ताऊ-लीपिंग (τ-लीपिंग)

संभाव्यता सिद्धांत में ताऊ-लीपिंग या τ-लीपिंग एक प्रसंभाव्य प्रणाली के अनुरूपण के लिए अनुमानित विधि है। यह गिलेस्पी एल्गोरिथम पर आधारित है जो प्रवृत्ति फलनों का नवीनीकरण करने से पहले ताऊ-लीपिंग की लंबाई के अंतराल के लिए सभी प्रतिक्रियाओं का प्रदर्शन करती है। दरों को अपेक्षाकृत कम अपडेट (अद्यतन) करने से यह कभी-कभी अधिक कुशल अनुरूपण की स्वीकृति देता है और इस प्रकार बड़ी प्रणालियों पर विचार किया जाता है।

जिसके आधारिक एल्गोरिथम के कई प्रकारों पर विचार किया गया है।

एल्गोरिथम
नियतात्मक प्रणालियों के लिए एल्गोरिथम यूलर विधि के अनुरूप है, लेकिन एक निश्चित परिवर्तन $$x(t+\tau)=x(t)+\tau x'(t)$$ करने के अतिरिक्त रूपान्तरण है:

$$x(t+\tau)=x(t)+P(\tau x'(t))$$

जहाँ $$P(\tau x'(t))$$ माध्य $$\tau x'(t)$$ के साथ एक प्वाइजन वितरित यादृच्छिक चर है। $$\mathbf{x}(t)=\{X_i(t)\}$$ की अवस्था को देखते हुए $$E_j$$ की दर $$R_j(\mathbf{x}(t))$$ और अवस्था रूपान्तरण सदिश के साथ $$\mathbf{v}_{ij}$$ जहां $$i$$ अवस्था चरों और $$j$$ घटनाओं को अनुक्रमित करता है। यह विधि इस प्रकार है:

जहाँ $$v_{ij}$$ के कारण अवस्था चर $$X_i$$ में परिवर्तन $$E_j$$ है। इस बिंदु पर यह जाँचना आवश्यक हो सकता है कि कोई भी जनसंख्या अवास्तविक मान तक नहीं अभिगम्य होती है जैसे कि प्वाइजन चर $$K_j$$ की असीमित प्रकृति के कारण जनसंख्या ऋणात्मक हो रही है।
 * 1) प्रारम्भिक अवस्था चर $$\mathbf{x}(t_0)=\{X_i(t_0)\}$$ के साथ मॉडल को प्रारम्भ करें।
 * 2) $$R_j(\mathbf{x}(t))$$ घटना दरों की गणना करें।
 * 3) समय चरण $$\tau$$ का चयन करे जिससे यह तय किया जा सकता है या कुछ एल्गोरिथ्म द्वारा विभिन्न घटना दरों पर निर्भर किया जा सकता है।
 * 4) प्रत्येक $$E_j$$ घटना के लिए $$K_j \sim \text{Poisson}(R_j\tau)$$ का चयन करना, जो समय अंतराल के समय प्रत्येक घटना $$[t,t+\tau)$$ के घटित होने की संख्या है।
 * 5) कुछ वांछित शर्त पूरी होने तक चरण 2 से आगे दोहराएं उदाहरण के लिए एक विशेष अवस्था चर 0 तक अभिगम्य होता है या समय $$t_1$$ तक अभिगम्य हो जाता है।
 * 6) $$\mathbf{x}(t+\tau)=\mathbf{x}(t)+\sum_j K_jv_{ij}$$ द्वारा अवस्था को परिवर्तित करें।

कुशल चरण आकार चयन के लिए एल्गोरिथम
इस एल्गोरिथ्म का वर्णन काओ एटअल द्वारा किया गया है। जिनका विचार यह है कि प्रत्येक घटना दर $$R_j$$ में सापेक्ष परिवर्तन को एक निर्दिष्ट सहनशीलता $$\epsilon$$ (काओ सुझाव $$\epsilon=0.03$$हालांकि यह मॉडल की सूक्ष्मता पर निर्भर हो सकता है) द्वारा सीमित करना है। यह प्रत्येक अवस्था चर $$X_i$$ में $$\epsilon/g_i$$ द्वारा सापेक्ष परिवर्तन को बाध्य करके प्राप्त किया जाता है। जहां $$g_i$$ उस दर पर निर्भर करता है जो $$X_i$$ में दिए गए परिवर्तन के लिए सबसे अधिक परिवर्तन करता है। विशिष्ट रूप से $$g_i$$ उच्चतम अनुक्रम घटना दर के बराबर है, लेकिन यह विभिन्न अवस्थाओ जैसे विशेष रूप से गैर-रैखिक घटना दर वाली महामारी विज्ञान मॉडल मे अधिक जटिल हो सकता है।

इस एल्गोरिदम को सामान्यतः $$2N$$ सहायक मानों की गणना करने की आवश्यकता होती है। जहाँ $$N$$ अवस्था चर $$X_i$$ की संख्या है और केवल पहले से अनुमानित मानों $$R_j(\mathbf{x})$$ के पुन: उपयोग की आवश्यकता होती है। यदि इसमें महत्वपूर्ण कारक $$X_i$$ एक पूर्णांक मान है तो $$X_i$$ वह न्यूनतम मान है जिसके द्वारा यह परिवर्तित किया जा सकता है। $$R_j$$ में सापेक्ष परिवर्तन को 0 से अपेक्षाकृत कम होने से रोकता है जिसके परिणामस्वरूप $$\tau$$ स्वतः 0 की ओर अग्रषित होता है।

इस अभिकलित मान $$\tau$$ का उपयोग तब $$\tau$$ लीपिंग एल्गोरिथम के चरण-3 में किया जाता है।
 * 1) प्रत्येक अवस्था चर के लिए $$X_i$$, सहायक मानों की गणना करें:
 * $$\mu_i(\mathbf{x}) = \sum_j v_{ij} R_j(\mathbf{x})$$
 * $$\sigma_i^2(\mathbf{x}) = \sum_j v_{ij}^2 R_j(\mathbf{x})$$
 * 1) प्रत्येक अवस्था चर $$X_i$$ के लिए, उच्चतम अनुक्रम घटना निर्धारित करें जिसमें यह सम्मिलित है और $$g_i$$ को प्राप्त करें:
 * 2) समय चरण $$\tau$$ की गणना करें जैसे कि:
 * $$\tau = \min_i {\left\{ \frac{\max{\{\epsilon X_i / g_i, 1\}}}{|\mu_i(\mathbf{x})|}, \frac{\max{\{\epsilon X_i / g_i, 1\}}^2}{\sigma_i^2(\mathbf{x})} \right\}}$$