क्वांटम यांत्रिकी का गणितीय सूत्रीकरण

क्वांटम यांत्रिकी के गणितीय सूत्र वे गणितीय औपचारिकताए हैं जो क्वांटम यांत्रिकी के कठोर विवरण की अनुमति देती हैं। यह गणितीय औपचारिकता मुख्य रूप से कार्यात्मक विश्लेषण के एक हिस्से का उपयोग करती है, विशेष रूप से हिल्बर्ट रिक्त स्थान, जो एक प्रकार का रैखिक स्थान है। अमूर्त गणितीय संरचनाओं, जैसे अनंत-आयामी हिल्बर्ट अंतरिक्ष स्थान (मुख्य रूप से L2 स्थान), और इन स्थानों पर ऑपरेटरों के उपयोग से 1900 के दशक के प्रारंभ से पहले विकसित भौतिकी सिद्धांतों के लिए गणितीय औपचारिकताओं से अलग हैं। संक्षेप में, ऊर्जा और संवेग जैसे भौतिक प्रेक्षणों के मूल्यों को अब चरण स्थान पर कार्यों के मूल्यों के रूप में नहीं माना जाता था, लेकिन आइगेनवेल्यूज़ के रूप में; हिल्बर्ट अंतरिक्ष में रैखिक ऑपरेटरों के वर्णक्रमीय मूल्यों के रूप में अधिक सटीक।

क्वांटम यांत्रिकी के इन सूत्रों का आज भी उपयोग किया जाता है। विवरण के केंद्र में क्वांटम स्थिति और क्वांटम वेधशालाओं के विचार हैं, जो भौतिक वास्तविकता के पिछले मॉडल में उपयोग किए गए से मौलिक रूप से भिन्न हैं। जबकि गणित कई मात्राओं की गणना की अनुमति देता है जिन्हें प्रयोगात्मक रूप से मापा जा सकता है, मूल्यों की एक निश्चित सैद्धांतिक सीमा होती है जिन्हें एक साथ मापा जा सकता है। इस सीमा को पहली बार हाइजेनबर्ग अनिश्चितता द्वारा एक विचार प्रयोग के माध्यम से स्पष्ट किया गया था, और क्वांटम वेधशालाओं का प्रतिनिधित्व करने वाले ऑपरेटरों की गैर-अविनिमेय द्वारा नई औपचारिकता में गणितीय रूप से प्रतिनिधित्व किया गया है।

एक अलग सिद्धांत के रूप में क्वांटम यांत्रिकी के विकास से पहले, भौतिकी में उपयोग किए जाने वाले गणित में मुख्य रूप से औपचारिक गणितीय विश्लेषण शामिल था, जिसकी शुरुआत कैलकुलस से हुई थी, और जटिलता में अंतर ज्यामिति और आंशिक अंतर समीकरणों तक बढ़ रहा था। संभाव्यता सिद्धांत का उपयोग सांख्यिकीय यांत्रिकी में किया गया था। ज्यामितीय अंतर्ज्ञान ने पहले दो में एक मजबूत भूमिका निभाई और, तदनुसार, सापेक्षता भौतिकी के सिद्धांत पूरी तरह से अंतर ज्यामितीय अवधारणाओं के संदर्भ में तैयार किए गए थे। क्वांटम भौतिकी की परिघटना मोटे तौर पर 1895 और 1915 के बीच उत्पन्न हुई, और क्वांटम यांत्रिकी (1925 के आसपास) के विकास से पहले 10 से 15 वर्षों तक भौतिकविदों ने क्वांटम सिद्धांत के बारे में सोचना जारी रखा जिसे अब शास्त्रीय भौतिकी कहा जाता है, और विशेष रूप से समान गणितीय संरचनाओं के भीतर। इसका सबसे परिष्कृत उदाहरण सोमरफेल्ड-विल्सन-इशिवारा परिमाणीकरण नियम है, जिसे पूरी तरह शास्त्रीय चरण स्थान पर तैयार किया गया था।

पुराना क्वांटम सिद्धांत और नए गणित की आवश्यकता
1890 के दशक में, मैक्स प्लैंक ब्लैकबॉडी स्पेक्ट्रम को प्राप्त करने में सक्षम था, जिसे बाद में शास्त्रीय पराबैंगनी तबाही से बचने के लिए अपरंपरागत धारणा बनाकर इस्तेमाल किया गया था कि, पदार्थ के साथ विद्युत चुम्बकीय विकिरण की बातचीत में, ऊर्जा का केवल असतत इकाइयों में आदान-प्रदान किया जा सकता है जिसे उन्होंने कहा क्वांटा। प्लैंक ने विकिरण की आवृत्ति और उस आवृत्ति पर ऊर्जा की मात्रा के बीच प्रत्यक्ष आनुपातिकता को अभिगृहीत किया। आनुपातिकता स्थिरांक, h, को अब उनके सम्मान में प्लांक स्थिरांक कहा जाता है।

1905 में, अल्बर्ट आइंस्टीन ने प्रकाश विद्युत प्रभाव की कुछ विशेषताओं को यह मानकर समझाया कि प्लैंक की ऊर्जा क्वांटा वास्तविक कण थे, जिन्हें बाद में फोटॉन करार दिया गया। ये सभी घटनाक्रम घटनात्मक थे और उस समय के सैद्धांतिक भौतिकी को चुनौती दी थी। बोह्र और सोमरफेल्ड ने पहले सिद्धांतों से बोहर मॉडल को निकालने के प्रयास में शास्त्रीय यांत्रिकी को संशोधित किया। उन्होंने प्रस्तावित किया कि, अपने चरण अंतरिक्ष में एक यांत्रिक प्रणाली द्वारा खोजी गई सभी बंद शास्त्रीय कक्षाओं में, केवल उन लोगों को जो एक क्षेत्र को घेरते थे जो कि प्लैंक के स्थिरांक का गुणक था, वास्तव में अनुमति दी गई थी। इस औपचारिकता का सबसे परिष्कृत संस्करण तथाकथित सोमरफेल्ड-विल्सन-इशिवारा परिमाणीकरण था। हालांकि हाइड्रोजन परमाणु के बोह्र मॉडल को इस तरह से समझाया जा सकता है, हीलियम परमाणु के स्पेक्ट्रम (शास्त्रीय रूप से एक अघुलनशील 3-बॉडी प्रॉब्लम) की भविष्यवाणी नहीं की जा सकती है। क्वांटम सिद्धांत की गणितीय स्थिति कुछ समय तक अनिश्चित रही।

1923 में, लुइस डी ब्रोगली ने प्रस्तावित किया कि तरंग-कण द्वैत न केवल फोटॉनों पर बल्कि इलेक्ट्रॉनों और हर दूसरे भौतिक तंत्र पर लागू होता है।

1925-1930 के वर्षों में स्थिति तेजी से बदली, जब इरविन श्रोडिंगर, वर्नर हाइजेनबर्ग, मैक्स बोर्न, पास्कल जॉर्डन, और जॉन वॉन न्यूमैन, हरमन वेइल और पॉल डिराक के आधारभूत कार्य के माध्यम से कार्यशील गणितीय नींव पाई गई, और नए विचारों के संदर्भ में कई अलग-अलग दृष्टिकोणों को एकीकृत करना संभव हो गया। वर्नर हाइजेनबर्ग द्वारा अनिश्चितता संबंधों की खोज और नील्स बोह्र द्वारा पूरकता (भौतिकी) के विचार को पेश करने के बाद इन वर्षों में सिद्धांत की भौतिक व्याख्या को भी स्पष्ट किया गया था।

नया क्वांटम सिद्धांत
वर्नर हाइजेनबर्ग का मैट्रिक्स यांत्रिकी परमाणु स्पेक्ट्रा के अवलोकित मात्राकरण की नकल करने का पहला सफल प्रयास था। बाद में उसी वर्ष, श्रोडिंगर ने अपनी तरंग यांत्रिकी बनाई। श्रोडिंगर की औपचारिकता को समझना, कल्पना करना और गणना करना आसान माना जाता था क्योंकि इससे अंतर समीकरणों का जन्म हुआ, जिसे हल करने से भौतिक विज्ञानी पहले से ही परिचित थे। एक वर्ष के भीतर, यह दिखाया गया कि दो सिद्धांत समान थे।

श्रोडिंगर खुद शुरू में क्वांटम यांत्रिकी की मौलिक संभाव्यता प्रकृति को नहीं समझ पाए, क्योंकि उन्होंने सोचा था कि एक इलेक्ट्रॉन के तरंग समारोह के पूर्ण वर्ग को एक विस्तारित, संभवतः अनंत, अंतरिक्ष के आयतन पर फैली हुई वस्तु के चार्ज घनत्व के रूप में व्याख्या की जानी चाहिए।. यह मैक्स बोर्न था जिसने तरंग फलन के निरपेक्ष वर्ग की व्याख्या को एक बिंदु जैसी वस्तु की स्थिति के प्रायिकता वितरण के रूप में प्रस्तुत किया। बोर्न के विचार को जल्द ही कोपेनहेगन में नील्स बोह्र ने ले लिया, जो तब क्वांटम यांत्रिकी की कोपेनहेगन व्याख्या के "पिता" बन गए। श्रोडिंगर के तरंग समारोह को शास्त्रीय हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण से निकटता से देखा जा सकता है। हाइजेनबर्ग के मैट्रिक्स यांत्रिकी में शास्त्रीय यांत्रिकी के साथ पत्राचार और भी अधिक स्पष्ट था, हालांकि कुछ अधिक औपचारिक था। अपनी पीएचडी थीसिस परियोजना में, पॉल डिराक ने पाया कि हाइजेनबर्ग प्रतिनिधित्व में ऑपरेटरों के लिए समीकरण, जैसा कि अब कहा जाता है, शास्त्रीय यांत्रिकी के हैमिल्टनियन औपचारिकता में कुछ मात्रा की गतिशीलता के लिए शास्त्रीय समीकरणों का बारीकी से अनुवाद करता है, जब एक उन्हें पोइसन कोष्ठक के माध्यम से व्यक्त करता है एक प्रक्रिया जिसे अब विहित परिमाणीकरण के रूप में जाना जाता है।

अधिक सटीक होने के लिए, पहले से ही श्रोडिंगर से पहले, युवा पोस्टडॉक्टोरल साथी वर्नर हाइजेनबर्ग ने अपने मैट्रिक्स यांत्रिकी का आविष्कार किया, जो कि पहला सही क्वांटम यांत्रिकी था- आवश्यक सफलता। हाइजेनबर्ग का मैट्रिक्स यांत्रिकी सूत्रीकरण अनंत मैट्रिक्स के बीजगणित पर आधारित था, शास्त्रीय भौतिकी के गणित के प्रकाश में एक बहुत ही कट्टरपंथी सूत्रीकरण, हालांकि उन्होंने उस समय के प्रयोगवादियों की सूचकांक-शब्दावली से शुरुआत की, यह भी नहीं पता था कि उनकी "सूचकांक-योजनाएं" मेट्रिसेस थे, जैसा कि बोर्न ने जल्द ही उन्हें बताया। वास्तव में, इन शुरुआती वर्षों में, रेखीय बीजगणित अपने वर्तमान रूप में भौतिकविदों के साथ आम तौर पर लोकप्रिय नहीं था।

हालांकि श्रोडिंगर ने खुद एक साल के बाद अपने तरंग-यांत्रिकी और हाइजेनबर्ग के मैट्रिक्स यांत्रिकी की समानता को साबित कर दिया, हिल्बर्ट अंतरिक्ष में गति के रूप में दो दृष्टिकोणों और उनके आधुनिक अमूर्तता के सामंजस्य को आम तौर पर पॉल डिराक के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है, जिन्होंने अपने 1930 के क्लासिक में एक स्पष्ट खाता लिखा था। क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांत वह उस क्षेत्र का तीसरा, और संभवतः सबसे महत्वपूर्ण स्तंभ है (वह जल्द ही सिद्धांत के एक सापेक्षवादी सामान्यीकरण की खोज करने वाला एकमात्र व्यक्ति था)। अपने उपर्युक्त खाते में, उन्होंने कार्यात्मक विश्लेषण में प्रयुक्त हिल्बर्ट स्थान के संदर्भ में एक अमूर्त सूत्रीकरण के साथ, ब्रा-केट संकेतन पेश किया; उन्होंने दिखाया कि श्रोडिंगर और हाइजेनबर्ग के दृष्टिकोण एक ही सिद्धांत के दो अलग-अलग प्रतिनिधित्व थे, और एक तीसरा, सबसे सामान्य पाया, जो सिस्टम की गतिशीलता का प्रतिनिधित्व करता था। उनका कार्य क्षेत्र के कई प्रकार के सामान्यीकरणों में विशेष रूप से फलदायी था।

इस दृष्टिकोण का पहला पूर्ण गणितीय सूत्रीकरण, जिसे डिराक-वॉन न्यूमैन एक्सिओम्स के रूप में जाना जाता है, को आम तौर पर जॉन वॉन न्यूमैन की 1932 की किताब क्वांटम यांत्रिकी की गणितीय नींव में श्रेय दिया जाता है, हालांकि हरमन वेइल ने हिल्बर्ट स्पेस (जिसे उन्होंने एकात्मक स्थान कहा था) को पहले ही संदर्भित कर दिया था। उनका 1927 का क्लासिक पेपर और किताब। यह एक पीढ़ी पहले डेविड हिल्बर्ट के दृष्टिकोण वाले द्विघात रूपों के बजाय रैखिक ऑपरेटरों के आधार पर गणितीय वर्णक्रमीय सिद्धांत के लिए एक नए दृष्टिकोण के समानांतर विकसित किया गया था। हालांकि क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांत आज भी विकसित हो रहे हैं, क्वांटम यांत्रिकी के गणितीय सूत्रीकरण के लिए एक बुनियादी ढांचा है जो अधिकांश दृष्टिकोणों को रेखांकित करता है और जॉन वॉन न्यूमैन के गणितीय कार्यों में वापस खोजा जा सकता है। दूसरे शब्दों में, सिद्धांत की व्याख्या और इसके विस्तार के बारे में चर्चा अब ज्यादातर गणितीय नींव के बारे में साझा धारणाओं के आधार पर आयोजित की जाती है।

बाद के घटनाक्रम
इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म के लिए नए क्वांटम सिद्धांत के अनुप्रयोग के परिणामस्वरूप क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत का विकास हुआ, जिसे 1930 के आसपास शुरू किया गया था। क्वांटम फील्ड सिद्धांत ने क्वांटम यांत्रिकी के अधिक परिष्कृत योगों के विकास को प्रेरित किया है, जिनमें से यहां प्रस्तुत साधारण विशेष मामले हैं।
 * पथ अभिन्न सूत्रीकरण
 * क्वांटम यांत्रिकी और ज्यामितीय परिमाणीकरण का चरण-स्थान सूत्रीकरण
 * कर्व्ड स्पेसटाइम में क्वांटम फील्ड थ्योरी
 * वेटमैन स्वयंसिद्ध, स्थानीय क्वांटम भौतिकी और रचनात्मक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत
 * सी * - बीजगणित औपचारिकता (गणित)
 * पीओवीएम

शास्त्रीय यांत्रिकी से संबंध एक संबंधित विषय है। किसी भी नए भौतिक सिद्धांत को कुछ सन्निकटन में सफल पुराने सिद्धांतों को कम करना चाहिए। क्वांटम यांत्रिकी के लिए, यह क्वांटम यांत्रिकी की तथाकथित शास्त्रीय सीमा का अध्ययन करने की आवश्यकता में अनुवाद करता है। इसके अलावा, जैसा कि बोह्र ने जोर दिया, मानव संज्ञानात्मक क्षमताएं और भाषा जटिल रूप से शास्त्रीय क्षेत्र से जुड़ी हुई हैं, और इसलिए शास्त्रीय विवरण सहज रूप से क्वांटम की तुलना में अधिक सुलभ हैं। विशेष रूप से परिमाणीकरण (भौतिकी), अर्थात् एक क्वांटम सिद्धांत का निर्माण जिसकी शास्त्रीय सीमा एक दी गई और ज्ञात शास्त्रीय सिद्धांत है, अपने आप में क्वांटम भौतिकी का एक महत्वपूर्ण क्षेत्र बन जाता है।

अंत में, क्वांटम सिद्धांत के कुछ प्रवर्तक (विशेष रूप से आइंस्टीन और श्रोडिंगर) क्वांटम यांत्रिकी के दार्शनिक निहितार्थों से नाखुश थे। विशेष रूप से, आइंस्टीन ने स्थिति ली कि क्वांटम यांत्रिकी अधूरी होनी चाहिए, जिसने तथाकथित छिपे-चर सिद्धांतों में अनुसंधान को प्रेरित किया। क्वांटम प्रकाशिकी की मदद से छिपे हुए चर का मुद्दा एक प्रायोगिक मुद्दा बन गया है।

क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांत
एक भौतिक प्रणाली को आम तौर पर तीन मूल अवयवों द्वारा वर्णित किया जाता है: राज्य; वेधशाला; और गतिशीलता (या समय के विकास का नियम) या, अधिक सामान्यतः, भौतिक समरूपता का एक समूह। यांत्रिकी के एक चरण अंतरिक्ष मॉडल द्वारा एक शास्त्रीय विवरण काफी सीधे तरीके से दिया जा सकता है: राज्य एक चरण अंतरिक्ष में बिंदु हैं जो सहानुभूतिपूर्ण कई गुना द्वारा तैयार किए जाते हैं, वेधशालाएं वास्तविक-मूल्यवान कार्य हैं, समय विकास एक-पैरामीटर समूह द्वारा दिया जाता है चरण स्थान के सहानुभूतिपूर्ण परिवर्तनों और भौतिक समरूपता को सहानुभूतिपूर्ण परिवर्तनों द्वारा महसूस किया जाता है। एक क्वांटम विवरण में समान्यतः राज्यों के हिल्बर्ट स्थान होते हैं, वेधशालाएँ राज्यों के स्थान पर स्व-संबद्ध संचालक होते हैं, समय विकास राज्यों के हिल्बर्ट स्थान पर एकात्मक परिवर्तनों के एक-पैरामीटर समूह द्वारा दिया जाता है, और भौतिक समरूपता को महसूस किया जाता है एकात्मक परिवर्तन (यह संभव है, इस हिल्बर्ट-स्पेस पिक्चर को एक फेज स्पेस फॉर्मूलेशन में मैप करना, उल्टा। नीचे देखें।)

क्वांटम यांत्रिकी के गणितीय ढांचे के निम्नलिखित सारांश को आंशिक रूप से डायराक-वॉन न्यूमैन स्वयंसिद्धों में देखा जा सकता है।

एक प्रणाली की स्थिति का विवरण
प्रत्येक पृथक भौतिक प्रणाली आंतरिक उत्पाद $⟨φ|ψ⟩$ के साथ एक (स्थलीय रूप से) वियोज्य परिसर हिल्बर्ट स्पेस $H$ से जुड़ा हुआ है। $H$ में किरणें (अर्थात, जटिल आयाम 1 के उप-स्थान) सिस्टम की क्वांटम अवस्थाओं से जुड़ी हैं।

दूसरे शब्दों में, क्वांटम राज्यों को एच में लंबाई 1 के वैक्टरों के समतुल्य वर्गों (किरणों) के साथ पहचाना जा सकता है, जहां दो वैक्टर एक ही राज्य का प्रतिनिधित्व करते हैं यदि वे केवल एक चरण कारक से भिन्न होते हैं। पृथक्करण एक गणितीय रूप से सुविधाजनक परिकल्पना है, भौतिक व्याख्या के साथ कि राज्य को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए कई अवलोकन पर्याप्त हैं। एक क्वांटम मैकेनिकल स्टेट प्रोजेक्टिव हिल्बर्ट स्पेस में एक किरण है, वेक्टर नहीं। कई पाठ्यपुस्तकें इस अंतर को बनाने में विफल रहती हैं, जो आंशिक रूप से इस तथ्य का परिणाम हो सकता है कि श्रोडिंगर समीकरण में ही हिल्बर्ट-स्पेस "वैक्टर" शामिल है, जिसके परिणामस्वरूप किरण के बजाय "स्टेट वेक्टर" के सटीक उपयोग से बचना बहुत मुश्किल है। सहगामी अभिधारणा I समग्र प्रणाली अभिधारणा है:

क्वांटम उलझाव की उपस्थिति में, समग्र प्रणाली की क्वांटम स्थिति को इसके स्थानीय घटकों के राज्यों के टेंसर उत्पाद के रूप में नहीं माना जा सकता है; इसके बजाय, इसे घटक उप-प्रणालियों के राज्यों के टेंसर उत्पादों के योग या क्वांटम सुपरइम्पोजिशन के रूप में व्यक्त किया जाता है। उलझी हुई समग्र प्रणाली में एक सबसिस्टम को समान्यतः एक राज्य वेक्टर (या एक किरण) द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है, बल्कि इसके बजाय एक घनत्व ऑपरेटर द्वारा वर्णित किया जाता है; ऐसी क्वांटम अवस्था को मिश्रित अवस्था (भौतिकी) के रूप में जाना जाता है। एक मिश्रित राज्य का घनत्व ऑपरेटर एक ट्रेस वर्ग है, गैर-नकारात्मक (सकारात्मक अर्ध-निश्चित मैट्रिक्स) स्व-संबद्ध ऑपरेटर ρ ट्रेस 1 के लिए सामान्यीकृत होता है। बदले में, मिश्रित राज्य के किसी भी घनत्व ऑपरेटर को एक बड़े उपप्रणाली के रूप में दर्शाया जा सकता है एक शुद्ध अवस्था में समग्र प्रणाली (शुद्धि प्रमेय देखें)।

क्वांटम उलझाव की अनुपस्थिति में, समग्र प्रणाली की क्वांटम अवस्था को वियोज्य अवस्था कहा जाता है। एक वियोज्य अवस्था में द्विदलीय प्रणाली के घनत्व मैट्रिक्स को व्यक्त किया जा सकता है $$ \rho=\sum_k p_k \rho_1^k \otimes \rho_2^k $$, कहाँ $$\; \sum_k p_k = 1 $$. यदि केवल एक अशून्य है $$p_k$$, तब स्थिति को उसी रूप में व्यक्त किया जा सकता है $ \rho = \rho_1 \otimes \rho_2, $ और इसे केवल वियोज्य या उत्पाद स्थिति कहा जाता है।

भौतिक राशियों का विवरण
भौतिक वेधशालाओं को हर्मिटियन मैट्रिक्स मैट्रिसेस ऑन द्वारा दर्शाया गया है $H$. चूंकि ये ऑपरेटर हर्मिटियन हैं, इसलिए उनका ईगेनवैल्यू हमेशा वास्तविक होता है, और संबंधित अवलोकन योग्य को मापने से संभावित परिणामों/परिणामों का प्रतिनिधित्व करता है। यदि अवलोकन योग्य का स्पेक्ट्रम असतत स्पेक्ट्रम है, तो संभावित परिणाम परिमाणित होते हैं।

मापन के परिणाम
वर्णक्रमीय सिद्धांत द्वारा, हम संभाव्यता माप को के मानों से जोड़ सकते हैं $A$ किसी भी राज्य में $ψ$. हम यह भी दिखा सकते हैं कि अवलोकन योग्य के संभावित मूल्य $A$ किसी भी राज्य में एक ऑपरेटर के स्पेक्ट्रम से संबंधित होना चाहिए $A$. अवलोकन योग्य का अपेक्षित मूल्य (संभाव्यता सिद्धांत के अर्थ में)। $A$ यूनिट वेक्टर द्वारा दर्शाए गए राज्य में सिस्टम के लिए $ψ$ ∈ एच है $$\langle\psi|A|\psi\rangle$$. अगर हम राज्य का प्रतिनिधित्व करते हैं $ψ$ के eigenvectors द्वारा गठित आधार में $A$, तो किसी दिए गए ईजेनवेक्टर से जुड़े घटक के मॉड्यूलस का वर्ग इसके संबंधित ईजेनवेल्यू को देखने की संभावना है।

मिश्रित अवस्था के लिए $ρ$, का अपेक्षित मूल्य $A$ राज्य में $ρ$ है $$ \operatorname{tr}(A\rho)$$, और एक eigenvalue प्राप्त करने की संभावना $$ a_n $$ इसी प्रेक्षणीय के असतत, अविकृत स्पेक्ट्रम में $$ A $$ द्वारा दिया गया है $$ \mathbb P(a_n)=\operatorname{tr}(|a_n\rangle\langle a_n|\rho)=\langle a_n|\rho|a_n\rangle $$.

यदि आइगेनवैल्यू $$ a_n $$ पतित, ऑर्थोनॉर्मल ईजेनवेक्टर हैं $$ \{|a_{n1}\rangle,|a_{n2}\rangle, \dots, |a_{nm}\rangle\} $$, तो eigensubspace पर प्रोजेक्शन (रैखिक बीजगणित) को eigensubspace में आइडेंटिटी ऑपरेटर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है: $$ P_n=|a_{n1}\rangle\langle a_{n1}|+|a_{n2}\rangle\langle a_{n2}| + \dots + |a_{nm}\rangle\langle a_{nm}|, $$ और तब $$ \mathbb P(a_n)=\operatorname{tr}(P_n\rho) $$.

अभिधारणाओं II.a और II.b को सामूहिक रूप से क्वांटम यांत्रिकी के जन्म नियम के रूप में जाना जाता है।

राज्य पर मापन का प्रभाव
जब कोई माप किया जाता है, तो केवल एक परिणाम प्राप्त होता है (क्वांटम यांत्रिकी की कुछ व्याख्याओं के अनुसार)। यह गणितीय रूप से माप से अतिरिक्त जानकारी के प्रसंस्करण के रूप में तैयार किया गया है, उसी अवलोकन योग्य के तत्काल दूसरे माप की संभावनाओं को सीमित करता है। असतत, गैर-पतित स्पेक्ट्रम के मामले में, एक ही अवलोकनीय के दो अनुक्रमिक माप हमेशा एक ही मान देंगे, यह मानते हुए कि दूसरा तुरंत पहले का अनुसरण करता है। इसलिए राज्य सदिश को माप के परिणामस्वरूप बदलना चाहिए, और ईगेनवैल्यू से जुड़े ईजेनसबस्पेस पर गिरना चाहिए।

मिश्रित अवस्था के लिए $ρ$, एक eigenvalue प्राप्त करने के बाद $$ a_n $$ इसी प्रेक्षणीय के असतत, अविकृत स्पेक्ट्रम में $$ A $$, द्वारा अद्यतन स्थिति दी गई है $ \rho'=\frac{P_n\rho P_n^\dagger}{\operatorname{tr}(P_n\rho P_n^\dagger)} $. यदि आइगेनवैल्यू $$ a_n $$ पतित, ऑर्थोनॉर्मल ईजेनवेक्टर हैं $$ \{|a_{n1}\rangle,|a_{n2}\rangle, \dots ,|a_{nm}\rangle\} $$, तो eigensubspace पर प्रोजेक्शन (रैखिक बीजगणित) है $$ P_n=|a_{n1}\rangle\langle a_{n1}|+|a_{n2}\rangle\langle a_{n2}| + \dots + |a_{nm}\rangle\langle a_{nm}| $$.

अभिधारणाएँ II.c को कभी-कभी राज्य अद्यतन नियम या पतन नियम कहा जाता है; बॉर्न रूल (पोस्टुलेट्स II.a और II.b) के साथ मिलकर, वे क्वांटम यांत्रिकी में मापन का एक पूर्ण प्रतिनिधित्व करते हैं, और कभी-कभी सामूहिक रूप से मापन पोस्टुलेट (एस) कहलाते हैं।

ध्यान दें कि प्रक्षेपण-मूल्यवान उपाय | प्रोजेक्शन-वैल्यूड उपायों (पीवीएम) को माप पोस्टुलेट (एस) में वर्णित किया जा सकता है जिसे पीओवीएम | पॉजिटिव ऑपरेटर-वैल्यूड उपायों (पीओवीएम) में सामान्यीकृत किया जा सकता है, जो क्वांटम यांत्रिकी में माप का सबसे सामान्य प्रकार है। एक पीओवीएम को एक घटक सबसिस्टम पर प्रभाव के रूप में समझा जा सकता है जब एक पीवीएम एक बड़े, मिश्रित सिस्टम पर किया जाता है (नैमार्क के फैलाव प्रमेय देखें)।

एक प्रणाली का समय विकास
हालांकि श्रोडिंगर समीकरण को प्राप्त करना संभव है, जो वर्णन करता है कि समय में एक राज्य वेक्टर कैसे विकसित होता है, अधिकांश ग्रंथ समीकरण को अभिधारणा के रूप में मानते हैं। सामान्य व्युत्पत्तियों में डेब्रोग्ली परिकल्पना या श्रोडिंगर के समीकरण के बीच संबंध और क्वांटम यांत्रिकी के पथ अभिन्न सूत्रीकरण का उपयोग करना शामिल है।

समतुल्य रूप से, समय विकास अभिधारणा को इस प्रकार कहा जा सकता है:

मिश्रित अवस्था में बंद व्यवस्था के लिए $ρ$, समय विकास है $$\rho(t)=U(t;t_0)\rho(t_0) U^\dagger(t;t_0)$$.

एक खुली क्वांटम प्रणाली के विकास को क्वांटम ऑपरेशन (क्वांटम ऑपरेशन # प्रमेय औपचारिकता के बयान में) और क्वांटम उपकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है, और आम तौर पर एकात्मक होना जरूरी नहीं है।

अभिधारणाओं के अन्य निहितार्थ

 * विग्नर के प्रमेय के कारण भौतिक समरूपता क्वांटम स्टेट्स एकात्मक संचालिका या प्रतिएकात्मकता के हिल्बर्ट स्थान पर कार्य करती है (सुपरसिमेट्री पूरी तरह से एक और मामला है)।


 * घनत्व ऑपरेटर वे हैं जो एक-आयामी ऑर्थोगोनल प्रोजेक्टर के उत्तल पतवार के बंद होने में हैं। इसके विपरीत, एक-आयामी ऑर्थोगोनल प्रोजेक्टर घनत्व ऑपरेटरों के सेट के चरम बिंदु हैं। भौतिक विज्ञानी एक आयामी ऑर्थोगोनल प्रोजेक्टर को शुद्ध अवस्थाएँ और अन्य घनत्व संचालिकाएँ मिश्रित अवस्थाएँ भी कहते हैं।
 * कोई भी इस औपचारिकता में हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत को बता सकता है और इसे एक प्रमेय के रूप में साबित कर सकता है, हालांकि घटनाओं का सटीक ऐतिहासिक अनुक्रम, जो कि किसने और किस ढांचे के तहत प्राप्त किया, इस लेख के दायरे से बाहर ऐतिहासिक जांच का विषय है।
 * हाल के शोध से पता चला है कि कंपोजिट सिस्टम पोस्टुलेट (टेंसर प्रोडक्ट पोस्टुलेट) स्टेट पोस्टुलेट (पोस्टुलेट I) और माप पोस्टुलेट्स (पोस्टुलेट्स II) से प्राप्त किया जा सकता है; इतना ही नहीं दिखाया भी गया है कि माप अभिगृहीत (अभिधारणा II) एकात्मक क्वांटम यांत्रिकी से प्राप्त किया जा सकता है, जिसमें केवल अवस्था अभिधारणा (अभिधारणा I), समग्र प्रणाली अभिधारणा (टेंसर उत्पाद अभिधारणा) और एकात्मक विकास अभिधारणा (अभिधारणा III) शामिल हैं।

इसके अलावा, क्वांटम यांत्रिकी के अभिधारणाओं में स्पिन (भौतिकी) और पाउली के पाउली अपवर्जन सिद्धांत के गुणों पर बुनियादी बयान भी जोड़ना चाहिए, नीचे देखें।

स्पिन
उनके अन्य गुणों के अलावा, सभी कणों में एक मात्रा होती है जिसे स्पिन (भौतिकी) कहा जाता है, एक आंतरिक कोणीय गति। नाम के बावजूद, कण वस्तुतः एक धुरी के चारों ओर नहीं घूमते हैं, और क्वांटम मैकेनिकल स्पिन का शास्त्रीय भौतिकी में कोई पत्राचार नहीं है। स्थिति प्रतिनिधित्व में, स्पिनलेस वेवफंक्शन की स्थिति होती है $r$ और समय $t$ निरंतर चर के रूप में, $ψ = ψ(r, t)$. स्पिन वेवफंक्शन के लिए स्पिन एक अतिरिक्त असतत चर है: $ψ = ψ(r, t, σ)$, कहाँ $σ$ मान लेता है; $$\sigma = -S \hbar, -(S-1) \hbar , \dots, 0, \dots ,+(S-1) \hbar ,+S \hbar \,.$$ यानी स्पिन के साथ एक कण की स्थिति $S$ को a द्वारा प्रदर्शित किया जाता है $(2S + 1)$-कॉम्प्लेक्स-वैल्यू वेव फ़ंक्शंस का घटक स्पिनर।

बहुत भिन्न व्यवहार वाले कणों के दो वर्ग बोसॉन होते हैं जिनमें पूर्णांक स्पिन होता है ($S = 0, 1, 2, ...$), और अर्ध-पूर्णांक चक्रण वाले फर्मियन ($S = 1/2, 3/2, 5/2, ...$).

पाउली का सिद्धांत
स्पिन की संपत्ति एक अन्य बुनियादी संपत्ति से संबंधित प्रणालियों से संबंधित है $N$ समान कण: पाउली का पाउली अपवर्जन सिद्धांत, जो एक के निम्नलिखित क्रमपरिवर्तन व्यवहार का परिणाम है $N$-कण तरंग समारोह; फिर से स्थिति प्रतिनिधित्व में किसी को यह मान लेना चाहिए कि किसी भी दो के स्थानान्तरण के लिए $N$ कण हमेशा होने चाहिए

यानी, किन्हीं दो कणों के तर्कों के ट्रांसपोज़िशन (गणित) पर वेवफंक्शन को प्रीफ़ेक्टर के अलावा, पुन: उत्पन्न करना चाहिए $(−1)^{2S}$ जो है $+1$ बोसोन के लिए, लेकिन ($−1$) फरमिओन्स के लिए। इलेक्ट्रॉन फर्मन होते हैं $S = 1/2$; प्रकाश की मात्राएँ बोसोन हैं $S = 1$. असापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी में सभी कण या तो बोसॉन या फ़र्मियन होते हैं; आपेक्षिकीय क्वांटम सिद्धांतों में भी सुपरसिमेट्री| सुपरसिमेट्रिक सिद्धांत मौजूद हैं, जहां एक कण एक बोसोनिक और एक फर्मीओनिक भाग का एक रैखिक संयोजन है। केवल आयाम में $d = 2$ क्या कोई संस्थाओं का निर्माण कर सकता है $(−1)^{2S}$ परिमाण 1 के साथ एक मनमाना जटिल संख्या द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जिसे कोई भी कहा जाता है।

यद्यपि स्पिन और पाउली सिद्धांत केवल क्वांटम यांत्रिकी के सापेक्षवादी सामान्यीकरण से ही प्राप्त किए जा सकते हैं, पिछले दो पैराग्राफों में वर्णित गुण पहले से ही गैर-सापेक्षतावादी सीमा में मूल अभिधारणाओं से संबंधित हैं। विशेष रूप से, प्राकृतिक विज्ञान में कई महत्वपूर्ण गुण, उदा। रसायन विज्ञान की आवधिक प्रणाली, दो गुणों के परिणाम हैं।

गतिकी के चित्र
सारांश:

प्रतिनिधित्व
श्रोडिंगर समीकरण का मूल रूप वर्नर हाइजेनबर्ग के विहित रूपांतरण संबंध के एक विशेष प्रतिनिधित्व को चुनने पर निर्भर करता है। स्टोन-वॉन न्यूमैन प्रमेय यह निर्धारित करता है कि परिमित-आयामी हाइजेनबर्ग कम्यूटेशन संबंधों के सभी अलघुकरणीय निरूपण एकात्मक रूप से समकक्ष हैं। इसके परिणामों की एक व्यवस्थित समझ ने क्वांटम यांत्रिकी के चरण स्थान निर्माण को प्रेरित किया है, जो हिल्बर्ट अंतरिक्ष के बजाय पूर्ण चरण अंतरिक्ष में काम करता है, इसलिए इसकी शास्त्रीय सीमा के लिए अधिक सहज लिंक के साथ। यह चित्र भी विचार को सरल करता है क्वांटिज़ेशन (भौतिकी) का, शास्त्रीय से क्वांटम यांत्रिकी तक विरूपण विस्तार।

क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर एक बिल्कुल सॉल्वेबल सिस्टम है जहां विभिन्न अभ्यावेदन आसानी से तुलना किए जाते हैं। वहां, हाइजेनबर्ग, या श्रोडिंगर (स्थिति या संवेग), या चरण-स्थान अभ्यावेदन के अलावा, एक फॉक (संख्या) प्रतिनिधित्व और ऑसिलेटर प्रतिनिधित्व का भी सामना करता है। सेगल-बार्गमैन (फॉक-स्पेस या सुसंगत राज्य) प्रतिनिधित्व (नाम के बाद इरविंग सेगल और वेलेंटाइन बर्गमैन)। चारों एकात्मक रूप से समकक्ष हैं।

एक ऑपरेटर के रूप में समय
अब तक प्रस्तुत रूपरेखा समय को उस पैरामीटर के रूप में एकल करती है जिस पर सब कुछ निर्भर करता है। यांत्रिकी को इस तरह से तैयार करना संभव है कि समय स्वयं एक स्व-सम्मिलित संकारक से जुड़ा एक अवलोकनीय बन जाता है। शास्त्रीय स्तर पर, एक अभौतिक पैरामीटर के संदर्भ में कणों के प्रक्षेपवक्र को मनमाने ढंग से मापना संभव है $R$, और उस स्थिति में समय t भौतिक तंत्र का एक अतिरिक्त सामान्यीकृत निर्देशांक बन जाता है। क्वांटम स्तर पर, में अनुवाद $⟨$ हैमिल्टनियन द्वारा उत्पन्न किया जाएगा $t$, जहां ई ऊर्जा ऑपरेटर है और $H$ साधारण हैमिल्टनियन है। हालाँकि, चूंकि s एक अभौतिक पैरामीटर है, भौतिक अवस्थाओं को s-evolution द्वारा अपरिवर्तनीय छोड़ दिया जाना चाहिए, और इसलिए भौतिक स्थिति स्थान का कर्नेल है $i$ (इसके लिए कठोर हिल्बर्ट स्थान के उपयोग और आदर्श के पुनर्सामान्यीकरण की आवश्यकता होती है)।

यह डायराक ब्रैकेट और गेज सिद्धांतों के परिमाणीकरण से संबंधित है। यह घटनाओं का एक क्वांटम सिद्धांत तैयार करना भी संभव है जहां समय अवलोकनीय हो जाता है (डी। एडवर्ड्स देखें)।

माप की समस्या
पिछले पैराग्राफ में दिया गया चित्र पूरी तरह से पृथक प्रणाली के वर्णन के लिए पर्याप्त है। हालांकि, यह क्वांटम यांत्रिकी और शास्त्रीय यांत्रिकी के बीच मुख्य अंतरों में से एक के लिए जिम्मेदार नहीं है, अर्थात माप के प्रभाव। एक प्रेक्षण योग्य के क्वांटम मापन का वॉन न्यूमैन विवरण $ħ$, जब सिस्टम शुद्ध अवस्था में तैयार किया जाता है $H$ निम्नलिखित है (ध्यान दें, हालांकि, वॉन न्यूमैन का विवरण 1930 के दशक का है और उस समय के दौरान किए गए प्रयोगों पर आधारित है - अधिक विशेष रूप से कॉम्पटन स्कैटरिंग | कॉम्पटन-साइमन प्रयोग; यह अधिकांश वर्तमान मापों पर लागू नहीं है क्वांटम डोमेन के भीतर):


 * होने देना $U(t)$ वर्णक्रमीय संकल्प है $$ A = \int \lambda \, d \operatorname{E}_A(\lambda),$$ कहाँ $H → H$ संबंधित पहचान (जिसे प्रोजेक्शन-वैल्यूड माप भी कहा जाता है) का संकल्प है $s, t$. फिर अंतराल में झूठ बोलने वाले माप परिणाम की संभावना $H$ का $H$ है $t_{0} = 0$. दूसरे शब्दों में, की विशेषता फ़ंक्शन को एकीकृत करके संभावना प्राप्त की जाती है $A = A(t)$ गिने-चुने योगात्मक माप के विरुद्ध $$ \langle \psi \mid \operatorname{E}_A \psi \rangle. $$
 * यदि मापा मूल्य में निहित है $H = H_{0} + V$, फिर माप के तुरंत बाद, सिस्टम (समान्यतः गैर-सामान्यीकृत) स्थिति में होगा $V$. यदि मापा मूल्य अंदर नहीं है $H_{0}$, बदलना $s$ उपरोक्त राज्य के लिए इसके पूरक द्वारा।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि राज्य स्थान है $s$-आयामी जटिल हिल्बर्ट अंतरिक्ष $H − E$ और $H$ eigenvalues ​​​​के साथ एक हर्मिटियन मैट्रिक्स है $H − E$, संबंधित eigenvectors के साथ $A$. प्रोजेक्शन-वैल्यू माप से जुड़ा हुआ है $ψ$, $A$, तब है

$$ \operatorname{E}_A (B) = | \psi_i\rangle \langle \psi_i|, $$ कहाँ $E_{A}$ एक बोरेल सेट है जिसमें केवल एक ईजेनवेल्यू होता है $A$. यदि राज्य में सिस्टम तैयार है

$$| \psi \rangle $$ फिर मान लौटाने वाले माप की संभावना $B$ वर्णक्रमीय माप को एकीकृत करके गणना की जा सकती है

$$ \langle \psi \mid \operatorname{E}_A \psi \rangle $$ ऊपर $R$. यह तुच्छ देता है

$$ \langle \psi| \psi_i\rangle \langle \psi_i \mid \psi \rangle = | \langle \psi \mid \psi_i\rangle | ^2. $$ वॉन न्यूमैन माप योजना की विशेषता यह है कि एक ही माप को दोहराने से समान परिणाम मिलेंगे। इसे प्रोजेक्शन पोस्टुलेट भी कहा जाता है।

एक अधिक सामान्य फॉर्मूलेशन प्रोजेक्शन-वैल्यू माप को POVM|पॉजिटिव-ऑपरेटर वैल्यूड माप (POVM) से बदल देता है। वर्णन करने के लिए, फिर से परिमित-आयामी मामला लें। यहां हम रैंक-1 अनुमानों को बदल देंगे $$ | \psi_i\rangle \langle \psi_i| $$ सकारात्मक ऑपरेटरों के एक परिमित सेट द्वारा $$ F_i F_i^* $$ जिसका योग अभी भी पहले की तरह पहचान संकारक है (पहचान का संकल्प)। संभावित परिणामों के एक सेट के रूप में $|E_{A}(B) ψ|^{2}$ एक प्रक्षेपण-मूल्यवान माप से जुड़ा है, वही POVM के लिए कहा जा सकता है। मान लीजिए माप परिणाम है $B$. (असामान्यीकृत) अवस्था में गिरने के बजाय $$ | \psi_i\rangle \langle \psi_i |\psi\rangle $$ मापी के बाद अब प्रदेश में लगेगी व्यवस्था $$ F_i |\psi\rangle. $$ के बाद से $B$ ऑपरेटरों को पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल अनुमानों की आवश्यकता नहीं है, वॉन न्यूमैन के प्रक्षेपण अभिधारणा अब धारण नहीं करती है।

समान सूत्रीकरण सामान्य मिश्रित अवस्था (भौतिकी) पर लागू होता है।

वॉन न्यूमैन के दृष्टिकोण में, माप के कारण राज्य परिवर्तन कई तरीकों से समय के विकास के कारण भिन्न होता है। उदाहरण के लिए, समय विकास नियतात्मक और एकात्मक है जबकि माप गैर-नियतात्मक और गैर-एकात्मक है। हालाँकि, चूंकि दोनों प्रकार के राज्य परिवर्तन एक क्वांटम अवस्था को दूसरे में ले जाते हैं, इस अंतर को कई लोगों ने असंतोषजनक के रूप में देखा। पीओवीएम औपचारिकता माप को कई अन्य क्वांटम परिचालनों में से एक के रूप में देखती है, जो पूरी तरह से सकारात्मक मानचित्रों द्वारा वर्णित हैं जो ट्रेस में वृद्धि नहीं करते हैं।

किसी भी मामले में ऐसा लगता है कि उपर्युक्त समस्याओं को केवल तभी हल किया जा सकता है जब समय के विकास में न केवल क्वांटम प्रणाली शामिल है, बल्कि अनिवार्य रूप से शास्त्रीय माप तंत्र (ऊपर देखें) भी शामिल है।

सापेक्ष राज्य व्याख्या
माप की एक वैकल्पिक व्याख्या एवरेट की कई-विश्व व्याख्या है, जिसे बाद में क्वांटम भौतिकी की कई-दुनिया की व्याख्या करार दिया गया।

गणितीय उपकरणों की सूची
इस विषय की लोककथाओं का एक हिस्सा डेविड हिल्बर्ट के गौटिंगेन विश्वविद्यालय के पाठ्यक्रमों से रिचर्ड कुरेंट द्वारा गणितीय भौतिकी की पाठ्यपुस्तक गणितीय भौतिकी के तरीके से संबंधित है। कहानी (गणितज्ञों द्वारा) बताई जाती है कि भौतिकविदों ने श्रोडिंगर के समीकरण के आगमन तक सामग्री को वर्तमान अनुसंधान क्षेत्रों में दिलचस्प नहीं होने के कारण खारिज कर दिया था। उस समय यह महसूस किया गया था कि इसमें नए क्वांटम यांत्रिकी का गणित पहले से ही रखा गया था। यह भी कहा जाता है कि हाइजेनबर्ग ने अपने मैट्रिक्स यांत्रिकी के बारे में हिल्बर्ट से परामर्श किया था, और हिल्बर्ट ने देखा कि अनंत-आयामी मैट्रिसेस के साथ उनका अपना अनुभव अंतर समीकरणों से प्राप्त हुआ था, सलाह जिसे हाइजेनबर्ग ने अनदेखा कर दिया, सिद्धांत को एकीकृत करने का अवसर खो दिया जैसा कि वेइल और डिराक ने किया था। कुछ साल बाद। उपाख्यानों का आधार जो भी हो, सिद्धांत का गणित उस समय पारंपरिक था, जबकि भौतिकी मौलिक रूप से नई थी।

मुख्य उपकरण में शामिल हैं:


 * रेखीय बीजगणित: जटिल संख्याएं, आइजन्वेक्टर, ईजेनवेल्यूज
 * कार्यात्मक विश्लेषण: हिल्बर्ट रिक्त स्थान, रैखिक ऑपरेटर, वर्णक्रमीय सिद्धांत
 * अंतर समीकरण: आंशिक अंतर समीकरण, चर का पृथक्करण, साधारण अंतर समीकरण, स्टर्म-लिउविल सिद्धांत, eigenfunction
 * हार्मोनिक विश्लेषण: फूरियर रूपांतरण

संदर्भ

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