विकृति (भौतिकी)



भौतिकी और सातत्य यांत्रिकी में, विरूपण किसी पिंड का संदर्भ विन्यास से वर्तमान विन्यास में परिवर्तन है। कॉन्फ़िगरेशन एक ऐसा सेट है जिसमें शरीर के सभी कणों की स्थिति शामिल होती है।

संरचनात्मक भार के कारण विकृति हो सकती है, आंतरिक गतिविधि (जैसे मांसपेशी संकुचन), शारीरिक बल (जैसे गुरुत्वाकर्षण या विद्युत चुम्बकीय बल), या तापमान, नमी सामग्री, या रासायनिक प्रतिक्रियाओं आदि में परिवर्तन।

तनाव शरीर में कणों के सापेक्षिक विस्थापन के संदर्भ में विकृति से संबंधित है जो कठोर-शरीर गति को बाहर करता है। तनाव क्षेत्र की अभिव्यक्ति के लिए अलग-अलग समकक्ष विकल्प बनाए जा सकते हैं, यह इस बात पर निर्भर करता है कि इसे शरीर के प्रारंभिक या अंतिम विन्यास के संबंध में परिभाषित किया गया है या नहीं और मीट्रिक टेंसर या इसके दोहरे पर विचार किया गया है या नहीं।

एक निरंतर शरीर में, लागू बलों के कारण या शरीर के तापमान क्षेत्र में कुछ बदलावों के कारण तनाव (भौतिकी) क्षेत्र से एक विरूपण क्षेत्र उत्पन्न होता है। तनाव और तनाव के बीच संबंध संवैधानिक समीकरणों द्वारा व्यक्त किया जाता है, उदाहरण के लिए, रैखिक लोच सामग्री के लिए हुक का नियम। तनाव क्षेत्र हटा दिए जाने के बाद जो विकृतियाँ समाप्त हो जाती हैं, उन्हें लोचदार विकृति कहा जाता है। इस मामले में, सातत्य पूरी तरह से अपने मूल विन्यास को पुनः प्राप्त कर लेता है। दूसरी ओर, अपरिवर्तनीय विकृतियाँ बनी रहती हैं। तनाव दूर हो जाने के बाद भी वे मौजूद रहते हैं। एक प्रकार की अपरिवर्तनीय विकृति प्लास्टिक विकृति है, जो भौतिक निकायों में तब होती है जब तनाव एक निश्चित सीमा मान प्राप्त कर लेता है जिसे लोचदार सीमा या उपज (इंजीनियरिंग)  के रूप में जाना जाता है, और यह स्लिप (सामग्री विज्ञान), या अव्यवस्था का परिणाम है परमाणु स्तर पर तंत्र. एक अन्य प्रकार की अपरिवर्तनीय विकृति चिपचिपा विरूपण है, जो viscoelasticity  विरूपण का अपरिवर्तनीय हिस्सा है।

लोचदार विकृतियों के मामले में, विकृत तनाव को तनाव से जोड़ने वाला प्रतिक्रिया कार्य सामग्री की हुक के नियम#टेंसर अभिव्यक्ति है।

तनाव
तनाव एक संदर्भ लंबाई के सापेक्ष शरीर में कणों के बीच विस्थापन का प्रतिनिधित्व करता है।

किसी पिंड की विकृति को रूप में व्यक्त किया जाता है $x = F(X)$ कहाँ $X$ शरीर के भौतिक बिंदुओं की संदर्भ स्थिति है। ऐसा माप शरीर की कठोर गतियों (अनुवाद और घुमाव) और शरीर के आकार (और आकार) में परिवर्तन के बीच अंतर नहीं करता है। एक विकृति में लंबाई की इकाइयाँ होती हैं।

उदाहरण के लिए, हम तनाव को परिभाषित कर सकते हैं $$ \boldsymbol{\varepsilon} \doteq \cfrac{\partial}{\partial\mathbf{X}}\left(\mathbf{x} - \mathbf{X}\right) = \boldsymbol{F}'- \boldsymbol{I},$$ कहाँ $I$ पहचान मैट्रिक्स है. इसलिए उपभेद आयामहीन होते हैं और आमतौर पर दशमलव, प्रतिशत या भागों-प्रति अंकन के रूप में व्यक्त किए जाते हैं। स्ट्रेन मापते हैं कि दी गई विकृति स्थानीय रूप से कठोर-शरीर विरूपण से कितनी भिन्न है। एक स्ट्रेन सामान्यतः एक टेन्सर  मात्रा होती है। उपभेदों में भौतिक अंतर्दृष्टि यह देखकर प्राप्त की जा सकती है कि किसी दिए गए तनाव को सामान्य और कतरनी घटकों में विघटित किया जा सकता है। सामग्री रेखा तत्वों या तंतुओं के साथ खिंचाव या संपीड़न की मात्रा सामान्य तनाव है, और एक विकृत शरीर के भीतर एक दूसरे के ऊपर समतल परतों के फिसलने से जुड़ी विकृति की मात्रा कतरनी तनाव है। इसे बढ़ाव, छोटा करने, या आयतन परिवर्तन, या कोणीय विरूपण द्वारा लागू किया जा सकता है। एक सातत्य पिंड के सातत्य यांत्रिकी में तनाव की स्थिति को सामग्री रेखाओं या तंतुओं की लंबाई में सभी परिवर्तनों की समग्रता, सामान्य तनाव, जो उस बिंदु से होकर गुजरता है और इसके बीच के कोण में सभी परिवर्तनों की समग्रता के रूप में परिभाषित किया गया है। रेखाओं के जोड़े शुरू में एक-दूसरे के लंबवत होते हैं, कतरनी तनाव, इस बिंदु से विकीर्ण होता है। हालाँकि, तीन परस्पर लंबवत दिशाओं के सेट पर तनाव के सामान्य और कतरनी घटकों को जानना पर्याप्त है।

यदि सामग्री रेखा की लंबाई में वृद्धि होती है, तो सामान्य तनाव को तन्य तनाव कहा जाता है, अन्यथा, यदि सामग्री रेखा की लंबाई में कमी या संपीड़न होता है, तो इसे संपीड़न तनाव कहा जाता है।

तनाव के उपाय
तनाव, या स्थानीय विरूपण की मात्रा के आधार पर, विरूपण के विश्लेषण को तीन विरूपण सिद्धांतों में विभाजित किया गया है:
 * परिमित तनाव सिद्धांत, जिसे बड़े तनाव सिद्धांत, बड़े विरूपण सिद्धांत भी कहा जाता है, उन विकृतियों से संबंधित है जिनमें घूर्णन और तनाव दोनों मनमाने ढंग से बड़े होते हैं। इस मामले में, कॉन्टिनम यांत्रिकी के अविकसित और विकृत विन्यास काफी भिन्न हैं और उनके बीच एक स्पष्ट अंतर करना होगा। यह आमतौर पर [[ elastomer ]]्स, प्लास्टिसिटी (भौतिकी)|प्लास्टिक रूप से विकृत सामग्री और अन्य तरल पदार्थ और जैविक नरम ऊतक के मामले में होता है।
 * अनंतिम तनाव सिद्धांत, जिसे लघु तनाव सिद्धांत, लघु विरूपण सिद्धांत, लघु विस्थापन सिद्धांत, या लघु विस्थापन-ढाल सिद्धांत भी कहा जाता है जहां तनाव और घूर्णन दोनों छोटे होते हैं। इस मामले में, शरीर के अविकसित और विकृत विन्यास को समान माना जा सकता है। इनफिनिटसिमल स्ट्रेन सिद्धांत का उपयोग विरूपण (इंजीनियरिंग)#इलास्टिक विरूपण व्यवहार को प्रदर्शित करने वाली सामग्रियों के विरूपण के विश्लेषण में किया जाता है, जैसे कि मैकेनिकल और सिविल इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों में पाई जाने वाली सामग्री, जैसे कंक्रीट और स्टील.
 * बड़े-विस्थापन या बड़े-रोटेशन सिद्धांत, जो छोटे तनाव लेकिन बड़े घूर्णन और विस्थापन को मानता है।

इनमें से प्रत्येक सिद्धांत में तनाव को अलग-अलग तरीके से परिभाषित किया गया है। इंजीनियरिंग स्ट्रेन मैकेनिकल और संरचनात्मक इंजीनियरिंग में उपयोग की जाने वाली सामग्रियों पर लागू होने वाली सबसे आम परिभाषा है, जो बहुत छोटी विकृतियों के अधीन होती है। दूसरी ओर, कुछ सामग्रियों के लिए, जैसे, इलास्टोमर्स और पॉलिमर, बड़े विरूपण के अधीन, तनाव की इंजीनियरिंग परिभाषा लागू नहीं होती है, उदाहरण के लिए। विशिष्ट इंजीनियरिंग स्ट्रेन 1% से अधिक, इस प्रकार स्ट्रेन की अन्य अधिक जटिल परिभाषाओं की आवश्यकता होती है, जैसे स्ट्रेच, लॉगरिदमिक स्ट्रेन, ग्रीन स्ट्रेन और अलमांसी स्ट्रेन।

इंजीनियरिंग तनाव
इंजीनियरिंग स्ट्रेन, जिसे कॉची स्ट्रेन के रूप में भी जाना जाता है, को भौतिक शरीर के प्रारंभिक आयाम के कुल विरूपण के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जाता है जिस पर बल लागू होते हैं। इंजीनियरिंग सामान्य स्ट्रेन या इंजीनियरिंग एक्सटेंशनल स्ट्रेन या नाममात्र स्ट्रेन e}अक्षीय रूप से लोड किए गए सामग्री लाइन तत्व या फाइबर की लंबाई में परिवर्तन के रूप में व्यक्त किया जाता है $ΔL$ मूल लंबाई की प्रति इकाई $L$ रेखा तत्व या तंतुओं का। यदि भौतिक तंतुओं को खींचा जाता है तो सामान्य तनाव सकारात्मक होता है और यदि वे संपीड़ित होते हैं तो नकारात्मक होता है। इस प्रकार, हमारे पास है $$ e=\frac{\Delta L}{L} = \frac{l -L}{L}$$ कहाँ $e$ इंजीनियरिंग सामान्य तनाव है, $L$ फाइबर की मूल लंबाई है और $l$ फाइबर की अंतिम लंबाई है। तनाव के माप अक्सर प्रति मिलियन भाग या माइक्रोस्ट्रेन में व्यक्त किए जाते हैं।

वास्तविक कतरनी तनाव को दो भौतिक रेखा तत्वों के बीच कोण में परिवर्तन (रेडियन में) के रूप में परिभाषित किया गया है जो प्रारंभ में अपरिवर्तित या प्रारंभिक विन्यास में एक दूसरे के लंबवत थे। इंजीनियरिंग कतरनी तनाव को उस कोण के स्पर्शरेखा के रूप में परिभाषित किया गया है, और यह बल अनुप्रयोग के विमान में लंबवत लंबाई से विभाजित अधिकतम विरूपण की लंबाई के बराबर है जो कभी-कभी गणना करना आसान बनाता है।

खिंचाव अनुपात
खिंचाव अनुपात या विस्तार अनुपात एक विभेदक रेखा तत्व के विस्तारित या सामान्य तनाव का एक माप है, जिसे विकृत विन्यास या विकृत विन्यास पर परिभाषित किया जा सकता है। इसे अंतिम लंबाई के बीच के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है $l$ और प्रारंभिक लंबाई $L$ सामग्री रेखा का. $$ \lambda = \frac{l}{L}$$ विस्तार अनुपात लगभग इंजीनियरिंग स्ट्रेन से संबंधित है $$ e = \frac{l-L}{L} = \lambda - 1$$ इस समीकरण का तात्पर्य है कि सामान्य तनाव शून्य है, ताकि जब खिंचाव एकता के बराबर हो तो कोई विकृति न हो।

खिंचाव अनुपात का उपयोग उन सामग्रियों के विश्लेषण में किया जाता है जो बड़ी विकृतियों को प्रदर्शित करते हैं, जैसे इलास्टोमर्स, जो विफल होने से पहले 3 या 4 के खिंचाव अनुपात को बनाए रख सकते हैं। दूसरी ओर, पारंपरिक इंजीनियरिंग सामग्री, जैसे कंक्रीट या स्टील, बहुत कम खिंचाव अनुपात में विफल हो जाती हैं।

सच्चा तनाव
लघुगणक तनाव $ε$, जिसे ट्रू स्ट्रेन या हेन्की स्ट्रेन भी कहा जाता है। वृद्धिशील तनाव पर विचार (लुडविक) $$\delta \varepsilon = \frac{\delta l}{l}$$ इस वृद्धिशील तनाव को एकीकृत करके लघुगणकीय तनाव प्राप्त किया जाता है: $$ \begin{align} \int\delta \varepsilon &= \int_L^l \frac{\delta l}{l} \\ \varepsilon &= \ln\left(\frac{l}{L}\right) = \ln (\lambda) \\ &= \ln(1+e) \\ &= e - \frac{e^2}{2} + \frac{e^3}{3} - \cdots \end{align}$$ कहाँ $e$ इंजीनियरिंग स्ट्रेन है। जब तनाव पथ के प्रभाव को ध्यान में रखते हुए वृद्धि की श्रृंखला में विरूपण होता है तो लॉगरिदमिक तनाव अंतिम तनाव का सही माप प्रदान करता है।

हरा तनाव
ग्रीन स्ट्रेन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: $$\varepsilon_G = \tfrac{1}{2} \left(\frac{l^2-L^2}{L^2}\right) = \tfrac{1}{2} (\lambda^2-1)$$

दो पंक्तियाँ भूल गया
यूलर-अल्मांसी स्ट्रेन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है $$\varepsilon_E = \tfrac{1}{2} \left(\frac{l^2-L^2}{l^2}\right) = \tfrac{1}{2} \left(1-\frac{1}{\lambda^2}\right)$$

सामान्य और कतरनी तनाव
उपभेदों को सामान्य या कतरनी के रूप में वर्गीकृत किया गया है। एक सामान्य विकृति किसी तत्व के चेहरे पर लंबवत होती है, और एक कतरनी विकृति इसके समानांतर होती है। ये परिभाषाएँ सामान्य तनाव और कतरनी तनाव के अनुरूप हैं।

सामान्य तनाव
एक समदैशिक  सामग्री के लिए जो हुक के नियम का पालन करती है, एक सामान्य तनाव एक सामान्य तनाव का कारण बनेगा। सामान्य उपभेद फैलाव उत्पन्न करते हैं।

आयामों वाले एक द्वि-आयामी, अतिसूक्ष्म, आयताकार भौतिक तत्व पर विचार करें $dx × dy$, जो विरूपण के बाद एक समचतुर्भुज का रूप ले लेता है। विरूपण का वर्णन विस्थापन क्षेत्र (यांत्रिकी) द्वारा किया गया है $u$. आसन्न आकृति की ज्यामिति से हमारे पास है $$ \mathrm{length}(AB) = dx $$ और $$\begin{align} \mathrm{length}(ab) &= \sqrt{\left(dx+\frac{\partial u_x}{\partial x}dx \right)^2 + \left( \frac{\partial u_y}{\partial x}dx \right)^2} \\ &= \sqrt{dx^2\left(1+\frac{\partial u_x}{\partial x} \right)^2 + dx^2\left( \frac{\partial u_y}{\partial x} \right)^2} \\ &= dx~\sqrt{\left(1+\frac{\partial u_x}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial u_y}{\partial x} \right)^2} \end{align}$$ बहुत छोटे विस्थापन ग्रेडियेंट के लिए व्युत्पन्न के वर्ग $$u_y$$ और $$u_x$$ नगण्य हैं और हमारे पास हैं $$ \mathrm{length}(ab) \approx dx \left(1+\frac{\partial u_x}{\partial x}\right) = dx + \frac{\partial u_x}{\partial x} dx $$ में सामान्य तनाव $x$-आयताकार तत्व की दिशा परिभाषित की जाती है $$ \varepsilon_x = \frac{\text{extension}}{\text{original length}} = \frac{\mathrm{length}(ab) - \mathrm{length}(AB)}{\mathrm{length}(AB)} = \frac{\partial u_x}{\partial x}$$ इसी प्रकार, सामान्य तनाव $y$- और $z$-दिशाएँ बन जाती हैं $$\varepsilon_y = \frac{\partial u_y}{\partial y} \quad, \qquad \varepsilon_z = \frac{\partial u_z}{\partial z}$$

कतरनी विकृति
इंजीनियरिंग कतरनी तनाव ($γ = τ⁄G$) को रेखाओं के बीच कोण में परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया गया है $γ$ और $ε$. इसलिए, $$ \gamma_{xy} = \alpha + \beta $$ आकृति की ज्यामिति से, हमारे पास है $$\begin{align} \tan \alpha & = \frac{\tfrac{\partial u_y}{\partial x} dx}{dx + \tfrac{\partial u_x}{\partial x}dx} = \frac{\tfrac{\partial u_y}{\partial x}}{1 + \tfrac{\partial u_x}{\partial x}} \\ \tan \beta & = \frac{\tfrac{\partial u_x}{\partial y}dy}{dy+\tfrac{\partial u_y}{\partial y}dy}=\frac{\tfrac{\partial u_x}{\partial y}}{1+\tfrac{\partial u_y}{\partial y}} \end{align}$$ छोटे विस्थापन ग्रेडियेंट के लिए हमारे पास है $$ \frac{\partial u_x}{\partial x} \ll 1 ~; \frac{\partial u_y}{\partial y} \ll 1 $$ छोटे घुमावों के लिए, यानी। $\overline{AC}$ और $\overline{AB}$ हमारे पास ≪ 1 हैं $γ_{xy}$, $tan α ≈ α$. इसलिए, $$ \alpha \approx \frac{\partial u_y}{\partial x} ~; \beta \approx \frac{\partial u_x}{\partial y} $$ इस प्रकार $$\gamma_{xy} = \alpha + \beta = \frac{\partial u_y}{\partial x} + \frac{\partial u_x}{\partial y}$$ अदला-बदली करके $α$ और $β$ और $tan β ≈ β$ और $u_{x}$, ऐसा दिखाया जा सकता है $u_{y}$.

इसी प्रकार, के लिए $x$- और $y$-विमान, हमारे पास है $$\gamma_{yz} = \gamma_{zy} = \frac{\partial u_y}{\partial z} + \frac{\partial u_z}{\partial y} \quad, \qquad \gamma_{zx} = \gamma_{xz} = \frac{\partial u_z}{\partial x} + \frac{\partial u_x}{\partial z}$$ इनफिनिटसिमल स्ट्रेन टेंसर के टेंसोरिअल शीयर स्ट्रेन घटकों को इंजीनियरिंग स्ट्रेन परिभाषा का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है, $yz$, जैसा $$ \underline{\underline{\boldsymbol{\varepsilon}}} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} & \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{xz} \\ \varepsilon_{yx} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{yz} \\ \varepsilon_{zx} & \varepsilon_{zy} & \varepsilon_{zz} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} & \tfrac 1 2\gamma_{xy} & \tfrac12\gamma_{xz} \\ \tfrac 1 2\gamma_{yx} & \varepsilon_{yy} & \tfrac 1 2\gamma_{yz} \\ \tfrac12\gamma_{zx} & \tfrac 1 2 \gamma_{zy} & \varepsilon_{zz} \\ \end{bmatrix}$$

मीट्रिक टेंसर
किसी विस्थापन से जुड़े तनाव क्षेत्र को, किसी भी बिंदु पर, उस बिंदु से गुजरने वाले मनमाने ढंग से पैरामीट्रिजेशन (ज्यामिति) वक्रों की गति का प्रतिनिधित्व करने वाले स्पर्शरेखा वैक्टर की लंबाई में परिवर्तन से परिभाषित किया जाता है। मौरिस फ़्रेचेट|फ़्रेचेट, जॉन वॉन न्यूमैन और पास्कल जॉर्डन  के कारण एक बुनियादी ज्यामितीय परिणाम बताता है कि, यदि स्पर्शरेखा सदिशों की लंबाई एक मानक (गणित) और समांतर चतुर्भुज नियम के सिद्धांतों को पूरा करती है, तो एक सदिश की लंबाई होती है द्विघात रूप के मान का वर्गमूल, ध्रुवीकरण सूत्र द्वारा, एक सकारात्मक निश्चित द्विरेखीय मानचित्र के साथ जुड़ा होता है जिसे मीट्रिक टेंसर कहा जाता है।

विरूपण का विवरण
विरूपण एक सतत पिंड के मीट्रिक गुणों में परिवर्तन है, जिसका अर्थ है कि प्रारंभिक पिंड प्लेसमेंट में खींचा गया वक्र अंतिम स्थान पर वक्र पर विस्थापित होने पर इसकी लंबाई बदल देता है। यदि किसी भी वक्र की लंबाई नहीं बदलती है, तो यह कहा जाता है कि कठोर पिंड विस्थापन हुआ है।

संदर्भ विन्यास या सातत्य निकाय की प्रारंभिक ज्यामितीय स्थिति की पहचान करना सुविधाजनक है जिससे सभी बाद के विन्यास संदर्भित होते हैं। संदर्भ विन्यास को ऐसा होना आवश्यक नहीं है जिसे निकाय वास्तव में कभी भी ग्रहण करेगा। अक्सर, कॉन्फ़िगरेशन पर $γ_{xy} = γ_{yx}$ को संदर्भ विन्यास माना जाता है, $t = 0$. वर्तमान समय में कॉन्फ़िगरेशन $xz$ वर्तमान कॉन्फ़िगरेशन है.

विरूपण विश्लेषण के लिए, संदर्भ कॉन्फ़िगरेशन को अविकृत कॉन्फ़िगरेशन के रूप में पहचाना जाता है, और वर्तमान कॉन्फ़िगरेशन को विकृत कॉन्फ़िगरेशन के रूप में पहचाना जाता है। इसके अतिरिक्त, विरूपण का विश्लेषण करते समय समय पर विचार नहीं किया जाता है, इस प्रकार विकृत और विकृत कॉन्फ़िगरेशन के बीच कॉन्फ़िगरेशन का क्रम कोई दिलचस्पी नहीं रखता है।

अवयव $κ_{0}(B)$ स्थिति वेक्टर का X}संदर्भ समन्वय प्रणाली के संबंध में संदर्भ विन्यास में एक कण के } को सामग्री या संदर्भ निर्देशांक कहा जाता है। दूसरी ओर, घटक $X_{i}$ स्थिति वेक्टर का x}संदर्भ की स्थानिक समन्वय प्रणाली के संबंध में विकृत विन्यास में एक कण के } को स्थानिक निर्देशांक कहा जाता है

सातत्य की विकृति का विश्लेषण करने की दो विधियाँ हैं। एक विवरण सामग्री या संदर्भात्मक निर्देशांक के संदर्भ में किया जाता है, जिसे कॉन्टिनम यांत्रिकी कहा जाता है। विरूपण का दूसरा विवरण स्थानिक निर्देशांक के संदर्भ में किया जाता है, इसे सातत्य यांत्रिकी कहा जाता है।

सातत्य शरीर के विरूपण के दौरान इस अर्थ में निरंतरता होती है कि:
 * किसी भी क्षण एक बंद वक्र बनाने वाले भौतिक बिंदु किसी भी बाद के समय में हमेशा एक बंद वक्र बनाएंगे।
 * किसी भी क्षण एक बंद सतह बनाने वाले भौतिक बिंदु किसी भी बाद के समय में हमेशा एक बंद सतह का निर्माण करेंगे और बंद सतह के भीतर का पदार्थ हमेशा अंदर ही रहेगा।

एफ़िन विरूपण
एक विकृति को एफ़िन विरूपण कहा जाता है यदि इसे एफ़िन परिवर्तन द्वारा वर्णित किया जा सकता है। ऐसा परिवर्तन एक रैखिक परिवर्तन (जैसे रोटेशन, कतरनी, विस्तार और संपीड़न) और एक कठोर शरीर अनुवाद से बना है। एफ़िन विकृतियों को सजातीय विकृति भी कहा जाता है। इसलिए, एक एफ़िन विरूपण का रूप होता है $$ \mathbf{x}(\mathbf{X},t) = \boldsymbol{F}(t) \cdot \mathbf{X} + \mathbf{c}(t) $$ कहाँ $x_{i}$ विकृत विन्यास में एक बिंदु की स्थिति है, $x$ एक संदर्भ विन्यास में स्थिति है, $γ$ एक समय-जैसा पैरामीटर है, $t$ रैखिक ट्रांसफार्मर है और $X$ अनुवाद है. मैट्रिक्स रूप में, जहां घटक ऑर्थोनॉर्मल आधार के संबंध में होते हैं, $$ \begin{bmatrix} x_1(X_1, X_2, X_3, t) \\ x_2(X_1, X_2, X_3, t) \\ x_3(X_1, X_2, X_3, t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} F_{11}(t) & F_{12}(t) & F_{13}(t) \\ F_{21}(t) & F_{22}(t) & F_{23}(t) \\ F_{31}(t) & F_{32}(t) & F_{33}(t) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} c_1(t) \\ c_2(t) \\ c_3(t) \end{bmatrix} $$ उपरोक्त विकृति यदि असंबद्ध या अमानवीय हो जाती है $c$ या $F = F(X,t)$.

कठोर शरीर गति
कठोर शरीर गति एक विशेष एफ़िन विरूपण है जिसमें कोई कतरनी, विस्तार या संपीड़न शामिल नहीं है। परिवर्तन मैट्रिक्स $t$ घूर्णन की अनुमति देने के लिए ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है लेकिन कोई प्रतिबिंब (गणित) नहीं है।

एक कठोर शरीर की गति का वर्णन किसके द्वारा किया जा सकता है? $$ \mathbf{x}(\mathbf{X},t) = \boldsymbol{Q}(t)\cdot\mathbf{X} + \mathbf{c}(t) $$ कहाँ $$ \boldsymbol{Q}\cdot\boldsymbol{Q}^T = \boldsymbol{Q}^T \cdot \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{\mathit{1}} $$ मैट्रिक्स रूप में, $$  \begin{bmatrix} x_1(X_1, X_2, X_3, t) \\ x_2(X_1, X_2, X_3, t) \\ x_3(X_1, X_2, X_3, t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Q_{11}(t) & Q_{12}(t) & Q_{13}(t) \\ Q_{21}(t) & Q_{22}(t) & Q_{23}(t) \\ Q_{31}(t) & Q_{32}(t) & Q_{33}(t) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} c_1(t) \\ c_2(t) \\ c_3(t) \end{bmatrix} $$

विस्थापन
सातत्य पिंड के विन्यास में परिवर्तन के परिणामस्वरूप विस्थापन क्षेत्र (यांत्रिकी) उत्पन्न होता है। किसी पिंड के विस्थापन के दो घटक होते हैं: एक कठोर-पिंड विस्थापन और एक विरूपण। कठोर-पिंड विस्थापन में शरीर का आकार या आकार बदले बिना उसका एक साथ अनुवाद और घूर्णन शामिल होता है। विरूपण का तात्पर्य प्रारंभिक या अविकृत विन्यास से शरीर के आकार और/या आकार में परिवर्तन से है $c = c(X,t)$ किसी वर्तमान या विकृत कॉन्फ़िगरेशन के लिए $κ_{0}(B)$ (आकृति 1)।

यदि सातत्य के विस्थापन के बाद कणों के बीच सापेक्ष विस्थापन होता है, तो विरूपण हुआ है। दूसरी ओर, यदि सातत्य के विस्थापन के बाद वर्तमान विन्यास में कणों के बीच सापेक्ष विस्थापन शून्य है, तो कोई विरूपण नहीं होता है और एक कठोर-पिंड विस्थापन हुआ कहा जाता है।

अविकृत विन्यास और विकृत विन्यास में कण P की स्थिति को जोड़ने वाले सदिश को विस्थापन (वेक्टर) कहा जाता है $κ_{t}(B)$ लैग्रेंजियन विवरण में, या $u(X,t) = u_{i}e_{i}$ यूलेरियन विवरण में।

विस्थापन क्षेत्र शरीर के सभी कणों के लिए सभी विस्थापन वैक्टर का एक वेक्टर क्षेत्र है, जो विकृत विन्यास को अविकृत विन्यास से जोड़ता है। किसी सातत्य पिंड की विकृति या गति का विश्लेषण विस्थापन क्षेत्र के संदर्भ में करना सुविधाजनक है। सामान्य तौर पर, विस्थापन क्षेत्र को सामग्री निर्देशांक के रूप में व्यक्त किया जाता है $$ \mathbf u(\mathbf X, t) = \mathbf b(\mathbf X,t) + \mathbf x(\mathbf X,t) - \mathbf X \qquad \text{or}\qquad u_i = \alpha_{iJ}b_J + x_i - \alpha_{iJ} X_J$$ या स्थानिक निर्देशांक के संदर्भ में $$ \mathbf U(\mathbf x, t) = \mathbf b(\mathbf x, t) + \mathbf x - \mathbf X(\mathbf x, t) \qquad \text{or}\qquad U_J = b_J + \alpha_{Ji} x_i - X_J $$ कहाँ $U(x,t) = U_{J}E_{J}$ यूनिट वैक्टर के साथ सामग्री और स्थानिक समन्वय प्रणालियों के बीच दिशा कोसाइन हैं $α_{Ji}$ और $E_{J}$, क्रमश। इस प्रकार $$\mathbf E_J \cdot \mathbf e_i = \alpha_{Ji} = \alpha_{iJ}$$ और के बीच संबंध $e_{i}$ और $u_{i}$ तब द्वारा दिया जाता है $$u_i = \alpha_{iJ} U_J \qquad \text{or} \qquad U_J = \alpha_{Ji} u_i$$ जानते हुए भी $$\mathbf e_i = \alpha_{iJ} \mathbf E_J$$ तब $$\mathbf u(\mathbf X, t) = u_i \mathbf e_i = u_i (\alpha_{iJ}\mathbf E_J) = U_J \mathbf E_J = \mathbf U(\mathbf x, t)$$ विकृत और विकृत विन्यासों के लिए समन्वय प्रणालियों को सुपरइम्पोज़ करना आम बात है, जिसके परिणामस्वरूप $U_{J}$, और दिशा कोसाइन क्रोनकर डेल्टा बन जाते हैं: $$\mathbf E_J \cdot \mathbf e_i = \delta_{Ji} = \delta_{iJ}$$ इस प्रकार, हमारे पास है $$\mathbf u(\mathbf X, t) = \mathbf x(\mathbf X, t) - \mathbf X \qquad \text{or} \qquad u_i = x_i - \delta_{iJ} X_J = x_i - X_i $$ या स्थानिक निर्देशांक के संदर्भ में $$ \mathbf U(\mathbf x, t) = \mathbf x - \mathbf X(\mathbf x, t) \qquad \text{or} \qquad U_J = \delta_{Ji} x_i - X_J = x_J - X_J$$

विस्थापन ग्रेडिएंट टेंसर
सामग्री निर्देशांक के संबंध में विस्थापन वेक्टर का आंशिक विभेदन सामग्री विस्थापन ग्रेडिएंट टेंसर उत्पन्न करता है $b = 0$. इस प्रकार हमारे पास है: $$\begin{align} \mathbf{u}(\mathbf{X},t) & = \mathbf{x}(\mathbf{X},t) - \mathbf{X} \\ \nabla_\mathbf{X}\mathbf{u} & = \nabla_\mathbf{X} \mathbf{x} - \mathbf{I} \\ \nabla_\mathbf{X}\mathbf{u} & = \mathbf{F} - \mathbf{I} \end{align}$$ या $$\begin{align} u_i & = x_i - \delta_{iJ} X_J = x_i - X_i\\ \frac{\partial u_i}{\partial X_K} & = \frac{\partial x_i}{\partial X_K} - \delta_{iK} \end{align}$$ कहाँ $∇_{X}u$ विरूपण प्रवणता टेंसर है।

इसी प्रकार, स्थानिक निर्देशांक के संबंध में विस्थापन वेक्टर का आंशिक विभेदन स्थानिक विस्थापन ग्रेडिएंट टेंसर उत्पन्न करता है $F$. इस प्रकार हमारे पास है, $$ \begin{align} \mathbf U(\mathbf x,t) &= \mathbf x - \mathbf X(\mathbf x,t) \\ \nabla_{\mathbf x} \mathbf U &= \mathbf I - \nabla_{\mathbf x} \mathbf X \\ \nabla_{\mathbf x} \mathbf U &= \mathbf I -\mathbf F^{-1} \end{align}$$ या $$\begin{align} U_J& = \delta_{Ji}x_i-X_J =x_J - X_J\\ \frac{\partial U_J}{\partial x_k} &= \delta_{Jk} - \frac{\partial X_J}{\partial x_k} \end{align}$$

विकृतियों के उदाहरण
सजातीय (या एफ़िन) विकृतियाँ सामग्रियों के व्यवहार को स्पष्ट करने में उपयोगी होती हैं। रुचि की कुछ सजातीय विकृतियाँ हैं समतल विकृतियाँ भी रुचिकर हैं, विशेषकर प्रायोगिक संदर्भ में।
 * एकसमान विस्तार
 * शुद्ध फैलाव
 * समबाहु तनाव
 * साधारण कतरनी
 * शुद्ध कतरनी

विमान विरूपण
समतल विरूपण, जिसे समतल विकृति भी कहा जाता है, वह है जहां विरूपण संदर्भ विन्यास में किसी एक तल तक सीमित होता है। यदि विरूपण आधार वैक्टर द्वारा वर्णित विमान तक सीमित है $∇_{x}U$, $e_{1}$, विरूपण प्रवणता का स्वरूप होता है $$ \boldsymbol{F} = F_{11} \mathbf{e}_1 \otimes \mathbf{e}_1 + F_{12} \mathbf{e}_1 \otimes \mathbf{e}_2 + F_{21} \mathbf{e}_2 \otimes \mathbf{e}_1 + F_{22} \mathbf{e}_2 \otimes \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3 \otimes \mathbf{e}_3 $$ मैट्रिक्स रूप में, $$ \boldsymbol{F} = \begin{bmatrix} F_{11} & F_{12} & 0 \\ F_{21} & F_{22} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$ ध्रुवीय अपघटन प्रमेय से, विरूपण प्रवणता, निर्देशांक के परिवर्तन तक, एक खिंचाव और एक घूर्णन में विघटित हो सकती है। चूँकि सारी विकृति एक समतल में है, इसलिए हम लिख सकते हैं $$  \boldsymbol{F} = \boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{U} = \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$ कहाँ $F$ घूर्णन का कोण है और $e_{2}$, $λ_{1}$परिमित तनाव सिद्धांत हैं।

आइसोकोरिक समतल विरूपण
यदि विरूपण आइसोकोरिक (आयतन संरक्षण) है तो $λ_{2}$ और हमारे पास है $$ F_{11} F_{22} - F_{12} F_{21} = 1 $$ वैकल्पिक रूप से, $$ \lambda_1 \lambda_2 = 1 $$

सरल कतरनी
एक साधारण कतरनी विरूपण को एक समद्विबाहु समतल विरूपण के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें एक दिए गए संदर्भ अभिविन्यास के साथ लाइन तत्वों का एक सेट होता है जो विरूपण के दौरान लंबाई और अभिविन्यास को नहीं बदलता है।

अगर $det(F) = 1$ निश्चित संदर्भ अभिविन्यास है जिसमें विरूपण के दौरान रेखा तत्व विकृत नहीं होते हैं $e_{1}$ और $λ_{1} = 1$. इसलिए, $$ F_{11}\mathbf{e}_1 + F_{21}\mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_1 \quad \implies \quad F_{11} = 1 ~; F_{21} = 0 $$ चूँकि विकृति समद्विबाहु है, $$ F_{11} F_{22} - F_{12} F_{21} = 1 \quad \implies \quad F_{22} = 1 $$ परिभाषित करना $$\gamma := F_{12}$$ फिर, साधारण कतरनी में विरूपण प्रवणता को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है $$\boldsymbol{F} = \begin{bmatrix} 1 & \gamma & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ अब, $$  \boldsymbol{F}\cdot\mathbf{e}_2 = F_{12}\mathbf{e}_1 + F_{22}\mathbf{e}_2 = \gamma\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 \quad \implies \quad \boldsymbol{F} \cdot (\mathbf{e}_2 \otimes \mathbf{e}_2) = \gamma \mathbf{e}_1\otimes \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_2 \otimes\mathbf{e}_2 $$ तब से $$\mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_i = \boldsymbol{\mathit{1}}$$ हम विरूपण प्रवणता को इस प्रकार भी लिख सकते हैं $$ \boldsymbol{F} = \boldsymbol{\mathit{1}} + \gamma\mathbf{e}_1 \otimes \mathbf{e}_2 $$

यह भी देखें

 * झुकने वाले बलों के कारण बीम (संरचना) या दीवार स्टड जैसे लंबे तत्वों की विकृति को विक्षेपण (इंजीनियरिंग) के रूप में जाना जाता है।
 * यूलर-बर्नौली किरण सिद्धांत
 * विरूपण (इंजीनियरिंग)
 * परिमित तनाव सिद्धांत
 * अनंतिम तनाव सिद्धांत
 * मोइरे पैटर्न
 * अपरूपण - मापांक
 * अपरूपण तनाव
 * कतरनी ताकत
 * तनाव (यांत्रिकी)
 * तनाव के उपाय