स्थानीय रैखिक आरेख

ग्राफ़ सिद्धांत में, एक स्थानीय रेखीय ग्राफ़ एक अप्रत्यक्ष ग्राफ़ होता है जिसमें प्रत्येक किनारे ठीक एक त्रिकोण से संबंधित होता है। समतुल्य रूप से, ग्राफ के प्रत्येक शीर्ष के लिए, इसके पड़ोस ([[ग्राफ सिद्धांत)]] प्रत्येक एक दूसरे पड़ोसी के निकट हैं, इसलिए पड़ोसियों को एक प्रेरित मिलान में जोड़ा जा सकता है। स्थानीय रूप से रैखिक रेखांकन को स्थानीय रूप से मिलान किए गए रेखांकन भी कहा जाता है।

स्थानीय रेखीय रेखांकन के लिए कई निर्माण ज्ञात हैं। स्थानीय रेखीय ग्राफ़ के उदाहरणों में त्रिकोणीय कैक्टस ग्राफ़, 3-नियमित त्रिभुज-मुक्त ग्राफ़ के रेखा ग्राफ़ और छोटे स्थानीय रेखीय ग्राफ़ के ग्राफ़ के कार्टेशियन उत्पाद शामिल हैं। कुछ के केसर ग्राफ ़, और कुछ दृढ़ता से नियमित ग्राफ़ भी स्थानीय रूप से रेखीय होते हैं।

स्थानीय रूप से रेखीय रेखांकन के कितने किनारे हो सकते हैं, यह सवाल रूज़सा-ज़ेमेरीडी समस्या के योगों में से एक है। हालांकि सघन ग्राफ़ में कोने की संख्या के वर्ग के अनुपात में कई किनारे हो सकते हैं, स्थानीय रेखीय ग्राफ़ में किनारों की संख्या कम होती है, जो कम से कम एक छोटे से गैर-निरंतर कारक द्वारा वर्ग से कम होता है। स्थानीय रूप से रैखिक हो सकने वाले सघन लाइन ग्राफ भी ज्ञात हैं। सबसे कम घने स्थानीय रेखीय ग्राफ त्रिकोणीय कैक्टस ग्राफ हैं।

ग्लूइंग और उत्पाद
मैत्री रेखांकन, एक ही साझा शीर्ष पर त्रिकोणों के संग्रह को एक साथ जोड़कर बनाए गए रेखांकन, स्थानीय रूप से रैखिक होते हैं। वे एकमात्र परिमित ग्राफ़ हैं जिनके पास मजबूत संपत्ति है कि प्रत्येक जोड़ी के कोने (आसन्न या नहीं) एक सामान्य पड़ोसी को साझा करते हैं। आम तौर पर प्रत्येक कैक्टस ग्राफ#त्रिकोणीय कैक्टस, बिना किसी अतिरिक्त चक्र के साझा शीर्षों पर त्रिकोणों को चिपकाकर बनाया गया ग्राफ स्थानीय रूप से रैखिक होता है।

निम्न ऑपरेशन द्वारा स्थानीय रूप से रैखिक ग्राफ़ छोटे स्थानीय रेखीय ग्राफ़ से बन सकते हैं, ग्राफ़ पर मैं एक गुट हूँ ऑपरेशन का एक रूप। होने देना $$G$$ और $$H$$ कोई भी दो स्थानीय रेखीय ग्राफ़ हों, उनमें से प्रत्येक में से एक त्रिभुज का चयन करें, और दो ग्राफ़ को दो चयनित त्रिभुजों में संगत युग्मों को एक साथ मिला कर गोंद करें। फिर परिणामी ग्राफ स्थानीय रूप से रैखिक रहता है।

किसी भी दो स्थानीय रेखीय ग्राफ़ के ग्राफ़ का कार्टेशियन उत्पाद स्थानीय रूप से रेखीय रहता है, क्योंकि उत्पाद में कोई भी त्रिकोण त्रिकोण से एक या दूसरे कारकों में आता है। उदाहरण के लिए, नौ-वर्टेक्स पाले ग्राफ (3-3 डुओप्रिज्म का ग्राफ) दो त्रिकोणों का कार्टेशियन उत्पाद है। हैमिंग ग्राफ $$H(d,3)$$ का कार्टेशियन उत्पाद है $$d$$ त्रिकोण, और फिर स्थानीय रूप से रैखिक है।

छोटे रेखांकन से
कुछ ग्राफ़ जो स्वयं स्थानीय रूप से रेखीय नहीं हैं, उन्हें बड़े स्थानीय रेखीय ग्राफ़ बनाने के लिए एक ढाँचे के रूप में उपयोग किया जा सकता है। ऐसे ही एक निर्माण में लाइन ग्राफ़ शामिल हैं। किसी भी ग्राफ के लिए $$G$$रेखा ग्राफ $$L(G)$$ एक ग्राफ है जिसके प्रत्येक किनारे के लिए एक शीर्ष है $$G$$. दो शीर्षों में $$L(G)$$ आसन्न होते हैं जब वे जिन दो किनारों का प्रतिनिधित्व करते हैं $$G$$ एक सामान्य समापन बिंदु है। अगर $$G$$ एक घनीय ग्राफ|3-नियमित त्रिभुज-मुक्त ग्राफ है, तो उसका रेखा ग्राफ $$L(G)$$ 4-नियमित और स्थानीय रूप से रैखिक है। इसके प्रत्येक शीर्ष के लिए एक त्रिभुज है $$v$$ का $$G$$, तीन किनारों की घटना के अनुरूप त्रिकोण के शिखर के साथ $$v$$. हर 4-रेगुलर लोकल लीनियर ग्राफ इस तरह से बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, cuboctahedron  का ग्राफ़ घन का रेखा ग्राफ़ है, इसलिए यह स्थानीय रूप से रैखिक है। कार्टेसियन उत्पाद के रूप में ऊपर निर्मित स्थानीय रूप से रैखिक नौ-वर्टेक्स पाले ग्राफ, उपयोगिता ग्राफ के रेखा ग्राफ के रूप में एक अलग तरीके से भी बनाया जा सकता है। $$K_{3,3}$$. इस निर्माण द्वारा पीटरसन ग्राफ का लाइन ग्राफ भी स्थानीय रूप से रैखिक है। इसमें केज (ग्राफ सिद्धांत)  के अनुरूप एक संपत्ति है: यह सबसे छोटा संभव ग्राफ है जिसमें सबसे बड़ा क्लिक (ग्राफ सिद्धांत) में तीन कोने हैं, प्रत्येक वर्टेक्स बिल्कुल दो एज-डिसजॉइंट क्लिक्स में है, और किनारों के साथ सबसे छोटा चक्र है विशिष्ट गुटों की लंबाई पाँच होती है।

प्लानर ग्राफ़ पर एक अधिक जटिल विस्तार प्रक्रिया लागू होती है। होने देना $$G$$ समतल में इस तरह से सन्निहित समतलीय ग्राफ होना चाहिए कि प्रत्येक फलक एक चतुर्भुज हो, जैसे घन का आलेख। के प्रत्येक फलक पर एक वर्ग प्रतिप्रिज्म को चिपकाना $$G$$, और उसके बाद के मूल किनारों को हटाना $$G$$, एक नया स्थानीय रैखिक प्लानर ग्राफ बनाता है। परिणाम के किनारों और शीर्षों की संख्या की गणना यूलर के पॉलीहेड्रल सूत्र से की जा सकती है: यदि $$G$$ है $$n$$ शिखर, यह बिल्कुल है $$n-2$$ चेहरे, और चेहरों को बदलने का परिणाम $$G$$ एंटीप्रिज्म द्वारा है $$5(n-2)+2$$ शिखर और $$12(n-2)$$ किनारों। उदाहरण के लिए, एक 4-चक्र के दो चेहरों (आंतरिक और बाहरी) से क्यूबोक्टाहेड्रॉन को फिर से इस तरह से बनाया जा सकता है। इस निर्माण के हटाए गए 4-चक्र को क्यूबोक्टाहेड्रोन पर इसके चौकोर चेहरों के चार विकर्णों के चक्र के रूप में देखा जा सकता है, जो पॉलीहेड्रॉन को द्विभाजित करता है।

बीजगणितीय रचनाएं
कुछ केनेसर ग्राफ़, समान आकार के सेट के प्रतिच्छेदन पैटर्न से निर्मित ग्राफ़, स्थानीय रूप से रेखीय होते हैं। नेसर ग्राफ़ को दो मापदंडों द्वारा वर्णित किया गया है, सेट का आकार जो वे प्रतिनिधित्व करते हैं और ब्रह्मांड का आकार जिससे ये सेट तैयार किए गए हैं। केनेसर ग्राफ $$KG_{a,b}$$ है $$\tbinom{a}{b}$$ कोने (द्विपद गुणांक के लिए मानक अंकन में), प्रतिनिधित्व करते हैं $$b$$एक के तत्व सबसेट $$a$$-तत्व सेट। इस ग्राफ में, दो कोने आसन्न होते हैं जब संगत उपसमुच्चय असंयुक्त सेट होते हैं, जिनमें कोई तत्व उभयनिष्ठ नहीं होता है। विशेष मामले में जब $$a=3b$$, परिणामी ग्राफ स्थानीय रूप से रेखीय है, क्योंकि प्रत्येक दो असंयुक्त के लिए $$b$$-तत्व सबसेट $$X$$ और $$Y$$ बिल्कुल एक और है $$b$$-तत्व उपसमुच्चय उन दोनों से अलग है, जिसमें वे सभी तत्व शामिल हैं जो न तो अंदर हैं $$X$$ न ही में $$Y$$. परिणामी स्थानीय रेखीय ग्राफ है $$\tbinom{3b}{b}$$ शिखर और $$\tfrac{1}{2}\tbinom{3b}{b}\tbinom{2b}{b}$$ किनारों। उदाहरण के लिए, के लिए $$b=2$$ केनेसर ग्राफ $$KG_{6,2}$$ स्थानीय रूप से रैखिक है जिसमें 15 कोने और 45 किनारे हैं।

स्थानीय रूप से रेखीय ग्राफ़ भी संख्याओं के प्रगति-मुक्त सेट से बनाए जा सकते हैं। होने देना $$p$$ एक अभाज्य संख्या हो, और चलो $$A$$ संख्या मॉड्यूलो का एक सबसेट बनें $$p$$ ऐसा कोई तीन सदस्य नहीं है $$A$$ एक अंकगणितीय प्रगति मॉड्यूल बनाएं $$p$$. (वह है, $$A$$ सलेम-स्पेंसर सेट मोडुलो है $$p$$।) इस सेट का उपयोग त्रिपक्षीय ग्राफ बनाने के लिए किया जा सकता है $$3p$$ शिखर और $$3p\cdot|A|$$ किनारे जो स्थानीय रूप से रैखिक हैं। इस ग्राफ का निर्माण करने के लिए, शीर्षों के तीन सेट बनाएं, जिनमें से प्रत्येक क्रमांकित हो $$0$$ को $$p-1$$. प्रत्येक संख्या के लिए $$x$$ से रेंज में $$0$$ को $$p-1$$ और प्रत्येक तत्व $$a$$ का $$A$$शीर्ष को संख्या से जोड़कर एक त्रिभुज की रचना कीजिए $$x$$ वर्टिकल के पहले सेट में, नंबर के साथ वर्टेक्स $$x+a$$ वर्टिकल के दूसरे सेट में, और नंबर के साथ वर्टेक्स $$x+2a$$ शिखर के तीसरे सेट में। इन सभी त्रिभुजों के मिलन के रूप में एक ग्राफ बनाएँ। क्योंकि यह त्रिभुजों का एक संघ है, परिणामी ग्राफ का प्रत्येक किनारा एक त्रिभुज से संबंधित है। हालाँकि, इस तरह से बने त्रिभुजों के अलावा कोई अन्य त्रिभुज नहीं हो सकता है। किसी अन्य त्रिभुज में शीर्ष क्रमांकित होंगे $$(x,x+a,x+a+b)$$ कहाँ $$a$$, $$b$$, और $$c=(a+b)/2$$ सभी के हैं $$A$$, इस धारणा का उल्लंघन करते हुए कि कोई अंकगणितीय प्रगति नहीं है $$(a,c,b)$$ में $$A$$. उदाहरण के लिए, के साथ $$p=3$$ और $$A=\{\pm 1\}$$, इस निर्माण का परिणाम नौ-वर्टेक्स पाले ग्राफ है।

कुछ शीर्षों के साथ नियमित रेखांकन
एक ग्राफ़ नियमित ग्राफ़ होता है जब इसके सभी शीर्षों में समान डिग्री (ग्राफ़ सिद्धांत), घटना किनारों की संख्या होती है। प्रत्येक स्थानीय रेखीय ग्राफ में प्रत्येक शीर्ष पर सम डिग्री होनी चाहिए, क्योंकि प्रत्येक शीर्ष पर किनारों को त्रिभुजों में जोड़ा जा सकता है। दो स्थानीय रैखिक नियमित ग्राफ़ का कार्टेशियन उत्पाद फिर से स्थानीय रूप से रैखिक और नियमित होता है, जिसमें कारकों की डिग्री के योग के बराबर डिग्री होती है। इसलिए, कोई भी डिग्री दो (त्रिकोण) के स्थानीय रैखिक ग्राफ़ के कार्टेशियन उत्पादों को ले सकता है ताकि हर डिग्री के नियमित रूप से स्थानीय रेखीय ग्राफ़ का उत्पादन किया जा सके। $$2r$$वें>-नियमित स्थानीय रैखिक रेखांकन कम से कम होना चाहिए $$6r-3$$ शीर्ष, क्योंकि किसी भी त्रिभुज और उसके पड़ोसियों के बीच ही इतने सारे शीर्ष होते हैं। (त्रिभुज के कोई भी दो शीर्ष स्थानीय रैखिकता का उल्लंघन किए बिना एक पड़ोसी को साझा नहीं कर सकते हैं।) इतने सारे शीर्षों के साथ नियमित ग्राफ केवल तभी संभव होते हैं जब $$r$$ 1, 2, 3, या 5 है, और इन चार मामलों में से प्रत्येक के लिए विशिष्ट रूप से परिभाषित हैं। वर्टिकल की संख्या पर इस बाउंड को पूरा करने वाले चार नियमित ग्राफ़ 3-वर्टेक्स 2-रेगुलर त्रिकोण हैं $$K_3$$, 9-वर्टेक्स 4-रेगुलर पाले ग्राफ, 15-वर्टेक्स 6-रेगुलर केनेसर ग्राफ $$KG_{6,2}$$, और श्लाफली ग्राफ का 27-शीर्ष 10-नियमित पूरक ग्राफ। अंतिम 27-शीर्ष 10-नियमित ग्राफ़ भी घन सतह पर 27 रेखाओं के प्रतिच्छेदन ग्राफ़ का प्रतिनिधित्व करता है।

जोरदार नियमित रेखांकन
एक दृढ़ता से नियमित ग्राफ को चौगुनी मापदंडों द्वारा चित्रित किया जा सकता है $$(n,k,\lambda,\mu)$$ कहाँ $$n$$ शीर्षों की संख्या है, $$k$$ प्रति शीर्ष घटना किनारों की संख्या है, $$\lambda$$ शीर्षों के प्रत्येक सन्निकट युग्म के लिए साझा किए गए पड़ोसियों की संख्या है, और $$\mu$$ शीर्षों के प्रत्येक गैर-निकटवर्ती जोड़े के लिए साझा किए गए पड़ोसियों की संख्या है। कब $$\lambda=1$$ ग्राफ स्थानीय रूप से रैखिक है। ऊपर उल्लिखित स्थानीय रेखीय ग्राफ़ दृढ़ता से नियमित ग्राफ़ हैं और उनके पैरामीटर हैं अन्य स्थानीय रूप से रैखिक दृढ़ता से नियमित रेखांकन में शामिल हैं के साथ अन्य संभावित-वैध संयोजन $$\lambda=1$$ (99,14,1,2) और (115,18,1,3) शामिल हैं लेकिन यह अज्ञात है कि उन पैरामीटर के साथ दृढ़ता से नियमित ग्राफ मौजूद हैं या नहीं। मापदंडों (99,14,1,2) के साथ एक दृढ़ता से नियमित ग्राफ के अस्तित्व का प्रश्न कॉनवे की 99-ग्राफ समस्या के रूप में जाना जाता है, और जॉन हॉर्टन कॉनवे ने इसके समाधान के लिए $1000 पुरस्कार की पेशकश की है।
 * त्रिकोण (3,2,1,0),
 * नौ-शीर्ष पाले ग्राफ (9,4,1,2),
 * केसर ग्राफ $$KG_{6,2}$$ (15,6,1,3), और
 * श्लाफली ग्राफ का पूरक (27,10,1,5)।
 * ब्राउवर-हेमर्स ग्राफ (81,20,1,6),
 * बेर्लेकैंप-वैन लिंट-सीडेल ग्राफ (243,22,1,2),
 * कोसिडेंटे-पेंटिला ग्राफ (378,52,1,8), और
 * खेलों का ग्राफ (729,112,1,20)।

दूरी-नियमित रेखांकन
डिग्री 4 या 6 के निश्चित रूप से कई दूरी-नियमित ग्राफ़ हैं जो स्थानीय रूप से रैखिक हैं। समान डिग्री के दृढ़ता से नियमित ग्राफ़ से परे, वे पीटरसन ग्राफ़ के लाइन ग्राफ़, हैमिंग ग्राफ़ को भी शामिल करते हैं $$H(3,3)$$, और द्विदलीय आधा फोस्टर ग्राफ।

घनत्व


रुज़सा-ज़ेमेरीडी समस्या का एक सूत्रीकरण किनारों की अधिकतम संख्या के लिए पूछता है $$n$$-वर्टेक्स स्थानीय रूप से रैखिक ग्राफ। जैसा कि इमरे जेड. रूज़सा और एंड्रे स्ज़ेमेरीदी ने साबित किया, यह अधिकतम संख्या है $$o(n^2)$$ लेकिन है $$\Omega(n^{2-\varepsilon})$$ हरएक के लिए $$\varepsilon>0$$. प्रगति-मुक्त सेटों से स्थानीय रूप से रेखीय ग्राफ़ का निर्माण स्थानीय स्तर पर ज्ञात रेखीय ग्राफ़ के साथ होता है $$n^2/\exp O(\sqrt{\log n})$$ किनारों। (इन सूत्रों में, $$o$$, $$\Omega$$, और $$O$$ क्रमशः छोटे ओ संकेतन, बड़े ओमेगा संकेतन और बड़े ओ संकेतन के उदाहरण हैं।)

प्लानर ग्राफ़ में, स्थानीय रेखीय ग्राफ़ में किनारों की अधिकतम संख्या $$n$$ शिखर है $$\tfrac{12}{5}(n-2)$$. क्यूबोक्टाहेड्रोन का ग्राफ बहुफलकीय ग्राफ  के अनंत अनुक्रम में पहला है $$n=5k+2$$ शिखर और $$\tfrac{12}{5}(n-2)=12k$$ किनारों, के लिए $$k=2,3,\dots$$, के चतुर्भुज चेहरों का विस्तार करके बनाया गया $$K_{2,k}$$ एंटीप्रिज्म में। इन उदाहरणों से पता चलता है कि $$\tfrac{12}{5}(n-2)$$ ऊपरी सीमा प्राप्त की जा सकती है।

प्रत्येक स्थानीय रेखीय ग्राफ में यह गुण होता है कि यह किसी भी मिलान को हटाने के बाद जुड़ा रहता है, क्योंकि ग्राफ के माध्यम से किसी भी पथ में, प्रत्येक मिलान वाले किनारे को उसके त्रिकोण के अन्य दो किनारों से बदला जा सकता है। इस गुण वाले ग्राफ़ में, सबसे कम सघन त्रिकोणीय कैक्टस ग्राफ़ हैं, जो स्थानीय रेखीय ग्राफ़ भी सबसे कम घने हैं।