गेरोनो का लेम्निस्केट

बीजगणितीय ज्यामिति में, गेरोनो का लेम्निस्केट, या ह्यूजेन्स का लेम्निस्केट, या आकृति-आठ वक्र, डिग्री चार और ज्यामितीय जीनस शून्य का एक बीजगणितीय वक्र है और अनंत के आकार का एक लेम्निस्केट वक्र है |$$\infty$$प्रतीक, या अंक आठ. इसमें समीकरण है


 * $$x^4-x^2+y^2 = 0.$$

इसका अध्ययन केमिली-क्रिस्टोफ़ गेरोनो ने किया था।

पैरामीटरीकरण
क्योंकि वक्र जीनस शून्य का है, इसे तर्कसंगत कार्यों द्वारा पैरामीट्रिज्ड किया जा सकता है; ऐसा करने का एक साधन है


 * $$x = \frac{t^2-1}{t^2+1},\ y = \frac{2t(t^2-1)}{(t^2+1)^2}.$$

एक और प्रतिनिधित्व है
 * $$x = \cos \varphi,\ y = \sin\varphi\,\cos\varphi = \sin(2\varphi)/2$$

जिससे पता चलता है कि यह लेम्निस्केट लिसाजस आकृति का एक विशेष मामला है।

दोहरा वक्र
नीचे चित्रित दोहरे वक्र (प्लुकर सूत्र देखें) का चरित्र कुछ अलग है। इसका समीकरण है


 * $$(x^2-y^2)^3 + 8y^4+20x^2y^2-x^4-16y^2=0.$$