परमाणु शेल मॉडल

परमाणु भौतिकी, आणविक भौतिकी और परमाणु रसायन विज्ञान में, परमाणु शेल मॉडल परमाणु नाभिक का एक परमाणु मॉडल है जो ऊर्जा स्तरों के संदर्भ में नाभिक की संरचना का वर्णन करने के लिए पाउली अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करता है। पहला शेल मॉडल 1932 में दिमित्री इवानेंको (ई. गैपॉन के साथ) द्वारा प्रस्तावित किया गया था। मॉडल को 1949 में कई भौतिकविदों द्वारा स्वतंत्र कार्य के बाद विकसित किया गया था, विशेष रूप से यूजीन पॉल विग्नर, मारिया गोएपर्ट मेयर और जे. हंस डी. जेन्सेन ने। जिन्होंने अपने योगदान के लिए भौतिकी में 1963 का नोबेल पुरस्कार साझा किया।

परमाणु शेल मॉडल आंशिक रूप से इलेक्ट्रॉन विन्यास के अनुरूप है, जो एक परमाणु में इलेक्ट्रॉनों की व्यवस्था का वर्णन करता है, जिसमें भरे हुए शेल के परिणामस्वरूप उत्तम स्थिरता होती है। एक नाभिक में न्यूक्लियॉन (प्रोटॉन या न्यूट्रॉन) जोड़ते समय कुछ ऐसे बिंदु होते हैं जहां अगले न्यूक्लियॉन की बाध्यकारी ऊर्जा पिछले वाले की तुलना में अधिक कम होती है। यह अवलोकन कि न्यूक्लियंस (2, 8, 20, 28, 50, 82, 126) के विशिष्ट मैजिक संख्या (भौतिकी) हैं जो निम्नलिखित उच्च संख्या की तुलना में अधिक शक्तिशाली से बंधे हैं, शेल मॉडल की उत्पत्ति है।

प्रोटॉन और न्यूट्रॉन के गोले एक दूसरे से स्वतंत्र होते हैं। इसलिए, मैजिक नाभिक दोनों उपस्थित हो सकते हैं, जिसमें एक न्यूक्लियॉन प्रकार या दूसरा एक मैजिक संख्या पर है, और मैजिक संख्या (भौतिकी) या डबल मैजिक, जहां दोनों हैं। कक्षीय भरने में कुछ भिन्नताओं के कारण, ऊपरी मैजिक संख्या 126 है और अनुमानतः न्यूट्रॉन के लिए 184 है, किन्तु स्थिरता के तथाकथित द्वीप की खोज में भूमिका निभाने वाले प्रोटॉन के लिए केवल 114 है। कुछ अर्ध-मैजिक संख्याएँ पाई गई हैं, विशेष रूप से Z = 40 जो विभिन्न तत्वों के लिए परमाणु शेल भरने देता है; 16 भी एक मैजिक संख्या हो सकती है।

इन नंबरों को प्राप्त करने के लिए, परमाणु शेल मॉडल एक औसत क्षमता से प्रारंभिक होता है, जो चौकोर कुएं और क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर के बीच कहीं होता है। इस क्षमता में, एक स्पिन ऑर्बिट शब्द जोड़ा जाता है। फिर भी, कुल क्षोभ प्रयोग के साथ मेल नहीं खाता है, और अध्ययन किए जा रहे नाभिक के आधार पर एक अनुभवजन्य स्पिन कक्षा युग्मन को इसके युग्मन स्थिरांक के कम से कम दो या तीन अलग-अलग मानो के साथ जोड़ा जाना चाहिए। क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर या उदाहरण के साथ मॉडल का अनुमान लगाकर नाभिक की मैजिक संख्या, साथ ही अन्य गुणों पर पहुंचा जा सकता है: 3 डी आइसोट्रोपिक हार्मोनिक ऑसिलेटर | त्रि-आयामी हार्मोनिक ऑसिलेटर प्लस स्पिन-ऑर्बिट परस्पर क्रिया एक अधिक यथार्थवादी किन्तु जटिल क्षमता को वुड्स-सैक्सन क्षमता के रूप में जाना जाता है।

संशोधित हार्मोनिक ऑसिलेटर मॉडल
एक क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर या उदाहरण पर विचार करें: 3डी आइसोट्रोपिक हार्मोनिक ऑसिलेटर | त्रि-आयामी हार्मोनिक ऑसिलेटर। यह, उदाहरण के लिए, पहले तीन स्तरों में देगा (ℓ अज़ीमुथल क्वांटम संख्या है) प्रोटॉन और न्यूट्रॉन को जोड़कर नाभिक का निर्माण किया जाता है। ये सदैव सबसे कम उपलब्ध स्तर भरेंगे, पहले दो प्रोटॉन स्तर शून्य भरेंगे, अगले छह प्रोटॉन स्तर एक भरेंगे, और इसी तरह जैसा कि आवर्त सारणी में इलेक्ट्रॉनों के साथ होता है, बाह्यतम शेल में प्रोटॉन अपेक्षाकृत शिथिल रूप से नाभिक से बंधे होंगे यदि उस शेल में केवल कुछ प्रोटॉन हैं, क्योंकि वे नाभिक के केंद्र से सबसे दूर हैं। इसलिए, जिन नाभिकों में एक पूर्ण बाहरी प्रोटॉन शेल होता है, उनमें समान संख्या में प्रोटॉन वाले अन्य नाभिकों की तुलना में अधिक परमाणु बंधन ऊर्जा होगी। न्यूट्रॉन के लिए भी यही सच है।

इसका कारण यह है कि मैजिक संख्याएं वे होने की उम्मीद की जाती हैं जिनमें सभी कब्जे वाले गोले भरे हुए हैं। प्रयोग के अनुसार, हमें पहली दो संख्याओं के लिए 2 (स्तर 0 पूर्ण) और 8 (स्तर 0 और 1 पूर्ण) प्राप्त होते हैं। चूंकि, मैजिक नंबरों का पूरा समूह सही विधि से नहीं निकलता है। इनकी गणना इस प्रकार की जा सकती है:


 * एक क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर में या उदाहरण: 3डी आइसोट्रोपिक हार्मोनिक ऑसिलेटर|त्रि-आयामी हार्मोनिक ऑसिलेटर, n स्तर पर कुल पतित ऊर्जा स्तर $${(n+1)(n+2)\over 2}$$ है.
 * स्पिन (भौतिकी) के कारण अधोगति दुगुनी होती है और होती है $$(n+1)(n+2)$$.
 * इस प्रकार, मैजिक संख्याएँ होंगी$$ \sum_{n=0}^k (n+1)(n+2) = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)} 3 $$सभी पूर्णांक k के लिए। यह निम्नलिखित मैजिक संख्याएँ देता है: 2, 8, 20, 40, 70, 112, ..., जो केवल पहली तीन प्रविष्टियों में प्रयोग से सहमत हैं। ये संख्याएं पास्कल के त्रिभुज से चतुष्फलकीय संख्याओं (1, 4, 10, 20, 35, 56, ...) की दोगुनी हैं।

विशेष रूप से, पहले छह गोले हैं: जहां प्रत्येक ℓ के लिए ml के 2ℓ+1 अलग-अलग मान और ms के 2 मान हैं, प्रत्येक विशिष्ट स्तर के लिए कुल 4ℓ+2 अवस्थाएँ हैं।
 * स्तर 0: 2 अवस्थाएँ (ℓ = 0) = 2।
 * स्तर 1: 6 अवस्थाएँ (ℓ = 1) = 6।
 * स्तर 2: 2 अवस्थाएँ (ℓ = 0) + 10 अवस्थाएँ (ℓ = 2) = 12।
 * स्तर 3: 6 अवस्थाएँ (ℓ = 1) + 14 अवस्थाएँ (ℓ = 3) = 20।
 * स्तर 4: 2 अवस्थाएँ (ℓ = 0) + 10 अवस्थाएँ (ℓ = 2) + 18 अवस्थाएँ (ℓ = 4) = 30।
 * स्तर 5: 6 अवस्थाएँ (ℓ = 1) + 14 अवस्थाएँ (ℓ = 3) + 22 अवस्थाएँ (ℓ = 5) = 42।

ये संख्याएं पास्कल त्रिभुज से त्रिभुज संख्याओं के दोगुने मान हैं: 1, 3, 6, 10, 15, 21, ....

एक स्पिन-ऑर्बिट इंटरैक्शन सहित
हम आगे एक स्पिन-ऑर्बिट इंटरैक्शन सम्मिलित करते हैं। पहले हमें क्वांटम संख्या j, mj और समता के अतिरिक्त ℓ, ml और ms, के द्वारा प्रणाली का वर्णन करना होगा, जैसा कि हाइड्रोजन-जैसे परमाणु में होता है। चूँकि प्रत्येक सम स्तर में केवल ℓ के सम मान सम्मिलित होते हैं, इसमें केवल सम (सकारात्मक) समता की अवस्थाएँ सम्मिलित होती हैं। इसी तरह, प्रत्येक विषम स्तर में केवल विषम (ऋणात्मक) समता की अवस्थाएँ सम्मिलित होती हैं। इस प्रकार हम अवस्थाएँ की गिनती में समानता की उपेक्षा कर सकते हैं। नए क्वांटम नंबरों द्वारा वर्णित पहले छह गोले हैं जहां प्रत्येक j के लिए mj के विभिन्न मानो से 2j +  1 अलग-अलग अवस्थाएँ हैं।
 * स्तर 0 (n = 0): 2 अवस्थाएँ (j = $1/undefined$). यहां तक ​​कि समता भी।
 * स्तर 1 (n = 1): 2 स्थितियाँ (j = $1/undefined$) + 4 अवस्थाएँ (j = $1/undefined$) = 6. विषम समता।
 * स्तर 2 (n = 2): 2 अवस्थाएँ (j = $1/undefined$) + 4 अवस्थाएँ (j = $1/undefined$) + 6 अवस्थाएँ (j = $1/undefined$) = 12. समता भी।
 * स्तर 3 (n = 3): 2 स्थितियाँ (j = $1/undefined$) + 4 अवस्थाएँ (j = $1/undefined$) + 6 अवस्थाएँ (j = $1/undefined$) + 8 अवस्थाएँ (j = $1/undefined$) = 20। विषम समता।
 * स्तर 4 (n = 4): 2 अवस्थाएँ (j = $1/undefined$) + 4 अवस्थाएँ (j = $1/undefined$) + 6 अवस्थाएँ (j = $1/undefined$) + 8 अवस्थाएँ (j = $1/undefined$) + 10 अवस्थाएँ (j = $1/undefined$) = 30. समता भी।
 * स्तर 5 (n = 5): 2 अवस्थाएँ (j = $1/undefined$) + 4 अवस्थाएँ (j = $1/undefined$) + 6 अवस्थाएँ (j = $1/undefined$) + 8 अवस्थाएँ (j = $1/undefined$) + 10 अवस्थाएँ (j = $1/undefined$) + 12 अवस्थाएँ (j = $1/undefined$) = 42. विषम समता।

स्पिन-ऑर्बिट इंटरैक्शन के कारण समान स्तर की अवस्थाओं की ऊर्जा किन्तु अलग-अलग j के साथ अब समान नहीं होगी। ऐसा इसलिए है क्योंकि मूल क्वांटम संख्या में, जब $$\scriptstyle \vec{s}$$ इसके $$\scriptstyle \vec{l}$$,समानांतर अंतःक्रिया ऊर्जा सकारात्मक है; और इस स्थितियों में j = ℓ + s = ℓ + $1/undefined$. जब $$\scriptstyle \vec{s}$$ $$\scriptstyle \vec{l}$$ के समानांतर विरोधी है (अर्थात विपरीत रूप से संरेखित), अंतःक्रियात्मक ऊर्जा ऋणात्मक है, और इस स्थितियों में j =  ℓ  −  s  =  ℓ  −  $3/2$. इसके अतिरिक्त, परस्पर क्रिया की ताकत सामान्यतः ℓ के समानुपाती होती है।

उदाहरण के लिए, अवस्थाएँ को स्तर 4 पर विचार करें:
 * 10 अवस्थाओ के साथ j = $1/undefined$ ℓ = 4 से आते हैं और ℓ के समानांतर हैं। इस प्रकार उनके पास एक सकारात्मक स्पिन-ऑर्बिट इंटरैक्शन ऊर्जा है।
 * j = के साथ 8 अवस्थाएँ $3/2$ ℓ = 4 से आया और ℓ के समानांतर विरोधी है। इस प्रकार उनके पास एक ऋणात्मक स्पिन-ऑर्बिट इंटरैक्शन ऊर्जा है।
 * 6 अवस्थाओ के साथ j = $5/2$ ℓ = 2 से आया है और ℓ के समानांतर है। इस प्रकार उनके पास एक सकारात्मक स्पिन-ऑर्बिट इंटरैक्शन ऊर्जा है। चूंकि इसका परिमाण j =$1/undefined$ वाले अवस्थाएँ की तुलना में आधा है.
 * 4 अवस्थाओ के साथ j = $3/2$ ℓ = 2 से आया और s विरोधी समानांतर ℓ से आया। इस प्रकार उनके पास एक ऋणात्मक स्पिन-ऑर्बिट इंटरैक्शन ऊर्जा है। चूंकि इसका परिमाण j = $5/2$ वाले अवस्थाएँ की तुलना में आधा है.
 * 2 अवस्थाओ के साथ j = $7/2$ ℓ = 0 से आया है और इस प्रकार शून्य स्पिन-ऑर्बिट इंटरैक्शन ऊर्जा है।

संभावना का प्रोफाइल बदलना
लयबद्ध दोलक क्षमता $$V(r) = \mu \omega^2 r^2 /2$$ असीम रूप से बढ़ता है जैसे ही केंद्र r से दूरी अनंत तक जाती है। अवुड्स-सैक्सन क्षमता जैसी अधिक यथार्थवादी क्षमता, इस सीमा पर एक स्थिरांक तक पहुंच जाएगी एक मुख्य परिणाम यह है कि न्यूक्लियंस की कक्षाओं की औसत त्रिज्या यथार्थवादी क्षमता में बड़ी होगी; में बड़ी होगी; यह हैमिल्टनियन ऑपरेटर के लाप्लास ऑपरेटर में एक कम शब्द \ $$\scriptstyle \hbar^2 l(l+1)/ 2m r^2$$ की ओर जाता है एक अन्य मुख्य अंतर यह है कि उच्च औसत त्रिज्या वाली कक्षाएँ, जैसे कि उच्च n या उच्च ℓ वाली कक्षाओं में हार्मोनिक ऑसिलेटर क्षमता की तुलना में कम ऊर्जा होगी। दोनों प्रभावों से उच्च ℓ कक्षाओं के ऊर्जा स्तरों में कमी आती है।

प्रागुक्त मैजिक संख्या
स्पिन-ऑर्बिट इंटरैक्शन के साथ, और दोनों प्रभावों के उचित परिमाण के लिए, निम्नलिखित गुणात्मक आकृति का नेतृत्व किया जाता है: सभी स्तरों पर, उच्चतम j अवस्थाएँ में उनकी ऊर्जा नीचे की ओर स्थानांतरित हो जाती है, विशेष रूप से उच्च n के लिए (जहां उच्चतम j उच्च है) ). यह दोनों ऋणात्मक स्पिन-ऑर्बिट इंटरेक्शन ऊर्जा के कारण है और ऊर्जा में कमी के कारण क्षमता को और अधिक यथार्थवादी रूप से विकृत करने के कारण है। दूसरी-से-उच्चतम j अवस्थाओ, इसके विपरीत, उनकी ऊर्जा पहले प्रभाव से ऊपर और दूसरे प्रभाव से नीचे स्थानांतरित हो जाती है, जिससे एक छोटी सी समग्र पारी होती है। उच्चतम j अवस्थाएँ की ऊर्जा में बदलाव इस प्रकार एक स्तर के अवस्थाएँ की ऊर्जा को निचले स्तर के अवस्थाएँ की ऊर्जा के समीप ला सकता है। शेल मॉडल के गोले तब n द्वारा निरूपित स्तरों के समान नहीं होते हैं, और मैजिक संख्याएँ बदल जाती हैं।

हम तब मान सकते हैं कि n = 3 के लिए उच्चतम j अवस्थाएँ में n = 2 और n = 3 की औसत ऊर्जाओं के बीच एक मध्यवर्ती ऊर्जा है, और मान लें कि उच्चतम j अवस्थाएँ के लिए बड़े n (कम से कम n = 7 तक) है की औसत ऊर्जा के समीप एक ऊर्जा n −  1. तब हमें निम्नलिखित गोले प्राप्त होते हैं (आकृति देखें)

और इसी तरह।
 * पहला कोश: 2 अवस्थाएँ (n = 0, j = $1/undefined$).
 * दूसरा कोश: 6 अवस्थाएं (n = 1, j = $3/2$ या $5/2$).
 * तीसरा कोश: 12 अवस्थाएं (n = 2, j = $7/2$, $9/2$ या $1/undefined$).
 * चौथा कोश: 8 अवस्थाएं (n = 3, j = $3/2$).
 * पाँचवाँ कोश: 22 अवस्थाएँ (n = 3, j = $5/2$, $7/2$ या $9/2$; n = 4, j = $11/2$).
 * छठा कोश: 32 अवस्थाएं (n = 4, j = $1/undefined$, $1/undefined$, $9/2$ या $7/2$; n = 5, j = $5/2$).
 * सातवाँ कोश: 44 अवस्थाएँ (n = 5, j = $9/2$, $3/2$, $7/2$, $1/undefined$ या $1/undefined$; n = 6, j = $1/undefined$).
 * 8वाँ कोश: 58 अवस्थाएँ (n = 6, j = $3/2$, $1/undefined$, $3/2$, $5/2$, $7/2$ या $1/undefined$; n = 7, j = $3/2$).

ध्यान दें कि चौथे शेल के बाद अवस्थाएँ की संख्या दोगुनी त्रिकोणीय संख्या है. स्पिन-ऑर्बिट कपलिंग तथाकथित 'अतिक्रमी के स्तर' को अगले उच्च शेल से पिछले शेल की संरचना में नीचे गिराने का कारण बनता है। अतिक्रमी के आकार ऐसे होते हैं कि परिणामी शेल के आकार हार्मोनिक ऑसिलेटर से अगले उच्च दोगुनी त्रिकोणीय संख्या में बढ़ जाते हैं। उदाहरण के लिए, 1f2p में 20 न्यूक्लिऑन होते हैं, और स्पिन-ऑर्बिट युग्मन 1g9/2 (10 न्यूक्लिऑन) जोड़ता है जिससे 30 न्यूक्लिऑन के साथ एक नया शेल बनता है। 1g2d3s में 30 न्यूक्लियॉन हैं, और घुसपैठिए 1h11/2 (12 न्यूक्लियॉन) को जोड़ने से 42 का एक नया शेल आकार मिलता है, और इसी तरह।

मैजिक संख्या तब हैं


 * 2
 * 8 =  2  +  6
 * 20 =  2  +  6  +  12
 * 28 =  2  +  6  +  12  +  8
 * 50 =  2  +  6  +  12  +  8  +  22
 * 82 =  2  +  6  +  12  +  8  +  22  +  32
 * 126 =  2  +  6  +  12  +  8  +  22  +  32  +  44
 * 184 =  2  +  6  +  12  +  8  +  22  +  32  +  44  +  58

और इसी तरह। यह सभी देखे गए मैजिक संख्या देता है, और 184 के मान पर एक नया (स्थिरता का तथाकथित द्वीप) भी पूर्वानुमान करता है (प्रोटॉन के लिए, मैजिक संख्या 126 अभी तक नहीं देखी गई है, और अधिक जटिल सैद्धांतिक विचार मैजिक की पूर्वानुमान करते हैं संख्या 114 होने के अतिरिक्त )।

मैजिक (और अर्ध -मैजिक) नंबरों की पूर्वानुमान करने का एक और विधि आदर्श फिलिंग ऑर्डर (स्पिन-ऑर्बिट स्प्लिटिंग के साथ किन्तु ऊर्जा स्तर अतिव्यापी नहीं) को निर्धारित करना है। संगति के लिए s को क्रमशः 2 और 0 सदस्यों के साथ j = 1/2 और j = -1/2 घटकों में विभाजित किया गया है। यहां/द्वारा चिह्नित अनुक्रमों के अंदर सबसे बाईं ओर और सबसे दाईं ओर कुल गणना करने से मैजिक और अर्ध -मैजिक संख्या मिलते हैं।


 * s(2,0)/p(4,2) > 2,2/6,8, तो (अर्ध)मैजिक संख्या 2,2/6,8
 * d (6,4):s (2,0)/f (8,6):p (4,2) > 14,18:20,20/28,34:38,40, इसलिए 14,20/ 28,40
 * g(10,8):d(6,4):s(2,0)/h(12,10):f(8,6):p(4,2) > 50,58,64,68 ,70,70/82,92,100,106,110,112, इसलिए 50,70/82,112
 * i(14,12):j (10,8):d (6,4):s (2,0)/j (16,14):h (12,10):f (8,6): p (4,2) > 126,138,148,156,162,166,168,168/184,198,210,220,228,234,238,240, इसलिए 126,168/184,240

चौकड़ी के अंदर प्रत्येक जोड़ी की सबसे सही पूर्वानुमान की गई मैजिक संख्या / पास्कल त्रिकोण से डबल टेट्राहेड्रल संख्याएं हैं: 2, 8, 20, 40, 70, 112, 168, 240 2x 1, 4, 10, 20, 35 हैं, 56, 84, 120, ..., और जोड़े के सबसे बाएं सदस्य दोहरे त्रिकोणीय संख्याओं द्वारा सबसे दाएं से भिन्न होते हैं: 2 − 2 = 0, 8 − 6 = 2, 20 − 14 = 6, 40 − 28 = 12, 70 − 50 = 20, 112 − 82 = 30, 168 − 126 = 42, 240 − 184 = 56, जहां 0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, ... 2 × 0, 1 हैं , 3, 6, 10, 15, 21, 28, ... .

नाभिक के अन्य गुण
यह मॉडल कुछ सफलता के साथ नाभिक के अन्य गुणों की भी पूर्वानुमान या व्याख्या करता है, विशेष रूप से स्पिन (भौतिकी) और नाभिकीय समतल अवस्थाओं की समता (भौतिकी), और कुछ सीमा तक उनकी उत्तेजित अवस्थाएँ भी। लेना (ऑक्सीजन -17) एक उदाहरण के रूप में: इसके नाभिक में आठ प्रोटॉन होते हैं जो पहले तीन प्रोटॉन कोशों को भरते हैं, आठ न्यूट्रॉन पहले तीन न्यूट्रॉन कोशों को भरते हैं, और एक अतिरिक्त न्यूट्रॉन। एक पूर्ण प्रोटॉन शेल में सभी प्रोटॉनों का कुल कोणीय संवेग शून्य होता है, क्योंकि उनका कोणीय संवेग एक दूसरे को समाप्त कर देता है। न्यूट्रॉन के लिए भी यही सच है। समान स्तर (n) के सभी प्रोटॉनों में समान समानता (या तो +1 या -1) होती है, और चूंकि कणों की एक जोड़ी की समानता उनकी समानता का गुणनफल होती है, समान स्तर (n) से प्रोटॉनों की एक सम संख्या +1 समानता होगी। इस प्रकार आठ प्रोटॉन और पहले आठ न्यूट्रॉन का कुल कोणीय संवेग शून्य है, और उनकी कुल समता +1 है। इसका अर्थ है कि नाभिक का चक्रण (अर्थात् कोणीय संवेग), साथ ही साथ इसकी समता, नौवें न्यूट्रॉन द्वारा पूरी तरह से निर्धारित होती है। यह चौथे कोश की पहली (अर्थात् निम्नतम ऊर्जा) अवस्था में है, जो एक d-कोश (ℓ = 2) है, और चूंकि p = (-1)$5/2$, यह नाभिक को +1 की समग्र समता देता है। इस चौथे d-कोश में j = $9/2$ है, इस प्रकार का नाभिक  से सकारात्मक समता और कुल कोणीय संवेग $1/undefined$ होने की उम्मीद है , जो वास्तव में इसके पास है।

नाभिक के गोले के क्रम के नियम हुंड के नियमों की सूची के समान हैं। परमाणु गोले के हुंड के नियम, चूंकि, परमाणु भौतिकी में इसके उपयोग के विपरीत, एक शेल का पूरा होना अगले n तक पहुंचने का संकेत नहीं है, जैसे कि शेल मॉडल उत्साहित नाभिक अवस्थाएँ के क्रम की स्पष्ट पूर्वानुमान नहीं कर सकता है, चूंकि यह समतल अवस्थाएँ की पूर्वानुमान करने में बहुत सफल है। पहले कुछ शब्दों का क्रम इस प्रकार सूचीबद्ध है: 1s, 1p$3/2$, 1p$5/2$, 1d$7/2$, 2s, 1d$11/2$... अंकन पर और अधिक स्पष्टीकरण के लिए रसेल पर सॉन्डर्स शब्द चिह्न लेख देखें–

मैजिक संख्या (भौतिकी) से आगे के नाभिक के लिए यह धारणा जोड़नी चाहिए कि शक्तिशाली परमाणु बल और कुल कोणीय गति के बीच संबंध के कारण, प्रोटॉन या न्यूट्रॉन समान n के साथ विपरीत कोणीय गति के जोड़े बनाते हैं। इसलिए, प्रोटॉन की एक समान संख्या और न्यूट्रॉन की एक समान संख्या वाले नाभिक में 0 स्पिन और सकारात्मक समता होती है। प्रोटॉन की सम संख्या वाले नाभिक और विषम संख्या में न्यूट्रॉन (या इसके विपरीत) में अंतिम न्यूट्रॉन (या प्रोटॉन) की समानता होती है, और स्पिन इस न्यूट्रॉन (या प्रोटॉन) के कुल कोणीय गति के सामान्य होती है। अंत में हमारा तात्पर्य उच्चतम ऊर्जा स्तर से आने वाले गुणों से है।

विषम संख्या में प्रोटॉन और विषम संख्या में न्यूट्रॉन वाले नाभिक के स्थितियों में, अंतिम न्यूट्रॉन और अंतिम प्रोटॉन दोनों की कुल कोणीय गति और समानता पर विचार करना चाहिए। न्यूक्लियस समता उनका एक उत्पाद होगा, जबकि न्यूक्लियस स्पिन कोणीय गति के संभावित परिणामों में से एक होगा या उनके कोणीय गति के परिमाणित कोणीय गति का जोड़ (अन्य संभावित परिणाम के साथ नाभिक के उत्साहित अवस्थाएँ)।

प्रत्येक शेल के अंदर कोणीय गति के स्तर का क्रम ऊपर वर्णित सिद्धांतों के अनुसार है - स्पिन-ऑर्बिट इंटरैक्शन के कारण, उच्च कोणीय गति वाले अवस्थाएँ में क्षमता के विरूपण के कारण उनकी ऊर्जा नीचे की ओर स्थानांतरित हो जाती है (अर्थात एक हार्मोनिक ऑसिलेटर क्षमता से चलती है) एक अधिक यथार्थवादी)। चूंकि, न्यूक्लियॉन जोड़े के लिए, यह अधिकांशतः उच्च कोणीय गति पर होने के लिए ऊर्जावान रूप से अनुकूल होता है, तथापि एकल न्यूक्लियॉन के लिए इसका ऊर्जा स्तर अधिक हो। यह कोणीय संवेग और प्रबल नाभिकीय बल के बीच संबंध के कारण है।

शेल मॉडल के इस सरल संस्करण द्वारा न्यूट्रॉन और प्रोटॉन के परमाणु चुंबकीय क्षण का आंशिक रूप से अनुमान लगाया गया है। चुंबकीय क्षण की गणना अंतिम न्यूक्लियॉन के j, ℓ और s के माध्यम से की जाती है, किन्तु नाभिक अच्छी तरह से परिभाषित ℓ और s की अवस्था में नहीं होते हैं। इसके अतिरिक्त, विषम-विषम नाभिक के लिए, ड्यूटेरियम या चुंबकीय और विद्युत बहुध्रुवों के रूप में, दो अंतिम नाभिकों पर विचार करना होगा। इसलिए, परमाणु चुंबकीय क्षण के लिए कई संभावित उत्तर मिलते हैं, प्रत्येक संभव संयुक्त ℓ और एस अवस्थाएँ के लिए एक, और नाभिक की वास्तविक स्थिति उनमें से एक अध्यारोपण सिद्धांत है। इस प्रकार वास्तविक (मापा गया) परमाणु चुंबकीय क्षण संभावित उत्तरों के बीच कहीं है।

एक नाभिक का विद्युत द्विध्रुव सदैव शून्य होता है, क्योंकि इसकी समतल अवस्था में एक निश्चित समता होती है, इसलिए यह पदार्थ का घनत्व (ψ)$1/undefined$ है, जहां ψ तरंग क्रिया है) समता के अनुसार सदैव अपरिवर्तनीय होता है। सामान्यतः डिपोल या परमाणु द्विध्रुव के साथ भी यही स्थिति होती है।

ड्यूटेरियम या चुंबकीय और इलेक्ट्रिक बहुस्तम्भ के स्थितियों में समान कारणों के लिए शेल मॉडल के इस सरल संस्करण द्वारा उच्च विद्युत और चुंबकीय बहुध्रुव क्षणों की पूर्वानुमान नहीं की जा सकती है।

अवशिष्ट अंतःक्रियाओं सहित
नाभिक के लिए दो या दो से अधिक संयोजी नाभिक (अर्थात एक बंद शेल के बाहर न्यूक्लियॉन) एक अवशिष्ट दो-निकाय की परस्पर क्रिया को जोड़ा जाना चाहिए। यह अवशिष्ट शब्द अंतर-नाभिकीय अंतःक्रिया के भाग से आता है जो अनुमानित औसत क्षमता में सम्मिलित नहीं है। इस समावेशन के माध्यम से, विभिन्न शैल विन्यास मिश्रित होते हैं और समान विन्यास के अनुरूप अवस्थाएँ की ऊर्जा पतन टूट जाती है। इन अवशिष्ट अंतःक्रियाओं को एक छोटे मॉडल स्थान (या संयोजी स्थान) में शेल मॉडल गणनाओं के माध्यम से सम्मिलित किया जाता है। यह स्थान कई-कण अवस्थाओं के आधार पर फैला हुआ है जहाँ मॉडल स्थान में केवल एकल-कण अवस्थाएँ सक्रिय हैं। श्रोडिंगर समीकरण इस आधार पर हल किया जाता है, विशेष रूप से मॉडल स्थान के लिए उपयुक्त एक प्रभावी हैमिल्टनियन का उपयोग करके। यह हेमिल्टनियन मुक्त न्यूक्लियंस से अलग है क्योंकि इसे अन्य चीजों के साथ बहिष्कृत विन्यास के लिए क्षतिपूर्ति करना है।

मॉडल स्थान को पहले के निष्क्रिय कोर तक बढ़ाकर और मॉडल स्थान खंडन तक सभी एकल कण अवस्थाएँ को सक्रिय मानकर औसत संभावित सन्निकटन को पूरी तरह से दूर किया जा सकता है। यह नो-कोर शेल मॉडल का आधार बनाता है, जो कि एक एब इनिटियो मेथड्स (परमाणु भौतिकी) है। प्रयोगों के साथ सहमति प्राप्त करने के लिए ऐसी गणनाओं में तीन-निकाय बलअंतःक्रिया को सम्मिलित करना आवश्यक है।

सामूहिक घूर्णन और विकृत क्षमता
1953 में नाभिक में घूर्णी बैंड के पहले प्रायोगिक उदाहरण पाए गए, उनके ऊर्जा स्तर उसी J(J+1) ऊर्जा के प्रतिरूप का पालन करते हैं जैसा कि घूर्णन अणुओं में होता है। क्वांटम यंत्रवत्, एक गोले का सामूहिक घुमाव होना असंभव है, इसलिए इसका तात्पर्य है कि इन नाभिकों का आकार गैर-गोलाकार था। सिद्धांत रूप में, इन घूर्णी अवस्थाओं को गोलाकार क्षमता के एकल-कण अवस्थाओं के आधार पर कण-छेद उत्तेजना के सुसंगत अध्यारोपण के रूप में वर्णित किया जा सकता था। किन्तु वास्तव में, इन अवस्थाएँ का इस तरह से वर्णन आकर्षक है, बड़ी संख्या में संयोजी कण के कारण - और यह सुघड़ता 1950 के दशक में और भी अधिक थी जब कंप्यूटिंग शक्ति अत्यधिक अल्पविकसित थी। इन कारणों से, आयु बोहर, बेन मोटलसन, और स्वेन गोस्टा निल्सन ने ऐसे मॉडल बनाए जिनमें क्षमता को दीर्घवृत्ताभ आकार में विकृत किया गया था। इस प्रकार का पहला सफल मॉडल वह है जिसे अब निल्सन मॉडल के नाम से जाना जाता है। यह अनिवार्य रूप से इस आलेख में वर्णित हार्मोनिक ऑसीलेटर मॉडल है, किन्तु अनिसोट्रॉपी जोड़ा गया है, जिससे तीन कार्टेशियन अक्षों के साथ ऑसीलेटर आवृत्तियां समान न हों। सामान्यतः आकार एक प्रोलेट दीर्घवृत्ताभ होता है, जिसमें समरूपता की धुरी को z लिया जाता है। क्योंकि क्षमता गोलाकार रूप से सममित नहीं है, एकल-कण अवस्थाएँ अच्छे कोणीय गति j के अवस्थाएँ नहीं हैं। चूंकि, एक लैग्रेंज गुणक $$-\omega\cdot J$$, जिसे क्रैंकिंग शब्द के रूप में जाना जाता है, को हैमिल्टनियन में जोड़ा जा सकता है। सामान्यतः कोणीय आवृत्ति वेक्टर ω को सममिति अक्ष के लंबवत लिया जाता है, चूंकि झुकी हुई-अक्ष क्रैंकिंग पर भी विचार किया जा सकता है। एकल-कण अवस्थाओं को फर्मी स्तर तक भरना तब अवस्थाएँ का निर्माण करता है जिनकी क्रैंकिंग अक्ष के साथ अपेक्षित कोणीय गति होती है $$\langle J_x\rangle$$ वांछित मान है।

संबंधित मॉडल
इगल तालमी ने प्रयोगात्मक डेटा से जानकारी प्राप्त करने के लिए एक विधि विकसित की और इसका उपयोग उन ऊर्जाओं की गणना और पूर्वानुमान करने के लिए किया जिन्हें मापा नहीं गया है। इस पद्धति का उपयोग कई परमाणु भौतिकविदों द्वारा सफलतापूर्वक किया गया है और इससे परमाणु संरचना की गहरी समझ उत्पन्न हुई है। इन गुणों का एक अच्छा विवरण देने वाला सिद्धांत विकसित किया गया था। यह विवरण सुरुचिपूर्ण और सफल अंतःक्रियात्मक बोसोन मॉडल के शेल मॉडल के आधार को प्रस्तुत करने के लिए निकला है।

न्यूक्लियर शेल मॉडल से प्राप्त एक मॉडल हेनरी मार्गेनौ, एडवर्ड टेलर, जे. के. पेरिंग, टोनी स्किर्मे द्वारा विकसित अल्फा कण मॉडल है। टी। एच स्किरमे, जिसे कभी-कभी स्किर्मे मॉडल भी कहा जाता है। ध्यान दें, चूंकि, स्किरमे मॉडल को सामान्यतः न्यूक्लियॉन के एक मॉडल के रूप में लिया जाता है, जैसे मेसन (पियोन) के एक बादल के रूप में, नाभिक के एक मॉडल के रूप में अल्फा कणों के बादल के रूप में होता है।।

यह भी देखें

 * परस्पर क्रिया करने वाला बोसोन मॉडल
 * आइसोमेरिक शिफ्ट
 * तरल ड्रॉप मॉडल
 * परमाणु संरचना