संचयी वितरण फलन

संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर का संचयी वितरण फ़ंक्शन (सीडीएफ)। $$X$$, या सिर्फ वितरण समारोह $$X$$, पर मूल्यांकन किया गया $$x$$, संभावना है कि $$X$$ से कम या उसके बराबर मान लेगा $$x$$. वास्तविक संख्याओं पर प्रत्येक संभाव्यता वितरण समर्थन (माप सिद्धांत), असतत या मिश्रित और साथ ही निरंतर, एक सही-निरंतर मोनोटोनिक फ़ंक्शन फ़ंक्शन (एक कैडलैग फ़ंक्शन) द्वारा विशिष्ट रूप से पहचाना जाता है। $$F \colon \mathbb R \rightarrow [0,1]$$ संतुष्टि देने वाला $$\lim_{x\rightarrow-\infty}F(x)=0$$ और $$\lim_{x\rightarrow\infty}F(x)=1$$.

एक अदिश निरंतर वितरण के मामले में, यह शून्य से अनंत तक संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के तहत क्षेत्र देता है $$x$$. संचयी वितरण फ़ंक्शन का उपयोग बहुभिन्नरूपी यादृच्छिक चर के वितरण को निर्दिष्ट करने के लिए भी किया जाता है।

परिभाषा
वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर का संचयी वितरण फ़ंक्शन $$X$$ द्वारा दिया गया फ़ंक्शन है

जहां दाईं ओर यादृच्छिक चर की संभावना का प्रतिनिधित्व करता है $$X$$ से कम या उसके बराबर मान लेता है $$x$$.

संभावना यह है कि $$X$$ अर्ध-बंद अंतराल में स्थित है (गणित) $$(a,b]$$, कहाँ $$a < b$$, इसलिए

उपरोक्त परिभाषा में, चिह्न से कम या उसके बराबर, ≤, एक परंपरा है, सार्वभौमिक रूप से उपयोग नहीं किया जाने वाला (उदाहरण के लिए हंगेरियन साहित्य < का उपयोग करता है), लेकिन अलग-अलग वितरण के लिए अंतर महत्वपूर्ण है। द्विपद वितरण और पॉइसन वितरण की तालिकाओं का उचित उपयोग इस सम्मेलन पर निर्भर करता है। इसके अलावा, पॉल लेवी (गणितज्ञ) जैसे महत्वपूर्ण सूत्र | विशेषता फ़ंक्शन (संभावना सिद्धांत) # व्युत्क्रम सूत्र के लिए पॉल लेवी का व्युत्क्रम सूत्र भी कम से कम या बराबर सूत्रीकरण पर निर्भर करते हैं।

यदि कई यादृच्छिक चर का इलाज किया जा रहा है $$X, Y, \ldots$$ इत्यादि, संबंधित अक्षरों को सबस्क्रिप्ट के रूप में उपयोग किया जाता है, जबकि, यदि केवल एक का इलाज किया जाता है, तो सबस्क्रिप्ट को आमतौर पर छोड़ दिया जाता है। पूंजी का उपयोग करना पारंपरिक है $$F$$ संचयी वितरण फ़ंक्शन के लिए, लोअर-केस के विपरीत $$f$$ संभाव्यता घनत्व कार्यों और संभाव्यता द्रव्यमान कार्यों के लिए उपयोग किया जाता है। यह सामान्य वितरणों पर चर्चा करते समय लागू होता है: कुछ विशिष्ट वितरणों के अपने पारंपरिक संकेतन होते हैं, उदाहरण के लिए सामान्य वितरण का उपयोग $$\Phi$$ और $$\phi$$ के बजाय $$F$$ और $$f$$, क्रमश।

एक सतत यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन को संचयी वितरण फ़ंक्शन से विभेदित करके निर्धारित किया जा सकता है कैलकुलस के मौलिक प्रमेय का उपयोग करना; यानी दिया गया $$F(x)$$, $$f(x) = \frac{dF(x)}{dx}$$ जब तक व्युत्पन्न मौजूद है।

एक सतत यादृच्छिक चर का सीडीएफ $$X$$ इसकी संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के अभिन्न अंग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$f_X$$ निम्नलिखित नुसार: $$F_X(x) = \int_{-\infty}^x f_X(t) \, dt.$$ यादृच्छिक चर के मामले में $$X$$ जिसमें एक मूल्य पर एक अलग घटक वाला वितरण होता है $$b$$, $$\operatorname{P}(X=b) = F_X(b) - \lim_{x \to b^-} F_X(x).$$ अगर $$F_X$$ पर निरंतर है $$b$$, यह शून्य के बराबर है और इसमें कोई अलग घटक नहीं है $$b$$.

गुण
प्रत्येक संचयी वितरण फ़ंक्शन $$F_X$$ एकस्वर बढ़ रहा है | घट नहीं रहा है और दाएँ-निरंतर,  जो इसे एक कैडलैग फ़ंक्शन बनाता है। आगे, $$\lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0, \quad \lim_{x \to +\infty} F_X(x) = 1.$$ इन चार गुणों वाला प्रत्येक फ़ंक्शन एक सीडीएफ है, यानी, ऐसे प्रत्येक फ़ंक्शन के लिए, एक यादृच्छिक चर को इस तरह परिभाषित किया जा सकता है कि फ़ंक्शन उस यादृच्छिक चर का संचयी वितरण फ़ंक्शन है।

अगर $$X$$ एक विशुद्ध रूप से असतत यादृच्छिक चर है, तो यह मान प्राप्त करता है $$x_1,x_2,\ldots$$ संभाव्यता के साथ $$p_i = p(x_i)$$, और सी.डी.एफ $$X$$ बिंदुओं पर असंततता (गणित) होगी $$x_i$$: $$F_X(x) = \operatorname{P}(X\leq x) = \sum_{x_i \leq x} \operatorname{P}(X = x_i) = \sum_{x_i \leq x} p(x_i).$$ यदि सी.डी.एफ $$F_X$$ एक वास्तविक मूल्यवान यादृच्छिक चर का $$X$$ तो, सतत कार्य है $$X$$ एक सतत यादृच्छिक चर है; यदि इसके अलावा $$F_X$$ पूर्ण निरंतरता है, तो एक लेब्सग इंटीग्रल|लेब्सग्यू-इंटीग्रेबल फ़ंक्शन मौजूद है $$f_X(x)$$ ऐसा है कि $$F_X(b)-F_X(a) = \operatorname{P}(a< X\leq b) = \int_a^b f_X(x)\,dx$$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए $$a$$ और $$b$$. कार्यक्रम $$f_X$$ के व्युत्पन्न के बराबर है $$F_X$$ लगभग हर जगह, और इसे वितरण की संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन कहा जाता है $$X$$.

अगर $$X$$ परिमित L1-मानदंड है, अर्थात की अपेक्षा $$|X|$$ परिमित है, तो अपेक्षा रीमैन-स्टिल्टजेस इंटीग्रल द्वारा दी गई है $$\mathbb E[X] = \int_{-\infty}^\infty t dF_X(t)$$और किसी के लिए भी $$x \geq 0$$, $$\begin{align} x (1-F_X(x)) & \leq \int_x^{\infty} t dF_X(t) \\ x F_X(-x)   & \leq \int_{-\infty}^{-x} (-t) dF_X(t) \end{align}$$जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

विशेष रूप से, हमारे पास है $$\lim_{x \to -\infty} x F(x) = 0, \quad \lim_{x \to +\infty} x (1-F(x)) = 0. $$

उदाहरण
उदाहरण के तौर पर मान लीजिए $$X$$ इकाई अंतराल पर एक समान वितरण (निरंतर) है $$[0,1]$$.

फिर का सी.डी.एफ $$X$$ द्वारा दिया गया है $$F_X(x) = \begin{cases} 0 &:\ x < 0\\ x &:\ 0 \le x \le 1\\ 1 &:\ x > 1 \end{cases}$$ इसके बजाय मान लीजिए $$X$$ समान संभावना के साथ केवल असतत मान 0 और 1 लेता है।

फिर का सी.डी.एफ $$X$$ द्वारा दिया गया है $$F_X(x) = \begin{cases} 0 &:\ x < 0\\ 1/2 &:\ 0 \le x < 1\\ 1 &:\ x \ge 1 \end{cases}$$ कल्पना करना $$X$$ घातीय वितरण है. फिर का सी.डी.एफ $$X$$ द्वारा दिया गया है $$F_X(x;\lambda) = \begin{cases} 1-e^{-\lambda x} & x \ge 0, \\ 0 & x < 0. \end{cases}$$ यहां λ > 0 वितरण का पैरामीटर है, जिसे अक्सर दर पैरामीटर कहा जाता है।

कल्पना करना $$X$$ सामान्य वितरण है. फिर का सी.डी.एफ $$X$$ द्वारा दिया गया है $$F(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x \exp \left( -\frac{(t - \mu)^2}{2\sigma^2} \right)\, dt. $$ यहाँ पैरामीटर $$\mu$$ वितरण का माध्य या अपेक्षा है; और $$\sigma$$ इसका मानक विचलन है.

मानक सामान्य वितरण की सीडीएफ की एक तालिका अक्सर सांख्यिकीय अनुप्रयोगों में उपयोग की जाती है, जहां इसे मानक सामान्य तालिका, इकाई सामान्य तालिका या जेड तालिका का नाम दिया जाता है।

कल्पना करना $$X$$ द्विपद वितरण है. फिर का सी.डी.एफ $$X$$ द्वारा दिया गया है $$F(k;n,p) = \Pr(X\leq k) = \sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }{n \choose i} p^{i} (1-p)^{n-i}$$ यहाँ $$p$$ सफलता की संभावना है और फ़ंक्शन अनुक्रम में सफलताओं की संख्या के असतत संभाव्यता वितरण को दर्शाता है $$n$$ स्वतंत्र प्रयोग, और $$\lfloor k\rfloor$$ नीचे की मंजिल है $$k$$, यानी सबसे बड़ा पूर्णांक से कम या उसके बराबर $$k$$.

पूरक संचयी वितरण फ़ंक्शन (पूंछ वितरण)
कभी-कभी, विपरीत प्रश्न का अध्ययन करना और यह पूछना उपयोगी होता है कि यादृच्छिक चर कितनी बार किसी विशेष स्तर से ऊपर होता है। इसे 'कहा जाता है' या बस या, और के रूप में परिभाषित किया गया है $$\bar F_X(x) = \operatorname{P}(X > x) = 1 - F_X(x).$$ उदाहरण के लिए, सांख्यिकी परिकल्पना परीक्षण में इसका अनुप्रयोग होता है, क्योंकि एक तरफा पी-मूल्य एक परीक्षण आँकड़े को देखने की संभावना है जो कम से कम देखे गए आँकड़ों जितना चरम है। इस प्रकार, बशर्ते कि परीक्षण आँकड़ा, टी, का निरंतर वितरण हो, एक तरफा पी-मान केवल सीसीडीएफ द्वारा दिया जाता है: एक देखे गए मूल्य के लिए $$t$$ परीक्षण आँकड़ा का $$p= \operatorname{P}(T \ge t) = \operatorname{P}(T > t) = 1 - F_T(t).$$ उत्तरजीविता विश्लेषण में, $$\bar F_X(x)$$ को उत्तरजीविता फलन कहा जाता है और निरूपित किया जाता है $$S(x)$$, जबकि विश्वसनीयता फ़ंक्शन शब्द अभियांत्रिकी  में आम है।

\operatorname{E}(X) = \int_0^\infty x f_X(x) \, dx \geq \int_0^c x f_X(x) \, dx + c\int_c^\infty f_X(x) \, dx $$ फिर पहचानने पर $$\bar F_X(c) = \int_c^\infty f_X(x) \, dx$$ और शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करना, $$ 0 \leq c\bar F_X(c) \leq \operatorname{E}(X) - \int_0^c x f_X(x) \, dx \to 0 \text{ as } c \to \infty $$ जैसा कि दावा किया गया है.
 * गुण
 * एक अपेक्षा वाले गैर-नकारात्मक निरंतर यादृच्छिक चर के लिए, मार्कोव की असमानता बताती है कि $$\bar F_X(x) \leq \frac{\operatorname{E}(X)}{x} .$$
 * जैसा $$x \to \infty, \bar F_X(x) \to 0$$, और वास्तव में $$\bar F_X(x) = o(1/x)$$ उसे उपलब्ध कराया $$\operatorname{E}(X)$$ परिमित है. प्रमाण: मान लिया जाए $$X$$ एक घनत्व कार्य है $$f_X$$, किसी के लिए $$c > 0$$ $$
 * एक अपेक्षा वाले यादृच्छिक चर के लिए, $$\operatorname{E}(X) = \int_0^\infty \bar F_X(x) \, dx - \int_{-\infty}^0 F_X(x) \, dx$$ और एक गैर-नकारात्मक यादृच्छिक चर के लिए दूसरा पद 0 है। यदि यादृच्छिक चर केवल गैर-नकारात्मक पूर्णांक मान ले सकता है, तो यह इसके बराबर है $$\operatorname{E}(X) = \sum_{n=0}^\infty \bar F_X(n).$$

मुड़ा हुआ संचयी वितरण
जबकि एक संचयी वितरण की साजिश $$F$$ अक्सर इसका आकार S-जैसा होता है, एक वैकल्पिक चित्रण मुड़ा हुआ संचयी वितरण या पर्वतीय प्लॉट है, जो ग्राफ़ के शीर्ष आधे हिस्से को मोड़ देता है, वह है
 * $$F_\text{fold}(x)=F(x)1_{\{F(x)\leq 0.5\}}+(1-F(x))1_{\{F(x)>0.5\}}$$

कहाँ $$1_{\{A\}}$$ सूचक फ़ंक्शन को दर्शाता है और दूसरा सारांश उत्तरजीवी फ़ंक्शन है, इस प्रकार दो पैमानों का उपयोग किया जाता है, एक ऊपर की ओर और दूसरा नीचे की ओर। चित्रण का यह रूप माध्यिका (सांख्यिकी), फैलाव (सांख्यिकी) (विशेष रूप से, माध्यिका से माध्य निरपेक्ष विचलन) पर जोर देता है ) और वितरण या अनुभवजन्य परिणामों की विषमता।

व्युत्क्रम वितरण फलन (मात्राफल फलन)
यदि सीडीएफ एफ सख्ती से बढ़ रहा है और निरंतर है $$ F^{-1}( p ), p \in [0,1], $$ अद्वितीय वास्तविक संख्या है $$ x $$ ऐसा है कि $$ F(x) = p $$. यह व्युत्क्रम वितरण फलन या मात्रात्मक कार्य को परिभाषित करता है।

कुछ वितरणों में कोई अद्वितीय व्युत्क्रम नहीं होता है (उदाहरण के लिए यदि $$f_X(x)=0$$ सभी के लिए $$a<x<b$$, कारण $$F_X$$ स्थिर रहना) इस मामले में, कोई सामान्यीकृत व्युत्क्रम वितरण फ़ंक्शन का उपयोग कर सकता है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है

F^{-1}(p) = \inf \{x \in \mathbb{R}: F(x) \geq p \}, \quad \forall p \in [0,1]. $$
 * उदाहरण 1: माध्यिका है $$F^{-1}( 0.5 )$$.
 * उदाहरण 2: रखो $$ \tau = F^{-1}( 0.95 ) $$. फिर हम कॉल करते हैं $$ \tau $$ 95वाँ प्रतिशतक.

व्युत्क्रम सीडीएफ के कुछ उपयोगी गुण (जो सामान्यीकृत व्युत्क्रम वितरण फ़ंक्शन की परिभाषा में भी संरक्षित हैं) हैं:


 * 1) $$F^{-1}$$ घट नहीं रहा है
 * 2) $$F^{-1}(F(x)) \leq x$$
 * 3) $$F(F^{-1}(p)) \geq p$$
 * 4) $$F^{-1}(p) \leq x$$ अगर और केवल अगर $$p \leq F(x)$$
 * 5) अगर $$Y$$ एक $$U[0, 1]$$ वितरण तो $$F^{-1}(Y)$$ के रूप में वितरित किया जाता है $$F$$. इसका उपयोग व्युत्क्रम परिवर्तन नमूनाकरण-विधि का उपयोग करके यादृच्छिक संख्या पीढ़ी में किया जाता है।
 * 6) अगर $$\{X_\alpha\}$$ स्वतंत्र का एक संग्रह है $$F$$-वितरित यादृच्छिक चर को एक ही नमूना स्थान पर परिभाषित किया गया है, फिर यादृच्छिक चर मौजूद हैं $$Y_\alpha$$ ऐसा है कि $$Y_\alpha$$ के रूप में वितरित किया जाता है $$U[0,1]$$ और $$F^{-1}(Y_\alpha) = X_\alpha$$ सभी के लिए प्रायिकता 1 के साथ $$\alpha$$.

समान वितरण के लिए प्राप्त परिणामों को अन्य वितरणों में अनुवाद करने के लिए सीडीएफ के व्युत्क्रम का उपयोग किया जा सकता है।

अनुभवजन्य वितरण फ़ंक्शन
अनुभवजन्य वितरण फ़ंक्शन संचयी वितरण फ़ंक्शन का एक अनुमान है जो नमूने में अंक उत्पन्न करता है। यह उस अंतर्निहित वितरण में संभाव्यता 1 के साथ अभिसरण करता है। अंतर्निहित संचयी वितरण फ़ंक्शन के लिए अनुभवजन्य वितरण फ़ंक्शन के अभिसरण की दर निर्धारित करने के लिए कई परिणाम मौजूद हैं.

दो यादृच्छिक चर के लिए परिभाषा
एक से अधिक यादृच्छिक चर के साथ एक साथ व्यवहार करते समय संयुक्त संचयी वितरण फ़ंक्शन को भी परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यादृच्छिक चर की एक जोड़ी के लिए $$X,Y$$, संयुक्त सी.डी.एफ $$F_{XY}$$ द्वारा दिया गया है

जहां दाईं ओर यादृच्छिक चर की संभावना का प्रतिनिधित्व करता है $$X$$ से कम या उसके बराबर मान लेता है $$x$$ ओर वो $$Y$$ से कम या उसके बराबर मान लेता है $$y$$.

संयुक्त संचयी वितरण फ़ंक्शन का उदाहरण:

दो सतत चर X और Y के लिए: $$ \Pr(a < X < b \text{ and } c < Y < d) = \int_a^b \int_c^d f(x,y) \, dy \, dx;$$ दो अलग-अलग यादृच्छिक चर के लिए, संभावनाओं की एक तालिका तैयार करना और एक्स और वाई की प्रत्येक संभावित सीमा के लिए संचयी संभावना को संबोधित करना फायदेमंद है, और यहां उदाहरण दिया गया है: सारणीबद्ध रूप में संयुक्त संभाव्यता द्रव्यमान फ़ंक्शन को देखते हुए, संयुक्त संचयी वितरण फ़ंक्शन निर्धारित करें। समाधान: X और Y की प्रत्येक संभावित सीमा के लिए संभावनाओं की दी गई तालिका का उपयोग करके, संयुक्त संचयी वितरण फ़ंक्शन का निर्माण सारणीबद्ध रूप में किया जा सकता है:

दो से अधिक यादृच्छिक चरों के लिए परिभाषा
के लिए $$N$$ यादृच्छिक चर $$X_1,\ldots,X_N$$, संयुक्त सी.डी.एफ $$F_{X_1,\ldots,X_N}$$ द्वारा दिया गया है

की व्याख्या करना $$N$$ एक यादृच्छिक वेक्टर के रूप में यादृच्छिक चर $$\mathbf{X} = (X_1, \ldots, X_N)^T$$ एक छोटा संकेतन उत्पन्न करता है: $$F_{\mathbf{X}}(\mathbf{x}) = \operatorname{P}(X_1 \leq x_1,\ldots,X_N \leq x_N)$$

गुण
प्रत्येक बहुभिन्नरूपी सीडीएफ है: एकल आयाम मामले के विपरीत, उपरोक्त चार गुणों को संतुष्ट करने वाला प्रत्येक फ़ंक्शन एक बहुभिन्नरूपी सीडीएफ नहीं है। उदाहरण के लिए, चलो $$F(x,y)=0$$ के लिए $$x<0$$ या $$x+y<1$$ या $$y<0$$ और जाने $$F(x,y)=1$$ अन्यथा। यह देखना आसान है कि उपरोक्त शर्तें पूरी होती हैं, और फिर भी $$F$$ यदि ऐसा होता तो यह सीडीएफ नहीं है $\operatorname{P}\left(\frac{1}{3} < X \leq 1, \frac{1}{3} < Y \leq 1\right)=-1$ जैसा कि नीचे बताया गया है।
 * 1) इसके प्रत्येक चर के लिए नीरस रूप से गैर-घटता हुआ,
 * 2) इसके प्रत्येक चर में सही-निरंतर,
 * 3) $$0\leq F_{X_1 \ldots X_n}(x_1,\ldots,x_n)\leq 1,$$
 * 4) $$\lim_{x_1,\ldots,x_n \rightarrow+\infty}F_{X_1 \ldots X_n}(x_1,\ldots,x_n)=1 \text{ and } \lim_{x_i\rightarrow-\infty}F_{X_1 \ldots X_n}(x_1,\ldots,x_n)=0, \text{for all } i.$$

एक बिंदु के हाइपरआयतकोण से संबंधित होने की संभावना 1-आयामी मामले के अनुरूप है: $$F_{X_1,X_2}(a, c) + F_{X_1,X_2}(b, d) - F_{X_1,X_2}(a, d) - F_{X_1,X_2}(b, c) = \operatorname{P}(a < X_1 \leq b, c < X_2 \leq d) = \int ...$$

जटिल यादृच्छिक चर
वास्तविक से जटिल यादृच्छिक चर में संचयी वितरण फ़ंक्शन का सामान्यीकरण#संचयी वितरण फ़ंक्शन स्पष्ट नहीं है क्योंकि प्रपत्र की अभिव्यक्तियाँ $$ P(Z \leq 1+2i) $$ कोई मतलब नहीं। तथापि रूप की अभिव्यक्तियाँ $$ P(\Re{(Z)} \leq 1, \Im{(Z)} \leq 3) $$ सही बात। इसलिए, हम एक जटिल यादृच्छिक चर के संचयी वितरण को उनके वास्तविक और काल्पनिक भागों के संयुक्त संभाव्यता वितरण के माध्यम से परिभाषित करते हैं: $$ F_Z(z) = F_{\Re{(Z)},\Im{(Z)}}(\Re{(z)},\Im{(z)}) = P(\Re{(Z)} \leq \Re{(z)}, \Im{(Z)} \leq \Im{(z)}). $$

जटिल यादृच्छिक वेक्टर
का सामान्यीकरण $$ पैदावार $$F_{\mathbf{Z}}(\mathbf{z}) = F_{\Re{(Z_1)},\Im{(Z_1)}, \ldots, \Re{(Z_n)},\Im{(Z_n)}}(\Re{(z_1)}, \Im{(z_1)},\ldots,\Re{(z_n)}, \Im{(z_n)}) = \operatorname{P}(\Re{(Z_1)} \leq \Re{(z_1)},\Im{(Z_1)} \leq \Im{(z_1)},\ldots,\Re{(Z_n)} \leq \Re{(z_n)},\Im{(Z_n)} \leq \Im{(z_n)})$$ एक जटिल यादृच्छिक वेक्टर के सीडीएस की परिभाषा के रूप में $$\mathbf{Z} = (Z_1,\ldots,Z_N)^T$$.

सांख्यिकीय विश्लेषण में उपयोग
संचयी वितरण फ़ंक्शन की अवधारणा सांख्यिकीय विश्लेषण में दो (समान) तरीकों से स्पष्ट रूप से प्रकट होती है। संचयी आवृत्ति विश्लेषण एक संदर्भ मूल्य से कम किसी घटना के मूल्यों की घटना की आवृत्ति का विश्लेषण है। अनुभवजन्य वितरण फ़ंक्शन संचयी वितरण फ़ंक्शन का एक औपचारिक प्रत्यक्ष अनुमान है जिसके लिए सरल सांख्यिकीय गुण प्राप्त किए जा सकते हैं और जो विभिन्न सांख्यिकीय परिकल्पना परीक्षणों का आधार बन सकते हैं। ऐसे परीक्षण यह आकलन कर सकते हैं कि क्या किसी दिए गए वितरण से उत्पन्न डेटा के नमूने के खिलाफ सबूत है, या एक ही (अज्ञात) जनसंख्या वितरण से उत्पन्न हुए डेटा के दो नमूनों के खिलाफ सबूत है।

कोलमोगोरोव-स्मिरनोव और कुइपर के परीक्षण
कोलमोगोरोव-स्मिरनोव परीक्षण संचयी वितरण कार्यों पर आधारित है और इसका उपयोग यह देखने के लिए किया जा सकता है कि क्या दो अनुभवजन्य वितरण अलग-अलग हैं या क्या एक अनुभवजन्य वितरण एक आदर्श वितरण से अलग है। यदि वितरण का क्षेत्र सप्ताह के दिन की तरह चक्रीय है तो निकट से संबंधित कुइपर का परीक्षण उपयोगी है। उदाहरण के लिए, कुइपर परीक्षण का उपयोग यह देखने के लिए किया जा सकता है कि क्या वर्ष के दौरान बवंडर की संख्या बदलती रहती है या किसी उत्पाद की बिक्री सप्ताह के दिन या महीने के दिन के अनुसार बदलती रहती है।

यह भी देखें

 * वर्णनात्मक आँकड़े
 * वितरण फिटिंग
 * तोरण (सांख्यिकी)
 * संशोधित अर्ध-सामान्य वितरण पीडीएफ के साथ $$(0, \infty)$$ के रूप में दिया गया है $$ f(x)= \frac{2\beta^{\frac{\alpha}{2}} x^{\alpha-1} \exp(-\beta x^2+ \gamma x )}{\Psi{\left(\frac{\alpha}{2}, \frac{ \gamma}{\sqrt{\beta}}\right)}}$$, कहाँ $$\Psi(\alpha,z)={}_1\Psi_1\left(\begin{matrix}\left(\alpha,\frac{1}{2}\right)\\(1,0)\end{matrix};z \right)$$ फॉक्स-राइट साई फ़ंक्शन को दर्शाता है।