विभाजन (गणित)

 डिवीजन अंकगणित के चार बुनियादी संचालन में से एक है, जिन तरीकों से संख्याएं नई संख्या बनाने के लिए संयुक्त हैं।अन्य संचालन अतिरिक्त, घटाव और गुणन हैं।

एक प्राथमिक स्तर पर दो प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन अन्य संभावित व्याख्याओं के बीच है, एक संख्या की संख्या की गणना करने की प्रक्रिया दूसरे के भीतर निहित है। इस संख्या की संख्या पूर्णांक की आवश्यकता नहीं है।उदाहरण के लिए, यदि 20 सेब को समान रूप से 4 लोगों के बीच विभाजित किया जाता है, तो हर कोई 5 सेब प्राप्त करता है (चित्र देखें)।

दो प्राकृतिक संख्याओं के शेष या यूक्लिडियन डिवीजन के साथ विभाजन एक पूर्णांक भागफल प्रदान करता है, जो कि दूसरी संख्या की संख्या पूरी तरह से पहले संख्या में निहित है, और एक शेष, जो पहले संख्या का हिस्सा है, जब बनी रहती है,भागफल की गणना करने का कोर्स, दूसरे नंबर के आकार का कोई और पूर्ण हिस्सा आवंटित नहीं किया जा सकता है।उदाहरण के लिए, यदि 21 सेब को 4 लोगों के बीच विभाजित किया जाता है, तो सभी को फिर से 5 सेब मिलते हैं, और 1 सेब रहता है।

डिवीजन के लिए हमेशा एक भागफल प्लस के बजाय एक संख्या प्राप्त करने के लिए, प्राकृतिक संख्याओं को तर्कसंगत संख्या या वास्तविक संख्या तक बढ़ाया जाना चाहिए।इन बढ़े हुए संख्या प्रणालियों में, विभाजन गुणन के लिए उलटा संचालन है, अर्थात $a = c / b$ साधन $a × b = c$, जब तक कि $b$ शून्य नहीं है।यदि $b = 0$, फिर यह शून्य द्वारा एक विभाजन है, जिसे परिभाषित नहीं किया गया है। 21-ऐपल्स के उदाहरण में, सभी को 5 सेब और एक सेब का एक चौथाई हिस्सा मिलेगा, इस प्रकार किसी भी बचे हुए से बचने से बचा जाएगा।

विभाजन के दोनों रूप विभिन्न बीजीय संरचनाओं में दिखाई देते हैं, गणितीय संरचना को परिभाषित करने के विभिन्न तरीके।जिनमें एक यूक्लिडियन डिवीजन (शेष के साथ) को परिभाषित किया जाता है, को यूक्लिडियन डोमेन कहा जाता है और इसमें एक अनिश्चित (जो कि एकल-वेरिएबल्ड फ़ार्मुलों पर गुणन और जोड़ को परिभाषित करते हैं) में बहुपद के छल्ले शामिल होते हैं।जिनमें सभी नॉनज़ेरो तत्वों द्वारा एक डिवीजन (एक ही परिणाम के साथ) को परिभाषित किया जाता है, उन्हें फ़ील्ड और डिवीजन रिंग कहा जाता है।एक अंगूठी में जिन तत्वों के द्वारा विभाजन हमेशा संभव होता है, उन्हें इकाइयां कहा जाता है (उदाहरण के लिए, पूर्णांक की अंगूठी में 1 और −1)।बीजगणितीय संरचनाओं के लिए विभाजन का एक और सामान्यीकरण भागफल समूह है, जिसमें विभाजन का परिणाम एक संख्या के बजाय एक समूह है।

परिचय
डिवीजन को देखने का सबसे सरल तरीका उद्धरण और विभाजन के संदर्भ में है: उद्धरण के दृष्टिकोण से, $lim_{x→0} sin x⁄x = 1.$ 5s की संख्या का अर्थ है जिसे & nbsp; 20 प्राप्त करने के लिए जोड़ा जाना चाहिए।विभाजन के संदर्भ में, $20 / 5$ 5 भागों में से प्रत्येक के आकार का मतलब है जिसमें आकार 20 का एक सेट विभाजित है।उदाहरण के लिए, 20 सेब चार सेब के पांच समूहों में विभाजित होते हैं, जिसका अर्थ है कि पांच से विभाजित बीस चार के बराबर है।इसे के रूप में निरूपित किया गया है $20 / 5$, या $20 / 5 = 4$. जो विभाजित किया जा रहा है उसे लाभांश कहा जाता है, जिसे विभाजक द्वारा विभाजित किया जाता है, और परिणाम को भागफल कहा जाता है।उदाहरण में, 20 लाभांश है, 5 विभाजक है, और 4 भागफल है।

अन्य बुनियादी संचालन के विपरीत, प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करते समय कभी -कभी एक शेष होता है जो समान रूप से लाभांश में नहीं जाएगा;उदाहरण के लिए, $20⁄5 = 4$ 1 के शेष भाग को छोड़ देता है, क्योंकि 10 में से एक कई नहीं है। कभी -कभी यह शेष भाग को एक आंशिक भाग के रूप में जोड़ा जाता है, इसलिए $10 / 3$ के बराबर है $10 / 3$ या $3 1⁄3$, लेकिन पूर्णांक डिवीजन के संदर्भ में, जहां संख्याओं का कोई आंशिक हिस्सा नहीं है, शेष को अलग से रखा जाता है (या असाधारण रूप से, त्याग या गोल)। जब शेष को एक अंश के रूप में रखा जाता है, तो यह एक तर्कसंगत संख्या की ओर जाता है।सभी तर्कसंगत संख्याओं का सेट पूर्णांक के सभी संभावित परिणामों के साथ पूर्णांक का विस्तार करके बनाया गया है।

गुणा और जोड़ के विपरीत, विभाजन कम्यूटेटिव नहीं है, जिसका अर्थ है कि $3.33...$ हमेशा बराबर नहीं होता है $a / b$. डिवीजन भी सामान्य रूप से, साहचर्य में नहीं है, जिसका अर्थ है कि कई बार विभाजित करते समय, डिवीजन का क्रम परिणाम बदल सकता है। उदाहरण के लिए, $b / a$, लेकिन $(24 / 6) / 2 = 2$ (जहां कोष्ठक का उपयोग इंगित करता है कि कोष्ठक के अंदर के संचालन कोष्ठक के बाहर संचालन से पहले किए जाते हैं)।

डिवीजन को पारंपरिक रूप से वाम-सहयोगी माना जाता है।यही है, यदि एक पंक्ति में कई डिवीजन हैं, तो गणना का क्रम बाएं से दाएं चला जाता है:
 * $$a / b / c = (a / b) / c = a / (b \times c) \;\ne\; a/(b/c)= (a\times c)/b.$$

विभाजन इस अर्थ में जोड़ और घटाव पर सही-वितरण है
 * $$\frac{a \pm b}{c} = (a \pm b) / c = (a/c)\pm (b/c) =\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}.$$

यह गुणा के लिए समान है, जैसा कि $$(a + b) \times c = a \times c + b \times c$$।हालांकि, विभाजन को छोड़ दिया नहीं गया है, जैसा कि
 * $$\frac{a}{b + c} = a / (b + c) \;\ne\; (a/b) + (a/c) = \frac{ac+ab}{bc}.$$ & nbsp;उदाहरण के लिए $$\frac{12}{2+4} = \frac{12}{6} = 2 ,$$ लेकिन $$\frac{12}{2} + \frac{12}{4} = 6+3 = 9 .$$

यह गुणन में मामले के विपरीत है, जो कि बाएं-वितरित और दाएं-वितरण दोनों है, और इस प्रकार वितरण।

संकेतन
डिवीजन को अक्सर बीजगणित और विज्ञान में एक क्षैतिज रेखा के साथ विभाजक पर लाभांश रखकर दिखाया जाता है, जिसे उनके बीच एक अंश बार भी कहा जाता है।उदाहरण के लिए, बी द्वारा विभाजित एक के रूप में लिखा जा सकता है:
 * $$\frac ab$$

जिसे जोर से पढ़ा जा सकता है जैसे कि बी या ए से अधिक बी को विभाजित करें।एक पंक्ति पर सभी को विभाजन को व्यक्त करने का एक तरीका लाभांश (या अंश) लिखना है, फिर एक स्लैश, फिर विभाजक (या भाजक), निम्नानुसार है:
 * $$a/b$$

यह अधिकांश कंप्यूटर प्रोग्रामिंग भाषाओं में विभाजन को निर्दिष्ट करने का सामान्य तरीका है, क्योंकि इसे आसानी से ASCII वर्णों के एक सरल अनुक्रम के रूप में टाइप किया जा सकता है।(यह अमूर्त बीजगणित में भागफल वस्तुओं के लिए उपयोग किया जाने वाला एकमात्र संकेतन भी है।) कुछ गणितीय सॉफ़्टवेयर, जैसे कि MATLAB और GNU ऑक्टेव, ऑपरेंड को बैकस्लैश को डिवीजन ऑपरेटर के रूप में उपयोग करके रिवर्स ऑर्डर में लिखे जाने की अनुमति देता है:
 * $$b\backslash a$$

इन दोनों रूपों के बीच एक टाइपोग्राफिक भिन्नता आधी एक ठोस (अंश स्लैश) का उपयोग करती है, लेकिन लाभांश को ऊंचा करती है और विभाजक को कम करती है:
 * $${}^{a}\!/{}_{b}$$

इनमें से किसी भी रूप का उपयोग अंश प्रदर्शित करने के लिए किया जा सकता है।एक अंश एक विभाजन अभिव्यक्ति है जहां लाभांश और विभाजक दोनों पूर्णांक होते हैं (आमतौर पर अंश और भाजक कहा जाता है), और इस बात का कोई निहितार्थ नहीं है कि विभाजन का आगे मूल्यांकन किया जाना चाहिए।डिवीजन को दिखाने का एक दूसरा तरीका डिवीजन साइन का उपयोग करना है (is, जिसे ओबेलस के रूप में भी जाना जाता है, हालांकि इस शब्द के अतिरिक्त अर्थ हैं), इस तरह से अंकगणित में आम: इस तरह से:
 * $$a \div b$$

यह रूप प्राथमिक अंकगणित को छोड़कर अनैतिक है।आईएसओ 80000-2-9.6 कहता है कि इसका उपयोग नहीं किया जाना चाहिए।इस डिवीजन साइन का उपयोग अकेले डिवीजन ऑपरेशन का प्रतिनिधित्व करने के लिए भी किया जाता है, उदाहरण के लिए एक कैलकुलेटर की एक कुंजी पर एक लेबल के रूप में।ओबिलस को 1659 में स्विस गणितज्ञ जोहान राहन ने टुट्शे बीजगणित में पेश किया था। कुछ यूरोपीय देशों में घटाव को इंगित करने के लिए the प्रतीक का उपयोग किया जाता है, इसलिए इसके उपयोग को गलत समझा जा सकता है।

कुछ गैर-अंग्रेजी बोलने वाले देशों में, एक बृहदान्त्र का उपयोग विभाजन को निरूपित करने के लिए किया जाता है:
 * $$a : b$$

इस संकेतन को गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज़ ने अपने 1684 एक्टा एरुडिटोरम में पेश किया था। Leibniz ने अनुपात और विभाजन के लिए अलग -अलग प्रतीकों को नापसंद किया।हालांकि, अंग्रेजी उपयोग में बृहदान्त्र अनुपात की संबंधित अवधारणा को व्यक्त करने के लिए प्रतिबंधित है।

19 वीं शताब्दी के बाद से, अमेरिकी पाठ्यपुस्तकों ने उपयोग किया है $$b)a$$ या $$b \overline{)a}$$ बी द्वारा विभाजित को निरूपित करने के लिए, खासकर जब लॉन्ग डिवीजन पर चर्चा की जाती है।इस संकेतन का इतिहास पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है क्योंकि यह समय के साथ विकसित हुआ।

मैनुअल तरीके
डिवीजन को अक्सर वस्तुओं के एक सेट को साझा करने की धारणा के माध्यम से पेश किया जाता है, उदाहरण के लिए, लॉलीज़ के ढेर, कई समान भागों में।प्रत्येक भाग को साझा करने के प्रत्येक दौर में एक समय में कई वस्तुओं को वितरित करने से 'चंकिंग' का विचार होता है – विभाजन का एक रूप जहां एक बार -बार लाभांश से विभाजक के गुणकों को बार -बार घटाता है।

आंशिक शेष की तुलना में अधिक गुणकों को घटाने की अनुमति देकर, किसी दिए गए चरण में क्या अनुमति देता है, अधिक लचीले तरीके, जैसे कि चंकिंग के द्विदिश संस्करण, के रूप में अच्छी तरह से विकसित किया जा सकता है।

अधिक व्यवस्थित और अधिक कुशलता से, दो पूर्णांक को पेंसिल और कागज के साथ विभाजित किया जा सकता है और लघु विभाजन की विधि के साथ कागज, यदि विभाजक छोटा है, या लंबा विभाजन है, यदि विभाजक बड़ा है।यदि लाभांश में एक आंशिक भाग (दशमलव अंश के रूप में व्यक्त किया गया) है, तो कोई भी इस प्रक्रिया को जारी रख सकता है, जहां तक वांछित है।यदि भाजक का एक आंशिक हिस्सा है, तो कोई भी दशमलव को दोनों नंबरों में दाईं ओर ले जाकर समस्या को बहाल कर सकता है जब तक कि विभाजक का कोई अंश नहीं है, जो समस्या को हल करने के लिए आसान बना सकता है (जैसे, 10/2.5 = 100/25 = 4)।

डिवीजन की गणना एक एबाकस के साथ की जा सकती है। लॉगरिथम टेबल का उपयोग दो नंबरों को विभाजित करने के लिए किया जा सकता है, दो नंबरों के लॉगरिथम को घटाकर, फिर परिणाम के एंटिलोग्रिथम को देखते हुए।

डिवीजन की गणना डी स्केल पर लाभांश के साथ सी स्केल पर विभाजक को संरेखित करके एक स्लाइड नियम के साथ की जा सकती है।भागफल को डी पैमाने पर पाया जा सकता है जहां इसे सी पैमाने पर बाएं सूचकांक के साथ संरेखित किया जाता है।उपयोगकर्ता, हालांकि, मानसिक रूप से दशमलव बिंदु पर नज़र रखने के लिए जिम्मेदार है।

कंप्यूटर द्वारा
आधुनिक कैलकुलेटर और कंप्यूटर या तो लंबे डिवीजन के समान तरीकों से, या तेज तरीकों से विभाजन की गणना करते हैं;डिवीजन एल्गोरिथ्म देखें।

मॉड्यूलर अंकगणित (मोडुलो ए प्राइम नंबर) और वास्तविक संख्याओं के लिए, नॉनज़ेरो नंबरों में एक गुणात्मक व्युत्क्रम होता है।इन मामलों में, एक विभाजन द्वारा $x$ गुणात्मक व्युत्क्रम द्वारा उत्पाद के रूप में गणना की जा सकती है $x$।यह दृष्टिकोण अक्सर कंप्यूटर अंकगणित में तेज तरीकों से जुड़ा होता है।

यूक्लिडियन डिवीजन
यूक्लिडियन डिवीजन पूर्णांक के विभाजन की सामान्य प्रक्रिया के परिणाम का गणितीय सूत्रीकरण है।यह दावा करता है कि, दो पूर्णांक, ए, लाभांश, और बी, भाजक को देखते हुए, जैसे कि b ≠ 0, अद्वितीय पूर्णांक Q, भागफल, और R, शेष हैं, जैसे कि a = bq + r और 0 ≤r < $|b|$, कहाँ पे $|b|$ बी के पूर्ण मूल्य को दर्शाता है।

पूर्णांक का == === पूर्णांक विभाजन के तहत बंद नहीं हैं।शून्य द्वारा डिवीजन के अलावा अपरिभाषित होने के अलावा, भागफल तब तक पूर्णांक नहीं है जब तक कि लाभांश भाजक का एक पूर्णांक मल्टीपल न हो।उदाहरण के लिए, 26 को पूर्णांक देने के लिए 11 से विभाजित नहीं किया जा सकता है।ऐसा मामला पांच दृष्टिकोणों में से एक का उपयोग करता है:
 * 1) कहें कि 26 को 11 से विभाजित नहीं किया जा सकता है;डिवीजन एक आंशिक कार्य बन जाता है।
 * 2) फ्लोटिंग-पॉइंट नंबर के रूप में अनुमानित उत्तर दें।यह आमतौर पर संख्यात्मक गणना में लिया गया दृष्टिकोण है।
 * 3) एक तर्कसंगत संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले अंश के रूप में उत्तर दें, इसलिए 11 से 11 के विभाजन का परिणाम है $$\tfrac{26}{11}$$ (या मिश्रित संख्या के रूप में, इसलिए $$\tfrac{26}{11} = 2 \tfrac 4{11}.$$) आमतौर पर परिणामी अंश को सरल बनाया जाना चाहिए: 22 से 52 के विभाजन का परिणाम भी है $$\tfrac{26}{11}$$।यह सरलीकरण सबसे महान सामान्य भाजक को फैक्टर करके किया जा सकता है।
 * 4) एक पूर्णांक भागफल और शेष के रूप में उत्तर दें, इसलिए $$\tfrac{26}{11} = 2 \mbox{ remainder } 4.$$ पिछले मामले के साथ भेद करने के लिए, परिणाम के रूप में दो पूर्णांक के साथ यह डिवीजन, कभी -कभी यूक्लिडियन डिवीजन कहा जाता है, क्योंकि यह यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म का आधार है।
 * 5) उत्तर के रूप में पूर्णांक भागफल दें, इसलिए $$\tfrac{26}{11} = 2.$$ यह केस 2 या 3 पर लागू फर्श फ़ंक्शन है। इसे कभी -कभी 'पूर्णांक डिवीजन' कहा जाता है, और // द्वारा निरूपित किया जाता है।

कंप्यूटर प्रोग्राम में पूर्णांक को विभाजित करने के लिए विशेष देखभाल की आवश्यकता होती है।कुछ प्रोग्रामिंग भाषाएं, इंटेगर डिवीजन को 5 के मामले में मानती हैं, इसलिए उत्तर एक पूर्णांक है।अन्य भाषाएं, जैसे कि MATLAB और प्रत्येक कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली उत्तर के रूप में एक तर्कसंगत संख्या लौटाती है, जैसा कि ऊपर 3 केस में है।ये भाषाएं अन्य मामलों के परिणाम प्राप्त करने के लिए भी कार्य प्रदान करती हैं, या तो सीधे या केस 3 के परिणाम से।

पूर्णांक डिवीजन के लिए उपयोग किए जाने वाले नामों और प्रतीकों में div, /, \, और %शामिल हैं।पूर्णांक विभाजन के संबंध में परिभाषाएं अलग-अलग होती हैं जब लाभांश या भाजक नकारात्मक होता है: राउंडिंग शून्य (तथाकथित टी-डिविज़न) या −X की ओर हो सकती है (f-division);दुर्लभ शैली हो सकती है - विवरण के लिए मोडुलो ऑपरेशन देखें।

विभाजन नियमों का उपयोग कभी -कभी यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि क्या एक पूर्णांक दूसरे में बिल्कुल विभाजित होता है।

तर्कसंगत संख्याओं का == === दो तर्कसंगत संख्याओं को विभाजित करने का परिणाम एक और तर्कसंगत संख्या है जब विभाजक 0. नहीं है। दो तर्कसंगत संख्याओं का विभाजन P/Q और R/S की गणना की जा सकती है
 * $${p/q \over r/s} = {p \over q} \times {s \over r} = {ps \over qr}.$$

सभी चार मात्राएँ पूर्णांक हैं, और केवल पी केवल 0. हो सकता है। यह परिभाषा यह सुनिश्चित करती है कि विभाजन गुणन का व्युत्क्रम संचालन है।

वास्तविक संख्याओं का
दो वास्तविक संख्याओं का विभाजन एक और वास्तविक संख्या में होता है (जब भाजक नॉनज़ेरो होता है)।यह ऐसा परिभाषित किया गया है कि a/b = c अगर और केवल अगर a = cb और b ≠ 0।

जटिल संख्याओं का
दो जटिल संख्याओं को विभाजित करना (जब भाजक नॉनज़ेरो है) एक और जटिल संख्या में परिणाम होता है, जो कि हर के संयुग्मक का उपयोग करके पाया जाता है:
 * $${p+iq \over r+is} = {(p+iq)(r-is) \over (r+is)(r-is)} = {pr+qs + i(qr-ps) \over r^2+s^2} = {pr+qs \over r^2+s^2} + i{qr-ps \over r^2+s^2}.$$

गुणा करने और विभाजित करने की यह प्रक्रिया $$r-is$$ 'एहसास' या (सादृश्य द्वारा) युक्तिकरण कहा जाता है।सभी चार मात्राएँ P, Q, R, S वास्तविक संख्याएं हैं, और R और S दोनों 0 नहीं हो सकते हैं।

ध्रुवीय रूप में व्यक्त जटिल संख्याओं के लिए विभाजन ऊपर की परिभाषा की तुलना में सरल है:
 * $${p e^{iq} \over r e^{is}} = {p e^{iq} e^{-is} \over r e^{is} e^{-is}} = {p \over r}e^{i(q - s)}. $$

फिर से सभी चार मात्राएँ p, q, r, s वास्तविक संख्याएं हैं, और r 0 नहीं हो सकता है।

बहुपद का
एक क्षेत्र में एक चर में बहुपद के लिए डिवीजन ऑपरेशन को परिभाषित कर सकता है।फिर, जैसा कि पूर्णांक के मामले में, एक शेष है।पोलिनोमिअल के यूक्लिडियन डिवीजन देखें, और, हाथ से लिखे गए अभिकलन, बहुपद लॉन्ग डिवीजन या सिंथेटिक डिवीजन के लिए।

मैट्रिसेस का
कोई मैट्रिस के लिए एक डिवीजन ऑपरेशन को परिभाषित कर सकता है।ऐसा करने का सामान्य तरीका परिभाषित करना है A / B = AB−1, कहाँ पे B−1 B के व्युत्क्रम को दर्शाता है, लेकिन यह लिखना कहीं अधिक सामान्य है AB−1 भ्रम से बचने के लिए स्पष्ट रूप से।हदामार्ड उत्पाद के संदर्भ में एक तत्ववर्धक डिवीजन को भी परिभाषित किया जा सकता है।

बाएं और दाएं विभाजन
क्योंकि मैट्रिक्स गुणा कम्यूटेटिव नहीं है, कोई भी एक बाएं डिवीजन या तथाकथित बैकस्लैश-डिवीजन को भी परिभाषित कर सकता है A \ B = A−1B।इसके लिए अच्छी तरह से परिभाषित किया जाना है, B−1 हालांकि, मौजूद नहीं है A−1 अस्तित्व की जरूरत है।भ्रम से बचने के लिए, द्वारा परिभाषित विभाजन A / B = AB−1 कभी-कभी इस संदर्भ में राइट डिवीजन या स्लैश-डिवीजन कहा जाता है।

ध्यान दें कि बाएं और दाएं डिवीजन के साथ इस तरह से परिभाषित किया गया है, A / (BC) सामान्य रूप से समान नहीं है (A / B) / C, और न ही है (AB) \ C बराबर A \ (B \ C)।हालाँकि, यह धारण करता है A / (BC) = (A / C) / B तथा (AB) \ C = B \ (A \ C)।

pseudoinverse
समस्याओं से बचने के लिए A−1 और/या B−1 मौजूद नहीं है, विभाजन को भी छद्मियों द्वारा गुणन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।वह है, A / B = AB+ तथा A \ B = A+B, कहाँ पे A+ तथा B+ ए और बी के छद्मियों को निरूपित करें

सार बीजगणित
अमूर्त बीजगणित में, बाइनरी ऑपरेशन के साथ एक मैग्मा दिया गया (जिसे नाममात्र को गुणा कहा जा सकता है), ए (लिखित द्वारा बी का बाएं विभाजन a \ b) आमतौर पर समीकरण के लिए समाधान x के रूप में परिभाषित किया जाता है a ∗ x = b, अगर यह मौजूद है और अद्वितीय है।इसी तरह, ए (लिखित (लिखित) द्वारा बी का सही विभाजन b / a) समीकरण का समाधान y है y ∗ a = b। इस अर्थ में विभाजन को किसी विशेष गुण (जैसे कम्यूटेटिविटी, एसोसिएटिविटी, या एक पहचान तत्व) के लिए ∗ की आवश्यकता नहीं होती है।

रद्द करने के अर्थ में विभाजन किसी भी मैग्मा में रद्दीकरण संपत्ति के साथ एक तत्व द्वारा किया जा सकता है। उदाहरणों में मैट्रिक्स बीजगणित और चतुर्भुज बीजगणित शामिल हैं। एक क्वासिग्रुप एक संरचना है जिसमें विभाजन हमेशा संभव होता है, यहां तक ​​कि एक पहचान तत्व के बिना भी और इसलिए इनवर्स। एक अभिन्न डोमेन में, जहां प्रत्येक तत्व की आवश्यकता नहीं होती है, एक उलटा होता है, एक रद्द तत्व द्वारा विभाजन ए को अभी भी क्रमशः एबी या सीए के तत्वों पर बाएं या दाएं रद्दीकरण द्वारा किया जा सकता है। यदि एक अंगूठी परिमित है और प्रत्येक नॉनज़ेरो तत्व रद्द कर दिया जाता है, तो कबूतर सिद्धांत के एक आवेदन द्वारा, रिंग का प्रत्येक नॉनज़ेरो तत्व उल्टा होता है, और किसी भी नॉनज़ेरो तत्व द्वारा विभाजन संभव है। इस बारे में जानने के लिए कि जब बीजगणित (तकनीकी अर्थों में) का एक डिवीजन ऑपरेशन होता है, तो डिवीजन अल्जेब्रास पर पेज को देखें। विशेष रूप से बॉटल आवधिकता का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि किसी भी वास्तविक मानदंड विभाजन बीजगणित को वास्तविक संख्या 'आर', जटिल संख्या 'सी', चतुर्भुज 'एच', या ऑक्टोनियन 'ओ' के लिए आइसोमोर्फिक होना चाहिए।

कैलकुलस
दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न भागफल नियम द्वारा दिया गया है:
 * $${\left(\frac fg\right)}' = \frac{f'g - fg'}{g^2}.$$

शून्य द्वारा विभाजन
अधिकांश गणितीय प्रणालियों में शून्य से किसी भी संख्या का विभाजन अपरिभाषित है, क्योंकि किसी भी परिमित संख्या से गुणा किया गया शून्य हमेशा शून्य के उत्पाद में परिणाम होता है। अधिकांश कैलकुलेटर में इस तरह की अभिव्यक्ति का प्रवेश एक त्रुटि संदेश पैदा करता है।हालांकि, कुछ उच्च स्तरीय गणित में शून्य द्वारा शून्य रिंग और बीजगणित जैसे पहियों द्वारा संभव है। इन बीजगणितों में, विभाजन का अर्थ पारंपरिक परिभाषाओं से अलग है।

यह भी देखें

 * 400AD सुन्जी डिवीजन एल्गोरिथ्म
 * दो द्वारा विभाजन
 * गैली डिवीजन
 * उलटा तत्व
 * कार्रवाई के आदेश
 * दशमलव को दोहराना

बाहरी संबंध

 * Planetmath division
 * Division on a Japanese abacus selected from Abacus: Mystery of the Bead
 * Chinese Short Division Techniques on a Suan Pan
 * Rules of divisibility