समरेखण (कॉलिनेशन)

प्रक्षेपी ज्यामिति में, एक कॉलिनेशन एक  इंजेक्शन समारोह  है | एक-से-एक और प्रोजेक्शन मैप (एक द्विभाजन) एक  प्रक्षेपण स्थान  से दूसरे में, या एक प्रोजेक्टिव स्पेस से खुद के लिए, जैसे कि समरेख पॉइंट्स की इमेज (गणित) खुद हैं संरेख। एक संरेखन इस प्रकार प्रक्षेपी रिक्त स्थान के बीच एक समरूपता है, या एक प्रक्षेपी स्थान से स्वयं के लिए एक ऑटोमोर्फिज़्म है। कुछ लेखकों ने समानता की परिभाषा को उस मामले तक सीमित कर दिया है जहां यह एक समाकृतिकता है। किसी स्थान के सभी संयोजनों का सेट (गणित) स्वयं एक समूह (गणित) बनाता है, जिसे समरेखण समूह कहा जाता है।

परिभाषा
सीधे शब्दों में, एक कोलिनेशन एक प्रोजेक्टिव स्पेस से दूसरे में, या प्रोजेक्टिव स्पेस से खुद के लिए एक-से-एक मैप होता है, जैसे कि कोलीनियर पॉइंट्स की इमेज खुद कोलीनियर होती हैं। कोई प्रोजेक्टिव स्पेस पेश करने के विभिन्न तरीकों का उपयोग करके इसे औपचारिक रूप दे सकता है। साथ ही, प्रक्षेपी रेखा का मामला विशेष है, और इसलिए आम तौर पर अलग तरह से व्यवहार किया जाता है।

रेखीय बीजगणित
रेखीय बीजगणित ( सदिश स्थल के प्रोजेक्टिवाइजेशन के रूप में) के संदर्भ में परिभाषित प्रोजेक्टिव स्पेस के लिए, एक कॉलिनेशन प्रोजेक्टिव स्पेस के बीच एक नक्शा है जो उप-स्थानों के समावेशन (सेट सिद्धांत) के संबंध में ऑर्डर-संरक्षित है।

औपचारिक रूप से, V को एक फ़ील्ड (गणित) K पर एक वेक्टर स्पेस होने दें और एक फ़ील्ड L पर एक वेक्टर स्पेस होने दें। प्रोजेक्टिव स्पेस PG(V) और PG(W) पर विचार करें, जिसमें V और W की वेक्टर लाइनें शामिल हैं। D(V) और D(W) को क्रमशः V और W की उपसमष्टियों का समुच्चय कहिए। PG(V) से PG(W) तक एक समरेखण एक मानचित्र α : D(V) → D(W) है, जैसे कि:
 * α एक आक्षेप है।
 * ए ⊆ बी ⇔ α(ए) ⊆ α(बी) डी (वी) में सभी ए, बी के लिए।

स्वयंसिद्ध रूप से
एक घटना संरचना के संदर्भ में प्रोजेक्टिव स्पेस के लिए प्रोजेक्टिव स्पेस # एक्सिओम्स को देखते हुए (बिंदु पी, लाइन एल, और एक घटना संबंध I निर्दिष्ट करता है कि कौन से बिंदु किस रेखा पर झूठ बोलते हैं, कुछ सिद्धांतों को संतुष्ट करते हैं), इस प्रकार परिभाषित प्रोजेक्टिव रिक्त स्थान के बीच एक संयोजन तब बिंदुओं के समुच्चय के बीच एक विशेषण फलन f और रेखाओं के समुच्चय के बीच एक विशेषण फलन g होना, घटना संबंध को बनाए रखना। तीन से अधिक या उसके बराबर आयाम का प्रत्येक प्रक्षेप्य स्थान एक विभाजन वलय पर एक रेखीय स्थान के प्रक्षेपण के लिए समरूप है, इसलिए इन आयामों में यह परिभाषा उपरोक्त रैखिक-बीजगणितीय की तुलना में अधिक सामान्य नहीं है, लेकिन आयाम दो में अन्य हैं परियोजनाकरण प्लेन्स, अर्थात् गैर-Desarguesian विमान, और यह परिभाषा किसी को ऐसे प्रोजेक्टिव प्लेन्स में कॉललाइनेशन को परिभाषित करने की अनुमति देती है।

आयाम एक के लिए, एक प्रोजेक्टिव लाइन पर झूठ बोलने वाले बिंदुओं का सेट एक प्रोजेक्टिव स्पेस को परिभाषित करता है, और कॉलिनेशन की परिणामी धारणा सेट का कोई भी आक्षेप है।

प्रक्षेपी रेखा की संरेखन
आयाम एक के एक प्रोजेक्टिव स्पेस के लिए (एक प्रोजेक्टिव लाइन; डायमेंशन (वेक्टर स्पेस) दो के वेक्टर स्पेस का प्रोजेक्टिवाइजेशन), सभी बिंदु समरेख हैं, इसलिए कॉलिनेशन समूह प्रोजेक्टिव लाइन के बिंदुओं का सममित समूह है। यह उच्च आयामों में व्यवहार से अलग है, और इस प्रकार एक अधिक प्रतिबंधात्मक परिभाषा देता है, निर्दिष्ट किया जाता है ताकि प्रक्षेपी ज्यामिति का #Fundamental प्रमेय धारण करता है।

इस परिभाषा में, जब V का आयाम दो होता है, तो PG(V) से PG(W) तक एक संरेखन एक मानचित्र होता है α : D(V) → D(W), ऐसा है कि: यह अंतिम आवश्यकता सुनिश्चित करती है कि समरेखण सभी अर्धरेखीय मानचित्र हैं।
 * V का_वेक्टर_स्पेस #Trivial_or_zero_vector_space के उदाहरण W के शून्य उप-स्थान पर मैप किए गए हैं।
 * वी को डब्ल्यू में मैप किया गया है।
 * V से W तक एक गैर-एकवचन सेमीलाइनर नक्शा β है, जैसे कि, V में सभी v के लिए, $$\alpha(\langle v\rangle)=\langle \beta(v)\rangle$$

प्रकार
कोलीनेशन के मुख्य उदाहरण हैं प्रोजेक्टिव लीनियर ट्रांसफॉर्मेशन (होमोग्राफी के रूप में भी जाना जाता है) और #ऑटोमॉर्फिक कॉलिनेशन। एक रेखीय स्थान से आने वाले प्रोजेक्टिव स्पेस के लिए, प्रोजेक्टिव ज्योमेट्री का #फंडामेंटल प्रमेय कहता है कि सभी कॉलिनेशन इनका एक संयोजन हैं, जैसा कि नीचे वर्णित है।

प्रक्षेपी रैखिक परिवर्तन
प्रोजेक्टिव लीनियर ट्रांसफ़ॉर्मेशन (होमोग्राफ़ीज़) कोलाइनेशन हैं (वेक्टर स्पेस में प्लेन संबंधित प्रोजेक्टिव स्पेस में लाइनों के अनुरूप हैं, और लीनियर ट्रांसफ़ॉर्मेशन मैप प्लेन टू प्लेन, इसलिए प्रोजेक्टिव लीनियर ट्रांसफ़ॉर्मेशन मैप लाइन टू लाइन्स), लेकिन सामान्य तौर पर सभी कॉलिनेशन प्रक्षेपी रैखिक समूह होते हैं परिवर्तन। प्रक्षेपी रेखीय परिवर्तनों का समूह (प्रक्षेपी रेखीय समूह) सामान्य रूप से संरेखन समूह का एक उचित उपसमूह है।

ऑटोमोर्फिक कॉलिनेशन
एक एक नक्शा है, जो निर्देशांक में, निर्देशांक पर लागू एक फील्ड ऑटोमोर्फिज्म है।

प्रक्षेपी ज्यामिति का मौलिक प्रमेय
यदि पप्पस के षट्भुज प्रमेय प्रक्षेपी स्थान का ज्यामितीय आयाम कम से कम 2 है, तो प्रत्येक संरेखण एक होमोग्राफी (एक प्रक्षेपी रैखिक परिवर्तन) और एक ऑटोमोर्फिक संरेखन का उत्पाद है। अधिक सटीक रूप से, कॉलिनेशन ग्रुप प्रक्षेपी अर्धरेखीय समूह  है, जो कि ऑटोमोर्फिक कॉलिनेशन द्वारा होमोग्राफी का सेमीडायरेक्ट उत्पाद है।

विशेष रूप से, की collineations PG(2, R) ठीक समरूपताएं हैं, क्योंकि R में कोई गैर-तुच्छ ऑटोमोर्फिज्म नहीं है (अर्थात, Gal(R/Q) तुच्छ है)।

मान लीजिए φ V से W तक का एक गैर-एकवचन सेमीलीनियर मैप है, जिसमें V का आयाम कम से कम तीन है। परिभाषित करना α : D(V) → D(W) ऐसा कहकर Zα = {φ(z) : z ∈ Z} D(V) में सभी Z के लिए। चूंकि φ सेमीलीनियर है, कोई भी आसानी से जांच कर सकता है कि यह नक्शा ठीक से परिभाषित है, और इसके अलावा, φ एकवचन नहीं है, यह विशेषण है। अब यह स्पष्ट है कि α एक संरेखण है। हम कहते हैं कि α φ से प्रेरित है।

प्रक्षेपी ज्यामिति का मौलिक प्रमेय विपरीत बताता है:

मान लीजिए कि कम से कम तीन आयामों के साथ क्षेत्र K पर एक सदिश स्थान है, W एक क्षेत्र L पर एक सदिश स्थान है, और α PG(V) से PG(W) तक एक समरेखण है। इसका मतलब है कि K और L आइसोमॉर्फिक क्षेत्र हैं, V और W का एक ही आयाम है, और एक सेमीलीनियर मैप φ ऐसा है कि φ α को प्रेरित करता है।

के लिए n ≥ 3, संरेखन समूह प्रक्षेपी अर्धरैखिक समूह है, PΓL - यह PGL है, क्षेत्र ऑटोमोर्फिज़्म द्वारा मुड़ा हुआ है; औपचारिक रूप से, अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद P&Gamma;L ≅ PGL ⋊ Gal(K/k), जहाँ k, K के लिए प्रमुख क्षेत्र है।

रैखिक संरचना
इस प्रकार K के लिए एक प्रमुख क्षेत्र ($$\mathbb{F}_p$$ या $$\mathbb{Q}$$), अपने पास PGL = P&Gamma;L, लेकिन K के लिए एक प्रमुख क्षेत्र नहीं है (जैसे $$\mathbb{C}$$ या $$\mathbb{F}_{p^n}$$ के लिए n ≥ 2), प्रोजेक्टिव लीनियर ग्रुप सामान्य रूप से कॉलिनेशन ग्रुप का एक उचित उपसमूह है, जिसे प्रोजेक्टिव सेमी-लीनियर स्ट्रक्चर को संरक्षित करने वाले परिवर्तनों के रूप में माना जा सकता है। तदनुसार, भागफल समूह P&Gamma;L / PGL ≅ Gal(K/k) रैखिक संरचना के विकल्पों से मेल खाता है, जिसमें पहचान (आधार बिंदु) मौजूदा रैखिक संरचना है। एक रेखीय अंतरिक्ष के प्रक्षेपण के रूप में एक पहचान के बिना एक प्रक्षेप्य स्थान को देखते हुए, समतलीकरण समूह और PΓL के बीच कोई प्राकृतिक समरूपता नहीं है, और एक रैखिक संरचना का विकल्प (एक रेखीय अंतरिक्ष के प्रक्षेपण के रूप में प्राप्ति) उपसमूह की पसंद से मेल खाती है PGL < P&Gamma;L, ये विकल्प Gal(K/k) पर धड़  बनाते हैं।

इतिहास
एक रेखा (ज्यामिति) का विचार संपार्श्विकता (एकल रेखा पर स्थित बिंदु) द्वारा निर्धारित त्रिगुणात्मक संबंध के लिए अमूर्त था। विल्हेम ब्लाश्के के अनुसार यह अगस्त मोबियस था जिसने सबसे पहले ज्यामितीय परिवर्तन के इस सार को समझा:
 * अब हमारे ज्यामितीय परिवर्तनों का क्या अर्थ है? मोबियस ने अपने बैरीसेंट्रिक कैलकुलस (1827) में पहले ही इस प्रश्न को फेंक दिया और इस प्रश्न का उत्तर दिया। वहां उन्होंने परिवर्तनों के बारे में नहीं बल्कि क्रमचय के बारे में बात की [वेरवांडट्सचैफ्टन], जब उन्होंने कहा कि एक डोमेन से खींचे गए दो तत्वों को अनुमति दी गई थी, जब वे एक मनमाना समीकरण द्वारा परस्पर जुड़े हुए थे। हमारे विशेष मामले में, सजातीय बिंदु निर्देशांक के बीच रैखिक समीकरण, मोबियस ने विशेष रूप से एक संयोजन में दोनों बिंदु रिक्त स्थान के क्रमचय [वर्वांडट्सचाफ्ट] कहा। यह संकेत बाद में माइकल चेसल्स द्वारा होमोग्राफी में बदल दिया जाएगा। मोबियस की अभिव्यक्ति तुरंत समझ में आती है जब हम एक ही रेखा पर झूठ बोलने वाले बिंदुओं को संरेखित करने में मोबियस का अनुसरण करते हैं। मोबियस के पदनाम को यह कहकर व्यक्त किया जा सकता है कि समरेख बिंदुओं को संरेख बिंदुओं के क्रमपरिवर्तन द्वारा मैप किया जाता है, या सादे भाषण में, सीधी रेखाएँ सीधी रहती हैं।

समकालीन गणितज्ञ ज्यामिति को एक घटना संरचना के रूप में देखते हैं जिसमें एक ऑटोमोर्फिज़्म समूह होता है जिसमें अंतर्निहित स्थान के मानचित्रण होते हैं जो घटना (ज्यामिति) को संरक्षित करते हैं। इस तरह की मैपिंग घटना संरचना की रेखाओं की अनुमति देती है, और संरेखन की धारणा बनी रहती है।

जैसा कि ब्लास्चके और क्लेन द्वारा उल्लेख किया गया है, मिशेल चासल्स ने समरूपता के लिए होमोग्राफी शब्द को प्राथमिकता दी। वास्तविक प्रक्षेपी तल और जटिल प्रक्षेपी रेखा के बीच भेद को स्पष्ट किए जाने पर शब्दों के बीच एक अंतर उत्पन्न हुआ। चूँकि वास्तविक संख्या क्षेत्र का कोई गैर-तुच्छ क्षेत्र ऑटोमोर्फिज्म समूह है, इसलिए वास्तविक प्रक्षेपी तल में सभी सम्मिलन समरूपताएँ हैं, हालाँकि, जटिल संयुग्मन के क्षेत्र ऑटोमोर्फिज़्म के कारण, जटिल प्रक्षेपी रेखा के सभी समतलीकरण समरूप नहीं हैं। कंप्यूटर दृष्टि  जैसे अनुप्रयोगों में जहां अंतर्निहित क्षेत्र वास्तविक संख्या क्षेत्र है, होमोग्राफी और कॉलिनेशन का परस्पर उपयोग किया जा सकता है।

एंटी-होमोग्राफी
जटिल विमान में जटिल संयुग्म लेने का संचालन वास्तविक रेखा में एक प्रतिबिंब (गणित) के बराबर होता है। नोटेशन जेड के साथ∗ z के संयुग्म के लिए, एक 'एंटी-होमोग्राफी' द्वारा दिया जाता है
 * $$f(z) = \frac {a z^* + b}{c z^* + d}.$$

इस प्रकार एक एंटी-होमोग्राफ़ी एक होमोग्राफी के साथ संयुग्मन की कार्य संरचना है, और इसलिए एक समानता का एक उदाहरण है जो एक होमोग्राफी नहीं है। उदाहरण के लिए, ज्यामितीय रूप से, मानचित्रण $$f(z) = 1/z^*$$ इन्वर्सिव ज्योमेट्री#सर्कल इनवर्जन के बराबर है। विमान के व्युत्क्रम ज्यामिति के परिवर्तनों को अक्सर जटिल विमान के सभी होमोग्राफी और एंटी-होमोग्राफी के संग्रह के रूप में वर्णित किया जाता है।