भागफल नियम

कलन में, भागफल नियम एक ऐसे फलन का अवकलज ज्ञात करने की एक विधि है जो दो अलग-अलग फलनों का अनुपात है।  अनुमान  $$h(x)=f(x)/g(x),$$ जहां $f$ और $g$ दोनों अवकलनीय और $$g(x)\neq 0$$ है। भागफल नियम बताता है कि $h(x)$ का व्युत्पन्न है
 * $$h'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$$

अन्य व्युत्पन्न नियमों का प्रयोग करके इसे कई प्रकार से सिद्ध किया जा सकता है।

उदाहरण 1: मूल उदाहरण
दिया हुआ $$h(x)=\frac{e^x}{x^2}$$, अनुमान $$f(x)=e^x, g(x)=x^2$$, फिर भागफल नियम का प्रयोग करके:$$\begin{align} \frac{d}{dx} \left(\frac{e^x}{x^2}\right) &= \frac{\left(\frac{d}{dx}e^x\right)(x^2) - (e^x)\left(\frac{d}{dx} x^2\right)}{(x^2)^2} \\ &= \frac{(e^x)(x^2) - (e^x)(2x)}{x^4} \\ &= \frac{x^2 e^x - 2x e^x}{x^4} \\ &= \frac{x e^x - 2 e^x}{x^3} \\ &= \frac{e^x(x - 2)}{x^3}. \end{align}$$

उदाहरण 2: स्पर्शरेखा फलन का व्युत्पन्न
भागफल नियम का प्रयोग $$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$$ का अवकलज इस प्रकार ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है: $$\begin{align} \frac{d}{dx} \tan x &= \frac{d}{dx} \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) \\ &= \frac{\left(\frac{d}{dx}\sin x\right)(\cos x) - (\sin x)\left(\frac{d}{dx}\cos x\right)}{\cos^2 x} \\ &= \frac{(\cos x)(\cos x) - (\sin x)(-\sin x)}{\cos^2 x} \\ &= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \\ &= \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x. \end{align}$$

पारस्परिक नियम
पारस्परिक नियम भागफल नियम का एक विशेष प्रकरण है जिसमें अंश $$f(x)=1$$ है। भागफल नियम प्रयुक्त करने से देता है।$$h'(x)=\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{g(x)}\right]=\frac{0 \cdot g(x) - 1 \cdot g'(x)}{g(x)^2}=\frac{-g'(x)}{g(x)^2}.$$

व्युत्पन्न परिभाषा और सीमा गुणों से प्रमाण
अनुमान $$h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$$ व्युत्पन्न की परिभाषा और सीमाओं के गुणों को प्रयुक्त करने से निम्नलिखित प्रमाण मिलता है, शब्द $$f(x) g(x)$$ के साथ मूल्य को प्रभावित किए बिना बाद के चरणों में विभाजन और कारक की अनुमति देने के लिए जोड़ा और घटाया गया:$$\begin{align} h'(x) &= \lim_{k\to 0} \frac{h(x+k) - h(x)}{k} \\ &= \lim_{k\to 0} \frac{\frac{f(x+k)}{g(x+k)} - \frac{f(x)}{g(x)}}{k} \\ &= \lim_{k\to 0} \frac{f(x+k)g(x) - f(x)g(x+k)}{k \cdot g(x)g(x+k)} \\ &= \lim_{k\to 0} \frac{f(x+k)g(x) - f(x)g(x+k)}{k} \cdot \lim_{k\to 0}\frac{1}{g(x)g(x+k)} \\ &= \lim_{k\to 0} \left[\frac{f(x+k)g(x) - f(x)g(x) + f(x)g(x) - f(x)g(x+k)}{k} \right] \cdot \frac{1}{g(x)^2} \\ &= \left[\lim_{k\to 0} \frac{f(x+k)g(x) - f(x)g(x)}{k} - \lim_{k\to 0}\frac{f(x)g(x+k) - f(x)g(x)}{k} \right] \cdot \frac{1}{g(x)^2} \\ &= \left[\lim_{k\to 0} \frac{f(x+k) - f(x)}{k} \cdot g(x) - f(x) \cdot \lim_{k\to 0}\frac{g(x+k) - g(x)}{k} \right] \cdot \frac{1}{g(x)^2} \\ &= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}. \end{align}$$सीमा मूल्यांकन $$\lim_{k \to 0}\frac{1}{g(x+k)g(x)}=\frac{1}{g(x)^2}$$ $$g(x)$$ की अवकलनीयता द्वारा द्वारा उचित है, निरंतरता का अर्थ है, जिसे $$\lim_{k \to 0}g(x+k) = g(x)$$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

अंतर्निहित अवकलन का प्रयोग करके सबूत
अनुमान $$h(x) = \frac{f(x)}{g(x)},$$ इसलिए $$f(x) = g(x)h(x)$$ उत्पाद नियम तब $$f'(x)=g'(x)h(x) + g(x)h'(x)$$ देता है। $$h'(x)$$ के लिए हल करना और $$h(x)$$ के लिए वापस प्रतिस्थापित करने देता है:

==== $$\begin{align} h'(x) &= \frac{f'(x) -g'(x)h(x)}{g(x)} \\ &= \frac{f'(x) - g'(x)\cdot\frac{f(x)}{g(x)}}{g(x)} \\ &= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}. \end{align}$$ व्युत्क्रम नियम या श्रृंखला नियम का प्रयोग करके प्रमाण ==== अनुमान $$h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = f(x) \cdot \frac{1}{g(x)}$$ अतः उत्पाद नियम देता है$$h'(x) = f'(x)\cdot\frac{1}{g(x)} + f(x) \cdot \frac{d}{dx}\left[\frac{1}{g(x)}\right].$$दूसरे अवधि में व्युत्पन्न का मूल्यांकन करने के लिए, पारस्परिक नियम या श्रृंखला नियम के साथ घात नियम प्रयुक्त करें:

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{g(x)}\right] = -\frac{1}{g(x)^2} \cdot g'(x) = \frac{-g'(x)}{g(x)^2}$$

परिणाम को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है$$\begin{align} h'(x) &= f'(x)\cdot\frac{1}{g(x)} + f(x)\cdot\left[\frac{-g'(x)}{g(x)^2}\right] \\ &= \frac{f'(x)}{g(x)} - \frac{f(x)g'(x)}{g(x)^2} \\ &= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}. \end{align}$$

लघुगणक अवकलन द्वारा प्रमाण
अनुमान $$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$$ समीकरण के दोनों पक्षों का निरपेक्ष मान और प्राकृतिक लघुगणक लेने पर प्राप्त होता है$$\ln|h(x)|=\ln\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|$$निरपेक्ष मान और लघुगणक के गुणों को प्रयुक्त करना,$$\ln|h(x)|=\ln|f(x)|-\ln|g(x)|$$दोनों पक्षों का लघुगणक व्युत्पन्न लेने पर, $$\frac{h'(x)}{h(x)}=\frac{f'(x)}{f(x)}-\frac{g'(x)}{g(x)}$$$$h'(x)$$ के लिए हल करना और $$h(x)$$ के लिए $$f(x)/g(x)$$ को वापस प्रतिस्थापित करना देता है:$$\begin{align} h'(x)&=h(x)\left[\frac{f'(x)}{f(x)}-\frac{g'(x)}{g(x)}\right]\\ &=\frac{f(x)}{g(x)}\left[\frac{f'(x)}{f(x)}-\frac{g'(x)}{g(x)}\right]\\ &=\frac{f'(x)}{g(x)}-\frac{f(x)g'(x)}{g(x)^2}\\ &=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2} \end{align}$$नोट: फलनो के पूर्ण मूल्य को लेना आवश्यक है ताकि फलनो के लघुगणकीय अवकलन को नकारात्मक मान हो सकें, क्योंकि लॉगरिदम केवल सकारात्मक तर्कों के लिए परिभाषित किए जाते हैं। यह काम करता है क्योंकि $$\tfrac{d}{dx}(\ln|u|)=\tfrac{u'}{u}$$, जो लघुगणकीय अवकलन के लिए फलनो का पूर्ण मूल्य लेने का उचित ठहराता है।

उच्च क्रम व्युत्पन्न
एक भागफल (आंशिक रूप से इसके पहले $n &minus; 1$ व्युत्पन्न के संदर्भ में) के n वें व्युत्पन्न की गणना करने के लिए अंतर्निहित अवकलन का प्रयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, भेद करना $$f=gh$$ को दो बार अवकलित करना (जिसके परिणामस्वरूप $$f = gh + 2g'h' + gh$$) और फिर $$h$$ के लिए हल करने पर प्राप्त होता है$$h = \left(\frac{f}{g}\right) = \frac{f-gh-2g'h'}{g}$$