नेटवर्क पर फ्रैक्टल आयाम

फ्रैक्टल विश्लेषण जटिल नेटवर्क के अध्ययन में उपयोगी है, जो कंप्यूटर सिस्टम, मस्तिष्क और सामाजिक नेटवर्क जैसे प्राकृतिक और कृत्रिम दोनों प्रणालियों में मौजूद है, जिससे नेटवर्क विज्ञान के क्षेत्र में और विकास होता है।

जटिल नेटवर्क की स्व-समानता
कई वास्तविक नेटवर्कों में दो मौलिक गुण होते हैं, स्केल-फ्री प्रॉपर्टी और स्माल-वर्ल्ड प्रॉपर्टी। यदि नेटवर्क का डिग्री वितरण पावर-लॉ का अनुसरण करता है, तो नेटवर्क स्केल-फ्री होता है; यदि किसी नेटवर्क में किन्हीं भी दो मनमाना नोड्स को बहुत कम चरणों में जोड़ा जा सकता है, तो नेटवर्क को छोटी दुनिया कहा जाता है।

छोटी दुनिया के गुणों को गणितीय रूप से नेटवर्क के औसत व्यास की धीमी वृद्धि के द्वारा व्यक्त किया जा सकता है, जिसमें नोड्स की कुल संख्या $$N$$,

$$\left\langle l\right\rangle\sim\ln{N}$$

जहाँ $$l$$ दो नोड्स के बीच की सबसे छोटी दूरी है।

समतुल्य, हम प्राप्त करते हैं:

$$N\sim e^{\left\langle l\right\rangle/l_0}$$ जहाँ $$l_0$$ एक विशिष्ट लंबाई है।

स्व-समान संरचना के लिए, उपरोक्त घातीय संबंध के बजाय पावर-लॉ संबंध अपेक्षित है। इस तथ्य से, ऐसा प्रतीत होता है कि लघु-विश्व नेटवर्क लंबाई-पैमाने के परिवर्तन के तहत स्व-समान नहीं हैं।

प्रोटीन के विलायक-सुलभ सतह क्षेत्रों में स्व-समानता की खोज की गई है। क्योंकि प्रोटीन गोलाकार मुड़ी हुई जंजीरों का निर्माण करते हैं, इस खोज का प्रोटीन के विकास और प्रोटीन की गतिशीलता के लिए महत्वपूर्ण निहितार्थ है, क्योंकि इसका उपयोग प्रोटीन की कार्यक्षमता के लिए विशिष्ट गतिशील लंबाई के पैमाने को स्थापित करने के लिए किया जा सकता है।

आयाम की गणना के तरीके
समान्तयः, हम फ्रैक्टल आयाम की गणना या तो बॉक्स-गिनती विधि या क्लस्टर-ग्रोइंग विधि का उपयोग करके करते हैं।



बॉक्स-काउंटिंग विधि
मान लें $$N_B$$ रैखिक आकार के बक्सों की संख्या हो $$l_B$$, दिए गए नेटवर्क को कवर करने के लिए आवश्यक है। फ्रैक्टल आयाम $$d_B$$ इसके बाद दिया जाता है

$$N_B\sim l_B^{-d_B}$$

इसका मतलब है कि शीर्षों की औसत संख्या $$\left\langle M_B\left(l_B\right)\right\rangle$$ आकार के एक बॉक्स के भीतर $$l_B$$

$$\left\langle M_B\left(l_B\right)\right\rangle \sim l_B^{d_B}$$

विभिन्न बॉक्स आकारों के लिए $$N$$ के वितरण को मापकर या विभिन्न बॉक्स आकारों के लिए $$\left\langle M_B\left(l_B\right)\right\rangle$$के वितरण को मापकर, फ्रैक्टल आयाम $$d_B$$ को वितरण के उपयुक्त शक्ति नियम द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।

क्लस्टर बढ़ने की विधि
एक बीज नोड को बेतरतीब ढंग से चुना जाता है। यदि न्यूनतम दूरी $$l$$ दी गई है, तो बीज नोड से अधिकतम $$l$$ द्वारा अलग किए गए नोड्स का समूह बन सकता है। जब तक क्लस्टर पूरे नेटवर्क को कवर नहीं करता तब तक कई बीजों को चुनकर प्रक्रिया को दोहराया जाता है। फिर आयाम $$d_f$$ की गणना की जा सकती है

$$\left\langle M_C\right\rangle \sim l^{d_f}$$

जहां $$\left\langle M_C\right\rangle$$ समूहों का औसत द्रव्यमान है, जिसे क्लस्टर में नोड्स की औसत संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है।

इन तरीकों को नेटवर्क पर लागू करना मुश्किल है क्योंकि नेटवर्क समान्तयः किसी अन्य स्थान पर एम्बेड नहीं होते हैं। नेटवर्क के भग्न आयाम को मापने के लिए हम पुनर्सामान्यीकरण की अवधारणा को जोड़ते हैं।

बॉक्स-गणना और नवीनीकरण
नेटवर्क में स्व-समानता की जांच करने के लिए, हम बॉक्स-काउंटिंग विधि और पुनर्सामान्यीकरण का उपयोग करते हैं। चित्र (3a) 8 नोडों से बने नेटवर्क का उपयोग करके इस प्रक्रिया को दिखाता है।

प्रत्येक आकार lB के लिए, बॉक्स बेतरतीब ढंग से चुने जाते हैं (क्लस्टर बढ़ने की विधि के अनुसार) जब तक कि नेटवर्क कवर न हो जाए, एक बॉक्स में l < lB की दूरी से अलग किए गए सभी नोड होते हैं, यानी बॉक्स में प्रत्येक जोड़ी नोड्स को अलग किया जाना चाहिए अधिकतम lB लिंक के न्यूनतम पथ द्वारा। फिर प्रत्येक बॉक्स को नोड (पुनः सामान्यीकरण) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यदि असामान्य बक्सों के बीच कम से कम एक लिंक है, तो पुनर्सामान्यीकृत नोड जुड़े हुए हैं। यह प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक कि नेटवर्क एक नोड पर नहीं गिर जाता। इन बक्सों में से प्रत्येक का प्रभावी द्रव्यमान (इसमें नोड्स की संख्या) होता है जिसका उपयोग नेटवर्क के फ्रैक्टल आयाम को मापने के लिए ऊपर दिखाए गए अनुसार किया जा सकता है। चित्र (3b) में, lB = 3 के लिए तीन चरणों के माध्यम से डब्ल्यूडब्ल्यूडब्ल्यू नेटवर्क पर पुनर्सामान्यीकरण लागू किया जाता है।

चित्र (5) वर्ल्ड वाइड वेब पर बॉक्स आकार के एक समारोह के रूप में किए गए पुनर्संरचना के तहत डिग्री वितरण P(k) के आक्रमण को दर्शाता है। निश्चित बॉक्स आकार lB के लिए लागू किए गए कई रेनॉर्मलाइजेशन के तहत नेटवर्क भी अपरिवर्तनीय हैं। इस व्युत्क्रम से पता चलता है कि नेटवर्क कई लंबाई के पैमाने पर स्व-समान हैं।



स्केलेटन और फ्रैक्टल स्केलिंग
नेटवर्क के फ्रैक्टल गुण इसकी अंतर्निहित वृक्ष संरचना में देखे जा सकते हैं। इस दृष्टि से, नेटवर्क में स्केलेटन और शॉर्टकट होते हैं। स्केलेटन विशेष प्रकार का फैला हुआ पेड़ है, जो किनारों के बीच उच्चतम केंद्रीयता वाले किनारों से बनता है, और नेटवर्क में शेष किनारे शॉर्टकट हैं। यदि मूल नेटवर्क स्केल-फ्री है, तो इसका स्केलेटन भी पावर-लॉ डिग्री वितरण का अनुसरण करता है, जहां डिग्री मूल नेटवर्क की डिग्री से भिन्न हो सकती है। फ्रैक्टल स्केलिंग के बाद फ्रैक्टल नेटवर्क के लिए, प्रत्येक स्केलेटन मूल नेटवर्क के समान फ्रैक्टल स्केलिंग दिखाता है। स्केलेटन को ढकने के लिए बक्सों की संख्या लगभग उतनी ही होती है जितनी नेटवर्क को ढकने के लिए जरूरी होती है।

रीयल-वर्ल्ड फ्रैक्टल नेटवर्क
चूंकि फ्रैक्टल नेटवर्क और उनके कंकाल संबंध का पालन करते हैं

$$\left\langle M_B\left(l_B\right)\right\rangle\sim l_B^{d_B}$$, हम जांच कर सकते हैं कि क्या नेटवर्क फ्रैक्टल है और नेटवर्क का फ्रैक्टल आयाम क्या है। उदाहरण के लिए, डब्ल्यूडब्ल्यूडब्ल्यू, मानव मस्तिष्क, मेटाबोलिक नेटवर्क, H. सेपियन्स का प्रोटीन इंटरेक्शन नेटवर्क (पिन), और एस सेरेविसिया का पिन फ्रैक्टल नेटवर्क माने जाते हैं। इसके अलावा, मापे गए फ्रैक्टल आयाम हैं $$d_B = 4.1,\mbox{ } 3.7,\mbox{ } 3.4,\mbox{ } 2.0, \mbox{ and } 1.8$$ क्रमशः नेटवर्क के लिए। दूसरी ओर, इंटरनेट, अभिनेता-नेटवर्क, और कृत्रिम मॉडल (उदाहरण के लिए, बीए मॉडल) फ्रैक्टल गुण नहीं दिखाते हैं।

नेटवर्क आयामों के लिए अन्य परिभाषाएं
किसी जटिल नेटवर्क या ग्राफ़ के लिए आयाम की सबसे अच्छी परिभाषा अनुप्रयोग पर निर्भर करती है। उदाहरण के लिए, मीट्रिक आयाम को ग्राफ़ के रिज़ॉल्विंग सेट के रूप में परिभाषित किया जाता है। दूरी के साथ ऊपर परिभाषित "द्रव्यमान" की स्केलिंग संपत्ति के आधार पर परिभाषाएं, या जटिल नेटवर्क जेटा फ़ंक्शन पर आधारित परिभाषाओं का भी अध्ययन किया गया है।