कंटूर समाकलन

जटिल विश्लेषण के गणितीय क्षेत्र में, कंटूर समाकलन जटिल तल में पथों के साथ कुछ समाकल का मूल्यांकन करने का विधि है।

कंटूर समाकलन अवशेष प्रमेय से निकटता से संबंधित है, जो जटिल विश्लेषण की विधि हैं।

कंटूर समाकलन के लिए उपयोग वास्तविक रेखा के साथ समाकल का मूल्यांकन है जो केवल वास्तविक वेरिएबल्स विधियों का उपयोग करके आसानी से नहीं पाया जाता है।

कंटूर समाकलन विधियों में सम्मिलित हैं: इन समाकल या संक्षिप्त विवरण को खोजने के उद्देश्य से विधि का उपयोग किया जा सकता है, या इन विधियों के संयोजन, या विभिन्न सीमित प्रक्रियाओं का उपयोग किया जा सकता है।
 * जटिल तल (कंटूर रेखा) में वक्र के साथ जटिल संख्या-मूल्यवान फलन का प्रत्यक्ष समाकलन;
 * कॉची समाकल सूत्र का अनुप्रयोग; और
 * अवशेष प्रमेय का अनुप्रयोग।

जटिल तल में वक्र
जटिल विश्लेषण में कंटूर जटिल तल में प्रकार का वक्र होता है। कंटूर समाकलन में, कंटूर वक्रों की त्रुटिहीन परिभाषा प्रदान करते हैं, जिस पर समाकल को उपयुक्त रूप से परिभाषित किया जा सकता है। जटिल तल में वक्र को वास्तविक रेखा के बंद अंतराल से जटिल तल $z : [a, b] → C$ तक निरंतर फलन के रूप में परिभाषित किया गया है।

वक्र की यह परिभाषा वक्र की समतल धारणा के साथ मेल खाती है, किन्तु इसमें बंद अंतराल से निरंतर फलन द्वारा पैरामीट्रिजेशन सम्मिलित है। यह अधिक त्रुटिहीन परिभाषा हमें यह विचार करने की अनुमति देती है कि समाकलन के लिए उपयोगी होने के लिए वक्र में क्या गुण होने चाहिए। निम्नलिखित उपखंडों में हम उन वक्रों के समूह को संकुचित करते हैं जिन्हें हम केवल उन वक्रों को सम्मिलित करने के लिए एकीकृत कर सकते हैं जिन्हें निरंतर वक्रों की परिमित संख्या से बनाया जा सकता है जिन्हें दिशा दी जा सकती है। इसके अतिरिक्त, हम टुकड़ों को अपने ऊपर से पार करने से रोकेंगे, और हमें आवश्यकता है कि प्रत्येक टुकड़े का परिमित (गैर-लुप्त) निरंतर व्युत्पन्न हो। ये आवश्यकताएं इस आवश्यकता के अनुरूप हैं कि हम केवल उन वक्रों पर विचार करें जिनका पता लगाया जा सकता है, जैसे कि पेन द्वारा, समान, स्थिर स्ट्रोक के क्रम में, जो केवल कलम उठाए बिना वक्र का नया टुकड़ा प्रारंभ करने के लिए रुकते हैं।

निर्देशित समतल वक्र
कंटूर को अधिकांश निर्देशित समतल वक्रों के रूप में परिभाषित किया जाता है। ये समतल वक्र के टुकड़े की त्रुटिहीन परिभाषा प्रदान करते हैं, जिसमें से कंटूर बनाया जाता है।

समतल वक्र एक वक्र है $z : [a, b] → C$ गैर-लुप्त, निरंतर व्युत्पन्न के साथ जैसे कि प्रत्येक बिंदु को केवल बार ($z$ एक-से-है) पार किया जाता है, वक्र के संभावित अपवाद के साथ जैसे कि समापन बिंदु ($z(a) = z(b)$) के समान है। ऐसी स्थिति में जहां समापन बिंदु वक्र के समान होते है, उन्हें बंद कहा जाता है, और फलन को प्रत्येक स्थान एक-से-होने की आवश्यकता होती है और व्युत्पन्न को पहचान बिंदु ($z′(a) = z′(b)$) पर निरंतर होना चाहिए। समतल वक्र जो बंद नहीं होता है उसे अधिकांश समतल चाप के रूप में संदर्भित किया जाता है।

वक्र का पैरामीट्रिजेशन (ज्यामिति) वक्र $z(x)$ पर बिंदुओं का प्राकृतिक क्रम प्रदान करता है जो $z(y)$ से पहले आता है यदि $x < y$ हैं। यह निर्देशित समतल वक्र की धारणा की ओर ले जाता है। विशिष्ट पैरामीट्रिजेशन से स्वतंत्र वक्रों पर विचार करना सबसे उपयोगी है। यह समान दिशा वाले समतल वक्रों के तुल्यता वर्गों पर विचार करके किया जा सकता है। निर्देशित समतल वक्र को तब जटिल तल में बिंदुओं के क्रमबद्ध सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो कि उनके प्राकृतिक क्रम में कुछ समतल वक्र की छवि है (पैरामीट्रिजेशन के अनुसार)। ध्यान दें कि बिंदुओं के सभी क्रम समतल वक्र के प्राकृतिक क्रम नहीं हैं। वास्तव में, दिए गए समतल वक्र में केवल दो ऐसे क्रम होते हैं। इसके अतिरिक्त, एकल बंद वक्र के अंत बिंदु के रूप में कोई भी बिंदु हो सकता है, जबकि समतल चाप के अंत बिंदुओं के लिए केवल दो विकल्प होते हैं।

कंटूर
कंटूर वक्रों का वह वर्ग है जिस पर हम कंटूर समाकलन को परिभाषित करते हैं। कंटूर निर्देशित वक्र है जो निर्देशित समतल वक्रों के परिमित अनुक्रम से बना होता है जिसके अंत बिंदु एकल दिशा देने के लिए मेल खाते हैं। इसके लिए आवश्यक है कि वक्रों का क्रम $γ_{1}, …, γ_{n}$ ऐसा हो कि $γ_{i}$ का टर्मिनल बिंदु $γ_{i+1}$, $∀ i, 1 ≤ i < n$ के प्रारंभिक बिंदु के साथ मेल खाता हो। इसमें सभी निर्देशित समतल वक्र सम्मिलित हैं। साथ ही, जटिल तल में बिंदु को कंटूर माना जाता है। प्रतीक + का उपयोग अधिकांश नया वक्र बनाने के लिए साथ घटता के टुकड़े को निरूपित करने के लिए किया जाता है। इस प्रकार हम एक कंटूर $Γ$ लिख सकते हैं जो कि $n$ वक्रों से बना है $$ \Gamma = \gamma_1 + \gamma_2 + \cdots + \gamma_n.$$

कंटूर समाकलन
जटिल फलन $f : C → C$ का कंटूर समाकलन भाग वास्तविक-मूल्यवान फलनों के लिए समाकल का सामान्यीकरण है। जटिल तल में निरंतर फलनों के लिए, वास्तविक मूल्यवान पैरामीटर पर समाकल के संदर्भ में निर्देशित समतल वक्र के साथ पहले समाकल को परिभाषित करके कंटूर समाकलन को रेखा समाकल के अनुरूप परिभाषित किया जा सकता है। अंतराल के विभाजन और रीमैन समाकल के अनुरूप कंटूर के विभाजन के संदर्भ में अधिक सामान्य परिभाषा दी जा सकती है। दोनों ही स्थितियों में कंटूर पर समाकल अंग को कंटूर बनाने वाले निर्देशित समतल वक्रों पर समाकल अंग के योग के रूप में परिभाषित किया जाता है।

निरंतर फलनों के लिए
इस तरह से कंटूर समाकलन को परिभाषित करने के लिए, पहले जटिल-मूल्यवान फलन के वास्तविक वेरिएबल्स पर, समाकल पर विचार करना चाहिए। मान लीजिए $f : R → C$ वास्तविक वेरिएबल्स $t$ का जटिल-मूल्यवान फलन है। $f$ के वास्तविक और काल्पनिक भाग को अधिकांश क्रमशः $u(t)$ और $v(t)$ के रूप में निरूपित किया जाता है, जिससे $$f(t) = u(t) + iv(t).$$ फिर जटिल-मूल्यवान फलन का समाकल अंग $f$ अंतराल पर $[a, b]$ द्वारा दिया गया है $$\begin{align} \int_a^b f(t) \, dt &= \int_a^b \big( u(t) + i v(t) \big) \, dt \\ &= \int_a^b u(t) \, dt + i \int_a^b v(t) \, dt. \end{align}$$ $f : C → C$ को निर्देशित समतल वक्र $γ$ पर निरंतर फलन करने दें। मान लीजिए $z : R → C$ का कोई पैरामीट्रिजेशन है जो इसके क्रम (दिशा) के अनुरूप है। तब $γ$ के साथ समाकल निरूपित किया जाता है $$\int_\gamma f(z)\, dz\, $$ और द्वारा दिया गया है $$\int_\gamma f(z) \, dz = \int_a^b f\big(\gamma(t)\big) \gamma'(t) \, dt.$$ यह परिभाषा अच्छी तरह से परिभाषित है। यही है, परिणाम चुने गए पैरामीट्रिजेशन से स्वतंत्र है। उस स्थिति में जहां दाईं ओर वास्तविक समाकल अंग उपस्थित नहीं है $γ$ के साथ समाकलित अंग को अस्तित्व में नहीं कहा जाता है।

रीमैन समाकल के सामान्यीकरण के रूप में

जटिल वेरिएबल्स के फलनों के लिए रीमैन समाकल का सामान्यीकरण वास्तविक संख्याओं से फलनों के लिए इसकी परिभाषा के पूर्ण सादृश्य में किया जाता है। निर्देशित समतल वक्र $γ$ के विभाजन को $γ$ पर बिंदुओं के परिमित, क्रमबद्ध सेट के रूप में परिभाषित किया गया है। वक्र पर समाकल विभाजन पर बिंदुओं पर लिए गए फलन मानों की परिमित राशि की सीमा है, इस सीमा में कि विभाजन पर किसी भी दो क्रमिक बिंदुओं के बीच की अधिकतम दूरी (द्वि-आयामी जटिल तल में), जिसे भी जाना जाता है जाल के रूप में, शून्य हो जाता है।

प्रत्यक्ष विधियाँ
प्रत्यक्ष विधियों में बहुभिन्नरूपी कलन में रेखा समाकल की गणना में उन विधियों के समान विधियों के माध्यम से समाकल की गणना सम्मिलित है। इसका अर्थ है कि हम निम्नलिखित विधि का उपयोग करते हैं:
 * कंटूर पैरामीट्रिज़िंग
 * कंटूर को वास्तविक वेरिएबल्स के भिन्न जटिल-मूल्यवान फलन द्वारा पैरामीट्रिज किया जाता है, या कंटूर को टुकड़ों में तोड़ दिया जाता है और अलग से पैरामीट्रिज किया जाता है।
 * समाकलन में पैरामीट्रिजेशन का प्रतिस्थापन
 * पैरामीट्रिजेशन को इंटीग्रैंड में प्रतिस्थापित करने से समाकल को वास्तविक वेरिएबल्स के समाकल में बदल दिया जाता है।
 * प्रत्यक्ष मूल्यांकन
 * समाकल का मूल्यांकन वास्तविक-वेरिएबल्स समाकल के समान विधि में किया जाता है।

उदाहरण
जटिल विश्लेषण में मौलिक परिणाम यह है कि $1⁄z$ का कंटूर समाकलन $2πi$ है, जहां कंटूर के पथ को वामावर्त (या किसी भी सकारात्मक रूप से उन्मुख जॉर्डन वक्र के बारे में 0) पर चलने वाली इकाई वृत के रूप में लिया जाता है। इकाई वृत के स्थिति में समाकल का मूल्यांकन करने की सीधी विधि है $$\oint_C \frac{1}{z}\,dz.$$ इस समाकल का मूल्यांकन करने में, इकाई वृत्त का उपयोग करें $|z| = 1$ द्वारा parametrized कंटूर के रूप में $z(t) = e^{it}$, साथ $t ∈ [0, 2π]$, तब $dz⁄dt = ie^{it}$ और $$\oint_C \frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{e^{it}} ie^{it}\,dt = i\int_0^{2\pi} 1 \, dt = i \, t\Big|_0^{2\pi} = \left(2\pi-0\right)i = 2\pi i.$$ जो समाकल का मूल्य है।

समाकल प्रमेयों के अनुप्रयोग
समाकल प्रमेय के अनुप्रयोग भी अधिकांश कंटूर के साथ कंटूर समाकलन का मूल्यांकन करने के लिए उपयोग किए जाते हैं, जिसका अर्थ है कि वास्तविक-मूल्यवान समाकल की गणना कंटूर समाकलन की गणना के साथ-साथ की जाती है।

समाकल प्रमेय जैसे कॉची समाकल फॉर्मूला या अवशेष प्रमेय सामान्यतः निम्नलिखित विधि में उपयोग किए जाते हैं:
 * विशिष्ट कंटूर चुना गया है:
 * कंटूर को इसलिए चुना जाता है जिससे कंटूर जटिल तल के उस हिस्से का अनुसरण करता है जो वास्तविक-मूल्यवान समाकल का वर्णन करता है, और इंटीग्रैंड की विलक्षणताओं को भी सम्मिलित करता है, इसलिए कॉची समाकल सूत्र या अवशेष प्रमेय का अनुप्रयोग संभव है
 * कौशी की समाकलन प्रमेय का अनुप्रयोग
 * प्रत्येक ध्रुव के बारे में छोटे वृत्त के चारों ओर केवल समाकलन के लिए समाकल अंग कम हो जाता है।
 * कॉची समाकल फॉर्मूला या अवशेष प्रमेय का अनुप्रयोग
 * इन समाकल फ़ार्मुलों का अनुप्रयोग हमें संपूर्ण कंटूर के आसपास समाकल के लिए मान देता है।
 * कंटूर का वास्तविक भाग और काल्पनिक भाग के साथ कंटूर में विभाजन
 * पूरे कंटूर को उस कंटूर में विभाजित किया जा सकता है जो जटिल तल के उस भाग का अनुसरण करता है जो वास्तविक-मूल्यवान समाकल का वर्णन करता है जैसा कि पहले (इसे कॉल करें $R$) चुना गया था, और समाकल जो जटिल तल को पार (इसे कॉल करें $I$) करता है। पूरे कंटूर पर समाकल इनमें से प्रत्येक कंटूर पर समाकल का योग है।
 * प्रदर्शन कि जटिल तल को पार करने वाला समाकल योग में कोई भूमिका नहीं निभाता है
 * यदि समाकल $I$ को शून्य के रूप में दिखाया जा सकता है, या यदि मांगा गया वास्तविक-मूल्यवान समाकल अनुचित है, तो यदि हम यह प्रदर्शित करते हैं जैसा कि ऊपर वर्णित $I$, 0 की ओर जाता है, साथ में समाकल $R$ कंटूर $R + I$ के चारों ओर समाकल अंग की ओर प्रवृत्त होता है।
 * निष्कर्ष
 * यदि हम उपरोक्त चरण दिखा सकते हैं, तो हम वास्तविक-मूल्यवान समाकल $R$, की सीधे गणना कर सकते हैं।

उदाहरण 1
समाकल पर विचार करें $$\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\left(x^2+1\right)^2}\,dx,$$ इस समाकल का मूल्यांकन करने के लिए, हम जटिल-मूल्यवान फलन को देखते हैं $$f(z)=\frac{1}{\left(z^2+1\right)^2}$$ जिसमें $i$ और $−i$ में गणितीय विलक्षणता है। हम कंटूर चुनते हैं जो वास्तविक-मूल्यवान समाकल को घेरता है, यहाँ वास्तविक रेखा पर सीमा व्यास के साथ अर्धवृत्त (मान लीजिए, $−a$ से $a$ की ओर जा रहा हैं) सुविधाजनक होगा। इस कंटूर $C$ कहते हैं

कॉची समाकल सूत्र या अवशेषों की विधि का उपयोग करके आगे बढ़ने के दो विधियाँ हैं:

कॉची समाकल सूत्र का प्रयोग
ध्यान दें कि: $$\oint_C f(z)\,dz = \int_{-a}^a f(z)\,dz + \int_\text{Arc} f(z)\,dz $$ इस प्रकार $$\int_{-a}^a f(z)\,dz = \oint_C f(z)\,dz - \int_\text{Arc} f(z)\,dz $$ इसके अतिरिक्त, ध्यान दें $$f(z)=\frac{1}{\left(z^2+1\right)^2}=\frac{1}{(z+i)^2(z-i)^2}.$$ चूंकि कंटूर में एकमात्र विलक्षणता $i$ पर है, तो हम लिख सकते हैं $$f(z)=\frac{\frac{1}{(z+i)^2}}{(z-i)^2},$$ जो सूत्र के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग के लिए फलन को फॉर्म में रखता है। फिर, कॉची के समाकल सूत्र का उपयोग करके, $$\oint_C f(z)\,dz = \oint_C \frac{\frac{1}{(z+i)^2}}{(z-i)^2}\,dz = 2\pi i \, \left.\frac{d}{dz} \frac{1}{(z+i)^2}\right|_{z=i} =2 \pi i \left[\frac{-2}{(z+i)^3}\right]_{z = i} =\frac{\pi}{2}$$ उपरोक्त चरणों में हम पहला व्युत्पन्न लेते हैं, क्योंकि ध्रुव दूसरे क्रम का ध्रुव है। अर्थात्, $(z − i)$ को दूसरी शक्ति पर ले जाया जाता है, इसलिए हम $f(z)$ के पहले अवकलज का उपयोग करते हैं। यदि यह $(z − i)$ को तीसरी घात में ले जाने पर, हम दूसरे अवकलज का प्रयोग करेंगे और 2! से भाग देंगे, आदि पहली शक्ति के लिए $(z − i)$ का स्थिति केवल $f(z)$ ही एक शून्य क्रम व्युत्पन्न से मेल खाता है।

हमें यह दिखाने की आवश्यकता है कि अर्धवृत्त के चाप पर समाकल अनुमान लेम्मा का उपयोग करते हुए एक $a → ∞$ के रूप में शून्य हो जाता है $$\left|\int_\text{Arc} f(z)\,dz\right| \le ML$$ जहाँ $M$ $|f(z)|$ पर ऊपरी सीमा है चाप के साथ और $L$ चाप की लंबाई। तब, $$\left|\int_\text{Arc} f(z)\,dz\right|\le \frac{a\pi}{\left(a^2-1\right)^2} \to 0 \text{ as } a \to \infty.$$ इसलिए $$\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\left(x^2+1\right)^2}\,dx = \int_{-\infty}^\infty f(z)\,dz = \lim_{a \to +\infty} \int_{-a}^a f(z)\,dz = \frac{\pi}2.\quad\square$$

अवशेषों की विधि का उपयोग करना
की लॉरेंट श्रृंखला पर विचार करें $f(z)$ के बारे में $i$, एकमात्र विलक्षणता जिस पर हमें विचार करने की आवश्यकता है। हमारे पास तब है $$f(z) = \frac{-1}{4(z-i)^2} + \frac{-i}{4(z-i)} + \frac{3}{16} + \frac{i}{8}(z-i) + \frac{-5}{64}(z-i)^2 + \cdots$$ (इस श्रृंखला की व्युत्पत्ति के लिए लॉरेंट श्रृंखला से मानक लॉरेंट गणना देखें।)

निरीक्षण से स्पष्ट है कि अवशेष है $−i⁄4$, इसलिए, अवशेष प्रमेय द्वारा, हमारे पास है $$\oint_C f(z)\,dz = \oint_C \frac{1}{\left(z^2+1\right)^2}\,dz = 2 \pi i \,\operatorname{Res}_{z=i} f(z) = 2 \pi i \left(-\frac{i}{4}\right)=\frac{\pi}2 \quad\square$$ इस प्रकार हमें पहले जैसा ही फल मिलता है।

कंटूर टिप्पणी
एक तरफ के रूप में, सवाल उठ सकता है कि क्या हम $−i$ को बंद करने वाली अन्य विलक्षणता को सम्मिलित करने के लिए अर्धवृत्त नहीं लेते हैं। समाकल को वास्तविक अक्ष के साथ सही दिशा में ले जाने के लिए, कंटूर को घड़ी की सुई की दिशा में चलना चाहिए, अर्थात् नकारात्मक दिशा में, समग्र रूप से समाकल के चिह्न को व्युत्क्रम कर देना चाहिए।

यह श्रृंखला द्वारा अवशेषों की विधि के उपयोग को प्रभावित नहीं करता है।

उदाहरण 2 - कॉची वितरण
समाकल $$\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{itx}}{x^2+1}\,dx$$

(जो संभाव्यता सिद्धांत में कॉची वितरण के विशिष्ट फलन (संभावना सिद्धांत) के अदिश गुणन के रूप में उत्पन्न होता है) प्राथमिक कलन की विधियोंों का विरोध करता है। हम इसे कंटूर $C$ के साथ कंटूर समाकलन की सीमा के रूप में व्यक्त करके इसका मूल्यांकन करेंगे जो वास्तविक संख्या रेखा के साथ $−a$ से $a$ तक जाता है और फिर $a$ से $−a$ तक 0 पर केंद्रित अर्धचालक के साथ वामावर्त होता है। $a$ को 1 से अधिक होना चाहिये, जिससे काल्पनिक संख्या इकाई $i$ वक्र के अंदर संलग्न हो। कंटूर समाकलन है $$\int_C \frac{e^{itz} }{ z^2+1}\,dz.$$ चूँकि $e^{itz}$ एक संपूर्ण फलन (जटिल तल में किसी भी बिंदु पर कोई गणितीय विलक्षणता नहीं है) है, इस फलन में विलक्षणताएँ केवल वहीं हैं जहाँ भाजक $z^{2} + 1$ शून्य है। चूँकि $z^{2} + 1 = (z + i)(z − i)$, यह केवल वहीं होता है जहाँ $z = i$ या $z = −i$ है। उनमें से केवल बिंदु इस कंटूर से घिरे क्षेत्र में है। $z = i$ पर $f(z)$ का अवशेष (जटिल विश्लेषण) है। $$\lim_{z\to i}(z-i)f(z) = \lim_{z\to i}(z-i)\frac{e^{itz} }{ z^2+1} = \lim_{z\to i}(z-i)\frac{e^{itz} }{ (z-i)(z+i)} = \lim_{z\to i}\frac{e^{itz} }{ z+i} = \frac{e^{-t}}{2i}.$$ अवशेष प्रमेय के अनुसार, हमारे पास है $$\int_C f(z)\,dz=2\pi i \operatorname{Res}_{z=i}f(z)=2\pi i\frac{e^{-t} }{ 2i}=\pi e^{-t}.$$ कंटूर $C$ को सीधे भाग और घुमावदार चाप में विभाजित किया जा सकता है, जिससे $$\int_\text{straight}+\int_\text{arc}=\pi e^{-t},$$ और इस तरह $$\int_{-a}^a =\pi e^{-t}-\int_\text{arc}.$$ जॉर्डन की लेम्मा के अनुसार, यदि $t > 0$ तब $$\int_\text{arc}\frac{e^{itz} }{ z^2+1}\,dz \rightarrow 0 \mbox{ as } a\rightarrow\infty.$$ इसलिए, यदि $t > 0$ तब $$\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{itx} }{ x^2+1}\,dx=\pi e^{-t}.$$ चाप के साथ समान तर्क जो चारों ओर घूमता है $−i$ इसके अतिरिक्त $i$ दिखाता है कि यदि $t < 0$ तब $$\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{itx} }{ x^2+1}\,dx=\pi e^t,$$ और अंत में हमारे पास यह है: $$\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{itx} }{ x^2+1} \,dx=\pi e^{-|t|}.\quad\square$$ (यदि $t = 0$ तो समाकल वास्तविक-मूल्यवान कलन विधियों के लिए तुरंत यील्ड करता है और इसका मान $\pi$ है।)

उदाहरण 3 - त्रिकोणमितीय समाकल
त्रिकोणमितीय फलनों से जुड़े समाकल के लिए कुछ प्रतिस्थापन किए जा सकते हैं, इसलिए समाकल को जटिल वेरिएबल्स के तर्कसंगत फलन में बदल दिया जाता है और फिर समाकल का मूल्यांकन करने के लिए उपरोक्त विधियों का उपयोग किया जा सकता है।

उदाहरण के रूप में विचार करें $$\int_{-\pi}^\pi \frac{1 }{ 1 + 3 (\cos t)^2} \,dt.$$ हम $z = e^{it}$ का प्रतिस्थापन करना चाहते हैं। अब, स्मरण करो $$\cos t = \frac12 \left(e^{it}+e^{-it}\right) = \frac12 \left(z+\frac{1}{z}\right)$$ और $$\frac{dz}{dt} = iz,\ dt = \frac{dz}{iz}.$$ ले रहा $C$ इकाई वृत होने के लिए, हम प्राप्त करने के लिए प्रतिस्थापित करते हैं: $$\begin{align} \oint_C \frac{1}{ 1 + 3 \left(\frac12 \left(z+\frac{1}{z}\right)\right)^2} \,\frac{dz}{iz} &= \oint_C \frac{1 }{ 1 + \frac34 \left(z+\frac{1}{z}\right)^2}\frac{1}{iz} \,dz \\ &= \oint_C \frac{-i}{ z+\frac34 z\left(z+\frac{1}{z}\right)^2}\,dz \\ &= -i \oint_C \frac{dz}{ z+\frac34 z\left(z^2+2+\frac{1}{z^2}\right)} \\ &= -i \oint_C \frac{dz}{ z+\frac34 \left(z^3+2z+\frac{1}{z}\right)} \\ &= -i \oint_C \frac{dz}{ \frac34 z^3+\frac52 z+\frac{3}{4z}} \\ &= -i \oint_C \frac{4}{ 3z^3+10z+\frac{3}{z}}\,dz \\ &= -4i \oint_C \frac{dz}{ 3z^3+10z+\frac{3}{z}} \\ &= -4i \oint_C \frac{z}{ 3z^4+10z^2+3 } \,dz \\ &= -4i \oint_C \frac{z}{ 3\left(z+\sqrt{3}i\right)\left(z-\sqrt{3}i\right)\left(z+\frac{i}{\sqrt 3}\right)\left(z-\frac{i}{\sqrt 3}\right)}\,dz \\ &= -\frac{4i}{3} \oint_C \frac{z}{\left(z+\sqrt{3}i\right)\left(z-\sqrt{3}i\right)\left(z+\frac{i}{\sqrt 3}\right)\left(z-\frac{i}{\sqrt 3}\right)}\,dz. \end{align}$$ जिन विलक्षणताओं पर विचार किया जाना है, वे $$\tfrac{\pm i}{\sqrt{3}}$$ हैं। मान लीजिए कि $C_{1}$ के बारे में $$\tfrac{i}{\sqrt{3}}$$ एक छोटा सा वृत्त हैं और $C_{2}$ के बारे में $$\tfrac{-i}{\sqrt{3}}$$ छोटा सा वृत्त हो। फिर हम निम्नलिखित पर पहुंचते हैं: $$\begin{align} & -\frac{4i}{3} \left [\oint_{C_1} \frac{\frac{z}{\left(z+\sqrt{3}i\right)\left(z-\sqrt{3}i\right)\left(z+\frac{i}{\sqrt 3} \right)}}{z-\frac{i}{\sqrt 3}}\,dz +\oint_{C_2} \frac{\frac{z}{\left(z+\sqrt{3}i\right)\left(z-\sqrt{3}i\right)\left(z-\frac{i}{\sqrt 3}\right)}}{z+\frac{i}{\sqrt 3}} \, dz \right ] \\ = {} & -\frac{4i}{3} \left[ 2\pi i \left[\frac{z}{\left(z+\sqrt{3}i\right)\left(z-\sqrt{3}i\right)\left(z+\frac{i}{\sqrt 3}\right)}\right]_{z=\frac{i}{\sqrt 3}} + 2\pi i \left[\frac{z}{\left(z+\sqrt{3}i\right)\left(z-\sqrt{3}i\right)\left(z-\frac{i}{\sqrt 3}\right)} \right]_{z=-\frac{i}{\sqrt 3}}\right] \\ = {} & \frac{8\pi}{3} \left[\frac{\frac{i}{\sqrt 3}}{\left(\frac{i}{\sqrt 3}+\sqrt{3}i\right)\left(\frac{i}{\sqrt 3}-\sqrt{3}i\right)\left(\frac{i}{\sqrt 3}+\frac{i}{\sqrt 3}\right)} + \frac{-\frac{i}{\sqrt 3}}{\left(-\frac{i}{\sqrt 3}+\sqrt{3}i\right)\left(-\frac{i}{\sqrt 3}-\sqrt{3}i\right)\left(-\frac{i}{\sqrt 3}-\frac{i}{\sqrt 3}\right)} \right] \\ = {} & \frac{8\pi}{3} \left[\frac{\frac{i}{\sqrt 3}}{\left(\frac{4}{\sqrt 3}i\right)\left(-\frac{2}{i\sqrt{3}}\right)\left(\frac{2}{\sqrt{3}i}\right)}+\frac{-\frac{i}{\sqrt 3}}{\left(\frac{2}{\sqrt 3}i\right)\left(-\frac{4}{\sqrt 3}i\right)\left(-\frac{2}{\sqrt 3}i\right)}\right] \\ = {} & \frac{8\pi}{3}\left[\frac{\frac{i}{\sqrt 3}}{i\left(\frac{4}{\sqrt 3}\right)\left(\frac{2}{\sqrt 3}\right)\left(\frac{2}{\sqrt 3}\right)}+\frac{-\frac{i}{\sqrt 3}}{-i\left(\frac{2}{\sqrt 3}\right)\left(\frac{4}{\sqrt 3}\right)\left(\frac{2}{\sqrt 3}\right)}\right] \\ = {} & \frac{8\pi}{3}\left[\frac{\frac{1}{\sqrt 3}}{\left(\frac{4}{\sqrt 3}\right)\left(\frac{2}{\sqrt 3}\right)\left(\frac{2}{\sqrt 3}\right)}+\frac{\frac{1}{\sqrt 3}}{\left(\frac{2}{\sqrt 3}\right)\left(\frac{4}{\sqrt 3}\right)\left(\frac{2}{\sqrt 3}\right)}\right] \\ = {} & \frac{8\pi}{3}\left[\frac{\frac{1}{\sqrt 3}}{\frac{16}{3\sqrt{3}}}+\frac{\frac{1}{\sqrt 3}}{\frac{16}{3\sqrt{3}}} \right] \\ = {} & \frac{8\pi}{3}\left[\frac{3}{16} + \frac{3}{16} \right] \\ = {} & \pi. \end{align}$$

उदाहरण 3a - त्रिकोणमितीय समाकल, सामान्य प्रक्रिया
उपरोक्त विधि प्रकार के सभी समाकलों पर प्रायुक्त की जा सकती है $$ \int_0^{2\pi} \frac{P\big(\sin(t),\sin(2t),\ldots,\cos(t),\cos(2t),\ldots\big)}{Q\big(\sin(t),\sin(2t),\ldots,\cos(t),\cos(2t),\ldots\big)}\, dt$$ जहाँ $P$ और $Q$ बहुपद हैं, अर्थात् त्रिकोणमितीय शर्तों में तर्कसंगत फलन को एकीकृत किया जा रहा है। ध्यान दें कि समाकलन की सीमा पिछले उदाहरण की तरह π और -π, भी हो सकती है, या अंत बिंदुओं की कोई अन्य जोड़ी 2π अलग हो सकती है।

चाल प्रतिस्थापन $z = e^{it}$ का उपयोग करना है जहाँ $dz = ie^{it} dt$ और इसलिए $$ \frac{1}{iz} \,dz = dt.$$ यह प्रतिस्थापन अंतराल $[0, 2π]$ को इकाई वृत में मापता हैं। आगे, $$ \sin(k t) = \frac{e^{i k t} - e^{- i k t}}{2 i} = \frac{z^k - z^{-k}}{2i}$$ और $$ \cos(k t) = \frac{e^{i k t} + e^{- i k t}}{2} = \frac{z^k + z^{-k}}{2}$$ जिससे तर्कसंगत फलन हो $f(z)$ में $z$ प्रतिस्थापन से परिणाम, और समाकल बन जाता है $$ \oint_{|z|=1} f(z) \frac{1}{iz}\, dz $$ जिसकी गणना इकाई वृत के अंदर $f(z)1⁄iz$ के अवशेषों को जोड़कर की जाती है ।

दाईं ओर की छवि इसे दर्शाती है $$ I = \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{1}{1 + (\sin t)^2}\, dt,$$ जो जब हम गणना करते हैं। इसे पहचानने के लिए पहला चरण है $$ I = \frac14 \int_0^{2\pi} \frac{1}{1 + (\sin t)^2} \,dt.$$ प्रतिस्थापन समाधान देता है $$ \frac{1}{4} \oint_{|z|=1} \frac{4 i z}{z^4 - 6z^2 + 1}\, dz = \oint_{|z|=1} \frac{i z}{z^4 - 6z^2 + 1}\, dz.$$ इस फलन के ध्रुव पर हैं $1 ± √2$ और $−1 ± √2$. यहाँ इन, $1 + √2$ और $−1 − √2$ इकाई वृत के बाहर हैं (लाल रंग में दिखाया गया है, पैमाने पर नहीं), जबकि $1 − √2$ और $−1 + √2$ इकाई वृत के अंदर हैं (नीले रंग में दिखाया गया है)। संबंधित अवशेष दोनों $−i√2⁄16$ के बराबर हैं, जिससे समाकल का मान हो $$ I = 2 \pi i \; 2 \left( - \frac{\sqrt{2}}{16} i \right) = \pi \frac{\sqrt{2}}{4}.$$

उदाहरण 4 - शाखाओं में कटौती
वास्तविक समाकल पर विचार करें $$\int_0^\infty \frac{\sqrt x}{x^2+6x+8}\,dx.$$ हम जटिल समाकल बनाकर प्रारंभ कर सकते हैं $$\int_C \frac{\sqrt z}{z^2+6z+8}\,dz=I.$$

प्रासंगिक अवशेषों को प्राप्त करने के लिए हम कॉची समाकल सूत्र या अवशेष प्रमेय का फिर से उपयोग कर सकते हैं। चूँकि, ध्यान देने वाली महत्वपूर्ण बात यह है कि $z^{1/2} = e^{(Log z)/2}$, इसलिए $z^{1/2}$ की शाखा कटी हुई है। यह कंटूर $C$ की हमारी पसंद को प्रभावित करता हैं। सामान्यतः लघुगणक शाखा कट को नकारात्मक वास्तविक अक्ष के रूप में परिभाषित किया जाता है, चूँकि, यह समाकल की गणना को थोड़ा अधिक जटिल बनाता है, इसलिए हम इसे सकारात्मक वास्तविक अक्ष के रूप में परिभाषित करते हैं।

फिर, हम तथाकथित कीहोल समोच्च का उपयोग करते हैं, जिसमें त्रिज्या ε की उत्पत्ति के बारे में एक छोटा वृत्त होता है, जो एक रेखा खंड के समानांतर और सकारात्मक वास्तविक अक्ष के निकट होता है, किन्तु इसे स्पर्श नहीं करता है, लगभग पूर्ण चक्र तक, वापस लौटता है एक रेखा खंड के समानांतर, निकट, और नकारात्मक अर्थ में सकारात्मक वास्तविक अक्ष के नीचे, बीच में छोटे वृत्त पर लौट रहा है।

ध्यान दें कि $z = −2$ और $z = −4$ बड़े वृत के अंदर हैं। ये दो शेष ध्रुव हैं, जो पूर्णांक के भाजक का गुणनखंड करके व्युत्पन्न किए जा सकते हैं। शाखा बिंदु पर है $z = 0$ उद्गम स्थल के चारों ओर चक्कर लगाने से बचा गया था।

मान लो $γ$ त्रिज्या $ε$ का छोटा वृत्त हो, $Γ$ बड़ा, त्रिज्या के साथ $R$, तब $$\int_C = \int_\varepsilon^R + \int_\Gamma + \int_R^\varepsilon + \int_\gamma.$$ यह दिखाया जा सकता है कि $Γ$ और $γ$ से अधिक समाकलन दोनों की प्रवृत्ति शून्य होती है क्योंकि $ε → 0$ और $R → ∞$, उपरोक्त अनुमान तर्क द्वारा, जो दो पद छोड़ता है। जब चूंकि $z^{1/2} = e^{(Log z)/2}$, शाखा कट के बाहर कंटूर पर, हमने $γ$ के साथ तर्क में 2π प्राप्त किया है। (यूलर की पहचान के अनुसार, $e^{iπ}$ इकाई सदिश का प्रतिनिधित्व करता है, इसलिए इसका log π है। यह π है जो $z$ के तर्क से अर्थहै। $1⁄2$ का गुणांक हमें 2π का उपयोग करने के लिए मजबूर करता है।) इसलिए $$\begin{align} \int_R^\varepsilon \frac{\sqrt z}{z^2+6z+8}\,dz&=\int_R^\varepsilon \frac{e^{\frac12 \operatorname{Log} z}}{z^2+6z+8}\,dz \\[6pt] &=\int_R^\varepsilon \frac{e^{\frac12(\log|z|+i \arg{z})}}{z^2+6z+8}\,dz \\[6pt] & = \int_R^\varepsilon \frac{ e^{\frac12\log|z|}e^{\frac12(2\pi i)}}{z^2+6z+8}\,dz\\[6pt] &=\int_R^\varepsilon \frac{ e^{\frac12\log|z|}e^{\pi i}}{z^2+6z+8}\,dz \\[6pt] & = \int_R^\varepsilon \frac{-\sqrt z}{z^2+6z+8}\,dz\\[6pt] &=\int_\varepsilon^R \frac{\sqrt z}{z^2+6z+8}\,dz. \end{align}$$ इसलिए: $$\int_C \frac{\sqrt z}{z^2+6z+8}\,dz=2\int_0^\infty \frac{\sqrt x}{x^2+6x+8}\,dx.$$ अवशेष प्रमेय या कॉची समाकल सूत्र का उपयोग करके (दो सरल कंटूर समाकलनों के योग को प्राप्त करने के लिए पहले आंशिक भिन्न विधि को नियोजित करना) प्राप्त करता है $$\pi i \left(\frac{i}{\sqrt 2}-i\right)=\int_0^\infty \frac{\sqrt x}{x^2+6x+8}\,dx = \pi\left(1-\frac{1}{\sqrt 2}\right).\quad\square$$

उदाहरण 5 - लघुगणक का वर्ग
यह खंड प्रकार के समाकल अंग का समाधान करता है$$\int_0^\infty \frac{\log x}{\left(1+x^2\right)^2} \, dx$$ उदाहरण है।

इस समाकल की गणना करने के लिए, फलन का उपयोग किया जाता है $$f(z) = \left (\frac{\log z}{1+z^2} \right )^2$$ और $−π < arg z ≤ π$ के संगत लघुगणक की शाखा

हम दाईं ओर दिखाए गए कीहोल समोच्च के साथ $f(z)$ के समाकलन की गणना करेंगे। जैसा कि यह पता चला है कि यह समाकलन प्रारंभिक समाकलन का गुणक है जिसे हम गणना करना चाहते हैं और कॉची अवशेष प्रमेय द्वारा हमारे पास है$$\begin{align} \left( \int_R + \int_M + \int_N + \int_r \right) f(z) \, dz &= 2 \pi i \big( \operatorname{Res}_{z=i} f(z) + \operatorname{Res}_{z=-i} f(z) \big) \\ &= 2 \pi i \left( - \frac{\pi}{4} + \frac{1}{16} i \pi^2 - \frac{\pi}{4} - \frac{1}{16} i \pi^2 \right) \\ &= - i \pi^2. \end{align}$$

मान लीजिए R बड़े वृत्त की त्रिज्या है, और r छोटे वृत्त की त्रिज्या है। हम ऊपरी रेखा को $M$ से, और निचली रेखा को $N$ से निरूपित करेंगे। पहले की तरह जब हम $R → ∞$ और $r → 0$ की सीमा लेते हैं। दो मंडलियों से योगदान लुप्त हो जाता है। उदाहरण के लिए, $ML$ लेम्मा के साथ निम्न ऊपरी सीमा है: $$\left| \int_R f(z) \, dz \right| \le 2 \pi R \frac{(\log R)^2 + \pi^2}{\left(R^2-1\right)^2} \to 0.$$ $M$ और $N$ के योगदानों की गणना करने के लिए हम $z = −x + iε$ को $M$ पर और $z = −x − iε$ को $N$ पर, $0 < x < ∞$ के साथ सेट करते हैं: $$\begin{align} -i \pi^2 &= \left( \int_R + \int_M + \int_N + \int_r \right) f(z) \, dz \\[6pt] &= \left( \int_M + \int_N \right) f(z)\, dz && \int_R, \int_r \mbox{ vanish} \\[6pt] &=-\int_\infty^0 \left (\frac{\log(-x + i\varepsilon)}{1+(-x + i\varepsilon)^2} \right )^2\, dx - \int_0^\infty \left (\frac{\log(-x - i\varepsilon)}{1+(-x - i\varepsilon)^2}\right)^2 \, dx \\[6pt] &= \int_0^\infty \left (\frac{\log(-x + i\varepsilon)}{1+(-x + i\varepsilon)^2} \right )^2 \, dx - \int_0^\infty \left (\frac{\log(-x - i\varepsilon)}{1+(-x - i\varepsilon)^2} \right )^2 \, dx \\[6pt] &= \int_0^\infty \left (\frac{\log x + i\pi}{1+x^2} \right )^2 \, dx - \int_0^\infty \left (\frac{\log x - i\pi}{1+x^2} \right )^2 \, dx && \varepsilon \to 0 \\ &= \int_0^\infty \frac{(\log x + i\pi)^2 - (\log x - i\pi)^2}{\left(1+x^2\right)^2} \, dx \\[6pt] &= \int_0^\infty \frac{4 \pi i \log x}{\left(1+x^2\right)^2} \, dx \\[6pt] &= 4 \pi i \int_0^\infty \frac{\log x}{\left(1+x^2\right)^2} \, dx \end{align}$$ जो देता है $$\int_0^\infty \frac{\log x}{\left(1+x^2\right)^2} \, dx = - \frac{\pi}{4}.$$

उदाहरण 6 - लघुगणक और अनंत पर अवशेष
हम मूल्यांकन करना चाहते हैं $$I = \int_0^3 \frac{x^\frac34 (3-x)^\frac14}{5-x}\,dx.$$ इसके लिए गहन अध्ययन की आवश्यकता है $$f(z) = z^\frac34 (3-z)^\frac14.$$ हम निर्माण करेंगे $f(z)$ जिससे इसकी शाखा कट जाए $[0, 3]$, आरेख में लाल रंग में दिखाया गया है। ऐसा करने के लिए, हम लघुगणक की दो शाखाओं का चयन करते हैं, सेटिंग $$z^\frac34 = \exp \left (\frac34 \log z \right ) \quad \mbox{where } -\pi \le \arg z < \pi $$ और $$(3-z)^\frac14 = \exp \left (\frac14 \log(3-z) \right ) \quad \mbox{where } 0 \le \arg(3-z) < 2\pi. $$ का कटाव $z^$ इसलिए $(−∞, 0]$ और की कटौती $(3 − z)^{1/4}$ है $(−∞, 3]$. यह देखना आसान है कि दोनों के उत्पाद की कटौती, अर्थात् $f(z)$, है $[0, 3]$, क्योंकि $f(z)$ वास्तव में निरंतर है $(−∞, 0)$. ऐसा इसलिए है क्योंकि कब $z = −r < 0$ और हम ऊपर से कट तक पहुंचते हैं, $f(z)$ का मान है $$ r^\frac34 e^{\frac34 \pi i} (3+r)^\frac14 e^{\frac24 \pi i} = r^\frac34 (3+r)^\frac14 e^{\frac54 \pi i}.$$ जब हम नीचे से आते हैं, $f(z)$ का मान है $$ r^\frac34 e^{-\frac34 \pi i} (3+r)^\frac14 e^{\frac04 \pi i} = r^\frac34 (3+r)^\frac14 e^{-\frac34 \pi i}.$$ किन्तु $$e^{-\frac34 \pi i} = e^{\frac54 \pi i},$$ जिससे हमारे पास कट में निरंतरता हो। यह आरेख में चित्रित किया गया है, जहां दो काले उन्मुख हलकों को $z^$ और $(3 − z)^{1/4}$ में प्रयुक्त लघुगणक के तर्क के संबंधित मान के साथ लेबल किया गया है.

हम आरेख में हरे रंग में दिखाए गए समोच्च का उपयोग करेंगे। ऐसा करने के लिए हमें कट के ठीक ऊपर और ठीक नीचे लाइन सेगमेंट के साथ $f(z)$ के मान की गणना करनी होगी।

मान लीजिये $z = r$ (सीमा में, अर्थात् दो हरे वृत्त त्रिज्या शून्य तक सिकुड़ जाते हैं), जहां $0 ≤ r ≤ 3$. ऊपरी खंड के साथ, हम पाते हैं $f(z)$ का मान है $$r^\frac34 e^{\frac04 \pi i} (3-r)^\frac14 e^{\frac24 \pi i} = i r^\frac34 (3-r)^\frac14$$ और निचले खंड के साथ, $$r^\frac34 e^{\frac04 \pi i} (3-r)^\frac14 e^{\frac04 \pi i} = r^\frac34 (3-r)^\frac14.$$ यह इस प्रकार है कि का समाकल अंग $f(z)⁄5 − z$ ऊपरी खंड के साथ है $−iI$ सीमा में, और निचले खंड के साथ, $I$.

यदि हम दिखा सकते हैं कि दो हरे वृत्तों के साथ समाकल सीमा में लुप्त हो जाते हैं, तो हमारे पास कौशी अवशेष प्रमेय द्वारा $I$ का मान भी है, माना हरे वृत्तों की त्रिज्या $ρ$ है, जहाँ $ρ < 0.001$ और $ρ → 0$ हैं, और $ML$ असमानता प्रायुक्त करें। बाईं ओर वृत्त $C_{L}$ के लिए, हम पाते हैं $$\left| \int_{C_\mathrm{L}} \frac{f(z)}{5-z} dz \right| \le 2 \pi \rho \frac{\rho^\frac34 3.001^\frac14}{4.999} \in \mathcal{O} \left( \rho^\frac74 \right) \to 0.$$ इसी तरह, वृत के लिए $C_{R}$ दाईं ओर, हमारे पास है $$\left| \int_{C_\mathrm{R}} \frac{f(z)}{5-z} dz \right| \le 2 \pi \rho \frac{3.001^\frac34 \rho^\frac14}{1.999} \in \mathcal{O} \left( \rho^\frac54 \right) \to 0.$$ जब कौशी अवशेष प्रमेय का उपयोग करके, हमारे पास है $$(-i + 1) I = -2\pi i \left( \operatorname{Res}_{z=5} \frac{f(z)}{5-z} + \operatorname{Res}_{z=\infty} \frac{f(z)}{5-z} \right).$$ जहां अवशेषों के चारों ओर दक्षिणावर्त दिशा के कारण ऋण चिह्न है। लॉगरिदम की शाखा का उपयोग पहले से, स्पष्ट रूप से $$\operatorname{Res}_{z=5} \frac{f(z)}{5-z} = - 5^\frac34 e^{\frac14 \log(-2)}.$$ पोल को आरेख में नीले रंग में दिखाया गया है। मान को सरल करता है $$-5^\frac34 e^{\frac14(\log 2 + \pi i)} = -e^{\frac14 \pi i} 5^\frac34 2^\frac14.$$ अनंत पर अवशेष के लिए हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं: $$\operatorname{Res}_{z=\infty} h(z) = \operatorname{Res}_{z=0} \left(- \frac{1}{z^2} h\left(\frac{1}{z}\right)\right).$$ प्रतिस्थापन, हम पाते हैं $$\frac{1}{5-\frac{1}{z}} = -z \left(1 + 5z + 5^2 z^2 + 5^3 z^3 + \cdots\right)$$ और $$\left(\frac{1}{z^3}\left (3-\frac{1}{z} \right )\right)^\frac14 = \frac{1}{z} (3z-1)^\frac14 = \frac{1}{z}e^{\frac14 \pi i} (1-3z)^\frac14, $$ जहां हमने लघुगणक की दूसरी शाखा के लिए $−1 = e^{πi}$ इस तथ्य का उपयोग किया है। इसके बाद हम प्राप्त करने वाले द्विपद प्रसार को प्रायुक्त करते हैं $$\frac{1}{z} e^{\frac14 \pi i} \left( 1 - {1/4 \choose 1} 3z + {1/4 \choose 2} 3^2 z^2 - {1/4 \choose 3} 3^3 z^3 + \cdots \right). $$ निष्कर्ष यह है $$\operatorname{Res}_{z=\infty} \frac{f(z)}{5-z} = e^{\frac14 \pi i} \left (5 - \frac34 \right ) = e^{\frac14 \pi i}\frac{17}{4}.$$ अंत में, यह इस प्रकार है कि का मूल्य $I$ है $$ I = 2 \pi i \frac{e^{\frac14 \pi i}}{-1+i} \left(\frac{17}{4} - 5^\frac34 2^\frac14 \right) = 2 \pi 2^{-\frac12} \left(\frac{17}{4} - 5^\frac34 2^\frac14 \right)$$ कौन सी प्रस्तुतीकरण $$I = \frac{\pi}{2\sqrt 2} \left(17 - 5^\frac34 2^\frac94 \right) = \frac{\pi}{2\sqrt 2} \left(17 - 40^\frac34 \right).$$

अवशेष प्रमेय के साथ मूल्यांकन
अवशेष प्रमेय का उपयोग करके, हम बंद कंटूर समाकलन का मूल्यांकन कर सकते हैं। अवशेष प्रमेय के साथ कंटूर समाकलन का मूल्यांकन करने के उदाहरण निम्नलिखित हैं।

अवशेष प्रमेय का उपयोग करते हुए, आइए इस कंटूर समाकलन का मूल्यांकन करें। $$\oint_C \frac{e^z}{z^3}\,dz$$ एक पुनश्चर्या के रूप में, अवशेष प्रमेय बताता है $$\oint_{C} f(z)=2\pi i\cdot \sum\operatorname{Res}(f,a_k),$$ जहाँ $$\operatorname{Res}$$ का अवशेष है $$f(z)$$.

$$f(z)$$ केवल ध्रुव है, $$0$$. उस से, हम के अवशेष (जटिल विश्लेषण) का निर्धारण कर सकते हैं $$f(z)$$ होना $$\tfrac{1}{2}$$ $$\begin{align} \oint_C f(z) &=\oint_C \frac{e^z}{z^3}\\ &=2\pi i \cdot \operatorname{Res}_{z=0} f(z)\\ &=2\pi i\operatorname{Res}_{z=0} \frac{e^z}{z^3}\\ &=2\pi i \cdot \frac{1}{2}\\ &=\pi i \end{align}$$ इस प्रकार, अवशेष प्रमेय का उपयोग करके, हम यह निर्धारित कर सकते हैं: $$\oint_C \frac{e^z}{z^3} dz = \pi i.$$

बहुभिन्नरूपी कंटूर समाकलन
बहुभिन्नरूपी कंटूर समाकलन (अर्थात सतह समाकल, कॉम्प्लेक्स वॉल्यूम समाकल और उच्च क्रम समाकल) का समाधान करने के लिए, हमें डायवर्जेंस प्रमेय का उपयोग करना चाहिए। अभी के लिए, मान लो $$\nabla$$ के साथ विनिमेय $$\operatorname{Div}$$ हो। ये दोनों सदिश क्षेत्र के विचलन के रूप में कार्य करेंगे, जिसे $$\mathbf{F}$$ के रूप में दर्शाया गया है। यह प्रमेय बताता है: $$\underbrace{\int \cdots \int_U}_n \operatorname{div}(\mathbf{F}) \, dV = \underbrace{ \oint \cdots \oint_{\partial U} }_{n-1} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS$$ इसके अतिरिक्त, हमें मूल्यांकन $$\nabla\cdot \mathbf{F}$$ करने की भी आवश्यकता है जहाँ $$\nabla \cdot \mathbf{F}$$ का वैकल्पिक अंकन $$\operatorname{div} (\mathbf{F})$$ है. किसी भी आयाम के विचलन को इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है $$\begin{align} \operatorname{div}(\mathbf{F}) &=\nabla\cdot\mathbf{F}\\ &= \left(\frac{\partial}{\partial u}, \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}, \dots \right) \cdot (F_u,F_x,F_y,F_z,\dots)\\ &=\left(\frac{\partial F_u}{\partial u} + \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} + \cdots \right) \end{align}$$

उदाहरण 1
माना सदिश क्षेत्र $$\mathbf{F}=\sin(2x)\mathbf{e}_x+\sin(2y)\mathbf{e}_y+\sin(2z)\mathbf{e}_z$$ और निम्नलिखित से बंधे रहें $${0\leq x\leq 1} \quad {0\leq y\leq 3} \quad {-1\leq z\leq 4}$$ संबंधित डबल कंटूर समाकलन को इस प्रकार स्थापित किया जाएगा:

जब हम $$\nabla\cdot\mathbf{F}$$ मूल्यांकन करते हैं। जबकि हम इस पर हैं, आइए इसी ट्रिपल समाकल को सेट करें: $$\begin{align} &=\iiint_V \left(\frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}\right) dV\\[6pt] &=\iiint_V \left(\frac{\partial \sin(2x)}{\partial x} + \frac{\partial \sin(2y)}{\partial y} + \frac{\partial \sin(2z)}{\partial z}\right) dV\\[6pt] &=\iiint_V 2 \left(\cos(2x) + \cos(2y) + \cos(2z)\right) dV \\[6pt] &=\int_{0}^{1}\int_{0}^{3}\int_{-1}^{4} 2(\cos(2x)+\cos(2y)+\cos(2z))\,dx\,dy\,dz \\[6pt] &=\int_{0}^{1}\int_{0}^{3}(10\cos(2y)+\sin(8)+\sin(2)+10\cos(z))\,dy\,dz\\[6pt] &=\int_{0}^{1}(30\cos(2z)+3\sin(2)+3\sin(8)+5\sin(6))\,dz\\[6pt] &=18\sin(2)+3\sin(8)+5\sin(6) \end{align}$$

उदाहरण 2
माना सदिश क्षेत्र $$\mathbf{F}=u^4\mathbf{e}_u+x^5\mathbf{e}_x+y^6\mathbf{e}_y+z^{-3}\mathbf{e}_z$$, और टिप्पणी करें कि इस स्थिति में 4 पैरामीटर हैं। मान लीजिए कि यह सदिश क्षेत्र निम्नलिखित से घिरा है: $${0\leq x\leq 1} \quad {-10\leq y\leq 2\pi} \quad {4\leq z\leq 5} \quad {-1\leq u\leq 3}$$ इसका मूल्यांकन करने के लिए, हमें विचलन प्रमेय का उपयोग करना चाहिए जैसा कि पहले कहा गया है, और हमें $$\nabla\cdot\mathbf{F}$$ का मूल्यांकन करना चाहिए. मान लीजिए $$dV = dx \, dy \, dz \, du$$

$$\begin{align} &=\iiiint_V \left(\frac{\partial F_u}{\partial u} + \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}\right)\,dV\\[6pt] &=\iiiint_V \left(\frac{\partial u^4}{\partial u} + \frac{\partial x^5}{\partial x} + \frac{\partial y^6}{\partial y} + \frac{\partial z^{-3}}{\partial z}\right)\,dV\\[6pt] &=\iiiint_V \,dV \\[6pt] &= \iiiint_V \,dV \\[6pt] &=\int_{0}^{1}\int_{-10}^{2\pi}\int_{4}^{5}\int_{-1}^{3} \frac{4 u^3 z^4 + 5 x^4 z^4 + 5 y^4 z^4 - 3}{z^4}\,dV\\[6pt] &=\int_{0}^{1}\int_{-10}^{2\pi}\int_{4}^{5}\left(\frac{4(3u^4z^3+3y^6+91z^3+3)}{3z^3}\right)\,dy\,dz\,du\\[6pt] &=\int_{0}^{1}\int_{-10}^{2\pi}\left(4u^4+\frac{743440}{21}+\frac{4}{z^3}\right)\,dz\,du\\[6pt] &=\int_{0}^{1} \left(-\frac{1}{2\pi^2}+\frac{1486880\pi}{21}+8\pi u^4+40 u^4+\frac{371720021}{1050}\right)\,du\\[6pt] &=\frac{371728421}{1050}+\frac{14869136\pi^3-105}{210\pi^2}\\[6pt] &\approx{576468.77} \end{align}$$ इस प्रकार, हम $$n=4$$ के साथ कंटूर समाकलन का मूल्यांकन कर सकते हैं। हम $$n>4$$ के साथ किसी भी सदिश क्षेत्र के लिए समोच्च अभिन्न का मूल्यांकन करने के लिए उसी विधि का उपयोग कर सकते हैं।

समाकल प्रतिनिधित्व
किसी फलन का समाकल प्रतिनिधित्व फलन की अभिव्यक्ति है जिसमें कंटूर समाकलन सम्मिलित है। कई विशेष फलनों के लिए विभिन्न समाकल प्रतिनिधित्व ज्ञात हैं। सैद्धांतिक कारणों से समाकल प्रतिनिधित्व महत्वपूर्ण हो सकता है, उदाहरण के लिए विश्लेषणात्मक निरंतरता या कार्यात्मक समीकरण देना, या कभी-कभी संख्यात्मक मूल्यांकन के लिए।

उदाहरण के लिए, रीमैन जीटा फलन की मूल परिभाषा $ζ(s)$ डिरिचलेट श्रृंखला के माध्यम से, $$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s},$$ के लिए ही मान्य है $Re(s) > 1$. किन्तु $$\zeta(s) = - \frac{\Gamma(1 - s)}{2 \pi i} \int_H\frac{(-t)^{s-1}}{e^t - 1} dt ,$$ जहां हैंकेल कंटूर $H$ पर समाकलन किया जाता है, सभी जटिल s के लिए मान्य है जो 1 के बराबर नहीं है।

यह भी देखें

 * अवशेष (जटिल विश्लेषण)
 * कॉची प्रिंसिपल वैल्यू
 * पोइसन समाकल
 * पोचममेर कंटूर

अग्रिम पठन

 * Jean Jacquelin, Marko Riedel, Branche univalente, Les-Mathematiques.net, in French.
 * Marko Riedel et al., Problème d'intégrale, Les-Mathematiques.net, in French.
 * Marko Riedel et al., Integral by residue, math.stackexchange.com.
 * W W L Chen, Introduction to Complex Analysis
 * Various authors, sin límites ni cotas, es.ciencia.matematicas, in Spanish.
 * Various authors, sin límites ni cotas, es.ciencia.matematicas, in Spanish.