मिलर सूचकांक

मिलर सूचकांक क्रिस्टल (ब्रावाइस जाली) में जाली सतहों के लिए क्रिस्टलोग्राफी में एक संकेतन प्रणाली बनाते हैं।

विशेष रूप से, किसी दिए गए (प्रत्यक्ष) ब्रावाइस जाली के जाली सतहों का एक परिवार तीन पूर्णांक h, k, और ℓ, मिलर सूचकांकों द्वारा निर्धारित किया जाता है। वे (एचकेएल) लिखे गए हैं, और समानांतर जाली सतहों (दिए गए ब्राविस जाली के) ऑर्थोगोनल के परिवार को निरूपित करते हैं $$\mathbf{g}_{hk\ell} = h\mathbf{b_1} + k\mathbf{b_2} + \ell\mathbf{b_3}$$, जहां $$\mathbf{b_i}$$ दिए गए ब्राविस जाली के लिए पारस्परिक जाली के आधार (रैखिक बीजगणित) या ब्राविस जाली हैं। (ध्यान दें कि सतहों हमेशा प्रत्यक्ष या मूल जाली वैक्टर के रैखिक संयोजन के लिए ऑर्थोगोनल नहीं होता है, $$h\mathbf{a_1} + k\mathbf{a_2} + \ell\mathbf{a_3}$$ क्योंकि प्रत्यक्ष जाली वैक्टर को पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल होने की आवश्यकता नहीं है।) यह इस तथ्य पर आधारित है कि एक पारस्परिक जाली वेक्टर $$\mathbf{g}$$ (पारस्परिक जाली मूल से एक पारस्परिक जाली बिंदु का संकेत देने वाला वेक्टर) एक स्थानिक फ़ंक्शन (जैसे, इलेक्ट्रॉनिक घनत्व फ़ंक्शन) की फूरियर श्रृंखला में एक समतल तरंग का वेववेक्टर है, जो आवधिकता मूल ब्राविस जाली का अनुसरण करती है, इसलिए समतल तरंग के तरंग मूल जाली के समानांतर जालीदार सतहों के साथ संपाती हैं। एक्स-रे क्रिस्टलोग्राफी में मापे गए स्कैटरिंग वेक्टर के बाद से, $$\mathbf{\Delta k}= \mathbf{k}_{\mathrm{out}} - \mathbf{k}_{\mathrm{in}}$$ साथ $$\mathbf{k}_{\mathrm{out}}$$ आउटगोइंग के रूप में (एक क्रिस्टल जाली से बिखरा हुआ) एक्स-रे वेववेक्टर और $$\mathbf{k}_{\mathrm{in}}$$ आने वाली (क्रिस्टल जाली की ओर) एक्स-रे वेववेक्टर के रूप में, एक पारस्परिक जाली वेक्टर के बराबर है $$\mathbf{g}$$ जैसा कि लाउ समीकरणों द्वारा कहा गया है, मापा गया बिखरा हुआ एक्स-रे शिखर प्रत्येक मापा बिखरने वाले वेक्टर पर होता है $$\mathbf{\Delta k}$$ मिलर सूचकांकों द्वारा चिह्नित है। परिपाटी के अनुसार, ऋणात्मक पूर्णांकों को एक बार के साथ जैसे कि -3 के लिए $\overline{3}$ लिखा जाता है। पूर्णांक सामान्यतः सबसे कम शब्दों में लिखे जाते हैं, यानी उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक 1 होना चाहिए। मिलर सूचकांकों का उपयोग एक्स-रे क्रिस्टलोग्राफी में प्रतिबिंबों को नामित करने के लिए भी किया जाता है। इस मामले में पूर्णांक आवश्यक रूप से निम्नतम शब्दों में नहीं हैं, और इसके बारे में सोचा जा सकता है कि सतहों के बीच की दूरी इस तरह है कि आसन्न सतहों के प्रतिबिंबों में ठीक एक तरंग दैर्ध्य (2π) का चरण अंतर होगा, भले ही सभी पर परमाणु हों या नहीं। ये सतहों हैं या नहीं।

कई संबंधित नोटेशन भी हैं क्रिस्टल दिशाओं (सतहोंों नहीं) के संदर्भ में, संबंधित अंकन हैं: ध्यान दें, लाउ-ब्रैग के हस्तक्षेप के लिए
 * अंकन {एचकेएल} जाली के समरूपता द्वारा (एचकेएल) के समतुल्य सभी सतहों के सेट को दर्शाता है।
 * [एचकेएल], गोल ब्रैकेट के बजाय वर्ग के साथ, पारस्परिक जाली के बजाय प्रत्यक्ष जाली वैक्टर के आधार पर एक दिशा को दर्शाता है; तथा
 * इसी प्रकार, अंकन <एचकेएल> समरूपता द्वारा [एचकेएल] के समतुल्य सभी दिशाओं के समुच्चय को दर्शाता है।
 * प्रतिबिंब निर्दिष्ट करते समय एचकेएल में किसी भी ब्रैकेटिंग की कमी होती है

मिलर सूचकांकों को 1839 में ब्रिटिश खनिज विज्ञानी विलियम हॉलोज़ मिलर द्वारा पेश किया गया था, हालांकि 1817 से जर्मन खनिज विज्ञानी क्रिश्चियन सैमुअल वीस द्वारा लगभग समान प्रणाली (वीस पैरामीटर) का उपयोग पहले ही किया जा चुका था। विधि को ऐतिहासिक रूप से मिलरियन प्रणाली के रूप में भी जाना जाता था, और सूचकांकों को मिलरियन के रूप में जाना जाता था, हालांकि यह अब दुर्लभ है।

मिलर सूचकांकों को यूनिट सेल के किसी भी विकल्प के संबंध में परिभाषित किया जाता है और न केवल प्राथमिक आधार वैक्टर के संबंध में, जैसा कि कभी-कभी कहा जाता है।

परिभाषा
मिलर सूचकांकों के अर्थ को परिभाषित करने के दो समतुल्य तरीके पारस्परिक जाली में एक बिंदु के माध्यम से, या जाली वैक्टर के साथ व्युत्क्रम अवरोधन के रूप में हैं। दोनों परिभाषाएँ नीचे दी गई हैं। किसी भी मामले में, तीन जाली वैक्टर को चुनने की जरूरत है a1, a2,और a3जो यूनिट सेल को परिभाषित करता है (ध्यान दें कि पारंपरिक यूनिट सेल ब्रावाइस जाली के प्राथमिक सेल से बड़ा हो सकता है, जैसा कि मिलर इंडेक्स  केस ऑफ क्यूबिक स्ट्रक्चर्स दिखाता है)। इन्हें देखते हुए, तीन प्राथमिक पारस्परिक जाली वैक्टर भी निर्धारित किए जाते हैं (निरूपित b1, b2, और b3).

फिर, दिए गए तीन मिलर सूचकांकों h, k, ℓ, (एचकेएल) ने पारस्परिक जालक सदिश के लिए तलों को ओर्थोगोनल दर्शाया:
 * $$ \mathbf{g}_{hk\ell} = h \mathbf{b}_1 + k \mathbf{b}_2 + \ell \mathbf{b}_3 .$$

यही है, (एचकेएल) प्राथमिक पारस्परिक जाली वैक्टर के आधार (रैखिक बीजगणित) में सतहों के लिए सामान्य इंगित करता है। क्योंकि निर्देशांक पूर्णांक हैं, यह सामान्य हमेशा एक पारस्परिक जाली वेक्टर होता है। निम्नतम शर्तों की आवश्यकता का अर्थ है कि यह दी गई दिशा में सबसे छोटा पारस्परिक जाली वेक्टर है।

समान रूप से, (एचकेएल) एक सतहों को दर्शाता है जो तीन बिंदुओं 'a' को रोकता है a1/h, a2/k, और a3/ℓ, या उसके कुछ गुणक। यही है, मिलर इंडेक्स जाली वैक्टर के आधार पर, सतहों के अन्तररोध के व्युत्क्रम  के समानुपाती होते हैं। यदि सूचकांकों में से एक शून्य है, तो इसका मतलब है कि सतहों उस अक्ष को नहीं काटते हैं (अवरोधन अनंत पर है)।

केवल (एचकेएल) सतहों को ध्यान में रखते हुए एक या एक से अधिक जाली बिंदुओं ("जाली सतहों") को काटते हुए, आसन्न जाली सतहों के बीच लंबवत दूरी  d  सतहों से (सबसे कम) पारस्परिक जाली वेक्टर ऑर्थोगोनल से संबंधित है। सूत्र: $$d = 2\pi / |\mathbf{g}_{h k \ell}|$$.

संबंधित अंकन [एचकेएल] दिशा को दर्शाता है:
 * $$h \mathbf{a}_1 + k \mathbf{a}_2 + \ell \mathbf{a}_3 .$$

अर्थात्, यह पारस्परिक जालक के बजाय प्रत्यक्ष जालक आधार का उपयोग करता है। ध्यान दें कि [एचकेएल] आम तौर पर (एचकेएल) सतहों के लिए सामान्य नहीं है, जैसा कि नीचे वर्णित एक घन जाली में है।

घन संरचनाओं का मामला
साधारण क्यूबिक क्रिस्टल के विशेष मामले के लिए, जाली वैक्टर ऑर्थोगोनल और समान लंबाई के होते हैं (सामान्यतः ए को चिह्नित किया जाता है), जैसा कि पारस्परिक जाली के होते हैं। इस प्रकार, इस सामान्य स्थिति में, मिलर सूचकांक (एचकेएल) और [एचकेएल] दोनों कार्तीय निर्देशांक में केवल लम्ब/दिशाओं को दर्शाते हैं।

जाली स्थिरांक वाले घन क्रिस्टल के लिए, आसन्न (एचकेएल) जाली सतहों के बीच की दूरी (ऊपर से) है
 * $$d_{hk \ell}= \frac {a} { \sqrt{h^2 + k^2 + \ell ^2} }$$.

क्यूबिक क्रिस्टल की समरूपता के कारण, पूर्णांकों के स्थान और चिन्ह को बदलना और समान दिशाओं और तलों को बदलना संभव है:
 * कोण कोष्ठक में सूचकांक जैसे कि ⟨100⟩ दिशाओं के एक परिवार को दर्शाता है जो समरूपता संचालन के कारण समतुल्य है, जैसे [100], [010], [001] या उनमें से किसी भी दिशा का ऋणात्मक।
 * मध्यम कोष्ठकों या ब्रेसिज़ में सूचकांक जैसे कि {100} समतल सामान्यों के एक परिवार को दर्शाता है जो समरूपता संचालन के कारण समतुल्य है, जिस तरह से कोण कोष्ठक दिशाओं के एक परिवार को दर्शाते हैं।

फलक-केंद्रित घन और शरीर-केंद्रित घन जालक के लिए, प्राथमिक जालक सदिश ओर्थोगोनल नहीं होते हैं। हालांकि, इन मामलों में मिलर सूचकांक पारंपरिक रूप से क्यूबिक सुपरसेल (क्रिस्टल) के जाली वैक्टर के सापेक्ष परिभाषित होते हैं और इसलिए फिर से केवल कार्टेशियन दिशाएं हैं।

हेक्सागोनल और समभुज संरचनाओं का मामला
हेक्सागोनल जाली प्रणाली और समकोण जालक जाली प्रणाली के साथ, ब्रावाइस-मिलर प्रणाली का उपयोग करना संभव है, जो बाधा का पालन करने वाले चार सूचकांकों (h k i ℓ) का उपयोग करता है
 * h + k + i = 0.

जहाँ h, k और ℓ संबंधित मिलर सूचकांकों के समान हैं, और i एक निरर्थक सूचकांक है।

हेक्सागोनल जाली में सतहों को लेबल करने के लिए यह चार-सूचकांक योजना क्रमपरिवर्तन समरूपता को स्पष्ट करती है। उदाहरण के लिए, (110) ≡ (11$\overline{2}$0) और (1$\overline{2 }$0) ≡ (1$\overline{2 }$10) अधिक स्पष्ट होता है जब निरर्थक सूचकांक दिखाया जाता है।

दाईं ओर की आकृति में, (001) तल में 3 गुना समरूपता है: यह 1/3 (2π/3 रेडियन, 120°) के घुमाव से अपरिवर्तित रहता है। [100], [010] और [$\overline{1}$$\overline{1}$0] निर्देश वास्तव में समान हैं। यदि S, [ के साथ समतल का अवरोधन है$\overline{1}$$\overline{1}$0] अक्ष, फिर
 * i = 1/S.

चार सूचकांकों के साथ हेक्सागोनल जाली वैक्टर (बजाय पारस्परिक जाली वैक्टर या सतहों के) को अनुक्रमित करने के लिए तदर्थ योजनाएं (जैसे ट्रांसमिशन इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोपी साहित्य में) भी हैं। हालांकि वे इसी तरह नियमित तीन-इंडेक्स सेट में अनावश्यक इंडेक्स जोड़कर काम नहीं करते हैं।

उदाहरण के लिए, जैसा कि ऊपर सुझाव दिया गया है, पारस्परिक जालक सदिश (एचकेएल) को व्युत्क्रम जालक सदिशों के रूप में लिखा जा सकता है। $$h\mathbf{b_1} + k\mathbf{b_2} + \ell\mathbf{b_3}$$. हेक्सागोनल क्रिस्टल के लिए यह प्रत्यक्ष-जाली आधार-वैक्टर a के रूप में व्यक्त किया जा सकता है a1,a2और a3जैसा


 * $$h\mathbf{b_1} + k\mathbf{b_2} + \ell \mathbf{b_3}= \frac{2}{3 a^2}(2 h + k)\mathbf{a_1} + \frac{2}{3 a^2}(h+2k)\mathbf{a_2} + \frac{1}{c^2} (\ell) \mathbf{a_3}.$$

इसलिए समतल के लम्बवत दिशा के ज़ोन इंडेक्स (एचकेएल) उचित रूप से सामान्यीकृत त्रिक रूप में हैं, बस $$[2h+k,h+2k,\ell(3/2)(a/c)^2]$$. जब सामान्य से समतल (एचकेएल) क्षेत्र के लिए चार सूचकांकों का उपयोग किया जाता है, हालांकि, साहित्य अक्सर उपयोग करता है $$[h,k,-h-k,\ell(3/2)(a/c)^2]$$ बजाय। इस प्रकार जैसा कि आप देख सकते हैं, वर्ग या कोण कोष्ठक में चार-सूचकांक क्षेत्र सूचकांक कभी-कभी बाईं ओर पारस्परिक-जाली सूचकांक (सामान्यतः गोल या मध्यम कोष्ठक में) के साथ दाईं ओर एक एकल प्रत्यक्ष-जाली सूचकांक को मिलाते हैं।

और, ध्यान दें कि हेक्सागोनल इंटरप्लानर दूरियों के लिए, वे रूप लेते हैं

d_{hk\ell} = \frac{a}{\sqrt{\tfrac{4}{3}\left(h^2+k^2+hk \right)+\tfrac{a^2}{c^2}\ell^2}} $$

क्रिस्टलोग्राफिक सतहों और दिशाएं
क्रिस्टेलोग्राफिक दिशाएँ एक क्रिस्टल के नोड्स (परमाणु, आयन या अणु) को जोड़ने वाली रेखाएँ हैं। इसी तरह, क्रिस्टलोग्राफिक सतहों (गणित) नोड्स को जोड़ने वाले सतहों हैं। कुछ दिशाओं और सतहों में नोड्स का घनत्व अधिक होता है; इन सघन तलों का क्रिस्टल के व्यवहार पर प्रभाव पड़ता है: इन सभी कारणों से, सतहों को निर्धारित करना और इस प्रकार एक अंकन प्रणाली होना महत्वपूर्ण है।
 * प्रकाशिकी: संघनित पदार्थ में, रेले स्कैटरिंग के साथ प्रकाश एक परमाणु से दूसरे परमाणु तक जाता है; प्रकाश का वेग इस प्रकार दिशाओं के अनुसार बदलता रहता है, चाहे परमाणु पास हों या दूर, यह बाइरैफ्रिंगेंट देता है
 * अवशोषण और प्रतिक्रियाशीलता (रसायन विज्ञान): क्रिस्टल सतहों पर परमाणुओं या अणुओं पर अवशोषण और रासायनिक प्रतिक्रियाएं हो सकती हैं, ये घटनाएं इस प्रकार नोड्स के घनत्व के प्रति संवेदनशील होती हैं;
 * पृष्ठ तनाव: किसी पदार्थ के संघनन का अर्थ है कि परमाणु, आयन या अणु अधिक स्थिर होते हैं यदि वे अन्य समान प्रजातियों से घिरे हों; एक इंटरफ़ेस का सतह तनाव इस प्रकार सतहों पर घनत्व के अनुसार बदलता रहता है
 * घने सतहों के बाद छिद्रों और क्रिस्टलीय में सीधी अनाज की सीमाएँ होती हैं
 * अनुभेदन(क्रिस्टल)
 * विस्थापन (प्लास्टिक विरूपण)
 * अव्यवस्था कोर घने सतहों पर फैलता है (लोचदार गड़बड़ी पतला होता है); यह घर्षण को कम करता है (पीयर्ल्स-नाबरो बल), घने सतहोंों पर फिसलन अधिक बार होती है;
 * विस्थापन (बर्गर वेक्टर) द्वारा किया गया गड़बड़ी एक सघन दिशा के साथ है: सघन दिशा में एक नोड का बदलाव एक कम विकृति है;
 * विस्थापन रेखा सघन दिशा का अनुसरण करती है, अव्यवस्था रेखा अक्सर एक सीधी रेखा होती है, अव्यवस्था लूप अक्सर एक बहुभुज होता है।

पूर्णांक बनाम अपरिमेय मिलर सूचकांक: जालीदार तल और अर्ध-क्रिस्टल
सामान्यतः परिभाषा के अनुसार मिलर सूचकांक हमेशा पूर्णांक होते हैं, और यह बाधा शारीरिक रूप से महत्वपूर्ण है। इसे समझने के लिए, मान लीजिए कि हम एक सतहों (abc) की अनुमति देते हैं जहां मिलर इंडेक्स a, b और c (ऊपर के रूप में परिभाषित) अनिवार्य रूप से पूर्णांक नहीं हैं।

यदि a, b और c में परिमेय संख्या अनुपात है, तो समतलों के एक ही परिवार को a, b और c को उचित रूप से स्केल करके पूर्णांक सूचकांकों (एचकेएल) के संदर्भ में लिखा जा सकता है: तीन संख्याओं में से सबसे बड़ी संख्या से विभाजित करें, और फिर कम से कम आम भाजक से गुणा करें। इस प्रकार, पूर्णांक मिलर सूचकांकों में निहित रूप से सभी तर्कसंगत अनुपात वाले सूचकांक सम्मिलित हैं। कारण यह है कि जहां घटक (पारस्परिक-जाली आधार में) तर्कसंगत अनुपात विशेष रुचि रखते हैं, ये जाली सतहोंों हैं: वे एकमात्र सतहोंों हैं जिनके क्रिस्टल के साथ प्रतिच्छेदन 2d-सामयिक हैं।

एक समतल (abc) के लिए जहाँ a, b और c के अपरिमेय संख्या अनुपात हैं, दूसरी ओर, क्रिस्टल के साथ समतल का प्रतिच्छेदन आवधिक नहीं है। यह एक अनावधिक प्रतिरूप बनाता है जिसे अर्ध क्रिस्टल क्रिस्टल के रूप में जाना जाता है। यह निर्माण अपरिमेय-अनुपात मिलर सूचकांकों के साथ एक सतहोंों का उपयोग करते हुए, अर्ध क्रिस्टल क्रिस्टल को परिभाषित करने की मानक कट-एंड-प्रोजेक्ट विधि से सटीक रूप से मेल खाता है। (हालांकि पेनरोज़ टाइलिंग जैसे कई अर्ध क्रिस्टल, तीन से अधिक आयामों में आवधिक जाली के कट द्वारा बनते हैं, जिसमें एक से अधिक ऐसे हाइपर प्लेन का प्रतिच्छेदन सम्मिलित होता है।)

यह भी देखें

 * क्रिस्टल संरचना
 * क्रिस्टल स्वभाव
 * किकुची रेखा (ठोस अवस्था भौतिकी)
 * जोन अक्ष

बाहरी संबंध

 * IUCr Online Dictionary of Crystallography
 * Miller index description with diagrams
 * Online tutorial about lattice planes and Miller indices.
 * MTEX – Free MATLAB toolbox for Texture Analysis
 * http://sourceforge.net/projects/orilib – A collection of routines for rotation / orientation manipulation, including special tools for crystal orientations.