रैखिक फलन (गणना)

गणित के गणना और संबंधित क्षेत्रों में, वास्तविक संख्याओं से वास्तविक संख्याओं तक एक रेखीय फलन एक ऐसा फलन होता है जिसका ग्राफ (कार्तीय निर्देशांक में) समतल में एक गैर-ऊर्ध्वाधर रेखा (ज्यामिति) होता है। रैखिक कार्यों की विशेषता संपत्ति यह है कि जब इनपुट चर को बदल दिया जाता है, तो आउटपुट में परिवर्तन इनपुट में परिवर्तन के लिए आनुपातिकता (गणित) होता है।

रैखिक फलन रैखिक समीकरणों से संबंधित होते हैं।

गुण
एक रैखिक फलन एक बहुपद फलन है जिसमें चर (गणित) $x$ के पास अधिकतम एक डिग्री है:
 * $$f(x)=ax+b$$.

इस तरह के एक समारोह को रैखिक कहा जाता है क्योंकि इसका एक फ़ंक्शन का ग्राफ, सभी बिंदुओं का सेट $$(x,f(x))$$ कार्तीय तल में, एक रेखा (ज्यामिति) है। गुणांक a को फ़ंक्शन और रेखा का ढलान कहा जाता है (नीचे देखें)। अगर ढलान है $$a=0$$, यह एक निरंतर कार्य है $$f(x)=b$$ एक क्षैतिज रेखा को परिभाषित करना, जिसे कुछ लेखक रैखिक कार्यों के वर्ग से बाहर करते हैं। इस परिभाषा के साथ, एक रैखिक बहुपद की घात ठीक एक होगी, और इसका ग्राफ़ एक ऐसी रेखा होगी जो न तो लंबवत है और न ही क्षैतिज। हालाँकि, इस लेख में, $$a\neq 0$$ आवश्यक है, इसलिए स्थिर कार्यों को रैखिक माना जाएगा।

अगर $$b=0$$ तब रैखिक कार्य को सजातीय कहा जाता है। ऐसा फ़ंक्शन एक रेखा को परिभाषित करता है जो समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति, यानी बिंदु से गुजरती है $$(x,y)=(0,0)$$. उन्नत गणित ग्रंथों में, रैखिक फ़ंक्शन शब्द अक्सर विशेष रूप से सजातीय रैखिक कार्यों को दर्शाता है, जबकि शब्द affine फ़ंक्शन का उपयोग सामान्य मामले के लिए किया जाता है, जिसमें शामिल हैं $$b\neq0$$.

किसी रैखिक फलन के फलन का प्राकृतिक डोमेन $$f(x)$$, के लिए अनुमत इनपुट मानों का सेट $x$, वास्तविक संख्याओं का संपूर्ण समुच्चय है, $$x\in \mathbb R.$$ कोई भी ऐसे कार्यों पर विचार कर सकता है $x$ एक मनमाने क्षेत्र (गणित) में, गुणांक लेते हुए $a, b$ उस क्षेत्र में।

लेखाचित्र $$y=f(x)=ax+b$$ के साथ ठीक एक चौराहा होने वाली एक गैर-ऊर्ध्वाधर रेखा है $y$-अक्ष, इसका $y$-अवरोधन बिंदु $$(x,y)=(0,b).$$ $y$}-अवरोधन मूल्य $$y=f(0)=b$$ का प्रारंभिक मान भी कहा जाता है $$f(x).$$ अगर $$a\neq 0,$$ ग्राफ एक गैर-क्षैतिज रेखा है जिसमें ठीक एक चौराहा होता है $x$-अक्ष, द $x$-अवरोधन बिंदु $$(x,y)=(-\tfrac ba,0).$$  $x$}-अवरोधन मूल्य $$x=-\tfrac ba,$$ समीकरण का हल $$f(x)=0,$$ के फलन का मूल या शून्य भी कहा जाता है $$f(x).$$

ढलान
एक गैर-ऊर्ध्वाधर रेखा का ढलान (गणित) एक संख्या है जो यह मापती है कि रेखा कितनी तेजी से झुकी हुई है (राइज़-ओवर-रन)। यदि रेखा रैखिक फलन का आलेख है $$f(x) = ax + b$$, यह ढलान स्थिर द्वारा दिया गया है $x$.

ढलान के परिवर्तन की निरंतर दर को मापता है $$f(x)$$ एक्स में प्रति यूनिट परिवर्तन: जब भी इनपुट $y$ में एक इकाई की वृद्धि होती है, तो उत्पादन में परिवर्तन होता है $a$ इकाइयां: $$f(x{+}1)=f(x)+a$$, और अधिक आम तौर पर $$f(x{+}\Delta x)=f(x)+a\Delta x$$ किसी भी संख्या के लिए $$\Delta x$$. यदि ढलान धनात्मक है, $$a > 0$$, फिर समारोह $$f(x)$$ यह बढ़ रहा है; अगर $$a < 0$$, तब $$f(x)$$ गिरते हुए

अवकल कलन में, एक सामान्य फलन का व्युत्पन्न परिवर्तन की दर को मापता है। एक रैखिक कार्य $$f(x)=ax+b$$ इसकी ढलान के बराबर परिवर्तन की निरंतर दर है $x$, इसलिए इसका व्युत्पन्न स्थिर फलन है $$f\,'(x)=a$$.

डिफरेंशियल कैलकुलस का मूल विचार यह है कि कोई भी अलग करने योग्य समारोह फंक्शन होता है $$f(x)$$ (आवश्यक रूप से रैखिक नहीं) किसी दिए गए बिंदु के निकट निकट रैखिक सन्निकटन हो सकता है $$x=c$$ एक अद्वितीय रैखिक कार्य द्वारा। व्युत्पन्न $$f\,'(c)$$ इस रैखिक समारोह का ढलान है, और सन्निकटन है: $$f(x) \approx f\,'(c)(x{-}c)+f(c)$$ के लिए $$x\approx c$$. रेखीय सन्निकटन का ग्राफ ग्राफ की स्पर्श रेखा है $$y=f(x)$$ बिंदु पर $$(c,f(c))$$. व्युत्पन्न ढलान $$f\,'(c)$$ आम तौर पर बिंदु सी के साथ बदलता रहता है। रैखिक कार्यों को केवल वास्तविक कार्यों के रूप में वर्णित किया जा सकता है जिसका व्युत्पन्न स्थिर है: यदि $$f\,'(x)=a$$ सभी एक्स के लिए, फिर $$f(x)=ax+b$$ के लिए $$b=f(0)$$.

ढाल-अवरोधन, बिंदु-ढलान, और दो-बिंदु रूप
एक दिया गया रैखिक कार्य $$f(x)$$ इसके विभिन्न गुणों को प्रदर्शित करते हुए कई मानक सूत्रों में लिखा जा सकता है। सबसे सरल ढलान-अवरोधन रूप है:
 * $$f(x)= ax+b$$,

जिससे कोई तुरंत ढलान a और प्रारंभिक मान देख सकता है $$f(0)=b$$, जो ग्राफ का y-अवरोधन है $$y=f(x)$$.

एक ढलान a और एक ज्ञात मान दिया गया है $$f(x_0)=y_0$$, हम बिंदु-ढलान रूप लिखते हैं:
 * $$f(x) = a(x{-}x_0)+y_0$$.

चित्रमय शब्दों में, यह रेखा देता है $$y=f(x)$$ ढलान के साथ बिंदु से गुजर रहा है $$(x_0,y_0)$$.

दो-बिंदु प्रपत्र दो ज्ञात मानों से प्रारंभ होता है $$f(x_0)=y_0$$ और $$f(x_1)=y_1$$. एक ढलान की गणना करता है $$a=\tfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$$ और इसे बिंदु-ढलान रूप में सम्मिलित करता है:
 * $$f(x) = \tfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0}(x{-}x_0\!) + y_0$$.

इसका ग्राफ $$y=f(x)$$ बिन्दुओं से होकर जाने वाली अद्वितीय रेखा है $$(x_0,y_0\!), (x_1,y_1\!)$$. समीकरण $$y=f(x)$$ निरंतर ढलान पर जोर देने के लिए भी लिखा जा सकता है:
 * $$\frac{y-y_0}{x-x_0}=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$$.

रैखिक समीकरणों के साथ संबंध
रैखिक फलन आमतौर पर चरों से संबंधित व्यावहारिक समस्याओं से उत्पन्न होते हैं $$x,y$$ एक रैखिक संबंध के साथ, अर्थात् एक रैखिक समीकरण का पालन करना $$Ax+By=C$$. अगर $$B\neq 0$$, कोई इस समीकरण को y के लिए हल कर सकता है
 * $$y = -\tfrac{A}{B}x +\tfrac{C}{B}=ax+b,$$

जहां हम निरूपित करते हैं $$a=-\tfrac{A}{B}$$ और $$b=\tfrac{C}{B}$$. यही है, कोई y को एक स्वतंत्र चर (इनपुट) x से एक रैखिक कार्य के माध्यम से प्राप्त एक आश्रित चर (आउटपुट) के रूप में मान सकता है: $$y = f(x) = ax+b$$. xy-निर्देशांक तल में, के संभावित मान $$(x,y)$$ एक लाइन, फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं $$f(x)$$. अगर $$B=0$$ मूल समीकरण में, परिणामी रेखा $$x=\tfrac{C}{A}$$ लंबवत है, और इस रूप में नहीं लिखा जा सकता है $$y=f(x)$$.

ग्राफ की विशेषताएं $$y = f(x) = ax+b$$ चर x और y के संदर्भ में व्याख्या की जा सकती है। Y-अवरोधन प्रारंभिक मान है $$y=f(0)=b$$ पर $$x=0$$. स्लोप a इनपुट x में आउटपुट y प्रति यूनिट परिवर्तन के परिवर्तन की दर को मापता है। ग्राफ़ में, एक इकाई को दाईं ओर ले जाने पर (x को 1 से बढ़ाने पर) y-मान को a से ऊपर ले जाता है: अर्थात, $$f(x{+}1) = f(x) + a$$. नकारात्मक ढलान x में प्रत्येक वृद्धि के लिए y में कमी दर्शाता है।

उदाहरण के लिए, रैखिक कार्य $$y = -2x + 4$$ ढलान है $$a=-2$$, वाई-अवरोधन बिंदु $$(0,b)=(0,4)$$, और एक्स-अवरोधन बिंदु $$(2,0)$$.

उदाहरण
मान लीजिए कि सलामी और सॉसेज की कीमत €6 और €3 प्रति किलोग्राम है, और हम €12 कीमत खरीदना चाहते हैं। हम प्रत्येक की कितनी मात्रा खरीद सकते हैं? यदि x किलोग्राम सलामी और y किलोग्राम सॉसेज की कीमत कुल €12 है, तो €6×x + €3×y = €12। y के लिए हल करने से बिंदु-ढलान रूप मिलता है $$y = -2x + 4$$, ऊपरोक्त अनुसार। यही है, अगर हम पहले सलामी एक्स की मात्रा चुनते हैं, तो सॉसेज की मात्रा को फ़ंक्शन के रूप में गणना की जा सकती है $$y = f(x) = -2x + 4$$. चूँकि सलामी की कीमत सॉसेज से दुगनी होती है, एक किलो सलामी जोड़ने से सॉसेज में 2 किलो कमी आ जाती है: $$f(x{+}1) = f(x) - 2$$, और ढलान -2 है। Y-अवरोधन बिंदु $$(x,y)=(0,4)$$ केवल 4 किलो सॉसेज खरीदने के बराबर है; जबकि एक्स-अवरोधन बिंदु $$(x,y)=(2,0)$$ केवल 2 किलो सलामी खरीदने के बराबर है।

ध्यान दें कि ग्राफ़ में x या y के ऋणात्मक मान वाले बिंदु शामिल हैं, जिनका मूल चर के संदर्भ में कोई अर्थ नहीं है (जब तक कि हम कसाई को मांस बेचने की कल्पना न करें)। इस प्रकार हमें अपने कार्य को सीमित करना चाहिए $$f(x)$$ डोमेन के लिए $$0\le x\le 2$$.

इसके अलावा, हम y को स्वतंत्र चर के रूप में चुन सकते हैं, और व्युत्क्रम फ़ंक्शन रैखिक फ़ंक्शन द्वारा x की गणना कर सकते हैं: $$x = g(y) = -\tfrac12 y +2$$ डोमेन के ऊपर $$0\le y \le 4$$.

कार्यों के अन्य वर्गों के साथ संबंध
यदि चर का गुणांक शून्य नहीं है ($a ≠ 0$), तो एक रैखिक फलन को एक बहुपद 1 बहुपद (जिसे रैखिक बहुपद भी कहा जाता है) की डिग्री द्वारा दर्शाया जाता है, अन्यथा यह एक स्थिर फलन है - एक बहुपद फलन भी, लेकिन शून्य अंश का।

एक सीधी रेखा, जब एक अलग तरह की समन्वय प्रणाली में खींची जाती है, तो अन्य कार्यों का प्रतिनिधित्व कर सकती है।

उदाहरण के लिए, यह एक घातीय वृद्धि का प्रतिनिधित्व कर सकता है जब इसके कोडोमेन को लघुगणकीय पैमाने में व्यक्त किया जाता है। इसका मतलब है कि कब $log(g(x))$ का एक रैखिक कार्य है $a$, कार्यक्रम $a$ चरघातांकी है। रैखिक कार्यों के साथ, एक इकाई द्वारा इनपुट बढ़ाने से आउटपुट एक निश्चित राशि से बढ़ जाता है, जो कि फ़ंक्शन के ग्राफ़ का ढलान है। घातीय कार्यों के साथ, एक इकाई द्वारा इनपुट बढ़ाने से आउटपुट एक निश्चित गुणक से बढ़ जाता है, जिसे घातीय कार्य के आधार के रूप में जाना जाता है।

यदि किसी फ़ंक्शन के डोमेन और फ़ंक्शन के मान दोनों लॉगरिदमिक स्केल में हैं (यानी, जब $log(y)$ का एक रैखिक कार्य है $log(x)$), तो सीधी रेखा एक शक्ति कानून का प्रतिनिधित्व करती है:
 * $$\log_r y = a \log_r x + b \quad\Rightarrow\quad y = r^b\cdot x^a$$

दूसरी ओर, ध्रुवीय निर्देशांक के संदर्भ में एक रैखिक कार्य का ग्राफ:
 * $$r =f(\theta ) = a\theta + b$$

एक आर्किमिडीयन सर्पिल है अगर $$a \neq 0$$ और एक चक्र अन्यथा।

यह भी देखें

 * Affine नक्शा, एक सामान्यीकरण
 * अंकगणितीय प्रगति, पूर्णांक तर्क का एक रैखिक कार्य

संदर्भ

 * James Stewart (2012), Calculus: Early Transcendentals, edition 7E, Brooks/Cole. ISBN 978-0-538-49790-9

बाहरी संबंध

 * https://web.archive.org/web/20130524101825/http://www.math.okstate.edu/~noell/ebsm/linear.html
 * http://www.corestandards.org/assets/CCSSI_Math%20Standards.pdf