आंतरिक गुणन समष्टि

गणित में, एक आंतरिक उत्पाद स्थान (या, हो सकता है कभी, एक हॉसडॉर्फ स्पेस  प्री-हिल्बर्ट स्पेस) एक वास्तविक सदिश समष्टि या एक संक्रिया (गणित) के साथ एक जटिल सदिश समष्टि है जिसे आंतरिक उत्पाद कहा जाता है। अंतरिक्ष में दो सदिशों का आंतरिक उत्पाद एक  अदिश (गणित)  है, जिसे अधिकांशतः कोण कोष्ठक  के साथ निरूपित किया जाता है जैसे कि $$\langle a, b \rangle$$. आंतरिक उत्पाद वैक्टर की लंबाई, कोण  और  ओर्थोगोनालिटी  (शून्य आंतरिक उत्पाद) जैसी सहज ज्यामितीय धारणाओं की औपचारिक परिभाषा की अनुमति देते हैं। आंतरिक उत्पाद रिक्त स्थान  यूक्लिडियन वेक्टर अंतरिक्ष  स्थान को सामान्यीकृत करते हैं, जिसमें आंतरिक उत्पाद कार्टेशियन निर्देशांक का  डॉट उत्पाद  या स्केलर उत्पाद है।  कार्यात्मक विश्लेषण  में अनंत आयाम (वेक्टर स्पेस) के आंतरिक उत्पाद रिक्त स्थान का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।  जटिल संख्याओं के  क्षेत्र (गणित)  पर आंतरिक उत्पाद रिक्त स्थान को कभी-कभी 'एकात्मक स्थान' के रूप में संदर्भित किया जाता है। एक आंतरिक उत्पाद के साथ सदिश स्थान की अवधारणा का पहला उपयोग 1898 में  जोसेफ पीनो  के कारण हुआ। एक आंतरिक उत्पाद स्वाभाविक रूप से एक संबद्ध मानदंड (गणित)  को प्रेरित करता है,  (जिसे निरूपित) $$|x|$$ तथा $$|y|$$ चित्र में चित्र में दिखाया गया है); इसलिए, प्रत्येक आंतरिक उत्पाद स्थान एक आदर्श सदिश स्थान है। यदि यह आदर्श स्थान भी  पूर्ण मीट्रिक स्थान  है (अर्थात, एक बनच स्थान) तो आंतरिक उत्पाद स्थान एक  हिल्बर्ट स्पेस  है। यदि कोई आंतरिक उत्पाद स्थान $H$ एक हिल्बर्ट स्पेस नहीं है, तो इसे पूर्ण टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस समापन द्वारा हिल्बर्ट स्पेस तक बढ़ाया जा सकता है $$\overline{H}.$$ इस का मतलब है कि $$H$$ का एक रैखिक उप-समष्टि है $$\overline{H},$$ का आंतरिक उत्पाद $$H$$ का  प्रतिबंध (गणित)  है $$\overline{H},$$ तथा आदर्श द्वारा परिभाषित स्थिरीकरण (संरचना) के लिए $$H$$ में घना उपसमुच्चय  $$\overline{H}$$ है I

परिभाषा
इस आलेख में, $F$ एक क्षेत्र (गणित) को दर्शाता है जो या तो वास्तविक संख्या  है $$\R,$$ या जटिल संख्याएँ  है $$\Complex.$$ इस प्रकार एक अदिश $F$ का एक तत्व है। अदिश का प्रतिनिधित्व करने वाली अभिव्यक्ति पर एक बार इस अदिश के जटिल संयुग्म को दर्शाता है। एक शून्य वेक्टर को अदिश 0 से अलग करने के लिए $$\mathbf 0$$ से दर्शाया जाता है।.

एक आंतरिक उत्पाद स्थान एक आंतरिक उत्पाद के साथ फ़ील्ड F पर एक सदिश स्थल V है, जो कि एक मानचित्र है
 * $$ \langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \to F $$

जो सभी सदिशों $$x,y,z\in V$$ और सभी अदिशों $a,b\in F$. के लिए निम्नलिखित तीन गुणों को संतुष्ट करता है a = \overline{a} $  यदि और केवल यदि a वास्तविक है, तो संयुग्मी सममिति का तात्पर्य है कि$$\langle x, x \rangle $$ हमेशा एक वास्तविक संख्या होती है। यदि $F$  $$\R$$, है तो संयुग्म समरूपता सिर्फ समरूपता है। \langle ax+by, z \rangle = a \langle x, z \rangle + b \langle y, z \rangle.$$ \langle x, x \rangle > 0 $$ (संयुग्म समरूपता का तात्पर्य है कि $$\langle x, x \rangle$$ वास्तविक है)।
 * संयुग्म समरूपता: $$\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}.$$ जैसा कि $
 * पहले तर्क में रेखीय नक्शा: $$
 * निश्चित द्विरेखीय रूप |सकारात्मक-निश्चितता: यदि x शून्य नहीं है, तोI $$

यदि सकारात्मक-निश्चितता की स्थिति को केवल इसकी आवश्यकता से बदल दिया जाता है $$\langle x, x \rangle \geq 0$$ सभी के लिए $x$, तो कोई सकारात्मक अर्ध-निश्चित हर्मिटियन रूप की परिभाषा प्राप्त करता है। एक सकारात्मक अर्ध-निश्चित हर्मिटियन रूप $$\langle \cdot, \cdot \rangle$$ एक आंतरिक उत्पाद है अगर सभी एक्स के लिए, $$\langle x, x \rangle = 0$$ फिर एक्स = 0 है।

मूल गुण
निम्नलिखित गुणों में, जो एक आंतरिक उत्पाद की परिभाषा से लगभग तुरंत परिणाम देते हैं, x, y और z स्वेच्छ सदिश हैं, और a और b स्वेच्छ अदिश हैं।
 * $$\langle \mathbf{0}, x \rangle=\langle x,\mathbf{0}\rangle=0.$$
 * $$ \langle x, x \rangle$$ वास्तविक और नकारात्मक नहीं है।
 * $$\langle x, x \rangle = 0$$ अगर और केवल अगर $$x=\mathbf{0}.$$
 * $$\langle x, ay+bz \rangle= \overline a \langle x, y \rangle + \overline b \langle x, z \rangle.$$ इसका तात्पर्य है कि एक आंतरिक उत्पाद एक सेस्क्विलिनियर रूप  है।
 * $$\langle x + y, x + y \rangle = \langle x, x \rangle + 2\operatorname{Re}(\langle x, y \rangle) + \langle y, y \rangle,$$ कहाँ पे $$\operatorname{Re}$$ इसके तर्क के वास्तविक भाग को दर्शाता है।

ऊपर $$\R$$, संयुग्म-समरूपता समरूपता में कम हो जाती है, और सेस्क्विलाइनरिटी बिलिनियरिटी में कम हो जाती है। इसलिए एक वास्तविक सदिश स्थान पर एक आंतरिक उत्पाद एक सकारात्मक-निश्चित सममित द्विरेखीय रूप  है। एक वर्ग का द्विपद प्रसार हो जाता है
 * $$\langle x + y, x + y \rangle = \langle x, x \rangle + 2\langle x, y \rangle + \langle y, y \rangle .$$

कन्वेंशन संस्करण
कुछ लेखक, विशेष रूप से भौतिकी और मैट्रिक्स बीजगणित  में, पहले के अतिरिक्त दूसरे तर्क में आंतरिक उत्पादों और सेसक्विलिनियर रूपों को रैखिकता के साथ परिभाषित करना पसंद करते हैं। तब पहला तर्क दूसरे के अतिरिक्त संयुग्मी रैखिक बन जाता है।

वास्तविक और जटिल संख्या
आंतरिक उत्पाद रिक्त स्थान के सबसे सरल उदाहरणों में से हैं $$\R$$ तथा $$\Complex.$$ वास्तविक संख्याएँ $$\R$$ एक सदिश स्थान है $$\R$$ जो अपने आंतरिक उत्पाद के रूप में अंकगणितीय गुणन के साथ एक आंतरिक उत्पाद स्थान बन जाता है: $$\langle x, y \rangle := x y \quad \text{ for } x, y \in \R.$$ जटिल संख्याएँ $$\Complex$$ एक सदिश स्थान है $$\Complex$$ जो आंतरिक उत्पाद के साथ एक आंतरिक उत्पाद स्थान बन जाता है $$\langle x, y \rangle := x \overline{y} \quad \text{ for } x, y \in \Complex.$$ वास्तविक संख्याओं के विपरीत, असाइनमेंट $$(x, y) \mapsto x y$$ करता है एक जटिल आंतरिक उत्पाद को परिभाषित करें $$\Complex.$$

यूक्लिडियन वेक्टर स्पेस
अधिक आम तौर पर, वास्तविक समन्वय स्थान|वास्तविक $$n$$-अंतरिक्ष $$\R^n$$ डॉट उत्पाद के साथ एक आंतरिक उत्पाद स्थान है, जो यूक्लिडियन वेक्टर स्पेस का एक उदाहरण है। $$ \left\langle \begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix} \right\rangle = x^\textsf{T} y = \sum_{i=1}^n x_i y_i = x_1 y_1 + \cdots + x_n y_n, $$ जहाँ पर $$x^{\operatorname{T}}$$ का स्थानान्तरण $$x.$$ है, एक समारोह $$\langle \,\cdot, \cdot\, \rangle : \R^n \times \R^n \to \R$$ एक आंतरिक उत्पाद $$\R^n$$ है और केवल अगर एक सममित मैट्रिक्स   सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स $\mathbf{M}$ मौजूद है  ऐसा है कि $$\langle x, y \rangle = x^{\operatorname{T}} \mathbf{M} y$$ सभी के लिए $$x, y \in \R^n.$$ यदि $$\mathbf{M}$$ तब  पहचान मैट्रिक्स  है $$\langle x, y \rangle = x^{\operatorname{T}} \mathbf{M} y$$ डॉट उत्पाद है। दूसरे उदाहरण के लिए, अगर $$n = 2$$ तथा $$\mathbf{M} = \begin{bmatrix} a & b \\ b & d \end{bmatrix}$$ सकारात्मक-निश्चित है (जो होता है अगर और केवल अगर $$\det \mathbf{M} = a d - b^2 > 0$$ और एक/दोनों विकर्ण तत्व सकारात्मक हैं) तो किसी के लिए $$x := \left[x_1, x_2\right]^{\operatorname{T}}, y := \left[y_1, y_2\right]^{\operatorname{T}} \in \R^2,$$ $$\langle x, y \rangle
 * = x^{\operatorname{T}} \mathbf{M} y

= \left[x_1, x_2\right] \begin{bmatrix} a & b \\ b & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix} = a x_1 y_1 + b x_1 y_2 + b x_2 y_1 + d x_2 y_2.$$ जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, प्रत्येक आंतरिक उत्पाद $$\R^2$$ इस रूप का है (जहां $$b \in \R, a > 0$$ तथा $$d > 0$$ संतुष्ट करना $$a d > b^2$$).

जटिल समन्वय स्थान
एक आंतरिक उत्पाद का सामान्य रूप $$\Complex^n$$ हर्मिटियन रूप के रूप में जाना जाता है और इसके द्वारा दिया जाता है $$\langle x, y \rangle = y^\dagger \mathbf{M} x = \overline{x^\dagger \mathbf{M} y},$$ कहाँ पे $$M$$ कोई हर्मिटियन मैट्रिक्स  सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स है और $$y^{\dagger}$$ का संयुग्मी स्थानांतरण है $$y.$$ वास्तविक मामले के लिए, यह सकारात्मक  पैमाने के कारक ों और स्केलिंग के ऑर्थोगोनल दिशाओं के साथ दो वैक्टरों के प्रत्यक्ष रूप से भिन्न  स्केलिंग (ज्यामिति)  के परिणामों के डॉट उत्पाद से मेल खाता है। यह सकारात्मक भार के साथ डॉट उत्पाद का भारित-योग संस्करण है - एक ओर्थोगोनल रूपांतरण तक।

हिल्बर्ट अंतरिक्ष
हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर आलेख में आंतरिक उत्पाद रिक्त स्थान के कई उदाहरण हैं, जिसमें आंतरिक उत्पाद द्वारा प्रेरित मीट्रिक एक पूर्ण मीट्रिक स्थान उत्पन्न करता है। एक आंतरिक उत्पाद स्थान का एक उदाहरण जो एक अपूर्ण मीट्रिक को प्रेरित करता है वह स्थान है $$C([a, b])$$ निरंतर जटिल मूल्यवान कार्यों की $$f$$ तथा $$g$$ अंतराल पर $$[a, b].$$ आंतरिक उत्पाद है $$\langle f, g \rangle = \int_a^b f(t) \overline{g(t)} \, \mathrm{d}t.$$ यह स्थान पूर्ण नहीं है; उदाहरण के लिए, अंतराल के लिए विचार करें $[−1, 1]$ निरंतर चरण कार्यों का क्रम, $$\{ f_k \}_k,$$ द्वारा परिभाषित: $$f_k(t) = \begin{cases} 0 & t \in [-1, 0] \\ 1 & t \in \left[\tfrac{1}{k}, 1\right] \\ kt & t \in \left(0, \tfrac{1}{k}\right) \end{cases}$$ यह अनुक्रम पूर्ववर्ती आंतरिक उत्पाद द्वारा प्रेरित मानदंड के लिए एक कॉची अनुक्रम  है, जो a में परिवर्तित नहीं होता है  समारोह।

यादृच्छिक चर
वास्तविक यादृच्छिक चर के लिए $$X$$ तथा $$Y,$$ उनके उत्पाद का अपेक्षित मूल्य $$\langle X, Y \rangle = \mathbb{E}[XY]$$ एक आंतरिक उत्पाद है।  इस मामले में, $$\langle X, X \rangle = 0$$ अगर और केवल अगर $$\mathbb{P}[X = 0] = 1$$ (वह है, $$X = 0$$  लगभग निश्चित रूप से ), कहाँ $$\mathbb{P}$$ घटना की  संभावना  को दर्शाता है। आंतरिक उत्पाद के रूप में अपेक्षा की यह परिभाषा यादृच्छिक सदिशों तक भी विस्तारित की जा सकती है।

जटिल मैट्रिक्स
एक ही आकार के जटिल वर्ग मैट्रिक्स के लिए आंतरिक उत्पाद फ्रोबेनियस आंतरिक उत्पाद  है $$\langle A, B \rangle := \operatorname{tr}\left(AB^{\textsf{H}}\right)$$. चूँकि ट्रेस और ट्रांसपोज़िशन रैखिक होते हैं और संयुग्मन दूसरे मैट्रिक्स पर होता है, यह एक सेसक्विलिनियर ऑपरेटर होता है। हम आगे हर्मिटियन समरूपता प्राप्त करते हैं, $$\langle A, B \rangle = \operatorname{tr}\left(AB^{\textsf{H}}\right) = \overline{\operatorname{tr}\left(BA^{\textsf{H}}\right)} = \overline{\left\langle B,A \right\rangle}$$ अंत में, के लिए के बाद से $$A$$ शून्येतर, $$\langle A, A\rangle = \sum_{ij} \left|A_{ij}\right|^2 > 0 $$, हम पाते हैं कि फ्रोबेनियस आंतरिक उत्पाद भी सकारात्मक निश्चित है, और इसलिए एक आंतरिक उत्पाद है।

रूपों के साथ वेक्टर रिक्त स्थान
एक आंतरिक उत्पाद स्थान पर, या अधिक आम तौर पर एक गैर-अपघटित रूप के साथ एक सदिश स्थान (इसलिए एक समरूपता $$V \to V^*$$), वैक्टर को कोवेक्टर (निर्देशांक में, ट्रांसपोज़ के माध्यम से) में भेजा जा सकता है, ताकि कोई दो वैक्टर के आंतरिक उत्पाद और बाहरी उत्पाद ले सके - न कि केवल एक वेक्टर और एक कोवेक्टर का।

सामान्य गुण
प्रत्येक आंतरिक उत्पाद स्थान एक मानदंड (गणित) को प्रेरित करता है, जिसे इसका कहा जाता है, जिसके द्वारा परिभाषित किया गया है $$\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}.$$ इस मानदंड के साथ, प्रत्येक आंतरिक उत्पाद स्थान एक आदर्श वेक्टर स्थान बन जाता है।

तो, मानक वेक्टर रिक्त स्थान की प्रत्येक सामान्य संपत्ति आंतरिक उत्पाद रिक्त स्थान पर लागू होती है। विशेष रूप से, इसमें निम्नलिखित गुण होते हैं:

पूर्ण समरूपता:$\ Triangle inequality:$\

Cauchy–Schwarz inequality:$ Parallelogram law:$\ Polarization identity:$\ Ptolemy's inequality:$\

ऑर्थोगोनलिटी
Orthogonality:Two vectors $x$ and $y$ are said to be, अक्सर लिखा $x \perp y,$ यदि उनका आंतरिक उत्पाद शून्य है, अर्थात यदि $\langle x, y \rangle = 0.$

ऐसा होता है अगर और केवल अगर $\ Orthogonal complement:The orthogonal complement of a subset $C \subseteq V$ is the set $C^{\bot}$ of the vectors that are orthogonal to all elements of $C$; that is, $C^{\bot} := \{\,y \in V : \langle y, c \rangle = 0 \text{ for all } c \in C\,\}.$ This set $C^{\bot}$ is always a closed vector subspace of $V$ and if the closure $\operatorname{cl}_V C$ of $C$ in $V$ is a vector subspace then $\operatorname{cl}_V C = \left(C^{\bot}\right)^{\bot}.$ Pythagorean theorem:If $x$ and $y$ are orthogonal, then $\ Parseval's identity:An induction on the Pythagorean theorem yields: if $x_1, \ldots, x_n$ are pairwise orthogonal, then $\sum_{i=1}^n \ Angle:When $\langle x, y \rangle$ is a real number then the Cauchy–Schwarz inequality implies that $\frac{\langle x, y \rangle}{\

आंतरिक उत्पादों के वास्तविक और जटिल भाग
मान लो कि $$\langle \cdot, \cdot \rangle$$ एक आंतरिक उत्पाद है $$V$$ (इसलिए यह अपने दूसरे तर्क में प्रतिरेखीय है)। ध्रुवीकरण पहचान  से पता चलता है कि आंतरिक उत्पाद का वास्तविक हिस्सा है $$\operatorname{Re} \langle x, y \rangle = \frac{1}{4} \left(\|x + y\|^2 - \|x - y\|^2\right).$$ यदि $$V$$ तब एक वास्तविक सदिश स्थान है $$\langle x, y \rangle = \operatorname{Re} \langle x, y \rangle = \frac{1}{4} \left(\|x + y\|^2 - \|x - y\|^2\right)$$ और काल्पनिक भाग (यह  भी कहा जाता है ) का $$\langle \cdot, \cdot \rangle$$ हमेशा से रहा है $$0.$$इस खंड के शेष भाग के लिए मान लें कि $$V$$ एक जटिल सदिश स्थान है। जटिल सदिश स्थानों के लिए ध्रुवीकरण की पहचान यह दर्शाती है
 * $$\begin{alignat}{4}

\langle x, \ y \rangle &= \frac{1}{4} \left(\|x + y\|^2 - \|x - y\|^2 + i\|x + iy\|^2 - i\|x - iy\|^2 \right) \\ &= \operatorname{Re} \langle x, y \rangle + i \operatorname{Re} \langle x, i y \rangle. \\ \end{alignat}$$ द्वारा परिभाषित मानचित्र $$\langle x \mid y \rangle = \langle y, x \rangle$$ सभी के लिए $$x, y \in V$$ आंतरिक उत्पाद के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है इसके अतिरिक्त कि यह अपने में प्रतिरेखीय है   इसके दूसरे, तर्क के अतिरिक्त । दोनों का असली भाग  $$\langle x \mid y \rangle$$ तथा $$\langle x, y \rangle$$ के बराबर हैं $$\operatorname{Re} \langle x, y \rangle$$ लेकिन आंतरिक उत्पाद उनके जटिल भाग में भिन्न होते हैं:
 * $$\begin{alignat}{4}

\langle x \mid y \rangle &= \frac{1}{4} \left(\|x + y\|^2 - \|x - y\|^2 - i\|x + iy\|^2 + i\|x - iy\|^2 \right) \\ &= \operatorname{Re} \langle x, y \rangle - i \operatorname{Re} \langle x, i y \rangle. \\ \end{alignat}$$ अंतिम समानता अपने वास्तविक भाग के संदर्भ में एक रेखीय कार्यात्मक के वास्तविक और काल्पनिक भागों के सूत्र के समान है।

ये सूत्र बताते हैं कि प्रत्येक जटिल आंतरिक उत्पाद उसके वास्तविक भाग द्वारा पूरी तरह से निर्धारित होता है। इसके अलावा, यह वास्तविक भाग एक आंतरिक उत्पाद को परिभाषित करता है $$V,$$ एक वास्तविक सदिश स्थान के रूप में माना जाता है। इस प्रकार एक जटिल सदिश स्थान पर जटिल आंतरिक उत्पादों के बीच एक-से-एक पत्राचार होता है $$V,$$ और वास्तविक आंतरिक उत्पाद चालू हैं $$V.$$ उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि $$V = \Complex^n$$ कुछ पूर्णांक के लिए $$n > 0.$$ कब $$V$$ सामान्य तरीके से एक वास्तविक सदिश स्थान के रूप में माना जाता है (जिसका अर्थ है कि इसकी पहचान की जाती है $$2 n-$$आयामी वास्तविक वेक्टर अंतरिक्ष $$\R^{2n},$$ प्रत्येक के साथ $$\left(a_1 + i b_1, \ldots, a_n + i b_n\right) \in \Complex^n$$ के साथ पहचान की गई $$\left(a_1, b_1, \ldots, a_n, b_n\right) \in \R^{2n}$$), फिर डॉट उत्पाद $$x \,\cdot\, y = \left(x_1, \ldots, x_{2n}\right) \, \cdot \, \left(y_1, \ldots, y_{2n}\right) := x_1 y_1 + \cdots + x_{2n} y_{2n}$$ इस स्थान पर एक वास्तविक आंतरिक उत्पाद को परिभाषित करता है। अद्वितीय जटिल आंतरिक उत्पाद $$\langle \,\cdot, \cdot\, \rangle$$ पर $$V = \C^n$$ डॉट उत्पाद द्वारा प्रेरित वह चित्र है जो भेजता है $$c = \left(c_1, \ldots, c_n\right), d = \left(d_1, \ldots, d_n\right) \in \Complex^n$$ प्रति $$\langle c, d \rangle := c_1 \overline{d_1} + \cdots + c_n \overline{d_n}$$ (क्योंकि इस चित्र का असली भाग $$\langle \,\cdot, \cdot\, \rangle$$ डॉट उत्पाद के बराबर है)।

वास्तविक बनाम जटिल आंतरिक उत्पाद

$$V_{\R}$$ निरूपित $$V$$ जटिल संख्याओं के बजाय वास्तविक संख्याओं पर एक सदिश स्थान के रूप में माना जाता है। जटिल आंतरिक उत्पाद का वास्तविक हिस्सा $$\langle x, y \rangle$$ चित्र है $$\langle x, y \rangle_{\R} = \operatorname{Re} \langle x, y \rangle ~:~ V_{\R} \times V_{\R} \to \R,$$ जो आवश्यक रूप से वास्तविक सदिश स्थान पर एक वास्तविक आंतरिक उत्पाद $$V_{\R}.$$ बनाता है एक वास्तविक वेक्टर अंतरिक्ष पर प्रत्येक आंतरिक उत्पाद एक बिलिनियर मानचित्र और सममित मानचित्र है।

उदाहरण के लिए, यदि $$V = \Complex$$ आंतरिक उत्पाद के साथ $$\langle x, y \rangle = x \overline{y},$$ जहाँ $$V$$ क्षेत्र के ऊपर एक सदिश स्थान है $$\Complex,$$ फिर $$V_{\R} = \R^2$$ एक सदिश स्थान है $$\R$$ तथा $$\langle x, y \rangle_{\R}$$ डॉट उत्पाद है $$x \cdot y,$$ जहाँ $$x = a + i b \in V = \Complex$$ बिंदु के साथ पहचाना जाता है $$(a, b) \in V_{\R} = \R^2$$ (और इसी तरह के लिए $$y$$); इस प्रकार मानक आंतरिक उत्पाद $$\langle x, y \rangle = x \overline{y},$$ पर $$\Complex$$ डॉट उत्पाद का विस्तार है। यह भी था $$\langle x, y \rangle$$ इसे अतिरिक्त रूप में परिभाषित किया गया है $$ $$\langle x, y \rangle = x y$$ (सामान्य के बजाय $$ $$\langle x, y \rangle = x \overline{y}$$) तो इसका असली भाग  $$\langle x, y \rangle_{\R}$$ चाहेंगे  डॉट उत्पाद हो; इसके अलावा, जटिल संयुग्म के बिना, यदि $$x \in \C$$ लेकिन $$x \not\in \R$$ फिर $$\langle x, x \rangle = x x = x^2 \not\in [0, \infty)$$ तो असाइनमेंट $$x \mapsto \sqrt{\langle x, x \rangle}$$ मानदंड परिभाषित नहीं करेगा।

अगले उदाहरणों से पता चलता है कि वास्तविक और जटिल आंतरिक उत्पादों में कई गुण और परिणाम समान हैं, वे पूरी तरह से विनिमेय नहीं हैं। उदाहरण के लिए, अगर $$\langle x, y \rangle = 0$$ फिर $$\langle x, y \rangle_{\R} = 0,$$ लेकिन अगले उदाहरण से पता चलता है कि बातचीत सामान्य रूप से है सच  हैं। दिया गया कोई भी $$x \in V,$$ वेक्टर $$i x$$ (जो वेक्टर है $$x$$ 90° से घुमाया जाता है) से संबंधित है $$V$$ और इसलिए भी के अंतर्गत आता है $$V_{\R}$$ (हालांकि का अदिश गुणन $$x$$ द्वारा $$i = \sqrt{-1}$$ में परिभाषित नहीं है $$V_{\R},$$ वेक्टर $$V$$ द्वारा चिह्नित $$i x$$ फिर भी का एक तत्व है $$V_{\R}$$). जटिल आंतरिक उत्पाद के लिए, $$\langle x, ix \rangle = -i \|x\|^2,$$ जबकि वास्तविक आंतरिक उत्पाद के लिए मूल्य हमेशा होता है $$\langle x, ix \rangle_{\R} = 0.$$ यदि $$\langle \,\cdot, \cdot\, \rangle$$ एक जटिल आंतरिक उत्पाद है और $$A : V \to V$$ एक सतत रैखिक ऑपरेटर है जो संतुष्ट करता है $$\langle x, A x \rangle = 0$$ सभी के लिए $$x \in V,$$ फिर $$A = 0.$$ यह कथन अब सत्य नहीं है यदि $$\langle \,\cdot, \cdot\, \rangle$$ इसके बजाय एक वास्तविक आंतरिक उत्पाद है, जैसा कि यह अगला उदाहरण दिखाता है। मान लो कि $$V = \Complex$$ आंतरिक उत्पाद है $$\langle x, y \rangle := x \overline{y}$$ उपर्युक्त। फिर चित्र $$A : V \to V$$ द्वारा परिभाषित $$A x = ix$$ एक रेखीय चित्र है (दोनों के लिए रैखिक $$V$$ तथा $$V_{\R}$$) जो रोटेशन को दर्शाता है $$90^{\circ}$$ प्लेन में। इसलिये $$x$$ तथा $$A x$$ लंबवत वैक्टर और $$\langle x, Ax \rangle_{\R}$$ सिर्फ डॉट उत्पाद है, $$\langle x, Ax \rangle_{\R} = 0$$ सभी वैक्टर के लिए $$x;$$ फिर भी, यह रोटेशन मैप $$A$$ निश्चित रूप से समान नहीं है $$0.$$ इसके विपरीत, जटिल आंतरिक उत्पाद का उपयोग करने से $$\langle x, Ax \rangle = -i \|x\|^2,$$ जो (उम्मीद के मुताबिक) समान रूप से शून्य नहीं है।

ऑर्थोनॉर्मल सीक्वेंस
$$V$$ को आयाम $$n.$$ का एक परिमित आयामी आंतरिक उत्पाद स्थान होने दें। याद रखें कि V के प्रत्येक आधार (रैखिक बीजगणित)  पर n रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिश होते हैं। ग्राम-श्मिट प्रक्रिया का उपयोग करके हम एक मनमाना आधार से शुरू कर सकते हैं और इसे एक ऑर्थोनॉर्मल आधार में बदल सकते हैं। अर्थात्, एक ऐसे आधार में जिसमें सभी तत्व ओर्थोगोनल हैं और इकाई मानदंड हैं। प्रतीकों में, एक आधार $$\{e_1, \ldots, e_n\}$$ 2 ऑर्थोनॉर्मल अगर $$\langle e_i, e_j \rangle = 0$$ प्रत्येक के लिए $$i \neq j$$ तथा $$\langle e_i, e_i \rangle = \|e_a\|^2 = 1$$ प्रत्येक सूचकांक के लिए $$i.$$ ऑर्थोनॉर्मल बेसिस की यह परिभाषा निम्नलिखित तरीके से अनंत-आयामी आंतरिक उत्पाद रिक्त स्थान के मामले में सामान्यीकृत करती है। मान लें कि $$V$$ कोई आंतरिक उत्पाद स्थान है। फिर एक संग्रह $$E = \left\{ e_a \right\}_{a \in A}$$ $$V$$ के लिए एक आधार है यदि $$V$$ के उप-स्थान $$E$$ के तत्वों के परिमित रैखिक संयोजनों द्वारा उत्पन्न $$V$$ में सघन है (मानदंड से प्रेरित मानदंड में) अंदरूनी प्रोडक्ट)। $$E$$ के $$V$$ लिए एक है, अगर यह एक आधार है और $$\left\langle e_{a}, e_{b} \right\rangle = 0$$ यदि $$a \neq b$$ तथा $$\langle e_a, e_a \rangle = \|e_a\|^2 = 1$$ सभी के लिए $$a, b \in A.$$ ग्राम-श्मिट प्रक्रिया के अनंत-आयामी एनालॉग का उपयोग करके कोई दिखा सकता है:

प्रमेय। किसी भी वियोज्य स्थान  के आंतरिक उत्पाद स्थान का एक अलौकिक आधार है।

हौसडॉर्फ अधिकतम सिद्धांत का उपयोग करना और तथ्य यह है कि हिल्बर्ट अंतरिक्ष में रैखिक उप-स्थानों पर ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण अच्छी तरह से परिभाषित है, कोई यह भी दिखा सकता है कि

प्रमेय। किसी भी हिल्बर्ट स्थान का एक अलौकिक आधार है।

दो पिछले प्रमेय इस सवाल को उठाते हैं कि क्या सभी आंतरिक उत्पाद रिक्त स्थान का एक अलौकिक आधार है। उत्तर, यह पता चला है नकारात्मक है। यह एक गैर-तुच्छ परिणाम है, और नीचे सिद्ध किया गया है। निम्नलिखित प्रमाण हेल्मोस की ए हिल्बर्ट स्पेस प्रॉब्लम बुक से लिया गया है (संदर्भ देखें)।
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!Proof
 * Recall that the dimension of an inner product space is the cardinality of a maximal orthonormal system that it contains (by Zorn's lemma it contains at least one, and any two have the same cardinality). An orthonormal basis is certainly a maximal orthonormal system but the converse need not hold in general. If $$G$$ is a dense subspace of an inner product space $$V,$$ then any orthonormal basis for $$G$$ is automatically an orthonormal basis for $$V.$$ Thus, it suffices to construct an inner product space $$V$$ with a dense subspace $$G$$ whose dimension is strictly smaller than that of $$V.$$
 * Recall that the dimension of an inner product space is the cardinality of a maximal orthonormal system that it contains (by Zorn's lemma it contains at least one, and any two have the same cardinality). An orthonormal basis is certainly a maximal orthonormal system but the converse need not hold in general. If $$G$$ is a dense subspace of an inner product space $$V,$$ then any orthonormal basis for $$G$$ is automatically an orthonormal basis for $$V.$$ Thus, it suffices to construct an inner product space $$V$$ with a dense subspace $$G$$ whose dimension is strictly smaller than that of $$V.$$

Let $$K$$ be a Hilbert space of dimension $\aleph_0.$ (for instance, $$K = \ell^2(\N)$$). Let $$E$$ be an orthonormal basis of $$K,$$ so $$|E| = \aleph_0.$$ Extend $$E$$ to a Hamel basis $$E \cup F$$ for $$K,$$where $$E \cap F = \varnothing.$$ Since it is known that the Hamel dimension of $$K$$ is $$c,$$ the cardinality of the continuum, it must be that $$|F| = c.$$

Let $$L$$ be a Hilbert space of dimension $$c$$ (for instance, $$L = \ell^2(\R)$$). Let $$B$$ be an orthonormal basis for $$L$$ and let $$\varphi : F \to B$$ be a bijection. Then there is a linear transformation $$T : K \to L$$ such that $$T f = \varphi(f)$$ for $$f \in F,$$ and $$Te = 0$$ for $$e \in E.$$

Let $$V = K \oplus L$$ and let $$G = \{ (k, T k) : k \in K \}$$ be the graph of $$T.$$ Let $$\overline{G}$$ be the closure of $$G$$ in $$V$$; we will show $$\overline{G} = V.$$ Since for any $$e \in E$$ we have $$(e, 0) \in G,$$ it follows that $$K \oplus 0 \subseteq \overline{G}.$$

Next, if $$b \in B,$$ then $$b = T f$$ for some $$f \in F \subseteq K,$$ so $$(f, b) \in G \subseteq \overline{G}$$; since $$(f, 0) \in \overline{G}$$ as well, we also have $$(0, b) \in \overline{G}.$$ It follows that $$0 \oplus L \subseteq \overline{G},$$ so $$\overline{G} = V,$$ and $$G$$ is dense in $$V.$$

Finally, $$\{(e, 0) : e \in E \}$$ is a maximal orthonormal set in $$G$$; if $$0 = \langle (e, 0), (k, Tk) \rangle = \langle e, k \rangle + \langle 0, Tk \rangle = \langle e, k \rangle$$ for all $$e \in E$$ then $$k = 0,$$ so $$(k, Tk) = (0, 0)$$ is the zero vector in $$G.$$ Hence the dimension of $$G$$ is $$|E| = \aleph_0,$$ whereas it is clear that the dimension of $$V$$ is $$c.$$ This completes the proof. परसेवल की पहचान तुरंत निम्नलिखित प्रमेय की ओर ले जाती है:
 * }

प्रमेय। होने देना $$V$$ एक वियोज्य आंतरिक उत्पाद स्थान हो और $$\left\{e_k\right\}_k$$ का एक दैहिक आधार $$V.$$ फिर नक्शा $$x \mapsto \bigl\{\langle e_k, x \rangle\bigr\}_{k \in \N}$$ एक सममितीय रेखीय मानचित्र है $$V \mapsto \ell^2$$ घनी छवि के साथ।

इस प्रमेय को फूरियर श्रृंखला का एक अमूर्त रूप माना जा सकता है, जिसमें एक मनमाना ऑर्थोनॉर्मल आधार त्रिकोणमितीय बहुपद ों के अनुक्रम की भूमिका निभाता है। ध्यान दें कि अंतर्निहित इंडेक्स सेट को किसी भी गणनीय सेट के रूप में लिया जा सकता है (और वास्तव में कोई भी सेट, बशर्ते $$\ell^2$$ उचित रूप से परिभाषित किया गया है, जैसा कि लेख हिल्बर्ट स्पेस में बताया गया है)। विशेष रूप से, हम फूरियर श्रृंखला के सिद्धांत में निम्नलिखित परिणाम प्राप्त करते हैं:

प्रमेय। होने देना $$V$$ आंतरिक उत्पाद स्थान हो $$C[-\pi, \pi].$$ फिर निरंतर कार्यों का अनुक्रम (सभी पूर्णांकों के सेट पर अनुक्रमित)। $$e_k(t) = \frac{e^{i k t}}{\sqrt{2 \pi}}$$ अंतरिक्ष का एक लम्बवत आधार है $$C[-\pi, \pi]$$ साथ $$L^2$$ अंदरूनी प्रोडक्ट। मानचित्रण $$f \mapsto \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \left\{\int_{-\pi}^\pi f(t) e^{-i k t} \, \mathrm{d}t \right\}_{k \in \Z}$$ घनी छवि वाला एक आइसोमेट्रिक रैखिक मानचित्र है।

अनुक्रम की ओर्थोगोनलिटी $$\{ e_k \}_k$$ इस तथ्य से तुरंत अनुसरण करता है कि यदि $$k \neq j,$$ फिर $$\int_{-\pi}^\pi e^{-i (j - k) t} \, \mathrm{d}t = 0.$$ अनुक्रम की सामान्यता डिज़ाइन द्वारा होती है, अर्थात, गुणांकों को इस प्रकार चुना जाता है ताकि मानदंड 1 पर आ जाए। अंत में तथ्य यह है कि अनुक्रम में घने बीजीय विस्तार हैं,, इस तथ्य से अनुसरण करता है कि अनुक्रम में एक सघन बीजगणितीय विस्तार है, इस बार निरंतर आवधिक कार्यों के स्थान पर $$[-\pi, \pi]$$ समान मानदंड के साथ। यह त्रिकोणमितीय बहुपदों के एकसमान घनत्व पर वीयरस्ट्रास सन्निकटन प्रमेय की सामग्री है।

आंतरिक उत्पाद रिक्त स्थान पर ऑपरेटर
कई प्रकार के रैखिक चित्र $$A : V \to W$$ आंतरिक उत्पाद रिक्त स्थान के बीच $$V$$ तथा $$W$$ प्रासंगिकता के हैं:
 * : $$A : V \to W$$ ऊपर या समकक्ष रूप से परिभाषित मीट्रिक के संबंध में रैखिक और निरंतर है, $$A$$ रैखिक है और गैर-ऋणात्मक वास्तविकताओं का सेट है $$\{ \|Ax\| : \|x\| \leq 1\},$$ कहाँ $$x$$ की बंद इकाई गेंद पर पर्वतमाला $$V,$$ पे घिरा है।
 * : $$A : V \to W$$ रैखिक है और $$\langle Ax, y \rangle = \langle x, Ay \rangle$$ सभी के लिए $$x, y \in V.$$
 * : $$A : V \to W$$ संतुष्ट $$\|A x\| = \|x\|$$ सभी के लिए $$x \in V.$$ एक (एक ) एक आइसोमेट्री है जो एक रेखीय मानचित्र भी है (प्रतिरेखीय मानचित्र)। आंतरिक उत्पाद रिक्त स्थान के लिए, ध्रुवीकरण पहचान का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है $$A$$ एक आइसोमेट्री है अगर $$\langle Ax, Ay \rangle = \langle x, y \rangle$$ सभी के लिए $$x, y \in V.$$ सभी आइसोमेट्री  इंजेक्शन  हैं। मजूर-उलम प्रमेय स्थापित करता है कि दो के बीच प्रत्येक विशेषण समरूपता  नॉर्म्ड स्पेस एक  एफ़िन परिवर्तन  है। परिणाम स्वरुप, एक आइसोमेट्री $$A$$ वास्तविक आंतरिक उत्पाद रिक्त स्थान के बीच एक रैखिक मानचित्र है यदि और केवल यदि $$A(0) = 0.$$ आइसोमेट्री आंतरिक उत्पाद रिक्त स्थान के बीच  s रूपवाद हैं, और वास्तविक आंतरिक उत्पाद रिक्त स्थान के रूपवाद ऑर्थोगोनल परिवर्तन हैं ( ओर्थोगोनल मैट्रिक्स  के साथ तुलना करें)।
 * : $$A : V \to W$$ एक आइसोमेट्री है जो विशेषण  (और इसलिए विशेषण) है। आइसोमेट्रिकल आइसोमोर्फिम्स को एकात्मक ऑपरेटर ( एकात्मक मैट्रिक्स  के साथ तुलना) के रूप में भी जाना जाता है।

आंतरिक उत्पाद स्थान सिद्धांत के दृष्टिकोण से, दो स्थानों के बीच अंतर करने की कोई आवश्यकता नहीं है जो कि आइसोमेट्रिक रूप से आइसोमोर्फिक हैं। वर्णक्रमीय प्रमेय  परिमित आयामी आंतरिक उत्पाद रिक्त स्थान पर सममित, एकात्मक और अधिक सामान्यतः  सामान्य आपरेटरों के लिए एक विहित रूप प्रदान करता है। स्पेक्ट्रल प्रमेय का सामान्यीकरण हिल्बर्ट रिक्त स्थान में निरंतर सामान्य ऑपरेटरों के लिए होता है।

सामान्यीकरण
किसी आंतरिक उत्पाद के किसी भी स्वयंसिद्ध को कमजोर किया जा सकता है, जिससे सामान्यीकृत धारणाएं उत्पन्न होती हैं। सामान्यीकरण जो आंतरिक उत्पादों के सबसे करीब होते हैं, जहां द्विरेखीयता और संयुग्म समरूपता को निरंतर रखा जाता है, लेकिन सकारात्मक-निश्चितता कमजोर होती है।

आंतरिक उत्पादों को पतित करें
यदि $$V$$ एक सदिश स्थान है और $$\langle \,\cdot\,, \,\cdot\, \rangle$$ एक अर्ध-निश्चित सेसक्विलिनियर रूप, फिर कार्य: $$\|x\| = \sqrt{\langle x, x\rangle}$$ समझ में आता है और आदर्श के सभी गुणों को संतुष्ट करता है सिवाय इसके कि $$\|x\| = 0$$ मतलब नहीं है $$x = 0$$ (इस तरह के एक कार्यात्मक को तब अर्ध-मानक  कहा जाता है)। हम भागफल पर विचार करके एक आंतरिक उत्पाद स्थान का उत्पादन कर सकते हैं $$W = V / \{x : \|x\| = 0\}.$$ सेसक्विलिनियर फॉर्म $$\langle \,\cdot\,, \,\cdot\, \rangle$$ के माध्यम से कारक $$W.$$ यह निर्माण कई संदर्भों में प्रयोग किया जाता है। गेलफैंड-नैमार्क-सेगल निर्माण इस तकनीक के उपयोग का एक विशेष रूप से महत्वपूर्ण उदाहरण है। एक और उदाहरण मर्सर के प्रमेय का प्रतिनिधित्व है | मनमाना सेट पर अर्ध-निश्चित गुठली।

गैरपतित संयुग्म सममित रूप
वैकल्पिक रूप से, किसी को आवश्यकता हो सकती है कि जोड़ी एक गैर-अपूर्ण रूप हो, जिसका अर्थ है कि सभी गैर-शून्य के लिए $$x \neq 0$$ कुछ मौजूद है $$y$$ ऐसा है कि $$\langle x, y \rangle \neq 0,$$ यद्यपि $$y$$ बराबर $$x$$ नहीं चाहिए ; दूसरे शब्दों में, प्रेरित चित्र दोहरी जगह के लिए $$V \to V^*$$ इंजेक्शन है। अंतर ज्यामिति  में यह सामान्यीकरण महत्वपूर्ण है: एक विविध जिसका स्पर्शरेखा रिक्त स्थान एक आंतरिक उत्पाद है, एक  छद्म रीमैनियन विविध है, जबकि अगर यह गैरपतित संयुग्मित सममित रूप से संबंधित है तो विविध एक छद्म- रीमैनियन विविध है। सिल्वेस्टर के जड़त्व के नियम के अनुसार, जिस तरह प्रत्येक आंतरिक उत्पाद सदिशों के एक सेट पर सकारात्मक भार के साथ डॉट उत्पाद के समान होता है, उसी तरह प्रत्येक गैर-डीजेनरेट संयुग्म सममित रूप डॉट उत्पाद के समान होता है  वैक्टर के एक सेट पर वजन, और सकारात्मक और नकारात्मक वजन की संख्या को क्रमशः सकारात्मक सूचकांक और नकारात्मक सूचकांक कहा जाता है। मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष में वैक्टर का उत्पाद अनिश्चित आंतरिक उत्पाद का एक उदाहरण है, हालांकि, तकनीकी रूप से बोलते हुए, यह उपरोक्त मानक परिभाषा के अनुसार एक आंतरिक उत्पाद नहीं है। मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष में चार  आयाम (गणित)  और सूचकांक 3 और 1 (साइन (गणित) का असाइनमेंट + और - उनके लिए साइन कन्वेंशन मीट्रिक हस्ताक्षर) हैं।

विशुद्ध रूप से बीजगणितीय कथन (वे जो सकारात्मकता का उपयोग नहीं करते हैं) सामान्यतः केवल गैर-अपघटन (इंजेक्शनी होमोमोर्फिज्म) पर निर्भर करते हैं। $$V \to V^*$$) और इस प्रकार सामान्यतः धारण करते हैं।

संबंधित उत्पाद
आंतरिक उत्पाद शब्द बाहरी उत्पाद  के विपरीत है, जो थोड़ा अधिक सामान्य और विपरीत है। सीधे शब्दों में, निर्देशांक में, आंतरिक उत्पाद एक a का उत्पाद है $$1 \times n$$  एक साथ $$n \times 1$$ वेक्टर, उपज a $$1 \times 1$$ मैट्रिक्स (एक स्केलर) है, जबकि बाहरी उत्पाद एक का उत्पाद है $$m \times 1$$ a  के साथ वेक्टर $$1 \times n$$ कोवेक्टर, एक उपज $$m \times n$$ आव्यूह है। बाहरी उत्पाद को विभिन्न आयामों के लिए परिभाषित किया गया है, जबकि आंतरिक उत्पाद को समान आयाम की आवश्यकता है। यदि आयाम समान हैं, तो आंतरिक उत्पाद   है बाहरी उत्पाद का (ट्रेस केवल स्क्वायर मैट्रिसेस के लिए ठीक से परिभाषित किया जा रहा है)। एक अनौपचारिक सारांश में: आंतरिक क्षैतिज समय ऊर्ध्वाधर है और नीचे सिकुड़ता है, बाहरी ऊर्ध्वाधर समय क्षैतिज है और बाहर फैलता है।

अधिक संक्षेप में, बाहरी उत्पाद बिलिनियर मानचित्र है $$W \times V^* \to \hom(V, W)$$ एक वेक्टर और एक कोवेक्टर को रैंक 1 रैखिक परिवर्तन (प्रकार का साधारण टेंसर  (1, 1)) पर भेजना, जबकि आंतरिक उत्पाद बिलिनियर मूल्यांकन मानचित्र है $$V^* \times V \to F$$ वेक्टर पर एक कोवेक्टर का मूल्यांकन करके दिया गया; यहाँ डोमेन वेक्टर रिक्त स्थान का क्रम कोवेक्टर/वेक्टर भेद को दर्शाता है।

आंतरिक उत्पाद और  बाहरी उत्पाद  को आंतरिक उत्पाद और बाहरी उत्पाद के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जो इसके अतिरिक्त सदिश क्षेत्रों और अंतर रूपों, या अधिक सामान्यतः  बाहरी बीजगणित  पर संचालन होते हैं।

एक और जटिलता के रूप में, ज्यामितीय बीजगणित  में आंतरिक उत्पाद और  (ग्रासमैन) उत्पाद ज्यामितीय उत्पाद (क्लिफोर्ड बीजगणित में क्लिफोर्ड उत्पाद) में संयुक्त होते हैं - आंतरिक उत्पाद दो वैक्टर (1-वैक्टर) को एक अदिश (एक 0-वेक्टर) भेजता है, जबकि बाहरी उत्पाद दो वैक्टर को भेजता है। बायवेक्टर (2-वेक्टर) - और इस संदर्भ में बाहरी उत्पाद को सामान्यतः कहा जाता है  (वैकल्पिक रूप से, ). आंतरिक उत्पाद को अधिक सही ढंग से कहा जाता है  इस संदर्भ में उत्पाद, जैसा कि प्रश्न में गैर-अपक्षयी द्विघात रूप सकारात्मक निश्चित होना आवश्यक नहीं है (एक आंतरिक उत्पाद होने की आवश्यकता नहीं है)।

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