लिफ्टिंग थ्योरी

गणित में, लिफ्टिंग सिद्धांत को पहली बार 1931 के एक अग्रणी पेपर में जॉन वॉन न्यूमैन द्वारा पेश किया गया था, जिसमें उन्होंने अल्फ्रेड हार द्वारा उठाए गए एक प्रश्न का उत्तर दिया था। इस सिद्धांत को डोरोथी महरम (1958) द्वारा आगे विकसित किया गया था। और एलेक्जेंड्रा बोलो और कैसियस इओनेस्कु-तुलसीया (1961) द्वारा। भारोत्तोलन सिद्धांत काफी हद तक इसके प्रभावशाली अनुप्रयोगों से प्रेरित था। 1969 तक इसके विकास का वर्णन इओनेस्कु तुलसीज़ के एक मोनोग्राफ में किया गया था। तब से लिफ्टिंग सिद्धांत का विकास जारी रहा, जिससे नए परिणाम और अनुप्रयोग प्राप्त हुए।

परिभाषाएँ
माप स्थान पर एक भारोत्तोलन $$(X, \Sigma, \mu)$$ एक रैखिक और गुणक संचालिका है $$T : L^\infty(X, \Sigma, \mu) \to \mathcal{L}^\infty(X, \Sigma, \mu)$$ जो एक व्युत्क्रम फलन है#भागफल मानचित्र का दायाँ व्युत्क्रम $$\begin{cases} \mathcal L^\infty(X,\Sigma,\mu) \to L^\infty(X,\Sigma,\mu) \\ f \mapsto [f] \end{cases}$$ कहाँ $$\mathcal{L}^\infty(X,\Sigma,\mu)$$ सेमीनोर्म्ड एलपी स्पेस है|एलपीमापने योग्य कार्यों का स्थान और $$L^\infty(X, \Sigma, \mu)$$ इसका सामान्य मानक भागफल है। दूसरे शब्दों में, एक लिफ्टिंग प्रत्येक समतुल्य वर्ग से चुनती है $$[f]$$ परिबद्ध मापन योग्य कार्यों का मॉड्यूलो नगण्य कार्य एक प्रतिनिधि है - जो अब से लिखा गया है $$T([f])$$ या $$T[f]$$ या केवल $$Tf$$ - इस तरह से कि $$T[1] = 1$$ और सभी के लिए $$p \in X$$ और सभी $$r, s \in \Reals,$$ $$T(r[f]+s[g])(p) = rT[f](p) + sT[g](p),$$ $$T([f]\times[g])(p) = T[f](p) \times T[g](p).$$ लिफ्टिंग का उपयोग विघटन प्रमेय का उत्पादन करने के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए निरंतर यादृच्छिक चर दिए गए सशर्त संभाव्यता वितरण, और किसी फ़ंक्शन के स्तर सेट पर लेबेसेग माप के फ़िब्रेशन।

उठानों का अस्तित्व
<ब्लॉककोट>प्रमेय। कल्पना करना $$(X, \Sigma, \mu)$$ तैयार है। तब $$(X, \Sigma, \mu)$$ यदि और केवल तभी एक लिफ्टिंग को स्वीकार किया जाता है, जब परस्पर असंबद्ध अभिन्न सेटों का संग्रह मौजूद हो $$\Sigma$$ जिसका संघ है $$X.$$ विशेषकर, यदि $$(X, \Sigma, \mu)$$ σ-परिमिति का पूरा होना है माप या स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान पर आंतरिक नियमित बोरेल माप $$(X, \Sigma, \mu)$$ उठाना स्वीकार करता है।

प्रमाण में एक लिफ्टिंग को बड़े उप-σ-बीजगणित तक विस्तारित करना, डूब के मार्टिंगेल अभिसरण प्रमेय को लागू करना शामिल है | यदि कोई प्रक्रिया में एक गणनीय श्रृंखला का सामना करता है तो डूब के मार्टिंगेल अभिसरण प्रमेय को लागू करना शामिल है। <!-- Here are the details. Henceforth write Tf := T[f] = T([f]). $$(\Sigma, \mu)$$ is σ-finite if there exists a countable collection of sets of finite measure in $$\Sigma$$ whose union has negligible complement. This permits a reduction to the case that the measure $$\mu$$ is finite, in fact, it may be taken to be a probability. The proof uses Zorn's lemma together with the following order on pairs $$(\mathfrak A,T_{\mathfrak A})$$ of sub-σ-algebras $$\mathfrak A$$ of $$\Sigma$$ and liftings $$T_{\mathfrak A}$$ for them: $$ (\mathfrak A,T_{\mathfrak A})\le(\mathfrak B,T_{\mathfrak B}) $$ if $$\mathfrak A\subseteq\mathfrak B$$ and $$T_{\mathfrak A}$$ is the restriction of $$T_{\mathfrak B}$$ to $$L^\infty(X,\mathfrak A,\mu)$$. It is to be shown that a chain $$\mathfrak C$$ of such pairs has an upper bound, and that a maximal pair, which then exists by Zorn's lemma, has $$\Sigma$$ for its first entry.

If $$\mathfrak C$$ has no countable cofinal subset, then the union $$\mathfrak U := \bigcup\{\mathfrak A:\,(\mathfrak A,T_{\mathfrak A}) \in \mathfrak C\}$$ is a σ-algebra and there is an obvious lifting $$T_{\mathfrak U}$$ for it that restricts to the liftings of the chain; $$(\mathfrak U,T_{\mathfrak U})$$ is the sought upper bound of the chain.

The argument is more complicated when the chain $$ \mathfrak C$$ has a countable cofinal subset $$\left\{(\mathfrak A_n,T_{\mathfrak A_n}), n = 1, 2, \ldots\right\}$$. In this case let $$\mathfrak U$$ be the σ-algebra generated by the union $$\bigcup\{\mathfrak A_n: \, n = 1, 2, \ldots\},$$ which is generally only an algebra of sets. For the construction of $$T_{\mathfrak U}$$ it is convenient to identify a set $$A \subseteq X$$ with its indicator function and to write $$TA := TI_A=T[I_A].$$ For $$A \in \mathfrak U$$ let $$A_n$$ denote the conditional expectation of $$A$$ under $$\mathfrak A_n$$. By Doob's martingale convergence theorem the set $$\theta(A)$$ of points where $$A_n$$ converges to 1 differs negligibly from A.

Here are a few facts that are straightforward to check (some use the completeness and finiteness of $$(X, \mathfrak U, \mu)$$): $$\tau := \{\theta(A)\setminus N \ : \ A\in\mathfrak U, \mu(N) = 0\}\subset\mathfrak U$$ is a topology whose only negligible open set is the empty set and such that every $$ A=I_A\in\mathfrak U$$ is almost everywhere continuous, to wit, on $$ A\cap\theta(A)$$ and on $$ A^c\cap\theta(A^c)$$. Then every $$f \in\mathcal L^\infty(X,\mathfrak U,\mu)$$, being the uniform limit of a sequence of step functions over $$\mathfrak U$$, is almost everywhere continuous in this topology. For $$p$$ in $$X$$ $$I_p:=\{[f]: f \text{ is continuous at } p \text{ and }f(p) = 0\}.$$ is a proper ideal of $$ L^\infty(X,\mathfrak U,\mu)$$, contained (by another application of Zorn's lemma) in some maximal proper ideal $$J_p\subset L^\infty(X, \mathfrak U, \mu),$$ which has codimension 1. The quotient map $$L^\infty(X, \mathfrak U, \mu) \to L^\infty(X, \mathfrak U,\mu) / J_p$$ can be viewed as a character Tp. Defining $$\left(T_{\mathfrak U}[f]\right)(p):=T_p[f]\;\;,\;\;\;\;\;\;p\in E,$$ provides the upper bound $$(\mathfrak U,T_{\mathfrak U})$$ for the chain $$\mathfrak C$$.

In either case the chain $$ \mathfrak C$$ therefore has an upper bound. By Zorn's lemma there is a maximal pair $$(\mathfrak U,T_{\mathfrak U})$$, and a small additional calculation shows that $$ \mathfrak U=\mathfrak F$$. END OF DETAILED PROOF-->

मजबूत उठान
कल्पना करना $$(X, \Sigma, \mu)$$ पूर्ण है और $$X$$ पूरी तरह से नियमित हॉसडॉर्फ़ टोपोलॉजी से सुसज्जित है $$\tau \subseteq \Sigma$$ जैसे कि नगण्य खुले सेटों के किसी भी संग्रह का संघ फिर से नगण्य है - यही स्थिति है $$(X, \Sigma, \mu)$$ σ-परिमित है या रेडॉन माप से आता है। फिर का सहारा $$\mu,$$ $$\operatorname{Supp}(\mu),$$ इसे सबसे बड़े नगण्य खुले उपसमुच्चय और संग्रह के पूरक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$C_b(X, \tau)$$ परिबद्ध सतत कार्यों का संबंध है $$ \mathcal L^\infty(X, \Sigma, \mu).$$ के लिए एक मजबूत उठान $$(X, \Sigma, \mu)$$ एक उठाव है $$T : L^\infty(X, \Sigma, \mu) \to \mathcal{L}^\infty(X, \Sigma, \mu)$$ ऐसा है कि $$T\varphi = \varphi$$ पर $$\operatorname{Supp}(\mu)$$ सभी के लिए $$\varphi$$ में $$C_b(X, \tau).$$ यह उसकी आवश्यकता के समान ही है $$T U \geq (U \cap \operatorname{Supp}(\mu))$$ सभी खुले सेटों के लिए $$U$$ में $$\tau.$$ <ब्लॉककोट>प्रमेय। अगर $$(\Sigma, \mu)$$ σ-परिमित और पूर्ण है $$\tau$$ तो इसका एक गणनीय आधार है $$(X, \Sigma, \mu)$$ एक मजबूत उठान स्वीकार करता है।

सबूत। होने देना $$T_0$$ के लिए एक भारोत्तोलन हो $$(X, \Sigma, \mu)$$ और $$U_1, U_2, \ldots$$ के लिए एक गणनीय आधार $$\tau.$$ किसी भी बिंदु के लिए $$p$$ नगण्य सेट में $$N := \bigcup\nolimits_n \left\{p \in \operatorname{Supp}(\mu) : (T_0U_n)(p) < U_n(p)\right\}$$ होने देना $$T_p$$ कोई भी पात्र हो पर $$L^\infty(X, \Sigma, \mu)$$ जो चरित्र का विस्तार करता है $$\phi \mapsto \phi(p)$$ का $$C_b(X, \tau).$$ फिर के लिए $$p$$ में $$X$$ और $$[f]$$ में $$L^\infty(X, \Sigma, \mu)$$ परिभाषित करना: $$(T[f])(p):= \begin{cases} (T_0[f])(p)& p\notin N\\ T_p[f]& p\in N. \end{cases}$$ $$T$$ वांछित मजबूत उठान है.

आवेदन: एक माप का विघटन
कल्पना करना $$(X, \Sigma, \mu)$$ और $$(Y, \Phi, \nu)$$ σ-परिमित माप स्थान हैं ($$\mu, \mu$$ सकारात्मक) और $$\pi : X \to Y$$ एक मापने योग्य मानचित्र है. का एक विघटन $$\mu$$ साथ में $$\pi$$ इसके संबंध में $$\nu$$एक निहत है $$Y \ni y \mapsto \lambda_y$$ सकारात्मक σ-योगात्मक उपायों पर $$(\Sigma, \mu)$$ ऐसा है कि


 * 1) $$\lambda_y$$ फाइबर द्वारा ले जाया जाता है $$\pi^{-1}(\{y\})$$ का $$\pi$$ ऊपर $$y$$, अर्थात। $$ \{y\} \in \Phi $$ और $$ \lambda_y\left((X\setminus \pi^{-1}(\{y\})\right) = 0 $$ लगभग सभी के लिए $$ y \in Y $$
 * 2) हरएक के लिए $$\mu$$-अभिन्न कार्य $$f,$$$$\int_X f(p)\;\mu(dp)= \int_Y \left(\int_{\pi^{-1}(\{y\})} f(p)\,\lambda_y(dp)\right) \nu(dy) \qquad (*)$$ इस अर्थ में कि, के लिए $$\nu$$-लगभग सभी $$y$$ में $$Y,$$ $$f$$ है $$\lambda_y$$-अभिन्न, कार्य $$y \mapsto \int_{\pi^{-1}(\{y\})} f(p)\,\lambda_y(dp) $$ है $$\nu$$-अभिन्न, और प्रदर्शित समानता $$(*)$$ धारण करता है.

विघटन प्रमेय विभिन्न परिस्थितियों में मौजूद है, प्रमाण अलग-अलग हैं लेकिन लगभग सभी मजबूत लिफ्टिंग का उपयोग करते हैं। यहाँ एक सामान्य परिणाम है. इसका संक्षिप्त प्रमाण सामान्य स्वाद देता है।

<ब्लॉककोट>प्रमेय। कल्पना करना $$X$$ एक पोलिश स्थान है और $$Y$$ एक अलग करने योग्य हॉसडॉर्फ़ स्थान, दोनों अपने बोरेल σ-बीजगणित से सुसज्जित हैं। होने देना $$\mu$$ एक σ-परिमित बोरेल माप हो $$X$$ और $$\pi : X \to Y$$ a $$\Sigma, \Phi-$$मापने योग्य मानचित्र. फिर एक σ-परिमित बोरेल माप मौजूद है $$\nu$$ पर $$Y$$ और एक विघटन (*)।

अगर $$\mu$$ परिमित है, $$\nu$$ आगे बढ़ने वाला माना जा सकता है $$\pi_* \mu,$$ और फिर $$\lambda_y$$ सम्भावनाएँ हैं.

सबूत। की पॉलिश प्रकृति के कारण $$X$$ के सघन उपसमुच्चय का एक क्रम है $$X$$ जो परस्पर विच्छेदित हैं, जिनके मिलन का पूरक नगण्य है और जिस पर $$\pi$$ सतत है. यह अवलोकन दोनों के मामले में समस्या को कम करता है $$X$$ और $$Y$$ कॉम्पैक्ट हैं और $$\pi$$ निरंतर है, और $$\nu = \pi_* \mu.$$ पूरा $$\Phi$$ अंतर्गत $$\nu$$ और एक मजबूत उठाने को ठीक करें $$T$$ के लिए $$(Y, \Phi, \nu).$$ एक सीमा दी गई $$\mu$$-मापने योग्य कार्य $$f,$$ होने देना $$\lfloor f\rfloor$$ इसके अंतर्गत सशर्त अपेक्षा को निरूपित करें $$\pi,$$ अर्थात्, रैडॉन-निकोडिम प्रमेय|रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न $$\pi_*(f \mu)$$ इसके संबंध में $$\pi_* \mu.$$ फिर प्रत्येक के लिए सेट करें $$y$$ में $$Y,$$ $$\lambda_y(f) := T(\lfloor f\rfloor)(y).$$ यह दिखाने के लिए कि यह विघटन को परिभाषित करता है, बहीखाता पद्धति और एक उपयुक्त फ़ुबिनी प्रमेय का मामला है। यह देखने के लिए कि उठाने की ताकत कैसे प्रवेश करती है, उस पर ध्यान दें $$\lambda_y(f \cdot \varphi \circ \pi) = \varphi(y) \lambda_y(f) \qquad \forall y\in Y, \varphi \in C_b(Y), f \in L^\infty(X, \Sigma, \mu)$$ और अनंत को सर्व सकारात्मक के ऊपर ले लो $$\varphi$$ में $$C_b(Y)$$ साथ $$\varphi(y) = 1;$$ यह स्पष्ट हो जाता है कि का समर्थन $$\lambda_y$$ ऊपर फाइबर में निहित है $$y.$$