अनंत विभाज्यता (संभावना)

संभाव्यता सिद्धांत में, एक संभाव्यता वितरण अनंत रूप से विभाज्य होता है यदि इसे स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर (i.i.d.) यादृच्छिक चर की मनमानी संख्या के योग की संभाव्यता वितरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। किसी भी असीम रूप से विभाज्य वितरण के विशेषता फ़ंक्शन (संभावना सिद्धांत) को तब असीम रूप से विभाज्य विशेषता फ़ंक्शन कहा जाता है। अधिक कठोरता से, संभाव्यता वितरण F असीम रूप से विभाज्य है यदि, प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक n के लिए, n i.i.d मौजूद है। यादृच्छिक चर एक्सn1, ..., एक्सnn जिसका योग Sn = एक्सn1 +… + एक्सnn समान वितरण F है।

संभाव्यता वितरण की अनंत विभाज्यता की अवधारणा 1929 में ब्रूनो डी फिनेची द्वारा पेश की गई थी। इस प्रकार के विघटित वितरण का उपयोग संभाव्यता और सांख्यिकी में संभाव्यता वितरण के परिवारों को खोजने के लिए किया जाता है जो कुछ मॉडलों या अनुप्रयोगों के लिए प्राकृतिक विकल्प हो सकते हैं। सीमा प्रमेय के संदर्भ में अनंत विभाज्य वितरण संभाव्यता सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

उदाहरण
निरंतर वितरण के उदाहरण जो अनंत रूप से विभाज्य हैं वे हैं सामान्य वितरण, कॉची वितरण, लेवी वितरण, और स्थिर वितरण परिवार के अन्य सभी सदस्य, साथ ही गामा वितरण, ची-स्क्वायर वितरण, वाल्ड वितरण, लॉग -सामान्य वितरण और विद्यार्थी का टी-वितरण।

असतत वितरणों में, उदाहरण पॉइसन वितरण और नकारात्मक द्विपद वितरण (और इसलिए ज्यामितीय वितरण भी) हैं। एक-बिंदु वितरण जिसका एकमात्र संभावित परिणाम 0 है, वह भी (तुच्छ रूप से) असीम रूप से विभाज्य है।

समान वितरण (निरंतर) और द्विपद वितरण असीम रूप से विभाज्य नहीं हैं, न ही ऊपर उल्लिखित एक-बिंदु वितरण के अलावा, बंधे हुए समर्थन (गणित) (≈ किसी फ़ंक्शन का परिमित आकार का डोमेन) के साथ कोई अन्य वितरण हैं। एक छात्र के टी-वितरण वाले यादृच्छिक चर के गुणक व्युत्क्रम का वितरण भी असीम रूप से विभाज्य नहीं है। कोई भी यौगिक पॉइसन वितरण असीम रूप से विभाज्य है; यह परिभाषा से तुरंत अनुसरण करता है।

सीमा प्रमेय
केंद्रीय सीमा प्रमेय के व्यापक सामान्यीकरण में असीम रूप से विभाज्य वितरण दिखाई देते हैं: योग S के n → +∞ के रूप में सीमाn = एक्सn1 +… + एक्सnn त्रिकोणीय सरणी के भीतर सांख्यिकीय स्वतंत्रता समान रूप से स्पर्शोन्मुख रूप से नगण्य (यूएएन) यादृच्छिक चर

\begin{array}{cccc} X_{11} \\ X_{21} & X_{22} \\ X_{31} & X_{32} & X_{33} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{array} $$ दृष्टिकोण - वितरण में अभिसरण में - एक असीम रूप से विभाज्य वितरण। समान रूप से स्पर्शोन्मुख रूप से नगण्य (यू.ए.एन.) स्थिति द्वारा दी गई है


 * $$\lim_{n\to\infty} \, \max_{1 \le k \le n} \; P( \left| X_{nk} \right| > \varepsilon ) = 0 \text{ for every }\varepsilon > 0.$$

इस प्रकार, उदाहरण के लिए, यदि समान असममित नगण्यता (यूएएन) की स्थिति परिमित विचरण के साथ समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर के उचित स्केलिंग के माध्यम से संतुष्ट होती है, तो कमजोर अभिसरण केंद्रीय सीमा प्रमेय के शास्त्रीय संस्करण में सामान्य वितरण के लिए है। अधिक सामान्यतः, यदि यू.ए.एन. स्थिति को समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर (जरूरी नहीं कि सीमित दूसरे क्षण के साथ) के स्केलिंग के माध्यम से संतुष्ट किया जाता है, तो कमजोर अभिसरण एक स्थिर वितरण के लिए होता है। दूसरी ओर, स्वतंत्र (अनस्केल्ड) बर्नौली वितरण की त्रिकोणीय सरणी के लिए जहां यू.ए.एन. के माध्यम से शर्त संतुष्ट है


 * $$\lim_{n\rightarrow\infty} np_n = \lambda,$$

योग का कमजोर अभिसरण माध्य λ के साथ पॉइसन वितरण के लिए है जैसा कि पॉइसन सीमा प्रमेय के परिचित प्रमाण द्वारा दिखाया गया है।

लेवी प्रक्रिया
प्रत्येक असीम रूप से विभाज्य संभाव्यता वितरण स्वाभाविक रूप से लेवी प्रक्रिया से मेल खाता है। लेवी प्रक्रिया एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है {एलt: t ≥ 0 } स्थिर वेतन वृद्धि के साथ स्वतंत्र वेतन वृद्धि, जहां स्थिर का मतलब है कि s < t के लिए, L की संभाव्यता वितरणt − एलs केवल t − s पर निर्भर करता है और जहां स्वतंत्र वृद्धि का मतलब है कि अंतर Lt − एलs [s,t] के साथ ओवरलैप नहीं होने वाले किसी भी अंतराल पर संबंधित अंतर की सांख्यिकीय स्वतंत्रता है, और इसी तरह पारस्परिक रूप से गैर-अतिव्यापी अंतराल की किसी भी सीमित संख्या के लिए।

यदि {एलt: t ≥ 0 } एक लेवी प्रक्रिया है, तो किसी भी t ≥ 0 के लिए, यादृच्छिक चर Lt असीम रूप से विभाज्य होगा: किसी भी n के लिए, हम (X) चुन सकते हैंn1, एक्सn2, …, एक्सnn) = (एलt/n − एल0, एल2t/n − एलt/n, …, एलt − एल(n−1)t/n). इसी प्रकार, एलt − एलs किसी भी s < t के लिए असीम रूप से विभाज्य है।

दूसरी ओर, यदि F एक असीम रूप से विभाज्य वितरण है, तो हम एक लेवी प्रक्रिया {L का निर्माण कर सकते हैंt: t ≥ 0 } इससे। किसी भी अंतराल [s,t] के लिए जहां t − s > 0 एक परिमेय संख्या p/q के बराबर है, हम L को परिभाषित कर सकते हैंt − एलs X के समान वितरण होनाq1 + एक्सq2 +… + एक्सqp. t − s > 0 के अपरिमेय संख्या मानों को निरंतरता तर्क के माध्यम से नियंत्रित किया जाता है।

योगात्मक प्रक्रिया
एक योगात्मक प्रक्रिया $$\{X_t\}_{t \geq 0}$$ (एक उनींदा, कंटीन्यूअस_स्टोकेस्टिक_प्रोसेस#कंटीन्युटी_इन_प्रोबेबिलिटी स्वतंत्र वेतन वृद्धि के साथ स्टोकेस्टिक प्रक्रिया) में किसी के लिए असीम रूप से विभाज्य वितरण होता है $$t\geq 0$$. होने देना $$\{\mu_t\}_{t\geq0}$$ इसका अपरिमित रूप से विभाज्य वितरणों का परिवार हो।

$$\{\mu_t\}_{t\geq0}$$ निरंतरता और एकरसता की कई शर्तों को पूरा करता है। मोरोवर, यदि असीम रूप से विभाज्य वितरण का एक परिवार है $$\{\mu_t\}_{t\geq0}$$ इन निरंतरता और एकरसता स्थितियों को संतुष्ट करता है, वहाँ (कानून में विशिष्ट रूप से) एक योगात्मक प्रक्रिया मौजूद है $$\{\mu_t\}_{t\geq0}$$ इस वितरण के साथ.

यह भी देखें

 * क्रैमर का अपघटन प्रमेय|क्रैमर का प्रमेय
 * अविघटनीय वितरण
 * यौगिक पॉइसन वितरण

संदर्भ

 * Domínguez-Molina, J.A.; Rocha-Arteaga, A. (2007) "On the Infinite Divisibility of some Skewed Symmetric Distributions". Statistics and Probability Letters, 77 (6), 644–648
 * Steutel, F. W. (1979), "Infinite Divisibility in Theory and Practice" (with discussion), Scandinavian Journal of Statistics. 6, 57–64.
 * Steutel, F. W. and Van Harn, K. (2003), Infinite Divisibility of Probability Distributions on the Real Line (Marcel Dekker).