दो का बारहवाँ मूल

दो या $$\sqrt[12]{2}$$ (या समकक्ष $$2^{1/12}$$) का ट्वेल्फ्थ मूल एक बीजगणितीय अपरिमेय संख्या है, जो लगभग 1.0594631 के समान है। यह पश्चिमी संगीत सिद्धांत में अधिक महत्वपूर्ण है, जहां यह बारह-स्वर समान स्वभाव में एक सेमीटोन के आवृत्ति अनुपात (संगीत अंतराल) का प्रतिनिधित्व करता है। यह संख्या सोलहवीं और सत्रहवीं शताब्दी में संगीत ट्यूनिंग के संबंध में पहली बार प्रस्तावित की गई थी। यह अलग-अलग अंतरालों (आवृत्ति अनुपात) की माप और तुलना की अनुमति देता है, जिसमें एकल अंतराल की विभिन्न संख्याएं सम्मिलित होती हैं, समान टेम्पर्ड सेमीटोन (उदाहरण के लिए, एक छोटा तीसरा 3 सेमीटोन है, एक प्रमुख तीसरा 4 सेमीटोन है, और सही पांचवां 7 सेमीटोन है)। एक सेमीटोन स्वयं 100 सेंट (1 cent = $$\sqrt[1200]{2}=2^{1/1200}                                                                                                                                                                                                                                                  $$) में विभाजित होता है।

संख्यात्मक मान
दो से 20 सार्थक अंकों का ट्वेल्फ्थ मूल 1.0594630943592952646 है। स्पष्टता के बढ़ते क्रम में भिन्न सन्निकटन में $18⁄17$, $89⁄84$, $196⁄185$, $1657⁄1564$, और $18904⁄17843$. सम्मिलित है।

, इसके संख्यात्मक मान की गणना कम से कम बीस अरब दशमलव अंकों तक की गई है।

समान स्वभाव वाला वर्णिक मापदंड
एक संगीत अंतराल आवृत्तियों का एक अनुपात है और समान स्वभाव वाला वर्णिक मापदंड सप्तक (जिसका अनुपात 2:1 है) को बारह समान भागों में विभाजित करता है। प्रत्येक नोट की आवृत्ति उसके नीचे वाले की आवृत्ति से 21⁄12 गुना होती है।

इस मान को 440 हर्ट्ज की आवृत्ति के साथ मध्य सी (जिसे A4 के रूप में जाना जाता है) के ऊपर ए से प्रारंभ करते हुए, एक वर्णिक मापदंड के स्वरों पर क्रमिक रूप से प्रारंभ करने से पिचों का निम्नलिखित क्रम उत्पन्न होता है:

अंतिम A (A5: 880 Hz) निचले A (A4: 440 हर्ट्ज) की आवृत्ति से ठीक दोगुना है, अथार्त एक सप्तक अधिक है।

अन्य ट्यूनिंग स्केल
अन्य ट्यूनिंग स्केल थोड़े अलग अंतराल अनुपात का उपयोग करते हैं:
 * न्यायसंगत या पायथागॉरियन पूर्ण पंचम 3/2 है, और समान स्वभाव वाले पूर्ण पंचम और न्यायपूर्ण के मध्य का अंतर एक ग्रेड है, पायथागॉरियन अल्पविराम की बारहवीं मूल ($0/12$) है।
 * समान टेम्पर्ड बोहलेन-पियर्स स्केल तीन ($1$) के तेरहवें मूल के अंतराल का उपयोग करता है।
 * स्टॉकहाउज़ेन का अध्ययन II (1954) पाँच ($1/12$) की पच्चीसवीं मूल का उपयोग करता है, जो 5×5 भागों में विभाजित एक यौगिक प्रमुख तीसरा है।
 * डेल्टा स्केल ≈$1.059$ पर आधारित है।
 * गामा मापदंड ≈$16/15$ पर आधारित है.
 * बीटा स्केल ≈$2/12$ पर आधारित है.
 * अल्फा स्केल ≈ $1.122$ पर आधारित है.

पिच समायोजन


चूंकि सेमीटोन की आवृत्ति अनुपात 106% के समीप है ($$1.05946\times100=105.946$$), रिकॉर्डिंग की प्लेबैक गति को 6% बढ़ाने या घटाने से पिच लगभग एक सेमीटोन, या "आधा-चरण" ऊपर या नीचे स्थानांतरित हो जाएगी। अपस्केल रील-टू-रील चुंबकीय टेप रिकॉर्डर में समान्यत: ±6% तक पिच समायोजन होता है, समान्यत: प्लेबैक या रिकॉर्डिंग पिच को थोड़ा अलग ट्यूनिंग वाले अन्य संगीत स्रोतों से मिलान करने के लिए उपयोग किया जाता है (या संभवतः उन उपकरणों पर रिकॉर्ड किया जाता है जो बिल्कुल सही गति से नहीं चल रहे थे)। आधुनिक रिकॉर्डिंग स्टूडियो समान परिणाम प्राप्त करने के लिए डिजिटल पिच शिफ्टिंग का उपयोग करते हैं, जो सेंट से लेकर अनेक आधे-चरणों तक होता है (ध्यान दें कि रील-टू-रील समायोजन भी रिकॉर्ड की गई ध्वनि की गति को प्रभावित करता है, जबकि डिजिटल शिफ्टिंग नहीं करता है)।

इतिहास
ऐतिहासिक रूप से यह संख्या संगीत ट्यूनिंग के संबंध में पहली बार 1580 में साइमन स्टीवन द्वारा प्रस्तावित की गई थी (मसौदा, पुनर्लिखित 1610)। 1581 में इतालवी संगीतकार विन्सेन्ज़ो गैलीली बारह-स्वर समान स्वभाव का सुझाव देने वाले पहले यूरोपीय हो सकते हैं। दो के बारहवें मूल की गणना पहली बार 1584 में चीनी गणितज्ञ और संगीतकार झू ​​ज़ाइयू ने अबेकस का उपयोग करके की थी जिससे चौबीस दशमलव स्थानों तक स्पष्टता से पहुंचा जा सकता है, गणना लगभग 1605 में फ्लेमिश गणितज्ञ साइमन स्टीविन द्वारा की गई थी, 1636 में फ़्रांसीसी गणितज्ञ मैरिन मेरसेन द्वारा और 1691 में जर्मन संगीतकार एंड्रियास वर्कमिस्टर द्वारा की गई थी।

यह भी देखें

 * फ्रेट
 * बस स्वर-शैली § व्यावहारिक कठिनाइयाँ
 * संगीत और गणित
 * पियानो कुंजी आवृत्तियाँ
 * वैज्ञानिक पिच संकेतन
 * बारह-स्वर तकनीक
 * द वेल-टेम्पर्ड क्लेवियर