क्लेब्स्च ग्राफ

ग्राफ सिद्धांत के गणित क्षेत्र में, क्लेब्स्च ग्राफ 16 शीर्ष्, 40 किनारों वाला 5-नियमित ग्राफ और 80 किनारों वाला 10-नियमित ग्राफ पर दो पूरक (ग्राफ सिद्धांत) ग्राफों में से एक है। 80-किनारे वाला ग्राफ़ आयाम-5 आधा घन ग्राफ है; इसे सेडेल (1968) द्वारा क्लेब्स्च ग्राफ नाम दिया गया था क्वार्टिक सतह पर 16 रेखाओं के विन्यास से इसके संबंध के कारण जर्मन गणितज्ञ अल्फ्रेड क्लेब्सच द्वारा 1868 में खोजी गई थी। 40-एज वैरिएंट आयाम-5 फोल्ड क्यूब ग्राफ है; के काम के बाद इसे ग्रीनवुड-ग्लीसन ग्राफ के रूप में भी जाना जाता है, जिन्होंने इसका उपयोग रैमसे संख्या R(3,3,3) = 17 का मूल्यांकन करने के लिए किया था।

निर्माण
आयाम-5 फ़ोल्ड क्यूब ग्राफ़ (5-रेगुलर क्लेब्स्च ग्राफ़) को 4-विमितीय हाइपरक्यूब ग्राफ़ में लम्बवत के विपरीत योग के बीच किनारों को जोड़कर बनाया जा सकता है। (एक n-विमितीय हाइपरक्यूब में, लम्बवत की जोड़ी विपरीत होती है यदि उनके बीच के सबसे छोटे रास्ते में n किनार होते हैं।) वैकल्पिक रूप से, इसे 5-विमितीय हाइपरक्यूब ग्राफ से पहचान द्वारा एक साथ (या अनुबंध) हर विपरीत जोड़ी शीर्ष् बनाया जा सकता है।

एक अन्य निर्माण, एक ही ग्राफ के लिए अग्रणी है, परिमित क्षेत्र GF(16) के प्रत्येक तत्व के लिए शीर्ष बनाना है, और जब भी संबंधित दो क्षेत्र तत्वों के बीच का अंतर घन (बीजगणित) होता है, तो एक किनारे से दो कोने जोड़ते हैं।

आयाम -5 आधा घन ग्राफ (10-नियमित क्लेब्स ग्राफ) 5-नियमित ग्राफ का पूरक (ग्राफ सिद्धांत) है। यह 5-आयामी हाइपरक्यूब के शीर्ष् से भी बनाया जा सकता है, जो कि शीर्ष् के योग को जोड़कर, जिनकी हैमिंग दूरी बिल्कुल दो है। यह निर्माण फ्रेंकल-रॉडल ग्राफ के निर्माण का उदाहरण है। यह 16 शीर्षों के दो उपसमुच्चय उत्पन्न करता है जो एक दूसरे से अलग हो जाते हैं; हाइपरक्यूब के ये दोनों अर्ध-वर्ग 10-नियमित क्लेब्स ग्राफ के ग्राफ समरूपता हैं। 5-नियमित क्लेब्स्च ग्राफ की दो प्रतियां उसी तरह से 5-आयामी हाइपरक्यूब से तैयार की जा सकती हैं, जो कि शीर्षों के योग को जोड़कर, जिनकी हैमिंग दूरी बिल्कुल चार है।

गुण
5-नियमित क्लेब्स्च ग्राफ मापदंड के साथ डिग्री 5 का दृढ़ता नियमित ग्राफ है $$(v,k,\lambda,\mu) = (16, 5, 0, 2)$$। इसका पूरक, 10-नियमित क्लेब्स्च ग्राफ, इसलिए एक दृढ़ता नियमित ग्राफ मापदंडों के साथ $$(16, 10, 6, 6)$$ भी है।

हैमिल्टनियन ग्राफ, प्लेनर ग्राफ और यूलेरियन ग्राफ 5-नियमित क्लेब्स ग्राफ है। यह 5-वर्टेक्स-कनेक्टेड ग्राफ और 5-एज-कनेक्टेड ग्राफ दोनों ही है। इस ग्राफ में किसी भी शीर्ष के दस गैर-पड़ोसियों द्वारा प्रेरित सबग्राफ पीटरसन ग्राफ की एक ग्राफ समरूपता कॉपी बनाता है।

इसमें पुस्तक मोटाई 4 और कतार संख्या 3 है।

पूर्ण ग्राफ के किनारे K16 5-नियमित क्लेबश ग्राफ की तीन अलग-अलग प्रतियों में विभाजित किया जा सकता है। क्‍योंकि क्‍लेबश ग्राफ त्रिभुज-मुक्त ग्राफ है, इससे पता चलता है कि K16 के किनारों का त्रिभुज-मुक्त तीन-रंग है; अर्थात्, रामसे संख्या R(3,3,3) त्रिभुज-मुक्त तीन-रंगों के बिना पूर्ण ग्राफ़ में शीर्षों की न्यूनतम संख्या का वर्णन करने वाला कम से कम 17 है। ने इस निर्माण का उपयोग उनके सबूत  R(3,3,3) = 17 के हिस्से के रूप में किया था। 5-नियमित क्लेब्स्च ग्राफ चार रंगों के साथ ग्राफ रंग हो सकता है, लेकिन तीन नहीं: इसके सबसे बड़े स्वतंत्र सेट (ग्राफ सिद्धांत) में पांच कोने हैं, ग्राफ को तीन स्वतंत्र रंग वर्गों में विभाजित करने के लिए पर्याप्त नहीं है। इसमें प्रेरित सबग्राफ के रूप में ग्रोट्ज़स्च ग्राफ, सबसे छोटा त्रिभुज-मुक्त ग्राफ त्रिभुज-मुक्त चार-रंगीन ग्राफ सम्मिलित है, और क्लेब्स्च ग्राफ के प्रत्येक चार-वर्णीय प्रेरित सबग्राफ, ग्रोट्ज़स्च ग्राफ का सुपरग्राफ है। अधिक दृढ़ता से, प्रत्येक त्रिभुज-मुक्त चार-रंगीन ग्राफ, जिसकी लंबाई छह या अधिक का कोई प्रेरित पथ नहीं है, क्लेब्स्च ग्राफ का प्रेरित सबग्राफ है और ग्रोट्ज़स्च ग्राफ का प्रेरित सुपरग्राफ है।

5-नियमित क्लेब्स्च ग्राफ केलर के आयाम दो का अनुमान है, ग्राफ़ के फ़ैमिली का हिस्सा अतिविम द्वारा उच्च-आयामी यूक्लिडियन समष्टि स्थान की टाइलिंग खोजने के लिए उपयोग किया जाता है, जिनमें से दो आमने-सामने मिलते हैं।

5-नियमित क्लेब्स्च ग्राफ को नियमित ग्राफ (ग्राफ सिद्धांत) के रूप में जीनस 5 के ओरिएंटेबल मैनिफोल्ड में एम्बेड किया जा सकता है, जो पंचकोणी आनन का निर्माण करता है; और जीनस 6 की गैर-उन्मुख सतह में, चतुष्कोणीय आनन बनाते हैं।

बीजगणितीय गुण
5-नियमित क्लेब्स ग्राफ का अभिलाक्षणिक बहुपद है $$(x+3)^5(x-1)^{10}(x-5)$$. क्योंकि इस बहुपद को पूर्णांक गुणांक वाले रैखिक शब्दों में पूरी तरह से विभाजित किया जा सकता है, क्लेबश ग्राफ अभिन्न ग्राफ है: इसके वर्णक्रमीय ग्राफ सिद्धांत में पूरी तरह से पूर्णांक होते हैं। इस विशेषता बहुपद के साथ क्लेब्स्च ग्राफ एकमात्र ग्राफ है, जो इसे अपने वर्णक्रम द्वारा निर्धारित ग्राफ बनाता है।

5-नियमित क्लेब्स्च ग्राफ केली ग्राफ है जिसमें ऑर्डर 1920 का स्वसमाकृतिकता  समूह है, जो कॉक्सेटर समूह $$D_5$$ के लिए समरूपी है। केली ग्राफ के रूप में, इसका  स्वसमाकृतिकता  समूह इसके शीर्ष् पर सकर्मक रूप से कार्य करता है, जिससे यह शीर्ष-संक्रमणीय ग्राफ बन जाता है। वास्तव में, यह सममित ग्राफ है, इसलिए बढ़त-संक्रमणीय ग्राफ और दूरी-संक्रमणीय ग्राफ। यह सजातीय ग्राफ भी है | जुड़ा हुआ-सजातीय, जिसका अर्थ है कि दो जुड़े प्रेरित सबग्राफ के बीच प्रत्येक समरूपता को पूरे ग्राफ के एक  स्वसमाकृतिकता  तक बढ़ाया जा सकता है।