टोपोलॉजिकल ज्यामिति

टोपोलॉजिकल ज्यामिति या सांस्थितिक ज्यामिति एक बिंदु सेट से युक्त घटना संरचनाओं से संबंधित है $$P$$ और एक समूह $$\mathfrak{L}$$ के उपसमुच्चय $$P$$ रेखाएँ या वृत्त आदि ऐसे कहलाते हैं कि दोनों $$P$$ और $$\mathfrak{L}$$ इसमें एक टोपोलॉजी होती है और सभी ज्यामितीय संचालन जैसे बिंदुओं को एक रेखा से जोड़ना या रेखाओं को काटना निरंतर होता है। जैसा कि टोपोलॉजिकल समूहों के स्थिति में होता है, कई गहरे परिणामों के लिए बिंदु स्थान को (स्थानीय रूप से) कॉम्पैक्ट और कनेक्ट करने की आवश्यकता होती है। यह अवलोकन को सामान्यीकृत करता है कि यूक्लिडियन प्लेन (यूक्लिडियन समतल) में दो अलग-अलग बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा लगातार बिंदुओं की जोड़ी पर निर्भर करती है और दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु इन रेखाओं का एक निरंतर कार्य है।

रैखिक ज्यामिति
रैखिक ज्यामिति घटना संरचनाएं हैं जिनमें कोई भी दो अलग-अलग बिंदु होते हैं $$x$$ और $$y$$ एक अद्वितीय रेखा से प्रांरम्भ जुड़े हुए हैं $$xy$$. ऐसी ज्यामिति को टोपोलॉजिकल इफ़ कहा जाता है $$xy$$ जोड़ी पर लगातार निर्भर करता है $$(x,y)$$ बिंदु सेट और लाइन सेट पर दी गई टोपोलॉजी के संबंध में है। एक रैखिक ज्यामिति का द्वैत बिंदुओं और रेखाओं की भूमिकाओं को आपस में बदलकर प्राप्त किया जाता है। रैखिक टोपोलॉजिकल ज्यामिति का एक सर्वेक्षण आपतन ज्यामिति की हैंडबुक के अध्याय 23 में दिया गया है। सबसे व्यापक रूप से जांच की गई टोपोलॉजिकल रैखिक ज्यामिति वे हैं जो दोहरी टोपोलॉजिकल रैखिक ज्यामिति भी हैं। ऐसी ज्यामिति को टोपोलॉजिकल प्रक्षेप्य तल  के रूप में जाना जाता है।

इतिहास
इन विमानों का व्यवस्थित अध्ययन 1954 में स्कोर्नाकोव के एक पेपर के साथ प्रांरम्भ हुआ। इससे पहले, वास्तविक प्रक्षेप्य तल  के टोपोलॉजिकल गुणों को एफाइन लाइनों पर ऑर्डर सिद्धांत के माध्यम से पेश किया गया था, उदाहरण के लिए, डेविड हिल्बर्ट, हेरोल्ड स्कॉट मैकडोनाल्ड कॉक्सेटर, और ओ वायलर. ऑर्डरिंग की पूर्णता स्थानीय रूप स्थानीय रूप से सघन स्थान के बराबर है और इसका तात्पर्य है कि एफ़िन लाइनें होमियोमोर्फिज्म हैं $$\R$$ और वह बिंदु स्थान जुड़ा हुआ स्थान है। ध्यान दें कि तर्कसंगत संख्याएँ समतल ज्यामिति की हमारी सहज धारणाओं का वर्णन करने के लिए पर्याप्त नहीं हैं और तर्कसंगत क्षेत्र का कुछ विस्तार आवश्यक है। वास्तव में, समीकरण $$x^2 + y^2 = 3$$ क्योंकि वृत्त का कोई तर्कसंगत समाधान नहीं है।

टोपोलॉजिकल प्रक्षेप्य तल
हालाँकि, जटिल संख्याओं, चतुर्भुज या ऑक्टोनियन बीजगणित द्वारा समन्वित विमानों के लिए, क्रमबद्ध संबंधों के माध्यम से प्रक्षेप्य विमानों के टोपोलॉजिकल गुणों तक पहुंचना संभव नहीं है। बिंदु स्थान के साथ-साथ इन प्राचीन विमानों के रेखा स्थान (वास्तविक संख्याओं, जटिल संख्याओं, चतुर्भुज और ऑक्टोनियन पर) आयाम के कॉम्पैक्ट कई गुना हैं $$2^m,\, 1 \le m \le 4$$.

सामयिक आयाम
टोपोलॉजिकल स्पेस के आयाम की धारणा टोपोलॉजिकल के अध्ययन में, विशेष रूप से कॉम्पैक्ट कनेक्टेड विमानों के अध्ययन में एक प्रमुख भूमिका निभाती है। सामान्य स्थान के लिए $$X$$, आयाम $$\dim X$$ इसे इस प्रकार चित्रित किया जा सकता है:

अगर $$\mathbb{S}_n$$ को दर्शाता है $$n$$-गोला, फिर $$\dim X \le n$$ यदि, और केवल यदि, प्रत्येक बंद उपस्थान के लिए $$A \subset X$$ प्रत्येक सतत मानचित्र $$\varphi : A \to \mathbb{S}_n$$ निरंतर विस्तार है $$\psi : X \to \mathbb{S}_n$$.

आयाम के विवरण और अन्य परिभाषाओं के लिए देखें और वहां दिए गए संदर्भ, विशेष रूप से एंगेलकिंग में या फेडोरचुक।

2-आयामी समतल
2-आयामी बिंदु स्थान के साथ एक कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल विमान की रेखाएं एक वृत्त के होमोमोर्फिक वक्रों का एक समूह बनाती हैं, और यह तथ्य टोपोलॉजिकल प्रक्षेप्य विमानों के बीच इन विमानों की विशेषता बताता है। समान रूप से, बिंदु स्थान एक सतह (गणित) है। प्रारंभिक उदाहरण प्राचीन वास्तविक स्तर के समरूपी नहीं हैं $${\mathcal E}$$ हिल्बर्ट द्वारा दिये गये हैं और वन रे मौलटन इन उदाहरणों की निरंतरता गुणों पर उस समय स्पष्ट रूप से विचार नहीं किया गया है, हो सकता है कि उन्हें मान लिया गया हो। हिल्बर्ट के निर्माण को अनगिनत जोड़ीदार गैर-आइसोमोर्फिक प्राप्त करने के लिए संशोधित किया जा सकता है $$2$$-आयामी कॉम्पैक्ट विमान। भेद करने का पारंपरिक तरीका $${\mathcal E}$$ दूसरे से $$2$$-आयामी विमान डेसर्गेस कॉन्फ़िगरेशन की वैधता से है | डेसर्गेस का प्रमेय या पप्पस का षट्भुज प्रमेय (देखें, उदाहरण के लिए, पिकर्ट इन दो विन्यास प्रमेयों की चर्चा के लिए)। उत्तरार्द्ध को पूर्व (कर्ट हेसेनबर्ग) के रूप में जाना जाता है )l डेसर्गेस का प्रमेय समतल की एक प्रकार की समरूपता को व्यक्त करता है। सामान्य तौर पर, यह एक प्रक्षेप्य विमान में रहता है यदि, और केवल तभी, विमान को एक (जरूरी नहीं कि क्रमविनिमेय) क्षेत्र द्वारा समन्वित किया जा सके, इसलिए इसका तात्पर्य यह है कि  स्वचालितता का समूह चतुष्कोणों के सेट पर समूह क्रिया (गणित) है ($$4$$ अंक संख्या $$3$$ जिनमें से संरेख हैं)। वर्तमान सेटिंग में, बहुत कमजोर एकरूपता स्थिति की विशेषता है $${\mathcal E}$$:

प्रमेय यदि ऑटोमोर्फिज्म समूह $$\Sigma$$ एक का $$2$$-आयामी कॉम्पैक्ट विमान $${\mathcal P}$$ बिंदु समुच्चय (या रेखा समुच्चय) पर सकर्मक है $$\Sigma$$ एक सघन उपसमूह है $$\Phi$$ जो झंडों (=घटना बिंदु-रेखा जोड़े) के सेट पर भी सकर्मक है, और $${\mathcal P}$$ प्राचीन है.

ऑटोमोर्फिज्म समूह $$\Sigma = \operatorname{Aut}{\mathcal P}$$ एक का $$2$$-आयामी कॉम्पैक्ट विमान $${\mathcal P}$$, बिंदु स्थान पर समान अभिसरण की टोपोलॉजी के साथ लिया गया, अधिकतम आयाम का एक स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूह है $$8$$, वास्तव में एक लाई समूह भी। सभी $$2$$-आयामी विमान ऐसे कि $$\dim\Sigma \ge 3$$ स्पष्ट रूप से वर्णित किया जा सकता है; उनके साथ $$\dim\Sigma = 4$$ बिल्कुल मौलटन विमान, प्राचीन विमान हैं $${\mathcal E}$$ सिर्फ यही $$2$$-आयामी विमान के साथ $$\dim \Sigma > 4$$; यह सभी देखें।

कॉम्पैक्ट कनेक्टेड विमान
परिणाम जारी $$2$$-आयामी तलों को आयाम के सघन तलों तक विस्तारित किया गया है $$ >2 $$. यह निम्नलिखित मूल प्रमेय के कारण संभव है:

कॉम्पैक्ट विमानों की टोपोलॉजी। ''यदि बिंदु स्थान का आयाम $$P$$ एक कॉम्पैक्ट कनेक्टेड प्रोजेक्टिव प्लेन का परिमित है $$\dim P=2^m$$ साथ $$m \in \{1,2,3,4\}$$. इसके अलावा, प्रत्येक पंक्ति आयाम का एक समरूप क्षेत्र है $$2^{m-1}$$, देखना या। 4-आयामी विमानों के विशेष पहलुओं का उपचार किया जाता है, अधिक हालिया परिणाम यहां पाए जा सकते हैं। ए की पंक्तियाँ $$4$$-आयामी कॉम्पैक्ट विमान होमियोमोर्फिक हैं $$2$$-वृत्त; मामलों में $$m>2$$ यह ज्ञात नहीं है कि रेखाएँ कई गुना हैं, लेकिन अब तक पाए गए सभी उदाहरणों में रेखाएँ गोले हैं। एक उपविमान $${\mathcal B}$$ एक प्रक्षेप्य तल का $${\mathcal P}$$ इसे रीनहोल्ड बेयर सबप्लेन कहा जाता है, यदि प्रत्येक बिंदु $${\mathcal P}$$ की एक पंक्ति के साथ घटना है $${\mathcal B}$$ और प्रत्येक पंक्ति $${\mathcal P}$$ का एक बिंदु सम्मिलित है $${\mathcal B}$$. एक बंद उपतल $${\mathcal B}$$ एक कॉम्पैक्ट कनेक्टेड प्लेन का बेयर सबप्लेन है $${\mathcal P}$$ यदि, और केवल यदि, का बिंदु स्थान $${\mathcal B}$$ और की एक पंक्ति $${\mathcal P}$$ एक ही आयाम है. इसलिए 8-आयामी विमान की रेखाएँ $$\mathcal P$$ एक गोले के समरूपी हैं $$\mathbb{S}_4$$ अगर $${\mathcal P}$$ एक बंद बेयर सबप्लेन है। सजातीय विमान. ''अगर $$\mathcal P$$ एक कॉम्पैक्ट कनेक्टेड प्रोजेक्टिव प्लेन है और यदि $$\Sigma = \operatorname{Aut}{\mathcal P}$$ के बिंदु समुच्चय पर सकर्मक है $$\mathcal P$$, तब $$\Sigma$$ एक ध्वज-संक्रमणीय कॉम्पैक्ट उपसमूह है $$\Phi$$ और $$\mathcal P$$ प्राचीन है, देखिए या। वास्तव में, $$\Phi$$ एक अण्डाकार गति समूह है. '' होने देना $$\mathcal P$$ आयाम का एक सघन तल बनें $$2^m,\; m=2,3,4$$, और लिखा $$\Sigma = \operatorname{Aut}{\mathcal P} $$. अगर $$\dim\Sigma > 8,18,40$$, तब $${\mathcal P}$$ प्राचीन है, और $$\operatorname{Aut}{\mathcal P}$$ आयाम का एक सरल लाई समूह है $$16,35,78$$ क्रमश। सभी विमान $$\mathcal P$$ साथ $$\dim\Sigma = 8,18,40$$ स्पष्ट रूप से ज्ञात हैं। के साथ विमान $$\dim\Sigma = 40$$ वास्तव में एफ़िन विमान (घटना ज्यामिति) के प्रक्षेप्य समापन तथाकथित उत्परिवर्तन द्वारा समन्वित होते हैं $$(\mathbb{O},+,\circ)$$ ऑक्टोनियन बीजगणित का $$(\mathbb{O},+, \ \,)$$, जहां नया गुणा $$\circ$$ इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है: एक वास्तविक संख्या चुनें $$t$$ साथ $$1/2 < t \ne 1$$ और रखें $$a \circ b = t\cdot a b + (1-t)\cdot b  a$$. बड़े आयाम वाले समूह वाले विमानों के विशाल समूहों को उनके ऑटोमोर्फिज्म समूहों के बारे में धारणाओं से प्रांरम्भ करके व्यवस्थित रूप से खोजा गया है, उदाहरण के लिए, देखें। उनमें से कई अनुवाद विमानों के प्रक्षेप्य समापन हैं (एफ़िन विमान प्रत्येक पंक्ति को समानांतर में मैप करने वाले ऑटोमोर्फिज्म के एक तीव्र संक्रमणीय समूह को स्वीकार करते हैं), सीएफ .; यह सभी देखें स्थिति में नवीनतम परिणामों के लिए $$m=3$$ और के लिए $$m=4$$.

कॉम्पैक्ट प्रक्षेप्य स्थान
कम से कम 3 ज्यामितीय आयाम के प्रक्षेप्य स्थानों के उपतल आवश्यक रूप से डेसार्गुएसियन हैं, देखें §1 या §16 या. इसलिए, सभी कॉम्पैक्ट कनेक्टेड प्रोजेक्टिव स्पेस को वास्तविक या जटिल संख्याओं या क्वाटरनियन फ़ील्ड द्वारा समन्वयित किया जा सकता है।

स्थिर विमान
प्राचीन गैर-यूक्लिडियन अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति को एक खुली गोलाकार डिस्क के साथ वास्तविक विमान में सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन द्वारा दर्शाया जा सकता है। अधिक सामान्यतः प्राचीन एफ़िन विमानों के खुले (उत्तल) हिस्से विशिष्ट स्थिर विमान होते हैं। इन ज्यामितियों का एक सर्वेक्षण यहां पाया जा सकता है, के लिए $$2$$-आयामी स्थिति यह भी देखें। सटीक रूप से, एक स्थिर विमान $${\mathcal S}$$ एक टोपोलॉजिकल रैखिक ज्यामिति है $$(P,\mathfrak{L})$$ ऐसा है कि


 * 1) $$P$$ सकारात्मक परिमित आयाम का एक स्थानीय रूप से सघन स्थान है,
 * 2) प्रत्येक पंक्ति $$L\in\mathfrak{L}$$ का एक बंद उपसमुच्चय है $$P$$, और $$\mathfrak{L}$$ एक हॉसडॉर्फ़ स्थान है,
 * 3) सेट $$\{(K,L) \mid K \ne L,\;K \cap L \ne \emptyset\}$$ एक खुला उपस्थान है $$\mathfrak{O} \subset \mathfrak{L}^2$$ (स्थिरता),
 * 4) वो नक्शा $$(K,L) \mapsto K \cap L:\mathfrak{O} \to P$$ सतत है.

ध्यान दें कि स्थिरता में ज्यामितियाँ सम्मिलित नहीं हैं $$3$$-आयामी एफ़िन स्पेस ओवर $$\R$$ या $$\Complex$$.

एक स्थिर विमान $${\mathcal S}$$ एक प्रक्षेप्य तल है यदि, और केवल यदि, $$P$$ सघन है. जैसा कि प्रक्षेप्य तलों के स्थिति में होता है, लाइन पेंसिलें कॉम्पैक्ट होती हैं और आयाम के एक गोले के समतुल्य समरूप होती हैं $$2^{m-1}$$, और $$\dim P = 2^m$$ साथ $$m\in\{1,2,3,4\}$$, देखना या। इसके अलावा, बिंदु स्थान $$P$$ स्थानीय रूप से अनुबंध योग्य है। (उचित) स्थिर विमानों के कॉम्पैक्ट समूह छोटे होते हैं। होने देना $$\Phi_d$$ प्राचीन के ऑटोमोर्फिज्म समूह के एक अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह को निरूपित करें $$d$$-आयामी प्रक्षेप्य तल $${\mathcal P}_d$$. तब निम्नलिखित प्रमेय लागू होता है: यदि एक $$d$$-आयामी स्थिर विमान $${\mathcal S}$$ एक सघन समूह को स्वीकार करता है $$\Gamma$$ ऐसी ऑटोमोर्फिज्म की $$\dim\Gamma > \dim\Phi_d-d$$, तब $${\mathcal S} \cong {\mathcal P}_d$$, देखना। ध्वज-सजातीय स्थिर विमान। ''होने देना $${\mathcal S}=(P,\mathfrak{L})$$ एक स्थिर विमान बनें. यदि ऑटोमोर्फिज्म समूह $$\operatorname{Aut}{\mathcal S}$$ तो, ध्वज-संक्रमणीय है $${\mathcal S}$$ एक प्राचीन प्रक्षेप्य और एफ़िन विमान है, या $${\mathcal S}$$ एक  प्राचीन विमान के अतिशयोक्तिपूर्ण द्वंद्व (प्रक्षेप्य ज्यामिति) के पूर्ण क्षेत्र के आंतरिक भाग के लिए समरूपी है; देखना।  '' प्रक्षेप्य स्थिति के विपरीत, बिंदु-सजातीय स्थिर विमानों की बहुतायत है, उनमें से अनुवाद विमानों के विशाल वर्ग हैं, देखें और।

सममित तल
एफ़िन अनुवाद विमानों में निम्नलिखित गुण होते हैं:


 * एक बिंदु सकर्मक बंद उपसमूह उपस्थित है $$\Delta$$ ऑटोमोर्फिज्म समूह का जिसमें कुछ पर और इसलिए प्रत्येक बिंदु पर एक अद्वितीय प्रतिबिंब (गणित) होता है।

अधिक सामान्यतः एक सममित तल एक स्थिर तल होता है $${\mathcal S} = (P,\mathfrak{L})$$ उपरोक्त शर्त को पूरा करना; देखना, सी एफ इन ज्यामितियों के सर्वेक्षण के लिए। द्वारा परिणाम 5.5, समूह $$\Delta$$ एक लाई समूह और बिंदु स्थान है $$P$$ अनेक गुना है. यह इस प्रकार है कि $${\mathcal S}$$ एक सममित स्थान है. सममित स्थानों के लाई सिद्धांत के माध्यम से, आयाम के एक बिंदु सेट के साथ सभी सममित विमान $$2$$ या $$4$$ वर्गीकृत किया गया है. वे या तो अनुवाद तल हैं या वे सेसक्विलिनियर फॉर्म द्वारा निर्धारित होते हैं। एक आसान उदाहरण वास्तविक अतिपरवलयिक तल है।

वृत्त ज्यामिति
प्राचीन मॉडल एक द्विघात सतह के समतल खंडों द्वारा दिए गए हैं $$S$$ वास्तविक प्रक्षेप्य में $$3$$-अंतरिक्ष; अगर $$S$$ एक गोला है, ज्यामिति को मोएबियस विमान कहा जाता है|मोबियस विमान। एक शासित सतह (एक-शीट हाइपरबोलाइड) के समतल खंड प्राचीन मिन्कोव्स्की विमान, सीएफ उत्पन्न करते हैं। सामान्यीकरण के लिए. अगर $$S$$ अपने शीर्ष के बिना एक अण्डाकार शंकु है, ज्यामिति को लैगुएरे विमान कहा जाता है। सामूहिक रूप से इन विमानों को कभी-कभी बेंज विमान भी कहा जाता है। एक टोपोलॉजिकल बेंज विमान प्राचीन है, यदि प्रत्येक बिंदु में एक पड़ोस है जो संबंधित  प्राचीन बेंज विमान के कुछ खुले टुकड़े के लिए आइसोमोर्फिक है।

मोबियस विमान
मोबियस विमानों में एक समूह सम्मिलित है $$\mathfrak{C}$$ वृत्तों का, जो टोपोलॉजिकल 1-गोले हैं $$2$$-वृत्त $$S$$ ऐसा कि प्रत्येक बिंदु के लिए $$p$$ व्युत्पन्न संरचना $$(S\setminus\{p\},\{C\setminus\{p\}\mid p\in C\in\mathfrak{C}\})$$ एक टोपोलॉजिकल एफ़िन प्लेन है। विशेष रूप से, कोई भी $$3$$ अलग-अलग बिंदु एक अद्वितीय वृत्त से जुड़े हुए हैं। वृत्त स्थान $$\mathfrak{C}$$ फिर वास्तविक प्रक्षेप्य के लिए होमियोमोर्फिक है $$3$$-एक बिंदु वाला स्थान हटा दिया गया। उदाहरणों का एक बड़ा वर्ग वास्तविक रूप में अंडे जैसी सतह के समतल खंडों द्वारा दिया गया है $$3$$-अंतरिक्ष।

सजातीय मोबियस विमान
यदि ऑटोमोर्फिज्म समूह $$\Sigma$$ मोबियस विमान का बिंदु सेट पर संक्रमणीय है $$S$$ या सेट पर $$\mathfrak{C}$$ वृत्तों का, या यदि $$\dim\Sigma \ge 4$$, तब $$(S,\mathfrak{C})$$ प्राचीन है और $$\dim\Sigma = 6$$, देखना। कॉम्पैक्ट प्रक्षेप्य विमानों के विपरीत, आयाम के वृत्तों के साथ कोई टोपोलॉजिकल मोबियस विमान नहीं हैं $$ >1 $$, विशेष रूप से कोई कॉम्पैक्ट मोबियस विमान नहीं $$4$$-आयामी बिंदु स्थान. सभी 2-आयामी मोबियस विमान ऐसे हैं $$\dim\Sigma \ge 3$$ स्पष्ट रूप से वर्णित किया जा सकता है।

लैगुएरे विमान
लैगुएरे विमान के प्राचीन मॉडल में एक गोलाकार बेलनाकार सतह होती है $$C$$ सच में $$3$$-अंतरिक्ष $$\R^3$$ बिंदु सेट और कॉम्पैक्ट विमान अनुभागों के रूप में $$C$$ वृत्तों के रूप में। ऐसे बिंदुओं के जोड़े जो एक वृत्त से नहीं जुड़े होते हैं, समानांतर कहलाते हैं। होने देना $$P$$ समांतर बिंदुओं के एक वर्ग को निरूपित करें। तब $$C \setminus P$$ एक विमान है $$\R^2$$, वृत्तों को इस तल में परवलयों के रूप में दर्शाया जा सकता है $$y = ax^2+bx+c$$.

इसी तरह, प्राचीन $$4$$-आयामी लैगुएरे विमान जटिल द्विघात बहुपदों की ज्यामिति से संबंधित है। सामान्य तौर पर, स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट कनेक्टेड लैगुएरे विमान के सिद्धांतों के लिए आवश्यक है कि व्युत्पन्न विमान परिमित आयाम के कॉम्पैक्ट प्रक्षेप्य विमानों में एम्बेड हों। व्युत्पत्ति के बिंदु से नहीं गुजरने वाला एक वृत्त व्युत्पन्न प्रक्षेप्य तल में एक अंडाकार उत्पन्न करता है। द्वारा या, वृत्त आयाम के गोले के समरूप होते हैं $$1$$ या $$2$$. इसलिए स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट जुड़े लैगुएरे विमान का बिंदु स्थान सिलेंडर के लिए होमियोमॉर्फिक है $$C$$ या यह एक है $$4$$-आयामी कई गुना, सीएफ। का एक बड़ा वर्ग $$2$$-आयामी उदाहरण, जिन्हें ओवॉइडल लैगुएरे प्लेन कहा जाता है, वास्तविक 3-स्पेस में एक सिलेंडर के समतल खंडों द्वारा दिया जाता है जिसका आधार एक अंडाकार होता है $$\R^2$$.

ऑटोमोर्फिज्म समूह $$2d$$-आयामी लैगुएरे विमान ($$d = 1, 2$$) बिंदु स्थान के कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय पर समान अभिसरण की टोपोलॉजी के संबंध में एक लाई समूह है; इसके अलावा, इस समूह का आयाम अधिकतम है $$7d$$. लैगुएरे विमान के सभी ऑटोमोर्फिज्म जो प्रत्येक समानांतर वर्ग को ठीक करते हैं, एक सामान्य उपसमूह बनाते हैं, पूर्ण ऑटोमोर्फिज्म समूह का कर्नेल। $$2$$वें>-आयामी लैगुएरे विमानों के साथ $$\dim\Sigma=5$$ उचित तिरछा परवलय के ऊपर बिल्कुल अंडाकार तल हैं। प्राचीन $$2d$$-डायमेंशनल लैगुएरे विमान ही ऐसे हैं $$\dim\Sigma > 5d$$, देखना, सी एफ भी।

सजातीय लैगुएरे विमान
यदि ऑटोमोर्फिज्म समूह $$\Sigma$$ एक का $$2d$$-आयामी लैगुएरे विमान $${\mathcal L}$$ समानांतर वर्गों के सेट पर सकर्मक है, और यदि कर्नेल $$T \triangleleft \Sigma$$ तो, वृत्तों के समुच्चय पर सकर्मक है $${\mathcal L}$$ प्राचीन है, देखिए 2.1,2.

हालाँकि, वृत्तों के सेट पर ऑटोमोर्फिज्म समूह की परिवर्तनशीलता प्राचीन मॉडल को चित्रित करने के लिए पर्याप्त नहीं है $$2d$$-आयामी लैगुएरे विमान।

मिन्कोव्स्की विमान
मिन्कोव्स्की विमान के प्राचीन मॉडल में  टोरस्र्स  होता है $$\mathbb{S}_1 \times \mathbb{S}_1$$ बिंदु स्थान के रूप में, वृत्त वास्तविक भिन्नात्मक रैखिक मानचित्रों के ग्राफ़ हैं $$\mathbb{S}_1 = \R \cup\{\infty\}$$. लैगुएरे विमानों की तरह, स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट कनेक्टेड मिन्कोव्स्की विमान का बिंदु स्थान है $$1$$- या $$2$$-आयामी; बिंदु स्थान तब टोरस या टू के लिए समरूप होता है $$\mathbb{S}_2 \times \mathbb{S}_2$$, देखना।

सजातीय मिन्कोव्स्की विमान
यदि ऑटोमोर्फिज्म समूह $$\Sigma$$ मिन्कोवस्की विमान का $${\mathcal M}$$ आयाम का $$2d$$ तो, ध्वज-संक्रमणीय है $${\mathcal M}$$ प्राचीन है. ए का ऑटोमोर्फिज्म समूह $$2d$$-आयामी मिन्कोव्स्की विमान अधिक से अधिक आयामों का एक लाई समूह है $$6d$$. सभी $$2$$-आयामी मिन्कोव्स्की विमान ऐसे हैं $$\dim\Sigma \ge 4$$ स्पष्ट रूप से वर्णित किया जा सकता है। प्राचीन $$2d$$-आयामी मिन्कोव्स्की विमान एकमात्र ऐसा है जिसके साथ $$\dim\Sigma > 4d$$, देखना।