कॉटन टेन्सर

अंतर ज्यामिति में, आयाम n के (छद्म)- रीमैनियन कई गुना पर कॉटन टेन्सर, मीट्रिक टेंसर का तीसरा-क्रम  टेंसर क्षेत्र के सहवर्ती होता है। n = 3 के लिए कॉटन टेंसर का लुप्त होना आवश्यक है एवं कई समतल होने के लिए पर्याप्त स्थिति होती है। इसके विपरीत, आयाम  n ≥ 4 में कॉटन टेन्सर का लुप्त होना आवश्यक है, किन्तु मीट्रिक के अनुरूप से समतल होने के लिए पर्याप्त नहीं है। इसके अतिरिक्त, इन उच्च आयामों में संबंधित आवश्यक एवं पर्याप्त स्थिति वेइल टेन्सर का लुप्त होना है, जबकि कॉटन टेन्सर केवल स्थिर समय बन जाता है, वेइल टेंसर के विचलन का स्थिर समय बन जाता है। n < 3 के लिए कॉटन टेन्सर समान रूप से शून्य है। इस अवधारणा का नाम एमिल कॉटन के नाम पर रखा गया है।

शास्त्रीय परिणाम का प्रमाण जिसके लिए n = 3 कॉटन टेन्सर का लुप्त होना मीट्रिक के अनुरूप रूप से समतल होने के समान है, ईसेनहार्ट द्वारा मानक अभिन्नता की स्थिति तर्क का उपयोग करके दिया जाता है। यह टेंसर घनत्व विशिष्ट रूप से इसके अनुरूप गुणों की विशेषता है, जो विनती के साथ युग्मित होती है, कि यह और मेट्रिक्स के लिए भिन्न हो सकती है, जैसा कि  द्वारा दिखाया गया है।

शीघ्र में ही, त्रि-आयामी रिक्त स्थान का अध्ययन अत्यधिक रुचि का हो रहा है, क्योंकि कॉटन टेन्सर रिक्की टेन्सर एवं आइंस्टीन समीकरणों में पदार्थ के ऊर्जा-संवेग टेंसर के मध्य संबंध को प्रतिबंधित करता है एवं सामान्य सापेक्षता के हैमिल्टनियन औपचारिकता में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।.

परिभाषा
निर्देशांक में Rij द्वारा रिक्की टेन्सर एवं R द्वारा अदिश वक्रता को निरूपित करते हुए कॉटन टेन्सर के घटक होते हैं।


 * $$C_{ijk} = \nabla_{k} R_{ij} - \nabla_{j} R_{ik} + \frac{1}{2(n-1)}\left( \nabla_{j}Rg_{ik} - \nabla_{k}Rg_{ij}\right).$$

कॉटन टेन्सर को 2-फॉर्म वैल्यू वाले  सदिश रूप में माना जा सकता है, एवं n = 3 के लिए हॉज स्टार ऑपरेटर का उपयोग करके इसे दूसरे ऑर्डर ट्रेस फ्री टेन्सर घनत्व में परिवर्तित किया जा सकता है।


 * $$C_i^j = \nabla_{k} \left( R_{li} - \frac{1}{4} Rg_{li}\right)\epsilon^{klj},$$

कभी-कभी इसे कॉटन यॉर्क टेंसर भी कहा जाता है।

अनुरूप पुनर्विक्रय
मीट्रिक के अनुरूप पुनर्विक्रय के अनुसार $$\tilde{g} = e^{2\omega} g$$ कुछ अदिश फ़ंक्शन के लिए $$\omega$$. हम देखते हैं, कि क्रिस्टोफेल प्रतीक इस रूप में रूपांतरित होते हैं।


 * $$\widetilde{\Gamma}^{\alpha}_{\beta\gamma}=\Gamma^{\alpha}_{\beta\gamma}+S^{\alpha}_{\beta\gamma}$$

जहाँ $$S^{\alpha}_{\beta\gamma}$$ टेंसर है,


 * $$S^{\alpha}_{\beta\gamma} = \delta^{\alpha}_{\gamma} \partial_{\beta} \omega + \delta^{\alpha}_{\beta} \partial_{\gamma} \omega - g_{\beta\gamma} \partial^{\alpha} \omega$$

रीमैन वक्रता टेन्सर के रूप में रूपांतरित होता है


 * $${\widetilde{R}^{\lambda}}{}_{\mu\alpha\beta}={R^{\lambda}}_{\mu\alpha\beta}+\nabla_{\alpha}S^{\lambda}_{\beta\mu}-\nabla_{\beta}S^{\lambda}_{\alpha\mu}+S^{\lambda}_{\alpha\rho}S^{\rho}_{\beta\mu}-S^{\lambda}_{\beta\rho}S^{\rho}_{\alpha\mu}$$

में $$n$$- आयामी कई गुना, हम रिमेंन टेन्सर को अनुबंधित करके रिक्की टेन्सर प्राप्त करते हैं, जिससे इसे इस रूप में रूपांतरित होते देखा जा सके।


 * $$\widetilde{R}_{\beta\mu}=R_{\beta\mu}-g_{\beta\mu}\nabla^{\alpha}\partial_{\alpha}\omega-(n-2)\nabla_{\mu}\partial_{\beta}\omega+(n-2)(\partial_{\mu}\omega\partial_{\beta}\omega-g_{\beta\mu}\partial^{\lambda}\omega\partial_{\lambda}\omega)$$

इसी प्रकार रिक्की अदिश के रूप में रूपांतरित होता है।


 * $$\widetilde{R}=e^{-2\omega}R-2e^{-2\omega}(n-1)\nabla^{\alpha}\partial_{\alpha}\omega-(n-2)(n-1)e^{-2\omega}\partial^{\lambda}\omega\partial_{\lambda}\omega$$

इन सभी तथ्यों को साथ में जोड़कर हमें कॉटन-यॉर्क टेन्सर के रूप में रूपांतरित होने का निष्कर्ष निकालने की अनुमति मिलती है।


 * $$\widetilde{C}_{\alpha\beta\gamma}=C_{\alpha\beta\gamma}+(n-2)\partial_{\lambda}\omega {W_{\beta\gamma\alpha}}^{\lambda}$$

या समन्वय स्वतंत्र भाषा का उपयोग करना,


 * $$ \tilde{C} = C \; + \; \operatorname{grad} \, \omega \; \lrcorner \; W,$$

जहां ग्रेडिएंट को वेइल टेन्सर W के सममित भाग में प्लग किया जाता है।

समरूपता
कॉटन टेन्सर में निम्नलिखित समरूपताएँ होती हैं।


 * $$C_{ijk} = - C_{ikj} \, $$

एवं इसलिए


 * $$C_{[ijk]} = 0. \, $$

इसके अतिरिक्त वेइल टेन्सर के लिए बियांची सूत्र को लिखा जा सकता है।


 * $$\delta W = (3-n) C, \, $$

जहाँ $$\delta$$ W के प्रथम घटक में सकारात्मक विचलन होता है।

संदर्भ

 * A. Garcia, F.W. Hehl, C. Heinicke, A. Macias (2004) "The Cotton tensor in Riemannian spacetimes", Classical and Quantum Gravity 21: 1099–1118, Eprint arXiv:gr-qc/0309008
 * A. Garcia, F.W. Hehl, C. Heinicke, A. Macias (2004) "The Cotton tensor in Riemannian spacetimes", Classical and Quantum Gravity 21: 1099–1118, Eprint arXiv:gr-qc/0309008
 * A. Garcia, F.W. Hehl, C. Heinicke, A. Macias (2004) "The Cotton tensor in Riemannian spacetimes", Classical and Quantum Gravity 21: 1099–1118, Eprint arXiv:gr-qc/0309008
 * A. Garcia, F.W. Hehl, C. Heinicke, A. Macias (2004) "The Cotton tensor in Riemannian spacetimes", Classical and Quantum Gravity 21: 1099–1118, Eprint arXiv:gr-qc/0309008
 * A. Garcia, F.W. Hehl, C. Heinicke, A. Macias (2004) "The Cotton tensor in Riemannian spacetimes", Classical and Quantum Gravity 21: 1099–1118, Eprint arXiv:gr-qc/0309008