वीनर फ़िल्टर

सांकेतिक प्रक्रिया में,वीनर फ़िल्टर एक ऐसा फ़िल्टर होता है,जिसका उपयोग किसी प्रेक्षित शोर प्रक्रिया के रैखिक समय-अपरिवर्तनीय फ़िल्टरिंग द्वारा ज्ञात स्थिर प्रक्रिया संकेत, रहस्यमयी शोर और योगात्मक शोर को मानते हुए वांछित या अज्ञात लक्ष्य प्रक्रिया का अनुमान उत्पन्न करने के लिए किया जाता है। वीनर फ़िल्टर अनुमानित अनियमित प्रक्रिया और वांछित प्रक्रिया के मध्य वर्ग त्रुटि को कम करता है।

विवरण
वीनर फ़िल्टर का लक्ष्य इनपुट के रूप में संबंधित संकेत का उपयोग करके अज्ञात संकेत के अनुमान सिद्धांत की गणना करना और उस ज्ञात संकेत को फ़िल्टर करना है जो अनुमान को आउटपुट के रूप में उत्पन्न करता है। उदाहरण के लिए,ज्ञात संकेत में रुचि का एक अज्ञात संकेत सम्मिलित हो सकता है जो योगात्मक शोर से दूषित हो गया है। वीनर फ़िल्टर का उपयोग करके दूषित संकेत से शोर को फ़िल्टर किया जा सकता है ताकि रुचि के अंतर्निहित संकेत का अनुमान लगाया जा सके। वीनर फ़िल्टर एक सांख्यिकीय दृष्टिकोण पर आधारित है,और सिद्धांत का एक अधिक सांख्यिकीय विवरण न्यूनतम मध्य वर्ग त्रुटि (MMSE) अनुमानक लेख में दिया गया है।

विशिष्ट नियतात्मक फ़िल्टर वांछित आवृत्ति प्रतिक्रिया के लिए डिज़ाइन किए गए हैं। हालाँकि,वीनर फ़िल्टर का डिज़ाइन एक अलग दृष्टिकोण लेता है। एक को मूल संकेत और शोर के वर्णक्रमीय गुणों का ज्ञान माना जाता है और एक रैखिक अपरिवर्तनीय समय प्रणाली सिद्धांत की तलाश करता है | रैखिक समय-अपरिवर्तनीय फ़िल्टर जिसका आउटपुट जितना संभव हो सके मूल संकेत के करीब आ जाएगा। वीनर फिल्टर की विशेषताएं निम्नलिखित है:
 * 1) धारणा: संकेत और योगात्मक शोर ज्ञात वर्णक्रमीय विशेषताओं या ज्ञात ऑटोसहसंबंध और क्रॉस-सहसंबंध के साथ स्थिर रैखिक सुस्त परिक्रियांए हैं।
 * 2) आवश्यकता: फ़िल्टर भौतिक रूप से प्राप्तकर सकने वाला होना चाहिए (इस आवश्यकता को छोड़ दिया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप  एक गैर-सामयिक समाधान हो सकता है)
 * 3) प्रदर्शन मानदंड: न्यूनतम माध्य-वर्ग त्रुटि  (एमएमएसई)

इस फ़िल्टर का उपयोग अक्सर विघटन की प्रक्रिया में किया जाता है।

वीनर फिल्टर समाधान
माना कि $$s(t+ \alpha )$$ एक अज्ञात संकेत है जिसे माप संकेत से अनुमानित किया जाना चाहिए $$x(t)$$ जहां अल्फा एक मिलने योग्य मापदण्ड है। $$\alpha > 0$$ पूर्वासुचना के रूप में, $$\alpha = 0 $$ फ़िल्टरिंग के रूप में और $$\alpha < 0$$ समरेखण के रूप में जाना जाता है।

वीनर फ़िल्टर समस्या में तीन संभावित मामलों के समाधान हैं:

पहला है गैर सामयिक फ़िल्टर जिसमे पुर्व और भविष्य दोनों तथ्यों की अनंत मात्रा में आवश्यकता होती हैं और जो पूरी तरह से स्वीकार्य है। दूसरा है सामयिक फ़िल्टर जिसमे पिछले तथ्यों का अनंत मात्रा मे उपयोग किया जाता है और ये वांछित होता है और तीसरा है परिमित आवेग प्रतिक्रिया (एफआईआर) जहां केवल इनपुट डेटा का उपयोग किया जाता है यानी परिणाम या आउटपुट को आईआईआर मामले की तरह फ़िल्टर में वापस फीड नहीं किया जाता है। गैर सामयिक फिल्टर मामला हल करना आसान है लेकिन वास्तविक समय अनुप्रयोगों के लिए उपयुक्त नहीं है। वीनर की मुख्य उपलब्धि उस मामले को सुलझाना था जहां सामयिक आवश्यकता प्रभाव में है; नॉर्मन लेविंसन ने वीनर की किताब के परिशिष्ट में एफआईआर का समाधान दिया था।

 गैर सामयिक समाधान 
 * $$G(s) = \frac{S_{x,s}(s)}{S_x(s)}e^{\alpha s},$$

जहां पर $$S$$ वर्णक्रमीय घनत्व हैं, $$ g(t)$$ पहले से उपलब्ध है जो सर्वश्रेष्ठ है तो न्यूनतम माध्य-वर्ग त्रुटि समीकरण कम हो जाता है;
 * $$E(e^2) = R_s(0) - \int_{-\infty}^{\infty} g(\tau)R_{x,s}(\tau + \alpha)\,d\tau,$$

और जहाँ $$ g(t)$$ का समाधान $$G(s)$$ का विपरीत दो तरफा लाप्लास रूपांतरण है |

सामयिक समाधान

 * $$G(s) = \frac{H(s)}{S_x^{+}(s)},$$

जहाँ पर
 * $$ H(s)$$ सामयिक भाग के होते हैं $$ \frac{S_{x,s}(s)}{S_x^{-}(s)}e^{\alpha s}$$ (अर्थात, इस अंश के उस भाग का प्रतिलोम लाप्लास परिवर्तन के तहत सकारात्मक समय समाधान है)
 * $$ S_x^{+}(s)$$ का सामयिक घटक है $$ S_x(s)$$ (अर्थात, $$ S_x^{+}(s)$$ का विपरीत लाप्लास रूपांतरण है जो केवल $$ t \ge  0$$  के लिए शून्य नहीं है)
 * $$ S_x^{-}(s)$$ का सामयिक-विरोधी घटक है $$ S_x(s)$$ (अर्थात, $$ S_x^{-}(s)$$ का विपरीत लाप्लास रूपांतरण है जो केवल $$ t < 0$$ के लिए शून्य नहीं है)

यह सामान्य सूत्र जटिल है और अधिक विस्तृत विवरण के योग्य है। किसी विशिष्ट मामले में $$ G(s)$$ का समाधान लिखने के लिए इन चरणों का पालन करना चाहिए:
 * 1) विस्तार से शुरू करें जहाँ  $$ S_x(s)$$ तर्कसंगत के रूप में और इसे सामयिक और सामयिक -विरोधी घटकों में गुणांक करें: $$S_x(s) = S_x^{+}(s) S_x^{-}(s)$$ जहाँ  पे $$ S^{+}$$ बाएं आधे भाग में (LHP) में सभी शून्य और दिशाएँ सम्मिलित हैं और $$ S^{-}$$ दाहिने आधे भाग में (आरएचपी) में शून्य और दिशाएँ होते हैं। इसे वीनर-हॉपफ फैक्टराइजेशन कहा जाता है।
 * 2) $$ S_{x,s}(s)e^{\alpha s}$$ द्वारा $$ S_x^{-}(s)$$ को विभाजित करें और परिणाम को आंशिक खंड विस्तार के रूप में लिखें।
 * 3) इस विस्तार में केवल उन्हीं पदों का चयन करें जिनमें LHP में दिशा  हों और् इन स्थितियों को $$ H(s)$$ कहते हैं ।
 * 4) $$ H(s)$$ द्वारा $$ S_x^{+}(s)$$को विभाजित करें और परिणाम वांछित फ़िल्टर स्थानांतरण फ़ंक्शन है $$ G(s)$$.

असतत श्रृंखला के लिए परिमित आवेग प्रतिक्रिया वीनर फ़िल्टर
सामयिक परिमित आवेग प्रतिक्रिया (एफआईआर) वीनर फ़िल्टर, कुछ दिए गए तथ्य मैट्रिक्स एक्स और आउटपुट वेक्टर वाई का उपयोग करने के बजाय, इनपुट और आउटपुट सन्केत् के आंकड़ों का उपयोग करके इष्टतम टैप वज़न पाता है। यह इनपुट मैट्रिक्स एक्स को इनपुट संकेत (टी) के ऑटो-सहसंबंध के अनुमानों के साथ वृद्धि करता है और आउटपुट वेक्टर वाई को आउटपुट और इनपुट सिग्नल (वी) के बीच क्रॉस-सहसंबंध के अनुमानों के साथ वृद्धि करता है।

वीनर फ़िल्टर के गुणांक प्राप्त करने के लिए,संकेत w[n] को ध्यान में रखते हुए वीनर फ़िल्टर के क्रम (पिछले टैप की संख्या) N गुणांक $$\{a_0, \cdots, a_N\}$$ के साथ रखा जा रहा है । फ़िल्टर का आउटपुट x[n] दर्शाया गया है जो व्यंजक द्वारा दिया गया है ;


 * $$x[n] = \sum_{i=0}^N a_i w[n-i] .$$

अवशिष्ट त्रुटि को e[n] दर्शाया जाता है और इसे e[n] = x[n] − s[n] के रूप में परिभाषित किया जाता है (संबंधित ब्लॉक आरेख देखें)। वीनर फ़िल्टर को माध्य वर्ग त्रुटि (न्यूनतम माध्य वर्ग त्रुटि मानदंड) को कम करने के लिए डिज़ाइन किया गया है जिसे संक्षेप में निम्नानुसार कहा जा सकता है:


 * $$a_i = \arg \min E \left [e^2[n] \right ],$$

जहाँ पर $$E[\cdot]$$ अपेक्षित संचालक को दर्शाता है। सामान्य स्थिति में, गुणांक $$a_i$$ जटिल हो सकता है और उस मामले के लिए उत्पन किया जा सकता है जहां w[n] और s[n] भी जटिल हैं। एक जटिल संकेत के साथ, हल किया जाने वाला मैट्रिक्स सिमेट्रिक टोएपलित्ज़ मैट्रिक्स के बजाय एक हर्मिटियन टोएपलित्ज़ मैट्रिक्स है। सरलता के लिए, निम्नलिखित केवल उस स्थिति पर विचार करता है जहाँ ये सभी मात्राएँ वास्तविक हैं। माध्य वर्ग त्रुटि (MSE) को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:


 * $$\begin{align}

E \left [e^2[n] \right ] &= E \left [ (x[n]-s[n])^2 \right ]\\ &= E \left [ x^2[n] \right ] + E \left [s^2[n] \right ]  - 2E[x[n]s[n]]\\ &= E \left [ \left ( \sum_{i=0}^N a_i w[n-i] \right)^2\right ] + E \left [s^2[n] \right ] - 2E\left [\sum_{i=0}^N a_i w[n-i]s[n] \right ] \end{align}$$ वेक्टर खोजने के लिए $$ [a_0,\, \ldots,\, a_N]$$ जो उपरोक्त अभिव्यक्ति को कम करता है, प्रत्येक के संबंध में इसके व्युत्पन्न की गणना करें $$ a_i$$
 * $$\begin{align}

\frac{\partial}{\partial a_i} E \left [e^2[n] \right ] &= \frac{\partial}{\partial a_i} \left \{  E \left [ \left ( \sum_{i=0}^N a_i w[n-i] \right)^2\right ] + E \left [s^2[n] \right ] - 2E\left [\sum_{i=0}^N a_i w[n-i]s[n] \right ]\right \} \\ &= 2E\left [ \left ( \sum_{j=0}^N a_j w[n-j] \right ) w[n-i] \right ] - 2E [w[n-i]s[n]] \\ &= 2 \left ( \sum_{j=0}^N E [w[n-j]w[n-i] ] a_j \right ) - 2E [ w[n-i]s[n]] \end{align}$$ यह मानते हुए कि w[n] और s[n] प्रत्येक स्थिर और संयुक्त रूप से स्थिर हैं,अनुक्रम $$ R_w[m]$$ तथा $$R_{ws}[m]$$ w[n] के स्वत: सहसंबंध के रूप में जाना जाता है और w[n] और s[n] के बीच क्रॉस-सहसंबंध को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है:


 * $$\begin{align}

R_w[m] &= E\{w[n]w[n+m]\} \\ R_{ws}[m] &= E\{w[n]s[n+m]\} \end{align}$$ इसलिए एमएसई के व्युत्पन्न को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:


 * $$\frac{\partial}{\partial a_i} E \left [e^2[n] \right ]= 2 \left ( \sum_{j=0}^{N} R_w[j-i] a_j \right ) - 2 R_{ws}[i] \qquad i = 0,\cdots, N.$$

ध्यान दें कि वास्तविक के लिए $$w[n]$$, स्वसहसंबंध सममित है:$$ R_w[j-i] = R_w[i-j]$$व्युत्पन्न को शून्य परिणामों के बराबर होने देना:


 * $$\sum_{j=0}^N R_w[j-i] a_j = R_{ws}[i] \qquad i = 0,\cdots, N.$$

जिसे मैट्रिक्स रूप में (उपरोक्त सममित गुण का उपयोग करके) फिर से लिखा जा सकता है


 * $$\underbrace{\begin{bmatrix}

R_w[0] & R_w[1] & \cdots & R_w[N] \\ R_w[1] & R_w[0] & \cdots & R_w[N-1] \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ R_w[N] & R_w[N-1] & \cdots & R_w[0] \end{bmatrix}}_{\mathbf{T}} \underbrace{\begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ \vdots \\ a_N \end{bmatrix}}_{\mathbf{a}} = \underbrace{\begin{bmatrix} R_{ws}[0] \\R_{ws}[1] \\ \vdots \\ R_{ws}[N] \end{bmatrix}}_{\mathbf{v}} $$ इन समीकरणों को वीनर-हॉप समीकरण के रूप में जाना जाता है। समीकरण में प्रदर्शित होने वाला मैट्रिक्स T एक सममित टोएपलित्ज़ मैट्रिक्स है। उपयुक्त परिस्थितियों में $$R$$, इन मैट्रिक्स को धनात्मक निश्चित माना जाता है और इसलिए एकाधिक उपज वीनर फ़िल्टर गुणांक वेक्टर के निर्धारण के लिए एक अद्वितीय समाधान प्रदान करता है, $$\mathbf{a} = \mathbf{T}^{-1}\mathbf{v}$$. इसके अलावा, ऐसे वीनर-हॉप समीकरणों को हल करने के लिए एक कुशल एल्गोरिदम मौजूद है जिसे लेविंसन रिकर्सन | लेविंसन-डर्बिन एल्गोरिदम के रूप में जाना जाता है, इसलिए टी के स्पष्ट व्युत्क्रम की आवश्यकता नहीं है।

कुछ लेखों में क्रॉस सहसंबंध कार्य को विपरीत तरीके से परिभाषित किया गया है:$$R_{sw}[m] = E\{w[n]s[n+m]\}$$फिर $$\mathbf{v}$$ मैट्रिक्स में सम्मिलित होगा $$R_{sw}[0] \ldots R_{sw}[N]$$; यह सिर्फ अंकन में अंतर है।

जो भी संकेतन प्रयोग किया जाता है, ध्यान दें कि वास्तविक के लिए $$w[n], s[n]$$:$$R_{sw}[k] = R_{ws}[-k]$$

कम से कम वर्ग फ़िल्टर से संबंध
सांकेतिक प्रक्रिया डोमेन को छोड़कर,सामयिक वीनर फ़िल्टर की प्राप्ति कम से कम वर्ग अनुमान के समाधान की तरह दिखती है। इनपुट मैट्रिक्स के लिए कम से कम वर्ग समाधान $$\mathbf{X}$$ और आउटपुट वेक्टर $$\mathbf{y}$$ है


 * $$\boldsymbol{\hat\beta} = (\mathbf{X} ^\mathbf{T}\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^{\mathbf{T}}\boldsymbol y .$$

एफआईआर वीनर फिल्टर कम से कम माध्य वर्ग फिल्टर से संबंधित है,लेकिन बाद के त्रुटि मानदंड को कम करना क्रॉस-सहसंबंध या ऑटो-सहसंबंध पर निर्भर नहीं करता है। इसका समाधान वीनर फिल्टर समाधान में परिवर्तित हो जाता है।

जटिल संकेत
जटिल संकेतों के लिए, जटिल वीनर फ़िल्टर की व्युत्पत्ति न्यूनतम करके की जाती है $$E \left [|e[n]|^2 \right ]$$ =$$E \left [e[n]e^*[n] \right ]$$. इसमें वास्तविक और काल्पनिक दोनों भागों के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न की गणना करना सम्मिलित है $$a_i$$,और उन दोनों को शून्य होने की आवश्यकता है।

परिणामी वीनर-हॉप समीकरण हैं:
 * $$\sum_{j=0}^N R_w[j-i] a_j^* = R_{ws}[i] \qquad i = 0,\cdots, N.$$

जिसे मैट्रिक्स रूप में फिर से लिखा जा सकता है:


 * $$\underbrace{\begin{bmatrix}

R_w[0] & R_w^*[1] & \cdots & R_w^*[N-1] & R_w^*[N] \\ R_w[1] & R_w[0] & \cdots& R_w^*[N-2] & R_w^*[N-1] \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ R_w[N-1] & R_w[N-2] & \cdots & R_w[0] & R_w^*[1] \\ R_w[N] & R_w[N-1] & \cdots & R_w[1] & R_w[0] \end{bmatrix}}_{\mathbf{T}} \underbrace{\begin{bmatrix} a_0^* \\ a_1^* \\ \vdots \\a_{N-1}^* \\ a_N^* \end{bmatrix}}_{\mathbf{a^*}} = \underbrace{\begin{bmatrix} R_{ws}[0] \\R_{ws}[1] \\ \vdots\\ R_{ws}[N-1] \\ R_{ws}[N] \end{bmatrix}}_{\mathbf{v}} $$ यहां ध्यान दें कि:$$\begin{align} R_w[-k] &= R_w^*[k] \\ R_{sw}[k] &= R_{ws}^*[-k] \end{align}$$वीनर गुणांक वेक्टर की गणना इस प्रकार की जाती है:$$\mathbf{a} = {(\mathbf{T}^{-1}\mathbf{v})}^*$$

आवेदन
वीनर फिल्टर में सांकेतिक प्रक्रिया,छवि प्रक्रिया, नियंत्रण प्रणाली और डिजिटल संचार में विभिन्न प्रकार के अनुप्रयोग हैं। ये अनुप्रयोग आम् तौर पर चार मुख्य श्रेणियों में से एक में आते हैं:


 * प्रणाली पहचान
 * विघटन
 * शोर में कमी
 * संकेत की पहचान

उदाहरण के लिए, वीनर फिल्टर का उपयोग छवि प्रक्रिया में किसी तस्वीर से शोर को दूर करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए,गणित फ़ंक्शन का उपयोग करना:

दाईं ओर पहली छवि पर,इसके नीचे फ़िल्टर की गई छवि उत्पन्न करता है।

यह आमतौर पर भाषण मान्यता से पहले एक पूर्वसंसाधित्र अनुदेश के रूप में ध्वनि संकेत को कम् करने के लिए उपयोग किया जाता है।

इतिहास
फ़िल्टर 1940 के दशक के दौरान नॉर्बर्ट वीनर द्वारा प्रस्तावित किया गया था और 1949 में प्रकाशित हुआ था। वीनर के काम का असतत-समय समकक्ष स्वतंत्र रूप से एंड्री कोलमोगोरोव द्वारा प्राप्त किया गया था और 1941 में प्रकाशित हुआ था। इसलिए सिद्धांत को अक्सर वीनर-कोलमोगोरोव फ़िल्टरिंग सिद्धांत कहा जाता है। वीनर फ़िल्टर प्रस्तावित होने वाला पहला सांख्यिकीय रूप से डिज़ाइन किया गया फ़िल्टर था और बाद में कलमन फ़िल्टर सहित कई अन्य लोगों को आगे बढ़ाया ।

यह भी देखें

 * नॉर्बर्ट वीनर
 * एबरहार्ड हॉप्फ़
 * वीनर डिकॉन्वोल्यूशन
 * कम से कम माध्य वर्ग फ़िल्टर
 * वीनर और एलएमएस के बीच समानताएं
 * रैखिक भविष्यवाणी
 * न्यूनतम माध्य वर्ग त्रुटि
 * कलमन फिल्टर
 * सामान्यीकृत वीनर फ़िल्टर
 * मिलान फ़िल्टर
 * सूचना क्षेत्र सिद्धांत

संदर्भ

 * Thomas Kailath, Ali H. Sayed, and Babak Hassibi, Linear Estimation, Prentice-Hall, NJ, 2000, ISBN 978-0-13-022464-4.
 * Wiener N: The interpolation, extrapolation and smoothing of stationary time series', Report of the Services 19, Research Project DIC-6037 MIT, February 1942
 * Kolmogorov A.N: 'Stationary sequences in Hilbert space', (In Russian) Bull. Moscow Univ. 1941 vol.2 no.6 1-40. English translation in Kailath T. (ed.) Linear least squares estimation Dowden, Hutchinson & Ross 1977

बाहरी संबंध

 * Mathematica WienerFilter function