रैखिक मानचित्रों के समष्टि पर टोपोलॉजी

गणित में, विशेष रूप से फलनात्मक विश्लेषण में, दो सदिश समष्टि के बीच रैखिक मापों के समष्टि को विभिन्न प्रकार की टोपोलॉजी (संरचना) से संपन्न किया जा सकता है। रैखिक मापों और इन टोपोलॉजी के समष्टि का अध्ययन करने से स्वयं रिक्त समष्टि के बारे में जानकारी मिल सकती है।

लेख संचालक टोपोलॉजी मानक समष्टि के बीच रैखिक मापों के समष्टि ऑपरेटर टोपोलॉजी पर चर्चा करता है, जबकि यह लेख टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि (टीवीएस) की अधिक सामान्य समुच्चय में ऐसे समष्टि पर टोपोलॉजी पर चर्चा करता है।

मापों के मनमाने समष्टि पर एकसमान अभिसरण की टोपोलॉजी
कुल मिलाकर, निम्नलिखित मान लिया गया है:


 * 1) $$T$$ कोई भी गैर-रिक्त समुच्चय है और $$\mathcal{G}$$ उपसमुच्चय समावेशन द्वारा निर्देशित समुच्चय $$T$$ के उपसमुच्चय का एक गैर-रिक्त संग्रह (अर्थात् किसी भी $$G, H \in \mathcal{G}$$ के लिए कुछ $$K \in \mathcal{G}$$ उपस्थित हैं जैसे कि $$G \cup H \subseteq K$$) है।
 * 2) $$Y$$ टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि है (जरूरी नहीं कि हॉसडॉर्फ या समष्टिीय रूप से उत्तल हो) है।
 * 3) $$\mathcal{N}$$ $$Y$$ में 0 के पड़ोस का आधार है।
 * 4) $$F$$, $$Y^T = \prod_{t \in T} Y,$$ का एक सदिश उप-समष्टि है, जो डोमेन $$T$$ के साथ सभी $$Y$$-मूल्य वाले फ़ंक्शन $$f : T \to Y$$ के समुच्चय को दर्शाता है।

𝒢-टोपोलॉजी
निम्नलिखित समुच्चय रैखिक मापों के समष्टि पर टोपोलॉजी के मूल खुले उपसमुच्चय का गठन करेंगे। किसी भी उपसमुच्चय $$G \subseteq T$$ और $$N \subseteq Y$$ के लिए, मान लीजिए $$\mathcal{U}(G, N) := \{f \in F : f(G) \subseteq N\}.$$ सदस्य $$\{ \mathcal{U}(G, N) : G \in \mathcal{G}, N \in \mathcal{N} \}$$$$F,$$ पर एक अद्वितीय अनुवाद-अपरिवर्तनीय टोपोलॉजी के लिए मूल में एक पड़ोस आधार बनाता है, जहां यह टोपोलॉजी आवश्यक रूप से एक सदिश टोपोलॉजी नहीं है (अर्थात, यह $$F$$ को टीवीएस नहीं बना सकता है)। यह टोपोलॉजी पड़ोस के आधार $$\mathcal{N}$$ पर निर्भर नहीं करती है जिसे चुना गया था और इसे $$\mathcal{G}$$ में समुच्चय पर समान अभिसरण की टोपोलॉजी या $$\mathcal{G}$$-टोपोलॉजी के रूप में जाना जाता है। चूँकि, यह नाम अक्सर $$\mathcal{G}$$ बनाने वाले समुच्चय के प्रकार के अनुसार बदला जाता है (उदाहरण के लिए "कॉम्पैक्ट समुच्चय पर एकसमान अभिसरण की टोपोलॉजी" या "कॉम्पैक्ट कन्वर्जेंस की टोपोलॉजी", अधिक विवरण के लिए फ़ुटनोट देखें )।

$$\mathcal{G}$$ के एक उपसमुच्चय $$\mathcal{G}_1$$ को $$\mathcal{G}$$ के संबंध में मौलिक कहा जाता है यदि प्रत्येक $$G \in \mathcal{G}$$ में $$\mathcal{G}_1$$ तत्व का उपसमुच्चय हो। इस स्थिति में, संग्रह $$\mathcal{G}$$ को एफ पर टोपोलॉजी को बदले बिना $$\mathcal{G}_1$$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। कोई भी $$F.$$ पर परिणामी $$\mathcal{G}$$-टोपोलॉजी को बदले बिना $$\mathcal{G}$$ के तत्वों के सभी परिमित संघों के सभी उपसमूहों के संग्रह के साथ प्रतिस्थापित कर सकता है।   यदि $$f(B)$$ प्रत्येक $$f \in F$$ के लिए $$Y$$ का एक परिबद्ध उपसमुच्चय है, तो $$T$$ $$F$$-बाउंडेड के उपसमुच्चय $$B$$ को कॉल करें।

$$

गुण

अब मूल खुले समुच्चयों के गुणों का वर्णन किया जाएगा, इसलिए मान लें कि $$G \in \mathcal{G}$$ और $$N \in \mathcal{N}.$$। तब GN, F का एक अवशोषक समुच्चय उपसमुच्चय है यदि और केवल यदि सभी $$f \in F,$$ $$N$$, $$f(G)$$ को अवशोषित करता है। यदि $$N$$ संतुलित समुच्चय है (क्रमशः, उत्तल) तो $$\mathcal{U}(G, N).$$ भी संतुलित है।                                                                                                                                                                                                                                                   समानता $$\mathcal{U}(\varnothing, N) = F$$ सदैव धारण रहती है। यदि $$s$$ एक अदिश राशि है तो $$s \mathcal{U}(G, N) = \mathcal{U}(G, s N),$$ जिससे विशेष रूप से $$- \mathcal{U}(G, N) = \mathcal{U}(G, - N)$$ हो। इसके अतिरिक्त,$$\mathcal{U}(G, N) - \mathcal{U}(G, N) \subseteq \mathcal{U}(G, N - N)$$ और इसी तरह $$\mathcal{U}(G, M) + \mathcal{U}(G, N) \subseteq \mathcal{U}(G, M + N).$$ किसी भी उपसमुच्चय के लिए $$G, H \subseteq X$$ और कोई भी गैर-रिक्त उपसमुच्चय $$M, N \subseteq Y,$$ $$\mathcal{U}(G \cup H, M \cap N) \subseteq \mathcal{U}(G, M) \cap \mathcal{U}(H, N)$$ जो ये दर्शाता हे:  यदि $$M \subseteq N$$ तब $$\mathcal{U}(G, M) \subseteq \mathcal{U}(G, N).$$ यदि $$G \subseteq H$$ तब $$\mathcal{U}(H, N) \subseteq \mathcal{U}(G, N).$$ किसी के लिए $$M, N \in \mathcal{N}$$ और उपसमुच्चय $$G, H, K$$ का $$T,$$ अगर $$G \cup H \subseteq K$$ तब $$\mathcal{U}(K, M \cap N) \subseteq \mathcal{U}(G, M) \cap \mathcal{U}(H, N).$$ 

किसी भी सदस्य के लिए $$\mathcal{S}$$ के उपसमुच्चय $$T$$ और कोई भी सदस्य $$\mathcal{M}$$ मूल के आस-पड़ोस $$Y,$$ के  $$\mathcal{U}\left(\bigcup_{S \in \mathcal{S}} S, N\right) = \bigcap_{S \in \mathcal{S}} \mathcal{U}(S, N) \qquad \text{ and } \qquad \mathcal{U}\left(G, \bigcap_{M \in \mathcal{M}} M\right) = \bigcap_{M \in \mathcal{M}} \mathcal{U}(G, M).$$

समान संरचना
किसी के लिए $$G \subseteq T$$ और $$U \subseteq Y \times Y$$ का कोई एकसमान समष्टि हो $$Y$$ (कहाँ $$Y$$ अपने संपूर्ण टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि#कैनोनिकल एकरूपता से संपन्न है), आइए $$\mathcal{W}(G, U) ~:=~ \left\{(u, v) \in Y^T \times Y^T ~:~ (u(g), v(g)) \in U \; \text{ for every } g \in G\right\}.$$ दिया गया $$G \subseteq T,$$ सभी समुच्चयों का सदस्य $$\mathcal{W}(G, U)$$ जैसा $$U$$ प्रतिवेशों की किसी भी मौलिक प्रणाली पर आधारित है $$Y$$ समान संरचना के लिए प्रतिवेशों की मौलिक प्रणाली बनाता है $$Y^T$$ बुलाया या केवल. वह सभी में उपसे निचली ऊपरी सीमा है $$G$$-अभिसरण समान संरचनाओं के रूप में $$G \in \mathcal{G}$$ तक फैली हुई है $$\mathcal{G}.$$

जाल और एकसमान अभिसरण

मान लीजिए $$f \in F$$ और जाने $$f_{\bull} = \left(f_i\right)_{i \in I}$$ नेट (गणित) में हो $$F.$$ फिर किसी भी उपसमुच्चय के लिए $$G$$ का $$T,$$ कहते हैं कि $$f_{\bull}$$ समान रूप से अभिसरित होता है $$f$$ पर $$G$$यदि प्रत्येक के लिए $$N \in \mathcal{N}$$ वहाँ कुछ उपस्थित है $$i_0 \in I$$ ऐसा कि हर किसी के लिए $$i \in I$$ संतुष्टि देने वाला $$i \geq i_0,I$$ $$f_i - f \in \mathcal{U}(G, N)$$ (या समकक्ष, $$f_i(g) - f(g) \in N$$ हरके लिए $$g \in G$$).

$$

विरासत में मिली संपत्तियाँ
समष्टिीय उत्तलता

अगर $$Y$$ समष्टिीय रूप से उत्तल है तो वैसा ही है $$\mathcal{G}$$-टोपोलॉजी चालू $$F$$ और अगर $$\left(p_i\right)_{i \in I}$$ इस टोपोलॉजी को उत्पन्न करने वाले निरंतर सेमीनॉर्म्स का सदस्य है $$Y$$ फिर $$\mathcal{G}$$-टोपोलॉजी सेमीनॉर्म्स के निम्नलिखित सदस्य से प्रेरित है: $$p_{G,i}(f) := \sup_{x \in G} p_i(f(x)),$$ जैसा $$G$$ भिन्न-भिन्न होता है $$\mathcal{G}$$ और $$i$$ भिन्न-भिन्न होता है $$I$$.

हॉसडॉर्फनेस

अगर $$Y$$ हॉसडॉर्फ़ समष्टि है और $$T = \bigcup_{G \in \mathcal{G}} G$$ फिर $$\mathcal{G}$$-टोपोलॉजी चालू $$F$$ हॉसडॉर्फ है.

लगता है कि $$T$$ टोपोलॉजिकल समष्टि है. अगर $$Y$$ हॉसडॉर्फ़ समष्टि है और $$F$$ का सदिश उपसमष्टि है $$Y^T$$ इसमें सभी सतत माप शामिल हैं जो प्रत्येक पर बंधे हैं $$G \in \mathcal{G}$$ और अगर $$\bigcup_{G \in \mathcal{G}} G$$ में सघन है $$T$$ फिर $$\mathcal{G}$$-टोपोलॉजी चालू $$F$$ हॉसडॉर्फ है.

सीमाबद्धता

उपसमुच्चय $$H$$ का $$F$$ में बाउंडेड समुच्चय (टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि) है $$\mathcal{G}$$-टोपोलॉजी यदि और केवल यदि प्रत्येक के लिए $$G \in \mathcal{G},$$ $$H(G) = \bigcup_{h \in H} h(G)$$ में घिरा हुआ है $$Y.$$

𝒢-टोपोलॉजी के उदाहरण
बिंदुवार अभिसरण

अगर हम जाने देंगे $$\mathcal{G}$$ के सभी परिमित उपसमुच्चयों का समुच्चय हो $$T$$ फिर $$\mathcal{G}$$-टोपोलॉजी चालू $$F$$ बिन्दुवार अभिसरण की टोपोलॉजी कहलाती है। बिंदुवार अभिसरण की टोपोलॉजी पर $$F$$ उपसमष्टि टोपोलॉजी के समान है $$F$$ से विरासत में मिला है $$Y^T$$ कब $$Y^T$$ सामान्य उत्पाद टोपोलॉजी से संपन्न है।

अगर $$X$$ गैर-तुच्छ पूरी तरह से नियमित समष्टि हॉसडॉर्फ टोपोलॉजिकल समष्टि और है $$C(X)$$ सभी वास्तविक (या जटिल) मूल्यवान निरंतर कार्यों का समष्टि है $$X,$$ बिंदुवार अभिसरण की टोपोलॉजी पर $$C(X)$$ मेट्रिज़ेबल टीवीएस है यदि और केवल यदि $$X$$ गणनीय है.

𝒢-निरंतर रैखिक मापों के समष्टि पर टोपोलॉजी
इस पूरे खंड में हम यही मानेंगे $$X$$ और $$Y$$ टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि हैं। $$\mathcal{G}$$ के उपसमुच्चय का गैर-रिक्त संग्रह होगा $$X$$ समावेशन द्वारा निर्देशित समुच्चय. $$L(X; Y)$$ से सभी सतत रैखिक मापों के सदिश समष्टि को निरूपित करेगा $$X$$ में $$Y.$$ अगर $$L(X; Y)$$ दिया गया है $$\mathcal{G}$$-टोपोलॉजी विरासत में मिली है $$Y^X$$ फिर इस टोपोलॉजी के साथ इस समष्टि को दर्शाया जाता है $$L_{\mathcal{G}}(X; Y)$$. टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि का दोहरा समष्टि#सतत दोहरा समष्टि $$X$$ मैदान के ऊपर $$\mathbb{F}$$ (जिसे हम वास्तविक संख्याएँ या सम्मिश्र संख्याएँ मानेंगे) सदिश समष्टि है $$L(X; \mathbb{F})$$ और द्वारा दर्शाया गया है $$X^{\prime}$$. $$\mathcal{G}$$वें>-टोपोलॉजी पर $$L(X; Y)$$ की सदिश अंतरिक्ष संरचना के साथ संगत है $$L(X; Y)$$ यदि और केवल यदि सभी के लिए $$G \in \mathcal{G}$$ और सभी $$f \in L(X; Y)$$ समुच्चय $$f(G)$$ में घिरा हुआ है $$Y,$$ जिसे हम शेष लेख के लिए भी यही मानेंगे। विशेष रूप से ध्यान दें कि यह मामला है यदि $$\mathcal{G}$$ इसमें बाउंडेड समुच्चय (टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि)|(वॉन-न्यूमैन) के बाउंडेड उपसमुच्चय $$X.$$शामिल हैं

𝒢 पर धारणाएँ

ऐसी मान्यताएँ जो सदिश टोपोलॉजी की गारंटी देती हैं


 * ($$\mathcal{G}$$ निर्देश दिया गया है): $$\mathcal{G}$$ के उपसमुच्चय का गैर-रिक्त संग्रह होगा $$X$$ (उपसमुच्चय) समावेशन द्वारा निर्देशित। अर्थात् किसी के लिए भी $$G, H \in \mathcal{G},$$ वहां उपस्थित $$K \in \mathcal{G}$$ ऐसा है कि $$G \cup H \subseteq K$$.

उपरोक्त धारणा समुच्चयों के संग्रह की गारंटी देती है $$\mathcal{U}(G, N)$$ फ़िल्टर आधार बनाता है. अगली धारणा यह गारंटी देगी कि समुच्चय $$\mathcal{U}(G, N)$$ संतुलित समुच्चय हैं. प्रत्येक टीवीएस का पड़ोस आधार 0 है जिसमें संतुलित समुच्चय शामिल हैं इसलिए यह धारणा बोझिल नहीं है।


 * ($$N \in \mathcal{N}$$ संतुलित हैं): $$\mathcal{N}$$ में उत्पत्ति का पड़ोस आधार है $$Y$$ जिसमें पूरी तरह से संतुलित समुच्चय समुच्चय शामिल हैं।

निम्नलिखित धारणा बहुत आम तौर पर बनाई जाती है क्योंकि यह गारंटी देगी कि प्रत्येक समुच्चय $$\mathcal{U}(G, N)$$ में समाहित हो रहा है $$L(X; Y).$$ अगला प्रमेय ऐसे तरीके बताता है $$\mathcal{G}$$ परिणाम को बदले बिना संशोधित किया जा सकता है $$\mathcal{G}$$-टोपोलॉजी चालू $$Y.$$
 * ($$G \in \mathcal{G}$$ परिबद्ध हैं): $$\mathcal{G}$$ यह माना जाता है कि इसमें पूरी तरह से बंधे हुए उपसमुच्चय शामिल हैं $$X.$$

सामान्य धारणाएँ

कुछ लेखकों (जैसे नारिसी) को इसकी आवश्यकता होती है $$\mathcal{G}$$ निम्नलिखित शर्त को पूरा करें, जिसका तात्पर्य, विशेष रूप से, वह है $$\mathcal{G}$$ उपसमुच्चय समावेशन द्वारा निर्धारित निर्देशित है:
 * $$\mathcal{G}$$ समुच्चयों के परिमित संघों के उपसमुच्चय के गठन के संबंध में बंद माना जाता है $$\mathcal{G}$$ (अर्थात् समुच्चयों के प्रत्येक परिमित संघ का प्रत्येक उपसमुच्चय $$\mathcal{G}$$ से संबंधित $$\mathcal{G}$$).

कुछ लेखक (जैसे ट्रेव्स)। ) उसकी आवश्यकता है $$\mathcal{G}$$ उप-समावेश के तहत निर्देशित किया जाना चाहिए और यह निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:
 * अगर $$G \in \mathcal{G}$$ और $$s$$ अदिश राशि है तो वहां उपस्थित है $$H \in \mathcal{G}$$ ऐसा है कि $$s G \subseteq H.$$ अगर $$\mathcal{G}$$ पर जन्मविज्ञान है $$X,$$ जो अक्सर होता है, तब ये सिद्धांत संतुष्ट होते हैं।

अगर $$\mathcal{G}$$ बाउंडेड समुच्चय (टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि) के उपसमुच्चय का संतृप्त सदस्य है $$X$$ तब ये सिद्धांत भी संतुष्ट होते हैं।

गुण
हॉसडॉर्फनेस

टीवीएस का उपसमुच्चय $$X$$ जिसका रैखिक विस्तार सघन समुच्चय है $$X$$ का कुल समुच्चय कहा जाता है $$X.$$ अगर $$\mathcal{G}$$ टीवीएस के उपसमुच्चय का सदस्य है $$T$$ तब $$\mathcal{G}$$ टोटल समुच्चय|टोटल इन कहा जाता है $$T$$यदि का रैखिक विस्तार $$\bigcup_{G \in \mathcal{G}} G$$ में सघन है $$T.$$

अगर $$F$$ का सदिश उपसमष्टि है $$Y^T$$ इसमें सभी सतत रेखीय माप शामिल हैं जो प्रत्येक पर बंधे हैं $$G \in \mathcal{G},$$ फिर $$\mathcal{G}$$-टोपोलॉजी चालू $$F$$ हॉसडॉर्फ़ है यदि $$Y$$ हॉसडॉर्फ़ है और $$\mathcal{G}$$ में कुल है $$T.$$

संपूर्णता

निम्नलिखित प्रमेयों के लिए, मान लीजिए $$X$$ टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि है और $$Y$$ समष्टिीय रूप से उत्तल हॉसडॉर्फ समष्टि है और $$\mathcal{G}$$ के परिबद्ध उपसमुच्चय का संग्रह है $$X$$ वह कवर करता है $$X,$$ उपसमुच्चय समावेशन द्वारा निर्देशित है, और निम्नलिखित शर्त को पूरा करता है: यदि $$G \in \mathcal{G}$$ और $$s$$ अदिश राशि है तो वहां उपस्थित है $$H \in \mathcal{G}$$ ऐसा है कि $$s G \subseteq H.$$ <सड़क> <ली>$$L_{\mathcal{G}}(X; Y)$$ पूर्ण टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि है यदि 1.

2. $X$ is locally convex and Hausdorff,

3. $Y$ is complete, and

4. whenever $u : X \to Y$ is a linear map then $u$ restricted to every set $G \in \mathcal{G}$ is continuous implies that $u$ is continuous, यदि $$X$$ तो यह मैके समष्टि है $$L_{\mathcal{G}}(X; Y)$$पूर्ण है यदि और केवल यदि दोनों $$X^{\prime}_{\mathcal{G}}$$ और $$Y$$ पूर्ण हैं. यदि $$X$$ तो बैरल वाली जगह है $$L_{\mathcal{G}}(X; Y)$$ हॉसडॉर्फ और अर्ध-पूर्ण है। चलिए $$X$$ और $$Y$$ टीवीएस के साथ रहें $$Y$$ अर्ध-पूर्ण और मान लें कि (1) $$X$$ बैरल वाली जगह है, वरना (2) $$X$$ बेयर समष्टि है और $$X$$ और $$Y$$ समष्टिीय रूप से उत्तल हैं। अगर $$\mathcal{G}$$ कवर $$X$$ फिर प्रत्येक बंद समविरंतर रेखीय माप $$L(X; Y)$$ में पूर्ण है $$L_{\mathcal{G}}(X; Y)$$ और $$L_{\mathcal{G}}(X; Y)$$ अर्ध-पूर्ण है. <ली>लेट $$X$$ जन्मजात समष्टि बनें, $$Y$$ समष्टिीय रूप से उत्तल समष्टि, और $$\mathcal{G}$$ के परिबद्ध उपसमुच्चय का सदस्य $$X$$ इस प्रकार कि प्रत्येक अशक्त अनुक्रम की सीमा $$X$$ कुछ में निहित है $$G \in \mathcal{G}.$$ अगर $$Y$$ अर्ध-पूर्ण है (क्रमशः, पूर्ण टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि) तो ऐसा है $$L_{\mathcal{G}}(X; Y)$$.

सीमाबद्धता

मान लीजिए $$X$$ और $$Y$$ टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि बनें और $$H$$ का उपसमुच्चय हो $$L(X; Y).$$ उसके बाद निम्न बराबर हैं: <द>

<ली>$$H$$ में बाउंडेड समुच्चय (टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि) है $$L_{\mathcal{G}}(X; Y)$$; प्रत्येक के लिए $$G \in \mathcal{G},$$ $$H(G) := \bigcup_{h \in H} h(G)$$ में घिरा हुआ है $$Y$$;</li> हर पड़ोस के लिए $$V$$ में उत्पत्ति का $$Y$$ समुच्चय $$\bigcap_{h \in H} h^{-1}(V)$$ प्रत्येक को अवशोषक समुच्चय करें $$G \in \mathcal{G}.$$</li> </ol>

अगर $$\mathcal{G}$$ के परिबद्ध उपसमुच्चय का संग्रह है $$X$$ जिसका मिलन टोटल समुच्चय इन है $$X$$ फिर प्रत्येक समविरंतर रेखीय माप $$L(X; Y)$$ में घिरा हुआ है $$\mathcal{G}$$-टोपोलॉजी. इसके अलावा, यदि $$X$$ और $$Y$$ तब समष्टिीय रूप से उत्तल हॉसडॉर्फ समष्टि हैं  यदि $$H$$ में घिरा हुआ है $$L_{\sigma}(X; Y)$$ (अर्थात, बिंदुवार परिबद्ध या केवल परिबद्ध) तो यह उत्तल, संतुलित, परिबद्ध, पूर्ण उपसमुच्चय पर एकसमान अभिसरण की टोपोलॉजी में परिबद्ध है $$X.$$</li> यदि $$X$$ अर्ध-पूर्ण समष्टि है | अर्ध-पूर्ण (जिसका अर्थ है कि बंद और परिबद्ध उपसमुच्चय पूर्ण हैं), तो परिबद्ध उपसमुच्चय $$L(X; Y)$$ सभी के लिए समान हैं $$\mathcal{G}$$-टोपोलॉजीज कहां $$\mathcal{G}$$ के परिबद्ध उपसमुच्चय का कोई सदस्य है $$X$$ कवर $$X.$$</li> </li> </ul>

बिंदुवार अभिसरण की टोपोलॉजी
जैसे भी हो $$\mathcal{G}$$ के सभी परिमित उपसमुच्चयों का समुच्चय हो $$X,$$ $$L(X; Y)$$ कमजोर टोपोलॉजी चालू होगी $$L(X; Y)$$या बिंदुवार अभिसरण की टोपोलॉजी या सरल अभिसरण की टोपोलॉजी और $$L(X; Y)$$ इसके साथ टोपोलॉजी को दर्शाया जाता है $$L_{\sigma}(X; Y)$$. दुर्भाग्य से, इस टोपोलॉजी को कभी-कभी मजबूत ऑपरेटर टोपोलॉजी भी कहा जाता है, जिससे अस्पष्टता हो सकती है; इस कारण से, यह लेख इस टोपोलॉजी को इस नाम से संदर्भित करने से बच जाएगा।

का उपसमुच्चय $$L(X; Y)$$ यदि यह घिरा हुआ है तो इसे सरल रूप से घिरा हुआ या कमजोर रूप से घिरा हुआ कहा जाता है $$L_{\sigma}(X; Y)$$.

कमजोर-टोपोलॉजी पर $$L(X; Y)$$ निम्नलिखित गुण हैं:  यदि $$X$$ वियोज्य समष्टि है (अर्थात इसमें गणनीय सघन उपसमुच्चय है) और यदि $$Y$$ प्रत्येक समविरंतर रेखीय माप की तुलना में मेट्रिज़ेबल टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि है $$H$$ का $$L_{\sigma}(X; Y)$$ मेट्रिज़ेबल है; यदि इसके अतिरिक्त $$Y$$ वियोज्य है तो वैसा है $$H.$$ चलिए $$Y^X$$ से सभी कार्यों के समष्टि को निरूपित करें $$X$$ में $$Y.$$ अगर $$L(X; Y)$$ बिंदुवार अभिसरण की टोपोलॉजी दी गई है फिर सभी रैखिक मापों का समष्टि (निरंतर या नहीं) $$X$$ में $$Y$$ में बंद है $$Y^X$$. मान लीजिए $$X$$ और $$Y$$ समष्टिीय रूप से उत्तल हैं। का कोई भी सरल रूप से परिबद्ध उपसमुच्चय $$L(X; Y)$$ कब बाध्य है $$L(X; Y)$$ उत्तल, संतुलित समुच्चय, परिबद्ध, पूर्ण उपसमुच्चय पर एकसमान अभिसरण की टोपोलॉजी है $$X.$$ यदि इसके अतिरिक्त $$X$$ के परिबद्ध उपसमुच्चय के सदस्यों से अर्ध-पूर्ण है $$L(X; Y)$$ सभी के लिए समान हैं $$\mathcal{G}$$-टोपोलॉजी चालू $$L(X; Y)$$ ऐसा है कि $$\mathcal{G}$$ बाउंडेड समुच्चय कवरिंग का सदस्य है $$X.$$</li> </ul>
 * तो विशेष रूप से, प्रत्येक समविराम उपसमुच्चय पर $$L(X; Y),$$ बिंदुवार अभिसरण की टोपोलॉजी मेट्रिज़ेबल है।</li>
 * इसके साथ ही, $$L(X; Y)$$ सभी रैखिक मापों के समष्टि में सघन है (निरंतर या नहीं) $$X$$ में $$Y.$$</li>

समसतत् उपसमुच्चय

 समविराम रेखीय माप का कमजोर समापन $$L(X; Y)$$ समसतत् है.</li> यदि $$Y$$ समष्टिीय रूप से उत्तल है, तो समविराम उपसमुच्चय का उत्तल संतुलित पतवार $$L(X; Y)$$ समसतत् है.</li> चलिए $$X$$ और $$Y$$ टीवीएस बनें और मान लें कि (1) $$X$$ बैरल वाली जगह है, वरना (2) $$X$$ बेयर समष्टि है और $$X$$ और $$Y$$ समष्टिीय रूप से उत्तल हैं। फिर प्रत्येक सरल रूप से परिबद्ध उपसमुच्चय $$L(X; Y)$$ समविराम है.</li> समविराम उपसमुच्चय पर $$H$$ का $$L(X; Y),$$ निम्नलिखित टोपोलॉजी समान हैं: (1) कुल उपसमुच्चय पर बिंदुवार अभिसरण की टोपोलॉजी $$X$$; (2) बिंदुवार अभिसरण की टोपोलॉजी; (3) प्रीकॉम्पैक्ट अभिसरण की टोपोलॉजी।</li> </ul>

संक्षिप्त अभिसरण
जैसे भी हो $$\mathcal{G}$$ के सभी संहत उपसमुच्चयों का समुच्चय हो $$X,$$ $$L(X; Y)$$ कॉम्पैक्ट अभिसरण की टोपोलॉजी या कॉम्पैक्ट समुच्चय पर समान अभिसरण की टोपोलॉजी होगी और $$L(X; Y)$$ इसके साथ टोपोलॉजी को दर्शाया जाता है $$L_c(X; Y)$$.

कॉम्पैक्ट अभिसरण की टोपोलॉजी पर $$L(X; Y)$$ निम्नलिखित गुण हैं:  यदि $$X$$ फ़्रेचेट समष्टि या एलएफ-समष्टि है और यदि $$Y$$ तब यह पूर्ण टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि है जो समष्टिीय रूप से उत्तल हॉसडॉर्फ समष्टि है $$L_c(X; Y)$$ पूरा हो गया है.</li> <li>समविराम रेखीय मापों पर $$L(X; Y),$$ निम्नलिखित टोपोलॉजी मेल खाती हैं: <li>यदि $$X$$ मॉन्टेल समष्टि है और $$Y$$ तो, टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि है $$L_c(X; Y)$$ और $$L_b(X; Y)$$ समान टोपोलॉजी है.</li> </ul>
 * के सघन उपसमुच्चय पर बिंदुवार अभिसरण की टोपोलॉजी $$X,$$
 * बिंदुवार अभिसरण की टोपोलॉजी $$X,$$
 * कॉम्पैक्ट अभिसरण की टोपोलॉजी।
 * प्रीकॉम्पैक्ट अभिसरण की टोपोलॉजी।</li>

परिबद्ध अभिसरण की टोपोलॉजी
जैसे भी हो $$\mathcal{G}$$ के सभी परिबद्ध उपसमुच्चयों का समुच्चय हो $$X,$$ $$L(X; Y)$$ पर परिबद्ध अभिसरण की टोपोलॉजी होगी $$X$$या परिबद्ध समुच्चयों पर एकसमान अभिसरण की टोपोलॉजी और $$L(X; Y)$$ इसके साथ टोपोलॉजी को दर्शाया जाता है $$L_b(X; Y)$$.

परिबद्ध अभिसरण की टोपोलॉजी $$L(X; Y)$$ निम्नलिखित गुण हैं: <ul> <li>यदि $$X$$ जन्मजात समष्टि है और यदि $$Y$$ तब यह पूर्ण टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि है जो समष्टिीय रूप से उत्तल हॉसडॉर्फ समष्टि है $$L_b(X; Y)$$ पूरा हो गया है.</li> <li>यदि $$X$$ और $$Y$$ टोपोलॉजी के बाद दोनों मानक समष्टि हैं $$L(X; Y)$$ सामान्य ऑपरेटर मानदंड से प्रेरित टोपोलॉजी के समान है $$L_b(X; Y)$$. <li>प्रत्येक समसतत् उपसमुच्चय $$L(X; Y)$$ में घिरा हुआ है $$L_b(X; Y)$$.</li> </ul>
 * विशेष रूप से, यदि $$X$$ मानक समष्टि है तो निरंतर दोहरे समष्टि पर सामान्य मानक टोपोलॉजी $$X^{\prime}$$ परिबद्ध अभिसरण की टोपोलॉजी के समान है $$X^{\prime}$$.</li>

ध्रुवीय टोपोलॉजी
कुल मिलाकर, हम यही मानते हैं $$X$$ टीवीएस है.

𝒢-टोपोलॉजी बनाम ध्रुवीय टोपोलॉजी
अगर $$X$$ टीवीएस है जिसका बाउंडेड समुच्चय (टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि) उपसमुच्चय बिल्कुल इसके जैसा ही है परिबद्ध उपसमुच्चय (उदा. यदि $$X$$ हॉसडॉर्फ समष्टिीय रूप से उत्तल समष्टि है), फिर ए $$\mathcal{G}$$-टोपोलॉजी चालू $$X^{\prime}$$ (जैसा कि इस आलेख में परिभाषित किया गया है) ध्रुवीय टोपोलॉजी है और इसके विपरीत, प्रत्येक ध्रुवीय टोपोलॉजी यदि ए $$\mathcal{G}$$-टोपोलॉजी. नतीजतन, इस मामले में इस लेख में उल्लिखित परिणामों को ध्रुवीय टोपोलॉजी पर लागू किया जा सकता है।

हालांकि, यदि $$X$$ टीवीएस है जिसके परिबद्ध उपसमुच्चय हैं बिल्कुल वैसा ही है परिबद्ध उपसमुच्चय, फिर परिबद्ध की धारणा $$X$$की धारणा से अधिक मजबूत है$$\sigma\left(X, X^{\prime}\right)$$-में बंधा हुआ $$X$$(अर्थात घिरा हुआ $$X$$ तात्पर्य $$\sigma\left(X, X^{\prime}\right)$$-में बंधा हुआ $$X$$) जिससे ए $$\mathcal{G}$$-टोपोलॉजी चालू $$X^{\prime}$$ (जैसा कि इस आलेख में परिभाषित किया गया है) है  आवश्यक रूप से ध्रुवीय टोपोलॉजी। महत्वपूर्ण अंतर यह है कि ध्रुवीय टोपोलॉजी हमेशा समष्टिीय रूप से उत्तल होती हैं $$\mathcal{G}$$-टोपोलॉजी की आवश्यकता नहीं है.

इस लेख में वर्णित समान अभिसरण की अधिक सामान्य टोपोलॉजी की तुलना में ध्रुवीय टोपोलॉजी के मजबूत परिणाम हैं और हम मुख्य लेख को पढ़ते हैं: ध्रुवीय टोपोलॉजी। हम यहां कुछ उपसे सामान्य ध्रुवीय टोपोलॉजी की सूची बनाते हैं।

ध्रुवीय टोपोलॉजी की सूची
लगता है कि $$X$$ टीवीएस है जिसके परिबद्ध उपसमुच्चय उसके कमजोर रूप से परिबद्ध उपसमुच्चय के समान हैं।

संकेतन: यदि $$\Delta(Y, X)$$ ध्रुवीय टोपोलॉजी को दर्शाता है $$Y$$ तब $$Y$$ इस टोपोलॉजी से संपन्न को निरूपित किया जाएगा $$Y_{\Delta(Y, X)}$$ या केवल $$Y_{\Delta}$$ (उदाहरण के लिए $$\sigma(Y, X)$$ हमारे पास होगा $$\Delta = \sigma$$ जिससे $$Y_{\sigma(Y, X)}$$ और $$Y_{\sigma}$$ सभी निरूपित करते हैं $$Y$$ के साथ संपन्न $$\sigma(Y, X)$$).

𝒢-ℋ द्विरेखीय मापों के समष्टि पर टोपोलॉजी
हम जाने देंगे $$\mathcal{B}(X, Y; Z)$$ अलग-अलग निरंतर द्विरेखीय मापों के समष्टि को निरूपित करें और $$B(X, Y; Z)$$सतत द्विरेखीय मापों के समष्टि को निरूपित करें, जहाँ $$X, Y,$$ और $$Z$$ ही क्षेत्र पर टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि हैं (या तो वास्तविक या जटिल संख्याएं)। हमने टोपोलॉजी को जिस तरह से रखा है, उसी तरह से $$L(X; Y)$$ हम टोपोलॉजी रख सकते हैं $$\mathcal{B}(X, Y; Z)$$ और $$B(X, Y; Z)$$.

मान लीजिए $$\mathcal{G}$$ (क्रमश, $$\mathcal{H}$$) के उपसमुच्चय का सदस्य बनें $$X$$ (क्रमश, $$Y$$) जिसमें कम से कम गैर-रिक्त समुच्चय हो। मान लीजिए $$\mathcal{G} \times \mathcal{H}$$ सभी समुच्चयों के संग्रह को निरूपित करें $$G \times H$$ कहाँ $$G \in \mathcal{G},$$ $$H \in \mathcal{H}.$$ हम लगा सकते हैं $$Z^{X \times Y}$$ $$\mathcal{G} \times \mathcal{H}$$-टोपोलॉजी, और फलस्वरूप इसके किसी भी उपसमुच्चय पर, विशेष रूप से $$B(X, Y; Z)$$और पर $$\mathcal{B}(X, Y; Z)$$. इस टोपोलॉजी को के नाम से जाना जाता है$$\mathcal{G}-\mathcal{H}$$-टोपोलॉजी या उत्पादों पर समान अभिसरण की टोपोलॉजी के रूप में $$G \times H$$ का $$\mathcal{G} \times \mathcal{H}$$.

चूँकि, पहले की तरह, यह टोपोलॉजी सदिश समष्टि संरचना के साथ आवश्यक रूप से संगत नहीं है $$\mathcal{B}(X, Y; Z)$$ या का $$B(X, Y; Z)$$सभी द्विरेखीय मापों के लिए अतिरिक्त आवश्यकता के बिना, $$b$$ इस समष्टि में (अर्थात्, में $$\mathcal{B}(X, Y; Z)$$ या में $$B(X, Y; Z)$$) और सभी के लिए $$G \in \mathcal{G}$$ और $$H \in \mathcal{H},$$ समुच्चय $$b(G, H)$$ में घिरा हुआ है $$X.$$ अगर दोनों $$\mathcal{G}$$ और $$\mathcal{H}$$ यदि हम टोपोलॉजीज़िंग कर रहे हैं तो यह बाध्य समुच्चयों से मिलकर बनता है तो यह आवश्यकता स्वचालित रूप से संतुष्ट हो जाती है $$B(X, Y; Z)$$लेकिन अगर हम टोपोलॉजी बनाने की कोशिश कर रहे हैं तो यह मामला नहीं हो सकता है $$\mathcal{B}(X, Y; Z)$$. $$\mathcal{G}-\mathcal{H}$$वें>-टोपोलॉजी पर $$\mathcal{B}(X, Y; Z)$$ के सदिश अंतरिक्ष संरचना के साथ संगत होगा $$\mathcal{B}(X, Y; Z)$$ अगर दोनों $$\mathcal{G}$$ और $$\mathcal{H}$$ इसमें परिबद्ध समुच्चय शामिल हैं और निम्नलिखित में से कोई भी शर्त लागू होती है:
 * $$X$$ और $$Y$$ बैरल वाली जगहें हैं और $$Z$$ समष्टिीय रूप से उत्तल है.
 * $$X$$ एफ-समष्टि है, $$Y$$ मेट्रिज़ेबल है, और $$Z$$ इस मामले में हॉसडॉर्फ है $$\mathcal{B}(X, Y; Z) = B(X, Y; Z).$$
 * $$X, Y,$$ और $$Z$$ रिफ्लेक्सिव फ़्रेचेट रिक्त समष्टि के मजबूत दोहरे हैं।
 * $$X$$ मानकीकृत है और $$Y$$ और $$Z$$ रिफ्लेक्सिव फ़्रेचेट रिक्त समष्टि के मजबूत दोहरे

ε-टोपोलॉजी
लगता है कि $$X, Y,$$ और $$Z$$ समष्टिीय रूप से उत्तल समष्टि हैं और चलो $$\mathcal{G}^{\prime}$$ और $$\mathcal{H}^{\prime}$$ के समसतत् रैखिक फलनात्मकताओं का संग्रह हो $$X^{\prime}$$ और $$X^{\prime}$$, क्रमश। फिर $$\mathcal{G}^{\prime}-\mathcal{H}^{\prime}$$-टोपोलॉजी चालू $$\mathcal{B}\left(X^{\prime}_{b\left(X^{\prime}, X\right)}, Y^{\prime}_{b\left(X^{\prime}, X\right)}; Z\right)$$ टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि टोपोलॉजी होगी। इस टोपोलॉजी को ε-टोपोलॉजी कहा जाता है $$\mathcal{B}\left(X^{\prime}_{b\left(X^{\prime}, X\right)}, Y_{b\left(X^{\prime}, X\right)}; Z\right)$$ इस टोपोलॉजी से इसे दर्शाया जाता है $$\mathcal{B}_{\epsilon}\left(X^{\prime}_{b\left(X^{\prime}, X\right)}, Y^{\prime}_{b\left(X^{\prime}, X\right)}; Z\right)$$ या बस द्वारा $$\mathcal{B}_{\epsilon}\left(X^{\prime}_{b}, Y^{\prime}_{b}; Z\right).$$ इस सदिश समष्टि और इस टोपोलॉजी के महत्व का हिस्सा यह है कि इसमें कई उप-समष्टि शामिल हैं, जैसे $$\mathcal{B}\left(X^{\prime}_{\sigma\left(X^{\prime}, X\right)}, Y^{\prime}_{\sigma\left(X^{\prime}, X\right)}; Z\right),$$ जिसे हम निरूपित करते हैं $$\mathcal{B}\left(X^{\prime}_{\sigma}, Y^{\prime}_{\sigma}; Z\right).$$ जब इस उप-समष्टि को उप-समष्टि टोपोलॉजी दी जाती है $$\mathcal{B}_{\epsilon}\left(X^{\prime}_{b}, Y^{\prime}_{b}; Z\right)$$ इसे निरूपित किया जाता है $$\mathcal{B}_{\epsilon}\left(X^{\prime}_{\sigma}, Y^{\prime}_{\sigma}; Z\right).$$ उदाहरण में जहां $$Z$$ इन सदिश समष्टि का क्षेत्र है, $$\mathcal{B}\left(X^{\prime}_{\sigma}, Y^{\prime}_{\sigma}\right)$$ का टेंसर उत्पाद है $$X$$ और $$Y.$$ वास्तव में, यदि $$X$$ और $$Y$$ तब समष्टिीय रूप से उत्तल हॉसडॉर्फ समष्टि हैं $$\mathcal{B}\left(X^{\prime}_{\sigma}, Y^{\prime}_{\sigma}\right)$$ सदिश समष्टि-आइसोमोर्फिक है $$L\left(X^{\prime}_{\sigma\left(X^{\prime}, X\right)}; Y_{\sigma(Y^{\prime}, Y)}\right),$$ जो बदले में बराबर है $$L\left(X^{\prime}_{\tau\left(X^{\prime}, X\right)}; Y\right).$$ इन समष्टि में निम्नलिखित गुण हैं:
 * अगर $$X$$ और $$Y$$ तब समष्टिीय रूप से उत्तल हॉसडॉर्फ समष्टि हैं $$\mathcal{B}_{\varepsilon}\left(X^{\prime}_{\sigma}, Y^{\prime}_{\sigma}\right)$$ पूर्ण है यदि और केवल यदि दोनों $$X$$ और $$Y$$ पूर्ण हैं.
 * अगर $$X$$ और $$Y$$ दोनों मानक हैं (क्रमशः, दोनों बानाच) तो ऐसा ही है $$\mathcal{B}_{\epsilon}\left(X^{\prime}_{\sigma}, Y^{\prime}_{\sigma}\right)$$