सेप्टिक समीकरण

बीजगणित में, एक सेप्टिक समीकरण नीचे लिखे गए समीकरण के रूप का होता है


 * $$ax^7+bx^6+cx^5+dx^4+ex^3+fx^2+gx+h=0,\,$$

जहाँ पर $x$.

एक सेप्टिक फलन, निम्नलिखित रूप का एक फलन होता है


 * $$f(x)=ax^7+bx^6+cx^5+dx^4+ex^3+fx^2+gx+h\,$$

जहाँ पर $a ≠ 0$।

दूसरे शब्दों में, यह 7 की घात का एक बहुपद होता है। यदि $a ≠ 0$ है, तो फलन f, 6 घात का एक फलन होता है ;जहाँ पर ($a = 0$), इसी तरह 5 घात का फलन  यदि ($b ≠ 0$), आदि।

$b = 0, c ≠ 0$ रखकर दिए गए फलन से समीकरण प्राप्त किया जा सकता है :

गुणांक $f(x) = 0$ या तो पूर्णांक या परिमेय संख्या, वास्तविक संख्या, जटिल संख्या, और अधिक सामान्यतः, किसी भी क्षेत्र के सदस्य हो सकते हैं।

क्योंकि उनके पास एक विषम डिग्री है। जब आलेख बनाया जाता है तो सेप्टिक फलन, क्विंटिक फलन या घनीय फलन के समान दिखाई देते हैं, केवल इसके कि उनके पास कुछ अतिरिक्त उच्चतम मान, निम्नतम मान और स्थानीय निम्न (तीन उच्चतम मान और तीन निम्नतम मान तक) हो सकते हैं। सेप्टिक फलन का अवकलन एक सेक्स्टिक फलन (6 घात का एक फलन) होता है।

हल करने योग्य सेप्टिक्स
कुछ सातवीं डिग्री के समीकरणों को रेडिकल्स में गुणनखंडित करके हल किया जा सकता है, लेकिन अन्य सेप्टिक्स को इस तरह हल नहीं कर सकते है। इवरिस्ट गैलोइस ने यह निर्धारित करने के लिए कि क्या किसी दिए गए समीकरण को रेडिकल्स द्वारा हल किया जा सकता है, एक तकनीक विकसित की, जिसने बाद में गैलोइस सिद्धांत के क्षेत्र को जन्म दिया। एक अखंडनीय लेकिन हल करने योग्य सेप्टिक का उदाहरण लेकर, कोई समीकरण का हल प्राप्त करने के लिए समाधेय डे मोइवर क्विंटिक का सामान्यीकरण कर सकता है,
 * $$x^7+7\alpha x^5+14\alpha^2x^3+7\alpha^3x+\beta = 0\,$$,

जहाँ सहायक समीकरण है
 * $$y^2+\beta y-\alpha^7 = 0\,$$.

इसका अर्थ है कि सेप्टिक को $a, b, c, d, e, f, g, h$ तथा $u$ के बीच $v$, $x = u + v$ तथा $uv + α = 0$ से प्राप्त किया जाता है।

यह इस प्रकार है जिससे कि सेप्टिक की सातो मूलो को प्राप्त किया जा सकता है


 * $$x_k = \omega_k\sqrt[7]{y_1} + \omega_k^6\sqrt[7]{y_2}$$

जहाँ पर $u^{7} + v^{7} + β = 0$ इकाई के 7 सातवें मूल में से कोई भी है। इस सेप्टिक का गैलोइस समूह क्रम 42 का अधिकतम हल करने योग्य समूह है। इसे आसानी से किसी भी अन्य डिग्री $ω_{k}$ के लिए सामान्यीकृत किया जाता है, जरूरी नहीं है कि यह प्रधान हो।

एक और समाधान परिवार है,


 * $$x^7-2x^6+(\alpha+1)x^5+(\alpha-1)x^4-\alpha x^3-(\alpha+5)x^2-6x-4 = 0\,$$

जिसके सदस्य संख्या क्षेत्रों के क्लूनर के डेटाबेस में दिखाई देते हैं। इसका विवेचक है


 * $$\Delta = -4^4\left(4\alpha^3+99\alpha^2-34\alpha+467\right)^3\,$$

इन सेप्टिक्स का गैलोइस समूह क्रम 14 का डायहेड्रल समूह है।

सामान्य सेप्टिक समीकरण को वैकल्पिक या सममित गैलोइस समूह $k$ या $A_{7}$ के साथ हल किया जा सकता है। इस तरह के समीकरणों को उनके हल के लिए जीनस 3 के हाइपरेलिप्टिक फलन और उससे संबंधित थीटा फलनो की आवश्यकता होती है। चूंकि, उन्नीसवीं शताब्दी के गणितज्ञों द्वारा बीजीय समीकरणों के समाधान का अध्ययन करते इन समीकरणों का विशेष रूप से अध्ययन नहीं किया गया था, क्योंकि सेक्स्टिक समीकरणों के समाधान पहले से ही कंप्यूटर के बिना उनकी कम्प्यूटेशनल क्षमताओं की सीमा पर थे।

सेप्टिक्स निम्नतम क्रम के समीकरण हैं जिनके लिए यह स्पष्ट नहीं है कि उनके समाधान दो चरों के निरंतर फलनो को अध्यारोपित करके प्राप्त किए जा सकते हैं।  हिल्बर्ट की 13वीं समस्या अनुमान था, यह सातवें डिग्री के समीकरणों के सामान्य स्थिति में संभव नहीं था। व्लादिमीर अर्नोल्ड ने 1957 में यह प्रदर्शित करते हुए इसे हल किया कि यह हमेशा संभव था। चूंकि, अर्नोल्ड ने स्वयं को वास्तविक हिल्बर्ट समस्या माना कि क्या सेप्टिक्स के लिए उनके समाधान दो चर के बीजगणितीय फलनो को अध्यारोपित करके प्राप्त किए जा सकते हैं। (समस्या अभी भी बनी हुयी है)

गैलोइस समूह
रेडिकल्स द्वारा हल किए जा सकने वाले सेप्टिक समीकरणों में गैलोइस समूह होता है जो या तो क्रम 7 का चक्रीय समूह होता है, या क्रम 14 का डायहेड्रल समूह या क्रम 21 अथवा 42 का मेटासाइक्लिक समूह होता है।

$S_{7}$ गाल्वा समूह (क्रम 168 का) 7 शीर्ष लेबल के क्रमपरिवर्तन से बनता है जो फेनो तल में 7 पंक्तियों को संरक्षित करता है। गैलोइस समूह के साथ इस सेप्टिक समीकरण $L(3, 2)$ को अपने समाधान के लिए दीर्घवृत्तीय फलनो की आवश्यकता होती है, अतिपरवलयाकर फलनो की आवश्यकता नहीं होती है ।

अन्यथा एक सेप्टिक का गैलोइस समूह या तो क्रम 2520 का वैकल्पिक समूह है या क्रम 5040 का सममित समूह है।

एक चक्रीय पंचभुज या षट्भुज के वर्ग क्षेत्र के लिए सेप्टिक समीकरण
चक्रीय पंचभुज के क्षेत्रफल का वर्ग एक सेप्टिक समीकरण का एक मूल है, जिसके गुणांक पंचभुज की भुजाओं के सममित फलन हैं। चक्रीय षट्भुज के क्षेत्रफल के वर्ग के बारे में भी यही बात सच है।

यह भी देखें

 * घनीय फलन
 * चतुर्थक फलन
 * क्विंटिक फलन
 * सेक्सेटिक समीकरण
 * लैब्स सेप्टिक