अभाज्य-गणना फलन

गणित में, अभाज्य-गणना फलन वह फलन (गणित) है जो किसी वास्तविक संख्या x से कम या उसके बराबर अभाज्य संख्याओं की संख्या की गणना करता है। द्वारा दर्शाया जाता है $\pi$(x) (pi|number से असंबंधित π).



विकास दर
संख्या सिद्धांत में बहुत रुचि प्रधान-गणना समारोह का स्पर्शोन्मुख विश्लेषण है। 18वीं शताब्दी के अंत में कार्ल फ्रेडरिक गॉस और एड्रियन मैरी लीजेंड्रे द्वारा अनुमान लगाया गया था कि यह लगभग होना चाहिए। $$ \frac x {\log(x)} $$ जहाँ log प्राकृतिक लघुगणक है, इस अर्थ में कि $$\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{\pi(x)}{x/\log(x)}=1. $$ यह कथन प्रधान संख्या प्रमेय है। समतुल्य कथन है

$$\lim_{x\rightarrow\infty}\pi(x) / \operatorname{li}(x)=1$$ जहां ली लघुगणकीय समाकल फलन है। अभाज्य संख्या प्रमेय को पहली बार 1896 में जैक्स हैडमार्ड और चार्ल्स जीन डे ला वल्ली-पौसिन द्वारा सिद्ध किया गया था। चार्ल्स डी ला वल्ली पुसिन स्वतंत्र रूप से, 1859 में बर्नहार्ड रीमैन द्वारा पेश किए गए रीमैन जीटा फ़ंक्शन के गुणों का उपयोग करते हुए। अभाज्य संख्या प्रमेय के प्रमाण नहीं ज़ेटा फ़ंक्शन या जटिल विश्लेषण का उपयोग 1948 के आसपास एटले सेलबर्ग और पॉल एर्डोस (अधिकांश भाग के लिए स्वतंत्र रूप से) द्वारा पाया गया था।

अधिक सटीक अनुमान
1899 में, चार्ल्स जीन डे ला वल्ली पुसिन | डे ला वल्ली पौसिन ने साबित किया कि $$\pi(x) = \operatorname{li} (x) + O \left(x e^{-a\sqrt{\log x}}\right) \quad\text{as } x \to \infty$$ कुछ सकारात्मक स्थिरांक के लिए $a$. यहाँ, $O(...)$ बिग ओ नोटेशन है|बड़ा $O$ अंकन।

का अधिक सटीक अनुमान $$\pi(x)\!$$ अब जाने जाते हैं। उदाहरण के लिए, 2002 में, केविन फोर्ड (गणितज्ञ) ने यह साबित कर दिया $$\pi(x) = \operatorname{li} (x) + O \left(x \exp \left( -0.2098(\log x)^\frac35 (\log \log x)^{-\frac 1 5} \right) \right).$$ Mossinghoff और Trudgian साबित हुए के बीच के अंतर के लिए स्पष्ट ऊपरी सीमा $$\pi(x)$$ और $$\operatorname{li}(x)$$: $$\big| \pi(x) - \operatorname{li}(x) \big| \le 0.2593 \frac{x}{(\log x)^{3/4}} \exp \left( -\sqrt{ \frac{\log x}{6.315} } \right)$$ के लिए $$x \ge 229$$.

के मूल्यों के लिए $$x$$ जो अनुचित रूप से बड़े नहीं हैं, $$\operatorname{li}(x)$$ से बड़ा है $$\pi(x)$$. हालाँकि, $$ \pi(x) - \operatorname{li}(x)$$ अनगिनत बार राशि बदलने के लिए जाना जाता है। इसकी चर्चा के लिए Skewes' number देखें।

सटीक रूप
के लिए $$x>1$$ होने देना $$\pi_0 (x)=\pi(x)-1/2$$ कब $$x$$ प्रमुख संख्या है, और $$\pi_0 (x)=\pi(x)$$ अन्यथा। बर्नहार्ड रीमैन ने अपने काम किसी दिए गए परिमाण से कम प्राइम्स की संख्या पर में यह साबित किया $$\pi_0(x)$$ के बराबर है $$\pi_0(x) = \operatorname{R}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{R}(x^\rho),$$ कहाँ $$\operatorname{R}(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n} \operatorname{li}(x^{1/n}),$$ $μ(n)$ मोबियस समारोह है, $li(x)$ लघुगणक समाकल फलन है, ρ रीमैन ज़ेटा फलन के प्रत्येक शून्य को अनुक्रमित करता है, और $li(x^{ρ/n})$ शाखा कटौती के साथ मूल्यांकन नहीं किया जाता है बल्कि इसके बजाय माना जाता है $Ei(ρ⁄n log x)$ कहाँ $Ei(x)$ घातीय अभिन्न है। यदि तुच्छ शून्य एकत्र किए जाते हैं और योग केवल गैर-तुच्छ शून्यों ρ रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के ऊपर लिया जाता है, तो $$\pi_0(x)$$ द्वारा अनुमानित किया जा सकता है $$\pi_0(x) \approx \operatorname{R}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{R}(x^\rho) - \frac{1}{\log{x}} + \frac{1}{\pi} \arctan{\frac{\pi}{\log{x}}} .$$ रीमैन परिकल्पना बताती है कि ऐसा हर गैर-तुच्छ शून्य साथ में होता है $Re(s) = 1⁄2$.

की तालिका π(एक्स), एक्स / लॉग एक्स, और ली (एक्स)
तालिका दिखाती है कि तीनों कैसे कार्य करते हैं π(एक्स), एक्स / लॉग एक्स और ली (एक्स) 10 की शक्तियों की तुलना करें। यह भी देखें, और
 * {| class="wikitable" style="text-align: right"

! x ! π(x) ! π(x) − x / log x ! li(x) − π(x) ! x / π(x) !x / log x % Error पूर्णांक अनुक्रमों के ऑन-लाइन विश्वकोश में, π(x) स्तंभ अनुक्रम है, π(x) − x/log x अनुक्रम है , और li(x) − π(x) अनुक्रम है.
 * 10
 * 4
 * 0
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 * -8.57%
 * 102
 * 25
 * 3
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 * 4.000
 * 13.14%
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 * 168
 * 23
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 * 104
 * 1,229
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 * 9.45%
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 * 664,579
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 * 339
 * 15.047
 * 6.64%
 * 108
 * 5,761,455
 * 332,774
 * 754
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 * 5.78%
 * 109
 * 50,847,534
 * 2,592,592
 * 1,701
 * 19.667
 * 5.10%
 * 1010
 * 455,052,511
 * 20,758,029
 * 3,104
 * 21.975
 * 4.56%
 * 1011
 * 4,118,054,813
 * 169,923,159
 * 11,588
 * 24.283
 * 4.13%
 * 1012
 * 37,607,912,018
 * 1,416,705,193
 * 38,263
 * 26.590
 * 3.77%
 * 1013
 * 346,065,536,839
 * 11,992,858,452
 * 108,971
 * 28.896
 * 3.47%
 * 1014
 * 3,204,941,750,802
 * 102,838,308,636
 * 314,890
 * 31.202
 * 3.21%
 * 1015
 * 29,844,570,422,669
 * 891,604,962,452
 * 1,052,619
 * 33.507
 * 2.99%
 * 1016
 * 279,238,341,033,925
 * 7,804,289,844,393
 * 3,214,632
 * 35.812
 * 2.79%
 * 1017
 * 2,623,557,157,654,233
 * 68,883,734,693,928
 * 7,956,589
 * 38.116
 * 2.63%
 * 1018
 * 24,739,954,287,740,860
 * 612,483,070,893,536
 * 21,949,555
 * 40.420
 * 2.48%
 * 1019
 * 234,057,667,276,344,607
 * 5,481,624,169,369,961
 * 99,877,775
 * 42.725
 * 2.34%
 * 1020
 * 2,220,819,602,560,918,840
 * 49,347,193,044,659,702
 * 222,744,644
 * 45.028
 * 2.22%
 * 1021
 * 21,127,269,486,018,731,928
 * 446,579,871,578,168,707
 * 597,394,254
 * 47.332
 * 2.11%
 * 1022
 * 201,467,286,689,315,906,290
 * 4,060,704,006,019,620,994
 * 1,932,355,208
 * 49.636
 * 2.02%
 * 1023
 * 1,925,320,391,606,803,968,923
 * 37,083,513,766,578,631,309
 * 7,250,186,216
 * 51.939
 * 1.93%
 * 1024
 * 18,435,599,767,349,200,867,866
 * 339,996,354,713,708,049,069
 * 17,146,907,278
 * 54.243
 * 1.84%
 * 1025
 * 176,846,309,399,143,769,411,680
 * 3,128,516,637,843,038,351,228
 * 55,160,980,939
 * 56.546
 * 1.77%
 * 1026
 * 1,699,246,750,872,437,141,327,603
 * 28,883,358,936,853,188,823,261
 * 155,891,678,121
 * 58.850
 * 1.70%
 * 1027
 * 16,352,460,426,841,680,446,427,399
 * 267,479,615,610,131,274,163,365
 * 508,666,658,006
 * 61.153
 * 1.64%
 * 1028
 * 157,589,269,275,973,410,412,739,598
 * 2,484,097,167,669,186,251,622,127
 * 1,427,745,660,374
 * 63.456
 * 1.58%
 * 1029
 * 1,520,698,109,714,272,166,094,258,063
 * 23,130,930,737,541,725,917,951,446
 * 4,551,193,622,464
 * 65.759
 * 1.52%
 * }
 * 1026
 * 1,699,246,750,872,437,141,327,603
 * 28,883,358,936,853,188,823,261
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 * 1.70%
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 * 16,352,460,426,841,680,446,427,399
 * 267,479,615,610,131,274,163,365
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 * 157,589,269,275,973,410,412,739,598
 * 2,484,097,167,669,186,251,622,127
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 * 1,520,698,109,714,272,166,094,258,063
 * 23,130,930,737,541,725,917,951,446
 * 4,551,193,622,464
 * 65.759
 * 1.52%
 * }
 * 4,551,193,622,464
 * 65.759
 * 1.52%
 * }

के लिए मूल्य π(1024) मूल रूप से जे. बुएथे, जेन्स फ्रांके|जे द्वारा गणना की गई थी। फ्रांके, ए. जोस्ट, और टी. क्लेनजंग रीमैन परिकल्पना को मानते हुए।

इसे बाद में डीजे प्लैट द्वारा गणना में बिना शर्त सत्यापित किया गया था।

के लिए मूल्य π(1025) जे. बुएथे, जेन्स फ्रांके|जे. फ्रांके, ए. जोस्ट, और टी. क्लेनजंग। के लिए मूल्य π(1026) की गणना डी. बी. स्टेपल द्वारा की गई थी। इस तालिका में अन्य सभी पूर्व प्रविष्टियों को भी उस कार्य के भाग के रूप में सत्यापित किया गया था।

10 का मान27 की घोषणा 2015 में डेविड बॉघ और किम वालिस्क ने की थी।

10 का मान28 की घोषणा 2020 में डेविड बॉ और किम वालिस्क ने की थी।

10 का मान29 की घोषणा 2022 में डेविड बॉ और किम वालिश ने की थी।

मूल्यांकन के लिए एल्गोरिदम π(एक्स)
खोजने का सरल तरीका $$\pi(x)$$, अगर $$x$$ बहुत बड़ा नहीं है, एराटोस्थनीज की छलनी का उपयोग करने के लिए कम या उसके बराबर अभाज्य संख्या का उत्पादन करने के लिए है $$x$$ और फिर उन्हें गिनने के लिए।

खोजने का और विस्तृत तरीका $$\pi(x)$$ एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे (शामिल-बहिष्करण सिद्धांत का उपयोग करके) के कारण है: दिया गया $$x$$, अगर $$p_1,p_2,\ldots,p_n$$ अलग-अलग अभाज्य संख्याएँ हैं, तो पूर्णांकों की संख्या इससे कम या इसके बराबर है $$x$$ जो संख्या से विभाज्य हैं $$p_i$$ है


 * $$\lfloor x\rfloor - \sum_{i}\left\lfloor\frac{x}{p_i}\right\rfloor + \sum_{i<j} \left\lfloor\frac{x}{p_ip_j}\right\rfloor - \sum_{i<j<k}\left\lfloor\frac{x}{p_ip_jp_k}\right\rfloor + \cdots$$

(कहाँ $$\lfloor{x}\rfloor$$ फर्श समारोह को दर्शाता है)। यह संख्या इसलिए के बराबर है


 * $$\pi(x)-\pi\left(\sqrt{x}\right)+1$$

जब संख्याएँ $$p_1, p_2,\ldots,p_n$$ के वर्गमूल से कम या उसके बराबर अभाज्य संख्याएँ हैं $$x$$.

मीसेल-लेहमर एल्गोरिथम
1870 और 1885 के बीच प्रकाशित लेखों की श्रृंखला में, अर्न्स्ट मीसेल ने मूल्यांकन का  व्यावहारिक दहनशील तरीका वर्णित (और उपयोग किया) $$\pi(x)$$. होने देना $$p_1, p_2, \ldots, p_n$$ पहले रहो $$n$$ primes और द्वारा निरूपित करें $$\Phi(m,n)$$ से अधिक नहीं प्राकृतिक संख्या की संख्या $$m$$ जो संख्या से विभाज्य हैं $$p_i$$ कहाँ $$i\leq n$$. तब


 * $$\Phi(m,n)=\Phi(m,n-1)-\Phi\left(\frac m {p_n},n-1\right).$$

प्राकृतिक संख्या दी गई है $$m$$, अगर $$n=\pi\left(\sqrt[3]{m}\right)$$ और अगर $$\mu = \pi\left(\sqrt{m}\right)-n$$, तब


 * $$\pi(m)=\Phi(m,n)+n(\mu+1)+\frac{\mu^2-\mu} 2 - 1 - \sum_{k=1}^\mu\pi\left(\frac m {p_{n+k}}\right).$$

इस दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए, मेसेल ने गणना की $$\pi(x)$$, के लिए $$x$$ 5 के बराबर, 106, 107, और 108.

1959 में, डेरिक हेनरी लेहमर ने मीसेल की विधि का विस्तार और सरलीकरण किया। वास्तविक के लिए परिभाषित करें $$m$$ और प्राकृतिक संख्या के लिए $$n$$ और $$k$$, $$P_k(m,n)$$ क्योंकि संख्याओं की संख्या m से अधिक नहीं है, ठीक k अभाज्य कारकों के साथ, सभी से अधिक $$p_n$$. इसके अलावा, सेट करें $$P_0(m,n)=1$$. तब


 * $$\Phi(m,n) = \sum_{k=0}^{+\infty} P_k(m,n)$$

जहां योग वास्तव में केवल बहुत से अशून्य शब्द हैं। होने देना $$y$$ पूर्णांक को निरूपित करें जैसे कि $$\sqrt[3]{m}\le y\le\sqrt{m}$$, और सेट करें $$n=\pi(y)$$. तब $$P_1(m,n)=\pi(m)-n$$ और $$P_k(m,n)=0$$ कब $$k \geq 3$$. इसलिए,


 * $$\pi(m)=\Phi(m,n)+n-1-P_2(m,n)$$

की गणना $$P_2(m,n)$$ इस प्रकार प्राप्त किया जा सकता है:


 * $$P_2(m,n) = \sum_{y < p\le\sqrt{m}}\left(\pi\left(\frac m p \right)-\pi(p)+1\right),$$

जहां योग अभाज्य संख्याओं से अधिक है।

दूसरी ओर, की गणना $$\Phi(m,n)$$ निम्नलिखित नियमों का उपयोग करके किया जा सकता है:

अपनी पद्धति और IBM 701 का उपयोग करते हुए, लेहमर के सही मान की गणना करने में सक्षम था $$\pi\left(10^{9}\right)$$ और का सही मान चूक गए $$\pi\left(10^{10}\right)$$ द्वारा 1.
 * 1) $$\Phi(m,0)=\lfloor m\rfloor$$
 * 2) $$\Phi(m,b) = \Phi(m,b-1) - \Phi\left(\frac m{p_b},b-1\right)$$

इस पद्धति में और सुधार लैगरियास, मिलर, ओडलीज़को, डेलिग्लिस और रिवाट द्वारा किए गए थे।

अन्य प्राइम-गिनती कार्य
अन्य प्राइम-गिनती कार्यों का भी उपयोग किया जाता है क्योंकि वे काम करने के लिए अधिक सुविधाजनक होते हैं। एक रीमैन का प्राइम-पॉवर काउंटिंग फंक्शन है, जिसे आमतौर पर इस रूप में दर्शाया जाता है $$\Pi_0(x)$$ या $$J_0(x)$$. इसमें प्राइम पावर पी के लिए 1/एन की छलांग हैn, जिसमें यह असंततता पर दोनों पक्षों के बीच आधे रास्ते पर मान लेता है। उस अतिरिक्त विवरण का उपयोग किया जाता है क्योंकि तब फ़ंक्शन को व्युत्क्रम मेलिन रूपांतरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। औपचारिक रूप से, हम परिभाषित कर सकते हैं $$\Pi_0(x)$$ द्वारा


 * $$\Pi_0(x) = \frac 1 2 \left( \sum_{p^n < x} \frac 1 n \ + \sum_{p^n \le x} \frac 1 n \right)$$

जहां पी एक प्रमुख है।

हम भी लिख सकते हैं


 * $$\Pi_0(x) = \sum_{n=2}^x \frac{\Lambda(n)}{\log n} - \frac{\Lambda(x)}{2\log x} = \sum_{n=1}^\infty \frac 1 n \pi_0\bigl(x^{1/n}\bigr)$$

कहाँ $$\Lambda(n)$$ मैंगोल्ड्ट फ़ंक्शन द्वारा है और


 * : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :$$\pi_0(x) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\pi(x-\varepsilon) + \pi(x+\varepsilon)} 2.$$

मोबियस उलटा सूत्र तब देता है


 * $$\pi_0(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}n \Pi_0\bigl(x^{1/n}\bigr)$$

रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के लघुगणक और वॉन मैंगोल्ड फ़ंक्शन के बीच संबंध को जानना $$\Lambda$$, और हमारे पास पेरोन सूत्र का उपयोग करना


 * $$\log \zeta(s) = s \int_0^\infty \Pi_0(x) x^{-s-1} \,dx$$

चेबीशेव समारोह प्राइम्स या प्राइम पॉवर्स पी को वेट करता हैn by log(p):


 * $$\theta(x) = \sum_{p\le x} \log p $$
 * $$\psi(x) = \sum_{p^n \le x} \log p

= \sum_{n=1}^\infty \theta\bigl(x^{1/n}\bigr) = \sum_{n \le x}\Lambda(n).$$

चेबिशेव समारोह के साथ संबंध
के लिए $$x\geq 2$$,

$$\vartheta(x)=\pi(x)\log x-\int_2^x\frac{\pi(t)}{t}dt$$ और

$$\pi(x)=\frac{\vartheta(x)}{\log x}+\int_2^x \frac{\vartheta(x)}{t\log^{2}(t)}dt$$.

प्राइम-गिनती कार्यों के लिए सूत्र
प्राइम-गिनती कार्यों के सूत्र दो प्रकार में आते हैं: अंकगणितीय सूत्र और विश्लेषणात्मक सूत्र। अभाज्य संख्या प्रमेय को सिद्ध करने के लिए सबसे पहले अभाज्य-गणना के लिए विश्लेषणात्मक सूत्र का उपयोग किया गया था। वे रीमैन और हंस कार्ल फ्रेडरिक वॉन मैंगोल्ड्ट के काम से उपजे हैं, और आम तौर पर स्पष्ट सूत्र (एल-फ़ंक्शन) के रूप में जाने जाते हैं।

हमारे पास ψ के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति है:


 * $$\psi_0(x) = x - \sum_\rho \frac{x^\rho}{\rho} - \log 2\pi - \frac{1}{2} \log\left(1-x^{-2}\right),$$

कहाँ


 * $$\psi_0(x) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\psi(x - \varepsilon) + \psi(x + \varepsilon)}{2}.$$

यहाँ ρ क्रिटिकल स्ट्रिप में Riemann zeta फ़ंक्शन के शून्य हैं, जहाँ ρ का वास्तविक भाग शून्य और के बीच है। सूत्र  से अधिक x के मानों के लिए मान्य है, जो रुचि का क्षेत्र है। जड़ों पर योग सशर्त अभिसरण है, और काल्पनिक भाग के पूर्ण मूल्य में वृद्धि के क्रम में लिया जाना चाहिए। ध्यान दें कि तुच्छ जड़ों पर समान योग सूत्र में अंतिम वापस लेना देता है।

के लिए $$\Pi_0(x)$$ हमारे पास अधिक जटिल सूत्र है


 * $$\Pi_0(x) = \operatorname{li}(x) - \sum_{\rho} \operatorname{li}(x^\rho) - \log 2 + \int_x^\infty \frac{dt}{t \left(t^2 - 1\right) \log t}.$$

फिर से, सूत्र x > 1 के लिए मान्य है, जबकि ρ उनके निरपेक्ष मान के अनुसार क्रमित जीटा फ़ंक्शन के गैर-तुच्छ शून्य हैं। अभिन्न तुच्छ शून्य पर श्रृंखला के बराबर है:


 * $$\int_x^\infty \frac{\mathrm dt}{t \left(t^2 - 1\right) \log t}=\int_x^\infty \frac{1}{t\log t}

\left(\sum_{m}t^{-2m}\right)\,\mathrm dt=\sum_{m}\int_x^\infty \frac{t^{-2m}}{t\log t} \,\mathrm dt \,\,\overset{(u=t^{-2m})}{=}-\sum_{m} \operatorname{li}(x^{-2m}) $$ पहला शब्द ली (एक्स) सामान्य लॉगरिदमिक इंटीग्रल फ़ंक्शन है; अभिव्यक्ति ली (एक्सρ) को दूसरे टर्म में Ei(ρ log x) के रूप में माना जाना चाहिए, जहां Ei पॉजिटिव रियल के साथ ब्रांच कट के साथ नेगेटिव रियल से कॉम्प्लेक्स प्लेन तक एक्सपोनेंशियल इंटीग्रल फंक्शन का विश्लेषणात्मक निरंतरता है।

इस प्रकार, मोबियस उलटा सूत्र हमें देता है


 * $$\pi_0(x) = \operatorname{R}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{R}(x^\rho) - \sum_{m} \operatorname{R}(x^{-2m})$$

x> 1 के लिए मान्य है, जहाँ


 * $$\operatorname{R}(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n} \operatorname{li}(x^{1/n}) = 1 + \sum_{k=1}^\infty \frac{(\log x)^k}{k! k \zeta(k+1)}$$

रीमैन का आर-फंक्शन है वह
 * $$\operatorname{R}(e^{-2\pi t})=\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}t^{-2k-1}}{(2k+1)\zeta(2k+1)}+\frac12\sum_{\rho}\frac{t^{-\rho}}{\rho\cos(\pi\rho/2)\zeta'(\rho)}$$

कहाँ $$\rho$$ रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के गैर-तुच्छ शून्यों पर चलता है और $$t>0$$.

के लिए सूत्र में गैर-तुच्छ जीटा शून्य पर योग $$\pi_0(x)$$ के उतार-चढ़ाव का वर्णन करता है $$\pi_0(x),$$ जबकि शेष शर्तें प्राइम-काउंटिंग फ़ंक्शन का सहज भाग देती हैं, तो कोई उपयोग कर सकता है


 * $$\operatorname{R}(x) - \sum_{m=1}^\infty \operatorname{R}(x^{-2m})$$

अच्छे अनुमानक के रूप में $$\pi(x)$$ x > 1 के लिए। वास्तव में, चूंकि दूसरा पद 0 की ओर अग्रसर होता है $$x\to\infty$$, जबकि शोर वाले हिस्से का आयाम अनुमान के अनुसार है $$\sqrt{x}/\log x,$$ आकलन $$\pi(x)$$ द्वारा $$\operatorname{R}(x)$$ अकेला ही उतना ही अच्छा है, और प्राइम्स के वितरण के उतार-चढ़ाव को फ़ंक्शन के साथ स्पष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है


 * $$\bigl( \pi_0(x) - \operatorname{R}(x)\bigr) \frac{\log x}{\sqrt x}.$$

असमानताएं
यहाँ कुछ उपयोगी असमानताएँ हैं π(एक्स)।


 * $$ \frac x {\log x} < \pi(x) < 1.25506 \frac x {\log x} $$

एक्स ≥ 17 के लिए।

बाईं असमानता x ≥ 17 के लिए मान्य है और दाईं असमानता x > 1 के लिए मान्य है। स्थिरांक 1.25506 है $\frac{30 \log 113}{113}$ 5 दशमलव स्थानों तक, जैसे $\frac{\pi(x) \log x}{x}$  x = 113 पर इसका अधिकतम मान है।

2010 में पियरे डसार्ड ने साबित किया:


 * $$ \frac {x} {\log x - 1} < \pi(x)$$ के लिए $$x \ge 5393$$, और


 * $$ \pi(x) < \frac {x} {\log x - 1.1}$$ के लिए $$x \ge 60184$$.

यहाँ nवें अभाज्य, p के लिए कुछ असमानताएँ हैंn. ऊपरी सीमा रोसेर (1941) के कारण है, द लोअर टू डसार्ट (1999):

$$ n (\log (n \log n) - 1) < p_n < n {\log (n \log n)} $$ एन ≥ 6 के लिए।

n ≥ 2 के लिए बाएँ असमिका लागू होती है और n ≥ 6 के लिए दाएँ असमिका लागू होती है।

nवें अभाज्य संख्या के लिए सन्निकटन है
 * $$ p_n = n (\log (n \log n) - 1) + \frac {n (\log \log n - 2)} {\log n} +

O\left( \frac {n (\log \log n)^2} {(\log n)^2}\right). $$ श्रीनिवास रामानुजन असमानता को सिद्ध किया
 * $$\pi(x)^2 < \frac{ex}{\log x} \pi\left( \frac{x}{e} \right)$$

के सभी पर्याप्त बड़े मूल्यों के लिए धारण करता है $$x$$.

में दुसार्ट ने साबित किया (प्रस्ताव 6.6) कि, के लिए $$n \ge 688383$$,
 * $$p_n \le n \left( \log n + \log \log n - 1 + \frac{\log \log n - 2}{\log n} \right),$$ और (प्रस्ताव 6.7) कि, के लिए $$n \ge 3$$,
 * $$p_n \ge n \left( \log n + \log \log n - 1 + \frac{\log \log n - 2.1}{\log n} \right) .$$

अभी हाल ही में, दुसार्ट

सिद्ध किया है (प्रमेय 5.1) कि, के लिए $$x > 1$$,
 * $$\pi(x) \le \frac{x}{\log x} \left( 1 + \frac{1}{\log x} + \frac{2}{\log^2 x} + \frac{7.59}{\log^3 x} \right)$$ ,

और वह, के लिए $$x \ge 88789$$,
 * $$ \pi(x) > \frac{x}{\log x} \left( 1 + \frac{1}{\log x} + \frac{2}{\log^2 x} \right) .$$

रीमैन परिकल्पना
रीमैन परिकल्पना का तात्पर्य अनुमान में त्रुटि पर बहुत सख्त बाध्यता से है $$\pi(x)$$, और इसलिए अभाज्य संख्याओं के अधिक नियमित वितरण के लिए,


 * $$\pi(x) = \operatorname{li}(x) + O(\sqrt{x} \log{x}).$$

विशेष रूप से,
 * $$|\pi(x) - \operatorname{li}(x)| < \frac{\sqrt{x}}{8\pi} \, \log{x}, \qquad \text{for all } x \ge 2657. $$

यह भी देखें

 * फोआस स्थिर
 * बर्ट्रेंड का अभिधारणा
 * ओपरमैन का अनुमान
 * रामानुजन प्राइम

बाहरी संबंध

 * Chris Caldwell, The Nth Prime Page at The Prime Pages.
 * Tomás Oliveira e Silva, Tables of prime-counting functions.