स्केल-फ्री नेटवर्क

स्केल-फ्री नेटवर्क एक जटिल नेटवर्क है जिसका डिग्री वितरण एक शक्ति कानून का पालन करता है, कम से कम असम्बद्ध रूप से। अर्थात्, नेटवर्क में नोड्स का अंश P(k) अन्य नोड्स से k कनेक्शन वाले k के बड़े मानों के लिए जाता है



P(k) \ \sim \ k^\boldsymbol{-\gamma} $$ कहाँ पे $$\gamma$$ एक पैरामीटर है जिसका मान आम तौर पर सीमा में होता है $2<\gamma<3$ (जिसमें दूसरा पल (स्केल पैरामीटर) का $$k^\boldsymbol{-\gamma}$$ अनंत है लेकिन पहला क्षण परिमित है), हालांकि कभी-कभी यह इन सीमाओं के बाहर हो सकता है।

कई नेटवर्कों के पैमाने-मुक्त होने की सूचना दी गई है, हालांकि सांख्यिकीय विश्लेषण ने इनमें से कई दावों का खंडन किया है और दूसरों पर गंभीरता से सवाल उठाया है। इसके अतिरिक्त, कुछ ने तर्क दिया है कि केवल यह जानना कि एक डिग्री-वितरण मोटा-पूंछ वितरण है।

अधिमान्य लगाव और फिटनेस मॉडल (नेटवर्क सिद्धांत) को वास्तविक नेटवर्क में अनुमानित शक्ति कानून डिग्री वितरण की व्याख्या करने के लिए तंत्र के रूप में प्रस्तावित किया गया है। गैर-रैखिक अधिमान्य अनुलग्नक जैसे वैकल्पिक मॉडल | सुपर-रैखिक अधिमान्य अनुलग्नक और द्वितीय-पड़ोसी अधिमान्य अनुलग्नक क्षणिक स्केल-मुक्त नेटवर्क उत्पन्न करने के लिए प्रकट हो सकते हैं, लेकिन डिग्री वितरण एक शक्ति कानून से विचलित हो जाता है क्योंकि नेटवर्क बहुत बड़े हो जाते हैं।

इतिहास
वैज्ञानिक पत्रों के बीच उद्धरणों के नेटवर्क के अध्ययन में, डेरेक जे. डी सोला प्राइस ने 1965 में दिखाया कि कागजात के लिंक की संख्या - यानी, उन्हें प्राप्त होने वाले उद्धरणों की संख्या - एक पारेतो वितरण या शक्ति कानून के बाद एक भारी-पूंछ वितरण था, और इस प्रकार प्रशस्ति पत्र नेटवर्क स्केल-फ्री है। हालांकि उन्होंने स्केल-फ्री नेटवर्क शब्द का उपयोग नहीं किया, जो कुछ दशकों बाद तक नहीं बनाया गया था। 1976 में बाद के एक पेपर में, प्राइस ने उद्धरण नेटवर्क में बिजली कानूनों की घटना की व्याख्या करने के लिए एक तंत्र का भी प्रस्ताव दिया, जिसे उन्होंने संचयी लाभ कहा, लेकिन जिसे आज आमतौर पर तरजीही लगाव के नाम से जाना जाता है।

स्केल-फ्री नेटवर्क में हाल की रुचि 1999 में अल्बर्ट-लेस्ज़्लो बाराबासी और नॉट्रे डेम विश्वविद्यालय के सहयोगियों द्वारा काम के साथ शुरू हुई, जिन्होंने वर्ल्ड वाइड वेब के एक हिस्से की टोपोलॉजी मैप की, यह पता लगाना कि कुछ नोड्स, जिन्हें वे हब कहते हैं, में दूसरों की तुलना में बहुत अधिक कनेक्शन थे और पूरे नेटवर्क में एक नोड से कनेक्ट होने वाले लिंक की संख्या का पावर-लॉ वितरण था। यह पता लगाने के बाद कि कुछ सामाजिक और जैविक नेटवर्क सहित कुछ अन्य नेटवर्कों में भी भारी-पूंछ वाले डिग्री वितरण थे, बारबासी और सहयोगियों ने नेटवर्क के वर्ग का वर्णन करने के लिए स्केल-फ्री नेटवर्क शब्द गढ़ा, जो पावर-लॉ डिग्री वितरण प्रदर्शित करता है। हालाँकि, सामाजिक, आर्थिक, तकनीकी, जैविक और भौतिक प्रणालियों में नेटवर्क के सात उदाहरणों का अध्ययन, अमरल एट अल। हम इन सात उदाहरणों के बीच स्केल-फ्री नेटवर्क नहीं ढूंढ पाए। इन उदाहरणों में से केवल एक, मूवी-अभिनेता नेटवर्क, में डिग्री वितरण P(k) मध्यम k के लिए एक शक्ति कानून शासन के बाद था, हालांकि अंततः इस शक्ति कानून शासन के बाद बड़े k के लिए घातीय क्षय दिखाते हुए एक तेज कटऑफ था।

बारबासी और रेका अल्बर्ट ने बिजली-कानून वितरण की उपस्थिति की व्याख्या करने के लिए एक जनरेटिव तंत्र का प्रस्ताव दिया, जिसे उन्होंने तरजीही लगाव कहा और जो अनिवार्य रूप से प्राइस द्वारा प्रस्तावित के समान है। इस तंत्र के लिए विश्लेषणात्मक समाधान (कीमत के समाधान के समान भी) 2000 में डोरोगोवत्सेव, जोस फर्नांडो फेरेरा मेंडेस और समुखिन द्वारा प्रस्तुत किए गए थे। और स्वतंत्र रूप से क्रैपीव्स्की, सिडनी रेडनर, और लेव्राज द्वारा, और बाद में गणितज्ञ बेला बोल्लोबस द्वारा कठोर रूप से सिद्ध किया गया। विशेष रूप से, हालांकि, यह तंत्र केवल स्केल-मुक्त वर्ग में नेटवर्क का एक विशिष्ट सबसेट उत्पन्न करता है, और उसके बाद से कई वैकल्पिक तंत्रों की खोज की गई है।

स्केल-फ्री नेटवर्क के इतिहास में कुछ असहमति भी शामिल है। एक अनुभवजन्य स्तर पर, कई नेटवर्कों की स्केल-फ्री प्रकृति को प्रश्न में बुलाया गया है। उदाहरण के लिए, फालआउट्स के तीनों भाइयों का मानना ​​था कि ट्रेसरूट डेटा के आधार पर इंटरनेट का पावर लॉ डिग्री डिस्ट्रीब्यूशन था; हालाँकि, यह सुझाव दिया गया है कि यह राउटर द्वारा बनाया गया एक नेटवर्क परत भ्रम है, जो स्वायत्त प्रणाली (इंटरनेट)इंटरनेट) की आंतरिक डेटा लिंक परत संरचना को छुपाते हुए उच्च-डिग्री नोड्स के रूप में दिखाई देता है, जिससे वे आपस में जुड़ते हैं।

सैद्धांतिक स्तर पर, स्केल-फ्री की सार परिभाषा को परिष्कृत करने का प्रस्ताव दिया गया है। उदाहरण के लिए, ली एट अल। (2005) ने हाल ही में संभावित रूप से अधिक सटीक स्केल-मुक्त मीट्रिक की पेशकश की। संक्षेप में, जी को किनारे सेट ई के साथ एक ग्राफ होने दें, और शीर्ष की डिग्री को निरूपित करें $$v$$ (अर्थात्, किनारों की घटना की संख्या $$v$$) द्वारा $$\deg(v)$$. परिभाषित करना


 * $$s(G) = \sum_{(u,v) \in E} \deg(u) \cdot \deg(v).$$

यह अधिकतम होता है जब उच्च-डिग्री नोड्स अन्य उच्च-डिग्री नोड्स से जुड़े होते हैं। अब परिभाषित करें


 * $$S(G) = \frac{s(G)}{s_\max},$$

कहाँ एसmax G के समान डिग्री वितरण वाले सभी ग्राफ़ के सेट में H के लिए s(H) का अधिकतम मान है। यह 0 और 1 के बीच एक मीट्रिक देता है, जहां छोटे S(G) वाला ग्राफ़ G स्केल-रिच है, और S(G) के साथ एक ग्राफ G 1 के करीब स्केल-फ्री है। यह परिभाषा स्केल-फ्री नाम में निहित स्व-समानता की धारणा को पकड़ती है।

सिंहावलोकन
दो प्रमुख घटक हैं जो जटिल नेटवर्क में स्केल-फ्री प्रॉपर्टी के उद्भव की व्याख्या करते हैं: विकास और तरजीही लगाव। विकास से अभिप्राय एक विकास प्रक्रिया से है, जहां समय की एक विस्तारित अवधि में, नए नोड पहले से मौजूद प्रणाली, एक नेटवर्क (जैसे वर्ल्ड वाइड वेब जो 10 वर्षों में अरबों वेब पेजों द्वारा विकसित हो गया है) से जुड़ते हैं। अंत में, तरजीही लगाव से तात्पर्य है कि नए नोड उन नोड्स से जुड़ना पसंद करते हैं जिनके पास पहले से ही दूसरों के साथ उच्च संख्या में लिंक हैं। इस प्रकार, इस बात की अधिक संभावना है कि अधिक से अधिक नोड स्वयं को उस नोड से लिंक करेंगे जिसके पास पहले से ही कई लिंक हैं, जो इस नोड को एक हब इन-फाइन तक ले जाता है। नेटवर्क के आधार पर, हब या तो वर्गीकरण या अलग-अलग हो सकते हैं। सामाजिक नेटवर्क में विविधता पाई जाएगी जिसमें अच्छी तरह से जुड़े/प्रसिद्ध लोग एक-दूसरे को बेहतर तरीके से जान पाएंगे। तकनीकी (इंटरनेट, वर्ल्ड वाइड वेब) और जैविक (प्रोटीन इंटरेक्शन, मेटाबॉलिज्म) नेटवर्क में डिसऑर्डरेटिविटी पाई जाएगी।

विशेषताएं
स्केल-फ्री नेटवर्क में सबसे उल्लेखनीय विशेषता एक डिग्री के साथ वर्टिकल की सापेक्ष समानता है जो औसत से बहुत अधिक है। उच्चतम डिग्री के नोड्स को अक्सर हब्स कहा जाता है, और उनके नेटवर्क में विशिष्ट उद्देश्यों को पूरा करने के लिए सोचा जाता है, हालांकि यह डोमेन पर काफी निर्भर करता है।

क्लस्टरिंग
स्केल-फ्री नेटवर्क की एक अन्य महत्वपूर्ण विशेषता क्लस्टरिंग गुणांक वितरण है, जो नोड डिग्री बढ़ने पर घट जाती है। यह वितरण भी एक शक्ति कानून का पालन करता है। इसका तात्पर्य यह है कि निम्न-डिग्री नोड बहुत सघन उप-ग्राफ से संबंधित हैं और वे उप-ग्राफ हब के माध्यम से एक-दूसरे से जुड़े हुए हैं। एक सामाजिक नेटवर्क पर विचार करें जिसमें नोड लोग हैं और लिंक लोगों के बीच परिचित संबंध हैं। यह देखना आसान है कि लोग समुदायों का निर्माण करते हैं, यानी छोटे समूह जिनमें हर कोई हर किसी को जानता है (ऐसे समुदाय को एक पूर्ण ग्राफ के रूप में सोच सकते हैं)। इसके अलावा, एक समुदाय के सदस्यों के उस समुदाय के बाहर के लोगों के साथ कुछ परिचित संबंध भी होते हैं। हालाँकि, कुछ लोग बड़ी संख्या में समुदायों (जैसे, मशहूर हस्तियों, राजनेताओं) से जुड़े हुए हैं। उन लोगों को छोटी-सी दुनिया की घटना के लिए जिम्मेदार हब माना जा सकता है।

वर्तमान में, स्केल-फ्री नेटवर्क की अधिक विशिष्ट विशेषताएं उन्हें बनाने के लिए उपयोग किए जाने वाले जनरेटिव मैकेनिज्म के साथ भिन्न होती हैं। उदाहरण के लिए, तरजीही अनुलग्नक द्वारा उत्पन्न नेटवर्क आमतौर पर नेटवर्क के मध्य में उच्च-डिग्री वर्टिकल रखते हैं, उन्हें कोर बनाने के लिए एक साथ जोड़ते हैं, कोर और परिधि के बीच के क्षेत्रों को उत्तरोत्तर निम्न-डिग्री नोड्स बनाते हैं। वर्टिकल के एक बड़े अंश का भी यादृच्छिक निष्कासन नेटवर्क की समग्र कनेक्टिविटी को बहुत कम प्रभावित करता है, यह सुझाव देता है कि ऐसी टोपोलॉजी नेटवर्क सुरक्षा के लिए उपयोगी हो सकती है, जबकि लक्षित हमले बहुत जल्दी कनेक्टिविटी को नष्ट कर देते हैं। अन्य पैमाने-मुक्त नेटवर्क, जो परिधि पर उच्च-डिग्री कोने रखते हैं, इन गुणों को प्रदर्शित नहीं करते हैं। इसी तरह, स्केल-फ्री नेटवर्क का क्लस्टरिंग गुणांक अन्य टोपोलॉजिकल विवरणों के आधार पर महत्वपूर्ण रूप से भिन्न हो सकता है।

टीकाकरण
इंटरनेट और सामाजिक नेटवर्क जैसे यथार्थवादी नेटवर्क का प्रतिनिधित्व करने वाले मुक्त नेटवर्क को कुशलतापूर्वक कैसे प्रतिरक्षित किया जाए, इस सवाल का बड़े पैमाने पर अध्ययन किया गया है। इस तरह की एक रणनीति इस मामले के लिए सबसे बड़े डिग्री नोड्स, यानी लक्षित (जानबूझकर) हमलों को प्रतिरक्षित करना है।$$c$$ अपेक्षाकृत उच्च है और प्रतिरक्षित होने के लिए कम नोड्स की आवश्यकता होती है।

हालांकि, कई यथार्थवादी मामलों में वैश्विक संरचना उपलब्ध नहीं है और सबसे बड़े डिग्री नोड ज्ञात नहीं हैं।

यादृच्छिक ग्राफ के गुण ग्राफ परिवर्तनों के तहत बदल सकते हैं या अपरिवर्तित रह सकते हैं। उदाहरण के लिए, अलिर्ज़ा माशघी | मशघी ए. एट अल। ने प्रदर्शित किया कि एक परिवर्तन जो यादृच्छिक ग्राफ़ को उनके किनारे-दोहरे ग्राफ़ (या लाइन ग्राफ़) में परिवर्तित करता है, लगभग समान डिग्री वितरण के साथ ग्राफ़ का एक समूह बनाता है, लेकिन डिग्री सहसंबंध और ए के साथ महत्वपूर्ण रूप से उच्च क्लस्टरिंग गुणांक। स्केल फ्री ग्राफ, इस तरह के परिवर्तनों के तहत स्केल फ्री रहते हैं।

उदाहरण
हालांकि कई वास्तविक दुनिया के नेटवर्क को स्केल-फ्री माना जाता है, सबूत अक्सर अनिर्णायक रहते हैं, मुख्य रूप से अधिक कठोर डेटा विश्लेषण तकनीकों के विकासशील जागरूकता के कारण। जैसे, वैज्ञानिक समुदाय द्वारा अभी भी कई नेटवर्कों की स्केल-मुक्त प्रकृति पर बहस की जा रही है। स्केल-फ्री होने का दावा करने वाले नेटवर्क के कुछ उदाहरणों में शामिल हैं:


 * सामाजिक जाल सहित कुछ सामाजिक नेटवर्क। जिन दो उदाहरणों का बड़े पैमाने पर अध्ययन किया गया है, वे हैं केविन बेकन की सिक्स डिग्री और एर्डोस नंबर|काग़ज़ के गणितज्ञों द्वारा सह-लेखकत्व।
 * इंटरनेट और वर्ल्ड वाइड वेब के webgraph सहित कई प्रकार के कंप्यूटर नेटवर्क।
 * सॉफ्टवेयर निर्भरता रेखांकन, उनमें से कुछ को एक जनरेटिव मॉडल के साथ वर्णित किया जा रहा है। * कुछ वित्तीय नेटवर्क जैसे इंटरबैंक भुगतान नेटवर्क
 * प्रोटीन-प्रोटीन इंटरैक्शन नेटवर्क।
 * सिमेंटिक नेटवर्क।
 * एयरलाइन नेटवर्क।

उच्च तापमान वाले सुपरकंडक्टर्स में स्केल फ्री टोपोलॉजी भी पाई गई है। एक उच्च तापमान सुपरकंडक्टर के गुण - एक यौगिक जिसमें इलेक्ट्रॉन क्वांटम भौतिकी के नियमों का पालन करते हैं, और बिना घर्षण के पूर्ण समकालिकता में प्रवाहित होते हैं - प्रतीत होता है कि यादृच्छिक ऑक्सीजन परमाणुओं और जाली विरूपण की फ्रैक्टल व्यवस्था से जुड़ा हुआ है। एक अंतरिक्ष-भरने वाली सेलुलर संरचना, भारित प्लानर स्टोकास्टिक जाली (डब्ल्यूपीएसएल) हाल ही में प्रस्तावित की गई है जिसका समन्वय संख्या वितरण एक शक्ति-कानून का पालन करता है। इसका तात्पर्य है कि जाली में कुछ ब्लॉक हैं जिनमें आश्चर्यजनक रूप से बड़ी संख्या में पड़ोसी हैं जिनके साथ वे आम सीमा साझा करते हैं। इसका निर्माण एक आरंभकर्ता के साथ शुरू होता है, कहते हैं इकाई क्षेत्र का वर्ग, और एक जनरेटर जो इसे यादृच्छिक रूप से चार ब्लॉकों में विभाजित करता है। इसके बाद जनरेटर को क्रमिक रूप से लगाया जाता है बार-बार उपलब्ध ब्लॉकों में से केवल एक को उनके क्षेत्रों के संबंध में तरजीह दी जाती है। इसका परिणाम वर्ग के छोटे परस्पर अनन्य आयताकार ब्लॉकों में विभाजन में होता है। डब्ल्यूपीएसएल (डीडब्ल्यूपीएसएल) का दोहरा, जो प्रत्येक ब्लॉक को उसके केंद्र में एक नोड के साथ बदलकर प्राप्त किया जाता है, और प्रत्येक सामान्य सीमा दो संबंधित शीर्षों को जोड़ने वाले किनारे वाले ब्लॉक के बीच, एक नेटवर्क के रूप में उभरता है जिसका डिग्री वितरण इस प्रकार है एक शक्ति-कानून। इसका कारण यह है कि यह मध्यस्थता-संचालित अटैचमेंट मॉडल नियम का पालन करता है, जो अधिमान्य अटैचमेंट नियम का भी प्रतीक है, लेकिन प्रच्छन्न रूप में।

जनरेटिव मॉडल
स्केल-फ्री नेटवर्क अकेले संयोग से उत्पन्न नहीं होते हैं। पॉल एर्डोस | एर्डोस और रेनी (1960) ने ग्राफ के लिए विकास के एक मॉडल का अध्ययन किया, जिसमें प्रत्येक चरण में, दो नोड्स को यादृच्छिक रूप से समान रूप से चुना जाता है और उनके बीच एक लिंक डाला जाता है। इन यादृच्छिक रेखांकन के गुण स्केल-मुक्त नेटवर्क में पाए जाने वाले गुणों से भिन्न होते हैं, और इसलिए इस विकास प्रक्रिया के लिए एक मॉडल की आवश्यकता होती है।

स्केल-फ्री नेटवर्क के एक सबसेट के लिए सबसे व्यापक रूप से ज्ञात जनरेटिव मॉडल बारबासी और अल्बर्ट (1999) का अमीर अमीर हो जाओ जनरेटिव मॉडल है जिसमें प्रत्येक नया वेब पेज एक संभाव्यता वितरण के साथ मौजूदा वेब पेजों के लिए लिंक बनाता है जो एक समान नहीं है, लेकिन वेब पेजों की वर्तमान इन-डिग्री के समानुपाती। यह मॉडल मूल रूप से 1965 में संचयी लाभ शब्द के तहत डेरेक जे. डी सोला प्राइस द्वारा आविष्कार किया गया था, लेकिन जब तक बारबासी ने अपने वर्तमान नाम (बीए मॉडल) के तहत परिणामों को फिर से खोज नहीं लिया, तब तक यह लोकप्रियता तक नहीं पहुंचा। इस प्रक्रिया के अनुसार, कई इन-लिंक्स वाला पेज नियमित पेज की तुलना में अधिक इन-लिंक्स को आकर्षित करेगा। यह एक शक्ति-नियम उत्पन्न करता है लेकिन परिणामी ग्राफ़ वास्तविक वेब ग्राफ़ से अन्य गुणों में भिन्न होता है जैसे छोटे कसकर जुड़े समुदायों की उपस्थिति। अधिक सामान्य मॉडल और नेटवर्क विशेषताओं का प्रस्ताव और अध्ययन किया गया है। उदाहरण के लिए, पचोन एट अल। (2018) ने अमीरों को अमीर बनाने वाले जनरेटिव मॉडल का एक प्रकार प्रस्तावित किया जो दो अलग-अलग अनुलग्नक नियमों को ध्यान में रखता है: एक अधिमान्य अनुलग्नक तंत्र और केवल सबसे हाल के नोड्स के लिए एक समान विकल्प। समीक्षा के लिए डोरोगोवत्सेव और जोस फर्नांडो फरेरा मेंडेस की पुस्तक देखें। कुछ तंत्र जैसे कि गैर-रैखिक तरजीही लगाव | सुपर-लीनियर तरजीही लगाव और दूसरा पड़ोसी लगाव नेटवर्क उत्पन्न करते हैं जो क्षणिक रूप से स्केल-मुक्त होते हैं, लेकिन एक शक्ति कानून से विचलित हो जाते हैं क्योंकि नेटवर्क बड़े होते हैं।

Pennock et al द्वारा वेब लिंक के लिए कुछ भिन्न जनरेटिव मॉडल का सुझाव दिया गया है। (2002)। उन्होंने एक विशिष्ट विषय जैसे विश्वविद्यालयों, सार्वजनिक कंपनियों, समाचार पत्रों या वैज्ञानिकों के होम पेजों में रुचि रखने वाले समुदायों की जांच की और वेब के प्रमुख केंद्रों को छोड़ दिया। इस मामले में, लिंक्स का वितरण अब एक शक्ति कानून नहीं था बल्कि एक सामान्य वितरण जैसा था। इन अवलोकनों के आधार पर, लेखकों ने एक जनरेटिव मॉडल प्रस्तावित किया जो एक लिंक प्राप्त करने की आधारभूत संभावना के साथ अधिमान्य लगाव को मिलाता है।

एक अन्य जनरेटिव मॉडल कुमार एट अल द्वारा अध्ययन किया गया कॉपी मॉडल है। (2000), जिसमें नए नोड बेतरतीब ढंग से एक मौजूदा नोड का चयन करते हैं और मौजूदा नोड के लिंक के एक अंश को कॉपी करते हैं। यह एक शक्ति कानून भी उत्पन्न करता है।

स्केल-फ्री नेटवर्क बनाने के लिए नेटवर्क का विकास (नए नोड्स जोड़ना) एक आवश्यक शर्त नहीं है। एक संभावना (कैल्डेरेली एट अल। 2002) संरचना को स्थिर मानने और शामिल दो शीर्षों की एक विशेष संपत्ति के अनुसार शीर्षों के बीच एक लिंक बनाने की है। एक बार इन वर्टेक्स गुणों (फिटनेस) के लिए सांख्यिकीय वितरण निर्दिष्ट करने के बाद, यह पता चलता है कि कुछ परिस्थितियों में स्थिर नेटवर्क भी स्केल-फ्री गुण विकसित करते हैं।

सामान्यीकृत स्केल-मुक्त मॉडल
स्केल-मुक्त नेटवर्क|स्केल-फ़्री कॉम्प्लेक्स नेटवर्क्स के मॉडलिंग में तेज़ी से गतिविधि हुई है। बारबासी और अल्बर्ट की रेसिपी कई भिन्नताओं और सामान्यीकरणों के बाद किया गया है    और पिछले गणितीय कार्यों का सुधार। जब तक किसी मॉडल में पावर लॉ डिस्ट्रीब्यूशन है, वह स्केल-फ्री नेटवर्क है, और उस नेटवर्क का मॉडल स्केल-फ्री मॉडल है।

विशेषताएं
कई वास्तविक नेटवर्क (लगभग) स्केल-फ्री हैं और इसलिए उनका वर्णन करने के लिए स्केल-फ्री मॉडल की आवश्यकता होती है। प्राइस की योजना में, स्केल-फ्री मॉडल बनाने के लिए दो सामग्रियों की आवश्यकता होती है:

1. नोड (नेटवर्किंग) को जोड़ना या हटाना। आमतौर पर हम नेटवर्क बढ़ाने पर ध्यान देते हैं, यानी नोड्स जोड़ना।

2. तरजीही लगाव: संभावना $$\Pi$$ वह नया नोड पुराने नोड से जुड़ा होगा।

ध्यान दें कि कुछ मॉडल (देखें दंगलचेव तथा फिटनेस मॉडल नीचे) नोड्स की संख्या को बदले बिना भी स्थिर रूप से काम कर सकता है। यह भी ध्यान में रखा जाना चाहिए कि यह तथ्य कि तरजीही अटैचमेंट मॉडल स्केल-फ्री नेटवर्क को जन्म देते हैं, यह साबित नहीं करता है कि यह वास्तविक दुनिया के स्केल-फ्री नेटवर्क के विकास में अंतर्निहित तंत्र है, क्योंकि काम में विभिन्न तंत्र मौजूद हो सकते हैं। वास्तविक-विश्व प्रणालियाँ जो फिर भी स्केलिंग को जन्म देती हैं।

उदाहरण
स्केल-फ्री नेटवर्क गुण उत्पन्न करने के लिए कई प्रयास किए गए हैं। यहाँ कुछ उदाहरण हैं:

बाराबासी-अल्बर्ट मॉडल
बारबासी-अल्बर्ट मॉडल, प्राइस के मॉडल के एक अप्रत्यक्ष संस्करण में एक रैखिक अधिमान्य लगाव है $$\Pi(k_i)=\frac{k_i}{\sum_j k_j}$$ और हर कदम पर एक नया नोड जोड़ता है।

(ध्यान दें, की एक अन्य सामान्य विशेषता $$\Pi(k)$$ वास्तविक नेटवर्क में वह है $$\Pi(0)\neq 0$$, यानी एक गैर-शून्य संभावना है कि ए नया नोड एक पृथक नोड से जुड़ता है। इस प्रकार सामान्य तौर पर $$\Pi(k)$$ रूप है $$\Pi(k)=A +k^\alpha$$, कहाँ पे $$A$$ नोड का प्रारंभिक आकर्षण है।)

दो स्तरीय नेटवर्क मॉडल
दंगलचेव (देखें [43]) तरजीही लगाव में लक्ष्य नोड के प्रत्येक पड़ोसी के महत्व पर विचार करके 2-एल मॉडल बनाता है। 2-एल मॉडल में एक नोड का आकर्षण न केवल इससे जुड़े नोड्स की संख्या पर निर्भर करता है बल्कि इनमें से प्रत्येक नोड में लिंक की संख्या पर भी निर्भर करता है।


 * $$\Pi(k_i)=\frac{k_i + C \sum_{(i,j)} k_j}{\sum_j k_j + C \sum_j k_j^2},$$

जहाँ C 0 और 1 के बीच का गुणांक है।

2-एल मॉडल का एक प्रकार, k2 मॉडल, जहां पहले और दूसरे पड़ोसी नोड्स लक्ष्य नोड के आकर्षण के लिए समान रूप से योगदान करते हैं, क्षणिक स्केल-मुक्त नेटवर्क के उद्भव को प्रदर्शित करता है। K2 मॉडल में, जब तक नेटवर्क अपेक्षाकृत छोटा होता है, तब तक डिग्री वितरण लगभग स्केल-फ्री दिखाई देता है, लेकिन स्केल-फ्री शासन से महत्वपूर्ण विचलन उभर कर सामने आता है क्योंकि नेटवर्क बड़ा होता है। इसके परिणामस्वरूप समय के साथ अलग-अलग डिग्री बदलते हुए नोड्स के सापेक्ष आकर्षण होता है, एक विशेषता वास्तविक नेटवर्क में भी देखी जाती है।

मध्यस्थता-संचालित अटैचमेंट (एमडीए) मॉडल
मीडिएशन-ड्रिवन अटैचमेंट मॉडल|मीडिएशन-ड्रिवन अटैचमेंट (एमडीए) मॉडल में, एक नया नोड आ रहा है $$m$$ किनारों एक मौजूदा कनेक्टेड नोड को यादृच्छिक रूप से चुनता है और उसके बाद खुद को जोड़ता है, उस के साथ नहीं, बल्कि इसके साथ $$m$$ इसके पड़ोसियों को भी यादृच्छिक रूप से चुना गया। संभावना $$\Pi(i)$$ वह नोड $$i$$ चुने गए मौजूदा नोड का है


 * $$ \Pi(i) = \frac{k_i} N \frac{\sum_{j=1}^{k_i} \frac 1 {k_j} }{k_i}.$$

कारण $$\frac{\sum_{j=1}^{k_i} \frac 1 {k_j} }{k_i}$$ हार्मोनिक माध्य का व्युत्क्रम है (IHM) की डिग्री $$k_i$$ एक नोड के पड़ोसी $$i$$. व्यापक संख्यात्मक जांच से पता चलता है कि लगभग $$m> 14$$ बड़े में औसत IHM मान $$N$$ सीमा स्थिर हो जाती है जिसका अर्थ है $$\Pi(i) \propto k_i$$. तात्पर्य यह है कि जितना अधिक होगा एक नोड में लिंक्स (डिग्री) होते हैं, जितने अधिक लिंक प्राप्त करने की संभावना उतनी ही अधिक होती है क्योंकि वे हो सकते हैं मध्यस्थों के माध्यम से बड़ी संख्या में पहुंचें जो अनिवार्य रूप से सहज ज्ञान का प्रतीक हैं अमीर के लिए अमीर तंत्र का विचार (या बाराबसी-अल्बर्ट मॉडल का अधिमान्य लगाव नियम)। इसलिए एमडीए नेटवर्क को फॉलो करते देखा जा सकता है पीए शासन लेकिन भेष में।

हालाँकि, के लिए $$m=1$$ यह वर्णन करता है कि विजेता इसे सभी तंत्रों के रूप में लेता है जैसा कि हम लगभग पाते हैं $$99\%$$ कुल नोड्स में से एक डिग्री है और एक डिग्री में सुपर-रिच है। जैसा $$m$$ मूल्य बढ़ने से अति धनी और गरीब के बीच का अंतर कम हो जाता है और जैसे-जैसे $$m>14$$ हम धनी से अधिक धनवान बनने की प्रक्रिया को धनवान से अधिक धनी प्राप्त करने की क्रियाविधि के रूप में देखते हैं।

गैर रेखीय अधिमान्य लगाव
बारबासी-अल्बर्ट मॉडल मानता है कि संभावना $$\Pi(k)$$ कि एक नोड नोड से जुड़ता है $$i$$ डिग्री के लिए आनुपातिक है (ग्राफ सिद्धांत) $$k$$ नोड का $$i$$. इस धारणा में दो परिकल्पनाएँ शामिल हैं: पहला, वह $$\Pi(k)$$ निर्भर करता है $$k$$, जिसमें यादृच्छिक रेखांकन के विपरीत $$\Pi(k) = p $$, और दूसरा, कि का कार्यात्मक रूप $$\Pi(k)$$ में रैखिक है $$k$$.

गैर-रैखिक अधिमान्य अनुलग्नक में, का रूप $$\Pi(k)$$ रैखिक नहीं है, और हाल के अध्ययनों से पता चला है कि डिग्री वितरण फ़ंक्शन के आकार पर दृढ़ता से निर्भर करता है $$\Pi(k)$$ क्रैपीव्स्की, रेडनर और लेव्राज प्रदर्शित करता है कि गैर-रैखिक अधिमान्य अनुलग्नक के लिए नेटवर्क की स्केल-मुक्त प्रकृति नष्ट हो जाती है। एकमात्र मामला जिसमें नेटवर्क की टोपोलॉजी स्केल मुक्त है, वह है जिसमें तरजीही लगाव स्पर्शोन्मुख रूप से रैखिक है, अर्थात। $$\Pi(k_i) \sim a_\infty k_i$$ जैसा $$k_i \to \infty$$. इस मामले में दर समीकरण की ओर जाता है


 * $$ P(k) \sim k^{-\gamma}\text{ with }\gamma = 1 + \frac \mu {a_\infty}.$$

इस तरह डिग्री वितरण के प्रतिपादक को 2 और के बीच किसी भी मान पर ट्यून किया जा सकता है $$\infty$$.

पदानुक्रमित नेटवर्क मॉडल
पदानुक्रमित नेटवर्क मॉडल, डिज़ाइन द्वारा, स्केल फ्री हैं और नोड्स के उच्च क्लस्टरिंग हैं। इटरेटिव पदानुक्रम निर्माण एक पदानुक्रमित नेटवर्क की ओर जाता है। पांच नोड्स के पूरी तरह से जुड़े क्लस्टर से शुरू करके, हम प्रत्येक क्लस्टर के परिधीय नोड्स को मूल क्लस्टर के केंद्रीय नोड से जोड़ने के लिए चार समान प्रतिकृतियां बनाते हैं। इससे हमें 25 नोड्स (एन = 25) का नेटवर्क मिलता है। उसी प्रक्रिया को दोहराते हुए, हम मूल क्लस्टर के चार और प्रतिकृतियां बना सकते हैं - प्रत्येक के चार परिधीय नोड पहले चरण में बनाए गए नोड्स के केंद्रीय नोड से जुड़ते हैं। यह N = 125 देता है, और प्रक्रिया अनिश्चित काल तक जारी रह सकती है।

फिटनेस मॉडल
विचार यह है कि दो शीर्षों के बीच का लिंक बेतरतीब ढंग से असाइन नहीं किया गया है, सभी जोड़े के लिए प्रायिकता p बराबर है। बल्कि के लिए हर वर्टेक्स जे में एक आंतरिक फिटनेस एक्स हैj और वर्टेक्स i और j के बीच एक संभावना के साथ एक लिंक बनाया गया है $$ p(x_i,x_j)$$. वर्ल्ड ट्रेड वेब के मामले में, देश की फिटनेस के रूप में उनके सकल घरेलू उत्पाद का उपयोग करके और सभी संपत्तियों को फिर से बनाना संभव है


 * $$ p(x_i,x_j)=\frac {\delta x_ix_j}{1+\delta x_ix_j}. $$

अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामितीय रेखांकन
यह मानते हुए कि एक नेटवर्क में एक अंतर्निहित अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति है, स्केल-फ्री डिग्री वितरण उत्पन्न करने के लिए कोई स्थानिक नेटवर्क के ढांचे का उपयोग कर सकता है। यह विषम डिग्री वितरण तब अंतर्निहित अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति के नकारात्मक वक्रता और मीट्रिक गुणों को दर्शाता है।

वांछित गुणों के साथ स्केल फ्री ग्राफ उत्पन्न करने के लिए एज डुअल ट्रांसफॉर्मेशन
कम डिग्री सहसंबंध और क्लस्टरिंग गुणांक के साथ स्केल फ्री ग्राफ़ के साथ शुरू करना, एज-डुअल ट्रांसफ़ॉर्मेशन को लागू करके बहुत अधिक डिग्री सहसंबंध और क्लस्टरिंग गुणांक के साथ नए ग्राफ़ उत्पन्न कर सकता है।

यूनिफ़ॉर्म-प्रेफ़रेंशियल-अटैचमेंट मॉडल (यूपीए मॉडल)
यूपीए मॉडल तरजीही अटैचमेंट मॉडल (पाचॉन एट अल द्वारा प्रस्तावित) का एक प्रकार है जो दो अलग-अलग अटैचमेंट नियमों को ध्यान में रखता है: एक प्रेफरेंशियल अटैचमेंट मैकेनिज्म (प्रायिकता 1−p के साथ) जो अमीरों को अमीर बनाने वाली प्रणाली पर जोर देता है, और एक समान विकल्प (संभाव्यता पी के साथ) सबसे हाल के नोड्स के लिए। डिग्री वितरण के पैमाने-मुक्त व्यवहार की मजबूती का अध्ययन करने के लिए यह संशोधन दिलचस्प है। यह विश्लेषणात्मक रूप से सिद्ध होता है कि असम्बद्ध रूप से शक्ति-कानून डिग्री वितरण संरक्षित है।

स्केल-मुक्त आदर्श नेटवर्क
नेटवर्क सिद्धांत के संदर्भ में एक स्केल-फ्री आदर्श नेटवर्क स्केल-फ्री आइडियल गैस | स्केल-फ्री आदर्श गैस प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन के बाद डिग्री वितरण वाला एक यादृच्छिक नेटवर्क है। ये नेटवर्क जटिल नेटवर्क पर सूचना सिद्धांत के साथ सामाजिक समूहों के आकार वितरण को उजागर करके शहर के आकार के वितरण और चुनावी परिणामों को पुन: पेश करने में सक्षम हैं, जब नेटवर्क पर एक प्रतिस्पर्धी क्लस्टर विकास प्रक्रिया लागू की जाती है। स्केल-मुक्त आदर्श नेटवर्क के मॉडल में यह प्रदर्शित करना संभव है कि डनबर की संख्या घटना का कारण है जिसे 'अलगाव की छह डिग्री' के रूप में जाना जाता है।

नव की विशेषताएं
एक स्केल-फ्री नेटवर्क के लिए $$n$$ नोड्स और पावर-लॉ घातांक $$\gamma>3$$ के साथ बड़ी डिग्री वाले कोने द्वारा निर्मित प्रेरित सबग्राफ $$\log{n}\times \log^{*}{n}$$ के साथ एक स्केल-फ्री नेटवर्क है $$\gamma'=2$$, लगभग निश्चित रूप से जाना जाता है।

पावर लॉ घातांक का अनुमान
आमतौर पावर-लॉ घातांक का अनुमान लगाना $$\gamma$$ स्केल-फ्री नेटवर्क का उपयोग करके किया जाता है। चूंकि समरूप नमूनाकरण बल विधि डिग्री वितरण महत्वपूर्ण पर्याप्त नमूने प्राप्त नहीं करता है, इसलिए यह विधि एक बड़े पूर्वाग्रह और भिन्नता उत्पन्न कर सकती है। हाल ही में यादृच्छिक (यानी, यादृच्छिक लिंक के यादृच्छिक छोर) का नमूना लेने का प्रस्ताव दिया गया है, जो विरोधाभास के परिणामस्वरूप डिग्री वितरण की पूंछ से आने की अधिक संभावना है। सैद्धांतिक रूप से, यादृच्छिक के साथ अधिकतम संभावना का अनुमान समान नमूनाकरण के आधार पर शास्त्रीय दृष्टिकोण की तुलना में एक छोटे पूर्वाग्रह और एक छोटे भिन्नता का कारण बनता है।

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * गामा समारोह
 * शक्ति नियम
 * गैर रेखीय तरजीही लगाव
 * परेटो वितरण
 * भारी पूंछ वितरण
 * नोट्रे डेम विश्वविद्यालय
 * सूचना श्रंखला तल
 * पूरा ग्राफ
 * छोटी दुनिया की घटना
 * केविन बेकन की छह डिग्री
 * भारित प्लानर स्टोकास्टिक जाली (डब्लूपीएसएल)
 * मध्यस्थता संचालित अनुलग्नक मॉडल
 * यादृच्छिक ग्राफ
 * डिग्री (ग्राफ सिद्धांत)
 * असम्बद्ध रूप से
 * पुनरावृत्त पदानुक्रम
 * संभाव्यता घनत्व कार्य
 * जुदाई की छह डिग्री

अग्रिम पठन

 * Caldarelli G. "Scale-Free Networks" Oxford University Press, Oxford (2007).
 * Robb, John. Scale-Free Networks and Terrorism, 2004.
 * Caldarelli G. "Scale-Free Networks" Oxford University Press, Oxford (2007).
 * Robb, John. Scale-Free Networks and Terrorism, 2004.
 * Caldarelli G. "Scale-Free Networks" Oxford University Press, Oxford (2007).
 * Robb, John. Scale-Free Networks and Terrorism, 2004.
 * Robb, John. Scale-Free Networks and Terrorism, 2004.
 * Robb, John. Scale-Free Networks and Terrorism, 2004.
 * Robb, John. Scale-Free Networks and Terrorism, 2004.
 * Robb, John. Scale-Free Networks and Terrorism, 2004.
 * Robb, John. Scale-Free Networks and Terrorism, 2004.
 * Robb, John. Scale-Free Networks and Terrorism, 2004.
 * Robb, John. Scale-Free Networks and Terrorism, 2004.
 * Robb, John. Scale-Free Networks and Terrorism, 2004.
 * Robb, John. Scale-Free Networks and Terrorism, 2004.
 * Robb, John. Scale-Free Networks and Terrorism, 2004.
 * Robb, John. Scale-Free Networks and Terrorism, 2004.
 * Robb, John. Scale-Free Networks and Terrorism, 2004.
 * Robb, John. Scale-Free Networks and Terrorism, 2004.
 * Robb, John. Scale-Free Networks and Terrorism, 2004.
 * Robb, John. Scale-Free Networks and Terrorism, 2004.