आंशिक कार्य

गणित में, एक आंशिक कार्य $f$ एक सेट से (गणित) $X$ एक सेट के लिए $Y$ एक सबसेट से एक फ़ंक्शन (गणित) है $S$ का $X$ (संभवतः संपूर्ण $X$ स्वयं) को $Y$. उपसमुच्चय $S$, यानी, एक फ़ंक्शन का डोमेन $f$ को एक कार्य के रूप में देखा जाता है, जिसे परिभाषा का डोमेन या प्राकृतिक डोमेन कहा जाता है $f$. अगर $S$ बराबर है $X$, यानी अगर $f$ में प्रत्येक तत्व पर परिभाषित किया गया है $X$, तब $f$ को कुल कार्य कहा जाता है।

अधिक तकनीकी रूप से, एक आंशिक कार्य दो सेट (गणित) पर एक द्विआधारी संबंध है जो पहले सेट के प्रत्येक तत्व को दूसरे सेट के एक तत्व अधिकतम से जोड़ता है; इस प्रकार यह एक द्विआधारी संबंध # विशेष प्रकार के द्विआधारी संबंध हैं। यह पहले सेट के प्रत्येक तत्व को दूसरे सेट के एक तत्व बिल्कुल से संबद्ध करने की आवश्यकता नहीं होने के द्वारा एक (कुल) फ़ंक्शन (गणित) की अवधारणा को सामान्यीकृत करता है।

एक आंशिक फ़ंक्शन का उपयोग अक्सर तब किया जाता है जब इसकी परिभाषा का सटीक डोमेन ज्ञात नहीं होता है या निर्दिष्ट करना मुश्किल होता है। गणना  में यह मामला है, उदाहरण के लिए, दो कार्यों का भागफल एक आंशिक कार्य है जिसकी परिभाषा के डोमेन में भाजक के एक कार्य का शून्य नहीं हो सकता है। इस कारण से, कैलकुलस में, और अधिक सामान्यतः गणितीय विश्लेषण में, एक आंशिक फलन को आम तौर पर केवल a कहा जाता है संगणनीयता सिद्धांत सिद्धांत में, एक सामान्य पुनरावर्ती कार्य पूर्णांकों से पूर्णांकों का एक आंशिक कार्य है; यह तय करने के लिए कोई  कलन विधि  मौजूद नहीं हो सकता है कि इस तरह का एक मनमाना कार्य वास्तव में कुल है या नहीं।

जब फ़ंक्शन (गणित) # एरो नोटेशन फ़ंक्शंस के लिए उपयोग किया जाता है, आंशिक फ़ंक्शन $$f$$ से $$X$$ को $$Y$$ कभी-कभी लिखा जाता है $$f : X \rightharpoonup Y,$$ $$f : X \nrightarrow Y,$$ या $$f : X \hookrightarrow Y.$$ हालांकि, कोई सामान्य सम्मेलन नहीं है, और बाद के अंकन का उपयोग आमतौर पर शामिल किए जाने वाले मानचित्रों या एम्बेडिंग के लिए किया जाता है।

विशेष रूप से, आंशिक कार्य के लिए $$f : X \rightharpoonup Y,$$ और कोई भी $$x \in X,$$ एक के पास या तो है:
 * $$f(x) = y \in Y$$ (यह एक एकल तत्व है $Y$), या
 * $$f(x)$$ अपरिभाषित है।

उदाहरण के लिए, यदि $$f$$ वर्गमूल फलन पूर्णांकों तक सीमित है
 * $$f : \Z \to \N,$$ द्वारा परिभाषित:
 * $$f(n) = m$$ अगर और केवल अगर, $$m^2 = n,$$ $$m \in \N, n \in \Z,$$

तब $$f(n)$$ केवल अगर परिभाषित किया गया है $$n$$ एक वर्ग संख्या है (अर्थात, $$0, 1, 4, 9, 16, \ldots$$). इसलिए $$f(25) = 5$$ लेकिन $$f(26)$$ अपरिभाषित है।

बुनियादी अवधारणाएँ
एक आंशिक कार्य दो सेटों के बीच मानचित्रों के विचार से उत्पन्न होता है $X$ और $Y$ जिसे पूरे सेट पर परिभाषित नहीं किया जा सकता है $X$. एक सामान्य उदाहरण वास्तविक संख्याओं पर वर्गमूल संक्रिया है $$\mathbb{R}$$: क्योंकि नकारात्मक वास्तविक संख्याओं में वास्तविक वर्गमूल नहीं होते हैं, संक्रिया को आंशिक फलन के रूप में देखा जा सकता है $$\mathbb{R}$$ को $$\mathbb{R}.$$ आंशिक फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन सबसेट है $S$ का $X$ जिस पर आंशिक कार्य परिभाषित किया गया है; इस स्थिति में, आंशिक फलन को एक फलन के रूप में भी देखा जा सकता है $S$ को $Y$. वर्गमूल संक्रिया के उदाहरण में, समुच्चय $S$ में अऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ होती हैं $$[0, +\infty).$$ आंशिक कार्य की धारणा विशेष रूप से सुविधाजनक होती है जब परिभाषा का सटीक डोमेन अज्ञात या अनजान भी होता है। उत्तरार्द्ध के कंप्यूटर-विज्ञान उदाहरण के लिए, हॉल्टिंग समस्या देखें।

परिभाषा के डोमेन के मामले में $S$ पूरे सेट के बराबर है $X$, आंशिक कार्य को कुल कहा जाता है। इस प्रकार, से कुल आंशिक कार्य $X$ को $Y$ से कार्यों के साथ मेल खाता है $X$ को $Y$.

कार्यों के कई गुण आंशिक कार्यों के उचित अर्थ में विस्तारित किए जा सकते हैं। आंशिक फ़ंक्शन को इंजेक्शन समारोह, विशेषण फ़ंक्शन या द्विभाजन कहा जाता है, जब आंशिक फ़ंक्शन के परिभाषा के डोमेन में आंशिक फ़ंक्शन के प्रतिबंध द्वारा दिए गए फ़ंक्शन क्रमशः इंजेक्शन, विशेषण, विशेषण होते हैं।

क्योंकि एक फ़ंक्शन तुच्छ रूप से विशेषण है जब इसकी छवि तक सीमित है, आंशिक आक्षेप शब्द एक आंशिक कार्य को दर्शाता है जो इंजेक्शन है। एक इंजेक्शन आंशिक फ़ंक्शन को इंजेक्शन आंशिक फ़ंक्शन में उलटा किया जा सकता है, और एक आंशिक फ़ंक्शन जो इंजेक्शन और विशेषण दोनों में व्युत्क्रम के रूप में एक इंजेक्शन फ़ंक्शन होता है। इसके अलावा, एक फ़ंक्शन जो इंजेक्शन है, इंजेक्शन आंशिक फ़ंक्शन में उलटा हो सकता है।

परिवर्तन (कार्य) की धारणा को आंशिक कार्यों के लिए भी सामान्यीकृत किया जा सकता है। एक आंशिक परिवर्तन एक कार्य है $$f : A \rightharpoonup B,$$ जहां दोनों $$A$$ और $$B$$ किसी समुच्चय के उपसमुच्चय हैं $$X.$$

फंक्शन स्पेस
सुविधा के लिए, सभी आंशिक कार्यों के सेट को निरूपित करें $$f : X \rightharpoonup Y$$ एक सेट से $$X$$ एक सेट के लिए $$Y$$ द्वारा $$[X \rightharpoonup Y].$$ यह सेट सबसेट पर परिभाषित कार्यों के सेट का संघ है $$X$$ एक ही कोडोमेन के साथ $$Y$$:
 * $$[X \rightharpoonup Y] = \bigcup_{D \subseteq X} [D \to Y],$$

उत्तरार्द्ध के रूप में भी लिखा गया है $\bigcup_{D\subseteq{X}} Y^D.$ परिमित मामले में, इसकी प्रमुखता है
 * $$|[X \rightharpoonup Y]| = (|Y| + 1)^{|X|},$$

क्योंकि किसी भी आंशिक फलन को किसी निश्चित मान से फलन तक बढ़ाया जा सकता है $$c$$ में निहित नहीं है $$Y,$$ ताकि कोडोमेन है $$Y \cup \{ c \},$$ एक ऑपरेशन जो इंजेक्शन (प्रतिबंध द्वारा अद्वितीय और उलटा) है।

चर्चा और उदाहरण
लेख के शीर्ष पर पहला आरेख एक आंशिक कार्य का प्रतिनिधित्व करता है जो है एक फ़ंक्शन चूंकि बाएं हाथ के सेट में तत्व 1 दाएं हाथ के सेट में किसी भी चीज़ से संबद्ध नहीं है। जबकि, दूसरा आरेख एक फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करता है क्योंकि बाएं हाथ के सेट पर प्रत्येक तत्व दाहिने हाथ के सेट में ठीक एक तत्व से जुड़ा होता है।

प्राकृतिक लघुगणक
प्राकृतिक लघुगणक फ़ंक्शन पर विचार करें जो वास्तविक संख्याओं को स्वयं से मैप करता है। एक गैर-सकारात्मक वास्तविक का लघुगणक एक वास्तविक संख्या नहीं है, इसलिए प्राकृतिक लघुगणक फ़ंक्शन कोडोमेन में किसी भी वास्तविक संख्या को डोमेन में किसी भी गैर-सकारात्मक वास्तविक संख्या के साथ संबद्ध नहीं करता है। इसलिए, प्राकृतिक लघुगणक फलन एक फलन नहीं है जब इसे वास्तविक से स्वयं के फलन के रूप में देखा जाता है, बल्कि यह एक आंशिक फलन है। यदि डोमेन केवल धनात्मक वास्तविक को शामिल करने तक सीमित है (अर्थात, यदि प्राकृतिक लघुगणक फलन को धनात्मक वास्तविक से वास्तविक फलन के रूप में देखा जाता है), तो प्राकृतिक लघुगणक एक फलन है।

प्राकृत संख्याओं का घटाव
प्राकृतिक संख्याओं का घटाव (गैर-ऋणात्मक पूर्णांक) को आंशिक कार्य के रूप में देखा जा सकता है:
 * $$f : \N \times \N \rightharpoonup \N$$
 * $$f(x,y) = x - y.$$

इसे तभी परिभाषित किया जाता है जब $$x \geq y.$$

निचला तत्व
सांकेतिक शब्दार्थ में एक आंशिक कार्य को अपरिभाषित होने पर नीचे के तत्व को वापस करने के रूप में माना जाता है।

कंप्यूटर विज्ञान में एक आंशिक कार्य एक सबरूटीन से मेल खाता है जो एक अपवाद या लूप को हमेशा के लिए उठाता है। IEEE फ़्लोटिंग पॉइंट मानक एक नहीं एक संख्या मान को परिभाषित करता है जो तब लौटाया जाता है जब फ़्लोटिंग पॉइंट ऑपरेशन अपरिभाषित होता है और अपवादों को दबा दिया जाता है, उदा। जब किसी ऋणात्मक संख्या के वर्गमूल का अनुरोध किया जाता है।

एक प्रोग्रामिंग भाषा  में जहां फंक्शन पैरामीटर स्थिर रूप से टाइप किया गया किए जाते हैं, एक फंक्शन को एक आंशिक फंक्शन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है क्योंकि भाषा का  प्रकार प्रणाली  फ़ंक्शन के सटीक डोमेन को व्यक्त नहीं कर सकता है, इसलिए प्रोग्रामर इसके बजाय इसे सबसे छोटा डोमेन देता है जो एक प्रकार के रूप में अभिव्यक्त होता है और फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन शामिल है।

श्रेणी सिद्धांत में
श्रेणी सिद्धांत में, ठोस श्रेणियों में आकारिकी रचना के संचालन पर विचार करते समय, रचना संचालन $$\circ \;:\; \hom(C) \times \hom(C) \to \hom(C)$$ एक समारोह है अगर और केवल अगर $$\operatorname{ob}(C)$$ एक तत्व है। इसका कारण यह है कि दो रूप $$f : X \to Y$$ और $$g : U \to V$$ के रूप में ही रचा जा सकता है $$g \circ f$$ अगर $$Y = U,$$ वह है, का कोडोमेन $$f$$ के डोमेन के बराबर होना चाहिए $$g.$$ सेट और आंशिक कार्यों की श्रेणी श्रेणियों की समतुल्यता है, लेकिन नुकीले सेटों और बिंदु-संरक्षण मानचित्रों की श्रेणी के साथ श्रेणियों की समरूपता नहीं है। एक पाठ्यपुस्तक नोट करती है कि "अनुचित," "अनंत" तत्वों को जोड़कर सेट और आंशिक मानचित्रों का औपचारिक समापन कई बार, विशेष रूप से, टोपोलॉजी (एक-बिंदु संघनन) और सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में किया गया था। समुच्चय और आंशिक द्विभाजन की श्रेणी इसके विपरीत श्रेणी के बराबर है। यह प्रोटोटाइपिक उलटा श्रेणी है।

अमूर्त बीजगणित में
आंशिक बीजगणित आंशिक संक्रिया (गणित) के लिए सार्वभौमिक बीजगणित की धारणा का सामान्यीकरण करता है। एक उदाहरण एक फ़ील्ड (गणित) होगा, जिसमें गुणक व्युत्क्रम एकमात्र उचित आंशिक ऑपरेशन है (क्योंकि शून्य से विभाजन परिभाषित नहीं है)। किसी दिए गए आधार सेट पर सभी आंशिक कार्यों (आंशिक परिवर्तन (फ़ंक्शन)) का सेट, $$X,$$ एक नियमित अर्धसमूह बनाता है जिसे सभी आंशिक परिवर्तनों का अर्धसमूह कहा जाता है (या आंशिक परिवर्तन अर्धसमूह पर $$X$$), आमतौर पर द्वारा चिह्नित $$\mathcal{PT}_X.$$  पर सभी आंशिक आपत्तियों का सेट $$X$$ सममित व्युत्क्रम अर्धसमूह बनाता है।

कई गुना और फाइबर बंडलों के लिए चार्ट और एटलस
एटलस (टोपोलॉजी) में चार्ट जो मैनिफोल्ड्स और फाइबर बंडलों की संरचना को निर्दिष्ट करते हैं, आंशिक कार्य हैं। मैनिफोल्ड्स के मामले में, डोमेन मैनिफोल्ड का पॉइंट सेट है। फाइबर बंडलों के मामले में, डोमेन फाइबर बंडल का स्थान है। इन अनुप्रयोगों में, सबसे महत्वपूर्ण निर्माण एटलस (टोपोलॉजी) #संक्रमण मानचित्र है, जो एक चार्ट का दूसरे के व्युत्क्रम के साथ सम्मिश्रण है। मैनिफोल्ड्स और फाइबर बंडलों का प्रारंभिक वर्गीकरण इन संक्रमण मानचित्रों पर बाधाओं के संदर्भ में काफी हद तक व्यक्त किया गया है।

कार्यों के बजाय आंशिक कार्यों के उपयोग का कारण वैश्विक संरचना का वर्णन करने के लिए स्थानीय पैच को एक साथ सिलाई करके सामान्य वैश्विक टोपोलॉजी का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देना है। पैच वे डोमेन हैं जहां चार्ट परिभाषित किए गए हैं।

संदर्भ

 * Martin Davis (1958), Computability and Unsolvability, McGraw–Hill Book Company, Inc, New York. Republished by Dover in 1982. ISBN 0-486-61471-9.
 * Stephen Kleene (1952), Introduction to Meta-Mathematics, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, Netherlands, 10th printing with corrections added on 7th printing (1974). ISBN 0-7204-2103-9.
 * Harold S. Stone (1972), Introduction to Computer Organization and Data Structures, McGraw–Hill Book Company, New York.