अवकल सांस्थितिकी

गणित में, अवकल सांस्थितिकी संस्थितिविज्ञान गुणों और निर्विघ्न विविध के निर्विघ्न संरचना से संबंधित क्षेत्र है। इस अर्थ में अवकल सांस्थितिकी अवकल ज्यामिति के निकट से संबंधित क्षेत्र से अलग है, जो आकार, दूरी और कठोर आकार के विचारों सहित निर्विघ्न मैनिफोल्ड के ज्यामितीय गुणों से संबंधित है। तुलनात्मक अवकल सांस्थितिकी स्थूलतर गुणों से संबंधित है, जैसे कि मैनिफोल्ड में रन्ध्र की संख्या, इसका समस्थेयता प्रकार, या इसके डिफोमोर्फिज्म समूह की संरचना है। क्योंकि इनमें से कई स्थूलतर गुणों को बीजगणितीय रूप से अधिकृत किया जा सकता है, अवकल सांस्थितिकी का बीजगणितीय सांस्थितिकी से मजबूत संबंध है। अवकल सांस्थितिकी के क्षेत्र का केंद्रीय लक्ष्य डिफियोमोर्फिज्म तक सभी निर्विघ्न विविध का वर्गीकरण प्रमेय है। चूँकि आयाम डिफियोमॉर्फिज़्म प्रकार तक निर्विघ्न विविध का अपरिवर्तनीय है, इसलिए इस वर्गीकरण का अध्ययन अक्सर प्रत्येक आयाम में अलग-अलग (जुड़ा हुआ (सांस्थितिकी)) विविध को वर्गीकृत करके किया जाता है:


 * आयाम 1 में, डिफियोमोर्फिज्म तक एकमात्र निर्विघ्न विविध वृत्त, वास्तविक संख्या रेखा, और एक सीमा (सांस्थितिकी), आधा-बंद अंतराल (गणित) $$[0,1)$$ और पूरी तरह से बंद अंतराल $$[0,1]$$ की अनुमति देते हैं।
 * आयाम 2 में, प्रत्येक बंद पृष्ट को इसके जीनस (सांस्थितिकी), रन्ध्र की संख्या (या समतुल्य रूप से इसकी यूलर विशेषता) द्वारा अलग-अलग आकार में वर्गीकृत किया जाता है, और यह उन्मुख है या नहीं है। यह बंद पृष्ट का प्रसिद्ध वर्गीकरण है। जैकब की सीढ़ी जैसे असाधारण समष्‍टि के अस्तित्व के कारण, पहले से ही आयाम दो में गैर-संहतसमष्‍टि का वर्गीकरण मुश्किल हो जाता है।
 * आयाम 3 में, त्वरित पेरेलमैन द्वारा सिद्ध किया गया विलियम थर्स्टन का ज्यामितीय अनुमान, सुसंहत थ्री-विविध का आंशिक वर्गीकरण देता है। इस प्रमेय में शामिल है पोंकारे अनुमान, जिसमें कहा गया है कि कोई भी बंद, बस जुड़ा हुआ तीन-कई गुना होमियोमॉर्फिक (और वास्तव में डिफेओमॉर्फिक) 3-क्षेत्र में है।

आयाम 4 से शुरू होकर, वर्गीकरण दो कारणों से अधिक कठिन हो जाता है। सबसे पहले, प्रत्येक परिमित रूप से प्रस्तुत समूह कुछ 4-मैनिफोल्ड के मौलिक समूह के रूप में प्रकट होता है, और चूंकि मौलिक समूह अवकल-रूपवाद अपरिवर्तनीय है, यह 4-मैनिफोल्ड के वर्गीकरण को कम से कम जटिल रूप से प्रस्तुत समूहों के वर्गीकरण के रूप में कठिन बना देता है। समूहों के लिए शाब्दिक समस्या से, जो हॉल्टिंग प्रॉब्लम के समतुल्य है, ऐसे समूहों को वर्गीकृत करना असंभव है, इसलिए पूर्ण सामयिक वर्गीकरण असंभव है। दूसरे, आयाम चार में शुरुआत से निर्विघ्न विविध होना संभव है जो होमियोमॉर्फिक हैं, लेकिन विशिष्ट, गैर-डिफियोमॉर्फिक निर्विघ्न संरचनाओं के साथ संभव है। यूक्लिडियन समष्‍टि $$\mathbb{R}^4$$ के लिए भी यह सच है, जो कई असाधारण $$\mathbb{R}^4$$ संरचनाएं को स्वीकार करता है। इसका मतलब यह है कि आयाम 4 और उच्चतर में अवकल सांस्थितिकी का अध्ययन संस्थितिविज्ञान मैनिफोल्ड के नियमित निरंतर सांस्थितिकी के दायरे के बाहर वास्तव में उपकरण का उपयोग करना चाहिए। अवकल सांस्थितिकी में केंद्रीय खुली समस्याओं में से एक चार-आयामी निर्विघ्न पोंकारे अनुमान है, जो पूछता है कि क्या हर निर्विघ्न 4-मैनिफोल्ड जो कि 4-क्षेत्र के लिए होमोमोर्फिक है, वह भी इसके लिए भिन्न है। अर्थात्, क्या 4-गोला केवल एक निर्विघ्न संरचना को स्वीकार करता है? उपरोक्त वर्गीकरण के परिणामों से यह अनुमान आयाम 1, 2 और 3 में सत्य है, लेकिन मिलनोर क्षेत्रों के कारण आयाम 7 में गलत माना जाता है।

निर्विघ्न विविध के अवकल सांस्थितिकी का अध्ययन करने के लिए महत्वपूर्ण उपकरणों में इस तरह के विविध के निर्विघ्न संस्थितिविज्ञान इनवेरिएंट्स का निर्माण शामिल है, जैसे कि डे रहं कोहोलॉजी या इंटरसेक्शन फॉर्मसाथ ही स्मूथेबल संस्थितिविज्ञान कंस्ट्रक्शन, जैसे कि निर्विघ्न सर्जरी थ्योरी या कोबोर्डिज्म का निर्माण। मोर्स थ्योरी एक महत्वपूर्ण उपकरण है जो मैनिफोल्ड पर अलग-अलग कार्यों के महत्वपूर्ण बिंदु (गणित) पर विचार करके निर्विघ्न विविध का अध्ययन करता है, यह प्रदर्शित करता है कि मैनिफोल्ड की निर्विघ्न संरचना उपलब्ध उपकरणों के सेट में कैसे प्रवेश करती है। कई बार अधिक ज्यामितीय या विश्लेषणात्मक तकनीकों का उपयोग किया जा सकता है, एक रिमेंनियन मीट्रिक के साथ एक निर्विघ्न मैनिफोल्ड लैस करके या उस पर एक अवकल समीकरण का अध्ययन करके। यह सुनिश्चित करने के लिए ध्यान रखा जाना चाहिए कि परिणामी जानकारी अतिरिक्त संरचना के इस विकल्प के प्रति असंवेदनशील है, और इसलिए वास्तव में अंतर्निहित निर्विघ्न मैनिफोल्ड के केवल संस्थितिविज्ञान गुणों को दर्शाती है। उदाहरण के लिए, हॉज प्रमेय डी रम कोहोलॉजी की एक ज्यामितीय और विश्लेषणात्मक व्याख्या प्रदान करता है, और साइमन डोनाल्डसन द्वारा गेज सिद्धांत (गणित) का उपयोग सरल रूप से जुड़े 4-कई गुनाओं के प्रतिच्छेदन रूप के बारे में तथ्यों को साबित करने के लिए किया गया था। [8] कुछ मामलों में समकालीन भौतिकी की तकनीकें दिखाई दे सकती हैं, जैसे संस्थितिविज्ञान क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत, जिसका उपयोग निर्विघ्न जगहों के संस्थितिविज्ञान इनवेरिएंट की गणना करने के लिए किया जा सकता है।

अवकल सांस्थितिकी में प्रसिद्ध प्रमेय में व्हिटनी एम्बेडिंग प्रमेय, बालों वाली गेंद प्रमेय, हॉपफ प्रमेय, पॉइंकेयर-हॉप प्रमेय, डोनाल्डसन के प्रमेय और पोंकारे अनुमान शामिल हैं।

विवरण
अवकल सांस्थितिकी उन गुणों और संरचनाओं पर विचार करती है जिन्हें परिभाषित करने के लिए मैनिफोल्ड पर केवल एक निर्विघ्न संरचना की आवश्यकता होती है। निर्विघ्न विविध अतिरिक्त ज्यामितीय संरचनाओं के साथ विविध की तुलना में 'नरम' हैं, जो कुछ प्रकार के समकक्षों और विकृतियों के लिए अवरोधों के रूप में कार्य कर सकते हैं जो अवकल सांस्थितिकी में मौजूद हैं। उदाहरण के लिए, आयतन और रीमानियन वक्रता अपरिवर्तनीय (गणित) हैं जो एक ही निर्विघ्न मैनिफोल्ड पर अलग-अलग ज्यामितीय संरचनाओं को अलग कर सकते हैं - अर्थात, कुछ मैनिफोल्ड को आसानी से "समतल" किया जा सकता है, लेकिन इसके लिए समष्‍टि को विकृत करने और वक्रता या आयतन को प्रभावित करने की आवश्यकता हो सकती है। आवश्यकता है।

दूसरी ओर, निर्विघ्न विविध, संस्थितिविज्ञान विविध की तुलना में अधिक कठोर होते हैं। जॉन मिल्नोर ने पाया कि कुछ क्षेत्रों में एक से अधिक निर्विघ्न संरचना होती है - असाधारण क्षेत्र और डोनाल्डसन की प्रमेय देखें। मिशेल कर्वायर ने बिना किसी निर्विघ्न संरचना के संस्थितिविज्ञान मैनिफोल्ड का प्रदर्शन किया। निर्विघ्न मैनिफोल्ड सिद्धांत के कुछ निर्माण, जैसे कि स्पर्शरेखा बंडलों का अस्तित्व, बहुत अधिक काम के साथ संस्थितिविज्ञान सेटिंग में किया जा सकता है, और अन्य नहीं कर सकते।

अवकल सांस्थितिकी में मुख्य विषयों में से एक है विविध के बीच विशेष प्रकार की निर्विघ्न मैपिंग का अध्ययन, अर्थात् विसर्जन (गणित) और जलमग्न (गणित), और ट्रांसवर्सलिटी (गणित) के माध्यम से सबमनीफोल्ड्स के चौराहों का अध्ययन। अधिक आम तौर पर किसी को निर्विघ्न विविध के गुणों और इनवेरिएंट्स में दिलचस्पी होती है, जो डिफियोमॉर्फिज्म द्वारा किए जाते हैं, एक अन्य विशेष प्रकार की निर्विघ्न मैपिंग। मोर्स थ्योरी अवकल सांस्थितिकी की एक और शाखा है, जिसमें एक फ़ंक्शन के जैकोबियन के रैंक (अवकल सांस्थितिकी) में परिवर्तन से मैनिफोल्ड के बारे में संस्थितिविज्ञान जानकारी का पता लगाया जाता है।

अवकल सांस्थितिकी विषयों की सूची के लिए, निम्नलिखित संदर्भ देखें: अवकल ज्योमेट्री विषयों की सूची।

अवकल सांस्थितिकी बनाम अवकल ज्यामिति
अवकल सांस्थितिकी और अवकल ज्योमेट्री को सबसे पहले उनकी समानता से पहचाना जाता है। वे दोनों मुख्य रूप से अलग-अलग विविध के गुणों का अध्ययन करते हैं, कभी-कभी उन पर लगाए गए विभिन्न संरचनाओं के साथ।

एक प्रमुख अवकल उन समस्याओं की प्रकृति में निहित है जिन्हें प्रत्येक विषय संबोधित करने का प्रयास करता है। एक दृष्टिकोण में, अवकल सांस्थितिकी मुख्य रूप से उन समस्याओं का अध्ययन करके अवकल ज्योमेट्री से खुद को अलग करती है जो स्वाभाविक रूप से वैश्विक हैं। कॉफी कप और डोनट के उदाहरण पर विचार करें। अवकल सांस्थितिकी के दृष्टिकोण से, डोनट और कॉफी कप समान हैं (एक मायने में)। हालांकि, यह एक अंतर्निहित वैश्विक दृष्टिकोण है, क्योंकि अवकल टोपोलॉजिस्ट के पास यह बताने का कोई तरीका नहीं है कि दोनों वस्तुओं में से किसी एक के सिर्फ एक छोटे (स्थानीय) टुकड़े को देखकर (इस अर्थ में) समान हैं या नहीं। उनके पास प्रत्येक संपूर्ण (वैश्विक) वस्तु तक पहुंच होनी चाहिए।

अवकल ज्यामिति के दृष्टिकोण से, कॉफी कप और डोनट अलग-अलग हैं क्योंकि कॉफी कप को इस तरह घुमाना असंभव है कि इसकी कॉन्फ़िगरेशन डोनट से मेल खाती है। यह समस्या के बारे में सोचने का एक वैश्विक तरीका भी है। लेकिन एक महत्वपूर्ण अवकल यह है कि इसे तय करने के लिए जियोमीटर को संपूर्ण वस्तु की आवश्यकता नहीं होती है। उदाहरण के लिए, हैंडल के एक छोटे से टुकड़े को देखकर, वे यह तय कर सकते हैं कि कॉफी कप डोनट से अलग है क्योंकि डोनट के किसी भी टुकड़े की तुलना में हैंडल पतला (या अधिक घुमावदार) है।

इसे संक्षिप्त रूप से रखने के लिए, अवकल सांस्थितिकी विविध पर संरचनाओं का अध्ययन करती है, एक अर्थ में, कोई दिलचस्प स्थानीय संरचना नहीं है। अवकल ज्योमेट्री विविध पर संरचनाओं का अध्ययन करती है जिसमें एक दिलचस्प स्थानीय (या कभी-कभी अपरिमेय) संरचना होती है।

अधिक गणितीय रूप से, उदाहरण के लिए, एक ही आयाम के दो कई गुनाओं के बीच एक भिन्नता के निर्माण की समस्या स्वाभाविक रूप से वैश्विक है क्योंकि स्थानीय रूप से दो ऐसे मैनिफोल्ड हमेशा अलग-अलग होते हैं। इसी तरह, अलग-अलग मैपिंग के तहत अपरिवर्तनीय मैनिफोल्ड पर मात्रा की गणना करने की समस्या स्वाभाविक रूप से वैश्विक है, क्योंकि कोई भी स्थानीय आविष्कार इस अर्थ में तुच्छ होगा कि यह पहले से ही सांस्थितिकी में प्रदर्शित होता है $$\R^n$$। इसके अलावा, अवकल सांस्थितिकी खुद को डिफियोमोर्फिज्म के अध्ययन तक ही सीमित नहीं रखती है। उदाहरण के लिए, सिम्प्लेक्टिक सांस्थितिकी अवकल सांस्थितिकी की एक उपशाखा- सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड के वैश्विक गुणों का अध्ययन करती है। अवकल ज्योमेट्री खुद को समस्याओं से संबंधित करती है - जो स्थानीय या वैश्विक हो सकती है - जिसमें हमेशा कुछ गैर-तुच्छ स्थानीय गुण होते हैं। इस प्रकार अवकल ज्योमेट्री एक कनेक्शन (गणित), से लैस अवकल विविध का अध्ययन कर सकती है, एक मीट्रिक (जो किरीमैनियन, स्यूडो-रीमैनियन या फिन्सलर मीट्रिक हो सकता है), एक विशेष प्रकार का वितरण (जैसे सीआर संरचना), और इसी तरह।

अवकल ज्यामिति और अवकल सांस्थितिकी के बीच यह अवकल धुंधला है, हालांकि, विशेष रूप से एक बिंदु पर स्पर्शरेखा समष्‍टि जैसे स्थानीय डिफियोमोर्फिज्म इनवेरिएंट से संबंधित प्रश्नों में। अवकल सांस्थितिकी भी इन जैसे सवालों से संबंधित है, जो विशेष रूप से अवकल मैपिंग के गुणों से संबंधित हैं $$\R^n$$(उदाहरण के लिए स्पर्शरेखा बंडल, जेट (गणित), व्हिटनी विस्तार प्रमेय, और आगे)।

भेद सार शब्दों में संक्षिप्त है:
 * अवकल सांस्थितिकी विविध पर संरचनाओं के (अनंत, स्थानीय और वैश्विक) गुणों का अध्ययन है, जिसमें केवल तुच्छ स्थानीय मोडुली स्पेस होती है।
 * अवकल ज्योमेट्री विविध पर संरचनाओं का ऐसा अध्ययन है जिसमें एक या एक से अधिक गैर-तुच्छ स्थानीय मोडुली होते हैं।

यह भी देखें

 * अवकल ज्यामिति विषयों की सूची
 * अवकल ज्यामिति और सांस्थितिकी की शब्दावली
 * अवकल ज्यामिति में महत्वपूर्ण प्रकाशन
 * अवकल सांस्थितिकी में महत्वपूर्ण प्रकाशन
 * घुमावदार स्पेसटाइम के गणित का मूल परिचय