एडोमियन अपघटन विधि

एडोमियन अपघटन विधि (ADM) साधारण अंतर समीकरण ों और  आंशिक अंतर समीकरण ों को गैर-रैखिक अंतर समीकरणों को हल करने के लिए एक अर्ध-विश्लेषणात्मक विधि है। यह विधि 1970 से 1990 के दशक में  जॉर्जिया विश्वविद्यालय  में सेंटर फॉर एप्लाइड मैथमैटिक्स के अध्यक्ष  जॉर्ज एडोमियन  द्वारा विकसित की गई थी। यह  यह अभिन्न  का उपयोग करके  स्टोकेस्टिक प्रणाली  के लिए और अधिक विस्तार योग्य है। इस पद्धति का उद्देश्य आंशिक अंतर समीकरणों (पीडीई) के समाधान के लिए एक एकीकृत सिद्धांत की ओर है; एक उद्देश्य जिसे होमोटॉपी विश्लेषण पद्धति के अधिक सामान्य सिद्धांत द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है। विधि का महत्वपूर्ण पहलू एडोमियन  बहुपद ों का रोजगार है जो समीकरण के गैर-रैखिक भाग के समाधान अभिसरण की अनुमति देता है, बिना प्रणाली को केवल रेखांकन किए। ये बहुपद एक मनमाना बाहरी पैरामीटर के बारे में  मैकलॉरिन श्रृंखला  के लिए गणितीय रूप से सामान्यीकरण करते हैं; जो सीधे  टेलर श्रृंखला  विस्तार की तुलना में समाधान पद्धति को अधिक लचीलापन देता है।

साधारण अंतर समीकरण
कौशी समस्याओं को हल करने के लिए एडोमियन विधि अच्छी तरह से अनुकूल है, समस्याओं का एक महत्वपूर्ण वर्ग जिसमें प्रारंभिक मूल्य समस्या एं शामिल हैं।

पहले क्रम के अरैखिक सिस्टम के लिए आवेदन
एक साधारण अवकल समीकरण के लिए प्रारंभिक स्थिति समस्या का एक उदाहरण निम्नलिखित है:



y^\prime(t) + y^{2}(t) = -1, $$

y(0) = 0. $$ समस्या को हल करने के लिए, उच्चतम डिग्री डिफरेंशियल ऑपरेटर (यहाँ एल के रूप में लिखा गया है) को बाईं ओर निम्न तरीके से रखा गया है:



Ly = -1 -y^{2}, $$ एल = डी/डीटी और के साथ $$L^{-1}=\int_{0}^{t} $$. अब समाधान को योगदान की अनंत श्रृंखला माना जाता है:



y = y_{0} + y_{1} + y_{2} + y_{3} + \cdots. $$ पिछली अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:



(y_{0} + y_{1} + y_{2} + y_{3} + \cdots) = y(0) + L^{-1}[-1 - (y_{0} + y_{1} + y_{2} + y_{3} + \cdots)^{2}]. $$ अब हम y की पहचान करते हैं0 दाईं ओर कुछ स्पष्ट अभिव्यक्ति के साथ, और yi, i = 1, 2, 3, ..., दाईं ओर कुछ व्यंजक के साथ जिसमें i से कम क्रम के पद हैं। उदाहरण के लिए:



\begin{align} &y_{0} &=&\ y(0)+ L^{-1}(-1) &=& -t \\ &y_{1} &=& -L^{-1}(y_{0}^{2}) =-L^{-1}(t^{2}) &=& -t^{3}/3 \\ &y_{2} &=& -L^{-1}(2y_{0}y_{1}) &=& -2t^{5}/15 \\ &y_{3} &=& -L^{-1}(y_{1}^{2}+2y_{0}y_{2}) &=& -17t^{7}/315. \end{align} $$ इस तरह, किसी भी क्रम में किसी भी योगदान की स्पष्ट रूप से गणना की जा सकती है। यदि हम पहले चार शब्दों के लिए समझौता करते हैं, तो सन्निकटन निम्नलिखित है:



\begin{align} y &= y_{0} + y_{1} + y_{2} + y_{3} + \cdots \\ & = -\left[ t + \frac{1}{3} t^{3} + \frac{2}{15} t^{5} + \frac{17}{315} t^{7} + \cdots \right] \end{align} $$

ब्लासियस समीकरण के लिए आवेदन
एक दूसरा उदाहरण, अधिक जटिल सीमा स्थितियों के साथ एक सीमा परत  में प्रवाह के लिए  ब्लासियस सीमा परत  है:



\frac{\mathrm{d}^{3} u}{\mathrm{d} x^{3}} + \frac{1}{2} u \frac{\mathrm{d}^{2} u}{\mathrm{d}x^{2}} = 0 $$ सीमाओं पर निम्नलिखित शर्तों के साथ:



\begin{align} u(0) &= 0 \\ u^{\prime}(0) &= 0 \\ u^{\prime}(x) &\to 1, \qquad x \to \infty \end{align} $$ रैखिक और गैर-रैखिक ऑपरेटरों को अब बुलाया जाता है $$L = \frac{\mathrm{d}^{3} }{\mathrm{d} x^{3}}$$ और $$N =\frac{1}{2} u \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}}$$, क्रमश। फिर, अभिव्यक्ति बन जाती है:



L u + N u = 0 $$ और इस मामले में समाधान निम्नलिखित सरल तरीके से व्यक्त किया जा सकता है:



u = \alpha + \beta x + \gamma x^{2}/2 - L^{-1} N u $$ कहां: $$L^{-1} \xi (x) = \int dx \int \mathrm{d}x \int \mathrm{d}x \;\; \xi(x) $$ यदि:



\begin{align} u &= u^{0} + u^{1} + u^{2} + \cdots + u^{N} \\ &=\alpha + \beta x + \gamma x^{2}/2 - \frac{1}{2} L^{-1} (u^{0}+u^{1}+u^{2}+\cdots+u^{N}) \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}}(u^{0} + u^{1} + u^{2} + \cdots + u^{N}) \end{align} $$ और:



\begin{align} u^{0} &= {}\alpha + \beta x + \gamma x^{2}/2\\ u^{1} &= -\frac{1}{2} L^{-1}(u^{0}u^{0''}) &=& -L^{-1} A_{0} \\ u^{2} &= -\frac{1}{2} L^{-1}(u^{1}u^{0}+u^{0}u^{1}) &=& -L^{-1} A_{1} \\ u^{3} &= -\frac{1}{2} L^{-1}(u^{2}u^{0}+u^{1}u^{1}+u^{0}u^{2''}) &=& -L^{-1} A_{2} \\ &\cdots \end{align} $$ अरैखिक पद को रेखीयकृत करने के लिए एडोमियन के बहुपदों को व्यवस्थित रूप से निम्नलिखित नियम का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है:



A_{n} = \frac{1}{n!} \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}\lambda^{n}} f(u(\lambda))\mid_{\lambda=0}, $$ कहां: $$\frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}\lambda^{n}} u(\lambda)\mid_{\lambda=0} = n! u_{n}$$ सामान्य रूप से, प्रत्येक सन्निकटन के अंत में, सीमा शर्तों को लागू किया जाना चाहिए। इस मामले में, एकीकरण स्थिरांक को तीन अंतिम स्वतंत्र स्थिरांक में समूहीकृत किया जाना चाहिए। हालांकि, हमारे उदाहरण में, तीन स्थिरांक ऊपर औपचारिक समाधान में दिखाए गए रूप में शुरू से ही समूहीकृत दिखाई देते हैं। दो पहली सीमा शर्तों को लागू करने के बाद हम तथाकथित ब्लासियस श्रृंखला प्राप्त करते हैं:



u = \frac{\gamma}{2} x^2 - \frac{\gamma^2}{2}\left(\frac{x^5}{5!}\right) + \frac{11 \gamma^{3}}{4}\left(\frac{x^{8}}{8!}\right) - \frac{375 \gamma^{4}}{8} \left(\frac{x^{11}}{11!}\right) + \cdots $$ γ प्राप्त करने के लिए हमें ∞ पर सीमा शर्तों को लागू करना होगा, जो श्रृंखला को पैड सन्निकटन के रूप में लिखकर किया जा सकता है:



f(z) = \sum_{n=0}^{L+M} c_{n} z^{n} = \frac{a_{0} + a_{1}z + \cdots + a_{L}z^{L}}{b_{0} + b_{1} z + \cdots + b_{M}z^{M}} $$ जहां एल = एम। सीमा पर $$\infty$$ इस अभिव्यक्ति का एक हैL/बीM.

अगर हम बी चुनते हैं0 = 1, बी गुणांकों के लिए एम रैखिक समीकरण प्राप्त किए जाते हैं:



\left[ \begin{array}{cccc} c_{L-M+1} & c_{L-M+2} & \cdots & c_{L} \\ c_{L-M+2} & c_{L-M+3} & \cdots & c_{L+1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_{L} & c_{L+1} & \cdots & c_{L+M-1} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} b_{M} \\ b_{M-1} \\ \vdots \\ b_{1} \end{array} \right] = - \left[ \begin{array}{c} c_{L+1} \\ c_{L+2} \\ \vdots \\ c_{L+M} \end{array} \right] $$ फिर, हम निम्नलिखित अनुक्रम के माध्यम से एक गुणांक प्राप्त करते हैं:



\begin{align} a_{0} &= c_{0} \\ a_{1} &= c_{1} + b_{1} c_{0} \\ a_{2} &= c_{2} + b_{1}c_{1}+b_{2}c_{0} \\ &\cdots \\ a_{L} &= c_{L} + \sum_{i=1}^{\min(L,m)} b_{i} c_{L-i}. \end{align} $$ हमारे उदाहरण में:



u'(x) = \gamma x - \frac{\gamma^{2}}{2} \left(\frac{x^{4}}{4!}\right) + \frac{11 \gamma^{3}}{4} \left(\frac{x^7}{7!}\right) - \frac{375 \gamma^{4}}{8} \left(\frac{x^{10}}{10!}\right) $$ कौन सा जब γ = 0.0408 बन जाता है:



u'(x) = \frac{ 0.0204 + 0.0379\, z  - 0.0059\, z^{2} - 0.00004575\, z^{3} + 6.357 \cdot 10^{-6} z^{4} -1.291\cdot 10^{-6} z^{5} }{ 1 - 0.1429\, z   - 0.0000232\, z^{2} +0.0008375\, z^{3} - 0.0001558\, z^{4} - 1.2849\cdot 10^{-6} z^{5} }, $$ सीमा के साथ:



\lim_{x \to \infty} u'(x) = 1.004. $$ जो 4/1000 की सटीकता के साथ लगभग 1 (सीमा स्थिति (3) से) के बराबर है।

गैर-रैखिकता के साथ एक आयताकार प्रणाली के लिए आवेदन
भौतिक विज्ञान में सबसे लगातार समस्याओं में से एक एक (रैखिक या अरैखिक) आंशिक अंतर समीकरण का समाधान प्राप्त करना है जो एक आयताकार सीमा पर कार्यात्मक मूल्यों के एक सेट को संतुष्ट करता है। एक उदाहरण निम्न समस्या है:



\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}  - b \frac{\partial u^2}{\partial x} = \rho(x, y) \qquad (1) $$ एक आयत पर परिभाषित निम्नलिखित सीमा शर्तों के साथ:



u(x=0) = f_{1}(y) \quad\text{and}\quad u(x=x_{l}) = f_{2}(y) \qquad \text{(1-a)} $$

u(y=-y_{l}) = g_{1}(x) \quad\text{and}\quad u(y=y_{l}) = g_{2}(x) \qquad \text{(1-b)} $$ इस तरह का आंशिक अंतर समीकरण अक्सर विज्ञान  और  अभियांत्रिकी  में दूसरों के साथ मिलकर दिखाई देता है। उदाहरण के लिए, असंपीड्य द्रव प्रवाह समस्या में, नेवियर-स्टोक्स समीकरणों को दबाव के लिए पॉइसन समीकरण के साथ समानांतर में हल किया जाना चाहिए।

व्यवस्था का अपघटन
आइए समस्या के लिए निम्नलिखित अंकन का उपयोग करें (1):



L_{x} u + L_{y} u + N u = \rho(x, y) \qquad (2) $$ जहां एलx, एलy दोहरे व्युत्पन्न संकारक हैं और N एक अरैखिक संकारक है।

(2) का औपचारिक समाधान है:



u = a(y) + b(y) x + L_{x}^{-1} \rho(x, y) - L_{x}^{-1} L_{y} u - L_{x}^{-1} N u \qquad (3) $$ हमारे पास मौजूद समाधान में योगदान के एक सेट के रूप में अब u का विस्तार करना:



u = u_{0} + u_{1} + u_{2} + u_{3} + \cdots $$ (3) में प्रतिस्थापन करके और बाईं ओर के योगदान और दाईं ओर की शर्तों के बीच एक-से-एक पत्राचार करके हम निम्नलिखित पुनरावृत्त योजना प्राप्त करते हैं:



\begin{align} u_{0} &= a_{0}(y) + b_{0}(y) x + L_{x}^{-1} \rho(x, y) \\ u_{1} &= a_{1}(y) + b_{1}(y) x - L_{x}^{-1} L_{y} u_{0} + b \int dx A_{0}  \\ &\cdots \\ u_{n} &= a_{n}(y) + b_{n}(y) x - L_{x}^{-1} L_{y} u_{n-1} + b \int dx A_{n-1} \quad 0 < n < \infty \end{align} $$ जहां युगल {अn(वाई), बीn(y)} समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली का समाधान है:



\begin{align} \varphi^{n}(x=0) &= f_{1}(y) \\ \varphi^{n}(x=x_{l}) &= f_{2}(y), \end{align} $$ यहाँ $$\varphi^{n} \equiv \sum_{i=0}^{n} u_{i}$$ समाधान का nवाँ क्रम सन्निकट है और N u को एडोमियन बहुपदों में लगातार विस्तारित किया गया है:



\begin{align} N u &= -b \partial_{x} u^{2} = -b \partial_{x} (u_{0} + u_{1} + u_{2} + u_{3} + \cdots)(u_{0} + u_{1} + u_{2} + u_{3} + \cdots) \\ &= -b \partial_{x} (u_{0} u_{0} + 2 u_{0} u_{1} + u_{1} u_{1} + 2 u_{0} u_{2} + \cdots) \\ &= -b \partial_{x} \sum_{n=1}^{\infty} A(n-1), \end{align} $$ कहां $$A_{n} = \sum_{\nu=1}^{n} C(\nu, n) f^{(\nu)}(u_{0})$$ और एफ (यू) = यू2 उदाहरण में (1)।

यहाँ C(ν, n) u के ν घटकों के उत्पाद (या उत्पादों का योग) हैं, जिनके सबस्क्रिप्ट का योग n तक है, जो बार-बार सबस्क्रिप्ट की संख्या के भाज्य से विभाजित होता है। यह सुनिश्चित करने के लिए व्यवस्थित रूप से अपघटन का आदेश देने के लिए केवल एक अंगूठा-नियम है कि दिखाई देने वाले सभी संयोजनों का जल्द या बाद में उपयोग किया जाता है। $$\sum_{n=0}^{\infty} A_{n}$$ h> u के बारे में सामान्यीकृत टेलर श्रृंखला के योग के बराबर है0.

उदाहरण के लिए (1) एडोमियन बहुपद हैं:



\begin{align} A_{0} &= u_{0}^{2} \\ A_{1} &= 2 u_{0} u_{1} \\ A_{2} &= u_{1}^{2} + 2 u_{0} u_{2} \\ A_{3} &= 2 u_{1} u_{2} + 2 u_{0} u_{3} \\ & \cdots \end{align} $$ ए की अभिव्यक्ति के लिए अन्य संभावित विकल्प भी संभव हैंn.

श्रृंखला समाधान
चेरूऑल्ट ने स्थापित किया कि एडोमियन की विधि द्वारा प्राप्त श्रृंखला की शर्तें शून्य के रूप में 1/(mn)! अगर एम उच्चतम रैखिक अंतर ऑपरेटर का क्रम है और वह $$\lim_{n \to \infty} \varphi^{n} = u$$. इस पद्धति के साथ समाधान दो दिशाओं में से किसी के साथ व्यवस्थित रूप से एकीकृत करके पाया जा सकता है: एक्स-दिशा में हम अभिव्यक्ति (3) का उपयोग करेंगे; वैकल्पिक y- दिशा में हम निम्नलिखित व्यंजक का प्रयोग करेंगे:



u = c(x) + d(x) y + L_{y}^{-1} \rho(x, y) - L_{y}^{-1} L_{x} u - L_{y}^{-1} N u $$ जहां: c(x), d(x) y = - y पर सीमा शर्तों से प्राप्त किया जाता हैl और वाई = वाईl:



\begin{align} u(y=-y_{l}) &= g_{1}(x) \\ u(y=y_{l}) &= g_{2}(x) \end{align} $$ यदि हम दो संबंधित समाधानों को x-आंशिक समाधान और y-आंशिक समाधान कहते हैं, तो विधि के सबसे दिलचस्प परिणामों में से एक यह है कि x-आंशिक समाधान केवल दो सीमा स्थितियों (1-a) और y-आंशिक समाधान का उपयोग करता है केवल शर्तों (1-बी) का उपयोग करता है।

इस प्रकार, सीमा कार्यों के दो सेटों में से एक {f1, एफ2} या {जी1, जी2} बेमानी है, और इसका तात्पर्य है कि एक आयत पर सीमा शर्तों के साथ एक आंशिक अंतर समीकरण की सीमाओं पर मनमाने ढंग से सीमा की स्थिति नहीं हो सकती है, क्योंकि x = x पर स्थितियां1, एक्स = एक्स2 y = y पर लगाए गए लोगों के अनुरूप होना चाहिए1 और वाई = वाई2.

इस बिंदु को स्पष्ट करने के लिए एक उदाहरण निम्न सीमा शर्तों के साथ प्वासों समस्या का समाधान है:



\begin{align} u(x=0) &= f_{1}(y) = 0 \\ u(x=x_{l}) &= f_{2}(y) = 0 \end{align} $$ एडोमियन की विधि और एक प्रतीकात्मक प्रोसेसर (जैसे मेथेमेटिका  या  मेपल (सॉफ्टवेयर) ) का उपयोग करके समाधान के लिए अनुमानित तीसरे क्रम को प्राप्त करना आसान है। इस सन्निकटन में 5×10 से कम त्रुटि है−16 किसी भी बिंदु पर, क्योंकि यह प्रारंभिक समस्या में प्रतिस्थापन द्वारा और (x, y) के फलन के रूप में प्राप्त अवशिष्ट के निरपेक्ष मान को प्रदर्शित करके सिद्ध किया जा सकता है।

y = -0.25 और y = 0.25 पर समाधान विशिष्ट कार्यों द्वारा दिया जाता है जो इस मामले में हैं:

g_{1}(x) = 0.0520833\, x -0.347222\, x^{3} + 9.25186 \times 10^{-17} x^{4} + 0.833333\, x^{5} -0.555556\, x^{6} $$ और जी2(एक्स) = जी1(एक्स) क्रमशः।

यदि इन दो सीमा कार्यों का उपयोग करके वाई-दिशा में एक (डबल) एकीकरण अब किया जाता है तो वही समाधान प्राप्त किया जाएगा, जो u(x=0, y) = 0 और u(x=0.5, y) = 0 को संतुष्ट करता है और इन सीमाओं पर किसी अन्य शर्त को पूरा नहीं कर सकता।

कुछ लोग इन नतीजों से हैरान हैं; यह अजीब लगता है कि अंतर प्रणाली को हल करने के लिए सभी प्रारंभिक-सीमा स्थितियों का स्पष्ट रूप से उपयोग नहीं किया जाना चाहिए। हालांकि, यह एक अच्छी तरह से स्थापित तथ्य है कि किसी भी अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरण  में आयत के चारों पक्षों में किसी भी कार्यात्मक स्थितियों के लिए एक और केवल एक समाधान होता है, बशर्ते कि किनारों पर कोई असंतोष न हो। गलत धारणा का कारण यह है कि वैज्ञानिक और इंजीनियर आमतौर पर एक हिल्बर्ट अंतरिक्ष  में  कमजोर अभिसरण (हिल्बर्ट स्पेस)  के संदर्भ में सीमा की स्थिति में सोचते हैं (सीमा समारोह की दूरी व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए काफी छोटी है)। इसके विपरीत, कॉची समस्याएं किसी दिए गए सीमा समारोह और उसके सभी डेरिवेटिव्स के लिए बिंदु-से-बिंदु अभिसरण लगाती हैं (और यह एक काफी मजबूत स्थिति है!) पहले वाले के लिए, एक फ़ंक्शन एक सीमा स्थिति को संतुष्ट करता है जब इसके बीच का क्षेत्र (या अन्य कार्यात्मक दूरी) और सीमा में लगाया गया वास्तविक कार्य वांछित के रूप में बहुत छोटा होता है; हालाँकि, दूसरे वाले के लिए, फ़ंक्शन को अंतराल के किसी भी और हर बिंदु पर लगाए गए सही फ़ंक्शन के लिए प्रवृत्त होना चाहिए।

टिप्पणी की गई पोइसन समस्या में किसी भी कार्यात्मक सीमा की स्थिति का समाधान नहीं है1, एफ2, जी1, जी2; हालाँकि, दिया गया f1, एफ2 सीमा कार्यों को खोजना हमेशा संभव होता है जी1*, जी2 * जी के इतने करीब1, जी2 वांछित के रूप में (कमजोर अभिसरण अर्थ में) जिसके लिए समस्या का समाधान है। यह संपत्ति मनमाने ढंग से सीमा शर्तों के साथ पोइसन और कई अन्य समस्याओं को हल करना संभव बनाती है लेकिन सीमाओं पर बिल्कुल निर्दिष्ट विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए कभी नहीं। पाठक एक्स-दिशा के साथ एकीकृत होने वाली इस समस्या को हल करके सीमा स्थितियों में छोटे बदलावों के लिए पीडीई समाधानों की उच्च संवेदनशीलता के बारे में खुद को (स्वयं को) मना सकता है, सीमा कार्यों के साथ थोड़ा अलग भले ही नेत्रहीन अलग न हो। उदाहरण के लिए, सीमा शर्तों के साथ समाधान:



f_{1,2}(y) = 0.00413682 - 0.0813801\, y^{2} + 0.260416\, y^{4} - 0.277778\, y^{6} $$ x = 0 और x = 0.5 पर, और सीमा शर्तों के साथ समाधान:



\begin{align} f_{1,2}(y) = 0.00413683 &- 0.00040048\, y - 0.0813802\, y^{2} + 0.0101279\, y^{3} + 0.260417\, y^{4} \\ &- 0.0694455\, y^{5} - 0.277778\, y^{6} + 0.15873\, y^{7} + \cdots \end{align} $$ x = 0 और x = 0.5 पर, अलग-अलग संकेत उत्तलता के साथ पार्श्व कार्य उत्पन्न करते हैं, भले ही दोनों कार्य दृष्टिगत रूप से भिन्न न हों।

दीर्घवृत्तीय समस्याओं के समाधान और अन्य आंशिक अंतर समीकरण केवल दो पक्षों का उपयोग किए जाने पर लगाए गए सीमा समारोह में छोटे बदलावों के प्रति अत्यधिक संवेदनशील होते हैं। और यह संवेदनशीलता उन मॉडलों के साथ आसानी से संगत नहीं है जो वास्तविक प्रणालियों का प्रतिनिधित्व करने वाले हैं, जिन्हें प्रयोगात्मक त्रुटियों वाले मापों के माध्यम से वर्णित किया गया है और आमतौर पर हिल्बर्ट स्पेस में प्रारंभिक-सीमा मूल्य समस्याओं के रूप में व्यक्त किया जाता है।

अपघटन विधि में सुधार
कम से कम तीन तरीकों की सूचना दी गई है सीमा कार्यों को प्राप्त करने के लिए जी1*, जी2 * जो शर्तों के किसी भी पार्श्व सेट के साथ संगत हैं {f1, एफ2} थोपा हुआ। यह आवश्यक सटीकता के साथ एक बंद आयत पर किसी भी पीडीई सीमा समस्या का विश्लेषणात्मक समाधान खोजना संभव बनाता है, जिससे उन समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला को हल करने की अनुमति मिलती है जिन्हें मानक एडोमियन की विधि संबोधित करने में सक्षम नहीं थी।

पहले वाला x = 0 और x = x पर लगाए गए दो सीमा कार्यों को परेशान करता है1 (शर्त 1-क) y: p में Nth-क्रम बहुपद के साथ1, पी2 इस प्रकार: एफ1' = एफ1 + पी1, एफ2' = एफ2 + पी2, जहां दो गड़बड़ी कार्यों का मानदंड सीमाओं पर आवश्यक सटीकता से छोटा है। ये प1, पी2 बहुपद गुणांक c के एक सेट पर निर्भर करते हैंi, i = 1, ..., N. फिर, एडोमियन विधि लागू की जाती है और चार सीमाओं पर फलन प्राप्त किए जाते हैं जो c के समुच्चय पर निर्भर करते हैंi, i = 1, ..., N. अंत में, एक सीमा फलन F(c1, सी2, ..., सीN) को इन चार कार्यों के योग के रूप में परिभाषित किया गया है, और F(c1, सी2, ..., सीN) और वास्तविक सीमा कार्य ((1-ए) और (1-बी)) को कम किया गया है। समस्या को कम कर दिया गया है, इस तरह, फ़ंक्शन एफ (सी) के वैश्विक न्यूनीकरण के लिए1, सी2, ..., सीN) जिसमें मापदंडों के कुछ संयोजन के लिए वैश्विक न्यूनतम हैi, i = 1, ..., N. यह न्यूनतम एक आनुवंशिक एल्गोरिथ्म के माध्यम से या कुछ अन्य अनुकूलन विधि का उपयोग करके पाया जा सकता है, जैसा कि चेरौल्ट (1999) द्वारा प्रस्तावित किया गया है। प्रारंभिक-सीमा समस्याओं के विश्लेषणात्मक सन्निकटन प्राप्त करने के लिए एक दूसरी विधि वर्णक्रमीय विधियों के साथ एडोमियन अपघटन को जोड़ना है।

अंत में, गार्सिया-ओलिवारेस द्वारा प्रस्तावित तीसरी विधि चार सीमाओं पर विश्लेषणात्मक समाधान लगाने पर आधारित है, लेकिन मूल अंतर ऑपरेटर को इस तरह से संशोधित करना है कि यह सीमाओं के करीब एक संकीर्ण क्षेत्र में ही मूल से अलग है, और यह समाधान को चार सीमाओं पर बिल्कुल विश्लेषणात्मक स्थितियों को संतुष्ट करने के लिए बाध्य करता है।

अभिन्न समीकरण
एडोमियन अपघटन विधि को समाधान प्राप्त करने के लिए रैखिक और गैर-रैखिक अभिन्न समीकरणों पर भी लागू किया जा सकता है। यह इस तथ्य के अनुरूप है कि अनेक अवकल समीकरणों को समाकल समीकरणों में बदला जा सकता है।

एडोमियन अपघटन विधि
दूसरी तरह के गैर-समरूप फ्रेडहोम अभिन्न समीकरण  के लिए एडोमियन अपघटन विधि इस प्रकार है:

प्रपत्र के अभिन्न समीकरण को देखते हुए:



u(x) = f(x) + \lambda \int_{a}^b K(x,t) u(t) dt $$ हम मानते हैं कि हम समाधान को श्रृंखला के रूप में व्यक्त कर सकते हैं:

u(x) = \sum_{n=0}^\infty u_n(x) $$ श्रृंखला फॉर्म को इंटीग्रल समीकरण में प्लग करने से पैदावार होती है:

\sum_{n=0}^\infty u_n(x) = f(x) + \lambda \int_{a}^b K(x,t) (\sum_{n=0}^\infty u_n(t)) dt $$ यह मानते हुए कि योग बिल्कुल अभिसरण करता है $$ u(x) $$ हम योग और समाकल को निम्नानुसार पूर्णांक में बदल सकते हैं:
 * $$ \sum_{n=0}^\infty u_n(x)= f(x) + \lambda \int_{a}^b \sum_{n=0}^\infty K(x,t) u_n(t)dt

$$
 * $$ \sum_{n=0}^\infty u_n(x) = f(x) + \lambda \sum_{n=0}^\infty \int_{a}^b K(x,t) u_n(t)dt

$$ दोनों पक्षों पर योग का विस्तार करने पर प्राप्त होता है:


 * $$ u_0(x)+u_1(x)+u_2(x)+... = f(x) + \lambda \int_{a}^b K(x,t)u_0(t)dt+ \lambda \int_{a}^b K(x,t)u_1(t)dt + \lambda \int_{a}^b K(x,t)u_2(t)dt+ ...

$$ इसलिए हम प्रत्येक को जोड़ सकते हैं $$ u_i(x) $$ निम्नलिखित आवर्ती तरीके से:



u_0(x) = f(x) $$

u_i(x)=\lambda \int_a^b K(x,t)u_{i-1}dt, \, \, \, \, \, \, \, \, i \geq 1 $$ जो हमें समाधान देता है $$ u(x) $$ उपरोक्त समाधान रूप में।

उदाहरण
फ्रेडहोम अभिन्न समीकरण को देखते हुए:



u(x) = \cos(x) +2x + \int_{0}^\pi xt \cdot u(t) dt $$ तब से $$ f(x) = \cos(x)+2x $$, हम सेट कर सकते हैं:

u_0(x) = \cos(x)+2x $$

u_1(x)=\int_0^\pi xt\cdot u_0 dt =\int_0^\pi xt\cdot (cosx+2x) dt = (-2+\frac{2 \pi^3}{3})x $$

u_2(x)=\int_0^\pi xt\cdot u_1 dt =\int_0^\pi xt\cdot (-2+\frac{2 \pi^3}{3})t \,dt = (\frac{-2 \pi^3}{3}+ \frac{2 \pi^6}{9})x $$

इसलिए समाधान $$ u(x) $$ के रूप में लिखा जा सकता है:



u(x)= \cos(x)+2x+ (-2+\frac{2 \pi^3}{3})x + (\frac{-2 \pi^3}{3}+ \frac{2 \pi^6}{9})x + ... $$ चूँकि यह एक टेलीस्कोपिंग श्रृंखला है, हम देख सकते हैं कि प्रत्येक पद के बाद $$ cos(x) $$ रद्द करता है और शोर के रूप में माना जा सकता है, इस प्रकार, $$ u(x) $$ बन जाता है:

u(x) = \cos(x) $$

यह भी देखें

 * सन्निकटन का क्रम