कैटेनरी

भौतिकी और ज्यामिति  में, एक कैटेनरी  वह  वक्र  है जिसे एक आदर्शीकृत लटकती श्रृंखला या तार रस्सी अपने स्वयं के  वजन  के तहत ग्रहण करती है जब केवल एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में इसके सिरों पर समर्थित होती है।

कैटेनरी आर्क में यू-आकार की आकृति होती है, जो एक  परवलय िक मेहराब के समान दिखती है, लेकिन यह एक परवलय नहीं है।

वक्र कुछ प्रकार के कैटेनरी मेहराबों के डिजाइन में और कैटेनॉयड  के एक क्रॉस सेक्शन के रूप में दिखाई देता है - दो समानांतर गोलाकार रिंगों से घिरी एक साबुन फिल्म द्वारा ग्रहण की गई आकृति।

कैटेनरी को ऐलिसॉइड, चेनेट भी कहा जाता है। या, विशेष रूप से सामग्री विज्ञान में, फनिक्युलर। रोप स्टैटिक्स एक क्लासिक स्टैटिक्स समस्या में कैटेनरी का वर्णन करता है जिसमें एक हैंगिंग रोप शामिल है। गणितीय रूप से, कैटेनरी वक्र अतिपरवलयिक कोज्या  फ़ंक्शन के फ़ंक्शन का ग्राफ़ है। कैटेनरी वक्र की  क्रांति की सतह, कैटेनॉयड, एक  न्यूनतम सतह  है, विशेष रूप से  क्रांति की न्यूनतम सतह । एक लटकी हुई श्रृंखला कम से कम संभावित ऊर्जा का आकार ग्रहण करेगी जो एक कैटेनरी है। 1638 में  गैलिलियो गैलिली  ने  दो नए विज्ञान  की पुस्तक में कैटेनरी पर चर्चा की, यह मानते हुए कि यह एक परवलय से अलग था। कैटेनरी वक्र के गणितीय गुणों का अध्ययन  रॉबर्ट हुक  ने 1670 के दशक में किया था, और इसका समीकरण 1691 में  लाइबनिट्स ़,  क्रिस्टियान ह्यूजेंस  और  जोहान बर्नौली  द्वारा प्राप्त किया गया था।

वास्तुकला और इंजीनियरिंग में कैटेनरी और संबंधित वक्र का उपयोग किया जाता है (उदाहरण के लिए, पुलों और कैटेनरी आर्क के डिजाइन में ताकि बल झुकने वाले क्षणों में न हों)। अपतटीय तेल और गैस उद्योग में, कैटेनरी एक स्टील कैटेनरी रिसर  को संदर्भित करता है, एक उत्पादन प्लेटफॉर्म और सीबेड के बीच निलंबित एक पाइपलाइन जो एक अनुमानित कैटेनरी आकार को अपनाती है। रेल उद्योग में यह  अतिरिक्त रेखा  को संदर्भित करता है जो ट्रेनों को बिजली स्थानांतरित करता है। (यह अक्सर एक हल्के संपर्क तार का समर्थन करता है, जिस स्थिति में यह एक सच्चे कैटेनरी वक्र का पालन नहीं करता है।)

ऑप्टिक्स और इलेक्ट्रोमैग्नेटिक्स में, हाइपरबोलिक कोसाइन और साइन फ़ंक्शन मैक्सवेल के समीकरणों के बुनियादी समाधान हैं। दो अपवर्तक तरंगों से युक्त सममित मोड एक कैटेनरी आकार का निर्माण करेंगे।

इतिहास
कैटेनरी शब्द लैटिन शब्द कैटना से लिया गया है, जिसका अर्थ है चेन। अंग्रेजी शब्द कैटेनरी आमतौर पर थॉमस जेफरसन  को जिम्मेदार ठहराया जाता है, जिन्होंने पुल के लिए एक मेहराब के निर्माण पर थॉमस पेन  को एक पत्र में लिखा था:

"I have lately received from Italy a treatise on the equilibrium of arches, by the Abbé Mascheroni. It appears to be a very scientifical work. I have not yet had time to engage in it; but I find that the conclusions of his demonstrations are, that every part of the catenary is in perfect equilibrium."

अक्सर कहा जाता है कि गैलीलियो गैलीली ने सोचा था कि एक लटकी हुई श्रृंखला का वक्र परवलयिक था। हालांकि, अपने दो नए विज्ञान (1638) में, गैलीलियो ने लिखा है कि एक लटकती हुई रस्सी केवल एक अनुमानित परवलय है, सही ढंग से यह देखते हुए कि यह अनुमान सटीकता में सुधार करता है क्योंकि वक्रता छोटी हो जाती है और लगभग सटीक होती है जब ऊंचाई 45 डिग्री से कम होती है। तथ्य यह है कि एक श्रृंखला के बाद वक्र एक परवलय नहीं है जोआचिम जुंगियस  (1587-1657) द्वारा सिद्ध किया गया था; यह परिणाम मरणोपरांत 1669 में प्रकाशित हुआ था। मेहराब के निर्माण के लिए कैटेनरी के आवेदन का श्रेय रॉबर्ट हुक को दिया जाता है, जिसका वास्तविक गणितीय और यांत्रिक रूप सेंट पॉल कैथेड्रल के पुनर्निर्माण के संदर्भ में एक कैटेनरी की ओर इशारा करता है। कुछ बहुत पुराने मेहराब अनुमानित कैटेनरी हैं, जिनमें से एक उदाहरण सीटीसिफॉन  में  तकी सीज़र  का आर्क है। 1671 में, हुक ने रॉयल सोसाइटी  को घोषणा की कि उन्होंने एक आर्च के इष्टतम आकार की समस्या को हल कर दिया है, और 1675 में लैटिन विपर्यय के रूप में एक एन्क्रिप्टेड समाधान प्रकाशित किया। हेलियोस्कोप के उनके विवरण के परिशिष्ट में, जहां उन्होंने लिखा है कि उन्होंने भवन के लिए सभी प्रकार के मेहराबों का एक वास्तविक गणितीय और यांत्रिक रूप पाया है। उन्होंने इस विपर्यय का समाधान प्रकाशित नहीं किया अपने जीवनकाल में, लेकिन 1705 में उनके निष्पादक ने इसे ut pendet continuum flexile, sic स्टैबिट कॉन्टिगुम रिगिडम इनवर्सम के रूप में प्रदान किया, जिसका अर्थ है कि जैसे एक लचीली केबल लटकती है, वैसे ही उलटा, एक आर्च के स्पर्श करने वाले टुकड़े खड़े हो जाते हैं।

1691 में, गॉटफ्राइड लाइबनिज़ो, क्रिस्टियान ह्यूजेंस और जोहान बर्नौली ने  जैकब बर्नौली  द्वारा एक चुनौती के जवाब में  समीकरण  निकाला; उनके समाधान जून 1691 के लिए  जर्नल ऑफ स्कॉलर्स  में प्रकाशित किए गए थे।  डेविड ग्रेगरी (गणितज्ञ)  ने 1697 में कैटेनरी पर एक ग्रंथ लिखा था जिसमें उन्होंने सही अंतर समीकरण की गलत व्युत्पत्ति प्रदान की।

यूलर ने 1744 में साबित किया कि कैटेनरी वह वक्र है, जिसे घुमाने पर $x$-अक्ष, दिए गए बाउंडिंग सर्कल के लिए न्यूनतम  सतह क्षेत्र  (कैटेनॉयड) की सतह देता है।  निकोलस फुस  ने 1796 में किसी भी बल के तहत एक श्रृंखला के संतुलन का वर्णन करने वाले समीकरण दिए।

उल्टे कैटेनरी आर्क
भट्ठों के निर्माण में अक्सर कैटेनरी मेहराब  का उपयोग किया जाता है। वांछित वक्र बनाने के लिए, वांछित आयामों की लटकती श्रृंखला के आकार को एक ऐसे रूप में स्थानांतरित किया जाता है जिसे तब ईंटों या अन्य निर्माण सामग्री की नियुक्ति के लिए एक गाइड के रूप में उपयोग किया जाता है। सेंट लुइस, मिसौरी, संयुक्त राज्य अमेरिका में गेटवे आर्क  को कभी-कभी एक (उलटा) कैटेनरी कहा जाता है, लेकिन यह गलत है। यह समीकरण के साथ एक अधिक सामान्य वक्र के करीब है जिसे चपटा कैटेनरी कहा जाता है $y = A cosh(Bx)$, जो एक कैटेनरी है यदि $AB = 1$. जबकि एक कैटेनरी निरंतर मोटाई के फ्रीस्टैंडिंग आर्च के लिए आदर्श आकार है, गेटवे आर्क शीर्ष के पास संकरा है। आर्च के लिए यू.एस. राष्ट्रीय ऐतिहासिक स्थलचिह्न नामांकन के अनुसार, यह इसके बजाय एक  भारित कैटेनरी  है। इसका आकार उस आकार से मेल खाता है जो एक भारित श्रृंखला, जिसमें बीच में हल्के लिंक होते हैं, बनते हैं। मैकडॉनल्ड्स के लिए लोगो,  सुनहेरे कमान, जबकि दो जुड़े हुए परवलयों का इरादा है, कैटेनरी पर भी आधारित है।

कैटेनरी ब्रिज
फ्री-हैंगिंग चेन में, चेन की लंबाई के संबंध में लगाया गया बल एक समान होता है, और इसलिए चेन कैटेनरी कर्व का अनुसरण करती है। एक साधारण निलंबन पुल या कैटेनरी पुल के बारे में भी यही सच है, जहां सड़क मार्ग केबल का अनुसरण करता है। एक तनावग्रस्त रिबन पुल एक ही कैटेनरी आकार के साथ एक अधिक परिष्कृत संरचना है। हालांकि, एक निलंबित सड़क के साथ एक निलंबन पुल  में, जंजीर या केबल पुल के वजन का समर्थन करते हैं, और इसलिए स्वतंत्र रूप से लटका नहीं है। ज्यादातर मामलों में सड़क समतल होती है, इसलिए जब केबल का वजन समर्थित वजन की तुलना में नगण्य होता है, तो लगाया गया बल क्षैतिज दूरी के संबंध में एक समान होता है, और परिणाम एक परवलयिक मेहराब होता है, जैसा कि नीचे चर्चा की गई है (हालांकि शब्द कैटेनरी का उपयोग अक्सर अनौपचारिक अर्थ में किया जाता है)। यदि केबल भारी है तो परिणामी वक्र एक कैटेनरी और एक परवलय के बीच होता है।

समुद्री वस्तुओं की एंकरिंग
गुरुत्वाकर्षण द्वारा निर्मित कैटेनरी भारी विकट के लिए एक लाभ प्रदान करता है: सवार#संज्ञा। एक एंकर राइड (या एंकर लाइन) में आमतौर पर चेन या केबल या दोनों होते हैं। लंगर की छड़ें जहाजों, तेल रिसावों, गोदी, तैरती पवन टर्बाइनों और अन्य समुद्री उपकरणों द्वारा उपयोग की जाती हैं जिन्हें समुद्र तल पर लंगर डालना चाहिए।

जब रस्सी ढीली होती है, तो कैटेनरी वक्र एंकर या मूरिंग डिवाइस पर खींचने के निचले कोण को प्रस्तुत करता है, अगर यह लगभग सीधा होता तो मामला होता। यह एंकर के प्रदर्शन को बढ़ाता है और बल के स्तर को बढ़ाता है जो इसे खींचने से पहले विरोध करेगा। हवा की उपस्थिति में कैटेनरी आकार को बनाए रखने के लिए एक भारी श्रृंखला की आवश्यकता होती है, ताकि गहरे पानी में केवल बड़े जहाज ही इस प्रभाव पर भरोसा कर सकें। छोटी नावें भी अधिकतम धारण शक्ति बनाए रखने के लिए कैटेनरी पर निर्भर करती हैं।

समीकरण
कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में एक कैटेनरी के समीकरण का रूप है

$$y = a \cosh \left(\frac{x}{a}\right) = \frac{a}{2}\left(e^\frac{x}{a} + e^{-\frac{x}{a}}\right)$$ कहाँ पे $y = cosh(x)$ अतिपरवलयिक फलन है, और जहाँ $a$ निम्नतम बिंदु से मापा जाता है।

$$\kappa=\frac{a}{s^2+a^2}\,.$$ ओस्कुलेटिंग सर्कल तब है

$$\rho = a \sec^2 \varphi$$ जो स्पर्शरेखा की लंबाई है#सामान्य रेखा से इसके और के बीच एक वक्र तक $x$-एक्सिस।

अन्य वक्रों से संबंध
जब एक परवलय को एक सीधी रेखा के साथ घुमाया जाता है, तो इसके शंकु खंड # विलक्षणता, फ़ोकस और डायरेक्ट्रिक्स द्वारा अनुरेखित रूलेट (वक्र) वक्र एक कैटेनरी होता है। शंकु खंड का लिफाफा (गणित)  # परवलय की विलक्षणता, फोकस और डायरेक्ट्रिक्स भी एक कैटेनरी है। शीर्ष से अंतर्वलित, जो कि एक रेखा को एक कैटेनरी पर लुढ़कने पर शीर्ष पर शुरू होने वाले बिंदु से पता लगाया गया रूलेट है,  ट्रैक्टर  है।

एक अन्य रूले, एक कैटेनरी पर एक लाइन को रोल करके बनाई गई है, एक और लाइन है। इसका तात्पर्य यह है कि एक उल्टे कैटेनरी वक्र के आकार में धक्कों की एक श्रृंखला से बनी सड़क पर चौकोर पहिये पूरी तरह से सुचारू रूप से लुढ़क सकते हैं। पहिए त्रिभुज को छोड़कर कोई भी नियमित बहुभुज  हो सकते हैं, लेकिन कैटेनरी में पहियों के आकार और आयामों के अनुरूप पैरामीटर होने चाहिए।

ज्यामितीय गुण
किसी भी क्षैतिज अंतराल पर, कैटेनरी के नीचे के क्षेत्रफल और उसकी लंबाई का अनुपात बराबर होता है $a$, चयनित अंतराल से स्वतंत्र। इस संपत्ति के साथ एक क्षैतिज रेखा के अलावा कैटेनरी एकमात्र समतल वक्र है। इसके अलावा, कैटेनरी के एक खिंचाव के तहत क्षेत्र का ज्यामितीय केन्द्रक लंबवत खंड का मध्य बिंदु है जो वक्र के केंद्रक को जोड़ता है और $φ$-एक्सिस।

विज्ञान
एक समान विद्युत क्षेत्र  में एक गतिमान विद्युत  आवेश  एक कैटेनरी के साथ यात्रा करता है (जो एक परवलय की ओर जाता है यदि आवेश वेग प्रकाश की गति से बहुत कम है $x$). किसी भी छोर पर निश्चित त्रिज्या के साथ क्रांति की सतह, जिसका सतह क्षेत्र न्यूनतम है, के बारे में घूमने वाला एक कैटेनरी है $a$-एक्सिस।

जंजीरों और मेहराबों का मॉडल
गणितीय मॉडल में श्रृंखला (या कॉर्ड, केबल, रस्सी, स्ट्रिंग, आदि) को यह मानकर आदर्श बनाया जाता है कि यह इतना पतला है कि इसे एक वक्र माना जा सकता है और यह इतना लचीला है कि तनाव (भौतिकी)  का कोई भी बल लगाया जाता है। श्रृंखला द्वारा श्रृंखला के समानांतर है। एक इष्टतम आर्च के लिए वक्र का विश्लेषण समान है सिवाय इसके कि तनाव की ताकतें  संपीड़न (भौतिकी)  की ताकत बन जाती हैं और सब कुछ उल्टा हो जाता है। एक अंतर्निहित सिद्धांत यह है कि एक बार संतुलन प्राप्त करने के बाद श्रृंखला को एक कठोर शरीर माना जा सकता है। प्रत्येक बिंदु पर वक्र के आकार और श्रृंखला के तनाव को परिभाषित करने वाले समीकरण इस तथ्य का उपयोग करके खंड पर कार्य करने वाले विभिन्न बलों के सावधानीपूर्वक निरीक्षण द्वारा प्राप्त किए जा सकते हैं कि यदि श्रृंखला स्थिर संतुलन  में है तो इन बलों को संतुलन में होना चाहिए।

मान लीजिए कि श्रृंखला द्वारा अनुसरण किए जाने वाले पथ को पैरामीट्रिक समीकरण  दिए गए हैं $y =x^{2}$ कहाँ पे $x$ चाप की लंबाई का प्रतिनिधित्व करता है और $cosh$  स्थिति वेक्टर  है। यह  यूनिट स्पीड पैरामीट्रिजेशन  है और इसमें यह गुण है कि

$$\frac{d\mathbf{r}}{ds}=\mathbf{u}$$ कहाँ पे $r = (x, y) = (x(s), y(s))$ एक इकाई स्पर्शरेखा वेक्टर  है।

वक्र के लिए एक अंतर समीकरण  निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है। होने देना $r$ श्रृंखला का सबसे निचला बिंदु हो, जिसे कैटेनरी का शीर्ष कहा जाता है। ढाल $u$ वक्र का शून्य है $c$ चूंकि यह न्यूनतम बिंदु है। मान लेना $r$ के दायीं ओर है $T_{0}$ चूंकि दूसरा मामला समरूपता द्वारा निहित है। श्रृंखला के खंड पर कार्य करने वाले बल $c$ प्रति $T$ श्रृंखला का तनाव है $r$, श्रृंखला का तनाव at $(0, −λgs)$, और श्रृंखला का वजन। तनाव $c$ वक्र पर स्पर्शरेखा है $dy⁄dx$ और इसलिए बिना किसी ऊर्ध्वाधर घटक के क्षैतिज है और यह अनुभाग को बाईं ओर खींचता है ताकि इसे लिखा जा सके $c$ कहाँ पे $r$ बल का परिमाण है। तनाव $c$ वक्र के समानांतर है $c$ और अनुभाग को दाईं ओर खींचता है। तनाव $r$ दो घटकों में विभाजित किया जा सकता है ताकि इसे लिखा जा सके $c$, कहाँ पे $c$ बल का परिमाण है और $x$ वक्र के बीच का कोण है $r$ और यह $s$-अक्ष ( स्पर्शरेखा कोण  देखें)। अंत में, श्रृंखला के वजन को द्वारा दर्शाया जाता है $c$ कहाँ पे $T$ द्रव्यमान प्रति इकाई लंबाई है, $φ$ गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की ताकत है और $x$ के बीच श्रृंखला के खंड की लंबाई है $c$ तथा $(−T_{0}, 0)$.

श्रृंखला संतुलन में है इसलिए तीन बलों का योग है $T_{0}$, इसलिए

$$T \cos \varphi = T_0$$ तथा $$T \sin \varphi = \lambda gs\,,$$ और इन्हें विभाजित करने पर मिलता है

$$\frac{dy}{dx}=\tan \varphi = \frac{\lambda gs}{T_0}\,.$$ लिखना सुविधाजनक है

$$a = \frac{T_0}{\lambda g}$$ जो श्रृंखला की लंबाई है जिसका वजन परिमाण में तनाव के बराबर है $r$. फिर

$$\frac{dy}{dx}=\frac{s}{a}$$ वक्र को परिभाषित करने वाला एक समीकरण है।

तनाव का क्षैतिज घटक, $r$ स्थिर है और तनाव का ऊर्ध्वाधर घटक है, $r$ के बीच श्रृंखला की लंबाई के लिए आनुपातिक है $Tu = (T cos φ, T sin φ)$ और शीर्ष।

वक्र के लिए समीकरणों की व्युत्पत्ति
ऊपर दिए गए अवकल समीकरण को वक्र के लिए समीकरण बनाने के लिए हल किया जा सकता है। से

$$\frac{dy}{dx} = \frac{s}{a}\,,$$ चाप की लंबाई का सूत्र#एकीकरण करके चाप की लंबाई ज्ञात करना देता है $$\frac{ds}{dx} = \sqrt{1+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2} = \frac{\sqrt{a^2+s^2}}{a}\,.$$ फिर

$$\frac{dx}{ds} = \frac{1}{\frac{ds}{dx}} = \frac{a}{\sqrt{a^2+s^2}}$$ तथा

$$\frac{dy}{ds} = \frac{\frac{dy}{dx}}{\frac{ds}{dx}} = \frac{s}{\sqrt{a^2+s^2}}\,.$$ इन समीकरणों में से दूसरे को देने के लिए एकीकृत किया जा सकता है

$$y = \sqrt{a^2+s^2} + \beta$$ और की स्थिति को स्थानांतरित करके $λ$-एक्सिस, $g$ 0 लिया जा सकता है। तब

$$y = \sqrt{a^2+s^2}\,,\quad y^2=a^2+s^2\,.$$

$s$x}}-इस प्रकार चुनी गई अक्ष को कैटेनरी की नियता कहते हैं।

यह इस प्रकार है कि एक बिंदु पर तनाव का परिमाण $r$ है $(0, −λgs)$, जो बिंदु और नियता के बीच की दूरी के समानुपाती होता है। इस तनाव को इस प्रकार भी व्यक्त किया जा सकता है: $c$.

के लिए अभिव्यक्ति का अभिन्न अंग $x$ अपरिमेय फलनों के समाकलनों की सूची का उपयोग करके पाया जा सकता है, दे

$$x = a\operatorname{arsinh}\left(\frac{s}{a}\right) + \alpha\,.$$ और, फिर से, की स्थिति को स्थानांतरित करके $β$-एक्सिस, $x$ 0 लिया जा सकता है। तब

$$x = a\operatorname{arsinh}\left(\frac{s}{a}\right)\,,\quad s=a \sinh\left(\frac{x}{a}\right)\,.$$

$dx⁄ds$y}}-इस प्रकार चुनी गई अक्ष शीर्ष से होकर गुजरती है और इसे कैटेनरी की धुरी कहा जाता है।

इन परिणामों को खत्म करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है $y$ दे रही है

$$y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right)\,.$$

वैकल्पिक व्युत्पत्ति
अंतर समीकरण को एक अलग दृष्टिकोण का उपयोग करके हल किया जा सकता है। से

$$s = a \tan \varphi$$ यह इस प्रकार है कि

$$\frac{dx}{d\varphi} = \frac{dx}{ds}\frac{ds}{d\varphi}=\cos \varphi \cdot a \sec^2 \varphi= a \sec \varphi$$ तथा $$\frac{dy}{d\varphi} = \frac{dy}{ds}\frac{ds}{d\varphi}=\sin \varphi \cdot a \sec^2 \varphi= a \tan \varphi \sec \varphi\,.$$ एकीकरण देता है,

$$x = a \ln(\sec \varphi + \tan \varphi) + \alpha$$ तथा $$y = a \sec \varphi + \beta\,.$$ पहले की तरह, $α$ तथा $y$-कुल्हाड़ियों को स्थानांतरित किया जा सकता है $s$ तथा $x$ 0 लिया जा सकता है। तब

$$\sec \varphi + \tan \varphi = e^\frac{x}{a}\,,$$ और दोनों पक्षों का पारस्परिक लेना $$\sec \varphi - \tan \varphi = e^{-\frac{x}{a}}\,.$$ अंतिम दो समीकरणों को जोड़ने और घटाने पर हल मिलता है $$y = a \sec \varphi = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right)\,,$$ तथा $$s = a \tan \varphi = a \sinh\left(\frac{x}{a}\right)\,.$$

पैरामीटर निर्धारित करना
सामान्य तौर पर पैरामीटर $y$ अक्ष की स्थिति है। इस मामले में समीकरण निम्नानुसार निर्धारित किया जा सकता है: यदि आवश्यक हो तो पुनः लेबल करें ताकि $r$ के बाईं ओर है $0$ और जाने $α$ क्षैतिज हो और $β$ से लंबवत दूरी हो $c$ प्रति $T cos φ = T_{0}$. अनुवाद (ज्यामिति) कुल्हाड़ियों ताकि कैटेनरी का शीर्ष पर स्थित हो $T_{H}$-अक्ष और उसकी ऊंचाई $a$ समायोजित किया जाता है ताकि कैटेनरी वक्र के मानक समीकरण को संतुष्ट करे $$y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right)$$ और के निर्देशांक दें $T sin φ = λgs$ तथा $r$ होना $(x, y)$ तथा $T = λgy$ क्रमश। वक्र इन बिंदुओं से होकर गुजरता है, इसलिए ऊंचाई का अंतर है

$$v = a \cosh\left(\frac{x_2}{a}\right) - a \cosh\left(\frac{x_1}{a}\right)\,.$$ और वक्र की लंबाई. से $T = T_{0} y/a$ प्रति $P_{1}$ है

$$s = a \sinh\left(\frac{x_2}{a}\right) - a \sinh\left(\frac{x_1}{a}\right)\,.$$ कब $P_{2}$ इन भावों का उपयोग करके विस्तारित किया जाता है तो परिणाम होता है

$$s^2-v^2=2a^2\left(\cosh\left(\frac{x_2-x_1}{a}\right)-1\right)=4a^2\sinh^2\left(\frac{H}{2a}\right)\,,$$ इसलिए $$\sqrt{s^2-v^2}=2a\sinh\left(\frac{H}{2a}\right)\,.$$ यह एक ट्रान्सेंडैंटल समीकरण है $H$ और संख्यात्मक विश्लेषण  हल किया जाना चाहिए। इसे कलन की विधियों से दिखाया जा सकता है कि अधिक से अधिक एक समाधान है $P_{1}$ और इसलिए संतुलन की अधिकतम एक स्थिति होती है।

हालाँकि, यदि वक्र के दोनों सिरे ($P_{2}$ तथा $P_{1}$) समान स्तर पर हैं ($P_{2}$), यह दिखाया जा सकता है कि $$a = \frac {\frac14 L^2-h^2} {2h}\,$$ जहाँ L के बीच वक्र की कुल लंबाई है $(x_{1}, y_{1})$ तथा $(x_{2}, y_{2})$ तथा $v$ शिथिलता है (के बीच खड़ी दूरी $P_{1}$, $P_{2}$ और वक्र का शीर्ष)।

यह भी दिखाया जा सकता है कि $$L = 2a \sinh \frac {H} {2a}\,$$ तथा $$H = 2a \operatorname {arcosh} \frac {h+a} {a}\,$$ जहाँ H के बीच की क्षैतिज दूरी है $s^{2} − v^{2}$ तथा $a > 0$ जो समान स्तर पर स्थित हैं ($P_{1}$)

क्षैतिज कर्षण बल पर $P_{2}$ तथा $y_{1} = y_{2}$ है $P_{1}$, कहाँ पे $y$ श्रृंखला या केबल की प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।

परिवर्तनशील सूत्रीकरण
लंबाई की एक श्रृंखला पर विचार करें $$L$$ समान ऊंचाई और दूरी के दो बिंदुओं से निलंबित $$D$$. वक्र को अपनी स्थितिज ऊर्जा को न्यूनतम करना होगा $$ U = \int_0^D g\rho y\sqrt{1+y'^2} dx $$ और बाधा के अधीन है $$ \int_0^D \sqrt{1+y'^2} dx = L\,.$$ विविधताओं की संशोधित गणना इसलिए है $$ \mathcal{L} = (g\rho y - \lambda )\sqrt{1+y'^2}$$ कहाँ पे $$\lambda $$ निर्धारित किया जाने वाला लैग्रेंज गुणक  है। स्वतंत्र चर के रूप में $$x$$ Lagrangian में प्रकट नहीं होता है, हम Beltrami पहचान का उपयोग कर सकते हैं $$ \mathcal{L}-y' \frac{\partial \mathcal{L} }{\partial y'} = C $$ कहाँ पे $$C$$ एक समाकलन स्थिरांक है, प्रथम समाकलन प्राप्त करने के लिए $$\frac{(g\rho y - \lambda )}{\sqrt{1+y'^2}} = -C$$ यह एक सामान्य प्रथम कोटि का अवकल समीकरण है जिसे चरों के पृथक्करण की विधि द्वारा हल किया जा सकता है। इसका समाधान सामान्य हाइपरबोलिक कोसाइन है जहां पैरामीटर बाधाओं से प्राप्त होते हैं।

गैर-वर्दी जंजीर
यदि श्रृंखला का घनत्व परिवर्तनशील है, तो ऊपर दिए गए विश्लेषण को घनत्व दिए गए वक्र के लिए समीकरण बनाने के लिए अनुकूलित किया जा सकता है, या घनत्व को खोजने के लिए वक्र दिया जा सकता है। होने देना $a$ श्रृंखला की प्रति इकाई लंबाई के वजन को निरूपित करें, फिर श्रृंखला के वजन में परिमाण होता है

$$\int_\mathbf{c}^\mathbf{r} w\, ds\,,$$ जहां एकीकरण की सीमाएं हैं $P_{2}$ तथा $P_{1}$. एकसमान श्रृंखला के रूप में संतुलन बलों का उत्पादन होता है

$$T \cos \varphi = T_0$$ तथा $$T \sin \varphi = \int_\mathbf{c}^\mathbf{r} w\, ds\,,$$ और इसीलिए $$\frac{dy}{dx}=\tan \varphi = \frac{1}{T_0} \int_\mathbf{c}^\mathbf{r} w\, ds\,.$$ विभेदीकरण तब देता है

$$w=T_0 \frac{d}{ds}\frac{dy}{dx} = \frac{T_0 \dfrac{d^2y}{dx^2}}{\sqrt{1+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2}}\,.$$ के अनुसार $a$ और वक्रता त्रिज्या $h$ यह बन जाता है

$$w= \frac{T_0}{\rho \cos^2 \varphi}\,.$$

निलंबन पुल वक्र
क्षैतिज सड़क के साथ निलंबन पुल का समर्थन करने वाली केबल के बाद वक्र को खोजने के लिए एक समान विश्लेषण किया जा सकता है। यदि प्रति इकाई लंबाई सड़क का भार है $w$ और केबल और पुल का समर्थन करने वाले तार का वजन तुलना में नगण्य है, फिर केबल पर वजन (कैटेनरी में आंकड़ा देखें # जंजीरों और मेहराबों का मॉडल) $P_{2}$ प्रति $P_{1}$ है $w$ कहाँ पे $φ$ के बीच क्षैतिज दूरी है $P_{2}$ तथा $H = x_{2} − x_{1}$. पहले की तरह आगे बढ़ने पर अवकल समीकरण प्राप्त होता है

$$\frac{dy}{dx}=\tan \varphi = \frac{w}{T_0}x\,. $$ इसे प्राप्त करने के लिए सरल एकीकरण द्वारा हल किया जाता है

$$y=\frac{w}{2T_0}x^2 + \beta$$ और इसलिए केबल एक परवलय का अनुसरण करती है। यदि केबल और सहायक तारों का वजन नगण्य नहीं है तो विश्लेषण अधिक जटिल है।

समान शक्ति का कैटेनरी
समान शक्ति के कैटेनरी में, प्रत्येक बिंदु पर तनाव के परिमाण के अनुसार केबल को मजबूत किया जाता है, इसलिए इसकी लंबाई के साथ टूटने का प्रतिरोध स्थिर रहता है। यह मानते हुए कि केबल की ताकत उसके घनत्व प्रति इकाई लंबाई, वजन के समानुपाती है, $ρ$, श्रृंखला की प्रति इकाई लंबाई लिखी जा सकती है $w$, कहाँ पे $wx$ स्थिर है, और गैर-समान श्रृंखलाओं के लिए विश्लेषण लागू किया जा सकता है। इस मामले में तनाव के समीकरण हैं

$$\begin{align} T \cos \varphi &= T_0\,,\\ T \sin \varphi &= \frac{1}{c}\int T\, ds\,. \end{align}$$ संयोजन देता है

$$c \tan \varphi = \int \sec \varphi\, ds$$ और भेदभाव से

$$c = \rho \cos \varphi$$ कहाँ पे $x$ वक्रता त्रिज्या है।

इसका समाधान है

$$y = c \ln\left(\sec\left(\frac{x}{c}\right)\right)\,.$$ इस मामले में, वक्र में लंबवत अनंतस्पर्शी होते हैं और यह अवधि को सीमित करता है $P_{1}$. अन्य संबंध हैं

$$x = c\varphi\,,\quad s = \ln\left(\tan\left(\frac{\pi+2\varphi}{4}\right)\right)\,.$$ वक्र का अध्ययन 1826 में डेविस गिल्बर्ट  द्वारा और, जाहिरा तौर पर स्वतंत्र रूप से, 1836 में  गैसपार्ड-गुस्ताव कोरिओलिस  द्वारा किया गया था।

हाल ही में, यह दिखाया गया था कि इस प्रकार की कैटेनरी विद्युत चुम्बकीय मेटासुरफेस के निर्माण खंड के रूप में कार्य कर सकती है और इसे समान चरण ढाल के कैटेनरी के रूप में जाना जाता है।

लोचदार कैटेनरी
एक लोच (भौतिकी)  कैटेनरी में, श्रृंखला को एक  स्प्रिंग (डिवाइस) उपकरण) से बदल दिया जाता है जो तनाव के जवाब में फैल सकता है। वसंत को हुक के नियम के अनुसार फैला हुआ माना जाता है। विशेष रूप से, यदि $P_{2}$ वसंत के एक खंड की प्राकृतिक लंबाई है, तो तनाव के साथ वसंत की लंबाई $w$ लागू लंबाई है

$$s=\left(1+\frac{T}{E}\right)p\,,$$ कहाँ पे $T⁄c$ के बराबर है $c$, कहाँ पे $ρ$ वसंत की कठोरता  है। कैटेनरी में का मान $T$ परिवर्तनशील है, लेकिन अनुपात स्थानीय स्तर पर वैध रहता है, इसलिए $$\frac{ds}{dp}=1+\frac{T}{E}\,.$$ लोचदार वसंत के बाद वक्र अब एक समान विधि का पालन करके प्राप्त किया जा सकता है जैसे कि बेलोचदार वसंत के लिए। वसंत के तनाव के समीकरण हैं

$$T \cos \varphi = T_0\,,$$ तथा $$T \sin \varphi = \lambda_0 gp\,,$$ किस से

$$\frac{dy}{dx}=\tan \varphi = \frac{\lambda_0 gp}{T_0}\,,\quad T=\sqrt{T_0^2+\lambda_0^2 g^2p^2}\,,$$ कहाँ पे $E$ से खंड की प्राकृतिक लंबाई है $T_{H} = aw$ प्रति $c$ तथा $r$ बिना तनाव के वसंत की प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है और $kp$ गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की ताकत है। लिखना

$$a = \frac{T_0}{\lambda_0 g}$$ इसलिए

$$\frac{dy}{dx}=\tan \varphi = \frac{p}{a} \quad\text{and}\quad T=\frac{T_0}{a}\sqrt{a^2+p^2}\,.$$ फिर $$\begin{align} \frac{dx}{ds} &= \cos \varphi = \frac{T_0}{T} \\[6pt] \frac{dy}{ds} &= \sin \varphi = \frac{\lambda_0 gp}{T}\,, \end{align}$$ किस से $$\begin{alignat}{3} \frac{dx}{dp} &= \frac{T_0}{T}\frac{ds}{dp} &&= T_0\left(\frac{1}{T}+\frac{1}{E}\right) &&= \frac{a}{\sqrt{a^2+p^2}}+\frac{T_0}{E} \\[6pt] \frac{dy}{dp} &= \frac{\lambda_0 gp}{T}\frac{ds}{dp} &&= \frac{T_0p}{a}\left(\frac{1}{T}+\frac{1}{E}\right) &&= \frac{p}{\sqrt{a^2+p^2}}+\frac{T_0p}{Ea}\,. \end{alignat}$$ एकीकृत करने से पैरामीट्रिक समीकरण मिलते हैं

$$\begin{align} x&=a\operatorname{arsinh}\left(\frac{p}{a}\right)+\frac{T_0}{E}p + \alpha\,, \\[6pt] y&=\sqrt{a^2+p^2}+\frac{T_0}{2Ea}p^2+\beta\,. \end{align}$$ फिर से, $k$ तथा $T$-कुल्हाड़ियों को स्थानांतरित किया जा सकता है $p$ तथा $g$ 0 के रूप में लिया जा सकता है। So

$$\begin{align} x&=a\operatorname{arsinh}\left(\frac{p}{a}\right)+\frac{T_0}{E}p\,, \\[6pt] y&=\sqrt{a^2+p^2}+\frac{T_0}{2Ea}p^2 \end{align}$$ वक्र के लिए पैरामीट्रिक समीकरण हैं। कठोर सीमा (गणित)  पर जहाँ $x$ बड़ा है, वक्र का आकार एक गैर-लोचदार श्रृंखला के आकार में कम हो जाता है।

एक सामान्य बल के तहत श्रृंखला
बल के संबंध में कोई धारणा नहीं बनाए जाने के साथ $c$ श्रृंखला पर कार्य करते हुए, निम्नलिखित विश्लेषण किया जा सकता है। सबसे पहले, चलो $r$ के एक समारोह के रूप में तनाव का बल बनें $y$. श्रृंखला लचीली होती है इसलिए यह केवल अपने समानांतर बल लगा सकती है। चूँकि तनाव को उस बल के रूप में परिभाषित किया जाता है जो श्रृंखला स्वयं पर आरोपित करती है, $c$ श्रृंखला के समानांतर होना चाहिए। दूसरे शब्दों में,

$$\mathbf{T} = T \mathbf{u}\,,$$ कहाँ पे $α$ का परिमाण है $r$ तथा $πc$ इकाई स्पर्शरेखा वेक्टर है।

दूसरा, चलो $p$ के एक समारोह के रूप में एक श्रृंखला के एक छोटे से खंड पर अभिनय करने वाली प्रति इकाई लंबाई बाहरी बल हो $β$. के बीच श्रृंखला के खंड पर कार्य करने वाले बल $E$ तथा $c$ तनाव के बल हैं $r$ खंड के एक छोर पर, लगभग विपरीत बल $λ_{0}$ दूसरे छोर पर, और बाहरी बल उस खंड पर कार्य करता है जो लगभग है $G$. इन ताकतों को संतुलन बनाना चाहिए

$$\mathbf{T}(s+\Delta s)-\mathbf{T}(s)+\mathbf{G}\Delta s \approx \mathbf{0}\,.$$ से भाग $T = T(s)$ और सीमा के रूप में ले लो $T$ प्राप्त करने के लिए

$$\frac{d\mathbf{T}}{ds} + \mathbf{G} = \mathbf{0}\,.$$ इन समीकरणों को किसी भी बाहरी बल के तहत अभिनय करने वाली लचीली श्रृंखला के विश्लेषण में शुरुआती बिंदु के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है। मानक कैटेनरी के मामले में, $T$ जहां श्रृंखला में द्रव्यमान है $s$ प्रति इकाई लंबाई और $T$ गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की ताकत है।

यह भी देखें

 * कैटेनरी आर्क
 * चेन फव्वारा या सेल्फ-साइफनिंग बीड्स
 * ओवरहेड कैटेनरी - रेल या ट्राम वाहनों पर निलंबित बिजली लाइनें
 * रूले (वक्र) - एक अण्डाकार/हाइपरबोलिक कैटेनरी
 * संशोधित - एक काता हुआ रस्सी का आकार
 * भारित कैटेनरी

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक लिंक की सूची

 * जंजीर
 * लोचदार विकृति
 * भौतिक विज्ञान
 * तार की रस्सी
 * परवलयिक मेहराब
 * एक समारोह का ग्राफ
 * क्षणभंगुर तरंगें
 * अनाग्राम
 * ताकत
 * भट्ठा
 * सरल निलंबन पुल
 * लंगर डालना
 * तैरती पवन टरबाइन
 * कार्तीय समन्वय प्रणाली
 * अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य
 * रूले (वक्र)
 * उलझा हुआ
 * चौकोर पहिया
 * प्रकाश कि गति
 * गणित का मॉडल
 * वक्राकार लंबाई
 * अपरिमेय कार्यों के समाकलों की सूची
 * विविधताओं की गणना
 * बेल्ट्रामी पहचान
 * चर का पृथक्करण
 * विद्युतचुंबकीय मेटासर्फेस

बाहरी संबंध

 * Catenary curve calculator
 * Catenary at The Geometry Center
 * "Catenary" at Visual Dictionary of Special Plane Curves
 * The Catenary - Chains, Arches, and Soap Films.
 * Cable Sag Error Calculator – Calculates the deviation from a straight line of a catenary curve and provides derivation of the calculator and references.
 * Dynamic as well as static cetenary curve equations derived – The equations governing the shape (static case) as well as dynamics (dynamic case) of a centenary is derived. Solution to the equations discussed.
 * The straight line, the catenary, the brachistochrone, the circle, and Fermat Unified approach to some geodesics.
 * Ira Freeman "A General Form of the Suspension Bridge Catenary" Bulletin of the AMS
 * The straight line, the catenary, the brachistochrone, the circle, and Fermat Unified approach to some geodesics.
 * Ira Freeman "A General Form of the Suspension Bridge Catenary" Bulletin of the AMS