माध्य मुक्त पथ

भौतिक विज्ञान में, माध्य मुक्त पथ वह औसत दूरी है जिस पर गतिमान कण (जैसे कि एक परमाणु, एक अणु, या एक फोटॉन) अपनी दिशा या ऊर्जा (या, एक विशिष्ट संदर्भ में, अन्य गुणों में) को बदलने से पहले यात्रा करता है, आमतौर पर अन्य कणों के साथ एक या एक से अधिक लगातार टक्करों का परिणाम।

बिखराव सिद्धांत
एक लक्ष्य के माध्यम से गोली मारने वाले कणों की एक किरण की कल्पना करें, और लक्ष्य के एक अत्यंत पतले स्लैब पर विचार करें (चित्र देखें)। बीम कण को ​​​​रोकने वाले परमाणु (या कण) लाल रंग में दिखाए जाते हैं। माध्य मुक्त पथ का परिमाण तंत्र की विशेषताओं पर निर्भर करता है। यह मानते हुए कि सभी लक्ष्य कण आराम पर हैं, लेकिन केवल बीम कण ही ​​गतिमान है, जो माध्य मुक्त पथ के लिए एक अभिव्यक्ति देता है:


 * $$\ell = (\sigma n)^{-1},$$

कहाँ $ℓ$ माध्य मुक्त पथ है, $n$ प्रति इकाई आयतन लक्ष्य कणों की संख्या है, और $&sigma;$ टक्कर के लिए प्रभावी क्रॉस सेक्शन (भौतिकी) | क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र है।

स्लैब का क्षेत्रफल है $L^{2}$, और इसकी मात्रा है $L^{2} dx$. स्लैब में परमाणुओं को रोकने की विशिष्ट संख्या एकाग्रता है $n$ गुना मात्रा, यानी, $n L^{2} dx$. संभावना है कि उस स्लैब में एक बीम कण बंद हो जाएगा, स्लैब के कुल क्षेत्र से विभाजित परमाणुओं के शुद्ध क्षेत्र का शुद्ध क्षेत्र है:


 * $$\mathcal{P}(\text{stopping within }dx) = \frac{\text{Area}_\text{atoms}}{\text{Area}_\text{slab}} = \frac{\sigma n L^{2}\, dx}{L^{2}} = n \sigma\, dx,$$

कहाँ $&sigma;$ एक परमाणु का क्षेत्र (या, अधिक औपचारिक रूप से, बिखरने वाला क्रॉस-सेक्शन) है।

बीम की तीव्रता में गिरावट आने वाली बीम की तीव्रता के बराबर होती है, जिसे स्लैब के भीतर कण के रुकने की संभावना से गुणा किया जाता है:


 * $$dI = -I n \sigma \,dx.$$

यह एक साधारण अंतर समीकरण है:


 * $$\frac{dI}{dx} = -I n \sigma \overset{\text{def}}{=} -\frac{I}{\ell},$$

जिसका समाधान बीयर-लैंबर्ट कानून के रूप में जाना जाता है और इसका रूप है $$I = I_{0} e^{-x/\ell}$$, कहाँ $x$ लक्ष्य के माध्यम से बीम द्वारा तय की गई दूरी है, और $I_{0}$ लक्ष्य में प्रवेश करने से पहले बीम की तीव्रता है; $ℓ$ को औसत मुक्त पथ कहा जाता है क्योंकि यह रुकने से पहले बीम कण द्वारा तय की गई औसत दूरी के बराबर होता है। इसे देखने के लिए, ध्यान दें कि एक कण के बीच अवशोषित होने की संभावना $x$ और $x + dx$ द्वारा दिया गया है


 * $$d\mathcal{P}(x) = \frac{I(x)-I(x+dx)}{I_0} = \frac{1}{\ell} e^{-x/\ell} dx.$$

इस प्रकार की अपेक्षा मूल्य (या औसत, या बस मतलब)। $x$ है


 * $$\langle x \rangle \overset{\text{def}}{=} \int_0^\infty x d\mathcal{P}(x) = \int_0^\infty \frac{x}{\ell} e^{-x/\ell} \, dx = \ell.$$

कणों का अंश जो स्लैब द्वारा रोका नहीं जाता (क्षीणन) संप्रेषण कहलाता है $$T = I/I_{0} = e^{-x/\ell}$$, कहाँ $x$ स्लैब की मोटाई के बराबर है।

गैसों का गतिज सिद्धांत
गैसों के गतिज सिद्धांत में, एक कण का औसत मुक्त पथ, जैसे अणु, वह औसत दूरी है जो कण अन्य गतिशील कणों के साथ टकराव के बीच यात्रा करता है। ऊपर की व्युत्पत्ति लक्ष्य कणों को आराम पर मानती है; इसलिए, वास्तव में, सूत्र $$\ell = (n\sigma)^{-1}$$ एक बीम कण के लिए एक उच्च गति के साथ रखता है $$v$$ यादृच्छिक स्थानों के साथ समान कणों के समूह के वेग के सापेक्ष। उस स्थिति में, लक्षित कणों की गति तुलनात्मक रूप से नगण्य होती है, इसलिए सापेक्ष वेग $$v_{\rm rel} \approx v$$.

यदि, दूसरी ओर, बीम कण समान कणों के साथ स्थापित संतुलन का हिस्सा है, तो सापेक्ष वेग का वर्ग है:

$$\overline{\mathbf{v}_{\rm relative}^2}=\overline{(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2)^2} =\overline{\mathbf{v}_1^2+\mathbf{v}_2^2-2\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2}.$$ संतुलन में, $$\mathbf{v}_1$$ और $$\mathbf{v}_2$$ यादृच्छिक और असंबद्ध हैं, इसलिए $$\overline{\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2}=0$$, और सापेक्ष गति है

$$v_{\rm rel}=\sqrt{\overline{\mathbf{v}_{\rm relative}^2}} =\sqrt{\overline{\mathbf{v}_1^2+\mathbf{v}_2^2}} =\sqrt{2}v.$$ इसका मतलब है कि टक्करों की संख्या है $$\sqrt{2}$$ स्थिर लक्ष्यों के साथ संख्या का गुना। इसलिए, निम्न संबंध लागू होता है:
 * $$\ell = (\sqrt{2}\, n\sigma)^{-1},$$

और उपयोग करना $$n = N/V = p/(k_\text{B}T)$$ (आदर्श गैस कानून) और $$\sigma = \pi (2r)^2 = \pi d^2$$ (त्रिज्या के साथ गोलाकार कणों के लिए प्रभावी पार-अनुभागीय क्षेत्र $$r$$), यह दिखाया जा सकता है कि माध्य मुक्त पथ है
 * $$\ell = \frac{k_\text{B}T}{\sqrt 2 \pi d^2 p},$$

जहां के$B$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है, $$p$$ गैस का दबाव है और $$T$$ परम तापमान है।

व्यवहार में, गैस के अणुओं का व्यास ठीक से परिभाषित नहीं है। वास्तव में, एक अणु के गतिज व्यास को माध्य मुक्त पथ के रूप में परिभाषित किया जाता है। आमतौर पर, गैस के अणु कठोर गोले की तरह व्यवहार नहीं करते हैं, बल्कि बड़ी दूरी पर एक दूसरे को आकर्षित करते हैं और कम दूरी पर एक दूसरे को पीछे हटाते हैं, जैसा कि लेनार्ड-जोन्स क्षमता के साथ वर्णित किया जा सकता है। ऐसे नरम अणुओं से निपटने का एक तरीका व्यास के रूप में लेनार्ड-जोन्स σ पैरामीटर का उपयोग करना है।

एक अन्य तरीका यह है कि एक कठोर गोले वाली गैस की कल्पना की जाए जिसमें वास्तविक गैस के समान गतिशील चिपचिपाहट हो। यह एक औसत मुक्त मार्ग की ओर जाता है
 * $$\ell = \frac{\mu}{\rho} \sqrt{\frac{\pi m}{2 k_\text{B}T}}=\frac{\mu}{p} \sqrt{\frac{\pi k_\text{B}T}{2 m}},$$

कहाँ $$m $$ आणविक द्रव्यमान है, $$\rho= m p/(k_\text{B}T)$$ आदर्श गैस का घनत्व है, और μ गतिशील चिपचिपापन है। इस अभिव्यक्ति को निम्नलिखित सुविधाजनक रूप में रखा जा सकता है


 * $$\ell = \frac{\mu}{p} \sqrt{\frac{\pi R_{\rm specific}T}{2}},$$

साथ $$ R_{\rm specific}=k_\text{B}/m $$ विशिष्ट गैस स्थिरांक होने के नाते, हवा के लिए 287 J/(kg*K) के बराबर।

निम्न तालिका कमरे के तापमान पर विभिन्न दबावों पर हवा के कुछ विशिष्ट मूल्यों को सूचीबद्ध करती है। ध्यान दें कि आणविक व्यास की अलग-अलग परिभाषाएँ, साथ ही वायुमंडलीय दबाव (100 बनाम 101.3 kPa) और कमरे के तापमान (293.17 K बनाम 296.15 K या 300 K) के मान के बारे में अलग-अलग धारणाएँ, माध्य मुक्त के थोड़े अलग मूल्यों को जन्म दे सकती हैं। पथ।

रेडियोग्राफी
गामा-रे रेडियोग्राफ़  में मोनो-ऊर्जावान फोटॉनों के एक पेंसिल बीम का औसत मुक्त पथ वह औसत दूरी है जो एक फोटॉन लक्ष्य सामग्री के परमाणुओं के साथ टकराव के बीच यात्रा करता है। यह सामग्री और फोटॉन की ऊर्जा पर निर्भर करता है:


 * $$\ell = \mu^{-1} = ( (\mu/\rho) \rho)^{-1},$$

जहां μ रैखिक क्षीणन गुणांक है, μ/ρ द्रव्यमान क्षीणन गुणांक है और ρ सामग्री का घनत्व है। बड़े पैमाने पर क्षीणन गुणांक को राष्ट्रीय मानक और प्रौद्योगिकी संस्थान (NIST) डेटाबेस का उपयोग करके किसी भी सामग्री और ऊर्जा संयोजन के लिए देखा या गणना की जा सकती है। एक्स-रे रेडियोग्राफी में औसत मुक्त पथ की गणना अधिक जटिल होती है, क्योंकि फोटॉन मोनो-ऊर्जावान नहीं होते हैं, लेकिन ऊर्जा का कुछ आवृत्ति वितरण होता है जिसे स्पेक्ट्रम कहा जाता है। चूंकि फोटॉन लक्षित सामग्री के माध्यम से आगे बढ़ते हैं, वे अपनी ऊर्जा के आधार पर संभावनाओं के साथ क्षीणन होते हैं, परिणामस्वरूप उनके वितरण में प्रक्रिया में परिवर्तन होता है जिसे स्पेक्ट्रम सख्त कहा जाता है। स्पेक्ट्रम सख्त होने के कारण, एक्स-रे स्पेक्ट्रम का माध्य मुक्त पथ दूरी के साथ बदलता है।

कभी-कभी कोई सामग्री की मोटाई को औसत मुक्त पथों की संख्या में मापता है। एक माध्य मुक्त पथ की मोटाई वाली सामग्री 37% (1/e (गणितीय स्थिरांक)) फोटॉन तक क्षीण हो जाएगी। यह अवधारणा अर्ध-मूल्य परत (एचवीएल) से निकटता से संबंधित है: एक एचवीएल की मोटाई वाली सामग्री 50% फोटॉन को क्षीण कर देगी। एक मानक एक्स-रे छवि एक संचरण छवि है, इसकी तीव्रता के नकारात्मक लघुगणक वाली छवि को कभी-कभी कई माध्य मुक्त पथ छवि कहा जाता है।

इलेक्ट्रॉनिक्स
मैक्रोस्कोपिक चार्ज ट्रांसपोर्ट में, धातु में चार्ज वाहक का औसत मुक्त पथ $$\ell$$ विद्युत गतिशीलता के समानुपाती होता है $$\mu$$, विद्युत चालकता से सीधे संबंधित मान, जो है:
 * $$\mu = \frac{q \tau}{m} = \frac{q \ell}{m^* v_{\rm F}},$$

जहाँ q प्राथमिक आवेश है, $$\tau$$ औसत खाली समय है, एम* प्रभावी द्रव्यमान (ठोस-अवस्था भौतिकी) है, और vF आवेश वाहक का फर्मी वेग है। गैर-सापेक्ष गतिज ऊर्जा समीकरण के माध्यम से फर्मी वेग आसानी से फर्मी ऊर्जा से प्राप्त किया जा सकता है। पतली फिल्मों में, हालांकि, फिल्म की मोटाई अनुमानित माध्य मुक्त पथ से कम हो सकती है, जिससे सतह का बिखराव अधिक ध्यान देने योग्य हो जाता है, प्रभावी रूप से प्रतिरोधकता बढ़ जाती है।

इलेक्ट्रॉनों के औसत मुक्त पथ से छोटे आयाम वाले माध्यम के माध्यम से इलेक्ट्रॉन गतिशीलता बैलिस्टिक चालन या बैलिस्टिक परिवहन के माध्यम से होती है। ऐसे परिदृश्यों में कंडक्टर की दीवारों के साथ टकराव में ही इलेक्ट्रॉन अपनी गति बदलते हैं।

प्रकाशिकी
यदि कोई आयतन अंश Φ के साथ व्यास d के गैर-प्रकाश-अवशोषित कणों का निलंबन लेता है, तो फोटॉन का माध्य मुक्त पथ है:
 * $$\ell = \frac{2d}{3\Phi Q_\text{s}},$$

जहां क्यूs बिखरने की दक्षता कारक है। क्यूs मी सिद्धांत का उपयोग करके गोलाकार कणों के लिए संख्यात्मक रूप से मूल्यांकन किया जा सकता है।

ध्वनिकी
अन्यथा खाली गुहा में, दीवारों से उछलते हुए एक कण का औसत मुक्त मार्ग है:


 * $$\ell = \frac{F V}{S},$$

जहाँ V गुहा का आयतन है, S गुहा का कुल आंतरिक सतह क्षेत्र है, और F गुहा के आकार से संबंधित एक स्थिरांक है। अधिकांश सरल गुहा आकृतियों के लिए, F लगभग 4 है। ध्वनि प्रसार के एक ज्यामितीय सन्निकटन का उपयोग करते हुए, ध्वनिक में पुनर्संयोजन की व्युत्पत्ति में इस संबंध का उपयोग किया जाता है।

परमाणु और कण भौतिकी
कण भौतिकी में औसत मुक्त पथ की अवधारणा का आमतौर पर उपयोग नहीं किया जाता है, जिसे क्षीणन लंबाई की समान अवधारणा द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। विशेष रूप से, उच्च-ऊर्जा फोटॉनों के लिए, जो ज्यादातर इलेक्ट्रॉन-पॉज़िट्रॉन जोड़ी उत्पादन द्वारा परस्पर क्रिया करते हैं, विकिरण लंबाई का उपयोग रेडियोग्राफी में औसत मुक्त पथ की तरह किया जाता है।

परमाणु भौतिकी में स्वतंत्र-कण मॉडल को अन्य नाभिकों के साथ बातचीत करने से पहले परमाणु नाभिक के भीतर नाभिकों की अबाधित परिक्रमा की आवश्यकता होती है।

"The effective mean free path of a nucleon in nuclear matter must be somewhat larger than the nuclear dimensions in order to allow the use of the independent particle model. This requirement seems to be in contradiction to the assumptions made in the theory ... We are facing here one of the fundamental problems of nuclear structure physics which has yet to be solved."

यह भी देखें

 * बिखराव सिद्धांत
 * बैलिस्टिक चालन
 * खालीपन
 * नुडसन संख्या
 * प्रकाशिकी

बाहरी संबंध

 * Gas Dynamics Toolbox: Calculate mean free path for mixtures of gases using VHS model