त्रिकोणमितीय फलनों का विभेदन

त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों का अवकलन,एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाने की गणितीय प्रक्रिया है,या एक चर के संबंध में परिवर्तन की दर है।उदाहरण के रूप में,साइन फ़ंक्शन का व्युत्पन्न sin'(a) = cos(a) के रूप में लिखा जाता है,जिसका अर्थ है कि एक विशेष कोण x = a पर sin(x)की परिवर्तन दर उस कोण की कोसाइन द्वारा दी गई है।

वृत्तीय त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों के सभी व्युत्पन्न sin(x) और cos(x) से tan(x) = sin(x)/cos(x) जैसे फ़ंक्शनों पर लागू होने वाले भागफल नियम के माध्यम से पाए जा सकते हैं।इन व्युत्पन्नों को जानने के लिए,प्रतिवर्ती त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों के व्युत्पन्नों को अंतर्निहित अवकलन का उपयोग करके खोजा जाता है।

sin(θ)/θ की सीमा θ के 0 के पास जाते हुए,
दायीं ओर का आरेख नीचे एक वृत्त दिखाता है जिसका केंद्र O है और त्रिज्या r = 1 है।यदि दो त्रिज्याएँ OA और OB,θ रेडियन का एक चाप बनाते हैं।θ के 0 के पास जाने की सीमा को विचार करते हुए,हम θ को एक छोटी धनात्मक संख्या मान सकते हैं,कहें 0 < θ < ½ π पहली चतुर्थांश में।

आरेख में,त्रिभुज OAB को R1,वृत्तीय क्षेत्र OAB को R2 और त्रिभुज OAC को R3 लें।त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल है:


 * $$ \mathrm{Area}(R_1

) =\tfrac{1}{2} \ |OA| \ |OB| \sin\theta = \tfrac{1}{2}\sin\theta \, . $$ वृत्तीय क्षेत्र OAB का क्षेत्रफल है: $$\mathrm{Area}(R_2) =\tfrac{1}{2}\theta$$,जबकि त्रिभुज OAC का क्षेत्रफल निम्नलिखित है:
 * $$ \mathrm{Area}(R_3

) =\tfrac{1}{2} \ |OA| \ |AC| = \tfrac{1}{2} \tan\theta \, . $$ चूँकि प्रत्येक क्षेत्र अगले क्षेत्र में समाहित होता है,इसलिए निम्नलिखित सम्बंध होता है:


 * $$\text{Area}(R_1) < \text{Area}(R_2) < \text{Area}(R_3) \implies

\tfrac{1}{2}\sin\theta < \tfrac{1}{2}\theta < \tfrac{1}{2}\tan\theta \,. $$ और इसके अलावा,क्योंकि पहले चतुर्थांश में sin θ > 0 होता है,हम ½ sin θ से विभाजन कर सकते हैं,जिससे निम्नलिखित मिलता है:
 * $$1 < \frac{\theta}{\sin\theta} < \frac{1}{\cos\theta} \implies 1 > \frac{\sin\theta}{\theta} > \cos\theta \, . $$

अंतिम चरण में हमने असमानताओं को उलटते हुए,तीन धनात्मक पदों का प्रतिपक्ष लिया।

हम निष्कर्ष निकालते हैं कि 0 < θ < ½ π के लिए,राशि sin(θ)/θ हमेशा 1 से छोटी होती हैऔर हमेशा cos(θ) से अधिक होती है।इस प्रकार,जब θ को 0 के पास ले जाते हैं,तो sin(θ)/θ को एक छत 1 के स्तर पर और एक नीचे cos θ के स्तर पर "दबाया" जाता है,जो 1 की ओर बढ़ता है;इसलिए θ को धनात्मक दिशा से 0 की ओर ले जाते हुए, sin(θ)/θ 1 की ओर प्रवृत्त होना चाहिए:

"$\lim_{\theta \to 0^+} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1 \, . $"ऐसी स्थिति के लिए जहां θ एक छोटी ऋणात्मक संख्या हो -½ π < θ < 0,तब हम उस तथ्य का उपयोग करते हैं कि sine एक विषम फ़ंक्शन है:


 * $$\lim_{\theta \to 0^-}\! \frac{\sin\theta}{\theta}

\ =\ \lim_{\theta\to 0^+}\!\frac{\sin(-\theta)}{-\theta} \ =\ \lim_{\theta \to 0^+}\!\frac{-\sin\theta}{-\theta} \ =\ \lim_{\theta\to 0^+}\!\frac{\sin\theta}{\theta} \ =\ 1 \, . $$

(cos(θ)-1)/θ की सीमा होगी जब θ को 0 के पास ले जाते हैं
अंतिम खंड की मदद से हम इस नई सीमा की गणना को संबंधित रूप से आसानी से कर सकते हैं।इसे एक सरल तकनीक का उपयोग करके किया जाता है।इस गणना में, θ के चिह्न का महत्व नहीं होता है।
 * $$ \lim_{\theta \to 0}\, \frac{\cos\theta - 1}{\theta}

\ =\ \lim_{\theta \to 0} \left( \frac{\cos\theta - 1}{\theta} \right)\!\! \left( \frac{\cos\theta + 1}{\cos\theta + 1} \right) \ =\ \lim_{\theta \to 0}\, \frac{\cos^2\!\theta - 1}{\theta\,(\cos\theta + 1)}. $$ का उपयोग करते हुए cos2θ – 1 = –sin2θ,

तथ्य यह है कि किसी उत्पाद की सीमा सीमाओं का उत्पाद है,और पिछले अनुभाग से सीमा परिणाम,हम पाते हैं कि:


 * $$ \lim_{\theta \to 0}\,\frac{\cos\theta - 1}{\theta}

\ =\ \lim_{\theta \to 0}\, \frac{-\sin^2\theta}{\theta(\cos\theta+1)} \ =\ \left( -\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta}\right)\! \left( \lim_{\theta \to 0}\,\frac{\sin\theta}{\cos\theta + 1} \right) \ =\ (-1)\left(\frac{0}{2}\right) = 0 \,. $$

tan(θ)/θ की सीमा होगी जब θ को 0 के पास ले जाते हैं
साइन फ़ंक्शन के लिए सीमा का उपयोग करते हुए,टैंजे़ंट फ़ंक्शन विषम होने के कारण,किसी उत्पाद की सीमा सीमाओं का उत्पाद है के तथ्य का उपयोग करते हुए,हमें निम्नलिखित मिलता है:

\lim_{\theta\to 0} \frac{\tan\theta}{\theta} \ =\ \left(\lim_{\theta\to 0} \frac{\sin\theta}{\theta}\right)\! \left( \lim_{\theta\to 0} \frac{1}{\cos\theta}\right) \ =\ (1)(1) \ =\   1 \, . $$

साइन फ़ंक्शन का व्युत्पन्न
हम लिमिट परिभाषा से साइन फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करते हैं:
 * $$ \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta = \lim_{\delta \to 0} \frac{\sin(\theta + \delta) - \sin \theta}{\delta} . $$

कोण समीकरण सूत्र sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α का उपयोग करते हुए,हमें निम्नलिखित मिलता है:
 * $$ \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta

= \lim_{\delta \to 0} \frac{\sin\theta\cos\delta + \sin\delta\cos\theta-\sin\theta}{\delta} = \lim_{\delta \to 0} \left( \frac{\sin\delta}{\delta} \cos\theta + \frac{\cos\delta -1}{\delta}\sin\theta \right). $$ साइन और कोसाइन फ़ंक्शनों की सीमाओं का उपयोग करते हुए:
 * $$ \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta

= (1)\cos\theta + (0)\sin\theta = \cos\theta \,. $$

व्युत्पन्न की परिभाषा से
हम फिर से लिमिट परिभाषा से कोसाइन फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करते हैं:


 * $$ \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\cos\theta

= \lim_{\delta \to 0} \frac{\cos(\theta+\delta)-\cos\theta}{\delta}. $$ कोण जोड़ सूत्र cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β का उपयोग करते हुए,हमें निम्नलिखित मिलता है:
 * $$ \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\cos\theta

= \lim_{\delta \to 0} \frac{\cos\theta\cos\delta - \sin\theta\sin\delta-\cos\theta}{\delta} = \lim_{\delta \to 0} \left(\frac{\cos\delta -1}{\delta}\cos\theta \,-\, \frac{\sin\delta}{\delta} \sin\theta \right). $$ साइन और कोसाइन फ़ंक्शनों की सीमाओं का उपयोग करते हुए:
 * $$ \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\cos\theta

= (0) \cos\theta - (1) \sin\theta = -\sin\theta \,. $$

श्रृंखला नियम से
श्रृंखला नियम से कोसाइन फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए,पहले निम्नलिखित तीन तथ्यों का ध्यान दें:
 * $$\cos\theta = \sin\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)$$
 * $$\sin\theta = \cos\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)$$
 * $$\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \sin\theta = \cos\theta$$

पहला और दूसरा तथ्य त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की समानताएं है,और तीसरा उपरोक्त प्रमाणित है।इन तीन तथ्यों का उपयोग करके हम निम्नलिखित लिख सकते हैं,
 * $$\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \cos\theta = \tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \sin\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)$$

हम श्रृंखला नियम का उपयोग करके अवकलन कर सकते हैं।यदि $$f(x) = \sin x,\ \ g(\theta) =\tfrac{\pi}{2}-\theta$$,तो हमारे पास यह होगा:


 * $$\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} f\!\left(g\!\left(\theta\right)\right) = f^\prime\!\left(g\!\left(\theta\right)\right) \cdot g^\prime\!\left(\theta\right) = \cos\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right) \cdot (0-1) = -\sin\theta$$.

इसलिए,हमने सिद्ध किया है कि
 * $$\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \cos\theta = -\sin\theta$$.

व्युत्पन्न की परिभाषा से
टैंजे़ंट फ़ंक्शन tan θ के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए,हम प्राथमिक सिद्धांत का उपयोग करते हैं।परिभाषा के अनुसार:

\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta = \lim_{\delta \to 0} \left( \frac{\tan(\theta+\delta)-\tan\theta}{\delta} \right). $$ प्रसिद्ध कोण समीकरण सूत्र tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β) का उपयोग करते हुए,हमें निम्नलिखित मिलता है:

\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta = \lim_{\delta \to 0} \left[ \frac{\frac{\tan\theta + \tan\delta}{1 - \tan\theta\tan\delta} - \tan\theta}{\delta} \right] = \lim_{\delta \to 0} \left[ \frac{\tan\theta + \tan\delta - \tan\theta + \tan^2\theta\tan\delta}{\delta \left( 1 - \tan\theta\tan\delta \right)} \right]. $$ इस तथ्य कि किसी उत्पाद की सीमा सीमाओं का उत्पाद है का उपयोग करते हुए:

\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta = \lim_{\delta \to 0} \frac{\tan\delta}{\delta} \times \lim_{\delta \to 0} \left( \frac{1 + \tan^2\theta}{1 - \tan\theta\tan\delta} \right). $$ टैंजे़ंट फ़ंक्शन की सीमा का उपयोग करते हुए,और यह तथ्य की tan δ को 0 के पास ले जाते हुए δ को 0 के पास ले जाते हैं:

\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta = 1 \times \frac{1 + \tan^2\theta}{1 - 0} = 1 + \tan^2\theta. $$ हम तुरंत देखते हैं कि:

\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta = 1 + \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{\cos^2\theta + \sin^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta} = \sec^2\theta \,. $$

भागफल नियम से
टैंजे़ंट फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को भागफल नियम का उपयोग करके की गणना भी कर सकता है।$$\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \tan\theta = \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\left(\sin\theta\right)^\prime \cdot \cos\theta - \sin\theta \cdot \left(\cos\theta\right)^\prime}{ \cos^2 \theta } = \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} $$

पायथागॉरियन सर्वसमिकाओं द्वारा अंश को1से सरलित किया जा सकता है,जिससे हमें निम्नलिखित मिलता है:
 * $$\frac{1}{\cos^2 \theta} = \sec^2 \theta$$

इसलिए,
 * $$\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \tan\theta = \sec^2 \theta$$

प्रतिवर्ती त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों के व्युत्पन्नों का प्रमाण
निम्नलिखित व्युत्पन्नों को हम एक चर y को उस प्रतिवर्ती त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के समान रखकर प्राप्त करते हैं जिसका हम व्युत्पन्न लेना चाहते हैं।अंतर्निहित अवकलन का उपयोग करके और फिर dy/dx के लिए हल करके,प्रतिवर्ती फलन का व्युत्पन्न y के रूप में प्राप्त किया जाता है।dy/dx को फिर से x के रूप में प्रकट करने के लिए,हम एक इकाई वृत्त पर संदर्भ त्रिकोण बना सकते हैं,जहां y को θ के रूप में लेते हैं।पाइथागोरस प्रमेय और सामान्य त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के परिभाषा का उपयोग करके,हम अंततः dy/dx को x के आधार पर व्यक्त कर सकते हैं।

साइन के प्रतिवर्ती फ़ंक्शन को अवकलित करना
हम


 * $$y=\arcsin x\,\!$$

को लेते हैं, जहां


 * $$-\frac{\pi}{2}\le y \le \frac{\pi}{2}$$

होता है। फिर


 * $$\sin y=x\,\!$$

दोनों पक्षों से $$x$$ के संबंध में व्युत्पन्न को लेते हुए और dy/dx के लिए हल करते हुए:


 * $${d \over dx}\sin y={d \over dx}x$$
 * $$\cos y \cdot {dy \over dx} = 1\,\!$$

ऊपर से स्थानांतरण $$ \cos y = \sqrt{1-\sin^2 y}$$ करते हुए,


 * $$\sqrt{1-\sin^2 y} \cdot {dy \over dx} =1$$

ऊपर से स्थानांतरण $$x=\sin y$$ करते हुए,


 * $$\sqrt{1-x^2} \cdot {dy \over dx} =1$$
 * $${dy \over dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

कोसाइन के प्रतिवर्ती फ़ंक्शन को अवकलित करना
हम


 * $$y=\arccos x\,\!$$

को लेते हैं, जहां


 * $$0 \le y \le \pi$$

होता है। फिर


 * $$\cos y=x\,\!$$

दोनों पक्षों से $$x$$ के संबंध में व्युत्पन्न को लेते हुए और dy/dx के लिए हल करते हुए:


 * $${d \over dx}\cos y={d \over dx}x$$
 * $$-\sin y \cdot {dy \over dx} =1$$

ऊपर से स्थानांतरण $$\sin y = \sqrt{1-\cos^2 y}\,\!$$ करते हुए,


 * $$-\sqrt{1-\cos^2 y} \cdot {dy \over dx} =1$$

ऊपर से स्थानांतरण $$x=\cos y\,\!$$ करते हुए,


 * $$-\sqrt{1-x^2} \cdot {dy \over dx} =1$$
 * $${dy \over dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

वैकल्पिक रूप से,एक बार जब $$\arcsin x$$ का व्युत्पन्न स्थापित हो जाता है,तो $$\arccos x$$ का व्युत्पन्न तुरंत अनुसरण करता है,इसके लिए सर्वसमिका $$\arcsin x+\arccos x=\pi/2$$ का अवकलन करें ताकि  $$(\arccos x)'=-(\arcsin x)'$$ हो।

टैंजे़ंट के प्रतिवर्ती फ़ंक्शन को अवकलित करना
हम


 * $$y=\arctan x\,\!$$

को लेते हैं,जहां


 * $$-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$

होता है।फिर,


 * $$\tan y=x\,\!$$

दोनों पक्षों से $$x$$ के संबंध में व्युत्पन्न को लेते हुए और dy/dx के लिए हल करते हुए:


 * $${d \over dx}\tan y={d \over dx}x$$

बाईं तरफ:



{d \over dx}\tan y = \sec^2 y \cdot {dy \over dx} = (1 + \tan^2 y) {dy \over dx} $$,पायथागॉरियन सर्वसमिका का उपयोग करना

दाईं तरफ:


 * $${d \over dx}x = 1$$

इसलिए,


 * $$(1+\tan^2 y){dy \over dx}=1$$

ऊपर से स्थानांतरण $$x=\tan y\,\!$$ करते हुए,हमें मिलता है


 * $$(1+x^2){dy \over dx}=1$$
 * $${dy \over dx}=\frac{1}{1+x^2}$$

कोटैंजे़ंट के प्रतिवर्ती फ़ंक्शन को अवकलित करना
हम


 * $$y=\arccot x$$

को लेते हैं,जहां $$0<y<\pi$$

होता है।फिर,


 * $$\cot y=x$$

दोनों पक्षों से $$x$$ के संबंध में व्युत्पन्न को लेते हुए और dy/dx के लिए हल करते हुए:


 * $$\frac{d}{dx}\cot y=\frac{d}{dx}x$$

बाईं तरफ:



{d \over dx}\cot y = -\csc^2 y \cdot {dy \over dx} = -(1 + \cot^2 y) {dy \over dx} $$,पायथागॉरियन सर्वसमिका का उपयोग करके

दाईं तरफ:


 * $${d \over dx}x = 1$$

इसलिए,


 * $$-(1+\cot^2y)\frac{dy}{dx}=1$$

$$x=\cot y$$ स्थानांतरण करते हुए,


 * $$-(1+x^2)\frac{dy}{dx}=1$$
 * $$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{1+x^2}$$

वैकल्पिक रूप से,जैसा कि ऊपर दिखाया गया है,$$\arctan x$$ का व्युत्पन्न प्राप्त होने के बाद,फिर तुरंत उस सर्वसमिका $$\arctan x+\arccot x=\dfrac{\pi}{2}$$ का उपयोग करते हुए,ताकि$$\begin{align} \dfrac{d}{dx}\arccot x &=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\pi}{2}-\arctan x\right)\\ &=-\dfrac{1}{1+x^2} \end{align}  $$हो।

अंतर्निहित अवकलन का उपयोग करना
माना


 * $$ y = \arcsec x\ \mid |x| \geq 1$$

को लेते हैं,जहां


 * $$ x = \sec y \mid \ y \in \left [0,\frac{\pi}{2} \right )\cup \left (\frac{\pi}{2},\pi \right]

$$होता है।फिर,
 * $$ \frac{dx}{dy} = \sec y \tan y = |x|\sqrt{x^2-1}$$

(अभिव्यक्ति में निरपेक्ष मान आवश्यक है क्योंकि y के अंतराल में सेकेंट और टैंजे़ंट का गुणनफल हमेशा गैर-नकारात्मक होता है,जबकि प्रमुख वर्गमूल की परिभाषा के अनुसार वर्गमूल $$\sqrt{x^2-1}$$ हमेशा गैर-नकारात्मक होता है,इसलिए शेष गुणक भी गैर-नकारात्मक होना चाहिए,जो x के निरपेक्ष मान का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है।)
 * $$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$$

श्रृंखला नियम का उपयोग करना
वैकल्पिक रूप से,आर्कसेकेंट के व्युत्पन्न श्रृंखला नियम का उपयोग करके आर्कोसाइन के व्युत्पन्न से लिया जा सकता है।

माना


 * $$ y = \arcsec x = \arccos \left(\frac{1}{x}\right) $$

को लेते हैं,जहां


 * $$ |x| \geq 1 $$ और $$ y \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right] $$

होता है।फिर, $$ \arccos \left(\frac{1}{x}\right) $$के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए:


 * $$ \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{x})^2}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)

= \frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}} = \frac{1}{x^2\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2}}} = \frac{1}{\sqrt{x^2}\sqrt{x^2-1}} = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} $$

अंतर्निहित अवकलन का उपयोग करना
माना


 * $$y = \arccsc x\ \mid |x| \geq 1$$

को लेते हैं,जहां


 * $$ x = \csc y\ \mid \ y \in \left [-\frac{\pi}{2},0 \right )\cup \left (0,\frac{\pi}{2} \right]$$
 * होता है।फिर,
 * $$ \frac{dx}{dy} = -\csc y \cot y = -|x|\sqrt{x^2-1}$$

(अभिव्यक्ति में निरपेक्ष मान आवश्यक है क्योंकि y के अंतराल में कोसिकेंट और कोटैंजे़ंट का गुणनफल हमेशा गैर-नकारात्मक होता है,जबकि प्रमुख वर्गमूल की परिभाषा के अनुसार वर्गमूल $$\sqrt{x^2-1}$$ हमेशा गैर-नकारात्मक होता है,इसलिए शेष गुणक भी गैर-नकारात्मक होना चाहिए,जो x के निरपेक्ष मान का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है।)
 * $$ \frac{dy}{dx} = \frac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$$

श्रृंखला नियम का उपयोग करना
वैकल्पिक रूप से,अर्कोसेकेंट के व्युत्पन्न श्रृंखला नियम का उपयोग करके आर्कसाइन के व्युत्पन्न से लिया जा सकता है।

माना


 * $$ y = \arccsc x = \arcsin \left(\frac{1}{x}\right) $$

को लेते हैं,जहां


 * $$ |x| \geq 1 $$ और $$ y \in \left[-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right] $$

होता है।फिर, $$ \arcsin \left(\frac{1}{x}\right) $$के लिए श्रृंखला नियम को लागू करना


 * $$ \frac{dy}{dx} =\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{x})^2}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)

= -\frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}} = -\frac{1}{x^2\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2}}} = -\frac{1}{\sqrt{x^2}\sqrt{x^2-1}} = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} $$

ग्रन्थसूची

 * Handbook of Mathematical Functions, Edited by Abramowitz and Stegun, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series, 55 (1964)