स्टेट-स्पेस प्रतिनिधित्व

नियंत्रण इंजीनियरिंग में, एक राज्य-अंतरिक्ष प्रतिनिधित्व एक भौतिक प्रणाली का एक गणितीय मॉडल है जो इनपुट, आउटपुट और चर (गणित) के एक सेट के रूप में निर्दिष्ट है, जो पहले-क्रम (दूसरा डेरिवेटिव सम्मिलित नहीं) अंतर समीकरण या अंतर समीकरणों से संबंधित है। इस तरह के वेरिएबल्स, जिन्हें 'स्टेट वेरिएबल्स' कहा जाता है, समय के साथ इस तरह से विकसित होते हैं जो किसी दिए गए तत्काल और इनपुट वैरिएबल के बाहरी रूप से लगाए गए मानों पर निर्भर करते हैं। आउटपुट चर के मान राज्य चर के मान पर निर्भर करते हैं।

स्टेट स्पेस या  चरण स्थान  ज्यामितीय स्पेस है जिसमें अक्षों पर वेरिएबल स्टेट वेरिएबल्स होते हैं। प्रणाली की स्थिति को वेक्टर (गणित), राज्य अंतरिक्ष के अंदर   राज्य वेक्टर  के रूप में दर्शाया जा सकता है।

यदि गतिशील प्रणाली रैखिक, समय-अपरिवर्तनीय और परिमित-आयामी है, तो अंतर और बीजगणितीय समीकरण मैट्रिक्स (गणित) रूप में लिखे जा सकते हैं। राज्य-अंतरिक्ष पद्धति को सामान्य प्रणाली सिद्धांत के महत्वपूर्ण बीजगणित द्वारा वर्णित किया जाता है, जो क्रोनकर वेक्टर-मैट्रिक्स संरचनाओं का उपयोग करना संभव बनाता है। इन संरचनाओं की क्षमता को मॉडुलन के साथ या इसके बिना अनुसंधान प्रणालियों पर कुशलतापूर्वक प्रयुक्त किया जा सकता है। स्टेट-स्पेस प्रतिनिधित्व ( समय क्षेत्र  दृष्टिकोण के रूप में भी जाना जाता है) कई इनपुट और आउटपुट के साथ प्रणाली  को मॉडल और विश्लेषण करने के लिए एक सुविधाजनक और कॉम्पैक्ट विधि  प्रदान करता है। साथ $$p$$ इनपुट और $$q$$ आउटपुट, अन्यथा हमें लिखना होगा $$q \times p$$ लाप्लास एक प्रणाली  के बारे में सभी जानकारी को एनकोड करने के लिए रूपांतरित करता है। आवृत्ति डोमेन दृष्टिकोण के विपरीत, राज्य-अंतरिक्ष प्रतिनिधित्व का उपयोग रैखिक घटकों और शून्य प्रारंभिक स्थितियों वाले प्रणाली  तक सीमित नहीं है।

राज्य-अंतरिक्ष मॉडल को अर्थशास्त्र जैसे विषयों में प्रयुक्त किया जा सकता है, सांख्यिकी, कंप्यूटर विज्ञान और इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग, और तंत्रिका विज्ञान। अर्थमिति में, उदाहरण के लिए, राज्य-अंतरिक्ष मॉडल का उपयोग समय श्रृंखला को प्रवृत्ति और चक्र में विघटित करने के लिए किया जा सकता है, व्यक्तिगत संकेतकों को एक समग्र सूचकांक में बना सकता है, व्यापार चक्र के मोड़ बिंदुओं की पहचान करें, और गुप्त और अप्रमाणित समय श्रृंखला का उपयोग करके सकल घरेलू उत्पाद का अनुमान लगाएं।  कई अनुप्रयोग अपने पिछले अवलोकनों का उपयोग करके वर्तमान अज्ञात राज्य चर के अनुमानों का उत्पादन करने के लिए कलमन फिल्टर पर भरोसा करते हैं।

राज्य चर
आंतरिक राज्य चर प्रणाली चर का सबसे छोटा संभव सबसेट है जो किसी भी समय प्रणाली  की संपूर्ण स्थिति का प्रतिनिधित्व कर सकता है। किसी दिए गए प्रणाली  का प्रतिनिधित्व करने के लिए आवश्यक राज्य चर की न्यूनतम संख्या, $$n$$, सामान्यतः  प्रणाली  के परिभाषित अंतर समीकरण के क्रम के बराबर होता है, किन्तु  आवश्यक  नहीं। यदि प्रणाली  को ट्रांसफर फ़ंक्शन फॉर्म में दर्शाया गया है, तो राज्य चर की न्यूनतम संख्या ट्रांसफर फ़ंक्शन के भाजक के क्रम के बराबर होती है, इसे एक उचित अंश में घटा दिया जाता है। यह समझना महत्वपूर्ण है कि एक राज्य-अंतरिक्ष प्राप्ति को स्थानांतरण फ़ंक्शन फॉर्म में परिवर्तित करने से प्रणाली  के बारे में कुछ आंतरिक जानकारी खो सकती है, और एक प्रणाली का विवरण प्रदान कर सकता है जो स्थिर है, जब राज्य-स्थान की प्राप्ति कुछ बिंदुओं पर अस्थिर होती है। इलेक्ट्रिक परिपथ  में, राज्य चर की संख्या अधिकांशतः  होती है, चूंकि  सदैव  नहीं, परिपथ  में ऊर्जा भंडारण तत्वों की संख्या जैसे  संधारित्र  और  प्रारंभ करनेवाला ्स के समान होती है। परिभाषित राज्य चर रैखिक रूप से स्वतंत्र होने चाहिए, अर्थात, किसी भी राज्य चर को अन्य राज्य चर के रैखिक संयोजन के रूप में नहीं लिखा जा सकता है, या प्रणाली  को हल नहीं किया जा सकता है।

रैखिक प्रणाली
के साथ एक रैखिक प्रणाली का सबसे सामान्य राज्य-अंतरिक्ष प्रतिनिधित्व $$p$$ इनपुट्स, $$q$$ आउटपुट और $$n$$ राज्य चर निम्नलिखित रूप में लिखे गए हैं:
 * $$\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}(t) \mathbf{x}(t) + \mathbf{B}(t) \mathbf{u}(t)$$
 * $$\mathbf{y}(t) = \mathbf{C}(t) \mathbf{x}(t) + \mathbf{D}(t) \mathbf{u}(t)$$

कहाँ:
 * $$\mathbf{x}(\cdot)$$ स्टेट वेक्टर कहा जाता है, $$\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n$$;
 * $$\mathbf{y}(\cdot)$$ आउटपुट वेक्टर कहा जाता है, $$\mathbf{y}(t) \in \mathbb{R}^q$$;
 * $$\mathbf{u}(\cdot)$$ इनपुट (या नियंत्रण) वेक्टर कहा जाता है, $$\mathbf{u}(t) \in \mathbb{R}^p$$;
 * $$\mathbf{A}(\cdot)$$ राज्य (या प्रणाली ) मैट्रिक्स है, $$\dim[\mathbf{A}(\cdot)] = n \times n$$,
 * $$\mathbf{B}(\cdot)$$ इनपुट मैट्रिक्स है, $$\dim[\mathbf{B}(\cdot)] = n \times p$$,
 * $$\mathbf{C}(\cdot)$$ आउटपुट मैट्रिक्स है, $$\dim[\mathbf{C}(\cdot)] = q \times n$$,
 * $$\mathbf{D}(\cdot)$$ फीडथ्रू (या फीडफॉरवर्ड) मैट्रिक्स है (ऐसे स्थितियों में जहां प्रणाली  मॉडल में डायरेक्ट फीडथ्रू नहीं है, $$\mathbf{D}(\cdot)$$ शून्य मैट्रिक्स है), $$\dim[\mathbf{D}(\cdot)] = q \times p$$,
 * $$\dot{\mathbf{x}}(t) := \frac{d}{dt} \mathbf{x}(t)$$.

इस सामान्य सूत्रीकरण में, सभी आव्यूहों को समय-भिन्न होने की अनुमति है (अर्थात उनके तत्व समय पर निर्भर हो सकते हैं); चूंकि, सामान्य LTI प्रणाली स्थितियों में, मैट्रिसेस समय अपरिवर्तनीय होंगे। समय परिवर्तनशील $$t$$ निरंतर हो सकता है (उदा। $$t \in \mathbb{R}$$) या असतत (उदा. $$t \in \mathbb{Z}$$). बाद के स्थितियों में, समय चर $$k$$ के अतिरिक्त सामान्यतः प्रयोग किया जाता है $$t$$. हाइब्रिड प्रणाली समय डोमेन के लिए अनुमति देता है जिसमें निरंतर और असतत दोनों भाग होते हैं। की गई मान्यताओं के आधार पर, राज्य-अंतरिक्ष मॉडल प्रतिनिधित्व निम्नलिखित रूपों को ग्रहण कर सकता है:

उदाहरण: निरंतर समय एलटीआई मामला
एक सतत-समय एलटीआई प्रणाली की स्थिरता और प्राकृतिक प्रतिक्रिया विशेषताओं (अर्थात, मैट्रिसेस के साथ रैखिक जो समय के संबंध में स्थिर हैं) का अध्ययन मैट्रिक्स के eigenvalues ​​​​से किया जा सकता है $$\mathbf{A}$$. एक समय-अपरिवर्तनीय राज्य-अंतरिक्ष मॉडल की स्थिरता को कारक रूप में प्रणाली के स्थानांतरण फ़ंक्शन को देखकर निर्धारित किया जा सकता है। तब यह कुछ ऐसा दिखाई देगा:


 * $$ \textbf{G}(s) = k \frac{ (s - z_{1})(s - z_{2})(s - z_{3})

}{ (s - p_{1})(s - p_{2})(s - p_{3})(s - p_{4}) }. $$ ट्रांसफर फ़ंक्शन का भाजक के निर्धारक को लेकर प्राप्त विशेषता बहुपद के बराबर है $$s\mathbf{I} - \mathbf{A}$$,
 * $$\lambda(s) = |s\mathbf{I} - \mathbf{A}|. $$

इस बहुपद (ईजेनवेल्यूज) की जड़ें प्रणाली ट्रांसफर फ़ंक्शन के जटिल ध्रुव हैं (अर्थात, गणितीय विलक्षणता जहां ट्रांसफर फ़ंक्शन की परिमाण अबाधित है)। इन ध्रुवों का विश्लेषण करने के लिए उपयोग  किया जा सकता है कि प्रणाली  घातीय स्थिरता या सीमांत स्थिरता है या नहीं। स्थिरता का निर्धारण करने के लिए एक वैकल्पिक दृष्टिकोण, जिसमें eigenvalues ​​​​की गणना सम्मिलित नहीं है, प्रणाली  की Lyapunov स्थिरता का विश्लेषण करना है।

के अंश में पाए जाने वाले शून्य $$\textbf{G}(s)$$ इसी तरह यह निर्धारित करने के लिए उपयोग किया जा सकता है कि प्रणाली  न्यूनतम चरण है या नहीं।

प्रणाली अभी भी इनपुट-आउटपुट स्थिर हो सकता है (BIBO स्थिरता देखें) तथापि  यह आंतरिक रूप से स्थिर न हो। यह मामला हो सकता है यदि अस्थिर ध्रुवों को शून्य से रद्द कर दिया जाता है (अर्थात, यदि स्थानांतरण समारोह में उन विलक्षणताओं को हटाने योग्य विलक्षणता है)।

नियंत्रणीयता
राज्य नियंत्रणीयता की स्थिति का तात्पर्य है कि यह संभव है - स्वीकार्य इनपुट्स द्वारा - राज्यों को किसी भी प्रारंभिक मूल्य से कुछ सीमित समय के अंदर किसी भी अंतिम मूल्य तक ले जाने के लिए। एक निरंतर समय-अपरिवर्तनीय रैखिक राज्य-अंतरिक्ष मॉडल नियंत्रणीय है यदि
 * $$\operatorname{rank}\begin{bmatrix}\mathbf{B}& \mathbf{A}\mathbf{B}& \mathbf{A}^{2}\mathbf{B}& \cdots & \mathbf{A}^{n-1}\mathbf{B}\end{bmatrix} = n, $$

जहां रैंक (रैखिक बीजगणित) एक मैट्रिक्स में रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों की संख्या है, और जहां n राज्य चर की संख्या है।

अवलोकनीयता
प्रेक्षणीयता एक उपाय है कि बाहरी आउटपुट के ज्ञान से प्रणाली के आंतरिक राज्यों को कितनी अच्छी तरह अनुमान लगाया जा सकता है। एक प्रणाली की अवलोकनीयता और नियंत्रणीयता गणितीय दोहरी होती है (अर्थात्, नियंत्रणीयता प्रदान करती है कि एक इनपुट उपलब्ध है जो किसी भी वांछित अंतिम स्थिति में प्रारंभिक अवस्था लाता है, अवलोकनीयता प्रदान करती है कि एक आउटपुट प्रक्षेपवक्र जानने से प्रणाली की प्रारंभिक स्थिति की भविष्यवाणी करने के लिए पर्याप्त जानकारी मिलती है ).

एक निरंतर समय-अपरिवर्तनीय रैखिक राज्य-अंतरिक्ष मॉडल देखने योग्य है यदि और केवल यदि
 * $$\operatorname{rank}\begin{bmatrix}\mathbf{C}\\ \mathbf{C}\mathbf{A}\\ \vdots\\ \mathbf{C}\mathbf{A}^{n-1}\end{bmatrix} = n. $$

स्थानांतरण समारोह
निरंतर समय-अपरिवर्तनीय रैखिक राज्य-अंतरिक्ष मॉडल का स्थानांतरण कार्य निम्न विधि से प्राप्त किया जा सकता है:

सबसे पहले, का लाप्लास रूपांतरण लेना
 * $$\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A} \mathbf{x}(t) + \mathbf{B} \mathbf{u}(t)$$

उत्पन्न
 * $$s\mathbf{X}(s)-\mathbf{x}(0) = \mathbf{A} \mathbf{X}(s) + \mathbf{B} \mathbf{U}(s). $$

अगला, हम सरल करते हैं $$\mathbf{X}(s)$$, दे रहा है
 * $$(s\mathbf{I} - \mathbf{A})\mathbf{X}(s) =\mathbf{x}(0)+ \mathbf{B}\mathbf{U}(s) $$

और इस तरह
 * $$\mathbf{X}(s) =(s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{x}(0)+ (s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{B}\mathbf{U}(s). $$

के लिए प्रतिस्थापन $$\mathbf{X}(s)$$ आउटपुट समीकरण में


 * $$\mathbf{Y}(s) = \mathbf{C}\mathbf{X}(s) + \mathbf{D}\mathbf{U}(s),$$

दे रही है
 * $$\mathbf{Y}(s) = \mathbf{C}((s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{x}(0)+ (s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{B}\mathbf{U}(s)) + \mathbf{D}\mathbf{U}(s). $$

शून्य प्रारंभिक स्थितियों को मानते हुए $$\mathbf{x}(0) =\mathbf{0} $$ और एक सिंगल-इनपुट सिंगल-आउटपुट प्रणाली | सिंगल-इनपुट सिंगल-आउटपुट (SISO) प्रणाली, ट्रांसफर फ़ंक्शन को आउटपुट और इनपुट के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है $$G(s)=Y(s)/U(s)$$. एमआईएमओ|मल्टीपल-इनपुट मल्टीपल-आउटपुट (एमआईएमओ) प्रणाली के लिए, चूंकि, यह अनुपात परिभाषित नहीं है। इसलिए, शून्य प्रारंभिक स्थितियों को मानते हुए, ट्रांसफर फ़ंक्शन मैट्रिक्स से लिया गया है
 * $$\mathbf{Y}(s) = \mathbf{G}(s) \mathbf{U}(s) $$

प्राप्त करने वाले गुणांकों को समान करने की विधि का उपयोग करना


 * $$\mathbf{G}(s) = \mathbf{C}(s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{B} + \mathbf{D} $$.

फलस्वरूप, $$\mathbf{G}(s)$$ आयाम के साथ एक मैट्रिक्स है $$q \times p$$ जिसमें प्रत्येक इनपुट आउटपुट संयोजन के लिए स्थानांतरण कार्य सम्मिलित हैं। इस मैट्रिक्स संकेतन की सादगी के कारण, राज्य-अंतरिक्ष प्रतिनिधित्व सामान्यतः बहु-इनपुट, बहु-आउटपुट प्रणाली  के लिए उपयोग किया जाता है। रोसेनब्रॉक प्रणाली  मैट्रिक्स राज्य-अंतरिक्ष प्रतिनिधित्व और इसके हस्तांतरण समारोह के बीच एक पुल प्रदान करता है।

प्रामाणिक अहसास
किसी दिए गए ट्रांसफर फ़ंक्शन को जो सख्ती से उचित है, आसानी से निम्नलिखित दृष्टिकोण से राज्य-स्थान में स्थानांतरित किया जा सकता है (यह उदाहरण 4-आयामी, सिंगल-इनपुट, सिंगल-आउटपुट प्रणाली के लिए है):

स्थानांतरण फ़ंक्शन दिया गया है, अंश और भाजक दोनों में सभी गुणांक प्रकट करने के लिए इसका विस्तार करें। इसका परिणाम निम्न रूप में होना चाहिए:
 * $$ \textbf{G}(s) = \frac{n_{1}s^{3} + n_{2}s^{2} + n_{3}s + n_{4}}{s^{4} + d_{1}s^{3} + d_{2}s^{2} + d_{3}s + d_{4}}.$$

गुणांक अब निम्नलिखित दृष्टिकोण से सीधे राज्य-अंतरिक्ष मॉडल में डाला जा सकता है:
 * $$\dot{\mathbf{x}}(t) = \begin{bmatrix}

0&    1&     0&    0\\    0&     0&     1&    0\\    0&     0&     0&    1\\ -d_4 & -d_3 & -d_2 & -d_1 \end{bmatrix}\mathbf{x}(t) + \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}\mathbf{u}(t)$$
 * $$ \mathbf{y}(t) = \begin{bmatrix} n_4 & n_3 & n_2 & n_1 \end{bmatrix} \mathbf{x}(t). $$

इस राज्य-स्थान की प्राप्ति को नियंत्रणीय विहित रूप कहा जाता है क्योंकि परिणामी मॉडल को नियंत्रित करने की गारंटी दी जाती है (अर्थात, क्योंकि नियंत्रण इंटीग्रेटर्स की एक श्रृंखला में प्रवेश करता है, इसमें हर राज्य को स्थानांतरित करने की क्षमता होती है)।

ट्रांसफर फ़ंक्शन गुणांक का उपयोग दूसरे प्रकार के विहित रूप के निर्माण के लिए भी किया जा सकता है
 * $$\dot{\textbf{x}}(t) = \begin{bmatrix}

0&  0&  0&  -d_{4}\\ 1&  0&  0& -d_{3}\\ 0&  1&  0& -d_{2}\\ 0&  0&  1&  -d_{1} \end{bmatrix}\textbf{x}(t) + \begin{bmatrix} n_{4}\\ n_{3}\\ n_{2}\\ n_{1} \end{bmatrix}\textbf{u}(t)$$
 * $$ \textbf{y}(t) = \begin{bmatrix} 0& 0& 0& 1 \end{bmatrix}\textbf{x}(t). $$

इस राज्य-स्थान की प्राप्ति को अवलोकनीय विहित रूप कहा जाता है क्योंकि परिणामी मॉडल को देखने योग्य होने की गारंटी है (अर्थात, क्योंकि आउटपुट इंटीग्रेटर्स की एक श्रृंखला से बाहर निकलता है, प्रत्येक राज्य का आउटपुट पर प्रभाव पड़ता है)।

उचित स्थानांतरण कार्य
ट्रांसफर फ़ंक्शंस जो केवल उचित ट्रांसफर फ़ंक्शन हैं (और सख्ती से उचित नहीं हैं) को भी अधिक आसानी से अनुभूत किया जा सकता है। यहां उचित स्थानांतरण समारोह को दो भागों में अलग करने के लिए है: एक कड़ाई से उचित भाग और एक स्थिरांक।
 * $$ \textbf{G}(s) = \textbf{G}_\mathrm{SP}(s) + \textbf{G}(\infty). $$

कड़ाई से उचित हस्तांतरण समारोह को ऊपर दिखाए गए विधि ों का उपयोग करके एक विहित राज्य-अंतरिक्ष प्राप्ति में परिवर्तित किया जा सकता है। निरंतर की स्थिति-स्थान की प्राप्ति तुच्छ है $$\textbf{y}(t) = \textbf{G}(\infty)\textbf{u}(t)$$. साथ में हम एक साथ राज्य-स्थान की प्राप्ति प्राप्त करते हैं, मैट्रिक्स ए, बी और सी के साथ सख्ती से उचित भाग द्वारा निर्धारित किया जाता है, और निरंतर द्वारा निर्धारित मैट्रिक्स डी।

चीजों को थोड़ा स्पष्ट करने के लिए यहां एक उदाहरण दिया गया है:
 * $$ \textbf{G}(s) = \frac{s^{2} + 3s + 3}{s^{2} + 2s + 1}

= \frac{s + 2}{s^{2} + 2s + 1} + 1$$ जो निम्नलिखित नियंत्रणीय अहसास पैदा करता है
 * $$\dot{\textbf{x}}(t) = \begin{bmatrix}

-2& -1\\                               1&      0\\                             \end{bmatrix}\textbf{x}(t) + \begin{bmatrix} 1\\ 0\end{bmatrix}\textbf{u}(t)$$
 * $$ \textbf{y}(t) = \begin{bmatrix} 1& 2\end{bmatrix}\textbf{x}(t) + \begin{bmatrix} 1\end{bmatrix}\textbf{u}(t)$$

ध्यान दें कि आउटपुट सीधे इनपुट पर कैसे निर्भर करता है। यह के कारण है $$\textbf{G}(\infty)$$ स्थानांतरण समारोह में स्थिर।

प्रतिक्रिया
फीडबैक के लिए एक सामान्य विधि है आउटपुट को मैट्रिक्स K से गुणा करना और इसे प्रणाली  के इनपुट के रूप में सेट करना: $$\mathbf{u}(t) = K \mathbf{y}(t)$$. चूँकि K के मान अप्रतिबंधित हैं, नकारात्मक प्रतिक्रिया के लिए मूल्यों को आसानी से नकारा जा सकता है। एक नकारात्मक चिह्न (सामान्य संकेतन) की उपस्थिति केवल एक अंकन है और इसकी अनुपस्थिति का अंतिम परिणामों पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।


 * $$\dot{\mathbf{x}}(t) = A \mathbf{x}(t) + B \mathbf{u}(t)$$
 * $$\mathbf{y}(t) = C \mathbf{x}(t) + D \mathbf{u}(t)$$

बन जाता है


 * $$\dot{\mathbf{x}}(t) = A \mathbf{x}(t) + B K \mathbf{y}(t)$$
 * $$\mathbf{y}(t) = C \mathbf{x}(t) + D K \mathbf{y}(t)$$

के लिए आउटपुट समीकरण को हल करना $$\mathbf{y}(t)$$ और राज्य समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर परिणाम मिलता है


 * $$\dot{\mathbf{x}}(t) = \left(A + B K \left(I - D K\right)^{-1} C \right) \mathbf{x}(t)$$
 * $$\mathbf{y}(t) = \left(I - D K\right)^{-1} C \mathbf{x}(t)$$

इसका लाभ यह है कि A के eigenvalues ​​​​के eigendecomposition के माध्यम से K को उचित रूप से सेट करके नियंत्रित किया जा सकता है $$\left(A + B K \left(I - D K\right)^{-1} C \right)$$. यह मानता है कि बंद-लूप प्रणाली नियंत्रणीय है या ए के अस्थिर eigenvalues ​​​​को के उचित विकल्प के माध्यम से स्थिर बनाया जा सकता है।

उदाहरण
सख्ती से उचित प्रणाली के लिए डी शून्य के बराबर है। एक और अधिक सामान्य स्थिति है जब सभी राज्य आउटपुट होते हैं, अर्थात y = x, जो C = I, शिनाख्त सांचा  देता है। इसके परिणामस्वरूप सरल समीकरण होंगे


 * $$\dot{\mathbf{x}}(t) = \left(A + B K \right) \mathbf{x}(t)$$
 * $$\mathbf{y}(t) = \mathbf{x}(t)$$

यह आवश्यक eigendecomposition को कम कर देता है $$A + B K$$.

सेटपॉइंट (संदर्भ) इनपुट
के साथ प्रतिक्रिया प्रतिक्रिया के अतिरिक्त, एक इनपुट, $$r(t)$$, इस तरह जोड़ा जा सकता है $$\mathbf{u}(t) = -K \mathbf{y}(t) + \mathbf{r}(t)$$.


 * $$\dot{\mathbf{x}}(t) = A \mathbf{x}(t) + B \mathbf{u}(t)$$
 * $$\mathbf{y}(t) = C \mathbf{x}(t) + D \mathbf{u}(t)$$

बन जाता है


 * $$\dot{\mathbf{x}}(t) = A \mathbf{x}(t) - B K \mathbf{y}(t) + B \mathbf{r}(t)$$
 * $$\mathbf{y}(t) = C \mathbf{x}(t) - D K \mathbf{y}(t) + D \mathbf{r}(t)$$

के लिए आउटपुट समीकरण को हल करना $$\mathbf{y}(t)$$ और राज्य समीकरण में प्रतिस्थापन का परिणाम


 * $$\dot{\mathbf{x}}(t) = \left(A - B K \left(I + D K\right)^{-1} C \right) \mathbf{x}(t) + B \left(I - K \left(I + D K\right)^{-1}D \right) \mathbf{r}(t)$$
 * $$\mathbf{y}(t) = \left(I + D K\right)^{-1} C \mathbf{x}(t) + \left(I + D K\right)^{-1} D \mathbf{r}(t)$$

इस प्रणाली के लिए एक अधिक सामान्य सरलीकरण डी को हटा रहा है, जो समीकरणों को कम कर देता है


 * $$\dot{\mathbf{x}}(t) = \left(A - B K C \right) \mathbf{x}(t) + B \mathbf{r}(t)$$
 * $$\mathbf{y}(t) = C \mathbf{x}(t)$$

मूविंग ऑब्जेक्ट उदाहरण
एक मौलिक रैखिक प्रणाली एक वस्तु (जैसे, एक गाड़ी) के एक आयामी आंदोलन की है। एक विमान पर क्षैतिज रूप से चलती हुई वस्तु के लिए न्यूटन के गति के नियम और एक स्प्रिंग वाली दीवार से जुड़ी:


 * $$m \ddot{y}(t) = u(t) - b\dot{y}(t) - k y(t)$$

कहाँ
 * $$y(t)$$ स्थिति है; $$\dot y(t)$$ वेग है; $$\ddot{y}(t)$$ त्वरण है
 * $$u(t)$$ एक अनुप्रयुक्त बल है
 * $$b$$ चिपचिपा घर्षण गुणांक है
 * $$k$$ वसंत स्थिरांक है
 * $$m$$ वस्तु का द्रव्यमान है

इसके बाद राज्य का समीकरण बन जाएगा


 * $$\begin{bmatrix} \dot{\mathbf x}_1(t) \\ \dot{\mathbf x}_2(t) \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{k}{m} & -\frac{b}{m} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x}_1(t) \\ \mathbf{x}_2(t) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{m} \end{bmatrix} \mathbf{u}(t)$$
 * $$\mathbf{y}(t) = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \mathbf{x_1}(t) \\ \mathbf{x_2}(t) \end{matrix} \right]$$

कहाँ
 * $$x_1(t)$$ वस्तु की स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है
 * $$x_2(t) = \dot{x}_1(t)$$ वस्तु का वेग है
 * $$\dot{x}_2(t) = \ddot{x}_1(t)$$ वस्तु का त्वरण है
 * उत्पादन $$\mathbf{y}(t)$$ वस्तु की स्थिति है

नियंत्रणीयता परीक्षण तब है


 * $$\begin{bmatrix} B & AB \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{m} \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{k}{m} & -\frac{b}{m} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{m} \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{m} \\ \frac{1}{m} & -\frac{b}{m^2} \end{bmatrix}$$ जिसमें सभी के लिए फुल रैंक है $$b$$ और $$m$$. इसका कारण यह है, कि यदि प्रणाली  की प्रारंभिक अवस्था ज्ञात है ($$y(t)$$, $$\dot y(t)$$, $$\ddot{y}(t)$$), और यदि $$b$$ और $$m$$ स्थिर हैं, तो एक बल है $$u$$ जो कार्ट को प्रणाली  में किसी अन्य स्थिति में ले जा सकता है।

अवलोकन परीक्षण तब है


 * $$\begin{bmatrix} C \\ CA \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{k}{m} & -\frac{b}{m} \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$ जिसकी भी पूरी रैंक है। इसलिए, यह प्रणाली नियंत्रणीय और अवलोकनीय दोनों है।

नॉनलाइनियर प्रणाली
राज्य-अंतरिक्ष मॉडल का अधिक सामान्य रूप दो कार्यों के रूप में लिखा जा सकता है।


 * $$\mathbf{\dot{x}}(t) = \mathbf{f}(t, x(t), u(t))$$
 * $$\mathbf{y}(t) = \mathbf{h}(t, x(t), u(t))$$

पहला राज्य समीकरण है और बाद वाला आउटपुट समीकरण है। यदि समारोह $$f(\cdot,\cdot,\cdot)$$ राज्यों और इनपुट का एक रैखिक संयोजन है तो समीकरणों को ऊपर की तरह मैट्रिक्स नोटेशन में लिखा जा सकता है। $$u(t)$$ h> फ़ंक्शन के तर्क को छोड़ दिया जा सकता है यदि प्रणाली अनफोर्स्ड है (अर्थात, इसमें कोई इनपुट नहीं है)।

लंगर उदाहरण
एक क्लासिक नॉनलाइनियर प्रणाली एक साधारण अप्रत्याशित पेंडुलम है


 * $$m\ell^2\ddot\theta(t)= - m\ell g\sin\theta(t) - k\ell\dot\theta(t)$$

कहाँ राज्य के समीकरण तो हैं
 * $$\theta(t)$$ गुरुत्वाकर्षण की दिशा के संबंध में पेंडुलम का कोण है
 * $$m$$ पेंडुलम का द्रव्यमान है (पेंडुलम रॉड का द्रव्यमान शून्य माना जाता है)
 * $$g$$ गुरुत्वीय त्वरण है
 * $$k$$ धुरी बिंदु पर घर्षण का गुणांक है
 * $$\ell$$ पेंडुलम की त्रिज्या है (द्रव्यमान के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र में $$m$$)


 * $$\dot{x}_1(t) = x_2(t)$$
 * $$\dot{x}_2(t) = - \frac{g}{\ell}\sin{x_1}(t) - \frac{k}{m\ell}{x_2}(t)$$

कहाँ
 * $$x_1(t) = \theta(t)$$ पेंडुलम का कोण है
 * $$x_2(t) = \dot{x}_1(t)$$ पेंडुलम का घूर्णी वेग है
 * $$\dot{x}_2 = \ddot{x}_1$$ पेंडुलम का घूर्णी त्वरण है

इसके अतिरिक्त, राज्य समीकरण को सामान्य रूप में लिखा जा सकता है


 * $$\dot{\mathbf{x}}(t) = \begin{bmatrix} \dot{x}_1(t) \\ \dot{x}_2(t) \end{bmatrix} = \mathbf{f}(t, x(t)) = \begin{bmatrix} x_2(t) \\ - \frac{g}{\ell}\sin{x_1}(t) - \frac{k}{m\ell}{x_2}(t) \end{bmatrix}.$$

एक प्रणाली के यांत्रिक संतुलन/स्थिर बिंदु हैं जब $$\dot{x} = 0$$ और इसलिए एक पेंडुलम के संतुलन बिंदु वे हैं जो संतुष्ट करते हैं


 * $$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n\pi \\ 0 \end{bmatrix}$$

पूर्णांक n के लिए।

यह भी देखें

 * नियंत्रण इंजीनियरिंग
 * नियंत्रण सिद्धांत
 * राज्य पर्यवेक्षक
 * अवलोकनीयता
 * नियंत्रणीयता
 * राज्य-अंतरिक्ष मॉडल का विवेक
 * भौतिकी और गणित में चरण अवस्था (जैसे राज्य स्थान) के बारे में जानकारी के लिए चरण स्थान।
 * कंप्यूटर विज्ञान में असतत राज्यों के साथ राज्य अंतरिक्ष के बारे में जानकारी के लिए राज्य स्थान।
 * भौतिकी में राज्य अंतरिक्ष के बारे में जानकारी के लिए राज्य स्थान (भौतिकी)।
 * सांख्यिकीय अनुप्रयोग के लिए कलमन फ़िल्टर।

अग्रिम पठन



 * On the applications of state-space models in econometrics:



बाहरी संबंध

 * Wolfram language functions for linear state-space models, affine state-space models, and nonlinear state-space models.