सम्मिश्र ज्यामिति

गणित में सम्मिश्र ज्यामिति, ज्यामितीय संरचनाओं और सम्मिश्र संख्याओं से उत्पन्न या उनके द्वारा वर्णित निर्माण का अध्ययन है। विशेष रूप से, सम्मिश्र ज्यामिति रिक्त समष्टि के अध्ययन से संबंधित है जैसे सम्मिश्र विविध और सम्मिश्र बीजगणितीय विविधता कई सम्मिश्र चर के फलन और पूर्ण सममितिक निर्माण जैसे पूर्ण सममितिक सदिश और सुसंगत खंड या सम्मिश्र विश्लेषण के अधिक ज्यामितीय दृष्टिकोण के साथ बीजगणितीय ज्यामिति के लिए सम्मिश्र विधियों का अनुप्रयोग इस श्रेणी के अंतर्गत आता है।

सम्मिश्र ज्यामिति बीजगणितीय ज्यामिति, अवकल ज्यामिति और सम्मिश्र विश्लेषण के प्रतिच्छेदन पर स्थित है और तीनों क्षेत्रों के उपकरणों का उपयोग करती है। विभिन्न क्षेत्रों की तकनीकों और विचारों के मिश्रण के कारण, सम्मिश्र ज्यामिति की समस्याएं सामान्य से अधिक सुगम या ठोस होती हैं। उदाहरण के लिए, न्यूनतम मॉडल फलन के माध्यम से सम्मिश्र विविध और सम्मिश्र बीजगणितीय प्रकार का वर्गीकरण और मोडुली रिक्त समष्टि के निर्माण क्षेत्र को अवकल ज्यामिति से अलग करता है जहां संभव समतल विविध का वर्गीकरण अपेक्षाकृत कठिन समस्या है। इसके अतिरिक्त, सम्मिश्र ज्यामिति की अतिरिक्त संरचना, विशेष रूप से सह समुच्च्य में, वैश्विक विश्लेषणात्मक परिणामों के लिए बड़ी सफलता के साथ सिद्ध होने की स्वीकृति देती है, जिसमें शिंग-तुंगयौ और कैलाबी अनुमान का प्रमाण, हिचिन-कोबायाशी समानता और नॉनबेलियन हॉज समानता सम्मिलित हैं। काहलर-आइंस्टीन मिति और निरंतर अदिश वक्रता काहलर मिति के लिए अस्तित्व के परिणाम प्रायः सम्मिश्र बीजगणितीय ज्यामिति में वापस आते हैं और उदाहरण के लिए वर्तमान में K-स्थिरता का उपयोग करके फ़ानो विविध के वर्गीकरण ने विश्लेषण और द्विभाजित ज्यामिति मे दोनों तकनीकों से अपेक्षाकृत लाभ प्राप्त किया है।

सम्मिश्र ज्यामिति में सैद्धांतिक भौतिकी के लिए महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं जहां अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत, स्ट्रिंग सिद्धांत और दर्पण समरूपता (स्ट्रिंग सिद्धांत) को समझना आवश्यक है। यह प्रायः गणित के अन्य क्षेत्रों में उदाहरणों का एक स्रोत होता है जिसमें निरूपण सिद्धांत भी सम्मिलित है, जहां सामान्यीकृत सम्मिश्र ज्यामिति का अध्ययन सम्मिश्र ज्यामिति का उपयोग करके बोरेल-वील-बॉट प्रमेय या सम्मिश्र ज्यामिति में किया जा सकता है जहां रीमैनियन में काहलर विविध सम्मिश्र ज्यामिति हैं। ज्यामिति जहां सम्मिश्र बहुरूपता कैलाबीयॉ विविध और उच्च काहलर विविध जैसे असाधारण संरचनाओं के उदाहरण प्रदान करते हैं और गेज सिद्धांत में जहां पूर्ण सममितिक सदिश प्रायः यांग-मिल्स समीकरणों जैसे भौतिकी से उत्पन्न होने वाले महत्वपूर्ण अवकल समीकरणों के समाधान को स्वीकृत करते हैं। सम्मिश्र ज्यामिति अतिरिक्त रूप से शुद्ध बीजगणितीय ज्यामिति में प्रभावशाली होती है, जहाँ सम्मिश्र समुच्चय में विश्लेषणात्मक परिणाम जैसे कि काहलर विविध के हॉज सिद्धांत के रूप में कई प्रकार और योजनाओं के साथ-साथ पी-एडिक हॉज सिद्धांत, विरूपण सिद्धांत के लिए हॉज संरचनाओं की समझ को प्रेरित करते हैं सम्मिश्र विविध के लिए विरूपण सिद्धांत की समझ को प्रेरित करता है। ज्यामिति के विरूपण सिद्धांत और सम्मिश्र विविध के सह समरूपता के परिणाम ने वेइल अनुमानों और ग्रोथेंडिक के मानक अनुमानों के निर्माण को प्रेरित किया और दूसरी तरफ इनमें से कई क्षेत्रों के परिणाम और तकनीकें प्रायः सम्मिश्र ज्यामिति में वापस आती हैं और उदाहरण के लिए स्ट्रिंग सिद्धान्त और दर्पण समरूपता के गणित में विकास ने कैलाबी-यॉ विविध की प्रकृति के विषय में बहुत कुछ प्रस्तुत किया है, जो स्ट्रिंग सिद्धांतकारों को पूर्वानुमान करना चाहिए एसवाईजेड अनुमान के माध्यम से लग्रांजी फाइब्रेशंस की संरचना है और सम्मिश्र बहुरूपता के ग्रोमोव-विटन सिद्धांत के विकास ने सम्मिश्र प्रकार की गणनात्मक ज्यामिति में प्रगति की है। हॉज सिद्धान्त, सहस्राब्दी पुरस्कार समस्याओं में से सम्मिश्र ज्यामिति के लिए एक महत्वपूर्ण समस्या है।

अवधारणा
समान्यतः सम्मिश्र ज्यामिति का संबंध रिक्त समष्टि और ज्यामितीय वस्तुओं से है जो एक अर्थ में, सम्मिश्र तल पर प्रतिरूपित होती हैं। एकल चर (गणित) के सम्मिश्र तल और सम्मिश्र विश्लेषण की विशेषताएँ जैसे कि उन्मुखता की एक आंतरिक धारणा (अर्थात, सम्मिश्र तल में प्रत्येक बिंदु पर 90 डिग्री वामावर्त निरंतर घूर्णन में सक्षम होना) और पूर्ण सममितिक फलन की सम्मिश्रता (अर्थात एक सम्मिश्र व्युत्पन्न का अस्तित्व सभी अनुक्रम के लिए सम्मिश्र भिन्नता का तात्पर्य है) सम्मिश्र ज्यामिति के अध्ययन के सभी रूपों में प्रकट होता है। एक उदाहरण के रूप में, प्रत्येक सम्मिश्र बहुरूपता सम्मिश्र रूप से उन्मुख है और लिउविल के प्रमेय का एक रूप संक्षिप्त सम्मिश्र बहुरूपता या प्रक्षेपीय सम्मिश्र बीजगणितीय विविधता पर आधारित है।

सम्मिश्र ज्यामिति अनुमान में भिन्न होती है जिसे वास्तविक ज्यामिति कहा जा सकता है वास्तविक संख्या रेखा के ज्यामितीय और विश्लेषणात्मक गुणों के आधार पर रिक्त समष्टि का अध्ययन किया जाता है उदाहरण के लिए, जबकि समतल विविध एकता के विभाजन को स्वीकृत करते हैं, समतल फलन का संग्रह जो कुछ विवृत समुच्चय पर समान रूप से एक के बराबर हो सकता है और समान रूप से शून्य हो सकता है, सम्मिश्र विविध पूर्ण सममितिक फलन के ऐसे संग्रह को स्वीकृत नहीं करते हैं। सामान्यतः यह पहचान प्रमेय की अभिव्यक्ति है और एकल चर के सम्मिश्र विश्लेषण में एक विशिष्ट परिणाम के साथ कुछ अर्थों में, सम्मिश्र ज्यामिति की नवीनता को इस मौलिक अवलोकन में खोजा जा सकता है। यह सच है कि प्रत्येक सम्मिश्र विविध विशेष रूप से एक वास्तविक समतल विविध है। ऐसा इसलिए है क्योंकि सम्मिश्र तल $$\mathbb{C}$$ अपनी सम्मिश्र संरचना के बाद वास्तविक तल $$\mathbb{R}^2$$ के समरूपी होता है। हालांकि, सम्मिश्र ज्यामिति को विशेष रूप से समाकल ज्यामिति के एक विशेष उप-क्षेत्र के रूप में नहीं देखा जाता है समतल विविध का अध्ययन के लिए विशेष रूप से, "सेरे गागा प्रमेय" का कहना है कि प्रत्येक प्रक्षेपी विश्लेषणात्मक विविधता वास्तव में एक बीजगणितीय विविधता है और एक विश्लेषणात्मक विविधता पर पूर्ण सममितिक फलन का अध्ययन बीजगणितीय आँकड़ा के अध्ययन के बराबर होता है।

यह समतुल्यता को स्पष्ट करती है कि सम्मिश्र ज्यामिति के कुछ अर्थों में अवकल ज्यामिति की तुलना में बीजगणितीय ज्यामिति के अधिक निकट है। इसका एक और उदाहरण जो सम्मिश्र समतल की प्रकृति से सम्बद्ध है वह यह है कि एकल चर के सम्मिश्र विश्लेषण में, मध्योद्भिदी फलन की विशिष्टताएं आसानी से वर्णित हैं। इसके विपरीत, एक निरंतर वास्तविक फलन के संभावित अद्वितीय प्रकार को चिह्नित करना अधिक कठिन होता है। इसके परिणामस्वरूप, सम्मिश्र ज्यामिति में एकल रिक्त समष्टि का आसानी से अध्ययन किया जा सकता है जैसे कि एकल सम्मिश्र विश्लेषणात्मक या एकल सम्मिश्र बीजगणितीय प्रकार के अवकल ज्यामिति में एकल रिक्त समष्टि के अध्ययन से प्रायः बचा जाता है।

अभ्यास में, सम्मिश्र ज्यामिति, अवकल ज्यामिति, बीजगणितीय ज्यामिति और कई सम्मिश्र चरों में विश्लेषण के प्रतिच्छेदन पर स्थित है और एक सम्मिश्र ज्यामिति मे रिक्त समष्टि का अध्ययन करने के लिए तीनों क्षेत्रों के उपकरणों का उपयोग करती है। सम्मिश्र ज्यामिति में रुचि की विशिष्ट दिशाओं में सम्मिश्र समष्टि के वर्गीकरण प्रमेय से संबद्ध पूर्ण सममितिक वस्तुओं का अध्ययन (जैसे पूर्ण सममितिक समष्टि और सुसंगत समष्ट) और सम्मिश्र ज्यामितीय वस्तुओं, गणित और भौतिकी के अन्य क्षेत्रों के बीच बीजगणितीय ज्यामिति संबंध सम्मिलित होता हैं।

परिभाषाएँ
सम्मिश्र ज्यामिति का संबंध सम्मिश्र विविध, सम्मिश्र बीजगणितीय विविधता और सम्मिश्र-विश्लेषणात्मक विविधता के अध्ययन से है। इसमे विविधता इस प्रकार के रिक्त समष्टि परिभाषित किए गए हैं जो उनके बीच संबंध को प्रस्तुत करते हैं।

सम्मिश्र विविध एक टोपोलॉजिकल समष्टि $$X$$ है जैसे है कि: ध्यान दें कि प्रत्येक द्वि पूर्णसममितिक एक भिन्नता है और $$\mathbb{C}^n$$ एक वास्तविक सदिश समष्टि के रूप में समरूपता $$\mathbb{R}^{2n}$$ है आयाम के प्रत्येक सम्मिश्र विविध $$n$$ के विशेष रूप से आयाम का एक सहज विविध $$2n$$ है जो एक सम संख्या होती है।
 * $$X$$ हौसडॉर्फ समष्टि और दूसरा गणनीय है।
 * $$X$$ के विवृत उपसमुच्चय के लिए स्थानीय रूप से पूर्ण सममितिक $$\mathbb{C}^n$$ है कुछ अन्य उपसमुच्चय के लिए $$n$$ अर्थात प्रत्येक बिंदु के लिए $$p\in X$$, एक विवृत उप समुच्चय है $U$ का $$p$$ और एक पूर्ण सममितिक $$\varphi: U \to V$$ के लिए उपसमुच्चय $$V\subseteq \mathbb{C}^n$$ ऐसे समुच्चय आरेख कहलाते हैं।
 * यदि $$(U_1,\varphi)$$ और $$(U_2,\psi)$$ कोई भी दो अतिव्यापी आरेख हैं जो विवृत समुच्चय पर चित्रण करते हैं $$V_1, V_2$$ का $$\mathbb{C}^n$$ क्रमशः संक्रमण फलन $$\psi \circ \varphi^{-1}:\varphi(U_1\cap U_2) \to \psi(U_1\cap U_2)$$ एक द्वि पूर्ण सममितिक है।

सम्मिश्र विविध के विपरीत जो सदैव विषम होती हैं सम्मिश्र ज्यामिति भी संभवतः एकल रिक्त समष्टि से संबंधित होती है। सम्मिश्र विश्लेषणात्मक विविधता एक उपसमुच्चय $$X\subseteq \mathbb{C}^n$$ है जो ऐसा है कि प्रत्येक बिंदु के विषय में $$p\in X$$ एक विवृत उप समुच्चय है $$U$$ का $$p$$ और सूक्ष्म रूप से कई पूर्णसममितिक फलन का संग्रह $$f_1, \dots, f_k: U \to \mathbb{C}$$ ऐसा है कि $$X\cap U = \{z\in U \mid f_1(z) = \cdots = f_k(z) = 0\} = Z(f_1,\dots,f_k)$$ के अनुसार $$X$$ समुच्चय की भी आवश्यकता होती है अखंडनीय बीजगणितीय समुच्चय एक बिंदु $$p\in X$$ एकल समुच्चय है यदि पूर्ण सममितिक फलन के सदिश का जैकबियन आव्यूह $$(f_1,\dots,f_k)$$ में $$p$$ नहीं है और गैर-एकल समुच्चय एक 'प्रक्षेपी सम्मिश्र विश्लेषणात्मक विविध' एक उपसमुच्चय है $$X\subseteq \mathbb{CP}^n$$ सम्मिश्र प्रक्षेप्य समष्टि उसी प्रकार एक स्थानीय रूप से विवृत उपसमुच्चय पर पूर्णसममितिक फलन के एक परिमित संग्रह $$\mathbb{CP}^n$$ के रिक्त समुच्चय द्वारा दिया जाता है।

इसी प्रकार एक सम्मिश्र बीजगणितीय विविधता $$X\subseteq \mathbb{C}^n$$ को उपसमुच्चय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसे स्थानीय रूप से बहुत से बहुपदों के रिक्त समुच्चय के रूप में $$n$$ सम्मिश्र चर दिया जाता है। एक प्रक्षेपी सम्मिश्र बीजगणितीय विविधता को परिभाषित करने के लिए, उपसमुच्चय $$X\subseteq \mathbb{CP}^n$$ की आवश्यकता होती है स्थानीय रूप से कई सजातीय बहुपदो के रिक्त समुच्चय द्वारा दिया जाना आवश्यक होता है। एक सामान्य सम्मिश्र बीजगणितीय या सम्मिश्र विश्लेषणात्मक विविधता को परिभाषित करने के लिए, किसी को स्थानीय रूप से दीर्घवृत्तीय समष्टि की धारणा की आवश्यकता होती है। एक 'सम्मिश्र बीजगणितीय/विश्लेषणात्मक विविधता' स्थानीय रूप से दीर्घवृत्तीय समष्टि $$(X,\mathcal{O}_X)$$ है जो स्थानीय रूप से पूर्णसममितिक फलन है और दीर्घवृत्तीय समष्टि के रूप में सम्मिश्र बीजगणितीय/विश्लेषणात्मक विविधता के लिए विश्लेषणात्मक स्थिति में $$X$$ को समान्यतः स्वीकृति देता है विवृत उपसमुच्चय के साथ पहचान के कारण स्थानीय रूप से उप-समष्टि टोपोलॉजी के समतुल्य एक टोपोलॉजी $$\mathbb{C}^n$$ है जबकि बीजगणितीय स्थिति में $$X$$ प्रायः जरिस्की टोपोलॉजी से संबद्ध है। और समुच्चय विश्लेषणात्मक विविधता द्वारा इस स्थानीय रूप से समष्टि को अप्रासंगिक होने की आवश्यकता होती है।

चूंकि सम्मिश्र बीजगणितीय बिंदु की परिभाषा सजातीय है इसलिए एक सजातीय विश्लेषणात्मक/बीजगणितीय विविधता के लिए दी गई परिभाषा किसी भी सम्मिश्र विश्लेषणात्मक या बीजगणितीय विविधता के बिंदुओं पर प्रयुक्त होती है विभिन्न प्रकार के बिंदुओं का समूह $$X$$ जो सजातीय हैं उन्हें एकल समष्टि कहा जाता है जिसे सम्मिश्र $$X^{sing}$$ द्वारा निरूपित किया जाता है और पूरक गैर-सम्मिश्र या समतल समष्टि है जिसे $$X^{nonsing}$$ द्वारा निरूपित किया गया है एक सम्मिश्र विविधता समतल या गैर-सम्मिश्र है यदि इसका एकल समष्टि रिक्त है। अर्थात यदि यह अपने गैर-सम्मिश्र समष्टि के बराबर है।

पूर्ण सममितिक फलन के लिए अंतर्निहित फलन प्रमेय द्वारा प्रत्येक सम्मिश्र विविध विशेष रूप से एक गैर-एकल सम्मिश्र विश्लेषणात्मक विविधता है लेकिन सामान्य संबंध या प्रक्षेपीय नहीं है। "सेरे गागा प्रमेय" द्वारा प्रत्येक प्रक्षेपी सम्मिश्र विश्लेषणात्मक विविधता वास्तव में एक प्रक्षेपी सम्मिश्र बीजगणितीय विविधता है। जब एक सम्मिश्र विविधता गैर-सम्मिश्र विश्लेषणात्मक होती है तो यह एक सम्मिश्र विविध होती है। सामान्यतः किसी भी सम्मिश्र विविधता का गैर-सम्मिश्र समष्टि एक सम्मिश्र विविधता है।

काहलर विविध
सम्मिश्र विविध का अवकल ज्यामिति के परिप्रेक्ष्य से अध्ययन किया जा सकता है जिससे वे अतिरिक्त ज्यामितीय संरचनाओं जैसे कि रीमानी ज्यमिति या सम्मिश्र ज्यमिति मे समान होते हैं इस अतिरिक्त संरचना मे सम्मिश्र ज्यामिति के लिए प्रासंगिक का उपयुक्त अर्थ सम्मिश्र संरचना के साथ संगत होने के लिए कहना है काहलर विविध एक सम्मिश्र विविध है जिसमें रीमानी ज्यमिति और सम्मिश्र संरचना के साथ सम्मिश्र संरचना है। काहलर विविध का प्रत्येक सम्मिश्र काहलर उपविविध है और इसलिए विशेष रूप से प्रत्येक गैर-एकल संबंध या प्रक्षेपी सम्मिश्र विविधता काहलर है जो $$\mathbb{C}^n$$ पर मानक हर्मिटियन ज्यामिति या फ़ुबिनी-अध्ययन ज्यामिति $$\mathbb{CP}^n$$ को प्रतिबंधित करने के बाद है। काहलर विविध के अन्य महत्वपूर्ण उदाहरणों में रीमैन सतह, K-3 सतह और कैलाबी-याउ विविध सम्मिलित हैं।

स्टीन विविध
सेरे गागा प्रमेय का अनुमान है कि प्रक्षेपी सम्मिश्र विश्लेषणात्मक विविध वास्तव में बीजगणितीय हैं। जबकि यह सजातीय सम्मिश्र के लिए पूरी तरह से सच नहीं है सम्मिश्र विविध का एक वर्ग है जो स्टीन विविध कहे जाने वाले सजातीय सम्मिश्र बीजगणितीय प्रकार की तरह अपेक्षाकृत अधिक कार्यरत फलन है। विविध $$X$$ स्टीन विविध है यदि यह पूर्ण सममितिक रूप से उत्तल और पूर्ण सममितिक वियोज्य है तकनीकी परिभाषाओं के लिए स्टीन विविध पर लेख देखें)। हालाँकि यह दिखाया जा सकता है कि यह कुछ n के लिए $$\mathbb{C}^n$$ के एक सम्मिश्र उप विविध $$X$$ के बराबर है। एक अन्य तरीका जिसमें स्टीन विविध सम्मिश्र बीजगणितीय प्रकार के समान हैं वह यह है कि कार्टन के प्रमेय A और B स्टीन विविध के लिए समान हैं। स्टीन विविध के उदाहरणों में गैर-सम्मिश्र रीमैन सतह और गैर-अद्वितीय सजातीय सम्मिश्र बीजगणितीय प्रकार सम्मिलित होते हैं।

कैहलर विविध
सम्मिश्र विविध का एक विशेष वर्ग कैहलर विविध रीमैनियन विविध हैं जो तीन अलग-अलग संगत पूर्णांक लगभग सम्मिश्र संरचनाओं $$I,J,K$$ को स्वीकृत करते हैं जो चतुष्कोणीय संबंधों $$I^2 = J^2 = K^2 = IJK = -\operatorname{Id}$$ को संतुष्ट करते हैं। इस प्रकार, कैहलर विविध तीन अलग-अलग तरीकों से काहलर विविध हैं और बाद में एक समृद्ध ज्यामितीय संरचना है। कैहलर विविध के उदाहरणों में एएलई समष्टि, K-3 सतह, हिग्स मोडुली समष्टि और गेज सिद्धांत और विरूपण सिद्धान्त से उत्पन्न होने वाले कई अन्य मोडुली समष्टि सम्मिलित हैं।

कैलाबी-याउ विविध
जैसा कि उल्लेख किया गया है कि कैहलर विविध का एक विशेष वर्ग कैलाबी-याउ विविध द्वारा दिया गया है। ये कैहलर विविध द्वारा तुच्छ विहित समूह $$K_X = \Lambda^n T_{1,0}^* X$$ के साथ दिए गए हैं सामान्यतः कैलाबी-याउ विविध की परिभाषा के लिए भी $$X$$ को सम्मिश्र होना आवश्यक है। इस स्थिति में कैलाबी अनुमान के यौस प्रमाण का तात्पर्य है कि $$X$$ सम्मिश्र वक्रता के साथ एक काहलर विविध को स्वीकृत करता है और इसे कैलाबी-याउ की समकक्ष परिभाषा के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।

कैलाबी-याउ विविध को स्ट्रिंग सिद्धान्त और दर्पण समरूपता में उपयोग किया जाता है जहां वे स्ट्रिंग सिद्धान्त के 10-आयामी मॉडल में समष्टि के अतिरिक्त 6 आयामों को मॉडल करने के लिए उपयोग किए जाते हैं। कैलाबी-याउ विविध के उदाहरण दीर्घवृत्तीय वक्र, K-3 सतह और सम्मिश्र विविध द्वारा दिए गए हैं।

सम्मिश्र फ़ानो विविध
सम्मिश्र फ़ानो विविध एक सम्मिश्र बीजगणितीय विविध है जिसमें पर्याप्त रेखीय समूह गैर विहित रेखीय समूह है (जो $$K_X^*$$ के लिए पर्याप्त है) फ़ानो विविध की जटिल बीजगणितीय ज्यामिति और विशेष रूप से द्विवार्षिक ज्यामिति में अत्यधिक रुचि है, जहाँ वे प्रायः न्यूनतम मॉडल फलन में उत्पन्न होती हैं। फैनो विविध के मौलिक उदाहरण प्रक्षेपीय समष्टि $$\mathbb{CP}^n$$ द्वारा दिए गए हैं जहां $$K=\mathcal{O}(-n-1)$$ और ऊनविम सतह (हाइपरसर्फफेस) $$\mathbb{CP}^n$$ से अपेक्षाकृत $$n+1$$ कम है।

टोरिक विविध
टोरिक विविध सम्मिश्र बीजगणितीय विविध का आयाम $$n$$ हैं जिनमें $$(\mathbb{C}^*)^n$$ के लिए एक विवृत सघन उपसमुच्चय पूर्ण सममितिक होता है, जो $$(\mathbb{C}^*)^n$$ की क्रिया से सुसज्जित होता है और विवृत सघन उपसमुच्चय पर क्रिया का विस्तार करता है। टोरिक विविध को उसके टॉरिक समुच्चय द्वारा संयोजी रूप से वर्णित किया जा सकता है और कम से कम जब यह गैर अद्वितीय होता है तो आघूर्ण बहुतलीय विविध द्वारा यह $$\mathbb{R}^n$$ में एक बहुभुज है जिसकी विविध ज्यामिति के साथ किसी भी शीर्ष को धनात्मक के शीर्ष के मानक रूप में क्रिया द्वारा $$\operatorname{GL}(n,\mathbb{Z})$$ मान प्राप्त किया जा सकता है टॉरिक विविध को एक उपयुक्त समष्टि के रूप में प्राप्त किया जा सकता है जो आघूर्ण बहुतलीय विविध से संबद्ध होता है।

कई निर्माण जो टॉरिक विविध पर किए जाते हैं आघूर्ण बहुतलीय या इसके संबंधित टॉरिक प्रशंसक के संयोजन और ज्यामिति के संदर्भ में वैकल्पिक विवरण स्वीकृत करते हैं। यह टोरिक विविध को सम्मिश्र ज्यामिति में कई निर्माणों के लिए विशेष रूप से आकर्षक परीक्षण की स्थिति को बनाता है। टॉरिक विविध के उदाहरणों में सम्मिश्र प्रक्षेपीय समष्टि और उनके ऊपर रेखीय समूह सम्मिलित हैं।

सम्मिश्र ज्यामिति में तकनीक
पूर्ण सममितिक फलन और सम्मिश्र विविध की सम्मिश्र ज्यामिति के कारण समान्यतः सम्मिश्र विविध और सम्मिश्र प्रकार का अध्ययन करने के लिए उपयोग की जाने वाली तकनीकें नियमित अवकल ज्यामिति में उपयोग की जाने वाली तकनीकों से भिन्न होती हैं और बीजगणितीय ज्यामिति में उपयोग की जाने वाली तकनीकों के निकट होती हैं। उदाहरण के लिए अवकलन ज्यामिति में समष्टि निर्माणों को लेकर और समरूपता के विभाजनों का उपयोग करके उन्हें विश्व स्तर पर एक साथ जोड़कर कई समस्याओं का सामना किया जाता है। समरूपता के विभाजन सम्मिश्र ज्यामिति में सम्मिलित नहीं होते हैं और इसलिए समष्टि आंकड़ा को वैश्विक आंकड़ा में कभी भी प्रयुक्त किया जा सकता है इसकी समस्या अपेक्षाकृत अधिक सूक्ष्म होती है। स्पष्ट रूप से जब समष्टि आंकड़ा को एक साथ प्रयुक्त किया जा सकता है तो उपयुक्त समीकरण को शीफ सह-समरूपता द्वारा मापा जाता है तब सम्मिश्र विविध और उनके सह समरूपता समूह प्रमुख उपकरण होते हैं।

उदाहरण के लिए, आधुनिक परिभाषाओं के प्रारम्भ से पहले कई सम्मिश्र चर (गणित) के विश्लेषण में प्रसिद्ध समस्याएं "कॉउसिन" की समस्याएं हैं यह पूछने पर कि वैश्विक मेरोमोर्फिक फलन प्राप्त करने के लिए समष्टि मेरोमोर्फिक आंकड़ा को प्रयुक्त किया जा सकता है। इन पुरानी समस्याओं को आसानी से एकत्र करके और सह समरूपता समूहों के प्रारम्भ के बाद हल किया जा सकता है। सम्मिश्र ज्यामिति में उपयोग किए जाने वाले दर्पण के विशेष उदाहरणों में पूर्ण सममितिक रेखीय समूह और उनसे संबद्ध विभाजक (बीजीय ज्यामिति), पूर्ण सममितिक सदिश समूह और सुसंगत सम्मिश्र सम्मिलित हैं। चूंकि शीफ सह समरूपता सम्मिश्र ज्यामिति में अवरोधों को मापता है और एक तकनीक जिसका उपयोग लुप्त प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए किया जाता है। सम्मिश्र ज्यामिति में लुप्त होने वाले प्रमेय के उदाहरणों में सम्मिश्र काहलर विविध पर रेखीय समूहों के सह समरूपता के लिए कोडैरा लुप्तप्राय प्रमेय और कार्टन की प्रमेय A और B सम्मिलित हैं जो सम्मिश्र सम्मिश्र प्रकार के सुसंगत सम्मिश्र ज्यामिति के सह समरूपता के लिए विकसित हैं।

सम्मिश्र ज्यामिति भी अवकल ज्यामिति और विश्लेषण से उत्पन्न होने वाली तकनीकों का उपयोग करती है। उदाहरण के लिए, अतियाह-सिंगर तालिका प्रमेय की एक विशेष स्थिति हिर्ज़ब्रुच-रिमैन-रोच प्रमेय, अंतर्निहित समतल सम्मिश्र सदिश समूह के विशिष्ट वर्गों के संदर्भ में एक पूर्ण सममितिक सदिश समूह के पूर्ण सममितिक यूलर प्रमेय की विशेषता की गणना करता है।

सम्मिश्र ज्यामिति में वर्गीकरण
सम्मिश्र ज्यामिति में एक प्रमुख विषय वर्गीकरण प्रमेय है। सम्मिश्र विविध प्रकार की सम्मिश्र प्रकृति के कारण, इन समष्टों को वर्गीकृत करने की समस्या प्रायः सरल होती है। सम्मिश्र और बीजगणितीय ज्यामिति में वर्गीकरण प्रायः मोडुली रिक्त समष्टि के अध्ययन के माध्यम से होता है, जो स्वयं सम्मिश्र विविध प्रकार के होते हैं जिनके बिंदु सम्मिश्र ज्यामिति में उत्पन्न होने वाली अन्य ज्यामितीय वस्तुओं को वर्गीकृत करते हैं।

रीमैन सतह
रिमैन सतहों पर अपने मूल कार्य के समय मोडुली शब्द बर्नहार्ड रीमै द्वारा निर्मित किया गया था। सम्मिश्र रीमैन सतहों के लिए वर्गीकरण सिद्धांत सबसे प्रसिद्ध है। संवृत उन्मुख सतहों के वर्गीकरण के द्वारा, संक्षिप्त रीमैन सतह असतत प्रकारों की एक गणनीय संख्या में आती हैं जो कि उनके वर्ग $$g$$ द्वारा मापा जाता है जो एक गैर-धनात्मक पूर्णांक है जो दी गई संक्षिप्त रीमैन सतह में बिन्दुओ की संख्या की गणना करता है।

वर्गीकरण अनिवार्य रूप से एकरूपता प्रमेय से होता है जो इस प्रकार है:
 * $$g$$ = 0: $$\mathbb{CP}^1$$
 * $$g$$ = 1: वर्ग 1 की संभावित सम्मिश्र रीमैन सतहों को वर्गीकृत करने वाला एक आयामी सम्मिश्र विविध है तथा कथित दीर्घवृत्तीय वक्र, मॉड्यूलर वक्र एकरूपीकरण प्रमेय द्वारा किसी भी दीर्घवृत्तीय वक्र को $$\mathbb{C}/(\mathbb{Z} + \tau \mathbb{Z})$$ भागफल के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ $$\tau$$ सम्मिश्र ज्यामिति से धनात्मक काल्पनिक भाग के साथ एक सम्मिश्र संख्या है। जो मॉडुलि समष्टि समूह के भागफल $$\operatorname{PSL}(2,\mathbb{Z})$$ द्वारा दिया जाता है जिससे मोबियस रूपांतरण द्वारा ऊपरी अर्ध समतल पर कार्य करना संभव होता है।
 * $$g$$ > 1: एक से अधिक प्रत्येक वर्ग के लिए, एक मोडुली समष्टि$$\mathcal{M}_g$$ होता है वर्ग $$g$$ सम्मिश्र रीमैन सतह का आयाम $$\dim_{\mathbb{C}} \mathcal{M}_g = 3g-3$$ दीर्घवृत्तीय वक्रों की स्थिति के समान यह समष्टि समूह की क्रिया द्वारा सीगेल टकी परीक्षण समष्टि के एक उपयुक्त भाग $$\operatorname{Sp}(2g, \mathbb{Z})$$ द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।

पूर्ण सममितिक रेखीय समूह
सम्मिश्र ज्यामिति का संबंध न केवल सम्मिश्र समष्टि से है, बल्कि उनसे संबद्ध अन्य पूर्णसममितिक वस्तुओं से भी है। एक सम्मिश्र विविध $$X$$ पर पूर्ण सममितिक रेखीय समूहों का वर्गीकरण पिकार्ड विविध $$\operatorname{Pic}(X)$$द्वारा दिया गया है पिकार्ड विविध के सम्मिश्र ज्यामिति को उस स्थिति में आसानी से वर्णित किया जा सकता है जहां $$X$$ सम्मिश्र $$g$$ की एक सम्मिश्र रीमैन सतह है। अर्थात्, इस स्थिति में पिकार्ड विविध के सम्मिश्र सजातीय विविध का एक अलग संघ है जिनमें से प्रत्येक वक्र के जैकोबी विविध के लिए समरूपी है शून्य घात के विभाजकों को रैखिक तुल्यता वर्गीकृत करती है। अवकल ज्यामितीय शब्दों में, ये सजातीय विविध सम्मिश्र संक्षिप्त विविधता $$(S^1)^{2g}$$ संभवतः कई अलग-अलग सम्मिश्र संरचनाओं में से एक के साथ समरूपी होते हैं।

टोरेली प्रमेय द्वारा, एक सम्मिश्र रीमैन सतह को इसकी जैकोबियन विविधता द्वारा निर्धारित किया जाता है और यह एक कारण दर्शाता है कि सम्मिश्र रिक्त समष्टि पर संरचनाओं का अध्ययन उपयोगी हो सकता है, जिसमें यह किसी रिक्त समष्टि को वर्गीकृत करने की स्वीकृति दे सकता है।