सतही अवस्थाएँ

सतह राज्य सामग्री की सतह (टोपोलॉजी) पर पाए जाने वाले इलेक्ट्रॉनिक राज्य हैं। वे ठोस पदार्थ से तेज संक्रमण के कारण बनते हैं जो एक सतह के साथ समाप्त होते हैं और सतह के निकटतम परमाणु परतों पर ही पाए जाते हैं। एक सतह के साथ एक सामग्री की समाप्ति थोक सामग्री से खालीपन  तक इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना के परिवर्तन की ओर ले जाती है। सतह पर कमजोर क्षमता में, नए इलेक्ट्रॉनिक राज्य बन सकते हैं, तथाकथित सतह राज्य।

संघनित पदार्थ इंटरफेस पर उत्पत्ति
जैसा कि बलोच लहरें द्वारा कहा गया है। बलोच प्रमेय, एक पूर्ण आवधिक क्षमता वाले एकल-इलेक्ट्रॉन श्रोडिंगर समीकरण, एक क्रिस्टल, के आइजेनस्टेट, बलोच तरंगें हैं

\begin{align} \Psi_{n\boldsymbol{k}} &=\mathrm{e}^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}u_{n\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{r}). \end{align} $$ यहाँ $$u_{n\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{r})$$ क्रिस्टल के समान आवधिकता वाला एक फ़ंक्शन है, n बैंड इंडेक्स है और 'k' तरंग संख्या है। किसी दिए गए क्षमता के लिए अनुमत तरंग संख्या सामान्य बोर्न-वॉन कर्मन चक्रीय सीमा स्थितियों को लागू करके पाई जाती है। एक क्रिस्टल की समाप्ति, अर्थात एक सतह का निर्माण, स्पष्ट रूप से पूर्ण आवधिकता से विचलन का कारण बनता है। नतीजतन, यदि चक्रीय सीमा स्थितियों को सतह के सामान्य दिशा में छोड़ दिया जाता है तो इलेक्ट्रॉनों का व्यवहार बल्क में व्यवहार से विचलित हो जाएगा और इलेक्ट्रॉनिक संरचना के कुछ संशोधनों की अपेक्षा की जानी चाहिए।

चित्र 1 में दिखाए गए अनुसार एक आयाम में क्रिस्टल क्षमता का एक सरलीकृत मॉडल स्केच किया जा सकता है। क्रिस्टल में, क्षमता में आवधिकता होती है, ए, जाली की, जबकि सतह के करीब इसे किसी तरह निर्वात स्तर का मान प्राप्त करना होता है। 'चित्र 1' में दिखाई गई चरण क्षमता (सॉलिड लाइन) एक अत्यधिक सरलीकरण है जो साधारण मॉडल गणनाओं के लिए अधिकतर सुविधाजनक है। एक वास्तविक सतह पर क्षमता छवि आवेशों और सतह द्विध्रुवों के गठन से प्रभावित होती है और यह धराशायी रेखा द्वारा संकेतित दिखती है।

'चित्र 1' में क्षमता को देखते हुए, यह दिखाया जा सकता है कि एक-आयामी एकल-इलेक्ट्रॉन श्रोडिंगर समीकरण दो गुणात्मक रूप से भिन्न प्रकार के समाधान देता है।
 * पहले प्रकार की अवस्थाएँ (चित्र 2 देखें) क्रिस्टल में फैली हुई हैं और वहाँ बलोच चरित्र है। इस प्रकार के समाधान बल्क स्टेट्स के अनुरूप होते हैं जो निर्वात में पहुंचने वाली एक घातीय रूप से सड़ने वाली पूंछ में समाप्त हो जाते हैं।
 * दूसरे प्रकार के राज्य (चित्र 3 देखें) निर्वात और थोक क्रिस्टल दोनों में तेजी से घटते हैं। इस प्रकार के समाधान क्रिस्टल सतह के करीब स्थानीय तरंग कार्यों के साथ सतह राज्यों के अनुरूप होते हैं।

धातु और अर्धचालक दोनों के लिए पहले प्रकार का समाधान प्राप्त किया जा सकता है। हालांकि अर्धचालकों में, संबंधित ईजेनर्जी को अनुमत ऊर्जा बैंडों में से एक से संबंधित होना चाहिए। दूसरे प्रकार का समाधान सेमीकंडक्टर्स के ऊर्जा अंतराल के साथ-साथ धातुओं के अनुमानित बैंड स्ट्रक्चर के स्थानीय गैप में मौजूद है। यह दिखाया जा सकता है कि इन सभी अवस्थाओं की ऊर्जा बैंड गैप के भीतर है। एक परिणाम के रूप में, क्रिस्टल में इन राज्यों को एक काल्पनिक वेवंबर द्वारा चित्रित किया जाता है, जो बल्क में एक घातीय क्षय के लिए अग्रणी होता है।

शॉक्ली स्टेट्स और टैम स्टेट्स
सतही अवस्थाओं की चर्चा में, आमतौर पर शॉकली अवस्थाओं के बीच अंतर किया जाता है और टैम कहते हैं, अमेरिकी भौतिक विज्ञानी विलियम शॉक्ले और रूसी भौतिक विज्ञानी इगोर टैम के नाम पर। दो प्रकार के राज्यों के बीच कोई सख्त भौतिक भेद नहीं है, लेकिन गुणात्मक चरित्र और उनका वर्णन करने में प्रयुक्त गणितीय दृष्टिकोण अलग है।


 * ऐतिहासिक रूप से, सतही अवस्थाएँ जो स्वच्छ और आदर्श सतहों के लिए लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल के ढांचे में श्रोडिंगर समीकरण के समाधान के रूप में उत्पन्न होती हैं, उन्हें शॉक्ली स्टेट्स कहा जाता है। शॉक्ले स्टेट्स इस प्रकार हैं जो केवल क्रिस्टल समाप्ति के साथ जुड़े इलेक्ट्रॉन क्षमता में परिवर्तन के कारण उत्पन्न होते हैं। यह दृष्टिकोण सामान्य धातुओं और कुछ संकीर्ण अंतर वाले अर्धचालकों का वर्णन करने के लिए अनुकूल है। चित्रा 3 शॉकली राज्य का एक उदाहरण दिखाता है, जो लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन सन्निकटन का उपयोग करके प्राप्त किया गया है। क्रिस्टल के भीतर, शॉक्ले स्टेट्स घातीय रूप से सड़ने वाली बलोच तरंगों के समान हैं।
 * सरफेस स्टेट्स जिनकी गणना एक टाइट बाइंडिंग | टाइट-बाइंडिंग मॉडल के ढांचे में की जाती है, उन्हें अक्सर टैम स्टेट्स कहा जाता है। तंग बाध्यकारी दृष्टिकोण में, इलेक्ट्रॉनिक तरंग कार्यों को आमतौर पर परमाणु कक्षाओं (एलसीएओ) के रैखिक संयोजनों के रूप में व्यक्त किया जाता है। शॉकले राज्यों का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल के विपरीत, टैम राज्य भी संक्रमण धातुओं और व्यापक अंतर वाले अर्धचालकों का वर्णन करने के लिए उपयुक्त हैं। गुणात्मक रूप से, टैम राज्य सतह पर स्थानीयकृत परमाणु या आणविक कक्षा के समान हैं।

सांस्थितिकीय सतह अवस्थाएं
सभी सामग्रियों को एक संख्या, एक सामयिक अपरिवर्तनीय द्वारा वर्गीकृत किया जा सकता है; इसका निर्माण बल्क इलेक्ट्रॉनिक वेव फ़ंक्शंस से किया गया है, जो ब्रिलॉइन ज़ोन में एकीकृत हैं, इसी तरह से जीनस (गणित) की गणना ज्यामितीय टोपोलॉजी में की जाती है। कुछ सामग्रियों में टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट को तब बदला जा सकता है जब मजबूत स्पिन-ऑर्बिटल कपलिंग के कारण कुछ बल्क एनर्जी बैंड उलट जाते हैं। गैर-तुच्छ टोपोलॉजी के साथ एक इंसुलेटर के बीच इंटरफेस पर, एक तथाकथित टोपोलॉजिकल इंसुलेटर, और एक तुच्छ टोपोलॉजी के साथ, इंटरफ़ेस को धात्विक होना चाहिए। इसके अलावा, सतह की स्थिति में एक क्रॉसिंग बिंदु के साथ रैखिक डायराक जैसा फैलाव होना चाहिए जो समय उत्क्रमण समरूपता द्वारा संरक्षित है। इस तरह की स्थिति को अव्यवस्था के तहत मजबूत होने की भविष्यवाणी की जाती है, और इसलिए इसे आसानी से स्थानीयकृत नहीं किया जा सकता है।

धातुओं में सतह की स्थिति
धातु की सतह पर राज्यों के मूल गुणों की व्युत्पत्ति के लिए एक सरल मॉडल समान परमाणुओं की अर्ध-अनंत आवधिक श्रृंखला है। इस मॉडल में, श्रृंखला की समाप्ति सतह का प्रतिनिधित्व करती है, जहां क्षमता V मान प्राप्त करती है0 समारोह की ओर कदम बढ़ाएं  के रूप में निर्वात का चित्र 1. क्रिस्टल के भीतर क्षमता को जाली की आवधिकता के साथ आवधिक माना जाता है। शॉकली राज्यों को तब एक आयामी एकल इलेक्ट्रॉन श्रोडिंगर समीकरण के समाधान के रूप में पाया जाता है



\begin{align} \left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dz^2}+V(z)\right]\Psi(z) &=& E\Psi(z), \end{align} $$ आवधिक क्षमता के साथ



\begin{align} V(z)=\left\{ \begin{array}{cc} P\delta(z+la),& \textrm{for}\quad z<0 \\ V_0,&\textrm{for} \quad z>0 \end{array}\right., \end{align} $$ जहाँ l एक पूर्णांक है, और P सामान्यीकरण कारक है। समाधान दो डोमेन z<0 और z>0 के लिए स्वतंत्र रूप से प्राप्त किया जाना चाहिए, जहां डोमेन सीमा (z=0) पर वेव फ़ंक्शन की निरंतरता और इसके डेरिवेटिव पर सामान्य शर्तें लागू होती हैं। चूंकि क्षमता क्रिस्टल के अंदर आवधिक रूप से गहरी होती है, इसलिए यहां इलेक्ट्रॉनिक तरंग कार्य बलोच तरंगें होनी चाहिए। क्रिस्टल में समाधान तब आने वाली तरंग और सतह से परावर्तित तरंग का एक रैखिक संयोजन होता है। Z> 0 के लिए निर्वात में तेजी से घटने के लिए समाधान की आवश्यकता होगी



\begin{align} \Psi(z) &=& \left\{ \begin{array}{cc} Bu_{-k}e^{-ikz}+Cu_{k}e^{ikz},&\textrm{for} \quad z<0\\ A\exp\left[-\sqrt{2m(V_0-E)}\frac{z}{\hbar}\right],& \textrm{for}\quad z>0 \end{array}\right., \end{align} $$ एक धातु की सतह पर एक राज्य के लिए तरंग समारोह गुणात्मक रूप से चित्र 2 में दिखाया गया है। यह क्रिस्टल के भीतर एक विस्तारित बलोच तरंग है जो सतह के बाहर एक घातीय रूप से सड़ने वाली पूंछ के साथ है। पूंछ का परिणाम क्रिस्टल के अंदर नकारात्मक चार्ज घनत्व की कमी है और सतह के ठीक बाहर नकारात्मक चार्ज घनत्व में वृद्धि हुई है, जिससे एक द्विध्रुवीय दोहरी परत (इंटरफेसियल) का निर्माण होता है। द्विध्रुव सतह की ओर ले जाने वाली क्षमता को प्रभावित करता है, उदाहरण के लिए, धातु के काम के कार्य में बदलाव के लिए।

अर्धचालकों में सतह की स्थिति
लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन सन्निकटन का उपयोग संकीर्ण अंतराल अर्धचालकों के लिए सतह राज्यों के मूल गुणों को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। अर्ध-अनंत रैखिक श्रृंखला मॉडल भी इस मामले में उपयोगी है। हालाँकि, अब परमाणु श्रृंखला के साथ क्षमता को कोसाइन फ़ंक्शन के रूप में भिन्न माना जाता है

$$ \begin{alignat}{2} V(z)&= V\left[\exp\left(i\frac{2\pi z}{a}\right)+\exp\left(-i\frac{2\pi z}{a}\right)\right] \\ &=2 V\cos\left(\frac{2\pi z}{a}\right), \\ \end{alignat} $$ जबकि सतह पर क्षमता को ऊँचाई V के एक चरण फलन के रूप में प्रतिरूपित किया जाता है0. श्रोडिंगर समीकरण के समाधान दो डोमेन z < 0 और z > 0 के लिए अलग-अलग प्राप्त किए जाने चाहिए। लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन सन्निकटन के अर्थ में, z < 0 के लिए प्राप्त समाधानों में लहर वैक्टर के लिए समतल तरंग वर्ण होगा ब्रिलौइन क्षेत्र की सीमा $$k=\pm\pi/a$$, जहां फैलाव संबंध परवलयिक होगा, जैसा कि चित्र 4 में दिखाया गया है। ब्रिलॉइन ज़ोन की सीमाओं पर, ब्रैग प्रतिबिंब होता है, जिसके परिणामस्वरूप तरंग सदिश के साथ एक लहर होती है $$k = \pi/a$$ और लहर वेक्टर $$k=-\pi/a$$.



\begin{align} \Psi(z) &= Ae^{ik z}+ Be^{i[k -(2\pi/a) ]z}. \end{align} $$ यहाँ $$G=2\pi/a$$ पारस्परिक जाली का एक जाली वेक्टर है (चित्र 4 देखें)। चूंकि ब्याज के समाधान ब्रिलॉइन ज़ोन सीमा के करीब हैं, हम सेट करते हैं $$k_\perp=\bigl(\pi/a\bigr)+\kappa$$, जहां κ एक छोटी मात्रा है। स्वैच्छिक स्थिरांक ए, बी श्रोडिंगर समीकरण में प्रतिस्थापन द्वारा पाए जाते हैं। यह निम्नलिखित eigenvalues ​​​​की ओर जाता है



\begin{align} E &= \frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\pi}{a}+\kappa\right)^2\pm |V|\left[-\frac{\hbar^2 \pi \kappa}{m a |V|}\pm \sqrt{\left(\frac{\hbar^2 \pi \kappa}{ma |V|}\right)^2+1}\right] \end{align} $$ ब्रिलौइन क्षेत्र के किनारों पर बैंड विभाजन का प्रदर्शन, जहाँ निषिद्ध अंतराल की चौड़ाई 2V द्वारा दी गई है। इलेक्ट्रॉनिक तरंग क्रिस्टल के अंदर गहरे कार्य करती है, जिसके लिए विभिन्न बैंडों को जिम्मेदार ठहराया जाता है



\begin{align} \Psi_i &= Ce^{i\kappa z} \left( e^{i\pi z/a} + \left[-\frac{\hbar^2 \pi \kappa}{m a |V|}\pm \sqrt{\left(\frac{\hbar^2 \pi \kappa}{ma |V|}\right)^2+1}\right]e^{-i\pi z/a}\right) \end{align} $$ जहाँ C एक सामान्यीकरण स्थिरांक है। z = 0 पर सतह के पास, थोक समाधान को एक घातीय रूप से सड़ने वाले समाधान के लिए फिट किया जाना है, जो निरंतर संभावित वी के साथ संगत है0.



\begin{align} \Psi_0 &= D\exp\left[-\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}(V_0-E)}z\right] \end{align} $$ यह दिखाया जा सकता है कि अनुमत बैंड में निहित हर संभव ऊर्जा eigenvalue के लिए मिलान की शर्तों को पूरा किया जा सकता है। जैसा कि धातुओं के मामले में होता है, इस प्रकार का समाधान क्रिस्टल में फैली खड़ी बलोच तरंगों का प्रतिनिधित्व करता है जो सतह पर निर्वात में फैल जाती हैं। वेव फंक्शन का गुणात्मक प्लॉट चित्र 2 में दिखाया गया है।

यदि κ के काल्पनिक मूल्यों पर विचार किया जाता है, अर्थात z ≤ 0 के लिए κ = - i·q और एक परिभाषित करता है

\begin{align} i \sin(2\delta) &= -i\frac{\hbar^2 \pi q}{maV} \end{align} $$ एक क्रिस्टल में क्षयकारी आयाम के साथ समाधान प्राप्त करता है



\begin{align} \Psi_i(z\leq0) &= Fe^{qz}\left[\exp\left[i\left(\frac{\pi}{a}z\pm\delta\right)\right]\pm\exp\left[-i\left(\frac{\pi}{a}z\pm\delta\right)\right]\right]e^{\mp i\delta} \end{align} $$ ऊर्जा eigenvalues ​​द्वारा दिया जाता है



\begin{align} E &= \frac{\hbar^2}{2m}\left[\left(\frac{\pi}{a}\right)^2-q^2\right]\pm V\sqrt{1-\left(\frac{\hbar^2\pi q}{maV}\right)^2} \end{align} $$ ई बड़े नकारात्मक जेड के लिए वास्तविक है, जैसा कि आवश्यक है। वह भी रेंज में $$0\leq q\leq q_{max}=\frac{m a V} {\hbar^2 \pi}$$ सतही अवस्थाओं की सभी ऊर्जाएँ निषिद्ध अंतराल में गिरती हैं। पूर्ण समाधान फिर से थोक समाधान को घातीय रूप से क्षय करने वाले वैक्यूम समाधान से मिलान करके पाया जाता है। परिणाम क्रिस्टल और निर्वात दोनों में सड़ने वाली सतह पर स्थानीयकृत अवस्था है। एक गुणात्मक प्लॉट चित्र 3 में दिखाया गया है।

त्रि-आयामी क्रिस्टल की सतह अवस्था
एक कितना तार की सतह की स्थिति के परिणाम त्रि-आयामी क्रिस्टल के मामले में आसानी से सामान्यीकृत किए जा सकते हैं। सतह जाली की द्वि-आयामी आवधिकता के कारण, बलोच के प्रमेय को सतह के समानांतर अनुवादों के लिए धारण करना चाहिए। परिणामस्वरूप, सतही अवस्थाओं को k-मानों वाली बलोच तरंगों के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है $$\textbf{k}_{||}=(k_x,k_y)$$ सतह के समानांतर और एक आयामी सतह की स्थिति का प्रतिनिधित्व करने वाला एक फ़ंक्शन



\begin{align} \Psi_0(\textbf{r}) &=& \psi_0(z)u_{\textbf{k}_{||}}(\textbf{r}_{||})e^{-i\textbf{r}_{||}\cdot\textbf{k}_{||}} \end{align} $$ इस राज्य की ऊर्जा एक शब्द से बढ़ जाती है $$E_{||}$$ ताकि हमारे पास हो



\begin{align} E_s = E_0 + \frac{\hbar^2\textbf{k}^2_{||}}{2m^*}, \end{align} $$ जहां एम* इलेक्ट्रॉन का प्रभावी द्रव्यमान है। क्रिस्टल सतह पर मिलान की स्थिति, यानी z = 0 पर, प्रत्येक के लिए संतुष्ट होना चाहिए $$\textbf{k}_{||}$$ अलग से और प्रत्येक के लिए $$\textbf{k}_{||}$$ एक एकल, लेकिन आम तौर पर सतह की स्थिति के लिए अलग ऊर्जा स्तर प्राप्त होता है।

सही सतह की स्थिति और सतह अनुनाद
एक सतह राज्य ऊर्जा द्वारा वर्णित है $$E_s$$ और इसकी तरंग वेक्टर $$\textbf{k}_{||}$$ सतह के समानांतर, जबकि एक थोक राज्य दोनों की विशेषता है $$\mathbf{k}_{||}$$ और $$\mathbf{k}_\perp$$ लहर संख्या। सतह के द्वि-आयामी ब्रिलौइन क्षेत्र में, के प्रत्येक मान के लिए $$\mathbf{k}_{||}$$ इसलिए की एक छड़ी $$\mathbf{k}_\perp$$ बल्क के त्रि-आयामी ब्रिलॉइन क्षेत्र में विस्तार हो रहा है। बल्क ऊर्जा बैंड जो इन छड़ों द्वारा काटे जा रहे हैं, उन राज्यों को अनुमति देते हैं जो क्रिस्टल में गहराई से प्रवेश करते हैं। एक इसलिए आम तौर पर वास्तविक सतह राज्यों और सतह अनुनादों के बीच अंतर करता है। ट्रू सरफेस स्टेट्स को एनर्जी बैंड्स की विशेषता होती है जो बल्क एनर्जी बैंड्स के साथ पतित नहीं होते हैं। ये अवस्थाएँ केवल बैंड गैप में मौजूद होती हैं और इसलिए सतह पर स्थानीयकृत होती हैं, चित्र 3 में दी गई तस्वीर के समान। ऊर्जाओं में जहाँ एक सतह और एक थोक अवस्था पतित होती है, सतह और थोक अवस्था मिश्रित हो सकती है, जिससे सतह प्रतिध्वनि बन सकती है।. इस तरह की स्थिति बलोच तरंगों के समान बल्क में गहराई तक फैल सकती है, जबकि सतह के करीब एक बढ़ाया आयाम बनाए रखती है।

टैम स्टेट्स
सरफेस स्टेट्स जिनकी गणना एक टाइट बाइंडिंग | टाइट-बाइंडिंग मॉडल के ढांचे में की जाती है, उन्हें अक्सर टैम स्टेट्स कहा जाता है। तंग बाध्यकारी दृष्टिकोण में, इलेक्ट्रॉनिक तरंग कार्यों को आम तौर पर परमाणु ऑर्बिटल्स आणविक कक्षीय विधि (एलसीएओ) के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जाता है, चित्र 5 देखें। इस तस्वीर में, यह समझना आसान है कि सतह का अस्तित्व उत्पन्न होगा बल्क अवस्थाओं की ऊर्जाओं से भिन्न ऊर्जाओं वाली सतह अवस्थाएँ: चूंकि सबसे ऊपरी सतह परत में रहने वाले परमाणु एक तरफ अपने बंधन भागीदारों को याद कर रहे हैं, इसलिए उनके ऑर्बिटल्स में पड़ोसी परमाणुओं के ऑर्बिटल्स के साथ कम ओवरलैप होता है। इसलिए क्रिस्टल बनाने वाले परमाणुओं के ऊर्जा स्तरों का विभाजन और स्थानांतरण बल्क की तुलना में सतह पर छोटा होता है।

यदि रासायनिक बंधन के लिए एक विशेष परमाणु कक्षीय जिम्मेदार है, उदा। सपा3 सी या जीई में संकर, यह सतह की उपस्थिति से दृढ़ता से प्रभावित होता है, बांड टूट जाते हैं, और कक्षीय के शेष लोब सतह से बाहर निकल जाते हैं। उन्हें झूलने वाले बंधन कहा जाता है। ऐसे राज्यों के ऊर्जा स्तरों में थोक मूल्यों से काफी बदलाव की उम्मीद है।

शॉक्ले राज्यों का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल के विपरीत, टैम राज्य भी संक्रमण धातुओं और वाइड-बैंडगैप सेमीकंडक्टर्स का वर्णन करने के लिए उपयुक्त हैं।

बाहरी सतह अवस्थाएँ
स्वच्छ और सुव्यवस्थित सतहों से उत्पन्न होने वाली सतही अवस्थाओं को आमतौर पर आंतरिक कहा जाता है। इन राज्यों में पुनर्निर्मित सतहों से उत्पन्न होने वाले राज्य शामिल हैं, जहां द्वि-आयामी अनुवादकीय समरूपता सतह के k स्थान में बैंड संरचना को जन्म देती है।

बाहरी सतह राज्यों को आमतौर पर ऐसे राज्यों के रूप में परिभाषित किया जाता है जो एक साफ और सुव्यवस्थित सतह से उत्पन्न नहीं होते हैं। बाहरी श्रेणी में आने वाली सतहें हैं:
 * 1) दोष वाली सतहें, जहां सतह की ट्रांसलेशनल समरूपता टूट जाती है।
 * 2) अवशोषक के साथ सतहें
 * 3) दो सामग्रियों के बीच इंटरफेस, जैसे सेमीकंडक्टर-ऑक्साइड या सेमीकंडक्टर-मेटल इंटरफेस
 * 4) ठोस और तरल चरणों के बीच इंटरफेस।

आम तौर पर, बाहरी सतह राज्यों को उनके रासायनिक, भौतिक या संरचनात्मक गुणों के संदर्भ में आसानी से वर्णित नहीं किया जा सकता है।

कोण हल फोटो उत्सर्जन स्पेक्ट्रोस्कोपी
सतह की अवस्थाओं के फैलाव को मापने के लिए एक प्रायोगिक तकनीक कोण से हल की गई फोटोमिशन स्पेक्ट्रोस्कोपी (ARPES) या कोण से हल की गई पराबैंगनी फोटोइलेक्ट्रॉन स्पेक्ट्रोस्कोपी (ARUPS) है।

स्कैनिंग टनलिंग माइक्रोस्कोपी
सतह राज्य फैलाव को स्कैनिंग टनलिंग माइक्रोस्कोप का उपयोग करके मापा जा सकता है; इन प्रयोगों में, सतह की स्थिति घनत्व में आवधिक मॉडुलन, जो सतह की अशुद्धियों या चरण किनारों के बिखरने से उत्पन्न होते हैं, को किसी दिए गए पूर्वाग्रह वोल्टेज पर एसटीएम टिप द्वारा मापा जाता है। सतही अवस्था वाले इलेक्ट्रॉनों का वेववेक्टर बनाम बायस (ऊर्जा) प्रभावी द्रव्यमान और सतह अवस्था की शुरुआत ऊर्जा के साथ एक मुक्त-इलेक्ट्रॉन मॉडल के लिए उपयुक्त हो सकता है।

एक हालिया नया सिद्धांत
एक स्वाभाविक रूप से सरल लेकिन मौलिक प्रश्न यह है कि लंबाई के एक आयामी क्रिस्टल में बैंड गैप में कितने सतह राज्य हैं $$ N a $$ ($$ a $$ संभावित अवधि है, और $$ N $$ एक सकारात्मक पूर्णांक है)? फाउलर द्वारा प्रस्तावित एक अच्छी तरह से स्वीकृत अवधारणा पहली बार 1933 में, फिर सेट्ज़ की क्लासिक किताब में लिखा गया कि एक परिमित एक-आयामी क्रिस्टल में सतह की अवस्थाएँ जोड़े में होती हैं, एक अवस्था क्रिस्टल के प्रत्येक सिरे से जुड़ी होती है। ऐसा प्रतीत होता है कि लगभग एक शताब्दी के बाद से इस तरह की अवधारणा पर कभी संदेह नहीं किया गया, जैसा कि दिखाया गया है, उदाहरण के लिए, में। हालांकि, हाल ही में एक नई जांच बिल्कुल अलग जवाब देता है।

जांच आवधिक अंतर समीकरणों के गणितीय सिद्धांत के आधार पर परिमित आकार के आदर्श क्रिस्टल में इलेक्ट्रॉनिक राज्यों को समझने की कोशिश करती है। यह सिद्धांत उन इलेक्ट्रॉनिक अवस्थाओं की कुछ मौलिक नई समझ प्रदान करता है, जिसमें सतही अवस्थाएँ भी शामिल हैं।

सिद्धांत में पाया गया कि दो सिरों वाला एक आयामी परिमित क्रिस्टल $$ \tau $$ और $$ N a + \tau $$ हमेशा एक और केवल एक अवस्था होती है जिसकी ऊर्जा और गुण निर्भर करते हैं $$ \tau $$ लेकिन नहीं $$ N $$ प्रत्येक बैंड गैप के लिए। यह अवस्था या तो एक बैंड-एज अवस्था है या बैंड गैप में एक सतह अवस्था है (देखें, एक आयामी जाली में कण, एक बॉक्स में कण)। संख्यात्मक गणनाओं ने ऐसे निष्कर्षों की पुष्टि की है। इसके अलावा, इन व्यवहारों को विभिन्न एक-आयामी प्रणालियों में देखा गया है, जैसे कि में। इसलिए:
 * सतह अवस्था की मूलभूत संपत्ति यह है कि इसका अस्तित्व और गुण आवधिकता ट्रंकेशन के स्थान पर निर्भर करते हैं।
 * जाली की आवधिक क्षमता का ट्रंकेशन बैंड गैप में सतह की स्थिति का कारण बन सकता है या नहीं भी हो सकता है।
 * परिमित लंबाई का एक आदर्श एक आयामी क्रिस्टल $$ L = N a $$ दो सिरों के साथ, प्रत्येक बैंड गैप में एक छोर पर अधिकतम, केवल एक सतह स्थिति हो सकती है।

बहु-आयामी मामलों तक विस्तारित आगे की जांच में पाया गया कि
 * एक आदर्श सरल त्रि-आयामी परिमित क्रिस्टल में वर्टेक्स-जैसी, किनारे-जैसी, सतह-जैसी और बल्क-जैसी अवस्थाएँ हो सकती हैं।
 * एक सतह की स्थिति हमेशा एक बैंड गैप में होती है जो केवल एक आयामी मामलों के लिए मान्य होती है।