फ्रोबेनियस सहसंयोजक

मैट्रिक्स (गणित) में, एक वर्ग मैट्रिक्स के फ्रोबेनियस सहसंयोजक $A$ इसके विशेष बहुपद हैं, अर्थात् प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित) मैट्रिक्स एi के eigenvalue, eigenvector और eigenspace से संबद्ध  $A$. इनका नाम गणितज्ञ फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस के नाम पर रखा गया है।

प्रत्येक सहसंयोजक eigenvalue, eigenvector और eigenvalue से जुड़े eigenspace पर एक प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित) है $λ_{i}$. फ्रोबेनियस सहसंयोजक सिल्वेस्टर के सूत्र के गुणांक हैं, जो एक मैट्रिक्स फ़ंक्शन को व्यक्त करते हैं $f(A)$ एक मैट्रिक्स बहुपद के रूप में, अर्थात् एक रैखिक संयोजन उस फ़ंक्शन के मानों के eigenvalues ​​पर $A$.

औपचारिक परिभाषा
होने देना $A$ eigenvalues ​​λ के साथ एक विकर्णीय मैट्रिक्स बनें1, ..., एलk.

फ्रोबेनियस सहसंयोजक $A_{i}$, i = 1 के लिए,…, k, मैट्रिक्स है
 * $$ A_i \equiv \prod_{j=1 \atop j \ne i}^k \frac{1}{\lambda_i-\lambda_j} (A - \lambda_j I)~. $$

यह अनिवार्य रूप से मैट्रिक्स तर्क के साथ लैग्रेंज बहुपद है। यदि eigenvalue λi सरल है, फिर एक-आयामी उप-स्थान के लिए एक निष्क्रिय प्रक्षेपण मैट्रिक्स के रूप में, $A_{i}$ की एक इकाई ट्रेस (रैखिक बीजगणित) है।

सहसंयोजकों की गणना
एक मैट्रिक्स के फ्रोबेनियस सहसंयोजक $A$ किसी भी eigendecomposition से प्राप्त किया जा सकता है $A = SDS^{−1}$, कहाँ $S$ गैर-एकवचन है और $D$ के साथ विकर्ण है $D_{i,i} = λ_{i}$. अगर $A$ में कोई एकाधिक eigenvalues ​​​​नहीं है, तो मान लीजिए ci हो $i$का सही eigenvector $A$, वह यह है कि $i$वाँ कॉलम $S$; और चलो आरi हो $i$वें बाएँ eigenvector $A$, अर्थात् $i$वीं पंक्ति $S$−1. तब $A_{i} = c_{i} r_{i}$.

अगर $A$ का एक eigenvalue λ हैi फिर, कई बार प्रदर्शित होना $A_{i} = Σ_{j} c_{j} r_{j}$, जहां योग eigenvalue λ से जुड़ी सभी पंक्तियों और स्तंभों पर हैi.

उदाहरण
दो-दो-दो मैट्रिक्स पर विचार करें:
 * $$ A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}.$$

इस मैट्रिक्स के दो eigenvalues, 5 और −2 हैं; इस तरह $(A − 5)(A + 2) = 0$.

संगत eigen अपघटन है
 * $$ A = \begin{bmatrix} 3 & 1/7 \\ 4 & -1/7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1/7 \\ 4 & -1/7 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 1/7 \\ 4 & -1/7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/7 & 1/7 \\ 4 & -3 \end{bmatrix}. $$

इसलिए फ्रोबेनियस सहसंयोजक, स्पष्ट रूप से अनुमान हैं
 * $$ \begin{array}{rl}

A_1 &= c_1 r_1 = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/7 & 1/7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3/7 & 3/7 \\ 4/7 & 4/7 \end{bmatrix} = A_1^2\\ A_2 &= c_2 r_2 = \begin{bmatrix} 1/7 \\ -1/7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4/7 & -3/7 \\ -4/7 & 3/7 \end{bmatrix}=A_2^2 ~, \end{array} $$ साथ
 * $$A_1 A_2 = 0, \qquad A_1 + A_2 = I ~.$$

टिप्पणी $trA_{1} = trA_{2} = 1$, आवश्यकता अनुसार।