अलेक्जेंडर द्वैत

गणित में, अलेक्जेंडर द्वैत एक द्वैत सिद्धांत को संदर्भित करता है जिसे 1915 में जे. डब्ल्यू. अलेक्जेंडर द्वारा शुरू किया गया था, और बाद में इसे और विकसित किया गया, विशेष रूप से पावेल अलेक्जेंड्रोव और लेव पोंट्रीगिन द्वारा है। इस प्रकार से यह यूक्लिडियन समष्टि, क्षेत्र, या अन्य कई गुना (गणित) में उप-समष्टि टोपोलॉजी X के पूरक के समरूपता सिद्धांत गुणों पर लागू होता है। इसे स्पैनियर-व्हाइटहेड द्वैत द्वारा सामान्यीकृत किया गया है।

गोलों के लिए सामान्य कथन
इस प्रकार से मान लीजिए कि $$X$$ विमा एन-क्षेत्र के गोले $$S^n$$ सघन स्थानीय रूप से संकुचन योग्य उपसमष्टि है। अतः मान लीजिए $$S^n\setminus X$$, $$S^n$$ में $$X$$ का पूरक है। फिर यदि $$\tilde{H}$$ का अर्थ किसी दिए गए एबेलियन समुच्चय में गुणांक के साथ कम समरूपता या कम सह-समरूपता है, तो सभी $$q\ge 0$$ के लिए एक समरूपता


 * $$\tilde{H}_q(S^n\setminus X) \cong \tilde{H}^{n-q-1}(X)$$

है। इस प्रकार से ध्यान दें कि यदि हम सेच सह समरूपता का उपयोग करते हैं, जिसे स्थानीय विकृति विज्ञान से निपटने के लिए डिज़ाइन किया गया है, तो हम परिकल्पना के भाग के रूप में स्थानीय संकुचनशीलता को छोड़ सकते हैं।

अनुप्रयोग
यह $$S^3$$ में ग्रांथिल (गणित) और श्रृंखला (ग्रांथिल सिद्धांत) पूरकों की सह-समरूपता की गणना के लिए उपयोगी है। इस प्रकार से याद रखें कि एक ग्रांथिल एक अंत: स्थापन $$K\colon S^1 \hookrightarrow S^3$$ है और श्रृंखला ग्रांथिल का एक असंयुक्त संघ है, जैसे कि बोरोमियन वलय। फिर, यदि हम श्रृंखला/ग्रांथिल को $$L$$ के रूप में लिखते हैं, तो हमारे निकट
 * $$\tilde{H}_q(S^3\setminus L) \cong \tilde{H}^{3-q-1}(L)$$,

होता है, जो सह समरूपता समुच्चयों की गणना के लिए एक विधि देता है। अतः फिर, मैसी गुणनफलों का उपयोग करके विभिन्न श्रृंखला के बीच अंतर करना संभव है। इस प्रकार से उदाहरण के लिए, बोरोमियन वलय $$L$$ के लिए, समरूपता समुच्चय
 * $$\begin{align}

\tilde{H}_0(S^3 \setminus L)&\cong \tilde{H}^{2}(L) = 0 \\ \tilde{H}_1(S^3 \setminus L)&\cong \tilde{H}^{1}(L) = \Z^{\oplus 3}\\ \tilde{H}_2(S^3 \setminus L)&\cong \tilde{H}^{0}(L) = \Z^{\oplus 2}\\ \tilde{H}_3(S^3 \setminus L)&\cong 0 \\ \end{align}$$ हैं।

निर्माण योग्य ढेरों के लिए अलेक्जेंडर द्वंद्व
सहज विविधताओं के लिए, अलेक्जेंडर द्वैत एबेलियन समुच्चयों के समुच्चय के लिए वर्डियर द्वैत का औपचारिक परिणाम है। इस प्रकार से अधिक यथार्थ रूप से, यदि हम $$X$$को एक सहज विविधता को निरूपित करने देते हैं और हम $$Y \subset X$$ को एक संवृत उप-समष्टि (जैसे कि एक चक्र का प्रतिनिधित्व करने वाला उप-समष्टि, या एक उप-समुच्चय) होने देते हैं, जो समावेशन $$i\colon Y \hookrightarrow X$$ द्वारा दर्शाया जाता है, और यदि $$k$$ एक क्षेत्र है, तो यदि $$\mathcal{F} \in \text{Sh}_k(Y)$$ एक है का सेतु है, $$k$$-सदिश रिक्त समष्टि के शीफ में हमारे निकट निम्नलिखित समरूपता
 * $$H^s_c(Y,\mathcal{F})^\vee \cong \operatorname{Ext}_k^{n-s}(i_*\mathcal{F}, \omega_X [n-s])$$,

है जहां बाईं ओर सह समरूपता समुच्चय संहत रूप से समर्थित समरूपता है। अतः इसका अर्थ क्या है, इसकी ठीक समझ प्राप्त करने के लिए हम इस कथन को और अधिक विस्तृत कर सकते हैं। सबसे पहले, यदि $$\mathcal{F} = \underline{k}$$ स्थिर शीफ है और $$Y$$ सहज उप कई गुना है, तो हमें
 * $$\operatorname{Ext}_k^{n - s}(i_*\mathcal{F}, \omega_X [n-r]) \cong H^{n-s}_Y(X,\omega_X)$$,

मिलता है जहां दाईं ओर स्थानीय सहसंरचना समुच्चय $$Y$$ में समर्थन के साथ स्थानीय सह समरूपता है। इस प्रकार से आगे की कटौती के माध्यम से, $$X \setminus Y$$ की समरूपता को $$Y$$ की सहसंबद्धता के साथ पहचानना संभव है। अतः यह बीजगणितीय ज्यामिति में प्रक्षेप्य प्रकारों के सह समरूपता समूहों की गणना के लिए उपयोगी है, और जैकोबियन आदर्श का उपयोग करके परिमाण $$d$$ के ऊनविम पृष्ठ की हॉज संरचना का आधार बनाने के लिए इसका उपयोग किया जाता है।

सिकंदर का 1915 परिणाम
इस प्रकार से अलेक्जेंडर के मूल कार्य का उल्लेख करते हुए, यह माना जाता है कि X सरल जटिल है।

अतः अलेक्जेंडर के निकट आधुनिक उपकरण बहुत कम थे, और उसका परिणाम मात्र बेट्टी संख्याओं के लिए था, जिसमें गुणांक मॉड्यूलो 2 लिया गया था। उदाहरणों से क्या अपेक्षा की जानी चाहिए। इस प्रकार से उदाहरण के लिए 3-गोले में क्लिफोर्ड टोरस निर्माण से पता चलता है कि ठोस टोरस का पूरक और ठोस टोरस है; जो दूसरा संवृत होने पर विवृत रहेगा, परन्तु इससे उसकी समरूपता पर कोई प्रभाव नहीं पड़ेगा। प्रत्येक ठोस टोरी समरूप दृष्टिकोण से वृत्त है। यदि हम मात्र वृत्त के बेट्टी संख्या


 * 1, 1, 0, 0

को लिखते हैं ($$H_3$$ तक, क्योंकि हम 3-गोले में हैं), फिर


 * 0, 0, 1, 1

के रूप में व्युत्क्रमित करें और फिर


 * 0, 1, 1, 0

प्राप्त करने के लिए एक को बाईं ओर स्थानांतरित करें, एक कठिनाई है, क्योंकि हमें वह नहीं मिल रहा है जिससे हमने प्रारम्भ किया था। इस प्रकार से दूसरी ओर, वही प्रक्रिया घटी हुई बेट्टी संख्याओं पर लागू होती है, जिसके लिए प्रारंभिक बेट्टी संख्या को 1 से घटाया जाता है,


 * 0, 1, 0, 0

से प्रारम्भ होता है और

0, 1, 0, 0

से


 * 0, 0, 1, 0

देता है।

यह पूरक की कम हुई बेट्टी संख्या की भविष्यवाणी करते हुए कार्य करता है।

इस प्रकार से यहां प्रोटोटाइप जॉर्डन वक्र प्रमेय है, जो टोपोलॉजी रीमैन क्षेत्र में वृत्त के पूरक से संबंधित है। यह भी यही कहानी बताता है। अतः हमारे निकट वृत्त की ईमानदार बेट्टी संख्याएँ


 * 1, 1, 0

हैं, और इसलिए


 * 0, 1, 1

को व्युत्क्रमित करते हैं, और


 * 1, 1, 0

को बाईं ओर परिवर्तित कर देते हैं। इस प्रकार से यह जॉर्डन प्रमेय के कथन से कुछ अलग देता है, जो यह है कि दो घटक हैं, प्रत्येक अनुबंध योग्य (स्कोनफ्लाइज़ प्रमेय, यहाँ क्या उपयोग किया गया है इसके विषय में यथार्थ होने के लिए) है। अर्थात्, ईमानदार बेट्टी संख्याओं में उचित उत्तर


 * 2, 0, 0 है।

एक बार फिर, यह कम हुई बेट्टी संख्याएँ हैं जो कार्य करती हैं। अतः उनके साथ, हम


 * 0, 1, 0

से प्रारंभ करके


 * 1, 0, 0 पर समाप्त करते हैं।

इसलिए, इन दो उदाहरणों से, अलेक्जेंडर के सूत्रीकरण का अनुमान लगाया जा सकता है: घटी हुई बेट्टी संख्या $$\tilde{b}_i$$,


 * $$\tilde{b}_i \to \tilde{b}_{n-i-1}$$ द्वारा पूरकों में संबंधित हैं।