आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम, जिसे सामान्य गैस समीकरण भी कहा जाता है, एक काल्पनिक आदर्श गैस की अवस्था का समीकरण है। यह कई परिस्थितियों में कई गैसों के व्यवहार का एक अच्छा सन्निकटन है, यद्यपि इसकी कई सीमाएँ हैं। यह पहली बार 1834 में अनुभवजन्य बॉयल के नियम, चार्ल्स के नियम, अवोगाद्रो के नियम और गे-लुसाक के नियम के संयोजन के रूप में बेनोइट पॉल एमिल क्लैपेरॉन द्वारा कहा गया था। आदर्श गैस नियम प्रायः अनुभवजन्य रूप में लिखा जाता है:

$$pV = nRT$$ जहाँ $$p$$, $$V$$ और $$T$$ क्रमशः दाब, मात्रा और थर्मोडायनामिक तापमान हैं; $$n$$ पदार्थ की मात्रा है; और $$R$$ आदर्श गैस नियतांक है। यह गैसों के सूक्ष्म गतिज सिद्धांत से भी प्राप्त किया जा सकता है, जैसा कि 1856 में अगस्त क्रनिग और और 1857 में रुडोल्फ क्लॉसियस द्वारा प्राप्त किया गया था।

समीकरण
गैस की मात्रा की स्थिति इसके दाब, मात्रा और तापमान द्वारा निर्धारित की जाती है। समीकरण का आधुनिक रूप इन्हें केवल दो मुख्य रूपों में संबंधित करता है। अवस्था के समीकरण में प्रयुक्त तापमान एक पूर्ण तापमान है: उपयुक्त एसआई इकाई केल्विन है।

सामान्य रूप
सबसे अधिक बार पेश किए जाने वाले रूप हैं:$$pV = nRT = n k_\text{B} N_\text{A} T = N k_\text{B} T $$जहाँ:
 * $$p$$ गैस का पूर्ण दाब है,
 * $$V$$ गैस का आयतन है,
 * $$n$$ गैस के पदार्थ की मात्रा है (जिसे मोल्स की संख्या भी कहा जाता है),
 * $$R$$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक और अवोगाद्रो स्थिरांक के उत्पाद के बराबर आदर्श, या सार्वभौमिक, गैस स्थिरांक है,
 * $$k_\text{B}$$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है,
 * $$N_{A}$$ अवोगाद्रो स्थिरांक है,
 * $$T$$ गैस का थर्मोडायनामिक तापमान है,
 * $$N$$ गैस के कणों (सामान्यतः परमाणु या अणु) की संख्या है।

SI इकाइयों में, p को पास्कल (इकाई) में मापा जाता है, V को घन मीटर में मापा जाता है, n को मोल (इकाई) में मापा जाता है, और T को केल्विन (इकाई)में मापा जाता है (विलियम थॉमसन, पहला बैरन केल्विन पैमाना एक स्थानांतरित सेल्सीयस है, जहां 0.00 के = -273.15 डिग्री सेल्सियस, पूर्ण शून्य) है। R का मान 8.314 जूल/(मोल (इकाई)·केल्विन) = 1.989 ≈ 2 कैलोरी/(मोल (इकाई)·केल्विन), या 0.0821 L⋅वायुमंडल (इकाई)/(मोल (इकाई)·केल्विन) है।

मोलर रूप
गैस की रासायनिक मात्रा के बजाय द्रव्यमान देकर कितनी गैस मौजूद है यह निर्दिष्ट किया जा सकता है। इसलिए आदर्श गैस नियम का एक वैकल्पिक रूप उपयोगी हो सकता है। रासायनिक मात्रा, n (मोल में), गैस के कुल द्रव्यमान के बराबर है (m) (किलोग्राम में) दाढ़ द्रव्यमान, M (किलोग्राम प्रति मोल में) से विभाजित:
 * $$ n = \frac{m}{M}. $$

n को m/M से प्रतिस्थापित करके और बाद में घनत्व ρ = m/V का परिचय देकर, हम प्राप्त करते हैं:
 * $$ pV = \frac{m}{M} RT $$
 * $$ p = \frac{m}{V} \frac{RT}{M} $$
 * $$ p = \rho \frac{R}{M} T $$

गैस स्थिरांक को परिभाषित करना, विशिष्ट गैस स्थिरांक Rspecific(r) अनुपात के रूप में R/M,
 * $$ p = \rho R_\text{specific}T $$

आदर्श गैस नियम का यह रूप बहुत उपयोगी है क्योंकि यह माना गैस की मात्रा से स्वतंत्र एक अद्वितीय सूत्र में दाब, घनत्व और तापमान को जोड़ता है। वैकल्पिक रूप से, नियम को विशिष्ट आयतन v, घनत्व के व्युत्क्रम, के रूप में लिखा जा सकता है
 * $$ pv = R_\text{specific}T. $$

यह विशेष रूप से इंजीनियरिंग और मौसम संबंधी अनुप्रयोगों में, प्रतीक 'आर' द्वारा विशिष्ट गैस स्थिरांक का प्रतिनिधित्व करने के लिए सामान्य है। ऐसी स्थिति में, सार्वभौमिक गैस स्थिरांक को सामान्यतः एक अलग प्रतीक दिया जाता है जैसे कि $$\bar R$$ या $$R^*$$ इसे भेद करने के लिए। किसी भी स्थिति में, गैस स्थिरांक के संदर्भ और/या इकाइयों को यह स्पष्ट करना चाहिए कि सार्वभौमिक या विशिष्ट गैस स्थिरांक का उपयोग किया जा रहा है या नहीं।

सांख्यिकीय यांत्रिकी
सांख्यिकीय यांत्रिकी में निम्नलिखित आणविक समीकरण पहले सिद्धांतों से प्राप्त होता है


 * $$ P = nk_\text{B}T, $$

जहाँ $P$ गैस का पूर्ण दाब है, $n$ अणुओं का संख्या घनत्व है (अनुपात द्वारा दिया गया $n = N/V$, पिछले फॉर्मूलेशन के विपरीत जिसमें $n$ मोल्स की संख्या है), $T$ पूर्ण तापमान है, और $k_{B}$ तापमान और ऊर्जा से संबंधित बोल्ट्जमैन स्थिरांक है, जो इसके द्वारा दिया गया है:


 * $$ k_\text{B} = \frac{R}{N_\text{A}} $$

जहाँ $N_{A}$ अवोगाद्रो नियतांक है।

इससे हम देखते हैं कि द्रव्यमान की गैस के लिए $m$, औसत कण द्रव्यमान के साथ $μ$ गुणा परमाणु भार स्थिरांक, $m_{u}$, (यानी, द्रव्यमान है $μ$ परमाणु भार इकाई) अणुओं की संख्या द्वारा दिया जाएगा


 * $$ N = \frac{m}{\mu m_\text{u}}, $$

और तबसे $ρ = m/V = nμm_{u}$, हम पाते हैं कि आदर्श गैस नियम को फिर से लिखा जा सकता है


 * $$ P = \frac{1}{V}\frac{m}{\mu m_\text{u}} k_\text{B} T = \frac{k_\text{B}}{\mu m_\text{u}} \rho T. $$

एसआई इकाइयों में, $P$ को पास्कल (यूनिट) में मापा जाता है, $V$ घन मीटर में, $T$ केल्विन में, और $k_{B} =$ एसआई इकाइयों में है।

संयुक्त गैस नियम
चार्ल्स, बॉयल और गे-लुसाक के नियमों के संयोजन से संयुक्त गैस नियम मिलता है, जो समान कार्यात्मक रूप लेता है क्योंकि आदर्श गैस नियम कहता है कि मोल्स की संख्या अनिर्दिष्ट है, और का अनुपात $$PV$$ को $$T$$ बस एक स्थिरांक के रूप में लिया जाता है:
 * $$\frac{PV}{T}=k,$$

जहाँ $$P$$ गैस का दाब है, $$V$$ गैस का आयतन है, $$T$$ गैस का थर्मोडायनामिक तापमान है, और $$k$$ एक स्थिरांक है। दो अलग-अलग स्थितियों के तहत एक ही पदार्थ की तुलना करते समय, नियम को इस रूप में लिखा जा सकता है


 * $$ \frac{P_1 V_1}{T_1}= \frac{P_2 V_2}{T_2}. $$

गैस से जुड़ी ऊर्जा
आदर्श गैसों के गतिज सिद्धांत की मान्यताओं के अनुसार, यह माना जा सकता है कि आदर्श गैस के अणुओं, या परमाणुओं के बीच कोई अंतर-आणविक आकर्षण नहीं होता है। दूसरे शब्दों में, इसकी स्थितिज ऊर्जा शून्य होती है। इसलिए, गैस के पास उपलब्ध सभी ऊर्जा गैस के अणुओं, या परमाणुओं की गतिज ऊर्जा है।


 * $$E=\frac{3}{2} n RT $$

यह स्वतंत्रता (यांत्रिकी) के 3 डिग्री वाले एक परमाणुक गैस के n मोल्स की गतिज ऊर्जा से मेल खाती है; x, y, z। नीचे दी गई तालिका एक मोनोआटोमिक गैस की विभिन्न मात्राओं के लिए यह संबंध देती है।

थर्मोडायनामिक प्रक्रियाओं के लिए अनुप्रयोग
नीचे दी गई तालिका अनिवार्य रूप से एक विशेष प्रक्रिया के लिए आदर्श गैस समीकरण को सरल करती है, इस प्रकार संख्यात्मक विधियों का उपयोग करके इस समीकरण को हल करना आसान बनाती है।

थर्मोडायनामिक प्रक्रिया को एक प्रणाली के रूप में परिभाषित किया जाता है जो अवस्था 1 से अवस्था 2 तक जाती है, जहां अवस्था संख्या को सबस्क्रिप्ट द्वारा निरूपित किया जाता है। जैसा कि तालिका के पहले कॉलम में दिखाया गया है, बुनियादी थर्मोडायनामिक प्रक्रियाओं को इस तरह परिभाषित किया गया है कि पूरी प्रक्रिया में गैस गुणों में से (P, V, T, S, या H) स्थिर है।

किसी दिए गए ऊष्मप्रवैगिकी प्रक्रिया के लिए, किसी विशेष प्रक्रिया की सीमा को निर्दिष्ट करने के लिए, गुणों में से एक अनुपात (जो ज्ञात अनुपात लेबल वाले कॉलम के तहत सूचीबद्ध हैं) को निर्दिष्ट किया जाना चाहिए (या तो प्रत्यक्ष या अप्रत्यक्ष रूप से)। साथ ही, जिस गुण के लिए अनुपात जाना जाता है वह पिछले कॉलम में स्थिर गुण से अलग होना चाहिए (अन्यथा अनुपात एकता होगा, और गैस नियम समीकरण को सरल बनाने के लिए पर्याप्त जानकारी उपलब्ध नहीं होगी)।

अंतिम तीन स्तंभों में, अवस्था 2 पर गुण (p, V, या T) सूचीबद्ध समीकरणों का उपयोग करके अवस्था 1 के गुणों से गणना की जा सकती है।

a. एक आइसेंट्रोपिक प्रक्रिया में, सिस्टम एन्ट्रॉपी (एस) स्थिर है। इन शर्तों के तहत, p1V1γ = p2V2γ, जहां γ को ताप क्षमता अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है, जो कैलोरी की दृष्टि से परिपूर्ण गैस के लिए स्थिर है। γ के लिए उपयोग किया जाने वाला मान सामान्यतः डायटोमिक गैसों जैसे नाइट्रोजन (N2) और ऑक्सीजन (O2), (और वायु, जो 99% डायटोमिक है)। इसके अलावा γ सामान्य गैस हीलियम (He), और आर्गन (Ar) जैसे मोनो परमाणु गैसों के लिए सामान्य तौर पर 1.6 है। आंतरिक दहन इंजन में γ 1.35 और 1.15 के बीच भिन्न होता है, जो संरचना गैसों और तापमान पर निर्भर करता है।

b. एक आइसेंथेल्पिक प्रक्रिया में, सिस्टम तापीय धारिता (H) स्थिर है। एक आदर्श गैस के लिए मुक्त विस्तार के स्थिति में, कोई आणविक बातचीत नहीं होती है, और तापमान स्थिर रहता है। वास्तविक गैसों के लिए, अणु तापमान और दाब के आधार पर आकर्षण या प्रतिकर्षण के माध्यम से परस्पर क्रिया करते हैं, और ताप या शीतलन होता है। इसे जूल-थॉमसन प्रभाव के रूप में जाना जाता है। संदर्भ के लिए, जूल-थॉमसन गुणांक μJT कमरे के तापमान और समुद्र तल पर हवा के लिए 0.22 डिग्री सेल्सियस/ बार (इकाई) है।

वास्तविक गैसों के आदर्श व्यवहार से विचलन
यहां दिया गया अवस्था का समीकरण (PV = nRT) केवल आदर्श गैस पर लागू होता है, या एक वास्तविक गैस के सन्निकटन के रूप में जो एक आदर्श गैस की तरह पर्याप्त रूप से व्यवहार करता है। वास्तव में अवस्था के समीकरण के कई भिन्न रूप हैं। चूंकि आदर्श गैस नियम अणु आणविक आकार और अंतर-आणविक आकर्षण दोनों की उपेक्षा करता है, यह उच्च तापमान और कम दाबों पर मोनोएटोमिक गैसों के लिए सबसे सटीक है। कम घनत्वों के लिए आणविक आकार की उपेक्षा कम महत्वपूर्ण हो जाती है, अर्थात कम दाब पर बड़े आयतन के लिए, क्योंकि आसन्न अणुओं के बीच की औसत दूरी आणविक आकार से बहुत बड़ी हो जाती है। बढ़ती तापीय ऊर्जा के साथ, यानी बढ़ते तापमान के साथ इंटरमॉलिक्युलर आकर्षण का सापेक्षिक महत्व कम हो जाता है। अवस्था के अधिक विस्तृत समीकरण, जैसे वैन डेर वाल्स समीकरण, आणविक आकार और अंतर-आणविक बलों के कारण आदर्शता से विचलन के लिए खाते हैं।

अनुभवजन्य
अनुभवजन्य नियम जो आदर्श गैस नियम की व्युत्पत्ति की ओर ले गए, उन प्रयोगों के साथ खोजे गए जिन्होंने गैस के केवल 2 अवस्था चर को बदल दिया और हर दूसरे को स्थिर रखा हैं।

इस तरह के सेटअप के साथ खोजे जा सकने वाले सभी संभावित गैस नियम हैं:
 * बॉयल के नियम ($$) $$PV = C_1 \quad \text{or} \quad P_1 V_1 = P_2 V_2 $$
 * चार्ल्स का नियम ($$) $$\frac{V}{T} = C_2 \quad \text{or} \quad \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} $$
 * अवोगाद्रो का नियम ($$) $$\frac{V}{N}=C_3 \quad \text{or} \quad \frac{V_1}{N_1}=\frac{V_2}{N_2} $$
 * गे-लुसाक का नियम ($$) $$\frac{P}{T}=C_4 \quad \text{or} \quad \frac{P_1}{T_1}=\frac{P_2}{T_2} $$
 * $$ $$NT = C_5 \quad \text{or} \quad N_1 T_1 = N_2 T_2 $$
 * $$ $$\frac{P}{N} = C_6 \quad \text{or} \quad \frac{P_1}{N_1}=\frac{P_2}{N_2} $$

जहाँ P दाब के लिए, V आयतन के लिए, N गैस में कणों की संख्या के लिए और T तापमान के लिए है; जहाँ $$C_1, C_2, C_3, C_4, C_5, C_6 $$ इस संदर्भ में स्थिरांक हैं क्योंकि प्रत्येक समीकरण में केवल उन पैरामीटरों की आवश्यकता होती है जो उनमें स्पष्ट रूप से बदलते हैं।

आदर्श गैस नियम को प्राप्त करने के लिए किसी को सभी 6 सूत्रों को जानने की आवश्यकता नहीं है, कोई केवल 3 को जान सकता है और उनसे शेष या केवल एक और आदर्श गैस नियम प्राप्त करने में सक्षम हो सकता है, जिसके लिए 4 की आवश्यकता होती है।

चूँकि प्रत्येक सूत्र केवल तभी धारण करता है जब उक्त सूत्र में सम्मिलित केवल अवस्था चर बदलते हैं जबकि अन्य (जो कि गैस की एक गुण है लेकिन उक्त सूत्र में स्पष्ट रूप से उल्लेख नहीं किया गया है) स्थिर रहते हैं, हम केवल बीजगणित का उपयोग नहीं कर सकते हैं और सीधे उन सभी को जोड़ सकते हैं। यही कारण है कि: बॉयल ने N और T को स्थिर रखते हुए अपने प्रयोग किए और इसे ध्यान में रखा जाना चाहिए (इसी तरह, प्रत्येक प्रयोग ने कुछ पैरामीटर को स्थिर रखा और इसे व्युत्पत्ति के लिए ध्यान में रखा जाना चाहिए)।

इसे ध्यान में रखते हुए, व्युत्पत्ति को सही ढंग से जारी रखने के लिए, एक समय में एक प्रक्रिया द्वारा गैस को बदलने की कल्पना करनी चाहिए (जैसा कि प्रयोगों में किया गया था)। 4 सूत्रों का उपयोग करने वाली व्युत्पत्ति इस तरह दिख सकती है:

$$P_1, V_1, N_1, T_1 $$सबसे पहले गैस में पैरामीटर होते हैं।

बॉयल के नियम के अनुसार, केवल दाब और आयतन बदलना शुरू करना ($$), तब:

इस प्रक्रिया के बाद, गैस के पैरामीटर $$P_2,V_2,N_1,T_1 $$ होते हैं।

तत्कालीन समीकरण का उपयोग करना ($$) गैस और तापमान में कणों की संख्या को बदलने के लिए,

इस प्रक्रिया के बाद, गैस के पैरामीटर $$P_2,V_2,N_2,T_2 $$ होते हैं।

तत्कालीन समीकरण का उपयोग करना ($$) दाब और कणों की संख्या बदलने के लिए,

इस प्रक्रिया के बाद, गैस के पैरामीटर $$P_3,V_2,N_3,T_2 $$ होते हैं।

गैस के आयतन और तापमान को बदलने के लिए तत्कालीन चार्ल्स के नियम (समीकरण 2) का उपयोग करना,

इस प्रक्रिया के बाद, गैस के पैरामीटर $$P_3,V_3,N_3,T_3 $$ होते हैं।

समीकरणों पर सरल बीजगणित का उपयोग करना ($$), ($$), ($$) और ($$) परिणाम देता है: $$\frac{P_1 V_1}{N_1 T_1} = \frac{P_3 V_3}{N_3 T_3} $$ या $$\frac{PV}{NT} = k_\text{B} ,$$ जहाँ $$ k_\text{B} $$ बोल्ट्जमान स्थिरांक के लिए प्रतीक है।

एक और समकक्ष परिणाम, इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि $$nR = N k_\text{B} $$, जहाँ n गैस में मोल (यूनिट) की संख्या है और R गैस स्थिरांक है: $$PV = nRT, $$ जिसे आदर्श गैस नियम के रूप में जाना जाता है।

यदि छह में से तीन समीकरण ज्ञात हैं, तो उसी विधि का उपयोग करके शेष तीन को प्राप्त करना संभव हो सकता है। यद्यपि, क्योंकि प्रत्येक सूत्र में दो चर होते हैं, यह केवल तीन के कुछ समूहों के लिए ही संभव है। उदाहरण के लिए, यदि आपके पास समीकरण हैं ($$), ($$) और ($$) आप और अधिक प्राप्त करने में सक्षम नहीं होंगे क्योंकि उनमें से किन्हीं दो को मिलाने से आपको केवल तीसरा ही मिलेगा। यद्यपि, यदि आपके पास समीकरण थे ($$), ($$) और ($$) आप सभी छह समीकरण प्राप्त करने में सक्षम होंगे क्योंकि संयोजन ($$) और ($$) निकलेगा ($$), तब ($$) और ($$) निकलेगा ($$), तब ($$) और ($$) निकलेगा ($$), साथ ही साथ का संयोजन होगा ($$) और ($$) जैसा कि निम्नलिखित दृश्य संबंध में समझाया गया है:

जहां संख्याएँ ऊपर गिने गए गैस नियमों का प्रतिनिधित्व करती हैं।

यदि आप एक त्रिकोण के शीर्ष पर 3 में से 2 नियमों पर उपरोक्त उपयोग की गई समान विधि का उपयोग करते हैं, जिसके अंदर "O" है, तो आपको तीसरा मिलेगा।

उदाहरण के लिए:

पहले केवल दाब और आयतन बदलें:

तो केवल मात्रा और तापमान:

तब हम इसके लिए कोई भी मूल्य चुन सकते हैं $$V_3$$, अगर हम सेट करते हैं $$V_1 = V_3$$, समीकरण ($$) बन जाता है:

संयोजन समीकरण ($$) और ($$) उपज $$\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$$, जो समीकरण है ($$), जिनमें से हमें इस व्युत्पत्ति तक कोई पूर्व ज्ञान नहीं था।

काइनेटिक थ्योरी
आदर्श गैस नियम गैसों के गतिज सिद्धांत का उपयोग करते हुए पहले सिद्धांतों से भी प्राप्त किया जा सकता है, जिसमें कई सरल धारणाएं बनाई जाती हैं, जिनमें से प्रमुख हैं कि गैस के अणु, या परमाणु बिंदु द्रव्यमान होते हैं, जिनमें द्रव्यमान होता है लेकिन कोई महत्वपूर्ण आयतन नहीं होता है। और केवल एक दूसरे के साथ और कंटेनर के किनारों के साथ लोचदार टकराव से गुजरते हैं जिसमें रैखिक गति और गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित होती हैं।

गैसों के गतिज सिद्धांत की मूलभूत मान्यताएँ यही दर्शाती हैं


 * $$PV = \frac{1}{3}Nmv_{\text{rms}}^2.$$

मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण का उपयोग करते हुए, अणुओं का वह अंश जिसकी गति सीमा में है $$v$$ को $$v + dv$$ है $$f(v) \, dv$$, जहाँ


 * $$f(v) = 4\pi \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{\!\frac{3}{2}}v^2 e^{-\frac{mv^2}{2kT}}$$

और $$k$$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक को दर्शाता है। रूट-मीन-स्क्वायर गति की गणना किसके द्वारा की जा सकती है


 * $$v_{\text{rms}}^2 = \int_0^\infty v^2 f(v) \, dv = 4\pi \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{\frac{3}{2}}\int_0^\infty v^4 e^{-\frac{mv^2}{2kT}} \, dv.$$

एकीकरण सूत्र का उपयोग करना


 * $$\int_0^\infty x^{2n}e^{-\frac{x^2}{a^2}} \, dx = \sqrt{\pi} \, \frac{(2n)!}{n!}\left(\frac{a}{2}\right)^{2n+1},$$

यह इस प्रकार है कि


 * $$v_{\text{rms}}^2 = 4\pi\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{\!\frac{3}{2}}\sqrt{\pi} \, \frac{4!}{2!}\left(\frac{\sqrt{\frac{2kT}{m}}}{2}\right)^{\!5} = \frac{3kT}{m},$$

जिससे हमें आदर्श गैस नियम प्राप्त होता है:


 * $$PV = \frac{1}{3} Nm\left(\frac{3kT}{m}\right) = NkT.$$

सांख्यिकीय यांत्रिकी
मान लीजिए कि q = (qx, qy, qz) और p = (px, py, pz) एक आदर्श गैस के कण के क्रमशः स्थिति सदिश और संवेग सदिश को निरूपित करते हैं। मान लीजिए कि F उस कण पर नेट बल को निरूपित करता है। फिर कण की समय-औसत गतिज ऊर्जा है:
 * $$\begin{align}

\langle \mathbf{q} \cdot \mathbf{F} \rangle &= \left\langle q_{x} \frac{dp_{x}}{dt} \right\rangle + \left\langle q_{y} \frac{dp_{y}}{dt} \right\rangle + \left\langle q_{z} \frac{dp_{z}}{dt} \right\rangle\\ &=-\left\langle q_{x} \frac{\partial H}{\partial q_x} \right\rangle - \left\langle q_{y} \frac{\partial H}{\partial q_y} \right\rangle - \left\langle q_{z} \frac{\partial H}{\partial q_z} \right\rangle = -3k_\text{B} T, \end{align}$$ जहाँ पहली समानता न्यूटन का दूसरा नियम है, और दूसरी पंक्ति हैमिल्टन के समीकरणों और समविभाजन प्रमेय का उपयोग करती है। N कणों की एक प्रणाली पर योग करना
 * $$3Nk_{B} T = - \left\langle \sum_{k=1}^{N} \mathbf{q}_{k} \cdot \mathbf{F}_{k} \right\rangle.$$

न्यूटन के तीसरे नियम और आदर्श गैस धारणा के अनुसार, सिस्टम का शुद्ध बल कंटेनर की दीवारों द्वारा लगाया गया बल है, और यह बल गैस के दाब P द्वारा दिया जाता है। इस तरह


 * $$-\left\langle\sum_{k=1}^{N} \mathbf{q}_{k} \cdot \mathbf{F}_{k}\right\rangle = P \oint_{\text{surface}} \mathbf{q} \cdot d\mathbf{S},$$

जहाँ dS कंटेनर की दीवारों के साथ अतिसूक्ष्म क्षेत्र तत्व है। चूँकि स्थिति सदिश q का विचलन है



\nabla \cdot \mathbf{q} = \frac{\partial q_{x}}{\partial q_{x}} + \frac{\partial q_{y}}{\partial q_{y}} + \frac{\partial q_{z}}{\partial q_{z}} = 3, $$ विचलन प्रमेय का तात्पर्य है


 * $$P \oint_{\text{surface}} \mathbf{q} \cdot d\mathbf{S}

= P \int_{\text{volume}} \left( \nabla \cdot \mathbf{q} \right) dV = 3PV,$$ जहाँ dV कंटेनर के भीतर एक अतिसूक्ष्म आयतन है और V कंटेनर का कुल आयतन है।

इन समानताओं को एक साथ रखने से प्राप्ति होती है


 * $$3 N k_\text{B} T = -\left\langle \sum_{k=1}^{N} \mathbf{q}_{k} \cdot \mathbf{F}_{k} \right\rangle = 3PV,$$

जो तुरंत एन कणों के लिए आदर्श गैस नियम का तात्पर्य है:


 * $$PV = Nk_{B} T = nRT,$$

जहां n = N/NA गैस के मोल (इकाई) की संख्या है और R = NAkB गैस नियतांक है।

अन्य आयाम
एक डी-आयामी प्रणाली के लिए, आदर्श गैस का दाब है:
 * $$P^{(d)} = \frac{N k_B T}{L^d}, $$

जहाँ $$L^d$$ डी-डायमेंशनल डोमेन का आयतन है जिसमें गैस मौजूद है। ध्यान दें कि दाब के आयाम आयाम के साथ बदलते हैं।

यह भी देखें

 * गैस नियम
 * गैस नियम
 * गैस नियम
 * गैस नियम

बाहरी संबंध

 * Configuration integral (statistical mechanics) where an alternative statistical mechanics derivation of the ideal-gas law, using the relationship between the Helmholtz free energy and the partition function, but without using the equipartition theorem, is provided. Vu-Quoc, L., Configuration integral (statistical mechanics), 2008. this wiki site is down; see this article in the web archive on 2012 April 28.
 * Gas equations in detail
 * Gas equations in detail