प्रक्षेपण-मूल्य माप

गणित में, विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण में, एक प्रक्षेपण-मूल्य माप (पीवीएम) एक निश्चित सेट के कुछ उपसमुच्चय पर परिभाषित एक फ़ंक्शन है और जिसका मान एक निश्चित हिल्बर्ट स्थान पर स्व-सहायक प्रक्षेपण (गणित) हैं। प्रक्षेपण-मूल्यवान माप औपचारिक रूप से वास्तविक-मूल्यवान माप (गणित) के समान हैं, सिवाय इसके कि उनके मूल्य वास्तविक संख्याओं के बजाय स्व-संयुक्त अनुमान हैं। सामान्य उपायों की तरह, पीवीएम के संबंध में जटिल-मूल्यवान कार्यों को एकीकृत करना संभव है; इस तरह के एकीकरण का परिणाम दिए गए हिल्बर्ट स्थान पर एक रैखिक ऑपरेटर है।

प्रक्षेपण-मूल्यवान उपायों का उपयोग वर्णक्रमीय सिद्धांत में परिणाम व्यक्त करने के लिए किया जाता है, जैसे कि स्व-सहायक ऑपरेटरों के लिए महत्वपूर्ण वर्णक्रमीय प्रमेय। स्व-सहायक ऑपरेटरों के लिए बोरेल कार्यात्मक कैलकुलस का निर्माण पीवीएम के संबंध में इंटीग्रल्स का उपयोग करके किया गया है। क्वांटम यांत्रिकी में, पीवीएम क्वांटम माप का गणितीय विवरण हैं। उन्हें POVM (पीओवीएम) द्वारा उसी अर्थ में सामान्यीकृत किया जाता है जैसे एक मिश्रित अवस्था (भौतिकी) या घनत्व मैट्रिक्स एक शुद्ध अवस्था की धारणा को सामान्यीकृत करता है।

औपचारिक परिभाषा
एक प्रक्षेपण-मूल्य माप $$\pi$$ मापने योग्य स्थान पर $$(X, M)$$, कहाँ $$M$$ के उपसमुच्चय का σ-बीजगणित है $$X$$, से एक फ़ंक्शन (गणित) है $$M$$ हिल्बर्ट स्थान पर स्व-सहायक प्रक्षेपण ऑपरेटर के सेट पर $$H$$ (अर्थात् ओर्थोगोनल अनुमान) जैसे कि



\pi(X) = \operatorname{id}_H \quad $$ (कहाँ $$\operatorname{id}_H$$ का पहचान संचालक है $$H$$) और प्रत्येक के लिए $$\xi,\eta\in H$$, निम्नलिखित फ़ंक्शन $$M \to \mathbb C$$

E \mapsto \langle \pi(E)\xi \mid \eta \rangle $$ पर एक जटिल उपाय है$$M$$(अर्थात, एक जटिल-मूल्यवान सिग्मा additivity  फ़ंक्शन)।

हम इस माप को निरूपित करते हैं $$\operatorname{S}_\pi(\xi, \eta)$$.

ध्यान दें कि $$\operatorname{S}_\pi(\xi, \xi)$$ एक वास्तविक-मूल्यवान माप है, और एक संभाव्यता माप है जब $$\xi$$ लंबाई एक है.

अगर $$\pi$$ एक प्रक्षेपण-मूल्य माप है और



E \cap F = \emptyset, $$ फिर छवियाँ $$\pi(E)$$, $$\pi(F)$$ एक दूसरे के लिए ओर्थोगोनल हैं। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सामान्यतः,



\pi(E) \pi(F) = \pi(E \cap F) = \pi(F) \pi(E), $$ और वे आवागमन करते हैं।

उदाहरण। कल्पना करना $$(X, M, \mu)$$ एक माप स्थान है. मान लीजिए, प्रत्येक मापने योग्य उपसमुच्चय के लिए $$E$$ में $$M$$,

\pi(E) : L^2(\mu) \to L^2 (\mu): \psi \mapsto \chi_E \psi $$ सूचक फ़ंक्शन द्वारा गुणन का संचालिका बनें $$1_E$$ एलपी स्पेस पर|एल2(X). तब $$\pi$$ एक प्रक्षेपण-मूल्य माप है। उदाहरण के लिए, यदि $$X = \mathbb{R}$$, $$E = (0,1)$$, और $$\phi,\psi \in L^2(\mathbb{R})$$ इसके बाद संबंधित जटिल उपाय है $$S_{(0,1)}(\phi,\psi)$$ जो एक मापने योग्य कार्य करता है $$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ और इंटीग्रल देता है$$S_{(0,1)}(\phi,\psi)(f) = \int_{(0,1)}f(x)\psi(x)\overline{\phi}(x)dx$$

प्रक्षेपण-मूल्य माप, अभिन्न और वर्णक्रमीय प्रमेय का विस्तार
अगर $\pi$ मापने योग्य स्थान (एक्स, एम) पर एक प्रक्षेपण-मूल्य माप है, फिर मानचित्र



\chi_E \mapsto \pi(E) $$ एक्स पर चरण कार्यों के वेक्टर स्थान पर एक रेखीय मानचित्र तक विस्तारित होता है। वास्तव में, यह जांचना आसान है कि यह मानचित्र एक वलय समरूपता है। यह मानचित्र X पर सभी बंधे हुए जटिल-मूल्य मापन योग्य कार्यों के लिए एक विहित तरीके से विस्तारित होता है, और हमारे पास निम्नलिखित हैं।

'प्रमेय'. एक्स पर किसी भी परिबद्ध एम-मापने योग्य फ़ंक्शन एफ के लिए, एक अद्वितीय परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर मौजूद है

\mathrm T_\pi (f) : H \to H $$ ऐसा है कि

\langle \operatorname{T}_\pi(f) \xi \mid \eta \rangle = \int_X f \ d \operatorname{S}_\pi (\xi,\eta) $$ सभी के लिए $$ \xi,\eta \in H, $$ कहाँ $$ \operatorname{S}_\pi (\xi,\eta)$$ जटिल माप को दर्शाता है


 * $$E \mapsto \langle \pi(E)\xi \mid \eta \rangle $$

की परिभाषा से $$\pi$$.

वो नक्शा


 * $$ \mathcal{BM}(X,M) \to \mathcal L(H):

f \mapsto \operatorname{T}_\pi(f)$$ एक वलय समरूपता है।

एक अभिन्न संकेतन का प्रयोग प्रायः किसके लिए किया जाता है? $$\operatorname{T}_\pi(f)$$, के रूप में


 * $$\operatorname{T}_\pi(f)=\int_X f(x) \, d \pi(x) = \int_X f \, d \pi.$$

प्रमेय असीमित मापनीय फलनों f के लिए भी सही है, लेकिन तब $$\operatorname{T}_\pi(f)$$ हिल्बर्ट स्पेस एच पर एक असीमित रैखिक ऑपरेटर होगा।

वर्णक्रमीय प्रमेय कहता है कि प्रत्येक स्व-सहायक संचालिका $$A:H\to H$$ एक संबद्ध प्रक्षेपण-मूल्य माप है $$\pi_A$$ वास्तविक अक्ष पर परिभाषित, जैसे कि
 * $$A =\int_\mathbb{R} x \, d\pi_A(x).$$

यह ऐसे ऑपरेटरों के लिए बोरेल कार्यात्मक कैलकुलस को परिभाषित करने की अनुमति देता है: यदि $$g:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$$ एक मापने योग्य कार्य है, हम सेट करते हैं
 * $$g(A) :=\int_\mathbb{R} g(x) \, d\pi_A(x).$$

प्रक्षेपण-मूल्य माप की संरचना
सबसे पहले हम प्रत्यक्ष अभिन्नों के आधार पर प्रक्षेपण-मूल्य माप का एक सामान्य उदाहरण प्रदान करते हैं। मान लीजिए (X, M, μ) एक माप स्थान है और मान लीजिए कि {Hx}x ∈ X वियोज्य हिल्बर्ट रिक्त स्थान का μ-मापने योग्य परिवार बनें। प्रत्येक E ∈ M के लिए, मान लीजिए π(ई) 1 से गुणा का संचालक बनेंE हिल्बर्ट स्थान पर


 * $$ \int_X^\oplus H_x \ d \mu(x). $$

तब π (X, M) पर एक प्रक्षेपण-मूल्य माप है।

कल्पना करना π, ρ एच, के के अनुमानों में मूल्यों के साथ (एक्स, एम) पर प्रक्षेपण-मूल्य वाले उपाय हैं।  π, ρ एकात्मक रूप से समतुल्य हैं यदि और केवल यदि कोई एकात्मक संकारक U:H → K ऐसा हो कि


 * $$ \pi(E) = U^* \rho(E) U \quad $$

प्रत्येक E ∈ M के लिए।

'प्रमेय'. यदि (X, M) एक बोरेल बीजगणित#मानक बोरेल रिक्त स्थान और कुराटोस्की प्रमेय है, तो प्रत्येक प्रक्षेपण-मूल्य माप के लिए π (एक्स, एम) पर एक अलग हिल्बर्ट स्थान के अनुमानों में मान लेते हुए, एक बोरेल माप μ और हिल्बर्ट रिक्त स्थान का एक μ-मापने योग्य परिवार है {एचx}x ∈ X, ऐसा है कि π इकाई रूप से 1 से गुणा के बराबर हैE हिल्बर्ट स्थान पर


 * $$ \int_X^\oplus H_x \ d \mu(x). $$

माप वर्ग{{clarify|reason=What is a measure class? A measure up to measure-preserving equivalence? Should the measure be completed?|date=May 2015}μ का } और बहुलता फलन x → dim H का माप तुल्यता वर्गx एकात्मक तुल्यता तक प्रक्षेपण-मूल्य माप को पूरी तरह से चित्रित करें।

एक प्रक्षेपण-मूल्य माप π बहुलता n का सजातीय है यदि और केवल यदि बहुलता फ़ंक्शन का स्थिर मान n है। स्पष्ट रूप से,

'प्रमेय'. कोई भी प्रक्षेपण-मूल्य माप π वियोज्य हिल्बर्ट स्थान के अनुमानों में मान लेना सजातीय प्रक्षेपण-मूल्य मापों का एक ऑर्थोगोनल प्रत्यक्ष योग है:


 * $$ \pi = \bigoplus_{1 \leq n \leq \omega} (\pi \mid H_n) $$

कहाँ


 * $$ H_n = \int_{X_n}^\oplus H_x \ d (\mu \mid X_n) (x) $$

और


 * $$ X_n = \{x \in X: \dim H_x = n\}. $$

क्वांटम यांत्रिकी में अनुप्रयोग
क्वांटम यांत्रिकी में, हिल्बर्ट स्पेस एच पर निरंतर एंडोमोर्फिज्म के स्थान के लिए मापने योग्य स्थान एक्स का एक प्रक्षेपण मूल्य माप दिया गया है,


 * हिल्बर्ट स्पेस एच के प्रक्षेप्य स्थान की व्याख्या क्वांटम प्रणाली के संभावित राज्यों Φ के सेट के रूप में की जाती है,
 * मापने योग्य स्थान X सिस्टम की कुछ क्वांटम संपत्ति (एक अवलोकनीय) के लिए मूल्य स्थान है,
 * प्रक्षेपण-मूल्य माप π इस संभावना को व्यक्त करता है कि अवलोकन योग्य विभिन्न मान लेता है।

एक्स के लिए एक आम पसंद वास्तविक रेखा है, लेकिन यह भी हो सकती है


 * 'आर'3 (तीन आयामों में स्थिति या गति के लिए),
 * एक असतत सेट (कोणीय गति, बाध्य अवस्था की ऊर्जा, आदि के लिए),
 * Φ के बारे में एक मनमाने प्रस्ताव के सत्य-मूल्य के लिए 2-बिंदु सेट सही और गलत है।

मान लीजिए कि E, मापने योग्य स्थान = 1. राज्य Φ में सिस्टम को देखते हुए, अवलोकन योग्य उपसमुच्चय ई में अपना मान लेने की संभावना है



P_\pi(\varphi)(E) = \langle \varphi\mid\pi(E)(\varphi)\rangle = \langle \varphi|\pi(E)|\varphi\rangle,$$ जहां भौतिकी में बाद वाले अंकन को प्राथमिकता दी जाती है।

हम इसे दो तरीकों से पार्स कर सकते हैं।

सबसे पहले, प्रत्येक निश्चित ई के लिए, प्रक्षेपण π(ई) एच पर एक स्व-सहायक ऑपरेटर है जिसका 1-ईजेनस्पेस राज्य Φ है जिसके लिए अवलोकन योग्य का मूल्य हमेशा ई में निहित है, और जिसका 0-ईजेनस्पेस राज्य Φ है जिसके लिए अवलोकन योग्य का मूल्य कभी झूठ नहीं बोलता है ई में.

दूसरा, प्रत्येक निश्चित सामान्यीकृत वेक्टर अवस्था के लिए $$\psi$$, संगठन



P_\pi(\psi) : E \mapsto \langle\psi\mid\pi(E)\psi\rangle $$ एक्स पर एक संभाव्यता माप है जो अवलोकन योग्य के मानों को एक यादृच्छिक चर में बनाता है।

एक माप जो प्रक्षेपण-मूल्य माप द्वारा किया जा सकता है π को प्रक्षेप्य माप कहा जाता है।

यदि X वास्तविक संख्या रेखा है, तो इससे संबद्ध अस्तित्व मौजूद है π, एक हर्मिटियन ऑपरेटर ए को एच द्वारा परिभाषित किया गया है


 * $$A(\varphi) = \int_{\mathbf{R}} \lambda \,d\pi(\lambda)(\varphi),$$

जो अधिक पठनीय रूप लेता है


 * $$A(\varphi) = \sum_i \lambda_i \pi({\lambda_i})(\varphi)$$

अगर का समर्थन π R का एक पृथक उपसमुच्चय है।

उपरोक्त ऑपरेटर ए को वर्णक्रमीय माप से जुड़ा अवलोकनीय कहा जाता है।

इस प्रकार प्राप्त किसी भी ऑपरेटर को क्वांटम यांत्रिकी में अवलोकनीय कहा जाता है।

सामान्यीकरण
प्रक्षेपण-मूल्य माप के विचार को सकारात्मक ऑपरेटर-मूल्य माप (पीओवीएम) द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है, जहां प्रक्षेपण ऑपरेटरों द्वारा निहित ऑर्थोगोनलिटी की आवश्यकता को ऑपरेटरों के एक सेट के विचार से प्रतिस्थापित किया जाता है जो एकता का एक गैर-ऑर्थोगोनल विभाजन है. यह सामान्यीकरण क्वांटम सूचना सिद्धांत के अनुप्रयोगों से प्रेरित है।

यह भी देखें

 * वर्णक्रमीय प्रमेय
 * कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों का वर्णक्रमीय सिद्धांत
 * सामान्य C*-बीजगणित का वर्णक्रमीय सिद्धांत

संदर्भ

 * Mackey, G. W., The Theory of Unitary Group Representations, The University of Chicago Press, 1976
 * M. Reed and B. Simon, Methods of Mathematical Physics, vols I–IV, Academic Press 1972.
 * G. Teschl, Mathematical Methods in Quantum Mechanics with Applications to Schrödinger Operators, https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/, American Mathematical Society, 2009.
 * Varadarajan, V. S., Geometry of Quantum Theory V2, Springer Verlag, 1970.
 * G. Teschl, Mathematical Methods in Quantum Mechanics with Applications to Schrödinger Operators, https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/, American Mathematical Society, 2009.
 * Varadarajan, V. S., Geometry of Quantum Theory V2, Springer Verlag, 1970.
 * G. Teschl, Mathematical Methods in Quantum Mechanics with Applications to Schrödinger Operators, https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/, American Mathematical Society, 2009.
 * Varadarajan, V. S., Geometry of Quantum Theory V2, Springer Verlag, 1970.
 * Varadarajan, V. S., Geometry of Quantum Theory V2, Springer Verlag, 1970.