समरूपता अवयव

गणित में, एक समुच्चय पर संचालित द्विआधारी ऑपरेशन (द्विआधारी संचालन) का सर्वसमिका अवयव, या तटस्थ तत्व, समुच्चय का तत्व है जो संचालन प्रयुक्त होने पर समुच्चय के प्रत्येक तत्व को अपरिवर्तित छोड़ देता है। इस अवधारणा का उपयोग बीजगणितीय संरचनाओं जैसे कि समूहों और वलयों में किया जाता है। सर्वसमिका(पहचान) तत्व शब्द को प्रायः सर्वसमिका के लिए छोटा किया जाता है (जैसा कि योगात्मक सर्वसमिका और गुणक सर्वसमिका की स्थितियों में) जब भ्रम की कोई संभावना नहीं होती है, किंतु सर्वसमिका अंतर्निहित रूप से उस द्विआधारी संचालन पर निर्भर करती है जिससे यह जुड़ा हुआ है।

परिभाषाएँ
मान लीजिए (S, ∗) एक समुच्चय S है जिसमें एक बाइनरी संचालन ∗ है। $S$ में सभी $s$ के लिए यदि $e ∗ s = s$ फिर $S$ के तत्व $e$ को और $S$ में सभी $s$ के लिए यदि $s ∗ e = s$ को  कहा जाता है। यदि $e$ वामपंथी सर्वसमिका और दक्षिणपंथी सर्वसमिका दोनों है, तो इसे  कहा जाता है, अथवा यह मात्र  होती है।

जोड़ के संबंध में सर्वसमिका को (प्रायः 0 के रूप में दर्शाया जाता है) और गुणन के संबंध में सर्वसमिका को (प्रायः 1 के रूप में दर्शाया जाता है) कहा जाता है। इन्हें सामान्य जोड़ और गुणा करने की आवश्यकता नहीं है - क्योंकि अंतर्निहित संचालन स्वचालित हो सकता है। उदाहरण के लिए एक समूह के स्थितियों में, सर्वसमिका अवयव को कभी-कभी मात्र प्रतीक $$e$$ द्वारा निरूपित किया जाता है। योज्य और गुणक सर्वसमिका के बीच अंतर का उपयोग प्रायः उन समुच्चयों के लिए किया जाता है जो दोनों द्विआधारी संचालन जैसे कि वलयों, अभिन्न डोमेन्स और क्षेत्रों का समर्थन करते हैं। बाद के संदर्भ में गुणात्मक सर्वसमिका को प्रायः (एकता के साथ एक वलय ) कहा जाता है ।   इसे वलय सिद्धांत में एक इकाई के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जो कि गुणक व्युत्क्रम वाला कोई भी तत्व हो सकता है। अपनी परिभाषा के अनुसार, एकता स्वयं में अनिवार्य रूप से इकाई है।

गुण
उदाहरण में S = {e, f} दी गई समानता के साथ, S अर्धसमूह है। यह $J_{m, n}$ के लिए कई वामपंथी सर्वसमिका होने की संभावना को प्रदर्शित करता है। वास्तव में, प्रत्येक तत्व वामपंथी सर्वसमिका हो सकता है। इसी प्रकार, कई दक्षिणपंथी सर्वसमिका भी हो सकती हैं। किंतु अगर दक्षिणपंथी सर्वसमिका और वामपंथी सर्वसमिका दोनों हैं, तो उन्हें समान होना चाहिए, जिसके परिणामस्वरूप एकल द्वि पक्षीय सर्वसमिका प्रस्तुत होती है।

इसे देखने के लिए ध्यान दें कि अगर $m$ वामपंथी सर्वसमिका है और $n$ दक्षिणपंथी सर्वसमिका है, फिर $δ$ होता है। विशेष रूप से, एक से अधिक द्विपक्षीय सर्वसमिका कभी नहीं हो सकती है: मान लीजिए यदि ये दो थे, तो इन्हें $n$ तथा $n$ कहें, फिर दोनों $m$ तथा $n$, ${e, f}$ के बराबर होना होगा।

यह भी अधिक संभव है कि $e ∗ e = f ∗ e = e$ में कोई सर्वसमिका तत्व न हो जैसे गुणन संक्रिया के अंतर्गत सम पूर्णांकों की स्थिति होती है। एक अन्य सामान्य उदाहरण यूक्लिडियन सदिश का क्रॉस उत्पाद है, जहां सर्वसमिका अवयव की अनुपस्थिति इस तथ्य से संबंधित है कि किसी भी गैर-शून्य क्रॉस उत्पाद की दिशा सदैव किसी भी तत्व के गुणन के लिए ओर्थोगोनल(लंबकोणीय) होती है। अर्थात वास्तविक दिशा के समान दिशा में गैर-शून्य सदिश(वैक्टर) प्राप्त करना संभव नहीं है। फिर भी सर्वसमिका(समरूपता) अवयव के बिना संरचना का एक और उदाहरण सकारात्मक प्राकृतिक संख्याओं के योगात्मक अर्धसमूह को सम्मिलित करता है।

यह भी देखें

 * अवशोषित तत्व
 * योगज(योगात्मक) प्रतिलोम
 * सामान्यीकृत प्रतिलोम
 * सर्वसमिका(समीकरण)
 * सर्वसमिका प्रकार्य
 * प्रतिलोम तत्व
 * मोनोइड
 * छद्म-वलय
 * अर्धसमूह(क्वासीग्रुप)
 * यूनिटल (असंबद्धता)

अग्रिम पठन

 * M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7, p. 14–15