मोयल प्रोडक्ट

गणित में, मोयल उत्पाद (जोस एनरिक मोयल के बाद; जिसे हरमन वेइल और हिलब्रांड जे. ग्रोएनवॉल्ड के बाद स्टार उत्पाद या वेइल-ग्रोएनवॉल्ड उत्पाद भी कहा जाता है) चरण-अंतरिक्ष सितारा उत्पाद का एक उदाहरण है। यह एक सहयोगी, गैर-विनिमेय उत्पाद है, ★, कार्यों पर $ℝ^{2n}$, इसके पॉइसन ब्रैकेट से सुसज्जित है (सहानुभूति मैनिफोल्ड्स के सामान्यीकरण के साथ, नीचे वर्णित है)। यह एक विशेष मामला है ★-एक सार्वभौमिक आवरण बीजगणित के प्रतीकों के बीजगणित का उत्पाद।

ऐतिहासिक टिप्पणियाँ
मोयल उत्पाद का नाम जोस एनरिक मोयल के नाम पर रखा गया है, लेकिन कभी-कभी इसे हरमन वेइल-ग्रोएनवॉल्ड उत्पाद भी कहा जाता है क्योंकि इसे हिलब्रांड जे. ग्रोएनवॉल्ड|एच द्वारा पेश किया गया था। जे. ग्रोएनवॉल्ड ने अपने 1946 के डॉक्टरेट शोध प्रबंध की तीखी सराहना की विग्नर-वेइल परिवर्तन का। ऐसा प्रतीत होता है कि मोयल को वास्तव में अपने प्रसिद्ध लेख में उत्पाद के बारे में पता नहीं है और जैसा कि उनकी जीवनी में दर्शाया गया है, डिराक के साथ उनके प्रसिद्ध पत्राचार में इसका अत्यंत अभाव था। ऐसा प्रतीत होता है कि मोयल के नाम पर लोकप्रिय नामकरण उनके फ्लैट चरण-अंतरिक्ष सूत्रीकरण|चरण-अंतरिक्ष परिमाणीकरण चित्र के सम्मान में, 1970 के दशक में ही उभरा था।

परिभाषा
सुचारू कार्यों के लिए उत्पाद $f$ और $g$ पर $ℝ^{2n}$ रूप लेता है $$f \star g = fg + \sum_{n=1}^\infty \hbar^n C_n(f,g),$$ जहां प्रत्येक $C_{n}$ आदेश का एक निश्चित द्विविभेदक संचालिका है $n$ निम्नलिखित गुणों द्वारा विशेषता (स्पष्ट सूत्र के लिए नीचे देखें): ध्यान दें, यदि कोई वास्तविक संख्याओं में मान वाले फ़ंक्शन लेना चाहता है, तो एक वैकल्पिक संस्करण इसे समाप्त कर देता है $i$ दूसरी स्थिति में और चौथी स्थिति को समाप्त कर देता है।
 * $$f \star g = fg + \mathcal O(\hbar),$$ बिंदुवार उत्पाद का विरूपण - उपरोक्त सूत्र में निहित है।
 * $$f \star g - g \star f = i\hbar\{f,g\} + \mathcal O(\hbar^3) \equiv i\hbar \{\{f,g\}\},$$ पॉइसन ब्रैकेट का विरूपण, जिसे मोयल ब्रैकेट कहा जाता है।
 * $$f \star 1 = 1 \star f = f,$$ अविकृत बीजगणित का 1 नये बीजगणित में भी पहचान है।
 * $$\overline{f \star g} = \overline{g} \star \overline{f},$$ जटिल संयुग्म एक एंटीलिनियर एंटीऑटोमोर्फिज्म है।

यदि कोई बहुपद कार्यों तक सीमित है, तो उपरोक्त बीजगणित वेइल बीजगणित के समरूपी है $A_{n}$, और दोनों बहुपदों के स्थान के विग्नर-वेइल परिवर्तन की वैकल्पिक प्राप्ति की पेशकश करते हैं $n$ चर (या आयाम के सदिश स्थान का सममित बीजगणित $2n$).

एक स्पष्ट सूत्र प्रदान करने के लिए, एक स्थिर पॉइसन बायवेक्टर पर विचार करें $Π$ पर $ℝ^{2n}$: $$\Pi = \sum_{i,j} \Pi^{ij} \partial_i \wedge \partial_j,$$ कहाँ $Π^{ij}$ प्रत्येक के लिए एक वास्तविक संख्या है $i, j$. दो कार्यों का सितारा उत्पाद $f$ और $g$ को फिर उन दोनों पर कार्य करने वाले छद्म-विभेदक ऑपरेटर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, $$f \star g = fg + \frac{i\hbar}{2} \sum_{i,j} \Pi^{ij} (\partial_i f) (\partial_j g) - \frac{\hbar^2}{8} \sum_{i,j,k,m} \Pi^{ij} \Pi^{km} (\partial_i \partial_k f) (\partial_j \partial_m g) + \ldots,$$ कहाँ $ħ$ घटा हुआ प्लैंक स्थिरांक है, जिसे यहां औपचारिक पैरामीटर के रूप में माना जाता है।

यह एक विशेष मामला है जिसे सार्वभौमिक आवरण बीजगणित के रूप में जाना जाता है प्रतीकों के बीजगणित पर और इसे एक बंद रूप दिया जा सकता है (जो बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ सूत्र से अनुसरण करता है)। मैट्रिक्स घातांक का उपयोग करके बंद फॉर्म प्राप्त किया जा सकता है: $$f \star g = m \circ e^{\frac{i\hbar}{2} \Pi}(f \otimes g),$$ कहाँ $m$ गुणन मानचित्र है, $m(a ⊗ b) = ab$, और घातांक को एक घात श्रृंखला के रूप में माना जाता है, $$e^A = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} A^n.$$ यानि कि सूत्र $C_{n}$ है $$C_n = \frac{i^n}{2^n n!} m \circ \Pi^n.$$ जैसा कि संकेत दिया गया है, अक्सर व्यक्ति सभी घटनाओं को समाप्त कर देता है $i$ ऊपर, और फिर सूत्र स्वाभाविक रूप से वास्तविक संख्याओं तक ही सीमित रहते हैं।

ध्यान दें कि यदि कार्य $f$ और $g$ बहुपद हैं, उपरोक्त अनंत योग परिमित हो जाते हैं (सामान्य वेइल-बीजगणित मामले को कम करते हुए)।

मोयल उत्पाद का सामान्यीकृत से संबंध ★-एक सार्वभौमिक आवरण बीजगणित के प्रतीकों के बीजगणित की परिभाषा में प्रयुक्त उत्पाद इस तथ्य से अनुसरण करता है कि वेइल बीजगणित हेइज़ेनबर्ग बीजगणित का सार्वभौमिक आवरण बीजगणित है (मॉड्यूलो कि केंद्र इकाई के बराबर है)।

कई गुना पर
किसी भी सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड पर, कोई भी, कम से कम स्थानीय रूप से, निर्देशांक चुन सकता है ताकि डार्बौक्स के प्रमेय द्वारा सिंपलेक्टिक संरचना को स्थिर बनाया जा सके; और, संबंधित पॉइसन बायवेक्टर का उपयोग करके, कोई उपरोक्त सूत्र पर विचार कर सकता है। विश्व स्तर पर काम करने के लिए, पूरे मैनिफोल्ड (और सिर्फ एक स्थानीय सूत्र नहीं) पर एक फ़ंक्शन के रूप में, किसी को सिम्पलेक्टिक मैनिफोल्ड को मरोड़-मुक्त सिम्पलेक्टिक कनेक्शन (गणित) से लैस करना होगा। यह इसे फेडोसोव मैनिफोल्ड बनाता है।

मनमाने ढंग से पॉइसन मैनिफोल्ड्स (जहां डार्बौक्स प्रमेय लागू नहीं होता है) के लिए अधिक सामान्य परिणाम कोंटसेविच परिमाणीकरण सूत्र द्वारा दिए गए हैं।

उदाहरण
के निर्माण और उपयोगिता का एक सरल स्पष्ट उदाहरण ★-उत्पाद (द्वि-आयामी यूक्लिडियन चरण स्थान के सबसे सरल मामले के लिए) विग्नर-वेइल परिवर्तन पर लेख में दिया गया है: दो गॉसियन इसके साथ रचना करते हैं ★-अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शरेखा नियम के अनुसार उत्पाद: $$ \exp\left[-a\left(x^2 + p^2\right)\right] \star \exp\left[-b\left(x^2 + p^2\right)\right] = \frac{1}{1 + \hbar^2 ab} \exp\left[-\frac{a + b}{1 + \hbar^2 ab} \left(x^2 + p^2\right)\right]. $$ (शास्त्रीय सीमा पर ध्यान दें, $ħ → 0$.)

हालाँकि, चरण स्थान और हिल्बर्ट स्थान के बीच प्रत्येक पत्राचार नुस्खा प्रेरित करता है समय-आवृत्ति विश्लेषण में वितरण के बीच परिवर्तन ★-उत्पाद। इसी तरह के परिणाम सेगल-बार्गमैन स्पेस और हाइजेनबर्ग समूह के थीटा प्रतिनिधित्व में देखे जाते हैं, जहां निर्माण और विनाश संचालक $a^{∗} = z$ और $a = ∂/∂z$ को जटिल तल (क्रमशः, हेइज़ेनबर्ग समूह के लिए ऊपरी आधा तल) पर कार्य करने के लिए समझा जाता है, ताकि स्थिति और संवेग संचालक दिए जाएं $x = (a + a^{∗})/2$ और $p = (a - a^{∗})/(2i)$. यह स्थिति उस मामले से स्पष्ट रूप से भिन्न है जहां पदों को वास्तविक-मूल्यवान माना जाता है, लेकिन यह हाइजेनबर्ग बीजगणित और उसके आवरण, वेइल बीजगणित की समग्र बीजगणितीय संरचना में अंतर्दृष्टि प्रदान करता है।

फ़ेज़-स्पेस इंटीग्रल्स के अंदर
एक चरण-अंतरिक्ष अभिन्न अंग के अंदर, बस मोयल प्रकार का सितारा उत्पाद गिराया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप सादा गुणन होता है, जैसा कि भागों द्वारा एकीकरण से स्पष्ट होता है, $$\int dx\,dp\;f\star g= \int dx\,dp ~f ~g,$$ चरण-अंतरिक्ष ट्रेस की चक्रीयता को प्रकट करना। यह उपरोक्त विशिष्ट मोयल उत्पाद की एक अनूठी संपत्ति है, और अन्य पत्राचार नियमों के स्टार उत्पादों, जैसे हुसिमी, आदि के लिए लागू नहीं होती है।