समानांतर (ज्यामिति)

ज्यामिति में, समानांतर लाइनें कोपलानर सीधी रेखाएं होती हैं जो किसी भी बिंदु पर नहीं होती हैं।समानांतर विमान एक ही त्रि-आयामी स्थान में विमान होते हैं जो कभी नहीं मिलते हैं। समानांतर घटता  ऐसे घटता हैं जो एक दूसरे को नहीं छूते हैं या प्रतिच्छेद करते हैं और एक निश्चित न्यूनतम दूरी रखते हैं।त्रि-आयामी यूक्लिडियन स्थान में, एक रेखा और एक विमान जो एक बिंदु को साझा नहीं करता है, को भी समानांतर कहा जाता है।हालांकि, दो नॉनकोप्लैनार लाइनों को  तिरछा लाइनें  कहा जाता है।

समानांतर रेखाएं यूक्लिड के समानांतर पोस्टुलेट का विषय हैं। समानांतरवाद मुख्य रूप से एफाइन ज्यामितीय की एक संपत्ति है और यूक्लिडियन ज्यामिति इस प्रकार की ज्यामिति का एक विशेष उदाहरण है। कुछ अन्य ज्यामिति में, जैसे कि हाइपरबोलिक ज्यामिति, लाइनों में अनुरूप गुण हो सकते हैं जिन्हें समानता के रूप में संदर्भित किया जाता है।

प्रतीक
समानांतर प्रतीक है $$\parallel$$. उदाहरण के लिए, $$AB \parallel CD$$ इंगित करता है कि लाइन AB लाइन & nbsp; सीडी के समानांतर है।

यूनिकोड वर्ण सेट में, समानांतर और समानांतर संकेतों में क्रमशः कोडपॉइंट्स यू+2225 (∥) और यू+2226 (∦) होते हैं।इसके अलावा, U+22D5 (⋕) संबंध के समान और समानांतर का प्रतिनिधित्व करता है। एक ही प्रतीक का उपयोग इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग (समानांतर ऑपरेटर) में एक बाइनरी फ़ंक्शन के लिए किया जाता है।यह डबल-वर्टिकल-लाइन कोष्ठक से अलग है जो एक मानदंड को इंगित करता है, साथ ही साथ तार्किक या ऑपरेटर से भी ) कई प्रोग्रामिंग भाषाओं में।

समानांतरवाद के लिए शर्तें
यूक्लिडियन अंतरिक्ष में समानांतर सीधी रेखाएं एल और एम को देखते हुए, निम्नलिखित गुण समतुल्य हैं:


 * 1) लाइन एम पर हर्वरी पॉइंट लाइन एल (इक्विडिस्टेंट लाइन्स) से बिल्कुल (न्यूनतम) दूरी पर स्थित है।
 * 2) Line m लाइन L के समान विमान में है, लेकिन L को इंटरसेक्ट नहीं करता है (याद रखें कि लाइनें किसी भी दिशा में अनंत तक विस्तारित होती हैं)।
 * 3) जब मी और एल दोनों एक ही विमान में एक तीसरी सीधी रेखा (एक ट्रांसवर्सल) द्वारा प्रतिच्छेदित होते हैं, तो ट्रांसवर्सल के साथ चौराहे के संबंधित कोण बधाई होते हैं।

चूंकि ये समान गुण हैं, उनमें से किसी को भी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में समानांतर लाइनों की परिभाषा के रूप में लिया जा सकता है, लेकिन पहले और तीसरे गुणों में माप शामिल है, और इसलिए, दूसरे की तुलना में अधिक जटिल हैं।इस प्रकार, दूसरी संपत्ति आमतौर पर यूक्लिडियन ज्यामिति में समानांतर लाइनों की परिभाषित संपत्ति के रूप में चुनी जाती है। अन्य गुण तब यूक्लिड के पांचवें स्वयंसिद्ध के परिणाम हैं। यूक्लिड के समानांतर पोस्टुलेट।एक अन्य संपत्ति जिसमें माप भी शामिल है, यह है कि एक दूसरे के समानांतर रेखाओं में एक ही ढाल (ढलान) होता है।

इतिहास
एक विमान में सीधी रेखाओं की एक जोड़ी के रूप में समानांतर लाइनों की परिभाषा जो कि यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक I में परिभाषा 23 के रूप में दिखाई देती है। वैकल्पिक परिभाषाओं पर अन्य यूनानियों द्वारा चर्चा की गई, अक्सर समानांतर पोस्टुलेट को साबित करने के प्रयास के हिस्से के रूप में।Proclus Posidonius के समान लाइनों के रूप में समानांतर लाइनों की एक परिभाषा को दर्शाता है और एक समान नस में जेमिनस को उद्धृत करता है।Simplicius ने Posidonius की परिभाषा के साथ -साथ दार्शनिक अगानिस द्वारा इसके संशोधन का भी उल्लेख किया है।

उन्नीसवीं शताब्दी के अंत में, इंग्लैंड में, यूक्लिड के तत्व अभी भी माध्यमिक विद्यालयों में मानक पाठ्यपुस्तक थे।प्रोजेक्टिव ज्यामिति और गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति में नए विकास द्वारा बदलने के लिए ज्यामिति के पारंपरिक उपचार पर दबाव डाला जा रहा था, इसलिए इस समय ज्यामिति के शिक्षण के लिए कई नई पाठ्यपुस्तकें लिखी गईं।इन सुधार ग्रंथों के बीच एक बड़ा अंतर, दोनों के बीच और उनके और यूक्लिड के बीच, समानांतर लाइनों का उपचार है। ये सुधार ग्रंथ उनके आलोचकों के बिना नहीं थे और उनमें से एक, चार्ल्स डोडसन (a.k.a. लुईस कैरोल), ने एक नाटक, यूक्लिड और उनके आधुनिक प्रतिद्वंद्वियों को लिखा, जिसमें ये ग्रंथ भयावह हैं। शुरुआती सुधार पाठ्यपुस्तकों में से एक जेम्स मौरिस विल्सन की 1868 की प्राथमिक ज्यामिति थी। विल्सन ने दिशा की आदिम धारणा पर समानांतर लाइनों की अपनी परिभाषा को आधारित किया।विल्हेम हत्या के अनुसार इस विचार का पता Leibniz में किया जा सकता है। विल्सन, दिशा को परिभाषित किए बिना, क्योंकि यह एक आदिम है, अन्य परिभाषाओं में शब्द का उपयोग करता है जैसे कि उसकी छठी परिभाषा, दो सीधी रेखाएं जो एक दूसरे से मिलती हैं, उनकी अलग -अलग दिशाएं होती हैं, और उनके निर्देशों का अंतर उनके बीच का कोण है। परिभाषा 15 में वह इस तरह से समानांतर रेखाओं का परिचय देता है;सीधी रेखाएं जिनकी दिशा समान होती है, लेकिन एक ही सीधी रेखा के हिस्से नहीं होते हैं, उन्हें समानांतर लाइनें कहा जाता है।  ऑगस्टस डी मॉर्गन ने इस पाठ की समीक्षा की और इसे एक विफलता की घोषणा की, मुख्य रूप से इस परिभाषा के आधार पर और विल्सन ने इसे समानांतर लाइनों के बारे में चीजों को साबित करने के लिए इसका इस्तेमाल किया।डोडसन अपने नाटक के एक बड़े हिस्से (अधिनियम II, दृश्य VI § 1) को भी समर्पित करता है, जो विल्सन के समानता के उपचार की निंदा करता है।विल्सन ने अपने पाठ के तीसरे और उच्च संस्करणों से इस अवधारणा को संपादित किया। अन्य सुधारों, अन्य सुधारकों द्वारा प्रस्तावित, समानांतर लाइनों की परिभाषा के लिए प्रतिस्थापन के रूप में उपयोग किया जाता है, बहुत बेहतर किराया नहीं किया।मुख्य कठिनाई, जैसा कि डोडसन द्वारा बताया गया है, यह था कि उन्हें इस तरह से उपयोग करने के लिए सिस्टम में अतिरिक्त स्वयंसिद्धों को जोड़ा जाना चाहिए।अपने 1874 के पाठ यूक्लिडियन ज्यामिति में फ्रांसिस कटहबर्ट्सन द्वारा उजागर किए गए पॉसिडोनियस की समतुल्य रेखा की परिभाषा इस समस्या से ग्रस्त है कि एक सीधी रेखा के एक तरफ एक निश्चित दूरी पर पाए जाने वाले बिंदुओं को एक सीधी रेखा बनाने के लिए दिखाया जाना चाहिए।यह साबित नहीं किया जा सकता है और इसे सच माना जाना चाहिए। एक ट्रांसवर्सल प्रॉपर्टी द्वारा गठित संगत कोण, जो कि डब्ल्यू। डी। कोइली द्वारा अपने 1860 के पाठ में उपयोग किया जाता है, ज्यामिति के तत्व, सरलीकृत और समझाया गया है, इस तथ्य के एक प्रमाण की आवश्यकता है कि यदि एक ट्रांसवर्सल बधाई में लाइनों की एक जोड़ी को पूरा करता है तो सभी ट्रांसवर्सल करना होगा।इसलिए।फिर से, इस कथन को सही ठहराने के लिए एक नए स्वयंसिद्ध की आवश्यकता है।

निर्माण
ऊपर के तीन गुण निर्माण के तीन अलग -अलग तरीकों की ओर ले जाते हैं समानांतर रेखाओं की।



दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी
क्योंकि एक यूक्लिडियन विमान में समानांतर रेखाएं समतुल्य हैं, दो समानांतर रेखाओं के बीच एक अद्वितीय दूरी है।दो गैर-वर्टिकल, गैर-क्षैतिज समानांतर लाइनों के समीकरणों को देखते हुए,
 * $$y = mx+b_1\,$$
 * $$y = mx+b_2\,,$$

दो पंक्तियों के बीच की दूरी को दो बिंदुओं (प्रत्येक पंक्ति पर एक) का पता लगाकर पाया जा सकता है जो समानांतर लाइनों के लिए एक सामान्य लंबवत पर स्थित है और उनके बीच की दूरी की गणना करता है।चूंकि लाइनों में ढलान m होता है, एक सामान्य लंबवत में ढलान −1/m होता है और हम एक सामान्य लंबवत के रूप में समीकरण y = −x/m के साथ लाइन ले सकते हैं।रैखिक प्रणालियों को हल करें
 * $$\begin{cases}

y = mx+b_1 \\ y = -x/m \end{cases}$$ तथा
 * $$\begin{cases}

y = mx+b_2 \\ y = -x/m \end{cases}$$ अंकों के निर्देशांक प्राप्त करने के लिए।रैखिक प्रणालियों के समाधान अंक हैं
 * $$\left( x_1,y_1 \right)\ = \left( \frac{-b_1m}{m^2+1},\frac{b_1}{m^2+1} \right)\,$$

तथा
 * $$\left( x_2,y_2 \right)\ = \left( \frac{-b_2m}{m^2+1},\frac{b_2}{m^2+1} \right).$$

ये सूत्र अभी भी सही बिंदु निर्देशांक देते हैं, भले ही समानांतर रेखाएं क्षैतिज हों (यानी, एम = 0)।बिंदुओं के बीच की दूरी है
 * $$d = \sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2 + \left(y_2-y_1\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{b_1m-b_2m}{m^2+1}\right)^2 + \left(\frac{b_2-b_1}{m^2+1}\right)^2}\,,$$

जो कम कर देता है
 * $$d = \frac{|b_2-b_1|}{\sqrt{m^2+1}}\,.$$

जब लाइनें एक लाइन के समीकरण के सामान्य रूप द्वारा दी जाती हैं (क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाएं शामिल हैं):
 * $$ax+by+c_1=0\,$$
 * $$ax+by+c_2=0,\,$$

उनकी दूरी को व्यक्त किया जा सकता है
 * $$d = \frac{|c_2-c_1|}{\sqrt {a^2+b^2}}.$$

तीन-आयामी स्थान में दो लाइनें
एक ही त्रि-आयामी स्थान में दो लाइनें जो प्रतिच्छेद नहीं करती हैं, उन्हें समानांतर नहीं होने की आवश्यकता नहीं है।केवल अगर वे एक सामान्य विमान में हैं तो उन्हें समानांतर कहा जाता है;अन्यथा उन्हें तिरछा लाइनें कहा जाता है।

तीन-आयामी स्थान में दो अलग-अलग लाइनें एल और एम समानांतर हैं यदि और केवल अगर लाइन एम पर एक बिंदु पी से दूरी पर लाइन एल पर निकटतम बिंदु तक लाइन एम पर पी के स्थान से स्वतंत्र है।यह कभी भी तिरछी रेखाओं के लिए नहीं है।

एक लाइन और एक विमान
तीन-आयामी स्थान में एक लाइन एम और एक विमान क्यू, उस विमान में झूठ नहीं बोलने वाली रेखा, समानांतर होती है यदि और केवल अगर वे प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।

समान रूप से, वे समानांतर हैं यदि और केवल अगर एक बिंदु P से लाइन M पर निकटतम बिंदु पर निकटतम बिंदु तक की दूरी Q पर P के स्थान से स्वतंत्र है।

दो विमान
इस तथ्य के समान कि समानांतर रेखाएं एक ही विमान में स्थित होनी चाहिए, समानांतर विमानों को एक ही तीन-आयामी स्थान में स्थित होना चाहिए और इसमें कोई बात नहीं है।

दो अलग -अलग विमान Q और R समानांतर हैं यदि और केवल अगर विमान Q में एक बिंदु P से दूरी विमान r में निकटतम बिंदु तक की दूरी है, तो विमान q में P के स्थान से स्वतंत्र है।यह कभी नहीं होगा यदि दोनों विमान एक ही त्रि-आयामी स्थान में नहीं हैं।

गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के लिए विस्तार
गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति में, जियोडेसिक्स के बारे में बात करना अधिक सामान्य है (सीधे) लाइनों की तुलना में।किसी दिए गए ज्यामिति में दो बिंदुओं के बीच एक जियोडेसिक सबसे छोटा रास्ता है।भौतिकी में यह उस पथ के रूप में व्याख्या की जा सकती है जो एक कण का अनुसरण करता है यदि कोई बल उस पर लागू नहीं होता है।गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति (अण्डाकार या हाइपरबोलिक ज्यामिति) में ऊपर उल्लिखित तीन यूक्लिडियन गुण समतुल्य नहीं हैं और केवल दूसरा एक, (लाइन एम लाइन एल के समान विमान में है, लेकिन एल को इंटरेक्ट नहीं करता है) क्योंकि इसमें कोई माप उपयोगी नहीं है।गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति में।सामान्य ज्यामिति में ऊपर के तीन गुण तीन अलग -अलग प्रकार के घटता, समतुल्य घटता, समानांतर जियोडेसिक्स और जियोडेसिक्स क्रमशः एक सामान्य लंबवत साझा करते हैं।

हाइपरबोलिक ज्यामिति
जबकि यूक्लिडियन ज्यामिति में दो जियोडेसिक्स या तो प्रतिच्छेद कर सकते हैं या समानांतर हो सकते हैं, हाइपरबोलिक ज्यामिति में, तीन संभावनाएं हैं।एक ही विमान से संबंधित दो जियोडेसिक्स या तो हो सकते हैं:


 * 1) चौराहे, यदि वे विमान में एक सामान्य बिंदु में अंतर करते हैं,
 * 2) समानांतर, यदि वे विमान में अंतर नहीं करते हैं, लेकिन इन्फिनिटी (आदर्श बिंदु) पर एक सामान्य सीमा बिंदु में परिवर्तित होते हैं, या
 * 3) अल्ट्रा समानांतर, यदि उनके पास अनंत पर एक सामान्य सीमा बिंदु नहीं है।

साहित्य में  अल्ट्रा समानांतर  जियोडेसिक्स को अक्सर  गैर-इंटर्स्टिंग  कहा जाता है। जियोडेसिक्स इन्फिनिटी में इंटरसेक्टिंग   लिमिटिंग समानांतर    '' 'समानांतर सीमित होते हैं।

जैसा कि एक बिंदु के माध्यम से चित्रण में                                                                                                    'वे लाइन एल को इंटरसेक्ट करने वाली लाइनों को अलग करते हैं और जो  एल '' लाइन के समानांतर हैं।

अल्ट्रा समानांतर रेखाओं में एकल सामान्य लंबवत (अल्ट्रापारल प्रमेय) होता है, और इस सामान्य लंबवत के दोनों किनारों पर विचलन होता है।

<!- इस खंड को लेख में वापस लाने से पहले प्रमुख कॉपीडिटिंग की आवश्यकता है

गोलाकार या अण्डाकार ज्यामिति
गोलाकार ज्यामिति में, सभी जियोडेसिक्स महान सर्कल हैं।महान सर्कल क्षेत्र को दो समान गोलार्द्धों में विभाजित करते हैं और सभी महान घेरे एक दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं।इस प्रकार, किसी दिए गए जियोडेसिक के लिए कोई समानांतर भूवैज्ञानिक नहीं हैं, जैसा कि सभी जियोडेसिक्स इंटरसेक्ट करते हैं।गोले पर समान वक्रों को एक ग्लोब पर अक्षांश रेखाओं के अनुरूप अक्षांश के समानताएं कहा जाता है।अक्षांश के समानताएं गोले के केंद्र के माध्यम से एक विमान के समानांतर एक विमान के साथ गोले के चौराहे द्वारा उत्पन्न की जा सकती हैं।

रिफ्लेक्टिव वेरिएंट
यदि l, m, n तीन अलग -अलग लाइनें हैं, तो $$l \parallel m \ \land \ m \parallel n \ \implies \ l \parallel n .$$ इस मामले में, समानता एक सकर्मक संबंध है।हालांकि, l = n के मामले में, सुपरिंपोज्ड लाइनों को यूक्लिडियन ज्यामिति में समानांतर नहीं माना जाता है।समानांतर रेखाओं के बीच द्विआधारी संबंध स्पष्ट रूप से एक सममित संबंध है।यूक्लिड के सिद्धांतों के अनुसार, समानता एक प्रतिवर्तन संबंध नहीं है और इस प्रकार एक समानता संबंध होने में विफल रहता है।फिर भी, affine ज्यामिति में समानांतर रेखाओं की एक पेंसिल को उन लाइनों के सेट में एक समानता वर्ग के रूप में लिया जाता है जहां समानांतरवाद एक समानता संबंध है। यह अंत करने के लिए, एमिल आर्टिन (1957) ने समानता की एक परिभाषा को अपनाया, जहां दो लाइनें समानांतर हैं यदि उनके पास सभी या उनके कोई भी बिंदु सामान्य नहीं हैं। तब एक रेखा अपने आप के समानांतर होती है ताकि रिफ्लेक्टिव और सकर्मक गुण इस प्रकार के समानांतरवाद से संबंधित हों, जो लाइनों के सेट पर एक समानता संबंध बनाते हैं।घटना ज्यामिति के अध्ययन में, समानता के इस संस्करण का उपयोग एफाइन विमान में किया जाता है।

यह भी देखें

 * क्लिफोर्ड समानांतर
 * समवर्ती लाइनें
 * समानांतर को सीमित करना
 * समानांतर वक्र
 * अल्ट्रापारल प्रमेय

संदर्भ

 * (3 vols.): ISBN 0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN 0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN 0-486-60090-4 (vol. 3). Heath's authoritative translation plus extensive historical research and detailed commentary throughout the text.
 * (3 vols.): ISBN 0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN 0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN 0-486-60090-4 (vol. 3). Heath's authoritative translation plus extensive historical research and detailed commentary throughout the text.



बाहरी संबंध
] ]
 * Constructing a parallel line through a given point with compass and straightedge