विकर्णीय आव्यूह

रैखिक बीजगणित में, एक वर्ग मैट्रिक्स $$A$$ इसे विकर्णीय या गैर-दोषपूर्ण कहा जाता है यदि यह एक विकर्ण मैट्रिक्स के लिए मैट्रिक्स समानता है, यानी, यदि कोई उलटा मैट्रिक्स मौजूद है $$P$$ और एक विकर्ण मैट्रिक्स $$D$$ ऐसा है कि $P^{-1}AP=D$, या समकक्ष $A = PDP^{-1}$. (ऐसा $P$, $$D$$ अद्वितीय नहीं हैं।) एक आयाम (वेक्टर समष्टि)|परिमित-आयामी सदिश समष्टि के लिए $V$, एक रेखीय मानचित्र $$T:V\to V$$ यदि कोई आधार (रैखिक बीजगणित) मौजूद है तो इसे विकर्णीय कहा जाता है#क्रमबद्ध आधार और निर्देशांक $$V$$ के eigenvectors से मिलकर बना है $$T$$. ये परिभाषाएँ समतुल्य हैं: यदि $$T$$ एक मैट्रिक्स (गणित) प्रतिनिधित्व है $$T = PDP^{-1}$$ जैसा कि ऊपर है, फिर कॉलम वैक्टर $$P$$ के eigenvectors से मिलकर एक आधार बनाएं $T$, और की विकर्ण प्रविष्टियाँ $$D$$ के संगत eigenvalues ​​हैं $T$; इस eigenvector आधार के संबंध में, $$A$$ द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है $D$. विकर्णीकरण उपरोक्त को खोजने की प्रक्रिया है $$P$$ और $D$.

विकर्णीय मैट्रिक्स और मानचित्र गणना के लिए विशेष रूप से आसान होते हैं, एक बार जब उनके आइगेनवैल्यू और आइजेनवेक्टर ज्ञात हो जाते हैं। कोई एक विकर्ण मैट्रिक्स बढ़ा सकता है $$D$$ किसी घात को केवल विकर्ण प्रविष्टियों को उस घात तक बढ़ाकर, और एक विकर्ण मैट्रिक्स का निर्धारक बस सभी विकर्ण प्रविष्टियों का उत्पाद है; ऐसी गणनाएँ आसानी से सामान्यीकृत हो जाती हैं $A=PDP^{-1}$. ज्यामितीय रूप से, एक विकर्ण मैट्रिक्स एक अमानवीय फैलाव (या अनिसोट्रोपिक स्केलिंग) है - यह अंतरिक्ष को स्केलिंग (ज्यामिति) करता है, जैसा कि एक सजातीय फैलाव होता है, लेकिन प्रत्येक ईजेनवेक्टर अक्ष के साथ एक अलग कारक द्वारा, कारक संगत eigenvalue द्वारा दिया गया।

एक वर्ग मैट्रिक्स जो विकर्णीय नहीं है उसे दोषपूर्ण मैट्रिक्स कहा जाता है। ऐसा हो सकता है कि एक मैट्रिक्स $$A$$ वास्तविक संख्या प्रविष्टियों के साथ वास्तविक संख्याओं की तुलना में दोषपूर्ण है, जिसका अर्थ है $$A = PDP^{-1}$$ किसी भी व्युत्क्रमणीय के लिए असंभव है $$P$$ और विकर्ण $$D$$ वास्तविक प्रविष्टियों के साथ, लेकिन सम्मिश्र संख्या प्रविष्टियों के साथ यह संभव है, ताकि $$A$$ सम्मिश्र संख्याओं पर विकर्णीय है। उदाहरण के लिए, यह सामान्य रोटेशन मैट्रिक्स का मामला है।

विकर्णीय मैट्रिक्स के लिए कई परिणाम केवल बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड (जैसे जटिल संख्या) पर टिके होते हैं। इस मामले में, विकर्णीय मैट्रिक्स सभी मैट्रिक्स के स्थान में घने सेट होते हैं, जिसका अर्थ है कि किसी भी दोषपूर्ण मैट्रिक्स को एक छोटे गड़बड़ी सिद्धांत द्वारा विकर्ण मैट्रिक्स में विकृत किया जा सकता है; और जॉर्डन सामान्य रूप प्रमेय बताता है कि कोई भी मैट्रिक्स विशिष्ट रूप से एक विकर्ण मैट्रिक्स और एक निलपोटेंट मैट्रिक्स का योग है। बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में, विकर्णीय आव्यूह अर्ध-सरलता#अर्ध-सरल आव्यूह|अर्ध-सरल आव्यूह के समतुल्य होते हैं।

परिभाषा
एक वर्ग $$n \times n$$ आव्यूह, $$A$$, एक क्षेत्र में प्रविष्टियों के साथ (गणित) $$F$$ यदि कोई मौजूद है तो इसे विकर्णीय या गैर-दोषपूर्ण कहा जाता है $$n \times n$$ उलटा मैट्रिक्स (यानी सामान्य रैखिक समूह जीएल का एक तत्वn(एफ)), $$P$$, ऐसा है कि $$P^{-1}AP$$ एक विकर्ण मैट्रिक्स है. औपचारिक रूप से,

लक्षण वर्णन
विकर्ण मानचित्रों और आव्यूहों के बारे में मूलभूत तथ्य निम्नलिखित द्वारा व्यक्त किया गया है:


 * एक $$n \times n$$ आव्यूह $$A$$ एक मैदान के ऊपर $$F$$ विकर्णीय है यदि और केवल यदि इसके आइगेनस्पेस के आयाम (रैखिक बीजगणित) का योग बराबर है $$n$$, जो कि मामला है यदि और केवल यदि इसका कोई आधार (रैखिक बीजगणित) मौजूद है $$F^n$$ के eigenvectors से मिलकर बना है $$A$$. यदि ऐसा कोई आधार मिल गया है, तो कोई मैट्रिक्स बना सकता है $$P$$ इन आधार सदिशों को स्तंभों के रूप में रखना, और $$P^{-1}AP$$ एक विकर्ण मैट्रिक्स होगा जिसकी विकर्ण प्रविष्टियाँ eigenvalues ​​​​हैं $$A$$. गणित का सवाल $$P$$ के लिए एक मोडल मैट्रिक्स के रूप में जाना जाता है $$A$$.
 * एक रेखीय मानचित्र $$T : V \to V$$ विकर्णीय है यदि और केवल यदि इसके आइगेनस्पेस के आयाम (रैखिक बीजगणित) का योग बराबर है $\dim(V)$, जो कि मामला है यदि और केवल यदि इसका कोई आधार मौजूद है $$V$$ के eigenvectors से मिलकर बना है $$T$$. ऐसे आधार के संबंध में, $$T$$ एक विकर्ण मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाएगा। इस मैट्रिक्स की विकर्ण प्रविष्टियाँ eigenvalues ​​​​हैं $T$.

निम्नलिखित पर्याप्त (लेकिन आवश्यक नहीं) स्थिति अक्सर उपयोगी होती है। -1 & 3 & -1 \\ -3 & 5 & -1 \\ -3 & 3 & 1 \end{bmatrix},$$ जिसके eigenvalues ​​​​1, 2, 2 (सभी अलग-अलग नहीं) हैं और विकर्ण रूप (समान (रैखिक बीजगणित) के साथ विकर्ण है) $A$) $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$$ और आधार का परिवर्तन $$P$$: $$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix}.$$ बातचीत तब विफल हो जाती है जब $$A$$ 1 से अधिक आयाम का eigenspace है। इस उदाहरण में, का eigenspace $$A$$ eigenvalue 2 से संबद्ध आयाम 2 है।
 * एक $$n \times n$$ आव्यूह $$A$$ क्षेत्र पर विकर्णीय है $$F$$ अगर यह है $$n$$ में विशिष्ट eigenvalues $F$, अर्थात यदि इसका अभिलक्षणिक बहुपद है $$n$$ में विशिष्ट जड़ें $F$; हालाँकि, इसका विपरीत गलत हो सकता है। विचार करना $$\begin{bmatrix}
 * एक रेखीय मानचित्र $$T : V \to V$$ साथ $$n = \dim(V)$$ यदि है तो विकर्णीय है $$n$$ विशिष्ट eigenvalues, अर्थात यदि इसकी विशेषता बहुपद है $$n$$ में विशिष्ट जड़ें $$F$$.

होने देना $$A$$ एक मैट्रिक्स खत्म हो जाओ $F$. अगर $$A$$ विकर्णीय है, तो इसकी कोई भी शक्ति विकर्णीय है। इसके विपरीत, यदि $$A$$ उलटा है, $$F$$ बीजगणितीय रूप से बंद है, और $$A^n$$ कुछ के लिए विकर्णीय है $$n$$ यह की विशेषता का पूर्णांक गुणज नहीं है $F$, तब $$A$$ विकर्णीय है. प्रमाण: यदि $$A^n$$ तो, विकर्णीय है $$A$$ किसी बहुपद द्वारा नष्ट कर दिया जाता है $\left(x^n - \lambda_1\right) \cdots \left(x^n - \lambda_k\right)$, जिसका कोई एकाधिक मूल नहीं है (चूंकि $\lambda_j \ne 0$) और के न्यूनतम बहुपद से विभाजित किया जाता है $A$.

सम्मिश्र संख्याओं पर $$\Complex$$, लगभग हर मैट्रिक्स विकर्णीय है। अधिक सटीक रूप से: जटिल का सेट $$n \times n$$ वे आव्यूह जो विकर्णीय नहीं हैं $\Complex$, का एक उपसमुच्चय माना जाता है $\Complex^{n \times n}$, में लेब्सग का माप शून्य है। कोई यह भी कह सकता है कि विकर्णीय आव्यूह ज़ारिस्की टोपोलॉजी के संबंध में एक सघन उपसमुच्चय बनाते हैं: गैर-विकर्ण आव्यूह विशेषता बहुपद के विभेदक की बीजगणितीय विविधता के अंदर स्थित होते हैं, जो एक ऊनविम पृष्ठ है। इससे एक मानक (गणित) द्वारा दी गई सामान्य (मजबूत) टोपोलॉजी में घनत्व का भी पता चलता है। यह भी सच नहीं है $\R$.

जॉर्डन-चेवेल्ली अपघटन एक ऑपरेटर को उसके अर्धसरल (यानी, विकर्ण) भाग और उसके शून्य-शक्तिशाली भाग के योग के रूप में व्यक्त करता है। इसलिए, एक मैट्रिक्स विकर्णीय होता है यदि और केवल तभी जब इसका शून्य-शक्तिशाली भाग शून्य हो। दूसरे तरीके से कहें तो, एक मैट्रिक्स विकर्णीय होता है यदि उसके जॉर्डन रूप में प्रत्येक ब्लॉक में कोई शून्य-शक्तिशाली भाग नहीं होता है; यानी, प्रत्येक ब्लॉक एक-एक-एक मैट्रिक्स है।

विकर्णीकरण
यदि एक मैट्रिक्स $$A$$ विकर्ण किया जा सकता है, अर्थात,


 * $$P^{-1}AP = \begin{bmatrix}

\lambda_1 &        0 &  \cdots &         0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots &         0 \\ \vdots &   \vdots & \ddots &    \vdots \\ 0 &        0 &  \cdots & \lambda_n \end{bmatrix},$$ तब:


 * $$AP = P\begin{bmatrix}

\lambda_1 &        0 &  \cdots &         0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots &         0 \\ \vdots &   \vdots & \ddots &    \vdots \\ 0 &        0 &  \cdots & \lambda_n \end{bmatrix}.$$ लिखना $$P$$ इसके कॉलम वैक्टर के ब्लॉक मैट्रिक्स के रूप में $$\boldsymbol{\alpha}_{i}$$
 * $$P = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\alpha}_1 & \boldsymbol{\alpha}_2 & \cdots & \boldsymbol{\alpha}_n \end{bmatrix},$$

उपरोक्त समीकरण को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है


 * $$A\boldsymbol{\alpha}_i = \lambda_i \boldsymbol{\alpha}_i \qquad (i=1,2,\dots,n).$$

तो के स्तंभ सदिश $$P$$ के सही eigenvectors हैं $A$, और संगत विकर्ण प्रविष्टि संगत eigenvalue है। की उलटापन $$P$$ यह भी पता चलता है कि eigenvectors रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं और इसका आधार बनाते हैं $F^{n}$. विकर्णीकरण और विकर्णीकरण के विहित दृष्टिकोण के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त शर्त है। की पंक्ति सदिश $$P^{-1}$$ के बाएँ eigenvectors हैं $A$.

जब एक जटिल मैट्रिक्स $$A\in\mathbb{C}^{n\times n}$$ एक हर्मिटियन मैट्रिक्स (या अधिक सामान्यतः एक सामान्य मैट्रिक्स) है, के eigenvectors $$A$$ का लम्बवत आधार बनाने के लिए चुना जा सकता है $\mathbb{C}^n$, और $$P$$ एकात्मक मैट्रिक्स के रूप में चुना जा सकता है। यदि इसके अतिरिक्त, $$A\in\mathbb{R}^{n\times n}$$ एक वास्तविक सममित मैट्रिक्स है, तो इसके eigenvectors को ऑर्थोनॉर्मल आधार के रूप में चुना जा सकता है $$\mathbb{R}^n$$ और $$P$$ एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के रूप में चुना जा सकता है।

अधिकांश व्यावहारिक कार्यों के लिए मैट्रिक्स को कंप्यूटर सॉफ़्टवेयर का उपयोग करके संख्यात्मक रूप से विकर्ण किया जाता है। इसे पूरा करने के लिए eigenvalue एल्गोरिदम मौजूद है।

एक साथ विकर्णीकरण
यदि एकल व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स मौजूद है तो मैट्रिक्स के एक सेट को एक साथ विकर्णीय कहा जाता है $$P$$ ऐसा है कि $$P^{-1}AP$$ प्रत्येक के लिए एक विकर्ण मैट्रिक्स है $$A$$ सेट में. निम्नलिखित प्रमेय एक साथ विकर्णीय मैट्रिक्स की विशेषता बताता है: विकर्ण आवागमन मैट्रिसेस का एक सेट यदि और केवल यदि सेट एक साथ विकर्ण योग्य है।

सबका सेट $$n \times n$$ विकर्णीय मैट्रिक्स (ओवर)। $\Complex$) साथ $$n > 1$$ एक साथ विकर्णीय नहीं है। उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स


 * $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \quad\text{and}\quad \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} $$

विकर्णीय हैं लेकिन एक साथ विकर्णीय नहीं हैं क्योंकि वे गति नहीं करते हैं।

एक सेट में सामान्य मैट्रिक्स को कम्यूट करना शामिल होता है यदि और केवल तभी जब यह एक एकात्मक मैट्रिक्स द्वारा एक साथ विकर्ण योग्य हो; अर्थात्, एक एकात्मक मैट्रिक्स मौजूद है $$U$$ ऐसा है कि $$U^{*} AU$$ प्रत्येक के लिए विकर्ण है $$A$$ सेट में.

लाई सिद्धांत की भाषा में, एक साथ विकर्ण मैट्रिक्स का एक सेट एक टोरल लाई बीजगणित उत्पन्न करता है।

विकर्णीय आव्यूह

 * इनवोल्यूशन (गणित) वास्तविक (और वास्तव में 2 नहीं बल्कि विशेषता वाले किसी भी क्षेत्र) पर विकर्णीय है, विकर्ण पर ±1 के साथ।
 * परिमित क्रम एंडोमोर्फिज्म विकर्णीय हैं $$\mathbb{C}$$ (या कोई भी बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र जहां क्षेत्र की विशेषता एंडोमोर्फिज्म के क्रम को विभाजित नहीं करती है) विकर्ण पर एकता की जड़ों के साथ। यह इस प्रकार है क्योंकि न्यूनतम बहुपद वियोज्य बहुपद है, क्योंकि एकता की जड़ें अलग-अलग हैं।
 * प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित) विकर्णीय हैं, विकर्ण पर 0s और 1s हैं।
 * वास्तविक सममित मैट्रिक्स ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स द्वारा विकर्ण योग्य होते हैं; यानी, एक वास्तविक सममित मैट्रिक्स दिया गया है $A$, $$Q^{\mathrm T}AQ$$ कुछ ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के लिए विकर्ण है $Q$. अधिक सामान्यतः, आव्यूह एकात्मक आव्यूह द्वारा विकर्णीय होते हैं यदि और केवल यदि वे सामान्य आव्यूह हों। वास्तविक सममित मैट्रिक्स के मामले में, हम इसे देखते हैं $A=A^{\mathrm T}$, इतना स्पष्ट रूप से $$AA^{\mathrm T} = A^{\mathrm T}A$$ धारण करता है. सामान्य मैट्रिक्स के उदाहरण वास्तविक सममित (या तिरछा-सममित मैट्रिक्स | तिरछा-सममित) मैट्रिक्स (जैसे सहप्रसरण मैट्रिक्स) और हर्मिटियन मैट्रिक्स (या तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिक्स) हैं। अनंत-आयामी वेक्टर स्थानों के सामान्यीकरण के लिए वर्णक्रमीय प्रमेय देखें।

आव्यूह जो विकर्णीय नहीं हैं
सामान्य तौर पर, एक रोटेशन मैट्रिक्स वास्तविक पर विकर्णीय नहीं होता है, लेकिन सभी रोटेशन मैट्रिक्स # स्वतंत्र विमान जटिल क्षेत्र पर विकर्ण होते हैं। यहां तक ​​कि अगर कोई मैट्रिक्स विकर्णीय नहीं है, तो सबसे अच्छा करना हमेशा संभव होता है, और समान गुणों वाला एक मैट्रिक्स ढूंढना होता है जिसमें अग्रणी विकर्ण पर आइगेनवैल्यू होते हैं, और सुपरडायगोनल पर या तो एक या शून्य होते हैं - जिसे जॉर्डन सामान्य रूप  के रूप में जाना जाता है।

कुछ मैट्रिक्स किसी भी क्षेत्र में विकर्णीय नहीं होते हैं, विशेष रूप से गैर-शून्य निलपोटेंट मैट्रिक्स। यह आम तौर पर तब होता है जब किसी आइगेनवैल्यू के आइजेनवैल्यू और आइजेनवेक्टर#बीजगणितीय बहुलता मेल नहीं खाते। उदाहरण के लिए, विचार करें


 * $$ C = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}. $$

यह मैट्रिक्स विकर्णीय नहीं है: कोई मैट्रिक्स नहीं है $$U$$ ऐसा है कि $$U^{-1}CU$$ एक विकर्ण मैट्रिक्स है. वास्तव में, $$C$$ इसका एक eigenvalue (अर्थात् शून्य) है और इस eigenvalue में बीजगणितीय बहुलता 2 और ज्यामितीय बहुलता 1 है।

कुछ वास्तविक मैट्रिक्स वास्तविक पर विकर्णीय नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए मैट्रिक्स पर विचार करें


 * $$ B = \left[\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ \!-1 & 0 \end{array}\right]. $$

गणित का सवाल $$B$$ इसका कोई वास्तविक eigenvalues ​​​​नहीं है, इसलिए कोई वास्तविक मैट्रिक्स नहीं है $$Q$$ ऐसा है कि $$Q^{-1}BQ$$ एक विकर्ण मैट्रिक्स है. हालाँकि, हम विकर्णीकरण कर सकते हैं $$B$$ यदि हम सम्मिश्र संख्याओं की अनुमति देते हैं। दरअसल, अगर हम लेते हैं


 * $$ Q = \begin{bmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{bmatrix}, $$

तब $$Q^{-1}BQ$$ विकर्ण है. उसे ढूंढना आसान है $$B$$ रोटेशन मैट्रिक्स है जो कोण द्वारा वामावर्त घूमता है $\theta = \frac{3\pi}{2}$ ध्यान दें कि उपरोक्त उदाहरण दर्शाते हैं कि विकर्णीय आव्यूहों का योग विकर्णीय होने की आवश्यकता नहीं है।

मैट्रिक्स को विकर्ण कैसे करें
किसी मैट्रिक्स को विकर्णित करना उसके आइगेनवैल्यूज़ एवं आइगेनवेक्टर्स को खोजने जैसी ही प्रक्रिया है, उस स्थिति में जब आइजेनवेक्टर एक आधार बनाते हैं। उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स पर विचार करें


 * $$A=\left[\begin{array}{rrr}

0 & 1 & \!\!\!-2\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & \!\!\!-1 & 3 \end{array}\right].$$ विशेषता बहुपद की जड़ें $$p(\lambda)=\det(\lambda I-A)$$ eigenvalues ​​हैं $\lambda_1 = 1,\lambda_2 = 1,\lambda_3 = 2$.रेखीय प्रणाली को हल करना $$\left(I-A\right) \mathbf{v} = \mathbf{0}$$ eigenvectors देता है $$\mathbf{v}_1 = (1,1,0)$$ और $\mathbf{v}_2 = (0,2,1)$, जबकि $$\left(2I-A\right)\mathbf{v} = \mathbf{0}$$ देता है $\mathbf{v}_3 = (1,0,-1)$; वह है, $$A \mathbf{v}_i = \lambda_i \mathbf{v}_i$$ के लिए $i = 1,2,3$. ये वैक्टर एक आधार बनाते हैं $V = \mathbb{R}^3$, इसलिए हम उन्हें चेंज ऑफ बेसिस | चेंज-ऑफ-बेस मैट्रिक्स के कॉलम वैक्टर के रूप में इकट्ठा कर सकते हैं $$P$$ पाने के लिए और: $$P^{-1}AP = \left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1\\ 1 & 2 & 0\\ 0 & 1 & \!\!\!\!-1 \end{array}\right]^{-1}

\left[\begin{array}{rrr} 0 & 1 & \!\!\!-2\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & \!\!\!-1 & 3 \end{array}\right]

\left[\begin{array}{rrr} 1 & \,0 & 1\\ 1 & 2 & 0\\ 0 & 1 & \!\!\!\!-1 \end{array}\right] = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} = D .$$ हम इस समीकरण को परिवर्तनों के संदर्भ में देख सकते हैं: $$P$$ मानक आधार को eigenbasis पर ले जाता है, $P \mathbf{e}_i = \mathbf{v}_i$, तो हमारे पास: $$P^{-1} AP \mathbf{e}_i = P^{-1} A \mathbf{v}_i = P^{-1} (\lambda_i\mathbf{v}_i) = \lambda_i\mathbf{e}_i,$$ ताकि $$P^{-1} AP$$ इसके eigenvectors के रूप में मानक आधार है, जो परिभाषित करने वाली संपत्ति है $D$.

ध्यान दें कि इसमें eigenvectors का कोई पसंदीदा क्रम नहीं है $P$; में eigenvectors का क्रम बदलना $$P$$ बस विकर्ण रूप में eigenvalues ​​​​के क्रम को बदलता है $A$.

मैट्रिक्स फ़ंक्शंस का अनुप्रयोग
विकर्णीकरण का उपयोग मैट्रिक्स की शक्तियों की कुशलतापूर्वक गणना करने के लिए किया जा सकता है $A = PDP^{-1}$:


 * $$\begin{align}

A^k &= \left(PDP^{-1}\right)^k = \left(PDP^{-1}\right) \left(PDP^{-1}\right) \cdots \left(PDP^{-1}\right) \\ &= PD\left(P^{-1}P\right) D \left(P^{-1}P\right) \cdots \left(P^{-1}P\right) D P^{-1} = PD^kP^{-1}, \end{align}$$ और उत्तरार्द्ध की गणना करना आसान है क्योंकि इसमें केवल विकर्ण मैट्रिक्स की शक्तियां शामिल हैं। उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स के लिए $$A$$ eigenvalues ​​​​के साथ $$\lambda = 1,1,2$$ उपरोक्त उदाहरण में हम गणना करते हैं:


 * $$\begin{align}

A^k = PD^kP^{-1} &= \left[\begin{array}{rrr} 1 & \,0 &         1 \\       1 &   2 &          0 \\       0 &   1 & \!\!\!\!-1     \end{array}\right] \begin{bmatrix} 1^k & 0 & 0 \\ 0 & 1^k & 0 \\ 0 & 0 & 2^k \end{bmatrix} \left[\begin{array}{rrr} 1 & \,0 &         1 \\       1 &   2 &          0 \\       0 &   1 & \!\!\!\!-1     \end{array}\right]^{-1} \\[1em] &= \begin{bmatrix} 2 - 2^k & -1 + 2^k & 2 - 2^{k + 1} \\ 0 &       1 &              0 \\        -1 + 2^k &  1 - 2^k & -1 + 2^{k + 1} \end{bmatrix}. \end{align}$$ इस दृष्टिकोण को मैट्रिक्स घातांक  और अन्य मैट्रिक्स फ़ंक्शन के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है जिन्हें पावर श्रृंखला के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, परिभाषित करना $\exp(A) = I + A + \frac{1}{2!}A^2 + \frac{1}{3!}A^3 + \cdots$, अपने पास:
 * $$\begin{align}

\exp(A) = P \exp(D) P^{-1} &= \left[\begin{array}{rrr} 1 & \,0 &         1 \\       1 &   2 &          0 \\       0 &   1 & \!\!\!\!-1     \end{array}\right] \begin{bmatrix} e^1 & 0 & 0 \\ 0 & e^1 & 0 \\ 0 & 0 & e^2 \end{bmatrix} \left[\begin{array}{rrr} 1 & \,0 & 1\\      1 & 2 & 0\\       0 & 1 & \!\!\!\!-1     \end{array}\right]^{-1} \\[1em] &= \begin{bmatrix} 2 e - e^2 & -e + e^2 & 2 e - 2 e^2 \\ 0 &       e &           0 \\ -e + e^2 & e - e^2 &  -e + 2 e^2 \end{bmatrix}. \end{align}$$ यह रैखिक पुनरावर्ती अनुक्रमों जैसे फाइबोनैचि संख्या#मैट्रिक्स फॉर्म के लिए बंद फॉर्म अभिव्यक्ति खोजने में विशेष रूप से उपयोगी है।

विशेष अनुप्रयोग
उदाहरण के लिए, निम्नलिखित मैट्रिक्स पर विचार करें:


 * $$M = \begin{bmatrix}a & b - a\\ 0 & b\end{bmatrix}.$$

की विभिन्न शक्तियों की गणना $$M$$ एक आश्चर्यजनक पैटर्न का पता चलता है:



M^2 = \begin{bmatrix}a^2 & b^2-a^2 \\ 0 &b^2 \end{bmatrix},\quad M^3 = \begin{bmatrix}a^3 & b^3-a^3 \\ 0 &b^3 \end{bmatrix},\quad M^4 = \begin{bmatrix}a^4 & b^4-a^4 \\ 0 &b^4 \end{bmatrix},\quad \ldots $$ उपरोक्त घटना को विकर्ण करके समझाया जा सकता है $M$. इसे पूरा करने के लिए, हमें एक आधार की आवश्यकता है $$\R^2$$ के eigenvectors से मिलकर बना है $M$. ऐसा ही एक eigenvector आधार दिया गया है



\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \mathbf{e}_1,\quad \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2, $$ कहां ईi R के मानक आधार को दर्शाता हैn. आधार का विपरीत परिवर्तन किसके द्वारा दिया गया है?


 * $$\mathbf{e}_1 = \mathbf{u},\qquad \mathbf{e}_2 = \mathbf{v} - \mathbf{u}.$$

सीधी गणनाएँ यह दर्शाती हैं


 * $$M\mathbf{u} = a\mathbf{u},\qquad M\mathbf{v} = b\mathbf{v}.$$

इस प्रकार, ए और बी क्रमशः 'यू' और 'वी' के अनुरूप आइगेनवैल्यू हैं। मैट्रिक्स गुणन की रैखिकता से, हमारे पास वह है


 * $$ M^n \mathbf{u} = a^n \mathbf{u},\qquad M^n \mathbf{v} = b^n \mathbf{v}.$$

मानक आधार पर वापस लौटते हुए, हमारे पास है


 * $$\begin{align}

M^n \mathbf{e}_1 &= M^n \mathbf{u} = a^n \mathbf{e}_1, \\ M^n \mathbf{e}_2 &= M^n \left(\mathbf{v} - \mathbf{u}\right) = b^n \mathbf{v} - a^n\mathbf{u} = \left(b^n - a^n\right) \mathbf{e}_1 + b^n\mathbf{e}_2. \end{align}$$ पूर्ववर्ती संबंध, मैट्रिक्स रूप में व्यक्त किए गए हैं


 * $$M^n = \begin{bmatrix} a^n & b^n - a^n \\ 0 & b^n \end{bmatrix}, $$

जिससे उपरोक्त घटना की व्याख्या हो सके।

क्वांटम यांत्रिक अनुप्रयोग
क्वांटम यांत्रिकी और क्वांटम रसायन शास्त्र गणना में मैट्रिक्स विकर्णीकरण सबसे अधिक बार लागू संख्यात्मक प्रक्रियाओं में से एक है। मूल कारण यह है कि समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण एक आइगेनवैल्यू समीकरण है, यद्यपि अधिकांश भौतिक स्थितियों में अनंत आयामी स्थान (एक हिल्बर्ट स्थान) पर होता है।

हिल्बर्ट स्पेस को सीमित आयाम तक छोटा करना एक बहुत ही सामान्य सन्निकटन है, जिसके बाद श्रोडिंगर समीकरण को वास्तविक सममित, या जटिल हर्मिटियन मैट्रिक्स की एक स्वदेशी समस्या के रूप में तैयार किया जा सकता है। औपचारिक रूप से यह सन्निकटन परिवर्तनशील सिद्धांत पर आधारित है, जो नीचे से बंधे हैमिल्टनवासियों के लिए मान्य है।

गड़बड़ी सिद्धांत (क्वांटम यांत्रिकी)#प्रथम क्रम सुधार|प्रथम-क्रम गड़बड़ी सिद्धांत भी पतित राज्यों के लिए मैट्रिक्स आइगेनवैल्यू समस्या की ओर ले जाता है।

यह भी देखें

 * दोषपूर्ण मैट्रिक्स
 * स्केलिंग (ज्यामिति)
 * त्रिकोणीय मैट्रिक्स
 * अर्धसरल ऑपरेटर
 * विकर्णीय समूह
 * जॉर्डन सामान्य रूप
 * वजन मापांक - साहचर्य बीजगणित सामान्यीकरण
 * ऑर्थोगोनल विकर्णीकरण