सम्मिश्र माप

गणित में, विशेष रूप से सिद्धांत को मापने के लिए, सम्मिश्र माप (गणित) की अवधारणा को सम्मिश्र संख्या मान देकर सामान्यीकृत करता है। दूसरे शब्दों में, कोई समुच्चय (गणित) की अनुमति देता है जिसका आकार (लंबाई, क्षेत्रफल, आयतन) एक सम्मिश्र संख्या है।

परिभाषा
औपचारिक रूप से, सम्मिश्र माप $$ \mu $$ सिग्मा-बीजगणित पर $$ (X,\Sigma) $$ सम्मिश्र-मूल्यवान फलन है (गणित)


 * माप$$\mu: \Sigma \to \mathbb{C}$$

वह है सिग्मा योगात्मकता (सिग्मा-एडिटिव)। दूसरे शब्दों में, किसी भी क्रम के लिए $$(A_{n})_{n \in \mathbb{N}}$$ से संबंधित अलग समुच्चय की $$ \Sigma $$, किसी के पास


 * $$\sum_{n = 1}^{\infty} \mu(A_{n}) = \mu \left( \bigcup_{n = 1}^{\infty} A_{n} \right) \in \mathbb{C}.$$

जैसा $$\displaystyle \bigcup_{n = 1}^{\infty} A_{n} = \bigcup_{n = 1}^{\infty} A_{\sigma(n)}$$ किसी भी क्रमपरिवर्तन (आक्षेप) के लिए $$ \sigma: \mathbb{N} \to \mathbb{N} $$, यह इस प्रकार है कि $$\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \mu(A_{n})$$ अप्रतिबंधित रूप से अभिसरण (इसलिए पूर्ण अभिसरण)।

सम्मिश्र माप के संबंध में एकीकरण
सम्मिश्र माप के संबंध में सम्मिश्र-मूल्यवान मापने योग्य फलन के अभिन्न अंग को उसी तरह से परिभाषित किया जा सकता है जैसे लेबेसेग एक माप (गणित) के संबंध में एक वास्तविक संख्या-मूल्यवान मापने योग्य फलन का अभिन्न अंग है। गैर-ऋणात्मक माप, अनुमानित करके सरल फलन के साथ एक औसत दर्जे का फलन। साधारण एकीकरण के मामले में, यह अधिक सामान्य अभिन्न अस्तित्व में विफल हो सकता है, या इसका मान अनंत हो सकता है (रीमैन क्षेत्र)।

एक अन्य दृष्टिकोण स्क्रैच से एकीकरण के सिद्धांत को विकसित नहीं करना है, बल्कि गैर-ऋणात्मक माप के संबंध में वास्तविक-मूल्यवान फलन के अभिन्न अंग की पहले से उपलब्ध अवधारणा का उपयोग करना है। उस अंत तक, यह एक त्वरित जाँच है कि वास्तविक और काल्पनिक भाग μ1 और μ2 सम्मिश्र माप μ परिमित-मूल्यवान सांकेतिक माप हैं। हन अपघटन प्रमेय हैन-जॉर्डन अपघटन को इन माप के रूप में विभाजित करने के लिए लागू किया जा सकता हैl


 * $$\mu_1=\mu_1^+-\mu_1^-$$

और


 * $$\mu_2=\mu_2^+-\mu_2^-$$

जहाँ μ1+, μ1−, μ2+, μ2−  परिमित-मूल्यवान गैर-ऋणात्मक माप हैं (जो कुछ अर्थों में अद्वितीय हैं)। फिर, मापने योग्य फलन f के लिए जो इस समय के लिए वास्तविक-मूल्यवान है, कोई भी परिभाषित कर सकता है


 * $$\int_X \! f \, d\mu = \left(\int_X \! f \, d\mu_1^+ - \int_X \! f \, d\mu_1^-\right) + i \left(\int_X \! f \, d\mu_2^+ - \int_X \! f \, d\mu_2^-\right) $$

जब तक दायीं ओर की अभिव्यक्ति परिभाषित है, यानी, सभी चार इंटीग्रल सम्मिलित हैं और जब उन्हें जोड़ते हैं तो अनिश्चित रूप से ∞−∞ का सामना नहीं होता है।

अब सम्मिश्र-मूल्यवान औसत दर्जे का फलन दिया गया है, कोई भी इसके वास्तविक और काल्पनिक घटकों को अलग से एकीकृत कर सकता है जैसा कि ऊपर दिखाया गया है और परिभाषित किया गया है, जैसा कि अपेक्षित है,


 * $$\int_X \! f \, d\mu = \int_X \! \Re(f) \, d\mu + i \int_X \! \Im(f) \, d\mu.$$

सम्मिश्र माप और ध्रुवीय अपघटन की भिन्नता
एक सम्मिश्र माप μ के लिए, कोई इसकी विविधता, या पूर्ण मान को परिभाषित करता है, |μ| सूत्र द्वारा


 * $$|\mu|(A)= \sup\sum_{n=1}^\infty |\mu(A_n)|$$

जहाँ A Σ में है और अंतिम असम्बद्ध समुच्चय के सभी अनुक्रमों पर चलता है (An)n जिसका संघ (समुच्चय सिद्धांत) A है। समुच्चय A के केवल परिमित विभाजन को  माप्य समुच्चय में लेते हुए, एक समान परिभाषा प्राप्त करता है।

यह पता चला है कि |μ| एक गैर-ऋणात्मक परिमित माप है। उसी तरह जैसे सम्मिश्र संख्या को एक पोलर फॉर्म (ध्रुवीय रूप) में दर्शाया जा सकता है, सम्मिश्र माप के लिए एक ध्रुवीय अपघटन होता है: वास्तविक मूल्यों के साथ एक औसत दर्जे का फलन θ सम्मिलित होता है जैसे कि


 * $$d\mu = e ^{i \theta}d |\mu|,$$

अर्थ


 * $$\int_X f\, d\mu = \int_X f e ^{i \theta} \, d |\mu|$$

किसी भी पूरी तरह से पूर्णांक मापने योग्य फलन f के लिए, यानी f संतोषजनक


 * $$\int_X |f|\, d|\mu|<\infty.$$

रेडॉन-निकोडीम प्रमेय का उपयोग यह साबित करने के लिए किया जा सकता है कि भिन्नता एक माप है और ध्रुवीय अपघटन का अस्तित्व है।

सम्मिश्र माप का स्थान
दो सम्मिश्र माप का योग सम्मिश्र माप है, जैसा कि एक सम्मिश्र संख्या द्वारा सम्मिश्र माप का उत्पाद है। कहने का तात्पर्य यह है कि किसी माप स्थान (X, Σ) पर सभी सम्मिश्र माप का समुच्चय सम्मिश्र संख्याओं के ऊपर सदिश स्थान बनाता है। इसके अलावा, कुल भिन्नता $$\|\cdot\|$$ के रूप में परिभाषित


 * $$\|\mu\| = |\mu| (X)\, $$
 * सामान्य (गणित), जिसके संबंध में सम्मिश्र माप का स्थान एक बनच स्थान है।

यह भी देखें

 * रिज्ज़-मार्कोव-काकुटानी प्रतिनिधित्व प्रमेय
 * सांकेतिक माप
 * सदिश माप

बाहरी संबंध

 * Complex measure on MathWorld