कार्टेशियन गुणन

गणित में, विशेष रूप से समुच्चय सिद्धान्त, दो सेट (गणित) A और B  का कार्टेशियन उत्पाद, जिसे A × B के रूप में दर्शाया गया है,वह  सभी क्रमबद्ध  (a, b) का समुच्चय है  जहां a, A में है और b, B में है। सेट-बिल्डर नोटेशन के माध्यम से यह निम्नलिखित है:
 * $$A\times B = \{(a,b)\mid a \in A \ \mbox{ and } \ b \in B\}.$$

पंक्तियों के सेट और कॉलम के सेट का कार्टेशियन गुणनफल लेकर तालिका बनाई जा सकती है। यदि कार्टेशियन उत्पाद पंक्तियां × कॉलम लिया जाता है, तो तालिका के कक्षों में पंक्ति मान, स्तंभ मान प्रपत्र के क्रमित जोड़े होती हैं।

एक समान रूप से n सेट के कार्टेशियन उत्पाद को परिभाषित कर सकता है, जिसे 'n-फोल्ड कार्टेशियन उत्पाद' के रूप में भी जाना जाता है, जिसे एक n-आयामी सरणी द्वारा प्रतिष्ठित किया जा सकता है, जहां प्रत्येक तत्व एक एन- टपल होता है।एक आदेशित जोड़ी एक 2-टपल या कपल होती है। इससे अधिक सामान्य रूप से, सेट के अनुक्रमित परिवार के कार्टेशियन उत्पाद को परिभाषित किया जा सकता है।

कार्टेशियन उत्पाद का नाम रेने डेसकार्टेस के नाम पर रखा गया है, जिसके विश्लेषणात्मक ज्यामिति के सूत्रीकरण ने अवधारणा को जन्म दिया, जिसे प्रत्यक्ष उत्पाद के संदर्भ में आगे सामान्यीकृत किया गया है।

ताश की गड्डी
एक उदाहरण उदाहरण मानक 52-कार्ड डेक है। प्लेइंग कार्ड्स एंग्लो-अमेरिकन रैंक {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} एक 13-तत्व सेट बनाते हैं। कार्ड सूट {♠, ♥, ♦, ♣}चार-घटक सेट बनाते हैं इन सेटों का कार्टेशियन गुणांक एक 52-घटक सेट देता है, जिसमें 52 क्रमशः व्यवस्थित जोड़ी होती हैं, जो सभी 52 संभावित खेल कार्ड को प्रतिष्ठित करती हैं।

Ranks × Suits फॉर्म का एक सेट लौटाता है {(ए, ♠), (ए,♥), (ए,♦), (ए,♣), (के,♠), …, (3,♣), (2,♠), (2,♥), (2, ♦), (2, ♣)}.

Suits × Ranks फॉर्म का एक सेट लौटाता है {(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10), …, (♣, 6), (♣, 5 ), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}।

ये दो सेट अलग-अलग हैं, यहां तक ​​​​कि अलग-अलग सेट भी हैं, लेकिन उनके बीच एक प्राकृतिक आक्षेप है, जिसके तहत (3, ♣) (♣, 3) और इसी तरह से मेल खाता है।

एक द्वि-आयामी समन्वय प्रणाली
मुख्य ऐतिहासिक उदाहरण विश्लेषणात्मक ज्यामिति में कार्टेशियन विमान है। संख्यात्मक तरीके से ज्यामितीय आकृतियों का प्रतिनिधित्व करने के लिए, और आकृतियों के संख्यात्मक प्रतिनिधित्वों से संख्यात्मक जानकारी निकालने के लिए, रेने डेसकार्टेस ने विमान में प्रत्येक बिंदु को वास्तविक संख्याओं की एक जोड़ी सौंपी, जिसे इसके निर्देशांक कहा जाता है। आमतौर पर, ऐसे जोड़े के पहले और दूसरे घटकों को क्रमशः इसके x और y निर्देशांक कहा जाता है (चित्र देखें)। ऐसे सभी युग्मों का समुच्चय (अर्थात, कार्तीय गुणनफल ℝ×ℝ, ℝ वास्तविक संख्याओं को दर्शाता है) इस प्रकार विमान में सभी बिंदुओं के सेट को सौंपा गया है।

सबसे आम कार्यान्वयन (सेट सिद्धांत)
सेट सिद्धांत से कार्टेशियन उत्पाद की एक औपचारिक परिभाषा | सेट-सैद्धांतिक सिद्धांत आदेशित जोड़ी की परिभाषा से अनुसरण करते हैं। क्रमित युग्मों की सबसे सामान्य परिभाषा, क्रमित युग्म#कुराटोस्की की परिभाषा|कुराटोस्की की परिभाषा, है $$(x, y) = \{\{x\},\{x, y\}\}$$. इस परिभाषा के तहत, $$(x, y)$$ का एक तत्व है $$\mathcal{P}(\mathcal{P}(X \cup Y))$$, और $$X\times Y$$ उस सेट का एक उपसमुच्चय है, जहां $$\mathcal{P}$$ सत्ता स्थापित  ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करता है। इसलिए, ZFC में किन्हीं दो सेटों के कार्टेशियन उत्पाद का अस्तित्व युग्मन के स्वयंसिद्ध, संघ के स्वयंसिद्ध, शक्ति सेट के स्वयंसिद्ध और विनिर्देशन के स्वयंसिद्ध स्कीमा से अनुसरण करता है। चूंकि फ़ंक्शन (गणित) को आमतौर पर संबंध (गणित) के एक विशेष मामले के रूप में परिभाषित किया जाता है, और संबंधों को आमतौर पर कार्टेशियन उत्पाद के सबसेट के रूप में परिभाषित किया जाता है, दो-सेट कार्टेशियन उत्पाद की परिभाषा आवश्यक रूप से अधिकांश अन्य परिभाषाओं से पहले होती है।

गैर-कम्यूटेटिविटी और गैर-एसोसिएटिविटी
माना A, B, C और D समुच्चय हैं।

कार्टेशियन उत्पाद A × B क्रमविनिमेय नहीं है,
 * $$A \times B \neq B \times A,$$
 * क्योंकि क्रमित युग्मों को तब तक उलट दिया जाता है जब तक कि निम्न में से कम से कम एक स्थिति संतुष्ट न हो: * ए बराबर बी है, या


 * A या B रिक्त समुच्चय है।

उदाहरण के लिए:
 * A = {1,2}; B = {3,4}
 * A × B = {1,2} × {3,4} = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}
 * B × A = {3,4} × {1,2} = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}


 * A = B = {1,2}
 * A × B = B × A = {1,2} × {1,2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}


 * A = {1,2}; B = ∅
 * A × B = {1,2} × ∅ = ∅
 * B × A = ∅ × {1,2} = ∅

सख्ती से बोलना, कार्टेशियन उत्पाद साहचर्य नहीं है (जब तक कि शामिल सेटों में से एक खाली न हो)।
 * $$(A\times B)\times C \neq A \times (B \times C)$$

यदि उदाहरण के लिए A = {1}, तो (A × A) × A = {((1, 1), 1)} ≠ {(1, (1, 1))} = A × (A × A).

चौराहे, संघ, और सबसेट
कार्टेशियन उत्पाद चौराहा (सेट सिद्धांत)  के संबंध में निम्नलिखित संपत्ति को संतुष्ट करता है (मध्य चित्र देखें)।
 * $$(A \cap B) \times (C \cap D) = (A \times C) \cap (B \times D)$$

ज्यादातर मामलों में, उपरोक्त कथन सत्य नहीं है यदि हम चौराहे को संघ (सेट सिद्धांत) से बदल दें (सबसे दाहिनी तस्वीर देखें)। $$(A \cup B) \times (C \cup D) \neq (A \times C) \cup (B \times D)$$ वास्तव में, हमारे पास वह है: $$(A \times C) \cup (B \times D) = [(A \setminus B) \times C] \cup [(A \cap B) \times (C \cup D)] \cup [(B \setminus A) \times D]$$ सेट अंतर के लिए, हमारे पास निम्न पहचान भी है: $$(A \times C) \setminus (B \times D) = [A \times (C \setminus D)] \cup [(A \setminus B) \times C]$$ अन्य ऑपरेटरों के साथ वितरण प्रदर्शित करने वाले कुछ नियम यहां दिए गए हैं (सबसे बाईं तस्वीर देखें): $$\begin{align} A \times (B \cap C) &= (A \times B) \cap (A \times C), \\ A \times (B \cup C) &= (A \times B) \cup (A \times C), \\ A \times (B \setminus C) &= (A \times B) \setminus (A \times C), \end{align}$$
 * $$(A \times B)^\complement = \left(A^\complement \times B^\complement\right) \cup \left(A^\complement \times B\right) \cup \left(A \times B^\complement\right)\!,$$

कहाँ $$A^\complement$$ ए के पूर्ण पूरक को दर्शाता है।

उपसमुच्चय से संबंधित अन्य गुण हैं: $$\text{if } A \subseteq B \text{, then } A \times C \subseteq B \times C;$$
 * $$\text{if both } A,B \neq \emptyset \text{, then } A \times B \subseteq C \times D \!\iff\! A \subseteq C \text{ and } B \subseteq D.$$

कार्डिनैलिटी
एक सेट की प्रमुखता सेट के तत्वों की संख्या है। उदाहरण के लिए, दो सेटों को परिभाषित करना: A = {a, b} और B = {5, 6}. समुच्चय A और समुच्चय B दोनों में दो-दो अवयव हैं। उनका कार्टेशियन उत्पाद, के रूप में लिखा गया है A × B, एक नए सेट में परिणत होता है जिसमें निम्नलिखित तत्व होते हैं:
 * A × B = {(ए, 5), (ए, 6), (बी, 5), (बी, 6)}।

जहाँ A का प्रत्येक तत्व B के प्रत्येक तत्व के साथ जोड़ा जाता है, और जहाँ प्रत्येक जोड़ी आउटपुट सेट का एक तत्व बनाती है। परिणामी सेट के प्रत्येक तत्व में मानों की संख्या उन सेटों की संख्या के बराबर होती है जिनका कार्टेशियन उत्पाद लिया जा रहा है; इस मामले में 2. आउटपुट सेट की कार्डिनैलिटी सभी इनपुट सेटों की कार्डिनैलिटी के गुणनफल के बराबर होती है। वह है,
 * |A × B| = |ए| · |बी|. इस मामले में, | A × B | = 4

उसी प्रकार
 * |A × B × सी| = |ए| · |बी| · |सी|

और इसी तरह।

सेट A × B अनंत समुच्चय है यदि या तो A या B अनंत है, और दूसरा समुच्चय खाली समुच्चय नहीं है।

एन-एरी कार्टेशियन उत्पाद
कार्टेशियन उत्पाद को एन सेट एक्स पर 'एन-आरी कार्टेशियन उत्पाद' के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है1, ..., एक्सnसेट के रूप में


 * $$X_1\times\cdots\times X_n = \{(x_1, \ldots, x_n) \mid x_i \in X_i \ \text{for every} \ i \in \{1, \ldots, n\} \}$$

ट्यूपल का|एन-टुपल्स। यदि टुपल्स को टुपल्स नेस्टेड ऑर्डर किए गए जोड़े के रूप में टुपल्स के रूप में परिभाषित किया जाता है, तो इसकी पहचान की जा सकती है (X1 × ⋯ × Xn−1) × Xn. यदि एक टपल को एक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया गया है {1, 2, …, n} जो टपल का iवां तत्व होने के लिए i पर अपना मान लेता है, फिर कार्टेशियन उत्पाद X1×⋯×Xn कार्यों का समूह है


 * $$\{ x:\{1,\ldots,n\}\to X_1\cup\cdots\cup X_n \ | \ x(i)\in X_i \ \text{for every} \ i \in \{1, \ldots, n\} \}.$$

एन-एरी कार्तीय शक्ति
समुच्चय X का 'कार्तीय वर्ग' कार्तीय गुणनफल है X2 = X × X.

एक उदाहरण 2-आयामी विमान (गणित) है R2 = R × R जहां R वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है: R2 सभी बिंदुओं का समुच्चय है (x,y) जहां x और y वास्तविक संख्याएं हैं (कार्टेशियन समन्वय प्रणाली देखें)।

एक सेट X की 'एन-एरी कार्टेशियन पावर', निरूपित $$X^n$$, के रूप में परिभाषित किया जा सकता है


 * $$ X^n = \underbrace{ X \times X \times \cdots \times X }_{n}= \{ (x_1,\ldots,x_n) \ | \ x_i \in X \ \text{for every} \ i \in \{1, \ldots, n\} \}.$$

इसका एक उदाहरण R3 = R × R × R है, R के साथ फिर से वास्तविक संख्याओं का समुच्चय, और अधिक आम तौर पर Rn.

एक सेट एक्स की एन-आरी कार्टेशियन शक्ति एक एन-एलिमेंट सेट से एक्स के कार्यों के स्थान पर समाकृतिकता  है। एक विशेष मामले के रूप में, एक्स की 0-आरी कार्टेशियन शक्ति को एक सिंगलटन सेट के रूप में लिया जा सकता है, जो इसके अनुरूप है कोडोमेन एक्स के साथ खाली फ़ंक्शन।

अनंत कार्टेशियन उत्पाद
सेट के एक मनमाना (संभवतः अनंत) अनुक्रमित परिवार के कार्टेशियन उत्पाद को परिभाषित करना संभव है। अगर मैं कोई सूचकांक सेट  हूं, और $$\{X_i\}_{i\in I}$$ I द्वारा अनुक्रमित सेट का एक परिवार है, फिर सेट का कार्टेशियन उत्पाद $$\{X_i\}_{i\in I}$$ होना परिभाषित किया गया है


 * $$\prod_{i \in I} X_i = \left\{\left. f: I \to \bigcup_{i \in I} X_i\ \right|\ (\forall i\in I)(f(i) \in X_i)\right\},$$ अर्थात्, इंडेक्स सेट पर परिभाषित सभी फ़ंक्शंस का सेट जैसे कि किसी विशेष इंडेक्स पर फ़ंक्शन का मान X का एक तत्व हैi. भले ही प्रत्येक Xiगैर-खाली है, तो कार्टेशियन उत्पाद खाली हो सकता है यदि पसंद का स्वयंसिद्ध, जो इस कथन के बराबर है कि ऐसा प्रत्येक उत्पाद गैर-खाली है, नहीं माना जाता है।

I में प्रत्येक j के लिए, function
 * $$ \pi_{j}: \prod_{i \in I} X_i \to X_{j},$$

द्वारा परिभाषित $$\pi_{j}(f) = f(j)$$ 'जे' वें प्रोजेक्शन (गणित) कहा जाता है।

कार्टेशियन पावर एक कार्टेशियन उत्पाद है जहां सभी कारक 'Xi' हैंसमान समुच्चय X हैं। इस स्थिति में,
 * $$\prod_{i \in I} X_i = \prod_{i \in I} X$$
 * I से X तक सभी कार्यों का सेट है, और अक्सर X को निरूपित किया जाता है मैं . कार्डिनल घातांक के अध्ययन में यह मामला महत्वपूर्ण है। एक महत्वपूर्ण विशेष मामला तब होता है जब इंडेक्स सेट होता है $$\mathbb{N}$$, प्राकृतिक संख्याएँ: यह कार्तीय गुणन सभी अनंत अनुक्रमों का समुच्चय है जिसके संगत समुच्चय X में iवां पद हैi. उदाहरण के लिए, प्रत्येक तत्व
 * $$\prod_{n = 1}^\infty \mathbb R = \mathbb R \times \mathbb R \times \cdots$$

एक यूक्लिडियन वेक्टर के रूप में कल्पना की जा सकती है जिसमें अनगिनत वास्तविक संख्या घटक होते हैं। इस सेट को अक्सर निरूपित किया जाता है $$\mathbb{R}^\omega$$, या $$\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$$.

संक्षिप्त रूप
यदि कई सेटों को एक साथ गुणा किया जा रहा है (जैसे, X1, एक्स2, एक्स3, …), फिर कुछ लेखक कार्तीय गुणनफल को केवल × X के रूप में संक्षिप्त करने के लिए चुनेंi.

कार्यों का कार्टेशियन उत्पाद
यदि f, X से A तक एक फलन है और g, Y से B तक का फलन है, तो उनका कार्तीय गुणनफल f × g से एक समारोह है X × Y को A × B साथ
 * $$(f\times g)(x, y) = (f(x), g(y)).$$

इसे टुपल्स और कार्यों के अनंत संग्रह तक बढ़ाया जा सकता है।

यह सेट के रूप में माने जाने वाले कार्यों के मानक कार्टेशियन उत्पाद से अलग है।

सिलेंडर
होने देना $$A$$ एक सेट हो और $$B \subseteq A$$. फिर का सिलेंडर $$B$$ इसके संबंध में $$A$$ कार्तीय उत्पाद है $$B \times A$$ का $$B$$ और $$A$$.

सामान्य रूप से, $$A$$ संदर्भ का ब्रह्मांड (गणित) माना जाता है और छोड़ दिया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि $$B$$ प्राकृतिक संख्याओं का एक उपसमुच्चय है $$\mathbb{N}$$, फिर का सिलेंडर $$B$$ है $$B \times \mathbb{N}$$.

श्रेणी सिद्धांत
चूंकि कार्तीय उत्पाद परंपरागत रूप से सेट पर लागू होता है, श्रेणी सिद्धांत गणितीय संरचनाओं के उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) की अधिक सामान्य व्याख्या प्रदान करता है। यह अलग है, चूंकि, श्रेणी सिद्धांत में कार्टेशियन वर्ग (श्रेणी सिद्धांत) की धारणा से संबंधित है, जो फाइबर उत्पाद का एक सामान्यीकरण है।

घातीय वस्तु कार्टेशियन उत्पाद का सही आसन्न है; इस प्रकार कार्टेशियन उत्पाद (और एक अंतिम वस्तु) वाली कोई भी श्रेणी कार्टेशियन बंद श्रेणी है।

ग्राफ सिद्धांत
ग्राफ सिद्धांत में, ग्राफ जी और एच के कार्टेशियन उत्पाद द्वारा दर्शाया गया ग्राफ है G × H, जिसका शीर्ष (ग्राफ़ सिद्धांत) सेट (साधारण) कार्तीय गुणनफल है V(G) × V(H) और ऐसा है कि दो कोने (यू, वी) और (यू', वी') आसन्न हैं G × H, अगर और केवल अगर u = u′ और v, H में v′ के निकट है, या v = v′ और u, G में u' के निकट है। ग्राफ का कार्तीय उत्पाद श्रेणी सिद्धांत के अर्थ में एक उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) नहीं है। इसके अतिरिक्त, श्रेणीबद्ध उत्पाद को रेखांकन के टेंसर उत्पाद के रूप में जाना जाता है।

यह भी देखें

 * द्विआधारी संबंध
 * संयोजन तार के सेट का संयोजन
 * सहउत्पाद
 * पार उत्पाद
 * समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद
 * खाली उत्पाद
 * यूक्लिडियन अंतरिक्ष
 * घातीय वस्तु
 * परिमित संबंध
 * जॉइन (एसक्यूएल) क्रॉस जॉइन | जॉइन (एसक्यूएल) § क्रॉस जॉइन
 * कुल ऑर्डर पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सेट के कार्टेशियन उत्पाद पर ऑर्डर
 * शक्ति सेट का स्वयंसिद्ध परिणाम (कार्टेशियन उत्पाद के अस्तित्व को साबित करने के लिए)
 * उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत)
 * उत्पाद टोपोलॉजी
 * उत्पाद का प्रकार
 * अल्ट्राप्रोडक्ट

बाहरी संबंध

 * Cartesian Product at ProvenMath
 * How to find the Cartesian Product, Education Portal Academy
 * How to find the Cartesian Product, Education Portal Academy