एरेनफेस्ट मॉडल

ऊष्मप्रवैगिकी के दूसरे नियम की व्याख्या करने के लिए तात्याना अफनासियेवा और पॉल एहरनफेस्ट द्वारा प्रसार के एरेनफेस्ट मॉडल (या कुत्ते-पिस्सू मॉडल) का प्रस्ताव किया गया था। मॉडल एन कणों को दो कंटेनरों में मानता है। कण स्वतंत्र रूप से एक दर पर कंटेनर बदलते हैं λ। यदि X(t) = i को समय t पर एक कंटेनर में कणों की संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है, तो यह निरंतर-समय मार्कोव प्रक्रिया #गणितीय परिभाषाओं के साथ एक जन्म-मृत्यु प्रक्रिया है


 * $$q_{i, i-1} = i\, \lambda$$ मैं के लिए = 1, 2, ..., एन
 * $$q_{i, i+1} = (N-i\,) \lambda$$ i = 0, 1, ..., N - 1 के लिए

और संतुलन वितरण $$\pi_i = 2^{-N} \tbinom Ni$$.

मार्क काक ने 1947 में सिद्ध किया कि यदि प्रारंभिक प्रणाली अवस्था संतुलन नहीं है, तो एंट्रॉपी (सूचना सिद्धांत), द्वारा दिया गया


 * $$H(t) = -\sum_{i} P(X(t)=i) \log \left( \frac{P(X(t)=i)}{\pi_i}\right), $$

नीरस रूप से बढ़ रहा है (एच-प्रमेय)। यह संतुलन वितरण के अभिसरण का परिणाम है।

परिणामों की व्याख्या
विचार करें कि शुरुआत में सभी कण कंटेनरों में से एक में हैं। उम्मीद है कि समय के साथ इस कंटेनर में कणों की संख्या करीब आ जाएगी $$N/2$$ और उस अवस्था के पास स्थिर हो जाते हैं (कंटेनरों में लगभग समान संख्या में कण होंगे)। हालाँकि गणितीय दृष्टिकोण से, प्रारंभिक अवस्था में वापस जाना संभव है (लगभग निश्चित भी)। औसत पुनरावृत्ति प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि प्रारंभिक अवस्था में वापस जाने का अपेक्षित समय भी परिमित है, और यह है $$2^N$$. स्टर्लिंग के सन्निकटन का उपयोग करने पर पता चलता है कि यदि हम संतुलन (कंटेनरों में कणों की समान संख्या) पर शुरू करते हैं, तो संतुलन में लौटने का अपेक्षित समय असमान रूप से बराबर होता है $$\textstyle\sqrt{\pi N/2}$$. यदि हम मानते हैं कि विशेष मामले में कण एक सेकंड में एक दर से कंटेनर बदलते हैं $$N=100$$ कण, संतुलन से शुरू होकर संतुलन में वापसी होने की उम्मीद है $$13$$ सेकंड, कॉन्फ़िगरेशन पर प्रारंभ करते समय $$100$$ कंटेनरों में से एक में, $$0$$ दूसरी ओर, उस राज्य में वापसी की उम्मीद है $$4\cdot 10^{22}$$ साल। यह मानता है कि सैद्धांतिक रूप से निश्चित होने के बावजूद, प्रारंभिक अत्यधिक अनुपातहीन अवस्था की पुनरावृत्ति की संभावना नहीं है।

ग्रन्थसूची

 * Paul and Tatjana Ehrenfest: Über zwei bekannte Einwände gegen das Boltzmannsche H-Theorem. Physikalische Zeitschrift, vol. 8 (1907), pp. 311–314.
 * F.P. Kelly: The Ehrenfest model, in Reversibility and Stochastic Networks. Wiley, Chichester, 1979. ISBN 0-471-27601-4 pp. 17–20.
 * David O. Siegmund: Ehrenfest model of diffusion (mathematics). Encyclopædia Britannica.