अभिविन्यास (ज्यामिति)

ज्यामिति में, एक  रेखा (ज्यामिति), समतल (ज्यामिति) या कठोर पिंड जैसी किसी वस्तु का अभिविन्यास, कोणीय स्थिति, रवैया, असर या दिशा इस वर्णन का हिस्सा है कि इसे  यूक्लिडियन स्पेस  में कैसे रखा जाता है। अधिक विशेष रूप से, यह उस काल्पनिक घुमाव को संदर्भित करता है जो किसी वस्तु को संदर्भ स्थान से उसके वर्तमान स्थान पर ले जाने के लिए आवश्यक है। वर्तमान प्लेसमेंट तक पहुंचने के लिए रोटेशन  पर्याप्त नहीं हो सकता है। एक काल्पनिक  अनुवाद (ज्यामिति)  जोड़ना आवश्यक हो सकता है, जिसे वस्तु का स्थान (या स्थिति, या रैखिक स्थिति) कहा जाता है। स्थान और अभिविन्यास एक साथ पूरी तरह से वर्णन करते हैं कि वस्तु को अंतरिक्ष में कैसे रखा गया है। उपर्युक्त काल्पनिक रोटेशन और अनुवाद को किसी भी क्रम में घटित होने के बारे में सोचा जा सकता है, क्योंकि किसी ऑब्जेक्ट का ओरिएंटेशन अनुवाद करते समय नहीं बदलता है, और जब यह घूमता है तो उसका स्थान नहीं बदलता है।

यूलर के रोटेशन प्रमेय से पता चलता है कि तीन आयामों में किसी निश्चित अक्ष के चारों ओर एक ही घुमाव के साथ किसी भी अभिविन्यास तक पहुंचा जा सकता है। यह अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व का उपयोग करके अभिविन्यास का प्रतिनिधित्व करने का एक सामान्य तरीका देता है। अन्य व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली विधियों में चतुष्कोण और स्थानिक रोटेशन,  ज्यामितीय बीजगणित ,  यूलर कोण  या  रोटेशन मैट्रिक्स  शामिल हैं। अधिक विशेषज्ञ उपयोगों में क्रिस्टलोग्राफी में  मिलर सूचकांक , भूविज्ञान में  हड़ताल और डुबकी  और नक्शे और संकेतों पर  ग्रेड (ढलान)  शामिल हैं। इकाई वेक्टर का उपयोग ऑब्जेक्ट के  सामान्य वेक्टर  ओरिएंटेशन या दो बिंदुओं के बीच  सापेक्ष दिशा (ज्यामिति)  का प्रतिनिधित्व करने के लिए भी किया जा सकता है।

आमतौर पर, अभिविन्यास संदर्भ के एक फ्रेम के सापेक्ष दिया जाता है, जिसे आमतौर पर कार्टेशियन समन्वय प्रणाली द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है।

तीन आयाम
आम तौर पर एक कठोर शरीर के अंतरिक्ष में स्थिति और अभिविन्यास को मुख्य संदर्भ फ्रेम के सापेक्ष स्थिति और अभिविन्यास के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो शरीर के सापेक्ष तय होता है, और इसलिए इसके साथ अनुवाद और घूमता है (शरीर का स्थानीय संदर्भ फ्रेम, या स्थानीय समन्वय प्रणाली)। इस स्थानीय फ्रेम के उन्मुखीकरण का वर्णन करने के लिए कम से कम तीन स्वतंत्र मूल्यों की आवश्यकता है। तीन अन्य मान वस्तु पर एक बिंदु की स्थिति का वर्णन करते हैं। घूर्णन अक्ष पर स्थित बिंदुओं को छोड़कर शरीर के सभी बिंदु घूर्णन के दौरान अपनी स्थिति बदलते हैं। यदि कठोर शरीर में घूर्णी समरूपता  है, तो सभी अभिविन्यास अलग-अलग नहीं होते हैं, सिवाय इसके कि एक ज्ञात प्रारंभिक अभिविन्यास से समय में अभिविन्यास कैसे विकसित होता है। उदाहरण के लिए, एक रेखा (ज्यामिति),  रेखा खंड, या  वेक्टर (ज्यामितीय)  के स्थान में अभिविन्यास केवल दो मानों के साथ निर्दिष्ट किया जा सकता है, उदाहरण के लिए दो  दिशा कोसाइन । एक अन्य उदाहरण पृथ्वी पर एक बिंदु की स्थिति है, जिसे अक्सर पृथ्वी के केंद्र से जोड़ने वाली रेखा के अभिविन्यास का उपयोग करके वर्णित किया जाता है, जिसे देशांतर और अक्षांश के दो कोणों का उपयोग करके मापा जाता है। इसी तरह, एक विमान (ज्यामिति) के अभिविन्यास को दो मानों के साथ भी वर्णित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए उस विमान के लिए सामान्य रेखा की सतह के उन्मुखीकरण को निर्दिष्ट करके, या स्ट्राइक और डिप कोणों का उपयोग करके।

तीन आयामों में दृढ़ निकायों और विमानों के अभिविन्यास का प्रतिनिधित्व करने के लिए गणितीय विधियों के बारे में और विवरण निम्न अनुभागों में दिए गए हैं।

दो आयाम
दो आयामों में किसी भी वस्तु (रेखा, वेक्टर, या समतल आकृति ) का अभिविन्यास एक ही मान द्वारा दिया जाता है: वह कोण जिससे वह घूमा है। स्वतंत्रता की केवल एक डिग्री है और केवल एक निश्चित बिंदु है जिसके बारे में रोटेशन होता है।

तीन आयामों में कठोर शरीर
तीन आयामों में एक कठोर शरीर के उन्मुखीकरण का वर्णन करने के लिए कई तरीके विकसित किए गए हैं। उन्हें निम्नलिखित अनुभागों में संक्षेपित किया गया है।

यूलर कोण
अभिविन्यास का प्रतिनिधित्व करने का पहला प्रयास लियोनहार्ड यूलर  को दिया गया है। उन्होंने तीन संदर्भ फ्रेम की कल्पना की जो एक को दूसरे के चारों ओर घुमा सकते हैं, और महसूस किया कि एक निश्चित संदर्भ फ्रेम के साथ शुरू करके और तीन घुमावों का प्रदर्शन करके, वह अंतरिक्ष में कोई अन्य संदर्भ फ्रेम प्राप्त कर सकते हैं (ऊर्ध्वाधर अक्ष को ठीक करने के लिए दो घुमावों का उपयोग करके और दूसरे को अन्य दो कुल्हाड़ियों को ठीक करें)। इन तीन घुमावों के मूल्यों को यूलर कोण कहा जाता है।

टैट-ब्रायन एंगल्स
ये तीन कोण हैं, जिन्हें यव, पिच और रोल, नेविगेशन कोण और कार्डन कोण भी कहा जाता है। गणितीय रूप से वे यूलर कोणों के बारह संभावित सेटों के अंदर छह संभावनाओं के एक सेट का गठन करते हैं, जो एक हवाई जहाज जैसे वाहन के उन्मुखीकरण का वर्णन करने के लिए सबसे अच्छा उपयोग किया जाता है। एयरोस्पेस इंजीनियरिंग में उन्हें आमतौर पर यूलर कोण कहा जाता है।



ओरिएंटेशन वेक्टर
यूलर ने यह भी महसूस किया कि दो घुमावों की संरचना एक अलग निश्चित अक्ष (यूलर के रोटेशन प्रमेय) के बारे में एक ही घुमाव के बराबर है। इसलिए, पूर्व के तीन कोणों की संरचना केवल एक घूर्णन के बराबर होनी चाहिए, जिसका अक्ष मैट्रिसेस विकसित होने तक गणना करने के लिए जटिल था।

इस तथ्य के आधार पर उन्होंने रोटेशन अक्ष पर एक वेक्टर और कोण के मान के बराबर मॉड्यूल के साथ किसी भी रोटेशन का वर्णन करने के लिए एक सदिश तरीका पेश किया। इसलिए, किसी भी अभिविन्यास को एक रोटेशन वेक्टर (जिसे यूलर वेक्टर भी कहा जाता है) द्वारा दर्शाया जा सकता है जो इसे संदर्भ फ्रेम से ले जाता है। जब एक ओरिएंटेशन का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है, तो रोटेशन वेक्टर को आमतौर पर ओरिएंटेशन वेक्टर या रवैया वेक्टर कहा जाता है।

एक समान विधि, जिसे अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व कहा जाता है, रोटेशन अक्ष के साथ संरेखित इकाई वेक्टर का उपयोग करके रोटेशन या ओरिएंटेशन का वर्णन करती है, और कोण को इंगित करने के लिए एक अलग मान (चित्र देखें)।

ओरिएंटेशन मैट्रिक्स
आव्यूहों की शुरुआत के साथ, यूलर प्रमेयों को फिर से लिखा गया। रोटेशन को ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स  द्वारा वर्णित किया गया था जिसे रोटेशन मैट्रिसेस या दिशा कोसाइन मैट्रिसेस कहा जाता है। जब किसी ओरिएंटेशन का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है, तो रोटेशन मैट्रिक्स को आमतौर पर ओरिएंटेशन मैट्रिक्स या रवैया मैट्रिक्स कहा जाता है।

उपर्युक्त यूलर वेक्टर एक रोटेशन मैट्रिक्स का आइजन्वेक्टर  है (एक रोटेशन मैट्रिक्स का एक अद्वितीय वास्तविक  eigenvalue  है)। दो रोटेशन मेट्रिसेस का उत्पाद रोटेशन की संरचना है। इसलिए, पहले की तरह, जिस फ्रेम का हम वर्णन करना चाहते हैं, उसे प्राप्त करने के लिए प्रारंभिक फ्रेम से रोटेशन के रूप में अभिविन्यास दिया जा सकता है।

एन-डायमेंशनल स्पेस में नॉन-सममिति ऑब्जेक्ट का विन्यास स्थान (गणित) गणित) ऑर्थोगोनल ग्रुप है। SO(n) प्रोडक्ट टोपोलॉजी|× यूक्लिडियन स्पेस|'R'एन. किसी वस्तु के  स्पर्शरेखा स्थान  के आधार को जोड़कर अभिविन्यास की कल्पना की जा सकती है। जिस दिशा में प्रत्येक सदिश बिंदु अपना अभिविन्यास निर्धारित करता है।

ओरिएंटेशन चतुष्कोण
घुमावों का वर्णन करने का एक अन्य तरीका क्वाटरनियंस और स्थानिक रोटेशन का उपयोग कर रहा है, जिसे वर्सर्स भी कहा जाता है। वे रोटेशन मेट्रिसेस और रोटेशन वैक्टर के बराबर हैं। रोटेशन वैक्टर के संबंध में, उन्हें अधिक आसानी से मेट्रिसेस में और से परिवर्तित किया जा सकता है। जब ओरिएंटेशन का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है, तो रोटेशन क्वाटरनियन को आमतौर पर ओरिएंटेशन क्वाटरनियन या रवैया क्वाटरनियन कहा जाता है।

मिलर सूचकांक
एक जालीदार तल का रवैया समतल के लिए सामान्य रेखा का उन्मुखीकरण है, और विमान के मिलर सूचकांकों द्वारा वर्णित है। तीन-अंतरिक्ष में विमानों के एक परिवार (समानांतर विमानों की एक श्रृंखला) को इसके मिलर इंडेक्स (एचकेएल) द्वारा दर्शाया जा सकता है। इसलिए विमानों के परिवार का अपने सभी घटक विमानों के लिए एक समान रवैया है।

हड़ताल और डुबकी
भूविज्ञान में देखी गई कई विशेषताएं विमान या रेखाएँ हैं, और उनके अभिविन्यास को आमतौर पर उनके दृष्टिकोण के रूप में संदर्भित किया जाता है। इन दृष्टिकोणों को दो कोणों से निर्दिष्ट किया गया है।

एक रेखा के लिए, इन कोणों को प्रवृत्ति और डुबकी कहा जाता है। प्रवृत्ति रेखा की कम्पास दिशा है, और डुबकी एक क्षैतिज तल के साथ नीचे की ओर कोण है। एक समतल के लिए, दो कोणों को इसका स्ट्राइक (कोण) और इसका डिप (कोण) कहा जाता है। एक स्ट्राइक लाइन एक क्षैतिज विमान का प्रेक्षित प्लानर सुविधा (और इसलिए एक क्षैतिज रेखा) के साथ चौराहे है, और स्ट्राइक कोण इस रेखा का असर है (जो कि सही उत्तर के सापेक्ष या चुंबकीय गिरावट से है)। डुबकी एक क्षैतिज विमान और देखी गई समतलीय विशेषता के बीच का कोण है जैसा कि स्ट्राइक लाइन के लंबवत तीसरे ऊर्ध्वाधर विमान में देखा गया है।

कठोर शरीर
एक कठोर शरीर का रवैया इसका अभिविन्यास है, जैसा कि वर्णित है, उदाहरण के लिए, एक निश्चित संदर्भ फ्रेम के सापेक्ष शरीर में तय किए गए फ्रेम के उन्मुखीकरण से। अभिवृत्ति को अभिवृत्ति निर्देशांक द्वारा वर्णित किया जाता है, और इसमें कम से कम तीन निर्देशांक होते हैं। कठोर पिंड को उन्मुख करने की एक योजना शरीर-अक्ष के घूर्णन पर आधारित है; शरीर के निश्चित संदर्भ फ्रेम के अक्षों के बारे में तीन बार क्रमिक घुमाव, जिससे शरीर के यूलर कोणों की स्थापना होती है। दूसरा टैट-ब्रायन एंगल्स#एयरक्राफ्ट एटिट्यूड|रोल, पिच और यॉ पर आधारित है, हालाँकि ये शब्द  उड़ान की गतिशीलता  को भी संदर्भित करते हैं

यह भी देखें

 * कोणीय विस्थापन
 * रवैया नियंत्रण
 * दिशात्मक आँकड़े
 * व्यक्तिगत सापेक्ष दिशा
 * रोटेशन का विमान
 * तीन आयामों में रोटेशन औपचारिकता एं
 * त्रिकोण विधि

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक कड़ियों की सूची

 * कठोर शरीर
 * रोटेशन (गणित)
 * आदर्श सिद्धान्त
 * समतल ज्यामिति)
 * कार्तीय समन्वय प्रणाली
 * एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमना
 * सतह सामान्य
 * अक्षांश और देशांतर
 * समरूपता
 * जालीदार विमान
 * चुंबकीय घोषणा
 * ट्रू नॉर्थ
 * त्रय विधि