श्मिट अपघटन

रैखिक बीजगणित में, श्मिट अपघटन (इसके प्रवर्तक एरहार्ड श्मिट के नाम पर) दो आंतरिक उत्पाद स्थानों के टेंसर उत्पाद में एक समन्वय वेक्टर को व्यक्त करने के एक विशेष तरीके को संदर्भित करता है। क्वांटम सूचना सिद्धांत में इसके कई अनुप्रयोग हैं, उदाहरण के लिए क्वांटम उलझाव लक्षण वर्णन और क्वांटम अवस्था की शुद्धि, और प्लास्टिसिटी (भौतिकी) में।

प्रमेय
होने देना $$H_1$$ और $$H_2$$ क्रमशः आयाम n और m के हिल्बर्ट स्थान बनें। मान लीजिए $$n \geq m$$. किसी भी वेक्टर के लिए $$w$$ टेंसर उत्पाद में $$H_1 \otimes H_2$$, वहां ऑर्थोनॉर्मल सेट मौजूद हैं $$\{ u_1, \ldots, u_m \} \subset H_1$$ और $$\{ v_1, \ldots, v_m \} \subset H_2$$ ऐसा है कि $w= \sum_{i =1} ^m \alpha _i u_i \otimes v_i$, जहां अदिश राशि है $$\alpha_i$$ पुनः ऑर्डर करने तक वास्तविक, गैर-नकारात्मक और अद्वितीय होते हैं।

प्रमाण
श्मिट अपघटन अनिवार्य रूप से एक अलग संदर्भ में एकवचन मूल्य अपघटन का पुनर्कथन है। लम्बवत आधारों को ठीक करें $$\{ e_1, \ldots, e_n \} \subset H_1$$ और $$\{ f_1, \ldots, f_m \} \subset H_2$$. हम एक प्राथमिक टेंसर की पहचान कर सकते हैं $$e_i \otimes f_j$$ मैट्रिक्स के साथ $$e_i f_j ^\mathsf{T}$$, कहाँ $$f_j ^\mathsf{T}$$ का स्थानांतरण है $$f_j$$. टेंसर उत्पाद का एक सामान्य तत्व


 * $$w = \sum _{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m} \beta _{ij} e_i \otimes f_j$$

फिर n × m मैट्रिक्स के रूप में देखा जा सकता है


 * $$\; M_w = (\beta_{ij}) .$$

एकवचन मूल्य अपघटन द्वारा, एक n × n एकात्मक U, m × m एकात्मक V, और एक सकारात्मक-अर्ध-निश्चित मैट्रिक्स विकर्ण m × m मैट्रिक्स Σ मौजूद होता है जैसे कि


 * $$M_w = U \begin{bmatrix} \Sigma \\ 0 \end{bmatrix} V^* .$$

लिखना $$U =\begin{bmatrix} U_1 & U_2 \end{bmatrix}$$ कहाँ $$U_1$$ n × m है और हमारे पास है


 * $$\; M_w = U_1 \Sigma V^* .$$

होने देना $$\{ u_1, \ldots, u_m \}$$ के एम कॉलम वैक्टर बनें $$U_1$$, $$\{ v_1, \ldots, v_m \}$$ के स्तंभ सदिश$$\overline{V}$$, और $$\alpha_1, \ldots, \alpha_m$$ Σ के विकर्ण तत्व। पिछली अभिव्यक्ति तब है


 * $$M_w = \sum _{k=1} ^m \alpha_k u_k v_k ^\mathsf{T} ,$$

तब


 * $$w = \sum _{k=1} ^m \alpha_k u_k \otimes v_k ,$$

जो दावे को साबित करता है.

कुछ अवलोकन
श्मिट अपघटन के कुछ गुण भौतिक रुचि के हैं।

घटी हुई अवस्थाओं का स्पेक्ट्रम
एक वेक्टर पर विचार करें $$ w $$ टेंसर उत्पाद का
 * $$H_1 \otimes H_2$$

श्मिट अपघटन के रूप में


 * $$w = \sum_{i =1} ^m \alpha _i u_i \otimes v_i.$$

रैंक 1 मैट्रिक्स बनाएं $$ \rho = w w^* $$. फिर का आंशिक निशान $$ \rho $$, सिस्टम ए या बी के संबंध में, एक विकर्ण मैट्रिक्स है जिसके गैर-शून्य विकर्ण तत्व हैं $$ | \alpha_i|^2 $$. दूसरे शब्दों में, श्मिट अपघटन से पता चलता है कि कम अवस्थाएँ $$ \rho $$ किसी भी सबसिस्टम पर समान स्पेक्ट्रम होता है।

श्मिट रैंक और उलझाव
सख्ती से सकारात्मक मूल्य$$\alpha_i$$श्मिट के अपघटन में $$ w $$ इसके श्मिट गुणांक, या श्मिट संख्याएँ हैं। श्मिट गुणांकों की कुल संख्या $$w$$, बहुलता के साथ गिना जाता है, इसे श्मिट रैंक कहा जाता है।

अगर $$ w $$ उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
 * $$u \otimes v$$

तब $$ w $$ पृथक्करणीय अवस्था कहलाती है। अन्यथा, $$ w $$ इसे क्वांटम उलझाव कहा जाता है। श्मिट अपघटन से, हम इसे देख सकते हैं $$ w $$ उलझा हुआ है यदि और केवल यदि $$ w $$ श्मिट रैंक सख्ती से 1 से अधिक है। इसलिए, दो उपप्रणालियाँ जो एक शुद्ध राज्य को विभाजित करती हैं, उलझ जाती हैं यदि और केवल तभी जब उनके कम किए गए राज्य मिश्रित राज्य हों।

वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी
उपरोक्त टिप्पणियों का एक परिणाम यह है कि, शुद्ध अवस्थाओं के लिए, कम अवस्थाओं की वॉन न्यूमैन एन्ट्रापी क्वांटम उलझाव का एक अच्छी तरह से परिभाषित माप है। दोनों घटी हुई अवस्थाओं की वॉन न्यूमैन एन्ट्रापी के लिए $$ \rho $$ है $-\sum_i |\alpha_i|^2 \log\left(|\alpha_i|^2\right)$, और यह शून्य है यदि और केवल यदि $$ \rho $$ एक उत्पाद स्थिति है (उलझन नहीं)।

श्मिट-रैंक वेक्टर
श्मिट रैंक को द्विदलीय प्रणालियों, अर्थात् क्वांटम अवस्थाओं के लिए परिभाषित किया गया है

$$|\psi\rangle \in H_A \otimes H_B$$ श्मिट रैंक की अवधारणा को दो से अधिक उपप्रणालियों से बनी क्वांटम प्रणालियों तक बढ़ाया जा सकता है। त्रिपक्षीय क्वांटम प्रणाली पर विचार करें:

$$|\psi\rangle \in H_A \otimes H_B \otimes H_C$$ इसके संबंध में आंशिक ट्रेस निष्पादित करके इसे द्विदलीय प्रणाली में कम करने के तीन तरीके हैं $$H_A, H_B$$ या $$H_C$$

$$\begin{cases} \hat{\rho}_A = Tr_A(|\psi\rangle\langle\psi|)\\ \hat{\rho}_B = Tr_B(|\psi\rangle\langle\psi|)\\ \hat{\rho}_C = Tr_C(|\psi\rangle\langle\psi|) \end{cases}$$ प्राप्त की गई प्रत्येक प्रणाली एक द्विदलीय प्रणाली है और इसलिए इसे क्रमशः एक संख्या (इसकी श्मिट रैंक) द्वारा चित्रित किया जा सकता है $$r_A, r_B$$ और $$r_C$$. ये संख्याएँ द्विदलीय प्रणाली में उलझाव की मात्रा को दर्शाती हैं जब क्रमशः ए, बी या सी को छोड़ दिया जाता है। इन कारणों से त्रिपक्षीय प्रणाली को एक वेक्टर, अर्थात् श्मिट-रैंक वेक्टर द्वारा वर्णित किया जा सकता है

$$\vec{r} = (r_A, r_B, r_C)$$

बहुपक्षीय उलझाव
श्मिट-रैंक वेक्टर की अवधारणा को इसी तरह टेन्सर  के उपयोग के माध्यम से तीन से अधिक उपप्रणालियों से बनी प्रणालियों तक बढ़ाया जा सकता है।

=== उदाहरण === त्रिपक्षीय क्वांटम अवस्था लें $$|\psi_{4, 2, 2}\rangle = \frac{1}{2}\big(|0, 0, 0\rangle + |1, 0, 1\rangle + |2, 1, 0\rangle + |3, 1, 1\rangle \big)$$ इस तरह की प्रणाली को एक क्विडिट के मूल्य को उसके स्पिन (भौतिकी) के बजाय एक फोटॉन के प्रकाश की कक्षीय कोणीय गति (ओएएम) में एन्कोड करके संभव बनाया गया है, क्योंकि बाद वाला केवल दो मान ले सकता है।

इस क्वांटम अवस्था के लिए श्मिट-रैंक वेक्टर है $$(4, 2, 2)$$.

यह भी देखें

 * विलक्षण मान अपघटन
 * क्वांटम अवस्था की शुद्धि