स्वातंत्र्य कोटि (यांत्रिकी)

भोतिकी में, एक यांत्रिक प्रणाली की स्वातंत्र्य कोटि स्वतंत्र मापदंडों की संख्या है जो इसकी कॉन्फ़िगरेशन या स्थिति को परिभाषित करती है। यांत्रिक इंजीनियरिंग, संरचनागत वास्तुविद्या,अंतरिक्ष इंजिनीयरिंग, रोबोटिक्स और अन्य क्षेत्र में निकाय प्रणाली के विश्लेषण में महत्वपूर्ण कार्य करती है।

ट्रैक के सापेक्ष चलने वाले एकल रेलकार इंजन की स्थिति में स्वतंत्रता की एक कोटि होती है क्योंकि कार की स्थिति ट्रैक के सापेक्ष दूरी से परिभाषित होती है। हिंज द्वारा इंजन से जुड़ी सख्त कारों की ट्रेन में भी केवल एक कोटि की स्वतंत्रता होती है, क्योंकि इंजन के पीछे कारों की स्थिति ट्रैक के आकार से बाधित होते है।

अत्यधिक सख्त निलंबन वाले ऑटोमोबाइल को विमान पर यात्रा करवाने वाला दृढ़ पिंड ही है। इस निकाय में ट्रांसलेशनल के दो घटकों और ROTATION  के एक कोण से मिलकर स्वतंत्रता की तीन स्वतंत्र कोटि चाहिए होती हैं।स्किडिंग या ड्रिफ्टिंग एक ऑटोमोबाइल की तीन स्वातंत्र्य कोटि का एक अच्छा उदाहरण है।

अंतरिक्ष में एक दृढ़ पिंड की स्थिति और अभिविन्यास को ट्रांसलेशनल के लिए तीन घटकों और घूर्णन के तीन लिए घटकों द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि स्वतंत्रता की छह कोटियाँ हैं।

सटीक बाधा यांत्रिक प्रारूप विधि स्वातंत्र्य कोटि का प्रबंधन करती है, न तो किसी उपकरण को न्यूनतम करती है और न ही किसी उपकरण अधिकतम बाधित करती है।

गति और आयाम
एक n-आयामी दृढ़ पिंड की स्थिति कठोर परिवर्तन द्वारा परिभाषित की जाती है, जहां [T] = [A, d],d एक n-आयामी ट्रांसलेशनल है और A एक n × n घूर्णन मैट्रिक्स है, जिसमें n ट्रांसलेशनल स्वतंत्रत कोटि और n(n − 1)/2 स्वतंत्रत कोटि घूर्णी होती है। स्वतंत्रता की घूर्णी कोटि की संख्या घूर्णन समूह SO(n) के आयाम से आती है।

एक गैर-कठोर या विकृत शरीर को कई सूक्ष्म कणों को स्वातंत्र्य कोटि की अनंत संख्या के संग्रह के रूप में माना जा सकता है, यह प्रायः परिमित स्वातंत्र्य कोटि प्रणाली द्वारा अनुमानित होता है। जब गति में बड़े विस्थापन सम्मिलित होते हैं तो उसके अध्ययन का मुख्य उद्देश्य हो जाता है,कि विश्लेषण को आसान बनाने के लिए एक विकृत शरीर को एक दृढ़ पिंड के रूप में अनुमानित किया जा सकता है।

किसी प्रणाली की स्वतंत्रत कोटि को कॉन्फ़िगरेशन निर्दिष्ट करने के लिए आवश्यक निर्देशांक की न्यूनतम संख्या के रूप में देखा जा सकता है। इस परिभाषा को प्रारंभ करते हुए, हमारे पास:
 * 1) एक समतल में एक कण के लिए दो निर्देशांक इस स्थान को परिभाषित करते हैं, इसलिए इसमें स्वतंत्रता की दो कोटि होती हैं;
 * 2) अंतरिक्ष में एक कण को ​​​​तीन निर्देशांक की आवश्यकता होती है, इसलिए इसमें तीन कोटि की स्वतंत्रता होती है;
 * 3) अंतरिक्ष में दो कणों की स्वतंत्रता की संयुक्त छह कोटि होती है;
 * 4) यदि अंतरिक्ष में दो कण एक दूसरे से एक निरंतर दूरी बनाए रखने के लिए मजबूर हैं, जैसे कि डायटोमिक अणु के स्थिति में, तो छह निर्देशांकों को दूरी सूत्र द्वारा परिभाषित एकल बाधा समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। यह प्रणाली की स्वातंत्र्य कोटि को पांच तक न्यूनतम कर देता है, क्योंकि अन्य पांच निर्दिष्ट किए जाने के उपरांत शेष सूत्र को हल करने के लिए दूरी सूत्र का उपयोग किया जाता है।

दृढ़ पिंड


एक दृढ़ पिंड में स्वतंत्रता की अधिकतम छह कोटि होती है जिसमें 3T3R होती है तथा 3T3R के ही तीन परिक्रमणहीन 3T और तीन घूर्णन 3R होते हैं।

यूलर कोण भी देखें।

उदाहरण के लिए, समुद्र में एक जहाज की गति में दृढ़ पिंड की स्वतंत्रता की छह कोटि होती है, और इसे इस प्रकार वर्णित किया जाता है: ट्रांसलेशनल और घूर्णन: उदाहरण के लिए, उड़ान में हवाई जहाज के प्रक्षेपवक्र में स्वतंत्रता की तीन कोटि होती है और प्रक्षेपवक्र के सापेक्ष इसकी प्रवृत्ति में स्वतंत्रता की सभी छह कोटि के लिए स्वतंत्रता की तीन कोटि होती है।
 * 1) चलना या बढ़ना: आगे और पीछे चलना;
 * 2) स्ट्राफिंग या लहराना: बाएं और दाएं घूमना;
 * 3) एलिवेटिंग या हीविंग: ऊपर और नीचे जाना;
 * 4) रोल घूर्णन: पिवोट्स साइड टू साइड;
 * 5) पिच घूर्णन: आगे और पीछे की ओर झुकता है;
 * 6) यॉ घूर्णन: बाएं और दाएं घूमता है;


 * उड़ान और जहाज की गतिशीलता में रोलिंग के लिए, क्रमशः रोल (विमानन) और रोल (जहाज की गति) देखें।
 * एक महत्वपूर्ण व्युत्पन्न रोल दर है, जो कोणीय गति है जिस पर एक विमान अपना रोल रवैया परिवर्तित सकता है, और यद्यपि प्रति सेकंड कोटि में व्यक्त किया जाता है।
 * उड़ान और जहाज की गतिशीलता में पिचिंग के लिए क्रमशः पिच (विमानन) और पिच (जहाज गति) दर्शाए।
 * उड़ान और जहाज की गतिशीलता में परि ऊर्ध्वाक्ष दोलन लेने के लिए, क्रमशः यव (एविएशन) और यॉ (जहाज की गति) दर्शाए।
 * एक महत्वपूर्ण व्युत्पत्ति यव दर है, यव घूर्णन की कोणीय गति, या दर सेंसर के सापेक्ष मापी जाती है।
 * एक अन्य महत्वपूर्ण व्युत्पत्ति यॉइंग मोमेंट है, एक यॉ घूर्णन की कोणीय गति, जो विमान की गतिशीलता में प्रतिकूल यव के लिए महत्वपूर्ण है।

न्यूनतम गतिशीलता
भौतिक बाधाएं एकल कठोर निकाय की स्वातंत्र्य कोटि की संख्या को सीमित कर सकती हैं। उदाहरण के लिए, एक सपाट मेज पर चारों ओर स्खलन वाले ब्लॉक में 3 DOF 2T1R होते हैं जिसमें दो ट्रांसलेशनल 2T और 1 घूर्णन 1R होते हैं। SCARA जैसे XYZ पोजिशनिंग रोबोट में 3 DOF 3T न्यूनतम गतिशीलता होती है।

गतिशीलता सूत्र
गतिशीलता सूत्र उन मापदंडों की संख्या की गणना करता है जो कठोर निकायों के एक सेट के विन्यास को परिभाषित करते हैं जो इन निकायों को जोड़ने वाले योगों से मजबूर हैं।

अंतरिक्ष में चलने वाले n कठोर पिंडों की एक प्रणाली पर विचार करें, जिसमें एक निश्चित फ्रेम के सापेक्ष 6n स्वातंत्र्य कोटि मापी गई है। इस प्रणाली की स्वातंत्र्य कोटि की गणना करने के लिए, निश्चित निकाय को निकायों की गिनती में सम्मिलित कर सकता हैं, क्योंकी गतिशीलता निश्चित फ्रेम बनाने वाले निकाय की पसंद से ही स्वतंत्र हो, पुनः N = n + 1 की अनियंत्रित प्रणाली की स्वातंत्र्य कोटि है
 * $$ M=6n=6(N-1), \!$$

क्योंकि निश्चित निकाय में स्वयं के सापेक्ष स्वतंत्रता की शून्य कोटि होती है।

इस प्रणाली में निकायों को जोड़ने वाले जोड़ स्वातंत्र्य कोटि को न्यूनतम करते हैं और गतिशीलता को न्यूनतम करते हैं। विशेष रूप से, कब्ज़े और स्लाइडर्स प्रत्येक में पाँच बाधाएँ लगाते हैं और इसलिए पाँच कोटि की स्वतंत्रता को हटा देते हैं। बाधाओं की संख्या c को परिभाषित करना सुविधाजनक है जो एक संयुक्त स्वतंत्रता f के संदर्भ में संयुक्त लगाता है, जहां c = 6 - f हिंज या स्लाइडर के स्थिति में, जो स्वतंत्रता योगों की एक कोटि है, जिसमें f = 1 है और इसलिए c = 6 − 1 = 5 है।

परिणाम यह है कि n मूविंग लिंक्स और j जॉइंट्स से बनने वाली प्रणाली की गतिशीलता प्रत्येक स्वतंत्रता f के सापेक्ष हैi, i = 1, ..., j, द्वारा दिया गया है


 * $$ M = 6n - \sum_{i=1}^j\ (6 - f_i) = 6(N-1 - j) + \sum_{i=1}^j\ f_i $$

याद रखें कि N में निश्चित लिंक सम्मिलित है।

दो महत्वपूर्ण विशेष स्थिति हैं: (i) एक साधारण खुली श्रृंखला, और (ii) एक साधारण बंद श्रृंखला।एक एकल खुली श्रृंखला में n योगों द्वारा अंत से अंत तक जुड़े हुए n मूविंग लिंक होते हैं, जिसका सिरा ग्राउंड लिंक से जुड़ा होता है। इस प्रकार, इस स्थिति में N=j+1श्रृंखला और गतिशीलता है
 * $$ M = \sum_{i=1}^j\ f_i $$

एक साधारण बंद श्रृंखला के लिए, n मूविंग लिंक n + 1 योगों द्वारा प्रारंभ से अंत तक जुड़े होते हैं जैसे कि दो छोर एक लूप बनाने वाले ग्राउंड लिंक से जुड़े होते हैं। इस स्थिति में, हमारे पास N = j है और श्रृंखला की गतिशीलता है
 * $$ M = \sum_{i=1}^j\ f_i - 6 $$

एक साधारण ओपन चेन का एक उदाहरण सीरियल रोबोट मैनिपुलेटर है। ये रोबोटिक प्रणाली छह एक कोटि-ऑफ-फ्रीडम रेवोल्यूशन या प्रिज्मीय योगों से जुड़े लिंक की एक श्रृंखला से निर्मित होते हैं, इसलिए प्रणाली में छह कोटि की स्वतंत्रता होती है।

RSSR स्थानिक चार-बार लिंकेज एवम् साधारण बंद श्रृंखला का एक उदाहरण है। इन योगों की स्वतंत्रता का योग आठ कोटि है, इसलिए लिंकेज की गतिशीलता दो है, जहां स्वतंत्रता की एक कोटि दो एस योगों को जोड़ने वाली रेखा के चारों ओर युग्मक के घूमना है।

प्लानर और गोलाकार आंदोलन
लिंकेज को प्रारूप बनाना आम बात है क्योंकी सभी निकायों के आंदोलन को समांतर विमानों पर असत्य बोलने के लिए मजबूर किया जा सके, जिसे प्लानर लिंकेज के रूप में जाना जाता है। लिंकेज प्रणाली का निर्माण करना भी संभव है क्योंकी सभी पिंड एक गोलाकार लिंकेज बनाते हुए संकेंद्रित क्षेत्रों में घूम सकते है। दोनों ही स्थिति में, प्रत्येक प्रणाली में लिंक्स की स्वातंत्र्य कोटि अब छह के बजाय तीन है, और योगों द्वारा लगाए गए प्रतिबंध अब c = 3 − f हैं।

इस स्थिति में, गतिशीलता का सूत्र द्वारा दिया गया है
 * $$M = 3(N- 1 - j)+ \sum_{i=1}^j\ f_i, $$

और विशेष स्थिति बन जाते हैं प्लानर सरल बंद श्रृंखला का एक उदाहरण प्लानर चार-बार लिंकेज एवं चार बार लूप है जिसमें चार एक कोटि-ऑफ़-फ्रीडम का योग हैं और इसलिए इसमें गतिशीलता M = 1 है।
 * प्लानर या गोलाकार सरल खुली श्रृंखला, $$ M = \sum_{i=1}^j\ f_i, $$
 * प्लानर या गोलाकार सरल बंद श्रृंखला, $$ M = \sum_{i=1}^j\ f_i - 3. $$

निकायों की प्रणाली
कई निकायों वाली एक प्रणाली में एक संयुक्त स्वातंत्र्य कोटि होगा जो कि निकायों के स्वातंत्र्य कोटि का योग है, आंतरिक बाधाओं को न्यूनतम करके वे सापेक्ष गति पर हो सकते हैं।कई जुड़े दृढ़ पिंड वाले तंत्र या लिंकेज में एक दृढ़ पिंड के लिए स्वातंत्र्य कोटि से अधिक हो सकती हैं। यहाँ शब्द स्वातंत्र्य कोटि का उपयोग लिंकेज के स्थानिक मुद्रा को निर्दिष्ट करने के लिए आवश्यक मापदंडों की संख्या का वर्णन करने के लिए किया जाता है। इसे रोबोट के कॉन्फिगरेशन स्पेस, टास्क स्पेस और वर्कस्पेस के संदर्भ में भी परिभाषित किया गया है।

एक विशिष्ट प्रकार का लिंकेज ओपन गतिज श्रृंखला है, जहां योगों पर सख्त लिंक का एक सेट जुड़ा होता है; एक जोड़ एक स्वातंत्र्य कोटि (हिंज/स्लाइडिंग), या दो (बेलनाकार) प्रदान कर सकता है। ऐसी श्रृंखलाएं सामान्यतः रोबोटिक्स, जैव यांत्रिकी, और उपग्रहों और अन्य अंतरिक्ष संरचनाओं के लिए होता हैं। माना जाता है कि एक मानव के हाथ में सात स्वातंत्र्य कोटि होते हैं। एक कंधा पिच, यव और रोल तथा एक एल्बो पिच के लिए अनुमति देता है, और एक वरिस्ट पिच, यव और रोल के लिए भी अनुमति देता है। हाथ को अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर ले जाने के लिए उनमें से केवल 3 गति की आवश्यकता होगी, परंतु लोगों में विभिन्न कोणों या दिशाओं से चीजों को समझने की क्षमता नहीं होती हैं। एक रोबोट या वस्तु जिसमें सभी 6 भौतिक स्वातंत्र्य कोटि को नियंत्रित करने के लिए एक तंत्र है,जिसे होलोनोमिक रोबोटिक्स कहा जाता है। सभी स्वातंत्र्य कोटि की सापेक्ष में न्यूनतम नियंत्रित स्वातंत्र्य कोटि वाली वस्तु को गैर-होलोनोमिक कहा जाता है, और सभी स्वातंत्र्य कोटि की सापेक्ष में अधिक नियंत्रणीय स्वातंत्र्य कोटि वाली वस्तु को अनावश्यक कहा जाता है।दो स्वातंत्र्य कोटि; एल्बो और शोल्डर, जो एक ही गति का प्रतिनिधित्व करते हैं; एक दूसरे को आपूर्ति के लिए  रोल करती हैं,क्योंकि वे पूर्ण 360 नहीं घूम सकती है । स्वातंत्र्य कोटि भिन्न-भिन्न तरह की गति करता है जिन्हें बनाया जा सकता है।

मोबाइल रोबोटिक्स में, एक कार जैसा रोबोट 2-डी अंतरिक्ष में किसी भी स्थिति और अभिविन्यास तक पहुंच सकता है, इसलिए इसे अपनी मुद्रा का वर्णन करने के लिए 3 स्वातंत्र्य कोटि की आवश्यकता होती है, परंतु किसी भी बिंदु पर, आप इसे केवल आगे की गति और स्टीयरिंग कोण से ही स्थानांतरित कर सकते हैं। इसमें केवल दो नियंत्रण स्वातंत्र्य कोटि और तीन प्रतिनिधि स्वातंत्र्य कोटि की आवश्यकता होती हैं; अतः यह गैर-होलोनोमिक है। 3-डी स्पेस में 3-4 कंट्रोल स्वातंत्र्य कोटि ,फॉरवर्ड मोशन, रोल, पिच, और एक सीमित सीमा तक, यॉ के सापेक्ष एक फिक्स्ड-विंग एयरक्राफ्ट भी नॉन-होलोनोमिक है, क्योंकि यह सीधे ऊपर नीचे या बाएँ दांए नहीं जा सकता है ।

यांत्रिक प्रणाली में स्वातंत्र्य कोटि की गणना करने के लिए सूत्रों और विधियों का सारांश पेनेस्ट्री, कैवेसेस और वीटा द्वारा दिया गया है।

विद्युत अभियन्त्रण
विद्युत अभियन्त्रण में स्वातंत्र्य कोटि का उपयोग प्रायः दिशाओं की संख्या का वर्णन करने के लिए किया जाता है जिसमें एक चरणबद्ध ऐरे एंटीना बीम ही बना सकता है। यह सारणी में निहित तत्वों की संख्या से एक न्यूनतम के समान है, क्योंकि एक तत्व को, एक संदर्भ के रूप में उपयोग किया जाता है जिसके विरुद्ध प्रत्येक शेष एंटीना तत्वों का उपयोग करके रचनात्मक या विनाशकारी हस्तक्षेप प्रारंभ किया जा सकता है। राडार अभ्यास और संचार लिंक अभ्यास, बीम स्टीयरिंग के सापेक्ष रडार अनुप्रयोगों के लिए अधिक प्रचलित है और नल स्टीयरिंग संचार लिंक में हस्तक्षेप दमन के प्रति अधिक प्रचलित है।

यह भी देखें

 * :-त्रि-आयामी, त्रि-गिंबल तंत्र में स्वतंत्रता की एक कोटि की हानि होती है।
 * :-भौतिक विज्ञान की वह शाखा जिसके बल पर विचार किए बिना वस्तुओं की गति का वर्णन किया जाता है।
 * :-दो भौतिक वस्तुओं के बीच का संबंध जो उनके सापेक्ष गति को बाधित करता है।
 * :-शैक्षणिक रोबोट।