त्रिगामा फलन

गणित में, त्रिगामा फलन, निरूपित किया जाता है $ψ_{1}(z)$ या $ψ_{1}(z)$, बहुविवाह कार्यों में से दूसरा है, और इसके द्वारा परिभाषित किया गया है


 * $$\psi_1(z) = \frac{d^2}{dz^2} \ln\Gamma(z)$$.

इस परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि


 * $$\psi_1(z) = \frac{d}{dz} \psi(z)$$

कहाँ $ψ^{(1)}(z)$ डिगामा फ़ंक्शन है। इसे श्रृंखला के योग के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है (गणित)


 * $$ \psi_1(z) = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{1}{(z + n)^2}, $$

इसे हर्विट्ज़ ज़ेटा फ़ंक्शन का एक विशेष मामला बनाना


 * $$ \psi_1(z) = \zeta(2,z).$$

ध्यान दें कि अंतिम दो सूत्र कब मान्य हैं $ψ(z)$ कोई प्राकृत संख्या नहीं है.

गणना
ऊपर दिए गए विकल्पों के विकल्प के रूप में एक दोहरा अभिन्न प्रतिनिधित्व, श्रृंखला प्रतिनिधित्व से प्राप्त किया जा सकता है:


 * $$ \psi_1(z) = \int_0^1\!\!\int_0^x\frac{x^{z-1}}{y(1 - x)}\,dy\,dx$$

एक ज्यामितीय श्रृंखला के योग के लिए सूत्र का उपयोग करना। एकीकरण ख़त्म $1 − z$ पैदावार:


 * $$ \psi_1(z) = -\int_0^1\frac{x^{z-1}\ln{x}}{1-x}\,dx $$

लॉरेंट श्रृंखला के रूप में एक स्पर्शोन्मुख विस्तार है


 * $$ \psi_1(z) = \frac{1}{z} + \frac{1}{2z^2} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{B_{2k}}{z^{2k+1}} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_k}{z^{k+1}} $$

अगर हमने चुना है $y$, यानी दूसरे प्रकार की बर्नौली संख्या।

पुनरावृत्ति और प्रतिबिंब सूत्र
ट्राइगामा फ़ंक्शन पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करता है


 * $$ \psi_1(z + 1) = \psi_1(z) - \frac{1}{z^2}$$

और प्रतिबिंब सूत्र


 * $$ \psi_1(1 - z) + \psi_1(z) = \frac{\pi^2}{\sin^2 \pi z} \,$$

जो तुरंत z का मान देता है = $1⁄2$: $$ \psi_1(\tfrac{1}{2})=\tfrac{\pi^2}{2} $$.

विशेष मूल्य
धनात्मक आधे पूर्णांक मानों पर हमारे पास वह है

\psi_1\left(n+\frac12\right)=\frac{\pi^2}{2}-4\sum_{k=1}^n\frac{1}{(2k-1)^2}. $$ इसके अलावा, ट्राइगामा फ़ंक्शन में निम्नलिखित विशेष मान हैं:


 * $$\begin{align}

\psi_1\left(\tfrac14\right) &= \pi^2 + 8G \quad & \psi_1\left(\tfrac12\right) &= \frac{\pi^2}{2} & \psi_1(1) &= \frac{\pi^2}{6} \\[6px] \psi_1\left(\tfrac32\right) &= \frac{\pi^2}{2} - 4 & \psi_1(2) &= \frac{\pi^2}{6} - 1 \quad \end{align}$$ कहाँ $G$ कैटलन स्थिरांक का प्रतिनिधित्व करता है।

की वास्तविक धुरी पर कोई जड़ें नहीं हैं $B_{1} = 1⁄2$, लेकिन जड़ों के अनंत जोड़े मौजूद हैं $ψ_{1}$ के लिए $z_{n}, \overline{z_{n}}$. जड़ों का ऐसा प्रत्येक जोड़ा निकट आता है $Re z < 0$ तेजी से और उनका काल्पनिक भाग धीरे-धीरे लघुगणकीय रूप से बढ़ता है $n$. उदाहरण के लिए, $Re z_{n} = −n + 1⁄2$ और $z_{1} = −0.4121345... + 0.5978119...i$ के साथ पहली दो जड़ें हैं $z_{2} = −1.4455692... + 0.6992608...i$.

क्लॉज़ेन फ़ंक्शन से संबंध
तर्कसंगत तर्कों पर डिगामा फ़ंक्शन को डिगामा फ़ंक्शन # गॉस के डिगामा प्रमेय द्वारा त्रिकोणमितीय कार्यों और लघुगणक के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। एक समान परिणाम ट्राइगामा फ़ंक्शन के लिए होता है लेकिन वृत्ताकार फ़ंक्शन को क्लॉज़ेन फ़ंक्शन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है | क्लॉज़ेन का फ़ंक्शन। अर्थात्,

\psi_1\left(\frac{p}{q}\right)=\frac{\pi^2}{2\sin^2(\pi p/q)}+2q\sum_{m=1}^{(q-1)/2}\sin\left(\frac{2\pi mp}{q}\right)\textrm{Cl}_2\left(\frac{2\pi m}{q}\right). $$

गणना और सन्निकटन
ट्राइगामा फ़ंक्शन का अनुमान लगाने का एक आसान तरीका डिगामा फ़ंक्शन #एसिम्प्टोटिक विस्तार का व्युत्पन्न लेना है।


 * $$ \psi_1(x) \approx \frac{1}{x} + \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{6x^3} - \frac{1}{30x^5} + \frac{1}{42x^7} - \frac{1}{30x^9} + \frac{5}{66x^{11}} - \frac{691}{2730x^{13}} + \frac{7}{6x^{15}}$$

सूरत
त्रिगामा फ़ंक्शन इस योग सूत्र में प्रकट होता है:


 * $$ \sum_{n=1}^\infty\frac{n^2-\frac12}{\left(n^2+\frac12\right)^2}\left(\psi_1\bigg(n-\frac{i}{\sqrt{2}}\bigg)+\psi_1\bigg(n+\frac{i}{\sqrt{2}}\bigg)\right)=

-1+\frac{\sqrt{2}}{4}\pi\coth\frac{\pi}{\sqrt{2}}-\frac{3\pi^2}{4\sinh^2\frac{\pi}{\sqrt{2}}}+\frac{\pi^4}{12\sinh^4\frac{\pi}{\sqrt{2}}}\left(5+\cosh\pi\sqrt{2}\right). $$

यह भी देखें

 * गामा फ़ंक्शन
 * समारोह में कमी
 * बहुविवाह समारोह
 * कैटलन स्थिरांक

संदर्भ

 * Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. See section §6.4
 * Eric W. Weisstein. Trigamma Function -- from MathWorld--A Wolfram Web Resource