अल्ट्राफ़िल्टर

अनुक्रम सिद्धांत के गणित क्षेत्र में, किसी दिए गए आंशिक रूप से अनुक्रम किए गए समूह (या पोसमूह) पर एक अल्ट्राफिल्टर $$P$$ का एक निश्चित उपसमुच्चय होता है $$P,$$ अर्थात् $$P;$$, एक उचित फिल्टर है $$P$$ इसे एक बड़े उचित फिल्टर तक बढ़ाया नहीं जा सकता $$P.$$ यदि $$X$$ एक मनमाना समुच्चय है, इसकी ऊर्जा समुच्चय है $$\wp(X),$$ समूह समावेशन द्वारा अनुक्रमित, हमेशा एक बूलियन बीजगणित (संरचना) होता है और इसलिए एक पोसमूह, और अल्ट्राफिल्टर होता है $$\wp(X)$$ सामान्यतः कहा जाता है $$X$$. समूह पर एक अल्ट्राफिल्टर $$X$$ एक परिमित योगात्मक माप (गणित) के रूप में माना जा सकता है $$X$$. इस दृष्टि से, प्रत्येक उपसमुच्चय $$X$$ या तो लगभग संपूर्ण माना जाता है (माप 1 है) या लगभग कुछ भी नहीं (माप 0 है), यह इस पर निर्भर करता है कि यह दिए गए अल्ट्राफिल्टर से संबंधित है या नहीं है।

समूह सिद्धांत, नमूना सिद्धांत, सांस्थिति में अल्ट्राफिल्टर के कई अनुप्रयोग होते है।

आंशिक अनुक्रम पर अल्ट्राफिल्टर
अनुक्रम सिद्धांत में, एक अल्ट्राफिल्टर आंशिक रूप से अनुक्रम किए गए समूह का एक पोसमूह होता है। इसका तात्पर्य यह होता है कि कोई भी फिल्टर जिसमें उचित रूप से अल्ट्राफिल्टर होता है, वह पूरे पोसमूह के बराबर होता है।

औपचारिक रूप से, यदि $$P$$ एक समूह है, जिसे आंशिक रूप से अनुक्रम किया गया है $$\,\leq\,$$ तब
 * उपसमुच्चय $$F \subseteq P$$ फिल्टर कहा जाता है $$P$$ यदि
 * $$F$$ गैर-रिक्त है,
 * हर एक के लिए $$x, y \in F,$$ वहां कुछ तत्व उपस्थित है $$z \in F$$ ऐसा है कि $$z \leq x$$ और $$z \leq y,$$ और
 * हर एक के लिए $$x \in F$$ और $$y \in P,$$ $$x \leq y$$ इसका आशय $$y$$ में $$F$$ है
 * एक उचित उपसमुच्चय $$U$$ का $$P$$ इसे अल्ट्राफिल्टर कहा जाता है $$P$$ यदि
 * $$U$$ एक फिल्टर है $$P,$$ और
 * कोई उचित फिल्टर नहीं होता है $$F$$ पर $$P$$ वह उचित रूप से विस्तारित होता है $$U$$ (अर्थात, $$U$$ का एक उचित उपसमुच्चय है $$F$$)

अल्ट्राफिल्टर के प्रकार और अस्तित्व
प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर बिल्कुल दो श्रेणियों में से एक में आता है: प्रमुख या मुक्त। एक प्रमुख अल्ट्राफिल्टर एक वह फिल्टर होता है जिसमें कम से कम तत्व होते है। परिणाम स्वरूप, प्रमुख अल्ट्राफिल्टर होते है $$F_a = \{x : a \leq x\}$$ कुछ (लेकिन सभी नहीं) तत्वों के लिए $$a$$ दिए गए पोसमूह इस स्थिति में अल्ट्राफिल्टर $$a$$ कहा जाता है। कोई भी अल्ट्राफिल्टर जो प्रमुख नहीं होता है उसे मुक्त (या गैर-प्रमुख) अल्ट्राफिल्टर कहा जाता है।

ऊर्जा समूह पर अल्ट्राफिल्टर के लिए $$\wp(X),$$ एक प्रमुख अल्ट्राफिल्टर में सभी उपसमूह सम्मलित होते है $$X$$ जिसमें एक दिया गया तत्व सम्मलित है $$x \in X.$$ प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर $$\wp(X)$$ एक प्रमुख फिल्टर है। इसलिए, एक अल्ट्राफिल्टर $$U$$ पर $$\wp(X)$$ प्रमुख है यदि इसमें एक परिमित समुच्चय है। यदि $$X$$ अनंत है, एक अल्ट्राफिल्टर $$U$$ पर $$\wp(X)$$ एक गैर-प्रमुख है यदि इसमें सह-परिमित उपसमुच्चय का फ्रेचेट फिल्टर सम्मलित है $$X.$$ यदि $$X$$ परिमित है, प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर प्रमुख है।

यदि $$X$$ अनंत है तो फ्रेचेट फिल्टर ऊर्जा समूह पर अल्ट्राफिल्टर नहीं है $$X$$ लेकिन यह परिमित बीजगणित पर एक अल्ट्राफिल्टर है $$X.$$ बूलियन बीजगणित पर प्रत्येक फिल्टर (या अधिक सामान्यतः, परिमित प्रतिच्छेदन गुण वाला कोई भी उपसमुच्चय) एक अल्ट्राफिल्टर में समाहित होता है। दूसरी ओर, प्रत्येक फिल्टर एक अल्ट्राफिल्टर में समाहित होता है। वास्तव में, यह बूलियन मूल अनुक्रम सिद्धांत (बीपीआईटी) के समतुल्य है, जो ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समूह सिद्धांत (जेडएफ) के सिद्धांतों द्वारा संवर्धित जेडएफ सिद्धांत के बीच एक प्रसिद्ध मध्यवर्ती बिंदु है। सामान्यतः, सिद्धांत से जुड़े मुक्त अल्ट्राफिल्टर के स्पष्ट उदाहरण नहीं देते है, चूंकि जेडएफ के कुछ नमूनों में स्पष्ट उदाहरण प्राप्त संभव होता है, उदाहरण के लिए, कर्ट गोडेल ने दिखाया है कि यह कोई स्पष्ट वैश्विक विकल्प फलन लिख सकता है। जेडएफ के सिद्धांत के बिना, प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर प्रमुख होता है।

बूलियन बीजगणित पर अल्ट्राफिल्टर
अवधारणा की एक महत्वपूर्ण विशेष स्थिति तब होती है जब माना गया पोसमूह एक बूलियन बीजगणित (संरचना) होता है। इस स्थिति में, अल्ट्राफिल्टर को प्रत्येक तत्व के लिए युक्त करके चित्रित किया जाता है $$a$$ बूलियन बीजगणित का, तत्वों में से एक $$a$$ और $$\lnot a$$ है (बाद वाला बूलियन बीजगणित नॉनमोनोटोन नियम है $$a$$):

यदि $$P$$ एक बूलियन बीजगणित है और $$F$$ एक उचित फिल्टर है $$P,$$ तब निम्नलिखित कथन समतुल्य है: 1. और 2. समतुल्य होने का प्रमाण भी दिया गया है (ब्यूरिस, संकप्पनवर, 2012, परिणाम 3.13, पृष्ठ 133)।
 * 1) $$F$$ एक अल्ट्राफिल्टर है $$P,$$
 * 2) $$F$$ एक मुख्य फिल्टर है $$P,$$
 * 3) प्रत्येक के लिए $$a \in P,$$ दोनों में से एक $$a \in F$$ या ($$\lnot a$$) $$\in F.$$

इसके अतिरिक्त, बूलियन बीजगणित पर अल्ट्राफिल्टर बूलियन बीजगणित (संरचना) अनुक्रम और फिल्टर और बूलियन बीजगणित (संरचना) समरूपता और समरूपता से 2-तत्व बूलियन बीजगणित {सही, गलत} से संबंधित हो सकते है (जिन्हें 2-मूल्यवान आकारिकी के रूप में भी जाना जाता है) ) निम्नलिखित अनुसार है:
 * बूलियन बीजगणित की एक समरूपता को देखते हुए, सत्य की व्युत्क्रम छवि एक अल्ट्राफिल्टर है, और असत्य की व्युत्क्रम छवि एक अधिकतम अनुक्रम है।
 * बूलियन बीजगणित के अधिकतम अनुक्रम को देखते हुए, इसका पूरक एक अल्ट्राफिल्टर होता है, और अधिकतम अनुक्रम को असत्य पर ले जाने के लिए सही, गलत पर एक अद्वितीय समरूपता होती है।
 * बूलियन बीजगणित पर एक अल्ट्राफिल्टर दिया गया होता है, इसका पूरक एक अधिकतम अनुक्रम होता है, और अल्ट्राफिल्टर को सत्य पर ले जाने के लिए सही, गलत पर एक अद्वितीय समरूपता होती है।

समूह के ऊर्जा समूह पर अल्ट्राफिल्टर
एक मनमाना समूह दिया गया $$X,$$ इसका ऊर्जा समूह $$\wp(X),$$ समूह समावेशन द्वारा क्रमबद्ध, हमेशा एक बूलियन बीजगणित होता है। एक अल्ट्राफिल्टर $$\wp(X)$$ को अधिकांशतः ऊर्जा समूह अल्ट्राफिल्टर कहा जाता है $$X$$. उपरोक्त औपचारिक परिभाषाओं को ऊर्जासमूह स्थिति में निम्नानुसार विशिष्ट किया जा सकता है:

एक मनमाना समूह दिया गया है $$X,$$ एक अल्ट्राफिल्टर $$\wp(X)$$ एक समूह होता है $$U$$ के उपसमुच्चय से मिलकर बना होता है $$X$$ ऐसा है कि: ऊर्जा समूह पर अल्ट्राफिल्टर को देखने की दूसरी विधि $$\wp(X)$$ इस प्रकार है: किसी दिए गए अल्ट्राफिल्टर के लिए $$U$$ किसी फलन को परिभाषित करता है $$m$$ पर $$\wp(X)$$ व्यवस्थित करता है $$m(A) = 1$$ यदि $$A$$ का एक तत्व है $$U$$ और $$m(A) = 0$$ । ऐसे फलन को 2-मूल्यवान रूपवाद कहा जाता है। तब $$m$$ परिमित रूप से योगात्मक होता है। चूँकि, $$m$$ सामान्य अर्थ में माप (गणित) को परिभाषित नहीं करता है।
 * 1) रिक्त समूह इसका एक तत्व नहीं है $$U.$$
 * 2) यदि $$A$$ और $$B$$ के उपसमुच्चय है $$X,$$ समूह $$A$$ का एक उपसमुच्चय है $$B,$$ और $$A$$ का एक तत्व है $$U,$$ तब $$B$$ का भी एक तत्व है $$U.$$
 * 3) यदि $$A$$ और $$B$$ के तत्व है $$U,$$ तो फिर प्रतिच्छेदन (समूह सिद्धांत) है $$A$$ और $$B.$$
 * 4) यदि $$A$$ का एक उपसमुच्चय है $$X,$$ तो $$A$$ सापेक्ष पूरक है $$X \setminus A$$ का एक तत्व है $$U.$$

एक फिल्टर $$F$$ के लिए कहा जा सकता है कि यह कोई अल्ट्राफिल्टर नहीं है $$m(A) = 1$$ यदि $$A \in F$$ और $$m(A) = 0$$ यदि $$X \setminus A \in F,$$ $$m$$

अनुप्रयोग
ऊर्जा समूह पर अल्ट्राफिल्टर सांस्थिति में उपयोगी होते है, विशेष रूप से व्युत्पत्ति हॉसडॉर्फ़ स्थान के संबंध में, और उत्तपाद के निर्माण में नमूने सिद्धांत में उपयोगी होते है। व्युत्पत्ति हॉसडॉर्फ़ स्थान पर प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर बिल्कुल एक बिंदु पर एकत्रित होते है। इसी तरह, अल्ट्राफिल्टर बूलियन बीजगणित प्रतिनिधित्व सिद्धांत में एक केंद्रीय भूमिका निभाते है। समूह सिद्धांत में अल्ट्राफिल्टर का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जाता है कि निर्माणशीलता का सिद्धांत मापने योग्य प्रमुख के अस्तित्व के साथ असंगत है $κ$. यह समूह सैद्धांतिक गैर-प्रमुख फिल्टर नमूनों की ऊर्जा लेने से सिद्ध होता है $κ$-।

समूह $$G$$ एक पोसमूह के सभी अल्ट्राफिल्टर $$P$$ प्राकृतिक विधि से सांस्थिति बनाई जा सकती है, जो वास्तव में उपर्युक्त प्रतिनिधित्व सिद्धांत से निकटता से संबंधित होता है। किसी भी तत्व के लिए $$a$$ का $$P$$, और $$D_a = \left\{ U \in G : a \in U \right\}.$$है। यह तब सर्वाधिक उपयोगी होता है जब $$P$$ बूलियन बीजगणित होता है, क्योंकि इस स्थिति में समुच्चय है $$D_a$$ व्युत्पत्ति हॉसडॉर्फ़ सांस्थिति का आधार है $$G$$. विशेषकर, जब किसी ऊर्जा समूह पर अल्ट्राफिल्टर पर विचार किया जाता है $$\wp(S),$$ तो परिणामी संस्थानिक स्थान प्रमुखता के एक अलग स्थान का संघनन होता है $$| S |.$$

नमूना सिद्धांत में उत्तपद निर्माण एक अनुक्रम से प्रारंभ होने वाले नए नमूने का उत्पादन करने के लिए अल्ट्राफिल्टर का उपयोग करता है $$X$$-अनुक्रमित नमूना, उदाहरण के लिए, सघनता सिद्धांत को इस प्रकार सिद्ध किया जा सकता है। ऊर्जा के विशेष स्थिति में, संरचनाओं का प्राथमिक विस्तार प्राप्त होता है। उदाहरण के लिए, गैर-मानक विश्लेषण में, अतियथार्थवादी संख्याओं का निर्माण वास्तविक संख्याओं के उत्तपद के रूप में किया जा सकता है, जो क्षेत्र को वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम तक विस्तारित करता है। इस अनुक्रम स्थान को संबंधित स्थिर अनुक्रम के साथ वास्तविकताओं का एक उत्तम समूह माना जाता है। परिचित संबंधों (उदाहरण के लिए, + और <) को वास्तविक से अतियथार्थवादी तक विस्तारित करने के लिए, प्राकृतिक विचार उन्हें बिंदुवार परिभाषित करना होता है। लेकिन इससे यथार्थ के महत्वपूर्ण तार्किक गुण समाप्त हो जाते है, उदाहरण के लिए, बिंदुवार < कुल अनुक्रम नहीं होता है। इसलिए इसके अतिरिक्त फलन और संबंधों को परिभाषित किया जाता है $$U$$, जहाँ $$U$$ अनुक्रमों के सूचकांक समूह पर एक अल्ट्राफिल्टर होता है, लॉस' सिद्धांत के अनुसार, यह वास्तविकताओं के सभी गुणों को संरक्षित करता है। यदि $$U$$ गैर-प्रमुख है, तो उसके द्वारा प्राप्त विस्तार भी गैर-प्रमुख होता है।

ज्यामितीय समूह सिद्धांत में, किसी समूह के स्पर्शोन्मुख शंकु को परिभाषित करने के लिए गैर-प्रमुख अल्ट्राफिल्टर का उपयोग किया जाता है। यह निर्माण विचार करने के लिए एक कठोर विधि प्रदान करता है, यह समूह की ज्यामिति होती है। स्पर्शोन्मुख शंकु मापीय रिक्त स्थान की सीमा का विशेष उदाहरण है।

गोडेल के अस्तित्व का सत्तामूलक प्रमाण एक सिद्धांत के रूप में उपयोग किया जाता है जिसमे धनात्मक गुणों का समूह एक अल्ट्राफिल्टर होता है।

सामाजिक चयन सिद्धांत में, गैर-प्रमुख अल्ट्राफिल्टर का उपयोग असीमित व्यक्तियों की प्राथमिकताओं को एकत्रित करने के लिए एक नियम (जिसे सामाजिक कल्याण फलन कहा जाता है) को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। बहुत से व्यक्तियों के लिए एरो की असंभवता सिद्धांत के विपरीत, ऐसा नियम उन स्थितियों (गुणों) को संतुष्ट करता है जो एरो सिद्धांत प्रस्तावित करता है (उदाहरण के लिए, किरमान और सोंडरमैन, 1972)। मिहारा (1997, 1999) यह दिखाता है कि ऐसे नियम सामाजिक वैज्ञानिकों के लिए व्यावहारिक रूप से सीमित रुचि के होते है, क्योंकि वह गैर-कलन विधि या गैर-गणना योग्य होते है।