अतिशयोक्तिपूर्ण चतुष्कोण

अमूर्त बीजगणित में, अतिशयोक्तिपूर्ण चतुष्कोणों के एक क्षेत्र पर बीजगणित वास्तविक संख्याओं पर एक गैर-सहयोगी बीजगणित है, जिसमें फॉर्म के तत्व होते हैं
 * $$q = a + bi + cj + dk, \quad a,b,c,d \in \mathbb{R} \!$$

जहां i, j, और k के वर्ग +1 हैं और {i, j, k} के अलग-अलग तत्व विरोधी क्रमविनिमेय संपत्ति के साथ गुणा करते हैं।

अतिशयोक्तिपूर्ण चतुष्कोणों के चार-आयामी बीजगणित में द्विभाजितों के पुराने और बड़े बीजगणित की कुछ विशेषताएं शामिल हैं। उन दोनों में स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स नंबर प्लेन के सबलजेब्रस आइसोमॉर्फिक होते हैं। इसके अलावा, जिस तरह चतुष्कोणीय बीजगणित एच को चतुष्कोणीय के रूप में देखा जा सकता है # जटिल विमानों के संघ के रूप में, इसलिए अतिशयोक्तिपूर्ण चतुर्धातुक बीजगणित विभाजित-जटिल संख्या वाले विमानों का एक संघ है जो वास्तविक बीजगणित में समान वास्तविक रेखा साझा करता है।

यह अलेक्जेंडर मैकफर्लेन थे जिन्होंने 1890 के दशक में इस अवधारणा को 'भौतिकी के बीजगणित' के रूप में प्रचारित किया, पहले 1891 में विज्ञान की प्रगति के लिए अमेरिकन एसोसिएशन के माध्यम से, फिर अपनी 1894 की पुस्तक 'पेपर्स इन स्पेस एनालिसिस' के माध्यम से। और 1900 में लेहाई विश्वविद्यालय में व्याख्यान की एक श्रृंखला में।

बीजगणितीय संरचना
चतुष्कोणों की तरह, अतिशयोक्तिपूर्ण चतुष्कोणों का समूह आयाम 4 की वास्तविक संख्याओं पर एक सदिश स्थान बनाता है। एक रैखिक संयोजन


 * $$q = a+bi+cj+dk$$

एक अतिशयोक्तिपूर्ण चतुष्कोण है जब $$a, b, c,$$ और $$d$$ वास्तविक संख्याएं और आधार सेट हैं $$\{1,i,j,k\}$$ ये उत्पाद हैं:


 * $$ij=k=-ji$$
 * $$jk=i=-kj$$
 * $$ki=j=-ik$$
 * $$i^2=+1=j^2=k^2$$

वितरण गुण का उपयोग करके, इन संबंधों का उपयोग किसी भी दो अतिशयोक्तिपूर्ण चतुष्कोणों को गुणा करने के लिए किया जा सकता है।

साधारण चतुष्कोणों के विपरीत, अतिशयोक्तिपूर्ण चतुष्कोण साहचर्य नहीं हैं। उदाहरण के लिए, $$(ij)j = kj = -i$$, जबकि $$i(jj) = i$$. वास्तव में, यह उदाहरण दिखाता है कि अतिशयोक्तिपूर्ण चतुष्कोण एक वैकल्पिक बीजगणित भी नहीं हैं।

पहले तीन संबंधों से पता चलता है कि (गैर-वास्तविक) आधार तत्वों के उत्पाद प्रति-विनिमेय हैं। हालांकि यह आधार सेट एक समूह (गणित) नहीं बनाता है, सेट


 * $$\{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}$$

अर्धसमूह बनाता है। एक यह भी नोट करता है कि अतिशयोक्तिपूर्ण चतुष्कोणों के सेट M का कोई भी उप-तल जिसमें वास्तविक अक्ष होता है, विभाजित-जटिल संख्याओं का एक तल बनाता है। अगर


 * $$q^*=a-bi-cj-dk$$

का संयुग्मी है $$q$$, फिर उत्पाद


 * $$q(q^*)=a^2-b^2-c^2-d^2$$

दिक्-काल सिद्धांत में प्रयुक्त द्विघात रूप है। वास्तव में, घटनाओं p और q के लिए, द्विरेखीय रूप
 * $$\eta (p,q) = -p_0q_0 + p_1q_1 + p_2q_2 + p_3q_3 $$

अतिशयोक्तिपूर्ण चतुष्कोणीय उत्पाद pq* के वास्तविक भाग के ऋणात्मक के रूप में उत्पन्न होता है, और इसका उपयोग Minkowski space#Minkowski मीट्रिक में किया जाता है।

ध्यान दें कि इकाई का समुच्चय (रिंग थ्योरी) U = {q : qq* ≠ 0} गुणन के तहत बंद नहीं है। विवरण के लिए संदर्भ (बाहरी लिंक) देखें।

चर्चा
अतिशयोक्तिपूर्ण चतुष्कोण एक गैर-सहयोगी अंगूठी बनाते हैं; इस बीजगणित में साहचर्य की विफलता रूपांतरण सिद्धांत में इस बीजगणित की सुविधा को कम कर देती है। फिर भी, इस बीजगणित ने गणितीय मॉडल का सुझाव देकर विश्लेषणात्मक कीनेमेटीक्स पर ध्यान केंद्रित किया: जब कोई अतिशयोक्तिपूर्ण चतुष्कोणों में एक इकाई सदिश r का चयन करता है, तब r 2 = +1। विमान $$D_r = \lbrace t + x r : t, x \in R \rbrace $$ हाइपरबोलिक चतुष्कोणीय गुणन के साथ विभाजित-जटिल संख्या विमान के लिए एक कम्यूटेटिव और एसोसिएटिव सबलजेब्रा आइसोमोर्फिक है। छंद#अतिशयोक्तिपूर्ण छंद $$\exp(a r) = \cosh(a) + r \sinh(a) $$ डी को बदल देता हैr द्वारा
 * $$\begin{align}

t + x r && \mapsto \quad & \exp(a r) (t + x r)\\ &&=\quad& (\cosh(a) t + x \sinh(a)) + (\sinh(a) t + x \cosh(a)) r. \end{align}$$ चूँकि अंतरिक्ष में r की दिशा मनमाना है, यह अतिशयोक्तिपूर्ण चतुष्कोण गुणन किसी भी लोरेंत्ज़ बूस्ट को व्यक्त कर सकता है जिसे पैरामीटर a जिसे तेज़ी  कहा जाता है। हालांकि, अतिशयोक्तिपूर्ण चतुष्कोणीय बीजगणित पूर्ण लोरेंत्ज़ समूह का प्रतिनिधित्व करने के लिए कमी है (इसके बजाय द्विभाजन देखें)।

1967 में 1890 के दशक में सदिश विधियों पर संवाद के बारे में लिखते हुए एक इतिहासकार ने टिप्पणी की
 * वेक्टर विश्लेषण की एक अन्य प्रणाली की शुरूआत, यहां तक ​​​​कि एक प्रकार की समझौता प्रणाली जैसे कि मैकफर्लेन, पहले से मौजूद प्रणालियों के अधिवक्ताओं द्वारा शायद ही अच्छी तरह से प्राप्त की जा सकती है और इसके अलावा शायद अभी तक असंबद्ध लोगों की समझ से परे प्रश्न को व्यापक बनाने के लिए काम किया है। पाठक।

ज्यामिति
बाद में, मैकफर्लेन ने 1900 में प्रोसीडिंग्स ऑफ द रॉयल सोसाइटी ऑफ एडिनबर्ग में एक लेख प्रकाशित किया। इसमें उन्होंने अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान  एच के लिए एक मॉडल का इलाज किया।3 अतिपरवलयज पर


 * $$H^3 = \{ q \in M: q(q^*)=1 \} .$$

इस समदैशिक  मॉडल को  हाइपरबोलाइड मॉडल  कहा जाता है और इसमें हाइपरबोलिक चतुष्कोणों की अंगूठी में सभी छंद #हाइपरबोलिक छंद होते हैं।

ऐतिहासिक समीक्षा
1890 के दशक में विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड|डब्ल्यू के मरणोपरांत प्रकाशनों का प्रभाव महसूस हुआ। के. क्लिफर्ड और सोफस झूठ के निरंतर समूह। एक-पैरामीटर समूह का एक उदाहरण है छंद#अतिशयोक्तिपूर्ण छंद अतिशयोक्तिपूर्ण कोण पैरामीटर के साथ। यह पैरामीटर ध्रुवीय अपघटन का हिस्सा है#विभाजित-जटिल संख्या के वैकल्पिक प्लानर अपघटन। लेकिन यह परिमित गणित का एक चौंकाने वाला पहलू है जो अतिशयोक्तिपूर्ण चतुष्कोणीय अंगूठी को अलग बनाता है:

बुनियाद $$\{1,\,i,\,j,\,k\}$$ गुणन के तहत अतिशयोक्तिपूर्ण चतुष्कोणों के सदिश स्थान का समापन नहीं है (गणित): उदाहरण के लिए, $$ji=-\!k$$. फिर भी, सेट $$\{1,\,i,\,j,\,k,\,-\!1,\,-\!i,\,-\!j,\,-\!k\}$$ गुणा के तहत बंद है। यह साहचर्य गुण को छोड़कर अमूर्त समूह के सभी गुणों को संतुष्ट करता है; परिमित होने के कारण, यह एक लैटिन वर्ग या अर्धसमूह है, एक परिधीय गणितीय संरचना है। क्वैसिग्रुप थ्योरी में पाए जाने वाले गुणन की साहचर्यता संपत्ति का नुकसान रेखीय बीजगणित के अनुरूप नहीं है क्योंकि सभी रेखीय परिवर्तन एक साहचर्य तरीके से बनते हैं। फिर भी भौतिक वैज्ञानिक 1890 के दशक में वर्गों के उत्परिवर्तन के लिए बुला रहे थे $$i$$,$$j$$, और $$k$$ होना $$+1$$ के बजाय $$-1$$ : येल विश्वविद्यालय के भौतिक विज्ञानी विलार्ड गिब्स के पास अपनी त्रि-आयामी वेक्टर प्रणाली में प्लस वन वर्ग वाले पैम्फलेट थे। इंग्लैंड में ओलिवर हीविसाइड ने सकारात्मक वर्ग की वकालत करते हुए एक ट्रेड पेपर इलेक्ट्रीशियन में कॉलम लिखा। 1892 में उन्होंने रॉयल सोसाइटी ए के लेन-देन में अपने काम को एक साथ लाया जहां वह कहता है कि उसकी वेक्टर प्रणाली है
 * केवल चतुष्कोणों के बिना चतुष्कोणों के तत्व, संकेतन के साथ पूरी तरह से सरलीकृत, और अदिश उत्पाद के साथ समाप्त होने से पहले बहुत असुविधाजनक ऋण चिह्न के साथ।

तो मैकफर्लेन के अतिशयोक्तिपूर्ण चतुष्कोणों की उपस्थिति में कुछ प्रेरणा थी, लेकिन असहनीय गैर-साहचर्य ने प्रतिक्रिया को तेज कर दिया। कारगिल गिलस्टन नॉट को निम्नलिखित की पेशकश करने के लिए प्रेरित किया गया था:

'प्रमेय' (नॉट 1892)
 * यदि एक 4-बीजगणित के आधार पर $$\{1,\,i,\,j,\,k\}$$ साहचर्य है और ऑफ-डायगोनल उत्पाद तब हैमिल्टन के नियमों द्वारा दिए गए हैं $$i^2=-\!1=j^2=k^2$$.

सबूत:
 * $$j = ki = (-ji)i = -j(ii)$$, इसलिए $$i^2 = -1$$. अक्षरों को चक्रित करें $$i$$, $$j$$, $$k$$ प्राप्त करने के लिए $$i^2=-1=j^2=k^2$$. QED।

इस प्रमेय को भौतिकविदों और इलेक्ट्रीशियन के आह्वान के प्रतिरोध को सही ठहराने के लिए कथन की आवश्यकता थी। क्वासिग्रुप ने 1890 के दशक में काफी हलचल मचाई: जर्नल प्रकृति (पत्रिका)  नॉट के काम के साथ-साथ कई अन्य वेक्टर सिद्धांतकारों के दो डाइजेस्ट देकर जो ज्ञात था, उसके प्रदर्शन के लिए विशेष रूप से अनुकूल था। माइकल जे क्रो ने अपनी पुस्तक वेक्टर विश्लेषण का इतिहास के अध्याय छह को विभिन्न प्रकाशित विचारों के लिए समर्पित किया है, और अतिशयोक्तिपूर्ण चतुर्भुज को नोट किया है:


 * मैकफर्लेन ने चतुष्कोणीय प्रणाली की तुलना में गिब्स-हेविसाइड प्रणाली के साथ अधिक सद्भाव में वेक्टर विश्लेषण की एक नई प्रणाली का निर्माण किया। ...उसने...दो सदिशों के पूर्ण गुणनफल को परिभाषित किया जो पूर्ण चतुष्कोणीय गुणनफल के बराबर था, सिवाय इसके कि अदिश भाग धनात्मक था, न कि नकारात्मक जैसा कि पुरानी व्यवस्था में था।

1899 में चार्ल्स जैस्पर जोली ने अतिशयोक्तिपूर्ण चतुर्भुज और गैर-सहयोगी संपत्ति का उल्लेख किया ओलिवर हीविसाइड को इसकी उत्पत्ति बताते हुए।

भौतिकी के बीजगणित के रूप में अतिशयोक्तिपूर्ण चतुष्कोण, इस दावे को कम करते हैं कि भौतिकी पर बने सामान्य चतुष्कोण। गणित के लिए, अतिशयोक्तिपूर्ण चतुष्कोण एक अन्य अति जटिल संख्या है, जैसा कि उस समय ऐसी संरचनाओं को कहा जाता था। 1890 के दशक तक रिचर्ड डेडेकिंड ने रिंग (गणित) की अवधारणा को कम्यूटेटिव बीजगणित में पेश किया था, और वेक्टर अंतरिक्ष अवधारणा को ग्यूसेप पीनो द्वारा अमूर्त किया जा रहा था। 1899 में अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड ने समावेशिता की वकालत करते हुए यूनिवर्सल बीजगणित को बढ़ावा दिया। एक क्षेत्र पर क्वासिग्रुप और बीजगणित की अवधारणाएं अतिशयोक्तिपूर्ण चतुष्कोणों का वर्णन करने वाली गणितीय संरचनाओं के उदाहरण हैं।

1900
का मैकफर्लेन का हाइपरबोलिक क्वाटरनियन पेपर एडिनबर्ग की रॉयल सोसाइटी की कार्यवाही ने अतिशयोक्तिपूर्ण चतुर्भुज प्रकाशित किए 1900 में, एक पेपर जिसमें मैकफर्लेन ने पलट कर गुणन के लिए साहचर्य को पुनः प्राप्त किया द्विभाजित करने के लिए। वहां रहते हुए उन्होंने बाद में कुछ भावों का इस्तेमाल किया वोल्फगैंग पाउली द्वारा प्रसिद्ध: जहां मैकफर्लेन ने लिखा था
 * $$ij=k\sqrt{-1}$$ :$$jk=i\sqrt{-1}$$
 * $$ki=j\sqrt{-1},$$

पॉल मैट्रिसेस संतुष्ट करते हैं
 * $$\sigma_1\sigma_2=\sigma_3\sqrt{-1}$$
 * $$\sigma_2\sigma_3=\sigma_1\sqrt{-1}$$
 * $$\sigma_3\sigma_1=\sigma_2\sqrt{-1}$$

उसी जटिल चतुष्कोणों का जिक्र करते हुए।

कागज का प्रारंभिक वाक्य है यह सर्वविदित है कि चतुर्भुज गोलाकार त्रिकोणमिति के साथ घनिष्ठ रूप से जुड़े हुए हैं और वास्तव में वे विषय को बीजगणित की एक शाखा तक कम कर देते हैं। इस कथन को समकालीन कार्य वेक्टर विश्लेषण के संदर्भ में सत्यापित किया जा सकता है जो डॉट उत्पाद और क्रॉस उत्पाद के आधार पर कम चतुर्भुज प्रणाली के साथ काम करता है। मैकफर्लेन के पेपर में हाइपरबोलिक चतुष्कोणों के बीजगणित के माध्यम से समबाहु हाइपरबोलाइड्स की सतह पर त्रिकोणमिति का उत्पादन करने का प्रयास किया गया है, जिसे अब आठ वास्तविक आयामों के एक साहचर्य वलय में फिर से पहचाना गया है। प्रयास को पृष्ठ 181 पर नौ अंकों की एक प्लेट द्वारा प्रबलित किया गया है। वे उसकी अंतरिक्ष विश्लेषण पद्धति की वर्णनात्मक शक्ति का वर्णन करते हैं। उदाहरण के लिए, चित्र 7 है सामान्य मिन्कोव्स्की आरेख का उपयोग आज विशेष सापेक्षता में संदर्भ के एक फ्रेम के वेग के परिवर्तन और एक साथ की सापेक्षता पर चर्चा करने के लिए किया जाता है।

पृष्ठ 173 पर मैकफर्लेन चतुष्कोणीय चर के अपने बड़े सिद्धांत पर विस्तार करता है। इसके विपरीत वह नोट करता है कि फेलिक्स क्लेन चतुर्भुज और स्थानिक रोटेशन के सिद्धांत से परे नहीं दिखता है।

संदर्भ

 * Internet Archive (free), or Google Books (free). (Note: P. 177 and figures plate incompletely scanned in free versions.)
 * Alexander Macfarlane and the Ring of Hyperbolic Quaternions
 * Internet Archive (free), or Google Books (free). (Note: P. 177 and figures plate incompletely scanned in free versions.)
 * Alexander Macfarlane and the Ring of Hyperbolic Quaternions
 * Internet Archive (free), or Google Books (free). (Note: P. 177 and figures plate incompletely scanned in free versions.)
 * Alexander Macfarlane and the Ring of Hyperbolic Quaternions
 * Alexander Macfarlane and the Ring of Hyperbolic Quaternions