एक तत्व वाला फ़ील्ड

गणित में, एक तत्व वाला फ़ील्ड किसी वस्तु के लिए एक सूचक नाम होता है जिसे एक ही तत्व वाले परिमित फ़ील्ड के समान व्यवहार करना चाहिए, यदि ऐसा फ़ील्ड सम्मलित हो सकता है। इस वस्तु को F1 दर्शाया गया है, या, फ़्रेंच-अंग्रेज़ी वाक्य में, Fun. एक तत्व और अंकन F1 के साथ नाम फ़ील्ड केवल विचारोत्तेजक हैं, क्योंकि शास्त्रीय अमूर्त बीजगणित में एक तत्व वाला कोई फ़ील्ड नहीं है। इसके अतिरिक्त, F1 इस विचार को संदर्भित करता है कि समुच्चय (गणित) और संक्रिया (गणित) को बदलने का एक तरीका होना चाहिए, अमूर्त बीजगणित के लिए पारंपरिक रचक खंड, अन्य, अधिक लचीली वस्तुओं के साथ। F1 के कई सिद्धांत प्रस्तावित किया गया है, लेकिन यह स्पष्ट नहीं है कि उनमें से कौन सा, यदि कोई हो, F1 देता है सभी वांछित गुण. चूंकि इन सिद्धांतों में अभी भी एक भी तत्व वाला कोई फ़ील्ड नहीं है, एक फ़ील्ड जैसी वस्तु है जिसकी विशेषता (बीजगणित) एक है।

F1 के अधिकांश प्रस्तावित सिद्धांत अमूर्त बीजगणित को पूरी तरह से प्रतिस्थापित कर देते हैं। सदिश समष्टि और बहुपद वलय जैसी गणितीय वस्तुओं को उनके अमूर्त गुणों की नकल करके इन नए सिद्धांतों में सम्मलित किया जा सकता है। यह नई नींव पर क्रमविनिमेय बीजगणित और बीजगणितीय ज्यामिति के विकास की अनुमति देता है। F1 के सिद्धांतों की परिभाषित विशेषताओं में से एक यह है कि ये नए आधार शास्त्रीय अमूर्त बीजगणित की तुलना में अधिक वस्तुओं की अनुमति देते हैं, जिनमें से एक विशेषता के फ़ील्ड की तरह व्यवहार करता है।

F1 के गणित का अध्ययन करने की संभावना मूल रूप से 1956 में जैक्स टिट्स द्वारा सुझाया गया था, जिसे प्रकाशित किया गया था, प्रक्षेप्य ज्यामिति में समरूपता और सरल परिसरों के संयोजन के बीच सादृश्य के आधार पर। F1 गैर-अनुवांशिक ज्यामिति और रीमैन परिकल्पना के संभावित प्रमाण से जुड़ा हुआ है।

इतिहास
1957 में, जैक्स टिट्स ने बिल्डिंग (गणित) का सिद्धांत पेश किया, जो बीजगणितीय समूह को अमूर्त सरल परिसरों से जोड़ता है। धारणाओं में से एक गैर-तुच्छता की स्थिति है: यदि इमारत एक N-आयामी अमूर्त सरलीकृत परिसर है, और यदि k < n, तो भवन का प्रत्येक k-प्रसमुच्चय कम से कम तीन n-प्रसमुच्चय में समाहित होना चाहिए। यह शास्त्रीय प्रक्षेप्य ज्यामिति की उस शर्त के अनुरूप है कि एक रेखा में कम से कम तीन बिंदु होने चाहिए। चूंकि, ऐसी डिजेनरेसी (गणित) ज्यामितियाँ हैं जो प्रक्षेप्य ज्यामिति होने के लिए सभी शर्तों को पूरा करती हैं, सिवाय इसके कि रेखाएँ केवल दो बिंदुओं को स्वीकार करती हैं। इमारतों के सिद्धांत में अनुरूप वस्तुओं को अपार्टमेंट कहा जाता है। अपार्टमेंट इमारतों के सिद्धांत में ऐसी घटक भूमिका निभाते हैं कि टिट्स ने प्रक्षेप्य ज्यामिति के एक सिद्धांत के अस्तित्व का अनुमान लगाया जिसमें विकृत चिरसम्मत ज्यामिति लोगों के बराबर खड़ी होगी। उन्होंने कहा, यह ज्यामिति विशिष्ट फ़ील्ड के ऊपर घटित होगी। इस सादृश्य का उपयोग करके F1 के कुछ प्रारंभिक गुणों का वर्णन करना संभव था लेकिन इसका निर्माण संभव नहीं हो सका है।

टिट्स की प्रारंभिक टिप्पणियों के बाद, 1990 के दशक के आरंभ तक बहुत कम प्रगति हुई थी। 1980 के दशक के उत्तरार्ध में, अलेक्जेंडर स्मिरनोव ने बातचीत की एक श्रृंखला दी जिसमें उन्होंने अनुमान लगाया कि रीमैन परिकल्पना को एक तत्व वाले फ़ील्ड पर पूर्णांकों को वक्र के रूप में मानकर सिद्ध किया जा सकता है। 1991 तक, स्मिरनोव ने F1 के ऊपर बीजगणितीय ज्यामिति की दिशा में कुछ कदम उठाए थे, F1 के अनुवर्ती का परिचय और प्रक्षेप्य रेखा P1 को संभालने के लिए उनका उपयोग करना F1 के ऊपर. इस P में बीजगणितीय संख्याओं को मानचित्र के रूप में माना जाता था1, और रीमैन-हर्विट्ज़ सूत्र के अनुमानित अनुमान इन मानचित्रों के लिए रीमैन-हर्विट्ज़ सूत्र का सुझाव दिया गया था। ये सन्निकटन abc अनुमान जैसे बहुत गहरे दावे दर्शाते हैं। F1 का विस्तार बाद में इन्हें Fq के रूप में दर्शाया गया q = 1n के साथ. मिखाइल कापरानोव के साथ, स्मिरनोव ने यह पता लगाने के लिए काम किया कि प्रमुख विशेषता में बीजगणितीय और संख्या सिद्धांत निर्माण विशेषता में कैसे दिख सकते हैं, जिसका समापन 1995 में जारी एक अप्रकाशित कार्य में हुआ था। 1993 में, यूरी मनिन ने रीमैन ज़ेटा फलन पर व्याख्यान की एक श्रृंखला दी जहां उन्होंने F1 पर बीजगणितीय ज्यामिति का एक सिद्धांत विकसित करने का प्रस्ताव रखा। उन्होंने सुझाव दिया कि जीटा F1 पर बीजगणितीय विविधता के कार्य करता है बहुत ही सरल विवरण होंगे, और उन्होंने बीजगणितीय K-सिद्धांत F1 के K-सिद्धांत के बीच एक संबंध प्रस्तावित किया और गोले के समरूप समूह। इसने कई लोगों को F1 के स्पष्ट सिद्धांतों का निर्माण करने का प्रयास करने के लिए प्रेरित किया है।

F1 पर विविधता की पहली प्रकाशित परिभाषा 1999 में क्रिस्टोफ़ सोले से आया, जिन्होंने कुछ रिंग की श्रेणी (गणित) से जटिल संख्याओं और प्रकार्यक पर बीजगणित का उपयोग करके इसका निर्माण किया। 2000 में, झू ने प्रस्ताव दिया कि F1 F2 के समान था सिवाय इसके कि एक और एक का योग एक था, शून्य नहीं। डिटमार ने सुझाव दिया कि F1 किसी वलय की योगात्मक संरचना को भूलकर और गुणन पर ध्यान केंद्रित करके पाया जाना चाहिए। टोएन और वाकी ने हकीम के सापेक्ष योजनाओं के सिद्धांत पर निर्माण किया और F1 को परिभाषित किया सममित मोनोइडल श्रेणी का उपयोग करना। बाद में वेज़ानी द्वारा उनके निर्माण को डिटमार के समकक्ष दिखाया गया। निकोलाई दुरोव ने F1 का निर्माण किया एक क्रमविनिमेय बीजगणितीय मोनैड (श्रेणी सिद्धांत) के रूप में, बोर्गर ने परिमित फ़ील्डों और पूर्णांकों से इसका निर्माण करने के लिए अवरोहांक (श्रेणी सिद्धांत) का उपयोग किया। एलेन कोन्स और कैटरिना कंसानी ने एक नई श्रेणी बनाने के लिए गुणक मोनोइडस की श्रेणी और रिंगों की श्रेणी को जोड़कर सोले और डिटमार दोनों की धारणाओं को विकसित किया। $$\mathfrak{M}\mathfrak{R},$$ फिर F1 को परिभाषित करना-योजनाओं पर एक विशेष प्रकार का प्रतिनिधित्व योग्य होना $$\mathfrak{M}\mathfrak{R}.$$ इसका उपयोग करते हुए, वे F1 पर कई संख्या-सैद्धांतिक निर्माणों की एक धारणा प्रदान करने में कामयाब रहे जैसे कि उद्देश्य और फ़ील्ड विस्तार, साथ ही F1 के ऊपर झूठ प्रकार#शेवल्ली समूहों के समूह का निर्माण2. मटिल्डे मार्कोली के साथ-साथ कॉन्स और कंसानी ने भी F1 को जोड़ा है गैर-अनुवांशिक ज्यामिति के साथ। कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत में अद्वितीय गेम अनुमान से संबंध रखने का भी सुझाव दिया गया है। ओलिवर लॉर्शिड ने, अन्य लोगों के साथ, हाल ही में F1 पर शेवेल्ली समूहों का वर्णन करने के टिट्स के मूल उद्देश्य को प्राप्त किया है मूल योजना नामक वस्तुओं का परिचय देकर, जो मोटी हो जाओ और मोनोइड्स दोनों का एक साथ सामान्यीकरण है। इनका उपयोग तथाकथित नीली योजनाओं को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, जिनमें से एक स्पेक F1 है।11 लोर्शेड के विचार F1 से अधिक समूहों के अन्य विचारों से कुछ हद तक भिन्न हैं, उसमें F1-योजना स्वयं सामान्य योजनाओं के आधार विस्तार का वेइल समूह नहीं है। लोर्सचीड सबसे पहले टिट्स श्रेणी को परिभाषित करता है, जो नीली योजनाओं की श्रेणी की एक पूर्ण उपश्रेणी है, और वेइल अनुवर्ती को परिभाषित करता है, जो टिट्स श्रेणी से समुच्चय तक का एक प्रकार्यक है। बीजगणितीय समूह का एक टिट्स-वेइल मॉडल $$\mathcal{G}$$ एक समूह संचालन के साथ एक नीली योजना जी है जो कि टिट्स श्रेणी में एक रूपवाद है, जिसका आधार विस्तार है $$\mathcal{G}$$ और जिसका वेइल विस्तार वेइल समूह के समरूपी है $$\mathcal{G}.$$ F1-ज्यामिति को ट्रोपिकल ज्यामिति से जोड़ा गया है, इस तथ्य के माध्यम से कि अर्धवृत्त (विशेष रूप से, ट्रोपिकल अर्धवृत्त) एक मोनॉइड A के तत्वों के परिमित औपचारिक योग के कुछ मोनॉयड अर्धवृत्त N[A] के भागफल के रूप में उत्पन्न होते हैं।, जो स्वयं एक F1 है-बीजगणित. यह संबंध लोर्शेड के मूल योजना के उपयोग से स्पष्ट हो गया है। जियान्सिराकुसा बंधुओं ने एक ट्रोपिकल योजना सिद्धांत का निर्माण किया है, जिसके लिए उनकी ट्रोपिकल योजनाओं की श्रेणी टोन-वाक्वी F1 की श्रेणी के बराबर -योजनाएँ है। यह श्रेणी नीली योजनाओं की श्रेणी में ईमानदारी से, लेकिन पूरी तरह से नहीं, अंतर्निहित है, और ड्यूरोव योजनाओं की श्रेणी की एक पूर्ण उपश्रेणी है।

बीजगणितीय संख्या सिद्धांत
F1 के लिए एक प्रेरणा बीजगणितीय संख्या सिद्धांत से आता है। परिमित फ़ील्डों पर वक्रों के लिए रीमैन परिकल्पना का आंद्रे वेइल का प्रमाण एक परिमित फ़ील्ड k पर एक वक्र C से प्रारंभ होता है, जो एक बीजगणितीय विविधता F के फलन फ़ील्ड से सुसज्जित होता है, जो कि k का एक फ़ील्ड विस्तार है। ऐसा प्रत्येक फलन फ़ील्ड हस्से-वील ज़ेटा फलन को जन्म देता है $ζ_{F}$, और परिमित फ़ील्डों के लिए रीमैन परिकल्पना शून्य निर्धारित करती है $ζ_{F}$. फिर वेइल का प्रमाण अध्ययन के लिए सी के विभिन्न ज्यामितीय गुणों का उपयोग करता है $ζ_{F}$.

परिमेय संख्या Q का फ़ील्ड रीमैन ज़ेटा फलन के समान तरीके से जुड़ा हुआ है, लेकिन Q किसी किस्म का फलन फ़ील्ड नहीं है। इसके अतिरिक्त, Q योजना का कार्य फ़ील्ड है (गणित) $Spec Z$. यह एक आयामी योजना है (जिसे बीजगणितीय वक्र के रूप में भी जाना जाता है), और इसलिए कुछ आधार फ़ील्ड होना चाहिए जिस पर यह वक्र स्थित है, जिसमें से Q एक फ़ील्ड अनुवर्ती होगा (उसी तरह जैसे C है) k के ऊपर एक वक्र है, और F k का विस्तार है)। F1-ज्यामिति की आशा यह है कि एक उपयुक्त वस्तु F1 इस आधार क्षेत्र की भूमिका निभा सकती है, जो के के स्थान पर F1 के साथ वेइल के प्रमाण की नकल करके रीमैन परिकल्पना के प्रमाण की अनुमति देती है।

अरकेलोव ज्यामिति
एक तत्व वाले फ़ील्ड पर ज्यामिति भी अराकेलोव ज्यामिति से प्रेरित है, जहां जटिल ज्यामिति के उपकरणों का उपयोग करके डायोफैंटाइन समीकरण का अध्ययन किया जाता है। सिद्धांत में परिमित फ़ील्डों और जटिल संख्याओं के बीच जटिल तुलना सम्मलित है। यहां F1 का अस्तित्व है तकनीकी कारणों से उपयोगी है.

F1 फ़ील्ड नहीं है
F1 एक फ़ील्ड नहीं हो सकता क्योंकि परिभाषा के अनुसार सभी फ़ील्ड में दो अलग-अलग तत्व होने चाहिए, योगात्मक पहचान शून्य और गुणक पहचान एक। भले ही यह प्रतिबंध हटा दिया गया हो (उदाहरण के लिए योगात्मक और गुणक पहचानों को एक ही तत्व बनाकर), एक तत्व वाला वलय शून्य वलय होना चाहिए, जो एक परिमित फ़ील्ड की तरह व्यवहार नहीं करता है। उदाहरण के लिए, शून्य रिंग पर सभी मॉड्यूल (गणित) आइसोमोर्फिक हैं (क्योंकि ऐसे मॉड्यूल का एकमात्र तत्व शून्य तत्व है)। चूंकि, F1 की प्रमुख प्रेरणाओं में से F1 समुच्चय का विवरण F1 के रूप में है -सदिश समष्टि - यदि परिमित समुच्चय शून्य रिंग के ऊपर मॉड्यूल थे, तो प्रत्येक परिमित समुच्चय एक ही आकार का होगा, जो कि मामला नहीं है। इसके अतिरिक्त, तुच्छ वलय के वलय का स्पेक्ट्रम खाली होता है, लेकिन एक फ़ील्ड के स्पेक्ट्रम में एक बिंदु होता है।

अन्य गुण

 * परिमित समुच्चय F के ऊपर F1 स्थान और प्रक्षेप्य स्थान दोनों हैं.
 * अंकित समुच्चय F1 के ऊपर सदिश स्थान हैं.
 * परिमित फ़ील्ड Fq F1 का क्वांटम समूह हैं, जहां q विकृति है।
 * वेइल समूह 'F1' पर सरल बीजगणितीय समूह हैं।
 * एक अर्धसरल बीजगणितीय समूह के लिए डायनकिन आरेख दिया गया है, इसका वेइल समूह है F1 पर अर्धसरल बीजगणितीय समूह।
 * एफ़िन स्कीम स्पेक Z, F1 पर एक वक्र है।
 * समूह F1 पर हॉपफ बीजगणित हैं। अधिक सामान्यत:, बीजगणितीय वस्तुओं के आरेखों के संदर्भ में पूरी तरह से परिभाषित किसी भी चीज़ में F1होना चाहिए-समुच्चय की श्रेणी में एनालॉग होना चाहिए।
 * समुच्चय पर ग्रुप एक्शन (गणित) 'F' के ऊपर जी का प्रोजेक्टिव प्रतिनिधित्व है1, और इस प्रकार, G समूह हॉपफ बीजगणित 'F' है1[G]।
 * टोरिक किस्म 'F1' निर्धारित करती है-किस्में। F1 के कुछ विवरणों में-ज्यामिति का विपरीत भी सत्य है, इस अर्थ में कि F1 के अदिशों का विस्तार-ज़ेड की किस्में टोरिक हैं। जबकि F1 के लिए अन्य दृष्टिकोण-ज्यामिति उदाहरणों के व्यापक वर्गों को स्वीकार करती है, टोरिक किस्में सिद्धांत के मूल में स्थित प्रतीत होती हैं।
 * PN का जीटा फलन ('F'1) होना चाहिए ζ(s) = s(s − 1)⋯(s − N). * 'F1' का m-वें के-समूह गोले के स्पेक्ट्रम का m-वां स्थिर समरूप समूह होना चाहिए।

गणना
एक समुच्चय (गणित) पर विभिन्न संरचनाएं प्रक्षेप्य स्थान पर संरचनाओं के अनुरूप होती हैं, और उनकी गणना उसी तरह की जा सकती है:

समुच्चय प्रक्षेप्य स्थान हैं
P(F$n q$) के तत्वों की संख्या = Pn−1('F'q), द (n − 1)-परिमित फ़ील्ड Fq पर आयामी प्रक्षेप्य स्थान, q-पूर्णांक है
 * $$[n]_q := \frac{q^n-1}{q-1}=1+q+q^2+\dots+q^{n-1}.$$

ले रहा q = 1 पैदावार [n]q = n.

q-पूर्णांक का q की शक्तियों के योग में विस्तार प्रक्षेप्य स्थान के शूबर्ट कोशिका  अपघटन से मेल खाता है।

क्रमपरिवर्तन अधिकतम झंडे हैं
जहाँ n ! तत्वों और [n]!q के साथ एक समुच्चय का क्रमपरिवर्तन F$n q$, में अधिकतम ध्वज (रैखिक बीजगणित)। जहाँ
 * $$[n]!_q := [1]_q [2]_q \dots [n]_q$$

q-फैक्टोरियल है. वास्तव में, किसी सेट के क्रमपरिवर्तन को फ़िल्टर किया गया सेट माना जा सकता है, क्योंकि ध्वज एक फ़िल्टर किया गया वेक्टर स्थान है: उदाहरण के लिए, सेट का क्रम (0, 1, 2) {0, 1, 2} निस्पंदन से मेल खाता है { 0} ⊂ {0,1} ⊂ {0,1,2}।

उपसमुच्चय उपस्थान हैं
द्विपद गुणांक
 * $$\frac{n!}{m!(n-m)!}$$ n-तत्व समुच्चय के m-तत्व उपसमुच्चय की संख्या देता है, और q-पद गुणांक से संबंध देता है।
 * $$\frac{[n]!_q}{[m]!_q[n-m]!_q}$$ 'Fq' के ऊपर एक n-आयामी वेक्टर समष्टि के m-आयामी उप-स्थानों की संख्या देता है।

q-द्विपद गुणांक का q की शक्तियों के योग में विस्तार ग्रासमैनियन के शूबर्ट सेल अपघटन से मेल खाता है।

मोनॉइड योजनाएं
डिटमार द्वारा मोनॉइड योजनाओं का निर्माण F1 का मूल कहा गया है-ज्यामिति, F1 के अधिकांश अन्य सिद्धांतों की तरह-ज्यामिति में मोनॉइड योजनाओं का विवरण होता है। नैतिक रूप से, यह 1950 और 1960 के दशक में क्रमविनिमेय वलय को मोनोइड्स के साथ बदलकर विकसित किए गए स्कीम (गणित) के सिद्धांत की नकल करता है। इसका प्रभाव वलय की योगात्मक संरचना को भूल जाना है, केवल गुणक संरचना को छोड़ना है। इस कारण से, इसे कभी-कभी गैर-योगात्मक ज्यामिति भी कहा जाता है।

मोनोइड्स
गुणक मोनॉइड एक मोनॉइड है $A$ जिसमें एक अवशोषित तत्व 0 भी सम्मलित है (मोनॉइड की पहचान 1 से अलग), जैसे कि $0a = 0$ हरएक के लिए $a$ मोनॉयड में $A.$ फिर एक तत्व वाले फ़ील्ड को परिभाषित किया जाता है $F_{1} = {0,1},$ दो तत्वों वाले फ़ील्ड का गुणक मोनॉयड, जो गुणक मोनॉयड की श्रेणी में प्रारंभिक वस्तु है। एक मोनोइड में एक मोनोइड आदर्श $A$ एक उपसमुच्चय है $I$ जो गुणात्मक रूप से बंद है, इसमें 0 है, और ऐसा है $IA = {ra : r∈I, a∈A} = I.$ ऐसा आदर्श प्रधान है यदि $$A\setminus I$$ गुणात्मक रूप से बंद है और इसमें 1 सम्मलित है।

मोनोइड्स के लिए $A$ और $B,$ एक मोनोइड समरूपता एक फलन है $f : A → B$ ऐसा है कि;
 * $f(0) = 0$ और
 * $f(1) = 1,$ हरएक के लिए $f(ab) = f(a)f(b)$ और $a$ में $b$
 * $A.$ हरएक के लिए $A,$ और $Spec A,$ में $A.$

मोनॉइड योजनाएं
एक मोनॉइड का स्पेक्ट्रम $h$ निरूपित $A.$ के प्रमुख आदर्श का समुच्चय है $f : A → B$ आधार (टोपोलॉजी) खुले समुच्चय को परिभाषित करके, एक मोनॉइड के स्पेक्ट्रम को ज़ारिस्की टोपोलॉजी दी जा सकती है
 * $$U_h = \{\mathfrak{p}\in\text{Spec}A:h\notin\mathfrak{p}\},$$

प्रत्येक के लिए $Spec F_{1}$ में $F_{1}$ एक मोनोइडल स्पेस एक टोपोलॉजिकल स्पेस है जिसमें मल्टीप्लिकेटिव मोनोइड्स का एक शीफ (गणित) होता है जिसे स्ट्रक्चर शीफ कहा जाता है। एक F मोनॉइड योजना एक मोनॉइडल स्थान है जो एक मोनॉइड के स्पेक्ट्रम के लिए आइसोमोर्फिक है, और एक 'मोनॉइड स्कीम' मोनॉइड का एक समूह है जिसमें F मोनॉइड योजनाओं द्वारा एक खुला आवरण होता है।

मोनॉइड योजनाओं को 'बेस अनुवर्ती' प्रकार्यक के माध्यम से रिंग-सैद्धांतिक योजनाओं में बदला जा सकता है $$-\otimes_{\mathbf{F}_1}\mathbf{Z}$$ जो मोनॉइड A को 'Z '-मॉड्यूल (अर्थात रिंग) में भेजता है $$\mathbf{Z}[A]/\langle 0_A\rangle,$$ और एक मोनोइड समरूपता $n$ एक वलय समरूपता तक विस्तारित है $$f_{\mathbf{Z}}:A\otimes_{\mathbf{F}_1}\mathbf{Z}\to B\otimes_{\mathbf{F}_1}\mathbf{Z}$$ जो Z-मॉड्यूल समरूपता के रूप में रैखिक है। F मोनॉइड योजना का आधार विस्तार सूत्र के माध्यम से परिभाषित किया गया है
 * $$\operatorname{Spec}(A)\times_{\operatorname{Spec}(\mathbf{F}_1)}\operatorname{Spec}(\mathbf{Z})=\operatorname{Spec}\big( A\otimes_{\mathbf{F}_1}\mathbf{Z}\big),$$

जो बदले में एक सामान्य मोनॉइड योजना के आधार विस्तार को परिभाषित करता है।

परिणाम
यह निर्माण F1 के कई वांछित गुणों को प्राप्त करता है-ज्यामिति: $F_{q}$ में एक ही बिंदु होता है, इसलिए यह पारंपरिक ज्यामिति में एक फ़ील्ड के स्पेक्ट्रम के समान व्यवहार करता है, और F मोनॉइड योजनाओं की श्रेणी गुणक मोनॉयड की श्रेणी से दोहरी होती है, जो F योजनाओं और कम्यूटेटिव रिंगों के द्वंद्व को दर्शाती है। इसके अतिरिक्त, यह सिद्धांत F1 से अपेक्षित संयोजक गुणों को संतुष्ट करता है पिछले अनुभागों में उल्लिखित; उदाहरण के लिए, प्रक्षेप्य स्थान $n$ आयाम का $X$ एक मोनॉइड योजना प्रक्षेप्य स्थान के एक अपार्टमेंट के समान है $X$ आयाम का ᙭᙭᙭᙭᙭ जब एक इमारत के रूप में वर्णित किया गया है।

चूंकि, मोनॉइड योजनाएँ F1 के सिद्धांत के सभी अपेक्षित गुणों को पूरा नहीं करती हैं-ज्यामिति, एकमात्र ऐसी किस्में जिनमें मोनॉइड स्कीम सादृश्य हैं, टोरिक किस्म हैं। अधिक सटीक रूप से, यदि ᙭᙭᙭᙭᙭ एक मोनोइड योजना है जिसका आधार विस्तार एक फ्लैट आकारवाद है, बीजगणितीय ज्यामिति # S की शब्दावली, परिमित आकारवाद की जुड़ा हुआ स्थान  योजना # परिमित प्रकार के आकारवाद, फिर का आधार विस्तार ᙭᙭᙭᙭᙭  एक टोरिक किस्म है. F1 की अन्य धारणाएँ-ज्यामिति, जैसे कि कोन्स-कंसानी, F1 का वर्णन करने के लिए इस मॉडल का निर्माण करें-ऐसी किस्में जो टोरिक नहीं हैं।

फ़ील्ड अनुवर्ती
कोई एक तत्व वाले फ़ील्ड के फ़ील्ड विस्तार को एकता की जड़ों के समूह के रूप में, या अधिक सूक्ष्मता से (ज्यामितीय संरचना के साथ) एकता की जड़ों की समूह योजना के रूप में परिभाषित कर सकता है। यह क्रम n के चक्रीय समूह के लिए गैर-स्वाभाविक रूप से समरूपता है, समरूपता एकता की एक आदिम जड़ की पसंद पर निर्भर करती है:
 * $$\mathbf{F}_{1^n} = \mu_n.$$

इस प्रकार 'F1n' के ऊपर आयाम d का एक सदिश समष्टि क्रम dn का एक सीमित समुच्चय है जिस पर एकता की जड़ें आधार बिंदु के साथ मिलकर स्वतंत्र रूप से कार्य करती हैं।

इस दृष्टि से परिमित फ़ील्ड 'F'q F1n के ऊपर एक बीजगणित है, आयाम का d = (q − 1)/n किसी भी n के लिए जो कि एक गुणनखंड है q − 1 (उदाहरण के लिए n = q − 1 या n = 1). यह इस तथ्य से मेल खाता है कि एक परिमित फ़ील्ड की इकाइयों का समूह Fq (जो हैं q − 1गैर-शून्य तत्व) क्रम का एक चक्रीय समूह है q − 1, जिस पर क्रम का कोई भी चक्रीय समूह विभाजित होता है q − 1 स्वतंत्र रूप से कार्य करता है (एक शक्ति तक बढ़ाकर), और फ़ील्ड का शून्य तत्व आधार बिंदु है।

इसी प्रकार, वास्तविक संख्या R, F12 के ऊपर एक बीजगणित है, अनंत आयाम का, क्योंकि वास्तविक संख्याओं में ±1 होता है, लेकिन एकता का कोई अन्य मूल नहीं होता है, और सम्मिश्र संख्या C, F1n के ऊपर एक बीजगणित है सभी n के लिए, फिर से अनंत आयाम का, क्योंकि सम्मिश्र संख्याओं में एकता की सभी जड़ें होती हैं।

इस दृष्टिकोण से, कोई भी घटना जो केवल एकता की जड़ों वाले फ़ील्ड पर निर्भर करती है उसे 'F1' से आते हुए देखा जा सकता है। - उदाहरण के लिए, असतत फूरियर रूपांतरण (जटिल-मूल्यवान) और संबंधित संख्या-सैद्धांतिक परिवर्तन (जेड/एनजेड-मान) है।

यह भी देखें

 * अंकगणित व्युत्पन्न
 * एक तत्व के साथ अर्धसमूह

बाहरी संबंध

 * John Baez's This Week's Finds in Mathematical Physics: Week 259
 * The Field With One Element at the n-category cafe
 * The Field With One Element at Secret Blogging Seminar
 * Looking for Fun and The Fun folklore, Lieven le Bruyn.
 * Mapping F_1-land:An overview of geometries over the field with one element, Javier López Peña, Oliver Lorscheid
 * Fun Mathematics, Lieven le Bruyn, Koen Thas.
 * Vanderbilt conference on Noncommutative Geometry and Geometry over the Field with One Element (Schedule )
 * NCG and F_un, by Alain Connes and K. Consani: summary of talks and slides