रूथियन यांत्रिकी



शास्त्रीय यांत्रिकी में, राउत की प्रक्रिया या रूथियन यांत्रिकी एडवर्ड जॉन रूथ द्वारा विकसित लैग्रैंगियन यांत्रिकी और हैमिल्टनियन यांत्रिकी का एक संकर सूत्रीकरण है। इसके विपरीत, रूथियन फ़ंक्शन (गणित) है जो लैग्रैंगियन यांत्रिकी और हैमिल्टन समारोह फ़ंक्शन दोनों को प्रतिस्थापित करता है। रूथियन यांत्रिकी लैग्रैंगियन यांत्रिकी और हैमिल्टनियन यांत्रिकी के बराबर है, और कोई नई भौतिकी पेश नहीं करती है। यह यांत्रिक समस्याओं को हल करने का एक वैकल्पिक तरीका प्रदान करता है।

परिभाषाएँ
रूथियन, हैमिल्टनियन की तरह, लैग्रेंजियन के लीजेंड्रे परिवर्तन से प्राप्त किया जा सकता है, और हैमिल्टनियन के समान गणितीय रूप है, लेकिन यह बिल्कुल समान नहीं है। लैग्रेंजियन, हैमिल्टनियन और रूथियन कार्यों के बीच का अंतर उनके चर हैं। सिस्टम में स्वतंत्रता (भौतिकी और रसायन विज्ञान) की डिग्री का प्रतिनिधित्व करने वाले सामान्यीकृत निर्देशांक के दिए गए सेट के लिए, लैग्रेंगियन निर्देशांक और वेग का एक कार्य है, जबकि हैमिल्टन निर्देशांक और संवेग का एक कार्य है।

रूथियन इन कार्यों से अलग है जिसमें कुछ निर्देशांकों को संबंधित सामान्यीकृत वेगों के लिए चुना जाता है, बाकी के समान सामान्यीकृत गति होती है। यह चुनाव मनमाना है, और समस्या को आसान बनाने के लिए किया जा सकता है। इसका परिणाम यह भी है कि रूथियन समीकरण कुछ निर्देशांकों और संबंधित संवेगों के लिए हेमिल्टनियन समीकरण हैं, और शेष निर्देशांकों और उनके वेगों के लिए लैग्रैंगियन समीकरण हैं। प्रत्येक मामले में लैग्रेंजियन और हैमिल्टनियन कार्यों को एक एकल फ़ंक्शन, रूथियन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इस प्रकार पूरे सेट में समीकरणों के दोनों सेटों के फायदे हैं, हैमिल्टन समीकरणों के लिए निर्देशांक के एक सेट को विभाजित करने की सुविधा के साथ, और बाकी लैग्रैंगियन समीकरणों के लिए।

Lagrangian यांत्रिकी के मामले में, सामान्यीकृत निर्देशांक $q_{1}, q_{2}$, ... और संबंधित वेग $dq_{1}/dt, dq_{2}/dt, ...$, और संभवतः समय $t$, Lagrangian में प्रवेश करें,


 * $$L(q_1,q_2,\ldots,\dot{q}_1,\dot{q}_2,\ldots,t)\,, \quad \dot{q}_i = \frac{d q_i}{dt} \,, $$

जहां ओवरडॉट्स समय व्युत्पन्न ्स को दर्शाते हैं।

हैमिल्टनियन यांत्रिकी में, सामान्यीकृत निर्देशांक $q_{1}, q_{2}, ...$ और इसी सामान्यीकृत संवेग $p_{1}, p_{2}, ...,$ और संभवतः समय, हैमिल्टन में प्रवेश करें,


 * $$H(q_1,q_2,\ldots,p_1,p_2,\ldots,t) = \sum_i \dot{q}_ip_i - L(q_1,q_2,\ldots,\dot{q}_1(p_1),\dot{q}_2(p_2),\ldots,t) \,, \quad p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\,,$$

जहां दूसरा समीकरण सामान्यीकृत संवेग की परिभाषा है $p_{i}$ निर्देशांक के अनुरूप $q_{i}$ (आंशिक डेरिवेटिव का उपयोग करके दर्शाया गया है $∂$). वेग $dq_{i}/dt$ को उनके संबंधित संवेग के कार्यों के रूप में उनके परिभाषित संबंध को उलट कर व्यक्त किया जाता है। इस संदर्भ में, $p_{i}$ को संवेग के रूप में संयुग्मित कहा जाता है $q_{i}$.

रोउथियन के बीच मध्यवर्ती है $L$ और $H$; कुछ निर्देशांक $q_{1}, q_{2}, ..., q_{n}$ को इसी सामान्यीकृत संवेग के लिए चुना जाता है $p_{1}, p_{2}, ..., p_{n}$, शेष निर्देशांक $ζ_{1}, ζ_{2}, ..., ζ_{s}$ सामान्यीकृत वेग होना $dζ_{1}/dt, dζ_{2}/dt, ..., dζ_{s}/dt$, और समय स्पष्ट रूप से प्रकट हो सकता है;

जहां फिर से सामान्यीकृत वेग $n + s$ को सामान्यीकृत गति के कार्य के रूप में व्यक्त किया जाना है $dq_{i}/dt$ इसके परिभाषित संबंध के माध्यम से। जिसका चुनाव $p_{i}$ निर्देशांक में से संबंधित संवेग होना चाहिए $n$ निर्देशांक, मनमाना है।

उपरोक्त का उपयोग सैद्धांतिक भौतिकी, और शास्त्रीय यांत्रिकी (गोल्डस्टीन पुस्तक) द्वारा किया जाता है। कुछ लेखक उपरोक्त परिभाषा के नकारात्मक होने के लिए रूथियन को परिभाषित कर सकते हैं। सामान्य परिभाषा की लंबाई को देखते हुए, चर के टुपल्स (या वैक्टर) के लिए बोल्डफेस का उपयोग करने के लिए एक अधिक कॉम्पैक्ट नोटेशन है, इस प्रकार $n + s$, $q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n})$, $ζ = (ζ_{1}, ζ_{2}, ..., ζ_{s})$, और $p = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{n})$, ताकि


 * $$R(\mathbf{q},\boldsymbol{\zeta}, \mathbf{p}, \dot{\boldsymbol{\zeta}}, t) = \mathbf{p}\cdot\dot - L(\mathbf{q}, \boldsymbol{\zeta}, \dot{\mathbf{q}}, \dot{\boldsymbol{\zeta}},t) \,, $$

जहां · टुपल्स पर परिभाषित डॉट उत्पाद है, यहां दिखाई देने वाले विशिष्ट उदाहरण के लिए:


 * $$\mathbf{p}\cdot\dot = \sum_{i=1}^n p_i\dot{q}_i \,.$$

गति के समीकरण
संदर्भ के लिए, यूलर-Lagrange|यूलर-लैग्रेंज समीकरण $d ζ/dt = (dζ_{1}/dt, dζ_{2}/dt, ..., dζ_{s}/dt)$ स्वतंत्रता की डिग्री का एक सेट है $s$ निर्देशांकों में दूसरे क्रम के साधारण अवकल समीकरणों को युग्मित करता है


 * $$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} = \frac{\partial L}{\partial q_j} \,, $$

कहाँ $s$, और हैमिल्टनियन यांत्रिकी के लिए $j = 1, 2, ..., s$ स्वतंत्रता की डिग्री का एक सेट है $n$ निर्देशांक और संवेग में युग्मित प्रथम क्रम साधारण अवकल समीकरण


 * $$\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i} \,,\quad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i} \,. $$

नीचे, गति के रूथियन समीकरणों को दो तरीकों से प्राप्त किया जाता है, इस प्रक्रिया में अन्य उपयोगी डेरिवेटिव पाए जाते हैं जिनका उपयोग कहीं और किया जा सकता है।

स्वतंत्रता की दो डिग्री
स्वतंत्रता की दो डिग्री (भौतिकी और रसायन विज्ञान) के साथ एक प्रणाली के मामले पर विचार करें। $2n$ और $q$, सामान्यीकृत वेग के साथ $ζ$ और $dq/dt$, और Lagrangian समय-निर्भर है। (स्वतंत्रता की किसी भी संख्या के लिए सामान्यीकरण ठीक उसी प्रक्रिया का अनुसरण करता है जो दो के साथ होती है)। सिस्टम के Lagrangian का रूप होगा


 * $$ L(q, \zeta, \dot{q}, \dot{\zeta}, t) $$

के एक समारोह का अंतर $dζ/dt$ है


 * $$ dL = \frac{\partial L}{\partial q}dq + \frac{\partial L}{\partial \zeta}d\zeta + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}d\dot{q} + \frac{\partial L}{\partial \dot{\zeta}}d\dot{\zeta} + \frac{\partial L}{\partial t}dt \,. $$

अब चर बदलें, सेट से ($L$, $q$, $ζ$, $dq/dt$) को ($dζ/dt$, $q$, $ζ$, $p$), बस वेग को बदलना $dζ/dt$ गति के लिए $dq/dt$. डिफरेंशियल्स में वेरिएबल्स का यह बदलाव लीजेंड्रे ट्रांसफॉर्मेशन है। बदलने के लिए नए फ़ंक्शन का अंतर $p$ में अंतर का योग होगा $L$, $dq$, $dζ$, $dp$, और $d(dζ/dt)$. निर्देशांक के लिए सामान्यीकृत संवेग की परिभाषा और लैग्रेंज के समीकरण का उपयोग करना $dt$:


 * $$p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \,,\quad \dot{p} = \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = \frac{\partial L}{\partial q}$$

अपने पास


 * $$ dL = \dot{p}dq + \frac{\partial L}{\partial \zeta}d\zeta + p d\dot{q} + \frac{\partial L}{\partial \dot{\zeta}}d\dot{\zeta} + \frac{\partial L}{\partial t}dt $$

और प्रतिस्थापित करना $q$ द्वारा $pd(dq/dt)$, अंतरों के लिए उत्पाद नियम को याद करें, और स्थानापन्न


 * $$ pd\dot{q} = d(\dot{q} p) - \dot{q}dp $$

वेरिएबल्स के नए सेट के संदर्भ में एक नए फ़ंक्शन का अंतर प्राप्त करने के लिए:


 * $$ d(L-p\dot{q}) = \dot{p} dq + \frac{\partial L}{\partial \zeta}d\zeta - \dot{q} dp + \frac{\partial L}{\partial \dot{\zeta}}d\dot{\zeta} + \frac{\partial L}{\partial t}dt \,. $$

रूथियन का परिचय


 * $$ R(q,\zeta,p,\dot{\zeta},t) = p \dot{q}(p) - L $$

कहाँ फिर से वेग $(dq/dt)dp$ गति का एक कार्य है $u$, अपने पास


 * $$ dR = -\dot{p} dq - \frac{\partial L}{\partial \zeta}d\zeta + \dot{q}dp - \frac{\partial L}{\partial \dot{\zeta}}d\dot{\zeta} - \frac{\partial L}{\partial t}dt\,, $$

लेकिन उपरोक्त परिभाषा से, रूथियन का अंतर है


 * $$ dR = \frac{\partial R }{\partial q}dq + \frac{\partial R }{\partial \zeta}d\zeta + \frac{\partial R }{\partial p}dp + \frac{\partial R }{\partial \dot{\zeta}}d\dot{\zeta} + \frac{\partial R}{\partial t}dt \,.$$

अवकलों के गुणांकों की तुलना करना $v$, $d(uv) = udv + vdu$, $dq/dt$, $p$, और $dq$, परिणाम हैमिल्टनियन यांत्रिकी हैं|निर्देशांक के लिए हैमिल्टन के समीकरण $dζ$,


 * $$ \dot{q} = \frac{\partial R}{\partial p} \,,\quad \dot{p} = -\frac{\partial R}{\partial q} \,,$$

और निर्देशांक के लिए लैग्रेंज का समीकरण $dp$


 * $$\frac{d}{dt}\frac{\partial R}{\partial \dot{\zeta}} = \frac{\partial R}{\partial \zeta} $$

जो से अनुसरण करता है


 * $$ \frac{\partial L}{\partial \zeta} = - \frac{\partial R}{\partial \zeta} \,,\quad \frac{\partial L}{\partial \dot{\zeta}} = - \frac{\partial R}{\partial \dot{\zeta}} \,, $$

और दूसरे समीकरण का कुल समय व्युत्पन्न करना और पहले के बराबर करना। ध्यान दें कि रूथियन गति के सभी समीकरणों में हैमिल्टनियन और लैग्रैंगियन कार्यों की जगह लेता है।

शेष समीकरण का आंशिक समय डेरिवेटिव बताता है $d(dζ/dt)$ और $dt$ नकारात्मक हैं


 * $$\frac{\partial L}{\partial t}=-\frac{\partial R}{\partial t}\,.$$

स्वतंत्रता की कोई भी डिग्री
के लिए $q$ जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, रोउथियन के साथ समन्वय करता है


 * $$R(q_1,\ldots,q_n,\zeta_1,\ldots,\zeta_s, p_1, \ldots,p_n, \dot{\zeta}_1 , \ldots,\dot{\zeta}_s,t) = \sum_{i=1}^n p_i\dot{q}_i(p_i) - L$$

गति के समीकरणों को पिछले अनुभाग की तरह इस रौथियन के लेजेंड्रे परिवर्तन द्वारा प्राप्त किया जा सकता है, लेकिन दूसरा तरीका यह है कि केवल आंशिक डेरिवेटिव्स को लिया जाए $ζ$ निर्देशांक के संबंध में $L$ और $R$, क्षण $n + s$, और वेग $R$, कहाँ $q_{i}$, और $ζ_{j}$. डेरिवेटिव हैं


 * $$ \frac{\partial R}{\partial q_i} = -\frac{\partial L}{\partial q_i} = - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = - \dot{p}_i $$
 * $$ \frac{\partial R}{\partial p_i} = \dot{q}_i $$
 * $$ \frac{\partial R}{\partial \zeta_j} = - \frac{\partial L}{\partial \zeta_j} \,, $$
 * $$ \frac{\partial R}{\partial \dot{\zeta}_j} = - \frac{\partial L}{\partial \dot{\zeta}_j} \,, $$
 * $$ \frac{\partial R}{\partial t} = - \frac{\partial L}{\partial t} \,. $$

पहले दो समान रूप से हैमिल्टनियन समीकरण हैं। समीकरणों के चौथे सेट के कुल समय व्युत्पन्न को तीसरे के साथ बराबर करना (प्रत्येक मान के लिए $p_{i}$) Lagrangian समीकरण देता है। पाँचवाँ समय आंशिक डेरिवेटिव के बीच पहले जैसा ही संबंध है। संक्षेप में

समीकरणों की कुल संख्या है $dζ_{j}/dt$, वहाँ हैं $i = 1, 2, ..., n$ हैमिल्टनियन समीकरण प्लस $j = 1, 2, ..., s$ लैग्रेंज समीकरण।

ऊर्जा
चूँकि Lagrangian में ऊर्जा के समान इकाइयाँ हैं, Routhian की इकाइयाँ भी ऊर्जा हैं। SI इकाइयों में यह जूल है।

Lagrangian का कुल समय व्युत्पन्न करने से सामान्य परिणाम प्राप्त होता है


 * $$\frac{\partial L}{\partial t} = \frac{d }{d t}\left(\sum_{i=1}^n \dot{q}_i\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} + \sum_{j=1}^s \dot{\zeta}_j\frac{\partial L}{\partial \dot{\zeta}_j} - L\right)\,.$$

यदि Lagrangian समय से स्वतंत्र है, तो Lagrangian का आंशिक समय व्युत्पन्न शून्य है, $j$, इसलिए कोष्ठक में कुल समय व्युत्पन्न के तहत मात्रा एक स्थिर होनी चाहिए, यह सिस्टम की कुल ऊर्जा है
 * $$E = \sum_{i=1}^n \dot{q}_i\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} + \sum_{j=1}^s \dot{\zeta}_j\frac{\partial L}{\partial \dot{\zeta}_j} - L\,.$$

(यदि बाहरी क्षेत्र सिस्टम के घटकों के साथ परस्पर क्रिया कर रहे हैं, तो वे पूरे स्थान में भिन्न हो सकते हैं लेकिन समय नहीं)। इस अभिव्यक्ति के आंशिक डेरिवेटिव की आवश्यकता है $2n + s$ सभी वेगों के संबंध में $2n$ और $s$. इसी शर्त के तहत $∂L/∂t = 0$ समय स्वतंत्र होने के कारण, रूथियन के संदर्भ में ऊर्जा थोड़ी सरल है, इसकी परिभाषा को प्रतिस्थापित करना $L$ और आंशिक डेरिवेटिव $dq_{i}/dt$ वेग के संबंध में $dζ_{j}/dt$,


 * $$E = R - \sum_{j=1}^s \dot{\zeta}_j\frac{\partial R}{\partial \dot{\zeta}_j} \,.$$

के केवल आंशिक डेरिवेटिव पर ध्यान दें $R$ वेग के संबंध में $R$ जरूरत है। उस मामले में $R$ और रूथियन तब स्पष्ट रूप से समय-स्वतंत्र है $dζ_{j}/dt$, यानी रौथियन सिस्टम की ऊर्जा के बराबर है। के लिए एक ही अभिव्यक्ति $R$ कब में $dζ_{j}/dt$ हैमिल्टनियन भी है, इसलिए कुल मिलाकर $s = 0$.

यदि रूथियन की स्पष्ट समय निर्भरता है, तो सिस्टम की कुल ऊर्जा स्थिर नहीं है। सामान्य परिणाम है


 * $$\frac{\partial R}{\partial t} = \dfrac{d}{dt}\left(R - \sum_{j=1}^s \dot{\zeta}_j\frac{\partial R}{\partial \dot{\zeta}_j} \right)\,,$$

जो कुल समय व्युत्पन्न से प्राप्त किया जा सकता है $E = R$ उसी तरह के लिए $R$.

चक्रीय निर्देशांक
अक्सर रूथियन दृष्टिकोण कोई लाभ नहीं दे सकता है, लेकिन एक उल्लेखनीय मामला जहां यह उपयोगी होता है, जब एक प्रणाली में चक्रीय निर्देशांक होते हैं (जिन्हें अज्ञानी निर्देशांक भी कहा जाता है), परिभाषा के अनुसार वे निर्देशांक जो मूल Lagrangian में प्रकट नहीं होते हैं। Lagrangian समीकरण शक्तिशाली परिणाम हैं, सिद्धांत और व्यवहार में अक्सर उपयोग किया जाता है, क्योंकि निर्देशांक में गति के समीकरण स्थापित करना आसान है। हालांकि, यदि चक्रीय निर्देशांक होते हैं, तब भी सभी निर्देशांकों को हल करने के लिए समीकरण होंगे, जिसमें चक्रीय निर्देशांक भी शामिल हैं, लैग्रैंगियन में उनकी अनुपस्थिति के बावजूद। हैमिल्टनियन समीकरण उपयोगी सैद्धांतिक परिणाम हैं, लेकिन व्यवहार में कम उपयोगी हैं क्योंकि निर्देशांक और संवेग समाधानों में एक साथ संबंधित हैं - समीकरणों को हल करने के बाद निर्देशांक और संवेग को एक दूसरे से हटा दिया जाना चाहिए। फिर भी, हैमिल्टनियन समीकरण चक्रीय निर्देशांक के लिए पूरी तरह से अनुकूल हैं क्योंकि चक्रीय निर्देशांक में समीकरण तुच्छ रूप से गायब हो जाते हैं, केवल गैर चक्रीय निर्देशांक में समीकरण छोड़ते हैं।

रूथियन दृष्टिकोण में दोनों दृष्टिकोणों में से सबसे अच्छा है, क्योंकि चक्रीय निर्देशांक को हैमिल्टनियन समीकरणों से विभाजित किया जा सकता है और गैर-चक्रीय निर्देशांकों को पीछे छोड़ते हुए लैग्रैंगियन समीकरणों से हल किया जा सकता है। Lagrangian दृष्टिकोण की तुलना में कुल मिलाकर कम समीकरणों को हल करने की आवश्यकता है।

राउथियन फॉर्मूलेशन चक्रीय निर्देशांक वाले सिस्टम के लिए उपयोगी है, क्योंकि परिभाषा के अनुसार वे निर्देशांक दर्ज नहीं होते हैं $s = 0$, और इसलिए $E = R = H$. के संगत आंशिक डेरिवेटिव $R$ और $L$ उन निर्देशांकों के संबंध में शून्य हैं, जो संबंधित सामान्यीकृत संवेग के बराबर है जो स्थिरांक को कम करता है। इसे ठोस बनाने के लिए, यदि $L$ सभी चक्रीय निर्देशांक हैं, और $R$ तब सभी गैर चक्रीय हैं


 * $$\frac{\partial L}{\partial q_i} = \dot{p}_i = - \frac{\partial R}{\partial q_i} = 0 \quad \Rightarrow \quad p_i = \alpha_i \,, $$

जहां $L$ नियतांक हैं। इन स्थिरांकों को रूथियन में प्रतिस्थापित करने पर, $R$ केवल गैर चक्रीय निर्देशांक और वेगों का एक कार्य है (और सामान्य समय में भी)


 * $$R(\zeta_1,\ldots,\zeta_s,\alpha_1,\ldots,\alpha_n,\dot{\zeta}_1,\ldots,\dot{\zeta}_s,t) = \sum_{i=1}^n \alpha_i\dot{q}_i(\alpha_i) - L(\zeta_1,\ldots,\zeta_s,\dot{q}_1(\alpha_1),\ldots,\dot{q}_n(\alpha_n),\dot{\zeta}_1,\ldots,\dot{\zeta}_s,t) \,, $$

$q_{i}$} चक्रीय निर्देशांक में हैमिल्टनियन समीकरण स्वचालित रूप से गायब हो जाता है,


 * $$\dot{q}_i=\frac{\partial R}{\partial \alpha_i}=f_i( \zeta_1(t),\ldots,\zeta_s(t), \dot{\zeta}_1(t),\ldots,\dot{\zeta}_s(t), \alpha_1,\ldots,\alpha_n,t) \,,\quad \dot{p}_i=-\frac{\partial R}{\partial q_i}=0\,,$$

और यह $ζ_{j}$ Lagrangian समीकरण गैर चक्रीय निर्देशांक में हैं


 * $$\frac{d}{dt}\frac{\partial R}{\partial \dot{\zeta}_j} = \frac{\partial R}{\partial \zeta_j} \,. $$

इस प्रकार हैमिल्टनियन समीकरणों के लाभ के साथ चक्रीय निर्देशांकों को स्पष्ट रूप से हटाने के साथ, गैर-चक्रीय निर्देशांकों में Lagrangian समीकरणों को हल करने के लिए समस्या को कम कर दिया गया है। उन समाधानों का उपयोग करके, के लिए समीकरण $$\dot{q}_i$$गणना करने के लिए एकीकृत किया जा सकता है $$q_i(t)$$.

यदि हम रुचि रखते हैं कि चक्रीय निर्देशांक समय के साथ कैसे बदलते हैं, तो चक्रीय निर्देशांक के अनुरूप सामान्यीकृत वेगों के समीकरणों को एकीकृत किया जा सकता है।

उदाहरण
राउत की प्रक्रिया इस बात की गारंटी नहीं देती कि गति के समीकरण सरल होंगे, हालांकि इससे कम समीकरण बनेंगे।

गोलाकार निर्देशांक में केंद्रीय क्षमता
चक्रीय निर्देशांक वाले यांत्रिक प्रणालियों का एक सामान्य वर्ग केंद्रीय क्षमता वाले होते हैं, क्योंकि इस रूप की क्षमता केवल रेडियल अलगाव पर निर्भर होती है और कोणों पर कोई निर्भरता नहीं होती है।

द्रव्यमान के एक कण पर विचार करें $α_{i}$ केंद्रीय क्षमता के प्रभाव में $R$ गोलाकार ध्रुवीय निर्देशांक में $2n$


 * $$L(r,\dot{r},\theta,\dot{\theta},\dot{\phi}) = \frac{m}{2}(\dot{r}^2 + {r}^2\dot{\theta}^2 + r^2 \sin^2\theta\dot{\phi}^2) - V(r) \,. $$

सूचना $s$ चक्रीय है, क्योंकि यह Lagrangian में प्रकट नहीं होता है। संवेग संयुग्मित होता है $m$ नियतांक है


 * $$p_\phi = \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}} = mr^2\sin^2\theta\dot{\phi}\,,$$

जिसमें $V(r)$ और $(r, θ, φ)$ समय के साथ बदल सकता है, लेकिन कोणीय गति $φ$ स्थिर है। रूथियन को लिया जा सकता है


 * $$\begin{align}

R(r,\dot{r},\theta,\dot{\theta}) & = p_\phi\dot{\phi} - L \\ & = p_\phi\dot{\phi} - \frac{m}{2}\dot{r}^2 - \frac{m}{2}r^2\dot{\theta}^2 - \frac{p_\phi\dot{\phi}}{2} + V(r) \\ & = \frac{p_\phi\dot{\phi}}{2} - \frac{m}{2}\dot{r}^2 - \frac{m}{2}r^2\dot{\theta}^2 + V(r) \\ & = \frac{p_\phi^2 }{2mr^2\sin^2\theta} - \frac{m}{2}\dot{r}^2 - \frac{m}{2}r^2\dot{\theta}^2 + V(r) \,. \end{align}$$ हम के लिए हल कर सकते हैं $φ$ और $r$ लैग्रेंज के समीकरणों का उपयोग करके, और इसके लिए हल करने की आवश्यकता नहीं है $dφ/dt$ क्योंकि यह हैमिल्टन के समीकरणों द्वारा समाप्त हो गया है। वह $p_{φ}$ समीकरण है


 * $$\frac{d}{dt} \frac{\partial R}{\partial \dot{r}} = \frac{\partial R}{\partial r} \quad\Rightarrow\quad-m\ddot{r} = -\frac{p_\phi^2}{mr^3\sin^2\theta} - mr\dot{\theta}^2 + \frac{\partial V}{\partial r} \,, $$

और यह $r$ समीकरण है


 * $$\frac{d}{dt} \frac{\partial R}{\partial \dot{\theta}} = \frac{\partial R}{\partial \theta} \quad\Rightarrow\quad -m(2r\dot{r}\dot{\theta} + r^2\ddot{\theta}) = -\frac{p_\phi^2\cos\theta}{mr^2\sin^3\theta} \,. $$

रूथियन दृष्टिकोण ने दो युग्मित अरैखिक समीकरण प्राप्त किए हैं। इसके विपरीत Lagrangian दृष्टिकोण तीन अरैखिक युग्मित समीकरणों की ओर जाता है, पहली और दूसरी बार डेरिवेटिव में मिश्रण $θ$ उन सभी में, Lagrangian से इसकी अनुपस्थिति के बावजूद। वह $φ$ समीकरण है


 * $$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = \frac{\partial L}{\partial r} \quad\Rightarrow\quad m\ddot{r} = mr\dot{\theta}^2 + mr\sin^2\theta\dot{\phi}^2 - \frac{\partial V}{\partial r} \,,$$

$r$ समीकरण है


 * $$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = \frac{\partial L}{\partial \theta} \quad\Rightarrow\quad 2r\dot{r}\dot{\theta} + r^2\ddot{\theta} = r^2 \sin\theta\cos\theta\dot{\phi}^2\,, $$

$θ$ समीकरण है


 * $$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}} = \frac{\partial L}{\partial \phi} \quad\Rightarrow\quad 2r\dot{r}\sin^2\theta\dot{\phi} + 2r^2 \sin\theta\cos\theta \dot{\theta}\dot{\phi} + r^2\sin^2\theta \ddot{\phi}=0 \,. $$

गोलाकार पेंडुलम
गोलाकार पेंडुलम, द्रव्यमान पर विचार करें $φ$ (एक पेंडुलम बॉब के रूप में जाना जाता है) लंबाई की एक कठोर छड़ से जुड़ा हुआ है l}नगण्य द्रव्यमान का, स्थानीय गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के अधीन $r$. प्रणाली कोणीय वेग से घूमती है $θ$ जो स्थिर नहीं है। रॉड और वर्टिकल के बीच का कोण है $φ$ और स्थिर नहीं है।

Lagrangian है
 * $$L(\theta,\dot{\theta},\dot{\phi}) = \frac{m\ell^2}{2}(\dot{\theta}^2 + \sin^2\theta \dot{\phi}^2) + mg\ell\cos\theta \,, $$

और $m$ स्थिर संवेग वाली प्रणाली के लिए चक्रीय निर्देशांक है


 * $$p_\phi = \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}} = m\ell^2\sin^2\theta \dot{\phi} \,. $$

जो फिर से ऊर्ध्वाधर के बारे में भौतिक रूप से निकाय का कोणीय संवेग है। कोना $g$ और कोणीय वेग $dφ/dt$ समय के साथ बदलता रहता है, लेकिन कोणीय संवेग स्थिर रहता है। रोउथियन है


 * $$\begin{align}

R(\theta,\dot{\theta}) & = p_\phi \dot{\phi} - L \\ & = p_\phi \dot{\phi} - \frac{m\ell^2}{2}\dot{\theta}^2 - \frac{p_\phi \dot{\phi}}{2} - mg\ell\cos\theta \\ & = \frac{p_\phi \dot{\phi}}{2} - \frac{m\ell^2}{2}\dot{\theta}^2 - mg\ell\cos\theta \\ & = \frac{p_\phi^2 }{2m\ell^2\sin^2\theta} - \frac{m\ell^2}{2}\dot{\theta}^2 - mg\ell\cos\theta \end{align}$$

$θ$} समीकरण Lagrangian समीकरणों से पाया जाता है


 * $$\frac{d}{dt}\frac{\partial R}{\partial \dot{\theta}} = \frac{\partial R}{\partial \theta} \quad \Rightarrow \quad - m\ell^2\ddot{\theta} = -\frac{p_\phi^2 \cos\theta}{m\ell^2\sin^3\theta} + mg\ell\sin\theta \,,$$

या स्थिरांक का परिचय देकर सरल करना


 * $$a = \frac{p_\phi^2}{m^2\ell^4}\,,\quad b = \frac{g}{\ell} \,,$$

देता है


 * $$\ddot{\theta} = a\frac{\cos\theta}{\sin^3\theta} - b \sin\theta \,.$$

यह समीकरण साधारण अरैखिक पेंडुलम समीकरण जैसा दिखता है, क्योंकि यह ऊर्ध्वाधर अक्ष के माध्यम से झूल सकता है, ऊर्ध्वाधर अक्ष के बारे में रोटेशन के लिए खाते में एक अतिरिक्त पद के साथ (स्थिर $φ$ कोणीय गति से संबंधित है $θ$).

Lagrangian दृष्टिकोण को लागू करने से हल करने के लिए दो अरैखिक युग्मित समीकरण हैं। वह $dφ/dt$ समीकरण है


 * $$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = \frac{\partial L}{\partial \theta} \quad\Rightarrow\quad m\ell^2\ddot{\theta} = m\ell^2 \sin\theta\cos\theta\dot{\phi}^2 -mg\ell\sin\theta \,, $$

और यह $θ$ समीकरण है


 * $$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}} = \frac{\partial L}{\partial \phi} \quad\Rightarrow\quad 2\sin\theta\cos\theta \dot{\theta}\dot{\phi} + \sin^2\theta \ddot{\phi}=0 \,. $$

भारी सममित शीर्ष
द्रव्यमान का भारी सममित शीर्ष $a$ में Lagrangian है
 * $$L(\theta,\dot{\theta},\dot{\psi},\dot{\phi})=\frac{I_1}{2}(\dot{\theta}^2 + \dot{\phi}^2\sin^2\theta) + \frac{I_3}{2}(\dot{\psi}^2+\dot{\phi}^2\cos^2\theta)+I_3\dot{\psi}\dot{\phi}\cos\theta-Mg\ell\cos\theta$$

कहाँ $p_{φ}$ यूलर कोण हैं, $θ$ उर्ध्वाधर के बीच का कोण है $φ$-अक्ष और शीर्ष $M$-एक्सिस, $ψ, φ, θ$ शीर्ष का अपने बारे में घूर्णन है $θ$-अक्ष, और $z$ शीर्ष का अज़ीमुथल $z&prime;$-ऊर्ध्वाधर के चारों ओर अक्ष $ψ$-एक्सिस। जड़ता के प्रमुख क्षण हैं $z&prime;$ ऊपर वाले के बारे में $φ$ एक्सिस, $z&prime;$ ऊपर वाले के बारे में $z$ कुल्हाड़ियों, और $I_{1}$ ऊपर वाले के बारे में $x&prime;$-एक्सिस। चूंकि शीर्ष इसके बारे में सममित है $I_{2}$-एक्सिस, $y&prime;$. यहाँ स्थानीय गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा के लिए सरल संबंध है $I_{3}$ का प्रयोग कहाँ किया जाता है $z&prime;$ गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है, और शीर्ष के द्रव्यमान का केंद्र दूरी है $z&prime;$ इसके साथ इसकी नोक से $I_{1} = I_{2}$-एक्सिस।

कोण $V = Mglcosθ$ चक्रीय हैं। स्थिर संवेग शीर्ष के अपनी धुरी के बारे में कोणीय संवेग और ऊर्ध्वाधर के बारे में इसकी अग्रता क्रमशः हैं:


 * $$p_\psi = \frac{\partial L}{\partial \dot{\psi}} = I_3\dot{\psi} + I_3\dot{\phi} \cos\theta $$
 * $$p_\phi = \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}} = \dot{\phi}(I_1\sin^2\theta + I_3\cos^2\theta) + I_3\dot{\psi}\cos\theta $$

इनमें से, हटाना $g$:


 * $$p_\phi - p_\psi\cos\theta = I_1\dot{\phi}\sin^2\theta$$

अपने पास


 * $$ \dot{\phi} = \frac{p_\phi - p_\psi\cos\theta}{I_1\sin^2\theta}\,, $$

और समाप्त करना $l$, इस परिणाम को इसमें बदलें $z&prime;$ और हल करें $ψ, φ$ ढूँढ़ने के लिए


 * $$\dot{\psi} = \frac{p_\psi}{I_3} - \cos\theta \left(\frac{p_\phi - p_\psi\cos\theta}{I_1\sin^2\theta}\right) \,.$$

रूथियन को लिया जा सकता है


 * $$R(\theta,\dot{\theta}) = p_\psi\dot{\psi} + p_\phi\dot{\phi} - L = \frac{1}{2}(p_\psi\dot{\psi} + p_\phi\dot{\phi}) - \frac{I_1 \dot{\theta}^2}{2} + Mg\ell \cos\theta $$

और तबसे


 * $$ \frac{p_\phi\dot{\phi}}{2} = \frac{p_\phi^2}{2I_1\sin^2\theta} - \frac{p_\psi p_\phi\cos\theta}{2I_1\sin^2\theta}\,, $$
 * $$\frac{p_\psi \dot{\psi}}{2} = \frac{p_\psi^2}{2I_3} - \frac{p_\psi p_\phi\cos\theta }{2I_1\sin^2\theta} + \frac{p_\psi^2 \cos^2\theta}{2I_1\sin^2\theta}$$

अपने पास


 * $$R = \frac{p_\psi^2}{2I_3} + \frac{p_\psi^2 \cos^2\theta}{2I_1\sin^2\theta} + \frac{p_\phi^2}{2I_1\sin^2\theta} - \frac{p_\psi p_\phi\cos\theta}{I_1\sin^2\theta} - \frac{I_1 \dot{\theta}^2}{2} + Mg\ell \cos\theta \,. $$

पहला शब्द स्थिर है, और इसे अनदेखा किया जा सकता है क्योंकि केवल आर के डेरिवेटिव्स गति के समीकरणों में प्रवेश करेंगे। जानकारी के नुकसान के बिना, सरलीकृत रौथियन इस प्रकार है


 * $$R = \frac{1}{2I_1\sin^2\theta}\left[p_\psi^2 \cos^2\theta + p_\phi^2 - 2 p_\psi p_\phi \cos\theta\right] - \frac{I_1 \dot{\theta}^2}{2} + Mg\ell \cos\theta $$

के लिए गति का समीकरण $dψ/dt$ प्रत्यक्ष गणना द्वारा है,


 * $$\frac{d}{dt}\frac{\partial R}{\partial \dot{\theta}} = \frac{\partial R}{\partial \theta} \quad \Rightarrow \quad $$
 * $$-I_1\ddot{\theta} = -\frac{\cos\theta}{I_1\sin^3\theta}\left[p_\psi^2 \cos^2\theta + p_\phi^2 - \frac{p_\psi p_\phi}{2} \cos\theta\right] + \frac{1}{2I_1\sin^2\theta} \left[-2 p_\psi^2 \cos\theta\sin\theta + \frac{p_\psi p_\phi}{2} \sin\theta\right] -Mg\ell\sin\theta \,, $$

या स्थिरांक का परिचय देकर


 * $$a = \frac{p_\psi^2}{I_1^2} \,,\quad b = \frac{p_\phi^2}{I_1^2}\,,\quad c=\frac{p_\psi p_\phi}{2 I_1^2}\,,\quad k= \frac{Mg\ell}{I_1}\,,$$

समीकरण का एक सरल रूप प्राप्त होता है


 * $$\ddot{\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin^3\theta}( a\cos^2\theta +b -c\cos\theta ) + \frac{1}{2\sin\theta} (2 a \cos\theta - c) + k\sin\theta \,. $$

हालांकि समीकरण अत्यधिक गैर-रैखिक है, हल करने के लिए केवल एक समीकरण है, इसे सीधे प्राप्त किया गया था, और चक्रीय निर्देशांक शामिल नहीं हैं।

इसके विपरीत, निर्देशांकों की अनुपस्थिति के बावजूद, Lagrangian दृष्टिकोण तीन अरैखिक युग्मित समीकरणों को हल करने की ओर ले जाता है $dφ/dt$ और $p_{ψ}$ Lagrangian में। वह $dψ/dt$ समीकरण है


 * $$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = \frac{\partial L}{\partial \theta} \quad\Rightarrow \quad I_1\ddot{\theta} = (I_1- I_3)\dot{\phi}^2\sin\theta\cos\theta -I_3\dot{\psi}\dot{\phi}\sin\theta +Mg\ell\sin\theta\,,$$

$θ$ समीकरण है


 * $$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\psi}} = \frac{\partial L}{\partial \psi} \quad\Rightarrow \quad \ddot{\psi} +  \ddot{\phi}\cos\theta - \dot{\phi}\dot{\theta}\sin\theta= 0 \,,$$

और यह $ψ$ समीकरण है


 * $$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}} = \frac{\partial L}{\partial \phi} \quad\Rightarrow \quad \ddot{\phi}(I_1\sin^2\theta + I_3\cos^2\theta) + \dot{\phi}(I_1 - I_3)2\sin\theta\cos\theta\dot{\theta} + I_3\ddot{\psi}\cos\theta - I_3\dot{\psi}\sin\theta\dot{\theta} =0 \,,$$

एक समान चुंबकीय क्षेत्र में शास्त्रीय आवेशित कण
द्रव्यमान के एक शास्त्रीय आवेशित कण पर विचार करें $φ$ और बिजली का आवेश  $θ$ एक स्थिर (समय-स्वतंत्र) वर्दी (पूरे अंतरिक्ष में स्थिर) चुंबकीय क्षेत्र में $ψ$. चुंबकीय सदिश क्षमता द्वारा दिए गए एक सामान्य विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में आवेशित कण के लिए Lagrangian $φ$ और विद्युत क्षमता $$\phi$$ है


 * $$L = \frac{m}{2} \dot{\mathbf{r}}^2 - q \phi + q \dot{\mathbf{r}} \cdot \mathbf{A} \,, $$

बेलनाकार निर्देशांक का उपयोग करना सुविधाजनक है $r$, ताकि


 * $$\dot{\mathbf{r}} = \mathbf{v} = (v_r, v_\theta,v_z) = (\dot{r},r\dot{\theta},\dot{z}) \,, $$
 * $$\mathbf{B} = (B_r,B_\theta,B_z) = (0,0,B)\,. $$

विद्युत क्षेत्र न होने की स्थिति में विद्युत विभव शून्य होता है। $$\phi=0$$, और हम चुंबकीय क्षमता के लिए अक्षीय गेज चुन सकते हैं


 * $$\mathbf{A} = \frac{1}{2}\mathbf{B}\times\mathbf{r} \quad \Rightarrow \quad \mathbf{A} = (A_r,A_\theta,A_z) = (0,Br/2,0)\,, $$

और Lagrangian है


 * $$L(r,\dot{r},\dot{\theta},\dot{z}) = \frac{m}{2} (\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2 + \dot{z}^2) + \frac{qB r^2\dot{\theta}}{2} \,. $$

ध्यान दें कि इस क्षमता में प्रभावी रूप से बेलनाकार समरूपता है (हालांकि इसमें कोणीय वेग निर्भरता भी है), क्योंकि केवल स्थानिक निर्भरता एक काल्पनिक सिलेंडर अक्ष से रेडियल लंबाई पर है।

दो चक्रीय निर्देशांक हैं, $dθ/dt$ और $z$. विहित संवेग को संयुग्मित करता है $r$ और $dθ/dt$ स्थिरांक हैं


 * $$p_{\theta} = \frac{\partial L}{\partial \dot {\theta}} = mr^2\dot {\theta} + \frac{qBr^2}{2} \,,\quad p_z = \frac{\partial L}{\partial \dot {z}} = m\dot{z} \,,$$

इसलिए वेग हैं


 * $$\dot {\theta} = \frac{1}{mr^2}\left(p_\theta - \frac{qBr^2}{2}\right) \,,\quad \dot{z} = \frac{p_z}{m}\,.$$

Z अक्ष के बारे में कोणीय गति नहीं है $m$, लेकिन मात्रा $q$, जो चुंबकीय क्षेत्र के योगदान के कारण संरक्षित नहीं है। विहित गति $B$ संरक्षित मात्रा है। अब भी यही हाल है $A$ z अक्ष के साथ रैखिक या अनुवाद संबंधी गति है, जिसे संरक्षित भी किया जाता है।

रेडियल घटक $(r, θ, z)$ और कोणीय वेग $θ$ समय के साथ बदल सकता है, लेकिन $z$ स्थिर है, और चूँकि $θ$ स्थिर है यह अनुसरण करता है $z$ स्थिर है। रौथियन रूप ले सकता है


 * $$\begin{align}

R(r,\dot{r}) & = p_{\theta}\dot{\theta}+p_z\dot{z} - L \\ & = p_{\theta}\dot{\theta}+p_z\dot{z} - \frac{m}{2}\dot r^2 - \frac{p_\theta\dot{\theta}}{2} - \frac{p_z\dot{z}}{2} - \frac{1}{2}qBr^2\dot{\theta} \\[6pt] & = (p_\theta - qBr^2 )\frac{\dot{\theta}}{2} - \frac{m}{2}\dot r^2 + \frac{p_z\dot{z}}{2} \\ [6pt] & = \frac{1}{2mr^2} \left(p_\theta - qBr^2 \right)\left(p_\theta - \frac{qBr^2}{2} \right) - \frac{m}{2}\dot{r}^2 + \frac{p_z^2}{2m} \\[6pt] & = \frac{1}{2mr^2} \left(p_\theta^2 - \frac{3}{2}qBr^2 + \frac{(qB)^2r^4}{2} \right) - \frac{m}{2}\dot{r}^2 \end{align}$$ जहां अंतिम पंक्ति में, $p_{θ}$ शब्द एक स्थिर है और निरंतरता के नुकसान के बिना इसे अनदेखा किया जा सकता है। के लिए हैमिल्टनियन समीकरण $mr^{2}dθ/dt$ और $p_{θ}$ स्वचालित रूप से गायब हो जाता है और इसके लिए हल करने की आवश्यकता नहीं होती है। Lagrangian समीकरण में $p_{z}$


 * $$\frac{d}{dt}\frac{\partial R}{\partial \dot{r}} = \frac{\partial R}{\partial r} $$

प्रत्यक्ष गणना से है


 * $$-m\ddot{r} = \frac{1}{2m}\left[\frac{-2}{r^3} \left(p_\theta^2 - \frac{3}{2}qBr^2 + \frac{(qB)^2 r^4}{2} \right) + \frac{1}{r^2}(- 3qBr + 2(qB)^2r^3)\right] \,, $$

जो शर्तों को इकट्ठा करने के बाद है


 * $$m\ddot{r}=\frac{1}{2m}\left[\frac{2p_{\theta}^2}{r^3}-(qB)^2 r\right] \,, $$

और स्थिरांकों का परिचय देकर इसे और सरल बनाना


 * $$a = \frac{p_{\theta}^2}{m^2} \,,\quad b = - \frac{(qB)^2}{2m^2} \,, $$

अंतर समीकरण है


 * $$\ddot{r} = \frac{a}{r^3} + br $$

कैसे देखना है $r$ समय के साथ बदलता है, के लिए संवेग अभिव्यक्ति को एकीकृत करता है $dθ/dt$ ऊपर


 * $$ z = \frac{p_z}{m}t + c_z \,,$$

कहाँ $p_{θ}$ एक मनमाना स्थिरांक है, जिसका प्रारंभिक मान है $p_{z}$ प्रारंभिक स्थितियों में निर्दिष्ट किया जाना है।

इस प्रणाली में कण की गति घुमावदार है, अक्षीय गति वर्दी (स्थिर) के साथ, लेकिन ऊपर व्युत्पन्न गति के समीकरण के अनुसार रेडियल और कोणीय घटक एक सर्पिल में भिन्न होते हैं। प्रारंभिक शर्तें चालू हैं $dz/dt$, $p_{z}^{2}/2m$, $θ$, $z$, यह निर्धारित करेगा कि कण के प्रक्षेपवक्र में एक स्थिरांक है या नहीं $r$ या अलग-अलग $z$. यदि प्रारंभ में $p_{z}$ अशून्य है लेकिन $c_{z}$, जबकि $z$ और $r$ मनमाने हैं, तो कण के प्रारंभिक वेग में कोई रेडियल घटक नहीं है, $dr/dt$ स्थिर है, इसलिए गति पूर्ण हेलिक्स में होगी। यदि आर स्थिर है, तो संरक्षित के अनुसार कोणीय वेग भी स्थिर है $θ$.

Lagrangian दृष्टिकोण के साथ, के लिए समीकरण $dθ/dt$ इसमें शामिल हो जाएगा $r$ जिसे समाप्त करना है, और इसके लिए समीकरण होंगे $r$ और $r$ हल करने के लिए। वह $dr/dt = 0$ समीकरण है


 * $$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = \frac{\partial L}{\partial r} \quad\Rightarrow\quad m\ddot{r} = mr\dot{\theta}^2 + qBr\dot{\theta} \,,$$

$θ$ समीकरण है


 * $$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = \frac{\partial L}{\partial \theta} \quad\Rightarrow\quad m(2r\dot{r}\dot {\theta} + r^2\ddot {\theta}) + qBr\dot{r} = 0 \,,$$

और यह $dθ/dt$ समीकरण है


 * $$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{z}} = \frac{\partial L}{\partial z} \quad\Rightarrow\quad m\ddot{z} = 0 \,.$$

$r$} समीकरण एकीकृत करने के लिए तुच्छ है, लेकिन $p_{θ}$ और $r$ समीकरण नहीं हैं, किसी भी स्थिति में सभी समीकरणों में समय के डेरिवेटिव मिश्रित होते हैं और इसे समाप्त किया जाना चाहिए।

यह भी देखें

 * विविधताओं की गणना
 * चरण स्थान
 * विन्यास स्थान (भौतिकी)
 * कई-शरीर की समस्या
 * कठोर शरीर यांत्रिकी

संदर्भ


Функция Рауса