पेट्री नेट

एक पेट्री नेट, जिसे एक स्थान/संक्रमण (पीटी) नेट के रूप में भी जाना जाता है, वितरित सिस्टम के विवरण के लिए कई गणितीय मॉडलिंग भाषाओं में से एक है। यह असतत घटना गतिशील प्रणाली का एक वर्ग है। पेट्री नेट एक निर्देशित द्विपक्षीय ग्राफ है जिसमें दो प्रकार के तत्व, स्थान और संक्रमण होते हैं। स्थान तत्वों को सफेद घेरे के रूप में दर्शाया गया है और संक्रमण तत्वों को आयतों के रूप में दर्शाया गया है। किसी स्थान में कितने भी टोकन हो सकते हैं, जिन्हें काले घेरों के रूप में दर्शाया गया है। यदि इनपुट के रूप में इससे जुड़े सभी स्थानों में कम से कम एक टोकन हो तो एक संक्रमण सक्षम हो जाता है। कुछ स्रोत कहते हैं कि रासायनिक प्रक्रियाओं का वर्णन करने के उद्देश्य से अगस्त 1939 में कार्ल एडम पेट्री द्वारा 13 साल की उम्र में पेट्री जाल का आविष्कार किया गया था।

यूएमएल गतिविधि आरेख, बिजनेस प्रोसेस मॉडल और नोटेशन, और घटना-संचालित प्रक्रिया श्रृंखला जैसे उद्योग मानकों की तरह, पेट्री नेट चरणवार प्रक्रियाओं के लिए ग्राफिकल नोटेशन प्रदान करते हैं जिसमें पसंद, पुनरावृत्ति और समवर्ती निष्पादन शामिल है। इन मानकों के विपरीत, पेट्री नेट के पास प्रक्रिया विश्लेषण के लिए एक सुविकसित गणितीय सिद्धांत के साथ उनके निष्पादन शब्दार्थ की एक सटीक गणितीय परिभाषा है।



ऐतिहासिक पृष्ठभूमि
जर्मन कंप्यूटर वैज्ञानिक कार्ल एडम पेट्री, जिनके लिए इस तरह की संरचनाओं का नाम दिया गया है, ने अपने 1962 के निबंध कॉम्यूनिकेशन मिट ऑटोमेटन में पेट्री नेट का बड़े पैमाने पर विश्लेषण किया।

पेट्री नेट मूल बातें
एक पेट्री नेट में स्थान, संक्रमण और ग्राफ सिद्धांत शामिल होते हैं। आर्क एक स्थान से संक्रमण या इसके विपरीत चलते हैं, स्थानों के बीच या संक्रमण के बीच कभी नहीं। जिन स्थानों से चाप एक संक्रमण तक चलता है उन्हें संक्रमण के इनपुट स्थान कहा जाता है; जिन स्थानों पर संक्रमण से चाप चलते हैं उन्हें संक्रमण के आउटपुट स्थान कहा जाता है।

ग्राफिक रूप से, पेट्री नेट में स्थानों में असतत संख्या में चिह्न हो सकते हैं जिन्हें टोकन कहा जाता है। स्थानों पर टोकन का कोई भी वितरण अंकन कहे जाने वाले जाल के विन्यास का प्रतिनिधित्व करेगा। पेट्री नेट आरेख से संबंधित एक अमूर्त अर्थ में, पेट्री नेट का एक संक्रमण सक्रिय हो सकता है यदि यह सक्षम है, यानी इसके सभी इनपुट स्थानों में पर्याप्त टोकन हैं; जब संक्रमण शुरू होता है, तो यह आवश्यक इनपुट टोकन का उपभोग करता है, और इसके आउटपुट स्थानों में टोकन बनाता है। फायरिंग एटॉमिक है, यानी एक सिंगल नॉन-इंटरप्टिबल स्टेप।

जब तक एक निष्पादन नीति (उदाहरण के लिए संक्रमणों का एक सख्त क्रम, पूर्वता का वर्णन) परिभाषित नहीं किया जाता है, पेट्री नेट का निष्पादन गैर-नियतात्मक है: जब एक ही समय में कई संक्रमण सक्षम होते हैं, तो वे किसी भी क्रम में सक्रिय होंगे।

चूंकि फायरिंग गैर-नियतात्मक है, और कई टोकन नेट में कहीं भी मौजूद हो सकते हैं (यहां तक ​​कि एक ही स्थान पर), पेट्री नेट वितरित सिस्टम के समवर्ती व्यवहार के मॉडलिंग के लिए उपयुक्त हैं।

औपचारिक परिभाषा और बुनियादी शब्दावली
पेट्री जाल राज्य संक्रमण प्रणाली हैं जो प्राथमिक जाल नामक जालों के एक वर्ग का विस्तार करती हैं।

परिभाषा 1. 'नेट' एक टपल है $$N = (P, T, F)$$ जहां
 * 1) $$P$$ और $$T$$ क्रमशः स्थानों और संक्रमणों के असंयुक्त परिमित समुच्चय हैं।
 * 2) $$F \subseteq (P \times T) \cup (T \times P)$$ (निर्देशित) चापों (या प्रवाह संबंधों) का एक सेट है।

'परिभाषा 2.' नेट एन = (पी, टी, एफ) दिया गया है, कॉन्फ़िगरेशन एक सेट सी है ताकि सी ⊆ पी है।

परिभाषा 3. एक प्रारंभिक जाल EN = (N, C) रूप का जाल है जहां
 * 1) N = (P, T, F) एक जाल है।
 * 2) 'सी' ऐसा है कि सी ⊆ पी एक कॉन्फ़िगरेशन है।

परिभाषा 4. एक पेट्री नेट पीएन = (एन, एम, डब्ल्यू) के रूप का नेट है, जो प्राथमिक नेट का विस्तार करता है ताकि
 * 1) N = (P, T, F) एक जाल है।
 * 2) M : P → Z एक जगह  मल्टीसेट  है, जहां Z एक गणनीय सेट है। एम कॉन्फ़िगरेशन की अवधारणा का विस्तार करता है और इसे आमतौर पर पेट्री नेट डायग्राम के संदर्भ में मार्किंग के रूप में वर्णित किया जाता है।
 * 3) W : F → Z एक चाप मल्टीसेट है, ताकि प्रत्येक चाप के लिए गिनती (या वजन) चाप की बहुलता का माप किया जाता है।

यदि एक पेट्री नेट एक प्राथमिक नेट के बराबर है, तो Z काउंटेबल सेट {0,1} हो सकता है और P में वे तत्व जो M के तहत 1 को मैप करते हैं, एक कॉन्फ़िगरेशन बनाते हैं। इसी तरह, यदि एक पेट्री नेट प्राथमिक नेट नहीं है, तो मल्टीसेट एम की व्याख्या कॉन्फ़िगरेशन के गैर-सिंगलटन सेट का प्रतिनिधित्व करने के रूप में की जा सकती है। इस संबंध में, 'एम' पेट्री नेट के लिए प्रारंभिक जाल के लिए विन्यास की अवधारणा का विस्तार करता है।

पेट्री नेट के आरेख में (शीर्ष आंकड़ा दाईं ओर देखें), स्थानों को पारंपरिक रूप से मंडलियों के साथ चित्रित किया गया है, लंबे संकीर्ण आयतों के साथ संक्रमण और एक तरफा तीर के रूप में चाप जो स्थानों के संक्रमण या संक्रमण के स्थानों के कनेक्शन दिखाते हैं। यदि आरेख एक प्राथमिक जाल का होता है, तो विन्यास में उन स्थानों को पारंपरिक रूप से मंडलियों के रूप में दर्शाया जाएगा, जहां प्रत्येक वृत्त में एक बिंदु शामिल होता है जिसे टोकन कहा जाता है। पेट्री नेट (दाईं ओर देखें) के दिए गए आरेख में, स्थान चक्रों में एक से अधिक टोकन शामिल हो सकते हैं, यह दिखाने के लिए कि कॉन्फ़िगरेशन में कोई स्थान कितनी बार दिखाई देता है। संपूर्ण पेट्री नेट आरेख पर वितरित टोकन के विन्यास को अंकन कहा जाता है।

शीर्ष आकृति में (दाएं देखें), स्थान p1 संक्रमण टी का एक इनपुट स्थान है; जबकि, स्थान प2 उसी संक्रमण के लिए एक आउटपुट स्थान है। पी.एन0 (शीर्ष आकृति) एक पेट्री नेट हो जिसमें मार्किंग कॉन्फ़िगर एम हो0, और पीएन1 (निचला आंकड़ा) एक पेट्री नेट होना चाहिए जिसमें मार्किंग कॉन्फ़िगर एम हो1. पीएन का विन्यास0 संपत्ति के माध्यम से संक्रमण टी को सक्षम करता है कि सभी इनपुट स्थानों में पर्याप्त संख्या में टोकन हैं (आंकड़ों में डॉट्स के रूप में दिखाए गए हैं) उनके संबंधित चापों पर टी के बराबर या उससे अधिक है। एक बार और केवल एक बार ट्रांज़िशन सक्षम हो जाने पर ट्रांज़िशन सक्रिय हो जाएगा। इस उदाहरण में, ट्रांज़िशन टी की फायरिंग एक नक्शा उत्पन्न करती है जिसमें मार्किंग कॉन्फ़िगर किया गया एम है1 एम की छवि में0 और पेट्री नेट पीएन में परिणाम1, नीचे की आकृति में देखा गया। आरेख में, एक संक्रमण के लिए फायरिंग नियम को इसके इनपुट स्थानों से संबंधित इनपुट आर्क्स की बहुलता के बराबर कई टोकन घटाकर और संबंधित की बहुलता के बराबर आउटपुट स्थानों पर टोकन की एक नई संख्या जमा करके चित्रित किया जा सकता है। आउटपुट आर्क्स।

शीर्ष आकृति में (दाएं देखें), स्थान p1 संक्रमण t का एक इनपुट स्थान है; जबकि, स्थान p2 उसी संक्रमण के लिए एक आउटपुट स्थान है। बता दें कि PN0 (ऊपरी आकृति) कॉन्फ़िगर किए गए M0 के साथ एक पेट्री नेट है, और PN1 (नीचे का आंकड़ा) कॉन्फ़िगर किए गए M1 के साथ एक पेट्री नेट है। PN0 का विन्यास संपत्ति के माध्यम से संक्रमण टी को सक्षम करता है कि सभी इनपुट स्थानों में टोकन की पर्याप्त संख्या होती है (डॉट्स के रूप में आंकड़े में दिखाया गया है) "के बराबर या उससे अधिक" उनके संबंधित चापों पर बहुगुणों की तुलना में टी। एक बार और केवल एक बार ट्रांज़िशन सक्षम हो जाने पर ट्रांज़िशन सक्रिय हो जाएगा। इस उदाहरण में, संक्रमण टी की फायरिंग एक नक्शा उत्पन्न करती है जिसमें M0 की छवि में मार्किंग कॉन्फ़िगर किया गया M1 होता है और पेट्री नेट PN1 में परिणाम होता है, जो नीचे की आकृति में देखा जाता है। आरेख में, एक संक्रमण के लिए फायरिंग नियम को इसके इनपुट स्थानों से संबंधित इनपुट आर्क्स की बहुलता के बराबर कई टोकन घटाकर और संबंधित की बहुलता के बराबर आउटपुट स्थानों पर टोकन की एक नई संख्या जमा करके चित्रित किया जा सकता है। आउटपुट आर्क्स।

टिप्पणी 1. बराबर या अधिक का सटीक अर्थ फायरिंग नियम में Z पर लागू होने वाले जोड़ के सटीक बीजगणितीय गुणों पर निर्भर करेगा, जहां बीजगणितीय गुणों पर सूक्ष्म भिन्नताएं पेट्री नेट के अन्य वर्गों को जन्म दे सकती हैं; उदाहरण के लिए, बीजगणितीय पेट्री जाल। निम्नलिखित औपचारिक परिभाषा शिथिल रूप से आधारित है. कई वैकल्पिक परिभाषाएँ मौजूद हैं।

सिंटेक्स
एक पेट्री नेट ग्राफ (कुछ लोगों द्वारा पेट्री नेट कहा जाता है, लेकिन नीचे देखें) एक 3-टपल है $$(S,T,W)$$, कहाँ
 * S स्थानों का परिमित समुच्चय है
 * T संक्रमणों का परिमित समुच्चय है
 * S और T असंयुक्त समुच्चय हैं, अर्थात कोई भी वस्तु स्थान और संक्रमण दोनों नहीं हो सकती
 * $$W: (S \times T) \cup (T \times S) \to \mathbb{N}$$ निर्देशित किनारों का एक मल्टीसेट है, यानी यह प्रत्येक चाप को एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक चाप बहुलता (या वजन) प्रदान करता है; ध्यान दें कि कोई चाप दो स्थानों या दो संक्रमणों को नहीं जोड़ सकता है।

प्रवाह संबंध चापों का समुच्चय है: $$ F = \{ (x,y) \mid W(x,y) > 0 \}$$. कई पाठ्यपुस्तकों में, चापों में केवल बहुलता हो सकती है। ये पाठ अक्सर W के बजाय F का उपयोग करके पेट्री नेट को परिभाषित करते हैं। इस सम्मेलन का उपयोग करते समय, पेट्री नेट ग्राफ एक द्विदलीय ग्राफ मल्टीग्राफ होता है। $$(S \cup T, F)$$ नोड विभाजन एस और टी के साथ।

ट्रांज़िशन t का प्रीसेट इसके इनपुट स्थानों का सेट है: $${}^{\bullet}t = \{ s \in S \mid W(s,t) > 0 \}$$; इसका पोस्टसेट इसके आउटपुट स्थानों का सेट है: $$t^{\bullet} = \{ s \in S \mid W(t,s) > 0 \}$$. स्थानों के पूर्व और बाद के सेट की परिभाषाएं समान हैं।

पेट्री नेट (ग्राफ) का एक अंकन इसके स्थानों का एक मल्टीसेट है, यानी मैपिंग $$M: S \to \mathbb{N}$$. हम कहते हैं कि अंकन प्रत्येक स्थान को कई टोकन प्रदान करता है।

एक 'पेट्री नेट' (कुछ लोगों द्वारा चिह्नित पेट्री नेट कहा जाता है, ऊपर देखें) एक 4-ट्यूपल है $$(S,T,W,M_0)$$, कहाँ
 * $$(S,T,W)$$ पेट्री नेट ग्राफ है;
 * $$M_0$$ प्रारंभिक अंकन है, पेट्री नेट ग्राफ का अंकन।

निष्पादन शब्दार्थ
शब्दों में
 * एक संक्रमण फायरिंग $t$ अंकन में $M$ खपत करता है $$W(s,t)$$ इसके प्रत्येक इनपुट स्थान से टोकन $s$, और पैदा करता है $$W(t,s)$$ इसके प्रत्येक आउटपुट स्थानों में टोकन $s$
 * एक संक्रमण सक्षम है (यह आग लग सकता है) में $M$ यदि इसके इनपुट स्थान में पर्याप्त टोकन हैं तो उपभोग संभव हो सकता है, अर्थात यदि और केवल यदि $$\forall s: M(s) \geq W(s,t)$$.

हम आम तौर पर इस बात में रुचि रखते हैं कि क्या हो सकता है जब संक्रमण मनमाने क्रम में लगातार आग लगा सकता है।

हम कहते हैं कि एक अंकन $M'$ अंकन से पहुंचा जा सकता है $M$ यदि एक चरण में $$M \underset{G}{\longrightarrow} M'$$; हम कहते हैं कि यह से पहुंच योग्य है $M$ अगर $$M \overset{*}{\underset{G}{\longrightarrow}} M'$$, कहाँ $$\overset{*}{\underset{G}{\longrightarrow}}$$ का स्वतुल्य सकर्मक संवरण है $$\underset{G}{\longrightarrow}$$; यानी, अगर यह 0 या अधिक चरणों में पहुंचा जा सकता है।

एक (चिह्नित) पेट्री नेट के लिए $$N=(S,T,W,M_0)$$, हम उन फायरिंग में रुचि रखते हैं जिन्हें शुरुआती मार्किंग से शुरू किया जा सकता है $$M_0$$. इसके पहुंच योग्य चिह्नों का सेट सेट है $$R(N) \ \stackrel{D}{=}\ \left\{ M' \Bigg| M_0 \xrightarrow[(S,T,W)]{*} M' \right\} $$ पहुंच योग्यता ग्राफ $N$ संक्रमण संबंध है $$\underset{G}{\longrightarrow}$$ इसके पहुंच योग्य चिह्नों तक ही सीमित है $$R(N)$$. यह नेट का राज्य अंतरिक्ष  है।

ग्राफ के साथ पेट्री नेट के लिए फायरिंग सीक्वेंस $G$ और प्रारंभिक अंकन $$M_0$$ संक्रमणों का क्रम है $$\vec \sigma = \langle t_{1} \cdots t_{n} \rangle$$ ऐसा है कि $$M_0 \underset{G,t_{1}}{\longrightarrow} M_1 \wedge \cdots \wedge M_{n-1} \underset{G,t_{n}}{\longrightarrow} M_n$$. फायरिंग सीक्वेंस के सेट को इस रूप में दर्शाया गया है $$L(N)$$.

परिभाषा पर बदलाव
एक सामान्य भिन्नता चाप गुणकों को अस्वीकार करना है और चाप W के मल्टीसेट को सरल सेट के साथ बदलना है, जिसे प्रवाह संबंध कहा जाता है, $$F \subseteq (S \times T) \cup (T \times S)$$. यह अभिव्यंजक शक्ति (कंप्यूटर विज्ञान) को सीमित नहीं करता है क्योंकि दोनों एक दूसरे का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं।

एक अन्य सामान्य भिन्नता, उदा। डेसेल और जुहास (2001) में, क्षमताओं को स्थानों पर परिभाषित करने की अनुमति देना है। इस पर नीचे विस्तार के तहत चर्चा की गई है।

सदिशों और आव्यूहों के संदर्भ में निरूपण
पेट्री नेट के निशान $$(S,T,W,M_0)$$ लंबाई के गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के वेक्टर (गणित) के रूप में माना जा सकता है $$|S|$$.

इसके संक्रमण संबंध को एक जोड़ी के रूप में वर्णित किया जा सकता है $$|S|$$ द्वारा $$|T|$$ मैट्रिक्स (गणित): फिर उनका अंतर मैट्रिक्स गुणा के संदर्भ में पहुंच योग्य चिह्नों का वर्णन करने के लिए निम्नानुसार उपयोग किया जा सकता है। संक्रमण के किसी भी क्रम के लिए $w$, लिखना $$o(w)$$ वेक्टर के लिए जो प्रत्येक संक्रमण को इसकी घटनाओं की संख्या में मैप करता है $w$. तो हमारे पास हैं यह आवश्यक होना चाहिए $w$ फायरिंग सीक्वेंस है; संक्रमणों के मनमाना अनुक्रमों की अनुमति देना आम तौर पर एक बड़ा सेट उत्पन्न करेगा।
 * $$W^-$$, द्वारा परिभाषित $$\forall s,t: W^-[s,t] = W(s,t)$$
 * $$W^+$$, द्वारा परिभाषित $$\forall s,t: W^+[s,t] = W(t,s).$$
 * $$ W^T = - W^- + W^+$$
 * $$R(N) = \{ M \mid \exists w:\ w \text{ is a firing sequence of } N\ \text{ and }\ M = M_0 + W^T \cdot o(w) \}$$.

$$ W^{-}=\begin{bmatrix} * & t1 & t2 \\ p1 & 1 & 0 \\ p2 & 0 & 1 \\ p3 & 0 & 1 \\ p4 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \ W^{+}=\begin{bmatrix} * & t1 & t2 \\ p1 & 0 & 1 \\ p2 & 1 & 0 \\ p3 & 1& 0 \\ p4 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \ W^T=\begin{bmatrix} * & t1 & t2 \\ p1 & -1 & 1 \\ p2 & 1 & -1 \\ p3 & 1 & -1 \\ p4 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

$$ M_{0}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \end{bmatrix} $$

श्रेणी-सैद्धांतिक सूत्रीकरण
जोस संदेश और मोंटानारी ने पेट्री श्रेणियों के रूप में जानी जाने वाली सममित मोनोइडल श्रेणियों का एक प्रकार माना।

पेट्री नेट के गणितीय गुण
पेट्री नेट को दिलचस्प बनाने वाली एक बात यह है कि वे मॉडलिंग शक्ति और विश्लेषण क्षमता के बीच संतुलन प्रदान करते हैं: पेट्री नेट के लिए समवर्ती प्रणालियों के बारे में बहुत सी चीजें स्वचालित रूप से निर्धारित की जा सकती हैं, हालांकि उनमें से कुछ चीजें सामान्य रूप से निर्धारित करने के लिए बहुत महंगी हैं। मामला। पेट्री नेट के कई उपवर्गों का अध्ययन किया गया है जो अभी भी समवर्ती प्रणालियों के दिलचस्प वर्गों का मॉडल बना सकते हैं, जबकि ये समस्याएं आसान हो जाती हैं।

पेट्री नेट और कुछ उपवर्गों के लिए निर्णायकता और जटिलता के परिणामों के साथ इस तरह की निर्णय समस्याओं का अवलोकन एस्पारज़ा और नीलसन (1995) में पाया जा सकता है।

पहुंच योग्यता
पेट्री नेट के लिए रीचबिलिटी की समस्या यह तय करना है कि पेट्री नेट एन और मार्किंग एम दिया गया है या नहीं $$M \in R(N)$$.

यह ऊपर परिभाषित रीचैबिलिटी-ग्राफ चलने का मामला है, जब तक या तो अनुरोधित-अंकन नहीं हो जाता है या यह अब नहीं मिल सकता है। यह पहले की तुलना में कठिन है: रीचैबिलिटी ग्राफ आम तौर पर अनंत है, और यह निर्धारित करना आसान नहीं है कि कब रुकना सुरक्षित है।

वास्तव में, इस समस्या को EXPSPACE-कठिन दिखाया गया था सालों पहले इसे बिल्कुल भी निर्णायक दिखाया गया था (मेयर, 1981)। इसे कुशलतापूर्वक कैसे किया जाए, इस पर शोध पत्र प्रकाशित होते रहते हैं। 2018 में, Czerwinski et al। निचली सीमा में सुधार किया और दिखाया कि समस्या प्राथमिक नहीं है। 2021 में, जेरोम लेरोक्स द्वारा स्वतंत्र रूप से इस समस्या को गैर-आदिम पुनरावर्ती दिखाया गया था और वोज्शिएक ज़ेरविन्स्की और लुकाज़ ऑरलिकोव्स्की द्वारा। इस प्रकार ये परिणाम लंबे समय से चली आ रही जटिलता की खाई को बंद कर देते हैं।

जबकि रीचैबिलिटी गलत राज्यों को खोजने के लिए एक अच्छा उपकरण प्रतीत होता है, व्यावहारिक समस्याओं के लिए निर्मित ग्राफ में आमतौर पर गणना करने के लिए बहुत अधिक राज्य होते हैं। इस समस्या को कम करने के लिए, रैखिक अस्थायी तर्क आमतौर पर विश्लेषणात्मक झांकी की विधि के संयोजन के साथ प्रयोग किया जाता है ताकि साबित हो सके कि ऐसे राज्यों तक नहीं पहुंचा जा सकता है। रैखिक लौकिक तर्क अर्ध-निर्णय प्रक्रिया का उपयोग करता है | अर्ध-निर्णय तकनीक यह पता लगाने के लिए कि क्या वास्तव में एक स्थिति तक पहुँचा जा सकता है, राज्य तक पहुँचने के लिए आवश्यक शर्तों का एक सेट खोज कर यह साबित करना कि उन शर्तों को संतुष्ट नहीं किया जा सकता है।

सजीवता
पेट्री जाल को जीवंतता की विभिन्न डिग्री के रूप में वर्णित किया जा सकता है $$L_1 - L_4$$. वह पेट्री नेट $$(N, M_0)$$ कहा जाता है $$L_k$$-जीएं अगर और केवल अगर इसके सभी संक्रमण हैं $$L_k$$-लाइव, जहां एक संक्रमण है ध्यान दें कि ये तेजी से कठोर आवश्यकताएं हैं: $$L_{j+1}$$-जीवंतता का तात्पर्य है $$L_j$$-जीवंतता, के लिए $\textstyle{j \in {1,2,3}}$.
 * मृत, अगर यह कभी भी फायर नहीं कर सकता है, यानी यह फायरिंग सीक्वेंस में नहीं है $$L(N,M_0)$$
 * $$L_1$$-लाइव (संभावित रूप से फायर करने योग्य), अगर और केवल अगर यह फायर कर सकता है, यानी यह कुछ फायरिंग सीक्वेंस में है $$L(N,M_0)$$
 * $$L_2$$-Live अगर यह मनमाने ढंग से अक्सर आग लगा सकता है, यानी अगर हर सकारात्मक पूर्णांक के लिए $k$, यह कम से कम होता है $k$ बार कुछ फायरिंग सीक्वेंस में $$L(N,M_0)$$
 * $$L_3$$-लाइव अगर यह असीम रूप से अक्सर आग लगा सकता है, यानी अगर कुछ निश्चित (जरूरी अनंत) फायरिंग अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक के लिए $k$, संक्रमण $$L_3$$ कम से कम होता है $k$ बार,
 * $$L_4$$-लाइव (लाइव) अगर यह हमेशा आग लगा सकता है, यानी यह है $$L_1$$में हर पहुंच योग्य अंकन में रहते हैं $$R(N,M_0)$$

ये परिभाषाएँ मुराता के अवलोकन के अनुसार हैं, जो अतिरिक्त रूप से उपयोग करता है $$L_0$$-मृत के लिए एक शब्द के रूप में जीना।

सीमाबद्धता
पेट्री नेट में एक जगह को के-बाउंड कहा जाता है यदि इसमें प्रारंभिक अंकन सहित सभी पहुंच योग्य चिह्नों में के टोकन से अधिक नहीं होते हैं; यदि यह 1-बाध्य है तो इसे सुरक्षित कहा जाता है; अगर यह कुछ k के लिए k-बाउंड है तो यह बंधा हुआ सेट  है।

ए (चिन्हित) पेट्री नेट को के-बाउंडेड, सेफ या बाउंडेड कहा जाता है जब इसके सभी स्थान होते हैं। एक पेट्री नेट (ग्राफ) को (संरचनात्मक रूप से) बाउंडेड कहा जाता है यदि यह हर संभव प्रारंभिक अंकन के लिए बाउंड हो।

एक पेट्री नेट बंधा हुआ है अगर और केवल अगर इसकी रीचैबिलिटी ग्राफ परिमित है।

रिचर्ड कार्प-मिलर ट्री का निर्माण करके, कवरिंग समस्या को देखते हुए बाउंडेडनेस निर्णायक है।

किसी दिए गए जाल में स्थानों पर स्पष्ट रूप से बाध्य होना उपयोगी हो सकता है। इसका उपयोग सीमित सिस्टम संसाधनों को मॉडल करने के लिए किया जा सकता है।

पेट्री नेट की कुछ परिभाषाएँ स्पष्ट रूप से इसे एक वाक्यगत विशेषता के रूप में अनुमति देती हैं। औपचारिक रूप से, स्थान क्षमता वाले पेट्री जाल को टुपल्स के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$(S,T,W,C,M_0)$$, कहाँ $$(S,T,W,M_0)$$ पेट्री नेट है, $$C: P \rightarrow\!\!\!\shortmid \mathbb N$$ (कुछ या सभी) स्थानों के लिए क्षमताओं का एक असाइनमेंट, और संक्रमण संबंध सामान्य रूप से चिह्नों तक सीमित होता है जिसमें क्षमता वाले प्रत्येक स्थान पर अधिक से अधिक कई टोकन होते हैं।

उदाहरण के लिए, यदि नेट N में, दोनों स्थानों को क्षमता 2 निर्दिष्ट की गई है, तो हम स्थान क्षमताओं के साथ पेट्री नेट प्राप्त करते हैं, N2 कहते हैं; इसका रीचैबिलिटी ग्राफ दाईं ओर प्रदर्शित होता है।

वैकल्पिक रूप से, जाल को फैलाकर स्थानों को घेरा जा सकता है। सटीक होना, एक जगह को जगह के विपरीत प्रवाह के साथ एक काउंटर-प्लेस जोड़कर और दोनों जगहों में कुल बनाने के लिए टोकन जोड़कर के-बाध्य बनाया जा सकता है।

असतत, निरंतर, और हाइब्रिड पेट्री नेट
साथ ही असतत घटनाओं के लिए, निरंतर और संकर असतत-निरंतर प्रक्रियाओं के लिए पेट्री जाल हैं जो असतत, सतत और संकर नियंत्रण सिद्धांत में उपयोगी हैं, और असतत, निरंतर और संकर ऑटोमेटा सिद्धांत से संबंधित है।

एक्सटेंशन
पेट्री नेट्स के कई विस्तार हैं। उनमें से कुछ मूल पेट्री नेट के साथ पूरी तरह से पीछे की ओर-संगत (जैसे रंगीन पेट्री जाल) हैं, कुछ ऐसे गुण जोड़ते हैं जिन्हें मूल पेट्री नेट औपचारिकता (जैसे समयबद्ध पेट्री नेट) में मॉडल नहीं किया जा सकता है। हालांकि पश्च-संगत मॉडल पेट्री नेट की कम्प्यूटेशनल शक्ति का विस्तार नहीं करते हैं, उनके पास अधिक संक्षिप्त प्रतिनिधित्व हो सकते हैं और मॉडलिंग के लिए अधिक सुविधाजनक हो सकते हैं। एक्सटेंशन जिन्हें पेट्री नेट में परिवर्तित नहीं किया जा सकता है, कभी-कभी बहुत शक्तिशाली होते हैं, लेकिन आम तौर पर सामान्य पेट्री नेट का विश्लेषण करने के लिए उपलब्ध गणितीय उपकरणों की पूरी श्रृंखला का अभाव होता है।

उच्च स्तरीय पेट्री नेट शब्द का प्रयोग कई पेट्री नेट औपचारिकताओं के लिए किया जाता है जो बुनियादी पी/टी नेट औपचारिकता का विस्तार करते हैं; इसमें रंगीन पेट्री जाल, पदानुक्रमित पेट्री जाल जैसे जाल के भीतर जाल, और इस खंड में स्केच किए गए अन्य सभी विस्तार शामिल हैं। इस शब्द का प्रयोग विशेष रूप से सीपीएन उपकरण  द्वारा समर्थित रंगीन जालों के प्रकार के लिए भी किया जाता है।

संभावित एक्सटेंशन की एक छोटी सूची इस प्रकार है:


 * अतिरिक्त प्रकार के चाप; दो सामान्य प्रकार हैं
 * एक रीसेट आर्क फायरिंग पर कोई पूर्व शर्त नहीं लगाता है, और संक्रमण के शुरू होने पर जगह को खाली कर देता है; यह पहुंच योग्यता को अनिर्णीत बनाता है, जबकि कुछ अन्य गुण, जैसे समाप्ति, निर्णायक बने रहते हैं;
 * एक अवरोधक चाप पूर्व शर्त लगाता है कि स्थान खाली होने पर ही संक्रमण शुरू हो सकता है; यह व्यक्त किए जाने वाले टोकन की संख्या पर मनमाने ढंग से संगणना की अनुमति देता है, जो औपचारिकता ट्यूरिंग पूर्ण पूर्ण बनाता है और एक सार्वभौमिक जाल के अस्तित्व को दर्शाता है।
 * एक मानक पेट्री नेट में, टोकन अप्रभेद्य हैं। रंगीन पेट्री नेट में, प्रत्येक टोकन का मूल्य होता है। सीपीएन टूल्स जैसे रंगीन पेट्री नेट के लिए लोकप्रिय टूल में, टोकन के मूल्यों को टाइप किया जाता है, और इसका परीक्षण किया जा सकता है (गार्ड एक्सप्रेशंस का उपयोग करके) और एक कार्यात्मक प्रोग्रामिंग भाषा के साथ हेरफेर किया जा सकता है। रंगीन पेट्री जालों की एक सहायक पेट्री जाल अच्छी तरह से बनाई गई है, जहां जाल का विश्लेषण करना आसान बनाने के लिए चाप और गार्ड अभिव्यक्ति प्रतिबंधित हैं।
 * पेट्री नेट का एक और लोकप्रिय विस्तार पदानुक्रम है; फेहलिंग द्वारा शोधन और अमूर्तता के समर्थन स्तरों के विभिन्न विचारों के रूप में इसका अध्ययन किया गया था। पदानुक्रम का एक अन्य रूप तथाकथित ऑब्जेक्ट पेट्री नेट या ऑब्जेक्ट सिस्टम में पाया जाता है जहां पेट्री नेट में पेट्री नेट हो सकते हैं क्योंकि इसके टोकन नेस्टेड पेट्री नेट के पदानुक्रम को प्रेरित करते हैं जो विभिन्न स्तरों पर संक्रमणों के सिंक्रनाइज़ेशन द्वारा संचार करते हैं। देखना ऑब्जेक्ट पेट्री नेट्स के अनौपचारिक परिचय के लिए।
 * एक वेक्टर जोड़ प्रणाली | राज्यों के साथ वेक्टर जोड़ प्रणाली (VASS) पेट्री नेट के समान औपचारिकता है। हालाँकि, इसे सतही तौर पर पेट्री नेट के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। एक परिमित राज्य automaton पर विचार करें जहां प्रत्येक संक्रमण को पेट्री नेट से संक्रमण द्वारा लेबल किया जाता है। पेट्री नेट को तब परिमित राज्य ऑटोमेटन के साथ सिंक्रनाइज़ किया जाता है, अर्थात, ऑटोमेटन में एक संक्रमण उसी समय लिया जाता है जब पेट्री नेट में संबंधित संक्रमण होता है। पेट्री नेट में संबंधित संक्रमण सक्षम होने पर ही ऑटोमेटन में एक संक्रमण लेना संभव है, और पेट्री नेट में एक संक्रमण को आग लगाना केवल तभी संभव है जब इसके द्वारा लेबल किए गए ऑटोमेटन में वर्तमान स्थिति से कोई संक्रमण हो। . (VASS की परिभाषा आमतौर पर थोड़ी अलग तरीके से तैयार की जाती है।)
 * प्राथमिकता वाले पेट्री नेट ट्रांज़िशन में प्राथमिकताएं जोड़ते हैं, जिससे कोई ट्रांज़िशन सक्रिय नहीं हो सकता, यदि उच्च-प्राथमिकता वाला ट्रांज़िशन सक्षम किया गया हो (अर्थात फ़ायर हो सकता है)। इस प्रकार, संक्रमण प्राथमिकता समूहों में हैं, और उदा। प्राथमिकता समूह 3 केवल तब सक्रिय हो सकता है जब समूह 1 और 2 में सभी ट्रांज़िशन अक्षम हों। प्राथमिकता समूह के भीतर, फायरिंग अभी भी गैर-निर्धारिती है।
 * गैर-नियतात्मक संपत्ति एक बहुत ही मूल्यवान संपत्ति रही है, क्योंकि यह उपयोगकर्ता को बड़ी संख्या में गुणों को सार करने देती है (नेट के लिए क्या उपयोग किया जाता है इसके आधार पर)। हालांकि, कुछ मामलों में, केवल एक मॉडल की संरचना ही नहीं, बल्कि समय को भी मॉडल करने की आवश्यकता होती है। इन मामलों के लिए, समयबद्ध पेट्री नेट विकसित हुए हैं, जहां ऐसे संक्रमण हैं जो समयबद्ध हैं, और संभवत: ऐसे संक्रमण हैं जो समयबद्ध नहीं हैं (यदि हैं, तो समयबद्ध संक्रमणों की समयबद्धता की तुलना में उच्च प्राथमिकता है)। समयबद्ध पेट्री नेट की एक सहायक स्टोकेस्टिक पेट्री नेट  हैं जो संक्रमणों की समायोज्य यादृच्छिकता के माध्यम से गैर-नियतात्मक समय जोड़ती हैं। घातीय वितरण का उपयोग आमतौर पर इन जालों को 'समय' करने के लिए किया जाता है। इस मामले में, नेट रीचैबिलिटी ग्राफ का उपयोग निरंतर समय मार्कोव श्रृंखला (सीटीएमसी) के रूप में किया जा सकता है।
 * द्वैतवादी पेट्री जाल (डीपी-नेट्स) ई. डाविस, एट अल द्वारा विकसित एक पेट्री नेट एक्सटेंशन है। वास्तविक दुनिया की प्रक्रिया का बेहतर प्रतिनिधित्व करने के लिए। डीपी-नेट परिवर्तन/अपरिवर्तन, क्रिया/निष्क्रियता, (परिवर्तन) समय/स्थान आदि के द्वंद्व को संतुलित करते हैं, परिवर्तन और स्थान के द्विदलीय पेट्री नेट निर्माणों के बीच, जिसके परिणामस्वरूप परिवर्तन अंकन की अनूठी विशेषता होती है, अर्थात, जब परिवर्तन काम कर रहा है यह चिह्नित है। यह प्रक्रिया थ्रूपुट के वास्तविक दुनिया के व्यवहार का प्रतिनिधित्व करते हुए कई बार आग (या चिह्नित) के परिवर्तन की अनुमति देता है। परिवर्तन का अंकन मानता है कि परिवर्तन का समय शून्य से अधिक होना चाहिए। कई विशिष्ट पेट्री नेट में उपयोग किया जाने वाला शून्य परिवर्तन समय गणितीय रूप से आकर्षक हो सकता है लेकिन वास्तविक दुनिया की प्रक्रियाओं का प्रतिनिधित्व करने में अव्यावहारिक है। डीपी-नेट्स प्रक्रिया संरचना को चित्रित करने के लिए पेट्री नेट्स के पदानुक्रमित अमूर्तता की शक्ति का भी उपयोग करते हैं। जटिल प्रक्रिया प्रणालियों को पदानुक्रमित अमूर्तता के विभिन्न स्तरों के माध्यम से परस्पर जुड़े सरल जालों की एक श्रृंखला के रूप में तैयार किया जाता है। एक पैकेट स्विच के प्रक्रिया वास्तुकला  को प्रदर्शित किया जाता है, जहां डिजाइन प्रणाली की संरचना के आसपास विकास आवश्यकताओं का आयोजन किया जाता है।

पेट्री नेट के कई और विस्तार हैं, हालांकि, यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि जैसे-जैसे विस्तारित गुणों के संदर्भ में नेट की जटिलता बढ़ती है, नेट के कुछ गुणों का मूल्यांकन करने के लिए मानक उपकरणों का उपयोग करना उतना ही कठिन होता है। इस कारण से, किसी दिए गए मॉडलिंग कार्य के लिए सबसे सरल नेट प्रकार का उपयोग करना एक अच्छा विचार है।

प्रतिबंध
पेट्री नेट औपचारिकता को विस्तारित करने के बजाय, हम इसे प्रतिबंधित करने पर भी देख सकते हैं, और विशेष प्रकार के पेट्री नेट को देख सकते हैं, जो एक विशेष तरीके से सिंटैक्स को प्रतिबंधित करके प्राप्त किया जाता है। साधारण पेट्री जाल वे जाल होते हैं जहां सभी चाप भार 1 होते हैं। आगे प्रतिबंधित करते हुए, निम्नलिखित प्रकार के साधारण पेट्री जालों का आमतौर पर उपयोग और अध्ययन किया जाता है:


 * 1) एक राज्य मशीन (एसएम) में, प्रत्येक संक्रमण में एक आने वाली चाप और एक बाहर जाने वाली चाप होती है, और सभी चिह्नों में बिल्कुल एक टोकन होता है। नतीजतन, समवर्ती नहीं हो सकता है, लेकिन संघर्ष हो सकता है (यानी समवर्ती गणना में अनिश्चितता): गणितीय रूप से, $$\forall t\in T: |t^\bullet|=|{}^\bullet t|=1$$
 * 2) एक चिह्नित ग्राफ (एमजी) में, प्रत्येक स्थान में एक आने वाली चाप और एक बाहर जाने वाली चाप होती है। इसका अर्थ यह है कि विरोध नहीं हो सकता, लेकिन समवर्ती हो सकता है: गणितीय रूप से, $$\forall s\in S: |s^\bullet|=|{}^\bullet s|=1$$
 * 3) फ्री चॉइस नेट (FC) में, एक स्थान से एक संक्रमण के लिए प्रत्येक चाप या तो उस स्थान से एकमात्र चाप है या उस संक्रमण के लिए एकमात्र चाप है, अर्थात संगामिति और संघर्ष दोनों हो सकते हैं, लेकिन एक ही समय में नहीं: गणितीय रूप से, $$\forall s\in S: (|s^\bullet|\leq 1) \vee ({}^\bullet (s^\bullet)=\{s\})$$
 * 4) एक्सटेंडेड फ्री चॉइस (EFC) - एक पेट्री नेट जिसे FC में बदला जा सकता है।
 * 5) एक असममित विकल्प नेट (AC) में, संगामिति और संघर्ष (संक्षेप में, भ्रम) हो सकता है, लेकिन सममित रूप से नहीं: गणितीय रूप से, $$\forall s_1,s_2\in S: (s_1{}^\bullet \cap s_2{}^\bullet\neq \emptyset) \to [(s_1{}^\bullet\subseteq s_2{}^\bullet) \vee (s_2{}^\bullet\subseteq s_1{}^\bullet)]$$

[[कार्यप्रवाह नेट]]
वर्कफ़्लो नेट (डब्ल्यूएफ-नेट) प्रक्रिया गतिविधियों के वर्कफ़्लो को मॉडल करने के इच्छुक पेट्री नेट का एक उपवर्ग है। डब्ल्यूएफ-नेट ट्रांजिशन कार्यों या गतिविधियों को सौंपा गया है, और स्थान पूर्व/पोस्ट स्थितियों को असाइन किए गए हैं। डब्ल्यूएफ-नेट की अतिरिक्त संरचनात्मक और परिचालन आवश्यकताएं हैं, मुख्य रूप से एक एकल इनपुट (स्रोत) स्थान के अलावा कोई पिछला संक्रमण नहीं है, और आउटपुट स्थान (सिंक) बिना किसी संक्रमण के। तदनुसार, प्रारंभ और समाप्ति चिह्नों को परिभाषित किया जा सकता है जो प्रक्रिया की स्थिति का प्रतिनिधित्व करते हैं।

WF-नेट में सुदृढ़ता गुण होता है, यह इंगित करता है कि एक प्रक्रिया अपने स्रोत स्थान पर के टोकन के शुरुआती अंकन के साथ समाप्ति स्थिति तक पहुंच सकती है, इसके सिंक स्थान में के टोकन के साथ चिह्नित किया जा सकता है (के-ध्वनि डब्ल्यूएफ-नेट के रूप में परिभाषित)। इसके अतिरिक्त, प्रक्रिया में सभी संक्रमण आग लग सकते हैं (यानी, प्रत्येक संक्रमण के लिए एक पहुंच योग्य स्थिति होती है जिसमें संक्रमण सक्षम होता है)। एक सामान्य ध्वनि (जी-ध्वनि) डब्ल्यूएफ-नेट को प्रत्येक के> 0 के लिए के-ध्वनि के रूप में परिभाषित किया गया है। पेट्री नेट में एक निर्देशित पथ (ग्राफ सिद्धांत) को निर्देशित चापों से जुड़े नोड्स (स्थानों और संक्रमण) के अनुक्रम के रूप में परिभाषित किया गया है। प्राथमिक पथ में अनुक्रम में प्रत्येक नोड केवल एक बार शामिल होता है।

एक अच्छी तरह से नियंत्रित पेट्री नेट एक ऐसा जाल है जिसमें एक स्थान और एक संक्रमण (या संक्रमण और एक स्थान) के बीच पूरी तरह से अलग प्राथमिक पथ नहीं होते हैं, यानी, यदि नोड्स की जोड़ी के बीच दो रास्ते हैं तो ये पथ एक नोड साझा करते हैं।. एक विश्वकोश अच्छी तरह से नियंत्रित डब्ल्यूएफ-नेट ध्वनि (जी-ध्वनि) है। विस्तारित डब्ल्यूएफ-नेट एक पेट्री नेट है जो अतिरिक्त ट्रांजिशन टी (फीडबैक ट्रांजिशन) के साथ डब्ल्यूएफ-नेट से बना है। सिंक स्थान संक्रमण टी के इनपुट स्थान और स्रोत स्थान के रूप में इसके आउटपुट स्थान के रूप में जुड़ा हुआ है। संक्रमण की फायरिंग प्रक्रिया की पुनरावृत्ति का कारण बनती है (ध्यान दें, विस्तारित WF-नेट WF-नेट नहीं है)। WRI (रेगुलर इटरेशन के साथ अच्छी तरह से हैंडल किया गया) WF-नेट, एक विस्तारित एसाइक्लिक अच्छी तरह से हैंडल किया जाने वाला WF-नेट है। WRI-WF-नेट को नेट की संरचना के रूप में बनाया जा सकता है, अर्थात, WRI-WF-नेट के भीतर एक सबनेट के साथ एक संक्रमण को बदलना जो WRI-WF-नेट है। नतीजा WRI-WF-net भी है। WRI-WF-नेट जी-साउंड हैं, इसलिए केवल WRI-WF-नेट बिल्डिंग ब्लॉक्स का उपयोग करके, कोई भी WF-नेट प्राप्त कर सकता है जो निर्माण द्वारा जी-ध्वनि हैं।

डिजाइन संरचना मैट्रिक्स (डीएसएम) प्रक्रिया संबंधों को मॉडल कर सकता है, और प्रक्रिया नियोजन के लिए उपयोग किया जा सकता है। डीएसएम-नेट, पेट्री नेट्स द्वारा कार्यप्रवाह प्रक्रियाओं में डीएसएम-आधारित योजनाओं की प्राप्ति हैं, और डब्ल्यूआरआई-डब्ल्यूएफ-नेट के समकक्ष हैं। डीएसएम-नेट निर्माण प्रक्रिया परिणामी नेट की सुदृढ़ता संपत्ति सुनिश्चित करती है।

संगामिति के अन्य मॉडल
मॉडलिंग समवर्ती संगणना के अन्य तरीके प्रस्तावित किए गए हैं, जिनमें वेक्टर जोड़ प्रणाली, परिमित-राज्य मशीनों का संचार, कहन प्रक्रिया नेटवर्क, प्रक्रिया बीजगणित, अभिनेता मॉडल और ट्रेस सिद्धांत शामिल हैं। अलग-अलग मॉडल संरचना, प्रतिरूपकता (प्रोग्रामिंग) और स्थानीयता जैसी अवधारणाओं का व्यापार प्रदान करते हैं।

Winskel और Nielsen के अध्याय में संगामिति के इन मॉडलों में से कुछ के संबंध में एक दृष्टिकोण प्रस्तावित है।

आवेदन क्षेत्र
रेफ नाम = अलस्टस्टाहल 2011 >
 * बूलियन डिफरेंशियल कैलकुलस
 * बिजनेस प्रोसेस मॉडलिंग
 * कम्प्यूटेशनल बायोलॉजी
 * समवर्ती प्रोग्रामिंग
 * नियंत्रण इंजीनियरिंग
 * डेटा विश्लेषण
 * निदान (कृत्रिम बुद्धि) | डायग्नोसिस (आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस)
 * अनुक्रमिक फ़ंक्शन चार्ट
 * खेल सिद्धांत
 * सिग्नल संक्रमण रेखांकन
 * क्हान प्रक्रिया नेटवर्क
 * प्रक्रिया मॉडलिंग
 * स्थिरता अभियांत्रिकी
 * सिमुलेशन * सॉफ्टवेर डिज़ाइन
 * वर्कफ़्लो प्रबंधन प्रणाली

यह भी देखें

 * परिमित अवस्था मशीन
 * पेट्री नेट मार्कअप लैंग्वेज
 * पेट्रीस्क्रिप्ट
 * प्रक्रिया संरचना
 * वेक्टर जोड़ प्रणाली
 * यंत्र अधिगम