विश्लेषणात्मक ज्यामिति

शास्त्रीय गणित, विश्लेषणात्मक ज्यामिति, को निर्देशांक ज्यामिति या कार्तीय ज्यामिति के रूप में भी जाना जाता है, एक समन्वय प्रणाली का उपयोग कर जाना की ज्यामिति का अध्ययन क्या है। यह सिंथेटिक ज्यामिति के साथ विरोधाभासी है।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति का उपयोग भौतिकी और अभियांत्रिकी के साथ-साथ समतलन, रॉकेटरी, समष्टि विज्ञान और समष्टि उड़ान में भी किया जाता है। यह बीजगणितीय ज्यामिति, विभेदक ज्यामिति, असतत ज्यामिति और अभिकलनात्मक ज्यामिति के अधिकांश आधुनिक क्षेत्रों का आधार है।

सामान्यतया कार्तीय निर्देशांक प्रणाली का प्रयोग समतलों, सीधी रेखाओं और वृत्तों के समीकरणों में बहुधा दो या कभी-कभी तीन आयामों में बदलाव करने के लिए किया जाता है। ज्यामितीय दृष्टि से, एक यूक्लिडियन समतल (दो आयाम) और यूक्लिडियन समष्टि का अध्ययन करता है। जैसा कि स्कूल की पुस्तकों में पढ़ाया जाता है, विश्लेषणात्मक ज्यामिति को अधिक आसानी से समझाया जा सकता है: यह ज्यामितीय आकृतियों को संख्यात्मक रूप से परिभाषित करने और उनका प्रतिनिधित्व करने और आकृतियों के संख्यात्मक परिभाषाओं और निरूपण से संख्यात्मक जानकारी निकालने से संबंधित है, कि ज्यामिति की रैखिक सातत्य के परिणाम उत्पन्न करने के लिए वास्तविक संख्या के बीजगणित का प्रयोग किया जा सकता है यह कैंटर-डेडेकिंड स्वयंसिद्ध पर निर्भर करता है।

प्राचीन ग्रीस
ग्रीक गणितज्ञ मेनेकामस ने समस्याओं को हल किया और प्रमेय को साबित करने के लिए एक ऐसी विधि का प्रयोग किया जिसमें निर्देशांक के उपयोग में काफी समानता थी और कभी-कभी यह भी कहा गया है कि उन्होंने विश्लेषणात्मक ज्यामिति की शुरुआत की थी।

पर्गा के अपोलोनियस को निर्धारित अनुभाग में समस्याओं से ऐसे तरीके से निपटाया गया है जिसे एक आयाम का विश्लेषणात्मक ज्यामिति कहा जा सकता है। एक पंक्ति पर अंक पाने के सवाल के साथ जो एक दूसरे के अनुपात में थे। कॉनिक्स में अपोलोनियस ने आगे एक ऐसा तरीका विकसित किया, जो विश्लेषणात्मक ज्यामिति के समान है और कभी-कभी, ऐसा माना जाता है कि उनके काम से प्रायः 1800 वर्ष पहले डेसकार्टेस के काम का पूर्वानुमान लग गया था। उनके निर्देश रेखाओं, एक व्यास, और स्पर्शरेखा का अनुप्रयोग, निश्चित रूप से किसी समन्वय तंत्र के हमारे आधुनिक प्रयोग से भिन्न नहीं है, जहां संपन्नता के बिंदु से व्यास के साथ मापा जाने वाली दूरियां घर्षण हैं और खंड स्पर्शरेखा के समांतर हैं और अक्ष और वक्र के बीच में अंतर है निर्देशांक। आगे चलकर उन्होंने अलंकारों तथा तदनुकूल अध्यादेशों के बीच संबंध विकसित किये, जो अलंकारों (शब्दों में अभिव्यक्त) समीकरणों के समतुल्य होते हैं, यद्यपि अपोलोनियस विश्लेषणात्मक ज्यामिति के विकास के निकट आ गये थे, पर उन्होने नकारात्मक परिमाणों को ध्यान में नहीं रखा और हर स्थिति में समन्वय प्रणाली पर प्राथमिकता के स्थान पर एक पौष्टिकता पर अध्यारोपित कर दी गई। अर्थात, समीकरण वक्रों द्वारा निर्धारित किए गए थे, लेकिन वक्रों का निर्धारण समीकरणों द्वारा नहीं किया गया था। एक विशिष्ट ज्यामितीय स्थिति पर लागू एक गौण धारणा निर्देशांक, चर और समीकरण थे।

फारस
11 वीं शताब्दी के फारसी गणितज्ञ उमर खय्याम ने ज्यामिति और बीजगणित के मध्य गहन संबंध देखे और उस समय उन्होंने संख्यात्मक और ज्यामितीय बीजगणित के मध्य का अंतर समाप्त करने में सहायता की। सामान्य घन समीकरणों के अपने ज्यामितीय समाधान के साथ, लेकिन निर्णायक कदम बाद में डेस्कार्टेस के साथ आया। उमर खय्याम को बीजीय ज्यामिति की नींव की पहचान करने का श्रेय दिया जाता है, और उनकी पुस्तक ग्रंथ बीजगणित की समस्याओं के प्रदर्शन के लिए (1070), जो विश्लेषणात्मक ज्यामिति के सिद्धांतों को निर्धारित किया, क्या फ़ारसी गणित के शरीर का एक हिस्सा है जो अंत में यूरोप में प्रेषित हुआ था बीजीय समीकरणों के लिए उनके अलौकिक दृष्टिकोण की वजह से, खयाम को विश्लेषणात्मक ज्यामिति के आविष्कार में डेस्कार्टेस का अग्रदूत माना जा सकता था।

पश्चिमी यूरोप
विश्लेषणात्मक ज्यामिति का आविष्कार स्वतंत्र रूप से रेने डेसकार्टेस और पियरे डी फ़र्माटा  द्वारा किया गया था,  चूँकि डेसकार्टेस को कभी-कभी एकमात्र श्रेय दिया जाता है।  कार्तीय ज्यामिति, विश्लेषणात्मक ज्यामिति के लिए प्रयुक्त वैकल्पिक शब्द, का नाम डेसकार्टेस के नाम पर रखा गया है।

डेस्कार्टेस ने ला ज्यामिति (ज्यामिति) नामक एक निबंध में विधियों के साथ महत्वपूर्ण प्रगति की, 1637 में प्रकाशित तीन निबंधों (परिशिष्ट) में से एक, जिसमें उन्होंने अपने तर्क को उचित ढंग से निर्देशित करने और विज्ञान में सत्य की खोज करने की विधि पर अपने प्रवचन सहित, जिसे सामान्यतया विधि पर परिचर्चा कहा जाता है, प्रकाशित किया था। ला ज्यामिति ने अपनी मातृभाषा में फ्रांसीसी भाषा तथा इसके दार्शनिक सिद्धांतों में लिखे हैं और उन्हें यूरोप में कलन की नींव प्रदान की है। कुछ अंशों में तर्क तथा जटिल समीकरणों के अनेक अंतरालों में आरम्भ में इस ग्रंथ का अच्छा स्वागत नहीं हुआ। लैटिन में अनुवाद के बाद और 1649 में फ्रैंस वैन शूटेन द्वारा टिप्पणी के अतिरिक्त (और उसके बाद आगे का काम) डेसकार्टेस की उत्कृष्ट कृति को उचित पहचान मिली।

पियरे डी फ़र्मैट ने विश्लेषणात्मक ज्यामिति के विकास का भी बीड़ा उठाया। चूँकि अपने जीवनकाल में प्रकाशित नहीं हुआ, विज्ञापन अवलोककों और सॉलिडोस आईगोगे का एक पाण्डुलिपि रूप (समतल और ठोस स्थान की शुरूआत) 1637 में पेरिस में घूम रहा था। डेस्कार्टेस के प्रवचन के प्रकाशन से ठीक पहले  स्पष्ट रूप से लिखा और अच्छी तरह से प्राप्त, परिचय ने विश्लेषणात्मक ज्यामिति के लिए नींव रखी। फ़र्मैट और डिस्कार्टेस उपचार के बीच मुख्य अंतर दृष्टिकोण का विषय है: फ़र्मेट हमेशा एक बीजीय समीकरण के साथ शुरू किया और फिर ज्यामितीय वक्र है कि यह संतुष्ट वर्णित, जबकि डिस्कार्टस ने ज्यामितीय वक्रों के साथ शुरुआत की और उनके समीकरणों को वक्रों के कई गुणों में से एक के रूप में उत्पन्न किया। इस दृष्टिकोण के परिणामस्वरूप डेसकार्टेस को और अधिक जटिल समीकरणों से निपटना पड़ा और उन्हें बहुपद समीकरणों के साथ काम करने की विधि विकसित करनी पड़ी।  लियोनहार्ड यूलर ने पहले समष्टि घटता और सतहों के व्यवस्थित अध्ययन में समन्वय विधि को लागू किया था।

निर्देशांक


विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, समतल को एक निर्देशांक प्रणाली दिया गया है, जिसके द्वारा प्रत्येक बिंदु (ज्यामिति) में  वास्तविक संख्या निर्देशांक की एक जोड़ी होती है। इसी प्रकार, यूक्लिडियन समष्टि को निर्देशांक दिया जाता है जहां प्रत्येक बिंदु तीन निर्देशांक होते हैं। निर्देशांक का मान मूल के प्रारंभिक बिन्दु के चयन पर निर्भर करता है। कई समन्वय प्रणालियां प्रयुक्त की जाती हैं, लेकिन सबसे आम निम्न है:

कार्तीय निर्देशांक (एक समतल या समष्टि में)
कार्तीय निर्देशांक प्रणाली के उपयोग की जाने वाली सबसे सामान्य निर्देशांक प्रणाली है, जहां प्रत्येक बिंदु में एक क्षैतिज स्थिति का प्रतिनिधित्व x-निर्देशांक है, और एक y-निर्देशांक इसकी ऊर्ध्वाधर स्थिति का प्रतिनिधित्व। ये समान्यतः आदेशित युग्म (x, y) के रूप में लिखे जाते हैं। इस प्रणाली का उपयोग त्रि-आयामी ज्यामिति के लिए भी किया जा सकता है, जहां यूक्लिडियन समष्टि में प्रत्येक बिंदु को निर्देशांक (x, y, z) के आदेश वाले तिहरी द्वारा दर्शाया जाता है।

ध्रुवीय निर्देशांक (एक समतल में)
ध्रुवीय निर्देशांक में समतल के प्रत्येक बिंदु आर मूल और उसके कोण θ से इसकी दूरी r द्वारा प्रदर्शित कि जाती है, θ के साथ सामान्य रूप से सकारात्मक x-अक्ष से घड़ी की विपरीत दिशा में मापा जाता है। इस संकेतन का उपयोग करते हुए, अंक सामान्यतः एक क्रमित युग्म (r, θ) के रूप में लिखा जाता है। इन सूत्रों का उपयोग करके आप दो आयामी कार्तीय और ध्रुवीय निर्देशांकों के बीच आगे-पीछे रूपांतरण कर सकते हैं:$$x = r\, \cos\theta,\, y = r\, \sin\theta; \, r = \sqrt{x^2+y^2},\, \theta = \arctan(y/x).$$इस प्रणाली को बेलनाकार या गोलीय निर्देशांक प्रणाली के प्रयोग से त्रि-आयामी स्थान में सामान्यीकृत किया जा सकता है।

बेलनाकार निर्देशांक (एक समष्टि में)
बेलनाकार निर्देशांक में, स्थान के प्रत्येक बिंदु को उसकी ऊँचाई z द्वारा दर्शाया जाता है, z-अक्ष से इसकी त्रिज्या r और कोण θ है, xy-समतल पर इसके प्रक्षेपण क्षैतिज अक्ष के संबंध में करता है।

गोलाकार निर्देशांक (एक समष्टि में)
गोलाकार निर्देशांक में, समष्टि में हर बिंदु को मूल से इसकी दूरी ρ द्वारा दर्शायी जाती है, कोण θ अपने प्रक्षेपण xy-समतल पर इसका प्रक्षेपण क्षैतिज अक्ष के संबंध में बनाता है, और यह कोण φ जो हैं यह वह z-अक्ष के संबंध में बनाता है। ज्यादातर भौतिकी में कोणों के नाम उलटे कर दिए जाते हैं।

समीकरण और वक्र
विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, निर्देशांकों को अंतर्ग्रस्त करने वाला कोई भी समीकरण समतल का उपसमुच्चय विनिर्दिष्ट करता है, अर्थात् समीकरण के लिए निर्धारित समाधान समुच्चय, या समष्टि। उदाहरण के लिए, समीकरण y = x समतल में सभी बिंदुओं के समुच्चय से मेल खाती है जिसका x-निर्देशांक और y-निर्देशांक बराबर हैं। ये बिंदु एक रेखा(ज्यामिति) बनाते हैं, और y = x को इस रेखा का समीकरण कहा जाता है। सामान्य में, रैखिक समीकरण जिसमें x और y निर्दिष्ट रेखाएं सम्मिलित हैं, द्विघात समीकरण शंकु वर्गों को निर्दिष्ट करते हैं, और अधिक जटिल समीकरण और अधिक जटिल आंकड़े बताते हैं।

सामान्यता, एक समीकरण समतल पर एक वक्र के अनुरूप होता है। ऐसी स्थिति हर बार नहीं होती है: ट्रिविअल समीकरण x = x पूरे तल को निर्दिष्ट करता है, और समीकरण x2 + y2 = 0 केवल एक बिंदु निर्दिष्ट करता है।(0, 0) तीन आयामों में, एक एकल समीकरण सामान्यतः एक सतह (गणित) देता है, और एक वक्र दो सतहों के चौराहे के रूप में निर्दिष्ट किया जाना चाहिए (नीचे देखें), या पैरामीट्रिक समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में। समीकरण x2 + y2 = r2 किसी भी चक्र के लिए समीकरण है जो r के त्रिज्या के साथ मूल (0, 0) पर केंद्रित है।

रेखाएं और समतल
कार्तीय समतल में रेखाएँ, या अधिक सामान्यतः, एफ़िन निर्देशांक में, रैखिक समीकरणों द्वारा बीजगणितीय रूप से वर्णित किया जा सकता है। दो आयामों में, गैर-ऊर्ध्वाधर रेखाओं के लिए समीकरण ज्यादातर ढलान-अवरोधन रूप में दिया जाता है:$$ y = mx + b $$जहाँ:
 * m रेखा का ढलान या ढाल है।
 * b रेखा का y-अवरोधन है।
 * x फलन y = f(x) का स्वतंत्र चर  है।

द्वि-आयामी समष्टि की रेखाओं के अनुरूप उनके समीकरणों के लिए एक बिंदु- ढलान रूपाकार का प्रयोग करते हुए वर्णन किया गया है, त्रिविम समष्टि में समतलो का प्राकृतिक वर्णन होता है जो तल में बिंदु का प्रयोग करता है तथा इसके "झुकाव" को निर्दिष्ट करने के लिए इसके सदिश लंबकोणीय (सामान्य सदिश) का प्रयोग होता है।

विशेष रूप से, मान लीजिए $$\mathbf{r}_0$$ किसी बिंदु का स्थिति सदिश है $$P_0 = (x_0,y_0,z_0)$$,और मान लीजिए $$\mathbf{n} = (a,b,c)$$ एक अशून्य सदिश है। इस बिंदु द्वारा निर्धारित समतल और सदिश में वे बिंदु होते हैं $$P$$, स्थिति सदिश के साथ $$\mathbf{r}$$, जैसे कि सदिश से बनाया गया $$P_0$$ से $$P$$, $$\mathbf{n}$$ के लंबवत है। याद रखें कि दो सदिश लंबवत हैं, यदि और केवल यदि उनका डॉट उत्पाद शून्य है, यह इस प्रकार है कि वांछित तल को सभी बिंदुओं के समुच्चय के रूप में वर्णित किया जा सकता है $$\mathbf{r}$$ अर्थात$$\mathbf{n} \cdot (\mathbf{r}-\mathbf{r}_0) =0.$$(यहाँ बिंदु का अर्थ बिंदु उत्पाद है, अदिश गुणन नहीं।) यह विस्तारित हो जाता है$$ a (x-x_0)+ b(y-y_0)+ c(z-z_0)=0,$$ यह सिर्फ एक रैखिक समीकरण है:$$ ax + by + cz + d = 0, \text{ where } d = -(ax_0 + by_0 + cz_0).$$इसके विपरीत, यह आसानी से दिखाया गया है कि यदि a, b, c और d स्थिरांक हैं और a, b, और c सभी शून्य नहीं हैं, तो समीकरण का आलेख$$ ax + by + cz + d = 0,$$समतल के लिए यह परिचित समीकरण समतल के समीकरण का सामान्य रूप कहा जाता है। तीन आयामों में, रेखाओं को एकल रैखिक समीकरण द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है, इसलिए उन्हें ज़्यादातर प्राचलिक समीकरणों द्वारा वर्णित किया जाता है:$$ x = x_0 + at $$$$ y = y_0 + bt $$$$ z = z_0 + ct $$जहाँ:
 * x, y, और z सभी स्वतंत्र चर t के फलन हैं, जो वास्तविक संख्या से अधिक है।
 * (x0, y0, z0) किसी भी रेखा पर कोई बिंदु है।
 * a, b, और c रेखा के ढलान से संबंधित हैं, जैसे कि सदिश (a, b,c) रेखा के समानांतर होते हैं।

शंकु वर्ग
कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में, दो चर में द्विघात समीकरण का ग्राफ हमेशा एक शंकु अनुभाग होता है - चूँकि यह पतित हो सकता है, और सभी शंकु खंड इस तरह से उत्पन्न होते हैं। समीकरण प्रपत्र का होगा$$Ax^2 + Bxy + Cy^2 +Dx + Ey + F = 0\text{ with }A, B, C\text{ not all zero.} $$छह स्थिरांक के स्केलिंग के कारण शून्य का एक ही स्थान उत्पन्न होता है, एक कॉनिक्स को पांच आयामी प्रक्षेपीय स्थान के अंक के रूप में माना जा सकता है $$\mathbf{P}^5.$$

इस समीकरण द्वारा वर्णित शंकु वर्गों को भेदभावपूर्ण द्वारा वर्गीकृत किया जा सकता है $$B^2 - 4AC .$$यदि शंकु गैर-पतित है, तो:
 * यदि $$B^2 - 4AC < 0 $$, समीकरण एक दीर्घवृत्त का प्रतिनिधित्व करता है;
 * यदि $$A = C $$ तथा $$B = 0 $$, समीकरण एक वृत्त का प्रतिनिधित्व करता है, जो एक दीर्घवृत्त का एक विशेष मामला है;
 * यदि $$B^2 - 4AC = 0 $$, समीकरण एक परवलय  का प्रतिनिधित्व करता है;
 * यदि $$B^2 - 4AC > 0 $$, समीकरण एक अतिपरवलय को निरूपित करता है;
 * अगर हमारे पास भी है $$A + C = 0 $$, समीकरण एक आयताकार अतिपरवलय का प्रतिनिधित्व करता है।

द्विघात सतहें
द्विघात या द्विघात सतह, तीन-आयामी समष्टि में द्विआयामी सतह (गणित) होती है जिसे द्विघात बहुपद के शून्य के स्थान के रूप में परिभाषित किया जाता है, निर्देशांक x1, x2,x3, में सामान्य चतुष्कोणीय बीजीय समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है। $$\sum_{i,j=1}^{3} x_i Q_{ij} x_j + \sum_{i=1}^{3} P_i x_i + R = 0.$$द्विघात सतहों में दीर्घ वृत्त (गोला सहित), ठोस अनुवृत्त, hyperboloid, सिलेंडर (ज्यामिति) , शंकु, और समतल उपलब्ध हैं।

दूरी और कोण
विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, ज्यामितीय विचार जैसे दूरी तथा कोण माप, सूत्रों द्वारा परिभाषित होते हैं। ये परिभाषाएं अंतर्निहित यूक्लिडियन ज्यामिति के अनुरूप हैं। उदाहरण के लिए, समतल पर कार्तीय निर्देशांक  का उपयोग करते हुए दो बिंदुओं के बीच की दूरी (x1, y1) और (x2, y2) को सूत्र द्वारा परिभाषित किया जाता है।$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2},$$जिसे  पाइथागोरस प्रमेय के एक संस्करण के रूप में देखा जा सकता है। इसी तरह, एक रेखा क्षैतिज से जो कोण बनाती है, उसे सूत्र द्वारा परिभाषित किया जा सकता है$$\theta = \arctan(m),$$जहाँ m रेखा का ढाल है। तीन आयामों में, पायथागॉरियन प्रमेय के सामान्यीकरण द्वारा दूरी दी गई है:$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2+ (z_2 - z_1)^2},$$जबकि दो सदिश के बीच का कोण डॉट उत्पाद द्वारा दिया जाता है। दो यूक्लिडियन सदिश A और B के डॉट उत्पाद द्वारा परिभाषित किया गया है। $$\mathbf A\cdot\mathbf B \stackrel{\mathrm{def}}{=} \left\|\mathbf A\right\| \left\|\mathbf B\right\| \cos\theta,$$जहाँ θ, A और B के बीच का कोण है।

परिवर्तन
समान विशेषताओं वाले नए फलन में बदलने के लिए पैरेंट फलन पर परिवर्तन लागू किए जाते हैं।

$$R(x,y)$$ के ग्राफ को मानक रूपांतरण के द्वारा इस प्रकार बदला जाएगा:


 * बदलना $$x$$ प्रति $$x-h$$ ग्राफ़ को दाईं ओर ले जाता है $$h$$ इकाइयां
 * बदलना $$y$$ प्रति $$y-k$$ ग्राफ को ऊपर ले जाता है $$k$$ इकाइयां
 * बदलना $$x$$ प्रति $$x/b$$ ग्राफ को क्षैतिज रूप से के एक कारक द्वारा फैलाता है $$b$$. (के बारे में सोचो $$x$$ फैलाव के रूप में)
 * बदलना $$y$$ प्रति $$y/a$$ ग्राफ को लंबवत रूप से फैलाता है।
 * बदलना $$x$$ प्रति $$x\cos A+ y\sin A$$ और बदल रहा है $$y$$ प्रति $$-x\sin A + y\cos A$$ ग्राफ को एक कोण से घुमाता है $$A$$.

प्राथमिक विश्लेषणात्मक ज्यामिति में अन्य मानक रूपांतरण का विशेष रूप से अध्ययन नहीं किया जाता है क्योंकि ये रूपांतरण वस्तुओं के आकार को सामान्य तौर पर नहीं बदलते। तिरछा रूपांतरण का एक उदाहरण है जिसे सामान्यतः नहीं माना जाता है। अधिक जानकारी के लिए एफाइन ट्रांसफॉर्मेशन  पर विकिपीडिया लेख के बारे में विचार करें।

उदाहरण के लिए, मूल कार्य $$y=1/x$$ एक क्षैतिज और एक ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख है, और पहले और तीसरे चतुर्थांश पर कब्जा कर लेता है, और इसके सभी रूपांतरित रूपों में एक क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख होता है, और यह पहले और तीसरे या दूसरे और चौथे चतुर्थांश पर कब्जा कर लेता है। सामान्य तौर पर, अगर $$y=f(x)$$, तब इसे रूपांतरित किया जा सकता है $$y=af(b(x-k))+h$$. नए रूपांतरित फलन में, $$a$$ वह कारक है जो फलन को लंबवत रूप से फैलाता है यदि यह 1 से अधिक है या फलन को लंबवत रूप से संपीड़ित करता है यदि यह 1 से कम है, और नकारात्मक के लिए $$a$$ मान, फलन में परिलक्षित होता है $$x$$-अक्ष। $$b$$ मान 1 से अधिक होने पर फलन के ग्राफ़ को क्षैतिज रूप से संपीड़ित करता है और 1 से कम होने पर फलन को क्षैतिज रूप से फैलाता है, और पसंद करता है $$a$$, में फलन को दर्शाता है $$y$$-अक्ष जब यह नकारात्मक है। $$k$$ और $$h$$ मूल्य अनुवाद का परिचय देते हैं, $$h$$, लंबवत, और $$k$$ क्षैतिज। सकारात्मक $$h$$ तथा $$k$$ मूल्यों का मतलब है कि फलन का अपनी धुरी के सकारात्मक अंत में अनुवाद किया गया है और नकारात्मक अर्थ का नकारात्मक अंत की ओर अनुवाद किया गया है।

रूपांतरण किसी भी ज्यामितीय समीकरण पर लागू किया जा सकता है चाहे समीकरण किसी फलन का प्रतिनिधित्व करता हो या नहीं। परिवर्तनों को व्यक्तिगत लेनदेन या संयोजनों में माना जा सकता है।

मान लो कि $$R(x,y)$$ में एक रिश्ता है $$xy$$ समतल। उदाहरण के लिए, $$x^2+y^2-1=0$$ वह संबंध है जो इकाई वृत्त का वर्णन करता है।

ज्यामितीय वस्तुओं के प्रतिच्छेदन का पता लगाना
दो ज्यामितीय वस्तुओं के लिए P और Q संबंधों द्वारा प्रतिनिधित्व किया गया है $$P(x,y)$$ तथा $$Q(x,y)$$ प्रतिच्छेदन सभी बिंदुओं का संग्रह है $$(x,y)$$ जो दोनों संबंधों में हैं।

उदाहरण के लिए, $$P$$ त्रिज्या 1 और केंद्र के साथ चक्र हो सकता है $$(0,0)$$:$$P = \{(x,y) | x^2+y^2=1\}$$तथा $$Q$$ त्रिज्या 1 और केंद्र के साथ चक्र हो सकता है$$(1,0): Q = \{(x,y) | (x-1)^2+y^2=1\}$$ इन दोनों वृत्तों का प्रतिच्छेदन उन बिंदुओं का संग्रह है जो दोनों समीकरणों को सत्य बनाते हैं। मुद्दा यह है $$(0,0)$$ दोनों समीकरणों को सत्य बनाओ? का उपयोग करते हुए $$(0,0)$$के लिये$$(x,y)$$, के लिए समीकरण $$Q$$ हो जाता है $$(0-1)^2+0^2=1$$ या $$(-1)^2=1$$ जो सच है, इसलिए $$(0,0)$$ संबंध में है $$Q$$.

का चौराहा $$P$$ तथा $$Q$$ समकालिक समीकरणों को हल करके पाया जा सकता है:

$$x^2+y^2 = 1$$$$(x-1)^2+y^2 = 1.$$ चौराहों को खोजने के पारंपरिक तरीकों में प्रतिस्थापन और उन्मूलन सम्मिलित हैं।

प्रतिस्थापन: के लिए पहला समीकरण हल करें $$y$$ के अनुसार $$x$$ और फिर के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करें $$y$$ दूसरे समीकरण में:

$$x^2+y^2 = 1$$$$y^2=1-x^2.$$ फिर हम इस मान को के लिए प्रतिस्थापित करते हैं $$y^2$$ दूसरे समीकरण में और के लिए हल करने के लिए आगे बढ़ें $$x$$: $$(x-1)^2+(1-x^2)=1$$$$x^2 -2x +1 +1 -x^2 =1$$$$-2x = -1$$$$x=1/2.$$ इसके बाद, हम का यह मान रखते हैं $$x$$ मूल समीकरणों में से किसी एक में और के लिए हल करें $$y$$:

$$(1/2)^2+y^2 = 1$$$$y^2 =3/4$$$$y = \frac{\pm \sqrt{3}}{2}.$$ तो हमारे चौराहे के दो बिंदु हैं: $$ \left(1/2,\frac{+ \sqrt{3}}{2}\right) \;\; \text{and} \;\;  \left(1/2,\frac{-\sqrt{3}}{2}\right) $$ उन्मूलन: एक समीकरण के गुणज को दूसरे समीकरण में जोड़ें (या घटाएं) ताकि एक चर समाप्त हो जाए। हमारे वर्तमान उदाहरण के लिए, यदि हम पहले समीकरण को दूसरे से घटाते हैं तो हमें प्राप्त होता है $$(x-1)^2-x^2=0$$. $$y^2$$ पहले समीकरण में से घटाया जाता है $$y^2$$ दूसरे समीकरण में छोड़कर $$y$$ शर्त। चर $$y$$  सफाया कर दिया गया है। फिर हम शेष समीकरण को के लिए हल करते हैं $$x$$, उसी तरह जैसे प्रतिस्थापन विधि में:

$$x^2 -2x +1 +1 -x^2 =1 $$$$-2x = -1$$$$x=1/2$$ फिर हम इस मान को $$x$$ के मूल समीकरण में रखेंगे और $$y$$ के लिए हल करेंगे: $$(1/2)^2+y^2 = 1$$$$y^2 = 3/4$$$$y = \frac{\pm \sqrt{3}}{2}.$$ तो हमारे चौराहे के दो बिंदु हैं: $$ \left(1/2,\frac{+ \sqrt{3}}{2}\right) \;\; \text{and} \;\; \left(1/2,\frac{-\sqrt{3}}{2}\right). $$ शंकु वर्गों के लिए प्रतिच्छेदन में अधिकतम 4 बिंदु हो सकते हैं।

इंटरसेप्ट्स ढूँढना
एक प्रकार का प्रतिच्छेदन जो व्यापक रूप से अध्ययन किया जाता है, एक ज्यामितीय वस्तु का प्रतिच्छेदन है, $$x$$ और $$y$$ समन्वय अक्षों के साथ।

एक ज्यामितीय वस्तु और $$y$$-अक्ष के प्रतिच्छेदन को वस्तु का $$y$$-अवरोधन कहा जाता है। गुणोत्तर वस्तु और $$x$$-अक्ष के प्रतिच्छेदन को वस्तु का $$x$$-अवरोधन कहा जाता है।

रेखा $$y=mx+b$$ के लिए, प्राचल $$b$$ उस बिन्दु को निर्दिष्ट करता है जहाँ रेखा को  पार किया जाता है,$$y$$ अक्ष। संदर्भ के आधार पर, या तो $$b$$ या बिंदु $$(0,b)$$ को $$y$$-अवरोधन कहा जाता है।

ज्यामितीय अक्ष
ज्यामिति में अक्ष किसी भी रेखा, वस्तु या सतह पर लंबवत रेखा होती है।

इसके अलावा इसके लिए सामान्य भाषा का उपयोग एक: सामान्य (लंबवत) रेखा के रूप में किया जा सकता है, अन्यथा इंजीनियरिंग में अक्षीय रेखा के रूप में।

ज्यामिति में, एक सामान्य वस्तु है जैसे कि एक रेखा या सदिश जो किसी दिए गए वस्तु के लिए लंबवत होती है। उदाहरण के लिए, द्वि-आयामी स्थिति में किसी दिए गए बिंदु पर वक्र की साधारण रेखा बिंदु की वक्र से स्पर्शरेखा तक लम्बवत होती है।

त्रि-आयामी स्थिति में एक सतह सामान्य है, या बस सामान्य है, बिंदु P पर एक सतह के लिए एक सदिश है जो P पर उस सतह के स्पर्शरेखा तल के लंबवत है। शब्द "सामान्य" को एक विशेषण के रूप में भी प्रयोग किया जाता है: एक समतल में सामान्य रेखा, एक बल के सामान्य घटक, सामान्य सदिश आदि। सामान्यता की अवधारणा रूढ़िवादिता का सामान्यीकरण करती है।

गोलाकार और अरेखीय तल और उनकी स्पर्श रेखाएं
स्पर्शरेखा किसी फलन की गोलाकार या अन्य घुमावदार या मुड़ी हुई रेखा का रैखिक सन्निकटन है।

स्पर्श रेखाएं और तल
ज्यामिति में, दिए गए बिंदु पर एक समतल वक्र में स्पर्श रेखा (या सीधे स्पर्शरेखा) वह सीधी रेखा होती है जो उस बिंदु पर वक्र को "स्पर्श" करती है। अनौपचारिक रूप से, यह वक्र पर असीम रूप से निकट बिंदुओं की एक जोड़ी के माध्यम से एक रेखा है। अधिक सटीक रूप से, एक सीधी रेखा को वक्र की स्पर्शरेखा कहा जाता है y = f(x) एक बिंदु पर x = c वक्र पर यदि रेखा बिंदु से होकर गुजरती है (c, f(c)) वक्र पर और ढलान है f'(c) जहां एफ 'व्युत्पन्न एफ का है। एक समान परिभाषा  एन-आयामी यूक्लिडियन समष्टि  में समष्टि घटता और घटता पर लागू होती है।

जैसा कि यह उस बिंदु से होकर गुजरती है जहां स्पर्श रेखा और वक्र मिलते हैं,  जिसे 'स्पर्शरेखा बिंदु' कहा जाता है, स्पर्श रेखा "वक्र के समान दिशा में जा रही है, और इस प्रकार उस बिंदु पर वक्र के लिए सबसे अच्छा सीधी रेखा सन्निकटन है।

इसी प्रकार, किसी दिए गए बिंदु पर सतह का स्पर्श करने वाला स्पर्शरेखा समतल वह समतल है जो उस बिंदु पर सतह को "स्पर्श करता है"। स्पर्शरेखा की अवधारणा अवकलक ज्यामिति के मूलभूत विचारों में से एक है और बड़े पैमाने पर स्पर्शरेखा स्थान को सामान्यीकृत किया गया है।

यह भी देखें

 * लागू ज्यामिति
 * अन्योन्य गुणन
 * अक्ष का घूर्णन
 * अक्षों का अनुवाद
 * सदिश बीजगणित

पुस्तकें

 * जॉन केसी (गणितज्ञ) (1885) पॉइंट, लाइन, सर्कल और कॉनिक सेक्शन की विश्लेषणात्मक ज्यामिति,  इंटरनेट संग्रह  से लिंक।
 * जॉन केसी (गणितज्ञ) (1885) पॉइंट, लाइन, सर्कल और कॉनिक सेक्शन की विश्लेषणात्मक ज्यामिति,  इंटरनेट संग्रह  से लिंक।
 * जॉन केसी (गणितज्ञ) (1885) पॉइंट, लाइन, सर्कल और कॉनिक सेक्शन की विश्लेषणात्मक ज्यामिति,  इंटरनेट संग्रह  से लिंक।

बाहरी संबंध

 * Coordinate Geometry topics with interactive animations