ऑर्थोगोनल परिवर्तन

रैखिक बीजगणित में, एक ऑर्थोगोनल परिवर्तन एक वास्तविक संख्या आंतरिक उत्पाद स्थान V पर एक रैखिक परिवर्तन T : V → V है, जो आंतरिक उत्पाद स्थान को संरक्षित करता है। यानी प्रत्येक जोड़ी के लिए u, vV के तत्वों में से, हमारे पास है
 * $$\langle u,v \rangle = \langle Tu,Tv \rangle \, .$$

चूँकि सदिशों की लंबाई और उनके बीच के कोणों को आंतरिक उत्पाद के माध्यम से परिभाषित किया जाता है, ऑर्थोगोनल परिवर्तन सदिशों की लंबाई और उनके बीच के कोणों को संरक्षित करते हैं। विशेष रूप से, ऑर्थोगोनल परिवर्तन ऑर्थोनॉर्मल आधार को ऑर्थोनॉर्मल आधारों पर मैप करते हैं।

ऑर्थोगोनल परिवर्तन इंजेक्शन हैं: यदि $$Tv = 0$$ तब $$0 = \langle Tv,Tv \rangle = \langle v,v \rangle$$, इस तरह $$v = 0$$, तो कर्नेल (रैखिक बीजगणित) का $$T$$ तुच्छ है.

दो या तीन-आयाम (वेक्टर स्पेस) यूक्लिडियन स्थान  में ऑर्थोगोनल परिवर्तन कठोर रोटेशन (गणित), प्रतिबिंब (गणित), या रोटेशन और प्रतिबिंब के संयोजन (जिन्हें अनुचित रोटेशन के रूप में भी जाना जाता है) हैं। प्रतिबिंब वे परिवर्तन हैं जो दिशा को आगे से पीछे, ओर्थोगोनल से दर्पण तल तक उलट देते हैं, जैसे (वास्तविक दुनिया) दर्पण करते हैं। उचित घुमाव (प्रतिबिंब के बिना) के अनुरूप मैट्रिक्स (गणित) में +1 का निर्धारक होता है। प्रतिबिंब के साथ परिवर्तनों को -1 के निर्धारक के साथ मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाता है। यह घूर्णन और परावर्तन की अवधारणा को उच्च आयामों तक सामान्यीकृत करने की अनुमति देता है।

परिमित-आयामी स्थानों में, ऑर्थोगोनल परिवर्तन का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व (ऑर्थोनॉर्मल आधार के संबंध में) एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है। इसकी पंक्तियाँ इकाई मानदंड के साथ परस्पर ऑर्थोगोनल वैक्टर हैं, ताकि पंक्तियाँ V का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाएं। मैट्रिक्स के कॉलम V का एक और ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाते हैं।

यदि एक ऑर्थोगोनल परिवर्तन उलटा कार्य है (जो हमेशा तब होता है जब V परिमित-आयामी होता है) तो इसका व्युत्क्रम एक और ऑर्थोगोनल परिवर्तन होता है। इसका मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व मूल परिवर्तन के मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व का स्थानान्तरण है।

उदाहरण
आंतरिक-उत्पाद स्थान पर विचार करें $$(\mathbb{R}^2,\langle\cdot,\cdot\rangle)$$ मानक यूक्लिडियन आंतरिक उत्पाद और मानक आधार के साथ। फिर, मैट्रिक्स परिवर्तन

T = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 $$ ऑर्थोगोनल है. इसे देखने के लिए विचार करें

\begin{align} Te_1 = \begin{bmatrix}\cos(\theta) \\ \sin(\theta)\end{bmatrix} && Te_2 = \begin{bmatrix}-\sin(\theta) \\ \cos(\theta)\end{bmatrix} \end{align} $$ तब,

\begin{align} &\langle Te_1,Te_1\rangle = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \cos(\theta) \\ \sin(\theta) \end{bmatrix} = \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1\\ &\langle Te_1,Te_2\rangle = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -\sin(\theta) \\ \cos(\theta) \end{bmatrix} = \sin(\theta)\cos(\theta) - \sin(\theta)\cos(\theta) = 0\\ &\langle Te_2,Te_2\rangle = \begin{bmatrix} -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -\sin(\theta) \\ \cos(\theta) \end{bmatrix} = \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1\\ \end{align} $$ पिछले उदाहरण को सभी ऑर्थोगोनल परिवर्तनों के निर्माण के लिए बढ़ाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित मैट्रिक्स ऑर्थोगोनल परिवर्तनों को परिभाषित करते हैं $$(\mathbb{R}^3,\langle\cdot,\cdot\rangle)$$:

\begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \cos(\theta) & 0 & -\sin(\theta) \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin(\theta) & 0 & \cos(\theta) \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ 0 & \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} $$

यह भी देखें

 * अनुचित घुमाव
 * रैखिक परिवर्तन
 * ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स
 * एकात्मक परिवर्तन