स्टोकेस्टिक प्रक्रिया

संभाव्यता सिद्धांत और संबंधित क्षेत्रों में, स्टोकेस्टिक या यादृच्छिक प्रक्रिया एक गणितीय वस्तु है जिसे आमतौर पर यादृच्छिक चर के अनुक्रमित परिवार के रूप में परिभाषित किया जाता है। स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं का व्यापक रूप से सिस्टम और घटनाओं के गणितीय मॉडल के रूप में उपयोग किया जाता है जो यादृच्छिक तरीके से भिन्न होते हैं। उदाहरणों में जीवाणु की आबादी में वृद्धि, थर्मल शोर के कारण उतार-चढ़ाव वाला विद्युत प्रवाह, या गैस  अणु की गति शामिल है।   स्टोचैस्टिक प्रक्रियाओं में जीव विज्ञान जैसे कई विषयों में अनुप्रयोग होते हैं, रसायन विज्ञान, पारिस्थितिकी, तंत्रिका विज्ञान , भौतिक विज्ञान , मूर्ति प्रोद्योगिकी , संकेत प्रसंस्करण , स्टोकेस्टिक नियंत्रण , सूचना सिद्धांत , कंप्यूटर विज्ञान , क्रिप्टोग्राफी और दूरसंचार। इसके अलावा, वित्त ीय बाजारों में प्रतीत होने वाले यादृच्छिक परिवर्तनों ने वित्त में स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं के व्यापक उपयोग को प्रेरित किया है। अनुप्रयोगों और परिघटनाओं के अध्ययन ने बदले में नई स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के प्रस्ताव को प्रेरित किया है। ऐसी स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं के उदाहरणों में वीनर प्रक्रिया या ब्राउनियन गति प्रक्रिया शामिल है, पेरिस बोर्स पर मूल्य परिवर्तन का अध्ययन करने के लिए लुई बैचलर द्वारा उपयोग किया गया, और निश्चित अवधि में होने वाली फोन कॉल की संख्या का अध्ययन करने के लिए ए.के. एरलांग द्वारा उपयोग की जाने वाली पॉइसन प्रक्रिया । इन दो स्टोचैस्टिक प्रक्रियाओं को स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण और केंद्रीय माना जाता है, और अलग-अलग सेटिंग्स और देशों में बैचलर और एरलांग से पहले और बाद में बार-बार और स्वतंत्र रूप से खोजे गए थे। रैंडम फ़ंक्शन शब्द का उपयोग स्टोकेस्टिक या रैंडम प्रक्रिया को संदर्भित करने के लिए भी किया जाता है, क्योंकि स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को समारोह स्थान में यादृच्छिक तत्व के रूप में भी व्याख्या किया जा सकता है। स्टोचैस्टिक प्रक्रिया और यादृच्छिक प्रक्रिया का उपयोग परस्पर विनिमय के लिए किया जाता है, अक्सर सेट के लिए कोई विशिष्ट गणितीय स्थान नहीं होता है जो यादृच्छिक चर को अनुक्रमित करता है।  लेकिन अक्सर इन दो शब्दों का उपयोग तब किया जाता है जब यादृच्छिक चर को वास्तविक रेखा के पूर्णांक या अंतराल (गणित) द्वारा अनुक्रमित किया जाता है।  यदि यादृच्छिक चर को कार्तीय तल या कुछ उच्च-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष द्वारा अनुक्रमित किया जाता है, तो यादृच्छिक चर के संग्रह को आमतौर पर एक यादृच्छिक क्षेत्र कहा जाता है। स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के मान हमेशा संख्या नहीं होते हैं और वे वैक्टर या अन्य गणितीय वस्तु हो सकते हैं।

उनके गणितीय गुणों के आधार पर, स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं को विभिन्न श्रेणियों में बांटा जा सकता है, जिसमें यादृच्छिक चलना शामिल है, मार्टिंगेल (संभाव्यता सिद्धांत), मार्कोव प्रक्रिया एं, लेवी प्रक्रियाएं, गॉसियन प्रक्रियाएं, यादृच्छिक क्षेत्र, नवीनीकरण प्रक्रिया एँ, और शाखाएँ प्रक्रियाएँ। स्टोचैस्टिक प्रक्रियाओं का अध्ययन संभाव्यता, कलन, रैखिक बीजगणित, सेट सिद्धांत और टोपोलॉजी से गणितीय ज्ञान और तकनीकों का उपयोग करता है।  साथ ही गणितीय विश्लेषण की शाखाएं जैसे वास्तविक विश्लेषण , माप सिद्धांत , फूरियर विश्लेषण और कार्यात्मक विश्लेषण ।  स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के सिद्धांत को गणित में महत्वपूर्ण योगदान माना जाता है और यह सैद्धांतिक कारणों और अनुप्रयोगों दोनों के लिए अनुसंधान का सक्रिय विषय बना हुआ है।

परिचय
स्टोचैस्टिक या यादृच्छिक प्रक्रिया को यादृच्छिक चर के संग्रह के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो कुछ गणितीय सेट द्वारा अनुक्रमित होता है, जिसका अर्थ है कि स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का प्रत्येक यादृच्छिक चर विशिष्ट रूप से सेट में तत्व से जुड़ा होता है। रैंडम वेरिएबल्स को इंडेक्स करने के लिए इस्तेमाल किए जाने वाले सेट को इंडेक्स सेट कहा जाता है। ऐतिहासिक रूप से, सूचकांक सेट वास्तविक रेखा का कुछ उपसमुच्चय था, जैसे कि प्राकृतिक संख्या एं, सूचकांक सेट को समय की व्याख्या देती हैं। संग्रह में प्रत्येक यादृच्छिक चर समान गणितीय स्थान से मान लेता है जिसे राज्य स्थान के रूप में जाना जाता है। यह अवस्था स्थान हो सकता है, उदाहरण के लिए, पूर्णांक, वास्तविक रेखा या $$n$$-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष।  वृद्धि वह राशि है जो स्टोकेस्टिक प्रक्रिया दो सूचकांक मूल्यों के बीच बदलती है, जिसे अक्सर समय में दो बिंदुओं के रूप में व्याख्या किया जाता है।  यादृच्छिकता के कारण स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के कई परिणाम (संभाव्यता) हो सकते हैं, और स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के एकल परिणाम को अन्य नामों के साथ, नमूना कार्य या प्राप्ति कहा जाता है।



वर्गीकरण
स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को अलग-अलग तरीकों से वर्गीकृत किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, इसके राज्य स्थान, इसके सूचकांक सेट या यादृच्छिक चर के बीच निर्भरता। वर्गीकरण का सामान्य तरीका सूचकांक सेट और राज्य स्थान की प्रमुखता है। जब समय के रूप में व्याख्या की जाती है, यदि स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के सूचकांक सेट में तत्वों की परिमित या गणनीय संख्या होती है, जैसे कि संख्याओं का परिमित सेट, पूर्णांकों का सेट, या प्राकृतिक संख्याएँ, तो स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को असतत में कहा जाता है। समय। यदि सूचकांक सेट वास्तविक रेखा का कुछ अंतराल है, तो समय को निरंतर समय कहा जाता है। दो प्रकार की स्टोचैस्टिक प्रक्रियाओं को क्रमशः असतत-समय और निरंतर-समय की स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के रूप में संदर्भित किया जाता है। डिस्क्रीट-टाइम स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं का अध्ययन करना आसान माना जाता है क्योंकि निरंतर-समय की प्रक्रियाओं के लिए अधिक उन्नत गणितीय तकनीकों और ज्ञान की आवश्यकता होती है, विशेष रूप से इंडेक्स सेट के बेशुमार होने के कारण। यदि इंडेक्स सेट पूर्णांक है, या उनमें से कुछ उपसमुच्चय है, तो स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को यादृच्छिक क्रम भी कहा जा सकता है।

यदि राज्य स्थान पूर्णांक या प्राकृतिक संख्या है, तो स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को असतत या पूर्णांक-मूल्यवान स्टोकेस्टिक प्रक्रिया कहा जाता है। यदि राज्य स्थान वास्तविक रेखा है, तो स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को वास्तविक-मूल्यवान स्टोचैस्टिक प्रक्रिया या निरंतर राज्य स्थान वाली प्रक्रिया के रूप में संदर्भित किया जाता है। यदि राज्य स्थान है $$n$$आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष, तो स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को कहा जाता है $$n$$-आयामी वेक्टर प्रक्रिया या $$n$$-वेक्टर प्रक्रिया।

व्युत्पत्ति
अंग्रेजी भाषा में स्टोचैस्टिक शब्द मूल रूप से अनुमान लगाने से संबंधित परिभाषा के साथ विशेषण के रूप में प्रयोग किया जाता था, और ग्रीक भाषा के शब्द से उत्पन्न होता है जिसका अर्थ है निशान, अनुमान, और ऑक्सफोर्ड इंग्लिश डिक्शनरी का लक्ष्य 1662 को इसकी सबसे पुरानी घटना के रूप में देता है। मूल रूप से 1713 में लैटिन में प्रकाशित प्रायिकता Ars Conjectandi पर अपने काम में, Jakob Bernoulli ने Ars Conjectandi sive Stochastice वाक्यांश का उपयोग किया, जिसका अनुमान लगाने या स्टोचैस्टिक्स की कला में अनुवाद किया गया है। लैडिसलॉस बोर्टकिविक्ज़ द्वारा बर्नौली के संदर्भ में इस वाक्यांश का प्रयोग किया गया था रेफ नाम = शेयिन स्ट्रेकर 2011 पृष्ठ 136> जिन्होंने 1917 में जर्मन में स्टोचैस्टिक शब्द को यादृच्छिक अर्थ के साथ लिखा था। स्टोचैस्टिक प्रक्रिया शब्द पहली बार 1934 में जोसेफ डब द्वारा अंग्रेजी में प्रकाशित हुआ था। शब्द और विशिष्ट गणितीय परिभाषा के लिए, डोब ने 1934 के और पेपर का हवाला दिया, जहां शब्द स्टोचैस्टिशर प्रोज़ का इस्तेमाल जर्मन में एलेक्जेंडर खिनचिन द्वारा किया गया था, हालांकि जर्मन शब्द का इस्तेमाल पहले किया गया था, उदाहरण के लिए, 1931 में आंद्रेई कोलमोगोरोव द्वारा।

ऑक्सफ़ोर्ड इंग्लिश डिक्शनरी के अनुसार, अंग्रेजी में रैंडम शब्द की शुरुआती घटनाएँ इसके वर्तमान अर्थ के साथ, जो कि मौका या भाग्य से संबंधित है, 16 वीं शताब्दी की तारीख है, जबकि पहले रिकॉर्ड किए गए प्रयोग 14 वीं शताब्दी में संज्ञा के अर्थ के रूप में शुरू हुए थे, महान गति, बल, या हिंसा (सवारी, दौड़ना, प्रहार करना, आदि में)। यह शब्द स्वयं मध्य फ्रांसीसी शब्द से आया है जिसका अर्थ है गति, जल्दबाजी, और यह संभवतः फ्रांसीसी क्रिया से लिया गया है जिसका अर्थ है दौड़ना या सरपट दौड़ना। रैंडम प्रोसेस शब्द का पहला लिखित रूप स्टोकेस्टिक प्रोसेस से पहले का है, जिसे ऑक्सफोर्ड इंग्लिश डिक्शनरी भी पर्याय के रूप में देती है, और 1888 में प्रकाशित फ्रांसिस एडगेवर्थ के लेख में इसका इस्तेमाल किया गया था।

शब्दावली
स्टोकेस्टिक प्रक्रिया की परिभाषा भिन्न होती है, लेकिन स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को परंपरागत रूप से कुछ सेट द्वारा अनुक्रमित यादृच्छिक चर के संग्रह के रूप में परिभाषित किया जाता है। रैंडम प्रोसेस और स्टोकेस्टिक प्रोसेस को पर्यायवाची माना जाता है और इनका उपयोग दूसरे के लिए किया जाता है, बिना इंडेक्स सेट के सटीक रूप से निर्दिष्ट किया जाता है।     दोनों संग्रह,  या परिवार का उपयोग किया जाता है जबकि इंडेक्स सेट के बजाय, कभी-कभी शर्तें पैरामीटर सेट होती हैं या पैरामीटर स्थान उपयोग किया जाता है।

रैंडम फ़ंक्शन शब्द का उपयोग स्टोकेस्टिक या रैंडम प्रक्रिया को संदर्भित करने के लिए भी किया जाता है, हालांकि कभी-कभी इसका उपयोग केवल तभी किया जाता है जब स्टोकेस्टिक प्रक्रिया वास्तविक मान लेती है।  इस शब्द का उपयोग तब भी किया जाता है जब सूचकांक सेट वास्तविक रेखा के अलावा अन्य गणितीय स्थान होते हैं, जबकि स्टोचैस्टिक प्रक्रिया और यादृच्छिक प्रक्रिया का उपयोग आमतौर पर तब किया जाता है जब सूचकांक सेट को समय के रूप में व्याख्या किया जाता है,  और अन्य शब्दों का उपयोग किया जाता है जैसे कि यादृच्छिक फ़ील्ड जब इंडेक्स सेट होता है $$n$$-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष $$\mathbb{R}^n$$ या कई गुना।

अंकन
स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को अन्य तरीकों से, द्वारा निरूपित किया जा सकता है $$\{X(t)\}_{t\in T} $$, $$\{X_t\}_{t\in T} $$, $$\{X_t\}$$ $$\{X(t)\}$$ या बस के रूप में $$X$$ या $$X(t)$$, यद्यपि $$X(t)$$ अंकन#कार्य संकेतन के दुरुपयोग के रूप में माना जाता है। उदाहरण के लिए, $$X(t)$$ या $$X_t$$ सूचकांक के साथ यादृच्छिक चर को संदर्भित करने के लिए उपयोग किया जाता है $$t$$, और संपूर्ण स्टोकेस्टिक प्रक्रिया नहीं। अगर इंडेक्स सेट है $$T=[0,\infty)$$, तो कोई लिख सकता है, उदाहरण के लिए, $$(X_t, t \geq 0)$$ स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को निरूपित करने के लिए।

बरनौली प्रक्रिया
सबसे सरल स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं में से बर्नौली प्रक्रिया है, जो स्वतंत्र और समान रूप से वितरित (iid) यादृच्छिक चर का क्रम है, जहां प्रत्येक यादृच्छिक चर या तो मान या शून्य लेता है, संभाव्यता के साथ $$p$$ और शून्य संभावना के साथ $$1-p$$. इस प्रक्रिया को सिक्के को बार-बार उछालने से जोड़ा जा सकता है, जहां सिर आने की संभावना है $$p$$ और इसका मान होता है, जबकि पूंछ का मान शून्य होता है। दूसरे शब्दों में, बर्नौली प्रक्रिया iid बर्नौली यादृच्छिक चर का अनुक्रम है, जहां प्रत्येक सिक्के का पलटना बर्नौली परीक्षण का उदाहरण है।

रैंडम वॉक
बेतरतीब सैर स्टोचैस्टिक प्रक्रियाएं हैं जिन्हें आमतौर पर यूक्लिडियन अंतरिक्ष में आईआईडी यादृच्छिक चर या यादृच्छिक वैक्टर के योग के रूप में परिभाषित किया जाता है, इसलिए वे ऐसी प्रक्रियाएं हैं जो असतत समय में बदलती हैं।    लेकिन कुछ लोग इस शब्द का उपयोग उन प्रक्रियाओं को संदर्भित करने के लिए भी करते हैं जो निरंतर समय में बदलती रहती हैं, विशेष रूप से वित्त में उपयोग की जाने वाली वीनर प्रक्रिया, जिसने कुछ भ्रम पैदा किया है, जिसके परिणामस्वरूप इसकी आलोचना हुई है। अन्य विभिन्न प्रकार के रैंडम वॉक परिभाषित हैं, इसलिए उनके राज्य स्थान अन्य गणितीय वस्तुएं हो सकते हैं, जैसे कि जाली और समूह, और सामान्य तौर पर वे अत्यधिक अध्ययन किए जाते हैं और विभिन्न विषयों में कई अनुप्रयोग होते हैं।

रैंडम वॉक का उत्कृष्ट उदाहरण सरल रैंडम वॉक के रूप में जाना जाता है, जो कि स्टेट स्पेस के रूप में पूर्णांकों के साथ असतत समय में स्टोचैस्टिक प्रक्रिया है, और यह बर्नौली प्रक्रिया पर आधारित है, जहां प्रत्येक बर्नौली चर या तो मान सकारात्मक लेता है या नकारात्मक। दूसरे शब्दों में, सरल यादृच्छिक चलना पूर्णांकों पर होता है, और इसका मान प्रायिकता के साथ से बढ़ जाता है, कहते हैं, $$p$$, या संभावना के साथ से घट जाती है $$1-p$$, इसलिए इस रैंडम वॉक का इंडेक्स सेट नेचुरल नंबर है, जबकि इसका स्टेट स्पेस पूर्णांक है। यदि $$p=0.5$$, इस रैंडम वॉक को सिमिट्रिक रैंडम वॉक कहा जाता है।

वीनर प्रक्रिया
वीनर प्रक्रिया स्थिर वेतन वृद्धि और स्वतंत्र वृद्धि के साथ स्थिर प्रक्रिया है जो सामान्य रूप से वेतन वृद्धि के आकार के आधार पर वितरित की जाती है। वीनर प्रक्रिया का नाम नॉर्बर्ट वीनर के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने अपने गणितीय अस्तित्व को साबित किया, लेकिन इस प्रक्रिया को ब्राउनियन गति प्रक्रिया या सिर्फ ब्राउनियन गति भी कहा जाता है क्योंकि यह तरल पदार्थ में ब्राउनियन आंदोलन के लिए मॉडल के रूप में ऐतिहासिक संबंध है।

संभाव्यता के सिद्धांत में केंद्रीय भूमिका निभाते हुए, वीनर प्रक्रिया को अक्सर अन्य स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं के कनेक्शन के साथ सबसे महत्वपूर्ण और अध्ययनित स्टोकास्टिक प्रक्रिया माना जाता है।     इसका इंडेक्स सेट और स्टेट स्पेस क्रमशः नॉन-नेगेटिव नंबर और रियल नंबर हैं, इसलिए इसमें निरंतर इंडेक्स सेट और स्टेट स्पेस दोनों हैं। लेकिन प्रक्रिया को अधिक आम तौर पर परिभाषित किया जा सकता है, इसलिए इसका राज्य स्थान हो सकता है $$n$$-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष।  यदि किसी वृद्धि का माध्य शून्य है, तो परिणामी वीनर या ब्राउनियन गति प्रक्रिया को शून्य बहाव कहा जाता है। यदि समय में किन्हीं दो बिंदुओं के लिए वृद्धि का माध्य समय के अंतर को किसी स्थिरांक से गुणा करने के बराबर है $$ \mu$$, जो वास्तविक संख्या है, तो परिणामी स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को बहाव कहा जाता है $$ \mu$$. लगभग निश्चित रूप से, वीनर प्रक्रिया का नमूना पथ हर जगह निरंतर होता है लेकिन कहीं भी अलग-अलग कार्य नहीं करता है। इसे साधारण रैंडम वॉक का निरंतर संस्करण माना जा सकता है। जो डोंस्कर के प्रमेय या अपरिवर्तनीय सिद्धांत का विषय है, जिसे कार्यात्मक केंद्रीय सीमा प्रमेय भी कहा जाता है।    यह मात्रात्मक वित्त में केंद्रीय भूमिका निभाता है,  जहां इसका उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, ब्लैक-स्कोल्स-मर्टन मॉडल में। इस प्रक्रिया का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में भी किया जाता है, जिसमें अधिकांश प्राकृतिक विज्ञानों के साथ-साथ सामाजिक विज्ञान की कुछ शाखाएँ भी शामिल हैं, विभिन्न यादृच्छिक घटनाओं के लिए गणितीय मॉडल के रूप में।

जहर प्रक्रिया
पोइसन प्रक्रिया स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है जिसके विभिन्न रूप और परिभाषाएँ हैं। इसे गिनती प्रक्रिया के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो स्टोकास्टिक प्रक्रिया है जो कुछ समय तक यादृच्छिक संख्या या घटनाओं का प्रतिनिधित्व करती है। शून्य से कुछ दिए गए समय के अंतराल में स्थित प्रक्रिया के बिंदुओं की संख्या पोइसन यादृच्छिक चर है जो उस समय और कुछ पैरामीटर पर निर्भर करती है। इस प्रक्रिया में इसके राज्य स्थान के रूप में प्राकृतिक संख्याएँ और इसके सूचकांक सेट के रूप में गैर-ऋणात्मक संख्याएँ होती हैं। इस प्रक्रिया को पॉइसन काउंटिंग प्रोसेस भी कहा जाता है, क्योंकि इसे काउंटिंग प्रोसेस के उदाहरण के रूप में समझा जा सकता है।

यदि पॉज़ॉन प्रक्रिया को सकारात्मक स्थिरांक के साथ परिभाषित किया जाता है, तो प्रक्रिया को सजातीय पॉसॉन प्रक्रिया कहा जाता है। सजातीय पॉइसन प्रक्रिया स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं जैसे मार्कोव प्रक्रियाओं और लेवी प्रक्रियाओं के महत्वपूर्ण वर्गों का सदस्य है।

सजातीय प्वासों प्रक्रिया को विभिन्न तरीकों से परिभाषित और सामान्यीकृत किया जा सकता है। इसे इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है कि इसका सूचकांक सेट वास्तविक रेखा है, और इस स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को स्थिर पॉइसन प्रक्रिया भी कहा जाता है। यदि पॉइसन प्रक्रिया के पैरामीटर स्थिरांक को कुछ गैर-नकारात्मक पूर्णांक कार्य के साथ बदल दिया जाता है $$t$$, परिणामी प्रक्रिया को विषम या गैर-सजातीय पॉइसन प्रक्रिया कहा जाता है, जहां प्रक्रिया के बिंदुओं का औसत घनत्व अब स्थिर नहीं है। क्यूइंग थ्योरी में मौलिक प्रक्रिया के रूप में कार्य करते हुए, पॉइसन प्रक्रिया गणितीय मॉडल के लिए महत्वपूर्ण प्रक्रिया है, जहां यह निश्चित समय विंडो में बेतरतीब ढंग से होने वाली घटनाओं के मॉडल के लिए आवेदन पाती है।

वास्तविक रेखा पर परिभाषित, पोइसन प्रक्रिया की व्याख्या स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के रूप में की जा सकती है, अन्य यादृच्छिक वस्तुओं के बीच। लेकिन तब इसे परिभाषित किया जा सकता है $$n$$-आयामी यूक्लिडियन स्थान या अन्य गणितीय स्थान, जहां इसे अक्सर स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के बजाय यादृच्छिक सेट या यादृच्छिक गणना माप के रूप में व्याख्या किया जाता है।  इस सेटिंग में, पोइसन प्रक्रिया, जिसे पॉइसन बिंदु प्रक्रिया भी कहा जाता है, संभाव्यता सिद्धांत में अनुप्रयोगों और सैद्धांतिक कारणों दोनों के लिए सबसे महत्वपूर्ण वस्तुओं में से है। लेकिन यह टिप्पणी की गई है कि पोइसन प्रक्रिया पर उतना ध्यान नहीं दिया जाता जितना कि इसे देना चाहिए, आंशिक रूप से इसकी वजह से इसे अक्सर वास्तविक रेखा पर ही माना जाता है, न कि अन्य गणितीय स्थानों पर।

स्टोकेस्टिक प्रक्रिया
स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को सामान्य संभाव्यता स्थान पर परिभाषित यादृच्छिक चर के संग्रह के रूप में परिभाषित किया गया है $$(\Omega, \mathcal{F}, P)$$, कहां $$\Omega$$ नमूना स्थान है, $$\mathcal{F}$$ है $$\sigma$$- सिग्मा-बीजगणित, और $$P$$ संभाव्यता माप है; और यादृच्छिक चर, कुछ सेट द्वारा अनुक्रमित $$T$$, सभी समान गणितीय स्थान में मान लेते हैं $$S$$, जो कुछ के संबंध में मापने योग्य होना चाहिए $$\sigma$$-बीजगणित $$\Sigma$$.

दूसरे शब्दों में, किसी दिए गए संभाव्यता स्थान के लिए $$(\Omega, \mathcal{F}, P)$$ और मापने योग्य स्थान $$(S,\Sigma)$$, स्टोचैस्टिक प्रक्रिया का संग्रह है $$S$$-मूल्यवान यादृच्छिक चर, जिन्हें इस प्रकार लिखा जा सकता है: <डिव वर्ग = केंद्र>$$ \{X(t):t\in T \}. $$

ऐतिहासिक रूप से, प्राकृतिक विज्ञान की कई समस्याओं में बिंदु $$t\in T$$ समय का अर्थ था, इसलिए $$X(t)$$ यादृच्छिक चर है जो समय पर देखे गए मान का प्रतिनिधित्व करता है $$t$$. स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को इस रूप में भी लिखा जा सकता है $$ \{X(t,\omega):t\in T \}$$ यह दर्शाने के लिए कि यह वास्तव में दो चरों का कार्य है, $$t\in T$$ और $$\omega\in \Omega$$.

स्टोकेस्टिक प्रक्रिया पर विचार करने के अन्य तरीके हैं, उपरोक्त परिभाषा को पारंपरिक माना जाता है। उदाहरण के लिए, स्टोकास्टिक प्रक्रिया को व्याख्या या परिभाषित किया जा सकता है $$S^T$$-मूल्यवान यादृच्छिक चर, जहां $$S^T$$ समुच्चय से सभी संभावित फलन (गणित) का स्थान है $$T$$ अंतरिक्ष में $$S$$. हालांकि सामान्य रूप से फ़ंक्शन-मूल्यवान यादृच्छिक चर के रूप में इस वैकल्पिक परिभाषा को अच्छी तरह से परिभाषित करने के लिए अतिरिक्त नियमितता मान्यताओं की आवश्यकता होती है।

इंडेक्स सेट
सेट $$T$$ इंडेक्स सेट कहा जाता है या पैरामीटर सेट स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का। अक्सर यह समुच्चय वास्तविक रेखा का कुछ उपसमुच्चय होता है, जैसे प्राकृतिक संख्याएँ या अंतराल, जो समुच्चय देता है $$T$$ समय की व्याख्या। इन सेटों के अलावा, इंडेक्स सेट $$T$$ कुल आदेश या अधिक सामान्य सेट के साथ और सेट हो सकता है, जैसे कार्तीय तल $$R^2$$ या $$n$$-आयामी यूक्लिडियन स्थान, जहां तत्व $$t\in T$$ अंतरिक्ष में बिंदु का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। उस ने कहा, पूरी तरह से आदेशित इंडेक्स सेट के साथ स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं के लिए कई परिणाम और प्रमेय केवल संभव हैं।

राज्य स्थान
गणितीय स्थान $$S$$ स्टोचैस्टिक प्रक्रिया को इसका राज्य स्थान कहा जाता है। इस गणितीय स्थान को पूर्णांक वास्तविक रेखाओं, $$n$$-आयामी यूक्लिडियन रिक्त स्थान, जटिल विमान, या अधिक अमूर्त गणितीय स्थान। राज्य स्थान को उन तत्वों का उपयोग करके परिभाषित किया गया है जो विभिन्न मूल्यों को दर्शाते हैं जो स्टोकेस्टिक प्रक्रिया ले सकती है।  

नमूना समारोह
एक नमूना समारोह एक स्टोकास्टिक प्रक्रिया का एक एकल परिणाम (संभाव्यता) है, इसलिए यह स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के प्रत्येक यादृच्छिक चर के एक संभव मान को लेकर बनता है। अधिक सटीक, अगर $$\{X(t,\omega):t\in T \}$$ स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है, फिर किसी भी बिंदु के लिए $$\omega\in\Omega$$मानचित्र (गणित) <डिव वर्ग = केंद्र>$$ X(\cdot,\omega): T \rightarrow S, $$

नमूना कार्य कहा जाता है, बोध, या, विशेष रूप से जब $$T$$ समय के रूप में व्याख्या की जाती है, स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का नमूना पथ $$\{X(t,\omega):t\in T \}$$. इसका मतलब है कि निश्चित के लिए $$\omega\in\Omega$$, नमूना फ़ंक्शन मौजूद है जो इंडेक्स सेट को मैप करता है $$T$$ राज्य अंतरिक्ष के लिए $$S$$. स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के नमूना कार्य के अन्य नामों में प्रक्षेपवक्र, पथ कार्य शामिल हैं या पथ।

वृद्धि
स्टोचैस्टिक प्रक्रिया में वृद्धि एक ही स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के दो यादृच्छिक चर के बीच का अंतर है। एक सूचकांक सेट के साथ एक स्टोचैस्टिक प्रक्रिया के लिए जिसे समय के रूप में व्याख्या किया जा सकता है, वृद्धि एक निश्चित समय अवधि में स्टोकेस्टिक प्रक्रिया में कितना बदलाव है। उदाहरण के लिए, यदि $$\{X(t):t\in T \}$$ राज्य स्थान के साथ एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है $$S$$ और सूचकांक सेट $$T=[0,\infty)$$, फिर किन्हीं दो गैर-ऋणात्मक संख्याओं के लिए $$t_1\in [0,\infty)$$ और $$t_2\in [0,\infty)$$ ऐसा है कि $$t_1\leq t_2$$, के अंतर $$X_{t_2}-X_{t_1}$$ एक है $$S$$-वैल्यूड रैंडम वेरिएबल जिसे इंक्रीमेंट के रूप में जाना जाता है।वेतन वृद्धि में रुचि होने पर, अक्सर राज्य स्थान $$S$$ वास्तविक रेखा या प्राकृतिक संख्या है, लेकिन यह हो सकता है $$n$$-डायमेंशनल यूक्लिडियन स्पेस या अधिक एब्स्ट्रैक्ट स्पेस जैसे कि बनच स्थान

कानून
एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के लिए $$X\colon\Omega \rightarrow S^T$$ संभाव्यता स्थान पर परिभाषित $$(\Omega, \mathcal{F}, P)$$स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का नियम $$X$$ पुशवर्ड उपाय के रूप में परिभाषित किया गया है: <डिव वर्ग = केंद्र>$$ \mu=P\circ X^{-1}, $$ कहां $$P$$ एक संभाव्यता उपाय है, प्रतीक $$\circ $$ फ़ंक्शन संरचना को दर्शाता है और $$X^{-1}$$ मापने योग्य कार्य की पूर्व-छवि है या, समकक्ष, $$S^T$$-मूल्यवान यादृच्छिक चर $$X$$, कहां $$S^T$$ सभी संभव का स्थान है $$S$$के मूल्यवान कार्य $$t\in T$$, इसलिए स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का नियम एक प्रायिकता माप है।

मापने योग्य सबसेट के लिए $$B$$ का $$S^T$$, की पूर्व-छवि $$X$$ देता है

<डिव वर्ग = केंद्र>$$ X^{-1}(B)=\{\omega\in \Omega: X(\omega)\in B \}, $$

इसलिए ए का कानून $$X$$ के रूप में लिखा जा सकता है: <डिव वर्ग = केंद्र>$$ \mu(B)=P(\{\omega\in \Omega: X(\omega)\in B \}). $$

स्टोकेस्टिक प्रक्रिया या यादृच्छिक चर के नियम को संभाव्यता कानून, संभाव्यता वितरण या वितरण भी कहा जाता है।

परिमित-आयामी संभाव्यता वितरण
स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के लिए $$X$$ कानून के साथ $$\mu$$, इसके लिए परिमित-आयामी वितरण $$t_1,\dots,t_n\in T$$ की तरह परिभाषित किया गया है: <डिव वर्ग = केंद्र>$$ \mu_{t_1,\dots,t_n} =P\circ (X({t_1}),\dots, X({t_n}))^{-1}, $$ यह उपाय $$\mu_{t_1,..,t_n}$$यादृच्छिक वेक्टर का संयुक्त वितरण है $$ (X({t_1}),\dots, X({t_n})) $$; इसे कानून के प्रक्षेपण के रूप में देखा जा सकता है $$\mu$$ के परिमित उपसमुच्चय पर $$T$$. किसी भी औसत दर्जे का सबसेट के लिए $$C$$ की $$n$$-फोल्ड कार्तीय शक्ति $$S^n=S\times\dots \times S$$, स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के परिमित-आयामी वितरण $$X$$ के रूप में लिखा जा सकता है: <डिव वर्ग = केंद्र>$$ \mu_{t_1,\dots,t_n}(C) =P \Big(\big\{\omega\in \Omega: \big( X_{t_1}(\omega), \dots, X_{t_n}(\omega) \big) \in C \big\} \Big). $$

स्टोकास्टिक प्रक्रिया के परिमित-आयामी वितरण दो गणितीय स्थितियों को संतुष्ट करते हैं जिन्हें स्थिरता की स्थिति के रूप में जाना जाता है।

स्थिरता
स्थिरता गणितीय संपत्ति है जो स्टोकास्टिक प्रक्रिया होती है जब उस स्टोकास्टिक प्रक्रिया के सभी यादृच्छिक चर समान रूप से वितरित होते हैं। दूसरे शब्दों में, अगर $$X$$ स्थिर स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है, फिर किसी के लिए भी $$t\in T$$ यादृच्छिक चर $$X_t$$ समान वितरण है, जिसका अर्थ है कि किसी भी सेट के लिए $$n$$ सूचकांक सेट मान $$t_1,\dots, t_n$$, अनुरूप $$n$$ यादृच्छिक चर <डिव वर्ग = केंद्र>$$ X_{t_1}, \dots X_{t_n}, $$

सभी का समान प्रायिकता बंटन है। स्थिर स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का सूचकांक सेट आमतौर पर समय के रूप में व्याख्या किया जाता है, इसलिए यह पूर्णांक या वास्तविक रेखा हो सकती है। लेकिन बिंदु प्रक्रियाओं और यादृच्छिक क्षेत्रों के लिए स्थिरता की अवधारणा भी मौजूद है, जहां सूचकांक सेट की व्याख्या समय के रूप में नहीं की जाती है।

जब इंडेक्स सेट होता है $$T$$ समय के रूप में व्याख्या की जा सकती है, स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को स्थिर कहा जाता है यदि इसके परिमित-आयामी वितरण समय के अनुवाद के तहत अपरिवर्तनीय हैं। इस प्रकार की स्टोचैस्टिक प्रक्रिया का उपयोग भौतिक प्रणाली का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है जो स्थिर अवस्था में है, लेकिन फिर भी यादृच्छिक उतार-चढ़ाव का अनुभव करती है। स्थिरता के पीछे अंतर्ज्ञान यह है कि जैसे-जैसे समय बीतता है, स्थिर स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का वितरण समान रहता है। यादृच्छिक चर का क्रम स्थिर स्टोकेस्टिक प्रक्रिया बनाता है, यदि यादृच्छिक चर समान रूप से वितरित किए जाते हैं।

स्टेशनारिटी की उपरोक्त परिभाषा के साथ स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को कभी-कभी सख्ती से स्थिर कहा जाता है, लेकिन स्थिरता के अन्य रूप भी हैं। उदाहरण है जब असतत-समय या निरंतर-समय की स्टोकेस्टिक प्रक्रिया $$X$$ व्यापक अर्थों में स्थिर कहा जाता है, तो प्रक्रिया $$X$$ सभी के लिए परिमित दूसरा क्षण है $$t\in T$$ और दो यादृच्छिक चर का सहप्रसरण $$X_t$$ और $$X_{t+h}$$ संख्या पर ही निर्भर करता है $$h$$ सबके लिए $$t\in T$$. अलेक्सांद्र खिनचिन ने व्यापक अर्थों में स्थिरता की संबंधित अवधारणा को पेश किया, जिसमें व्यापक अर्थों में सहप्रसरण स्थिरता या स्थिरता सहित अन्य नाम हैं।

छानने
फिल्ट्रेशन (संभाव्यता सिद्धांत) सिग्मा-अलजेब्रा का बढ़ता हुआ क्रम है जो कुछ प्रायिकता स्थान और इंडेक्स सेट के संबंध में परिभाषित होता है जिसमें कुछ कुल ऑर्डर संबंध होते हैं, जैसे कि इंडेक्स सेट के मामले में वास्तविक संख्याओं का कुछ सबसेट होता है। अधिक औपचारिक रूप से, यदि स्टोकेस्टिक प्रक्रिया में कुल आदेश के साथ इंडेक्स सेट होता है, तो निस्पंदन $$\{\mathcal{F}_t\}_{t\in T} $$, प्रायिकता स्थान पर $$(\Omega, \mathcal{F}, P)$$ सिग्मा-बीजगणित का परिवार है जैसे कि $$ \mathcal{F}_s \subseteq \mathcal{F}_t \subseteq  \mathcal{F} $$ सबके लिए $$s \leq t$$, कहां $$t, s\in T$$ और $$\leq$$ सूचकांक सेट के कुल आदेश को दर्शाता है $$T$$. फिल्ट्रेशन की अवधारणा के साथ, स्टोकेस्टिक प्रक्रिया में निहित जानकारी की मात्रा का अध्ययन करना संभव है $$X_t$$ पर $$t\in T$$, जिसे समय के रूप में समझा जा सकता है $$t$$. निस्पंदन के पीछे अंतर्ज्ञान $$\mathcal{F}_t$$ क्या वह समय है $$t$$ गुजरता है, अधिक से अधिक जानकारी $$X_t$$ ज्ञात या उपलब्ध है, जिसमें कब्जा कर लिया गया है $$\mathcal{F}_t$$, जिसके परिणामस्वरूप महीन और महीन विभाजन होते हैं $$\Omega$$. 

संशोधन
स्टोचैस्टिक प्रक्रिया का एक संशोधन एक अन्य स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है, जो मूल स्टोकेस्टिक प्रक्रिया से निकटता से संबंधित है। अधिक सटीक, एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया $$X$$ जिसका एक ही इंडेक्स सेट है $$T$$, राज्य अंतरिक्ष $$S$$, और संभाव्यता स्थान $$(\Omega,{\cal F},P)$$ एक अन्य स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के रूप में $$Y$$ का परिमार्जन बताया गया है $$Y$$ अगर सभी के लिए $$t\in T$$ निम्नलिखित <डिव वर्ग = केंद्र>$$ P(X_t=Y_t)=1 , $$ रखती है। दो स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं जो एक दूसरे के संशोधन हैं, एक ही परिमित-आयामी कानून है और उन्हें स्टोचैस्टिक रूप से समतुल्य या समतुल्य कहा जाता है।

संशोधन के स्थान पर संस्करण शब्द का भी प्रयोग किया जाता है, हालाँकि कुछ लेखक शब्द संस्करण का उपयोग करते हैं जब दो स्टोचैस्टिक प्रक्रियाओं में समान परिमित-आयामी वितरण होते हैं, लेकिन उन्हें अलग-अलग संभावना वाले स्थानों पर परिभाषित किया जा सकता है, इसलिए दो प्रक्रियाएँ जो दूसरे के संशोधन हैं, दूसरे के संस्करण भी हैं, बाद के अर्थ में, लेकिन विपरीत नहीं।

यदि निरंतर-समय वास्तविक-मूल्य वाली स्टोचैस्टिक प्रक्रिया अपने वेतन वृद्धि पर कुछ पल की शर्तों को पूरा करती है, तो कोलमोगोरोव निरंतरता प्रमेय का कहना है कि इस प्रक्रिया का संशोधन मौजूद है जिसमें संभाव्यता के साथ निरंतर नमूना पथ हैं, इसलिए स्टोकेस्टिक प्रक्रिया में निरंतर संशोधन होता है या संस्करण। प्रमेय को यादृच्छिक क्षेत्रों के लिए भी सामान्यीकृत किया जा सकता है, इसलिए सूचकांक सेट है $$n$$-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष साथ ही साथ मीट्रिक रिक्त स्थान के साथ उनके राज्य रिक्त स्थान के रूप में स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं के लिए।

अप्रभेद्य
दो स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं $$X$$ और $$Y$$ समान प्रायिकता स्थान पर परिभाषित किया गया है $$(\Omega,\mathcal{F},P)$$ ही इंडेक्स सेट के साथ $$T$$ और स्थान निर्धारित करें $$S$$ कहा जाता है कि यदि निम्नलिखित हो तो अप्रभेद्य हो <डिव वर्ग = केंद्र>$$ P(X_t=Y_t  \text{ for all }  t\in T )=1 , $$ रखती है। अगर दो $$X$$ और $$Y$$ दूसरे के संशोधन हैं और तब लगभग निश्चित रूप से निरंतर हैं $$X$$ और $$Y$$ अप्रभेद्य हैं।

पृथक्करणीयता
पृथक्करणीयता संभाव्यता माप के संबंध में इसके सूचकांक सेट के आधार पर स्टोकास्टिक प्रक्रिया की संपत्ति है। संपत्ति को ग्रहण किया जाता है ताकि स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के कार्य या बेशुमार सूचकांक सेट वाले यादृच्छिक क्षेत्र यादृच्छिक चर बना सकें। स्टोचैस्टिक प्रक्रिया को वियोज्य होने के लिए, अन्य स्थितियों के अलावा, इसका सूचकांक सेट एक वियोज्य स्थान होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि सूचकांक सेट में घने गणनीय उपसमुच्चय हैं।

अधिक सटीक रूप से, वास्तविक-मूल्यवान निरंतर-समय की स्टोकेस्टिक प्रक्रिया $$X$$ संभाव्यता स्थान के साथ $$(\Omega,{\cal F},P)$$ वियोज्य है अगर इसकी अनुक्रमणिका सेट है $$T$$ सघन गणनीय उपसमुच्चय है $$U\subset T$$ और सेट है $$\Omega_0 \subset \Omega$$ प्रायिकता शून्य है, इसलिए $$P(\Omega_0)=0$$, जैसे कि हर खुले सेट के लिए $$G\subset T$$ और हर बंद सेट $$F\subset \textstyle R =(-\infty,\infty) $$, दो घटनाएँ $$\{ X_t \in F \text{ for all } t \in G\cap U\}$$ और $$\{ X_t \in F \text{ for all }  t \in G\}$$ के सबसेट पर दूसरे से भिन्न होते हैं $$\Omega_0$$.

पृथक्करण की परिभाषा अन्य इंडेक्स सेट और स्टेट स्पेस के लिए भी कहा जा सकता है, जैसे यादृच्छिक क्षेत्रों के मामले में, जहां सूचकांक सेट के साथ-साथ राज्य स्थान भी हो सकता है $$n$$-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष।

जोसेफ डोब द्वारा स्टोकेस्टिक प्रक्रिया की पृथक्करणीयता की अवधारणा पेश की गई थी। पृथक्करणीयता का अंतर्निहित विचार सूचकांक सेट के बिंदुओं का गणनीय सेट बनाना है जो स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के गुणों को निर्धारित करता है। गणनीय सूचकांक सेट के साथ कोई भी स्टोचैस्टिक प्रक्रिया पहले से ही अलग-अलग शर्तों को पूरा करती है, इसलिए असतत-समय स्टोचैस्टिक प्रक्रियाएं हमेशा वियोज्य होती हैं। दूब की प्रमेय, जिसे कभी-कभी दूब की पृथक्करणीयता प्रमेय के रूप में जाना जाता है, कहती है कि किसी भी वास्तविक-मूल्यवान निरंतर-समय की स्टोकेस्टिक प्रक्रिया में वियोज्य संशोधन होता है। इस प्रमेय के संस्करण वास्तविक रेखा के अलावा इंडेक्स सेट और राज्य रिक्त स्थान के साथ अधिक सामान्य स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं के लिए भी मौजूद हैं।

स्वतंत्रता
दो स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं $$X$$ और $$Y$$ समान प्रायिकता स्थान पर परिभाषित किया गया है $$(\Omega,\mathcal{F},P)$$ ही इंडेक्स सेट के साथ $$T$$ कहा जाता है कि यदि सभी के लिए स्वतंत्र हो $$n \in \mathbb{N}$$ और युगों की हर पसंद के लिए $$t_1,\ldots,t_n \in T$$, यादृच्छिक वैक्टर $$\left( X(t_1),\ldots,X(t_n) \right)$$ और $$\left( Y(t_1),\ldots,Y(t_n) \right)$$ स्वतंत्र हैं।

असंबद्धता
दो स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं $$\left\{X_t\right\}$$ और $$\left\{Y_t\right\}$$ असंबद्ध कहलाते हैं यदि उनका क्रॉस-सहप्रसरण $$\operatorname{K}_{\mathbf{X}\mathbf{Y}}(t_1,t_2) = \operatorname{E} \left[ \left( X(t_1)- \mu_X(t_1) \right) \left( Y(t_2)- \mu_Y(t_2) \right) \right]$$ सभी समय के लिए शून्य है। औपचारिक रूप से:


 * $$\left\{X_t\right\},\left\{Y_t\right\} \text{ uncorrelated} \quad \iff \quad \operatorname{K}_{\mathbf{X}\mathbf{Y}}(t_1,t_2) = 0 \quad \forall t_1,t_2$$.

स्वतंत्रता का अर्थ है असंबद्धता
यदि दो स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं $$X$$ और $$Y$$ स्वतंत्र हैं, तो वे असंबद्ध भी हैं।

ऑर्थोगोनलिटी
दो स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं $$\left\{X_t\right\}$$ और $$\left\{Y_t\right\}$$ ऑर्थोगोनल कहलाते हैं यदि उनका क्रॉस-सहसंबंध $$\operatorname{R}_{\mathbf{X}\mathbf{Y}}(t_1,t_2) = \operatorname{E}[X(t_1) \overline{Y(t_2)}]$$ सभी समय के लिए शून्य है। औपचारिक रूप से:


 * $$\left\{X_t\right\},\left\{Y_t\right\} \text{ orthogonal} \quad \iff \quad \operatorname{R}_{\mathbf{X}\mathbf{Y}}(t_1,t_2) = 0 \quad \forall t_1,t_2$$.

स्कोरोखोड बचाओ
स्कोरोखोड स्पेस, जिसे स्कोरोहोड स्पेस के रूप में भी लिखा जाता है, सभी कार्यों का गणितीय स्थान है जो बायीं सीमाओं के साथ दाहिनी-निरंतर है, वास्तविक रेखा के कुछ अंतराल पर परिभाषित किया गया है जैसे कि $$[0,1]$$ या $$[0,\infty)$$, और वास्तविक रेखा पर या कुछ मीट्रिक स्थान पर मान लें।  इस तरह के कार्यों को कैडलैग या कैडलैग कार्यों के रूप में जाना जाता है, फ्रांसीसी वाक्यांश के संक्षिप्त नाम के आधार पर ड्रॉइट, सीमित गौचे जारी रखें। अनातोली स्कोरोखोड द्वारा पेश किया गया स्कोरोखोद फंक्शन स्पेस, अक्सर पत्र के साथ निरूपित किया जाता है $$D$$,    इसलिए फंक्शन स्पेस को स्पेस भी कहा जाता है $$D$$.  इस फ़ंक्शन स्पेस के अंकन में वह अंतराल भी शामिल हो सकता है जिस पर सभी कैडलैग फ़ंक्शन परिभाषित होते हैं, इसलिए, उदाहरण के लिए, $$D[0,1]$$ यूनिट अंतराल पर परिभाषित कैडलैग फ़ंक्शन के स्थान को दर्शाता है $$[0,1]$$.

स्कोरोखोड फ़ंक्शन रिक्त स्थान अक्सर स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं के सिद्धांत में उपयोग किए जाते हैं क्योंकि यह अक्सर माना जाता है कि निरंतर-समय स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं का नमूना कार्य स्कोरोखोद अंतरिक्ष से संबंधित है। ऐसे स्थानों में निरंतर कार्य होते हैं, जो वीनर प्रक्रिया के नमूना कार्यों के अनुरूप होते हैं। लेकिन अंतरिक्ष में विच्छिन्नता के साथ कार्य भी होते हैं, जिसका अर्थ है कि छलांग के साथ स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं का नमूना कार्य, जैसे कि पॉइसन प्रक्रिया (वास्तविक रेखा पर), इस स्थान के सदस्य भी हैं।

नियमितता
स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं के गणितीय निर्माण के संदर्भ में, संभावित निर्माण मुद्दों को हल करने के लिए स्टोकास्टिक प्रक्रिया के लिए कुछ शर्तों पर चर्चा करने और मानने पर नियमितता शब्द का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, बेशुमार इंडेक्स सेट के साथ स्टोचैस्टिक प्रक्रियाओं का अध्ययन करने के लिए, यह माना जाता है कि स्टोकेस्टिक प्रक्रिया कुछ प्रकार की नियमितता की स्थिति का पालन करती है जैसे नमूना कार्य निरंतर होना।

मार्कोव प्रक्रियाएं और चेन
मार्कोव प्रक्रियाएं स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं हैं, पारंपरिक रूप से असतत समय और निरंतर समय में, जिनके पास मार्कोव संपत्ति है, जिसका अर्थ है कि मार्कोव प्रक्रिया का अगला मूल्य वर्तमान मूल्य पर निर्भर करता है, लेकिन यह स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के पिछले मूल्यों से सशर्त रूप से स्वतंत्र है। दूसरे शब्दों में, प्रक्रिया की वर्तमान स्थिति को देखते हुए, भविष्य में प्रक्रिया का व्यवहार अतीत में अपने व्यवहार से स्वतंत्र रूप से स्वतंत्र है।

ब्राउनियन गति प्रक्रिया और प्वासों प्रक्रिया ( आयाम में) मार्कोव प्रक्रियाओं के दोनों उदाहरण हैं निरंतर समय में, जबकि पूर्णांक पर यादृच्छिक चलता है और जुआरी की बर्बादी की समस्या असतत समय में मार्कोव प्रक्रियाओं के उदाहरण हैं।

मार्कोव श्रृंखला प्रकार की मार्कोव प्रक्रिया है जिसमें असतत राज्य स्थान या असतत सूचकांक सेट (अक्सर समय का प्रतिनिधित्व) होता है, लेकिन मार्कोव श्रृंखला की सटीक परिभाषा भिन्न होती है। उदाहरण के लिए, मार्कोव श्रृंखला को मार्कोव प्रक्रिया के रूप में परिभाषित करना आम है या तो निरंतर और असतत चर गणनीय राज्य स्थान के साथ (इस प्रकार समय की प्रकृति की परवाह किए बिना),    लेकिन मार्कोव श्रृंखला को गणनीय या निरंतर राज्य स्थान (इस प्रकार राज्य स्थान की परवाह किए बिना) में असतत समय के रूप में परिभाषित करना भी आम है। यह तर्क दिया गया है कि मार्कोव श्रृंखला की पहली परिभाषा, जहां इसका असतत समय है, अब दूसरी परिभाषा का उपयोग करने के बावजूद जोसेफ डोब और काई लाइ चुंग मुफ्त Mp3 डाउनलोड जैसे शोधकर्ताओं द्वारा उपयोग किया जा रहा है।

मार्कोव प्रक्रियाएं स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं का महत्वपूर्ण वर्ग बनाती हैं और कई क्षेत्रों में इसके अनुप्रयोग होते हैं। उदाहरण के लिए, वे मार्कोव चेन मोंटे कार्लो के रूप में जानी जाने वाली सामान्य स्टोचैस्टिक सिमुलेशन पद्धति का आधार हैं, जिसका उपयोग विशिष्ट संभाव्यता वितरण के साथ यादृच्छिक वस्तुओं का अनुकरण करने के लिए किया जाता है, और इसे बायेसियन सांख्यिकी में आवेदन मिला है।

मार्कोव संपत्ति की अवधारणा मूल रूप से निरंतर और असतत समय में स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के लिए थी, लेकिन संपत्ति को अन्य इंडेक्स सेट जैसे अनुकूलित किया गया है $$n$$-आयामी यूक्लिडियन स्थान, जिसके परिणामस्वरूप मार्कोव यादृच्छिक क्षेत्रों के रूप में ज्ञात यादृच्छिक चर का संग्रह होता है।

मार्टिंगेल
मार्टिंगेल संपत्ति के साथ असतत-समय या निरंतर-समय की स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है, जो हर पल, वर्तमान मूल्य और प्रक्रिया के सभी पिछले मूल्यों को देखते हुए, भविष्य के प्रत्येक मूल्य की सशर्त अपेक्षा वर्तमान मूल्य के बराबर है। असतत समय में, यदि यह संपत्ति अगले मूल्य के लिए है, तो यह भविष्य के सभी मूल्यों के लिए है। मार्टिंगेल की सटीक गणितीय परिभाषा के लिए दो अन्य स्थितियों की आवश्यकता होती है जो निस्पंदन की गणितीय अवधारणा के साथ मिलती है, जो कि समय बीतने के साथ-साथ उपलब्ध जानकारी को बढ़ाने के अंतर्ज्ञान से संबंधित है। मार्टिंगेल्स को आमतौर पर वास्तविक-मूल्यवान के रूप में परिभाषित किया जाता है,  लेकिन वे जटिल-मूल्यवान भी हो सकते हैं या इससे भी अधिक सामान्य।

सममित रैंडम वॉक और वीनर प्रक्रिया (शून्य बहाव के साथ) क्रमशः असतत और निरंतर समय में मार्टिंगेल्स के उदाहरण हैं। स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर के अनु क्रम के लिए $$X_1, X_2, X_3, \dots$$ शून्य माध्य के साथ, क्रमिक आंशिक योगों से बनने वाली स्टोकेस्टिक प्रक्रिया $$X_1,X_1+ X_2, X_1+ X_2+X_3, \dots$$ असतत समय मार्टिंगेल है। इस पहलू में, असतत-समय के मार्टिंगेल्स स्वतंत्र यादृच्छिक चर के आंशिक योगों के विचार को सामान्य करते हैं। मार्टिंगेल्स को कुछ उपयुक्त परिवर्तनों को लागू करके स्टोचैस्टिक प्रक्रियाओं से भी बनाया जा सकता है, जो सजातीय पॉइसन प्रक्रिया (वास्तविक रेखा पर) के मामले में होता है, जिसके परिणामस्वरूप मार्टिंगेल को क्षतिपूर्ति पॉइसन प्रक्रिया कहा जाता है। मार्टिंगेल्स को अन्य मार्टिंगेल्स से भी बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, मार्टिंगेल वीनर प्रक्रिया पर आधारित मार्टिंगेल्स हैं, जो निरंतर-टाइम मार्टिंगेल्स बनाते हैं।

मार्टिंगेल्स गणितीय रूप से निष्पक्ष खेल के विचार को औपचारिक रूप देते हैं, और वे मूल रूप से यह दिखाने के लिए विकसित किए गए थे कि निष्पक्ष खेल जीतना संभव नहीं है। लेकिन अब उनका उपयोग संभाव्यता के कई क्षेत्रों में किया जाता है, जो उनके अध्ययन के मुख्य कारणों में से है। समस्या में मार्टिंगेल खोजने और उसका अध्ययन करने से संभाव्यता में कई समस्याएं हल हो गई हैं। मार्टिंगेल्स अभिसरण करेंगे, उनके क्षणों पर कुछ शर्तों को देखते हुए, इसलिए वे अक्सर अभिसरण परिणाम प्राप्त करने के लिए उपयोग किए जाते हैं, बड़े पैमाने पर मार्टिंगेल अभिसरण प्रमेयों के कारण।

मार्टिंगेल्स के आँकड़ों में कई अनुप्रयोग हैं, लेकिन यह टिप्पणी की गई है कि इसका उपयोग और अनुप्रयोग उतना व्यापक नहीं है जितना कि यह आँकड़ों के क्षेत्र में हो सकता है, विशेष रूप से सांख्यिकीय अनुमान। उन्होंने संभाव्यता सिद्धांत जैसे क्यूइंग थ्योरी और पाम कैलकुलस जैसे क्षेत्रों में अनुप्रयोग पाया है और अन्य क्षेत्र जैसे अर्थशास्त्र और वित्त।

लेवी प्रक्रिया
लेवी प्रक्रियाएं स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं के प्रकार हैं जिन्हें निरंतर समय में यादृच्छिक चलने के सामान्यीकरण के रूप में माना जा सकता है। इन प्रक्रियाओं के वित्त, द्रव यांत्रिकी, भौतिकी और जीव विज्ञान जैसे क्षेत्रों में कई अनुप्रयोग हैं। इन प्रक्रियाओं की मुख्य परिभाषित विशेषताएं उनकी स्थिरता और स्वतंत्रता गुण हैं, इसलिए उन्हें स्थिर और स्वतंत्र वेतन वृद्धि वाली प्रक्रियाओं के रूप में जाना जाता था। दूसरे शब्दों में, स्टोकेस्टिक प्रक्रिया $$X$$ लेवी प्रक्रिया है अगर के लिए $$n$$ गैर-नकारात्मक संख्याएं, $$0\leq t_1\leq \dots \leq t_n$$, अनुरूप $$n-1$$ वेतन वृद्धि <डिव वर्ग = केंद्र>$$ X_{t_2}-X_{t_1}, \dots, X_{t_n}-X_{t_{n-1}}, $$

सभी दूसरे से स्वतंत्र हैं, और प्रत्येक वृद्धि का वितरण केवल समय के अंतर पर निर्भर करता है।

लेवी प्रक्रिया को इस तरह परिभाषित किया जा सकता है कि इसका राज्य स्थान कुछ अमूर्त गणितीय स्थान है, जैसे कि बनच स्थान, लेकिन प्रक्रियाओं को अक्सर परिभाषित किया जाता है ताकि वे यूक्लिडियन अंतरिक्ष में मान ले सकें। सूचकांक सेट गैर-ऋणात्मक संख्या है, इसलिए $$ I= [0,\infty) $$, जो समय की व्याख्या देता है। वीनर प्रक्रिया, सजातीय पॉइसन प्रक्रिया ( आयाम में), और अधीनस्थ (गणित) जैसी महत्वपूर्ण स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं सभी लेवी प्रक्रियाएं हैं।

यादृच्छिक क्षेत्र
यादृच्छिक क्षेत्र द्वारा अनुक्रमित यादृच्छिक चर का संग्रह है $$n$$-आयामी यूक्लिडियन स्थान या कुछ कई गुना। सामान्य तौर पर, यादृच्छिक क्षेत्र को स्टोकास्टिक या यादृच्छिक प्रक्रिया का उदाहरण माना जा सकता है, जहां सूचकांक सेट वास्तविक रेखा का सबसेट नहीं है। लेकिन प्रथा है कि यादृच्छिक चर के अनुक्रमित संग्रह को यादृच्छिक क्षेत्र कहा जाता है जब सूचकांक में दो या दो से अधिक आयाम होते हैं। यदि स्टोचैस्टिक प्रक्रिया की विशिष्ट परिभाषा के लिए इंडेक्स सेट को वास्तविक रेखा का सबसेट होना आवश्यक है, तो यादृच्छिक क्षेत्र को स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के सामान्यीकरण के रूप में माना जा सकता है।

बिंदु प्रक्रिया
बिंदु प्रक्रिया कुछ गणितीय स्थान जैसे कि वास्तविक रेखा पर बेतरतीब ढंग से स्थित बिंदुओं का संग्रह है। $$n$$-आयामी यूक्लिडियन स्थान, या अधिक अमूर्त स्थान। कभी-कभी शब्द बिंदु प्रक्रिया को प्राथमिकता नहीं दी जाती है, क्योंकि ऐतिहासिक रूप से शब्द प्रक्रिया समय में किसी प्रणाली के विकास को दर्शाती है, इसलिए बिंदु प्रक्रिया को 'यादृच्छिक बिंदु क्षेत्र' भी कहा जाता है। बिंदु प्रक्रिया की अलग-अलग व्याख्याएं हैं, जैसे यादृच्छिक गिनती माप या यादृच्छिक सेट। कुछ लेखक बिंदु प्रक्रिया और स्टोचैस्टिक प्रक्रिया को दो अलग-अलग वस्तुओं के रूप में मानते हैं जैसे कि बिंदु प्रक्रिया यादृच्छिक वस्तु है जो स्टोकेस्टिक प्रक्रिया से उत्पन्न होती है या उससे जुड़ी होती है।  हालांकि यह टिप्पणी की गई है कि बिंदु प्रक्रियाओं और स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के बीच का अंतर स्पष्ट नहीं है।

अन्य लेखक बिंदु प्रक्रिया को स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के रूप में मानते हैं, जहां प्रक्रिया को अंतर्निहित स्थान के सेट द्वारा अनुक्रमित किया जाता है जिस पर यह परिभाषित है, जैसे वास्तविक रेखा या $$n$$-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष। अन्य स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं जैसे नवीकरण और गिनती प्रक्रियाओं का अध्ययन बिंदु प्रक्रियाओं के सिद्धांत में किया जाता है।

प्रारंभिक संभाव्यता सिद्धांत
संभाव्यता सिद्धांत की उत्पत्ति मौका के खेल में हुई है, जिसका लंबा इतिहास है, कुछ खेल हजारों साल पहले खेले गए थे, लेकिन संभावना की दृष्टि से उन पर बहुत कम विश्लेषण किया गया था। वर्ष 1654 को अक्सर संभाव्यता सिद्धांत का जन्म माना जाता है जब फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे फर्मेट और ब्लेस पास्कल ने अंकों की समस्या से प्रेरित संभावना पर लिखित पत्राचार किया था।  लेकिन जुए के खेल की संभावना पर पहले गणितीय कार्य किया गया था जैसे कि जेरोम कार्डानो द्वारा लाइबेर डी लुडो एलिया, जिसे 16वीं शताब्दी में लिखा गया था लेकिन बाद में 1663 में मरणोपरांत प्रकाशित किया गया था।

कार्डानो के बाद, जैकब बर्नौली Ars Conjectandi लिखा, जिसे संभाव्यता सिद्धांत के इतिहास में महत्वपूर्ण घटना माना जाता है। Bernoulli की पुस्तक 1713 में मरणोपरांत भी प्रकाशित हुई थी और इसने कई गणितज्ञों को संभाव्यता का अध्ययन करने के लिए प्रेरित किया। लेकिन कुछ प्रसिद्ध गणितज्ञों द्वारा संभाव्यता सिद्धांत में योगदान देने के बावजूद, जैसे कि पियरे-साइमन लाप्लास, अब्राहम डी मोइवरे , कार्ल गॉस , सिमोन पॉइसन और पफन्युटी चेबीशेव ,  अधिकांश गणितीय समुदाय 20वीं शताब्दी तक संभाव्यता सिद्धांत को गणित का हिस्सा नहीं मानते थे।

सांख्यिकीय यांत्रिकी
भौतिक विज्ञान में, वैज्ञानिकों ने 19वीं शताब्दी में सांख्यिकीय यांत्रिकी के अनुशासन का विकास किया, जहां भौतिक प्रणालियों, जैसे कि गैसों से भरे कंटेनरों को कई गतिमान कणों के संग्रह के रूप में गणितीय रूप से माना या माना जा सकता है। हालांकि रुडोल्फ क्लॉसियस जैसे कुछ वैज्ञानिकों द्वारा सांख्यिकीय भौतिकी में यादृच्छिकता को शामिल करने का प्रयास किया गया था, अधिकांश कार्यों में बहुत कम या कोई यादृच्छिकता नहीं थी।

यह 1859 में बदल गया जब जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने क्षेत्र में महत्वपूर्ण योगदान दिया, विशेष रूप से, गैसों के गतिज सिद्धांत के लिए, कार्य प्रस्तुत करके जहां उन्होंने माना कि गैस के कण यादृच्छिक वेगों पर यादृच्छिक दिशाओं में चलते हैं। 19वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में गैसों और सांख्यिकीय भौतिकी के काइनेटिक सिद्धांत का विकास जारी रहा, मुख्य रूप से क्लॉसियस, लुडविग बोल्ट्जमैन और योशिय्याह गिब्स द्वारा किए गए कार्य के साथ, जो बाद में ब्राउनियन आंदोलन के लिए अल्बर्ट आइंस्टीन के गणितीय मॉडल पर प्रभाव डालेगा।

माप सिद्धांत और संभाव्यता सिद्धांत
1900 में पेरिस में गणितज्ञों की अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस में, डेविड हिल्बर्ट ने हिल्बर्ट की समस्याओं की सूची प्रस्तुत की, जहाँ उनकी छठी समस्या ने भौतिकी के गणितीय उपचार और अभिगृहीतों से संबंधित संभाव्यता के बारे में पूछा। 20वीं शताब्दी की शुरुआत के आसपास, गणितज्ञों ने माप सिद्धांत विकसित किया, गणितीय कार्यों के अभिन्न का अध्ययन करने के लिए गणित की शाखा, जिसके दो संस्थापक फ्रांसीसी गणितज्ञ, हेनरी लेबेस्ग्यू और एमिल बोरेल थे। 1925 में अन्य फ्रांसीसी गणितज्ञ पॉल लेवी (गणितज्ञ) | पॉल लेवी ने पहली प्रायिकता पुस्तक प्रकाशित की जिसमें माप सिद्धांत से विचारों का उपयोग किया गया था।

1920 के दशक में सोवियत संघ में सर्गेई बर्नस्टीन, अलेक्सांद्र खिनचिन जैसे गणितज्ञों द्वारा संभाव्यता सिद्धांत में मौलिक योगदान दिया गया था। और एंड्री कोलमोगोरोव । कोल्मोगोरोव ने 1929 में संभाव्यता सिद्धांत के लिए माप सिद्धांत पर आधारित गणितीय आधार प्रस्तुत करने का अपना पहला प्रयास प्रकाशित किया। 1930 के दशक की शुरुआत में खिनचिन और कोलमोगोरोव ने संभावना संगोष्ठी की स्थापना की, जिसमें यूजीन स्लटस्की और निकोलाई स्मिरनोव (गणितज्ञ) जैसे शोधकर्ताओं ने भाग लिया। और खिनचिन ने वास्तविक रेखा द्वारा अनुक्रमित यादृच्छिक चर के सेट के रूप में स्टोकेस्टिक प्रक्रिया की पहली गणितीय परिभाषा दी।

आधुनिक संभाव्यता सिद्धांत का जन्म
1933 में आंद्रेई कोलमोगोरोव ने जर्मन में प्रकाशित किया, उनकी पुस्तक संभाव्यता सिद्धांत की नींव पर ग्रंडबेग्रिफ डेर वाहर्सचेनलिचकेइट्स्रेचुंग शीर्षक से प्रकाशित हुई, जहां कोल्मोगोरोव ने संभाव्यता सिद्धांत के लिए स्वयंसिद्ध ढांचे को विकसित करने के लिए माप सिद्धांत का इस्तेमाल किया। इस पुस्तक के प्रकाशन को अब व्यापक रूप से आधुनिक संभाव्यता सिद्धांत का जन्म माना जाता है, जब संभाव्यता और स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के सिद्धांत गणित के अंग बन गए।

कोलमोगोरोव की पुस्तक के प्रकाशन के बाद, संभाव्यता सिद्धांत और स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं पर और मौलिक कार्य खिनचिन और कोलमोगोरोव के साथ-साथ अन्य गणितज्ञों जैसे कि जोसेफ डोब, विलियम फेलर, मौरिस फ्रेचेट, पॉल लेवी (गणितज्ञ) द्वारा किया गया था। पॉल लेवी, वोल्फगैंग डोबलिन, और हेराल्ड क्रैमर। दशकों बाद क्रैमर ने 1930 के दशक को गणितीय संभाव्यता सिद्धांत के वीर काल के रूप में संदर्भित किया। द्वितीय विश्व युद्ध ने संभाव्यता सिद्धांत के विकास को बहुत बाधित किया, उदाहरण के लिए, फेलर का स्वीडन से संयुक्त राज्य अमेरिका में प्रवास और डोएबलिन की मृत्यु, जिसे अब स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं में अग्रणी माना जाता है।



द्वितीय विश्व युद्ध के बाद स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं
द्वितीय विश्व युद्ध के बाद संभाव्यता सिद्धांत और स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के अध्ययन ने गणितज्ञों से अधिक ध्यान आकर्षित किया, संभावना और गणित के साथ-साथ नए क्षेत्रों के निर्माण के कई क्षेत्रों में महत्वपूर्ण योगदान दिया। 1940 के दशक की शुरुआत में, कियोसी इटो ने स्टोचैस्टिक कैलकुलस के क्षेत्र को विकसित करने वाले पेपर प्रकाशित किए, जिसमें वीनर या ब्राउनियन गति प्रक्रिया पर आधारित स्टोचैस्टिक अभिन्न और स्टोचैस्टिक विभेदक समीकरण शामिल हैं।

इसके अलावा 1940 के दशक में, स्टोचैस्टिक प्रक्रियाओं, विशेष रूप से मार्टिंगेल्स और संभावित सिद्धांत के गणितीय क्षेत्र के बीच संबंध बनाए गए थे, जिसमें शिज़ुओ काकुटानी के शुरुआती विचार थे और बाद में जोसेफ डोब द्वारा काम किया गया था। 1950 के दशक में गिल्बर्ट हंट द्वारा अग्रणी माना जाने वाला आगे का काम, मार्कोव प्रक्रियाओं और संभावित सिद्धांत को जोड़ता है, जिसका लेवी प्रक्रियाओं के सिद्धांत पर महत्वपूर्ण प्रभाव पड़ा और इटो द्वारा विकसित विधियों के साथ मार्कोव प्रक्रियाओं का अध्ययन करने में अधिक रुचि पैदा हुई।

1953 में दूब ने अपनी पुस्तक स्टोचैस्टिक प्रोसेस प्रकाशित की, जिसका स्टोचैस्टिक प्रोसेस के सिद्धांत पर गहरा प्रभाव था और संभाव्यता में माप सिद्धांत के महत्व पर बल दिया।

Doob ने मुख्य रूप से मार्टिंगेल्स के सिद्धांत को भी विकसित किया, जिसमें बाद में पॉल-आंद्रे मेयर द्वारा पर्याप्त योगदान दिया गया। पहले काम सर्गेई बर्नस्टीन, पॉल लेवी (गणितज्ञ) | पॉल लेवी और जीन विले द्वारा किया गया था, बाद वाले ने स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के लिए मार्टिंगेल शब्द को अपनाया। विभिन्न संभाव्यता समस्याओं को हल करने के लिए मार्टिंगेल्स के सिद्धांत के तरीके लोकप्रिय हो गए। मार्कोव प्रक्रियाओं का अध्ययन करने के लिए तकनीक और सिद्धांत विकसित किए गए और फिर मार्टिंगेल्स पर लागू किए गए। इसके विपरीत, मार्कोव प्रक्रियाओं के इलाज के लिए मार्टिंगेल्स के सिद्धांत से तरीके स्थापित किए गए थे।

संभाव्यता के अन्य क्षेत्रों को विकसित किया गया और स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं का अध्ययन करने के लिए उपयोग किया गया, जिसमें मुख्य दृष्टिकोण बड़े विचलन का सिद्धांत था। सिद्धांत के अन्य क्षेत्रों के बीच, सांख्यिकीय भौतिकी में कई अनुप्रयोग हैं, और कम से कम 1930 के दशक में मूल विचार हैं। बाद में 1960 और 1970 के दशक में सोवियत संघ में अलेक्ज़ेंडर वेंट्ज़ेल और संयुक्त राज्य अमेरिका में मुनरो डी. डोंस्कर और श्रीनिवास बाढ़ द्वारा मौलिक कार्य किया गया, जिसके परिणामस्वरूप बाद में वरदान को 2007 का एबेल पुरस्कार मिला। 1990 और 2000 के दशक में श्राम-लोवेनर विकास के सिद्धांत और कच्चे रास्ते संभाव्यता सिद्धांत में स्टोचैस्टिक प्रक्रियाओं और अन्य गणितीय वस्तुओं का अध्ययन करने के लिए पेश और विकसित किया गया था, जिसके परिणामस्वरूप क्रमशः वेन्डेलिन वर्नर को फील्ड मेडल से सम्मानित किया गया। 2008 में और 2014 में मार्टिन हेयरर के लिए।

स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के विषय पर वार्षिक अंतर्राष्ट्रीय सम्मेलनों के साथ, स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं का सिद्धांत अभी भी अनुसंधान का केंद्र बना हुआ है।

विशिष्ट स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं की खोज
हालांकि खिनचिन ने 1930 के दशक में स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं की गणितीय परिभाषाएं दी थीं, विशिष्ट स्टोचैस्टिक प्रक्रियाओं को पहले से ही अलग-अलग सेटिंग्स में खोजा गया था, जैसे कि ब्राउनियन गति प्रक्रिया और पोइसन प्रक्रिया। स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं के कुछ परिवारों जैसे बिंदु प्रक्रियाओं या नवीनीकरण प्रक्रियाओं में लंबे और जटिल इतिहास हैं, जो सदियों तक फैले हुए हैं।

बरनौली प्रक्रिया
बर्नौली प्रक्रिया, जो पक्षपाती सिक्के को उछालने के लिए गणितीय मॉडल के रूप में काम कर सकती है, संभवतः अध्ययन की जाने वाली पहली स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है। प्रक्रिया स्वतंत्र बर्नौली परीक्षणों का क्रम है, जिनका नाम जैकब बर्नौली के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने उन्हें मौका के खेल का अध्ययन करने के लिए इस्तेमाल किया, जिसमें प्रायिकता की समस्याएं भी शामिल थीं और क्रिस्टियान ह्यूजेंस द्वारा पहले अध्ययन किया गया था। Bernoulli प्रक्रिया सहित Bernoulli के काम, उनकी पुस्तक Ars Conjectandi में 1713 में प्रकाशित हुए थे।

रैंडम वॉक
1905 में कार्ल पियर्सन ने विमान पर यादृच्छिक चलने का वर्णन करते हुए यादृच्छिक चलना शब्द गढ़ा, जो जीव विज्ञान में अनुप्रयोग से प्रेरित था, लेकिन यादृच्छिक चाल से जुड़ी ऐसी समस्याओं का पहले से ही अन्य क्षेत्रों में अध्ययन किया जा चुका था। जुए की कुछ ऐसी समस्याएं जिनका सदियों पहले अध्ययन किया गया था, उन्हें बेतरतीब ढंग से चलने वाली समस्याओं के रूप में माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, जुआरी की बर्बादी के रूप में जानी जाने वाली समस्या साधारण यादृच्छिक चलने पर आधारित है, और अवरोधों को अवशोषित करने के साथ यादृच्छिक चलने का उदाहरण है। पास्कल, फ़र्मेट और ह्यूएन्स सभी ने अपनी विधियों का विवरण दिए बिना इस समस्या का संख्यात्मक समाधान दिया, और फिर जैकब बर्नौली और अब्राहम डी मोइवर द्वारा अधिक विस्तृत समाधान प्रस्तुत किए गए।

यादृच्छिक चलने के लिए $$n$$आयामी पूर्णांक जाली (समूह), जॉर्ज पोल्या ने 1919 और 1921 में प्रकाशित किया, जहां उन्होंने जाली में पिछली स्थिति में सममित यादृच्छिक चलने की संभावना का अध्ययन किया। Pólya ने दिखाया कि सममित यादृच्छिक चलना, जिसकी जाली में किसी भी दिशा में आगे बढ़ने की समान संभावना है, जाली में पिछली स्थिति में अनंत बार और दो आयामों में संभाव्यता के साथ वापस आ जाएगा, लेकिन प्रायिकता शून्य के साथ तीन या उच्च आयाम।

वीनर प्रक्रिया
वीनर प्रक्रिया या ब्राउनियन गति प्रक्रिया की उत्पत्ति सांख्यिकी, वित्त और भौतिकी सहित विभिन्न क्षेत्रों में हुई है। 1880 में, थोरवाल्ड थिएले ने कम से कम वर्गों की विधि पर पेपर लिखा, जहां उन्होंने समय-श्रृंखला विश्लेषण में मॉडल की त्रुटियों का अध्ययन करने के लिए प्रक्रिया का उपयोग किया।  कार्य को अब कलमन फ़िल्टरिंग के रूप में ज्ञात सांख्यिकीय पद्धति की प्रारंभिक खोज के रूप में माना जाता है, लेकिन कार्य को काफी हद तक अनदेखा कर दिया गया था। ऐसा माना जाता है कि थिले के पेपर में विचार उस समय के व्यापक गणितीय और सांख्यिकीय समुदाय द्वारा समझे जाने के लिए बहुत उन्नत थे।

चित्र: वीनर ज्यूरिख 1932.टिफ|थंब|200पीएक्स ने वीनर प्रक्रिया के अस्तित्व का पहला गणितीय प्रमाण दिया। यह गणितीय वस्तु पहले थोरवाल्ड थिएले, लुई बैचलर और अल्बर्ट आइंस्टीन के काम में प्रकट हुई थी। फ्रांसीसी गणितज्ञ लुइस बेचेलियर ने अपनी 1900 की थीसिस में वीनर प्रक्रिया का उपयोग किया था पेरिस बोर्स, स्टॉक एक्सचेंज, पर मूल्य परिवर्तनों को मॉडल करने के लिए, थिले के काम को जाने बिना। यह अनुमान लगाया गया है कि बैचलर ने जूल्स रेग्नॉल्ट के रैंडम वॉक मॉडल से विचार प्राप्त किए, लेकिन बैचलर ने उसे उद्धृत नहीं किया, और स्नातक की थीसिस को अब वित्तीय गणित के क्षेत्र में अग्रणी माना जाता है।

आमतौर पर यह सोचा जाता है कि स्नातक के काम पर थोड़ा ध्यान दिया गया और दशकों तक भुला दिया गया जब तक कि 1950 के दशक में लियोनार्ड सैवेज द्वारा इसे फिर से खोजा नहीं गया, और फिर 1964 में बैचलर की थीसिस का अंग्रेजी में अनुवाद करने के बाद यह और अधिक लोकप्रिय हो गया। गणितीय समुदाय, जैसा कि बैचलर ने 1912 में अपने विचारों का विवरण देते हुए पुस्तक प्रकाशित की, जिसे दूब, फेलर सहित गणितज्ञों ने उद्धृत किया था और कोलमोगोरोव। पुस्तक का हवाला दिया जाना जारी रहा, लेकिन फिर 1960 के दशक में स्नातक की मूल थीसिस को उनकी पुस्तक से अधिक उद्धृत किया जाने लगा, जब अर्थशास्त्रियों ने स्नातक के काम का हवाला देना शुरू किया।

1905 में अल्बर्ट आइंस्टीन ने पेपर प्रकाशित किया जिसमें उन्होंने गैसों के गतिज सिद्धांत से विचारों का उपयोग करके तरल पदार्थों में कणों के प्रतीत होने वाले यादृच्छिक आंदोलनों की व्याख्या करने के लिए ब्राउनियन गति या गति के भौतिक अवलोकन का अध्ययन किया। अंतरिक्ष के निश्चित क्षेत्र में कण को ​​​​खोजने की संभावना का वर्णन करने के लिए आइंस्टीन ने एक अंतर समीकरण निकाला, जिसे प्रसार समीकरण के रूप में जाना जाता है। ब्राउनियन आंदोलन पर आइंस्टीन के पहले पेपर के तुरंत बाद, मैरियन स्मोलुचोव्स्की ने काम प्रकाशित किया जहां उन्होंने आइंस्टीन का हवाला दिया, लेकिन लिखा कि उन्होंने स्वतंत्र रूप से अलग विधि का उपयोग करके समान परिणाम प्राप्त किए।

आइंस्टीन के काम के साथ-साथ जॉन पेरिन द्वारा प्राप्त प्रायोगिक परिणामों ने बाद में 1920 के दशक में नॉर्बर्ट वीनर को प्रेरित किया। गणितीय वस्तु के रूप में वीनर प्रक्रिया के अस्तित्व को साबित करने के लिए पर्सी डेनियल द्वारा विकसित प्रकार के माप सिद्धांत और फूरियर विश्लेषण का उपयोग करना।

विष प्रक्रिया
पोइसन प्रक्रिया का नाम सिमोन पॉइसन के नाम पर रखा गया है, इसकी परिभाषा में पॉसों वितरण शामिल है, लेकिन पॉइसन ने कभी भी इस प्रक्रिया का अध्ययन नहीं किया। पोइसन के शुरुआती उपयोगों या खोजों के लिए कई दावे हैं प्रक्रिया। 20वीं शताब्दी की शुरुआत में पोइसन प्रक्रिया अलग-अलग स्थितियों में स्वतंत्र रूप से उत्पन्न होगी।  स्वीडन 1903 में, फिलिप लुंडबर्ग ने थीसिस प्रकाशित की जिसमें काम था, जिसे अब मौलिक और अग्रणी माना जाता है, जहाँ उन्होंने सजातीय पॉइसन प्रक्रिया के साथ बीमा दावों को मॉडल करने का प्रस्ताव रखा। 

1909 में डेनमार्क  में एक और खोज हुई जब ए.के. एक सीमित समय अंतराल में आने वाले फोन कॉल की संख्या के लिए गणितीय मॉडल विकसित करते समय एरलांग ने पॉसॉन वितरण प्राप्त किया। एरलांग उस समय पोइसन के पहले के काम से वाकिफ नहीं थे और यह मान लिया था कि समय के प्रत्येक अंतराल में आने वाले नंबर फोन कॉल एक दूसरे से स्वतंत्र थे। उसके बाद उन्होंने सीमित मामला पाया, जो द्विपद वितरण की सीमा के रूप में प्वासों वितरण को प्रभावी ढंग से पुनर्गठित कर रहा है।

1910 में अर्नेस्ट रदरफोर्ड  और  हंस गीजर  ने अल्फा कणों की गिनती पर प्रायोगिक परिणाम प्रकाशित किए। उनके काम से प्रेरित होकर,  हैरी बेटमैन  ने गिनती की समस्या का अध्ययन किया और अंतर समीकरणों के एक परिवार के समाधान के रूप में पॉसॉन संभावनाओं को व्युत्पन्न किया, जिसके परिणामस्वरूप पॉसॉन प्रक्रिया की स्वतंत्र खोज हुई। इस समय के बाद पोइसन प्रक्रिया के कई अध्ययन और अनुप्रयोग हुए, लेकिन इसका प्रारंभिक इतिहास जटिल है, जिसे जीवविज्ञानियों, पारिस्थितिकीविदों, इंजीनियरों और विभिन्न भौतिक वैज्ञानिकों द्वारा कई क्षेत्रों में प्रक्रिया के विभिन्न अनुप्रयोगों द्वारा समझाया गया है।

मार्कोव प्रक्रियाएं
मार्कोव प्रक्रियाओं और मार्कोव श्रृंखलाओं का नाम एंड्री मार्कोव  के नाम पर रखा गया है जिन्होंने 20वीं सदी की शुरुआत में मार्कोव श्रृंखलाओं का अध्ययन किया था। मार्कोव स्वतंत्र यादृच्छिक अनुक्रमों के विस्तार का अध्ययन करने में रुचि रखते थे। 1906 में प्रकाशित मार्कोव श्रृंखलाओं पर अपने पहले पेपर में, मार्कोव ने दिखाया कि कुछ शर्तों के तहत मार्कोव श्रृंखला के औसत परिणाम मूल्यों के निश्चित सदिश में परिवर्तित हो जाएंगे, इसलिए स्वतंत्रता धारणा के बिना बड़ी संख्या के कमजोर कानून को साबित करना,    जिसे आमतौर पर ऐसे गणितीय कानूनों को धारण करने के लिए आवश्यकता के रूप में माना जाता था। मार्कोव ने बाद में अलेक्जेंडर पुश्किन द्वारा लिखित यूजीन वनगिन में स्वरों के वितरण का अध्ययन करने के लिए मार्कोव श्रृंखलाओं का उपयोग किया और इस तरह की श्रृंखलाओं के लिए एक केंद्रीय सीमा प्रमेय साबित किया।

1912 में पोंकारे ने कार्ड शफलिंग का अध्ययन करने के उद्देश्य से परिमित समूह पर मार्कोव श्रृंखलाओं का अध्ययन किया। मार्कोव श्रृंखलाओं के अन्य शुरुआती उपयोगों में 1907 में पॉल एहरनफेस्ट और तात्याना एरेनफेस्ट द्वारा पेश किया गया प्रसार मॉडल और मार्कोव के काम से पहले 1873 में फ्रांसिस गैल्टन और हेनरी विलियम वाटसन द्वारा शुरू की गई शाखा प्रक्रिया शामिल है। गैल्टन और वाटसन के काम के बाद, बाद में यह पता चला कि उनकी शाखाओं की प्रक्रिया स्वतंत्र रूप से खोजी गई थी और लगभग तीन दशक पहले इरेनी-जूल्स बिएनमे द्वारा अध्ययन किया गया था। 1928 में शुरू होकर, मौरिस फ्रेचेट को मार्कोव श्रृंखलाओं में दिलचस्पी हो गई, जिसके परिणामस्वरूप उन्हें 1938 में मार्कोव श्रृंखलाओं पर विस्तृत अध्ययन प्रकाशित करना पड़ा।

आंद्रेई कोलमोगोरोव ने 1931 के पेपर में निरंतर-समय मार्कोव प्रक्रियाओं के प्रारंभिक सिद्धांत का बड़ा हिस्सा विकसित किया। कोलमोगोरोव आंशिक रूप से स्टॉक मार्केट में उतार-चढ़ाव पर लुइस बैचलर के 1900 के काम के साथ-साथ आइंस्टीन के ब्राउनियन आंदोलन के मॉडल पर नॉर्बर्ट वीनर के काम से प्रेरित थे। उन्होंने मार्कोव प्रक्रियाओं के विशेष सेट को पेश किया और अध्ययन किया, जिसे प्रसार प्रक्रियाओं के रूप में जाना जाता है, जहां उन्होंने प्रक्रियाओं का वर्णन करने वाले अंतर समीकरणों का सेट निकाला। कोल्मोगोरोव के काम से स्वतंत्र, सिडनी चैपमैन (गणितज्ञ) ने 1928 के पेपर ए इक्वेशन में व्युत्पन्न किया, जिसे अब चैपमैन-कोल्मोगोरोव समीकरण कहा जाता है, कोलमोगोरोव की तुलना में गणितीय रूप से कम कठोर तरीके से, ब्राउनियन आंदोलन का अध्ययन करते हुए। अवकल समीकरणों को अब कोलमोगोरोव समीकरण कहा जाता है या कोलमोगोरोव-चैपमैन समीकरण। मार्कोव प्रक्रियाओं की नींव में महत्वपूर्ण योगदान देने वाले अन्य गणितज्ञों में विलियम फेलर शामिल हैं, जो 1930 के दशक में शुरू हुआ, और फिर बाद में यूजीन डायनकिन, 1950 के दशक में शुरू हुआ।

लेवी प्रक्रियाएं
वीनर प्रक्रिया और पोइसन प्रक्रिया (वास्तविक रेखा पर) जैसी लेवी प्रक्रियाओं का नाम पॉल लेवी के नाम पर रखा गया है जिन्होंने 1930 के दशक में उनका अध्ययन करना शुरू किया था, लेकिन उनके पास 1920 के दशक में असीम रूप से विभाज्य वितरण के संबंध हैं। 1932 के पेपर में कोलमोगोरोव ने लेवी प्रक्रियाओं से जुड़े यादृच्छिक चर के लिए विशेषता कार्य (संभाव्यता सिद्धांत) निकाला। यह परिणाम बाद में 1934 में लेवी द्वारा अधिक सामान्य परिस्थितियों में प्राप्त किया गया था, और फिर खिनचिन ने स्वतंत्र रूप से 1937 में इस विशिष्ट कार्य के लिए वैकल्पिक रूप दिया। लेवी, खिनचिन और कोलोमोग्रोव के अलावा, लेवी प्रक्रियाओं के सिद्धांत में शुरुआती मौलिक योगदान ब्रूनो डी फिनेची और कियोसी इतो द्वारा किए गए थे।

गणितीय निर्माण
गणित में, गणितीय वस्तुओं के निर्माण की आवश्यकता होती है, जो यह साबित करने के लिए कि वे गणितीय रूप से मौजूद हैं, स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के लिए भी मामला है। स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के निर्माण के लिए दो मुख्य दृष्टिकोण हैं। दृष्टिकोण में कार्यों के मापने योग्य स्थान पर विचार करना शामिल है, उपयुक्त मापनीय मानचित्रण को संभावना स्थान से कार्यों के इस मापने योग्य स्थान तक परिभाषित करना, और फिर संबंधित परिमित-आयामी वितरण प्राप्त करना शामिल है।

अन्य दृष्टिकोण में विशिष्ट परिमित-आयामी वितरण के लिए यादृच्छिक चर के संग्रह को परिभाषित करना शामिल है, और फिर कोलमोगोरोव विस्तार प्रमेय का उपयोग करना | कोलमोगोरोव का अस्तित्व प्रमेय संगत स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को साबित करने के लिए मौजूद है। यह प्रमेय, जो अनंत गुणनफल स्थानों पर उपायों के लिए अस्तित्व प्रमेय है, कहता है कि यदि कोई परिमित-आयामी वितरण दो स्थितियों को संतुष्ट करता है, जिसे संगति की स्थिति के रूप में जाना जाता है, तो उन परिमित-आयामी वितरणों के साथ स्टोकेस्टिक प्रक्रिया मौजूद होती है।

निर्माण मुद्दे
निरंतर-समय की स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं का निर्माण करते समय कुछ गणितीय कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं, बेशुमार सूचकांक सेटों के कारण, जो असतत-समय की प्रक्रियाओं के साथ नहीं होती हैं। समस्या यह है कि क्या समान परिमित-आयामी वितरण के साथ से अधिक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया होना संभव है। उदाहरण के लिए, पॉइसन प्रक्रिया के बाएं-निरंतर संशोधन और दाएं-निरंतर संशोधन दोनों में समान परिमित-आयामी वितरण होते हैं। इसका मतलब यह है कि स्टोचैस्टिक प्रक्रिया का वितरण अनिवार्य रूप से स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के नमूना कार्यों के गुणों को विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट नहीं करता है।

और समस्या यह है कि निरंतर-समय की प्रक्रिया के कार्य जो सूचकांक सेट के अनगिनत बिंदुओं पर भरोसा करते हैं, मापने योग्य नहीं हो सकते हैं, इसलिए कुछ घटनाओं की संभावनाएं अच्छी तरह से परिभाषित नहीं हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, स्टोकेस्टिक प्रक्रिया या यादृच्छिक क्षेत्र का सर्वोच्च अच्छी तरह से परिभाषित यादृच्छिक चर नहीं है। निरंतर समय की स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के लिए $$X$$, अन्य विशेषताएँ जो सूचकांक सेट के बेशुमार अंकों पर निर्भर करती हैं $$T$$ शामिल करना: * स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का नमूना कार्य $$X$$ का सतत कार्य है $$t\in T$$; इन दो कठिनाइयों को दूर करने के लिए, विभिन्न धारणाएँ और दृष्टिकोण संभव हैं।
 * स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का नमूना कार्य $$X$$ का परिबद्ध कार्य है $$t\in T$$; और
 * स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का नमूना कार्य $$X$$ का बढ़ता हुआ कार्य है $$t\in T$$.

निर्माण संबंधी मुद्दों का समाधान
जोसेफ डोब द्वारा प्रस्तावित स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के गणितीय निर्माण के मुद्दों से बचने के लिए दृष्टिकोण यह मानना ​​​​है कि स्टोकेस्टिक प्रक्रिया वियोज्य है। पृथक्करणीयता सुनिश्चित करती है कि अनंत-आयामी वितरण नमूना कार्यों के गुणों को निर्धारित करते हैं, जिसके लिए आवश्यक है कि नमूना कार्यों को अनिवार्य रूप से सूचकांक सेट में बिंदुओं के घने गणनीय सेट पर उनके मूल्यों द्वारा निर्धारित किया जाए। इसके अलावा, यदि स्टोचैस्टिक प्रक्रिया वियोज्य है, तो सूचकांक सेट के बेशुमार अंकों के कार्यों को मापा जा सकता है और उनकी संभावनाओं का अध्ययन किया जा सकता है।

अन्य दृष्टिकोण संभव है, मूल रूप से अनातोली स्कोरोखोद और आंद्रेई कोलमोगोरोव द्वारा विकसित, राज्य स्थान के रूप में किसी भी मीट्रिक स्थान के साथ निरंतर-समय की स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के लिए। ऐसी स्टोचैस्टिक प्रक्रिया के निर्माण के लिए, यह माना जाता है कि स्टोचैस्टिक प्रक्रिया के नमूना कार्य कुछ उपयुक्त कार्य स्थान से संबंधित होते हैं, जो आमतौर पर स्कोरोखोद स्थान होता है जिसमें बाईं सीमाओं के साथ सभी दाएं-निरंतर कार्य होते हैं। यह दृष्टिकोण अब पृथक्करणीयता धारणा की तुलना में अधिक उपयोग किया जाता है, लेकिन इस दृष्टिकोण पर आधारित ऐसी स्टोकेस्टिक प्रक्रिया स्वचालित रूप से वियोज्य होगी।

हालांकि कम उपयोग किया जाता है, पृथक्करणीयता धारणा को अधिक सामान्य माना जाता है क्योंकि प्रत्येक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का वियोज्य संस्करण होता है। इसका उपयोग तब भी किया जाता है जब स्कोरोखोड अंतरिक्ष में स्टोचैस्टिक प्रक्रिया का निर्माण करना संभव नहीं होता है। उदाहरण के लिए, यादृच्छिक क्षेत्रों का निर्माण और अध्ययन करते समय पृथक्करणीयता ग्रहण की जाती है, जहां यादृच्छिक चर का संग्रह अब वास्तविक रेखा के अलावा अन्य सेटों द्वारा अनुक्रमित किया जाता है जैसे कि $$n$$-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष।

यह भी देखें
• List of stochastic processes topics

• Covariance function

• Deterministic system

• Dynamics of Markovian particles

• Entropy rate (for a stochastic process)

• Ergodic process

• Gillespie algorithm

• Interacting particle system

• Law (stochastic processes)

• Markov chain

• Stochastic cellular automaton

• Random field

• Randomness

• Stationary process

• Statistical model

• Stochastic calculus

• Stochastic control

• Stochastic processes and boundary value problems

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * सिद्धांत संभावना
 * अनियमित परिवर्तनशील वस्तु
 * बिजली का करंट
 * जीवविज्ञान
 * परिस्थितिकी
 * वित्तीय बाज़ार
 * लुइस बैचलर
 * पूर्णांकों
 * कार्टेशियन विमान
 * यादृच्छिक चाल
 * गाऊसी प्रक्रिया
 * ब्रांचिंग प्रक्रिया
 * संभावना
 * गणना
 * लीनियर अलजेब्रा
 * समुच्चय सिद्धान्त
 * परिणाम (संभावना)
 * खास समय
 * निरंतर-समय स्टोकेस्टिक प्रक्रिया
 * यूनानी भाषा
 * अलेक्सांद्र खींचीं
 * विविध
 * बरनौली प्रक्रिया
 * बरनौली परीक्षण
 * सामान्य रूप से वितरित
 * स्थिर वृद्धि
 * ब्राउनियन आन्दोलन
 * मतलब
 * कहीं नहीं भिन्न कार्य
 * नमूना जगह
 * औसत दर्जे का
 * समारोह (गणित)
 * नक्शा (गणित)
 * धक्का देने वाला उपाय
 * प्रायिकता वितरण
 * निस्पंदन (संभाव्यता सिद्धांत)
 * राज्य अंतरिक्ष
 * ज़रेबंद अभिसरण प्रमेय
 * स्वयंसिद्ध
 * गैसों का गतिज सिद्धांत
 * विशेषता समारोह (संभावना सिद्धांत)
 * निरंतर कार्य
 * परिबद्ध समारोह