हिगुची आयाम

फ्रैक्टल ज्यामिति में, हिगुची डायमेंशन (या हिगुची फ्रैक्टल डायमेंशन (एचएफडी)) मिंकोव्स्की-बुलिगैंड डायमेंशन के लिए एक अनुमानित मूल्य है। वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन या समय श्रृंखला के ग्राफ के बॉक्स-गिनती आयाम। यह मान एल्गोरिथम सन्निकटन के माध्यम से प्राप्त किया जाता है, इसलिए हम हिगुची पद्धति के बारे में भी बात करते हैं। विज्ञान और इंजीनियरिंग में इसके कई अनुप्रयोग हैं और इसे सीस्मोग्राम में प्राथमिक तरंगों की विशेषता जैसे विषयों पर लागू किया गया है। क्लिनिकल न्यूरोफिज़ियोलॉजी और अल्जाइमर रोग में इलेक्ट्रोएन्सेफलोग्राम में परिवर्तन का विश्लेषण करना।

विधि का निरूपण
विधि का मूल सूत्रीकरण टी. हिगुची के कारण है। एक समय श्रृंखला दी गई $$X:\{1, \dots, N \} \to \mathbb{R}$$ को मिलाकर $$N$$ डेटा अंक और एक पैरामीटर $$k_{\mathrm{max}} \geq 2$$ का हिगुची भग्न आयाम (एचएफडी)। $$X$$ निम्नलिखित तरीके से गणना की जाती है: प्रत्येक के लिए $$k \in \{ 1, \dots, k_{\mathrm{max}} }\$$ और $$m \in \{1, \dots, k}\$$ लंबाई परिभाषित करें $$L_m(k)$$ द्वारा


 * $$L_m(k) = \frac{N-1}{\lfloor \frac{N-m}{k} \rfloor k^2} \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{N-m}{k} \rfloor} |X_N(m+ik)-X_N(m+(i-1)k)|.$$

लंबाई $$L(k)$$ के औसत मूल्य द्वारा परिभाषित किया गया है $$k$$ लंबाई $$L_1(k), \dots, L_k(k)$$,


 * $$L(k) = \frac{1}{k} \sum_{m=1}^k L_m(k).$$

डेटा बिंदुओं के माध्यम से सर्वोत्तम-फिटिंग रैखिक फ़ंक्शन का ढलान $$\left \{ \left ( \log \frac{1}{k} ,\log L(k) \right ) \right \}$$ समय-श्रृंखला के हिगुची भग्न आयाम के रूप में परिभाषित किया गया है $$X$$.

कार्यों के लिए आवेदन
वास्तविक मूल्यवान समारोह के लिए $$f:[0,1] \to \mathbb{R}$$ कोई इकाई अंतराल को विभाजित कर सकता है $$[0,1]$$ में $$N$$ समान रूप से अंतराल $$[t_j,t_{j+1})$$ और समय श्रृंखला में हिगुची एल्गोरिद्म लागू करें $$X(j) = f(t_j)$$. यह फ़ंक्शन के हिगुची भग्न आयाम में परिणत होता है $$f$$. यह दिखाया गया था कि इस मामले में हिगुची विधि के ग्राफ के बॉक्स-गिनती आयाम के लिए एक सन्निकटन प्राप्त होता है $$f$$ क्योंकि यह एक ज्यामितीय दृष्टिकोण का अनुसरण करता है (लिहर और मासोपस्ट 2020 देखें ).

मजबूती और स्थिरता
फ्रैक्शनल ब्राउनियन फ़ंक्शंस और वीयरस्ट्रैस समारोह के अनुप्रयोगों से पता चलता है कि हिगुची फ्रैक्टल आयाम बॉक्स-आयाम के करीब हो सकता है। दूसरी ओर, विधि उस मामले में अस्थिर हो सकती है जहां डेटा $$X(1), \dots, X(N)$$ आवधिक हैं या यदि इसके उपसमुच्चय एक क्षैतिज रेखा पर स्थित हैं (देखें लिहर और मासोपस्ट 2020 ).