गति

न्यूटोनियन यांत्रिकी में, रैखिक गति, अनुवाद संबंधी गति, या बस गति किसी वस्तु के द्रव्यमान और वेग का गुणनफल है। यह एक यूक्लिडियन सदिश मात्रा है, जिसमें परिमाण और दिशा होती है।  यदि $m$ एक वस्तु का द्रव्यमान है और $v$ उसका वेग है (एक सदिश राशि भी), तो वस्तु का संवेग $p$ है : $$\mathbf{p} = m \mathbf{v}.$$

इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली (SI) में, संवेग के मापन की इकाई किलोग्राम मीटर प्रति सेकंड (kg⋅m/s) है, जो न्यूटन-सेकंड के बराबर है।

न्यूटन के गति के नियम संवेग संदर्भ के ढांचे पर निर्भर करता है, लेकिन किसी भी जड़त्वीय ढांचे में यह एक संरक्षित मात्रा है, जिसका अर्थ है कि यदि एक बंद प्रणाली बाहरी बलों से प्रभावित नहीं होती है, तो इसकी कुल रैखिक गति नहीं बदलती है। संवेग भी विशेष सापेक्षता (एक संशोधित सूत्र के साथ) और, एक संशोधित रूप में, बिजली का गतिविज्ञान, परिमाण यांत्रिकी, परिमाण क्षेत्र सिद्धांत और सामान्य सापेक्षता में संरक्षित है।  यह स्थान और समय की मूलभूत समरूपताओं में से एक की अभिव्यक्ति है: अनुवाद संबंधी समरूपता।

उत्कृष्ट यांत्रिकी, लैग्रेंजियन यांत्रिकी और हैमिल्टनियन यांत्रिकी के उन्नत सूत्रीकरण, किसी को समन्वय प्रणाली चुनने की अनुमति देते हैं जो समरूपता और बाधाओं को सम्मिलित करते हैं। इन प्रणालियों में संरक्षित मात्रा 'सामान्यीकृत गति' है, और सामान्यत: यह ऊपर परिभाषित 'गतिज' गति से अलग है।  सामान्यीकृत गति की अवधारणा को परिमाण यांत्रिकी में ले जाया जाता है, जहां यह एक तरंग कार्य पर एक प्रचालक बन जाता है।  संवेग और स्थिति संचालक हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत से संबंधित हैं।

निरंतर प्रणालियों जैसे विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र, द्रव गतिकी और विकृत निकायों में, एक गति घनत्व को परिभाषित किया जा सकता है, और गति के संरक्षण का एक निरंतर संस्करण समीकरणों की ओर जाता है जैसे तरल पदार्थ के लिए नेवियर-स्टोक्स समीकरण या विकृत ठोस के लिए कॉची गति समीकरण या तरल पदार्थ समीकरण है।

न्यूटोनियन
संवेग एक सदिश राशि है: इसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं। चूँकि संवेग की एक दिशा होती है, इसका उपयोग वस्तुओं के टकराने के बाद परिणामी दिशा और गति की भविष्यवाणी करने के लिए किया जा सकता है।  नीचे, संवेग के मूल गुणों को एक आयाम में वर्णित किया गया है।  सदिश समीकरण लगभग अदिश समीकरणों के समान होते हैं (मोमेंटम और बहुआयामी देखें)।

एकल कण
एक कण की गति को पारंपरिक रूप से अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है $p$. यह दो मात्राओं का गुणनफल है, कण का द्रव्यमान (अक्षर द्वारा निरूपित) $m$) और इसका वेग ($v$):
 * p = m v.

संवेग की इकाई द्रव्यमान और वेग की इकाइयों का गुणनफल है। SI इकाइयों में, यदि द्रव्यमान किलोग्राम में है और वेग मीटर प्रति सेकंड में है तो गति किलोग्राम मीटर प्रति सेकंड (kg⋅m/s) में है।  सेंटीमीटर-ग्राम-सेकंड प्रणाली में, यदि द्रव्यमान ग्राम में है और वेग सेंटीमीटर प्रति सेकंड में है, तो गति ग्राम सेंटीमीटर प्रति सेकंड (g⋅cm/s) में है।

सदिश होने के कारण संवेग का परिमाण और दिशा होती है। उदाहरण के लिए, 1 किलो प्रतिरूप का हवाई जहाज, सीधी और समतल उड़ान में उत्तर की ओर 1 मीटर/सेकेंड की गति से यात्रा कर रहा है, इसकी गति जमीन के संदर्भ में मापी गई उत्तर की ओर 1 किलो मीटर/सेकेंड है।

कई कण
कणों के एक निकाय का संवेग उनके संवेग का सदिश योग होता है। यदि दो कणों का द्रव्यमान क्रमशः है $m_{1}$ तथा $m_{2}$, और वेग $v_{1}$ तथा $v_{2}$, कुल गति है
 * $$ \begin{align}

p &= p_1 + p_2 \\ &= m_1 v_1 + m_2 v_2\,. \end{align} $$ दो से अधिक कणों का संवेग निम्नलिखित के साथ अधिक सामान्य रूप से जोड़ा जा सकता है:
 * $$ p = \sum_{i} m_i v_i .$$

कणों की एक प्रणाली में द्रव्यमान का केंद्र होता है, जो उनकी स्थिति के भारित योग द्वारा निर्धारित होता है:
 * $$ r_\text{cm} = \frac{m_1 r_1 + m_2 r_2 + \cdots}{m_1 + m_2 + \cdots} = \frac{\sum_{i}m_ir_i}{\sum_{i}m_i}.$$

यदि एक या अधिक कण गतिमान हैं, तो निकाय के द्रव्यमान का केंद्र सामान्यत: भी गतिमान रहेगा (जब तक कि निकाय इसके चारों ओर शुद्ध घूर्णन में न हो)। यदि कणों का कुल द्रव्यमान है $$m$$, और द्रव्यमान का केंद्र वेग से घूम रहा है $v_{cm}$, प्रणाली की गति है:
 * $$p= mv_\text{cm}.$$

इसे यूलर के गति के नियम के रूप में जाना जाता है| यूलर का पहला नियम।

बल से संबंध
यदि शुद्ध बल $F$ एक कण पर लगाया जाता है और स्थिर होता है, और एक समय अंतराल के लिए लगाया जाता है $Δt$, कण की गति एक राशि से बदल जाती है

विभेदक रूप में, यह न्यूटन का दूसरा नियम है; किसी कण के संवेग में परिवर्तन की दर तात्कालिक बल के बराबर होती है $F$ उस पर अभिनय, :$$F = \frac{dp}{dt}. $$

यदि किसी कण द्वारा अनुभव किया गया शुद्ध बल समय के फलन के रूप में परिवर्तित होता है, $F(t)$, गति में परिवर्तन (या आवेग (भौतिकी) $J$) समय के बीच $t_{1}$ तथा $t_{2}$ है
 * $$ \Delta p = J = \int_{t_1}^{t_2} F(t)\, dt\,.$$

आवेग को न्यूटन सेकंड (1 N⋅s = 1 किलो⋅m/s) या dyne सेकंड (1 dyne⋅s = 1 g⋅cm/s) की SI व्युत्पन्न इकाई में मापा जाता है।

स्थिर द्रव्यमान की धारणा के तहत $m$, यह लिखने के बराबर है
 * $$F = \frac{d(mv)}{d t} = m\frac{dv}{d t} = m a,$$

इसलिए शुद्ध बल कण के द्रव्यमान के गुणा के त्वरण के बराबर होता है।

उदाहरण: 1 किलो द्रव्यमान का एक प्रतिरूप हवाई जहाज 2 सेकंड में आराम से 6 मीटर/सेकेंड के वेग से उत्तर की ओर गति करता है। इस त्वरण को उत्पन्न करने के लिए आवश्यक कुल बल उत्तर की ओर 3 न्यूटन (इकाई) है।  उत्तर की ओर गति में परिवर्तन 6 किलोm/s है।  संवेग परिवर्तन की दर उत्तर की ओर 3 (kg⋅m/s)/s है जो संख्यात्मक रूप से 3 न्यूटन के बराबर है।

संरक्षण
एक बंद प्रणाली में (जो अपने परिवेश के साथ किसी भी पदार्थ का आदान-प्रदान नहीं करता है और बाहरी बलों द्वारा कार्य नहीं किया जाता है) कुल गति स्थिर रहती है। यह तथ्य, जिसे संवेग के संरक्षण के नियम के रूप में जाना जाता है, न्यूटन के गति के नियमों द्वारा निहित है। मान लीजिए, उदाहरण के लिए, कि दो कण परस्पर क्रिया करते हैं।  जैसा कि तीसरे नियम द्वारा समझाया गया है, उनके बीच बल परिमाण में समान हैं लेकिन दिशा में विपरीत हैं।  यदि कणों की संख्या 1 और 2 है, तो दूसरा नियम कहता है कि $F_{1} = dp_{1}⁄dt$ तथा $F_{2} = dp_{2}⁄dt$. इसलिए,
 * $$ \frac{d p_1}{d t} = - \frac{d p_2}{d t}, $$

नकारात्मक संकेत के साथ यह दर्शाता है कि बल विरोध करते हैं। समान रूप से,
 * $$ \frac{d}{d t} \left(p_1+ p_2\right)= 0. $$

यदि कणों के वेग हैं $u_{1}$ तथा $u_{2}$ बातचीत से पहले, और बाद में वे हैं $v_{1}$ तथा $v_{2}$, फिर

यह नियम मानता है कि कणों के बीच बल कितना भी जटिल क्यों न हो। इसी तरह, यदि कई कण हैं, तो कणों के प्रत्येक जोड़े के बीच आदान-प्रदान का संवेग शून्य हो जाता है, इसलिए संवेग में कुल परिवर्तन शून्य होता है।  यह संरक्षण नियम सभी परस्पर क्रिया पर लागू होता है, जिसमें विस्फोटक बलों के कारण टकराव और अलगाव सम्मिलित हैं। इसे उन स्थितियों के लिए भी सामान्यीकृत किया जा सकता है जहां न्यूटन के नियम लागू नहीं होते हैं, उदाहरण के लिए सापेक्षता के सिद्धांत और शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व में।

संदर्भ ढांचे पर निर्भरता
गति एक मापने योग्य मात्रा है, और माप संदर्भ के ढांचे पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए: यदि 1000 किलो वजन का एक विमान 50 मीटर/सेकेंड की गति से हवा में उड़ रहा है, तो इसकी गति 50,000 किलोग्राम मीटर/सेकेंड की गणना की जा सकती है।  अगर विमान 5 मीटर/सेकेंड की विपरीत परिस्थितियों में उड़ रहा है तो पृथ्वी की सतह के सापेक्ष इसकी गति केवल 45 मीटर/सेकेंड है और इसकी गति की गणना 45,000 किलो मीटर/सेकेंड की जा सकती है।  दोनों गणना समान रूप से सही हैं।  संदर्भ के दोनों ढांचों में, संवेग में कोई भी परिवर्तन भौतिकी के प्रासंगिक नियमों के अनुरूप पाया जाएगा।

मान लीजिए $x$ संदर्भ के एक जड़त्वीय ढांचे में एक स्थिति है। संदर्भ के दूसरे ढांचे के दृष्टिकोण से, एक स्थिर गति से आगे बढ़ रहा है $u$ दूसरे के सापेक्ष, स्थिति (एक प्राइमेड समकक्ष द्वारा दर्शाई गई) समय के साथ बदलती है:
 * $$ x' = x - ut\,.$$

इसे गैलीलियन परिवर्तन कहा जाता है।

यदि कोई कण गति से चल रहा है $dx⁄dt = v$ संदर्भ के पहले ढांचे में, दूसरे में, यह गति से आगे बढ़ रहा है
 * $$ v' = \frac{dx'}{dt} = v-u\,.$$

तब $u$ नहीं बदलता है, दूसरा संदर्भ ढांचे भी एक जड़त्वीय ढांचे है और त्वरण समान हैं:
 * $$ a' = \frac{dv'}{dt} = a\,.$$

इस प्रकार, दोनों संदर्भ ढांचों में संवेग संरक्षित है। इसके अतिरिक्त, जब तक बल का एक ही रूप है, दोनों ढांचे में, न्यूटन का दूसरा नियम अपरिवर्तित रहता है।  न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण जैसे बल, जो केवल वस्तुओं के बीच अदिश दूरी पर निर्भर करते हैं, इस मानदंड को पूरा करते हैं।  संदर्भ ढांचे की इस स्वतंत्रता को न्यूटनियन सापेक्षता या गैलीलियन इनवेरिएंस कहा जाता है।

संदर्भ ढांचे में परिवर्तन, प्राय:, गति की गणना को सरल बना सकता है। उदाहरण के लिए, दो कणों की टक्कर में, एक संदर्भ ढांचा चुना जा सकता है, जहां, एक कण सरलता से प्रारंभ होता है।  एक और, सामान्यत: उपयोग किया जाने वाला संदर्भ ढांचे, मास ढांचे का केंद्र है - वह जो द्रव्यमान के केंद्र के साथ आगे बढ़ रहा है।  इस ढांचे में कुल गति शून्य है।

टकराव के लिए आवेदन
यदि दो कण, प्रत्येक ज्ञात संवेग, आपस में टकराते हैं और आपस में मिलते हैं, तो संवेग के संरक्षण के नियम का उपयोग संवेग के संवेग को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। यदि टक्कर का परिणाम यह है कि दो कण अलग हो जाते हैं, तो प्रत्येक कण की गति को निर्धारित करने के लिए नियम पर्याप्त नहीं है।  यदि टक्कर के बाद एक कण का संवेग ज्ञात हो, तो दूसरे कण का संवेग ज्ञात करने के लिए नियम का प्रयोग किया जा सकता है।  वैकल्पिक रूप से यदि टक्कर के बाद संयुक्त गतिज ऊर्जा ज्ञात हो, तो टक्कर के बाद प्रत्येक कण की गति को निर्धारित करने के लिए नियम का उपयोग किया जा सकता है। गतिज ऊर्जा सामान्यत: संरक्षित नहीं होती है।  यदि इसे संरक्षित किया जाता है, तो टकराव को लोचदार टक्कर कहा जाता है; यदि नहीं, तो यह एक बेलोचदार टक्कर है।

लोचदार टकराव
लोचदार टक्कर वह है जिसमें कोई गतिज ऊर्जा ऊष्मा या ऊर्जा के किसी अन्य रूप में परिवर्तित नहीं होती है। पूरी तरह से लोचदार टकराव तब हो सकता है जब वस्तुएं एक-दूसरे को स्पर्श नहीं करती हैं, उदाहरण के लिए परमाणु या परमाणु बिखरने में जहां विद्युत प्रतिकर्षण वस्तुओं को अलग रखता है।  एक ग्रह के चारों ओर एक उपग्रह की गुरुत्वाकर्षण सहायता को पूरी तरह से लोचदार टक्कर के रूप में भी देखा जा सकता है।  दो पूल बिलियर्ड्स गेंदों के बीच टकराव उनकी उच्च कठोरता के कारण लगभग पूरी तरह से लोचदार टकराव का एक अच्छा उदाहरण है, लेकिन जब शरीर संपर्क में आते हैं तो हमेशा कुछ अपव्यय होता है।

दो निकायों के बीच एक सिर पर लोचदार टकराव को एक आयाम में वेगों द्वारा, निकायों से गुजरने वाली रेखा के साथ दर्शाया जा सकता है। यदि वेग हैं $u_{1}$ तथा $u_{2}$ टक्कर से पहले और $v_{1}$ तथा $v_{2}$ इसके बाद, संवेग और गतिज ऊर्जा के संरक्षण को व्यक्त करने वाले समीकरण हैं:
 * $$\begin{align} m_1 u_1 + m_2 u_2 &= m_1 v_1 + m_2 v_2\\

\tfrac{1}{2} m_1 u_1^2 + \tfrac{1}{2} m_2 u_2^2 &= \tfrac{1}{2} m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2} m_2 v_2^2\,.\end{align}$$ संदर्भ ढांचे का परिवर्तन टकराव के विश्लेषण को सरल बना सकता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि समान द्रव्यमान वाले दो पिंड हैं $m$, एक स्थिर और एक गति से दूसरे के पास आ रहा है $v$ (जैसा कि चित्र में है)।  द्रव्यमान का केंद्र गति से घूम रहा है $v⁄2$ और दोनों पिंड गति से उसकी ओर बढ़ रहे हैं $v⁄2$. समरूपता के कारण, टक्कर के बाद दोनों को समान गति से द्रव्यमान के केंद्र से दूर जाना चाहिए। द्रव्यमान के केंद्र की गति को दोनों में जोड़ने पर, हम पाते हैं कि जो शरीर चल रहा था वह अब रुक गया है और दूसरा गति से दूर जा रहा है $v$. निकायों ने अपने वेगों का आदान-प्रदान किया है। पिंडों के वेग के बावजूद, द्रव्यमान ढांचे के केंद्र में अदल-बदली करने से हम उसी निष्कर्ष पर पहुंच जाते हैं।  इसलिए, अंतिम वेग द्वारा दिए गए हैं :$$\begin{align}  v_1 &= u_2\\ v_2 &= u_1\,. \end{align}$$

सामान्यत:, जब प्रारंभिक वेग ज्ञात होते हैं, तो अंतिम वेग किसके द्वारा दिए जाते हैं
 * $$ v_{1} = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) u_{1} + \left( \frac{2 m_2}{m_1 + m_2} \right) u_{2}\,$$
 * $$ v_{2} = \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) u_{2} + \left( \frac{2 m_1}{m_1 + m_2} \right) u_{1}\,.$$

यदि एक पिंड का द्रव्यमान दूसरे की तुलना में बहुत अधिक है, तो इसका वेग टक्कर से थोड़ा प्रभावित होगा जबकि दूसरा पिंड एक बड़े परिवर्तन का अनुभव करेगा।

अकुशल टकराव
एक बेलोचदार टक्कर में, टकराने वाले पिंडों की कुछ गतिज ऊर्जा ऊर्जा के अन्य रूपों (जैसे गर्मी या ध्वनि ) में परिवर्तित हो जाती है। उदाहरणों में सम्मिलित हैं परिवाहन टकराव, जिसमें वाहनों को हुए नुकसान में गतिज ऊर्जा के नुकसान का प्रभाव देखा जा सकता है; इलेक्ट्रॉन अपनी कुछ ऊर्जा परमाणुओं में खो देते हैं (जैसा कि फ्रेंक-हर्ट्ज प्रयोग में); और कण त्वरक जिसमें गतिज ऊर्जा नए कणों के रूप में द्रव्यमान में परिवर्तित हो जाती है।

पूरी तरह से बेलोचदार टक्कर में (जैसे कि विपरीत परिस्थितियों से टकराने वाला बग), बाद में दोनों पिंडों की गति समान होती है। दो पिंडों के बीच एक सिर पर बेलोचदार टकराव को एक आयाम में वेगों द्वारा, पिंडों से गुजरने वाली रेखा के साथ दर्शाया जा सकता है।  यदि वेग हैं $u_{1}$ तथा $u_{2}$ टक्कर से पहले पूरी तरह से बेलोचदार टक्कर में दोनों पिंड वेग से यात्रा करेंगे $v$ टक्कर के बाद।  संवेग के संरक्षण को व्यक्त करने वाला समीकरण है:
 * $$\begin{align} m_1 u_1 + m_2 u_2 &= \left( m_1 + m_2 \right) v\,.\end{align}$$

यदि एक शरीर प्रारंभ करने के लिए गतिहीन है (उदा। $$ u_2 = 0 $$), संवेग के संरक्षण के लिए समीकरण है
 * $$m_1 u_1 = \left( m_1 + m_2 \right) v\,,$$

इसलिए
 * $$ v = \frac{m_1}{m_1+m_2} u_1\,.$$

एक अलग स्थिति में, यदि संदर्भ का ढांचे अंतिम वेग से इस तरह आगे बढ़ रहा है कि $$ v = 0 $$, वस्तुओं को पूरी तरह से बेलोचदार टक्कर से आराम करने के लिए लाया जाएगा और गतिज ऊर्जा का 100% ऊर्जा के अन्य रूपों में परिवर्तित हो जाता है। इस उदाहरण में निकायों के प्रारंभिक वेग शून्य नहीं होंगे, या निकायों को द्रव्यमान रहित होना होगा।

टक्कर की अयोग्यता का एक उपाय बहाली का गुणांक है $C_{R}$, दृष्टिकोण के सापेक्ष वेग के पृथक्करण के सापेक्ष वेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। एक ठोस सतह से उछलती हुई गेंद पर इस उपाय को लागू करने में, इसे निम्न सूत्र का उपयोग करके सरलता से मापा जा सकता है:
 * $$C_\text{R} = \sqrt{\frac{\text{bounce height}}{\text{drop height}}}\,.$$

गति और ऊर्जा समीकरण उन वस्तुओं की गति पर भी लागू होते हैं जो एक साथ प्रारंभ होती हैं और फिर अलग हो जाती हैं। उदाहरण के लिए, एक विस्फोट एक श्रृंखला प्रतिक्रिया का परिणाम है जो रासायनिक, यांत्रिक या परमाणु रूप में संग्रहीत संभावित ऊर्जा को गतिज ऊर्जा, ध्वनिक ऊर्जा और विद्युत चुम्बकीय विकिरण में बदल देता है।  राकेट भी संवेग के संरक्षण का उपयोग करते हैं: प्रणोदक को बाहर की ओर धकेला जाता है, गति प्राप्त कर रहा है, और रॉकेट को एक समान और विपरीत गति प्रदान की जाती है।

एकाधिक आयाम
वास्तविक गति में दिशा और वेग दोनों होते हैं और इसे एक सदिश (ज्यामिति) द्वारा दर्शाया जाना चाहिए। के साथ एक समन्वय प्रणाली में $x, y, z$ कुल्हाड़ियों, वेग में घटक होते हैं $v_{x}$ में $x$-दिशा, $v_{y}$ में $y$-दिशा, $v_{z}$ में $z$-दिशा।  सदिश को बोल्ड अक्षर प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है:
 * $$\mathbf{v} = \left(v_x,v_y,v_z \right). $$

इसी तरह, संवेग एक सदिश राशि है और इसे एक बोल्ड अक्षर प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है:
 * $$\mathbf{p} = \left(p_x,p_y,p_z \right). $$

पिछले अनुभागों में समीकरण, सदिश रूप में कार्य करते हैं यदि अदिश $p$ तथा $v$ सदिश द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $p$ तथा $v$. प्रत्येक सदिश समीकरण तीन अदिश समीकरणों का प्रतिनिधित्व करता है। उदाहरण के लिए,
 * $$\mathbf{p}= m \mathbf{v}$$

तीन समीकरणों का प्रतिनिधित्व करता है: :$$\begin{align} p_x &= m v_x\\ p_y &= m v_y \\ p_z &= m v_z. \end{align} $$

गतिज ऊर्जा समीकरण उपरोक्त प्रतिस्थापन नियम के अपवाद हैं। समीकरण अभी भी एक-आयामी हैं, लेकिन प्रत्येक स्केलर परिमाण (गणित) का प्रतिनिधित्व करता है यूक्लिडियन सदिश, उदाहरण के लिए,
 * $$ v^2 = v_x^2+v_y^2+v_z^2\,.$$

प्रत्येक सदिश समीकरण तीन अदिश समीकरणों का प्रतिनिधित्व करता है। प्राय: निर्देशांक चुने जा सकते हैं ताकि केवल दो घटकों की आवश्यकता हो, जैसा कि चित्र में है।  प्रत्येक घटक को अलग से प्राप्त किया जा सकता है और परिणाम एक सदिश परिणाम उत्पन्न करने के लिए संयुक्त होते हैं।

द्रव्यमान ढांचे के केंद्र को सम्मिलित करने वाले एक साधारण निर्माण का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि यदि एक स्थिर लोचदार क्षेत्र एक गतिमान गोले से टकराता है, तो दोनों टक्कर के बाद समकोण पर निकलेंगे (जैसा कि चित्र में है)।

चर द्रव्यमान की वस्तुएं
संवेग की अवधारणा चर-द्रव्यमान वस्तुओं के व्यवहार को समझाने में एक मौलिक भूमिका निभाती है जैसे कि एक रॉकेट ईंधन या एक तारा अभिवृद्धि (खगोल भौतिकी) गैस को बाहर निकालता है। ऐसी वस्तु का विश्लेषण करते समय, व्यक्ति वस्तु के द्रव्यमान को एक ऐसे फलन के रूप में मानता है जो समय के साथ बदलता रहता है: $m(t)$. समय पर वस्तु की गति $t$ इसलिए $p(t) = m(t)v(t)$. फिर कोई यह कहकर न्यूटन के गति के दूसरे नियम को लागू करने का प्रयास कर सकता है कि बाहरी बल $F$ वस्तु पर उसकी गति से संबंधित है $p(t)$ द्वारा $F = dp⁄dt$, लेकिन यह गलत है, जैसा कि उत्पाद नियम को लागू करने से संबंधित अभिव्यक्ति है $d(mv)⁄dt$:
 * $$ F = m(t) \frac{dv}{dt} + v(t) \frac{dm}{dt}.$$ (गलत)

यह समीकरण चर-द्रव्यमान वस्तुओं की गति का सही वर्णन नहीं करता है। सही समीकरण है
 * $$ F = m(t) \frac{dv}{dt} - u \frac{dm}{dt},$$

कहाँ पे $u$ वस्तु के आराम ढांचे में देखे गए बेदखल / संचित द्रव्यमान का वेग है। यह से अलग है $v$, जो कि वस्तु का ही वेग है जैसा कि एक जड़त्वीय ढांचे में देखा जाता है।

यह समीकरण वस्तु के संवेग के साथ-साथ बेदखल/एकीकृत द्रव्यमान (dm) के संवेग दोनों पर नज़र रखते हुए प्राप्त किया गया है। जब एक साथ विचार किया जाता है, तो वस्तु और द्रव्यमान (dm) एक बंद प्रणाली का निर्माण करते हैं जिसमें कुल गति संरक्षित होती है।


 * $$ P(t+dt) = ( m - dm ) ( v + dv ) + dm ( v - u ) = mv+m dv - u dm = P(t) +m dv - u dm $$

लोरेंत्ज़ इनवेरिएंस
न्यूटोनियन भौतिकी मानती है कि निरपेक्ष समय और स्थान किसी भी पर्यवेक्षक के बाहर उपस्थित हैं; यह गैलीलियन आक्रमण को जन्म देता है। यह एक भविष्यवाणी में भी परिणत होता है कि प्रकाश की गति एक संदर्भ ढांचे से दूसरे में भिन्न हो सकती है।  यह अवलोकन के विपरीत है।  सापेक्षता के विशेष सिद्धांत में, आइंस्टीन इस अभिधारणा को रखते हैं कि गति के समीकरण संदर्भ ढांचे पर निर्भर नहीं करते हैं, बल्कि यह मानते हैं कि प्रकाश की गति $c$ अपरिवर्तनीय है।  परिणामस्वरूप, दो संदर्भ ढांचों में स्थिति और समय गैलीलियन परिवर्तन के बजाय लोरेंत्ज़ परिवर्तन से संबंधित हैं।

उदाहरण के लिए, एक संदर्भ ढांचे दूसरे के सापेक्ष वेग से आगे बढ़ रहा है $v$ में $x$ दिशा। गैलीलियन परिवर्तन गतिमान ढांचे के निर्देशांक इस प्रकार देता है
 * $$\begin{align}

t' &= t \\ x' &= x - v t \end{align}$$ जबकि लोरेंत्ज़ परिवर्तन देता है
 * $$\begin{align}

t' &= \gamma \left( t - \frac{v x}{c^2} \right) \\ x' &= \gamma \left( x - v t \right)\, \end{align}$$ कहाँ पे $γ$ लोरेंत्ज़ कारक है:

न्यूटन का दूसरा नियम, द्रव्यमान नियत के साथ, लोरेंत्ज़ परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय नहीं है। यद्दपी, इसे जड़त्वीय द्रव्यमान बनाकर अपरिवर्तनीय बनाया जा सकता है $m$ किसी वस्तु का वेग का एक कार्य:
 * $$m = \gamma m_0\,;$$

$m_{0}$ वस्तु का अपरिवर्तनीय द्रव्यमान है।

संशोधित गति,
 * $$ \mathbf{p} = \gamma m_0 \mathbf{v}\,,$$

न्यूटन के दूसरे नियम का पालन करता है:
 * : : : : : : : : : : : : : : : : : : :$$ \mathbf{F} = \frac{d \mathbf{p}}{dt}\,.$$

उत्क्रष्ट यांत्रिकी के क्षेत्र में, सापेक्षतावादी संवेग न्यूटन के संवेग का निकट से अनुमान लगाता है: कम वेग पर, $γm_{0}v$ लगभग के बराबर है $m_{0}v$, संवेग के लिए न्यूटनियन व्यंजक।

चार-सदिश सूत्रीकरण
विशेष सापेक्षता के सिद्धांत में, भौतिक राशियों को चार-सदिश के रूप में व्यक्त किया जाता है जिसमें तीन अंतरिक्ष निर्देशांक के साथ चौथे निर्देशांक के रूप में समय सम्मिलित होता है। इन सदिशों को सामान्यत: बड़े अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए $R$ पद के लिए।  चार-गति की अभिव्यक्ति इस बात पर निर्भर करती है कि निर्देशांक कैसे व्यक्त किए जाते हैं।  इसकी सामान्य इकाइयों में समय दिया जा सकता है या प्रकाश की गति से गुणा किया जा सकता है ताकि चार-सदिश के सभी घटकों की लंबाई के आयाम हों।  यदि बाद वाले स्केलिंग का उपयोग किया जाता है, तो उचित समय का अंतराल, $τ$, द्वारा परिभाषित
 * $$c^2d\tau^2 = c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2\,,$$

लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय (भौतिकी) है (इस अभिव्यक्ति में और इसके बाद क्या है (+ − − −) मीट्रिक हस्ताक्षर का उपयोग किया गया है, विभिन्न लेखक विभिन्न सम्मेलनों का उपयोग करते हैं)। गणितीय रूप से इस अपरिवर्तनशीलता को दो तरीकों में से एक में सुनिश्चित किया जा सकता है: चार-सदिशों को यूक्लिडियन सदिश के रूप में मानते हुए और समय को गुणा करके $√−1$; या समय को वास्तविक मात्रा में रखकर और सदिश को मिंकोव्स्की अंतरिक्ष में अंतर्निहित करके। मिंकोव्स्की अंतरिक्ष में, दो चार-सदिशों का अदिश उत्पाद $U = (U_{0}, U_{1}, U_{2}, U_{3})$ तथा $V = (V_{0}, V_{1}, V_{2}, V_{3})$ की तरह परिभाषित किया गया है
 * $$ \mathbf{U} \cdot \mathbf{V} = U_0 V_0 - U_1 V_1 - U_2 V_2 - U_3 V_3\,. $$

सभी समन्वय प्रणालियों में, (सहप्रसरण और सदिश के विपरीत) सापेक्षतावादी चार-वेग द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$ \mathbf{U} \equiv \frac{d \mathbf{R}}{d \tau} = \gamma \frac{d \mathbf{R}}{dt}\,,$$

और (प्रतिपरिवर्ती) चार-गति है

कहाँ पे $m_{0}$ अपरिवर्तनीय द्रव्यमान है। यदि $R = (ct, x, y, z)$ (मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष में), तब
 * $$\mathbf{P} = \gamma m_0 \left(c,\mathbf{v}\right) = (m c, \mathbf{p})\,.$$

आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता का उपयोग करते हुए, $E = mc^{2}$, इसे पुन: लिखा जा सकता है
 * $$\mathbf{P} = \left(\frac{E}{c}, \mathbf{p}\right)\,.$$

इस प्रकार, चार-गति का संरक्षण लोरेंत्ज़-अपरिवर्तनीय है और इसका तात्पर्य द्रव्यमान और ऊर्जा दोनों का संरक्षण है।

चार- सदिश संवेग का परिमाण बराबर होता है $m_{0}c$:
 * $$\|\mathbf{P}\|^2 = \mathbf{P} \cdot \mathbf{P} = \gamma^2 m_0^2 \left(c^2 - v^2\right) = (m_0c)^2\,,$$

और सभी संदर्भ ढांचों में अपरिवर्तनीय है।

आपेक्षिक ऊर्जा-गति संबंध फोटॉन जैसे द्रव्यमान रहित कणों के लिए भी है; व्यवस्थित करके $m_{0} = 0$ यह इस प्रकार है कि
 * $$E = pc\,.$$

सापेक्षतावादी बिलियर्ड्स के एक खेल में, यदि एक स्थिर कण एक लोचदार टक्कर में एक गतिमान कण से टकराता है, तो बाद में दोनों द्वारा बनाए गए पथ एक न्यून कोण का निर्माण करेंगे। यह गैर-सापेक्ष प्रकरण के विपरीत है जहां वे समकोण पर यात्रा करते हैं।

एक तलीय तरंग का चार-संवेग एक तरंग चार-सदिश से संबंधित हो सकता है
 * $$\mathbf{P} = \left(\frac{E}{c},\vec{\mathbf{p}}\right) = \hbar \mathbf{K} = \hbar \left(\frac{\omega}{c},\vec{\mathbf{k}}\right)$$

एक कण के लिए, अस्थायी घटकों के बीच संबंध, $E = ħ ω$, प्लैंक-आइंस्टीन संबंध है, और स्थानिक घटकों के बीच संबंध है, $p = ħ k$, एक ब्रोगली का पदार्थ तरंग का वर्णन करता है।

सामान्यीकृत
न्यूटन के नियमों को कई प्रकार की गति पर लागू करना जटिल हो सकता है क्योंकि गति बाधाओं से सीमित होती है। उदाहरण के लिए, अबेकस पर एक मनका अपने तार के साथ चलने के लिए विवश है और एक पेंडुलम बॉब धुरी से एक निश्चित दूरी पर झूलने के लिए विवश है।  सामान्य काटीज़ियन निर्देशांक को सामान्यीकृत निर्देशांक के एक श्रेणी में बदलकर ऐसी कई बाधाओं को सम्मिलित किया जा सकता है जो संख्या में कम हो सकते हैं। सामान्यीकृत निर्देशांक में यांत्रिकी समस्याओं को हल करने के लिए परिष्कृत गणितीय विधियों का विकास किया गया है।  वे एक सामान्यीकृत गति का परिचय देते हैं, जिसे विहित या संयुग्म गति के रूप में भी जाना जाता है, जो रैखिक गति और कोणीय गति दोनों की अवधारणाओं का विस्तार करता है।  इसे सामान्यीकृत गति से अलग करने के लिए, द्रव्यमान और वेग के उत्पाद को यांत्रिक, गतिज या गतिज गति के रूप में भी जाना जाता है।  दो मुख्य विधियों का वर्णन नीचे किया गया है।

लग्रांगियन यांत्रिकी
लाग्रंगियन यांत्रिकी में, लाग्रंगियन को गतिज ऊर्जा के बीच अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है $T$ और संभावित ऊर्जा $V$:


 * $$ \mathcal{L} = T-V\,.$$

यदि सामान्यीकृत निर्देशांक एक सदिश के रूप में दर्शाए जाते हैं $q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{N})$ और समय विभेदन को चर के ऊपर एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है, फिर गति के समीकरण (जिसे लैग्रेंज या यूलर-लैग्रेंज समीकरण के रूप में जाना जाता है) की एक श्रेणी है $N$ समीकरण:
 * $$ \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \mathcal{L} }{\partial\dot{q}_j}\right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_j} = 0\,.$$

अगर एक समन्वय $q_{i}$ एक कार्तीय निर्देशांक नहीं है, संबद्ध सामान्यीकृत संवेग घटक $p_{i}$ जरूरी नहीं कि रैखिक गति के आयाम हों। भले ही $q_{i}$ एक कार्तीय निर्देशांक है, $p_{i}$ यदि विभव वेग पर निर्भर करता है तो वह यांत्रिक संवेग के समान नहीं होगा। कुछ स्रोत प्रतीक द्वारा गतिज गति का प्रतिनिधित्व करते हैं $Π$.

इस गणितीय ढांचे में, सामान्यीकृत गति सामान्यीकृत निर्देशांक के साथ जुड़ी हुई है। इसके घटकों को परिभाषित किया गया है:
 * $$ p_j = \frac{\partial \mathcal{L} }{\partial \dot{q}_j}\,.$$

प्रत्येक घटक $p_{j}$ निर्देशांक के लिए संयुग्म गति कहा जाता है $q_{j}$.

अब यदि दिया गया निर्देशांक $q_{i}$ लग्रांगियन में प्रकट नहीं होता है (हालांकि इसका समय व्युत्पन्न प्रकट हो सकता है), तो
 * $$ p_j = \text{constant}\,.$$

यह संवेग के संरक्षण का सामान्यीकरण है।

भले ही सामान्यीकृत निर्देशांक केवल सामान्य स्थानिक निर्देशांक हों, संयुग्मी संवेग आवश्यक रूप से सामान्य संवेग निर्देशांक नहीं होते हैं। एक उदाहरण विद्युत चुंबकत्व पर अनुभाग में पाया जाता है।

हैमिल्टनियन यांत्रिकी
हैमिल्टनियन यांत्रिकी में, लैग्रेंजियन (सामान्यीकृत निर्देशांक और उनके डेरिवेटिव का एक कार्य) को हैमिल्टनियन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है जो सामान्यीकृत निर्देशांक और गति का एक कार्य है। हैमिल्टनियन को परिभाषित किया गया है:
 * $$ \mathcal{H}\left(\mathbf{q},\mathbf{p},t\right) = \mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{L}\left(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t\right)\,,$$

जहां ऊपर के रूप में लग्रांगियन को अलग करके गति प्राप्त की जाती है। गति के हैमिल्टनियन समीकरण हैं
 * $$ \begin{align}

\dot{q}_i &= \frac{\partial\mathcal{H}}{\partial p_i}\\ -\dot{p}_i &= \frac{\partial\mathcal{H}}{\partial q_i}\\ -\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} &= \frac{d \mathcal{H}}{d t}\,. \end{align}$$ लैग्रैंजियन यांत्रिकी की तरह, यदि हैमिल्टनियन में एक सामान्यीकृत निर्देशांक प्रकट नहीं होता है, तो इसका संयुग्मी गति घटक संरक्षित होता है।

समरूपता और संरक्षण
संवेग का संरक्षण अंतरिक्ष की समरूपता (भौतिकी) (बदलाव समरूपता) का गणितीय परिणाम है (अंतरिक्ष में स्थिति संवेग के लिए विहित संयुग्म मात्रा है)। अर्थात्, संवेग का संरक्षण इस तथ्य का परिणाम है कि भौतिकी के नियम स्थिति पर निर्भर नहीं करते हैं; यह नोदर के प्रमेय का एक विशेष प्रकरण है। उन प्रणालियों के लिए जिनमें यह समरूपता नहीं है, संवेग के संरक्षण को परिभाषित करना संभव नहीं हो सकता है।  उदाहरण जहां संवेग का संरक्षण लागू नहीं होता है, उनमें सामान्य सापेक्षता में घुमावदार अंतरिक्ष समय,या संघनित पदार्थ भौतिकी में समय स्फटिक सम्मिलित हैं

एक क्षेत्र में कण
मैक्सवेल के समीकरणों में, कणों के बीच बलों की मध्यस्थता विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों द्वारा की जाती है। आवेश वाले कण पर विद्युत चुम्बकीय बल ( लोरेंत्ज़ बल ) $q$ विद्युत क्षेत्र के संयोजन के कारण $E$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ है

(इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली में)।

इसमें एक विद्युत क्षमता है $φ(r, t)$ और चुंबकीय सदिश क्षमता $A(r, t)$. गैर-सापेक्ष शासन में, इसकी सामान्यीकृत गति है
 * $$\mathbf{P} = m\mathbf{\mathbf{v}} + q\mathbf{A}, $$

जबकि सापेक्षवादी यांत्रिकी में यह हो जाता है

$$\mathbf{P} = \gamma m\mathbf{\mathbf{v}} + q\mathbf{A}. $$

मात्रा $$V=q\mathbf{A} $$ कभी-कभी संभावित गति कहा जाता है।  यह विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के साथ कण की बातचीत के कारण गति है।  नाम संभावित ऊर्जा के साथ एक सादृश्य है $$U=q\varphi $$, जो विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों के साथ कण की बातचीत के कारण ऊर्जा है।  ये मात्राएँ चार-सदिश बनाती हैं, इसलिए सादृश्य सुसंगत है; इसके अतिरिक्त, विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों के तथाकथित छिपे हुए गति को समझाने में संभावित गति की अवधारणा महत्वपूर्ण है

संरक्षण
न्यूटोनियन यांत्रिकी में, संवेग के संरक्षण के नियम को क्रिया और प्रतिक्रिया के नियम से प्राप्त किया जा सकता है, जिसमें कहा गया है कि प्रत्येक बल में एक समान और विपरीत बल होता है। कुछ परिस्थितियों में, गतिमान आवेशित कण एक दूसरे पर विपरीत दिशाओं में बल लगा सकते हैं। फिर भी, कणों की संयुक्त गति और विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र संरक्षित है।

वैक्यूम
लोरेंत्ज़ बल कण को ​​एक गति प्रदान करता है, इसलिए न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार कण को ​​विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों को गति प्रदान करनी चाहिए।

निर्वात में, प्रति इकाई आयतन का संवेग है
 * $$ \mathbf{g} = \frac{1}{\mu_0 c^2}\mathbf{E}\times\mathbf{B}\,,$$

कहाँ पे $μ_{0}$ निर्वात पारगम्यता है और $c$ प्रकाश की गति है। संवेग घनत्व सँकेतिक सदिश के समानुपाती होता है $S$ जो प्रति इकाई क्षेत्र में ऊर्जा हस्तांतरण की दिशात्मक दर देता है:
 * $$ \mathbf{g} = \frac{\mathbf{S}}{c^2}\,.$$

यदि संवेग को आयतन पर संरक्षित करना है $V$ एक क्षेत्र के ऊपर $Q$, लोरेंत्ज़ बल के माध्यम से पदार्थ की गति में परिवर्तन को विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की गति में परिवर्तन और गति के बहिर्वाह द्वारा संतुलित किया जाना चाहिए। यदि $P_{mech}$ में सभी कणों की गति है $Q$, और कणों को एक सातत्य के रूप में माना जाता है, तो न्यूटन का दूसरा नियम देता है
 * $$ \frac{d \mathbf{P}_\text{mech}}{d t} = \iiint\limits_{Q} \left(\rho\mathbf{E} + \mathbf{J}\times\mathbf{B}\right) dV\,.$$

विद्युत चुम्बकीय गति है
 * $$ \mathbf{P}_\text{field} = \frac{1}{\mu_0c^2} \iiint\limits_{Q} \mathbf{E}\times\mathbf{B}\,dV\,,$$

और प्रत्येक घटक के संरक्षण के लिए समीकरण $i$ गति का है
 * $$ \frac{d}{d t}\left(\mathbf{P}_\text{mech}+ \mathbf{P}_\text{field} \right)_i = \iint\limits_{\sigma} \left(\sum\limits_{j} T_{ij} n_j\right)d\Sigma\,.$$

दायीं ओर का पद पृष्ठीय क्षेत्रफल पर एक समाकलन है $Σ$ सतह का $σ$ मात्रा के अंदर और बाहर संवेग प्रवाह का प्रतिनिधित्व करना, और $n_{j}$ सामान्य सतह का एक घटक है $S$. मात्रा $T_{ij}$ मैक्सवेल तनाव टेंसर कहा जाता है, जिसे परिभाषित किया गया है
 * $$T_{i j} \equiv \epsilon_0 \left(E_i E_j - \frac{1}{2} \delta_{ij} E^2\right) + \frac{1}{\mu_0} \left(B_i B_j - \frac{1}{2} \delta_{ij} B^2\right)\,.$$

मीडिया
उपरोक्त परिणाम सूक्ष्म मैक्सवेल समीकरणों के लिए हैं, जो निर्वात में विद्युत चुम्बकीय बलों पर लागू होते हैं (या मीडिया में बहुत छोटे पैमाने पर)। मीडिया में संवेग घनत्व को परिभाषित करना अधिक कठिन है क्योंकि विद्युत चुम्बकीय और यांत्रिक में विभाजन मनमाना है।  विद्युत चुम्बकीय गति घनत्व की परिभाषा को संशोधित किया गया है
 * $$ \mathbf{g} = \frac{1}{c^2}\mathbf{E}\times\mathbf{H} = \frac{\mathbf{S}}{c^2}\,,$$

जहां एच-विस्तार $H$ बी-विस्तार और आकर्षण संस्कार से संबंधित है $M$ द्वारा
 * $$ \mathbf{B} = \mu_0 \left(\mathbf{H} + \mathbf{M}\right)\,.$$

विद्युत चुम्बकीय तनाव टेंसर मीडिया के गुणों पर निर्भर करता है।

परिमाण यांत्रिक
परिमाण यांत्रिकी में, गति को तरंग कार्य पर एक स्व-सहायक प्रचालक के रूप में परिभाषित किया जाता है। वर्नर हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत इस सीमा को परिभाषित करता है कि एक ही अवलोकन योग्य प्रणाली की गति और स्थिति को एक बार में कितनी सटीक रूप से जाना जा सकता है।  परिमाण यांत्रिकी में, स्थिति और गति संयुग्म चर हैं।

स्थिति के आधार पर वर्णित एक कण के लिए संवेग संवाहक को इस प्रकार लिखा जा सकता है
 * $$\mathbf{p}={\hbar\over i}\nabla=-i\hbar\nabla\,,$$

कहाँ पे $∇$ ढाल प्रचालक है, $ħ$ घटा हुआ काष्ठफलक स्थिरांक है, और $i$ काल्पनिक इकाई है। यह गति स्थान का एक सामान्य रूप से सामना किया जाने वाला रूप है, हालांकि अन्य आधार में गति प्रचालक अन्य रूप ले सकता है।  उदाहरण के लिए, संवेग स्थान में संवेग संवाहक को इस प्रकार दर्शाया जाता है
 * $$\mathbf{p}\psi(p) = p\psi(p)\,,$$

जहां प्रचालक $p$ एक तरंग कार्य पर अभिनय $ψ(p)$ उस तरंग कार्य को मान से गुणा करता है $p$, एक समान व्यवहार में जिस तरह से स्थिति प्रचालक एक तरंग कार्य पर कार्य करता है $ψ(x)$ उस तरंग कार्य को मान x से गुणा करता है।

बड़े पैमाने पर और द्रव्यमान रहित दोनों वस्तुओं के लिए, सापेक्षिक गति चरण स्थिरांक से संबंधित है $$\beta $$ द्वारा
 * $$ p= \hbar \beta$$

विद्युत चुम्बकीय विकिरण (प्रकाश, पराबैंगनी प्रकाश और रेडियो तरंगों सहित) फोटॉन द्वारा ले जाया जाता है। भले ही फोटॉन (प्रकाश का कण पहलू) का कोई द्रव्यमान नहीं है, फिर भी वे गति करते हैं।  यह सौर सेल जैसे अनुप्रयोगों की ओर जाता है।  ढांकता हुआ मीडिया के भीतर प्रकाश की गति की गणना कुछ विवादास्पद है (अब्राहम-मिन्कोव्स्की विवाद देखें)।

एक निरंतरता में संरक्षण
द्रव गतिकी और ठोस यांत्रिकी जैसे क्षेत्रों में, व्यक्तिगत परमाणुओं या अणुओं की गति का अनुसरण करना संभव नहीं है। इसके अतिरिक्त, सामग्री को एक परिमाण यांत्रिकी द्वारा अनुमानित किया जाना चाहिए जिसमें प्रत्येक बिंदु पर एक कण या द्रव पार्सल होता है जिसे पास के एक छोटे से क्षेत्र में परमाणुओं के गुणों का औसत सौंपा जाता है।  विशेष रूप से, इसका घनत्व होता है $ρ$ और वेग $v$ जो समय पर निर्भर करता है $t$ और स्थिति $r$. प्रति इकाई आयतन का संवेग है $ρv$.

द्रवस्थैतिक संतुलन में पानी के एक स्तंभ पर विचार करें। पानी पर सभी बल संतुलन में हैं और पानी गतिहीन है।  पानी की किसी भी बूंद पर दो बल संतुलित होते हैं।  पहला गुरुत्वाकर्षण है, जो सीधे प्रत्येक परमाणु और अंदर के अणु पर कार्य करता है।  प्रति इकाई आयतन पर गुरुत्वाकर्षण बल है $ρg$, कहाँ पे $g$ गुरुत्वाकर्षण त्वरण है।  दूसरा बल आसपास के पानी द्वारा इसकी सतह पर लगाए गए सभी बलों का योग है।  नीचे से बल गुरुत्वाकर्षण को संतुलित करने के लिए आवश्यक मात्रा से ऊपर से बल से अधिक है।  प्रति इकाई क्षेत्र में सामान्य बल दबाव है $p$. छोटी बूंद के अंदर प्रति इकाई आयतन का औसत बल दबाव का ढाल है, इसलिए बल संतुलन समीकरण है
 * $$-\nabla p +\rho \mathbf{g} = 0\,.$$

यदि बलों को संतुलित नहीं किया जाता है, तो बूंद तेज हो जाती है। यह त्वरण केवल आंशिक व्युत्पन्न नहीं है $∂v⁄∂t$ क्योंकि किसी दिए गए आयतन में द्रव समय के साथ बदलता है।  इसके अतिरिक्त, सामग्री व्युत्पन्न की आवश्यकता है:
 * $$\frac{D}{Dt} \equiv \frac{\partial}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\boldsymbol{\nabla}\,.$$

किसी भी भौतिक मात्रा पर लागू, भौतिक व्युत्पन्न में एक बिंदु पर परिवर्तन की दर और द्रव के रूप में संवहन के कारण होने वाले परिवर्तन सम्मिलित हैं। प्रति इकाई आयतन, संवेग में परिवर्तन की दर बराबर है $ρDv⁄Dt$. यह छोटी बूंद पर लगने वाले कुल बल के बराबर है।

बल जो एक छोटी बूंद की गति को बदल सकते हैं, उनमें ऊपर के रूप में दबाव और गुरुत्वाकर्षण का ढाल सम्मिलित है। इसके अतिरिक्त, सतह बल छोटी बूंद को विकृत कर सकते हैं।  सरलतम प्रकरण में, एक कतरनी तनाव $τ$, छोटी बूंद की सतह के समानांतर एक बल द्वारा लगाया जाता है, विरूपण या तनाव दर की दर के समानुपाती होता है।  ऐसा अपरूपण प्रतिबल तब होता है जब द्रव में वेग प्रवणता होती है क्योंकि द्रव एक तरफ दूसरे की तुलना में तेजी से आगे बढ़ रहा है।  यदि गति में $x$ दिशा बदलती रहती है $z$, दिशा में स्पर्शरेखा बल $x$ प्रति इकाई क्षेत्र सामान्य से $z$ दिशा है
 * $$\sigma_{zx} = -\mu\frac{\partial v_x}{\partial z}\,,$$

कहाँ पे $μ$ चिपचिपाहट है। यह सतह के माध्यम से एक्स-गति का एक प्रवाह, या प्रति इकाई क्षेत्र का प्रवाह भी है।

चिपचिपाहट के प्रभाव सहित, न्यूटनियन द्रव के असंपीड्य प्रवाह के लिए गति संतुलन समीकरण हैं
 * $$\rho \frac{D \mathbf{v}}{D t} = -\boldsymbol{\nabla} p + \mu\nabla^2 \mathbf{v} + \rho\mathbf{g}.\,$$

इन्हें नेवियर-स्टोक्स समीकरण के रूप में जाना जाता है।

गति संतुलन समीकरणों को ठोस सहित अधिक सामान्य सामग्रियों तक बढ़ाया जा सकता है। दिशा में सामान्य के साथ प्रत्येक सतह के लिए $i$ और दिशा में बल $j$, एक तनाव घटक है $σ_{ij}$. नौ घटक कॉची तनाव टेंसर बनाते हैं $σ$, जिसमें दबाव और कतरनी दोनों सम्मिलित हैं। संवेग का स्थानीय संरक्षण कॉची संवेग समीकरण द्वारा व्यक्त किया जाता है:
 * $$\rho \frac{D \mathbf{v}}{D t} = \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{\sigma} + \mathbf{f}\,,$$

कहाँ पे $f$ शरीर बल है।

कॉची गति समीकरण मोटे आकार पर ठोस और तरल पदार्थ के विरूपण (यांत्रिकी) पर लागू होता है। तनाव और तनाव दर के बीच संबंध सामग्री के गुणों पर निर्भर करता है (देखें चिपचिपापन या चिपचिपापन के प्रकार)।

ध्वनिक तरंगें
किसी माध्यम में विक्षोभ दोलनों, या तरंगों को जन्म देता है, जो अपने स्रोत से दूर फैलती हैं। एक तरल पदार्थ में, दबाव में छोटे परिवर्तन $p$ प्राय: ध्वनिक तरंग समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है:
 * $$\frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 p\,,$$

कहाँ पे $c$ ध्वनि की गति है। एक ठोस में, दबाव (पी-तरंगों) और कतरनी ( एस-तरंगों ) के प्रसार के लिए समान समीकरण प्राप्त किए जा सकते हैं।

एक गति घटक का प्रवाह, या प्रति इकाई क्षेत्र में परिवहन $ρv_{j}$ वेग से $v_{i}$ के बराबर है $ρ v_{j}v_{j}$. उपरोक्त ध्वनिक समीकरण की ओर ले जाने वाले रैखिक सन्निकटन में, इस प्रवाह का समय औसत शून्य है। हालांकि, गैर-रेखीय प्रभाव एक गैर-शून्य औसत को जन्म दे सकते हैं। संवेग प्रवाह का होना संभव है, भले ही तरंग में कोई माध्य संवेग न हो।

अवधारणा का इतिहास
लगभग 530 ई० में, जॉन फिलोपोनस ने अरस्तू के भौतिकी (अरस्तू) की एक टिप्पणी, भौतिकि में गति की अवधारणा विकसित की। अरस्तू ने दावा किया कि जो कुछ भी चल रहा है उसे किसी न किसी चीज से चलते रहना चाहिए।  उदाहरण के लिए, एक फेंकी गई गेंद को हवा की गति से चलते रहना चाहिए।  फिलोपोनस ने अरस्तू के इस दावे में बेतुकेपन की ओर संकेत किया कि किसी वस्तु की गति को उसी हवा द्वारा बढ़ावा दिया जाता है जो उसके मार्ग का विरोध कर रही है।  उन्होंने इसके अतिरिक्त प्रस्तावित किया कि वस्तु को फेंकने के कार्य में एक प्रोत्साहन दिया गया था।

1020 में, इब्न सीना (जिसे एविसेना नाम के लैटिनकरण के नाम से भी जाना जाता है) ने फिलोपोनस को पढ़ा और हीलिंग की किताब में गति का अपना सिद्धांत प्रकाशित किया। वह सहमत था कि फेंकने वाले द्वारा प्रक्षेप्य को एक प्रोत्साहन दिया जाता है; लेकिन फिलोपोनस के विपरीत, जो मानते थे कि यह एक अस्थायी गुण था जो एक निर्वात में भी घट जाएगा, उन्होंने इसे एक निरंतर के रूप में देखा, इसे नष्ट करने के लिए वायु प्रतिरोध जैसी बाहरी ताकतों की आवश्यकता होती है।

13वीं और 14वीं शताब्दी में, पीटर ओलिवी और जीन बुरिदान ने फिलोपोनस और संभवत: इब्न सिना के कार्य को पढ़ा और परिष्कृत किया। बुरिडन, जिसे लगभग 1350 में पेरिस विश्वविद्यालय का अधिशिक्षक बनाया गया था, ने गति के वजन के अनुपात में गति के सिद्धांत का उल्लेख किया। इसके अतिरिक्त, बुरिडन का सिद्धांत अपने पूर्ववर्ती से अलग था जिसमें उन्होंने आत्म-विघटन के लिए प्रोत्साहन पर विचार नहीं किया था, यह दावा करते हुए कि एक शरीर को वायु प्रतिरोध और गुरुत्वाकर्षण की ताकतों द्वारा गिरफ्तार किया जाएगा जो इसके प्रोत्साहन का विरोध कर सकते हैं।

1644 में, रेने डेसकार्टेस, दर्शन के सिद्धांतों में प्रिंसिपिया फिलॉसफी, का मानना ​​​​था कि गति की कुल मात्रा ब्रह्मांड में संरक्षित है, जहां गति की मात्रा को आकार और गति के उत्पाद के रूप में समझा जाता है। इसे संवेग के आधुनिक नियम के कथन के रूप में नहीं पढ़ा जाना चाहिए, क्योंकि उनके पास द्रव्यमान की कोई अवधारणा नहीं थी जो वजन और आकार से अलग हो, और अधिक महत्वपूर्ण, उनका मानना ​​​​था कि यह गति के बजाय गति है जो संरक्षित है।  तो डेसकार्टेस के लिए यदि कोई गतिमान वस्तु किसी सतह से उछलती है, तो उसकी दिशा बदल जाती है लेकिन उसकी गति नहीं, उसकी गति की मात्रा में कोई परिवर्तन नहीं होगा।   गैलीलियो ने अपने दो नए विज्ञान में, डेसकार्टेस की गति की मात्रा का इसी तरह वर्णन करने के लिए इतालवी भाषा के शब्द इम्पेटो का उपयोग किया।

1686 में, गॉटफ्राइड विल्हेम लिबनिज़ो ने अध्यात्मविज्ञान पर व्याख्यान में, डेसकार्टेस के गति की मात्रा के संरक्षण के निर्माण के खिलाफ विभिन्न आकारों के अलग-अलग दूरी के ब्लॉक छोड़ने के उदाहरण का उपयोग करके एक तर्क दिया। वह बताते हैं कि बल संरक्षित है लेकिन गति की मात्रा, जिसे किसी वस्तु के आकार और गति के उत्पाद के रूप में माना जाता है, संरक्षित नहीं है।

1600 के दशक में, क्रिस्टियान ह्यूजेंस ने बहुत पहले ही निष्कर्ष निकाला था कि गति के कार्टेशियन नियम दो निकायों के लोचदार टकराव के लिए डेसकार्टेस के नियम गलत होने चाहिए, और उन्होंने सही नियम तैयार किए। एक महत्वपूर्ण कदम समस्याओं की गैलीलियन अपरिवर्तनीयता की उनकी मान्यता थी। तब उनके विचारों को प्रसारित होने में कई साल लग गए। उन्होंने उन्हें 1661 में विलियम ब्रौनकर, द्वितीय विस्काउंट ब्रॉन्कर और लंदन में क्रिस्टोफर व्रेन को व्यक्तिगत रूप से पारित किया। स्पिनोज़ा ने उनके बारे में हेनरी ओल्डेनबर्ग को 1666 में जो लिखा था, जो दूसरे एंग्लो-डच युद्ध के दौरान था, संरक्षित था। ह्यूजेंस ने वास्तव में उन्हें 1652-6 की अवधि में एक पांडुलिपि डी मोटो कॉर्पोरम एक्स पर्क्यूसिन में कार्य किया था।  1667 में युद्ध समाप्त हो गया, और ह्यूजेंस ने 1668 में रॉयल सोसाइटी को अपने परिणामों की घोषणा की।  उन्होंने उन्हें 1669 में जर्नल डेस स्क्वान्स में प्रकाशित किया।

1670 में, जॉन वालिस, मैकेनिक सिव डी मोटू, ट्रैक्टैटस ज्यामितिक में, गति के संरक्षण के नियम को कहा: शरीर की प्रारंभिक अवस्था, आराम या गति की, बनी रहेगी और यदि बल प्रतिरोध, गति से अधिक है तो परिणाम होगा। वालिस ने गति की मात्रा के लिए संवेग और बल के लिए विज़ का उपयोग किया।

1687 में, आइजैक न्यूटन ने, वालिस की तरह, फिलॉसफी नेचुरलिस प्रिंसिपिया मैथमैटिका में, गणितीय गति के लिए शब्दों का उपयोग करने के लिए एक समान प्रक्षेप दिखाया। उनकी परिभाषा II क्वांटिटास मोटस, गति की मात्रा को परिभाषित करती है, जो कि वेग और मात्रा के साथ-साथ उत्पन्न होती है, जो इसे गति के रूप में पहचानती है। इस प्रकार जब नियम में वह उत्परिवर्तनीय गति, गति में परिवर्तन, प्रभावित बल के समानुपाती होने का उल्लेख करता है, तो उसे सामान्यत: गति के रूप में लिया जाता है।

1721 में, जॉन जेनिंग्स (शिक्षक) ने मिस्केलेनिया को प्रकाशित किया, जहां न्यूटन के प्रिंसिपिया मैथमैटिका के अंतिम संस्करण से पांच साल पहले, इसके वर्तमान गणितीय अर्थ में गति को प्रमाणित किया गया है। गति $M$ या छात्रों के लिए गति की मात्रा को एक आयत के रूप में परिभाषित किया जा रहा था, जिसका गुणनफल $Q$ तथा $V$, कहाँ पे $Q$ सामग्री की मात्रा है और $V$ वेग है, $s⁄t$.

1728 में, साइक्लोपीडिया, या कला और विज्ञान का एक सार्वभौमिक शब्दकोश कहता है: "'The Momentum, Impetus, or Quantity of Motion of any Body, is the Factum [i.e., product] of its Velocity, (or the Space it moves in a given Time, see ) multiplied into its Mass.'"

यह भी देखें

 * कोणीय गति
 * क्रिस्टल गति
 * गैलीलियन तोप
 * संवेग संघनन
 * गति हस्तांतरण
 * न्यूटन के उद्गम स्थल
 * प्लैंक गति
 * स्थिति और गति स्थान

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक कड़ियों की सूची

 * न्यूटनियन यांत्रिकी
 * विकृत शरीर
 * लग्रांगियन यांत्रिकी
 * द्रव गतिविज्ञान
 * आदर्श सिद्धान्त
 * तरंग क्रिया
 * माप की इकाई
 * वेक्टर क्वांटिटी
 * एसआई जूनियर
 * सेंटर ऑफ मास
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 * टक्कर
 * सापेक्षता का सिद्धांत
 * मामूली टक्कर
 * सितारा
 * प्रकाश कि गति
 * सापेक्षता का विशेष सिद्धांत
 * चार-वेक्टर
 * सहप्रसरण और सदिशों का अंतर्विरोध
 * चार गति
 * पदार्थ की लहर
 * कार्तीय निर्देशांक
 * एकरूपता (भौतिकी)
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 * विद्युतीय संभाव्यता
 * क्रिया और प्रतिक्रिया का नियम
 * सेल्फ-एड्वाइंट ऑपरेटर
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 * सौर पाल
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 * रोशनी
 * सातत्यक यांत्रिकी
 * जलस्थैतिक संतुलन
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 * न्यूटोनियन द्रव
 * शारीरिक बल
 * हिलाना
 * पी लहर
 * हवा प्रतिरोध
 * नामों का लैटिनकरण
 * प्रोत्साहन का सिद्धांत
 * तत्वमीमांसा पर प्रवचन
 * इटालियन भाषा
 * दूसरा एंग्लो-डच युद्ध
 * गति संघनन

बाहरी संबंध

 * Conservation of momentum – A chapter from an online textbook