सहायक कारक

गणित में, विशेष रूप से श्रेणी सिद्धांत, संयोजन एक संबंध है जो दो कारक प्रदर्शित कर सकते हैं, दो संबंधित श्रेणियों के मध्य समानता के एक दुर्बल रूप के अनुरूप सहज रूप से प्रदर्शित कर सकते हैं। इस संबंध में खड़े होने वाले दो कारकों को संलग्न कारक के रूप में जाना जाता है, एक दाहिना संलग्न और दूसरा बायां संलग्न है। संलग्न कारकों के युग्म गणित में सर्वव्यापी हैं और प्रायः कुछ समस्याओं के "इष्टतम समाधान" के निर्माण से उत्पन्न होते हैं (अर्थात, एक निश्चित सार्वभौमिक गुणधर्म वाले वस्तुओं का निर्माण), जैसे कि बीजगणित में एक मुक्त समूह का निर्माण, या सांस्थितिकी में एक सांस्थितिक समष्टि के स्टोन-चेक संघनन का निर्माण है।

परिभाषा के अनुसार, श्रेणियों $$\mathcal{C}$$ और $$\mathcal{D}$$ के मध्य एक संयोजन कारक का एक युग्म है (सहसंयोजक कारक माना जाता है)।


 * $$F: \mathcal{D} \rightarrow \mathcal{C}$$ और $$G: \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}$$

और, सभी वस्तुओं $$X$$ में $$\mathcal{C}$$ और $$Y$$ में $$\mathcal{D}$$ के लिए, संबंधित आकारिकी समुच्चयों के मध्य एक आक्षेप है।


 * $$\mathrm{hom}_{\mathcal{C}}(FY,X) \cong \mathrm{hom}_{\mathcal{D}}(Y,GX)$$

ऐसा कि द्विभाजन का यह वर्ग $$X$$ और $$Y$$ में स्वाभाविक है। यहाँ प्राकृतिकता का अर्थ है कि कारक के युग्म के मध्य $$\mathcal{C}(F-,X) : \mathcal{D} \to \mathrm{Set}$$ और $$\mathcal{D}(-,GX) : \mathcal{D} \to \mathrm{Set}$$ एक निश्चित $$X$$ में $$\mathcal{C}$$ के लिए, और कारक के युग्म $$\mathcal{C}(FY,-) : \mathcal{C} \to \mathrm{Set}$$ और $$\mathcal{D}(Y,G-) : \mathcal{C} \to \mathrm{Set}$$ एक निश्चित $$Y$$ में $$\mathcal{D}$$ के लिए भी प्राकृतिक समरूपताएँ हैं।

कारक $$F$$ को बाएं संलग्न कारक या $$G$$ को बाएं संलग्न कहा जाता है, जबकि $$G$$ को दायाँ संलग्न कारक या $$F$$ को दायाँ संलग्न कहा जाता है। जिसे, हम $$F\dashv G$$ लिखते हैं।

श्रेणियों $$\mathcal{C}$$ और $$\mathcal{D}$$ के मध्य एक संयोजन, कुछ सीमा तक एक समानता $$\mathcal{C}$$ और $$\mathcal{D}$$ के दुर्बल रूप के समान है, और वास्तव में प्रत्येक समानता एक संयोजन है। कई स्थितियों में, सम्मिलित श्रेणियों और कारकों के एक उपयुक्त प्राकृतिक संशोधन के द्वारा, एक समतुल्यता के लिए एक संयोजन को "उन्नत" किया जा सकता है।

शब्दावली और संकेतन
संलग्न और अनुलग्न दोनों शब्दों का उपयोग किया जाता है, और ये संज्ञेय हैं: एक सीधे लैटिन से लिया गया है, दूसरा लैटिन से फ़्रांसीसी के माध्यम से लिया गया है। कार्यरत गणितज्ञ के उत्कृष्ट पाठ श्रेणियों में, मैक लेन दोनों के मध्य अंतर करता है। एक वर्ग दिया है:


 * $$\varphi_{XY}: \mathrm{hom}_{\mathcal{C}}(FY,X) \cong \mathrm{hom}_{\mathcal{D}}(Y,GX)$$

होम- समुच्चय आक्षेपों की, हम कहते हैं कि $$\varphi$$ एक संयोजन या मध्य में एक संयोजन $$ F $$ और $$ G $$ हैं। यदि $$f$$ में शर $$ \mathrm{hom}_{\mathcal{C}}(FY,X) $$ है, $$\varphi f$$ का दाहिना संलग्न $$f$$ (पृष्ठ 81) है। कारक $$ F $$ का बायां संलग्न $$G$$ है, और $$G$$ का दाहिना संलग्न $$F$$ है (ध्यान दें कि $$G$$ अपने आप में एक दाहिना संलग्न हो सकता है जो $$F$$ से काफी भिन्न है; उदाहरण के लिए नीचे देखें)।

सामान्यतः, वाक्यांश $$ F $$ बायां संलग्न है और $$ F $$ दाहिना संलग्न है, जो तुल्य हैं। हम कहते है कि $$F$$ एक बायाँ संलग्न है क्योंकि यह $$\mathrm{hom}_{\mathcal{C}}$$ के बाएँ तर्क पर अनुप्रयुक्त होता है, और $$G$$ एक दाहिना संलग्न है क्योंकि यह सही तर्क $$\mathrm{hom}_{\mathcal{D}}$$ के लिए अनुप्रयुक्त होता है।

यदि F को G के सन्निकट छोड़ दिया जाए, तो हम भी लिखते हैं:
 * $$F\dashv G$$

शब्दावली निकटवर्ती संचालकों $$T$$, $$U$$ के साथ $$\langle Ty,x\rangle = \langle y,Ux\rangle$$ के हिल्बर्ट समष्टि विचार से आती है, जो औपचारिक रूप से होम- समुच्चय के मध्य उपरोक्त संबंध के समान है। कुछ संदर्भों में हिल्बर्ट रिक्त स्थान के संलग्न मानचित्रों की सादृश्यता को सटीक बनाया जा सकता है।

परिचय और प्रेरणा
"प्रचार वाक्य है "प्रत्येक समष्टि पर संलग्न प्रकार्यक उत्पन्न होते हैं"।"

- सॉन्डर्स मैक लेन, कार्यरत गणितज्ञ के लिए श्रेणियां

सामान्य गणितीय रचनाएं प्रायः संलग्न कारक होती हैं। परिणामस्वरूप, बाएं/दाएं संलग्न कारक के विषय में सामान्य प्रमेय कई उपयोगी और अन्यथा गैर-तुच्छ परिणामों के विवरण को कोडित करते हैं। इस तरह के सामान्य प्रमेयों में संलग्न कारकों की विभिन्न परिभाषाओं की समानता सम्मिलित है, किसी दिए गए बाएं संलग्न के लिए दाएं संलग्न की विशिष्टता, तथ्य यह है कि बाएं/दाएं संलग्न कारक क्रमशः सह-सीमा/सीमा (जो गणित के प्रत्येक क्षेत्र में भी पाए जाते हैं) को संरक्षित करते हैं और सामान्य संलग्न कारक प्रमेय ऐसी स्थितियाँ देते हैं जिनके अंतर्गत दिया गया कारक एक बाएँ/दाएँ संलग्न होता है।

अनुकूलन समस्याओं का समाधान
एक अर्थ में, एक संलग्न कारक एक विधि के माध्यम से किसी समस्या का सबसे कुशल समाधान देने का एक तरीका है जो सूत्र है। उदाहरण के लिए, वलय सिद्धांत में एक प्रारंभिक समस्या यह है कि एक आरएनजी (जो एक वलय की तरह है जिसकी गुणक पहचान नहीं हो सकती है) को वलय में कैसे परिवर्तित करना है। सबसे कुशल तरीका यह है कि एक तत्व '1' को आरएनजी से जोड़ा जाए, सभी (और केवल) तत्वों को जोड़ा जाए जो वलय स्वयंसिद्धि को संतुष्ट करने के लिए आवश्यक हैं (उदाहरण के लिए वलय में प्रत्येक r के लिए r+1), और कोई संबंध आरोपित नहीं करें। नवगठित वलय जो स्वयंसिद्धों द्वारा अनिवार्य नहीं हैं। इसके अतिरिक्त, यह निर्माण इस अर्थ में सूत्रबद्ध है कि यह किसी भी आरएनजी के लिए अनिवार्य रूप से उसी तरह कार्य करता है।

यह बल्कि अस्पष्ट है, हालांकि विचारोत्तेजक है, और श्रेणी सिद्धांत की भाषा में सटीक बनाया जा सकता है: एक निर्माण सबसे अधिक कुशल है यदि यह एक सार्वभौमिक गुणधर्म को संतुष्ट करता है, और यह सूत्र है यदि यह एक कारक को परिभाषित करता है। सार्वभौमिक गुण दो प्रकार: प्रारंभिक गुणधर्म और सीमावर्ती गुणधर्म में आते हैं। चूंकि ये दोहरी धारणाएं हैं, इसलिए इनमें से किसी एक पर चर्चा करना आवश्यक है।

एक प्रारंभिक गुणधर्म का उपयोग करने का विचार कुछ संलग्न श्रेणी E के संदर्भ में समस्या को स्थापित करना है, ताकि सुलेख में समस्या E की प्रारंभिक वस्तु को खोजने के अनुरूप हो। इसका एक लाभ यह है कि अनुकूलन-यह अर्थ है कि प्रक्रिया पाता है सबसे कुशल समाधान-का अर्थ है कुछ कठोर और पहचानने योग्य, बल्कि सर्वोच्चता की प्राप्ति जैसा हैं। इस निर्माण में श्रेणी E भी सूत्र है, क्योंकि यह सदैव कारक के तत्वों की श्रेणी है, जिसके लिए कोई एक संलग्न निर्माण कर रहा है।

हमारे उदाहरण पर वापस जाएं: दिए गए आरएनजी, R को लें, और एक श्रेणी E बनाएं, जिसकी वस्तुएं R → S से संबंधित हैं, जिसमें S एक गुणक पहचान वाला वलय है। E में R → S1 और R → S2 के मध्य आकारिकी क्रमविनिमेय त्रिकोण (R → S1, R → S2, S1 → S2) हैं, जहां S1 → S2 एक वलय प्रतिचित्र है (जो पहचान को सुरक्षित रखता है)। (ध्यान दें कि यह आरएनजी में एकात्मक वलयों को सम्मिलित करने पर R की अल्पविराम श्रेणी की सटीक परिभाषा है)। R → S1 और R → S2 के मध्य आकारिकी के अस्तित्व का तात्पर्य है कि S1 कम से कम उतना ही कुशल है जितना कि हमारी समस्या का समाधान S2:S2  में अधिक संबद्ध तत्व हो सकते हैं और/या अधिक संबंध S1 की तुलना में स्वयंसिद्धों द्वारा नहीं लगाए जा सकते हैं। इसलिए, यह अभिकथन कि एक वस्तु R → R* E में आरंभिक है, अर्थात, E के किसी अन्य तत्व में एक आकारिकी है, इसका अर्थ है कि वलय R* हमारी समस्या का सबसे कुशल समाधान है।

वलयों को वलयों में परिवर्तित करने की यह विधि सबसे कुशल और सूत्रात्मक है, यह कहकर एक साथ व्यक्त किया जा सकता है कि यह एक संलग्न कारक को परिभाषित करता है। अधिक स्पष्ट रूप से: F को एक पहचान को आरएनजी से जोड़ने की उपरोक्त प्रक्रिया को निरूपित करें, इसलिए F(R)=R* है। G को "विस्मरण" की प्रक्रिया को निरूपित करने दें कि क्या वलय S की एक पहचान है और इसे केवल एक आरएनजी के रूप में माना जाता है, इसलिए अनिवार्य रूप से G (S) = S है। तब F, G का बायाँ संलग्न कारक है।

ध्यान दें कि हमने वास्तव में अभी तक R* का निर्माण नहीं किया है; यह एक महत्वपूर्ण और पूर्णतया से सामान्य बीजगणितीय तथ्य नहीं है कि इस तरह के एक बाएं संलग्न कारक R → R* वास्तव में उपस्थित है।

अनुकूलन समस्याओं की समरूपता
कारक F के साथ प्रारंभ करना भी संभव है, और निम्नलिखित (अस्पष्ट) प्रश्न उठाएं: क्या कोई समस्या है जिसके लिए F सबसे कुशल समाधान है?

यह धारणा कि F, G द्वारा प्रस्तुत समस्या का सबसे कुशल समाधान है, एक निश्चित कठोर अर्थ में, इस धारणा के समान है कि G सबसे कठिन समस्या है जिसे F हल करता है।

यह इस तथ्य के पीछे का अंतर्ज्ञान देता है कि संलग्न कारक युग्म में होते हैं: यदि F को G के निकट छोड़ दिया जाता है, तो G, F के ठीक निकट है।

औपचारिक परिभाषाएँ
संलग्न कारकों के लिए विभिन्न समतुल्य परिभाषाएँ हैं:


 * सार्वभौमिक आकारिता के माध्यम से परिभाषाओं को व्यक्त करना सरल है, और एक संलग्न कारक का निर्माण करते समय न्यूनतम सत्यापन की आवश्यकता होती है या दो कारक सिद्ध होते हैं। वे अनुकूलन से जुड़े हमारे अंतर्ज्ञान के सबसे अनुरूप भी हैं।
 * होम- समुच्चय के माध्यम से परिभाषा समरूपता को सबसे स्पष्ट बनाती है, और यह शब्द संलग्न शब्द का उपयोग करने का कारण है।
 * सह-इकाई - ईकाई संयोजन के माध्यम से परिभाषा उन कारकों के विषय में प्रमाण के लिए सुविधाजनक है, जिन्हें संलग्न माना जाता है, क्योंकि वे सूत्र प्रदान करते हैं जिन्हें सीधे प्रकलित किया जा सकता है।

इन परिभाषाओं की समानता काफी उपयोगी है। गणित के सभी क्षेत्रों में, प्रत्येक स्थान पर संलग्न कारक उत्पन्न होते हैं। चूंकि इनमें से किसी भी परिभाषा में संरचना दूसरों में संरचनाओं की उत्पत्ति करती है, उनके मध्य स्विचन करने से कई विवरणों का अंतर्निहित उपयोग होता है जो अन्यथा प्रत्येक विषय क्षेत्र में अलग-अलग दोहराना होगा।

अभिसमय
संलग्नों के सिद्धांत की नींव बाएँ और दाएँ शब्द हैं, और ऐसे कई घटक हैं जो दो श्रेणियों C और D में से एक में रहते हैं जो विचाराधीन हैं। इसलिए वर्णानुक्रम में अक्षरों का चयन करना सहायक हो सकता है, चाहे वे बाएं श्रेणी C या दाएं श्रेणी D में रहते हों, और जब भी संभव हो उन्हें इस क्रम में लिखने के लिए भी हैं।

उदाहरण के लिए इस लेख में, अक्षर X, F, f, ε दृढ़ता से उन चीजों को निरूपित करेंगे जो श्रेणी C में रहते हैं, अक्षर Y, G, g, η दृढ़ता से उन चीजों को निरूपित करेंगे जो श्रेणी D में रहते हैं, और जब भी संभव हो ऐसे चीजों को बाएं से दाएं क्रम में संदर्भित किया जाएगा (एक कारक F: D → C को "जीवित" के रूप में माना जा सकता है जहां इसके बहिर्गत C में हैं)। यदि बाएँ संलग्न कारक F के लिए शर खींचे गए तो वे बाईं ओर इंगित करेंगे; यदि दाएँ संलग्न कारक G के लिए शर खींचे गए थे तो वे दाईं ओर संकेत कर रहे होंगे।

सार्वभौम आकारिता के माध्यम से परिभाषा
परिभाषा के अनुसार, एक कारक $$F: D \to C$$ यदि प्रत्येक वस्तु के लिए एक बायाँ सन्निकट कारक $$X$$ में $$C$$, यहाँ से एक सार्वभौमिक रूपवाद $$F$$ से $$X$$ उपस्थित है। वर्तनी इसका अर्थ है कि प्रत्येक वस्तु $$X$$ में $$C$$ के लिए एक वस्तु $$G(X)$$ में $$D$$ उपस्थित है और एक रूपवाद $$\epsilon_X: F(G(X)) \to X$$ ऐसा कि प्रत्येक वस्तु $$Y$$ में $$D$$ के लिए और प्रत्येक रूपवाद $$f: F(Y) \to X$$ एक अद्वितीय आकारिता $$g: Y \to G(X)$$ के साथ $$\epsilon_X \circ F(g) = f$$ उपस्थित है।

बाद वाला समीकरण निम्नलिखित क्रमविनिमेय आरेख द्वारा व्यक्त किया गया है: ऐसी स्थिति में यह दर्शाया जा सकता है, $$G$$ को एक कारक $$G : C \to D$$ में परिवर्तित करा जा सकता है, एक अद्वितीयतरीके से जैसे कि $$\epsilon_X \circ F(G(f)) = f \circ \epsilon_{X'}$$ सभी रूपों $$f: X' \to X$$ में $$C$$ के लिए; तब $$F$$ को बायाँ सन्निकट $$G$$ कहा जाता है।

इसी प्रकार, हम दाएं-संलग्न कारकों को परिभाषित कर सकते हैं। एक कारक $$G: C \to D$$ प्रत्येक वस्तु के लिए एक दाहिनी ओर का कारक $$Y$$ में $$D$$ है। वहाँ से एक सार्वभौमिक आकारिकी $$Y$$ से $$G$$ उपस्थित है। वर्तनी, इसका अर्थ है कि प्रत्येक वस्तु $$Y$$ में $$D$$ के लिए, एक वस्तु $$F(Y)$$ में $$C$$ उपस्थित है और एक रूपवाद $$\eta_Y: Y \to G(F(Y))$$ ऐसा कि प्रत्येक वस्तु $$X$$ में $$C$$ के लिए और प्रत्येक रूपवाद $$g: Y \to G(X)$$ एक अद्वितीय आकारिता $$f: F(Y) \to X$$ साथ $$G(f) \circ \eta_Y = g$$ उपस्थित है। फिर से, यह $$F$$ विशिष्ट रूप से एक कारक में परिवर्तित किया जा सकता है, $$F: D \to C$$ ऐसा है कि $$G(F(g)) \circ \eta_Y = \eta_{Y'} \circ g$$ के लिए $$g: Y \to Y'$$ में एक रूपवाद $$D$$; $$G$$ को तब इसे दायां संलग्न $$F$$ कहा जाता है।

यह सत्य है, जैसा कि शब्दावली का अर्थ है, कि $$F$$ से बायाँ संलग्न $$G$$ है, यदि और केवल यदि $$G$$ के ठीक निकट में $$F$$ है।

सार्वभौमिक आकारिता के माध्यम से ये परिभाषाएं प्रायः यह स्थापित करने के लिए उपयोगी होती हैं कि किसी दिए गए कारक बाएं या दाएं संलग्न हैं, क्योंकि वे अपनी आवश्यकताओं में न्यूनतर हैं। वे इस अर्थ में भी सहज रूप से सार्थक हैं कि एक सार्वभौमिक रूपवाद को खोजना एक अनुकूलन समस्या को हल करने जैसा है।

होम समुच्चय संयोजन के माध्यम से परिभाषा
दो श्रेणियों C और D के मध्य एक होम- समुच्चय संयोजन में दो कारक F: D → C और G : C → D और एक प्राकृतिक समरूपता होते हैं
 * $$\Phi:\mathrm{hom}_C(F-,-) \to \mathrm{hom}_D(-,G-)$$

यह द्विभाजन के वर्ग को निर्दिष्ट करता है;
 * $$\Phi_{Y,X}:\mathrm{hom}_C(FY,X) \to \mathrm{hom}_D(Y,GX)$$

C में सभी वस्तुओं X और D में Y के लिए है।

इस स्थिति में, F, G के बायें सन्निकट है और G, F के दायें सन्निकट है।

यह परिभाषा एक तार्किक समझौता है जिसमें सार्वभौमिक आकारिकी परिभाषाओं की तुलना में इसे संतुष्ट करना अधिक कठिन है, और इसका तात्कालिक प्रभाव सह-इकाई - ईकाई परिभाषा की तुलना में कम है। इसकी स्पष्ट समरूपता के कारण और अन्य परिभाषाओं के मध्य एक प्रारंभिक प्रयास के रूप में यह उपयोगी है।

एक प्राकृतिक समरूपता के रूप में Φ की व्याख्या करने के लिए, किसी को homC(F–, –) और homD(–, G–) कारकों के रूप में पहचानना चाहिए। वास्तव में, वे दोनों Dop × C से समुच्चय ( समुच्चय की श्रेणी) के द्विभाजक हैं। विवरण के लिए, होम कारकों पर लेख देखें। स्पष्ट रूप से, Φ की स्वाभाविकता का अर्थ है कि सभी आकारिता f : X → X′ C में और सभी आकारिता g : Y′ → Y में D के लिए निम्नलिखित आरेख परिवर्तित  करता है:

इस आरेख में लंबवत शर रचना द्वारा प्रेरित हैं। औपचारिक रूप से, Hom(Fg, f) : HomC(FY, X) → HomC(FY′, X′) को HomC(FY, X) में प्रत्येक h के लिए h → f o h o  Fg द्वारा दिया जाता है। Hom(g, Gf) समान है।

सह-इकाई - इकाई संयोजन के माध्यम से परिभाषा
दो श्रेणियों C और D के मध्य एक इकाई-इकाई संयोजन में दो कारक F : D → C और G: C  → D और दो प्राकृतिक परिवर्तन होते हैं।
 * $$\begin{align}

\varepsilon &: FG \to 1_{\mathcal C} \\ \eta &: 1_{\mathcal D} \to GF\end{align}$$ क्रमशः सह-इकाई और संयोजन की इकाई (सार्वभौमिक बीजगणित से शब्दावली) कहा जाता है, जैसे रचनाएं:
 * $$F\xrightarrow{\;F\eta\;}FGF\xrightarrow{\;\varepsilon F\,}F$$
 * $$G\xrightarrow{\;\eta G\;}GFG\xrightarrow{\;G \varepsilon\,}G$$

क्रमशः F और G पर पहचान परिवर्तन 1F और 1G हैं।

इस स्थिति में हम कहते हैं कि F, G के बायें सन्निकट है और G, F के दायें सन्निकट है, और इस संबंध $$(\varepsilon,\eta):F\dashv G$$, या केवल$$F\dashv G$$ को लिख कर इंगित कर सकते हैं।

समीकरण के रूप में, (ε,η) पर उपरोक्त शर्तें सह इकाई-इकाई समीकरण हैं।
 * $$\begin{align}

1_F &= \varepsilon F\circ F\eta\\ 1_G &= G\varepsilon \circ \eta G \end{align}$$ जिसका अर्थ है कि C में प्रत्येक X और D में प्रत्येक Y के लिए,
 * $$\begin{align}

1_{FY} &= \varepsilon_{FY}\circ F(\eta_Y) \\ 1_{GX} &= G(\varepsilon_X)\circ\eta_{GX} \end{align}$$.

ध्यान दें कि $$1_{\mathcal C}$$ श्रेणी पर पहचान कारक $$\mathcal C$$ को दर्शाता है, $$1_F$$ कारक F से स्वयं के लिए पहचान प्राकृतिक परिवर्तन को दर्शाता है, और $$1_{FY}$$ वस्तु FY की पहचान आकृतिवाद को दर्शाता है। ये समीकरण बीजगणितीय प्रकलन के लिए संलग्न कारकों के प्रमाण को कम करने में उपयोगी होते हैं। संबंधित श्रृंखला आरेखों की उपस्थिति के कारण उन्हें कभी-कभी त्रिभुज पहचान या कभी-कभी कुटिल समीकरण कहा जाता है। उन्हें स्मरण रखने का एक तरीका यह है कि पहले निरर्थक समीकरण$$1=\varepsilon\circ\eta$$ को लिख लिया जाए और फिर F या G में से किसी एक को उन दो सरल तरीकों से भरें जो रचनाओं को परिभाषित करते हैं।

टिप्पणी: यहाँ उपसर्ग सह का उपयोग यहाँ सीमा और सह सीमा की शब्दावली के अनुरूप नहीं है, क्योंकि एक सह-सीमा एक प्रारंभिक गुणधर्म को संतुष्ट करता है, जबकि सह-इकाई रूपवाद सीमावर्ती गुणों को और दोहरी रूप से संतुष्ट करेगा। यहां शब्द इकाई को इकाई के सिद्धांत से उधार लिया गया है, जहां यह एक एकसंयुज मे पहचान 1 के सम्मिलन जैसा दिखता है।

इतिहास
1958 में डेनियल कैन द्वारा संलग्न कारकों का विचार प्रस्तुत किया गया था। श्रेणी सिद्धांत में कई अवधारणाओं की तरह, यह तुल्य बीजगणित की आवश्यकताओं के द्वारा सुझाया गया था, जो उस समय गणना के लिए समर्पित था। विषय की सुव्यवस्थित, व्यवस्थित प्रस्तुतियों का सामना करने वालों ने संबंधों पर ध्यान दिया होगा जैसे


 * hom(F(X), Y) = hom(X, G(Y))

एबेलियन समूहों की श्रेणी में, जहाँ F कारक $$- \otimes A$$ (अर्थात् A के साथ प्रदिश उत्पाद लें) था, और G कारक hom(A,–) था (इसे अब प्रदिश-होम संयोजन के रूप में जाना जाता है)। बराबर चिह्न का उपयोग अंकन का दुरुपयोग है; वे दो समूह वास्तव में समान नहीं हैं परन्तु उन्हें पहचानने का एक तरीका है जो स्वाभाविक है। इसे इस आधार पर स्वाभाविक रूप से देखा जा सकता है, सर्वप्रथम, कि ये X × A से Y तक द्विरैखिक प्रतिचित्रिण के दो वैकल्पिक विवरण हैं। हालांकि, यह प्रदिश उत्पाद के स्थिति में कुछ विशेष है। श्रेणी सिद्धांत में आक्षेप की 'स्वाभाविकता' को एक प्राकृतिक समरूपता की अवधारणा में सम्मिलित किया गया है।

सर्वव्यापकता
यदि कोई इन संलग्न युग्मों के कारकों की खोज करना प्रारंभ करता है, तो वे सार बीजगणित में और अन्य स्थानों पर भी बहुत सामान्य हो जाते हैं। नीचे दिया गया उदाहरण खंड इसका प्रमाण प्रदान करता है; इसके अतिरिक्त, सार्वभौमिक निर्माण, जो कुछ लोगों के लिए अधिक परिचित हो सकते हैं, कारकों के कई संलग्न युग्मों की उत्पत्ति करते हैं।

सॉन्डर्स मैक लेन की विचार के अनुसार, किसी भी विचार, जैसे कि संलग्न कारक, जो कि गणित में व्यापक रूप से पर्याप्त रूप से होता है, उसका स्वयं के लिए अध्ययन किया जाना चाहिए।

अवधारणाओं को समस्याओं को हल करने में उनके उपयोग के साथ-साथ सिद्धांतों के निर्माण में उनके उपयोग के अनुसार आंका जा सकता है। इन दो प्रेरणाओं के मध्य विभव विशेष रूप से 1950 के दशक के पर्यन्त बहुत अधिक था जब श्रेणी सिद्धांत को प्रारंभ में विकसित किया गया था। अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक दर्ज करें, जिन्होंने कार्यात्मक विश्लेषण, तुल्य बीजगणित और अंत में बीजगणितीय ज्यामिति में अन्य कार्यों में दिक्सूचक दिक्मान लेने के लिए श्रेणी सिद्धांत का उपयोग किया।

यह कहना सम्भवतः गलत है कि उन्होंने अलगाव में संलग्न कारक अवधारणा को बढ़ावा दिया: परन्तु ग्रोथेंडिक के दृष्टिकोण में संयोजन की भूमिका की पहचान अंतर्निहित थी। उदाहरण के लिए, उनकी प्रमुख उपलब्धियों में से एक बीजगणितीय प्रकारों के एक सतत वर्ग में, सापेक्ष रूप में सेर्रे द्वैत का सूत्रीकरण था। संपूर्ण प्रमाण एक निश्चित कारक के लिए एक दाहिने संलग्न के अस्तित्व पर परिवर्तित कर दिया गया है। यह कुछ निर्विवाद रूप से अमूर्त और गैर-रचनात्मक है, परन्तु अपने तरीके से प्रभावशाली भी है।

मुक्त समूह
मुक्त समूहों का निर्माण एक सामान्य और ज्ञानवर्धकला उदाहरण है।

मान लीजिए कि F: समुच्चय → जीआरपी प्रत्येक समुच्चय Y को Y के तत्वों द्वारा उत्पन्न मुक्त समूह को निर्दिष्ट करने वाला कारक है, और G : जीआरपी → समुच्चय अनवहित कारक है, जो प्रत्येक समूह X को इसके अंतर्निहित समुच्चय को निर्दिष्ट करता है। तब F, G का बायाँ संलग्न है:

प्रारंभिक आकारिता- प्रत्येक समुच्चय Y के लिए, समुच्चय GFY, Y द्वारा उत्पन्न मुक्त समूह FY का अंतर्निहित समुच्चय है। मान लीजिए $$\eta_Y:Y\to GFY$$ "जनक के समावेशन" द्वारा दिया गया समुच्चय मानचित्र हो। यह Y से G तक एक प्रारंभिक रूपवाद है, क्योंकि Y से अंतर्निहित समुच्चय GW के लिए कुछ समूह W के किसी भी समुच्चय मानचित्र के माध्यम से कारक $$\eta_Y:Y\to GFY$$, FY से W तक एक अद्वितीय समूह समरूपता के माध्यम से होगा। यह वास्तव में Y पर मुक्त समूह की सार्वभौमिक गुणधर्म है।

सीमावर्ती आकारिता- प्रत्येक समूह X के लिए, समूह FGX, GX, X के तत्वों द्वारा स्वतंत्र रूप से उत्पन्न मुक्त समूह है। मान लीजिए $$\varepsilon_X:FGX\to X$$ समूह समरूपता है जो FGX के जनक को X के तत्वों के अनुरूप भेजता है, जो मुक्त समूहों की सार्वभौमिक गुणधर्म द्वारा उपस्थित है। फिर प्रत्येक$$(GX,\varepsilon_X)$$, F से X तक एक सीमावर्ती रूपवाद है, क्योंकि एक मुक्त समूह FZ से X तक कोई भी समूह समरूपता कारक $$\varepsilon_X:FGX\to X$$, Z से GX तक एक अद्वितीय समुच्चय प्रतिचित्र के माध्यम से होगा। इसका अर्थ है कि (F, G) एक संलग्न युग्म है।

होम- समुच्चय संयोजन- मुक्त समूह FY से समूह X के समूह समरूपता समुच्चय Y से समुच्चय GX के मानचित्रों के ठीक अनुरूप होते हैं: FY से X तक प्रत्येक समरूपता जनक पर अपनी क्रिया द्वारा पूर्णतया से निर्धारित होती है, मुक्त समूहों की सार्वभौमिक गुणधर्म का एक और पुनर्कथन है। कोई सीधे सत्यापित कर सकता है कि यह पत्राचार एक प्राकृतिक परिवर्तन है, जिसका अर्थ है कि यह युग्म (F, G) के लिए होम- समुच्चय संयोजन है।

सह-इकाई-इकाई संयोजन- कोई सीधे यह भी सत्यापित कर सकता है कि ε और η प्राकृतिक हैं। फिर, एक सीधा सत्यापन कि वे एक सह-इकाई-इकाई संयोजन $$(\varepsilon,\eta):F\dashv G$$ बनाते हैं जो इस प्रकार है:

प्रथम सह-इकाई-इकाई समीकरण $$1_F = \varepsilon F\circ F\eta$$ कहता है कि प्रत्येक समुच्चय Y के लिए संरचना पहचान होनी चाहिए।
 * $$FY\xrightarrow{\;F(\eta_Y)\;}FGFY\xrightarrow{\;\varepsilon_{FY}\,}FY$$

मध्यवर्ती समूह FGFY मुक्त समूह FY के शब्दों द्वारा स्वतंत्र रूप से उत्पन्न मुक्त समूह है। (इन शब्दों को कोष्ठकों में रखे जाने के विषय में सोचें, यह इंगित करने के लिए कि वे स्वतंत्र जनक हैं)। शर$$F(\eta_Y)$$, FY से FGFY में समूह समरूपता है, जो FGFY के जनक के रूप में लंबाई एक (y) के संबंधित शब्द के लिए FY के प्रत्येक जनक y को भेज रहा है। शर $$\varepsilon_{FY}$$, FGFY से FY तक समूह समरूपता है जो प्रत्येक जनक को FY के शब्द के अनुरूप भेजती है (इसलिए यह मानचित्र कोष्ठक क्षिप्ति) है। इन प्रतिचित्रों की संरचना वास्तव में FY पर पहचान है।

दूसरा सह-इकाई-इकाई समीकरण $$1_G = G\varepsilon \circ \eta G$$ का कहना है कि प्रत्येक समूह X के लिए संरचना पहचान होनी चाहिए।
 * $$GX\xrightarrow{\;\eta_{GX}\;}GFGX\xrightarrow{\;G(\varepsilon_X)\,}GX$$

मध्यवर्ती समुच्चय GFGX, FGX का केवल अंतर्निहित समुच्चय है। शर $$\eta_{GX}$$ समुच्चय GX से समुच्चय GFGX तक "जनक का समावेश" समुच्चय प्रतिचित्र है। शर $$G(\varepsilon_X)$$, GFGX से GX के लिए समुच्चय प्रतिचित्र है जो समूह समरूपता को रेखांकित करता है जो FGX के प्रत्येक जनक को X के तत्व (कोष्ठक क्षिप्ति) से मेल खाता है। इन प्रतिचित्रों की संरचना वास्तव में GX पर पहचान है।

मुफ्त निर्माण और अनवहित कारक
मुक्त वस्तुएं एक अनवहित कारक के बाएं संलग्न के सभी उदाहरण हैं जो एक बीजगणितीय वस्तु को इसके अंतर्निहित समुच्चय को निर्दिष्ट करती हैं। इन बीजीय मुक्त कारकों का सामान्यतः वैसा ही विवरण होता है जैसा कि ऊपर मुक्त समूह की स्थिति के विस्तृत विवरण में होता है।

विकर्ण कारक और सीमाएं
उत्पाद, तन्तु उत्पाद, तुल्यकारक और कर्नेल एक सीमा की स्पष्ट धारणा के सभी उदाहरण हैं। कोई भी सीमा कारक एक संबंधित विकर्ण कारक के ठीक सटा हुआ है (बशर्ते श्रेणी में प्रश्न में सीमा का प्रकार हो), और संयोजन का सह-इकाई सीमा वस्तु से सीमांकन प्रतिचित्र प्रदान करता है (अर्थात सीमा पर विकर्ण कारक से, कारक श्रेणी में)। नीचे कुछ विशिष्ट उदाहरण दिए गए हैं।


 * उत्पाद- मान लीजिए Π : जीआरपी2 → जीआरपी जो प्रत्येक युग्म (X1, X2) को उत्पाद समूह X1×X2 को निर्दिष्ट करता है और Δ : जीआरपी → जीआरपी2 को विकर्ण कारक बनाता है जो प्रत्येक समूह X युग्म (X, X) को उत्पाद श्रेणी जीआरपी में निर्दिष्ट करता है। उत्पाद समूह की सार्वभौमिक गुणधर्म दर्शाती है कि Π Δ के दाहिनी ओर है। इस संयोजन का सह-इकाई X1 और X2 तक प्रक्षेपण मानचित्रों की परिभाषित युग्महै जो सीमा को परिभाषित करती है, और इकाई X×X में समूह X विकर्ण समावेशन है (x से (x, x) प्रतिचित्रण)।
 * समुच्चयों का कार्तीय गुणनफल, वलयों का गुणनफल, स्थलाकृतिक स्थानों का गुणनफल आदि समान प्रतिरूप का पालन करते हैं; इसे सीधे-सीधे तरीके से केवल दो कारकों से अधिक तक बढ़ाया जा सकता है।   सामान्यतः, किसी भी प्रकार की सीमा एक विकर्ण कारक के ठीक निकट होती है।


 * कर्नेल- एबेलियन समूहों के समरूपता की श्रेणी D पर विचार करें। यदि f1 : A1 → B1 और f2 : A2 → B2, D की दो वस्तुएँ हैं, तो f1 से f2 आकारिकी का एक युग्म (gA, gB) इस प्रकार है कि gBf1 = f2gA है। मान लीजिए कि G : D → Ab वह कारक है जो प्रत्येक समाकारिता को उसका कर्नेल (बीजगणित) प्रदान करता है और F: Ab → D वह कारक है जो समूह A को समाकारिता A → 0 से प्रतिचित्र करता है। तब G, F के ठीक निकट है, जो सार्वभौमिक गुणधर्म को व्यक्त करता है। इस संयोजन का सह-इकाई समरूपता के कार्यक्षेत्र में समरूपता के कर्नेल को परिभाषित करने वाला अंतःस्थापन है, और इकाई आकारिता है जो समरूपता A → 0 के कर्नेल के साथ समूह A की पहचान करता है।


 * इस उदाहरण का एक उपयुक्त रूपांतर यह भी दर्शाता है कि सदिश रिक्त स्थान और मापांक के लिए कर्नेल कारक दाहिना सन्निकट हैं। अनुरूप रूप से, कोई यह दर्शा सकता है कि एबेलियन समूहों, सदिश रिक्त स्थान और मापांक के लिए सह-कर्नेल कारक बाएं संलग्न हैं।

सह-सीमा और विकर्ण कारक
सहउत्पाद, तन्तु सह-उत्पाद, सह-तुल्यकारक, और सह-कर्नेल एक सह-सीमा की स्पष्ट धारणा के सभी उदाहरण हैं। किसी भी सह-सीमा कारक को संबंधित विकर्ण कारक के बायाँ संलग्न है (बशर्ते श्रेणी में प्रश्न में सह-सीमा का प्रकार हो), और संयोजन की इकाई सह-सीमा वस्तु में परिभाषित मानचित्र प्रदान करती है। नीचे कुछ विशिष्ट उदाहरण दिए गए हैं।


 * सह-उत्पाद- यदि F : Ab2 → Ab प्रत्येक युग्म (X1, X2) को उनका प्रत्यक्ष योग प्रदान करता है, और यदि, और यदि G : Ab → Ab2 वह कारक है जो प्रत्येक एबेलियन समूह Y को युग्म (Y, Y) प्रदान करता है, तो F, G के बायाँ संलग्न है, फिर से प्रत्यक्ष राशियों की सार्वभौमिक गुणधर्म का परिणाम है। इस संलग्न युग्म की इकाई X1 और X2 से प्रत्यक्ष योग में समावेशन मानचित्रों की परिभाषित युग्म है और सह-इकाई (X,X) के प्रत्यक्ष योग से X पर वापस जाने के लिए योगात्मक मानचित्र है।

सदृश्य उदाहरण सदिश समष्टियों और मापांकों के प्रत्यक्ष योग द्वारा, समूहों के मुक्त गुणनफल और समुच्चयों के असंयुक्त संघ द्वारा दिए गए हैं।

बीजगणित

 * एक पहचान को एक आरएनजी से संलग्न- इस उदाहरण पर ऊपर प्रेरणा अनुभाग में चर्चा की गई थी। एक आरएनजी, R को देखते हुए, RxZ से लेकर और (r,0)(0,1) = (0,1)(r) के साथ एक Z-द्विरेखीय उत्पाद को परिभाषित करके एक गुणात्मक पहचान तत्व (r,0)(0,1) = (0,1)(r,0) = (r,0), (r,0)(s,0) = (rs,0), (0,1)(0,1) = (0,1) जोड़ा जा सकता है। यह अंतर्निहित आरएनजी के लिए एक वलय ले जाने वाले कारक के लिए बाएं संलग्न बनाता है।
 * एक पहचान को एक अर्धसमूह से संलग्न- इसी तरह, एक अर्धसमूह S दिया गया है, हम एक पहचान तत्व जोड़ सकते हैं और असंयुक्त संघ S लेकर एक एकसंयुज प्राप्त कर सकते हैं। $$\sqcup$$ {1} और उस पर एक द्विआधारी संक्रिया को परिभाषित करना जैसे कि यह S पर संक्रिया को बढ़ाता है और 1 एक पहचान तत्व है। यह निर्माण एक कारक देता है जो कारक के लिए एक बायीं संलग्न है जो एक एकसंयुज को अंतर्निहित अर्धसमूह में ले जाता है।
 * वलय विस्तारण- मान लीजिए कि R और S वलय हैं, और ρ : R → S एक वलय समाकारिता है। फिर S को एक R-मापांक के रूप में देखा जा सकता है, और S के साथ प्रदिश उत्पाद एक कारक F: R- मॉड → S- मॉड उत्पन्न करता है। तब F को अनवहित कारक G: S- मॉड → R- मॉड के बाएं संलग्न है।
 * प्रदिश उत्पाद- यदि R एक वलय है और M एक दाहिना R-मापांक है, तो M के साथ प्रदिश उत्पाद एक कारक F : R- मॉड → Ab उत्पन्न करता है। प्रत्येक एबेलियन समूह A के लिए G(A) = homZ(M,A) द्वारा परिभाषित कारक G : Ab → R- मॉड, F के दाएं संलग्न है।
 * एकसंयुज और समूहों से लेकर वलयों तक- अभिन्न एकसंयुज वलय निर्मित एकसंयुज से वलय तक एक कारक देता है। यह कारक का बायाँ संलग्न है जो किसी दिए गए वलय से जुड़ा होता है, इसके अंतर्निहित गुणक एकसंयुज है। इसी तरह, अभिन्न समूह की वलय निर्मित समूहों से वलय तक एक कारक उत्पन्न करता है, कारक के बाएं संलग्न है जो किसी दिए गए वलय को उसके इकाई के समूह को निर्दिष्ट करता है। कोई क्षेत्र K से भी प्रारंभ कर सकता है और K- बीजगणित की श्रेणी के बजाय वलय की श्रेणी पर विचार कर सकता है, ताकि K के ऊपर एकसंयुज और समूह वलय प्राप्त हो सके।
 * अंशों का क्षेत्र- अंतःक्षेपक रूपवाद के साथ अभिन्न कार्यक्षेत्र की श्रेणी Domm पर विचार करें। अनवहित कारक क्षेत्र → Domm में एक बायाँ सन्निकट होता है—यह प्रत्येक अभिन्न कार्यक्षेत्र को इसके अंशों के क्षेत्र को निर्दिष्ट करता है।
 * बहुपद वलय- मान लीजिए वलय* एकता के साथ सुपष्‍ट क्रमविनिमेय वलयों की श्रेणी है (युग्म (A, a) जहां A एक वलय है, a ∈ A और आकृतिवाद विशिष्ट तत्वों को संरक्षित करते हैं)। अनवहित कारक G: वलय* → वलय का एक बायाँ संलग्न है - यह प्रत्येक वलय R को युग्म (R[x],x) को निर्दिष्ट करता है जहाँ R[x] R से गुणांक के साथ बहुपद वलय है।
 * एबेलियनाइजेशन- समावेशन कारक G : Ab → Grp पर एबेलियन समूहों की श्रेणी से समूहों की श्रेणी पर विचार करें।। इसमें एक बायाँ संलग्न है इसका एक बायाँ जोड़ है जिसे एबेलियनाइज़ेशन कहा जाता है जो प्रत्येक समूह G को भागफल समूह Gab=G/[G,G] प्रदान करता है।
 * ग्रोथेंडिक समूह- K-सिद्धांत में, प्रस्थान का बिंदु यह देखना है कि सांस्थितिक समष्टि पर सदिश समूहों की श्रेणी में मापांक के प्रत्यक्ष योग के अंतर्गत एक क्रमविनिमेय एकसंयुज संरचना होती है। औपचारिक रूप से प्रत्येक समूह (या समकक्ष वर्ग) के लिए एक योगात्मक व्युत्क्रम जोड़कर, इस एकसंयुज, ग्रोथेंडिक समूह से एक एबेलियन समूह बना सकता है। वैकल्पिक रूप से कोई भी यह देख सकता है कि प्रत्येक समूह के लिए अंतर्निहित एकसंयुज (व्युत्क्रमों को अनदेखा कर रहा है) के लिए कारक एक बाएं संलग्न है। उपरोक्त तीसरे खंड की चर्चा के अनुरूप, यह एक बार-के-लिए-एक निर्माण है, अर्थात्, ऋणात्मक संख्याओं के निर्माण का अनुकरण किया जा सकता है; परन्तु एक अस्तित्व प्रमेय का दूसरा विकल्प है। एकात्मक बीजगणितीय संरचनाओं की स्थिति में, स्वयं के अस्तित्व को सार्वभौमिक बीजगणित, या प्रतिरूप सिद्धांत के रूप में संदर्भित किया जा सकता है; स्वाभाविक रूप से श्रेणी सिद्धांत के लिए अनुकूलित एक प्रमाण भी है।
 * समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में फ्रोबेनियस पारस्परिकता: प्रेरित प्रतिनिधित्व देखें। इस उदाहरण ने लगभग आधी शताब्दी तक सामान्य सिद्धांत का पूर्वाभास किया।

सांस्थितिकी

 * बाएँ और दाएँ सन्निकट के साथ एक कारक- मान लीजिए कि G सांस्थितिक रिक्त स्थान से व्यवस्थित के लिए कारक है जो प्रत्येक सांस्थितिक समष्टि को इसके अंतर्निहित समुच्चय से जोड़ता है। G के पास एक बाएं संलग्न F है, जो एक समुच्चय Y पर असतत स्थान बनाता है और दाएं संलग्न H, Y पर तुच्छ सांस्थितिकी बनाता है।
 * अलम्बन और विपाश समष्टि- दिए गए सांस्थितिक समष्टि X और Y, X  से  Y के निलम्बन SX से के मानचित्रों के समस्थेयता वर्गों की समष्टि [SX, Y] X से विपाश समष्टि ΩY के मानचित्रों के समस्थेयता वर्गों की समष्टि [X, ΩY] के लिए स्वाभाविक रूप से Y का समरूप है।
 * अष्टि–चेक संघनन- मान लीजिए कि खौस सुसंहत हॉसडॉर्फ समष्टि की श्रेणी है और G : खौस → शीर्ष को सांस्थितिक समष्टि की श्रेणी में सम्मिलित करने वाला कारक है। तब G के पास एक बायाँ सन्निकट F : शीर्ष → खौस, अष्टि–चेक संघनन है। इस संलग्न युग्म की इकाई प्रत्येक सांस्थितिक समष्टि X से इसके अष्टि–चेक संघनन में एक सतत मानचित्र उत्पन्न करती है।
 * शेवों की सीधी और व्युत्क्रम छवियां- सांस्थितिक समष्टि के मध्य प्रत्येक संतत मानचित्र f : X → Y, X पर शेवों ( समुच्चय, या एबेलियन समूह, या वलय ...) की श्रेणी से एक कारक f को भी प्रेरित करता है, जो कि Y पर इसी श्रेणी के शेवों पर होता है, प्रत्यक्ष छवि कारक है। यह Y पर एबेलियन समूहों के शेवों की श्रेणी से X पर एबेलियन समूहों के शेवों की श्रेणी तक, व्युत्क्रम छवि कारक से एक कारक f -1 को भी प्रेरित करता है। f −1, f ∗ का बायाँ सन्निकट है। यहाँ एक अधिक सूक्ष्म बिंदु यह है कि सुसंगत शेवों के लिए बायाँ भाग उस से भिन्न होगा जो कि शेवों (समुच्चयों) के लिए है।
 * संयम- अष्टि द्वैत पर लेख सांस्थितिक समष्टि की श्रेणी और उमत्त समष्टि की श्रेणी के मध्य संयोजन का वर्णन करता है जिसे संयम के रूप में जाना जाता है। विशेष रूप से, लेख में एक अन्य संयोजन का विस्तृत विवरण भी सम्मिलित है जो व्यर्थ सांस्थितिकी में शोषण किए गए उमत्त समष्टि और स्थानिक स्थानों के प्रसिद्ध द्वंद्व के लिए मार्ग तैयार करता है।

आंशिकतः क्रमित समुच्चय
प्रत्येक आंशिक रूप से क्रमित किए गए समुच्चय को एक श्रेणी (जहां आंशिकतः क्रमित समुच्चय के तत्व श्रेणी की वस्तुएं बन जाते हैं और हमारे पास x से y तक एक ही आकारिकी होती है और केवल यदि x ≤ y) के रूप में देखा जा सकता है। दो आंशिक रूप से क्रमित किए गए समुच्चयों के मध्य संलग्न कारक के एक युग्म को गाल्वा संबंधन कहा जाता है (या, यदि यह विरोधाभासी है, तो एंटीटोन गाल्वा संबंधन)। कई उदाहरणों के लिए उस लेख को देखें: गाल्वा सिद्धांत की स्थिति निश्चित रूप से एक प्रमुख है। कोई भी गाल्वा संबंधन संवरक प्रचालक की उत्पत्ति करता है और संबंधित संवृत घटक के मध्य क्रमित-संरक्षी द्विभाजन को उलट देता है।

जैसा कि गाल्वा समूहों की स्थिति में होता है, वास्तविक रुचि प्रायः एक द्वैत (अर्थात एंटीटोन क्रमित समरूपता) के लिए एक पत्राचार को परिष्कृत करने में निहित होती है। कपलान्स्की द्वारा इन पंक्तियों के साथ गाल्वा सिद्धांत का निरूपण यहां की सामान्य संरचना की मान्यता में प्रभावशाली था।

आंशिक आदेश की स्थिति अधिक ध्यान देने योग्य परिभाषाओं को ध्वस्त करता है, परन्तु कई विषय प्रदान कर सकता है:
 * संलग्नक द्वैत या समरूपता नहीं हो सकते हैं, परन्तु उस स्थिति में उन्नयन के लिए प्रत्याशी हैं।
 * संवरक प्रचालक संयोजन संबंधित एकसंयुज के रूप में, अनुबंधी की उपस्थिति (सीएफ़.कुराटोव्स्की संवरक स्वयंसिद्ध) का संकेत दे सकते हैं।
 * विलियम लॉवरे की एक बहुत ही सामान्य टिप्पणी यह है कि वाक्य रचना और शब्दार्थ एक दूसरे से जुड़े हुए हैं: C को सभी तार्किक सिद्धांतों (स्वयंसिद्धीकरण) का समुच्चय मानें और D सभी गणितीय संरचनाओं के  समुच्चय का घात समुच्चय है। मान लीजिए, C में एक सिद्धांत T के लिए, G(T) को उन सभी संरचनाओं का समुच्चय है जो स्वयंसिद्ध T को संतुष्ट करते हैं; गणितीय संरचनाओं S के एक समुच्चय के लिए, F(S) को S का न्यूनतम स्वयंसिद्ध होना चाहिए। हम तब कह सकते हैं कि S, G(T) का एक उपसमुच्चय है यदि और केवल यदि F(S) तार्किक रूप से T का अर्थ है: "आकारिक कारक" G "वाक्यविन्यास कारक" F के ठीक निकट है।
 * विभाजन (सामान्य रूप से) गुणन को पलटने का प्रयास है, परन्तु ऐसी स्थितियों में जहां यह संभव नहीं है, हम प्रायः इसके बजाय एक संलग्न निर्माण करने का प्रयास करते हैं: आदर्श भागफल वलय आदर्शों द्वारा गुणन से जुड़ा होता है और तार्किक संयोजन के लिए प्रस्तावपरक तर्क में निहितार्थ आसन्न होता है ।

श्रेणी सिद्धांत

 * समानताएं- यदि F : D → C श्रेणियों की एक तुल्यता है, तो हमारे पास एक व्युत्क्रम तुल्यता G : C → D है, और दो कारक F और G एक संलग्न युग्म बनाते हैं। इस स्थिति में इकाई और सह-इकाई प्राकृतिक समरूपताएं हैं।
 * उपवाक्यों की एक श्रृंखला- कारक π0 जो एक श्रेणी को इसके जुड़े घटकों के समुच्चय को निर्दिष्ट करता है, कारक D के बाएँ-संलग्न होता है जो उस समुच्चय पर असतत श्रेणी को व्यवस्थित करता है। इसके अतिरिक्त, D वस्तु कारक U के बाएँ-संलग्न है जो प्रत्येक श्रेणी को उसकी वस्तुओं के समुच्चय को निर्दिष्ट करता है और अंत में U, A के बाएँ-संलग्न होता है जो प्रत्येक समुच्चय को उस समुच्चय पर अनिश्चित श्रेणी व्यवस्थित करता है।
 * घातीय वस्तु- एक कार्तीय संवृत श्रेणी में -×A द्वारा दिया गया अंतः कारक C → C का दाहिना संलग्न –A है। इस युग्म को प्रायः विच्छेदन और अविच्छेदन कहा जाता है; कई विशेष स्थिति में, वेसंतत भी होते हैं और एक होमियोमोर्फिज्म बनाते हैं।

श्रेणीबद्ध तर्क

 * परिमाणीकरण- यदि $$\phi_Y$$ कुछ गुणों को व्यक्त करने वाला एक एकात्मक विधेय है, तो एक पर्याप्त रूप से प्रबल समुच्चय सिद्धांत समुच्चय $$Y=\{y\mid\phi_Y(y)\}$$ प्रतिबंधों के गुणधर्मों को जो पूर्ण कर सकें। एक उचित उपसमुच्चय $$T\subset Y$$ और संबंधित अंतः क्षेपण $$T$$ में $$Y$$ एक विधेय $$\phi_T(y)=\phi_Y(y)\land\varphi(y)$$ द्वारा विशेषता है। सख्ती से अधिक प्रतिबंधात्मक गुण व्यक्त करता है।
 * विधेय तर्क में परिमाणक की भूमिका प्रस्ताव बनाने में है और संभवतः अधिक चर के साथ सूत्रों को संवृत करके परिष्कृत विधेय को व्यक्त करने में भी है। उदाहरण के लिए, एक विधेय $$\psi_f$$ के साथ, $$X$$ और $$Y$$ प्रकार के दो विवृत चर पर विचार करें।
 * $$\{y\in Y\mid \exists x.\,\psi_f(x,y)\land\phi_{S}(x)\}$$
 * सभी तत्वों का $$y$$ का $$Y$$ जिसके लिए एक $$x$$ और $$\psi_f$$-संबंधित है, और जो स्वयं गुण $$\phi_{S}$$ द्वारा अभिलक्षित है। प्रतिच्छेदन $$\cap$$ की तरह सैद्धांतिक संचालन समुच्चय करें, दो समुच्चयों $$\land$$ विधेय का संयोजन सीधे संयोजन से मेल खाता है। श्रेणीबद्ध तर्क में, टोपोस सिद्धांत का एक उपक्षेत्र, परिमाणकों की पहचान पुलबैक कारक के निकटवर्ती के साथ की जाती है। इस तरह की प्राप्ति को समुच्चय सिद्धांत का उपयोग करते हुए प्रस्तावपरक तर्क की चर्चा के अनुरूप देखा जा सकता है, परन्तु सामान्य परिभाषा तर्कों की एक समृद्ध श्रेणी के लिए बनाती है।


 * तो एक वस्तु पुलबैक वाली श्रेणी में $$Y$$ पर विचार करें। कोई रूपवाद $$f:X\to Y$$ एक कारक को प्रेरित करता है।
 * $$f^{*} : \text{Sub}(Y) \longrightarrow \text{Sub}(X)$$
 * उस श्रेणी पर जो उप-वस्तु का पूर्व-क्रमित है। यह उप-वस्तु $$T$$ से $$Y$$ (प्रौद्योगिकी रूप से: एकरूपता $$T\to Y$$ की श्रेणी) पुलबैक के लिए $$X\times_Y T$$ को प्रतिचित्र करता है। यदि इस कारक के पास बाएँ या दाएँ सन्निकटन है, तो उन्हें क्रमशः $$\exists_f$$ और $$\forall_f$$ कहा जाता है। वे दोनों $$\text{Sub}(X)$$ से वापस $$\text{Sub}(Y)$$ से प्रतिचित्र करते हैं। साधारणतया, एक कार्यक्षेत्र $$S\subset X$$ के माध्यम से व्यक्त संबंध को मापने के लिए $$f$$ के ऊपर दिया गया, कारक/परिमाणक $$X$$ में $$X\times_Y T$$ के निकट और $$Y$$ के द्वारा निर्दिष्ट उपसमुच्चय लौटाता है।


 * उदाहरण: $$\operatorname{Set}$$ में, समुच्चय और फलन की श्रेणी, विहित उप-वस्तु उपसमुच्चय (या बल्कि उनके विहित अंतः क्षेपण) हैं। पुलबैक $$f^{*}T=X\times_Y T$$ एक उपसमुच्चय का एक अंतः क्षेपण $$T$$ में $$Y$$ के साथ, $$f$$ में सबसे बड़े समुच्चय के रूप में जाना जाता है, $$f$$ के विषय में सब कुछ जानता है और $$T$$ में $$Y$$ का अंतः क्षेपण हैं। इसलिए यह प्रतिलोम प्रतिबिंब $$f^{-1}[T]\subseteq X$$ के साथ (आक्षेप में) निकलता है।
 * $$S \subseteq X$$ के लिए, आइए हम बाएं संलग्न को समझें, जिसे परिभाषित किया गया है:
 * $${\operatorname{Hom}}(\exists_f S,T)

\cong {\operatorname{Hom}}(S,f^{*}T)$$
 * जिसका यहाँ अर्थ है:
 * $$\exists_f S\subseteq T

\leftrightarrow S\subseteq f^{-1}[T]$$


 * $$ f[S] \subseteq T $$ पर विचार करें। हम $$S\subseteq f^{-1}[f[S]]\subseteq f^{-1}[T]$$ देखते हैं। इसके विपरीत, यदि एक $$x\in S$$ के लिए हमारे पास भी $$x\in f^{-1}[T]$$ है, तो स्पष्ट रूप से $$ f(x)\in T $$ हैं। इसलिए $$ S \subseteq f^{-1}[T] $$ का तात्पर्य $$ f[S] \subseteq T $$ हैं। हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि प्रतिलोम प्रतिबिंब कारक के निकट है, $$f^{*}$$ प्रत्यक्ष प्रतिबिंब द्वारा दिया गया है। यहाँ इस परिणाम का एक लक्षण वर्णन है, जो तार्किक व्याख्या से अधिक मेल खाता है: $$S$$ के प्रतिबिंब के अंतर्गत $$\exists_f $$ का पूर्ण समुच्चय $$y$$, ऐसा है कि $$ f^{-1} [\{y\}] \cap S$$ रिक्त नहीं है। यह कार्य करता है क्योंकि यह ठीक $$y\in Y$$ की उपेक्षा करता है जो $$f[S]$$ के पूरक हैं। इसलिए

\exists_f S = \{ y \in Y \mid \exists (x \in f^{-1}[\{y\}]).\, x \in S \; \} = f[S] $$
 * इसे हमारी प्रेरणा $$\{y\in Y\mid\exists x.\,\psi_f(x,y)\land\phi_{S}(x)\}$$ के अनुरूप रखें।
 * प्रतिलोम प्रतिबिंब कारक का दाहिना संलग्न (यहाँ गणना किए बिना) दिया गया है।

\forall_f S = \{ y \in Y \mid \forall (x \in f^{-1} [\{y\}]).\, x \in S \; \} $$
 * उपसमुच्चय $$\forall_f S$$ का $$Y$$ के पूर्ण समुच्चय के रूप में जाना जाता है। $$y$$ उस गुण के साथ है जिसकी प्रतिलोम प्रतिबिंब $$\{y\}$$ के संबंध में $$f$$ में पूर्णतः समाहित $$S$$ है। ध्यान दें कि कैसे समुच्चय का निर्धारण करने वाला विधेय उपरोक्त के समान है, अतिरिक्त इसके कि $$\exists$$ द्वारा $$\forall$$ प्रतिस्थापित किया जाता है।



संभाव्यता
संभाव्यता में यमक तथ्य को एक संयोजन के रूप में समझा जा सकता है: यह अपेक्षा सजातीय परिवर्तन के साथ प्रारंभ होती है और यह अपेक्षा कुछ अर्थों में वास्तविक संख्याओं पर वितरण के लिए वास्तविक-मान सन्निकटन खोजने की समस्या का सबसे अच्छा समाधान है।

$$\R$$ के आधार पर श्रेणी निर्धारित करें, वस्तुओं के वास्तविक संख्या होने के साथ और आकारिकी एक बिंदु पर मूल्यांकन किए गए सजातीय फलनों को प्रभावित करती है, अर्थात किसी भी सजातीय फलन $$f(x) = ax + b$$ के लिए और कोई वास्तविक संख्या $$r$$, आकारिकी $$(r, f): r \to f(r)$$ को परिभाषित करें।

$$M(\R)$$ के आधार पर, संभाव्यता वितरण का समुच्चय $$\R$$ सीमित अपेक्षा के साथ श्रेणी निर्धारित करें। आकारिकी $$M(\R)$$ को एक वितरण पर मूल्यांकन किए गए सजातीय फलनों के रूप में परिभाषित कीजिए, अर्थात किसी भी सजातीय फलन $$f(x) = ax + b$$ और किसी भी $$\mu\in M(\R)$$ के लिए, आकारिकी $$(\mu, f): r \to \mu\circ f^{-1}$$ को परिभाषित करें।

फिर, डिरैक डेल्टा माप उपाय एक कारक $$\delta: x\mapsto \delta_x$$ और अपेक्षा एक और कारक $$\mathbb E: \mu \mapsto \mathbb E[\mu]$$ को परिभाषित करता है और $$\mathbb E \dashv \delta$$ संलग्न हैं।

पूर्ण रूप से संयोजन
इसलिए प्रत्येक संयोजन से जुड़े कई कारक और प्राकृतिक परिवर्तन होते हैं और शेष को निर्धारित करने के लिए केवल एक छोटा सा भाग पर्याप्त होता है।

श्रेणियों C और D के मध्य एक संयोजन के होते हैं:
 * एक कारक F : D → C को बायाँ संलग्न कहा जाता है।
 * एक कारक G : C → D को दाहिना संलग्न कहा जाता है।
 * एक प्राकृतिक समरूपता Φ : homC(F–,–) → homD(–,G–) है।
 * एक प्राकृतिक परिवर्तन ε : FG → 1C को सह-इकाई कहा जाता है।
 * एक प्राकृतिक परिवर्तन η : 1D → GF को इकाई कहा जाता है।

एक समतुल्य सूत्रीकरण, जहाँ X, C की किसी वस्तु को दर्शाता है और Y, D के किसी वस्तु को दर्शाता है, इस प्रकार है:


 * प्रत्येक C-आकारिता f : FY → X के लिए, एक अद्वितीय D-आकारिता ΦY, X(f) = g : Y → GX है, जैसे कि नीचे दिए गए चित्र रूपान्तरित होते हैं और प्रत्येक D-आकारिता g : Y → GX के लिए, एक अद्वितीय C-आकारिता Φ−1Y, X(g) = f : FY → X, C में ऐसा है कि नीचे दिए गए चित्र रूपान्तरित होते हैं:

इस अभिकथन से, कोई इसे पुनर्प्राप्त कर सकता है।
 * रूपांतरण ε, η, और Φ समीकरणों से संबंधित हैं:
 * $$\begin{align}

f = \Phi_{Y,X}^{-1}(g) &= \varepsilon_X\circ F(g) & \in & \, \, \mathrm{hom}_C(F(Y),X)\\ g = \Phi_{Y,X}(f) &= G(f)\circ \eta_Y & \in & \, \, \mathrm{hom}_D(Y,G(X))\\ \Phi_{GX,X}^{-1}(1_{GX}) &= \varepsilon_X & \in & \, \, \mathrm{hom}_C(FG(X),X)\\ \Phi_{Y,FY}(1_{FY}) &= \eta_Y & \in & \, \, \mathrm{hom}_D(Y,GF(Y))\\ \end{align} $$
 * रूपांतरण ε, η सह-इकाई- इकाई समीकरणों को संतुष्ट करते हैं:
 * $$\begin{align}

1_{FY} &= \varepsilon_{FY} \circ F(\eta_Y)\\ 1_{GX} &= G(\varepsilon_X) \circ \eta_{GX} \end{align}$$
 * प्रत्येक युग्म (GX, εX) C में F से X तक एक सार्वभौमिक आकारिकी है।
 * प्रत्येक युग्म (FY, ηY) D में Y से G तक एक सार्वभौमिक आकारिकी है।

विशेष रूप से, उपरोक्त समीकरण किसी को Φ, ε, और η को तीनों में से किसी एक के संदर्भ में परिभाषित करने की अनुमति देते हैं। हालांकि, संलग्न कारक F और G अकेले सामान्य रूप से संयोजन को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त नहीं हैं। इन स्थितियों की समानता नीचे प्रदर्शित की गई है।

सार्वभौमिक रूपात्मक होम- समुच्चय संयोजन
एक दायां संलग्न कारक G : C → D दिया गया; प्रारंभिक आकारिता के अर्थ में, निम्न चरणों का पालन करके प्रेरित होम- समुच्चय संयोजन का निर्माण किया जा सकता है।


 * एक कारक F : D → C और एक प्राकृतिक परिवर्तन η का निर्माण करें।
 * D में प्रत्येक वस्तु Y के लिए, Y से G तक प्रारंभिक आकारिकी (F(Y), ηY) चुनें, ताकि ηY : Y → G(F(Y)) है। हमारे पास वस्तुओं पर F का मानचित्र और आकारिकी η का वर्ग है।
 * प्रत्येक f : Y0 → Y1 के लिए, क्योंकि (F(Y0), ηY0) एक प्रारंभिक आकारिकी है, फिर ηY1 o f, ηY0 के साथ का गुणनखंड करें और F(f) : F(Y0) → F(Y1) प्राप्त करें। यहआकारिकी पर F का मानचित्र है।
 * उस गुणनखंड के रूपांतर आरेख का तात्पर्य प्राकृतिक परिवर्तनों के रूपांतर के आरेख से है, इसलिए η : 1D → G o, F एक प्राकृतिक परिवर्तन है।
 * उस गुणनखंड की विशिष्टता और यह कि G एक कारक है, जिसका तात्पर्य है कि आकारिकी पर F का मानचित्र रचनाओं और पहचानों को संरक्षित करता है।
 * एक प्राकृतिक समरूपता Φ : homC(F-,-) → homD(-,G-) का निर्माण करें।
 * C में प्रत्येक वस्तु X के लिए, D में प्रत्येक वस्तु Y, जैसा कि (F(Y), ηY) एक प्रारंभिक रूपवाद है, फिर ΦY, X एक आक्षेप है, जहां ΦY, X(f : F(Y) → X) = G(f) o ηY है।
 * η एक प्राकृतिक परिवर्तन है, G एक कारक है, फिर किसी वस्तु X0, C में X1, कोई भी वस्तु Y0, Y1 में D, कोई भी x : X0 → X1,कोई भी y : Y1 → Y0 हमारे पास ΦY1, X1(x o f o F(y)) = G(x) o G(f) o G(F(y)) o ηY1 = G(x) o G(f) o ηY0 o y = G(x) o ΦY0, X0(f) o y और फिर Φ दोनों तर्कों में स्वाभाविक है।
 * एक समान तर्क किसी को सीमावर्ती आकारिता से बाएं संलग्न कारक के लिए एक होम- समुच्चय संयोजन बनाने की अनुमति देता है (निर्माण जो एक दायें संलग्न के साथ प्रारंभ होता है, थोड़ा अधिक सामान्य है, क्योंकि कई संलग्न युग्म में दायें संलग्न एक तुच्छ रूप से परिभाषित समावेशन या अनवहित कारक है)।

सह-इकाई - इकाई संयोजन और होम- समुच्चय संयोजन
दिए गए कारक F : D → C, G : C → D, और एक सह-इकाई - इकाई संयोजन (ε, η) : F $$\dashv$$ G, हम निम्नलिखित चरणों में प्राकृतिक रूपांतरण Φ: homC(F-,-) → homD(-,G-) ज्ञात करके होम-समुच्चय संयोजन का निर्माण कर सकते हैं:


 * प्रत्येक f : FY → X और प्रत्येक g : Y → GX के लिए, परिभाषित करें
 * $$\begin{align}\Phi_{Y,X}(f) = G(f)\circ \eta_Y\\

\Psi_{Y,X}(g) = \varepsilon_X\circ F(g)\end{align}$$
 * परिवर्तन Φ और Ψ प्राकृतिक हैं क्योंकि η और ε प्राकृतिक हैं।


 * इस क्रम में, कि F एक कारक है, कि ε प्राकृतिक है, और सह-इकाई-इकाई समीकरण 1FY = εFY o F(ηY), हम प्राप्त करते हैं;
 * $$\begin{align}

\Psi\Phi f &= \varepsilon_X\circ FG(f)\circ F(\eta_Y) \\ &= f\circ \varepsilon_{FY}\circ F(\eta_Y) \\ &= f\circ 1_{FY} = f\end{align}$$
 * इसलिए ΨΦ पहचान परिवर्तन है।


 * दोहरे रूप से, उस G का उपयोग करना एक कारक है, कि η प्राकृतिक है और सह-इकाई - इकाई समीकरण 1GX = G(εX) o ηGX ,हम प्राप्त करते हैं;
 * $$\begin{align}

\Phi\Psi g &= G(\varepsilon_X)\circ GF(g)\circ\eta_Y \\ &= G(\varepsilon_X)\circ\eta_{GX}\circ g \\ &= 1_{GX}\circ g = g\end{align}$$
 * इसलिए ΦΨ पहचान परिवर्तन है। इस प्रकार Φ व्युत्क्रम Φ−1 = Ψ के साथ एक प्राकृतिक समरूपता है।

होम- समुच्चय संयोजन
दिए गए कारक F : D → C, G : C → D, और एक होम- समुच्चय संयोजन Φ : homC(F-,-) → homD(-,G-), कोई एक सह-इकाई - इकाई संयोजन का निर्माण कर सकता है।


 * $$(\varepsilon,\eta):F\dashv G$$,

जो निम्नलिखित चरणों में आरंभिक और अंतिम आकारिकी के वर्गों को परिभाषित करता है:


 * मान लीजिए $$\varepsilon_X=\Phi_{GX,X}^{-1}(1_{GX})\in\mathrm{hom}_C(FGX,X)$$ प्रत्येक X के लिए C में, जहाँ $$1_{GX}\in\mathrm{hom}_D(GX,GX)$$ पहचान रूपवाद है।
 * मान लीजिए $$\eta_Y=\Phi_{Y,FY}(1_{FY})\in\mathrm{hom}_D(Y,GFY)$$ प्रत्येक Y के लिए D में, जहां $$1_{FY}\in\mathrm{hom}_C(FY,FY)$$ पहचान रूपवाद है।
 * Φ की विशिष्टता और स्वाभाविकता का अर्थ है कि प्रत्येक (GX, εX), C में F से X तक एक सीमावर्ती आकारिकी है, और प्रत्येक (FY, ηY), Y से G तक D में एक प्रारंभिक आकारिकी है।
 * Φ की स्वाभाविकता का तात्पर्य ε और η की स्वाभाविकता और दो सूत्रों से है।
 * $$\begin{align}\Phi_{Y,X}(f) = G(f)\circ \eta_Y\\

\Phi_{Y,X}^{-1}(g) = \varepsilon_X\circ F(g)\end{align}$$
 * प्रत्येक f : FY → X और g: Y → GX (जो पूर्णतया से Φ निर्धारित करता है) के लिए है।


 * दूसरे सूत्र में X के लिए, FY और ηY = ΦY, FY(1FY) को g से प्रतिस्थापित करने पर पहला पहला सह-इकाई - इकाई समीकरण प्राप्त होता है।
 * $$1_{FY} = \varepsilon_{FY}\circ F(\eta_Y)$$
 * और Y और GX और पहले सूत्र में f के लिए, εX = Φ−1GX, X(1GX) को प्रतिस्थापित करने से दूसरा सह-इकाई - इकाई समीकरण प्राप्त होता है।
 * $$1_{GX} = G(\varepsilon_X)\circ\eta_{GX}$$

अस्तित्व
प्रत्येक कारक G : C → D बाएँ संलग्न को स्वीकार नहीं करता है। यदि C एक पूर्ण श्रेणी है, तो बाएं संलग्न वाले कारक को पीटर जे फ़्रीड के संलग्न कारक प्रमेय द्वारा वर्णित किया जा सकता है: G के पास बायाँ संलग्न है यदि और केवल यदि यह संतत है और एक निश्चित छोटी स्थिति संतुष्ट है: प्रत्येक वस्तु के लिए, D के Y में आकारिकी का एक वर्ग उपस्थित है।


 * fi : Y → G(Xi)

जहां सूचकांक i एक समुच्चय $I$ से आता है एक उचित वर्ग नहीं, जैसे कि प्रत्येक रूपवाद:


 * h : Y → G(X)

रूप में लिखा जा सकता है।

h = G(t) ∘ fi

कुछ i में $I$ और कुछ आकृतिवाद के लिए;


 * t : Xi → X ∈ C

एक समान कथन उन कारकों को दाहिने संलग्न के साथ दर्शाता है।

एक महत्वपूर्ण विशेष स्थिति स्थानीय रूप से प्रस्तुत करने योग्य श्रेणियों का है। यदि $$F : C \to D$$ तब स्थानीय रूप से प्रस्तुत करने योग्य श्रेणियों के मध्य एक कारक है।


 * F का दाहिना संलग्न है यदि और केवल यदि F छोटे सह-सीमा को संरक्षित करता है।
 * F के निकट बायाँ संलग्न है यदि और केवल यदि F छोटी सीमाओं को बनाए रखता है और एक सुलभ कारक है।

विशिष्टता
यदि कारक F : D → C के दो दाएँ सन्निकट G और G' हैं, तो G और G' प्राकृतिक परिवर्तन हैं। बाएं संलग्न के लिए भी यही सत्य है।

इसके विपरीत, यदि F का G बायां संलग्न है और G स्वाभाविक रूप से G' के समतुल्य है, तो F का भी G' बायां संलग्न है। सामान्यतः, यदि〈F, G, ε, η〉एक संयोजन है ( सह-इकाई - इकाई (ε,η) के साथ) और
 * σ : F → F'
 * τ : G → G '

प्राकृतिक समरूपताएं हैं तो〈F′, G′, ε′, η′〉एक संयोजन है जहां
 * $$\begin{align}

\eta' &= (\tau\ast\sigma)\circ\eta \\ \varepsilon' &= \varepsilon\circ(\sigma^{-1}\ast\tau^{-1}) \end{align}$$ यहाँ $$\circ$$ प्राकृतिक परिवर्तनों की लंबवत संरचनाओं को दर्शाता है और $$\ast$$ क्षैतिज रचना को दर्शाता है।

रचना
संयोजनों की रचना प्राकृतिक रूप से की जा सकती है। विशेष रूप से, यदि〈F, G, ε, η〉C और D के मध्य एक संयोजन है और〈F′, G′, ε′, η′〉, D और E के मध्य एक संयोजन है तो कारक:
 * $$F \circ F' : E \rightarrow C$$

बायां संलग्न है;
 * $$G' \circ G : C \to E$$

अधिक सटीक रूप से, F F' और G' G के मध्य संयोजन द्वारा क्रमशः दी गई इकाई और सह-इकाई के मध्य एक संयोजन है:
 * $$\begin{align}

&1_{\mathcal E} \xrightarrow{\eta'} G' F' \xrightarrow{G' \eta F'} G' G F F' \\ &F F' G' G \xrightarrow{F \varepsilon' G} F G \xrightarrow{\varepsilon} 1_{\mathcal C} \end{align}$$ इस नए संयोजन को दिए गए दो संयोजनों का संयोजन कहा जाता है।

चूंकि एक श्रेणी C और स्वयं के मध्य एक पहचान संयोजन को परिभाषित करने का एक स्वाभाविक तरीका भी है, इसलिए एक ऐसी श्रेणी बनाई जा सकती है, जिसकी वस्तुएं सभी छोटी श्रेणियां हैं और जिनकी रूपरेखाएं संलग्नक हैं।

सीमा संरक्षण
संलग्नकों के सबसे महत्वपूर्ण गुणधर्म उनकी संततता है: प्रत्येक कारक जिसमें बाएं संलग्न है (और इसलिए दाएं संलग्न है) संतत है (अर्थात श्रेणी सैद्धांतिक अर्थ में अर्थ में सीमाओं के साथ परिवर्तित करता है); प्रत्येक कारक जिसका एक दाहिना संलग्न है (और इसलिए एक बायां संलग्न है) सह-सतत है (अर्थात सीमा (श्रेणी सिद्धांत) के साथ परिवर्तित करता है)।

चूंकि गणित में कई सामान्य रचनाएं सीमाएं या सह-सीमाएं हैं, इसलिए यह सूचना का बाहुल्य प्रदान करता है। उदाहरण के लिए:
 * वस्तुओं के एक उत्पाद के लिए एक दाहिने संलग्न कारक लगाने से छवियों का उत्पाद प्राप्त होता है;
 * वस्तुओं के एक सह-उत्पाद के लिए एक बाएं संलग्न कारक को अनुप्रयुक्त करने से छवियों का प्रतिफल प्राप्त होता है;
 * दो एबेलियन श्रेणियों के मध्य प्रत्येक दाहिने संलग्न कारक, बाएँ सटीक कारक है;
 * दो एबेलियन श्रेणियों के मध्य प्रत्येक बाएं संलग्न कारक सही सटीक कारक है।

योज्यता
यदि C और D पूर्ववर्ती श्रेणियां हैं और F : D → C दाएँ संलग्न G : C → D के साथ एक योगात्मक कारक है, तो G भी एक योगात्मक कारक और होम- समुच्चय द्विभाजन है।


 * $$\Phi_{Y,X} : \mathrm{hom}_{\mathcal C}(FY,X) \cong \mathrm{hom}_{\mathcal D}(Y,GX)$$

वास्तव में, एबेलियन समूहों की समरूपता हैं, यदि G बाएं संलग्न F के साथ योगात्मक है, तो F भी योगात्मक है।

इसके अतिरिक्त, यदि C और D दोनों योगात्मक श्रेणियां हैं (अर्थात सभी परिमित द्विउत्पाद के साथ पूर्व योज्यव श्रेणियां), तो उनके मध्य के किसी भी युग्मों के युग्म स्वचालित रूप से योगात्मक है।

सार्वभौमिक निर्माण
जैसा कि पहले कहा गया है, श्रेणियों C और D के मध्य एक संयोजन सार्वभौमिक आकारिता के एक वर्ग की उत्पत्ति करता है, जो C और D में प्रत्येक वस्तु के लिए है। D की प्रत्येक वस्तु से, तो G का बायाँ सन्निकट है।

हालांकि, सार्वभौमिक निर्माण संलग्न कारकों की तुलना में अधिक सामान्य हैं: एक सार्वभौमिक निर्माण एक अनुकूलन समस्या की तरह है; यह एक संलग्न युग्म की उत्पत्ति करता है यदि और केवल यदि इस समस्या का समाधान D के प्रत्येक वस्तु (समकक्ष रूप से, C के प्रत्येक वस्तु) के लिए है।

श्रेणियों की समानता
यदि एक कारक F : D → C श्रेणियों के समकक्ष का एक आधा है तो यह श्रेणियों के एक संलग्न समकक्ष में बाएं संलग्न है, अर्थात एक संयोजन जिसकी इकाई और सह-इकाई समरूपताएं हैं।

प्रत्येक संयोजन〈F, G, ε, η〉कुछ उपश्रेणियों की समानता का विस्तार करता है। C1 को C की पूर्ण उपश्रेणी के रूप में परिभाषित करें, जिसमें C की वे वस्तुएँ X से सम्मिलित हैं। जिनके लिए εX एक समरूपता है, और D1 को D की पूर्ण उपश्रेणी के रूप में परिभाषित करें, जिसमें D की वे वस्तुएँ Y से सम्मिलित हैं जिसके लिए ηY एक समरूपता है। तब F और G को D1 और C1 तक सीमित किया जा सकता है और इन उपश्रेणियों की व्युत्क्रम तुल्यता उत्पन्न की जा सकती है।

एक अर्थ में, फिर, संलग्न सामान्यीकृत व्युत्क्रम हैं। हालांकि ध्यान दें कि F का दायां व्युत्क्रम (अर्थात एक कारक G ऐसा है कि FG स्वाभाविक रूप से 1D के लिए समरूप है) F का दायां (या बायां) संलग्न होने की आवश्यकता नहीं है। संलग्न दो-पक्षीय व्युत्क्रमों का सामान्यीकरण करते हैं।

एकसंयुज
प्रत्येक संयोजन〈F, G, ε, η〉श्रेणी D में एक संबंधित एकसंयुज〈T, η, μ〉की उत्पत्ति करता है।
 * $$T : \mathcal{D} \to \mathcal{D}$$

T = GF द्वारा दिया गया है। एकसंयुज की इकाई है।
 * $$\eta : 1_{\mathcal{D}} \to T$$

केवल इकाई η संयोजन और गुणन परिवर्तन की है।
 * $$\mu : T^2 \to T\,$$

μ = GεF द्वारा दिया जाता है। वास्तव में, त्रिक〈FG, ε, FηG〉C में एक सह-इकाई को परिभाषित करता है।

प्रत्येक इकाई कुछ संयोजन से उत्पन्न होती है - वास्तव में, सामान्यतः कई संयोजनों से - उपरोक्त कार्य प्रणाली में है। इलेनबर्ग-मूर बीजगणित की श्रेणी और क्लेस्ली श्रेणी कहे जाने वाले दो निर्माण, एक संयोजन के निर्माण की समस्या के दो अतिवादी समाधान हैं जो किसी दिए गए इकाई की उत्पत्ति करते हैं।

बाहरी संबंध

 * – seven short lectures on adjunctions by Eugenia Cheng of The Catsters
 * WildCats is a category theory package for Mathematica. Manipulation and visualization of objects, आकारिता, categories, कारकs, natural transformations, universal properties.