सदिश गणना सर्वसमिका

सदिश कलन में डेरिवेटिव और इंटीग्रल को शामिल करने वाली महत्वपूर्ण पहचान (गणित) निम्नलिखित हैं।

ग्रेडिएंट
एक समारोह के लिए $$f(x, y, z)$$ त्रि-आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली चर में, ढाल वेक्टर क्षेत्र है: $$ \operatorname{grad}(f) = \nabla f = \begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial x},\ \frac{\partial }{\partial y},\ \frac{\partial }{\partial z} \end{pmatrix} f = \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{k} $$ जहाँ i, j, k x, y, z-अक्षों के लिए मानक आधार इकाई वैक्टर हैं। अधिक आम तौर पर, 'एन' चर के एक समारोह के लिए $$\psi(x_1, \ldots, x_n)$$, जिसे अदिश (गणित) क्षेत्र भी कहा जाता है, ग्रेडिएंट सदिश क्षेत्र है: $$ \nabla\psi = \begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x_1}, \ldots,\ \frac{\partial}{\partial x_n} \end{pmatrix}\psi = \frac{\partial\psi}{\partial x_1} \mathbf{e}_1 + \dots + \frac{\partial\psi}{\partial x_n}\mathbf{e}_n .$$ कहाँ $$\mathbf{e}_{i}$$ मनमाना दिशाओं में ऑर्थोगोनल यूनिट वैक्टर हैं।

जैसा कि नाम से पता चलता है, ढाल आनुपातिक है और फ़ंक्शन के सबसे तेज़ (सकारात्मक) परिवर्तन की दिशा में इंगित करता है।

एक वेक्टर क्षेत्र के लिए $$\mathbf{A} = \left(A_1, \ldots, A_n\right)$$ 1 × n पंक्ति सदिश के रूप में लिखा जाता है, जिसे ऑर्डर 1 का टेंसर फ़ील्ड भी कहा जाता है, ढाल या सहसंयोजक व्युत्पन्न n × n जैकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक है: $$ \mathbf{J}_{\mathbf{A}} = (\nabla \!\mathbf{A})^\mathrm{T} = \left(\frac{\partial A_i}{\partial x_j}\right)_{\!ij}.$$ एक टेंसर क्षेत्र के लिए $$\mathbf{A}$$ किसी भी क्रम के k, ग्रेडिएंट $$\operatorname{grad}(\mathbf{A}) = (\nabla\!\mathbf{A})^\mathrm{T}$$ क्रम k + 1 का टेंसर क्षेत्र है।

विचलन
कार्तीय निर्देशांक में, एक सतत भिन्न वेक्टर क्षेत्र का विचलन $$\mathbf{F} = F_x\mathbf{i} + F_y\mathbf{j} + F_z\mathbf{k}$$ अदिश-मूल्यवान कार्य है: $$ \operatorname{div}\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} = \begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x},\ \frac{\partial}{\partial y},\ \frac{\partial}{\partial z}\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}. $$ जैसा कि नाम से ही स्पष्ट है कि डायवर्जेंस इस बात का माप है कि कितने वैक्टर डायवर्जिंग कर रहे हैं।

एक टेंसर क्षेत्र का विचलन $$\mathbf{A}$$ शून्येतर कोटि का k इस प्रकार लिखा जाता है $$\operatorname{div}(\mathbf{A}) = \nabla \cdot \mathbf{A}$$, क्रम k - 1 के टेंसर क्षेत्र के लिए एक टेन्सर संकुचन। विशेष रूप से, सदिश का विचलन एक अदिश राशि है। एक उच्च क्रम के टेंसर क्षेत्र का विचलन टेंसर क्षेत्र को बाहरी उत्पादों के योग में विघटित करके और पहचान का उपयोग करके पाया जा सकता है, $$\nabla \cdot \left(\mathbf{B} \otimes \hat{\mathbf{A}}\right) = \hat{\mathbf{A}} (\nabla \cdot \mathbf{B}) + (\mathbf{B} \cdot \nabla) \hat{\mathbf{A}}$$ कहाँ $$\mathbf{B} \cdot \nabla$$ की दिशा में दिशात्मक व्युत्पन्न है $$\mathbf{B}$$ इसके परिमाण से गुणा। विशेष रूप से, दो सदिशों के बाहरी उत्पाद के लिए, $$\nabla \cdot \left(\mathbf{b} \mathbf{a}^\mathsf{T}\right) = \mathbf{a}\left(\nabla \cdot \mathbf{b}\right) + \left(\mathbf{b} \cdot \nabla\right) \mathbf{a}.$$

कर्ल
कार्टेशियन निर्देशांक में, के लिए $$\mathbf{F} = F_x\mathbf{i} + F_y\mathbf{j} + F_z\mathbf{k}$$ कर्ल वेक्टर क्षेत्र है: $$ \begin{align} \operatorname{curl}\mathbf{F} &= \nabla \times \mathbf{F} = \begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x},\ \frac{\partial}{\partial y},\ \frac{\partial}{\partial z}\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix} =   \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix} \\[1em] &=   \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \mathbf{k} \end{align}$$ जहाँ i, j, और k क्रमशः x-, y-, और z-अक्षों के लिए इकाई सदिश हैं।

जैसा कि नाम से ही स्पष्ट है कि कर्ल इस बात का माप है कि आस-पास के वैक्टर एक वृत्ताकार दिशा में कितने झुकते हैं।

आइंस्टीन संकेतन में, वेक्टर क्षेत्र $$\mathbf{F} = \begin{pmatrix} F_1 & F_2 & F_3 \end{pmatrix}$$ द्वारा दिया गया कर्ल है: $$\nabla \times \mathbf{F} = \varepsilon^{ijk}\mathbf{e}_i \frac{\partial F_k}{\partial x_j}$$ कहाँ $$\varepsilon$$ = ±1 या 0 लेवी-सिविता प्रतीक है|लेवी-सिविता समता प्रतीक।

लाप्लासियन
कार्तीय निर्देशांक में, किसी फलन का लाप्लासियन $$f(x,y,z)$$ है $$\Delta f = \nabla^2\! f = (\nabla \cdot \nabla) f = \frac{\partial^2\! f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\! f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2\! f}{\partial z^2}.$$ लाप्लासियन इस बात का माप है कि बिंदु पर केंद्रित एक छोटे से क्षेत्र में फ़ंक्शन कितना बदल रहा है।

टेंसर फ़ील्ड के लिए, $$\mathbf{A}$$लाप्लासियन को आम तौर पर इस प्रकार लिखा जाता है: $$\Delta\mathbf{A} = \nabla^2\! \mathbf{A} = (\nabla \cdot \nabla) \mathbf{A}$$ और उसी क्रम का एक टेन्सर क्षेत्र है।

जब लाप्लासियन 0 के बराबर होता है, तो फ़ंक्शन को हार्मोनिक फ़ंक्शन कहा जाता है। वह है, $$\Delta f = 0$$

विशेष संकेत
फेनमैन सबस्क्रिप्ट नोटेशन में, $$\nabla_\mathbf{B}\! \left( \mathbf{A {\cdot} B} \right) = \mathbf{A} {\times}\! \left( \nabla {\times} \mathbf{B} \right) + \left( \mathbf{A} {\cdot} \nabla \right) \mathbf{B}$$ जहां अंकन ∇B इसका मतलब है कि सबस्क्रिप्टेड ग्रेडिएंट केवल फैक्टर बी पर काम करता है। कम सामान्य लेकिन ज्यामितीय बीजगणित में हेस्टेन्स ओवरडॉट नोटेशन समान है। उपरोक्त पहचान तब व्यक्त की जाती है: $$\dot{\nabla} \left( \mathbf{A} {\cdot} \dot{\mathbf{B}} \right) = \mathbf{A} {\times}\! \left( \nabla {\times} \mathbf{B} \right) + \left( \mathbf{A} {\cdot} \nabla \right) \mathbf{B} $$ जहां ओवरडॉट्स वेक्टर डेरिवेटिव के दायरे को परिभाषित करते हैं। बिंदीदार वेक्टर, इस मामले में बी, विभेदित है, जबकि (बिना बिंदीदार) ए को स्थिर रखा जाता है।

इस लेख के शेष भाग के लिए, फेनमैन सबस्क्रिप्ट नोटेशन का उपयोग जहां उपयुक्त होगा।

पहली व्युत्पन्न पहचान
अदिश क्षेत्रों के लिए $$\psi$$, $$\phi$$ और वेक्टर क्षेत्र $$\mathbf{A}$$, $$\mathbf{B}$$, हमारे पास निम्नलिखित व्युत्पन्न पहचान हैं।

वितरण गुण

 * $$\begin{align}

\nabla ( \psi + \phi ) &= \nabla \psi + \nabla \phi \\ \nabla ( \mathbf{A} + \mathbf{B} ) &= \nabla \mathbf{A} + \nabla \mathbf{B} \\ \nabla \cdot ( \mathbf{A} + \mathbf{B} ) &= \nabla {\cdot} \mathbf{A} + \nabla \cdot \mathbf{B} \\ \nabla \times ( \mathbf{A} + \mathbf{B} ) &= \nabla \times \mathbf{A} + \nabla \times \mathbf{B} \end{align}$$

एक अदिश द्वारा गुणन के लिए गुणन नियम
हमारे पास एकल चर कलन में उत्पाद नियम के निम्नलिखित सामान्यीकरण हैं।


 * $$\begin{align}

\nabla ( \psi \phi ) &= \phi\, \nabla \psi + \psi\, \nabla \phi \\ \nabla ( \psi \mathbf{A} ) &= (\nabla \psi) \mathbf{A}^{\mathbf{T}} + \psi \nabla \mathbf{A} \ =\ \nabla \psi \otimes \mathbf{A} + \psi\, \nabla \mathbf{A} \\ \nabla \cdot ( \psi \mathbf{A} ) &= \psi\, \nabla {\cdot} \mathbf{A} + ( \nabla \psi ) \,{\cdot} \mathbf{A} \\ \nabla {\times} ( \psi \mathbf{A} ) &= \psi\, \nabla {\times} \mathbf{A} + ( \nabla \psi ) {\times} \mathbf{A} \\ \nabla^{2}(\psi \phi) &= \psi\,\nabla^{2\!}\phi + 2\,\nabla\! \psi\cdot\!\nabla \phi+\phi\, \nabla^{2\!}\psi \end{align}$$ दूसरे सूत्र में, रूपांतरित ढाल $$(\nabla \psi)^{\mathbf{T}}$$ एक n × 1 कॉलम वेक्टर है, $$\mathbf{A}$$ एक 1 × n पंक्ति सदिश है, और उनका गुणनफल एक n × n मैट्रिक्स है (या अधिक सटीक रूप से, एक डाइएडिक्स#परिभाषाएँ और शब्दावली); इसे टेंसर उत्पाद भी माना जा सकता है $$\otimes$$ दो सदिशों का, या एक सदिश और एक सदिश का।

एक अदिश द्वारा विभाजन के लिए भागफल नियम

 * $$\begin{align}

\nabla\left(\frac{\psi}{\phi}\right) &= \frac{\phi\,\nabla \psi - \psi\,\nabla\phi}{\phi^2} \\[1em] \nabla\left(\frac{\mathbf{A}}{\phi}\right) &= \frac{\phi\,\nabla \mathbf{A} - \nabla\phi \otimes \mathbf{A}}{\phi^2} \\[1em] \nabla \cdot \left(\frac{\mathbf{A}}{\phi}\right) &= \frac{\phi\, \nabla{\cdot} \mathbf{A} - \nabla\!\phi \cdot \mathbf{A}}{\phi^2} \\[1em] \nabla \times \left(\frac{\mathbf{A}}{\phi}\right) &= \frac{\phi\, \nabla {\times} \mathbf{A} - \nabla\!\phi \,{\times}\, \mathbf{A}}{\phi^2} \\[1em] \nabla^2 \left(\frac{\psi}{\phi}\right) &= \frac{\phi\, \nabla^{2\!}\psi - 2\, \phi\, \nabla\!\left(\frac{\psi}{\phi}\right)\cdot\!\nabla\phi - \psi\, \nabla^{2\!}\phi}{\phi^2} \end{align}$$

श्रृंखला नियम
होने देना $$f(x)$$ स्केलर्स से स्केलर्स तक एक-वैरिएबल फ़ंक्शन बनें, $$\mathbf{r}(t) = (r_1(t),\ldots,r_n(t))$$ एक पैरामीट्रिजेशन (ज्यामिति) वक्र, और $$F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$$ वेक्टर से स्केलर तक एक फ़ंक्शन। हमारे पास बहु-चर श्रृंखला नियम के निम्नलिखित विशेष मामले हैं।


 * $$\begin{align}

\nabla(f \circ F) &= \left(f' \circ F\right)\, \nabla F \\ (F \circ \mathbf{r})' &= (\nabla F \circ \mathbf{r}) \cdot \mathbf{r}' \\ \nabla(F \circ \mathbf{A}) &= (\nabla F \circ \mathbf{A})\, \nabla \mathbf{A} \\ \nabla \times (\mathbf r \circ F) &= \nabla F \times (\mathbf r' \circ F) \end{align}$$ एक समन्वय प्रणाली के लिए $$\Phi:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n $$ अपने पास:


 * $$\nabla \cdot (\mathbf{A} \circ \Phi) = \mathrm{tr} \left((\nabla\mathbf{A} \circ \Phi) \mathbf{J}_\Phi\right)$$

यहाँ हम दो n × n आव्यूहों के गुणनफल का ट्रेस (रैखिक बीजगणित) लेते हैं: 'A' की प्रवणता और $$\Phi$$.

डॉट उत्पाद नियम

 * $$\begin{align}

\nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) &\ =\ (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} \,+\,  (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} \,+\,  \mathbf{A} {\times} (\nabla {\times} \mathbf{B}) \,+\,  \mathbf{B} {\times} (\nabla {\times} \mathbf{A}) \\ &\ =\ \mathbf{A}\cdot\mathbf{J}_\mathbf{B} + \mathbf{B}\cdot\mathbf{J}_\mathbf{A} \ =\ (\nabla\mathbf{B})\cdot \mathbf{A} \,+\, (\nabla\mathbf{A}) \cdot\mathbf{B} \end{align}$$ कहाँ $$\mathbf{J}_{\mathbf{A}} = (\nabla \!\mathbf{A})^\mathrm{T} = (\partial A_i/\partial x_j)_{ij}$$ जेकोबियन मैट्रिक्स और वेक्टर क्षेत्र के निर्धारक को दर्शाता है $$\mathbf{A} = (A_1,\ldots,A_n)$$.

वैकल्पिक रूप से, फेनमैन सबस्क्रिप्ट नोटेशन का उपयोग करते हुए,


 * $$ \nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = \nabla_\mathbf{A}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) +  \nabla_\mathbf{B} (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) \ . $$

इन नोटों को देखें। एक विशेष मामले के रूप में, जब $A = B$,



\tfrac{1}{2} \nabla \left( \mathbf{A} \cdot \mathbf{A} \right) \ =\ \mathbf{A} \cdot \mathbf{J}_\mathbf{A} \ =\    (\nabla \mathbf{A})\cdot \mathbf{A}\ =\ (\mathbf{A} {\cdot} \nabla) \mathbf{A} \,+\, \mathbf{A} {\times} (\nabla {\times} \mathbf{A}) \ =\ A \nabla (A) . $$ Riemannian manifolds के लिए डॉट उत्पाद सूत्र का सामान्यीकरण एक Riemannian कनेक्शन की एक परिभाषित संपत्ति है, जो वेक्टर-मूल्य वाले विभेदक रूप देने के लिए एक वेक्टर फ़ील्ड को अलग करता है। 1-फॉर्म।

क्रॉस उत्पाद नियम

 * $$\begin{align}

\nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) &\ =\ (\nabla {\times} \mathbf{A}) \cdot \mathbf{B} \,-\, \mathbf{A} \cdot (\nabla {\times} \mathbf{B}) \\[5pt] \nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) &\ =\ \mathbf{A}(\nabla {\cdot} \mathbf{B}) \,-\, \mathbf{B}(\nabla {\cdot} \mathbf{A}) \,+\, (\mathbf{B} {\cdot} \nabla) \mathbf{A} \,-\, (\mathbf{A} {\cdot} \nabla) \mathbf{B} \\[2pt] &\ =\ (\nabla {\cdot}\, \mathbf{B}  \,+\, \mathbf{B}\, {\cdot} \nabla)\mathbf{A} \,-\, (\nabla {\cdot} \mathbf{A} \,+\, \mathbf{A} {\cdot} \nabla) \mathbf{B} \\[2pt] &\ =\ \nabla {\cdot} \left(\mathbf{B} \mathbf{A}^\mathrm{T}\right) \,-\, \nabla {\cdot} \left(\mathbf{A} \mathbf{B}^\mathrm{T}\right) \\[2pt] &\ =\ \nabla {\cdot} \left(\mathbf{B} \mathbf{A}^\mathrm{T} \,-\, \mathbf{A} \mathbf{B}^\mathrm{T}\right) \\ \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B}) &\ =\ \nabla_{\mathbf{B}}(\mathbf{A} {\cdot} \mathbf{B}) \,-\, (\mathbf{A} {\cdot} \nabla) \mathbf{B} \\[2pt] &\ =\ \mathbf{A} \cdot \mathbf{J}_\mathbf{B} \,-\, (\mathbf{A} {\cdot} \nabla) \mathbf{B} =\ (\nabla\mathbf{B})\cdot\mathbf{A} \,-\, (\mathbf{A} {\cdot} \nabla) \mathbf{B} \\[5pt] &\ =\ \mathbf{A} \cdot (\mathbf{J}_\mathbf{B} \,-\, \mathbf{J}_\mathbf{B}^\mathrm{T})\\[5pt] (\mathbf{A} \times \nabla) \times \mathbf{B} &\ =\ (\nabla\mathbf{B}) \cdot \mathbf{A} \,-\, \mathbf{A}  (\nabla {\cdot} \mathbf{B})\\ &\ =\ \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B}) \,+\, (\mathbf{A} {\cdot} \nabla) \mathbf{B} \,-\, \mathbf{A} (\nabla {\cdot} \mathbf{B}) \end{align}$$ ध्यान दें कि मैट्रिक्स $$ \mathbf{J}_\mathbf{B} \,-\, \mathbf{J}_\mathbf{B}^\mathrm{T}$$ विषम है।

कर्ल का विचलन शून्य
है किसी भी लगातार दो बार अलग-अलग वेक्टर फ़ील्ड 'ए' के ​​कर्ल का विचलन हमेशा शून्य होता है: $$\nabla \cdot ( \nabla \times \mathbf{A} ) = 0 $$ यह डॉ कहलमज गर्भाशय श्रृंखला परिसर में बाहरी व्युत्पन्न के वर्ग के गायब होने का एक विशेष मामला है।

ग्रेडिएंट डायवर्जेंस लाप्लासियन
है एक अदिश क्षेत्र का लाप्लासियन इसकी प्रवणता का विचलन है: $$\Delta \psi = \nabla^2 \psi = \nabla \cdot (\nabla \psi) $$ परिणाम एक अदिश राशि है।

विचलन का विचलन परिभाषित नहीं है
सदिश क्षेत्र A का अपसरण एक अदिश राशि है, और आप किसी अदिश राशि का अपसरण नहीं ले सकते। इसलिए: $$ \nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf{A}) \text{ is undefined} $$

ग्रेडियेंट का कर्ल शून्य
है

किसी भी लगातार दो बार अलग-अलग स्केलर क्षेत्र के ढाल का कर्ल (गणित)। $$\varphi $$ (यानी, स्मूथनेस#मल्टीवेरिएट डिफरेंशियलिटी क्लासेस $$C^2$$) हमेशा शून्य वेक्टर होता है: $$\nabla \times ( \nabla \varphi ) = \mathbf{0}$$ इसे व्यक्त करके आसानी से सिद्ध किया जा सकता है $$\nabla \times ( \nabla \varphi )$$ दूसरे डेरिवेटिव की समरूपता के साथ एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में # श्वार्ज़ का प्रमेय | श्वार्ज़ का प्रमेय (जिसे मिश्रित आंशिकों की समानता पर क्लेराट का प्रमेय भी कहा जाता है)। यह परिणाम डी राम कोहोलॉजी श्रृंखला परिसर में बाहरी व्युत्पन्न के वर्ग के गायब होने का एक विशेष मामला है।

कर्ल का कर्ल
$$ \nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{A} \right) \ =\ \nabla(\nabla {\cdot} \mathbf{A}) \,-\, \nabla^{2\!}\mathbf{A}$$ यहाँ ∇2 सदिश क्षेत्र A पर सक्रिय सदिश लाप्लासियन है।

विचलन का कर्ल परिभाषित नहीं है
सदिश क्षेत्र A का अपसरण एक अदिश राशि है, और आप किसी अदिश राशि का कर्ल नहीं ले सकते। इसलिए $$ \nabla \times (\nabla \cdot \mathbf{A}) \text{ is undefined} $$

[[File:DCG chart.svg|right|thumb|300px|डीसीजी चार्ट:

दूसरे डेरिवेटिव के लिए कुछ नियम।]]

एक स्मृति चिन्ह
इनमें से कुछ पहचानों के लिए दाईं ओर का आंकड़ा एक स्मरक है। उपयोग किए गए संक्षेप हैं:
 * डी: विचलन,
 * सी: कर्ल,
 * जी: ढाल,
 * एल: लाप्लासियन,
 * सीसी: कर्ल का कर्ल।

प्रत्येक तीर को पहचान के परिणाम के साथ लेबल किया जाता है, विशेष रूप से, तीर की पूंछ पर ऑपरेटर को उसके सिर पर ऑपरेटर लगाने का परिणाम। बीच में नीले वृत्त का अर्थ है कर्ल का कर्ल मौजूद है, जबकि अन्य दो लाल वृत्त (धराशायी) का अर्थ है कि डीडी और जीजी मौजूद नहीं हैं।

ग्रेडिएंट
+ \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{A})$$
 * $$\nabla(\psi+\phi)=\nabla\psi+\nabla\phi $$
 * $$\nabla(\psi \phi) = \phi\nabla \psi + \psi \nabla \phi $$
 * $$\nabla(\psi \mathbf{A} ) = \nabla \psi \otimes \mathbf{A} + \psi \nabla \mathbf{A}$$
 * $$\nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} + (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} + \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B})

विचलन

 * $$ \nabla\cdot(\mathbf{A}+\mathbf{B})= \nabla\cdot\mathbf{A}+\nabla\cdot\mathbf{B} $$
 * $$ \nabla\cdot\left(\psi\mathbf{A}\right)= \psi\nabla\cdot\mathbf{A}+\mathbf{A}\cdot\nabla \psi$$
 * $$ \nabla\cdot\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right)= (\nabla\times\mathbf{A})\cdot \mathbf{B}-(\nabla\times\mathbf{B})\cdot \mathbf{A}$$

कर्ल

 * $$\nabla\times(\mathbf{A}+\mathbf{B})=\nabla\times\mathbf{A}+\nabla\times\mathbf{B} $$
 * $$\nabla\times\left(\psi\mathbf{A}\right)=\psi\,(\nabla\times\mathbf{A})-(\mathbf{A}\times\nabla)\psi=\psi\,(\nabla\times\mathbf{A})+(\nabla\psi)\times\mathbf{A}$$
 * $$\nabla\times\left(\psi\nabla\phi\right)= \nabla \psi \times \nabla \phi$$
 * $$\nabla\times\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right)= \mathbf{A}\left(\nabla\cdot\mathbf{B}\right)-\mathbf{B} \left( \nabla\cdot\mathbf{A}\right)+\left(\mathbf{B}\cdot\nabla\right)\mathbf{A}- \left(\mathbf{A}\cdot\nabla\right)\mathbf{B} $$

वेक्टर डॉट डेल ऑपरेटर

 * $$(\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} = \frac{1}{2}\bigg[\nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) - \nabla\times(\mathbf{A} \times \mathbf{B}) - \mathbf{B}\times(\nabla \times \mathbf{A}) - \mathbf{A}\times(\nabla \times \mathbf{B}) - \mathbf{B}(\nabla \cdot \mathbf{A}) + \mathbf{A}(\nabla \cdot\mathbf{B})\bigg]$$
 * $$(\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{A} = \frac{1}{2}\nabla |\mathbf{A}|^2-\mathbf{A}\times(\nabla\times\mathbf{A}) = \frac{1}{2}\nabla |\mathbf{A}|^2 + (\nabla\times\mathbf{A})\times \mathbf{A}$$

दूसरा डेरिवेटिव

 * $$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0$$
 * $$\nabla \times (\nabla\psi) = \mathbf{0}$$
 * $$\nabla \cdot (\nabla\psi) = \nabla^2\psi$$ (लाप्लास ऑपरेटर)
 * $$\nabla\left(\nabla \cdot \mathbf{A}\right) - \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf{A}\right) = \nabla^2\mathbf{A}$$ (वेक्टर लाप्लासियन)
 * $$\nabla \cdot (\phi\nabla\psi) = \phi\nabla^2\psi + \nabla\phi \cdot \nabla\psi$$ *$$\psi\nabla^2\phi - \phi\nabla^2\psi = \nabla \cdot \left(\psi\nabla\phi - \phi\nabla\psi\right)$$
 * $$\nabla^2(\phi\psi) = \phi\nabla^2\psi + 2(\nabla\phi) \cdot(\nabla\psi) + \left(\nabla^2\phi\right)\psi$$
 * $$\nabla^2(\psi\mathbf{A}) = \mathbf{A}\nabla^2\psi + 2(\nabla\psi \cdot \nabla)\mathbf{A} + \psi\nabla^2\mathbf{A}$$
 * $$\nabla^2(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = \mathbf{A} \cdot \nabla^2\mathbf{B} - \mathbf{B} \cdot \nabla^2\!\mathbf{A} + 2\nabla \cdot ((\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} + \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{A}))$$ (ग्रीन की पहचान | ग्रीन की वेक्टर पहचान)

तीसरा डेरिवेटिव

 * $$  \nabla^2(\nabla\psi) =  \nabla(\nabla \cdot (\nabla\psi)) = \nabla\left(\nabla^2\psi\right)$$
 * $$  \nabla^2(\nabla \cdot \mathbf{A}) =  \nabla \cdot (\nabla(\nabla \cdot \mathbf{A})) = \nabla \cdot \left(\nabla^2\mathbf{A}\right)$$
 * $$ \nabla^{2}(\nabla\times\mathbf{A}) = -\nabla \times (\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})) = \nabla \times \left(\nabla^2\mathbf{A}\right)$$

एकीकरण
नीचे, ∂|घुंघराले प्रतीक ∂ का अर्थ है सीमा (टोपोलॉजी) एक सतह या ठोस।

सतह-मात्रा अभिन्नता
निम्नलिखित सतह-आयतन अभिन्न प्रमेयों में, V एक त्रि-आयामी आयतन को संबंधित द्वि-आयामी सीमा (टोपोलॉजी) S = ∂V (एक बंद सतह) के साथ दर्शाता है:


 * (विचलन प्रमेय)
 * (ग्रीन की पहली पहचान)
 * (ग्रीन की दूसरी पहचान)
 * (भागों द्वारा एकीकरण)
 * (भागों द्वारा एकीकरण)
 * (भागों द्वारा एकीकरण)
 * (भागों द्वारा एकीकरण)
 * (भागों द्वारा एकीकरण)

वक्र-सतह अभिन्न
निम्नलिखित वक्र-सतह अभिन्न प्रमेयों में, S एक 2d खुली सतह को दर्शाता है जिसकी संगत 1d सीमा C = ∂S (एक बंद वक्र) है:

दक्षिणावर्त अर्थ में एक बंद वक्र के चारों ओर एकीकरण वामावर्त अर्थ में समान रेखा अभिन्न का ऋणात्मक है (एक निश्चित अभिन्न में सीमाओं को बदलने के अनुरूप):
 * $$ \oint_{\partial S}\mathbf{A}\cdot d\boldsymbol{\ell}\ =\ \iint_{S}\left(\nabla \times \mathbf{A}\right)\cdot d\mathbf{S} $$ (स्टोक्स प्रमेय)
 * $$ \oint_{\partial S}\psi\, d\boldsymbol{\ell}\ =\ -\iint_{S} \nabla\psi \times d\mathbf{S} $$

एंडपॉइंट-वक्र इंटीग्रल
निम्नलिखित समापन बिंदु-वक्र अभिन्न प्रमेयों में, P हस्ताक्षरित 0d सीमा बिंदुओं के साथ 1d खुले पथ को दर्शाता है $$\mathbf{q}-\mathbf{p} = \partial P$$ और P के साथ एकीकरण से है $$\mathbf{p}$$ को $$\mathbf{q}$$:


 * $$ \psi|_{\partial P} = \psi(\mathbf{q})-\psi(\mathbf{p}) = \int_{P} \nabla\psi\cdot d\boldsymbol{\ell} $$ (ढाल प्रमेय)।

अग्रिम पठन


Vektoraj identoj 向量恆等式列表