बहुपद

बहुपद, गणित में वह व्यंजक है जिसमें अनिश्चित पद और गुणांक होते हैं, जिसमें केवल जोड़, घटाव, गुणा, और पद के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घातांक के संचालन सम्मिलित होते हैं। अनिश्चित $x$ के बहुपद का एक उदाहरण: $x^{2} − 4x + 7$ है। तीन चरों में एक उदाहरण: $x^{3} + 2xyz^{2} − yz + 1$ है।

गणित और विज्ञान के कई क्षेत्रों में बहुपद उपस्थित होता है। उदाहरण: उनका उपयोग बहुपद समीकरण बनाने के लिए किया जाता है, जो प्राथमिक शब्द समस्याओं से लेकर जटिल वैज्ञानिक समस्याओं तक, समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला को एन्कोड करते हैं;उनका उपयोग बहुपद कार्यों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, जो बुनियादी रसायन विज्ञान और भौतिकी से लेकर अर्थशास्त्र और सामाजिक विज्ञान तक की सेटिंग्स में दिखाई देते हैं;वे अन्य कार्यों को अनुमानित करने के लिए कैलकुलस और संख्यात्मक विश्लेषण में उपयोग किए जाते हैं।उन्नत गणित में, बहुपद का उपयोग बहुपद के छल्ले और बीजगणितीय किस्मों के निर्माण के लिए किया जाता है, जो बीजगणित और बीजगणितीय ज्यामिति में केंद्रीय अवधारणाएं हैं।

व्युत्पत्ति
बहुपद शब्द दो विविध आधार को जोड़ता है: ग्रीक पॉली, जिसका अर्थ है "कई", और लैटिन नाम, या "नाम"। यह लैटिन मूल द्वि- को ग्रीक पॉली- के साथ बदलकर द्विपद शब्द से लिया गया था। अर्थात् इसका अर्थ अनेक पदों (एकपदी) का योग है। बहुपद शब्द का प्रयोग पहली बार 17वीं शताब्दी में किया गया था।

संकेतन और शब्दावली
बहुपद में होने वाले x को आमतौर पर एक चर या अनिश्चित कहा जाता है। जब बहुपद को व्यंजक के रूप में माना जाता है, तो x एक निश्चित प्रतीक है जिसका कोई मान नहीं है (इसका मान "अनिश्चित" है)। हालांकि, जब कोई बहुपद द्वारा परिभाषित फ़ंक्शन पर विचार करता है, तो x फ़ंक्शन के तर्क का प्रतिनिधित्व करता है, और इसलिए इसे "चर" कहा जाता है। कई लेखक इन दोनों शब्दों का परस्पर प्रयोग करते हैं।

अनिश्चित (इंडेटरमिनते) x में एक बहुपद P को आमतौर पर या तो P या P (x) के रूप में दर्शाया जाता है। औपचारिक रूप से, बहुपद का नाम P है, न कि P (x), लेकिन कार्यात्मक संकेतन P (x) का उपयोग उस समय से होता है जब बहुपद और संबंधित फ़ंक्शन के बीच का अंतर स्पष्ट नहीं था। इसके अलावा, कार्यात्मक संकेतन अक्सर एक वाक्यांश, एक बहुपद और उसके अनिश्चित में निर्दिष्ट करने के लिए उपयोगी होता है। उदाहरण के लिए, "मान लीजिए P (x) एक बहुपद है" के लिए एक आशुलिपि है" "मान लीजिए P अनिश्चित x में एक बहुपद है" के लिए एक आशुलिपि है। दूसरी ओर, जब अनिश्चित के नाम पर जोर देना आवश्यक नहीं है, तो कई सूत्र बहुत सरल और पढ़ने में आसान होते हैं यदि बहुपद की प्रत्येक घटना में अनिश्चित के नाम प्रकट नहीं होते हैं।

गणितीय वस्तु के लिए दो अंकन होने की अस्पष्टता को बहुपद के लिए कार्यात्मक संकेतन के सामान्य अर्थ पर विचार करके औपचारिक रूप से हल किया जा सकता है। यदि a एक संख्या, एक चर, एक अन्य बहुपद, या, अधिक सामान्य रूप से, किसी भी अभिव्यक्ति को दर्शाता है, तो P(a) परंपरा द्वारा, P में x के लिए a को प्रतिस्थापित करने के परिणाम को दर्शाता है। इस प्रकार, बहुपद P फ़ंक्शन को परिभाषित करता है।

$$a\mapsto P(a),$$

जो कि P से जुड़ा एक बहुपद फलन है। अक्सर, इस संकेतन का उपयोग करते समय, कोई यह मान लेता है कि a एक संख्या है। हालाँकि, कोई भी इसका उपयोग किसी भी डोमेन में कर सकता है जहाँ जोड़ और गुणा परिभाषित हैं (अर्थात कोई भी रिंग)। विशेष रूप से, यदि a एक बहुपद है तो P(a) भी एक बहुपद है।

अधिक विशेष रूप से, जब a अनिश्चित x है, तो इस फ़ंक्शन द्वारा x की छवि बहुपद P ही है (x के लिए x को प्रतिस्थापित करने से कुछ भी नहीं बदलता है)।

दूसरे शब्दों में,

$$P(x)=P,$$

जो औपचारिक रूप से एक ही बहुपद के लिए दो संकेतन के अस्तित्व को सही ठहराता है।

परिभाषा
बहुपद व्यंजक एक ऐसा व्यंजक है जो एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घात के योग, गुणन और घातांक के माध्यम से स्थिरांक और प्रतीकों से बनाया जा सकता है जिन्हें चर या अनिश्चित कहा जाता है। स्थिरांक आम तौर पर संख्या होते हैं, लेकिन कोई भी अभिव्यक्ति हो सकती है जिसमें अनिश्चित शामिल नहीं होते हैं, और गणितीय वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं जिन्हें जोड़ा और गुणा किया जा सकता है। दो बहुपद व्यंजकों को एक ही बहुपद को परिभाषित करने के रूप में माना जाता है, यदि वे रूपांतरित हो सकते हैं, एक से दूसरे में, जोड़ और गुणा के सामान्य गुणों को लागू करके कम्यूटेटिविटी, सहयोगीता और वितरण । उदाहरण के लिए $$(x-1)(x-2)$$ तथा $$x^2-3x+2$$ दो बहुपद व्यंजक हैं जो एक ही बहुपद को निरूपित करते हैं; तो, लिखा जाता है $$(x-1)(x-2)=x^2-3x+2.$$

एकल अनिश्चित $x$ में एक बहुपद को हमेशा फॉर्म में लिखा (या फिर से लिखा) जा सकता है:

$$a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dotsb + a_2 x^2 + a_1 x + a_0,$$

जहाँ पे $$a_0, \ldots, a_n$$ अचर हैं जो बहुपद के गुणांक कहलाते हैं, और $$x$$ अनिश्चित है। "अनिश्चित" शब्द का अर्थ है कि $$x$$ किसी विशेष मूल्य का प्रतिनिधित्व नहीं करता है, हालांकि इसके लिए किसी भी मूल्य को प्रतिस्थापित किया जा सकता है। मैपिंग जो इस प्रतिस्थापन के परिणाम को प्रतिस्थापित मान से जोड़ता है वह एक फ़ंक्शन है, जिसे बहुपद फ़ंक्शन कहा जाता है।

इसे और अधिक संक्षिप्त रूप से योग संकेतन का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है:

$$\sum_{k=0}^n a_k x^k$$

अर्थात्, एक बहुपद या तो शून्य हो सकता है या गैर-शून्य पदों की एक परिमित संख्या के योग के रूप में लिखा जा सकता है। प्रत्येक पद में एक संख्या. का गुणनफल होता है – शब्द का गुणांक कहा जाता है और अनिश्चित की एक सीमित संख्या, गैर-ऋणात्मक पूर्णांक शक्तियों तक विस्तारित की गयी है।

वर्गीकरण
किसी पद में अनिश्चित काल के घातांक को उस पद में अनिश्चित काल की घात कहते हैं। किसी पद की घात उस पद की अनिश्चितताओं की घातों का योग है, और बहुपद की घात अशून्य गुणांक वाले पद की सबसे बड़ी घात है। क्योंकि $p$, एक लिखित घातांक के बिना एक अनिश्चित की डिग्री एक है।

जिस पद में कोई अनिश्चितता न हो और एक बहुपद जिसमें कोई अनिश्चितता न हो, तो उसे क्रमशः अचर पद और अचर बहुपद कहते हैं। अचर पद और अशून्य स्थिर बहुपद की घात 0 है। 0 की घात (जिसका कोई पद नहीं है) के लिए शून्य बहुपद को आमतौर पर परिभाषित नहीं माना जाता है (नीचे देखें)।

उदाहरण के लिए:

$$ -5x^2y $$
 * $$ -5x^2y $$

यह एक पद है। गुणांक -5 है, अनिश्चित x और y हैं, x की डिग्री दो है, जबकि y की डिग्री एक है। संपूर्ण पद की घात इसमें प्रत्येक अनिश्चित की घातों का योग है, इसलिए इस उदाहरण में घात $$ है।

अनेक पदों के योग से एक बहुपद बनता है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित एक बहुपद है:

$$\underbrace{_\,3x^2}_{\begin{smallmatrix}\mathrm{term}\\\mathrm{1}\end{smallmatrix}} \underbrace{-_\,5x}_{\begin{smallmatrix}\mathrm{term}\\\mathrm{2}\end{smallmatrix}} \underbrace{+_\,4}_{\begin{smallmatrix}\mathrm{term}\\\mathrm{3}\end{smallmatrix}}. $$
 * $$\underbrace{_\,3x^2}_{\begin{smallmatrix}\mathrm{term}\\\mathrm{1}\end{smallmatrix}} \underbrace{-_\,5x}_{\begin{smallmatrix}\mathrm{term}\\\mathrm{2}\end{smallmatrix}} \underbrace{+_\,4}_{\begin{smallmatrix}\mathrm{term}\\\mathrm{3}\end{smallmatrix}}. $$

इसमें तीन पद होते हैं: पहला डिग्री दो है, दूसरा डिग्री एक है, और तीसरा डिग्री शून्य है।

छोटे अंशों (डिग्री) के बहुपदों को विशिष्ट नाम दिए गए हैं। शून्य घात वाला बहुपद एक अचर बहुपद है, या एक अचर है। एक, दो या तीन घात वाले बहुपद क्रमशः रैखिक बहुपद, द्विघात बहुपद और घन बहुपद होते हैं। उच्च डिग्री के लिए, विशिष्ट नामों का आमतौर पर उपयोग नहीं किया जाता है, हालांकि कभी-कभी क्वार्टिक बहुपद (डिग्री चार के लिए) और क्विंटिक बहुपद (डिग्री पांच के लिए) का उपयोग किया जाता है। डिग्री के नाम बहुपद या इसकी शर्तों पर लागू हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, $2 + 1 = 3$ में पद $x^{2} + 2x + 1$ एक द्विघात बहुपद में एक रैखिक पद है।

बहुपद 0, जिसे एक पद के रूप में नहीं माना जा सकता है, इसे शून्य बहुपद कहा जाता है। अन्य अचर बहुपदों के विपरीत, इसका घात शून्य नहीं होती है। बल्कि, शून्य बहुपद की डिग्री को या तो स्पष्ट रूप से अपरिभाषित छोड़ दिया जाता है, या ऋणात्मक (या तो -1 या −∞) के रूप में परिभाषित किया जाता है। शून्य बहुपद इस मायने में भी अद्वितीय है कि यह एक अनिश्चित में एकमात्र बहुपद है और साथ में जिसमें अनंत संख्या की जड़ें होती हैं। शून्य बहुपद का ग्राफ, $2x$, x -अक्ष (एक्सिस) है।

एक से अधिक अनिश्चित बहुपदों के मामले में, एक बहुपद को degree $f(x) = 0$ का समघात (होमोजेनियस) कहा जाता है, यदि इसके सभी गैर-शून्य पदों में degree $n$ है। शून्य बहुपद समघात  (होमोजेनियस पोलयनोमिअल) है, और एक सजातीय बहुपद के रूप में, इसकी डिग्री अपरिभाषित है। उदाहरण के लिए, $n$ डिग्री 5 का समघात है। अधिक जानकारी के लिए, समघात  बहुपद देखें।

जोड़ के क्रमविनिमेयता कम्यूटेटिव कानून का प्रयोग किसी भी पसंदीदा क्रम में शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करने के लिए किया जा सकता है। एक अनिश्चित के साथ बहुपदों में, शर्तों को आमतौर पर डिग्री के अनुसार आदेश दिया जाता है, या तो " $x^{3}y^{2} + 7x^{2}y^{3} − 3x^{5}$ की अवरोही शक्तियों" में, पहले सबसे बड़ी डिग्री की अवधि के साथ, या " $x$ की आरोही शक्तियों" में। बहुपद $x$ को $3x^{2} - 5x + 4$ के अवरोही घातों में लिखा जाता है। पहले पद का गुणांक $x$, अनिश्चित $3$, और घातांक $x$ है। दूसरे पद में, गुणांक is $2$ । तीसरा पद एक स्थिरांक है। चूँकि गैर-शून्य बहुपद की घात किसी एक पद की सबसे बड़ी घात होती है, इसलिए इस बहुपद की घात दो होती है। समान अनिश्चितता वाले दो शब्दों को समान शक्तियों के लिए उठाया जाता है, उन्हें "समान चर " या "सदृश चर" कहा जाता है, और उन्हें वितरण नियम का उपयोग करके एक एकल पद में संयोजित किया जा सकता है जिसका गुणांक पदों के गुणांकों का योग है। ऐसा हो सकता है कि यह गुणांक 0 बनाता है। बहुपदों को अशून्य गुणांक वाले पदों की संख्या के आधार पर वर्गीकृत किया जा सकता है ताकि एक पद वाले बहुपद को एकपदी कहा जा सके,, दो-पद वाले बहुपद को द्विपद कहा जाता है, और तीन-पद वाले बहुपद को त्रिपद कहा जाता है। शब्द "चतुर्भुज" का प्रयोग कभी-कभी चार-पद के बहुपद के लिए किया जाता है।

एक वास्तविक बहुपद वास्तविक गुणांक वाला बहुपद है। जब किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने के लिए इसका उपयोग किया जाता है, तो डोमेन इतना प्रतिबंधित नहीं होता है। हालाँकि, एक वास्तविक बहुपद फलन वास्तविक से वास्तविक तक का एक फलन है जिसे वास्तविक बहुपद द्वारा परिभाषित किया जाता है। इसी तरह, एक पूर्णांक बहुपद पूर्णांक गुणांक वाला बहुपद है, और एक जटिल बहुपद जटिल गुणांक वाला बहुपद है।

एक अनिश्चित बहुपद को एक अविभाज्य बहुपद कहा जाता है, और एक से अधिक अनिश्चित बहुपद को "बहुभिन्नरूपी बहुपद" कहा जाता है। दो अनिश्चितों वाले बहुपद को द्विपद बहुपद कहते हैं। ये धारणाएं आम तौर पर उन बहुपदों के प्रकारों को संदर्भित करती हैं जो अलग-अलग बहुपदों की तुलना में उन पर काम करती हैं; उदाहरण के लिए, जब अविभाज्य बहुपदों (univariate polynomials) के साथ काम करते हैं, तो कोई निरंतर बहुपद (जो गैर-स्थिर बहुपदों के घटाव के परिणामस्वरूप हो सकता है) को बाहर नहीं करता है, हालांकि कड़ाई से बोलते हुए, निरंतर बहुपद में कोई भी अनिश्चित नहीं होता है। अनुमत अनिश्चितताओं की अधिकतम संख्या के अनुसार, बहुभिन्नरूपी बहुपदों को द्विपद, त्रिपद, आदि के रूप में वर्गीकृत करना संभव है। फिर से, ताकि विचाराधीन वस्तुओं के सेट को घटाव के तहत बंद किया जा सके, ट्रिवेरिएट बहुपदों का एक अध्ययन आमतौर पर द्विचर बहुपदों की अनुमति देता है, और इसी तरह। यह कहना भी आम है कि " $−5$, और $x, y$ में बहुपद ", अनुमत अनिश्चितों को सूचीबद्ध करते हैं।

बहुपद के मूल्यांकन में प्रत्येक अनिश्चित के लिए एक संख्यात्मक मान को प्रतिस्थापित करना और संकेतित गुणन और परिवर्धन करना शामिल है। अनिश्चित बहुपद के लिए, हॉर्नर की विधि (पनिष्पादन करने के लिए अंकगणितीय संक्रियाओं की कम संख्या) का उपयोग करके मूल्यांकन आमतौर पर अधिक कुशल होता है।

एक अनिश्चित बहुपद के लिए, मूल्यांकन आमतौर पर हॉर्नर की विधि का उपयोग करके अधिक कुशल होता है

$$(((((a_n x + a_{n-1})x + a_{n-2})x + \dotsb + a_3)x + a_2)x + a_1)x + a_0.$$

जोड़ और घटाव
जोड़ के साहचर्य नियम का उपयोग करके (उनके सभी पदों को एक साथ योग में समूहित करना) बहुपदों को जोड़ा जा सकता है,संभवतः इसके बाद समान पदों (कम्यूटिव कानून का उपयोग करते हुए) का पुनर्क्रमण और संयोजन किया जाता है।

उदाहरण के लिए, यदि
 * $$ P = 3x^2 - 2x + 5xy - 2 $$ तथा $$ Q = -3x^2 + 3x + 4y^2 + 8$$

फिर योग
 * $$P + Q = 3x^2 - 2x + 5xy - 2 - 3x^2 + 3x + 4y^2 + 8 $$

के रूप में पुन: व्यवस्थित और पुन: समूहित किया जा सकता है
 * $$P + Q = (3x^2 - 3x^2) + (- 2x + 3x) + 5xy    + 4y^2 + (8 - 2) $$

और फिर सरलीकृत करने के लिए
 * $$P + Q = x + 5xy + 4y^2 + 6.$$

जब बहुपदों को एक साथ जोड़ा जाता है, तो परिणाम एक और बहुपद होता है।

बहुपदों का घटाव समान होता है।

गुणन
बहुपदों को भी गुणा किया जा सकता है। दो बहुपदों के गुणनफल को पदों के योग में विस्तारित करने के लिए, वितरण नियम को बार-बार लागू किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप एक बहुपद के प्रत्येक पद को दूसरे के प्रत्येक पद से गुणा किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि
 * $$\begin{align}

\color{Red} P &\color{Red}{= 2x + 3y + 5} \\ \color{Blue} Q &\color{Blue}{= 2x + 5y + xy + 1} \end{align}$$ फिर
 * $$\begin{array}{rccrcrcrcr}

{\color{Red}{P}} {\color{Blue}{Q}} & =&&({\color{Red}{2x}}\cdot{\color{Blue}{2x}}) &+&({\color{Red}{2x}}\cdot{\color{Blue}{5y}})&+&({\color{Red}{2x}}\cdot {\color{Blue}{xy}})&+&({\color{Red}{2x}}\cdot{\color{Blue}{1}}) \\&&+&({\color{Red}{3y}}\cdot{\color{Blue}{2x}})&+&({\color{Red}{3y}}\cdot{\color{Blue}{5y}})&+&({\color{Red}{3y}}\cdot {\color{Blue}{xy}})&+& ({\color{Red}{3y}}\cdot{\color{Blue}{1}}) \\&&+&({\color{Red}{5}}\cdot{\color{Blue}{2x}})&+&({\color{Red}{5}}\cdot{\color{Blue}{5y}})&+& ({\color{Red}{5}}\cdot {\color{Blue}{xy}})&+&({\color{Red}{5}}\cdot{\color{Blue}{1}}) \end{array}$$ प्रत्येक पद में गुणा करने पर उत्पन्न होता है
 * $$\begin{array}{rccrcrcrcr}

PQ & = && 4x^2 &+& 10xy &+& 2x^2y &+& 2x \\ &&+& 6xy &+& 15y^2 &+& 3xy^2 &+& 3y \\ &&+& 10x &+& 25y &+& 5xy &+& 5. \end{array}$$ समान पदों को मिलाने से उपज
 * $$\begin{array}{rcccrcrcrcr}

PQ & = && 4x^2 &+&( 10xy + 6xy + 5xy ) &+& 2x^2y &+& ( 2x + 10x ) \\ && + & 15y^2 &+& 3xy^2 &+&( 3y + 25y )&+&5 \end{array}$$ जिसे सरल बनाया जा सकता है
 * $$PQ = 4x^2 + 21xy + 2x^2y + 12x + 15y^2 + 3xy^2 + 28y + 5.$$

उदाहरण के रूप में, बहुपद का उत्पाद हमेशा एक बहुपद होता है।

रचना
एक बहुपद दिया $$f$$ एक एकल चर और एक और बहुपद का $g$ किसी भी संख्या में चर, रचना $$f \circ g$$ दूसरे बहुपद द्वारा पहले बहुपद के चर की प्रत्येक प्रति को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि $$f(x) = x^2 + 2x$$ तथा $$g(x) = 3x + 2$$ फिर

बहुपद और बहुपद के विभाजन के लिए नियमों का उपयोग करके एक रचना का विस्तार किया जा सकता है।दो बहुपदों की रचना एक और बहुपद है।

डिवीजन
दूसरे द्वारा एक बहुपद का विभाजन आमतौर पर एक बहुपद नहीं होता है।इसके बजाय, इस तरह के अनुपात वस्तुओं का एक अधिक सामान्य परिवार है, जिसे संदर्भ के आधार पर तर्कसंगत अंश, तर्कसंगत अभिव्यक्तियां या तर्कसंगत कार्यों कहा जाता है। यह इस तथ्य के अनुरूप है कि दो पूर्णांक का अनुपात एक तर्कसंगत संख्या है, जरूरी नहीं कि एक पूर्णांक। उदाहरण के लिए, अंश $z$ एक बहुपद नहीं है, और इसे चर की शक्तियों के एक परिमित योग के रूप में नहीं लिखा जा सकता है $x$।

एक चर में बहुपद के लिए, पोलिनोमिअल के यूक्लिडियन डिवीजन की धारणा है, जो पूर्णांक के यूक्लिडियन डिवीजन को सामान्य करती है। विभाजन की यह धारणा $1/(x^{2} + 1)$ दो बहुपदों में परिणाम, एक भागफल $a(x)/b(x)$ और एक शेष $q(x)$, ऐसा है कि $r(x)$ तथा $a = b q + r$।भागफल और शेष की गणना कई एल्गोरिदम में से किसी द्वारा की जा सकती है, जिसमें बहुपद लॉन्ग डिवीजन और सिंथेटिक डिवीजन शामिल हैं। जब हर $degree(r) < degree(b)$ मोनिक और रैखिक है, अर्थात्, $b(x)$ कुछ स्थिर के लिए $c$, फिर बहुपद शेष प्रमेय का दावा है कि शेष विभाजन के शेष $b(x) = x − c$ द्वारा $a(x)$ मूल्यांकन है $b(x)$. इस मामले में, भागफल की गणना रफिनी के नियम द्वारा की जा सकती है, जो सिंथेटिक डिवीजन का एक विशेष मामला है।

फैक्टरिंग
एक अद्वितीय कारककरण डोमेन (उदाहरण के लिए, पूर्णांक या एक क्षेत्र) में गुणांक के साथ सभी बहुपद भी एक तथ्यात्मक रूप है जिसमें बहुपद को irreducible बहुपद और एक स्थिर के उत्पाद के रूप में लिखा जाता है।यह फैक्टेड रूप कारकों के क्रम और एक उल्टे स्थिरांक द्वारा उनके गुणन के लिए अद्वितीय है।जटिल संख्याओं के क्षेत्र के मामले में, Irreducible कारक रैखिक हैं।वास्तविक संख्याओं में, उनके पास एक या दो डिग्री है।पूर्णांक और तर्कसंगत संख्याओं में, IRREDUCIBLE कारकों में कोई डिग्री हो सकती है। उदाहरण के लिए, का तथ्यपूर्ण रूप
 * $$ 5x^3-5$$

है
 * $$5(x - 1)\left(x^2 + x + 1\right)$$

पूर्णांक और वास्तविक पर, और
 * $$ 5(x - 1)\left(x + \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}\right)\left(x + \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}\right)$$

जटिल संख्याओं पर।

फैक्टर्ड फॉर्म की गणना, जिसे फैक्टराइजेशन कहा जाता है, सामान्य रूप से, हाथ से लिखे गए गणना द्वारा किया जाना बहुत मुश्किल है।हालांकि, अधिकांश कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों में कुशल बहुपद कारककरण एल्गोरिदम उपलब्ध हैं।

कैलकुलस
अन्य प्रकार के कार्यों की तुलना में, बहुपद के डेरिवेटिव और इंटीग्रल की गणना विशेष रूप से सरल है। बहुपद का व्युत्पन्न $$P = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = \sum_{i=0}^n a_i x^i$$ इसके संबंध में $x$ बहुपद है $$ n a_n x^{n - 1} + (n - 1)a_{n - 1} x^{n - 2} + \dots + 2 a_2 x + a_1 = \sum_{i=1}^n i a_i x^{i-1}.$$ इसी तरह, सामान्य एंटीडिवेटिव (या अनिश्चित अभिन्न) $$P$$ है $$ \frac{a_n x^{n + 1}}{n + 1} + \frac{a_{n - 1} x^{n}}{n} + \dots + \frac{a_2 x^3}{3} + \frac{a_1 x^2}{2} + a_0 x + c = c + \sum_{i = 0}^n \frac{a_i x^{i + 1}}{i + 1}$$ कहाँ पे $c$ एक मनमाना स्थिरांक है।उदाहरण के लिए, के प्रतिपक्ष $a(c)$ फार्म है $x^{2} + 1$।

बहुपद के लिए जिनके गुणांक अधिक अमूर्त सेटिंग्स से आते हैं (उदाहरण के लिए, यदि गुणांक पूर्णांक हैं तो कुछ प्रमुख संख्या $1⁄3x^{3} + x + c$, या एक मनमानी अंगूठी के तत्व), व्युत्पन्न के लिए सूत्र अभी भी औपचारिक रूप से व्याख्या की जा सकती है, गुणांक के साथ $p$ का मतलब है कि योग $k$ की प्रतियां $ka_{k}$।उदाहरण के लिए, पूर्णांक मोडुलो पर $a_{k}$, बहुपद का व्युत्पन्न $p$ बहुपद है $x^{p} + x$.

बहुपद कार्य
एक बहुपद कार्य एक फ़ंक्शन है जिसे एक बहुपद का मूल्यांकन करके परिभाषित किया जा सकता है।अधिक सटीक रूप से, एक फ़ंक्शन $1$ किसी दिए गए डोमेन से एक तर्क एक बहुपद कार्य है यदि कोई बहुपद मौजूद है
 * $$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 $$

इसका मूल्यांकन करता है $$f(x)$$ सभी के लिए $x$ के डोमेन में $f$ (यहां, $f$ एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है और $n$ निरंतर गुणांक हैं)। आम तौर पर, जब तक कि अन्यथा निर्दिष्ट नहीं किया जाता है, बहुपद कार्यों में जटिल गुणांक, तर्क और मूल्य होते हैं।विशेष रूप से, एक बहुपद, वास्तविक गुणांक के लिए प्रतिबंधित, जटिल संख्याओं से जटिल संख्याओं तक एक फ़ंक्शन को परिभाषित करता है।यदि इस फ़ंक्शन का डोमेन भी REALS तक ही सीमित है, तो परिणामी फ़ंक्शन एक वास्तविक फ़ंक्शन है जो रियल को रियल के लिए मैप करता है।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन $a_{0}, a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}$, द्वारा परिभाषित
 * $$ f(x) = x^3 - x,$$

एक चर का एक बहुपद कार्य है।कई चर के बहुपद कार्यों को समान रूप से परिभाषित किया जाता है, एक से अधिक अनिश्चित में बहुपद का उपयोग करते हुए, जैसा कि
 * $$f(x,y)= 2x^3+4x^2y+xy^5+y^2-7.$$

बहुपद कार्यों की परिभाषा के अनुसार, ऐसे भाव हो सकते हैं जो स्पष्ट रूप से बहुपद नहीं हैं, लेकिन फिर भी बहुपद कार्यों को परिभाषित करते हैं।एक उदाहरण अभिव्यक्ति है $$\left(\sqrt{1-x^2}\right)^2,$$ जो बहुपद के समान मान लेता है $$1-x^2$$ अंतराल पर $$[-1,1]$$, और इस प्रकार दोनों भाव इस अंतराल पर एक ही बहुपद कार्य को परिभाषित करते हैं।

प्रत्येक बहुपद कार्य निरंतर, चिकनी और संपूर्ण है।

रेखांकन
एक वास्तविक चर में एक बहुपद कार्य को एक ग्राफ द्वारा दर्शाया जा सकता है।   शून्य बहुपद का ग्राफ है $f$-एक्सिस।   एक डिग्री 0 बहुपद का ग्राफ के साथ एक क्षैतिज रेखा है $f(x) = 2$-intercept $f(x) = 2x + 1$   एक डिग्री 1 बहुपद (या रैखिक फ़ंक्शन) का ग्राफ के साथ एक तिरछी रेखा है $f(x) = x^{2} − x − 2$-intercept $= (x + 1)(x − 2)$ और ढलान $f(x) = x^{3}/4 + 3x^{2}/4 − 3x/2 − 2$।   एक डिग्री 2 बहुपद का ग्राफ एक परबोला है।   एक डिग्री 3 बहुपद का ग्राफ एक क्यूबिक वक्र है।   डिग्री 2 या उससे अधिक के साथ किसी भी बहुपद का ग्राफ एक निरंतर गैर-रैखिक वक्र है।  

जब चर अनिश्चित काल (निरपेक्ष मूल्य में) बढ़ता है तो एक गैर-स्थिर बहुपद कार्य अनंतता में जाता है।यदि डिग्री एक से अधिक है, तो ग्राफ में कोई स्पर्शोन्मुख नहीं है।इसमें ऊर्ध्वाधर दिशा के साथ दो परवलयिक शाखाएं हैं (सकारात्मक एक्स के लिए एक शाखा और नकारात्मक एक्स के लिए एक)।

बहुपद रेखांकन का विश्लेषण कैलकुलस में इंटरसेप्ट्स, ढलान, समवर्ती और अंत व्यवहार का उपयोग करके किया जाता है।

समीकरण
एक बहुपद समीकरण, जिसे बीजीय समीकरण भी कहा जाता है, फॉर्म का एक समीकरण है
 * $$a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dotsb + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0.$$

उदाहरण के लिए,
 * $$ 3x^2 + 4x -5 = 0 $$

एक बहुपद समीकरण है।

समीकरणों पर विचार करते समय, बहुपद के अनिश्चितता (चर) को अज्ञात भी कहा जाता है, और समाधान उन अज्ञात के संभावित मूल्य हैं जिनके लिए समानता सत्य है (सामान्य रूप से एक से अधिक समाधान मौजूद हो सकते हैं)।एक बहुपद समीकरण एक बहुपद पहचान के विपरीत है $= 1/4 (x + 4)(x + 1)(x − 2)$, जहां दोनों अभिव्यक्तियाँ अलग -अलग रूपों में एक ही बहुपद का प्रतिनिधित्व करती हैं, और परिणामस्वरूप दोनों सदस्यों का कोई भी मूल्यांकन एक वैध समानता देता है।

प्राथमिक बीजगणित में, द्विघात सूत्र जैसे तरीकों को एक चर में सभी प्रथम डिग्री और दूसरी डिग्री बहुपद समीकरणों को हल करने के लिए सिखाया जाता है।क्यूबिक और क्वार्टिक समीकरणों के लिए भी सूत्र हैं।उच्च डिग्री के लिए, एबेल -रफिनी प्रमेय का दावा है कि कट्टरपंथी में एक सामान्य सूत्र मौजूद नहीं हो सकता है।हालांकि, रूट-फाइंडिंग एल्गोरिदम का उपयोग किसी भी डिग्री के बहुपद अभिव्यक्ति की जड़ों के संख्यात्मक अनुमानों को खोजने के लिए किया जा सकता है।

वास्तविक गुणांक के साथ एक बहुपद समीकरण के समाधानों की संख्या डिग्री से अधिक नहीं हो सकती है, और जब जटिल समाधानों को उनकी बहुलता के साथ गिना जाता है तो डिग्री के बराबर होता है।इस तथ्य को बीजगणित का मौलिक प्रमेय कहा जाता है।

समीकरणों को हल करना
एक नॉनज़ेरो यूनीवेट बहुपद की एक जड़ $f(x) = 1/14 (x + 4)(x + 1)(x − 1)(x − 3) + 0.5$ एक मूल्य है $a$ का $x$ ऐसा है कि $f(x) = 1/20 (x + 4)(x + 2)(x + 1)(x − 1) (x − 3) + 2$।दूसरे शब्दों में, की एक जड़ $P$ बहुपद समीकरण का एक समाधान है $f(x) = 1/100 (x^{6} − 2x ^{5} − 26x^{4} + 28x^{3}$ या द्वारा परिभाषित बहुपद कार्य का एक शून्य $+ 145x^{2} − 26x − 80)$।शून्य बहुपद के मामले में, प्रत्येक संख्या इसी फ़ंक्शन का एक शून्य है, और जड़ की अवधारणा को शायद ही कभी माना जाता है।

एक संख्या $f(x) = (x − 3)(x − 2)(x − 1)(x)(x + 1)(x + 2)$ एक बहुपद की जड़ है $(x + 3)$ यदि और केवल अगर रैखिक बहुपद $f(x) = 0$ विभाजित $x$, कि अगर कोई और बहुपद है $f(x) = a_{0}$ ऐसा है कि $a_{0} ≠ 0$।ऐसा हो सकता है कि एक शक्ति (से अधिक) $y$) का $a_{0}$ विभाजित $f(x) = a_{0} + a_{1}x$;इस मामले में, $a_{1} ≠ 0$ की एक कई जड़ है $y$, और अन्यथा $a_{0}$ की एक सरल जड़ है $a_{1}$।यदि $f(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2}$ एक नॉनज़ेरो बहुपद है, एक उच्चतम शक्ति है $a_{2} ≠ 0$ ऐसा है कि $f(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3}$ विभाजित $a_{3} ≠ 0$, जिसे बहुलता कहा जाता है $f(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + ⋯ + a_{n}x^{n}$ की जड़ के रूप में $a_{n} ≠ 0 and n ≥ 2$।एक नॉनज़ेरो बहुपद की जड़ों की संख्या $(x + y)(x − y) = x^{2} − y^{2}$, उनके संबंधित गुणकों के साथ गिना जाता है, की डिग्री से अधिक नहीं हो सकता है $P$, और इस डिग्री के बराबर है यदि सभी जटिल जड़ों पर विचार किया जाता है (यह बीजगणित के मौलिक प्रमेय का परिणाम है। एक बहुपद और उसकी जड़ों के गुणांक विएता के सूत्रों से संबंधित हैं।

कुछ बहुपद, जैसे $P(a) = 0$, वास्तविक संख्याओं के बीच कोई जड़ नहीं है।यदि, हालांकि, स्वीकृत समाधानों के सेट को जटिल संख्याओं तक विस्तारित किया जाता है, तो प्रत्येक गैर-स्थिर बहुपद में कम से कम एक जड़ होती है;यह बीजगणित का मौलिक प्रमेय है।क्रमिक रूप से कारकों को विभाजित करके $P(x) = 0$, एक देखता है कि जटिल गुणांक के साथ किसी भी बहुपद को एक स्थिर (इसके प्रमुख गुणांक) के रूप में लिखा जा सकता है, जो डिग्री के ऐसे बहुपद कारकों के उत्पाद के एक उत्पाद & nbsp; 1;परिणामस्वरूप, उनकी गुणन के साथ गिने जाने वाली (जटिल) जड़ों की संख्या वास्तव में बहुपद की डिग्री के बराबर है।

एक समीकरण को हल करने के कई अर्थ हो सकते हैं।कोई भी समाधानों को स्पष्ट संख्या के रूप में व्यक्त करना चाह सकता है;उदाहरण के लिए, का अनूठा समाधान $P$ है $a$।दुर्भाग्य से, यह सामान्य रूप से, एक से अधिक डिग्री के समीकरणों के लिए असंभव है, और, प्राचीन काल के बाद से, गणितज्ञों ने समाधानों को बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के रूप में व्यक्त करने के लिए खोज की है;उदाहरण के लिए, स्वर्ण अनुपात $$(1+\sqrt 5)/2$$ का अनूठा सकारात्मक समाधान है $$x^2-x-1=0.$$ प्राचीन काल में, वे केवल एक और दो डिग्री के लिए सफल हुए। द्विघात समीकरणों के लिए, द्विघात सूत्र समाधानों के ऐसे भाव प्रदान करता है। 16 वीं शताब्दी के बाद से, समान सूत्र (वर्ग जड़ों के अलावा क्यूब जड़ों का उपयोग करके), हालांकि बहुत अधिक जटिल, डिग्री तीन और चार के समीकरणों के लिए जाने जाते हैं (क्यूबिक समीकरण और चतुर्थक समीकरण देखें)। लेकिन कई शताब्दियों के लिए डिग्री 5 और उच्चतर शोधकर्ताओं के लिए सूत्र। 1824 में, नील्स हेनरिक एबेल ने हड़ताली परिणाम साबित कर दिया कि डिग्री 5 के समीकरण हैं जिनके समाधानों को एक (परिमित) सूत्र द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता है, जिसमें केवल अंकगणितीय संचालन और कट्टरपंथी शामिल हैं (एबेल -रफिनी प्रमेय देखें)। 1830 में, évariste Galois ने साबित किया कि चार से अधिक डिग्री के अधिकांश समीकरणों को कट्टरपंथियों द्वारा हल नहीं किया जा सकता है, और दिखाया गया है कि प्रत्येक समीकरण के लिए, कोई यह तय कर सकता है कि क्या यह कट्टरपंथियों द्वारा हल करने योग्य है, और, यदि यह है, तो इसे हल करें। इस परिणाम ने गैलोइस सिद्धांत और समूह सिद्धांत, आधुनिक बीजगणित की दो महत्वपूर्ण शाखाओं की शुरुआत को चिह्नित किया। गैलोइस ने खुद नोट किया कि उनकी विधि द्वारा निहित गणना अव्यावहारिक थी। फिर भी, डिग्री 5 और 6 के हल करने योग्य समीकरणों के लिए सूत्र प्रकाशित किए गए हैं (देखें क्विंटिक फ़ंक्शन और सेक्स्टिक समीकरण)।

जब जड़ों के लिए कोई बीजगणितीय अभिव्यक्ति नहीं होती है, और जब इस तरह की बीजीय अभिव्यक्ति मौजूद होती है, लेकिन उपयोगी होने के लिए बहुत जटिल होती है, तो इसे हल करने का अनूठा तरीका समाधानों के संख्यात्मक अनुमानों की गणना करना है। उसके लिए कई तरीके हैं; कुछ बहुपद तक सीमित हैं और अन्य किसी भी निरंतर कार्य पर लागू हो सकते हैं। सबसे कुशल एल्गोरिदम आसानी से (कंप्यूटर पर) 1,000 से अधिक डिग्री के बहुपद समीकरणों को हल करने की अनुमति देता है (रूट-फाइंडिंग एल्गोरिथ्म देखें)।

एक से अधिक अनिश्चित के साथ बहुपद के लिए, चर के लिए मानों के संयोजन जिसके लिए बहुपद कार्य मूल्य शून्य लेता है, आमतौर पर जड़ों के बजाय शून्य कहा जाता है। बहुपद के शून्य के सेट का अध्ययन बीजगणितीय ज्यामिति का उद्देश्य है। कई अज्ञात के साथ बहुपद समीकरणों के एक सेट के लिए, यह तय करने के लिए एल्गोरिदम हैं कि क्या उनके पास जटिल समाधानों की एक परिमित संख्या है, और, यदि यह संख्या परिमित है, तो समाधानों की गणना के लिए। बहुपद समीकरणों की प्रणाली देखें।

विशेष मामला जहां सभी बहुपद डिग्री के होते हैं, को रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली कहा जाता है, जिसके लिए शास्त्रीय गौसियन उन्मूलन सहित विभिन्न समाधान विधियों की एक और सीमा मौजूद है।

एक बहुपद समीकरण जिसके लिए कोई केवल समाधानों में रुचि रखता है जो पूर्णांक होते हैं इसे डायोफेंटाइन समीकरण कहा जाता है। डायोफेंटाइन समीकरणों को हल करना आम तौर पर एक बहुत कठिन काम है। यह साबित कर दिया गया है कि उन्हें हल करने के लिए कोई सामान्य एल्गोरिथ्म नहीं हो सकता है, या यहां तक ​​कि यह तय करने के लिए कि समाधान का सेट खाली है (हिल्बर्ट की दसवीं समस्या देखें)। पिछले पचास वर्षों के दौरान हल की गई कुछ सबसे प्रसिद्ध समस्याएं डायफेंटाइन समीकरणों से संबंधित हैं, जैसे कि फर्मेट के अंतिम प्रमेय।

बहुपद अभिव्यक्तियाँ
बहुपद जहां अनिश्चितता को कुछ अन्य गणितीय वस्तुओं के लिए प्रतिस्थापित किया जाता है, अक्सर माना जाता है, और कभी -कभी एक विशेष नाम होता है।

त्रिकोणमितीय बहुपद
एक त्रिकोणमितीय बहुपद कार्यों का एक परिमित रैखिक संयोजन है (                                                                                                      वास्तविक मूल्य वाले कार्यों के लिए गुणांक वास्तविक संख्या के रूप में लिया जा सकता है।

यदि पाप (एनएक्स) और सीओएस (एनएक्स) को पाप (एक्स) और सीओएस (एक्स) के संदर्भ में विस्तारित किया जाता है, तो एक त्रिकोणमितीय बहुपद दो चर (एक्स) और सीओएस (एक्स) में एक बहुपद बन जाता है#मल्टीपल-एंगल फॉर्मूला)।इसके विपरीत, पाप (x) और cos (x) में प्रत्येक बहुपद को त्रिकोणमितीय पहचान की सूची के साथ परिवर्तित किया जा सकता है।पाप (nx) और cos (nx)।यह तुल्यता बताती है कि क्यों रैखिक संयोजनों को बहुपद कहा जाता है।

जटिल गुणांक के लिए, इस तरह के एक फ़ंक्शन और एक परिमित फूरियर श्रृंखला के बीच कोई अंतर नहीं है।

त्रिकोणमितीय बहुपद का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए त्रिकोणमितीय प्रक्षेप में आवधिक कार्यों के प्रक्षेप पर लागू होता है।उनका उपयोग असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म में भी किया जाता है।

मैट्रिक्स बहुपद
एक मैट्रिक्स बहुपद चर के रूप में वर्ग मैट्रिस के साथ एक बहुपद है। एक साधारण, स्केलर-मूल्यवान बहुपद को देखते हुए
 * $$P(x) = \sum_{i=0}^n{ a_i x^i} =a_0 + a_1 x+ a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n, $$

यह बहुपद एक मैट्रिक्स ए में मूल्यांकन किया गया है
 * $$P(A) = \sum_{i=0}^n{ a_i A^i} =a_0 I + a_1 A + a_2 A^2 + \cdots + a_n A^n,$$

जहां मैं पहचान मैट्रिक्स है। एक मैट्रिक्स बहुपद समीकरण दो मैट्रिक्स बहुपद के बीच एक समानता है, जो प्रश्न में विशिष्ट मैट्रिसेस के लिए रखता है।एक मैट्रिक्स बहुपद पहचान एक मैट्रिक्स बहुपद समीकरण है जो एक निर्दिष्ट मैट्रिक्स रिंग  एम में सभी मैट्रिसेस  ए 'के लिए रखती हैn(आर)।

घातीय बहुपद
एक द्विभाजित बहुपद जहां दूसरे चर को पहले चर पर लागू एक घातीय फ़ंक्शन के लिए प्रतिस्थापित किया जाता है, उदाहरण के लिए $P$, एक घातीय बहुपद कहा जा सकता है।

तर्कसंगत कार्य
एक तर्कसंगत अंश दो बहुपदों का भागफल (बीजगणितीय अंश) है।किसी भी बीजगणितीय अभिव्यक्ति को एक तर्कसंगत अंश के रूप में फिर से लिखा जा सकता है एक तर्कसंगत कार्य है।

जबकि बहुपद कार्यों को चर के सभी मूल्यों के लिए परिभाषित किया गया है, एक तर्कसंगत फ़ंक्शन केवल उन चर के मूल्यों के लिए परिभाषित किया गया है, जिनके लिए हर शून्य नहीं है।

तर्कसंगत अंशों में लॉरेंट बहुपद शामिल हैं, लेकिन एक अनिश्चित की शक्तियों तक हर में सीमित नहीं हैं।

लॉरेंट बहुपद
लॉरेंट बहुपद बहुपद की तरह हैं, लेकिन चर की नकारात्मक शक्तियों को होने की अनुमति देते हैं।

पावर सीरीज़
औपचारिक शक्ति श्रृंखला बहुपद की तरह है, लेकिन असीम रूप से कई गैर-शून्य शब्दों को होने की अनुमति देती है, ताकि उनके पास परिमित डिग्री न हो।बहुपद के विपरीत, वे सामान्य रूप से स्पष्ट रूप से और पूरी तरह से लिख नहीं सकते हैं (जैसे कि तर्कहीन संख्याएं नहीं हो सकती हैं), लेकिन उनकी शर्तों में हेरफेर करने के नियम बहुपद के लिए समान हैं।गैर-औपचारिक शक्ति श्रृंखला भी बहुपद को सामान्य करती है, लेकिन दो बिजली श्रृंखलाओं का गुणन अभिसरण नहीं हो सकता है।

बहुपद रिंग
एक बहुपद $x − a$ एक कम्यूटेटिव रिंग पर $P$ एक बहुपद है जिसके सभी गुणांक हैं $Q$।यह सत्यापित करना सीधा है कि अनिश्चितता के एक सेट में बहुपद $P = (x − a) Q$ इन अनिश्चितताओं में बहुपद रिंग नामक एक कम्यूटेटिव रिंग बनाएं, जिसे निरूपित किया गया $$R[x]$$ अविभाज्य मामले में और $$R[x_1,\ldots, x_n]$$ बहुभिन्नरूपी मामले में।

किसी के पास
 * $$R[x_1,\ldots, x_n]=\left(R[x_1,\ldots, x_{n-1}]\right)[x_n].$$

इसलिए, बहुभिन्नरूपी मामले के अधिकांश सिद्धांत को एक पुनरावृत्त एकतरफा मामले में कम किया जा सकता है।

से नक्शा $1$ प्रति $x − a$ भेजना $P$ खुद को एक निरंतर बहुपद के रूप में माना जाता है एक इंजेक्टिव रिंग होमोमोर्फिज्म है, जिसके द्वारा $a$ के एक सबरिंग के रूप में देखा जाता है $P$।विशेष रूप से, $a$ एक बीजगणित पर है $P$।

रिंग के बारे में सोच सकते हैं $P$ के रूप में से उत्पन्न हो रहा है $m$ आर में एक नए तत्व एक्स जोड़कर, और एक रिंग के लिए न्यूनतम तरीके से विस्तार करना $(x − a)^{m}$ अनिवार्य लोगों की तुलना में कोई अन्य संबंध संतुष्ट नहीं करता है, साथ ही सभी तत्वों के साथ कम्यूटेशन $P$ (वह है $a$)।ऐसा करने के लिए, किसी को सभी शक्तियों को जोड़ना होगा $P$ और उनके रैखिक संयोजन भी।

बहुपद रिंग का गठन, आदर्शों को फैक्टरिंग करके कारक के छल्ले बनाने के साथ, ज्ञात लोगों से बाहर नए छल्ले के निर्माण के लिए महत्वपूर्ण उपकरण हैं।उदाहरण के लिए, जटिल संख्याओं की अंगूठी (वास्तव में क्षेत्र में), जिसका निर्माण बहुपद रिंग से किया जा सकता है $P$ बहुपद के गुणकों के आदर्श को फैक्टर करके वास्तविक संख्या पर $P$।एक अन्य उदाहरण परिमित क्षेत्रों का निर्माण है, जो समान रूप से आगे बढ़ता है, जो कि पूर्णांक के क्षेत्र के साथ शुरू होता है, गुणांक रिंग के रूप में कुछ प्रमुख संख्या $x^{2} + 1$ (मॉड्यूलर अंकगणित देखें)।

यदि $x − a$ कम्यूटेटिव है, तो कोई हर बहुपद के साथ जुड़ सकता है $2x − 1 = 0$ में $1/2$ एक बहुपद कार्य $P(x, e^{x})$ डोमेन और रेंज के बराबर $f$।(अधिक आम तौर पर, कोई भी डोमेन और रेंज ले सकता है जो किसी भी समान यूनिटल एसोसिएटिव बीजगणित हो सकता है $R$।) एक मूल्य प्राप्त करता है $R$ मूल्य के प्रतिस्थापन द्वारा $R$ प्रतीक के लिए $R$ में $R[x]$।बहुपद और बहुपद कार्यों के बीच अंतर करने का एक कारण यह है कि, कुछ छल्ले पर, अलग -अलग बहुपद एक ही बहुपद कार्य को जन्म दे सकते हैं (एक उदाहरण के लिए फ़र्मेट के छोटे प्रमेय को देखें जहां $r$ पूर्णांक modulo है $R$)।यह मामला नहीं है $R[x]$ क्या वास्तविक या जटिल संख्या है, जहां दो अवधारणाएं हमेशा विश्लेषण में प्रतिष्ठित नहीं होती हैं।बहुपद और बहुपद कार्यों के बीच अंतर करने का एक और भी महत्वपूर्ण कारण यह है कि बहुपदों पर कई संचालन (जैसे यूक्लिडियन डिवीजन) को यह देखने की आवश्यकता है कि एक बहुपद क्या है। $R[x]$।

डिविसिबिलिटी
यदि $R$ एक अभिन्न डोमेन है और $R[x]$ तथा $R$ में बहुपद हैं $x$, कहते है कि $R$ विभाजित $xr = rx$ या $x$ का भाजक है $R[x]$ अगर वहाँ एक बहुपद मौजूद है $x^{2} + 1$ में $R$ ऐसा है कि $R$।यदि $$a\in R,$$ फिर $a$ की जड़ है $f$ अगर और केवल $$x-a$$ विभाजित $f$।इस मामले में, भागफल को बहुपद लॉन्ग डिवीजन का उपयोग करके गणना की जा सकती है। यदि $P$ एक क्षेत्र है और $R[x]$ तथा $f$ में बहुपद हैं $R$ साथ $R$, फिर अद्वितीय बहुपद मौजूद हैं $f(r)$ तथा $r$ में $x$ साथ
 * $$ f = q \, g + r $$

और इस तरह की डिग्री $P$ की डिग्री से छोटा है $R$ (सम्मेलन का उपयोग करते हुए कि बहुपद 0 में एक नकारात्मक डिग्री है)।बहुपद $p$ तथा $R$ द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किए जाते हैं $x$ तथा $R$।इसे यूक्लिडियन डिवीजन कहा जाता है, शेष या बहुपद लॉन्ग डिवीजन के साथ डिवीजन और दिखाता है कि रिंग $f$ एक यूक्लिडियन डोमेन है।

एनालॉग, प्राइम पॉलीनोमिअल (अधिक सही ढंग से, इरेड्यूसिबल पोलिनोमिअल) को गैर-शून्य बहुपद के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसे दो गैर-निरंतर बहुपद के उत्पाद में कारक नहीं किया जा सकता है। एक अंगूठी में गुणांक के मामले में, गैर-स्थिर को गैर-स्थिर या गैर-इकाई द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए (दोनों परिभाषाएँ एक क्षेत्र में गुणांक के मामले में सहमत हैं)। किसी भी बहुपद को irreducible बहुपद के उत्पाद द्वारा एक उल्टे स्थिरांक के उत्पाद में विघटित किया जा सकता है। यदि गुणांक एक क्षेत्र या एक अद्वितीय कारककरण डोमेन से संबंधित हैं, तो यह अपघटन कारकों के क्रम और किसी भी गैर-इकाई कारक के गुणन के लिए एक इकाई (और एक ही इकाई द्वारा इकाई कारक के विभाजन) के गुणन तक अद्वितीय है। जब गुणांक पूर्णांक, तर्कसंगत संख्या या एक परिमित क्षेत्र से संबंधित हैं, तो इर्रिड्यूबिलिटी का परीक्षण करने के लिए एल्गोरिदम होते हैं और irreducible polynomials में कारक की गणना करने के लिए (बहुपद का कारक देखें)। ये एल्गोरिदम हाथ से लिखे गए गणना के लिए व्यावहारिक नहीं हैं, लेकिन किसी भी कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली में उपलब्ध हैं। Eisenstein के मानदंड का उपयोग कुछ मामलों में भी किया जा सकता है ताकि कुछ मामलों में ireducibility निर्धारित किया जा सके।

पोजिशनल नोटेशन
आधुनिक स्थिति संख्या प्रणालियों में, जैसे कि दशमलव प्रणाली, अंक और एक पूर्णांक के प्रतिनिधित्व में उनके पद, उदाहरण के लिए, 45, रेडिक्स या आधार में एक बहुपद के लिए एक शॉर्टहैंड नोटेशन हैं, इस मामले में, इस मामले में, 4 × 101 + 5 × 100।एक अन्य उदाहरण के रूप में, रेडिक्स 5 में, 132 जैसे अंकों की एक स्ट्रिंग (दशमलव) संख्या को दर्शाता है 1 × 52 + 3 × 51 + 2 × 50 = 42. यह प्रतिनिधित्व अद्वितीय है।चलो बी 1 से अधिक एक सकारात्मक पूर्णांक हो। फिर प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक ए को रूप में विशिष्ट रूप से व्यक्त किया जा सकता है


 * $$a = r_m b^m + r_{m-1} b^{m-1} + \dotsb + r_1 b + r_0,$$

जहां एम एक गैर -नॉनगेटिव पूर्णांक है और आर के पूर्णांक ऐसे हैं


 * $g$ तथा $R[x]$ के लिये $f$.

प्रक्षेप और सन्निकटन
बहुपद कार्यों की सरल संरचना उन्हें बहुपद अनुमानों का उपयोग करके सामान्य कार्यों का विश्लेषण करने में काफी उपयोगी बनाती है।कैलकुलस में एक महत्वपूर्ण उदाहरण टेलर का प्रमेय है, जो मोटे तौर पर बताता है कि हर अलग -अलग कार्य स्थानीय रूप से एक बहुपद कार्य की तरह दिखता है, और पत्थर -वीरस्ट्रास प्रमेय, जो बताता है कि वास्तविक अक्ष के कॉम्पैक्ट अंतराल पर परिभाषित प्रत्येक निरंतर फ़ंक्शन का अनुमान लगाया जा सकता है।एक बहुपद समारोह द्वारा वांछित के रूप में पूरे अंतराल के रूप में।सन्निकटन के व्यावहारिक तरीकों में बहुपद प्रक्षेप और विभाजन का उपयोग शामिल है।

अन्य अनुप्रयोग
बहुपद का उपयोग अक्सर कुछ अन्य वस्तुओं के बारे में जानकारी को एन्कोड करने के लिए किया जाता है।एक मैट्रिक्स या रैखिक ऑपरेटर की विशेषता बहुपद में ऑपरेटर के eigenvalues के बारे में जानकारी होती है।एक बीजीय तत्व का न्यूनतम बहुपद उस तत्व द्वारा संतुष्ट सबसे सरल बीजगणितीय संबंध को रिकॉर्ड करता है।एक ग्राफ का रंगीन बहुपद उस ग्राफ के उचित रंगों की संख्या को गिनता है।

बहुपद शब्द, एक विशेषण के रूप में, का उपयोग उन मात्राओं या कार्यों के लिए भी किया जा सकता है जिन्हें बहुपद रूप में लिखा जा सकता है।उदाहरण के लिए, कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत में वाक्यांश बहुपद समय का मतलब है कि एल्गोरिथ्म को पूरा करने में लगने वाला समय कुछ चर के बहुपद कार्य से बंधा होता है, जैसे कि इनपुट का आकार।

इतिहास
बहुपद की जड़ों का निर्धारण, या बीजीय समीकरणों को हल करना, गणित में सबसे पुरानी समस्याओं में से एक है।हालाँकि, सुरुचिपूर्ण और व्यावहारिक संकेतन का उपयोग हम आज केवल 15 वीं शताब्दी में शुरू करते हैं।इससे पहले, समीकरणों को शब्दों में लिखा गया था।उदाहरण के लिए, नौ खंडों में चीनी अंकगणित से एक बीजगणित समस्या, 200 ईसा पूर्व, अच्छी फसल के तीन शीफ, दो शीफ के औसत दर्जे की फसल की शुरुआत होती है, और खराब फसल के एक शीफ को 29 डू के लिए बेचा जाता है।हम लिखेंगे $g$।

संकेतन का इतिहास
समान चिन्ह का जल्द से जल्द ज्ञात उपयोग रॉबर्ट रिकॉर्ड के द वेटस्टोन ऑफ विट्टे, 1557 में है। इसके अलावा संकेत +, घटाव के लिए, और एक अज्ञात के लिए एक पत्र का उपयोग माइकल स्टिफ़ेल के एरिथेमेटिका इंटेगरा, 1544 में दिखाई देता है।1637 में ला गोमेट्री में, एक बहुपद समीकरण के ग्राफ की अवधारणा पेश की।उन्होंने वर्णमाला की शुरुआत से अक्षरों और अक्षरों को निरूपित करने के लिए वर्णमाला की शुरुआत से अक्षरों के उपयोग को लोकप्रिय बनाया, जैसा कि ऊपर देखा जा सकता है, जैसा कि ऊपर देखा जा सकता है, एक चर में एक बहुपद के लिए सामान्य सूत्र में, जहां $f$स्थिरांक और निरूपित करें $g$ एक चर को दर्शाता है।डेसकार्टेस ने एक्सपोजर को भी निरूपित करने के लिए सुपरस्क्रिप्ट्स का उपयोग शुरू किया।

यह भी देखें

 * बहुपद विषयों की सूची

संदर्भ

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