समीकरण हल करना

गणित में, एक समीकरण को हल करने के लिए इसका समाधान खोजना है, जो मान (संख्या, फ़ंक्शन (गणित), सेट (गणित), आदि) हैं जो समीकरण द्वारा बताई गई शर्तों को पूरा करते हैं, जिसमें आम तौर पर दो अभिव्यक्ति (गणित) शामिल हैं। s बराबर के चिह्न से संबंधित है। समाधान खोजते समय, एक या अधिक चर (गणित) को अज्ञात के रूप में नामित किया जाता है। एक समाधान अज्ञात चरों के मानों का एक असाइनमेंट है जो समीकरण में समानता को सत्य बनाता है। दूसरे शब्दों में, एक समाधान एक मूल्य या मूल्यों का एक संग्रह है (प्रत्येक अज्ञात के लिए एक) जैसे, जब अज्ञात के लिए प्रतिस्थापन (बीजगणित), समीकरण एक समानता (गणित) बन जाता है। किसी समीकरण के हल को अक्सर समीकरण का मूल कहा जाता है, विशेष रूप से लेकिन केवल बहुपद समीकरणों के लिए नहीं। किसी समीकरण के सभी हलों का समुच्चय उसका हल समुच्चय होता है।

एक समीकरण को संख्यात्मक गणित या प्रतीकात्मक रूप से हल किया जा सकता है। किसी समीकरण को 'संख्यात्मक' रूप से हल करने का अर्थ है कि केवल संख्याओं को हल के रूप में स्वीकार किया जाता है। किसी समीकरण को 'प्रतीकात्मक' रूप से हल करने का अर्थ है कि भावों का उपयोग समाधानों को निरूपित करने के लिए किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ अज्ञात के लिए हल किया जाता है $x$ अभिव्यक्ति द्वारा $f(x) = 0$, क्योंकि प्रतिस्थापन $x + y = 2x – 1$ के लिए $x = y + 1$ समीकरण में परिणाम $y + 1$, सत्य कथन। चर लेना भी संभव है $x$ अज्ञात होना, और फिर समीकरण द्वारा हल किया जाता है $(y + 1) + y = 2(y + 1) – 1$. या $y$ और $y = x – 1$ क्या दोनों को अज्ञात के रूप में माना जा सकता है, और फिर समीकरण के कई समाधान हैं; प्रतीकात्मक समाधान है $x$, जहां चर $a$ कोई मूल्य ले सकता है। विशिष्ट संख्याओं के साथ एक सांकेतिक समाधान का दृष्टांत एक संख्यात्मक समाधान देता है; उदाहरण के लिए, $y$ देता है $(x, y) = (a + 1, a)$ (वह है, $a = 0$), और $(x, y) = (1, 0)$ देता है $x = 1, y = 0$.

ज्ञात चर और अज्ञात चर के बीच अंतर आम तौर पर समस्या के बयान में समीकरण जैसे वाक्यांशों द्वारा किया जाता है $x$ और $y$, या के लिए हल करें $a = 1$ और $(x, y) = (2, 1)$, जो यहां अज्ञात को इंगित करते हैं $x$ और $y$. हालाँकि, आरक्षित करना आम है $x$, $y$, $z$, ... अज्ञात को निरूपित करने के लिए, और उपयोग करने के लिए $a$, $b$, $c$, ... ज्ञात चरों को निरूपित करने के लिए, जिन्हें अक्सर पैरामीटर कहा जाता है। द्विघात समीकरण जैसे बहुपद समीकरणों पर विचार करते समय यह आमतौर पर मामला होता है। हालाँकि, कुछ समस्याओं के लिए, सभी चर या तो भूमिका ग्रहण कर सकते हैं।

संदर्भ के आधार पर, एक समीकरण को हल करने में या तो कोई भी समाधान (एकल समाधान खोजना पर्याप्त है), सभी समाधान, या एक समाधान जो आगे के गुणों को संतुष्ट करता है, जैसे किसी दिए गए अंतराल (गणित) से संबंधित हो सकता है। जब कार्य किसी मानदंड के तहत सबसे अच्छा समाधान खोजना है, तो यह एक अनुकूलन समस्या है। एक अनुकूलन समस्या को हल करने को आम तौर पर समीकरण हल करने के रूप में संदर्भित नहीं किया जाता है, क्योंकि, आम तौर पर, बेहतर समाधान खोजने के लिए हल करने के तरीके एक विशेष समाधान से शुरू होते हैं, और अंततः सर्वोत्तम समाधान खोजने तक प्रक्रिया को दोहराते हैं।

सिंहावलोकन
समीकरण का एक सामान्य रूप है
 * $$f\left(x_1,\dots,x_n\right)=c,$$

कहां $f$ एक कार्य (गणित) है, $x$ अज्ञात हैं, और $y$ एक स्थिरांक है। इसके समाधान उलटी छवि के तत्व हैं
 * $$f^{-1}(c)=\bigl\{(a_1,\dots,a_n)\in D\mid f\left(a_1,\dots,a_n\right)=c\bigr\},$$

कहां $x_{1}, ..., x_{n}$ फ़ंक्शन के फ़ंक्शन का डोमेन है $f$. समाधान का समुच्चय रिक्त समुच्चय हो सकता है (कोई समाधान नहीं है), एक सिंगलटन (गणित) (बिल्कुल एक ही समाधान है), परिमित या अनंत (असीम रूप से कई समाधान हैं)।

उदाहरण के लिए, एक समीकरण जैसे
 * $$3x+2y=21z,$$

अज्ञात के साथ $c$ और $D$, घटाकर उपरोक्त रूप में रखा जा सकता है $x, y$ प्राप्त करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों से
 * $$3x+2y-21z=0$$

इस विशेष मामले में केवल एक समाधान नहीं है, बल्कि समाधानों का एक अनंत सेट है, जिसे बिल्डर नोटेशन सेट करें के रूप में लिखा जा सकता है
 * $$\bigl\{(x,y,z)\mid 3x+2y-21z=0\bigr\}.$$

एक खास उपाय है $z$. दो और उपाय हैं $21z$, और $x = 0, y = 0, z = 0$. त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक अद्वितीय विमान (ज्यामिति) है जो इन निर्देशांकों के साथ तीन बिंदुओं से होकर गुजरता है, और यह विमान उन सभी बिंदुओं का समुच्चय है जिनके निर्देशांक समीकरण के समाधान हैं।

समाधान सेट


समीकरणों या असमानता (गणित) के दिए गए सेट का समाधान सेट इसके सभी समाधानों का सेट (गणित) है, एक समाधान मानों का एक टपल है, प्रत्येक अज्ञात (गणित) के लिए एक, जो सभी समीकरणों या असमानताओं को संतुष्ट करता है। यदि समाधान सेट खाली है, तो अज्ञात का कोई मान नहीं है जो एक साथ सभी समीकरणों और असमानताओं को संतुष्ट करता हो।

एक साधारण उदाहरण के लिए, समीकरण पर विचार करें
 * $$x^2=2.$$

इस समीकरण को डायोफैंटाइन समीकरण के रूप में देखा जा सकता है, यानी एक समीकरण जिसके लिए केवल पूर्णांक समाधान मांगे जाते हैं। इस मामले में, समाधान सेट खाली सेट है, क्योंकि 2 एक पूर्णांक का वर्ग (बीजगणित) नहीं है। हालाँकि, यदि कोई वास्तविक संख्या समाधान खोजता है, तो दो समाधान हैं, $x = 3, y = 6, z = 1$ और $x = 8, y = 9, z = 2$; दूसरे शब्दों में, समाधान सेट है $x^{2}⁄4 + y^{2} = 1$.

जब एक समीकरण में कई अज्ञात होते हैं, और जब किसी के पास समीकरणों से अधिक अज्ञात के साथ कई समीकरण होते हैं, तो समाधान सेट अक्सर अनंत होता है। इस स्थिति में, समाधानों को सूचीबद्ध नहीं किया जा सकता है। उनका प्रतिनिधित्व करने के लिए, एक पैरामीट्रिजेशन ([[ज्यामिति)]] अक्सर उपयोगी होता है, जिसमें कुछ अज्ञात या सहायक चर के संदर्भ में समाधान व्यक्त करना शामिल होता है। यह तब संभव है जब सभी समीकरण रैखिक समीकरण हों।

इस तरह के अनंत समाधान सेट स्वाभाविक रूप से रेखा (ज्यामिति), वक्र (ज्यामिति) (चित्र देखें), विमान (ज्यामिति), और अधिक सामान्यतः बीजगणितीय विविधता या कई गुना जैसे ज्यामिति आकृतियों के रूप में व्याख्या किए जा सकते हैं। विशेष रूप से, बीजगणितीय ज्यामिति को बीजगणितीय समीकरणों के समाधान सेट के अध्ययन के रूप में देखा जा सकता है।

समाधान के तरीके
समीकरणों को हल करने के तरीके आम तौर पर समीकरण के प्रकार, समीकरण में अभिव्यक्ति के प्रकार और अज्ञात द्वारा ग्रहण किए जा सकने वाले मानों के प्रकार पर निर्भर करते हैं। समीकरणों के प्रकारों में विविधता बड़ी है, और इसी तरह की विधियाँ भी हैं। नीचे केवल कुछ विशिष्ट प्रकारों का उल्लेख किया गया है।

सामान्य तौर पर, समीकरणों के एक वर्ग को देखते हुए, कोई ज्ञात व्यवस्थित विधि (कलन विधि) नहीं हो सकती है जो काम करने की गारंटी हो। यह गणितीय ज्ञान की कमी के कारण हो सकता है; सदियों के प्रयास के बाद ही कुछ समस्याओं का समाधान हुआ। लेकिन यह यह भी दर्शाता है कि, सामान्य तौर पर, ऐसी कोई विधि मौजूद नहीं हो सकती है: कुछ समस्याओं को एल्गोरिद्म द्वारा अघुलनशील समस्या के रूप में जाना जाता है, जैसे कि हिल्बर्ट की दसवीं समस्या, जो 1970 में अघुलनशील साबित हुई थी।

समीकरणों के कई वर्गों के लिए, उन्हें हल करने के लिए एल्गोरिदम पाए गए हैं, जिनमें से कुछ को कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों में लागू और शामिल किया गया है, लेकिन अक्सर पेंसिल और कागज की तुलना में अधिक परिष्कृत तकनीक की आवश्यकता नहीं होती है। कुछ अन्य मामलों में, अनुमानी तरीके ज्ञात हैं जो अक्सर सफल होते हैं लेकिन सफलता की ओर ले जाने की गारंटी नहीं होती है।

क्रूर बल, परीक्षण और त्रुटि, प्रेरित अनुमान
यदि किसी समीकरण का समाधान सेट एक सीमित सेट तक सीमित है (उदाहरण के लिए, मॉड्यूलर अंकगणित में समीकरणों के मामले में), या संभावनाओं की एक सीमित संख्या तक सीमित किया जा सकता है (जैसा कि कुछ डायोफैंटिन समीकरणों के मामले में है), तो समाधान सेट को क्रूर-बल खोज द्वारा पाया जा सकता है, अर्थात प्रत्येक संभावित मान (उम्मीदवार समाधान) का परीक्षण करके। यह मामला हो सकता है, हालांकि, विचार की जाने वाली संभावनाओं की संख्या, हालांकि परिमित, इतनी बड़ी है कि एक संपूर्ण खोज व्यावहारिक रूप से संभव नहीं है; यह वास्तव में, मजबूत कूटलेखन विधियों के लिए एक आवश्यकता है।

जैसा कि सभी प्रकार की समस्या समाधान के साथ होता है, परीक्षण और त्रुटि कभी-कभी एक समाधान उत्पन्न कर सकते हैं, विशेष रूप से जहां समीकरण का रूप, या किसी ज्ञात समाधान के साथ किसी अन्य समीकरण से इसकी समानता, समाधान पर प्रेरित अनुमान लगा सकता है। यदि एक अनुमान, जब परीक्षण किया जाता है, एक समाधान होने में विफल रहता है, जिस तरह से यह विफल होता है, उस पर विचार करने से एक संशोधित अनुमान हो सकता है।

प्रारंभिक बीजगणित
एक वास्तविक मूल्यवान अज्ञात के रैखिक या सरल तर्कसंगत कार्यों से जुड़े समीकरण, कहते हैं $x$, जैसे कि


 * $$8x+7=4x+35 \quad \text{or} \quad \frac{4x + 9}{3x + 4} = 2 \, ,$$

प्रारंभिक बीजगणित के तरीकों का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली
प्रारंभिक बीजगणित के तरीकों से इसी तरह रैखिक समीकरणों की छोटी प्रणाली को हल किया जा सकता है। बड़ी प्रणालियों को हल करने के लिए, एल्गोरिदम का उपयोग किया जाता है जो रैखिक बीजगणित पर आधारित होते हैं।

बहुपद समीकरण
चार तक की डिग्री के बहुपद समीकरणों को बीजगणितीय विधियों का उपयोग करके ठीक से हल किया जा सकता है, जिनमें से द्विघात सूत्र सबसे सरल उदाहरण है। पांच या अधिक की डिग्री वाले बहुपद समीकरणों के लिए सामान्य संख्यात्मक विधियों (नीचे देखें) या विशेष कार्यों जैसे रेडिकल्स लाने की आवश्यकता होती है, हालांकि कुछ विशिष्ट मामलों को बीजगणितीय रूप से हल किया जा सकता है, उदाहरण के लिए
 * $$4x^5 - x^3 - 3 = 0$$

(तर्कसंगत मूल प्रमेय का उपयोग करके), और
 * $$x^6 - 5x^3 + 6 = 0 \, ,$$

(प्रतिस्थापन का उपयोग करके $\sqrt{2}$, जो इसे द्विघात समीकरण में सरल करता है $z$).

डायोफैंटाइन समीकरण
डायोफैंटाइन समीकरणों में समाधान पूर्णांक होना आवश्यक है। जैसा ऊपर बताया गया है, कुछ मामलों में क्रूर बल दृष्टिकोण का उपयोग किया जा सकता है। कुछ अन्य मामलों में, विशेष रूप से यदि समीकरण एक अज्ञात में है, तो परिमेय संख्या-मूल्यवान अज्ञात के लिए समीकरण को हल करना संभव है (तर्कसंगत मूल प्रमेय देखें), और फिर समाधान सेट को पूर्णांक तक सीमित करके डायोफैंटाइन समीकरण का समाधान खोजें। -मूल्यवान समाधान। उदाहरण के लिए, बहुपद समीकरण
 * $$2x^5-5x^4-x^3-7x^2+2x+3=0\,$$

तर्कसंगत समाधान के रूप में है $–\sqrt{2}$ और $\{\sqrt{2}, −\sqrt{2}\}$, और इसलिए, डायोफैंटाइन समीकरण के रूप में देखा जाता है, इसका अनूठा समाधान है $x = z^$.

सामान्य तौर पर, हालांकि, डायोफैंटाइन समीकरण हल करने के लिए सबसे कठिन समीकरणों में से हैं।

उलटा कार्य
एक चर के एक समारोह के साधारण मामले में, कहते हैं, $x = −1⁄2$, हम फॉर्म के समीकरण को हल कर सकते हैं $x = 3$ कुछ स्थिर के लिए $c$ के व्युत्क्रम क्रिया के रूप में जाना जाता है पर विचार करके $h$.

एक समारोह दिया $x = 3$, उलटा कार्य, निरूपित $h(x)$ और के रूप में परिभाषित किया गया है $h(x) = c$, एक ऐसा कार्य है


 * $$h^{-1}\bigl(h(x)\bigr) = h\bigl(h^{-1}(x)\bigr) = x \,.$$

अब, यदि हम व्युत्क्रम फलन को दोनों पक्षों पर लागू करते हैं $h : A → B$, कहां $c$ में एक स्थिर मान है $B$, हमने प्राप्त किया


 * $$\begin{align}

h^{-1}\bigl(h(x)\bigr) &= h^{-1}(c) \\ x &= h^{-1}(c) \\ \end{align}$$ और हमें समीकरण का हल मिल गया है। हालाँकि, फ़ंक्शन के आधार पर, व्युत्क्रम को परिभाषित करना मुश्किल हो सकता है, या सभी सेट पर फ़ंक्शन नहीं हो सकता है $h^{−1}$ (केवल कुछ सबसेट पर), और किसी बिंदु पर कई मान हैं।

यदि पूर्ण समाधान सेट के बजाय केवल एक समाधान करेगा, तो यह वास्तव में केवल कार्यात्मक पहचान के लिए पर्याप्त है


 * $$h\left(h^{-1}(x)\right) = x$$

रखती है। उदाहरण के लिए, प्रक्षेपण (गणित) $h^{−1} : B → A$ द्वारा परिभाषित $h(x) = c$ इसका कोई उत्तर-प्रतिलोम नहीं है, लेकिन इसका एक पूर्व-प्रतिलोम है $B$ द्वारा परिभाषित $π_{1} : R^{2} → R$. दरअसल, समीकरण $π_{1}(x, y) = x$ द्वारा हल किया जाता है


 * $$(x,y) = \pi_1^{-1}(c) = (c,0).$$

व्युत्क्रम कार्यों के उदाहरणों में शामिल हैं nth रूट |$n$जड़ (उलटा $π−1 1$); लघुगणक (के विपरीत $π−1 1(x) = (x, 0)$); व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्य; और लैम्बर्ट का डब्ल्यू फ़ंक्शन | लैम्बर्ट का $W$ समारोह (उलटा $π_{1}(x, y) = c$).

गुणनखंड
यदि किसी समीकरण के बाएँ हाथ की ओर का व्यंजक $x^{n}$ गुणनखंडन के रूप में हो सकता है $a^{x}$, मूल समाधान के समाधान सेट में दो समीकरणों के समाधान सेटों का मिलन होता है $xe^{x}$ और $P = 0$. उदाहरण के लिए, समीकरण
 * $$\tan x + \cot x = 2$$

पहचान का उपयोग करके फिर से लिखा जा सकता है $P = QR$ जैसा
 * $$\frac{\tan^2 x -2 \tan x+1}{\tan x} = 0,$$

जिसे गुणनखंडित किया जा सकता है
 * $$\frac{\left(\tan x - 1\right)^2}{\tan x}= 0.$$

समाधान इस प्रकार समीकरण के समाधान हैं $Q = 0$, और इस प्रकार सेट हैं
 * $$x = \tfrac{\pi}{4} + k\pi, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots.$$

संख्यात्मक तरीके
वास्तविक या जटिल संख्याओं में अधिक जटिल समीकरणों के साथ, समीकरणों को हल करने के सरल तरीके विफल हो सकते हैं। अक्सर, न्यूटन-रैफसन विधि जैसे रूट-खोज एल्गोरिदम का उपयोग समीकरण के संख्यात्मक समाधान को खोजने के लिए किया जा सकता है, जो कुछ अनुप्रयोगों के लिए कुछ समस्या को हल करने के लिए पूरी तरह से पर्याप्त हो सकता है।

मैट्रिक्स समीकरण
वास्तविक संख्याओं के मैट्रिक्स (गणित) और वेक्टर (गणित और भौतिकी) से जुड़े समीकरणों को अक्सर रैखिक बीजगणित के तरीकों का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

विभेदक समीकरण
संख्यात्मक गणित और कलन दोनों, विभिन्न प्रकार के अवकल समीकरणों को हल करने के लिए विधियों का एक विशाल निकाय है। समस्या का एक विशेष वर्ग जिसे यहाँ संबंधित माना जा सकता है, अभिन्न है, और इस प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए विश्लेषणात्मक तरीकों को अब प्रतीकात्मक एकीकरण कहा जाता है। अवकल समीकरणों के हल निहित फलन या स्पष्ट हो सकते हैं।

यह भी देखें

 * अप्रासंगिक और लापता समाधान
 * युगपत समीकरण
 * समीकरण गुणांक
 * जियोडेसिक समीकरणों को हल करना
 * एकीकरण (कंप्यूटर विज्ञान) - सांकेतिक भाव वाले समीकरणों को हल करना

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * अंक शास्त्र
 * समाधान सेट
 * बराबर का चिह्न
 * समारोह (गणित)
 * किसी फ़ंक्शन का डोमेन
 * खाली सेट
 * COORDINATES
 * समतल ज्यामिति)
 * त्रि-आयामी स्थान
 * कार्तिजीयन समन्वय
 * अंडाकार
 * बीजगणितीय किस्म
 * रेखीय समीकरण
 * कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली
 * न सुलझने वाली समस्या
 * परीक्षण त्रुटि विधि
 * समस्या को सुलझाना
 * विस्तृत भाषण
 * प्राथमिक बीजगणित
 * लीनियर अलजेब्रा
 * कट्टरपंथी लाओ
 * तर्कसंगत जड़ प्रमेय
 * तर्कसंगत संख्या
 * उलटा काम करना
 * लोगारित्म
 * उलटा त्रिकोणमितीय समारोह
 * रूट-फाइंडिंग एल्गोरिदम
 * गणना
 * अंतर समीकरण
 * निहित समारोह
 * विलुप्त और लापता समाधान