काक्सीोप्पोलि (Caccioppoli) समुच्चय

गणित में, Caccioppoli सेट एक सेट (गणित) है जिसकी सीमा (टोपोलॉजी) औसत दर्जे का सेट है और इसमें (कम से कम स्थानीय संपत्ति) एक परिमित माप (गणित) है। एक समानार्थी (स्थानीय रूप से) परिमित परिधि का सेट है। मूल रूप से, एक सेट एक कैसिओपोली सेट है यदि इसका संकेतक कार्य परिबद्ध भिन्नता का कार्य है।

इतिहास
Caccioppoli सेट की मूल अवधारणा को सबसे पहले इतालवी गणितज्ञ रेनाटो Caccioppoli द्वारा पेपर में प्रस्तुत किया गया था। : समतल (गणित) में एक खुले सबसेट पर परिभाषित एक समतल सेट या एक सतह (टोपोलॉजी) पर विचार करते हुए, उन्होंने उनके माप (गणित) या क्षेत्र (ज्यामिति) को उनके परिभाषित कार्य के लियोनिडा टोनेली के अर्थ में कुल भिन्नता के रूप में परिभाषित किया ( गणित), यानी उनकी सतह (टोपोलॉजी) # बाह्य रूप से परिभाषित सतहें और एम्बेडिंग, बशर्ते यह मात्रा परिबद्ध भिन्नता थी। सीमा (टोपोलॉजी) के माप को 'कार्यात्मक (गणित)' के रूप में परिभाषित किया गया था, ठीक एक निर्धारित कार्य, पहली बार: खुले सेटों पर भी परिभाषित किया जा रहा है, इसे सभी बोरेल सेटों पर परिभाषित किया जा सकता है और इसका मान हो सकता है उपसमुच्चयों के बढ़ते नेट (गणित) पर लगने वाले मानों द्वारा अनुमानित। इस कार्यात्मक की एक और स्पष्ट रूप से बताई गई (और प्रदर्शित) संपत्ति इसकी अर्ध-निरंतरता थी। कम अर्ध-निरंतरता।

कागज़ पर, उन्होंने खुले डोमेन का अनुमान लगाते हुए बढ़ते नेट (गणित) के रूप में एक बहुभुज जाल का उपयोग करके सकारात्मक और नकारात्मक भिन्नताओं को परिभाषित किया, जिसका योग कुल भिन्नता है, अर्थात क्षेत्र कार्यात्मक। उनका प्रेरक दृष्टिकोण, जैसा कि उन्होंने स्पष्ट रूप से स्वीकार किया, जोसेफ पीनो के थे, जैसा कि जॉर्डन उपाय | पीआनो-जॉर्डन उपाय द्वारा व्यक्त किया गया था: एक सतह के हर हिस्से को एक ओरिएंटेशन (गणित) विमान क्षेत्र के समान तरीके से जोड़ने के लिए जीवा (ज्यामिति) एक वक्र से जुड़ी होती है। इसके अलावा, इस सिद्धांत में पाया गया एक अन्य विषय एक रेखीय उप-स्थान से लेकर पूरे रेखीय स्थान तक एक कार्यात्मक (गणित) का विस्तार था: हैन-बनाक प्रमेय को सामान्य बनाने वाले प्रमेयों का उपयोग अक्सर कैसिओपोली अनुसंधान में पाया जाता है। हालांकि, लियोनिडा टोनेली के अर्थ में कुल भिन्नता के प्रतिबंधित अर्थ ने सिद्धांत के औपचारिक विकास में बहुत जटिलता जोड़ दी, और सेट के पैरामीट्रिक विवरण के उपयोग ने इसके दायरे को प्रतिबंधित कर दिया।

लैम्बर्टो केसरी ने केवल 1936 में कई चरों के मामले में परिबद्ध भिन्नता का सही सामान्यीकरण पेश किया: शायद, यह उन कारणों में से एक था जिसने कैसियोपोली को अपने सिद्धांत का एक उन्नत संस्करण प्रस्तुत करने के लिए लगभग 24 साल बाद ही बातचीत में प्रेरित किया। अक्टूबर 1951 में IV इतालवी गणितीय संघ कांग्रेस में, उसके बाद में प्रकाशित पांच नोट्स रेंडिकोंटी लिंसी की राष्ट्रीय अकादमी गणितीय समीक्षाओं में लॉरेंस चिशोल्म यंग द्वारा इन नोटों की तीखी आलोचना की गई थी। 1952 में Ennio de Giorgi ने ऑस्ट्रियन मैथमैटिकल सोसाइटी के साल्जबर्ग कांग्रेस में सेट की सीमाओं की माप की परिभाषा पर Caccioppoli के विचारों को विकसित करते हुए अपना पहला परिणाम प्रस्तुत किया: उन्होंने एक स्मूथिंग ऑपरेटर का उपयोग करके यह परिणाम प्राप्त किया, जो एक शमन करनेवाला के अनुरूप था।, गाऊसी समारोह से निर्मित, स्वतंत्र रूप से Caccioppoli के कुछ परिणामों को साबित करता है। संभवत: वह इस सिद्धांत का अध्ययन अपने शिक्षक और मित्र मौरो पिकोने द्वारा किया गया था, जो कैसिओपोली के शिक्षक भी थे और इसी तरह उनके दोस्त भी थे। डी जियोर्गी ने पहली बार 1953 में कैसियोपोली से मुलाकात की: उनकी मुलाकात के दौरान, कैसिओपोली ने उनके काम की गहन सराहना की, जिससे उनकी आजीवन दोस्ती शुरू हुई। उसी वर्ष उन्होंने इस विषय पर अपना पहला पेपर प्रकाशित किया अर्थात। : हालांकि, इस पेपर और इसके बाद के पेपर ने गणितीय समुदाय से ज्यादा रुचि नहीं ली। बात सिर्फ कागजों की थी , गणितीय समीक्षा में लॉरेंस चिशोल्म यंग द्वारा फिर से समीक्षा की गई, परिमित परिधि के सेट के लिए उनका दृष्टिकोण व्यापक रूप से ज्ञात और सराहा गया: साथ ही, समीक्षा में, यंग ने कैकियोपोली के काम पर अपनी पिछली आलोचना को संशोधित किया।

परिधि के सिद्धांत पर डी जियोर्गी का अंतिम पेपर 1958 में प्रकाशित हुआ था: 1959 में, काकियोपोली की मृत्यु के बाद, उन्होंने परिमित परिधि के सेट को कॉल करना शुरू किया। दो साल बाद हर्बर्ट फेडरर और वेंडेल फ्लेमिंग ने अपना पेपर प्रकाशित किया, सिद्धांत के दृष्टिकोण को बदलना। मूल रूप से उन्होंने दो नए प्रकार के वर्तमान (गणित) पेश किए, क्रमशः सामान्य धाराएँ और अभिन्न धाराएँ: पत्रों की एक बाद की श्रृंखला में और उनके प्रसिद्ध ग्रंथ में, फेडरर ने दिखाया कि कैसीओपोली सेट आयाम के सामान्य वर्तमान (गणित) हैं $$n$$ में $$n$$-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष स्थान। हालाँकि, भले ही कैकियोपोली सेट के सिद्धांत का अध्ययन वर्तमान (गणित) के सिद्धांत के ढांचे के भीतर किया जा सकता है, यह पारंपरिक दृष्टिकोण के माध्यम से परिबद्ध भिन्नता का उपयोग करके अध्ययन करने के लिए प्रथागत है, क्योंकि विभिन्न खंड गणित में बहुत सारे महत्वपूर्ण प्रबंध में पाए जाते हैं। और गणितीय भौतिकी गवाही देते हैं।

औपचारिक परिभाषा
निम्नलिखित में, सीमाबद्ध भिन्नता की परिभाषा और गुण $$n$$-आयामी सेटिंग का उपयोग किया जाएगा।

Caccioppoli परिभाषा
परिभाषा 1. चलो ''$$\Omega$$का एक खुला उपसमुच्चय हो $$\R^n $$ और जाने $$E$$ बोरेल सेट हो। की परिधि $$E$$ में $$\Omega$$निम्नानुसार परिभाषित किया गया है


 * $$P(E,\Omega) = V\left(\chi_E,\Omega\right):=\sup\left\{\int_\Omega \chi_E(x) \mathrm{div}\boldsymbol{\phi}(x) \, \mathrm{d}x : \boldsymbol{\phi}\in C_c^1(\Omega,\R^n),\ \|\boldsymbol{\phi}\|_{L^\infty(\Omega)}\le 1\right\}

$$ कहाँ पे $$\chi_E$$ का सूचक कार्य है $$E$$. यानी की परिधि $$E$$ एक खुले सेट में $$\Omega$$ उस खुले सेट पर इसके संकेतक फ़ंक्शन की कुल भिन्नता के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि $$\Omega = \R^n$$, फिर हम लिखते हैं $$P(E) = P(E,\R^n)$$ (वैश्विक) परिधि के लिए।

परिभाषा 2. बोरेल सेट $$E$$ एक Caccioppoli समुच्चय है यदि और केवल यदि इसकी प्रत्येक परिबद्ध समुच्चय खुले उपसमुच्चय में परिमित परिधि है $$\Omega$$ का $$\R ^n $$, अर्थात।


 * $$P(E,\Omega)<+\infty$$ जब भी $$\Omega \subset \R^n$$ खुला और घिरा हुआ है।

इसलिए, Caccioppoli सेट में एक संकेतक फ़ंक्शन होता है जिसकी कुल भिन्नता स्थानीय रूप से बंधी होती है। परिबद्ध भिन्नता के सिद्धांत से यह ज्ञात है कि इसका तात्पर्य एक यूक्लिडियन वेक्टर | वेक्टर-मूल्यवान रेडॉन माप के अस्तित्व से है $$D\chi_E$$ ऐसा है कि


 * $$\int_\Omega\chi_E(x)\mathrm{div}\boldsymbol{\phi}(x)\mathrm{d}x = \int_E\mathrm{div}\boldsymbol{\phi}(x) \, \mathrm{d}x = -\int_\Omega \langle\boldsymbol{\phi}, D\chi_E(x)\rangle \qquad \forall\boldsymbol{\phi}\in C_c^1(\Omega,\R ^n)$$

जैसा कि सामान्य परिबद्ध भिन्नता के मामले में नोट किया गया है, यह सदिश माप (गणित) $$D\chi_E$$ वितरण है (गणित) # परीक्षण कार्यों और वितरण की परिभाषा या कमजोर व्युत्पन्न ढाल $$\chi_E$$. के साथ जुड़े कुल भिन्नता उपाय $$D\chi_E$$ द्वारा निरूपित किया जाता है $$|D\chi_E|$$, यानी हर खुले सेट के लिए $$\Omega \subset \R^n$$ हम लिखते हैं $$|D\chi_E|(\Omega)$$ के लिये $$P(E, \Omega) = V(\chi_E, \Omega)$$.

डी जियोर्गी परिभाषा
उसके पत्रों में तथा, Ennio de Giorgi ने निम्नलिखित चौरसाई ऑपरेटर का परिचय दिया, जो एक-आयाम (गणित) मामले में वेइरस्ट्रास रूपांतरण के अनुरूप है


 * $$W_\lambda\chi_E(x)=\int_{\R ^n}g_\lambda(x-y)\chi_E(y)\mathrm{d}y = (\pi\lambda)^{-\frac{n}{2}}\int_Ee^{-\frac{(x-y)^2}{\lambda}}\mathrm{d}y$$

जैसा कि कोई आसानी से साबित कर सकता है, $$W_\lambda\chi(x)$$ सभी के लिए एक सहज कार्य है $$x\in\R^n$$, ऐसा है कि


 * $$\lim_{\lambda\to 0}W_\lambda\chi_E(x)=\chi_E(x)$$

इसके अलावा, इसकी ढाल हर जगह अच्छी तरह से परिभाषित है, और इसका पूर्ण मूल्य भी है


 * $$\nabla W_\lambda\chi_E(x) = \mathrm{grad}W_\lambda\chi_E(x) = DW_\lambda\chi_E(x) =

\begin{pmatrix}\frac{\partial W_\lambda\chi_E(x)}{\partial x_1}\\ \vdots\\ \frac{\partial W_\lambda\chi_E(x)}{\partial x_n}\\ \end{pmatrix} \Longleftrightarrow \left | DW_\lambda\chi_E(x)\right | = \sqrt{\sum_{k=1}^n\left|\frac{\partial W_\lambda\chi_E(x)}{\partial x_k}\right|^2}$$ इस फलन को परिभाषित करने के बाद डी जियोर्गी परिमाप की निम्नलिखित परिभाषा देते हैं:

परिभाषा 3। चलो$$ \Omega $$का एक खुला उपसमुच्चय हो $$\R^n$$ और जाने $$E$$ बोरेल सेट हो। की परिधि $$E$$ में $$\Omega$$मूल्य है


 * $$P(E,\Omega) = \lim_{\lambda\to 0}\int_\Omega | DW_\lambda\chi_E(x) | \mathrm{d}x$$

दरअसल डी जियोर्गी ने मामले पर विचार किया $$\Omega=\R ^n$$: हालाँकि, सामान्य मामले का विस्तार मुश्किल नहीं है। यह साबित किया जा सकता है कि दो परिभाषाएँ बिल्कुल समान हैं: प्रमाण के लिए पहले से उद्धृत डी जियोर्गी के कागजात या पुस्तक देखें. अब एक परिमाप क्या है, इसे परिभाषित करने के बाद, डि जिओर्गी वही परिभाषा देता है 2 कि स्थानीय संपत्ति का एक सेट|(स्थानीय रूप से) परिमित परिधि क्या है।

मूल गुण
निम्नलिखित गुण वे सामान्य गुण हैं जिन्हें परिधि की सामान्य धारणा माना जाता है:


 * यदि $$\Omega\subseteq\Omega_1$$ फिर $$P(E,\Omega)\leq P(E,\Omega_1)$$, समानता धारण के साथ यदि और केवल यदि समापन (टोपोलॉजी)। $$E$$ का एक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय है $$\Omega$$.
 * किन्हीं दो कैसियोपोली सेटों के लिए $$E_1$$ तथा $$E_2$$, सम्बन्ध $$P(E_1\cup E_2,\Omega)\leq P(E_1,\Omega) + P(E_2,\Omega_1)$$ धारण करता है, समानता धारण करता है यदि और केवल यदि $$d(E_1,E_2)>0$$, कहाँ पे $$d$$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष में सेट और एक बिंदु और एक सेट के बीच की दूरी # दूरी है।
 * यदि Lebesgue का माप $$E$$ है $$0$$, फिर $$P(E)=0$$: इसका तात्पर्य है कि यदि सममित अंतर $$E_1\triangle E_2$$ दो सेटों में शून्य Lebesgue माप है, दो सेटों की परिधि समान है अर्थात $$P(E_1)=P(E_2)$$.

सीमा की धारणा
किसी दिए गए Caccioppoli सेट के लिए $$E \subset \R ^n$$ वहाँ दो स्वाभाविक रूप से संबंधित विश्लेषणात्मक मात्राएँ मौजूद हैं: वेक्टर-मूल्यवान रेडॉन माप $$D\chi_E$$ और इसकी कुल भिन्नता # माप सिद्धांत में कुल भिन्नता $$|D\chi_E|$$. मान लें कि


 * $$ P(E, \Omega) = \int_{\Omega} |D\chi_E| $$

किसी भी खुले सेट के भीतर परिधि है $$\Omega$$, इसकी उम्मीद करनी चाहिए $$D\chi_E$$ अकेले किसी तरह की परिधि का हिसाब देना चाहिए $$E$$.

सामयिक सीमा
वस्तुओं के बीच संबंध को समझने की कोशिश करना स्वाभाविक है $$D\chi_E$$, $$|D\chi_E|$$, और सीमा (टोपोलॉजी) $$\partial E$$. एक प्रारंभिक लेम्मा है जो गारंटी देता है कि वितरण (गणित) # वितरण का समर्थन (वितरण (गणित) के अर्थ में) $$D\chi_E$$, और इसलिए भी $$|D\chi_E|$$, हमेशा शामिल है $$\partial E$$:

लेम्मा। वेक्टर-मूल्यवान रेडॉन माप का समर्थन $$D\chi_E$$ सीमा (टोपोलॉजी) का एक सबसेट है $$\partial E$$ का $$E$$.

सबूत। इसे देखने के लिए चुनें $$x_0 \notin\partial E$$: फिर $$x_0$$ ओपन सेट के अंतर्गत आता है $$\R ^n\setminus\partial E$$ और इसका तात्पर्य है कि यह एक खुले पड़ोस से संबंधित है $$A$$ के आंतरिक (टोपोलॉजी) में निहित है $$E$$ या के भीतरी भाग में $$\R^n\setminus E$$. होने देना $$\phi \in C^1_c(A; \R ^n)$$. यदि $$A\subseteq(\R^n \setminus E)^\circ=\R^n\setminus E^-$$ कहाँ पे $$E^-$$ का क्लोजर (टोपोलॉजी) है $$E$$, फिर $$\chi_E(x)=0$$ के लिये $$x \in A$$ तथा


 * $$ \int_\Omega \langle\boldsymbol{\phi}, D\chi_E(x)\rangle =- \int_A\chi_E(x) \, \operatorname{div}\boldsymbol{\phi}(x)\, \mathrm{d}x = 0$$

इसी तरह अगर $$A\subseteq E^\circ $$ फिर $$\chi_E(x)=1$$ के लिये $$x \in A$$ इसलिए


 * $$\int_\Omega \langle\boldsymbol{\phi}, D\chi_E(x)\rangle = -\int_A\operatorname{div} \boldsymbol{\phi}(x) \, \mathrm{d}x = 0

$$ साथ $$\phi \in C^1_c(A, \R^n)$$ मनमाना यह उसका अनुसरण करता है $$x_0$$ के समर्थन से बाहर है $$D\chi_E$$.

घटी हुई सीमा
टोपोलॉजिकल सीमा $$\partial E$$ Caccioppoli सेट के लिए बहुत अपरिष्कृत निकला क्योंकि इसका हॉसडॉर्फ माप परिधि के लिए अधिक प्रतिपूर्ति करता है $$P(E)$$ ऊपर परिभाषित। दरअसल, Caccioppoli सेट


 * $$E = \{ (x,y) : 0 \leq x, y \leq 1 \} \cup \{ (x, 0) : -1 \leq x \leq 1 \} \subset \R^2 $$

बाईं ओर चिपके हुए रेखा खंड के साथ एक वर्ग का प्रतिनिधित्व करने वाली परिधि है $$P(E) = 4$$, यानी बाहरी रेखा खंड को नजरअंदाज कर दिया जाता है, जबकि इसकी स्थलाकृतिक सीमा होती है


 * $$\partial E = \{(x, 0) : -1 \leq x \leq 1 \} \cup \{(x, 1) : 0 \leq x \leq 1 \} \cup \{(x, y) : x \in \{0, 1\}, 0 \leq y \leq 1 \} $$

एक आयामी हौसडॉर्फ माप है $$\mathcal{H}^1(\partial E) = 5$$.

इसलिए सही सीमा का एक सबसेट होना चाहिए $$\partial E$$. हम परिभाषित करते हैं:

परिभाषा 4. कैकियोपोली सेट की घटी हुई सीमा $$E \subset \R ^n$$ द्वारा निरूपित किया जाता है $$\partial^* E$$ और अंकों के संग्रह के बराबर परिभाषित किया गया है $$x$$ जिस पर सीमा:


 * $$ \nu_E(x) := \lim_{\rho \downarrow 0} \frac{D\chi_E(B_\rho(x))}{|D\chi_E|(B_\rho(x))} \in \R^n$$

मौजूद है और इसकी लंबाई एक के बराबर है, यानी $$|\nu_E(x)| = 1$$.

कोई यह टिप्पणी कर सकता है कि रैडॉन-निकोडीम प्रमेय द्वारा कम की गई सीमा $$\partial^* E$$ के समर्थन में अनिवार्य रूप से निहित है $$D\chi_E$$, जो बदले में सामयिक सीमा में समाहित है $$\partial E$$ जैसा कि ऊपर अनुभाग में बताया गया है। वह है:


 * $$\partial^* E \subseteq \operatorname{support} D\chi_E \subseteq \partial E$$

उपरोक्त समावेशन आवश्यक रूप से समानताएं नहीं हैं जैसा कि पिछले उदाहरण से पता चलता है। उस उदाहरण में, $$\partial E$$ खंड बाहर चिपके हुए के साथ वर्ग है, $$\operatorname{support} D\chi_E$$ वर्ग है, और $$\partial^* E$$ ऐसा वर्ग जिसके चारों कोने न हों।

डी गियोर्गी की प्रमेय
सुविधा के लिए, इस खंड में हम केवल उस मामले का इलाज करते हैं जहां $$\Omega = \R ^n$$, यानी सेट $$E$$ (विश्व स्तर पर) परिमित परिधि है। डी जियोर्गी की प्रमेय कम सीमाओं की धारणा के लिए ज्यामितीय अंतर्ज्ञान प्रदान करती है और पुष्टि करती है कि यह Caccioppoli सेट के लिए अधिक प्राकृतिक परिभाषा है


 * $$ P(E) \left( = \int |D\chi_E| \right) = \mathcal{H}^{n-1}(\partial^* E)$$

यानी इसका हॉसडॉर्फ माप सेट की परिधि के बराबर है। प्रमेय का कथन काफी लंबा है क्योंकि यह विभिन्न ज्यामितीय धारणाओं को एक झटके में आपस में जोड़ता है।

प्रमेय। मान लीजिए $$E \subset \R^n$$ एक कैसिओपोली सेट है। फिर प्रत्येक बिंदु पर $$x$$ घटी हुई सीमा का $$\partial^* E$$ वहाँ एक बहुलता एक अनुमानित स्पर्शरेखा स्थान मौजूद है $$T_x$$ का $$|D\chi_E|$$, यानी एक कोडिमेंशन -1 सबस्पेस $$T_x$$ का $$\R ^n$$ ऐसा है कि


 * $$ \lim_{\lambda \downarrow 0} \int_{\R^n} f(\lambda^{-1}(z-x)) |D\chi_E|(z) = \int_{T_x} f(y) \, d\mathcal{H}^{n-1}(y)$$

प्रत्येक निरंतर, कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित के लिए $$f : \R ^n \to \R $$. वास्तव में उपक्षेत्र $$T_x$$ यूनिट वेक्टर का ऑर्थोगोनल पूरक है


 * $$\nu_E(x) = \lim_{\rho \downarrow 0} \frac{D\chi_E(B_\rho(x))}{|D\chi_E|(B_\rho(x))} \in \R ^n$$

पहले परिभाषित। यह इकाई वेक्टर भी संतुष्ट करता है


 * $$\lim_{\lambda \downarrow 0} \left \{ \lambda^{-1}(z - x) : z \in E \right \} \to \left \{ y \in \R^n : y \cdot \nu_E(x) > 0 \right \}$$

स्थानीय रूप से $$L^1$$, इसलिए इसे घटी हुई सीमा के लिए इकाई सदिश सामान्य (ज्यामिति) की ओर इशारा करते हुए एक अनुमानित आवक के रूप में व्याख्या की जाती है $$\partial^* E$$. आखिरकार, $$\partial^* E$$ is (n-1)-संशोधनीय सेट और (n-1)-आयामी हौसडॉर्फ माप का प्रतिबंध $$\mathcal{H}^{n-1}$$ प्रति $$\partial^* E$$ है $$|D\chi_E|$$, अर्थात।


 * $$|D\chi_E|(A) = \mathcal{H}^{n-1}(A \cap \partial^* E)$$ सभी बोरेल सेट के लिए $$A \subset \R^n$$.

दूसरे शब्दों में, तक $$\mathcal{H}^{n-1}$$-शून्य सीमा को मापें $$\partial^* E$$ जिस पर सबसे छोटा सेट है $$D\chi_E$$ समर्थित है।

गॉस-ग्रीन फॉर्मूला
वेक्टर रेडॉन माप की परिभाषा से $$D\chi_E$$ और परिधि के गुणों से, निम्न सूत्र सत्य है:


 * $$\int_E\operatorname{div}\boldsymbol{\phi}(x) \, \mathrm{d}x = -\int_{\partial E} \langle\boldsymbol{\phi}, D\chi_E(x)\rangle

\qquad \boldsymbol{\phi}\in C_c^1(\Omega, \R^n)$$ यह गैर चिकनी सीमा (टोपोलॉजी) के साथ डोमेन (गणितीय विश्लेषण) के लिए विचलन प्रमेय का एक संस्करण है। डी जिओर्गी के प्रमेय का उपयोग समान पहचान को कम सीमा के संदर्भ में तैयार करने के लिए किया जा सकता है $$\partial^* E$$ और अनुमानित आवक इंगित करने वाली इकाई सामान्य वेक्टर $$\nu_E$$. संक्षेप में, निम्नलिखित समानता रखती है


 * $$\int_E \operatorname{div} \boldsymbol{\phi}(x) \, \mathrm{d}x = - \int_{\partial^* E} \boldsymbol{\phi}(x) \cdot \nu_E(x) \, \mathrm{d}\mathcal{H}^{n-1}(x) \qquad \boldsymbol{\phi} \in C^1_c(\Omega, \R^n)$$

यह भी देखें

 * ज्यामितीय माप सिद्धांत
 * विचलन प्रमेय
 * फ़फ़र अभिन्न

ऐतिहासिक संदर्भ

 * . रेनाटो कैसिओपोली के सेमिनल पेपर से परिमित परिधि के सेट के सिद्धांत के इतिहास का सर्वेक्षण करने वाला एक पेपर और एन्नियो डी जियोर्गी के योगदान से कुछ और हालिया विकास और मीट्रिक माप रिक्त स्थान में खुली समस्याएं, कार्नोट समूहों में और अनंत-आयामी गॉसियन में रिक्त स्थान।
 * . पहला पेपर जिसमें एक कैसीओपोली सेट क्या है, की मूलभूत अवधारणा है।
 * . वह काम जहां कैसियोपोली ने कठोर बनाया और पूर्ववर्ती पेपर में पेश की गई अवधारणाओं को विकसित किया.
 * परिमित परिधि के सिद्धांत का विवरण देने वाला पहला पेपर काफी पूर्ण सेटिंग में सेट है।
 * . एक जीवनी और मौरो पिकोने की एक टिप्पणी के साथ कैसिओपोली के वैज्ञानिक कार्यों का चयन।
 * . न्यूमडैम पर उपलब्ध है। केसरी का वाटरशेड पेपर, जहां वह परिभाषा में समाकलनीय कार्यों के एक उपवर्ग को शामिल करने के लिए अब टोटल वेरिएशन # टोनेली प्लेन वेरिएशन कॉन्सेप्ट का विस्तार करता है।
 * . डी जियोर्गी द्वारा प्रकाशित पहला नोट कैकियोपोली सेट के प्रति अपने दृष्टिकोण का वर्णन करता है।
 * . कैकियोपोली सेट के सिद्धांत के डी जियोर्गी द्वारा पहली पूर्ण प्रदर्शनी।
 * . हर्बर्ट फेडरर का पहला पेपर धाराओं के सिद्धांत पर आधारित परिमाप के सिद्धांत के प्रति उनके दृष्टिकोण को दर्शाता है।
 * . मुख्य खोजों के लिए रेनाटो कैकियोपोली के सेमिनल पेपर से, परिमित परिधि के सेट के सिद्धांत के इतिहास को चित्रित करने वाला एक पेपर।

वैज्ञानिक संदर्भ

 * . एक प्रमुख योगदानकर्ता द्वारा लिखित बहु-आयामी सेटिंग में न्यूनतम सतहों के सिद्धांत की ओर उन्मुख एक उन्नत पाठ।
 * , विशेष रूप से अध्याय 4, पैराग्राफ 4.5, खंड 4.5.1 से 4.5.4 स्थानीय रूप से परिमित परिधि के साथ सेट करता है। ज्यामितीय माप सिद्धांत में पूर्ण संदर्भ पाठ।
 * , विशेष रूप से अध्याय 3, धारा 14 स्थानीय रूप से परिमित परिधि के सेट।
 * , विशेष रूप से भाग I, अध्याय 1 परिबद्ध भिन्नता के कार्य और Caccioppoli सेट। Caccioppoli सेट के सिद्धांत और न्यूनतम सतह समस्या के लिए उनके आवेदन पर एक अच्छा संदर्भ।
 * , विशेष रूप से भाग II, अध्याय 4 पैराग्राफ 2 परिमित परिधि के साथ सेट करता है। के बारे में सबसे अच्छी किताबों में से एक $k$गणितीय भौतिकी, विशेष रूप से रासायनिक कैनेटीक्स की समस्याओं के लिए कार्य और उनका अनुप्रयोग।
 * विशेष रूप से अध्याय 6, अंतरिक्ष में कार्यों पर $(r-1)$. सोबोलेव स्पेस के सिद्धांत पर सबसे अच्छे मोनोग्राफ में से एक।
 * . एक सेमिनल पेपर जहां कैकियोपोली सेट करता है और $n$-फंक्शंस का गहराई से अध्ययन किया जाता है और कार्यात्मक सुपरपोजिशन की अवधारणा को पेश किया जाता है और आंशिक अंतर समीकरणों के सिद्धांत पर लागू किया जाता है।

बाहरी संबंध

 * Function of bounded variation at Encyclopedia of Mathematics
 * Function of bounded variation at Encyclopedia of Mathematics
 * Function of bounded variation at Encyclopedia of Mathematics