कोलमोगोरोव जटिलता

एल्गोरिथम सूचना सिद्धांत (कंप्यूटर विज्ञान और गणित का उपक्षेत्र) में, किसी वस्तु की कोल्मोगोरोव जटिलता, जैसे लेख का  टुकड़ा,  छोटे से कंप्यूटर प्रोग्राम (पूर्व निर्धारित प्रोग्रामिंग भाषा में) की लंबाई है | जो ऑब्जेक्ट को आउटपुट के रूप में उत्पन्न करता है। यह वस्तु को निर्दिष्ट करने के लिए आवश्यक गणना संसाधनों का  विकल्प है, और इसे एल्गोरिथम जटिलता, सोलोमनॉफ-कोलमोगोरोव-चैटिन जटिलता, प्रोग्राम-आकार की जटिलता, वर्णनात्मक जटिलता, या एल्गोरिथम एंट्रोपी के रूप में भी जाना जाता है। इसका नाम एंड्री कोलमोगोरोव के नाम पर है | जिन्होंने पहली बार 1963 में इस विषय पर प्रकाशित किया था |  और मौलिक सूचना सिद्धांत का सामान्यीकरण है।

कोल्मोगोरोव जटिलता की धारणा का उपयोग कैंटर के विकर्ण तर्क, गोडेल की अपूर्णता प्रमेय, और हॉल्टिंग समस्या, ट्यूरिंग की हॉल्टिंग समस्या के समान असम्भवता परिणामों को बताने के लिए किया जा सकता है।

विशेष रूप से, कोई भी प्रोग्राम P प्रत्येक लेख की कोल्मोगोरोव जटिलता के लिए निचली सीमा की गणना नहीं कर सकता है | जो अनिवार्य रूप से P की अपनी लंबाई से बड़ा मान लौटा सकता है | (अनुभाग देखें) ); इसलिए कोई भी कार्यक्रम असीम रूप से कई लेखों के लिए स्पष्ट कोलमोगोरोव जटिलता की गणना नहीं कर सकता है।

विशेष रूप से, कोई भी प्रोग्राम P प्रत्येक लेख की कोल्मोगोरोव जटिलता के लिए निचली सीमा की गणना नहीं कर सकता है, जो अनिवार्य रूप से P ' की अपनी लंबाई से बड़ा मान लौटा सकता है (अनुभाग देखें) ); इसलिए कोई भी कार्यक्रम

परिभाषा
32 लोअरकेस अक्षरों और अंकों के निम्नलिखित दो स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान) पर विचार करें:


 * , और

पहली स्ट्रिंग में संक्षिप्त अंग्रेजी-भाषा विवरण है, अर्थात् 16 बार लिखें, जिसमें 17 अक्षर होते हैं। दूसरे वाले का कोई स्पष्ट सरल विवरण नहीं है (समान वर्ण समुच्चय का उपयोग करके) स्ट्रिंग को लिखने के अतिरिक्त, अर्थात, 4c1j5b2p0cv4w1x8rx2y39umgw5q85s7 लिखें जिसमें 38 वर्ण हैं। इसलिए पहली स्ट्रिंग लिखने की संक्रिया को दूसरी स्ट्रिंग लिखने की तुलना में कम जटिल कहा जा सकता है।

अधिक औपचारिक रूप से, स्ट्रिंग की जटिलता कुछ निश्चित ट्यूरिंग पूर्ण विवरण भाषा में स्ट्रिंग के सबसे कम संभव विवरण की लंबाई है (विवरण भाषा की पसंद के सापेक्ष जटिलता की संवेदनशीलता नीचे चर्चा की गई है)। यह दिखाया जा सकता है कि किसी भी स्ट्रिंग की कोलमोगोरोव जटिलता स्ट्रिंग की लंबाई से कुछ बाइट्स से अधिक नहीं हो सकती है। ऊपर दिए गए 'अबाब' उदाहरण जैसे तार, जिनकी कोलमोगोरोव जटिलता स्ट्रिंग के आकार के सापेक्ष छोटी है, जिसको जटिल नहीं माना जाता है।

कोलमोगोरोव जटिलता को किसी भी गणितीय वस्तु के लिए परिभाषित किया जा सकता है | किंतु सरलता के लिए इस लेख का दायरा स्ट्रिंग्स तक ही सीमित है। हमें पहले स्ट्रिंग्स के लिए विवरण भाषा निर्दिष्ट करनी होगी। ऐसी विवरण भाषा किसी भी कंप्यूटर प्रोग्रामिंग भाषा पर आधारित हो सकती है | जैसे कि लिस्प प्रोग्रामिंग भाषा, पास्कल (प्रोग्रामिंग भाषा), या जावा (प्रोग्रामिंग भाषा) है। यदि P प्रोग्राम है जो  स्ट्रिंग x को आउटपुट करता है, तो P x का विवरण है। विवरण की लंबाई वर्ण स्ट्रिंग के रूप में केवल P की लंबाई है, जिसे किसी वर्ण में बिट्स की संख्या से गुणा किया जाता है (उदाहरण के लिए, एएससीआईआई के लिए 7)।

हम, वैकल्पिक रूप से, ट्यूरिंग मशीन के लिए एन्कोडिंग चुन सकते हैं | जहां  एन्कोडिंग  कार्य है | जो प्रत्येक ट्यूरिंग मशीन M को  बिटस्ट्रिंग  से जोड़ता है। यदि एम  ट्यूरिंग मशीन है | जो इनपुट w पर, स्ट्रिंग x को आउटपुट करती है, तो श्रृंखलाबद्ध स्ट्रिंग  w x का विवरण है। सैद्धांतिक विश्लेषण के लिए, यह दृष्टिकोण विस्तृत औपचारिक प्रमाणों के निर्माण के लिए अधिक अनुकूल है और सामान्यतः शोध साहित्य में इसे पसंद किया जाता है। इस लेख में,  अनौपचारिक दृष्टिकोण पर चर्चा की है।

किसी भी स्ट्रिंग s का कम से कम विवरण होता है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त दूसरी स्ट्रिंग छद्म कोड द्वारा आउटपुट है |

कार्य GenerateString2 वापसी 4c1j5b2p0cv4w1x8rx2y39umgw5q85s7

जबकि पहली स्ट्रिंग (बहुत कम) छद्म कोड द्वारा आउटपुट होती है |

कार्य GenerateString1 एबी × 16 लौटें

यदि किसी स्ट्रिंग s का वर्णन d(s) न्यूनतम लंबाई का है (अर्थात, सबसे कम बिट्स का उपयोग करके), तो इसे s का न्यूनतम विवरण कहा जाता है, और d(s) की लंबाई (अर्थात न्यूनतम विवरण में बिट्स की संख्या) s की कोलमोगोरोव जटिलता है | जिसे K(s) लिखा गया है। प्रतीकात्मक रूप से,


 * k(s) = |d(s)|.

सबसे छोटे विवरण की लंबाई विवरण भाषा के चुनाव पर निर्भर करेगी; किंतु बदलती भाषाओं का प्रभाव सीमित है (परिणाम को 'इनवेरियन प्रमेय'' कहा जाता है)।

अनौपचारिक उपचार
कुछ विवरण भाषाएं हैं जो इष्टतम हैं, निम्नलिखित अर्थों में: किसी विवरण भाषा में किसी वस्तु का कोई विवरण दिया गया है | कहा गया विवरण निरंतर ओवरहेड के साथ इष्टतम विवरण भाषा में उपयोग किया जा सकता है। स्थिरांक केवल सम्मिलित भाषाओं पर निर्भर करता है, न कि वस्तु के विवरण पर, न ही वस्तु का वर्णन किया जा रहा है।

यहाँ इष्टतम वर्णन भाषा का  उदाहरण दिया गया है। विवरण के दो भाग होंगे:


 * पहला भाग अन्य विवरण भाषा का वर्णन करता है।
 * दूसरा भाग उस भाषा में वस्तु का वर्णन है।

अधिक विधि शब्दों में, विवरण का पहला भाग कंप्यूटर प्रोग्राम है |(विशेष रूप से: ऑब्जेक्ट की भाषा के लिए  कंपाइलर, विवरण भाषा में लिखा गया है), दूसरे भाग के साथ उस कंप्यूटर प्रोग्राम का इनपुट होता है | जो ऑब्जेक्ट को आउटपुट के रूप में उत्पन्न करता है।

निश्चरता प्रमेय इस प्रकार है | किसी भी विवरण भाषा 'एल' को देखते हुए, इष्टतम विवरण भाषा कम से कम 'एल' के रूप में कुछ निरंतर ओवरहेड के साथ उत्तम है ।

प्रमाण: L में किसी भी विवरण D को पहले L को कंप्यूटर प्रोग्राम P (भाग 1) के रूप में वर्णित करके और फिर उपयोग करके इष्टतम भाषा में विवरण में परिवर्तित किया जा सकता है। उस कार्यक्रम के इनपुट के रूप में मूल विवरण d (भाग 2)।

इस नए विवरण 'd की कुल लंबाई (लगभग) है |


 * d | = |p| + |d|

p की लंबाई स्थिरांक है जो d पर निर्भर नहीं करता है। तो, वर्णित वस्तु के अतिरिक्त, अधिकतर निरंतर ओवरहेड होता है। इसलिए, इष्टतम भाषा इस योज्य स्थिरांक तक सार्वभौमिक है।

एक अधिक औपचारिक उपचार
प्रमेय: यदि के1 और के2 ट्यूरिंग पूर्ण विवरण भाषाओं एल के सापेक्ष जटिलता कार्य हैं1 और मैं2, तब एक स्थिर c - होता है जो केवल L भाषाओं पर निर्भर करता है1 और मैं2 चुना हुआ - ऐसा कि


 * ∀एस। -सी ≤ के1(स) - के2(एस) ≤ सी।

'सबूत': समरूपता से, यह साबित करने के लिए पर्याप्त है कि कुछ निरंतर सी ऐसा है कि सभी तारों के लिए


 * क1(एस) ≤ के2(एस) + सी।

अब, मान लीजिए कि L भाषा में प्रोग्राम है1 जो एल के लिए दुभाषिया (कंप्यूटिंग) के रूप में कार्य करता है2:

कार्य व्याख्या भाषा (स्ट्रिंग p)

जहां pL में एक प्रोग्राम है2. दुभाषिया निम्नलिखित संपत्ति द्वारा विशेषता है:


 * दौड़ना  इनपुट p पर चलने वाले p का नतीजा देता है।

इस प्रकार, यदि 'p' एल में एक कार्यक्रम है2 जो s का एक न्यूनतम विवरण है, फिर (p) स्ट्रिंग एस लौटाता है। स के इस वर्णन की लंबाई का योग है


 * 1) कार्यक्रम की लंबाई , जिसे हम अचर c मान सकते हैं।
 * 2) 'P' की लंबाई जो परिभाषा के अनुसार K है2(एस)।

यह वांछित ऊपरी सीमा को सिद्ध करता है।

इतिहास और संदर्भ
एल्गोरिथम सूचना सिद्धांत कंप्यूटर विज्ञान का क्षेत्र है जो कोलमोगोरोव जटिलता और स्ट्रिंग्स (या अन्य डेटा संरचनाओं) पर अन्य जटिलता विकल्पों का अध्ययन करता है।

कोल्मोगोरोव कॉम्प्लेक्सिटी की अवधारणा और सिद्धांत पहली बार रे सोलोमनॉफ द्वारा खोजे गए महत्वपूर्ण प्रमेय पर आधारित है, जिन्होंने इसे 1960 में प्रकाशित किया था, जो इसे आगमनात्मक अनुमान के  सामान्य सिद्धांत पर  प्रारंभिक रिपोर्ट में वर्णित करता है। एल्गोरिथम संभाव्यता के अपने आविष्कार के हिस्से के रूप में। उन्होंने अपने 1964 के प्रकाशनों, ए फॉर्मल थ्योरी ऑफ़ इंडक्टिव इन्वेंशन, भाग 1 और भाग 2 में सूचना और नियंत्रण में अधिक संपूर्ण विवरण दिया। एंड्री कोलमोगोरोव ने बाद में इस प्रमेय को प्रॉब्लम इंफॉर्मेशन में कई बार खोजा। हस्तांतरण 1965 में। ग्रेगरी चैतिन जे. एसीएम में भी इस प्रमेय को प्रस्तुत करते हैं - चैटिन का पेपर अक्टूबर 1966 में प्रस्तुत किया गया था और दिसंबर 1968 में संशोधित किया गया था, और सोलोमनॉफ और कोलमोगोरोव दोनों के पेपर का हवाला दिया। प्रमेय कहता है कि, एल्गोरिदम के बीच जो उनके विवरण (कोड) से तारों को dकोड करते हैं, वहां इष्टतम मौजूद होता है। यह एल्गोरिथम, सभी स्ट्रिंग्स के लिए, कोड को किसी भी अन्य एल्गोरिथम द्वारा अनुमत  योगात्मक स्थिरांक तक कम करने की अनुमति देता है जो एल्गोरिदम पर निर्भर करता है, किंतु स्वयं स्ट्रिंग्स पर नहीं। सोलोमनॉफ़ ने इस एल्गोरिथम का उपयोग किया और कोड की लंबाई यह  स्ट्रिंग की  सार्वभौमिक संभावना को परिभाषित करने की अनुमति देती है, जिस पर स्ट्रिंग के बाद के अंकों का आगमनात्मक निष्कर्ष आधारित हो सकता है। कोल्मोगोरोव ने इस प्रमेय का उपयोग जटिलता, यादृच्छिकता और सूचना सहित तार के कई कार्यों को परिभाषित करने के लिए किया।

जब कोलमोगोरोव को सोलोमनॉफ के काम के बारे में पता चला, तो उन्होंने सोलोमनॉफ की प्राथमिकता को स्वीकार किया। कई सालों तक, पश्चिमी दुनिया की तुलना में सोवियत संघ में सुलैमानॉफ का काम बेहतर जाना जाता था। हालांकि, वैज्ञानिक समुदाय में आम सहमति कोलमोगोरोव के साथ इस प्रकार की जटिलता को जोड़ने के लिए थी, जो अनुक्रम की यादृच्छिकता से संबंधित थी, जबकि एल्गोरिथम संभाव्यता सोलोमनॉफ से जुड़ी हुई थी, जिसने सार्वभौमिक पूर्व संभाव्यता वितरण के अपने आविष्कार का उपयोग करके भविष्यवाणी पर ध्यान केंद्रित किया था।. वर्णनात्मक जटिलता और संभाव्यता को सम्मिलित करने वाले व्यापक क्षेत्र को अक्सर कोलमोगोरोव जटिलता कहा जाता है। कंप्यूटर वैज्ञानिक मिंग एल आई  इसे मैथ्यू प्रभाव (समाजशास्त्र) का  उदाहरण मानते हैं: ...जिसके पास है, उसे अधिक दिया जाएगा... कोलमोगोरोव जटिलता या एल्गोरिथम जानकारी के कई अन्य रूप हैं। सबसे व्यापक रूप से इस्तेमाल किया जाने वाला स्व-सीमांकन कार्यक्रमों पर आधारित है, और मुख्य रूप से लियोनिद लेविन (1974) के कारण है।

ब्लम स्वयंसिद्ध (ब्लम 1967) पर आधारित कोलमोगोरोव जटिलता के लिए स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण मार्क बर्गिन द्वारा एंड्री कोलमोगोरोव द्वारा प्रकाशन के लिए प्रस्तुत किए गए पेपर में पेश किया गया था।

मूल परिणाम
निम्नलिखित चर्चा में, K(s) को स्ट्रिंग s की जटिलता होने दें।

यह देखना कठिन नहीं है कि किसी स्ट्रिंग का न्यूनतम विवरण स्वयं स्ट्रिंग—प्रोग्राम से बहुत बड़ा नहीं हो सकता है  इसके ऊपर आउटपुट s  निश्चित राशि है जो s से बड़ी है।

'प्रमेय': स्थिर सी ऐसा है कि


 * ∀एस। के(एस) ≤ |एस| + सी।

K
की गणना करने के लिए कार्यक्रम में  भोला प्रयास

पहली नज़र में ऐसा प्रोग्राम लिखना तुच्छ लग सकता है जो किसी भी s के लिए K(s) की गणना कर सकता है, जैसे कि निम्नलिखित:

'कार्य' कोलमोगोरोव कॉम्प्लेक्सिटी ('स्ट्रिंग' एस) 'के लिए' मैं = 1 'से' अनंत: 'प्रत्येक के लिए' स्ट्रिंग p 'का' लंबाई बिल्कुल मैं 'अगर' isValidProgram (p) 'और' मूल्यांकन (p) == एस 'वापसी' मैं

यह कार्यक्रम सभी संभावित कार्यक्रमों के माध्यम से पुनरावृति करता है (सभी संभावित तारों के माध्यम से पुनरावृति करके और केवल उन पर विचार करता है जो वैध कार्यक्रम हैं), सबसे कम से शुरू होता है। प्रत्येक प्रोग्राम को उस प्रोग्राम द्वारा उत्पादित परिणाम को खोजने के लिए निष्पादित किया जाता है, इसकी तुलना इनपुट एस से की जाती है। यदि परिणाम मेल खाता है तो कार्यक्रम की लंबाई वापस आ जाती है।

हालांकि यह काम नहीं करेगा क्योंकि p परीक्षण किए गए कुछ कार्यक्रम समाप्त नहीं होंगे, उदा। अगर उनमें अनंत लूप हैं। हॉल्टिंग समस्या की गैर-संगणनीयता के कारण इन सभी कार्यक्रमों को निष्पादित करने से पहले किसी तरह से परीक्षण करके इन सभी कार्यक्रमों से बचने का कोई तरीका नहीं है।

क्या अधिक है, कोई भी प्रोग्राम कार्य K की गणना नहीं कर सकता है, चाहे वह कितना भी परिष्कृत क्यों न हो। यह निम्नलिखित में सिद्ध होता है।

K
की अगणनीयता का औपचारिक प्रमाण

'प्रमेय': मनमाने ढंग से बड़ी कोलमोगोरोव जटिलता के तार मौजूद हैं। औपचारिक रूप से: प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए, K(s) ≥ n के साथ स्ट्रिंग s है। सबूत: अन्यथा असीमित रूप से कई संभावित परिमित तारों को अंततः कई लोगों द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है एन बिट्स के नीचे जटिलता वाले कार्यक्रम।

'प्रमेय': K संगणनीय फलन नहीं है। दूसरे शब्दों में, ऐसा कोई प्रोग्राम नहीं है जो किसी भी स्ट्रिंग को इनपुट के रूप में लेता है और आउटपुट के रूप में पूर्णांक K(s) उत्पन्न करता है।

विरोधाभास द्वारा निम्नलिखित प्रमाण | विरोधाभास द्वारा 'प्रमाण' कार्यक्रमों को निरूपित करने के लिए साधारण पास्कल (प्रोग्रामिंग भाषा) जैसी भाषा का उपयोग करता है; प्रमाण सरलता के लिए इसके विवरण (अर्थात  दुभाषिया (कंप्यूटिंग)) की लंबाई मान लें $1,400,000$ बिट्स। विरोधाभास के लिए मान लें कि कार्यक्रम है

कार्य KolmogorovComplexity (स्ट्रिंग एस)

जो इनपुट के रूप में स्ट्रिंग s लेता है और K(s) लौटाता है। सभी कार्यक्रम परिमित लंबाई के होते हैं, इसलिए सरलता के प्रमाण के लिए, इसे मान लें $7,000,000,000$ बिट्स। अब, लंबाई के निम्नलिखित प्रोग्राम पर विचार करें $1,288$ बिट्स:

कार्य GenerateComplexString मैं = 1 अनंत के लिए: लंबाई के प्रत्येक स्ट्रिंग एस के लिए बिल्कुल i            अगर कोलमोगोरोव कॉम्प्लेक्सिटी (एस) ≥ 8000000000 वापसी एस

का उपयोग करते हुए   उपनेमका के रूप में, कार्यक्रम हर स्ट्रिंग की कोशिश करता है, सबसे कम से शुरू होता है, जब तक कि यह कम से कम कोलमोगोरोव जटिलता के साथ  स्ट्रिंग नहीं लौटाता $8,000,000,000$ बिट्स, अर्थात  स्ट्रिंग जिसे किसी भी प्रोग्राम से छोटा नहीं बनाया जा सकता है $8,000,000,000$ बिट्स। हालाँकि, उपरोक्त प्रोग्राम की कुल लंबाई जो s का उत्पादन करती है, केवल है $7,001,401,288$ बिट्स, जो  विरोधाभास है। (यदि का कोड   छोटा है, विरोधाभास बना रहता है। यदि यह लंबा है, तो इसमें प्रयुक्त स्थिरांक   हमेशा उचित रूप से बदला जा सकता है।) उपरोक्त प्रमाण बेरी विरोधाभास के समान विरोधाभास का उपयोग करता है:1 2उब> सबसे छोटा 3सकारात्मक 4पूर्णांक 5वह 6नही सकता 7होना 8परिभाषित 9में 10से कम 11बजाय 12बीस 13अंग्रेज़ी 14शब्द । हॉल्टिंग समस्या H की गैर-कम्प्यूटेबिलिटी से घटाकर K की गैर-कम्प्यूटेबिलिटी दिखाना भी संभव है, क्योंकि K और H ट्यूरिंग डिग्री # ट्यूरिंग समतुल्य | ट्यूरिंग-समतुल्य हैं। प्रोग्रामिंग भाषा समुदाय में एक उपप्रमेय है, जिसे हास्यपूर्वक पूर्ण रोजगार प्रमेय कहा जाता है, जिसमें कहा गया है कि कोई सही आकार-अनुकूलन संकलक नहीं है।

कोलमोगोरोव जटिलता के लिए चेन नियम
चेन नियम कोल्मोगोरोव जटिलता के लिए कहा गया है कि


 * के (एक्स, वाई) ≤ के (एक्स) + के (वाई | एक्स) + ओ (लॉग (के (एक्स, वाई)))।

इसमें कहा गया है कि एक्स और वाई को पुन: उत्पन्न करने वाला सबसे छोटा प्रोग्राम बिग-ओ नोटेशन है, एक्स को पुन: उत्पन्न करने के लिए लघुगणकीय शब्द से बड़ा है और वाई दिए गए एक्स को पुन: पेश करने के लिए  कार्यक्रम है। इस कथन का उपयोग करके, कोई पारस्परिक जानकारी # पूर्ण पारस्परिक जानकारी को परिभाषित कर सकता है।

संपीड़न
K(s) के लिए ऊपरी सीमा की गणना करना सरल है – बस किसी विधि से स्ट्रिंग s को आधार - सामग्री संकोचन करें, चुनी हुई भाषा में संबंधित dकंप्रेसर को लागू करें, dकंप्रेसर को असंपीड्य स्ट्रिंग से जोड़ें, और परिणामी स्ट्रिंग की लंबाई को मापें – ठोस रूप से, दिए गए भाषा में स्वयं-निकालने वाले संग्रह का आकार।

स्ट्रिंग एस संख्या सी द्वारा संपीड़ित होता है यदि इसका विवरण होता है जिसकी लंबाई |s| से अधिक नहीं होती है - सी बिट्स। यह K(s) ≤ |s| कहने के बराबर है - सी। अन्यथा, s, c द्वारा असम्पीडित है। 1 से असम्पीडित  स्ट्रिंग को केवल असम्पीडित कहा जाता है - कबूतर सिद्धांत द्वारा, जो लागू होता है क्योंकि प्रत्येक संपीड़ित स्ट्रिंग केवल  असम्पीडित स्ट्रिंग के लिए मैप करती है, असंपीड़ित स्ट्रिंग मौजूद होनी चाहिए, क्योंकि 2 हैंn बिट स्ट्रिंग्स की लंबाई n, किंतु केवल 2n − 1 छोटी स्ट्रिंग्स, अर्थात n से कम लंबाई वाली स्ट्रिंग्स, (अर्थात लंबाई 0, 1, ..., n − 1 के साथ)। इसी कारण से, अधिकांश तार इस अर्थ में जटिल होते हैं कि उन्हें महत्वपूर्ण रूप से संकुचित नहीं किया जा सकता है - उनका K(s) |s|, बिट्स में s की लंबाई से बहुत छोटा नहीं है। इसे स्पष्ट बनाने के लिए, n का मान ठीक करें। वहाँ 2 हैn बिट स्ट्रिंग्स की लंबाई n। बिट स्ट्रिंग्स के स्थान पर समान वितरण (असतत) संभाव्यता वितरण बिल्कुल बराबर वजन 2 प्रदान करता है −n लंबाई n की प्रत्येक स्ट्रिंग के लिए।

'प्रमेय': लंबाई n के बिटस्ट्रिंग्स के स्थान पर समान संभावना वितरण के साथ, संभावना है कि स्ट्रिंग सी द्वारा असम्पीडित है कम से कम 1 − 2 है−c+1 + 2 -एन.

प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, ध्यान दें कि n − c से अधिक लंबाई के विवरण की संख्या ज्यामितीय श्रृंखला द्वारा दी गई है:


 * 1 + 2 + 22 + ... + 2n − c = 2n−c+1 − 1.

कम से कम रहता है


 * 2एन − 2n−c+1 + 1

लंबाई n की बिटस्ट्रिंग्स जो c द्वारा असम्पीडित हैं। संभावना निर्धारित करने के लिए, 2 से विभाजित करेंएन.

चैटिन की अपूर्णता प्रमेय
उपरोक्त प्रमेय द्वारा, अधिकांश तार इस अर्थ में जटिल हैं कि उन्हें किसी भी तरह से संकुचित तरीके से वर्णित नहीं किया जा सकता है। हालांकि, यह पता चला है कि तथ्य यह है कि विशिष्ट स्ट्रिंग जटिल है औपचारिक रूप से सिद्ध नहीं किया जा सकता है, यदि स्ट्रिंग की जटिलता  निश्चित सीमा से ऊपर है। स्पष्ट औपचारिकता इस प्रकार है। सबसे पहले, प्राकृतिक संख्याओं के लिए  विशेष स्वयंसिद्ध प्रणाली S को ठीक करें। स्वयंसिद्ध प्रणाली को पर्याप्त शक्तिशाली होना चाहिए ताकि, स्ट्रिंग्स की जटिलता के बारे में कुछ अभिकथन A के लिए,  सूत्र F को संबद्ध किया जा सकेA एस में। इस एसोसिएशन में निम्नलिखित संपत्ति होनी चाहिए:

अगर एफA S के स्वयंसिद्धों से सिद्ध है, तो संबंधित कथन A सत्य होना चाहिए। गोडेल नंबरिंग के आधार पर यह औपचारिकता हासिल की जा सकती है।

प्रमेय: स्थिर 'एल' मौजूद है (जो केवल एस पर निर्भर करता है और विवरण भाषा की पसंद पर निर्भर करता है) जैसे कि  स्ट्रिंग  एस  मौजूद नहीं है जिसके लिए बयान


 * क(s) ≥ एल       (एस में औपचारिक रूप से)

S के भीतर सिद्ध किया जा सकता है।

प्रमाण विचार: इस परिणाम का प्रमाण बेरी के विरोधाभास में प्रयुक्त स्व-संदर्भात्मक निर्माण पर आधारित है। हम सबसे पहले प्रोग्राम प्राप्त करते हैं जो एस के भीतर सबूतों की गणना करता है और हम  प्रक्रिया 'p' निर्दिष्ट करते हैं जो इनपुट के रूप में  पूर्णांक 'एल' लेता है और स्ट्रिंग्स 'एक्स' को प्रिंट करता है जो एस के सबूत के भीतर हैं। कथन के(x) ≥ एल। फिर इस प्रक्रिया P की लंबाई से अधिक L को समुच्चय करके, हमारे पास K(x) में बताए अनुसार x को प्रिंट करने के लिए प्रोग्राम की आवश्यक लंबाई है। ) ≥ L कम से कम L होने के कारण राशि L से कम है क्योंकि स्ट्रिंग x को P प्रक्रिया द्वारा प्रिंट किया गया था। यह  विरोधाभास है। इसलिए प्रूफ सिस्टम S के लिए K(x) ≥ L को L के लिए मनमाने ढंग से बड़ा साबित करना संभव नहीं है, विशेष रूप से, L से बड़ा प्रक्रिया की लंबाई p, (जो परिमित है)।

सबूत:

हम किसी प्रक्रिया द्वारा S में सभी औपचारिक प्रमाणों की प्रभावी गणना पा सकते हैं

कार्य NthProof (int n)

जो इनपुट n के रूप में लेता है और कुछ प्रमाण को आउटपुट करता है। यह कार्य सभी प्रमाणों की गणना करता है। इनमें से कुछ सूत्रों के लिए प्रमाण हैं जिनकी हम यहाँ परवाह नहीं करते हैं, क्योंकि S की भाषा में हर संभव प्रमाण कुछ 'n' के लिए निर्मित होता है। इनमें से कुछ K(s) ≥ n रूप के जटिल सूत्र हैं जहां s और n S की भाषा में स्थिरांक हैं। प्रक्रिया

कार्य NthProofProvesComplexityFormula(int n)

जो यह निर्धारित करता है कि क्या n वाँ प्रमाण वास्तव में जटिलता सूत्र K('s) ≥ L साबित करता है। तार एस, और पूर्णांक एल'' बदले में, प्रक्रिया द्वारा संगणनीय हैं:

कार्य StringNthProof (इंट एन)

कार्य कॉम्प्लेक्सिटीलोअरबाउंडNthProof(int n)

निम्नलिखित प्रक्रिया पर विचार करें:

कार्य GenerateProvablyComplexString (int n) मैं = 1 अनंत के लिए: अगर NthProofProvesComplexityFormula(i) और ComplexityLowerBoundNthProof(i) ≥ n वापसी StringNthProof(i)

एन दिए जाने पर, यह प्रक्रिया तब तक हर प्रमाण को आजमाती है जब तक कि उसे सूत्र के(एस) ≥ एल के फॉर्मूले की औपचारिक प्रणाली एस में एक स्ट्रिंग और प्रमाण नहीं मिल जाता। 'एल ≥ एन''; यदि ऐसा कोई प्रमाण मौजूद नहीं है, तो यह हमेशा के लिए लूप हो जाता है।

अंत में, इन सभी प्रक्रिया परिभाषाओं और मुख्य कॉल से युक्त कार्यक्रम पर विचार करें:

GenerateProvablyComplexString(n0)

जहां निरंतर n0 बाद में तय किया जाएगा। समग्र कार्यक्रम की लंबाई यू + लॉग के रूप में व्यक्त की जा सकती है2(एन0), जहां यू कुछ स्थिर और लॉग है2(एन0) पूर्णांक मान n की लंबाई का प्रतिनिधित्व करता है0उचित धारणा के तहत कि यह बाइनरी अंकों में एन्कोड किया गया है। हम एन चुनेंगे0 कार्यक्रम की लंबाई से अधिक होना, अर्थात, ऐसा है कि n0 > यू + लॉग2(एन0). यह एन के लिए स्पष्ट रूप से सच है0 पर्याप्त रूप से बड़ा है, क्योंकि बायां हाथ n में रैखिक रूप से बढ़ता है0 जबकि दाहिने हाथ की ओर n में लघुगणकीय रूप से बढ़ता है0 निश्चित स्थिर यू तक।

तब L≥n के साथ K(s)≥L के रूप का कोई प्रमाण नहीं0 एस में प्राप्त किया जा सकता है, जैसा कि अप्रत्यक्ष तर्क द्वारा देखा जा सकता है: अगर  मान ≥n लौटा सकता है0, फिर लूप अंदर   अंततः समाप्त हो जाएगा, और वह प्रक्रिया  स्ट्रिंग एस वापस कर देगी यह विरोधाभास है, Q.E.D.

परिणामस्वरूप, उपरोक्त प्रोग्राम, n के चुने हुए मान के साथ0, हमेशा के लिए लूप होना चाहिए।

चैटिन स्थिरांक के गुणों को सिद्ध करने के लिए इसी तरह के विचारों का उपयोग किया जाता है।

न्यूनतम संदेश लंबाई
सांख्यिकीय और आगमनात्मक अनुमान और मशीन सीखने का न्यूनतम संदेश लंबाई सिद्धांत क्रिस वालेस (कंप्यूटर वैज्ञानिक) | सी.एस. द्वारा विकसित किया गया था। वालेस और d.एम. 1968 में बोल्टन। एमएमएल बायेसियन प्रायिकता है (अर्थात यह पूर्व मान्यताओं को सम्मिलित करता है) और सूचना-सैद्धांतिक। इसमें सांख्यिकीय आक्रमण के वांछनीय गुण हैं (अर्थात पुन: पैरामीट्रिजेशन के साथ अनुमान बदल जाता है, जैसे कि ध्रुवीय निर्देशांक से कार्टेशियन निर्देशांक तक), सांख्यिकीय स्थिरता (अर्थात बहुत कठिन समस्याओं के लिए भी, MML किसी भी अंतर्निहित मॉडल में परिवर्तित हो जाएगा) और दक्षता ( अर्थात एमएमएल मॉडल जितनी जल्दी हो सके किसी भी वास्तविक अंतर्निहित मॉडल में परिवर्तित हो जाएगा)। सीएस वालेस और d.एल. डोवे (1999) ने एमएमएल और एल्गोरिथम सूचना सिद्धांत (या कोलमोगोरोव जटिलता) के बीच औपचारिक संबंध दिखाया।

कोलमोगोरोव यादृच्छिकता
कोल्मोगोरोव अनियमितता   स्ट्रिंग (सामान्यतः बिट्स) को यादृच्छिकता के रूप में परिभाषित करता है यदि और केवल अगर प्रत्येक कंप्यूटर प्रोग्राम जो उस स्ट्रिंग का उत्पादन कर सकता है, कम से कम स्ट्रिंग के रूप में लंबा है। इसे स्पष्ट बनाने के लिए,  यूनिवर्सल कंप्यूटर (या यूनिवर्सल ट्यूरिंग मशीन) को निर्दिष्ट किया जाना चाहिए, ताकि प्रोग्राम का मतलब इस यूनिवर्सल मशीन के लिए एक प्रोग्राम हो। इस अर्थ में  यादृच्छिक स्ट्रिंग असम्पीडित है कि स्ट्रिंग को उस प्रोग्राम में संपीड़ित करना असंभव है जो स्ट्रिंग से ही छोटा है। प्रत्येक सार्वभौमिक कंप्यूटर के लिए, प्रत्येक लंबाई का कम से कम  एल्गोरिथम यादृच्छिक स्ट्रिंग होता है। चाहे कोई विशेष स्ट्रिंग यादृच्छिक हो, हालांकि, चुने गए विशिष्ट सार्वभौमिक कंप्यूटर पर निर्भर करता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि  सार्वभौमिक कंप्यूटर में अपने आप में  विशेष स्ट्रिंग हार्ड-कोडेड हो सकती है, और इस सार्वभौमिक कंप्यूटर पर चलने वाला  प्रोग्राम तब बिट्स के एक छोटे अनुक्रम का उपयोग करके इस हार्ड-कोडेड स्ट्रिंग को संदर्भित कर सकता है (अर्थात स्ट्रिंग से बहुत छोटा).

परिमित वर्णमाला से अनंत अनुक्रमों के लिए यादृच्छिकता की धारणा को परिभाषित करने के लिए इस परिभाषा को विस्तारित किया जा सकता है। इन एल्गोरिदमिक रूप से यादृच्छिक अनुक्रमों को तीन समान तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है। एक तरह से माप सिद्धांत के प्रभावी एनालॉग का उपयोग करता है; दूसरा प्रभावी मार्टिंगेल (संभाव्यता सिद्धांत) का उपयोग करता है। तीसरा तरीका  अनंत अनुक्रम को यादृच्छिक होने के लिए परिभाषित करता है यदि इसके प्रारंभिक खंडों की उपसर्ग-मुक्त कोल्मोगोरोव जटिलता पर्याप्त तेज़ी से बढ़ती है - एक स्थिर c होना चाहिए जैसे कि लंबाई n के प्रारंभिक खंड की जटिलता हमेशा कम से कम n−c होती है। यह परिभाषा, एक परिमित स्ट्रिंग के लिए यादृच्छिकता की परिभाषा के विपरीत, प्रभावित नहीं होती है, जिसके द्वारा उपसर्ग-मुक्त कोलमोगोरोव जटिलता को परिभाषित करने के लिए सार्वभौमिक मशीन का उपयोग किया जाता है।

एन्ट्रॉपी से संबंध
गतिशील प्रणालियों के लिए, एंट्रॉपी दर और ट्रैजेक्टोरियों की एल्गोरिथम जटिलता ब्रुडनो के प्रमेय द्वारा संबंधित हैं, कि समानता $$K(x;T) =  h(T)$$ लगभग सभी के लिए रखता है $$x$$. इसे दिखाया जा सकता है कि मार्कोव सूचना स्रोतों के उत्पादन के लिए, कोलमोगोरोव जटिलता सूचना स्रोत के एंट्रॉपी (सूचना सिद्धांत) से संबंधित है। अधिक स्पष्ट रूप से, मार्कोव सूचना स्रोत के आउटपुट की कोलमोगोरोव जटिलता, आउटपुट की लंबाई से सामान्यीकृत, लगभग निश्चित रूप से (आउटपुट की लंबाई अनंत तक जाती है) स्रोत के एंट्रॉपी (सूचना सिद्धांत) में परिवर्तित हो जाती है।

सशर्त संस्करण
दो तारों की सशर्त कोलमोगोरोव जटिलता $$K(x|y)$$ मोटे तौर पर बोल रहा हूँ, प्रक्रिया के सहायक इनपुट के रूप में दिए गए x के कोलमोगोरोव जटिलता के रूप में परिभाषित किया गया है। लंबाई-सशर्त जटिलता भी है $$K(x|L(x))$$, जो ज्ञात/इनपुट के रूप में x की लंबाई दी गई x की जटिलता है।

यह भी देखें

 * बेरी विरोधाभास
 * कोड गोल्फ
 * आधार - सामग्री संकोचन
 * वर्णनात्मक जटिलता सिद्धांत
 * व्याकरण प्रेरण
 * आगमनात्मक अनुमान
 * कोलमोगोरोव संरचना कार्य
 * लेवेनशेटिन दूरी
 * सोलोमनॉफ का आगमनात्मक अनुमान का सिद्धांत
 * नमूना एन्ट्रापी

बाहरी संबंध

 * The Legacy of Andrei Nikolaevich Kolmogorov
 * Chaitin's online publications
 * Solomonoff's IDSIA page
 * Generalizations of algorithmic information by J. Schmidhuber
 * Tromp's lambda calculus computer model offers a concrete definition of K]
 * Universal AI based on Kolmogorov Complexity ISBN 3-540-22139-5 by M. Hutter: ISBN 3-540-22139-5
 * David Dowe's Minimum Message Length (MML) and Occam's razor pages.
 * David Dowe's Minimum Message Length (MML) and Occam's razor pages.