कज़्दान-लुज़्तिग बहुपद

गणितीय प्रतिनिधित्व सिद्धांत के क्षेत्र में कज़्दान लुज़्ज़टिग बहुपद $$P_{y,w}(q)$$ डेविड कज़्दान और जॉर्ज लुज़्तिग द्वारा (1979) में लागू समाकलन बहुपदों के समूह के सदस्य के रूप में है। वे कॉक्सेटर समूह W के तत्वों y, w के जोड़े द्वारा अनुक्रमित होते हैं, जो विशेष रूप से एक लाइ समूह के वेइल समूह के रूप में होते हैं।

प्रेरणा और इतिहास
1978 के स्प्रिंग में कज़्दान और लुज़्ज़टिग बीजगणितीय समूह के वेइल समूह के स्प्रिंगर निरूपण का अध्ययन करते है और ℓ संयुग्मन वर्गों से संबंधित कोटि सह समरूपता समूह का एक रूप हैं और इस प्रकार उन्होंने जटिल संख्याओं कज़्दान और लुज़्तिग 1980a पर इन प्रतिरूपात्मक का एक नया निर्माण पाया। प्रतिनिधित्व के दो प्राकृतिक आधार थे और इन दो आधारों के बीच संक्रमण आव्यूह अनिवार्य रूप से कज़्दान लुस्ज़टिग बहुपदों द्वारा दिया गया है। उनके बहुपदों का वास्तविक निर्माण कज़्दान लुसटिग के प्रारंभिक रूप में है। कज़्दान और लुज़्ज़टिग ने इसका उपयोग कॉक्सेटर समूह के हेके बीजगणित और उसके प्रतिनिधित्व में एक बहुपद आधार बनाने के लिए किया हैं।

अपने पहले पेपर में कज़्दान और लुज़्ज़टिग ने उल्लेख किया कि उनके बहुपद शूबर्ट प्रकार के लिए स्थानीय पोइनकेयर द्वैत की विफलता से संबंधित थे। और इस प्रकार उन्होंने मार्क गोर्स्की और रॉबर्ट मैकफ़र्सन (गणितज्ञ) के प्रतिच्छेदन सह समरूपता के संदर्भ में इसकी पुनर्व्याख्या की हैं और कुछ प्रतिच्छेदन सह समरूपता समूहों के आयामों के संदर्भ में इस तरह के आधार की एक और परिभाषा दी हैं।

स्प्रिंगर प्रतिनिधित्व के लिए दो आधारों ने वर्मा मॉड्यूल और सरल मॉड्यूल द्वारा दिए गए हैं। सेमीसिंपल लाई बीजगणित के कुछ अनंत आयामी प्रतिनिधित्व के ग्रोथेंडिक समूह के लिए दो आधारों के कज़्दान और लुसटिग को याद दिलाया। यह सादृश्य और जेन्स कार्स्टन जैंटजेन और एंथोनी जोसेफ (गणितज्ञ) का काम यूनिवर्सल लिफ़ाफ़े वाले बीजगणित के प्राचीन आदर्शों को वेइल समूहों के प्रतिनिधित्व को सम्बद्ध करता है, जिससे कज़्दान लुसटिग अनुमानों का नेतृत्व होता है।

परिभाषा
जनरेटिंग समुच्चय S के साथ एक कॉक्सेटर समूह W को ठीक करते है और लिखें $$\ell(w)$$ एक तत्व w की लंबाई के लिए S के तत्वों के उत्पाद के रूप में डब्ल्यू के लिए अभिव्यक्ति की सबसे छोटी लंबाई के रूप में होते है। W के कॉक्सेटर समूह के हेके बीजगणित में में रिंग $$\mathbb{Z}[q^{1/2}, q^{-1/2}]$$ पर $$w\in W$$ तत्वों के लिए $$T_w$$ का आधार है, जिसे गुणन द्वारा परिभाषित किया गया है


 * $$\begin{align}

T_y T_w &= T_{yw}, && \mbox{if }\ell(yw) = \ell(y) + \ell(w) \\ (T_s + 1)(T_s - q) &= 0, && \mbox{if }s \in S. \end{align}$$ द्विघात द्वितीय संबंध का तात्पर्य है कि प्रत्येक जनरेटर $T_{s}$ व्युत्क्रम के साथ, हेके बीजगणित में व्युत्क्रमणीय रूप में इस प्रकार होता है $T_{s}^{−1} = q^{−1}T_{s} + q^{−1} − 1$. ये व्युत्क्रम $T_{s}$ के लिए द्विघात संबंध को −Ts−2q−1 से गुणा करके प्राप्त संबंध $(T_{s}^{−1} + 1)(T_{s}^{−1} − q^{−1}) = 0$ को संतुष्ट करते हैं और ब्रैड संबंध बनाते हैं। इससे यह पता चलता है कि हेके बीजगणित में एक ऑटोमोर्फिज्म D के रूप में है, जो q1/2 को q−1/2 और प्रत्येक Ts को Ts−1 को भेजता है और इस प्रकार किसी के पास $$D(T_w)=T_{w^{-1}}^{-1}$$; होता है और D को भी एक जुड़ाव के रूप में देखा जा सकता है।

हेके बीजगणित के इनवोल्यूशन D के अनुसार अपरिवर्तनीय रूप में होता है। तत्व Cw, हेके बीजगणित का एक Z[q1/2,q-1/2] मॉड्यूल के रूप में एक आधार बनाते हैं, जिसे कज़्दान लुज़्ज़िग आधार कहा जाता है।
 * वे 0 हैं जब तक कि y ≤ w W के ब्रुहट क्रम में और 1 यदि y = w, और y <w के लिए उनकी घात अधिकतम (ℓ(w) − ℓ(y) − 1)/2 के रूप में होती है ।
 * अवयव को इस प्रकार दिखाते है,
 * $$C'_w=q^{-\frac{\ell(w)}{2}}\sum_{y\le w} P_{y,w}T_y$$
 * हेके बीजगणित के इनवोल्यूशन डी के अनुसार अपरिवर्तनीय हैं। अवयव $$C'_w$$ एक के रूप में हेके बीजगणित का आधार बनाएं $$\mathbb{Z}[q^{1/2}, q^{-1/2}]$$-मॉड्यूल, जिसे कज़्दान-लुज़्तिग आधार कहा जाता है।

कज़्दान - लुज़्तिग बहुपदों के अस्तित्व को स्थापित करने के लिए कज़्दान और लुज़्तिग ने बहुपद Pyw(q) की गणना के लिए एक सरल पुनरावर्ती प्रक्रिया दी और इस प्रकार अधिक प्रारंभिक बहुपद के संदर्भ में Ryw(q) को निरूपित किया। इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है,


 * $$T_{y^{-1}}^{-1} = \sum_xD(R_{x,y})q^{-\ell(x)}T_x.$$

रिकर्सन संबंधों का उपयोग करके उनकी गणना की जा सकती है


 * $$R_{x,y} =

\begin{cases} 0,                         & \mbox{if } x \not\le y                \\ 1,                         & \mbox{if } x = y                      \\ R_{sx,sy},                 & \mbox{if } sx < x \mbox{ and } sy < y \\ R_{xs,ys},                 & \mbox{if } xs < x \mbox{ and } ys < y \\ (q-1)R_{sx,y} + qR_{sx,sy}, & \mbox{if } sx > x \mbox{ and } sy < y \end{cases}$$ कज़्दान -लुज़्ज़टिग बहुपदों के संबंध का उपयोग करके पुनरावर्ती रूप से गणना की जा सकती है


 * $$q^{\frac{1}{2}(\ell(w)-\ell(x))}D(P_{x,w}) - q^{\frac{1}{2}(\ell(x)-\ell(w))}P_{x,w} = \sum_{x<y\le w}(-1)^{\ell(x)+\ell(y)}q^{\frac{1}{2}(-\ell(x)+2\ell(y)-\ell(w))}D(R_{x,y})P_{y,w}$$

इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि बाईं ओर के दो पद q1/2 और q−1/2 में स्थिर पदों के बिना बहुपद हैं। ये सूत्र लगभग 3 से अधिक रैंक के लिए हाथ से उपयोग करने के लिए थकाऊ कार्य हैं, लेकिन कंप्यूटर के लिए अच्छी तरह से अनुकूलित रूप में हैं और उनके साथ कज़्दान-लुज़्ज़टिग बहुपदों की गणना करने की एकमात्र सीमा यह है कि बड़े रैंक के लिए ऐसे बहुपदों की संख्या कंप्यूटर की भंडारण क्षमता से अधिक होती है

उदाहरण

 * यदि y ≤ w तो Py,w स्थिर स्थिरांक 1 के रूप में है।
 * यदि y ≤ w और $ℓ(w) − ℓ(y) ∈ {0, 1, 2}$ फिर Py,w = 1।
 * यदि w = w0 कॉक्सेटर समूह का सबसे लंबा तत्व है तो Py,w = 1 सभी y रूप में होते है।
 * यदि W कॉक्सेटर समूह A1 और A2 के रूप में रैंक के किसी भी कॉक्सेटर समूह में अधिकतम 2 है, तो Py,w 1 है और इस प्रकार यदि y≤w और 0 अन्यथा इस प्रकार है।
 * यदि W कॉक्सेटर समूह A3 है समुच्चय S = {a, b, c} उत्पन्न करने के साथ a और c के साथ Pb,bacb = 1 + q और Pac,acbca = 1 + q, गैर-निरंतर बहुपदों के उदाहरण के रूप में है।
 * निम्न रैंक समूहों के लिए कज़्दान -लुज़्ज़टिग बहुपदों के साधारण मूल्य उच्च रैंक समूहों के लिए विशिष्ट रूप में नहीं हैं। उदाहरण के लिए E8 के विभाजित रूप के लिए सबसे जटिल Lusztig–Vogan बहुपद काज़्दान–Lusztig बहुपदों का एक प्रकार नीचे दिखाया गया है,
 * $$\begin{align}

152 q^{22} &+ 3,472 q^{21} + 38,791 q^{20} + 293,021 q^{19} + 1,370,892 q^{18} + 4,067,059 q^{17} + 7,964,012 q^{16}\\ &+ 11,159,003 q^{15} + 11,808,808 q^{14} + 9,859,915 q^{13} + 6,778,956 q^{12} + 3,964,369 q^{11} + 2,015,441 q^{10}\\ &+ 906,567 q^9 + 363,611 q^8 + 129,820 q^7 + 41,239 q^6 + 11,426 q^5 + 2,677 q^4 + 492 q^3 + 61 q^2 + 3 q \end{align}$$
 * ने दिखाया कि स्थिर शब्द 1 और गैर-ऋणात्मक पूर्णांक गुणांक वाला कोई भी बहुपद कुछ सममित समूह के तत्वों की जोड़ी के लिए कज़्दान-लुज़्ज़िग बहुपद के रूप में होता है।

कज़्दान-लुज़्ज़टिग अनुमान
कज़्दान-लुज़्ज़टिग बहुपद उनके विहित आधार और हेके बीजगणित के प्राकृतिक आधार के बीच संक्रमण गुणांक के रूप में उत्पन्न होते हैं। इन्वेन्शन्स पेपर में दो समतुल्य अनुमान भी प्रस्तुत किए गए, जिन्हें अब कज़्दान -लुज़्ज़्टिग अनुमान के रूप में जाना जाता है, जो जटिल अर्ध-सरल लाई समूहों और अर्ध-सरल लाई बीजगणित के प्रतिनिधित्व के साथ 1 पर उनके बहुपदों के मूल्यों से संबंधित हैं, जो प्रतिनिधित्व सिद्धांत में एक लंबे समय से चली आ रही समस्या को संबोधित करते हैं।

W को एक परिमित वेइल समूह होने दें। प्रत्येक के लिए w ∈ W द्वारा निरूपित करता है $M_{w}$ उच्चतम भार का वर्मा मॉड्यूल हो $−w(ρ) − ρ$ जहां ρ सकारात्मक जड़ों या वेइल सदिश का आधा योग है और यदि $L_{w}$ इसका अप्रासंगिक भागफल हो, उच्चतम भार का सरल उच्चतम भार मॉड्यूल $−w(ρ) − ρ$. दोनों $M_{w}$ और $L_{w}$ Weyl समूह W के साथ जटिल अर्धसरल लाई बीजगणित g पर स्थानीय रूप से परिमित वजन मॉड्यूल हैं, और इसलिए एक बीजगणितीय चरित्र को स्वीकार करते हैं। जी-मॉड्यूल एक्स के चरित्र के लिए हम सीएच (एक्स) लिखते हैं। कज़्दान -लुज़्ज़टिग अनुमान राज्य:


 * $$\operatorname{ch}(L_w)=\sum_{y\le w}(-1)^{\ell(w)-\ell(y)}P_{y,w}(1)\operatorname{ch}(M_y)$$
 * $$\operatorname{ch}(M_w)=\sum_{y\le w}P_{w_0w,w_0y}(1)\operatorname{ch}(L_y)$$

जहाँ, $w_{0}$ वेइल समूह की अधिकतम लंबाई का तत्व है।

इन अनुमानों को विशेषता 0 बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों द्वारा स्वतंत्र रूप से सिद्ध किया गया था और. प्रमाण के समय प्रारंभ की गई विधियों ने 1980 और 1990 के दशक में ज्यामितीय प्रतिनिधित्व सिद्धांत नाम के अनुसार प्रतिनिधित्व सिद्धांत के विकास को निर्देशित किया है।

टिप्पणी
1. दो अनुमानों को समतुल्य माना जाता है। इसके अतिरिक्त बोरो-जैंटजेन के अनुवाद सिद्धांत का अर्थ है कि $w(ρ) − ρ$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है $w(λ + ρ) − ρ$ किसी भी प्रमुख अभिन्न भार के लिए $λ$. इस प्रकार काज़दान-लुज़्ज़टिग अनुमान बर्नस्टीन-गेलफैंड-गेलफैंड श्रेणीओ के किसी भी नियमित अभिन्न ब्लॉक में वर्मा मॉड्यूल के जॉर्डन-होल्डर बहुलताओं का वर्णन करते हैं।

2. कज़्दान-लुज़्ज़टिग बहुपदों के सभी गुणांकों की एक समान व्याख्या जांटज़ेन अनुमान से होती है, जो सामान्य रूप में कहती है कि व्यक्तिगत गुणांक $P_{y,w}$ की बहुलता $L_{y}$ हैं और इस प्रकार एक कैनोनिकल फिल्ट्रेशन द्वारा निर्धारित वर्मा मॉड्यूल के कुछ उपभाग में, जैंटजेन फिल्ट्रेशन के रूप में होता है। रेगुलर समाकलन स्थिति में जैंटजेन का अनुमान बाद के एक पेपर में सिद्ध हुआ था में इसे दिखाया था,

3. डेविड वोगन ने अनुमानों के परिणाम के रूप में दिखाया कि


 * $$P_{y,w}(q) = \sum_{i} q^i \dim(\operatorname{Ext}^{\ell(w)-\ell(y)-2i}(M_y,L_w))$$

और वह $Ext^{j}(M_{y}, L_{w})$ गायब हो जाता है यदि $j + ℓ(w) + ℓ(y)$ विषम है, इसलिए श्रेणी O में ऐसे सभी बाहरी समूहों के आयाम काज़दान-लुज़्ज़टिग बहुपदों के गुणांकों के संदर्भ में निर्धारित किए जाते हैं। यह परिणाम दर्शाता है कि एक परिमित वेइल समूह के कज़्दान-लुज़्ज़टिग बहुपदों के सभी गुणांक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के रूप में होते है। चूँकि, एक परिमित वेइल समूह डब्ल्यू के स्थिति के लिए सकारात्मकता रूप में पहले से ही कज़्दान-लुज़्ज़िग बहुपदों के गुणांकों की व्याख्या से ज्ञात होती थी, जो अनुमानों के अतिरिक्त प्रतिच्छेदन सह समरूपता समूहों के आयामों के रूप में थी। इसके विपरीत कज़्दान-लुज़्तिग बहुपदों और एक्सट समूहों के बीच के संबंध को सैद्धांतिक रूप से अनुमानों को सिद्ध करने के लिए उपयोग किया जा सकता है, चूँकि उन्हें सिद्ध करने के लिए यह दृष्टिकोण बाहर ले जाने के लिए और अधिक कठिन हो गया।

4. काज़दान- लुज़्तिग अनुमानों के कुछ विशेष स्थितियों को सत्यापित करना आसान है। उदाहरण के लिए, M1 प्रतिप्रधान वर्मा माड्यूल के रूप में है, जिसे सरल माना जाता है। इसका अर्थ है कि M1 = L1, w = 1 के लिए दूसरा अनुमान स्थापित करता है, क्योंकि योग एक शब्द तक कम हो जाता है। दूसरी ओर, w = w0 के लिए पहला अनुमान वेइल वर्ण सूत्र और बीजगणितीय वर्ण के सूत्र से अनुसरण करता है और इसके साथ ही इस तथ्य के साथ कि सभी कज़्दान-लुज़्ज़िग बहुपद $$P_{y,w_0}$$ 1 के बराबर होता है।

5. काशीवारा (1990) ने सममित काक-मूडी बीजगणित के लिए कज़्दान - लुज़्तिग अनुमानों का एक सामान्यीकरण सिद्ध किया।

शुबर्ट किस्मों के प्रतिच्छेदन सह समरूपता से संबंध
ब्रुहाट अपघटन द्वारा बीजगणितीय समूह जी के स्थान G/B वीइल ग्रुप W के साथ एफिन रिक्त स्थान Xw का एक अलग संघ है और इस प्रकार डब्ल्यू के तत्वों डब्ल्यू द्वारा पैरामिट्रीकृत रूप में होता है। इन रिक्त स्थान के बंद $X_{w}$ को शूबर्ट किस्में कहा जाता है और डेलिग्ने के एक सुझाव के बाद कज़्दान और लुज़्ज़टिग ने दिखाया कि शूबर्ट किस्मों के प्रतिच्छेदन सह समरूपता समूहों के संदर्भ में कज़्दान -लुज़्ज़टिग बहुपदों को कैसे व्यक्त किया जाए।

अधिक यथार्थ रूप से, कज़्दान-लुज़्ज़टिग बहुपद Py,w(q) के बराबर है
 * $$P_{y,w}(q) = \sum_iq^i\dim IH^{2i}_{X_y}(\overline{X_w})$$

जहां दाहिनी ओर प्रत्येक पद का अर्थ है ढेरों का जटिल IC के रूप में होता है जिसका हाइपरहोमोलॉजी w के शुबर्ट प्रकार (कोशिका Xw का बंद होना) का प्रतिच्छेदन समरूपता है, इसकी कोटि 2i की कोहोलॉजी के रूप में है और फिर सेल के किसी भी बिंदु पर इस पूले के डंठल का आयाम के रूप में लेते है $X_{y}$ किसी भी बिंदु पर यह शीफ जिसका बंद होना y की शुबर्ट किस्म है और इस प्रकार विषम-आयामी कोहोलॉजी समूह योग में प्रकट नहीं होते हैं क्योंकि वे सभी शून्य रूप में होते है।

इसने पहला प्रमाण दिया कि परिमित वेइल समूहों के लिए कज़्दान-लुज़्ज़टिग बहुपदों के सभी गुणांक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के रूप में होते हैं।

वास्तविक समूहों के लिए सामान्यीकरण
लुज़्तिग -वोगन बहुपद को प्रस्तुत किया गया था, जिसे कज़्दान - लुज़्तिग बहुपद या कज़्दान - लुज़्तिग -वोगन बहुपद भी कहा जाता है. वे कज़्दान-लुज़्ज़टिग बहुपदों के अनुरूप होते हैं, लेकिन वास्तविक अर्धसूत्रीय लाई समूहों के प्रतिनिधित्व के अनुरूप होते हैं और उनके एकात्मक दोहरे समूहों के अनुमानित विवरण में प्रमुख भूमिका निभाते हैं और इस प्रकार जटिल समूहों की तुलना में वास्तविक समूहों के प्रतिनिधित्व की सापेक्ष जटिलता को दर्शाते हुए उनकी परिभाषा अधिक जटिल रूप में होती है।

विशिष्टता, प्रत्यक्ष रूप से प्रतिनिधित्व सिद्धांत से जुड़े स्थितियों में दोहरे समुच्चय के रूप में समझाया जाता है और इस प्रकार जटिल फ्लैग मैनिफोल्ड G/B के एनालॉग्स घटनाक्रम के रूप में है और इस प्रकार इसे अन्य शब्दों में जहां G एक जटिल लाइ समूह है और B एक बोरेल उपसमूह के रूप में है। मूल (K-L) स्थिति तब अपघटन के विवरण के बारे में है


 * $$B\backslash G/ B$$,

ब्रुहट अपघटन का एक मौलिक विषय और एक ग्रासमानियन में शूबर्ट कोशिकाओं से पहले L–V की स्थिति एक वास्तविक रूप लेता है और इस प्रकार GR का G, एक अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह $K_{R}$ उस अर्धसरल समूह में $G_{R}$ और जटिलता K बनाता है $K_{R}$. फिर अध्ययन की प्रासंगिक वस्तु के रूप में है


 * $$K\backslash G/ B$$.

मार्च 2007 में, इसकी घोषणा की गई थी कि गणित L-V बहुपदों की गणना E8 के विभाजित रूप के लिए की गई थी।

प्रतिनिधित्व सिद्धांत में अन्य वस्तुओं के लिए सामान्यीकरण
कज़्दान और लुज़्ज़टिग के दूसरे पेपर ने कज़्दान -लुज़्ज़टिग बहुपदों की परिभाषा के लिए एक ज्यामितीय सेटिंग की स्थापना की थी, अर्थात् ध्वज विविधता में शुबर्ट किस्मों की विलक्षणताओं की बीजगणितीय ज्यामिति के रूप में है। लुज़्तिग के बाद के अधिकांश कार्यों ने प्रतिनिधित्व सिद्धांत में उत्पन्न होने वाली अन्य प्राकृतिक एकवचन बीजगणितीय किस्मों के संदर्भ में होती है और इस प्रकार विशेष रूप से, निलपोटेंट कक्षा और क्विवर किस्मों के बंद होने के संदर्भ में कज़्दान - लुज़्तिग बहुपदों के एनालॉग्स की खोज की और इससे यह पता चला है कि क्वांटम समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत, मॉड्यूलर लाई बीजगणित और एफ़िन हेके बीजगणित सभी कज़्दान -लुज़्ज़िग बहुपदों के उचित अनुरूपों द्वारा नियंत्रित होते हैं। वे एक प्रारंभिक विवरण को स्वीकार करते हैं, लेकिन प्रतिनिधित्व सिद्धांत के लिए आवश्यक इन बहुपदों के गुण आधुनिक बीजगणितीय ज्यामिति और समरूप बीजगणित की परिष्कृत प्रोद्योगिकीय का पालन करते हैं, जैसे कि इंटरसेक्शन कोहोलॉजी, विकृत शीव्स और बीलिन्सन-बर्नस्टीन-डेलिग्ने अपघटन का उपयोग करके किया जाता है।

कज़्दान-लुज़्ज़टिग बहुपदों के गुणांकों को सोर्जेल की बिमॉड्यूल श्रेणी में कुछ समरूपता रिक्त स्थान के आयामों के रूप में अनुमान लगाया जाता है और इस प्रकार याट्टीच्छक कॉक्सेटर समूहों के लिए इन गुणांकों की यह एकमात्र ज्ञात सकारात्मक व्याख्या के रूप में है।

मिश्रित सिद्धांत
कज़्दान-लुज़्ज़टिग बहुपदों के संयुक्त गुणों और उनके सामान्यीकरण सक्रिय वर्तमान शोध का विषय हैं। प्रतिनिधित्व सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति में उनके महत्व को देखते हुए, ज्यामिति पर कुछ सीमा तक निर्भर करते हैं, लेकिन प्रतिच्छेदन सह समरूपता और अन्य उन्नत प्रोद्योगिकीय के संदर्भ के बिना पूरी तरह से दहनशील फैशन में कज़्दान - लुज़्तिग बहुपदों के सिद्धांत को विकसित करने का प्रयास किया गया है। इससे बीजगणितीय कॉम्बिनेटरिक्स में रोमांचक विकास हुआ है, जैसे पैटर्न-परिहार घटना के रूप में जाना जाता है और इस प्रकार की पाठ्यपुस्तक में कुछ संदर्भ दिए गए हैं. जो इसके विषय पर एक शोध मोनोग्राफ के रूप में है.

2005 तक, सममित समूहों के लिए भी कुछ प्राकृतिक समुच्चयों की गणनांक के रूप में कज़्दान लुज़्ज़टिग बहुपदों के सभी गुणांकों की कोई संयुक्त व्याख्या नहीं है, चूँकि कई विशेष स्थितियों में स्पष्ट सूत्र के रूप में उपस्थित हैं।

असमानता
कोबायाशी (2013) ने साबित किया कि क्रिस्टलोग्राफिक कॉक्सेटर समूहों के लिए $$q=1$$ पर कज़्दान - लुज़्तिग बहुपद के मूल्य कुछ सख्त असमानता को संतुष्ट करते हैं और इस प्रकार $$(W, S)$$ एक क्रिस्टलोग्राफिक कॉक्सेटर प्रणाली के रूप में होता है और $${P_{uw}(q)}$$ इसके कज़्दान-लुज़्तिग बहुपद के रूप में है और यदि $$u1$$, वहाँ एक प्रतिबिम्ब $$t$$ के रूप में होता है जैसे कि $$P_{uw}(1)>P_{tu, w}(1)>0$$ के रूप में दिखाया गया है।

बाहरी संबंध

 * Readings from Spring 2005 course on Kazhdan–Lusztig Theory at U.C. Davis by Monica Vazirani
 * The GAP programs for computing Kazhdan–Lusztig polynomials.
 * Fokko du Cloux's Coxeter software for computing Kazhdan–Lusztig polynomials for any Coxeter group
 * Atlas software for computing Kazhdan–Lusztig-Vogan polynomials.
 * Atlas software for computing Kazhdan–Lusztig-Vogan polynomials.