इकोसिट्रिगोन

ज्यामिति में, एक इकोसिट्रिगोन (या इकोसिकाइट्रिगोन) या 23-गॉन एक 23-पक्षीय बहुभुज है। आईकोसिट्रिगोन को सबसे छोटा नियमित बहुभुज होने का गौरव प्राप्त है जो न्यूसिस निर्माण नहीं है।

नियमित इकोसिट्रिगोन
एक नियमित बहुभुज इकोसिट्रिगोन को श्लाफली प्रतीक {23} द्वारा दर्शाया गया है।

एक नियमित इकोसिट्रिगोन में $A = \frac{23}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{23} = 23r^2 \tan \frac{\pi}{23} \simeq 41.8344\,a^2,$ के एक क्षेत्र के साथ $\frac{3780}{23}$  डिग्री के आंतरिक कोण होते हैं, जहाँ $$a$$ पक्ष की लंबाई है और $$r$$ अंतःत्रिज्या, या अंतःत्रिज्या है।

23 (संख्या) न तो फर्मेट प्राइम और न ही पियरपोंट प्राइम होने के कारण नियमित इकोसिट्रिगोन एक कम्पास और स्ट्रेटेज या कोण त्रिभाजन के साथ रचनात्मक नहीं है। इसके अतिरिक्त, नियमित आईकोसिट्रिगोन सबसे छोटा नियमित बहुभुज है जो न्यूसिस के साथ भी रचनात्मक नहीं है।

SSSSSS नियमित इकोसिट्रिगोन की गैर-संरचनात्मकता के संबंध में, ए। बारागर (2002) ने दिखाया कि केवल एक कम्पास और दो-नुकीली सीधीज का उपयोग करके एक नियमित 23-गॉन का निर्माण करना संभव नहीं है, यह प्रदर्शित करते हुए कि उक्त विधि से निर्मित प्रत्येक बिंदु फ़ील्ड के एक टॉवर में स्थित है। (गणित) खत्म $$\Q$$ ऐसा है कि $$\Q = K_0 \subset K_1 \subset \dots \subset K_n = K$$, नेस्टेड फ़ील्ड्स का अनुक्रम होना जिसमें प्रत्येक चरण पर विस्तार की डिग्री 2, 3, 5, या 6 है।

कल्पना करना $$\alpha$$ में $$\Complex$$ कम्पास और दो बार नोकदार का उपयोग करके निर्माण किया जा सकता है सीधे बढ़त। तब $$\alpha$$ एक मैदान के अंतर्गत आता है $$K$$ जो खेतों के एक टॉवर में स्थित है $$\Q = K_0 \subset K_1 \subset \dots \subset K_n = K$$ जिसके लिए सूचकांक $$[K_j: K_{j - 1}]$$ प्रत्येक चरण पर 2, 3, 5, या 6 है। विशेष रूप से, यदि $$N = [K : \Q]$$, फिर केवल अभाज्य विभाजन $$N$$ 2, 3 और 5 हैं। (प्रमेय 5.1)

यदि हम नियमित पी-गॉन का निर्माण कर सकते हैं, तो हम निर्माण कर सकते हैं $$\zeta_p = e^\frac{2\pi i}{p}$$, जो डिग्री के एक अलघुकरणीय बहुपद का मूल है $$p - 1$$. प्रमेय 5.1 द्वारा, $$\zeta_p$$ एक मैदान में पड़ा है $$K$$ डिग्री का $$N$$ ऊपर $$\Q$$, जहां विभाजित करने वाले एकमात्र अभाज्य हैं $$N$$ 2, 3 और 5 हैं। परंतु $$\Q[\zeta_p]$$ का उपक्षेत्र है $$K$$, इसलिए $$p - 1$$ विभाजित $$N$$. विशेष रूप से, के लिए $$p = 23$$, $$N$$ 11 से विभाज्य होना चाहिए, और के लिए $$p = 29$$, N को 7 से विभाज्य होना चाहिए। यह परिणाम 100-गॉन के नीचे प्रधान-शक्ति नियमित बहुभुजों पर विचार करते हुए स्थापित करता है, कि 23-, 29-, 43-, 47-, 49-, 53-, 59-, 67-, 71-, का निर्माण करना असंभव है। 79-, 83-, और 89-गोंन्स नेसिस के साथ। लेकिन यह इतना मजबूत नहीं है कि हेंडेकागन के मामलों को तय कर सके|11-, 25-, 31-, 41-, और 61-गोंन्स। इलियट बेंजामिन और चिप स्नाइडर ने 2014 में पता लगाया कि नियमित hedecagon  (11-गॉन) न्यूसिस रचनात्मक है; शेष मामले अभी भी खुले हैं। एक इकोसिट्रिगोन पेपर फोल्डिंग # कंस्ट्रक्शन का गणित नहीं है, क्योंकि 23 पियरपोंट प्राइम नहीं है, न ही दो की शक्ति या तीन की शक्ति। इसे हिप्पियास, आर्किमिडीयन सर्पिल, और अन्य कोण त्रिभाजन # सहायक वक्र के साथ चतुर्भुज का उपयोग करके बनाया जा सकता है; फिर भी यह सभी नियमित बहुभुजों के लिए सत्य है।

संबंधित आंकड़े
नीचे दस नियमित आईकोसिट्रिग्राम, या स्टार बहुभुज 23-गोंन्स की एक तालिका है, जो उनके संबंधित श्लाफली प्रतीक {23/q}, 2 ≤ q ≤ 11 के साथ लेबल की गई है।

बाहरी संबंध

 * Automated Detection of Interesting Properties in Regular Polygons