तीन चरणों का प्रमेय

सिविल इंजीनियरिंग और संरचनात्मक विश्लेषण में बेनोइट पॉल एमिल क्लैपेरॉन का तीन क्षणों का प्रमेय क्षैतिज बीम के निरंतर तीन समर्थनों पर झुकने वाले क्षणों के मध्य एक संबंध है।

मान लीजिए A,B,C-D समर्थन के तीन निरंतर बिंदु हैं, और इन खंडों में लंबाई की प्रति इकाई भार को w और $$w'$$ द्वारा एबी की लंबाई और $$l'$$ BC की लंबाई से निरूपित करें। इस प्रकर से फिर झुकने वाले क्षण

तीन बिंदुओं पर $$M_A,\, M_B,\, M_C$$ संबंधित हैं:


 * $$M_A l + 2 M_B (l+l') +M_C l' = \frac{1}{4} w l^3 + \frac{1}{4} w' (l')^3.$$

इस समीकरण को इस प्रकार से लिखा जा सकता है
 * $$M_A l + 2 M_B (l+l') +M_C l' = \frac{6 a_1 x_1}{l} + \frac{6 a_2 x_2}{l'}$$

जहाँ a1 AB पर ऊर्ध्वाधर भार के कारण बंकन और क्षण आरेख पर क्षेत्र है, a2 BC, पर भार के कारण क्षेत्रफल है, x1 बीम AB, के बंकन आघूर्ण आरेख के A से केन्द्रक तक की दूरी है, x2 बीम BC के बंकन आघूर्ण आरेख के क्षेत्र के C से केन्द्रक तक की दूरी है।

इस प्रकर से द्वतीय समीकरण अधिक सामान्य है क्योंकि इसमें प्रत्येक खंड का भार समान रूप से वितरित करने की आवश्यकता नहीं है।

तीन आघूर्ण समीकरणों की व्युत्पत्ति
क्रिश्चियन ओटो मोहर का प्रमेय तीन क्षण प्रमेय को प्राप्त करने के लिए (टीएमटी) का उपयोग किया जा सकता है।

मोहर का प्रथम प्रमेय
एक बीम के दो बिंदुओं के मध्य विक्षेपण (भौतिकी) वक्र के ढलान में परिवर्तन उन दो बिंदुओं के मध्य एम/ईआई आरेख के क्षेत्र के समान होता है। (चित्रा 02)

मोहर का द्वतीय प्रमेय
इस प्रकर से एक बीम (संरचना) पर दो बिंदुओं k1 और k2 पर विचार करें। अर्थत्‌ K1 और k2 पर स्पर्शरेखा और k1 के माध्यम से ऊर्ध्वाधर के मध्य प्रतिच्छेदन बिंदु के सापेक्ष k1 और k2 का विक्षेपण (भौतिकी) k1 और k2 के मध्य k1 के बारे में एम/ईआई आरेख के क्षण के समान है। (चित्र 03) किंतु तीन क्षण समीकरण एक निरंतर बीम के तीन क्रमिक समर्थनों पर झुकने वाले क्षणों के मध्य संबंध को व्यक्त करता है, जो कि समर्थन के निपटान (संरचनात्मक) के साथ या उसके बिना दो आसन्न अवधि पर लोडिंग के अधीन है।

संकेत परिपाटी
चित्र 04 के अनुसार,
 * 1) क्षण M1, M2, और M3 सकारात्मक होंगे यदि वे बीम के ऊपरी भाग में संपीड़न (भौतिक) का कारण बनते हैं। (सकारात्मक शिथिलता)
 * 2) विक्षेपण (भौतिकी) नीचे की ओर सकारात्मक। (डाउनवर्ड सेटलमेंट पॉजिटिव)
 * 3) मान लीजिए कि ABC A,B और C पर समर्थन के साथ एक सतत किरण है। फिर A,B और C पर आघूर्ण क्रमशः M1, M2 और M3 हैं।
 * 4) मान लीजिए कि समर्थन निपटान (संरचनात्मक) के कारण A' B' और C' बीम ABC की अंतिम स्थिति हैं।

तीन क्षण प्रमेय की व्युत्पत्ति
इस प्रकर से PB'Q बीम (संरचना) एबीसी के अंतिम लोच (भौतिकी) वक्र A'B'C' के लिए B' पर खींची गई स्पर्श रेखा है। मान लिजिये RB'S, B' से होकर खींची गई एक क्षैतिज रेखा है।

त्रिभुज RB'P और QB'S पर विचार करें।


 * $$\dfrac{PR}{RB'} = \dfrac{SQ}{B'S},$$

(1), (2), और (3) से,
 * $$\dfrac{\Delta B - \Delta A + PA'}{L1} = \dfrac{\Delta C - \Delta B - QC'}{L2}$$

इस प्रकर से PA' और QC' ज्ञात करने के लिए एम/ईआई आरेख बनाएं। मोहर के द्वतीय प्रमेय से

PA' = A के बारे में A और B के मध्य एम/ईआई आरेख के क्षेत्र का प्रथम क्षण है।
 * $$PA' = \left(\frac{1}{2} \times \frac{M_1}{E_1 I_1} \times L_1\right)\times L_1\times \frac{1}{3} + \left(\frac{1}{2} \times \frac{M_2}{E_2 I_2} \times L_1\right)\times L_1\times\frac{2}{3}+ \frac{A_1 X_1}{E_1 I_1}$$

QC' = C के बारे में B और C के मध्य एम/ईआई आरेख के क्षेत्रफल का प्रथम क्षण है।
 * $$QC' = \left(\frac{1}{2} \times \frac{M_3}{E_2 I_2} \times L_2\right)\times L_2\times\frac{1}{3} + \left(\frac{1}{2} \times \frac{M_2}{E_2 I_2} \times L_2\right)\times L_2\times\frac{2}{3}+ \frac{A_2 X_2}{E_2 I_2}$$

समीकरण (ए) पर पीए' और क्यूसी' को प्रतिस्थापित करने पर, तीन क्षण प्रमेय (टीएमटी) प्राप्त किया जा सकता है।

तीन क्षण समीकरण

 * $$\frac{M_1 L_1}{E_1 I_1}+ 2M_2\left(\frac{L_1}{E_1 I_1} + \frac{L_2}{E_2 I_2}\right)+\frac{M_3 L_2}{E_2 I_2} = 6 [\frac{\Delta A - \Delta B}{L_1} + \frac{\Delta C - \Delta B}{L_2}] - 6 [\frac{A_1 X_1}{E_1 I_1 L_1} + \frac{A_2 X_2}{E_2 I_2 L_2}]$$

बाहरी संबंध

 * CodeCogs: Continuous beams with more than one span