स्थानीय रूप से चक्रीय समूह

गणित में, एक स्थानीय रूप से चक्रीय समूह एक समूह (जी, *) होता है जिसमें प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न उपसमूह चक्रीय समूह होता है।

कुछ तथ्य

 * प्रत्येक चक्रीय समूह स्थानीय रूप से चक्रीय होता है, और प्रत्येक स्थानीय चक्रीय समूह एबेलियन समूह होता है।
 * प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न स्थानीय रूप से चक्रीय समूह चक्रीय है।
 * स्थानीय रूप से चक्रीय समूह का प्रत्येक उपसमूह और भागफल समूह स्थानीय रूप से चक्रीय होता है।
 * स्थानीय रूप से चक्रीय समूह की प्रत्येक समरूपता छवि स्थानीय रूप से चक्रीय होती है।
 * एक समूह स्थानीय रूप से चक्रीय है यदि और केवल यदि समूह में तत्वों की प्रत्येक जोड़ी एक चक्रीय समूह उत्पन्न करती है।
 * एक समूह स्थानीय रूप से चक्रीय होता है यदि और केवल यदि इसके उपसमूहों की जाली वितरण है
 * स्थानीय रूप से चक्रीय समूह का मरोड़-मुक्त श्रेणी 0 या 1 है।
 * स्थानीय रूप से चक्रीय समूह की एंडोमोर्फिज्म रिंग क्रमविनिमेय रिंग है।

एबेलियन समूहों के उदाहरण जो स्थानीय रूप से चक्रीय नहीं हैं

 * वास्तविक संख्याओं का योज्य समूह (R, +); 1 और द्वारा उत्पन्न उपसमूह $\pi$ (a + bπ के रूप की सभी संख्याएं सम्मिलित हैं) समूह Z + Z के प्रत्यक्ष योग के लिए समूह समरूपता है, जो चक्रीय नहीं है।

संदर्भ