स्वर्ण त्रिभुज (गणित)

एक स्वर्ण त्रिभुज, जिसे एक उदात्त त्रिभुज भी कहा जाता है, एक समद्विबाहु त्रिभुज त्रिभुज है जिसमें दोहराई गई भुजा सुनहरे अनुपात में है $$\varphi$$ आधार की ओर:
 * $${a\over b} = \varphi = {1+\sqrt5\over2} \approx 1.618~034~.$$

कोण

 * शीर्ष कोण है:
 * $$\theta = 2\arcsin{b\over2a} = 2\arcsin{1\over2\varphi} = 2\arcsin{{\sqrt5-1}\over4} = {\pi\over5}~\text{rad} = 36^\circ.$$
 * इसलिए स्वर्ण त्रिभुज एक तीव्र त्रिभुज (समद्विबाहु) त्रिभुज है।


 * चूँकि त्रिभुज के कोणों का योग होता है $$\pi$$ रेडियन, प्रत्येक आधार कोण (CBX और CXB) है:
 * $$\beta = {{\pi-{\pi\over5}}\over2}~\text{rad} = {2\pi\over5}~\text{rad} = 72^\circ.$$


 * टिप्पणी:
 * $$\beta = \arccos\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)\,\text{rad} = {2\pi\over5}~\text{rad} = 72^\circ.$$


 * स्वर्ण त्रिभुज को विशिष्ट रूप से एकमात्र त्रिभुज के रूप में पहचाना जाता है जिसके तीन कोण 1 : 2 : 2 (36°, 72°, 72°) के अनुपात में हैं।

अन्य ज्यामितीय आकृतियों में

 * गोल्डन त्रिकोण नियमित बहुभुज पेंटाग्राम के स्पाइक्स में पाए जा सकते हैं।
 * केंद्र से किन्हीं भी दो निकटवर्ती शीर्षों को जोड़कर, एक समकोणीय और समभुज दस-भुजा वाले बहुभुज, एक नियमित दसभुज में भी स्वर्ण त्रिभुज पाए जा सकते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि: 180(10−2)/10 = 144° आंतरिक कोण है, और कोण इसे शीर्ष से केंद्र तक समद्विभाजित करता है: 144/2 = 72°। * साथ ही, द्वादशफ़लक और विंशतिफलक के कई तारों के नेट (ज्यामिति) में सुनहरे त्रिकोण पाए जाते हैं।

लघुगणक सर्पिल
लघुगणकीय सर्पिल के कुछ बिंदुओं को बनाने के लिए स्वर्ण त्रिभुज का उपयोग किया जाता है। आधार कोणों में से एक को समद्विभाजित करके, एक नया बिंदु बनाया जाता है जो बदले में एक और स्वर्ण त्रिभुज बनाता है। समद्विभाजन प्रक्रिया को अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है, जिससे अनंत संख्या में स्वर्ण त्रिभुज बन सकते हैं। एक लघुगणकीय सर्पिल को शीर्षों के माध्यम से खींचा जा सकता है। इस सर्पिल को एक समानकोणीय सर्पिल के रूप में भी जाना जाता है, जो रेने डेसकार्टेस द्वारा गढ़ा गया शब्द है। यदि ध्रुव से वक्र पर किसी भी बिंदु तक एक सीधी रेखा खींची जाती है, तो यह वक्र को ठीक उसी कोण पर काटती है, इसलिए समकोणीय।

गोल्डन सूक्ति
स्वर्ण त्रिभुज से निकटता से संबंधित गोल्डन सूक्ति (चित्र)आंकड़ा) है, जो समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें आधार लंबाई के बराबर भुजाओं का अनुपात गुणात्मक व्युत्क्रम होता है $$\tfrac{1}{\varphi}$$ सुनहरे अनुपात का $$\varphi$$.

स्वर्ण त्रिभुज में आधार लंबाई का अनुपात स्वर्ण अनुभाग φ के बराबर भुजा की लंबाई के बराबर होता है, जबकि गोल्डन सूक्ति में भुजा की लंबाई का अनुपात स्वर्ण खंड φ के बराबर होता है।
 * $${a'\over b'} = {1\over\varphi} = {{\sqrt5-1}\over2} \approx 0.618034.$$

कोण
(दूरियां AX और CX दोनों a' = a = φ हैं, और दूरी AC b' = φ² है, जैसा कि चित्र में देखा गया है।)
 * शीर्ष कोण AXC है:
 * $$\theta' = 2\arcsin{b'\over{2a'}} = 2\arcsin{{\varphi^2}\over{2\varphi}} = 2\arcsin{{1+\sqrt5}\over4} = {3\pi\over5}~\text{rad} = 108^\circ.$$
 * इसलिए गोल्डन सूंड एक अधिक त्रिभुज (समद्विबाहु) त्रिभुज है।


 * $$($$टिप्पणी: $$\theta' = \arccos\left(\frac{1-\sqrt5}{4}\right)\,\text{rad} = {3\pi\over5}~\text{rad} = 108^{\circ}.)$$


 * चूँकि त्रिभुज AXC के कोणों का योग होता है $$\pi$$ रेडियन, प्रत्येक आधार कोण CAX और ACX है:
 * $$\beta' = \theta = {\pi-{3\pi\over5}\over2}~\text{rad} = {\pi\over5}~\text{rad} = 36^{\circ}.$$
 * टिप्पणी: $$\beta' = \theta = \arccos\left(\frac{1+\sqrt5}{4}\right)\,\text{rad} = {\pi\over5}~\text{rad} = 36^{\circ}.$$


 * गोल्डन ग्नोमॉन को विशिष्ट रूप से एक त्रिभुज के रूप में पहचाना जाता है जिसके तीन कोण 1 : 1 : 3 (36°, 36°, 108°) के अनुपात में होते हैं। इसका आधार कोण प्रत्येक 36° का है, जो स्वर्ण त्रिभुज के शीर्ष के समान है।

समद्विभाजन

 * इसके आधार कोणों में से एक कोण द्विभाजक द्वारा, एक स्वर्ण त्रिभुज को एक स्वर्ण त्रिभुज और एक स्वर्ण सूक्ति में उपविभाजित किया जा सकता है।
 * कोण त्रिविभाजन द्वारा इसके शीर्ष कोण, एक सुनहरे सूंड को एक सुनहरे त्रिकोण और एक सुनहरे सूंड में विभाजित किया जा सकता है।
 * एक सुनहरा सूक्ति और एक सुनहरा त्रिकोण जिसकी समान भुजाएँ लंबाई में एक-दूसरे से मेल खाती हों, को भी कुंठित और तीव्र रॉबिन्सन त्रिकोण के रूप में संदर्भित किया जाता है।

टाइलिंग

 * एक स्वर्ण त्रिकोण और दो स्वर्ण सूक्ति एक नियमित पंचकोण  टाइल।
 * इन समद्विबाहु त्रिभुजों का उपयोग पेनरोज़ टाइलिंग बनाने के लिए किया जा सकता है। पेनरोज़ टाइलें पतंग और डार्ट्स से बनाई जाती हैं। एक पतंग दो सुनहरे त्रिभुजों से बनती है, और एक डार्ट दो सूक्ति से बनती है।

यह भी देखें

 * स्वर्ण आयत
 * सुनहरा रोम्बस
 * केप्लर त्रिकोण
 * क्लार्क_किम्बरलिंग#किम्बरलिंग_स्वर्ण_त्रिकोण|किम्बरलिंग का स्वर्ण त्रिभुज
 * पाइथागोरस की वीणा
 * पेंटाग्राम
 * स्वर्ण त्रिभुज (रचना)

बाहरी संबंध

 * Robinson triangles at Tilings Encyclopedia
 * Golden triangle according to Euclid
 * The extraordinary reciprocity of golden triangles at Tartapelago by Giorgio Pietrocola
 * Golden triangle according to Euclid
 * The extraordinary reciprocity of golden triangles at Tartapelago by Giorgio Pietrocola