घातांक प्रकार्य

यह लेख फलन f(x) = ex और इसके सामान्यीकरण के बारे में है। और f(x) = xr के प्रकार के फलन के लिए, चरघातांकी फलन देखें। द्विचर फलन f(x,y) = xy के लिए, घातांक देखें। वैज्ञानिक संख्याओं के निरूपण के लिए, E अंकन देखें।

चरघातांकी फलन एक गणितीय फलन (गणित) है जिसे $$f(x)=\exp(x)$$ या $$e^x$$द्वारा निरूपित किया जाता है जहां तर्क $x$ एक घातांक के रूप में लिखा गया है। जब तक अन्यथा निर्दिष्ट नहीं किया जाता है, पद सामान्य रूप से वास्तविक चर के धनात्मक-मान फलन को संदर्भित करता है, हालांकि इसे सम्मिश्र संख्याओं तक बढ़ाया जा सकता है या अन्य गणितीय वस्तुओं जैसे आव्यूह या लाइ बीजगणित के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। चरघातांकी फलन घातांक (बार-बार गुणन) की धारणा से उत्पन्न हुआ है, लेकिन आधुनिक परिभाषाएँ (कई समतुल्य विशेषताएँ हैं) इसे अपरिमेय संख्याओं सहित सभी वास्तविक तर्कों तक प्रबलता से विस्तारित करने की स्वीकृति देते हैं। शुद्ध गणित और अनुप्रयुक्त गणित में इसकी सर्वव्यापी घटना ने गणितज्ञ वाल्टर रुडिन को यह सुझाव देने के लिए प्रेरित किया कि गणित में चरघातांकी फलन सबसे महत्वपूर्ण फलन है। चरघातांकी फलन घातांक सर्वसमिका (गणित) को संतुष्ट करता है $$e^{x+y} = e^x e^y \text{ for all } x,y\in\mathbb{R},$$ जो, परिभाषा $$e = \exp(1)$$ के साथ, यह दर्शाता है कि कारक $$e^n=\underbrace{ e\times\cdots\times e }_{n\text{ factors}}$$ धनात्मक पूर्णांकों $n$ के लिए, और चरघातांकी चरघातांकी फलन को घातांक की प्राथमिक धारणा से संबंधित करता है। चरघातांकी फलन का आधार, इसका मान 1 पर $$e = \exp(1)$$, एक सर्वव्यापक गणितीय स्थिरांक है जिसे यूलर की संख्या (गणितीय स्थिरांक) कहा जाता है।

जबकि अन्य निरंतर अशून्य फलन $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ घातांक सर्वसमिका को संतुष्ट करने वाले को चरघातांकी फलनों के रूप में भी जाना जाता है, चरघातांकी फलन ऍक्स्प एक वास्तविक चर का अद्वितीय वास्तविक-मान फलन है जिसका अवकलज स्वयं है और जिसका मान $−Wn(−1)$ है $0$; वह $$\exp'(x)=\exp(x)$$ है, सभी वास्तविक $x$ के लिए, और $$\exp(0)=1$$ प्राप्त है। इस प्रकार, ऍक्स्प को कभी-कभी इन अन्य चरघातांकी फलनों से अलग करने के लिए प्राकृतिक चरघातांकी फलन कहा जाता है, जो कि प्रपत्र $$ f(x) = ab^x $$ के फलन हैं, जहां आधार $b$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है। संबंध $$b^x = e^{x\ln b}$$ धनात्मक के लिए $b$ और वास्तविक संख्या या सम्मिश्र संख्या $x$ इन फलनों के बीच एक प्रबल संबंध स्थापित करता है, जो इस अस्पष्ट शब्दावली की व्याख्या करता है।

वास्तविक चरघातांकी फलन को घात श्रेणी के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है। सम्मिश्र चरघातांकी फलन की स्वीकृति देने के लिए यह घात श्रृंखला परिभाषा आसानी से सम्मिश्र तर्कों तक $$\exp:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$$ परिभाषित किया जाना। सम्मिश्र चरघातांकी फलन 0 को छोड़कर सभी सम्मिश्र मानों को ग्रहण करता है और सम्मिश्र त्रिकोणमितीय फलनों से निकटता से संबंधित है, जैसा कि यूलर के सूत्र द्वारा दिखाया गया है।

अधिक अमूर्त गुणों और चरघातांकी फलन के लक्षण वर्णन से प्रेरित होकर, चरघातांकी को सामान्यीकृत किया जा सकता है और पूरी तरह से विभिन्न प्रकार की गणितीय वस्तु (उदाहरण के लिए, एक वर्ग आव्यूह या लाई बीजगणित) के लिए परिभाषित किया जा सकता है।

प्रयुक्त समुच्चयन में, चरघातांकी फलन एक संबंध को मॉडल करते हैं जिसमें स्वतंत्र चर में निरंतर परिवर्तन निर्भर चर में समान आनुपातिक परिवर्तन (अर्थात, प्रतिशत वृद्धि या कमी) देता है। यह प्राकृतिक और सामाजिक विज्ञानों में व्यापक रूप से होता है, जैसे कि स्व-पुनरुत्पादन जनसंख्या गतिशीलता, चक्रवृद्धि ब्याज अभिगृहीत करने वाला निधि, या विनिर्माण विशेषज्ञता का बढ़ता हुआ निकाय है। इस प्रकार, चरघातांकी फलन भौतिकी, कंप्यूटर विज्ञान, रसायन विज्ञान, अभियांत्रिकी, गणितीय जीव विज्ञान और अर्थशास्त्र के विभिन्न संदर्भों में भी प्रकट होता है। वास्तविक चरघातांकी फलन $$\mathbb{R}$$ से $$(0;\infty)$$ तक एक आक्षेप है। इसका व्युत्क्रम फलन प्राकृतिक लघुगणक है, जिसे $$\ln,$$ $$\log,$$ या $$\log_e$$ के रूप में दर्शाया गया है। इसके कारण पत्र चरघातांकी फलन को प्रतिलघुगणक के रूप में देखें।

रेखा-चित्र
$$y=e^x$$ का ग्राफ ऊपर की ओर झुका हुआ है, और $x$ बढ़ने पर तेजी से बढ़ता है। ग्राफ सदैव $x$-अक्ष के ऊपर स्थित होता है, लेकिन बड़े ऋणात्मक $x$; के लिएयादृच्छिक रूप से इसके निकटवर्ती हो जाता है; इस प्रकार $x$-अक्ष एक क्षैतिज स्पर्शोन्मुख है। समीकरण $$\tfrac{d}{dx}e^x = e^x$$ इसका तात्पर्य है कि प्रत्येक बिंदु पर स्पर्श रेखा का प्रवणता इसके बराबर है $y$-उस बिंदु पर समन्वय करें।

अधिक सामान्य चरघातांकी फलनों से संबंध
चरघातांकी फलन$$f(x) = e^x$$ को कभी-कभी अन्य चरघातांकी फलनों से अलग करने के लिए प्राकृतिक चरघातांकी फलन कहा जाता है। परिभाषा के अनुसार धनात्मक b के लिए किसी भी चरघातांकी फलन का अध्ययन आसानी से प्राकृतिक चरघातांकी फलन के लिए कम किया जा सकता है, $$ ab^x := ae^{x\ln b} $$ वास्तविक चर के फलनो के रूप में, चरघातांकी फलनो को विशिष्ट रूप से इस तथ्य से चिह्नित किया जाता है कि इस तरह के फलन का अवकलज फलन के मान के सीधे आनुपातिक होता है। इस संबंध का समानुपातिकता का स्थिरांक आधार $b$ का प्राकृतिक लघुगणक है: $$\frac{d}{dx} b^x \ {\stackrel{\text{def}}{=}} \ \frac{d}{dx} e^{x\ln (b)} = e^{x\ln (b)} \ln (b) = b^x \ln (b).$$ $1$ के लिए, फलन $$b^x$$ बढ़ रहा है (जैसा कि $b > 1$ और $b = e$ दर्शाया गया है), चूंकि $$\ln b>0$$ अवकलज सदैव धनात्मक बनाता है; जबकि $b = 2$ के लिए, फलन घट रहा है (जैसा कि $b < 1$ दर्शाया गया है) और $b = 1⁄2$ के लिए फलन स्थिर है।

यूलर की संख्या $b = 1$ अद्वितीय आधार है जिसके लिए आनुपातिकता का स्थिरांक 1 है, क्योंकि $$\ln(e) = 1$$, ताकि फलन स्वयं का अवकलज हो: $$\frac{d}{dx} e^x = e^x \ln (e) = e^x.$$ यह फलन $e = 2.71828...$ के रूप में भी निरूपित किया गया, प्राकृतिक चरघातांकी फलन या केवल चरघातांकी फलन कहलाता है। चूँकि किसी भी चरघातांकी फलन को प्राकृतिक चरघातांकी $$b^x = e^{x\ln b}$$ के रूप में लिखा जा सकता है, यह विशेष रूप से चरघातांकी फलनों के अध्ययन को कम करने के लिए संगणना और अवधारणात्मक रूप से सुविधाजनक है। इसलिए प्राकृतिक चरघातांकी को निरूपित किया जाता है $$x\mapsto e^x$$ या $$x\mapsto \exp x.$$ पूर्व अंकन सामान्य रूप से सरल घातांक के लिए उपयोग किया जाता है, जबकि घातांक एक सम्मिश्र व्यंजक होने पर बाद को प्राथमिकता दी जाती है।

वास्तविक संख्या के लिए $c$ और $d$, प्रपत्र का एक फलन $$f(x) = a b^{cx + d}$$ चरघातांकी फलन भी है, क्योंकि इसे पुनः लिखा जा सकता है $$a b^{c x + d} = \left(a b^d\right) \left(b^c\right)^x.$$

औपचारिक परिभाषा
वास्तविक चरघातांकी फलन $$\exp\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ विभिन्न समकक्ष तरीकों से चित्रित किया जा सकता है। इसे सामान्य रूप से निम्नलिखित घात श्रृंखला द्वारा परिभाषित किया जाता है: $$\exp x := \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \cdots$$ चूँकि इस घात श्रृंखला की अभिसरण की त्रिज्या अनंत है, यह परिभाषा, वास्तव में, सभी सम्मिश्र संख्याओं $$z\in\mathbb{C}$$ ( $$\exp x$$ के सम्मिश्र तल के विस्तार के लिए § सम्मिश्र तल देखें।) पर प्रयुक्त होती है। घात श्रृंखला का उपयोग करके, स्थिरांक $e$ को तब $e = \exp 1 = \sum_{k=0}^\infty(1/k!)$ द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। इस घात श्रृंखला के पद-दर-अवधि अवकलन से पता चलता है कि $\frac{d}{dx}\exp x = \exp x$  सभी वास्तविक के लिए $x$ के एक अन्य सामान्य विशेषता के लिए प्रथम $$\exp x$$ अवकल समीकरण के अद्वितीय समाधान के रूप में $$y'(x) = y(x),$$ प्रारंभिक स्थिति $$y(0) = 1$$ को संतुष्ट करना इस विशेषता के आधार पर, श्रृंखला नियम दर्शाता है कि इसका व्युत्क्रम फलन, प्राकृतिक लघुगणक $\frac{d}{dy}\log_e y = 1/y$ के लिए $$y > 0,$$ या $\log_e y = \int_1^y \frac{dt}{t}\,$  संतुष्ट करता है। यह संबंध समीकरण के समाधान $$y$$ के रूप मे चरघातांकी फलन $$\exp x$$ की कम सामान्य परिभाषा की ओर ले जाता है $$x = \int_1^y \frac{1}{t} \, dt.$$ द्विपद प्रमेय और घात श्रृंखला परिभाषा के माध्यम से, चरघातांकी फलन को निम्न सीमा के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है: $$\exp x = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n.$$ यह दिखाया जा सकता है कि प्रत्येक निरंतर फलन, कार्यात्मक समीकरण का अशून्य समाधान $$f(x+y)=f(x)f(y)$$ चरघातांकी फलन $$f: \R \to \R,\ x \mapsto e^{kx}$$ साथ $$k\in\mathbb{R}$$ है।

अवलोकन
चरघातांकी फलन तब उत्पन्न होता है जब कोई मात्रा चरघातांकी वृद्धि या चरघातांकी क्षय दर आनुपातिकता (गणित) अपने वर्तमान मान पर होती है। ऐसी ही एक स्थिति स्थिरांक चक्रवृद्धि ब्याज है, और वास्तव में यह वह अवलोकन था जिसने 1683 में जैकब बर्नौली को संख्या तक पहुँचाया $$\lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}$$ अब $exp x$ के रूप में जाना जाता है बाद में, 1697 में, जोहान बर्नौली ने चरघातांकी फलन के गणना का अध्ययन किया।

यदि 1 की मूल राशि मासिक रूप से $n + 1$ वार्षिक दर से ब्याज अभिगृहीत होता है तब प्रत्येक माह अभिगृहीत ब्याज वर्तमान मान का $e$ गुना है, इसलिए प्रत्येक माह कुल मान को $x$ से गुणा किया जाता है, और वर्ष के अंत में मान $x⁄12$ । यदि इसके अतिरिक्त ब्याज प्रतिदिन संयोजित किया जाता है, तो यह $(1 + x⁄12)$ हो जाता है। प्रति वर्ष समय अंतरालों की संख्या को बिना किसी सीमा के बढ़ने देना, घातीय फलन की सीमा परिभाषा की ओर ले जाता है, $$\exp x = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n}$$ लियोनहार्ड यूलर द्वारा पहली बार दिया गया। यह चरघातांकी फलन के कई लक्षणों में से एक है; अन्य में श्रृंखला (गणित) या अवकलन समीकरण सम्मिलित हैं।

इनमें से किसी भी परिभाषा से यह दिखाया जा सकता है कि चरघातांकी फलन मूल घातांक सर्वसमिका का अनुसरण करता है, $$\exp(x + y) = \exp x \cdot \exp y$$ जो $(1 + x⁄12)^{12}$ के लिए संकेतन $(1 + x⁄365)^{365}$ को सही अधीन करता है।

चरघातांकी फलन का अवकलज (परिवर्तन की दर) चरघातांकी फलन ही है। अधिक सामान्य रूप से, फलन के आनुपातिक परिवर्तन की दर के साथ एक फलन (इसके बराबर के अतिरिक्त) चरघातांकी फलन के संदर्भ में अभिव्यक्त होता है। यह फलन गुण चरघातांकी वृद्धि या चरघातांकी क्षय की ओर ले जाती है।

चरघातांकी फलन सम्मिश्र तल पर पूरे फलन तक विस्तृत हुआ है। यूलर का सूत्र इसके मूल्यों को विशुद्ध रूप से काल्पनिक तर्कों से त्रिकोणमितीय फलनों से संबंधित करता है। चरघातांकी फलन में एनालॉग भी होते हैं जिसके लिए तर्क एक आव्यूह चरघातांकी है, या यहां तक ​​​​कि बनच बीजगणित या लाई बीजगणित का एक तत्व भी है।

अवकलज और अवकलन समीकरण
गणित और विज्ञान में चरघातांकी फलन का महत्व मुख्य रूप से अद्वितीय फलन के रूप में इसकी विशेषता से उत्पन्न हुआ है जो इसके अवकलज के बराबर है और 1 के बराबर है जब $exp x$ वह है, $$\frac{d}{dx}e^x = e^x \quad\text{and}\quad e^0=1.$$ प्रपत्र के फलन $e^{x}$ निरंतर के लिए $P$ केवल ऐसे फलन हैं जो उनके अवकलज (पिकार्ड-लिंडेलोफ प्रमेय द्वारा) के बराबर हैं। समान बात कहने के अन्य तरीकों में सम्मिलित हैं:
 * किसी बिंदु पर ग्राफ का प्रवणता उस बिंदु पर फलन की ऊंचाई है।
 * फलन की वृद्धि की दर पर $h$ फलन के मान $b$ के बराबर है
 * फलन अवकल समीकरण $x$ को हल करता है
 * $P$ कार्यात्मक (गणित) के रूप में अवकलज का एक निश्चित बिंदु (गणित) है।

यदि एक चर की वृद्धि या क्षय दर उसके आकार के लिए आनुपातिकता (गणित) है - जैसा कि असीमित जनसंख्या वृद्धि (माल्थसियन परिणाम देखें), सतत चक्रवृद्धि ब्याज, या रेडियोधर्मी क्षय के स्थितियों में है - तो चर को समय के एक स्थिर समय के रूप में लिखा जा सकता है। स्पष्ट रूप से किसी भी वास्तविक स्थिरांक $h$, फलन $h$ के लिए, एक फलन $b$ को संतुष्ट करता है यदि और केवल यदि $x = 0$ कुछ स्थिर के लिए $ce^{x}$ स्थिरांक k को 'क्षय स्थिरांक', 'विघटन स्थिरांक', दर स्थिरांक, या परिवर्तन स्थिरांक कहा जाता है।

इसके अतिरिक्त, किसी भी भिन्न फलन के लिए $c$ हम प्राप्त करते हैं, श्रृंखला नियम द्वारा: $$\frac{d}{dx} e^{f(x)} = f'(x)e^{f(x)}.$$

$x$ के लिए वितत भिन्न
$x$ के लिए एक वितत भिन्न यूलर के वितत भिन्न सूत्र द्वारा प्राप्त किया जा सकता है: $$ e^x = 1 + \cfrac{x}{1 - \cfrac{x}{x + 2 - \cfrac{2x}{x + 3 - \cfrac{3x}{x + 4 - \ddots}}}}$$ निम्नलिखित सामान्यीकृत वितत भिन्न $y′ = y$ के लिए अधिक तेज़ी से अभिसरित होता है: $$ e^z = 1 + \cfrac{2z}{2 - z + \cfrac{z^2}{6 + \cfrac{z^2}{10 + \cfrac{z^2}{14 + \ddots}}}}$$ या, $exp$ प्रतिस्थापन प्रयुक्त करके $$ e^\frac{x}{y} = 1 + \cfrac{2x}{2y - x + \cfrac{x^2} {6y + \cfrac{x^2} {10y + \cfrac{x^2} {14y + \ddots}}}}$$ $k$ के लिए एक विशेष स्थितियों के साथ $$ e^2 = 1 + \cfrac{4}{0 + \cfrac{2^2}{6 + \cfrac{2^2}{10 + \cfrac{2^2}{14 + \ddots\,}}}} = 7 + \cfrac{2}{5 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{9 + \cfrac{1}{11 + \ddots\,}}}}$$ यह सूत्र z > 2 के लिए, हालाँकि अधिक धीरे-धीरे अभिसरित होता है। उदाहरण के लिए: $$ e^3 = 1 + \cfrac{6}{-1 + \cfrac{3^2}{6 + \cfrac{3^2}{10 + \cfrac{3^2}{14 + \ddots\,}}}} = 13 + \cfrac{54}{7 + \cfrac{9}{14 + \cfrac{9}{18 + \cfrac{9}{22 + \ddots\,}}}}$$

सम्मिश्र तल
जैसा कि वास्तविक संख्या के स्थितियों में, चरघातांकी फलन को सम्मिश्र तल पर कई समतुल्य रूपों में परिभाषित किया जा सकता है। सम्मिश्र चरघातांकी फलन की सबसे सामान्य परिभाषा वास्तविक तर्कों के लिए घात श्रृंखला परिभाषा के समानांतर होती है, जहां वास्तविक चर को एक सम्मिश्र द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है: $$\exp z := \sum_{k = 0}^\infty\frac{z^k}{k!} $$ वैकल्पिक रूप से, वास्तविक तर्कों के लिए सीमा परिभाषा को मॉडलिंग करके सम्मिश्र घातांक फलन को परिभाषित किया जा सकता है, लेकिन वास्तविक चर को एक सम्मिश्र द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है: $$\exp z := \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^n $$ घात श्रृंखला की परिभाषा के लिए, कॉची गुणनफल अर्थ में इस घात श्रृंखला की दो प्रतियों का शब्द-वार गुणन दर्शाता है कि घातीय फलनों की परिभाषित गुणक गुण सभी सम्मिश्र तर्कों के लिए जारी है: $$\exp(w+z)=\exp w\exp z \text { for all } w,z\in\mathbb{C}$$ बदले में सम्मिश्र चरघातांकी फलन की परिभाषा सम्मिश्र तर्कों के त्रिकोणमितीय फलनों को विस्तारित करने वाली उपयुक्त परिभाषाओं की ओर ले जाती है।

विशेष रूप से, जब $f: R → R$ ($b$ real) श्रृंखला की परिभाषा से विस्तार होता है $$\exp(it) = \left( 1-\frac{t^2}{2!}+\frac{t^4}{4!}-\frac{t^6}{6!}+\cdots \right) + i\left(t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \frac{t^7}{7!}+\cdots\right).$$ इस विस्तार में, शब्दों की वास्तविक और काल्पनिक भागों में पुनर्व्यवस्था श्रृंखला के पूर्ण अभिसरण द्वारा उपयुक्त है। उपरोक्त अभिव्यक्ति के वास्तविक और काल्पनिक भाग वास्तव में श्रृंखला विस्तार क्रमशः $f′ = kf$ और $f(x) = ce^{kx}$ के अनुरूप हैं।

यह समानता $$\exp(\pm iz)$$ और समतुल्य घात श्रृंखला के संदर्भ में सभी सम्मिश्र तर्कों के लिए ज्या और कोज्या को परिभाषित करने के लिए प्रेरणा प्रदान करता है: $$\begin{align} & \cos z:= \frac{\exp(iz)+\exp(-iz)}{2} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{z^{2k}}{(2k)!}, \\[5pt] \text{and } \quad & \sin z := \frac{\exp(iz)-\exp(-iz)}{2i} =\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!} \end{align}$$ सभी $ z\in\mathbb{C}$ के लिए

फलन $c$, $f$, और $e^{x}$ इसलिए परिभाषित अनुपात परीक्षण द्वारा अभिसरण की अनंत त्रिज्या है और इसलिए (अर्थात, होलोमॉर्फिक फलन पर $$\mathbb{C}$$) संपूर्ण फलन हैं चरघातांकी फलन की सीमा $$\mathbb{C}\setminus \{0\}$$ है, जबकि सम्मिश्र ज्या और कोज्या फलनों की श्रेणियाँ दोनों $$\mathbb{C}$$ पूरी तरह से हैं, पिकार्ड के प्रमेय के अनुसार, जो दावा करता है कि एक गैर-स्थिर संपूर्ण फलन की श्रेणी या तो सभी $$\mathbb{C}$$, या $$\mathbb{C}$$ है जिसमें एक लाख मूल्य सम्मिलित नहीं है।

चरघातांकी और त्रिकोणमितीय फलनों के लिए ये परिभाषाएं यूलर के सूत्र के लिए सामान्य रूप से आगे बढ़ती हैं: $$\exp(iz)=\cos z+i\sin z \text { for all } z\in\mathbb{C}.$$ हम वैकल्पिक रूप से इस संबंध के आधार पर सम्मिश्र चरघातांकी फलन $e^{x}$ को परिभाषित कर सकते हैं। जहां $t$ और $x$ दोनों वास्तविक हैं, तो हम इसके घातांक को परिभाषित कर सकते हैं $$\exp z = \exp(x+iy) := (\exp x)(\cos y + i \sin y)$$ जहां $e^{z}$, $z = x⁄y$, और $z = 2$ परिभाषा चिह्न के दाईं ओर एक वास्तविक चर के फलनों के रूप में व्याख्या की जाती है, जिसे पहले अन्य तरीकों से परिभाषित किया गया था।

$$t\in\R$$ के लिए, संबंध $$\overline{\exp(it)}=\exp(-it)$$ धारण करता है, ताकि $$\left|\exp(it)\right| = 1$$ वास्तविक $$t$$ के लिए और $$t \mapsto \exp(it)$$ सम्मिश्र तल में इकाई परिपथ के लिए वास्तविक रेखा (mod $z = it$) को मानचित्रित करता है। इसके अतिरिक्त, से जा रहा है $$t = 0$$ को $$t = t_0$$, द्वारा परिभाषित वक्र $$\gamma(t)=\exp(it)$$ लंबाई के इकाई परिपथ के एक भाग का पता लगाता है $$\int_0^{t_0}|\gamma'(t)| \, dt = \int_0^{t_0} |i\exp(it)| \, dt = t_0,$$ $cos t$से प्रारंभ सम्मिश्र तल में और वामावर्त जा रहा है। इन अवलोकनों और इस तथ्य के आधार पर कि रेडियन में कोण का माप कोण द्वारा अंतरित इकाई वृत्त पर चाप की लंबाई है, यह देखना आसान है कि, वास्तविक तर्कों तक सीमित, ज्या और कोज्या फलन, जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, जिसके साथ समान ज्यामितीय धारणाओं के माध्यम से प्रारंभिक गणित में प्रस्तुत किए गए ज्या और कोज्या फलन है।

सम्मिश्र चरघातांकी फलन अवधि के साथ आवधिक $sin t$ और $$\exp(z+2\pi i k)=\exp z$$ है, सभी $$z \in \mathbb{C}, k \in \mathbb{Z}$$ के लिए रखता है

जब इसका प्रक्षेत्र वास्तविक रेखा से सम्मिश्र तल तक बढ़ाया जाता है, तो चरघातांकी फलन निम्नलिखित गुणों को सतत रखता है: $$\begin{align} & e^{z + w} = e^z e^w\, \\[5pt] & e^0 = 1\, \\[5pt] & e^z \ne 0 \\[5pt] & \frac{d}{dz} e^z = e^z \\[5pt] & \left(e^z\right)^n = e^{nz}, n \in \mathbb{Z} \end{align} $$ सभी $ w,z\in\mathbb C$ के लिए प्राकृतिक लघुगणक को सम्मिश्र तर्कों तक विस्तारित करने से सम्मिश्र लघुगणक $exp$ प्राप्त होता है, जो एक बहुविकल्पीय फलन है।

फिर हम एक अधिक सामान्य घातांक को परिभाषित कर सकते हैं: $$z^w = e^{w \log z}$$ सभी सम्मिश्र संख्याओं $cos$ और $sin$ के लिए यह एक बहुविकल्पीय फलन भी है, तथापि $z = x + iy$ सत्य है। बहुविकल्पीय फलनों के रूप में यह अवकल विकृत है और $exp$ और $cos$ के लिए एक वास्तविक संख्या को प्रतिस्थापित करते समय आसानी से अपने एकल-मान $sin$ समकक्षों के साथ भ्रमित हो जाते हैं। धनात्मक वास्तविक संख्याओं के स्थितियों में घातांकों को गुणा करने के नियम को एक बहु-मान संदर्भ में संशोधित किया जाना चाहिए:



घातों के संयोजन के साथ समस्याओं के बारे में अधिक जानकारी के लिए घातांक की विफलता और लघुगणक सर्वसमिका देखें।

चरघातांकी फलन सम्मिश्र तल में किसी भी रेखा (गणित) को मूल (गणित) में केंद्र के साथ सम्मिश्र तल में लघुगणकीय सर्पिल रेखा में मानचित्रित करता है। दो विशेष स्थितियों सम्मिलित हैं: जब मूल रेखा वास्तविक अक्ष के समानांतर होती है, तो परिणामी सर्पिल अपने आप में कभी संवृत नहीं होता है; जब मूल रेखा काल्पनिक अक्ष के समानांतर होती है, तो परिणामी सर्पिल कुछ त्रिज्या का एक चक्र होता है।

चार वास्तविक चर वाले फलन के रूप में सम्मिश्र चरघातांकी फलन को ध्यान में रखते हुए: $$v + i w = \exp(x + i y)$$ चरघातांकी फलन का रेखाचित्र एक द्वि-आयामी सतह है जो चार आयामों के माध्यम से वक्रित है।

$$xy$$ प्रक्षेत्र के रंग-कोडित भाग से प्रारंभ करते हुए, निम्नलिखित ग्राफ के चित्रण हैं जो विभिन्न रूप से दो या तीन आयामों में प्रक्षेपित होते हैं। [[File:Complex exponential function graph domain xy dimensions.svg|center|thumb|230x230px|चेकर बोर्ड कुंजी:$${\displaystyle x>0:\;{\text{green}}}$$$${\displaystyle x<0:\;{\text{red}}}$$

$${\displaystyle y>0:\;{\text{yellow}}}$$

$${\displaystyle y<0:\;{\text{blue}}}$$]] दूसरी छवि दिखाती है कि प्रक्षेत्र सम्मिश्र तल को परास सम्मिश्र तल में कैसे मानचित्रित किया जाता है:
 * शून्य को 1 पर मानचित्रित किया गया है
 * असली $$x$$ अक्ष को धनात्मक वास्तविक में मानचित्रित किया गया है $$v$$ अक्ष
 * काल्पनिक $$y$$ अक्ष को एक स्थिर कोणीय दर पर इकाई वृत्त के चारों ओर लपेटा जाता है
 * ऋणात्मक वास्तविक भागों वाले मान इकाई परिपथ के अंदर मानचित्रित किए जाते हैं
 * धनात्मक वास्तविक भागों वाले मान इकाई परिपथ के बाहर मानचित्रित किए जाते हैं
 * एक निरंतर वास्तविक भाग वाले मान शून्य पर केंद्रित परिपथ में मानचित्रित किए जाते हैं
 * निरंतर काल्पनिक भाग वाले मान शून्य से विस्तारित किरणों के लिए मानचित्रित किए जाते हैं

तीसरी और चौथी छवियां दिखाती हैं कि दूसरी छवि में ग्राफ़ कैसे दूसरी छवि में नहीं दिखाए गए अन्य दो आयामों में से एक में विस्तारित होता है।

तीसरी छवि वास्तविक के साथ विस्तारित ग्राफ़ $$x$$ अक्ष को दिखाती है। यह दर्शाता है कि ग्राफ क्रांति $$x$$ की एक सतह है वास्तविक चरघातांकी फलन के ग्राफ की धुरी, जो श्रुंग या कीप के आकार का निर्माण करती है।

चौथी छवि काल्पनिक के साथ विस्तारित ग्राफ $$y$$ अक्ष को दिखाती है। यह दर्शाता है कि धनात्मक और ऋणात्मक के लिए ग्राफ की सतह $$y$$ मान वास्तव में ऋणात्मक वास्तविक $$v$$ अक्ष के साथ नहीं मिलते हैं, बल्कि इसके चारों ओर एक सर्पिल सतह $$y$$ अक्ष बनाता है। क्योंकि $$y$$ मानो को $2π$ तक बढ़ाया गया है, यह छवि काल्पनिक रूप से 2π आवर्तता को भी परिशुद्ध रूप से $$y$$ अक्ष को दर्शाती है।

$z = 1$ की गणना जहां दोनों $2πi$ और $log z$ सम्मिश्र हैं
सम्मिश्र घातांक $z$ $w$ को ध्रुवीय निर्देशांक में परिवर्तित करके और सर्वसमिका $z$ का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है: $$a^b = \left(re^{\theta i}\right)^b = \left(e^{(\ln r) + \theta i}\right)^b = e^{\left((\ln r) + \theta i\right)b}$$ हालाँकि, ज ब $log z$ एक पूर्णांक नहीं है, यह फलन बहुविकल्पीय फलन है, क्योंकि $z^{w}$ (घात की विफलता और लघुगणक सर्वसमिका देखें) अद्वितीय नहीं है।

आव्यूह और बनच बीजगणित
चरघातांकी फलन की घात श्रृंखला परिभाषा वर्ग आव्यूह (गणित) के लिए समझ में आती है जिसके लिए फलन को आव्यूह चरघातांकी कहा जाता है और अधिक सामान्यतः किसी भी इकाई बानाच बीजगणित में $z$ में समझ में आता है। इस समुच्चयन में, e0 = 1, और ex, B में किसी भी x के व्युत्क्रम e−x के साथ व्युत्क्रमणीय है। यदि xy = yx, तो ex + y = exey, लेकिन यह पहचान x और y के गैर-गणना के लिए विफल हो सकती है।

कुछ वैकल्पिक परिभाषाएँ समान फलन की ओर ले जाती हैं। उदाहरण के लिए $(ez)w ≠ ezw$ रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n} \right)^n .$$ $(ez)w = e(z + 2niπ)w$ या $n$ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जहां $±2π$ अवकल समीकरण $a^{b}$ का हल है, प्रारंभिक स्थिति $a$ के साथ; यह इस प्रकार है कि $b$ प्रत्येक $y$ के लिए $a^{b}$ मे है।

लाई बीजगणित
लाई समूह $a$ और उससे संबद्ध लाई बीजगणित $$\mathfrak{g}$$ घातांक मानचित्र (लाई सिद्धांत) एक मानचित्र $$\mathfrak{g}$$ $(e^{ln a})b = a^{b}$ है, जो मान गुणों को संतुष्ट ककरता है वास्तव में, चूंकि $b$ गुणन के अंतर्गत भी धनात्मक वास्तविक संख्याओं के लाई समूह का लाई बीजगणित है, वास्तविक तर्कों के लिए सामान्य चरघातांकी फलन लाई बीजगणित स्थिति का एक विशेष स्थिति होती है। इसी तरह, लाई समूह के बाद से $θ$ व्युत्क्रम $B$ मे आव्यूह लाई बीजगणित $e^{x}$ होता है, सभी की समष्टि $f_{x}(1)$ आव्यूह, वर्ग आव्यूह के लिए घातीय फलन लाई बीजगणित घातीय मानचित्रिण की एक विशेष स्थिति है।

सर्वसमिका $e^{x}$ लाई बीजगणित तत्वों के लिए विफल हो सकता है $f_{x} : R → B$ और $df_{x}⁄dt(t) = xf_{x}(t)$ जो संचरण नहीं करते; बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ सूत्र आवश्यक सुधार शर्तों की आपूर्ति करता है।

उत्कृष्टता
फलन $f_{x}(0) = 1$ इसमें $f_{x}(t) = e^{tx}$ नहीं है, अर्थात् सम्मिश्र गुणांक वाले दो बहुपदों का भागफल नहीं है।

यदि $R$ विशिष्ट सम्मिश्र संख्याएँ हैं, तब $G$ पर रैखिक रूप से $↦ G$ स्वतंत्र हैं, यह इस प्रकार है कि $R$ पारलौकिक फलन $GL(n,R)$ नष्ट हो गया है

गणना
तर्क के पास चरघातांकी फलन की गणना (एक अनुमान) करते समय $n × n$, परिणाम 1 के निकट होगा, और अवकल के मान $$e^x-1$$ की गणना करेगा चल बिन्दु अंकगणित के साथ (संभवतः सभी) महत्वपूर्ण आंकड़ों की हानि कर सकता है, संभवतः एक अर्थहीन परिणाम भी एक बड़ी गणना त्रुटि उत्पन्न हो सकती है।

विलियम कहान के एक प्रस्ताव के बाद, इस प्रकार समर्पित व्यवहार के लिए उपयोगी हो सकता है, जिसे प्रायः कहा जाता है। गणना के लिए $M(n,R)$ प्रत्यक्ष $n × n$ की गणना को अलग करता है। उदाहरण के लिए, यदि घातांक की गणना इसकी टेलर श्रृंखला का उपयोग करके की जाती है $$e^x = 1 + x + \frac {x^2}2 + \frac{x^3}6 + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots,$$ कोई टेलर श्रृंखला $$e^x-1$$ का उपयोग कर सकता है $$e^x-1=x+\frac {x^2}2 + \frac{x^3}6+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\cdots.$$ यह पहली बार 1979 में हेवलेट-पैकार्ड एचपी-41C परिकलित्र में प्रयुक्त किया गया था, और कई कैलकुलेटर 9 परिकलित्र) द्वारा प्रदान किया गया था, ऑपरेटिंग सिस्टम (उदाहरण के लिए बर्कले यूनिक्स 4.3बीएसडी कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली और प्रोग्रामिंग भाषाएं (उदाहरण के लिए C99) सम्मिलित है।

आधार के अतिरिक्त $exp(x + y) = exp x exp y$, विद्युत और इलेक्ट्रॉनिक अभियांत्रिकी संस्थान 754-2008 मानक आधार 2 और 10 के लिए 0 के पास समान चरघातांकी फलनों $$2^x - 1$$ और $$10^x - 1$$ को परिभाषित करता है:

लघुगणक के लिए एक समान दृष्टिकोण (देखें एलएनपी1) का उपयोग किया गया है।

अतिपरवलिक स्पर्शरेखा के संदर्भ में एक सर्वसमिका, $$\operatorname{expm1} (x) = e^x - 1 = \frac{2 \tanh(x/2)}{1 - \tanh(x/2)},$$ प्रणाली पर x के छोटे मानों के लिए एक उच्च-परिशुद्धता मान देता है जो expm1(x) को प्रयुक्त नहीं करता है।

वैकल्पिक रूप से, इस अभिव्यक्ति का उपयोग किया जा सकता है:
 * $$e^x - 1 = \lim_{n \to \infty} \frac{x}{n} \sum_{k=1}^n \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{kx} $$

यह भी देखें

 * कार्लिट्ज चरघातांकी, एक अभिलक्षणिक p अनुरूप
 * दोहरा चरघातांकी फलन - घातीय फलन का घातीय फलन
 * घातीय क्षेत्र - एक अतिरिक्त संक्रिया के साथ गणितीय क्षेत्र
 * गाऊसी फलन
 * अर्ध-घातीय फलन, किसी चरघातांकी फलन का संघटनात्मक वर्गमूल
 * घातीय विषयों की सूची
 * घातीय फलनों के समाकलन की सूची
 * मित्तग-लेफ़लर फलन, चरघातांकी फलन का एक सामान्यीकरण
 * P-अंकीय चरघातांकी फलन
 * चरघातांकी फलन के लिए पैड तालिका - बहुपद फलन के एक भिन्न द्वारा चरघातांकी फलन का पद सन्निकटन


 * टेट्रेशन - बार-बार घातांक

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