गतिशील मोड अपघटन

डायनेमिक मोड डीकंपोज़िशन (डीएमडी) 2008 में पीटर श्मिड द्वारा विकसित एक आयामी कमी एल्गोरिथ्म है। डेटा की एक समय श्रृंखला को देखते हुए, डीएमडी मोड के एक सेट की गणना करता है, जिनमें से प्रत्येक एक निश्चित दोलन आवृत्ति और क्षय/विकास दर से जुड़ा होता है। विशेष रूप से रैखिक प्रणालियों के लिए, ये मोड और आवृत्तियाँ सिस्टम के सामान्य मोड के अनुरूप हैं, लेकिन अधिक सामान्यतः, वे रचना संचालक (जिसे कोपमैन ऑपरेटर भी कहा जाता है) के मोड और आइगेनवैल्यू के अनुमान हैं। प्रत्येक मोड से जुड़े आंतरिक अस्थायी व्यवहारों के कारण, डीएमडी प्रमुख घटक विश्लेषण जैसे आयामी कमी के तरीकों से भिन्न होता है, जो ऑर्थोगोनल मोड की गणना करता है जिसमें पूर्व निर्धारित अस्थायी व्यवहारों का अभाव होता है। क्योंकि इसके मोड ऑर्थोगोनल नहीं हैं, डीएमडी-आधारित अभ्यावेदन पीसीए द्वारा उत्पन्न किए गए अभ्यावेदन की तुलना में कम उदार हो सकते हैं। हालाँकि, वे अधिक शारीरिक रूप से सार्थक भी हो सकते हैं क्योंकि प्रत्येक मोड समय में एक नम (या संचालित) साइनसॉइडल व्यवहार से जुड़ा होता है।

अवलोकन
डायनेमिक मोड अपघटन को पहली बार प्रवाह डेटा से डायनेमिक विशेषताओं को निकालने के लिए एक संख्यात्मक प्रक्रिया के रूप में श्मिड द्वारा पेश किया गया था। डेटा एक स्नैपशॉट अनुक्रम का रूप लेता है
 * $$ V_1^N = \{v_1, v_2, \dots, v_N\}, $$

कहाँ $$ v_i\in \mathbb{R}^M$$ है $$i$$-प्रवाह क्षेत्र का स्नैपशॉट, और $$V_1^N\in\mathbb{R}^{M\times N}$$ एक डेटा मैट्रिक्स है जिसके कॉलम व्यक्तिगत स्नैपशॉट हैं। इन स्नैपशॉट को एक रेखीय मानचित्रण के माध्यम से संबंधित माना जाता है जो एक रेखीय गतिशील प्रणाली को परिभाषित करता है
 * $$ v_{i+1} = A v_i, $$ यह नमूनाकरण अवधि के दौरान लगभग समान रहता है। मैट्रिक्स रूप में लिखा गया है, इसका तात्पर्य यह है
 * $$ V_{2}^N = A V_{1}^{N-1} + re_{N-1}^T,$$

कहाँ $$r$$ अवशेषों का वेक्टर है जो ऐसे व्यवहारों का कारण बनता है जिनका पूरी तरह से वर्णन नहीं किया जा सकता है $$A$$, $$e_{N-1}=\{0,0,\ldots,1\}\in\mathbb{R}^{N-1}$$, $$V_1^{N-1}=\{v_1, v_2, \dots, v_{N-1}\}$$, और $$V_2^{N}=\{v_2, v_3, \dots, v_{N}\}$$. दृष्टिकोण के बावजूद, DMD का आउटपुट eigenvalues ​​​​और eigenvectors है $$A$$, जिन्हें क्रमशः DMD eigenvalues ​​​​और DMD मोड के रूप में जाना जाता है।

एल्गोरिथम
इन eigenvalues ​​​​और मोड्स को प्राप्त करने की दो विधियाँ हैं। पहला है अर्नोल्डी पुनरावृत्ति|अर्नोल्डी-जैसा, जो क्रायलोव उपस्थान के साथ संबंध के कारण सैद्धांतिक विश्लेषण के लिए उपयोगी है। दूसरा एक एकल मूल्य अपघटन (एसवीडी) आधारित दृष्टिकोण है जो डेटा में शोर और संख्यात्मक त्रुटियों के लिए अधिक मजबूत है।

अर्नोल्डी दृष्टिकोण
तरल पदार्थ अनुप्रयोगों में, स्नैपशॉट का आकार, $$M$$, स्नैपशॉट की संख्या से कहीं अधिक बड़ा माना जाता है $$N$$, इसलिए समान रूप से कई वैध विकल्प मौजूद हैं $$A$$. मूल डीएमडी एल्गोरिदम चुनता है $$A$$ ताकि प्रत्येक स्नैपशॉट में $$V_2^N$$ में स्नैपशॉट के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$V_1^{N-1}$$. चूँकि अधिकांश स्नैपशॉट दोनों डेटा सेटों में दिखाई देते हैं, इसलिए यह प्रतिनिधित्व सभी स्नैपशॉट को छोड़कर सभी के लिए त्रुटि मुक्त है $$v_N$$, जिसे इस प्रकार लिखा गया है
 * $$ v_N = a_1 v_1 + a_2 v_2 + \dots + a_{N-1}v_{N-1} + r = V_1^{N-1}a + r,$$

कहाँ $$a={a_1, a_2, \dots, a_{N-1}}$$ गुणांकों का एक सेट है जिसे डीएमडी को पहचानना चाहिए और $$r$$ अवशेष है. कुल मिलाकर,
 * $$ V_{2}^N = A V_1^{N-1} + re_{N-1}^T = V_1^{N-1} S + re_{N-1}^T, $$

कहाँ $$S$$ साथी मैट्रिक्स है
 * $$S=\begin{pmatrix}

0 & 0 & \dots & 0 & a_1 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & a_2 \\ 0 & 1 & \dots & 0 & a_3 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 & a_{N-1} \end{pmatrix}.$$ सदिश $$a$$ न्यूनतम वर्ग समस्या को हल करके गणना की जा सकती है, जो समग्र अवशिष्ट को न्यूनतम करती है। विशेष रूप से यदि हम क्यूआर अपघटन को लेते हैं $$V_1^{N-1} = QR$$, तब $$a = R^{-1}Q^Tv_N$$.

इस रूप में, डीएमडी एक प्रकार का अर्नोल्डी पुनरावृत्ति है, और इसलिए इसका स्वदेशी मान है $$S$$ के eigenvalues ​​​​के अनुमान हैं $$A$$. इसके अलावा, यदि $$y$$ का एक eigenvector है $$S$$, तब $$V_1^{N-1}y$$ का एक अनुमानित eigenvector है $$A$$. जिस कारण से मैट्रिक्स का ईगेंडेकंपोजिशन किया जाता है $$S$$ इसके बजाय $$A$$ क्योंकि $$S$$ से बहुत छोटा है $$A$$, इसलिए डीएमडी की कम्प्यूटेशनल लागत स्नैपशॉट के आकार के बजाय स्नैपशॉट की संख्या से निर्धारित होती है।

एसवीडी-आधारित दृष्टिकोण
साथी मैट्रिक्स की गणना करने के बजाय $$ S $$, एसवीडी-आधारित दृष्टिकोण मैट्रिक्स उत्पन्न करता है $$\tilde S$$ वह संबंधित है $$A$$ एक समानता परिवर्तन के माध्यम से. ऐसा करने के लिए, मान लें कि हमारे पास एसवीडी है $$V_1^{N-1} = U\Sigma W^T$$. तब
 * $$ V_{2}^N = A V_1^{N-1} + re_{N-1}^T = AU\Sigma W^T + re_{N-1}^T.$$

अर्नोल्डी-आधारित दृष्टिकोण द्वारा बनाई गई धारणा के बराबर, हम चुनते हैं $$A$$ जैसे कि स्नैपशॉट में $$V_2^N$$ में स्तंभों के रैखिक सुपरपोजिशन के रूप में लिखा जा सकता है $$U$$, जो इस आवश्यकता के बराबर है कि उन्हें प्रमुख घटक विश्लेषण के सुपरपोजिशन के रूप में लिखा जा सकता है। इस प्रतिबंध के साथ, अवशिष्ट को कम करने के लिए आवश्यक है कि यह POD आधार पर ऑर्थोगोनल हो (यानी, $$U^Tr = 0$$). फिर उपरोक्त समीकरण के दोनों पक्षों को इससे गुणा करें $$U^T$$ पैदावार $$ U^TV_2^N = U^T A U\Sigma W^T $$, जिसे प्राप्त करने के लिए हेरफेर किया जा सकता है
 * $$ U^T A U = U^TV_2^N W \Sigma^{-1} \equiv \tilde S. $$

क्योंकि $$A$$ और $$\tilde S$$ समानता परिवर्तन, के eigenvalues ​​​​के माध्यम से संबंधित हैं $$S$$ के eigenvalues ​​हैं $$A$$, और अगर $$y$$ का एक eigenvector है $$\tilde S$$, तब $$Uy$$ का एक eigenvector है $$A$$.

संक्षेप में, एसवीडी-आधारित दृष्टिकोण इस प्रकार है:
 * 1) डेटा की समय श्रृंखला को विभाजित करें  $$V_1^N$$ दो आव्यूहों में $$V_1^{N-1}$$ और $$V_2^N$$.
 * 2) के एसवीडी की गणना करें $$V_1^{N-1} = U\Sigma W^T$$.
 * 3) मैट्रिक्स बनाएं $$\tilde S =  U^TV_2^N W \Sigma^{-1}$$, और इसके eigenvalues ​​​​की गणना करें $$\lambda_i$$ और eigenvectors $$y_i$$.
 * 4) $$i$$th>-th DMD eigenvalue है $$\lambda_i$$ और $$i$$-वें डीएमडी मोड है $$Uy_i$$.

अर्नोल्डी-जैसे दृष्टिकोण पर एसवीडी-आधारित दृष्टिकोण का लाभ यह है कि डेटा में शोर और संख्यात्मक ट्रंकेशन मुद्दों की भरपाई एसवीडी को काटकर की जा सकती है। $$V_1^{N-1}$$. जैसा कि उल्लेख किया गया है इस ट्रंकेशन चरण के बिना प्रयोगात्मक डेटा सेट पर पहले जोड़े मोड और आइगेनवैल्यू से अधिक की सटीक गणना करना मुश्किल हो सकता है।

सैद्धांतिक और एल्गोरिथम प्रगति
2010 में इसकी स्थापना के बाद से, काफी मात्रा में काम डीएमडी को समझने और सुधारने पर केंद्रित है। राउली एट अल द्वारा डीएमडी के पहले विश्लेषणों में से एक। डीएमडी और कूपमैन ऑपरेटर के बीच संबंध स्थापित किया, और नॉनलाइनियर सिस्टम पर लागू होने पर डीएमडी के आउटपुट को समझाने में मदद की। तब से, कई संशोधन विकसित किए गए हैं जो या तो इस संबंध को और मजबूत करते हैं या दृष्टिकोण की मजबूती और प्रयोज्यता को बढ़ाते हैं।

यहां सूचीबद्ध एल्गोरिदम के अलावा, समान एप्लिकेशन-विशिष्ट तकनीकें विकसित की गई हैं। उदाहरण के लिए, डीएमडी की तरह, प्रोनी की विधि नम साइनसॉइड के सुपरपोजिशन के रूप में एक सिग्नल का प्रतिनिधित्व करती है। जलवायु विज्ञान में, रैखिक व्युत्क्रम मॉडलिंग भी डीएमडी के साथ दृढ़ता से जुड़ा हुआ है। अधिक विस्तृत सूची के लिए, तू एट अल देखें।
 * अनुकूलित डीएमडी: अनुकूलित डीएमडी मूल डीएमडी एल्गोरिदम का एक संशोधन है जिसे उस दृष्टिकोण की दो सीमाओं की भरपाई के लिए डिज़ाइन किया गया है: (i) डीएमडी मोड चयन की कठिनाई, और (ii) समय श्रृंखला के अंतिम स्नैपशॉट में शोर या अन्य त्रुटियों के प्रति डीएमडी की संवेदनशीलता। अनुकूलित डीएमडी डीएमडी प्रक्रिया को एक अनुकूलन समस्या के रूप में पुनर्गठित करता है जहां पहचाने गए रैखिक ऑपरेटर की एक निश्चित रैंक होती है। इसके अलावा, डीएमडी के विपरीत, जो अंतिम को छोड़कर सभी स्नैपशॉट को पूरी तरह से पुन: पेश करता है, अनुकूलित डीएमडी पुनर्निर्माण त्रुटियों को पूरे डेटा सेट में वितरित करने की अनुमति देता है, जो व्यवहार में दृष्टिकोण को और अधिक मजबूत बनाता प्रतीत होता है।
 * इष्टतम मोड अपघटन: इष्टतम मोड अपघटन (ओएमडी) डीएमडी प्रक्रिया को एक अनुकूलन समस्या के रूप में पुनर्गठित करता है और उपयोगकर्ता को सीधे पहचाने गए सिस्टम की रैंक लागू करने की अनुमति देता है। बशर्ते यह रैंक ठीक से चुनी गई हो, ओएमडी सिंथेटिक और प्रयोगात्मक डेटा सेट दोनों पर छोटी अवशिष्ट त्रुटियों और अधिक सटीक आइगेनवैल्यू के साथ रैखिक मॉडल तैयार कर सकता है।
 * सटीक डीएमडी: सटीक डीएमडी एल्गोरिदम मूल डीएमडी एल्गोरिदम को दो तरीकों से सामान्यीकृत करता है। सबसे पहले, मूल डीएमडी एल्गोरिदम में डेटा स्नैपशॉट की एक समय श्रृंखला होनी चाहिए, लेकिन सटीक डीएमडी स्नैपशॉट जोड़े के डेटा सेट को स्वीकार करता है। जोड़ी में स्नैपशॉट को एक निश्चित द्वारा अलग किया जाना चाहिए $$\Delta t$$, लेकिन एक ही समय श्रृंखला से निकालने की आवश्यकता नहीं है। विशेष रूप से, सटीक डीएमडी कई प्रयोगों के डेटा को एक ही डेटा सेट में एकत्रित करने की अनुमति दे सकता है। दूसरा, मूल डीएमडी एल्गोरिदम पीओडी मोड के एक सेट पर प्रोजेक्ट करके डेटा को प्रभावी ढंग से प्री-प्रोसेस करता है। सटीक डीएमडी एल्गोरिदम इस प्री-प्रोसेसिंग चरण को हटा देता है, और डीएमडी मोड का उत्पादन कर सकता है जिसे पीओडी मोड के सुपरपोजिशन के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।
 * स्पार्सिटी प्रमोशन डीएमडी: डीएमडी को बढ़ावा देने वाला स्पार्सिटी डीएमडी मोड और आइजेनवैल्यू चयन के लिए एक पोस्ट प्रोसेसिंग प्रक्रिया है। डीएमडी को बढ़ावा देने वाला स्पार्सिटी एक लासो (सांख्यिकी) का उपयोग करता है|$$\ell_1$$ महत्वपूर्ण डीएमडी मोड के एक छोटे सेट की पहचान करने के लिए दंड, और डीएमडी मोड चयन समस्या के लिए एक वैकल्पिक दृष्टिकोण है जिसे संवर्धित लैग्रेंजियन विधि का उपयोग करके कुशलतापूर्वक हल किया जा सकता है।
 * मल्टी-रिज़ॉल्यूशन डीएमडी: मल्टी-रिज़ॉल्यूशन डीएमडी (एमआरडीएमडी) सटीक डीएमडी के साथ मल्टी-रिज़ॉल्यूशन विश्लेषण में उपयोग की जाने वाली तकनीकों का एक संयोजन है, जिसे कई टाइमस्केल वाले डेटा सेट से डीएमडी मोड और आइजेनवैल्यू को मजबूत करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। एमआरडीएमडी दृष्टिकोण वैश्विक सतह तापमान डेटा पर लागू किया गया था, और एल नीनो वर्षों के दौरान दिखाई देने वाले डीएमडी मोड की पहचान करता है।
 * विस्तारित डीएमडी: विस्तारित डीएमडी सटीक डीएमडी का एक संशोधन है जो डीएमडी और कूपमैन ऑपरेटर के बीच संबंध को मजबूत करता है। जैसा कि नाम से पता चलता है, विस्तारित डीएमडी डीएमडी का एक विस्तार है जो कोपमैन ऑपरेटर के अधिक सटीक अनुमान उत्पन्न करने के लिए अवलोकन योग्य कार्यों के एक समृद्ध सेट का उपयोग करता है। इस विस्तारित सेट को प्राथमिकता से चुना जा सकता है या डेटा से सीखा जा सकता है। इसने यह भी प्रदर्शित किया कि डीएमडी और संबंधित विधियाँ अधिक सामान्यतः उपयोग किए जाने वाले आइगेनवैल्यू और मोड के अलावा कोपमैन आइजेनफंक्शन के सन्निकटन का उत्पादन करती हैं।
 * नियंत्रण के साथ डीएमडी: नियंत्रण के साथ डायनामिक मोड अपघटन (डीएमडीसी) इनपुट आउटपुट सिस्टम से प्राप्त डेटा के लिए डिज़ाइन की गई डीएमडी प्रक्रिया का एक संशोधन है। डीएमडीसी की एक अनूठी विशेषता ओपन लूप डायनेमिक्स से सिस्टम एक्चुएशन के प्रभावों को स्पष्ट करने की क्षमता है, जो तब उपयोगी होती है जब एक्चुएशन की उपस्थिति में डेटा प्राप्त किया जाता है।
 * कुल न्यूनतम वर्ग डीएमडी: कुल न्यूनतम वर्ग डीएमडी सटीक डीएमडी का एक हालिया संशोधन है जिसका उद्देश्य डेटा में माप शोर की मजबूती के मुद्दों को संबोधित करना है। में, लेखक सटीक डीएमडी की व्याख्या एक प्रतिगमन समस्या के रूप में करते हैं जिसे साधारण न्यूनतम वर्ग (ओएलएस) का उपयोग करके हल किया जाता है, जो मानता है कि प्रतिगमनकर्ता शोर मुक्त हैं। यह धारणा डीएमडी आइगेनवैल्यू में एक पूर्वाग्रह पैदा करती है जब इसे प्रयोगात्मक डेटा सेट पर लागू किया जाता है जहां सभी अवलोकन शोर होते हैं। कुल न्यूनतम वर्ग डीएमडी ओएलएस समस्या को कुल न्यूनतम वर्ग से प्रतिस्थापित करता है, जो इस पूर्वाग्रह को समाप्त करता है।
 * गतिशील वितरण अपघटन: डीडीडी निरंतर समय में आगे की समस्या, यानी स्थानांतरण ऑपरेटर  पर ध्यान केंद्रित करता है। हालाँकि विकसित विधि का उपयोग निरंतर समय में डीएमडी समस्याओं को ठीक करने के लिए भी किया जा सकता है।

प्रोफ़ाइल का पिछला किनारा
प्रवाह में किसी बाधा के परिणामस्वरूप कार्मन भंवर सड़क विकसित हो सकती है. The Fig.1 shows the shedding of a vortex behind the trailing edge of a profile. The DMD-analysis was applied to 90 sequential Entropy fields [[Media:Joukowsky Karman Vortex Street video.gif|(एनिमेटेड जीआईएफ (1.9एमबी)) और नीचे दर्शाए अनुसार एक अनुमानित आइगेनवैल्यू-स्पेक्ट्रम प्राप्त करें। विश्लेषण को शासी समीकरणों का संदर्भ दिए बिना, संख्यात्मक परिणामों पर लागू किया गया था। प्रोफ़ाइल सफ़ेद रंग में दिखाई दे रही है. सफ़ेद चाप प्रोसेसर की सीमाएँ हैं क्योंकि गणना विभिन्न कम्प्यूटेशनल ब्लॉकों का उपयोग करके समानांतर कंप्यूटर पर की गई थी। Joukowsky Karman Vortex Street Spectrum.pngस्पेक्ट्रम का लगभग एक तिहाई हिस्सा अत्यधिक नम (बड़ा, नकारात्मक) था $$\lambda_r$$) और दिखाया नहीं गया है. प्रमुख शेडिंग मोड निम्नलिखित चित्रों में दिखाया गया है। बाईं ओर की छवि वास्तविक भाग है, दाईं ओर की छवि, आइजनवेक्टर का काल्पनिक भाग है।

फिर से, इस चित्र में एन्ट्रॉपी-ईजेनवेक्टर दिखाया गया है। उसी मोड की ध्वनिक सामग्री अगले कथानक के निचले भाग में दिखाई देती है। शीर्ष आधा ऊपर बताए अनुसार एन्ट्रापी मोड से मेल खाता है।

यात्रा पैटर्न का सिंथेटिक उदाहरण
डीएमडी विश्लेषण प्रपत्र का एक पैटर्न मानता है $$ q(x_1,x_2,x_3, \ldots)=e^ {c x_1 }\hat q(x_2,x_3,\ldots) $$ कहाँ $$ x_1 $$ समस्या का कोई भी स्वतंत्र चर है, लेकिन इसका चयन पहले से करना होगा। उदाहरण के लिए पैटर्न लें

q(x,y,t)=e^{-i \omega t} \hat q (x,t) e^{-(y/b)^2} \Re \left\{ e^{i (k x - \omega t)}    \right\} + \text{random noise} $$ पूर्वचयनित घातीय कारक के रूप में समय के साथ।

निम्नलिखित चित्र में एक नमूना दिया गया है $$ \omega = 2\pi /0.1 $$, $$ b=0.02 $$ और $$ k = 2\pi/ b $$. बाईं तस्वीर बिना पैटर्न के दिखाती है, दाईं ओर शोर जोड़ा गया है। यादृच्छिक शोर का आयाम पैटर्न के समान है।

एक समय अंतराल का उपयोग करके 21 कृत्रिम रूप से उत्पन्न फ़ील्ड के साथ डीएमडी विश्लेषण किया जाता है $$ \Delta t =1/90\text{ s}$$, विश्लेषण को सीमित करना $$ f =45\text{ Hz}$$.

स्पेक्ट्रम सममित है और तीन लगभग अवमंदित मोड (छोटा नकारात्मक वास्तविक भाग) दिखाता है, जबकि अन्य मोड भारी रूप से अवमंदित हैं। उनके संख्यात्मक मान हैं $$ \omega_1=-0.201, \omega_{2/3}=-0.223 \pm i 62.768$$ क्रमश। जबकि वास्तविक क्षेत्र के माध्य से मेल खाता है $$ \omega_{2/3}$$ के साथ लगाए गए पैटर्न से मेल खाता है $$ f = 10\text{ Hz} $$. −1/1000 की सापेक्ष त्रुटि उत्पन्न हो रही है। शोर को सिग्नल मान से 10 गुना तक बढ़ाने से लगभग वही त्रुटि उत्पन्न होती है। बाद के दो ईजेनमोड में से एक का वास्तविक और काल्पनिक भाग निम्नलिखित चित्र में दर्शाया गया है।

यह भी देखें
प्रायोगिक डेटा के कई अन्य अपघटन मौजूद हैं। यदि शासी समीकरण उपलब्ध हैं, तो एक आइगेनवैल्यू अपघटन संभव हो सकता है।
 * आइगेनवैल्यू अपघटन
 * अनुभवजन्य मोड अपघटन
 * वैश्विक मोड
 * सामान्य मोड
 * उचित ओर्थोगोनल अपघटन
 * विलक्षण मान अपघटन

संदर्भ

 * Schmid, P. J. & Sesterhenn, J. L. 2008 Dynamic mode decomposition of numerical and experimental data. In Bull. Amer. Phys. Soc., 61st APS meeting, p. 208. San Antonio.
 * Hasselmann, K., 1988. POPs and PIPs. The reduction of complex dynamical systems using principal oscillation and interaction patterns. J. Geophys. Res., 93(D9): 10975–10988.