गुणक विभाजन

संख्या सिद्धांत में, गुणक विभाजन या पूर्णांक n का अक्रमित गुणनखंडन n को 1 से अधिक पूर्णांकों के उत्पाद के रूप में लिखने की विधि है, दो उत्पादों को समतुल्य माना जाता है, यदि वे केवल कारकों के क्रम में भिन्न होते हैं। संख्या 'n' स्वयं इन उत्पादों में से मानी जाती है। गुणक विभाजन में वर्णन किए गए बहुखण्डीय विभाजन के अध्ययन के समानांतर है, जो धनात्मक पूर्णांकों के परिमित अनुक्रमों का बहुखण्डीय विभाजन (संख्या सिद्धांत) हैं, इसके अतिरिक्त बिंदुवार बनाया गया है। चूँकि गुणक विभाजन का अध्ययन कम से कम 1923 से चल रहा है, गुणक विभाजन नाम  द्वारा प्रस्तुत किया गया प्रतीत होता है। लैटिन नाम "गुणनखंड संख्या" पूर्व में उपयोग की गयी थी, मैथवर्ल्ड अक्रमित गुणनखंड शब्द का उपयोग करता है।

उदाहरण

 * संख्या 20 में चार गुणक विभाजन हैं: 2 × 2 × 5, 2 × 10, 4 × 5, और 20।
 * 3 × 3 × 3 × 3, 3 × 3 × 9, 3 × 27, 9 × 9, और 81, 81 = 3 के पांच गुणनात्मक विभाजन हैं (पाँच) गुणक विभाजन के रूप में 4 योगात्मक विभाजन करता है।
 * संख्या 30 में पाँच गुणक विभाजन हैं: 2 × 3 × 5 = 2 × 15 = 6 × 5 = 3 × 10 = 30।
 * सामान्यतः, i अभाज्य गुणनखंड के साथ वर्ग-मुक्त संख्या के गुणक विभाजन की संख्या ith बेल संख्या, Bi होती है।

अनुप्रयोग
विभाजकों की दी गई संख्या के साथ पूर्णांकों को वर्गीकृत करने में गुणक विभाजनों के अनुप्रयोग का वर्णन करते हैं। उदाहरण के लिए, 12 भाजक वाले पूर्णांक p11, p×q5, p2×q3, और p×q×r2 के रूप लेते हैं, जहाँ p, q, और r विशिष्ट अभाज्य संख्याएँ हैं; ये रूप गुणक विभाजन 12, 2×6, 3×4, और 2×2×3 के अनुरूप हैं। अधिक सामान्यतः, प्रत्येक गुणक विभाजन के लिए,
 * $$k = \prod t_i$$

पूर्णांक k का, फॉर्म के बिल्कुल k विभाजक वाले पूर्णांकों के वर्ग से युग्मित होता है,
 * $$\prod p_i^{t_i-1},$$

जहां प्रत्येक pi विशिष्ट अभाज्य संख्या है। यह पत्राचार विभाजक फलन के गुणक फलन गुण से होता है।

विभाजन की संख्या पर सीमा
, को n के गुणक विभाजनों की संख्या की गणना करने की समस्या का श्रेय देता है; तब से इस समस्या का लैटिन नाम गुणन संख्या के अंतर्गत अन्य लोगों द्वारा अध्ययन किया गया है। यदि n के गुणक विभाजनों की संख्या an है, तो मैकमोहन और ओपेनहेम ने देखा कि इसकी डिरिचलेट श्रृंखला उत्पादक फलन f(s) में उत्पाद प्रतिनिधित्व है:


 * $$f(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}=\prod_{k=2}^{\infty}\frac{1}{1-k^{-s}}.$$

संख्याओं का क्रम an प्रारंभ करना:


 * 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 2, 5, 1, 4, 1, 4, 2, 2, 1, 7, 2, 2, 3, 4, 1, 5, 1, 7, 2, 2, 2, 9, 1, 2, 2, ....

ओपेनहाइम ने फॉर्म के an पर ऊपरी सीमा का भी आशय किया,
 * $$a_n\le n\left(\exp\frac{\log n\log\log\log n}{\log\log n}\right)^{-2+o(1)},$$

किन्तु जैसे ने दिखाया, यह बाउंड त्रुटिपूर्ण है:


 * $$a_n\le n\left(\exp\frac{\log n\log\log\log n}{\log\log n}\right)^{-1+o(1)}.$$

ये दोनों सीमाएँ n में रैखिक से दूर नहीं हैं: ये n1−o(1) के रूप की हैं। चूँकि, an का विशिष्ट मान अधिक छोटा है: an का औसत मान, अंतराल x ≤ n ≤ x+N पर औसत है:
 * $$\bar a = \exp\left(\frac{4\sqrt{\log N}}{\sqrt{2e}\log\log N}\bigl(1+o(1)\bigr)\right),$$

बाउंड जो फॉर्म नंबर no(1) का है।

अतिरिक्त परिणाम
अवलोकन करते हैं, और सिद्ध करते हैं कि अधिकांश संख्याएँ कुछ n के गुणक विभाजनों की संख्या के रूप में उत्पन्न नहीं हो सकती हैं: N से कम मानों की संख्या जो इस प्रकार उत्पन्न होती है, NO(log log log N / log log N) है इसके अतिरिक्त,  दिखाते हैं कि an के अधिकांश मान a के गुणक नहीं हैं: मानों की संख्या n ≤ N जैसे कि n विभाजित करता है O(N / log1 + o(1) N)।

यह भी देखें

 * विभाजन (संख्या सिद्धांत)
 * भाजक

संदर्भ

 * , chapter 12.
 * . As cited by MathWorld.
 * . As cited by MathWorld.
 * . As cited by MathWorld.