तात्कालिक चरण और आवृत्ति

सिग्नल प्रोसेसिंग में तात्कालिक चरण और आवृत्ति महत्वपूर्ण अवधारणाएं हैं | जो समय-भिन्न कार्यों के प्रतिनिधित्व और विश्लेषण के संदर्भ में होती हैं। जटिल मान फलन s(t) का तात्क्षणिक चरण (स्थानीय चरण या केवल चरण के रूप में भी जाना जाता है), वास्तविक मूल्यवान फलन है |
 * $$\varphi(t) = \arg\{s(t)\},$$

जहां आर्ग तर्क (जटिल विश्लेषण) है। तात्कालिक आवृत्ति तात्कालिक चरण के परिवर्तन की अस्थायी दर है।

और वास्तविक मूल्यवान फलन s(t) के लिए, यह फलन के विश्लेषणात्मक निरूपण, sa(t) से निर्धारित होता है |
 * $$\begin{align}

\varphi(t) &= \arg\{s_\mathrm{a}(t)\} \\[4pt] &= \arg\{s(t) + j \hat{s}(t)\}, \end{align}$$ जहाँ $$\hat{s}(t)$$ एस (t) के हिल्बर्ट परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है।

जब φ(t) इसके प्रमुख मान तक सीमित है, या तो अंतराल $(−π, π]$ या $[0, 2π)$, इसे लपेटा हुआ चरण कहा जाता है। अन्यथा इसे अलिखित चरण कहा जाता है | जो तर्क t का निरंतर कार्य है, एस मानते हुए ta(t) का निरंतर कार्य है। जब तक अन्यथा निरूपण न दिया जाए, निरंतर रूप का अनुमान लगाया जाना चाहिए।

फ़ाइल:तात्कालिक (लिपटे) चरण; 360 डिग्री प्लॉट को लंबवत रूप से 3 बार स्टैक किया गया है। jpg|थंब|400पीएक्स| आवृत्ति-संग्राहक तरंग का तात्कालिक चरण: एमएसके (न्यूनतम शिफ्ट कुंजीयन) है। 360° लपेटे हुए प्लॉट को केवल दो बार लंबवत रूप से दोहराया जाता है | जो अलिखित प्लॉट का भ्रम उत्पन्न करता है | किन्तु ऊर्ध्वाधर अक्ष के केवल 3x360° का उपयोग करता है।

उदाहरण 1

 * $$s(t) = A \cos(\omega t + \theta),$$

जहां ω > 0.
 * $$\begin{align}

s_\mathrm{a}(t) &= A e^{j(\omega t + \theta)}, \\ \varphi(t) &= \omega t + \theta. \end{align}$$ इस सरल साइनसोइडल उदाहरण में, स्थिर θ को सामान्यतः चरण या चरण ऑफसमुच्चय के रूप में भी जाना जाता है। φ(t) समय का फलन है; θ नहीं है। अगले उदाहरण में, हम यह भी देखते हैं कि तब तक वास्तविक-मूल्यवान साइनसॉइड का चरण ऑफ़समुच्चय अस्पष्ट होता है। जब तक कोई संदर्भ (sin या cos) निर्दिष्ट नहीं किया जाता है | φ(t) स्पष्ट रूप से परिभाषित है।

उदाहरण 2

 * $$s(t) = A \sin(\omega t) = A \cos\left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right),$$

जहां ω > 0.
 * $$\begin{align}

s_\mathrm{a}(t) &= A e^{j \left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right)}, \\ \varphi(t) &= \omega t - \frac{\pi}{2}. \end{align}$$ दोनों उदाहरणों में s(t) का स्थानीय उच्चिष्ठ N के पूर्णांक मानों के लिए φ(t) = 2πN के अनुरूप है। इसमें कंप्यूटर दृष्टि के क्षेत्र में अनुप्रयोग हैं।

तात्कालिक आवृत्ति
तात्कालिक कोणीय आवृत्ति को इस प्रकार परिभाषित किया गया है |
 * $$\omega(t) = \frac{d\varphi(t)}{dt},$$

और तात्कालिक (साधारण) आवृत्ति को इस प्रकार परिभाषित किया गया है |
 * $$f(t) = \frac{1}{2\pi} \omega(t) = \frac{1}{2\pi} \frac{d\varphi(t)}{dt}$$

जहां φ(t) 'अलिखित चरण' होना चाहिए | अन्यथा, यदि φ(t) लपेटा जाता है, तो φ(t) में विच्छिन्नता का परिणाम f(t) में डिराक डेल्टा आवेगों में होगा।

उलटा संचालन, जो सदैव चरण को खोल देता है |
 * $$\begin{align}

\varphi(t) &= \int_{-\infty}^t \omega(\tau)\, d\tau = 2 \pi \int_{-\infty}^t f(\tau)\, d\tau\\[5pt] &= \int_{-\infty}^0 \omega(\tau)\, d\tau + \int_0^t \omega(\tau)\, d\tau\\[5pt] &= \varphi(0) + \int_0^t \omega(\tau)\, d\tau. \end{align}$$ यह तात्क्षणिक आवृत्ति, ω(t), चरण खोलने की चिंता के बिना जटिल आर्ग के अतिरिक्त सीधे sa(t) के वास्तविक और काल्पनिक भागों से प्राप्त की जा सकती है।


 * $$\begin{align}

\varphi(t) &= \arg\{s_\mathrm{a}(t)\} \\[4pt] &= \operatorname{atan2}(\mathcal{Im}[s_\mathrm{a}(t)],\mathcal{Re}[s_\mathrm{a}(t)]) + 2 m_1 \pi \\[4pt] &= \arctan\left( \frac{\mathcal{Im}[s_\mathrm{a}(t)]}{\mathcal{Re}[s_\mathrm{a}(t)]} \right) + m_2 \pi \end{align}$$ 2m1π और m2π π के पूर्णांक गुणक हैं | जो चरण को खोलने के लिए जोड़ने के लिए आवश्यक हैं। समय t के मानों पर जहाँ पूर्णांक m2 में कोई परिवर्तन नहीं होता है, φ(t) का अवकलज है |


 * $$\begin{align}

\omega(t) = \frac{d\varphi(t)}{dt} &= \frac{d}{dt} \arctan\left( \frac{\mathcal{Im}[s_\mathrm{a}(t)]}{\mathcal{Re}[s_\mathrm{a}(t)]} \right) \\[3pt] &= \frac{1}{1 + \left(\frac{\mathcal{Im}[s_\mathrm{a}(t)]}{\mathcal{Re}[s_\mathrm{a}(t)]} \right)^2} \frac{d}{dt} \left( \frac{\mathcal{Im}[s_\mathrm{a}(t)]}{\mathcal{Re}[s_\mathrm{a}(t)]} \right) \\[3pt] &= \frac{\mathcal{Re}[s_\mathrm{a}(t)] \frac{d\mathcal{Im}[s_\mathrm{a}(t)]}{dt} - \mathcal{Im}[s_\mathrm{a}(t)] \frac{d\mathcal{Re}[s_\mathrm{a}(t)]}{dt} }{(\mathcal{Re}[s_\mathrm{a}(t)])^2 + (\mathcal{Im}[s_\mathrm{a}(t)])^2 } \\[3pt] &= \frac{1}{|s_\mathrm{a}(t)|^2} \left(\mathcal{Re}[s_\mathrm{a}(t)] \frac{d\mathcal{Im}[s_\mathrm{a}(t)]}{dt} - \mathcal{Im}[s_\mathrm{a}(t)] \frac{d\mathcal{Re}[s_\mathrm{a}(t)]}{dt} \right) \\[3pt] &= \frac{1}{(s(t))^2 + \left(\hat{s}(t)\right)^2} \left(s(t) \frac{d\hat{s}(t)}{dt} - \hat{s}(t) \frac{ds(t)}{dt} \right) \end{align}$$ असतत-समय के कार्यों के लिए, इसे पुनरावर्तन के रूप में लिखा जा सकता है |
 * $$\begin{align}

\varphi[n] &= \varphi[n - 1] + \omega[n] \\ &= \varphi[n - 1] + \underbrace{\arg\{s_\mathrm{a}[n]\} - \arg\{s_\mathrm{a}[n - 1]\}}_{\Delta \varphi[n]} \\ &= \varphi[n - 1] + \arg\left\{\frac{s_\mathrm{a}[n]}{s_\mathrm{a}[n - 1]}\right\} \\ \end{align}$$ तब Δφ[n] ≤ -$\pi$ में 2π जोड़कर और जब भी Δφ[n] >π में 2π घटाकर अंतर को हटाया जा सकता है। यह φ[n] को बिना किसी सीमा के संचित करने की अनुमति देता है और एक अलिखित तात्कालिक चरण उत्पन्न करता है। मॉड्यूलो 2π संचालन को एक जटिल गुणा के साथ बदलने वाला समकक्ष सूत्र है |
 * $$\varphi[n] = \varphi[n - 1] + \arg\{s_\mathrm{a}[n] \, s_\mathrm{a}^*[n - 1]\},$$

जहां तारांकन जटिल संयुग्म को दर्शाता है। असतत-समय की तात्कालिक आवृत्ति (प्रति नमूना रेडियन की इकाइयों में) उस नमूने के लिए केवल चरण की उन्नति है |
 * $$\omega[n] = \arg\{s_\mathrm{a}[n] \, s_\mathrm{a}^*[n - 1]\}.$$

जटिल प्रतिनिधित्व
कुछ अनुप्रयोगों में, जैसे समय के कई क्षणों में चरण के मूल्यों का औसत, प्रत्येक मान को जटिल संख्या या सदिश प्रतिनिधित्व में परिवर्तित करना उपयोगी हो सकता है |

e^{i\varphi(t)} = \frac{s_\mathrm{a}(t)}{|s_\mathrm{a}(t)|} = \cos(\varphi(t)) + i \sin(\varphi(t)). $$ यह प्रतिनिधित्व लपेटे हुए चरण प्रतिनिधित्व के समान है | जिसमें यह 2π के गुणकों के बीच अंतर नहीं करता है | किन्तु अलिखित चरण प्रतिनिधित्व के समान है क्योंकि यह निरंतर है। रैप-अराउंड की चिंता किए बिना जटिल संख्याओं के योग के तर्क (जटिल विश्लेषण) के रूप में सदिश-औसत चरण प्राप्त किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * विश्लेषणात्मक निरूपण
 * आवृति का उतार - चढ़ाव
 * समूह विलंब
 * तात्कालिक आयाम
 * नकारात्मक आवृत्ति