अनुरूप समूह

गणित में, किसी आंतरिक गुणांक स्थान का संरूप समूह, समष्टियों में परिवर्तनों का वह समूह होता है जो परिवर्तन के समय कोणों को संरक्षित करता है। अधिक औपचारिक रूप से कहें तो, यह परिवर्तनों का वह समूह है जो समष्टि के संरूप ज्यामिति को संरक्षित करता है।

कई विशिष्ट संरूप समूह विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं:
 * संरूपी आयतीय समूह: यदि V द्विघात रूप Q के साथ एक सदिश स्थान है, तो संरूप ऑर्थोगोनल समूह CO(V, Q) V का रैखिक रूपांतरण T का वह समूह है जिसके लिए एक अदिश λ उपलब्ध है। जैसे V में सभी x के लिए :-
 * $$Q(Tx) = \lambda^2 Q(x)$$
 * एक निश्चित द्विघातीय रूप के लिए, संरूपी आयतीय समूह, आयतीय समूह के गुणक समूह के समान होता है।

इस प्रकार सभी संरूप समूह ली समूह हैं।
 * गोले का संरूप समूह व्युत्क्रम ज्यामिति द्वारा उत्पन्न होता है। इस समूह को मोबियस समूह के नाम से भी जाना जाता है।
 * यूक्लिडियन समष्टि में En, n > 2, संरूप समूह अति क्षेत्र में व्युत्क्रम द्वारा उत्पन्न होता है।
 * छद्म-यूक्लिडियन समष्टि Ep,q में, संरूप समूह Conf(p, q) ≃ O(p + 1, q + 1) / Z2 है।

कोण विश्लेषण
यूक्लिडियन ज्यामिति में मानक वृत्ताकार कोण की विशेषता होने की उम्मीद की जा सकती है, लेकिन छद्म-यूक्लिडियन समष्टि में अतिशयोक्तिपूर्ण कोण भी होता है। विशेष आपेक्षिकता के अध्ययन में विभिन्न फ्रेम ऑफ रेफरेंस, एक रेस्ट फ्रेम के संबंध में अलग-अलग वेग के लिए, तेज़ी, एक हाइपरबॉलिक कोण से संबंधित होते हैं। लोरेंत्ज़ बूस्ट का वर्णन करने का एक तरीका  अतिशयोक्तिपूर्ण रोटेशन  के रूप में है जो रैपिडिटीज़ के बीच अंतर कोण को संरक्षित करता है। इस प्रकार, वे अतिशयोक्तिपूर्ण कोण के संबंध में संरूप परिवर्तन #वैकल्पिक कोण हैं।

उपयुक्त संरूप समूह उत्पन्न करने का एक तरीका सामान्य जटिल विमान के संरूप समूह के रूप में मोबियस समूह के कदमों की नकल करना है। छद्म-यूक्लिडियन ज्यामिति वैकल्पिक जटिल विमानों द्वारा समर्थित है जहां अंक विभाजित-जटिल संख्याएं या दोहरी संख्याएं हैं। जिस तरह मोबियस समूह को पूर्ण विवरण के लिए रीमैन क्षेत्र, एक कॉम्पैक्ट जगह  की आवश्यकता होती है, उसी तरह वैकल्पिक जटिल विमानों को संरूप मानचित्रण के पूर्ण विवरण के लिए कॉम्पैक्टिफिकेशन की आवश्यकता होती है। फिर भी, प्रत्येक मामले में संरूप समूह उपयुक्त विमान पर रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तनों द्वारा दिया जाता है।

गणितीय परिभाषा
एक (स्यूडो- रीमैनियन कई गुना -) रिमैनियन मैनिफोल्ड दिया गया $$M$$ संरूप वर्ग के साथ $$[g]$$, संरूप समूह $$\text{Conf}(M)$$ संरूप नक्शों का समूह है $$M$$ खुद को।

अधिक संक्षेप में, यह कोण-संरक्षण वाले चिकने नक्शों का समूह है $$M$$ खुद को। हालांकि, जब के हस्ताक्षर $$[g]$$ निश्चित नहीं है, 'कोण' एक अति-कोण है जो संभावित रूप से अनंत है।

छद्म-यूक्लिडियन समष्टि के लिए, परिभाषा थोड़ी अलग है। $$\text{Conf}(p,q)$$ छद्म-यूक्लिडियन समष्टि के संरूप संघनन से उत्पन्न होने वाली कई गुना संरूप समूह है $$\mathbf{E}^{p, q}$$ (कभी-कभी इसके साथ पहचाना जाता है $$\mathbb{R}^{p,q}$$ ऑर्थोनॉर्मल आधार के चुनाव के बाद)। इस संरूप संघनन का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है $$S^p\times S^q$$, में अशक्त बिंदुओं के एक सबमेनफोल्ड के रूप में माना जाता है $$\mathbb{R}^{p+1, q+1}$$ समावेशन द्वारा $$(\mathbf{x}, \mathbf{t})\mapsto X = (\mathbf{x}, \mathbf{t})$$ (कहाँ $$X$$ एकल स्पेसटाइम वेक्टर के रूप में माना जाता है)। संरूप कॉम्पैक्टिफिकेशन तब है $$S^p\times S^q$$ पहचान किए गए 'एंटीपोडल पॉइंट्स' के साथ। यह समष्टि को प्रोजेक्टिवाइज़ करने से होता है $$\mathbb{R}^{p+1,q+1}$$. अगर $$N^{p,q}$$ संरूप संघनन है, तो $$\text{Conf}(p,q) := \text{Conf}(N^{p,q})$$. विशेष रूप से, इस समूह में इनवर्सिव ज्योमेट्री#सर्कल इनवर्जन शामिल है $$\mathbb{R}^{p,q}$$, जो कि नक्शा नहीं है $$\mathbb{R}^{p,q}$$ खुद के लिए क्योंकि यह उत्पत्ति को अनंत तक मैप करता है, और अनंत को उत्पत्ति के लिए मैप करता है।

कॉन्फ (पी, क्यू)
छद्म-यूक्लिडियन समष्टि के लिए $$\mathbb{R}^{p,q}$$, संरूप समूह का लाई बीजगणित आधार द्वारा दिया गया है $$\{M_{\mu\nu}, P_\mu, K_\mu, D\}$$ निम्नलिखित रूपांतरण संबंधों के साथ:

और अन्य सभी कोष्ठक लुप्त हो रहे हैं। यहाँ $$\eta_{\mu\nu}$$ मिन्कोव्स्की मीट्रिक है।

वास्तव में, यह झूठ बीजगणित लोरेंत्ज़ समूह के झूठ बीजगणित के लिए एक और स्थान और एक और समय आयाम के साथ समरूप है, जो है, $$\mathfrak{conf}(p,q) \cong \mathfrak{so}(p+1, q+1)$$. यह आसानी से जांचा जा सकता है कि आयाम सहमत हैं। एक स्पष्ट समरूपता प्रदर्शित करने के लिए, परिभाषित करें

तब यह दिखाया जा सकता है कि जनरेटर $$J_{ab}$$ साथ $$a, b = -1, 0, \cdots, n = p+q$$ लोरेंत्ज़ समूह का पालन करें#मीट्रिक के साथ बीजगणित संबंध $$\tilde \eta_{ab} = \operatorname{diag}(-1, +1, -1, \cdots, -1, +1, \cdots, +1)$$.

दो स्पेसटाइम आयामों में संरूप समूह
द्वि-आयामी यूक्लिडियन समष्टि या एक-प्लस-एक आयामी समष्टि-समय के लिए, संरूप समरूपता का स्थान बहुत बड़ा है। भौतिकी में यह कभी-कभी कहा जाता है कि संरूप समूह अनंत-आयामी है, लेकिन यह बिल्कुल सही नहीं है, जबकि स्थानीय समरूपता का झूठ बीजगणित अनंत आयामी है, ये आवश्यक रूप से अच्छी तरह से परिभाषित वैश्विक समरूपता के झूठ समूह तक विस्तारित नहीं होते हैं।

स्पेसटाइम आयाम के लिए $$n > 2$$, स्थानीय संरूप समरूपता सभी वैश्विक समरूपता तक फैली हुई है। के लिए $$n = 2$$ यूक्लिडियन स्थान, एक जटिल समन्वय में बदलने के बाद $$z = x + iy$$ स्थानीय संरूप समरूपता को प्रपत्र के वेक्टर क्षेत्रों के अनंत आयामी स्थान द्वारा वर्णित किया गया है

इसलिए 2d यूक्लिडियन समष्टि की स्थानीय संरूप समरूपता अनंत-आयामी विट बीजगणित है।

स्पेसटाइम का संरूप समूह
1908 में, लिवरपूल विश्वविद्यालय के दो युवा शोधकर्ताओं, हैरी बेटमैन और एबेनेज़र कनिंघम ने स्पेसटाइम के एक संरूप समूह के विचार को सामने रखा।  उन्होंने तर्क दिया कि गतिकी समूह अनिवार्य रूप से संरूप हैं क्योंकि वे स्पेसटाइम के द्विघात रूप को संरक्षित करते हैं और ऑर्थोगोनल परिवर्तनों के समान हैं, हालांकि एक आइसोट्रोपिक द्विघात रूप के संबंध में। एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की स्वतंत्रता कीनेमेटिक गतियों तक ही सीमित नहीं है, बल्कि द्विघात रूप को संरक्षित करने वाले परिवर्तन के लिए स्थानीय रूप से आनुपातिक होने की आवश्यकता है। 1910 में हैरी बेटमैन के पेपर ने एक परिवर्तन के  जैकबियन मैट्रिक्स  का अध्ययन किया जो प्रकाश शंकु को संरक्षित करता है और यह दर्शाता है कि इसमें संरूप संपत्ति (एक फार्म प्रेज़रवर के समानुपाती) थी। बेटमैन और कनिंघम ने दिखाया कि यह संरूप समूह मैक्सवेल के समीकरणों को संरचनात्मक रूप से अपरिवर्तनीय छोड़ने वाले परिवर्तनों का सबसे बड़ा समूह है। स्पेसटाइम के संरूप समूह को निरूपित किया गया है $C(1,3)$ इसहाक याग्लोम ने स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स नंबर|स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स और ड्यूल नंबर्स में स्पेसटाइम कन्फर्मल ट्रांसफॉर्मेशन के गणित में योगदान दिया है। चूंकि विभाजित-जटिल संख्याएं और दोहरी संख्याएं अंगूठी (गणित) बनाती हैं, फ़ील्ड (गणित) नहीं, रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तनों को विशेषण मानचित्रण होने के लिए अंगूठी पर एक प्रक्षेपी रेखा की आवश्यकता होती है।

1914 में लुडविग सिल्बरस्टीन  के काम के बाद से यह पारंपरिक रहा है कि लोरेंत्ज़ समूह का प्रतिनिधित्व करने के लिए biquaternion की अंगूठी का उपयोग किया जाए। स्पेसटाइम संरूप समूह के लिए, उस अंगूठी रिंग के ऊपर प्रोजेक्टिव लाइन भिन्नात्मक परिवर्तनों पर विचार करना पर्याप्त है। स्पेसटाइम संरूप समूह के तत्वों को बेटमैन द्वारा गोलाकार तरंग परिवर्तन कहा जाता था। स्पेसटाइम द्विघात रूप अध्ययन के विवरणों को झूठ क्षेत्र ज्यामिति में समाहित कर लिया गया है।

भौतिक विज्ञान में दिखाई गई निरंतर रुचि पर टिप्पणी करते हुए, ए.ओ. बरुत ने 1985 में लिखा, संरूप समूह में रुचि के प्रमुख कारणों में से एक यह है कि यह संभवतः पोंकारे समूह वाले बड़े समूहों में सबसे महत्वपूर्ण है।

यह भी देखें

 * संरूप नक्शा
 * संरूप समरूपता

अग्रिम पठन

 * Peter Scherk (1960) "Some Concepts of Conformal Geometry", American Mathematical Monthly 67(1): 1−30
 * Martin Schottenloher, The conformal group, chapter 2 of A mathematical introduction to conformal field theory, 2008 (pdf)
 * |nLab page on conformal groups
 * Martin Schottenloher, The conformal group, chapter 2 of A mathematical introduction to conformal field theory, 2008 (pdf)
 * |nLab page on conformal groups