नियमित स्थानीय वलय

क्रमविनिमेय बीजगणित में, एक नियमित स्थानीय रिंग एक नोथेरियन स्थानीय रिंग होती है जिसमें यह गुण होता है कि इसके अधिकतम आदर्श के जनरेटर की न्यूनतम संख्या इसके क्रुल आयाम के बराबर होती है। प्रतीकों में, मान लीजिए कि A अधिकतम आदर्श m के साथ एक नोथेरियन स्थानीय वलय है, और मान लीजिए a1, ..., एn एम के जनरेटर का एक न्यूनतम सेट है। फिर क्रुल के मुख्य आदर्श प्रमेय n ≥ dim A द्वारा, और A को नियमित रूप से परिभाषित किया जाता है यदि n = dim A।

पदवी नियमित ज्यामितीय अर्थ द्वारा उचित है। बीजगणितीय किस्म X पर एक बिंदु x, बीजीय किस्म का एकवचन बिंदु है यदि और केवल यदि स्थानीय वलय $$\mathcal{O}_{X, x}$$ x पर रोगाणु (गणित) का नियमित है। (यह भी देखें: नियमित योजना।) नियमित स्थानीय रिंग वॉन न्यूमैन नियमित रिंग से संबंधित नहीं हैं।

नोथेरियन स्थानीय रिंगों के लिए, समावेशन की निम्नलिखित श्रृंखला है:

विशेषताएँ
नियमित स्थानीय वलय की कई उपयोगी परिभाषाएँ हैं, जिनमें से एक का उल्लेख ऊपर किया गया है। विशेषकर, यदि $$A$$ अधिकतम आदर्श वाला नोथेरियन स्थानीय वलय है $$\mathfrak{m}$$, तो निम्नलिखित समकक्ष परिभाषाएँ हैं
 * होने देना $$\mathfrak{m} = (a_1, \ldots, a_n)$$ कहाँ $$n$$ जितना संभव हो उतना छोटा चुना जाता है। तब $$A$$ यदि नियमित है
 * $$\mbox{dim } A = n\,$$,
 * जहां आयाम क्रुल आयाम है। जनरेटर का न्यूनतम सेट $$a_1, \ldots, a_n$$ फिर मापदंडों की एक नियमित प्रणाली कहलाती है।


 * होने देना $$k = A / \mathfrak{m}$$ का अवशेष क्षेत्र हो $$A$$. तब $$A$$ यदि नियमित है
 * $$\dim_k \mathfrak{m} / \mathfrak{m}^2 = \dim A\,$$,
 * जहां दूसरा आयाम क्रुल आयाम है।


 * होने देना $$\mbox{gl dim } A := \sup \{ \mbox{pd } M \mbox{ }|\mbox{ } M \mbox{ is an }A\mbox{-module} \}$$ का वैश्विक आयाम हो $$A$$ (अर्थात, सभी के प्रक्षेप्य आयामों का सर्वोच्च $$A$$-मॉड्यूल।) फिर $$A$$ यदि नियमित है
 * $$\mbox{gl dim } A < \infty\,$$,
 * किस स्थिति में, $$\mbox{gl dim } A = \dim A$$.

बहुलता एक मानदंड बताता है: यदि नोथेरियन स्थानीय रिंग ए का पूरा होना अमिश्रित है (इस अर्थ में कि शून्य आदर्श का कोई एम्बेडेड प्राइम विभाजक नहीं है और प्रत्येक न्यूनतम प्राइम पी के लिए, $$\dim \widehat{A}/p = \dim \widehat{A}$$) और यदि A की हिल्बर्ट-सैमुअल बहुलता एक है, तो A नियमित है। (विपरीत हमेशा सत्य होता है: एक नियमित स्थानीय रिंग की बहुलता एक होती है।) यह मानदंड बीजगणितीय ज्यामिति में एक ज्यामितीय अंतर्ज्ञान से मेल खाता है कि एक योजना-सैद्धांतिक चौराहे की एक स्थानीय अंगूठी नियमित होती है यदि और केवल यदि चौराहा एक ट्रांसवर्सलिटी है ( अंक शास्त्र)।

सकारात्मक विशेषता मामले में, कुंज के कारण निम्नलिखित महत्वपूर्ण परिणाम हैं: एक नोथेरियन स्थानीय रिंग $$R$$ सकारात्मक विशेषता (बीजगणित) पी नियमित है यदि और केवल यदि फ्रोबेनियस रूपवाद $$R \to R, r \mapsto r^p$$ फ्लैट रिंग समरूपता है और $$R$$ रिंग कम हो गई है. विशेषता शून्य में कोई समान परिणाम ज्ञात नहीं है (सिर्फ इसलिए कि फ्रोबेनियस को कैसे बदला जाए यह स्पष्ट नहीं है)।

उदाहरण

 * 1) प्रत्येक क्षेत्र (गणित) एक नियमित स्थानीय वलय है। इनका (क्रुल) आयाम 0 है। वास्तव में, फ़ील्ड बिल्कुल आयाम 0 के नियमित स्थानीय वलय हैं।
 * 2) कोई भी अलग मूल्यांकन रिंग आयाम 1 की एक नियमित स्थानीय रिंग है और आयाम 1 की नियमित स्थानीय रिंग बिल्कुल अलग मूल्यांकन रिंग हैं। विशेष रूप से, यदि k एक क्षेत्र है और X एक अनिश्चित है, तो औपचारिक शक्ति श्रृंखला k का वलय[X] एक नियमित स्थानीय रिंग है जिसका (क्रुल) आयाम 1 है।
 * 3) यदि p एक साधारण अभाज्य संख्या है, तो p-एडिक पूर्णांकों का वलय एक असतत मूल्यांकन वलय का उदाहरण है, और परिणामस्वरूप एक नियमित स्थानीय वलय है, जिसमें कोई फ़ील्ड नहीं है।
 * 4) अधिक सामान्यतः, यदि k एक फ़ील्ड है और X है1, एक्स2, ..., एक्सd अनिश्चित हैं, तो औपचारिक शक्ति श्रृंखला k का वलय[X1, X2, ..., Xd] एक नियमित स्थानीय वलय है जिसका आयाम (क्रुल) d है।
 * 5) यदि A एक नियमित स्थानीय वलय है, तो यह औपचारिक शक्ति श्रृंखला वलय A है[x] नियमित स्थानीय है.
 * 6) यदि Z पूर्णांकों का वलय है और X एक अनिश्चित है, तो वलय Z[X](2, X) (अर्थात रिंग Z[X] प्राइम आदर्श (2, X) में एक रिंग और एक मॉड्यूल का स्थानीयकरण) 2-आयामी नियमित स्थानीय रिंग का एक उदाहरण है जिसमें कोई फ़ील्ड नहीं है.
 * 7) इरविन कोहेन के कोहेन संरचना प्रमेय के अनुसार, एक पूर्णता (रिंग सिद्धांत) क्रुल आयाम डी की नियमित स्थानीय रिंग जिसमें एक फ़ील्ड के शामिल है, एक पर डी चर में एक शक्ति श्रृंखला रिंग है k का विस्तार क्षेत्र।

गैर-उदाहरण
अंगूठी $$A=k[x]/(x^2)$$ यह एक नियमित स्थानीय वलय नहीं है क्योंकि यह सीमित आयामी है लेकिन इसका कोई सीमित वैश्विक आयाम नहीं है। उदाहरण के लिए, एक अनंत संकल्प है

\cdots \xrightarrow{\cdot x} \frac{k[x]}{(x^2)} \xrightarrow{\cdot x} \frac{k[x]}{(x^2)} \to k \to 0 $$ किसी अन्य लक्षण वर्णन का उपयोग करते हुए, $$A$$ बिल्कुल एक प्रमुख आदर्श है $$\mathfrak{m}=\frac{(x)}{(x^2)}$$, इसलिए रिंग में क्रुल आयाम है $$0$$, लेकिन $$\mathfrak{m}^2$$ शून्य आदर्श है, इसलिए $$\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$$ है $$k$$ कम से कम आयाम $$1$$. (वास्तव में यह बराबर है $$1$$ तब से $$x + \mathfrak{m}$$ एक आधार है.)

बुनियादी गुण
ऑसलैंडर-बुच्सबाम प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक नियमित स्थानीय रिंग एक अद्वितीय कारक डोमेन है।

नियमित स्थानीय वलय के वलय का प्रत्येक स्थानीयकरण नियमित होता है।

एक नियमित स्थानीय रिंग का पूरा होना (रिंग सिद्धांत) नियमित है।

अगर $$(A, \mathfrak{m})$$ एक पूर्ण नियमित स्थानीय रिंग है जिसमें एक फ़ील्ड होता है
 * $$A \cong kx_1, \ldots, x_d$$,

कहाँ $$k = A / \mathfrak{m}$$ अवशेष क्षेत्र है, और $$d = \dim A$$, क्रुल आयाम।

यह भी देखें: ऊंचाई पर सेरे की असमानता और सेरे की बहुलता अनुमान।

बुनियादी धारणाओं की उत्पत्ति
नियमित स्थानीय रिंगों को मूल रूप से 1937 में वोल्फगैंग क्रुल द्वारा परिभाषित किया गया था, लेकिन वे पहली बार कुछ साल बाद ऑस्कर ज़ारिस्की के काम में प्रमुख बने, जिन्होंने दिखाया कि ज्यामितीय रूप से, एक नियमित स्थानीय वलय बीजीय विविधता पर एक चिकने बिंदु से मेल खाता है। मान लीजिए कि Y एक बीजगणितीय विविधता है जो एक पूर्ण क्षेत्र पर एफ़िन एन-स्पेस में निहित है, और मान लीजिए कि Y बहुपद f का लुप्त होने वाला स्थान है1,...,एफm. यदि Y जैकोबियन किस्म को संतुष्ट करता है तो Y, P पर एकवचन नहीं है: यदि M = (∂fi/∂xj) विविधता के परिभाषित समीकरणों के आंशिक व्युत्पन्न का मैट्रिक्स है, तो पी पर एम का मूल्यांकन करके पाए गए मैट्रिक्स की रैंक एन - मंद वाई है। ज़ारिस्की ने साबित किया कि वाई पी पर गैर-एकवचन है यदि और केवल अगर वाई की स्थानीय अंगूठी P पर नियमित है. (ज़ारिस्की ने देखा कि यह गैर-परिपूर्ण क्षेत्रों में विफल हो सकता है।) इसका तात्पर्य यह है कि चिकनाई विविधता का एक आंतरिक गुण है, दूसरे शब्दों में यह इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि विविधता एफ़िन स्पेस में कहां या कैसे अंतर्निहित है। यह यह भी सुझाव देता है कि नियमित स्थानीय रिंगों में अच्छे गुण होने चाहिए, लेकिन होमोलॉजिकल बीजगणित से तकनीकों की शुरूआत से पहले इस दिशा में बहुत कम जानकारी थी। एक बार 1950 के दशक में ऐसी तकनीकें पेश की गईं, तो ऑसलैंडर और बुच्सबाम ने साबित कर दिया कि प्रत्येक नियमित स्थानीय रिंग एक अद्वितीय फ़ैक्टराइज़ेशन डोमेन है।

ज्यामितीय अंतर्ज्ञान द्वारा सुझाई गई एक अन्य संपत्ति यह है कि एक नियमित स्थानीय रिंग का स्थानीयकरण फिर से नियमित होना चाहिए। फिर, यह होमोलॉजिकल तकनीकों की शुरूआत तक अनसुलझा रहा। यह जीन पियरे सेरे  ही थे जिन्होंने नियमित स्थानीय छल्लों का एक समरूप लक्षण वर्णन पाया: एक स्थानीय वलय A नियमित है यदि और केवल यदि A का वैश्विक आयाम सीमित है, अर्थात यदि प्रत्येक A-मॉड्यूल में परिमित लंबाई का एक प्रक्षेप्य रिज़ॉल्यूशन है। यह दिखाना आसान है कि सीमित वैश्विक आयाम होने की संपत्ति स्थानीयकरण के तहत संरक्षित है, और परिणामस्वरूप प्रमुख आदर्शों पर नियमित स्थानीय रिंगों का स्थानीयकरण फिर से नियमित है।

यह अगले भाग में दी गई गैर-स्थानीय क्रमविनिमेय वलय के लिए नियमितता की परिभाषा को उचित ठहराता है।

नियमित अंगूठी
क्रमविनिमेय बीजगणित में, एक नियमित वलय एक क्रमविनिमेय नोथेरियन वलय है, जैसे कि प्रत्येक अभाज्य आदर्श पर एक वलय का स्थानीयकरण एक नियमित स्थानीय वलय होता है: अर्थात, ऐसे प्रत्येक स्थानीयकरण में यह गुण होता है कि इसके अधिकतम आदर्श के जनरेटर की न्यूनतम संख्या होती है इसके क्रुल आयाम के बराबर।

रेगुलर रिंग शब्द की उत्पत्ति इस तथ्य में निहित है कि एक एफ़िन किस्म नॉनसिंगुलर किस्म है (अर्थात प्रत्येक बिंदु एक बीजगणितीय किस्म का नियमित बिंदु है) यदि और केवल तभी जब इसके नियमित कार्यों की रिंग नियमित हो।

नियमित छल्लों के लिए, क्रुल आयाम वैश्विक समरूप आयाम से सहमत है।

जीन-पियरे सेरे ने एक नियमित वलय को परिमित वैश्विक समरूप आयाम की एक क्रमविनिमेय नॉथेरियन वलय के रूप में परिभाषित किया। उनकी परिभाषा उपरोक्त परिभाषा से अधिक मजबूत है, जो अनंत क्रुल आयाम के नियमित वलय की अनुमति देती है।

नियमित रिंगों के उदाहरणों में फ़ील्ड (आयाम शून्य के) और डेडेकाइंड डोमेन शामिल हैं। यदि ए नियमित है तो ए[एक्स] भी है, जिसका आयाम ए से एक बड़ा है।

विशेषकर यदि $k$ एक क्षेत्र है, पूर्णांकों का वलय है, या एक प्रमुख आदर्श डोमेन है, फिर बहुपद वलय है $$k[X_1, \ldots,X_n]$$ नियमित है. किसी क्षेत्र के मामले में, यह हिल्बर्ट का सहजीवन प्रमेय है।

नियमित वलय का कोई भी स्थानीयकरण भी नियमित होता है।

एक नियमित वलय कम वलय है लेकिन एक अभिन्न डोमेन होने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, दो नियमित अभिन्न डोमेन का उत्पाद नियमित है, लेकिन एक अभिन्न डोमेन नहीं है।

यह भी देखें

 * ज्यामितीय रूप से नियमित अंगूठी

संदर्भ

 * Kunz, Characterizations of regular local rings of characteristic p. Amer. J. Math. 91 (1969), 772–784.
 * Tsit-Yuen Lam, Lectures on Modules and Rings, Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-1-4612-0525-8. Chap.5.G.
 * Jean-Pierre Serre, Local algebra, Springer-Verlag, 2000, ISBN 3-540-66641-9. Chap.IV.D.
 * Regular rings at The Stacks Project
 * Regular rings at The Stacks Project