy} = -\csc y \cot y = -|x|\sqrt{x^2-1}$$

(अभिव्यक्ति में अवशिष्ट मान आवश्यक है क्योंकि y के अंतराल में व्युत्क्रम ज्या और कोटिस्पर्शज्या का गुणनफल हमेशा अवनिश्चित होता है,जबकि प्रमुख वर्गमूल की परिभाषा के अनुसार वर्गमूल $$\sqrt{x^2-1}$$ हमेशा अवनिश्चित होता है,इसलिए शेष गुणक भी अवनिश्चित होना चाहिए,जो x के अवशिष्ट मान का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है।)
 * $$ \frac{dy}{dx} = \frac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$$

श्रृंखला नियम का उपयोग करना
वैकल्पिक रूप से,श्रृंखला नियम का उपयोग करके आर्कव्युत्क्रम-ज्या का अवकलज आर्कज्या के अवकलज से प्राप्त किया जा सकता है।

माना


 * $$ y = \arccsc x = \arcsin \left(\frac{1}{x}\right) $$

को लेते हैं,जहां


 * $$ |x| \geq 1 $$ और $$ y \in \left[-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right] $$

होता है।फिर, $$ \arcsin \left(\frac{1}{x}\right) $$के लिए श्रृंखला नियम को लागू करना


 * $$ \frac{dy}{dx} =\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{x})^2}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)

= -\frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}} = -\frac{1}{x^2\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2}}} = -\frac{1}{\sqrt{x^2}\sqrt{x^2-1}} = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} $$

ग्रन्थसूची

 * Handbook of Mathematical Functions, Edited by Abramowitz and Stegun, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series, 55 (1964)