टेन्सर क्षेत्र

गणित और भौतिकी में, टेन्सर क्षेत्र गणितीय स्थान के प्रत्येक बिंदु (आमतौर पर यूक्लिडियन अंतरिक्ष या कई गुना) के लिए टेन्सर प्रदान करता है। टेंसर फ़ील्ड का उपयोग अंतर ज्यामिति, बीजगणितीय ज्यामिति, सामान्य सापेक्षता, सामग्री में तनाव (भौतिकी) और तनाव टेंसर के विश्लेषण में और [[भौतिक विज्ञान]] में कई अनुप्रयोगों में किया जाता है। टेन्सर अदिश (भौतिकी) (शुद्ध संख्या जो मूल्य का प्रतिनिधित्व करती है, उदाहरण के लिए गति) और यूक्लिडियन वेक्टर (शुद्ध संख्या और दिशा, वेग की तरह) का सामान्यीकरण है, टेन्सर क्षेत्र अदिश क्षेत्र का सामान्यीकरण है या सदिश क्षेत्र जो अंतरिक्ष के प्रत्येक बिंदु को क्रमशः अदिश या सदिश प्रदान करता है। अगर टेंसर $A$ वेक्टर फ़ील्ड सेट पर परिभाषित किया गया है $X(M)$ मॉड्यूल पर $M$, हम बुलाते है $A$ टेन्सर फील्ड ऑन $M$. टेंसर कहलाने वाली कई गणितीय संरचनाएं भी टेंसर क्षेत्र हैं। उदाहरण के लिए, रीमैन वक्रता टेन्सर टेंसर क्षेत्र है क्योंकि यह टेंसर को रीमैनियन कई गुना के प्रत्येक बिंदु से जोड़ता है, जो स्थलीय स्थान है।

ज्यामितीय परिचय
सहज रूप से, सदिश क्षेत्र को क्षेत्र के प्रत्येक बिंदु से जुड़े तीर के रूप में देखा जाता है, जिसमें चर लंबाई और दिशा होती है। घुमावदार स्थान पर सदिश क्षेत्र का उदाहरण मौसम मानचित्र है जो पृथ्वी की सतह के प्रत्येक बिंदु पर क्षैतिज पवन वेग दिखाता है।

अब और अधिक जटिल क्षेत्रों पर विचार करें। उदाहरण के लिए, यदि मैनिफोल्ड रीमैनियन है, तो उसके पास मीट्रिक फ़ील्ड है $$g$$, जैसे कोई भी दो वैक्टर दिए गए हैं $$v, w$$ बिंदु पर $$x$$, उनका आंतरिक उत्पाद है $$g_x(v, w)$$. फील्ड $$g$$ मैट्रिक्स रूप में दिया जा सकता है, लेकिन यह निर्देशांक की पसंद पर निर्भर करता है। इसके बजाय इसे प्रत्येक बिंदु पर त्रिज्या 1 के दीर्घवृत्त के रूप में दिया जा सकता है, जो कि समन्वय-मुक्त है। पृथ्वी की सतह पर लागू, यह Tissot का सूचक है।

सामान्य तौर पर, हम टेंसर फ़ील्ड्स को समन्वय-स्वतंत्र तरीके से निर्दिष्ट करना चाहते हैं: यह अक्षांश और देशांतर से स्वतंत्र रूप से मौजूद होना चाहिए, या जो भी विशेष कार्टोग्राफिक प्रक्षेपण हम संख्यात्मक निर्देशांक पेश करने के लिए उपयोग कर रहे हैं।

समन्वय संक्रमण के माध्यम से
अगले और, टेन्सर की अवधारणा संदर्भ फ्रेम (या समन्वय प्रणाली) की अवधारणा पर निर्भर करती है, जिसे तय किया जा सकता है (कुछ पृष्ठभूमि संदर्भ फ्रेम के सापेक्ष), लेकिन सामान्य तौर पर इन समन्वय के परिवर्तनों के कुछ वर्ग के भीतर भिन्न होने की अनुमति दी जा सकती है सिस्टम। उदाहरण के लिए, एन-डायमेंशनल वास्तविक समन्वय स्थान से संबंधित निर्देशांक $$\R^n$$ मनमाने ढंग से परिवर्तन के अधीन हो सकते हैं:
 * $$x^k\mapsto A^k_jx^j + a^k$$

(एन-आयामी सूचकांकों के साथ, आइंस्टीन योग सम्मेलन)। सहसंयोजक सदिश, या कोवेक्टर, कार्यों की प्रणाली है $$v_k$$ जो नियम से इस सजातीय परिवर्तन के अंतर्गत रूपांतरित होता है
 * $$v_k\mapsto v_iA^i_k.$$

कार्तीय निर्देशांक आधार सदिशों की सूची $$\mathbf e_k$$ affine परिवर्तन के तहत, कोवेक्टर के रूप में रूपांतरित करता है $$\mathbf e_k\mapsto A^i_k\mathbf e_i$$. प्रतिपरिवर्ती वेक्टर कार्यों की प्रणाली है $$v^k$$ उन निर्देशांकों में से, जो इस तरह के परिवर्तन के तहत परिवर्तन से गुजरते हैं
 * $$v^k\mapsto (A^{-1})^k_jv^j.$$

यह मात्रा सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक आवश्यकता है $$v^k\mathbf e_k$$ अपरिवर्तनीय वस्तु है जो चुनी गई समन्वय प्रणाली पर निर्भर नहीं करती है। अधिक आम तौर पर, वैलेंस के टेंसर (पी, क्यू) में पी नीचे के सूचकांक और क्यू ऊपर के सूचकांक होते हैं, परिवर्तन कानून के साथ
 * $${T_{i_1\cdots i_p}}^{j_1\cdots j_q}\mapsto A^{i'_1}_{i_1}\cdots A^{i'_p}_{i_p}{T_{i'_1\cdots i'_p}}^{j'_1\cdots j'_q}(A^{-1})^{j_1}_{j'_1}\cdots (A^{-1})^{j_q}_{j'_q}.$$

टेंसर क्षेत्र की अवधारणा को अनुमत समन्वय परिवर्तनों को सुचारू कार्य (या अलग-अलग कार्य, विश्लेषणात्मक कार्य, आदि) होने के लिए विशेषज्ञता के द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। कोवेक्टर फील्ड फंक्शन है $$v_k$$ संक्रमण कार्यों (दिए गए वर्ग में) के जैकबियन मैट्रिक्स द्वारा परिवर्तित होने वाले निर्देशांक। इसी तरह, प्रतिपरिवर्ती सदिश क्षेत्र $$v^k$$ व्युत्क्रम जैकबियन द्वारा रूपांतरित होता है।

टेंसर बंडल
टेन्सर बंडल फाइबर बंडल है जहां फाइबर [[स्पर्शरेखा स्थान]] की किसी भी संख्या की प्रतियों का टेंसर उत्पाद है और/या आधार स्थान का कॉटैंगेंट स्थान है, जो कि कई गुना है। जैसे, फाइबर सदिश स्थल है और टेंसर बंडल विशेष प्रकार का वेक्टर बंडल है।

वेक्टर बंडल पैरामीटर पर निरंतर (या आसानी से) निर्भर करता है वेक्टर स्पेस का प्राकृतिक विचार है - पैरामीटर कई गुना एम के बिंदु हैं। उदाहरण के लिए, कोण के आधार पर आयाम का वेक्टर स्पेस मोबियस स्ट्रिप या वैकल्पिक रूप से दिख सकता है सिलेंडर (ज्यामिति) की तरह। एम पर वेक्टर बंडल वी दिया गया है, संबंधित फ़ील्ड अवधारणा को बंडल का खंड कहा जाता है: एम के लिए एम से भिन्न, वेक्टर का विकल्प


 * विmवी मेंm,

जहां वीmm पर सदिश स्थान है।

चूंकि टेन्सर उत्पाद अवधारणा आधार के किसी भी विकल्प से स्वतंत्र है, एम पर दो वेक्टर बंडलों के टेन्सर उत्पाद लेना नियमित है। स्पर्शरेखा बंडल (स्पर्शरेखा रिक्त स्थान का बंडल) से शुरू करते हुए पूरे उपकरण को टेन्सर के घटक-मुक्त उपचार पर समझाया गया है - फिर से स्वतंत्र रूप से निर्देशांक के रूप में, जैसा कि परिचय में बताया गया है।

इसलिए हम 'टेंसर फील्ड' की परिभाषा दे सकते हैं, अर्थात् कुछ टेंसर बंडल के अनुभाग (फाइबर बंडल) के रूप में। (ऐसे वेक्टर बंडल हैं जो टेंसर बंडल नहीं हैं: उदाहरण के लिए मोबियस बैंड।) इसके बाद यह ज्यामितीय सामग्री की गारंटी है, क्योंकि सब कुछ आंतरिक तरीके से किया गया है। अधिक सटीक रूप से, टेंसर फ़ील्ड अंतरिक्ष में कई गुना टेंसर के किसी दिए गए बिंदु को निर्दिष्ट करता है


 * $$V \otimes \cdots \otimes V \otimes V^* \otimes \cdots  \otimes V^* ,$$

जहाँ V उस बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान है और V∗ कॉटैंजेंट स्पेस है। टेंगेंट बंडल और स्पर्शरेखा बंडल भी देखें।

दो टेन्सर बंडलों E → M और F → M को देखते हुए, रेखीय मानचित्र A: Γ(E) → Γ(F) E के अनुभागों के स्थान से F के अनुभागों तक स्वयं को टेंसर अनुभाग के रूप में माना जा सकता है $$\scriptstyle E^*\otimes F$$ यदि और केवल यदि यह Γ(E) में प्रत्येक खंड s के लिए A(fs) = fA(s) को संतुष्ट करता है और M पर प्रत्येक सुचारू कार्य करता है। इस प्रकार टेन्सर अनुभाग न केवल वर्गों के वेक्टर स्थान पर रैखिक नक्शा है, लेकिन सी∞(एम)-खंडों के मॉड्यूल (गणित) पर रैखिक मानचित्र। उदाहरण के लिए, इस संपत्ति का उपयोग यह जांचने के लिए किया जाता है कि भले ही लाई व्युत्पन्न और सहसंयोजक व्युत्पन्न टेंसर नहीं हैं, मरोड़ टेंसर और उनसे निर्मित एफ़िन कनेक्शन हैं।

नोटेशन
टेन्सर फ़ील्ड्स के लिए संकेतन कभी-कभी भ्रामक रूप से टेंसर स्पेस के संकेतन के समान हो सकते हैं। इस प्रकार, स्पर्शरेखा बंडल TM = T(M) को कभी-कभी इस रूप में लिखा जा सकता है
 * $$T_0^1(M)=T(M) =TM $$

इस बात पर जोर देने के लिए कि स्पर्शरेखा बंडल कई गुना एम पर (1,0) टेंसर फ़ील्ड्स (यानी, वेक्टर फ़ील्ड्स) की रेंज स्पेस है। इसे बहुत समान दिखने वाले नोटेशन से भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए


 * $$T_0^1(V)$$;

बाद वाले मामले में, हमारे पास केवल टेंसर स्पेस है, जबकि पूर्व में, हमारे पास कई गुना एम में प्रत्येक बिंदु के लिए टेंसर स्पेस परिभाषित है।

घुंघराले (लिपि) अक्षरों का उपयोग कभी-कभी सुचारू कार्य के सेट को निरूपित करने के लिए किया जाता है। एम पर असीम रूप से अलग-अलग टेंसर फ़ील्ड। इस प्रकार,
 * $$\mathcal{T}^m_n(M)$$

एम पर (एम, एन) टेंसर बंडल के खंड हैं जो असीम रूप से अलग-अलग हैं। टेंसर फ़ील्ड इस सेट का तत्व है।

सी∞(एम) मॉड्यूल स्पष्टीकरण
कई गुना एम पर टेंसर फ़ील्ड्स को चिह्नित करने का और अधिक सार (लेकिन अक्सर उपयोगी) तरीका है, जो टेंसर फ़ील्ड को ईमानदार टेंसर (यानी सिंगल मल्टीलाइनर मैपिंग) में बनाता है, हालांकि अलग प्रकार का (हालांकि यह आमतौर पर ऐसा नहीं है कि कोई अक्सर टेंसर क्यों कहता है जब का वास्तव में मतलब टेंसर फील्ड होता है)। सबसे पहले, हम सभी चिकनी (सी∞) M पर सदिश क्षेत्र, $$\mathcal{T}(M)$$ (उपरोक्त नोटेशन पर अनुभाग देखें) एकल स्थान के रूप में - मॉड्यूल (गणित) चिकनी कार्यों की अंगूठी (गणित) पर, सी∞(M), बिंदुवार अदिश गुणन द्वारा। मल्टीलाइनरिटी और टेंसर उत्पादों की धारणा किसी भी क्रमविनिमेय अंगूठी पर मॉड्यूल के मामले में आसानी से फैलती है।

प्रेरक उदाहरण के रूप में, अंतरिक्ष पर विचार करें $$\mathcal{T}^*(M)$$ स्मूथ कोवेक्टर फील्ड्स ( विभेदक रूप | 1-फॉर्म्स), स्मूथ फंक्शन्स पर मॉड्यूल भी। ये सुचारू सदिश क्षेत्रों पर कार्य करते हैं, बिंदुवार मूल्यांकन द्वारा सुचारू कार्य करने के लिए, अर्थात्, कोवेक्टर क्षेत्र ω और सदिश क्षेत्र X दिया जाता है, हम परिभाषित करते हैं


 * (ω(एक्स))(पी) = ω(पी)(एक्स(पी))।

शामिल सभी चीज़ों की बिंदुवार प्रकृति के कारण, X पर ω की क्रिया C है∞(एम)-रैखिक नक्शा, यानी,


 * (ω(fX))(p) = f(p)ω(p)(X(p)) = (fω)(p)(X(p)) = (fω(X))(p)

एम में किसी भी पी के लिए और सुचारू कार्य च। इस प्रकार हम कोवेक्टर फ़ील्ड्स को न केवल कॉटैंजेंट बंडल के अनुभागों के रूप में देख सकते हैं, बल्कि वेक्टर फ़ील्ड्स के रेखीय मैपिंग को फ़ंक्शन में भी देख सकते हैं। दोहरे-दोहरी निर्माण द्वारा, सदिश क्षेत्रों को समान रूप से कार्यों में कोवेक्टर क्षेत्रों के मानचित्रण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है (अर्थात्, हम मूल रूप से कोवेक्टर क्षेत्रों के साथ शुरू कर सकते हैं और वहां से काम कर सकते हैं)।

एम पर सामान्य सिंगल टेंसर (टेंसर फील्ड नहीं!) के निर्माण के पूर्ण समानांतर में वैक्टर और कोवेक्टर पर बहुरेखीय नक्शे के रूप में, हम एम पर सामान्य (के, एल) टेंसर फील्ड को सी मान सकते हैं।∞(एम)-बहुरेखीय नक्शों की एल प्रतियों पर परिभाषित $$\mathcal{T}(M)$$ और कश्मीर की प्रतियां $$\mathcal{T}^*(M)$$ सी में∞(म).

अब, k की प्रतियों के उत्पाद से कोई मनमाना मानचित्रण T दिया गया है $$\mathcal{T}^*(M)$$ और एल की प्रतियां $$\mathcal{T}(M)$$ सी में∞(एम), यह पता चला है कि यह एम पर टेन्सर क्षेत्र से उत्पन्न होता है यदि और केवल अगर यह सी पर बहुरेखीय है∞(म). इस प्रकार इस प्रकार की बहुरैखिकता स्पष्ट रूप से इस तथ्य को व्यक्त करती है कि हम वास्तव में बिंदुवार परिभाषित वस्तु से निपट रहे हैं, यानी टेंसर फ़ील्ड, फ़ंक्शन के विपरीत, जो बिंदु पर मूल्यांकन किए जाने पर भी, वेक्टर फ़ील्ड के सभी मूल्यों पर निर्भर करता है। और 1-रूप साथ।

इस सामान्य नियम का लगातार उदाहरण आवेदन दिखा रहा है कि लेवी-Civita कनेक्शन, जो चिकनी वेक्टर क्षेत्रों का मानचित्रण है $$(X,Y) \mapsto \nabla_{X} Y$$ सदिश क्षेत्रों की जोड़ी को सदिश क्षेत्र में ले जाना, एम पर टेंसर फ़ील्ड को परिभाषित नहीं करता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि यह वाई में केवल आर-रैखिक है (पूर्ण सी के स्थान पर)∞(एम)-रैखिकता, यह लीबनिज नियम को संतुष्ट करता है, $$\nabla_{X}(fY) = (Xf) Y +f \nabla_X Y$$)). फिर भी, यह जोर दिया जाना चाहिए कि भले ही यह टेन्सर क्षेत्र नहीं है, यह अभी भी घटक-मुक्त व्याख्या के साथ ज्यामितीय वस्तु के रूप में योग्यता प्राप्त करता है।

अनुप्रयोग
अवकल ज्यामिति में वक्रता टेंसर की चर्चा की जाती है और तनाव-ऊर्जा टेंसर भौतिकी में महत्वपूर्ण है, और ये दो टेंसर आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत से संबंधित हैं।

विद्युत चुंबकत्व में, विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र विद्युत चुम्बकीय टेंसर में संयोजित होते हैं।

यह ध्यान देने योग्य है कि मैनिफोल्ड पर एकीकरण को परिभाषित करने में उपयोग किए जाने वाले विभेदक रूप, प्रकार का टेंसर क्षेत्र हैं।

टेन्सर कैलकुलस
सैद्धांतिक भौतिकी और अन्य क्षेत्रों में, टेन्सर क्षेत्रों के संदर्भ में अवकल समीकरण उन संबंधों को व्यक्त करने का बहुत ही सामान्य तरीका प्रदान करते हैं जो ज्यामितीय प्रकृति (टेंसर प्रकृति द्वारा गारंटीकृत) और पारंपरिक रूप से डिफरेंशियल कैलकुलस से जुड़े होते हैं। यहां तक ​​कि ऐसे समीकरणों को तैयार करने के लिए नई अवधारणा, सहपरिवर्ती अवकलज की आवश्यकता होती है। यह सदिश क्षेत्र के साथ टेंसर क्षेत्र की भिन्नता के सूत्रीकरण को संभालता है। मूल निरपेक्ष अंतर कलन धारणा, जिसे बाद में टेंसर कैलकुलेशन कहा गया, ने कनेक्शन की ज्यामितीय अवधारणा (अंतर ज्यामिति) को अलग कर दिया।

लाइन बंडल द्वारा घुमाव
टेंसर फील्ड आइडिया के विस्तार में M पर अतिरिक्त लाइन बंडल L शामिल है। यदि W, L के साथ V का टेंसर उत्पाद बंडल है, तो W, V के समान आयाम वाले वेक्टर रिक्त स्थान का बंडल है। यह किसी को परिभाषित करने की अनुमति देता है ' टेंसर घनत्व ' की अवधारणा, 'ट्विस्टेड' प्रकार का टेंसर क्षेत्र। टेन्सर घनत्व विशेष मामला है जहां एल कई गुना पर घनत्व का बंडल है, अर्थात् कॉटेन्जेंट बंडल का निर्धारक बंडल। (सख्ती से सटीक होने के लिए, किसी को टोपोलॉजी के लिए निरपेक्ष मान भी लागू करना चाहिए - यह कुंडा कई गुना के लिए थोड़ा अंतर रखता है।) अधिक पारंपरिक स्पष्टीकरण के लिए टेन्सर डेंसिटी लेख देखें।

घनत्व के बंडल की विशेषता (फिर से उन्मुखता मानते हुए) एल यह है कि एलs s के वास्तविक संख्या मानों के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है; इसे ट्रांज़िशन फ़ंक्शंस से पढ़ा जा सकता है, जो सख्ती से सकारात्मक वास्तविक मान लेते हैं। उदाहरण के लिए इसका मतलब है कि हम आधा घनत्व ले सकते हैं, मामला जहां s = ½ है। सामान्य तौर पर हम W के खंड ले सकते हैं, L के साथ V का टेन्सर उत्पादs, और वज़न s के साथ 'टेंसर डेंसिटी फ़ील्ड्स' पर विचार करें।

अर्ध-घनत्व को कई गुना पर अभिन्न संचालकों को परिभाषित करने और ज्यामितीय परिमाणीकरण जैसे क्षेत्रों में लागू किया जाता है।

फ्लैट केस
जब एम यूक्लिडियन स्थान है और सभी क्षेत्रों को एम के वैक्टर द्वारा अनुवाद (ज्यामिति) द्वारा अपरिवर्तनीय होने के लिए लिया जाता है, तो हम उस स्थिति में वापस आ जाते हैं जहां टेंसर फ़ील्ड 'मूल पर बैठे' टेंसर का पर्याय बन जाता है। यह कोई बड़ा नुकसान नहीं करता है, और अक्सर अनुप्रयोगों में प्रयोग किया जाता है। जैसा कि टेन्सर घनत्वों पर लागू होता है, इससे फर्क पड़ता है। घनत्व के बंडल को 'बिंदु पर' गंभीरता से परिभाषित नहीं किया जा सकता है; और इसलिए टेंसरों के समकालीन गणितीय उपचार की सीमा यह है कि टेन्सर घनत्वों को राउंडअबाउट फैशन में परिभाषित किया जाता है।

साइकिल और चेन नियम
टेन्सर अवधारणा की उन्नत व्याख्या के रूप में, बहुविकल्पीय मामले में श्रृंखला नियम की व्याख्या कर सकता है, जैसा कि परिवर्तनों को समन्वयित करने के लिए लागू किया जाता है, साथ ही टेन्सर क्षेत्रों को जन्म देने वाले टेंसर की आत्मनिर्भर अवधारणाओं की आवश्यकता के रूप में भी।

संक्षेप में, हम श्रृंखला नियम को 1-कोचेन (बीजीय टोपोलॉजी) के रूप में पहचान सकते हैं। यह स्पर्शरेखा बंडल को आंतरिक तरीके से परिभाषित करने के लिए आवश्यक स्थिरता देता है। टेंसरों के अन्य वेक्टर बंडलों में तुलनात्मक चक्र होते हैं, जो टेंसर निर्माणों के कार्यात्मक गुणों को श्रृंखला नियम में लागू करने से आते हैं; यही कारण है कि वे आंतरिक (पढ़ें, 'प्राकृतिक') अवधारणाएं भी हैं।

जिसे आमतौर पर टेंसरों के लिए 'शास्त्रीय' दृष्टिकोण के रूप में कहा जाता है, वह इसे पीछे की ओर पढ़ने की कोशिश करता है - और इसलिए वास्तव में मूलभूत दृष्टिकोण के बजाय अनुमानी, पोस्ट हॉक दृष्टिकोण है। समन्वय परिवर्तन के तहत वे कैसे बदलते हैं, इसके द्वारा टेन्सरों को परिभाषित करने में निहित है, यह प्रकार की आत्म-स्थिरता है जिसे कोसायकल व्यक्त करता है। टेन्सर घनत्व का निर्माण चक्रीय स्तर पर 'ट्विस्टिंग' है। जियोमीटर को टेंसर राशियों की ज्यामितीय प्रकृति के बारे में कोई संदेह नहीं है; इस प्रकार का वंश (श्रेणी सिद्धांत) तर्क अमूर्त रूप से पूरे सिद्धांत को सही ठहराता है।

टेंसर घनत्व
टेंसर क्षेत्र की अवधारणा को उन वस्तुओं पर विचार करके सामान्यीकृत किया जा सकता है जो अलग-अलग रूपांतरित होती हैं। वस्तु जो समन्वय परिवर्तनों के तहत सामान्य टेन्सर क्षेत्र के रूप में परिवर्तित होती है, सिवाय इसके कि यह जैकोबियन मैट्रिक्स के निर्धारक द्वारा गुणा किया जाता है और व्युत्क्रम समन्वय परिवर्तन के निर्धारक को wth शक्ति में परिवर्तित करता है, इसे भार w के साथ टेंसर घनत्व कहा जाता है। अनिवार्य रूप से, बहुरेखीय बीजगणित की भाषा में, कोई टेंसर घनत्व के बारे में सोच सकता है क्योंकि घनत्व बंडल में उनके मान लेने वाले बहुरेखीय मानचित्र जैसे कि (1-आयामी) n-रूपों का स्थान (जहाँ n स्थान का आयाम है), जैसा उनके मूल्यों को सिर्फ 'आर' में लेने का विरोध किया। उच्च वजन तब सीमा में इस स्थान के साथ अतिरिक्त टेंसर उत्पादों को लेने के अनुरूप होता है।

विशेष मामला स्केलर घनत्व है। स्केलर 1-घनत्व विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं क्योंकि यह कई गुना अधिक उनके अभिन्न को परिभाषित करने के लिए समझ में आता है। उदाहरण के लिए, वे सामान्य सापेक्षता में आइंस्टीन-हिल्बर्ट क्रिया में दिखाई देते हैं। अदिश 1-घनत्व का सबसे आम उदाहरण आयतन तत्व है, जो मीट्रिक टेन्सर g की उपस्थिति में निर्देशांक में इसके निर्धारक का वर्गमूल है, जिसे निरूपित किया गया है $$\sqrt{\det g}$$. मीट्रिक टेन्सर क्रम 2 का सहसंयोजक टेन्सर है, और इसलिए इसका निर्धारक निर्देशांक संक्रमण के वर्ग द्वारा मापता है:
 * $$\det(g') = \left(\det\frac{\partial x}{\partial x'}\right)^2\det(g),$$

जो वजन +2 के स्केलर घनत्व के लिए परिवर्तन कानून है।

अधिक आम तौर पर, कोई भी टेन्सर घनत्व उचित वजन के स्केलर घनत्व के साथ सामान्य टेन्सर का उत्पाद होता है। वेक्टर बंडलों की भाषा में, स्पर्शरेखा बंडल का निर्धारक बंडल लाइन बंडल है जिसका उपयोग अन्य बंडलों को w बार 'मोड़ने' के लिए किया जा सकता है। जबकि स्थानीय रूप से अधिक सामान्य परिवर्तन कानून का उपयोग वास्तव में इन टेंसरों को पहचानने के लिए किया जा सकता है, वैश्विक प्रश्न उठता है, जो दर्शाता है कि परिवर्तन कानून में या तो जैकोबियन निर्धारक या इसके पूर्ण मूल्य को लिखा जा सकता है। घनत्व के बंडल के (सकारात्मक) संक्रमण कार्यों की गैर-अभिन्न शक्तियाँ समझ में आती हैं, ताकि घनत्व का भार, उस अर्थ में, पूर्णांक मानों तक सीमित न हो। सकारात्मक जेकोबियन निर्धारक के साथ निर्देशांक के परिवर्तन को प्रतिबंधित करना ओरिएंटेबल मैनिफोल्ड्स पर संभव है, क्योंकि माइनस संकेतों को खत्म करने का सुसंगत वैश्विक तरीका है; लेकिन अन्यथा घनत्व के लाइन बंडल और एन-रूपों के लाइन बंडल अलग-अलग हैं। आंतरिक अर्थ पर अधिक जानकारी के लिए, कई गुना घनत्व देखें।