समूह संरचना और पसंद का स्वयंसिद्ध

गणित में एक समूह (गणित) एक समुच्चय (गणित) होता है, जिसमें समुच्चय पर एक द्विआधारी संक्रिया होती है जिसे गुणन कहा जाता है जो समूह के स्वयंसिद्धों का पालन करता है। पसंद का स्वयंसिद्ध ZFC सेट सिद्धांत का एक स्वयंसिद्ध है जो एक रूप में बताता है कि प्रत्येक सेट को सुव्यवस्थित किया जा सकता है।

ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धान्त  सेट थ्योरी में, यानी पसंद के स्वयंसिद्ध के बिना ZFC, निम्नलिखित कथन समतुल्य हैं:


 * हर गैर-खाली सेट के लिए $X$ एक बाइनरी ऑपरेशन मौजूद है $•$ ऐसा है कि $(X, •)$ एक समूह है।
 * पसंद का स्वयंसिद्ध सत्य है।

एक समूह संरचना का अर्थ है पसंद का स्वयंसिद्ध
इस खंड में यह माना जाता है कि प्रत्येक सेट $(X, •)$ एक समूह संरचना के साथ संपन्न किया जा सकता है $X$.

होने देना $(X, •)$ एक समुच्चय हो। होने देना $X$ की हार्टोग्स संख्या हो $ℵ(X)$. यह कम से कम कार्डिनल संख्या है जिससे कोई इंजेक्शन (गणित) नहीं है $X$ में $ℵ(X)$. यह पसंद के स्वयंसिद्ध की धारणा के बिना मौजूद है। प्रमाण की तकनीकी सरलता के लिए यहाँ मान लें कि $X$ का कोई क्रमांक नहीं है। होने देना $X$ समूह में गुणन को दर्शाता है $•$.

किसी के लिए $(X ∪ ℵ(X), •)$ वहाँ है एक $x ∈ X$ ऐसा है कि $α ∈ ℵ(X)$. मान लीजिए नहीं। फिर एक है $x • α ∈ ℵ(X)$ ऐसा है कि $y ∈ X$ सभी के लिए $y • α ∈ X$. लेकिन प्राथमिक समूह सिद्धांत द्वारा, द $α ∈ ℵ(X)$ सभी अलग-अलग हैं क्योंकि α रेंज खत्म हो गई है $y • α$ (मैं)। इस प्रकार ए $ℵ(X)$ से एक इंजेक्शन देता है $y$ में $ℵ(X)$. यह तब से असंभव है $X$ ऐसा कार्डिनल है जिसमें कोई इंजेक्शन नहीं है $ℵ(X)$ मौजूद।

अब एक नक्शा परिभाषित करें $X$ का $j$ में $X$ भेजकर लेक्सिकोग्राफिक ऑर्डर  के साथ संपन्न हुआ $ℵ(X) × ℵ(X)$ कम से कम $x ∈ X$ ऐसा है कि $(α, β) ∈ ℵ(X) × ℵ(X)$. उपरोक्त तर्क द्वारा मानचित्र $x • α = β$ मौजूद है और अद्वितीय है क्योंकि सुव्यवस्थित सेट के सबसेट के कम से कम तत्व अद्वितीय हैं। यह प्राथमिक समूह सिद्धांत, इंजेक्शन द्वारा है।

अंत में, एक वेलऑर्डरिंग को परिभाषित करें $j$ द्वारा $X$ अगर $x < y$. यह इस प्रकार है कि हर सेट $j(x) < j(y)$ को सुव्यवस्थित किया जा सकता है और इस प्रकार पसंद का स्वयंसिद्ध सत्य है। ऊपर (i) में व्यक्त महत्वपूर्ण संपत्ति के लिए धारण करने के लिए, और इसलिए पूरे प्रमाण के लिए, यह पर्याप्त है $X$ एक मेग्मा (गणित) होने के लिए # गुणों द्वारा वर्गीकरण, उदा। एक अर्धसमूह। रद्द करने की संपत्ति यह सुनिश्चित करने के लिए पर्याप्त है कि $X$ सब अलग हैं।

पसंद का स्वयंसिद्ध एक समूह संरचना
का तात्पर्य है

किसी भी गैर-खाली परिमित सेट में किसी भी तत्व द्वारा उत्पन्न चक्रीय समूह के रूप में एक समूह संरचना होती है। पसंद के स्वयंसिद्ध की धारणा के तहत, हर अनंत सेट $y • α$ एक अद्वितीय कार्डिनल संख्या से लैस है $|$X$|$ जो एक Aleph  के बराबर है। पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग करके, यह किसी भी परिवार के लिए दिखाया जा सकता है $X$ सेट का $S$ (ए)। इसके अलावा, पसंद पर तर्स्की के प्रमेय द्वारा, पसंद के स्वयंसिद्ध के एक और समकक्ष, $|⋃S| ≤ |S| × sup { |s| : s ∈ S}$ सभी परिमित के लिए $|X|^{n} = |X|$ (बी)।

होने देना $n$ एक अनंत समुच्चय बनें और मान लें $X$ के सभी परिमित उपसमूहों के समुच्चय को निरूपित करता है $F$. स्वाभाविक गुणन होता है $X$ पर $•$. के लिए $F$, होने देना $f, g ∈ F$, कहाँ $f • g = f Δ g$ सममित अंतर को दर्शाता है। यह मुड़ता है $Δ$ खाली सेट वाले समूह में, $(F, •)$, पहचान होना और हर तत्व का अपना व्युत्क्रम होना; $Ø$. सहयोगी संपत्ति, यानी। $f Δ f = Ø$ संघ और सेट अंतर के मूल गुणों का उपयोग करके सत्यापित किया गया है। इस प्रकार $(f Δ g) Δ h = f Δ (g Δ h)$ गुणा वाला समूह है $F$.

कोई भी सेट जिसे एक समूह के साथ आपत्ति में डाला जा सकता है, वह आपत्ति के माध्यम से एक समूह बन जाता है। यह दिखाया जाएगा $Δ$, और इसलिए एक-से-एक पत्राचार $|X| = |F|$ और समूह $X$ मौजूद। के लिए $(F, •)$, होने देना $n = 0,1,2, ...$ का सबसेट हो $F_{n}$ कार्डिनैलिटी के सभी उपसमुच्चय शामिल हैं $F$. तब $n$ का असंयुक्त संघ है $F$. के उपसमूहों की संख्या $F_{n}$ कार्डिनैलिटी का $X$ ज्यादा से ज्यादा है $n$ क्योंकि हर सबसेट के साथ $|X|^{n}$ तत्व का एक तत्व है $n$-गुना कार्तीय उत्पाद $n$ का $X^{n}$. इसलिए $X$ सभी के लिए $|F_{n}| ≤ |X|^{n} = |X|$ (सी) द्वारा (बी)।

इन परिणामों को एक साथ रखने पर पता चलता है $n$ द्वारा (ए) और (सी)। भी, $|F| = |⋃_{n ∈ ω}F_{n}| ≤ ℵ_{0} · |X| = |X|$, तब से $|F| ≥ |X|$ में सभी सिंगलटन शामिल हैं। इस प्रकार, $F$ और $|X| ≤ |F|$, इसलिए, श्रोडर-बर्नस्टीन प्रमेय द्वारा, $|F| ≤ |X|$. इसका ठीक-ठीक मतलब है कि एक आक्षेप है $|F| = |X|$ बीच में $j$ और $X$. अंत में, के लिए $F$ परिभाषित करना $x, y ∈ X$. यह मुड़ता है $x • y = j^{−1}(j(x) Δ j(y))$ एक समूह में। इसलिए हर सेट एक समूह संरचना को स्वीकार करता है।

समूह संरचना के बिना ZF सेट
ZF के आंतरिक मॉडल  हैं जिसमें पसंद का स्वयंसिद्ध विफल हो जाता है। इस तरह के एक मॉडल में, ऐसे सेट होते हैं जिन्हें अच्छी तरह से ऑर्डर नहीं किया जा सकता है (इन नॉन-वेलऑर्डरेबल सेट को कॉल करें)। होने देना $(X, •)$ ऐसा कोई सेट हो। अब सेट पर विचार करें $X$. अगर $Y = X ∪ ℵ(X)$ के पास एक समूह संरचना होनी थी, फिर, पहले खंड में निर्माण द्वारा, $Y$ सुव्यवस्थित किया जा सकता है। यह विरोधाभास दर्शाता है कि सेट पर कोई समूह संरचना नहीं है $X$.

यदि एक समुच्चय ऐसा है कि इसे समूह संरचना से संपन्न नहीं किया जा सकता है, तो यह आवश्यक रूप से गैर-क्रमबद्ध है। अन्यथा दूसरे खंड में निर्माण समूह संरचना उत्पन्न करता है। हालाँकि ये गुण समतुल्य नहीं हैं। अर्थात्, यह उन सेटों के लिए संभव है जिन्हें समूह संरचना के लिए सुव्यवस्थित नहीं किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, यदि $$X$$ कोई सेट है, तो $$\mathcal P(X)$$ समूह संचालन के रूप में सममित अंतर के साथ एक समूह संरचना है। बेशक अगर $$X$$ सुव्यवस्थित नहीं हो सकता, तो न ही हो सकता है $$\mathcal P(X)$$. सेट का एक दिलचस्प उदाहरण जो समूह संरचना नहीं ले सकता है, सेट से है $$X$$ निम्नलिखित दो गुणों के साथ: यह देखने के लिए कि इन दोनों का संयोजन एक समूह संरचना को स्वीकार नहीं कर सकता है, ध्यान दें कि इस तरह के सेट के किसी भी क्रमपरिवर्तन में केवल परिमित कक्षाएँ होनी चाहिए, और उनमें से लगभग सभी आवश्यक रूप से सिंगलटन हैं, जिसका अर्थ है कि अधिकांश तत्व क्रमचय द्वारा स्थानांतरित नहीं होते हैं। अब द्वारा दिए गए क्रमचय पर विचार करें $$x\mapsto a\cdot x$$, के लिए $$a$$ जो तटस्थ तत्त्व नहीं है, अपरिमित रूप से अनेक हैं $$x$$ ऐसा है कि $$a\cdot x=x$$, तो उनमें से कम से कम एक तटस्थ तत्व भी नहीं है। से गुणा करना $$x^{-1}$$ देता है $$a$$ वास्तव में पहचान तत्व है जो एक विरोधाभास है।
 * 1) $$X$$ एक अनंत Dedekind-परिमित सेट है। दूसरे शब्दों में, $$X$$ कोई गिनती में अनंत उपसमुच्चय नहीं है।
 * 2) अगर $$X$$ परिमित समुच्चयों में विभाजित किया जाता है, तो उनमें से बहुत से एकल को छोड़कर सभी एकल हैं।

ऐसे सेट का अस्तित्व $$X$$ सुसंगत है, उदाहरण के लिए कोहेन के पहले मॉडल में दिया गया है। हैरानी की बात है, हालांकि, एक अनंत Dedekind-परिमित सेट होने के नाते एक समूह संरचना को बाहर करने के लिए पर्याप्त नहीं है, क्योंकि यह सुसंगत है कि Dedekind-परिमित शक्ति सेट के साथ अनंत Dedekind-परिमित सेट हैं।