द्विविम प्रतिबल

सातत्य यांत्रिकी में, किसी पदार्थ को समतल तनाव के अंतर्गत कहा जाता है यदि किसी विशेष तल पर तनाव (यांत्रिकी) शून्य है। जब वह स्थिति संरचना के पूरे तत्व पर होती है, जैसा कि अधिकांशतः पतली प्लेटों के स्थिति में होता है, तो तनाव विश्लेषण अधिक सरल हो जाता है, क्योंकि तनाव की स्थिति को आयाम 2 के टेन्सर द्वारा दर्शाया जा सकता है (3×3 के अतिरिक्त 2×2 आव्यूह के रूप में प्रस्तुत करने योग्य) एक संबंधित धारणा, प्लेन स्ट्रेन, अधिकांशतः बहुत मोटे सदस्यों पर प्रयुक्त होती है।

समतल तनाव समान्य रूप से पतली समतल प्लेटों में होता है जिन पर केवल उनके समानांतर भार बलों द्वारा कार्य किया जाता है। कुछ स्थितियों में, तनाव विश्लेषण के उद्देश्य से धीरे से घुमावदार पतली प्लेट को भी समतल तनाव माना जा सकता है। यह स्थिति है, उदाहरण के लिए, दबाव में तरल पदार्थ से भरे एक पतली दीवार वाले सिलेंडर का उपयोग किया जाता है। जिससे ऐसे स्थितियों में, प्लेट के लंबवत तनाव घटक इसके समानांतर वाले घटकों की तुलना में नगण्य होते हैं।

चूँकि, अन्य स्थितियों में, एक पतली प्लेट के झुकने के तनाव को अनदेखा नहीं किया जा सकता है। कोई अभी भी द्वि-आयामी डोमेन का उपयोग करके विश्लेषण को सरल बना सकता है, किन्तु प्रत्येक बिंदु पर समतल तनाव टेंसर को झुकने की नियमों के साथ पूरक होना चाहिए।

गणितीय परिभाषा
गणितीय रूप से, पदार्थ में किसी बिंदु पर तनाव एक समतल तनाव है यदि तीन प्रमुख तनाव में से एक (कौची तनाव टेंसर के आईजेनवैल्यू ​​​​और आईजेनवेक्टर ) शून्य है। अथार्त कार्टेशियन समन्वय प्रणाली है जिसमें तनाव टेंसर का रूप होता है
 * $$\sigma =

\begin{bmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{22} & 0 \\ 0     &     0       & 0 \end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix} \sigma_{x} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{y} & 0 \\ 0     &     0       & 0 \end{bmatrix}$$ उदाहरण के लिए, $$x$$, $$y$$, और $$z$$ के अनुदिश 10, 40 और 5 सेमी मापने वाली सामग्री के एक आयताकार ब्लॉक पर विचार करें, जिसे 10 N और 20 N परिमाण वाले विपरीत बलों के जोड़े द्वारा x दिशा में खींचा जा रहा है और $$y $$ दिशा में संपीड़ित किया जा रहा है।, क्रमशः, समान रूप से संबंधित चेहरों पर वितरित किया जाता है। ब्लॉक के अंदर स्ट्रेस टेंसर होगा


 * $$\sigma =

\begin{bmatrix} 500\mathrm{ Pa} & 0 & 0 \\ 0 & -4000\mathrm{ Pa} & 0 \\ 0     &     0       & 0 \end{bmatrix} $$ अधिक सामान्यतः, यदि कोई पहले दो समन्वय अक्षों को इच्छित रूप से किन्तु शून्य तनाव की दिशा के लंबवत चुनता है, तो तनाव टेंसर का रूप होगा
 * $$\sigma =

\begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & 0 \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & 0 \\ 0     &     0       & 0 \end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix} \sigma_{x} & \tau_{xy} & 0 \\ \tau_{yx} & \sigma_{y} & 0 \\ 0     &     0       & 0 \end{bmatrix}$$ और इसलिए इसे 2 × 2 आव्यूह द्वारा दर्शाया जा सकता है,
 * $$\sigma_{ij} =

\begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} \end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix} \sigma_{x} & \tau_{xy} \\ \tau_{yx} & \sigma_{y} \end{bmatrix}$$

घुमावदार सतहों में समतल तनाव
कुछ स्थितियों में, समतल तनाव मॉडल का उपयोग धीरे से घुमावदार सतहों के विश्लेषण में किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक पतली दीवार वाले सिलेंडर पर विचार करें जो एक अक्षीय संपीड़न भार के अधीन है जो इसके रिम पर समान रूप से वितरित है, और एक दबावयुक्त तरल पदार्थ से भरा हुआ है। आंतरिक दबाव दीवार पर एक प्रतिक्रियाशील घेरा तनाव उत्पन्न करेगा, जो कि एक सामान्य तन्य तनाव जो सिलेंडर अक्ष के लंबवत और उसकी सतह पर स्पर्शरेखा निर्देशित होगा। सिलेंडर को संकल्पनात्मक रूप से अनियंत्रित किया जा सकता है और एक समतल पतली आयताकार प्लेट के रूप में विश्लेषण किया जा सकता है जो एक दिशा में तन्य भार और दूसरी दिशा में संपीड़न भार के अधीन है, दोनों प्लेट के समानांतर हैं।

प्लेन स्ट्रेन (स्ट्रेन मैट्रिक्स)


यदि एक आयाम दूसरों की तुलना में बहुत बड़ा है, तो सबसे लंबे आयाम की दिशा में तनाव (पदार्थ विज्ञान) बाधित है और इसे स्थिर माना जा सकता है, इसका तात्पर्य है कि इसके साथ प्रभावी रूप से शून्य तनाव होगा, इसलिए एक विमान तनाव की स्थिति उत्पन्न होगी (चित्र 7.2)। इस स्थिति में, चूँकि सभी प्रमुख तनाव गैर-शून्य हैं, गणना के लिए सबसे लंबे आयाम की दिशा में मुख्य तनाव की उपेक्षा की जा सकती है। इस प्रकार, तनाव के दो-आयामी विश्लेषण की अनुमति मिलती है, जैसे जलाशय द्वारा लोड किए गए क्रॉस सेक्शन पर एक बांध का विश्लेषण किया गया था।

संगत स्ट्रेन टेंसर है:


 * $$\varepsilon_{ij} = \begin{bmatrix}

\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & 0 \\ \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & 0 \\ 0               &     0            & 0 \end{bmatrix}\,\!$$ और संबंधित तनाव टेंसर है:


 * $$\sigma_{ij} = \begin{bmatrix}

\sigma_{11} & \sigma_{12} & 0 \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & 0 \\ 0          &     0       & \sigma_{33} \end{bmatrix}\,\!$$ जिसमें गैर-शून्य $$\sigma_{33}\,\!$$ यह पद पॉइसन अनुपात या पॉइसन प्रभाव से उत्पन्न होता है। चूँकि, इस शब्द को अस्थायी रूप से तनाव विश्लेषण से हटाया जा सकता है और केवल इन-प्लेन शब्दों को छोड़ा जा सकता है, जिससे विश्लेषण प्रभावी रूप से दो आयामों तक कम हो जाएगा।

समतल तनाव और समतल तनाव में तनाव परिवर्तन
एक बिंदु $$P\,\!$$ पर विचार करें! समतल तनाव, या समतल तनाव की स्थिति में एक सातत्य में, तनाव घटकों $$(\sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy})\,\!$$ और अन्य सभी तनाव घटकों के साथ शून्य के समान (चित्र 8.1)। $$P\,\!$$ पर एक अतिसूक्ष्म भौतिक तत्व के स्थैतिक संतुलन से! (चित्र 8.2), सामान्य तनाव $$\sigma_\mathrm{n}\,\!$$ और अपरूपण प्रतिबल $$\tau_\mathrm{n}\,\!$$ से गुजरने वाले $$x\,\!$$-$$y\,\!$$ तल $$P\,\!$$ के लंबवत किसी भी तल पर! एक इकाई सदिश के साथ $$\mathbf n\,\!$$, $$\theta\,\!$$ का कोण बनाते हुए! क्षैतिज के साथ, अर्थात $$\cos \theta\,\!$$ में दिशा कोज्या है! जो कि $$x\,\!$$ दिशा, द्वारा दी गई है:


 * $$\sigma_\mathrm{n} = \frac{1}{2} ( \sigma_x + \sigma_y ) + \frac{1}{2} ( \sigma_x - \sigma_y )\cos 2\theta + \tau_{xy} \sin 2\theta\,\!$$
 * $$\tau_\mathrm{n} = -\frac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y )\sin 2\theta + \tau_{xy}\cos 2\theta \,\!$$

इन समीकरणों से संकेत मिलता है कि एक समतल तनाव या समतल तनाव की स्थिति में, कोई भी सभी दिशाओं में एक बिंदु पर तनाव घटकों को निर्धारित कर सकता है, अर्थात एक फलन $$\theta\,\!$$ के रूप में होता है, यदि कोई तनाव घटकों $$(\sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy})\,\!$$ को जानता है उस बिंदु पर किन्हीं दो लंबवत दिशाओं पर। यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि हम समानांतर दिशा में अतिसूक्ष्म तत्व $$y\,\!$$-$$z\,\!$$ विमान के एक इकाई क्षेत्र पर विचार कर रहे हैं। मुख्य दिशाएँ (चित्र 8.3), यानी, उन विमानों का अभिविन्यास जहां कतरनी तनाव घटक शून्य हैं, कतरनी तनाव $$\tau_\mathrm{n}\,\!$$ के लिए पिछले समीकरण बनाकर प्राप्त किया जा सकता है जो कि शून्य के समान है और यह इस प्रकार हमारे पास है:
 * $$\tau_\mathrm{n} = -\frac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y )\sin 2\theta + \tau_{xy}\cos 2\theta=0\,\!$$

और हम प्राप्त करते हैं


 * $$\tan 2 \theta_\mathrm{p} = \frac{2 \tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}\,\!$$

यह समीकरण दो मानों $$\theta_\mathrm{p}\,\!$$ को परिभाषित करता है जो कि $$90^\circ\,\!$$अलग (चित्र 8.3)। कोण $$\theta\,\!$$ ज्ञात करके समान परिणाम प्राप्त किया जा सकता है! जो सामान्य $$\sigma_\mathrm{n}\,\!$$ तनाव बनाता है जो कि अधिकतम, अथार्त $$\frac{d\sigma_\mathrm{n}}{d\theta}=0\,\!$$.

प्रिंसिपल ने जोर दिया $$\sigma_1\,\!$$ और $$\sigma_2\,\!$$, या न्यूनतम और अधिकतम सामान्य तनाव $$\sigma_\mathrm{max}\,\!$$ और $$\sigma_\mathrm{min}\,\!$$, क्रमशः, $$\theta_\mathrm{p}\,\!$$ दोनों मानों को प्रतिस्थापित करके $$\sigma_\mathrm{n}\,\!$$ प्राप्त किया जा सकता है के लिए पिछले समीकरण में है इसे $$\sigma_\mathrm{n}\,\!$$ और $$\tau_\mathrm{n}\,\!$$, समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करके प्राप्त किया जा सकता है जो की पहले समीकरण में पहले पद को स्थानांतरित करना और प्रत्येक समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करना और फिर उन्हें जोड़ना। इस प्रकार हमारे पास है



\left[ \sigma_\mathrm{n} - \tfrac{1}{2} ( \sigma_x + \sigma_y )\right]^2 + \tau_\mathrm{n}^2 = \left[\tfrac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y)\right]^2 + \tau_{xy}^2 \,\!$$

(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_\mathrm{avg})^2 + \tau_\mathrm{n}^2 = R^2 \,\!$$ जहाँ
 * $$R = \sqrt{\left[\tfrac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y)\right]^2 + \tau_{xy}^2} \quad \text{and} \quad \sigma_\mathrm{avg} = \tfrac{1}{2} ( \sigma_x + \sigma_y )\,\!$$

जो त्रिज्या $$R\,\!$$ वाले एक वृत्त का समीकरण है निर्देशांक $$[\sigma_\mathrm{avg}, 0]\,\!$$ वाले एक बिंदु पर केंद्रित, जिसे मोहर का वृत्त कहा जाता है। किन्तु यह जानते हुए कि प्रिंसिपल के लिए कतरनी तनाव $$\tau_\mathrm{n} = 0\,\!$$ है, तो हम इस समीकरण से प्राप्त करते हैं:


 * $$\sigma_1 =\sigma_\mathrm{max} = \tfrac{1}{2}(\sigma_x + \sigma_y) + \sqrt{\left[\tfrac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y)\right]^2 + \tau_{xy}^2}\,\!$$
 * $$\sigma_2 =\sigma_\mathrm{min} = \tfrac{1}{2}(\sigma_x + \sigma_y) - \sqrt{\left[\tfrac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y)\right]^2 + \tau_{xy}^2}\,\!$$



जब $$\tau_{xy}=0\,\!$$ अनंतसूक्ष्म तत्व मुख्य तलों की दिशा में उन्मुख है, इस प्रकार आयताकार तत्व पर कार्य करने वाले तनाव प्रमुख तनाव हैं: जिसमे $$\sigma_x = \sigma_1\,\!$$ और $$\sigma_y = \sigma_2\,\!$$ फिर सामान्य तनाव $$\sigma_\mathrm{n}\,\!$$ और अपरूपण प्रतिबल $$\tau_\mathrm{n}\,\!$$ मुख्य तनावों के एक फलन के रूप में $$\tau_{xy}=0\,\!$$ बनाकर निर्धारित किया जा सकता है। इस प्रकार हमारे पास है


 * $$\sigma_\mathrm{n} = \frac{1}{2} ( \sigma_1 + \sigma_2 ) + \frac{1}{2} ( \sigma_1 - \sigma_2 )\cos 2\theta\,\!$$
 * $$\tau_\mathrm{n} = -\frac{1}{2}(\sigma_1 - \sigma_2 )\sin 2\theta\,\!$$

फिर अधिकतम कतरनी तनाव $$\tau_\mathrm{max}\,\!$$ तब होता है जब $$\sin 2\theta = 1\,\!$$, अर्थात। $$\theta = 45^\circ\,\!$$ (चित्र 8.3):


 * $$\tau_\mathrm{max} = \frac{1}{2}(\sigma_1 - \sigma_2 )\,\!$$

फिर न्यूनतम कतरनी तनाव $$\tau_\mathrm{min}\,\!$$ तब होता है जब $$\sin 2\theta = -1\,\!$$, अर्थात। $$\theta = 135^\circ\,\!$$ है (चित्र 8.3):


 * $$\tau_\mathrm{min} = -\frac{1}{2}(\sigma_1 - \sigma_2 )\,\!$$

यह भी देखें

 * प्लेन स्ट्रेन