क्लस्टर-विस्तार दृष्टिकोण

क्लस्टर-विस्तार दृष्टिकोण क्वांटम यांत्रिकी में तकनीक है जो बीबीजीकेवाई पदानुक्रम समस्या को व्यवस्थित रूप से छोटा कर देती है जो तब उत्पन्न होती है जब इंटरैक्टिंग प्रणाली की क्वांटम गतिशीलता हल हो जाती है। यह विधि संख्यात्मक रूप से गणना योग्य समीकरणों का संवृत समुच्चय तैयार करने के लिए उपयुक्त है जिसे विभिन्न प्रकार के मैनी-बॉडी और/या क्वांटम ऑप्टिक्स या क्वांटम-ऑप्टिकल समस्याओं का विश्लेषण करने के लिए प्रयुक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, इसे अर्धचालक क्वांटम प्रकाशिकी में व्यापक रूप से प्रयुक्त किया जाता है और इसे अर्धचालक बलोच समीकरणों अर्धचालक ल्यूमिनसेंस समीकरण को सामान्य बनाने के लिए प्रयुक्त किया जा सकता है।

पृष्ठभूमि
क्वांटम सिद्धांत अनिवार्य रूप से मौलिक रूप से स्पष्ट मानों को एक संभाव्य वितरण द्वारा प्रतिस्थापित करता है जिसे उदाहरण के लिए, एक तरंग क्रिया, एक घनत्व आव्यूह, या एक चरण-समष्टि वितरण का उपयोग करके तैयार किया जा सकता है। वैचारिक रूप से, मापे जाने वाले प्रत्येक अवलोकन के निकट सदैव, कम से कम औपचारिक रूप से, संभाव्यता वितरण होता है। पहले से ही 1889 में, क्वांटम भौतिकी तैयार होने से अधिक समय पहले, थोरवाल्ड एन. थीले ने कम्युलेंट्स का प्रस्ताव रखा था जो यथासंभव कम मान के साथ संभाव्य वितरण का वर्णन करता है; उन्होंने उन्हें अर्ध-अपरिवर्तनीय कहा। क्यूमुलेंट्स माध्य, विचरण, विषम, कर्टोसिस इत्यादि जैसी मानो का एक क्रम बनाते हैं, जो अधिक क्यूम्युलेंट का उपयोग होने पर बढ़ती स्पष्टता के साथ वितरण की पहचान करते हैं।

परमाणु मेनी-बॉडी घटना का अध्ययन करने के उद्देश्य से फ्रिट्ज़ कोस्टर और हरमन कुम्मेल द्वारा क्यूमुलेंट्स के विचार को क्वांटम भौतिकी में परिवर्तित किया गया था। इसके पश्चात् में, जिरी सिज़ेक और जोसेफ पाल्डस ने सम्मिश्र परमाणुओं और अणुओं में मेनी-बॉडी की घटनाओं का वर्णन करने के लिए क्वांटम रसायन विज्ञान के दृष्टिकोण को बढ़ाया था। इस कार्य ने युग्मित-क्लस्टर दृष्टिकोण के लिए आधार प्रस्तुत किया जो मुख्य रूप से मैनी-बॉडी तरंग कार्यों के साथ संचालित होता है। सम्मिश्र अणुओं की क्वांटम अवस्थाओं को हल करने के लिए युग्मित-क्लस्टर दृष्टिकोण सबसे सफल विधियों में से एक है।

ठोस पदार्थों में, मैनी-बॉडी तरंगक्रिया की संरचना अत्यधिक सम्मिश्र होती है, जैसे कि प्रत्यक्ष तरंग-क्रिया-समाधान तकनीक कठिन होती है। क्लस्टर विस्तार युग्मित-क्लस्टर दृष्टिकोण का प्रकार है और यह अनुमानित तरंग क्रिया या घनत्व आव्यूह की क्वांटम गतिशीलता को हल करने का प्रयास करने के अतिरिक्त सहसंबंधों के गतिशील समीकरणों को हल करता है। यह मैनी-बॉडी प्रणाली और क्वांटम-ऑप्टिकल सहसंबंधों के गुणों के समाधान के लिए समान रूप से उपयुक्त है, जिसने इसे अर्धचालक क्वांटम ऑप्टिक्स के लिए बहुत उपयुक्त दृष्टिकोण बना दिया है।

मैनी-बॉडी भौतिकी या क्वांटम प्रकाशिकी में प्रायः सदैव की तरह, इसमें सम्मिलित भौतिकी का वर्णन करने के लिए दूसरे परिमाणीकरण या द्वितीय-परिमाणीकरण औपचारिकता को प्रयुक्त करना सबसे सुविधाजनक है। उदाहरण के लिए, प्रकाश क्षेत्र का वर्णन बोसॉन निर्माण और विलुप्त संचालको $$\hat{B}^\dagger_\mathbf{q}$$ और $$\hat{B}_\mathbf{q}$$ के माध्यम से किया जाता है, जहां $$\hbar\mathbf{q}$$ एक फोटॉन की गति को परिभाषित करता है। $$B$$ के ऊपर "हैट" मान की संचालक प्रकृति को दर्शाता है। जब मैनी-बॉडी अवस्था में पदार्थ के इलेक्ट्रॉनिक उत्तेजना सम्मिलित होते हैं तो यह पूर्ण रूप से फर्मियन निर्माण और क्षय संचालको  $$\hat{a}^\dagger_{\lambda,\mathbf{k}}$$ और $$\hat{a}_{\lambda,\mathbf{k}}$$ द्वारा परिभाषित होता है। जहां $$\hbar\mathbf{k}$$ कण की गति को संदर्भित करता है, जबकि $$\lambda$$ स्वतंत्रता की कुछ आंतरिक डिग्री है जैसे स्पिन या बैंड इंडेक्स का उपयोग किया जाता है

एन-कण योगदान का वर्गीकरण
जब मैनी-बॉडी प्रणाली का उसके क्वांटम-ऑप्टिकल गुणों के साथ अध्ययन किया जाता है, जिससे सभी मापनीय मान को 'एन-कण प्रत्याशित मान' के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

$$ \langle \hat{N} \rangle \equiv \langle \hat{B}^\dagger_1 \cdots \hat{B}^\dagger_K \ \hat{a}^\dagger_1 \cdots \hat{a}^\dagger_{N_{\hat{a}}} \hat{a}_{N_{\hat{a}}} \cdots \hat{a}_{1} \ \hat{B}_{J} \cdots \hat{B}_1 \rangle $$

जहाँ $$N=N_{\hat{B}} +N_{\hat{a}}$$ और $$N_{\hat{B}}=J+K$$ जबकि संक्षिप्तता के लिए स्पष्ट गति सूचकांकों को विलुप्त कर दिया जाता है। इन मानो को सामान्यतः ऑर्डर किया जाता है, जिसका अर्थ है कि सभी निर्माण संचालक बाईं ओर हैं जबकि सभी क्षय संचालक अपेक्षित मान में दाईं ओर हैं। यह दिखाना प्रत्यक्ष है कि यदि फर्मियन निर्माण और क्षय संचालको की मान समान नहीं है तो यह प्रत्याशित मान विलुप्त हो जाता है।

एक बार जब प्रणाली हैमिल्टनियन ज्ञात हो जाता है, तो कोई किसी दिए गए गतिशीलता को उत्पन्न करने के लिए गति के हाइजेनबर्ग समीकरण का उपयोग कर सकता है $$N$$-कण संचालिका.चूंकि, मैनी-बॉडी के साथ-साथ क्वांटम-ऑप्टिकल इंटरैक्शन $$N$$-कण मान को $$(N+1)$$-कण प्रत्याशित मान से युग्मित हैं, जिसे बोगोलीबॉव-बॉर्न-ग्रीन-किर्कवुड-यवोन (बीबीजीकेवाई) पदानुक्रम समस्या के रूप में जाना जाता है। अधिक गणितीय रूप से, सभी कण एक दूसरे के साथ परस्पर क्रिया करते हैं जिससे समीकरण संरचना बनती है

$$ \mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t} \langle\hat{N}\rangle = \mathrm{T}\left[ \langle\hat{N}\rangle \right] + \mathrm{Hi}\left[ \langle\hat{N}+1\rangle \right] $$

जहां फलनात्मक (गणित) $$T$$ पदानुक्रम समस्या के बिना योगदान का प्रतीक है और पदानुक्रमित (एचआई) युग्मन के लिए फलनात्मक $$\mathrm{Hi}[\langle\hat{N}+1\rangle]$$ का प्रतीक है चूँकि प्रत्याशित मानो के सभी स्तर वास्तविक कण संख्या तक गैर-शून्य हो सकते हैं, इस समीकरण को बिना किसी विचार के प्रत्यक्ष रूप से छोटा नहीं किया जा सकता है।

क्लस्टर की पुनरावर्ती परिभाषा
सहसंबद्ध समूहों की पहचान करने के बाद पदानुक्रम समस्या को व्यवस्थित रूप से छोटा किया जा सकता है। समूहों को पुनरावर्ती रूप से पहचानने के बाद सबसे सरल परिभाषाएँ अनुसरण की जाती हैं। सबसे निचले स्तर पर, किसी को एकल-कण प्रत्याशित मानो (एकल) का वर्ग मिलता है जो कि प्रतीक हैं $$\langle 1\rangle$$. कोई दो-कण प्रत्याशित मान $$\langle 2 \rangle$$ गुणनखंडन द्वारा अनुमान लगाया जा सकता है $$\langle 2 \rangle_\mathrm{S} = \langle 1 \rangle \langle 1 \rangle$$ इसमें एकल-कण प्रत्याशित मानो के सभी संभावित उत्पादों पर औपचारिक योग सम्मिलित है। सामान्यतः अधिक, $$\langle 1 \rangle$$ एकल को परिभाषित करता है और $$\langle N \rangle_\mathrm{S}$$ का एकल गुणनखंडन है $$N$$-कण प्रत्याशित मान. भौतिक रूप से, फरमिओन्स के बीच एकल गुणनखंडन हार्ट्री-फॉक विधि | हार्ट्री-फॉक सन्निकटन उत्पन्न करता है, जबकि बोसॉन के लिए यह मौलिक यांत्रिकी उत्पन्न करता है#क्वांटम यांत्रिकी के लिए मौलिक सन्निकटन जहां बोसोन संचालको को औपचारिक रूप से सुसंगत आयाम द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, यानी, $$\hat{B} \rightarrow \langle \hat{B} \rangle$$. एकल गुणनखंडन क्लस्टर-विस्तार प्रतिनिधित्व के पहले स्तर का गठन करता है।

का सहसंबद्ध भाग $$\langle 2 \rangle$$ तो वास्तविक का अंतर है $$\langle 2 \rangle$$ और एकल गुणनखंडन $$\langle 2 \rangle_\mathrm{S}$$. अधिक गणितीय रूप से, कोई पाता है

$$ \langle 2\rangle = \langle 2\rangle_\mathrm{S} + \Delta \langle 2\rangle $$ जहां $$\Delta$$ योगदान सहसंबद्ध भाग को दर्शाता है, अर्थात, $$\Delta \langle 2\rangle = \langle 2\rangle-\langle 2\rangle_\mathrm{S}$$. पहचान के अगले स्तर पुनरावर्ती रूप से अनुसरण करते हैं लगाने से

$$ \begin{align} \langle 3\rangle &= \langle 3\rangle_\mathrm{S} + \langle 1\rangle\ \Delta \langle 2\rangle +\Delta \langle 3\rangle \,,   \\ \langle N\rangle &=      \langle N\rangle_\mathrm{S} \\ &\quad+ \langle N-2\rangle_\mathrm{S}\ \Delta \langle 2\rangle   \\ &\quad+ \langle N-4\rangle_\mathrm{S}\ \Delta \langle 2\rangle\ \Delta \langle 2\rangle  +\dots\\ &\quad+ \langle N-3\rangle_\mathrm{S}\ \Delta \langle 3\rangle  \\ &\quad+ \langle N-5\rangle_\mathrm{S}\ \Delta \langle 3\rangle\ \Delta \langle 2\rangle  +\dots\\ &\quad+ \Delta\langle N\rangle\,, \end{align} $$ जहां प्रत्येक उत्पाद शब्द प्रतीकात्मक रूप से गुणनखंड का प्रतिनिधित्व करता है और इसमें पहचाने गए शब्दों के वर्ग के भीतर सभी गुणनखंडों का योग सम्मिलित होता है। विशुद्ध रूप से सहसंबद्ध भाग को निरूपित किया जाता है $$\Delta\langle N\rangle$$. इनसे, दो-कण सहसंबंध $$\Delta \langle 2\rangle$$ तीन-कण सहसंबंध रखते हुए दोहरे निर्धारित करें $$\Delta \langle 3\rangle$$ त्रिक कहलाते हैं.

चूंकि यह पहचान पुनरावर्ती रूप से प्रयुक्त की जाती है, कोई सीधे तौर पर पहचान सकता है कि पदानुक्रम समस्या में कौन से सहसंबंध दिखाई देते हैं। फिर कोई सहसंबंधों की क्वांटम गतिशीलता निर्धारित करता है, जिससे परिणाम मिलता है

$$ \mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Delta \langle\hat{N}\rangle = \mathrm{T}\left[ \Delta \langle\hat{N}\rangle \right] + \mathrm{NL} \left[\langle\hat{1}\rangle, \Delta \langle\hat{2}\rangle,\cdots, \Delta \langle\hat{N}\rangle \right] + \mathrm{Hi}\left[ \Delta \langle\hat{N}+1\rangle \right]\,, $$ जहां गुणनखंड अरैखिक युग्मन उत्पन्न करते हैं $$\mathrm{NL} \left[ \cdots \right]$$ समूहों के बीच. जाहिर है, क्लस्टर का परिचय प्रत्यक्ष दृष्टिकोण की पदानुक्रम समस्या को दूर नहीं कर सकता क्योंकि पदानुक्रमित योगदान गतिशीलता में रहता है। यह संपत्ति और अरेखीय शब्दों की उपस्थिति क्लस्टर-विस्तार दृष्टिकोण की प्रयोज्यता के लिए जटिलताओं का सुझाव देती प्रतीत होती है।

हालाँकि, प्रत्यक्ष प्रत्याशित-मान दृष्टिकोण में बड़े अंतर के रूप में, मैनी-बॉडी और क्वांटम-ऑप्टिकल इंटरैक्शन दोनों क्रमिक रूप से सहसंबंध उत्पन्न करते हैं। विभिन्न प्रासंगिक समस्याओं में, वास्तव में ऐसी स्थिति होती है जहां केवल निम्नतम-क्रम वाले क्लस्टर शुरू में विलुप्त नहीं होते हैं जबकि उच्च-क्रम वाले क्लस्टर धीरे-धीरे बनते हैं। इस स्थिति में, कोई पदानुक्रमित युग्मन को छोड़ सकता है, $$\mathrm{Hi}\left[ \Delta \langle\hat{C}+1\rangle \right]$$, स्तर से अधिक पर $$C$$-कण क्लस्टर. परिणामस्वरूप, समीकरण संवृत हो जाते हैं और केवल गतिशीलता की गणना करने की आवश्यकता होती है $$C$$प्रणाली के प्रासंगिक गुणों को समझाने के लिए -कण सहसंबंध। तब से $$C$$ आमतौर पर समग्र कण संख्या की तुलना में बहुत छोटा होता है, क्लस्टर-विस्तार दृष्टिकोण मैनी-बॉडी और क्वांटम-ऑप्टिक्स जांच के लिए व्यावहारिक और व्यवस्थित समाधान योजना उत्पन्न करता है।

एक्सटेंशन
क्वांटम गतिशीलता का वर्णन करने के अलावा, कोई स्वाभाविक रूप से क्वांटम वितरण का प्रतिनिधित्व करने के लिए क्लस्टर-विस्तार दृष्टिकोण को प्रयुक्त कर सकता है। संभावना परिमाणित प्रकाश मोड के क्वांटम उतार-चढ़ाव का प्रतिनिधित्व करना है $$\hat{B}$$ क्लस्टर के संदर्भ में, क्लस्टर-विस्तार प्रतिनिधित्व प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, कोई उन्हें प्रत्याशित-मान प्रतिनिधित्व के संदर्भ में व्यक्त कर सकता है $$\langle [\hat{B}^\dagger]^J \hat{B}^K \rangle$$. इस मामले में, कनेक्शन से $$\langle [\hat{B}^\dagger]^J \hat{B}^K \rangle$$ घनत्व आव्यूह अद्वितीय है लेकिन इसके परिणामस्वरूप संख्यात्मक रूप से भिन्न श्रृंखला हो सकती है। क्लस्टर-विस्तार परिवर्तन (सीईटी) शुरू करके इस समस्या को हल किया जा सकता है यह गाऊसी के संदर्भ में वितरण का प्रतिनिधित्व करता है, जिसे एकल-दोहरे योगदान द्वारा परिभाषित किया जाता है, बहुपद से गुणा किया जाता है, जो उच्च-क्रम समूहों द्वारा परिभाषित होता है। यह पता चलता है कि यह सूत्रीकरण प्रतिनिधित्व-से-प्रतिनिधित्व परिवर्तनों में अत्यधिक अभिसरण प्रदान करता है।

इस पूर्णतः गणितीय समस्या का प्रत्यक्ष भौतिक अनुप्रयोग है। मौलिक माप को क्वांटम-ऑप्टिकल माप में मजबूती से प्रोजेक्ट करने के लिए क्लस्टर-विस्तार परिवर्तन को प्रयुक्त किया जा सकता है। यह संपत्ति अधिक हद तक सीईटी की किसी भी वितरण का उस रूप में वर्णन करने की क्षमता पर आधारित है जहां गाऊसी को बहुपद कारक से गुणा किया जाता है। इस तकनीक का उपयोग पहले से ही मौलिक स्पेक्ट्रोस्कोपी माप के समुच्चय से क्वांटम-ऑप्टिकल स्पेक्ट्रोस्कोपी तक पहुंचने और प्राप्त करने के लिए किया जा रहा है, जिसे उच्च गुणवत्ता वाले पराबैंगनीकिरण का उपयोग करके किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * बीबीजीकेवाई पदानुक्रम
 * क्वांटम-ऑप्टिकल स्पेक्ट्रोस्कोपी
 * अर्धचालक बलोच समीकरण
 * अर्धचालक ल्यूमिनसेंस समीकरण