कोण त्रिखंड



कोण ट्राइसेक्शन प्राचीन ग्रीक गणित के स्ट्रेटएज और कम्पास निर्माण की एक मौलिक समस्या है। यह केवल दो उपकरणों का उपयोग करके दिए गए इच्छानुसार कोण के एक तिहाई के समान कोण के निर्माण से संबंधित है: एक अचिह्नित सीधा किनारा और एक कम्पास है।

1837 में, पियरे वांटज़ेल ने सिद्ध किया कि समस्या, जैसा कि कहा गया है, इच्छानुसार कोणों के लिए हल करने की असंभवता का प्रमाण है। चूँकि कुछ विशेष कोणों को त्रिविभाजित किया जा सकता है: उदाहरण के लिए, एक समकोण को त्रिविभाजित करना (अर्थात 30 डिग्री का कोण बनाना) तुच्छ है।

स्ट्रेटएज और कम्पास के अतिरिक्त अन्य उपकरणों का उपयोग करके एक इच्छानुसार कोण को त्रिविभाजित करना संभव है। उदाहरण के लिए, न्यूसिस निर्माण जिसे प्राचीन यूनानियों के लिए भी जाना जाता है, में एक चिह्नित सीधे किनारे की एक साथ स्लाइडिंग और रोटेशन सम्मिलित है, जिसे मूल उपकरणों के साथ प्राप्त नहीं किया जा सकता है। अन्य तकनीकें गणितज्ञों द्वारा सदियों से विकसित की गईं।

क्योंकि इसे सरल शब्दों में परिभाषित किया गया है, किंतु जटिल सिद्ध होने के कारण इसे हल नहीं किया जा सकता है, कोण ट्राइसेक्शन की समस्या भोले-भाले उत्साही लोगों द्वारा समाधान के लिए छद्म गणित के प्रयासों का निरन्तर विषय है। इन समाधानों में अधिकांशतः नियमों की ग़लत व्याख्याएँ सम्मिलित होती हैं, या ये बिल्कुल ग़लत होते हैं।

पृष्ठभूमि और समस्या कथन
केवल एक अचिह्नित सीधे किनारे और एक कम्पास का उपयोग करके ग्रीक गणित ने एक रेखा (गणित) को समान खंडों के एक इच्छानुसार सेट में विभाजित करने, समानांतर (ज्यामिति) रेखाएं खींचने, द्विभाजन या कोण समद्विभाजक बनाने, कई बहुभुज बनाने और निर्माण करने का साधन खोज लिया। किसी दिए गए बहुभुज के समान या दोगुने क्षेत्रफल वाले वर्ग बनाने का साधन खोज लिया।

तीन समस्याएं मायावी सिद्ध हुईं, विशेष रूप से कोण को त्रिविभाजित करना, घन को दोगुना करना और वृत्त का वर्ग करना। कोण त्रिखंड की समस्या पढ़ती है:

केवल दो उपकरणों का उपयोग करके, किसी दिए गए इच्छानुसार कोण के एक तिहाई के समान कोण बनाएं (या इसे तीन समान कोणों में विभाजित करें):
 * 1) एक अचिह्नित सीधा किनारा, और
 * 2) कम्पास।

असंभवता का प्रमाण
पियरे वांटज़ेल ने 1837 में एक इच्छानुसार कोण को मौलिक रूप से त्रिविभाजित करने की असंभवता का प्रमाण प्रकाशित किया। वांटज़ेल का प्रमाण जिसे आधुनिक शब्दावली में दोहराया गया है, फ़ील्ड विस्तार की अवधारणा का उपयोग करता है, एक विषय जिसे अब सामान्यतः गैलोज़ सिद्धांत के साथ जोड़ा जाता है। चूँकि वांटज़ेल ने इन परिणामों को एवरिस्ट गैलोइस (जिसका काम, 1830 में लिखा गया था, केवल 1846 में प्रकाशित हुआ था) से पहले प्रकाशित किया था और गैलोइस द्वारा प्रस्तुत की गई अवधारणाओं का उपयोग नहीं किया था।

किसी दिए गए माप $θ>3π⁄4$ का कोण बनाने की समस्या दो खंडों के निर्माण के समान है जैसे कि उनकी लंबाई का अनुपात $φ=θ⁄3$ है। इन दो समस्याओं में से एक के समाधान से, एक कंपास और स्ट्रेटएज निर्माण द्वारा दूसरे के समाधान तक पहुंचा जा सकता है। त्रिकोण सूत्र मूल कोण की कोज्या और उसके त्रिखंड से संबंधित एक अभिव्यक्ति देता है: $θ$ = $cos θ$.

इसका तात्पर्य यह है कि, एक खंड दिया गया है जिसे इकाई लंबाई के रूप में परिभाषित किया गया है, कोण ट्राइसेक्शन की समस्या एक खंड के निर्माण के समान है जिसकी लंबाई एक घन बहुपद की जड़ है। यह समतुल्यता मूल ज्यामितीय समस्या को पूर्णतः बीजगणितीय समस्या में बदल देती है।

प्रत्येक परिमेय संख्या रचनात्मक होती है। प्रत्येक अपरिमेय संख्या जो कुछ दी गई संख्याओं से एक ही चरण में रचनात्मक संख्या होती है, इन संख्याओं द्वारा उत्पन्न क्षेत्र (गणित) में गुणांक के साथ घात 2 के बहुपद की जड़ होती है। इसलिए, कोई भी संख्या जो चरणों के अनुक्रम द्वारा बनाई जा सकती है, एक न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत) का मूल है जिसकी डिग्री दो की घात है। कोना $cos θ$ कांति (60 डिग्री (कोण)s, लिखा 60°) समबाहु त्रिभुज है। नीचे दिए गए तर्क से पता चलता है कि 20° का कोण बनाना असंभव है। इसका तात्पर्य यह है कि 60° के कोण को त्रिविभाजित नहीं किया जा सकता है, और इस प्रकार एक इच्छानुसार कोण को भी त्रिविभाजित नहीं किया जा सकता है।

परिमेय संख्याओं के समुच्चय को $4 cos^{3} θ⁄3 − 3 cos θ⁄3$ द्वारा निरूपित करें। यदि 60° को त्रिविभाजित किया जा सकता है, तो $π⁄3$ पर $Q$ के न्यूनतम बहुपद की घात दो की घात होगी। अब मान लीजिए x = $Q$°.ध्यान दें कि $cos 20°$ = $x = cos 20°$ = $cos 60°$. फिर त्रिकोण सूत्र द्वारा, $cos π⁄3$ इसलिए $1⁄2$. इस प्रकार $cos π⁄3 = 4x^{3} − 3x$. परिभाषित करना $4x^{3} − 3x = 1⁄2$ बहुपद होना $8x^{3} − 6x − 1 = 0$.परिभाषित करें।

चूँकि $p(t)$°, $p(t) = 8t^{3} − 6t − 1$ का मूल है, इसलिए $x = cos 20°$ के लिए न्यूनतम बहुपद $p(t)$ का एक गुणनखंड है। क्योंकि $cos 20°$ की डिग्री 3 है, यदि इसे $p(t)$ से कम किया जा सकता है तो इसका एक तर्कसंगत मूल है। तर्कसंगत मूल प्रमेय के अनुसार, यह मूल $p(t)$ या $Q$, होना चाहिए, किंतु इनमें से कोई भी मूल नहीं है। इसलिए, $±1, ±1⁄2, ±1⁄4$ $±1⁄8$ से अधिक अपरिवर्तनीय है, और $p(t)$ के लिए न्यूनतम बहुपद घात $Q$ का है।

तो माप का एक कोण $cos 20°$ को त्रिविभाजित नहीं किया जा सकता.

वे कोण जिन्हें त्रिविभाजित किया जा सकता है
हालाँकि, कुछ कोणों को त्रिविभाजित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, किसी भी रचनात्मक कोण $3$ के लिए, माप $60°$ के कोण को दिए गए कोण को अनदेखा करके और सीधे माप $θ$ के कोण का निर्माण करके तुच्छ रूप से त्रिविभाजित किया जा सकता है। ऐसे कोण हैं जो निर्माण योग्य नहीं हैं किंतु त्रिविभाज्य हैं (एक तिहाई कोण स्वयं गैर-निर्माण योग्य होने के बावजूद)। उदाहरण के लिए, $3θ$ एक ऐसा कोण है: माप $θ$ के पांच कोण मिलकर $3\pi⁄7$ का एक कोण बनाते हैं जो एक पूर्ण वृत्त और वांछित $3\pi⁄7$ है।

एक धनात्मक पूर्णांक $N$ के लिए, माप का कोण $15\pi⁄7$ त्रिविभाज्य होता है यदि और केवल यदि $\pi⁄7$ $N$ को विभाजित नहीं करता है। इसके विपरीत, $2\pi⁄N$ तभी रचनात्मक होता है जब $N$, $3$ की घात हो या एक या अधिक विशिष्ट फ़र्मेट अभाज्यों के गुणनफल के साथ $2\pi⁄N$ की घात का गुणनफल हो।

बीजगणितीय लक्षण वर्णन
पुनः, परिमेय संख्याओं के समुच्चय को $2$ से निरूपित करें।

प्रमेय: माप $2$ के कोण को त्रिविभाजित किया जा सकता है यदि और केवल यदि $Q$ क्षेत्र विस्तार $θ$ पर कम करने योग्य है।

गणितीय प्रमाण ऊपर दिए गए प्रमाण का अपेक्षाकृत सीधा सामान्यीकरण है $q(t) = 4t^{3} − 3t − cos(θ)$ कोण त्रिविभाज्य नहीं है.

भागों की अन्य संख्या
किसी भी गैर-शून्य पूर्णांक एन के लिए, माप 2π⁄N रेडियन के कोण को स्ट्रेटएज और कंपास के साथ $n$ समान भागों में विभाजित किया जा सकता है यदि और केवल यदि $n$ या तो 2 की शक्ति है या $Q(cos(θ))$ की शक्ति एक या अधिक के उत्पाद से गुणा है विशिष्ट फ़र्मेट प्राइम, जिनमें से कोई भी $N$ को विभाजित नहीं करता है। ट्राइसेक्शन ($60°$, जो कि फ़र्मेट प्राइम है) के स्थिती में, यह स्थिति उपर्युक्त आवश्यकता बन जाती है कि $N$ 3 से विभाज्य नहीं है।

अन्य विधियाँ
कोण ट्राइसेक्शन की सामान्य समस्या को अतिरिक्त उपकरणों का उपयोग करके हल किया जा सकता है, और इस प्रकार यह कम्पास और स्ट्रेटएज के मूल ग्रीक रूपरेखा के बाहर जा सकता है।

सामान्य कोण को त्रिविभाजित करने की कई गलत विधियाँ प्रस्तावित की गई हैं। इनमें से कुछ विधियाँ उचित अनुमान प्रदान करती हैं; अन्य (जिनमें से कुछ का उल्लेख नीचे किया गया है) में ऐसे उपकरण सम्मिलित हैं जिनकी मौलिक समस्या में अनुमति नहीं है। गणितज्ञ अंडरवुड डुडले ने अपनी पुस्तक द ट्राइसेक्टर्स में इनमें से कुछ असफल प्रयासों का विवरण दिया है।

क्रमिक द्विभाजन द्वारा सन्निकटन
किसी कोण को समद्विभाजित करने के लिए कम्पास और स्ट्रेटएज विधि की पुनरावृत्ति द्वारा ट्राइसेक्शन का अनुमान लगाया जा सकता है। ज्यामितीय श्रृंखला $1⁄3$ = $1⁄4$ + $1⁄16$ + $1⁄64$ + $1⁄256$ + ⋯ या $1⁄3$ = $1⁄2$ − $1⁄4$ + $1⁄8$ − $1⁄16$ + ⋯ को द्विभाजन के आधार के रूप में उपयोग किया जा सकता है। स्पष्टता की किसी भी डिग्री का अनुमान चरणों की एक सीमित संख्या में प्राप्त किया जा सकता है।

ओरिगामी का उपयोग करना
ट्राइसेक्शन, रूलर और कम्पास द्वारा असंभव कई निर्माणों की तरह, पेपर फोल्डिंग, या ओरिगामी के संचालन द्वारा आसानी से पूरा किया जा सकता है। हुजिता के अभिगृहीत (फोल्डिंग ऑपरेशंस के प्रकार) दी गई लंबाई के घन एक्सटेंशन (घन जड़ें) का निर्माण कर सकते हैं, जबकि शासक और कम्पास केवल द्विघात एक्सटेंशन (वर्ग जड़ें) का निर्माण कर सकते हैं।

लिंकेज का उपयोग करना
ऐसे कई सरल लिंकेज (मैकेनिकल) हैं जिनका उपयोग केम्पे के ट्राइसेक्टर और सिल्वेस्टर के लिंक फैन या आइसोक्लिनोस्टैट सहित कोणों को ट्राइसेक्ट करने के लिए एक उपकरण बनाने के लिए किया जा सकता है।

एक समकोण त्रिभुजाकार शासक के साथ
1932 में, लुडविग बीबरबैक ने क्रेल्स जर्नल या जर्नल फॉर प्योर एंड एप्लाइड मैथमेटिक्स में अपना काम ऑन द टीचिंग ऑफ क्यूबिक कंस्ट्रक्शन प्रकाशित किया। वह उसमें कहता है (मुफ़्त अनुवाद):


 * जैसा कि ज्ञात है... प्रत्येक घन निर्माण का पता कोण के त्रिखंड और घन के गुणन, अथार्त तीसरे मूल के निष्कर्षण से लगाया जा सकता है। मुझे केवल यह दिखाना है कि इन दो मौलिक कार्यों को समकोण हुक के माध्यम से कैसे हल किया जा सकता है।

निर्माण की प्रारंभिक त्रिविभाजित होने वाले कोण के शीर्ष P से होकर गुजरने वाले एक वृत्त को खींचने से होती है, जो इस कोण के एक किनारे पर A पर केंद्रित होता है, और किनारे के साथ इसका दूसरा प्रतिच्छेद B होता है। P पर केन्द्रित और समान त्रिज्या का एक वृत्त किनारे को सहारा देने वाली रेखा को A और O में काटता है।

अब दाएं त्रिकोणीय शासक को निम्नलिखित विधि से ड्राइंग पर रखा गया है: इसके समकोण का एक पैर $O$ से होकर गुजरता है; इसके समकोण का शीर्ष रेखा $PC$ पर एक बिंदु $S$ पर इस प्रकार रखा गया है कि रूलर का दूसरा पैर $A$ पर केन्द्रित वृत्त पर $E$ पर स्पर्शरेखा है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि मूल कोण को रेखा $PE$ द्वारा त्रिविभाजित किया गया है।, और रेखा $PD$, $SE$ पर लंबवत है और $P$ से होकर गुजरती है। इस रेखा को या तो फिर से सही त्रिकोणीय शासक का उपयोग करके, या पारंपरिक स्ट्रेटएज और कम्पास निर्माण का उपयोग करके खींचा जा सकता है। समान निर्माण के साथ, कोई $E$ के स्थान में सुधार कर सकता है, इसका उपयोग करके यह लाइन $SE$ का प्रारंभिक प्रतिच्छेदहै और $A$ से गुजरने वाला इसका लंबवत है।

प्रमाण: किसी को कोण समानता सिद्ध करनी होगी $$\widehat{EPD}= \widehat{DPS}$$ और $$\widehat{BPE} = \widehat{EPD}.$$ तीन रेखाएं $OS$, $PD$और एई समानांतर हैं। चूंकि रेखा खंड $OP$ और $PA$ समान हैं, ये तीन समानांतर रेखाएं हर दूसरी छेदक रेखा पर और विशेष रूप से उनके सामान्य लंबवत एसई पर दो समान खंडों का परिसीमन करती हैं। इस प्रकार SD' = D'E, जहां D' रेखा PD और SE का प्रतिच्छेदन है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि समकोण त्रिभुज PD'S और PD'E सर्वांगसम हैं, और इस प्रकार यह $$\widehat{EPD}= \widehat{DPS},$$ पहली वांछित समानता है। दूसरी ओर, त्रिभुज $PAE$ समद्विबाहु है, क्योंकि एक वृत्त की सभी त्रिज्याएँ समान हैं; इसका तात्पर्य यह है कि$$\widehat{APE}=\widehat{AEP}.$$एक के पास भी $$\widehat{AEP}=\widehat{EPD},$$ है क्योंकि ये दोनों कोण दो समानांतर रेखाओं के एक तिर्यक रेखा के वैकल्पिक कोण हैं। यह दूसरी वांछित समानता और इस प्रकार निर्माण की शुद्धता को सिद्ध करता है।

एक सहायक वक्र के साथ
ट्राइसेक्ट्रिक्स नामक कुछ वक्र होते हैं, जिन्हें यदि अन्य विधियों का उपयोग करके समतल पर खींचा जाता है, तो इच्छानुसार कोणों को ट्राइसेक्ट करने के लिए उपयोग किया जा सकता है। उदाहरणों में मैकलॉरिन का ट्राइसेक्ट्रिक्स सम्मिलित है, जो निहित वक्र द्वारा कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में दिया गया है
 * $$2x(x^2+y^2)=a(3x^2-y^2),$$

और आर्किमिडीयन सर्पिल. वास्तव में, सर्पिल का उपयोग किसी कोण को किसी भी संख्या में समान भागों में विभाजित करने के लिए किया जा सकता है। आर्किमिडीज़ ने लगभग 225 ईसा पूर्व ऑन स्पाइरल्स में आर्किमिडीज़ सर्पिल का उपयोग करके एक कोण को त्रिविभाजित करने का वर्णन किया था।

चिह्नित रूलर के साथ
ग्रीक रूपरेखा के बाहर एक छोटे कदम से एक इच्छानुसार कोण को त्रिविभाजित करने का एक अन्य साधन एक शासक के माध्यम से एक निर्धारित दूरी पर दो निशान हैं। अगला निर्माण मूल रूप से आर्किमिडीज के कारण है, जिसे न्यूसिस निर्माण कहा जाता है, अथार्त, जो एक अचिह्नित सीधे किनारे के अतिरिक्त अन्य उपकरणों का उपयोग करता है। हम जिन आरेखों का उपयोग करते हैं वे इस निर्माण को एक न्यून कोण के लिए दिखाते हैं, किंतु यह वास्तव में 180 डिग्री तक के किसी भी कोण के लिए काम करता है।

इसके लिए ज्यामिति से तीन तथ्यों की आवश्यकता है (दाईं ओर): होने देना $l$ आसन्न आरेख में क्षैतिज रेखा बनें। कोण $a$ (बिंदु के बाएँ $B$) ट्राइसेक्शन का विषय है. सबसे पहले, एक बिंदु $A$ एक कोण की किरण (ज्यामिति) पर खींची जाती है, जो एक इकाई से अलग होती है $B$. त्रिज्या का एक वृत्त $AB$ मुरझाया है। फिर, रूलर का चिन्हांकन कार्य में आता है: रूलर का एक चिन्ह पर रखा जाता है $A$ और दूसरे पर $B$. रूलर (लेकिन निशान नहीं) को छूते हुए रखें $A$, रूलर को तब तक खिसकाया और घुमाया जाता है जब तक कि एक निशान वृत्त पर और दूसरा रेखा पर न आ जाए $l$. वृत्त पर निशान अंकित है $C$ और लाइन पर निशान लेबल किया गया है $D$. यह यह सुनिश्चित करता है $2$. एक त्रिज्या $BC$ यह स्पष्ट करने के लिए खींचा गया है कि रेखा खंड $AB$, $BC$, और $CD$ सभी की लंबाई समान है। अब, त्रिकोण $ABC$ और $BCD$ समद्विबाहु त्रिभुज हैं, इस प्रकार (उपरोक्त तथ्य 3 के अनुसार) प्रत्येक के दो समान कोण हैं।
 * 1) एक सीधी रेखा पर कोणों के किसी भी पूर्ण सेट को 180° में जोड़ें,
 * 2) किसी भी त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है, और,
 * 3) समद्विबाहु त्रिभुज की कोई भी दो समान भुजाएँ पॉन्स असिनोरम होंगी।

मान लीजिए कि आसन्न आरेख में क्षैतिज रेखा $l$ है। कोण a (बिंदु B के बाएँ) त्रिखंड का विषय है। सबसे पहले, कोण की किरण पर एक बिंदु A खींचा जाता है, जो B से एक इकाई अलग होता है। त्रिज्या AB का एक वृत्त खींचा जाता है। फिर, रूलर की मार्किंग काम में आती है: रूलर का एक चिन्ह A पर और दूसरा B पर रखा जाता है। रूलर को (किंतु चिन्ह नहीं) A को छूते हुए, रूलर को तब तक खिसकाया और घुमाया जाता है जब तक कि एक चिन्ह चालू न हो जाए वृत्त और दूसरा रेखा l पर है। वृत्त पर निशान को C लेबल दिया गया है और रेखा पर निशान को D लेबल किया गया है। यह सुनिश्चित करता है कि CD = AB है। यह स्पष्ट करने के लिए कि रेखाखंड AB, BC और CD सभी की लंबाई समान है, एक त्रिज्या BC खींची गई है। अब, त्रिभुज ABC और BCD समद्विबाहु हैं, इस प्रकार (उपरोक्त तथ्य 3 के अनुसार) प्रत्येक के दो समान कोण हैं।

परिकल्पना: दिया गया $AD$ एक सीधी रेखा है, और $AB$, $BC$, और $CD$ सभी की लंबाई समान है,

तार्किक परिणाम: कोण $n = 3$.

गणितीय प्रमाण:
 * 1) उपरोक्त तथ्य 1) ​​से, $$ e + c = 180$$°.
 * 2) त्रिकोण बीसीडी को देखते हुए, तथ्य 2 से) $$ e + 2b = 180$$°.
 * 3) पिछले दो समीकरणों से, $$ c = 2b$$.
 * 4) तथ्य 2 से), $$ d + 2c = 180$$°, इस प्रकार $$ d = 180$$°$$ - 2c $$, तो पिछले से, $$ d = 180$$°$$ - 4b$$.
 * 5) उपरोक्त तथ्य 1) ​​से, $$ a + d + b = 180$$°, इस प्रकार $$ a + (180$$°$$ - 4b) + b = 180$$°.

समाशोधन, $CD = AB$, या $b = a⁄3$, और प्रमेय Q.E.D. है.

फिर, यह निर्माण एक चिह्नित स्ट्रेटएज का उपयोग करके कम्पास और स्ट्रेटएज निर्माण के ग्रीक गणित से बाहर निकल गया था।

एक स्ट्रिंग के साथ
थॉमस हचिसन ने गणित शिक्षक में एक लेख प्रकाशित किया था जिसमें कम्पास और सीधे किनारे के अतिरिक्त एक स्ट्रिंग का उपयोग किया गया था। एक स्ट्रिंग का उपयोग सीधे किनारे (इसे खींचकर) या कम्पास (एक बिंदु को ठीक करके और दूसरे की पहचान करके) के रूप में किया जा सकता है, किंतु इसे सिलेंडर के चारों ओर भी लपेटा जा सकता है, जो हचिसन के समाधान की कुंजी है।

हचिसन ने कोण के पार एक चाप खींचकर, इसे एक वृत्त के रूप में पूरा करके और उस वृत्त से एक सिलेंडर का निर्माण किया, जिस पर एक, मान लीजिए, समबाहु त्रिभुज अंकित किया गया था (एक 360-डिग्री कोण जो तीन भागों में विभाजित है) फिर इसे समान त्रिभुजों के सरल प्रमाण के साथ, त्रिविभाजित किए जाने वाले कोण पर मैप किया गया।

एक टॉमहॉक के साथ
टॉमहॉक (ज्यामिति) एक ज्यामितीय आकृति है जिसमें एक अर्धवृत्त और दो ऑर्थोगोनल रेखा खंड होते हैं, जैसे कि छोटे खंड की लंबाई वृत्त की त्रिज्या के समान होती है। ट्राइसेक्शन को टॉमहॉक के छोटे खंड के सिरे को एक किरण पर और वृत्त के किनारे को दूसरे पर झुकाकर निष्पादित किया जाता है, जिससे हैंडल (लंबा खंड) कोण के शीर्ष को पार कर जाए; त्रिखंड रेखा शीर्ष और अर्धवृत्त के केंद्र के बीच चलती है।

जबकि एक टॉमहॉक कम्पास और स्ट्रेटएज के साथ बनाया जा सकता है, सामान्यतः किसी वांछित स्थिति में टॉमहॉक का निर्माण करना संभव नहीं है। इस प्रकार, उपरोक्त निर्माण केवल रूलर और कम्पास के साथ कोणों की गैर-त्रिकोणीयता का खंडन नहीं करता है।

चूँकि टॉमहॉक का उपयोग सेट स्क्वायर के रूप में किया जा सकता है, इसका उपयोग ट्राइसेक्शन कोणों के लिए भी वर्णित विधि द्वारा किया जा सकता है.

टॉमहॉक पेपर-फोल्डिंग विधि के समान ही ज्यामितीय प्रभाव उत्पन्न करता है: सर्कल केंद्र और छोटे खंड की नोक के बीच की दूरी त्रिज्या की दूरी से दोगुनी है, जो कोण से संपर्क करने की आश्वासन है। यह आर्किटेक्ट एल-रूलर (स्टील स्क्वायर या कारपेंटर स्क्वायर या कारपेंटर स्क्वायर) के उपयोग के समान भी है।

परस्पर जुड़े कम्पास के साथ
एक कोण को एक ऐसे उपकरण से विभाजित किया जा सकता है जो अनिवार्य रूप से एक कंपास का चार-कोणीय संस्करण है, जिसमें आसन्न शूलों के बीच के तीन कोणों को समान रखने के लिए डिज़ाइन किए गए कांटों के बीच संबंध होते हैं।

कोण त्रिखंड का उपयोग
वास्तविक गुणांक वाले एक घन समीकरण को कम्पास, स्ट्रेटएज और एक कोण ट्राइसेक्टर के साथ ज्यामितीय रूप से हल किया जा सकता है यदि और केवल तभी जब इसमें बहुपद की तीन वास्तविक संख्या जड़ें हों।

n भुजाओं वाला एक नियमित बहुभुज रूलर, कम्पास और कोण ट्राइसेक्टर के साथ बनाया जा सकता है यदि और केवल यदि $$n=2^r3^sp_1p_2\cdots p_k,$$ जहां r, s, k ≥ 0 और जहां pi फॉर्म $$2^t3^u +1$$ के 3 से बड़े विशिष्ट अभाज्य हैं जहां r, s, k ≥ 0 और जहां पाई फॉर्म के 3 से बड़े विशिष्ट अभाज्य हैं।

यह भी देखें

 * द्विभाजन
 * रचनात्मक संख्या
 * निर्माण योग्य बहुभुज
 * यूक्लिडियन ज्यामिति
 * ज्यामिति का इतिहास
 * मॉर्ले का ट्राइसेक्टर प्रमेय
 * चतुर्भुज
 * ट्राइसेक्ट्रिक्स
 * ज्यामितीय क्रिप्टोग्राफी

अग्रिम पठन

 * Courant, Richard, Herbert Robbins, Ian Stewart, What is mathematics?: an elementary approach to ideas and methods, Oxford University Press US, 1996. ISBN 978-0-19-510519-3.

बाहरी संबंध

 * MathWorld site
 * Geometric problems of antiquity, including angle trisection
 * Some history
 * One link of marked ruler construction
 * Another, mentioning Archimedes
 * A long article with many approximations & means going outside the Greek framework
 * Geometry site

त्रिखंडन के अन्य साधन

 * [[Commons:File:01-Trisection of angle E-10 Animation.gif| एक एनीमेशन के रूप में अनुमानित कोण त्रिखंड, अधिकतम। कोण की त्रुटि ≈ ±4E-8°
 * ].webs.com/ के माध्यम से ट्राइसेक्टिंग] (/trisect_limacon/ संग्रहीत 2009-10-25) ब्लेस पास्कल का लिमाकॉन; ट्राइसेक्ट्रिक्स भी देखें
 * ट्राइसेक्टिंग वाया एक आर्किमिडीयन सर्पिल
 * ट्राइसेक्टिंग थ्रू निकोमेडिस (गणितज्ञ) का कोनकॉइड (गणित)
 * sciencenews.org साइट ओरिगामी का उपयोग करने पर
 * हाइपरबोलिक ट्राइसेक्शन और नियमित बहुभुजों का स्पेक्ट्रम

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