प्रसार ग्राफ

प्रसार रेखांकन, रेडियो प्रसार चैनलों के लिए एक गणितीय मॉडलिंग पद्धति है। प्रसार रेखांकन एक सिग्नल-फ्लो रेखांकन है जिसके शिखर ट्रांसमीटर, रिसीवर या स्कैटर का प्रतिनिधित्व करते हैं। रेखांकन मॉडल प्रसार में किनारे कोने के बीच अनुकूलित करते हैं। प्रसार रेखांकन मॉडल शुरू में ट्रॉल्स पेडर्सन, एट अल द्वारा मल्टीपल स्कैटरिंग वाले परिदृश्यों में मल्टीपाथ प्रसार के लिए विकसित किए गए थे, जैसे इनडोर रेडियो प्रसार।   इसे बाद इसे कई अन्य परिदृश्यों में कार्यान्वित किया गया।

गणितीय परिभाषा
प्रसार रेखांकन एक सरल निर्देशित रेखांकन $\mathcal G = (\mathcal V, \mathcal E)$ है, शिखर सेट $$\mathcal V$$ और एज सेट $$\mathcal E$$ के साथ ,

प्रसार परिदृश्य में शिखर मॉडल ऑब्जेक्ट्स। शिखर सेट $$\mathcal V$$ के रूप में तीन असंयुक्त सेटों में विभाजित है $$\mathcal V = \mathcal V_t \cup \mathcal V_r \cup\mathcal V_s$$ जहाँ $$\mathcal V_t $$ ट्रांसमीटरों का सेट है, $$\mathcal V_r$$ रिसीवर का सेट है और स्कैटर नामक वस्तुओं का समूह है।

किनारा सेट $$\mathcal E $$, शिखरों के बीच प्रसार मॉडल, प्रसार स्थिति को मॉडल करता है। चूँकि $$\mathcal G$$ सरल माना जाता है, $$\mathcal E \subset \mathcal V^2$$ और एक किनारे को एक जोड़ी शिखर द्वारा पहचाना जा सकता है जैसे $$e = (v,v')$$| एक किनारा $$e = (v,v')$$, $$\mathcal E$$ में शामिल है यदि शिखर द्वारा उत्सर्जित सिग्नल $$v$$, $$v'$$ तक प्रसार कर सकते हैं | प्रसार रेखांकन में, ट्रांसमीटरों के इनकमिंग-किनारे नहीं हो सकते हैं और रिसीवर के पास आउटगोइंग-किनारे नहीं हो सकते हैं।

दो प्रसार नियम माने जाते हैं
 * शिखर अपने इनकमिंग-किनारों के माध्यम से आने वाले संकेतों को एकत्र करता है और आउटगोइंग-किनारों के माध्यम से स्केल किया गया संस्करण भेजता है।
 * प्रत्येक किनारा $$e=(v,v')$$, $$v$$ से  $$v'$$ को सिग्नल ट्रांसफर करता है जो ट्रांसफर फ़ंक्शन द्वारा स्केल किया गया।

शिखर गेन स्केलिंग और एज ट्रांसफर फ़ंक्शंस की परिभाषा को विशेष परिदृश्यों को समायोजित करने के लिए अनुकूलित किया जा सकता है और सिमुलेशन में मॉडल का उपयोग करने के लिए परिभाषित किया जाना चाहिए। प्रकाशित साहित्य में विभिन्न प्रसार रेखांकन मॉडल के लिए ऐसी कई परिभाषाओं पर विचार किया गया है। किनारा ट्रांसफर फ़ंक्शंस (फूरियर डोमेन में) को ट्रांसफर मैट्रिसेस में समूहीकृत किया जा सकता है जहाँ $$f$$ आवृत्ति चर है।
 * $$\mathbf D(f)$$ ट्रांसमीटर से रिसीवर तक सीधा प्रसार
 * $$\mathbf T(f)$$ ट्रांसमीटर से स्कैटर
 * $$\mathbf R(f)$$ स्कैटर से रिसीवर
 * $$\mathbf B(f)$$ स्कैटर से स्कैटर,

जो प्रेषित सिग्नल के फूरियर रूपांतरण को $$\mathbf X(f)$$ द्वारा प्रदर्शित करता है, प्राप्त संकेत आवृत्ति डोमेन में पढ़ता है $$\mathbf Y (f) = \mathbf  D(f) \mathbf X (f) + \mathbf R (f)\mathbf T (f) \mathbf X (f) +  \mathbf R (f)\mathbf B(f) \mathbf T (f) \mathbf X (f) +\mathbf R (f)\mathbf B^2(f) \mathbf T (f) \mathbf X (f) + \cdots$$

स्थानांतरण फलन
स्थानांतरण फलन $$\mathbf H(f)$$ प्रसार रेखांकन का एक अनंत श्रृंखला बनाता है $$ \begin{align} \mathbf H(f) &= \mathbf D(f)+ \mathbf R (f)[ \mathbf I+ \mathbf B(f) + \mathbf B(f)^{2} + \cdots ] \mathbf T (f)\\ &= \mathbf D(f)+ \mathbf R (f) \sum_{k=0}^\infty \mathbf B(f)^k \mathbf T(f) \end{align} $$ स्थानांतरण फलन पदों की एक न्यूमैन श्रृंखला है। वैकल्पिक रूप से, इसे मेट्रिसेस की ज्यामितीय श्रृंखला के रूप में आवृत्ति में बिंदुवार देखा जा सकता है। यह अवलोकन स्थानांतरण फलन के लिए एक बंद स्वरुप की अभिव्यक्ति उत्पन्न करता है $$\mathbf H(f) = \mathbf D(f) + \mathbf R(f) [\mathbf I - \mathbf B(f)]^{-1} \mathbf T(f),\qquad \rho(\mathbf B(f))<1 $$ जहाँ $$\mathbf I$$ एकल मैट्रिक्स को दर्शाता है और $$\rho(\cdot)$$ तर्क के रूप में दिए गए मैट्रिक्स का वर्णक्रमीय त्रिज्या है। स्थानांतरण फलन 'बाउंस' की संख्या के बावजूद प्रसार पथों की गिनती रखता है। श्रृंखला मल्टीप्ल स्कैटरिंग सिद्धांत से पैदा हुई बोर्न श्रृंखला के समान है।

आवेग प्रतिक्रियाएँ $$\mathbf h(\tau)$$,  $$\mathbf H(f)$$ के व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण द्वारा प्राप्त किए जाते हैं|

आंशिक स्थानांतरण फलन
आंशिक योग के लिए बंद स्वरुप उपलब्ध हैं, यानी स्थानांतरण फलन में केवल कुछ पदों पर विचार करके। संकेत घटकों के प्रसार के लिए आंशिक स्थानांतरण फलन कम से कम $$K$$ और अधिक से अधिक $$L$$ इंटरैक्शन के रूप में परिभाषित किया गया है, जैसे जहाँ $$\mathbf H_k(f) = \begin{cases} \mathbf D(f),& k=0\\ \mathbf R(f) \mathbf B^{k-1}(f) \mathbf T(f), & k = 1,2,3,\ldots \end{cases} $$ यहां $$k$$ इंटरैक्शन या बाउंसिंग ऑर्डर की संख्या को दर्शाता है।

तब आंशिक स्थानांतरण फलन है $$\mathbf H_{K:L}(f) = \begin{cases} \mathbf D(f) + \mathbf R(f) [\mathbf I-\mathbf B^L(f)] \cdot [\mathbf I-\mathbf B(f)]^{-1} \cdot \mathbf T(f), & K = 0\\ \mathbf R(f) [\mathbf B^{K-1}(f)-\mathbf B^L(f)] \cdot [\mathbf I-\mathbf B(f)]^{-1} \cdot \mathbf T(f), & \text{otherwise}.\\ \end{cases} $$विशेष स्थितियां:
 * $$\mathbf H_{0:\infty}(f) = \mathbf H(f) $$: पूर्ण स्थानांतरण फलन।
 * $$\mathbf H_{1:\infty}(f) = \mathbf R(f) [\mathbf I-\mathbf B(f)]^{-1} \mathbf T(f) $$: केवल अप्रत्यक्ष शब्द।
 * $$\mathbf H_{0:L}(f)$$: केवल $$L$$ युक्त पदों के साथ या कम बाउंस रखे जाते हैं ($$L$$-बाउंस ट्रंकेशन)।
 * $$\mathbf H_{L+1:\infty}(f)$$: दोष पद $$L$$-बाउंस ट्रंकेशन के कारण।

आंशिक स्थानांतरण फलन का एक अनुप्रयोग हाइब्रिड मॉडल में है, जहां प्रसार रेखांकन को प्रतिक्रिया के मॉडल भाग (आमतौर पर उच्च-क्रम की अंतःक्रिया) में नियोजित किया जाता है।

आंशिक आवेग प्रतिक्रियाएं $$\mathbf h_{K:L}(\tau) $$ व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण द्वारा $$\mathbf H_{K:L}(f) $$ से प्राप्त होते हैं ।

प्रसार रेखांकन मॉडल
रेडियो चैनल मॉडल बनाने के लिए प्रसार रेखांकन पद्धति को विभिन्न सेटिंग्स में लागू किया गया है। ऐसे मॉडल को प्रसार रेखांकन मॉडल कहा जाता है। ऐसे मॉडल दिए गए परिदृश्यों के लिए व्युत्पन्न किए गए हैं
 * एकध्रुवीकृत इनरूम चैनल। प्रारंभिक प्रसार रेखांकन मॉडल,  गैर-ध्रुवीकृत इनरूम चैनलों के लिए व्युत्पन्न किए गए थे।
 * पोलरिमेट्रिक प्रसार रेखांकन मॉडल को इनरूम प्रसार परिदृश्य के लिए विकसित किया गया है।
 * प्रसार रेखांकन ढांचे को समय-भिन्न परिदृश्यों के लिए (जैसे वाहन-से-वाहन) विस्तारित किया गया है। स्थलीय संचार के लिए, जहां वस्तुओं के सापेक्ष वेग सीमित हैं, चैनल को अर्ध-स्थैतिक माना जा सकता है और स्थिर मॉडल को हर समय पर लागू किया जा सकता है।
 * प्रसार रेखांकन सहित अनेक कार्यों में,   पुनर्संयोजन घटना के अनुकरण को सक्षम करने के लिए इसको किरण-अनुरेखण मॉडल में एकीकृत किया गया है। ऐसे मॉडलों को मिश्रित मॉडल कहा जाता है।
 * आउटडोर-टू-इनडोर मामलों सहित अन्य जटिल वातावरणों का इन परिदृश्यों के प्रसार रेखांकन की विशेष संरचना का लाभ उठाकर अध्ययन किया जा सकता है। बहुत जटिल वातावरण के लिए प्रतिक्रिया प्राप्त करने के लिए संगणना विधियों का विकास किया गया है
 * रेखांकन मॉडल कार्यप्रणाली का उपयोग स्थानिक रूप से सुसंगत एमआईएमओ चैनल मॉडल बनाने के लिए किया गया है।
 * हाई-स्पीड ट्रेन संचार के लिए कई प्रसार रेखांकन मॉडल प्रकाशित किए गए हैं।

प्रसार रेखांकन मॉडल का अंशांकन
प्रसार रेखांकन मॉडल के अंशांकन के लिए, इसके मापदंडों को उचित मूल्यों पर सेट किया जाना चाहिए। अलग-अलग तरीके अपनाए जा सकते हैं। कमरे के सरलीकृत ज्यामिति से कुछ पैरामीटर प्राप्त किए जा सकते हैं। विशेष रूप से, पुनर्संयोजन समय की गणना कमरे के इलेक्ट्रोमैग्नेटिक्स के माध्यम से की जा सकती है। वैकल्पिक रूप से, मापदंडों को अनुमान तकनीकों का उपयोग करके माप डेटा के अनुसार सेट किया जा सकता है जैसे कि क्षणों की विधि (सांख्यिकी), अनुमानित बायेसियन संगणना, या  गहरे तंत्रिका नेटवर्क |

संबंधित रेडियो चैनल मॉडल प्रकार
प्रसार रेखांकन मॉडलिंग की विधि अन्य विधियों से संबंधित है। उल्लेखनीय रूप से,
 * एकाधिक प्रकीर्णन का सिद्धांत
 * रेडियोधर्मी
 * किरण अनुरेखण
 * ज्यामिति आधारित स्टोकेस्टिक चैनल मॉडल (जीबीएससीएम)