स्पर्शरेखीय चतुर्भुज

यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक स्पर्शरेखीय चतुर्भुज (कभी-कभी केवल स्पर्शरेखा चतुर्भुज) या परिबद्ध चतुर्भुज एक उत्तल बहुभुज चतुर्भुज होता है जिसकी सभी भुजाएँ चतुर्भुज के भीतर एक ही वृत्त की स्पर्शरेखा हो सकती हैं। इस वृत्त को चतुर्भुज या इसके अंकित वृत्त के त्रिभुज का अंतःवृत्त और बाह्य वृत्त कहा जाता है, इसका केंद्र अंकेन्द्र होता है और इसकी त्रिज्या अंतःत्रिज्या कहलाती है। चूँकि इन चतुर्भुजों को उनके वृत्तों के चारों ओर या परितः घेरते हुए खींचा जा सकता है, इसलिए उन्हें परिवृत्त चतुर्भुज, परिवृत्त चतुर्भुज, और परिवृत्त चतुर्भुज भी कहा गया है। स्पर्शरेखा चतुर्भुज स्पर्शरेखा बहुभुज का एक विशेष मामला है।

चतुर्भुजों के इस वर्ग के लिए अन्य कम इस्तेमाल किए जाने वाले नाम हैं अलिखित चतुर्भुज, अलिखित चतुर्भुज, अलिखित चतुर्भुज, परिवृत्त चतुर्भुज और सह-चक्रीय चतुर्भुज। जिस चतुर्भुज में एक परिवृत्त होता है, जिसे चक्रीय चतुर्भुज या उत्कीर्ण चतुर्भुज कहा जाता है, उसके साथ भ्रम के जोखिम के कारण, अंतिम पांच नामों में से किसी का भी उपयोग नहीं करना बेहतर है।

सभी त्रिभुजों में एक अंतवृत्त हो सकता है, लेकिन सभी चतुर्भुजों में ऐसा नहीं होता है। चतुर्भुज का एक उदाहरण जो स्पर्शरेखीय नहीं हो सकता वह एक गैर-वर्ग आयत है। नीचे दिए गए अनुभाग #Characterizations में बताया गया है कि एक चतुर्भुज को एक अंतःवृत्त बनाने में सक्षम होने के लिए किन आवश्यक और पर्याप्त शर्तों को पूरा करना चाहिए।

विशेष मामले
स्पर्शरेखा चतुर्भुज के उदाहरण पतंग (ज्यामिति) हैं, जिसमें समचतुर्भुज शामिल है, जिसमें बदले में वर्ग शामिल हैं। पतंगें बिल्कुल स्पर्शरेखा चतुर्भुज हैं जो ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज भी हैं। दाहिनी पतंग एक गोलाकार पतंग होती है। यदि कोई चतुर्भुज स्पर्शरेखा और चक्रीय चतुर्भुज दोनों है, तो इसे द्विकेंद्रीय चतुर्भुज कहा जाता है, और यदि यह स्पर्शरेखा और समलंब दोनों है, तो इसे स्पर्शरेखा समलंब चतुर्भुज कहा जाता है।

विशेषताएँ
एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज में, चार कोण समद्विभाजक अंतःवृत्त के केंद्र पर मिलते हैं। इसके विपरीत, एक उत्तल चतुर्भुज जिसमें चार कोण समद्विभाजक एक बिंदु पर मिलते हैं, स्पर्शरेखीय होना चाहिए और उभयनिष्ठ बिंदु अंतःकेंद्र है।

पिटोट प्रमेय के अनुसार, स्पर्शरेखीय चतुर्भुज में विपरीत भुजाओं के दो युग्मों का योग कुल लंबाई समान होता है, जो चतुर्भुज के अर्धपरिधि के बराबर होता है:
 * $$a + c = b + d = \frac{a + b + c + d}{2} = s.$$

इसके विपरीत एक उत्तल चतुर्भुज जिसमें a + c = b + d स्पर्शरेखीय होना चाहिए।

यदि एक उत्तल चतुर्भुज ABCD (जो एक समलम्ब चतुर्भुज नहीं है) में विपरीत भुजाएँ E और F पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो यह स्पर्शरेखीय है यदि और केवल यदि इनमें से कोई एक हो
 * $$\displaystyle BE+BF=DE+DF$$

या


 * $$\displaystyle AE-EC=AF-FC:$$

एक और आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि एक उत्तल चतुर्भुज एबीसीडी स्पर्शरेखा है यदि और केवल तभी जब दो त्रिकोण एबीसी और एडीसी में अंतःवृत्त एक दूसरे के स्पर्शरेखा हों।

चतुर्भुज ABCD के विकर्ण BD और चारों भुजाओं से बने कोणों के संबंध में एक लक्षण वर्णन Iosifescu के कारण होता है। उन्होंने 1954 में साबित किया कि एक उत्तल चतुर्भुज में एक अंतःवृत्त होता है यदि और केवल यदि
 * $$\tan{\frac{\angle ABD}{2}}\cdot\tan{\frac{\angle BDC}{2}}=\tan{\frac{\angle ADB}{2}}\cdot\tan{\frac{\angle DBC}{2}}.$$

इसके अलावा, क्रमिक भुजाओं a, b, c, d वाला एक उत्तल चतुर्भुज स्पर्शरेखा है यदि और केवल यदि
 * $$R_aR_c=R_bR_d$$

जहां आरa, आरb, आरc, आरd वृत्तों में त्रिज्याएँ क्रमशः भुजाओं a, b, c, d की बाह्य स्पर्श रेखाएँ और प्रत्येक भुजा के लिए आसन्न दो भुजाओं का विस्तार हैं।

विकर्णों से बने चार उपत्रिकोणों में अनेक #विशेषताएँ ज्ञात होती हैं।

संपर्क बिंदु और स्पर्शरेखा लंबाई
संपर्क के एक बिंदु पर अंतःवृत्त प्रत्येक तरफ स्पर्शरेखा है। ये चार बिंदु प्रारंभिक चतुर्भुज के अंदर एक नए चतुर्भुज को परिभाषित करते हैं: संपर्क चतुर्भुज, जो चक्रीय है क्योंकि यह प्रारंभिक चतुर्भुज के अंतःवृत्त में अंकित है।

एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज की आठ स्पर्शरेखा लंबाई (ई, एफ, जी, एच दाईं ओर की आकृति में) एक शीर्ष (ज्यामिति) से संपर्क बिंदु तक रेखा खंड हैं। प्रत्येक शीर्ष से, दो सर्वांगसमता (ज्यामिति) स्पर्शरेखा लंबाई होती हैं।

एक स्पर्शरेखीय चतुर्भुज की दो स्पर्शरेखा जीवाएं (आकृति में k और l) रेखा खंड हैं जो विपरीत पक्षों पर संपर्क बिंदुओं को जोड़ते हैं। ये संपर्क चतुर्भुज के विकर्ण भी हैं।

गैर-त्रिकोणमितीय सूत्र
एक स्पर्शरेखीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल K इस प्रकार दिया जाता है
 * $$\displaystyle K = r \cdot s,$$

जहां s अर्धपरिधि है और r अंतःत्रिज्या है। दूसरा सूत्र है :$$\displaystyle K = \tfrac{1}{2}\sqrt{p^2q^2-(ac-bd)^2}$$ जो स्पर्शरेखीय चतुर्भुज के विकर्णों p, q और भुजाओं a, b, c, d के पदों में क्षेत्रफल देता है।

क्षेत्रफल को केवल चार #विशेष रेखाखंडों के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। यदि ये ई, एफ, जी, एच हैं, तो स्पर्शरेखीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल होता है :$$\displaystyle K=\sqrt{(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}.$$ इसके अलावा, एक स्पर्शरेखीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल भुजाओं a, b, c, d और क्रमिक स्पर्शरेखा लंबाई e, f, g, h के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।


 * $$K=\sqrt{abcd-(eg-fh)^2}.$$

चूँकि उदाहरण = fh यदि और केवल यदि स्पर्शरेखीय चतुर्भुज भी चक्रीय है और इसलिए द्विकेंद्रीय है, इससे पता चलता है कि अधिकतम क्षेत्रफल $$\sqrt{abcd}$$ घटित होता है यदि और केवल यदि स्पर्शरेखीय चतुर्भुज द्विकेन्द्रीय हो।

त्रिकोणमितीय सूत्र
भुजाओं a, b, c, d और दो विपरीत कोणों के संदर्भ में क्षेत्र के लिए एक त्रिकोणमिति सूत्र है :$$\displaystyle K = \sqrt{abcd} \sin \frac{A+C}{2} = \sqrt{abcd} \sin \frac{B+D}{2}.$$ दी गई भुजाओं की लंबाई के लिए, क्षेत्रफल मैक्सिमा और मिनिमा होता है जब चतुर्भुज चक्रीय चतुर्भुज भी होता है और इसलिए एक द्विकेंद्रीय चतुर्भुज होता है। तब $$K = \sqrt{abcd}$$ चूँकि सम्मुख कोण संपूरक कोण होते हैं। इसे गणना  का उपयोग करके दूसरे तरीके से सिद्ध किया जा सकता है। स्पर्शरेखीय चतुर्भुज ABCD के क्षेत्रफल के लिए एक अन्य सूत्र जिसमें दो विपरीत कोण शामिल हैं
 * $$K=\left(IA\cdot IC+IB\cdot ID\right)\sin\frac{A+C}{2}$$

जहां मैं अंतःकेन्द्र है.

वास्तव में, क्षेत्रफल को केवल दो आसन्न भुजाओं और दो विपरीत कोणों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है :$$K=ab\sin{\frac{B}{2}}\csc{\frac{D}{2}}\sin \frac{B+D}{2}.$$ फिर भी एक और क्षेत्र सूत्र है
 * $$K=\tfrac{1}{2}|(ac-bd)\tan{\theta}|,$$

जहां θ विकर्णों के बीच का कोई एक कोण है। इस सूत्र का उपयोग तब नहीं किया जा सकता जब स्पर्शरेखीय चतुर्भुज एक पतंग हो, तब से θ 90° है और स्पर्शरेखा फलन परिभाषित नहीं है।

असमानताएं
जैसा कि ऊपर अप्रत्यक्ष रूप से बताया गया है, ए, बी, सी, डी भुजाओं वाले स्पर्शरेखीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल संतुष्ट करता है
 * $$K\le\sqrt{abcd}$$

समानता के साथ यदि और केवल यदि यह एक द्विकेंद्रीय चतुर्भुज है।

टी. ए. इवानोवा (1976 में) के अनुसार, एक स्पर्शरेखीय चतुर्भुज का अर्धपरिधि s संतुष्ट करता है
 * $$s\ge 4r$$

जहां r अंतःत्रिज्या है. समानता तभी होती है जब चतुर्भुज एक वर्ग (ज्यामिति) हो। इसका मतलब है कि क्षेत्र K = rs के लिए, असमानता है (गणित)
 * $$K\ge 4r^2$$

समानता के साथ यदि और केवल यदि स्पर्शरेखीय चतुर्भुज एक वर्ग है।

विभाजन गुण
वृत्त के केंद्र और उन बिंदुओं के बीच चार रेखा खंड जहां यह चतुर्भुज की स्पर्शरेखा है, चतुर्भुज को चार समकोणों में विभाजित करता है।

यदि कोई रेखा किसी स्पर्शरेखा चतुर्भुज को समान क्षेत्रफल और समान परिमाप वाले दो बहुभुजों में काटती है, तो वह रेखा अंत:केंद्र से होकर गुजरती है।

इनरेडियस
लगातार भुजाओं a, b, c, d वाले स्पर्शरेखीय चतुर्भुज में अंतःत्रिज्या इस प्रकार दी जाती है :$$r=\frac{K}{s}=\frac{K}{a+c}=\frac{K}{b+d}$$ जहाँ K चतुर्भुज का क्षेत्रफल है और s इसका अर्धपरिधि है। दी गई भुजाओं वाले स्पर्शरेखीय चतुर्भुज के लिए, अंतःत्रिज्या मैक्सिमा और मिनिमा है, जब चतुर्भुज चक्रीय चतुर्भुज भी है (और इसलिए एक द्विकेंद्रीय चतुर्भुज है)।


 * 1) विशेष रेखाखंडों के संदर्भ में, अंतःवृत्त की त्रिज्या होती है
 * $$\displaystyle r=\sqrt{\frac{efg+fgh+ghe+hef}{e+f+g+h}}.$$

अंतःत्रिज्या को स्पर्शरेखीय चतुर्भुज ABCD के अंतःकेन्द्र I से शीर्षों तक की दूरी के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। यदि u = AI, v = BI, x = CI और y = DI, तो
 * $$r=2\sqrt{\frac{(\sigma-uvx)(\sigma-vxy)(\sigma-xyu)(\sigma-yuv)}{uvxy(uv+xy)(ux+vy)(uy+vx)}}$$

कहाँ $$\sigma=\tfrac{1}{2}(uvx+vxy+xyu+yuv)$$. यदि त्रिभुज ABC, BCD, CDA, DAB के अंतःवृत्तों की त्रिज्याएँ हैं $$r_1, r_2, r_3, r_4$$ क्रमशः, तो एक स्पर्शरेखीय चतुर्भुज ABCD का अंतःत्रिज्या निम्न द्वारा दिया जाता है
 * $$r=\frac{G+\sqrt{G^2-4r_1r_2r_3r_4(r_1r_3+r_2r_4)}}{2(r_1r_3+r_2r_4)}$$

कहाँ $$G=r_1r_2r_3+r_2r_3r_4+r_3r_4r_1+r_4r_1r_2$$.

कोण सूत्र
यदि ई, एफ, जी और एच क्रमशः शीर्ष ए, बी, सी और डी से उन बिंदुओं तक #विशेष रेखा खंड हैं जहां अंतःवृत्त स्पर्शरेखा चतुर्भुज एबीसीडी के किनारों पर स्पर्शरेखा है, तो चतुर्भुज के कोण हो सकते हैं से गणना की गई :$$ \sin{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{efg + fgh + ghe + hef}{(e + f)(e + g)(e + h)}},$$
 * $$ \sin{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{efg + fgh + ghe + hef}{(f + e)(f + g)(f + h)}},$$
 * $$ \sin{\frac{C}{2}}=\sqrt{\frac{efg + fgh + ghe + hef}{(g + e)(g + f)(g + h)}},$$
 * $$ \sin{\frac{D}{2}}=\sqrt{\frac{efg + fgh + ghe + hef}{(h + e)(h + f)(h + g)}}.$$


 * 1) विशेष रेखा खंड k और l के बीच का कोण निम्न द्वारा दिया गया है :$$ \sin{\varphi}=\sqrt{\frac{(e + f + g + h)(efg + fgh + ghe + hef)}{(e + f)(f + g)(g + h)(h + e)}}.$$

विकर्ण
यदि ई, एफ, जी और एच क्रमशः ए, बी, सी और डी से उन बिंदुओं तक #विशेष रेखा खंड हैं जहां अंतःवृत्त स्पर्शरेखा चतुर्भुज एबीसीडी के किनारों पर स्पर्शरेखा है, तो विकर्णों की लंबाई पी = एसी और q = BD हैं
 * $$\displaystyle p=\sqrt{\frac{e+g}{f+h}\Big((e+g)(f+h)+4fh\Big)},$$
 * $$\displaystyle q=\sqrt{\frac{f+h}{e+g}\Big((e+g)(f+h)+4eg\Big)}.$$

स्पर्शरेखा तार
यदि e, f, g और h एक स्पर्शरेखीय चतुर्भुज के #विशेष रेखाखंड हैं, तो #विशेष रेखाखंडों की लंबाई हैं :$$\displaystyle k=\frac{2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt{(e+f)(g+h)(e+g)(f+h)}},$$
 * $$\displaystyle l=\frac{2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt{(e+h)(f+g)(e+g)(f+h)}}$$

जहां लंबाई k की स्पर्शरेखा जीवा लंबाई a = e + f और c = g + h की भुजाओं को जोड़ती है, और लंबाई l की स्पर्शरेखा तार लंबाई b = f + g और d = h + e की भुजाओं को जोड़ती है। स्पर्शरेखा जीवाओं का वर्गानुपात संतुष्ट करता है :$$\frac{k^2}{l^2} = \frac{bd}{ac}.$$ दो स्पर्शात्मक तार
 * लंबवत हैं यदि और केवल तभी जब स्पर्शरेखीय चतुर्भुज में एक परिवृत्त भी हो (यह द्विकेंद्रीय चतुर्भुज है)।
 * समान लंबाई होती है यदि और केवल यदि स्पर्शरेखीय चतुर्भुज एक पतंग (ज्यामिति) है।

एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज ABCD में भुजाओं AB और CD के बीच की स्पर्शरेखा जीवा, भुजाओं BC और DA के बीच की स्पर्शरेखा जीवा से अधिक लंबी होती है, यदि और केवल यदि भुजाओं AB और CD के बीच का चतुर्भुज#विशेष रेखा खंड, भुजाओं BC के बीच की स्पर्शरेखा से छोटा हो। और डीए.

यदि स्पर्शरेखा चतुर्भुज ABCD में AB पर स्पर्शरेखा बिंदु W और CD पर Y है, और यदि स्पर्शरेखा जीवा WY विकर्ण BD को M पर काटती है, तो स्पर्शरेखा लंबाई का अनुपात $$\tfrac{BW}{DY}$$ अनुपात के बराबर है $$\tfrac{BM}{DM}$$ विकर्ण BD के खंडों का.

संरेख बिंदु
यदि एम1और एम2केंद्र I वाले स्पर्शरेखीय चतुर्भुज ABCD में क्रमशः विकर्ण AC और BD के मध्य बिंदु हैं, और यदि विपरीत भुजाओं के जोड़े M के साथ J और K पर मिलते हैं3जेके का मध्यबिंदु होने पर, बिंदु एम3, एम1, मैं, और एम2संरेखता हैं. उनसे युक्त रेखा चतुर्भुज की न्यूटन रेखा है।

यदि स्पर्शरेखीय चतुर्भुज में विपरीत भुजाओं का विस्तार J और K पर प्रतिच्छेद करता है, और इसके संपर्क चतुर्भुज में विपरीत भुजाओं का विस्तार L और M पर प्रतिच्छेद करता है, तो चार बिंदु J, L, K और M संरेख होते हैं। यदि अंतःवृत्त भुजाओं AB, BC, CD, DA से T पर स्पर्शरेखा है1, टी2, टी3, टी4क्रमशः, और यदि एन1, एन2, एन3, एन4संगत पक्षों के संबंध में इन बिंदुओं के समस्थानिक संयुग्म हैं (अर्थात, एटी1= बीएन1और इसी तरह), तो स्पर्शरेखीय चतुर्भुज के नागल बिंदु को रेखाओं N के प्रतिच्छेदन के रूप में परिभाषित किया गया है1N3और n2N4. ये दोनों रेखाएँ चतुर्भुज की परिधि को दो बराबर भागों में विभाजित करती हैं। इससे भी महत्वपूर्ण बात यह है कि नागल बिंदु N, चतुर्भुज#उत्तल चतुर्भुज में उल्लेखनीय बिंदु और रेखाएँ| क्षेत्र केन्द्रक G, और अन्तकेन्द्र I इस क्रम में संरेख हैं, और NG = 2GI। इस रेखा को स्पर्शरेखीय चतुर्भुज की नागेल रेखा कहा जाता है। एक स्पर्शरेखीय चतुर्भुज ABCD में जिसका अंतःकेन्द्र I है और जहां विकर्ण P पर प्रतिच्छेद करते हैं, मान लीजिए HX, एचY, एचZ, एचWत्रिभुज AIB, BIC, CID, DIA की ऊंचाई (त्रिकोण) हो। फिर बिंदु P, HX, एचY, एचZ, एचWसंरेख हैं.

समवर्ती और लंबवत रेखाएँ
दो विकर्ण और दो स्पर्शरेखा जीवाएँ समवर्ती रेखाएँ हैं।  इसे देखने का एक तरीका ब्रायनचोन के प्रमेय के सीमित मामले के रूप में है, जो बताता है कि एक षट्भुज जिसकी सभी भुजाएं एक ही शंकु खंड के स्पर्शरेखा हैं, में तीन विकर्ण होते हैं जो एक बिंदु पर मिलते हैं। स्पर्शरेखीय चतुर्भुज से, स्पर्शरेखा के दो विपरीत बिंदुओं पर दो नए शीर्ष रखकर, दो 180° कोणों वाला एक षट्भुज बनाया जा सकता है; इस षट्भुज की सभी छह भुजाएँ अंकित वृत्त की स्पर्श रेखा पर स्थित हैं, इसलिए इसके विकर्ण एक बिंदु पर मिलते हैं। लेकिन इनमें से दो विकर्ण स्पर्शरेखा चतुर्भुज के विकर्ण के समान हैं, और षट्भुज का तीसरा विकर्ण स्पर्शरेखा के दो विपरीत बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा है। स्पर्शरेखा के अन्य दो बिंदुओं के साथ इसी तर्क को दोहराने से परिणाम का प्रमाण पूरा हो जाता है।

यदि स्पर्शरेखीय चतुर्भुज में विपरीत भुजाओं का विस्तार J और K पर प्रतिच्छेद करता है, और विकर्ण P पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो JK IP के विस्तार के लंबवत है जहां I अंतःकेंद्र है।

केंद्र
एक स्पर्शरेखीय चतुर्भुज का अंत:केंद्र उसकी न्यूटन रेखा (जो विकर्णों के मध्य बिंदुओं को जोड़ती है) पर स्थित होता है।

एक स्पर्शरेखीय चतुर्भुज में दो विपरीत भुजाओं के अनुपात को केंद्र I और शीर्षों के बीच की दूरी के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
 * $$\frac{AB}{CD}=\frac{IA\cdot IB}{IC\cdot ID},\quad\quad \frac{BC}{DA}=\frac{IB\cdot IC}{ID\cdot IA}.$$

अंत:केंद्र I वाले स्पर्शरेखीय चतुर्भुज ABCD में दो आसन्न भुजाओं का गुणनफल संतुष्ट करता है
 * $$AB\cdot BC=IB^2+\frac{IA\cdot IB\cdot IC}{ID}.$$

यदि I एक स्पर्शरेखीय चतुर्भुज ABCD का अंतःकेन्द्र है, तो
 * $$IA\cdot IC+IB\cdot ID=\sqrt{AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA}.$$

स्पर्शरेखीय चतुर्भुज ABCD में अंतकेंद्र I, उत्तल चतुर्भुज में उल्लेखनीय बिंदुओं और रेखाओं के साथ संपाती होता है| चतुर्भुज का शीर्ष केन्द्रक यदि और केवल यदि
 * $$IA\cdot IC=IB\cdot ID.$$

यदि एमpऔर एमqअंत:केंद्र I वाले स्पर्शरेखीय चतुर्भुज ABCD में क्रमशः विकर्ण AC और BD के मध्यबिंदु हैं, तो
 * $$\frac{IM_p}{IM_q}=\frac{IA\cdot IC}{IB\cdot ID}=\frac{e+g}{f+h}$$

जहाँ e, f, g और h क्रमशः A, B, C और D पर स्पर्शरेखा लंबाई हैं। पहली समानता को पिछली संपत्ति के साथ जोड़ते हुए, स्पर्शरेखीय चतुर्भुज का शीर्ष केन्द्रक अंतःकेन्द्र के साथ मेल खाता है यदि और केवल यदि अंतःकेन्द्र विकर्णों के मध्यबिंदुओं को जोड़ने वाले रेखा खंड का मध्यबिंदु है।

यदि एक चार-बार लिंकेज को स्पर्शरेखा चतुर्भुज के रूप में बनाया जाता है, तो यह स्पर्शरेखीय ही रहेगा, चाहे लिंकेज कितना भी लचीला हो, बशर्ते कि चतुर्भुज उत्तल रहे। (इस प्रकार, उदाहरण के लिए, यदि एक वर्ग को एक समचतुर्भुज में विकृत किया जाता है तो यह स्पर्शरेखीय रहता है, यद्यपि एक छोटा वृत्त)। यदि एक भुजा को एक निश्चित स्थिति में रखा जाता है, तो जैसे ही चतुर्भुज को मोड़ा जाता है, अंतःकेन्द्र त्रिज्या का एक वृत्त बनाता है $$\sqrt{abcd}/s$$ जहां ए, बी, सी, डी क्रम में भुजाएं हैं और एस अर्धपरिधि है।

चार उपत्रिकोणों में लक्षण वर्णन
उत्तल चतुर्भुज ABCD में विकर्णों द्वारा निर्मित गैर-अतिव्यापी त्रिभुज APB, BPC, CPD, DPA में, जहां विकर्ण P पर प्रतिच्छेद करते हैं, स्पर्शरेखा चतुर्भुज के निम्नलिखित लक्षण हैं।

चलो आर1, आर2, आर3, और आर4 चार त्रिभुजों APB, BPC, CPD और DPA में वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः निरूपित करें। चाओ और शिमोनोव ने सिद्ध किया कि चतुर्भुज स्पर्शरेखीय है यदि और केवल यदि
 * $$\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_3}=\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_4}.$$

यह लक्षण वर्णन पांच वर्ष पहले ही वेन्शटेजन द्वारा सिद्ध कर दिया गया था। उनकी समस्या के समाधान में, वासिलिव और सेंडेरोव द्वारा एक समान लक्षण वर्णन दिया गया था। यदि एच1, एच2, एच3, और वह4 समान चार त्रिभुजों (विकर्ण प्रतिच्छेदन से चतुर्भुज की भुजाओं तक) में ऊँचाई (त्रिकोण) को निरूपित करें, तो चतुर्भुज स्पर्शरेखीय है यदि और केवल यदि :$$\frac{1}{h_1}+\frac{1}{h_3}=\frac{1}{h_2}+\frac{1}{h_4}.$$ एक अन्य समान लक्षण त्रिभुज के अंतवृत्त और बाह्यवृत्त से संबंधित है#त्रिभुज r के क्षेत्रफल से संबंधa, आरb, आरc, और आरd उन्हीं चार त्रिभुजों में (त्रिभुज के चार अंतवृत्त और बाह्यवृत्त चतुर्भुज की एक भुजा और उसके विकर्णों के विस्तार पर स्पर्शरेखा होते हैं)। एक चतुर्भुज स्पर्शरेखा है यदि और केवल यदि
 * $$\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_c}=\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_d}.$$

यदि आर1, आर2, आर3, और आर4 त्रिभुज APB, BPC, CPD और DPA के परिवृत्तों में क्रमशः त्रिज्याएँ निरूपित करें, तो चतुर्भुज ABCD स्पर्शरेखीय है यदि और केवल यदि
 * $$R_1+R_3=R_2+R_4.$$

1996 में, वेन्श्तेजन संभवतः स्पर्शरेखीय चतुर्भुजों का एक और सुंदर लक्षण वर्णन साबित करने वाले पहले व्यक्ति थे, जो बाद में कई पत्रिकाओं और वेबसाइटों में छपा। इसमें कहा गया है कि जब एक उत्तल चतुर्भुज को उसके दो विकर्णों द्वारा चार गैर-अतिव्यापी त्रिकोणों में विभाजित किया जाता है, तो चार त्रिकोणों के अंतःकेंद्र चक्रीय होते हैं यदि और केवल यदि चतुर्भुज स्पर्शरेखा है। वास्तव में, अंतःकेन्द्र एक चक्रीय चतुर्भुज#ऑर्थोडायगोनल केस बनाते हैं।  एक संबंधित परिणाम यह है कि अंतःवृत्तों को समान त्रिभुजों के बाह्यवृत्तों से बदला जा सकता है (चतुर्भुज की भुजाओं की स्पर्शरेखा और उसके विकर्णों का विस्तार)। इस प्रकार एक उत्तल चतुर्भुज स्पर्शरेखीय होता है यदि और केवल यदि त्रिभुज के इन चार अंतःवृत्तों और बाह्यवृत्तों के केंद्र चक्रीय चतुर्भुज के शीर्ष हों।

एक उत्तल चतुर्भुज ABCD, जिसके विकर्ण P पर प्रतिच्छेद करते हैं, स्पर्शरेखा है यदि और केवल यदि शीर्ष B और D के विपरीत त्रिभुज APB, BPC, CPD और DPA में चार केंद्र चक्रीय हों। यदि आरa, आरb, आरc, और आरdत्रिभुज APB, BPC, CPD और DPA में क्रमश: बाह्य त्रिज्याएँ शीर्ष B और D के विपरीत हैं, तो एक और शर्त यह है कि चतुर्भुज स्पर्शरेखीय है यदि और केवल यदि
 * $$\frac{1}{R_a}+\frac{1}{R_c}=\frac{1}{R_b}+\frac{1}{R_d}.$$

इसके अलावा, P पर प्रतिच्छेद करने वाले विकर्णों वाला एक उत्तल चतुर्भुज ABCD स्पर्शरेखा है यदि और केवल यदि :$$\frac{a}{\triangle(APB)}+\frac{c}{\triangle(CPD)}=\frac{b}{\triangle(BPC)}+\frac{d}{\triangle(DPA)}$$ जहाँ ∆(APB) त्रिभुज APB का क्षेत्रफल है।

उन खंडों को निरूपित करें जिन्हें विकर्ण प्रतिच्छेदन P, विकर्ण AC को AP = p के रूप में विभाजित करता है1 और पीसी = पी2, और इसी प्रकार P विकर्ण BD को खंड BP = q में विभाजित करता है1 और पीडी = क्यू2. तब चतुर्भुज स्पर्शरेखा है यदि और केवल यदि निम्नलिखित समानताओं में से कोई एक सत्य है:
 * $$ap_2q_2 + cp_1q_1 = bp_1q_2 + dp_2q_1$$

या
 * $$\frac{(p_1+q_1-a)(p_2+q_2-c)}{(p_1+q_1+a)(p_2+q_2+c)}=\frac{(p_2+q_1-b)(p_1+q_2-d)}{(p_2+q_1+b)(p_1+q_2+d)}$$

या
 * $$\frac{(a+p_1-q_1)(c+p_2-q_2)}{(a-p_1+q_1)(c-p_2+q_2)}=\frac{(b+p_2-q_1)(d+p_1-q_2)}{(b-p_2+q_1)(d-p_1+q_2)}.$$

रोम्बस
एक स्पर्शरेखीय चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है यदि और केवल यदि इसके सम्मुख कोण बराबर हों।

पतंग
एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज एक पतंग (ज्यामिति) है यदि और केवल यदि निम्नलिखित में से कोई एक स्थिति सत्य है:
 * क्षेत्रफल विकर्णों के गुणनफल का आधा है।
 * विकर्ण लंबवत हैं।
 * स्पर्शरेखा के विपरीत बिंदुओं को जोड़ने वाले दो रेखाखंडों की लंबाई समान होती है।
 * विपरीत #विशेष रेखाखंडों के एक जोड़े की लंबाई समान होती है।
 * चतुर्भुज#विशेष रेखा खंडों की लंबाई समान होती है।
 * विपरीत भुजाओं का गुणनफल बराबर होता है।
 * अंतर्वृत्त का केंद्र विकर्ण पर स्थित है जो समरूपता का अक्ष है।

द्विकेंद्रिक चतुर्भुज
यदि अंतःवृत्त भुजाओं AB, BC, CD, DA पर क्रमशः W, पकड़: इन तीनों में से पहले का अर्थ है कि संपर्क चतुर्भुज WXYZ एक लंबकोणीय चतुर्भुज है।
 * WY, XZ के लंबवत है
 * $$AW\cdot CY=BW\cdot DY$$
 * $$\frac{AC}{BD}=\frac{AW+CY}{BX+DZ}$$

एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज द्विकेन्द्रीय होता है यदि और केवल तभी जब इसकी अंतःत्रिज्या किसी भी अन्य स्पर्शरेखा चतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई के समान क्रम से अधिक हो।

स्पर्शरेखा चतुर्भुज
यदि अंतःवृत्त क्रमशः W और Y पर भुजाओं AB और CD पर स्पर्शरेखा है, तो एक स्पर्शरेखीय चतुर्भुज ABCD भी समानांतर भुजाओं AB और CD के साथ एक समलम्बाकार है यदि और केवल यदि
 * $$AW\cdot DY=BW\cdot CY$$

और AD और BC एक समलम्ब चतुर्भुज की समानांतर भुजाएँ हैं यदि और केवल यदि
 * $$AW\cdot BW=CY\cdot DY.$$

यह भी देखें

 * परिधियुक्त घेरा
 * पूर्व-स्पर्शरेखीय चतुर्भुज
 * स्पर्शरेखा त्रिभुज
 * स्पर्शरेखा बहुभुज