नेटवर्क समूहों की एन्ट्रॉपी

नेटवर्कों का एक सेट जो दी गई संरचनात्मक विशेषताओं को संतुष्ट करता है, उसे नेटवर्क समूह के रूप में माना जा सकता है। 2007 में गिनेस्ट्रा बियानकोनी द्वारा लाए गए, नेटवर्क समूह की एन्ट्रॉपी एक नेटवर्क समूह के क्रम या अनिश्चितता के स्तर को मापती है।

एंट्रॉपी ग्राफ़ की संख्या का लघुगणक है। एन्ट्रॉपी को एक नेटवर्क में भी परिभाषित किया जा सकता है। बेसिन एन्ट्रापी एक बूलियन नेटवर्क में आकर्षितकर्ताओं का लघुगणक है।

सांख्यिकीय यांत्रिकी से दृष्टिकोण को नियोजित करते हुए, नेटवर्क की जटिलता, अनिश्चितता और यादृच्छिकता को विभिन्न प्रकार के अवरोधों के साथ नेटवर्क समूहों द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

गिब्स और शैनन एन्ट्रॉपी
सांख्यिकीय यांत्रिकी के अनुरूप, कार्यान्वयन के लिए सूक्ष्मविहित समूहों और नेटवर्कों के विहित समूहों को पेश किया जाता है। समूह के विभाजन फ़ंक्शन Z को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है-$$Z = \sum_{\mathbf{a}} \delta \left[\vec{F}(\mathbf{a})-\vec{C}\right] \exp\left(\sum_{ij}h_{ij}\Theta(a_{ij}) + r_{ij}a_{ij}\right)$$जहां $$\vec{F}(\mathbf{a})=\vec{C}$$ अवरोध है, और $$a_{ij}$$ ($$a_{ij} \geq {0}$$) आसन्न मैट्रिक्स में तत्व हैं, $$a_{ij} > 0$$ यदि और केवल तभी जब नोड i और नोड j के बीच कोई लिंक हो। $$\Theta(a_{ij})$$ एक चरण फ़ंक्शन है जिसमें $$\Theta(a_{ij}) = 1$$ है यदि $$x > 0$$, और $$\Theta(a_{ij}) = 0$$ यदि $$x = 0$$ है। सहायक क्षेत्रों $$h_{ij}$$ और $$r_{ij}$$ को चिरसम्मत यांत्रिकी में उष्मक के अनुरूप पेश किया गया है।

सरल अप्रत्यक्ष नेटवर्क के लिए, विभाजन फ़ंक्शन को इस प्रकार सरल बनाया जा सकता है $$Z = \sum_{\{a_{ij}\}} \prod_{k}\delta(\textrm{constraint}_{k}(\{a_{ij}\})) \exp\left(\sum_{i<j}\sum_{\alpha}h_{ij}(\alpha)\delta_{a_{ij},\alpha}\right)$$जहां $$a_{ij}\in\alpha$$, $$\alpha$$ वजन का सूचकांक है, और सरल नेटवर्क के लिए $$\alpha=\{0,1\}$$ है।

सूक्ष्मविहित समूहों और विहित समूहों को सरल अप्रत्यक्ष नेटवर्कों के साथ प्रदर्शित किया जाता है। सूक्ष्मविहित समूह के लिए, गिब्स एन्ट्रॉपी $$\Sigma$$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है-$$\begin{align} \Sigma &= \frac{1}{N} \log\mathcal{N} \\ &= \frac{1}{N} \log Z|_{h_{ij}(\alpha)=0\forall(i,j,\alpha)} \end{align}$$जहां $$\mathcal{N}$$ समूह की प्रमुखता को दर्शाता है, अर्थात समूह में नेटवर्कों की कुल संख्या है।

भार $$\alpha$$ के साथ नोड्स i और j के बीच लिंक होने की संभावना निम्न द्वारा दी गई है-$$\pi_{ij}(\alpha) = \frac{\partial \log Z}{\partial{h_{ij}}(\alpha)}$$विहित समूह के लिए, एन्ट्रापी को शैनन एन्ट्रापी के रूप में प्रस्तुत किया जाता है-$${S}=-\sum_{i<j}\sum_{\alpha} \pi_{ij}(\alpha) \log \pi_{ij}(\alpha)$$

गिब्स और शैनन एन्ट्रॉपी के बीच संबंध
नेटवर्क समूह $$G(N,L)$$ को दिए गए नोड्स $$N$$ और लिंक $$L$$ की संख्या के साथ, और इसके संयुग्म-विहित समूह $$G(N,p)$$ को सूक्ष्मविहित और विहित समूह के रूप में जाना जाता है और उनके पास क्रमशः गिब्स एन्ट्रॉपी $$\Sigma$$ और शैनन एन्ट्रॉपी S है। $$G(N,p)$$ समूह में गिब्स एन्ट्रॉपी निम्न द्वारा दी गई है- $${N}\Sigma = \log\left(\begin{matrix}\cfrac{N(N-1)}{2}\\L\end{matrix}\right)$$$$G(N,p)$$ समूह के लिए,$${p}_{ij} = p = \cfrac{2L}{N(N-1)}$$शैनन एन्ट्रॉपी में $$p_{ij}$$ सम्मिलित करना $$\Sigma = S/N+\cfrac{1}{2N}\left[\log\left( \cfrac{N(N-1)}{2L} \right) - \log\left(\cfrac{N(N-1)}{2}-L\right)\right]$$संबंध इंगित करता है कि यादृच्छिक ग्राफ़ के प्रति नोड S/N गिब्स एन्ट्रॉपी $$\Sigma$$ और शैनन एन्ट्रॉपी ऊष्मागतिक सीमा $$N\to\infty$$ में बराबर हैं।

वॉन न्यूमैन एन्ट्रापी
वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी क्वांटम संदर्भ में शास्त्रीय गिब्स एन्ट्रॉपी का विस्तार है। यह एन्ट्रापी एक घनत्व मैट्रिक्स से निर्मित होती है $$\rho$$: ऐतिहासिक रूप से, इस तरह के घनत्व मैट्रिक्स के लिए पहला प्रस्तावित उम्मीदवार नेटवर्क से जुड़े लाप्लासियन मैट्रिक्स एल की अभिव्यक्ति रहा है। किसी समूह की औसत वॉन न्यूमैन एन्ट्रापी की गणना इस प्रकार की जाती है:

$${S}_{VN} = -\langle\mathrm{Tr}\rho\log(\rho)\rangle$$ यादृच्छिक ग्राफ ़ समूह के लिए $$G(N,p)$$, के बीच संबंध $$S_{VN}$$ और $$S$$ औसत कनेक्टिविटी होने पर नॉनमोनोटोनिक है $$p(N-1)$$ विविध है.

विहित स्केल-मुक्त नेटवर्क|पावर-लॉ नेटवर्क संयोजन के लिए, दो एन्ट्रॉपी रैखिक रूप से संबंधित हैं।

$${S}_{VN} = \eta {S/N} + \beta$$ दिए गए अपेक्षित डिग्री अनुक्रम वाले नेटवर्क सुझाव देते हैं कि, अपेक्षित डिग्री वितरण में विविधता एक क्वांटम और नेटवर्क के शास्त्रीय विवरण के बीच एक समानता का अर्थ है, जो क्रमशः वॉन न्यूमैन और शैनन एन्ट्रॉपी से मेल खाती है। वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी की इस परिभाषा को टेंसोरियल दृष्टिकोण के साथ बहुपरत नेटवर्क तक भी बढ़ाया जा सकता है और संरचनात्मक दृष्टिकोण से उनकी आयामीता को कम करने के लिए सफलतापूर्वक उपयोग किया गया है। हालाँकि, यह दिखाया गया है कि एन्ट्रापी की यह परिभाषा उप-एडिटिविटी (देखें वॉन_न्यूमैन_एंट्रॉपी#सबएडिटिविटी|वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी की सबएडिटिविटी) की संपत्ति को संतुष्ट नहीं करती है, जो सैद्धांतिक रूप से अपेक्षित है। इस मौलिक संपत्ति को संतुष्ट करने वाली एक अधिक जमीनी परिभाषा मन्लियो डी डोमेनिको और बियामोंटे द्वारा पेश की गई है क्वांटम जैसी गिब्स अवस्था के रूप में

$$\rho(\beta)=\frac{e^{-\beta L}}{Z(\beta)}$$ कहाँ $$Z(\beta)=Tr[e^{-\beta L}]$$ एक सामान्यीकरण कारक है जो विभाजन फ़ंक्शन की भूमिका निभाता है, और $$\beta$$ एक ट्यून करने योग्य पैरामीटर है जो बहु-रिज़ॉल्यूशन विश्लेषण की अनुमति देता है। अगर $$\beta$$ एक अस्थायी पैरामीटर के रूप में व्याख्या की गई है, यह घनत्व मैट्रिक्स औपचारिक रूप से नेटवर्क के शीर्ष पर एक प्रसार प्रक्रिया के प्रचारक के लिए आनुपातिक है।

इस सुविधा का उपयोग जटिल सूचना गतिशीलता के एक सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत का निर्माण करने के लिए किया गया है, जहां घनत्व मैट्रिक्स की व्याख्या स्ट्रीम ऑपरेटरों की सुपर-स्थिति के संदर्भ में की जा सकती है जिनकी क्रिया नोड्स के बीच सूचना प्रवाह को सक्रिय करना है। सूक्ष्म, मेसोस्कोपिक और मैक्रोस्कोपिक पैमाने पर बाद के संक्रमण की प्रणालीगत विशेषताओं को जानने के लिए SARS-CoV-2 सहित वायरस-मानव इंटरैक्टोम्स के प्रोटीन-प्रोटीन इंटरेक्शन नेटवर्क का विश्लेषण करने के लिए रूपरेखा को सफलतापूर्वक लागू किया गया है। साथ ही नेटवर्क के भीतर सूचना प्रवाह को एकीकृत करने के लिए नोड्स के महत्व और नेटवर्क की मजबूती में उनकी भूमिका का आकलन करना। इस दृष्टिकोण को अन्य प्रकार की गतिशीलता से निपटने के लिए सामान्यीकृत किया गया है, जैसे कि मल्टीलेयर नेटवर्क के शीर्ष पर यादृच्छिक चलना, उनकी संरचना में बदलाव किए बिना ऐसी प्रणालियों की आयामीता को कम करने का एक प्रभावी तरीका प्रदान करता है। क्लासिकल और मैक्सिमल_एन्ट्रॉपी_रैंडम_वॉक|मैक्सिमम-एन्ट्रॉपी रैंडम वॉक दोनों का उपयोग करते हुए, संबंधित घनत्व मैट्रिक्स का उपयोग मानव मस्तिष्क के नेटवर्क राज्यों को एन्कोड करने और कई पैमानों पर, मनोभ्रंश के विभिन्न चरणों में कनेक्टोम की सूचना क्षमता का आकलन करने के लिए किया गया है।

यह भी देखें

 * विहित पहनावा
 * माइक्रोकैनोनिकल पहनावा
 * अधिकतम-एन्ट्रापी यादृच्छिक ग्राफ मॉडल
 * ग्राफ एन्ट्रापी