यादृच्छिक मैट्रिक्स

संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय भौतिकी में, यादृच्छिक आव्यूह आव्यूह (गणित) है - मूल्यवान यादृच्छिक चर-अर्थात, आव्यूह जिसमें कुछ या सभी तत्व यादृच्छिक चर होते हैं। भौतिक प्रणालियों के कई महत्वपूर्ण गुणों को गणितीय रूप से आव्यूह समस्याओं के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, जाली मॉडल (भौतिकी) की तापीय चालकता की गणना जाली के अंदर कण-कण अंतःक्रियाओं के गतिशील आव्यूह से की जा सकती है।

भौतिकी
परमाणु भौतिकी में, भारी परमाणुओं के नाभिकों को मॉडल करने के लिए यूजीन विग्नर द्वारा यादृच्छिक आव्यूह प्रस्तुत किए गए थे। विग्नर ने अभिगृहीत किया कि भारी परमाणु नाभिक के स्पेक्ट्रम में रेखाओं के बीच की दूरी यादृच्छिक आव्यूह के आइगेनवैल्यूज़ ​​​​के बीच की दूरी के समान होनी चाहिए, और केवल अंतर्निहित विकास के समरूपता वर्ग पर निर्भर होना चाहिए। भौतिक विज्ञान की ठोस अवस्था में, रैंडम मेट्रिसेस मीन फील्ड सन्निकटन | मीन-फील्ड सन्निकटन में बड़े अव्यवस्थित हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) के व्यवहार को मॉडल करते हैं।

क्वांटम अराजकता में, बोहिगास-गियानोनी-श्मिट (बीजीएस) अनुमान का प्रमाणित है कि क्वांटम पद्धति के वर्णक्रमीय आंकड़े जिनके मौलिक समकक्ष अराजक व्यवहार प्रदर्शित करते हैं, यादृच्छिक आव्यूह सिद्धांत द्वारा वर्णित हैं।

क्वांटम प्रकाशिकी में, मौलिक संगणना पर क्वांटम के लाभ को प्रदर्शित करने के लिए यादृच्छिक एकात्मक मेट्रिसेस द्वारा वर्णित परिवर्तन महत्वपूर्ण हैं (देखें, उदाहरण के लिए, बोसोन नमूनाकरण मॉडल)। इसके अतिरिक्त, इस तरह के यादृच्छिक एकात्मक परिवर्तनों को ऑप्टिकल परिपथ घटकों (जो कि बीम फाड़नेवाला स्प्लिटर्स और फेज शिफ्टर्स हैं) में उनके मापदंडों को मैप करके सीधे ऑप्टिकल परिपथ में प्रयुक्त किया जा सकता है।

रैंडम आव्यूह सिद्धांत ने क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स में चिराल डायराक ऑपरेटर के लिए भी आवेदन पाया है, दो आयामों में क्वांटम गुरुत्व, मेसोस्कोपिक, स्पिन-ट्रांसफर टॉर्क, भिन्नात्मक क्वांटम हॉल प्रभाव, एंडरसन स्थानीयकरण, क्वांटम डॉट्स, और अतिचालक

गणितीय आँकड़े और संख्यात्मक विश्लेषण
बहुभिन्नरूपी आँकड़ों में, जॉन विशरट (सांख्यिकीविद्) द्वारा यादृच्छिक मेट्रिसेस प्रस्तुत किए गए, जिन्होंने बड़े नमूनों के सहप्रसरण मेट्रिसेस का अनुमान लगाने की मांग की। चेरनॉफ़ बाध्य, बर्नस्टीन असमानताएँ (संभाव्यता सिद्धांत) -, और होफ़डिंग की असमानता-प्रकार की असमानताओं को सामान्यतः तब शक्तिशाली किया जा सकता है जब यादृच्छिक हर्मिटियन आव्यूह के परिमित योग के अधिकतम ईजेनवेल्यू पर प्रयुक्त किया जाता है। संख्यात्मक विश्लेषण में, जॉन वॉन न्यूमैन और हरमन गोल्डस्टाइन के काम के बाद से यादृच्छिक आव्यूह का उपयोग किया गया है आव्यूह गुणन जैसे संचालन में संगणना त्रुटियों का वर्णन करने के लिए। चूंकि यादृच्छिक प्रविष्टियां एल्गोरिदम के पारंपरिक सामान्य इनपुट हैं, यादृच्छिक आव्यूह वितरण से जुड़े माप की एकाग्रता का अर्थ है कि यादृच्छिक आव्यूह एल्गोरिदम के इनपुट स्थान के बड़े हिस्से का परीक्षण नहीं करेंगे।

संख्या सिद्धांत
संख्या सिद्धांत में, एल फलन ]] (और अन्य एल-फ़ंक्शंस) के शून्यों का वितरण कुछ यादृच्छिक मैट्रिसेस के आइगेनवैल्यूज़ ​​​​के वितरण द्वारा तैयार किया गया है। कनेक्शन की खोज सबसे पहले ह्यूग मोंटगोमरी (गणितज्ञ) और फ्रीमैन जे डायसन ने की थी। यह हिल्बर्ट-पोल्या अनुमान से जुड़ा है।

सैद्धांतिक तंत्रिका विज्ञान
सैद्धांतिक तंत्रिका विज्ञान के क्षेत्र में, मस्तिष्क में न्यूरॉन्स के बीच सिनैप्टिक कनेक्शन के नेटवर्क को मॉडल करने के लिए यादृच्छिक मेट्रिसेस का तेजी से उपयोग किया जाता है। रैंडम कनेक्टिविटी आव्यूह वाले न्यूरोनल नेटवर्क के डायनेमिक मॉडल को अराजकता के लिए चरण संक्रमण प्रदर्शित करने के लिए दिखाया गया था जब अन्तर्ग्रथनी भार का प्रसरण अनंत प्रणाली आकार की सीमा पर महत्वपूर्ण मान को पार कर जाता है। यादृच्छिक आव्यूह पर परिणाम यह भी दिखाते हैं कि यादृच्छिक- आव्यूह मॉडल की गतिशीलता कारण कनेक्शन शक्ति के प्रति असंवेदनशील है। इस के अतिरिक्त, उतार-चढ़ाव की स्थिरता कनेक्शन शक्ति भिन्नता पर निर्भर करती है और समकालिकता का समय नेटवर्क टोपोलॉजी पर निर्भर करता है।

इष्टतम नियंत्रण
इष्टतम नियंत्रण सिद्धांत में, समय के माध्यम से एन राज्य चर का विकास किसी भी समय अपने स्वयं के मूल्यों और के नियंत्रण चर के मूल्यों पर निर्भर करता है। रैखिक विकास के साथ, गुणांक के आव्यूह राज्य समीकरण (विकास के समीकरण) में दिखाई देते हैं। कुछ समस्याओं में इन मैट्रिसेस में पैरामीटर के मान निश्चित रूप से ज्ञात नहीं होते हैं, इस स्थितियों में राज्य समीकरण में रैंडम मैट्रिसेस होते हैं और समस्या को स्टोकेस्टिक नियंत्रण में से के रूप में जाना जाता है।  स्टोचैस्टिक मैट्रिसेस के साथ रैखिक-द्विघात नियंत्रण के स्थितियों में महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि निश्चितता तुल्यता सिद्धांत प्रयुक्त नहीं होता है: जबकि गुणक अनिश्चितता के अभाव में ( अर्थात, केवल योगात्मक अनिश्चितता के साथ) द्विघात हानि फलन के साथ इष्टतम नीति के साथ मेल खाता है यदि अनिश्चितता को नजरअंदाज कर दिया गया तो क्या तय किया जाएगा, राज्य समीकरण में यादृच्छिक गुणांक होने पर इष्टतम नीति भिन्न हो सकती है।

कम्प्यूटेशनल यांत्रिकी
कम्प्यूटेशनल यांत्रिकी में, मॉडल पद्धति के भौतिकी के बारे में ज्ञान की कमी के कारण ज्ञान संबंधी अनिश्चितताएं कम्प्यूटेशनल मॉडल से जुड़े गणितीय ऑपरेटरों को जन्म देती हैं, जो निश्चित अर्थ में कमी हैं। इस तरह के ऑपरेटरों में अनमॉडेल्ड फिजिक्स से जुड़े कुछ गुणों का अभाव होता है। जब ऐसे ऑपरेटरों को कम्प्यूटेशनल सिमुलेशन करने के लिए अलग किया जाता है, तो उनकी त्रुटिहीन लापता भौतिकी द्वारा सीमित होती है। गणितीय ऑपरेटर की इस कमी की भरपाई करने के लिए, मॉडल पैरामीटर को यादृच्छिक बनाने के लिए पर्याप्त नहीं है, गणितीय ऑपरेटर पर विचार करना आवश्यक है जो यादृच्छिक है और इस प्रकार कम्प्यूटेशनल मॉडल के परिवारों को उम्मीद में उत्पन्न कर सकता है कि इनमें से लापता को पकड़ लेता है भौतिक विज्ञान। इस अर्थ में रैंडम मेट्रिसेस का उपयोग किया गया है, कंपन ध्वनिक, तरंग प्रसार, सामग्री विज्ञान, द्रव यांत्रिकी, गर्मी हस्तांतरण, आदि में अनुप्रयोगों के साथ।

गॉसियन पहनावा
सबसे अधिक अध्ययन किया जाने वाला यादृच्छिक आव्यूह संभाव्यता वितरण गॉसियन पहनावा है।

गॉसियन एकात्मक पहनावा $$\text{GUE}(n)$$ गॉसियन माप द्वारा घनत्व के साथ वर्णित किया गया है $$ \frac{1}{Z_{\text{GUE}(n)}} e^{- \frac{n}{2} \mathrm{tr} H^2} $$ के स्थान पर $$n \times n$$ हर्मिटियन मेट्रिसेस $$H = (H_{ij})_{i,j=1}^n$$. यहाँ

$$Z_{\text{GUE}(n)} = 2^{n/2} \pi^{\frac{1}{2}n^2} $$ सामान्यीकरण स्थिरांक है, इसलिए चुना जाता है जिससे घनत्व का समाकल के बराबर हो। एकात्मक शब्द इस तथ्य को संदर्भित करता है कि वितरण एकात्मक संयुग्मन के अनुसार अपरिवर्तनीय है। गॉसियन एकात्मक पहनावा मॉडल हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) में समय-उलट समरूपता का अभाव है।

'गॉसियन ऑर्थोगोनल पहनावा' $$\text{GOE}(n)$$ गॉसियन माप द्वारा घनत्व के साथ वर्णित किया गया है $$ \frac{1}{Z_{\text{GOE}(n)}} e^{- \frac{n}{4} \mathrm{tr} H^2} $$ n × n वास्तविक सममित आव्यूहों के स्थान पर H = (Hij)$n i,j=1$. इसका वितरण ऑर्थोगोनल संयुग्मन के अनुसार अपरिवर्तनीय है, और यह हैमिल्टनियों को समय-उलट समरूपता के साथ मॉडल करता है।

गाऊसी सहानुभूतिपूर्ण पहनावा $$\text{GSE}(n)$$ गॉसियन माप द्वारा घनत्व के साथ वर्णित किया गया है $$ \frac{1}{Z_{\text{GSE}(n)}} e^{- n \mathrm{tr} H^2} $$ n × n हर्मिटियन चार का समुदाय आव्यूह के स्थान पर, उदा. चतुष्कोणों से बना सममित वर्ग आव्यूह, $H = (H_{ij})n i,j=1$. इसका वितरण सहानुभूतिपूर्ण समूह द्वारा संयुग्मन के अनुसार अपरिवर्तनीय है, और यह हैमिल्टनियों को समय-उलट समरूपता के साथ मॉडल करता है किन्तु कोई घूर्णी समरूपता नहीं है।

गॉसियन पहनावा जीओई, जीयूई और जीएसई को अधिकांशतः उनके फ्रीमैन डायसन इंडेक्स द्वारा दर्शाया जाता है, जीओई के लिए β=1, जीयूई के लिए β=2 और जीएसई के लिए β=4। यह सूचकांक प्रति आव्यूह तत्व के वास्तविक घटकों की संख्या की गणना करता है। यहाँ परिभाषित पहनावा में गाऊसी वितरित आव्यूह तत्व हैं जिनका कारण ⟨H हैij⟩ = 0, और दो-बिंदु सहसंबंध द्वारा दिया गया $$ \langle H_{ij} H_{mn}^* \rangle = \langle H_{ij} H_{nm} \rangle = \frac{1}{n} \delta_{im} \delta_{jn} + \frac{2 - \beta}{n \beta}\delta_{in}\delta_{jm} ,$$ जिससे सभी उच्च सहसंबंध इस्सरलिस प्रमेय द्वारा अनुसरण करते हैं।

ईगेनवैल्यू, ईजेनवेक्टर और ईजेनस्पेस के लिए संयुक्त प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन λ1, λ2, ..., λn}जीयूई/ जीओई / जीएसई का } द्वारा दिया गया है

जहां जेडβ,n सामान्यीकरण स्थिरांक है जिसे स्पष्ट रूप से गणना की जा सकती है, सेलबर्ग अभिन्न देखें। जीयूई (β = 2) के स्थितियों में, सूत्र (1) निर्धारक बिंदु प्रक्रिया का वर्णन करता है। आइगेनवैल्यूज़ ​​पीछे हटते हैं क्योंकि संयुक्त संभाव्यता घनत्व में शून्य (का $$\beta$$वां क्रम) आइगेनवैल्यूज़ ​​​​से मेल खाने के लिए $$\lambda_j = \lambda_i$$.

परिमित आयामों के जीओई, जीयूई और विशार्ट मैट्रिसेस के लिए सबसे बड़े एइगेन्वलुए के वितरण के लिए, देखें।

लेवल स्पेसिंग का वितरण
आइगेनवैल्यू के क्रमबद्ध क्रम से $$\lambda_1 < \ldots < \lambda_n < \lambda_{n+1} < \ldots$$, सामान्यीकृत स्तर-अंतर वितरण को परिभाषित करता है $$s = (\lambda_{n+1} - \lambda_n)/\langle s \rangle$$, जहाँ $$\langle s \rangle =\langle \lambda_{n+1} - \lambda_n \rangle$$ औसत अंतराल है। स्पेसिंग का प्रायिकता बंटन लगभग दिया जाता है, $$ p_1(s) = \frac{\pi}{2}s\, e^{-\frac{\pi}{4} s^2} $$ ओर्थोगोनल पहनावा जीओई के लिए $$\beta=1$$, $$ p_2(s) = \frac{32}{\pi^2}s^2 \mathrm{e}^{-\frac{4}{\pi} s^2} $$ एकात्मक पहनावा जीयूई के लिए $$\beta=2$$, और $$ p_4(s) = \frac{2^{18}}{3^6\pi^3}s^4 e^{-\frac{64}{9\pi} s^2} $$ सहानुभूतिपूर्ण पहनावा जीएसई के लिए $$\beta = 4$$.

संख्यात्मक स्थिरांक ऐसे होते हैं $$ p_\beta(s) $$ सामान्यीकृत है: $$ \int_0^\infty ds\,p_\beta(s) = 1 $$ और औसत रिक्ति है, $$ \int_0^\infty ds\, s\, p_\beta(s) = 1, $$ के लिए $$ \beta = 1,2,4 $$.

सामान्यीकरण
विग्नर आव्यूह यादृच्छिक हर्मिटियन आव्यूह हैं $ H_n = (H_n(i,j))_{i,j=1}^n $ जैसे कि प्रविष्टियाँ $$ \left\{ H_n(i, j)~, \, 1 \leq i \leq j \leq n \right\} $$ मुख्य विकर्ण के ऊपर शून्य माध्य के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं और समान दूसरे क्षण हैं।

अपरिवर्तनीय आव्यूह पहनावा वास्तविक सममित / हर्मिटियन / क्वाटरनियोनिक हर्मिटियन मैट्रिसेस के स्थान पर घनत्व के साथ यादृच्छिक हर्मिटियन मैट्रिसेस हैं, जो कि फॉर्म का है $ \frac{1}{Z_n} e^{- n \mathrm{tr} V(H)}~, $ जहां फलन $V$ को क्षमता की जाती है।

यादृच्छिक मेट्रिसेस के इन दो वर्गों के केवल गॉसियन पहनावा ही सामान्य विशेष स्थितियों हैं।

यादृच्छिक मैट्रिसेस का वर्णक्रमीय सिद्धांत
रैंडम मैट्रिसेस का स्पेक्ट्रल सिद्धांत आइगेनवैल्यू के वितरण का अध्ययन करता है क्योंकि आव्यूह का आकार अनंत तक जाता है।

वैश्विक शासन
वैश्विक शासन में, प्रपत्र के रैखिक आंकड़ों के वितरण में रुचि है $$N_{f, H} = n^{-1} \text{tr} f(H)$$.

अनुभवजन्य वर्णक्रमीय उपाय
अनुभवजन्य वर्णक्रमीय माप $μ_{H}$ का $H$ द्वारा परिभाषित किया गया है $$ \mu_{H}(A) = \frac{1}{n} \, \# \left\{ \text{eigenvalues of }H\text{ in }A \right\} = N_{1_A, H}, \quad A \subset \mathbb{R}. $$ सामान्यतः, की सीमा $$ \mu_{H} $$ नियतात्मक उपाय है; यह आत्म-औसत का विशेष मामला है। सीमित माप के संचयी वितरण फलन को राज्यों का घनत्व किया जाता है और इसे एन (λ) निरूपित किया जाता है। यदि राज्यों का एकीकृत घनत्व अलग-अलग है, तो इसके व्युत्पन्न को राज्यों का घनत्व किया जाता है और इसे ρ(λ) दर्शाया जाता है।

विग्नर मेट्रिसेस के अनुभवजन्य वर्णक्रमीय माप की सीमा यूजीन विग्नर द्वारा वर्णित की गई थी; विग्नर अर्धवृत्त वितरण और विग्नर अनुमान देखें। जहां तक ​​नमूना सहप्रसरण आव्यूहों का संबंध है, मार्सेंको और पाश्चर द्वारा सिद्धांत विकसित किया गया था।

अपरिवर्तनीय आव्यूह के अनुभवजन्य वर्णक्रमीय माप की सीमा निश्चित अभिन्न समीकरण द्वारा वर्णित है जो संभावित सिद्धांत से उत्पन्न होती है।

उतार-चढ़ाव
रैखिक आँकड़ों के लिए $N_{f,H} = n^{−1} Σ f(λ_{j})$, किसी की दिलचस्पी ∫ f(λ) dN(λ) के उतार-चढ़ाव में भी है। यादृच्छिक मैट्रिसेस के कई वर्गों के लिए, फॉर्म का केंद्रीय सीमा प्रमेय $$ \frac{N_{f,H} - \int f(\lambda) \, dN(\lambda)}{\sigma_{f, n}} \overset{D}{\longrightarrow} N(0, 1) $$ ज्ञात है।

एकात्मक पहनावा के लिए परिवर्तनशील समस्या
उपाय पर विचार करें
 * $$\mathrm{d}\mu_N(\mu)=\frac{1}{\widetilde{Z}_N}e^{-H_N(\lambda)}\mathrm{d}\lambda,\qquad H_N(\lambda)=-\sum\limits_{j\neq k}\ln|\lambda_j-\lambda_k|+N\sum\limits_{j=1}^N Q(\lambda_j),$$

जहाँ $$Q(M)$$ पहनावा और जाने की क्षमता है $$\nu$$ अनुभवजन्य वर्णक्रमीय उपाय हो।

हम फिर से लिख सकते हैं $$H_N(\lambda)$$ साथ $$\nu$$ जैसा
 * $$H_N(\lambda)=N^2\left[-\int\int_{x\neq y}\ln |x-y|\mathrm{d}\nu(x)\mathrm{d}\nu(y)+\int Q(x)\mathrm{d}\nu(x)\right],$$

संभाव्यता माप अब फॉर्म का है
 * $$\mathrm{d}\mu_N(\mu)=\frac{1}{\widetilde{Z}_N}e^{-N^2 I_Q(\nu)}\mathrm{d}\lambda,$$

जहाँ $$I_Q(\nu)$$ वर्ग कोष्ठक के अंदर उपरोक्त कार्य है। अब छोड़ दिया
 * $$M_1(\mathbb{R})=\left\{\nu:\nu\geq 0,\ \int_{\mathbb{R}}\mathrm{d}\nu = 1\right\}$$

एक आयामी संभाव्यता उपायों का स्थान बनें और मिनिमाइज़र पर विचार करें
 * $$E_Q=\inf\limits_{\nu \in M_1(\mathbb{R})}-\int\int_{x\neq y} \ln |x-y|\mathrm{d}\nu(x)\mathrm{d}\nu(y)+\int Q(x)\mathrm{d}\nu(x).$$

के लिए $$E_Q$$ अद्वितीय यूलिब्रियम उपाय उपस्थित है $$\nu_{Q}$$ भिन्नरूपों की कलन के माध्यम से|यूलर-लैग्रेंज कुछ वास्तविक स्थिरांक के लिए परिवर्तनशील स्थितियाँ $$l$$
 * $$2\int_\mathbb{R}\log |x-y|\mathrm{d}\nu(y)-Q(x)=l,\quad x\in J$$
 * $$2\int_\mathbb{R}\log |x-y|\mathrm{d}\nu(y)-Q(x)\leq l,\quad x\in \mathbb{R}\setminus J$$

जहाँ $$J=\bigcup\limits_{j=1}^q[a_j,b_j]$$ उपाय का समर्थन है और
 * $$q=-\left(\frac{Q'(x)}{2}\right)^2+\int \frac{Q'(x)-Q'(y)}{x-y}\mathrm{d}\nu_{Q}(y)$$.

संतुलन उपाय $$\nu_{Q}$$ निम्नलिखित रेडॉन-निकोडिम घनत्व है
 * $$\frac{\mathrm{d}\nu_{Q}(x)}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{\pi}\sqrt{q(x)}.$$

स्थानीय शासन
स्थानीय शासन में, किसी को आइगेनवैल्यूज़ ​​​​के बीच की दूरी में दिलचस्पी है, और अधिक सामान्यतः, क्रम 1/n की लंबाई के अंतराल में आइगेनवैल्यूज़ ​​​​के संयुक्त वितरण में। सीमित वर्णक्रमीय माप के समर्थन के अंदर अंतराल से संबंधित बल्क आंकड़ों और समर्थन की सीमा के निकट अंतराल से संबंधित किनारे के आंकड़ों के बीच अंतर करता है।

थोक आँकड़े
औपचारिक रूप से, ठीक करें $$\lambda_0$$ के समर्थन (माप सिद्धांत) के आंतरिक (टोपोलॉजी) में $$N(\lambda)$$. फिर बिंदु प्रक्रिया पर विचार करें $$ \Xi(\lambda_0) = \sum_j \delta\Big({\cdot} - n \rho(\lambda_0) (\lambda_j - \lambda_0) \Big)~,$$ जहाँ $$\lambda_j$$ यादृच्छिक आव्यूह के आइगेनवैल्यूज़ ​​​​हैं।

बिंदु प्रक्रिया $$\Xi(\lambda_0)$$ के आसपास के आइगेनवैल्यूज़ ​​​​के सांख्यिकीय गुणों को कैप्चर करता है $$\lambda_0$$. गाऊसी पहनावा के लिए, की सीमा $$\Xi(\lambda_0)$$ ज्ञात है; इस प्रकार, जीयूई के लिए यह कर्नेल के साथ निर्धारक बिंदु प्रक्रिया है $$ K(x, y) = \frac{\sin \pi(x-y)}{\pi(x-y)} $$ (साइन कर्नेल)।

सार्वभौमिकता का सिद्धांत मानता है कि की सीमा $$\Xi(\lambda_0)$$ जैसा $$n \to \infty$$ केवल यादृच्छिक आव्यूह के समरूपता वर्ग पर निर्भर होना चाहिए (और न तो यादृच्छिक आव्यूह के विशिष्ट मॉडल पर और न ही $$\lambda_0$$). सार्वभौमिकता के कठोर प्रमाण अपरिवर्तनीय आव्यूह पहनावा के लिए जाने जाते हैं और विग्नर मेट्रिसेस।

सहसंबंध कार्य
के आइगेनवैल्यूज़ ​​​​की संयुक्त संभावना घनत्व $$n\times n$$ यादृच्छिक हर्मिटियन मेट्रिसेस $$ M \in \mathbf{H}^{n \times n} $$, प्रपत्र के विभाजन कार्यों के साथ $$ Z_n = \int_{M \in \mathbf{H}^{n \times n}} d\mu_0(M)e^{\text{tr}(V(M))} $$ जहाँ $$ V(x):=\sum_{j=1}^\infty v_j x^j $$ और $$ d\mu_0(M)$$ अंतरिक्ष पर मानक लेब्स जीयूई उपाय है $$ \mathbf{H}^{n \times n}$$ हर्मिटियन का $$ n \times n $$ मैट्रिसेस, द्वारा दिया गया है $$ p_{n,V}(x_1,\dots, x_n) = \frac{1}{Z_{n,V}}\prod_{i-बिंदु सहसंबंध कार्य (या सीमांत वितरण) के रूप में परिभाषित किया गया है $$ R^{(k)}_{n,V}(x_1,\dots,x_k) = \frac{n!}{(n-k)!} \int_{\mathbf{R}}dx_{k+1} \cdots \int_{\R} dx_{n} \, p_{n,V}(x_1,x_2,\dots,x_n), $$ जो उनके चरों के विषम सममित कार्य हैं। विशेष रूप से, बिंदु सहसंबंध फलन, या राज्यों का घनत्व है $$ R^{(1)}_{n,V}(x_1) = n\int_{\R}dx_{2} \cdots \int_{\mathbf{R}} dx_{n} \, p_{n,V}(x_1,x_2,\dots,x_n). $$ बोरेल समुच्चय पर इसका अभिन्न अंग $$B \subset \mathbf{R}$$ में निहित आइगेनवैल्यूज़ ​​की अपेक्षित संख्या देता है $$B$$: $$ \int_{B} R^{(1)}_{n,V}(x)dx = \mathbf{E}\left(\#\{\text{eigenvalues in }B\}\right). $$ निम्नलिखित परिणाम इन सहसंबंध कार्यों को जोड़े में उचित अभिन्न कर्नेल का मूल्यांकन करने से गठित मैट्रिसेस के निर्धारक के रूप में व्यक्त करता है $$(x_i, x_j)$$ सहसंयोजक के अंदर दिखाई देने वाले बिंदुओं की।

प्रमेय [डायसन-मेहता] किसी के लिए $$k$$, $$1\leq k \leq n$$ $$k$$-प्वाइंट सहसंबंध फलन $$R^{(k)}_{n,V}$$ निर्धारक के रूप में लिखा जा सकता है $$ R^{(k)}_{n,V}(x_1,x_2,\dots,x_k) = \det_{1\leq i,j \leq k}\left(K_{n,V}(x_i,x_j)\right), $$ जहाँ $$K_{n,V}(x,y)$$ है $$n$$वें क्रिस्टोफर-डबौक्स कर्नेल $$ K_{n,V}(x,y) := \sum_{k=0}^{n-1}\psi_k(x)\psi_k(y), $$ के लिए जुड़े $$V$$, अर्धबहुपद के संदर्भ में लिखा गया है $$ \psi_k(x) = {1\over \sqrt{h_k}}\, p_k(z)\, e^{- V(z) / 2} , $$ जहाँ $$ \{p_k(x)\}_{k\in \mathbf{N}} $$ ऑर्थोगोनिलिटी स्थितियों को संतुष्ट करने वाले संकेतित डिग्री के मोनिक बहुपदों का पूर्ण अनुक्रम है $$ \int_{\mathbf{R}} \psi_j(x) \psi_k(x) dx = \delta_{jk}. $$

विशार्ट मेट्रिसेस
विशार्ट मेट्रिसेस फॉर्म के n × n रैंडम मैट्रिसेस हैं $H = X X^{*}$, जहां X स्वतंत्र प्रविष्टियों के साथ n × m यादृच्छिक आव्यूह (m ≥ n) है, और X* इसका संयुग्मी स्थानांतरण है। विशार्ट द्वारा विचार किए गए महत्वपूर्ण विशेष स्थितियों में, एक्स की प्रविष्टियाँ समान रूप से गौसियन यादृच्छिक चर (या तो वास्तविक या जटिल) वितरित की जाती हैं।

मार्चेंको-पास्तुर वितरण पाया गया व्लादिमीर मार्चेंको और लियोनिद पाश्चर द्वारा।