नेटवर्क पर फ्रैक्टल आयाम

फ्रैक्टल विश्लेषण जटिल नेटवर्क के अध्ययन में उपयोगी है, जो कंप्यूटर सिस्टम, मस्तिष्क और सामाजिक नेटवर्क जैसे प्राकृतिक और कृत्रिम दोनों प्रणालियों में मौजूद है, जिससे नेटवर्क विज्ञान के क्षेत्र में और विकास होता है।

जटिल नेटवर्क की स्व-समानता
कई वास्तविक नेटवर्क में दो मौलिक गुण होते हैं, स्केल-फ्री नेटवर्क | स्केल-फ्री प्रॉपर्टी और छोटी दुनिया का नेटवर्क | स्मॉल-वर्ल्ड प्रॉपर्टी। यदि नेटवर्क का डिग्री वितरण पावर-लॉ का अनुसरण करता है, तो नेटवर्क स्केल-फ्री होता है; यदि किसी नेटवर्क में किन्हीं दो स्वैच्छिक नोड्स को बहुत कम चरणों में जोड़ा जा सकता है, तो नेटवर्क को छोटी दुनिया कहा जाता है।

छोटी दुनिया के गुणों को गणितीय रूप से नेटवर्क की औसत दूरी (ग्राफ सिद्धांत) की धीमी वृद्धि से व्यक्त किया जा सकता है, जिसमें नोड्स की कुल संख्या होती है $$N$$,

<डिव वर्ग = केंद्र>$$\left\langle l\right\rangle\sim\ln{N}$$

कहां $$l$$ दो नोड्स के बीच सबसे छोटी दूरी है।

समान रूप से, हम प्राप्त करते हैं:

<डिव वर्ग = केंद्र>$$N\sim e^{\left\langle l\right\rangle/l_0}$$ कहां $$l_0$$ एक विशिष्ट लंबाई है।

एक आत्म समानता | स्व-समान संरचना के लिए, उपरोक्त घातीय संबंध के बजाय एक शक्ति-कानून संबंध की अपेक्षा की जाती है। इस तथ्य से, ऐसा प्रतीत होता है कि लघु-विश्व नेटवर्क लंबाई-पैमाने के परिवर्तन के तहत स्व-समान नहीं हैं।

प्रोटीन के विलायक-सुलभ सतह क्षेत्रों में स्व-समानता की खोज की गई है। क्योंकि प्रोटीन गोलाकार प्रोटीन की तह चेन बनाते हैं, इस खोज में प्रोटीन विकास और प्रोटीन गतिशीलता के लिए महत्वपूर्ण प्रभाव पड़ते हैं, क्योंकि इसका उपयोग प्रोटीन कार्यक्षमता के लिए विशेषता गतिशील लंबाई के पैमाने को स्थापित करने के लिए किया जा सकता है।

आयाम की गणना के तरीके
आम तौर पर हम या तो बॉक्स की गिनती विधि या क्लस्टर ग्रोइंग विधि का उपयोग करके फ्रैक्टल आयाम की गणना करते हैं।



बॉक्स गिनती विधि
होने देना $$N_B$$ रैखिक आकार के बक्सों की संख्या हो $$l_B$$, दिए गए नेटवर्क को कवर करने के लिए आवश्यक है। भग्न आयाम $$d_B$$ इसके बाद दिया जाता है <डिव वर्ग = केंद्र>$$N_B\sim l_B^{-d_B}$$

इसका मतलब है कि शीर्षों की औसत संख्या $$\left\langle M_B\left(l_B\right)\right\rangle$$ आकार के एक बॉक्स के भीतर $$l_B$$ <डिव वर्ग = केंद्र>$$\left\langle M_B\left(l_B\right)\right\rangle \sim l_B^{d_B}$$

के वितरण को मापने के द्वारा $$N$$ विभिन्न बॉक्स आकारों के लिए या के वितरण को मापने के द्वारा $$\left\langle M_B\left(l_B\right)\right\rangle$$ विभिन्न बॉक्स आकारों के लिए, भग्न आयाम $$d_B$$ वितरण के अनुकूल एक शक्ति कानून द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।

क्लस्टर बढ़ने की विधि
एक बीज नोड को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। यदि न्यूनतम दूरी $$l$$ दिया जाता है, नोड्स का एक समूह जो सबसे अधिक से अलग होता है $$l$$ बीज नोड से बन सकता है। जब तक क्लस्टर पूरे नेटवर्क को कवर नहीं कर लेते, तब तक कई बीजों को चुनकर प्रक्रिया को दोहराया जाता है। फिर आयाम $$d_f$$ द्वारा गणना की जा सकती है

<डिव वर्ग = केंद्र>$$\left\langle M_C\right\rangle \sim l^{d_f}$$

कहां $$\left\langle M_C\right\rangle$$ क्लस्टर का औसत द्रव्यमान है, जिसे क्लस्टर में नोड्स की औसत संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है।

इन तरीकों को नेटवर्क पर लागू करना मुश्किल है क्योंकि नेटवर्क आमतौर पर किसी अन्य स्थान में एम्बेड नहीं होते हैं। नेटवर्क के भग्न आयाम को मापने के लिए हम पुनर्सामान्यीकरण की अवधारणा को जोड़ते हैं।

बॉक्स-गिनती और पुनर्सामान्यीकरण
नेटवर्क में स्व-समानता की जांच करने के लिए, हम बॉक्स काउंटिंग | बॉक्स-काउंटिंग विधि और रीनॉर्मलाइजेशन का उपयोग करते हैं। चित्र (3ए) 8 नोड्स से बने नेटवर्क का उपयोग करके इस प्रक्रिया को दिखाता है।

प्रत्येक आकार एल के लिएB, बॉक्स बेतरतीब ढंग से चुने जाते हैं (जैसा कि क्लस्टर बढ़ने की विधि में होता है) जब तक कि नेटवर्क को कवर नहीं किया जाता है, एक बॉक्स में नोड्स होते हैं जो l <<l की दूरी से अलग होते हैंB, यानी बॉक्स में नोड्स की प्रत्येक जोड़ी को अधिकतम एल के न्यूनतम पथ से अलग किया जाना चाहिएB लिंक। फिर प्रत्येक बॉक्स को एक नोड (पुनः सामान्यीकरण) द्वारा बदल दिया जाता है। असामान्य बक्से के बीच कम से कम एक लिंक होने पर पुनर्सामान्यीकृत नोड्स जुड़े हुए हैं। यह प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक कि नेटवर्क एक नोड तक गिर न जाए। इन बक्सों में से प्रत्येक में एक प्रभावी द्रव्यमान (इसमें नोड्स की संख्या) होता है जिसका उपयोग ऊपर दिखाए गए अनुसार नेटवर्क के भग्न आयाम को मापने के लिए किया जा सकता है। अंजीर में। (3 बी), एल के लिए तीन चरणों के माध्यम से डब्ल्यूडब्ल्यूडब्ल्यू नेटवर्क पर पुनर्सामान्यीकरण लागू किया जाता हैB= 3।

अंजीर। (5) वर्ल्ड वाइड वेब पर बॉक्स आकार के एक समारोह के रूप में किए गए पुनर्संरचना के तहत डिग्री वितरण पी (के) के आक्रमण को दर्शाता है। एक निश्चित बॉक्स आकार l के लिए लागू किए गए कई पुनर्सामान्यीकरण के तहत नेटवर्क भी अपरिवर्तनीय हैंB. इस व्युत्क्रम से पता चलता है कि नेटवर्क स्वयं समानता हैं | कई लंबाई के पैमाने पर स्व-समान हैं।



कंकाल और फ्रैक्टल स्केलिंग
नेटवर्क के भग्न गुणों को इसकी अंतर्निहित वृक्ष संरचना में देखा जा सकता है। इस दृष्टि से, नेटवर्क में कंकाल और शॉर्टकट होते हैं। कंकाल एक विशेष प्रकार का फैला हुआ पेड़ है, जो उच्चतम केंद्रीयता वाले किनारों से बनता है, और नेटवर्क में शेष किनारे शॉर्टकट हैं। यदि मूल नेटवर्क स्केल-फ्री है, तो इसका कंकाल भी एक पावर-लॉ डिग्री वितरण का अनुसरण करता है, जहां डिग्री मूल नेटवर्क की डिग्री से भिन्न हो सकती है। फ्रैक्टल स्केलिंग के बाद फ्रैक्टल नेटवर्क के लिए, प्रत्येक कंकाल मूल नेटवर्क के समान फ्रैक्टल स्केलिंग दिखाता है। कंकाल को कवर करने के लिए बक्सों की संख्या लगभग उतनी ही है जितनी नेटवर्क को कवर करने के लिए आवश्यक है।

रीयल-वर्ल्ड फ्रैक्टल नेटवर्क
चूंकि भग्न नेटवर्क और उनके कंकाल संबंध का अनुसरण करते हैं <डिव वर्ग = केंद्र>$$\left\langle M_B\left(l_B\right)\right\rangle\sim l_B^{d_B}$$, हम जांच कर सकते हैं कि क्या नेटवर्क फ्रैक्टल है और नेटवर्क का फ्रैक्टल आयाम क्या है। उदाहरण के लिए, WWW, मानव मस्तिष्क, मेटाबोलिक नेटवर्क, H. सेपियन्स का प्रोटीन इंटरेक्शन नेटवर्क (PIN), और S. cerevisiaeare का पिन फ्रैक्टल नेटवर्क माना जाता है। इसके अलावा, फ्रैक्टल आयामों को मापा जाता है $$d_B = 4.1,\mbox{ } 3.7,\mbox{ } 3.4,\mbox{ } 2.0, \mbox{ and } 1.8$$ क्रमशः नेटवर्क के लिए। दूसरी ओर, इंटरनेट, अभिनेता नेटवर्क, और कृत्रिम मॉडल (उदाहरण के लिए, बीए मॉडल) फ्रैक्टल#विशेषताएं नहीं दिखाते हैं।

नेटवर्क आयामों के लिए अन्य परिभाषाएं
किसी जटिल मीट्रिक आयाम (ग्राफ़ सिद्धांत) के लिए आयाम की सर्वोत्तम परिभाषा अनुप्रयोग पर निर्भर करती है। उदाहरण के लिए, मेट्रिक डायमेंशन (ग्राफ़ सिद्धांत) को ग्राफ़ के रिज़ॉल्विंग सेट के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। दूरी के साथ ऊपर परिभाषित द्रव्यमान की स्केलिंग संपत्ति के आधार पर परिभाषाएँ, या जटिल नेटवर्क जेटा फ़ंक्शन के आधार पर अध्ययन भी किया गया है।

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