पर्सिस्टेंट बेट्टी नंबर

परसिस्टेंट होमोलॉजी में, परसिस्टेंट बेट्टी नंबर, बेट्टी नंबर का एक मल्टीस्केल एनालॉग है जो एक निस्पंदन में कई स्केल मापदंडों पर बनी रहने वाली टोपोलॉजिकल विशेषताओं की संख्या को ट्रैक करता है। जबकि मौलिक $$n^{th}$$ बेट्टी संख्या $$n^{th}$$ की रैंक के समान है; बेट्टी संख्या, $$n^{th}$$ की रैंक के समान है। निरन्तर बेट्टी संख्या, $$n^{th}$$ निरन्तर होमोलॉजी समूह की रैंक है। पर्सिस्टेंट बेट्टी नंबर की अवधारणा को 2002 के पेपर टोपोलॉजिकल पर्सिस्टेंस एंड सिम्प्लीफिकेशन में हर्बर्ट एडेल्सब्रूनर, डेविड लेट्सचर और अफ़्रा ज़ोमोरोडियन द्वारा प्रस्तुत किया गया था, जो निरन्तर होमोलॉजी और टोपोलॉजिकल डेटा विश्लेषण के क्षेत्र में मौलिक पत्रों में से एक है।  परसिस्टेंट बेट्टी नंबर के अनुप्रयोग डेटा विश्लेषण, मशीन लर्निंग, और भौतिकी सहित विभिन्न क्षेत्रों में दिखाई देते हैं।

परिभाषा
मान लीजिए $$K$$ एक सरल सम्मिश्र है, और मान लीजिए कि $$f:K \to \mathbb R                                                                                                                                                                                                                                                                                $$ एक मोनोटोनिक है, अर्थात, गैर-घटता हुआ कार्य नहीं है। एकरसता की आवश्यकता इस बात की आश्वासन देती है कि सबलेवल सेट $$K(a) := f^{-1} (-\infty, a]                                                                                                                                                                                                                                                                                                        $$ सभी $$a \in \mathbb R$$ के लिए $$K$$ का एक उपसमुच्चय है। पैरामीटर $$a$$ को भिन्न होने देते हुए, हम इन उप-परिसरों को कुछ प्राकृतिक संख्या $$n$$ के लिए नेस्टेड अनुक्रम $$\emptyset = K_0 \subseteq K_1 \subseteq \cdots \subseteq K_n = K                                                                                                                                                                                        $$ में व्यवस्थित कर सकते हैं। यह क्रम कॉम्प्लेक्स $$K$$ पर निस्पंदन को परिभाषित करता है।

सतत समरूपता एक निस्पंदन में टोपोलॉजिकल विशेषताओं के विकास से संबंधित है। उस अंत तक, निस्पंदन में प्रत्येक परिसर के $$p^{th}$$ समरूपता समूह को लेकर हम समरूपता समूहों $$0 = H_p (K_0) \to H_p (K_1) \to \cdots \to H_p (K_n) = H_p (K)$$ का एक अनुक्रम प्राप्त करते हैं जो निस्पंदन में समावेशन मानचित्रों से प्रेरित समरूपता से जुड़े होते हैं। किसी क्षेत्र पर समरूपता प्रयुक्त करते समय हमें सदिश रिक्त स्थान और रैखिक मानचित्रों का एक अनुक्रम मिलता है जिसे सामान्यतः दृढ़ता मॉड्यूल के रूप में जाना जाता है।

प्रत्येक व्यक्तिगत सूचकांक पर स्थिर टोपोलॉजिकल जानकारी के विपरीत होमोलॉजिकल विशेषताओं के विकास को ट्रैक करने के लिए किसी को केवल गैर-तुच्छ होमोलॉजी वर्गों की संख्या की गणना करने की आवश्यकता होती है जो निस्पंदन में बनी रहती हैं, अथार्त जो कई मापदंड के मापदंडों में गैर-तुच्छ रहती हैं।

प्रत्येक $$i \leq j$$ के लिए, मान लीजिए कि $$f_p^{i,j}$$ प्रेरित समरूपता $$H_p (K_i) \to H_p (K_j)$$ को दर्शाता है। फिर $$p^{th}$$ निरन्तर होमोलॉजी समूहों को प्रत्येक प्रेरित मानचित्र की छवियों के रूप में परिभाषित किया जाता है। अर्थात्, $$H_p^{i,j} := \operatorname{im} f_p^{i,j}$$ सभी के लिए $$0 \leq i \leq j \leq n$$

मौलिक बेट्टी संख्या के समानांतर, $$p^{th}$$ निरन्तर बेट्टी संख्याएँ स्पष्ट रूप से $$p^{th}$$ निरन्तर होमोलॉजी समूहों की रैंक हैं, जो परिभाषा $$\beta_p^{i,j} := \operatorname{rank} H_p^{i,j}$$ द्वारा दी गई हैं।