संभाव्यता व्याख्याएं

संभाव्यता शब्द का उपयोग अनेक प्रकार से किया जाता है, क्योंकि यह प्रथम बार संयोग खेल के गणितीय अध्ययन के लिए प्रारम्भ किया गया था। क्या प्रायिकता किसी घटना के घटित होने की वास्तविक, भौतिक, प्रवृत्ति को मापती है, यह इस विषय की माप है कि, कोई व्यक्ति कितनी दृढ़ता से विश्वास करता है कि यह घटित होगा, क्या यह इन दोनों तत्वों को आकर्षित करता है? ऐसे प्रश्नों के उत्तर देने में, गणितज्ञ प्रायिकता सिद्धांत के मानों की व्याख्या करते हैं।

संभाव्यता व्याख्याओं की दो व्यापक श्रेणियां जिसे भौतिक और साक्ष्य संभाव्यता कहा जा सकता है। भौतिक संभावनाएँ, जिन्हें उद्देश्य या आवृत्ति संभावना भी कहा जाता है, यादृच्छिक भौतिक प्रणालियों जैसे रूलेट व्हील्स, रोलिंग डाइस और रेडियोधर्मी परमाणुओं से जुड़ी होती हैं। ऐसी प्रणालियों में, किसी दिए गए प्रकार की घटना (जैसे a die [sic] यील्डिंग छक्का) परीक्षणों की एक लंबी अवधि में एक सतत दर, या सापेक्ष आवृत्ति पर घटित होता है। भौतिक संभावनाएं या तो इन स्थिर आवृत्तियों की व्याख्या करती हैं, या व्याख्या करने के लिए लागू की जाती हैं। भौतिक संभाव्यता के सिद्धांत के दो मुख्य प्रकार आवृत्ति संभाव्यता खाते हैं (जैसे वेन के, हैं जिन्हें "भौतिक" और "साक्ष्य" संभावनाएं कहा जा सकता है,  भौतिक संभावनाएँ, जिन्हें उद्देश्य या आवृत्ति संभावनाएँ भी कहा जाता है, जैसे रूलेट पहियों, रोलिंग पासा और रेडियोधर्मी परमाणुओं से जुड़ी होती हैं। साक्ष्य संभाव्यता, जिसे बायेसियन संभाव्यता भी कहा जाता है, जिसे किसी भी कथन को समर्पित किया जा सकता है, यदि यादृच्छिक प्रक्रिया सम्मिलित न होती हो, इसकी व्यक्तिपरक संभाव्यता को प्रतिनिधित्व करने के रूप में, या जिस डिग्री के लिए उपलब्ध साक्ष्य द्वारा कथन का समर्थन किया जाता है। अधिकांश गणना में, साक्ष्य संभावनाओं को विश्वास की डिग्री माना जाता है, जो कुछ बाधाओं पर जुआ खेलने के स्वभाव के संदर्भ में परिभाषित होती हैं। चार मुख्य प्रमाणिक व्याख्याएँ शास्त्रीय हैं (उदाहरण के लिए लाप्लास की व्याख्या), व्यक्तिपरक व्याख्या (ब्रूनो डी फिनेची और सैवेज), ज्ञानमीमांसा या आगमनात्मक व्याख्या (फ्रैंक पी. रैमसे, रिचर्ड थ्रेलकल्ड कॉक्स) और तार्किक व्याख्या (जॉन मेनार्ड कीन्स और रुडोल्फ कार्नाप) आदि। प्रायिकता का आवरण करने वाले समूहों की प्रमाणिक व्याख्याएं भी हैं, जिन्हें प्रायः 'प्रतिविषयक' के रूप में लेबल किया जाता है I (डोनाल्ड ए. गिल्लीज़ और रोबॉटम द्वारा प्रस्तावित हैं) ।

संभाव्यता की कुछ व्याख्याएं सांख्यिकीय निष्कर्ष के दृष्टिकोण से जुड़ी होती हैं, जिसमें अनुमान सिद्धांत और सांख्यिकीय परिकल्पना परीक्षण के सिद्धांत सम्मिलित होते हैं। उदाहरण के लिए, भौतिक व्याख्या रोनाल्ड फिशर जैसे फ़्रीक्वेंटिस्ट सांख्यिकीय विधियों के अनुयायियों द्वारा ली जाती है I विरोधी बायेसियन संभाव्यता स्कूल के सांख्यिकीविद् जॉर्ज नेमन और एगॉन पियर्सन सामान्यतः आवृत्ति व्याख्या को स्वीकार करते हैं, किन्तु भौतिक संभावनाओं के संबंध में अल्प सहमति देते है। बायेसियन साक्ष्य संभावनाओं की गणना को आँकड़ों में वैध और आवश्यक दोनों मानते हैं। चूँकि, यह लेख सांख्यिकीय अनुमान के सिद्धांतों के अतिरिक्त संभाव्यता की व्याख्या पर केंद्रित होता है।

इस विषय की शब्दावली कुछ सीमा तक भ्रमित करने वाली है, क्योंकि विभिन्न शैक्षणिक क्षेत्रों में संभावनाओं का अध्ययन किया जाता है। फ़्रीक्वेंटिस्ट शब्द विशेष रूप से भिन्न है। दार्शनिकों के लिए यह भौतिक संभाव्यता के विशेष सिद्धांत को संदर्भित करता है, जिसे कमोबेश में त्याग दिया गया है। दूसरी ओर, वैज्ञानिकों के लिए संभावना, भौतिक संभावना का दूसरा नाम है। जो लोग बायेसियन अनुमान को बढ़ावा देते हैं, वे प्रायिकतावादी आँकड़ों को सांख्यिकीय अनुमान के दृष्टिकोण के रूप में देखते हैं, जो संभाव्यता की आवृत्ति व्याख्या पर आधारित होती है, सामान्यतः बड़ी संख्या के नियम पर निर्भर करता है, और जिसे 'शून्य परिकल्पना महत्व परीक्षण' कहा जाता है। साथ ही शब्द उद्देश्य, संभाव्यता पर प्रारम्भ होता है, कभी-कभी इसका अर्थ वही होता है जो यहां भौतिक अर्थ है, किन्तु इसका उपयोग साक्ष्य संबंधी संभावनाओं के लिए भी किया जाता है, जो तर्कसंगत बाधाओं, जैसे तार्किक और महामारी संबंधी संभावनाओं द्वारा तय की जाती हैं।

"यह सर्वसम्मत है कि आँकड़े किसी न किसी प्रकार संभाव्यता पर निर्भर करते हैं। किन्तु, जैसे कि संभाव्यता क्या है, और यह आंकड़ों से कैसे जुड़ा होता है, बाबेल टॉवर के पश्चात् में संभवतः ही कभी इस प्रकार की पूर्ण असहमति और संचार विभक्त हुआ हो। नि:संदेह, अधिक असहमति केवल पारिभाषिक है, और पर्याप्त गहन विश्लेषण के अंतर्गत विलुप्त हो जाएगी।"

- (Savage, 1954, p 2)

तत्त्वज्ञान
संभाव्यता का तत्त्वज्ञान मुख्य रूप से विज्ञान के विषयों, गणित की अवधारणाओं और सामान्य भाषा के मध्य अशांत अंतरफलक के रूप में समस्याओं को प्रस्तुत करता है, क्योंकि इसका उपयोग अन्य-गणितज्ञों द्वारा किया जाता है। संभाव्यता सिद्धांत गणित में अध्ययन का स्थापित क्षेत्र होता है। सत्रहवीं दशक में ब्लेस पास्कल और पियरे डी फर्मेट के मध्य गणित पर विचार करते हुए पत्राचार में इसकी उत्पत्ति हुई है, और बीसवीं दशक में एंड्री कोलमोगोरोव द्वारा गणित की भिन्न शाखा के रूप में औपचारिक रूप दिया गया और स्वयंसिद्ध किया गया था। स्वयंसिद्ध रूप में, संभाव्यता सिद्धांत के सम्बन्ध में गणितीय कथन गणित में तत्त्वज्ञान के अंदर उसी प्रकार के विश्वास को ले जाते हैं, जैसे कि अन्य गणितीय कथनों द्वारा विस्तारित किया जाता है। गणितीय विश्लेषण का प्रारम्भ ताश और पासे जैसे खेल उपकरणों के व्यवहार के अवलोकन से हुआ है, जिन्हें विशेष रूप से यादृच्छिक और समान तत्वों को प्रस्तुत करने के लिए निर्मित किया गया है; गणितीय दृष्टि से, वे उदासीनता के सिद्धांत के विषय होते हैं। सामान्य मानव भाषा में संभाव्य कथनों का उपयोग करने का यही एकमात्र उपाय नहीं है: जब लोग कहते हैं कि संभवतः वर्षा होगी, तो उनका सामान्यतः आशय यह नहीं होता है कि वर्षा का परिणाम यादृच्छिक कारक है जो वर्तमान में बाधाओं का पक्ष लेता है; इसके अतिरिक्त, इस प्रकार के वर्णन का उचित उपाय से अध्यन किया जा सकता है, क्योंकि वे वर्षा की अपनी आशा को विश्वास के साथ पूर्ण करते हैं। इसी प्रकार, जब यह लिखा जाता है कि लुडलो, मैसाचुसेट्स के नाम की संभावित व्याख्या यह है कि इसका नाम रोजर लुडलो के नाम पर रखा गया था, तो यह इसका आशय नहीं है कि रोजर लुडलो यादृच्छिक कारक का पक्षधर होता है, किन्तु यह सबसे अधिक साक्ष्य की प्रशंसनीय व्याख्या है, जो अन्य संभावना वाले स्पष्टीकरणों को स्वीकार करती है।

थॉमस बेयस ने ऐसा विचार प्रदान करने का प्रयास किया है, जो विश्वास की भिन्न-भिन्न डिग्री को सुरक्षित रख सके; इस प्रकार, बायेसियन प्रायिकता संभाव्य कथनों के प्रतिनिधित्व को विश्वास की डिग्री की अभिव्यक्ति के रूप में प्रस्तुत करने का प्रयास किया है, जिसके द्वारा वे विश्वास व्यक्त करते हैं।

चूँकि संभाव्यता के प्रारम्भ में कुछ सांसारिक प्रेरणाएँ थीं, इसका आधुनिक प्रभाव और उपयोग साक्ष्य-आधारित चिकित्सा से सिक्स सिग्मा तक, संभाव्य रूप से परिक्षण योग्य प्रमाण और स्ट्रिंग सिद्धांत परिदृश्य तक व्यापक होता है।

शास्त्रीय परिभाषा
संभाव्यता के क्षेत्र में गणितीय कठोरता का प्रथम प्रयास, पियरे-साइमन लाप्लास द्वारा प्रतिपादित किया गया है, जिसे शास्त्रीय परिभाषा के रूप में जाना जाता है। संयोग के खेल (जैसे रोलिंग पासा) के अध्ययन से विकसित क्षेत्र यह बताता है कि संभावना सभी संभावित परिणामों के मध्य समान रूप से युग्मित की जाती है, स्थिति यह है कि इन परिणामों को समान रूप से संभावित माना जा सके। (3.1)

इसे गणितीय रूप से इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: यदि यादृच्छिक प्रयोग का परिणाम N पारस्परिक रूप से अनन्य और समान रूप से संभावित परिणाम हो सकता है, और यदि NA इन परिणामों के परिणामस्वरूप A की घटना होती है, तब 'A' की संभावना' द्वारा परिभाषित किया जाता है:-
 * $$P(A) = {N_A \over N}. $$

शास्त्रीय परिभाषा की दो स्पष्ट सीमाएँ होती हैं। यह केवल उन स्थितियों पर प्रारम्भ होता है, जिनमें संभावित परिणामों की केवल 'सीमित' संख्या होती है। किन्तु कुछ महत्वपूर्ण यादृच्छिक प्रयोग, जैसे सिक्का फ़्लिपिंग जब तक यह सिर प्रदर्शित करता है, परिणामों के अनंत समूह को उत्पन्न करता है। दूसरी बात, इसके लिए प्राथमिक निर्धारण की आवश्यकता होती है कि, संभाव्यता की धारणा पर विश्वास करके परिपत्र विचार के जाल में गिरे बिना ही सभी संभावित परिणाम समान रूप से संभव होते हैं। (शब्दावली का प्रयोग करने में हम समान रूप से अनिर्णीत हो सकते हैं, लाप्लास ने माना, जिसे अपर्याप्त कारण का सिद्धांत कहा गया है, कि सभी परिणाम समान रूप से संभावित होते हैं, यदि अन्यथा मानने का कोई ज्ञात कारण नहीं है, जिसके लिए कोई स्पष्ट औचित्य नहीं होता है। )

आवृत्तिवाद


फ़्रीक्वेंटिस्ट मानते हैं कि किसी घटना की संभावना समय के साथ उसकी सापेक्ष आवृत्ति होती है, (3.4) यदि समान परिस्थितियों में प्रक्रिया को बड़ी संख्या में पुनरावृत्ति के पश्चात घटना की सापेक्ष आवृत्ति को ऐलेटरी प्रायिकता के रूप में भी जाना जाता है। घटनाओं को कुछ यादृच्छिक भौतिक घटनाओं द्वारा नियंत्रित माना जाता है, जो या तो ऐसी घटनाएं हैं जो अनुमानित, सिद्धांत रूप में, पर्याप्त जानकारी के साथ होती हैं, या घटनाएँ जो अनिवार्य रूप से अप्रत्याशित होती हैं। प्रथम प्रकार के उदाहरणों में पासा उछालना या रूलेट पहिये को स्पिन करना सम्मिलित होता है; दूसरे प्रकार का उदाहरण रेडियोधर्मी क्षय है। निष्पक्ष सिक्के को उछालने की स्थिति में, बारंबारतावादियों का कहना है कि शीर्ष प्राप्त करने की संभावना 1/2 होती है, इसलिए नहीं कि दो समान रूप से संभावित परिणाम होते हैं, किन्तु इसलिए कि बड़ी संख्या में परीक्षणों की श्रृंखला दर्शाती है कि अनुभवजन्य आवृत्ति सीमा 1 में परिवर्तित हो जाती है, क्योंकि 1/2 परीक्षणों की संख्या अनंत तक जाती है।

यदि $$\textstyle n_a$$ किसी घटना की घटनाओं की संख्या $$\mathcal{A}$$ में $$ \textstyle n$$ परीक्षण द्वारा निरूपित करते हैं, तो $$\lim_{n \to +\infty}{n_a \over n}=p $$, $$\textstyle P(\mathcal{A})=p$$ है।

फ़्रीक्वेंटिस्ट व्यू की अपनी समस्याएं हैं। किसी घटना की संभावना निर्धारित करने के लिए वास्तव में यादृच्छिक प्रयोग की पुनरावृत्ति की अनंतता को निष्पादित करना असंभव होता है। किन्तु यदि प्रक्रिया की केवल सीमित संख्या में पुनरावृत्ति की जाती है, तो विभिन्न सापेक्ष आवृत्तियाँ परीक्षणों की विभिन्न श्रृंखलाओं में प्रदर्शित होती है। यदि ये सापेक्ष आवृत्तियाँ प्रायिकता को परिभाषित करने के लिए हैं, तो प्रत्येक बार मापे जाने पर प्रायिकता निम्न भिन्न होगी। किन्तु वास्तविक संभावना प्रत्येक बार समान होनी चाहिए। यदि हम इस तथ्य को स्वीकार करते हैं कि हम केवल माप की कुछ त्रुटि के साथ संभाव्यता को माप सकते हैं, तो हम अभी भी समस्याओं में पड़ जाते हैं क्योंकि माप की त्रुटि को केवल संभावना के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिस अवधारणा को हम परिभाषित करने का प्रयास कर रहे हैं। यह आवृत्ति की परिभाषा को भी वृत्ताकार बना देता है; उदाहरण के लिए देखें "भूकंप की संभावना क्या है?"

विषयवाद
विषयवादी, जिन्हें बायेसियन या महामारी संभाव्यता के अनुयायी के रूप में भी जाना जाता है, किसी विशेष स्थिति की अनिश्चितता का आकलन करने वाले व्यक्ति के 'विश्वास की डिग्री' के उपाय के रूप में संभाव्यता की धारणा को व्यक्तिपरक स्थिति देते हैं। महामारी या व्यक्तिपरक संभावना को कभी-कभी साख (सांख्यिकी) कहा जाता है, जैसा कि प्रवृत्ति की संभावना के लिए संयोग शब्द के विपरीत होता है। महामारी संभाव्यता के कुछ उदाहरण प्रस्ताव के लिए संभावना प्रदान करना है कि भौतिकी का प्रस्तावित नियम सत्य है या यह निर्धारित करने के लिए कि यह कितना संभावित है कि संदिग्ध ने अपराध किया है, प्रस्तुत साक्ष्य के आधार पर बायेसियन संभाव्यता का उपयोग दार्शनिक विषय को सामने लाते है कि क्या यह विश्वास के औचित्य के वैध सिद्धांत में योगदान दे सकता है। बायेसियन फ्रैंक पी रैमसे के कार्य की ओर संकेत करते हैं i ब्रूनो डी फिनेटी यह सिद्ध करते हुए कि व्यक्तिपरक विश्वासों को संभाव्यता के नियमों का पालन करना चाहिए यदि वे सुसंगत होते है। साक्ष्य संदेह उत्पन्न करते है कि मनुष्य के निकट सुसंगत विश्वास होंगे। बायेसियन संभाव्यता के उपयोग में पूर्व संभाव्यता निर्दिष्ट करना सम्मिलित होता है। यह इस सम्बन्ध पर विचार करके प्राप्त किया जा सकता है कि क्या आवश्यक पूर्व संभाव्यता, संदर्भ संभाव्यता से अधिक या निम्न होते हैI कलश प्रारूप विचार प्रयोग से जुड़ा हुआ है। विषय यह है कि किसी दी गई समस्या के लिए, कई विचार प्रयोग प्रारम्भ हो सकते हैं, और उसमे किसी एक का चयन करना निर्णय का विषय होता है: भिन्न-भिन्न लोग पूर्व संभावनाओं को निर्दिष्ट कर सकते हैं, जिन्हें संदर्भ वर्ग समस्या के रूप में जाना जाता है। सूर्योदय की समस्या उदाहरण प्रदान करती है।

प्रवृत्ति
प्रायिकता के सिद्धांतकार निश्चित प्रकार के परिणाम उत्पन्न करने के लिए या इस प्रकार के परिणाम की लंबी अवधि की सापेक्ष आवृत्ति प्राप्त करने के लिए भौतिक प्रवृत्ति, या स्वभाव, या किसी दिए गए प्रकार की भौतिक स्थिति की प्रवृत्ति के रूप में संभाव्यता के सम्बन्ध में विचार करते हैं। इस प्रकार की वस्तुनिष्ठ संभावना को कभी-कभी 'संयोग' कहा जाता है।

प्रवृत्तियाँ, या संभावनाएँ, सापेक्ष आवृत्तियाँ नहीं होती हैं, जबकि देखी गई स्थिर सापेक्ष आवृत्तियों के कथित कारण होते हैं। इसके वर्णन के लिए प्रवृत्तियों का आह्वान किया जाता है कि निश्चित प्रकार के प्रयोग की पुनरावृत्ति से निरंतर दरों पर दिए गए परिणाम प्रकार उत्पन्न होंगे, जिन्हें प्रवृत्ति या संभावना के रूप में जाना जाता है। फ़्रीक्वेंटिस्ट इस दृष्टिकोण को अपनाने में असमर्थ हैं, क्योंकि सिक्के के एकल टॉस के लिए सापेक्ष आवृत्तियाँ उपस्थित नहीं होती हैं I (ऊपर दी गई तालिका में संभव एकल स्थिति देखें)। इसके विपरीत, प्रोपेन्सिटिस्ट लंबी अवधि की आवृत्तियों के व्यवहार की व्याख्या करने के लिए बड़ी संख्या के नियम का उपयोग करने में सक्षम होते है। यह नियम, जो संभाव्यता के स्वयंसिद्धों का परिणाम होता है, यदि (उदाहरण के लिए) सिक्के को अनेक बार उछाला जाता है, तो इस प्रकार से कि उसके गिरने की संभावना प्रत्येक टॉस पर समान होती है, और परिणाम संभाव्य रूप से होते हैं, स्वतंत्र है, तो चित की सापेक्ष आवृत्ति प्रत्येक एकल उछाल पर चित आने की संभावना के निकट होगी। यह नियम अनुमति देता है कि स्थिर लंबी अवधि की आवृत्तियाँ अपरिवर्तनीय एकल-विषय की संभावनाओं की अभिव्यक्ति होती हैं। स्थिर सापेक्ष आवृत्तियों के उद्भव की व्याख्या करने के अतिरिक्त, प्रवृत्ति का विचार क्वांटम यांत्रिकी में एकल-केस संभाव्यता गुणों को अध्यन करने की इच्छा से प्रेरित किया जाता है, जैसे किसी विशेष समय में किसी विशेष परमाणु के रेडियोधर्मी क्षय की संभावना का होना होता है।

प्रवृत्ति सिद्धांतों का सामना करने वाले मुख्य लक्ष्य यह है कि वास्तव में प्रवृत्ति का क्या अर्थ है। (और फिर, निश्चित रूप से, यह दिखाने के लिए कि इस प्रकार परिभाषित प्रवृत्ति में आवश्यक गुण हैं।) वर्तमान में, दुर्भाग्य से, इस लक्ष्य को पूर्ण करने के लिए प्रवृत्ति के जाने-माने खातों में से कोई भी निकट नहीं आता है।

संभाव्यता का प्रवृत्ति सिद्धांत चार्ल्स सैंडर्स पियर्स द्वारा दिया गया था।   प्रवृत्ति सिद्धांत दार्शनिक कार्ल पॉपर द्वारा प्रस्तावित किया गया था, जो सी.एस. पियर्स के लेखन से अधिक अल्प परिचित थे। पॉपर ने नोट किया कि भौतिक प्रयोग का परिणाम उत्पन्न करने वाली स्थितियों के निश्चित समूह द्वारा निर्मित होता है। जब हम प्रयोग का पुनरावृत्ति करते हैं, जैसा कि कहा जाता है, हम वास्तव में (अधिक या कम) समान स्थितियों के समूह के साथ प्रयोग करते हैं। यह कहने के लिए कि उत्पन्न स्थितियों के समूह में परिणाम E उत्पन्न करने की प्रवृत्ति p है, इसका तात्पर्य है कि उन त्रुटिहीन स्थितियों को, यदि अनिश्चित काल तक पुनरावृत्ति की जाती है, तो परिणाम अनुक्रम उत्पन्न होगा जिसमें E सापेक्ष आवृत्ति p को सीमित करने के साथ हुआ। पॉपर के लिए, नियतात्मक प्रयोग में प्रत्येक परिणाम के लिए 0 या 1 की प्रवृत्ति होगी, क्योंकि प्रत्येक परीक्षण पर उत्पन्न होने वाली स्थितियों का परिणाम होगा। दूसरे शब्दों में, गैर-तुच्छ प्रवृत्तियाँ (जो 0 और 1 से भिन्न हैं) केवल वास्तव में अन्य-नियतात्मक प्रयोगों के लिए उपस्थित होते हैं।

डेविड मिलर (दार्शनिक) और डोनाल्ड ए. गिल्लीज़ सहित अनेक दार्शनिकों ने प्रवृत्ति सिद्धांतों को कुछ सीमा तक पॉपर के समान प्रस्तावित किया है।

अन्य प्रवृत्ति सिद्धांतकार (जैसे रोनाल्ड गियर ) प्रवृतियों को स्पष्ट रूप से बिल्कुल भी परिभाषित नहीं करते हैं, जबकि प्रवृति को विज्ञान में निभाई जाने वाली सैद्धांतिक भूमिका द्वारा परिभाषित के रूप में देखते हैं। उन्होंने विचार दिया है, कि विद्युत आवेश जैसे भौतिक परिमाणों को या तो अधिक मूलभूत वस्तुओं के संदर्भ में स्पष्ट रूप से परिभाषित नहीं किया जा सकता है, किन्तु वे क्या करते हैं I (जैसे कि अन्य विद्युत आवेशों को आकर्षित करना और विस्थापित करना)। इसी प्रकार, प्रवृत्ति वह है जो विज्ञान में भौतिक संभाव्यता द्वारा निभाई जाने वाली विभिन्न भूमिकाओं को सम्पूर्ण करती है।

विज्ञान में भौतिक संभाव्यता क्या भूमिका निभाती है? इसके गुण क्या हैं? सयोंग की केंद्रीय संपत्ति यह है कि, ज्ञात होने पर, यह समान संख्यात्मक मान लेने के लिए तर्कसंगत विश्वास को विवश करता है। डेविड लुईस ने इसे प्रधान सिद्धांत कहा, (3.3 और 3.5) ऐसा शब्द जिसे दार्शनिकों ने प्रायः अपनाया है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि आप निश्चित हैं कि विशेष पक्षपाती सिक्का प्रत्येक बार उछाले जाने पर शीर्ष पर 0.32 की प्रवृत्ति रखता है। फिर जुए के लिए उचित मूल्य क्या है जो $1 का भुगतान करती है यदि सिक्का गिर जाता है, और कुछ नहीं? प्रधान सिद्धांत के अनुसार, उचित मूल्य 32 समूह है।

तार्किक, ज्ञानमीमांसा और आगमनात्मक संभाव्यता
यह व्यापक रूप से माना जाता है कि संभाव्यता शब्द का प्रयोग कभी-कभी उन संदर्भों में किया जाता है जहां इसका भौतिक यादृच्छिकता से कोई सम्बन्ध नहीं है। उदाहरण के लिए, इस प्रमाण पर विचार करें कि डायनासोर का विलुप्त होना संभवतः बड़े उल्कापिंड के पृथ्वी से टकराने के कारण हुआ था। हाइपोथीसिस एच जैसे कथन संभवतः सत्य हैं, इसका तात्पर्य यह निकाला गया है कि (वर्तमान में उपलब्ध) अनुभवजन्य साक्ष्य (E, कहते हैं) H को उच्च स्तर तक समर्थन करता है। E द्वारा H के समर्थन की इस डिग्री को H दिए गए E की तार्किक संभावना कहा गया है, या H दिए गए E की महाकाव्य संभावना, या H दिए गए E की आगमनात्मक संभावना है।

इन व्याख्याओं के मध्य अंतर अधिक छोटा है, और अप्रासंगिक लग सकता है। असहमति के मुख्य बिंदुओं में से संभाव्यता और विश्वास के मध्य के संबंध में निहित है। तार्किक संभावनाओं की कल्पना की जाती है (उदाहरण के लिए जॉन मेनार्ड केन्स की संभाव्यता पर एक ग्रंथ प्रस्तावों (या वाक्यों) के मध्य वस्तुनिष्ठ, तार्किक संबंध होना और इसलिए विश्वास पर किसी भी प्रकार से निर्भर नहीं होना। वे (आंशिक) प्रवेश की डिग्री हैं, या तार्किक परिणाम की डिग्री हैं, विश्वास की डिग्री नहीं हैं। (वे करते हैं, फिर भी, विश्वास की उचित डिग्री निर्धारित करते हैं, जैसा कि नीचे वर्णन किया गया है।) दूसरी ओर, फ्रैंक पी, राम्से, इस प्रकार के वस्तुनिष्ठ तार्किक संबंधों के अस्तित्व के सम्बन्ध में संदेह था और विचार दिया कि (साक्ष्य) संभाव्यता आंशिक का विचार है। (पृ. 157) दूसरे शब्दों में, राम्से का मानना ​​था कि ज्ञानमीमांसीय संभावनाएँ केवल तर्कसंगत विश्वास की मात्राएँ हैं, न कि तार्किक संबंध होने के कारण जो केवल तर्कसंगत विश्वास की मात्रा को बाधित करती हैं।

असहमति का अन्य बिंदु ज्ञान की दी गई स्थिति के सापेक्ष साक्ष्य संभाव्यता की विशिष्टता से संबंधित है। रुडोल्फ कार्नाप ने, उदाहरण के लिए, यह माना कि तार्किक सिद्धांत सदैव किसी भी वर्णन के लिए किसी भी प्रमाण के सापेक्ष अद्वितीय तार्किक संभावना निर्धारित करते हैं। रैमसे, ने इसके विपरीत, सोचा था कि जबकि विश्वास की डिग्री कुछ तर्कसंगत बाधाओं के अधीन हैं (जैसे, किन्तु संभाव्यता के स्वयंसिद्धों तक सीमित नहीं हैं) ये बाधाएं सामान्यतः अद्वितीय मूल्य निर्धारित नहीं करती हैं। तर्कसंगत लोग, दूसरे शब्दों में, उनके विश्वास की डिग्री में कुछ भिन्न हो सकते हैं, भले ही उन सभी के निकट समान जानकारी हो।

भविष्यवाणी
संभाव्यता का वैकल्पिक खाता भविष्यवाणी की भूमिका पर बल देता है, पूर्व अवलोकनों के आधार पर भविष्य के अवलोकनों की भविष्यवाणी करना, न कि अप्राप्य मापदंडों पर विचार करना है। अपने आधुनिक में, यह मुख्य रूप से बायेसियन नस में है। 20वीं दशक से पूर्व प्रायिकता का यह मुख्य कार्य था, किन्तु पैरामीट्रिक दृष्टिकोण की तुलना में पक्ष से बाहर हो गया, जिसने घटना को भौतिक प्रणाली के रूप में प्रतिरूपित किया जिसे त्रुटि के साथ आकाशीय यांत्रिकी में देखा गया था।

विनिमेयता के केंद्रीय विचार के साथ ब्रूनो डी फिनेटी द्वारा आधुनिक भविष्य कहने वाला दृष्टिकोण का नेतृत्व किया गया था कि, भविष्य की टिप्पणियों को पूर्व टिप्पणियों की प्रकार व्यवहार करना चाहिए। 1974 में डी फिनेटी की पुस्तक के अनुवाद के साथ यह दृश्य एंग्लोफोन विश्व के ध्यान में आया।

सीमोर गीजर जैसे सांख्यिकीविदों द्वारा प्रतिपादित किया गया।

स्वयंसिद्ध संभाव्यता
संभाव्यता का गणित प्रत्येक प्रकार से स्वयंसिद्ध आधार पर विकसित किया जा सकता है जो किसी भी व्याख्या से स्वतंत्र है: विस्तृत चिकित्सा के लिए संभाव्यता सिद्धांत और संभाव्यता सिद्धांतों पर लेख देखें।

यह भी देखें

 * कवरेज संभावना
 * आवृत्ति (सांख्यिकी)
 * नकारात्मक संभावना
 * गणित का दर्शन
 * सांख्यिकी का दर्शन
 * पिग्निस्टिक संभावना
 * संभावना आयाम (क्वांटम यांत्रिकी)
 * सूर्योदय की समस्या
 * बायेसियन ज्ञानमीमांसा

अग्रिम पठन

 * A comprehensive monograph covering the four principal current interpretations: logical, subjective, frequency, propensity. Also proposes a novel intersubective interpretation.
 * Paul Humphreys, ed. (1994) Patrick Suppes: Scientific Philosopher, Synthese Library, Springer-Verlag.
 * Vol. 1: Probability and Probabilistic Causality.
 * Vol. 2: Philosophy of Physics, Theory Structure and Measurement, and Action Theory.
 * Jackson, Frank, and Robert Pargetter (1982) "Physical Probability as a Propensity," Noûs 16(4): 567–583.
 * Covers mostly non-Kolmogorov probability models, particularly with respect to quantum physics.
 * A highly accessible introduction to the interpretation of probability. Covers all the main interpretations, and proposes a novel group level (or 'intersubjective') interpretation. Also covers fallacies and applications of interpretations in the social and natural sciences.
 * Jackson, Frank, and Robert Pargetter (1982) "Physical Probability as a Propensity," Noûs 16(4): 567–583.
 * Covers mostly non-Kolmogorov probability models, particularly with respect to quantum physics.
 * A highly accessible introduction to the interpretation of probability. Covers all the main interpretations, and proposes a novel group level (or 'intersubjective') interpretation. Also covers fallacies and applications of interpretations in the social and natural sciences.
 * A highly accessible introduction to the interpretation of probability. Covers all the main interpretations, and proposes a novel group level (or 'intersubjective') interpretation. Also covers fallacies and applications of interpretations in the social and natural sciences.
 * A highly accessible introduction to the interpretation of probability. Covers all the main interpretations, and proposes a novel group level (or 'intersubjective') interpretation. Also covers fallacies and applications of interpretations in the social and natural sciences.