केंद्रित वर्ग संख्या

प्रारंभिक संख्या सिद्धांत में, एक केन्द्रित वर्ग संख्या एक केन्द्रित बहुभुज संख्या आकृति संख्या है जो केंद्र में एक बिंदु के साथ एक वर्ग (ज्यामिति) में डॉट्स की संख्या और क्रमिक वर्ग परतों में केंद्र बिंदु के आसपास के सभी बिंदुओं को देती है। यही है, प्रत्येक केन्द्रित वर्ग संख्या एक नियमित वर्ग जाली पर केंद्र बिंदु के दिए गए टेक्सीकैब ज्यामिति के भीतर डॉट्स की संख्या के बराबर होती है। जबकि केन्द्रित वर्ग संख्याएँ, सामान्य रूप से आलंकारिक संख्याओं की तरह, यदि कोई प्रत्यक्ष व्यावहारिक अनुप्रयोग हैं, तो कुछ ही हैं, कभी-कभी उनके सुरुचिपूर्ण ज्यामितीय और अंकगणितीय गुणों के लिए मनोरंजक गणित में उनका अध्ययन किया जाता है।

पहले चार केन्द्रित वर्ग संख्याओं के आंकड़े नीचे दिखाए गए हैं:



प्रत्येक केन्द्रित वर्ग संख्या क्रमिक वर्गों का योग है। उदाहरण: जैसा कि फ़्लॉइड के त्रिकोण के निम्नलिखित चित्र में दिखाया गया है, 25 एक केंद्रित वर्ग संख्या है, और वर्ग 16 का योग है (एक वर्ग को काटकर बनाया गया पीला समचतुर्भुज) और अगले छोटे वर्ग का योग, 9 (दो नीले त्रिकोणों का योग) ):
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 * [[Image:GrayDot.svg|16px]] [[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]] [[Image:GrayDot.svg|16px]]
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 * [[Image:GrayDot.svg|16px]] [[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]] [[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]] [[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]] [[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]] [[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]] [[Image:GrayDot.svg|16px]]
 * - align="center" valign="top"
 * $$C_{4,1} = 1$$
 * $$C_{4,2} = 5$$
 * $$C_{4,3} = 13$$
 * $$C_{4,4} = 25$$
 * }
 * - align="center" valign="top"
 * $$C_{4,1} = 1$$
 * $$C_{4,2} = 5$$
 * $$C_{4,3} = 13$$
 * $$C_{4,4} = 25$$
 * }
 * $$C_{4,3} = 13$$
 * $$C_{4,4} = 25$$
 * }
 * $$C_{4,4} = 25$$
 * }
 * }



अन्य आकृति संख्याओं के साथ संबंध
चलो सीk,n आम तौर पर nवें केन्द्रित बहुभुज संख्या|केंद्रित k-गोनल संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं। Nth केन्द्रित वर्ग संख्या सूत्र द्वारा दी गई है:


 * $$C_{4,n} = n^2 + (n - 1)^2.$$

अर्थात्, nवें केन्द्रित वर्ग संख्या nवें और (n – 1)वें वर्ग संख्याओं का योग है। निम्नलिखित पैटर्न इस सूत्र को प्रदर्शित करता है:



सूत्र को इस प्रकार भी व्यक्त किया जा सकता है:
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 * [[Image:RedDot.svg|16px]] [[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]] [[Image:RedDot.svg|16px]]
 * [[Image:GrayDot.svg|16px]] [[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]] [[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]] [[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]] [[Image:GrayDot.svg|16px]]
 * [[Image:RedDot.svg|16px]] [[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]] [[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]] [[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]] [[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]] [[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]] [[Image:RedDot.svg|16px]]
 * - align="center" valign="top"
 * $$C_{4,1} = 0 + 1$$
 * $$C_{4,2} = 1 + 4$$
 * $$C_{4,3} = 4 + 9$$
 * $$C_{4,4} = 9 + 16$$
 * }
 * - align="center" valign="top"
 * $$C_{4,1} = 0 + 1$$
 * $$C_{4,2} = 1 + 4$$
 * $$C_{4,3} = 4 + 9$$
 * $$C_{4,4} = 9 + 16$$
 * }
 * $$C_{4,3} = 4 + 9$$
 * $$C_{4,4} = 9 + 16$$
 * }
 * $$C_{4,4} = 9 + 16$$
 * }
 * }


 * $$C_{4,n} = \frac{(2n-1)^2 + 1}{2}.$$

अर्थात्, nवें केन्द्रित वर्ग संख्या, nवें विषम वर्ग संख्या का आधा प्लस 1 है, जैसा कि नीचे दिखाया गया है:



सभी केन्द्रित बहुभुज संख्याओं की तरह, केन्द्रित वर्ग संख्याएँ भी त्रिकोणीय संख्याओं के रूप में व्यक्त की जा सकती हैं:
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 * [[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]] [[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]] [[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]] [[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]] [[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]]
 * [[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]] [[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]] [[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]] [[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]] [[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]] [[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]] [[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]]
 * - align="center" valign="top"
 * $$C_{4,1} = \frac{1 + 1}{2}$$
 * $$C_{4,2} = \frac{9 + 1}{2}$$
 * $$C_{4,3} = \frac{25 + 1}{2}$$
 * $$C_{4,4} = \frac{49 + 1}{2}$$
 * }
 * - align="center" valign="top"
 * $$C_{4,1} = \frac{1 + 1}{2}$$
 * $$C_{4,2} = \frac{9 + 1}{2}$$
 * $$C_{4,3} = \frac{25 + 1}{2}$$
 * $$C_{4,4} = \frac{49 + 1}{2}$$
 * }
 * $$C_{4,3} = \frac{25 + 1}{2}$$
 * $$C_{4,4} = \frac{49 + 1}{2}$$
 * }
 * $$C_{4,4} = \frac{49 + 1}{2}$$
 * }
 * }


 * $$C_{4,n} = 1 + 4\ T_{n-1} = 1 + 2{n(n-1)},$$

कहाँ


 * $$T_n = \frac{n(n+1)}{2} = \binom{n+1}{2}$$

nth त्रिकोणीय संख्या है। केंद्र बिंदु को हटाकर और शेष आकृति को चार त्रिभुजों में विभाजित करके इसे आसानी से देखा जा सकता है, जैसा कि नीचे दिया गया है:



लगातार दो ऑक्टाहेड्रल संख्याओं के बीच का अंतर एक केंद्रित वर्ग संख्या है (कॉनवे और गाइ, पृ.50)।
 * - align="center" valign="middle" style="line-height: 0;"
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 * [[Image:RedDot.svg|16px]] [[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:BlackDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]] [[Image:RedDot.svg|16px]]
 * [[Image:RedDot.svg|16px]] [[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]] [[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:BlackDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]] [[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]] [[Image:RedDot.svg|16px]]
 * [[Image:RedDot.svg|16px]] [[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]] [[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]] [[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:BlackDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]] [[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]] [[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]] [[Image:RedDot.svg|16px]]
 * - align="center" valign="top"
 * $$C_{4,1} = 1$$
 * $$C_{4,2} = 1 + 4 \times 1$$
 * $$C_{4,3} = 1 + 4 \times 3$$
 * $$C_{4,4} = 1 + 4 \times 6$$
 * }
 * - align="center" valign="top"
 * $$C_{4,1} = 1$$
 * $$C_{4,2} = 1 + 4 \times 1$$
 * $$C_{4,3} = 1 + 4 \times 3$$
 * $$C_{4,4} = 1 + 4 \times 6$$
 * }
 * $$C_{4,3} = 1 + 4 \times 3$$
 * $$C_{4,4} = 1 + 4 \times 6$$
 * }
 * $$C_{4,4} = 1 + 4 \times 6$$
 * }
 * }

केन्द्रित वर्ग संख्याओं को व्यक्त करने का दूसरा तरीका है:


 * $$C_{4,n} = 1 + 4 \dim (SO(n)),$$

कहाँ


 * $$\dim (SO(n)) = \frac{n(n-1)}{2}.$$

केन्द्रित वर्ग संख्याओं को व्यक्त करने का एक अन्य तरीका केन्द्रित त्रिकोणीय संख्याओं के संदर्भ में है:


 * $$C_{4,n} = \frac{4C_{3,n}-1}{3},$$

कहाँ


 * $$C_{3,n} = 1 + 3\frac{n(n-1)}{2}.$$

केन्द्रित वर्ग संख्याओं की सूची
पहले केन्द्रित वर्ग संख्या (सी4,n <4500) हैं:


 * 1 (संख्या), 5 (संख्या), 13 (संख्या), 25 (संख्या), 41 (संख्या), 61 (संख्या), 85 (संख्या), 113 (संख्या), 145 (संख्या), 181 (संख्या), 221 (संख्या), 265, 313 (संख्या), 365 (संख्या), 421, 481, 545, 613, 685, 761, 841, 925, 1013, 1105, 1201, 1301, 1405, 1513, 1625, 1741, 1861, 1985, 2113, 2245, 2381, 2521, 2665, 2813, 2965, 3121, 3281, 3445, 3613, 3785, 3961, 4141, 4325, ….

गुण
सभी केन्द्रित वर्ग संख्याएँ विषम हैं, और आधार 10 में कोई भी देख सकता है कि उसका अंक 1-5-3-5-1 के पैटर्न का अनुसरण करता है।

सभी केंद्रित वर्ग संख्याओं और उनके विभाजकों में 4 से विभाजित होने पर शेष 1 होता है। इसलिए सभी केंद्रित वर्ग संख्याएं और उनके विभाजक बेस सेनानी, अष्टभुजाकार  और डुओडेसिमल में अंक 1 या 5 के साथ समाप्त होते हैं।

1 को छोड़कर प्रत्येक केंद्रित वर्ग संख्या पायथागॉरियन ट्रिपल (3-4-5, 5-12-13, 7-24-25, ...) का कर्ण है। यह बिल्कुल पाइथागोरस के त्रिक का क्रम है जहां दो सबसे लंबी भुजाओं में 1 का अंतर होता है। (उदाहरण: 52 + 122 = 132.)

इसे संबंध के साथ भ्रमित नहीं होना है (n - 1)2 + एन2 = सी4,n. (उदाहरण: 22 + 32 = 13.)

फ़ंक्शन उत्पन्न करना
जनरेटिंग फ़ंक्शन जो केंद्रित वर्ग संख्या देता है:
 * $$\frac{(x+1)^2}{(1-x)^3}= 1+5x+13x^2+25x^3+41x^4+~...~. $$