दृढ़ पिण्ड गतिकी

डायनेमिक्स (यांत्रिकी) के भौतिकी विज्ञान में, कठोर-शरीर की गतिशीलता बाहरी शक्तियों की कार्रवाई के तहत परस्पर भौतिक वस्तु  की भौतिक प्रणाली की गति का अध्ययन करती है। यह धारणा कि पिंड 'कठोर' हैं (अर्थात वे लागू बलों की कार्रवाई के तहत  विरूपण (भौतिकी)  नहीं करते हैं) विश्लेषण को सरल बनाता है, उन मापदंडों को कम करके जो संदर्भ के फ्रेम के अनुवाद और रोटेशन के लिए सिस्टम के कॉन्फ़िगरेशन का वर्णन करते हैं। प्रत्येक शरीर से जुड़ा हुआ है।  यह तरल पदार्थ, अत्यधिक  लोच (भौतिकी), और  प्लास्टिसिटी (भौतिकी)  व्यवहार प्रदर्शित करने वाले निकायों को बाहर करता है।

एक कठोर शरीर प्रणाली की गतिशीलता का वर्णन गतिकी  के नियमों और न्यूटन के दूसरे नियम (न्यूटन के गति के नियम) या उनके व्युत्पन्न रूप, लैग्रैंगियन यांत्रिकी के अनुप्रयोग द्वारा किया जाता है। गति के इन समीकरणों का समाधान स्थिति, गति और सिस्टम के अलग-अलग घटकों के त्वरण का विवरण प्रदान करता है, और  समय-भिन्न प्रणाली  के रूप में समग्र प्रणाली ही। यांत्रिक प्रणालियों के कंप्यूटर सिमुलेशन में कठोर शरीर की गतिशीलता का निर्माण और समाधान एक महत्वपूर्ण उपकरण है।

प्लेनर रिजिड बॉडी डायनेमिक्स
यदि कणों की एक प्रणाली एक निश्चित विमान के समानांतर चलती है, तो प्रणाली को तलीय संचलन के लिए विवश कहा जाता है। इस मामले में, एन कणों की एक कठोर प्रणाली के लिए न्यूटन के नियम (काइनेटिक्स), पी$i$, i=1,...,N, सरल करें क्योंकि k दिशा में कोई गति नहीं है। प्राप्त करने के लिए एक संदर्भ बिंदु 'आर' पर परिणामी बल और टोक़ निर्धारित करें $$ \mathbf{F} = \sum_{i=1}^N m_i\mathbf{A}_i,\quad \mathbf{T} = \sum_{i=1}^N (\mathbf{r}_i - \mathbf{R}) \times m_i\mathbf{A}_i, $$ जहां आर$i$ प्रत्येक कण के प्लानर प्रक्षेपवक्र को दर्शाता है।

दृढ़ पिंड की शुद्धगतिकी से कण P के त्वरण का सूत्र प्राप्त होता है$i$ संदर्भ कण की स्थिति R और त्वरण A के साथ-साथ कोणीय वेग वेक्टर ω और कणों की कठोर प्रणाली के कोणीय त्वरण वेक्टर α के रूप में, $$ \mathbf{A}_i = \boldsymbol\alpha\times(\mathbf{r}_i - \mathbf{R}) + \boldsymbol\omega \times (\boldsymbol\omega\times(\mathbf{r}_i - \mathbf{R})) + \mathbf{A}.$$ उन प्रणालियों के लिए जो तलीय संचलन के लिए विवश हैं, कोणीय वेग और कोणीय त्वरण सदिश गति के तल के लंबवत k के साथ निर्देशित होते हैं, जो इस त्वरण समीकरण को सरल करता है। इस मामले में, यूनिट वैक्टर ई को पेश करके त्वरण वैक्टर को सरल बनाया जा सकता है$i$ संदर्भ बिंदु R से बिंदु r तक$i$ और यूनिट वैक्टर $\mathbf{t}_i = \mathbf k \times \mathbf{e}_i$, इसलिए $$ \mathbf{A}_i = \alpha(\Delta r_i \mathbf{t}_i) - \omega^2(\Delta r_i \mathbf{e}_i) + \mathbf{A}.$$ इससे सिस्टम पर परिणामी बल उत्पन्न होता है $$ \mathbf{F} = \alpha \sum_{i=1}^N m_i \left(\Delta r_i \mathbf{t}_i\right) - \omega^2 \sum_{i=1}^N m_i \left(\Delta r_i \mathbf{e}_i\right) + \left(\sum_{i=1}^N m_i\right) \mathbf{A},$$ और टोक़ के रूप में $$\begin{align} \mathbf{T} ={} &\sum_{i=1}^N (m_i \Delta r_i \mathbf{e}_i) \times \left(\alpha(\Delta r_i \mathbf{t}_i) - \omega^2(\Delta r_i \mathbf{e}_i) + \mathbf{A}\right) \\ {}={} &\left(\sum_{i=1}^N m_i \Delta r_i^2\right) \alpha \mathbf k + \left(\sum_{i=1}^N m_i\Delta r_i\mathbf{e}_i\right) \times \mathbf{A}, \end{align}$$ कहां $\mathbf{e}_i \times \mathbf{e}_i = 0$ और $\mathbf{e}_i \times \mathbf{t}_i = \mathbf k$  सभी कणों पी के लिए विमान के लंबवत इकाई वेक्टर है$i$.

द्रव्यमान C के केंद्र को संदर्भ बिंदु के रूप में उपयोग करें, इसलिए न्यूटन के नियमों के लिए ये समीकरण सरल हो जाते हैं $$ \mathbf{F} = M\mathbf{A},\quad \mathbf{T} = I_\textbf{C}\alpha \mathbf k,$$ कहां $M$ कुल द्रव्यमान है और मैं$C$ द्रव्यमान के केंद्र के माध्यम से और कठोर प्रणाली के आंदोलन के लंबवत धुरी के बारे में जड़ता का क्षण है।

अभिविन्यास या दृष्टिकोण विवरण
तीन आयामों में एक कठोर शरीर के झुकाव का वर्णन करने के लिए कई तरीके विकसित किए गए हैं। उन्हें निम्नलिखित खंडों में संक्षेपित किया गया है।

यूलर कोण
अभिविन्यास का प्रतिनिधित्व करने का पहला प्रयास लियोनहार्ड यूलर  को दिया गया है। उन्होंने तीन संदर्भ फ्रेम की कल्पना की जो एक को दूसरे के चारों ओर घुमा सकते हैं, और महसूस किया कि एक निश्चित संदर्भ फ्रेम के साथ शुरू करके और तीन घुमावों का प्रदर्शन करके, वह अंतरिक्ष में कोई अन्य संदर्भ फ्रेम प्राप्त कर सकते हैं (ऊर्ध्वाधर अक्ष को ठीक करने के लिए दो घुमावों का उपयोग करके और दूसरे को अन्य दो कुल्हाड़ियों को ठीक करें)। इन तीन घुमावों के मूल्यों को  यूलर कोण  कहा जाता है। आम तौर पर, $$\psi$$ अग्रगमन को निरूपित करने के लिए प्रयोग किया जाता है, $$\theta$$ पोषण, और $$\phi$$ आंतरिक घुमाव।

टैट-ब्रायन एंगल्स
ये तीन कोण हैं, जिन्हें यव, पिच और रोल, नेविगेशन कोण और कार्डन कोण भी कहा जाता है। गणितीय रूप से वे यूलर कोणों के बारह संभावित सेटों के अंदर छह संभावनाओं के एक सेट का गठन करते हैं, जो एक हवाई जहाज जैसे वाहन के उन्मुखीकरण का वर्णन करने के लिए सबसे अच्छा उपयोग किया जाता है। एयरोस्पेस इंजीनियरिंग में उन्हें आमतौर पर यूलर कोण कहा जाता है।

ओरिएंटेशन वेक्टर
यूलर ने यह भी महसूस किया कि दो घुमावों की संरचना एक अलग निश्चित अक्ष (यूलर के रोटेशन प्रमेय) के बारे में एक ही घुमाव के बराबर है। इसलिए, पूर्व के तीन कोणों की संरचना केवल एक घूर्णन के बराबर होनी चाहिए, जिसका अक्ष मैट्रिसेस विकसित होने तक गणना करने के लिए जटिल था।

इस तथ्य के आधार पर उन्होंने रोटेशन अक्ष पर एक वेक्टर और कोण के मान के बराबर मॉड्यूल के साथ किसी भी रोटेशन का वर्णन करने के लिए एक सदिश तरीका पेश किया। इसलिए, किसी भी अभिविन्यास को एक रोटेशन वेक्टर (जिसे यूलर वेक्टर भी कहा जाता है) द्वारा दर्शाया जा सकता है जो इसे संदर्भ फ्रेम से ले जाता है। जब एक ओरिएंटेशन का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है, तो रोटेशन वेक्टर को आमतौर पर ओरिएंटेशन वेक्टर या रवैया वेक्टर कहा जाता है।

एक समान विधि, जिसे अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व  कहा जाता है, रोटेशन अक्ष के साथ संरेखित एक  इकाई वेक्टर  का उपयोग करके एक रोटेशन या अभिविन्यास का वर्णन करता है, और कोण को इंगित करने के लिए एक अलग मान (चित्र देखें)।

ओरिएंटेशन मैट्रिक्स
आव्यूहों की शुरुआत के साथ यूलर प्रमेयों को फिर से लिखा गया। रोटेशन को ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स  द्वारा वर्णित किया गया था जिसे रोटेशन मैट्रिसेस या दिशा कोसाइन मैट्रिसेस कहा जाता है। जब किसी ओरिएंटेशन का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है, तो रोटेशन मैट्रिक्स को आमतौर पर ओरिएंटेशन मैट्रिक्स या रवैया मैट्रिक्स कहा जाता है।

उपर्युक्त यूलर वेक्टर एक रोटेशन मैट्रिक्स का आइजन्वेक्टर  है (एक रोटेशन मैट्रिक्स का एक अद्वितीय वास्तविक  eigenvalue  है)। दो रोटेशन मेट्रिसेस का उत्पाद रोटेशन की संरचना है। इसलिए, पहले की तरह, जिस फ्रेम का हम वर्णन करना चाहते हैं, उसे प्राप्त करने के लिए प्रारंभिक फ्रेम से रोटेशन के रूप में अभिविन्यास दिया जा सकता है।

एन-डायमेंशनल स्पेस में एक गैर- समरूपता ऑब्जेक्ट का  विन्यास स्थान (भौतिकी) भौतिकी) ऑर्थोगोनल ग्रुप है|SO(n) उत्पाद टोपोलॉजी|× यूक्लिडियन स्पेस|'आर'एन. किसी वस्तु को  स्पर्शरेखा स्थान  के आधार को जोड़कर ओरिएंटेशन की कल्पना की जा सकती है। जिस दिशा में प्रत्येक वेक्टर इंगित करता है वह अपना अभिविन्यास निर्धारित करता है।

ओरिएंटेशन चतुर्भुज
घुमावों का वर्णन करने का एक अन्य तरीका चतुर्भुज और स्थानिक रोटेशन  का उपयोग कर रहा है, जिसे वर्सर्स भी कहा जाता है। वे रोटेशन मेट्रिसेस और रोटेशन वैक्टर के बराबर हैं। रोटेशन वैक्टर के संबंध में, उन्हें अधिक आसानी से मेट्रिसेस में और से परिवर्तित किया जा सकता है। जब ओरिएंटेशन का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है, तो रोटेशन क्वाटरनियन को आमतौर पर ओरिएंटेशन क्वाटरनियन या रवैया क्वाटरनियन कहा जाता है।

तीन आयामों में न्यूटन का दूसरा नियम
त्रि-आयामी अंतरिक्ष में कठोर शरीर की गतिशीलता पर विचार करने के लिए, न्यूटन के दूसरे नियम को एक कठोर शरीर की गति और उस पर कार्य करने वाली शक्तियों और बलाघूर्णों के बीच संबंध को परिभाषित करने के लिए विस्तारित किया जाना चाहिए।

न्यूटन ने एक कण के लिए अपना दूसरा नियम तैयार किया, किसी वस्तु की गति का परिवर्तन प्रभावित बल के समानुपाती होता है और उस सीधी रेखा की दिशा में होता है जिसमें बल लगाया जाता है। क्योंकि न्यूटन आम तौर पर एक कण की गति के रूप में बड़े पैमाने पर वेग को संदर्भित करता है, गति का वाक्यांश परिवर्तन कण के बड़े पैमाने पर त्वरण को संदर्भित करता है, और इसलिए इस कानून को आम तौर पर इस रूप में लिखा जाता है $$\mathbf{F} = m\mathbf{a},$$ जहाँ F को कण पर कार्यरत एकमात्र बाहरी बल समझा जाता है, m कण का द्रव्यमान है, और a इसका त्वरण सदिश है। कठोर पिंडों के लिए न्यूटन के दूसरे नियम का विस्तार कणों की एक कठोर प्रणाली पर विचार करके प्राप्त किया जाता है।

कणों की कठोर व्यवस्था
यदि एन कणों की एक प्रणाली, पीi, i=1,...,N, एक कठोर पिंड में इकट्ठे होते हैं, तो न्यूटन का दूसरा नियम शरीर के प्रत्येक कण पर लागू किया जा सकता है। अगर 'एफ'i कण P पर लगाया गया बाह्य बल हैi मास एम के साथi, तब $$ \mathbf{F}_i + \sum_{j=1}^N \mathbf{F}_{ij} = m_i\mathbf{a}_i,\quad i=1, \ldots, N,$$ जहां एफij कण P का आंतरिक बल हैj कण P पर अभिनयi जो इन कणों के बीच निरंतर दूरी बनाए रखता है।

इन बल समीकरणों के लिए एक महत्वपूर्ण सरलीकरण परिणामी बल और बलाघूर्ण को प्रस्तुत करके प्राप्त किया जाता है जो कठोर प्रणाली पर कार्य करता है। यह परिणामी बल और बलाघूर्ण प्रणाली में किसी एक कण को ​​संदर्भ बिंदु, R के रूप में चुनकर प्राप्त किया जाता है, जहां प्रत्येक बाहरी बल को संबंधित बल आघूर्ण के साथ लगाया जाता है। परिणामी बल F और बल आघूर्ण T सूत्रों द्वारा दिए गए हैं, $$ \mathbf{F} = \sum_{i=1}^N \mathbf{F}_i,\quad \mathbf{T} = \sum_{i=1}^N (\mathbf{R}_i-\mathbf{R})\times \mathbf{F}_i, $$ जहां आरi वह सदिश है जो कण P की स्थिति को परिभाषित करता हैi.

किसी कण के लिए न्यूटन का दूसरा नियम परिणामी बल और बल आघूर्ण के लिए इन सूत्रों के साथ संयोजन करता है, $$ \mathbf{F} = \sum_{i=1}^N m_i\mathbf{a}_i,\quad \mathbf{T} = \sum_{i=1}^N (\mathbf{R}_i-\mathbf{R})\times (m_i\mathbf{a}_i), $$ जहां आंतरिक बल Fij जोड़े में रद्द करें। दृढ़ पिंड की शुद्धगतिकी से कण P के त्वरण का सूत्र प्राप्त होता हैi संदर्भ कण की स्थिति R और त्वरण a के साथ-साथ कोणीय वेग वेक्टर ω और कणों की कठोर प्रणाली के कोणीय त्वरण वेक्टर α के रूप में, $$ \mathbf{a}_i = \alpha\times(\mathbf{R}_i-\mathbf{R}) + \omega\times(\omega\times(\mathbf{R}_i-\mathbf{R}))  + \mathbf{a}.$$

सामूहिक गुण
कठोर शरीर के द्रव्यमान गुणों को उसके द्रव्यमान के केंद्र और जड़ता के क्षण द्वारा दर्शाया जाता है। संदर्भ बिंदु R चुनें ताकि यह शर्त को पूरा करे $$ \sum_{i=1}^N m_i(\mathbf{R}_i - \mathbf{R}) = 0,$$ तब इसे सिस्टम के द्रव्यमान के केंद्र के रूप में जाना जाता है।

जड़ता मैट्रिक्स [आईR] प्रणाली के संदर्भ बिंदु आर के सापेक्ष परिभाषित किया गया है $$[I_R] = \sum_{i=1}^N m_i\left(\mathbf{I}\left(\mathbf{S}_i^\textsf{T}\mathbf{S}_i\right) - \mathbf{S}_i\mathbf{S}_i^\textsf{T}\right),$$ कहां $$\mathbf{S}_i$$ कॉलम वेक्टर है $R_{i} − R$; $$\mathbf{S}_i^\textsf{T}$$ इसका स्थानान्तरण है, और $$\mathbf{I}$$ 3 बटा 3 पहचान मैट्रिक्स है।

$$\mathbf{S}_i^\textsf{T}\mathbf{S}_i$$ का अदिश गुणनफल है $$\mathbf{S}_i$$ खुद के साथ, जबकि $$\mathbf{S}_i\mathbf{S}_i^\textsf{T}$$ का टेन्सर उत्पाद है $$\mathbf{S}_i$$ खुद के साथ।

बल-टोक़ समीकरण
द्रव्यमान और जड़ता मैट्रिक्स के केंद्र का उपयोग करते हुए, एक कठोर शरीर के लिए बल और टोक़ समीकरण रूप लेते हैं $$ \mathbf{F} = m\mathbf{a},\quad \mathbf{T}=[I_R]\alpha + \omega\times[I_R]\omega,$$ और कठोर पिंड के लिए न्यूटन के गति के दूसरे नियम के रूप में जाने जाते हैं।

कठोर निकायों की एक परस्पर प्रणाली की गतिशीलता, $B_{i}$, $j = 1, ..., M$, प्रत्येक कठोर शरीर को अलग करके और अंतःक्रियात्मक बलों को पेश करके तैयार किया जाता है। प्रत्येक पिंड पर बाहरी और अंतःक्रियात्मक बलों का परिणाम, बल-आघूर्ण समीकरण उत्पन्न करता है $$ \mathbf{F}_j = m_j \mathbf{a}_j, \quad \mathbf{T}_j =[I_R]_j\alpha_j + \omega_j\times[I_R]_j\omega_j,\quad j=1,\ldots,M.$$ न्यूटन के सूत्रीकरण से 6M समीकरण प्राप्त होते हैं जो M कठोर निकायों की प्रणाली की गतिशीलता को परिभाषित करते हैं।

तीन आयामों में घूर्णन
एक घूमने वाली वस्तु, चाहे टॉर्क के प्रभाव में हो या नहीं, पूर्वसरण और पोषण के व्यवहार को प्रदर्शित कर सकती है। एक घूमते हुए ठोस पिंड के व्यवहार का वर्णन करने वाला मूलभूत समीकरण यूलर की गति का समीकरण है: $$\boldsymbol\tau = \frac{D \mathbf{L}}{Dt} = \frac{d \mathbf{L}} {dt} + \boldsymbol\omega \times \mathbf{L} = \frac{d(I\boldsymbol\omega)}{dt} +\boldsymbol\omega \times {I\boldsymbol\omega} = I \boldsymbol\alpha + \boldsymbol\omega \times {I\boldsymbol\omega}$$ जहां pseudovector  τ और L क्रमशः शरीर पर  टॉर्कः  और इसका कोणीय संवेग है, स्केलर I इसकी जड़ता का क्षण है, वेक्टर ω इसका कोणीय वेग है, वेक्टर α इसका कोणीय त्वरण है, D एक जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में अंतर है और डी शरीर के साथ तय एक सापेक्ष संदर्भ फ्रेम में अंतर है।

इस समीकरण का समाधान जब कोई अनुप्रयुक्त बलाघूर्ण नहीं होता है तो लेख यूलर की गति के समीकरण और पॉइन्सॉट के दीर्घवृत्त में चर्चा की जाती है।

यूलर के समीकरण से यह पता चलता है कि एक टोक़ τ रोटेशन की धुरी के लिए लंबवत लागू होता है, और इसलिए L के लंबवत होता है, जिसके परिणामस्वरूप τ और L दोनों के लंबवत अक्ष के बारे में रोटेशन होता है। इस गति को 'पुरस्कार' कहा जाता है। पुरस्सरण का कोणीय वेग ΩP क्रॉस उत्पाद द्वारा दिया गया है: $$\boldsymbol\tau = \boldsymbol\Omega_{\mathrm{P}} \times \mathbf{L}.$$

एक स्पिनिंग टॉप को उसकी धुरी के साथ क्षैतिज और एक सिरे पर शिथिल (पूर्वसरण की ओर घर्षण रहित) समर्थित रखकर पुरस्सरण प्रदर्शित किया जा सकता है। गिरने के बजाय, जैसा कि उम्मीद की जा सकती है, शीर्ष अपनी धुरी क्षैतिज के साथ रहकर गुरुत्वाकर्षण को अवहेलना करता प्रतीत होता है, जब अक्ष के दूसरे छोर को असमर्थित छोड़ दिया जाता है और अक्ष का मुक्त अंत धीरे-धीरे एक क्षैतिज तल में एक चक्र का वर्णन करता है, जिसके परिणामस्वरूप अग्रगमन मोड़। इस प्रभाव को उपरोक्त समीकरणों द्वारा समझाया गया है। शीर्ष पर टोक़ कुछ बलों द्वारा आपूर्ति की जाती है: गुरुत्वाकर्षण डिवाइस के द्रव्यमान के केंद्र पर नीचे की ओर काम करता है, और एक समान बल डिवाइस के एक छोर का समर्थन करने के लिए ऊपर की ओर काम करता है। इस टॉर्क से उत्पन्न रोटेशन नीचे की ओर नहीं है, जैसा कि सहज रूप से उम्मीद की जा सकती है, जिससे उपकरण गिर सकता है, लेकिन दोनों गुरुत्वाकर्षण टोक़ (क्षैतिज और लंबवत रोटेशन की धुरी) और रोटेशन की धुरी (क्षैतिज और बाहर की ओर) दोनों के लिए लंबवत है। समर्थन का बिंदु), यानी, एक ऊर्ध्वाधर अक्ष के बारे में, जिससे उपकरण सहायक बिंदु के बारे में धीरे-धीरे घूमता है।

परिमाण τ के एक निरंतर टोक़ के तहत, अग्रगमन की गति ΩP L के व्युत्क्रमानुपाती है, इसके कोणीय संवेग का परिमाण: $$\tau = \mathit{\Omega}_{\mathrm{P}} L \sin\theta,$$ जहां θ सदिशों 'Ω' के बीच का कोण हैP और एल। इस प्रकार, यदि शीर्ष का स्पिन धीमा हो जाता है (उदाहरण के लिए, घर्षण के कारण), इसकी कोणीय गति कम हो जाती है और इसलिए अग्रगमन की दर बढ़ जाती है। यह तब तक जारी रहता है जब तक कि उपकरण अपने स्वयं के वजन का समर्थन करने के लिए पर्याप्त तेजी से घूमने में असमर्थ हो जाता है, जब यह प्रीसेसिंग बंद कर देता है और अपने समर्थन से गिर जाता है, ज्यादातर क्योंकि प्रीसेशन के खिलाफ घर्षण एक और प्रीसेशन का कारण बनता है जो गिरने का कारण बनता है।

अधिवेशन के अनुसार, ये तीन वैक्टर - टॉर्क, स्पिन और प्रीसेशन - सभी एक दूसरे के संबंध में दाहिने हाथ के नियम के अनुसार उन्मुख हैं।

दृढ़ पिंड पर कार्य करने वाली शक्तियों का आभासी कार्य
कठोर शरीर गतिकी का एक वैकल्पिक सूत्रीकरण जिसमें कई सुविधाजनक विशेषताएं हैं, एक कठोर शरीर पर कार्य करने वाली शक्तियों के आभासी कार्य पर विचार करके प्राप्त किया जाता है।

एक दृढ़ पिंड पर विभिन्न बिंदुओं पर कार्यरत बलों के आभासी कार्य की गणना उनके आवेदन के बिंदु और परिणामी बल के वेगों का उपयोग करके की जा सकती है। इसे देखने के लिए, मान लीजिए कि बल F1, एफ2 ... एफn बिंदु आर पर कार्य करें1, आर2 ... आरn कठोर शरीर में।

आर के प्रक्षेपवक्रi, $i = 1, ..., n$ कठोर शरीर के आंदोलन द्वारा परिभाषित किया गया है। बिंदुओं का वेग Ri उनके पथ के साथ हैं $$\mathbf{V}_i = \boldsymbol{\omega} \times (\mathbf{R}_i-\mathbf{R}) + \mathbf{V},$$ जहां ω शरीर का कोणीय वेग सदिश है।

आभासी कार्य
कार्य की गणना प्रत्येक बल के डॉट उत्पाद से उसके संपर्क बिंदु के विस्थापन के साथ की जाती है $$ \delta W = \sum_{i=1}^n \mathbf{F}_i \cdot \delta\mathbf{r}_i.$$ यदि कठोर शरीर का प्रक्षेपवक्र सामान्यीकृत निर्देशांक  के एक सेट द्वारा परिभाषित किया गया है $q_{j}$, $j = 1, ..., m$, फिर आभासी विस्थापन $δr_{i}$ द्वारा दिए गए हैं $$ \delta\mathbf{r}_i = \sum_{j=1}^m \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j} \delta q_j = \sum_{j=1}^m \frac{\partial \mathbf{V}_i}{\partial \dot{q}_j} \delta q_j.$$ सामान्यीकृत निर्देशांक के संदर्भ में शरीर पर कार्य करने वाली शक्तियों की इस प्रणाली का आभासी कार्य बन जाता है $$ \delta W = \mathbf{F}_1 \cdot \left(\sum_{j=1}^m \frac{\partial \mathbf{V}_1}{\partial \dot{q}_j}\delta q_j\right) + \dots + \mathbf{F}_n \cdot \left(\sum_{j=1}^m \frac{\partial \mathbf{V}_n}{\partial \dot{q}_j}\delta q_j\right)$$ या के गुणांक एकत्रित करना $δq_{j}$ $$ \delta W = \left(\sum_{i=1}^n \mathbf{F}_i \cdot \frac{\partial \mathbf{V}_i}{\partial \dot{q}_1}\right)\delta q_1 + \dots + \left(\sum_{1=1}^n \mathbf{F}_i \cdot \frac{\partial \mathbf{V}_i}{\partial \dot{q}_m}\right)\delta q_m. $$

सामान्यीकृत बल
सादगी के लिए एक कठोर शरीर के एक प्रक्षेपवक्र पर विचार करें जो एक सामान्यीकृत समन्वय क्यू द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है, जैसे घूर्णन कोण, फिर सूत्र बन जाता है $$ \delta W = \left(\sum_{i=1}^n \mathbf{F}_i\cdot \frac{\partial \mathbf{V}_i}{\partial \dot{q}}\right)\delta q = \left(\sum_{i=1}^n \mathbf{F}_i\cdot \frac{\partial (\boldsymbol{\omega}\times(\mathbf{R}_i-\mathbf{R}) + \mathbf{V})}{\partial \dot{q}}\right)\delta q. $$ परिणामी बल F और बल आघूर्ण T का परिचय दें ताकि यह समीकरण रूप ले ले $$ \delta W = \left(\mathbf{F}\cdot \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial \dot{q}} + \mathbf{T}\cdot\frac{\partial \boldsymbol{\omega}}{\partial \dot{q}} \right)\delta q. $$ द्वारा परिभाषित मात्रा क्यू $$ Q = \mathbf{F}\cdot \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial \dot{q}} + \mathbf{T}\cdot\frac{\partial \boldsymbol{\omega}}{\partial \dot{q}},$$ आभासी विस्थापन δq से जुड़े सामान्यीकृत बल ों के रूप में जाना जाता है। यह सूत्र एक से अधिक सामान्यीकृत निर्देशांक द्वारा परिभाषित कठोर शरीर की गति को सामान्य करता है, अर्थात $$ \delta W = \sum_{j=1}^m Q_j \delta q_j, $$ कहां $$ Q_j = \mathbf{F}\cdot \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial \dot{q}_j} + \mathbf{T}\cdot\frac{\partial \boldsymbol{\omega}}{\partial \dot{q}_j}, \quad j=1,\ldots, m.$$ यह ध्यान रखना उपयोगी है कि गुरुत्वाकर्षण और वसंत बल जैसे रूढ़िवादी बल एक संभावित कार्य से व्युत्पन्न होते हैं $V(q_{1}, ..., q_{n})$, एक संभावित ऊर्जा  के रूप में जाना जाता है। इस मामले में सामान्यीकृत बलों द्वारा दिया जाता है $$ Q_j = -\frac{\partial V}{\partial q_j}, \quad j=1,\ldots, m.$$

डी'अलेम्बर्ट के आभासी कार्य के सिद्धांत का रूप
कठोर निकायों की एक यांत्रिक प्रणाली के लिए गति के समीकरण आभासी कार्य के सिद्धांत के डी'अलेम्बर्ट के रूप का उपयोग करके निर्धारित किए जा सकते हैं। आभासी कार्य के सिद्धांत का उपयोग कठोर पिंडों की एक प्रणाली के स्थिर संतुलन का अध्ययन करने के लिए किया जाता है, हालांकि न्यूटन के नियमों में त्वरण की शर्तें पेश करके इस दृष्टिकोण को गतिशील संतुलन को परिभाषित करने के लिए सामान्यीकृत किया जाता है।

स्थैतिक संतुलन
एक यांत्रिक प्रणाली कठोर निकायों के स्थिर संतुलन को इस शर्त से परिभाषित किया जाता है कि सिस्टम के किसी भी आभासी विस्थापन के लिए लागू बलों का आभासी कार्य शून्य है। इसे आभासी कार्य के सिद्धांत के रूप में जाना जाता है। यह आवश्यकता के बराबर है कि किसी भी आभासी विस्थापन के लिए सामान्यीकृत बल शून्य हैं, अर्थात क्यूi= 0।

से एक यांत्रिक प्रणाली का निर्माण होने दें $n$ कठोर शरीर, बीi, $i = 1, ..., n$, और प्रत्येक पिंड पर लागू बलों का परिणाम बल-टोक़ जोड़े होने दें, $F_{i}$ और $T_{i}$, $i = 1, ..., n$. ध्यान दें कि इन लागू बलों में उन प्रतिक्रिया बलों को शामिल नहीं किया गया है जहां निकाय जुड़े हुए हैं। अंत में, मान लें कि वेग $V_{i}$ और कोणीय वेग $ω_{i}$, $i = 1, ..., n$, प्रत्येक कठोर शरीर के लिए, एक सामान्यीकृत समन्वय q द्वारा परिभाषित किया गया है। कहा जाता है कि कठोर निकायों की ऐसी प्रणाली में एक डिग्री की स्वतंत्रता (यांत्रिकी) होती है।

बलों और बलाघूर्णों का आभासी कार्य, $F_{i}$ और $T_{i}$, इस पर लागू स्वतंत्रता प्रणाली की एक डिग्री किसके द्वारा दी गई है $$ \delta W = \sum_{i=1}^n \left(\mathbf{F}_i\cdot \frac{\partial \mathbf{V}_i}{\partial \dot{q}} + \mathbf{T}_i \cdot \frac{\partial \boldsymbol{\omega}_i}{\partial \dot{q}}\right) \delta q = Q \delta q,$$ कहां $$ Q = \sum_{i=1}^n \left(\mathbf{F}_i \cdot \frac{\partial \mathbf{V}_i}{\partial \dot{q}} + \mathbf{T}_i \cdot \frac{\partial \boldsymbol{\omega}_i}{\partial \dot{q}}\right),$$ स्वतंत्रता प्रणाली की इस एक डिग्री पर काम करने वाली सामान्यीकृत शक्ति है।

यदि यांत्रिक प्रणाली को एम सामान्यीकृत निर्देशांक द्वारा परिभाषित किया गया है, $q_{j}$, $j = 1, ..., m$, तब सिस्टम में स्वतंत्रता की एम डिग्री होती है और आभासी कार्य द्वारा दिया जाता है, $$ \delta W = \sum_{j=1}^m Q_j\delta q_j,$$ कहां $$ Q_j = \sum_{i=1}^n \left(\mathbf{F}_i \cdot \frac{\partial \mathbf{V}_i}{\partial \dot{q}_j} + \mathbf{T}_i \cdot \frac{\partial \boldsymbol{\omega}_i}{\partial \dot{q}_j}\right),\quad j = 1, \ldots, m.$$ सामान्यीकृत समन्वय से जुड़ा सामान्यीकृत बल है $q_{j}$. आभासी कार्य का सिद्धांत कहता है कि स्थैतिक संतुलन तब होता है जब सिस्टम पर कार्य करने वाले ये सामान्यीकृत बल शून्य होते हैं, अर्थात $$ Q_j = 0,\quad j = 1, \ldots, m.$$ इन $m$ समीकरण कठोर निकायों की प्रणाली के स्थिर संतुलन को परिभाषित करते हैं।

सामान्यीकृत जड़ता बल
एक एकल कठोर पिंड पर विचार करें जो एक परिणामी बल F और टॉर्क T की क्रिया के तहत चलता है, सामान्यीकृत समन्वय q द्वारा परिभाषित स्वतंत्रता की एक डिग्री के साथ। परिणामी बल के लिए संदर्भ बिंदु मान लें और टोक़ शरीर के द्रव्यमान का केंद्र है, फिर सामान्यीकृत जड़ता बल $Q*$ सामान्यीकृत समन्वय से जुड़ा हुआ है $q$ द्वारा दिया गया है $$ Q^* = -(M\mathbf{A})\cdot\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial \dot{q}} - \left([I_R] \boldsymbol\alpha + \boldsymbol\omega \times [I_R] \boldsymbol\omega\right) \cdot \frac{\partial \boldsymbol{\omega}}{\partial \dot{q}}.$$ इस जड़त्व बल की गणना कठोर पिंड की गतिज ऊर्जा से की जा सकती है, $$ T = \tfrac{1}{2} M \mathbf{V} \cdot \mathbf{V} + \tfrac{1}{2} \boldsymbol{\omega} \cdot [I_R] \boldsymbol{\omega},$$ सूत्र का उपयोग करके $$ Q^* = -\left(\frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}} -\frac{\partial T}{\partial q}\right).$$ की एक प्रणाली $n$ m सामान्यीकृत निर्देशांक वाले कठोर पिंडों में गतिज ऊर्जा होती है $$T = \sum_{i=1}^n\left(\tfrac{1}{2} M \mathbf{V}_i \cdot \mathbf{V}_i + \tfrac{1}{2} \boldsymbol{\omega}_i \cdot [I_R] \boldsymbol{\omega}_i\right),$$ जिसका उपयोग एम सामान्यीकृत जड़ता बलों की गणना के लिए किया जा सकता है $$ Q^*_j = -\left(\frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_j} -\frac{\partial T}{\partial q_j}\right),\quad j=1, \ldots, m.$$

गतिशील संतुलन
आभासी कार्य के सिद्धांत के डी'अलेम्बर्ट के रूप में कहा गया है कि कठोर निकायों की एक प्रणाली गतिशील संतुलन में है जब लागू बलों के योग का आभासी कार्य और जड़त्वीय बल प्रणाली के किसी भी आभासी विस्थापन के लिए शून्य है। इस प्रकार, एम सामान्यीकृत निर्देशांक वाले एन कठोर निकायों की एक प्रणाली के गतिशील संतुलन की आवश्यकता है $$ \delta W = \left(Q_1 + Q^*_1\right) \delta q_1 + \dots + \left(Q_m + Q^*_m\right) \delta q_m = 0,$$ आभासी विस्थापन के किसी भी सेट के लिए $δq_{j}$. यह स्थिति उपजती है $m$ समीकरण, $$ Q_j + Q^*_j = 0, \quad j=1, \ldots, m,$$ जिसे इस रूप में भी लिखा जा सकता है $$ \frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_j} -\frac{\partial T}{\partial q_j} = Q_j, \quad j = 1, \ldots, m.$$ परिणाम गति के एम समीकरणों का एक सेट है जो कठोर शरीर प्रणाली की गतिशीलता को परिभाषित करता है।

लैग्रेंज के समीकरण
यदि सामान्यीकृत बल Qj एक संभावित ऊर्जा से व्युत्पन्न हैं $V(q_{1}, ..., q_{m})$, तो गति के ये समीकरण रूप ले लेते हैं $$ \frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_j} -\frac{\partial T}{\partial q_j} = -\frac{\partial V}{\partial q_j}, \quad j = 1, \ldots, m.$$ इस मामले में, Lagrangian यांत्रिकी का परिचय दें, $L = T − V$, तो गति के ये समीकरण बन जाते हैं $$ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} - \frac{\partial L}{\partial q_j} = 0 \quad j = 1,\ldots,m.$$ इन्हें Lagrangian Mechanics के रूप में जाना जाता है|Lagrange की गति के समीकरण।

कणों की प्रणाली
द्रव्यमान के केंद्र के सापेक्ष कणों की स्थिति और वेग को मापकर कणों की एक कठोर प्रणाली की रैखिक और कोणीय गति तैयार की जाती है। माना कणों का निकाय Pi, $i = 1, ..., n$ निर्देशांक r पर स्थित होi और वेग वीi. एक संदर्भ बिंदु आर का चयन करें और सापेक्ष स्थिति और वेग वैक्टर की गणना करें, $$ \mathbf{r}_i = \left(\mathbf{r}_i - \mathbf{R}\right) + \mathbf{R}, \quad \mathbf{v}_i = \frac{d}{dt}(\mathbf{r}_i - \mathbf{R}) + \mathbf{V}. $$ संदर्भ बिंदु R के सापेक्ष कुल रैखिक और कोणीय संवेग सदिश हैं $$ \mathbf{p} = \frac{d}{dt}\left(\sum_{i=1}^n m_i \left(\mathbf{r}_i - \mathbf{R}\right)\right) + \left(\sum_{i=1}^n m_i\right) \mathbf{V},$$ और $$ \mathbf{L} = \sum_{i=1}^n m_i \left(\mathbf{r}_i - \mathbf{R}\right) \times \frac{d}{dt}\left(\mathbf{r}_i - \mathbf{R}\right) + \left(\sum_{i=1}^n m_i \left(\mathbf{r}_i - \mathbf{R}\right)\right) \times \mathbf{V}.$$ यदि R को द्रव्यमान के केंद्र के रूप में चुना जाता है तो ये समीकरण सरल हो जाते हैं $$ \mathbf{p} = M\mathbf{V},\quad \mathbf{L} = \sum_{i=1}^n m_i \left(\mathbf{r}_i - \mathbf{R}\right) \times \frac{d}{dt}\left(\mathbf{r}_i - \mathbf{R}\right).$$

कणों की कठोर व्यवस्था
इन फ़ार्मुलों को एक कठोर शरीर में विशेषज्ञ करने के लिए, मान लें कि कण एक दूसरे से सख्ती से जुड़े हुए हैं इसलिए पी$i$, i=1,...,n निर्देशांक r द्वारा स्थित हैं$i$ और वेग वी$i$. एक संदर्भ बिंदु आर का चयन करें और सापेक्ष स्थिति और वेग वैक्टर की गणना करें, $$ \mathbf{r}_i = (\mathbf{r}_i - \mathbf{R}) + \mathbf{R}, \quad \mathbf{v}_i = \omega\times(\mathbf{r}_i - \mathbf{R}) + \mathbf{V},$$ जहाँ ω निकाय का कोणीय वेग है। द्रव्यमान R के केंद्र के सापेक्ष मापी गई इस कठोर प्रणाली का रैखिक संवेग और कोणीय संवेग है $$\mathbf{p} = \left(\sum_{i=1}^n m_i\right) \mathbf{V},\quad \mathbf{L} = \sum_{i=1}^n m_i(\mathbf{r}_i-\mathbf{R})\times \mathbf{v}_i = \sum_{i=1}^n m_i (\mathbf{r}_i-\mathbf{R})\times(\omega\times(\mathbf{r}_i - \mathbf{R})).$$ ये समीकरण बनने में आसान होते हैं, $$ \mathbf{p} = M\mathbf{V},\quad \mathbf{L} = [I_R]\omega,$$ जहाँ M निकाय का कुल द्रव्यमान है और [I$R$] द्वारा परिभाषित जड़ता मैट्रिक्स का क्षण है $$ [I_R] = -\sum_{i=1}^n m_i[r_i-R][r_i-R],$$ जहां [आरi - R] सदिश r से निर्मित तिरछा-सममित मैट्रिक्स हैi - आर. <!-- the previous section presents rigid body linear and angular momentum-

Rigid-body linear momentum
Newton's Second Law states that the rate of change of the linear momentum of a particle with constant mass is equal to the sum of all external forces acting on the particle:

$$\frac{d(m \mathbf{v})}{dt}=\sum_{i=1}^N \mathbf{f}_i $$

where m is the particle's mass, v is the particle's velocity, their product mv is the linear momentum, and fi is one of the N number of forces acting on the particle.

Because the mass is constant, this is equivalent to

$$m \frac{d\mathbf{v}}{dt}=\sum_{i=1}^N \mathbf{f}_i.$$

To generalize, assume a body of finite mass and size is composed of such particles, each with infinitesimal mass dm. Each particle has a position vector r. There exist internal forces, acting between any two particles, and external forces, acting only on the outside of the mass. Since velocity v is the derivative of position r with respect to time, the derivative of velocity dv/dt is the second derivative of position d2r/dt2, and the linear momentum equation of any given particle is

$$dm \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}= \sum_{i=1}^M \mathbf{f}_{i,\text{internal}} + \sum_{j=1}^N \mathbf{f}_{j,\mathrm{external}}.$$

When the linear momentum equations for all particles are added together, the internal forces sum to zero according to Newton's third law, which states that any such force has opposite magnitudes on the two particles. By accounting for all particles, the left side becomes an integral over the entire body, and the second derivative operator can be moved out of the integral, so

$$ \frac{d^2}{dt^2} \int \mathbf{r}\, dm = \sum_{j=1}^N \mathbf{f}_{j,\mathrm{external}}$$.

Let M be the total mass, which is constant, so the left side can be multiplied and divided by M, so

$$ M \frac{d^2}{dt^2}\!\left(\frac{\int \mathbf{r}\, dm}{M}\right) = \sum_{j=1}^N \mathbf{f}_{j,\mathrm{external}}$$.

The expression $$\frac{\int \mathbf{r}\, dm}{M}$$ is the formula for the position of the center of mass. Denoting this by rcm, the equation reduces to

$$ M \frac{d^2 \mathbf{r}_\mathrm{cm}}{dt^2} = \sum_{j=1}^N \mathbf{f}_{j,\mathrm{external}}.$$

Thus, linear momentum equations can be extended to rigid bodies by denoting that they describe the motion of the center of mass of the body. This is known as Euler's first law.

Rigid-body angular momentum
The most general equation for rotation of a rigid body in three dimensions about an arbitrary origin O with axes x, y, z is

$$M b_{G/O} \times \frac{d^2 R_O}{dt^2} + \frac{d(\mathbf{I}\boldsymbol{\omega})}{dt} = \sum_{j=1}^N \tau_{O,j} $$

where the moment of inertia tensor, $$\mathbf{I}$$, is given by $$ \mathbf{I} = \begin{pmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} \end{pmatrix}$$

$$ \mathbf{I} = \begin{pmatrix} \int (y^2+z^2)\, dm & -\int xy\, dm & -\int xz\, dm\\ -\int xy\, dm & \int (x^2+z^2)\, dm & -\int yz\, dm \\ -\int xz\, dm & -\int yz\, dm & \int (x^2+y^2)\, dm \end{pmatrix}$$

Given that Euler's rotation theorem states that there is always an instantaneous axis of rotation, the angular velocity, $$\boldsymbol{\omega}$$, can be given by a vector over this axis $$\quad \boldsymbol{\omega} = \omega_x \mathbf{\hat{i}} + \omega_y \mathbf{\hat{j}} + \omega_z \mathbf{\hat{k}} $$

where $$\scriptstyle{(\mathbf{\hat{i}},\ \mathbf{\hat{j}},\  \mathbf{\hat{k}})}$$ is a set of mutually perpendicular unit vectors fixed in a reference frame.

Rotating a rigid body is equivalent to rotating a Poinsot ellipsoid. -->

अनुप्रयोग

 * रोबोटिक सिस्टम के विश्लेषण के लिए
 * जानवरों, मनुष्यों या ह्यूमनॉइड सिस्टम के बायोमैकेनिकल विश्लेषण के लिए
 * अंतरिक्ष वस्तुओं के विश्लेषण के लिए
 * कठोर पिंडों की विचित्र गतियों को समझने के लिए।
 * जाइरोस्कोपिक सेंसर जैसे डायनेमिक्स-आधारित सेंसर के डिजाइन और विकास के लिए।
 * ऑटोमोबाइल में विभिन्न स्थिरता वृद्धि अनुप्रयोगों के डिजाइन और विकास के लिए।
 * कठोर निकायों वाले वीडियो गेम के ग्राफिक्स में सुधार के लिए

यह भी देखें

 * विश्लेषणात्मक यांत्रिकी
 * विश्लेषणात्मक गतिशीलता
 * विविधताओं की गणना
 * शास्त्रीय यांत्रिकी
 * गतिकी (भौतिकी)
 * शास्त्रीय यांत्रिकी का इतिहास
 * Lagrangian यांत्रिकी
 * Lagrangian यांत्रिकी
 * हैमिल्टनियन यांत्रिकी
 * सख्त शरीर
 * कठोर रोटर
 * कोमल शरीर की गतिशीलता
 * मल्टीबॉडी [[ डायनामेक्स ]]
 * आधा फेंको े
 * रेपोल प्रमुख
 * रियायत
 * पॉइन्सॉट का निर्माण
 * जाइरोस्कोप
 * भौतिकी इंजन
 * भौतिकी प्रसंस्करण इकाई
 * पाल (सॉफ्टवेयर) - एकीकृत मल्टीबॉडी सिम्युलेटर
 * डायनेमेच - रिजिड-बॉडी सिमुलेटर
 * कठोर चिप्स - जापानी कठोर शरीर सिम्युलेटर
 * यूलर का समीकरण

आगे की पढाई

 * E. Leimanis (1965). The General Problem of the Motion of Coupled Rigid Bodies about a Fixed Point.  (Springer, New York).
 * W. B. Heard (2006). Rigid Body Mechanics: Mathematics, Physics and Applications.  (Wiley-VCH).



बाहरी कड़ियाँ

 * Chris Hecker's Rigid Body Dynamics Information
 * Physically Based Modeling: Principles and Practice
 * DigitalRune Knowledge Base contains a master thesis and a collection of resources about rigid body dynamics.
 * F. Klein, "Note on the connection between line geometry and the mechanics of rigid bodies" (English translation)
 * F. Klein, "On Sir Robert Ball's theory of screws" (English translation)
 * E. Cotton, "Application of Cayley geometry to the geometric study of the displacement of a solid around a fixed point" (English translation)