सममित और वैकल्पिक समूहों के ऑटोमोर्फिज्म

समूह सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, सममित समूहों और वैकल्पिक समूहों के automorphism और बाहरी ऑटोमोर्फिज्म दोनों इन ऑटोमोर्फिज़्म के मानक उदाहरण हैं, और अध्ययन की वस्तुएँ अपने आप में, विशेष रूप से एस के असाधारण बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म6, 6 तत्वों पर सममित समूह।

सामान्य मामला

 * $$n\neq 2,6$$: $$\operatorname{Aut}(\mathrm{S}_n) = \mathrm{S}_n$$, और इस तरह $$\operatorname{Out}(\mathrm{S}_n) = \mathrm{C}_1$$.
 * औपचारिक रूप से, $$\mathrm{S}_n$$ पूरा समूह और प्राकृतिक मानचित्र है $$\mathrm{S}_n \to \operatorname{Aut}(\mathrm{S}_n)$$ एक समरूपता है।


 * $$n\neq 1,2,6$$: $$\operatorname{Out}(\mathrm{A}_n)=\mathrm{S}_n/\mathrm{A}_n=\mathrm{C}_2$$, और बाहरी ऑटोमोर्फिज्म एक सम और विषम क्रमपरिवर्तन द्वारा संयुग्मन है।
 * $$n\neq 2,3,6$$: $$\operatorname{Aut}(\mathrm{A}_n)=\operatorname{Aut}(\mathrm{S}_n)=\mathrm{S}_n$$
 * दरअसल, प्राकृतिक नक्शे $$\mathrm{S}_n \to \operatorname{Aut}(\mathrm{S}_n) \to \operatorname{Aut}(\mathrm{A}_n)$$ समाकृतिकता हैं।

असाधारण मामले

 * $$n=1,2$$: मामूली:
 * $$\operatorname{Aut}(\mathrm{S}_1)=\operatorname{Out}(\mathrm{S}_1)=\operatorname{Aut}(\mathrm{A}_1)=\operatorname{Out}(\mathrm{A}_1)=\mathrm{C}_1$$
 * $$\operatorname{Aut}(\mathrm{S}_2)=\operatorname{Out}(\mathrm{S}_2)=\operatorname{Aut}(\mathrm{A}_2)=\operatorname{Out}(\mathrm{A}_2)=\mathrm{C}_1$$


 * $$n=3$$: $$\operatorname{Aut}(\mathrm{A}_3)=\operatorname{Out}(\mathrm{A}_3)=\mathrm{S}_3/\mathrm{A}_3=\mathrm{C}_2$$
 * $$n=6$$: $$\operatorname{Out}(\mathrm{S}_6)=\mathrm{C}_2$$, और $$\operatorname{Aut}(\mathrm{S}_6)=\mathrm{S}_6 \rtimes \mathrm{C}_2$$ एक अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है।
 * $$n=6$$: $$\operatorname{Out}(\mathrm{A}_6)=\mathrm{C}_2 \times \mathrm{C}_2$$, और $$\operatorname{Aut}(\mathrm{A}_6)=\operatorname{Aut}(\mathrm{S}_6)=\mathrm{S}_6 \rtimes \mathrm{C}_2.$$

<स्पैन आईडी= असाधारण बाहरी ऑटोमोर्फिज्म > एस का असाधारण बाहरी ऑटोमोर्फिज्म6
सममित समूहों में केवल एस6 एक गैर-तुच्छ बाहरी ऑटोमोर्फिज्म है, जिसे कोई असाधारण वस्तु (असाधारण लाई बीजगणित के अनुरूप) या विदेशी कह सकता है। वास्तव में, आउट (एस6) = सी2. इसकी खोज 1895 में ओटो होल्डर ने की थी। बाह्य स्वरूपवाद की विशिष्ट प्रकृति इस प्रकार है:
 * एकमात्र पहचान क्रमचय मानचित्र स्वयं के लिए;
 * एक 2-चक्र जैसे (1 2) मानचित्र तीन 2-चक्रों के उत्पाद जैसे (1 2)(3 4)(5 6) और इसके विपरीत, प्रत्येक तरह से 15 क्रमपरिवर्तन होते हैं;
 * एक 3-चक्र जैसे (1 2 3) दो 3-चक्रों के उत्पाद जैसे (1 4 5) (2 6 3) और इसके विपरीत, प्रत्येक तरह से 40 क्रमपरिवर्तन के लिए लेखांकन;
 * एक 4-चक्र जैसे (1 2 3 4) अन्य 4-चक्र जैसे कि (1 6 2 4) 9 0 क्रमपरिवर्तन के लिए लेखांकन;
 * दो 2-चक्रों का उत्पाद जैसे (1 2)(3 4) दो 2-चक्रों के दूसरे उत्पाद जैसे (3 5) (4 6), 45 क्रमपरिवर्तन के लिए लेखांकन;
 * एक 5-चक्र जैसे (1 2 3 4 5) अन्य 5-चक्रों के लिए मानचित्र जैसे (1 3 6 5 2) 144 क्रमपरिवर्तन के लिए लेखांकन;
 * 2-चक्र और 3-चक्र जैसे (1 2 3)(4 5) का गुणनफल 6-चक्र जैसे (1 2 5 3 4 6) और इसके विपरीत, प्रत्येक तरीके से 120 क्रमपरिवर्तन के लिए लेखांकन ;
 * 2-चक्र और 4-चक्र का गुणनफल जैसे (1 2 3 4)(5 6) अन्य ऐसे क्रमचय के लिए मैप करता है जैसे (1 4 2 6)(3 5) शेष 90 क्रमचय के लिए लेखांकन।

इस प्रकार, 6 तत्वों पर सभी 720 क्रमचय का हिसाब दिया जाता है। बाहरी ऑटोमोर्फिज्म सामान्य रूप से चक्र संरचना को संरक्षित नहीं करता है, एकल चक्रों को दो चक्रों के उत्पाद और इसके विपरीत मानचित्रण करता है।

इससे A का एक अन्य बाह्य स्वाकारण भी प्राप्त होता है6, और यह परिमित सरल समूह का एकमात्र असाधारण बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म है: साधारण समूहों के अनंत परिवारों के लिए, बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म की संख्या के लिए सूत्र हैं, और ऑर्डर 360 का सरल समूह, ए के रूप में माना जाता है6, से दो बाहरी ऑटोमोर्फिज्म होने की उम्मीद की जाएगी, चार नहीं। हालांकि, जब ए6 PSL(2, 9) के रूप में देखा जाता है, बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह में अपेक्षित क्रम होता है। (छिटपुट समूहों के लिए - यानी जो एक अनंत परिवार में नहीं आते हैं - असाधारण बाहरी ऑटोमोर्फिज्म की धारणा खराब परिभाषित है, क्योंकि कोई सामान्य सूत्र नहीं है।)

निर्माण
में सूचीबद्ध कई निर्माण हैं.

ध्यान दें कि एक बाहरी ऑटोमोर्फिज्म के रूप में, यह ऑटोमोर्फिज्म का एक वर्ग है, जो केवल एक आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म तक ही निर्धारित होता है, इसलिए लिखने के लिए कोई स्वाभाविक नहीं है।

एक तरीका है:
 * एक विदेशी मानचित्र (एम्बेडिंग) एस का निर्माण करें5→ एस6; #विदेशी_नक्शा
 * एस6 इस उपसमूह के छह संयुग्मों पर संयुग्मन द्वारा कार्य करता है, एक नक्शा एस उत्पन्न करता है6→ एसX, जहाँ X संयुग्मों का समुच्चय है। संख्या 1, ..., 6 के साथ X की पहचान करना (जो संयुग्मों की संख्या के विकल्प पर निर्भर करता है, अर्थात, S के एक तत्व तक6 (एक आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म)) एक बाहरी ऑटोमोर्फिज्म एस पैदा करता है6→ एस6.
 * यह नक्शा एक बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म है, क्योंकि ट्रांसपोज़िशन ट्रांसपोज़िशन के लिए मैप नहीं करता है, लेकिन आंतरिक ऑटोमोर्फिज़्म चक्र संरचना को संरक्षित करता है।

निम्नलिखित के दौरान, सहसमुच्चयों पर गुणन क्रिया या संयुग्मों पर संयुग्मन क्रिया के साथ काम किया जा सकता है।

यह देखने के लिए कि एस6 एक बाहरी ऑटोमोर्फिज्म है, याद रखें कि होमोमोर्फिज्म एक समूह G से एक सममित समूह S तकn अनिवार्य रूप से क्रियाओं के समान हैं n तत्वों के एक सेट पर G का, और एक बिंदु को ठीक करने वाला उपसमूह तब G में अधिकांश n पर एक उपसमूह के सूचकांक का एक उपसमूह होता है। इसके विपरीत यदि हमारे पास G में सूचकांक n का एक उपसमूह है, तो कोसेट पर कार्रवाई एक सकर्मक देती है एन बिंदुओं पर जी की कार्रवाई, और इसलिए एस के लिए एक समरूपताn.

ग्राफ विभाजन से निर्माण
अधिक गणितीय कठोर निर्माणों से पहले, यह एक सरल निर्माण को समझने में मदद करता है।

6 शीर्षों, K के साथ एक पूर्ण ग्राफ़ लें6. इसके 15 किनारे हैं, जिन्हें 15 अलग-अलग तरीकों से पूर्ण मिलान में विभाजित किया जा सकता है, प्रत्येक पूर्ण मिलान तीन किनारों का एक सेट है, जिनमें से दो एक शीर्ष साझा करते हैं। 15 के सेट से 5 पूर्ण मिलानों का एक सेट खोजना संभव है, जैसे कि कोई भी दो मिलान एक बढ़त साझा नहीं करते हैं, और उनके बीच में सभी शामिल हैं 5 × 3 = 15 ग्राफ के किनारे; यह ग्राफ गुणनखंडन 6 अलग-अलग तरीकों से किया जा सकता है।

6 शीर्षों के क्रमचय पर विचार करें, और 6 विभिन्न गुणनखंडों पर इसका प्रभाव देखें। हमें 720 इनपुट क्रमपरिवर्तन से 720 आउटपुट क्रमपरिवर्तन तक का नक्शा मिलता है। वह नक्शा ठीक S का बाहरी स्वाकारवाद है6.

ऑटोमोर्फिज्म होने के नाते, मानचित्र को तत्वों के क्रम को संरक्षित करना चाहिए, लेकिन यह चक्र संरचना को संरक्षित नहीं करता है। उदाहरण के लिए, तीन 2-चक्रों के उत्पाद के लिए एक 2-चक्र मानचित्र; यह देखना आसान है कि 2-चक्र सभी 6 ग्राफ़ गुणनखंडों को किसी न किसी रूप में प्रभावित करता है, और इसलिए जब गुणनखंडों के क्रमपरिवर्तन के रूप में देखा जाता है तो इसका कोई निश्चित बिंदु नहीं होता है। तथ्य यह है कि इस ऑटोमोर्फिज्म का निर्माण संभव है, बड़ी संख्या में संख्यात्मक संयोगों पर निर्भर करता है जो केवल लागू होते हैं n = 6.

विदेशी नक्शा5 → एस6
S का एक उपसमूह (वास्तव में, 6 संयुग्मित उपसमूह) है6 जो एस के लिए अमूर्त रूप से आइसोमोर्फिक है5, लेकिन जो एस के उपसमूहों के रूप में सकर्मक रूप से कार्य करता है6 6 तत्वों के एक सेट पर। (स्पष्ट मानचित्र एस की छविn→ एसn+1 एक तत्व को ठीक करता है और इस प्रकार सकर्मक नहीं है।)

साइलो 5-उपसमूह
Janusz और Rotman इसका निर्माण इस प्रकार करते हैं: यह 5-चक्रों के निरीक्षण से आता है: प्रत्येक 5-चक्र क्रम 5 का एक समूह उत्पन्न करता है (इस प्रकार एक सिलो उपसमूह), 5!/5 = 120/5 = 24  5-चक्र होते हैं, जो 6 उपसमूह देते हैं (क्योंकि प्रत्येक उपसमूह भी पहचान शामिल है), और एसn किसी दिए गए वर्ग के चक्रों के सेट पर संयुग्मन द्वारा सकर्मक रूप से कार्य करता है, इसलिए इन उपसमूहों पर संयुग्मन द्वारा सकर्मक रूप से कार्य करता है।
 * एस5 इसके 6 साइलो उपसमूह | साइलो 5-उपसमूहों के सेट पर संयुग्मन द्वारा सकर्मक रूप से कार्य करता है, एक एम्बेडिंग एस उत्पन्न करता है5→ एस6 ऑर्डर 120 के सकर्मक उपसमूह के रूप में।

वैकल्पिक रूप से, कोई साइलो प्रमेय का उपयोग कर सकता है, जो आम तौर पर बताता है कि सभी साइलो पी-उपसमूह संयुग्मित हैं।

पीजीएल (2,5)
पांच तत्वों, पीजीएल (2, 5) के साथ परिमित क्षेत्र पर आयाम दो का प्रक्षेपी रैखिक समूह, पांच तत्वों के साथ क्षेत्र पर प्रक्षेपी रेखा पर कार्य करता है, पी1(एफ़5), जिसमें छह तत्व होते हैं। इसके अलावा, यह क्रिया वफादार समूह क्रिया और 3-सकर्मक समूह क्रिया है, जैसा कि प्रक्षेपी रेखा पर प्रक्षेपी रैखिक समूह की क्रिया के लिए हमेशा होता है। इससे एक नक्शा PGL(2, 5) → S प्राप्त होता है6 एक सकर्मक उपसमूह के रूप में। S के साथ PGL(2, 5) की पहचान करना5 और प्रक्षेपी विशेष रेखीय समूह PSL(2, 5) A के साथ5 वांछित विदेशी मानचित्र एस उत्पन्न करता है5→ एस6 और ए5→ ए6. एक ही दर्शन के बाद, एस के निम्नलिखित दो असमान कार्यों के रूप में बाहरी ऑटोमोर्फिज्म का एहसास हो सकता है6 एक सेट पर छह तत्वों के साथ:
 * क्रमचय समूह के रूप में सामान्य क्रिया;
 * प्रोजेक्टिव लाइन पी के रूप में सेट एक अमूर्त 6-तत्व की छह असमान संरचनाएं1(एफ़5) - रेखा में 6 बिंदु हैं, और प्रक्षेपी रैखिक समूह 3-सकर्मक रूप से कार्य करता है, इसलिए 3 बिंदुओं को ठीक करते हुए, 3 हैं! = शेष 3 बिंदुओं को व्यवस्थित करने के लिए 6 अलग-अलग तरीके, जो वांछित वैकल्पिक कार्रवाई उत्पन्न करते हैं।

फ्रोबेनियस समूह
एक और तरीका: एस के एक बाहरी automorphism का निर्माण करने के लिए6, हमें निर्माण करने की आवश्यकता है एस में सूचकांक 6 का एक असामान्य उपसमूह6, दूसरे शब्दों में वह जो छह स्पष्ट S में से एक नहीं है5 उपसमूह एक बिंदु को ठीक करते हैं (जो कि एस के आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म के अनुरूप है6).

परिमित क्षेत्र के परिशोधन परिवर्तनों का फ्रोबेनियस समूह | एफ5(मैप्स एक्स$$\mapsto$$ax + b जहां a ≠ 0) का क्रम 20 = (5 − 1) ·5 है और 5 तत्वों के साथ क्षेत्र पर कार्य करता है, इसलिए S का एक उपसमूह है5. (वास्तव में, यह ऊपर बताए गए साइलो 5-समूह का सामान्यीकरण है, जिसे F के अनुवादों के क्रम-5 समूह के रूप में माना जाता है5.)

एस5 कोसेट स्पेस पर सकर्मक रूप से कार्य करता है, जो 120/20 = 6 तत्वों का एक सेट है (या संयुग्मन द्वारा, जो उपरोक्त क्रिया को उत्पन्न करता है)।

अन्य निर्माण
अर्नेस्ट विट को ऑट (एस6) मैथ्यू समूह एम में12 (एक उपसमूह टी आइसोमॉर्फिक टू एस6 और एक तत्व σ जो T को सामान्य करता है और बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म द्वारा कार्य करता है)। इसी प्रकार एस6 6 तत्वों के एक सेट पर 2 अलग-अलग तरीकों से कार्य करना (बाहरी ऑटोमोर्फिज्म होना), एम12 12 तत्वों के एक सेट पर 2 अलग-अलग तरीकों से कार्य करता है (एक बाहरी ऑटोमोर्फिज्म है), हालांकि एम12 अपने आप में असाधारण है, कोई इस बाहरी स्वरूपवाद को ही असाधारण नहीं मानता।

ए का पूर्ण ऑटोमोर्फिज्म समूह6 मैथ्यू समूह एम के अधिकतम उपसमूह के रूप में स्वाभाविक रूप से प्रकट होता है12 2 तरीकों से, या तो एक उपसमूह के रूप में 12 बिंदुओं के विभाजन को 6-तत्व सेटों की एक जोड़ी में तय करना, या एक उपसमूह के रूप में 2 बिंदुओं के सबसेट को ठीक करना।

यह देखने का एक और तरीका है कि एस6 इस तथ्य का उपयोग करना है कि ए6 पीएसएल के लिए आइसोमोर्फिक है2(9), जिसका ऑटोमोर्फिज्म समूह प्रक्षेपी सेमिलिनियर समूह PΓL है2(9), जिसमें पीएसएल2(9) इंडेक्स 4 का है, जो क्रम 4 के एक बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह की उपज है। इस ऑटोमोर्फिज्म को देखने का सबसे दृश्य तरीका परिमित क्षेत्रों पर बीजगणितीय ज्यामिति के माध्यम से एक व्याख्या देना है, जो इस प्रकार है। S की कार्रवाई पर विचार करें6 3 तत्वों के साथ फ़ील्ड k पर 6-स्पेस को परिबद्ध करें। यह क्रिया कई चीजों को संरक्षित करती है: हाइपरप्लेन H जिस पर निर्देशांक का योग 0 होता है, H में रेखा L जहां सभी निर्देशांक मेल खाते हैं, और सभी 6 निर्देशांकों के वर्गों के योग द्वारा दिया गया द्विघात रूप q। Q से H के प्रतिबंध में दोष रेखा L है, इसलिए 4-आयामी H/L पर एक प्रेरित द्विघात रूप Q है जो एक जाँच गैर-पतित और गैर-विभाजित है। एच / एल में क्यू की शून्य योजना एक चिकनी चतुष्कोणीय सतह एक्स को संबंधित प्रोजेक्टिव 3-स्पेस ओवर के में परिभाषित करती है। K के एक बीजगणितीय संवरण पर, X दो प्रक्षेपी रेखाओं का गुणनफल है, इसलिए एक अवरोही तर्क के द्वारा X द्विघात étale बीजगणित K पर प्रक्षेपी रेखा के k के लिए Weil प्रतिबंध है। चूँकि Q, k से विभाजित नहीं है, एक सहायक तर्क k पर विशेष ऑर्थोगोनल समूहों के साथ K को एक क्षेत्र होने के लिए मजबूर करता है (k की दो प्रतियों के उत्पाद के बजाय)। प्राकृतिक एस6-दृष्टि में सब कुछ पर कार्रवाई एस से एक मानचित्र को परिभाषित करती है6 एक्स के के-ऑटोमोर्फिज्म समूह के लिए, जो पीजीएल का अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद जी है2(के) = पीजीएल2(9) गाल्वा के आक्रमण के खिलाफ। यह मानचित्र साधारण समूह A को वहन करता है6 गैर-तुच्छ रूप से उपसमूह पीएसएल में (इसलिए पर)।2(9) अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद जी में इंडेक्स 4 का, इसलिए एस6 इसके द्वारा G के एक इंडेक्स -2 उपसमूह के रूप में पहचाना जाता है (अर्थात्, PSL द्वारा उत्पन्न G का उपसमूह2(9) और गैलोज़ इनवोल्यूशन)। S के बाहर G के किसी तत्व द्वारा संयुग्मन6 एस के गैर-तुच्छ बाहरी ऑटोमोर्फिज्म को परिभाषित करता है6.

बाहरी स्वाकारवाद की संरचना
चक्रों पर, यह (12) (12)(34)(56) (कक्षा 2) के साथ प्रकार (12) के क्रमपरिवर्तन का आदान-प्रदान करता है1 कक्षा 2 के साथ3), और प्रकार (123) के साथ (145)(263) (कक्षा 3)1 कक्षा 3 के साथ2). बाहरी ऑटोमोर्फिज्म भी प्रकार (12)(345) के साथ (123456) (कक्षा 2) के क्रमपरिवर्तन का आदान-प्रदान करता है131 कक्षा 6 के साथ 1). एस में अन्य चक्र प्रकारों में से प्रत्येक के लिए6, बाहरी ऑटोमोर्फिज्म चक्र प्रकार के क्रमपरिवर्तन के वर्ग को ठीक करता है।

एक पर6, यह 3-चक्रों (जैसे (123)) को कक्षा 3 के तत्वों से बदल देता है2 (जैसे (123)(456))।

कोई अन्य बाहरी ऑटोमोर्फिज्म नहीं
यह देखने के लिए कि अन्य सममित समूहों में से किसी के पास बाहरी ऑटोमोर्फिज्म नहीं है, दो चरणों में आगे बढ़ना सबसे आसान है:
 * 1) सबसे पहले, दिखाएँ कि कोई भी ऑटोमोर्फिज्म जो ट्रांसपोज़िशन के संयुग्मन वर्ग को संरक्षित करता है, एक आंतरिक ऑटोमोर्फिज़्म है। (इससे यह भी पता चलता है कि एस का बाहरी ऑटोमोर्फिज्म6 निराला है; नीचे देखें।) ध्यान दें कि एक ऑटोमोर्फिज्म को प्रत्येक संयुग्मन वर्ग (चक्रीय क्रमचय द्वारा विशेषता जो इसके तत्व साझा करते हैं) को एक (संभवतः अलग) संयुग्मी वर्ग में भेजना चाहिए।
 * 2) दूसरा, दिखाएँ कि प्रत्येक ऑटोमोर्फिज़्म (उपरोक्त के अलावा एस6) स्थानान्तरण के वर्ग को स्थिर करता है।

उत्तरार्द्ध को दो तरीकों से दिखाया जा सकता है:
 * एस के अलावा हर सममित समूह के लिए6, ऑर्डर 2 के तत्वों से युक्त कोई अन्य संयुग्मन वर्ग नहीं है जिसमें तत्वों की संख्या उतनी ही हो जितनी कि ट्रांसपोज़िशन के वर्ग में।
 * या इस प्रकार है:

ऑर्डर दो का प्रत्येक क्रमचय (जिसे इनवोल्यूशन (गणित) कहा जाता है) k> 0 असंयुक्त ट्रांसपोज़िशन का उत्पाद है, ताकि इसकी चक्रीय संरचना 2 होक1 n−2k. स्थानापन्न वर्ग (k = 1) के बारे में क्या विशेष है?

यदि कोई दो अलग-अलग ट्रांसपोजिशन τ का उत्पाद बनाता है1 और टी2, तब कोई हमेशा या तो 3-चक्र या प्रकार 2 का क्रमचय प्राप्त करता है21n−4, इसलिए उत्पादित तत्व का क्रम या तो 2 या 3 है। दूसरी ओर, यदि कोई दो अलग-अलग इनवोल्यूशन σ का गुणनफल बनाता है1, पी2 प्रकार का k > 1, फिर प्रदान किया गया n ≥ 7, निम्न क्रम 6, 7 या 4 के तत्व का उत्पादन करना हमेशा संभव होता है। हम यह व्यवस्था कर सकते हैं कि उत्पाद में कोई भी हो k ≥ 5 के लिए, क्रमचय σ से जुड़ें1, पी2 पिछले उदाहरण में निरर्थक 2-चक्र हैं जो एक दूसरे को रद्द करते हैं, और हमें अभी भी दो 4-चक्र मिलते हैं।
 * दो 2-चक्र और एक 3-चक्र (के = 2 और एन ≥ 7 के लिए)
 * एक 7-चक्र (के = 3 और एन ≥ 7 के लिए)
 * दो 4-चक्र (के = 4 और एन ≥ 8 के लिए)

अब हम एक विरोधाभास पर पहुँचते हैं, क्योंकि यदि ट्रांसपोज़िशन का वर्ग ऑटोमोर्फिज़्म f के माध्यम से ऐसे इनवॉल्यूशन के वर्ग में भेजा जाता है, जिसमें k> 1 है, तो दो ट्रांसपोज़िशन मौजूद हैं τ1, टी2 ऐसा है कि f(τ1) एफ (टी2) का क्रम 6, 7 या 4 है, लेकिन हम जानते हैं कि τ1τ2 आदेश 2 या 3 है।

S का कोई अन्य बाहरी स्वरूपवाद नहीं6
एस6 बाहरी ऑटोमोर्फिज्म का बिल्कुल एक (वर्ग) है: आउट (एस6) = सी2.

इसे देखने के लिए, देखें कि S के केवल दो संयुग्मन वर्ग हैं6 आकार 15 का: पारदर्शिता और कक्षा 2 के 3। ऑट का प्रत्येक तत्व (एस6) या तो इनमें से प्रत्येक संयुग्मी वर्ग को संरक्षित करता है, या उनका आदान-प्रदान करता है। ऊपर निर्मित बाहरी ऑटोमोर्फिज्म का कोई भी प्रतिनिधि संयुग्मन वर्गों का आदान-प्रदान करता है, जबकि एक सूचकांक 2 उपसमूह ट्रांसपोज़िशन को स्थिर करता है। लेकिन एक ऑटोमोर्फिज्म जो ट्रांसपोजिशन को स्थिर करता है, आंतरिक है, इसलिए आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म ऑट (एस) का एक इंडेक्स 2 उपसमूह बनाता है।6), इसलिए आउट (एस6) = सी2.

अधिक सारगर्भित: एक ऑटोमोर्फिज़्म जो ट्रांसपोज़िशन को स्थिर करता है, आंतरिक है, और ऑर्डर 15 (ट्रांसपोज़िशन और ट्रिपल ट्रांसपोज़िशन) के केवल दो संयुग्मन वर्ग हैं, इसलिए बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म समूह अधिकतम क्रम 2 है।

सममित
एन = 2 के लिए, एस2= सी2= Z/2 और ऑटोमोर्फिज़्म समूह तुच्छ है (स्पष्ट रूप से, लेकिन अधिक औपचारिक रूप से क्योंकि Aut(Z/2) = GL(1, Z/2) = Z/2* = सी1). इस प्रकार आंतरिक ऑटोमोर्फिज़्म समूह भी तुच्छ है (क्योंकि एस2 एबेलियन है)।

वैकल्पिक
एन = 1 और 2 के लिए, ए1= ए2= सी1 तुच्छ है, इसलिए ऑटोमोर्फिज़्म समूह भी तुच्छ है। एन = 3 के लिए, ए3= सी3= Z/3 एबेलियन (और चक्रीय) है: ऑटोमोर्फिज़्म समूह GL(1, Z/3 है*) = सी2, और आंतरिक ऑटोमोर्फिज़्म समूह तुच्छ है (क्योंकि यह एबेलियन है)।

संदर्भ

 * https://web.archive.org/web/20071227060045/http://polyomino.f2s.com/david/haskell/outers6.html
 * Some Thoughts on the Number 6, by John Baez: relates outer automorphism to the regular icosahedron
 * "12 points in PG(3, 5) with 95040 self-transformations" in "The Beauty of Geometry", by Coxeter: discusses outer automorphism on first 2 pages