धनात्मक समुच्चय सिद्धांत

गणितीय तर्क में, सकारात्मक सेट सिद्धांत वैकल्पिक सेट सिद्धांत के एक वर्ग का नाम है जिसमें समझ का सिद्धांत कम से कम सकारात्मक सूत्रों के लिए होता है $$\phi$$ (सूत्रों का सबसे छोटा वर्ग जिसमें परमाणु सदस्यता और समानता सूत्र शामिल हैं और संयोजन, विच्छेदन, अस्तित्वगत और सार्वभौमिक परिमाणीकरण के तहत बंद हैं)।

आमतौर पर, इन सिद्धांतों की प्रेरणा टोपोलॉजिकल है: सेट वे कक्षाएं हैं जो एक निश्चित टोपोलॉजी के तहत बंद हैं। सकारात्मक सूत्रों के निर्माण में अनुमत विभिन्न निर्माणों के लिए बंद करने की शर्तें आसानी से प्रेरित होती हैं (और कोई भी सामान्यीकृत सकारात्मक समझ प्राप्त करने के लिए सेट में बंधे सार्वभौमिक क्वांटिफायर के उपयोग को उचित ठहरा सकता है): अस्तित्वगत क्वांटिफायर के औचित्य के लिए यह आवश्यक लगता है कि टोपोलॉजी सघन स्थान रिक्त स्थान

अभिगृहीत
समुच्चय सिद्धांत $$\mathrm{GPK}^+_\infty$$ ओलिवियर एस्सेर के निम्नलिखित सिद्धांत शामिल हैं:

विस्तृतता का सिद्धांत
$$\forall x \forall y (\forall z (z \in x \leftrightarrow z \in y) \to x = y)$$

समझ का सकारात्मक सिद्धांत
$$\exists x \forall y (y \in x \leftrightarrow \phi(y))$$ कहाँ $$\phi$$ एक सकारात्मक सूत्र है. एक सकारात्मक सूत्र केवल तार्किक स्थिरांक का उपयोग करता है $$\{\top, \bot, \land, \lor, \forall, \exists, =, \in\}$$ लेकिन नहीं $$\{\to, \neg\}$$.

टोपोलॉजिकल क्लोजर
$$\exists x \forall y (y \in x \leftrightarrow \forall z (\forall w (\phi(w) \rightarrow w \in z) \rightarrow y \in z))$$ कहाँ $$\phi$$ एक सूत्र है. यानी हर फॉर्मूले के लिए $$\phi$$, सभी सेटों का प्रतिच्छेदन जिसमें प्रत्येक शामिल है $$x$$ ऐसा है कि $$\phi(x)$$ मौजूद। इसे का समापन कहा जाता है $$\{x \mid \phi(x)\}$$ और विभिन्न तरीकों में से किसी एक में लिखा गया है जिससे टोपोलॉजिकल क्लोजर प्रस्तुत किया जा सकता है। इसे अधिक संक्षेप में रखा जा सकता है यदि वर्ग भाषा की अनुमति है (वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट सिद्धांत के अनुसार वर्ग को परिभाषित करने वाले सेट पर कोई भी शर्त): किसी भी वर्ग सी के लिए एक सेट होता है जो सभी सेटों का प्रतिच्छेदन होता है जिसमें सी एक उपवर्ग के रूप में होता है। यदि सेट को टोपोलॉजी में बंद कक्षाओं के रूप में समझा जाता है तो यह एक उचित सिद्धांत है।

अनंत का अभिगृहीत
जॉन वॉन न्यूमैन क्रमसूचक संख्या $$\omega$$ मौजूद। यह सामान्य अर्थों में अनंत का एक सिद्धांत नहीं है; यदि अनंत धारण नहीं करता है, तो बंद हो जाना $$\omega$$ अस्तित्व में है और स्वयं ही इसका एकमात्र अतिरिक्त सदस्य है (यह निश्चित रूप से अनंत है); इस स्वयंसिद्ध का मुद्दा यह है $$\omega$$ इसमें कोई भी अतिरिक्त तत्व शामिल नहीं है, जो सिद्धांत को दूसरे क्रम के अंकगणित की ताकत से मोर्स-केली सेट सिद्धांत की ताकत तक बढ़ा देता है, जिसमें उचित वर्ग क्रमसूचक एक कमजोर रूप से कॉम्पैक्ट कार्डिनल होता है।

दिलचस्प गुण

 * इस सिद्धांत में सार्वत्रिक समुच्चय एक उचित समुच्चय है।
 * इस सिद्धांत के सेट उन सेटों का संग्रह हैं जो कक्षाओं पर एक निश्चित टोपोलॉजी के तहत बंद हैं।
 * सिद्धांत ZFC की व्याख्या कर सकता है (स्वयं को अच्छी तरह से स्थापित सेटों के वर्ग तक सीमित करके, जो स्वयं एक सेट नहीं है)। यह वास्तव में एक मजबूत सिद्धांत की व्याख्या करता है (मोर्स-केली सेट सिद्धांत उचित वर्ग क्रमसूचक एक कमजोर कॉम्पैक्ट कार्डिनल के साथ)।

शोधकर्ता

 * इसहाक मालित्ज़ ने मूल रूप से यूसीएलए में अपनी 1976 की पीएचडी थीसिस में पॉजिटिव सेट थ्योरी पेश की
 * अलोंजो चर्च उपरोक्त थीसिस की देखरेख करने वाली समिति का अध्यक्ष था
 * ओलिवियर एसेर इस क्षेत्र में सबसे अधिक सक्रिय नजर आते हैं।

यह भी देखें

 * डब्ल्यू. वी. क्वीन द्वारा नई नींव