निष्पीडन प्रतिचित्रण

प्रतिरूप: निष्पीडन r=1.5.svg|thumb|right|आर = 3/2 निष्पीडन प्रतिचित्रण

रैखिक बीजगणित में,  'निष्पीडन प्रतिचित्रण' , जिसे  'निष्पीडन परिवर्तन' भी कहा जाता है, एक प्रकार का रैखिक प्रतिचित्र है जो कार्तीय तल में क्षेत्रों के यूक्लिडियन क्षेत्र को संरक्षित करता है, परन्तु घूर्णन (गणित) या अपरूपण प्रतिचित्रण नहीं है।

एक निश्चित धनात्मक वास्तविक संख्या $a$ के लिए, प्रतिचित्रण


 * $$(x, y) \mapsto (ax, y/a)$$

पैरामीटर $a$ के साथ निष्पीडन प्रतिचित्रण है। चूँकि


 * $$\{ (u,v) \, : \, u v = \mathrm{constant}\}$$

एक अतिपरवलय है, यदि $u = ax$ और $v = y/a$, तो $uv = xy$ और निष्पीडन प्रतिचित्रण के प्रतिरूप के बिंदु उसी अतिपरवलय पर हैं जैसे $(x,y)$ है। इस कारण से निष्पीडन प्रतिचित्रण को अतिपरवलयिक घूर्णन के रूप में सोचना स्वाभाविक है, जैसा कि 1914 में एमिल बोरेल ने वृत्तीय घूर्णन के अनुरूप किया था किया था, जो वृत्ताकार को संरक्षित करता है।

लघुगणक और अतिपरवलयिक कोण
निष्पीडन प्रतिचित्रण लघुगणक की अवधारणा के विकास के लिए चरण तैयार करता है। अतिपरवलय से घिरे क्षेत्र को खोजने की समस्या (जैसे $xy = 1)$ चतुर्भुज (गणित) में से है। 1647 में ग्रेगोइरे डी सेंट-विंसेंट और अल्फोंस एंटोनियो डी सारासा द्वारा पाए गए हल के लिए प्राकृतिक लघुगणक फलन, नवीन अवधारणा की आवश्यकता थी। लघुगणक में कुछ अंतर्दृष्टि अतिपरवलयिक क्षेत्रों के माध्यम से आती है जिन्हें उनके क्षेत्र को संरक्षित करते हुए निष्पीडन प्रतिचित्रण द्वारा क्रमबद्ध किया जाता है। अतिपरवलयिक क्षेत्र का क्षेत्रफल उस क्षेत्र से सम्बद्ध अतिपरवलयिक कोण के माप के रूप में लिया जाता है। अतिपरवलयिक क्षेत्र अवधारणा कोण से अत्यधिक स्वतंत्र है, परन्तु इसके साथ अपरिवर्तनीयता के गुण साझा करती है: जबकि वृत्तीय कोण घूर्णन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है, अतिपरवलयिक कोण निष्पीडन प्रतिचित्रण के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। वृत्ताकार और अतिपरवलयिक दोनों कोण अपरिवर्तनीय माप उत्पन्न करते हैं परन्तु विभिन्न परिवर्तन समूहों के संबंध में। अतिपरवलयिक फलन, जो अतिपरवलयिक कोण को तर्क के रूप में लेते हैं, वही भूमिका निभाते हैं जो वृत्ताकार फलन वृत्ताकार कोण तर्क के साथ निभाते हैं।

समूह सिद्धांत
1688 में, अमूर्त समूह सिद्धांत से बहुत पूर्व, निष्पीडन प्रतिचित्रण का वर्णन यूक्लिड स्पीडेल द्वारा दिन के संदर्भ में किया गया था: " एक वर्ग और सतह पर ओब्लांगों की एक अनंत कंपनी से, प्रत्येक उस वर्ग के बराबर, कैसे वक्र उत्पन्न होता है जो समकोण शंकु के भीतर अंकित किसी भी अतिपरवलय के समान गुण या स्नेह होंगे।" यदि $r$ और $s$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं, उनके निष्पीडन प्रतिचित्रण की फलन संरचना उनके गुणन के निष्पीडन प्रतिचित्रण है। इसलिए, निष्पीडन प्रतिचित्रण का संग्रह धनात्मक वास्तविक संख्याओं के गुणक समूह के लिए एक-पैरामीटर समूह समरूपी बनाता है। इस समूह का योगात्मक दृष्टिकोण अतिपरवलयिक क्षेत्रों और उनके अतिपरवलयिक कोणों पर विचार करने से उत्पन्न होता है।

उत्कृष्ट समूहों के दृष्टिकोण से, निष्पीडन प्रतिचित्रण का समूह $SO^{+}(1,1)$ है, जो द्विघात रूप $u^{2} − v^{2}$ को संरक्षित करते हुए 2×2 वास्तविक आव्यूह के अनिश्चित लांबिक समूह का तत्समक घटक है। यह आधार


 * $$x=u+v,\quad y=u-v\,,$$

के परिवर्तन के माध्यम से रूप $xy$ को संरक्षित करने के बराबर है, और अति परवलय को संरक्षित करने के लिए ज्यामितीय रूप से मेल खाता है। अतिपरवलयिक घूर्णन के रूप में निष्पीडन प्रतिचित्रण के समूह का परिप्रेक्ष्य समूह $SO(2)$ (निश्चित लांबिक समूह का सम्बद्ध घटक) की व्याख्या के अनुरूप है, जो द्विघात रूप $x^{2} + y^{2}$ को वृत्ताकार घूर्णन के रूप में संरक्षित करता है।

ध्यान दें कि $SO^{+}$ अंकन इस तथ्य से मेल खाता है कि प्रतिबिंब


 * $$u \mapsto -u,\quad v \mapsto -v$$

की अनुमति नहीं है, यद्यपि वे रूप को सुरक्षित रखते हैं ( $x$ और $y$ के संदर्भ में ये $x ↦ y, y ↦ x$ और $x ↦ −x, y ↦ −y$ है) ; अतिपरवलयिक स्थिति में अतिरिक्त "$+$" (वृत्तीय स्थिति की तुलना में) तत्समक घटक को निर्दिष्ट करने के लिए आवश्यक है क्योंकि समूह $O(1,1)$ में $4$ सम्बद्ध हुए घटक (टोपोलॉजी) हैं, जबकि समूह, $O(2)$ में $2$ घटक हैं: $SO(1,1)$ में $2$ घटक हैं, जबकि $SO(2)$ में मात्र 1 है। तथ्य यह है कि निष्पीडन संरक्षित क्षेत्र और अभिविन्यास को बदल देता है जो उपसमूहों $SO ⊂ SL$ को सम्मिलित करने से मेल खाता है - इस स्थिति में $SO(1,1) ⊂ SL(2)$ - क्षेत्र और अभिविन्यास (एक आयतन रूप) को संरक्षित करने वाले परिवर्तनों के विशेष रैखिक समूह में अतिपरवलयिक घूर्णनों के उपसमूह का है। मोबियस परिवर्तनों की भाषा में, निष्पीडन परिवर्तन अवयवों के SL2(R) वर्गीकरण में SL2(R) अतिपरवलयिक अवयव हैं।

एक ज्यामितीय परिवर्तन को अनुरूप कहा जाता है जब यह कोणों को संरक्षित करता है। अतिपरवलयिक कोण को y = 1/x के अंतर्गत क्षेत्र का उपयोग करके परिभाषित किया गया है। चूंकि निष्पीडन प्रतिचित्रण अतिपरवलयिक क्षेत्रों जैसे रूपांतरित क्षेत्रों के क्षेत्रों को संरक्षित करती है, इसलिए क्षेत्रों का कोण माप संरक्षित होता है। इस प्रकार अतिपरवलयिक कोण को संरक्षित करने के अर्थ में निष्पीडन प्रतिचित्रण अनुरूप हैं।

अनुप्रयोग
यहां कुछ अनुप्रयोगों को ऐतिहासिक संदर्भों के साथ संक्षेपित किया गया है।

सापेक्षिक दिक्काल
दिक्काल ज्यामिति पारंपरिक रूप से इस प्रकार विकसित की गई है: दिक्काल में यहां और अभी के लिए (0,0) का चयन करें। इस केंद्रीय घटना के माध्यम से बाएं और दाएं चमकते प्रकाश दिक्काल में दो रेखाओं का अनुमार्गण करती है, ऐसी रेखाएं जिनका उपयोग (0,0) से दूर की घटनाओं को निर्देशांक देने के लिए किया जा सकता है। कम वेग के प्रक्षेप पथ मूल समयरेखा (0,t) के निकट अनुमार्गण करते हैं। ऐसे किसी भी वेग को लोरेंत्ज़ बूस्ट नामक निष्पीडन प्रतिचित्रण के अंतर्गत शून्य वेग के रूप में देखा जा सकता है। यह अंतर्दृष्टि विभाजित-जटिल संख्या गुणन और विभाजित जटिल संख्या विकर्ण आधार के अध्ययन से प्राप्त होती है जो प्रकाश रेखाओं के युग्मों से मेल खाती है। औपचारिक रूप से, निष्पीडन xy के रूप में व्यक्त अतिपरवलयिक मापन को संरक्षित करता है; जो अलग समन्वय प्रणाली में है। सापेक्षता के सिद्धांत में इस अनुप्रयोग को 1912 में विल्सन और लुईस द्वारा नोट किया गया था, वर्नर ग्रीब द्वारा, और लुई कॉफ़मैन द्वारा। इसके अलावा, लोरेंट्ज़ परिवर्तन के निष्पीडन प्रतिचित्रण रूप का उपयोग गुस्ताव हर्ग्लोत्ज़ (1909/10) द्वारा किया गया था। बोर्न कठोरता पर चर्चा करते समय, और सापेक्षता पर अपनी पाठ्यपुस्तक में वोल्फगैंग रिंडलर द्वारा लोकप्रिय बनाया गया था, जिन्होंने इसका उपयोग अपनी विशिष्ट संपत्ति के प्रदर्शन में किया था। निष्पीडन परिवर्तन शब्द का उपयोग इस संदर्भ में प्रकाशिकी में लोरेंत्ज़ समूह को जोन्स कैलकुलस से जोड़ने वाले लेख में किया गया था।

कोने का प्रवाह
द्रव गतिकी में असंपीड्य प्रवाह की मूलभूत गतियों में से में अचल दीवार के ऊपर प्रवाहित होने वाले प्रवाह का द्विभाजन सिद्धांत सम्मिलित होता है। अक्ष y = 0 द्वारा दीवार का प्रतिनिधित्व करना और पैरामीटर r = exp (t) लेना जहां t समय है, फिर प्रारंभिक द्रव अवस्था पर लागू पैरामीटर r के साथ निष्पीडन प्रतिचित्रण अक्ष के बाएं और दाएं द्विभाजन के साथ प्रवाह उत्पन्न करता है x = 0. समय को पीछे की ओर चलाने पर यही गणितीय मॉडल 'द्रव अभिसरण' देता है। वास्तव में, किसी भी अतिपरवलयिक क्षेत्र का क्षेत्रफल निष्पीडित करने के अधीन अपरिवर्तनीय (गणित) होता है।

अतिपरवलयिक स्ट्रीमलाइन, स्ट्रीकलाइन और पाथलाइन के साथ प्रवाह के लिए और दृष्टिकोण के लिए, देखें.

1989 में ओटिनो रैखिक समद्विबाहु द्वि-आयामी प्रवाह का वर्णन इस प्रकार किया गया है
 * $$v_1 = G x_2 \quad v_2 = K G x_1$$

जहां K अंतराल [−1, 1] में स्थित है। धारारेखाएँ वक्रों का अनुसरण करती हैं
 * $$x_2^2 - K x_1^2 = \mathrm{constant}$$

इसलिए ऋणात्मक K दीर्घवृत्त से और धनात्मक K अतिपरवलय से मेल खाता है, निष्पीडन प्रतिचित्रण का आयताकार मामला K = 1 के अनुरूप है।

स्टॉकर और होसोई कोने के प्रवाह के प्रति उनके दृष्टिकोण का वर्णन इस प्रकार किया गया है:
 * हम अतिपरवलयिक निर्देशांक के उपयोग के आधार पर कोने जैसी ज्यामिति को ध्यान में रखते हुए वैकल्पिक सूत्रीकरण का सुझाव देते हैं, जो पठारी सीमा और संलग्न तरल धागों में प्रवाह के निर्धारण की दिशा में पर्याप्त विश्लेषणात्मक प्रगति की अनुमति देता है। हम प्रवाह के क्षेत्र पर विचार करते हैं जो π/2 का कोण बनाता है और बाईं ओर और नीचे समरूपता विमानों द्वारा सीमांकित किया गया है।

स्टॉकर और होसोई फिर मोफ़ैट को याद करते हैं कठोर सीमाओं के बीच कोने में प्रवाह पर विचार, जो बड़ी दूरी पर मनमाने ढंग से अशांति से प्रेरित है। स्टॉकर और होसोई के अनुसार,
 * एक वर्गाकार कोने में मुक्त तरल पदार्थ के लिए, मोफ़ैट का (एंटीसिमेट्रिक) स्ट्रीम फलन ... [संकेत देता है] कि अतिपरवलयिक निर्देशांक वास्तव में इन प्रवाहों का वर्णन करने के लिए प्राकृतिक विकल्प हैं।

पारलौकिकता का पुल
निष्पीडन प्रतिचित्रण की क्षेत्र-संरक्षण संपत्ति का उपयोग पारलौकिक फलनों के प्राकृतिक लघुगणक और इसके व्युत्क्रम घातीय फलन की नींव स्थापित करने में किया जाता है:

परिभाषा: सेक्टर(ए,बी) केंद्रीय किरणों से (ए, 1/ए) और (बी, 1/बी') प्राप्त अतिपरवलयिक सेक्टर है ').

लेम्मा: यदि बीसी = विज्ञापन, तो निष्पीडन प्रतिचित्रण है जो सेक्टर(ए,बी) को सेक्टर(सी,डी) में ले जाती है।

प्रमाण: पैरामीटर r = c/a लें ताकि (u,v) = (rx, y/r' ') (ए, 1/ए) से (सी, 1/सी) और (बी, 1/बी) लेता है से (डी, 1/डी'').

प्रमेय (सेंट विंसेंट के ग्रेगरी 1647) यदि bc = ad, तो अनंतस्पर्शी के विरुद्ध अतिपरवलय xy = 1 के चतुर्भुज में a और के बीच समान क्षेत्र हैं बी की तुलना सी और डी के बीच से की जाती है।

प्रमाण: क्षेत्रफल के त्रिभुजों को जोड़ने और घटाने का तर्क $1/2$, त्रिभुज {(0,0), (0,1), (1,1)} होने से पता चलता है कि अतिपरवलयिक सेक्टर क्षेत्र अनंतस्पर्शी क्षेत्र के बराबर है। इसके बाद प्रमेय लेम्मा से अनुसरण करता है।

प्रमेय (अल्फोंस एंटोनियो डी सारासा 1649) जैसे-जैसे अनंतस्पर्शी के विरुद्ध मापा गया क्षेत्र अंकगणितीय प्रगति में बढ़ता है, अनंतस्पर्शी पर अनुमान ज्यामितीय अनुक्रम में बढ़ते हैं। इस प्रकार क्षेत्र अनंतस्पर्शी सूचकांक के लघुगणक बनाते हैं।

उदाहरण के लिए, मानक स्थिति कोण के लिए जो (1, 1) से (x, 1/x) तक चलता है, कोई पूछ सकता है कि अतिपरवलयिक कोण के बराबर कब होता है? उत्तर पारलौकिक संख्या x = e (गणितीय स्थिरांक) है।

आर = ई के साथ निष्पीडन इकाई कोण को (ई, 1/ई) और (ई, 1/ई) के बीच ले जाता है जो घटता है क्षेत्र का सेक्टर भी एक. ज्यामितीय प्रगति
 * ई, ई2, और3, ..., औरn, ...

प्रत्येक क्षेत्र के योग के साथ प्राप्त स्पर्शोन्मुख सूचकांक से मेल खाता है
 * 1,2,3, ..., एन,...

जो आद्य-प्ररूपी अंकगणितीय प्रगति A + nd है जहां A = 0 और d = 1 है।

झूठ परिवर्तन
निरंतर वक्रता वाली सतहों पर पियरे ओसियन बोनट (1867) की जांच के बाद, सोफस झूठ (1879) ने ज्ञात सतह से नवीन छद्मवृत्तीय सतह प्राप्त करने का तरीका खोजा। ऐसी सतहें साइन-गॉर्डन समीकरण को संतुष्ट करती हैं:


 * $$\frac{d^{2}\Theta}{ds\ d\sigma}=K\sin\Theta ,$$

कहाँ $$(s,\sigma)$$ दो प्रमुख स्पर्शरेखा वक्रों के स्पर्शोन्मुख निर्देशांक हैं और $$\Theta$$ उनके संबंधित कोण. झूठ ने दिखाया कि यदि $$\Theta=f(s,\sigma)$$ साइन-गॉर्डन समीकरण का हल है, फिर निम्नलिखित निष्पीडन प्रतिचित्रण (जिसे अब लाई ट्रांसरूप के रूप में जाना जाता है उस समीकरण के अन्य हल इंगित करता है:
 * $$\Theta=f\left(ms,\ \frac{\sigma}{m}\right) .$$

ली (1883) ने छद्मवृत्तीय सतहों के दो अन्य परिवर्तनों के साथ इसका संबंध देखा: बैक्लुंड ट्रांसरूप (1883 में अल्बर्ट विक्टर बैक्लुंड द्वारा प्रस्तुत) को बियांची ट्रांसरूप (1879 में लुइगी बियानची द्वारा प्रस्तुत) के साथ लाई ट्रांसरूप के संयोजन के रूप में देखा जा सकता है। छद्मवृत्तीय सतहों के ऐसे परिवर्तनों पर अंतर ज्यामिति पर व्याख्यान में विस्तार से चर्चा की गई थी। गैस्टन डार्बौक्स द्वारा (1894), लुइगी बियानची (1894), या लूथर फाहलर आइजनहार्ट (1909)। यह ज्ञात है कि लाई ट्रांसरूप (या निष्पीडन प्रतिचित्रण) प्रकाश-शंकु निर्देशांक के संदर्भ में लोरेंत्ज़ बूस्ट के अनुरूप है, जैसा कि टर्नग और उहलेनबेक (2000) द्वारा बताया गया है:
 * सोफस ली ने देखा कि लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के अंतर्गत एसजीई [साइनस-गॉर्डन समीकरण] अपरिवर्तनीय है। स्पर्शोन्मुख निर्देशांक में, जो प्रकाश शंकु निर्देशांक के अनुरूप है, लोरेंत्ज़ परिवर्तन है $$(x,t)\mapsto\left(\tfrac{1}{\lambda}x,\lambda t\right)$$.

इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:


 * $$\begin{matrix}-c^{2}t^{2}+x^{2}=-c^{2}t^{\prime2}+x^{\prime2}\\

\hline \begin{align}ct' & =ct\gamma-x\beta\gamma & & =ct\cosh\eta-x\sinh\eta\\ x' & =-ct\beta\gamma+x\gamma & & =-ct\sinh\eta+x\cosh\eta \end{align} \\ \hline u=ct+x,\ v=ct-x,\ k=\sqrt{\tfrac{1+\beta}{1-\beta}}=e^{\eta}\\ u'=\frac{u}{k},\ v'=kv\\ \hline u'v'=uv \end{matrix}$$ जहां k बॉन्डी k-कैलकुलस में डॉपलर कारक से मेल खाता है|Bondi k-कैलकुलस, η तीव्रता है।

यह भी देखें

 * अनिश्चित लांबिक समूह
 * आइसोकोरिक प्रक्रिया

संदर्भ

 * HSM Coxeter & SL Greitzer (1967) Geometry Revisited, Chapter 4 Transformations, A genealogy of transformation.
 * P. S. Modenov and A. S. Parkhomenko (1965) Geometric Transformations, volume one. See pages 104 to 106.
 * (see page 9 of e-link)