लोरेंत्ज़ परिवर्तनों का इतिहास

लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के इतिहास में लोरेंत्ज़ समूह या पोंकारे समूह बनाने वाले रैखिक परिवर्तनों का विकास शामिल है जो लोरेंत्ज़ अंतराल $$-x_{0}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}$$और मिन्कोव्स्की आंतरिक गुणनफल $$-x_{0}y_{0}+\cdots+x_{n}y_{n}$$ को संरक्षित करता है।

गणित में, द्विघात रूपों के सिद्धांत के संबंध में 19वीं शताब्दी में विभिन्न आयामों में लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के रूप में जाने जाने वाले परिवर्तनों पर चर्चा की गई थी, अतिपरवलिक ज्यामिति, मोबियस ज्यामिति, और वृत्तीय ज्यामिति, जो इस तथ्य से जुड़ी है कि अतिपरवलिक स्पेस में गतियों का समूह, मोबियस समूह या प्रक्षेप्य विशेष रैखिक समूह और लैगुएरे समूह लोरेंट्ज़ समूह के समरूपी हैं।

भौतिकी में, लोरेंत्ज़ परिवर्तन 20वीं सदी की शुरुआत में ज्ञात हुए, जब यह पता चला कि वे मैक्सवेल के समीकरणों की समरूपता प्रदर्शित करते हैं। इसके बाद, वे संपूर्ण भौतिकी के लिए मौलिक बन गए, क्योंकि उन्होंने विशेष सापेक्षता का आधार बनाया जिसमें वे मिन्कोवस्की स्पेसटाइम की समरूपता प्रदर्शित करते हैं, जिससे विभिन्न जड़त्वीय फ़्रेमों के बीच प्रकाश की गति अपरिवर्तित हो जाती है। वे स्थिर सापेक्ष गति v के साथ संदर्भ के दो मनमाने जड़त्वीय फ्रेम के स्पेसटाइम निर्देशांक से संबंधित हैं। एक फ्रेम में, एक घटना की स्थिति x,y,z और समय t द्वारा दी गई है, जबकि दूसरे फ़्रेम में समान घटना के निर्देशांक x',y',z'  और t' हैं।

गणितीय प्रागितिहास
सममित मैट्रिक्स A के गुणांक, संबंधित द्विरेखीय रूप और परिवर्तन मैट्रिक्स g के संदर्भ में एक रैखिक परिवर्तन का उपयोग करते हुए, लोरेंत्ज़ परिवर्तन दिया जाता है यदि निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं:


 * $$\begin{matrix}\begin{align}-x_{0}^{2}+\cdots+x_{n}^{2} & =-x_{0}^{\prime2}+\dots+x_{n}^{\prime2}\\

-x_{0}y_{0}+\cdots+x_{n}y_{n} & =-x_{0}^{\prime}y_{0}^{\prime}+\cdots+x_{n}^{\prime}y_{n}^{\prime} \end{align} \\ \hline \begin{matrix}\mathbf{x}'=\mathbf{g}\cdot\mathbf{x}\\ \mathbf{x}=\mathbf{g}^{-1}\cdot\mathbf{x}' \end{matrix}\\ \hline \begin{matrix}\begin{align}\mathbf{A}\cdot\mathbf{g}^{\mathrm{T}}\cdot\mathbf{A} & =\mathbf{g}^{-1}\\ \mathbf{g}^\cdot\mathbf{A}\cdot\mathbf{g} & =\mathbf{A}\\ \mathbf{g}\cdot\mathbf{A}\cdot\mathbf{g}^{\mathrm{T}} & =\mathbf{A} \end{align} \end{matrix}\\ \hline \mathbf{A}={\rm diag}(-1,1,\dots,1)\\ \det \mathbf{g}=\pm1 \end{matrix}$$ यह एक अनिश्चित ऑर्थोगोनल समूह बनाता है जिसे लोरेंत्ज़ समूह O(1,n) कहा जाता है, जबकि मामला det g=+1 प्रतिबंधित लोरेंत्ज़ समूह SO(1,n) बनाता है। द्विघात रूप मिंकोव्स्की अंतरिक्ष के अनिश्चित द्विघात रूप (छद्म-यूक्लिडियन अंतरिक्ष का एक विशेष मामला होने के नाते) के संदर्भ में लोरेंत्ज़ अंतराल बन जाता है, और संबंधित द्विरेखीय रूप मिंकोव्स्की आंतरिक उत्पाद बन जाता है। विशेष सापेक्षता के आगमन से बहुत पहले इसका उपयोग केली-क्लेन मीट्रिक, हाइपरबोलाइड मॉडल और हाइपरबोलिक ज्यामिति के अन्य मॉडल, दीर्घवृत्तीय फलन और इंटीग्रल की गणना जैसे विषयों में किया जाता था अनिश्चित द्विघात रूपों का परिवर्तन, हाइपरबोला का निचोड़ मानचित्रण, समूह सिद्धांत, मोबियस परिवर्तन, गोलाकार तरंग परिवर्तन, साइन-गॉर्डन समीकरण का परिवर्तन, बाइकेटरनियन बीजगणित, विभाजित-जटिल संख्याएँ, क्लिफोर्ड बीजगणित, आदि।



अवलोकन
विशेष सापेक्षता में, लोरेंत्ज़ परिवर्तन प्रकाश की गति के रूप में एक स्थिर सी और दो जड़त्वीय संदर्भ फ़्रेमों के बीच सापेक्ष वेग के रूप में एक पैरामीटर वी का उपयोग करके मिंकोव्स्की स्पेसटाइम की समरूपता प्रदर्शित करते हैं। उपरोक्त शर्तों का उपयोग करते हुए, 3+1 आयामों में लोरेंत्ज़ परिवर्तन इस रूप को ग्रहण करता है:


 * $$\begin{matrix}-c^{2}t^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}=-c^{2}t^{\prime2}+x^{\prime2}+y^{\prime2}+z^{\prime2}\\

\hline \left.\begin{align}t' & =\gamma\left(t-x\frac{v}{c^{2}}\right)\\ x' & =\gamma(x-vt)\\ y' & =y\\ z' & =z \end{align} \right|\begin{align}t & =\gamma\left(t'+x\frac{v}{c^{2}}\right)\\ x & =\gamma(x'+vt')\\ y & =y'\\ z & =z' \end{align} \end{matrix}\Rightarrow\begin{align}(ct'+x') & =(ct+x)\sqrt{\frac{c+v}{c-v}}\\ (ct'-x') & =(ct-x)\sqrt{\frac{c-v}{c+v}} \end{align} $$ भौतिकी में, एक असंपीड्य माध्यम से संबंधित #Voigt|Voigt (1887) और #Heaviside|Heaviside (1888), थॉमसन (1889), Searle (1896) और #Lorentz1|Lorentz (1892, 1895) द्वारा अनुरूप परिवर्तन प्रस्तुत किए गए हैं। ) जिन्होंने मैक्सवेल के समीकरणों का विश्लेषण किया। इन्हें #Larmor|Larmor (1897, 1900) और #Lorentz2|Lorentz (1899, 1904) द्वारा पूरा किया गया, और #Poincare3|Poincaré (1905) द्वारा इन्हें आधुनिक रूप में लाया गया, जिन्होंने इस परिवर्तन को Lorentz का नाम दिया। आखिरकार, #आइंस्टीन|आइंस्टीन (1905) ने विशेष सापेक्षता के अपने विकास में दिखाया कि परिवर्तन लोरेंत्ज़ के विपरीत लोरेंत्ज़ ईथर सिद्धांत की आवश्यकता के बिना, अंतरिक्ष और समय की पारंपरिक अवधारणाओं को संशोधित करके अकेले सापेक्षता और निरंतर प्रकाश गति के सिद्धांत का पालन करते हैं। और पोंकारे. #मिन्कोव्स्की|मिन्कोव्स्की (1907-1908) ने उनका उपयोग यह तर्क देने के लिए किया कि अंतरिक्ष और समय अंतरिक्ष-समय के रूप में अविभाज्य रूप से जुड़े हुए हैं।

लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के विशेष निरूपण के संबंध में: #मिन्कोव्स्की|मिन्कोव्स्की (1907-1908) और #सोमरफेल्ड|सोमरफेल्ड (1909) ने काल्पनिक त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग किया, #फ्रैंक|फ्रैंक (1909) और #वेरिकाक|वेरिकैक (1910) ने अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों का उपयोग किया, # बेटमैन|बेटमैन और कनिंघम (1909-1910) ने गोलाकार तरंग परिवर्तनों का उपयोग किया, #हर्ग्लोट्ज़1|हर्ग्लोत्ज़ (1909-10) ने मोबियस परिवर्तनों का उपयोग किया, #प्लमर|प्लमर (1910) और #ग्रुनर|ग्रुनर (1921) ने त्रिकोणमितीय लोरेंत्ज़ बूस्ट का उपयोग किया, #इग्नाटोव्स्की |इग्नाटोव्स्की (1910) ने प्रकाश गति अभिधारणा के बिना परिवर्तन प्राप्त किए, #नोएथर|नोएथर (1910) और क्लेन (1910) ने भी #कॉनवे|कॉनवे (1911) और सिल्बरस्टीन (1911) ने बाइकाटर्नियन्स का उपयोग किया, #हर्ग्लोत्ज़2|इग्नाटोव्स्की (1910/11) ), हर्ग्लोत्ज़ (1911), और अन्य ने मनमानी दिशाओं में मान्य वेक्टर परिवर्तनों का उपयोग किया, #बोरेल|बोरेल (1913-14) ने केली-हर्माइट पैरामीटर का उपयोग किया,

वोइग्ट (1887)
वोल्डेमर वोइगट (1887) डॉपलर प्रभाव और एक असंपीड्य माध्यम के संबंध में एक परिवर्तन विकसित किया गया, जो आधुनिक संकेतन में है:
 * $$\begin{matrix}\text{original} & \text{modern}\\

\hline \left.\begin{align}\xi_{1} & =x_{1}-\varkappa t\\ \eta_{1} & =y_{1}q\\ \zeta_{1} & =z_{1}q\\ \tau & =t-\frac{\varkappa x_{1}}{\omega^{2}}\\ q & =\sqrt{1-\frac{\varkappa^{2}}{\omega^{2}}} \end{align} \right| & \begin{align}x^{\prime} & =x-vt\\ y^{\prime} & =\frac{y}{\gamma}\\ z^{\prime} & =\frac{z}{\gamma}\\ t^{\prime} & =t-\frac{vx}{c^{2}}\\ \frac{1}{\gamma} & =\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}} \end{align} \end{matrix}$$ यदि उसके समीकरणों के दाएँ पक्ष को γ से गुणा किया जाए तो वे आधुनिक लोरेंत्ज़ परिवर्तन हैं। वोइगट के सिद्धांत में प्रकाश की गति अपरिवर्तनीय है, लेकिन उनके परिवर्तनों में अंतरिक्ष-समय के पुनर्मूल्यांकन के साथ-साथ एक सापेक्षतावादी वृद्धि भी शामिल है। मुक्त स्थान में ऑप्टिकल घटनाएँ स्केल अपरिवर्तनीयता, अनुरूप मानचित्र और लोरेंत्ज़ सहप्रसरण हैं, इसलिए संयोजन भी अपरिवर्तनीय है। उदाहरण के लिए, लोरेंत्ज़ परिवर्तनों को कारक का उपयोग करके बढ़ाया जा सकता है $$l$$:
 * $$x^{\prime}=\gamma l\left(x-vt\right),\quad y^{\prime}=ly,\quad z^{\prime}=lz,\quad t^{\prime}=\gamma l\left(t-x\frac{v}{c^{2}}\right)$$.

l=1/γ Voigt परिवर्तन देता है, l=1 लोरेंत्ज़ परिवर्तन देता है। लेकिन पैमाने पर परिवर्तन प्रकृति के सभी नियमों की समरूपता नहीं है, केवल विद्युत चुंबकत्व की है, इसलिए इन परिवर्तनों का उपयोग सामान्य रूप से सापेक्षता के सिद्धांत को तैयार करने के लिए नहीं किया जा सकता है। पोंकारे और आइंस्टीन द्वारा यह प्रदर्शित किया गया था कि उपरोक्त परिवर्तन को सममित बनाने और सापेक्षता सिद्धांत के अनुसार एक समूह बनाने के लिए किसी को l=1 सेट करना होगा, इसलिए लोरेंत्ज़ परिवर्तन ही एकमात्र व्यवहार्य विकल्प है।

वोइग्ट ने अपना 1887 का पेपर 1908 में लोरेंत्ज़ को भेजा, और इसे 1909 में स्वीकार किया गया था: "In a paper 'Über das Doppler'sche Princip', published in 1887 (Gött. Nachrichten, p. 41) and which to my regret has escaped my notice all these years, Voigt has applied to equations of the form (7) (§ 3 of this book) [namely $\Delta\Psi-\tfrac{1}{c^{2}}\tfrac{\partial^{2}\Psi}{\partial t^{2}}=0$] a transformation equivalent to the formulae (287) and (288) [namely $x^{\prime}=\gamma l\left(x-vt\right),\ y^{\prime}=ly,\ z^{\prime}=lz,\ t^{\prime}=\gamma l\left(t-\tfrac{v}{c^{2}}x\right)$]. The idea of the transformations used above (and in § 44) might therefore have been borrowed from Voigt and the proof that it does not alter the form of the equations for the free ether is contained in his paper. |undefined"

इसके अलावा हरमन मिन्कोव्स्की ने 1908 में कहा था कि सापेक्षता के सिद्धांत में मुख्य भूमिका निभाने वाले परिवर्तनों की जांच सबसे पहले 1887 में वोइगट ने की थी। वोइगट ने उसी पेपर में जवाब देते हुए कहा कि उनका सिद्धांत प्रकाश के लोचदार सिद्धांत पर आधारित था, न कि विद्युत चुम्बकीय पर। एक। हालाँकि, उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि कुछ परिणाम वास्तव में समान थे।

हेविसाइड (1888), थॉमसन (1889), सियरल (1896)
1888 में, ओलिवर हेविसाइड मैक्सवेल के इलेक्ट्रोडायनामिक्स के अनुसार सापेक्षतावादी विद्युत चुंबकत्व के गुणों की जांच की। उन्होंने अन्य बातों के अलावा, इस सूत्र द्वारा दर्शाए गए गतिमान पिंडों के विद्युत क्षेत्र में अनिसोट्रॉपी की गणना की:
 * $$\mathrm{E}=\left(\frac{q\mathrm{r}}{r^{2}}\right)\left(1-\frac{v^{2}\sin^{2}\theta}{c^{2}}\right)^{-3/2}$$.

नतीजतन, जोसेफ जॉन थॉमसन (1889) निम्नलिखित गणितीय परिवर्तन का उपयोग करके गतिमान आवेशों से संबंधित गणनाओं को काफी हद तक सरल बनाने का एक तरीका खोजा गया (लोरेंत्ज़ या लार्मोर जैसे अन्य लेखकों की तरह, थॉमसन ने भी अपने समीकरण में गैलिलियन परिवर्तन z-vt का स्पष्ट रूप से उपयोग किया था) ):


 * $$\begin{matrix}\text{original} & \text{modern}\\

\hline \left.\begin{align}z & =\left\{ 1-\frac{\omega^{2}}{v^{2}}\right\} ^{\frac{1}{2}}z'\end{align} \right| & \begin{align}z^{\ast}=z-vt & =\frac{z'}{\gamma}\end{align} \end{matrix}$$ जिससे, अमानवीय विद्युत चुम्बकीय तरंग समीकरण पॉइसन समीकरण में बदल जाते हैं। अंततः, जॉर्ज फ्रेडरिक चार्ल्स सियरल (1896) में उल्लेख किया गया कि हेविसाइड की अभिव्यक्ति से विद्युत क्षेत्रों में विकृति आती है, जिसे उन्होंने अक्षीय अनुपात का हेविसाइड-एलिप्सॉइड कहा है।


 * $$\begin{matrix}\text{original} & \text{modern}\\

\hline \left.\begin{align} & \sqrt{\alpha}:1:1\\ \alpha= & 1-\frac{u^{2}}{v^{2}} \end{align} \right| & \begin{align} & \frac{1}{\gamma}:1:1\\ \frac{1}{\gamma^{2}} & =1-\frac{v^{2}}{c^{2}} \end{align} \end{matrix}$$

लोरेंत्ज़ (1892, 1895)
मैक्सवेल के समीकरणों के अनुसार प्रकाश के विपथन और फ़िज़ो प्रयोग के परिणाम को समझाने के लिए, लोरेंत्ज़ ने 1892 में एक मॉडल (लोरेंत्ज़ ईथर सिद्धांत) विकसित किया जिसमें ईथर पूरी तरह से गतिहीन है, और ईथर में प्रकाश की गति स्थिर है चहुँ ओर। गतिमान पिंडों के प्रकाशिकी की गणना करने के लिए, लोरेंत्ज़ ने ईथर प्रणाली से एक गतिशील प्रणाली में बदलने के लिए निम्नलिखित मात्राएँ पेश कीं (यह अज्ञात है कि क्या वह वोइग्ट, हेविसाइड और थॉमसन से प्रभावित थे)
 * $$\begin{matrix}\text{original} & \text{modern}\\

\hline \left.\begin{align}\mathfrak{x} & =\frac{V}{\sqrt{V^{2}-p^{2}}}x\\ t' & =t-\frac{\varepsilon}{V}\mathfrak{x}\\ \varepsilon & =\frac{p}{\sqrt{V^{2}-p^{2}}} \end{align} \right| & \begin{align}x^{\prime} & =\gamma x^{\ast}=\gamma(x-vt)\\ t^{\prime} & =t-\frac{\gamma^{2}vx^{\ast}}{c^{2}}=\gamma^{2}\left(t-\frac{vx}{c^{2}}\right)\\ \gamma\frac{v}{c} & =\frac{v}{\sqrt{c^{2}-v^{2}}} \end{align} \end{matrix}$$ कहां एक्स*गैलीलियन परिवर्तन x-vt है। समय परिवर्तन में अतिरिक्त γ को छोड़कर, यह पूर्ण लोरेंत्ज़ परिवर्तन है। जबकि टी ईथर में आराम कर रहे पर्यवेक्षकों के लिए सही समय है, टी' केवल चलती प्रणालियों के लिए प्रक्रियाओं की गणना के लिए एक सहायक चर है। यह भी महत्वपूर्ण है कि लोरेंत्ज़ और बाद में लार्मोर ने भी इस परिवर्तन को दो चरणों में तैयार किया। पहले एक अंतर्निहित गैलीलियन परिवर्तन, और बाद में लोरेंत्ज़ परिवर्तन की सहायता से काल्पनिक विद्युत चुम्बकीय प्रणाली में विस्तार। माइकलसन-मॉर्ले प्रयोग के नकारात्मक परिणाम को समझाने के लिए, उन्होंने (1892बी) अतिरिक्त परिकल्पना पेश की कि अंतर-आण्विक बल भी इसी तरह से प्रभावित होते हैं और अपने सिद्धांत में लंबाई संकुचन पेश किया (बिना प्रमाण के जैसा कि उन्होंने स्वीकार किया)। हेविसाइड के काम के आधार पर यही परिकल्पना पहले 1889 में जॉर्ज फ्रांसिस फिट्जगेराल्ड द्वारा बनाई गई थी। जबकि लोरेंत्ज़ के लिए लंबाई संकुचन एक वास्तविक भौतिक प्रभाव था, उन्होंने समय परिवर्तन को केवल एक अनुमानी कामकाजी परिकल्पना और गणितीय शर्त के रूप में माना।

1895 में, लोरेंत्ज़ ने अपने सिद्धांत को और विस्तार दिया और संगत राज्यों के प्रमेय को पेश किया। इस प्रमेय में कहा गया है कि एक गतिशील पर्यवेक्षक (ईथर के सापेक्ष) अपने काल्पनिक क्षेत्र में v/c में प्रथम क्रम के वेगों के लिए अपने वास्तविक क्षेत्र में आराम करने वाले पर्यवेक्षकों के समान ही अवलोकन करता है। लोरेंत्ज़ ने दिखाया कि ईथर और एक गतिशील फ्रेम में इलेक्ट्रोस्टैटिक सिस्टम के आयाम इस परिवर्तन से जुड़े हुए हैं:
 * $$\begin{matrix}\text{original} & \text{modern}\\

\hline \left.\begin{align}x & =x^{\prime}\sqrt{1-\frac{\mathfrak{p}^{2}}{V^{2}}}\\ y & =y^{\prime}\\ z & =z^{\prime}\\ t & =t^{\prime} \end{align} \right| & \begin{align}x^{\ast}=x-vt & =\frac{x^{\prime}}{\gamma}\\ y & =y^{\prime}\\ z & =z^{\prime}\\ t & =t^{\prime} \end{align} \end{matrix}$$ ऑप्टिकल समस्याओं को हल करने के लिए लोरेंत्ज़ ने निम्नलिखित परिवर्तन का उपयोग किया, जिसमें संशोधित समय चर को स्थानीय समय कहा गया (Ortszeit) उसके द्वारा:
 * $$\begin{matrix}\text{original} & \text{modern}\\

\hline \left.\begin{align}x & =\mathrm{x}-\mathfrak{p}_{x}t\\ y & =\mathrm{y}-\mathfrak{p}_{y}t\\ z & =\mathrm{z}-\mathfrak{p}_{z}t\\ t^{\prime} & =t-\frac{\mathfrak{p}_{x}}{V^{2}}x-\frac{\mathfrak{p}_{y}}{V^{2}}y-\frac{\mathfrak{p}_{z}}{V^{2}}z \end{align} \right| & \begin{align}x^{\prime} & =x-v_{x}t\\ y^{\prime} & =y-v_{y}t\\ z^{\prime} & =z-v_{z}t\\ t^{\prime} & =t-\frac{v_{x}}{c^{2}}x'-\frac{v_{y}}{c^{2}}y'-\frac{v_{z}}{c^{2}}z' \end{align} \end{matrix}$$ इस अवधारणा के साथ लोरेंत्ज़ डॉपलर प्रभाव, प्रकाश के विपथन और फ़िज़ो प्रयोग की व्याख्या कर सके।

लार्मोर (1897, 1900)
1897 में, लार्मोर ने लोरेंत्ज़ के काम का विस्तार किया और निम्नलिखित परिवर्तन प्राप्त किया
 * $$\begin{matrix}\text{original} & \text{modern}\\

\hline \left.\begin{align}x_{1} & =x\varepsilon^{\frac{1}{2}}\\ y_{1} & =y\\ z_{1} & =z\\ t^{\prime} & =t-vx/c^{2}\\ dt_{1} & =dt^{\prime}\varepsilon^{-\frac{1}{2}}\\ \varepsilon & =\left(1-v^{2}/c^{2}\right)^{-1} \end{align} \right| & \begin{align}x_{1} & =\gamma x^{\ast}=\gamma(x-vt)\\ y_{1} & =y\\ z_{1} & =z\\ t^{\prime} & =t-\frac{vx^{\ast}}{c^{2}}=t-\frac{v(x-vt)}{c^{2}}\\ dt_{1} & =\frac{dt^{\prime}}{\gamma}\\ \gamma^{2} & =\frac{1}{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}} \end{align} \end{matrix}$$ लारमोर ने माइकलसन-मॉर्ले प्रयोग की व्याख्या करते हुए कहा कि यदि यह मान लिया जाए कि अणुओं की संरचना विद्युतीय है तो फिट्ज़गेराल्ड-लोरेंत्ज़ संकुचन इस परिवर्तन का परिणाम है। यह उल्लेखनीय है कि लार्मोर पहले व्यक्ति थे जिन्होंने माना कि किसी प्रकार का समय फैलाव भी इस परिवर्तन का परिणाम है, क्योंकि व्यक्तिगत इलेक्ट्रॉन 1/γ के अनुपात में [बाकी] प्रणाली के लिए कम समय में अपनी कक्षाओं के संबंधित भागों का वर्णन करते हैं। लार्मोर ने अपने इलेक्ट्रोडायनामिक समीकरणों और परिवर्तनों को (v/c) से उच्च क्रम की शर्तों की उपेक्षा करते हुए लिखा।2 - जब उनका 1897 का पेपर 1929 में पुनर्मुद्रित हुआ, तो लार्मोर ने निम्नलिखित टिप्पणी जोड़ी जिसमें उन्होंने बताया कि कैसे उन्हें वी/सी के सभी आदेशों के लिए वैध बनाया जा सकता है:

"Nothing need be neglected: the transformation is exact if v/c2 is replaced by εv/c2 in the equations and also in the change following from t to t′, as is worked out in Aether and Matter (1900), p. 168, and as Lorentz found it to be in 1904, thereby stimulating the modern schemes of intrinsic relational relativity."

उस टिप्पणी के अनुरूप, 1900 में प्रकाशित अपनी पुस्तक एथर एंड मैटर में, लार्मोर ने एक संशोधित स्थानीय समय t″=t′-εvx′/c का उपयोग किया।1897 की अभिव्यक्ति t′=t-vx/c के स्थान पर 22v/c को प्रतिस्थापित करके2εv/c के साथ2, ताकि t″ अब 1892 में लोरेंत्ज़ द्वारा दिए गए एक के समान हो, जिसे उन्होंने x′, y′, z′, t′ निर्देशांक के लिए गैलिलियन परिवर्तन के साथ जोड़ा:
 * $$\begin{matrix}\text{original} & \text{modern}\\

\hline \left.\begin{align}x^{\prime} & =x-vt\\ y^{\prime} & =y\\ z^{\prime} & =z\\ t^{\prime} & =t\\ t^{\prime\prime} & =t^{\prime}-\varepsilon vx^{\prime}/c^{2} \end{align} \right| & \begin{align}x^{\prime} & =x-vt\\ y^{\prime} & =y\\ z^{\prime} & =z\\ t^{\prime} & =t\\ t^{\prime\prime}=t^{\prime}-\frac{\gamma^{2}vx^{\prime}}{c^{2}} & =\gamma^{2}\left(t-\frac{vx}{c^{2}}\right) \end{align} \end{matrix}$$ लार्मोर को पता था कि माइकलसन-मॉर्ले प्रयोग कारक (v/c) के आधार पर गति के प्रभाव का पता लगाने के लिए काफी सटीक था।2, और इसलिए उन्होंने उन परिवर्तनों की तलाश की जो दूसरे क्रम के लिए सटीक थे (जैसा कि उन्होंने कहा)। इस प्रकार उन्होंने अंतिम परिवर्तन (जहाँ x′=x-vt और t″ जैसा कि ऊपर दिया गया है) इस प्रकार लिखा:
 * $$\begin{matrix}\text{original} & \text{modern}\\

\hline \left.\begin{align}x_{1} & =\varepsilon^{\frac{1}{2}}x^{\prime}\\ y_{1} & =y^{\prime}\\ z_{1} & =z^{\prime}\\ dt_{1} & =\varepsilon^{-\frac{1}{2}}dt^{\prime\prime}=\varepsilon^{-\frac{1}{2}}\left(dt^{\prime}-\frac{v}{c^{2}}\varepsilon dx^{\prime}\right)\\ t_{1} & =\varepsilon^{-\frac{1}{2}}t^{\prime}-\frac{v}{c^{2}}\varepsilon^{\frac{1}{2}}x^{\prime} \end{align} \right| & \begin{align}x_{1} & =\gamma x^{\prime}=\gamma(x-vt)\\ y_{1} & =y'=y\\ z_{1} & =z'=z\\ dt_{1} & =\frac{dt^{\prime\prime}}{\gamma}=\frac{1}{\gamma}\left(dt^{\prime}-\frac{\gamma^{2}vdx^{\prime}}{c^{2}}\right)=\gamma\left(dt-\frac{vdx}{c^{2}}\right)\\ t_{1} & =\frac{t^{\prime}}{\gamma}-\frac{\gamma vx^{\prime}}{c^{2}}=\gamma\left(t-\frac{vx}{c^{2}}\right) \end{align} \end{matrix}$$ जिसके द्वारा वह संपूर्ण लोरेंत्ज़ परिवर्तन पर पहुंचे। लार्मोर ने दिखाया कि मैक्सवेल के समीकरण इस दो-चरणीय परिवर्तन के तहत v/c में दूसरे क्रम में अपरिवर्तनीय थे - इसे बाद में लोरेंत्ज़ (1904) और पोंकारे (1905) द्वारा दिखाया गया कि वे वास्तव में v/c में सभी आदेशों के लिए इस परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय हैं। सी।

लार्मोर ने 1904 में प्रकाशित दो पत्रों में लोरेंत्ज़ को श्रेय दिया, जिसमें उन्होंने लोरेंत्ज़ के निर्देशांक और क्षेत्र विन्यास के पहले क्रम के परिवर्तनों के लिए लोरेंत्ज़ परिवर्तन शब्द का इस्तेमाल किया:

"p. 583: [..] Lorentz's transformation for passing from the field of activity of a stationary electrodynamic material system to that of one moving with uniform velocity of translation through the aether. p. 585: [..] the Lorentz transformation has shown us what is not so immediately obvious [..] p. 622: [..] the transformation first developed by Lorentz: namely, each point in space is to have its own origin from which time is measured, its 'local time' in Lorentz's phraseology, and then the values of the electric and magnetic vectors [..] at all points in the aether between the molecules in the system at rest, are the same as those of the vectors [..] at the corresponding points in the convected system at the same local times."

लोरेंत्ज़ (1899, 1904)
इसके अलावा लोरेंत्ज़ ने 1899 में संबंधित राज्यों के अपने प्रमेय का विस्तार किया। सबसे पहले उन्होंने 1892 के एक के बराबर एक परिवर्तन लिखा (फिर से, x* को x-vt द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए):
 * $$\begin{matrix}\text{original} & \text{modern}\\

\hline \left.\begin{align}x^{\prime} & =\frac{V}{\sqrt{V^{2}-\mathfrak{p}_{x}^{2}}}x\\ y^{\prime} & =y\\ z^{\prime} & =z\\ t^{\prime} & =t-\frac{\mathfrak{p}_{x}}{V^{2}-\mathfrak{p}_{x}^{2}}x \end{align} \right| & \begin{align}x^{\prime} & =\gamma x^{\ast}=\gamma(x-vt)\\ y^{\prime} & =y\\ z^{\prime} & =z\\ t^{\prime} & =t-\frac{\gamma^{2}vx^{\ast}}{c^{2}}=\gamma^{2}\left(t-\frac{vx}{c^{2}}\right) \end{align} \end{matrix}$$ फिर उन्होंने एक कारक ε प्रस्तुत किया जिसके बारे में उन्होंने कहा कि उनके पास इसे निर्धारित करने का कोई साधन नहीं है, और अपने परिवर्तन को निम्नानुसार संशोधित किया (जहां t′ का उपरोक्त मान डाला जाना है):
 * $$\begin{matrix}\text{original} & \text{modern}\\

\hline \left.\begin{align}x & =\frac{\varepsilon}{k}x^{\prime\prime}\\ y & =\varepsilon y^{\prime\prime}\\ z & =\varepsilon x^{\prime\prime}\\ t^{\prime} & =k\varepsilon t^{\prime\prime}\\ k & =\frac{V}{\sqrt{V^{2}-\mathfrak{p}_{x}^{2}}} \end{align} \right| & \begin{align}x^{\ast}=x-vt & =\frac{\varepsilon}{\gamma}x^{\prime\prime}\\ y & =\varepsilon y^{\prime\prime}\\ z & =\varepsilon z^{\prime\prime}\\ t^{\prime}=\gamma^{2}\left(t-\frac{vx}{c^{2}}\right) & =\gamma\varepsilon t^{\prime\prime}\\ \gamma & =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} \end{align} \end{matrix}$$ x″ और t″ और ε=1 के साथ हल करने पर यह संपूर्ण लोरेंत्ज़ परिवर्तन के बराबर है। लार्मोर की तरह, लोरेंत्ज़ ने 1899 में देखा दोलन करने वाले इलेक्ट्रॉनों की आवृत्ति के संबंध में कुछ प्रकार का समय फैलाव प्रभाव भी होता है, जिससे एस में कंपन का समय एस की तुलना में kε गुना अधिक हो जाता है।0, जहां एस0ईथर फ्रेम है. 1904 में उन्होंने l=1/ε (फिर से, x* को x-vt द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए) सेट करके निम्नलिखित रूप में समीकरणों को फिर से लिखा:
 * $$\begin{matrix}\text{original} & \text{modern}\\

\hline \left.\begin{align}x^{\prime} & =klx\\ y^{\prime} & =ly\\ z^{\prime} & =lz\\ t' & =\frac{l}{k}t-kl\frac{w}{c^{2}}x \end{align} \right| & \begin{align}x^{\prime} & =\gamma lx^{\ast}=\gamma l(x-vt)\\ y^{\prime} & =ly\\ z^{\prime} & =lz\\ t^{\prime} & =\frac{lt}{\gamma}-\frac{\gamma lvx^{\ast}}{c^{2}}=\gamma l\left(t-\frac{vx}{c^{2}}\right) \end{align} \end{matrix}$$ इस धारणा के तहत कि l=1 जब v=0, उन्होंने प्रदर्शित किया कि l=1 सभी वेगों पर मामला होना चाहिए, इसलिए लंबाई संकुचन केवल गति की रेखा में उत्पन्न हो सकता है। इसलिए कारक l को एकता पर सेट करके, लोरेंत्ज़ के परिवर्तनों ने अब लार्मोर के समान रूप धारण कर लिया है और अब पूरा हो गया है। लार्मोर के विपरीत, जिसने खुद को मैक्सवेल के समीकरणों के सहप्रसरण को दूसरे क्रम तक दिखाने तक ही सीमित रखा, लोरेंत्ज़ ने वी/सी में सभी आदेशों के लिए अपने सहप्रसरण को विस्तारित करने का प्रयास किया। उन्होंने विद्युत चुम्बकीय द्रव्यमान की वेग निर्भरता के लिए सही सूत्र भी निकाले और निष्कर्ष निकाला कि परिवर्तन सूत्र केवल विद्युत ही नहीं, बल्कि प्रकृति की सभी शक्तियों पर लागू होने चाहिए। हालाँकि, उन्होंने चार्ज घनत्व और वेग के लिए परिवर्तन समीकरणों का पूर्ण सहप्रसरण हासिल नहीं किया। जब 1904 का पेपर 1913 में पुनर्मुद्रित किया गया, तो लोरेंत्ज़ ने निम्नलिखित टिप्पणी जोड़ी:

"One will notice that in this work the transformation equations of Einstein’s Relativity Theory have not quite been attained. [..] On this circumstance depends the clumsiness of many of the further considerations in this work."

लोरेंत्ज़ के 1904 परिवर्तन का हवाला दिया गया और जुलाई 1904 में अल्फ्रेड बुचेरर द्वारा उपयोग किया गया:
 * $$x^{\prime}=\sqrt{s}x,\quad y^{\prime}=y,\quad z^{\prime}=z,\quad t'=\frac{t}{\sqrt{s}}-\sqrt{s}\frac{u}{v^{2}}x,\quad s=1-\frac{u^{2}}{v^{2}}$$

या जुलाई 1904 में विलियम वियना  द्वारा:
 * $$x=kx',\quad y=y',\quad z=z',\quad t'=kt-\frac{v}{kc^{2}}x$$

या नवंबर 1904 में एमिल कोहन द्वारा (प्रकाश की गति को एकता पर सेट करते हुए):
 * $$x=\frac{x_{0}}{k},\quad y=y_{0},\quad z=z_{0},\quad t=kt_{0},\quad t_{1}=t_{0}-w\cdot r_{0},\quad k^{2}=\frac{1}{1-w^{2}}$$

या फरवरी 1905 में रिचर्ड गन्स द्वारा:
 * $$x^{\prime}=kx,\quad y^{\prime}=y,\quad z^{\prime}=z,\quad t'=\frac{t}{k}-\frac{kwx}{c^{2}},\quad k^{2}=\frac{c^{2}}{c^{2}-w^{2}}$$

स्थानीय समय
लोरेंत्ज़ या लार्मोर में से किसी ने भी स्थानीय समय की उत्पत्ति की स्पष्ट भौतिक व्याख्या नहीं दी। हालाँकि, 1900 में हेनरी पोंकारे ने लोरेंत्ज़ के स्थानीय समय के अद्भुत आविष्कार की उत्पत्ति पर टिप्पणी की। उन्होंने टिप्पणी की कि यह तब उत्पन्न हुआ जब एक गतिशील संदर्भ फ्रेम में घड़ियों को संकेतों के आदान-प्रदान द्वारा सिंक्रनाइज़ किया जाता है, जिन्हें समान गति से यात्रा करने के लिए माना जाता है। $$c$$ दोनों दिशाओं में, जो आजकल एक साथ सापेक्षता की सापेक्षता कहलाती है, हालांकि पोंकारे की गणना में लंबाई संकुचन या समय फैलाव शामिल नहीं है। पृथ्वी पर घड़ियों को सिंक्रनाइज़ करने के लिए (x*, t* फ्रेम) एक घड़ी से (मूल पर) एक प्रकाश संकेत दूसरे को (x* पर) भेजा जाता है, और वापस भेजा जाता है। यह माना जाता है कि पृथ्वी कुछ विश्राम प्रणाली (x, t) (अर्थात लोरेंत्ज़ और लार्मोर के लिए चमकदार ईथर प्रणाली) में x-दिशा (= x*-दिशा) में v गति से घूम रही है। बाहर की ओर उड़ान का समय है


 * $$\delta t_{a}=\frac{x^{\ast}}{\left(c-v\right)}$$

और वापसी की उड़ान का समय हो गया है


 * $$\delta t_{b}=\frac{x^{\ast}}{\left(c+v\right)}$$.

जब सिग्नल वापस आता है तो घड़ी पर बीता हुआ समय δt होता हैa+δtbऔर समय t*=(δta+δtb)/2 उस क्षण को बताया गया है जब प्रकाश संकेत दूर की घड़ी तक पहुंचा। बाकी फ्रेम में समय t=δt हैaउसी क्षण को बताया गया है। कुछ बीजगणित परावर्तन के क्षण के अनुसार अलग-अलग समय निर्देशांकों के बीच संबंध बताते हैं। इस प्रकार


 * $$t^{\ast}=t-\frac{\gamma^{2}vx^{*}}{c^{2}}$$

लोरेंत्ज़ (1892) के समान। कारक γ को गिराकर2इस धारणा के तहत कि $$\tfrac{v^{2}}{c^{2}}\ll1$$, पोंकारे ने परिणाम t*=t-vx*/c दिया2, जो 1895 में लोरेंत्ज़ द्वारा इस्तेमाल किया गया रूप है।

स्थानीय समय की ऐसी ही भौतिक व्याख्याएँ बाद में एमिल कोहन (1904) द्वारा दी गईं। और मैक्स अब्राहम (1905)।

लोरेंत्ज़ परिवर्तन
5 जून, 1905 (9 जून को प्रकाशित) को पोंकारे ने परिवर्तन समीकरण तैयार किए जो बीजगणितीय रूप से लार्मोर और लोरेंत्ज़ के बराबर हैं और उन्हें आधुनिक रूप दिया:
 * $$\begin{align}x^{\prime} & =kl(x+\varepsilon t)\\

y^{\prime} & =ly\\ z^{\prime} & =lz\\ t' & =kl(t+\varepsilon x)\\ k & =\frac{1}{\sqrt{1-\varepsilon^{2}}} \end{align} $$.

जाहिर तौर पर पोंकारे लार्मोर के योगदान से अनभिज्ञ थे, क्योंकि उन्होंने केवल लोरेंत्ज़ का उल्लेख किया था और इसलिए पहली बार लोरेंत्ज़ परिवर्तन नाम का इस्तेमाल किया था। पोंकारे ने प्रकाश की गति को एकता पर सेट किया, l = 1 सेट करके परिवर्तन की समूह विशेषताओं को इंगित किया, और सापेक्षता के सिद्धांत को पूरी तरह से संतुष्ट करने के लिए लोरेंत्ज़ के इलेक्ट्रोडायनामिक्स के समीकरणों की व्युत्पत्ति को कुछ विवरणों में संशोधित/सही किया, यानी उन्हें बनाया। पूरी तरह से लोरेंत्ज़ सहसंयोजक। जुलाई 1905 में (जनवरी 1906 में प्रकाशित) पोंकारे ने विस्तार से दिखाया कि कैसे परिवर्तन और इलेक्ट्रोडायनामिक समीकरण कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत का परिणाम हैं; उन्होंने परिवर्तन की समूह विशेषताओं को और अधिक विस्तार से प्रदर्शित किया, जिसे उन्होंने लोरेंत्ज़ समूह कहा, और उन्होंने दिखाया कि संयोजन x2+y2+z2-t2अपरिवर्तनीय है. उन्होंने देखा कि लोरेंत्ज़ परिवर्तन परिचय द्वारा मूल के बारे में चार-आयामी अंतरिक्ष में एक घूर्णन मात्र है $$ct\sqrt{-1}$$ चौथे काल्पनिक समन्वय के रूप में, और उन्होंने चार-वेक्टर के प्रारंभिक रूप का उपयोग किया। उन्होंने वेग जोड़ सूत्र भी तैयार किया, जिसे उन्होंने मई 1905 में लोरेंत्ज़ को अप्रकाशित पत्रों में पहले ही प्राप्त कर लिया था:
 * $$\xi'=\frac{\xi+\varepsilon}{1+\xi\varepsilon},\ \eta'=\frac{\eta}{k(1+\xi\varepsilon)}$$.

आइंस्टीन (1905)-विशेष सापेक्षता
30 जून, 1905 (सितंबर 1905 में प्रकाशित) को आइंस्टीन ने वह प्रकाशित किया जिसे अब विशेष सापेक्षता कहा जाता है और परिवर्तन की एक नई व्युत्पत्ति दी, जो केवल सापेक्षता के सिद्धांत और प्रकाश की गति की स्थिरता के सिद्धांत पर आधारित थी। जबकि लोरेंत्ज़ ने माइकलसन-मॉर्ले प्रयोग को समझाने के लिए स्थानीय समय को एक गणितीय निर्धारित उपकरण माना, आइंस्टीन ने दिखाया कि लोरेंत्ज़ परिवर्तन द्वारा दिए गए निर्देशांक वास्तव में संदर्भ के अपेक्षाकृत गतिशील फ्रेम के जड़त्वीय निर्देशांक थे। वी/सी में प्रथम क्रम की मात्राओं के लिए यह पोंकारे द्वारा 1900 में भी किया गया था, जबकि आइंस्टीन ने इस विधि द्वारा पूर्ण परिवर्तन प्राप्त किया था। लोरेंत्ज़ और पोंकारे के विपरीत, जो अभी भी ईथर में वास्तविक समय और गतिशील पर्यवेक्षकों के लिए स्पष्ट समय के बीच अंतर करते थे, आइंस्टीन ने दिखाया कि परिवर्तन अंतरिक्ष और समय की प्रकृति से संबंधित हैं। इस परिवर्तन के लिए संकेतन 1905 के पोंकारे के समतुल्य है, सिवाय इसके कि आइंस्टीन ने प्रकाश की गति को एकता में निर्धारित नहीं किया:
 * $$\begin{align}\tau & =\beta\left(t-\frac{v}{V^{2}}x\right)\\

\xi & =\beta(x-vt)\\ \eta & =y\\ \zeta & =z\\ \beta & =\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}} \end{align} $$ आइंस्टीन ने वेग जोड़ सूत्र को भी परिभाषित किया:
 * $$\begin{matrix}x=\frac{w_{\xi}+v}{1+\frac{vw_{\xi}}{V^{2}}}t,\ y=\frac{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}}{1+\frac{vw_{\xi}}{V^{2}}}w_{\eta}t\\

U^{2}=\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2},\ w^{2}=w_{\xi}^{2}+w_{\eta}^{2},\ \alpha=\operatorname{arctg}\frac{w_{y}}{w_{x}}\\ U=\frac{\sqrt{\left(v^{2}+w^{2}+2vw\cos\alpha\right)-\left(\frac{vw\sin\alpha}{V}\right)^{2}}}{1+\frac{vw\cos\alpha}{V^{2}}} \end{matrix}\left|\begin{matrix}\frac{u_{x}-v}{1-\frac{u_{x}v}{V^{2}}}=u_{\xi}\\ \frac{u_{y}}{\beta\left(1-\frac{u_{x}v}{V^{2}}\right)}=u_{\eta}\\ \frac{u_{z}}{\beta\left(1-\frac{u_{x}v}{V^{2}}\right)}=u_{\zeta} \end{matrix}\right.$$ और प्रकाश विपथन सूत्र:
 * $$\cos\varphi'=\frac{\cos\varphi-\frac{v}{V}}{1-\frac{v}{V}\cos\varphi}$$

मिन्कोव्स्की (1907-1908) - स्पेसटाइम
लोरेंत्ज़, आइंस्टीन, मैक्स प्लैंक द्वारा सापेक्षता के सिद्धांत पर काम, पोंकारे के चार-आयामी दृष्टिकोण के साथ, 1907 और 1908 में हरमन मिन्कोव्स्की द्वारा हाइपरबोलॉइड मॉडल के साथ और अधिक विस्तृत और संयोजित किया गया था। मिन्कोव्स्की ने विशेष रूप से चार-आयामी तरीके से इलेक्ट्रोडायनामिक्स का सुधार किया (मिन्कोव्स्की स्पेसटाइम)। उदाहरण के लिए, उन्होंने x, y, z, इसे x के रूप में लिखा1, एक्स2, एक्स3, एक्स4. ψ को z-अक्ष के चारों ओर घूमने के कोण के रूप में परिभाषित करके, लोरेंत्ज़ परिवर्तन रूप धारण करता है (c=1 के साथ):
 * $$\begin{align}x'_{1} & =x_{1}\\

x'_{2} & =x_{2}\\ x'_{3} & =x_{3}\cos i\psi+x_{4}\sin i\psi\\ x'_{4} & =-x_{3}\sin i\psi+x_{4}\cos i\psi\\ \cos i\psi & =\frac{1}{\sqrt{1-q^{2}}} \end{align} $$ यद्यपि मिन्कोव्स्की ने काल्पनिक संख्या iψ का उपयोग किया था, फिर भी उसने एक बार के लिए वेग के समीकरण में सीधे स्पर्शरेखा अतिपरवलयिक का उपयोग करें
 * $$-i\tan i\psi=\frac{e^{\psi}-e^{-\psi}}{e^{\psi}+e^{-\psi}}=q$$ साथ $$\psi=\frac{1}{2}\ln\frac{1+q}{1-q}$$.

मिन्कोव्स्की की अभिव्यक्ति को ψ=atanh(q) के रूप में भी लिखा जा सकता है और बाद में इसे तेज़ी  कहा गया। उन्होंने मैट्रिक्स रूप में लोरेंत्ज़ परिवर्तन भी लिखा:
 * $$\begin{matrix}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{1}^{\prime2}+x_{2}^{\prime2}+x_{3}^{\prime2}+x_{4}^{\prime2}\\

\left(x_{1}^{\prime}=x',\ x_{2}^{\prime}=y',\ x_{3}^{\prime}=z',\ x_{4}^{\prime}=it'\right)\\ -x^{2}-y^{2}-z^{2}+t^{2}=-x^{\prime2}-y^{\prime2}-z^{\prime2}+t^{\prime2}\\ \hline x_{h}=\alpha_{h1}x_{1}^{\prime}+\alpha_{h2}x_{2}^{\prime}+\alpha_{h3}x_{3}^{\prime}+\alpha_{h4}x_{4}^{\prime}\\ \mathrm{A}=\mathrm{\left|\begin{matrix}\alpha_{11}, & \alpha_{12}, & \alpha_{13}, & \alpha_{14}\\ \alpha_{21}, & \alpha_{22}, & \alpha_{23}, & \alpha_{24}\\ \alpha_{31}, & \alpha_{32}, & \alpha_{33}, & \alpha_{34}\\ \alpha_{41}, & \alpha_{42}, & \alpha_{43}, & \alpha_{44} \end{matrix}\right|,\ \begin{align}\bar{\mathrm{A}}\mathrm{A} & =1\\ \left(\det \mathrm{A}\right)^{2} & =1\\ \det \mathrm{A} & =1\\ \alpha_{44} & >0 \end{align} } \end{matrix}$$ लोरेंत्ज़ परिवर्तन के ग्राफिकल प्रतिनिधित्व के रूप में उन्होंने मिन्कोव्स्की आरेख पेश किया, जो पाठ्यपुस्तकों और सापेक्षता पर शोध लेखों में एक मानक उपकरण बन गया:



सोमरफेल्ड (1909) - गोलाकार त्रिकोणमिति
मिन्कोव्स्की जैसी काल्पनिक तीव्रता का उपयोग करते हुए, अर्नोल्ड सोमरफेल्ड (1909) ने त्रिकोणमितीय कार्यों और कोसाइन के गोलाकार नियम के संदर्भ में लोरेंत्ज़ बूस्ट और सापेक्ष वेग जोड़ तैयार किया:
 * $$\begin{matrix}\left.\begin{array}{lrl}

x'= & x\ \cos\varphi+l\ \sin\varphi, & y'=y\\ l'= & -x\ \sin\varphi+l\ \cos\varphi, & z'=z \end{array}\right\} \\ \left(\operatorname{tg}\varphi=i\beta,\ \cos\varphi=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}},\ \sin\varphi=\frac{i\beta}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\right)\\ \hline \beta=\frac{1}{i}\operatorname{tg}\left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)=\frac{1}{i}\frac{\operatorname{tg}\varphi_{1}+\operatorname{tg}\varphi_{2}}{1-\operatorname{tg}\varphi_{1}\operatorname{tg}\varphi_{2}}=\frac{\beta_{1}+\beta_{2}}{1+\beta_{1}\beta_{2}}\\ \cos\varphi=\cos\varphi_{1}\cos\varphi_{2}-\sin\varphi_{1}\sin\varphi_{2}\cos\alpha\\ v^{2}=\frac{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+2v_{1}v_{2}\cos\alpha-\frac{1}{c^{2}}v_{1}^{2}v_{2}^{2}\sin^{2}\alpha}{\left(1+\frac{1}{c^{2}}v_{1}v_{2}\cos\alpha\right)^{2}} \end{matrix}$$

फ्रैंक (1909) - अतिपरवलयिक फलन
फ़िलिप फ़्रैंक (1909) द्वारा हाइपरबोलिक फ़ंक्शंस का उपयोग किया गया था, जिन्होंने रैपिडिटी के रूप में ψ का उपयोग करके लोरेंत्ज़ परिवर्तन प्राप्त किया था:
 * $$\begin{matrix}x'=x\varphi(a)\,{\rm ch}\,\psi+t\varphi(a)\,{\rm sh}\,\psi\\

t'=-x\varphi(a)\,{\rm sh}\,\psi+t\varphi(a)\,{\rm ch}\,\psi\\ \hline {\rm th}\,\psi=-a,\ {\rm sh}\,\psi=\frac{a}{\sqrt{1-a^{2}}},\ {\rm ch}\,\psi=\frac{1}{\sqrt{1-a^{2}}},\ \varphi(a)=1\\ \hline x'=\frac{x-at}{\sqrt{1-a^{2}}},\ y'=y,\ z'=z,\ t'=\frac{-ax+t}{\sqrt{1-a^{2}}} \end{matrix}$$

बेटमैन और कनिंघम (1909-1910) - गोलाकार तरंग परिवर्तन
एक काल्पनिक त्रिज्या समन्वय और 4D अनुरूप परिवर्तनों के साथ क्षेत्र परिवर्तनों के बीच संबंध पर सोफस झूठ (1871) के शोध के अनुरूप, हैरी बेटमैन और एबेनेज़र कनिंघम (1909-1910) द्वारा यह बताया गया था कि u=ict को काल्पनिक के रूप में सेट करके चौथा निर्देशांक स्पेसटाइम अनुरूप परिवर्तन उत्पन्न कर सकता है। केवल द्विघात रूप ही नहीं $$\lambda\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+du^{2}\right)$$, लेकिन λ की पसंद के बावजूद, मैक्सवेल के समीकरण इन परिवर्तनों के संबंध में सहसंयोजक हैं। अनुरूप या लाई क्षेत्र परिवर्तनों के इन प्रकारों को बेटमैन द्वारा गोलाकार तरंग परिवर्तन कहा जाता था। हालाँकि, यह सहप्रसरण इलेक्ट्रोडायनामिक्स जैसे कुछ क्षेत्रों तक ही सीमित है, जबकि लोरेंत्ज़ समूह के तहत जड़त्वीय फ़्रेमों में प्राकृतिक कानूनों की समग्रता सहसंयोजक है। विशेष रूप से, लोरेंत्ज़ समूह को λ=1 सेट करके SO(1,3) को 15-पैरामीटर स्पेसटाइम कंफर्मल समूह के 10-पैरामीटर उपसमूह के रूप में देखा जा सकता है Con(1,3).

बेटमैन (1910-12) गोलाकार तरंग परिवर्तन और लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के बीच पहचान की ओर भी संकेत किया गया। सामान्य तौर पर, लैगुएरे समूह और लोरेंत्ज़ समूह के बीच समरूपता को एली कार्टन (1912, 1915-55) द्वारा इंगित किया गया था। हेनरी पोंकारे (1912-21) और दूसरे।

हर्ग्लोट्ज़ (1909/10) - मोबियस परिवर्तन
केली निरपेक्ष, हाइपरबोलिक गति और उसके परिवर्तन के संबंध में फ़ेलिक्स क्लेन (1889-1897) और फ्रिक एंड क्लेन (1897) के बाद, गुस्ताव हर्ग्लोत्ज़ (1909-10) ने एक-पैरामीटर लोरेंत्ज़ परिवर्तनों को लोक्सोड्रोमिक, हाइपरबोलिक, पैराबोलिक और अण्डाकार के रूप में वर्गीकृत किया। सामान्य मामला (बाईं ओर) और लोरेंत्ज़ परिवर्तनों या निचोड़ मैपिंग के समतुल्य अतिशयोक्तिपूर्ण मामला इस प्रकार है:
 * $$\left.\begin{matrix}z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}=0\\

z_{1}=x,\ z_{2}=y,\ z_{3}=z,\ z_{4}=t\\ Z=\frac{z_{1}+iz_{2}}{z_{4}-z_{3}}=\frac{x+iy}{t-z},\ Z'=\frac{x'+iy'}{t'-z'}\\ Z=\frac{\alpha Z'+\beta}{\gamma Z'+\delta} \end{matrix}\right|\begin{matrix}Z=Z'e^{\vartheta}\\ \begin{align}x & =x', & t-z & =(t'-z')e^{\vartheta}\\ y & =y', & t+z & =(t'+z')e^{-\vartheta} \end{align} \end{matrix}$$

वारिकक (1910) - अतिपरवलयिक फलन

 * 1) सोमरफेल्ड|सोमरफेल्ड (1909) के बाद, 1910 से शुरू होने वाले कई पत्रों में व्लादिमीर वेरिकैक द्वारा हाइपरबोलिक फ़ंक्शंस का उपयोग किया गया था, जिन्होंने वीयरस्ट्रैस निर्देशांक के संदर्भ में हाइपरबोलिक ज्यामिति के आधार पर विशेष सापेक्षता के समीकरणों का प्रतिनिधित्व किया था। उदाहरण के लिए, l=ct और v/c=tanh(u) को u के साथ रैपिडिटी के रूप में सेट करके उन्होंने लोरेंत्ज़ परिवर्तन लिखा:
 * $$\begin{align}l' & =-x\operatorname{sh}u+l\operatorname{ch}u,\\

x' & =x\operatorname{ch}u-l\operatorname{sh}u,\\ y' & =y,\quad z'=z,\\ \operatorname{ch}u & =\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}} \end{align} $$ और गुडर्मनियन फ़ंक्शन और समानता के कोण में तीव्रता का संबंध दिखाया:


 * $$\frac{v}{c}=\operatorname{th}u=\operatorname{tg}\psi=\sin\operatorname{gd}(u)=\cos\Pi(u)$$

उन्होंने वेग योग को कोज्या के अतिपरवलयिक नियम से भी जोड़ा:
 * $$\begin{matrix}\operatorname{ch}{u}=\operatorname{ch}{u_{1}}\operatorname ch{u_{2}}+\operatorname{sh}{u_{1}}\operatorname{sh}{u_{2}}\cos\alpha\\

\operatorname{ch}{u_{i}}=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v_{i}}{c}\right)^{2}}},\ \operatorname{sh}{u_{i}}=\frac{v_{i}}{\sqrt{1-\left(\frac{v_{i}}{c}\right)^{2}}}\\ v=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}-\left(\frac{v_{1}v_{2}}{c}\right)^{2}}\ \left(a=\frac{\pi}{2}\right) \end{matrix}$$ इसके बाद, अन्य लेखकों जैसे ई. टी. व्हिटेकर (1910) या अल्फ्रेड रॉब (1911, जिन्होंने रेपिडिटी नाम दिया) ने समान अभिव्यक्तियों का उपयोग किया, जो अभी भी आधुनिक पाठ्यपुस्तकों में उपयोग किए जाते हैं।

प्लमर (1910) - त्रिकोणमिति लोरेंत्ज़ बूस्ट
w: हेनरी क्रोज़ियर कीटिंग प्लमर (1910) ने त्रिकोणमितीय कार्यों के संदर्भ में लोरेंत्ज़ बूस्ट को परिभाषित किया
 * $$\begin{matrix}\tau=t\sec\beta-x\tan\beta/U\\

\xi=x\sec\beta-Ut\tan\beta\\ \eta=y,\ \zeta=z,\\ \hline \sin\beta=v/U \end{matrix}$$

इग्नाटोव्स्की (1910)
जबकि लोरेंत्ज़ परिवर्तन की पहले की व्युत्पत्तियाँ और सूत्रीकरण शुरू से ही प्रकाशिकी, इलेक्ट्रोडायनामिक्स, या प्रकाश की गति की अपरिवर्तनीयता पर निर्भर थे, व्लादिमीर इग्नाटोव्स्की (1910) ने दिखाया कि सापेक्षता के सिद्धांत (और संबंधित समूह सिद्धांत सिद्धांतों) का उपयोग करना संभव है। अकेले, दो जड़त्वीय फ़्रेमों के बीच निम्नलिखित परिवर्तन प्राप्त करने के लिए:
 * $$\begin{align}dx' & =p\ dx-pq\ dt\\

dt' & =-pqn\ dx+p\ dt\\ p & =\frac{1}{\sqrt{1-q^{2}n}} \end{align} $$ चर n को एक अंतरिक्ष-समय स्थिरांक के रूप में देखा जा सकता है जिसका मान प्रयोग द्वारा निर्धारित किया जाना है या इलेक्ट्रोडायनामिक्स जैसे ज्ञात भौतिक कानून से लिया गया है। उस उद्देश्य के लिए, इग्नाटोव्स्की ने गति की दिशा में x/γ द्वारा इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्रों के संकुचन का प्रतिनिधित्व करने वाले उपर्युक्त हेविसाइड दीर्घवृत्त का उपयोग किया। यह देखा जा सकता है कि यह केवल इग्नाटोव्स्की के परिवर्तन के अनुरूप है जब n=1/c2, जिसके परिणामस्वरूप p=γ और लोरेंत्ज़ परिवर्तन हुआ। n=0 के साथ, लंबाई में कोई परिवर्तन नहीं होता है और गैलिलियन परिवर्तन निम्नानुसार होता है। इग्नाटोव्स्की की विधि को फिलिप फ्रैंक और हरमन रोथ (1911, 1912) द्वारा और अधिक विकसित और बेहतर बनाया गया। विभिन्न लेखकों ने बाद के वर्षों में इसी तरह के तरीकों का विकास किया।

नोएथर (1910), क्लेन (1910) - क्वाटरनियंस
फ़ेलिक्स क्लेन (1908) ने केली (1854) के 4डी चतुर्धातुक गुणन को ड्रेहस्ट्रेकुंगेन (घूर्णन के संदर्भ में ऑर्थोगोनल प्रतिस्थापन, एक कारक तक एक द्विघात रूप छोड़कर) के रूप में वर्णित किया, और बताया कि मिन्कोव्स्की द्वारा प्रदान किया गया सापेक्षता का आधुनिक सिद्धांत अनिवार्य रूप से केवल है ऐसे ड्रेहस्ट्रेकुंगेन के परिणामी अनुप्रयोग, भले ही उन्होंने विवरण प्रदान नहीं किया। क्लेन और सोमरफेल्ड की थ्योरी ऑफ़ द टॉप (1910) के परिशिष्ट में, फ़्रिट्ज़ नोएदर ने दिखाया कि कैसे द्विभाजित का उपयोग करके हाइपरबोलिक घुमाव तैयार किया जाए $$\omega=\sqrt{-1}$$, जिसे उन्होंने ω सेट करके प्रकाश की गति से भी जोड़ा2=-सी2. उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के समूह के तर्कसंगत प्रतिनिधित्व के लिए यह प्रमुख घटक है:
 * $$\begin{matrix}V=\frac{Q_{1}vQ_{2}}{T_{1}T_{2}}\\

\hline X^{2}+Y^{2}+Z^{2}+\omega^{2}S^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\omega^{2}s^{2}\\ \hline \begin{align}V & =Xi+Yj+Zk+\omega S\\ v & =xi+yj+zk+\omega s\\ Q_{1} & =(+Ai+Bj+Ck+D)+\omega(A'i+B'j+C'k+D')\\ Q_{2} & =(-Ai-Bj-Ck+D)+\omega(A'i+B'j+C'k-D')\\ T_{1}T_{2} & =T_{1}^{2}=T_{2}^{2}=A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}+\omega^{2}\left(A^{\prime2}+B^{\prime2}+C^{\prime2}+D^{\prime2}\right) \end{align} \end{matrix}$$ आर्थर केली (1854) द्वारा क्वाटरनियन संबंधी मानक कार्यों का हवाला देने के अलावा, नोएदर ने एडवर्ड अध्ययन  (1899) द्वारा क्लेन के विश्वकोश में प्रविष्टियों और एली कार्टन (1908) द्वारा फ्रांसीसी संस्करण का उल्लेख किया। कार्टन के संस्करण में अध्ययन की दोहरी संख्याओं, क्लिफोर्ड के द्विभाजन (विकल्प सहित) का विवरण शामिल है $$\omega=\sqrt{-1}$$ हाइपरबोलिक ज्यामिति के लिए), और क्लिफ़ोर्ड बीजगणित, स्टेफ़नोस (1883), बुचहेम (1884-85), वाहलेन (1901-02) और अन्य के संदर्भ में।

नोएथर का हवाला देते हुए, क्लेन ने स्वयं अगस्त 1910 में लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के समूह का निर्माण करने वाले निम्नलिखित चतुर्धातुक प्रतिस्थापन प्रकाशित किए:
 * $$\begin{matrix}\begin{align} & \left(i_{1}x'+i_{2}y'+i_{3}z'+ict'\right)\\

& \quad-\left(i_{1}x_{0}+i_{2}y_{0}+i_{3}z_{0}+ict_{0}\right) \end{align} =\frac{\left[\begin{align} & \left(i_{1}(A+iA')+i_{2}(B+iB')+i_{3}(C+iC')+i_{4}(D+iD')\right)\\ & \quad\cdot\left(i_{1}x+i_{2}y+i_{3}z+ict\right)\\ & \quad\quad\cdot\left(i_{1}(A-iA')+i_{2}(B-iB')+i_{3}(C-iC')-(D-iD')\right) \end{align} \right]}{\left(A^{\prime2}+B^{\prime2}+C^{\prime2}+D^{\prime2}\right)-\left(A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}\right)}\\ \hline \text{where}\\ AA'+BB'+CC'+DD'=0\\ A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}>A^{\prime2}+B^{\prime2}+C^{\prime2}+D^{\prime2} \end{matrix}$$ या मार्च 1911 में
 * $$\begin{matrix}g'=\frac{pg\pi}{M}\\

\hline \begin{align}g & =\sqrt{-1}ct+ix+jy+kz\\ g' & =\sqrt{-1}ct'+ix'+jy'+kz'\\ p & =(D+\sqrt{-1}D')+i(A+\sqrt{-1}A')+j(B+\sqrt{-1}B')+k(C+\sqrt{-1}C')\\ \pi & =(D-\sqrt{-1}D')-i(A-\sqrt{-1}A')-j(B-\sqrt{-1}B')-k(C-\sqrt{-1}C')\\ M & =\left(A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}\right)-\left(A^{\prime2}+B^{\prime2}+C^{\prime2}+D^{\prime2}\right)\\ & AA'+BB'+CC'+DD'=0\\ & A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}>A^{\prime2}+B^{\prime2}+C^{\prime2}+D^{\prime2} \end{align} \end{matrix}$$

कॉनवे (1911), सिल्बरस्टीन (1911) - क्वाटरनियंस
फरवरी 1911 में आर्थर डब्ल्यू. कॉनवे ने वेग λ के संदर्भ में विभिन्न विद्युत चुम्बकीय मात्राओं के चतुर्धातुक लोरेंत्ज़ परिवर्तनों को स्पष्ट रूप से तैयार किया:
 * $$\begin{matrix}\begin{align}\mathtt{D} & =\mathbf{a}^{-1}\mathtt{D}'\mathbf{a}^{-1}\\

\mathtt{\sigma} & =\mathbf{a}\mathtt{\sigma}'\mathbf{a}^{-1} \end{align} \\ e=\mathbf{a}^{-1}e'\mathbf{a}^{-1}\\ \hline a=\left(1-hc^{-1}\lambda\right)^{\frac{1}{2}}\left(1+c^{-2}\lambda^{2}\right)^{-\frac{1}{4}} \end{matrix}$$ तो नवंबर 1911 में लुडविग सिलबरस्टीन साथ ही 1914 में, वेग v के संदर्भ में लोरेंत्ज़ परिवर्तन तैयार किया:


 * $$\begin{matrix}q'=QqQ\\

\hline \begin{align}q & =\mathbf{r}+l=xi+yj+zk+\iota ct\\ q & '=\mathbf{r}'+l'=x'i+y'j+z'k+\iota ct'\\ Q & =\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{1+\gamma}+\mathrm{u}\sqrt{1-\gamma}\right)\\ & =\cos\alpha+\mathrm{u}\sin\alpha=e^{\alpha\mathrm{u}}\\ & \left\{ \gamma=\left(1-v^{2}/c^{2}\right)^{-1/2},\ 2\alpha=\operatorname{arctg}\ \left(\iota\frac{v}{c}\right)\right\} \end{align} \end{matrix}$$ सिल्बरस्टीन ने केली (1854, 1855) और स्टडी की विश्वकोश प्रविष्टि (1908 में कार्टन के विस्तारित फ्रांसीसी संस्करण में) के साथ-साथ क्लेन और सोमरफेल्ड की पुस्तक के परिशिष्ट का हवाला दिया।

इग्नाटोव्स्की (1910/11), हर्ग्लोट्ज़ (1911), और अन्य - वेक्टर परिवर्तन
व्लादिमीर इग्नाटोव्स्की (1910, 1911 में प्रकाशित) ने दिखाया कि मनमाने वेग और निर्देशांक की अनुमति देने के लिए लोरेंत्ज़ परिवर्तन को कैसे सुधारा जाए:
 * $$\begin{matrix}\begin{matrix}\mathfrak{v} =\frac{\mathfrak{v}'+(p-1)\mathfrak{c}_{0}\cdot\mathfrak{c}_{0}\mathfrak{v}'+pq\mathfrak{c}_{0}}{p\left(1+nq\mathfrak{c}_{0}\mathfrak{v}'\right)} & \left|\begin{align}\mathfrak{A}' & =\mathfrak{A}+(p-1)\mathfrak{c}_{0}\cdot\mathfrak{c}_{0}\mathfrak{A}-pqb\mathfrak{c}_{0}\\

b' & =pb-pqn\mathfrak{A}\mathfrak{c}_{0}\\ \\ \mathfrak{A} & =\mathfrak{A}'+(p-1)\mathfrak{c}_{0}\cdot\mathfrak{c}_{0}\mathfrak{A}'+pqb'\mathfrak{c}_{0}\\ b & =pb'+pqn\mathfrak{A}'\mathfrak{c}_{0} \end{align} \right.\end{matrix}\\ \left[\mathfrak{v}=\mathbf{u},\ \mathfrak{A}=\mathbf{x},\ b=t,\ \mathfrak{c}_{0}=\frac{\mathbf{v}}{v},\ p=\gamma,\ n=\frac{1}{c^{2}}\right] \end{matrix}$$ गुस्ताव हर्ग्लोत्ज़ (1911) यह भी दिखाया कि मनमाना वेग और निर्देशांक v=''(v) की अनुमति देने के लिए परिवर्तन कैसे तैयार किया जाएx, मेंy, मेंz) और 'r'=(x, y, z):


 * $$\begin{matrix}\text{original} & \text{modern}\\

\hline \left.\begin{align}x^{0} & =x+\alpha u(ux+vy+wz)-\beta ut\\ y^{0} & =y+\alpha v(ux+vy+wz)-\beta vt\\ z^{0} & =z+\alpha w(ux+vy+wz)-\beta wt\\ t^{0} & =-\beta(ux+vy+wz)+\beta t\\ & \alpha=\frac{1}{\sqrt{1-s^{2}}\left(1+\sqrt{1-s^{2}}\right)},\ \beta=\frac{1}{\sqrt{1-s^{2}}} \end{align} \right| & \begin{align}x' & =x+\alpha v_{x}\left(v_{x}x+v_{y}y+v_{z}z\right)-\gamma v_{x}t\\ y' & =y+\alpha v_{y}\left(v_{x}x+v_{y}y+v_{z}z\right)-\gamma v_{y}t\\ z' & =z+\alpha v_{z}\left(v_{x}x+v_{y}y+v_{z}z\right)-\gamma v_{z}t\\ t' & =-\gamma\left(v_{x}x+v_{y}y+v_{z}z\right)+\gamma t\\ & \alpha=\frac{\gamma^{2}}{\gamma+1},\ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^{2}}} \end{align} \end{matrix}$$ लुडविक सिल्बरस्टीन (बाईं ओर 1911, दाईं ओर 1914) द्वारा वेक्टर नोटेशन का उपयोग करके इसे सरल बनाया गया था:
 * $$\begin{array}{c|c}

\begin{align}\mathbf{r}' & =\mathbf{r}+(\gamma-1)(\mathbf{ru})\mathbf{u}+i\beta\gamma lu\\ l' & =\gamma\left[l-i\beta(\mathbf{ru})\right] \end{align} & \begin{align}\mathbf{r}' & =\mathbf{r}+\left[\frac{\gamma-1}{v^{2}}(\mathbf{vr})-\gamma t\right]\mathbf{v}\\ t' & =\gamma\left[t-\frac{1}{c^{2}}(\mathbf{vr})\right] \end{align} \end{array}$$ समतुल्य सूत्र वोल्फगैंग पाउली (1921) द्वारा भी दिए गए थे, इरविन मैडेलुंग (1922) ने मैट्रिक्स फॉर्म प्रदान किया
 * $$\begin{array}{c|c|c|c|c}

& x & y & z & t\\ \hline x' & 1-\frac{v_{x}^{2}}{v^{2}}\left(1-\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\right) & -\frac{v_{x}v_{y}}{v^{2}}\left(1-\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\right) & -\frac{v_{x}v_{z}}{v^{2}}\left(1-\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\right) & \frac{-v_{x}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\\ y' & -\frac{v_{x}v_{y}}{v^{2}}\left(1-\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\right) & 1-\frac{v_{y}^{2}}{v^{2}}\left(1-\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\right) & -\frac{v_{y}v_{z}}{v^{2}}\left(1-\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\right) & \frac{-v_{y}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\\ z' & -\frac{v_{x}v_{z}}{v^{2}}\left(1-\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\right) & -\frac{v_{y}v_{z}}{v^{2}}\left(1-\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\right) & 1-\frac{v_{z}^{2}}{v^{2}}\left(1-\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\right) & \frac{-v_{z}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\\ t' & \frac{-v_{x}}{c^{2}\sqrt{1-\beta^{2}}} & \frac{-v_{y}}{c^{2}\sqrt{1-\beta^{2}}} & \frac{-v_{z}}{c^{2}\sqrt{1-\beta^{2}}} & \frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}} \end{array}$$ इन सूत्रों को क्रिश्चियन मोलर (1952) द्वारा रोटेशन के बिना सामान्य लोरेंत्ज़ परिवर्तन कहा गया था, इसके अलावा, उन्होंने त्रि-आयामी रोटेशन ऑपरेटर का उपयोग करके और भी अधिक सामान्य लोरेंत्ज़ परिवर्तन दिया जिसमें कार्टेशियन अक्षों की अलग-अलग अभिविन्यास हैं $$\mathfrak{D}$$. इस मामले में, v′=''(v′x, में'y, में'z) -'v'=(-v के बराबर नहीं हैx, -मेंy, -मेंz), लेकिन संबंध $$\mathbf{v}'=-\mathfrak{D}\mathbf{v}$$ इसके बजाय परिणाम के साथ रखता है


 * $$\begin{array}{c}

\begin{align}\mathbf{x}' & =\mathfrak{D}^{-1}\mathbf{x}-\mathbf{v}'\left\{ \left(\gamma-1\right)(\mathbf{x\cdot v})/v^{2}-\gamma t\right\} \\ t' & =\gamma\left(t-(\mathbf{v}\cdot\mathbf{x})/c^{2}\right) \end{align} \end{array}$$

बोरेल (1913-14) - केली-हर्माइट पैरामीटर
एमिल बोरेल (1913) ने तीन आयामों में यूलर-रोड्रिग्स पैरामीटर और चार आयामों में केली (1846) पैरामीटर का उपयोग करके यूक्लिडियन गतियों का प्रदर्शन शुरू किया। फिर उन्होंने अतिशयोक्तिपूर्ण गतियों और लोरेंत्ज़ परिवर्तनों को व्यक्त करने वाले अनिश्चित द्विघात रूपों के संबंध का प्रदर्शन किया। तीन आयामों में:
 * $$\begin{matrix}x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0\\

\hline {\scriptstyle \begin{align}\delta a & =\lambda^{2}+\mu^{2}+\nu^{2}-\rho^{2}, & \delta b & =2(\lambda\mu+\nu\rho), & \delta c & =-2(\lambda\nu+\mu\rho),\\ \delta a' & =2(\lambda\mu-\nu\rho), & \delta b' & =-\lambda^{2}+\mu^{2}+\nu^{2}-\rho^{2}, & \delta c' & =2(\lambda\rho-\mu\nu),\\ \delta a & =2(\lambda\nu-\mu\rho), & \delta b & =2(\lambda\rho+\mu\nu), & \delta c'' & =-\left(\lambda^{2}+\mu^{2}+\nu^{2}+\rho^{2}\right), \end{align} }\\ \left(\delta=\lambda^{2}+\mu^{2}-\rho^{2}-\nu^{2}\right)\\ \lambda=\nu=0\rightarrow\text{Hyperbolic rotation} \end{matrix}$$ चार आयामों में:
 * $$\begin{matrix}F=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}+\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}-\left(t_{1}-t_{2}\right)^{2}\\

\hline {\scriptstyle \begin{align} & \left(\mu^{2}+\nu^{2}-\alpha^{2}\right)\cos\varphi+\left(\lambda^{2}-\beta^{2}-\gamma^{2}\right)\operatorname{ch}{\theta} & & -(\alpha\beta+\lambda\mu)(\cos\varphi-\operatorname{ch}{\theta})-\nu\sin\varphi-\gamma\operatorname{sh}{\theta}\\ & -(\alpha\beta+\lambda\mu)(\cos\varphi-\operatorname{ch}{\theta})-\nu\sin\varphi+\gamma\operatorname{sh}{\theta} & & \left(\mu^{2}+\nu^{2}-\beta^{2}\right)\cos\varphi+\left(\mu^{2}-\alpha^{2}-\gamma^{2}\right)\operatorname{ch}{\theta}\\ & -(\alpha\gamma+\lambda\nu)(\cos\varphi-\operatorname{ch}{\theta})+\mu\sin\varphi-\beta\operatorname{sh}{\theta} & & -(\beta\mu+\mu\nu)(\cos\varphi-\operatorname{ch}{\theta})+\lambda\sin\varphi+\alpha\operatorname{sh}{\theta}\\ & (\gamma\mu-\beta\nu)(\cos\varphi-\operatorname{ch}{\theta})+\alpha\sin\varphi-\lambda\operatorname{sh}{\theta} & & -(\alpha\nu-\lambda\gamma)(\cos\varphi-\operatorname{ch}{\theta})+\beta\sin\varphi-\mu\operatorname{sh}{\theta}\\ \\ & \quad-(\alpha\gamma+\lambda\nu)(\cos\varphi-\operatorname{ch}{\theta})+\mu\sin\varphi+\beta\operatorname{sh}{\theta} & & \quad(\beta\nu-\mu\nu)(\cos\varphi-\operatorname{ch}{\theta})+\alpha\sin\varphi-\lambda\operatorname{sh}{\theta}\\ & \quad-(\beta\mu+\mu\nu)(\cos\varphi-\operatorname{ch}{\theta})-\lambda\sin\varphi-\alpha\operatorname{sh}{\theta} & & \quad(\lambda\gamma-\alpha\nu)(\cos\varphi-\operatorname{ch}{\theta})+\beta\sin\varphi-\mu\operatorname{sh}{\theta}\\ & \quad\left(\lambda^{2}+\mu^{2}-\gamma^{2}\right)\cos\varphi+\left(\nu^{2}-\alpha^{2}-\beta^{2}\right)\operatorname{ch}{\theta} & & \quad(\alpha\mu-\beta\lambda)(\cos\varphi-\operatorname{ch}{\theta})+\gamma\sin\varphi-\nu\operatorname{sh}{\theta}\\ & \quad(\beta\gamma-\alpha\mu)(\cos\varphi-\operatorname{ch}{\theta})+\gamma\sin\varphi-\nu\operatorname{sh}{\theta} & & \quad-\left(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}\right)\cos\varphi+\left(\lambda^{2}+\mu^{2}+\nu^{2}\right)\operatorname{ch}{\theta} \end{align} }\\ \left(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}-\lambda^{2}-\mu^{2}-\nu^{2}=-1\right) \end{matrix}$$

ग्रूनर (1921) - त्रिकोणमिति लोरेंत्ज़ बूस्ट
मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष के चित्रमय प्रतिनिधित्व को सरल बनाने के लिए, पॉल ग्रूनर (1921) (जोसेफ साउटर की सहायता से) ने निम्नलिखित संबंधों का उपयोग करते हुए, जिसे अब लोएडेल आरेख कहा जाता है, विकसित किया:
 * $$\begin{matrix}v=\alpha\cdot c;\quad\beta=\frac{1}{\sqrt{1-\alpha^{2}}}\\

\sin\varphi=\alpha;\quad\beta=\frac{1}{\cos\varphi};\quad\alpha\beta=\tan\varphi\\ \hline x'=\frac{x}{\cos\varphi}-t\cdot\tan\varphi,\quad t'=\frac{t}{\cos\varphi}-x\cdot\tan\varphi \end{matrix}$$ एक अन्य पेपर में ग्रूनर ने वैकल्पिक संबंधों का उपयोग किया:
 * $$\begin{matrix}\alpha=\frac{v}{c};\ \beta=\frac{1}{\sqrt{1-\alpha^{2}}};\\

\cos\theta=\alpha=\frac{v}{c};\ \sin\theta=\frac{1}{\beta};\ \cot\theta=\alpha\cdot\beta\\ \hline x'=\frac{x}{\sin\theta}-t\cdot\cot\theta,\quad t'=\frac{t}{\sin\theta}-x\cdot\cot\theta \end{matrix}$$

यह भी देखें

 * विशेष सापेक्षता का इतिहास

ऐतिहासिक सापेक्षता स्रोत

 * . मिन्कोव्स्की और वोइग्ट के बयानों के लिए पी देखें। 762.
 * . यह भी देखें: अंग्रेजी अनुवाद।
 * डेविड डेल्फेनिच द्वारा अंग्रेजी अनुवाद: विकृत निकायों के यांत्रिकी पर सापेक्षता सिद्धांत का दृष्टिकोण।
 * (लार्मोर द्वारा नई टिप्पणियों के साथ लार्मोर (1897) का पुनर्मुद्रण।)
 * . अंग्रेजी अनुवाद भी देखें।
 * 1912 में पोंकारे द्वारा लिखित, 1914 में एक्टा मैथमेटिका में छपा, हालांकि देर से 1921 में प्रकाशित हुआ।
 * . मिन्कोव्स्की और वोइग्ट के बयानों के लिए पी देखें। 762.
 * . यह भी देखें: अंग्रेजी अनुवाद।
 * डेविड डेल्फेनिच द्वारा अंग्रेजी अनुवाद: विकृत निकायों के यांत्रिकी पर सापेक्षता सिद्धांत का दृष्टिकोण।
 * (लार्मोर द्वारा नई टिप्पणियों के साथ लार्मोर (1897) का पुनर्मुद्रण।)
 * . अंग्रेजी अनुवाद भी देखें।
 * 1912 में पोंकारे द्वारा लिखित, 1914 में एक्टा मैथमेटिका में छपा, हालांकि देर से 1921 में प्रकाशित हुआ।
 * . यह भी देखें: अंग्रेजी अनुवाद।
 * डेविड डेल्फेनिच द्वारा अंग्रेजी अनुवाद: विकृत निकायों के यांत्रिकी पर सापेक्षता सिद्धांत का दृष्टिकोण।
 * (लार्मोर द्वारा नई टिप्पणियों के साथ लार्मोर (1897) का पुनर्मुद्रण।)
 * . अंग्रेजी अनुवाद भी देखें।
 * 1912 में पोंकारे द्वारा लिखित, 1914 में एक्टा मैथमेटिका में छपा, हालांकि देर से 1921 में प्रकाशित हुआ।
 * डेविड डेल्फेनिच द्वारा अंग्रेजी अनुवाद: विकृत निकायों के यांत्रिकी पर सापेक्षता सिद्धांत का दृष्टिकोण।
 * (लार्मोर द्वारा नई टिप्पणियों के साथ लार्मोर (1897) का पुनर्मुद्रण।)
 * . अंग्रेजी अनुवाद भी देखें।
 * 1912 में पोंकारे द्वारा लिखित, 1914 में एक्टा मैथमेटिका में छपा, हालांकि देर से 1921 में प्रकाशित हुआ।
 * डेविड डेल्फेनिच द्वारा अंग्रेजी अनुवाद: विकृत निकायों के यांत्रिकी पर सापेक्षता सिद्धांत का दृष्टिकोण।
 * (लार्मोर द्वारा नई टिप्पणियों के साथ लार्मोर (1897) का पुनर्मुद्रण।)
 * . अंग्रेजी अनुवाद भी देखें।
 * 1912 में पोंकारे द्वारा लिखित, 1914 में एक्टा मैथमेटिका में छपा, हालांकि देर से 1921 में प्रकाशित हुआ।
 * (लार्मोर द्वारा नई टिप्पणियों के साथ लार्मोर (1897) का पुनर्मुद्रण।)
 * . अंग्रेजी अनुवाद भी देखें।
 * 1912 में पोंकारे द्वारा लिखित, 1914 में एक्टा मैथमेटिका में छपा, हालांकि देर से 1921 में प्रकाशित हुआ।
 * (लार्मोर द्वारा नई टिप्पणियों के साथ लार्मोर (1897) का पुनर्मुद्रण।)
 * . अंग्रेजी अनुवाद भी देखें।
 * 1912 में पोंकारे द्वारा लिखित, 1914 में एक्टा मैथमेटिका में छपा, हालांकि देर से 1921 में प्रकाशित हुआ।
 * . अंग्रेजी अनुवाद भी देखें।
 * 1912 में पोंकारे द्वारा लिखित, 1914 में एक्टा मैथमेटिका में छपा, हालांकि देर से 1921 में प्रकाशित हुआ।
 * . अंग्रेजी अनुवाद भी देखें।
 * 1912 में पोंकारे द्वारा लिखित, 1914 में एक्टा मैथमेटिका में छपा, हालांकि देर से 1921 में प्रकाशित हुआ।
 * . अंग्रेजी अनुवाद भी देखें।
 * 1912 में पोंकारे द्वारा लिखित, 1914 में एक्टा मैथमेटिका में छपा, हालांकि देर से 1921 में प्रकाशित हुआ।
 * . अंग्रेजी अनुवाद भी देखें।
 * 1912 में पोंकारे द्वारा लिखित, 1914 में एक्टा मैथमेटिका में छपा, हालांकि देर से 1921 में प्रकाशित हुआ।
 * . अंग्रेजी अनुवाद भी देखें।
 * 1912 में पोंकारे द्वारा लिखित, 1914 में एक्टा मैथमेटिका में छपा, हालांकि देर से 1921 में प्रकाशित हुआ।
 * . अंग्रेजी अनुवाद भी देखें।
 * 1912 में पोंकारे द्वारा लिखित, 1914 में एक्टा मैथमेटिका में छपा, हालांकि देर से 1921 में प्रकाशित हुआ।
 * . अंग्रेजी अनुवाद भी देखें।
 * 1912 में पोंकारे द्वारा लिखित, 1914 में एक्टा मैथमेटिका में छपा, हालांकि देर से 1921 में प्रकाशित हुआ।
 * . अंग्रेजी अनुवाद भी देखें।
 * 1912 में पोंकारे द्वारा लिखित, 1914 में एक्टा मैथमेटिका में छपा, हालांकि देर से 1921 में प्रकाशित हुआ।
 * 1912 में पोंकारे द्वारा लिखित, 1914 में एक्टा मैथमेटिका में छपा, हालांकि देर से 1921 में प्रकाशित हुआ।
 * 1912 में पोंकारे द्वारा लिखित, 1914 में एक्टा मैथमेटिका में छपा, हालांकि देर से 1921 में प्रकाशित हुआ।
 * 1912 में पोंकारे द्वारा लिखित, 1914 में एक्टा मैथमेटिका में छपा, हालांकि देर से 1921 में प्रकाशित हुआ।

द्वितीयक स्रोत
अंग्रेजी में:
 * माइकलसन, फिट्ज़गेराल्ड और लोरेंत्ज़ को भी देखें: सापेक्षता की उत्पत्ति पर दोबारा गौर किया गया, ऑनलाइन।
 * (केवल पृष्ठ 1-21 1915 में प्रकाशित हुए थे, लेगुएरे और लोरेंत्ज़ के समूहों से संबंधित पृष्ठ 39-43 सहित पूरा लेख मरणोपरांत 1955 में कार्टन के एकत्रित पत्रों में प्रकाशित किया गया था, और 1991 में एनसाइक्लोपीडी में पुनर्मुद्रित किया गया था।)
 * पहला संस्करण 1911, दूसरा विस्तारित संस्करण 1913, तीसरा विस्तारित संस्करण 1919।
 * माइकलसन, फिट्ज़गेराल्ड और लोरेंत्ज़ को भी देखें: सापेक्षता की उत्पत्ति पर दोबारा गौर किया गया, ऑनलाइन।
 * (केवल पृष्ठ 1-21 1915 में प्रकाशित हुए थे, लेगुएरे और लोरेंत्ज़ के समूहों से संबंधित पृष्ठ 39-43 सहित पूरा लेख मरणोपरांत 1955 में कार्टन के एकत्रित पत्रों में प्रकाशित किया गया था, और 1991 में एनसाइक्लोपीडी में पुनर्मुद्रित किया गया था।)
 * पहला संस्करण 1911, दूसरा विस्तारित संस्करण 1913, तीसरा विस्तारित संस्करण 1919।
 * माइकलसन, फिट्ज़गेराल्ड और लोरेंत्ज़ को भी देखें: सापेक्षता की उत्पत्ति पर दोबारा गौर किया गया, ऑनलाइन।
 * (केवल पृष्ठ 1-21 1915 में प्रकाशित हुए थे, लेगुएरे और लोरेंत्ज़ के समूहों से संबंधित पृष्ठ 39-43 सहित पूरा लेख मरणोपरांत 1955 में कार्टन के एकत्रित पत्रों में प्रकाशित किया गया था, और 1991 में एनसाइक्लोपीडी में पुनर्मुद्रित किया गया था।)
 * पहला संस्करण 1911, दूसरा विस्तारित संस्करण 1913, तीसरा विस्तारित संस्करण 1919।
 * (केवल पृष्ठ 1-21 1915 में प्रकाशित हुए थे, लेगुएरे और लोरेंत्ज़ के समूहों से संबंधित पृष्ठ 39-43 सहित पूरा लेख मरणोपरांत 1955 में कार्टन के एकत्रित पत्रों में प्रकाशित किया गया था, और 1991 में एनसाइक्लोपीडी में पुनर्मुद्रित किया गया था।)
 * पहला संस्करण 1911, दूसरा विस्तारित संस्करण 1913, तीसरा विस्तारित संस्करण 1919।
 * पहला संस्करण 1911, दूसरा विस्तारित संस्करण 1913, तीसरा विस्तारित संस्करण 1919।
 * पहला संस्करण 1911, दूसरा विस्तारित संस्करण 1913, तीसरा विस्तारित संस्करण 1919।
 * पहला संस्करण 1911, दूसरा विस्तारित संस्करण 1913, तीसरा विस्तारित संस्करण 1919।
 * पहला संस्करण 1911, दूसरा विस्तारित संस्करण 1913, तीसरा विस्तारित संस्करण 1919।
 * पहला संस्करण 1911, दूसरा विस्तारित संस्करण 1913, तीसरा विस्तारित संस्करण 1919।
 * पहला संस्करण 1911, दूसरा विस्तारित संस्करण 1913, तीसरा विस्तारित संस्करण 1919।
 * पहला संस्करण 1911, दूसरा विस्तारित संस्करण 1913, तीसरा विस्तारित संस्करण 1919।
 * पहला संस्करण 1911, दूसरा विस्तारित संस्करण 1913, तीसरा विस्तारित संस्करण 1919।
 * पहला संस्करण 1911, दूसरा विस्तारित संस्करण 1913, तीसरा विस्तारित संस्करण 1919।
 * पहला संस्करण 1911, दूसरा विस्तारित संस्करण 1913, तीसरा विस्तारित संस्करण 1919।
 * पहला संस्करण 1911, दूसरा विस्तारित संस्करण 1913, तीसरा विस्तारित संस्करण 1919।
 * पहला संस्करण 1911, दूसरा विस्तारित संस्करण 1913, तीसरा विस्तारित संस्करण 1919।
 * पहला संस्करण 1911, दूसरा विस्तारित संस्करण 1913, तीसरा विस्तारित संस्करण 1919।
 * पहला संस्करण 1911, दूसरा विस्तारित संस्करण 1913, तीसरा विस्तारित संस्करण 1919।

बाहरी संबंध

 * Mathpages: 1.4 The Relativity of Light