अवरोधन प्रमेय

अवरोधन प्रमेय, जिसे थेल्स के प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है, मूल आनुपातिकता प्रमेय या साइड स्प्लिटर प्रमेय प्राथमिक रेखागणित में एक महत्वपूर्ण प्रमेय है जो विभिन्न रेखा खंडों के अनुपात के बारे में है जिसमे कि दो अन्तर्विभाजक रेखाओं (ज्यामिति) को समानांतर (ज्यामिति) की एक जोड़ी द्वारा बाधित किया जाता है। यह समरूप त्रिभुजों में अनुपातों के बारे में प्रमेय के तुल्य है। पारंपरिक रूप से इसका श्रेय ग्रीक गणितज्ञ थेल्स को दिया जाता है। यह प्राचीन बेबीलोनियों और मिस्रियों के लिए जाना जाता था, तथापि इसका पहला ज्ञात प्रमाण यूक्लिड के तत्वों में प्रकट होता है।

सूत्रीकरण
मान लीजिए कि S दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है और A, B दो समांतर रेखाओं के साथ पहली पंक्ति के प्रतिच्छेदन हैं, जैसे कि B, A की तुलना में S से अधिक दूर है, और इसी प्रकार C, D दो समांतर दूसरी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं इस प्रकार कि D, C की तुलना में S से अधिक दूर है।


 * 1) पहली पंक्ति पर किन्हीं दो खंडों का अनुपात दूसरी पंक्ति के अनुसार खंडों के अनुपात के बराबर है: $$| SA | : | AB | =| SC | : | CD | $$, $$| SB | : | AB | =| SD | : | CD | $$, $$| SA | : | SB | =| SC | : | SD | $$
 * 2) S से आरंभ होने वाली एक ही रेखा पर दो खंडों का अनुपात समानांतरों पर खंडों के अनुपात के बराबर होता है: $$| SA |:| SB | = | SC | :| SD | =| AC | : | BD | $$
 * 3) पहले कथन का विलोम भी सत्य है, अर्थात यदि दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ दो स्वेच्छ रेखाओं द्वारा बाधित होती हैं और $$| SA | : | AB | =| SC | : | CD | $$ धारण करता है तो दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ समानांतर होती हैं। तथापि, दूसरे कथन का विलोम सत्य नहीं है।
 * 4) यदि आपके पास दो से अधिक रेखाएँ हैं जो S में प्रतिच्छेद करती हैं, तो एक समानांतर पर दो खंडों का अनुपात दूसरे समानांतर के अनुसार खंडों के अनुपात के बराबर होता है: $$| AF | : | BE | =| FC | : | ED | $$, $$| AF | : | FC | =| BE | : | ED | $$
 * तीन पंक्तियों के प्रकरण का उदाहरण नीचे दूसरे ग्राफ़िक में दिया गया है।

पहला अवरोधन प्रमेय लाइनों से वर्गों के अनुपात को दिखाता है, दूसरा रेखाओं से वर्गों के अनुपात के साथ-साथ समानांतरों के खंडों को भी दिखाता है, अंत में तीसरा समानांतरों से वर्गों के अनुपात को दर्शाता है।



समरूपता और समरूप त्रिभुज
अवरोधन प्रमेय समानता (ज्यामिति) से निकटता से संबंधित है। यह समरूप त्रिभुजों की अवधारणा के समतुल्य है, अर्थात इसका उपयोग समरूप त्रिभुजों के गुणों को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है और समरूप त्रिभुजों का उपयोग अवरोधन प्रमेय को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है। समान कोणों का मिलान करके आप हमेशा दो समान त्रिभुजों को एक दूसरे में रख सकते हैं ताकि आपको वह समाकृतिकता मिल सके जिसमें अवरोधन प्रमेय लागू होता है; और विलोम (तर्क) अवरोधन प्रमेय समाकृतिकता में हमेशा दो समान त्रिकोण होते हैं।

सदिश स्थानों में अदिश गुणन
एक आदर्श सदिश समष्टि में, अदिश गुणन से संबंधित अभिगृहीत (विशेष रूप से $$ \lambda \cdot (\vec{a}+\vec{b})=\lambda \cdot \vec{a}+ \lambda \cdot \vec{b} $$ और $$ \|\lambda \vec{a}\|=|\lambda|\cdot\ \|\vec{a}\| $$) सुनिश्चित करते हैं कि अवरोधन प्रमेय मान्य है। एक के पास $$ \frac{ \| \lambda \cdot \vec{a} \| }{ \| \vec{a} \|} =\frac{\|\lambda\cdot\vec{b}\|}{\|\vec{b}\|} =\frac{\|\lambda\cdot(\vec{a}+\vec{b}) \|}{\|\vec{a}+\vec{b}\|} =|\lambda| $$ है।



कम्पास और शासक निर्माणों का बीजगणितीय सूत्रीकरण
प्रारंभिक ज्यामिति में तीन प्रसिद्ध समस्याएं हैं जो यूनानियों द्वारा कम्पास और सीधे किनारे के निर्माण के संदर्भ में प्रस्तुत की गई थीं:


 * 1) कोण को समत्रिभाजित करना
 * 2) घन को दोगुना करना
 * 3) वृत्त को स्क्वायर करना

2000 से अधिक वर्षों का समय लगा जब तक कि 19वीं शताब्दी में बीजगणितीय विधियों का उपयोग करके दिए गए उपकरणों के साथ, जो उस समय के दौरान उपलब्ध हो गए थे उन तीनों को अंततः असंभव नहीं दिखाया गया। क्षेत्र विस्स्तारण का उपयोग करके बीजगणितीय शब्दों में उन्हें सुधारने के लिए, किसी को कम्पास और सीधा निर्माण के साथ क्षेत्र (गणित) से मिलान करने की आवश्यकता होती है (रचनात्मक संख्या देखें)। विशेष रूप से यह आश्वस्त करना महत्वपूर्ण है कि दो दिए गए रेखा खंडों के लिए, एक नए रेखा खंड का निर्माण इस प्रकार किया जा सकता है कि इसकी लंबाई अन्य दो की लंबाई के गुणनफल के बराबर हो। इसी प्रकार लंबाई $$ a $$ के एक रेखा खंड के लिए, लंबाई $$ a^{-1} $$ खंड के निर्माण में सक्षम होने की आवश्यकता है। अवरोधन प्रमेय का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि दोनों ही प्रकरण में ऐसा निर्माण संभव है।

चेप्स पिरामिड की ऊंचाई
कुछ ऐतिहासिक स्रोतों के अनुसार ग्रीक गणितज्ञ थेल्स ने गीज़ा के महान पिरामिड की ऊंचाई निर्धारित करने के लिए अवरोधन प्रमेय का प्रयोग किया था। निम्नलिखित विवरण पिरामिड की ऊंचाई की गणना करने के लिए अवरोधन प्रमेय के उपयोग को दर्शाता है। तथापि, यह थेल्स के मूल कार्य का वर्णन नहीं करता है, जो खो गया था।

थेल्स ने पिरामिड के आधार की लंबाई और उसके खंभे की ऊंचाई मापी। फिर उसने दिन के एक ही समय पर पिरामिड की छाया की लंबाई और खंभे की छाया की लंबाई मापी। इससे निम्नलिखित आँकड़े प्राप्त हुआ: इससे उन्होंने गणना की
 * ध्रुव की ऊंचाई (A): 1.63 मीटर
 * ध्रुव की छाया (बी): 2 मीटर
 * पिरामिड के आधार की लंबाई: 230 मीटर
 * पिरामिड की छाया : 65 मीटर
 * $$ C = 65~\text{m}+\frac{230~\text{m}}{2}=180~\text{m} $$

A, B और C को जानने के बाद अब $$ D=\frac{C \cdot A}{B}=\frac{1.63~\text{m} \cdot 180~\text{m}}{2~\text{m}}=146.7~\text{m}$$ की गणना करने के लिए अवरोधन प्रमेय को लागू करने में सक्षम थे।

त्रिभुज और समलंब में समानांतर रेखा
अवरोधन प्रमेय का उपयोग यह साबित करने के लिए किया जा सकता है कि एक निश्चित निर्माण समानांतर रेखा (खंड) उत्पन्न करता है।

प्रमाण
प्रमेय का एक प्राथमिक दावा अनुपात के बारे में मूल कथन प्राप्त करने के लिए समान क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों का उपयोग करता है (दावा 1)। दूसरे दावा इसके बाद पहले दावा और विरोधाभास को लागू करते हैं।

दावा 4
दावा 4 को दो पंक्तियों के लिए अवरोधन प्रमेय लागू करके दिखाया जा सकता है।

बाहरी संबंध

 * Intercept Theorem at PlanetMath
 * Alexander Bogomolny: Thales' Theorems and in particular Thales' Theorem at Cut-the-Knot
 * intercept theorem interactive