विखंडन

गणित में, कनवल्शन का उलटा संक्रिया विसंक्रमण है। दोनों ऑपरेशन संकेत आगे बढ़ाना  और  मूर्ति प्रोद्योगिकी  में उपयोग किए जाते हैं। उदाहरण के लिए,  निश्चित डिग्री सटीकता के साथ  deconvolution विधि का उपयोग करके फ़िल्टर (कनवल्शन) के बाद मूल सिग्नल को पुनर्प्राप्त करना संभव हो सकता है। रिकॉर्ड किए गए सिग्नल या छवि की माप त्रुटि के कारण, यह प्रदर्शित किया जा सकता है कि सिग्नल-टू-नॉइज़_अनुपात जितना खराब होगा, फिल्टर का उल्टा होना उतना ही बुरा होगा; इसलिए, फ़िल्टर को उल्टा करना हमेशा एक अच्छा समाधान नहीं होता है क्योंकि त्रुटि बढ़ जाती है। Deconvolution इस समस्या का समाधान प्रदान करता है।

विसंक्रमण और समय-श्रृंखला विश्लेषण की नींव बड़े पैमाने पर मैसाचुसेट्स की तकनीकी संस्था के नॉर्बर्ट वीनर ने अपनी पुस्तक एक्सट्रपलेशन, इंटरपोलेशन, और स्मूथिंग ऑफ़ स्टेशनरी टाइम सीरीज़ (1949) में रखी थी। पुस्तक द्वितीय विश्व युद्ध के दौरान वीनर द्वारा किए गए कार्य पर आधारित थी लेकिन उस समय इसे वर्गीकृत किया गया था। इन सिद्धांतों को लागू करने के शुरुआती प्रयासों में से कुछ मौसम पूर्वानुमान और अर्थशास्त्र के क्षेत्र में थे।

आवृत्ति डोमेन में, जहाँ $$\omega$$ आवृत्ति चर है। यह मानते हुए कि परावर्तकता सफेद है, हम मान सकते हैं

विवरण
सामान्य तौर पर, विसंक्रमण का उद्देश्य फॉर्म के कनवल्शन समीकरण के हल f को खोजना है:


 * $$f * g = h \, $$

आमतौर पर, h कुछ रिकॉर्ड किया गया संकेत है, और f कुछ संकेत है जिसे हम पुनर्प्राप्त करना चाहते हैं, लेकिन इसे रिकॉर्ड करने से पहले फ़िल्टर या विरूपण फ़ंक्शन g के साथ सजाया गया है। आमतौर पर, h, f का विकृत संस्करण है और f के आकार को आँख या सरल समय-डोमेन संचालन द्वारा आसानी से पहचाना नहीं जा सकता है। फ़ंक्शन जी उपकरण या  ड्राइविंग बल की आवेग प्रतिक्रिया का प्रतिनिधित्व करता है जिसे भौतिक प्रणाली पर लागू किया गया था। अगर हम जी को जानते हैं, या कम से कम जी के रूप को जानते हैं, तो हम नियतात्मक विसंक्रमण कर सकते हैं। हालांकि, अगर हम जी को पहले से नहीं जानते हैं, तो हमें इसका अनुमान लगाने की जरूरत है। यह सांख्यिकी आकलन सिद्धांत के तरीकों का उपयोग करके या अंतर्निहित प्रणाली के भौतिक सिद्धांतों का निर्माण करके किया जा सकता है, जैसे विद्युत सर्किट समीकरण या प्रसार समीकरण।

माप त्रुटि और deconvolution मापदंडों की पसंद के आधार पर, कई deconvolution तकनीकें हैं। भौतिक माप में, स्थिति आमतौर पर के करीब होती है


 * $$(f * g) + \varepsilon  = h \, $$

इस मामले में ε शोर (भौतिकी) है जो हमारे रिकॉर्ड किए गए सिग्नल में प्रवेश कर चुका है। यदि शोर संकेत या छवि को नीरव माना जाता है, तो जी का सांख्यिकीय अनुमान गलत होगा। बदले में, ƒ का अनुमान भी गलत होगा। सिग्नल-टू-शोर अनुपात जितना कम होगा, विसंक्रमित सिग्नल का अनुमान उतना ही खराब होगा। यही कारण है कि प्रतिलोम फ़िल्टरिंग संकेत आमतौर पर  अच्छा समाधान नहीं है। हालांकि, यदि डेटा में शोर के प्रकार (उदाहरण के लिए, सफेद शोर) के बारे में कम से कम कुछ ज्ञान मौजूद है, तो ƒ के अनुमान को वीनर डीकोनोवोल्यूशन जैसी तकनीकों के माध्यम से सुधारा जा सकता है।

जब माप त्रुटि बहुत कम होती है (आदर्श मामला) तो डीकोनोवोल्यूशन (कच्चा) फिल्टर में उलट जाता है। लाप्लास डोमेन में कच्चे विसंक्रमण का प्रदर्शन किया जा सकता है। रिकॉर्ड किए गए सिग्नल एच और सिस्टम रिस्पांस फंक्शन जी के फूरियर रूपांतरण की गणना करके आपको  स्थानांतरण प्रकार्य  के रूप में जी के साथ एच और जी मिलते हैं। तो एफ के लिए हल करना:


 * $$F = H / G \, $$

अंत में, फ़ंक्शन F के फूरियर व्युत्क्रम प्रमेय को अनुमानित विसंक्रमित सिग्नल f को खोजने के लिए लिया जाता है। ध्यान दें कि G भाजक पर है और यदि मौजूद है तो त्रुटि मॉडल के तत्वों को बढ़ा सकता है।

भूकंप विज्ञान
प्रतिबिंब भूकम्प विज्ञान में डीकोनोवोल्यूशन की अवधारणा का प्रारंभिक अनुप्रयोग था। 1950 में, एंडर्स रॉबिन्सन एमआईटी में स्नातक छात्र थे। उन्होंने MIT में दूसरों के साथ काम किया, जैसे नॉर्बर्ट वीनर, नॉर्मन लेविंसन, और अर्थशास्त्री पॉल सैमुएलसन, ने परावर्तन सीस्मोग्राम के दृढ़ मॉडल को विकसित करने के लिए। यह मॉडल मानता है कि रिकॉर्ड किया गया सीस्मोग्राम s(t) पृथ्वी-परावर्तकता फ़ंक्शन e(t) और एक बिंदु स्रोत से भूकंपीय तरंगिका w(t) का कनवल्शन है, जहां t रिकॉर्डिंग समय का प्रतिनिधित्व करता है। इस प्रकार, हमारा कनवल्शन समीकरण है


 * $$s(t) = (e * w)(t). \, $$

सीस्मोलॉजिस्ट ई में रुचि रखता है, जिसमें पृथ्वी की संरचना के बारे में जानकारी होती है। कनवल्शन प्रमेय द्वारा, इस समीकरण को फूरियर में रूपांतरित किया जा सकता है


 * $$S(\omega) = E(\omega)W(\omega) \, $$

आवृत्ति डोमेन में, जहाँ $$\omega$$ आवृत्ति चर है। यह मानते हुए कि परावर्तकता सफेद है, हम मान सकते हैं कि परावर्तकता का वर्णक्रमीय घनत्व स्थिर है, और सिस्मोग्राम का शक्ति स्पेक्ट्रम उस स्थिरांक से गुणा तरंगिका का स्पेक्ट्रम है। इस प्रकार,


 * $$|S(\omega)| \approx k|W(\omega)|. \, $$

अगर हम मानते हैं कि वेवलेट न्यूनतम चरण है, तो हम अभी पाए गए पावर स्पेक्ट्रम के बराबर न्यूनतम चरण की गणना करके इसे पुनर्प्राप्त कर सकते हैं। डिराक डेल्टा समारोह (यानी, स्पाइक) के लिए अनुमानित तरंगिका को आकार देने वाले विनीज़ फ़िल्टर को डिज़ाइन और लागू करके परावर्तकता को पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। परिणाम को स्केल्ड, शिफ्ट किए गए डेल्टा कार्यों की  श्रृंखला के रूप में देखा जा सकता है (हालांकि यह गणितीय रूप से कठोर नहीं है):


 * $$e(t)=\sum_{i=1}^N r_i\delta(t-\tau_i),$$

जहाँ N परावर्तन घटनाओं की संख्या है, $$r_i$$ प्रतिबिंब गुणांक हैं, $$t-\tau_i$$ प्रत्येक घटना के प्रतिबिंब समय हैं, और $$\delta$$ डिराक डेल्टा फ़ंक्शन है।

व्यवहार में, चूंकि हम शोर, परिमित बैंडविड्थ (कंप्यूटिंग), परिमित लंबाई, नमूनाकरण (सिग्नल प्रोसेसिंग) डेटासेट के साथ काम कर रहे हैं, उपरोक्त प्रक्रिया केवल डेटा को विखंडित करने के लिए आवश्यक फ़िल्टर का अनुमान देती है। हालाँकि, समस्या को  Toeplitz मैट्रिक्स के समाधान के रूप में तैयार करके और लेविंसन पुनरावर्तन का उपयोग करके, हम सबसे छोटे माध्य चुकता त्रुटि के साथ अपेक्षाकृत जल्दी से  फिल्टर का अनुमान लगा सकते हैं। हम फ़्रीक्वेंसी डोमेन में सीधे डीकोनवोल्यूशन भी कर सकते हैं और समान परिणाम प्राप्त कर सकते हैं। तकनीक रैखिक भविष्यवाणी से निकटता से संबंधित है।

प्रकाशिकी और अन्य इमेजिंग
ऑप्टिक्स और इमेजिंग में, डिकॉन्वोल्यूशन शब्द विशेष रूप से ऑप्टिकल सिस्टम में विचलन को उलटने की प्रक्रिया को संदर्भित करने के लिए प्रयोग किया जाता है # ऑप्टिकल माइक्रोस्कोप, इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी,  दूरबीन , या अन्य इमेजिंग उपकरण में होने वाली छवि का विरूपण, इस प्रकार स्पष्ट छवियां बनाता है. यह आमतौर पर माइक्रोस्कोप छवि प्रसंस्करण  तकनीकों के  सूट के हिस्से के रूप में   सॉफ़्टवेयर  कलन विधि द्वारा डिजिटल डोमेन में किया जाता है। Deconvolution उन छवियों को तेज करने के लिए भी व्यावहारिक है जो कैप्चरिंग के दौरान तेज गति या झटकों से ग्रस्त हैं। प्रारंभिक हबल अंतरिक्ष सूक्ष्मदर्शी छवियों को हबल स्पेस टेलीस्कॉप#त्रुटिपूर्ण दर्पण द्वारा विकृत किया गया था और डीकनवोल्यूशन द्वारा तेज किया गया था।

सामान्य विधि यह मान लेना है कि उपकरण के माध्यम से ऑप्टिकल पथ वैकल्पिक रूप से सही है, बिंदु प्रसार समारोह (पीएसएफ) के साथ दृढ़ है, जो कि  गणितीय कार्य है जो मार्ग के संदर्भ में विरूपण का वर्णन करता है प्रकाश का  सैद्धांतिक बिंदु स्रोत (या) अन्य तरंगें) यंत्र के माध्यम से लेती हैं। आमतौर पर, ऐसा बिंदु स्रोत अंतिम छवि में अस्पष्टता के  छोटे से क्षेत्र का योगदान देता है। यदि यह फ़ंक्शन निर्धारित किया जा सकता है, तो यह उसके व्युत्क्रम फ़ंक्शन या पूरक फ़ंक्शन की गणना करने और उसके साथ अधिग्रहीत छवि को हल करने का विषय है। परिणाम मूल, अविकृत छवि है।

व्यवहार में, वास्तविक PSF को खोजना असंभव है, और आमतौर पर इसका अनुमान सैद्धांतिक रूप से गणना करके उपयोग किया जाता है या ज्ञात जांचों का उपयोग करके कुछ प्रयोगात्मक अनुमानों पर आधारित। वास्तविक प्रकाशिकी में विभिन्न फोकल और स्थानिक स्थानों पर अलग-अलग पीएसएफ भी हो सकते हैं, और पीएसएफ गैर-रैखिक हो सकता है। पीएसएफ के सन्निकटन की सटीकता अंतिम परिणाम तय करेगी। अधिक कम्प्यूटेशनल रूप से गहन होने की कीमत पर बेहतर परिणाम देने के लिए विभिन्न एल्गोरिदम को नियोजित किया जा सकता है। चूंकि मूल कनवल्शन डेटा को छोड़ देता है, इसलिए कुछ एल्गोरिदम कुछ खोई हुई जानकारी को बनाने के लिए पास के फोकल पॉइंट्स पर प्राप्त अतिरिक्त डेटा का उपयोग करते हैं। पुनरावृत्त एल्गोरिदम में नियमितीकरण (गणित) (अपेक्षा-अधिकतमकरण एल्गोरिदम के रूप में) अवास्तविक समाधानों से बचने के लिए लागू किया जा सकता है।

जब पीएसएफ अज्ञात होता है, तो अलग-अलग संभावित पीएसएफ को व्यवस्थित रूप से आजमाकर और छवि में सुधार हुआ है या नहीं, इसका आकलन करके इसे निकालना संभव हो सकता है। इस प्रक्रिया को अंधा deconvolution कहा जाता है। ब्लाइंड डीकोनवोल्यूशन खगोल विज्ञान में अच्छी तरह से स्थापित छवि बहाली तकनीक है, जहां फोटो खींची गई वस्तुओं की बिंदु प्रकृति पीएसएफ को उजागर करती है और इस प्रकार इसे और अधिक व्यवहार्य बनाती है। यह छवि बहाली के लिए प्रतिदीप्ति माइक्रोस्कोपी में भी प्रयोग किया जाता है, और कई अज्ञात  फ्लोरोफोरे स के वर्णक्रमीय पृथक्करण के लिए प्रतिदीप्ति वर्णक्रमीय इमेजिंग में। इस उद्देश्य के लिए सबसे आम  यात्रा  एल्गोरिथम रिचर्डसन-लुसी डीकोनवोल्यूशन एल्गोरिथम है; वीनर डीकोनवोल्यूशन (और सन्निकटन) सबसे आम गैर-पुनरावृत्ति एल्गोरिदम हैं। कुछ विशिष्ट इमेजिंग सिस्टम जैसे लेजर स्पंदित टेराहर्ट्ज सिस्टम के लिए, पीएसएफ को गणितीय रूप से तैयार किया जा सकता है। परिणामस्वरूप, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, प्रतिरूपित PSF और टेराहर्ट्ज़ छवि का विसंक्रमण, टेराहर्ट्ज़ छवि का उच्च रिज़ॉल्यूशन प्रतिनिधित्व दे सकता है।

रेडियो खगोल विज्ञान
रेडियो इंटरफेरोमेट्री में छवि संश्लेषण करते समय, विशिष्ट प्रकार की रेडियो खगोल विज्ञान,  चरण में उत्पादित छवि को गंदे बीम के साथ विसंक्रमित करना होता है, जो बिंदु प्रसार समारोह के लिए  अलग नाम है। आमतौर पर इस्तेमाल की जाने वाली विधि स्वच्छ (एल्गोरिदम) है।

जीव विज्ञान, शरीर विज्ञान और चिकित्सा उपकरण
ट्रेसर कैनेटीक्स में विसंक्रमण का विशिष्ट उपयोग है। उदाहरण के लिए, रक्त में हार्मोन की सांद्रता को मापते समय, इसके स्राव की दर का अनुमान विसंक्रमण द्वारा लगाया जा सकता है। एक अन्य उदाहरण मापा अंतरालीय ग्लूकोज से रक्त ग्लूकोज एकाग्रता का अनुमान है, जो वास्तविक रक्त ग्लूकोज के समय और आयाम में विकृत संस्करण है।

अवशोषण स्पेक्ट्रा
Deconvolution बड़े पैमाने पर अवशोषण स्पेक्ट्रोस्कोपी के लिए लागू किया गया है। :de:Van-Cittert-Dekonvolution (जर्मन में लेख) का उपयोग किया जा सकता है।

फूरियर रूपांतरण पहलू
Deconvolution फूरियर रूपांतरण में विभाजन के लिए मानचित्र | फूरियर सह-डोमेन। यह डीकोनवोल्यूशन को प्रयोगात्मक डेटा के साथ आसानी से लागू करने की अनुमति देता है जो फूरियर रूपांतरण के अधीन हैं। उदाहरण एनएमआर स्पेक्ट्रोस्कोपी है जहां डेटा समय डोमेन में दर्ज किया जाता है, लेकिन आवृत्ति डोमेन में विश्लेषण किया जाता है।  घातीय कार्य द्वारा समय-डोमेन डेटा का विभाजन आवृत्ति डोमेन में लोरेंत्ज़ियन लाइनों की चौड़ाई को कम करने का प्रभाव है।

यह भी देखें

 * संक्रमण
 * बिट प्लेन
 * डिजिटल फिल्टर
 * फ़िल्टर (सिग्नल प्रोसेसिंग)
 * फिल्टर डिजाइन
 * न्यूनतम चरण
 * स्वतंत्र घटक विश्लेषण
 * वीनर डीकोनवोल्यूशन
 * रिचर्डसन-लुसी डीकोनोवोल्यूशन
 * डिजिटल कक्ष सुधार
 * नि: शुल्क deconvolution
 * प्वाइंट स्प्रेड फंक्शन
 * डीब्लरिंग
 * अनशार्प मास्किंग