पॉइसन योग सूत्र

गणित में, पॉइसन योग सूत्र एक समीकरण है जो किसी फ़ंक्शन (गणित) के आवधिक योग के फूरियर श्रृंखला गुणांक को फ़ंक्शन के निरंतर फूरियर परिवर्तन के मूल्यों से जोड़ता है। नतीजतन, किसी फ़ंक्शन का आवधिक योग मूल फ़ंक्शन के फूरियर रूपांतरण के अलग-अलग नमूनों द्वारा पूरी तरह से परिभाषित होता है। और इसके विपरीत, किसी फ़ंक्शन के फूरियर रूपांतरण का आवधिक योग पूरी तरह से मूल फ़ंक्शन के अलग-अलग नमूनों द्वारा परिभाषित किया गया है। पॉइसन योग सूत्र की खोज शिमोन डेनिस पॉइसन ने की थी और इसे कभी-कभी पॉइसन पुनर्मूल्यांकन भी कहा जाता है।

समीकरण के रूप
एक आवधिक कार्य पर विचार करें $$s(x)$$ फूरियर रूपांतरण के साथ $S(f) \triangleq \int_{-\infty}^{\infty} s(x)\ e^{-i2\pi fx}\, dx,$ वैकल्पिक रूप से नामित $$\hat s(f)$$ और $$\mathcal{F}\{s\}(f).$$ मूल पॉइसन योग सूत्र है:

आवधिक कार्यों पर भी विचार करें, जहां पैरामीटर $$T>0$$ और $$P>0$$ जैसी ही इकाइयों में हैं $$x$$: $$s_{_P}(x) \triangleq \sum_{n=-\infty}^{\infty} s(x + nP) \quad \text{and} \quad S_{1/T}(f) \triangleq \sum_{k=-\infty}^{\infty} S(f + k/T). $$ तब $$ इस सामान्यीकरण का एक विशेष मामला (P=1, x=0) है:

जो गुणांकों के साथ एक फूरियर श्रृंखला विस्तार है जो फ़ंक्शन के नमूने हैं $$S(f).$$ इसी प्रकार:

इसे महत्वपूर्ण असतत-समय फूरियर रूपांतरण के रूप में भी जाना जाता है।

$$

पोइसन योग सूत्र को छोटे सटीक अनुक्रमों के साथ पोंट्रीगिन द्वैत की अनुकूलता का उपयोग करके काफी वैचारिक रूप से सिद्ध किया जा सकता है जैसे कि $$0 \to \Z \to \R \to \R / \Z \to 0.$$

प्रयोज्यता
$$ होल्ड प्रदान किया गया $$s(x)$$ एक सतत एलपी स्थान है जो संतुष्ट करता है $$|s(x)| + |S(x)| \le C (1+|x|)^{-1-\delta}$$ कुछ के लिए $$C > 0,\delta > 0$$ और हर $$x.$$ ध्यान दें कि ऐसे $$s(x)$$ समान रूप से निरंतर है, यह क्षय धारणा के साथ मिलकर है $$s$$, दिखाएँ कि श्रृंखला परिभाषित है $$s_{_P}$$ एक सतत कार्य में समान रूप से परिवर्तित होता है। $$ मजबूत अर्थों में यह मानता है कि दोनों पक्ष समान रूप से और बिल्कुल एक ही सीमा तक अभिसरण करते हैं।

$$ सख्ती से कमजोर धारणा के तहत एक बिंदुवार अभिसरण अर्थ में रखता है $$s$$ सीमाबद्ध भिन्नता है और $$2 \cdot s(x)=\lim_{\varepsilon\to 0} s(x+\varepsilon) + \lim_{\varepsilon\to 0} s(x-\varepsilon).$$ दायीं ओर फूरियर श्रृंखला $$ को तब सममित आंशिक योगों की (सशर्त रूप से अभिसरण) सीमा के रूप में समझा जाता है।

जैसा कि उपर दिखाया गया है, $$ इसे बहुत कम प्रतिबंधात्मक धारणा के अंतर्गत रखता है $$s(x)$$ एलपी स्पेस में है|$$L^1(\mathbb{R})$$, लेकिन फिर इसकी व्याख्या इस अर्थ में करना आवश्यक है कि दाहिनी ओर (संभवतः भिन्न) फूरियर श्रृंखला है $$s_{_P}(x).$$ इस मामले में, कोई उस क्षेत्र का विस्तार कर सकता है जहां सिजेरो योग जैसे योगनीयता विधियों पर विचार करके समानता कायम है। इस प्रकार अभिसरण की व्याख्या करते समय $$, मामला $$x=0,$$ इसे कम प्रतिबंधात्मक शर्तों के तहत रखा जाता है $$s(x)$$ पूर्णांकीय है और 0 निरंतरता का एक बिंदु है $$s_{_P}(x)$$. हालाँकि $$ दोनों होने पर भी धारण करने में विफल हो सकता है $$s$$ और $$S$$ पूर्णांकीय और सतत हैं, और योग बिल्कुल एकाग्र होते हैं।

छवियों की विधि
आंशिक अंतर समीकरणों में, पॉइसन योग सूत्र छवियों की विधि द्वारा आयताकार सीमा को अवशोषित करने के साथ गर्मी समीकरण के मौलिक समाधान के लिए एक कठोर औचित्य प्रदान करता है। यहाँ गरम गिरी चालू है $$\mathbb{R}^2$$ ज्ञात है, और एक आयत का निर्धारण आवर्तीकरण को लेकर किया जाता है। पॉइसन योग सूत्र इसी तरह यूक्लिडियन रिक्त स्थान पर फूरियर विश्लेषण और संबंधित आयामों के टोरी के बीच एक संबंध प्रदान करता है। एक आयाम में, परिणामी समाधान को थीटा फ़ंक्शन कहा जाता है।

बिजली का गतिविज्ञान में, विधि का उपयोग आवधिक ग्रीन के कार्यों की गणना में तेजी लाने के लिए भी किया जाता है।

नमूना
समय-श्रृंखला के सांख्यिकीय अध्ययन में, यदि $$s$$ समय का एक कार्य है, तो केवल समय के समान दूरी वाले बिंदुओं पर इसके मूल्यों को देखना नमूनाकरण कहलाता है। अनुप्रयोगों में, आमतौर पर फ़ंक्शन $$s$$ बैंडलिमिटिंग है|बैंड-लिमिटेड, जिसका अर्थ है कि कुछ कटऑफ आवृत्ति है $$f_o$$ ऐसा है कि $$S(f)$$ कटऑफ से अधिक आवृत्तियों के लिए शून्य है: $$S(f)=0$$ के लिए $$|f|>f_o.$$ बैंड-सीमित कार्यों के लिए, नमूना दर चुनना $$\tfrac{1}{T} > 2 f_o$$ गारंटी देता है कि कोई भी जानकारी नष्ट नहीं हुई है: तब से $$S$$ इन नमूना मूल्यों से पुनर्निर्माण किया जा सकता है। फिर, फूरियर व्युत्क्रमण द्वारा, ऐसा हो सकता है $$s.$$ यह नाइक्विस्ट-शैनन नमूनाकरण प्रमेय की ओर ले जाता है।

इवाल्ड योग
कम्प्यूटेशनल रूप से, पॉइसन योग सूत्र उपयोगी है क्योंकि वास्तविक स्थान में धीरे-धीरे परिवर्तित होने वाले योग को फूरियर अंतरिक्ष में तेजी से परिवर्तित होने वाले समतुल्य योग में परिवर्तित होने की गारंटी है। (वास्तविक स्थान में एक व्यापक कार्य फूरियर अंतरिक्ष में एक संकीर्ण कार्य बन जाता है और इसके विपरीत।) इवाल्ड योग के पीछे यह आवश्यक विचार है।

अभिन्नों का अनुमान
पॉइसन योग सूत्र तब प्राप्त त्रुटियों को सीमित करने के लिए भी उपयोगी होता है जब एक अभिन्न अंग को (रीमैन) योग द्वारा अनुमानित किया जाता है। के एक अनुमान पर विचार करें $S(0)=\int_{-\infty}^\infty dx \, s(x)$ जैसा $\delta \sum_{n=-\infty}^\infty s(n \delta)$, कहाँ $$ \delta \ll 1 $$ बिन का आकार है. फिर, के अनुसार $$ यह सन्निकटन मेल खाता है $ \sum_{k=-\infty}^\infty S(k/ \delta)$. तब सन्निकटन में त्रुटि को इस प्रकार सीमित किया जा सकता है $\left| \sum_{k \ne 0} S(k/ \delta) \right| \le \sum_{k \ne 0} | S(k/ \delta)|$. यह विशेष रूप से तब उपयोगी होता है जब फूरियर का रूपांतरण होता है $$ s(x) $$ यदि तेजी से क्षय हो रहा है $$1/\delta \gg 1 $$.

गोले में जाली बिंदु
बड़े यूक्लिडियन क्षेत्र में जाली बिंदुओं की संख्या के लिए लैंडौ के एसिम्प्टोटिक सूत्र को प्राप्त करने के लिए पॉइसन योग सूत्र का उपयोग किया जा सकता है। इसका उपयोग यह दिखाने के लिए भी किया जा सकता है कि यदि एक पूर्णांकीय फ़ंक्शन, $$s$$ और $$S$$ तब दोनों के पास कॉम्पैक्ट समर्थन है $$s = 0.$$

संख्या सिद्धांत
संख्या सिद्धांत में, रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के लिए कार्यात्मक समीकरण सहित विभिन्न प्रकार के कार्यात्मक समीकरण प्राप्त करने के लिए पॉइसन योग का भी उपयोग किया जा सकता है। पॉइसन योग का ऐसा एक महत्वपूर्ण उपयोग थीटा फ़ंक्शंस से संबंधित है: गॉसियन का आवधिक योग। रखना $$ q= e^{i\pi \tau } $$, के लिए $$ \tau$$ ऊपरी आधे तल में एक जटिल संख्या, और थीटा फ़ंक्शन को परिभाषित करें:

$$ \theta ( \tau) = \sum_n q^{n^2}. $$ के बीच संबंध $$ \theta (-1/\tau)$$ और $$ \theta (\tau)$$ संख्या सिद्धांत के लिए महत्वपूर्ण साबित होता है, क्योंकि इस प्रकार का संबंध मॉड्यूलर रूप के परिभाषित गुणों में से एक है। चुनने के द्वारा $$s(x)= e^{-\pi x^2}$$ और इस तथ्य का उपयोग कर रहे हैं $$S(f) = e^{-\pi f ^2},$$ कोई यह निष्कर्ष निकाल सकता है:

$$\theta \left({-1\over\tau}\right) = \sqrt{\tau \over i} \theta (\tau),$$ रख करके $${1/\lambda} = \sqrt{\tau/i}.$$ इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि $$\theta^8$$ के अंतर्गत एक सरल परिवर्तन गुण है $$\tau \mapsto {-1/ \tau}$$ और इसका उपयोग किसी पूर्णांक को आठ पूर्ण वर्गों के योग के रूप में व्यक्त करने के विभिन्न तरीकों के लिए जैकोबी के सूत्र को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है।

क्षेत्र पैकिंग
कोहन और एल्कीज़ पॉइसन योग सूत्र का उपयोग करके गोले की पैकिंग के घनत्व पर एक ऊपरी सीमा साबित हुई, जिसके बाद आयाम 8 और 24 में इष्टतम गोले की पैकिंग का प्रमाण मिला।

अन्य

 * होने देना $$s(x) = e^{-ax}$$ के लिए $$0 \leq x$$ और $$s(x) = 0$$ के लिए $$x < 0$$ पाने के $$\coth(x) = x\sum_{n \in \Z} \frac{1}{x^2+\pi^2n^2} = \frac{1}{x}+ 2x \sum_{n \in \Z_+} \frac{1}{x^2+\pi^2n^2}.$$
 * इसका उपयोग थीटा फ़ंक्शन के लिए कार्यात्मक समीकरण को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है।
 * पॉइसन का सारांश सूत्र रामानुजन की नोटबुक में दिखाई देता है और इसका उपयोग उनके कुछ सूत्रों को साबित करने के लिए किया जा सकता है, विशेष रूप से इसका उपयोग रामानुजन के हार्डी को लिखे पहले पत्र में से एक सूत्र को साबित करने के लिए किया जा सकता है।
 * इसका उपयोग द्विघात गॉस योग की गणना के लिए किया जा सकता है।

सामान्यीकरण
पॉइसन योग सूत्र यूक्लिडियन स्थान में मनमाना आयाम रखता है। होने देना $$\Lambda$$ में जाली (समूह सिद्धांत) बनें $$\mathbb{R}^d$$ पूर्णांक निर्देशांक वाले बिंदुओं से युक्त। एक समारोह के लिए $$s$$ में $$L^1(\mathbb{R}^d)$$, के अनुवादों का योग करके दी गई श्रृंखला पर विचार करें $$s$$ के तत्वों द्वारा $$\Lambda$$:

$$\sum_{\nu\in\Lambda} s(x+\nu).$$ प्रमेय के लिए $$s$$ में $$L^1(\mathbb{R}^d)$$, उपरोक्त श्रृंखला लगभग हर जगह बिंदुवार अभिसरण करती है, और इस प्रकार एक आवधिक फ़ंक्शन को परिभाषित करती है $$\mathbb{P}s$$ पर $$\Lambda.$$  $$\mathbb{P}s$$ में निहित है $$L^1$$ साथ $$\| \mathbb{P}s \|_1 \le \| s \|_1.$$ इसके अलावा, सभी के लिए $$\nu$$ में $$\Lambda,$$  $$\mathbb{P}S(\nu)$$ (फूरियर रूपांतरण चालू $$\Lambda$$) बराबर है $$S(\nu)$$ (फूरियर रूपांतरण चालू $$\mathbb{R}^d$$).

कब $$s$$ इसके अलावा निरंतर है, और दोनों $$s$$ और $$S$$ अनंत पर पर्याप्त तेजी से क्षय होता है, फिर कोई डोमेन को वापस उल्टा कर सकता है $$\mathbb{R}^d$$ और एक मजबूत बयान दें. अधिक सटीक रूप से, यदि

$$|s(x)| + |S(x)| \le C (1+|x|)^{-d-\delta}$$ कुछ C के लिए, δ > 0, तो $$\sum_{\nu\in\Lambda} s(x+\nu) = \sum_{\nu\in\Lambda} S(\nu) e^{i 2\pi x\cdot\nu}, $$ जहां दोनों श्रृंखलाएं बिल्कुल और समान रूप से Λ पर अभिसरित होती हैं। जब d = 1 और x = 0, तो यह प्राप्त होता है $$ ऊपर।

अधिक आम तौर पर, कथन का एक संस्करण यह मानता है कि Λ को अधिक सामान्य जाली द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $$\mathbb{R}^d$$. दोहरी जाली Λ′ को दोहरे वेक्टर स्थान के उपसमुच्चय के रूप में या वैकल्पिक रूप से पोंट्रीगिन द्वैत द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। तब कथन यह है कि Λ के प्रत्येक बिंदु पर और Λ′ के प्रत्येक बिंदु पर डेल्टा-फ़ंक्शंस का योग, फिर से फूरियर वितरण के रूप में रूपांतरित होता है, जो सही सामान्यीकरण के अधीन है।

इसे थीटा फ़ंक्शंस के सिद्धांत में लागू किया जाता है, और संख्याओं की ज्यामिति में यह एक संभावित विधि है। वास्तव में क्षेत्रों में जाली बिंदुओं की गिनती पर हाल के काम में इसका नियमित रूप से उपयोग किया जाता है - जाली बिंदुओं पर एक क्षेत्र डी के संकेतक फ़ंक्शन का योग वास्तव में प्रश्न है, ताकि योग सूत्र के एक समीकरण के पक्ष वही हों जो मांगे गए हैं और किसी समीकरण के पक्ष कुछ ऐसे हैं जिन पर गणितीय विश्लेषण द्वारा आक्रमण किया जा सकता है।

सेलबर्ग ट्रेस फॉर्मूला
संख्या सिद्धांत में स्थानीय रूप से सघन एबेलियन समूहों का और अधिक सामान्यीकरण आवश्यक है। गैर-कम्यूटेटिव हार्मोनिक विश्लेषण में, विचार को सेलबर्ग ट्रेस फॉर्मूला में और भी आगे ले जाया जाता है, लेकिन यह बहुत गहरा चरित्र लेता है।

संख्या सिद्धांत में हार्मोनिक विश्लेषण लागू करने वाले गणितज्ञों की एक श्रृंखला, विशेष रूप से मार्टिन आइक्लर, एटले सेलबर्ग, रॉबर्ट लैंगलैंड्स और जेम्स आर्थर ने, गैर-कम्यूटेटिव स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट रिडक्टिव बीजगणितीय समूहों पर फूरियर रूपांतरण के लिए पोइसन योग सूत्र को सामान्यीकृत किया है। $$ G$$ एक अलग उपसमूह के साथ $$ \Gamma$$ ऐसा है कि $$ G/\Gamma$$ परिमित आयतन है. उदाहरण के लिए, $$ G$$ के वास्तविक बिंदु हो सकते हैं $$ SL_n$$ और $$ \Gamma$$ के अभिन्न बिंदु हो सकते हैं $$ SL_n$$. इस सेटिंग में, $$ G$$ पॉइसन योग के शास्त्रीय संस्करण में वास्तविक संख्या रेखा की भूमिका निभाता है, और $$ \Gamma$$ पूर्णांकों की भूमिका निभाता है $$ n$$ जो योग में दिखाई देता है. पॉइसन सारांश के सामान्यीकृत संस्करण को सेलबर्ग ट्रेस फॉर्मूला कहा जाता है, और इसने आर्टिन के अनुमान के कई मामलों और विल्स के फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के प्रमाण को साबित करने में भूमिका निभाई है। के बाएँ हाथ की ओर $$ के अघुलनशील एकात्मक निरूपण पर एक योग बन जाता है $$ G$$, और इसे वर्णक्रमीय पक्ष कहा जाता है, जबकि दाहिना हाथ संयुग्मी वर्गों का योग बन जाता है $$ \Gamma$$, और इसे ज्यामितीय पक्ष कहा जाता है।

पॉइसन योग सूत्र हार्मोनिक विश्लेषण और संख्या सिद्धांत में व्यापक विकास का आदर्श है।

संकल्प प्रमेय
पॉइसन योग सूत्र वितरण (गणित)#टेम्पर्ड वितरण पर कनवल्शन प्रमेय का एक विशेष मामला है। यदि दो कारकों में से एक डायराक कंघी है, तो समीकरण के एक तरफ आवधिक योग और दूसरी तरफ नमूनाकरण (सिग्नल प्रोसेसिंग) प्राप्त होता है। डिराक डेल्टा फ़ंक्शन और इसके फूरियर ट्रांसफॉर्म पर लागू, फ़ंक्शन जो लगातार 1 है, यह Dirac_comb#Dirac-comb पहचान उत्पन्न करता है।

यह भी देखें

 * पोस्ट का व्युत्क्रम सूत्र
 * बोरोन सूत्र
 * असतत-समय फूरियर रूपांतरण
 * एल-फ़ंक्शन के लिए स्पष्ट सूत्र
 * एल-फ़ंक्शन के लिए स्पष्ट सूत्र