ट्री (ग्राफ सिद्धांत)

आरेख सिद्धांत में,वृक्ष एक ऐसा अविरोधी आरेख है जिसमें प्रत्येक दो शीर्षो को एक ही पथ या समानरूप से एक जुड़ा हुआ अविरोधी अनिर्देशित आरेख है। एक वन एक अविन्यास अभिमुखीय आरेख है जिसमें किसी भी दो शीर्षो को अधिकतम एक मार्ग द्वारा जोड़ा जाता है, समानांतर रूप से एक अविन्यास अभिमुखीय आरेख है, या समानांतर रूप से वृक्षों का असंगठित संयुक्त संघ है।

एक पॉलीट्री निर्देशित अविन्यासी आरेख (डीएजी ) होता है जिसका अंशकालिक अविन्यासहीन आरेख एक वृक्ष होता है। एक पॉलीफॉरेस्ट या निर्देशित वन या उन्मुख वन एक निर्देशित चक्रीय आरेख है जिसका अंतर्निहित अप्रत्यक्ष आरेख एक वन है।

कम्प्यूटर विज्ञान में वृक्ष के रूप में संदर्भित विभिन्न प्रकार के डेटा संरचनाएं आरेख सिद्धांत में वृक्ष होते हैं,यद्यपि ऐसी डेटा संरचनाएं सामान्यतः जड़ वृक्ष होते हैं। जड़ वृक्ष संचालित हो सकता है, जिसे संचालित जड़ वृक्ष कहा जाता है, या तो इसके सभी सीधे बाएं तरफ दिखाने के लिए संचालित किया जाता है - जिसके लिए इसे एक वृक्षारूपता या बाहरी- वृक्ष कहा जाता है - या फिर इसके सभी सीधे दाएं तरफ दिखाने के लिए संचालित किया जाता है - जिसके लिए इसे प्रतिरोधी-वृक्षारूपता या आंतरिक-वृक्ष कहा जाता है। कुछ लेखकों ने जड़ वृक्ष को एक संचालित आरेख के रूप में परिभाषित किया है।  एक जड़ वाले वन का अर्थ होता है कि इसमें कई अलग-अलग जड़ वाले पेड़ों का विभाजन होता है।एक जड़ वाले वन को निर्देशित भी किया जा सकता है, जिसे निर्देशित जड़ वाले वन कहा जाता है। जब हर जड़ वाले पेड़ के सभी एज जड़ से दूर दिखाई देते हैं, तब उसे एक शाखन' या बाहरी-वन कहा जाता है।- या इसके सभी किनारों को बनाना प्रत्येक जड़ वाले वृक्ष में जड़ की ओर इंगित करते हैं - इस विषय में इसे शाखा-विरोधी या वन कहा जाता है।

वृक्ष शब्द का उल्लेख पहली बार 1857 में ब्रिटिश गणितीय आर्थर केली ने किया था।

वृक्ष
एक वृक्ष एक अप्रत्यक्ष आरेख $G$ है,जो निम्न समकक्ष स्थितियों में से किसी एक को पूरा करता है: यदि G के बहुत से शीर्ष हैं, उनमें से n मान लीजिए,तो उपरोक्त कथन निम्न में से किसी भी स्थिति के समतुल्य हैं: आरेख सिद्धांत में कहीं और के रूप में, क्रम-शून्य आरेख को सामान्यतः एक वृक्ष नहीं माना जाता है,जबकि यह रिक्त रूप से एक आरेख            ़ के रूप में जुड़ा हुआ है (किसी भी दो कोने को एक पथ से जोड़ा जा सकता है), यह n नहीं है एन-जुड़ा हुआ|0-कनेक्टेड (या यहां तक ​​कि (−1)-कनेक्टेड) ​​बीजगणितीय टोपोलॉजी में, गैर-खाली वृक्ष            ों के विपरीत, और किनारों के संबंध की तुलना में एक और शीर्ष का उल्लंघन करता है। हालाँकि, इसे शून्य वृक्ष            ों वाला वन             माना जा सकता है।
 * $G$ जुड़ा हुआ और वह अचक्रीय होता है (कोई चक्र नहीं होता)।
 * $G$ चक्रीय है, और यदि कोई शीर्ष G में जोड़ा जाता है तो एक सरल चक्र बनता है।
 * $G$ जुड़ा हुआ है, परंतु यदि $G$ से किसी एक शीर्ष को हटा दिया जाए तो यह असंगत हो जाएगा।
 * $G$ जुड़ा हुआ है और 3-शीर्ष पूर्ण आरेख K3 $G$ का लघु नहीं है।
 * G में किन्हीं भी दो शीर्षों को एक अद्वितीय सरल पथ से जोड़ा जा सकता है।
 * $G$ जुड़ा हुआ है और है $n − 1$ शीर्ष है।
 * $G$ जुड़ा हुआ है, और हर उपआरेख का $G$ शून्य या एक घटना शीर्षों के साथ कम से कम एक शीर्ष सम्मिलित है।
 * G का कोई सरल चक्र नहीं है और इसमें n − 1 शीर्ष है।

एक (या इनर वर्टेक्स) कम से कम 2  डिग्री (आरेख             सिद्धांत) का एक वर्टेक्स है। इसी तरह, एक  (या बाहरी शीर्ष, टर्मिनल शीर्ष या पत्ती) 1 डिग्री का शीर्ष है। एक वृक्ष             में एक शाखा शीर्ष कम से कम 3 डिग्री का शीर्ष है। एक (या शृंखला-घटा हुआ वृक्ष) एक ऐसा वृक्ष है जिसमें डिग्री 2 का कोई शीर्ष नहीं है (अनुक्रम में प्रगणित  OEIS में)।

वन
ए एक अप्रत्यक्ष आरेख            ़ है जिसमें कोई भी दो कोने ज़्यादा से ज़्यादा एक रास्ते से जुड़े होते हैं। समतुल्य रूप से, वन एक अप्रत्यक्ष चक्रीय आरेख             है, जिसके सभी जुड़े घटक (आरेख             सिद्धांत) वृक्ष             हैं; दूसरे शब्दों में, आरेख            ़ में वृक्ष            ों के आरेख            ़ का एक असम्बद्ध संघ होता है। विशेष मामलों के रूप में, ऑर्डर-ज़ीरो आरेख            ़ (शून्य वृक्ष            ों वाला एक वन            ), एक अकेला वृक्ष             और एक बिना धार वाला आरेख            ़, वन            ों के उदाहरण हैं। चूंकि हर वृक्ष            के लिए $V − E = 1$, हम कुल शीर्षों और कुल किनारों के बीच के अंतर को घटाकर वन             के भीतर मौजूद वृक्ष            ों की संख्या आसानी से गिन सकते हैं। $TV − TE =$ वन             में वृक्ष            ों की संख्या।

पॉलीट्री
ए (या निर्देशित वृक्ष             या उन्मुख वृक्ष  या अकेले जुड़े नेटवर्क एक निर्देशित चक्रीय आरेख             (DAG) है जिसका अंतर्निहित अप्रत्यक्ष आरेख             एक वृक्ष             है। दूसरे शब्दों में, यदि हम इसके निर्देशित किनारों को अप्रत्यक्ष किनारों से प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें एक अप्रत्यक्ष आरेख             प्राप्त होता है जो जुड़ा हुआ है और अचक्रीय है।

कुछ लेखक वाक्यांश निर्देशित ट्री को उस मामले तक सीमित करें जहां किनारों को एक विशेष शीर्ष की ओर निर्देशित किया जाता है, या सभी को एक विशेष शीर्ष से दूर निर्देशित किया जाता है (अरबोरेसेंस (आरेख            सिद्धांत) देखें)।

पॉलीफ़ॉरेस्ट
ए (या निर्देशित वन या उन्मुख वन) एक निर्देशित चक्रीय आरेख             है जिसका अंतर्निहित अप्रत्यक्ष आरेख             एक वन             है। दूसरे शब्दों में, यदि हम इसके निर्देशित किनारों को अप्रत्यक्ष किनारों से प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें एक अप्रत्यक्ष आरेख             प्राप्त होता है जो चक्रीय है।

कुछ लेखक वाक्यांश निर्देशित वन को उस मामले तक सीमित करें जहां प्रत्येक जुड़े घटक के किनारों को एक विशेष शीर्ष की ओर निर्देशित किया जाता है, या सभी को एक विशेष शीर्ष से दूर निर्देशित किया जाता है (आर्बोरेसेंस (आरेख           ़ सिद्धांत) देखें)।

जड़ वाला वृक्ष
ए एक वृक्ष है जिसमें एक शीर्ष को जड़ निर्दिष्ट किया गया है। एक जड़ वाले वृक्ष             के किनारों को एक प्राकृतिक अभिविन्यास दिया जा सकता है, या तो जड़ से दूर या उसकी ओर, जिस स्थिति में संरचना एक निर्देशित जड़ वाला वृक्ष             बन जाती है। जब एक निर्देशित जड़ वाले वृक्ष             का एक अभिविन्यास जड़ से दूर होता है, तो इसे अर्बोरेसेंस कहा जाता है या आउट-ट्री; जब इसका जड़              की ओर ओरिएंटेशन होता है, तो इसे एंटी-अर्बोरेसेंस या इन-ट्री कहा जाता है। वृक्ष-क्रम एक वृक्ष के शीर्ष पर आंशिक क्रम है $u < v$ अगर और केवल अगर जड़              से अद्वितीय पथ $v$ के माध्यम से गुजरता $u$. एक जड़ वाला वृक्ष            $T$ जो आरेख             थ्योरी की शब्दावली है#कुछ आरेख             के सबआरेख             $G$ एक सामान्य वृक्ष             है अगर हर का अंत होता है $T$-पथ में $G$ इस ट्री-ऑर्डर में तुलनीय हैं. जड़ वाले वृक्ष          , अक्सर अतिरिक्त संरचना के साथ जैसे कि प्रत्येक शीर्ष पर पड़ोसियों को आदेश देना, कंप्यूटर विज्ञान में एक महत्वपूर्ण डेटा संरचना है; वृक्ष डेटा संरचना देखें।

ऐसे संदर्भ में जहां वृक्ष           ों की आमतौर पर जड़ होती है, बिना किसी निर्दिष्ट जड़ वाले वृक्ष             को मुक्त वृक्ष             कहा जाता है।

एक लेबल वाला वृक्ष            एक वृक्ष             है जिसमें प्रत्येक शीर्ष को एक अद्वितीय लेबल दिया जाता है। लेबल लगे वृक्ष             के शीर्ष पर $n$ शीर्षों को आमतौर पर लेबल दिए जाते हैं $1, 2, …, n$. एक पुनरावर्ती वृक्ष एक लेबल वाला जड़ वाला वृक्ष है जहाँ शीर्ष लेबल वृक्ष क्रम का सम्मान करते हैं (अर्थात, यदि $u < v$ दो शीर्षों के लिए $u$ और $v$, फिर का लेबल $u$ के लेबल से छोटा है $v$).

जड़ वाले वृक्ष            में, शीर्ष का जनक $v$ शीर्ष से जुड़ा है $v$ पथ पर (आरेख            ़ सिद्धांत) जड़              पर; प्रत्येक शीर्ष का एक विशिष्ट जनक होता है सिवाय उस जड़ के जिसका कोई जनक नहीं है। एक शीर्ष का बच्चा $v$ जिसका एक शीर्ष है $v$ जनक है। किसी शीर्ष का आरोही $v$ कोई भी शीर्ष है जो या तो जनक है $v$ या (पुनरावर्ती) माता-पिता का आरोही है $v$. एक शीर्ष का वंशज $v$ कोई भी शीर्ष है जिसका या तो संतति है $v$ या (पुनरावर्ती) किसी भी बच्चे का वंशज है $v$. एक शीर्ष के लिए एक भाई $v$ वृक्ष            पर कोई अन्य शीर्ष है जिसके माता-पिता समान हैं $v$. पत्ता बिना सन्तान वाला शीर्ष है। आंतरिक शीर्ष वह शीर्ष है जो पत्ती नहीं है।

एक जड़ वाले वृक्ष            में एक शीर्ष की ऊंचाई उस शीर्ष से एक पत्ती के सबसे लंबे नीचे की ओर जाने वाले पथ की लंबाई है। वृक्ष             की ऊंचाई जड़ की ऊंचाई है। किसी शीर्ष की गहराई उसके जड़              (जड़              पाथ) तक के पथ की लंबाई होती है। यह आमतौर पर विभिन्न स्व-संतुलन वाले वृक्ष            ों, विशेष रूप से AVL वृक्ष            ों के हेरफेर में आवश्यक है। जड़ की गहराई शून्य होती है, पत्तियों की ऊँचाई शून्य होती है, और केवल एक शीर्ष वाले वृक्ष             (इसलिए जड़ और पत्ती दोनों) की गहराई और ऊँचाई शून्य होती है। परंपरागत रूप से, एक खाली वृक्ष             (बिना किसी कोने वाला वृक्ष           , अगर इसकी अनुमति है) की गहराई और ऊंचाई -1 होती है।

एक के-आर्य वृक्ष |$k$-आर्य वृक्ष एक जड़ वाला वृक्ष है जिसमें प्रत्येक शीर्ष पर अधिकतम होता है $k$ बच्चे। 2-एरी वृक्ष           ों को अक्सर बाइनरी ट्री कहा जाता है, जबकि 3-एरी वृक्ष            ों को कभी-कभी  त्रिगुट वृक्ष  कहा जाता है।

आदेश दिया गया वृक्ष
एक आदेशित वृक्ष (या समतल वृक्ष) एक जड़ वाला वृक्ष है जिसमें प्रत्येक शीर्ष के बच्चों के लिए एक क्रम निर्दिष्ट किया जाता है। इसे प्लेन ट्री कहा जाता है क्योंकि चिल्ड्रन का क्रम प्लेन में ट्री के एंबेडिंग के बराबर होता है, जिसमें जड़             सबसे ऊपर होता है और प्रत्येक वर्टेक्स के चिल्ड्रेन उस वर्टेक्स से नीचे होते हैं। विमान में जड़ वाले वृक्ष             की एम्बेडिंग को देखते हुए, यदि कोई बच्चों की दिशा को ठीक करता है, तो बाएं से दाएं कहें, तो एक एम्बेडिंग बच्चों का आदेश देता है। इसके विपरीत, एक आदेश दिया गया वृक्ष             दिया गया है, और परंपरागत रूप से शीर्ष पर जड़ खींच रहा है, फिर एक आदेशित वृक्ष             में बच्चे के कोने को बाएं से दाएं खींचा जा सकता है, जो अनिवार्य रूप से अद्वितीय प्लानर एम्बेडिंग प्रदान करता है।

गुण

 * हर वृक्ष            एक द्विदलीय आरेख             है। एक आरेख             द्विदलीय है यदि और केवल यदि इसमें विषम लंबाई का कोई चक्र नहीं है। चूँकि एक वृक्ष             में कोई चक्र नहीं होता है, यह द्विदलीय होता है।
 * केवल गणनीय सेट  कई वर्टिकल वाला हर वृक्ष             एक प्लेनर आरेख             है।
 * प्रत्येक जुड़ा हुआ आरेख            G एक फैले हुए वृक्ष             (गणित) को स्वीकार करता है, जो एक ऐसा वृक्ष             है जिसमें G का प्रत्येक शीर्ष होता है और जिसके किनारे G के किनारे होते हैं। अधिक विशिष्ट प्रकार के फैले हुए वृक्ष           , प्रत्येक जुड़े परिमित आरेख             में मौजूद होते हैं, जिनमें गहराई-पहले खोज वृक्ष             शामिल हैं और चौड़ाई-पहले खोज वृक्ष            । गहराई-पहली खोज के अस्तित्व को सामान्य करते हुए, केवल काउंटेबल सेट के साथ हर जुड़े आरेख             में कई वर्टिकल में एक ट्रैमॉक्स ट्री होता है। हालाँकि, कुछ बेशुमार सेट आरेख            ़ में ऐसा कोई वृक्ष             नहीं होता है।
 * प्रत्येक परिमित वृक्ष n शीर्षों के साथ, साथ n > 1, कम से कम दो टर्मिनल शीर्ष (पत्तियां) हैं। पत्तों की यह न्यूनतम संख्या पथ आरेख           ़ की विशेषता है; अधिकतम संख्या, n − 1, केवल स्टार आरेख            ़ द्वारा प्राप्त किया जाता है। पत्तियों की संख्या कम से कम अधिकतम शीर्ष डिग्री है।
 * एक वृक्ष            में किन्हीं तीन शीर्षों के लिए, उनके बीच के तीन रास्तों में ठीक एक शीर्ष उभयनिष्ठ होता है। अधिक आम तौर पर, एक आरेख            ़ में एक शीर्ष जो तीन शीर्षों में से तीन सबसे छोटे पथों से संबंधित होता है, इन शीर्षों का माध्यिका कहलाता है। क्योंकि एक वृक्ष             में हर तीन कोने में एक अद्वितीय माध्यिका होती है, हर वृक्ष             एक माध्यिका आरेख             होता है।
 * हर वृक्ष            का एक आरेख             केंद्र होता है जिसमें एक शीर्ष या दो आसन्न कोने होते हैं। केंद्र प्रत्येक सबसे लंबे पथ में मध्य शीर्ष या मध्य दो शीर्ष होता है। इसी तरह, प्रत्येक एन-वर्टेक्स ट्री में एक केन्द्रक होता है जिसमें एक शीर्ष या दो आसन्न कोने होते हैं। पहले मामले में वर्टेक्स को हटाने से ट्री को n/2 वर्टिकल से कम के सबट्री में विभाजित किया जाता है। दूसरे मामले में, दो केन्द्रकीय शीर्षों के बीच के किनारे को हटाने से वृक्ष ठीक n/2 शीर्षों के दो उपवृक्षों में विभाजित हो जाता है।

लेबल वाले वृक्ष
केली के सूत्र में कहा गया है कि हैं $nn−2$ वृक्ष            पर $n$ लेबल वाले शीर्ष। एक क्लासिक प्रूफ प्रुफर अनुक्रम का उपयोग करता है, जो स्वाभाविक रूप से एक मजबूत परिणाम दिखाता है: शीर्ष वाले वृक्ष            ों की संख्या $1, 2, …, n$ डिग्री $d1, d2, …, dn$ क्रमशः बहुपद प्रमेय है
 * $${n - 2 \choose d_1 - 1, d_2 - 1, \ldots, d_n - 1}.$$

एक अधिक सामान्य समस्या एक अप्रत्यक्ष आरेख            में फैले हुए वृक्ष            ों की गिनती करना है, जिसे मैट्रिक्स ट्री प्रमेय द्वारा संबोधित किया जाता है। (केली का सूत्र एक पूर्ण आरेख             में फैले वृक्ष            ों का विशेष मामला है।) आकार की परवाह किए बिना सभी उप-वृक्षों को गिनने की समान समस्या सामान्य स्थिति में शार्प-पी-पूर्ण|#पी-पूर्ण है.

बिना लेबल वाले वृक्ष
बिना लेबल वाले मुक्त वृक्ष           ों की संख्या गिनना एक कठिन समस्या है। संख्या के लिए कोई बंद सूत्र नहीं $t(n)$ वृक्ष            ों के साथ $n$ आरेख             समाकृतिकता तक शीर्ष ज्ञात है। के पहले कुछ मान $t(n)$ हैं
 * 1, 1, 1, 1, 2, 3, 6, 11, 23, 47, 106, 235, 551, 1301, 3159, ….

स्पर्शोन्मुख अनुमान सिद्ध किया
 * $$t(n) \sim C \alpha^n n^{-5/2} \quad\text{as } n\to\infty,$$

साथ $C ≈ 0.534949606...$ और $α ≈ 2.95576528565...$. यहां ही $~$ चिह्न का अर्थ है
 * $$\lim_{n \to \infty} \frac{t(n)}{C \alpha^n n^{-5/2} } = 1.$$

यह संख्या के लिए उनके विषम अनुमान का परिणाम है $r(n)$ बिना लेबल वाले जड़ वाले वृक्ष            $n$ कोने:
 * $$r(n) \sim D\alpha^n n^{-3/2} \quad\text{as } n\to\infty,$$

साथ $D ≈ 0.43992401257...$ और एक सा $α$ ऊपर के रूप में (cf., बच्चू। 2.3.4.4 और , बच्चू। VII.5, पी। 475)।

के पहले कुछ मान $r(n)$ हैं
 * 1, 1, 2, 4, 9, 20, 48, 115, 286, 719, 1842, 4766, 12486, 32973, …

वृक्ष          ों के प्रकार

 * एक पथ आरेख            (या रैखिक आरेख            ) के होते हैं $n$ शीर्षों को एक पंक्ति में व्यवस्थित किया जाता है, ताकि शीर्षों को $i$ और $i + 1$ किनारे से जुड़े हुए हैं $i = 1, …, n – 1$.
 * एक तारकीय वृक्ष            में एक केंद्रीय शीर्ष होता है जिसे जड़              कहा जाता है और इससे जुड़े कई पथ आरेख             होते हैं। अधिक औपचारिक रूप से, एक वृक्ष             तारे जैसा होता है यदि उसके पास 2 से अधिक डिग्री का ठीक एक शीर्ष होता है।
 * एक तारा (आरेख            सिद्धांत) एक वृक्ष             है जिसमें एक आंतरिक शीर्ष (और $n – 1$ पत्तियाँ)। दूसरे शब्दों में, आदेश का एक तारा वृक्ष $n$ व्यवस्था का वृक्ष है $n$ अधिक से अधिक पत्तियों के साथ।
 * एक कैटरपिलर वृक्ष            एक ऐसा वृक्ष             है जिसमें सभी कोने एक केंद्रीय पथ सबआरेख             की दूरी 1 के भीतर हैं।
 * रेखांकन की एक सूची# लॉबस्टर एक वृक्ष            है जिसमें सभी शीर्ष एक केंद्रीय पथ सबआरेख             की दूरी 2 के भीतर हैं।
 * डिग्री का एक नियमित वृक्ष            $d$ अनंत वृक्ष है $d$ प्रत्येक शीर्ष पर किनारों। ये मुक्त समूहों के केली आरेख             और बिल्डिंग (गणित) के सिद्धांत के रूप में उत्पन्न होते हैं।

यह भी देखें

 * निर्णय वृक्ष
 * हाइपरट्री
 * हॉटलाइन
 * छद्मवन
 * वृक्ष संरचना (सामान्य)
 * ट्री (डेटा संरचना)
 * बिना जड़ वाला बाइनरी ट्री