मैट्रिक्स फ़ील्ड

अमूर्त बीजगणित में, मैट्रिक्स फ़ील्ड एक फ़ील्ड (गणित) है जिसमें तत्वों के रूप में मैट्रिक्स (गणित) होता है। फ़ील्ड (गणित) सिद्धांत में फ़ील्ड दो प्रकार के होते हैं: परिमित फ़ील्ड और अनंत समुच्चय फ़ील्ड। विभिन्न विशेषताओं (बीजगणित) और प्रमुखता के मैट्रिक्स फ़ील्ड के कई उदाहरण हैं।

प्रत्येक अभाज्य संख्या पी के लिए कार्डिनैलिटी पी का सीमित मैट्रिक्स क्षेत्र है। किसी भी अभाज्य संख्या पी के लिए विशेषता पी के कई परिमित मैट्रिक्स फ़ील्ड पा सकते हैं। सामान्यतः, प्रत्येक परिमित क्षेत्र के अनुरूप मैट्रिक्स क्षेत्र होता है। चूँकि समान कार्डिनैलिटी के कोई भी दो परिमित क्षेत्र समरूपी होते हैं, परिमित क्षेत्र के तत्वों को आव्यूहों द्वारा दर्शाया जा सकता है।

मैट्रिक्स गुणन की सामान्य स्थिति के विपरीत, मैट्रिक्स फ़ील्ड में गुणन क्रमविनिमेय गुण है (यदि सामान्य संचालन का उपयोग किया जाता है)। चूंकि आव्यूहों के जोड़ और गुणन में गुणन की क्रमविनिमेयता और गुणक व्युत्क्रमों के अस्तित्व को छोड़कर क्षेत्र संचालन के लिए सभी आवश्यक गुण होते हैं, इसलिए यह सत्यापित करने की विधि है कि क्या आव्यूहों का समुच्चय मैट्रिक्स योग और गुणन के सामान्य संचालन वाला क्षेत्र है या नहीं


 * 1) समुच्चय जोड़, घटाव और गुणा के अनुसार क्लोजर (गणित) है;
 * 2) मैट्रिक्स जोड़ के लिए तटस्थ तत्व (अर्थात, शून्य मैट्रिक्स) सम्मिलित है;
 * 3) गुणन क्रमविनिमेय है;
 * 4) समुच्चय में गुणात्मक समानता तत्व सम्मिलित है (ध्यान दें कि यह समानता मैट्रिक्स होना जरूरी नहीं है); और
 * 5) प्रत्येक मैट्रिक्स जो शून्य मैट्रिक्स नहीं है, उसमें गुणात्मक व्युत्क्रम होता है।

उदाहरण
1. फॉर्म के सभी n × n आव्यूहों का समुच्चय (गणित) लें
 * $$\begin{pmatrix}

a     & a      & \cdots & a \\ 0     & 0      & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0     & 0      & \cdots & 0 \end{pmatrix}$$ $$a\in \mathbb{R}$$ के साथ – अर्थात्, पहली पंक्ति को छोड़कर शून्य से भरी आव्यूह, जो समान वास्तविक संख्या स्थिरांक $$a$$ से भरी होती है, ये आव्यूह गुणन के लिए क्रमविनिमेय हैं:
 * $$\begin{pmatrix}

a     & a      & \cdots & a \\ 0     & 0      & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0     & 0      & \cdots & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b     & b      & \cdots & b \\ 0     & 0      & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0     & 0      & \cdots & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ab    & ab     & \cdots & ab \\ 0     & 0      & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0     & 0      & \cdots & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} b     & b      & \cdots & b \\ 0     & 0      &        & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0     & 0      & \cdots & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a     & a      & \cdots & a \\ 0     & 0      & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0     & 0      & \cdots & 0 \end{pmatrix}$$.

गुणात्मक समानता है $$\begin{pmatrix} 1     & 1      & \cdots & 1 \\ 0     & 0      & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0     & 0      & \cdots & 0 \end{pmatrix}$$.

$$a\neq 0$$ के साथ मैट्रिक्स $$\begin{pmatrix} a     & a      & \cdots & a \\ 0     & 0      & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0     & 0      & \cdots & 0 \end{pmatrix}$$ का गुणनात्मक व्युत्क्रम $$\begin{pmatrix} \frac{1}{a} & \frac{1}{a} & \cdots & \frac{1}{a} \\ 0     & 0      & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0     & 0      & \cdots & 0 \end{pmatrix}.$$ द्वारा दिया गया है

यह देखना आसान है कि यह मैट्रिक्स फ़ील्ड मानचित्र $$a \mapsto \begin{pmatrix} a     & a      & \cdots & a \\ 0     & 0      & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0     & 0      & \cdots & 0 \end{pmatrix}$$ के अंतर्गत वास्तविक संख्याओं के फ़ील्ड के समरूपी है.

2. फॉर्म के आव्यूहों का समुच्चय
 * $$\begin{pmatrix}

a & -b \\ b & a \end{pmatrix},$$ जहाँ $$a$$ और $$b$$ की सीमा वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र पर होती है, एक मैट्रिक्स फ़ील्ड बनाता है जो सम्मिश्र संख्या का फ़ील्ड $$\mathbb{C}$$ के लिए आइसोमोर्फिक है : $$a$$, संख्या की सम्मिश्र संख्या से मेल खाती है जबकि $$b$$ सम्मिश्र संख्या से मेल खाता है। तब, उदाहरण के लिए, संख्या $$2+3i$$, के रूप में दर्शाया जाएगा
 * $$\begin{pmatrix}

2 & -3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}.$$ कोई भी इसे आसानी से सत्यापित कर सकता है $$i^2 = -1$$:
 * $$\begin{pmatrix}

0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^{\!2} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix},$$ और साथ ही, मैट्रिक्स घातांक की गणना करके, यूलर की समानता, $$e^{i\pi}=-1$$ मान्य है:
 * $$e^{\begin{pmatrix}

0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \pi & 0 \\ 0  & \pi \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$.

यह भी देखें

 * फ़ील्ड (गणित)
 * परिमित क्षेत्र
 * बीजगणितीय संरचना
 * गैलोइस सिद्धांत
 * मैट्रिक्स रिंग
 * मैट्रिक्स समूह