बीटा फ़ंक्शन (भौतिकी)

सैद्धांतिक भौतिकी में, विशेष रूप से परिमाण क्षेत्र सिद्धांत में, एक बीटा फलन, β(g), किसी दिए गए ऊर्जा मापक्रम, μ पर युग्मन स्थिरांक, g परिमाण क्षेत्र सिद्धांत द्वारा वर्णित भौतिक प्रक्रिया की निर्भरता को कूटबद्ध करता है।

इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 * $$\beta(g) = \frac{\partial g}{\partial \ln(\mu)} ~,$$

और, अंतर्निहित पुनर्सामान्यीकरण समूह के कारण, इसकी μ पर कोई स्पष्ट निर्भरता नहीं है, इसलिए यह केवल g के माध्यम से परोक्ष रूप से μ पर निर्भर करता है।

इस प्रकार निर्दिष्ट ऊर्जा मापक्रम पर निर्भरता को युग्मन मापदण्ड के संचालन के रूप में जाना जाता है, जो परिमाण क्षेत्र सिद्धांत में मापक्रम-निर्भरता की एक मूलभूत विशेषता है, और इसकी स्पष्ट गणना विभिन्न गणितीय तकनीकों के माध्यम से प्राप्त की जा सकती है।

मापक्रम अपरिवर्तनीयता
यदि परिमाण क्षेत्र सिद्धांत के बीटा फलन विलुप्त हो जाते हैं, सामान्यतः युग्मन मापदंडों के विशेष मूल्यों पर, तो सिद्धांत को मापक्रम-निश्चर कहा जाता है। लगभग सभी मापक्रम-अपरिवर्तनीय क्यूएफटी भी अनुरूप समरूपता हैं। ऐसे सिद्धांतों का अध्ययन अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत है।

परिमाण क्षेत्र सिद्धांत के युग्मन मापदण्ड चल सकते हैं, भले ही संबंधित चिरप्रतिष्ठित क्षेत्र सिद्धांत मापक्रम-अपरिवर्तनीय हो। इस स्तिथि में, गैर-शून्य बीटा फलन हमें बताता है कि शास्त्रीय मापक्रम का अपरिवर्तनीयता अनुरूप विसंगति है।

उदाहरण
बीटा फलन की गणना सामान्यतः किसी प्रकार की सन्निकटन योजना में की जाती है। एक उदाहरण क्षोभ सिद्धांत (परिमाण यांत्रिकी) है, जहां कोई मानता है कि युग्मन मापदण्ड छोटे हैं। फिर कोई युग्मन मापदंडों की शक्तियों में विस्तार कर सकता है और उच्च-क्रम की स्तिथियों को छोटा कर सकता है (संबंधित फेनमैन आलेख में विपाशन की संख्या के कारण उच्च फेनमैन आलेख़ योगदान के रूप में भी जाना जाता है)।

क्षोभ सिद्धांत में गणना किए गए बीटा फलन के कुछ उदाहरण यहां दिए गए हैं:

परिमाण विद्युत् गतिक
परिमाण विद्युत् गतिक (QED) में एक-पाशन बीटा फलन है

या, समकक्ष, प्राकृतिक इकाइयों $α = e^{2}/4π$ में गैर-एसआई इकाइयों में ललित-संरचना स्थिरांक के संदर्भ में लिखा गया है।
 * $$\beta(e)=\frac{e^3}{12\pi^2}~,$$
 * $$\beta(\alpha)=\frac{2\alpha^2}{3\pi}~,$$

यह बीटा फलन हमें बताता है कि बढ़ते ऊर्जा मापक्रम के साथ युग्मन बढ़ता है, और QED उच्च ऊर्जा पर दृढ़ता से युग्मित हो जाता है। वास्तव में, युग्मन स्पष्ट रूप से कुछ सीमित ऊर्जा पर अनंत हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप लैंडौ ध्रुव बनता है। हालाँकि, कोई भी शक्तिशाली युग्मन पर उपयुक्त परिणाम देने के लिए घबड़ाहटपूर्ण बीटा फलन की उम्मीद नहीं कर सकता है, और इसलिए यह संभावना है कि लैंडौ पोल ऐसी स्थिति में क्षोभ सिद्धांत को लागू करने की एक कलाकृति है जहां यह अब मान्य नहीं है।

परिमाण क्रोमोडायनामिक्स
परिमाण क्रोमोडायनामिक्स में एक-पाशन बीटा फलन $$n_f$$ स्वाद (कण भौतिकी) परिमाण क्रोमोडायनामिक्स और $$n_s$$ अदिश रंग का बोसोन है
 * $$\beta(g)=-\left(11- \frac{n_s}{6} - \frac{2n_f}{3}\right)\frac{g^3}{16\pi^2}~,$$

या
 * $$\beta(\alpha_s)=-\left(11- \frac{n_s}{6}-\frac{2n_f}{3}\right)\frac{\alpha_s^2}{2\pi}~,$$

αs= $$g^2/4\pi$$ के संदर्भ में लिखा गया है।

यदि एनf ≤ 16, आगामी बीटा फलन यह निर्देश देता है कि बढ़ते ऊर्जा मापक्रम के साथ युग्मन कम हो जाता है, एक घटना जिसे अनंतस्पर्शी स्वतंत्रता के रूप में जाना जाता है। इसके विपरीत, घटते ऊर्जा मापक्रम के साथ युग्मन बढ़ता है। इसका मतलब यह है कि युग्मन कम ऊर्जा पर बड़ा हो जाता है, और कोई अब गड़बड़ी सिद्धांत पर भरोसा नहीं कर सकता है।

एसयू(एन) गैर-एबेलियन गेज सिद्धांत
जबकि क्यूसीडी का (यांग-मिल्स) गेज समूह $$SU(3)$$ है, और 3 रंग निर्धारित करता है, हम किसी भी संख्या $$N_c$$ में एक गेज समूह $$G=SU(N_c)$$ के साथ रंगों का सामान्यीकरण कर सकते हैं। फिर इस गेज समूह के लिए, $$G$$ के प्रतिनिधित्व $$R_f$$ में डिराक फ़र्मियन के साथ और प्रतिनिधित्व $$R_s$$ में जटिल अदिश के साथ, एक-विपाश बीटा फलन है
 * $$\beta(g)=-\left(\frac{11}{3}C_2(G)-\frac{1}{3}n_sT(R_s)-\frac{4}{3}n_f T(R_f)\right)\frac{g^3}{16\pi^2}~,$$

जहां $$C_2(G)$$ $$G$$ का द्विघात कासिमिर है और $$T(R)$$ एक और कासिमिर अपरिवर्तनीय है जिसे $$Tr (T^a_RT^b_R) = T(R)\delta^{ab}$$ द्वारा प्रतिनिधित्व R में लाइ बीजगणित के जेनरेटर $$T^{a,b}_R$$ के लिए परिभाषित किया गया है। (वेल और मेजराना फर्मियन्स के, $$4/3$$ द्वारा $$2/3$$ प्रतिस्थापित करें, और वास्तविक अदिशों के लिए, $$1/3$$ द्वारा $$1/6$$ प्रतिस्थापित करें) गेज फ़ील्ड (यानी ग्लूऑन) के लिए, आवश्यक रूप से एक लाइ समूह के आसन्न प्रतिनिधित्व में $$G$$, $$C_2(G) = N_c$$; मौलिक प्रतिनिधित्व (या मौलिक विरोधी) प्रतिनिधित्व में फर्मियन के लिए $$G$$, $$T(R) = 1/2$$ है। फिर क्यूसीडी के लिए, साथ में $$N_c = 3$$, उपरोक्त समीकरण परिमाण क्रोमोडायनामिक्स बीटा फलन के लिए सूचीबद्ध समीकरण को कम कर देता है।

यह प्रसिद्ध परिणाम 1973 में एच. डेविड पोलित्ज़र द्वारा लगभग एक साथ निकाला गया था, डेविड ग्रॉस और फ़्रैंक विलज़ेक, जिसके लिए तीनों को 2004 में भौतिकी में नोबेल पुरस्कार विजेताओं की सूची से सम्मानित किया गया।

इन लेखकों से अनभिज्ञ, जेरार्ड 'टी हूफ़्ट|जी. 'टी हूफ़्ट ने जून 1972 में मार्सिले में एक छोटी बैठक में के. सिमानज़िक की बातचीत के बाद एक टिप्पणी में परिणाम की घोषणा की थी, लेकिन उन्होंने इसे कभी प्रकाशित नहीं किया।

मानक प्रतिरूप हिग्स-युकावा युग्मन
मानक प्रतिरूप में, क्वार्क और लेप्टान की हिग्स बॉसन के साथ युकावा अंतःक्रिया होती है। ये कण का द्रव्यमान निर्धारित करते हैं। अधिकांश क्वार्क और लेप्टान के युकावा युग्मन शीर्ष क्वार्क के युकावा युग्मन की तुलना में छोटे होते हैं। ये युकावा युग्मन अपने मूल्यों को उस ऊर्जा मापक्रम के आधार पर बदलते हैं जिस पर उन्हें रेनॉर्मलाइज़ेशन समूह के माध्यम से मापा जाता है। क्वार्क के युकावा युग्मन की गतिशीलता उपयुक्त पुनर्सामान्यीकरण समूह समीकरण द्वारा निर्धारित की जाती है:

$$\mu \frac{\partial}{\partial\mu} y \approx \frac{y}{16\pi^2}\left(\frac{9}{2}y^2 - 8 g_3^2\right)$$,

जहाँ $$g_3$$ रंग प्रभार गेज सिद्धांत युग्मन है (जो इसका एक कार्य $$\mu$$ है और स्पर्शोन्मुख स्वतंत्रता से संबद्ध है) और $$y$$ युकावा युग्मन है। यह समीकरण बताता है कि युकावा युग्मन ऊर्जा मापक्रम $$\mu$$ के साथ कैसे बदलता है।

ऊपर, नीचे, आकर्षण, अजीब और निचले क्वार्क के युकावा युग्म, भव्य एकीकृत सिद्धांत $$ \mu \approx 10^{15} $$ GeV के अत्यंत उच्च ऊर्जा मापक्रम पर छोटे हैं। इसलिए $$y^2$$ उपरोक्त समीकरण में पद की उपेक्षा की जा सकती है। हल करने पर, हम पाते हैं कि कम ऊर्जा पैमाने पर y थोड़ा बढ़ जाता है, जिस पर हिग्स $$ \mu \approx 100 $$ GeV द्वारा क्वार्क द्रव्यमान उत्पन्न होता है।

दूसरी ओर, बड़े प्रारंभिक मानों के लिए इस समीकरण का समाधान $$y$$ जैसे ही हम ऊर्जा मापक्रम पर उतरते हैं, आरएचएस तीव्रता से छोटे मूल्यों तक पहुंचने का कारण बनता है। फिर उपरोक्त समीकरण $$y$$ क्यूसीडी युग्मन $$g_3$$ के लिए लॉक हो जाता है। इसे युकावा युग्मन के लिए पुनर्सामान्यीकरण समूह समीकरण के (अवरक्त) अर्ध-निश्चित बिंदु के रूप में जाना जाता है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि युग्मन का प्रारंभिक आरंभिक मान क्या है, यदि यह पर्याप्त रूप से बड़ा है तो यह इस अर्ध-निश्चित बिंदु मान तक पहुंच जाएगा, और संबंधित क्वार्क द्रव्यमान की भविष्यवाणी की जाती है।

अर्ध-निश्चित बिंदु का मान मानक प्रतिरूप में काफी उपयुक्त रूप से निर्धारित किया गया है, जिससे अनुमानित शीर्ष क्वार्क द्रव्यमान 230 GeV है। 174 GeV का देखा गया शीर्ष क्वार्क द्रव्यमान मानक प्रतिरूप पूर्वानुमान से लगभग 30% कम है, जो बताता है कि एकल मानक प्रतिरूप हिग्स बोसोन से अधिक हिग्स युगल हो सकते हैं।

न्यूनतम अति सममित मानक प्रतिरूप
भव्य एकीकरण के न्यूनतम अति सममित मानक प्रतिरूप (एमएसएसएम) और हिग्स-युकावा निश्चित बिंदुओं में पुनर्नामीकरण समूह अध्ययन बहुत उत्साहजनक थे कि सिद्धांत सही रास्ते पर था। हालाँकि, अब तक, व्यापक हैड्रान कोलाइडर के प्रयोग में अनुमानित एमएसएसएम कणों का कोई प्रमाण सामने नहीं आया है।

यह भी देखें

 * बैंक-जैक्स निश्चित बिंदु
 * कॉलन-सिमांज़िक समीकरण
 * परिमाण तुच्छता

अग्रिम पठन

 * Peskin, M and Schroeder, D.; An Introduction to Quantum Field Theory, Westview Press (1995). A standard introductory text, covering many topics in QFT including calculation of beta functions; see especially chapter 16.
 * Weinberg, Steven; The Quantum Theory of Fields, (3 volumes) Cambridge University Press (1995). A monumental treatise on QFT.
 * Zinn-Justin, Jean; Quantum Field Theory and Critical Phenomena, Oxford University Press (2002). Emphasis on the renormalization group and related topics.