अतिशयोक्तिपूर्ण कोण

ज्यामिति में, अतिपरवलयिक कोण एक वास्तविक संख्या है जो कार्तीय तल के चतुर्थांश I में xy = 1 के संगत अतिपरवलयिक क्षेत्र के क्षेत्रफल द्वारा निर्धारित होती है। अतिपरवलयिक कोण इकाई अतिपरवलयिक को पैरामीट्रिसेस (प्राचलिक) करता है, जिसमें निर्देशांक के रूप में अतिपरवलयिक फलन होते हैं। गणित में, अतिपरवलयिक कोण एक अपरिवर्तनीय माप है क्योंकि यह अतिपरवलयिक घूर्णन के अंतर्गत संरक्षित है।

अतिपरवलयिक xy = 1, $$\sqrt 2$$ अर्ध-प्रमुख अक्ष के साथ आयताकार है जो त्रिज्या $$\sqrt 2$$ वाले वृत्त में एक वृत्ताकार क्षेत्र के क्षेत्रफल के अनुरूप वृत्ताकार कोण के परिमाण के अनुरूप है।

अतिपरवलयिक कोण को अतिपरवलयिक फलन sinh, cosh और tanh के लिए निर्भर और स्वतंत्र चर के रूप में उपयोग किया जाता है, क्योंकि ये फलन अतिपरवलयिक त्रिकोण को परिभाषित करने के रूप में अतिपरवलयिक कोण के संबंध में संबंधित परिपत्र त्रिकोणमितीय फलन के अतिपरवलयिक एनालॉग्स पर आधारित हो सकते हैं। इस प्रकार पैरामीटर वास्तविक चरों की गणना में सबसे उपयोगी हो जाता है।

परिभाषा
आयताकार अतिपरवलयिक पर विचार करें $$\textstyle\{(x,\frac 1 x): x>0\}$$, और ( संकेत द्वारा) भाग $$x > 1$$ पर विशेष ध्यान दें।

पहले परिभाषित करें:
 * मानक स्थिति में अतिपरवलयिक कोण $$(0, 0)$$ किरण के बीच $$(1, 1)$$ और किरण $$\textstyle(x, \frac 1 x)$$ पर कोण है जहां $$x > 1$$.
 * इस कोण का परिमाण संबंधित अतिपरवलयिक क्षेत्र का क्षेत्रफल है, जो $$\operatorname{ln}x$$ पर निकलता है।

ध्यान दें कि, प्राकृतिक लघुगणक द्वारा निभाई गई भूमिका के कारण:
 * वृत्ताकार कोण के विपरीत, अतिपरवलयिक कोण असीमित है (क्योंकि $$\operatorname{ln}x$$ असीमित है); यह इस तथ्य से संबंधित है कि हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) अधिकतम है।
 * कोण के परिमाण का सूत्र बताता है कि, $$0 < x < 1$$ के लिए अतिपरवलयिक कोण ऋणात्मक होना चाहिए। यह इस तथ्य को दर्शाता है कि परिभाषित के रूप में, कोण निर्देशित है।

अंत में, अतिपरवलयिक कोण की परिभाषा को अतिपरवलयिक पर किसी भी अंतराल द्वारा घटाए गए तक बढ़ाएँ। और फिर कल्पना कीजिए कि $$a, b, c, d$$ सकारात्मक वास्तविक संख्याएं हैं जैसे कि $$ab = cd = 1$$ और $$c > a > 1$$, ताकि $$(a, b)$$ और $$(c, d)$$ अतिपरवलयिक पर बिंदु $$xy=1$$ हैं और उस पर अंतराल निर्धारित करें। फिर अधिकुंचन प्रतिचित्रण $$\textstyle f:(x, y)\to(bx, ay)$$ कोण को $$\angle\!\left ((a, b), (0,0), (c, d)\right)$$ और मानक स्थिति कोण के लिए $$\angle\!\left ((1, 1), (0,0), (bc, ad)\right)$$ मानचित्रित करता है। ग्रीगोइरे डी सेंट-विन्सेंट के परिणाम से, इन कोणों द्वारा निर्धारित अतिपरवलयिक क्षेत्रों में एक ही क्षेत्र होता है, जिसे कोण के परिमाण के रूप में लिया जाता है। यह परिमाण $$\operatorname{ln}{(bc)}=\operatorname{ln}(c/a) =\operatorname{ln}c-\operatorname{ln}a$$ है।

वृत्ताकार कोण से तुलना


इकाई वृत्त $$ x^2 + y^2 = 1 $$ रेडियन में गोलाकार कोण के आधे क्षेत्र के साथ एक गोलाकार क्षेत्र है। समान रूप से, इकाई अतिपरवलयिक $$ x^2 - y^2 = 1 $$ अतिपरवलयिक कोण के आधे क्षेत्र के साथ अतिपरवलयिक क्षेत्र है।

वृत्ताकार और अतिपरवलयिक स्थितियों के बीच एक प्रक्षेपी वियोजन भी है: दोनों वक्र शंक्वाकार खंड हैं, और इसलिए उन्हें प्रक्षेपी ज्यामिति में प्रक्षेपी श्रेणी के रूप में माना जाता है। इन श्रेणियों में से किसी अन्य पर एक मूल बिंदु दिया गया है, अन्य बिंदु कोणों के अनुरूप हैं। विज्ञान के लिए मूल कोणों को जोड़ने का विचार, इन श्रेणियों में से किसी एक पर अंकों के योग से अनुरूप है:

वृत्ताकार कोणों को ज्यामितीय रूप से इस गुण द्वारा चित्रित किया जा सकता है कि यदि दो जीवा P0P1 और P0P2 एक वृत्त के केंद्र पर L1 और L2 कोण बनाते हैं, तो उनका योग L1 + L2 जीवा PQ द्वारा बनाया गया कोण है, जहाँ PQ को P1P2 के समानांतर होना आवश्यक है।

यही रचना अतिपरवलयिक पर भी प्रयुक्त की जा सकती है। यदि P0 को बिंदु (1, 1), P1 को बिंदु(x1, 1/x1), और P2 को बिंदु (x2, 1/x2) के रूप में लिया जाता है, तो समानांतर शर्त के लिए आवश्यक है कि Q बिंदु (x1x2, 1/x11/x2) इस प्रकार यह बिंदु के x के मान के लघुगणकीय फलन के रूप में P0 से वक्र पर एकपक्षीय बिंदु पर अतिपरवलयिक कोण को परिभाषित करने के लिए समझ में आता है।

जबकि यूक्लिडियन ज्यामिति में लंबकोणीय दिशा में मूल से एक किरण की ओर तेजी से बढ़ते हुए छद्म-यूक्लिडियन समष्टि में एक चक्र का पता चलता है। यूक्लिडियन समष्टि में, किसी दिए गए कोण के गुणक एक वृत्त के चारों ओर समान दूरी का पता लगाते हैं, जबकि यह अतिपरवलयिक रेखा पर घातीय दूरी का पता लगाता है।

दोनों परिपत्र और अतिपरवलयिक कोण एक अपरिवर्तनीय माप के उदाहरण प्रदान करते हैं। वृत्त पर कोणीय परिमाण के साथ चाप वृत्त पर कुछ मापनीय समुच्चयों पर एक माप (गणित) उत्पन्न करते हैं जिसका परिमाण वृत्त के मुड़ने या घूमने के रूप में भिन्न नहीं होता है। अतिपरवलयिक के लिए मोड़ अधिसंकुचन मानचित्रण द्वारा होता है, और अतिपरवलयिक कोण परिमाण समान रहता है जब तल को प्रतिचित्रण द्वारा सीमित किया जाता है
 * (x, y) ↦ (rx, y / r), r > 0 के साथ।

मिंकोस्की रेखा तत्व से संबंध
अतिपरवलयिक कोण और मिंकोस्की समष्टि पर परिभाषित मीट्रिक के साथ असामान्य संबंध भी है। जिस प्रकार दो आयामी यूक्लिडियन ज्यामिति अपने रेखा तत्व को परिभाषित करती है
 * $$ds_{e}^2 = dx^2 + dy^2,$$

मिन्कोवस्की समष्टि पर रेखा तत्व है
 * $$ds_{m}^2 = dx^2 - dy^2.$$

दो आयामी यूक्लिडियन समष्टि में एक वक्र पर विचार करें,
 * $$x = f(t), y=g(t).$$

जहां पैरामीटर $$t$$ वास्तविक संख्या है जो $$ a $$ और $$ b $$ ($$ a\leqslant t<b $$) के बीच चलती है। यूक्लिडियन समष्टि में इस वक्र की चाप की गणना इस प्रकार की जाती है:
 * $$S = \int_{a}^{b}ds_{e} = \int_{a}^{b} \sqrt{\left (\frac{dx}{dt}\right )^2 + \left (\frac{dy}{dt}\right )^2 }dt.$$

यदि $$ x^2 + y^2 = 1 $$ एक इकाई वृत्त को परिभाषित करता है, इस समीकरण के लिए समुच्चय एकल पैरामिट्रीकृत समाधान $$ x = \cos t $$ और $$ y = \sin t $$, $$ 0\leqslant t < \theta $$ है। चाप की लम्बाई $$ S $$ की गणना करने पर $$ S = \theta $$ प्राप्त होता है अब वही प्रक्रिया करते हुए, यूक्लिडियन तत्व को मिन्कोव्स्की रेखा तत्व के साथ परिवर्तन करने के अतिरिक्त,
 * $$S = \int_{a}^{b}ds_{m} = \int_{a}^{b} \sqrt{\left (\frac{dx}{dt}\right )^2 - \left (\frac{dy}{dt}\right )^2 }dt,$$

और एक इकाई अतिपरवलयिक को $$ y^2 - x^2 = 1 $$ इस रूप में परिभाषित किया, और इसके संगत पैरामिट्रीकृत समाधान समुच्चय के साथ $$ y = \cosh t $$ और $$ x = \sinh t $$ दे कर $$ 0\leqslant t < \eta $$ (अतिपरवलयिक कोण), हम $$ S = \eta $$ के परिणाम पर पहुंचते हैं दूसरे शब्दों में, इसका तात्पर्य यह है कि यूक्लिडियन परिभाषित मीट्रिक का उपयोग करके उसी कोण द्वारा बनाए गए इकाई वृत्त पर परिधि की चाप की लंबाई के रूप में परिपत्र कोण को कैसे परिभाषित किया जा सकता है, अतिपरवलयिक कोण इकाई अतिपरवलयिक पर परिधि की चाप की लंबाई है। अतिपरवलयिक को मिंकोव्स्की परिभाषित मीट्रिक (आव्यूह) का उपयोग करके अतिपरवलयिक कोण द्वारा घटाया गया।

इतिहास
अतिपरवलयिक का चतुर्भुज (गणित) एक अतिपरवलयिक क्षेत्र के क्षेत्रफल का मूल्यांकन है। यह एक स्पर्शोन्मुख के विपरीत संबंधित क्षेत्र के बराबर दिखाया जा सकता है। अतः चतुष्कोण पहले 1647 में ग्रीगोइरे डी सेंट-विंसेंट द्वारा रचना ज्यामितीय समकोणिक सर्कुली एट सेक्शनम कोनी में पूरा किया गया था। जैसा कि एक इतिहासकार ने व्यक्त किया है,
 * [उन्होंने] एक अतिपरवलयिक का चतुष्कोण उसके स्पर्शोन्मुखों के लिए बनाया, और दर्शाया कि जैसे-जैसे अंकगणितीय श्रृंखला में क्षेत्रफल बढ़ता है, वैसे ही ज्यामितीय श्रृंखला में भुजांक बढ़ता जाता है।

ए. ए. डी सरसा ने चतुर्भुज को एक लघुगणक के रूप में व्याख्यायित किया और इस प्रकार ज्यामितीय रूप से परिभाषित प्राकृतिक लघुगणक (या अतिपरवलयिक लघुगणक) को y = 1/x के दाई ओर x = 1 अंतर्गत क्षेत्र के रूप में समझा जाता है। अतः अबीजीय फलन के उदाहरण के रूप में, लघुगणक इसके प्रेरक, अतिपरवलयिक कोण से अधिक परिचित है। तथापि, अतिपरवलयिक कोण एक भूमिका निभाता है जब अधिसंकुचन मानचित्रण प्रमेय के साथ उन्नत होता है।

परिपत्र त्रिकोणमिति को अगस्त डी मॉर्गन द्वारा अपनी पाठ्यपुस्तक त्रिकोणमिति और द्विक बीजगणित में अतिपरवलयिक तक बढ़ाया गया था। 1878 में डब्ल्यू के क्लिफोर्ड ने एक इकाई पैरामीट्रिक समीकरण को इकाई अतिपरवलयिक के लिए अतिपरवलयिक कोण का उपयोग किया, और इसे "अर्ध-हार्मोनिक दोलक" के रूप में वर्णित किया।

1894 में अलेक्जेंडर मैकफर्लेन ने अपने निबंध "द इमेजिनरी ऑफ अलजेब्रा" को परिचालित किया, जिसमें अतिपरवलयिक वर्सेस (संस्करण) उत्पन्न करने के लिए अतिपरवलयिक कोणों का उपयोग किया गया था, यह उनकी पुस्तक पेपर्स ऑन स्पेस एनालिसिस में है। अगले वर्ष अमेरिकन मैथमैटिकल सोसाइटी के बुलेटिन ने मेलन डब्ल्यू. हास्केल की अतिपरवलयिक फलनों की रूपरेखा प्रकाशित की गई।

जब लुडविग सिल्बरस्टीन ने सापेक्षता के नए सिद्धांत पर अपनी लोकप्रिय 1914 की पाठ्यपुस्तक लिखी, तो उन्होंने अतिपरवलयिक कोण a पर आधारित रैपिडिटी (संवेग) अवधारणा का उपयोग किया, जहां tanh a = v/c, वेग v का प्रकाश की गति से अनुपात मे है। उन्होंने लिखा है:


 *  ऐसा लगता है कि इकाई रैपिडिटी एक विशाल वेग से अनुरूप है, जो प्रकाश के वेग के 3/4 के बराबर है; अधिक परिशुद्ध रूप से हमारे पास v = (.7616)c के लिए a = 1 है। 
 * [...] रैपिडिटी a = 1, [...] फलस्वरूप वेग .76 c का प्रतिनिधित्व करेगा जो जल में प्रकाश के वेग से अपेक्षाकृत कम ऊपर है।

सिल्बरस्टीन भी cos Π(a) = v/c प्राप्त करने के लिए लोबाचेवस्की की समानांतरता के कोण Π(a) की अवधारणा का उपयोग करता है।

काल्पनिक वृत्ताकार कोण
अतिपरवलयिक कोण को प्रायः ऐसे प्रस्तुत किया जाता है जैसे कि वह $ \cos ix = \cosh x$ और $\sin ix = i \sinh x$  काल्पनिक संख्या हो, ताकि अतिपरवलयिक फलन cos और sinh को वृत्तीय फलनों के माध्यम से प्रस्तुत किया जा सके। लेकिन यूक्लिडियन समष्टि में हम प्रत्यावर्ती रूप से वृत्ताकार कोण के मापों को काल्पनिक और अतिपरवलयिक कोण के मापों को वास्तविक अदिश, $ \cosh ix = \cos x$  और $\sinh ix = i \sin x$  मान सकते हैं।

इन संबंधों को घातीय फलन के संदर्भ में समझा जा सकता है, जो एक सम्मिश्र तर्क $z$ के लिए है और सम और विषम फलनों $\cosh z = \tfrac12(e^z + e^{-z})$  मे और $\sinh z = \tfrac12(e^z - e^{-z})$  में क्रमशː विभाजित किया जा सकता है। तब

$$e^z = \cosh z + \sinh z = \cos(iz) - i \sin(iz), $$ या यदि तर्क को वास्तविक और काल्पनिक भागों $z = x + iy$ में विभाजित किया जाता है, घातीय को अनुमापन के उत्पाद $e^{x}$  और घूर्णन $e^{iy}$  में विभाजित किया जा सकता है

$$e^{x + iy} = e^{x}e^{iy} = (\cosh x + \sinh x)(\cos y + i \sin y).$$ अनंत श्रृंखला के रूप में,

$$\begin{alignat}{3} e^z     &= \,\,\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}  && = 1 + z + \tfrac{1}{2}z^2 + \tfrac16z^3 + \tfrac1{24}z^4 + \dots \\ \cosh z &= \sum_{k \text{ even} } \frac{z^k}{k!} && = 1 + \tfrac{1}{2}z^2 + \tfrac1{24}z^4 + \dots \\ \sinh z &= \,\sum_{k \text{ odd} } \frac{z^k}{k!} && = z + \tfrac{1}{6}z^3 + \tfrac1{120}z^5 + \dots \\ \cos z  &= \sum_{k \text{ even} } \frac{(iz)^k}{k!} && = 1 - \tfrac{1}{2}z^2 + \tfrac1{24}z^4 - \dots \\ i \sin z &= \,\sum_{k \text{ odd} } \frac{(iz)^k}{k!} && = i\left(z - \tfrac{1}{6}z^3 + \tfrac1{120}z^5 - \dots\right) \\ \end{alignat}$$ कोसाइन के लिए अनंत श्रृंखला कोश से इसे एक वैकल्पिक श्रृंखला में परिवर्तित कर प्राप्त किया जाता है, और साइन के लिए श्रृंखला sinh को एक वैकल्पिक श्रृंखला में बनाने से आती है।

यह भी देखें

 * प्रागनुभविक कोण

संदर्भ

 * Janet Heine Barnett (2004) "Enter, stage center: the early drama of the hyperbolic functions", available in (a) Mathematics Magazine 77(1):15–30 or (b) chapter 7 of Euler at 300, RE Bradley, LA D'Antonio, CE Sandifer editors, Mathematical Association of America ISBN 0-88385-565-8.
 * Arthur Kennelly (1912) Application of hyperbolic functions to electrical engineering problems
 * William Mueller, Exploring Precalculus, § The Number e, Hyperbolic Trigonometry.
 * John Stillwell (1998) Numbers and Geometry exercise 9.5.3, p. 298, Springer-Verlag ISBN 0-387-98289-2.