पत्राचार विश्लेषण

पत्राचार विश्लेषण (सीए) एक बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय तकनीक है जिसे हरमन ओटो हार्टले (हिर्शफेल्ड) द्वारा प्रस्तावित और बाद में जीन-पॉल बेंज़ेक्रि द्वारा विकसित किया गया। यह वैचारिक रूप से प्रमुख घटक विश्लेषण के समान है, परन्तु निरंतर आंकड़ों के स्थान पर श्रेणीबद्ध आंकड़ों पर लागू होता है। प्रमुख घटक विश्लेषण के समान तरीके से, यह आंकड़ों के एक समुच्चय को द्वि-आयामी आलेखी रूप में प्रदर्शित या सारांशित करने का एक साधन प्रदान करता है। इसका उद्देश्य आंकड़ों की तालिका की बहुभिन्नरूपी समायोजन में छिपी किसी भी संरचना को बाइप्लॉट में प्रदर्शित करना है। इस प्रकार यह बहुभिन्नरूपी समन्वयन (सांख्यिकी) के क्षेत्र की एक तकनीक है। चूंकि यहां वर्णित सीए के प्रकार को या तो पंक्तियों पर या स्तंभ पर ध्यान केंद्रित करके प्रयुक्त किया जा सकता है, इसलिए इसे वास्तव में सरल (सममित) पत्राचार विश्लेषण कहा जाना चाहिए।

इसे परंपरागत रूप से माप के नाममात्र स्तर की एक जोड़ी की आकस्मिक तालिकाओं पर प्रयुक्त किया जाता है, जहां प्रत्येक कोशिका में या तो एक गिनती या शून्य मान होता है। यदि दो से अधिक श्रेणीबद्ध चर को संक्षेप में प्रस्तुत किया जाना है, तो इसके स्थान पर एकाधिक पत्राचार विश्लेषण नामक एक संस्करण को चुना जाना चाहिए। सीए को युग्मक आंकड़ों पर भी प्रयुक्त किया जा सकता है, उपस्थिति/अनुपस्थिति कोडिंग सरलीकृत गिनती आंकड़ों का प्रतिनिधित्व करती है यानी 1 एक सकारात्मक गिनती का वर्णन करता है और 0 शून्य की गिनती के लिए है। उपयोग किए गए अंक के आधार पर सीए तालिका की पंक्तियों या स्तंभों के बीच ची-वर्ग दूरी को संरक्षित रखता है। क्योंकि सीए एक वर्णनात्मक तकनीक है, इसे महत्वपूर्ण ची-वर्ग परीक्षण की उपेक्षा किए बिना तालिकाओं पर लागू किया जा सकता है।  यद्यपि \chi^2 सांख्यिकीय अनुमान में उपयोग किया जाने वाला आँकड़ा और ची-वर्ग दूरी संगणनात्मक रूप से संबंधित हैं, उन्हें भ्रमित नहीं होना चाहिए क्योंकि बाद वाला सीए में बहुभिन्नरूपी विश्लेषण सांख्यिकीय दूरी माप के रूप में काम करता है जबकि \chi^2 आँकड़ा वास्तव में एक अदिश (गणित) है न कि मात्रिक (गणित)।

विवरण
प्रमुख घटक विश्लेषण की तरह, पत्राचार विश्लेषण आयतीय घटक (या अक्ष) बनाता है और, तालिका में प्रत्येक वस्तु के लिए यानी प्रत्येक पंक्ति के लिए, अंक का एक समुच्चय बनाता है (कभी-कभी कारक अंक भी कहा जाता है, कारक विश्लेषण देखें)। पत्राचार विश्लेषण आंकड़ों की तालिका पर किया जाता है, जिसे m × n आकार के आव्यूह C के रूप में माना जाता है, जहां m पंक्तियों की संख्या है और n स्तंभों की संख्या है। विधि के निम्नलिखित गणितीय विवरण में इटली शैली में बड़े अक्षर एक आव्यूह (गणित) को संदर्भित करते हैं जबकि इटली शैली में अक्षर पंक्ति और स्तम्भ सदिश को संदर्भित करते हैं। निम्नलिखित गणनाओं को समझने के लिए आव्यूह गुणन का ज्ञान आवश्यक है।

पूर्व प्रसंस्करण
कलन विधि के केंद्रीय संगणनात्मक चरण पर आगे बढ़ने से पहले, आव्यूह सी में मानों को बदलना होगा। सबसे पहले स्तंभों और पंक्तियों (कभी-कभी द्रव्यमान कहा जाता है) के लिए भार के एक समुच्चय की गणना करें, जहां पंक्ति और स्तंभ का भार क्रमशः पंक्ति और स्तंभ सदिश द्वारा दिया जाता है:
 * $$w_m = \frac{1}{n_C} C \mathbf{1}, \quad w_n = \frac{1}{n_C}\mathbf{1}^T C.$$

यहाँ $$n_C = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m C_{ij} $$ आव्यूह C में सभी कोशिका मानों का योग है, या C का योग संक्षेप में है, और $$\mathbf{1}$$ उचित आयाम वाले लोगों की एक स्तम्भ पंक्ति और स्तम्भ सदिश है।

सरल शब्दों में कहें तो, $$w_m$$ केवल एक सदिश है जिसके तत्व C की पंक्ति के योग को C के योग से विभाजित करते हैं, और $$w_n$$ एक सदिश है जिसके तत्व C के स्तंभ योग को C के योग से विभाजित किया जाता है।

भार विकर्ण आव्यूह में परिवर्तित हो जाते हैं


 * $$W_m = \operatorname{diag}(1/\sqrt{w_m})$$

और


 * $$W_n = \operatorname{diag}(1/\sqrt{w_n})$$

जहां $$W_n$$ के विकर्ण तत्व $$1/\sqrt{w_n}$$ हैं और $$W_m$$ के विकर्ण तत्व क्रमशः $$1/\sqrt{w_m}$$ हैं, अर्थात सदिश तत्व द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रम होते हैं।

C को उसके योग से विभाजित करके आव्यूह P की गणना करें
 * $$P = \frac{1}{n_C} C.$$

सरल शब्दों में, आव्यूह $$P$$ यह केवल आंकड़ा आव्यूह (आकस्मिकता तालिका या युग्मक तालिका) है जो भागों में परिवर्तित हो जाती है यानी प्रत्येक कोशिका मान पूरी तालिका के योग का केवल कोशिका भाग है।

अंत में, आव्यूह $$S$$ की गणना करें, जिसे आव्यूह गुणन द्वारा कभी-कभी मानकीकृत अवशेषों का आव्यूह भी कहा जाता है,
 * $$S = W_m(P - w_m w_n)W_n$$

ध्यान दें, सदिश $$w_m$$ और $$w_n$$ एक बाह्य उत्पाद में संयोजित होते हैं जिसके परिणामस्वरूप उसी विमा (सदिश स्थान) का एक आव्यूह $$P$$ बनता है। शब्दों में सूत्र निम्न पढ़ता है: आव्यूह $$\operatorname{outer}(w_m, w_n)$$ आव्यूह $$P$$ से घटाया गया है और परिणामी आव्यूह को विकर्ण आव्यूह द्वारा $$W_m$$ और $$W_n$$मापक्रम (भारित) किया जाता है। परिणामी आव्यूह को विकर्ण आव्यूहों से गुणा करना, इसकी i-वीं पंक्ति (या स्तंभ) को इसके विकर्ण  $$W_m$$ या $$W_n$$,  के i-वें तत्व से गुणा करने के बराबर है।

पूर्व प्रसंस्करण की व्याख्या
सदिश $$w_m$$ और $$w_n$$ क्रमशः पंक्ति और स्तंभ द्रव्यमान या पंक्तियों और स्तंभों के लिए सीमांत संभावनाएं हैं। घटाव आव्यूह $$\operatorname{outer}(w_m, w_n)$$ आव्यूह से $$P$$ डेटा को डबल  केन्द्रित आव्यूह का आव्यूह बीजगणित संस्करण है। इस अंतर को विकर्ण भार आव्यूह से गुणा करने पर एक आव्यूह बनता है जिसमें सदिश रिक्त स्थान के उदाहरण की उत्पत्ति (गणित) से भारित विचलन होता है। यह मूल आव्यूह $$\operatorname{outer}(w_m, w_n)$$ द्वारा परिभाषित किया गया है।

वास्तव में आव्यूह $$\operatorname{outer}(w_m, w_n)$$ ची-वर्ग परीक्षण में अपेक्षित आवृत्तियों के आव्यूह के समान है। इसलिए $$S$$ संगणनात्मक रूप से उस परीक्षण में प्रयुक्त स्वतंत्रता प्रतिरूप से संबंधित है। लेकिन चूंकि सीए एक अनुमानात्मक पद्धति नहीं है इसलिए स्वतंत्रता प्रतिरूप शब्द यहां अनुपयुक्त है।

ऑर्थोगोनल घटक
तालिका $$S$$ फिर एक विलक्षण मूल्य अपटन द्वारा विघटित हो जाता है


 * $$S = U\Sigma V^* \,$$

जहाँ $$U$$ और $$V$$ के बाएँ और दाएँ एकवचन सदिश हैं $$S$$ और $$\Sigma$$ एकवचन मानों वाला एक वर्ग विकर्ण आव्यूह $$\sigma_i$$ $$S$$ का विकर्ण है। $$\Sigma$$ $$p \leq (\min(m,n)-1)$$आयाम का है, इस तरह $$U$$ आयाम m×p और $$V$$ n×p आयाम का है। प्रसामान्य के रूप में $$U$$ और $$V$$ निम्न पूर्ण करता है


 * $$U^* U = V^* V = I$$

दूसरे शब्दों में, बहुभिन्नरूपी जानकारी जो C के साथ-साथ S में भी सम्मिलित है, अब दो (समन्वय) आव्यूह U और $$V$$ और एक विकर्ण (प्रवर्धन) आव्यूह $$\Sigma$$ में वितरित की जाती है। उनके द्वारा परिभाषित सदिश समष्टि में आयामों की संख्या p है, जो कि दो मानों, शून्य से 1 पंक्तियों की संख्या और स्तंभों की संख्या में से छोटा है।

जड़त्व
जबकि एक प्रमुख घटक विश्लेषण को प्रमुख घटक विश्लेषण पीसीए को सहप्रसरण विधि का उपयोग करके कहा जा सकता है, और इसलिए इसकी सफलता का माप पहले कुछ पीसीए अक्षों द्वारा सुरक्षित किए गए (सह-)विचरण की मात्रा है - जिसे आइगेनवैल्यू में मापा जाता है -, सीए एक भारित (सह-)विचरण के साथ काम करता है जिसे जड़ता कहा जाता है। वर्ग एकवचन मानों का योग कुल जड़त्व $$\Iota$$ है, आंकड़े तालिका की गणना इस प्रकार की जाती है


 * $$\Iota = \sum_{i=1}^p \sigma_i^2.$$

कुल जड़ता $$\Iota$$ आंकड़े तालिका की गणना $$S$$ से सीधे भी की जा सकती है जैसे


 * $$\Iota = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m s_{ij}^2. $$

एकवचन सदिशों के i-वें समुच्चय द्वारा सुरक्षित की गई जड़ता की मात्रा $$\iota_i$$ प्रमुख जड़ता है। पहले कुछ एकवचन सदिश द्वारा सुरक्षित किया गया जड़त्व का भाग जितना अधिक होगा यानी कुल जड़त्व की तुलना में मुख्य जड़त्व का योग जितना बड़ा होगा, सीए उतना ही अधिक सफल होगा। इसलिए सभी प्रमुख जड़त्व मान को कुल जड़ता के भाग $$\epsilon_i$$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,


 * $$\epsilon_i = \sigma_i^2 / \sum_{i=1}^p \sigma_i^2$$

और एक स्क्री आलेख के रूप में प्रस्तुत किये गये हैं। वास्तव में एक स्क्री आलेख सभी प्रमुख जड़त्व भागों का एक बार आलेख मात्र $$\epsilon_i$$ है।

निर्देशांक
एकवचन सदिश को निर्देशांक में बदलने के लिए जो पंक्तियों या स्तंभों के बीच की दूरी को संरक्षित करता है, एक अतिरिक्त भार चरण आवश्यक है। परिणामी निर्देशांकों को सीए पाठ्य पुस्तकों में प्रमुख निर्देशांक कहा जाता है। यदि पंक्तियों के लिए प्रमुख निर्देशांक का उपयोग किया जाता है तो उनके मानस दर्शन को पंक्ति सममितीय ,अर्थमिति में प्रवर्धन और पारिस्थितिकी में प्रवर्धन1 कहा जाता है। चूंकि भार में एकल मान सम्मिलित होते हैं, $$\Sigma$$ मानकीकृत अवशेषों के आव्यूह का $$S$$ इन निर्देशांकों को कभी-कभी एकवचन मान मापक्रम किए गए एकवचन सदिश के रूप में संदर्भित किया जाता है, या, थोड़ा भ्रामक, मापक्रम आइजनसदिश के रूप में संदर्भित किया जाता है। वास्तव में, $$S^* S  $$ के गैर-तुच्छ आइजनसदिश, S के बाएं एकवचन सदिश U हैं और S के आइजनसदिश U, $$S  S^* $$ के दाएं एकवचन सदिश V हैं, जबकि S के आइगेनसदिश U हैं। इनमें से कोई भी आव्यूह एकवचन मान $$\Sigma$$ का वर्ग है लेकिन चूंकि सीए के लिए सभी आधुनिक कलन विधि एक एकल मूल्य अपघटन पर आधारित हैं, इसलिए इस शब्दावली से बचना चाहिए। सीए की फ्रांसीसी परंपरा में निर्देशांक को कभी-कभी (कारक) अंक कहा जाता है।

आव्यूह सी की पंक्तियों के लिए कारक अंक या प्रमुख निर्देशांक की गणना की जाती है


 * $$F_m = W_m U \Sigma$$

यानी बाएं एकवचन सदिश को पंक्ति द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रम और एकवचन मानों द्वारा मापक्रम किया जाता है। क्योंकि प्रमुख निर्देशांक की गणना एकवचन मानों का उपयोग करके की जाती है, उनमें मूल तालिका में पंक्तियों (या स्तंभों) के बीच भिन्नता के बारे में जानकारी होती है। प्रमुख निर्देशांक में इकाइयों के बीच यूक्लिडियन दूरियों की गणना करने से ऐसे मान प्राप्त होते हैं जो उनकी ची-वर्ग दूरियों के बराबर होते हैं, यही कारण है कि सीए को ची-वर्ग दूरियों को संरक्षित करने के लिए कहा जाता है।

स्तंभों के लिए प्रमुख निर्देशांक की गणना करें


 * $$F_n = W_n V \Sigma.$$

सीए के परिणाम को एक उचित बाइप्लॉट में दर्शाने के लिए, उन श्रेणियों को जिन्हें प्रमुख निर्देशांक में आलेख नहीं किया जाता है, यानी कि ची-वर्ग दूरी के निर्देशांक को संरक्षित करते हुए, तथाकथित मानक निर्देशांक में आलेख किया जाना चाहिए।   उन्हें मानक निर्देशांक कहा जाता है क्योंकि मानक निर्देशांक के प्रत्येक सदिश को माध्य 0 और विचरण 1 प्रदर्शित करने के लिए मानकीकृत किया गया है। मानक निर्देशांक की गणना करते समय एकवचन मानों को छोड़ दिया जाता है जो कि बिप्लॉट को लागू करने का प्रत्यक्ष परिणाम है जिसके द्वारा एकवचन सदिश आव्यूह के दो समुच्चयों में से एक को शून्य की घात तक बढ़ाए गए एकवचन मानों द्वारा मापक्रम किया जाना चाहिए यानी एक से गुणा किया जाना चाहिए यानी एकवचन मानों को छोड़कर गणना की जानी चाहिए यदि एकवचन सदिश के दूसरे समुच्चय को एकवचन मानों द्वारा मापक्रम किया गया है। यह निर्देशांक के दो समुच्चयों के बीच एक डॉट उत्पाद के अस्तित्व को आश्वस्त करता है यानी यह एक बाइप्लॉट में उनके स्थानिक संबंधों की सार्थक व्याख्या की ओर ले जाता है।

व्यावहारिक रूप में कोई मानक निर्देशांक को सदिश स्थान के कोने (ज्यामिति) के रूप में सोच सकता है जिसमें प्रमुख निर्देशांक का समुच्चय (यानी संबंधित बिंदु) सम्मिलित होता है। पंक्तियों के लिए मानक निर्देशांक हैं


 * $$G_m = W_m U$$

और वे स्तम्भों के लिए हैं


 * $$G_n = W_n V$$

ध्यान दें कि प्रवर्धन1 पारिस्थितिकी में बिप्लॉट का तात्पर्य पंक्तियों को मूल निर्देशांक में और स्तंभों को मानक निर्देशांक में $$G_n$$होना है, जबकि प्रवर्धन 2 का तात्पर्य पंक्तियों को मानक में और स्तंभों को प्रमुख निर्देशांक में होना है। प्रवर्धन 1 का अर्थ है $$G_n$$ के साथ $$F_m$$ का एक बाइप्लॉट, जबकि प्रवर्धन 2 का अर्थ है $$G_m$$ के साथ $$F_n$$ का बाइप्लॉट।

परिणाम का चित्रमय प्रतिनिधित्व
सीए परिणाम का स्क्री आलेख हमेशा पहले कुछ एकल सदिशों द्वारा प्रसार के सारांश की सफलता का मूल्यांकन करने के लिए प्रमुख जड़ता मूल्यों के स्क्री आलेख को प्रदर्शित करने के साथ प्रारम्भ होता है।

वास्तविक समन्वय एक लेखाचित्र में प्रस्तुत किया गया है जो - पहली दृष्टि में - एक जटिल बिखराव के षड्यंत्र के साथ भ्रमित हो सकता है। वास्तव में इसमें दो प्रकीर्णन आलेख एक के ऊपर एक मुद्रित होते हैं, पंक्तियों के लिए बिंदुओं का एक समुच्चय और स्तंभों के लिए एक समुच्चय है। लेकिन एक द्विप्लॉट होने के नाते एक स्पष्ट व्याख्या नियम उपयोग किए गए दो समन्वय आव्यूह से संबंधित है।

सामान्यतः सीए समाधान के पहले दो आयामों को आलेख किया जाता है क्योंकि उनमें आंकड़े तालिका के बारे में अधिकतम जानकारी सम्मिलित होती है जिसे 2डी में प्रदर्शित किया जा सकता है, हालांकि आयामों के अन्य संयोजनों की जांच एक बाइप्लॉट द्वारा की जा सकती है। बाइप्लॉट वास्तव में मूल तालिका में उपस्थित जानकारी के एक हिस्से का आयामी कमी मानचित्र (गणित) है।

सामान्य नियम के रूप में वह समुच्चय (पंक्तियाँ या स्तंभ) जिसका विश्लेषण उसकी संरचना के संबंध में किया जाना चाहिए जैसा कि दूसरे समुच्चय द्वारा मापा जाता है, प्रमुख निर्देशांक में प्रदर्शित होता है जबकि दूसरा समुच्चय मानक निर्देशांक में प्रदर्शित होता है। जैसे जब ध्यान समान मतदान के अनुसार जिलों को क्रमबद्ध करने पर होता है, तो चुनावी जिले को पंक्तियों में और राजनीतिक दलों को गिनती वाले कक्षों के साथ स्तम्भ में प्रदर्शित करने वाली तालिका को प्रमुख निर्देशांक में जिलों (पंक्तियों) के साथ प्रदर्शित किया जा सकता है।

परंपरागत रूप से, सीए में फ्रांसीसी परंपरा से उत्पन्न, प्रारंभिक सीए बाइप्लॉट्स ने दोनों संस्थाओं सामान्यतः प्रमुख निर्देशांक को एक ही समन्वय संस्करण में छायाचित्र किया, लेकिन इस प्रकार का प्रदर्शन भ्रामक है: हालांकि इसे बाइप्लॉट कहा जाता है, इसमें पंक्ति और स्तंभ अंक के बीच कोई उपयोगी आंतरिक उत्पाद संबंध नहीं है, जैसा कि आर पैकेज एमएएसएस के अनुरक्षक ब्रायन डी. रिप्ले ने सही ढंग से बताया है। आज उस तरह के प्रदर्शन से बचना चाहिए क्योंकि आम लोगों को सामान्यतः दो बिंदु समुच्चयों के बीच के संबंध की कमी के बारे में पता नहीं होता है।

एक प्रवर्धन1 बाइप्लॉट (प्रमुख निर्देशांक में पंक्तियाँ, मानक निर्देशांक में स्तंभ) की व्याख्या इस प्रकार की जाती है:
 * पंक्ति बिंदुओं के बीच की दूरी उनकी ची-वर्ग दूरी का अनुमान लगाती है। एक दूसरे के निकट स्थित बिंदु मूल आंकड़े तालिका में बहुत समान मान वाली पंक्तियों का प्रतिनिधित्व करते हैं। यानी वे गिनती आंकड़ों की स्तिथि में समान आवृत्तियों या उपस्थिति/अनुपस्थिति आंकड़ों की स्तिथि में निकट से संबंधित युग्मक मान प्रदर्शित कर सकते हैं।
 * मानक निर्देशांक में (स्तंभ) बिंदु सदिश स्थान के शीर्षों का प्रतिनिधित्व करते हैं यानी किसी चीज़ के बाहरी कोने का बहुआयामी अंतरिक्ष में एक अनियमित बहुतल का आकार होता है। परियोजना पंक्ति किसी स्तंभ के मूल और मानक निर्देशांक को जोड़ने वाली रेखा पर इंगित करती है; यदि उस संपर्क रेखा के साथ अनुमानित स्थिति मानक समन्वय की स्थिति के निकट है, तो वह पंक्ति बिंदु दृढ़ता से इस स्तम्भ से जुड़ा हुआ है यानी गिनती आंकड़ों की स्तिथि में पंक्ति में उस श्रेणी की उच्च आवृत्ति होती है और उपस्थिति/अनुपस्थिति आंकड़ों की स्तिथि में पंक्ति उस स्तंभ में 1 प्रदर्शित करने की संभावना है। पंक्ति बिंदु जिनके प्रक्षेपण के लिए संपर्क रेखा को मूल से आगे बढ़ाने की आवश्यकता होगी, उस स्तंभ में औसत मान से कम है।

विस्तारण और अनुप्रयोग
सीए के कई प्रकार उपलब्ध हैं, जिनमें डिट्रेंडेड पत्राचार विश्लेषण (डीसीए) और विहित पत्राचार विश्लेषण (सीसीए) सम्मिलित हैं। उत्तरार्द्ध (सीसीए) का उपयोग तब किया जाता है जब जांच की गई संस्थाओं के बीच समानता के संभावित कारणों के बारे में जानकारी होती है। कई श्रेणीगत चरों तक पत्राचार विश्लेषण के विस्तार को एकाधिक पत्राचार विश्लेषण कहा जाता है। गुणात्मक चर (यानी, गुणात्मक आंकड़ों के लिए विभेदक विश्लेषण के समतुल्य) के आधार पर भेदभाव की समस्या के लिए पत्राचार विश्लेषण के अनुकूलन को विभेदक पत्राचार विश्लेषण या बैरीसेंट्रिक विभेदक विश्लेषण कहा जाता है।

सामाजिक विज्ञान में, पत्राचार विश्लेषण, और विशेष रूप से इसके विस्तार एकाधिक पत्राचार विश्लेषण, फ्रांसीसी समाजशास्त्री पियरे बॉर्डियू के आवेदन के माध्यम से फ्रांस के बाहर ज्ञात किया गया था।

कार्यान्वयन

 * आंकड़े मानस दर्शन पद्धति ऑरेंज (सॉफ़्टवेयर) में मापदंड सम्मिलित है: orngCA।
 * सांख्यिकीय कार्यरचना भाषा आर (कार्यरचना भाषा) में कई पैकेज सम्मिलित हैं, जो (सरल सममित) पत्राचार विश्लेषण के लिए एक कार्य प्रदान करते हैं। R संकेत पद्धति [संवेष्टक नाम::फलन नाम] का उपयोग करते हुए पैकेज और संबंधित कार्य हैं:,   ,  ,  ,  ,   शुरुआती लोगों के लिए सबसे आसान तरीका है, चूँकि उस संवेष्टक के साथ एक विस्तृत पाठ्य पुस्तक है।
 * फ्रीवेयर पास्ट (पैलियोन्टोलॉजिकल सांख्यिकी) मेनू बहुचर/श्रेणीकरण/समतुल्यता (सीए) के माध्यम से (सरल सममित) पत्राचार विश्लेषण प्रदान करता है।

यह भी देखें

 * औपचारिक अवधारणा विश्लेषण

बाहरी संबंध

 * Greenacre, Michael (2008), La Práctica del Análisis de Correspondencias, BBVA Foundation, Madrid, Spanish translation of Correspondence Analysis in Practice, available for free download from BBVA Foundation publications
 * Greenacre, Michael (2010), Biplots in Practice, BBVA Foundation, Madrid, available for free download at multivariatestatistics.org