सामान्यीकृत फलन

गणित में, सामान्यीकृत फलन वे वस्तुएँ होती हैं, जो फलनों की धारणा का विस्तार करती हैं। इसमे एक से अधिक मान्यता प्राप्त सिद्धांत होते हैं, उदाहरण के लिए वितरण का सिद्धांत। सामान्यीकृत कार्य विशेष रूप से असतत फलन को निर्विघ्ऩ फलन की तरह बनाने और बिंदु आवेशों जैसे असतत भौतिक घटनाओं का वर्णन करने में उपयोगी होते हैं। वे बड़े पैमाने पर लागू होते हैं, विशेष रूप से भौतिकी और अभियांत्रिकी में।

कुछ दृष्टिकोणों की एक सामान्य विशेषता यह है कि वे प्रतिदिन के संख्यात्मक फलन के परिचालक दृष्टिकोण का निर्माण करते हैं। प्रारंभिक इतिहास परिचालन कैल्कुलस पर कुछ विचारों से जुड़ा हुआ है, और कुछ दिशाओं में अधिक समकालीन विकास मिकियो सातो के विचारों से निकटता से संबंधित हैं, जिसे वे बीजगणितीय विश्लेषण कहते हैं।  इस विषय पर महत्वपूर्ण प्रभाव आंशिक अंतर समीकरणों के सिद्धांतों और समूह प्रतिनिधित्व सिद्धांत की तकनीकी आवश्यकताओं पर होता रहा है।

कुछ प्रारंभिक इतिहास
उन्नीसवीं शताब्दी के गणित में, सामान्यीकृत कार्य सिद्धांत के पहलू दिखाई दिए, उदाहरण के लिए, ग्रीन के कार्य की परिभाषा में, लाप्लास परिवर्तन में, और रीमैन के त्रिकोणमितीय श्रृंखला के सिद्धांत में, जो अनिवार्य रूप से एक समाकलनीय फलन की फूरियर श्रृंखला नहीं थे। ये उस समय गणितीय विश्लेषण के असंबद्ध पहलू थे।

इंजीनियरिंग में लाप्लास परिवर्तन के गहन उपयोग ने सांकेतिक विधियों के अनुमानी उपयोग को प्रेरित किया, जिसे ऑपरेशनल कैलकुलस कहा जाता है। चूंकि अलग-अलग श्रृंखलाओं का उपयोग करने वाले औचित्य दिए गए थे, इसलिए इन विधियों की शुद्ध गणित के दृष्टिकोण से खराब प्रतिष्ठा थी। वे सामान्यीकृत फलन विधियों के बाद के अनुप्रयोग के लिए विशिष्ट होते हैं। ऑपरेशनल कैलकुलस पर एक प्रभावशाली पुस्तक 1899 का ओलिवर हीविसाइड का इलेक्ट्रोमैग्नेटिक थ्योरी थी।

जब लेबेस्ग इंटीग्रल प्रस्तुत किया गया था, तो पहली बार गणित के केंद्र में सामान्यीकृत फलन की धारणा थी। Lebesgue के सिद्धांत में पूर्णांकीय फलन, किसी भी अन्य के समतुल्य होता है जो लगभग हर जगह समान होता है। इसका मतलब है कि किसी दिए गए बिंदु पर इसका मूल्य (एक मायने में) इसकी सबसे महत्वपूर्ण विशेषता नहीं है। प्रकार्यात्मक विश्लेषण में एक समाकलनीय फलन की आवश्यक विशेषता का स्पष्ट सूत्रीकरण दिया जाता है, अर्थात् जिस तरह से यह अन्य फलन पर एक रेखीय प्रकार्य को परिभाषित करता है। यह कमजोर व्युत्पन्न की परिभाषा की अनुमति देता है।

1920 के दशक के अंत और 1930 के दशक के समय आगे के लिए कदम उठाए गए, जो भविष्य के काम के लिए बुनियादी थे। डिराक डेल्टा फलन को पॉल डिराक (उनकी वैज्ञानिक औपचारिकता का एक पहलू) द्वारा निर्भीकता से परिभाषित किया गया था; यह वास्तविक फलन की तरह घनत्व (जैसे आवेश घनत्व) के रूप में सोचा जाने वाले माप (गणित) को संसाधित करना था। आंशिक अंतर समीकरण सिद्धांत में काम कर रहे सर्गेई सोबोलेव ने आंशिक अंतर समीकरणों के कमजोर समाधानों के साथ काम करने के लिए गणितीय दृष्टिकोण से सामान्यीकृत फलन के पहले पर्याप्त सिद्धांत को परिभाषित किया। उस समय संबंधित सिद्धांतों का प्रस्ताव करने वाले अन्य लोग सॉलोमन बोचनर और कर्ट फ्रेडरिक्स थे। लॉरेंट श्वार्ट्ज द्वारा सोबोलेव के काम को एक विस्तारित रूप में और विकसित किया गया था।

श्वार्ट्ज वितरण
इस तरह की अवधारणा की प्राप्ति, जिसे कई उद्देश्यों के लिए निश्चित रूप से स्वीकार किया जाना था, वितरण का सिद्धांत था, जिसे लॉरेंट श्वार्ट्ज द्वारा विकसित किया गया था। इसे सांस्थितिक सदिश समष्टि के लिए द्वैत सिद्धांत पर आधारित एक सैद्धांतिक सिद्धांत कहा जा सकता है। अनुप्रयुक्त गणित में इसका मुख्य प्रतिद्वंद्वी सहज सन्निकटन ('जेम्स लाइटहिल' स्पष्टीकरण) के अनुक्रमों का उपयोग करना है, जो अधिक तदर्थ है। यह अब मोलिफायर सिद्धांत के रूप में सिद्धांत में प्रवेश करता है।

यह सिद्धांत बहुत सफल रहा और अभी भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, किन्तु मुख्य दोष से ग्रस्त है क्योंकी यह केवल रैखिक संचालन की अनुमति देता है। दूसरे शब्दों में, वितरण को गुणा नहीं किया जा सकता है (बहुत विशेष स्थितियों को छोड़कर): अधिकांश मौलिक फलन समष्‍टि के विपरीत, वे बीजगणित नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, डायराक डेल्टा फलन का वर्ग करना अर्थपूर्ण नहीं होता है। 1954 के आसपास श्वार्ट्ज के कार्य ने दिखाया कि यह एक आंतरिक कठिनाई थी।

गुणन समस्या के कुछ समाधान प्रस्तावित किए गए हैं। बहुत ही सरल और सहज परिभाषा पर आधारित है जो यू द्वारा दिया गया एक सामान्यीकृत कार्य है। वी. ईगोरोव (डेमिडोव की पुस्तक में उनका लेख नीचे दी गई पुस्तक सूची में भी देखें) जो सामान्यीकृत फलन पर और उनके बीच मनमाना संचालन की अनुमति देता है

गुणन समस्या का एक अन्य समाधान क्वांटम यांत्रिकी के पथ अभिन्न सूत्रीकरण द्वारा निर्धारित होता है। चूंकि यह क्वांटम यांत्रिकी के श्रोडिंगर सिद्धांत के समतुल्य होना आवश्यक है, जो समन्वय परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय है, इस गुण को पथ अभिन्न द्वारा साझा किया जाना चाहिए। यह एच. क्लेनर्ट और ए. चेर्व्याकोव द्वारा दिखाए गए सामान्यीकृत फलन के सभी गुणनफलों को ठीक करता है। परिणाम वही है जो आयामी नियमितीकरण से प्राप्त किया जा सकता है।

सामान्यीकृत फलन के बीजगणित
सामान्यीकृत फलन के बीजगणित के कई निर्माण प्रस्तावित किए गए हैं, दूसरों के बीच यू. एम. शिरोकोव और ई. रोज़िंगर, वाई. एगोरोव, और आर. रॉबिन्सन। द्वारा। पहले स्थिति में, सामान्यीकृत फलन के कुछ नियमितीकरण के साथ गुणन निर्धारित किया जाता है। दूसरे स्थिति में, बीजगणित वितरण के गुणन के रूप में निर्मित होता है। दोनों मामलों पर नीचे चर्चा की गई है।

सामान्यीकृत फलन का गैर-कम्यूटेटिव बीजगणित
सामान्यीकृत फलन के बीजगणित को एक फलन के प्रक्षेपण की उचित प्रक्रिया के साथ बनाया जा सकता है $$F=F(x)$$ इसके चिकने होने के लिए $$F_{\rm smooth}$$ और यह अद्वितीय है $$F_{\rm singular}$$ भागों। सामान्यीकृत फलन का गुणनफल $$F$$ और $$G$$ रूप में प्रकट होता है

ऐसा नियम मुख्य फलन समष्टि और परिचालक समष्टि दोनों पर लागू होता है जो मुख्य फलन के समष्टि पर कार्य करते हैं। गुणन की साहचर्यता प्राप्त की जाती है; और  फलन चिह्न को इस तरह से परिभाषित किया गया है, कि इसका वर्ग हर जगह इकाई होती है (निर्देशांक की उत्पत्ति सहित)। ध्यान दें कि अद्वितीय भागों का गुणनफल ($$); विशेष रूप से, $$\delta(x)^2=0$$. इस तरह की औपचारिकता में विशेष स्थिति के रूप में सामान्यीकृत फलन (उनके गुणनफल के बिना) के पारंपरिक सिद्धांत सम्मलित होते हैं। चूँकि, परिणामी बीजगणित गैर विनिमेय है: सामान्यीकृत फलन चिह्न और डेल्टा एंटीकॉम्यूट। बीजगणित के कुछ अनुप्रयोगों का सुझाव दिया गया था।

वितरण का गुणन
वितरण के गुणन की समस्या, श्वार्ट्ज वितरण सिद्धांत की एक सीमा, गैर-रैखिक समस्याओं के लिए गंभीर हो जाती है।

आज विभिन्न विधियों का उपयोग किया जाता है। सबसे सरल यू वी. ईगोरोव द्वारा दिए गए सामान्यीकृत फलन की परिभाषा पर आधारित है। साहचर्य अवकल बीजगणित के निर्माण के लिए एक अन्य दृष्टिकोण J.-F पर आधारित है। कोलंबो का निर्माण: कोलंबो बीजगणित देखें। ये कारक समष्टि होते हैं


 * $$G = M / N$$

"मध्यम" मोडुलो "नगण्य" फलन का परिणाम, जहां "संयम" और "नगण्यता" श्रेणी के सूचकांक के संबंध में वृद्धि को संदर्भित करता है।

उदाहरण: कोलंबो बीजगणित
N पर बहुपद पैमाने का उपयोग करके एक सरल उदाहरण प्राप्त किया जाता है, $$s = \{ a_m:\mathbb N\to\mathbb R, n\mapsto n^m ;~ m\in\mathbb Z \}$$. फिर किसी भी अर्ध-मानक बीजगणित (ई, पी) के लिए कारक अंतरालक होगा


 * $$G_s(E,P)= \frac{

\{ f\in E^{\mathbb N}\mid\forall p\in P,\exists m\in\mathbb Z:p(f_n)=o(n^m)\} }{ \{ f\in E^{\mathbb N}\mid\forall p\in P,\forall m\in\mathbb Z:p(f_n)=o(n^m)\} }.$$ विशेष रूप से, (E, P)=(C,|.|) के लिए (कोलंबो के) सामान्यीकृत संख्या प्राप्त होती है (जो "असीम रूप से बड़ी" और "असीमित रूप से छोटी" हो सकती हैं और फिर भी कठोर अंकगणित की अनुमति देती हैं, गैरमानक संख्याओं के समान ) (E, P) = (C∞(R),{pk}) (जहां pk त्रिज्या k के बल पर k से कम या उसके बराबर क्रम के सभी व्युत्पन्न (शब्द) का उच्चकमानक होता है) कोलंबो का सरलीकृत बीजगणित प्राप्त होता है।

श्वार्ट्ज वितरण का अंतःक्षेपण
इस बीजगणित में अंतःक्षेपण के माध्यम "D के सभी वितरण T" सम्मलित होते है


 * j(T) = (φn ∗ T)n + N,

जहां संवहन परिचालन होता है, और


 * φn(x) = n φ(nx)।

यह अंतःक्षेप इस अर्थ में गैर-विहित है कि यह मोलिफायर φ के विकल्प पर निर्भर करता है, जो C∞ होना चाहिए,  और इसके सभी डेरिवेटिव 0 लुप्त हो जाते हैं। एक  विहित अंतःक्षेप प्राप्त करने के लिए, अनुक्रमण सेट को N × D(R) होने के लिए संशोधित किया जा सकता है, D(R) पर एक सुविधाजनक निस्यंदक आधार के साथ (q आदेश तक लुप्त होने वाले क्षणों के फलन) होता है ।

शीफ संरचना
यदि (E,P) कुछ सांस्थितिक समष्टि X  पर अर्ध-मानक बीजगणित का (पूर्व-) शीफ (गणित) है, तो Gs(E, P) में भी यह गुण होगा। इसका मतलब यह है कि प्रतिबंध (गणित) की धारणा को परिभाषित किया जाएगा, जो सामान्यीकृत फलन  w.r.t के समर्थन (गणित) को परिभाषित करने की अनुमति देता है। एक उपशीर्षक, विशेष रूप से:
 * उपशीर्षक {0} के लिए, सामान्य समर्थन प्राप्त होता है (सबसे बड़े खुले उपसमुच्चय का पूरक जहां फलन शून्य होता है)।
 * सबशेफ E के लिए ( विहित (स्थिर) अंतःक्षेपण का उपयोग करके अंतः स्थापित किया जाता है ), एक को अद्वितीय समर्थन कहा जाता है, यानी, मोटे तौर पर बोलना, सेट का बंद होना जहां सामान्यीकृत फलन एक सुचारू कार्य नहीं होता है ( E = C∞ के लिए)∞).

माइक्रोलोकल विश्लेषण
फूरियर परिवर्तन (अच्छी तरह से) सघन रूप से समर्थित सामान्यीकृत फलन (घटक-वार) के लिए परिभाषित किया गया है,कोई भी वितरण के लिए उसी निर्माण को लागू कर सकता है, कोई भी वितरण के लिए उसी निर्माण को लागू कर सकता है, और सामान्यीकृत कार्यों के लिए लार्स होर्मेंडर के तरंगाग्र सेट को भी परिभाषित कर सकता है।

गणितीय विलक्षणता के प्रसार के विश्लेषण में इसका विशेष रूप से महत्वपूर्ण अनुप्रयोग होता है।

अन्य सिद्धांत
इनमें सम्मलित हैं: जैन मिकुसिंस्की का संकलन अनुपात सिद्धांत, संवलन बीजगणित के के अंशों के क्षेत्र पर आधारित है जो अभिन्न डोमेन होता हैं; और अतिप्रकार्य के सिद्धांत, विश्लेषणात्मक फलन के सीमा मूल्यों पर आधारित (उनकी प्रारंभिक अवधारणा में), और अब शीफ सिद्धांत का उपयोग करते हैं।

सामयिक समूह
ब्रुहाट ने परीक्षण फलन की एक श्रेणी प्रस्तुत की, श्वार्ट्ज-ब्रुहट कार्य, जैसा कि वे अब ज्ञात हैं, समष्टि रूप से सघन समूहों के एक वर्ग पर होता हैं जो कई गुना से परे हैं जो विशिष्ट कार्य डोमेन होते हैं। अनुप्रयोग ज्यादातर संख्या सिद्धांत में होते हैं, विशेष रूप से एडेलिक बीजगणितीय समूहों के लिए। आंद्रे वेइल ने इस भाषा में टेट की थीसिस को फिर से लिखा, आइडल समूह पर जीटा वितरण (संख्या सिद्धांत) की विशेषता; और इसे L-फलन के स्पष्ट सूत्र पर भी लागू किया है।

सामान्यीकृत खंड
एक और विधि जिसमें सिद्धांत को विस्तारित किया गया है वह एक समतल सदिश बंडल के सामान्यीकृत वर्गों के रूप में होता है। यह श्वार्ट्ज पैटर्न पर, परीक्षण वस्तुओं के लिए दोहरी वस्तुओं का निर्माण, एक बंडल के समतल खंड जिनमें सुसम्बद्ध समर्थन होता है। सबसे विकसित सिद्धांत दे राम धाराओं का है, जो अलग-अलग रूपों के लिए दोहरी होती है। ये प्रकृति में अनुरूपता से होते हैं, जिस तरह से अंतरीय फॉर्म डे रम कोहोलॉजी को जन्म देते हैं। उनका उपयोग एक बहुत ही सामान्य स्टोक्स प्रमेय तैयार करने के लिए किया जा सकता है।।

यह भी देखें

 * बेप्पो-लेवी स्पेस
 * डिराक डेल्टा फलन
 * सामान्यीकृत ईजेनफंक्शन
 * वितरण (गणित)
 * हाइपरफंक्शन
 * सूचक का लाप्लासियन
 * कठोर हिल्बर्ट अंतरिक्ष
 * वितरण की सीमा

पुस्तकें

 * वॉल्यूम। 2.
 * एच। कोमात्सु, परिचयात्मक और टेलीविजन स्ट्रीम, दूसरा संस्करण, इवानामी शॉटेन, क्यो, 1983।
 * (यहां ऑनलाइन)। सामान्यीकृत फलन के गुणनफलों के लिए अध्याय 11 देखें।
 * एच। कोमात्सु, परिचयात्मक और टेलीविजन स्ट्रीम, दूसरा संस्करण, इवानामी शॉटेन, क्यो, 1983।
 * (यहां ऑनलाइन)। सामान्यीकृत फलन के गुणनफलों के लिए अध्याय 11 देखें।
 * (यहां ऑनलाइन)। सामान्यीकृत फलन के गुणनफलों के लिए अध्याय 11 देखें।
 * (यहां ऑनलाइन)। सामान्यीकृत फलन के गुणनफलों के लिए अध्याय 11 देखें।
 * (यहां ऑनलाइन)। सामान्यीकृत फलन के गुणनफलों के लिए अध्याय 11 देखें।
 * (यहां ऑनलाइन)। सामान्यीकृत फलन के गुणनफलों के लिए अध्याय 11 देखें।
 * (यहां ऑनलाइन)। सामान्यीकृत फलन के गुणनफलों के लिए अध्याय 11 देखें।
 * (यहां ऑनलाइन)। सामान्यीकृत फलन के गुणनफलों के लिए अध्याय 11 देखें।
 * (यहां ऑनलाइन)। सामान्यीकृत फलन के गुणनफलों के लिए अध्याय 11 देखें।
 * (यहां ऑनलाइन)। सामान्यीकृत फलन के गुणनफलों के लिए अध्याय 11 देखें।
 * (यहां ऑनलाइन)। सामान्यीकृत फलन के गुणनफलों के लिए अध्याय 11 देखें।