यूलर लाइन

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]]ज्यामिति में, लियोनहार्ड यूलर के नाम पर यूलर रेखा, किसी भी त्रिभुज से निर्धारित रेखा (गणित) है जो समबाहु त्रिभुज नहीं है। यह त्रिभुज की एक केंद्रीय रेखा (ज्यामिति) है, और यह त्रिभुज से निर्धारित कई महत्वपूर्ण बिंदुओं से होकर गुजरती है, जिसमें orthocenter, परिकेन्द्र, केन्द्रक, एक्सेटर बिंदु और त्रिभुज के नौ-बिंदु वृत्त का केंद्र शामिल है। त्रिभुज यूलर लाइन की अवधारणा अन्य आकृतियों की यूलर लाइन तक फैली हुई है, जैसे चतुर्भुज और चतुर्पाश्वीय ।

यूलर लाइन
पर त्रिभुज केंद्र

व्यक्तिगत केंद्र
यूलर ने 1765 में दिखाया कि किसी भी त्रिभुज में, लंबकेन्द्र, परिकेन्द्र और केन्द्रक रेखा (ज्यामिति) होते हैं। यह गुण एक अन्य त्रिभुज केंद्र, नौ-बिंदु केंद्र के लिए भी सही है, हालांकि इसे यूलर के समय में परिभाषित नहीं किया गया था। समबाहु त्रिभुजों में, ये चार बिंदु संपाती होते हैं, लेकिन किसी अन्य त्रिभुज में वे सभी एक दूसरे से भिन्न होते हैं, और यूलर रेखा उनमें से किन्हीं दो द्वारा निर्धारित की जाती है।

अन्य उल्लेखनीय बिंदु जो यूलर रेखा पर स्थित हैं, उनमें डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु, शिफलर बिंदु, एक्सेटर बिंदु और गोस्सार्ड परिप्रेक्ष्य शामिल हैं। हालांकि, अंत:केंद्र आमतौर पर यूलर रेखा पर स्थित नहीं होता है; यह यूलर रेखा पर केवल समद्विबाहु त्रिभुजों के लिए है, जिसके लिए यूलर रेखा त्रिभुज की सममिति अक्ष के साथ मिलती है और इसमें सभी त्रिभुज केंद्र होते हैं।

एक संदर्भ त्रिभुज का स्पर्शरेखा त्रिभुज, संदर्भ त्रिभुज के शीर्ष पर बाद वाले परिवृत्त पर स्पर्शरेखा है। स्पर्शरेखा त्रिभुज का परिकेंद्र संदर्भ त्रिभुज की यूलर रेखा पर स्थित है।  ओर्थिक त्रिभुज और स्पर्शरेखा त्रिभुजों की समरूपता का केंद्र भी यूलर रेखा पर है।

एक वेक्टर सबूत
होने देना $$ABC$$ एक त्रिकोण बनो। इस बात का प्रमाण है कि परिबद्ध वृत्त $$O$$, केन्द्रक $$G$$ और ऊंचाई (त्रिकोण)#ऑर्थोसेंटर $$H$$ समरेख यूक्लिडियन वेक्टर पर निर्भर हैं। हम पूर्वापेक्षाएँ बताते हुए प्रारंभ करते हैं। पहला, $$G$$ संबंध को संतुष्ट करता है


 * $$\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=0.$$

यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि बेरिसेंट्रिक समन्वय प्रणाली $$G$$ हैं $$\frac{1}{3}:\frac{1}{3}:\frac{1}{3}$$. आगे, सिल्वेस्टर की त्रिकोण समस्या के रूप में पढ़ता है


 * $$\vec{OH}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}.$$

अब, सदिश योग का उपयोग करके, हम इसे घटाते हैं


 * $$\vec{GO}=\vec{GA}+\vec{AO}\,\mbox{(in triangle }AGO\mbox{)},\,\vec{GO}=\vec{GB}+\vec{BO}\,\mbox{(in triangle }BGO\mbox{)},\,\vec{GO}=\vec{GC}+\vec{CO}\,\mbox{(in triangle }CGO\mbox{)}.$$

इन तीन संबंधों को, पद दर पद जोड़कर, हम वह प्राप्त करते हैं


 * $$3\cdot\vec{GO}=\left(\sum\limits_{\scriptstyle\rm cyclic}\vec{GA}\right)+\left(\sum\limits_{\scriptstyle\rm cyclic}\vec{AO}\right)=0-\left(\sum\limits_{\scriptstyle\rm cyclic}\vec{OA}\right)=-\vec{OH}.$$

निष्कर्ष के तौर पर, $$3\cdot\vec{OG}=\vec{OH}$$, और इसलिए तीन बिंदु $$O$$, $$G$$ और $$H$$ (इस क्रम में) संरेख हैं।

डोरी की किताब में, यूलर रेखा और सिल्वेस्टर की त्रिभुज समस्या को एक साथ एक ही प्रमाण में रखा गया है। हालांकि, सिल्वेस्टर की समस्या के अधिकांश प्रमाण यूलर रेखा से स्वतंत्र, मुक्त सदिशों के मौलिक गुणों पर निर्भर करते हैं।

केंद्रों के बीच की दूरी
यूलर रेखा पर केन्द्रक G, परिकेन्द्र O और लंबकेन्द्र H के बीच में है और यह परिकेन्द्र से जितनी दूर है, उतनी ही लंबकेन्द्र से दुगुनी दूरी पर है:


 * $$GH=2GO;$$
 * $$OH=3GO.$$

खंड GH ऑर्थोसेंट्रोइडल सर्कल का एक व्यास है।

नौ-बिंदु वृत्त का केंद्र N ऑर्थोसेंटर और परिधि के बीच यूलर रेखा के मध्य में स्थित है:


 * $$ON = NH, \quad OG =2\cdot GN, \quad NH=3GN.$$

इस प्रकार यूलर रेखा को स्थान 0 पर परिधि O के साथ एक संख्या रेखा पर, 2t पर केन्द्रक G, 3t पर नौ-बिंदु केंद्र और कुछ स्केल कारक t के लिए ऑर्थोसेंटर H को 6t पर पुनर्स्थापित किया जा सकता है।

इसके अलावा, केन्द्रक और यूलर रेखा के साथ परिधि के बीच की वर्ग दूरी वर्ग परिधि R से कम है2 भुजा लंबाई a, b, और c के वर्गों के योग के एक-नौवें के बराबर राशि से:


 * $$GO^2=R^2-\tfrac{1}{9}(a^2+b^2+c^2).$$

इसके साथ ही,


 * $$OH^2=9R^2-(a^2+b^2+c^2);$$
 * $$GH^2=4R^2-\tfrac{4}{9}(a^2+b^2+c^2).$$

समीकरण
मान लीजिए A, B, C संदर्भ त्रिभुज के शीर्ष कोणों को निरूपित करते हैं, और मान लीजिए कि x : y : z त्रिरेखीय निर्देशांक में एक चर बिंदु है; तो यूलर रेखा के लिए एक समीकरण है


 * $$\sin (2A) \sin(B - C)x + \sin (2B) \sin(C - A)y + \sin (2C) \sin(A - B)z = 0.$$

बेरसेंट्रिक निर्देशांक (गणित) में यूलर रेखा के लिए एक समीकरण $$\alpha :\beta :\gamma$$ है
 * $$(\tan C -\tan B)\alpha +(\tan A -\tan C)\beta + (\tan B -\tan A)\gamma =0.$$

पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व
यूलर रेखा को दर्शाने का एक अन्य तरीका प्राचल t के संदर्भ में है। परिकेंद्र से प्रारंभ (त्रिलरेखीय निर्देशांकों के साथ $$\cos A : \cos B : \cos C$$) और ऑर्थोसेंटर (ट्रिलिनियर्स के साथ $$\sec A : \sec B : \sec C = \cos B \cos C : \cos C \cos A : \cos A \cos B),$$ यूलर लाइन पर हर बिंदु, ऑर्थोसेंटर को छोड़कर, ट्रिलिनियर निर्देशांक द्वारा दिया जाता है
 * $$\cos A + t \cos B \cos C : \cos B + t \cos C \cos A : \cos C + t \cos A \cos B$$

कुछ टी के लिए, इन दो बिंदुओं के ट्रिलीनियर के रैखिक संयोजन के रूप में गठित।

उदाहरण के लिए:
 * परिकेन्द्र में त्रिरेखीय हैं $$\cos A:\cos B:\cos C,$$ पैरामीटर मान के अनुरूप $$t=0.$$
 * केन्द्रक में त्रिरेखीय होते हैं $$\cos A + \cos B \cos C : \cos B + \cos C \cos A : \cos C + \cos A \cos B,$$ पैरामीटर मान के अनुरूप $$t=1.$$
 * नौ-बिंदु केंद्र में ट्रिलिनियर हैं $$\cos A + 2 \cos B \cos C : \cos B + 2 \cos C \cos A : \cos C + 2 \cos A \cos B,$$ पैरामीटर मान के अनुरूप $$t=2.$$
 * डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु में त्रिरेखीय हैं $$\cos A - \cos B \cos C : \cos B - \cos C \cos A : \cos C - \cos A \cos B,$$ पैरामीटर मान के अनुरूप $$t=-1.$$

ढलान
कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, त्रिकोण के किनारों के ढलानों को निरूपित करें $$m_1,$$ $$m_2,$$ और $$m_3,$$ और इसकी यूलर रेखा के ढलान को निरूपित करें $$m_E$$. फिर इन ढलानों के अनुसार संबंधित हैं


 * $$m_1m_2 + m_1m_3 + m_1m_E + m_2m_3 + m_2m_E + m_3m_E$$
 * $$ + 3m_1m_2m_3m_E + 3 = 0.$$

इस प्रकार यूलर रेखा का ढलान (यदि परिमित है) पक्षों के ढलानों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है


 * $$m_E=-\frac{m_1m_2 + m_1m_3 + m_2m_3 + 3}{m_1 + m_2 + m_3 + 3m_1m_2m_3}.$$

इसके अलावा, यूलर लाइन एक तीव्र त्रिभुज भुजा BC के समानांतर है यदि और केवल यदि $$\tan B \tan C = 3.$$

उत्कीर्ण समबाहु त्रिभुजों से संबंध
किसी दिए गए त्रिभुज में अंकित समबाहु त्रिभुजों के केन्द्रक का स्थान दिए गए त्रिभुज की यूलर रेखा के लंबवत दो रेखाओं से बनता है।

समकोण त्रिभुज
एक समकोण त्रिभुज में, यूलर रेखा मध्यिका (त्रिकोण) के साथ कर्ण से मेल खाती है - अर्थात, यह समकोण वाले शीर्ष और उस शीर्ष के विपरीत भुजा के मध्य बिंदु दोनों से होकर जाती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि समकोण त्रिभुज का लंबकेन्द्र, इसकी ऊँचाई (त्रिकोण) का प्रतिच्छेदन, समकोण शीर्ष पर पड़ता है, जबकि इसका परिकेन्द्र, इसके द्विभाजन#लम्ब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन, कर्ण के मध्यबिंदु पर पड़ता है।

समद्विबाहु त्रिभुज
समद्विबाहु त्रिभुज की यूलर रेखा समरूपता के अक्ष के साथ मेल खाती है। एक समद्विबाहु त्रिभुज में अंत:केंद्र यूलर रेखा पर पड़ता है।

ऑटोमेडियन त्रिकोण
एक ऑटोमेडियन त्रिभुज की यूलर रेखा (जिसकी माध्यिका (ज्यामिति) समान अनुपात में है, हालांकि विपरीत क्रम में, पक्षों के रूप में) एक माध्यिका के लिए लंबवत है।

समवर्ती यूलर लाइनों के साथ त्रिकोण की प्रणाली
एक त्रिभुज ABC पर विचार करें जिसमें Fermat–Toricelli बिंदु F है1 और एफ2. A, B, C, F में से चुने गए शीर्षों वाले 10 त्रिभुजों की यूलर रेखाएँ1 और एफ2 त्रिभुज ABC के केन्द्रक पर संगामी रेखाएँ हैं। एक ऑर्थोसेंट्रिक प्रणाली द्वारा गठित चार त्रिकोणों की यूलर लाइनें (चार बिंदुओं का एक सेट जैसे कि प्रत्येक त्रिभुज का ऑर्थोसेंटर अन्य तीन बिंदुओं पर शिखर के साथ होता है) सभी त्रिकोणों के लिए सामान्य नौ-बिंदु केंद्र पर समवर्ती होते हैं।

चतुर्भुज
एक उत्तल चतुर्भुज में एक चतुर्भुज#उल्लेखनीय बिंदुओं और रेखाओं में, क्वैसियोर्थोसेंटर H, क्षेत्र सेंट्रोइड G, और अर्धवृत्ताकार केंद्र O यूलर लाइन पर इस क्रम में संरेख हैं, और HG = 2GO।

टेट्राहेड्रॉन
एक टेट्राहेड्रॉन एक त्रि-आयामी स्थान है | त्रि-आयामी वस्तु चार त्रिकोणीय चेहरे (ज्यामिति) से घिरा है। चतुष्फलक से जुड़ी सात रेखाएँ इसके केन्द्रक पर समवर्ती होती हैं; इसके छह मिडप्लेन अपने मोंज बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं; और सभी शीर्षों से गुजरने वाली एक परिधि है, जिसका केंद्र परिकेन्द्र है। ये बिंदु एक त्रिभुज के समान टेट्राहेड्रॉन की यूलर रेखा को परिभाषित करते हैं। केन्द्रक अपने Monge बिंदु और इस रेखा के साथ परिधि के बीच का मध्य बिंदु है। बारह-बिंदु क्षेत्र का केंद्र भी यूलर रेखा पर स्थित है।

सिंपल पॉलीटॉप
एक साधारण पॉलीटॉप एक पॉलीटोप है जिसके पहलू सभी सिंप्लेक्स (संकेतन का बहुवचन) हैं। उदाहरण के लिए, प्रत्येक बहुभुज एक साधारण पॉलीटोप है। इस तरह के पॉलीटोप से जुड़ी यूलर लाइन उसके केन्द्रक और द्रव्यमान के परिकेंद्र द्वारा निर्धारित रेखा है। एक यूलर लाइन की यह परिभाषा ऊपर वाले को सामान्यीकृत करती है। लगता है कि $$P$$ एक बहुभुज है। यूलर लाइन $$E$$ की समरूपता के प्रति संवेदनशील है $$P$$ निम्नलिखित तरीकों से:

1. अगर $$P$$ प्रतिबिंब समरूपता की एक पंक्ति है $$L$$, तब $$E$$ भी है $$L$$ या एक बिंदु पर $$L$$.

2. अगर $$P$$ घूर्णी समरूपता का एक केंद्र है $$C$$, तब $$E=C$$.

3. यदि किसी एक को छोड़कर सभी $$P$$ समान लंबाई है, तो $$E$$ अंतिम ओर ओर्थोगोनल है।

संबंधित निर्माण
एक त्रिभुज का कीपर्ट परवलय अद्वितीय परवलय है जो त्रिभुज की भुजाओं (उनमें से दो विस्तारित भुजा) के लिए स्पर्शरेखा है और इसकी डायरेक्ट्रिक्स (शंक्वाकार खंड) के रूप में यूलर रेखा है।

बाहरी संबंध

 * An interactive applet showing several triangle centers that lies on the Euler line.
 * "Euler Line" and "Non-Euclidean Triangle Continuum" at the Wolfram Demonstrations Project
 * Nine-point conic and Euler line generalization, A further Euler line generalization, and The quasi-Euler line of a quadrilateral and a hexagon at Dynamic Geometry Sketches
 * Bogomolny, Alexander, "Altitudes and the Euler Line" and "Euler Line and 9-Point Circle", Cut-the-Knot
 * Archived at Ghostarchive and the Wayback Machine:
 * Archived at Ghostarchive and the Wayback Machine: