सहायक कारक

गणित में, विशेष रूप से श्रेणी सिद्धांत, संयोजन एक संबंध है जो दो कारक प्रदर्शित कर सकते हैं, दो संबंधित श्रेणियों के मध्य समानता के एक दुर्बल रूप के अनुरूप सहज रूप से प्रदर्शित कर सकते हैं। इस संबंध में खड़े होने वाले दो कारकों को संलग्न कारक के रूप में जाना जाता है, एक दाहिना संलग्न और दूसरा बायां संलग्न है। संलग्न कारकों के युग्म गणित में सर्वव्यापी हैं और प्रायः कुछ समस्याओं के "इष्टतम समाधान" के निर्माण से उत्पन्न होते हैं (अर्थात, एक निश्चित सार्वभौमिक गुणधर्म वाले वस्तुओं का निर्माण), जैसे कि बीजगणित में एक मुक्त समूह का निर्माण, या सांस्थितिकी में एक सांस्थितिक समष्टि के स्टोन-चेक संघनन का निर्माण है।

परिभाषा के अनुसार, श्रेणियों $$\mathcal{C}$$ और $$\mathcal{D}$$ के मध्य एक संयोजन कारक का एक युग्म है (सहसंयोजक कारक माना जाता है)।


 * $$F: \mathcal{D} \rightarrow \mathcal{C}$$ और $$G: \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}$$

और, सभी वस्तुओं $$X$$ में $$\mathcal{C}$$ और $$Y$$ में $$\mathcal{D}$$ के लिए, संबंधित आकारिकी समुच्चयों के मध्य एक आक्षेप है।


 * $$\mathrm{hom}_{\mathcal{C}}(FY,X) \cong \mathrm{hom}_{\mathcal{D}}(Y,GX)$$

ऐसा कि द्विभाजन का यह वर्ग $$X$$ और $$Y$$ में स्वाभाविक है। यहाँ प्राकृतिकता का अर्थ है कि कारक के युग्म के मध्य $$\mathcal{C}(F-,X) : \mathcal{D} \to \mathrm{Set}$$ और $$\mathcal{D}(-,GX) : \mathcal{D} \to \mathrm{Set}$$ एक निश्चित $$X$$ में $$\mathcal{C}$$ के लिए, और कारक के युग्म $$\mathcal{C}(FY,-) : \mathcal{C} \to \mathrm{Set}$$ और $$\mathcal{D}(Y,G-) : \mathcal{C} \to \mathrm{Set}$$ एक निश्चित $$Y$$ में $$\mathcal{D}$$ के लिए भी प्राकृतिक समरूपताएँ हैं।

कारक $$F$$ को बाएं संलग्न कारक या $$G$$ को बाएं संलग्न कहा जाता है, जबकि $$G$$ को दायाँ संलग्न कारक या $$F$$ को दायाँ संलग्न कहा जाता है। जिसे, हम $$F\dashv G$$ लिखते हैं।

श्रेणियों $$\mathcal{C}$$ और $$\mathcal{D}$$ के मध्य एक संयोजन, कुछ सीमा तक एक समानता $$\mathcal{C}$$ और $$\mathcal{D}$$ के दुर्बल रूप के समान है, और वास्तव में प्रत्येक समानता एक संयोजन है। कई स्थितियों में, सम्मिलित श्रेणियों और कारकों के एक उपयुक्त प्राकृतिक संशोधन के द्वारा, एक समतुल्यता के लिए एक संयोजन को "उन्नत" किया जा सकता है।

शब्दावली और संकेतन
संलग्न और अनुलग्न दोनों शब्दों का उपयोग किया जाता है, और ये संज्ञेय हैं: एक सीधे लैटिन से लिया गया है, दूसरा लैटिन से फ़्रांसीसी के माध्यम से लिया गया है। कार्यरत गणितज्ञ के उत्कृष्ट पाठ श्रेणियों में, मैक लेन दोनों के मध्य अंतर करता है। एक वर्ग दिया है:


 * $$\varphi_{XY}: \mathrm{hom}_{\mathcal{C}}(FY,X) \cong \mathrm{hom}_{\mathcal{D}}(Y,GX)$$

होम- समुच्चय आक्षेपों की, हम कहते हैं कि $$\varphi$$ एक संयोजन या मध्य में एक संयोजन $$ F $$ और $$ G $$ हैं। यदि $$f$$ में शर $$ \mathrm{hom}_{\mathcal{C}}(FY,X) $$ है, $$\varphi f$$ का दाहिना संलग्न $$f$$ (पृष्ठ 81) है। कारक $$ F $$ का बायां संलग्न $$G$$ है, और $$G$$ का दाहिना संलग्न $$F$$ है (ध्यान दें कि $$G$$ अपने आप में एक दाहिना संलग्न हो सकता है जो $$F$$ से काफी भिन्न है; उदाहरण के लिए नीचे देखें)।

सामान्यतः, वाक्यांश $$ F $$ बायां संलग्न है और $$ F $$ दाहिना संलग्न है, जो तुल्य हैं। हम कहते है कि $$F$$ एक बायाँ संलग्न है क्योंकि यह $$\mathrm{hom}_{\mathcal{C}}$$ के बाएँ तर्क पर अनुप्रयुक्त होता है, और $$G$$ एक दाहिना संलग्न है क्योंकि यह सही तर्क $$\mathrm{hom}_{\mathcal{D}}$$ के लिए अनुप्रयुक्त होता है।

यदि F को G के सन्निकट छोड़ दिया जाए, तो हम भी लिखते हैं
 * $$F\dashv G.$$

शब्दावली निकटवर्ती संचालकों $$T$$, $$U$$ के साथ $$\langle Ty,x\rangle = \langle y,Ux\rangle$$ के हिल्बर्ट समष्टि विचार से आती है, जो औपचारिक रूप से होम- समुच्चय के मध्य उपरोक्त संबंध के समान है। कुछ संदर्भों में हिल्बर्ट रिक्त स्थान के संलग्न मानचित्रों की सादृश्यता को सटीक बनाया जा सकता है।

परिचय और प्रेरणा
"प्रचार वाक्य है "प्रत्येक समष्टि पर संलग्न प्रकार्यक उत्पन्न होते हैं"।"

- सॉन्डर्स मैक लेन, कार्यरत गणितज्ञ के लिए श्रेणियां

सामान्य गणितीय रचनाएं प्रायः संलग्न कारक होती हैं। परिणामस्वरूप, बाएं/दाएं संलग्न कारक के विषय में सामान्य प्रमेय कई उपयोगी और अन्यथा गैर-तुच्छ परिणामों के विवरण को कोडित करते हैं। इस तरह के सामान्य प्रमेयों में संलग्न कारकों की विभिन्न परिभाषाओं की समानता सम्मिलित है, किसी दिए गए बाएं संलग्न के लिए दाएं संलग्न की विशिष्टता, तथ्य यह है कि बाएं/दाएं संलग्न कारक क्रमशः सह-सीमा/सीमा (जो गणित के प्रत्येक क्षेत्र में भी पाए जाते हैं) को संरक्षित करते हैं और सामान्य संलग्न कारक प्रमेय ऐसी स्थितियाँ देते हैं जिनके अंतर्गत दिया गया कारक एक बाएँ/दाएँ संलग्न होता है।

अनुकूलन समस्याओं का समाधान
एक अर्थ में, एक संलग्न कारक एक विधि के माध्यम से किसी समस्या का सबसे कुशल समाधान देने का एक तरीका है जो सूत्र है। उदाहरण के लिए, वलय सिद्धांत में एक प्रारंभिक समस्या यह है कि एक आरएनजी (जो एक वलय की तरह है जिसकी गुणक पहचान नहीं हो सकती है) को वलय में कैसे परिवर्तित करना है। सबसे कुशल तरीका यह है कि एक तत्व '1' को आरएनजी से जोड़ा जाए, सभी (और केवल) तत्वों को जोड़ा जाए जो वलय स्वयंसिद्धि को संतुष्ट करने के लिए आवश्यक हैं (उदाहरण के लिए वलय में प्रत्येक r के लिए r+1), और कोई संबंध आरोपित नहीं करें। नवगठित वलय जो स्वयंसिद्धों द्वारा अनिवार्य नहीं हैं। इसके अतिरिक्त, यह निर्माण इस अर्थ में सूत्रबद्ध है कि यह किसी भी आरएनजी के लिए अनिवार्य रूप से उसी तरह कार्य करता है।

यह बल्कि अस्पष्ट है, हालांकि विचारोत्तेजक है, और श्रेणी सिद्धांत की भाषा में सटीक बनाया जा सकता है: एक निर्माण सबसे अधिक कुशल है यदि यह एक सार्वभौमिक गुणधर्म को संतुष्ट करता है, और यह सूत्र है यदि यह एक कारक को परिभाषित करता है। सार्वभौमिक गुण दो प्रकार: प्रारंभिक गुणधर्म और सीमावर्ती गुणधर्म में आते हैं। चूंकि ये दोहरी धारणाएं हैं, इसलिए इनमें से किसी एक पर चर्चा करना आवश्यक है।

एक प्रारंभिक गुणधर्म का उपयोग करने का विचार कुछ संलग्न श्रेणी E के संदर्भ में समस्या को स्थापित करना है, ताकि सुलेख में समस्या E की प्रारंभिक वस्तु को खोजने के अनुरूप हो। इसका एक लाभ यह है कि अनुकूलन-यह अर्थ है कि प्रक्रिया पाता है सबसे कुशल समाधान-का अर्थ है कुछ कठोर और पहचानने योग्य, बल्कि सर्वोच्चता की प्राप्ति जैसा हैं। इस निर्माण में श्रेणी E भी सूत्र है, क्योंकि यह सदैव कारक के तत्वों की श्रेणी है, जिसके लिए कोई एक संलग्न निर्माण कर रहा है।

हमारे उदाहरण पर वापस जाएं: दिए गए आरएनजी, R को लें, और एक श्रेणी E बनाएं, जिसकी वस्तुएं R → S से संबंधित हैं, जिसमें S एक गुणक पहचान वाला वलय है। E में R → S1 और R → S2 के मध्य आकारिकी क्रमविनिमेय त्रिकोण (R → S1, R → S2, S1 → S2) हैं, जहां S1 → S2 एक वलय प्रतिचित्र है (जो पहचान को सुरक्षित रखता है)। (ध्यान दें कि यह आरएनजी में एकात्मक वलयों को सम्मिलित करने पर R की अल्पविराम श्रेणी की सटीक परिभाषा है)। R → S1 और R → S2 के मध्य आकारिकी के अस्तित्व का तात्पर्य है कि S1 कम से कम उतना ही कुशल है जितना कि हमारी समस्या का समाधान S2:S2  में अधिक संबद्ध तत्व हो सकते हैं और/या अधिक संबंध S1 की तुलना में स्वयंसिद्धों द्वारा नहीं लगाए जा सकते हैं। इसलिए, यह अभिकथन कि एक वस्तु R → R* E में आरंभिक है, अर्थात, E के किसी अन्य तत्व में एक आकारिकी है, इसका अर्थ है कि वलय R* हमारी समस्या का सबसे कुशल समाधान है।

वलयों को वलयों में परिवर्तित करने की यह विधि सबसे कुशल और सूत्रात्मक है, यह कहकर एक साथ व्यक्त किया जा सकता है कि यह एक संलग्न कारक को परिभाषित करता है। अधिक स्पष्ट रूप से: F को एक पहचान को आरएनजी से जोड़ने की उपरोक्त प्रक्रिया को निरूपित करें, इसलिए F(R)=R* है। G को "विस्मरण" की प्रक्रिया को निरूपित करने दें कि क्या वलय S की एक पहचान है और इसे केवल एक आरएनजी के रूप में माना जाता है, इसलिए अनिवार्य रूप से G (S) = S है। तब F, G का बायाँ संलग्न कारक है।

ध्यान दें कि हमने वास्तव में अभी तक R* का निर्माण नहीं किया है; यह एक महत्वपूर्ण और पूर्णतया से सामान्य बीजगणितीय तथ्य नहीं है कि इस तरह के एक बाएं संलग्न कारक R → R* वास्तव में उपस्थित है।

अनुकूलन समस्याओं की समरूपता
कारक F के साथ प्रारंभ करना भी संभव है, और निम्नलिखित (अस्पष्ट) प्रश्न उठाएं: क्या कोई समस्या है जिसके लिए F सबसे कुशल समाधान है?

यह धारणा कि F, G द्वारा प्रस्तुत समस्या का सबसे कुशल समाधान है, एक निश्चित कठोर अर्थ में, इस धारणा के समान है कि G सबसे कठिन समस्या है जिसे F हल करता है।

यह इस तथ्य के पीछे का अंतर्ज्ञान देता है कि संलग्न कारक युग्म में होते हैं: यदि F को G के निकट छोड़ दिया जाता है, तो G, F के ठीक निकट है।

औपचारिक परिभाषाएँ
संलग्न कारकों के लिए विभिन्न समतुल्य परिभाषाएँ हैं:


 * सार्वभौमिक आकारिता के माध्यम से परिभाषाओं को व्यक्त करना सरल है, और एक संलग्न कारक का निर्माण करते समय न्यूनतम सत्यापन की आवश्यकता होती है या दो कारक सिद्ध होते हैं। वे अनुकूलन से जुड़े हमारे अंतर्ज्ञान के सबसे अनुरूप भी हैं।
 * होम- समुच्चय के माध्यम से परिभाषा समरूपता को सबसे स्पष्ट बनाती है, और यह शब्द संलग्न शब्द का उपयोग करने का कारण है।
 * सह-इकाई - ईकाई संयोजन के माध्यम से परिभाषा उन कारकों के विषय में प्रमाण के लिए सुविधाजनक है, जिन्हें संलग्न माना जाता है, क्योंकि वे सूत्र प्रदान करते हैं जिन्हें सीधे प्रकलित किया जा सकता है।

इन परिभाषाओं की समानता काफी उपयोगी है। गणित के सभी क्षेत्रों में, प्रत्येक स्थान पर संलग्न कारक उत्पन्न होते हैं। चूंकि इनमें से किसी भी परिभाषा में संरचना दूसरों में संरचनाओं की उत्पत्ति करती है, उनके मध्य स्विचन करने से कई विवरणों का अंतर्निहित उपयोग होता है जो अन्यथा प्रत्येक विषय क्षेत्र में अलग-अलग दोहराना होगा।

अभिसमय
संलग्नों के सिद्धांत की नींव बाएँ और दाएँ शब्द हैं, और ऐसे कई घटक हैं जो दो श्रेणियों C और D में से एक में रहते हैं जो विचाराधीन हैं। इसलिए वर्णानुक्रम में अक्षरों का चयन करना सहायक हो सकता है, चाहे वे बाएं श्रेणी C या दाएं श्रेणी D में रहते हों, और जब भी संभव हो उन्हें इस क्रम में लिखने के लिए भी हैं।

उदाहरण के लिए इस लेख में, अक्षर X, F, f, ε दृढ़ता से उन चीजों को निरूपित करेंगे जो श्रेणी C में रहते हैं, अक्षर Y, G, g, η दृढ़ता से उन चीजों को निरूपित करेंगे जो श्रेणी D में रहते हैं, और जब भी संभव हो ऐसे चीजों को बाएं से दाएं क्रम में संदर्भित किया जाएगा (एक कारक F: D → C को "जीवित" के रूप में माना जा सकता है जहां इसके बहिर्गत C में हैं)। यदि बाएँ संलग्न कारक F के लिए शर खींचे गए तो वे बाईं ओर इंगित करेंगे; यदि दाएँ संलग्न कारक G के लिए शर खींचे गए थे तो वे दाईं ओर संकेत कर रहे होंगे।

सार्वभौम आकारिता के माध्यम से परिभाषा
परिभाषा के अनुसार, एक कारक $$F: D \to C$$ यदि प्रत्येक वस्तु के लिए एक बायाँ सन्निकट कारक $$X$$ में $$C$$, यहाँ से एक सार्वभौमिक रूपवाद $$F$$ से $$X$$ उपस्थित है। वर्तनी इसका अर्थ है कि प्रत्येक वस्तु $$X$$ में $$C$$ के लिए एक वस्तु $$G(X)$$ में $$D$$ उपस्थित है और एक रूपवाद $$\epsilon_X: F(G(X)) \to X$$ ऐसा कि प्रत्येक वस्तु $$Y$$ में $$D$$ के लिए और प्रत्येक रूपवाद $$f: F(Y) \to X$$ एक अद्वितीय आकारिता $$g: Y \to G(X)$$ के साथ $$\epsilon_X \circ F(g) = f$$ उपस्थित है।

बाद वाला समीकरण निम्नलिखित क्रमविनिमेय आरेख द्वारा व्यक्त किया गया है: ऐसी स्थिति में यह दर्शाया जा सकता है, $$G$$ को एक कारक $$G : C \to D$$ में परिवर्तित करा जा सकता है, एक अद्वितीयतरीके से जैसे कि $$\epsilon_X \circ F(G(f)) = f \circ \epsilon_{X'}$$ सभी रूपों $$f: X' \to X$$ में $$C$$ के लिए; तब $$F$$ को बायाँ सन्निकट $$G$$ कहा जाता है।

इसी प्रकार, हम दाएं-संलग्न कारकों को परिभाषित कर सकते हैं। एक कारक $$G: C \to D$$ प्रत्येक वस्तु के लिए एक दाहिनी ओर का कारक $$Y$$ में $$D$$ है। वहाँ से एक सार्वभौमिक आकारिकी $$Y$$ से $$G$$ उपस्थित है। वर्तनी, इसका अर्थ है कि प्रत्येक वस्तु $$Y$$ में $$D$$ के लिए, एक वस्तु $$F(Y)$$ में $$C$$ उपस्थित है और एक रूपवाद $$\eta_Y: Y \to G(F(Y))$$ ऐसा कि प्रत्येक वस्तु $$X$$ में $$C$$ के लिए और प्रत्येक रूपवाद $$g: Y \to G(X)$$ एक अद्वितीय आकारिता $$f: F(Y) \to X$$ साथ $$G(f) \circ \eta_Y = g$$ उपस्थित है। फिर से, यह $$F$$ विशिष्ट रूप से एक कारक में परिवर्तित किया जा सकता है, $$F: D \to C$$ ऐसा है कि $$G(F(g)) \circ \eta_Y = \eta_{Y'} \circ g$$ के लिए $$g: Y \to Y'$$ में एक रूपवाद $$D$$; $$G$$ को तब इसे दायां संलग्न $$F$$ कहा जाता है।

यह सत्य है, जैसा कि शब्दावली का अर्थ है, कि $$F$$ से बायाँ संलग्न $$G$$ है, यदि और केवल यदि $$G$$ के ठीक निकट में $$F$$ है।

सार्वभौमिक आकारिता के माध्यम से ये परिभाषाएं प्रायः यह स्थापित करने के लिए उपयोगी होती हैं कि किसी दिए गए कारक बाएं या दाएं संलग्न हैं, क्योंकि वे अपनी आवश्यकताओं में न्यूनतर हैं। वे इस अर्थ में भी सहज रूप से सार्थक हैं कि एक सार्वभौमिक रूपवाद को खोजना एक अनुकूलन समस्या को हल करने जैसा है।

होम समुच्चय संयोजन के माध्यम से परिभाषा
दो श्रेणियों C और D के मध्य एक होम- समुच्चय संयोजन में दो कारक F: D → C और G : C → D और एक प्राकृतिक समरूपता होते हैं
 * $$\Phi:\mathrm{hom}_C(F-,-) \to \mathrm{hom}_D(-,G-)$$.

यह द्विभाजन के वर्ग को निर्दिष्ट करता है;
 * $$\Phi_{Y,X}:\mathrm{hom}_C(FY,X) \to \mathrm{hom}_D(Y,GX)$$

C में सभी वस्तुओं X और D में Y के लिए है।

इस स्थिति में, F, G के बायें सन्निकट है और G, F के दायें सन्निकट है।

यह परिभाषा एक तार्किक समझौता है जिसमें सार्वभौमिक आकारिकी परिभाषाओं की तुलना में इसे संतुष्ट करना अधिक कठिन है, और इसका तात्कालिक प्रभाव सह-इकाई - ईकाई परिभाषा की तुलना में कम है। इसकी स्पष्ट समरूपता के कारण और अन्य परिभाषाओं के मध्य एक प्रारंभिक प्रयास के रूप में यह उपयोगी है।

एक प्राकृतिक समरूपता के रूप में Φ की व्याख्या करने के लिए, किसी को homC(F–, –) और homD(–, G–) कारकों के रूप में पहचानना चाहिए। वास्तव में, वे दोनों Dop × C से समुच्चय ( समुच्चय की श्रेणी) के द्विभाजक हैं। विवरण के लिए, होम कारकों पर लेख देखें। स्पष्ट रूप से, Φ की स्वाभाविकता का अर्थ है कि सभी आकारिता f : X → X′ C में और सभी आकारिता g : Y′ → Y में D के लिए निम्नलिखित आरेख परिवर्तित  करता है:

इस आरेख में लंबवत शर रचना द्वारा प्रेरित हैं। औपचारिक रूप से, Hom(Fg, f) : HomC(FY, X) → HomC(FY′, X′) को HomC(FY, X) में प्रत्येक h के लिए h → f o h o  Fg द्वारा दिया जाता है। Hom(g, Gf) समान है।

सह-इकाई-इकाई संयोजन के माध्यम से परिभाषा
दो श्रेणियों C और D के मध्य एक इकाई-इकाई संयोजन में दो कारक F : D → C और G: C  → D और दो प्राकृतिक परिवर्तन होते हैं
 * $$\begin{align}

\varepsilon &: FG \to 1_{\mathcal C} \\ \eta &: 1_{\mathcal D} \to GF\end{align}$$ क्रमशः सह-इकाई और संयोजन की इकाई (सार्वभौमिक बीजगणित से शब्दावली) कहा जाता है, जैसे रचनाएं
 * $$F\xrightarrow{\;F\eta\;}FGF\xrightarrow{\;\varepsilon F\,}F$$
 * $$G\xrightarrow{\;\eta G\;}GFG\xrightarrow{\;G \varepsilon\,}G$$

क्रमशः F और G पर पहचान परिवर्तन 1F और 1G हैं

इस स्थिति में हम कहते हैं कि F, G के बायें सन्निकट है और G, F के दायें सन्निकट है, और इस संबंध $$(\varepsilon,\eta):F\dashv G$$, या केवल$$F\dashv G$$ को लिख कर इंगित कर सकते हैं

समीकरण के रूप में, (ε,η) पर उपरोक्त शर्तें सह इकाई-इकाई समीकरण हैं
 * $$\begin{align}

1_F &= \varepsilon F\circ F\eta\\ 1_G &= G\varepsilon \circ \eta G \end{align}$$ जिसका अर्थ है कि C में प्रत्येक X और D में प्रत्येक Y के लिए,
 * $$\begin{align}

1_{FY} &= \varepsilon_{FY}\circ F(\eta_Y) \\ 1_{GX} &= G(\varepsilon_X)\circ\eta_{GX} \end{align}$$.

ध्यान दें कि $$1_{\mathcal C}$$ श्रेणी पर पहचान कारक $$\mathcal C$$ को दर्शाता है, $$1_F$$ कारक F से स्वयं के लिए पहचान प्राकृतिक परिवर्तन को दर्शाता है, और $$1_{FY}$$ वस्तु FY की पहचान आकृतिवाद को दर्शाता है। ये समीकरण बीजगणितीय प्रकलन के लिए संलग्न कारकों के प्रमाण को कम करने में उपयोगी होते हैं। संबंधित श्रृंखला आरेखों की उपस्थिति के कारण उन्हें कभी-कभी त्रिभुज पहचान या कभी-कभी कुटिल समीकरण कहा जाता है। उन्हें स्मरण रखने का एक तरीका यह है कि पहले निरर्थक समीकरण$$1=\varepsilon\circ\eta$$ को लिख लिया जाए और फिर F या G में से किसी एक को उन दो सरल तरीकों से भरें जो रचनाओं को परिभाषित करते हैं।

टिप्पणी: यहाँ उपसर्ग सह का उपयोग यहाँ सीमा और सह सीमा की शब्दावली के अनुरूप नहीं है, क्योंकि एक सह-सीमा एक प्रारंभिक गुणधर्म को संतुष्ट करता है, जबकि सह-इकाई रूपवाद सीमावर्ती गुणों को और दोहरी रूप से संतुष्ट करेगा। यहां शब्द इकाई को इकाई के सिद्धांत से उधार लिया गया है, जहां यह एक एकसंयुज मे पहचान 1 के सम्मिलन जैसा दिखता है।

इतिहास
1958 में डेनियल कैन द्वारा संलग्न कारकों का विचार प्रस्तुत किया गया था। श्रेणी सिद्धांत में कई अवधारणाओं की तरह, यह तुल्य बीजगणित की आवश्यकताओं के द्वारा सुझाया गया था, जो उस समय गणना के लिए समर्पित था। विषय की सुव्यवस्थित, व्यवस्थित प्रस्तुतियों का सामना करने वालों ने संबंधों पर ध्यान दिया होगा जैसे


 * hom(F(X), Y) = hom(X, G(Y))

एबेलियन समूहों की श्रेणी में, जहाँ F कारक $$- \otimes A$$ (अर्थात् A के साथ प्रदिश उत्पाद लें) था, और G कारक hom(A,–) था (इसे अब प्रदिश-होम संयोजन के रूप में जाना जाता है)। बराबर चिह्न का उपयोग अंकन का दुरुपयोग है; वे दो समूह वास्तव में समान नहीं हैं परन्तु उन्हें पहचानने का एक तरीका है जो स्वाभाविक है। इसे इस आधार पर स्वाभाविक रूप से देखा जा सकता है, सर्वप्रथम, कि ये X × A से Y तक द्विरैखिक प्रतिचित्रिण के दो वैकल्पिक विवरण हैं। हालांकि, यह प्रदिश उत्पाद के स्थिति में कुछ विशेष है। श्रेणी सिद्धांत में आक्षेप की 'स्वाभाविकता' को एक प्राकृतिक समरूपता की अवधारणा में सम्मिलित किया गया है।

सर्वव्यापकता
यदि कोई इन संलग्न युग्मों के कारकों की खोज करना प्रारंभ करता है, तो वे सार बीजगणित में और अन्य स्थानों पर भी बहुत सामान्य हो जाते हैं। नीचे दिया गया उदाहरण खंड इसका प्रमाण प्रदान करता है; इसके अतिरिक्त, सार्वभौमिक निर्माण, जो कुछ लोगों के लिए अधिक परिचित हो सकते हैं, कारकों के कई संलग्न युग्मों की उत्पत्ति करते हैं।

सॉन्डर्स मैक लेन की विचार के अनुसार, किसी भी विचार, जैसे कि संलग्न कारक, जो कि गणित में व्यापक रूप से पर्याप्त रूप से होता है, उसका स्वयं के लिए अध्ययन किया जाना चाहिए।

अवधारणाओं को समस्याओं को हल करने में उनके उपयोग के साथ-साथ सिद्धांतों के निर्माण में उनके उपयोग के अनुसार आंका जा सकता है। इन दो प्रेरणाओं के मध्य विभव विशेष रूप से 1950 के दशक के पर्यन्त बहुत अधिक था जब श्रेणी सिद्धांत को प्रारंभ में विकसित किया गया था। अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक दर्ज करें, जिन्होंने कार्यात्मक विश्लेषण, तुल्य बीजगणित और अंत में बीजगणितीय ज्यामिति में अन्य कार्यों में दिक्सूचक दिक्मान लेने के लिए श्रेणी सिद्धांत का उपयोग किया।

यह कहना सम्भवतः गलत है कि उन्होंने अलगाव में संलग्न कारक अवधारणा को बढ़ावा दिया: परन्तु ग्रोथेंडिक के दृष्टिकोण में संयोजन की भूमिका की पहचान अंतर्निहित थी। उदाहरण के लिए, उनकी प्रमुख उपलब्धियों में से एक बीजगणितीय प्रकारों के एक सतत वर्ग में, सापेक्ष रूप में सेर्रे द्वैत का सूत्रीकरण था। संपूर्ण प्रमाण एक निश्चित कारक के लिए एक दाहिने संलग्न के अस्तित्व पर परिवर्तित कर दिया गया है। यह कुछ निर्विवाद रूप से अमूर्त और गैर-रचनात्मक है, परन्तु अपने तरीके से प्रभावशाली भी है।

मुक्त समूह
मुक्त समूहों का निर्माण एक सामान्य और ज्ञानवर्धकला उदाहरण है।

मान लीजिए कि F: समुच्चय → जीआरपी प्रत्येक समुच्चय Y को Y के तत्वों द्वारा उत्पन्न मुक्त समूह को निर्दिष्ट करने वाला कारक है, और G : जीआरपी → समुच्चय अनवहित कारक है, जो प्रत्येक समूह X को इसके अंतर्निहित समुच्चय को निर्दिष्ट करता है। तब F, G का बायाँ संलग्न है:

'प्रारंभिक आकारिता।' प्रत्येक समुच्चय Y के लिए,  समुच्चय GFY Y द्वारा उत्पन्न मुक्त समूह FY का अंतर्निहित समुच्चय है। मान लीजिए$$\eta_Y:Y\to GFY$$ जनक को सम्मिलित करके दिए गए  समुच्चय मानचित्र बनें। यह वाई से जी तक एक प्रारंभिक रूपवाद है, क्योंकि वाई से अंतर्निहित  समुच्चय जीडब्ल्यू के लिए कुछ समूह डब्ल्यू के किसी भी  समुच्चय मानचित्र के माध्यम से कारक होगा$$\eta_Y:Y\to GFY$$FY से W तक एक अद्वितीय समूह समरूपता के माध्यम से। यह निश्चित रूप से मुक्त समूह#सार्वभौमिक गुणधर्म है।

'सीमावर्ती आकारिता।' प्रत्येक समूह X के लिए, समूह FGX, GX, X के तत्वों द्वारा स्वतंत्र रूप से उत्पन्न मुक्त समूह है$$\varepsilon_X:FGX\to X$$समूह समरूपता हो जो एफजीएक्स के जनक को एक्स के तत्वों के अनुरूप भेजता है, जो मुक्त समूहों की सार्वभौमिक गुणधर्म से उपस्थित है। फिर प्रत्येक$$(GX,\varepsilon_X)$$F से X तक एक सीमावर्ती रूपवाद है, क्योंकि मुक्त समूह FZ से X तक कोई भी समूह समरूपता कारक होगा$$\varepsilon_X:FGX\to X$$Z से GX तक एक अद्वितीय समुच्चय प्रतिचित्र के माध्यम से। इसका अर्थ है कि (एफ, जी) एक संलग्न युग्म है।

'होम- समुच्चय संयोजन।' मुक्त समूह FY से समूह X के समूह समरूपता समुच्चय Y से  समुच्चय GX के मानचित्रों के ठीक अनुरूप होते हैं: FY से X तक प्रत्येक समरूपता जनक पर अपनी क्रिया द्वारा पूर्णतया से निर्धारित होती है, मुक्त समूहों की सार्वभौमिक गुणधर्म का एक और पुनर्कथन। कोई सीधे सत्यापित कर सकता है कि यह पत्राचार एक प्राकृतिक परिवर्तन है, जिसका अर्थ है कि यह युग्म (एफ, जी) के लिए होम- समुच्चय संयोजन है।

'सह-इकाई-इकाई संयोजन।' कोई सीधे यह भी सत्यापित कर सकता है कि ε और η प्राकृतिक हैं। फिर, एक सीधा सत्यापन कि वे एक सह-इकाई-इकाई संयोजन बनाते हैं$$(\varepsilon,\eta):F\dashv G$$इस प्रकार है:

पहला सह-इकाई-इकाई समीकरण$$1_F = \varepsilon F\circ F\eta$$कहते हैं कि प्रत्येक समुच्चय वाई रचना के लिए
 * $$FY\xrightarrow{\;F(\eta_Y)\;}FGFY\xrightarrow{\;\varepsilon_{FY}\,}FY$$

पहचान होनी चाहिए। मध्यवर्ती समूह FGFY मुक्त समूह FY के शब्दों द्वारा स्वतंत्र रूप से उत्पन्न मुक्त समूह है। (इन शब्दों को कोष्ठकों में रखे जाने के बारे में सोचें, यह इंगित करने के लिए कि वे स्वतंत्र जनक हैं।) शर$$F(\eta_Y)$$FY से FGFY में समूह समरूपता है, जो FGFY के जनक के रूप में लंबाई एक (y) के संबंधित शब्द के लिए FY के प्रत्येक जनक y को भेज रहा है। शर$$\varepsilon_{FY}$$एफजीएफवाई से एफवाई तक समूह समरूपता है जो प्रत्येक जनक को वित्त वर्ष के शब्द से मेल खाता है (इसलिए यह नक्शा कोष्ठक छोड़ रहा है)। इन प्रतिचित्रों की संरचना वास्तव में FY पर पहचान है।

'दूसरा गिनती-इकाई समीकरण'$$1_G = G\varepsilon \circ \eta G$$कहते हैं कि प्रत्येक समूह X के लिए रचना
 * $$GX\xrightarrow{\;\eta_{GX}\;}GFGX\xrightarrow{\;G(\varepsilon_X)\,}GX$$

पहचान होनी चाहिए। मध्यवर्ती समुच्चय जीएफजीएक्स एफजीएक्स का सिर्फ अंतर्निहित  समुच्चय है। शर$$\eta_{GX}$$ समुच्चय GX से  समुच्चय GFGX में जनक समुच्चय प्रतिचित्र का समावेश है। शर$$G(\varepsilon_X)$$जीएफजीएक्स से जीएक्स तक  समुच्चय प्रतिचित्र है जो समूह समरूपता को रेखांकित करता है जो एफजीएक्स के प्रत्येक जनक को एक्स के तत्व से मेल खाता है (कोष्ठकों को छोड़कर)। इन नक्शों की संरचना वास्तव में GX पर पहचान है।

मुफ्त निर्माण और अनवहित कारक
नि: शुल्क वस्तुएं एक अनवहित कारक के बाएं संलग्न के सभी उदाहरण हैं जो एक बीजगणितीय वस्तु को इसके अंतर्निहित समुच्चय को निर्दिष्ट करती हैं। इन बीजीय मुक्त कारक का  सामान्यतः वैसा ही विवरण होता है जैसा कि ऊपर मुक्त समूह की स्थिति के विस्तृत विवरण में होता है।

विकर्ण कारक और सीमाएं
उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत), पुलबैक (श्रेणी सिद्धांत), तुल्यकारक (गणित), और कर्नेल (बीजगणित) एक सीमा (श्रेणी सिद्धांत) की स्पष्ट धारणा के सभी उदाहरण हैं। कोई भी सीमा कारक एक संबंधित विकर्ण कारक के ठीक सटा हुआ है (बशर्ते श्रेणी में प्रश्न में सीमा का प्रकार हो), और संयोजन का सह-इकाई सीमा ऑब्जेक्ट से डिफाइनिंग प्रतिचित्र प्रदान करता है (अर्थात सीमा पर विकर्ण कारक से, में) कारक श्रेणी)। नीचे कुछ विशिष्ट उदाहरण दिए गए हैं।


 * उत्पाद चलो Π : समूह2 → कारक को पकड़ें जो प्रत्येक युग्म (X) को निर्दिष्ट करता है1, एक्स2) उत्पाद समूह X1×X2, और चलो Δ : जीआरपी → जीआरपी2 विकर्ण कारक बनें जो उत्पाद श्रेणी Grp में प्रत्येक समूह X युग्म (X, X) को निर्दिष्ट करता है
 * उत्पाद समूह की सार्वभौमिक गुणधर्म प्रतिष्ठा है कि Π Δ के दाहिनी ओर है। इस संयोजन का सह-इकाई X से विशिष्टता रेखांकन युग्म है1×X2 एक्स को1 और एक्स2 जो सीमा को परिभाषित करता है, और इकाई एक समूह X का X×X में विकर्ण समावेशन है (x को (x, x) से प्रतिचित्र करना
 * समुच्चय (गणित) का कार्तीय गुणन, वलयों का गुणनफल, गुणनफल सांस्थितिकी आदि समान पैटर्न का पालन करते हैं; इसे सीधे-सीधे तरीके से केवल दो कारकों से अधिक तक बढ़ाया जा सकता है। अधिक सामान्यतः, किसी भी प्रकार की सीमा एक विकर्ण कारक के ठीक निकट होती है।


 * 'कर्नेल।' एबेलियन समूहों के समरूपता की श्रेणी डी पर विचार करें। यदि एफ1 : ए1 → बी1 और एफ2 : ए2 → बी2 D की दो वस्तुएँ हैं, तो f से एक आकारिकी1 एफ के लिए2 एक युग्म है (जीA, जीB) आकारिकी जैसे कि जीBf1 = च2gA. मान लीजिए कि G : D → 'Ab' वह कारक है जो प्रत्येक समाकारिता को उसका कर्नेल (बीजगणित) प्रदान करता है और F: 'Ab →' D वह कारक है जो समूह A को समाकारिता A → 0 से प्रतिचित्र करता है। एफ से, जो गुठली की सार्वभौमिक गुणधर्म को व्यक्त करता है। इस संयोजन का कॉउनिट समरूपता के डोमेन में समरूपता के कर्नेल को परिभाषित करने वाला एम्बेडिंग है, और इकाई आकारिता है जो समरूपता ए → 0 के कर्नेल के साथ समूह ए की पहचान करता है।


 * इस उदाहरण का एक उपयुक्त रूपांतर यह भी दर्शाता है कि सदिश रिक्त स्थान और मापांक के लिए कर्नेल कारक सही सन्निकट हैं। अनुरूप रूप से, कोई यह दिखा सकता है कि एबेलियन समूहों, सदिश रिक्त स्थान और मापांक के लिए कोकर्नेल कारक बाएं संलग्न हैं।

सह-सीमा और विकर्ण कारक
सहउत्पाद, पुशआउट (श्रेणी सिद्धांत), सह-तुल्यकारक, और cokernel एक सीमा (श्रेणी सिद्धांत) की स्पष्ट धारणा के सभी उदाहरण हैं। किसी भी सह-सीमा कारक को संबंधित विकर्ण कारक के पास छोड़ दिया जाता है (बशर्ते श्रेणी में प्रश्न में सह-सीम का प्रकार हो), और संयोजन की इकाई सह-सीमा ऑब्जेक्ट में परिभाषित मानचित्र प्रदान करती है। नीचे कुछ विशिष्ट उदाहरण दिए गए हैं।


 * सह-उत्पाद। यदि एफ : एबी2 → Ab हर जोड़े (X) को निर्दिष्ट करता है1, एक्स2) एबेलियन समूहों के उनके समूहों का प्रत्यक्ष योग, और यदि G : 'Ab' → 'Ab'2 वह कारक है जो हर एबेलियन समूह Y की युग्म (Y, Y) को निर्दिष्ट करता है, फिर F को G के पास छोड़ दिया जाता है, फिर से प्रत्यक्ष राशियों की सार्वभौमिक गुणधर्म का परिणाम है। इस संलग्न युग्म की इकाई एक्स से समावेशन मानचित्रों की परिभाषित युग्म है1 और एक्स2 सीधे योग में, और counit (X,X) के प्रत्यक्ष योग से X पर वापस जाने के लिए योगात्मक मानचित्र है (प्रत्यक्ष योग का एक तत्व (a,b) X के तत्व a+b को भेजना)।

सदृश्य उदाहरण सदिश समष्टियों के मापांकों के प्रत्यक्ष योग और मापांक (गणित) द्वारा, समूहों के मुक्त गुणनफल द्वारा और समुच्चयों के असंयुक्त संघ द्वारा दिए गए हैं।

बीजगणित

 * किसी पहचान को एक रंग (बीजगणित) से जोड़ना। इस उदाहरण पर ऊपर प्रेरणा अनुभाग में चर्चा की गई थी। एक rng R दिया गया है, एक गुणात्मक पहचान तत्व RxZ लेकर और एक Z-द्विरैखिक उत्पाद को (r,0)(0,1) = (0,1)(r) के साथ परिभाषित करके जोड़ा जा सकता है ,0) = (आर,0), (आर,0)(S,0) = (रुपये,0), (0,1)(0,1) = (0,1)। यह अंतर्निहित आरएनजी के लिए एक वलय ले जाने वाले कारक के लिए बाएं संलग्न बनाता है।
 * एक पहचान को एक अर्धसमूह से जोड़ना। इसी तरह, एक अर्धसमूह S दिया गया है, हम एक पहचान तत्व जोड़ सकते हैं और असंयुक्त संघ S लेकर एक एकसंयुज प्राप्त कर सकते हैं। $$\sqcup$$ {1} और उस पर एक द्विआधारी संक्रिया को परिभाषित करना जैसे कि यह S पर संक्रिया को बढ़ाता है और 1 एक पहचान तत्व है। यह निर्माण एक कारक देता है जो कारक के लिए एक बायीं ओर है जो एक एकसंयुज को अंतर्निहित सेमीग्रुप में ले जाता है।
 * 'वलय एक्संलग्नंशन।' मान लीजिए कि R और S वलय हैं, और ρ : R → S एक वलय समाकारिता है। फिर S को एक (बाएं) आर-मापांक के रूप में देखा जा सकता है, और S के साथ प्रदिश उत्पाद एक कारक एफ: आर-'मॉड' → S-'मॉड' उत्पन्न करता है। तब F को भुलक्कड़ कारक G: S-'Mod' → R-'Mod' के साथ छोड़ दिया जाता है।
 * 'प्रदिश-होम संयोजन।' यदि R एक वलय है और M एक सही R-मापांक है, तो M के साथ प्रदिश उत्पाद एक कारक F : R-'Mod' → 'Ab' उत्पन्न करता है। कारक जी: 'एबी' → आर-'मॉड', जी (ए) = होम द्वारा परिभाषितZ(एम, ए) प्रत्येक एबेलियन समूह ए के लिए, एफ के दाएं संलग्न है।
 * 'मोनॉयड्स और ग्रुप्स से वलय्स तक।' इंटीग्रल एकसंयुज वलय कंस्ट्रक्शन एकसंयुज्स से वलय्स तक एक कारक देता है। यह कारक कारक के पास छोड़ दिया जाता है जो किसी दिए गए वलय से जुड़ा होता है, इसके अंतर्निहित गुणक एकसंयुज। इसी तरह, अभिन्न समूह की वलय  कंस्ट्रक्शन ग्रुप (मैथमैटिक्स) से वलय्स तक एक कारक उत्पन्न करता है, कारक के निकट में छोड़ दिया जाता है जो किसी दिए गए वलय को उसके इकाई्स के ग्रुप को निर्दिष्ट करता है। कोई क्षेत्र (गणित) K से भी प्रारंभ कर सकता है और K के ऊपर एकसंयुज और समूह के छल्ले प्राप्त करने के लिए वलयों की श्रेणी के बजाय K-Sोसिएटिव बीजगणित की श्रेणी पर विचार कर सकता है।
 * 'भिन्नों का क्षेत्र।' श्रेणी 'डोम' पर विचार करेंm इंजेक्‍टिव मोर्फिज्‍म के साथ इंटेग्रल डोमेन का। भुलक्कड़ कारक फील्ड → डोमm फ्रॉम फ़ील्ड्स में एक बायाँ सन्निकट होता है—यह प्रत्येक अभिन्न डोमेन को इसके अंशों के क्षेत्र को निर्दिष्ट करता है।
 * बहुपद के छल्ले। घंटी बजाओ* एकता के साथ नुकीले क्रमविनिमेय वलयों की श्रेणी हो (जोड़े (ए, ए) जहां ए एक वलय है, एक ∈ ए और आकृतिवाद विशिष्ट तत्वों को संरक्षित करते हैं)। भुलक्कड़ कारक जी: वलय* → वलय का एक बायाँ जोड़ है - यह प्रत्येक वलय R को युग्म (R[x],x) प्रदान करता है जहाँ R[x] R से गुणांक के साथ बहुपद वलय है।
 * abelianization । समावेशन कारक 'जी' पर विचार करें: एबी → जीआरपी एबेलियन समूहों की श्रेणी से समूहों की श्रेणी तक। इसमें एक बायाँ जोड़ होता है जिसे एबेलियनाइज़ेशन कहा जाता है जो प्रत्येक समूह  G  को भागफल समूह  G  प्रदान करता है।अब=जी/[जी,जी].
 * 'द ग्रोथेंडिक ग्रुप'। K-सिद्धांत में, प्रस्थान का बिंदु यह देखना है कि सांस्थितिक समष्टि पर सदिश बंडलों की श्रेणी में मापांक के प्रत्यक्ष योग के अंतर्गत एक क्रमविनिमेय एकसंयुज संरचना होती है। औपचारिक रूप से प्रत्येक बंडल (या समकक्ष वर्ग) के लिए एक योगात्मक व्युत्क्रम जोड़कर, इस मोनॉइड, ग्रोथेंडिक समूह से एक एबेलियन समूह बना सकता है। वैकल्पिक रूप से कोई भी यह देख सकता है कि प्रत्येक समूह के लिए अंतर्निहित एकसंयुज (उलटाओं को अनदेखा कर रहा है) के लिए कारक एक बाएं संलग्न है। उपरोक्त तीसरे खंड की चर्चा के अनुरूप, यह एक बार-के-लिए-एक निर्माण है। अर्थात्, ऋणात्मक संख्याओं के निर्माण का अनुकरण किया जा सकता है; परन्तु एक अस्तित्व प्रमेय का दूसरा विकल्प है। एकात्मक बीजगणितीय संरचनाओं के मामले में, स्वयं के अस्तित्व को सार्वभौमिक बीजगणित, या मॉडल सिद्धांत के रूप में संदर्भित किया जा सकता है; स्वाभाविक रूप से श्रेणी सिद्धांत के लिए अनुकूलित एक प्रमाण भी है।
 * समूह प्रतिनिधित्व में 'फ्रोबेनियस पारस्परिकता': प्रेरित प्रतिनिधित्व देखें। इस उदाहरण ने लगभग आधी शताब्दी तक सामान्य सिद्धांत का पूर्वाभास किया।

सांस्थितिकी

 * बाएँ और दाएँ सन्निकट के साथ एक कारक। चलो 'जी' सांस्थितिक रिक्त स्थान से समुच्चय (गणित) के लिए कारक हो जो प्रत्येक सांस्थितिक समष्टि को इसके अंतर्निहित  समुच्चय (सांस्थितिकी को भूलकर) से जोड़ता है। G में एक बायाँ सम्मिलन F है, जो एक  समुच्चय Y पर असतत स्थान बनाता है, और एक दाहिनी ओर H Y पर तुच्छ सांस्थितिकी बनाता है।
 * सस्पेंशन और लूप समष्टि। दिए गए सांस्थितिक समष्टि X और Y, समष्टि [SX, Y] होमोटॉपी कक्षाएं ेस ऑफ प्रतिचित्र्स के  निलंबन (सांस्थितिकी)  SX से X  से  Y  स्वाभाविक रूप से अंतरिक्ष के लिए आइसोमोर्फिक है [X, ΩY] X से लूप समष्टि ΩY के मानचित्रों के होमोटोपी वर्गों के वाई। इसलिए सस्पेंशन कारक को होमोटॉपी श्रेणी में लूप समष्टि कारक के पास छोड़ दिया जाता है, जो होमोटॉपी सिद्धांत का एक महत्वपूर्ण तथ्य है।
 * स्टोन–चेक संघनन। बता दें कि KHaus कॉम्पैक्ट जगह  हॉसडॉर्फ समष्टि की श्रेणी है और G : KHaus → टॉप सांस्थितिक समष्टि की कैटेगरी का इंक्लूजन फंक्शनल है। तब जी के पास एक बायां जोड़ है एफ : शीर्ष → खौस, स्टोन-सीच संघनन। इस संलग्न युग्म की इकाई प्रत्येक सांस्थितिक समष्टि X से इसके स्टोन-सीच कॉम्पेक्टिफिकेशन में एक सतत फ़ंक्शन (सांस्थितिकी) मानचित्र उत्पन्न करती है।
 * ढेरों की सीधी और उलटी छवियां। हर निरंतर मानचित्र f : X → Y सांस्थितिक समष्टि के मध्य एक कारक f को प्रेरित करता है∗ एक्स पर शीफ (गणित) ( समुच्चय्स, या एबेलियन ग्रुप्स, या वलय्स ...) की श्रेणी से, वाई पर  प्रत्यक्ष छवि ऑपरेटर  की इसी श्रेणी में। यह एक कारक f को भी प्रेरित करता है−1 Y पर एबेलियन समूहों के ढेरों की श्रेणी से लेकर X पर एबेलियन समूहों के ढेरों की श्रेणी तक, प्रतिलोम छवि कारक। एफ-1 को f के सन्निकट छोड़ दिया गया है∗. यहाँ एक अधिक सूक्ष्म बिंदु यह है कि सुसंगत शीफ के लिए बायाँ सन्निकट शेवों ( समुच्चयों) के लिए उससे भिन्न होगा।
 * संयम। स्टोन द्वैत पर लेख सांस्थितिक समष्टि की श्रेणी और शांत स्थान  की श्रेणी के  मध्य एक जुड़ाव का वर्णन करता है जिसे सोबरिफिकेशन के रूप में जाना जाता है। विशेष रूप से, लेख में एक अन्य संयोजन का विस्तृत विवरण भी सम्मिलित है जो व्यर्थ सांस्थितिकी में शोषण किए गए सोबर रिक्त स्थान और स्थानिक लोकेशंस के प्रसिद्ध द्वंद्व (श्रेणी सिद्धांत) के लिए रास्ता तैयार करता है।

पो समुच्चय्स
प्रत्येक आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए समुच्चय को एक श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है (जहां पो समुच्चय के तत्व श्रेणी की वस्तुएं बन जाते हैं और हमारे पास x से y तक एक ही आकारिकी होती है और केवल यदि x ≤ y)। दो आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए  समुच्चयों के  मध्य संलग्न कारक की एक युग्म को  गाल्वा कनेक्शन  कहा जाता है (या, यदि यह विरोधाभासी है, तो एंटीटोन गैलोइस कनेक्शन)। कई उदाहरणों के लिए उस लेख को देखें: गैलोज़ सिद्धांत का मामला निश्चित रूप से एक प्रमुख है। कोई भी गैलोज़ कनेक्शन  बंद करने वाला ऑपरेटर ्स को जन्म देता है और संबंधित क्लोज्ड एलिमेंट्स के  मध्य ऑर्डर-प्रोटेक्टिंग बायजेक्शन को उलट देता है।

जैसा कि गैल्वा समूहों के मामले में है, वास्तविक रुचि प्रायः एक द्वैत (गणित) (अर्थात एंटीटोन ऑर्डर आइसोआकारिता) के पत्राचार को परिष्कृत करने में होती है। इरविंग कपलान्स्की द्वारा इन पंक्तियों के साथ गैलोज़ सिद्धांत का एक उपचार यहां की सामान्य संरचना की मान्यता में प्रभावशाली था।

आंशिक आदेश का मामला काफी ध्यान देने योग्य परिभाषाओं को ध्वस्त करता है, परन्तु कई विषय प्रदान कर सकता है:
 * संलग्नक द्वैत या समरूपता नहीं हो सकते हैं, परन्तु उस स्थिति में उन्नयन के लिए उम्मीदवार हैं
 * क्लोजर ऑपरेटर संयोजन की उपस्थिति का संकेत दे सकते हैं, जैसा कि संबंधित इकाई (श्रेणी सिद्धांत) (cf. Kuratowski क्लोजर स्वयंसिद्ध)
 * विलियम लॉवरे की एक बहुत ही सामान्य टिप्पणी यह है कि वाक्यविन्यास और शब्दार्थ संलग्न हैं: C को सभी तार्किक सिद्धांतों (स्वयंसिद्धीकरण) का समुच्चय मानें, और D सभी गणितीय संरचनाओं के  समुच्चय का पावर  समुच्चय है। C में एक सिद्धांत T के लिए, G(T) को उन सभी संरचनाओं का समुच्चय होने दें जो स्वयंसिद्ध T को संतुष्ट करते हैं; गणितीय संरचनाओं S के एक  समुच्चय के लिए, एफ (S) को S का न्यूनतम स्वयंसिद्ध होना चाहिए। हम तब कह सकते हैं कि S जी (टी) का एक उपसमुच्चय है यदि और केवल यदि एफ (S) तार्किक रूप से टी का अर्थ है: शब्दार्थ कारक जी सिंटैक्स कारक F के ठीक निकट है।
 * विभाजन (गणित) (सामान्य रूप से) गुणन को उल्टा करने का प्रयास है, परन्तु ऐसी स्थितियों में जहां यह संभव नहीं है, हम प्रायः इसके बजाय एक संलग्न निर्माण करने का प्रयास करते हैं: आदर्श भागफल वलय आदर्शों और भौतिक सशर्त द्वारा गुणन से जुड़ा होता है प्रस्तावपरक कलन में तार्किक संयोजन के निकट है।

श्रेणी सिद्धांत

 * समानताएं। यदि F : D → C श्रेणियों का एक तुल्यता है, तो हमारे पास एक व्युत्क्रम तुल्यता G : C → D है, और दो कारक F और G एक संलग्न युग्म बनाते हैं। इस मामले में इकाई और देश प्राकृतिक समरूपताएं हैं।
 * संधियों की एक श्रृंखला। कार्य करनेवाला π0 जो किसी श्रेणी को निर्दिष्ट करता है, उसके कनेक्टेड घटकों का समुच्चय कारक डी से बाएँ-संलग्न होता है जो उस  समुच्चय पर असतत श्रेणी को  समुच्चय करता है। इसके अतिरिक्त, D ऑब्जेक्ट कारक U के बाएँ-संलग्न है जो प्रत्येक श्रेणी को उसकी वस्तुओं के  समुच्चय को निर्दिष्ट करता है, और अंत में U को A से बाएँ-संलग्न करता है जो प्रत्येक  समुच्चय को अविवेकी श्रेणी प्रदान करता है उस  समुच्चय पर।
 * घातीय वस्तु। एक कार्तीय बंद श्रेणी में -×ए द्वारा दिए गए एंडोकारक सी → सी का दाहिना जोड़ है - ए। इस युग्म को प्रायः करी और अनकरींग कहा जाता है; कई विशेष मामलों में, वे निरंतर भी होते हैं और एक होमियोआकारिता बनाते हैं।

श्रेणीबद्ध तर्क

 * परिमाणीकरण। यदि $$\phi_Y$$ कुछ गुणधर्म को व्यक्त करने वाला एक एकात्मक विधेय है, तो एक पर्याप्त रूप से मजबूत समुच्चय सिद्धांत  समुच्चय के अस्तित्व को सिद्ध कर सकता है $$Y=\{y\mid\phi_Y(y)\}$$ गुणधर्म को पूरा करने वाली शर्तों की। एक उचित उपसमुच्चय $$T\subset Y$$ और संबंधित इंजेक्शन $$T$$ में $$Y$$ एक विधेय द्वारा विशेषता है $$\phi_T(y)=\phi_Y(y)\land\varphi(y)$$ सख्ती से अधिक प्रतिबंधात्मक गुणधर्म व्यक्त करना।
 * विधेय तर्क में परिमाणक (तर्क)तर्क) की भूमिका प्रस्ताव बनाने में है और संभवतः अधिक चर के साथ सूत्रों को बंद करके परिष्कृत विधेय को व्यक्त करने में भी है। उदाहरण के लिए, एक विधेय पर विचार करें $$\psi_f$$ प्रकार के दो खुले चर के साथ $$X$$ और $$Y$$. बंद करने के लिए क्वांटिफायर का उपयोग करना $$X$$, हम समुच्चय बना सकते हैं
 * $$\{y\in Y\mid \exists x.\,\psi_f(x,y)\land\phi_{S}(x)\}$$
 * सभी तत्वों का $$y$$ का $$Y$$ जिसके लिए एक है $$x$$ जिसके लिए यह है $$\psi_f$$-संबंधित, और जो स्वयं गुणधर्म की विशेषता है $$\phi_{S}$$. चौराहे की तरह सैद्धांतिक संचालन समुच्चय करें $$\cap$$ दो  समुच्चयों का संयोजन सीधे संयोजन से मेल खाता है $$\land$$ विधेय का। श्रेणीबद्ध तर्क में, टोपोस सिद्धांत का एक उपक्षेत्र, क्वांटिफ़ायर की पहचान पुलबैक कारक के निकटवर्ती के साथ की जाती है। इस तरह की प्राप्ति को  समुच्चय थ्योरी का उपयोग करते हुए प्रस्तावपरक तर्क की चर्चा के अनुरूप देखा जा सकता है, परन्तु सामान्य परिभाषा तर्कों की एक समृद्ध श्रेणी के लिए बनाती है।


 * तो एक वस्तु पर विचार करें $$Y$$ पुलबैक वाली श्रेणी में। कोई रूपवाद $$f:X\to Y$$ आप एक पदाधिकारी का परिचय देंगे
 * $$f^{*} : \text{Sub}(Y) \longrightarrow \text{Sub}(X)$$ : उस श्रेणी पर जो सबऑब्जेक्ट का प्रीऑर्डर है। यह सबऑब्जेक्ट्स को प्रतिचित्र करता है $$T$$ का $$Y$$ (तकनीकी रूप से: मोनोआकारिता क्लास ऑफ $$T\to Y$$) पुलबैक के लिए $$X\times_Y T$$. यदि इस कारक के पास बाएँ या दाएँ सन्निकटन है, तो उन्हें कहा जाता है $$\exists_f$$ और $$\forall_f$$, क्रमश। वे दोनों से मानचित्र करते हैं $$\text{Sub}(X)$$ वापस $$\text{Sub}(Y)$$. बहुत मोटे तौर पर, एक डोमेन दिया गया $$S\subset X$$ के माध्यम से व्यक्त संबंध को मापने के लिए $$f$$ ओवर, कारक/क्वांटिफायर बंद हो जाता है $$X$$ में $$X\times_Y T$$ और इसके द्वारा निर्दिष्ट सब समुच्चय लौटाता है $$Y$$.


 * उदाहरण: में $$\operatorname{Set}$$, समुच्चय और फ़ंक्शंस की श्रेणी, कैनोनिकल सबोबजेक्ट्स सब समुच्चय (या बल्कि उनके कैनोनिकल इंजेक्शन) हैं। पुलबैक $$f^{*}T=X\times_Y T$$ एक उपसमुच्चय का एक इंजेक्शन $$T$$ में $$Y$$ साथ में $$f$$ सबसे बड़े  समुच्चय के रूप में जाना जाता है जिसके बारे में सब कुछ जानता है $$f$$ और का इंजेक्शन $$T$$ में $$Y$$. इसलिए यह उलटी छवि के साथ (आक्षेप में) निकलता है $$f^{-1}[T]\subseteq X$$.
 * के लिए $$S \subseteq X$$, आइए हम बाएं संलग्न को समझें, जिसे परिभाषित किया गया है
 * $${\operatorname{Hom}}(\exists_f S,T)

\cong {\operatorname{Hom}}(S,f^{*}T),$$
 * जो यहाँ सिर्फ अर्थ है
 * $$\exists_f S\subseteq T

\leftrightarrow S\subseteq f^{-1}[T]$$.


 * विचार करना $$ f[S] \subseteq T $$. हम देखते हैं $$S\subseteq f^{-1}[f[S]]\subseteq f^{-1}[T]$$. इसके विपरीत, यदि एक के लिए $$x\in S$$ हमारे पास भी है $$x\in f^{-1}[T]$$, तो स्पष्ट रूप से $$ f(x)\in T $$. इसलिए $$ S \subseteq f^{-1}[T] $$ तात्पर्य $$ f[S] \subseteq T $$. हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि उलटा छवि कारक के निकट में बायाँ है $$f^{*}$$ प्रत्यक्ष छवि द्वारा दिया गया है। यहाँ इस परिणाम का एक लक्षण वर्णन है, जो तार्किक व्याख्या से अधिक मेल खाता है: की छवि $$S$$ अंतर्गत $$\exists_f $$ का पूरा समुच्चय है $$y$$है, ऐसा है $$ f^{-1} [\{y\}] \cap S$$ खाली नहीं है। यह कार्य करता है क्योंकि यह ठीक उन्हीं की उपेक्षा करता है $$y\in Y$$ जो के पूरक हैं $$f[S]$$. इसलिए

\exists_f S = \{ y \in Y \mid \exists (x \in f^{-1}[\{y\}]).\, x \in S \; \} = f[S]. $$
 * इसे हमारी प्रेरणा के अनुरूप रखें $$\{y\in Y\mid\exists x.\,\psi_f(x,y)\land\phi_{S}(x)\}$$.
 * उलटा छवि कारक का दाहिना जोड़ दिया गया है (यहाँ गणना किए बिना)।

\forall_f S = \{ y \in Y \mid \forall (x \in f^{-1} [\{y\}]).\, x \in S \; \}. $$
 * सब समुच्चय $$\forall_f S$$ का $$Y$$ के पूर्ण समुच्चय के रूप में जाना जाता है $$y$$के गुण के साथ है जिसकी उलटी छवि है $$\{y\}$$ इसके संबंध में $$f$$ में पूर्णतः समाहित है $$S$$. ध्यान दें कि कैसे  समुच्चय का निर्धारण करने वाला विधेय उपरोक्त के समान है, सिवाय उसके $$\exists$$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $$\forall$$.


 * सत्ता स्थापित भी देखें।

संभावना
संभाव्यता में जुड़वाँ तथ्य को एक संयोजन के रूप में समझा जा सकता है: यह उम्मीद affine परिवर्तन के साथ प्रारंभ होती है, और यह उम्मीद कुछ अर्थों में वास्तविक संख्याओं पर वितरण के लिए वास्तविक-मूल्य सन्निकटन खोजने की समस्या का सबसे अच्छा समाधान है।

के आधार पर श्रेणी निर्धारित करें $$\R$$, वस्तुओं के वास्तविक संख्या होने के साथ, और आकारिकी एक बिंदु पर मूल्यांकन किए गए कार्यों को प्रभावित करती है। अर्थात किसी भी एफ़िन फंक्शन के लिए $$f(x) = ax + b$$ और कोई वास्तविक संख्या $$r$$, आकारिकी को परिभाषित करें $$(r, f): r \to f(r)$$.

के आधार पर श्रेणी निर्धारित करें $$M(\R)$$, प्रायिकता वितरण का समुच्चय $$\R$$ सीमित अपेक्षा के साथ। आकारिकी को परिभाषित कीजिए $$M(\R)$$ एक वितरण पर मूल्यांकन किए गए affine कार्यों के रूप में। अर्थात किसी भी एफ़िन फंक्शन के लिए $$f(x) = ax + b$$ और कोई भी $$\mu\in M(\R)$$, आकारिकी को परिभाषित करें $$(\mu, f): r \to \mu\circ f^{-1}$$.

फिरडायराक डेल्टा माप उपाय एक कारक को परिभाषित करता है: $$\delta: x\mapsto \delta_x$$, और उम्मीद एक और कारक को परिभाषित करती है $$\mathbb E: \mu \mapsto \mathbb E[\mu]$$, और वे संलग्न हैं: $$\mathbb E \dashv \delta$$. (कुछ विचलित होकर, $$\mathbb E$$ हालांकि, बाएं संलग्न है $$\mathbb E$$ भुलक्कड़ है और $$\delta$$ आज़ाद है ।)

पूर्ण रूप से संयोजन
इसलिए हर संयोजन से जुड़े कई कारक और प्राकृतिक परिवर्तन होते हैं, और शेष को निर्धारित करने के लिए केवल एक छोटा सा हिस्सा पर्याप्त होता है।

श्रेणियों सी और डी के मध्य एक संयोजन के होते हैं
 * एक कारक F : D → C को 'लेफ्ट संलग्न' कहा जाता है
 * एक कारक G : C → D को 'दाहिना सन्निकट' कहा जाता है
 * एक प्राकृतिक समरूपता Φ : homC(F–,–) → होमD(-, जी-)
 * एक प्राकृतिक परिवर्तन ε : FG → 1C कॉउंट कहा जाता है
 * एक प्राकृतिक परिवर्तन η : 1D → GF को 'इकाई' कहा जाता है

एक समतुल्य सूत्रीकरण, जहाँ X, C की किसी वस्तु को दर्शाता है और Y, D की किसी वस्तु को दर्शाता है, इस प्रकार है:


 * प्रत्येक सी-मॉर्फिज्म एफ : एफवाई → एक्स के लिए, एक अद्वितीय डी-मॉर्फिज्म Φ हैY, X(f) = g : Y → GX ऐसा है कि नीचे दिए गए चित्र कम्यूट करते हैं, और प्रत्येक D-आकारिता g : Y → GX के लिए, एक अद्वितीय C-मॉर्फिज्म Φ है-1Y, X(जी) = एफ: एफवाई → एक्स सी में ऐसा है कि नीचे दिए गए आरेख कम्यूट:

इस दावे से, कोई इसे पुनर्प्राप्त कर सकता है:
 * परिवर्तन ε, η, और Φ समीकरणों से संबंधित हैं
 * $$\begin{align}

f = \Phi_{Y,X}^{-1}(g) &= \varepsilon_X\circ F(g) & \in & \, \, \mathrm{hom}_C(F(Y),X)\\ g = \Phi_{Y,X}(f) &= G(f)\circ \eta_Y & \in & \, \, \mathrm{hom}_D(Y,G(X))\\ \Phi_{GX,X}^{-1}(1_{GX}) &= \varepsilon_X & \in & \, \, \mathrm{hom}_C(FG(X),X)\\ \Phi_{Y,FY}(1_{FY}) &= \eta_Y & \in & \, \, \mathrm{hom}_D(Y,GF(Y))\\ \end{align} $$
 * रूपांतरण ε, η इकाई-इकाई समीकरणों को संतुष्ट करते हैं
 * $$\begin{align}

1_{FY} &= \varepsilon_{FY} \circ F(\eta_Y)\\ 1_{GX} &= G(\varepsilon_X) \circ \eta_{GX} \end{align}$$
 * प्रत्येक युग्म (GX, εX) C में F से X तक एक सार्वभौमिक आकारिकी है
 * प्रत्येक युग्म (FY, ηY) डी में वाई से जी तक एक सार्वभौमिक आकारिकी है

विशेष रूप से, उपरोक्त समीकरण किसी को Φ, ε, और η को तीनों में से किसी एक के संदर्भ में परिभाषित करने की अनुमति देते हैं। हालांकि, संलग्न कारक एफ और जी अकेले सामान्य रूप से संयोजन को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त नहीं हैं। इन स्थितियों की समानता नीचे प्रदर्शित की गई है।

सार्वभौमिक रूपात्मक होम- समुच्चय संयोजन === को प्रेरित करते हैं == एक सही संलग्न कारक जी दिया गया: सी → डी; प्रारंभिक आकारिता के अर्थ में, निम्न चरणों का पालन करके प्रेरित होम- समुच्चय संयोजन का निर्माण किया जा सकता है।


 * एक कारक एफ : डी → सी और एक प्राकृतिक परिवर्तन η का निर्माण करें।
 * डी में प्रत्येक वस्तु वाई के लिए, एक प्रारंभिक आकारिकी चुनें (एफ (वाई), ηY) वाई से जी तक, ताकि ηY : वाई → जी (एफ (वाई))। हमारे पास वस्तुओं पर F का मानचित्र और आकारिकी η का वर्ग है।
 * प्रत्येक f : Y के लिए0 → और1, के रूप में (एफ (वाई0), दY 0 ) एक प्रारंभिक आकारिकी है, तो η का गुणनखंड करेंY 1 o एफ η के साथY 0 और F(f) प्राप्त करें : F(Y उप>0) → एफ(वाई1). यह आकारिता पर F का मानचित्र है।
 * उस कारक के आने वाले आरेख का तात्पर्य प्राकृतिक परिवर्तनों के आने वाले आरेख से है, इसलिए η : 1D → जी o एफ एक प्राकृतिक परिवर्तन है।
 * उस गुणनखंड की विशिष्टता और यह कि G एक कारक है, का तात्पर्य है कि आकारिकी पर F का मानचित्र रचनाओं और पहचानों को संरक्षित करता है।
 * एक प्राकृतिक समरूपता का निर्माण करें Φ : homC(एफ-,-) → होमD(-,जी-)।
 * सी में प्रत्येक वस्तु एक्स के लिए, डी में प्रत्येक वस्तु वाई, (एफ (वाई), η के रूप मेंY) एक प्रारंभिक रूपवाद है, फिर ΦY, X एक आपत्ति है, जहां ΦY, X(एफ: एफ (वाई) → एक्स) = जी (एफ) o ηY.
 * η एक प्राकृतिक परिवर्तन है, जी एक कारक है, फिर किसी वस्तु एक्स के लिए0, एक्स1 C में, कोई भी वस्तु Y0, और1 डी में, कोई एक्स: एक्स0 → एक्स1, कोई वाई: वाई1 → और0, हमारे पास Φ हैY 1, एक्स1 (एक्स o f o एफ (वाई)) = जी (एक्स) o जी (एफ) o जी (एफ (वाई)) o ηY 1 = जी (एक्स) o जी (एफ) o ηY 0 o वाई = जी (एक्स) o ΦY 0, एक्स0(एफ) o y, और फिर Φ दोनों तर्कों में स्वाभाविक है।

एक समान तर्क किसी को सीमावर्ती आकारिता से बाएं संलग्न कारक के लिए एक होम- समुच्चय संयोजन बनाने की अनुमति देता है। (निर्माण जो एक सही संलग्न के साथ प्रारंभ होता है, थोड़ा अधिक सामान्य है, क्योंकि कई संलग्न जोड़े में सही संलग्न एक तुच्छ रूप से परिभाषित समावेशन या भुलक्कड़ कारक है।)

देश-इकाई अधिष्ठापन होम- समुच्चय संयोजन === को प्रेरित करता है == दिए गए कारक F : D → C, G : C → D, और एक इकाई-इकाई संयोजन (ε, η) : F $$\dashv$$ जी, हम प्राकृतिक परिवर्तन Φ: होम खोजने के द्वारा एक होम- समुच्चय संयोजन का निर्माण कर सकते हैंC(एफ-,-) → होमD(-, जी-) निम्नलिखित चरणों में:


 * प्रत्येक f : FY → X और प्रत्येक g : Y → GX के लिए, परिभाषित करें
 * $$\begin{align}\Phi_{Y,X}(f) = G(f)\circ \eta_Y\\

\Psi_{Y,X}(g) = \varepsilon_X\circ F(g)\end{align}$$
 * परिवर्तन Φ और Ψ प्राकृतिक हैं क्योंकि η और ε प्राकृतिक हैं।


 * इस क्रम में, कि F एक कारक है, कि ε प्राकृतिक है, और सह-इकाई-इकाई समीकरण 1FY = ईFY o एफ (एनY), हमने प्राप्त
 * $$\begin{align}

\Psi\Phi f &= \varepsilon_X\circ FG(f)\circ F(\eta_Y) \\ &= f\circ \varepsilon_{FY}\circ F(\eta_Y) \\ &= f\circ 1_{FY} = f\end{align}$$
 * इसलिए ΨΦ पहचान परिवर्तन है।


 * Dually, उस G का उपयोग करना एक कारक है, कि η प्राकृतिक है, और सह-इकाई-इकाई समीकरण 1GX = जी (ईX) o ηGX, हमने प्राप्त
 * $$\begin{align}

\Phi\Psi g &= G(\varepsilon_X)\circ GF(g)\circ\eta_Y \\ &= G(\varepsilon_X)\circ\eta_{GX}\circ g \\ &= 1_{GX}\circ g = g\end{align}$$
 * इसलिए ΦΨ पहचान परिवर्तन है। इस प्रकार Φ व्युत्क्रम Φ के साथ एक प्राकृतिक समरूपता है −1 = पीS.

होम- समुच्चय संयोजन उपरोक्त सभी === को प्रेरित करता है == दिए गए फ़ैनक्टर्स F : D → C, G : C → D, और एक होम- समुच्चय संयोजन Φ : होमC(एफ-,-) → होमD(-, जी-), कोई एक इकाई-इकाई संयोजन का निर्माण कर सकता है


 * $$(\varepsilon,\eta):F\dashv G$$,

जो निम्नलिखित चरणों में आरंभिक और अंतिम आकारिकी के वर्गों को परिभाषित करता है:


 * होने देना$$\varepsilon_X=\Phi_{GX,X}^{-1}(1_{GX})\in\mathrm{hom}_C(FGX,X)$$सी में प्रत्येक एक्स के लिए, जहां$$1_{GX}\in\mathrm{hom}_D(GX,GX)$$पहचान रूपवाद है।
 * होने देना$$\eta_Y=\Phi_{Y,FY}(1_{FY})\in\mathrm{hom}_D(Y,GFY)$$डी में प्रत्येक वाई के लिए, जहां$$1_{FY}\in\mathrm{hom}_C(FY,FY)$$पहचान रूपवाद है।
 * Φ की विशिष्टता और स्वाभाविकता का अर्थ है कि प्रत्येक (GX, εX) C में F से X तक एक सीमावर्ती आकारिकी है, और प्रत्येक (FY, ηY) डी में वाई से जी तक प्रारंभिक आकारिकी है।
 * Φ की स्वाभाविकता का तात्पर्य ε और η की स्वाभाविकता और दो सूत्रों से है
 * $$\begin{align}\Phi_{Y,X}(f) = G(f)\circ \eta_Y\\

\Phi_{Y,X}^{-1}(g) = \varepsilon_X\circ F(g)\end{align}$$
 * प्रत्येक f के लिए: FY → X और g: Y → GX (जो पूर्णतया से Φ निर्धारित करता है)।


 * X और η के लिए FY को प्रतिस्थापित करनाY = एफY, FY(1FY) दूसरे सूत्र में जी के लिए पहला सह-इकाई-इकाई समीकरण देता है
 * $$1_{FY} = \varepsilon_{FY}\circ F(\eta_Y)$$,
 * और Y और GX और पहले सूत्र में f के लिए εX = Φ−1GX, X(1GX) को प्रतिस्थापित करने से दूसरा सह-इकाई-इकाई समीकरण प्राप्त होता है
 * $$1_{GX} = G(\varepsilon_X)\circ\eta_{GX}$$.

अस्तित्व
प्रत्येक कारक G : C → D बाएँ संलग्न को स्वीकार नहीं करता है। यदि C एक पूर्ण श्रेणी है, तो बाएं संलग्न वाले कारक को पीटर जे फ़्रीड के संलग्न कारक प्रमेय द्वारा वर्णित किया जा सकता है: G के पास एक बाएं संलग्न है यदि और केवल यदि यह निरंतर है और एक निश्चित छोटी स्थिति संतुष्ट है: प्रत्येक वस्तु के लिए D के Y में आकारिकी का एक वर्ग उपस्थित है


 * fi : Y → G(Xi)

जहां सूचकांक i एक समुच्चय $I$ से आता है एक उचित वर्ग नहीं, जैसे कि प्रत्येक रूपवाद


 * h : Y → G(X)

रूप में लिखा जा सकता है

h = G(t) ∘ fi

कुछ i में $I$ और कुछ आकृतिवाद के लिए


 * t : Xi → X ∈ C

एक समान कथन उन कारकों को दाहिने संलग्न के साथ दर्शाता है।

एक महत्वपूर्ण विशेष स्थिति स्थानीय रूप से प्रस्तुत करने योग्य श्रेणियों का है। यदि $$F : C \to D$$ तब स्थानीय रूप से प्रस्तुत करने योग्य श्रेणियों के मध्य एक कारक है


 * F का दाहिना संलग्न है यदि और केवल यदि F छोटे सह-सीमा को संरक्षित करता है
 * F के निकट बायाँ संलग्न है यदि और केवल यदि F छोटी सीमाओं को बनाए रखता है और एक सुलभ कारक है

विशिष्टता
यदि कारक F : D → C के दो दाएँ सन्निकट G और G' हैं, तो G और G' प्राकृतिक परिवर्तन हैं। बाएं संलग्न के लिए भी यही सत्य है।

इसके विपरीत, यदि F का G बायां संलग्न है, और G स्वाभाविक रूप से G' के समतुल्य है, तो F का भी G' बायां संलग्न है। सामान्यतः, यदि〈F, G, ε, η〉एक संयोजन है ( सह-इकाई-इकाई (ε,η) के साथ) और
 * σ : F → F'
 * τ : G → G '

प्राकृतिक समरूपताएं हैं तो〈F′, G′, ε′, η′〉 एक संयोजन है जहां
 * $$\begin{align}

\eta' &= (\tau\ast\sigma)\circ\eta \\ \varepsilon' &= \varepsilon\circ(\sigma^{-1}\ast\tau^{-1}). \end{align}$$ यहाँ $$\circ$$ प्राकृतिक परिवर्तनों की लंबवत संरचना को दर्शाता है, और $$\ast$$ क्षैतिज रचना को दर्शाता है।

रचना
संयोजनों की रचना प्राकृतिक रूप से की जा सकती है। विशेष रूप से, यदि〈F, G, ε, η〉 C और D के मध्य एक संयोजन है और〈F′, G′, ε′, η′〉, D और E के मध्य एक संयोजन है तो कारक
 * $$F \circ F' : E \rightarrow C$$

बायां संलग्न है
 * $$G' \circ G : C \to E.$$

अधिक सटीक रूप से, F F' और G' G के मध्य संयोजन द्वारा क्रमशः दी गई इकाई और सह-इकाई के मध्य एक संयोजन है:
 * $$\begin{align}

&1_{\mathcal E} \xrightarrow{\eta'} G' F' \xrightarrow{G' \eta F'} G' G F F' \\ &F F' G' G \xrightarrow{F \varepsilon' G} F G \xrightarrow{\varepsilon} 1_{\mathcal C}. \end{align}$$ इस नए संयोजन को दिए गए दो संयोजनों का संयोजन कहा जाता है।

चूंकि एक श्रेणी C और स्वयं के मध्य एक पहचान संयोजन को परिभाषित करने का एक स्वाभाविक तरीका भी है, इसलिए एक ऐसी श्रेणी बनाई जा सकती है, जिसकी वस्तुएं सभी छोटी श्रेणियां हैं और जिनकी रूपरेखाएं संलग्नक हैं।

सीमा संरक्षण
संलग्नकों की सबसे महत्वपूर्ण गुणधर्म उनकी निरंतरता है: प्रत्येक कारक जिसमें बाएं संलग्न है (और इसलिए दाएं संलग्न है) निरंतर है (अर्थात श्रेणी सैद्धांतिक अर्थ में अर्थ में सीमाओं के साथ परिवर्तित करता है); प्रत्येक कारक जिसका एक दाहिना संलग्न है (और इसलिए एक बायां संलग्न है) सह-सतत है (अर्थात सीमा (श्रेणी सिद्धांत) के साथ परिवर्तित करता है)।

चूंकि गणित में कई सामान्य रचनाएं सीमा या सह-सीमा हैं, इसलिए यह सूचना का बाहुल्य प्रदान करता है। उदाहरण के लिए:
 * वस्तुओं के एक उत्पाद के लिए एक दाहिने संलग्न कारक लगाने से छवियों का उत्पाद प्राप्त होता है;
 * वस्तुओं के एक सह-उत्पाद के लिए एक बाएं संलग्न कारक को अनुप्रयुक्त करने से छवियों का प्रतिफल प्राप्त होता है;
 * दो एबेलियन श्रेणियों के मध्य प्रत्येक दाहिनी संलग्न कारक बाएँ सटीक कारक है;
 * दो एबेलियन श्रेणियों के मध्य प्रत्येक बाएं संलग्न कारक सही सटीक कारक है।

योज्यता
यदि C और D पूर्ववर्ती श्रेणियां हैं और F : D → C दाएँ संलग्न G : C → D के साथ एक योगात्मक कारक है, तो G भी एक योगात्मक कारक और होम- समुच्चय द्विभाजन है


 * $$\Phi_{Y,X} : \mathrm{hom}_{\mathcal C}(FY,X) \cong \mathrm{hom}_{\mathcal D}(Y,GX)$$

वास्तव में, एबेलियन समूहों के समरूपता हैं। वास्तव में, यदि G बाएं संलग्न F के साथ योगात्मक है, तो F भी योगात्मक है।

इसके अतिरिक्त, यदि C और D दोनों योगात्मक श्रेणियां हैं (अर्थात सभी परिमित द्विउत्पाद के साथ पूर्व योज्यव श्रेणियां), तो उनके मध्य के किसी भी युग्मों के युग्म स्वचालित रूप से योगात्मक है।

सार्वभौमिक निर्माण
जैसा कि पहले कहा गया है, श्रेणियों C और D के मध्य एक संयोजन सार्वभौमिक आकारिता के एक वर्ग की उत्पत्ति करता है, C में प्रत्येक वस्तु के लिए एक और D में प्रत्येक वस्तु के लिए एक। D की प्रत्येक वस्तु से, तो G का एक बायाँ सन्निकट है।

हालांकि, सार्वभौमिक निर्माण संलग्न कारकों की तुलना में अधिक सामान्य हैं: एक सार्वभौमिक निर्माण एक अनुकूलन समस्या की तरह है; यह एक संलग्न युग्म की उत्पत्ति करता है यदि और केवल यदि इस समस्या का समाधान D के प्रत्येक वस्तु (समकक्ष रूप से, C के प्रत्येक वस्तु) के लिए है।

श्रेणियों की समानता
यदि एक कारक F : D → C श्रेणियों के समकक्ष का एक आधा है तो यह श्रेणियों के एक संलग्न समकक्ष में बाएं संलग्न है, अर्थात एक संयोजन जिसकी इकाई और सह इकाई समरूपताएं हैं।

प्रत्येक संयोजन〈F, G, ε, η〉 कुछ उपश्रेणियों की समानता का विस्तार करता है। C1 को C की पूर्ण उपश्रेणी के रूप में परिभाषित करें जिसमें C की वे वस्तुएँ X सम्मिलित हैं जिनके लिए εX एक समरूपता है, और और D1 को D की पूर्ण उपश्रेणी के रूप में परिभाषित करें जिसमें D की वे वस्तुएँ Y सम्मिलित हैं जिसके लिए ηY एक समरूपता है। तब F और G को D1 और C1 तक सीमित किया जा सकता है और इन उपश्रेणियों के व्युत्क्रम तुल्यता उत्पन्न की जा सकती है।

एक अर्थ में, फिर, संलग्न सामान्यीकृत व्युत्क्रम हैं। हालांकि ध्यान दें कि F का दायां व्युत्क्रम (अर्थात एक कारक G ऐसा है कि FG स्वाभाविक रूप से 1D के लिए समरूप है) F का दायां (या बायां) संलग्न होने की आवश्यकता नहीं है। संलग्न दो-पक्षीय व्युत्क्रमों का सामान्यीकरण करते हैं।

इकाई
प्रत्येक संयोजन〈F, G, ε, η〉श्रेणी D में एक संबंधित इकाई〈T, η, μ〉की उत्पत्ति करता है।
 * $$T : \mathcal{D} \to \mathcal{D}$$

T = GF द्वारा दिया गया है। एकसंयुज की इकाई है।
 * $$\eta : 1_{\mathcal{D}} \to T$$

केवल इकाई η संयोजन और गुणन परिवर्तन की है।
 * $$\mu : T^2 \to T\,$$

μ = GεF द्वारा दिया जाता है। वास्तव में, त्रिक〈FG, ε, FηG〉C में एक सह-इकाई को परिभाषित करता है।

प्रत्येक इकाई कुछ संयोजन से उत्पन्न होती है - वास्तव में, सामान्यतः कई संयोजनों से - उपरोक्त कार्य प्रणाली में है। इलेनबर्ग-मूर बीजगणित की श्रेणी और क्लेस्ली श्रेणी कहे जाने वाले दो निर्माण, एक संयोजन के निर्माण की समस्या के दो अतिवादी समाधान हैं जो किसी दिए गए इकाई की उत्पत्ति करते हैं।

बाहरी संबंध

 * – seven short lectures on adjunctions by Eugenia Cheng of The Catsters
 * WildCats is a category theory package for Mathematica. Manipulation and visualization of objects, आकारिता, categories, कारकs, natural transformations, universal properties.