नकार

तर्क में, निषेध, जिसे तार्किक पूरक भी कहा जाता है, एक संक्रिया (गणित) है जो एक प्रस्ताव (गणित) लेता है। $$P$$ दूसरे प्रस्ताव के लिए नहीं $$P$$, लिखा हुआ $$\neg P$$, $$\mathord{\sim} P$$ या $$\overline{P}$$. इसे सहज रूप से सत्य होने के रूप में व्याख्या की जाती है $$P$$ असत्य है, और असत्य है जब $$P$$ क्या सच है। इस प्रकार निषेध एक एकात्मक संक्रिया तार्किक संयोजक है। इसे आम तौर पर धारणा (दर्शन), प्रस्तावों, सत्य मूल्यों, या व्याख्या (तर्क) पर एक ऑपरेशन के रूप में लागू किया जा सकता है। शास्त्रीय तर्क में, नकारात्मकता को सामान्य रूप से सत्य कार्य के साथ पहचाना जाता है जो सत्य को असत्यता (और इसके विपरीत) में ले जाता है। अंतर्ज्ञानवादी तर्क में, ब्रौवर-हेटिंग-कोल्मोगोरोव व्याख्या के अनुसार, एक प्रस्ताव की उपेक्षा $$P$$ वह प्रस्ताव है जिसके प्रमाण का खंडन है $$P$$.

परिभाषा
शास्त्रीय निषेध एक तार्किक मूल्य पर एक तार्किक संचालन है, आम तौर पर एक प्रस्ताव का मूल्य, जो सत्य का मान उत्पन्न करता है जब उसका संकार्य गलत होता है, और जब उसका संकार्य सत्य होता है तो असत्य का मान होता है। इस प्रकार यदि कथन $P$ सच है, तो $$\neg P$$ (उच्चारण नहीं P ) तब गलत होगा; और इसके विपरीत, अगर $$\neg P$$ असत्य है तो $P$ सच होगा।

की सत्य तालिका $$\neg P$$ इस प्रकार है:


 * {| class="wikitable" style="text-align:center; background-color: #ddffdd;"

निषेध को अन्य तार्किक संक्रियाओं के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, $$\neg P$$ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$P \rightarrow \bot$$ (कहाँ $$\rightarrow$$ तार्किक परिणाम है और $$\bot$$ झूठा (तर्क) है)। इसके विपरीत परिभाषित किया जा सकता है $$\bot$$ जैसा $$Q \land \neg Q$$ किसी प्रस्ताव के लिए $Q$ (कहाँ $$\land$$ तार्किक संयोजन है)। यहाँ विचार यह है कि कोई भी विरोधाभास झूठा है, और जबकि ये विचार शास्त्रीय और अंतर्ज्ञानवादी तर्क दोनों में काम करते हैं, वे परासंगत तर्क में काम नहीं करते हैं, जहाँ विरोधाभास आवश्यक रूप से झूठे नहीं हैं। शास्त्रीय तर्कशास्त्र में हमें एक और पहचान भी मिलती है, $$P \rightarrow Q$$ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$\neg P \lor Q$$, कहाँ $$\lor$$ तार्किक वियोजन है।
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 * $$ P $$ || $$ \neg P $$
 * True || False
 * False || True
 * }
 * False || True
 * }

बीजगणितीय रूप से, शास्त्रीय निषेध एक बूलियन बीजगणित (संरचना) में पूरक (आदेश सिद्धांत) से मेल खाता है, और एक हेटिंग बीजगणित में छद्म पूरकता के लिए अंतर्ज्ञानवादी निषेध। ये बीजगणित क्रमशः शास्त्रीय और अंतर्ज्ञानवादी तर्क के लिए बीजगणितीय शब्दार्थ (गणितीय तर्क) प्रदान करते हैं।

नोटेशन
एक प्रस्ताव की अस्वीकृति $p$ चर्चा के विभिन्न संदर्भों और आवेदन के क्षेत्रों में अलग-अलग तरीकों से नोट किया जाता है। निम्नलिखित तालिका में इनमें से कुछ प्रकार हैं:

संकेतन एनपी पोलिश संकेतन है#तर्क के लिए पोलिश संकेतन|लुकासिविज़ संकेतन।

समुच्चय सिद्धांत#मूल अवधारणा और अंकन में, $$\setminus$$ 'के सेट में नहीं' इंगित करने के लिए भी प्रयोग किया जाता है: $$U \setminus A$$ के सभी सदस्यों का समुच्चय है $U$ जो इसके सदस्य नहीं हैं $A$.

भले ही यह कैसे नोट किया गया हो या तर्क प्रतीकों की सूची, निषेध $$\neg P$$ पढ़ा जा सकता है क्योंकि ऐसा नहीं है $P$, नहीं कि $P$, या आमतौर पर अधिक सरल रूप में नहीं $P$.

दोहरा निषेध
शास्त्रीय तर्क की एक प्रणाली के भीतर, दोहरा निषेध, अर्थात, एक प्रस्ताव के निषेध का निषेध $$P$$, तार्किक रूप से समकक्ष है $$P$$. प्रतीकात्मक शब्दों में व्यक्त, $$\neg \neg P \equiv P$$. अंतर्ज्ञानवादी तर्क में, एक प्रस्ताव का तात्पर्य इसके दोहरे निषेध से है, लेकिन इसके विपरीत नहीं। यह शास्त्रीय और अंतर्ज्ञानवादी निषेध के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर को चिन्हित करता है। बीजगणितीय रूप से, शास्त्रीय निषेध को अवधि दो का एक समावेशन (गणित) कहा जाता है।

हालांकि, अंतर्ज्ञानवादी तर्क में, कमजोर समानता $$\neg \neg \neg P \equiv \neg P$$ धारण करता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि अंतर्ज्ञानवादी तर्क में, $$\neg P$$ के लिए मात्र एक लघुकथा है $$P \rightarrow \bot$$, और हमारे पास भी है $$P  \rightarrow \neg \neg P $$. ट्रिपल नकार के साथ उस अंतिम निहितार्थ की रचना करना $$\neg \neg P \rightarrow  \bot $$ इसका आशय है $$P \rightarrow \bot$$.

नतीजतन, प्रस्ताव के मामले में, एक वाक्य शास्त्रीय रूप से सिद्ध होता है, यदि इसकी दोहरी अस्वीकृति अंतर्ज्ञानवादी रूप से सिद्ध होती है। इस परिणाम को दोहरा-निषेध अनुवाद के रूप में जाना जाता है | ग्लिवेंको का प्रमेय।

वितरणशीलता
डी मॉर्गन के कानून तार्किक संयोजन और तार्किक संयोजन पर वितरणात्मक संपत्ति निषेध का एक तरीका प्रदान करते हैं:


 * $$\neg(P \lor Q) \equiv (\neg P \land \neg Q)$$, और
 * $$\neg(P \land Q) \equiv (\neg P \lor \neg Q)$$.

रैखिकता
होने देना $$\oplus$$ लॉजिकल एकमात्र ऑपरेशन को निरूपित करें। बूलियन बीजगणित (तर्क) में, एक रैखिक कार्य ऐसा है जो:

अगर मौजूद है $$a_0, a_1, \dots, a_n \in \{0,1\}$$, $$f(b_1, b_2, \dots, b_n) = a_0 \oplus (a_1 \land b_1) \oplus \dots \oplus (a_n \land b_n)$$, सभी के लिए $$b_1, b_2, \dots, b_n \in \{0,1\}$$.

इसे व्यक्त करने का एक अन्य तरीका यह है कि प्रत्येक चर हमेशा संक्रिया के सत्य-मूल्य में अंतर करता है, या यह कभी भी अंतर नहीं करता है। निषेध एक रैखिक तार्किक संकारक है।

स्व द्वैत
बूलियन बीजगणित (तर्क) में, एक स्व-द्वैत कार्य एक ऐसा कार्य है जो:

$$f(a_1, \dots, a_n) = \neg f(\neg a_1, \dots, \neg a_n)$$ सभी के लिए $$a_1, \dots, a_n \in \{0,1\}$$. निषेध एक स्व-दोहरी तार्किक संचालिका है।

परिमाणकों का निषेध
प्रथम क्रम तर्क में, दो क्वांटिफायर होते हैं, एक सार्वभौमिक क्वांटिफायर होता है $$\forall$$ (मतलब सबके लिए) और दूसरा अस्तित्वगत परिमाणक है $$\exists$$ (मतलब वहाँ मौजूद है)। एक क्वांटिफायर का निषेध अन्य क्वांटिफायर है ($$\neg \forall xP(x)\equiv\exists x\neg P(x)$$ और $$\neg \exists xP(x)\equiv\forall x\neg P(x)$$). उदाहरण के लिए, विधेय P के साथ x नश्वर है और सभी मनुष्यों के संग्रह के रूप में x का डोमेन है, $$\forall xP(x)$$ का अर्थ है कि सभी मनुष्यों में एक व्यक्ति x नश्वर है या सभी मनुष्य नश्वर हैं। इसका निषेध है $$\neg \forall xP(x)\equiv\exists x\neg P(x)$$, जिसका अर्थ है कि सभी मनुष्यों में एक व्यक्ति x मौजूद है जो नश्वर नहीं है, या कोई ऐसा मौजूद है जो हमेशा के लिए रहता है।

अनुमान के नियम
निषेध के लिए नियम तैयार करने के कई समतुल्य तरीके हैं। एक प्राकृतिक कटौती सेटिंग में शास्त्रीय निषेध को तैयार करने का एक सामान्य तरीका अनुमान निषेध परिचय के आदिम नियमों के रूप में लेना है (की व्युत्पत्ति से) $$P$$ दोनों के लिए $$Q$$ और $$\neg Q$$, अनुमान $$\neg P$$; इस नियम को रिडक्टियो एड बेतुका भी कहा जाता है), निषेध उन्मूलन (से $$P$$ और $$\neg P$$ तर्क करना $$Q$$; इस नियम को एक्स फाल्स क्वाडलिबेट भी कहा जाता है), और दोहरा निषेध उन्मूलन (से $$\neg \neg P$$ तर्क करना $$P$$). एक ही तरह से अंतर्ज्ञानवादी निषेध के लिए नियम प्राप्त करता है लेकिन दोहरे निषेध उन्मूलन को छोड़कर।

निषेधात्मक परिचय में कहा गया है कि यदि निष्कर्ष के रूप में एक बेहूदगी निकाली जा सकती है $$P$$ तब $$P$$ ऐसा नहीं होना चाहिए (यानी $$P$$ झूठा (शास्त्रीय रूप से) या खंडन योग्य (सहज ज्ञान युक्त) या आदि) है। नकारात्मक उन्मूलन बताता है कि कुछ भी एक बेहूदगी से होता है। कभी-कभी एक आदिम असावधानी चिह्न का उपयोग करके नकारात्मक उन्मूलन तैयार किया जाता है $$\bot$$. इस मामले में नियम कहता है कि से $$P$$ और $$\neg P$$ एक बेतुकेपन का पालन करता है। दोहरे निषेध उन्मूलन के साथ-साथ हमारे मूल रूप से तैयार किए गए नियम का अनुमान लगाया जा सकता है, अर्थात् कुछ भी एक मूर्खता से होता है।

आमतौर पर अंतर्ज्ञानवादी निषेध $$\neg P$$ का $$P$$ परिभाषित किया जाता है $$P \rightarrow \bot$$. फिर निषेध परिचय और विलोपन निहितार्थ परिचय (सशर्त प्रमाण) और विलोपन (मूड सेट करना) के विशेष मामले हैं। इस मामले में एक आदिम नियम के रूप में भी जोड़ा जाना चाहिए।

प्रोग्रामिंग भाषा और सामान्य भाषा
गणित की तरह, तार्किक कथनों के निर्माण के लिए कंप्यूटर विज्ञान में निषेध का उपयोग किया जाता है।

<वाक्यविन्यास लैंग = सीपीपी> अगर (!(आर == टी)) {   /*...बयान निष्पादित किए जाते हैं जब r, t के बराबर नहीं होता...*/ } 

विस्मयादिबोधक चिह्न बी (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज), सी प्रोग्रामिंग भाषा और सी-इंस्पायर्ड सिंटैक्स जैसे सी ++, जावा (प्रोग्रामिंग भाषा), जावास्क्रिप्ट, पर्ल और पीएचपी वाली भाषाओं में तार्किक नहीं है। ALGOL 60, BASIC प्रोग्रामिंग लैंग्वेज, और ALGOL- या बेसिक-प्रेरित सिंटैक्स वाली भाषाओं जैसे पास्कल प्रोग्रामिंग भाषा, Ada प्रोग्रामिंग लैंग्वेज, एफिल (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज) और Seed7 में इस्तेमाल किया जाने वाला ऑपरेटर है। कुछ भाषाएँ (C++, पर्ल, आदि) निषेध के लिए एक से अधिक ऑपरेटर प्रदान करती हैं। कुछ भाषाएँ जैसे PL/I और Ratfor उपयोग करती हैं  निषेध के लिए। अधिकांश आधुनिक भाषाएँ उपरोक्त कथन को छोटा करने की अनुमति देती हैं   को , जो कभी-कभी अनुमति देता है, जब संकलक/दुभाषिया इसे अनुकूलित करने में सक्षम नहीं होता है, तेज़ प्रोग्राम।

कंप्यूटर साइंस में बिटवाइज़ नकार भी है। यह दिया गया मान लेता है और सभी बाइनरी अंक प्रणाली 1s को 0s और 0s को 1s में बदल देता है। बिटवाइज़ ऑपरेशन देखें। इसका उपयोग अक्सर हस्ताक्षरित संख्या प्रतिनिधित्व बनाने के लिए किया जाता है | एक का पूरक या सी या सी ++ और दो के पूरक में (बस सरलीकृत या ऋणात्मक चिह्न क्योंकि यह संख्या के अंकगणितीय ऋणात्मक मान को लेने के बराबर है) क्योंकि यह मूल रूप से मान के विपरीत (ऋणात्मक मान समतुल्य) या गणितीय पूरक बनाता है (जहां दोनों मान एक साथ जोड़े जाते हैं वे एक संपूर्ण बनाते हैं)।

किसी दिए गए पूर्णांक का पूर्ण (सकारात्मक समतुल्य) मान प्राप्त करने के लिए निम्नलिखित कार्य करेगा इसे नकारात्मक से सकारात्मक में बदलता है (यह नकारात्मक है क्योंकि उपज सच है)

<वाक्यविन्यास बोलचाल की भाषा = सीपीपी> अहस्ताक्षरित इंट एब्स (इंट एक्स) {   अगर (एक्स <0) वापसी -एक्स; अन्य वापसी एक्स; } 

तार्किक निषेध प्रदर्शित करने के लिए:

<वाक्यविन्यास लैंग = सीपीपी> अहस्ताक्षरित इंट एब्स (इंट एक्स) {   अगर (!(एक्स <0)) वापसी एक्स; अन्य वापसी -एक्स; } 

स्थिति को उलटने और परिणामों को उलटने से कोड उत्पन्न होता है जो तार्किक रूप से मूल कोड के समतुल्य होता है, अर्थात किसी भी इनपुट के लिए समान परिणाम होंगे (ध्यान दें कि उपयोग किए गए कंपाइलर के आधार पर, कंप्यूटर द्वारा किए गए वास्तविक निर्देश भिन्न हो सकते हैं)।

यह सम्मेलन कभी-कभी साधारण लिखित भाषण में सामने आता है, जैसे कि कंप्यूटर से संबंधित कठबोली नहीं। उदाहरण के लिए, मुहावरा  मतलब मतदान नहीं। एक अन्य उदाहरण मुहावरा है   जिसका उपयोग नो-क्लू या क्लूलेस के पर्याय के रूप में किया जाता है।

कृपके शब्दार्थ
कृपके शब्दार्थ में जहां सूत्रों के शब्दार्थ मूल्य संभावित दुनिया के सेट हैं, सेट-सैद्धांतिक पूरकता के अर्थ में निषेध को लिया जा सकता है (अधिक के लिए संभावित विश्व शब्दार्थ भी देखें)।

यह भी देखें

 * पुष्टि और निषेध (व्याकरणिक ध्रुवीयता)
 * अम्फेक
 * एपोफैसिस
 * द्विआधारी विरोध
 * बिटवाइज़ ऑपरेशन # नहीं
 * विरोधाभास
 * चक्रीय निषेध
 * तार्किक संयोजन
 * तार्किक वियोग
 * असफलता के रूप में नकारात्मकता
 * गेट नहीं
 * प्लेटो की दाढ़ी
 * विरोध का चौक
 * सत्य समारोह
 * ट्रुथ टेबल

अग्रिम पठन

 * Gabbay, Dov, and Wansing, Heinrich, eds., 1999. What is Negation?, Kluwer.
 * Horn, L., 2001. A Natural History of Negation, University of Chicago Press.
 * G. H. von Wright, 1953–59, "On the Logic of Negation", Commentationes Physico-Mathematicae 22.
 * Wansing, Heinrich, 2001, "Negation", in Goble, Lou, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic, Blackwell.

बाहरी संबंध

 * NOT, on MathWorld
 * Tables of Truth of composite clauses
 * NOT, on MathWorld
 * Tables of Truth of composite clauses