टेंसर बीजगणित

गणित में, एक सदिश स्थल   v  के टेंसर बीजगणित, ने  t  ( v ) या 't' 'को निरूपित किया(V), V (किसी भी रैंक के) पर  टेन्सर  के  एक क्षेत्र पर बीजगणित  है, जिसमें गुणन  टेंसर उत्पाद  है।यह वी पर  मुक्त बीजगणित  है, बीजगणित से वेक्टर रिक्त स्थान के लिए  भुलक्कड़ फंक्टर  के पास छोड़ दिया जाने के अर्थ में: यह सबसे सामान्य बीजगणित है जिसमें वी, इसी  सार्वभौमिक संपत्ति  के अर्थ में (#adjunction और सार्वभौमिक संपत्ति देखें)।

टेंसर बीजगणित महत्वपूर्ण है क्योंकि कई अन्य बीजगणित टी (वी) के भागफल साहचर्य बीजगणित के रूप में उत्पन्न होते हैं।इनमें बाहरी बीजगणित, सममित बीजगणित,  क्लिफोर्ड बीजगणित , वेइल बीजगणित और सार्वभौमिक लिफाफा बीजगणित शामिल हैं।

टेंसर बीजगणित में दो कोयला  संरचनाएं भी हैं;एक साधारण एक, जो इसे एक Bialgebra नहीं बनाता है, लेकिन एक Cofree Colegebra की अवधारणा को जन्म देता है, और एक अधिक जटिल, जो एक Bialgebra की उपज देता है, और एक Hopf बीजगणित संरचना बनाने के लिए एक एंटीपोड देकर बढ़ाया जा सकता है।

नोट: इस लेख में, सभी बीजगणितों को यूनिटल बीजगणित और साहचर्य बीजगणित माना जाता है।यूनिट को स्पष्ट रूप से कॉपरोडक्ट को परिभाषित करने के लिए आवश्यक है।

निर्माण
एक क्षेत्र (गणित)  K पर एक वेक्टर स्पेस होने दें।
 * $$T^kV = V^{\otimes k} = V\otimes V \otimes \cdots \otimes V.$$

वह है, टीk v में टेंसर आदेश  k के V पर सभी टेन्सर होते हैं।कन्वेंशन टी द्वारा0 v  क्षेत्रीय क्षेत्र  K (अपने ऊपर एक आयामी वेक्टर स्पेस के रूप में) है।

हम तब टी (वी) का निर्माण टी के वेक्टर रिक्त स्थान के प्रत्यक्ष योग के रूप में करते हैंk v k = 0,1,2,…
 * $$T(V)= \bigoplus_{k=0}^\infty T^kV = K\oplus V \oplus (V\otimes V) \oplus (V\otimes V\otimes V) \oplus \cdots.$$

टी (वी) में गुणन कैनोनिकल आइसोमोर्फिज्म द्वारा निर्धारित किया जाता है
 * $$T^kV \otimes T^\ell V \to T^{k + \ell}V$$

टेंसर उत्पाद द्वारा दिया गया, जो तब सभी टी (वी) के लिए रैखिकता द्वारा बढ़ाया जाता है।इस गुणा नियम का अर्थ है कि टेंसर बीजगणित टी (वी) स्वाभाविक रूप से टी के साथ एक ग्रेडेड बीजगणित हैk v ग्रेड-के सबस्पेस के रूप में सेवारत।इस ग्रेडिंग को सब्सपेस को जोड़कर 'z' ग्रेडिंग तक बढ़ाया जा सकता है $$T^{k}V=\{0\}$$ नकारात्मक पूर्णांक के लिए k।

निर्माण किसी भी मॉड्यूल (गणित)  के टेंसर बीजगणित के लिए एक सीधा तरीके से एक  अव्यवस्थित अंगूठी  पर सामान्य करता है।यदि R एक गैर-कम्यूटेटिव रिंग है, तो कोई भी किसी भी R-R Bimodule M के लिए निर्माण कर सकता है।

सहायक और सार्वभौमिक संपत्ति
टेंसर बीजगणित $T(V)$ वेक्टर अंतरिक्ष पर मुक्त बीजगणित भी कहा जाता है $V$, और फंक्शनल है;इसका मतलब है कि नक्शा $$V\mapsto T(V)$$ की श्रेणी (गणित)  से एक फ़ंक्टर बनाने के लिए रैखिक मानचित्रों तक फैली हुई है $K$-वेक्टर स्पेस को सहयोगी बीजगणित की श्रेणी में ले जाता है।इसी तरह अन्य  मुक्त वस्तु  के साथ, फंक्टर $T$ प्रत्येक सहयोगी को भेजने वाले भुलक्कड़ फंक्शनर के पास छोड़ दिया जाता है $K$अपने अंतर्निहित वेक्टर अंतरिक्ष के लिए -ALGEBRA।

स्पष्ट रूप से, टेंसर बीजगणित निम्नलिखित सार्वभौमिक संपत्ति को संतुष्ट करता है, जो औपचारिक रूप से इस कथन को व्यक्त करता है कि यह सबसे सामान्य बीजगणित है जिसमें V:
 * कोई रैखिक मानचित्र $$f:V \to A$$ से $V$ एक साहचर्य बीजगणित के लिए $A$ ऊपर $K$ से एक बीजगणित समरूपता के लिए विशिष्ट रूप से विस्तारित किया जा सकता है $T(V)$ को $A$ जैसा कि निम्नलिखित कम्यूटेटिव आरेख द्वारा इंगित किया गया है:

यहां $i$ का समावेश का नक्शा है $V$ में $T(V)$।अन्य सार्वभौमिक गुणों के लिए, टेंसर बीजगणित $T(V)$ इस संपत्ति को संतुष्ट करने वाले अद्वितीय बीजगणित के रूप में परिभाषित किया जा सकता है (विशेष रूप से, यह एक अद्वितीय आइसोमोर्फिज्म के लिए अद्वितीय है), लेकिन इस परिभाषा को यह साबित करने की आवश्यकता है कि इस संपत्ति को संतुष्ट करने वाली वस्तु मौजूद है।

उपरोक्त सार्वभौमिक संपत्ति का अर्थ है कि $T$ वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी से एक फ़ंक्टर है $K$की श्रेणी में $K$-लगेब्रस।इसका मतलब है कि किसी भी रैखिक मानचित्र के बीच $K$-वेक्टर रिक्त स्थान $U$ और $W$ विशिष्ट रूप से एक तक फैली हुई है $K$-लजबरा होमोमोर्फिज्म से $T(U)$ को $T(W)$।

गैर-कम्यूटेटिव बहुपद
यदि v में परिमित आयाम n है, तो टेंसर बीजगणित को देखने का एक और तरीका n गैर-कम्यूटिंग चर में k पर बहुपद के बीजगणित के रूप में है।यदि हम V के लिए आधार वैक्टर लेते हैं, तो वे गैर-कम्यूटिंग चर (या अनिश्चित (चर)) बन जाते हैं (v), संबद्धता,  वितरण विधि  और के-रैखिकता से परे कोई बाधा नहीं।

ध्यान दें कि V पर बहुपद का बीजगणित नहीं है $$T(V)$$, बल्कि $$T(V^*)$$: v पर एक (सजातीय) रैखिक कार्य एक तत्व है $$V^*,$$ उदाहरण के लिए निर्देशांक $$x^1,\dots,x^n$$ एक वेक्टर स्थान पर सहसंयोजक वेक्टर  होते हैं, क्योंकि वे एक वेक्टर में लेते हैं और एक स्केलर (वेक्टर का दिया गया समन्वय) देते हैं।

उद्धरण
टेंसर बीजगणित की व्यापकता के कारण, ब्याज के कई अन्य बीजगणितों का निर्माण टेंसर बीजगणित के साथ शुरू करके और फिर जनरेटर पर कुछ संबंधों को लागू करके किया जा सकता है, अर्थात् टी (वी) के कुछ भागफल सहयोगी बीजगणित का निर्माण करके।इसके उदाहरण बाहरी बीजगणित, सममित बीजगणित, क्लिफोर्ड बीजगणित, वेइल बीजगणित और सार्वभौमिक लिफाफा बीजगणित हैं।

कोयला
टेंसर बीजगणित में दो अलग -अलग कोयला संरचनाएं हैं।एक टेंसर उत्पाद के साथ संगत है, और इस प्रकार इसे एक बायलजबरा तक बढ़ाया जा सकता है, और इसे आगे एक एंटीपोड के साथ एक हॉपफ बीजगणित संरचना के लिए बढ़ाया जा सकता है।अन्य संरचना, हालांकि सरल, को एक Bialgebra तक बढ़ाया नहीं जा सकता है।पहली संरचना को तुरंत नीचे विकसित किया गया है;दूसरी संरचना कोफ्री कोलजबरा पर अनुभाग में और नीचे दी गई है।

नीचे दिए गए विकास को वेज प्रतीक का उपयोग करके बाहरी बीजगणित पर समान रूप से अच्छी तरह से लागू किया जा सकता है $$\wedge$$ टेंसर प्रतीक के स्थान पर $$\otimes$$;बाहरी बीजगणित के तत्वों को अनुमति देते समय एक संकेत को भी ट्रैक किया जाना चाहिए।यह पत्राचार भी Bialgebra की परिभाषा के माध्यम से, और एक HOPF बीजगणित की परिभाषा पर भी रहता है।अर्थात्, बाहरी बीजगणित को हॉपफ बीजगणित संरचना भी दी जा सकती है।

इसी तरह, सममित बीजगणित को एक हॉपफ बीजगणित की संरचना भी दी जा सकती है, ठीक उसी फैशन में, हर जगह टेंसर उत्पाद को बदलकर $$\otimes$$ सममित टेंसर उत्पाद द्वारा $$\otimes_\mathrm{Sym}$$, यानी वह उत्पाद जहां $$v\otimes_\mathrm{Sym} w = w\otimes_\mathrm{Sym} v.$$ प्रत्येक मामले में, यह संभव है क्योंकि वैकल्पिक उत्पाद $$\wedge$$ और सममित उत्पाद $$\otimes_\mathrm{Sym}$$ एक Bialgebra और Hopf बीजगणित की परिभाषा के लिए आवश्यक स्थिरता स्थितियों का पालन करें;इसे स्पष्ट रूप से नीचे दिए गए तरीके से जांचा जा सकता है।जब भी किसी के पास इन स्थिरता स्थितियों का पालन करने वाला उत्पाद होता है, तो निर्माण से गुजरता है;इस तरह के एक उत्पाद के रूप में insofar ने एक भागफल स्थान को जन्म दिया, भागफल स्थान HOPF बीजगणित संरचना को विरासत में मिला है।

श्रेणी सिद्धांत की भाषा में, कोई कहता है कि एक फंक्शनर है $T$ की श्रेणी से $K$-वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी में $K$-सोसिएट बीजगणित।लेकिन एक फंक्टर भी है $Λ$ बाहरी बीजगणित की श्रेणी में वेक्टर रिक्त स्थान ले रहे हैं, और एक फंक्शनल $Sym$ वेक्टर रिक्त स्थान को सममित बीजगणित में ले जाना।से एक  प्राकृतिक परिवर्तन  है $T$ इनमें से प्रत्येक के लिए।यह सत्यापित करते हुए कि हॉपफ बीजगणित संरचना को संरक्षित करता है, यह सत्यापित करने के समान है कि नक्शे वास्तव में स्वाभाविक हैं।

कोपोडक्ट
कोयलाजबरा एक नक़ली  या विकर्ण ऑपरेटर को परिभाषित करके प्राप्त किया जाता है


 * $$\Delta: TV\to TV\boxtimes TV$$

यहां, $$TV$$ के लिए एक छोटे हाथ के रूप में उपयोग किया जाता है $$T(V)$$ कोष्ठक के विस्फोट से बचने के लिए। $$\boxtimes$$ H> प्रतीक का उपयोग बाहरी टेंसर उत्पाद को निरूपित करने के लिए किया जाता है, जो एक कोयला की परिभाषा के लिए आवश्यक है।इसका उपयोग इसे आंतरिक टेंसर उत्पाद से अलग करने के लिए किया जा रहा है $$\otimes$$, जो पहले से ही टेंसर बीजगणित में गुणन को निरूपित करने के लिए उपयोग किया जा रहा है (इस मुद्दे पर और स्पष्टीकरण के लिए नीचे, नीचे अनुभाग गुणा देखें)।इन दो प्रतीकों के बीच भ्रम से बचने के लिए, अधिकांश ग्रंथ बदल जाएंगे $$\otimes$$ एक सादे डॉट द्वारा, या यहां तक कि इसे पूरी तरह से छोड़ दें, इस समझ के साथ कि यह संदर्भ से निहित है।यह तब अनुमति देता है $$\otimes$$ के स्थान पर इस्तेमाल किया जाना $$\boxtimes$$ चिन्ह, प्रतीक।यह नीचे नहीं किया गया है, और दो प्रतीकों का उपयोग स्वतंत्र रूप से और स्पष्ट रूप से किया जाता है, ताकि प्रत्येक के उचित स्थान को दिखाया जा सके।परिणाम थोड़ा अधिक क्रिया है, लेकिन समझना आसान होना चाहिए।

ऑपरेटर की परिभाषा $$\Delta$$ सबसे आसानी से चरणों में बनाया गया है, पहले तत्वों के लिए इसे परिभाषित करके $$v\in V\subset TV$$ और फिर होमोमोर्फिक रूप से इसे पूरे बीजगणित तक बढ़ाकर।तब कॉप्रोडक्ट के लिए एक उपयुक्त विकल्प है


 * $$\Delta: v \mapsto v\boxtimes 1 + 1\boxtimes v$$

और
 * $$\Delta: 1 \mapsto 1 \boxtimes 1$$

कहां $$1\in K=T^0V\subset TV$$ क्षेत्र की इकाई है $$K$$।रैखिकता से, एक स्पष्ट रूप से है
 * $$\Delta(k)=k(1\boxtimes 1)=k\boxtimes 1=1\boxtimes k$$

सबके लिए $$k\in K.$$ यह सत्यापित करना सीधा है कि यह परिभाषा एक कोयला के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करती है: अर्थात्, वह है
 * $$(\mathrm{id}_{TV} \boxtimes \Delta) \circ \Delta = (\Delta \boxtimes \mathrm{id}_{TV}) \circ \Delta$$

कहां $$\mathrm{id}_{TV}: x\mapsto x$$ पहचान मानचित्र पर है $$TV$$।वास्तव में, एक हो जाता है
 * $$((\mathrm{id}_{TV} \boxtimes \Delta) \circ \Delta)(v) =

v\boxtimes 1 \boxtimes 1 + 1\boxtimes v \boxtimes 1 + 1 \boxtimes 1 \boxtimes v$$ और इसी तरह दूसरी तरफ।इस बिंदु पर, कोई एक लेम्मा को आमंत्रित कर सकता है, और कह सकता है कि $$\Delta$$ तुच्छता से, रैखिकता द्वारा, सभी के लिए $$TV$$, चूंकि $$TV$$ एक स्वतंत्र वस्तु है और $$V$$ मुक्त बीजगणित का एक जनरेटर (गणित)  है, और $$\Delta$$ एक समरूपता है।हालांकि, स्पष्ट अभिव्यक्तियाँ प्रदान करना व्यावहारिक है।अभीतक के लिए तो $$v\otimes w \in T^2V$$, एक (परिभाषा के अनुसार) समरूपता है


 * $$\Delta: v\otimes w \mapsto \Delta(v)\otimes \Delta(w)$$

विस्तार, एक है
 * $$\begin{align} \Delta (v\otimes w) &= (v\boxtimes 1 + 1\boxtimes v) \otimes (w\boxtimes 1 + 1\boxtimes w) \\

&= (v\otimes w) \boxtimes 1 + v\boxtimes w + w\boxtimes v + 1 \boxtimes (v\otimes w) \end{align}$$ उपरोक्त विस्तार में, कभी भी लिखने की कोई आवश्यकता नहीं है $$1\otimes v$$ जैसा कि बीजगणित में सिर्फ सादा-पुराना स्केलर गुणा है;यानी, एक तुच्छ रूप से वह है $$1\otimes v = 1\cdot v = v.$$ ऊपर का विस्तार बीजगणित ग्रेडिंग को संरक्षित करता है।वह है,
 * $$\Delta: T^2V \to \bigoplus_{k=0}^2 T^kV \boxtimes T^{2-k}V$$

इस फैशन में जारी रखते हुए, कोई भी ऑर्डर एम के समरूप तत्व पर अभिनय करने वाले कॉप्रोडक्ट के लिए एक स्पष्ट अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकता है:
 * $$\begin{align}

\Delta(v_1\otimes\cdots\otimes v_m) &= \Delta(v_1)\otimes\cdots\otimes\Delta(v_m) \\ &= \sum_{p=0}^m \left(v_1\otimes \cdots \otimes v_p\right) \;\omega \; \left(v_{p+1}\otimes \cdots \otimes v_m\right) \\ &= \sum_{p=0}^m \; \sum_{\sigma\in\mathrm{Sh}(p,m-p)} \; \left(v_{\sigma(1)}\otimes\dots\otimes v_{\sigma(p)}\right) \boxtimes \left(v_{\sigma(p+1)}\otimes\dots\otimes v_{\sigma(m)}\right) \end{align}$$ जहां $$\omega$$ प्रतीक, जिसे ш के रूप में प्रकट होना चाहिए, SHA, फेरबदल उत्पाद  को दर्शाता है।यह दूसरे योग में व्यक्त किया गया है, जिसे सभी (p, q) शफल | (p, m-p) -shuffles पर ले लिया गया है।फेरबदल है


 * $$\begin{aligned}

\operatorname{Sh}(p,q) = \{\sigma:\{1,\dots,p+q\}\to\{1,\dots,p+q\}\;\mid \;&\sigma \text{ is bijective},\;\sigma(1)<\sigma(2)< \cdots < \sigma(p),\\ &\text{and }\;\sigma(p+1) <\sigma(p+2)<\cdots < \sigma(m)\}. \end{aligned}$$ कन्वेंशन द्वारा, कोई उस श (एम, 0) और श (0, एम) को लेता है {आईडी: {1, ..., एम} → → {1, ..., एम <नोबी>}}।शुद्ध टेंसर उत्पादों को लेना भी सुविधाजनक है $$v_{\sigma(1)}\otimes\dots\otimes v_{\sigma(p)}$$ और $$v_{\sigma(p+1)}\otimes\dots\otimes v_{\sigma(m)}$$ क्रमशः पी = 0 और पी = एम के लिए 1 के बराबर $$TV$$)।फेरबदल एक सह-वृद्धि के पहले स्वयंसिद्ध से सीधे अनुसरण करता है: तत्वों का सापेक्ष क्रम $$v_k$$ राइफल फेरबदल में संरक्षित है: राइफल फेरबदल केवल आदेशित अनुक्रम को दो क्रमबद्ध अनुक्रमों में विभाजित करता है, एक बाईं ओर, और एक दाईं ओर।

समान रूप से,


 * $$\Delta(v_1\otimes\cdots\otimes v_n)

= \sum_{S\subseteq \{1,\dots,n\}} \left(\prod_{k=1 \atop k \in S}^n v_k\right) \boxtimes \left(\prod_{k=1 \atop k \notin S}^n v_k\right)\!,$$ जहां उत्पाद हैं $$TV$$, और जहां राशि के सभी सबसेट से अधिक है $$\{1,\dots,n\}$$।

पहले की तरह, बीजगणित ग्रेडिंग संरक्षित है:
 * $$\Delta: T^mV \to \bigoplus_{k=0}^m T^kV \boxtimes T^{(m-k)}V$$

counit
कंसिट $$\epsilon : TV \to K$$ बीजगणित से बाहर क्षेत्र घटक के प्रक्षेपण द्वारा दिया जाता है।यह के रूप में लिखा जा सकता है $$\epsilon: v\mapsto 0 $$ के लिए $$v\in V$$ और $$\epsilon: k\mapsto k $$ के लिए $$k\in K=T^0V$$।टेंसर उत्पाद के तहत समरूपता द्वारा $$\otimes$$, यह तक फैली हुई है
 * $$\epsilon: x\mapsto 0 $$

सबके लिए $$x\in T^1V \oplus T^2V\oplus \cdots$$ यह सत्यापित करने के लिए एक सीधा मामला है कि यह परामर्श कोयलाजबरा के लिए आवश्यक स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करता है:
 * $$(\mathrm{id} \boxtimes \epsilon) \circ \Delta = \mathrm{id} = (\epsilon \boxtimes \mathrm{id}) \circ \Delta.$$

यह स्पष्ट रूप से काम करते हुए, एक है
 * $$\begin{align}

((\mathrm{id} \boxtimes \epsilon) \circ \Delta)(x) &=(\mathrm{id} \boxtimes \epsilon)(1\boxtimes x + x \boxtimes 1) \\ &=1\boxtimes \epsilon(x) + x \boxtimes  \epsilon(1) \\ &=0 + x \boxtimes 1 \\ &\cong x \end{align}$$ जहां, अंतिम चरण के लिए, एक ने आइसोमोर्फिज्म का उपयोग किया है $$TV\boxtimes K \cong TV$$, जैसा कि काउंसिट के परिभाषित स्वयंसिद्ध के लिए उपयुक्त है।

bialgebra
एक Bialgebra गुणा, और comultiplication दोनों को परिभाषित करता है, और उन्हें संगत होने की आवश्यकता होती है।

गुणन
गुणन एक ऑपरेटर द्वारा दिया जाता है
 * $$\nabla: TV\boxtimes TV\to TV$$

जो, इस मामले में, पहले से ही आंतरिक टेंसर उत्पाद के रूप में दिया गया था।वह है,
 * $$\nabla: x\boxtimes y\mapsto x \otimes y$$

वह है, $$\nabla(x\boxtimes y) = x \otimes y.$$ उपरोक्त को यह स्पष्ट करना चाहिए कि क्यों $$\boxtimes$$ प्रतीक का उपयोग करने की आवश्यकता है: $$\otimes$$ वास्तव में एक और एक ही चीज थी $$\nabla$$;और यहाँ उल्लेखनीय ढलान से अराजकता होगी।इसे मजबूत करने के लिए: टेंसर उत्पाद $$\otimes$$ टेंसर बीजगणित गुणन से मेल खाता है $$\nabla$$ एक बीजगणित की परिभाषा में उपयोग किया जाता है, जबकि टेंसर उत्पाद $$\boxtimes$$ एक कोयला में comultiplication की परिभाषा में आवश्यक है।ये दो टेंसर उत्पाद एक ही बात नहीं हैं!

यूनिट
बीजगणित के लिए इकाई
 * $$\eta: K\to TV$$

सिर्फ एम्बेडिंग है, ताकि
 * $$\eta: k\mapsto k$$

यह इकाई टेंसर उत्पाद के साथ संगत है $$\otimes$$ तुच्छ है: यह वेक्टर रिक्त स्थान के टेंसर उत्पाद की मानक परिभाषा का हिस्सा है।वह है, $$k\otimes x = kx$$ फील्ड तत्व k और किसी भी के लिए $$x\in TV.$$ अधिक मौखिक रूप से, एक साहचर्य बीजगणित के लिए स्वयंसिद्धों को दो होमोमोर्फिज्म की आवश्यकता होती है (या आरेखों को कम करने):
 * $$\nabla\circ(\eta \boxtimes\mathrm{id}_{TV}) = \eta\otimes \mathrm{id}_{TV} = \eta\cdot \mathrm{id}_{TV}$$

पर $$K\boxtimes TV$$, और उस सममित रूप से, पर $$TV\boxtimes K$$, वह
 * $$\nabla\circ(\mathrm{id}_{TV}\boxtimes\eta) = \mathrm{id}_{TV}\otimes\eta = \mathrm{id}_{TV}\cdot\eta$$

जहां इन समीकरणों के दाहिने हाथ को स्केलर उत्पाद के रूप में समझा जाना चाहिए।

संगतता
यूनिट और काउंसिट, और गुणा और comultiplication, सभी को संगतता स्थितियों को संतुष्ट करना होगा।यह देखना सीधा है
 * $$\epsilon \circ \eta = \mathrm{id}_K.$$

इसी तरह, इकाई comultiplication के साथ संगत है:
 * $$\Delta \circ \eta = \eta \boxtimes \eta \cong \eta$$

उपरोक्त को आइसोमोर्फिज्म के उपयोग की आवश्यकता है $$K\boxtimes K \cong K$$ काम करने के क्रम में;इसके बिना, एक रैखिकता खो देता है।घटक-वार,
 * $$(\Delta \circ \eta)(k) = \Delta(k) = k(1 \boxtimes 1) \cong k $$

दाहिने हाथ की ओर आइसोमोर्फिज्म का उपयोग करने के साथ।

गुणा और counit संगत हैं:
 * $$(\epsilon \circ \nabla)(x\boxtimes y) = \epsilon(x\otimes y) = 0$$

जब भी x या y के तत्व नहीं होते हैं $$K$$, और अन्यथा, एक क्षेत्र पर स्केलर गुणा है: $$k_1\otimes k_2=k_1 k_2.$$ सत्यापित करने के लिए सबसे मुश्किल गुणा और comultiplication की संगतता है:
 * $$\Delta \circ\nabla = (\nabla \boxtimes \nabla)

\circ (\mathrm{id} \boxtimes \tau \boxtimes \mathrm{id}) \circ (\Delta \boxtimes \Delta)$$ कहां $$\tau(x\boxtimes y)= y \boxtimes x$$ तत्वों का आदान -प्रदान।संगतता की स्थिति को केवल सत्यापित करने की आवश्यकता है $$V\subset TV$$;पूर्ण संगतता सभी के लिए एक होमोमोर्फिक विस्तार के रूप में अनुसरण करती है $$TV.$$ सत्यापन क्रिया है लेकिन सीधा है;यह यहां नहीं दिया गया है, अंतिम परिणाम को छोड़कर:
 * $$(\Delta \circ\nabla)(v\boxtimes w) = \Delta(v\otimes w)$$

के लिए $$v,w\in V,$$ इसके लिए एक स्पष्ट अभिव्यक्ति कोयलाजबरा अनुभाग में ऊपर दी गई थी।

हॉपफ बीजगणित
HOPF बीजगणित Bialgebra Axioms में एक एंटीपोड जोड़ता है।एंटीपोड $$S$$ पर $$k\in K=T^0V$$ द्वारा दिया गया है
 * $$S(k)=k$$

इसे कभी-कभी एंटी-आइडेंटिटी कहा जाता है।पर एंटीपोड $$v\in V=T^1V$$ द्वारा दिया गया है
 * $$S(v)=-v$$

और इसपर $$v \otimes w\in T^2V$$ द्वारा
 * $$S(v \otimes w) = S(w) \otimes S(v) = w\otimes v$$

यह होमोमोर्फिक रूप से फैली हुई है

\begin{align} S(v_1 \otimes \cdots \otimes v_m) &= S(v_m) \otimes\cdots\otimes S(v_1) \\ &= (-1)^m v_m \otimes\cdots\otimes v_1 \end{align}$$

संगतता
गुणा और comultiplication के साथ एंटीपोड की संगतता के लिए आवश्यक है
 * $$\nabla \circ (S \boxtimes \mathrm{id}) \circ \Delta

= \eta \circ \epsilon = \nabla \circ (\mathrm{id} \boxtimes S) \circ \Delta$$ यह घटक पर सत्यापित करने के लिए सीधा है $$k\in K$$:

\begin{align} (\nabla \circ (S \boxtimes \mathrm{id}) \circ \Delta)(k) &= (\nabla \circ (S \boxtimes \mathrm{id})) (1\boxtimes k) \\ &= \nabla(1 \boxtimes k) \\ &= 1 \otimes k \\ &= k \end{align}$$ इसी तरह, पर $$v\in V$$:

\begin{align} (\nabla \circ (S \boxtimes \mathrm{id}) \circ \Delta)(v) &= (\nabla \circ (S \boxtimes \mathrm{id})) (v\boxtimes 1 + 1 \boxtimes v) \\ &= \nabla(-v \boxtimes 1 + 1 \boxtimes v) \\ &= -v \otimes 1 + 1 \otimes v \\ &= -v + v\\ &= 0 \end{align}$$ याद करें कि
 * $$(\eta \circ \epsilon)(k)=\eta(k)=k$$

और कि
 * $$(\eta \circ \epsilon)(x)=\eta(0)=0$$

किसी के लिए $$x\in TV$$ वह नहीं है $$K.$$ एक समान तरीके से आगे बढ़ सकता है, होमोमोर्फिज्म द्वारा, यह सत्यापित करते हुए कि एंटीपोड फेरबदल में उचित रद्द करने वाले संकेतों को सम्मिलित करता है, संगतता स्थिति के साथ शुरू होता है $$T^2V$$ और प्रेरण द्वारा आगे बढ़ना।

cofree cocomplete Coalgebra
एक टेंसर बीजगणित पर एक अलग कोपोडक्ट को परिभाषित कर सकता है, जो ऊपर दिए गए की तुलना में सरल है।यह द्वारा दिया गया है
 * $$\Delta(v_1 \otimes \dots \otimes v_k) := \sum_{j=0}^{k} (v_0 \otimes \dots \otimes v_j) \boxtimes (v_{j+1} \otimes \dots \otimes v_{k+1})$$

यहाँ, पहले की तरह, कोई उल्लेखनीय चाल का उपयोग करता है $$v_0=v_{k+1}=1\in K$$ (याद करते हुए $$v\otimes 1=v$$ तुच्छ रूप से)।

यह कॉप्रोडक्ट एक कोयला को जन्म देता है।यह एक कोयला का वर्णन करता है जो टी पर बीजगणित संरचना के लिए द्वंद्व (रैखिक बीजगणित)  है& lowast;), जहाँ v& Lowast; रैखिक मानचित्र v → 'f' के दोहरे वेक्टर स्थान को दर्शाता है।उसी तरह से कि टेंसर बीजगणित एक मुक्त बीजगणित है, इसी कोयला को कोक-फ्री कहा जाता है।सामान्य उत्पाद के साथ यह एक Bialgebra नहीं है।इसे उत्पाद के साथ एक bialgebra में बदल दिया जा सकता है $$v_i\cdot v_j=(i,j)v_{i+j}$$ जहां (मैं, जे) के लिए द्विपद गुणांक को दर्शाता है $$\tbinom{i+j}{i}$$।इस bialgebra को  विभाजित शक्ति संरचना  के रूप में जाना जाता है।

इसके बीच का अंतर, और अन्य कोलजबरा सबसे आसानी से देखा जाता है $$T^2V$$ अवधि।यहाँ, एक के पास है
 * $$\Delta(v\otimes w) = 1\boxtimes (v\otimes w) + v \boxtimes w + (v\otimes w) \boxtimes 1$$

के लिए $$v,w\in V$$, जो पहले की तुलना में स्पष्ट रूप से एक फेरबदल शब्द को याद कर रहा है।

यह भी देखें

 * लट लट वेक्टर स्थान
 * ब्रेडेड हॉपफ बीजगणित
 * मोनोइडल श्रेणी
 * बहुस्तरीय बीजगणित
 * क्यू: स्टैनिसलाव लेम#लव एंड टेंसर बीजगणित | स्टैनिसलाव लेम का प्यार और टेंसर बीजगण
 * फॉक स्पेस



संदर्भ

 * (See Chapter 3 §5)