संप्रवाह (सार पुनर्लेखन)

कंप्यूटर विज्ञान में, संप्रवाह पुनर्लेखन प्रणालियों का एक गुण है, जो बताता है कि समान परिणाम प्राप्त करने के लिए ऐसी प्रणाली में किन शब्दों को एक से अधिक विधियों से पुनर्लेखन किया जा सकता है। यह आलेख एक अमूर्त पुनर्लेखन प्रणाली की सबसे अमूर्त समायोजन में गुणों का वर्णन करता है।

प्रेरक उदाहरण
प्राथमिक गणित के सामान्य नियम एक अभिकलन प्रणाली बनाते हैं। उदाहरण के लिए, व्यंजक (11 + 9) × (2 + 4) को बाईं या दाईं व्यंजक से प्रारंभ करके मूल्यांकन किया जा सकता है; यद्यपि, दोनों स्थितियों में अंततः एक ही परिणाम प्राप्त होता है। यदि प्रत्येक गणितीय अभिव्यक्ति को छोटा करने की रणनीति के बाद भी समान परिणाम मिलता है, तो उस गणित अभिव्यक्ति प्रणाली को क्षेत्र-संप्रवाह कहा जाता है। पुनर्लेखन प्रणाली के विवरण के आधार पर अंकगणितीय पुनर्लेखन प्रणालियाँ संप्रवाह या गणितीय अभिव्यक्ति प्रणाली संप्रवाह हो सकता है, इस परिवर्तन प्रणाली के विवरणों पर निर्भर करता है।

प्रत्येक समूह तत्व के व्युत्क्रम के व्युत्क्रम के बराबर होने के निम्नलिखित प्रमाण से एक दूसरा, अधिक अमूर्त उदाहरण प्राप्त होता है:

यह प्रमाण माने गए समूह अभियोग A1-A3 से प्रारंभ होता है और पांच प्रस्तावनाएं R4, R6, R10, R11 और R12 स्थापित करता है, हर एक प्रस्तावना में पहले कुछ का उपयोग करता है, और R12 मुख्य प्रमाण होता है। कुछ प्रमाणों के लिए गैर-स्पष्ट या पुनः सृजनात्मक चरणों की आवश्यकता होती है, जैसे कि स्‍वयंसिद्ध A2 को उत्क्रम करके, पहले चरण में "1" को "a−1 ⋅ a" में पुनःलेखित करना। तर्कात्मक पुनःलेखन के सिद्धांत के विकास के ऐतिहासिक प्रेरणाओं में से एक यह थी कि ऐसे चरणों की आवश्यकता से बचा जा सके, जो अनुभवहीन मानव द्वारा ढूंढना कठिन होता है, और वह भी कंप्यूटर प्रोग्राम द्वारा कहीं अधिक कठिन होता है। यदि एक तर्कात्मक पुनर्लेखन प्रणाली संप्रवाह और समाप्ति है, तो दो अभिव्यक्तियों s और t के बीच समानता प्रमाणित करने के लिए एक सीधी विधि उपस्थित है, प्रारंभ s के साथ करें, बाएं से दाएं समानता को लागू करें जहाँ तक संभव हो, अंततः पद s' प्राप्त करें। एक ही विधि से पद t' प्राप्त करें। यदि दोनों पद s' और t' वास्तव में मेल खाते हैं, तो s और t समान सिद्ध होते हैं। अधिक महत्वपूर्ण बात यह है कि यदि वे असहमत होते हैं, तो s और t समान नहीं हो सकते हैं। अर्थात, कोई भी दो पद s और t जो किसी भी विधि से सिद्ध हो सकते हैं, उन्हें उस विधि द्वारा सिद्ध किया जा सकता है।

उस विधि की सफलता किसी विशेष कठिन क्रम में पुनर्लेखन नियमों को लागू करने की निर्भरता नहीं करती है, क्योंकि 'संप्रवाह' सुनिश्चित करती है कि कोई भी नियमों के आवेदन की क्रम-सूची अंततः एक ही परिणाम तक पहुँचाती है जबकि समाप्ति गुणवत्ता सुनिश्चित करती है कि कोई भी क्रम-सूची अंततः किसी निर्धारित अंतिम अवस्था तक पहुँचाती है।इसलिए, यदि किसी समीकरण सिद्धांत पर कुछ संप्रवाह और समाप्तिपूर्ण तर्कात्मक पुनर्लेखन प्रणाली प्रदान की जा सकती है, तो पदों के समानता के सिद्धांतों को सिद्ध करने के लिए किसी भी रचनात्मकता की आवश्यकता नहीं होती है; वह कार्य इस प्रकार कंप्यूटर प्रोग्रामों के लिए संगठित हो जाता है। आधुनिक दृष्टिकोण में, अधिक सामान्य अमूर्त पुनर्लेखन प्रणालियों का नियंत्रण किया जाता है अपेक्षा पद पुनर्लेखन प्रणालियों की, जिन्हें पहले की अवस्था का एक विशेष स्थिति हैं।

सामान्य मामला और सिद्धांत
एक पुनर्लेखन प्रणाली को एक निर्देशित ग्राफ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जिसमें नोड्स अभिव्यक्तियों का प्रतिनिधित्व करते हैं और किनारे पुनर्लेखन का प्रतिनिधित्व करते हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि अभिव्यक्ति a को b में दोबारा लिखा जा सकता है, तो हम कहते हैं कि b, a का एक छोटा रूप है (वैकल्पिक रूप से, a, b को कम करता है, या a, b का विस्तार है)। इसे तीर संकेतन का उपयोग करके दर्शाया गया है; a → b इंगित करता है कि a, b में कम हो जाता है। सहज रूप से, इसका मतलब है कि संबंधित ग्राफ़ में ए से बी तक एक निर्देशित किनारा है।

यदि दो ग्राफ नोड्स c और d के बीच एक पथ है, तो यह एक कमी अनुक्रम बनाता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि c → c′ → c′′ → ... → d′ → d, तो हम c लिख सकते हैं $a$ डी, सी से डी तक कमी अनुक्रम के अस्तित्व को दर्शाता है। औपचारिक रूप से, $b$ → का क्लोजर (गणित)#बाइनरी रिलेशन क्लोजर|रिफ्लेक्सिव-ट्रांजिटिव क्लोजर है। पिछले पैराग्राफ से उदाहरण का उपयोग करते हुए, हमारे पास (11+9)×(2+4) → 20×(2+4) और 20×(2+4) → 20×6 है, इसलिए (11+9)×( 2+4) $c$ 20×6.

इसकी स्थापना से संप्रवाह को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है। a ∈ S को संप्रवाह माना जाता है यदि सभी जोड़ियों के लिए b, c ∈ S ऐसा हो कि a $d$ बी और ए $∗ →$ सी, बी के साथ एक डी ∈ एस मौजूद है $∗ →$डी और सी $∗ →$ डी (निरूपित) $$b \mathbin\downarrow c$$). यदि प्रत्येक a ∈ S संप्रवाह है, तो हम कहते हैं कि → संप्रवाह है। दाईं ओर दिखाए गए चित्र के आकार के बाद, इस संपत्ति को कभी-कभी हीरे की संपत्ति भी कहा जाता है। कुछ लेखक हर जगह एकल कटौती के साथ आरेख के एक प्रकार के लिए हीरा संपत्ति शब्द को आरक्षित रखते हैं; अर्थात्, जब भी a → b और a → c, वहाँ a d का अस्तित्व इस प्रकार होना चाहिए कि b → d और c → d। सिंगल-रिडक्शन वेरिएंट मल्टी-रिडक्शन वेरिएंट की तुलना में अधिक मजबूत है।

भूमि संप्रवाह
एक शब्द पुनर्लेखन प्रणाली ग्राउंड कंफ्लुएंट होती है यदि प्रत्येक जमीनी अवधि  कंफ्लुएंट हो, अर्थात प्रत्येक शब्द बिना चर के हो।

स्थानीय संप्रवाह
एक तत्व a ∈ S को स्थानीय रूप से (या कमजोर रूप से) संप्रवाह कहा जाता है यदि सभी b, c ∈ S के लिए a → b और a → c के साथ d ∈ S मौजूद हो $∗ →$डी और सी $∗ →$ डी। यदि प्रत्येक ∈ S स्थानीय रूप से संप्रवाह है, तो → को स्थानीय रूप से (या कमजोर रूप से) संप्रवाह कहा जाता है, या कमजोर चर्च-रोसेर संपत्ति वाला कहा जाता है। यह संप्रवाह से भिन्न है क्योंकि बी और सी को एक चरण में ए से कम किया जाना चाहिए। इसके अनुरूप, संप्रवाह को कभी-कभी वैश्विक संप्रवाह भी कहा जाता है।

रिश्ता $∗ →$, कटौती अनुक्रमों के लिए एक संकेतन के रूप में पेश किया गया, इसे अपने आप में एक पुनर्लेखन प्रणाली के रूप में देखा जा सकता है, जिसका संबंध → का क्लोजर_(गणित)#बाइनरी रिलेशन क्लोजर|रिफ्लेक्टिव-ट्रांजिटिव क्लोजर है। चूँकि कमी अनुक्रमों का एक क्रम फिर से एक कमी अनुक्रम है (या, समतुल्य रूप से, चूंकि रिफ्लेक्सिव-ट्रांजिटिव क्लोजर बनाना निष्क्रियता#यूनरी ऑपरेशन है), $∗ →$ = $∗ →$. इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि → संप्रवाह है यदि और केवल यदि $∗ →$ स्थानीय रूप से संप्रवाह है।

एक पुनर्लेखन प्रणाली (वैश्विक स्तर पर) मिश्रित हुए बिना भी स्थानीय रूप से संप्रवाहित हो सकती है। उदाहरण चित्र 3 और 4 में दिखाए गए हैं। हालाँकि, न्यूमैन की लेम्मा बताती है कि यदि स्थानीय रूप से संप्रवाह पुनर्लेखन प्रणाली में कोई अनंत कमी अनुक्रम नहीं है (जिस स्थिति में इसे समाप्त या दृढ़ता से सामान्यीकृत कहा जाता है), तो यह विश्व स्तर पर संप्रवाह है।

चर्च-रोसेर संपत्ति
ऐसा कहा जाता है कि एक पुनर्लेखन प्रणाली के पास चर्च-रोसेर संपत्ति होती है यदि और केवल यदि $$x \stackrel{*}{\leftrightarrow} y$$ तात्पर्य $$x\mathbin\downarrow y$$ सभी वस्तुओं x, y के लिए। अलोंजो चर्च और जे. बार्कले रोसेर ने 1936 में साबित किया कि लैम्ब्डा कैलकुलस में यह गुण है; इसलिए संपत्ति का नाम. (यह तथ्य कि लैम्ब्डा कैलकुलस में यह संपत्ति है, इसे चर्च-रोसेर प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है।) चर्च-रोसेर संपत्ति के साथ एक पुनर्लेखन प्रणाली में शब्द समस्या को एक सामान्य उत्तराधिकारी की खोज तक कम किया जा सकता है। चर्च-रोसेर प्रणाली में, एक वस्तु का अधिकतम एक सामान्य रूप (अमूर्त पुनर्लेखन) होता है; अर्थात् किसी वस्तु का सामान्य रूप यदि अस्तित्व में है तो अद्वितीय है, लेकिन यह अस्तित्व में नहीं भी हो सकता है। उदाहरण के लिए लैम्ब्डा कैलकुलस में, अभिव्यक्ति (λx.xx)(λx.xx) का कोई सामान्य रूप नहीं है क्योंकि β-कटौती (λx.xx)(λx.xx) → (λx.xx) का एक अनंत अनुक्रम मौजूद है। (λx.xx) → ... एक पुनर्लेखन प्रणाली के पास चर्च-रोसेर संपत्ति होती है यदि और केवल यदि यह संप्रवाह है। इस समानता के कारण, साहित्य में परिभाषाओं में काफी भिन्नता पाई जाती है। उदाहरण के लिए, टेरेसी में चर्च-रोसेर संपत्ति और संप्रवाह को यहां प्रस्तुत संप्रवाह की परिभाषा के पर्यायवाची और समान के रूप में परिभाषित किया गया है; चर्च-रोसेर जैसा कि यहां परिभाषित है, अज्ञात है, लेकिन इसे समकक्ष संपत्ति के रूप में दिया गया है; अन्य ग्रंथों से यह विचलन जानबूझकर किया गया है।

अर्ध-संप्रवाह
स्थानीय संप्रवाह की परिभाषा वैश्विक संप्रवाह से भिन्न है जिसमें केवल एक पुनर्लेखन चरण में दिए गए तत्व से प्राप्त तत्वों पर विचार किया जाता है। एक चरण में एक तत्व तक पहुंचने और एक मनमाना अनुक्रम द्वारा पहुंचे दूसरे तत्व पर विचार करके, हम अर्ध-संप्रवाह की मध्यवर्ती अवधारणा पर पहुंचते हैं: ए ∈ एस को अर्ध-संप्रवाह कहा जाता है यदि सभी बी के लिए, सी ∈ एस → के साथ बी और ए $∗ →$ c में b के साथ d ∈ S मौजूद है $∗ ∗ →$डी और सी $∗ →$ डी; यदि प्रत्येक a ∈ S अर्ध-संप्रवाह है, तो हम कहते हैं कि → अर्ध-संप्रवाह है।

एक अर्ध-संप्रवाह तत्व को मिला हुआ होने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन एक अर्ध-संप्रवाह पुनर्लेखन प्रणाली आवश्यक रूप से संप्रवाह है, और एक संप्रवाह प्रणाली तुच्छ रूप से अर्ध-संप्रवाह है।

प्रबल संप्रवाह
मजबूत संप्रवाह स्थानीय संप्रवाह पर एक और भिन्नता है जो हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है कि एक पुनर्लेखन प्रणाली विश्व स्तर पर संप्रवाह है। एक तत्व a ∈ S को दृढ़ता से मिला हुआ कहा जाता है यदि सभी b, c ∈ S के लिए a → b और a → c के साथ d ∈ S मौजूद हो $∗ →$ d और या तो c → d या c = d; यदि प्रत्येक a ∈ S दृढ़ता से मिला हुआ है, तो हम कहते हैं कि → दृढ़ता से मिला हुआ है।

एक संप्रवाह तत्व को दृढ़ता से मिला हुआ होने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन एक दृढ़ता से मिला हुआ पुनर्लेखन प्रणाली आवश्यक रूप से संप्रवाह है।

संप्रवाह प्रणालियों के उदाहरण

 * बहुपद मॉड्यूलो का न्यूनीकरण एक आदर्श (रिंग सिद्धांत) एक संप्रवाह पुनर्लेखन प्रणाली है, बशर्ते कोई ग्रोबनर आधार के साथ काम करे।
 * मात्सुमोतो का प्रमेय (समूह सिद्धांत)|मात्सुमोतो का प्रमेय ब्रैड संबंधों के संप्रवाह से आता है।
 * λ-शब्दों की β-कमी चर्च-रोसेर प्रमेय से मिलती है।

यह भी देखें

 * अभिसरण (तर्क)
 * क्रिटिकल जोड़ी (तर्क)
 * सामान्य रूप (सार पुनर्लेखन)

संदर्भ

 * Term Rewriting Systems, Terese, Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science, 2003.
 * Term Rewriting and All That, Franz Baader and Tobias Nipkow, Cambridge University Press, 1998