बीजगणितीय क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत

बीजगणितीय क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत (एक्यूएफटी) सी * बीजगणित सिद्धांत के स्थानीय क्वांटम भौतिकी के लिए एक आवेदन है। इसे क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के लिए हाग-कास्टलर स्वयंसिद्ध ढांचे के रूप में भी जाना जाता है, क्योंकि इसे किसके द्वारा पेश किया गया था. स्वयंसिद्धों को मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष में प्रत्येक खुले सेट के लिए दिए गए बीजगणित और उनके बीच मैपिंग के संदर्भ में बताया गया है।

हाग-कस्तलर स्वयंसिद्ध
होने देना $$\mathcal{O}$$ Minkowski समष्टि के सभी खुले और परिबद्ध उपसमुच्चयों का समुच्चय हो। एक बीजगणितीय क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत को नेट के माध्यम से परिभाषित किया गया है $$\{\mathcal{A}(O)\}_{O\in\mathcal{O}}$$ वॉन न्यूमैन बीजगणित का $$\mathcal{A}(O)$$ एक आम हिल्बर्ट स्थान पर $$\mathcal{H}$$ निम्नलिखित स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करना: * आइसोटोनी: $$O_1 \subset O_2$$ तात्पर्य $$\mathcal{A}(O_1) \subset \mathcal{A}(O_2)$$.
 * करणीय: यदि $$O_1$$ अंतरिक्ष की तरह से अलग है $$O_2$$, तब $$[\mathcal{A}(O_1),\mathcal{A}(O_2)]=0$$.
 * पॉइनकेयर सहप्रसरण: एक दृढ़ता से निरंतर एकात्मक प्रतिनिधित्व $$U(\mathcal{P})$$ पोंकारे समूह का $$\mathcal{P}$$ पर $$\mathcal{H}$$ ऐसा मौजूद है $$\mathcal{A}(gO) = U(g) \mathcal{A}(O) U(g)^*$$, $$g \in \mathcal{P}$$.
 * स्पेक्ट्रम की स्थिति: संयुक्त स्पेक्ट्रम $$\mathrm{Sp}(P)$$ ऊर्जा-गति ऑपरेटर की $$P$$ (यानी स्पेस-टाइम ट्रांसलेशन का जनरेटर) बंद फॉरवर्ड लाइटकोन में समाहित है।
 * एक वैक्यूम वेक्टर का अस्तित्व: एक चक्रीय और पॉइनकेयर-इनवेरिएंट वेक्टर $$\Omega\in\mathcal{H}$$ मौजूद।

शुद्ध बीजगणित $$\mathcal{A}(O)$$ स्थानीय बीजगणित और C* बीजगणित कहलाते हैं $$\mathcal{A} := \overline{\bigcup_{O\in\mathcal{O}}\mathcal{A}(O)}$$ क्वासिलोकल बीजगणित कहा जाता है।

श्रेणी-सैद्धांतिक सूत्रीकरण
बता दें कि मिंक मिन्कोव्स्की स्पेस एम के खुले उपसमुच्चय का श्रेणी सिद्धांत है, जिसमें आकारिकी के रूप में शामिल किए गए नक्शे हैं। हमें एक सहसंयोजक फ़ंक्टर दिया गया है $$\mathcal{A}$$ मिंक से uC*alg तक, एकात्मक बीजगणित C* बीजगणित की श्रेणी, जैसे कि मिंक में प्रत्येक आकारिकी uC*alg (एकरूपता).

पोंकारे समूह मिंक पर निरंतरता (टोपोलॉजी) का कार्य करता है। इस ग्रुप एक्शन (गणित) में एक ठहराना  मौजूद है, जो कि मानक टोपोलॉजी में निरंतर है $$\mathcal{A}(M)$$ (पॉइनकेयर सहप्रसरण)।

मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष में एक कारण संरचना है। यदि एक खुला सेट वी एक खुले सेट यू के कारण पूरक में निहित है, तो मानचित्रों की छवि (गणित)


 * $$\mathcal{A}(i_{U,U\cup V})$$

और


 * $$\mathcal{A}(i_{V,U\cup V})$$

कम्यूटेटिव ऑपरेशन (स्पेसलाइक कम्यूटेटिविटी)। अगर $$\bar{U}$$ एक खुले सेट यू का कारण समापन है, फिर $$\mathcal{A}(i_{U,\bar{U}})$$ एक समरूपता (आदिम कारण) है।

सी*-बीजगणित के संबंध में एक राज्य (कार्यात्मक विश्लेषण) इकाई मानदंड (गणित) के साथ एक सकारात्मक रैखिक कार्यात्मक है। अगर हमारे पास एक राज्य खत्म हो गया है $$\mathcal{A}(M)$$, हम संबंधित राज्यों को प्राप्त करने के लिए आंशिक ट्रेस ले सकते हैं $$\mathcal{A}(U)$$ नेट (गणित) मोनोमोर्फिज्म के माध्यम से प्रत्येक खुले सेट के लिए। खुले सेटों पर राज्य एक presheaf संरचना बनाते हैं।

GNS निर्माण के अनुसार, प्रत्येक राज्य के लिए, हम एक हिल्बर्ट अंतरिक्ष समूह का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं $$\mathcal{A}(M).$$ शुद्ध राज्य अलघुकरणीय अभ्यावेदन के अनुरूप हैं और मिश्रित अवस्था (भौतिकी) कम करने योग्य अभ्यावेदन के अनुरूप हैं। प्रत्येक अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व (समानता संबंध तक) को एक सुपरसेलेक्शन सेक्टर कहा जाता है। हम मानते हैं कि एक शुद्ध स्थिति है जिसे निर्वात कहा जाता है जैसे कि इससे जुड़ा हिल्बर्ट स्पेस पॉइंकेयर समूह का एक एकात्मक प्रतिनिधित्व है जो नेट के पॉइंकेयर सहप्रसरण के साथ संगत है जैसे कि अगर हम पोनकारे बीजगणित को देखें, ऊर्जा के संबंध में स्पेक्ट्रम ऊर्जा-गति 4-वेक्टर|ऊर्जा-संवेग (पॉइनकेयर समूहों के अनुरूप) सकारात्मक प्रकाश शंकु पर और में स्थित है। यह खालीपन  सेक्टर है।

घुमावदार स्पेसटाइम में QFT
हाल ही में, घुमावदार स्पेसटाइम में क्वांटम फील्ड सिद्धांत के बीजगणितीय संस्करण को शामिल करने के लिए दृष्टिकोण को और लागू किया गया है। वास्तव में, स्थानीय क्वांटम भौतिकी का दृष्टिकोण घुमावदार पृष्ठभूमि पर विकसित क्वांटम क्षेत्रों के सिद्धांत के लिए सामान्यीकरण प्रक्रिया को सामान्य बनाने के लिए विशेष रूप से उपयुक्त है। ब्लैक होल की उपस्थिति में क्यूएफटी से संबंधित कई कठोर परिणाम प्राप्त हुए हैं।

बाहरी संबंध

 * Local Quantum Physics Crossroads 2.0 – A network of scientists working on local quantum physics
 * Papers – A database of preprints on algebraic QFT
 * Algebraic Quantum Field Theory – AQFT resources at the University of Hamburg