हैंडल अपघटन

गणित में, m-बहुरूपता M का हैंडल अपघटन समुच्च है$$\emptyset = M_{-1} \subset M_0 \subset M_1 \subset M_2 \subset \dots \subset M_{m-1} \subset M_m = M$$जहां प्रत्येक $$M_i$$ को $$i$$-हैंडल संलग्न करके $$M_{i-1}$$ से प्राप्त किया जाता है। हैंडल अपघटन सांस्थितिक अंतराल के लिए CW-अपघटन के समान बहुरूपता है - कई स्थितियों में हैंडल अपघटन का उद्देश्य CW-संकुलों के अनुरूप एक भाषा है, लेकिन निष्कोण बहुरूपता की दुनिया के लिए अनुकूलित है। इस प्रकार i-हैंडल i-सेल का निष्कोण अनुरूप है। मोर्स सिद्धांत के माध्यम से बहुरूपताओं का हैंडल विघटन स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होता है। हैंडल संरचनाओं का संशोधन सेर्फ़ सिद्धांत से निकटता से जुड़ा हुआ है।

अभिप्रेरण
एक शून्य सेल और n-सेल के साथ n-वृत्त के मानक CW-अपघटन पर विचार करें। निष्कोण बहुरूपता के दृष्टिकोण से, यह वृत्त का एक विकृत अपघटन है, क्योंकि इस अपघटन की दृष्टि से $$S^n$$ की निष्कोण संरचना को देखने का कोई प्राकृतिक तरीका नहीं है- विशेष रूप से 0-सेल के निकट निष्कोण संरचना $$S^{n-1}$$ के क्षेत्र में विशेषता मानचित्र $$\chi : D^n \to S^n$$ के व्यवहार पर निर्भर करती है।

CW-अपघटन के साथ समस्या यह है कि सेलों के लिए संलग्न मानचित्र बहुरूपता के बीच निष्कोण मानचित्रों की दुनिया में नहीं रहते हैं। इस दोष को ठीक करने के लिए रोगाणु संबंधी अंतर्दृष्टि नलिकाकार क्षेत्र प्रमेय है। बहुरूपता M में एक बिंदु p दिया गया है, इसका संवृत्त नलिकाकार क्षेत्र $$N_p$$, $$D^m$$ से भिन्न है, इस प्रकार हमने M को $$N_p$$ और $$M \setminus \operatorname{int}(N_p)$$ के असंयुक्त समुच्च में विघटित कर दिया है, जो उनकी सामान्य सीमा से जुड़ा हुआ है। यहां महत्वपूर्ण मुद्दा यह है कि चिपकाने वाला मानचित्र एक भिन्नरूपता है। इसी प्रकार, $$M \setminus \operatorname{int}(N_p)$$ में निष्कोण अंतःस्थापित चाप लें, इसका नलिकाकार क्षेत्र $$I \times D^{m-1}$$ से भिन्न है। यह हमें $$M$$ को तीन बहुरूपताओं के समुच्च के रूप में लिखने की अनुमति देता है, जो उनकी सीमाओं के कुछ भागों के साथ चिपके हुए हैं- 1) $$D^m$$ 2) $$I \times D^{m-1}$$ और 3) $$M \setminus \operatorname{int}(N_p)$$ में चाप के विवृत नलिकाकार क्षेत्र का पूरक। ध्यान दें कि सभी चिपकाने वाले मानचित्र निष्कोण मानचित्र हैं - विशेष रूप से जब हम $$I \times D^{m-1}$$ को $$D^m$$ से चिपकाते हैं तो समतुल्य संबंध $$\partial D^m$$ में $$(\partial I)\times D^{m-1}$$ के अंतःस्थापन द्वारा उत्पन्न होता है, जो नलिकाकार क्षेत्र प्रमेय द्वारा निष्कोण होता है।

हैंडल अपघटन स्टीफ़न स्माले का आविष्कार है। उनके मूल सूत्रीकरण में, j-हैंडल को m-बहुरूपता M से जोड़ने की प्रक्रिया यह मानती है कि किसी के पास $$f : S^{j-1} \times D^{m-j} \to \partial M$$ का निष्कोण अंतःस्थापन है। माना $$H^j = D^j \times D^{m-j}$$। बहुरूपता $$M \cup_f H^j$$ (शब्दों में, M समुच्च j-हैंडल f के साथ) $$M$$ और $$H^j$$ के असंयुक्त समुच्च को संदर्भित करता है जिसमें $$\partial M$$ में इसके चित्र के साथ $$S^{j-1} \times D^{m-j}$$ की पहचान होती है, अर्थात,$$ M \cup_f H^j = \left( M \sqcup (D^j \times D^{m-j}) \right) / \sim$$जहां समतुल्य संबंध $$\sim$$ सभी $$(p,x) \in S^{j-1} \times D^{m-j} \subset D^j \times D^{m-j}$$ के लिए $$(p,x) \sim f(p,x)$$ द्वारा उत्पन्न होता है। एक का कहना है कि j-हैंडल संलग्न करके M से बहुरूपता N प्राप्त किया जाता है यदि M का निश्चित रूप से अनेक j-हैंडल के साथ समुच्च N से भिन्न है। हैंडल अपघटन की परिभाषा तब परिचय के समान है। इस प्रकार, बहुरूपता में केवल 0-हैंडल के साथ हैंडल अपघटन होता है यदि यह गेंदों के असंयुक्त समुच्च के लिए भिन्न होता है। संबद्ध बहुरूपता जिसमें केवल दो प्रकार के हैंडल होते हैं (अर्थात- 0-हैंडल और कुछ निश्चित j के लिए j-हैंडल) को हैंडलबॉडी कहा जाता है।

शब्दावली
M समुच्च बनाते समय एक j-हैंडल $$H^j$$$$ M \cup_f H^j = \left( M \sqcup (D^j \times D^{m-j}) \right) / \sim$$$$f(S^{j-1} \times \{0\}) \subset M$$ को संलग्न क्षेत्र के रूप में जाना जाता है।

$$f$$ को कभी-कभी संलग्न क्षेत्र की फ्रेमिंग भी कहा जाता है, क्योंकि यह इसके सामान्य बंडल का तुच्छीकरण देता है।

$$\{0\}^j \times S^{m-j-1} \subset D^j \times D^{m-j} = H^j$$, $$ M \cup_f H^j$$ में हैंडल $$H^j$$ का बेल्ट क्षेत्र है।

डिस्क $$D^m$$ पर g k-हैंडल जोड़कर प्राप्त किया गया बहुरूपता वर्ग g का (m,k)-हैंडलबॉडी है।

कोबॉर्डिज़्म प्रस्तुतियाँ
कोबॉर्डिज्म की हैंडल प्रस्तुति में कोबॉर्डिज्म W सम्मिलित होता है जहां $$\partial W = M_0 \cup M_1$$ और आरोही समुच्च होता है $$W_{-1} \subset W_0 \subset W_1 \subset \cdots \subset W_{m+1} = W $$जहां $M$, $m$-आयामी है, $W$, m+1-आयामी है, $$W_{-1}$$, $$M_0 \times [0,1]$$ से भिन्न है और $$W_i$$ को i-हैंडल के अनुलग्नक द्वारा $$W_{i-1}$$ से प्राप्त किया जाता है। जबकि हैंडल अपघटन बहुरूपता के लिए अनुरूप हैं, सेल अपघटन सांस्थितिक अंतराल के लिए क्या हैं, कोबॉर्डिज्म की हैंडल प्रस्तुतियाँ सीमा के साथ बहुरूपता होती हैं जो अंतराल के जोड़े के लिए सापेक्ष सेल विघटन होता हैं।

मोर्स सैद्धांतिक दृष्टिकोण
सघन सीमाहीन बहुरूपता M पर मोर्स फलन $$f : M \to \R$$ दिया गया है, जैसे कि f के क्रांतिक बिंदु $$\{p_1, \ldots, p_k\} \subset M$$, $$f(p_1) < f(p_2) < \cdots < f(p_k) $$ को संतुष्ट करते हैं, और प्रदान किया गया है$$t_0 < f(p_1) < t_1 < f(p_2) < \cdots < t_{k-1} < f(p_k) < t_k ,$$फिर सभी j के लिए, $$f^{-1}[t_{j-1},t_{j}]$$, $$(f^{-1}(t_{j-1}) \times [0,1]) \cup H^{I(j)}$$ से भिन्न है, जहां I(j) क्रांतिक बिंदु $$p_{j}$$ का सूचकांक है। सूचकांक I(j) स्पर्शी अंतराल $$T_{p_j}M$$ के अधिकतम उप-अंतराल के आयाम को संदर्भित करता है जहां हेसियन ऋणात्मक निश्चित है।

बशर्ते सूचकांक $$I(1) \leq I(2) \leq \cdots \leq I(k)$$ को संतुष्ट करें, यह M का एक हैंडल अपघटन है, इसके अलावा, प्रत्येक बहुरूपता में ऐसे मोर्स फलन होते हैं, इसलिए उनके पास हैंडल अपघटन होता है। इसी तरह, $$ \partial W = M_0 \cup M_1$$ के साथ कोबॉर्डिज्म $$W$$ और फलन $$ f: W \to \R$$ दिया गया है, जो आंतरिक भाग पर मोर्स है और सीमा पर स्थिर है और बढ़ते सूचकांक गुण को संतुष्ट करता है, कोबॉर्डिज्म W की प्रेरित हैंडल प्रस्तुति है।

जब f, M पर मोर्स फलन है, तो -f भी एक मोर्स फलन है। संगत हैंडल अपघटन/प्रस्तुति को द्वि अपघटन कहा जाता है।

कुछ प्रमुख प्रमेय एवं अवलोकन

 * एक बंद, ओरिएंटेबल 3-मैनिफोल्ड का हीगार्ड विभाजन, 3-मैनिफोल्ड का उनकी सामान्य सीमा के साथ दो (3,1)-हैंडलबॉडी के मिलन में एक अपघटन है, जिसे हीगार्ड विभाजन सतह कहा जाता है। हीगार्ड विभाजन कई प्राकृतिक तरीकों से 3-मैनिफोल्ड के लिए उत्पन्न होता है: 3-मैनिफोल्ड के एक हैंडल अपघटन को देखते हुए, 0 और 1-हैंडल का मिलन एक (3,1)-हैंडलबॉडी है, और 3 और 2- का मिलन है। हैंडल भी एक (3,1)-हैंडलबॉडी है (दोहरे अपघटन के दृष्टिकोण से), इस प्रकार एक हीगार्ड विभाजन है। यदि 3-मैनिफोल्ड में त्रिकोणासन (टोपोलॉजी) टी है, तो एक प्रेरित हीगार्ड विभाजन होता है जहां पहला (3,1)-हैंडलबॉडी 1-कंकाल का एक नियमित पड़ोस है $$T^1$$, और दूसरा (3,1)-हैंडलबॉडी पोंकारे द्वैत|दोहरे 1-कंकाल का एक नियमित पड़ोस है।
 * लगातार दो हैंडल जोड़ते समय $$(M \cup_f H^i) \cup_g H^j$$, बशर्ते कि अनुलग्नक के क्रम को बदलना संभव हो $$j \leq i$$, यानी: यह मैनिफोल्ड फॉर्म के मैनिफोल्ड से भिन्न है $$(M \cup H^j) \cup H^i$$ उपयुक्त संलग्न मानचित्रों के लिए।
 * की सीमा $$M \cup_f H^j$$ से भिन्न है $$\partial M$$ फ़्रेमयुक्त गोले के साथ उछाल आया $$f$$. यह सर्जरी सिद्धांत, हैंडल और मोर्स फ़ंक्शन के बीच प्राथमिक लिंक है।
 * परिणामस्वरूप, एक एम-मैनिफोल्ड एम एक एम+1-मैनिफोल्ड डब्ल्यू की सीमा है यदि और केवल यदि एम से प्राप्त किया जा सकता है $$S^m$$ फ़्रेमयुक्त कड़ियों के संग्रह पर सर्जरी द्वारा $$S^m$$. उदाहरण के लिए, यह ज्ञात है कि एच-कोबॉर्डिज़्म के कारण प्रत्येक 3-मैनिफोल्ड 4-मैनिफोल्ड (इसी प्रकार उन्मुख और स्पिन 3-मैनिफोल्ड बाध्य ओरिएंटेड और स्पिन 4-मैनिफोल्ड क्रमशः) से बंधता है। रेने थॉम का कोबॉर्डिज्म पर काम। इस प्रकार प्रत्येक 3-मैनिफोल्ड को 3-गोले में फ़्रेम किए गए लिंक पर सर्जरी के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है। उन्मुख मामले में, इस फ़्रेम किए गए लिंक को मंडलियों के असंयुक्त संघ के फ़्रेमयुक्त एम्बेडिंग में कम करना पारंपरिक है।
 * एच-कोबॉर्डिज्म|एच-कोबॉर्डिज्म प्रमेय चिकनी मैनिफोल्ड्स के हैंडल डीकंपोजिशन को सरल बनाकर सिद्ध किया गया है।

यह भी देखें

 * कैसन हैंडल
 * कोबॉर्डिज्म सिद्धांत
 * सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स
 * हैण्डलबॉडी
 * किर्बी कैलकुलस
 * कई गुना अपघटन

सामान्य सन्दर्भ

 * ए. कोसिंस्की, डिफरेंशियल मैनिफोल्ड्स वॉल्यूम 138 प्योर एंड एप्लाइड मैथमेटिक्स, एकेडमिक प्रेस (1992)।
 * रॉबर्ट गोम्फ और एंड्रास स्टिप्सिक्ज़, 4-मैनिफोल्ड्स और किर्बी कैलकुलस, (1999) (गणित में स्नातक अध्ययन में खंड 20), अमेरिकन गणितीय सोसायटी, प्रोविडेंस, आरआई ISBN 0-8218-0994-6

श्रेणी:ज्यामितीय टोपोलॉजी