डौबेकीस वेवलेट

इंग्रिड डौबेकीस के काम के आधार पर डौबेकीस तरंगिका, असतत तरंगिका रूपांतरण को परिभाषित करने वाले लंबकोणीय तरंगिका का एक वर्ग है और कुछ दिए गए समर्थन (गणित) के लिए लुप्त होने वाले क्षण (गणित) की अधिकतम संख्या की विशेषता है। इस वर्ग के प्रत्येक तरंगिका प्रकार के साथ, एक सोपानी प्रकार्य होता है (जिसे 'उत्पादक तरंगिका' कहा जाता है) जो एक लंबकोणीय बहु विभेदन विश्लेषण विश्लेषण उत्पन्न करता है।

गुण
सामान्यतः डौबेकीस तरंगिका को दी गई समर्थन चौड़ाई (गुणांकों की संख्या) 2A के लिए लुप्त होने वाले क्षणों की उच्चतम संख्या A के लिए चुना जाता है, (यह सबसे ठीक चिकनाई नहीं है)। उपयोग में दो नामकरण योजनाएं हैं, डीएन लंबाई या नल की संख्या का उपयोग कर रहा है, और डीबीए लुप्त होने वाले क्षणों की संख्या का चर्चा कर रहा है। तो डी4 और डीबी 2 एक ही तरंगिका रूपांतरण हैं।

क्षण और लंबकोणीयता स्थितियों के लिए बीजगणितीय समीकरणों के 2 A−1 के बीच संभावित हलों में से, वह चुना जाता है जिसके सोपानी निस्यंदक में परम चरण होता तीव्र तरंगिका रूपांतरण को तीव्र तरंगिका रूपांतरण का उपयोग करके व्यवहार में लाना भी सरल है। डौबेकीस तरंगिका का व्यापक रूप से समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला को हल करने में उपयोग किया जाता है, उदा. संकेत या आशिक समस्याओं, संकेत असांतत्य आदि की स्व-समानता गुण।

परिणामी सोपानी और तरंगिका प्रकार्य के संदर्भ में डौबेकीस तरंगिकाओं को परिभाषित नहीं किया गया है; वस्तुतः, उन्हें संवृत अभिव्यक्ति के रूप में लिखना संभव नहीं है। नीचे दिए गए आलेख सोपानी एल्गोरिदम का उपयोग करके उत्पन्न होते हैं, एक संख्यात्मक तकनीक जिसमें व्युत्क्रम-रूपांतरण [1 0 0 0 0 ...] उचित संख्या में होते है।

ध्यान दें कि यहां दिखाया गया वर्णक्रम उच्च और निम्न पास निस्यंदक की आवृत्ति प्रतिक्रिया नहीं है, बल्कि सोपानी (नीला) और तरंगिका (लाल) प्रकार्य के निरंतर फूरियर रूपांतरणों के आयाम हैं।

डौबेकीस लंबकोणीय तरंगिका डी4–डी40 क्रमश: डीबी1-डीबी10 सामान्यतः उपयोग किए जाते हैं। सूचकांक संख्या गुणांकों की संख्या N को संदर्भित करती है। प्रत्येक तरंगिका में कई शून्य क्षण या लुप्त होने वाले क्षण होते हैं जो गुणांक की आधी संख्या के बराबर होते हैं। उदाहरण के लिए, डी4 में एक लुप्त होने वाला क्षण होता है, डी4 में दो होते हैं, आदि। लुप्त होने वाला क्षण तरंगों की क्षमता को एक संकेत में बहुपद व्यवहार या सूचना का प्रतिनिधित्व करने के लिए सीमित करते है। उदाहरण के लिए, डी4, एक लुप्त क्षण के साथ, सरलता से एक गुणांक, या निरंतर संकेत घटकों के बहुपदों को कूटबद्ध करते है। डी4 बहुपदों को दो गुणांकों के साथ कूटबद्ध करते है, अर्थात स्थिर और रेखीय संकेत घटक; और डी6 3-बहुपद, अर्थात स्थिर, रैखिक और द्विघात बहुपद संकेत घटकों को कूटबद्ध करते है। संकेतों को एन्कोड करने की यह क्षमता फिर भी मापक्रम रिसाव की घटना और शिफ्ट- निश्चरता की कमी के अधीन है, जो परिवर्तन के आवेदन के समय असतत शिफ्टिंग संचालन (नीचे) से बढ़ती है। उप-अनुक्रम जो रैखिक, द्विघात बहुपद (उदाहरण के लिए) संकेत घटकों का प्रतिनिधित्व करते हैं, उन्हें परिवर्तन द्वारा अलग-अलग विधि से व्यवहार किया जाता है, जो इस बात पर निर्भर करता है कि अंक अनुक्रम में सम-या विषम-संख्या वाले स्थानों के साथ संरेखित हैं या नहीं। अनुवाद संबंधी व्युत्क्रम के महत्वपूर्ण गुण की कमी के कारण, शिफ्ट निश्चर तरंगिका रूपांतरण तरंगिका रूपांतरण के कई अलग-अलग संस्करणों का विकास हुआ है।

निर्माण
सोपानी अनुक्रम (लो-पास निस्यंदक) और तरंगिका अनुक्रम (बैंड-पास निस्यंदक) (इस निर्माण के विवरण के लिए लंबकोणीय तरंगिका देखें) दोनों को यहां 2 के बराबर योग और 2 वर्गों के योग के लिए सामान्यीकृत किया जाएगा। कुछ अनुप्रयोगों में, उन्हें $$\sqrt{2}$$ योग के लिए सामान्यीकृत किया जाता है, जिससे कि दोनों अनुक्रम और उनमें से सभी गुणांक एक समान संख्या में एक दूसरे के लिए असामान्य होते हैं।

सन्निकटन क्रम A,


 * $$a(Z)=2^{1-A}(1+Z)^A p(Z),$$
 * N = 2A, p के वास्तविक गुणांक p (1) = 1 और deg (p) = A − 1 के साथ एक लंबकोणीय असतत तरंगिका के सोपानी अनुक्रम के लिए सामान्य प्रतिनिधित्व का उपयोग करके, कोई लिख सकता है


 * $$a(Z)a \left (Z^{-1} \right )+a(-Z)a \left (-Z^{-1} \right )=4,$$
 * के रूप में लंबकोणीयता की स्थिति, या समान रूप से


 * $$(2-X)^A P(X)+X^A P(2-X)=2^A \qquad (*),$$

के रूप में, लॉरेंट-बहुपद


 * $$X:= \frac{1}{2}\left (2-Z-Z^{-1} \right )$$ के साथ सभी सममित अनुक्रम और $$X(-Z)=2-X(Z)$$ उत्पन्न करते हैं। इसके अतिरिक्त, P (X) सममित लॉरेंट-बहुपद


 * $$P(X(Z))=p(Z)p \left ( Z^{-1} \right )$$ के लिए है।

चूंकि


 * $$X(e^{iw})=1-\cos(w)$$ :$$p(e^{iw})p(e^{-iw})=|p(e^{iw})|^2$$

P भाग [0,2] पर गैर-ऋणात्मक मान लेता है।

समीकरण (*) में प्रत्येक A के लिए न्यूनतम हल है, जिसे X,


 * $$P_A(X)=\sum_{k=0}^{A-1} \binom{A+k-1}{A-1} 2^{-k}X^k$$ में संक्षिप्त घात श्रृंखला की वलय में विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है।

प्रत्यक्ष रूप से, इसका (0,2) धनात्मक मान है।

(*) के लिए सजातीय समीकरण X = 1 के विषय में विरोधी सममित है और इस प्रकार सामान्य हल


 * $$X^A(X-1)R \left ((X-1)^2 \right )$$ है,

R के साथ वास्तविक गुणांक वाले कुछ बहुपद हैं। योग


 * $$P(X)=P_A(X)+X^A(X-1)R \left ((X-1)^2 \right )$$

अंतराल [0,2] पर गैर-ऋणात्मक होगा, R के गुणांकों पर रैखिक प्रतिबंधों के समूह में अनुवाद करते है। अंतराल [0,2] पर P के मान कुछ मात्रा $$4^{A-r}$$ से घिरे हुए हैं, R को अधिकतम करने से असीमित कई असमानता स्थितियों के साथ एक रैखिक कार्यक्रम में परिणाम मिलता है।

p के लिए


 * $$P(X(Z))=p(Z)p \left (Z^{-1} \right)$$
 * को हल करने के लिए एक तकनीक का उपयोग किया जाता है जिसे वर्णक्रमीय गुणनखंड क्रमशः फेजेर-रिज्ज़-एल्गोरिदम कहा जाता है। बहुपद P (X) रैखिक गुणनखंडों


 * $$P(X)=(X-\mu_1)\cdots(X-\mu_N), \qquad N=A+1+2\deg(R)$$ में विभक्त हो जाता है।
 * प्रत्येक रैखिक कारक लॉरेंट-बहुपद


 * $$X(Z)-\mu =-\frac{1}{2}Z+1-\mu-\frac12Z^{-1}$$
 * का प्रतिनिधित्व करता है जिसे दो रैखिक कारकों में विभाजित किया जा सकता है। कोई दो रैखिक कारकों में से किसी एक को p (Z) के लिए निर्दिष्ट कर सकते है, इस प्रकार कोई 2N संभव हल प्राप्त करता है। परम चरण के लिए वह चुनते है जिसमें p (Z) के सभी जटिल मूल अंदर या इकाई वृत्त पर होता हैं और इस प्रकार वास्तविक होता हैं।

डौबेकीस तरंगिका रूपांतरण के लिए, रैखिक निस्यंदक के युग्म का उपयोग किया जाता है। युग्म का प्रत्येक निस्यंदक चतुर्भुज दर्पण निस्यंदक होना चाहिए। चतुर्भुज दर्पण निस्यंदक गुण का उपयोग करके रैखिक निस्यंदक $$c_i$$ के गुणांक को हल करने के परिणामस्वरूप क्रम 4.


 * $$c_0 = \frac{1+\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}, \quad c_1 = \frac{3+\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}, \quad c_2 = \frac{3-\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}, \quad c_3 = \frac{1-\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}$$ के निस्यंदक के गुणांक मानों के लिए निम्न हल होते है।

सबसे कम सन्निकटन क्रम का सोपानी क्रम
नीचे डी4-20 के लिए सोपानी प्रकार्य के गुणांक हैं। तरंगिका गुणांक सोपानी प्रकार्य गुणांक के क्रम को उत्क्रमी कर और फिर प्रत्येक दूसरे के चिह्न को उत्क्रमी कर प्राप्त किया जाता है, (अर्थात, डी 4 तरंगिका $$\approx$$ {-0.1830127, -0.3169873, 1.1830127, -0.6830127})। गणितीय रूप से, यह $$b_k = (-1)^k a_{N-1-k} $$ जैसा दिखता है जहाँ k गुणांक सूचकांक है, b तरंगिका अनुक्रम का गुणांक है और सोपानी अनुक्रम का गुणांक है। N तरंगिका सूचकांक है, अर्थात, डी4 के लिए 2।



निर्माण के कुछ भागों का उपयोग द्विलंबकोणीय कोहेन-डौबेकीस-फेउवेऊ तरंगिका (सीडीएफ) को प्राप्त करने के लिए भी किया जाता है।

कार्यान्वयन
जबकि मेथेमेटिका जैसे सॉफ़्टवेयर सीधे डौबेकीस तरंगिका का समर्थन करते हैं मैतलैब में मूलभूत कार्यान्वयन संभव है (इस स्थिति में, डौबेकीस 4)। परिमित लंबाई संकेतों की समस्या को संभालने के लिए यह कार्यान्वयन आवधिकता का उपयोग करता है। अन्य, अधिक परिष्कृत विधि उपलब्ध हैं, परन्तु प्रायः इनका उपयोग करना आवश्यक नहीं होता है क्योंकि यह मात्र रूपांतरित संकेत के बहुत सिरों को प्रभावित करता है। आवधिकता मैतलैब सदिश अंकन में सीधे आगे के परिवर्तन में पूरी की जाती है, और ) प्रकार्य का उपयोग करके व्युत्क्रम परिवर्तन परिवर्तन होते है:

रूपांतरण, डी 4
यह माना जाता है कि अवयवों की सम संख्या वाले स्तंभ सदिश S को विश्लेषण किए जाने वाले संकेत के रूप में पूर्व-परिभाषित किया गया है। ध्यान दें कि डी4 गुणांक [1 + हैं$\sqrt{3}$, 3 + $\sqrt{3}$, 3 − $\sqrt{3}$, 1 − $\sqrt{3}$]/4 हैं।

द्विपद-क्यूएमएफ
1990 में अली अकांसु द्वारा यह दिखाया गया था कि द्विपद क्यूएमएफ (द्विपद क्यूएमएफ) डौबेकीस तरंगिका निस्यंदक के समान है, और इसके प्रदर्शन को असतत-समय संकेत प्रोसेसिंग परिप्रेक्ष्य से ज्ञात उप-स्थान हलों में स्थान दिया गया था। यह द्विपद गुणांक और हर्मिट बहुपदों पर पूर्व प्रकार्य का विस्तार था, जिसने 1987 में संशोधित हर्मिट परिवर्तन (एमएचटी) के विकास का नेतृत्व किया।  द्विपद-क्यूएमएफ निस्यंदक के परिमाण वर्ग प्रकार्य दो-बैंड पूर्ण पुनर्निर्माण क्यूएमएफ (पीआर-क्यूएमएफ) डिजाइन सूत्रीकरण में अद्वितीय अधिकतम समतल प्रकार्य हैं जो निरंतर डोमेन में तरंगिका नियमितता से संबंधित हैं।

यह भी देखें

 * तीव्र तरंगिका परिवर्तन

बाहरी संबंध

 * इंग्रिड डौबेकीस: Ten Lectures on तरंगिका, SIAM 1992.
 * Proc. 1st NJIT Symposium on तरंगिका, Subbands and Transforms, April 1990.
 * A.N. Akansu, Filter Banks and तरंगिका in Signal Processing: A Critical Review, Proc. SPIE Video Communications and PACS for Medical Applications (Invited Paper), pp. 330-341, vol. 1977, Berlin, Oct. 1993.
 * Carlos Cabrelli, Ursula Molter: "Generalized Self-similarity", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 230: 251–260, 1999.
 * Hardware implementation of तरंगिका
 * I. Kaplan, The डौबेकीस डी4 Wavelet Transform.
 * Jianhong (Jackie) Shen and Gilbert Strang, Applied and Computational Harmonic Analysis, 5 (3), Asymptotics of डौबेकीस Filters, Scaling Functions, and तरंगिका.
 * I. Kaplan, The डौबेकीस डी4 Wavelet Transform.
 * Jianhong (Jackie) Shen and Gilbert Strang, Applied and Computational Harmonic Analysis, 5 (3), Asymptotics of डौबेकीस Filters, Scaling Functions, and तरंगिका.
 * Jianhong (Jackie) Shen and Gilbert Strang, Applied and Computational Harmonic Analysis, 5 (3), Asymptotics of डौबेकीस Filters, Scaling Functions, and तरंगिका.