अवधि-दोहरीकरण द्विभाजन

डायनेमिक सिस्टम सिद्धांत में, एक अवधि-दोहरीकरण द्विभाजन तब होता है जब सिस्टम के मापदंडों में थोड़ा सा बदलाव मौजूदा आवधिक प्रक्षेपवक्र से एक नया आवधिक प्रक्षेपवक्र उभरने का कारण बनता है - नए में मूल की अवधि दोगुनी होती है। दोगुनी अवधि के साथ, सिस्टम द्वारा देखे गए संख्यात्मक मानों को खुद को दोहराने में दोगुना समय लगता है (या, एक अलग समय और निरंतर समय गतिशील प्रणाली में, दो बार कई पुनरावृत्तियों के रूप में)।

अवधि-आधा विभाजन तब होता है जब एक प्रणाली मूल प्रणाली की आधी अवधि के साथ एक नए व्यवहार पर स्विच करती है।

एक अवधि-दोहरीकरण झरना अवधि-दोहरीकरण द्विभाजन का एक अनंत अनुक्रम है। इस तरह के कैस्केड एक सामान्य मार्ग हैं जिसके द्वारा गतिशील प्रणालियाँ अराजकता विकसित करती हैं। जल-गत्यात्मकता  में, वे अशांति के संभावित मार्गों में से एक हैं।



लॉजिस्टिक मानचित्र
लॉजिस्टिक मानचित्र है
 * $$x_{n+1} = r x_n (1 - x_n)$$ कहाँ $$x_n$$ (असतत) समय का एक कार्य है $$n = 0, 1, 2, \ldots$$. पैरामीटर $$r$$ अंतराल में स्थित माना जाता है $$(0,4]$$, किस स्थिति में $$x_n$$ पर बाध्य है $$[0,1]$$.

के लिए $$r$$ 1 और 3 के बीच, $$x_n$$ स्थिर निश्चित बिंदु पर एकत्रित हो जाता है $$x_* = (r-1)/r$$. फिर, के लिए $$r$$ 3 और 3.44949 के बीच, $$x_n$$ दो मूल्यों के बीच एक स्थायी दोलन में परिवर्तित हो जाता है $$x_*$$ और $$x'_*$$ जिस पर निर्भर है $$r$$. जैसा $$r$$ बड़ा हो जाता है, 4 मानों के बीच दोलन, फिर 8, 16, 32, आदि दिखाई देते हैं। ये अवधि दोहरीकरण समाप्त होती है $$r \approx 3.56995$$, जिसके आगे और अधिक जटिल व्यवस्थाएँ प्रकट होती हैं। जैसा $$r$$ बढ़ता है, ऐसे कुछ अंतराल होते हैं जहां अधिकांश शुरुआती मान एक या छोटी संख्या में स्थिर दोलनों में परिवर्तित हो जाएंगे, जैसे कि निकट $$r=3.83$$.

जिस अंतराल में काल है $$2^n$$ कुछ सकारात्मक पूर्णांक के लिए $$n$$, वास्तव में सभी बिंदुओं की अवधि नहीं होती है $$2^n$$. ये अंतराल के बजाय एकल बिंदु हैं। इन बिंदुओं को अस्थिर कक्षाओं में कहा जाता है, क्योंकि आस-पास के बिंदु उनके समान कक्षा तक नहीं पहुंचते हैं।

द्विघात मानचित्र
जटिल द्विघात बहुपद का वास्तविक संस्करण मैंडेलब्रॉट सेट के वास्तविक टुकड़े से संबंधित है।

कुरामोटो-सिवाशिंस्की समीकरण
कुरामोटो-सिवाशिन्स्की समीकरण एक स्थानिक-अस्थायी रूप से निरंतर गतिशील प्रणाली का एक उदाहरण है जो अवधि दोहरीकरण को प्रदर्शित करता है। यह सबसे अच्छी तरह से अध्ययन किए गए गैर-रेखीय आंशिक अंतर समीकरणों में से एक है, जिसे मूल रूप से लौ फ्रंट प्रसार के एक मॉडल के रूप में पेश किया गया था। एक आयामी कुरामोटो-सिवाशिन्स्की समीकरण है

u_t + u u_x + u_{xx} + \nu \, u_{xxxx} = 0 $$ सीमा स्थितियों के लिए एक सामान्य विकल्प स्थानिक आवधिकता है: $$u(x + 2 \pi, t) = u(x,t)$$.

के बड़े मूल्यों के लिए $$\nu$$, $$u(x,t)$$ स्थिर (समय-स्वतंत्र) समाधान या सरल आवधिक कक्षाओं की ओर विकसित होता है। जैसा $$\nu$$ कम हो जाती है, गतिशीलता अंततः अराजकता विकसित करती है। व्यवस्था से अराजकता की ओर संक्रमण अवधि-दोहरीकरण विभाजनों के एक झरने के माध्यम से होता है, जिनमें से एक चित्र में दर्शाया गया है।

संशोधित फिलिप्स वक्र के लिए लॉजिस्टिक मानचित्र
संशोधित फिलिप्स वक्र के लिए निम्नलिखित लॉजिस्टिक मानचित्र पर विचार करें:

$$ \pi_{t} = f(u_{t}) + b \pi_{t}^e $$

$$ \pi_{t+1} = \pi_{t}^e + c (\pi_{t} - \pi_{t}^e) $$

$$ f(u) = \beta_{1} + \beta_{2} e^{-u} \,$$

$$ b > 0, 0 \leq c \leq 1, \frac {df} {du} < 0 $$ कहाँ :
 * $$\pi$$ वास्तविक मुद्रास्फीति है
 * $$ \pi^e $$ अपेक्षित मुद्रास्फीति है,
 * यू बेरोजगारी का स्तर है,
 * $$ m - \pi $$ मुद्रा आपूर्ति वृद्धि दर है.

रखना $$ \beta_{1} = -2.5, \ \beta_{2} = 20, \ c = 0.75 $$ और भिन्न-भिन्न $$b$$, प्रणाली समय-समय पर द्विभाजन से गुजरती है और अंततः अराजक हो जाती है।

प्रयोगात्मक अवलोकन
कई प्रायोगिक प्रणालियों में अवधि दोहरीकरण देखा गया है। अवधि-दोहरीकरण कैस्केड के प्रयोगात्मक साक्ष्य भी हैं। उदाहरण के लिए, पानी और बुध (तत्व) में संवहन रोल की गतिशीलता में 4 अवधि के दोहरीकरण के अनुक्रम देखे गए हैं। इसी तरह, कुछ नॉनलाइनियर  विद्युत सर्किट  में 4-5 दोहरीकरण देखा गया है।   हालाँकि, i का पता लगाने के लिए प्रायोगिक परिशुद्धता की आवश्यकता है एक कैस्केड में दोहरीकरण की घटना i के साथ तेजी से बढ़ती है, जिससे एक कैस्केड में 5 से अधिक दोहरीकरण की घटनाओं का निरीक्षण करना मुश्किल हो जाता है।

यह भी देखें

 * अव्यवस्थित मानचित्रों की सूची
 * जटिल द्विघात मानचित्र
 * फीजेनबाम स्थिरांक
 * सार्वभौमिकता (गतिशील प्रणाली)
 * शार्कोव्स्की का प्रमेय

बाहरी संबंध

 * Connecting period-doubling cascades to chaos