घूर्णन (रोटेशन)

रोटेशन, या स्पिन, रोटेशन की धुरी के चारों ओर किसी वस्तु का गोलाकार संचलन है। एक द्वि-आयामी घूर्णन वस्तु में केवल एक संभव केंद्रीय अक्ष  होता है और यह दक्षिणावर्त या वामावर्त दिशा में घूम सकता है। एक त्रि-आयामी वस्तु में संभावित केंद्रीय अक्षों और घूर्णी दिशाओं की अनंत संख्या होती है।

यदि रोटेशन अक्ष आंतरिक रूप से शरीर के द्रव्यमान के अपने केंद्र के माध्यम से गुजरता है, तो शरीर को 'ऑटोरोटेटिंग' या ' कोणीय गति ' कहा जाता है, और अक्ष के सतह के चौराहे को ' भौगोलिक ध्रुव ' कहा जा सकता है। '। पूरी तरह से बाहरी अक्ष के चारों ओर एक घुमाव, उदा। सूर्य के चारों ओर ग्रह पृथ्वी को घूर्णन या परिक्रमा कहा जाता है, आमतौर पर जब यह गुरुत्वाकर्षण  द्वारा निर्मित होता है, और घूर्णन अक्ष के सिरों को  कक्षीय ध्रुव  कहा जा सकता है।

गणित
गणित, एक घूर्णन एक कठोर शरीर  आंदोलन है, जो  अनुवाद (ज्यामिति)  के विपरीत, एक बिंदु को स्थिर रखता है। यह परिभाषा दो और तीन आयामों (क्रमशः एक विमान और अंतरिक्ष में) दोनों के भीतर घूर्णन पर लागू होती है।

सभी कठोर शरीर की गतियाँ घूर्णन, अनुवाद या दोनों का संयोजन हैं।

एक रोटेशन बस एक सामान्य बिंदु के लिए एक प्रगतिशील रेडियल अभिविन्यास है। वह उभयनिष्ठ बिंदु उस गति की धुरी के भीतर स्थित है। अक्ष गति के तल से 90 डिग्री लंबवत है।

यदि किसी बिंदु या अक्ष के चारों ओर एक घूर्णन के बाद उसी बिंदु/अक्ष के चारों ओर दूसरा घूर्णन होता है, तो तीसरा घूर्णन परिणाम होता है। एक घूर्णन का उल्टा ( उलटा तत्व ) भी एक घूर्णन है। इस प्रकार, एक बिंदु/अक्ष के चारों ओर घूमने से एक समूह (गणित)  बनता है। हालांकि, एक बिंदु या अक्ष के चारों ओर घूमने और एक अलग बिंदु/अक्ष के चारों ओर घूमने के परिणामस्वरूप घूर्णन के अलावा कुछ और हो सकता है, उदा। एक अनुवाद।

x, y और z अक्षों के चारों ओर घूर्णन को प्रमुख घूर्णन कहा जाता है। किसी भी अक्ष के चारों ओर घूमने को x अक्ष के चारों ओर घुमाकर, उसके बाद y अक्ष के चारों ओर घुमाकर, और उसके बाद z अक्ष के चारों ओर एक घुमाव द्वारा किया जा सकता है। कहने का तात्पर्य यह है कि, किसी भी स्थानिक घूर्णन को मुख्य घूर्णन के संयोजन में विघटित किया जा सकता है।

उड़ान गतिकी में, विमान के प्रमुख अक्षों को यॉ, पिच, और रोल | यॉ, पिच और रोल (टेट-ब्रायन कोण के रूप में जाना जाता है) के रूप में जाना जाता है। इस शब्दावली का प्रयोग कंप्यूटर ग्राफिक्स  में भी किया जाता है।

खगोल विज्ञान


खगोल विज्ञान में, घूर्णन एक सामान्य रूप से देखी जाने वाली घटना है। तारे,  ग्रह  और समान पिंड सभी अपनी-अपनी धुरी पर घूमते हैं। सौर मंडल में ग्रहों की घूर्णन दर को सबसे पहले दृश्य विशेषताओं को ट्रैक करके मापा गया था। तारकीय घुमाव को  डॉपलर शिफ्ट  के माध्यम से या सक्रिय सतह सुविधाओं को ट्रैक करके मापा जाता है।

यह घुमाव पृथ्वी के संदर्भ फ्रेम में एक केन्द्रापसारक बल (काल्पनिक)  को प्रेरित करता है जो  भूमध्य रेखा  के करीब होने पर गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव का थोड़ा प्रतिकार करता है। पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण दोनों द्रव्यमान प्रभावों को जोड़ता है जैसे ध्रुवों की तुलना में भूमध्य रेखा पर एक वस्तु का वजन थोड़ा कम होता है। दूसरा यह है कि समय के साथ पृथ्वी एक चपटी गोलाकार आकृति में थोड़ी विकृत हो जाती है; अन्य ग्रहों के लिए एक समान  भूमध्यरेखीय उभार  विकसित होता है।

किसी ग्रह के घूर्णन का एक और परिणाम पुरस्सरण की घटना है। जाइरोस्कोप  की तरह, समग्र प्रभाव किसी ग्रह की धुरी की गति में एक मामूली डगमगाने वाला होता है। वर्तमान में पृथ्वी की धुरी का अपने कक्षीय तल (एक्लिप्टिक का तिरछा) पर झुकाव 23.44 डिग्री है, लेकिन यह कोण धीरे-धीरे (हजारों वर्षों में) बदलता है। (विषुवों और ध्रुव तारे का  अग्रगमन  भी देखें।)

क्रांति
जबकि क्रांति को अक्सर रोटेशन के पर्याय के रूप में प्रयोग किया जाता है, कई क्षेत्रों में, विशेष रूप से खगोल विज्ञान और संबंधित क्षेत्रों में, क्रांति, जिसे अक्सर स्पष्टता के लिए कक्षीय क्रांति के रूप में जाना जाता है, का उपयोग तब किया जाता है जब एक शरीर दूसरे के चारों ओर घूमता है, जबकि रोटेशन का उपयोग एक के आसपास की गति के लिए किया जाता है। एक्सिस। चंद्रमा अपने ग्रह के चारों ओर घूमते हैं, ग्रह अपने तारे के चारों ओर घूमते हैं (जैसे पृथ्वी सूर्य के चारों ओर घूमती है); और तारे धीरे-धीरे अपने आकाशगंगा  केंद्र के चारों ओर चक्कर लगाते हैं। आकाशगंगा के घटकों की गति जटिल है, लेकिन इसमें आमतौर पर एक घूर्णन घटक शामिल होता है।

प्रतिगामी रोटेशन
पृथ्वी सहित सौर मंडल के अधिकांश ग्रह उसी दिशा में घूमते हैं जिस दिशा में वे सूर्य की परिक्रमा करते हैं। अपवाद शुक्र  और  अरुण ग्रह  हैं। शुक्र को धीरे-धीरे पीछे की ओर घूमने (या उल्टा होने) के रूप में माना जा सकता है। यूरेनस अपनी कक्षा के सापेक्ष लगभग अपनी ओर घूमता है। वर्तमान अटकलें यह है कि यूरेनस ने एक विशिष्ट प्रोग्रेस ओरिएंटेशन के साथ शुरुआत की और अपने इतिहास के शुरुआती दिनों में एक बड़े प्रभाव से इसके पक्ष में दस्तक दी। बौना ग्रह  प्लूटो  (जिसे पहले एक ग्रह माना जाता था) कई मायनों में विषम है, जिसमें यह भी शामिल है कि यह अपनी तरफ घूमता है।

भौतिकी
घूर्णन की गति कोणीय  आवृत्ति  (rad/s) या आवृत्ति (मोड़ (ज्यामिति) प्रति समय), या आवृत्ति (सेकंड, दिन, आदि) द्वारा दी जाती है।  कोणीय आवृत्ति  के परिवर्तन की समय-दर कोणीय त्वरण (rad/s²) है, जो बलाघूर्ण के कारण होता है। जड़ता के क्षण से दोनों का अनुपात (कितना भारी है, शुरू करना, रोकना या रोटेशन बदलना) दिया जाता है।

कोणीय वेग सदिश (एक अक्षीय सदिश) घूर्णन के अक्ष की दिशा का भी वर्णन करता है। इसी प्रकार बलाघूर्ण एक अक्षीय सदिश है।

एक स्थिर अक्ष के चारों ओर घूर्णन की भौतिकी को गणितीय रूप से घूर्णन के अक्ष-कोण निरूपण के साथ वर्णित किया गया है। दाहिने हाथ के नियम के अनुसार, पर्यवेक्षक से दूर की दिशा दक्षिणावर्त घुमाव से जुड़ी होती है और पर्यवेक्षक की दिशा वामावर्त घुमाव के साथ, एक पेंच  की तरह होती है।

ब्रह्माण्ड संबंधी सिद्धांत
भौतिकी के नियम ों को वर्तमान में घूर्णी इनवेरिएंस माना जाता है#क्वांटम मैकेनिक के लिए आवेदन। (हालांकि घूर्णन दृष्टिकोण से देखे जाने पर वे बदलते दिखाई देते हैं: संदर्भ के घूर्णन फ्रेम  देखें।)

आधुनिक भौतिक ब्रह्माण्ड विज्ञान में, ब्रह्माण्ड संबंधी सिद्धांत यह धारणा है कि ब्रह्मांड में पदार्थ का वितरण सजातीय  और  समदैशिक  है जब इसे बड़े पैमाने पर देखा जाता है, क्योंकि बलों से पूरे ब्रह्मांड में समान रूप से कार्य करने की उम्मीद की जाती है और उनकी कोई पसंदीदा दिशा नहीं होती है, और चाहिए इसलिए, बिग बैंग द्वारा शुरू में निर्धारित किए गए पदार्थ क्षेत्र के विकास के दौरान बड़े पैमाने पर संरचना में कोई देखने योग्य अनियमितताएं उत्पन्न नहीं होती हैं।

विशेष रूप से, एक ऐसी प्रणाली के लिए जो अंतरिक्ष में उन्मुख होने की परवाह किए बिना समान व्यवहार करती है, इसका लैग्रैंगियन यांत्रिकी घूर्णी आक्रमण है। नोएदर के प्रमेय के अनुसार, यदि किसी भौतिक प्रणाली की क्रिया (भौतिकी)  (इसके लग्रांगियन के  समय के साथ अभिन्न ) रोटेशन के तहत अपरिवर्तनीय है, तो  कोणीय गति का संरक्षण ।

यूलर रोटेशन
यूलर रोटेशन रोटेशन का वैकल्पिक विवरण प्रदान करता है। यह तीन घुमावों की एक संरचना है, जिसे अन्य दो स्थिरांक को छोड़ते हुए एक यूलर कोण  को बदलकर प्राप्त गति के रूप में परिभाषित किया गया है। यूलर घुमाव कभी भी बाहरी फ्रेम के संदर्भ में, या सह-चलती घुमाए गए शरीर के फ्रेम के संदर्भ में नहीं, बल्कि मिश्रण में व्यक्त किए जाते हैं। वे घूर्णन प्रणाली के एक मिश्रित अक्ष का निर्माण करते हैं, जहां पहला कोण बाहरी अक्ष z के चारों ओर  नोड्स की रेखा  को घुमाता है, दूसरा नोड्स की रेखा के चारों ओर घूमता है और तीसरा शरीर में स्थिर धुरी के चारों ओर एक आंतरिक घुमाव है जो चलता है।

इन घुमावों को प्रीसेशन, सिर का इशारा  और आंतरिक रोटेशन कहा जाता है।

उड़ान की गतिशीलता
उड़ान गतिकी में, #Euler घुमावों के साथ वर्णित प्रमुख घुमावों को Yaw, पिच, और रोल|पिच, रोल और यॉ के रूप में जाना जाता है। रोटेशन (विमानन)  शब्द का उपयोग विमानन में भी एक विमान के ऊपर की ओर पिच (नाक ऊपर की ओर) को संदर्भित करने के लिए किया जाता है, खासकर जब टेकऑफ़ के बाद चढ़ाई शुरू करते हैं।

प्रमुख घुमावों में कई भौतिक प्रणालियों जैसे कि ड्रेडलॉक  और  जोस्टिक  को मॉडलिंग करने का लाभ होता है, इसलिए आसानी से देखे जा सकते हैं, और एक रोटेशन को संग्रहीत करने का एक बहुत ही कॉम्पैक्ट तरीका है। लेकिन गणना में उनका उपयोग करना मुश्किल है क्योंकि रोटेशन के संयोजन जैसे सरल ऑपरेशन करना भी महंगा है, और अनुप्रयुक्त गणित में जिम्बल लॉक # जिम्बल लॉक के एक रूप से पीड़ित हैं, जहां कुछ घुमावों के लिए कोणों की विशिष्ट गणना नहीं की जा सकती है।

मनोरंजन की सवारी
कई मनोरंजन सवारी रोटेशन प्रदान करती हैं। एक बड़ा चक्का  में एक क्षैतिज केंद्रीय अक्ष होता है, और प्रत्येक गोंडोला के समानांतर अक्ष होते हैं, जहां गुरुत्वाकर्षण या यांत्रिक रूप से घूर्णन विपरीत होता है। नतीजतन, किसी भी समय गोंडोला का उन्मुखीकरण सीधा (घुमाया नहीं गया) है, बस अनुवादित है। अनुवाद वेक्टर की नोक एक वृत्त का वर्णन करती है। एक  हिंडोला  एक ऊर्ध्वाधर अक्ष के बारे में रोटेशन प्रदान करता है। कई सवारी कई कुल्हाड़ियों के बारे में घुमावों का संयोजन प्रदान करती हैं।  चेयर-ओ-प्लेन ्स में ऊर्ध्वाधर अक्ष के बारे में रोटेशन यांत्रिक रूप से प्रदान किया जाता है, जबकि क्षैतिज अक्ष के बारे में रोटेशन केन्द्रापसारक बल के कारण होता है। रोलर कोस्टर व्युत्क्रम में क्षैतिज अक्ष के बारे में घूर्णन एक या अधिक पूर्ण चक्र होता है, जहां जड़ता लोगों को उनकी सीटों पर रखती है।

खेल
एक गेंद या अन्य वस्तु का रोटेशन, जिसे आमतौर पर स्पिन कहा जाता है, कई खेलों में भूमिका निभाता है, जिसमें टॉपस्पिन # टेनिस  और टेनिस में  बैकस्पिन, अंग्रेजी, क्यू स्पोर्ट्स तकनीकों में फॉलो और ड्रॉ,  बेसबॉल  में  वक्र गेंद , क्रिकेट में  स्पिन गेंदबाजी  (खेल) शामिल हैं। ,  फ्लाइंग डिस्क  स्पोर्ट्स, आदि।  टेबल टेनिस  पैडल विभिन्न सतह विशेषताओं के साथ निर्मित होते हैं ताकि खिलाड़ी गेंद को अधिक या कम मात्रा में स्पिन प्रदान कर सके।

एक ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर एक या एक से अधिक बार घूमने को फिगर स्केटिंग  में स्पिन कहा जा सकता है,  बैटन ट्वर्लिंग  में घुमाव (बैटन या कलाकार का) या  स्नोबोर्डिंग  में 360, 540, 720, आदि। एक क्षैतिज अक्ष के चारों ओर एक या एक से अधिक बार खिलाड़ी या कलाकार को  कसरत,  वाटर स्कीइंग , या कई अन्य खेलों में एक  फ्लिप (एक्रोबेटिक) , रोल (जिम्नास्टिक),  कलाबाज़ी , हेली, आदि कहा जा सकता है, या डेढ़ डाइविंग (खेल), आदि में ढाई, गेनर (पानी से दूर का सामना करना शुरू करना), आदि। ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज घुमाव (360 ° के साथ बैक फ्लिप) के संयोजन को वाटरस्कीइंग# में मोबियस कहा जाता है। फ्रीस्टाइल जंपिंग।

आम तौर पर 180 और 360 डिग्री के बीच एक ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर एक खिलाड़ी के रोटेशन को एक स्पिन चाल कहा जा सकता है और इसे एक भ्रामक या परिहार पैंतरेबाज़ी के रूप में प्रयोग किया जाता है, या गेंद या पक आदि को खेलने, पास करने या प्राप्त करने के प्रयास में किया जाता है।, या किसी खिलाड़ी को लक्ष्य या अन्य खिलाड़ियों को देखने के लिए। यह अक्सर हॉकी ,  बास्केटबाल , विभिन्न कोडों के  फ़ुटबॉल , टेनिस आदि में देखा जाता है।

निश्चित अक्ष बनाम निश्चित बिंदु
एक निश्चित बिंदु के बारे में 3 डी में किसी भी वस्तु के घूर्णन के किसी भी क्रम का अंतिम परिणाम हमेशा एक धुरी के घूर्णन के बराबर होता है। हालांकि, एक वस्तु एक साथ एक से अधिक अक्षों पर एक निश्चित बिंदु के बारे में 3D में भौतिक रूप से घूम सकती है, इस स्थिति में घूर्णन का कोई एक निश्चित अक्ष नहीं है - बस निश्चित बिंदु। हालाँकि, इन दो विवरणों को समेटा जा सकता है - इस तरह की भौतिक गति को हमेशा रोटेशन के एकल अक्ष के संदर्भ में फिर से वर्णित किया जा सकता है, बशर्ते कि वस्तु के सापेक्ष उस अक्ष के उन्मुखीकरण को पल-पल बदलने की अनुमति हो।

2 आयामी घुमावों की धुरी
2 आयामी घूर्णन, 3 आयामी वाले के विपरीत, घूर्णन की कोई धुरी नहीं रखते हैं। यह रैखिक परिवर्तनों के लिए समतुल्य है, यह कहने के साथ कि विमान में कोई दिशा नहीं है जिसे 2 आयामी रोटेशन द्वारा अपरिवर्तित रखा जाता है, निश्चित रूप से, पहचान को छोड़कर।

इस तरह की दिशा के अस्तित्व का सवाल मैट्रिक्स ए के लिए एक आइजन्वेक्टर  के अस्तित्व का सवाल है जो रोटेशन का प्रतिनिधित्व करता है। प्रत्येक 2D एक कोण के माध्यम से मूल के चारों ओर घूमता है $$\theta$$ वामावर्त दिशा में निम्नलिखित मैट्रिक्स द्वारा काफी आसानी से प्रदर्शित किया जा सकता है:


 * $$A =

\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} $$ एक मानक eigenvalue  निर्धारण  विशेषता बहुपद  की ओर जाता है
 * $$\lambda^2 -2 \lambda \cos \theta + 1 = 0$$,

जो है
 * $$\cos \theta \pm i \sin \theta$$

इसके eigenvalues ​​​​के रूप में। इसलिए, जब भी कोई वास्तविक ईगेनवैल्यू नहीं होता है $$\cos \theta \neq \pm 1$$, जिसका अर्थ है कि विमान में कोई भी वास्तविक वेक्टर ए द्वारा अपरिवर्तित नहीं रखा जाता है।

घूर्णन कोण और अक्ष 3 आयामों में
यह जानते हुए कि ट्रेस एक अपरिवर्तनीय है, रोटेशन कोण $$\alpha$$ उचित ऑर्थोगोनल 3x3 रोटेशन मैट्रिक्स के लिए $$A$$ द्वारा पाया जाता है

$$\alpha=\cos^{-1}\left(\frac{A_{11}+A_{22}+A_{33}-1}{2}\right)$$ मुख्य चाप-कोज्या का उपयोग करते हुए, यह सूत्र एक संतोषजनक घूर्णन कोण देता है $$0\le\alpha\le 180^\circ$$. संबंधित रोटेशन अक्ष को उस दिशा में इंगित करने के लिए परिभाषित किया जाना चाहिए जो रोटेशन कोण को 180 डिग्री से अधिक नहीं होने तक सीमित करता है। (यह हमेशा किया जा सकता है क्योंकि एक धुरी के बारे में 180 डिग्री से अधिक का कोई भी घुमाव $$m$$ हमेशा एक घूर्णन के रूप में लिखा जा सकता है $$0\le\alpha\le 180^\circ$$ अगर अक्ष के साथ बदल दिया गया है $$n=-m$$।)

हर उचित रोटेशन $$A$$ 3डी स्पेस में रोटेशन की एक धुरी होती है, जिसे किसी भी वेक्टर के रूप में परिभाषित किया जाता है $$v$$ जो रोटेशन अक्ष के साथ संरेखित है, रोटेशन से प्रभावित नहीं होगा। तदनुसार, $$ A v = v $$, और रोटेशन अक्ष इसलिए रोटेशन मैट्रिक्स के एक eigenvector से मेल खाता है जो 1 के एक eigenvalue के साथ जुड़ा हुआ है। जब तक रोटेशन कोण $$\alpha$$ गैर-शून्य है (यानी, रोटेशन पहचान टेंसर नहीं है), ऐसी एक और केवल एक ही दिशा है। क्योंकि A में केवल वास्तविक घटक हैं, कम से कम एक वास्तविक eigenvalue है, और शेष दो eigenvalues ​​​​एक दूसरे के जटिल संयुग्मित होने चाहिए (देखें Eigenvalues ​​​​और eigenvectors#Eigenvalues ​​​​और विशेषता बहुपद)। यह जानते हुए कि 1 एक eigenvalue है, यह इस प्रकार है कि शेष दो eigenvalues ​​​​एक दूसरे के जटिल संयुग्म हैं, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि वे जटिल हैं - वे दोहरी बहुलता के साथ वास्तविक हो सकते हैं। घूर्णन कोण के पतित मामले में $$\alpha=180^\circ$$, शेष दो eigenvalues ​​​​दोनों -1 के बराबर हैं। शून्य घूर्णन कोण के पतित मामले में, रोटेशन मैट्रिक्स पहचान है, और सभी तीन eigenvalues ​​​​1 हैं (जो एकमात्र मामला है जिसके लिए रोटेशन अक्ष मनमाना है)।

रोटेशन अक्ष को खोजने के लिए वर्णक्रमीय विश्लेषण की आवश्यकता नहीं है। यदि $$n$$ घूर्णन अक्ष के साथ संरेखित इकाई eigenvector को दर्शाता है, और यदि $$\alpha$$ रोटेशन कोण को दर्शाता है, तो यह दिखाया जा सकता है $$2\sin(\alpha)n=\{A_{32}-A_{23},A_{13}-A_{31},A_{21}-A_{12}\}$$. नतीजतन, एक गैर-शून्य परिमाण होने पर इस वेक्टर को केवल सामान्य करके एक आइगेनवैल्यू विश्लेषण के खर्च से बचा जा सकता है। दूसरी ओर, यदि इस सदिश का परिमाण शून्य है, तो इसका अर्थ है कि $$\sin(\alpha)=0$$. दूसरे शब्दों में, यह वेक्टर शून्य होगा यदि और केवल यदि रोटेशन कोण 0 या 180 डिग्री है, और इस मामले में रोटेशन अक्ष को किसी भी कॉलम को सामान्य करके असाइन किया जा सकता है $$A+I$$ जिसका परिमाण शून्य न हो। यह चर्चा उचित रोटेशन पर लागू होती है, और इसलिए $$\det A = 1$$. कोई अनुचित ऑर्थोगोनल 3x3 मैट्रिक्स $$B$$ के रूप में लिखा जा सकता है $$B=-A$$, जिसमें $$A$$ उचित ओर्थोगोनल है। यही है, किसी भी अनुचित ऑर्थोगोनल 3x3 मैट्रिक्स को एक उचित रोटेशन के रूप में विघटित किया जा सकता है (जिससे ऊपर वर्णित अनुसार रोटेशन की धुरी पाई जा सकती है) इसके बाद उलटा (-1 से गुणा) किया जा सकता है। यह इस प्रकार है कि रोटेशन की धुरी $$A$$ का ईजेनवेक्टर भी है $$B$$ -1 के एक eigenvalue के अनुरूप।

रोटेशन प्लेन
जितना प्रत्येक त्रिविमीय घूर्णन में एक घूर्णन अक्ष होता है, उतना ही प्रत्येक त्रिविमीय घूर्णन में एक तल होता है, जो घूर्णन अक्ष के लंबवत होता है, और जो घूर्णन द्वारा अपरिवर्तनीय रहता है। रोटेशन, इस विमान तक ही सीमित है, एक सामान्य 2डी रोटेशन है।

सबूत उपरोक्त चर्चा के समान ही आगे बढ़ता है। सबसे पहले, मान लीजिए कि 3D रोटेशन मैट्रिक्स A के सभी eigenvalues ​​वास्तविक हैं। इसका मतलब यह है कि एक ऑर्थोगोनल आधार है, जो संबंधित ईजेनवेक्टरों (जो आवश्यक रूप से ऑर्थोगोनल हैं) द्वारा बनाया गया है, जिस पर रोटेशन मैट्रिक्स का प्रभाव बस इसे खींच रहा है। यदि हम इस आधार पर A लिखते हैं, तो यह विकर्ण है; लेकिन एक विकर्ण ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स विकर्ण प्रविष्टियों में केवल +1s और -1s से बना है। इसलिए, हमारे पास उचित घूर्णन नहीं है, लेकिन या तो पहचान या प्रतिबिंबों के अनुक्रम का नतीजा है।

यह इस प्रकार है, कि एक उचित रोटेशन में कुछ जटिल आइगेनवैल्यू है। मान लीजिए कि v संगत आइजनवेक्टर है। फिर, जैसा कि हमने पिछले विषय में दिखाया था, $$ \bar{v} $$ एक ईजेनवेक्टर भी है, और $$ v + \bar{v} $$ तथा $$ i(v - \bar{v}) $$ ऐसे हैं कि उनका अदिश उत्पाद गायब हो जाता है:


 * $$ i (v^\text{T} + \bar{v}^\text{T})(v - \bar{v}) = i (v^\text{T} v - \bar{v}^\text{T} \bar{v} + \bar{v}^\text{T} v - v^\text{T} \bar{v} ) = 0 $$

क्योंकि, तब से $$ \bar{v}^\text{T} \bar{v} $$ वास्तविक है, यह इसके जटिल संयुग्म के बराबर है $$ v^\text{T} v $$, तथा $$ \bar{v}^\text{T} v $$ तथा $$ v^\text{T} \bar{v} $$ के बीच एक ही स्केलर उत्पाद के दोनों प्रतिनिधित्व हैं $$ v $$ तथा $$ \bar{v} $$.

इसका मतलब है की $$ v + \bar{v} $$ तथा $$ i(v - \bar{v}) $$ ओर्थोगोनल वैक्टर हैं। साथ ही, वे दोनों निर्माण द्वारा वास्तविक सदिश हैं। ये वैक्टर समान उप-स्थान को फैलाते हैं $$ v $$ तथा $$ \bar{v} $$, जो ए के आवेदन के तहत एक अपरिवर्तनीय उप-स्थान है। इसलिए, वे एक अपरिवर्तनीय विमान को फैलाते हैं।

यह विमान अपरिवर्तनीय अक्ष के लिए ओर्थोगोनल है, जो ए के ईजेनवेक्टर की ओर्थोगोनैलिटी के कारण ए के शेष ईजेनवेक्टर से मेल खाती है, जिसमें ईजेनवेल्यू 1 है।

यह भी देखें

 * , सबसे तेज़ घूमने वाली वस्तु
 * , सबसे तेज़ घूमने वाली वस्तु
 * , सबसे तेज़ घूमने वाली वस्तु
 * , सबसे तेज़ घूमने वाली वस्तु
 * , सबसे तेज़ घूमने वाली वस्तु
 * , सबसे तेज़ घूमने वाली वस्तु
 * , सबसे तेज़ घूमने वाली वस्तु

बाहरी संबंध

 * Product of Rotations at cut-the-knot. cut-the-knot.org
 * When a Triangle is Equilateral at cut-the-knot. cut-the-knot.org
 * Rotate Points Using Polar Coordinates, howtoproperly.com
 * Rotation in Two Dimensions by Sergio Hannibal Mejia after work by Roger Germundsson and Understanding 3D Rotation by Roger Germundsson, Wolfram Demonstrations Project. demonstrations.wolfram.com
 * Rotation, Reflection, and Frame Change: Orthogonal tensors in computational engineering mechanics, IOP Publishing
 * Rotation, Reflection, and Frame Change: Orthogonal tensors in computational engineering mechanics, IOP Publishing