बेयस प्रमेय

संभाव्यता सिद्धांत और आंकड़ों में, बेयस प्रमेय (वैकल्पिक रूप से बेयस नियम या बेयस नियम) हैं, जिसका नाम थॉमस बेयस के नाम पर रखा गया है, इस घटना की संभावना (संभावना सिद्धांत) का वर्णन करता है, जो उन स्थितियों के पूर्व ज्ञान पर आधारित होता है जो घटना से संबंधित हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, यदि स्वास्थ्य समस्याओं के विकसित होने पर कठिन परिस्थिति आयु के साथ बढ़ती हुई जानी जाती है, तब बेयस प्रमेय किसी ज्ञात आयु के व्यक्ति के कठिन परिस्थिति को उनकी आयु के सापेक्ष कंडीशनिंग करके अधिक स्पष्ट रूप से मानांकन करने की अनुमति देता है, इसके अतिरिक्त केवल यह मानने के लिए कि व्यक्ति समग्र रूप से जनसंख्या का विशिष्ट होता है।

बेयस प्रमेय के अनेक अनुप्रयोगों में से बायेसियन अनुमान है, जो सांख्यिकीय अनुमान के लिए विशेष दृष्टिकोण है। इसमें प्रयुक्त होने पर, प्रमेय में सम्मिलित संभावनाओं की भिन्न-भिन्न संभावना व्याख्याएं हो सकती हैं। बायेसियन संभाव्यता व्याख्या के साथ, प्रमेय व्यक्त करता है कि संभाव्यता के रूप में व्यक्त विश्वास की डिग्री, संबंधित साक्ष्य की उपलब्धता के लिए तर्कसंगत रूप से कैसे परिवर्तित होनी चाहिए। बायेसियन अनुमान बायेसियन सांख्यिकी के लिए मौलिक है, जिसे प्राधिकारी द्वारा इस प्रकार माना जाता है | संभाव्यता के सिद्धांत के लिए पाइथागोरस का प्रमेय ज्यामिति के लिए क्या है।

इतिहास
बेयस प्रमेय का नाम रेवरेंड थॉमस बेयस के नाम पर रखा गया है, सांख्यिकीविद् और दार्शनिक भी हैं। बेयस ने एल्गोरिदम (उनका प्रस्ताव 9) प्रदान करने के लिए नियमबद्ध संभाव्यता का उपयोग किया जो अज्ञात मापदंड पर सीमा की गणना करने के लिए साक्ष्य का उपयोग करता है। उनका कार्य 1763 में संभावनाओं के सिद्धांत में समस्या को समाधान करने की दिशा में निबंध के रूप में प्रकाशित हुआ था। बेयस ने अध्ययन किया कि द्विपद वितरण (आधुनिक शब्दावली में) के संभाव्यता मापदंड के लिए वितरण की गणना कैसे की जाती है। बेयस की मृत्यु पर उनके वर्ग ने उनके डॉक्यूमेंट मित्र, मंत्री, दार्शनिक और गणितज्ञ रिवेरिएबल्ड प्राइस को हस्तांतरित कर दिए थे।

दो वर्षों में, रिवेरिएबल्ड प्राइस ने अप्रकाशित पांडुलिपि को महत्वपूर्ण रूप से संपादित किया, इसे मित्र को भेजने से पहले जिसने इसे 23 दिसंबर 1763 को रॉयल सोसाइटी में जोर से पढ़ा था। यह मान संपादित बेयस का प्रमुख कार्य संभावनाओं के सिद्धांत में समस्या का समाधान करने की दिशा में निबंध (1763) हैं, जो दार्शनिक लेन-देन में छपा, और इसमें बेयस प्रमेय सम्मिलित है। प्राइस ने पेपर के लिए परिचय लिखा जो बायेसियन सांख्यिकी के कुछ दार्शनिक आधार प्रदान करता है और बेयस द्वारा प्रस्तुत दो समाधानों में से इसको चुना था। 1765 में, बेयस की विरासत पर उनके कार्य की मान्यता के लिए प्राइस को रॉयल सोसाइटी का फेलो चुना गया था। 27 अप्रैल को अपने मित्र बेंजामिन फ्रैंकलिन को भेजा गया पत्र रॉयल सोसाइटी में पढ़ा गया, और इसके पश्चात यह प्रकाशित किया गया था, जहां प्राइस इस कार्य को जनसंख्या और 'जीवन-वार्षिकियां' की गणना पर प्रयुक्त करता है।

बेयस से स्वतंत्र रूप से, पियरे-साइमन लाप्लास ने 1774 में, और पश्चात में अपने 1812 थियोरी एनालिटिक डेस प्रोबेबिलिटेस में, पूर्व संभाव्यता से अद्यतन पश्च संभाव्यता के संबंध को तैयार करने के लिए नियमबद्ध संभाव्यता का उपयोग किया और साक्ष्य दिया था। उन्होंने 1774 में बेयस के परिणामों को पुन: प्रस्तुत और विस्तारित किया, सामान्यतः वह बेयस के कार्य से अनभिज्ञ थे। संभाव्यता की बायेसियन संभावना मुख्य रूप से लाप्लास द्वारा विकसित की गई थी।

लगभग 200 वर्ष पश्चात, हेरोल्ड जेफ़्रीज़ ने बेयस के एल्गोरिदम और लाप्लास के सूत्रीकरण को स्वयंसिद्ध प्रणाली के आधार पर रखा था, और 1973 की किताब में लिखा कि बेयस का प्रमेय संभाव्यता के सिद्धांत के लिए वही है जो पाइथागोरस प्रमेय ज्यामिति के लिए है।

स्टीफन स्टिगलर ने यह निष्कर्ष निकालने के लिए बायेसियन तर्क का उपयोग किया कि बेयस प्रमेय की खोज बेयस से कुछ समय पहले अंधे अंग्रेजी गणितज्ञ निकोलस सॉन्डर्सन ने की थी | चूँकि, वह व्याख्या विवादित रही है। मार्टिन हूपर और शेरोन मैकग्रेन ने तर्क दिया है कि रिवेरिएबल्ड प्राइस का योगदान पर्याप्त था |

"आधुनिक मानकों के अनुसार, हमें बेयस-प्राइस नियम का उल्लेख करना चाहिए। प्राइस ने बेयस के कार्य की खोज की, और इसके महत्व को पहचाना, इसे ठीक किया हैं, और लेख में योगदान दिया और इसके लिए उपयोग किया हैं। अकेले बेयस का नाम उपयोग करने की आधुनिक परंपरा अनुचित है, किन्तु यह इतनी गहरी है कि इसमें किसी और चीज का कोई अर्थ ही नहीं बनता हैं"

प्रमेय का कथन
बेयस प्रमेय को गणितीय रूप से निम्नलिखित समीकरण के रूप में बताया गया है |

जहाँ $$A$$ और $$B$$ घटना (संभावना सिद्धांत) और $$P(B) \neq 0$$ हैं |


 * $$P(A\vert B)                                                                                                                                                                                                     $$ नियमबद्ध संभाव्यता है | यह घटना $$A$$ के घटित होने की संभावना हैं, परंतु कि इसमें $$B$$ सत्य हो सकता हैं। इसे $$A$$ दिया गया हैं और $$B$$ को पश्च संभाव्यता भी कहा जाता है।
 * $$P(B\vert A)                                                                                                                                                        $$ भी नियमबद्ध संभाव्यता है | यह घटना $$B$$ के घटित होने की संभावना हैं, परंतु कि $$A                                                                                                                                              $$ सत्य हो सकता हैं। इसकी व्याख्या इस रूप में भी की जा सकती है कि $$A                                                                                                                                              $$ को निश्चित $$B$$ दिए जाने की संभावना है क्योंकि $$P(B\vert A)=L(A\vert B)$$ हैं।
 * $$P(A)$$ और $$P(B)$$ बिना किसी नियम के क्रमशः $$A$$ और $$B$$ को देखने की संभावनाएं हैं | उन्हें पूर्व संभाव्यता और सीमांत संभाव्यता के रूप में जाना जाता है।

घटनाओं के लिए
बेयस प्रमेय नियमबद्ध संभाव्यता की परिभाषा से प्राप्त किया जा सकता है |


 * $$P(A\vert B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \text{ if } P(B) \neq 0,                                                                                                                            $$

जहाँ $$P(A \cap B)$$ A और B दोनों के सत्य होने की प्रायिकता है।, इसी प्रकार


 * $$P(B\vert A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}, \text{ if } P(A) \neq 0.                                                                                                                      $$

$$P(A \cap B)$$ को हल करने और उपरोक्त अभिव्यक्ति में $$P(A\vert B)$$ इसे प्रतिस्थापित करने पर बेयस प्रमेय प्राप्त होता है:


 * $$P(A\vert B) = \frac{P(B\vert A) P(A)}{P(B)}, \text{ if } P(B) \neq 0.                                                                                                            $$

निरंतर यादृच्छिक वेरिएबल के लिए
दो निरंतर यादृच्छिक वेरिएबल X और Y के लिए, बेयस प्रमेय को नियमबद्ध घनत्व की परिभाषा से समान रूप से प्राप्त किया जा सकता है |


 * $$f_{X \vert Y=y} (x) = \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)} $$
 * $$f_{Y \vert X=x}(y) = \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_X(x)} $$

इसलिए,


 * $$f_{X \vert Y=y}(x) = \frac{f_{Y \vert X=x}(y) f_X(x)}{f_Y(y)}.$$

सामान्य स्तिथि
मान लीजिए कि $$P_Y^x $$ $$X = x$$ दिए गयह $$Y$$ का नियमबद्ध वितरण है और मान लीजिए कि $$P_X$$, $$X$$ का वितरण है। तब संयुक्त वितरण $$P_{X,Y} (dx,dy) = P_Y^x (dy) P_X (dx)$$ है। $$Y=y$$ दिए गए $$X$$ का नियमबद्ध वितरण $$P_X^y $$ तब निर्धारित किया जाता है

$$P_X^y (A) = E (1_A (X) | Y = y)$$ आवश्यक नियमबद्ध अपेक्षा का अस्तित्व और विशिष्टता रेडॉन-निकोडिम प्रमेय का परिणाम है। इसे एंड्री कोलमोगोरोव ने 1933 की अपनी प्रसिद्ध पुस्तक में तैयार किया था। कोलमोगोरोव ने प्रस्तावना में और विशेष रूप से नियमबद्ध संभावनाओं और नियमबद्ध अपेक्षाओं के सिद्धांत पर ध्यान आकर्षित करना चाहता हूं लिखकर नियमबद्ध संभाव्यता के महत्व को रेखांकित किया है। बेयस प्रमेय पूर्व वितरण से पश्च वितरण निर्धारित करता है। बेयस प्रमेय को वास्तविक रेखा पर समान वितरण जैसे अनुचित पूर्व वितरणों को सम्मिलित करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। आधुनिक मार्कोव श्रृंखला मोंटे कार्लो विधियों ने बेयस प्रमेय के महत्व को बढ़ा दिया है, जिसमें अनुचित पूर्वगामी वाले स्तिथियाँ भी सम्मिलित हैं।

मनोरंजक गणित
बेयस का नियम और नियमबद्ध संभाव्यता कंप्यूटिंग अनेक लोकप्रिय पहेलियों के लिए समाधान विधि प्रदान करती है, जैसे तीन कैदियों की समस्या, मोंटी हॉल समस्या,दो बच्चों की समस्या और दो एनवलप समस्या हैं।

औषधि परीक्षण
मान लीजिए, कोई व्यक्ति भांग का उपयोग कर रहा है या नहीं, इसके लिए विशेष परीक्षण 90% संवेदनशीलता (परीक्षण) है, जिसका अर्थ है वास्तविक धनात्मक दर (टीपीआर) = 0.90 हैं। इसलिए, यह कैनबिस उपयोगकर्ताओं के लिए 90% सही धनात्मक परिणाम (नशीली दवाओं के उपयोग की सही पहचान) की ओर ले जाता है।

परीक्षण भी 80% विशिष्टता (परीक्षण) है, जिसका अर्थ है वास्तविक ऋणात्मक दर (टीएनआर) = 0.80 हैं। इसलिए, परीक्षण गैर-उपयोगकर्ताओं के लिए 80% गैर-उपयोग की सही पहचान करता है, किन्तु गैर-उपयोगकर्ताओं के लिए 20% गलत धनात्मक, या गलत धनात्मक दर (एफपीआर) = 0.20 भी उत्पन्न करता है।

यह मानते हुए कि 0.05 प्रचलन है, अर्थात 5% लोग भांग का उपयोग करते हैं, क्या संभावना है कि यादृच्छिक व्यक्ति जो धनात्मक परीक्षण करता है वह वास्तव में भांग का उपयोगकर्ता है?

किसी परीक्षण का धनात्मक पूर्वानुमानित मान (पीपीवी) उन सभी धनात्मक परीक्षणों में से वास्तव में धनात्मक व्यक्तियों का अनुपात है, और प्रतिरूप से इसकी गणना इस प्रकार की जा सकती है:
 * पीपीवी = सच्चा धनात्मक / परीक्षण धनात्मक

यदि संवेदनशीलता, विशिष्टता और व्यापकता ज्ञात है, तब पीपीवी की गणना बेयस प्रमेय का उपयोग करके की जा सकती है। मान लीजियह $$P(\text{User}\vert \text{Positive})                                                                                                                                                                 $$ इसका अर्थ है कि यह संभावना है कोई व्यक्ति भांग का उपयोगकर्ता है, परंतु कि उनका परीक्षण धनात्मक हो, जो कि पीपीवी का अर्थ है। हम लिख सकते हैं



\begin{align} P(\text{User}\vert \text{Positive}) &= \frac{P(\text{Positive}\vert \text{User}) P(\text{User})}{P(\text{Positive})} \\ &= \frac{P(\text{Positive}\vert\text{User}) P(\text{User})}{P(\text{Positive}\vert\text{User}) P(\text{User}) + P(\text{Positive}\vert\text{Non-user}) P(\text{Non-user})} \\[8pt] &= \frac{0.90 \times 0.05}{0.90 \times 0.05 + 0.20 \times 0.95} = \frac{0.045}{0.045 + 0.19} \approx 19\% \end{align}                                                                                                                                                                                                     $$ यह तथ्य कि $$ P(\text{Positive}) = P(\text{Positive}\vert\text{User}) P(\text{User}) + P(\text{Positive}\vert\text{Non-user}) P(\text{Non-user}) $$ कुल संभाव्यता के नियम का प्रत्यक्ष अनुप्रयोग है। इस स्तिथियाँ में, यह कहता है कि किसी व्यक्ति का परीक्षण धनात्मक होने की संभावना, उपयोगकर्ता के धनात्मक परीक्षण की संभावना का गुणा है, यह उपयोगकर्ता होने की संभावना का गुना है, साथ ही किसी गैर-उपयोगकर्ता का परीक्षण धनात्मक होने की संभावना का गुणा है, गैर-उपयोगकर्ता होने की संभावना का गुना है यह सत्य है क्योंकि वर्गीकरण उपयोगकर्ता और गैर-उपयोगकर्ता समुच्चय का विभाजन बनाते हैं, अर्थात् इसमें दवा परीक्षण करने वाले व्यक्तियों का समूह होता हैं। यह नियमबद्ध संभाव्यता की परिभाषा के साथ मिलकर उपरोक्त कथन में परिणामित होता है।

दूसरे शब्दों में, तदापि किसी का परीक्षण धनात्मक होता हैं, संभावना है कि वह कैनबिस उपयोगकर्ता है - ऐसा इसलिए है क्योंकि इस समूह में, केवल 5% लोग उपयोगकर्ता हैं, और अधिकांश धनात्मक शेष 95% से आने वाली गलत धनात्मक हैं |

यदि 1,000 व्यक्तियों का परीक्षण किया गया:
 * 950 गैर-उपयोगकर्ता हैं और उनमें से 190 गलत धनात्मक परिणाम (0.20 × 950) देते हैं
 * उनमें से 50 उपयोगकर्ता हैं और उनमें से 45 वास्तविक धनात्मक परिणाम (0.90 × 50) देते हैं

इस प्रकार 1,000 व्यक्तियों पर 235 धनात्मक परीक्षण आए हैं, जिनमें से केवल 45 वास्तविक दवा उपयोगकर्ता हैं, यह लगभग 19% हैं। इसको आवृत्ति बॉक्स का उपयोग करके चित्रण के लिए चित्र 1 देखें, और ध्यान दें कि वास्तविक धनात्मक का गुलाबी क्षेत्र गलत धनात्मक वाले नीले क्षेत्र की तुलना में कितना लघु है।

संवेदनशीलता या विशिष्टता
विशिष्टता (परीक्षण) के महत्व को यह दिखाकर देखा जा सकता है कि तदापि संवेदनशीलता 100% तक बढ़ जाती है और विशिष्टता 80% पर बनी रहती है, धनात्मक परीक्षण करने वाले किसी व्यक्ति के वास्तव में कैनबिस उपयोगकर्ता होने की संभावना केवल 19% से 21% तक बढ़ जाती है, किन्तु यदि संवेदनशीलता 90% पर बनी रहती है और विशिष्टता 95% तक बढ़ जाती है, संभावना 49% तक बढ़ जाती है।

कैंसर दर
तदापि अग्नाशय कैंसर के 100% रोगियों में निश्चित लक्षण होता है, जब किसी में वही लक्षण होता है, तब इसका अर्थ यह नहीं है कि उस व्यक्ति को अग्नाशय कैंसर होने की 100% संभावना है। यह मानते हुए कि अग्नाशय कैंसर की घटना दर 1/100000 है, जबकि सम्पूर्ण विश्व में 10/99999 स्वस्थ व्यक्तियों में समान लक्षण होते हैं, लक्षणों को देखते हुए अग्नाशय कैंसर होने की संभावना केवल 9.1% है, और अन्य 90.9% गलत धनात्मक हो सकते हैं (अर्थात्), कैंसर होने की गलत बात कही गई; धनात्मक भ्रमित करने वाला शब्द है, जब, जैसा कि यहां है, कि यह परीक्षण बुरी खबर देता है)।

घटना दर के आधार पर, निम्न टेबल प्रति 100,000 व्यक्तियों पर संबंधित संख्या प्रस्तुत करती है। जिसका उपयोग आपके लक्षण होने पर कैंसर होने की संभावना की गणना करने के लिए किया जा सकता है

\begin{align} P(\text{Cancer}|\text{Symptoms}) &= \frac{P(\text{Symptoms}|\text{Cancer}) P(\text{Cancer})}{P(\text{Symptoms})} \\ &= \frac{P(\text{Symptoms}|\text{Cancer}) P(\text{Cancer})}{P(\text{Symptoms}|\text{Cancer}) P(\text{Cancer}) + P(\text{Symptoms}|\text{Non-Cancer}) P(\text{Non-Cancer})} \\[8pt] &= \frac{1 \times 0.00001}{1 \times 0.00001 + (10/99999) \times 0.99999} = \frac1{11} \approx 9.1\% \end{align}$$

दोषपूर्ण वस्तु दर
फैक्ट्री तीन मशीनों-A, B और C का उपयोग करके वस्तुओं का उत्पादन करती है, जो उसके उत्पादन का क्रमशः 20%, 30% और 50% है। मशीन A द्वारा उत्पादित वस्तुओं में से 5% व्यर्थ हैं; इसी प्रकार, मशीन B की 3% वस्तुएँ और मशीन C की 1% वस्तुएँ व्यर्थ हैं। यदि यादृच्छिक रूप से चुनी गई वस्तु दोषपूर्ण है, तब इसकी क्या संभावना है कि इसे मशीन C द्वारा उत्पादित किया गया था?

एक बार फिर, स्थितियों को काल्पनिक संख्या में स्तिथियों पर प्रयुक्त करके सूत्र का उपयोग किए बिना उत्तर तक पहुंचा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि फैक्ट्री 1,000 वस्तुओं का उत्पादन करती है, तब मशीन A द्वारा 200, मशीन B द्वारा 300, और मशीन C द्वारा 500 वस्तुओं का उत्पादन किया जाएगा। मशीन A 5% × 200 = 10 दोषपूर्ण वस्तुओं का उत्पादन करेगी, मशीन B 3% × 300 = 9, और मशीन C 1% × 500 = 5, कुल 24 के लिए होती हैं। इस प्रकार, मशीन C द्वारा यादृच्छिक रूप से चयनित दोषपूर्ण वस्तु का उत्पादन करने की संभावना 5/24 (~20.83%) है।

इस समस्या को बेयस प्रमेय का उपयोग करके भी समाधान किया जा सकता है | लेट Xi इस घटना को निरूपित करें कि यादृच्छिक रूप से चुनी गई वस्तु iवें द्वारा बनाई गई थी मशीन (i = A,B,C के लिए) होती हैं। मान लीजिए कि Y इस घटना को दर्शाता है कि यादृच्छिक रूप से चुनी गई वस्तु दोषपूर्ण है। फिर, हमें निम्नलिखित जानकारी दी गई है
 * $$P(X_A) = 0.2, \quad P(X_B) = 0.3, \quad P(X_C) = 0.5.                                                                                                                                $$

यदि वस्तु पहली मशीन द्वारा बनाई गई थी, तब उसके व्यर्थ होने की प्रायिकता 0.05 है; अर्थात्, P(Y | XA) = 0.05. कुल मिलाकर, हमारे समीप है


 * $$P(Y| X_A) = 0.05, \quad P(Y |X_B) = 0.03, \quad  P(Y| X_C) = 0.01.                                                                              $$

मूल प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हम पहले P(Y) ढूंढते हैं। इसे निम्नलिखित विधि से किया जा सकता है:


 * $$P(Y) = \sum_i P(Y| X_i) P(X_i) = (0.05)(0.2) + (0.03)(0.3) + (0.01)(0.5) = 0.024.$$

अतः, कुल उत्पादन का 2.4% दोषपूर्ण है।

हमें दिया गया है कि Y घटित हुआ है, और हम XC नियमबद्ध संभावना की गणना करना चाहते हैं. बेयस प्रमेय द्वारा,


 * $$P(X_C|Y) = \frac{P(Y | X_C) P(X_C)}{P(Y)} = \frac{0.01 \cdot 0.50}{0.024} = \frac{5}{24}                                                                            $$

यह देखते हुए कि वस्तु दोषपूर्ण है, संभावना है कि इसे मशीन C द्वारा बनाया गया था यह 5/24 है। चूँकि मशीन C कुल आउटपुट का आधा उत्पादन करती है, यह दोषपूर्ण वस्तुओं का बहुत लघु भाग उत्पन्न करती है। इसलिए यह ज्ञान कि चयनित वस्तु दोषपूर्ण थी, जो हमें पूर्व संभाव्यता P(XC) = 1/2 को छोटी पूर्व संभावना P(XC | Y) = 5/24 से परिवर्तित करने में सक्षम बनाता है।

व्याख्याएँ
बेयस नियम की व्याख्या नियमों से जुड़ी संभाव्यता व्याख्याओं पर निर्भर करती है। दो प्रमुख व्याख्याएँ नीचे वर्णित हैं। चित्र 2 ज्यामितीय दृश्य दिखाता है।

बायेसियन व्याख्या
बायेसियन संभाव्यता बायेसियन (या ज्ञानमीमांसा) व्याख्या में, संभाव्यता विश्वास की डिग्री को मापती है। बेयस का प्रमेय साक्ष्य के लेखांकन से पहले और इसके पश्चात यह किसी प्रस्ताव में विश्वास की डिग्री को जोड़ता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि यह 50% निश्चितता के साथ माना जाता है कि सिक्के पर पट आने की संभावना दोगुनी है। यदि सिक्के को अनेक बार उछाला जाता है और परिणाम देखे जाते हैं, तब विश्वास की डिग्री संभवतः बढ़ेगी या घटेगी, किन्तु परिणामों के आधार पर समान भी रह सकती है। प्रस्ताव A और साक्ष्य B के लिए हैं,
 * P (A), पूर्व, A में विश्वास की प्रारंभिक डिग्री है।
 * P (A | B), पश्च, समाचार को सम्मिलित करने के पश्चात विश्वास की डिग्री है कि B सत्य है।
 * भागफल $P(B&thinsp;|&thinsp;A)⁄P(B)$ A के लिए B द्वारा प्रदान की जाने वाली सहायता का प्रतिनिधित्व करता है।

संभाव्यता की बायेसियन व्याख्या के अनुसार बेयस प्रमेय के अनुप्रयोग पर अधिक जानकारी के लिए, बायेसियन अनुमान देखें हैं।

आवर्तक व्याख्या
संभाव्यता की आवर्तक व्याख्या में, संभाव्यता परिणामों के अनुपात को मापती है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि प्रयोग अनेक बार किया जाता है। तथा P(A) प्रॉपर्टी A (पूर्व) के परिणामों का अनुपात है और P(B) प्रॉपर्टी B के साथ अनुपात है। P(B | A) प्रॉपर्टी A के परिणामों में से प्रॉपर्टी B के परिणामों का अनुपात है, और P(A | B) B (पूर्व) वाले व्यक्तियों में से A वाले व्यक्तियों का अनुपात है।

बेयस प्रमेय की भूमिका को चित्र 3 जैसे ट्री आरेखों के साथ सबसे अच्छी तरह से देखा जा सकता है। विपरीत संभावनाओं को प्राप्त करने के लिए दो आरेख समान परिणामों को विपरीत क्रम में A और B द्वारा विभाजित करते हैं। बेयस का प्रमेय विभिन्न विभाजनों को जोड़ता है।

उदाहरण
कीट विज्ञान ने पता लगाया है कि इसकी पीठ पर बने पैटर्न के कारण यह बीटल की विरल उप-प्रजाति हो सकती है। विरल उप-प्रजाति के पूरे 98% सदस्यों के समीप पैटर्न है, इसलिए P(Pattern | Rare) = 98% होता है। सामान्य उप-प्रजाति के केवल 5% सदस्यों के समीप ही यह पैटर्न है। विरल उप-प्रजाति कुल जनसंख्या का 0.1% है। बीटल के पैटर्न के विरल होने की कितनी संभावना है और P(विरल पैटर्न) क्या है?

बेयस प्रमेय के विस्तारित रूप से (चूंकि कोई भी बीटल या तब विरल या सामान्य है),



\begin{align} P(\text{Rare} \vert \text{Pattern}) &= \frac{P(\text{Pattern} \vert \text{Rare})P(\text{Rare})} {P(\text{Pattern})}\\ [8pt] &= \frac{P(\text{Pattern}\vert \text{Rare})P(\text{Rare})} {P(\text{Pattern} \vert \text{Rare}) P(\text{Rare}) + P(\text{Pattern}\vert \text{Common})P(\text{Common})}\\ [8pt] &= \frac{0.98 \times 0.001} {0.98 \times 0.001 + 0.05 \times 0.999}\\ [8pt] &\approx 1.9\% \end{align} $$

सरल रूप
घटनाओं A और B के लिए, परंतु कि P(B) ≠ 0,


 * $$P(A| B) = \frac{P(B | A) P(A)}{P(B)} . $$

अनेक अनुप्रयोगों में, उदाहरण के लिए बायेसियन अनुमान में, घटना B विचार में प्रयुक्त की गई है, और हम विभिन्न संभावित घटनाओं A में हमारे विश्वास पर इसके प्रभाव पर विचार करना चाहते हैं। ऐसी स्थिति में अंतिम अभिव्यक्ति का विभाजक, दिए गए साक्ष्य B की संभावना निश्चित है | हम जो परिवर्तित करना चाहते हैं वह A है। बेयस प्रमेय से पता चलता है कि पूर्व संभावनाएं अंश के लिए आनुपातिकता (गणित) हैं, इसलिए यह अंतिम समीकरण बन जाता है


 * $$P(A| B) \propto P(A) \cdot P(B| A) .$$

शब्दों में, पश्च संभावना पूर्व समय के समानुपाती होती है।

यदि घटनाएँ A1, A2, ..., परस्पर अनन्य और संपूर्ण हैं, अर्थात, उनमें से इंका घटित होना निश्चित है किन्तु कोई भी दो साथ घटित नहीं हो सकते हैं, हम इस तथ्य का उपयोग करके आनुपातिकता स्थिरांक निर्धारित कर सकते हैं कि उनकी संभावनाओं का योग होना चाहिए। उदाहरण के लिए, किसी दिए गए इवेंट A के लिए, इवेंट A और उसका पूरक ¬A विशिष्ट और संपूर्ण होता हैं। आनुपातिकता के स्थिरांक को c से निरूपित करना हमारे समीप है


 * $$P(A| B) = c \cdot P(A) \cdot P(B| A) \text{ and } P(\neg A| B) = c \cdot P(\neg A) \cdot P(B| \neg A). $$

इन दोनों सूत्रों को जोड़ने पर हम यह निष्कर्ष निकालते हैं


 * $$ 1 = c \cdot (P(B| A)\cdot P(A) + P(B| \neg A) \cdot P(\neg A)),$$

या


 * $$ c = \frac{1}{P(B| A)\cdot P(A) + P(B| \neg A) \cdot P(\neg A)} = \frac 1 {P(B)}. $$

वैकल्पिक रूप
दो प्रतिस्पर्धी कथनों या परिकल्पनाओं के लिए बेयस प्रमेय का दूसरा रूप है |


 * $$P(A| B) = \frac{P(B| A) P(A)}{ P(B| A) P(A) + P(B| \neg A) P(\neg A)}.$$

ज्ञानमीमांसीय व्याख्या के लिए:

प्रस्ताव A और साक्ष्य या पृष्ठभूमि B के लिए,
 * $$P(A)$$ पूर्व संभाव्यता है, और A में विश्वास की प्रारंभिक डिग्री है।
 * $$P(\neg A)$$ नॉट-A में विश्वास की संगत प्रारंभिक डिग्री है, कि A गलत है, जहां $$ P(\neg A) =1-P(A)                                                                                                                                                                                       $$
 * $$P(B| A)$$ नियमबद्ध संभाव्यता या संभावना है, B में विश्वास की डिग्री दी गई है कि प्रस्ताव A सत्य है।
 * $$P(B|\neg A)$$ नियमबद्ध संभाव्यता या संभावना है, B में विश्वास की डिग्री होती हैं, यह देखते हुए कि प्रस्ताव A गलत है।
 * $$P(A| B)$$ पश्चवर्ती संभाव्यता है, B को ध्यान में रखने के पश्चात A की संभाव्यता होती हैं।

विस्तृत रूप
अधिकांशतः, किसी समुच्चय के कुछ प्रतिरूप स्थान के विभाजन {Aj} के लिए, प्रतिरूप स्थान P(Aj) और P(B|A)j) के संदर्भ में दिया गया है | कुल संभाव्यता के नियम का उपयोग करके P(B) की गणना करना उपयोगी है |


 * $$P(B) = {\sum_j P(B| A_j) P(A_j)},$$
 * $$\Rightarrow P(A_i| B) = \frac{P(B| A_i) P(A_i)}{\sum\limits_j P(B| A_j) P(A_j)}\cdot$$

विशेष स्तिथियाँ में जहां A द्विआधारी वेरिएबल है |


 * $$P(A| B) = \frac{P(B| A) P(A)}{ P(B| A) P(A) + P(B| \neg A) P(\neg A)}\cdot$$

यादृच्छिक वेरिएबल
दो यादृच्छिक वेरिएबल


 * $$P( X{=}x | Y {=} y) = \frac{P(Y{=}y | X{=}x) P(X{=}x)}{P(Y{=}y)}$$

चूँकि, उन बिंदुओं पर पद 0 हो जाते हैं जहां किसी भी वेरिएबल का परिमित संभाव्यता घनत्व फलन होता है। तथा इसके उपयोगी बने रहने के लिए, बेयस प्रमेय को प्रासंगिक घनत्वों के संदर्भ में तैयार किया जाना चाहिए | (देखें या व्युत्पत्ति करें)।

सरल रूप
यदि X सतत है और Y असतत है, तब


 * $$f_{X | Y{=}y}(x) = \frac{P(Y{=}y| X{=}x) f_X(x)}{P(Y{=}y)}                                                                                                                      $$

जहां प्रत्येक $$f$$ घनत्व फलन है.

यदि X असतत है और Y सतत है,


 * $$ P(X{=}x| Y{=}y) = \frac{f_{Y | X{=}x}(y) P(X{=}x)}{f_Y(y)}.$$

यदि X और Y दोनों सतत हैं,


 * $$ f_{X| Y{=}y}(x) = \frac{f_{Y | X{=}x}(y) f_X(x)}{f_Y(y)}.$$

विस्तृत रूप
सतत घटना स्थान की संकल्पना प्रायः अंश शब्दों के संदर्भ में की जाती है। फिर कुल संभाव्यता के नियम का उपयोग करके प्रत्येक को समाप्त करना उपयोगी होता है। और FY(y) के लिए, यह अभिन्न अंग बन जाता है:


 * $$ f_Y(y) = \int_{-\infty}^\infty f_{Y| X = \xi}(y) f_X(\xi)\,d\xi .                                                                                                                             $$

कठिनाइयाँ रूप में बेयस का नियम
बाधाओं में बेयस प्रमेय है:


 * $$O(A_1:A_2\vert B) = O(A_1:A_2) \cdot \Lambda(A_1:A_2\vert B)                                                                                                              $$

जहाँ


 * $$\Lambda(A_1:A_2\vert B) = \frac{P(B\vert A_1)}{P(B\vert A_2)}$$

बेयस कारक या संभावना अनुपात कहा जाता है। दो घटनाओं के मध्य का अंतर केवल दो घटनाओं की संभावनाओं का अनुपात है। इस प्रकार


 * $$O(A_1:A_2) = \frac{P(A_1)}{P(A_2)},$$
 * $$O(A_1:A_2\vert B) = \frac{P(A_1\vert  B)}{P(A_2\vert  B)},$$

इस प्रकार, नियम कहता है कि पूर्व बाधाएं बेयस कारक के पूर्व बाधाओं के समय होती हैं, या दूसरे शब्दों में, पूर्व संभावना पिछले समय की संभावना के समानुपाती होती है।

विशेष स्तिथियाँ में वह $$A_1 = A$$ और $$A_2 = \neg A$$, कोई $$O(A)=O(A:\neg A) =P(A)/(1-P(A))$$ लिखता है, तथा बेयस फ़ैक्टर और नियमबद्ध बाधाओं के लिए समान संक्षिप्त नाम का उपयोग करता है। परिभाषा के अनुसार $$A$$ पर संभावना $$A$$ के पक्ष और विपक्ष में संभावनाएँ होती हैं | फिर बेयस नियम को संक्षिप्त रूप में लिखा जा सकता है


 * $$O(A\vert B) = O(A) \cdot \Lambda(A\vert B),                                                                                                                                                                                $$

या, शब्दों में, $$A$$ पर पूर्व बाधायें $$A$$ पर दी गई जानकारी $$B$$ के लिए संभावना अनुपात के पूर्व बाधाओं के समान होती है। संक्षेप में, पूर्व बाधायें पूर्व बाधाओं के संभावना अनुपात के समान होती है।

उदाहरण के लिए, यदि किसी मेडिकल परीक्षण में संवेदनशीलता और विशिष्टता 90% है और संवेदनशीलता और विशिष्टता 91% है, तब धनात्मक बेयस कारक होता है | $$\Lambda_+ = P(\text{True Positive})/P(\text{False Positive}) = 90\%/(100\%-91\%)=10$$. अब, यदि इस बीमारी की व्यापकता 9.09% है, और यदि हम इसे पूर्व संभावना के रूप में लेते हैं, तब पूर्व संभावना लगभग 1:10 है। इसलिए धनात्मक परीक्षण परिणाम प्राप्त करने के पश्चात, वास्तव में बीमारी होने की संभावना 1:1 हो जाती है, जिसका अर्थ है कि बीमारी होने की पूर्व संभावना 50% है। यदि क्रमिक परीक्षण में दूसरा परीक्षण किया जाता है, और वह भी धनात्मक निकलता है, तब वास्तव में बीमारी होने की पूर्व संभावना 10:1 हो जाती है, जिसका अर्थ है कि लगभग 90.91% की पूर्व संभावना हैं। नकारत्मक बेयस कारक की गणना 91%/(100%-90%)=9.1 की जा सकती है, इसलिए यदि दूसरा परीक्षण नकारत्मक हो जाता है, तब वास्तव में बीमारी होने की संभावना 1:9.1 है, जिसका अर्थ है कि इसमें लगभग 9.9% की पश्चवर्ती संभावना होती हैं ।

उपरोक्त उदाहरण को अधिक ठोस संख्याओं के साथ भी समझा जा सकता है: मान लें कि परीक्षण करने वाला रोगी 1000 व्यक्तियों के समूह से है, जहां उनमें से 91 को वास्तव में यह बीमारी (9.1% की व्यापकता) है। यदि इसमें सभी 1000 लोग चिकित्सा परीक्षण कराते हैं, तब बीमारी से पीड़ित 82 व्यक्तियों को सही धनात्मक परिणाम मिलेगा (90.1% की संवेदनशीलता), बीमारी से पीड़ित व्यक्तियों में से 9 को गलत ऋणात्मक परिणाम मिलेगा (गलत धनात्मक और 9.9% की गलत ऋणात्मक ) ), बिना बीमारी वाले व्यक्तियों में से 827 को वास्तविक ऋणात्मक परिणाम मिलेगा (91.0% की विशिष्टता), और बिना बीमारी वाले व्यक्तियों में से 82 को गलत धनात्मक परिणाम मिलेगा (9.0% की गलत धनात्मक दर) होती हैं। कोई भी परीक्षण करने से पहले, रोगी में रोग होने की संभावना 91:909 होती है। धनात्मक परिणाम प्राप्त होने के पश्चात, रोगी में रोग होने की संभावना बढ़ जाती है


 * $$\frac{91}{909}\times\frac{90.1\%}{9.0\%}=\frac{91\times90.1\%}{909\times9.0\%}=1:1$$

जो इस तथ्य के अनुरूप है कि 1000 व्यक्तियों के समूह में 82 सच्चे धनात्मक और 82 गलत धनात्मक हैं।

प्रस्तावात्मक तर्क
$$P(\neg B\vert A)=1-P(B\vert A)$$ का दो बार उपयोग करते हुए, कोई भी व्यक्ति $$P(\neg B\vert \neg A)$$ को $$P(A\vert B)$$ के संदर्भ में और निषेध के बिना व्यक्त करने के लिए बेयस प्रमेय का उपयोग कर सकता है:
 * $$P(\neg B\vert \neg A) = 1 - \left(1-P(A\vert B)\right)\frac{P(B)}{P(\neg A)}$$,

जब $$P(\neg A) = 1 - P(A) \neq 0$$. इससे हम निष्कर्ष पढ़ सकते हैं
 * $$P(A\vert B) = 1\implies P(\neg B\vert \neg A) = 1$$.

शब्दों में: यदि निश्चित रूप से $$B$$ का तात्पर्य $$A$$ से है, तब हम निश्चित रूप से यह अनुमान लगाते हैं कि $$\neg A$$ का तात्पर्य $$\neg B$$ से है. जहाँ $$P(B)\neq 0$$, निश्चित रूप से दोनों निहितार्थ समतुल्य कथन हैं। संभाव्यता सूत्रों में, नियमबद्ध संभाव्यता $$P(A \vert B)$$ तार्किक निहितार्थ $$B \implies A$$ को सामान्यीकृत करता है, जहां अब यह सही या गलत निर्दिष्ट करने से भिन्न होते हैं, हम कथनों को संभाव्यता मान निर्दिष्ट करते हैं। यह $$B \implies A$$ का प्रमाण नियमबद्ध की निश्चितता, $$P(A\vert B) = 1$$ के प्रमाण द्वारा कब्जा कर लिया गया है | निहितार्थ की दिशाओं से संबंधित, बेयस प्रमेय विरोधाभास नियम के सामान्यीकरण का प्रतिनिधित्व करता है, जिसे मौलिक प्रस्ताव कैलकुलस में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है


 * $$(B \implies A)\iff(\neg A \implies \neg B)$$.

निहितार्थों के मध्य इस संबंध में, की स्थितियाँ $$A$$ सम्मान $$B$$ फ़्लिप हो जाती हैं

संभाव्यता कैलकुलस के संदर्भ में संबंधित सूत्र बेयस प्रमेय है, जो अपने विस्तारित रूप में केवल $$a$$ की पूर्व संभाव्यता/आधार दर $$A$$ को सम्मिलित करता है यह इस प्रकार व्यक्त किया गया है |
 * $$P(A \vert B) = P(B \vert A) \frac{a(A)}{P(B\vert A)\,a(A)+P(B \vert \neg A)\,a(\neg A)}$$.

व्यक्तिपरक तर्क
बेयस प्रमेय व्यक्तिपरक तर्क में विपरीत नियमबद्ध राय प्राप्त करने की विशेष स्तिथियों का प्रतिनिधित्व करता है:


 * $$(\omega^S_{A\tilde{|}B},\omega^S_{A\tilde{|}\lnot B}) = (\omega^S_{B\vert A}, \omega^S_{B\vert\lnot A}) \widetilde{\phi} a_A,$$

जहाँ $$\widetilde{\phi}$$ नियमबद्ध राय को पलटने के लिए ऑपरेटर को दर्शाता है। तर्क $$(\omega^S_{B\vert A},\omega^S_{B\vert\lnot A})$$ स्रोत $$S$$ द्वारा दी गई द्विपद नियमबद्ध राय की जोड़ी को दर्शाता है, और तर्क $$a_{A}$$, $$A$$ की पूर्व संभाव्यता (उर्फ आधार दर) को दर्शाता है | व्युत्पन्न विपरीत नियमबद्ध राय की जोड़ी को $$(\omega^S_{A\tilde{|}B},\omega^{S}_{A\tilde{|}\lnot B})$$ दर्शाया गया है. नियमबद्ध राय $$\omega^S_{A\vert B}$$ संभाव्य नियमबद्ध $$P(A \vert B)$$ को सामान्यीकृत करता है, अर्थात संभाव्यता निर्दिष्ट करने के अतिरिक्त स्रोत $$S$$ नियमबद्ध कथन $$(A\vert B)$$ को कोई भी व्यक्तिपरक राय निर्दिष्ट कर सकता है. तथा द्विपद व्यक्तिपरक राय $$\omega^{S}_{A}$$ ज्ञानमीमांसीय अनिश्चितता की डिग्री के साथ कथन $$A$$ की सत्यता में विश्वास है, जैसा कि स्रोत $$S$$ द्वारा व्यक्त किया गया है | प्रत्येक व्यक्तिपरक राय की समान अनुमानित संभावना $$P(\omega^{S}_{A})$$ होती है | राय की अनुमानित संभावनाओं पर बेयस प्रमेय का अनुप्रयोग समरूपता है, जिसका अर्थ है कि बेयस प्रमेय को राय की अनुमानित संभावनाओं के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:


 * $$P(\omega^S_{A \tilde{|} B}) = \frac{P(\omega^S_{B \vert A}) a(A)}{P(\omega^S_{B\vert A}) a(A) + P(\omega^S_{B \vert \lnot A}) a(\lnot A)}. $$

इसलिए, व्यक्तिपरक बेयस प्रमेय के सामान्यीकरण का प्रतिनिधित्व करता है।

वातानुकूलित संस्करण
बेयस प्रमेय का वातानुकूलित संस्करण तीसरी घटना के जुड़ने से $$C$$ परिणाम मिलता है | जिस पर सभी संभावनाएँ वातानुकूलित हैं |


 * $$P(A \vert B \cap C) = \frac{P(B \vert A \cap C) \, P(A \vert C)}{P(B \vert C)} $$

व्युत्पत्ति
श्रृंखला नियम का उपयोग करना (संभावना)
 * $$P(A \cap B \cap C) = P(A \vert B \cap C) \, P(B \vert C) \, P(C)                                                                                                                                $$

और, दूसरी ओर
 * $$P(A \cap B \cap C) = P(B \cap A \cap C) = P(B \vert A \cap C) \, P(A \vert C) \, P(C) $$

वांछित परिणाम दोनों अभिव्यक्तियों की पहचान करके और $$P(A \vert B \cap C)$$ को समाधान करके प्राप्त किया जाता है।

3 घटनाओं के साथ बेयस का नियम
3 घटनाओं-, B और C के स्तिथियाँ में यह दिखाया जा सकता है कि: $$P(A \vert B,C) = \frac{P(B \vert A,C) \; P(A \vert C)}{P(B \vert C)} $$

$$

आनुवंशिकी में उपयोग
आनुवंशिकी में, बेयस प्रमेय का उपयोग किसी व्यक्ति के विशिष्ट जीनोटाइप की संभावना की गणना करने के लिए किया जा सकता है। जहाँ बहुत से लोग आनुवांशिक बीमारी से प्रभावित होने की संभावना या रुचि के अप्रभावी जीन के वाहक होने की संभावना का अनुमान लगाना चाहते हैं। बायेसियन विश्लेषण पारिवारिक इतिहास या आनुवंशिक परीक्षण के आधार पर किया जा सकता है, जिससे कि यह अनुमान लगाया जा सके कि क्या किसी व्यक्ति में कोई बीमारी विकसित होगी या यह बीमारी उनके बच्चों में फैल जाएगी। आनुवंशिक परीक्षण और पूर्वानुमान उन जोड़ों के मध्य सामान्य बात है जो बच्चे उत्पन्न करने की योजना बनाते हैं किन्तु यह चिंतित हैं कि वह दोनों किसी बीमारी के अधिकांशतः कम आनुवंशिक भिन्नता वाले समुदायों में वाहक हो सकते हैं।

आनुवंशिकी के लिए बायेसियन विश्लेषण में पहला चरण परस्पर अनन्य परिकल्पनाओं का प्रस्ताव करना है | विशिष्ट एलील के लिए, व्यक्ति तब वाहक है या नहीं है। इसके पश्चात, चार संभावनाओं की गणना की जाती है | यह पूर्व संभावना (वर्ग के इतिहास या मेंडेलियन वंशानुक्रम के आधार पर पूर्वानुमानों जैसी जानकारी पर विचार करते हुए प्रत्येक परिकल्पना की संभावना), नियमबद्ध संभावना (निश्चित परिणाम की), संयुक्त संभावना (पहले दो का उत्पाद), और पश्च संभाव्यता (प्रत्येक परिकल्पना के लिए संयुक्त संभाव्यता को दोनों संयुक्त संभावनाओं के योग से विभाजित करके गणना किया गया भारित उत्पाद) हैं। इस प्रकार का विश्लेषण पूरी तरह से किसी स्थिति के पारिवारिक इतिहास के आधार पर या आनुवंशिक परीक्षण के साथ मिलकर किया जा सकता है।

संभावनाओं की गणना के लिए वंशावली का उपयोग करना
किसी महिला में बीमारी के कठिन परिस्थिति के लिए बायेसियन विश्लेषण टेबल का उदाहरण इस ज्ञान पर आधारित है कि यह बीमारी उसके भाई-बहनों में उपस्थित है, किन्तु यह उसके माता-पिता या उसके चार बच्चों में से किसी में नहीं हैं। केवल विषय के भाई-बहनों और माता-पिता की स्थिति के आधार पर, उसके वाहक होने की उतनी ही संभावना है जितनी गैर-वाहक होने की (यह संभावना पूर्व परिकल्पना द्वारा दर्शायी गई है)। चूँकि, संभावना है कि विषय के सभी चार बेटे अप्रभावित रहेंगे यदि वह वाहक है, तब 1/16 ($1/2$·$1/2$·$1/2$·$1/2$) होता है | और यदि वह गैर-वाहक है तब लगभग 1 होता है (यह नियमबद्ध संभावना है)। संयुक्त संभाव्यता इन दोनों पूर्वानुमानों को साथ गुणा करके उनका समाधान करती है। अंतिम पंक्ति (पश्च संभाव्यता) की गणना प्रत्येक परिकल्पना के लिए संयुक्त संभाव्यता को दोनों संयुक्त संभावनाओं के योग से विभाजित करके की जाती है।

आनुवंशिक परीक्षण परिणामों का उपयोग करना
माता-पिता का आनुवंशिक परीक्षण माता-पिता में लगभग 90% ज्ञात रोग एलील्स का पता लगा सकता है जो उनके बच्चे में वाहक या प्रभावित स्थिति का कारण बन सकते हैं। सिस्टिक फाइब्रोसिस वंशानुगत बीमारी है जो सीएफटीआर जीन पर ऑटोसोमल रिसेसिव उत्परिवर्तन के कारण होती है, तथा यह गुणसूत्र 7 की q भुजा पर स्थित है।

सिस्टिक फाइब्रोसिस (सीएफ) के पारिवारिक इतिहास वाली महिला रोगी का बायेसियन विश्लेषण हैं, जिसने सीएफ के लिए ऋणात्मक परीक्षण किया है, यह दर्शाता है कि सीएफ के साथ उत्पन्न होने वाले बच्चे के कठिन परिस्थिति को निर्धारित करने के लिए इस पद्धति का उपयोग कैसे किया गया था |

क्योंकि रोगी अप्रभावित है, वह तब जंगली-प्रकार के एलील के लिए समयुग्मजी है, या विषमयुग्मजी है। पूर्व संभावनाओं को स्थापित करने के लिए, पुनेट वर्ग का उपयोग किया जाता है, इस ज्ञान के आधार पर कि माता-पिता में से कोई भी बीमारी से प्रभावित नहीं था, किन्तु दोनों इसके वाहक हो सकते थे | यह देखते हुए कि रोगी अप्रभावित है, जहाँ केवल तीन संभावनाएँ हैं। इन तीनों के अंदर, दो परिदृश्य हैं जिनमें रोगी उत्परिवर्ती एलील को वहन करता है। इस प्रकार पूर्व संभावनाएँ $2/3$ और $1/3$ हैं |

इसके पश्चात, रोगी आनुवंशिक परीक्षण से निकलता है और सिस्टिक फाइब्रोसिस के लिए ऋणात्मक परीक्षण करता है। इस परीक्षण में 90% पहचान दर है, इसलिए ऋणात्मक परीक्षण की नियमबद्ध संभावनाएं 1/10 और 1 हैं। अंत में, संयुक्त और पीछे की संभावनाओं की गणना पहले की तरह की जाती है। रोगी के पुरुष साथी (ऋणात्मक परीक्षण परिणाम के साथ) पर ही विश्लेषण करने के पश्चात, उनके बच्चे के प्रभावित होने की संभावना माता-पिता के वाहक होने की संबंधित पूर्व संभावनाओं के उत्पाद के समान होती है, जो कि दो वाहक उत्पन्न करने की संभावना से गुणा होती है। इसमें प्रभावित संतान ($1/4$) हैं |

अन्य कठिन परिस्थिति में कारक पहचान के साथ समानांतर में किया गया आनुवंशिक परीक्षण
बायेसियन विश्लेषण आनुवंशिक स्थिति से जुड़ी फेनोटाइपिक जानकारी का उपयोग करके किया जा सकता है, और जब आनुवंशिक परीक्षण के साथ जोड़ा जाता है तब यह विश्लेषण अधिक सम्मिश्र हो जाता है। उदाहरण के लिए, सिस्टिक फाइब्रोसिस को भ्रूण में इकोजेनिक आंत्र की खोज में अल्ट्रासाउंड के माध्यम से पहचाना जा सकता है, जिसका अर्थ है कि स्कैन पर सामान्य से अधिक प्रकाशित दिखाई देना लगता है। तथा यह अचूक परीक्षण नहीं है, क्योंकि इकोजेनिक आंत पूरी तरह से स्वस्थ भ्रूण में उपस्थित हो सकता है। इस स्तिथियों में माता-पिता का आनुवंशिक परीक्षण बहुत प्रभावशाली होता है, जहां फेनोटाइपिक तथ्य संभाव्यता गणना में अत्यधिक प्रभावशाली हो सकता है। इकोजेनिक आंत्र वाले भ्रूण के स्तिथियाँ में, जिस मां का परीक्षण किया गया है और जिसे सीएफ वाहक माना जाता है, उसके पश्चात की संभावना है कि भ्रूण को वास्तव में यह बीमारी है, जो बहुत अधिक (0.64) है। चूँकि, इस प्रकार जब पिता ने सीएफ के लिए ऋणात्मक परीक्षण किया है, तब पूर्व संभावना अधिक (0.16 तक) कम हो जाती है।

आनुवांशिक परामर्श और प्रजनन योजना में कठिन परिस्थिति कारक की गणना शक्तिशाली उपकरण है, किन्तु इसे विचार करने के लिए एकमात्र महत्वपूर्ण कारक नहीं माना जा सकता है। जैसा कि ऊपर बताया गया है, कि अपूर्ण परीक्षण वाहक स्थिति की गलत उच्च संभावना उत्पन्न कर सकता है, और जब माता-पिता उपस्थित नहीं होते हैं तब परीक्षण वित्तीय रूप से दुर्गम या अक्षम्य हो सकता है।

यह भी देखें

 * बायेसियन ज्ञानमीमांसा
 * प्रेरक संभाव्यता
 * क्वांटम बायेसियनवाद
 * अधिकतर प्रकाशित शोध निष्कर्ष गलत क्यों हैं, जॉन आयोनिडिस द्वारा मेटासाइंस पर 2005 का निबंध

अग्रिम पठन

 * Gelman, A, Carlin, JB, Stern, HS, and Rubin, DB (2003), "Bayesian Data Analysis", Second Edition, CRC Press.
 * Grinstead, CM and Snell, JL (1997), "Introduction to Probability (2nd edition)," American Mathematical Society (free pdf available).
 * Lee, Peter M (2012), Bayesian Statistics: An Introduction, 4th edition. Wiley. ISBN 978-1-118-33257-3.
 * Rosenthal, Jeffrey S (2005), "Struck by Lightning: The Curious World of Probabilities". HarperCollins. (Granta, 2008. ISBN 9781862079960).
 * Stone, JV (2013), download chapter 1 of "Bayes' Rule: A Tutorial Introduction to Bayesian Analysis", Sebtel Press, England.
 * Bayesian Reasoning for Intelligent People, An introduction and tutorial to the use of Bayes' theorem in statistics and cognitive science.
 * Morris, Dan (2016), Read first 6 chapters for free of "Bayes' Theorem Examples: A Visual Introduction For Beginners" Blue Windmill ISBN 978-1549761744. A short tutorial on how to understand problem scenarios and find P(B), P(A), and P(B|A).
 * Rosenthal, Jeffrey S (2005), "Struck by Lightning: The Curious World of Probabilities". HarperCollins. (Granta, 2008. ISBN 9781862079960).
 * Stone, JV (2013), download chapter 1 of "Bayes' Rule: A Tutorial Introduction to Bayesian Analysis", Sebtel Press, England.
 * Bayesian Reasoning for Intelligent People, An introduction and tutorial to the use of Bayes' theorem in statistics and cognitive science.
 * Morris, Dan (2016), Read first 6 chapters for free of "Bayes' Theorem Examples: A Visual Introduction For Beginners" Blue Windmill ISBN 978-1549761744. A short tutorial on how to understand problem scenarios and find P(B), P(A), and P(B|A).
 * Bayesian Reasoning for Intelligent People, An introduction and tutorial to the use of Bayes' theorem in statistics and cognitive science.
 * Morris, Dan (2016), Read first 6 chapters for free of "Bayes' Theorem Examples: A Visual Introduction For Beginners" Blue Windmill ISBN 978-1549761744. A short tutorial on how to understand problem scenarios and find P(B), P(A), and P(B|A).

बाहरी संबंध

 * Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (B). Contains origins of "Bayesian", "Bayes' Theorem", "Bayes Estimate/Risk/Solution", "Empirical Bayes", and "Bayes Factor".
 * A tutorial on probability and Bayes' theorem devised for Oxford University psychology students
 * An Intuitive Explanation of Bayes' Theorem by Eliezer S. Yudkowsky
 * Bayesian Clinical Diagnostic Model
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