कोणीय वेग

भौतिक विज्ञान में, कोणीय वेग या घूर्णन वेग ($ω$ या $ω = dθ / dt$), कोणीय आवृत्ति सदिश के रूप में भी जाना जाता है, एक छद्म सदिश यह निरूपित करता है कि किसी वस्तु की कोणीय स्थिति या निर्देशन कितनी तेजी से समय के साथ बदलता है(अर्थात् एक वस्तु कितनी जल्दी घूमती है या किसी बिंदु या अक्ष के सापेक्ष घूमती है)।छद्म सदिश का परिमाण कोणीय गति का निरूपण करता है, जिस दर पर वस्तु घूमती है या परिभ्रमण करती है, और इसकी दिशा सामान्य(ज्यामिति) घूर्णन या कोणीय विस्थापन के तात्कालिक तल के लिए सामान्य(ज्यामिति) है। कोणीय वेग का निर्देशन पारंपरिक रूप से दाएं हाथ के नियम द्वारा दर्शाया जाता है।

कोणीय वेग के दो प्रकार हैं।
 * कक्षीय कोणीय वेग एक निश्चित अक्ष के चारों Oर एक बिंदु वस्तु घूर्णन कितनी तेजी से संदर्भित करता है, अर्थात् मूल(गणित) के सापेक्ष अपनी कोणीय स्थिति के परिवर्तन की समय दर ।
 * झुकाव कोणीय वेग से तात्पर्य है कि घूर्णन के केंद्र के संबंध में एक कठोर शरीर कितनी तेजी से घूर्णन करता है और कक्षीय कोणीय वेग के तुलना, मूल की पसंद से स्वतंत्र है।

सामान्यतः, कोणीय वेग में प्रति इकाई समय कोण(भौतिकी) का आयाम(भौतिकी) होता है(कोण को सामान्यतः समय के साथ रैखिक वेग से दूरी की जगह लेता है)। कोणीय वेग की एसआई इकाई प्रति सेकंड रेडियन है, रेडियन एक आयाम रहित मात्रा होने के साथ, इस प्रकार कोणीय वेग की एसआई इकाइयों को एस-1 के रूप में सूचीबद्ध किया जा सकता है। किसी दिए गए समय में कण के कोणीय विस्थापन के परिवर्तन की मात्रा को कोणीय वेग कहा जाता है। कोणीय वेग सदिश का ट्रैक रोटेशन के विमान के लंबवत है, एक दिशा में जो आमतौर पर दाहिने हाथ के नियम द्वारा इंगित किया जाता है।V कोणीय वेग सामान्यतः प्रतीक Oमेगा($ω$, कभी-कभी$Ω$) द्वारा दर्शाया जाता है। परंपरागत ढंग से, धनात्मक कोणीय वेग काउंटर-वामावर्त घूर्णन को इंगित करता है, जबकि ऋणात्मक दक्षिणावर्त है।

उदाहरण के लिए, एक भूस्थैतिक उपग्रह उपग्रह भूमध्य रेखा के ऊपर प्रति दिन एक कक्षा को पूरा करता है, या प्रति 24 घंटे 360 डिग्री, और कोणीय वेग = (360 °)/(24 और nbsp; h) = 15 °/h, या या 15 °/h, या है, या होता है ।यदि कोण को रेडियन में मापा जाता है, तो रैखिक वेग कोणीय वेग का त्रिज्या गुना होता है, $$v = r\omega$$ ।पृथ्वी के केंद्र से 42,000 किमी की कक्षीय त्रिज्या के साथ, अंतरिक्ष के माध्यम से उपग्रह की गति इस प्रकार v = 42,000 किमी × 0.26/घंटा ≈ 11,000 किमी/घंटा है। कोणीय वेग धनात्मक है क्योंकि उपग्रह पृथ्वी के घूर्णन के साथ पूर्व (उत्तरी ध्रुव के ऊपर से वामावर्त) की Oर यात्रा करता है ।

दो आयामों में कण
$$r$$ त्रिज्या पर वृत्तीय गति के सबसे सरल मामले में, कोणीय विस्थापन द्वारा दी गई स्थिति के साथ $$\phi(t)$$ एक्स-अक्ष से, कक्षीय कोणीय वेग समय के संबंध में कोण के परिवर्तन की दर: $\omega = \frac{d\phi}{dt}$ है। यदि $$\phi$$ रेडियन में मापा जाता है, वृत्त के चारों Oर धनात्मक एक्स-अक्ष से चाप-लंबाई कण $$\ell=r\phi$$ है, और रैखिक वेग$v(t) = \frac{d\ell}{dt} = r\omega(t)$  है, जिससे $\omega = \frac{v}{r}$  ।

तल में गतिमान एक कण के सामान्य मामले में, कक्षीय कोणीय वेग वह दर है जिस पर एक चुने हुए मूल के सापेक्ष स्थिति सदिश कोण "स्वीप आउट" कोण होता है। आरेख स्थिति सदिश $$\mathbf{r}$$ मूल $$O$$ से एक कण $$P$$ के लिए दिखाता है, इसके ध्रुवीय निर्देशांक  $$(r, \phi)$$ के साथ। (सभी चर समय  $$t$$ के फलन हैं) कण में रैखिक वेग$$\mathbf{v} = \mathbf{v}_\|+\mathbf{v}_\perp$$ के रूप में विभाजित होता है, त्रिज्यीय घटक के साथ $$\mathbf{v}_\|$$ त्रिज्या के समानांतर, और अनुप्रस्थ-त्रिज्यीय (या स्पर्शरेखा) घटक $$\mathbf{v}_\perp$$ त्रिज्या के लिए लंबवत। जब कोई त्रिज्यीय घटक नहीं होता है, तो कण एक वृत्त में मूल के चारों Oर चलता है; लेकिन जब कोई अनुप्रस्थ-त्रिज्यीय घटक नहीं होता है, तो यह मूल से एक सीधी रेखा में चलता है। चूंकि त्रिज्यीय गति कोण को अपरिवर्तित छोड़ देती है, केवल रैखिक वेग का अनुप्रस्थ-त्रिज्यीय घटक कोणीय वेग में योगदान देता है।

कोणीय वेग ω समय के संबंध में कोणीय स्थिति के परिवर्तन की दर है, जिसे अनुप्रस्थ-त्रिज्यीय वेग से गणना की जा सकती है:



यहाँ अनुप्रस्थ-त्रिज्यीय स्पीड $$v_\perp$$ का हस्ताक्षरित परिमाण $$\mathbf{v}_\perp$$है, काउंटर-वामावर्त गति के लिए धनात्मक, दक्षिणावर्त के लिए ऋणात्मक होता है। रैखिक वेग $$\mathbf{v}$$ के लिए ध्रुवीय निर्देशांक $$v$$ (रैखिक गति) और कोण $$\theta$$ त्रिज्या सदिश के सापेक्ष परिमाण देता है ;इन शब्दों में, $$v_\perp = v\sin(\theta)$$, इस प्रकार



इन सूत्रों को $$\mathbf{r}=(r\cos(\varphi),r\sin(\varphi))$$निष्पादित किया जा सकता है, हो रहा $$r$$ समय के संबंध में मूल के लिए दूरी का एक कार्य, और $$\varphi$$ सदिश और एक्स अक्ष के बीच कोण का एक कार्य । फिर \frac{d\mathbf{r}}{Dutt} = (\ dot {r} \ chos (\ varfi) - r \ dot {\ varfi} \ sin (\ varfi), \ dot {r} \ sin (\ varaf) \ chos (\ varfa)) <) <) < / मैट>।|undefined विच आइस के साथ $\dot{r}(\cos(\varphi), \sin(\varphi)) + r\dot{\varphi}(-\sin(\varphi), \cos(\varphi)) = \dot{r}\hat{r} + r\dot{\varphi}\hat{\varphi}$. (बेलनाकार निर्देशांक में इकाई सदिश देखें) । जानने $\frac{d\mathbf{r}}{dt} = \ mathbf {v} $ ,|undefined हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि वेग का त्रिज्यीय घटक द्वारा दिया गया है $\dot{r}$, क्योंकि $$\hat{r}$$ एक त्रिज्यीय इकाई सदिश है;और लंबवत घटक द्वारा दिया गया है $$r\dot{\varphi}$$ क्योंकि $$\hat{\varphi}$$ एक लंबवत इकाई सदिश है।

दो आयामों में, कोणीय वेग प्लस या माइनस साइन के साथ एक संख्या है जो निर्देशन का संकेत देती है, लेकिन एक दिशा में इंगित नहीं करती है । यदि RADIUS सदिश काउंटर-वामावर्त हो जाता है, और यदि दक्षिणावर्त हो तो ऋणात्मक हो जाता है। कोणीय वेग को तब एक छद्मसदिश कहा जा सकता है, एक संख्यात्मक मात्रा जो एक समता (भौतिकी) के तहत चिन्ह को बदलता है, जैसे कि एक अक्ष को प्रतिलोम करना या दो अक्षों को स्विच करना।

तीन आयामों में कण
त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, हमारे पास फिर से एक गतिमान कण की स्थिति सदिश r होता है। यहां, कक्षीय कोणीय वेग एक छद्म सदिश है जिसका परिमाण वह दर है जिस पर  r कोण को बाहर निकालता है, और जिसकी दिशा तात्कालिक तल के लिए लंबवत है जिसमें आर आर कोण को बाहर निकालता है (अर्थात r और v द्वारा फैला हुआ समतल)। हालांकि, जैसा कि किसी भी तल के लिए लंबवत दो दिशाएं हैं, कोणीय वेग की दिशा को विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट करने के लिए एक अतिरिक्त स्थिति आवश्यक है;परंपरागत रूप से, दाहिने हाथ के नियम का उपयोग किया जाता है।

छद्म सदिश को चलो $$\mathbf{u}$$ आर और वी द्वारा फैले हुए तल के लिए इकाई सदिश लंबवत बनें, जिससे दाहिने हाथ का नियम संतुष्ट हो (अर्थात् कोणीय विस्थापन की तात्कालिक दिशा काउंटर-वामावर्त $$\mathbf{u}$$ है जो ऊपर से दिख रही है)। ध्रुवीय निर्देशांक $$(r,\phi)$$ इस तल में, जैसा कि ऊपर दो-आयामी मामले में, कोई भी कक्षीय कोणीय वेग सदिश को परिभाषित कर सकता है:


 * $$\boldsymbol\omega =\omega \mathbf u = \frac{d\phi}{dt}\mathbf u=\frac{v \sin(\theta)}{r}\mathbf u,$$

जहां θ 'r' और 'v' के बीच का कोण है। अनुप्रस्थ परिणाम के संदर्भ में, यह है:


 * $$\boldsymbol\omega

=\frac{\mathbf r\times\mathbf v}{r^2}.$$ उपरोक्त समीकरण से, कोई भी स्पर्शरेखा वेग को पुनः प्राप्त कर सकता है:


 * $$\mathbf{v}_{\perp} =\boldsymbol{\omega} \times\mathbf{r}$$

एक कठोर शरीर या संदर्भ फ्रेम का झुकाव कोणीय वेग
तीन इकाई समन्वय सदिश के एक घूर्णन फ्रेम को देखते हुए, तीनों में प्रत्येक तत्काल में एक ही कोणीय गति होनी चाहिए। इस तरह के फ्रेम में, प्रत्येक सदिश को निरंतर अदिश त्रिज्या के साथ एक गतिमान कण के रूप में माना जा सकता है।

घूर्णन फ्रेम कठोर शरीर के संदर्भ में दिखाई देता है, और इसके लिए विशेष उपकरण विकसित किए गए हैं: झुकाव कोणीय वेग को सदिश के रूप में या समकक्ष रूप से एक टेन्सर के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

सामान्य परिभाषा के अनुरूप, एक फ्रेम के झुकाव कोणीय वेग को घूर्णन के अपने स्वयं के केंद्र के संबंध में तीन सदिश (सभी के लिए समान) के कक्षीय कोणीय वेग के रूप में परिभाषित किया गया है। फ्रेम के लिए कोणीय वेग सदिश के अतिरिक्त भी सामान्य सदिश जोड़ (रैखिक आंदोलनों की संरचना) द्वारा परिभाषित किया गया है, और  घूर्णन को एक गिम्बल में विघटित करने के लिए उपयोगी हो सकता है। सदिश के सभी घटकों की गणना गतिमान फ्रेम (यूलर कोण या  घूर्णन आव्यूहों ) को परिभाषित करने वाले मापदंडों के डेरिवेटिव के रूप में की जा सकती है। जैसा कि सामान्य मामले में, इसके अतिरिक्त क्रमविनिमेय है: $$\omega_1 + \omega_2 = \omega_2 + \omega_1$$।

यूलर के घूर्णन प्रमेय द्वारा, किसी भी घूर्णन फ्रेम में  घूर्णन की एक तात्कालिक अक्ष होता है, जो कोणीय वेग सदिश की दिशा है, और कोणीय वेग का परिमाण दो-आयामी मामले के अनुरूप है।

यदि हम एक संदर्भ बिंदु चुनते हैं $${\boldsymbol R}$$ कठोर शरीर में तय, वेग $$ \dot {\boldsymbol r}$$ शरीर में किसी भी बिंदु द्वारा दिया जाता है।


 * $$ \dot {\boldsymbol r}= \dot {\boldsymbol R}+ {\boldsymbol\omega}\times({\boldsymbol r}-{\boldsymbol R})

$$

बॉडी-फिक्स्ड फ्रेम के आधार सदिश से घटक
एक निश्चित बिंदु O के बारे में एक कठोर शरीर पर विचार करें।शरीर में एक संदर्भ फ्रेम का निर्माण करें जिसमें सदिश $$\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3 $$ के एक प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण सम्मुच्चय सम्मिलित हैं शरीर के लिए और O में उनके सामान्य मूल के साथ। O के बारे में फ्रेम और शरीर दोनों के झुकाव कोणीय वेग सदिश तब है
 * $$\boldsymbol\omega = \left(\dot \mathbf{e}_1\cdot\mathbf{e}_2\right) \mathbf{e}_3 + \left(\dot \mathbf{e}_2\cdot\mathbf{e}_3\right) \mathbf{e}_1 + \left(\dot \mathbf{e}_3\cdot\mathbf{e}_1\right) \mathbf{e}_2,

$$ जहाँ पर $$ \dot \mathbf{e}_i= \frac{d  \mathbf{e}_i}{dt} $$  फ्रेम सदिश $$ \mathbf{e}_i, i=1,2,3,$$  घूर्णन के कारण के परिवर्तन की समय दर है।

ध्यान दें कि यह सूत्र कक्षीय कोणीय वेग के लिए अभिव्यक्ति के साथ असंगत है


 * $$\boldsymbol\omega

=\frac{\mathbf r\times\mathbf v}{r^2},$$ चूंकि यह सूत्र O के बारे में एक बिंदु के लिए कोणीय वेग को परिभाषित करता है, जबकि इस खंड में सूत्र एक फ्रेम या कठोर शरीर पर लागू होता है। एक कठोर शरीर के मामले में एक एकल $$ \boldsymbol\omega$$ शरीर में सभी कणों की गति के लिए जिम्मेदार है।

यूलर कोण से घटक
झुकाव कोणीय वेग छद्म सदिश के घटकों की गणना पहले लियोनहार्ड यूलर द्वारा अपने यूलर कोणों और एक मध्यवर्ती फ्रेम के उपयोग से की गई थी:
 * संदर्भ फ्रेम की एक धुरी (प्रीसेशन अक्ष)
 * संदर्भ फ्रेम (पोषण अक्ष) के संबंध में गतिमान फ्रेम के नोड्स की रेखा
 * गतिमान फ्रेम की एक अक्ष (आंतरिक घूर्णन अक्ष)

यूलर ने साबित किया कि इन तीन अक्षों में से प्रत्येक पर कोणीय वेग छद्म सदिश के अनुमान इसके संबद्ध कोण का व्युत्पन्न है (जो तात्कालिक  घूर्णन को तीन तात्कालिक यूलर घूर्णन में विघटित करने के बराबर है)। इसलिए:
 * $$\boldsymbol\omega = \dot\alpha\mathbf u_1+\dot\beta\mathbf u_2+\dot\gamma \mathbf u_3$$

यह आधार असामान्य नहीं है और इसका उपयोग करना कठिन है, लेकिन अब वेग सदिश को निश्चित फ्रेम या गतिमान फ्रेम में केवल आधारों के परिवर्तन के साथ बदला जा सकता है। उदाहरण के लिए, मोबाइल फ्रेम में बदलना:


 * $$\boldsymbol\omega =

(\dot\alpha \sin\beta \sin\gamma + \dot\beta\cos\gamma) \hat\mathbf i+ (\dot\alpha \sin\beta \cos\gamma - \dot\beta\sin\gamma) \hat\mathbf j + (\dot\alpha \cos\beta + \dot\gamma) \hat\mathbf k$$ जहाँ पर $$\hat\mathbf i, \hat\mathbf j, \hat\mathbf k$$ गतिमान  बॉडी में तय किए गए फ्रेम के लिए इकाई सदिश हैं। यह उदाहरण Z-X-Z कन्वेंशन के लिए Euler कोणों के लिए किया गया है।

प्रदिश
कोणीय वेग सदिश $$\boldsymbol\omega=(\omega_x,\omega_y,\omega_z)$$ ऊपर परिभाषित किया जा सकता है एक कोणीय वेग प्रदिश के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, आव्यूह (या रैखिक मानचित्रण) w = w t '') द्वारा परिभाषित:



W = \begin{pmatrix} 0 & -\omega_z & \omega_y \\ \omega_z & 0 & -\omega_x \\ -\omega_y & \omega_x & 0 \\ \end{pmatrix}$$ यह एक कोणीय विस्थापन#infinitesimal घूर्णन आव्यूहों  है । रैखिक मैपिंग W के रूप में फलन करता है $$(\boldsymbol\omega \times)$$:


 * $$\boldsymbol\omega \times \mathbf{r} = W \cdot\mathbf{r}. $$

निर्देशन आव्यूह से गणना
एक सदिश $$\mathbf r$$ एक निश्चित अक्ष के आसपास समान वृत्तीय गति से गुजरना संतुष्टि:


 * $$\frac {d \mathbf r} {dt} = \boldsymbol{\omega} \times\mathbf{r} = W \cdot \mathbf{r}$$

एक फ्रेम के Oरिएंटेशन आव्यूह ए (टी) को देखते हुए, जिनके कॉलम गतिमान प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण कोऑर्डिनेट सदिश हैं $$\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3$$, हम इसके कोणीय वेग प्रदिश W (टी) प्राप्त कर सकते हैं। कोणीय वेग तीन सदिश के लिए समान होना चाहिए $$\mathbf r = \mathbf e_i$$, इसलिए एक आव्यूह के स्तंभों में तीन सदिश समीकरणों की व्यवस्था करना, हमारे पास है:


 * $$\frac {dA}{dt} = W \cdot A.$$

(यह तब भी धारण करता है जब a (t) समान रूप से नहीं घूर्णन है । ) इसलिए कोणीय वेग प्रदिश है:


 * $$W = \frac {dA} {dt} \cdot A^{-1} = \frac {dA} {dt} \cdot A^{\mathrm{T}},$$

आयतीय आव्यूह के व्युत्क्रम के बाद से $$A$$ इसका पक्षांतर $$A^{\mathrm{T}}$$ है।

गुण
सामान्य तौर पर, n-विमीय स्पेस में कोणीय वेग कोणीय विस्थापन प्रदिश का समय व्युत्पन्न होता है, जो एक दूसरी रैंक तिरछी-सममितीय प्रदिश है।

यह प्रदिश W होगा n(n−1)/2 स्वतंत्र घटक, जो एक एन-विमीय आंतरिक उत्पाद स्थान के घूर्णन के असत्य समूह के असत्य बीजगणित का आयाम है ।

वेग सदिश के संबंध में द्विविधता
तीन आयामों में, कोणीय वेग को एक छद्म सदिश द्वारा दर्शाया जा सकता है क्योंकि दूसरे रैंक टेन्सर तीन आयामों में स्यूडोवेक्टर्स के लिए दोहरे स्थान हैं । चूंकि कोणीय वेग प्रदिश w = w (t) एक तिरछा-सममित आव्यूह है:



W = \begin{pmatrix} 0 & -\omega_z & \omega_y \\ \omega_z & 0 & -\omega_x \\ -\omega_y & \omega_x & 0\\ \end{pmatrix}, $$ इसका हॉज ड्यूल एक सदिश है, जो पिछले कोणीय वेग सदिश है $$\boldsymbol\omega=[\omega_x,\omega_y,\omega_z]$$ ।

W
का घातांक

यदि हम एक प्रारंभिक फ्रेम ए (0) जानते हैं और हमें एक निरंतर कोणीय वेग प्रदिश W दिया जाता है, तो हम किसी भी टी के लिए ए (टी) प्राप्त कर सकते हैं । आव्यूह अंतर समीकरण को याद करें:


 * $$\frac {dA} {dt} = W \cdot A .$$

इस समीकरण को देने के लिए एकीकृत किया जा सकता है:


 * $$A(t) = e^{Wt}A(0) ,$$

जो घूर्णन के असत्य समूह के साथ एक संबंध दिखाता है।

W तिरछा-सममितीय है
हम साबित करते हैं कि कोणीय वेग प्रदिश तिरछा-सममित आव्यूह है, अर्थात् $$W = \frac {dA(t)}{dt} \cdot A^\text{T} $$ संतुष्ट $$W^\text{T} = -W$$ ।

एक घूर्णन आव्यूह ए आयतीय  है, इसके पक्षांतर के लिए उलटा है, इसलिए हमारे पास है $$I=A\cdot A^\text{T}$$ । के लिए $$A=A(t)$$ एक फ्रेम मैट्रिक्स, समीकरण का समय व्युत्पन्न देता है:


 * $$0=\frac{dA}{dt}A^\text{T}+A\frac{dA^\text{T}}{dt}$$

सूत्र को लागू करना $$(A B)^\text{T}=B^\text{T}A^\text{T}$$,


 * $$0 = \frac{dA}{dt}A^\text{T}+\left(\frac{dA}{dt} A^\text{T}\right)^\text{T} = W + W^\text{T}$$

इस प्रकार, W इसके पक्षांतर का ऋणात्मक है, जिसका अर्थ है कि यह तिरछा सममित है।

समन्वय-मुक्त विवरण
किसी भी पल में $$t$$, कोणीय वेग प्रदिश स्थिति सदिश के बीच एक रैखिक मानचित्र का निरूपण करता है $$\mathbf{r}(t)$$ और वेग सदिश $$\mathbf{v}(t)$$ मूल के चारों Oर घूमने वाले एक कठोर शरीर पर एक बिंदु:


 * $$ \mathbf{v} = W\mathbf{r} .$$

इस रैखिक मानचित्र और कोणीय वेग छद्म सदिश $$\boldsymbol\omega$$ के बीच संबंध निम्नलखित है।

क्योंकि w एक आयतीय परिवर्तन का व्युत्पन्न है, बिलिनियर रूप से


 * $$B(\mathbf{r},\mathbf{s}) = (W\mathbf{r}) \cdot \mathbf{s} $$

बिलिनियर फॉर्म सममित, तिरछा-सममितीय और वैकल्पिक रूप हैं। स्केव-सममितीय। इस प्रकार हम बाहरी बीजगणित के तथ्य को लागू कर सकते हैं कि एक अद्वितीय रैखिक रूप है $$L$$ पर $$\Lambda^2 V $$ वह


 * $$L(\mathbf{r}\wedge \mathbf{s}) = B(\mathbf{r},\mathbf{s})$$

जहाँ पर $$\mathbf{r}\wedge \mathbf{s} \in \Lambda^2 V $$ का बाहरी उत्पाद है $$\mathbf{r}$$ और $$\mathbf{s}$$।

संगीत आइसोमोर्फिज्म एल लेना$♯$ एल हम प्राप्त करते हैं


 * $$ (W\mathbf{r})\cdot \mathbf{s} = L^\sharp \cdot (\mathbf{r}\wedge \mathbf{s}) $$

परिचय $$ \boldsymbol\omega := {\star} (L^\sharp) $$, एल के हॉज दोहरे के रूप में$♯$, और हॉज की परिभाषा को दो बार दो बार लागू करना, यह मानते हुए कि पसंदीदा इकाई 3-सदिश है $$ \star 1$$
 * $$ (W\mathbf{r}) \cdot \mathbf{s} = {\star} ( {\star} ( L^\sharp ) \wedge \mathbf{r} \wedge \mathbf{s}) = {\star} (\boldsymbol\omega \wedge \mathbf{r} \wedge \mathbf{s}) = {\star} (\boldsymbol\omega \wedge \mathbf{r} ) \cdot \mathbf{s} = (\boldsymbol\omega \times \mathbf{r} ) \cdot \mathbf{s} ,$$

जहाँ पर


 * $$\boldsymbol\omega \times \mathbf{r} := {\star} (\boldsymbol\omega \wedge \mathbf{r}) $$

परिभाषा से।

क्योंकि $$\mathbf{s}$$ एक मनमाना सदिश है, अदिश उत्पाद के nondegeneracy से


 * $$ W\mathbf{r} = \boldsymbol\omega \times \mathbf{r}$$

सदिश क्षेत्र के रूप में कोणीय वेग
चूंकि एक कठोर शरीर का झुकाव कोणीय वेग प्रदिश(इसके आराम फ्रेम में) एक रैखिक परिवर्तन है जो मैप्स को वेग (कठोर शरीर के भीतर) के लिए स्थान देता है, इसे एक निरंतर सदिश क्षेत्र के रूप में माना जा सकता है। विशेष रूप से, झुकाव कोणीय वेग 3-आयामी घूर्णन समूह SO (3) के असत्य बीजगणित SO (3) के एक तत्व से संबंधित एक हत्या सदिश क्षेत्र है।

इसके अलावा, यह दिखाया जा सकता है कि झुकाव कोणीय वेग सदिश क्षेत्र कठोर शरीर के रैखिक वेग सदिश क्षेत्र V (R) के कर्ल (गणित) का आधा हिस्सा है। प्रतीकों में,


 * $$ \boldsymbol{\omega} = \frac{1}{2} \nabla\times\mathbf{v}$$

कठोर शरीर के विचार
कोणीय गति के लिए समान समीकरणों को एक घूर्णन कठोर शरीर पर तर्क प्राप्त किया जा सकता है। यहाँ यह नहीं माना जाता है कि कठोर शरीर मूल के चारों Oर घूर्णन है। कठोर शरीर रोटेशन का वर्णन घूर्णन शरीर-स्थिर समन्वय फ्रेम में शरीर के गुणों को निर्दिष्ट करके सबसे आसानी से नियंत्रित किया जाता है, जबकि वेधशालाOं को स्थिर जड़त्वीय प्रयोगशाला समन्वय फ्रेम में मापा जाता है। इसके अतिरिक्त, यह एक मनमाना बिंदु के चारों Oर घूर्णन हुआ माना जा सकता है जो प्रत्येक तत्काल में एक रैखिक वेग v (t) के साथ आगे बढ़ रहा है

समीकरणों को प्राप्त करने के लिए, फ्रेम से जुड़े एक कठोर शरीर की कल्पना करना और एक समन्वय प्रणाली पर विचार करना सुविधाजनक है जो कठोर शरीर के संबंध में तय है, इसके अलावा, शरीर के किसी भी समरूपता अक्ष के साथ गठबंधन किए गए शरीर-स्थिर समन्वय फ्रेम में परिवर्तित करके समस्या को बहुत सरल किया जा सकता है, तब से जड़ता टेंसर विकर्ण हो सकता है; इसे एक प्रमुख अक्ष प्रणाली कहा जाता है।। फिर हम इस समन्वय और निश्चित प्रयोगशाला प्रणाली के बीच समन्वय परिवर्तनों का अध्ययन करेंगे।

जैसा कि दाईं Oर आंकड़े में दिखाया गया है, लैब सिस्टम की उत्पत्ति बिंदु O पर है, कठोर शरीर प्रणाली की उत्पत्ति पर है और O से सदिश  क्या आर।एक कण ( i ) कठोर शरीर में बिंदु P पर स्थित है और इस कण की सदिश स्थिति r हैi लैब फ्रेम में, और स्थिति आर परi शरीर के फ्रेम में। यह देखा जाता है कि कण की स्थिति लिखी जा सकती है:


 * $$\mathbf{R}_i=\mathbf{R}+\mathbf{r}_i$$

एक कठोर शरीर की परिभाषित विशेषता यह है कि कठोर शरीर में किसी भी दो बिंदुOं के बीच की दूरी समय में अपरिवर्तित होती है। इसका मतलब है कि सदिश की लंबाई $$\mathbf{r}_i$$ अपरिवर्तित है। यूलर के घूर्णन प्रमेय द्वारा, हम सदिश को बदल सकते हैं $$\mathbf{r}_i$$ साथ $$\mathcal{R}\mathbf{r}_{io}$$ जहाँ पर  $$\mathcal{R}$$ एक 3 × 3  घूर्णन आव्यूह है और $$\mathbf{r}_{io}$$ समय में कुछ निश्चित बिंदु पर कण की स्थिति है, कहते हैं t = 0। यह प्रतिस्थापन उपयोगी है, क्योंकि अब यह केवल  घूर्णन आव्यूह है $$\mathcal{R}$$ यह समय में बदल रहा है न कि संदर्भ सदिश $$\mathbf{r}_{io}$$, जैसे कि कठोर शरीर बिंदु के बारे में घूर्णन है । इसके अलावा, चूंकि  घूर्णन आव्यूह के तीन कॉलम कठोर शरीर के साथ एक साथ घूमते हुए एक संदर्भ फ्रेम के तीन पाठ्यक्रम में हो ्स का निरूपण करते हैं, किसी भी अक्ष के बारे में कोई भी  घूर्णन अब दिखाई देता है, जबकि सदिश $$\mathbf{r}_i$$ यदि  घूर्णन अक्ष इसके समानांतर थे, तो नहीं घूमेंगे, और इसलिए यह केवल एक अक्ष के बारे में एक  घूर्णन का वर्णन करेगा (यानी, यह कोणीय वेग के घटक को नहीं देखेगा, इसके समानांतर स्यूडोवेक्टर, और केवल गणना की अनुमति देगाइसके लिए लंबवत घटक)। कण की स्थिति अब के रूप में लिखी गई है:


 * $$\mathbf{R}_i=\mathbf{R}+\mathcal{R}\mathbf{r}_{io}$$

समय व्युत्पन्न लेने से कण का वेग पैदा होता है:


 * $$\mathbf{V}_i=\mathbf{V}+\frac{d\mathcal{R}}{dt}\mathbf{r}_{io}$$

जहां वीi कण का वेग (लैब फ्रेम में) और v का वेग है (कठोर शरीर के फ्रेम की उत्पत्ति)। तब से $$\mathcal{R}$$ एक  घूर्णन आव्यूह है इसका उलटा इसका पक्षांतर है तो हम स्थानापन्न करते हैं $$\mathcal{I}=\mathcal{R}^\text{T}\mathcal{R}$$:


 * $$\mathbf{V}_i = \mathbf{V}+\frac{d\mathcal{R}}{dt}\mathcal{I}\mathbf{r}_{io}$$
 * $$\mathbf{V}_i = \mathbf{V}+\frac{d\mathcal{R}}{dt}\mathcal{R}^\text{T}\mathcal{R}\mathbf{r}_{io}$$
 * $$\mathbf{V}_i = \mathbf{V}+\frac{d\mathcal{R}}{dt}\mathcal{R}^\text{T}\mathbf{r}_{i}$$

या


 * $$\mathbf{V}_i = \mathbf{V}+W\mathbf{r}_{i}$$

जहाँ पर $$W = \frac{d\mathcal{R}}{dt}\mathcal{R}^\text{T}$$ पिछले कोणीय वेग प्रदिश है ।

यह #W हो सकता है कि यह तिरछा है कि यह एक तिरछा-सममितीय आव्यूह है, इसलिए हम एक 3 आयामी छद्म सदिश प्राप्त करने के लिए इसकी दोहरी जगह ले सकते हैं जो पिछले कोणीय वेग सदिश है $$\boldsymbol \omega$$:


 * $$\boldsymbol\omega=[\omega_x,\omega_y,\omega_z]$$

उपरोक्त वेग अभिव्यक्ति में W के लिए ω को प्रतिस्थापित करना, और एक समकक्ष अनुप्रस्थ उत्पाद द्वारा आव्यूह गुणन को बदलना:


 * $$\mathbf{V}_i=\mathbf{V}+\boldsymbol\omega\times\mathbf{r}_i$$

यह देखा जा सकता है कि एक कठोर शरीर में एक बिंदु के वेग को दो शब्दों में विभाजित किया जा सकता है - कठोर शरीर में तय एक संदर्भ बिंदु का वेग और अनुप्रस्थ उत्पाद शब्द संदर्भ के संबंध में कण के कक्षीय कोणीय वेग को सम्मिलित करता हैबिंदु। यह कोणीय वेग वह है जिसे भौतिक विज्ञानी कठोर शरीर के झुकाव कोणीय वेग को कहते हैं, जैसा कि संदर्भ बिंदु मूल के बारे में O के कक्षीय कोणीय वेग के विपरीत है।

स्थिरता
हमने माना है कि कठोर शरीर एक मनमाना बिंदु के चारों Oर घूर्णन है। हमें यह साबित करना चाहिए कि पहले परिभाषित झुकाव कोणीय वेग मूल की पसंद से स्वतंत्र है, जिसका अर्थ है कि झुकाव कोणीय वेग कताई कठोर शरीर की एक आंतरिक संपत्ति है। (एक बिंदु कण के कक्षीय कोणीय वेग के साथ इसके चिह्नित विपरीत पर ध्यान दें, जो निश्चित रूप से मूल की पसंद पर निर्भर करता है। )

[[image:AngularVelocity03.svg|right|320 पीएक्स |अँगूठा

ग्राफ को दाईं Oर देखें: लैब फ्रेम की उत्पत्ति O है, जबकि O1 और O2 कठोर शरीर पर दो निश्चित बिंदु हैं, जिसका वेग है $$\mathbf{v}_1$$ और $$\mathbf{v}_2$$ क्रमश । मान लीजिए कि O के संबंध में कोणीय वेग1 और O2 है $$\boldsymbol{\omega}_1$$ और $$\boldsymbol{\omega}_2$$ क्रमश । प्वाइंट Pऔर O के बाद से2 केवल एक वेग है,


 * $$ \mathbf{v}_1 + \boldsymbol{\omega}_1\times\mathbf{r}_1 = \mathbf{v}_2 + \boldsymbol{\omega}_2\times\mathbf{r}_2 $$
 * $$ \mathbf{v}_2 = \mathbf{v}_1 + \boldsymbol{\omega}_1\times\mathbf{r} = \mathbf{v}_1 + \boldsymbol{\omega}_1\times (\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2) $$

उपरोक्त दो पैदावार


 * $$ (\boldsymbol{\omega}_2-\boldsymbol{\omega}_1) \times \mathbf{r}_2=0 $$

बिंदु Pके बाद से (और इस प्रकार $$ \mathbf{r}_2 $$) मनमाना है, यह इस प्रकार है


 * $$ \boldsymbol{\omega}_1 = \boldsymbol{\omega}_2 $$

यदि संदर्भ बिंदु घूर्णन की तात्कालिक अक्ष है, तो कठोर शरीर में एक बिंदु के वेग की अभिव्यक्ति सिर्फ कोणीय वेग शब्द होगा । ऐसा इसलिए है क्योंकि  घूर्णन के तात्कालिक अक्ष का वेग शून्य है ।घूर्णन के तात्कालिक अक्ष का एक उदाहरण एक दरवाजे का काज है । एक अन्य उदाहरण एक विशुद्ध रूप से रोलिंग गोलाकार (या, अधिक आम तौर पर, उत्तल) कठोर शरीर के संपर्क का बिंदु है ।

यह भी देखें

 * कोणीय त्वरण
 * कोणीय आवृत्ति
 * कोणीय गति
 * एरियल वेग
 * आइसोमेट्री
 * आयतीय ग्रुप
 * कठोर शरीर की गतिशीलता
 * Vorticity

बाहरी कड़ियाँ

 * A college text-book of physics By Arthur Lalanne Kimball (Angular Velocity of a particle)