जीवा (ज्यामिति)

एक वृत्त की जीवा एक सीधी रेखा का खंड होता है जिसके अंत बिंदु दोनों एक वृत्ताकार चाप पर स्थित होते हैं। जीवा की अनंत रेखा का विस्तार एक छेदक रेखा है, या सिर्फ 'सेकेंट' है। अधिक आम तौर पर, एक राग एक रेखा खंड है जो किसी भी वक्र पर दो बिंदुओं को जोड़ता है, उदाहरण के लिए, एक दीर्घवृत्त#Chords। एक जीवा जो एक वृत्त के केंद्र बिंदु से होकर गुजरती है, वृत्त का व्यास है। 'कॉर्ड' शब्द लैटिन के कॉर्डा से आया है, जिसका अर्थ है 'धनुष'।



हलकों में
एक वृत्त की जीवाओं के गुणों में निम्नलिखित हैं:
 * 1) जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं यदि और केवल यदि उनकी लंबाई समान हो।
 * 2) समान जीवाएँ वृत्त के केंद्र से समान कोणों द्वारा अंतरित की जाती हैं।
 * 3) एक जीवा जो एक वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है उसे एक व्यास कहा जाता है और उस विशिष्ट वृत्त की सबसे लंबी जीवा होती है।
 * 4) यदि जीवा AB और CD के लाइन एक्सटेंशन (सेकंट लाइन) एक बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो उनकी लंबाई AP·PB = CP·PD (एक बिंदु प्रमेय की शक्ति) को संतुष्ट करती है।

शांकवों में
एक शंकु के समांतर तारों के सेट के मध्य बिंदु कॉललाइनरिटी (मिडपॉइंट प्रमेय (शंकु)) हैं।

त्रिकोणमिति में
त्रिकोणमिति के प्रारंभिक विकास में जीवाओं का बड़े पैमाने पर उपयोग किया गया था। हिप्पार्कस द्वारा संकलित पहली ज्ञात त्रिकोणमितीय तालिका, प्रत्येक के लिए जीवाओं की तालिका $7 1⁄2$ डिग्री (कोण) एस। दूसरी शताब्दी ईस्वी में, अलेक्जेंड्रिया के टॉलेमी ने अल्मागेस्ट में जीवाओं की एक अधिक व्यापक तालिका संकलित की, जिसमें कोणों के लिए जीवा का मान दिया गया था $1⁄2$ की वृद्धि द्वारा 180 डिग्री तक $1⁄2$ डिग्री। सर्कल व्यास 120 का था, और पूर्णांक भाग के बाद जीवा की लंबाई दो आधार -60 अंकों तक सटीक होती है। चित्र में दिखाए अनुसार कॉर्ड फ़ंक्शन को ज्यामितीय रूप से परिभाषित किया गया है। एक कोण की जीवा उस केंद्रीय कोण द्वारा अलग किए गए एक इकाई वृत्त पर दो बिंदुओं के बीच की जीवा की लंबाई है। कोण θ को सकारात्मक अर्थ में लिया जाता है और इसे अंतराल में होना चाहिए $0 < θ ≤ \pi$ (रेडियन माप)। कॉर्ड फ़ंक्शन को आधुनिक साइन फ़ंक्शन से संबंधित किया जा सकता है, जिसमें से एक बिंदु (1,0) हो सकता है, और दूसरा बिंदु ($cos θ, sin θ$), और फिर राग की लंबाई की गणना करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करना:


 * $$ \operatorname{crd}\ \theta = \sqrt{(1-\cos \theta)^2+\sin^2 \theta} = \sqrt{2-2\cos \theta} =2 \sin \left(\frac{\theta }{2}\right). $$

अंतिम चरण में त्रिकोणमितीय पहचान#डबल-एंगल, ट्रिपल-एंगल और हाफ-एंगल फॉर्मूला|हाफ-एंगल फॉर्मूला का उपयोग किया जाता है। जिस प्रकार आधुनिक त्रिकोणमिति को ज्या फलन पर बनाया गया है, प्राचीन त्रिकोणमिति को तार फलन पर बनाया गया था। हिप्पार्कस को कॉर्ड्स पर बारह-वॉल्यूम का काम लिखा गया है, जो अब खो गया है, इसलिए संभवतः, उनके बारे में बहुत कुछ पता था। नीचे दी गई तालिका में (जहाँ c जीवा की लंबाई है, और D वृत्त का व्यास है) सुप्रसिद्ध आधुनिक लोगों के अनुरूप कई पहचानों को पूरा करने के लिए राग फलन दिखाया जा सकता है:

उलटा कार्य भी मौजूद है:


 * $$\theta = 2\arcsin\frac{c}{2r}$$

यह भी देखें

 * परिपत्र खंड - क्षेत्र का वह भाग जो वृत्त के केंद्र द्वारा बनाए गए त्रिभुज और सीमा पर वृत्ताकार चाप के दो अंत बिंदुओं को हटाने के बाद बना रहता है।
 * जीवाओं का पैमाना
 * टॉलेमी की जीवाओं की तालिका
 * होल्डिच की प्रमेय, उत्तल बंद वक्र में घूमने वाली जीवा के लिए
 * सर्किल ग्राफ
 * एक्ससेकेंट और एक्सोसेकेंट
 * वरसाइन और हावरसाइन
 * ज़िंडलर वक्र (बंद और सरल वक्र जिसमें चाप की लंबाई को आधे हिस्से में विभाजित करने वाली सभी जीवाओं की लंबाई समान होती है)

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * घेरा
 * ज्या
 * गोलाकार चाप
 * सेकेंडरी लाइन
 * सीधी रेखा खंड
 * समरैखिकता
 * शंकुधर
 * तारों की तालिका
 * उन लोगों के
 * गोलाकार खंड
 * वर्साइन और हावरसाइन

बाहरी संबंध

 * History of Trigonometry Outline
 * Trigonometric functions, focusing on history
 * Chord (of a circle) With interactive animation