सम्मिश्र समतल

गणित में, जटिल तल वह समतल (ज्यामिति) है जो जटिल संख्याओं द्वारा निर्मित होता है, जिसमें कार्तीय समन्वय प्रणाली होती है, जैसे कि $x$-अक्ष, जिसे वास्तविक अक्ष कहा जाता है, वास्तविक संख्याओं से बनता है, और $y$-अक्ष, जिसे काल्पनिक अक्ष कहा जाता है, काल्पनिक संख्याओं से बनता है।

जटिल तल जटिल संख्याओं की ज्यामितीय व्याख्या की अनुमति देता है। इसके अलावा, वे सदिश (ज्यामिति) की तरह जोड़ते हैं। दो जटिल संख्याओं के गुणन को ध्रुवीय निर्देशांक में अधिक आसानी से व्यक्त किया जा सकता है - उत्पाद का परिमाण या मापांक दो निरपेक्ष मानों, या मापांक और उत्पाद के कोण या तर्क का गुणनफल है। दो कोणों, या तर्कों का योग है। विशेष रूप से, मॉड्यूलस 1 की एक सम्मिश्र संख्या द्वारा गुणन एक घूर्णन के रूप में कार्य करता है।

जटिल तल को कभी-कभी अरगंड तल या गॉस तल के रूप में जाना जाता है।

जटिल संख्या
जटिल विश्लेषण में, जटिल संख्याओं को आमतौर पर प्रतीक z द्वारा दर्शाया जाता है, जिसे इसके वास्तविक (x) और काल्पनिक (y) भागों में अलग किया जा सकता है:

$$z = x + iy$$ उदाहरण के लिए: z = 4 + 5i, जहाँ x और y वास्तविक संख्याएँ हैं, और i काल्पनिक इकाई है। इस प्रथागत संकेतन में जटिल संख्या z कार्तीय समन्वय प्रणाली में बिंदु (x, y) से मेल खाती है।

कार्तीय तल में बिंदु (x, y) को ध्रुवीय निर्देशांक में भी दर्शाया जा सकता है

$$(x, y) = (r\cos\theta, r\sin\theta)\qquad(r, \theta) = \left(\sqrt{x^2+y^2}, \quad \arctan\frac{y}{x}\right).$$ कार्तीय तल में यह माना जा सकता है कि व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन −π/2 से π/2 (कांति में) तक मान लेता है, और बिंदुओं (x, y) के लिए अधिक पूर्ण चापस्पर्श फलन को परिभाषित करने के लिए कुछ सावधानी बरतनी चाहिए जब एक्स ≤ 0। जटिल तल में ये ध्रुवीय निर्देशांक रूप ले लेते हैं

$$z = x + iy = |z|\left(\cos\theta + i\sin\theta\right) = |z|e^{i\theta}$$ कहाँ पे

$$|z| = \sqrt{x^2+y^2}; \quad \theta = \arg(z) = \frac{1}{i}\ln\frac{z}{|z|} = -i\ln\frac{z}{|z|}.$$ यहाँ |z| सम्मिश्र संख्या z का निरपेक्ष मान या मापांक है; θ, z का तर्क, आमतौर पर अंतराल पर लिया जाता है $0 ≤ θ &lt; 2π$; और अंतिम समानता (को |z|eiθ) यूलर के सूत्र से लिया गया है। θ की सीमा पर बाधा के बिना, z का तर्क बहु-मूल्यवान है, क्योंकि घातीय कार्य # जटिल विमान पर आवधिक है, अवधि 2π i के साथ। इस प्रकार, यदि θ arg(z) का एक मान है, तो अन्य मान निम्न द्वारा दिए जाते हैं $arg(z) = θ + 2nπ$, जहाँ n कोई शून्येतर पूर्णांक है। जबकि शायद ही कभी स्पष्ट रूप से उपयोग किया जाता है, जटिल संख्याओं का ज्यामितीय दृश्य इसके यूक्लिडियन स्पेस#आयाम 2 की यूक्लिडियन संरचना पर आधारित होता है, जहां जटिल संख्याओं का आंतरिक उत्पाद होता है $w$ तथा $z$ द्वारा दिया गया है $$\Re(w\overline{z})$$; फिर एक जटिल संख्या के लिए $z$ इसका पूर्ण मूल्य $|z|$ इसके यूक्लिडियन मानदंड और इसके तर्क के साथ मेल खाता है $arg(z)$ 1 से मोड़ते हुए कोण के साथ$z$.

लाइन इंटीग्रल का सिद्धांत#कॉम्प्लेक्स लाइन इंटीग्रल में जटिल विश्लेषण का एक प्रमुख हिस्सा शामिल है। इस संदर्भ में, एक बंद वक्र के चारों ओर यात्रा की दिशा महत्वपूर्ण है - जिस दिशा में वक्र को पार किया जाता है, उसे उलटने से अभिन्न का मान -1 से गुणा हो जाता है। परिपाटी के अनुसार सकारात्मक दिशा वामावर्त होती है। उदाहरण के लिए, जब हम बिंदु z = 1 पर शुरू करते हैं, तो यूनिट सर्कल को सकारात्मक दिशा में पार किया जाता है, फिर बिंदु z = i के माध्यम से ऊपर और बाईं ओर यात्रा करें, फिर नीचे और -1 के माध्यम से बाईं ओर, फिर नीचे और -i के माध्यम से दाएँ, और अंत में ऊपर और z = 1 के दाएँ, जहाँ हमने शुरू किया था।

लगभग सभी जटिल विश्लेषण का संबंध जटिल विश्लेषण#कॉम्प्लेक्स फ़ंक्शंस - यानी ऐसे फ़ंक्शंस से है जो कॉम्प्लेक्स प्लेन के कुछ सबसेट को कॉम्प्लेक्स प्लेन के कुछ अन्य (संभवतः अतिव्यापी, या समान) सबसेट में मैप करते हैं। यहाँ f(z) के फलन के प्रांत को z-समतल में स्थित होने के रूप में बोलने की प्रथा है, जबकि f(z) के फलन की श्रेणी को w-तल में बिंदुओं के समुच्चय के रूप में संदर्भित किया जाता है। प्रतीकों में हम लिखते हैं

$$z = x + iy; \qquad f(z) = w = u + iv$$ और अक्सर फ़ंक्शन f को z-प्लेन (निर्देशांक (x, y) के साथ) से w-प्लेन (निर्देशांक (u, v) के साथ) में परिवर्तन के रूप में सोचते हैं।

जटिल विमान संकेतन
जटिल विमान के रूप में निरूपित किया जाता है $$\mathbb{C}$$.

अरगंड आरेख
Argand आरेख बिंदुओं के रूप में जटिल संख्याओं के एक ज्यामितीय प्लॉट (ग्राफिक्स) को संदर्भित करता है $z = x + iy$ वास्तविक अक्ष के रूप में x-अक्ष और काल्पनिक अक्ष के रूप में y-अक्ष का उपयोग करना। इस तरह के भूखंडों का नाम जीन-रॉबर्ट अरगंड (1768-1822) के नाम पर रखा गया है, हालांकि उन्हें पहली बार नार्वेजियन-डेनिश भूमि सर्वेक्षक और गणितज्ञ कैस्पर वेसल (1745-1818) द्वारा वर्णित किया गया था। Argand आरेखों का उपयोग अक्सर जटिल तल में किसी फ़ंक्शन के शून्य और ध्रुवों की स्थिति को प्लॉट करने के लिए किया जाता है।

त्रिविम अनुमान
जटिल तल के बारे में सोचना उपयोगी हो सकता है जैसे कि यह एक गोले की सतह पर कब्जा कर लिया हो। यूनिट त्रिज्या के एक क्षेत्र को देखते हुए, इसके केंद्र को जटिल विमान के मूल में रखें, इस तरह उन्मुख करें कि गोले पर भूमध्य रेखा विमान में यूनिट सर्कल के साथ मेल खाती है, और उत्तरी ध्रुव विमान के ऊपर है।

हम एक आक्षेप स्थापित कर सकते हैं | गोले की सतह पर उत्तरी ध्रुव से घटाकर बिंदुओं के बीच एक-से-एक पत्राचार और जटिल विमान में बिंदु इस प्रकार हैं। समतल में एक बिंदु दिया गया है, इसे गोले के उत्तरी ध्रुव से जोड़ने वाली एक सीधी रेखा खींचें। वह रेखा गोले की सतह को ठीक एक दूसरे बिंदु पर काटेगी। बिंदु $z = 0$ गोले के दक्षिणी ध्रुव पर प्रक्षेपित किया जाएगा। चूँकि इकाई वृत्त का आंतरिक भाग गोले के अंदर होता है, वह संपूर्ण क्षेत्र ($|z| &lt; 1$) दक्षिणी गोलार्द्ध पर मैप किया जाएगा। यूनिट सर्कल ही ($|z| = 1$) भूमध्य रेखा पर मैप किया जाएगा, और यूनिट सर्कल के बाहरी ($|z| &gt; 1$) को उत्तरी गोलार्ध से घटाकर उत्तरी ध्रुव पर मैप किया जाएगा। स्पष्ट रूप से यह प्रक्रिया उत्क्रमणीय है - गोले की सतह पर कोई भी बिंदु दिया गया है जो उत्तरी ध्रुव नहीं है, हम उस बिंदु को उत्तरी ध्रुव से जोड़ते हुए और समतल तल को ठीक एक बिंदु पर काटते हुए एक सीधी रेखा खींच सकते हैं।

इस स्टीरियोग्राफिक प्रोजेक्शन के तहत उत्तरी ध्रुव स्वयं जटिल तल के किसी भी बिंदु से जुड़ा नहीं है। हम जटिल तल में एक और बिंदु - अनंत पर तथाकथित बिंदु - और गोले पर उत्तरी ध्रुव के साथ इसकी पहचान करके एक-से-एक पत्राचार को पूरा करते हैं। यह टोपोलॉजिकल स्पेस, कॉम्प्लेक्स प्लेन प्लस इनफिनिटी पर बिंदु, रीमैन क्षेत्र के रूप में जाना जाता है। जटिल विश्लेषण पर चर्चा करते समय हम अनंत पर एक बिंदु की बात करते हैं। वास्तविक संख्या रेखा पर अनंत (धनात्मक और ऋणात्मक) पर दो बिंदु हैं, लेकिन विस्तारित जटिल तल में अनंत (उत्तरी ध्रुव) पर केवल एक बिंदु है। एक पल के लिए कल्पना कीजिए कि अक्षांश और देशांतर की रेखाओं का क्या होगा जब उन्हें गोले से समतल तल पर प्रक्षेपित किया जाएगा। अक्षांश रेखाएँ सभी भूमध्य रेखा के समानांतर हैं, इसलिए वे मूल बिंदु पर केंद्रित पूर्ण वृत्त बन जाएँगी $z = 0$. और देशांतर की रेखाएं मूल बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखाएं बन जाएंगी (और अनंत पर बिंदु से भी, क्योंकि वे गोले पर उत्तर और दक्षिण दोनों ध्रुवों से होकर गुजरती हैं)।

यह दो या दो से अधिक मूल्यों वाले विमान पर एक गोले के प्रक्षेपण की एकमात्र संभव अभी तक प्रशंसनीय स्टीरियोग्राफिक स्थिति नहीं है। उदाहरण के लिए, गोले के उत्तरी ध्रुव को उत्पत्ति के शीर्ष पर रखा जा सकता है $z = −1$ एक समतल में जो वृत्त की स्पर्शरेखा है। विवरण वास्तव में मायने नहीं रखता। किसी समतल पर गोले का कोई भी त्रिविम प्रक्षेपण अनंत पर एक बिंदु उत्पन्न करेगा, और यह गोले पर अक्षांश और देशांतर की रेखाओं को क्रमशः समतल और सीधी रेखाओं में मानचित्रित करेगा।

विमान काटना
जटिल चर के कार्यों पर चर्चा करते समय जटिल विमान में कटौती के बारे में सोचना अक्सर सुविधाजनक होता है। यह विचार स्वाभाविक रूप से कई अलग-अलग संदर्भों में उत्पन्न होता है।

बहु-मूल्यवान रिश्ते और शाखा बिंदु
सरल दो-मूल्यवान संबंध पर विचार करें

$$w = f(z) = \pm\sqrt{z} = z^{1/2}.$$ इससे पहले कि हम इस रिश्ते को एकल-मूल्यवान कार्य (गणित) के रूप में मान सकें, परिणामी मूल्य की सीमा को किसी तरह प्रतिबंधित किया जाना चाहिए। गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के वर्गमूलों से निपटने पर यह आसानी से हो जाता है। उदाहरण के लिए, हम केवल परिभाषित कर सकते हैं

$$y = g(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$$ गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या y होना जैसे कि $y^{2} = x$. यह विचार द्वि-आयामी जटिल विमान में इतना अच्छा काम नहीं करता है। यह देखने के लिए, आइए इस बारे में सोचें कि f (z) का मान किस प्रकार भिन्न होता है जब बिंदु z इकाई चक्र के चारों ओर घूमता है। हम लिख सकते हैं

$$z = re^{i\theta}\quad\text{and take}\quad w=z^{1/2} = \sqrt{r}\,e^{i\theta/2}\qquad(0\leq\theta\leq 2\pi).$$ जाहिर है, जैसा कि z सर्कल के चारों ओर घूमता है, w केवल सर्कल के आधे हिस्से का पता लगाता है। तो जटिल विमान में एक निरंतर गति ने सकारात्मक वर्गमूल ई को बदल दिया है0 = 1 ऋणात्मक वर्गमूल में $e^{iπ} = −1$.

यह समस्या इसलिए उत्पन्न होती है क्योंकि बिंदु z = 0 का केवल एक वर्गमूल होता है, जबकि प्रत्येक अन्य सम्मिश्र संख्या z ≠ 0 के ठीक दो वर्गमूल होते हैं। वास्तविक संख्या रेखा पर हम एकल बिंदु x = 0 पर एक बाधा खड़ी करके इस समस्या को दरकिनार कर सकते हैं। किसी भी बंद समोच्च को शाखा बिंदु z = 0 को पूरी तरह से घेरने से रोकने के लिए जटिल तल में एक बड़े अवरोध की आवश्यकता होती है। यह आमतौर पर होता है 'ब्रांच कट' शुरू करके किया गया; इस मामले में कटौती बिंदु z = 0 से सकारात्मक वास्तविक अक्ष के साथ अनंत पर बिंदु तक विस्तारित हो सकती है, ताकि कट विमान में चर z का तर्क 0 ≤ arg(z) < 2π तक सीमित हो।

अब हम इसका पूरा विवरण दे सकते हैं $w = z^$. ऐसा करने के लिए हमें जेड-प्लेन की दो प्रतियों की आवश्यकता है, उनमें से प्रत्येक वास्तविक अक्ष के साथ कटी हुई है। एक प्रति पर हम 1 के वर्गमूल को परिभाषित करते हैं $e^{0} = 1$, और दूसरी ओर हम 1 के वर्गमूल को e के रूप में परिभाषित करते हैंiπ = -1। हम इन दो प्रतियों को पूर्ण कटी हुई समतल शीट कहते हैं। निरंतरता तर्क बनाकर हम देखते हैं कि (अब सिंगल-वैल्यूड) फ़ंक्शन $w = z^$ डब्ल्यू-प्लेन के ऊपरी आधे हिस्से में पहली शीट को मैप करता है, जहाँ $0 ≤ arg(w) &lt; π$, दूसरी शीट को डब्ल्यू-प्लेन के निचले आधे हिस्से में मैप करते समय (जहाँ $π ≤ arg(w) &lt; 2π$). इस उदाहरण में काटी गई शाखा का वास्तविक अक्ष के साथ होना आवश्यक नहीं है। यह एक सीधी रेखा भी नहीं है। मूल बिंदु z = 0 को अनंत पर बिंदु से जोड़ने वाला कोई भी निरंतर वक्र काम करेगा। कुछ मामलों में शाखा कट को अनंत पर बिंदु से गुजरना भी नहीं पड़ता है। उदाहरण के लिए, संबंध पर विचार करें

$$w = g(z) = \left(z^2 - 1\right)^{1/2}.$$ यहाँ बहुपद z2 − 1 कब गायब हो जाता है $z = ±1$, इसलिए g के स्पष्ट रूप से दो शाखा बिंदु हैं। हम समतल को वास्तविक अक्ष के साथ -1 से 1 तक काट सकते हैं, और एक शीट प्राप्त कर सकते हैं जिस पर g(z) एकल-मूल्यवान फलन है। वैकल्पिक रूप से, कट z = 1 से अनंत पर बिंदु के माध्यम से सकारात्मक वास्तविक अक्ष के साथ चल सकता है, फिर नकारात्मक वास्तविक अक्ष को अन्य शाखा बिंदु, z = -1 तक जारी रख सकता है।


 * 1) Stereographic अनुमानों का उपयोग करके इस स्थिति को सबसे आसानी से देखा जा सकता है। गोले पर इनमें से एक कट दक्षिणी गोलार्ध के माध्यम से अनुदैर्ध्य रूप से चलता है, भूमध्य रेखा पर एक बिंदु (z = -1) को भूमध्य रेखा पर एक अन्य बिंदु (z = 1) से जोड़ता है, और दक्षिणी ध्रुव (मूल, z =) से गुजरता है 0) रास्ते में। कट का दूसरा संस्करण उत्तरी गोलार्ध के माध्यम से अनुदैर्ध्य रूप से चलता है और उत्तरी ध्रुव (यानी अनंत पर बिंदु) से गुजरते हुए समान दो भूमध्यरेखीय बिंदुओं को जोड़ता है।

मेरोमॉर्फिक कार्यों के डोमेन को प्रतिबंधित करना
एक मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन एक जटिल फ़ंक्शन है जो होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन है और इसलिए परिमित, या गणनीय सेट, अंकों की संख्या को छोड़कर अपने डोमेन में हर जगह विश्लेषणात्मक कार्य करता है। जिन बिंदुओं पर इस तरह के फ़ंक्शन को परिभाषित नहीं किया जा सकता है, उन्हें मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन का ध्रुव (जटिल विश्लेषण) कहा जाता है। कभी-कभी ये सभी खंभे एक सीधी रेखा में स्थित होते हैं। उस स्थिति में गणितज्ञ कह सकते हैं कि कटे हुए तल पर फलन होलोमोर्फिक है। यहाँ एक सरल उदाहरण है।

गामा समारोह, द्वारा परिभाषित

$$\Gamma (z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left[\left(1+\frac{z}{n}\right)^{-1}e^{z/n}\right]$$ जहां γ यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक है, और 0, −1, −2, −3, ... पर सरल ध्रुव हैं, क्योंकि जब z शून्य या एक ऋणात्मक पूर्णांक होता है, तो अनंत गुणनफल में ठीक एक हर गायब हो जाता है। चूँकि इसके सभी ध्रुव ऋणात्मक वास्तविक अक्ष पर स्थित हैं, z = 0 से अनंत पर बिंदु तक, इस फलन को कटे हुए तल पर होलोमॉर्फिक के रूप में वर्णित किया जा सकता है, कट 0 (सम्मिलित) से बिंदु तक ऋणात्मक वास्तविक अक्ष के साथ विस्तारित होता है। अनंत पर।

वैकल्पिक रूप से, Γ(z) को कट प्लेन में होलोमॉर्फिक के रूप में वर्णित किया जा सकता है -π < arg(z) < π और बिंदु z = 0 को छोड़कर।

यह कट उस 'ब्रांच कट' से थोड़ा अलग है जिसका हम पहले ही सामना कर चुके हैं, क्योंकि यह वास्तव में कट प्लेन से नकारात्मक वास्तविक अक्ष को बाहर करता है। शाखा कट ने एक तरफ (0 ≤ θ) कटे हुए विमान से जुड़े वास्तविक अक्ष को छोड़ दिया, लेकिन इसे दूसरी तरफ कटे हुए विमान से अलग कर दिया (θ <2π)।

बेशक, एक डोमेन बनाने के लिए z = 0 से −∞ तक पूरे लाइन सेगमेंट को बाहर करना वास्तव में आवश्यक नहीं है जिसमें Γ(z) होलोमोर्फिक है। हमें बस इतना करना है कि बिंदुओं के अनगिनत अनंत सेट {0, −1, −2, −3, ...} पर विमान को 'पंचर' करना है। लेकिन छिद्रित विमान में एक बंद समोच्च Γ(z) के एक या अधिक ध्रुवों को घेर सकता है, जो अवशेष प्रमेय द्वारा एक रेखा अभिन्न है जो आवश्यक रूप से शून्य नहीं है। जटिल तल को काटकर हम न केवल यह सुनिश्चित करते हैं कि Γ(z) इस प्रतिबंधित डोमेन में होलोमोर्फिक है - हम यह भी सुनिश्चित करते हैं कि कटे हुए तल में स्थित किसी भी बंद वक्र पर Γ का कंटूर इंटीग्रल समान रूप से शून्य के बराबर है।

अभिसरण क्षेत्रों को निर्दिष्ट करना
कई जटिल कार्यों को श्रृंखला (गणित) या सामान्यीकृत निरंतर अंश द्वारा परिभाषित किया जाता है। इन असीम रूप से लंबे व्यंजकों के विश्लेषण में एक मौलिक विचार जटिल विमान के उस हिस्से की पहचान करना है जिसमें वे एक परिमित मान में अभिसरण करते हैं। विमान में एक कट इस प्रक्रिया को सुगम बना सकता है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण दिखाते हैं।

अनंत श्रृंखला द्वारा परिभाषित फ़ंक्शन पर विचार करें

$$f(z) = \sum_{n=1}^\infty \left(z^2 + n\right)^{-2}.$$ चूंकि जेड2 = (−z)2 प्रत्येक सम्मिश्र संख्या z के लिए, यह स्पष्ट है कि f(z) z का एक सम और विषम फलन है, इसलिए विश्लेषण को सम्मिश्र तल के आधे हिस्से तक सीमित किया जा सकता है। और चूंकि श्रृंखला अपरिभाषित है कब

$$z^2 + n = 0 \quad \iff \quad z = \pm i\sqrt{n},$$ संपूर्ण काल्पनिक अक्ष के साथ विमान को काटना और इस श्रृंखला के अभिसरण को स्थापित करना समझ में आता है जहां z का वास्तविक भाग शून्य नहीं है, जब f(z) की जांच करने का अधिक कठिन कार्य करने से पहले z एक शुद्ध काल्पनिक संख्या है। इस उदाहरण में कट केवल एक सुविधा है, क्योंकि जिन बिंदुओं पर अनंत राशि अपरिभाषित है, उन्हें अलग कर दिया जाता है, और कट प्लेन को एक उपयुक्त पंचर वाले प्लेन से बदला जा सकता है। कुछ संदर्भों में कटौती आवश्यक है, न कि केवल सुविधाजनक। अनंत आवधिक निरंतर अंश पर विचार करें

$$f(z) = 1 + \cfrac{z}{1 + \cfrac{z}{1 + \cfrac{z}{1 + \cfrac{z}{\ddots}}}}.$$ यह अभिसरण समस्या है कि f(z) एक परिमित मान में अभिसरण करता है यदि और केवल यदि z एक ऋणात्मक वास्तविक संख्या नहीं है जैसे कि $z &lt; −1⁄4$. दूसरे शब्दों में, इस निरंतर अंश के लिए अभिसरण क्षेत्र कट प्लेन है, जहां कट नकारात्मक वास्तविक अक्ष के साथ चलता है, से -1⁄4 बिंदु पर अनंत तक।

कटे हुए विमान को वापस एक साथ चिपकाना
हमारे #बहुमूल्य संबंध हैं और शाखा बिंदु कैसे संबंध हैं

$$w = f(z) = \pm\sqrt{z} = z^{1/2}$$ f के डोमेन को दो डिस्कनेक्टेड शीट्स में विभाजित करके एकल-मूल्यवान फ़ंक्शन में बनाया जा सकता है। यह भी संभव है कि उन दो शीटों को वापस एक साथ चिपकाया जाए जिससे एक 'रीमैन सतह' बनाई जा सके $f(z) = z^{1/2}$ एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसकी छवि संपूर्ण डब्ल्यू-प्लेन है (बिंदु को छोड़कर $w = 0$). यहां बताया गया है कि यह कैसे काम करता है।

कट कॉम्प्लेक्स प्लेन की दो प्रतियों की कल्पना करें, कट्स सकारात्मक वास्तविक अक्ष के साथ फैले हुए हैं $z = 0$ बिंदु पर अनंत तक। एक शीट पर परिभाषित करें $0 ≤ arg(z) &lt; 2π$, ताकि $1^{1/2} = e^{0} = 1$, परिभाषा से। दूसरी शीट पर परिभाषित करें $2π ≤ arg(z) &lt; 4π$, ताकि $1^{1/2} = e^{iπ} = −1$, फिर से परिभाषा के अनुसार। अब दूसरी शीट को उल्टा पलटें, ताकि काल्पनिक अक्ष पहली शीट पर काल्पनिक अक्ष के विपरीत दिशा में इंगित करे, दोनों वास्तविक अक्ष एक ही दिशा में इंगित करें, और दोनों शीटों को एक साथ गोंद दें (ताकि पहली शीट पर किनारा हो) पत्रक लेबल$θ = 0$लेबल वाले किनारे से जुड़ा है$θ &lt; 4π$दूसरी शीट पर, और दूसरी शीट पर किनारे को लेबल किया गया है$θ = 2π$लेबल वाले किनारे से जुड़ा है$θ &lt; 2π$पहली शीट पर)। परिणाम रीमैन सतह डोमेन है जिस पर $f(z) = z^{1/2}$ एकल-मूल्यवान और होलोमोर्फिक है (जब को छोड़कर $z = 0$).

यह समझने के लिए कि इस डोमेन में f एकल-मूल्यवान क्यों है, यूनिट सर्कल के चारों ओर एक सर्किट की कल्पना करें, जो कि से शुरू होता है $z = 1$ पहली शीट पर। कब $0 ≤ θ &lt; 2π$ हम अभी भी पहली शीट पर हैं। कब $θ = 2π$ हमने दूसरी शीट पर पार कर लिया है, और शाखा बिंदु के चारों ओर एक दूसरा पूर्ण सर्किट बनाने के लिए बाध्य हैं $z = 0$ हमारे शुरुआती बिंदु पर लौटने से पहले, जहाँ $θ = 4π$ के बराबर है $θ = 0$, जिस तरह से हमने दो शीटों को एक साथ चिपकाया था। दूसरे शब्दों में, जैसा कि चर z शाखा बिंदु के चारों ओर दो पूर्ण चक्कर लगाता है, w- समतल में z की छवि केवल एक पूर्ण वृत्त का पता लगाती है।

औपचारिक भेदभाव यह दर्शाता है

$$f(z) = z^{1/2} \quad\Rightarrow\quad f' (z) = \tfrac{1}{2} z^{-1/2}$$ जिससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि f का व्युत्पन्न मौजूद है और रीमैन सतह पर हर जगह परिमित है, सिवाय इसके कि कब $z = 0$ (यानी, एफ होलोमोर्फिक है, सिवाय इसके कि कब $z = 0$).

समारोह के लिए रीमैन सतह कैसे हो सकती है

$$w = g(z) = \left(z^2 - 1\right)^{1/2},$$
 * 1) बहुमूल्य संबंधों और शाखा बिंदुओं पर भी चर्चा हुई, निर्माण किया जाए? एक बार फिर हम जेड-प्लेन की दो प्रतियों के साथ शुरू करते हैं, लेकिन इस बार प्रत्येक को वास्तविक रेखा खंड के साथ काट दिया जाता है $z = −1$ प्रति $z = 1$ – ये g(z) के दो शाखा बिंदु हैं। हम इनमें से एक को उल्टा कर देते हैं, इसलिए दो काल्पनिक कुल्हाड़ियाँ विपरीत दिशाओं में इंगित करती हैं, और दो कटी हुई चादरों के संगत किनारों को एक साथ चिपका देती हैं। हम सत्यापित कर सकते हैं कि जी इस सतह पर एक एकल-मूल्यवान कार्य है, जो एक इकाई त्रिज्या के एक चक्र के चारों ओर एक सर्किट का पता लगाकर केंद्रित है $z = 1$. बिंदु पर शुरू हो रहा है $z = 2$ पहली शीट पर हम कट का सामना करने से पहले सर्कल के चारों ओर आधा घूमते हैं $z = 0$. कट हमें दूसरी शीट पर ले जाता है, ताकि जब z ने शाखा बिंदु के चारों ओर एक पूर्ण मोड़ का पता लगाया हो $z = 1$, w ने पूर्ण मोड़ का केवल आधा हिस्सा लिया है, w का चिन्ह उलट दिया गया है (चूंकि $e^{iπ} = −1$), और हमारा रास्ता हमें उस बिंदु पर ले गया है $z = 2$ सतह की दूसरी शीट पर। एक और आधा मोड़ जारी रखते हुए हम कट के दूसरी तरफ मिलते हैं, जहां $z = 0$, और अंत में अपने शुरुआती बिंदु पर पहुंचें ($z = 2$ पहली शीट पर) शाखा बिंदु के चारों ओर दो पूर्ण चक्कर लगाने के बाद।

लेबल लगाने का प्राकृतिक तरीका $θ = arg(z)$ इस उदाहरण में सेट करना है $−π &lt; θ ≤ π$ पहली शीट पर, के साथ $π &lt; θ ≤ 3π$ दूसरे पर। दो शीटों पर काल्पनिक कुल्हाड़ियों विपरीत दिशाओं में इंगित करती हैं ताकि सकारात्मक घुमाव की वामावर्त भावना को संरक्षित किया जा सके क्योंकि एक बंद समोच्च एक शीट से दूसरी शीट पर जाता है (याद रखें, दूसरी शीट उलटी है)। कल्पना कीजिए कि यह सतह त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एम्बेडेड है, जिसमें दोनों शीट एक्स-प्लेन के समानांतर हैं। तब सतह में एक लंबवत छिद्र प्रतीत होता है, जहां दो कट एक साथ जुड़ जाते हैं। क्या हुआ अगर कट से बना है $z = −1$ वास्तविक धुरी के नीचे अनंत पर बिंदु तक, और से $z = 1$, वास्तविक अक्ष को तब तक ऊपर उठाएं जब तक कि कट स्वयं से न मिल जाए? फिर से एक रीमैन सतह का निर्माण किया जा सकता है, लेकिन इस बार छिद्र क्षैतिज है। टोपोलॉजी, इस रीमैन सतह के दोनों संस्करण समतुल्य हैं - वे जीनस (गणित) # समायोज्य सतह एक की ओरिएंटेबल द्वि-आयामी सतह हैं।

नियंत्रण सिद्धांत में प्रयोग करें
नियंत्रण सिद्धांत में, जटिल तल के एक उपयोग को S तल|s-विमान के रूप में जाना जाता है। इसका उपयोग सिस्टम के व्यवहार (विशेषता समीकरण) को ग्राफिक रूप से वर्णित समीकरण की जड़ों को देखने के लिए किया जाता है। समीकरण सामान्य रूप से लाप्लास रूपांतरण के पैरामीटर 'एस' में बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है, इसलिए नाम 'एस' विमान है। एस-प्लेन में पॉइंट्स फॉर्म लेते हैं $$s = \sigma + j\omega$$, जहां 'j' का उपयोग सामान्य 'i' के बजाय काल्पनिक घटक का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है।

कॉम्प्लेक्स प्लेन का एक अन्य संबंधित उपयोग Nyquist स्थिरता मानदंड के साथ है। यह एक ज्यामितीय सिद्धांत है जो जटिल विमान में फ़्रीक्वेंसी (या लूप स्थानांतरण प्रकार्य) के फ़ंक्शन के रूप में अपने ओपन-लूप परिमाण और चरण प्रतिक्रिया के Nyquist प्लॉट का निरीक्षण करके बंद-लूप फीडबैक सिस्टम की स्थिरता को निर्धारित करने की अनुमति देता है।

जेड-प्लेन एस-प्लेन का असतत-समय संस्करण है, जहां लाप्लास परिवर्तन के बजाय z-परिणत का उपयोग किया जाता है।

द्विघात स्थान
जटिल तल दो अलग-अलग द्विघात स्थानों से जुड़ा है। एक बिंदु के लिए $z = x + iy$ जटिल विमान में, वर्ग (बीजगणित) z2 और मानदंड-वर्ग $$x^2 + y^2 $$ दोनों द्विघात रूप हैं। जटिल विमान पर एक मीट्रिक (गणित) स्थापित करने में उत्तरार्द्ध के उपयोग के चलते पूर्व को अक्सर उपेक्षित किया जाता है। केली-डिक्सन प्रक्रिया के साथ एक क्षेत्र पर बीजगणित के निर्माण में द्विघात स्थान के रूप में जटिल विमान के ये अलग चेहरे उत्पन्न होते हैं। उस प्रक्रिया को किसी भी क्षेत्र (गणित) पर लागू किया जा सकता है, और फ़ील्ड आर और सी के लिए अलग-अलग परिणाम होते हैं: जब आर टेक-ऑफ फील्ड होता है, तो सी द्विघात रूप से बनाया जाता है $$x^2 + y^2 ,$$ लेकिन प्रक्रिया C और z से भी शुरू हो सकती है2, और वह स्थिति उन बीजगणितों को उत्पन्न करती है जो R से प्राप्त बीजगणित से भिन्न होते हैं। किसी भी स्थिति में, उत्पन्न बीजगणित संघटन बीजगणित होते हैं; इस मामले में जटिल तल दो अलग-अलग रचना बीजगणित के लिए निर्धारित बिंदु है।

जटिल विमान के अन्य अर्थ
इस लेख के पूर्ववर्ती खंड जटिल संख्याओं के ज्यामितीय प्रतिनिधित्व के संदर्भ में जटिल विमान से निपटते हैं। यद्यपि जटिल तल शब्द के इस प्रयोग का एक लंबा और गणितीय रूप से समृद्ध इतिहास है, यह किसी भी तरह से एकमात्र गणितीय अवधारणा नहीं है जिसे जटिल तल के रूप में वर्णित किया जा सकता है। कम से कम तीन अतिरिक्त संभावनाएं हैं।
 * 1) द्वि-आयामी जटिल सदिश स्थान, एक जटिल तल इस अर्थ में कि यह एक द्वि-आयामी सदिश स्थान है जिसके निर्देशांक जटिल संख्याएँ हैं। यह सभी देखें:.
 * 2) (1 + 1)-विमीय मिन्कोवस्की अंतरिक्ष, जिसे विभाजित-जटिल संख्या के रूप में भी जाना जाता है, इस अर्थ में एक जटिल प्लेन है कि बीजगणितीय स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स संख्याओं को दो वास्तविक घटकों में अलग किया जा सकता है जो आसानी से बिंदु से जुड़े होते हैं $(x, y)$ कार्तीय तल में।
 * 3) वास्तविक पर दोहरी संख्याओं के सेट को अंकों के साथ एक-से-एक पत्राचार में भी रखा जा सकता है $(x, y)$ कार्टेशियन विमान का, और एक जटिल विमान का एक और उदाहरण प्रस्तुत करता है।

यह भी देखें
* नक्षत्र आरेख
 * रीमैन क्षेत्र
 * स-विमान
 * इन-फेज और क्वाडरेचर घटक
 * वास्तविक रेखा

उद्धृत कार्य

 * चेल्सी पब्लिशिंग कंपनी द्वारा पुनर्मुद्रित (1973)। ISBN 0-8284-0207-8.
 * चेल्सी पब्लिशिंग कंपनी द्वारा पुनर्मुद्रित (1973)। ISBN 0-8284-0207-8.
 * चेल्सी पब्लिशिंग कंपनी द्वारा पुनर्मुद्रित (1973)। ISBN 0-8284-0207-8.

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 * अंक शास्त्र
 * समतल ज्यामिति)
 * धुवीय निर्देशांक
 * निरपेक्ष मूल्य
 * गुणा
 * वेक्टर (ज्यामिति)
 * उलटा त्रिकोणमितीय समारोह
 * अंदरूनी प्रोडक्ट
 * एक समारोह की सीमा
 * किसी फ़ंक्शन का डोमेन
 * द्विभाजन
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 * अनंत पर बिंदु
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 * अनंत उत्पाद
 * सम और विषम कार्य
 * एस विमान
 * न्यक्विस्ट प्लॉट
 * खास समय
 * विभाजित-जटिल विमान
 * रों विमान
 * चरण में और चतुर्भुज घटक

बाहरी संबंध

 * Jean-Robert Argand, "Essai sur une manière de représenter des quantités imaginaires dans les constructions géométriques", 1806, online and analyzed on BibNum [for English version, click 'à télécharger']
 * Jean-Robert Argand, "Essai sur une manière de représenter des quantités imaginaires dans les constructions géométriques", 1806, online and analyzed on BibNum [for English version, click 'à télécharger']