बोहर-वान लीउवेन प्रमेय

बोह्र-वान लीउवेन प्रमेय में कहा गया है कि जब सांख्यिकीय यांत्रिकी और शास्त्रीय यांत्रिकी को लगातार लागू किया जाता है, तो चुंबकीयकरण का थर्मल औसत हमेशा शून्य होता है। यह ठोस पदार्थों में चुंबकत्व को केवल एक क्वांटम यांत्रिक प्रभाव बनाता है और इसका मतलब है कि शास्त्रीय भौतिकी अनुचुंबकत्व, प्रतिचुंबकत्व और लौहचुंबकत्व का हिसाब नहीं दे सकती है। triboelectricity  की व्याख्या करने में शास्त्रीय भौतिकी की अक्षमता भी बोह्र-वान लीउवेन प्रमेय से उत्पन्न होती है।

इतिहास
जिसे आज बोहर-वान लीउवेन प्रमेय के नाम से जाना जाता है, उसकी खोज नील्स बोह्र  ने 1911 में अपने डॉक्टरेट शोध प्रबंध में की थी। और बाद में हेंड्रिका जोहाना वान लीउवेन द्वारा 1919 में अपने डॉक्टरेट थीसिस में इसे फिर से खोजा गया। 1932 में, जॉन हैस्ब्रुक वान वेलेक|जे. एच. वान वेलेक ने विद्युत और चुंबकीय संवेदनशीलता पर लिखी पुस्तक में बोह्र के प्रारंभिक प्रमेय को औपचारिक रूप दिया और विस्तारित किया। इस खोज का महत्व यह है कि शास्त्रीय भौतिकी अनुचुंबकत्व, प्रतिचुंबकत्व और लौहचुंबकत्व जैसी चीजों की अनुमति नहीं देती है और इस प्रकार चुंबकीय घटनाओं को समझाने के लिए क्वांटम भौतिकी की आवश्यकता होती है। यह परिणाम, शायद अब तक का सबसे अधिक अपस्फीतिकारी प्रकाशन है, 1913 में बोहर के अर्ध-शास्त्रीय बोह्र मॉडल  के विकास में योगदान दिया हो सकता है।

एक सहज प्रमाण
बोह्र-वान लीउवेन प्रमेय एक पृथक प्रणाली पर लागू होता है जो घूम नहीं सकती। यदि पृथक प्रणाली को बाहरी रूप से लागू चुंबकीय क्षेत्र की प्रतिक्रिया में घूमने की अनुमति दी जाती है, तो यह प्रमेय लागू नहीं होता है। यदि, इसके अलावा, किसी दिए गए तापमान और क्षेत्र में थर्मल संतुलन की केवल एक ही स्थिति है, और सिस्टम को क्षेत्र लागू होने के बाद संतुलन में लौटने का समय दिया जाता है, तो कोई चुंबकीयकरण नहीं होगा।

संभावना है कि सिस्टम गति की एक निश्चित स्थिति में होगा, मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आंकड़ों के अनुसार आनुपातिक होने की भविष्यवाणी की गई है $$\exp(-U/k_\text{B} T)$$, कहाँ $$U$$ प्रणाली की ऊर्जा है, $$k_\text{B}$$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है, और $$T$$ परम तापमान है. यह ऊर्जा गतिज ऊर्जा के योग के बराबर है ($$m v^2/2$$ द्रव्यमान वाले एक कण के लिए $$m$$ और गति $$v$$) और संभावित ऊर्जा।

चुंबकीय क्षेत्र संभावित ऊर्जा में योगदान नहीं करता है। विद्युत आवेश वाले कण पर लोरेंत्ज़ बल $$q$$ और वेग $$\mathbf{v}$$ है
 * $$\mathbf{F} = q \left(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}\right),$$

कहाँ $$\mathbf{E}$$ विद्युत क्षेत्र है और $$\mathbf{B}$$ चुंबकीय प्रवाह घनत्व है. किये गये कार्य (भौतिकी) की दर है $$\mathbf{F}\cdot\mathbf{v} = q\mathbf{E}\cdot\mathbf{v}$$ और पर निर्भर नहीं है $$\mathbf{B}$$. इसलिए, ऊर्जा चुंबकीय क्षेत्र पर निर्भर नहीं करती है, इसलिए गति का वितरण चुंबकीय क्षेत्र पर निर्भर नहीं करता है।

शून्य क्षेत्र में, आवेशित कणों की कोई शुद्ध गति नहीं होगी क्योंकि सिस्टम घूमने में सक्षम नहीं है। इसलिए औसत चुंबकीय क्षण शून्य होगा। चूँकि गतियों का वितरण चुंबकीय क्षेत्र पर निर्भर नहीं करता है, इसलिए किसी भी चुंबकीय क्षेत्र में तापीय संतुलन में क्षण शून्य रहता है।

एक अधिक औपचारिक प्रमाण
ताकि प्रमाण की जटिलता को कम किया जा सके, एक प्रणाली $$N$$ इलेक्ट्रॉनों का उपयोग किया जाएगा.

यह उचित है, क्योंकि किसी ठोस में अधिकांश चुंबकत्व इलेक्ट्रॉनों द्वारा वहन किया जाता है, और प्रमाण को एक से अधिक प्रकार के आवेशित कणों के लिए आसानी से सामान्यीकृत किया जाता है।

प्रत्येक इलेक्ट्रॉन पर ऋणात्मक आवेश होता है $$e$$ और द्रव्यमान $$m_\text{e}$$.

यदि इसकी स्थिति है $$\mathbf{r}$$ और वेग है $$\mathbf{v}$$, यह विद्युत धारा उत्पन्न करता है $$\mathbf{j} = e\mathbf{v}$$ और एक चुंबकीय क्षण
 * $$ \mathbf{\mu} = \frac{1}{2c}\mathbf{r}\times\mathbf{j} = \frac{e}{2c}\mathbf{r}\times\mathbf{v}.$$

उपरोक्त समीकरण से पता चलता है कि चुंबकीय क्षण वेग निर्देशांक का एक रैखिक कार्य है, इसलिए किसी दिए गए दिशा में कुल चुंबकीय क्षण फॉर्म का एक रैखिक कार्य होना चाहिए
 * $$ \mu = \sum_{i=1}^N\mathbf{a}_i\cdot\dot{\mathbf{r}}_i,$$

जहां बिंदु एक समय व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व करता है और $$\mathbf{a}_i$$ स्थिति निर्देशांक के आधार पर वेक्टर गुणांक हैं $$\{\mathbf{r}_i,i=1\ldots N\}$$.

मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़े संभावना देते हैं कि nवें कण में गति है $$\mathbf{p}_n$$ और समन्वय करें $$\mathbf{r}_n$$ जैसे
 * $$ dP \propto \exp{\left[-\frac{\mathcal{H}(\mathbf{p}_1,\ldots,\mathbf{p}_N;\mathbf{r}_1,\ldots,\mathbf{r}_N)}{k_\text{B}T}\right]}d\mathbf{p}_1,\ldots,d\mathbf{p}_Nd\mathbf{r}_1,\ldots,d\mathbf{r}_N, $$

कहाँ $$\mathcal{H}$$ हैमिल्टनियन यांत्रिकी#विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में आवेशित कण, प्रणाली की कुल ऊर्जा है।

किसी भी फ़ंक्शन का थर्मल औसत $$f(\mathbf{p}_1,\ldots,\mathbf{p}_N;\mathbf{r}_1,\ldots,\mathbf{r}_N)$$ इन सामान्यीकृत निर्देशांकों का तब है
 * $$\langle f\rangle =\frac{\int f dP}{\int dP}.$$

चुंबकीय क्षेत्र की उपस्थिति में,
 * $$ \mathcal{H} = \frac{1}{2m_\text{e}}\sum_{i=1}^N \left(\mathbf{p}_i - \frac{e}{c}\mathbf{A}_i \right)^2 + e\phi(\mathbf{q}),$$

कहाँ $$\mathbf{A}_i$$ चुंबकीय वेक्टर क्षमता है और $$\phi(\mathbf{q})$$ विद्युत अदिश विभव है। प्रत्येक कण के लिए संवेग के घटक $$\mathbf{p}_i$$ और स्थिति $$\mathbf{r}_i$$ हैमिल्टनियन यांत्रिकी के समीकरणों से संबंधित हैं:
 * $$ \begin{align}

\dot{\mathbf{p}}_i &= -\partial \mathcal{H} / \partial \mathbf{r}_i\\ \dot{\mathbf{r}}_i &= \partial \mathcal{H} / \partial \mathbf{p}_i. \end{align}$$ इसलिए,
 * $$ \dot{\mathbf{r}}_i \propto \mathbf{p}_i - \frac{e}{c}\mathbf{A}_i,$$

तो पल $$\mu$$ संवेग का एक रैखिक फलन है $$\mathbf{p}_i$$.

थर्मली औसत क्षण,


 * $$\langle \mu \rangle = \frac{\int \mu dP}{\int dP},$$

फॉर्म के अभिन्नों के आनुपातिक शब्दों का योग है


 * $$ \int_{-\infty}^\infty (\mathbf{p}_i - \frac{e}{c}\mathbf{A}_i) dP, $$

कहाँ $$p$$ गति निर्देशांकों में से एक का प्रतिनिधित्व करता है।

इंटीग्रैंड का एक अजीब कार्य है $$p$$, तो यह गायब हो जाता है.

इसलिए, $$\langle\mu\rangle=0$$.

अनुप्रयोग
बोह्र-वान लीउवेन प्रमेय प्लाज्मा (भौतिकी) सहित कई अनुप्रयोगों में उपयोगी है: ये सभी संदर्भ नील्स बोह्र के भौतिक मॉडल पर बोह्र-वान लीउवेन प्रमेय की चर्चा को आधार बनाते हैं, जिसमें पूरी तरह से प्रतिबिंबित करने वाली दीवारें उन धाराओं को प्रदान करने के लिए आवश्यक हैं जो रद्द कर देती हैं प्लाज्मा के एक तत्व के आंतरिक भाग से शुद्ध योगदान, और परिणामस्वरूप प्लाज्मा तत्व के लिए शून्य शुद्ध प्रतिचुम्बकत्व होता है। विशुद्ध रूप से शास्त्रीय प्रकृति का प्रतिचुंबकत्व प्लाज़्मा में होता है, लेकिन यह थर्मल असंतुलन का परिणाम है, जैसे कि प्लाज़्मा घनत्व में ढाल। वैद्युतयांत्रिकी और विद्युत अभियन्त्रण  को भी बोह्र-वान लीउवेन प्रमेय से व्यावहारिक लाभ मिलता है।

बाहरी संबंध

 * The early 20th century: Relativity and quantum mechanics bring understanding at last