इनइलिप्स (दीर्घवृत्त में)

त्रिभुज ज्यामिति में, वृत्ताकार एक दीर्घवृत्त है जो एक त्रिकोण के तीन पक्षों को छूता है। सबसे सरल उदाहरण है अन्तःवृत्त। आगे के महत्वपूर्ण दीर्घवृत्त हैं, स्टेनर दीर्घवृत्त, जो इसके पार्श्वों के मध्यबिंदु पर त्रिकोण को स्पर्श करता है, मंडार्ट दीर्घवृत्त और ब्रोकार्ड दीर्घवृत्त (उदाहरण अनुभाग देखें)। किसी भी त्रिकोण के लिए अनंत संख्या में दीर्घवृत्त हैं।

स्टाइनर [[अंडाकार]] एक विशेष भूमिका निभाता है: इसका क्षेत्र सभी इनेलिप्स में सबसे बड़ा है।

क्योंकि एक गैर-पतित शांकव खंड विशिष्ट रूप से शिखर और स्पर्शरेखा के समूह में से पांच अंशो द्वारा निर्धारित किया जाता है, एक त्रिकोण में, जिसके तीन पक्षों को स्पर्शरेखा के रूप में दिया जाता है, कोई केवल दो पक्षों पर संपर्क के बिंदुओं को निर्दिष्ट कर सकता है। तब संपर्क का तीसरा बिंदु विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है।

पैरामीट्रिक अभ्यावेदन, केंद्र, संयुग्म व्यास
शीर्षों के साथ त्रिभुज का दीर्घवृत्त
 * $$O=(0,0), \; A=(a_1,a_2), \; B=(b_1,b_2) $$

और संपर्क के बिंदु
 * $$U=(u_1,u_2) ,\; V=(v_1,v_2) $$

पर $$OA $$ और $$OB$$ क्रमशः तर्कसंगत पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व द्वारा वर्णित किया जा सकता है कहां $$ a,b $$ संपर्क के बिंदुओं के चयन द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित हैं:
 * $$\left ( \frac{4u_1\xi^2+v_1ab}{4\xi^2+4\xi+ab},\frac{4u_2\xi^2+v_2ab}{4\xi^2+4\xi+ab}\right )\, \ -\infty<\xi<\infty \ ,$$
 * $$ a=\frac{1}{s-1}, \ u_i=s a_i,\quad b=\frac{1}{t-1}, \ v_i=t b_i \; ,\ 0<s,t<1 \; .$$

संपर्क का तीसरा बिंदु है
 * $$W= \left ( \frac{u_1a+v_1b}{a+b+2}\; ,\; \frac{u_2a+v_2b}{a+b+2}\right ) \; .$$

दीर्घवृत्त का केंद्र है
 * $$ M= \frac{ab}{ab-1}\left ( \frac{u_1+v_1}{2},\frac{u_2+v_2}{2}\right ) \; .$$

वैक्टर
 * $$\vec f_1=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{ab}}{ab-1}\;(u_1+v_1,u_2+v_2)$$
 * $$\vec f_2=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{ab}{ab-1}}\;(u_1-v_1,u_2-v_2)\; $$

दो संयुग्मित अर्ध व्यास हैं और इनलिप्स में अधिक सामान्य त्रिकोणमित पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व है दीर्घवृत्त का ब्रायनचोन प्रमेय (सामान्य बिंदु $$K$$ पंक्तियों का $$\overline{AV}, \overline{BU}, \overline{OW}$$) है
 * $$ \vec x = \vec{OM}+\vec f_1\cos \varphi + \vec f_2\sin \varphi \; .$$
 * $$K: \left ( \frac{u_1a+v_1b}{a+b+1}\; ,\; \frac{u_2a+v_2b}{a+b+1}\right) \ .$$

परिवर्तनीय $$ s,t $$ संपर्क के दो बिंदुओं को निर्धारित करने का एक आसान विकल्प है $$U,V$$. के लिए दी गई सीमा $$s,t$$ गारंटी दें कि संपर्क के बिंदु त्रिभुज की भुजाओं पर स्थित हैं। वे प्रदान करते हैं $$a,b$$ सीमा $$-\infty<a,b<-1$$.

टिप्पणी: पैरामीटर $$a,b$$ न तो दीर्घवृत्त का अर्द्धअक्ष है और न ही दो भुजाओं की लंबाई।

स्टेनर इनेलिप्से
के लिए $$s=t=\tfrac 1 2$$ संपर्क के बिंदु $$U,V,W$$ भुजाओं के मध्य बिंदु हैं और दीर्घवृत्त स्टीनर दीर्घवृत्त है (इसका केंद्र त्रिभुज का केन्द्रक है)।

अन्तर्वृत्त
के लिए $$ s=\tfrac{|OA|+|OB|-|AB|}{2|OA|},\; t=\tfrac{|OA|+|OB|-|AB|}{2|OB|}$$ एक केंद्र के साथ त्रिकोण का अंतःवृत्त प्राप्त करता है
 * $$\vec{OM}=\frac{|OB|\vec{OA}+|OA|\vec{OB}}{|OA|+|OB|+|AB|}\; .$$

मंदारट दीर्घवृत्त
के लिए $$ s=\tfrac{|OA|-|OB|+|AB|}{2|OA|},\; t=\tfrac{-|OA|+|OB|+|AB|}{2|OB|}$$ दीर्घवृत्त त्रिभुज का मैंडार्ट दीर्घवृत्त है। यह बाह्यवृत्तों के संपर्क बिंदुओं पर भुजाओं को स्पर्श करता है (आरेख देखें)।

ब्रोकेड इनेलिप्से
के लिए $$ \ s=\tfrac{|OB|^2}{|OB|^2+|AB|^2}\;, \quad t=\tfrac{|OA|^2}{|OA|^2+|AB|^2}\; $$ किसी को ब्रोकार्ड इनलिप्स मिलता है। यह त्रिरेखीय निर्देशांक में दिए गए अपने ब्रायनचोन बिंदु द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है $$\ K: (|OB|:|OA|:|AB|)\ $$.

कथनों की व्युत्पत्ति
[[File:Inellipse-2-ab.svg|thumb|500px|एक में अतिपरवलय के लिए समस्या को हल करके दीर्घवृत्त का निर्धारण $$\xi$$-$$\eta$$-प्लेन और एक्स-वाई-प्लेन में समाधान का एक अतिरिक्त परिवर्तन।

$$M$$ मांगी गई दीर्घवृत्त का केंद्र है और $$D_1D_2,\; E_1E_2$$ दो संयुग्मित व्यास।

दोनों विमानों में आवश्यक बिंदुओं को समान प्रतीकों द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है। $$g_\infty$$ एक्स-वाई-प्लेन की अनंतता पर रेखा है।]]नए निर्देशांक: बयानों के सबूत के लिए एक कार्य प्रोजेक्टिव प्लेन पर विचार करता है और सुविधाजनक नए इनहोमोजेन पेश करता है $$\xi$$-$$\eta$$- ऐसे समन्वय करता है कि वांछित शंकु खंड अतिशयोक्ति और बिंदुओं के रूप में प्रकट होता है $$ U,V$$ नए निर्देशांक अक्षों के अनंत बिंदु बन जाते हैं। बिन्दु $$ A=(a_1,a_2),\; B=(b_1,b_2)$$ द्वारा नई समन्वय प्रणाली में वर्णित किया जाएगा $$A=[a,0], B=[0,b]$$ और संबंधित रेखा में समीकरण है $$\frac \xi a + \frac \eta b =1 $$. (नीचे यह पता चलेगा कि $$a,b$$ उपरोक्त कथन में वास्तव में वही अर्थ प्रस्तुत किया गया है।) अब समन्वय अक्षों के साथ स्पर्शोन्मुख के रूप में एक अतिपरवलय की मांग की जाती है, जो रेखा को छूता है $$\overline{AB} $$. यह एक आसान काम है। एक साधारण गणना से समीकरण के साथ अतिपरवलय प्राप्त होता है $$ \eta=\frac{ab}{4\xi}$$. यह रेखा को छूता है $$\overline{AB} $$ बिंदु पर $$ W=[\tfrac{a}{2},\tfrac{b}{2}]$$.

समन्वय परिवर्तन: सजातीय निर्देशांक और मैट्रिक्स का उपयोग करके एक्स-वाई-प्लेन में समाधान का रूपांतरण किया जाएगा
 * $$\begin{bmatrix}

u_1 & v_1 & 0 \\ u_2 & v_2 & 0 \\ 1 & 1 & 1  \end{bmatrix}\quad $$. एक बिंदु $$[x_1,x_2,x_3]$$ पर मैप किया जाता है
 * $$\begin{bmatrix}

u_1 & v_1 & 0 \\ u_2 & v_2 & 0 \\ 1 & 1 & 1  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}= \begin{pmatrix}u_1x_1+v_1x_2\\ u_2x_1+v_2x_2\\ x_1+x_2+x_3 \end{pmatrix} \rightarrow \left( \frac{u_1x_1+v_1x_2}{ x_1+x_2+x_3}\;, \; \frac{u_2x_1+v_2x_2}{ x_1+x_2+x_3} \right ), \quad \text{if } x_1+x_2+x_3\ne0.$$ एक बिंदु $$[\xi,\eta]$$ की $$\xi$$-$$\eta$$-प्लेन को कॉलम वेक्टर द्वारा दर्शाया गया है $$[\xi,\eta,1]^T$$ (सजातीय निर्देशांक देखें)। अनंत पर एक बिंदु द्वारा दर्शाया गया है $$[\cdots,\cdots,0]^T$$.


 * आवश्यक बिंदुओं का समन्वय परिवर्तन:


 * $$U:\ [1,0,0]^T \ \rightarrow \ (u_1,u_2)\, \quad V:\ [0,1,0]^T \ \rightarrow \ (v_1,v_2)\ , $$
 * $$O: \ [0,0] \ \rightarrow \ (0,0) \ ,\quad A: \ [a,0] \rightarrow \ (a_1,a_2)\, \quad B: \ [0,b] \rightarrow \ (b_1,b_2)\ ,$$
 * (किसी को विचार करना चाहिए: $$\ a=\tfrac{1}{s-1}, \ u_i=s a_i,\quad b=\tfrac{1}{t-1}, \ v_i=t b_i \; $$; ऊपर देखें।)

$$g_\infty: \xi+\eta +1=0 \ $$ एक्स-वाई-प्लेन के अनंत पर रेखा का समीकरण है; अनंत पर इसका बिंदु है $$[1,-1,0]^T$$.
 * $$[1,-1,{\color{red}0}]^T \ \rightarrow \ (u_1-v_1,u_2-v_2,{\color{red}0})^T$$

इसलिए अनंत पर बिंदु $$g_\infty$$ (में $$\xi$$-$$\eta$$-प्लेन) एक्स-वाई-प्लेन के अनंत पर एक बिंदु पर मैप किया गया है। इसका अर्थ है: हाइपरबोला की दो स्पर्शरेखाएँ, जो समानांतर हैं $$g_\infty$$, x-y-प्लेन में भी समानांतर हैं। उनके संपर्क बिंदु हैं


 * $$ D_i: \left[\frac{\pm\sqrt{ab}}{2}, \frac{\pm\sqrt{ab}}{2}\right] \ \rightarrow \ \frac{1}{2}\frac{\pm\sqrt{ab}}{1\pm\sqrt{ab}}\;(u_1+v_1,u_2+v_2), \;$$

क्योंकि दीर्घवृत्त बिंदुओं पर स्पर्श करता है $$D_1,D_2$$ समानांतर हैं, जीवा $$D_1D_2$$ एक व्यास है और इसका मध्यबिंदु केंद्र है $$M$$ दीर्घवृत्त का
 * $$M:\ \frac{1}{2}\frac{ab}{ab-1}\left (u_1+v_1,u_2+v_2\right ) \; .$$

एक आसानी से जाँच करता है, कि $$M$$ है $$\xi$$-$$\eta$$-निर्देशांक
 * $$\ M: \; \left[\frac{-ab}{2},\frac{-ab}{2}\right]\; . $$

अंडाकार के व्यास को निर्धारित करने के लिए, जो संयुग्मित है $$D_1D_2$$, में $$\xi$$-$$\eta$$-प्लेन को सामान्य बिंदुओं का निर्धारण करना होता है $$E_1,E_2$$ रेखा के माध्यम से अतिपरवलय का $$M$$ स्पर्शरेखा के समानांतर (इसका समीकरण है $$\xi+\eta +ab=0$$). एक को मिलता है $$E_i: \left[\tfrac{-ab\pm\sqrt{ab(ab-1)}}{2},\tfrac{-ab\mp\sqrt{ab(ab-1)}}{2}\right] $$. और एक्स-वाई-निर्देशांक में:
 * $$\ E_i=\frac{1}{2}\frac{ab}{ab-1}\left ( u_1+v_1,u_2+v_2\right ) \pm\frac{1}{2}\frac{\sqrt{ab(ab-1)}}{ab-1}\left (u_1-v_1,u_2-v_2\right )\; ,$$

दो संयुग्मी व्यास से $$D_1D_2,E_1E_2$$ वहाँ दो सदिश संयुग्म आधा व्यास प्राप्त किया जा सकता है

\begin{align} \vec f_1 & =\vec{MD_1}=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{ab}}{ab-1}\;(u_1+v_1,u_2+v_2) \\[6pt] \vec f_2 & =\vec{ME_1}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{ab}{ab-1}}\;(u_1-v_1,u_2-v_2)\; \end{align} $$ और कम से कम दीर्घवृत्त का त्रिकोणमितीय पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व:
 * $$ \vec x = \vec{OM}+\vec f_1\cos \varphi + \vec f_2\sin \varphi \; .$$

स्टाइनर दीर्घवृत्त के मामले में समान रूप से # अर्ध अक्षों और रैखिक उत्केन्द्रता का निर्धारण, अर्धअक्ष, उत्केन्द्रता, कोने, x-y-निर्देशांक में एक समीकरण और दीर्घवृत्त के क्षेत्र का निर्धारण कर सकता है।

तीसरा स्पर्श बिंदु $$W$$ पर $$AB$$ है:
 * $$ W: \left[\frac{a}{2},\frac{b}{2} \right] \ \rightarrow \ \left( \frac{u_1a+v_1b}{a+b+2}\; ,\; \frac{u_2a+v_2b}{a+b+2}\right) \; .$$

दीर्घवृत्त का ब्रायनचोन बिंदु सामान्य बिंदु है $$K$$ तीन पंक्तियों में से $$\overline{AV}, \overline{BU}, \overline{OW}$$. में $$\xi$$-$$\eta$$-प्लेन इन पंक्तियों में समीकरण हैं: $$ \xi=a\; ,\; \eta=b\;, \; a\eta-b\xi=0$$. इसलिए बिंदु $$K$$ निर्देशांक हैं:
 * $$K: \ [a,b] \ \rightarrow \ \left ( \frac{u_1a+v_1b}{a+b+1}\; ,\; \frac{u_2a+v_2b}{a+b+1}\right) \ .$$

हाइपरबोला को बदलना $$\ \eta=\frac{ab}{4\xi}$$ अंडाकार के तर्कसंगत पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व उत्पन्न करता है:
 * $$ \left[ \xi, \frac{ab}{4\xi} \right] \ \rightarrow \ \left( \frac{4u_1\xi^2+v_1ab}{4\xi^2+4\xi+ab},\frac{4u_2\xi^2+v_2ab}{4\xi^2+4\xi+ab}\right)\, \ -\infty<\xi<\infty \ .$$

अंतःवृत्त के लिए है $$|OU|=|OV|$$, जो बराबर है
 * घेरा:
 * (1)$$ \; s|OA|=t|OB|\; .\ $$ इसके साथ ही
 * (2)$$\; (1-s)|OA|+(1-t)|OB| = |AB|$$. (आरेख देखें)

के लिए इन दो समीकरणों को हल करना $$s,t$$ एक मिलता है
 * (3)$$\; s=\frac{|OA|+|OB|-|AB|}{2|OA|},\; t=\frac{|OA|+|OB|-|AB|}{2|OB|}\; .$$

केंद्र के निर्देशांक प्राप्त करने के लिए सबसे पहले (1) und (3) का उपयोग करके गणना की जाती है
 * $$1 - \frac 1 {ab} = 1-(s-1)(t-1)=-st+s+t=\cdots=\frac{s}{2(|OB|}(|OA|+|OB|+|AB|)\; .$$

अत
 * $$\vec{OM}=\frac{|OB|}{s(|OA|+|OB|+|AB|)}\;(s\vec{OA}+t\vec{OB})=\cdots=\frac{|OB|\vec{OA}+|OA|\vec{OB}}{|OA|+|OB|+|AB|}\; .$$

मैंडार्ट इनलिप्स पैरामीटर $$ s,t$$ मैंडार्ट इनलिप्स के लिए संपर्क के बिंदुओं के गुणों से प्राप्त किया जा सकता है (देखें :de:Ankreis#Berührpunktabstände|de: Ankreis)।

ब्रोकार्ड इनलिप्स एक त्रिकोण का ब्रोकार्ड इनलिप्स विशिष्ट रूप से त्रिरेखीय निर्देशांक में दिए गए ब्रायनचोन बिंदु द्वारा निर्धारित किया जाता है $$\ K: (|OB|:|OA|:|AB|)\ $$. ट्रिलिनियर निर्देशांक को अधिक सुविधाजनक प्रतिनिधित्व में बदलना $$\ K: k_1\vec{OA}+k_2\vec{OB}\ $$ (ट्रिलिनियर निर्देशांक देखें # कार्टेशियन और ट्रिलिनियर निर्देशांक के बीच) पैदावार $$\ k_1=\tfrac{|OB|^2}{|OB|^2+|OA|^2+|AB|^2},\; k_2=\tfrac{|OA|^2}{|OB|^2+|OA|^2+|AB|^2}\ $$. दूसरी ओर, यदि पैरामीटर $$s,t$$ एक दीर्घवृत्त दिया गया है, जिसकी गणना उपरोक्त सूत्र से की गई है $$K$$: $$\ k_1=\tfrac{s(t-1)}{st-1},\; k_2=\tfrac{t(s-1)}{st-1}\ $$. के लिए दोनों भावों की बराबरी करना $$k_1,k_2$$ और हल करने के लिए $$s,t$$ पैदावार
 * $$ s=\frac{|OB|^2}{|OB|^2+|AB|^2}\;, \quad t=\frac{|OA|^2}{|OA|^2+|AB|^2}\; .$$

सबसे बड़े क्षेत्र के साथ दीर्घवृत्त

 * स्टेनर इनलिप्स में त्रिभुज के सभी दीर्घवृत्तों का सबसे बड़ा क्षेत्र होता है।

संयुग्मी अर्ध व्यास के गुणों पर संयुग्मित व्यास पर अपोलोनियोस के दीर्घवृत्त#प्रमेय से $$\vec f_1,\vec f_2$$ एक दीर्घवृत्त का एक मिलता है:
 * सबूत:


 * $$F=\pi\left|\det(\vec f_1,\vec f_2)\right|\quad $$ (स्टेनर दीर्घवृत्त पर लेख देखें)।

मापदंडों के साथ inellipse के लिए $$s,t$$ एक मिलता है
 * $$\det(\vec f_1,\vec f_2)

=\frac{1}{4}\frac{ab}{(ab-1)^{3/2}}\det(s\vec a+t \vec b,s\vec a-t \vec b)$$
 * $$=\frac{1}{2}\frac{s\sqrt{s-1}\;t\sqrt{t-1}}{(1-(s-1)(t-1))^{3/2}}\det(\vec b,\vec a)\;, $$

कहां $$\vec a=(a_1,a_2), \; \vec b=(b_1,b_2),\;\vec u=(u_1,u_2), \vec v=(v_1,v_2),\; \vec u=s\vec a,\; \vec v=t\vec b$$. जड़ों को छोड़ने के लिए, फ़ंक्शन के मैक्सिमा और मिनिमा की जांच करना पर्याप्त है $$G(s,t)=\tfrac{s^2(s-1)\;t^2(t-1)}{(1-(s-1)(t-1))^3}$$:
 * $$ G_s=0 \ \rightarrow \ 3s-2+2(s-1)(t-1)=0\; . $$

चूंकि $$G(s,t)=G(t,s)$$ एस और टी के आदान-प्रदान से मिलता है:
 * $$ G_t=0\ \rightarrow \ 3t-2+2(s-1)(t-1)=0\; . $$

एस और टी पैदावार के लिए दोनों समीकरणों को हल करना
 * $$ s=t=\frac{1}{2}\; ,\quad$$ जो स्टेनर इनलिप्स के पैरामीटर हैं।



यह भी देखें

 * खतना और प्रतिष्ठित

बाहरी कड़ियाँ

 * Darij Grinberg: Über einige Sätze und Aufgaben aus der Dreiecksgeometrie
 * Circumconic at MathWorld
 * Inconic at MathWorld