स्टेबलाइजर कोड

क्वांटम त्रुटि सुधार क्वांटम कम्प्यूटिंग और क्वांटम संचार उपकरणों के व्यावहारिक कार्यान्वयन और इंजीनियरिंग में प्रमुख भूमिका निभाता है। पहले क्वांटम त्रुटि-सुधार करने वाले कोड अपने संचालन और प्रदर्शन में चिरसम्मत ब्लॉक पीकोड के समान हैं। क्वांटम त्रुटि-सुधार करने वाले कोड एक रवयुक्त, स्पष्ट क्वांटम स्थिति को शुद्ध क्वांटम स्थिति में पुनर्स्थापित करते हैं। स्टेबलाइजर क्वांटम त्रुटि-सुधार करने वाला कोड एंसीला क्वैबिट को उन क्वैबिट में जोड़ता है जिन्हें हम सुरक्षित रखना चाहते हैं। एकात्मक एन्कोडिंग सर्किट वैश्विक स्थिति को एक बड़े हिल्बर्ट समष्टि के उप-समष्टि में घूर्णन करता है। यह अत्यधिक उलझी हुई, एन्कोडेड स्थिति स्थानीय रवयुक्त संबंधी त्रुटियों को ठीक करती है। क्वांटम त्रुटि-सुधार कोड प्रेषक और रिसीवर के लिए रवयुक्त रहित क्वबिट चैनल का अनुकरण करने का एक तरीका प्रदान करके क्वांटम गणना और क्वांटम संचार को व्यावहारिक बनाता है, जिसका रवयुक्त विशेष त्रुटि मॉडल के अनुरूप होता है।

क्वांटम त्रुटि सुधार का स्टेबलाइजर सिद्धांत किसी को क्वांटम कोड के रूप में उपयोग के लिए कुछ चिरसम्मत बाइनरी या चतुर्धातुक कोड आयात करने की अनुमति देता है। हालाँकि, चिरसम्मत कोड को आयात करते समय, इसे दोहरे-युक्त (या स्व-लंबकोणीयता) बाधा को पूरा करना होगा। शोधकर्ताओं ने इस बाधा को पूरा करने वाले चिरसम्मत कोड के कई उदाहरण पाए हैं, लेकिन अधिकांश चिरसम्मत कोड ऐसा नहीं करते हैं। फिर भी, इस तरह से चिरसम्मत कोड आयात करना अभी भी उपयोगी है (हालांकि, देखें कि उलझाव-सहायता वाली स्टेबलाइज़र औपचारिकता इस कठिनाई को कैसे दूर करती है)।

गणितीय पृष्ठभूमि
स्टेबलाइज़र औपचारिकता क्वांटम त्रुटि-सुधार कोड तैयार करने में पाउली समूह $$\Pi$$ के तत्वों का उपयोग करती है। सेट $$\Pi=\left\{ I,X,Y,Z\right\}  $$ में पाउली ऑपरेटर शामिल हैं:

I\equiv \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} ,\ X\equiv \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} ,\ Y\equiv \begin{bmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{bmatrix} ,\ Z\equiv \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix} . $$ उपरोक्त ऑपरेटर एकल क्वबिट पर कार्य करते हैं - एक स्थिति जो द्वि-आयामी हिल्बर्ट समष्टि में सदिश द्वारा दर्शायी जाती है। $$\Pi$$ में ऑपरेटरों के पास अभिलक्षणिक मान $$\pm1$$ है और या तो कम्यूट या एंटी-कम्यूट है। सेट $$\Pi^{n}$$में पाउली ऑपरेटरों के $$n$$-फोल्ड टेंसर उत्पाद शामिल हैं:

\Pi^{n}=\left\{ \begin{array} [c]{c} e^{i\phi}A_{1}\otimes\cdots\otimes A_{n}:\forall j\in\left\{ 1,\ldots ,n\right\} A_{j}\in\Pi,\ \ \phi\in\left\{  0,\pi/2,\pi,3\pi/2\right\} \end{array} \right\}. $$ $$\Pi^{n}$$ के तत्व $$n$$ क्वबिट के क्वांटम रजिस्टर पर कार्य करते हैं। हम कभी-कभी निम्नलिखित में टेंसर उत्पाद प्रतीकों प्रतीकों को छोड़ देते हैं ताकि
 * $$A_{1}\cdots A_{n}\equiv A_{1}\otimes\cdots\otimes A_{n}.$$

$$n$$-फोल्ड पाउली समूह $$\Pi^{n}$$ एन्कोडिंग सर्किट और $$n$$ क्वबिट पर क्वांटम स्टेबलाइज़र कोड की त्रुटि-सुधार प्रक्रिया दोनों के लिए महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

परिभाषा
आइए हम $$k$$ तार्किक क्वबिट में $$n$$ भौतिक क्वबिट में एन्कोड करने के लिए $$\left[ n,k\right]  $$ स्टेबलाइज़र क्वांटम त्रुटि-सुधार को परिभाषित करें। ऐसे कोड की दर $$k/n$$ है। इसका स्टेबलाइज़र $$\mathcal{S}$$ $$n$$-फोल्ड पाउली समूह $$\Pi^{n}$$ का एबेलियन समूह उपसमूह है। $$\mathcal{S}$$ में ऑपरेटर $$-I^{\otimes n}$$ शामिल नहीं है। ऑपरेटरों का एक साथ$$+1$$- अभिलाक्षणिक समष्टि कोडस्पेस का गठन करता है। कोडस्पेस का आयाम $$2^{k}$$ है ताकि हम इसमें $$k$$ क्वबिट को एन्कोड कर सकें। $$n-k$$ स्वतंत्र जनरेटर के संदर्भ में स्टेबलाइजर $$\mathcal{S}$$ का प्रतिनिधित्व (गणित) न्यूनतम है
 * $$\left\{ g_{1},\ldots,g_{n-k}\ |\ \forall i\in\left\{

1,\ldots,n-k\right\} ,\ g_{i}\in\mathcal{S}\right\} .$$ जनरेटर इस अर्थ में स्वतंत्र हैं कि उनमें से कोई भी अन्य दो (वैश्विक चरण तक) का उत्पाद नहीं है। ऑपरेटर $$g_{1},\ldots,g_{n-k}$$ उसी तरह कार्य करते हैं जैसे समता जाँच मैट्रिक्स चिरसम्मत रैखिक ब्लॉक कोड के लिए करता है।

स्टेबलाइज़र त्रुटि-सुधार की स्थिति
क्वांटम त्रुटि सुधार सिद्धांत में मूलभूत धारणाओं में से एक यह है कि यह पाउली समूह $$\Pi^{n}$$ में समर्थन (गणित) के साथ सेट की गई असतत त्रुटि को ठीक करने के लिए पर्याप्त है . मान लीजिए कि एन्कोडेड क्वांटम स्थिति को प्रभावित करने वाली त्रुटियां पाउली समूह $$\Pi^{n}$$ का एक उपसमुच्चय गणित $$\mathcal{E}$$ हैं:
 * $$\mathcal{E}\subset\Pi^{n}.$$

चूँकि $$\mathcal{E}$$ और $$\mathcal{S}$$ के दोनों $$\Pi^{n}$$ के सबसेट हैं, एक त्रुटि $$E\in\mathcal{E}$$ जो एन्कोडेड क्वांटम स्थिति को प्रभावित करती है या तो किसी विशेष तत्व $$\mathcal{S}$$ एंटीकम्यूट्स तत्व $$g$$ में. त्रुटि $$E$$ यदि यह सुधार योग्य है एक तत्व के साथ एंटीकम्यूट्स $$g$$ में $$\mathcal{S}$$. एक एंटीकम्यूटिंग त्रुटि $$E$$ प्रत्येक तत्व को क्वांटम माप द्वारा पता लगाया जा सकता है $$g$$ में $$\mathcal{S}$$ और एक सिंड्रोम की गणना $$\mathbf{r}$$ की पहचान $$E$$. सिंड्रोम एक द्विआधारी है सदिश $$\mathbf{r}$$ लंबाई के साथ $$n-k$$ जिनके तत्व पहचानते हैं कि क्या गलती $$E$$ प्रत्येक के साथ आवागमन या प्रतिगमन $$g\in\mathcal{S}$$. एक गलती $$E$$ जो हर तत्व के साथ संचार करता है $$g$$ में $$\mathcal{S}$$ सुधार योग्य है यदि और केवल अगर यह अंदर है $$\mathcal{S}$$. यदि यह एन्कोडेड स्थिति को दूषित करता है के हर तत्व के साथ आवागमन करता है $$\mathcal{S}$$ लेकिन झूठ नहीं बोलता $$\mathcal{S} $$. इसलिए हम स्टेबलाइज़र त्रुटि-सुधार स्थितियों को संक्षिप्त रूप से संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं: ए स्टेबलाइजर कोड किसी भी त्रुटि को ठीक कर सकता है $$E_{1},E_{2}$$ में $$\mathcal{E}$$ अगर
 * $$E_{1}^{\dagger}E_{2}\notin\mathcal{Z}\left( \mathcal{S}\right)  $$

या


 * $$E_{1}^{\dagger}E_{2}\in\mathcal{S}$$

कहाँ $$\mathcal{Z}\left( \mathcal{S} \right)  $$ का केंद्रीकरणकर्ता है $$\mathcal{S}$$ (यानी, तत्वों का उपसमूह जो सभी सदस्यों के साथ आवागमन करता है $$\mathcal{S}$$, जिसे कम्यूटेंट के रूप में भी जाना जाता है)।

स्टेबलाइजर कोड का सरल उदाहरण
स्टेबलाइजर कोड का एक सरल उदाहरण तीन क्विबिट है $$\left 3,1,3\right  $$ स्टेबलाइजर कोड. यह एन्कोड करता है $$k=1$$ तार्किक क्वबिट में $$n=3$$ भौतिक क्वैबिट और सिंगल-बिट फ़्लिप से बचाता है सेट में त्रुटि $$\left\{ X_{i}\right\}$$. यह सेट में चरण फ़्लिप त्रुटियों जैसी अन्य पाउली त्रुटियों से रक्षा नहीं करता है $$\left\{ Y_{i}\right\}$$।या $$\left\{ Z_{i}\right\}$$. इसमें कोड दूरी है $$d=3$$. इसके स्टेबलाइजर में शामिल हैं $$n-k=2$$ पाउली ऑपरेटर:

\begin{array} [c]{ccc} g_{1} & = & Z & Z & I\\ g_{2} & = & I & Z & Z\\ \end{array} $$ यदि कोई बिट-फ़्लिप त्रुटियाँ नहीं हैं, तो दोनों ऑपरेटर $$g_{1}$$ और $$g_{2}$$ आवागमन, सिंड्रोम +1,+1 है, और कोई त्रुटि नहीं पाई गई है।

यदि पहले एन्कोडेड क्वबिट पर बिट-फ्लिप त्रुटि है, तो ऑपरेटर $$g_{1}$$ आवागमन विरोधी होगा और $$g_{2}$$ आवागमन, सिंड्रोम -1,+1 है, और त्रुटि का पता चला है। यदि दूसरे एन्कोडेड क्वबिट पर बिट-फ्लिप त्रुटि है, तो ऑपरेटर $$g_{1}$$ आवागमन विरोधी होगा और  $$g_{2}$$ एंटी-कम्यूट, सिंड्रोम -1,-1 है, और त्रुटि का पता चला है। यदि तीसरे एन्कोडेड क्वबिट पर बिट-फ्लिप त्रुटि है, तो ऑपरेटर $$g_{1}$$ आवागमन करेंगे और  $$g_{2}$$ एंटी-कम्यूट, सिंड्रोम +1,-1 है, और त्रुटि का पता चला है।

स्टेबिलाइजर कोड का उदाहरण
स्टेबलाइजर कोड का एक उदाहरण फाइव क्वबिट है $$\left 5,1,3\right  $$ स्टेबलाइजर कोड. यह एन्कोड करता है $$k=1$$ तार्किक क्वबिट में $$n=5$$ भौतिक क्वैबिट और मनमाने सिंगल-क्विबिट से बचाता है गलती। इसमें कोड दूरी है $$d=3$$. इसके स्टेबलाइजर में शामिल हैं $$n-k=4$$ पाउली ऑपरेटर:

\begin{array} [c]{ccccccc} g_{1} & = & X & Z & Z & X & I\\ g_{2} & = & I & X & Z & Z & X\\ g_{3} & = & X & I & X & Z & Z\\ g_{4} & = & Z & X & I & X & Z \end{array} $$ उपरोक्त ऑपरेटर आवागमन करते हैं। इसलिए, कोडस्पेस एक साथ है +1-उपरोक्त ऑपरेटरों का ईजेनस्पेस। मान लीजिए कि सिंगल-क्विबिट त्रुटि होती है एन्कोडेड क्वांटम रजिस्टर। सेट में सिंगल-क्विबिट त्रुटि है $$\left\{ X_{i},Y_{i},Z_{i}\right\}$$ कहाँ $$A_{i}$$ क्वैबिट पर पाउली त्रुटि को दर्शाता है $$i$$. यह सत्यापित करना सीधा है कि किसी भी मनमानी सिंगल-क्विबिट त्रुटि में एक है अद्वितीय सिंड्रोम. रिसीवर किसी भी सिंगल-क्विबिट त्रुटि की पहचान करके उसे ठीक करता है समता माप और सुधारात्मक ऑपरेशन के माध्यम से सिंड्रोम।

पाउली समूह और बाइनरी वैक्टर के बीच संबंध
के तत्वों के बीच एक सरल लेकिन उपयोगी मानचित्रण मौजूद है $$\Pi$$ और बाइनरी सदिश स्थल $$\left( \mathbb{Z}_{2}\right)  ^{2}$$. यह मैपिंग एक देता है क्वांटम त्रुटि सुधार सिद्धांत का सरलीकरण। यह क्वांटम कोड का प्रतिनिधित्व करता है पाउली ऑपरेटरों के बजाय बिट सदिश और बाइनरी ऑपरेशन के साथ क्रमशः मैट्रिक्स संचालन।

हम सबसे पहले वन-क्विबिट मामले के लिए मैपिंग देते हैं। कल्पना करना $$\left[ A\right]  $$ एक ऑपरेटर (भौतिकी) के समतुल्य वर्गों का एक सेट है $$A$$ जिनका चरण (तरंगें) समान है:

\left[ A\right]  =\left\{  \beta A\ |\ \beta\in\mathbb{C},\ \left\vert \beta\right\vert =1\right\}. $$ होने देना $$\left[ \Pi\right]  $$ जहां चरण-मुक्त पाउली ऑपरेटरों का सेट हो $$\left[ \Pi\right]  =\left\{  \left[  A\right]  \ |\ A\in\Pi\right\}  $$. मानचित्र को परिभाषित करें $$N:\left( \mathbb{Z}_{2}\right)  ^{2}\rightarrow\Pi$$ जैसा

00 \to I, \,\, 01 \to X, \,\, 11 \to Y, \,\, 10 \to Z $$ कल्पना करना $$u,v\in\left( \mathbb{Z}_{2}\right)  ^{2}$$. आइए हम रोजगार दें आशुलिपि $$u=\left( z|x\right)  $$ और $$v=\left(  z^{\prime}|x^{\prime }\right)  $$ कहाँ $$z$$, $$x$$, $$z^{\prime}$$, $$x^{\prime}\in\mathbb{Z}_{2}$$. के लिए उदाहरण, मान लीजिए $$u=\left( 0|1\right)  $$. तब $$N\left( u\right)  =X$$. नक्शा $$N$$ एक समरूपता उत्पन्न करता है $$\left[ N\right]  :\left(  \mathbb{Z} _{2}\right)  ^{2}\rightarrow\left[  \Pi\right]  $$ क्योंकि सदिशों का योग में $$\left( \mathbb{Z}_{2}\right)  ^{2}$$ के गुणन के बराबर है पाउली ऑपरेटर वैश्विक चरण तक:

\left[ N\left(  u+v\right)  \right]  =\left[  N\left(  u\right)  \right] \left[ N\left(  v\right)  \right]. $$ होने देना $$\odot$$ दो तत्वों के बीच सहानुभूति उत्पाद को निरूपित करें $$u,v\in\left( \mathbb{Z}_{2}\right) ^{2}$$:

u\odot v\equiv zx^{\prime}-xz^{\prime}. $$ सिंपलेक्टिक उत्पाद $$\odot$$ के तत्वों का क्रमविनिमेय गुण संबंध देता है $$\Pi$$:

N\left( u\right)  N\left(  v\right)  =\left(  -1\right)  ^{\left(  u\odot v\right)  }N\left(  v\right)  N\left(  u\right). $$ सिंपलेक्टिक उत्पाद और मानचित्रण $$N$$ इस प्रकार वाक्यांश का एक उपयोगी तरीका प्रदान करें बूलियन बीजगणित (तर्क) के संदर्भ में पाउली संबंध। उपरोक्त परिभाषाओं और मानचित्रण का विस्तार $$N$$ एकाधिक क्वबिट के लिए है सीधा। होने देना $$\mathbf{A}=A_{1}\otimes\cdots\otimes A_{n}$$ एक को निरूपित करें का मनमाना तत्व $$\Pi^{n}$$. हम इसी प्रकार चरण-मुक्त को परिभाषित कर सकते हैं $$n$$-क्विबिट पाउली समूह $$\left[ \Pi^{n}\right]  =\left\{  \left[ \mathbf{A}\right] \ |\ \mathbf{A}\in\Pi^{n}\right\}  $$ कहाँ

\left[ \mathbf{A}\right]  =\left\{  \beta\mathbf{A}\ |\ \beta\in \mathbb{C},\ \left\vert \beta\right\vert =1\right\}. $$ समूह संचालन $$\ast$$ उपरोक्त तुल्यता वर्ग के लिए इस प्रकार है:
 * $$ \left[ \mathbf{A}\right]  \ast\left[  \mathbf{B}\right]    \equiv\left[

A_{1}\right] \ast\left[  B_{1}\right]  \otimes\cdots\otimes\left[ A_{n}\right] \ast\left[  B_{n}\right]  =\left[  A_{1}B_{1}\right]  \otimes\cdots\otimes\left[  A_{n}B_{n}\right] =\left[ \mathbf{AB}\right]. $$ तुल्यता वर्ग $$\left[ \Pi^{n}\right]  $$ एक क्रमविनिमेय समूह बनाता है ऑपरेशन के तहत $$\ast$$. इसपर विचार करें $$2n$$-आयामी सदिश अंतरिक्ष

\left( \mathbb{Z}_{2}\right)  ^{2n}=\left\{  \left(  \mathbf{z,x}\right)
 * \mathbf{z},\mathbf{x}\in\left( \mathbb{Z}_{2}\right)  ^{n}\right\}.

$$ यह क्रमविनिमेय समूह बनाता है $$(\left( \mathbb{Z}_{2}\right)  ^{2n},+)$$ साथ संचालन $$+$$ बाइनरी सदिश जोड़ के रूप में परिभाषित किया गया है। हम संकेतन का प्रयोग करते हैं $$\mathbf{u}=\left( \mathbf{z}|\mathbf{x}\right)  ,\mathbf{v}=\left( \mathbf{z}^{\prime}|\mathbf{x}^{\prime}\right)  $$ किसी भी सदिश का प्रतिनिधित्व करने के लिए $$\mathbf{u,v}\in\left( \mathbb{Z}_{2}\right)  ^{2n}$$ क्रमश। प्रत्येक सदिश $$\mathbf{z}$$ और $$\mathbf{x}$$ तत्व हैं $$\left( z_{1},\ldots ,z_{n}\right)  $$ और $$\left(  x_{1},\ldots,x_{n}\right)  $$ क्रमशः साथ के लिए समान अभ्यावेदन $$\mathbf{z}^{\prime}$$ और $$\mathbf{x}^{\prime}$$. सिंपलेक्टिक उत्पाद $$\odot$$ का $$\mathbf{u}$$ और $$\mathbf{v}$$ है

\mathbf{u}\odot\mathbf{v\equiv}\sum_{i=1}^{n}z_{i}x_{i}^{\prime}-x_{i} z_{i}^{\prime}, $$ या

\mathbf{u}\odot\mathbf{v\equiv}\sum_{i=1}^{n}u_{i}\odot v_{i}, $$ कहाँ $$u_{i}=\left( z_{i}|x_{i}\right)  $$ और $$v_{i}=\left(  z_{i}^{\prime }|x_{i}^{\prime}\right)  $$. आइए एक मानचित्र को परिभाषित करें $$\mathbf{N}:\left( \mathbb{Z}_{2}\right) ^{2n}\rightarrow\Pi^{n}$$ निम्नलिखित नुसार:

\mathbf{N}\left( \mathbf{u}\right)  \equiv N\left(  u_{1}\right) \otimes\cdots\otimes N\left( u_{n}\right). $$ होने देना

\mathbf{X}\left( \mathbf{x}\right)   \equiv X^{x_{1}}\otimes\cdots\otimes X^{x_{n}}, \,\,\,\,\,\,\, \mathbf{Z}\left( \mathbf{z}\right)     \equiv Z^{z_{1}}\otimes\cdots\otimes Z^{z_{n}}, $$ ताकि $$\mathbf{N}\left( \mathbf{u}\right)  $$ और $$\mathbf{Z}\left( \mathbf{z}\right)  \mathbf{X}\left(  \mathbf{x}\right)  $$ उसी के हैं तुल्यता वर्ग:

\left[ \mathbf{N}\left(  \mathbf{u}\right)  \right]  =\left[  \mathbf{Z} \left( \mathbf{z}\right)  \mathbf{X}\left(  \mathbf{x}\right)  \right]. $$ वो नक्शा $$\left[ \mathbf{N}\right]  :\left(  \mathbb{Z}_{2}\right) ^{2n}\rightarrow\left[ \Pi^{n}\right]  $$ उसी के लिए एक समरूपता है पिछले मामले की तरह ही कारण दिया गया:

\left[ \mathbf{N}\left(  \mathbf{u+v}\right)  \right]  =\left[ \mathbf{N}\left( \mathbf{u}\right)  \right]  \left[  \mathbf{N}\left( \mathbf{v}\right)  \right]  , $$ कहाँ $$\mathbf{u,v}\in\left( \mathbb{Z}_{2}\right)  ^{2n}$$. सिंपलेक्टिक उत्पाद किसी भी ऑपरेटर के कम्यूटेशन संबंधों को कैप्चर करता है $$\mathbf{N}\left( \mathbf{u}\right) $$ और $$\mathbf{N}\left(  \mathbf{v}\right)  $$:

\mathbf{N\left( \mathbf{u}\right)  N}\left(  \mathbf{v}\right)  =\left( -1\right)  ^{\left(  \mathbf{u}\odot\mathbf{v}\right)  }\mathbf{N}\left( \mathbf{v}\right)  \mathbf{N}\left(  \mathbf{u}\right). $$ उपरोक्त द्विआधारी निरूपण और सिंपलेक्टिक बीजगणित बनाने में उपयोगी हैं चिरसम्मत रैखिक त्रुटि सुधार और क्वांटम त्रुटि सुधार के बीच संबंध अधिक स्पष्ट है।

इस भाषा में क्वांटम त्रुटि सुधार कोड की तुलना सिम्प्लेक्टिक सदिश स्पेस से करके, हम निम्नलिखित देख सकते हैं। एक सिंपलेक्टिक सदिश स्पेस#सबस्पेसेस सबस्पेस पाउली अलजेब्रा (यानी, एन्कोडेड क्वबिट्स) के प्रत्यक्ष योग से मेल खाता है, जबकि एक सिंपलेक्टिक सदिश स्पेस#सबस्पेसेज सबस्पेस स्टेबलाइजर्स के एक सेट से मेल खाता है।

संदर्भ

 * D. Gottesman, "Stabilizer codes and quantum error correction," quant-ph/9705052, Caltech Ph.D. thesis. https://arxiv.org/abs/quant-ph/9705052
 * A. Calderbank, E. Rains, P. Shor, and N. Sloane, “Quantum error correction via codes over GF(4),” IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 44, pp. 1369–1387, 1998. Available at https://arxiv.org/abs/quant-ph/9608006
 * A. Calderbank, E. Rains, P. Shor, and N. Sloane, “Quantum error correction via codes over GF(4),” IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 44, pp. 1369–1387, 1998. Available at https://arxiv.org/abs/quant-ph/9608006
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