स्पेक्ट्रल लीकेज

फूरियर रूपांतरण एक ऐसा रूपांतरण है जो समय के फ़ंक्शन s(t), का आवृत्ति S(f), का एक जटिल मूल्यांकन (कॉम्प्लेक्स वैल्यूड) फ़ंक्शन है, जिसे प्रायः आवृत्ति स्पेक्ट्रम के रूप में जाना जाता है। कोई भी सिस्टम सिद्धांत s(t) पर रैखिक समय-अपरिवर्तनीय (एलटीआई) ऑपरेशन H(f)•S(f) के फॉर्म का एक नया स्पेक्ट्रम उत्पन्न करता है। S(f), जो गैर के सापेक्ष परिमाण और/या कोण (चरण) को बदलता है। -S(f) का शून्य मान हो। किसी भी अन्य प्रकार का ऑपरेशन नए आवृत्ति घटकों का निर्माण करता है जिन्हें व्यापक अर्थों में वर्णक्रमीय रिसाव के रूप में संदर्भित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सैंपलिंग (सिग्नल प्रोसेसिंग), रिसाव उत्पन्न करता है, जिसे हम मूल वर्णक्रमीय घटक का अलियासिंग कहते हैं। फूरियर ट्रांसफॉर्म उद्देश्यों के लिए, सैंपलिंग (सिग्नल प्रोसेसिंग) को s(t) और  डिरैक कोंब फ़ंक्शन के बीच एक उत्पाद के रूप में तैयार किया गया है। किसी उत्पाद का स्पेक्ट्रम S(f) और एक अन्य फ़ंक्शन के बीच का कनवल्शन है, जो अनिवार्य रूप से नए आवृत्ति घटकों का निर्माण करता है। लेकिन 'लीकेज' शब्द सामान्यतः विंडोइंग के प्रभाव को संदर्भित करता है, जो एक अलग प्रकार के फ़ंक्शन, विंडो फ़ंक्शन के साथ s(t) का उत्पाद है। विंडो फ़ंक्शंस की अवधि सीमित होती है, लेकिन रिसाव उत्पत्ति करने के लिए यह आवश्यक नहीं है। समय-संस्करण फ़ंक्शन द्वारा गुणा करना पर्याप्त है।

वर्णक्रमीय विश्लेषण
आवृत्ति ±ω को छोड़कर, फ़ंक्शन cos(ωt) का फूरियर रूपांतरण शून्य होता है। हालाँकि, कई अन्य कार्यों और तरंगों में सुविधाजनक संवृत-रूप परिवर्तन नहीं होते हैं। वैकल्पिक रूप से, किसी को केवल एक निश्चित समय अवधि के दौरान ही उनकी वर्णक्रमीय सामग्री में रुचि हो सकती है। किसी भी परिस्थिति में, फूरियर ट्रांसफॉर्म (या एक समान ट्रांसफॉर्म) तरंगरूप के एक या अधिक सीमित अंतराल पर लागू किया जा सकता है। सामान्य तौर पर, परिवर्तन तरंगरूप और विंडो फ़ंक्शन के उत्पाद पर लागू होता है। कोई भी विंडो (रेक्टेंगुलर सहित) इस विधि द्वारा गणना किए गए वर्णक्रमीय अनुमान को प्रभावित करती है।

प्रभावों को साइनसॉइडल s(t) फ़ंक्शन पर उनके प्रभाव से सबसे आसानी से पहचाना जा सकता है, जिसका अनविंडोड फूरियर ट्रांसफॉर्म एक आवृत्ति को छोड़कर सभी के लिए शून्य है। प्रथागत आवृत्ति 0 हर्ट्ज है, क्योंकि विंडोड फूरियर ट्रांसफॉर्म केवल विंडो फ़ंक्शन का फूरियर ट्रांसफॉर्म है (देखें) ):


 * $$\mathcal{F}\{ w(t)\cdot \underbrace{\cos(2\pi 0 t)}_{1}\} = \mathcal{F}\{ w(t)\}.$$

जब सैंपलिंग और विंडोिंग दोनों को s(t) पर लागू किया जाता है, तो किसी भी क्रम में, विंडोिंग के कारण होने वाला रिसाव आवृत्ति घटकों का अपेक्षाकृत स्थानीयकृत प्रसार होता है, जिसमें प्रायः धुंधला प्रभाव होता है, जबकि सैंपलिंग के कारण होने वाला अलियासिंग संपूर्ण धुंधले स्पेक्ट्रम की आवधिक पुनरावृत्ति है।





विंडो फ़ंक्शन का चयन
एक साधारण तरंगरूप की विंडोइंग जैसे $cos(ωt)$ इसके फूरियर रूपांतरण के कारण ω के अलावा अन्य आवृत्तियों पर गैर-शून्य मान (सामान्यतः वर्णक्रमीय रिसाव कहा जाता है) विकसित होता है। रिसाव ω के पास निकृष्‍ट (उच्चतम) होता है और ω से अति दूर की आवृत्तियों पर सबसे निम्नतम होता है।

यदि विश्लेषण के तहत तरंगरूप में विभिन्न आवृत्तियों के दो साइनसॉइड सम्मिलित हैं, तो रिसाव उन्हें वर्णक्रमीय रूप से अलग करने की हमारी क्षमता में हस्तक्षेप कर सकता है। संभावित प्रकार के हस्तक्षेप को प्रायः दो विरोधी वर्गों में विभाजित किया जाता है: यदि घटक आवृत्तियाँ असमान हैं और एक घटक अशक्त है, तो सशक्त घटक से रिसाव अशक्त घटक की उपस्थिति को अस्पष्ट कर सकता है। लेकिन यदि आवृत्तियाँ बहुत समान हैं, तो साइनसॉइड समान शक्ति के होने पर भी रिसाव उन्हें अघुलनशील बना सकता है। विंडोज़ जो पहले प्रकार के हस्तक्षेप के खिलाफ प्रभावी हैं, अर्थात् जहां घटकों में असमान आवृत्तियों और आयाम होते हैं, उन्हें उच्च गतिक परिसर कहा जाता है। इसके विपरीत, ऐसी विंडो जो समान आवृत्तियों और आयामों वाले घटकों को अलग कर सकती हैं, उच्च रिज़ॉल्यूशन कहलाती हैं।

रेक्टेंगुलर विंडो एक ऐसी विंडो का उदाहरण है जो उच्च रिज़ॉल्यूशन लेकिन निम्न गतिक परिसर है, जिसका अर्थ है कि यह समान आयाम के घटकों को अलग करने के लिए अच्छा है, भले ही आवृत्तियां भी करीब हों, लेकिन आवृत्तियों के करीब या बहुत दूर होने पर भी विभिन्न आयाम के घटकों को अलग करने में अपर्याप्त हैl उच्च-रिज़ॉल्यूशन, निम्न-गतिक परिसर वाली विंडोस जैसे रेक्टेंगुलर विंडोमें भी उच्च 'संवेदनशीलता ' का गुण होता है, जो कि योगात्मक यादृच्छिक (रव) की उपस्थिति में अपेक्षाकृत अशक्त साइनसॉइड को प्रकट करने की क्षमता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि उच्च-रिज़ॉल्यूशन वाली विंडोस की तुलना में उच्च-गतिक परिसर वाली विंडोस में  अधिक सशक्त प्रतिक्रिया उत्पन्न करता है।

विंडो के प्रकारों की सीमा के दूसरे छोर पर उच्च गतिक परिसर है लेकिन, निम्न रिज़ॉल्यूशन और संवेदनशीलता वाली विंडो हैं। उच्च गतिक परिस (हाई-गतिक परिसर) विंडो को प्रायः वाइडबैंड अनुप्रयोगों में उचित ठहराया जाता है, जहां विश्लेषण किए जा रहे स्पेक्ट्रम में विभिन्न आयामों के कई अलग-अलग घटक सम्मिलित होने की उम्मीद होती है।

चरम स्थितियों के बीच में मॉडरेट (मध्यम) विंडो हैं, जैसे कि विंडो फ़ंक्शन हैन एंड हैमिंग विंडोज़ है l इनका उपयोग सामान्यतः नैरोबैंड अनुप्रयोगों में किया जाता है, जैसे कि टेलीफोन चैनल का स्पेक्ट्रम होता है।

संक्षेप में, वर्णक्रमीय विश्लेषण में समान आवृत्तियों (उचच रिज़ॉल्यूशन / संवेदनशीलता) के साथ तुलनीय शक्ति घटकों को हल करने और असमान आवृत्तियों (उच्च गतिक परिसर) के साथ असमान शक्ति घटकों को हल करने के बीच ट्रेड-ऑफ़ सम्मिलित है। वह ट्रेड-ऑफ़ तब होता है जब विंडो फ़ंक्शन चुना जाता है।

असतत-समय संकेत
जब इनपुट तरंग को निरंतर के बजाय टाइम-सैंपल किया जाता है, तो विश्लेषण सामान्यतः एक विंडो फ़ंक्शन और फिर एक अलग फूरियर ट्रांसफॉर्म (डीएफटी) लागू करके किया जाता है। लेकिन डीएफटी वास्तविक असतत-समय फूरियर ट्रांसफॉर्म (डीटीएफटी) स्पेक्ट्रम का केवल एक विरल सैंपल प्रदान करता है। चित्र 2, पंक्ति 3 एक रेक्टेंगुलर विंडोवाले साइनसॉइड के लिए एक डीटीएफटी दिखाती है। साइनसॉइड की वास्तविक आवृत्ति क्षैतिज अक्ष पर  13  के रूप में इंगित की गई है। बाकी सब कुछ रिसाव है, जिसे लॉगरिदमिक प्रस्तुति के उपयोग से बढ़ा-चढ़ाकर पेश किया गया है। आवृत्ति की इकाई  डीएफटी बिन  है; अर्थात्, आवृत्ति अक्ष पर पूर्णांक मान डीएफटी द्वारा सैंपल की गई आवृत्तियों के अनुरूप हैं। तो यह आंकड़ा एक ऐसे परिस्थिती को दर्शाता है जहां साइनसॉइड की वास्तविक आवृत्ति डीएफटी सैंपल के साथ मेल खाती है, और स्पेक्ट्रम का अधिकतम मूल्य उस सैंपल द्वारा सटीक रूप से मापा जाता है। पंक्ति 4 में, यह ½ बिन द्वारा अधिकतम मान से चूक जाता है, और परिणामी माप त्रुटि को स्कैलोपिंग लॉस (चोटी के आकार से प्रेरित) के रूप में जाना जाता है। एक ज्ञात आवृत्ति के लिए, जैसे कि एक संगीत नोट या एक साइनसॉइडल परीक्षण सिग्नल, एक डीएफटी बिन के साथ आवृत्ति का मिलान एक सैंपल दर और एक विंडो लंबाई के विकल्पों द्वारा पूर्व-व्यवस्थित किया जा सकता है जिसके परिणामस्वरूप विंडो के भीतर चक्रों की एक पूर्णांक संख्या होती है।

बैंडविड्थ
रिज़ॉल्यूशन और गतिक परिसर  (डायनेमिक रेंज) की अवधारणाएँ कुछ हद तक व्यक्तिपरक होती हैं, यह इस पर निर्भर करता है कि उपयोगकर्ता वास्तव में क्या करने का प्रयास कर रहा है। लेकिन वे कुल रिसाव के साथ भी अत्यधिक सहसंबद्ध होते हैं, जो कि मात्रात्मक है। इसे सामान्यतः समतुल्य बैंडविड्थ, B के रूप में व्यक्त किया जाता है। इसे वर्णक्रमीय अधिकतम और चौड़ाई B के बराबर ऊंचाई के साथ डीटीएफटी को एक रेक्टेंगुलर आकार में पुनर्वितरित करने के रूप में सोचा जा सकता है।  जितना अधिक रिसाव, उतनी अधिक बैंडविड्थ। इसे कभी-कभी  समकक्ष बैंडविड्थ या समकक्ष  बैंडविड्थ कहा जाता है, क्योंकि यह औसत शक्ति के समानुपाती होता है जो प्रत्येक डीएफटी बिन द्वारा पंजीकृत किया जाएगा जब इनपुट सिग्नल में एक यादृच्छिक  घटक होता है (या ' केवल यादृच्छिक  होता है)। समय के साथ औसत किए गए पावर स्पेक्ट्रम का एक ग्राफ, सामान्यतः इस प्रभाव के कारण एक सपाट  तल (फ्लैट नॉइज़ फ्लोर) को दर्शाता है।  तल (नॉइज़ फ्लोर) की ऊंचाई B के समानुपाती होती है। इसलिए दो अलग-अलग विंडो फ़ंक्शन अलग-अलग  तल उत्पन्न कर सकते हैं, जैसा कि आंकड़े 1 और 3 में देखा गया है।

प्रसंस्करण लाभ और हानि
सिग्नल प्रोसैसिंग में, सिग्नल और दूषित प्रभावों के बीच अंतर का फायदा उठाकर सिग्नल की गुणवत्ता के कुछ पहलू में सुधार करने के लिए संचालन को चुना जाता है। जब सिग्नल योगात्मक यादृच्छिक से दूषित एक साइनसॉइड होता है, तो वर्णक्रमीय विश्लेषण सिग्नल और  घटकों को अलग-अलग वितरित करता है, जिससे प्रायः सिग्नल की उपस्थिति का पता लगाना या आयाम और आवृत्ति जैसी कुछ विशेषताओं को मापना आसान हो जाता है। प्रभावी रूप से,  को समान रूप से वितरित करके सिग्नल-टू- अनुपात/सिग्नल-टू-नॉइज़ रेश्यो (एसएनआर) में सुधार किया जाता है, जबकि साइनसॉइड की अधिकांश ऊर्जा को एक आवृत्ति के आसपास केंद्रित किया जाता है। प्रोसेसिंग गेन एक शब्द है जिसका उपयोग प्रायः एसएनआर सुधार का वर्णन करने के लिए किया जाता है। वर्णक्रमीय विश्लेषण का प्रसंस्करण लाभ विंडो फ़ंक्शन, इसके  बैंडविड्थ (B) और इसके संभावित स्कैलपिंग लॉस दोनों पर निर्भर करता है। ये प्रभाव आंशिक रूप से ऑफसेट होते हैं, क्योंकि निम्न से निम्न स्कैलपिंग वाली विंडोस में स्वाभाविक रूप से सबसे अधिक रिसाव होता है।

चित्र 3 एक ही डेटा सेट पर तीन अलग-अलग विंडो फ़ंक्शंस के प्रभावों को दर्शाता है, जिसमें एडिटिव में दो समान शक्ति वाले साइनसॉइड सम्मिलित हैं। साइनसोइड्स की आवृत्तियों को इस तरह चुना जाता है कि एक को स्कैलपिंग का सामना नहीं करना पड़ता है और दूसरे को अधिकतम स्कैलपिंग का सामना करना पड़ता है। दोनों साइनसॉइड्स को विंडो फ़ंक्शंस की सूची हैन और हैमिंग विंडोज़l विंडो के अंतर्गत विंडो फ़ंक्शंस की सूची ब्लैनिम्नैन हैरिस_विंडो| ब्लैनिम्नैन-हैरिस विंडो की तुलना में निम्न एसएनआर हानि होती है। सामान्य तौर पर (जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है), यह निम्न-गतिक परिसर अनुप्रयोगों में उच्च-गतिक परिसर विंडो का उपयोग करने में एक बाधा है।

समरूपता
सूत्र यहां उपलब्ध कराए गए हैं असतत अनुक्रम उत्पन्न करें, जैसे कि एक सतत विंडो फ़ंक्शन का सैंपल लिया गया हो। (कैसर विंडो पर एक उदाहरण देखें।) वर्णक्रमीय विश्लेषण के लिए विंडो अनुक्रम या तो सममित हैं या सममित से 1-सैंपल निम्न हैं (आवधिक कहा जाता है,  डीएफटी-सम, या डीएफटी-सममित ). उदाहरण के लिए, एक सच्चा सममित अनुक्रम, जिसकी अधिकतम सीमा एक केंद्र-बिंदु पर होती है,मैटलैब (MATLAB) फ़ंक्शन द्वारा उत्पन्न होता है. अंतिम सैंपल को हटाने से समान अनुक्रम उत्पन्न होता है. इसी प्रकार क्रम  इसके दो समान केंद्र-बिंदु हैं।

कुछ फ़ंक्शंस में एक या दो जीरो-वैल्यूड एन्ड -पॉइंट्स होते हैं, जो अधिकांश अनुप्रयोगों में अनावश्यक होते हैं। जीरो-वैल्यूड एन्ड -पॉइंट्स को हटाने से इसके डीटीएफटी (वर्णक्रमीय रिसाव) पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। लेकिन जिस फ़ंक्शन के लिए डिज़ाइन किया गया है $N$+1 या $N$+2 नमूनों में, एक या दोनों एन्ड -पॉइंट्स को हटाने की प्रत्याशा में, सामान्यतः थोड़ा संकीर्ण मुख्य लोब, थोड़ा ऊंचा साइडलोब और थोड़ा छोटा नॉइज़-बैंडविड्थ होता है।

डीएफटी-समरूपता
डीएफटी का पूर्ववर्ती परिमित फूरियर रूपांतरण है, और विंडो फ़ंक्शंस प्रायः विषम संख्या में बिंदु होते थे और मूल के बारे में समरूपता प्रदर्शित करते थे। उस स्थिति में, डीटीएफटी (DTFT) पूरी तरह से वास्तविक मूल्यांकन है। जब उसी क्रम को डीएफटी डेटा विंडो में स्थानांतरित किया जाता है, $$[0\le n \le N],$$ के नियमित अंतराल पर स्थित आवृत्तियों को छोड़कर डीटीएफटी जटिल मूल्यांकन हो जाता है $$1/N.$$ इस प्रकार, जब एक द्वारा सैंपल लिया गया $$N$$-लंबाई डीएफटी, सैंपल (जिन्हें डीएफटी गुणांक कहा जाता है) अभी भी वास्तविक मूल्य वाले हैं। एक सन्निकटन को छोटा करना है $N$+1-लंबाई अनुक्रम (प्रभावी ढंग से $$w[N]=0$$), और गणना करें $$N$$-लंबाई डीएफटी. डीटीएफटी (वर्णक्रमीय रिसाव) थोड़ा प्रभावित होता है, लेकिन सैंपल वास्तविक मूल्यांकन वाले बने रहते हैं। डीएफटी-सम और आवधिक शब्द इस विचार को संदर्भित करते हैं कि यदि संक्षिप्त अनुक्रम को समय-समय पर दोहराया जाता है, तो यह सम-सममित होगा $$n=0,$$ और इसका डीटीएफटी पूरी तरह से वास्तविक मूल्य वाला होगा। लेकिन वास्तविक डीटीएफटी सामान्यतः जटिल मूल्यांकन है, सिवाय इसके $$N$$ डीएफटी गुणांक है। उन जैसे स्पेक्ट्रल प्लॉट, की तुलना में बहुत छोटे अंतराल पर डीटीएफटी का सैंपल लेकर उत्पादित किया जाता है $$1/N$$ और सम्मिश्र संख्याओं का केवल परिमाण घटक प्रदर्शित कर रहा है।

आवधिक योग
डीटीएफटी का सैंपल लेने की एक सटीक विधि $N$+1-लंबाई अनुक्रम के अंतराल पर $$1/N$$ में वर्णित है. अनिवार्य रूप से, $$w[N]$$ के साथ संयुक्त है $$w[0]$$ (जोड़कर), और एक $$N$$-बिंदु डीएफटी संक्षिप्त अनुक्रम पर किया जाता है। इसी प्रकार, संयोजन करके वर्णक्रमीय विश्लेषण किया जाएगा $$n=0$$ और $$n=N$$ डेटा सैंपल संक्षिप्त सममित विंडो को लागू करने से पहले किया जाता है। यह कोई सामान्य प्रथा नहीं है, भले ही संक्षिप्त विंडोस बहुत लोकप्रिय हैं।

कनवल्शन
डीएफटी-सममित विंडोस की अपील को डीएफटी के कार्यान्वयन के लिए फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म (एफएफटी) एल्गोरिदम की लोकप्रियता से समझाया गया है, क्योंकि एक विषम-लंबाई अनुक्रम के कटाव के परिणामस्वरूप एक समान-लंबाई अनुक्रम होता है। उनके वास्तविक-मूल्य वाले डीएफटी गुणांक भी कुछ गूढ़ अनुप्रयोगों में एक लाभ हैं जहां विंडोिंग को डीएफटी गुणांक और डेटा के अनविंडोड डीएफटी के बीच डिस्क्रीट फूरियर ट्रांसफॉर्म कन्वोल्यूशन प्रमेय द्वंद्व के माध्यम से प्राप्त किया जाता है।   उन अनुप्रयोगों में, कोसाइन-सम विंडो कोसाइन -सम परिवार से डीएफटी-सममित विंडो (सम या विषम लंबाई) को प्राथमिकता दी जाती है, क्योंकि उनके अधिकांश डीएफटी गुणांक शून्य-मूल्य वाले होते हैं, जिससे कनवल्शन बहुत कुशल हो जाता है।

कुछ विंडो मेट्रिक्स
किसी एप्लिकेशन के लिए उपयुक्त विंडो फ़ंक्शन का चयन करते समय, यह तुलना ग्राफ़ उपयोगी हो सकता है। जब लंबाई N की विंडो को डेटा पर लागू किया जाता है और लंबाई N के परिवर्तन की गणना की जाती है, तो आवृत्ति अक्ष में एफएफटी डिब्बे की इकाइयाँ होती हैं। उदाहरण के लिए, आवृत्ति ½ बिन पर मान वह प्रतिक्रिया है जिसे आवृत्ति k + ½ पर एक साइनसॉइडल सिग्नल के लिए बिन k और k + 1 में मापा जाएगा। यह अधिकतम संभव प्रतिक्रिया के सापेक्ष है, जो तब होता है जब सिग्नल आवृत्ति डिब्बे की पूर्णांक संख्या होती है। आवृत्ति ½ पर मान को विंडो की अधिकतम स्कैलपिंग हानि के रूप में जाना जाता है, जो विंडोज़ की तुलना करने के लिए उपयोग की जाने वाली एक मीट्रिक है। उस मीट्रिक के संदर्भ में रेक्टेंगुलर विंडो दूसरों की तुलना में काफी अपर्याप्त है।

अन्य मेट्रिक्स जिन्हें देखा जा सकता है वे हैं मुख्य लोब की चौड़ाई और साइडलोब का शिखर स्तर, जो क्रमशः तुलनीय शक्ति संक्षिप्त और असमान शक्ति संक्षिप्त को हल करने की क्षमता निर्धारित करते हैं। रेक्टेंगुलर विंडो (उदाहरण के लिए) पहले वाले के लिए सबसे अच्छा विकल्प है और दूसरे के लिए निकृष्‍ट विकल्प है। ग्राफ़ से जो नहीं देखा जा सकता है वह यह है कि रेक्टेंगुलर विंडो में सबसे अच्छा बैंडविड्थ है, जो इसे अन्यथा वाइट नॉइज़ वाले वातावरण में निम्न-स्तर के साइनसॉइड का पता लगाने के लिए एक अच्छा उम्मीदवार बनाता है।  इंटरपोलेशन तकनीकें, जैसे कि डिस्क्रीट-टाइम फूरियर ट्रांसफॉर्म जीरो-पैडिंग और फ्रीक्वेंसी-शिफ्टिंग, इसके संभावित स्कैलपिंग लॉस को निम्न करने के लिए उपलब्ध हैं।

यह भी देखें

 * नाइफ-एज इफ़ेक्ट
 * गिब्स घटना
 * गिब्स घटना