बहुभुजीकरण

कम्प्यूटेशनल ज्यामिति में, यूक्लिडियन प्लेन में बिंदुओं के एक सीमित समुच्चय का बहुभुजीकरण सरल बहुभुज होता है जिसके शीर्ष दिए गए बिंदुओं के साथ होते हैं। बहुभुजीकरण को बहुभुजकरण, सरल बहुभुजीकरण, हैमिल्टनियन बहुभुज, गैर-रेखण हैमिल्टनियन चक्र, या रेखण-फ्री स्ट्रेट-एज स्पैनिंग चक्र भी कहा जा सकता है।

प्रत्येक बिंदु सेट जो एक रेखा पर स्थित नहीं है, उसमें न्यूनतम बहुभुजीकरण होता है, जिसे बहुपद समय में पाया जा सकता है। उत्तल स्थिति में बिंदुओं के लिए, केवल एक ही होता है, लेकिन कुछ अन्य बिंदु सेटों के लिए, चरघातांकीय रूप से कई हो सकते हैं। कई प्राकृतिक अनुकूलन मानदंडों के तहत एक इष्टतम बहुभुजीकरण ढूंढना कठिन समस्या है, जिसमें विशेष स्तिथि में ट्रैवलिंग सेल्समैन की समस्या भी सम्मिलित है। सभी बहुभुजीकरणों की गणना की जटिलता अज्ञात बनी हुई है।

परिभाषा
बहुभुजीकरण एक साधारण बहुभुज है जिसमें यूक्लिडियन प्लेन में दिए गए बिंदुओं का समुच्चय होता है। बहुभुज को इसके शीर्ष पर चक्रीय क्रम द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जो बहुभुज के किनारों, पंक्ति खंडों द्वारा लगातार जोड़ों में जुड़ा होता है। एक बहुभुज, जो इस तरह से परिभाषित है, सरल है यदि इन रेखा खंडों के केवल प्रतिच्छेदन बिंदु साझा अंतिम बिंदु पर हैं।

कुछ लेखक केवल उन बिंदुओं के लिए बहुभुजीकरण पर विचार करते हैं जो सामान्य स्थिति में हैं, जिसका अर्थ है कि कोई भी तीन पंक्ति में नहीं हैं। इस धारणा के साथ, बहुभुज के दो क्रमिक खंडों के बीच का कोण 180° नहीं हो सकता। हालाँकि, जब संरेखताओं वाले बिंदु सेटों पर विचार किया जाता है, तो सामान्यतः उनके बहुभुजीकरण के लिए कुछ बिंदुओं पर 180° कोण रखने की अनुमति दी जाती है। जब ऐसा होता है, तब भी इन बिंदुओं को किनारों के आंतरिक होने के स्थान पर शीर्ष ही माना जाता है।

अस्तित्व
स्टीनहॉस (1964) ने देखा कि पंक्ति में तीन के बिना सेट किया गया प्रत्येक परिमित बिंदु एक साधारण बहुभुज के शीर्ष बनाता है। हालाँकि, किसी भी तीन को पंक्ति में होने की आवश्यकता अनावश्यक रूप से पर्याप्त है। इसके स्थान पर, बहुभुजीकरण (180° कोणों की अनुमति) के अस्तित्व के लिए केवल इतना आवश्यक है कि सभी बिंदु एक ही रेखा पर न हों। यदि वे ऐसा नहीं करते हैं, तो उनके पास एक बहुभुजीकरण है जिसे बहुपद समय में बनाया जा सकता है। बहुभुज बनाने का विधि यह है कि $$P$$ के उत्तल संचालन में कोई बिंदु $$q$$ चुनें (जरूरी नहीं कि दिए गए बिंदुओं में से एक हो)। फिर q के चारों ओर के बिंदुओं को रेडियल रूप से क्रमबद्ध करना ($$q$$ से दूरी के आधार पर संबंधों को तोड़ना) सभी दिए गए बिंदुओं के माध्यम से एक तारे के आकार के बहुभुज के चक्रीय क्रम को उत्पन्न करता है, जिसके कर्नेल में $$q$$ होता है। केंद्रीय बिंदु के चारों ओर रेडियल रूप से बिंदुओं को क्रमबद्ध करने का एक ही विचार ग्राहम स्कैन उत्तल संचालन एल्गोरिदम के कुछ संस्करणों में उपयोग किया जाता है,$$O(n\log n)$$ समय में निष्पादित किया जा सकता है।180° कोणों से बचने वाले बहुभुजीकरण हमेशा उपस्थित नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, 3 × 3 और 5 × 5 वर्ग ग्रिड के लिए, सभी बहुभुजीकरण 180° कोणों का उपयोग करते हैं।

तारे के आकार के बहुभुजीकरण के साथ-साथ, बिंदुओं के प्रत्येक गैर-संरेखीय सेट में एक बहुभुजीकरण होता है जो एक मोनोटोन बहुभुज है। इसका मतलब यह है कि, कुछ सीधी रेखाओं के संबंध में (जिन्हें $$x$$-अक्ष इस रूप में लिया जा सकता है) संदर्भ रेखा की प्रत्येक लंबवत रेखा बहुभुज को एक ही अंतराल में प्रतिच्छेद करती है, या बिल्कुल नहीं। ग्रुनबाम (1994) का निर्माण बिंदुओं को उनके $$x$$-निर्देशांक के अनुसार क्रमबद्ध करने और दो चरम बिंदुओं के माध्यम से एक रेखा खींचने से प्रारम्भ होता है। क्योंकि सभी बिंदु एक पंक्ति में नहीं हैं, इस रेखा से घिरे दो खुले आधे तलों में से कम से कम एक गैर-रिक्त होना चाहिए। ग्रुनबाम दो मोनोटोन बहुभुज श्रृंखलाएं बनाता है जो चरम बिंदुओं को बिंदुओं के क्रमबद्ध अनुवर्ती के माध्यम से जोड़ता है: एक इस गैर-खाली खुले आधे प्लेन में बिंदुओं के लिए, और दूसरा शेष बिंदुओं के लिए। उनका संघ वांछित मोनोटोन बहुभुज है। श्रेणीकरण चरण के बाद, शेष निर्माण रैखिक समय में किया जा सकता है।

केवल अक्ष-समानांतर किनारों का उपयोग करके यह निर्धारित करना एनपी-पूर्ण है कि बिंदुओं के एक सेट में बहुभुजीकरण है या नहीं। हालाँकि, अतिरिक्त बाधा के साथ बहुभुजीकरण, यदि वे उपस्थित हैं, तो वे प्रत्येक शीर्ष पर दाएँ मोड़ लेते हैं, विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं। एक बिंदु से होकर जाने वाली प्रत्येक अक्ष-समानांतर रेखा को सम संख्या में बिंदुओं से होकर गुजरना चाहिए, और इस बहुभुजीकरण को इस रेखा पर बिंदुओं के वैकल्पिक जोड़े को जोड़ना होगा। बहुभुजीकरण समय $$O(n\log n)$$ में बिंदुओं को समान निर्देशांक के अनुसार समूहित करके और प्रत्येक समूह को अन्य निर्देशांक के अनुसार क्रमबद्ध करके पाया जा सकता है। किसी भी बिंदु सेट के लिए, अधिकतम एक घूर्णन में इस रूप का बहुभुजीकरण हो सकता है, और यह घूर्णन फिर से बहुपद समय में पाया जा सकता है।

अनुकूलन
इष्टतम बहुभुजीकरण (इष्टतमता के विभिन्न मानदंडों के लिए) खोजने की समस्याएं प्रायः कम्प्यूटेशनल रूप से संभव नहीं होती हैं। उदाहरण के लिए, दिए गए बिंदुओं के लिए ट्रैवलिंग सेल्समैन समस्या के समाधान में कोई रेखण नहीं है। इसलिए, यह हमेशा बहुभुजीकरण होता है, न्यूनतम परिधि वाला बहुभुजीकरण। इसे ढूंढना एनपी-कठिन है। इसी तरह, न्यूनतम या अधिकतम क्षेत्र के साथ सरल बहुभुजीकरण को ढूंढना एनपी-हार्ड के रूप में जाना जाता है, [3] और यह कुछ कम्प्यूटेशनल प्रयासों का विषय रहा है। अधिकतम क्षेत्रफल सदैव उत्तल संचालन के क्षेत्रफल के आधे से अधिक होता है, जो अनुमानित अनुपात 2 देता है। अधिकतम परिधि वाले सरल बहुभुजीकरण की सटीक जटिलता, और इस समस्या के लिए स्थिर सन्निकटन अनुपात का अस्तित्व अज्ञात है। बहुभुजीकरण जो इसके सबसे लंबे किनारे की लंबाई को कम करता है, उसे ढूंढना भी एनपी-कठिन है, और $$\sqrt3$$ से बेहतर अनुमानित अनुपात का अनुमान लगाना कठिन है; कोई स्थिर-कारक सन्निकटन ज्ञात नहीं है।

ट्रैवलिंग सेल्समैन की समस्या के गैर-इष्टतम समाधान में रेखण हो सकती है, लेकिन स्थानीय अनुकूलन चरणों द्वारा सभी रेखण को खत्म करना संभव है जो कुल लंबाई को कम करते हैं। ऐसे चरणों का उपयोग करना जो प्रत्येक चरण पर रेखण को भी समाप्त कर देते हैं, यह बहुपद समय में किया जा सकता है, लेकिन इस प्रतिबंध के बिना स्थानीय अनुकूलन अनुक्रम उपस्थित हैं जो इसके बजाय चरणों की घातांकीय संख्या का उपयोग करते हैं।

सबसे छोटा बिटोनिक टूर (दिए गए बिंदुओं के माध्यम से न्यूनतम-परिधि मोनोटोन बहुभुज) हमेशा बहुभुज होता है, और बहुपद समय में पाया जा सकता है।

गणना
किसी दिए गए बिंदु सेट के सभी बहुभुजों की गणना की समस्या #P से संबंधित है, जो एनपी में निर्णय समस्याओं से जुड़ी गणना की समस्याओं का वर्ग है। हालाँकि, यह अज्ञात है कि यह #पी-पूर्ण है या नहीं, यदि नहीं, तो इसकी कम्प्यूटेशनल जटिलता क्या हो सकती है। बिंदुओं के समूह में बिल्कुल बहुभुजीकरण होता है यदि और केवल यदि यह उत्तल स्थिति में हो। वहाँ $$n$$ बिंदुओं के सेट उपस्थित हैं जिनके लिए बहुभुजीकरण की संख्या $$4.64^n$$ जितनी बड़ी है, और $$n$$ बिंदुओं के प्रत्येक सेट में अधिकतम $$54.6^n$$ बहुभुजीकरण हैं।

बिंदुओं के लेबल वाले त्रिकोणों पर तलीय विभाजक प्रमेय को प्रयुक्त करने के तरीकों का उपयोग उपघातांकीय समय, $$n^{O(\sqrt n)}$$ में $$n$$ बिंदुओं के सेट के सभी बहुभुजीकरणों को गिनने के लिए किया जा सकता है। डायनेमिक प्रोग्रामिंग का उपयोग बहुपद समय में सभी मोनोटोन बहुभुजीकरणों को गिनने के लिए किया जा सकता है, और इस गणना के परिणामों का उपयोग यादृच्छिक मोनोटोन बहुभुजीकरण उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है।

पीढ़ी
यह अज्ञात है कि क्या सभी बहुभुजीकरणों की प्रणाली के लिए स्थानीय चालों के तहत सम्बद्ध स्टेट स्पेस बनाना संभव है जो बहुभुजीकरण के किनारों की एक सीमित संख्या को बदल देता है। यदि यह संभव होता, तो इसे स्टेट स्पेस पर ग्राफ़ ट्रैवर्सल प्रयुक्त करके, सभी बहुभुजीकरण उत्पन्न करने के लिए एल्गोरिदम के भाग के रूप में उपयोग किया जा सकता था। इस समस्या के लिए, उन फ़्लिप्स पर विचार करना अपर्याप्त है जो बहुभुजीकरण के दो किनारों को हटाते हैं और उन्हें दो अन्य किनारों से प्रतिस्थापित करते हैं, या वीई-फ़्लिप्स जो तीन किनारों को हटाते हैं, जिनमें से दो शीर्ष साझा करते हैं, और उन्हें तीन अन्य किनारों से प्रतिस्थापित करते हैं। ऐसे बहुभुजीकरण उपस्थित हैं जिनके लिए कोई फ्लिप या वीई-फ्लिप संभव नहीं है, भले ही उसी बिंदु सेट में अन्य बहुभुजीकरण होते हों।

बहुभुज आवरण, कमज़ोर सरल बहुभुज जो प्रत्येक दिए गए बिंदु को शीर्ष के रूप में एक या अधिक बार उपयोग करते हैं, सभी बहुभुजीकरण सम्मिलित होते हैं और स्थानीय चालों से जुड़े होते हैं। बहुभुजों का और सामान्य वर्ग, आसपास के बहुभुज, सरल बहुभुज होते हैं जिनमें दिए गए कुछ बिंदुओं को शीर्ष के रूप में रखा जाता है और सभी बिंदुओं को जोड़ लिया जाता है। वे फिर से स्थानीय रूप से जुड़े हुए हैं, और प्रति बहुभुज समय में बहुपद समय में सूचीबद्ध किए जा सकते हैं। एल्गोरिथ्म बहुभुजों के एक ट्री का निर्माण करता है, जिसकी जड़ उत्तल संचालन के रूप में होती है और शीर्ष को हटाकर एक दूसरे के आसपास के बहुभुज के माता-पिता को प्राप्त किया जाता है (बहुभुज के बाहरी हिस्से में दो कान प्रमेय को प्रयुक्त करने से संभव साबित होता है)। फिर यह बहुभुजों को सूचीबद्ध करने के लिए इस ट्री पर रिवर्स-सर्च एल्गोरिदम प्रयुक्त करता है। इस विधि के परिणामस्वरूप, सभी बहुभुजीकरणों को घातांकीय समय ($$2^{O(n)}$$$$n$$ बिंदुओं के लिए) और बहुपद स्थान में सूचीबद्ध किया जा सकता है।

अनुप्रयोग
क्लासिकल कनेक्ट द डॉट्स पहेलियों में कुछ अप्रत्याशित आकार बनाने के लिए प्रायः बिना क्रॉस किए बिंदुओं को क्रम से जोड़ना सम्मिलित होता है। ट्रैवलिंग सेल्समैन समस्या और इसके विभिन्न प्रकारों के कई अनुप्रयोग हैं। बहुभुजीकरण का अनुप्रयोग बिखरे हुए डेटा बिंदुओं से समोच्च रेखाओं के पुनर्निर्माण और छवि विश्लेषण में सीमा अनुरेखण में भी होता है।

यह भी देखें

 * डेनजॉय-रिस्ज़ प्रमेय, अनंत बिंदुओं के सेट पर जिन्हें जॉर्डन आर्क द्वारा जोड़ा जा सकता है।