सिंक फलन

गणित, भौतिकी और अभियांत्रिकी  में, sync फ़ंक्शन, द्वारा दर्शाया गया है $sinc(x)$, इसके दो रूप हैं, सामान्यीकृत और असामान्यीकृत।

फ़ाइल:Sinc.wav|thumb|sinc ऑडियो के रूप में कार्य करता है, 2000 Hz पर (शून्य के आसपास ±1.5 सेकंड)।

गणित में, ऐतिहासिक असामान्यीकृत सिन फ़ंक्शन को परिभाषित किया गया है $x ≠ 0$ द्वारा $$\operatorname{sinc}x = \frac{\sin x}{x}.$$ वैकल्पिक रूप से, असामान्य सिन फ़ंक्शन को अक्सर नमूनाकरण समारोह कहा जाता है, जिसे Sa(x) के रूप में दर्शाया गया है। अंकीय संकेत प्रक्रिया और सूचना सिद्धांत में, सामान्यीकृत सिन फ़ंक्शन को आमतौर पर परिभाषित किया जाता है $x ≠ 0$ द्वारा $$\operatorname{sinc}x = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}.$$ किसी भी स्थिति में, मान पर $x = 0$ को सीमित मान के रूप में परिभाषित किया गया है $$\operatorname{sinc}0 := \lim_{x \to 0}\frac{\sin(a x)}{a x} = 1$$ सभी वास्तविक के लिए $a ≠ 0$ (सीमा को Squeeze_theorem#Second_example का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है)।

सामान्यीकृत स्थिरांक के कारण वास्तविक संख्याओं पर फ़ंक्शन का अभिन्न  1 के बराबर हो जाता है (जबकि असामान्यीकृत साइन फ़ंक्शन के समान इंटीग्रल का मान pi होता है।$\pi$). एक और उपयोगी संपत्ति के रूप में, सामान्यीकृत सिन फ़ंक्शन के शून्य गैर-शून्य पूर्णांक मान हैं $x$.

सामान्यीकृत सिन फ़ंक्शन बिना किसी स्केलिंग के आयताकार फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण है। इसका उपयोग व्हिटेकर-शैनन इंटरपोलेशन फॉर्मूला की अवधारणा में किया जाता है, जो उस सिग्नल के समान दूरी वाले नाइक्विस्ट-शैनन सैंपलिंग प्रमेय से एक सतत बैंडलिमिटेड सिग्नल है।

दोनों परिभाषाओं के बीच एकमात्र अंतर स्वतंत्र चर (कार्टेशियन समन्वय प्रणाली) की स्केलिंग में है$x$ अक्ष) के एक कारक द्वारा π. दोनों ही मामलों में, शून्य पर हटाने योग्य विलक्षणता पर फ़ंक्शन का मान सीमा मान 1 माना जाता है। तब sync फ़ंक्शन हर जगह विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन होता है और इसलिए एक संपूर्ण फ़ंक्शन होता है।

फ़ंक्शन को कार्डिनल साइन या साइन कार्डिनल फ़ंक्शन भी कहा गया है। शब्द sync  फिलिप वुडवर्ड द्वारा पेश किया गया था|फिलिप एम. वुडवर्ड ने अपने 1952 के लेख सूचना सिद्धांत और दूरसंचार में उलटा संभावना में कहा था, जिसमें उन्होंने कहा था कि फ़ंक्शन फूरियर विश्लेषण और इसके अनुप्रयोगों में इतनी बार होता है कि यह अपने स्वयं के कुछ नोटेशन के योग्य प्रतीत होता है, और उनकी 1953 की पुस्तक प्रोबेबिलिटी एंड इंफॉर्मेशन थ्योरी, विद एप्लीकेशंस टू राडार। फ़ंक्शन को पहली बार गणितीय रूप से लॉर्ड रेले द्वारा अपनी अभिव्यक्ति (रेले के फॉर्मूला) में पहली तरह के शून्य-क्रम गोलाकार बेसेल फ़ंक्शन के लिए इस रूप में प्राप्त किया गया था।

गुण
असामान्यीकृत सिनक की शून्य क्रॉसिंग गैर-शून्य पूर्णांक गुणकों पर होती है π, जबकि सामान्यीकृत साइन की शून्य क्रॉसिंग गैर-शून्य पूर्णांकों पर होती है।

असामान्य सिनक का स्थानीय मैक्सिमा और मिनिमा कोज्या  फ़ंक्शन के साथ इसके प्रतिच्छेदन से मेल खाता है। वह है, $sin(ξ)⁄ξ = cos(ξ)$ सभी बिंदुओं के लिए $ξ$ जहां का व्युत्पन्न है $sin(x)⁄x$ शून्य है और इस प्रकार एक स्थानीय चरम पर पहुँच जाता है। यह sync फ़ंक्शन के व्युत्पन्न से निम्नानुसार है: $$\frac{d}{dx}\operatorname{sinc}(x) = \frac{\cos(x) - \operatorname{sinc}(x)}{x}.$$ के लिए अनंत श्रृंखला के पहले कुछ पद $x$ का समन्वय $n$-वां अंत सकारात्मक के साथ $x$समन्वय हैं $$x_n = q - q^{-1} - \frac{2}{3} q^{-3} - \frac{13}{15} q^{-5} - \frac{146}{105} q^{-7} - \cdots,$$ कहाँ $$q = \left(n + \frac{1}{2}\right) \pi,$$ और कहाँ अजीब $n$ स्थानीय न्यूनतम तक ले जाता है, और यहां तक ​​कि $n$ स्थानीय अधिकतम तक। चारों ओर समरूपता के कारण $y$ अक्ष, वहां एक्स्ट्रेमा मौजूद है $x$ निर्देशांक $−x_{n}$. इसके अलावा, एक पूर्ण अधिकतम है $ξ_{0} = (0, 1)$.

सामान्यीकृत सिन फ़ंक्शन का अनंत उत्पाद के रूप में एक सरल प्रतिनिधित्व होता है: $$\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{n^2}\right)$$ और गामा फ़ंक्शन से संबंधित है $Γ(x)$ यूलर के प्रतिबिंब सूत्र के माध्यम से: $$\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \frac{1}{\Gamma(1 + x)\Gamma(1 - x)}.$$ यूलर ने खोजा वह $$\frac{\sin(x)}{x} = \prod_{n=1}^\infty \cos\left(\frac{x}{2^n}\right),$$ और उत्पाद-से-योग पहचान के कारण $$\prod_{n=1}^k \cos\left(\frac{x}{2^n}\right) = \frac{1}{2^{k-1}} \sum_{n=1}^{2^{k-1}} \cos\left(\frac{n - 1/2}{2^{k-1}} x \right),\quad \forall k \ge 1,$$ यूलर के उत्पाद को योग के रूप में पुनर्गठित किया जा सकता है $$\frac{\sin(x)}{x} = \lim_{N\to\infty} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N \cos\left(\frac{n - 1/2}{N} x\right).$$ सामान्यीकृत सिनक (साधारण आवृत्ति में) का निरंतर फूरियर रूपांतरण है $sinc z = sin z⁄z$: $$\int_{-\infty}^\infty \operatorname{sinc}(t) \, e^{-i 2 \pi f t}\,dt = \operatorname{rect}(f),$$ जहां - के बीच तर्क के लिए आयताकार फ़ंक्शन 1 है$1⁄2$ और $1⁄2$, और अन्यथा शून्य. यह इस तथ्य से मेल खाता है कि सिन फिल्टर आदर्श (ईंट-दीवार फ़िल्टर | ईंट-दीवार, जिसका अर्थ आयताकार आवृत्ति प्रतिक्रिया) लो पास फिल्टर है।

यह फूरियर अभिन्न, विशेष मामले सहित $$\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \, dx = \operatorname{rect}(0) = 1$$ एक अनुचित इंटीग्रल है (डिरिचलेट इंटीग्रल देखें) और एक अभिसरण लेब्सग इंटीग्रल नहीं है $$\int_{-\infty}^\infty \left|\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \right| \,dx = +\infty.$$ सामान्यीकृत सिन फ़ंक्शन में ऐसे गुण होते हैं जो इसे नमूनाकरण (सिग्नल प्रोसेसिंग)  बैंडलिमिटेड फ़ंक्शंस के  प्रक्षेप  के संबंध में आदर्श बनाते हैं:
 * यह एक इंटरपोलेटिंग फ़ंक्शन है, यानी, $rect(f)$, और $sinc(0) = 1$ अशून्य संख्या#पूर्णांकों के लिए $sinc(k) = 0$.
 * कार्य $k$ ($k$ पूर्णांक) एलपी स्पेस में बैंडलिमिटेड कार्यों के लिए एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाता है $x_{k}(t) = sinc(t − k)$, उच्चतम कोणीय आवृत्ति के साथ $L^{2}(R)$ (अर्थात, उच्चतम चक्र आवृत्ति $ω_{H} = π$).

दो sync फ़ंक्शंस के अन्य गुणों में शामिल हैं:
 * असामान्यीकृत सिनक पहली तरह का शून्य-क्रम गोलाकार बेसेल फ़ंक्शन है, $f_{H} = 1⁄2$. सामान्यीकृत पाप है $j_{0}(x)$.
 * कहाँ $j_{0}(πx)$ साइन इंटीग्रल है, $$\int_0^x \frac{\sin(\theta)}{\theta}\,d\theta = \operatorname{Si}(x).$$
 * $Si(x)$ (सामान्यीकृत नहीं) रैखिक साधारण अंतर समीकरण के दो रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों में से एक है $$x \frac{d^2 y}{d x^2} + 2 \frac{d y}{d x} + \lambda^2 x y = 0.$$ दूसरा है $λ sinc(λx)$, जो कि सीमाबद्ध नहीं है $cos(λx)⁄x$, इसके sync फ़ंक्शन समकक्ष के विपरीत।
 * सामान्यीकृत सिंक का उपयोग करना, $$\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^2(\theta)}{\theta^2}\,d\theta = \pi \quad \Rightarrow \quad \int_{-\infty}^\infty \operatorname{sinc}^2(x)\,dx = 1,$$
 * $$\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(\theta)}{\theta}\,d\theta = \int_{-\infty}^\infty \left( \frac{\sin(\theta)}{\theta} \right)^2 \,d\theta = \pi.$$
 * $$\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^3(\theta)}{\theta^3}\,d\theta = \frac{3\pi}{4}.$$
 * $$\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^4(\theta)}{\theta^4}\,d\theta = \frac{2\pi}{3}.$$
 * निम्नलिखित अनुचित इंटीग्रल में (सामान्यीकृत नहीं) सिन फ़ंक्शन शामिल है: $$\int_0^\infty \frac{dx}{x^n + 1} = 1 + 2\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{(kn)^2 - 1} = \frac{1}{\operatorname{sinc}(\frac{\pi}{n})}.$$

डिराक डेल्टा वितरण से संबंध
सामान्यीकृत साइन फ़ंक्शन का उपयोग डिराक डेल्टा फ़ंक्शन # डेल्टा फ़ंक्शन के प्रतिनिधित्व के रूप में किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि निम्नलिखित कमजोर अभिसरण (हिल्बर्ट स्पेस) रखता है:

$$\lim_{a \to 0} \frac{\sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)}{\pi x} = \lim_{a \to 0}\frac{1}{a} \operatorname{sinc}\left(\frac{x}{a}\right) = \delta(x).$$ यह कोई सामान्य सीमा नहीं है, क्योंकि बाईं ओर अभिसरण नहीं होता है। बल्कि इसका मतलब ये है

$$\lim_{a \to 0}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{a} \operatorname{sinc}\left(\frac{x}{a}\right) \varphi(x) \,dx = \varphi(0)$$ प्रत्येक श्वार्ट्ज स्थान के लिए, जैसा कि फूरियर व्युत्क्रम प्रमेय से देखा जा सकता है। उपरोक्त अभिव्यक्ति में, जैसे $x = 0$, sync फ़ंक्शन की प्रति इकाई लंबाई में दोलनों की संख्या अनंत तक पहुंचती है। फिर भी, अभिव्यक्ति सदैव एक आवरण के अंदर ही डोलती रहती है $a → 0$, के मूल्य की परवाह किए बिना $a$.

यह की अनौपचारिक तस्वीर को जटिल बनाता है $±1⁄πx$ सभी के लिए शून्य होने के नाते $x$ बिंदु को छोड़कर $δ(x)$, और डेल्टा फ़ंक्शन को वितरण के बजाय एक फ़ंक्शन के रूप में सोचने की समस्या को दर्शाता है। ऐसी ही स्थिति गिब्स परिघटना में पाई जाती है।

सारांश
इस खंड के सभी योग असामान्यीकृत सिन फ़ंक्शन को संदर्भित करते हैं।

कुल मिलाकर $x = 0$ पूर्णांक से अधिक $n$ 1 से $sinc(n)$ बराबर है $∞$:

$$\sum_{n=1}^\infty \operatorname{sinc}(n) = \operatorname{sinc}(1) + \operatorname{sinc}(2) + \operatorname{sinc}(3) + \operatorname{sinc}(4) +\cdots = \frac{\pi - 1}{2}.$$ वर्गों का योग भी बराबर होता है $\pi − 1⁄2$:

$$\sum_{n=1}^\infty \operatorname{sinc}^2(n) = \operatorname{sinc}^2(1) + \operatorname{sinc}^2(2) + \operatorname{sinc}^2(3) + \operatorname{sinc}^2(4) + \cdots = \frac{\pi - 1}{2}.$$ जब जोड़ के चिह्न वैकल्पिक होते हैं और + से शुरू होते हैं, तो योग बराबर होता है $1⁄2$: $$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\,\operatorname{sinc}(n) = \operatorname{sinc}(1) - \operatorname{sinc}(2) + \operatorname{sinc}(3) - \operatorname{sinc}(4) + \cdots = \frac{1}{2}.$$ वर्गों और घनों का प्रत्यावर्ती योग भी बराबर होता है $1⁄2$: $$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\,\operatorname{sinc}^2(n) = \operatorname{sinc}^2(1) - \operatorname{sinc}^2(2) + \operatorname{sinc}^2(3) - \operatorname{sinc}^2(4) + \cdots = \frac{1}{2},$$

$$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\,\operatorname{sinc}^3(n) = \operatorname{sinc}^3(1) - \operatorname{sinc}^3(2) + \operatorname{sinc}^3(3) - \operatorname{sinc}^3(4) + \cdots = \frac{1}{2}.$$

श्रृंखला विस्तार
असामान्य की टेलर श्रृंखला $\pi − 1⁄2$ फ़ंक्शन को साइन से प्राप्त किया जा सकता है (जिससे इसका मान 1 भी प्राप्त होता है $sinc$): $$\frac{\sin x}{x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n+1)!} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots$$ श्रृंखला सभी के लिए अभिसरण करती है $x$. सामान्यीकृत संस्करण आसानी से अनुसरण करता है: $$\frac{\sin \pi x}{\pi x} = 1 - \frac{\pi^2x^2}{3!} + \frac{\pi^4x^4}{5!} - \frac{\pi^6x^6}{7!} + \cdots$$ लियोनहार्ड यूलर ने प्रसिद्ध रूप से इस श्रृंखला की तुलना बेसल समस्या को हल करने के लिए अनंत उत्पाद रूप के विस्तार से की।

उच्च आयाम
1-डी सिनक फ़ंक्शन का उत्पाद आसानी से वर्ग कार्टेशियन ग्रिड ( जाली ग्राफ ़) के लिए एक बहुपरिवर्तनीय कैलकुलस सिन फ़ंक्शन प्रदान करता है: $x = 0$, जिसका फूरियर ट्रांसफॉर्म फ़्रीक्वेंसी स्पेस में एक वर्ग का संकेतक फ़ंक्शन है (यानी, 2-डी स्पेस में परिभाषित ईंट की दीवार)। गैर-कार्टेशियन जाली (समूह) (उदाहरण के लिए, षटकोणीय जाली) के लिए साइन फ़ंक्शन एक फ़ंक्शन है जिसका फूरियर ट्रांसफॉर्म उस जाली के ब्रिलोइन जोन का संकेतक फ़ंक्शन है। उदाहरण के लिए, हेक्सागोनल जाली के लिए साइन फ़ंक्शन एक फ़ंक्शन है जिसका फूरियर रूपांतरण आवृत्ति स्थान में इकाई षट्भुज का संकेतक फ़ंक्शन है। एक गैर-कार्टेशियन जाली के लिए यह फ़ंक्शन एक साधारण टेंसर उत्पाद द्वारा प्राप्त नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, हेक्सागोनल जाली, शरीर-केंद्रित क्यूबिक, मुख-केन्द्रित घन और अन्य उच्च-आयामी जाली के लिए साइन फ़ंक्शन का स्पष्ट सूत्र स्पष्ट रूप से प्राप्त किया जा सकता है ब्रिलोइन ज़ोन के ज्यामितीय गुणों और ज़ोनोहेड्रोन से उनके कनेक्शन का उपयोग करना।

उदाहरण के लिए, एक हेक्सागोनल जाली वैक्टर के (पूर्णांक) रैखिक विस्तार द्वारा उत्पन्न की जा सकती है $$ \mathbf{u}_1 = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\  \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad \mathbf{u}_2 = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}. $$ दर्शाने $$ \boldsymbol{\xi}_1 =  \tfrac{2}{3} \mathbf{u}_1, \quad \boldsymbol{\xi}_2 = \tfrac{2}{3} \mathbf{u}_2, \quad \boldsymbol{\xi}_3 = -\tfrac{2}{3} (\mathbf{u}_1 + \mathbf{u}_2), \quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}, $$ कोई भी प्राप्त कर सकता है इस हेक्सागोनल जाली के लिए sync फ़ंक्शन $$\begin{align} \operatorname{sinc}_\text{H}(\mathbf{x}) = \tfrac{1}{3} \big(   &      \cos\left(\pi\boldsymbol{\xi}_1\cdot\mathbf{x}\right) \operatorname{sinc}\left(\boldsymbol{\xi}_2\cdot\mathbf{x}\right) \operatorname{sinc}\left(\boldsymbol{\xi}_3\cdot\mathbf{x}\right) \\    & {} + \cos\left(\pi\boldsymbol{\xi}_2\cdot\mathbf{x}\right) \operatorname{sinc}\left(\boldsymbol{\xi}_3\cdot\mathbf{x}\right) \operatorname{sinc}\left(\boldsymbol{\xi}_1\cdot\mathbf{x}\right) \\    & {} + \cos\left(\pi\boldsymbol{\xi}_3\cdot\mathbf{x}\right) \operatorname{sinc}\left(\boldsymbol{\xi}_1\cdot\mathbf{x}\right) \operatorname{sinc}\left(\boldsymbol{\xi}_2\cdot\mathbf{x}\right)  \big). \end{align}$$ इस निर्माण का उपयोग सामान्य बहुआयामी जाली के लिए लैंज़ोस विंडो को डिजाइन करने के लिए किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * (मानचित्रकला)
 * सिंहक समारोह
 * (मानचित्रकला)
 * सिंहक समारोह
 * (मानचित्रकला)
 * सिंहक समारोह
 * (मानचित्रकला)
 * सिंहक समारोह
 * (मानचित्रकला)
 * सिंहक समारोह
 * (मानचित्रकला)
 * सिंहक समारोह