स्थानिक आवृत्ति

गणित, भौतिकी और अभियांत्रिकी में स्थानिक आवृत्ति मुख्य रूप से किसी संरचना की वह विशेषता है जो अंतरिक्ष में स्थिति आवधिक कार्य को पूरा करने में सहायक होती है। इस प्रकार हम यह कह सकते हैं कि स्थानिक आवृत्ति इस बात की उचित माप है कि कितनी बार संरचना की साइन तरंग (फूरियर रूपांतरण द्वारा निर्धारित होने वाली दूरी की प्रति इकाई माप को दोहराती हैं। स्थानिक आवृत्ति की एसआई इकाई चक्र (इकाई) प्रति मीटर (m) है। इस प्रकार प्रतिबिम्ब-प्रसंस्करण अनुप्रयोगों में, स्थानिक आवृत्ति अधिकांशतः चक्र प्रति मिलीमीटर (मिमी) या समकक्ष प्रतिबिम्ब रेखा को संयोजी रूप से प्रति मिमी की इकाइयों में व्यक्त किया जाता है।

तरंग प्रसार में, स्थानिक आवृत्ति को 'तरंग संख्या' के रूप में भी जाना जाता है। इस प्रकार साधारण तरंग संख्या को तरंगदैर्घ्य $$\lambda$$ के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है, और सामान्यतः इस प्रकार $$\xi$$ द्वारा या कभी कभी $$\nu$$ इसे निरूपित किया जाता है:
 * $$\xi = \frac{1}{\lambda}.$$

कोणीय तरंग संख्या $$k$$, कांति प्रति मीटर में व्यक्त, सामान्य तरंग संख्या और तरंग दैर्ध्य से संबंधित है
 * $$k = 2 \pi \xi = \frac{2 \pi}{\lambda}.$$

दृश्य धारणा
दृश्य धारणा के अध्ययन में, दृश्य प्रणाली की क्षमताओं की जांच के लिए साइन वेव लैटिस का उपयोग अधिकांशतः किया जाता है। इन उत्तेजना (फिजियोलॉजी) में, स्थानिक आवृत्ति को दृश्य कोण के प्रति डिग्री (कोण) चक्रों की संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है। इस प्रकार साइन-वेव लैटिस भी आयाम जो प्रकाश और अंधेरी रेखाओं के बीच तीव्रता में अंतर का परिमाण होने के साथ यह कोण में दूसरे से भिन्न होते हैं।

स्थानिक-आवृत्ति सिद्धांत
स्थानिक-आवृत्ति सिद्धांत इस सिद्धांत को संदर्भित करता है कि दृश्य कॉर्टेक्स स्थानिक आवृत्ति के कोड पर संचालित होता है, न कि सीधे किनारों के कोड पर और दृश्य कोर्टेक्स पर प्रारंभिक प्रयोगों के आधार पर हबेल और विज़ेल द्वारा परिकल्पित रेखा, प्राथमिक दृश्य कॉर्टेक्स_(V1) ) में प्रदर्शित होता हैं। इस प्रकार इस सिद्धांत के समर्थन में प्रयोगात्मक अवलोकन है कि दृश्य कॉर्टेक्स न्यूरॉन्स साइन-वेव लैटिस के लिए और भी अधिक मजबूती से प्रतिक्रिया करते हैं जो कि उनके ग्रहणशील क्षेत्र दृश्य प्रणाली में विशिष्ट कोणों पर किनारों या बार की तुलना में रखे जाते हैं। इस प्रकार इसके प्राथमिक विज़ुअल कॉर्टेक्स में अधिकांश न्यूरॉन्स सबसे अच्छी प्रतिक्रिया देते हैं जब दृश्य क्षेत्र में किसी विशेष स्थान पर किसी विशेष आवृत्ति की साइन-वेव लैटिस प्रस्तुत की जाती है। चूंकि इस प्रकार यहाँ पर टेलर (1984) द्वारा नोट किया गया है, किसी विशेष उत्तेजना की धारणा में इसकी भूमिका के संबंध में विशेष महत्व के रूप में किसी विशेष न्यूरॉन की उच्चतम फायरिंग सीमा का उपचार करना संभवतः बुद्धिमानी नहीं है, इस प्रकार यह देखते हुए कि तंत्रिका कोड सापेक्ष फायरिंग दरों से जुड़ा हुआ है। उदाहरण के लिए, मानव रेटिना में तीन शंकु द्वारा रंग कोडिंग में, शंकु के लिए कोई विशेष महत्व नहीं है जो इस प्रकार सबसे अधिक मजबूती से फायरिंग कर रहा है- इस प्रकार इन तीनों को साथ में फायरिंग की सापेक्ष दर क्या आशय रखती है। इस प्रकार टेलर (1984) ने इसी प्रकार से उल्लेख किया है कि विशेष उत्तेजना के जवाब में फायरिंग दर की व्याख्या यह संकेत के रूप में नहीं की जानी चाहिए कि न्यूरॉन को उस उत्तेजना के लिए विशिष्ट है, क्योंकि इस प्रकार उत्तेजनाओं का असीमित तुल्यता वर्ग समान फायरिंग दरों का उत्पादन करने में सक्षम है।

दृष्टि का स्थानिक-आवृत्ति सिद्धांत दो भौतिक सिद्धांतों पर आधारित है:


 * 1) किसी भी दृश्य उत्तेजना को प्रकाश की तीव्रता को उसके माध्यम से चलने वाली रेखाओं के साथ चित्रित करके दर्शाया जा सकता है।
 * 2) फूरियर विश्लेषण द्वारा किसी भी वक्र को घटक साइन तरंगों में तोड़ा जा सकता है।

इस सिद्धांत के अनुसार अनुभवजन्य समर्थन अभी तक विकसित नहीं हुआ है, जो बताता है कि विज़ुअल कॉर्टेक्स के प्रत्येक कार्यात्मक मॉड्यूल में, फूरियर विश्लेषण या इसके टुकड़े के रूप में ग्रहणशील क्षेत्र पर किया जाता है और इस प्रकार प्रत्येक मॉड्यूल में न्यूरॉन्स साइन तरंग लैटिस के विभिन्न झुकावों और आवृत्तियों के लिए चुनिंदा प्रतिक्रिया देने के लिए सोचा जाता है। इस प्रकार जब सभी विज़ुअल कॉर्टेक्स न्यूरॉन्स जो विशिष्ट दृश्य से प्रभावित होते हैं, साथ प्रतिक्रिया करते हैं, दृश्य की धारणा विभिन्न साइन-वेव लैटिस के योग द्वारा बनाई जाती है। इस प्रकार यह प्रक्रिया, चूंकि, आंकड़ों, आधारों आदि में योग के उत्पादों के संगठन की समस्या का समाधान नहीं करती है। इस प्रकार यह रेटिना प्रक्षेपण में फोटॉन तीव्रता और तरंग दैर्ध्य के मूल पूर्व-फूरियर विश्लेषण के वितरण को प्रभावी ढंग से पुनर्प्राप्त करती है। अपितु इस मूल वितरण में जानकारी नहीं जोड़ता है। इसलिए ऐसी परिकल्पित प्रक्रिया का कार्यात्मक मूल्य स्पष्ट नहीं है। इस प्रकार फूरियर सिद्धांत पर कुछ अन्य आपत्तियों पर वेस्टहाइमर (2001) द्वारा चर्चा की गई है। सामान्यतः इस प्रकार व्यक्तिगत स्थानिक आवृत्ति घटकों के बारे में पता नहीं होता है क्योंकि सभी तत्व अनिवार्य रूप से समतल प्रतिनिधित्व में साथ मिश्रित होते हैं। चूंकि इस प्रकार कंप्यूटर-आधारित फ़िल्टरिंग प्रक्रियाओं का उपयोग किसी प्रतिबिम्ब को उसके व्यक्तिगत स्थानिक आवृत्ति घटकों में विखंडित करने के लिए किया जा सकता है। इस प्रकार दृश्य न्यूरॉन्स द्वारा स्थानिक आवृत्ति का पता लगाने पर शोध, पिछले शोध को खंडन करने के बजाय सीधे किनारों का उपयोग करके पूरक करता है और बढ़ाता है।

इसके आगे के शोध से पता चलता है कि अलग-अलग स्थानिक आवृत्तियाँ उत्तेजना की उपस्थिति के बारे में अलग-अलग जानकारी देती हैं। उच्च स्थानिक आवृत्तियाँ प्रतिबिम्ब में आकस्मिक स्थानिक परिवर्तनों का प्रतिनिधित्व करती हैं, जैसे कि किनारे, और सामान्यतः इस प्रतिक्रिया की जानकारी और बारीक विवरण के अनुरूप होती हैं। इस प्रकार एम. बार (2004) ने प्रस्तावित किया है कि कम स्थानिक आवृत्तियाँ आकार के बारे में वैश्विक जानकारी का प्रतिनिधित्व करती हैं, जैसे सामान्य अभिविन्यास और अनुपात के सामान हैं। इसके आधार पर इन आधार वस्तु की तीव्र और विशिष्ट धारणा कम स्थानिक आवृत्ति सूचना पर अधिक विश्वास करने के लिए जानी जाती है। इस प्रकार वयस्कों की सामान्य आबादी में, स्थानिक आवृत्ति भेदभाव की लगभग 7% है। डिस्लेक्सिक व्यक्तियों में यह अधिकांशतः गरीब होता है।

एमआरआई में स्थानिक आवृत्ति
जब गणितीय फ़ंक्शन में स्थानिक आवृत्ति को चर के रूप में उपयोग किया जाता है, तो फ़ंक्शन को के-स्पेस (चुंबकीय अनुनाद इमेजिंग) के-स्पेस में कहा जाता है। एमआरआई में दो आयामी के-स्पेस को कच्चे डेटा स्टोरेज स्पेस के रूप में प्रस्तुत किया गया है। इस प्रकार के-स्पेस में प्रत्येक डेटा बिंदु का मान 1/मीटर की इकाई में मापा जाता है, अर्थात स्थानिक आवृत्ति की इकाई को प्रदर्शित करता हैं।

यह बहुत सामान्य है कि के-स्पेस में कच्चा डेटा आवधिक कार्यों की विशेषताएं दिखाता है। इस प्रकार आवधिकता स्थानिक आवृत्ति नहीं है, अपितु इस प्रकार यह अस्थायी आवृत्ति है। इस प्रकार एमआरआई कच्चा डेटा आव्यूह चरण-चर स्पिन-इको संकेतों की श्रृंखला से बना है। इस प्रकार स्पिन-इको सिग्नल में से प्रत्येक समय का सिंक कार्य है, जिसे इसके द्वारा वर्णित किया जा सकता है
 * स्पिन-इको = $$ \frac {M_\mathrm{0}\sin \omega_\mathrm{r}t}{\omega_\mathrm{r}t}$$

जहां
 * $$ \omega_\mathrm{r}=\omega_\mathrm{0} + \bar{\gamma} rG$$

यहाँ $$\bar{\gamma}$$ जाइरोमैग्नेटिक अनुपात स्थिर है, और $$\omega_\mathrm{0} $$ स्पिन की मूल अनुनाद आवृत्ति है। इस प्रकार प्रवणता G की उपस्थिति के कारण, 'स्थानिक सूचना आर' आवृत्ति पर एन्कोड किया गया है $$\omega$$. एमआरआई कच्चे डेटा में देखी गई आवधिकता केवल यही आवृत्ति है $$\omega_\mathrm{r}$$, जो मूल रूप से प्रकृति में अस्थायी आवृत्ति है।

घूमते हुए फ्रेम में, $$\omega_\mathrm{0}=0 $$, और $$ \omega_\mathrm{r}$$ करने के लिए सरलीकृत किया गया है $$\bar{\gamma} rG$$. बस दे कर $$ k= \bar{\gamma} Gt$$, स्पिन-इको सिग्नल को वैकल्पिक रूप में व्यक्त किया जाता है
 * स्पिन-इको = $$\frac {M_\mathrm{0}\sin rk}{rk}$$

अब, स्पिन-इको सिग्नल के-स्पेस में है। यह r के साथ k-स्थान आवृत्ति के रूप में k का आवधिक कार्य बन जाता है, अपितु इस प्रकार स्थानिक आवृत्ति के रूप में नहीं, क्योंकि स्थानिक आवृत्ति वास्तविक स्थान r में देखी गई आवधिकता के नाम के लिए आरक्षित होती है।

के-स्पेस डोमेन और स्पेस डोमेन फूरियर जोड़ी बनाते हैं। प्रत्येक डोमेन में सूचना के दो टुकड़े पाए जाते हैं, इस प्रकार स्थानिक सूचना और स्थानिक आवृत्ति सूचना। स्थानिक जानकारी, जो सभी चिकित्सा डॉक्टरों के लिए बहुत रुचि रखती है, इस प्रकार के-स्पेस डोमेन में आवधिक कार्यों के रूप में देखा जाता है और इस प्रकार अंतरिक्ष डोमेन में प्रतिबिम्ब के रूप में देखा जाता है। स्थानिक आवृत्ति की जानकारी, जो इस प्रकार कुछ एमआरआई इंजीनियरों के लिए रुचि की हो सकती है, इस प्रकार अंतरिक्ष डोमेन में सरलता से नहीं देखी जाती है, अपितु के-स्पेस डोमेन में डेटा बिंदुओं के रूप में सरलता से देखी जाती है।

यह भी देखें

 * फूरियर विश्लेषण
 * सुपरलेंस
 * दृश्य बोध
 * फ्रिंज दृश्यता
 * के-स्पेस (चुंबकीय अनुनाद इमेजिंग)