क्वांटम विशेषताओं की विधि

क्वांटम विशेषताएँ फेज-स्पेस प्रक्षेपवक्र हैं जो विहित निर्देशांक और संवेग के हाइजेनबर्ग ऑपरेटरों के वेइल-विग्नर परिवर्तन के माध्यम से क्वांटम यांत्रिकी के फेज स्पेस निर्माण में उत्पन्न होती हैं। यह प्रक्षेपवक्र क्वांटम रूप में हैमिल्टन समीकरणों का पालन करते हैं और विशेषताओं की विधि की भूमिका निभाते हैं जिसके संदर्भ में समय-निर्भर वेइल के क्वांटम ऑपरेटरों के प्रतीकों को व्यक्त किया जा सकता है। इस प्रकार मौलिक सीमा में, क्वांटम विशेषताएँ मौलिक प्रक्षेपवक्र तक कम हो जाती हैं। इस प्रकार क्वांटम विशेषताओं का ज्ञान क्वांटम गतिशीलता के ज्ञान के समान है।

वेइल-विग्नर एसोसिएशन नियम
हैमिल्टनियन यांत्रिकी में, स्वतंत्रता की $$n$$ डिग्री वाली मौलिक प्रणालियों को $$2n$$ विहित निर्देशांक और संवेग द्वारा वर्णित किया गया है
 * $$\xi^{i} = (x^1, \ldots, x^n, p_1, \ldots , p_n) \in \R^{2n},$$
 * जो फेज स्पेस में समन्वय प्रणाली बनाते हैं। यह वैरिएबल पॉइसन ब्रैकेट संबंधों को संतुष्ट करते हैं
 * $$\{\xi^{k},\xi^{l}\}=-I^{kl}.$$
 * स्केव-सममित आव्यूह $$I^{kl}$$,


 * $$\left\| I\right\| =

\begin{Vmatrix} 0 & -E_{n} \\ E_{n} & 0 \end{Vmatrix},$$ जहां $$E_n$$ $$n \times n$$ पहचान आव्यूह है, फेज स्पेस में गैर-अपक्षयी 2-रूप को परिभाषित करता है। फेज स्पेस इस प्रकार एक सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड की संसंयोजन प्राप्त कर लेता है। इस प्रकार फेज स्पेस मीट्रिक स्पेस नहीं है, इसलिए दो बिंदुओं के मध्य की दूरी परिभाषित नहीं है। दो कार्यों के पॉइसन ब्रैकेट की व्याख्या एक समांतर चतुर्भुज के उन्मुख क्षेत्र के रूप में की जा सकती है, जिसके आसन्न पक्ष इन कार्यों के ग्रेडिएंट हैं। यूक्लिडियन विभेदकिक्ष में घूर्णन दो बिंदुओं के मध्य की दूरी को अपरिवर्तित छोड़ देता है। इस प्रकार सिंपलेक्टिक मैनिफ़ोल्ड में विहित परिवर्तन क्षेत्रों को अपरिवर्तनीय छोड़ देते हैं।

क्वांटम यांत्रिकी में, विहित वैरिएबल $$\xi$$ विहित निर्देशांक और संवेग के संचालकों से जुड़े हैं


 * $$\hat{\xi}^{i} = (\hat{x}^1, \ldots, \hat{x}^n, \hat{p}_1, \ldots , \hat{p}_n) \in \operatorname{Op}(L^2(\R^n)).$$
 * यह ऑपरेटर हिल्बर्ट क्षेत्र में कार्य करते हैं और कम्यूटेशन संबंधों का पालन करते हैं


 * $$[\hat{\xi}^{k},\hat{\xi}^{l}] = -i\hbar I^{kl}.$$

वेइल का एसोसिएशन नियम कॉरेस्पोंडेंस $$\xi^i \rightarrow \hat{\xi}^i$$ को इच्छानुसार विधि से फेज-स्पेस फंक्शन और ऑपरेटरों तक विस्तारित करता है।

टेलर विस्तार
एक पक्ष एसोसिएशन नियम $$f(\xi) \to \hat{f}$$ प्रारंभ में वेइल द्वारा विहित वैरिएबल के ऑपरेटरों के कार्यों की टेलर विस्तार की सहायता से तैयार किया गया था


 * $$\hat{f} = f(\hat{\xi}) \equiv \sum_{s=0}^{\infty } \frac{1}{s!}

\frac{\partial ^{s}f(0)}{\partial \xi^{i_1}\ldots\partial \xi ^{i_s}} \hat{\xi}^{i_1} \ldots \hat{\xi}^{i_s}.$$
 * ऑपरेटर $$\hat{\xi}$$ आवागमन नहीं करते हैं, इसलिए टेलर विस्तार को विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं किया गया है। उपरोक्त विधि ऑपरेटरों के सममित प्रोडक्टों का उपयोग करता है। वास्तविक कार्य हर्मिटियन ऑपरेटरों के अनुरूप हैं। फलन $$f(\xi)$$ को वेइल ऑपरेटर का प्रतीक $$\hat{f}$$ कहा जाता है
 * ऑपरेटर $$\hat{\xi}$$ आवागमन नहीं करते हैं, इसलिए टेलर विस्तार को विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं किया गया है। उपरोक्त विधि ऑपरेटरों के सममित प्रोडक्टों का उपयोग करता है। वास्तविक कार्य हर्मिटियन ऑपरेटरों के अनुरूप हैं। फलन $$f(\xi)$$ को वेइल ऑपरेटर का प्रतीक $$\hat{f}$$ कहा जाता है

रिवर्स एसोसिएशन के अनुसार $$f(\xi) \leftarrow \hat{f}$$, घनत्व आव्यूह विग्नर अर्ध-संभावना डिस्ट्रिब्यूशन में परिवर्तित हो जाता है। इस प्रकार विग्नर फंक्शन के क्वांटम मल्टी-बॉडी फिजिक्स, काइनेटिक सिद्धांत, कोलिसन थ्योरी, क्वांटम रसायन विज्ञान में विभिन्न अनुप्रयोग हैं।

वेइल-विग्नर एसोसिएशन नियम का एक परिष्कृत संस्करण ग्रोएनवॉल्ड और स्ट्रैटोनोविच द्वारा प्रस्तावित किया गया था।

ऑपरेटर बेसिस
इस प्रकार हिल्बर्ट स्पेस में एक्टिंग ऑपरेटरों का समुच्चय $$c$$-नंबरों और योग द्वारा ऑपरेटरों के गुणन के अनुसार बंद है। ऐसा समुच्चय एक सदिश समष्टि $$\mathbb{V}$$ बनाता है। इस प्रकार टेलर विस्तार के उपयोग के साथ तैयार किया गया एसोसिएशन नियम ऑपरेटरों पर संचालन को संरक्षित करता है। कॉरेस्पोंडेंस को निम्नलिखित चित्र से चित्रित किया जा सकता है:

\left. \begin{array}{c} \begin{array}{c} \left. \begin{array}{ccc} f(\xi ) & \longleftrightarrow & \hat{f} \\ g(\xi ) & \longleftrightarrow & \hat{g} \\ c\times f(\xi ) & \longleftrightarrow & c \times \hat{f} \\ f(\xi )+g(\xi ) & \longleftrightarrow & \hat{f} + \hat{g} \end{array} \right\} \;\text{vector space}\;\; \mathbb{V} \end{array} \\ \begin{array}{ccc} { f(\xi )\star g(\xi )} & {\longleftrightarrow} & \;\; { \hat{f}\hat{g} } \end{array} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \end{array} \right\} {\text{algebra}} $$ यहाँ, $$f(\xi)$$ और $$g(\xi)$$ कार्य हैं और $$\hat{f}$$ और $$\hat{g}$$ संबद्ध ऑपरेटर हैं.

इस प्रकार $$\mathbb V$$ के बेसिस के अवयवो को विहित वैरिएबल $$\xi^i \in (- \infty, + \infty)$$ द्वारा लेबल किया गया है। सामान्यतः उपयोग किया जाने वाला ग्रोएनवॉल्ड-स्ट्रैटनोविच बेसिस जैसा दिखता है


 * $$\hat{B}(\xi )= \int \frac{d^{2n}\eta }{(2\pi \hbar )^{n}}

\exp (-\frac{i}{\hbar }\eta _{k}(\xi - \hat{\xi})^{k}) \in \mathbb{V}.$$ फलन के लिए वेइल-विग्नर दो-पक्षीय एसोसिएशन नियम $$f(\xi)$$ और ऑपरेटर $$\hat{f}$$ रूप है


 * $$f(\xi )=\operatorname{Tr}[\hat{B}(\xi )\hat{f}],$$
 * $$\hat{f} =\int \frac{d^{2n}\xi }{(2\pi \hbar )^n}f(\xi)\hat{B}(\xi ).$$

फलन $$f(\xi)$$ ऑपरेटर $$\hat{B}(\xi )$$ के आधार पर ऑपरेटर के निर्देशांक प्रदान करता है। बेसिस पूर्ण और ऑर्थोगोनल है:
 * $$\int \frac{d^{2n}\xi }{(2\pi \hbar )^n}\hat{B}(\xi )\operatorname{Tr}[\hat{B}(\xi )\hat{f}] =\hat{f},$$
 * $$\operatorname{Tr}[\hat{B}(\xi )\hat{B}(\xi ^{\prime })] = (2\pi \hbar )^{n}\delta^{2n}(\xi -\xi ^{\prime }).$$

वैकल्पिक ऑपरेटर बेसिस पर भी विचार किया गया है। ऑपरेटर के बेसिस के चयन में स्वतंत्रता को ऑपरेटर ऑर्डरिंग समस्या के रूप में जाना जाता है। फेज स्पेस में कण प्रक्षेपवक्र के निर्देशांक ऑपरेटर के बेसिस पर निर्भर करते हैं।

स्टार-प्रोडक्ट
इस प्रकार ऑपरेटरों का समुच्चय Op(L2(Rn)) ऑपरेटरों के गुणन के अनुसार बंद है। सदिश समष्टि $$\mathbb{V}$$ एक साहचर्य बीजगणित संसंयोजन से संपन्न है। दो कार्य दिए गए
 * $$f(\xi ) = \mathrm{Tr}[\hat{B}(\xi )\hat{f}]\mathrm{and}g(\xi ) = \mathrm{Tr}[\hat{B}(\xi )\hat{g}],$$

कोई तीसरा फलन बना सकता है,
 * $$f(\xi )\star g(\xi ) = \mathrm{Tr}[\hat{B}(\xi )\hat{f}\hat{g}]$$

जिसे $$\star$$ -प्रोडक्ट कहा जाता है, यह स्पष्ट रूप से दिया गया है
 * $$f(\xi )\star g(\xi )=f(\xi )\exp (\frac{i\hbar }{2}\mathcal{P})g(\xi ),$$

जहाँ
 * $$\mathcal{P} = -{I}^{kl}

\overleftarrow{ \frac{\partial} {\partial \xi^{k}} } \overrightarrow{ \frac{\partial} {\partial \xi^{l}}}$$
 * पॉइसन ऑपरेटर $$\star$$ -प्रोडक्ट है सममित और विषम-सममित भागों में विभाजित होता है,
 * $$f\star g=f\circ g+\frac{i\hbar}{2} f\wedge g.$$

इस प्रकार मौलिक सीमा में, $$\circ$$ -प्रोडक्ट डॉट प्रोडक्ट बन जाता है। विषम-सममित भाग $$f \wedge g$$ को मोयल ब्रैकेट के रूप में जाना जाता है। यह कम्यूटेटर का वेइल प्रतीक है। मौलिक सीमा में, मोयल ब्रैकेट पॉइसन ब्रैकेट बन जाता है। मोयल ब्रैकेट पॉइसन ब्रैकेट का एक क्वांटम विरूपण है। $$\star$$वें>-प्रोडक्ट साहचर्य है, जबकि $$\circ$$ -प्रोडक्ट और मोयल ब्रैकेट साहचर्य नहीं हैं।

क्वांटम विशेषताएँ
इस प्रकार कॉरेस्पोंडेंस $$\xi \leftrightarrow \hat{\xi}$$ से पता चलता है कि फेज स्पेस में समन्वय परिवर्तन विहित निर्देशांक और संवेग के ऑपरेटरों के परिवर्तनों के साथ होते हैं और इसके विपरीत। मान लीजिए कि $$\mathbf{\hat{U}}$$ विकास संचालिका है,
 * $$\hat{U} = \exp\Bigl(-\frac{i}{\hbar} \hat{H}\tau \Bigr),$$

और $$\hat{H}$$ हैमिल्टनियन बनें। निम्नलिखित योजना पर विचार करें,
 * $$\begin{align}

&{} \, \xi \stackrel{q} \longrightarrow \, \acute{\xi} \\ &{} \updownarrow  \;\;\;\;\;\;          \updownarrow \\ &{} \, \hat{\xi} \stackrel{\hat{U}}\longrightarrow \acute{\hat{\xi}} \end{align}$$ क्वांटम विकास हिल्बर्ट स्पेस में वैक्टर को परिवर्तित होने देता है और, विग्नर एसोसिएशन मैप के अनुसार, फेज स्पेस में समन्वय करता है। हाइजेनबर्ग चित्र में, विहित वैरिएबल के संचालक इस प्रकार रूपांतरित होते हैं
 * $$\hat{\xi}^{i} \rightarrow \acute{\hat{\xi}^{i}}=\hat{U}^{\dagger}\hat{\xi}^{i}\hat{U}.$$

फेज-स्पेस निर्देशांक $$\acute{\xi}^{i}$$ जो पुराने आधार $$\acute{\hat{\xi}^{i}}$$ में नए ऑपरेटरों $$\hat{B}(\xi)$$ के अनुरूप हैं, इसके द्वारा दिए गए हैं


 * $$\xi^{i} \rightarrow \acute{\xi}^{i} = q^{i}(\xi,\tau) = \mathrm{Tr}[\hat{B}(\xi ) \hat{U}^{\dagger} \hat{\xi}^{i} \hat{U}],$$

प्रारंभिक नियमो के साथ
 * $$q^{i}(\xi,0)=\xi^{i}.$$

इस प्रकार फंक्शन $$q^{i}(\xi,\tau)$$ क्वांटम फेज प्रवाह निर्दिष्ट करते हैं। सामान्य स्थिति में, यह $τ$ में प्रथम क्रम के लिए विहित है।

स्टार-फंक्शन
इस प्रकार कैनोनिकल वेरिएबल्स के ऑपरेटरों का समुच्चय इस अर्थ में पूर्ण है कि किसी भी ऑपरेटर को ऑपरेटरों $$\hat{\xi}$$ परिवर्तन के फलन के रूप में दर्शाया जा सकता है


 * $$\hat{f} \rightarrow \acute{\hat{f}} = \hat{U}^{\dagger}\hat{f}\hat{U}$$

इस प्रकार विग्नर एसोसिएशन नियम के अनुसार, फेज-स्पेस फंक्शन के परिवर्तनों को प्रेरित करें,
 * $$\begin{align}

&{} f(\xi) \stackrel{q}\longrightarrow \acute{f}(\xi) = \mathrm{Tr}[\hat{B}(\xi )\hat{U}^{\dagger}\hat{f}\hat{U}] \\ &{} \updownarrow  \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,                        \updownarrow \\ &{} \hat{f} \;\;\;\; \stackrel{\hat{U}} \longrightarrow \,\acute{\hat{f}} \;\;\;\;\; =\hat{U}^{\dagger}\hat{f}\hat{U} \end{align}$$ इस प्रकार टेलर विस्तार का उपयोग करते हुए, फलन का परिवर्तन $$f(\xi )$$ विकास के विभेदक्गत पाया जा सकता है
 * $$f(\xi ) \rightarrow \acute{f}(\xi ) \equiv \mathrm{Tr}[\hat{B}(\xi )\hat{U^{\dagger}}f(\hat{\xi})\hat{U}] =\sum_{s=0}^{\infty }\frac{1}{s!}\frac{\partial ^{s}f(0)}{\partial \xi

^{i_1}\ldots\partial \xi ^{i_s}}q^{i_1}(\xi,\tau )\star \ldots\star q^{i_s}(\xi,\tau) \equiv f(\star q(\xi ,\tau)).$$ इस तरह से परिभाषित समग्र फलन को $$\star$$-फलन कहा जाता है।

इस प्रकार संयोजन नियम मौलिक नियम से भिन्न है। चूंकि, $$f(\star q(\xi,\tau ))$$ का अर्धमौलिक विस्तार $$f(q(\xi ,\tau))$$ के निकट औपचारिक रूप से अच्छी तरह से परिभाषित है और इसमें केवल $$\hbar$$ की सम बल सम्मिलित हैं। यह समीकरण दर्शाता है कि, यह देखते हुए कि क्वांटम विशेषताओं का निर्माण कैसे किया जाता है, भौतिक अवलोकनों को हैमिल्टनियन के संदर्भ के बिना पाया जा सकता है। फलन $$q^{i}(\xi ,\tau)$$ विशेषताओं की भूमिका निभाते हैं, मौलिक लिउविले समीकरण को हल करने के लिए उपयोग की जाने वाली मौलिक विशेषताओं के समान है।

क्वांटम लिउविले समीकरण
श्रोडिंगर प्रतिनिधित्व में घनत्व आव्यूह के लिए विकास समीकरण का विग्नर परिवर्तन विग्नर फलन के लिए क्वांटम लिउविले समीकरण की ओर जाता है। हाइजेनबर्ग प्रतिनिधित्व में ऑपरेटरों के लिए विकास समीकरण का विग्नर परिवर्तन,
 * $$\frac{\partial }{\partial \tau} \hat{f} = -\frac{i}{\hbar}[\hat{f},\hat{H}],$$

दाहिनी ओर विपरीत (प्लस) चिह्न के साथ समान समीकरण की ओर जाता है:
 * $$\frac{\partial }{\partial \tau} f(\xi,\tau) = f(\xi,\tau) \wedge H(\xi ).$$

$$\star$$-फलन इस समीकरण को क्वांटम विशेषताओं के संदर्भ में हल करता है:
 * $$f(\xi ,\tau)=f(\star q(\xi ,\tau),0).$$

इसी प्रकार, श्रोडिंगर प्रतिनिधित्व में विग्नर फ़ंक्शन का विकास किसके द्वारा दिया गया है
 * $$W(\xi ,\tau)=W(\star q(\xi ,- \tau),0).$$

मौलिक यांत्रिकी का लिउविले प्रमेय इस सीमा तक विफल हो जाता है कि, स्थानीय स्तर पर, फेज स्पेस की मात्रा समय में संरक्षित नहीं होती है। वास्तव में, क्वांटम फेज प्रवाह $$\omega^{2s}$$ की बाहरी बल द्वारा परिभाषित सभी विभेदक रूपों $$\omega^2 = I^{kl}d\xi_k \curlywedge d\xi_l$$ को संरक्षित नहीं करता है।

विग्नर फ़ंक्शन वेव फ़ंक्शन की तुलना में अधिक सामान्य रूप में क्वांटम प्रणाली का प्रतिनिधित्व करता है। वेव फ़ंक्शन शुद्ध अवस्थाओं का वर्णन करते हैं, जबकि विग्नर फ़ंक्शन क्वांटम अवस्थाओं के संयोजन की विशेषता बताते हैं। किसी भी हर्मिटियन ऑपरेटर को विकर्ण किया जा सकता है:


 * $$\hat{f} = \sum_{s}\lambda_s |s \rangle \langle s|$$.

वह ऑपरेटर जिनके इगेनवैल्यू $$\lambda_s$$ गैर-ऋणात्मक हैं और एक सीमित संख्या का योग है, उन्हें घनत्व आव्यूह में मैप किया जा सकता है, अर्थात, कुछ भौतिक अवस्थाओं में विग्नर फ़ंक्शन घनत्व आव्यूह की एक छवि है, इसलिए विग्नर फ़ंक्शन एक समान अपघटन स्वीकार करता है:


 * $$W(\xi) = \sum_{s}\lambda_s W_s(\xi),$$

साथ $$\lambda_s \ge 0$$ और


 * $$W_s(\xi) \star W_r(\xi) = \delta_{sr}W_s(\xi)$$.

क्वांटम हैमिल्टन के समीकरण
विहित निर्देशांक और संवेग के हाइजेनबर्ग ऑपरेटरों के लिए विकास समीकरणों में विग्नर परिवर्तन को प्रयुक्त करके क्वांटम हैमिल्टन के समीकरण प्राप्त किए जा सकते हैं,
 * $$\frac{\partial }{\partial \tau }q^{i}(\xi ,\tau ) = \{\zeta^i, H(\zeta)\}|_{\zeta =\star q(\xi ,\tau )}.$$

दाहिने हाथ की गणना मौलिक यांत्रिकी की तरह की जाती है। चूंकि, संयुक्त फलन $$\star$$-फलन है। $$\star$$वें>-प्रोडक्ट $$\tau$$ में पहले क्रम से पृथक फेज प्रवाह की प्रामाणिकता का उल्लंघन करता है

मॉयल ब्रैकेट का संरक्षण
विहित वैरिएबल के सम संख्या वाले ऑपरेटरों के एंटीसिमेट्रिज़्ड प्रोडक्ट परिणाम के रूप में c-नंबर हैं रूपान्तरण संबंधों का इन प्रोडक्टों को एकात्मक परिवर्तनों द्वारा अपरिवर्तित छोड़ दिया जाता है, जो विशेष रूप से संबंध की ओर ले जाता है


 * $$q^{i}(\xi,\tau)\wedge q^j (\xi,\tau)=\xi^i \wedge \xi^j = - I^{ij}.$$
 * सामान्यतः, एंटीसिमेट्रिज़्ड प्रोडक्ट
 * सामान्यतः, एंटीसिमेट्रिज़्ड प्रोडक्ट


 * $$q^{[i_1} (\xi,\tau) \star q^{i_2} (\xi,\tau) \star \ldots \star q^{i_{2s}]} (\xi,\tau) $$

यह भी अपरिवर्तनीय है, अर्थात, यह समय पर निर्भर नहीं करता है, और इसके अतिरिक्त निर्देशांक पर भी निर्भर नहीं करता है।

इस प्रकार विकास ऑपरेटर द्वारा प्रेरित फेज-स्पेस परिवर्तन मोयल ब्रैकेट को संरक्षित करते हैं और पॉइसन ब्रैकेट को संरक्षित नहीं करते हैं, इसलिए विकास मानचित्र $$\xi \rightarrow \acute{\xi} = q(\xi,\tau),$$ O(τ) से पृथक विहित नहीं है। इस प्रकार τ में पहला क्रम परिवर्तन समूह के बीजगणित को परिभाषित करता है। जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, मौलिक यांत्रिकी के विहित परिवर्तनों का बीजगणित क्वांटम यांत्रिकी के एकात्मक परिवर्तनों के बीजगणित के साथ मेल खाता है। चूंकि, यह दोनों समूह भिन्न-भिन्न हैं क्योंकि मौलिक और क्वांटम यांत्रिकी में गुणन संचालन भिन्न-भिन्न हैं।

हिल्बर्ट स्पेस में एकात्मक परिवर्तनों के अनुसार विहित वैरिएबल और फेज-स्पेस फंक्शन के परिवर्तन गुणों में फेज स्पेस में विहित परिवर्तनों के स्थिति से महत्वपूर्ण विभेदक हैं।

संयोजन नियम
क्वांटम विशेषताओं को संभवतः ही उन प्रक्षेप पथों के रूप में देखा जा सकता है जिनके साथ भौतिक कण चलते हैं। इसका कारण स्टार-संयोजन नियम में निहित है
 * $$q(\xi ,\tau_1 + \tau_2 ) = q(\star q(\xi ,\tau_1 ),\tau_2),$$

जो गैर-स्थानीय है और मौलिक यांत्रिकी के डॉट-संयोजन नियम से भिन्न है।

ऊर्जा संरक्षण
ऊर्जा संरक्षण का तात्पर्य है
 * $$H(\xi)=H(\star q(\xi ,\tau )),$$

जहाँ
 * $$H(\xi )= \mathrm{Tr}[\hat{B}(\xi )\hat{H}]$$

हैमिल्टन का कार्य है. सामान्य ज्यामितीय अर्थ में $$H(\xi )$$ क्वांटम विशेषताओं के साथ संरक्षित नहीं है।

सारांश
विशेषताओं की विधि की उत्पत्ति का पता हाइजेनबर्ग के आव्यूह यांत्रिकी में लगाया जा सकता है।

मान लीजिए कि हमने आव्यूह यांत्रिकी में विहित निर्देशांक और संवेग के संचालकों के लिए विकास समीकरणों को हल कर लिया है हाइजेनबर्ग प्रतिनिधित्व यह ऑपरेटर्स के अनुसार विकसित होते हैं
 * $$\hat{\xi}^{i} \rightarrow \hat{\xi}^{i}(\tau)=\hat{U}^{\dagger}\hat{\xi}^{i}\hat{U}.$$

यह ज्ञात है कि किसी भी ऑपरेटर के लिए कोई व्यक्ति एक फलन $f (ξ)$ पा सकता है जिसके माध्यम से $$\hat{f}$$ को $$f(\hat{\xi})$$ के रूप में दर्शाया जाता है। समय $τ$ पर समान ऑपरेटर $$\hat{f}$$ के समान है
 * $$ \hat{f}(\tau) = \hat{U}^{\dagger}\hat{f}\hat{U} = \hat{U}^{\dagger} f(\hat{\xi})\hat{U} = f(\hat{U}^{\dagger} \hat{\xi}\hat{U} ) = f(\hat{\xi}(\tau)).$$

यह समीकरण दर्शाता है कि $$\hat{\xi}(\tau)$$ ऐसी विशेषताएँ हैं जो Op(L2(Rn)) में सभी ऑपरेटरों के विकास को निर्धारित करती हैं। विरूपण परिमाणीकरण पर यह प्रोपर्टी पूर्ण रूप से फेज स्पेस में और, $ħ → 0$ की सीमा में, मौलिकय यांत्रिकी में स्थानांतरित हो जाती है।


 * {| class="wikitable" style="text-align:center;"

इस प्रकार टेबल मौलिक और क्वांटम यांत्रिकी में विशेषताओं के गुणों की तुलना करती है। पीडीई और ओडीई क्रमशः आंशिक विभेदक समीकरण और साधारण विभेदक समीकरण दर्शाते हैं। क्वांटम लिउविले समीकरण श्रोडिंगर चित्र या श्रोडिंगर प्रतिनिधित्व में घनत्व आव्यूह के लिए वॉन न्यूमैन विकास समीकरण का वेइल-विग्नर रूपांतरण है। क्वांटम हैमिल्टन समीकरण हाइजेनबर्ग चित्र में विहित निर्देशांक और संवेग के संचालकों के लिए विकास समीकरणों के वेइल-विग्नर रूपांतरण हैं।
 * + मौलिक गतिकी बनाम क्वांटम गतिकी
 * colspan="2" | लिउविल समीकरण
 * colspan="1" | प्रथम-क्रम पीडीई
 * colspan="1" | अनंत-क्रम पीडीई
 * |$$\frac{\partial}{\partial \tau} \rho(\xi,\tau) = - \{ \rho(\xi,\tau), \mathcal{H}(\xi) \}$$ || $$\frac{\partial }{\partial \tau }W(\xi ,\tau ) = - W(\xi ,\tau ) \wedge H(\xi )$$
 * colspan="2" | हैमिल्टन के समीकरण
 * colspan="1" | परिमित-क्रम ओडीई
 * colspan="1" | अनंत-क्रम पीडीई
 * |$$\frac{\partial}{\partial \tau} c^{i}(\xi,\tau) = \{\zeta^{i}, \mathcal{H}(\zeta)\}|_{\zeta = c(\xi,\tau)}$$ || $$\frac{\partial }{\partial \tau }q^{i}(\xi ,\tau ) = \{\zeta ^{i},H(\zeta )\}|_{\zeta =\star q(\xi ,\tau )}$$
 * colspan="1" | प्रारंभिक नियम
 * colspan="1" | प्रारंभिक नियम
 * $$c^{i}(\xi,0) = \xi^{i}$$
 * $$q^{i}(\xi,0) = \xi^{i}$$
 * colspan="2" | संयोजन नियम
 * colspan="1" | बिंदु-संरचना
 * colspan="1" | $$\star$$-संयोजन
 * $$c(\xi ,\tau_1 + \tau_2 ) = c(     c(\xi ,\tau_1 ),\tau_2)$$
 * $$q(\xi ,\tau_1 + \tau_2 ) = q(\star q(\xi ,\tau_1 ),\tau_2)$$
 * colspan="2" | अपरिवर्तनशीलता
 * colspan="1" | पॉइसन ब्रैकेट
 * colspan="1" | मोयल ब्रैकेट
 * $$\{c^i(\xi,\tau), c^j(\xi,\tau)\} = \{\xi^i, \xi^j\} $$
 * $$q^i(\xi,\tau)\wedge q^j(\xi,\tau) = \xi^i\wedge \xi^j $$
 * colspan="2" | ऊर्जा संरक्षण
 * colspan="1" | बिंदु-संरचना
 * colspan="1" | $$\star$$-संयोजन
 * $$H(\xi )=H(     c(\xi ,\tau ))$$
 * $$H(\xi )=H(\star q(\xi ,\tau ))$$
 * colspan="2" | लिउविल समीकरण का हल
 * colspan="1" | बिंदु-संरचना
 * colspan="1" | $$\star$$-संयोजन
 * $$\rho(\xi,\tau) = \rho(c(\xi ,- \tau ),0)$$
 * $$W(\xi,\tau) = W(\star q(\xi ,- \tau ),0)$$
 * }
 * colspan="2" | अपरिवर्तनशीलता
 * colspan="1" | पॉइसन ब्रैकेट
 * colspan="1" | मोयल ब्रैकेट
 * $$\{c^i(\xi,\tau), c^j(\xi,\tau)\} = \{\xi^i, \xi^j\} $$
 * $$q^i(\xi,\tau)\wedge q^j(\xi,\tau) = \xi^i\wedge \xi^j $$
 * colspan="2" | ऊर्जा संरक्षण
 * colspan="1" | बिंदु-संरचना
 * colspan="1" | $$\star$$-संयोजन
 * $$H(\xi )=H(     c(\xi ,\tau ))$$
 * $$H(\xi )=H(\star q(\xi ,\tau ))$$
 * colspan="2" | लिउविल समीकरण का हल
 * colspan="1" | बिंदु-संरचना
 * colspan="1" | $$\star$$-संयोजन
 * $$\rho(\xi,\tau) = \rho(c(\xi ,- \tau ),0)$$
 * $$W(\xi,\tau) = W(\star q(\xi ,- \tau ),0)$$
 * }
 * $$H(\xi )=H(     c(\xi ,\tau ))$$
 * $$H(\xi )=H(\star q(\xi ,\tau ))$$
 * colspan="2" | लिउविल समीकरण का हल
 * colspan="1" | बिंदु-संरचना
 * colspan="1" | $$\star$$-संयोजन
 * $$\rho(\xi,\tau) = \rho(c(\xi ,- \tau ),0)$$
 * $$W(\xi,\tau) = W(\star q(\xi ,- \tau ),0)$$
 * }
 * $$\rho(\xi,\tau) = \rho(c(\xi ,- \tau ),0)$$
 * $$W(\xi,\tau) = W(\star q(\xi ,- \tau ),0)$$
 * }
 * }

इस प्रकार मौलिक प्रणालियों में, विशेषताएँ $$c^i(\xi,\tau)$$ सामान्यतः प्रथम-क्रम ओडीई को संतुष्ट करती हैं, उदाहरण के लिए, मौलिक हैमिल्टन के समीकरण, और प्रथम-क्रम पीडीई को हल करती हैं, उदाहरण के लिए, मौलिक लिउविले समीकरण फ़ंक्शंस $$q^i(\xi,\tau)$$ भी विशेषताएं हैं, अतिरिक्त इसके कि दोनों $$q^i(\xi,\tau)$$ और $$f(\xi,\tau)$$ अनंत-क्रम पीडीई का पालन करते हैं।

इस प्रकार क्वांटम फेज प्रवाह में क्वांटम विकास के बारे में सारी जानकारी सम्मिलित है। क्वांटम विशेषताओं का अर्धमौलिक विस्तार और $$\star$$- पॉवर सीरीज में क्वांटम विशेषताओं के कार्य $ħ$ फेज स्पेस प्रक्षेपवक्र और जैकोबी क्षेत्रों के लिए ओडीई की परिमित-क्रम युग्मित प्रणाली को हल करके समय-निर्भर भौतिक वेधशालाओं के औसत मूल्यों की गणना की अनुमति देता है। ओडीईएस की प्रणाली का क्रम पावर श्रृंखला के क्षरण पर निर्भर करता है। सुरंग बनाने का प्रभाव $ħ$ में अप्रभावी है और विस्तार द्वारा इसे पकड़ नहीं लिया गया है। क्वांटम संभाव्यता द्रव का घनत्व फेज स्पेस में संरक्षित नहीं होता है, क्योंकि क्वांटम द्रव विस्तृत होता है। क्वांटम विशेषताओं को डी ब्रोगली-बोहम सिद्धांत के प्रक्षेप पथों से पृथक किया जाना चाहिए, आयामों के लिए फेज स्पेस में पथ-अभिन्न विधि के प्रक्षेप पथ और विग्नर फ़ंक्शन, और विग्नेर प्रक्षेप पथ अब तक, केवल कुछ क्वांटम प्रणालियों को क्वांटम विशेषताओं की विधि का उपयोग करके स्पष्ट रूप से हल किया गया है।

यह भी देखें

 * विशेषताओं की विधि
 * विग्नर-वेइल परिवर्तन
 * विरूपण सिद्धांत
 * विग्नर डिस्ट्रिब्यूशन फंक्शन
 * मॉडिफाइड विग्नर डिस्ट्रिब्यूशन फ़ंक्शन
 * विग्नर क्वासिप्रोबेबिलिटी डिस्ट्रिब्यूशन
 * ऋणात्मक संभावना

पाठ्यपुस्तकें

 * H. Weyl, The Theory of Groups and Quantum Mechanics, (Dover Publications, New York Inc., 1931).
 * V. I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, (2-nd ed. Springer-Verlag, New York Inc., 1989).
 * M. V. Karasev and V. P. Maslov, Nonlinear पॉइसन ब्रैकेटs. Geometry and quantization. Translations of Mathematical Monographs, 119. (American Mathematical Society, Providence, RI, 1993). [Category:Partial differential equation