निर्देशांक सदिश

रैखिक बीजगणित में, एक समन्वय वेक्टर एक वेक्टर (गणित और भौतिकी) का एक प्रतिनिधित्व है, जो संख्याओं की एक आदेशित सूची (एक टपल) के रूप में है जो किसी विशेष आदेशित आधार के संदर्भ में वेक्टर का वर्णन करता है। एक आसान उदाहरण इस प्रणाली के कुल्हाड़ियों के रूप में आधार के साथ 3-आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में (5, 2, 1) जैसी स्थिति हो सकती है।निर्देशांक हमेशा एक आदेशित आधार के सापेक्ष निर्दिष्ट होते हैं।बेस और उनके संबद्ध समन्वय अभ्यावेदन एक पंक्ति वेक्टर रिक्त स्थान और रैखिक परिवर्तनों को एहसास करते हैं, जो स्तंभ वेक्टर, पंक्ति वैक्टर और मैट्रिक्स (गणित) के रूप में संक्षिप्त रूप से;इसलिए, वे गणना में उपयोगी हैं।

एक समन्वय सदिश स्थल विचार का उपयोग अनंत-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान के लिए भी किया जा सकता है, जैसा कि नीचे संबोधित किया गया है।

परिभाषा
चलो एक क्षेत्र (गणित) f और चलो पर आयाम (वेक्टर अंतरिक्ष) n का एक वेक्टर स्थान है
 * $$ B = \{ b_1, b_2, \ldots, b_n \} $$

वी के लिए एक आदेशित आधार बनें। फिर हर के लिए $$ v \in V $$ आधार वैक्टर का एक अद्वितीय रैखिक संयोजन है जो बराबर होता है$$ v $$:
 * $$ v = \alpha _1 b_1 + \alpha _2 b_2 + \cdots + \alpha _n b_n .$$

'' का समन्वय वेक्टर$$ v $$बी के सापेक्ष निर्देशांक का अनुक्रम है
 * $$ [v]_B = (\alpha _1, \alpha _2, \ldots, \alpha _n) .$$

इसे प्रतिनिधित्व भी कहा जाता है $$ v $$ बी के संबंध में, या बी प्रतिनिधित्व $$ v $$। $$ \alpha _1, \alpha _2, \ldots, \alpha _n$$ h> के निर्देशांक कहा जाता है $$ v $$।आधार का क्रम यहां महत्वपूर्ण हो जाता है, क्योंकि यह उस क्रम को निर्धारित करता है जिसमें गुणांक समन्वय वेक्टर में सूचीबद्ध होते हैं।

परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान के समन्वय वैक्टर को मैट्रिक्स_ (गणित) द्वारा कॉलम वेक्टर या पंक्ति वैक्टर के रूप में दर्शाया जा सकता है।उपरोक्त संकेतन में, कोई लिख सकता है
 * $$ [v]_B = \begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{bmatrix}$$

और
 * $$[v]_B^T = \begin{bmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n \end{bmatrix}$$ कहाँ $$[v]_B^T$$ मैट्रिक्स का खिसकाना है $$[v]_B$$।

मानक प्रतिनिधित्व
हम किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करके उपरोक्त परिवर्तन को यंत्रीकृत कर सकते हैं $$\phi_B$$, बी के संबंध में वी के मानक प्रतिनिधित्व को कहा जाता है, जो प्रत्येक वेक्टर को अपने समन्वय प्रतिनिधित्व में ले जाता है: $$\phi_B(v)=[v]_B$$।तब $$\phi_B$$ V से F तक एक रैखिक परिवर्तन हैn।वास्तव में, यह एक समाकृतिकता है, और इसका उलटा कार्य है $$\phi_B^{-1}:F^n\to V$$ सादा है
 * $$\phi_B^{-1}(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)=\alpha_1 b_1+\cdots+\alpha_n b_n.$$

वैकल्पिक रूप से, हम परिभाषित कर सकते थे $$\phi_B^{-1}$$ शुरुआत से उपरोक्त कार्य होने के लिए, यह महसूस किया कि $$\phi_B^{-1}$$ एक आइसोमोर्फिज्म है, और परिभाषित किया गया है $$\phi_B$$ इसका उलटा होना।

उदाहरण 1
चलो P3 को अधिकांश 3 पर डिग्री के सभी बीजीय बहुपद का स्थान होना चाहिए (यानी x का उच्चतम प्रतिपादक 3 हो सकता है)।यह स्थान रैखिक है और निम्नलिखित बहुपद द्वारा फैलाया गया है:
 * $$B_P = \left\{ 1,  x,  x^2,  x^3 \right\}$$

मेल मिलाना

1 := \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} ; \quad x := \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} ; \quad x^2 := \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} ; \quad x^3 := \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} $$ फिर बहुपद के अनुरूप समन्वय वेक्टर
 * $$p \left( x \right) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3$$

है
 * $$\begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}.$$

उस प्रतिनिधित्व के अनुसार, भेदभाव ऑपरेटर डी/डीएक्स जिसे हम चिह्नित करेंगे, उसे निम्नलिखित मैट्रिक्स (गणित) द्वारा दर्शाया जाएगा:
 * $$Dp(x) = P'(x) ; \quad [D] =

\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\   0 & 0 & 2 & 0 \\    0 & 0 & 0 & 3 \\    0 & 0 & 0 & 0 \\  \end{bmatrix} $$ उस पद्धति का उपयोग करते हुए ऑपरेटर के गुणों का पता लगाना आसान है, जैसे: उल्टे मैट्रिक्स, हर्मिटियन | हर्मिटियन या एंटी-हेर्मिटियन या न ही, स्पेक्ट्रम और ईजेनवेल्स, और बहुत कुछ।

उदाहरण 2
पाउली फ्रांसेस्को, जो स्पिन (भौतिकी) ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करते हैं, जब स्पिन eigenstates को वेक्टर निर्देशांक में बदलते हैं।

आधार परिवर्तन मैट्रिक्स
चलो b और c एक वेक्टर स्पेस V के दो अलग -अलग आधार हैं, और हमें चिह्नित करते हैं $$\lbrack M \rbrack_C^B$$ मैट्रिक्स (गणित) जिसमें स्तंभ हैं, जिसमें आधार वैक्टर बी के सी प्रतिनिधित्व से मिलकर बने हैं1, बी2, …, बीn:
 * $$\lbrack M\rbrack_C^B = \begin{bmatrix} \lbrack b_1\rbrack_C & \cdots & \lbrack b_n\rbrack_C \end{bmatrix} $$

इस मैट्रिक्स को  B  से  C  तक के आधार परिवर्तन मैट्रिक्स के रूप में संदर्भित किया जाता है।इसे एक स्वचालितता के रूप में माना जा सकता है $$F^n$$।बी में प्रतिनिधित्व किए गए किसी भी वेक्टर वी को निम्नानुसार सी में एक प्रतिनिधित्व में बदल दिया जा सकता है:
 * $$\lbrack v\rbrack_C = \lbrack M\rbrack_C^B \lbrack v\rbrack_B. $$ आधार के परिवर्तन के तहत, ध्यान दें कि परिवर्तन मैट्रिक्स, एम, और समन्वय वेक्टर पर सबस्क्रिप्ट पर सुपरस्क्रिप्ट, वी, समान हैं, और प्रतीत होता है कि शेष सबस्क्रिप्ट को छोड़कर रद्द कर दिया जाता है।हालांकि यह एक मेमोरी सहायता के रूप में काम कर सकता है, यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि ऐसा कोई रद्दीकरण, या इसी तरह के गणितीय संचालन नहीं है।

कोरोलरी
मैट्रिक्स एम एक उल्टा मैट्रिक्स और एम है−1 C से B तक के आधार परिवर्तन मैट्रिक्स है, दूसरे शब्दों में,
 * $$\begin{align}

\operatorname{Id} &= \lbrack M\rbrack_C^B \lbrack M\rbrack_B^C = \lbrack M\rbrack_C^C \\[3pt] &= \lbrack M\rbrack_B^C \lbrack M\rbrack_C^B = \lbrack M\rbrack_B^B \end{align}$$

अनंत-आयामी वेक्टर स्पेस
मान लीजिए कि वी एक क्षेत्र एफ पर एक अनंत-आयामी वेक्टर स्थान है। यदि आयाम κ है, तो वी के लिए κ तत्वों का कुछ आधार है। एक आदेश चुने जाने के बाद, आधार को एक आदेश दिया जा सकता है।V के तत्व आधार में तत्वों के रेखीय संयोजन परिमित हैं, जो अद्वितीय समन्वय अभ्यावेदन को जन्म देते हैं जैसा कि पहले वर्णित है।एकमात्र परिवर्तन यह है कि निर्देशांक के लिए अनुक्रमण सेट परिमित नहीं है।चूंकि एक दिए गए वेक्टर वी आधार तत्वों का एक परिमित रैखिक संयोजन है, इसलिए वी के लिए समन्वय वेक्टर की एकमात्र नॉनज़ेरो प्रविष्टियाँ रेखीय संयोजन के नॉनज़ेरो गुणांक होंगे जो वी का प्रतिनिधित्व करते हैं। इस प्रकार वी के लिए समन्वय वेक्टर शून्य रूप से कई प्रविष्टियों को छोड़कर शून्य है।

अनंत-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान के बीच (संभवतः) अनंत-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान के बीच रैखिक परिवर्तनों को, परिमित-आयामी मामले के अनुरूप, infinite_matrix#infinite_matrices के साथ।V से V से परिवर्तनों का विशेष मामला पूर्ण रैखिक रिंग लेख में वर्णित है।

यह भी देखें

 * आधार परिवर्तन