अवकल बीजगणित

गणित में, अंतर बीजगणित, मोटे तौर पर, गणित का वह क्षेत्र है जिसमें समाधान की गणना किए बिना अंतर समीकरणों और ऑपरेटरों के गुणों को प्राप्त करने के मद्देनजर बीजगणित के रूप में अंतर समीकरणों और अंतर ऑपरेटरों का अध्ययन शामिल है, उसी तरह जैसे अध्ययन के लिए बहुपद बीजगणित का उपयोग किया जाता है। बीजगणितीय किस्मों के, जो बहुपद समीकरणों की प्रणालियों के समाधान सेट हैं। वेइल बीजगणित और ली बीजगणित को विभेदक बीजगणित से संबंधित माना जा सकता है।

अधिक विशेष रूप से, डिफरेंशियल अलजेब्रा 1950 में जोसेफ रिट द्वारा पेश किए गए सिद्धांत को संदर्भित करता है, जिसमें डिफरेंशियल रिंग, डिफरेंशियल फील्ड व्युत्पत्ति (विभेदक बीजगणित) रिंग (गणित), फील्ड (गणित) और बीजगणित से सुसज्जित क्षेत्र पर होते हैं। अनेक व्युत्पत्तियाँ (विभेदक बीजगणित)।

विभेदक क्षेत्र का एक प्राकृतिक उदाहरण जटिल संख्याओं पर एक चर में तर्कसंगत कार्यों का क्षेत्र है, $$\mathbb{C}(t),$$ जहां व्युत्पत्ति के संबंध में भेदभाव है $$t.$$ अधिक सामान्यतः, प्रत्येक अंतर समीकरण को समीकरण में दिखाई देने वाले (ज्ञात) कार्यों द्वारा उत्पन्न अंतर क्षेत्र पर अंतर बीजगणित के एक तत्व के रूप में देखा जा सकता है।

इतिहास
जोसेफ रिट ने विभेदक बीजगणित विकसित किया क्योंकि उन्होंने विभेदक समीकरणों की प्रणालियों को विभिन्न विहित रूपों में कम करने के प्रयासों को एक असंतोषजनक दृष्टिकोण के रूप में देखा। हालाँकि, बीजगणितीय उन्मूलन विधियों और बीजगणितीय मैनिफोल्ड सिद्धांत की सफलता ने रिट को अंतर समीकरणों के लिए एक समान दृष्टिकोण पर विचार करने के लिए प्रेरित किया। उनके प्रयासों से एक प्रारंभिक पेपर मैनिफोल्ड्स ऑफ फंक्शन्स डिफाइन्ड बाय सिस्टम्स ऑफ अलजेब्रिक डिफरेंशियल इक्वेशन और 2 किताबें, डिफरेंशियल इक्वेशन फ्रॉम द अलजेब्रिक स्टैंडपॉइंट और डिफरेंशियल अलजेब्रा सामने आईं। उन्हें>. रिट के छात्र एलिस कल्चेन ने इस क्षेत्र को आगे बढ़ाया और डिफरेंशियल अलजेब्रा एंड अलजेब्रिक ग्रुप्स प्रकाशित किया।

परिभाषा
एक व्युत्पत्ति (विभेदक बीजगणित) $ \partial $ एक अंगूठी पर $ \mathcal{R} $  एक फ़ंक्शन है (गणित) $$\partial : R \to R\,$$ ऐसा है कि $$\partial(r_1 + r_2) = \partial r_1 + \partial r_2$$ और
 * $$\partial(r_1 r_2) = (\partial r_1) r_2 + r_1 (\partial r_2)\quad$$ (प्रॉडक्ट नियम),

हरएक के लिए $$r_1$$ और $$r_2$$ में $$R.$$ व्युत्पत्ति पूर्णांकों पर रैखिक मानचित्र है क्योंकि ये सर्वसमिकाएं निहित होती हैं $$\partial (0)=\partial (1) = 0$$ और $$\partial (-r)=-\partial (r).$$ एक विभेदक वलय एक क्रमविनिमेय वलय है $$R$$ एक या अधिक व्युत्पत्तियों से सुसज्जित जो जोड़ीदार रूप से आवागमन करती हैं; वह है, व्युत्पत्तियों की प्रत्येक जोड़ी और प्रत्येक के लिए $$r\in R.$$ जब केवल एक ही व्युत्पत्ति होती है तो अक्सर एक साधारण अंतर वलय की बात की जाती है; अन्यथा, कोई आंशिक अंतर रिंग की बात करता है

एक विभेदक क्षेत्र एक विभेदक वलय है जो एक क्षेत्र भी है। एक विभेदक बीजगणित $$A$$ एक विभेदक क्षेत्र पर $$K$$ एक विभेदक वलय है जिसमें शामिल है $$K$$ एक सबरिंग के रूप में जैसे कि प्रतिबंध $$K$$ की व्युत्पत्तियों का $$A$$ की व्युत्पत्ति के बराबर $$K.$$ (एक अधिक सामान्य परिभाषा नीचे दी गई है, जो उस मामले को कवर करती है $$K$$ एक फ़ील्ड नहीं है, और अनिवार्य रूप से समतुल्य है जब $$K$$ एक फ़ील्ड है.)

विट बीजगणित एक विभेदक वलय है जिसमें क्षेत्र शामिल होता है $$\Q$$ तर्कसंगत संख्याओं का. समान रूप से, यह एक विभेदक बीजगणित है $$\Q,$$ तब से $$\Q$$ इसे एक विभेदक क्षेत्र के रूप में माना जा सकता है जिस पर प्रत्येक व्युत्पत्ति शून्य कार्य है।

एक विभेदक वलय के स्थिरांक तत्व हैं $$r$$ ऐसा है कि $$\partial r=0$$ प्रत्येक व्युत्पत्ति के लिए $$\partial.$$ एक विभेदक सबरिंग के स्थिरांक एक उपरिंग बनाते हैं और एक भिन्न क्षेत्र के स्थिरांक एक उपक्षेत्र बनाते हैं। स्थिरांक का यह अर्थ एक स्थिर कार्य की अवधारणा को सामान्यीकृत करता है, और इसे स्थिरांक (गणित) के सामान्य अर्थ के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए।

मूल सूत्र
निम्नलिखित पहचान (गणित) में, $$\delta$$ एक विभेदक वलय की व्युत्पत्ति है $$R.$$
 * अगर $$r\in R$$ और $$c$$ में एक स्थिरांक है $$R$$ (वह है, $$\delta c=0$$), तब
 * अगर $$r\in R$$ और $$u$$ में एक इकाई (रिंग सिद्धांत) है $$R,$$ तब
 * अगर $$n$$ एक अऋणात्मक पूर्णांक है और $$r\in R$$ तब
 * अगर $$u_1, \ldots, u_n$$ में इकाइयाँ हैं $$R,$$ और $$n_1, \ldots, n_n$$ पूर्णांक हैं, एक के पास लघुगणकीय व्युत्पन्न पहचान है:

उच्च क्रम व्युत्पत्तियाँ
एक व्युत्पत्ति ऑपरेटर या उच्च क्रम व्युत्पत्ति कई व्युत्पत्तियों की कार्य संरचना है। जैसा कि एक विभेदक रिंग की व्युत्पत्तियों को कम्यूट किया जाना चाहिए, व्युत्पत्तियों का क्रम मायने नहीं रखता है, और एक व्युत्पत्ति ऑपरेटर को इस प्रकार लिखा जा सकता है

कहाँ $$\delta_1, \ldots, \delta_n$$ क्या व्युत्पत्तियाँ विचाराधीन हैं, $$e_1, \ldots, e_n$$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं, और व्युत्पत्ति का घातांक यह दर्शाता है कि ऑपरेटर में यह व्युत्पत्ति कितनी बार बनाई गई है।

योग $$o=e_1+ \cdots +e_n$$ व्युत्पत्ति का क्रम कहलाता है। अगर $$o=1$$ व्युत्पत्ति संचालिका मूल व्युत्पत्तियों में से एक है। अगर $$o=0$$, एक में पहचान फ़ंक्शन होता है, जिसे आम तौर पर ऑर्डर शून्य का अद्वितीय व्युत्पत्ति ऑपरेटर माना जाता है। इन सम्मेलनों के साथ, व्युत्पत्ति संचालक विचाराधीन व्युत्पत्ति के सेट पर एक मुक्त क्रमविनिमेय मोनोइड बनाते हैं।

किसी तत्व का व्युत्पन्न $$x$$ एक विभेदक रिंग का एक व्युत्पत्ति ऑपरेटर का अनुप्रयोग है $$x,$$ अर्थात्, उपरोक्त संकेतन के साथ, $$\delta_1^{e_1} \circ \cdots \circ \delta_n^{e_n}(x).$$ एक उचित व्युत्पन्न सकारात्मक क्रम का व्युत्पन्न है।

विभेदक आदर्श
एक विभेदक आदर्श $$I$$ एक विभेदक वलय का $$R$$ वलय का एक आदर्श (वलय सिद्धांत) है $$R$$ वह रिंग की व्युत्पत्ति के तहत क्लोजर (गणित) (स्थिर) है; वह है, $ \partial x\in I,$ प्रत्येक व्युत्पत्ति के लिए $$\partial$$ और हर $$x\in I.$$. एक विभेदक आदर्श को उचित कहा जाता है यदि वह संपूर्ण वलय नहीं है। भ्रम से बचने के लिए, एक आदर्श जो विभेदक आदर्श नहीं है, उसे कभी-कभी बीजगणितीय आदर्श कहा जाता है।

एक विभेदक आदर्श का मूलांक एक बीजगणितीय आदर्श के रूप में एक आदर्श के मूलांक के समान होता है, अर्थात, वलय तत्वों का समूह जिनकी आदर्श में शक्ति होती है। विभेदक आदर्श का मूलांक भी एक विभेदक आदर्श है। एक रेडिकल या पूर्ण विभेदक आदर्श एक विभेदक आदर्श है जो इसके रेडिकल के बराबर होता है। एक अभाज्य विभेदक आदर्श एक विभेदक विचारधारा है जो सामान्य अर्थों में अभाज्य आदर्श है; अर्थात्, यदि कोई उत्पाद आदर्श से संबंधित है, तो कम से कम एक कारक आदर्श से संबंधित है। एक अभाज्य विभेदक आदर्श हमेशा एक मूल विभेदक आदर्श होता है।

रिट की एक खोज यह है कि, हालांकि बीजगणित का शास्त्रीय सिद्धांत विभेदक आदर्शों के लिए काम नहीं करता है, लेकिन इसका एक बड़ा हिस्सा कट्टरपंथी विभेदक आदर्शों तक बढ़ाया जा सकता है, और यह उन्हें विभेदक बीजगणित में मौलिक बनाता है।

विभेदक आदर्शों के किसी भी परिवार का प्रतिच्छेदन एक विभेदक आदर्श है, और मूल विभेदक आदर्शों के किसी भी परिवार का प्रतिच्छेदन एक मूल विभेदक आदर्श है। यह इस प्रकार है, एक उपसमुच्चय दिया गया है $$S$$ एक विभेदक वलय में, इसके द्वारा उत्पन्न तीन आदर्श होते हैं, जो क्रमशः, सभी बीजगणितीय आदर्शों, सभी विभेदक आदर्शों और सभी मौलिक अंतर आदर्शों के प्रतिच्छेदन होते हैं जिनमें यह शामिल होता है।

द्वारा उत्पन्न बीजगणितीय आदर्श $$S$$ के तत्वों के परिमित रैखिक संयोजनों का समुच्चय है $$S,$$ और आमतौर पर इसे इस रूप में दर्शाया जाता है $$(S)$$ या $$\langle S \rangle.$$ द्वारा उत्पन्न विभेदक आदर्श $$S$$ के तत्वों के परिमित रैखिक संयोजनों का समुच्चय है $$S$$ और इन तत्वों के किसी भी क्रम के व्युत्पन्न; इसे आमतौर पर इस रूप में दर्शाया जाता है $$[S].$$ कब $$S$$ परिमित है, $$[S]$$ आमतौर पर बीजीय आदर्श के रूप में अंतिम रूप से उत्पन्न आदर्श नहीं होता है।

द्वारा उत्पन्न मौलिक विभेदक आदर्श $$S$$ सामान्यतः के रूप में दर्शाया जाता है $$\{S\}.$$ अन्य दो मामलों की तरह इसके तत्व को चित्रित करने का कोई ज्ञात तरीका नहीं है।

विभेदक बहुपद
एक विभेदक क्षेत्र पर एक विभेदक बहुपद $$K$$ विभेदक समीकरण की अवधारणा का एक औपचारिकीकरण है जैसे कि समीकरण में दिखाई देने वाले ज्ञात कार्य संबंधित हैं $$K,$$ और अनिश्चित अज्ञात कार्यों के प्रतीक हैं।

तो चलो $$K$$ एक विभेदक क्षेत्र हो, जो आम तौर पर (लेकिन जरूरी नहीं) तर्कसंगत भिन्नों का एक क्षेत्र हो $$K(X)=K(x_1,\ldots ,x_n)$$ (बहुभिन्नरूपी बहुपदों के भिन्न), व्युत्पत्तियों से सुसज्जित $$\partial_i$$ ऐसा है कि $$\partial_i x_i=1$$ और $$\partial_i x_j=0$$ अगर $$i\neq j$$ (सामान्य आंशिक व्युत्पन्न)।

रिंग को परिभाषित करने के लिए $ K \{ Y \}= K \{ y_1, \ldots, y_n \}$ में विभेदक बहुपदों का $$Y=\{y_1,\ldots, y_n\}$$ व्युत्पत्तियों के साथ $$\partial_1, \ldots, \partial_n,$$ एक रूप के नए अनिश्चितों की अनंतता का परिचय देता है $$\Delta y_i,$$ कहाँ $$\Delta$$ क्या कोई व्युत्पत्ति संचालक क्रम से उच्चतर है $1$. इस संकेतन के साथ, $$K \{ Y \}$$ इन सभी अनिश्चितों में प्राकृतिक व्युत्पत्तियों के साथ बहुपदों का समुच्चय है (प्रत्येक बहुपद में केवल अनिश्चितों की एक सीमित संख्या शामिल होती है)। विशेषकर, यदि $$n=1,$$ किसी के पास
 * $$K\{y\}=K\left[y, \partial y, \partial^2 y, \partial^3 y, \ldots\right].$$

यहां तक ​​कि जब $$n=1,$$ विभेदक बहुपदों का एक वलय नोथेरियन वलय नहीं है। इससे बहुपद वलय के इस सामान्यीकरण का सिद्धांत कठिन हो जाता है। हालाँकि, दो तथ्य ऐसे सामान्यीकरण की अनुमति देते हैं।

सबसे पहले, विभेदक बहुपद की एक सीमित संख्या में एक साथ अनिश्चित संख्याओं की एक सीमित संख्या शामिल होती है। इसका तात्पर्य यह है कि बहुपदों का प्रत्येक गुण जिसमें बहुपदों की एक सीमित संख्या शामिल होती है, विभेदक बहुपदों के लिए सत्य रहता है। विशेष रूप से, सबसे बड़े सामान्य भाजक मौजूद हैं, और विभेदक बहुपदों की एक अंगूठी एक अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन है।

दूसरा तथ्य यह है कि यदि क्षेत्र $$K$$ इसमें परिमेय संख्याओं का क्षेत्र, विभेदक बहुपदों के वलय शामिल हैं $$K$$ मूल अंतर आदर्शों पर आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करें। यह रिट का प्रमेय इसके सामान्यीकरण से निहित है, जिसे कभी-कभी रिट-रौडेनबश आधार प्रमेय भी कहा जाता है जो दावा करता है कि यदि $$R$$ एक रिट बीजगणित है (वह, एक विभेदक वलय है जिसमें तर्कसंगत संख्याओं का क्षेत्र शामिल है), जो कट्टरपंथी अंतर आदर्शों पर आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करता है, फिर अंतर बहुपद की अंगूठी $$R\{y\}$$ एक ही संपत्ति को संतुष्ट करता है (प्रमेय को पुनरावृत्त रूप से लागू करके एक व्यक्ति अविभाज्य से बहुभिन्नरूपी मामले में गुजरता है)।

इस नोथेरियन संपत्ति का तात्पर्य है कि, विभेदक बहुपद की एक अंगूठी में, प्रत्येक कट्टरपंथी अंतर आदर्श परिमित रूप से उत्पन्न होता है, इस अर्थ में कि यह सबसे छोटा कट्टरपंथी अंतर आदर्श है जिसमें बहुपद का एक सीमित सेट होता है। यह जनरेटर के ऐसे सीमित सेट द्वारा एक कट्टरपंथी अंतर आदर्श का प्रतिनिधित्व करने और इन आदर्शों के साथ कंप्यूटिंग की अनुमति देता है। हालाँकि, बीजगणितीय मामले की कुछ सामान्य गणनाओं को बढ़ाया नहीं जा सकता है। विशेष रूप से दो रेडिकल अंतर आदर्शों की समानता के रेडिकल अंतर आदर्श में किसी तत्व की सदस्यता का परीक्षण करने के लिए कोई एल्गोरिदम ज्ञात नहीं है।

नोथेरियन संपत्ति का एक और परिणाम यह है कि एक कट्टरपंथी अंतर आदर्श को विशिष्ट रूप से प्रधान अंतर आदर्शों की एक सीमित संख्या के प्रतिच्छेदन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसे आदर्श के आवश्यक प्रधान घटक कहा जाता है।

उन्मूलन विधियाँ
उन्मूलन सिद्धांत एल्गोरिदम हैं जो विभेदक समीकरणों के सेट से डेरिवेटिव के एक निर्दिष्ट सेट को प्राथमिकता से हटा देते हैं, जो आमतौर पर अंतर समीकरणों के सेट को बेहतर ढंग से समझने और हल करने के लिए किया जाता है।

उन्मूलन विधियों की श्रेणियों में वू की विशेषता सेट विधियों की विधि, विभेदक ग्रोबनेर आधार | ग्रोबनेर आधार विधियां और परिणामी आधारित विधियां शामिल हैं।

उन्मूलन एल्गोरिदम में उपयोग किए जाने वाले सामान्य संचालन में शामिल हैं 1) रैंकिंग व्युत्पन्न, बहुपद और बहुपद सेट, 2) एक बहुपद के प्रमुख व्युत्पन्न, प्रारंभिक और पृथक्करण की पहचान करना, 3) बहुपद कमी, और 4) विशेष बहुपद सेट बनाना।

रैंकिंग डेरिवेटिव
डेरिवेटिव की रैंकिंग एक कुल ऑर्डर और एक स्वीकार्य ऑर्डर है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
 * $ \forall p \in \Theta Y, \ \forall \theta_\mu \in \Theta : \theta_\mu p > p. $
 * $ \forall p,q \in \Theta Y, \ \forall \theta_\mu \in \Theta : p \ge q \Rightarrow \theta_\mu p \ge \theta_\mu q. $

प्रत्येक व्युत्पन्न में एक पूर्णांक ट्यूपल होता है, और एकपदी क्रम व्युत्पन्न के पूर्णांक ट्यूपल को रैंक करके व्युत्पन्न को रैंक करता है। पूर्णांक टपल अंतर अनिश्चित, व्युत्पन्न के बहु-सूचकांक की पहचान करता है और व्युत्पन्न के क्रम की पहचान कर सकता है। रैंकिंग के प्रकारों में शामिल हैं: इस उदाहरण में, पूर्णांक टुपल अंतर अनिश्चित और व्युत्पन्न के बहु-सूचकांक और शब्दकोषीय क्रम की पहचान करता है, $ \ge_\text{lex}$, व्युत्पन्न की रैंक निर्धारित करता है।
 * क्रमबद्ध रैंकिंग : $$ \forall y_i, y_j \in Y, \ \forall \theta_\mu, \theta_\nu \in \Theta \ : \ \operatorname{ord}(\theta_\mu) \ge \operatorname{ord}(\theta_\nu) \Rightarrow \theta_\mu y_i \ge \theta_\nu y_j$$
 * उन्मूलन रैंकिंग : $$\forall y_i, y_j \in Y, \ \forall \theta_\mu, \theta_\nu \in \Theta \ : \ y_i \ge y_j \Rightarrow \theta_\mu y_i \ge \theta_\nu y_j$$
 * $$\eta(\delta_1^{e_1} \circ \cdots \circ \delta_n^{e_n}(y_j))= (j, e_1, \ldots, e_n) $$.
 * $$ \eta(\theta_\mu y_j) \ge_\text{lex} \eta(\theta_\nu y_k) \Rightarrow \theta_\mu y_j \ge \theta_\nu y_k. $$

अग्रणी व्युत्पन्न, प्रारंभिक और विभाजक
यह मानक बहुपद रूप है: $$ p = a_d \cdot u_p^d+ a_{d-1} \cdot u_p^{d-1} + \cdots +a_1 \cdot u_p+ a_0 $$.
 * नेता या अग्रणी व्युत्पन्न बहुपद का सर्वोच्च रैंक वाला व्युत्पन्न है: $$u_p$$.
 * गुणांक $$a_d, \ldots, a_0$$ प्रमुख व्युत्पन्न शामिल नहीं है $u_p$.
 * बहुपद की डिग्री बहुपद का अग्रणी व्युत्पन्न का सबसे बड़ा घातांक है: $$\deg_{u_p}(p) = d$$.
 * प्रारंभिक गुणांक है: $$ I_p=a_d$$.
 * रैंक बहुपद की डिग्री तक उठाया गया प्रमुख व्युत्पन्न है: $$u_p^d$$.
 * विभेदक रूप से बंद फ़ील्ड व्युत्पन्न है: $$ S_p= \frac{\partial p}{\partial u_p}$$.

वे सेट को अलग कर देते हैं $$S_A= \{ S_p \mid p \in A \} $$, प्रारंभिक सेट है $$I_A= \{ I_p \mid p \in A \} $$ और संयुक्त सेट है $H_A= S_A \cup I_A $.

कमी
आंशिक रूप से कम ( आंशिक सामान्य रूप ) बहुपद $q$ बहुपद के संबंध में $p$  इंगित करता है कि ये बहुपद गैर-जमीनी क्षेत्र तत्व हैं, $ p,q \in \mathcal{K} \{ Y \} \setminus \mathcal{K}$, और $$q$$ का कोई उचित व्युत्पन्न नहीं है $$ u_p$$.

आंशिक रूप से कम किया गया बहुपद $q$ बहुपद के संबंध में $p$  बन जाता है घटा हुआ ( सामान्य रूप ) बहुपद $q$ इसके संबंध में $p$  यदि की डिग्री $u_p$  में $q$  की डिग्री से कम है $u_{p}$  में $p$.

एक autoreduced बहुपद सेट में प्रत्येक बहुपद सेट के हर दूसरे बहुपद के संबंध में कम हो जाता है। प्रत्येक स्वतः कम किया गया सेट परिमित है। एक स्वतः कम किया गया सेट त्रिकोणीय अपघटन है जिसका अर्थ है कि प्रत्येक बहुपद तत्व का एक अलग अग्रणी व्युत्पन्न होता है।

रिट का न्यूनीकरण एल्गोरिथ्म पूर्णांकों की पहचान करता है $i_{A_{k}}, s_{A_{k}}$ और एक विभेदक बहुपद को रूपांतरित करता है $f$  निम्न या समान रैंक वाले शेष बहुपद के लिए बहुपद के सबसे बड़े सामान्य भाजक का उपयोग करना $ f_{red}$  यह स्वतः कम किए गए बहुपद सेट के संबंध में कम हो गया है $ A$. एल्गोरिथम का पहला चरण इनपुट बहुपद को आंशिक रूप से कम करता है और एल्गोरिथम का दूसरा चरण बहुपद को पूरी तरह से कम करता है। कमी का सूत्र है:
 * $$ f_\text{red} \equiv \prod_{A_k \in A} I_{A_k}^{i_{A_k}} \cdot S_{A_k}^{i_{A_k}} \cdot f, \pmod{[A]} \text{ with  } i_{A_k}, s_{A_k} \in \mathbb{N}. $$

रैंकिंग बहुपद सेट
तय करना $A$ यदि अग्रणी डेरिवेटिव की रैंक है तो यह एक विभेदक श्रृंखला है $u_{A_{1}} < \dots < u_{A_{m}} $  और $\forall i, \ A_{i}$  के संबंध में कम किया गया है $A_{i+1}$

स्वतः कम किए गए सेट $A$ और $B$  प्रत्येक में क्रमबद्ध बहुपद तत्व होते हैं। यह प्रक्रिया समान रूप से अनुक्रमित जोड़े की तुलना करके दो स्वचालित सेटों को रैंक करती है दोनों स्वतः कम किए गए सेटों से बहुपद।
 * $$A_1 < \cdots < A_m \in A $$ और $$B_1 < \cdots < B_n \in B $$ और $$ i,j,k \in \mathbb{N}$$.
 * $$ \text{rank } A < \text{rank } B $$ अगर वहां एक है $$ k \le \operatorname{minimum}(m,n) $$ ऐसा है कि $$ A_i = B_i$$ के लिए $ 1 \le i < k $ और $$ A_k < B_k $$.
 * $$ \operatorname{rank} A < \operatorname{rank} B $$ अगर $$ n < m $$ और $$A_i = B_i$$ के लिए $$1 \le i \le n $$.
 * $$ \operatorname{rank} A = \operatorname{rank} B $$ अगर $$ n = m $$ और $$A_i = B_i$$ के लिए $$1 \le i \le n $$.

बहुपद समुच्चय
एक विशेषता सेट $C$ आदर्श के सभी स्वतः कम किए गए उपसमुच्चय के बीच आर्ग मैक्स स्वतः कम किए गए उपसमुच्चय है जिनके उपसमुच्चय बहुपद विभाजक आदर्श के गैर-सदस्य हैं $\mathcal{I}$.

डेल्टा बहुपद बहुपद युग्म पर लागू होता है $p,q$ जिनके नेता एक समान व्युत्पन्न साझा करते हैं, $\theta_{\alpha} u_{p}= \theta_{\beta} u_{q}$. बहुपद जोड़ी के अग्रणी व्युत्पन्न के लिए सबसे कम सामान्य व्युत्पन्न ऑपरेटर है $\theta_{pq}$, और डेल्टा बहुपद है:
 * $$\operatorname{\Delta - poly}(p,q)= S_{q} \cdot \frac{\theta_{pq} p}{\theta_{p}} - S_{p} \cdot \frac{\theta_{pq} q}{\theta_{q}} $$

एक सुसंगत समुच्चय एक बहुपद समुच्चय है जो इसके डेल्टा बहुपद युग्मों को शून्य कर देता है।

नियमित व्यवस्था और नियमित आदर्श
एक नियमित प्रणाली $\Omega$ इसमें अंतर समीकरणों का एक स्वचालित और सुसंगत सेट शामिल है $A$  और एक असमिका समुच्चय $H_{\Omega} \supseteq H_A$  सेट के साथ $H_\Omega $  समीकरण सेट के संबंध में कम हो गया।

नियमित अंतर आदर्श $\mathcal{I}_\text{dif} $ और नियमित बीजगणितीय आदर्श $\mathcal{I}_\text{alg} $  आदर्श भागफल हैं जो एक नियमित प्रणाली से उत्पन्न होते हैं। लेज़ार्ड का लेम्मा बताता है कि नियमित अंतर और नियमित बीजगणितीय आदर्श कट्टरपंथी आदर्श हैं।
 * नियमित अंतर आदर्श : $\mathcal{I}_\text{dif}=[A]:H_\Omega^\infty.$
 * नियमित बीजगणितीय आदर्श : $\mathcal{I}_\text{dif}=(A):H_\Omega^\infty.$

रोसेनफेल्ड-ग्रोबनेर एल्गोरिदम
रोसेनफेल्ड-ग्रोबनेर एल्गोरिथ्म नियमित रेडिकल अंतर आदर्शों के एक सीमित प्रतिच्छेदन के रूप में रेडिकल अंतर आदर्श को विघटित करता है। विशिष्ट सेटों द्वारा दर्शाए गए ये नियमित विभेदक कट्टरपंथी आदर्श आवश्यक रूप से प्रमुख आदर्श नहीं हैं और प्रतिनिधित्व आवश्यक रूप से प्राथमिक अपघटन नहीं है।

सदस्यता समस्या यह निर्धारित करना है कि क्या एक विभेदक बहुपद है $p$ विभेदक बहुपदों के एक सेट से उत्पन्न आदर्श का एक सदस्य है $S$. रोसेनफेल्ड-ग्रोबनेर एल्गोरिदम ग्रोबनेर आधारों के सेट उत्पन्न करता है। एल्गोरिदम यह निर्धारित करता है कि एक बहुपद आदर्श का सदस्य है यदि और केवल तभी जब आंशिक रूप से कम किया गया शेष बहुपद ग्रोबनर आधारों द्वारा उत्पन्न बीजगणितीय आदर्श का सदस्य हो।

रोसेनफेल्ड-ग्रोबनेर एल्गोरिदम अंतर समीकरणों के समाधान के टेलर श्रृंखला विस्तार बनाने की सुविधा प्रदान करता है।

विभेदक क्षेत्र
उदाहरण 1: $(\operatorname{Mer}(\operatorname{f}(y), \partial_{y} )$ एकल मानक व्युत्पत्ति के साथ विभेदक मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन फ़ील्ड है।

उदाहरण 2: $(\mathbb{C} \{ y \}, (1+3 \cdot y + y^{2}) \cdot \partial_{y} ) $ व्युत्पत्ति के रूप में एक विभेदक ऑपरेटर के साथ एक विभेदक क्षेत्र है।

व्युत्पत्ति
परिभाषित करना $E^{a}(p(y))=p(y+a)$ शिफ्ट ऑपरेटर के रूप में $E^{a}$  बहुपद के लिए $p(y)$.

एक शिफ्ट-इनवेरिएंट ऑपरेटर $T$ शिफ्ट ऑपरेटर के साथ आवागमन: $E^{a} \circ T=T \circ E^{a}$.

पिंचरले व्युत्पन्न, शिफ्ट-इनवेरिएंट ऑपरेटर की व्युत्पत्ति $T$ , है $T^{\prime} = T \circ y - y \circ T $.

स्थिरांक
पूर्णांकों का वलय है $$(\mathbb{Z}. \delta)$$, और प्रत्येक पूर्णांक एक स्थिरांक है।
 * 1 की व्युत्पत्ति शून्य है. $ \delta(1)=\delta(1 \cdot 1)=\delta(1) \cdot 1 + 1 \cdot \delta(1) = 2 \cdot \delta(1) \Rightarrow \delta(1)=0$.
 * भी, $$ \delta(m+1)=\delta(m)+\delta(1)=\delta(m) \Rightarrow \delta(m+1)=\delta(m) $$.
 * प्रेरण द्वारा, $$ \delta(1)=0 \ \wedge \ \delta(m+1)= \delta(m) \Rightarrow \forall \ m \in \mathbb{Z}, \ \delta(m)=0 $$.

परिमेय संख्याओं का क्षेत्र है $$(\mathbb{Q}. \delta)$$, और प्रत्येक परिमेय संख्या एक स्थिरांक है।
 * प्रत्येक परिमेय संख्या पूर्णांकों का भागफल होती है।
 * $$ \forall r \in \mathbb{Q}, \ \exists \ a \in \mathbb{Z}, \ b \in \mathbb{Z}/ \{ 0 \}, \ r=\frac{a}{b} $$


 * यह मानते हुए कि पूर्णांकों की व्युत्पत्तियाँ शून्य हैं, भागफल के लिए व्युत्पत्ति सूत्र लागू करें:
 * $$ \delta (r)= \delta \left ( \frac{a}{b} \right ) = \frac{\delta(a) \cdot b - a \cdot \delta(b)}{b^{2}}=0 $$.

डिफरेंशियल सबरिंग
स्थिरांक स्थिरांक के उप-समूह का निर्माण करते हैं $(\mathbb{C}, \partial_{y}) \subset (\mathbb{C} \{ y \}, \partial_{y}) $.

विभेदक आदर्श
तत्व $\exp(y)$ बस विभेदक आदर्श उत्पन्न करता है $ [\exp(y)] $  अंतर रिंग में $(\mathbb{C} \{ y, \exp(y) \}, \partial_{y}) $.

एक अंतर वलय पर बीजगणित
पहचान वाली कोई भी अंगूठी एक है $\operatorname{\mathcal{Z}-}$ बीजगणित. इस प्रकार एक विभेदक वलय है $\operatorname{\mathcal{Z}-}$ बीजगणित

अगर अंगूठी $\mathcal{R}$ यूनिटल रिंग के केंद्र का एक उपरिंग है $\mathcal{M}$, तब $\mathcal{M}$  एक $\operatorname{\mathcal{R}-}$ बीजगणित इस प्रकार, एक विभेदक वलय अपने विभेदक उपरिंग पर एक बीजगणित है। यह बीजगणित की उसके उप-अंगूठे पर प्राकृतिक संरचना है।

विशेष और सामान्य बहुपद
अँगूठी $(\mathbb{Q} \{ y, z \}, \partial_y) $ अघुलनशील बहुपद हैं, $p$  (सामान्य, वर्गमुक्त) और $q$  (विशेष, आदर्श जनरेटर)।
 * $ \partial_y(y)=1, \ \partial_y(z)=1+z^2, \ z=\tan(y)$ : $p(y)=1+y^2, \ \partial_y(p)=2 \cdot y,\ \gcd(p, \partial_y(p))=1$
 * $q(z)=1+z^2, \ \partial_y(q)=2 \cdot z \cdot (1+z^2),\ \gcd(q, \partial_{y}(q))=q$

रैंकिंग
अँगूठी $(\mathbb{Q} \{ y_{1}, y_{2} \}, \delta)$ व्युत्पन्न है $\delta(y_{1})=y_{1}^{\prime}$  और $\delta(y_{2})=y_{2}^{\prime}$  * प्रत्येक व्युत्पन्न को पूर्णांक टपल में मैप करें: $\eta( \delta^{(i_{2})}(y_{i_{1}}) )=(i_{1}, i_{2})$.
 * रैंक डेरिवेटिव और पूर्णांक टुपल्स: $ y_{2}^{\prime \prime} \ (2,2) > y_{2}^{\prime} \ (2,1) > y_{2} \ (2,0) > y_{1}^{\prime \prime} \ (1,2) > y_{1}^{\prime} \ (1,1) > y_{1} \ (1,0) $.

अग्रणी व्युत्पन्न और प्रारंभिक
अग्रणी व्युत्पन्न, और प्रारंभिक हैं:
 * $ p={\color{Blue} (y_{1}+ y_{1}^{\prime})} \cdot ({\color{Red} y_{2}^{\prime \prime}})^{2} + 3 \cdot y_{1}^{2} \cdot {\color{Red}y_{2}^{\prime \prime}} + (y_{1}^{\prime})^{2} $ : $ q={\color{Blue}(y_{1}+ 3 \cdot y_{1}^{\prime})} \cdot {\color{Red} y_{2}^{\prime \prime}} + y_{1} \cdot y_{2}^{\prime} + (y_{1}^{\prime})^{2} $  : $ r= {\color{Blue} (y_{1}+3)} \cdot ({\color{Red} y_{1}^{\prime \prime}})^{2} + y_{1}^{2} \cdot {\color{Red} y_{1}^{\prime \prime}}+ 2 \cdot y_{1} $

विभाजक

 * $ S_{p}= 2 \cdot (y_{1}+ y_{1}^{\prime}) \cdot y_{2}^{\prime \prime} + 3 \cdot y_{1}^{2}$.
 * $ S_{q}= y_{1}+ 3 \cdot y_{1}^{\prime}$
 * $ S_{r}= 2 \cdot (y_{1}+3) \cdot y_{1}^{\prime \prime} + y_{1}^{2}$

स्वचालित सेट

 * ऑटोरेड्यूस्ड सेट हैं $\{ p, r \}$ और $ \{ q, r \}$ . प्रत्येक सेट एक अलग बहुपद अग्रणी व्युत्पन्न के साथ त्रिकोणीय है।
 * गैर-स्वचालित सेट $ \{ p, q \} $ केवल आंशिक रूप से कम किया गया है $p$  इसके संबंध में $q$ ; यह समुच्चय गैर-त्रिकोणीय है क्योंकि बहुपदों का अग्रणी अवकलज समान है।

प्रतीकात्मक एकीकरण
प्रतीकात्मक एकीकरण बहुपदों और उनके डेरिवेटिव जैसे हर्मिट रिडक्शन, सीज़िचोव्स्की एल्गोरिदम, लैजार्ड-रियोबू-ट्रेजर एल्गोरिदम, होरोविट्ज़-ओस्ट्रोग्रैडस्की एल्गोरिदम, स्क्वायरफ्री फैक्टराइजेशन और विशेष और सामान्य बहुपदों को विभाजित करने वाले फैक्टराइजेशन से जुड़े एल्गोरिदम का उपयोग करता है।

विभेदक समीकरण
विभेदक बीजगणित यह निर्धारित कर सकता है कि विभेदक बहुपद समीकरणों के एक सेट का कोई समाधान है या नहीं। कुल ऑर्डर रैंकिंग बीजगणितीय बाधाओं की पहचान कर सकती है। एक उन्मूलन रैंकिंग यह निर्धारित कर सकती है कि स्वतंत्र चर का एक या चयनित समूह अंतर समीकरणों को व्यक्त कर सकता है या नहीं। त्रिकोणीय अपघटन और उन्मूलन क्रम का उपयोग करके, चरण-वार विधि में एक समय में एक अंतर अनिश्चित अंतर समीकरणों को हल करना संभव हो सकता है। एक अन्य दृष्टिकोण ज्ञात समाधान प्रपत्र के साथ विभेदक समीकरणों का एक वर्ग बनाना है; किसी अवकल समीकरण को उसके वर्ग से मिलाने से समीकरण के समाधान की पहचान हो जाती है। समीकरणों की विभेदक-बीजगणितीय प्रणाली | समीकरणों की विभेदक-बीजगणितीय प्रणाली के संख्यात्मक एकीकरण की सुविधा के लिए विधियाँ उपलब्ध हैं।

कैओस सिद्धांत के साथ गैर-रेखीय गतिशील प्रणालियों के एक अध्ययन में, शोधकर्ताओं ने अंतर समीकरणों को एकल राज्य चर से जुड़े सामान्य अंतर समीकरणों में कम करने के लिए अंतर उन्मूलन का उपयोग किया। वे ज्यादातर मामलों में सफल रहे, और इससे अनुमानित समाधान विकसित करने, अराजकता का कुशलतापूर्वक मूल्यांकन करने और ल्यपुनोव समारोह का निर्माण करने में मदद मिली। शोधकर्ताओं ने जैव रासायनिक प्रतिक्रियाओं के लिए कोशिका जीव विज्ञान, शारीरिक रूप से आधारित फार्माकोकाइनेटिक मॉडलिंग, पैरामीटर अनुमान और स्थिर अवस्था (रसायन विज्ञान)|अर्ध-स्थिर अवस्था सन्निकटन (QSSA) को समझने के लिए विभेदक उन्मूलन लागू किया है। विभेदक ग्रोबनेर आधारों का उपयोग करते हुए, शोधकर्ताओं ने गैर-रेखीय प्रणाली | गैर-रेखीय अंतर समीकरणों के गणित गुणों में गैर-शास्त्रीय समरूपता की जांच की है। अन्य अनुप्रयोगों में नियंत्रण सिद्धांत, मॉडल सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति शामिल हैं। अवकल बीजगणित अवकल-अंतर समीकरणों पर भी लागू होता है।<!--

डिफरेंशियल ग्रेडेड वेक्टर स्पेस
ए $\operatorname{\mathbb{Z} - graded}$  श्रेणीबद्ध सदिश स्थान  $V_{\bullet} $  वेक्टर रिक्त स्थान का एक संग्रह है $V_{m}$  पूर्णांक डिग्री के साथ $|v|=m$  के लिए $ v\in V_{m}$. एक सीधा योग इस श्रेणीबद्ध वेक्टर स्थान का प्रतिनिधित्व कर सकता है:
 * $$V_{\bullet} = \bigoplus_{m \in \mathbb{Z}} V_{m}$$

एक डिफरेंशियल ग्रेडेड वेक्टर स्पेस या श्रृंखला जटिल, एक ग्रेडेड वेक्टर स्पेस है $V_{\bullet}$ विभेदक मानचित्र या सीमा मानचित्र के साथ $d_{m}: V_{m} \to V_{m-1}$  साथ $$ d_{m} \circ d_{m+1} = 0 $$.

एक श्रृंखला परिसर एक श्रेणीबद्ध वेक्टर स्थान है $V^{\bullet}$ विभेदक मानचित्र या सहसीमा मानचित्र के साथ $d_{m}: V_{m} \to V_{m+1}$ साथ $$ d_{m+1} \circ d_{m} = 0 $$.

विभेदक श्रेणीबद्ध बीजगणित
विभेदक श्रेणीबद्ध बीजगणित एक श्रेणीबद्ध बीजगणित है $A$ एक रेखीय व्युत्पत्ति के साथ $d: A \to A $  साथ $$d \circ d=0 $$ जो श्रेणीबद्ध लीबनिज़ उत्पाद नियम का पालन करता है।
 * ग्रेडेड लीबनिज़ उत्पाद नियम: $$\forall a,b \in A, \ d(a \cdot b)=d(a) \cdot b + (-1)^{|a|} \cdot a \cdot d(b)$$ साथ $$|a|$$ वेक्टर की डिग्री $$a$$.

झूठ बीजगणित
एक झूठ बीजगणित एक परिमित-आयामी वास्तविक या जटिल वेक्टर स्थान है $\mathcal{g}$  द्विरेखीय रूप  ब्रैकेट ऑपरेटर के साथ $[,]:\mathcal{g} \times \mathcal{g} \to \mathcal{g} $  बिलिनियर फॉर्म और जैकोबी पहचान संपत्ति के साथ। सभी के लिए $$ X, Y, Z \in \mathcal{g}$$.
 * तिरछी समरूपता: $$ [X,Y]= -[Y,X]$$
 * जैकोबी पहचान संपत्ति: $$ [X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]] + [Z,[X,Y]]=0 $$

आसन्न ऑपरेटर, $\operatorname{ad_{X}}(Y)=[Y,X]$ एक कम्यूटेटर है क्योंकि बाइनरी ब्रैकेट ऑपरेशन पर एडजॉइंट का प्रभाव बाइनरी उत्पाद ऑपरेशन पर व्युत्पत्ति के प्रभाव के अनुरूप होता है। यह आंतरिक व्युत्पत्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है $X$.
 * $$ \operatorname{ad}_{X}([Y,Z]) = [\operatorname{ad}_{X}(Y),Z] + [Y,\operatorname{ad}_{X}(Z)] $$

सार्वभौमिक आवरण बीजगणित $U(\mathcal{g})$ झूठ बीजगणित का $\mathcal{g}$  पहचान के साथ एक अधिकतम साहचर्य बीजगणित है, जो लाई बीजगणित तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है $\mathcal{g}$  और ब्रैकेट ऑपरेशन द्वारा परिभाषित उत्पाद शामिल हैं। मैक्सिमल का अर्थ है कि एक रैखिक समरूपता सार्वभौमिक बीजगणित को किसी अन्य बीजगणित में मैप करती है जिसमें अन्यथा ये गुण होते हैं। एडजॉइंट ऑपरेटर लीबनिज उत्पाद नियम का पालन करते हुए एक व्युत्पत्ति है। सभी के लिए $$ X,Y,Z \in U(\mathcal{g}) $$.
 * उत्पाद में $$U(\mathcal{g})$$ : $$X \cdot Y - Y \cdot X = [X,Y]$$
 * लाइबनिज़ उत्पाद नियम: $$\operatorname{ad}_{X}( Y \cdot Z)=\operatorname{ad}_{X}(Y) \cdot Z + Y \cdot \operatorname{ad}_{X}(Z)$$

वेइल बीजगणित
वेइल बीजगणित एक बीजगणित है $A_{n}(K)$ एक अंगूठी के ऊपर $K [p_{1}, q_{1}, \dots, p_{n}, q_{n}]$  एक विशिष्ट गैर-अनुवांशिक उत्पाद के साथ:
 * $$ p_{i} \cdot q_{i} - q_{i} \cdot p_{i}=1, \ : \ i \in \{1, \dots, n \} $$.

अन्य सभी अनिश्चित उत्पाद क्रमविनिमेय हैं $i,j \in \{1, \dots, n \}$ :
 * $$ p_{i} \cdot q_{j} - q_{j} \cdot p_{i}=0 \text{ if  } i \ne j, \ p_{i} \cdot p_{j} - p_{j} \cdot p_{i}=0, \ q_{i} \cdot q_{j} - q_{j} \cdot q_{i}=0 $$.

एक वेइल बीजगणित एक क्रमविनिमेय वलय के बहुपदों की व्युत्पत्तियों का प्रतिनिधित्व कर सकता है $f \in K[y_{1}, \ldots, y_{n}]$. वेइल बीजगणित के तत्व एंडोमोर्फिज्म, तत्व हैं $p_{1}, \ldots, p_{n}$ मानक व्युत्पत्तियों के रूप में कार्य करते हैं, और मानचित्र रचनाएँ विभेदक ऑपरेटर उत्पन्न करती हैं। डी-मॉड्यूल विभेदक ऑपरेटरों को समझने के लिए एक संबंधित दृष्टिकोण है। एंडोमोर्फिज्म हैं:
 * $$ q_{j} (y_{k})= y_{j} \cdot y_{k}, \ q_{j}(c)= c \cdot y_{j} \text{ with  } c \in K, \ p_{j}(y_{j})=1, \ p_{j}(y_{k})=0 \text{  if  } j \ne k, \ p_{j}(c)= 0 \text{  with  } c \in K $$

छद्मविभेदक ऑपरेटर रिंग
साहचर्य, संभवतः गैर-अनुवांशिक वलय $A$ व्युत्पत्ति है $d: A \to A $.

छद्म-विभेदक ऑपरेटर रिंग $A((\partial^{-1}))$ एक बायां है $\operatorname{A-module}$  रिंग तत्वों से युक्त $L$ :
 * $$ a_i \in A, \ i,i_{\min} \in \mathbb{N}, \ |i_{\min}| > 0 \ : \ L= \sum_{i \ge i_{\min}}^n a_i \cdot \partial^i$$

व्युत्पन्न ऑपरेटर है $ d(a) = \partial \circ a - a \circ \partial $.

द्विपद गुणांक है $$\Bigl( {i \atop k} \Bigr)$$.

छद्म-अंतर ऑपरेटर गुणन है:
 * $$\sum_{i \ge i_{\min}}^n a_i \cdot \partial^i \cdot \sum_{j\ge j_{\min}}^m b_{i} \cdot \partial^j = \sum_{i,j;k \ge 0} \Bigl( {i \atop k} \Bigr) \cdot a_i \cdot d^k(b_j) \cdot \partial^{i+j-k}$$

चुनौतीपूर्ण समस्याएँ
रिट समस्या पूछती है कि क्या कोई एल्गोरिदम है जो यह निर्धारित करता है कि क्या एक प्रमुख अंतर आदर्श में दूसरा प्रमुख अंतर आदर्श होता है जब विशेषता सेट दोनों आदर्शों की पहचान करते हैं।

कोल्चिन कैटेनरी अनुमान में कहा गया है $d>0$ आयामी अघुलनशील अंतर बीजगणितीय विविधता $ V$  और एक मनमाना बिंदु $ p \in V$, इरेड्यूसिबल डिफरेंशियल बीजगणितीय उपवर्गों की एक लंबी अंतराल श्रृंखला से उत्पन्न होती है $ p $  अक्षर बी.

जैकोबी बाउंड समस्या एक विभेदक किस्म के अपरिवर्तनीय घटक के क्रम के लिए ऊपरी सीमा से संबंधित है। बहुपद के आदेश एक जैकोबी संख्या निर्धारित करते हैं, और अनुमान यह है कि जैकोबी संख्या इस सीमा को निर्धारित करती है।

बाहरी संबंध

 * David Marker's home page has several online surveys discussing differential fields.