लिउविल संख्या

संख्या सिद्धांत में, लिउविल संख्या एक वास्तविक संख्या है $$x$$ संपत्ति के साथ कि, प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक के लिए $$n$$, पूर्णांकों की एक जोड़ी मौजूद है $$(p,q)$$ साथ $$q>1$$ ऐसा है कि $$0 < \left|x-\frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^{n}} .$$ लिउविल संख्याएं लगभग परिमेय संख्या हैं, और इस प्रकार परिमेय संख्याओं के अनुक्रमों द्वारा काफी निकटता से अनुमान लगाया जा सकता है। वे सटीक रूप से वे पारलौकिक संख्याएँ हैं जिन्हें परिमेय संख्याओं द्वारा किसी भी बीजगणितीय संख्या अपरिमेय संख्या की तुलना में अधिक बारीकी से अनुमानित किया जा सकता है। 1844 में, जोसेफ लिउविल ने दिखाया कि सभी लिउविल नंबर ट्रान्सेंडैंटल हैं, इस प्रकार पहली बार पारलौकिक संख्याओं के अस्तित्व की स्थापना। यह ज्ञात है कि पाई |$\pi$ और ई (संख्या) |$e$ लिउविल नंबर नहीं हैं।

लिउविल संख्याओं का अस्तित्व (लिउविल का स्थिरांक)
लिउविल नंबरों को एक स्पष्ट निर्माण द्वारा अस्तित्व में दिखाया जा सकता है।

किसी पूर्णांक के लिए $$b\ge 2$$ और पूर्णांकों का कोई क्रम $$(a_1,a_2,\dots)$$ ऐसा है कि $$a_k\in\{0,1,2,\dots,b-1\}$$ सभी के लिए $$k$$ और $$a_k\ne 0$$ असीम रूप से बहुतों के लिए $$k$$, संख्या परिभाषित करें $$x = \sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{b^{k!}}.$$ विशेष मामले में जब $$b=10$$, और $$a_k=1$$ सभी के लिए $$k$$, परिणामी संख्या $$x$$ लिउविल का स्थिरांक कहा जाता है:


 * L = 0.110001000000000000000001000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000...

यह की परिभाषा से आता है $$x$$ कि इसका संख्या आधार-$$b$$ प्रतिनिधित्व है


 * $$x = \left(0.a_{1}a_{2}000a_{3}00000000000000000a_{4}0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000a_{5}\ldots\right)_b\;$$

जहां $$n$$वें पद में है $$(n!)$$वें स्थान।

चूंकि यह आधार-$$b$$ प्रतिनिधित्व गैर-दोहराव है यह इस प्रकार है $$x$$ परिमेय संख्या नहीं है। इसलिए, किसी भी परिमेय संख्या के लिए $$p/q$$, अपने पास $$|x-p/q|>0$$.

अब, किसी पूर्णांक के लिए $$n\ge 1$$, परिभाषित करना $$q_n$$ और $$p_n$$ निम्नलिखित नुसार: $$q_n = b^{n!}\,; \quad p_n = q_n \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b^{k!}} = \sum_{k=1}^n {a_k}{b^{n!-k!}} \; .$$ तब $$\begin{align} 0 < \left|x - \frac{p_n}{q_n}\right| & = \left|x - \frac{q_n\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b^{k!}}}{q_n}\right| = \left|x - \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b^{k!}}\right| = \left|\sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{b^{k!}} - \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b^{k!}}\right| = \left|\left(\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b^{k!}} + \sum_{k=n+1}^\infty \frac{a_k}{b^{k!}}\right) - \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b^{k!}}\right| = \sum_{k=n+1}^\infty \frac{a_k}{b^{k!}} \\[6pt] & \le \sum_{k=n+1}^\infty \frac{b-1}{b^{k!}} < \sum_{k=(n+1)!}^\infty \frac{b-1}{b^k} = \frac{b-1}{b^{(n+1)!}} + \frac{b-1}{b^{(n+1)!+1}} + \frac{b-1}{b^{(n+1)!+2}} + ... = \frac{b-1}{b^{(n+1)!}b^{0}} + \frac{b-1}{b^{(n+1)!}b^{1}} + \frac{b-1}{b^{(n+1)!}b^{2}} + ... = \frac{b-1}{b^{(n+1)!}} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{b^k} \\[6pt] & = \frac{b-1}{b^{(n+1)!}}\cdot\frac{b}{b-1} = \frac{b}{b^{(n+1)!}} \le \frac{b^{n!}}{b^{(n+1)!}} = \frac{1}{b^{(n+1)! - n!}} = \frac{1}{b^{(n+1)n! - n!}} = \frac{1}{b^{n(n!) + n! - n!}} = \frac{1}{b^{(n!)n}} = \frac{1}{{q_n}^n} \end{align}$$ इसलिए, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि ऐसा कोई भी $$x$$ एक लिउविल संख्या है।

सबूत पर नोट्स
\sum_{k=n+1}^\infty \frac{b-1}{b^{k!}} < \sum_{k=(n+1)!}^\infty \frac{b-1}{b^k} \end{align}$$ श्रृंखला (गणित) को समाप्त करने के लिए इसे एक श्रृंखला में कम करने के लिए हमारी प्रेरणा से अनुसरण करता है जिसके लिए हम एक सूत्र जानते हैं। अब तक के प्रमाण में 1. में असमानता का परिचय देने का उद्देश्य अंतर्ज्ञान से आता है कि $$\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{b^{k}} = \frac{b}{b-1}$$ (ज्यामितीय श्रृंखला सूत्र); इसलिए, अगर हम से एक असमानता पा सकते हैं $$\sum_{k=n+1}^\infty \frac{a_k}{b^{k!}}$$ जो अंश में (b−1) के साथ एक श्रृंखला का परिचय देता है, और यदि हम भाजक शब्द को और कम करने के लिए काम कर सकते हैं $$b^{k!}$$को $$b^{k}$$, साथ ही श्रृंखला सूचकांकों को 0 से $$\infty$$, तब हम श्रृंखला और (b−1) दोनों पदों को हटाने में सक्षम होंगे, जिससे हम रूप के एक अंश के करीब पहुंचेंगे $$\frac{1}{b^{\text{exponent}\times n}}$$, जो प्रमाण का अंतिम लक्ष्य है। हम इस प्रेरणा को यहाँ अब योग से चुनकर आगे बढ़ा रहे हैं $$\sum_{k=n+1}^\infty \frac{b-1}{b^{k!}}$$ एक आंशिक योग। ध्यान दें कि, किसी भी पद के लिए $$\sum_{k=n+1}^\infty \frac{b-1}{b^{k!}}$$, चूँकि b ≥ 2, तब $$\frac{b-1}{b^{k!}} < \frac{b-1}{b^{k}}$$, सभी k के लिए (जब n = 1 को छोड़कर)। इसलिए, $$\begin{align} \sum_{k=n+1}^\infty \frac{b-1}{b^{k!}} < \sum_{k=n+1}^\infty \frac{b-1}{b^k} \end{align}$$ (चूंकि, भले ही एन = 1, बाद की सभी शर्तें छोटी हों)। सूचकांकों में हेरफेर करने के लिए ताकि k 0 से शुरू हो, हम भीतर से एक आंशिक योग का चयन करते हैं $$ \sum_{k=n+1}^\infty \frac{b-1}{b^k} $$ (कुल मान से भी कम है क्योंकि यह एक ऐसी श्रृंखला का आंशिक योग है जिसके सभी पद धनात्मक हैं)। हम k = (n+1) से शुरू करके गठित आंशिक योग का चयन करेंगे! जो k = 0 के साथ एक नई श्रृंखला लिखने के लिए हमारी प्रेरणा से अनुसरण करता है, अर्थात यह ध्यान में रखते हुए $$b^{(n+1)!} = b^{(n+1)!}b^0$$.
 * 1) असमानता $$\sum_{k=n+1}^\infty \frac{a_k}{b^{k!}} \le \sum_{k=n+1}^\infty \frac{b-1}{b^{k!}}$$ ए के बाद सेk∈ {0, 1, 2, …, b−1} सभी k के लिए, इसलिए ज़्यादा से ज़्यादा ak= बी−1। यदि पूर्णांकों का क्रम (a1, ए2, …) थे (b−1, b−1, ...), यानी ak= b−1, सभी k के लिए। $$\sum_{k=n+1}^\infty \frac{a_k}{b^{k!}}$$ इस प्रकार इस सबसे बड़ी संभव राशि से कम या उसके बराबर होगा।
 * 2) मजबूत असमानता $$\begin{align}
 * 1) अंतिम असमानता के लिए $$\frac{b}{b^{(n+1)!}} \le \frac{b^{n!}}{b^{(n+1)!}}$$, हमने इस विशेष असमानता को चुना है (सत्य है क्योंकि b ≥ 2, जहां समानता का पालन होता है अगर और केवल अगर n = 1) क्योंकि हम हेरफेर करना चाहते हैं $$\frac{b}{b^{(n+1)!}}$$ कुछ रूप में $$\frac{1}{b^{\text{exponent}\times n}}$$. यह विशेष असमानता हमें (n+1) को खत्म करने की अनुमति देती है! और अंश, संपत्ति का उपयोग करके कि (n+1)! - एन! = (n!)n, इस प्रकार प्रतिस्थापन के लिए भाजक को आदर्श रूप में रखना $$q_n = b^{n!}$$.

तर्कहीनता
यहां हम दिखाएंगे कि संख्या $$~ x = c / d ~,$$ कहाँ $c$ और $d$ पूर्णांक हैं और $$~ d > 0 ~,$$ लिउविल संख्या को परिभाषित करने वाली असमानताओं को संतुष्ट नहीं कर सकता। चूँकि प्रत्येक परिमेय संख्या को इस प्रकार निरूपित किया जा सकता है $$~ c / d ~,$$ हम यह सिद्ध कर चुके होंगे कि कोई लिउविल संख्या परिमेय नहीं हो सकती।

अधिक विशेष रूप से, हम दिखाते हैं कि किसी भी सकारात्मक पूर्णांक के लिए $n$ काफी बड़ा है $$~ 2^{n - 1} > d > 0~$$ [समतुल्य, किसी भी सकारात्मक पूर्णांक के लिए $$~ n > 1 + \log_2(d) ~$$)], पूर्णांकों का कोई युग्म नहीं $$~(\,p,\,q\,)~$$ मौजूद है जो एक साथ ब्रैकेटिंग असमानताओं की जोड़ी को संतुष्ट करता है


 * $$0 < \left|x - \frac{\,p\,}{q}\right| < \frac{1}{\;q^n\,}~.$$

यदि दावा सत्य है, तो वांछित निष्कर्ष अनुसरण करता है।

होने देना $p$ और $q$ के साथ कोई भी पूर्णांक हो $$~q > 1~.$$ तो हमारे पास हैं,


 * $$ \left| x - \frac{\,p\,}{q} \right| = \left| \frac{\,c\,}{d} - \frac{\,p\,}{q} \right| = \frac{\,|c\,q - d\,p|\,}{ d\,q }$$

अगर $$ \left| c\,q - d\,p \right| = 0~,$$ तब हमारे पास होगा


 * $$\left| x - \frac{\,p\,}{q}\right|= \frac{\,|c\,q - d\,p|\,}{ d\,q } = 0 ~,$$

जिसका अर्थ है कि पूर्णांकों की ऐसी जोड़ी $$~(\,p,\,q\,)~$$ किसी भी विकल्प के बावजूद, लिउविल संख्या की परिभाषा में पहली असमानता का उल्लंघन करेगा $n$ .

अगर, दूसरी ओर, के बाद से $$~\left| c\,q - d\,p \right| > 0 ~,$$ तब से $$c\,q - d\,p$$ एक पूर्णांक है, हम तीव्र असमानता पर जोर दे सकते हैं $$\left| c\,q - d\,p \right| \ge 1 ~.$$ इससे यह अनुसरण करता है


 * $$\left| x - \frac{\,p\,}{q}\right|= \frac{\,| c\,q - d\,p |\,}{d\,q} \ge \frac{1}{\,d\,q\,}$$

अब किसी पूर्णांक के लिए $$~n > 1 + \log_2(d)~,$$ उपरोक्त अंतिम असमानता का तात्पर्य है


 * $$\left| x - \frac{\,p\,}{q} \right| \ge \frac{1}{\,d\,q\,} > \frac{1}{\,2^{n-1}q\,} \ge \frac{1}{\;q^n\,} ~.$$

इसलिए मामले में $$~ \left| c\,q - d\,p \right| > 0 ~$$ पूर्णांकों की ऐसी जोड़ी $$~(\,p,\,q\,)~$$ कुछ सकारात्मक पूर्णांक के लिए लिउविल संख्या की परिभाषा में दूसरी असमानता का उल्लंघन करेगा $n$.

हम निष्कर्ष निकालते हैं कि पूर्णांकों का कोई युग्म नहीं है $$~(\,p,\,q\,)~,$$ साथ $$~ q > 1 ~,$$ जो इस तरह योग्य होगा $$~ x = c / d ~,$$ लिउविल संख्या के रूप में।

इसलिए एक लिउविल संख्या, यदि यह मौजूद है, परिमेय नहीं हो सकती।

(#Liouville संख्याओं के अस्तित्व पर खंड (लिउविल का स्थिरांक) | लिउविल का स्थिरांक एक के निर्माण को प्रदर्शित करके यह साबित करता है कि लिउविल संख्याएं मौजूद हैं। इस खंड में दिए गए प्रमाण का अर्थ है कि यह संख्या अपरिमेय संख्या होनी चाहिए।)

बेशुमारता
उदाहरण के लिए, संख्या पर विचार करें


 * 3.1400010000000000000000050000....

3.14(3 शून्य)1(17 शून्य)5(95 शून्य)9(599 शून्य)2(4319 शून्य)6...

जहां स्थिति n को छोड़कर अंक शून्य हैं! जहां अंक के दशमलव विस्तार में दशमलव बिंदु के बाद nवें अंक के बराबर हैπ.

जैसा कि #लिउविले संख्याओं (लिउविल का स्थिरांक) के अस्तित्व पर अनुभाग में दिखाया गया है, यह संख्या, साथ ही इसके गैर-शून्य अंकों के साथ समान रूप से स्थित कोई अन्य गैर-समाप्ति दशमलव, लिउविल संख्या की परिभाषा को संतुष्ट करता है। चूंकि गैर-शून्य अंकों के सभी अनुक्रमों के सेट में सातत्य की प्रमुखता होती है, वही बात सभी लिउविल संख्याओं के सेट के साथ होती है।

इसके अलावा, लिउविल संख्याएं वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का एक सघन समुच्चय बनाती हैं।

लिउविल संख्या और माप
माप सिद्धांत के दृष्टिकोण से, सभी लिउविल संख्याओं का समुच्चय $$L$$ छोटा है। अधिक सटीक रूप से, इसका लेबेस्गु उपाय, $$\lambda(L)$$, शून्य है। दिया गया प्रमाण जॉन सी. ओक्सटॉबी के कुछ विचारों का अनुसरण करता है।

सकारात्मक पूर्णांकों के लिए $$n>2$$ और $$q\geq2$$ तय करना:


 * $$V_{n,q}=\bigcup\limits_{p=-\infty}^\infty \left(\frac{p}{q}-\frac{1}{q^n},\frac{p}{q}+\frac{1}{q^n}\right)$$

अपने पास


 * $$L\subseteq \bigcup_{q=2}^\infty V_{n,q}.$$

ध्यान दें कि प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक के लिए $$n\geq2$$ और $$m\geq1$$, हमारे पास भी है


 * $$L\cap (-m,m)\subseteq \bigcup\limits_{q=2}^\infty V_{n,q}\cap(-m,m)\subseteq \bigcup\limits_{q=2}^\infty\bigcup\limits_{p=-mq}^{mq} \left( \frac{p}{q}-\frac{1}{q^n},\frac{p}{q}+\frac{1}{q^n}\right).$$

तब से


 * $$ \left|\left(\frac{p}{q}+\frac{1}{q^n}\right)-\left(\frac{p}{q}-\frac{1}{q^n}\right)\right|=\frac{2}{q^n}$$

और $$n>2$$ अपने पास



\begin{align} \mu(L\cap (-m,\, m)) & \leq\sum_{q=2}^\infty\sum_{p=-mq}^{mq}\frac{2}{q^n} = \sum_{q=2}^\infty \frac{2(2mq+1)}{q^n} \\[6pt] & \leq (4m+1)\sum_{q=2}^\infty\frac{1}{q^{n-1}} \leq (4m+1) \int^\infty_1 \frac{dq}{q^{n-1}}\leq\frac{4m+1}{n-2}. \end{align} $$ अब


 * $$\lim_{n\to\infty}\frac{4m+1}{n-2}=0$$

और यह प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक के लिए इसका अनुसरण करता है $$m$$, $$L\cap (-m,m)$$ Lebesgue माप शून्य है। नतीजतन, ऐसा हुआ है $$L$$.

इसके विपरीत, सभी वास्तविक पारलौकिक संख्याओं के समुच्चय का लेबेस्ग माप अनंत है (चूंकि बीजगणितीय संख्याओं का समुच्चय एक शून्य समुच्चय है)।

लिउविल संख्याओं के समुच्चय की संरचना
प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक के लिए $n$, तय करना


 * $$~ U_n = \bigcup\limits_{q=2}^\infty ~ \bigcup\limits_{p=-\infty}^\infty  ~ \left\{ x \in \mathbb R : 0 <  \left |x- \frac{p}{\,q\,} \right |< \frac{1}{\;q^n\,}\right\} = \bigcup\limits_{q=2}^\infty ~ \bigcup\limits_{p=-\infty}^\infty ~ \left(\frac{p}{q}-\frac{1}{q^n}~,~\frac{p}{\,q\,} + \frac{1}{\;q^n\,}\right) \setminus \left\{\frac{p}{\,q\,}\right\} ~$$

सभी लिउविल संख्याओं के समुच्चय को इस प्रकार लिखा जा सकता है


 * $$~ L ~=~ \bigcap\limits_{n=1}^\infty U_n ~=~ \bigcap\limits_{n \in \mathbb{N}_1} ~ \bigcup\limits_{ q \geqslant 2} ~ \bigcup \limits_{ p \in \mathbb{Z} }\,\left(\,\left(\,\frac{\,p\,}{q} - \frac{1}{\;q^n\,}~,~ \frac{\,p\,}{q} + \frac{1}{\;q^n\,} \,\right) \setminus \left\{\,\frac{\,p\,}{q}\,\right\} \,\right) ~.$$

प्रत्येक $$~ U_n ~$$ एक खुला सेट है; क्योंकि इसके समापन में सभी परिमेय (the $$~p / q~$$ प्रत्येक छिद्रित अंतराल से), यह वास्तविक रेखा का एक सघन समुच्चय भी है। चूंकि यह कई ऐसे खुले घने सेटों का चौराहा है, $L$ अल्प समुच्चय है, अर्थात यह सघन G-डेल्टा समुच्चय है|Gδतय करना।

तर्कहीनता माप
वास्तविक संख्या का लिउविल-रोथ अपरिमेयता माप (तर्कहीनता प्रतिपादक, सन्निकटन प्रतिपादक, या लिउविल-रोथ स्थिरांक) $$x$$ यह इस बात का माप है कि परिमेय द्वारा इसे कितनी बारीकी से अनुमानित किया जा सकता है। किसी को अनुमति देने के बजाय लिउविल संख्याओं की परिभाषा का सामान्यीकरण $$n$$ की शक्ति में $$q$$, हम इसके लिए सबसे बड़ा संभव मान पाते हैं $$\mu$$ ऐसा है कि $$0< \left| x- \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^\mu} $$ सहअभाज्य पूर्णांक युग्मों की अनंत संख्या से संतुष्ट होता है $$(p,q)$$ साथ $$q>0$$. यह अधिकतम मूल्य $$\mu$$ की तर्कहीनता माप के रूप में परिभाषित किया गया है $$x$$. किसी भी मूल्य के लिए $$\mu$$ इस ऊपरी सीमा से कम, सभी परिमेय का अनंत सेट $$p/q$$ उपरोक्त असमानता को संतुष्ट करने से एक अनुमान प्राप्त होता है $$x$$. इसके विपरीत यदि $$\mu$$ ऊपरी सीमा से अधिक है, तो अधिक से अधिक परिमित संख्या में हैं $$(p,q)$$ साथ $$q>0$$ जो असमानता को संतुष्ट करता है; इस प्रकार, विपरीत असमानता के सभी बड़े मूल्यों के लिए लागू होती है $$q$$. दूसरे शब्दों में, तर्कहीनता माप को देखते हुए $$\mu$$ एक वास्तविक संख्या का $$x$$, जब भी एक तर्कसंगत सन्निकटन $$x\approx p/q$$, $$p,q\in\N$$ पैदावार $$n+1$$ सटीक दशमलव अंक, हमारे पास है


 * $$\frac{1}{10^n} \ge \left| x- \frac{p}{q} \right| \ge \frac{1}{q^{\mu+\varepsilon}} $$

किसी के लिए $$\varepsilon >0$$, भाग्यशाली जोड़ियों की सीमित संख्या को छोड़कर $$(p,q)$$.

डिरिचलेट के सन्निकटन प्रमेय के परिणामस्वरूप प्रत्येक अपरिमेय संख्या में अपरिमेयता माप कम से कम 2 होता है। दूसरी ओर, बोरेल-कैंटेली लेम्मा के एक अनुप्रयोग से पता चलता है कि लगभग सभी संख्याओं में 2 के बराबर एक अपरिमेयता माप होती है।

नीचे कुछ संख्याओं की अपरिमेयता मापों के लिए ज्ञात ऊपरी और निचली सीमाओं की तालिका दी गई है।

तर्कहीनता आधार
तर्कहीनता का आधार जे सोंडो द्वारा प्रस्तुत तर्कहीनता का एक उपाय है लिउविल संख्या के लिए एक तर्कहीनता उपाय के रूप में। इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

होने देना $$\alpha $$ एक अपरिमेय संख्या हो। यदि कोई वास्तविक संख्या मौजूद है $$ \beta \geq 1 $$ संपत्ति के साथ कि किसी के लिए $$ \varepsilon >0 $$, एक सकारात्मक पूर्णांक है $$ q(\varepsilon)$$ ऐसा है कि


 * $$ \left| \alpha-\frac{p}{q} \right| > \frac 1 {(\beta+\varepsilon)^q} \text{ for all integers } p,q \text{ with } q \geq q(\varepsilon) $$,

तब $$\beta$$ का तर्कहीनता आधार कहा जाता है $$\alpha$$ और के रूप में दर्शाया गया है $$\beta(\alpha)$$ यदि ऐसा नहीं है $$\beta$$ मौजूद है, तो $$\alpha$$ सुपर लिउविल नंबर कहा जाता है।

'उदाहरण': श्रृंखला $$\varepsilon_{2e}=1+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{4^{2^1}}+\frac{1}{8^{4^{2^1}}}+\frac{1}{16^{8^{4^{2^1}}}}+\frac{1}{32^{16^{8^{4^{2^1}}}}}+\ldots$$ एक सुपर लिउविल संख्या है, जबकि श्रृंखला $$\tau_2 = \sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{^{n}2}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^{2^2}} + \frac{1}{2^{2^{2^2}}} + \frac{1}{2^{2^{2^{2^2}}}} + \ldots$$ अपरिमेयता आधार 2 के साथ एक लिउविल संख्या है। ($${^{b}a}$$ टेट्रेशन का प्रतिनिधित्व करता है।)

लिउविल नंबर और ट्रान्सेंडेंस
यह स्थापित करना कि दी गई संख्या एक लिउविल संख्या है, दी गई संख्या को साबित करने के लिए एक उपयोगी उपकरण प्रदान करता है जो अनुवांशिक है। हालाँकि, प्रत्येक ट्रान्सेंडैंटल संख्या एक लिउविल संख्या नहीं है। प्रत्येक लिउविल संख्या के निरंतर अंश विस्तार की शर्तें अबाधित हैं; एक गिनती तर्क का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि बेशुमार रूप से कई पारलौकिक संख्याएँ होनी चाहिए जो लिउविल नहीं हैं। ई (गणितीय स्थिरांक) के स्पष्ट निरंतर अंश विस्तार का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि ई एक पारलौकिक संख्या का एक उदाहरण है जो लिउविल नहीं है। कर्ट महलर ने 1953 में सिद्ध किया कि पाई|π ऐसा ही एक और उदाहरण है। सबूत पहले अपरिमेय संख्या बीजगणितीय संख्याओं की एक संपत्ति स्थापित करके आगे बढ़ता है। यह संपत्ति अनिवार्य रूप से कहती है कि अपरिमेय बीजगणितीय संख्याओं को परिमेय संख्याओं द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित नहीं किया जा सकता है, जहां बड़े भाजक के लिए अच्छी तरह से अनुमानित स्थिति अधिक कठोर हो जाती है। एक लिउविल संख्या अपरिमेय है लेकिन इसमें यह गुण नहीं है, इसलिए यह बीजगणितीय नहीं हो सकता है और पारलौकिक होना चाहिए। निम्नलिखित लेम्मा (गणित) को आमतौर पर लिउविल के प्रमेय (डायोफैंटाइन सन्निकटन पर) के रूप में जाना जाता है, लिउविल के प्रमेय (बहुविकल्पी) के रूप में जाने जाने वाले कई परिणाम हैं। लिउविल का प्रमेय.

नीचे, हम दिखाएंगे कि कोई लिउविल संख्या बीजगणितीय नहीं हो सकती।

लेम्मा: यदि α एक अपरिमेय संख्या है जो पूर्णांक गुणांकों के साथ डिग्री n > 0 के इरेड्यूसिबल बहुपद f की जड़ है, तो एक वास्तविक संख्या A मौजूद है। 0 ऐसा है कि, सभी पूर्णांक p, q, q > 0 के साथ,


 * $$ \left| \alpha - \frac{p}{q}  \right | > \frac{A}{q^n} $$

लेम्मा का सबूत: मान लें कि एम का अधिकतम मूल्य है |f ′(x)| (अंतराल (गणित) [α − 1, α + 1] पर f के व्युत्पन्न का निरपेक्ष मान)। चलो α1, ए2, ..., एm f के विशिष्ट मूल हैं जो α से भिन्न हैं। कुछ मान A > 0 संतोषजनक चुनें


 * $$A< \min \left(1, \frac{1}{M}, \left| \alpha - \alpha_1 \right|, \left| \alpha - \alpha_2 \right|, \ldots, \left| \alpha-\alpha_m \right| \right) $$

अब मान लें कि लेम्मा के विपरीत कुछ पूर्णांक p, q मौजूद हैं। तब


 * $$\left| \alpha - \frac{p}{q}\right| \le \frac{A}{q^n} \le A< \min\left(1, \frac{1}{M}, \left| \alpha - \alpha_1 \right|, \left|\alpha - \alpha_2 \right|, \ldots, \left| \alpha-\alpha_m \right| \right) $$

तब p/q अंतराल [α - 1, α + 1] में है; और p/q {α में नहीं है1, ए2, ..., एm}, इसलिए p/q f का मूल नहीं है; और α और p/q के बीच f का कोई मूल नहीं है।

माध्य मान प्रमेय के अनुसार, एक x का अस्तित्व है0 p/q और α के बीच ऐसा है कि


 * $$f(\alpha)-f(\tfrac{p}{q}) = (\alpha - \frac{p}{q}) \cdot f'(x_0)$$

चूंकि α f का मूल है लेकिन p/q नहीं है, हम देखते हैं कि |f '(x0)| > 0 और हम पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं:


 * $$\left|\alpha -\frac{p}{q}\right |= \frac{\left | f(\alpha)- f(\tfrac{p}{q})\right |}{|f'(x_0)|} = \left | \frac{f(\tfrac{p}{q})}{f'(x_0)} \right |$$

अब, f रूप का है $$\sum_{i=0}^n$$ ci xi जहां प्रत्येक ci एक पूर्णांक है; इसलिए हम |f(p/q)| व्यक्त कर सकते हैं जैसा


 * $$\left|f \left (\frac{p}{q} \right) \right| = \left| \sum_{i=0}^n c_i p^i q^{-i} \right| = \frac{1}{q^n} \left| \sum_{i=0}^n c_i p^i q^{n-i} \right | \ge \frac {1}{q^n} $$

अंतिम असमानता धारण करती है क्योंकि p/q f और c का मूल नहीं हैi पूर्णांक हैं।

इस प्रकार हमारे पास |f(p/q)| है ≥ 1/क्यूएन. चूँकि |f'(x0)| ≤ M, M की परिभाषा से, और 1/M > A, A की परिभाषा से, हमारे पास वह है


 * $$\left | \alpha - \frac{p}{q} \right | = \left|\frac{f(\tfrac{p}{q})}{f'(x_0)}\right| \ge \frac{1}{Mq^n} > \frac{A}{q^n} \ge \left| \alpha - \frac{p}{q} \right|$$

जो एक विरोधाभास है; इसलिए, ऐसा कोई p, q मौजूद नहीं है; लेम्मा साबित करना।

'अभिकथन का प्रमाण:' इस लेम्मा के परिणामस्वरूप, मान लीजिए कि x एक लिउविल संख्या है; जैसा कि लेख पाठ में उल्लेख किया गया है, x तब अपरिमेय है। यदि x बीजगणितीय है, तो प्रमेयिका द्वारा, कुछ पूर्णांक n और कुछ धनात्मक वास्तविक A का अस्तित्व होता है जैसे कि सभी p, q के लिए


 * $$ \left| x - \frac{p}{q}  \right|> \frac{A}{q^{n}} $$

आर को एक सकारात्मक पूर्णांक होने दें जैसे कि 1/(2r) ≤ A. यदि हम मान लें कि m = r + n, और चूँकि x एक लिउविल संख्या है, तो पूर्णांक a, b जहाँ b > 1 ऐसा मौजूद है


 * $$\left|x-\frac ab\right|<\frac1{b^m}=\frac1{b^{r+n}}=\frac1{b^rb^n} \le \frac1{2^r}\frac1{b^n} \le \frac A{b^n} $$

जो लेम्मा के विपरीत है। इसलिए, यदि कोई लिउविल संख्या मौजूद है, तो यह बीजगणितीय नहीं हो सकती है, और इसलिए पारलौकिक होनी चाहिए।

यह भी देखें

 * ब्रजुनो संख्या
 * डायोफैंटाइन सन्निकटन

बाहरी संबंध

 * The Beginning of Transcendental Numbers