सुपरफैक्टोरियल

गणित में, और विशेष रूप से संख्या सिद्धांत में, एक सकारात्मक पूर्णांक का सुपरफैक्टोरियल $$n$$ पहले का उत्पाद है $$n$$ भाज्य. वे जॉर्डन-पोल्या संख्याओं का एक विशेष मामला हैं, जो कारख़ाने का  के मनमाने संग्रह के उत्पाद हैं।

परिभाषा
$$n$$वें>वें सुपरफैक्टोरियल $$\mathit{sf}(n)$$ इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है: $$\begin{align} \mathit{sf}(n) &= 1!\cdot 2!\cdot \cdots n! = \prod_{i=1}^{n} i! = n!\cdot\mathit{sf}(n-1)\\ &= 1^n \cdot 2^{n-1} \cdot \cdots n = \prod_{i=1}^{n} i^{n+1-i}.\\ \end{align}$$ खाली उत्पाद के लिए सामान्य परंपरा का पालन करते हुए, 0 का सुपरफैक्टोरियल 1 है। सुपरफैक्टोरियल का पूर्णांक अनुक्रम, से शुरू होता है $$\mathit{sf}(0)=1$$, है:

गुण
जिस तरह फैक्टोरियल को गामा फ़ंक्शन द्वारा लगातार इंटरपोल किया जा सकता है, उसी तरह सुपरफैक्टोरियल को बार्न्स जी-फ़ंक्शन द्वारा लगातार इंटरपोल किया जा सकता है।

फैक्टोरियल मॉड्यूलर अंकगणित अभाज्य संख्या संख्याओं के व्यवहार पर विल्सन के प्रमेय के एक एनालॉग के अनुसार, जब $$p$$ एक समता (गणित) अभाज्य संख्या है $$\mathit{sf}(p-1)\equiv(p-1)!!\pmod{p},$$ कहाँ $$!!$$ दोहरा भाज्य  के लिए संकेतन है।

प्रत्येक पूर्णांक के लिए $$k$$, जो नंबर $$\mathit{sf}(4k)/(2k)!$$ एक वर्ग संख्या है. इसे इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है कि, सूत्र में $$\mathit{sf}(4k)$$ फैक्टोरियल के उत्पाद के रूप में, फैक्टोरियल में से एक को छोड़कर (मध्य वाला, $$(2k)!$$) का परिणाम एक वर्गाकार उत्पाद होता है। इसके अतिरिक्त, यदि कोई हो $$n+1$$ पूर्णांक दिए गए हैं, उनके जोड़ीवार अंतर का गुणनफल हमेशा का गुणज होता है $$\mathit{sf}(n)$$, और जब दी गई संख्याएँ लगातार हों तो सुपरफैक्टोरियल के बराबर होता है।