कॉन्फिडेंस इंटरवल

फ्रीक्वेंटिस्ट सांख्यिकी में, कॉन्फिडेंस इंटरवल (सीआई) या कॉन्फिडेंस अंतराल एक अज्ञात पैरामीटर के लिए अनुमानों का एक सीमा विस्तार है। कॉन्फिडेंस अंतराल की गणना निर्दिष्ट कॉन्फिडेंस स्तर पर की जाती है; 95% कॉन्फिडेंस का स्तर सर्वाधिक साधारण है, लेकिन कभी-कभी 90% या 99% जैसे अन्य स्तरों का भी उपयोग किया जाता है। कॉन्फिडेंस स्तर, डिग्री ऑफ़ कॉन्फिडेंस या कॉन्फिडेंस गुणांक उस समय से जुड़ता है जब किसी कॉन्फिडेंस स्तर पर सीआई का आयोजन सैद्धांतिक रूप से पैरामीटर के वास्तविक मान को समावेश करने वाले सीआई (कॉन्फिडेंस स्तर) की दर होती है; यह अभिहित समावेशन प्रायिकता (नॉमिनल कवरेज प्रोबेबिलिटी) के समकक्ष होती है। उदाहरण के लिए, 95% स्तर पर गणना की गई सभी सीमाओं में से, 95% में से उनमें से पैरामीटर के वास्तविक मान को समावेश करने वाले होने चाहिए।

सीआई की विड्थ पर प्रभाव डालने वाले कारक सैंपल साइज, सैंपल में परिवर्तनशीलता (वैरिएबिलिटी) और कॉन्फिडेंस स्तर सम्मिलित करते हैं। अन्य सब कुछ बराबर होने के बाद भी, एक बड़ा सैंपल, संकीर्ण सीमा को संकुचित करता है, सैंपल में अधिक परिवर्तनशीलता एक व्यापक सीमा को उत्पन्न करती है, और उच्च कॉन्फिडेंस स्तर व्यापक सीमा को उत्पन्न करता है।

परिभाषा
मान लीजिए कि $X$ सांख्यिकीय पैरामीटर $θ$ के साथ प्रायिकता बंटन से एक यादृच्छिक सैंपल होता है, जो प्राक्कलन योग्य मात्रा है, और $φ$, उन मात्राओं का प्रतिनिधित्व करता है जो तत्काल रुचि की नहीं हैं। कॉन्फिडेंस स्तर या गुणांक $γ$ के साथ पैरामीटर $θ$ के लिए एक कॉन्फिडेंस अंतराल, एक अंतराल$$\ (\ u(X), v(X)\ )\ $$है, जो निम्न गुणधर्मों के साथ यादृच्छिक चर $$\ u(X)\ $$और$$\ v(X)\ $$द्वारा निर्धारित होता है:
 * $$ \Pr \{\ u(X) < \theta < v(X)\ \}\ =\ \gamma \quad \text{ for every } (\theta,\varphi) ~.$$

संख्या $γ$, जिसका सामान्य मान 1 के निकट होता है, कभी-कभी$$\ 1 - \alpha\ $$के रूप में दी जाती है (या प्रतिशत$$\ 100%\cdot( 1 - \alpha )\ $$के रूप में, जहां$$\ \alpha\ $$एक छोटी धनात्मक संख्या है, प्रायः 0.05 होती है।

इसके लिए महत्वपूर्ण है कि सीमाएं $$\ u(X)\ $$और$$\ v(X)\ $$इस प्रकार निर्दिष्ट की जाएं कि जब तक $X$ को यादृच्छिक रूप से नहीं लिया जाता है, प्रत्येक बार हम कॉन्फिडेंस अंतराल की गणना करते हैं, तब $γ$ की प्रायिकता होती है कि इसमें $θ$, मापित पैरामीटर का वास्तविक मान, सम्मिलित होगा। यह किसी भी वास्तविक $θ$ और $φ$ के लिए सत्य होना चाहिए।

सन्निकट कॉन्फिडेंस अंतराल
कई अनुप्रयोगों में, बिल्कुल आवश्यक कॉन्फिडेंस स्तर वाले कॉन्फिडेंस अंतरालों का निर्माण करना कठिन होता है, लेकिन प्राक्कलनित अंतरालों की गणना की जा सकती है। अंतराल के निर्माण के नियम को स्तर $$\gamma$$ पर कॉन्फिडेंस अंतराल प्रदान करने के रूप में स्वीकार किया जा सकता है यदि


 * $$ \Pr \{\ u(X) < \theta<v(X)\ \}\ \approx\ \gamma \quad \text{ for every }(\theta,\varphi)$$

सन्निकटन के स्वीकार्य स्तर तक। वैकल्पिक रूप से, कुछ लेखकों को इसकी बस आवश्यकता होती है


 * $$ \Pr \{\ u(X) < \theta < v(X)\ \}\ \ge\ \gamma \quad \text{ for every }(\theta,\varphi) ~,$$

यह उपयोगी होता है जब प्रायिकताएँ केवल आंशिक रूप से पहचानी जाती हैं या अस्पष्ट होती हैं, और साथ ही अलग-अलग वितरणों के साथ काम करने पर भी। फॉर्म की कॉन्फिडेंस सीमाएँ


 * $$ \Pr \{\ u(X) < \theta\ \}\ \ge\ \gamma ~$$ और $$ \Pr \{\ \theta < v(X)\ \} \ge \gamma ~$$

संरक्षी (कन्सेर्वेटिव) कहा जाता है; तदनुसार, कोई संरक्षी कॉन्फिडेंस अंतराल और, सामान्य तौर पर, क्षेत्रों की बात करता है।

वांछित गुण
मानक सांख्यिकीय प्रक्रियाओं को लागू करते समय, सामान्यतः कॉन्फिडेंस के आधार पर कॉन्फिडेंस अंतराल निर्माण की मानक विधियाँ होती हैं। इन्हें कुछ वांछनीय गुणों को पूरा करने के लिए तैयार किया गया होगा, जो यह माना जाएगा कि जिन मान्यताओं पर प्रक्रिया निर्भर करती है वे सत्य हैं। इन आवश्यक गुणों को वैधता (वैलिडिटी), इष्टतमता (ऑप्टिमैलिटी) और अपरिवर्तनीयता (इनवेरिएंस) के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

इन तीनों में से, "वैधता" सबसे महत्वपूर्ण है, इसके बाद "इष्टतमता" आती है। अंतराल के निर्माण के नियम के बजाय, "अपरिवर्तनीयता" को कॉन्फिडेंस अंतराल की व्युत्पत्ति की विधि की एक गुणधर्म के रूप में माना जा सकता है। गैर-मानक अनुप्रयोगों में, इन्हीं वांछनीय गुणों की खोज की जाएगी:

वैधता
इसका अर्थ यह है कि कॉन्फिडेंस अंतराल की अभिहित समावेशन प्रायिकता (कॉन्फिडेंस स्तर) या तो पूर्णतः या अच्छे सन्निकटन पर होनी चाहिए।

इष्टतमता
इसका अर्थ यह है कि कॉन्फिडेंस अंतराल के निर्माण के नियम में डेटा-सेट में विद्यमान जानकारी का यथासंभव अधिक उपयोग किया जाना चाहिए।

याद रखें कि कोई डेटासेट का आधा हिस्सा फेंक सकता है और फिर भी एक वैध कॉन्फिडेंस अंतराल प्राप्त करने में सक्षम हो सकता है। इष्टतमता का आकलन करने की एक विधि अंतराल की लंबाई है ताकि कॉन्फिडेंस अंतराल का निर्माण करने का नियम ऐसा हो जिसके परिणामस्वरूप अंतराल की लंबाई सामान्यतः कम होती है, तो इसे दूसरे नियमों से बेहतर माना जाता है।

अपरिवर्तनीयता
कई अनुप्रयोगों में, प्राक्कलनित मात्रा ऐसे रूप में संगठित रूप से परिभाषित नहीं किया जा सकता है।

उदाहरण के रूप में, किसी सर्वेक्षण के परिणामस्वरूप किसी जनसंख्या में औसत आय का प्राक्कलन लगाया जा सकता है, लेकिन यह उसे यदि यह ग्राफिकल परिणाम प्रस्तुत करने के लिए एक सामान्य माप के रूप में देखा जा सकता है, तो इसे आय के आदर्श के लघुगणक की एक अनुमानित मात्रा के रूप में भी माना जा सकता है। यह वांछनीय होगा कि औसत आय के लिए कॉन्फिडेंस अंतराल के निर्माण के लिए उपयोग की जाने वाली विधि, औसत आय के लघुगणक के लिए कॉन्फिडेंस अंतराल के निर्माण के लिए लागू होने पर समान परिणाम देगी: विशेष रूप से, इसके अंतराल के अंतों पर मौजूद मानों के लघुगणक होंगे जो पहले अंतराल के अंतों पर विद्यमान मानों के लघुगणक होंगे।

व्युत्पत्ति की विधियाँ
गैर-मानक अनुप्रयोगों के लिए, ऐसे कई मार्ग हैं जिनका उपयोग कॉन्फिडेंस अंतराल के निर्माण के लिए एक नियम प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। मानक प्रक्रियाओं के लिए स्थापित नियमों को इनमें से कई मार्गों के माध्यम से उचित ठहराया जा सकता है या समझाया जा सकता है। सामान्यतः कॉन्फिडेंस अंतराल के निर्माण के लिए एक नियम विचाराधीन मात्रा के बिंदु प्राक्कलन को खोजने के एक विशिष्ट विधि से निकटता से जुड़ा हुआ है।

संक्षिप्त सांख्यिकी (समरी स्टैटिस्टिक्स)
यह प्राक्कलन के लिए क्षणों की विधि से निकटता से संबंधित है। एक सरल उदाहरण सामने आता है जहां प्राक्कलनित की जाने वाली मात्रा जनसंख्या माध्य है, उस स्थिति में प्राकृतिक प्राक्कलन सैंपल माध्य है। इसी तरह, सैंपल विचरण का उपयोग जनसंख्या विचरण का प्राक्कलन के लिए किया जा सकता है। सही माध्य के लिए एक कॉन्फिडेंस अंतराल का निर्माण सैंपल माध्य पर केंद्रित किया जा सकता है, जिसकी विड्थ सैंपल विचरण के वर्गमूल का गुणक है।

प्रायिकता सिद्धांत
प्राक्कलनों का निर्माण अधिकतम संभावना सिद्धांत का उपयोग करके किया जा सकता है, इसके लिए प्रायिकता सिद्धांत प्राक्कलनों के लिए कॉन्फिडेंस अंतराल या कॉन्फिडेंस क्षेत्रों के निर्माण के दो तरीके प्रदान करता है।

समीकरणों का प्राक्कलन
यहां प्राक्कलन दृष्टिकोण को क्षणों की विधि का सामान्यीकरण और अधिकतम प्रायिकता दृष्टिकोण का सामान्यीकरण दोनों माना जा सकता है। अधिकतम प्रायिकता सिद्धांत के परिणामों के अनुरूप सामान्यीकरण हैं जो समीकरणों के आकलन से प्राप्त प्राक्कलनों के आधार पर कॉन्फिडेंस अंतराल का निर्माण करने की अनुमति देते हैं।

परिकल्पना परीक्षण
यदि किसी पैरामीटर के सामान्य मानों के लिए परिकल्पना परीक्षण उपलब्ध हैं, तो100 $p$ %कॉन्फिडेंस क्षेत्र में उन सभी बिंदुओं को सम्मिलित करके कॉन्फिडेंस अंतराल/क्षेत्रों का निर्माण किया जा सकता है, जिनके लिए नल परिकल्पना की परिकल्पना परीक्षण है कि सही मूल्य दिया गया मूल्य है (1 − $p$) के महत्व स्तर पर बहिष्कृत नहीं किया गया।

बूटस्ट्रैपिंग
ऐसी स्थितियों में जहां उपरोक्त विधियों के लिए वितरण संबंधी धारणाएं अनिश्चित या उल्लंघनित हैं, पुन: सैंपलकरण विधियां कॉन्फिडेंस अंतराल या भविष्यवाणी अंतराल के निर्माण की अनुमति देती हैं। देखे गए डेटा वितरण और आंतरिक सहसंबंधों को व्यापक जनसंख्या में सहसंबंधों के लिए सरोगेट के रूप में उपयोग किया जाता है।

केंद्रीय सीमा प्रमेय
केंद्रीय सीमा प्रमेय बड़ी संख्या के नियम का परिशोधन है। बड़ी संख्या में स्वतंत्र रूप से समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर $$\ X_1, ..., X_n\ ,$$ के लिए परिमित विचरण के साथ, औसत$$\ \overline{X}_n\ $$का लगभग एक सामान्य वितरण होता है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि$$\ X_i\ $$का वितरण क्या है, सन्निकटन में लगभग$$\ \sqrt{n\ }$$ के अनुपात में सुधार होता है।

उदाहरण
मान लीजिए कि $${\displaystyle {X_{1},\ldots ,X_{n}}}$$ एक स्वतंत्र सैंपल है जो अज्ञात पैरामीटर रूप में माध्यिक $$\mu $$ और विचरण $${\displaystyle \sigma ^{2}}$$ वाली एक सामान्य वितरण जनसंख्या से लिया गया है।


 * $$\bar{X}=(X_1+\cdots+X_n)/n\,,$$
 * $$S^2=\frac 1 {n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X}\,)^2.$$

जहां सैंपल माध्य है, और $$S^{2}$$ सैंपल भिन्नता है। तब


 * $$T=\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}$$

इसमें विद्यार्थी का t वितरण $$n-1 $$ डिग्री स्वतंत्रता के साथ है। ध्यान दें कि $$T$$ का वितरण अप्राप्य पैरामीटर $$\mu $$ और $${\displaystyle \sigma ^{2}}$$ के मानों पर निर्भर नहीं करता है; अर्थात्, यह एक महत्वपूर्ण मात्रा है। मान लीजिए हम $$\mu $$ के लिए 95% कॉन्फिडेंस अंतराल की गणना करना चाहते हैं। फिर, $$c$$ को इस वितरण के 97.5वें प्रतिशतक के रूप में दर्शाते हुए,


 * $$\Pr(-c\le T \le c)=0.95$$

ध्यान दें कि "97.5वाँ" और "0.95" पूर्ववर्ती अभिव्यक्तियों में सही हैं। 2.5% प्रायिकता है कि $$T$$, $$-c$$ से कम होगा और 2.5% प्रायिकता है कि यह $$+c$$ से बड़ा होगा। इस प्रकार, $$T$$, $$-c$$ और $$+c$$ के बीच होगा इसकी प्रायिकता 95% है।

फलस्वरूप,


 * $$\Pr\left(\bar{X} - \frac{cS}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{X} + \frac{cS}{\sqrt{n}} \right)=0.95\,$$

और हमारे पास $$\mu $$ के लिए सैद्धांतिक (स्टोकेस्टिक) 95% कॉन्फिडेंस अंतराल है।

सैंपल का अवलोकन करने के बाद हमें $${\bar {X}}$$ के लिए $${\bar {x}}$$ और $$S$$ के लिए $$s$$ मान मिलते हैं, जिससे हम कॉन्फिडेंस अंतराल की गणना करते हैं
 * $$ \left[ \bar{x} - \frac{cs}{\sqrt{n}}, \bar{x} + \frac{cs}{\sqrt{n}} \right]. $$

Confidenceinterval.svg में, भूरे रंग की पट्टियों के शीर्ष सिरे प्रेक्षित साधनों को दर्शाते हैं और लाल रेखा खंड ("त्रुटि बार") उनके चारों ओर कॉन्फिडेंस अंतराल का प्रतिनिधित्व करते हैं। हालाँकि त्रुटि बार माध्य के चारों ओर सममित रूप में दिखाई जाती हैं, लेकिन हमेशा ऐसा नहीं होता है। अधिकांश ग्राफ़ में, त्रुटि बार कॉन्फिडेंस अंतराल का प्रतिनिधित्व नहीं करती हैं (उदाहरण के लिए, वे प्रायः मानक त्रुटियों या मानक विचलन का प्रतिनिधित्व करते हैं)।

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व्याख्या
कॉन्फिडेंस अंतराल की विभिन्न व्याख्याएँ दी जा सकती हैं (निम्नलिखित में उदाहरण के रूप में 95% कॉन्फिडेंस अंतराल लेते हुए)।


 * कॉन्फिडेंस अंतराल को दोहराए गए सैंपल (या पुनर्सैंपलकरण) में दीर्घकालिक आवृत्ति के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है: "यदि इस प्रक्रिया को कई सैंपल पर पुनरावृत किया जाता है, तो जनसंख्या पैरामीटर के वास्तविक मूल्य को सम्मिलित करने वाले गणना किए गए 95% कॉन्फिडेंस अंतराल का अनुपात 95% हो जाएगा।"
 * कॉन्फिडेंस अंतराल को एकल सैद्धांतिक (अभी तक साकार नहीं हुआ) सैंपल के संबंध में प्रायिकता के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है: "95% प्रायिकता है कि किसी दिए गए भविष्य के सैंपल से गणना की गई 95% कॉन्फिडेंस अंतराल जनसंख्या पैरामीटर के सही मूल्य को कवर करेगी।" यह अनिवार्य रूप से "पुनरावृत किए गए सैंपल" की व्याख्या को आवृत्ति के बजाय प्रायिकता के रूप में पुनः परिभाषित करता है।
 * कॉन्फिडेंस अंतराल को सांख्यिकीय महत्व के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, उदाहरण के लिए: "95% कॉन्फिडेंस अंतराल उन मूल्यों का प्रतिनिधित्व करता है जो .05 स्तर पर बिंदु प्राक्कलन से सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण रूप से भिन्न नहीं हैं।"



सामान्य मिथ्याबोध


कॉन्फिडेंस के अंतराल और स्तरों को प्रायः गलत समझा जाता है, और प्रकाशित अध्ययनों से पता चला है कि वृत्तिक वैज्ञानिक भी प्रायः उनकी गलत व्याख्या करते हैं।


 * 95% कॉन्फिडेंस स्तर का अर्थ यह नहीं है कि किसी दिए गए एहसास अंतराल के लिए 95% प्रायिकता है कि जनसंख्या पैरामीटर अंतराल के भीतर है (अर्थात, 95% प्रायिकता है कि अंतराल जनसंख्या पैरामीटर को कवर करता है)। सख्त बारंबारतावादी व्याख्या के अनुसार, एक बार अंतराल की गणना करने के बाद, यह अंतराल या तो पैरामीटर मान को कवर करता है या नहीं; यह अब प्रायिकता का मामला नहीं है। 95% प्रायिकता प्राक्कलन प्रक्रिया की विश्वसनीयता से संबंधित है, किसी विशिष्ट गणना अंतराल से नहीं। नेमन ने स्वयं (कॉन्फिडेंस अंतराल के मूल प्रस्तावक) ने अपने मूल पेपर में यह बात कही थी: "यह देखा जाएगा कि उपरोक्त विवरण में, प्रायिकता कथन प्राक्कलन की उन समस्याओं का उल्लेख करते हैं जिनसे सांख्यिकीविद् भविष्य में चिंतित होंगे। दरअसल, मैंने बार-बार कहा है कि सही परिणामों की आवृत्ति α की ओर प्रवृत्त होगी। अब उस मामले पर विचार करें जब एक सैंपल पहले ही तैयार किया जा चुका है, और गणना में [विशेष सीमाएं] दी गई हैं। क्या हम कह सकते हैं कि इस विशेष मामले में वास्तविक मान की प्रायिकता [इन सीमाओं के बीच गिरने] α के बराबर है? उत्तर स्पष्ट रूप से नकारात्मक है. पैरामीटर एक अज्ञात स्थिरांक है, और इसके मान से संबंधित कोई प्रायिकता कथन नहीं दिया जा सकता है..."डेबोरा मेयो इस पर आगे इस प्रकार विस्तार करती है:


 * "हालाँकि, इस बात पर जोर दिया जाना चाहिए कि [डेटा के] मूल्य को देखने के बाद, नेमैन-पियर्सन सिद्धांत कभी भी किसी को यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति नहीं देता है कि गठित विशिष्ट कॉन्फिडेंस अंतराल 0 के वास्तविक मूल्य को (1 − α) 100% प्रायिकता के साथ कवर करता है या (1 − α) 100% कॉन्फिडेंस की डिग्री। सेडेनफेल्ड की टिप्पणी नेमैन-पियर्सन कॉन्फिडेंस अंतराल के लिए कुछ ऐसा प्रदान करने की इच्छा (असामान्य नहीं) में निहित प्रतीत होती है जिसे वे वैध रूप से प्रदान नहीं कर सकते हैं; अर्थात्, प्रायिकता, कॉन्फिडेंस या समर्थन की डिग्री का एक माप कि एक अज्ञात पैरामीटर मान एक विशिष्ट अंतराल में स्थित है। सैवेज (1962) के बाद, एक पैरामीटर के एक विशिष्ट अंतराल में होने की प्रायिकता को अंतिम यथार्थता के माप के रूप में संदर्भित किया जा सकता है। हालांकि अंतिम परिशुद्धता का एक माप वांछनीय लग सकता है, और जबकि कॉन्फिडेंस के स्तर को प्रायः (गलत तरीके से) ऐसे उपाय प्रदान करने के रूप में व्याख्या की जाती है, ऐसी कोई व्याख्या उचित नहीं है। माना कि इस तरह की गलत व्याख्या को 'कॉन्फिडेंस' शब्द से बढ़ावा मिलता है।"


 * 95% कॉन्फिडेंस स्तर का अर्थ यह नहीं है कि सैंपल डेटा का 95% कॉन्फिडेंस अंतराल के भीतर है।
 * कॉन्फिडेंस अंतराल सैंपल पैरामीटर के लिए प्रशंसनीय मूल्यों की एक निश्चित सीमा नहीं है, हालांकि इसे प्रायः प्रशंसनीय मूल्यों की एक श्रृंखला के रूप में लिया जाता है।
 * प्रयोग से गणना किए गए 95% के विशेष कॉन्फिडेंस स्तर का अर्थ यह नहीं है कि इस अंतराल के भीतर आने वाले प्रयोग के दोहराव से सैंपल पैरामीटर की 95% प्रायिकता है।

प्रति उदाहरण
चूंकि कॉन्फिडेंस अंतराल सिद्धांत प्रस्तावित किया गया था, इसलिए सिद्धांत के कई प्रति-उदाहरण यह दिखाने के लिए विकसित किए गए हैं कि कॉन्फिडेंस अंतराल की व्याख्या कैसे समस्याग्रस्त हो सकती है, कम से कम अगर कोई उन्हें भोलेपन से व्याख्या करता है।

यूनिफार्म लोकेशन के लिए कॉन्फिडेंस प्रक्रिया
वेल्च ने एक उदाहरण प्रस्तुत किया जो स्पष्ट रूप से कॉन्फिडेंस अंतराल के सिद्धांत और अंतराल प्राक्कलन के अन्य सिद्धांतों (फिशर के फिडुशियल अंतराल और उद्देश्य बायेसियन अंतराल सहित) के बीच अंतर दिखाता है। रॉबिन्सन ने इस उदाहरण को "[पी]संभवतः नेमैन के कॉन्फिडेंस अंतराल सिद्धांत के संस्करण के लिए सबसे प्रसिद्ध प्रतिउदाहरण कहा है।" वेल्च के लिए, इसने कॉन्फिडेंस अंतराल सिद्धांत की श्रेष्ठता को दर्शाया; सिद्धांत के आलोचकों के लिए, यह कमी दर्शाता है। यहां हम एक सरलीकृत संस्करण प्रस्तुत करते हैं।

मान लीजिए कि $$X_1,X_2$$ एक समान (θ − 1/2, θ + 1/2) वितरण से स्वतंत्र अवलोकन हैं। फिर $$\theta$$ के लिए इष्टतम 50% कॉन्फिडेंस प्रक्रिया है
 * $$\bar{X} \pm \begin{cases}

\dfrac{|X_1-X_2|}{2} & \text{if } |X_1-X_2| < 1/2 \\[8pt] \dfrac{1-|X_1-X_2|}{2} &\text{if } |X_1-X_2| \geq 1/2. \end{cases} $$ अंतराल प्राक्कलन प्राप्त करने के लिए एक प्रत्ययी या उद्देश्य बायेसियन तर्क का उपयोग किया जा सकता है
 * $$\bar{X} \pm \frac{1-|X_1-X_2|}{4},$$

जो कि 50% कॉन्फिडेंस प्रक्रिया भी है। वेल्च ने दिखाया कि कॉन्फिडेंस अंतराल सिद्धांत से डेसिडरेटा के अनुसार, पहली कॉन्फिडेंस प्रक्रिया दूसरे पर हावी है; प्रत्येक $$\theta_1\neq\theta$$ के लिए, पहली प्रक्रिया में $$\theta_1$$होने की प्रायिकता दूसरी प्रक्रिया में $$\theta_1$$ होने की प्रायिकता से कम या उसके बराबर है। पहली प्रक्रिया से अंतराल की औसत विड्थ दूसरी से कम है। इसलिए, शास्त्रीय कॉन्फिडेंस अंतराल सिद्धांत के अंतर्गत पहली प्रक्रिया को प्राथमिकता दी जाती है।

हालाँकि, जब $$ |X_1-X_2| \geq 1/2$$, पहली प्रक्रिया के अंतरालों में सही मान $$\theta$$ सम्मिलित होने की गारंटी होती है: इसलिए, नाममात्र 50% कॉन्फिडेंस गुणांक उस अनिश्चितता से असंबंधित है जो हमारे पास होनी चाहिए कि एक विशिष्ट अंतराल में सही मान सम्मिलित है। दूसरी प्रक्रिया में यह गुणधर्म नहीं है।

इसके अतिरिक्त, जब पहली प्रक्रिया बहुत कम अंतराल उत्पन्न करती है, तो यह इंगित करता है कि $$X_1,X_2$$ एक साथ बहुत करीब हैं और इसलिए केवल एक डेटा बिंदु में जानकारी प्रदान करते हैं। फिर भी पहला अंतराल अपनी छोटी विड्थ के कारण पैरामीटर के लगभग सभी उचित मूल्यों को बाहर कर देगा। दूसरी प्रक्रिया में यह गुणधर्म नहीं है।

पहली प्रक्रिया के दो प्रति-सहज ज्ञान युक्त गुण - 100% कवरेज जब $$X_1,X_2$$ दूर हों और लगभग 0% कवरेज जब $$X_1,X_2$$ एक साथ करीब हों - औसतन 50% कवरेज प्राप्त करने के लिए संतुलित होते हैं। हालाँकि, पहली प्रक्रिया इष्टतम होने के अतिरिक्त, इसके अंतराल न तो प्राक्कलन की यथार्थता का आकलन प्रदान करते हैं और न ही अनिश्चितता का आकलन करते हैं कि अंतराल में सही मूल्य सम्मिलित होना चाहिए।

यह काउंटर-उदाहरण सुरक्षा अंतरालों के नैविक व्याख्यानों के खिलाफ वाद करने के लिए प्रयोग किया जाता है। यदि किसी सुरक्षा प्रक्रिया को मानयिका शाम्यता के पार की गुणवत्ता (जैसे संबंध प्रेसिजन के साथ, या बेज़ियाई अनुसंधान के साथ का संबंध) के रूप में दावा किया जाता है, तो उन गुणवत्ताओं को साबित करना आवश्यक है; वे यहां निर्धारित नियमित कवरेज के अतिरिक्त गुणवत्ताओं से प्राप्त नहीं होते हैं। इसका अर्थ यह है कि एक प्रक्रिया जो सुरक्षा प्रक्रिया है, वह केवल एक सुरक्षा प्रक्रिया होने के कारण ही उपरोक्त गुणवत्ताओं के साथ संबद्ध नहीं हो जाती है।

ω2 के लिए कॉन्फिडेंस प्रक्रिया
स्टीगर ने एएनओवीए में सामान्य प्रभाव आकार माप के लिए कई आत्मकॉन्फिडेंस प्रक्रियाओं का सुझाव दिया। मोरे एट अल. ने इस बात का संकेत दिया है कि इनमें से कई कॉन्फिडेंस प्रक्रिया में, जिनमें ω2 के लिए एक है, एक गुणवत्ता होती है कि F सांख्यिकी अधिक से अधिक छोटा होता है — जो ω2 के सभी संभावित मानों के साथ मिलान नहीं करता है — तो कॉन्फिडेंस सीमा संकुचित हो जाती है और केवल एकल मान ω2 = 0 को ही समावेश कर सकती है; अर्थात्, सीमा असंख्यता संकुचित हो जाती है (जब $$p\geq1-\alpha/2$$ के लिए $$100(1-\alpha)\%$$ होता है)।

यह व्यवहार कॉन्फिडेंस प्रक्रिया और महत्व परीक्षण के बीच के संबंध के अनुरूप है: चूंकि F इतना छोटा हो जाता है कि समूह के साधन एक साथ बहुत करीब हो जाते हैं जितना हम संयोग से उम्मीद करेंगे, एक महत्व परीक्षण ω2 के अधिकांश या सभी मूल्यों के लिए अस्वीकृति का संकेत दे सकता है। इसलिए अंतराल बहुत संकीर्ण या यहां तक कि खाली होगा (या, स्टीगर द्वारा सुझाई गई परंपरा के अनुसार, जिसमें केवल 0 होगा)। हालाँकि, इससे यह संकेत नहीं मिलता कि ω2 का प्राक्कलन बहुत यथार्थ है। एक तरह से, यह विपरीत संकेत देता है: कि परिणामों की विश्वसनीयता स्वयं संदेह में हो सकती है। यह कॉन्फिडेंस अंतराल की आम व्याख्या के विपरीत है कि वे प्राक्कलन की यथार्थता को प्रकट करते हैं।

इतिहास
द्विपद अनुपात के लिए कॉन्फिडेंस अंतराल की गणना के तरीके 1920 के दशक से सामने आए। सामान्य रूप से कॉन्फिडेंस अंतराल के मुख्य विचार 1930 के दशक की शुरुआत में विकसित किए गए थे,  और पहला संपूर्ण और सामान्य विवरण जेरज़ी नेमन द्वारा 1937 में दिया गया था।

नेमैन ने विचारों के विकास का वर्णन इस प्रकार किया (संदर्भ संख्याएँ बदल दी गई हैं):

[मेरे कॉन्फिडेंस अंतराल पर काम] लगभग 1930 के आसपास प्रारंभ हुआ था वाक्लाव पाइटकोव्स्की के एक सरल सवाल से, जो उस समय वारसा में मेरा छात्र था और कृषि अर्थशास्त्र में एक प्रयोगशील अध्ययन में लगा हुआ था। सवाल था: एक प्राक्कलनित प्रतिगमन गुणांक की यथार्थता को गैर-हठधर्मी रूप से कैसे चित्रित किया जाए? . ..

पाइटकोव्स्की का मोनोग्राफ... 1932 में छपा ऐसा हुआ कि, कुछ समय पहले, फिशर ने अपना पहला पेपर प्रकाशित किया था जो प्रत्ययी वितरण और प्रत्ययी तर्क से संबंधित था। काफी अप्रत्याशित रूप से, जबकि प्रत्ययी तर्क का वैचारिक ढांचा कॉन्फिडेंस अंतराल से पूरी तरह से अलग है, कई विशेष समस्याओं के विशिष्ट समाधान मेल खाते हैं। इस प्रकार, 1934 में प्रकाशित पहले पेपर में, जिसमें मैंने कॉन्फिडेंस अंतराल के सिद्धांत को प्रस्तुत किया था, मैंने इस विचार के लिए फिशर की प्राथमिकता को मान्यता दी थी कि बेयस प्रमेय के किसी भी संदर्भ के बिना और प्रायिकताओं से स्वतंत्र समाधान के साथ अंतराल प्राक्कलन संभव है। एक प्राथमिकता साथ ही मैंने हल्के ढंग से सुझाव दिया कि समस्या के प्रति फिशर के दृष्टिकोण में एक छोटी सी गलतफहमी सम्मिलित है।

चिकित्सा पत्रिकाओं में, कॉन्फिडेंस अंतरालों का प्रचार 1970 के दशक में किया गया, लेकिन इसका व्यापक उपयोग केवल 1980 के दशक में हुआ। 1988 तक, चिकित्सा पत्रिकाओं में कॉन्फिडेंस अंतराल की रिपोर्टिंग की आवश्यकता थी।

यह भी देखें

 * 68–95–99.7 नियम
 * कॉन्फिडेंस बैंड, किसी वक्र के लिए अंतराल का प्राक्कलन
 * , किसी उच्च विमीय सामान्यीकरण
 * - आंकड़ों में प्रयुक्त कॉन्फिडेंस की शक्ति की माप
 * कॉन्फिडेंस अंतराल, अंतराल आकलन के लिए बायेसियन विकल्प
 * - डेटा की परिवर्तनशीलता का ग्राफिकल प्रतिनिधित्व
 * - बारंबारतावादी सांख्यिकी में डेटा विश्लेषण दृष्टिकोण
 * त्रुटि का मार्जिन, सीआई आधी विड्थ
 * - देखे गए सैंपल परिणामों का कार्य
 * पूर्वानुमान अंतराल, एक यादृच्छिक चर के लिए अंतराल प्राक्कलन
 * संभावित त्रुटि
 * - किसी सैंपल के विचलन के सांख्यिकीय संकेतक
 * पूर्वानुमान अंतराल, एक यादृच्छिक चर के लिए अंतराल प्राक्कलन
 * संभावित त्रुटि
 * - किसी सैंपल के विचलन के सांख्यिकीय संकेतक

विशिष्ट वितरण के लिए कॉन्फिडेंस अंतराल

 * द्विपद बंटन के लिए कॉन्फिडेंस अंतराल
 * विद्युत कानून वितरण के प्रतिपादक के लिए कॉन्फिडेंस अंतराल
 * घातांकीय वितरण के माध्य के लिए कॉन्फिडेंस अंतराल
 * पॉसों वितरण के माध्य के लिए कॉन्फिडेंस अंतराल
 * सामान्य वितरण के माध्य और भिन्नता के लिए कॉन्फिडेंस अंतरालल

ग्रन्थसूची

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 * Smithson, M. (2003) Confidence intervals. Quantitative Applications in the Social Sciences Series, No. 140. Belmont, CA: SAGE Publications. ISBN 978-0-7619-2499-9.
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 * Smithson, M. (2003) Confidence intervals. Quantitative Applications in the Social Sciences Series, No. 140. Belmont, CA: SAGE Publications. ISBN 978-0-7619-2499-9.


 * Mehta, S. (2014) Statistics Topics ISBN 978-1-4992-7353-3

बाहरी संबंध

 * The Exploratory Software for Confidence Intervals tutorial programs that run under Excel
 * Confidence interval calculators for R-Squares, Regression Coefficients, and Regression Intercepts
 * CAUSEweb.org Many resources for teaching statistics including Confidence Intervals.
 * An interactive introduction to Confidence Intervals
 * Confidence Intervals: Confidence Level, Sample Size, and Margin of Error by Eric Schulz, the Wolfram Demonstrations Project.
 * Confidence Intervals in Public Health. Straightforward description with examples and what to do about small sample sizes or rates near 0.
 * Confidence Intervals in Public Health. Straightforward description with examples and what to do about small sample sizes or rates near 0.