रैंडम क्लस्टर मॉडल

सांख्यिकीय यांत्रिकी, प्रायिकता सिद्धांत, ग्राफ सिद्धांत आदि में यादृच्छिक क्लस्टर मॉडल यादृच्छिक ग्राफ है जो आइसिंग मॉडल, पॉट्स मॉडल और परकोलेशन सिद्धांत को सामान्यीकृत और एकीकृत करता है। इसका उपयोग यादृच्छिक संयोजन संरचनाओं, विद्युत नेटवर्क आदि का अध्ययन करने के लिए किया जाता है। इसके संस्थापकों सीज़ फोर्टुइन और पीट कस्टेले के पश्चात इसे आरसी मॉडल अथवा कभी-कभी एफके प्रतिनिधित्व के रूप में भी जाना जाता है।

परिभाषा
मान लीजिए $$G = (V,E)$$ ग्राफ़ है, और $$\omega: E \to \{0,1\}$$ ग्राफ़ पर बॉन्ड कॉन्फ़िगरेशन है जो प्रत्येक कोर को 0 या 1 के मान पर मैप करता है। हम कहते हैं कि बॉन्ड कोर $$e\in E$$ पर विवृत है यदि $$\omega(e)=0$$ है, और संवृत होता है यदि $$\omega(e)=1$$ है। यदि हम $$A(\omega) = \{e\in E : \omega(e)=1 \}$$ को संवृत बांडों का समुच्चय मानते हैं, तो संवृत क्लस्टर $$A(\omega)$$ में कोई संयोजित घटक है। ध्यान दें कि संवृत क्लस्टर एकल शीर्ष हो सकता है (यदि वह शीर्ष किसी भी संवृत बांड के लिए घटना (ग्राफ़) नहीं है)।

मान लीजिए कि कोर प्रायिकता $$p$$ के साथ स्वतंत्र रूप से संवृत है और अन्यथा विवृत कर दिया गया है, तो यह केवल मानक बर्नौली अंतःक्षेपण प्रक्रिया है। किसी कॉन्फ़िगरेशन का प्रायिकता माप $$\omega$$ के रूप में दिया गया है-


 * $$\mu(\omega) = \prod_{e \in E} p^{\omega(e)}(1-p)^{1-\omega(e)}.$$

आरसी मॉडल परकोलेशन का सामान्यीकरण है, जहां प्रत्येक क्लस्टर को $$q$$ के गुणक द्वारा भारित किया जाता है। कॉन्फ़िगरेशन $$\omega$$ को देखते हुए, हम $$C(\omega)$$ को संवृत समूहों की संख्या, अथवा वैकल्पिक रूप से संवृत बांड द्वारा गठित संयोजित घटकों की संख्या मानते हैं। तत्पश्चात किसी भी $$q>0$$ के लिए, किसी कॉन्फ़िगरेशन $$\omega$$ का प्रायिकता माप इस प्रकार दिया गया है-


 * $$\mu(\omega) = \frac{1}{Z} q^{C(\omega)}\prod_{e \in E} p^{\omega(e)}(1-p)^{1-\omega(e)}. $$

Z विभाजन फलन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) है, अथवा सभी कॉन्फ़िगरेशन के असामान्य भार का योग है,


 * $$Z = \sum_{\omega \in \Omega} \left\{q^{C(\omega)}\prod_{e \in E(G)} p^{\omega(e)}(1-p)^{1-\omega(e)} \right\}. $$

आरसी मॉडल का विभाजन फलन टुटे बहुपद की विशेषज्ञता है, जो स्वयं बहुभिन्नरूपी टुटे बहुपद की विशेषज्ञता है।

q के विशेष मान
यादृच्छिक क्लस्टर मॉडल का पैरामीटर $$q$$ आरबिटरेरी सम्मिश्र मान ले सकता है। इसमें निम्नलिखित विशेष स्थितियाँ सम्मिलित हैं:


 * $$q\to 0$$: रैखिक प्रतिरोध नेटवर्क।
 * $$q < 1$$: ऋणात्मक रूप से सहसंबद्ध अंतःक्षेपण।
 * $$q=1$$: $$Z=1$$ के साथ बर्नौली अंतःक्षेपण।
 * $$q=2$$: आइसिंग मॉडल।
 * $$q\in \mathbb{Z}^{+}$$: $$q$$-स्टेट पॉट्स मॉडल।

एडवर्ड्स-सोकल प्रतिनिधित्व
पॉट्स मॉडल के एडवर्ड्स-सोकल (ईएस) प्रतिनिधित्व का नाम रॉबर्ट जी. एडवर्ड्स और एलन डी. सोकल के नाम पर रखा गया है। यह स्पिन और बॉन्ड कॉन्फ़िगरेशन के संयुक्त प्रायिकता वितरण के संदर्भ में पॉट्स और यादृच्छिक क्लस्टर मॉडल का एकीकृत प्रतिनिधित्व प्रदान करता है।

मान लीजिए $$G = (V, E)$$ ग्राफ है, जिसके शीर्षों की संख्या $$n = |V|$$ है और कोरों की संख्या $$m = |E|$$ है। हम स्पिन कॉन्फ़िगरेशन को $$\sigma\in \mathbb{Z}_q^n$$ और बॉन्ड कॉन्फ़िगरेशन को $$\omega\in \{0,1\}^m$$ के रूप में दर्शाते हैं। $$(\sigma,\omega)$$ का संयुक्त माप इस प्रकार दिया गया है
 * $$ \mu(\sigma,\omega) = Z^{-1}\psi(\sigma)\phi_p(\omega)1_A(\sigma,\omega), $$

जहाँ $$\psi$$ समान माप है, $$\phi_p$$ घनत्व $$p = 1-e^{-\beta}$$ के साथ उत्पाद माप है, और $$ Z $$ उपयुक्त सामान्यीकरण स्थिरांक है। महत्वपूर्ण रूप से, सूचक फलन $$1_A$$ निम्नलिखित बाधा प्रारम्भ करता है,
 * $$ A = \{ (\sigma,\omega) : \sigma_i = \sigma_j \text{ for any edge } (i,j) \text{ where } \omega = 1 \}, $$

इसका अर्थ यह है कि बंधन केवल कोर पर संवृत हो सकता है यदि आसन्न स्पिन समान स्थिति के हों, जिसे स्वेंडसेन-वांग एल्गोरिदम के रूप में भी जाना जाता है।

ईएस प्रतिनिधित्व की निम्नलिखित विशेषताओं के कारण पॉट्स स्पिन के तथ्यांक क्लस्टर तथ्यांकों (और इसके विपरीत) से पुनर्प्राप्त किए जा सकते हैं:


 * स्पिन का सीमांत वितरण $$ \mu(\sigma) $$ विपरीत तापमान $$ \beta $$ पर q-स्टेट पॉट्स मॉडल का बोल्ट्जमान माप है।
 * बांड का सीमांत माप $$ \phi_{p, q}(\omega) $$ पैरामीटर q और p के साथ यादृच्छिक-क्लस्टर माप है।
 * स्पिन का सशर्त प्रायिकता वितरण $$ \mu(\sigma \,|\, \omega) $$ प्रत्येक कनेक्ट घटक पर स्पिन स्थितियों के समान यादृच्छिक असाइनमेंट का प्रतिनिधित्व करता है।
 * बांड का प्रतिबंधात्मक माप $$ \phi_{p,q}(\omega \,|\, \sigma) $$ उन कोरों पर अंतःक्षेपण प्रक्रिया (अनुपात p) का प्रतिनिधित्व करता है जहां आसन्न स्पिन संरेखित होते हैं।
 * आइसिंग मॉडल की स्थिति में, संभावना है कि दो शीर्ष $$ (i,j) $$ जुड़े हुए घटक में हैं, स्पिन $$ \sigma_i \text{ and } \sigma_j $$, या $$\phi_{p,q}(i \leftrightarrow j) = \langle \sigma_i\sigma_j \rangle$$ के दो-बिंदु सहसंबंध फलन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) के समान है।

फ़्रस्ट्रेशन
स्पिन मॉडल में ज्यामितीय फ़्रस्ट्रेशन उपस्थित होने पर ईएस प्रतिनिधित्व की कई समष्टियाँ होती हैं (उदाहरण के लिए समान जाली में फेरोमैग्नेटिक और एंटी-फेरोमैग्नेटिक कपलिंग के साथ आइसिंग मॉडल है)। विशेष रूप से, स्पिन सांख्यिकीय और क्लस्टर सांख्यिकीय के मध्य अब कोई पत्राचार नहीं है, और आरसी मॉडल की सहसंबंध लंबाई स्पिन मॉडल की सहसंबंध लंबाई से अधिक होगी। फ़्रस्ट्रेशन प्रणालियों के अनुकरण के लिए एसडब्ल्यू एल्गोरिदम की अक्षमता का यही कारण है।

द्वि-आयामी स्थिति
यदि अंतर्निहित ग्राफ $$G$$ समतलीय ग्राफ है, तो $$G$$ पर यादृच्छिक क्लस्टर मॉडल और द्वैत ग्राफ़ $$G^*$$ के मध्य द्वैत है। विभाजन फलन के स्तर पर, द्वैत पढ़ता है

\tilde{Z}_G(q,v) = q^{|V|-|E|-1}v^{|E|} \tilde{Z}_{G^*}\left(q, \frac{q}{v}\right) \qquad \text{with} \qquad v = \frac{p}{1-p}\quad \text{and}\quad \tilde{Z}_G(q,v) = (1-p)^{-|E|}Z_G(q,v) $$ वर्गाकार जाली जैसे स्व-द्वैत ग्राफ़ पर, चरण संक्रमण केवल स्व-द्वैत युग्मन $$v_\text{self-dual}=\sqrt{q}$$ पर ही हो सकता है।

समतल ग्राफ पर यादृच्छिक क्लस्टर मॉडल को संबंधित औसत ग्राफ पर लूप मॉडल के रूप में पुन: प्रस्तुत किया जा सकता है। यादृच्छिक क्लस्टर मॉडल के कॉन्फ़िगरेशन $$\omega$$ के लिए, संबंधित लूप कॉन्फ़िगरेशन सेल्फ-अवोइडिंग लूप का समुच्चय होता है जो क्लस्टर को द्वैत क्लस्टर से पृथक करता है। स्थानांतरण-आव्यूह विधि में, लूप मॉडल को पैरामीटर $$\delta = q$$ के साथ टेम्परली-लिब बीजगणित के संदर्भ में लिखा जाता है।

इतिहास और अनुप्रयोग
आरसी मॉडल 1969 में फोर्टुइन और पीटर कस्टेली द्वारा मुख्य रूप से कॉम्बिनेटरियल समस्याओं का समाधान करने के लिए प्रस्तुत किए गए थे। इस प्रकार उनके संस्थापकों के नाम पर, इसे कभी-कभी एफके मॉडल के रूप में जाना जाता है। 1971 में उन्होंने इसका उपयोग एफकेजी असमानता प्राप्त करने के लिए किया था। 1987 के पश्चात, सांख्यिकीय भौतिकी में मॉडल और अनुप्रयोगों में रुचि पुनः जागृत हुई। यह पॉट्स मॉडल के समय-विकास का वर्णन करने वाले स्वेंडसेन-वांग एल्गोरिदम के लिए प्रेरणा बन गया था। माइकल एज़ेनमैन और सह-लेखकों ने इसका उपयोग 1डी इज़िंग और पॉट्स मॉडल में चरण सीमा का अध्ययन करने के लिए किया था।

यह भी देखें

 * टुटे बहुपद
 * आइज़िंग मॉडल
 * यादृच्छिक ग्राफ
 * स्वेंडसेन-वांग एल्गोरिदम
 * एफकेजी असमानता

बाहरी संबंध

 * Random-Cluster Model – Wolfram MathWorld