गॉस का नियम

भौतिकी और विद्युत चुंबकत्व में, गॉस के नियम को गॉस के फ्लक्स नियम के रूप में भी जाना जाता है, परिणामी विद्युत क्षेत्र में विद्युत अभियुक्ति के वितरण से संबंधित नियम होते है। अपने अभिन्न रूप में, यह बताता है कि एक बंद सतह से विद्युत क्षेत्र का प्रवाह सतह से घिरे विद्युत अभियुक्ति के समानुपाती होती है। यदि नियम किसी भी अभियुक्ति वितरण को घेरने वाली सतह पर विद्युत के क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए अपर्याप्त होते है, यह उन स्थितियों में संभव हो सकता है जहां समरूपता क्षेत्र की एकरूपता को अनिवार्य करती है। जहाँ ऐसी कोई समरूपता उपस्थित नही होती है, गॉस के नियम का उपयोग इसके विभेदक रूप में किया जा सकता है, जो बताता है कि विद्युत क्षेत्र का विचलन अभियुक्ति के स्थानीय घनत्व के समानुपाती होते है।

पहले 1773 में जोसेफ-लुई लाग्रेंज द्वारा तैयार किया गया था, फिर 1835 में कार्ल फ्रेडरिक गॉस द्वारा तैयार किया गया था। यह मैक्सवेल के समीकरणों में से एक है, जो मौलिक इलेक्ट्रोडायनामिक्स का आधार बनाता है। गॉस के नियम का उपयोग कूलम्ब के नियम को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है।

गुणात्मक वर्णन
शब्दों में, गॉस का नियम कहता है:
 * किसी भी काल्पनिक बंद सतह के माध्यम से शुद्ध विद्युत प्रवाह बराबर होता है $1/ε_{0}$ उस बंद सतह के भीतर संलग्न शुद्ध विद्युत अभियुक्ति के दोगुना होता है। बंद सतह को गॉसियन सतह भी कहा जाता है।

गॉस के नियम में भौतिकी के अन्य क्षेत्रों में कई नियमों के साथ एक करीबी गणितीय समानता होती है। वास्तव में, किसी भी व्युत्क्रम-वर्ग नियम को गॉस के नियम के समान विधियों से तैयार किया जा सकता है: उदाहरण के लिए, गॉस का नियम अनिवार्य रूप से कूलम्ब के नियम के बराबर होता है, और गुरुत्वाकर्षण के लिए गॉस का नियम अनिवार्य रूप से न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम के बराबर होता है, दोनों व्युत्क्रम-वर्ग नियम होते है।

समाकलन गणित और अंतर कलन में वेक्टर का उपयोग करके नियम को गणितीय रूप से व्यक्त किया जा सकता है, दोनों समतुल्य होते है क्योंकि वे विचलन नियम द्वारा संबंधित होते है, जिसे गॉस नियम भी कहा जाता है। इन रूपों में से प्रत्येक को बदले में दो विधियों से भी व्यक्त किया जा सकता है: विद्युत क्षेत्र के बीच संबंध के संदर्भ में $E$ और कुल विद्युत अभियुक्ति, या विद्युत विस्थापन क्षेत्र के संदर्भ में $D$ मुक्त होता है।

सम्मलित समीकरण $E$ छेत्र
गॉस के नियम को या तो विद्युत क्षेत्र का उपयोग करके बताया जा सकता है $E$ या विद्युत विस्थापन क्षेत्र $D$. यह खंड कुछ रूपों को दिखाता है $E$, इसके साथ प्रपत्र $D$ नीचे है, जैसा कि अन्य रूपों में है $E$.

अभिन्न रूप
गॉस के नियम को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: $$\Phi_E = \frac{Q}{\varepsilon_0}$$जहाँ $Φ_{E}$ एक बंद सतह के माध्यम से विद्युत प्रवाह है $S$ किसी भी मात्रा को संलग्न करता है $V$, $Q$ भीतर संलग्न कुल विद्युत अभियुक्ति है $V$, और $ε_{0}$ विद्युत स्थिरांक है। विद्युत प्रवाह $Φ_{E}$ को विद्युत क्षेत्र के सतह के रूप में परिभाषित किया गया है:



जहाँ $E$ विद्युत क्षेत्र है, $dA$ एक वेक्टर है जो सतह के क्षेत्र के एक अति सूक्ष्म तत्व का प्रतिनिधित्व करता है, और दो वैक्टरों के डॉट उत्पाद का प्रतिनिधित्व करता है।

एक बंद सतह के माध्यम से एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के प्रवाह को व्यक्त किया जाता है



जहाँ $$c$$ प्रकाश की गति है, $$F^{\kappa 0}$$ विद्युत चुम्बकीय टेंसर के समय घटकों को दर्शाता है, $$g$$ मीट्रिक टेंसर का निर्धारक है, $$ \mathrm{d} S_\kappa = \mathrm{d} S^{ij} = \mathrm{d}x^i \mathrm{d}x^j $$ अभियुक्ति के आस-पास द्वि-आयामी सतह का एक असामान्य तत्व है $$Q$$, सूचकांक $$ i,j,\kappa = 1,2,3$$ और एक दूसरे से मेल नहीं खाते है।

चूंकि प्रवाह को विद्युत क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया गया है, गॉस के नियम की इस अभिव्यक्ति को अभिन्न रूप कहा जाता है। ज्ञात क्षमता पर स्थापित सूचालकों से जुड़ी समस्याओं में, लाप्लास के समीकरण को या तो विश्लेषणात्मक या संख्यात्मक रूप से हल करके उनकी क्षमता प्राप्त की जाती है। विद्युत क्षेत्र की गणना क्षमता के नकारात्मक ढाल के रूप में की जाती है। गॉस का नियम विद्युत अभियुक्ति के वितरण को ढूँढने में संभव बनती है: सुचालक के किसी भी क्षेत्र में अभियुक्ति को विद्युत क्षेत्र को एकीकृत करके फ्लक्स का पता लगाने के लिए घटाया जा सकता है, जिसकी भुजाएँ सुचालक की सतह के लंबवत होती है, और सुचालक शून्य होता है।

विपरीत समस्या, जब विद्युत अभियुक्ति वितरण ज्ञात होता है और विद्युत क्षेत्र की गणना की जाती है, तो यह बहुत अधिक कठिन होता है। किसी दिए गए सतह के माध्यम से कुल प्रवाह विद्युत क्षेत्र के बारे में बहुत कम जानकारी देता है।

एक अपवाद तब होता है जब समस्या में कुछ समरूपता होती है, जो अनिवार्य करती है कि विद्युत क्षेत्र एक समान विधियों से सतह के माध्यम से निकलता है। तब, यदि कुल फ्लक्स ज्ञात होता है, तो प्रत्येक बिंदु पर क्षेत्र का अनुमान लगाया जा सकता है। समरूपता के सामान्य उदाहरण जो खुद को गॉस के नियम के लिए उनमें सम्मलित होते है: बेलनाकार समरूपता, तलीय समरूपता और गोलाकार समरूपता सम्मलित होते है। उदाहरण के लिए गौसियन सतह लेख देखें जहां विद्युत क्षेत्रों की गणना करने के लिए इन समरूपताओं का शोषण किया जाता है।

विभेदक रूप
विचलन नियम द्वारा, गॉस के नियम को वैकल्पिक रूप से विभेदक रूप में लिखा जा सकता है: $$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0 \varepsilon_r}$$ जहाँ $dN$ विद्युत क्षेत्र का विचलन है, $dR$ निर्वात पारगम्यता है, $$\varepsilon_r$$ सापेक्ष पारगम्यता है, और $$ आयतन अभियुक्ति घनत्व (अभियुक्ति प्रति यूनिट आयतन) है।

अभिन्न और विभेदक रूपों की समानता
विचलन नियम द्वारा अभिन्न और अंतर रूप गणितीय रूप से समकक्ष होता है। यहाँ तर्क अधिक विशेष रूप से होता है।

$$

मुक्त, बाध्य और कुल शुल्क
सरल पाठ्यपुस्तक स्थितियों में उत्पन्न होने वाले विद्युत अभियुक्ति को मुक्त अभियुक्ति के रूप में वर्गीकृत किया जाता है - उदाहरण के लिए, स्थिर विद्युत में स्थानांतरित होने वाला अभियुक्ति, या संधारित्र स्थान पर अभियुक्ति। इसके विपरीत, अभियुक्ति केवल परावैद्युत (ध्रुवीय) सामग्री के संदर्भ में उत्पन्न होता है। (सभी सामग्री कुछ हद तक ध्रुवीकरण योग्य होते है।) जब ऐसी सामग्री को बाहरी विद्युत क्षेत्र में रखा जाता है, तो इलेक्ट्रॉन अपने संबंधित परमाणुओं से बंधे रहते है, लेकिन क्षेत्र की प्रतिक्रिया में एक सूक्ष्म होती है, जिससे कि वे एक तरफ अधिक होते है। ये सभी सूक्ष्म विस्थापन एक स्थूल शुद्ध अभियुक्ति वितरण देने के लिए जुड़े होते है, और यह बाध्य अभियुक्ति का गठन करते है।

यद्यपि सूक्ष्मदर्शी रूप से सभी अभियुक्ति मौलिक रूप से समान होते है, फिर भी अभियुक्ति को मुक्त अभियुक्ति से अलग मानने के लिए अधिकांशतः व्यावहारिक कारण होते है। परिणाम यह है कि अधिक मौलिक गॉस के नियम, के संदर्भ में $dA$, कभी-कभी नीचे समतुल्य रूप में रखा जाता है, जो कि संदर्भ होता है $∇ · E$ केवल मुक्त होता है।

अभिन्न रूप
गॉस के नियम का यह सूत्रीकरण कुल अभियुक्ति रूप बताता है:

$$\Phi_D = Q_\mathrm{free}$$ जहाँ $ε_{0}$ विद्युत विस्थापन क्षेत्र है |$D$-क्षेत्र विद्युत प्रवाह एक सतह के माध्यम होता है $ρ$ जो आयतन संलग्न करता है $$, और $E$ मुक्त होता है जिसमें निहित है $S$ प्रवाह $D$ फ्लक्स के अनुरूप परिभाषित किया गया है $Φ_{D}$ विद्युत क्षेत्र $D$ द्वारा है $V$:



विभेदक रूप
गॉस के नियम का विभेदक रूप कहता है: $$\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_\mathrm{free}$$ जहाँ $Q_{free}$ विद्युत विस्थापन क्षेत्र का विचलन है, और $Φ_{D}$ मुक्त विद्युत अभियुक्ति घनत्व है।

कुल और मुक्त अभियुक्ति वितरण की समानता
$V$

रैखिक सामग्री के लिए समीकरण
सजातीय, समदैशिक, रैखिक सामग्री के बीच एक सरल संबंध है $Φ_{E}$ और $E$:

$$\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E} $$ जहाँ $S$ सामग्री की पारगम्यता है। मुक्त स्थान के स्थिति में, $∇ · D$ इन परिस्थितियों में गॉस का नियम परिवर्तित हो जाते है

$$\Phi_E = \frac{Q_\mathrm{free}}{\varepsilon}$$ अभिन्न रूप के लिए है, और

$$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho_\mathrm{free}}{\varepsilon}$$ विभेदक रूप के लिए है।

बल के क्षेत्रों के संदर्भ में
गॉस के नियम की व्याख्या क्षेत्र की बल रेखाओं के संदर्भ में निम्नानुसार की जा सकती है:

एक बंद सतह के माध्यम से प्रवाह सतह को भेदने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाओं के परिमाण और दिशा दोनों पर निर्भर करता है। सामान्यतः एक सकारात्मक प्रवाह को इन रेखाओं द्वारा परिभाषित किया जाता है। इसके परिणामस्वरूप धनात्मक अभियुक्ति उत्पन्न होती है जिससे धनात्मक प्रवाह होता है। ये विद्युत क्षेत्र रेखाएँ अभियुक्ति के स्रोत से दूरी के ऊर्जा में घटते हुए अंत तक विस्तारित होती है। किसी अभियुक्ति से निकलने वाली क्षेत्र रेखाओं की संख्या जितनी अधिक होती है, अभियुक्ति का परिमाण उतना ही अधिक होता है, और क्षेत्र रेखाएँ जितनी निकट होती है, विद्युत क्षेत्र का परिमाण उतना ही अधिक होता है। यह विद्युत क्षेत्र के कमजोर होने का स्वाभाविक परिणाम है कि एक अभियुक्तिित कण से दूर चला जाता है, लेकिन सतह क्षेत्र भी बढ़ जाता है जिससे इस कण से निकलने वाला शुद्ध विद्युत क्षेत्र समान रहता है। दूसरे शब्दों में, विद्युत क्षेत्र का बंद अभिन्न अंग और क्षेत्र के व्युत्पन्न का डॉट उत्पाद मुक्त स्थान की पारगम्यता से विभाजित शुद्ध अभियुक्ति के बराबर होता है।

कूलम्ब के नियम से गॉस के नियम की व्युत्पत्ति
गॉस का नियम केवल कूलम्ब के नियम से नहीं लिया जा सकता है, क्योंकि कूलम्ब का नियम केवल विद्युत क्षेत्र के लिए होता है। चूँकि, गॉस के नियम को कूलम्ब के नियम से सिद्ध किया जा सकता है यदि यह मान लिया जाए, इसके अतिरिक्त, विद्युत क्षेत्र सुपरपोज़िशन सिद्धांत का पालन करता है। सुपरपोज़िशन सिद्धांत बताता है कि परिणामी क्षेत्र प्रत्येक कण (यदि स्थान में अभियुक्तिों को सुचारू रूप से वितरित किया जाता है) द्वारा उत्पन्न क्षेत्रों का सदिश योग होता है।

$$

चूँकि कूलम्ब का नियम केवल स्थिर अभियुक्तिों पर लागू होता है, इसलिए यह अपेक्षा करने का कोई कारण नहीं है कि गॉस का नियम केवल इस व्युत्पत्ति के आधार पर गतिमान अभियुक्तिों के लिए मान्य होता है। वास्तव में, गॉस का नियम गतिमान अभियुक्तिों के लिए मान्य होता है, और इस संबंध में गॉस का नियम कूलम्ब के नियम से अधिक सामान्य होता है।

$$

गॉस के नियम से कूलम्ब के नियम की व्युत्पत्ति
कूलम्ब का नियम केवल गॉस के नियम से प्राप्त नहीं किया जा सकता है, क्योंकि गॉस का नियम कर्ल (गणित) के बारे में कोई जानकारी नहीं देता है, $ρ_{free}$ (देखें हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन और फैराडे का नियम)। चूँकि, कूलम्ब का नियम गॉस के नियम से सिद्ध किया जा सकता है, यदि यह मान लिया जाए, इसके अतिरिक्त, एक बिंदु अभियुक्ति से विद्युत क्षेत्र गोलाकार रूप से सममित होती है।

$ε$

यह भी देखें

 * इमेज अभियुक्ति करने की विधि
 * प्वासों के समीकरण के लिए अद्वितीयता नियम
 * स्टिग्लर के नियम के उदाहरणों की सूची

संदर्भ

 * Digital version
 * David J. Griffiths (6th ed.)

बाहरी संबंध

 * MIT Video Lecture Series (30 x 50 minute lectures)- Electricity and Magnetism Taught by Professor Walter Lewin.
 * section on Gauss's law in an online textbook
 * MISN-0-132 Gauss's Law for Spherical Symmetry (PDF file) by Peter Signell for Project PHYSNET.
 * MISN-0-133 Gauss's Law Applied to Cylindrical and Planar Charge Distributions (PDF file) by Peter Signell for Project PHYSNET.
 * MISN-0-133 Gauss's Law Applied to Cylindrical and Planar Charge Distributions (PDF file) by Peter Signell for Project PHYSNET.