बाह्य बीजगणित

गणित में, बाहरी बीजगणित, या ग्रासमैन बीजगणित, जिसका नाम हरमन ग्रासमैन  के नाम पर रखा गया है, एक बीजगणित है जो बाहरी उत्पाद या वेज उत्पाद का उपयोग इसके गुणन के रूप में करता है।गणित में, वैक्टर का बाहरी उत्पाद या वेज उत्पाद एक बीजीय निर्माण है जिसका उपयोग  ज्यामिति  में  क्षेत्र ों, संस्करणों और उनके उच्च-आयामी एनालॉग्स का अध्ययन करने के लिए किया जाता है।दो वैक्टर का बाहरी उत्पाद $$ u $$ और & nbsp;$$ v, $$ द्वारा चिह्नित $$ u \wedge v, $$ एक  bivector  कहा जाता है और बाहरी वर्ग नामक एक स्थान में रहता है, एक  सदिश स्थल  जो वैक्टर के मूल स्थान से अलग है। परिमाण (गणित)  का $$ u \wedge v $$ पक्षों के साथ समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के रूप में व्याख्या की जा सकती है $$ u $$ और & nbsp;$$ v, $$ जो तीन आयामों में भी दो वैक्टर के क्रॉस उत्पाद का उपयोग करके गणना की जा सकती है।अधिक आम तौर पर, एक ही  अभिविन्यास  (ज्यामिति) और क्षेत्र के साथ सभी समानांतर विमान सतहों में उनके अभिविन्यास (वेक्टर अंतरिक्ष) के माप के रूप में एक ही द्विभाजक होता है।क्रॉस उत्पाद की तरह, बाहरी उत्पाद  विरोधाभास  है, जिसका अर्थ है कि $$ u \wedge v = -(v \wedge u) $$ सभी वैक्टर के लिए $$ u $$ और & nbsp;$$ v, $$ लेकिन, क्रॉस उत्पाद के विपरीत, बाहरी उत्पाद साहचर्य है।

जब इस तरीके से माना जाता है, तो दो वैक्टर के बाहरी उत्पाद को एक ब्लेड (ज्यामिति)  कहा जाता है। 2-ब्लेड।आम तौर पर, वैक्टर के किसी भी संख्या k के बाहरी उत्पाद को परिभाषित किया जा सकता है और कभी-कभी K-BLADE कहा जाता है।यह एक जगह में रहता है जिसे K-th बाहरी शक्ति के रूप में जाना जाता है।परिणामस्वरूप K-Blade का परिमाण K- आयामी समानांतर समानांतर#समानांतरोटोप के उन्मुख हाइपरवोल्यूम है, जिसके किनारे दिए गए वैक्टर हैं, जैसे कि तीन आयामों में वैक्टर के  स्केलर ट्रिपल उत्पाद  का परिमाण उन लोगों द्वारा उत्पन्न समानांतरपिप की मात्रा देता है।वैक्टर।

बाहरी बीजगणित एक बीजीय सेटिंग प्रदान करता है जिसमें ज्यामितीय प्रश्नों का उत्तर देने के लिए।उदाहरण के लिए, ब्लेड में एक ठोस ज्यामितीय व्याख्या होती है, और बाहरी बीजगणित में वस्तुओं को अस्पष्ट नियमों के एक सेट के अनुसार हेरफेर किया जा सकता है।बाहरी बीजगणित में ऐसी वस्तुएं होती हैं जो न केवल के-ब्लेड होती हैं, बल्कि के-ब्लेड्स की रकम होती हैं;इस तरह की राशि को एक मल्टीवेक्टर कहा जाता है। K-VECTOR। के-ब्लेड, क्योंकि वे वैक्टर के सरल उत्पाद हैं, को बीजगणित के सरल तत्व कहा जाता है।किसी भी के-वेक्टर की रैंक को सरल तत्वों की सबसे छोटी संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसमें से यह एक राशि है।बाहरी उत्पाद पूर्ण बाहरी बीजगणित तक फैला हुआ है, ताकि यह बीजगणित के किसी भी दो तत्वों को गुणा करने के लिए समझ में आता है।इस उत्पाद से लैस, बाहरी बीजगणित एक साहचर्य बीजगणित है, जिसका अर्थ है कि $$ \alpha \wedge (\beta \wedge \gamma) = (\alpha \wedge \beta) \wedge \gamma $$ किसी भी तत्व के लिए $$ \alpha, \beta, \gamma. $$ K-Vectors में डिग्री k है, जिसका अर्थ है कि वे K वैक्टर के उत्पादों के योग हैं।जब विभिन्न डिग्री के तत्वों को गुणा किया जाता है, तो डिग्री बहुपद  के गुणन की तरह जोड़ते हैं।इसका मतलब है कि बाहरी बीजगणित एक वर्गीकृत बीजगणित है।

बाहरी बीजगणित की परिभाषा न केवल ज्यामितीय वैक्टर के लिए रिक्त स्थान के लिए समझ में आती है, बल्कि अन्य वेक्टर जैसी वस्तुओं जैसे कि वेक्टर क्षेत्र  या फ़ंक्शन (गणित) की।पूर्ण सामान्यता में, बाहरी बीजगणित को एक  कम्यूटेटिव रिंग  पर  मॉड्यूल (गणित)  के लिए और  अमूर्त बीजगणित  में रुचि के अन्य संरचनाओं के लिए परिभाषित किया जा सकता है।यह इन अधिक सामान्य निर्माणों में से एक है जहां बाहरी बीजगणित अपने सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों में से एक को ढूंढता है, जहां यह अंतर के रूपों के बीजगणित के रूप में प्रकट होता है जो कि अंतर ज्यामिति का उपयोग करने वाले क्षेत्रों में मौलिक है।बाहरी बीजगणित में भी कई बीजीय गुण होते हैं जो इसे बीजगणित में ही एक सुविधाजनक उपकरण बनाते हैं।एक वेक्टर अंतरिक्ष के लिए बाहरी बीजगणित का संबंध वेक्टर रिक्त स्थान पर एक प्रकार का  फंक्टर  है, जिसका अर्थ है कि यह वेक्टर रिक्त स्थान के  रैखिक परिवर्तन ों के साथ एक निश्चित तरीके से संगत है।बाहरी बीजगणित एक Bialgebra का एक उदाहरण है, जिसका अर्थ है कि इसके दोहरे स्थान में भी एक उत्पाद है, और यह दोहरी उत्पाद बाहरी उत्पाद के साथ संगत है।यह दोहरी बीजगणित ठीक वैकल्पिक रूप से बहुपक्षीय रूपों का बीजगणित है, और बाहरी बीजगणित और इसके दोहरे के बीच जोड़ी  आंतरिक उत्पाद  द्वारा दी गई है।

प्रेरक उदाहरण
पहले दो उदाहरण एक मीट्रिक टेंसर  और एक अभिविन्यास मानते हैं;तीसरा उदाहरण भी नहीं मानता है।

विमान में क्षेत्र
कार्टेशियन विमान $$ \mathbb R^2 $$ एक  वास्तविक संख्या  वेक्टर स्थान है जो एक वेक्टर स्थान के आधार से लैस है, जिसमें  इकाई वेक्टर  की एक जोड़ी होती है



{\mathbf e}_1 = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\quad {\mathbf e}_2 = \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}, $$ अभिविन्यास के साथ $$ \mathbf e_1 \times \mathbf e_2 $$ और मीट्रिक के साथ $$\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}. $$ लगता है कि


 * $$\mathbf{v} = \begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}

= a \mathbf{e}_1 + b \mathbf{e}_2, \quad \mathbf{w} = \begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix} = c \mathbf{e}_1 + d \mathbf{e}_2 $$ में दिए गए वैक्टर की एक जोड़ी हैं $$\R^2,$$ घटकों में लिखा गया।इसके दो पक्षों के रूप में वी और डब्ल्यू के रूप में एक अद्वितीय समानांतरोग्राम है।इस समांतर चतुर्भुज का  क्षेत्र  मानक निर्धारक सूत्र द्वारा दिया गया है:



\text{Area} = \Bigl| \det \begin{bmatrix} \mathbf{v} & \mathbf{w} \end{bmatrix} \Bigr| = \Biggl| \det \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} \Biggr| = \left| ad - bc \right|. $$ अब v और w के बाहरी उत्पाद पर विचार करें:


 * $$\begin{align}

\mathbf{v} \wedge \mathbf{w} &= (a\mathbf{e}_1 + b\mathbf{e}_2) \wedge (c\mathbf{e}_1 + d\mathbf{e}_2) \\ &= ac\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_1 + ad\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2 + bc\mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_1 + bd\mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_2 \\ &= \left( ad - bc \right)\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2 \end{align}$$ जहां पहला चरण #Formal परिभाषाओं और बीजगणितीय गुणों के लिए वितरण कानून का उपयोग करता है, और अंतिम इस तथ्य का उपयोग करता है कि बाहरी उत्पाद वैकल्पिक है, और विशेष रूप से $$\mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_1 = -(\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2).$$ (तथ्य यह है कि बाहरी उत्पाद बारी -बारी से भी बल दे रहा है $$ \mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_1 = \mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_2 = 0.$$) ध्यान दें कि इस अंतिम अभिव्यक्ति में गुणांक ठीक मैट्रिक्स का निर्धारक है [v w]।तथ्य यह है कि यह सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है, यह सहज अर्थ है कि वी और डब्ल्यू एक वामावर्त या दक्षिणावर्त अर्थों में उन्मुख हो सकते हैं क्योंकि वे समानांतर चुम्बचनों के वर्टिस को परिभाषित करते हैं।इस तरह के एक क्षेत्र को समानांतरोग्राम का  हस्ताक्षरित क्षेत्र  कहा जाता है: हस्ताक्षरित क्षेत्र का निरपेक्ष मान साधारण क्षेत्र है, और संकेत इसके अभिविन्यास को निर्धारित करता है।

तथ्य यह है कि यह गुणांक हस्ताक्षरित क्षेत्र है एक दुर्घटना नहीं है।वास्तव में, यह देखना अपेक्षाकृत आसान है कि बाहरी उत्पाद को हस्ताक्षरित क्षेत्र से संबंधित होना चाहिए यदि कोई इस क्षेत्र को बीजगणितीय निर्माण के रूप में स्वयंसिद्ध करने की कोशिश करता है।विस्तार से, अगर A(v, w) समांतर चतुर्भुज के हस्ताक्षरित क्षेत्र को दर्शाता है, जिसमें वैक्टर V और W की जोड़ी दो आसन्न पक्षों को बनाती है, फिर निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करना चाहिए: अंतिम संपत्ति के अपवाद के साथ, दो वैक्टर का बाहरी उत्पाद क्षेत्र के समान गुणों को संतुष्ट करता है।एक निश्चित अर्थ में, बाहरी उत्पाद एक समानांतर विमान में किसी भी चुने हुए समांतर चतुर्भुज की तुलना में एक समानांतर चुम्बचुओं के क्षेत्र की अनुमति देकर अंतिम संपत्ति को सामान्य करता है (यहां, पक्षों के साथ एक1 और ई2)।दूसरे शब्दों में, बाहरी उत्पाद क्षेत्र का आधार-स्वतंत्र सूत्रीकरण प्रदान करता है।
 * 1) A(rv, sw) = rsA(v, w) किसी भी वास्तविक संख्या के लिए आर और एस, चूंकि दोनों पक्षों में से किसी भी तरह से एक ही राशि से क्षेत्र को फिर से शुरू करता है (और पक्षों में से एक की दिशा को उलटने से समानांतर चांदी के उन्मुखीकरण को उलट देता है)।
 * 2) A(v, v) = 0, चूंकि वी (यानी, एक  रेखा खंड ) द्वारा निर्धारित अपक्षय (गणित) समानांतर चूंकि समानांतर चूंकि शून्य है।
 * 3) A(w, v) = −A(v, w), चूंकि वी और डब्ल्यू की भूमिकाओं को इंटरचेंज करने से समानांतरोग्राम के अभिविन्यास को उलट दिया जाता है।
 * 4) A(v + rw, w) = A(v, w) किसी भी वास्तविक संख्या आर के लिए, चूंकि 'डब्ल्यू' से 'वी' के एक से अधिक जोड़ने से न तो आधार प्रभावित होता है और न ही समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई और परिणामस्वरूप इसके क्षेत्र को संरक्षित करता है।
 * 5) A(e1, e2) = 1, चूंकि यूनिट स्क्वायर का क्षेत्र एक है।

क्रॉस और ट्रिपल उत्पाद
एक 3-आयाम (वेक्टर स्पेस) ओरिएंटेड वेक्टर स्पेस में एक बिलिनियर स्केलर उत्पाद के साथ वैक्टर के लिए, बाहरी बीजगणित क्रॉस उत्पाद और ट्रिपल उत्पाद से निकटता से संबंधित है।एक मानक आधार  का उपयोग करना (e1, e2, e3), वैक्टर की एक जोड़ी का बाहरी उत्पाद



\mathbf{u} = u_1 \mathbf{e}_1 + u_2 \mathbf{e}_2 + u_3 \mathbf{e}_3 $$ और



\mathbf{v} = v_1 \mathbf{e}_1 + v_2 \mathbf{e}_2 + v_3 \mathbf{e}_3 $$ है



\mathbf{u} \wedge \mathbf{v} = (u_1 v_2 - u_2 v_1) (\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2) + (u_2 v_3 - u_3 v_2) (\mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_3) + (u_3 v_1 - u_1 v_3) (\mathbf{e}_3 \wedge \mathbf{e}_1) , $$ कहां (e1 ∧ e2, e2 ∧ e3, e3 ∧ e1) त्रि-आयामी स्थान के लिए एक आधार है $ \bigwedge\nolimits^2\left(\mathbb R^3\right). $ उपरोक्त गुणांक एक दिए गए अभिविन्यास के साथ तीन आयामों में वैक्टर के क्रॉस उत्पाद की सामान्य परिभाषा के समान हैं, केवल अंतर यह है कि बाहरी उत्पाद एक साधारण वेक्टर नहीं है, बल्कि इसके बजाय एक  2 वेक्टर  है, और वह है किबाहरी उत्पाद अभिविन्यास की पसंद पर निर्भर नहीं करता है ।

एक तीसरे वेक्टर में लाना



\mathbf{w} = w_1 \mathbf{e}_1 + w_2 \mathbf{e}_2 + w_3 \mathbf{e}_3, $$ तीन वैक्टर का बाहरी उत्पाद है



\mathbf{u} \wedge \mathbf{v} \wedge \mathbf{w} = (u_1 v_2 w_3 + u_2 v_3 w_1 + u_3 v_1 w_2 - u_1 v_3 w_2 - u_2 v_1 w_3 - u_3 v_2 w_1) (\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_3) $$ कहां e1 ∧ e2 ∧ e3 एक आयामी स्थान के लिए आधार वेक्टर है $ \bigwedge\nolimits^3\left(\mathbb R^3\right). $ स्केलर गुणांक तीन वैक्टर का ट्रिपल उत्पाद है।

एक तीन आयामी यूक्लिडियन वेक्टर अंतरिक्ष में क्रॉस उत्पाद और ट्रिपल उत्पाद प्रत्येक ज्यामितीय और बीजगणितीय व्याख्याओं दोनों को हॉज स्टार ऑपरेटर  के माध्यम से स्वीकार करते हैं।क्रॉस प्रोडक्ट u × v एक वेक्टर के रूप में व्याख्या की जा सकती है जो कि यू और वी दोनों के लिए लंबवत है और जिसका परिमाण दो वैक्टर द्वारा निर्धारित समानांतर चैली के क्षेत्र के बराबर है।यह वेक्टर के रूप में भी व्याख्या की जा सकती है जिसमें मैट्रिक्स के  मामूली (गणित)  से मिलकर कॉलम यू और वी। यू, वी, और एनबीएसपी का ट्रिपल उत्पाद है। डब्ल्यू एक हस्ताक्षरित स्केलर है जो एक ज्यामितीय उन्मुख मात्रा का प्रतिनिधित्व करता है।बीजगणितीय रूप से, यह मैट्रिक्स का निर्धारक है जिसमें कॉलम u, v, और & nbsp; w।तीन आयामों में बाहरी उत्पाद समान व्याख्याओं के लिए अनुमति देता है: यह भी, उन्मुख लाइनों, क्षेत्रों, संस्करणों, आदि के साथ पहचाना जा सकता है, जो एक, दो या अधिक वैक्टर द्वारा फैले हुए हैं।बाहरी उत्पाद इन ज्यामितीय धारणाओं को सभी वेक्टर रिक्त स्थान और किसी भी संख्या में आयामों के लिए सामान्य करता है, यहां तक कि एक स्केलर उत्पाद की अनुपस्थिति में भी।

विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र
सापेक्षता के सिद्धांत में | आइंस्टीन के सापेक्षता के सिद्धांत, विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र को आम तौर पर एक अंतर के रूप में दिया जाता है। $$ F = dA $$ 4-स्थान  में या समकक्ष  एंटीसिममेट्रिक टेंसर  के रूप में $$ F_{ij} = A_{[i,j]} = A_{[i;j]}, $$  विद्युत चुम्बकीय टेंसर ।फिर $$ dF = ddA = 0 $$ या समकक्ष बियानची पहचान $$ F_{[ij,k]} = F_{[ij;k]} = 0. $$ इसमें से किसी को भी मीट्रिक की आवश्यकता नहीं है।

Lorentz Metric और एक ओरिएंटेबिलिटी को जोड़ने के लिए अलग -अलग मैनिफोल्ड की ओरिएंटेबिलिटी हॉज स्टार ऑपरेटर प्रदान करती है $$ \star $$ और इस प्रकार यह परिभाषित करना संभव बनाता है $$ J = {\star}d{\star}F $$ या समतुल्य तूफ़ान विचलन  $$ J^i = F^{ij}_{,j} = F^{ij}_{;j} $$ कहां $$ F^{ij} = g^{ik}g^{jl}F_{kl}. $$

औपचारिक परिभाषाएँ और बीजगणितीय गुण
बाहरी बीजगणित $ \bigwedge(V) $ एक वेक्टर अंतरिक्ष की $V$ एक क्षेत्र पर (गणित) $K$  टेंसर बीजगणित  के भागफल साहचर्य बीजगणित के रूप में परिभाषित किया गया है $T(V)$ दो-तरफा आदर्श (रिंग सिद्धांत) द्वारा $I$ प्रपत्र के सभी तत्वों द्वारा उत्पन्न $x ⊗ x$ के लिए $x ∈ V$ (यानी सभी टेंसर जिन्हें वेक्टर के टेंसर उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $V$ अपने आप में)। आदर्श मैं रूप के तत्वों द्वारा उत्पन्न आदर्श j होता है $$ x \otimes y + y \otimes x = (x + y) \otimes (x + y) - x \otimes x - y \otimes y $$ और ये आदर्श अगर संयोग करते हैं $$ \operatorname{char}(K) \ne 2 $$ (यदि $$ \operatorname{char}(K) = 2, $$ ये आदर्श  शून्य वेक्टर स्थान  को छोड़कर अलग हैं)।

इसलिए,


 * $$ {\textstyle\bigwedge}(V) = T(V)/I $$

एक साहचर्य बीजगणित है। इसके गुणन को बाहरी उत्पाद कहा जाता है, और निरूपित किया जाता है $∧$।इसका मतलब है कि उत्पाद $ \bigwedge(V) $ टेंसर उत्पाद से प्रेरित है $⊗$ का $T(V)$।

जैसा $T^{0} = K$, $T^{1} = V$, और $$ \left(T^0(V) \oplus T^1(V)\right) \cap I = \{ 0 \}, $$ के समावेश $K$ और $V$ में $T(V)$ के इंजेक्शन को प्रेरित करें $K$ और $V$ में $ \bigwedge(V). $ इन इंजेक्शनों को आमतौर पर समावेशन के रूप में माना जाता है, और प्राकृतिक एम्बेडिंग, प्राकृतिक इंजेक्शन या प्राकृतिक समावेशन कहा जाता है।विहित शब्द का उपयोग आमतौर पर प्राकृतिक के स्थान पर भी किया जाता है।

वैकल्पिक उत्पाद
बाहरी उत्पाद के तत्वों पर बारी -बारी से बीजगणित का निर्माण होता है $$ V, $$ जिसका मतलब है कि $ x \wedge x = 0 $ सबके लिए $$ x \in V, $$ उपरोक्त निर्माण द्वारा।यह निम्नानुसार है कि उत्पाद भी तत्वों पर  विरोधी  है $$ V, $$ दमन करने के लिए $$ x, y \in V, $$

0 = (x + y) \wedge (x + y) = x \wedge x + x \wedge y + y \wedge x + y \wedge y = x \wedge y + y \wedge x $$ इसलिए


 * $$ x \wedge y = -(y \wedge x). $$

अधिक आम तौर पर, यदि σ पूर्णांक का एक क्रमपरिवर्तन समूह है [1, ..., k], और एक्स1, एक्स2, ..., एक्सk V के तत्व हैं, यह इस प्रकार है



x_{\sigma(1)} \wedge x_{\sigma(2)} \wedge \cdots \wedge x_{\sigma(k)} = \operatorname{sgn}(\sigma)x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_k, $$ जहां SGN (σ) एक क्रमपरिवर्तन का हस्ताक्षर  है। विशेष रूप से, यदि एक्सi = xj कुछ के लिए i ≠ j, फिर वैकल्पिक संपत्ति का निम्नलिखित सामान्यीकरण भी है:


 * $$ x_{1} \wedge x_{2} \wedge \cdots \wedge x_{k} = 0. $$

बाहरी उत्पाद की वितरण संपत्ति के साथ, एक और सामान्यीकरण यह है कि अगर और केवल अगर और केवल अगर $$ \{ x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{k} \} $$ वैक्टर का एक रैखिक निर्भर सेट है, फिर


 * $$ x_{1} \wedge x_{2} \wedge \cdots \wedge x_{k} = 0. $$

बाहरी शक्ति
V की kth 'बाहरी शक्ति', निरूपित $ \bigwedge\nolimits^k(V), $ का  वेक्टर उप -स्थान  है $ \bigwedge(V) $  रूप के तत्वों द्वारा  रैखिक अवधि



x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_k,\quad x_i \in V, i=1,2,\ldots, k. $$ यदि $ \alpha \in \bigwedge\nolimits^k(V), $ तब α को 'पी-वेक्टर | के-वेक्टर' कहा जाता है।यदि, इसके अलावा, α को V के k तत्वों के बाहरी उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तो α को 'विघटित' कहा जाता है।हालांकि विघटित के-वैक्टर स्पैन $ \bigwedge\nolimits^k(V), $  का हर तत्व नहीं $ \bigwedge\nolimits^k(V) $  विघटित है।उदाहरण के लिए, में $$ \mathbb R^4, $$ निम्नलिखित 2-वेक्टर विघटित नहीं है:


 * $$ \alpha = e_1 \wedge e_2 + e_3 \wedge e_4. $$

(यह एक सहानुभूतिपूर्ण रूप है, क्योंकि α ∧ α ≠ 0. )

आधार और आयाम
यदि आयाम (रैखिक बीजगणित)  $V$ है $n$ और ${ e_{1}, …, e_{n} }$ के लिए एक  आधार (रैखिक बीजगणित)  है $V$, फिर सेट



\{\,e_{i_1} \wedge e_{i_2} \wedge \cdots \wedge e_{i_k} ~ \big| 1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n \,\} $$ के लिए एक आधार है $ \bigwedge\nolimits^k(V). $ कारण निम्नलिखित है: फॉर्म के किसी भी बाहरी उत्पाद को देखते हुए


 * $$ v_1 \wedge \cdots \wedge v_k, $$

हर वेक्टर $v_{j}$ आधार वैक्टर के रैखिक संयोजन  के रूप में लिखा जा सकता है $e_{i}$;बाहरी उत्पाद की बिलिनियरिटी का उपयोग करते हुए, इसे उन आधार वैक्टर के बाहरी उत्पादों के एक रैखिक संयोजन में विस्तारित किया जा सकता है।कोई भी बाहरी उत्पाद जिसमें एक ही आधार वेक्टर एक से अधिक बार शून्य दिखाई देता है;कोई भी बाहरी उत्पाद जिसमें आधार वैक्टर उचित क्रम में दिखाई नहीं देते हैं, को फिर से व्यवस्थित किया जा सकता है, जब भी दो आधार वैक्टर स्थानों को बदलते हैं, संकेत को बदलते हैं।सामान्य तौर पर, आधार के परिणामस्वरूप गुणांक $k$-vectors को  मैट्रिक्स (गणित)  के  नाबालिग (रैखिक बीजगणित)  के रूप में गणना की जा सकती है जो वैक्टर का वर्णन करता है $v_{j}$ आधार के संदर्भ में $e_{i}$।

आधार तत्वों की गिनती करके, का आयाम $ \bigwedge\nolimits^k(V) $ एक  द्विपद गुणांक  के बराबर है:


 * $$ \dim {\textstyle\bigwedge}^k(V) = \binom{n}{k}\,. $$

कहां $n$ वैक्टर का आयाम है, और $k$ उत्पाद में वैक्टर की संख्या है।द्विपद गुणांक असाधारण मामलों के लिए भी सही परिणाम का उत्पादन करता है;विशेष रूप से, $ \bigwedge\nolimits^k(V) = \{ 0 \} $ के लिए $k > n$।

बाहरी बीजगणित के किसी भी तत्व को पी-वेक्टर के योग के रूप में लिखा जा सकता है |$k$-vectors।इसलिए, एक वेक्टर अंतरिक्ष के रूप में बाहरी बीजगणित मॉड्यूल का एक सीधा योग है



{\textstyle\bigwedge}(V) = {\textstyle\bigwedge}^0(V) \oplus {\textstyle\bigwedge}^1(V) \oplus {\textstyle\bigwedge}^2(V) \oplus \cdots \oplus {\textstyle\bigwedge}^n(V) $$ (जहां सम्मेलन द्वारा $ \bigwedge\nolimits^0(V) = K, $ क्षेत्र (गणित) अंतर्निहित $V$, और $ \bigwedge\nolimits^1(V) = V $ ), और इसलिए इसका आयाम द्विपद गुणांक के योग के बराबर है, जो 2 है$n$।

एक के-वेक्टर की रैंक
यदि $ \alpha \in \bigwedge\nolimits^k(V), $ फिर α को डिकम्पोज़ेबल पी-वेक्टर के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करना संभव है। K- वैक्टर:


 * $$ \alpha = \alpha^{(1)} + \alpha^{(2)} + \cdots + \alpha^{(s)} $$

जहां प्रत्येक α(i) डिकम्पोजेबल है, कहें



\alpha^{(i)} = \alpha^{(i)}_1 \wedge \cdots \wedge \alpha^{(i)}_k,\quad i = 1,2,\ldots, s. $$  K -वेक्टर  α  की रैंक  α  के इस तरह के विस्तार में विघटन योग्य  k -वैक्टर की न्यूनतम संख्या है।यह टेंसर रैंक  की धारणा के समान है।

2-वैक्टर के अध्ययन में रैंक विशेष रूप से महत्वपूर्ण है ।2-वेक्टर α के रैंक को एक आधार में α के गुणांक के मैट्रिक्स के आधे रैंक के साथ पहचाना जा सकता है।इस प्रकार अगर ईi V के लिए एक आधार है, तो α को विशिष्ट रूप से व्यक्त किया जा सकता है


 * $$ \alpha = \sum_{i,j}a_{ij}e_i \wedge e_j $$

कहां aij = −aji (गुणांक का मैट्रिक्स तिरछा-सममित मैट्रिक्स है। स्केव-सममित)।मैट्रिक्स की रैंक एij इसलिए भी है, और फॉर्म α के रैंक से दोगुना है।

विशेषता 0 में, 2-वेक्टर α में रैंक p है अगर और केवल अगर



\underset{p}{\underbrace{\alpha \wedge \cdots \wedge \alpha}} \neq 0 \ $$ और $$ \ \underset{p+1}{\underbrace{\alpha \wedge \cdots \wedge \alpha}} = 0. $$

ग्रेडेड संरचना
एक पी-वेक्टर के साथ एक के-वेक्टर का बाहरी उत्पाद एक है (k + p)-वेक्टर, एक बार फिर बिलीनियरिटी का आह्वान कर रहा है।परिणामस्वरूप, पूर्ववर्ती अनुभाग का प्रत्यक्ष योग अपघटन



{\textstyle\bigwedge}(V) = {\textstyle\bigwedge}^{\!0}(V) \oplus {\textstyle\bigwedge}^{\!1}(V) \oplus {\textstyle\bigwedge}^{\!2}(V) \oplus \cdots \oplus {\textstyle\bigwedge}^{\!n}(V) $$ बाहरी बीजगणित को एक ग्रेडेड बीजगणित की अतिरिक्त संरचना देता है, जो कि है



{\textstyle\bigwedge}^k(V) \wedge {\textstyle\bigwedge}^p(V) \sub {\textstyle\bigwedge}^{k+p}(V). $$ इसके अलावा, अगर $K$ आधार क्षेत्र है, हमारे पास है



{\textstyle\bigwedge}^{\!0}(V) = K $$ और $$ {\textstyle\bigwedge}^{\!1}(V) = V. $$ बाहरी उत्पाद को एंटीकोम्यूटेटिव वर्गीकृत किया गया है, जिसका अर्थ है कि अगर $ \alpha \in \bigwedge\nolimits^k(V) $ और $ \beta \in \bigwedge\nolimits^p(V), $  तब


 * $$ \alpha \wedge \beta = (-1)^{kp}\beta \wedge \alpha. $$

बाहरी बीजगणित पर ग्रेडेड संरचना का अध्ययन करने के अलावा, बाहरी बीजगणितों पर अतिरिक्त वर्गीकृत संरचनाओं का अध्ययन करता है, जैसे कि एक  वर्गीकृत मॉड्यूल  के बाहरी बीजगणित पर (एक मॉड्यूल जो पहले से ही अपने स्वयं के ग्रेडेशन को वहन करता है)।

सार्वभौमिक संपत्ति
होने देना $V$ क्षेत्र पर एक वेक्टर स्थान हो $K$।अनौपचारिक रूप से, गुणन में $ \bigwedge(V) $ प्रतीकों में हेरफेर करके और एक वितरण कानून, एक साहचर्य कानून, और पहचान का उपयोग करके किया जाता है $$ v \wedge v = 0 $$ के लिए $v ∈ V$।औपचारिक रूप से, $ \bigwedge(V) $  सबसे सामान्य बीजगणित है जिसमें ये नियम गुणन के लिए रखते हैं, इस अर्थ में कि कोई भी यूनिटल साहचर्य $K$-लगेबरा युक्त $V$ पर वैकल्पिक गुणन के साथ $V$ की एक समरूप छवि होनी चाहिए $ \bigwedge(V). $ दूसरे शब्दों में, बाहरी बीजगणित में निम्नलिखित  सार्वभौमिक संपत्ति  है:  किसी भी यूनिटल साहचर्य को देखते हुए $K$-लगेबरा $A$ और कोई भी $K$- रेखीय मानचित्र $$ j : V \to A $$ ऐसा है कि $$ j(v)j(v) = 0 $$ हरएक के लिए $v$ में $V$, फिर ठीक एक यूनिटल बीजगणित होमोमोर्फिज्म मौजूद है $ f : \bigwedge(V)\to A $  ऐसा है कि $j(v) = f(i(v))$ सबके लिए $v$ में $V$ (यहाँ $i$ का प्राकृतिक समावेश है $V$ में $ \bigwedge(V), $  ऊपर देखें)।

सबसे सामान्य बीजगणित का निर्माण करने के लिए $V$ और जिसका गुणन बारी -बारी से है $V$, सबसे सामान्य साहचर्य बीजगणित के साथ शुरू करना स्वाभाविक है जिसमें शामिल है $V$, टेंसर बीजगणित $T(V)$, और फिर एक उपयुक्त भागफल रिंग लेकर वैकल्पिक संपत्ति को लागू करें।इस प्रकार हम दो-तरफा आदर्श (रिंग थ्योरी) लेते हैं $I$ में $T(V)$ प्रपत्र के सभी तत्वों द्वारा उत्पन्न $v ⊗ v$ के लिए $v$ में $V$, और परिभाषित करें $ \bigwedge(V) $ भागफल के रूप में


 * $$ {\textstyle\bigwedge}(V) = T(V)/I\ $$

(और उपयोग करें $∧$ में गुणा के लिए प्रतीक के रूप में $ \bigwedge(V) $ )।यह दिखाने के लिए सीधा है $ \bigwedge(V) $ रोकना $V$ और उपरोक्त सार्वभौमिक संपत्ति को संतुष्ट करता है।

इस निर्माण के परिणामस्वरूप, एक वेक्टर स्थान को असाइन करने का संचालन $V$ इसके बाहरी बीजगणित $ \bigwedge(V) $ वेक्टर रिक्त स्थान की  श्रेणी (गणित)  से एक फंक्शनर है, जो बीजगणित की श्रेणी में है।

बजाय परिभाषित करने के लिए $ \bigwedge(V) $ पहले और फिर बाहरी शक्तियों की पहचान करना $ \bigwedge\nolimits^k(V) $  कुछ उप -स्थानों के रूप में, कोई वैकल्पिक रूप से रिक्त स्थान को परिभाषित कर सकता है $ \bigwedge\nolimits^k(V) $  पहले और फिर उन्हें बीजगणित बनाने के लिए उन्हें मिलाएं $ \bigwedge(V). $ इस दृष्टिकोण का उपयोग अक्सर अंतर ज्यामिति में किया जाता है और इसे अगले भाग में वर्णित किया जाता है।

सामान्यीकरण
एक कम्यूटेटिव रिंग आर और एक आर-मॉड्यूल (गणित) एम को देखते हुए, हम बाहरी बीजगणित को परिभाषित कर सकते हैं $ \bigwedge(M) $ ऊपर के रूप में, टेंसर बीजगणित टी ( एम ) के एक उपयुक्त भागफल के रूप में।यह अनुरूप सार्वभौमिक संपत्ति को संतुष्ट करेगा।के कई गुण $ \bigwedge(M) $  यह भी आवश्यक है कि एम एक  प्रोजेक्टिव मॉड्यूल  हो।जहां परिमित आयामीता का उपयोग किया जाता है, गुणों को आगे की आवश्यकता होती है कि एम को बारीक रूप से उत्पन्न मॉड्यूल और प्रोजेक्टिव होना चाहिए।सबसे आम स्थितियों के लिए सामान्यीकरण में पाया जा सकता है ।

वेक्टर बंडल ों के बाहरी बीजगणित को अक्सर ज्यामिति और टोपोलॉजी में माना जाता है।परिमित-आयामी वेक्टर बंडलों के बाहरी बीजगणित के बीजगणितीय गुणों के बीच कोई आवश्यक अंतर नहीं हैं और सेरे-वैन प्रमेय द्वारा फिनिश रूप से उत्पन्न प्रक्षेप्य मॉड्यूल के बाहरी बीजगणित हैं।अधिक सामान्य बाहरी बीजगणित को मॉड्यूल के शीफ (गणित) के लिए परिभाषित किया जा सकता है।

बारी -बारी से टेंसर बीजगणित
यदि k विशेषता 0 का एक क्षेत्र है, तब K के ऊपर एक वेक्टर स्पेस V के बाहरी बीजगणित को एंटीसिमेट्रिक टेनर्स से मिलकर टी (वी) के वेक्टर सबस्पेस के साथ कैनोनिक रूप से पहचाना जा सकता है।याद रखें कि बाहरी बीजगणित रूप के तत्वों द्वारा उत्पन्न आदर्श द्वारा बाहरी बीजगणित टी (वी) का भागफल है x ⊗ x।

टीr (v) डिग्री r के सजातीय टेनर्स का स्थान हो।यह विघटित टेंसर्स द्वारा फैल गया है


 * $$ v_1 \otimes \cdots \otimes v_r,\quad v_i \in V. $$

एक विघटित टेंसर के एंटीसिमेट्राइज़ेशन (या कभी-कभी तिरछी-सममितीकरण) द्वारा परिभाषित किया गया है



\operatorname{Alt}(v_1 \otimes \cdots \otimes v_r) = \frac{1}{r!}\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_r} \operatorname{sgn}(\sigma) v_{\sigma(1)} \otimes \cdots \otimes v_{\sigma(r)} $$ जहां राशि को प्रतीकों पर क्रमपरिवर्तन के सममित समूह  पर ले जाया जाता है {1, ..., r}. यह एक ऑपरेशन के लिए रैखिकता और समरूपता द्वारा फैली हुई है, जो कि पूर्ण टेंसर बीजगणित टी (वी) पर भी एएलटी द्वारा दर्शाया गया है।छवि Alt (t (v)) 'बारी -बारी से टेंसर बीजगणित' है, जिसे ए (v) को दर्शाया गया है।यह T (v) का एक वेक्टर उप -स्थान है, और यह T (v) पर एक ग्रेडेड वेक्टर स्थान की संरचना को विरासत में मिला है।यह एक साहचर्य वर्गीकृत उत्पाद वहन करता है $$ \widehat{\otimes} $$ द्वारा परिभाषित


 * $$ t~\widehat{\otimes}~s = \operatorname{Alt}(t \otimes s). $$

यद्यपि यह उत्पाद टेंसर उत्पाद से भिन्न है, ALT की कर्नेल ठीक है आदर्श I (फिर से, यह मानते हुए कि k की विशेषता 0 है), और एक विहित आइसोमोर्फिज्म है


 * $$ A(V)\cong {\textstyle\bigwedge}(V). $$

सूचकांक संकेतन
मान लीजिए कि v में परिमित आयाम n है, और यह एक आधार है e1, ..., en v दिया गया है।फिर कोई भी वैकल्पिक टेंसर t ∈ Ar(V) ⊂ Tr(V) के रूप में सूचकांक संकेतन में लिखा जा सकता है



t = t^{i_1i_2\cdots i_r}\, {\mathbf e}_{i_1} \otimes {\mathbf e}_{i_2} \otimes \cdots \otimes {\mathbf e}_{i_r}, $$ जहां टीi1⋅ir अपने सूचकांकों में एंटीसिमेट्रिक टेंसर है।

रैंक आर और पी के दो वैकल्पिक टेंसर्स टी और एस के बाहरी उत्पाद द्वारा दिया गया है



t~\widehat{\otimes}~s = \frac{1}{(r+p)!}\sum_{\sigma \in {\mathfrak S}_{r+p}}\operatorname{sgn}(\sigma)t^{i_{\sigma(1)} \cdots i_{\sigma(r)}} s^{i_{\sigma(r+1)} \cdots i_{\sigma(r+p)}} {\mathbf e}_{i_1} \otimes {\mathbf e}_{i_2} \otimes \cdots \otimes {\mathbf e}_{i_{r+p}}. $$ इस टेंसर के घटक ठीक से टेंसर उत्पाद के घटकों का तिरछा हिस्सा हैं s ⊗ t, सूचकांकों पर वर्ग कोष्ठक द्वारा निरूपित:



(t~\widehat{\otimes}~s)^{i_1\cdots i_{r+p}} = t^{[i_1\cdots i_r}s^{i_{r+1}\cdots i_{r+p}]}. $$

आंतरिक उत्पाद को निम्नानुसार सूचकांक संकेतन में भी वर्णित किया जा सकता है।होने देना $$ t = t^{i_0i_1\cdots i_{r-1}} $$ रैंक आर का एक एंटीसिमेट्रिक टेंसर बनें।फिर, के लिए α ∈ V∗, मैंαटी रैंक का एक वैकल्पिक टेंसर है r − 1, के द्वारा दिया गया



(i_\alpha t)^{i_1\cdots i_{r-1}} = r\sum_{j=0}^n\alpha_j t^{ji_1\cdots i_{r-1}}. $$ जहां n V का आयाम है।

अल्टरनेटिंग ऑपरेटर
दो वेक्टर रिक्त स्थान v और x और एक प्राकृतिक संख्या K, v से एक 'वैकल्पिक ऑपरेटर' को देखते हुएk to X एक बहुपक्षीय मानचित्र है


 * $$ f\colon V^k \to X $$

जब भी v1, ..., वीk V में रैखिक रूप से आश्रित वैक्टर हैं, फिर


 * $$ f(v_1,\ldots, v_k) = 0. $$

वो नक्शा


 * $$ w\colon V^k \to {\textstyle\bigwedge}^{\!k}(V) $$

जो संबद्ध करता है $$ k $$ से वैक्टर $$ V $$ उनके बाहरी उत्पाद, अर्थात् उनके संबंधित $$ k $$-वेक्टर, भी बारी -बारी से है।वास्तव में, यह नक्शा सबसे सामान्य वैकल्पिक ऑपरेटर है जो परिभाषित किया गया है $$ V^k; $$ किसी अन्य वैकल्पिक ऑपरेटर को देखते हुए $$ f : V^k \rightarrow X, $$ एक अद्वितीय रैखिक मानचित्र मौजूद है $$ \phi : \wedge^{k}(V) \rightarrow X $$ साथ $$ f = \phi \circ w. $$ यह सार्वभौमिक संपत्ति अंतरिक्ष की विशेषता है $$ \wedge^{k}(V) $$ और इसकी परिभाषा के रूप में काम कर सकते हैं।

अल्टरनेटिंग मल्टीलिनियर फॉर्म
उपरोक्त चर्चा मामले में माहिर है X = K, आधार क्षेत्र।इस मामले में एक बारी -बारी


 * $$ f : V^k \to K\ $$

एक वैकल्पिक बहुपक्षीय रूप  कहा जाता है।सभी वैकल्पिक मानचित्र मल्टीलिनियर फॉर्म का सेट  दोहरी वेक्टर स्थान  है, क्योंकि दो ऐसे मानचित्रों का योग, या एक स्केलर के साथ इस तरह के नक्शे का उत्पाद, फिर से बारी -बारी से है।बाहरी शक्ति की सार्वभौमिक संपत्ति द्वारा,  k  पर  k  के वैकल्पिक रूपों का स्थान दोहरी वेक्टर अंतरिक्ष के साथ  प्राकृतिक परिवर्तन  isomorphic है $ \bigl(\bigwedge\nolimits^k(V)\bigr)^*. $ यदि V परिमित-आयामी है, तो बाद वाला है  को $ \bigwedge\nolimits^k\left(V^*\right). $ विशेष रूप से, यदि v n- आयामी है, तो V से वैकल्पिक मानचित्रों के स्थान का आयामk to k द्विपद गुणांक है $ \binom{n}{k}. $ इस तरह की पहचान के तहत, बाहरी उत्पाद एक ठोस रूप लेता है: यह दो दिए गए लोगों से एक नया विरोधी सममितीय मानचित्र पैदा करता है।मान लीजिए ω : Vk → K और η : Vm → K दो विरोधी सममितीय नक्शे हैं।जैसा कि मल्टीलिनियर मैप्स के टेंसर उत्पाद ों के मामले में, उनके बाहरी उत्पाद के चर की संख्या उनके चर की संख्या का योग है।बहुपक्षीय रूपों के साथ बाहरी शक्ति के तत्वों की पहचान की पसंद के आधार पर, बाहरी उत्पाद को परिभाषित किया गया है


 * $$ \omega \wedge \eta = \operatorname{Alt}(\omega \otimes \eta) $$

या के रूप में



\omega \wedge \eta = \frac{(k+m)!}{k!\,m!}\operatorname{Alt}(\omega \otimes \eta), $$ जहां, यदि आधार फ़ील्ड K की विशेषता 0 है, तो एक बहु-मानचित्र के वैकल्पिक alt को इसके चर के सभी क्रमों पर हस्ताक्षर-समायोजित मूल्यों के औसत के रूप में परिभाषित किया गया है:



\operatorname{Alt}(\omega)(x_1,\ldots,x_k) = \frac{1}{k!}\sum_{\sigma \in S_k}\operatorname{sgn}(\sigma)\, \omega(x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(k)}). $$ जब क्षेत्र (गणित) k में एक क्षेत्र की विशेषता  होती है, तो किसी भी फैक्टरियल्स या किसी भी स्थिरांक के बिना दूसरी अभिव्यक्ति का एक समान संस्करण अच्छी तरह से परिभाषित होता है:



{\omega \wedge \eta(x_1,\ldots,x_{k+m})} = \sum_{\sigma \in \mathrm{Sh}_{k,m}} \operatorname{sgn}(\sigma)\, \omega(x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(k)})\, \eta(x_{\sigma(k+1)}, \ldots, x_{\sigma(k+m)}), $$ यहां कहां Shk,m ⊂ Sk+m (p, q) शफल का सबसेट है। {1, 2, ..., k + m} ऐसा है कि σ(1) < σ(2) < ⋯ < σ(k), और σ(k + 1) < σ(k + 2) < ⋯ < σ(k + m)।

आंतरिक उत्पाद
मान लीजिए कि v परिमित आयामी है।अगर वी∗ वेक्टर स्पेस V के लिए दोहरी स्थान को दर्शाता है, फिर प्रत्येक के लिए α ∈ V∗, बीजगणित पर एक व्युत्पत्ति (अमूर्त बीजगणित)  को परिभाषित करना संभव है $ \bigwedge(V), $

i_\alpha:{\textstyle\bigwedge}^k V \rightarrow {\textstyle\bigwedge}^{k-1}V. $$ इस व्युत्पत्ति को  α , या कभी -कभी सम्मिलन ऑपरेटर, या  α  द्वारा संकुचन के साथ आंतरिक उत्पाद कहा जाता है।

लगता है कि $ w \in \bigwedge\nolimits^k V. $ फिर डब्ल्यू  वी  का एक बहुपक्षीय मानचित्रण है∗ से k, इसलिए इसे K- फोल्ड कार्टेशियन उत्पाद पर इसके मूल्यों द्वारा परिभाषित किया गया है V∗ × V∗ × ... × V∗।अगर आप1, यू2, ..., यूk−1 हैं k − 1 वी के तत्व∗, फिर परिभाषित करें



(i_\alpha {\mathbf w})(u_1,u_2,\ldots,u_{k-1}) = {\mathbf w}(\alpha,u_1,u_2,\ldots, u_{k-1}). $$ इसके अतिरिक्त, चलो iαf = 0 जब भी f एक शुद्ध स्केलर होता है (यानी, से संबंधित $ \bigwedge\nolimits^0 V $ )।

स्वयंसिद्ध लक्षण वर्णन और गुण
आंतरिक उत्पाद निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है:

i_\alpha:{\textstyle\bigwedge}^k V\rightarrow {\textstyle\bigwedge}^{k-1}V. $$ (रिवाज के अनुसार, $ \bigwedge\nolimits^{-1}V=\{0\}. $ ) i_\alpha (a \wedge b) = (i_\alpha a) \wedge b + (-1)^{\deg a}a \wedge (i_\alpha b). $$ ये तीन गुण आंतरिक उत्पाद को चिह्नित करने के लिए पर्याप्त हैं और साथ ही इसे सामान्य अनंत-आयामी मामले में परिभाषित करते हैं।
 * 1) प्रत्येक k और प्रत्येक के लिए α ∈ V∗, $$
 * 1) यदि v v का एक तत्व है ($ = \bigwedge\nolimits^1 V $ ), तब iαv = α(v) v के तत्वों और v के तत्वों के बीच दोहरी जोड़ी है∗।
 * 2) प्रत्येक के लिए α ∈ V∗, मैंα डिग्री −1 की एक ग्रेडेड व्युत्पत्ति है:$$

आंतरिक उत्पाद के आगे के गुणों में शामिल हैं:
 * $$ i_\alpha\circ i_\alpha = 0. $$
 * $$ i_\alpha\circ i_\beta = -i_\beta\circ i_\alpha. $$

हॉज द्वैत
मान लीजिए कि v में परिमित आयाम n है।तब आंतरिक उत्पाद वेक्टर रिक्त स्थान के एक विहित आइसोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है



{\textstyle\bigwedge}^k(V^*) \otimes {\textstyle\bigwedge}^n(V) \to {\textstyle\bigwedge}^{n-k}(V) $$ पुनरावर्ती परिभाषा द्वारा


 * $$ i_{\alpha \wedge \beta} = i_\beta \circ i_\alpha. $$

ज्यामितीय सेटिंग में, शीर्ष बाहरी शक्ति का एक गैर-शून्य तत्व $ \bigwedge\nolimits^n(V) $ (जो एक आयामी वेक्टर स्पेस है) को कभी-कभी  खंड रूप  (या ओरिएंटेशन फॉर्म कहा जाता है, हालांकि यह शब्द कभी-कभी अस्पष्टता का कारण बन सकता है)।नाम अभिविन्यास फॉर्म इस तथ्य से आता है कि पसंदीदा शीर्ष तत्व का एक विकल्प पूरे बाहरी बीजगणित के एक अभिविन्यास को निर्धारित करता है, क्योंकि यह वेक्टर अंतरिक्ष के एक आदेशित आधार को ठीक करने के लिए समान है।पसंदीदा वॉल्यूम फॉर्म   'के सापेक्ष, आइसोमोर्फिज्म द्वारा स्पष्ट रूप से दिया गया है



{\textstyle\bigwedge}^k(V^*) \to {\textstyle\bigwedge}^{n-k}(V)
 * \alpha \mapsto i_\alpha\sigma.

$$ यदि, वॉल्यूम फॉर्म के अलावा, वेक्टर स्पेस V V के साथ V की पहचान करने वाले एक आंतरिक उत्पाद से लैस है∗, फिर परिणामी आइसोमोर्फिज्म को हॉज स्टार ऑपरेटर कहा जाता है, जो एक तत्व को अपने हॉज दोहरे के लिए मानचित्र करता है:



\star : {\textstyle\bigwedge}^k(V) \rightarrow {\textstyle\bigwedge}^{n-k}(V). $$ की रचना $$ \star $$ अपने आप के साथ नक्शे $ \bigwedge\nolimits^k(V) $ → $ \bigwedge\nolimits^k(V) $ और हमेशा पहचान मानचित्र का एक स्केलर मल्टीपल होता है।अधिकांश अनुप्रयोगों में, वॉल्यूम फॉर्म इस अर्थ में आंतरिक उत्पाद के साथ संगत है कि यह इस मामले में वी के एक ऑर्थोनॉर्मल आधार का एक बाहरी उत्पाद है,
 * $$ \star \circ \star : {\textstyle\bigwedge}^k(V) \to {\textstyle\bigwedge}^k(V) = (-1)^{k(n-k) + q}\mathrm{id} $$

जहां आईडी पहचान मैपिंग है, और आंतरिक उत्पाद में मीट्रिक हस्ताक्षर  हैं (p, q) - पी प्लसस और क्यू माइनस।

आंतरिक उत्पाद
V के लिए एक परिमित-आयामी स्थान, एक आंतरिक उत्पाद (या एक छद्म-यूक्लिडियन स्थान  | Pseudo-Euclidean Inner Product) V पर V के साथ V के एक आइसोमोर्फिज्म को परिभाषित करता है∗, और इसलिए भी एक आइसोमोर्फिज्म $ \bigwedge\nolimits^k V $  साथ $ \bigl(\bigwedge\nolimits^k V\bigr)^*. $ इन दो स्थानों के बीच की जोड़ी भी एक आंतरिक उत्पाद का रूप लेती है।विघटित के-वैक्टर पर,



\left\langle v_1 \wedge \cdots \wedge v_k, w_1 \wedge \cdots \wedge w_k\right\rangle = \det\bigl(\langle v_i,w_j\rangle\bigr), $$ आंतरिक उत्पादों के मैट्रिक्स के निर्धारक।विशेष मामले में vi = wi, आंतरिक उत्पाद K-vector का वर्ग मानदंड है, जो ग्रामियन मैट्रिक्स  के निर्धारक द्वारा दिया गया है (⟨vi, vj⟩)।यह तब एक गैर-पतनशील आंतरिक उत्पाद के लिए बिलिनियरली (या जटिल मामले में sesquilinearly) विस्तारित किया जाता है $ \bigwedge\nolimits^k V. $  अगर ईi, i = 1, 2, ..., n, V का एक orthonormal आधार, फिर प्रपत्र के वैक्टर


 * $$ e_{i_1} \wedge \cdots \wedge e_{i_k},\quad i_1 < \cdots < i_k, $$

के लिए एक orthonormal आधार का गठन करें $ \bigwedge\nolimits^k(V) $, कॉची -बनेट फॉर्मूला के बराबर एक बयान।

आंतरिक उत्पाद के संबंध में, बाहरी गुणा और आंतरिक उत्पाद पारस्परिक रूप से आसन्न हैं।विशेष तौर पर $ v \in \bigwedge\nolimits^{k-1}(V), $ $ w \in \bigwedge\nolimits^{k}(V), $  और $ x \in V, $

\langle x \wedge \mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle = \langle \mathbf{v}, i_{x^\flat}\mathbf{w}\rangle $$ कहां x♭ ∈ V∗ संगीत आइसोमोर्फिज्म है, रैखिक कार्यात्मक द्वारा परिभाषित किया गया है


 * $$ x^\flat(y) = \langle x, y\rangle $$

सबके लिए y ∈ V।यह संपत्ति पूरी तरह से बाहरी बीजगणित पर आंतरिक उत्पाद की विशेषता है।

वास्तव में, अधिक आम तौर पर के लिए $ v \in \bigwedge\nolimits^{k-l}(V), $ $ w \in \bigwedge\nolimits^{k}(V), $  और $ x \in \bigwedge\nolimits^{l}(V), $  उपरोक्त आसन्न गुणों का पुनरावृत्ति देता है



\langle \mathbf{x} \wedge \mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle = \langle \mathbf{v}, i_{\mathbf{x}^\flat}\mathbf{w}\rangle $$ कहाँ हैं $ x^\flat \in \bigwedge\nolimits^l\left(V^*\right) \simeq \bigl(\bigwedge\nolimits^l(V)\bigr)^* $ द्वारा परिभाषित दोहरी एल-वेक्टर है



\mathbf{x}^\flat(\mathbf{y}) = \langle \mathbf{x}, \mathbf{y}\rangle $$ सबके लिए $ y \in \bigwedge\nolimits^l(V). $

Bialgebra संरचना
वर्गीकृत बीजगणित के ग्रेडेड दोहरे के बीच एक पत्राचार है $ \bigwedge(V) $ और V. बाहरी बीजगणित (साथ ही सममित बीजगणित) पर वैकल्पिक रूप से रूपों को एक Bialgebra संरचना विरासत में मिला है, और, वास्तव में, Tensor बीजगणित से एक HOPF बीजगणित संरचना।विषय के विस्तृत उपचार के लिए टेंसर अल्जेब्रास पर लेख देखें।

ऊपर परिभाषित बहुपक्षीय रूपों के बाहरी उत्पाद पर परिभाषित एक नक़ली  के लिए दोहरी है $ \bigwedge(V), $  एक  कोयला  की संरचना देना।कॉपरोडक्ट एक रैखिक फ़ंक्शन है Δ : $ \bigwedge(V) $ → $ \bigwedge(V) $  ⊗ $ \bigwedge(V) $ जो द्वारा दिया गया है


 * $$ \Delta(v) = 1 \otimes v + v \otimes 1 $$

तत्वों पर v। v।प्रतीक 1 क्षेत्र के इकाई तत्व के लिए खड़ा है। K ⊂ $ \bigwedge(V) $, ताकि उपरोक्त वास्तव में झूठ बोलें $ \bigwedge(V) $ ⊗ $ \bigwedge(V) $. कॉपरोडक्ट की यह परिभाषा पूर्ण स्थान पर उठा दी गई है $ \bigwedge(V) $ (रैखिक) होमोमोर्फिज्म द्वारा। इस समरूपता का सही रूप वह नहीं है जो किसी को भी लिख सकता है, लेकिन कोलजबरा लेख में ध्यान से परिभाषित किया जाना चाहिए।इस मामले में, एक को प्राप्त होता है

\Delta(v \wedge w) = 1 \otimes (v \wedge w) + v \otimes w - w \otimes v + (v \wedge w) \otimes 1. $$ विस्तार से इसका विस्तार करते हुए, एक विघटित तत्वों पर निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त करता है:



\Delta(x_1 \wedge \cdots \wedge x_k) = \sum_{p=0}^k \; \sum_{\sigma \in Sh(p+1,k-p)} \; \operatorname{sgn}(\sigma) (x_{\sigma(0)} \wedge \cdots \wedge x_{\sigma(p)}) \otimes (x_{\sigma(p+1)} \wedge \cdots \wedge x_{\sigma(k)}). $$ जहां दूसरा सारांश सभी (पी, क्यू) फेरबदल पर ले लिया गया है |(p+1, k−p)-शफ़ल्स।उपरोक्त एक उल्लेखनीय चाल के साथ लिखा गया है, क्षेत्र तत्व 1 का ट्रैक रखने के लिए: ट्रिक लिखने के लिए है $$ x_0 = 1, $$ और यह फेरबदल पर योग के विस्तार के दौरान विभिन्न स्थानों में फेरबदल किया जाता है।फेरबदल एक सह-वृद्धि के पहले स्वयंसिद्ध से सीधे अनुसरण करता है: तत्वों का सापेक्ष क्रम $$ x_k $$ राइफल फेरबदल में संरक्षित है: राइफल फेरबदल केवल आदेशित अनुक्रम को दो क्रमबद्ध अनुक्रमों में विभाजित करता है, एक बाईं ओर, और एक दाईं ओर।

निरीक्षण करें कि कॉप्रोडक्ट बीजगणित की ग्रेडिंग को संरक्षित करता है।पूर्ण स्थान तक विस्तार $ \bigwedge(V), $ किसी के पास



\Delta:{\textstyle\bigwedge}^k(V) \to \bigoplus_{p=0}^k {\textstyle\bigwedge}^p(V) \otimes {\textstyle\bigwedge}^{k-p}(V) $$ इस खंड में उपयोग किए जाने वाले टेंसर प्रतीक को कुछ सावधानी के साथ समझा जाना चाहिए: यह वैकल्पिक उत्पाद की परिभाषा में उपयोग किए जा रहे एक के रूप में एक ही टेंसर प्रतीक नहीं है।सहज रूप से, यह शायद एक और, लेकिन अलग, टेंसर उत्पाद के रूप में सोचना सबसे आसान है: यह अभी भी (द्वि-) रैखिक है, जैसा कि टेंसर उत्पाद होना चाहिए, लेकिन यह वह उत्पाद है जो एक Bialgebra की परिभाषा के लिए उपयुक्त है, किऑब्जेक्ट बनाने के लिए है $ \bigwedge(V) $ ⊗ $ \bigwedge(V) $. किसी भी तरह के शक को समानता को इंगित करके हिलाया जा सकता है (1 ⊗ v) ∧ (1 ⊗ w) = 1 ⊗ (v ∧ w) और (v ⊗ 1) ∧ (1 ⊗ w) = v ⊗ w, जो टेंसर और वेज प्रतीकों को शामिल करने वाले भोले जोड़ -तोड़ के विपरीत, कोयला की परिभाषा से पालन करते हैं।यह अंतर टेंसर बीजगणित पर लेख में अधिक विस्तार से विकसित किया गया है।यहां, एक समस्या बहुत कम है, जिसमें वैकल्पिक उत्पाद ∧ स्पष्ट रूप से Bialgebra में गुणा से मेल खाता है, जो कि Bialgebra की परिभाषा में उपयोग के लिए प्रतीक को मुक्त छोड़ देता है।व्यवहार में, यह कोई विशेष समस्या प्रस्तुत नहीं करता है, जब तक कि एक अपवाद के साथ, वेज प्रतीक द्वारा ⊗ के वैकल्पिक रकम को बदलने के घातक जाल से बचता है।एक से एक वैकल्पिक उत्पाद का निर्माण कर सकता है, इस समझ के साथ कि यह एक अलग स्थान पर काम करता है।तुरंत नीचे, एक उदाहरण दिया गया है: दोहरी जगह के लिए वैकल्पिक उत्पाद कोपोडक्ट के संदर्भ में दिया जा सकता है।यहाँ Bialgebra का निर्माण टेंसर बीजगणित लेख में निर्माण को लगभग बिल्कुल समानता देता है, सिवाय बाहरी बीजगणित के लिए वैकल्पिक संकेतों को सही ढंग से ट्रैक करने की आवश्यकता को छोड़कर।

कॉपरोडक्ट के संदर्भ में, दोहरे स्थान पर बाहरी उत्पाद सिर्फ कॉपरोडक्ट का ग्रेडेड ड्यूल है:



(\alpha \wedge \beta)(x_1 \wedge \cdots \wedge x_k) = (\alpha \otimes \beta)\left(\Delta(x_1 \wedge \cdots \wedge x_k)\right) $$ जहां दाहिने हाथ की तरफ टेंसर उत्पाद बहुपक्षीय रैखिक मानचित्रों का है (असंगत सजातीय डिग्री के तत्वों पर शून्य द्वारा विस्तारित: अधिक सटीक रूप से, α ∧ β = ε ∘ (α ⊗ β) ∘ Δ, जहां ε परामर्श है, जैसा कि वर्तमान में परिभाषित किया गया है)।

'Counit' समरूपता है ε : $ \bigwedge(V) $ → K यह अपने तर्क के 0-ग्रेडेड घटक को लौटाता है।बाहरी उत्पाद के साथ, कॉप्रोडक्ट और काउंसिट, बाहरी बीजगणित पर एक Bialgebra की संरचना को परिभाषित करते हैं।

द्वारा सजातीय तत्वों पर परिभाषित एक एंटीपोड के साथ $$ S(x) = (-1)^{\binom{\text{deg}\, x\, + 1}{2}}x, $$ बाहरी बीजगणित एक हॉपफ बीजगणित है। <!- यह इस बारे में कुछ कहने लायक हो सकता है, लेकिन पहले से ही ऊपर गुजरने में उल्लेख किया गया है।

फंक्शनलिटी
मान लीजिए कि v और w वेक्टर रिक्त स्थान की एक जोड़ी हैं और f : V → W एक रैखिक मानचित्र है।फिर, सार्वभौमिक संपत्ति द्वारा, ग्रेडेड अल्जेब्रा का एक अद्वितीय समरूपता मौजूद है



{\textstyle\bigwedge}(f)
 * {\textstyle\bigwedge}(V)\rightarrow {\textstyle\bigwedge}(W)

$$ ऐसा है कि



{\textstyle\bigwedge}(f)\left|_{{\textstyle\bigwedge}^1(V)}\right. = f : V={\textstyle\bigwedge}^1(V)\rightarrow W={\textstyle\bigwedge}^1(W). $$ विशेष रूप से, $ \bigwedge\left(f\right) $ सजातीय डिग्री को संरक्षित करता है।के-ग्रेडेड घटक $ \bigwedge\left(f\right) $  द्वारा विघटित तत्वों पर दिया जाता है



{\textstyle\bigwedge}(f)(x_1 \wedge \cdots \wedge x_k) = f(x_1) \wedge \cdots \wedge f(x_k). $$ होने देना



{\textstyle\bigwedge}^k(f) = {\textstyle\bigwedge} (f)\left|_{{\textstyle\bigwedge}^k(V)}\right.
 * {\textstyle\bigwedge}^k(V) \rightarrow {\textstyle\bigwedge}^k(W).

$$ परिवर्तन के घटक $ \bigwedge\nolimits^k\left(f\right) $ वी और डब्ल्यू के आधार के सापेक्ष मैट्रिक्स है k × k एफ के नाबालिग।विशेष रूप से, अगर V = W और v परिमित आयाम n का है, फिर $ \bigwedge\nolimits^n\left(f\right) $  एक-आयामी वेक्टर स्पेस की मैपिंग है $ \bigwedge\nolimits^n(V) $  अपने आप को, और इसलिए एक स्केलर द्वारा दिया जाता है: एफ का निर्धारक।

सटीकता
यदि $$ 0 \to U \to V \to W \to 0 $$ वेक्टर रिक्त स्थान का एक छोटा सटीक अनुक्रम है, फिर



0 \to {\textstyle\bigwedge}^1(U) \wedge {\textstyle\bigwedge}(V) \to {\textstyle\bigwedge}(V) \to {\textstyle\bigwedge}(W) \to 0 $$ ग्रेडेड वेक्टर रिक्त स्थान का एक सटीक अनुक्रम है, जैसा है



0 \to \bigwedge(U) \to \bigwedge(V). $

प्रत्यक्ष रकम
विशेष रूप से, एक प्रत्यक्ष राशि का बाहरी बीजगणित बाहरी बीजगणित के टेंसर उत्पाद के लिए आइसोमोर्फिक है:



{\textstyle\bigwedge}(V \oplus W) \cong {\textstyle\bigwedge}(V) \otimes {\textstyle\bigwedge}(W). $$ यह एक वर्गीकृत आइसोमोर्फिज्म है;अर्थात।,



{\textstyle\bigwedge}^k(V \oplus W) \cong \bigoplus_{p+q=k} {\textstyle\bigwedge}^p(V) \otimes {\textstyle\bigwedge}^q(W). $$ अधिक सामान्यता में, वेक्टर रिक्त स्थान के एक छोटे से सटीक अनुक्रम के लिए $ 0 \to U \mathrel{\overset{f}\to} V \mathrel{\overset{g}\to} W \to 0, $ एक प्राकृतिक निस्पंदन ( गणित ) है



0 = F^0 \subseteq F^1 \subseteq \cdots \subseteq F^k \subseteq F^{k+1} = {\textstyle\bigwedge}^k(V) $$ कहां $$ F^p $$ के लिए $$ p \geq 1 $$ फॉर्म के तत्वों द्वारा फैलाया जाता है $$ u_1 \wedge \ldots \wedge u_{k + 1-p} \wedge v_1 \wedge \ldots v_{p - 1} $$ के लिए $$ u_i \in U $$ और $$ v_i \in V. $$ इसी उद्धरण एक प्राकृतिक आइसोमोर्फिज्म को स्वीकार करते हैं



F^{p+1}/F^p \cong {\textstyle\bigwedge}^{k-p}(U) \otimes {\textstyle\bigwedge}^p(W) $$ के द्वारा दिया गया $$ u_1 \wedge \ldots \wedge u_{k + 1 -p} \wedge v_1 \wedge \ldots \wedge v_{p - 1} \mapsto u_1 \wedge \ldots \wedge u_{k+1-p} \otimes g(v_1) \wedge \ldots \wedge g(v_{p - 1}). $$ विशेष रूप से, यदि यू 1-आयामी है तो



0 \to U \otimes {\textstyle\bigwedge}^{k-1}(W) \to {\textstyle\bigwedge}^k(V) \to {\textstyle\bigwedge}^k(W) \to 0 $$ सटीक है, और यदि डब्ल्यू 1-आयामी है तो



0 \to {\textstyle\bigwedge}^k(U) \to {\textstyle\bigwedge}^k(V) \to {\textstyle\bigwedge}^{k-1}(U) \otimes W \to 0 $$ सटीक है।

रैखिक बीजगणित
रैखिक बीजगणित के अनुप्रयोगों में, बाहरी उत्पाद एक मैट्रिक्स (गणित) के निर्धारक और मामूली (मैट्रिक्स) का वर्णन करने के लिए एक अमूर्त बीजगणितीय तरीके प्रदान करता है।उदाहरण के लिए, यह अच्छी तरह से ज्ञात है कि एक वर्ग मैट्रिक्स का निर्धारक समानांतरोटोप की मात्रा के बराबर है, जिसके पक्ष मैट्रिक्स के स्तंभ हैं (एक संकेत के साथ ओरिएंटेशन को ट्रैक करने के लिए)।इससे पता चलता है कि निर्धारक को स्तंभ वैक्टर के बाहरी उत्पाद के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है।इसी तरह, k × k एक मैट्रिक्स के नाबालिगों को एक समय में चुने गए कॉलम वैक्टर के बाहरी उत्पादों को देखकर परिभाषित किया जा सकता है।इन विचारों को न केवल मैट्रिसेस तक बल्कि रैखिक परिवर्तनों के लिए भी बढ़ाया जा सकता है: एक रैखिक परिवर्तन का निर्धारक वह कारक है जिसके द्वारा यह किसी भी दिए गए संदर्भ समानांतरता के उन्मुख मात्रा को बढ़ाता है।इसलिए एक रैखिक परिवर्तन के निर्धारक को शीर्ष बाहरी शक्ति में परिवर्तन के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है।कम बाहरी शक्तियों पर एक परिवर्तन की कार्रवाई परिवर्तन के नाबालिगों के बारे में बात करने के लिए एक वेक्टर अंतरिक्ष-स्वतंत्र तरीके का आधार देती है।

तकनीकी विवरण: परिभाषाएँ
होने देना $$ V $$ क्षेत्र पर एक एन-आयामी वेक्टर स्थान हो $$ K $$ आधार के साथ $$ \{e_1, \ldots, e_n\}. $$ {\textstyle\bigwedge}^k A(v_1 \wedge \cdots \wedge v_k) = Av_1 \wedge \cdots \wedge Av_k $$ और सभी टेंसरों के लिए रैखिक रूप से परिभाषा का विस्तार करें।अधिक आम तौर पर, हम परिभाषित कर सकते हैं $ \bigwedge^p A^k \in \operatorname{End}\bigl(\bigwedge^p V\bigr), (p \geq k) $ द्वारा सरल टेंसर्स पर $$\begin{align} &\left({\textstyle\bigwedge}^p A^k \right)(v_1 \wedge \cdots \wedge v_p) \\[10mu] &\qquad= \sum_{0 \leq i_1 < \cdots < i_k \leq p} v_1 \wedge \cdots \wedge Av_{i_1} \wedge \cdots \wedge Av_{i_k} \wedge \cdots \wedge v_p \end{align}$$ यानी K घटक चुनें, जिस पर A कार्य करेगा, फिर विभिन्न विकल्पों से प्राप्त सभी परिणामों को समेटें।यदि $$ p < k, $$ परिभाषित करना $ \bigwedge^p A^k = 0. $ तब से $ \bigwedge^n V $  आधार के साथ 1-आयामी है $$ e_1 \wedge \cdots \wedge e_n, $$ हम पहचान सकते हैं $ \bigwedge^n A^k $  अद्वितीय संख्या के साथ $$ \kappa \in K $$ संतुष्टि देने वाला $$ {\textstyle\bigwedge}^n A^k (e_1 \wedge \cdots \wedge e_n) = \kappa (e_1 \wedge \cdots \wedge e_n). $$
 * के लिए $$ A \in \operatorname{End}(V), $$ परिभाषित करना $ \bigwedge^k A \in \operatorname{End}\bigl(\bigwedge^k V\bigr) $ द्वारा सरल टेंसर्स पर $$
 * के लिए $$ \varphi \in \operatorname{End}\bigl({\textstyle\bigwedge}^p V\bigr), $$ बाहरी ट्रांसपोज़ को परिभाषित करें $ \varphi^\mathrm{T} \in \operatorname{End}\bigl(\bigwedge^{n-p} V\bigr) $ अद्वितीय ऑपरेटर संतुष्ट होना $ (\varphi^\mathrm{T}\omega_{n-p}) \wedge \omega_p = \omega_{n-p} \wedge (\varphi \omega_p) $  किसी के लिए $ \omega_p \in {\textstyle\bigwedge}^p V$  और $ \omega_{n-p} \in {\textstyle\bigwedge}^{n-p}V. $
 * के लिए $$ A \in \operatorname{End}(V), $$ परिभाषित करना $ \det A = \bigwedge^n A^n,$ $ \operatorname{Tr}(A) = \bigwedge^n A^1, $  $ \operatorname{adj} A = \bigl(\bigwedge^{n-1} A^{n-1}\bigr)^\mathrm{T}. $  ये पिछली परिभाषाओं के बराबर हैं।

मूल गुण
निर्धारक, ट्रेस और आसन्न की अन्य परिभाषाओं से प्राप्त सभी परिणाम इस परिभाषा से प्राप्त किए जा सकते हैं (क्योंकि ये परिभाषाएँ समकक्ष हैं)।यहां इन नई परिभाषाओं से संबंधित कुछ बुनियादी गुण हैं:

\psi:\operatorname{End}\bigl({\textstyle\bigwedge}^k V\bigr) \cong \operatorname{End}\bigl({\textstyle\bigwedge}^{n-k} V\bigr) \\ A \mapsto A^\mathrm{T} \end{cases}$$ हालांकि, के बीच कोई विहित आइसोमोर्फिज्म नहीं है $ \bigwedge^k V $ और $ \bigwedge^{n-k} V. $ k \leq n-1, p \leq k, A \in \operatorname{End}(V), $$ $$ \sum_{q=0}^p \bigl({\textstyle\bigwedge}^{n-k} A^{p-q} \bigr)^\mathrm{T} \bigl({\textstyle\bigwedge}^k A^q \bigr) = \bigl({\textstyle\bigwedge}^n A^p \bigr) \operatorname{Id} \in \operatorname{End}(V). $$ विशेष रूप से, $$ \bigl({\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^{p-1} \bigr)^\mathrm{T} A + \bigl({\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^p \bigr)^\mathrm{T} = \bigl({\textstyle\bigwedge}^n A^p \bigr) \operatorname{Id} $$ और इसलिए $$ (\operatorname{adj} A)A = \bigl({\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^{n-1} \bigr)^\mathrm{T} A = \bigl({\textstyle\bigwedge}^n A^n \bigr) \operatorname{Id} =(\det A)\operatorname{Id}. $$ \bigl({\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^p \bigr)^\mathrm{T} = \sum_{q=0}^p \bigl({\textstyle\bigwedge}^n A^{p-q} \bigr)(-A)^q = \sum_{q=0}^p \operatorname{Tr} \bigl({\textstyle\bigwedge}^{p-q} A \bigr)(-A)^q. $$ विशेष रूप से, $$ \operatorname{adj} A = \sum_{q=0}^{n-1} \bigl({\textstyle\bigwedge}^n A^{n-q-1} \bigr)(-A)^q. $$ \operatorname{Tr} \bigl({\textstyle\bigwedge}^k \operatorname{adj} A \bigr) = {\textstyle\bigwedge}^n (\operatorname{adj} A)^k = (\det A)^{k-1} \bigl({\textstyle\bigwedge}^n A^{n-k} \bigr) = (\det A)^{k-1} \operatorname{Tr} \bigl({\textstyle\bigwedge}^{n-k} A \bigr). $$ \operatorname{Tr}\! \Bigl( \bigl({\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^k \bigr)^\mathrm{T} \Bigr) = (n-k) {\textstyle\bigwedge}^n A^p = (n-k) \operatorname{Tr}\left({\textstyle\bigwedge}^p A \right). $$ \operatorname{ch}_A(t) = \sum_{k=0}^n \operatorname{Tr} \bigl({\textstyle\bigwedge}^k A \bigr)(-t)^{n-k} = \sum_{k=0}^n \left({\textstyle\bigwedge}^n A^k \right)(-t)^{n-k}. $$ इसी तरह, $$ \operatorname{ch}_{\operatorname{adj} A}(t) = \sum_{k=0}^n \left({\textstyle\bigwedge}^n(\operatorname{adj} A)^k \right)(-t)^{n-k} = \sum_{k=0}^n (\det A)^{k-1} \left({\textstyle\bigwedge}^n A^{n-k} \right)(-t)^{n-k} $$
 * $$ (\cdot)^\mathrm{T} $$ है $$ K $$-लाइनर।
 * $$ (AB)^\mathrm{T} = B^\mathrm{T} A^\mathrm{T}. $$
 * हमारे पास एक विहित आइसोमोर्फिज्म है $$\begin{cases}
 * $ \operatorname{Tr} \bigl(\bigwedge^k A \bigr) = \bigwedge^n A^k. $ की ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स की प्रविष्टियाँ $ \bigwedge^k A $  हैं $$ k \times k $$-मिनर्स $$ A. $$
 * सबके लिए $$
 * विशेषता बहुपद $$ \operatorname{ch}_A(t) $$ का $$ A \in \operatorname{End}(V) $$ द्वारा दिया जा सकता है $$

लीवरियर का एल्गोरिथ्म
$ \bigwedge^n A^k $ के गुणांक हैं $$ (-t)^{n-k} $$ विशेषता बहुपद में शब्द।वे भी के भावों में दिखाई देते हैं $ \bigl(\bigwedge^{n-1} A^p\bigr)^\mathrm{T} $  और $ \bigwedge^n (\operatorname{adj} A)^k. $ लीवरियर का एल्गोरिथ्म कंप्यूटिंग का एक किफायती तरीका है $ \bigwedge^n A^k $  और $ \bigwedge^{n-1} A^k \colon$
 * सेट $ \bigwedge^{n-1} A^0 = 1; $
 * के लिए $$ k = n-1, n-2, \ldots, 1, 0, $$

{\textstyle\bigwedge}^n A^{n-k} = \frac{1}{n-k} \operatorname{Tr}(A \circ {\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^{n-k-1}); $$

{\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^{n-k} = {\textstyle\bigwedge}^n A^{n-k} \cdot \operatorname{Id} - A \circ {\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^{n-k-1}. $$

भौतिकी
भौतिकी में, कई मात्राओं को स्वाभाविक रूप से वैकल्पिक ऑपरेटरों द्वारा दर्शाया जाता है।उदाहरण के लिए, यदि चार-आयामी स्पेसटाइम में एक चार्ज कण की गति वेग और त्वरण वैक्टर द्वारा वर्णित की जाती है, तो वेग वेक्टर के सामान्यीकरण के लिए आवश्यक है कि विद्युत चुम्बकीय बल वेग पर एक वैकल्पिक ऑपरेटर होना चाहिए।इसकी छह डिग्री स्वतंत्रता की पहचान विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के साथ की जाती है।

रैखिक ज्यामिति
डिकम्पोज़ेबल के-वैक्टर की ज्यामितीय व्याख्याएं हैं: bivector $u ∧ v$ वैक्टर द्वारा फैले हुए विमान का प्रतिनिधित्व करता है, एक संख्या के साथ भारित, पक्ष यू और वी के साथ उन्मुख समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र द्वारा दिया गया। $u ∧ v ∧ w$ किनारों यू, वी, और डब्ल्यू के साथ उन्मुख समानांतर की मात्रा द्वारा भारित 3-स्पेस का प्रतिनिधित्व करता है।

प्रोजेक्टिव ज्यामिति
डीकंपोज़ेबल के-वैक्टर इन $ \bigwedge\nolimits^k V $ V के भारित k- आयामी रैखिक उप-समूहों के अनुरूप, विशेष रूप से, V के k- आयामी उप-समूहों के  ग्रासमैनियन, ने GR को निरूपित कियाk(V), स्वाभाविक रूप से  प्रोजेक्टिव स्पेस  की एक बीजीय किस्म के साथ पहचाना जा सकता है $ P\bigl(\bigwedge\nolimits^k V\bigr). $ इसे Plücker एम्बेडिंग कहा जाता है।

अंतर ज्यामिति
बाहरी बीजगणित में अंतर ज्यामिति में उल्लेखनीय अनुप्रयोग हैं, जहां इसका उपयोग अंतर रूपों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। विभेदक रूप गणितीय वस्तुएं हैं जो वैक्टर की लंबाई, समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रों, और समानांतरपिप्ड#समानांतरी के संस्करणों का मूल्यांकन करती हैं।कैलकुलस से सतह का [[ अभिन्न  अंग ]]।एक अलग -अलग कई गुना के बिंदु पर एक अंतर फॉर्म बिंदु पर  स्पर्शरेखा स्थान  पर एक वैकल्पिक बहुपक्षीय रूप है।समान रूप से, डिग्री k का एक विभेदक रूप स्पर्शरेखा अंतरिक्ष के k-th बाहरी शक्ति पर एक  रैखिक कार्यात्मक  है।परिणामस्वरूप, बहु -उत्पाद रूपों का बाहरी उत्पाद विभेदक रूपों के लिए एक प्राकृतिक बाहरी उत्पाद को परिभाषित करता है।विभेदक रूप अंतर ज्यामिति के विभिन्न क्षेत्रों में एक प्रमुख भूमिका निभाते हैं।

एक अंतर (गणित) #Differentials के रूप में कार्यों के रोगाणु रोगाणु (गणित)  के संदर्भ में अंतर रूपों को परिभाषित करते हैं।

विशेष रूप से, बाहरी व्युत्पन्न  एक विभेदक वर्गीकृत बीजगणित की संरचना को कई गुना पर विभेदक रूपों के बाहरी बीजगणित देता है। विविध ्स के बीच चिकनी मैपिंग के साथ पुलबैक (डिफरेंशियल ज्यामिति) के साथ बाहरी व्युत्पन्न आवागमन करता है, और इसलिए यह एक प्राकृतिक परिवर्तन अंतर ऑपरेटर है।बाहरी व्युत्पन्न के बाहरी बीजगणित, बाहरी व्युत्पन्न से सुसज्जित, एक  कोचेन कॉम्प्लेक्स  है, जिसके कोहोमोलॉजी को अंतर्निहित कई गुना के  एक शॉवर के रूप में डी रहीम  कहा जाता है और अलग -अलग मैनिफोल्ड के बीजगणितीय टोपोलॉजी में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

प्रतिनिधित्व सिद्धांत
प्रतिनिधित्व सिद्धांत में, बाहरी बीजगणित वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी में दो मौलिक शूर फंक्टर  में से एक है, दूसरा सममित बीजगणित है।साथ में, इन निर्माणों का उपयोग  सामान्य रैखिक समूह  के ireducible प्रतिनिधित्व को उत्पन्न करने के लिए किया जाता है; मौलिक प्रतिनिधित्व  देखें।

सुपरस्पेस
जटिल संख्याओं पर बाहरी बीजगणित एक सुपरराल्जबरा  का कट्टरपंथी उदाहरण है, जो  फर्मियन  और  अध्याय  से संबंधित भौतिक सिद्धांतों में एक मौलिक भूमिका निभाता है।बाहरी बीजगणित के एक एकल तत्व को एक सुपरनर कहा जाता है या  ग्रासमैन नंबर ।बाहरी बीजगणित ही केवल एक आयामी  अधीन करना  है: यह बाहरी बीजगणित में सभी बिंदुओं का सेट है।इस स्थान पर टोपोलॉजी अनिवार्य रूप से  कमजोर टोपोलॉजी  है,  खुले सेट   सिलेंडर सेट  हैं।एक $n$-डिमेंशनल सुपरस्पेस सिर्फ है $n$बाहरी बीजगणितों का गुफा उत्पाद।

झूठ बीजगणित होमोलॉजी
चलो एक क्षेत्र k पर एक झूठ बीजगणित हो, तो एल के बाहरी बीजगणित पर एक श्रृंखला परिसर की संरचना को परिभाषित करना संभव है। यह एक के-रैखिक मानचित्रण है



\partial : {\textstyle\bigwedge}^{p+1}L \to {\textstyle\bigwedge}^p L $$ द्वारा विघटित तत्वों पर परिभाषित किया गया



\partial (x_1 \wedge \cdots \wedge x_{p+1}) = \frac{1}{p+1}\sum_{j<\ell}(-1)^{j+\ell+1}[x_j,x_\ell] \wedge x_1 \wedge \cdots \wedge \hat{x}_j \wedge \cdots \wedge \hat{x}_\ell \wedge \cdots \wedge x_{p+1}. $$ जैकोबी पहचान है अगर और केवल अगर ∂∂ = 0, और इसलिए यह एक एंटीकोम्यूटेटिव नॉनसोसिएटिव बीजगणित एल के लिए एक झूठ बीजगणित होने के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति है।इसके अलावा, उस मामले में $ \bigwedge L $ सीमा ऑपरेटर के साथ एक चेन कॉम्प्लेक्स है।इस परिसर से जुड़ा होमोलॉजी सिद्धांत  झूठ बीजगणित होमोलॉजी  है।

होमोलॉजिकल बीजगणित
बाहरी बीजगणित जटिल शर्ट  के निर्माण में मुख्य घटक है, जो होमोलॉजिकल बीजगणित में एक मौलिक वस्तु है।

इतिहास
बाहरी बीजगणित को पहली बार हर्मन ग्रासमैन द्वारा 1844 में ऑसडेनुंग्सलेह्रे के कंबल शब्द, या विस्तार के सिद्धांत के तहत पेश किया गया था। यह आम तौर पर विस्तारित मात्रा के एक बीजीय (या स्वयंसिद्ध) सिद्धांत के लिए संदर्भित किया गया था और वेक्टर अंतरिक्ष की आधुनिक धारणा के लिए शुरुआती अग्रदूतों में से एक था।Adhémar जीन क्लाउड बैरे डे सेंट-वेन्टेंट | सेंट-वेन्ट ने बाहरी कैलकुलस के समान विचार भी प्रकाशित किए, जिसके लिए उन्होंने ग्रासमैन पर प्राथमिकता का दावा किया। बीजगणित स्वयं नियमों, या स्वयंसिद्धों के एक सेट से बनाया गया था, जो केली और सिल्वेस्टर के मल्टीवेक्टर के सिद्धांत के औपचारिक पहलुओं को कैप्चर करता है।यह इस प्रकार एक कैलकुलस था, बहुत कुछ प्रस्तावित पथरी की तरह, विशेष रूप से ज्यामितीय शब्दों में औपचारिक तर्क के कार्य पर केंद्रित है। विशेष रूप से, इस नए विकास ने आयाम के एक स्वयंसिद्ध लक्षण वर्णन के लिए अनुमति दी, एक संपत्ति जो पहले केवल समन्वय दृष्टिकोण से जांच की गई थी।

वैक्टर और बहुवक्षीय  के इस नए सिद्धांत का आयात 19 वीं शताब्दी के गणितज्ञों के मध्य में खो गया था, 1888 में Giuseppe पीनो द्वारा पूरी तरह से vetted होने तक। मीनो का काम भी सदी के मोड़ तक कुछ हद तक अस्पष्ट रहा, जब इस विषय को फ्रांसीसी ज्यामिति स्कूल के सदस्यों द्वारा एकीकृत किया गया था (विशेष रूप से हेनरी पोइंकेरे, élie कार्टन, और गैस्टन डारबॉक्स )विभेदक रूपों की पथरी के लिए विचार।

थोड़ी देर बाद, अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड, मीनो और ग्रासमैन के विचारों से उधार लेते हुए, ने अपने सार्वभौमिक बीजगणित को पेश किया।इसके बाद एक फर्म तार्किक पायदान पर एक बीजीय प्रणाली की स्वयंसिद्ध धारणा को रखकर अमूर्त बीजगणित के 20 वीं शताब्दी के विकास के लिए मार्ग प्रशस्त किया।

यह भी देखें

 * बारी -बारी से बीजगणित
 * बाहरी कैलकुलस पहचान
 * क्लिफोर्ड बीजगणित, एक नॉनज़ेरो द्विघात रूप  का उपयोग करके बाहरी बीजगणित का एक सामान्यीकरण
 * ज्यामितीय बीजगणित
 * कोसज़ुल कॉम्प्लेक्स
 * बहुस्तरीय बीजगणित
 * सममित बीजगणित, सममित एनालॉग
 * टेंसर बीजगणित
 * वेइल बीजगणित, एक सहानुभूतिपूर्ण रूप से सममित बीजगणित का एक क्वांटम समूह

गणितीय संदर्भ

 * बारी -बारी से टेंसर्स और वैकल्पिक रूपों का उपचार, साथ ही इस लेख में अपनाए गए परिप्रेक्ष्य से हॉज द्वैत की विस्तृत चर्चा शामिल है।
 * यह लेख के लिए मुख्य गणितीय संदर्भ है।यह एक कम्यूटेटिव रिंग पर एक मॉड्यूल के बाहरी बीजगणित का परिचय देता है (हालांकि यह लेख मुख्य रूप से उस मामले में माहिर है जब रिंग एक क्षेत्र है), जिसमें सार्वभौमिक संपत्ति, फंक्शनलिटी, द्वैत और बायलजबरा संरचना की चर्चा शामिल है।§Iii.7 और §iii.11 देखें।
 * इस पुस्तक में आंशिक अंतर समीकरण ों में समस्याओं के लिए बाहरी बीजगणित के अनुप्रयोग शामिल हैं।रैंक और संबंधित अवधारणाएं शुरुआती अध्यायों में विकसित की जाती हैं।
 * अध्याय XVI सेक्शन 6-10 बाहरी बीजगणित का अधिक प्राथमिक खाता देते हैं, जिसमें द्वंद्व, निर्धारक और नाबालिगों और वैकल्पिक रूप शामिल हैं।
 * बाहरी बीजगणित का एक शास्त्रीय उपचार बारी -बारी से टेनर्स के रूप में होता है, और अंतर ज्यामिति के लिए अनुप्रयोग।
 * इस पुस्तक में आंशिक अंतर समीकरण ों में समस्याओं के लिए बाहरी बीजगणित के अनुप्रयोग शामिल हैं।रैंक और संबंधित अवधारणाएं शुरुआती अध्यायों में विकसित की जाती हैं।
 * अध्याय XVI सेक्शन 6-10 बाहरी बीजगणित का अधिक प्राथमिक खाता देते हैं, जिसमें द्वंद्व, निर्धारक और नाबालिगों और वैकल्पिक रूप शामिल हैं।
 * बाहरी बीजगणित का एक शास्त्रीय उपचार बारी -बारी से टेनर्स के रूप में होता है, और अंतर ज्यामिति के लिए अनुप्रयोग।
 * बाहरी बीजगणित का एक शास्त्रीय उपचार बारी -बारी से टेनर्स के रूप में होता है, और अंतर ज्यामिति के लिए अनुप्रयोग।
 * बाहरी बीजगणित का एक शास्त्रीय उपचार बारी -बारी से टेनर्स के रूप में होता है, और अंतर ज्यामिति के लिए अनुप्रयोग।

ऐतिहासिक संदर्भ

 * (रैखिक एक्सटेंशन थ्योरी-गणित की एक नई शाखा) वैकल्पिक संदर्भ
 * (रैखिक एक्सटेंशन थ्योरी-गणित की एक नई शाखा) वैकल्पिक संदर्भ
 * (रैखिक एक्सटेंशन थ्योरी-गणित की एक नई शाखा) वैकल्पिक संदर्भ
 * (रैखिक एक्सटेंशन थ्योरी-गणित की एक नई शाखा) वैकल्पिक संदर्भ

अन्य संदर्भ और आगे पढ़ना

 * बाहरी बीजगणित, और ज्यामितीय बीजगणित का एक परिचय, अनुप्रयोगों पर ध्यान देने के साथ।एक इतिहास अनुभाग और ग्रंथ सूची भी शामिल है।
 * बाहरी बीजगणित के अनुप्रयोगों को अंतर रूपों में शामिल किया गया है, विशेष रूप से अभिन्न और स्टोक्स के प्रमेय पर केंद्रित है।अंकन $ \bigwedge\nolimits^k V $ इस पाठ में वी पर के-फॉर्म्स को वैकल्पिक करने के स्थान का उपयोग करने के लिए उपयोग किया जाता है;यानी, स्पिवक के लिए $ \bigwedge\nolimits^k V $  यह लेख क्या होगा $ \bigwedge\nolimits^k V^*. $  स्पिवक ने एडेंडम 4 में इस पर चर्चा की।
 * हस्ताक्षरित क्षेत्रों, संस्करणों और उच्च-आयामी संस्करणों के रूप में निर्धारकों के स्वयंसिद्धता का एक प्राथमिक उपचार शामिल है।
 * बहुभिन्नरूपी पथरी में यह पाठ्यपुस्तक कॉलेजों के लिए कैलकुलस अनुक्रम में अंतर रूपों के बाहरी बीजगणित का परिचय देती है।
 * बाहरी उत्पादों का उपयोग करके बुनियादी परिमित-आयामी रैखिक बीजगणित में समन्वय-मुक्त दृष्टिकोण का परिचय।
 * अध्याय 10: बाहरी उत्पाद और बाहरी बीजगणित
 * [http://neo-classical-physics.info/uploads/3/0/6/5/3065888/burali-forti_-_grassman_and_proj._geom..pdfबाहरी बीजगणित के आवेदन पर सेसरे ब्यूरली-फ़ॉर्टी द्वारा प्रोजेक्टिव ज्यामिति के लिए नोट्स
 * C. Burali-forti, विभेदक ज्यामिति के बाद परिचय,एच। ग्रासमैन की विधि बाहरी बीजगणित के ज्यामितीय अनुप्रयोगों पर एक प्रारंभिक पुस्तक का एक अंग्रेजी अनुवाद
 * यांत्रिकी, विस्तार के सिद्धांत के सिद्धांतों के अनुसार एक ग्रासमैन के कागजों के एक अंग्रेजी अनुवादबाहरी बीजगणित के अनुप्रयोगों पर
 * बाहरी उत्पादों का उपयोग करके बुनियादी परिमित-आयामी रैखिक बीजगणित में समन्वय-मुक्त दृष्टिकोण का परिचय।
 * अध्याय 10: बाहरी उत्पाद और बाहरी बीजगणित
 * [http://neo-classical-physics.info/uploads/3/0/6/5/3065888/burali-forti_-_grassman_and_proj._geom..pdfबाहरी बीजगणित के आवेदन पर सेसरे ब्यूरली-फ़ॉर्टी द्वारा प्रोजेक्टिव ज्यामिति के लिए नोट्स
 * C. Burali-forti, विभेदक ज्यामिति के बाद परिचय,एच। ग्रासमैन की विधि बाहरी बीजगणित के ज्यामितीय अनुप्रयोगों पर एक प्रारंभिक पुस्तक का एक अंग्रेजी अनुवाद
 * यांत्रिकी, विस्तार के सिद्धांत के सिद्धांतों के अनुसार एक ग्रासमैन के कागजों के एक अंग्रेजी अनुवादबाहरी बीजगणित के अनुप्रयोगों पर
 * C. Burali-forti, विभेदक ज्यामिति के बाद परिचय,एच। ग्रासमैन की विधि बाहरी बीजगणित के ज्यामितीय अनुप्रयोगों पर एक प्रारंभिक पुस्तक का एक अंग्रेजी अनुवाद
 * यांत्रिकी, विस्तार के सिद्धांत के सिद्धांतों के अनुसार एक ग्रासमैन के कागजों के एक अंग्रेजी अनुवादबाहरी बीजगणित के अनुप्रयोगों पर

श्रेणी: बीजगणित श्रेणी: बहुपक्षीय बीजगणित श्रेणी: विभेदक रूप