संयुक्त माप का सिद्धांत

संयुक्त माप का सिद्धांत (जिसे संयुक्त माप या योगात्मक संयुक्त माप के रूप में भी जाना जाता है) सतत मात्रा का एक सामान्य औपचारिक सिद्धांत है। इसकी खोज स्वतंत्र रूप से फ्रांसीसी अर्थशास्त्री जेरार्ड डेब्रू ( वर्ष 1960), अमेरिकी गणितीय मनोवैज्ञानिक आर. डंकन लूस और सांख्यिकी जॉन टुकी द्वारा की गई थी।

यह सिद्धांत उस स्थिति से संबंधित है जहाँ कम से कम दो प्राकृतिक गुण, A और X, अन्योन्याक्रियाहीन रूप से तृतीय गुण, P से संबंधित हैं। यह आवश्यक नहीं है कि A, X या P मात्राएँ ज्ञात हों। P के स्तरों के मध्य विशिष्ट संबंधों के माध्यम से यह स्थापित किया जा सकता है कि P, A और X सतत मात्राएं हैं। इसलिए संयुक्त माप के सिद्धांत का उपयोग आनुभविक परिस्थितियों में विशेषताओं को मापने के लिए किया जा सकता है जहाँ एक साथ ऑपरेशन या संश्रृंखलन का उपयोग करके विशेषताओं के स्तर को संयोजित करना संभव नहीं है। इसलिए प्रवृति, संज्ञानात्मक योग्यता और उपादेयता जैसे मनोवैज्ञानिक गुणों का परिमाणन तार्किक रूप से प्रशंसनीय है। इसका अर्थ यह है कि मनोवैज्ञानिक विशेषताओं का वैज्ञानिक माप संभव है। यह भौतिक मात्राओं के समान एक मनोवैज्ञानिक मात्रा का परिमाण संभवतः एक वास्तविक संख्या तथा एक इकाई परिमाण के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

हालाँकि, मनोविज्ञान में संयुक्त माप के सिद्धांत का अनुप्रयोग सीमित है। यह तर्क दिया गया है कि यह उच्च स्तर के औपचारिक गणित के सम्मिलित होने के कारण है (उदाहरण के लिए, ) तथा यह सिद्धांत सामान्यतः मनोवैज्ञानिक अनुसंधान (उदाहरण के लिए, ) में खोजे गए "नॉयसी" डेटा का लेखा प्रदान नहीं करा सकती है। यह तर्क दिया गया है कि रैश मॉडल संयुक्त माप के सिद्धांत का एक स्टोकेस्टिक संस्करण है (उदाहरण के लिए, ; ; ; ; ; ), हालांकि, इस पर विवाद (उदाहरण के लिए, करबात्सोस, वर्ष 2001; क्यिंगडन, वर्ष 2008) किया गया है। पूर्व दशक में संयोजन माप के अभिगृहीत निरस्तीकरण के प्रायिकतात्मक परीक्षण करने के लिए प्रतिबंधित प्रणाली के तरीके विकसित किए गए हैं (उदाहरण के लिए, कराबात्सोस, 2001; डेविस-स्टॉबर, 2009)।

संयुक्त माप का सिद्धांत (भिन्न किंतु) संयुक्त विश्लेषण से संबंधित है जो कि योगात्मक उपयोगिता फलनों के मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए विपणन में नियोजित एक सांख्यिकीय प्रयोग पद्धति है। प्रत्यर्थियों को विभिन्न बहु-विशेषता उत्तेजनाएँ प्रस्तुत की जाती हैं और प्रस्तुत उत्तेजनाओं के विषय में उनकी प्राथमिकताओं को मापने के लिए विभिन्न विधियों का प्रयोग किया जाता है।

ऐतिहासिक सिंहावलोकन
1930 के दशक में, ब्रिटिश एसोसिएशन फॉर द एडवांसमेंट ऑफ साइंस ने मनोवैज्ञानिक विशेषताओं को वैज्ञानिक रूप से मापने की संभावना की जांच करने के लिए फर्ग्यूसन समिति की स्थापना की। ब्रिटिश भौतिकीविद् और माप सिद्धांताकार नॉर्मन रॉबर्ट कैंपबेल समिति के एक प्रभावशाली सदस्य थे। अपनी अंतिम रिपोर्ट (फर्ग्यूसन एट अल., 1940) में, कैंपबेल और समिति ने निष्कर्ष निकाला कि चूंकि मनोवैज्ञानिक विशेषताएं श्रृखंलाबद्धीकरण संक्रिया को बनाए रखने में सक्षम नहीं थीं, इसलिए ऐसी विशेषताएं सतत मात्रा नहीं हो सकतीं। अत: इन्हें वैज्ञानिक दृष्टि से मापा नहीं जा सका। इसका मनोविज्ञान पर महत्वपूर्ण प्रभाव पड़ा, इनमें से अत्यधिक महत्वपूर्ण वर्ष 1946 में हार्वर्ड मनोवैज्ञानिक स्टेनली स्मिथ स्टीवंस द्वारा माप के परिचालन संबंधी सिद्धांत का निर्माण था। स्टीवंस के माप के गैर-वैज्ञानिक सिद्धांत को सामान्यतः मनोविज्ञान और व्यवहार विज्ञान में व्यापक रूप से सर्वोत्तम माना जाता है।

जबकि जर्मन गणितज्ञ ओटो होल्डर (वर्ष 1901) ने संयुक्त माप के सिद्धांत की विशेषताओं को प्रत्याशित किया था, लूस एंड तुकी के मौलिक वर्ष 1964 पेपर के प्रकाशन तक ऐसा नहीं हुआ था कि सिद्धांत को अपना प्रथम पूर्ण विवरण प्राप्त हुआ था। लूस और तुकी की प्रस्तुति बीजगणितीय थी और इसलिए इसे डेब्रू (वर्ष 1960) के सांस्थितिक कार्य की तुलना में अधिक सामान्य माना जाता है, जो कि पूर्व की एक विशेष स्थिति है । जर्नल ऑफ़ मैथेमैटिकल साइकोलॉजी के प्रारंभिक प्रकाशन के प्रथम लेख में, ने सिद्ध किया कि संयोजन माप के सिद्धांत के माध्यम से उन विशेषताओं को परिमाणित किया जा सकता है जो संयोजन में सक्षम नहीं हैं। इस प्रकार एन.आर. कैम्पबेल और फर्ग्यूसन आयोग गलत सिद्ध हुए। यह कि दी गई मनोवैज्ञानिक विशेषता एक सतत मात्रा है, एक तार्किक रूप से सुसंगत और अनुभवजन्य परीक्षण योग्य परिकल्पना है।

उसी पत्रिका के अगले अंक में दाना स्कॉट ( वर्ष 1964) के महत्वपूर्ण पत्र प्रकाशित हुए, जिन्होंने सॉल्वैबिलिटी और आर्किमिडीयन सिद्धांतों के अप्रत्यक्ष परीक्षण के लिए रद्द करने की शर्तों का एक पदानुक्रम प्रस्तावित किया और डेविड क्रांत्ज़ (वर्ष 1964) जिन्होंने लूस एंड टुकी के कार्य को होल्डर (वर्ष 1901) के कार्य से युग्मन किया।

कार्य जल्द ही केवल दो से अधिक विशेषताओं को सम्मिलित करने के लिए संयुक्त माप के सिद्धांत का विस्तार करने पर केंद्रित हो गया। और अमोस टावर्सकी (वर्ष 1967) ने विकसित किया जिसे बहुपदीय संयुक्त माप के रूप में जाना जाता है,  एक रूपरेखा प्रदान करता है जिससे तीन या अधिक विशेषताओं की संयुक्त माप संरचनाओं का निर्माण किया जा सकता है। तत्पश्चात फ़ाउंडेशन ऑफ़ मेजरमेंट के प्रथम खंड (इसके दो चर, बहुपद और एन-घटक रूपों में) के प्रकाशन के साथ संयुक्त माप के सिद्धांत को एक संपूर्ण और उच्च तकनीकी उपचार प्राप्त हुआ, जिसे क्रांत्ज़, लूस, टावर्सकी और दार्शनिक पैट्रिक सपेस ने लिखा था (क्रांत्ज़ एट अल. र्ष 1971)।

(क्रांत्ज़ एट अल. र्ष 1971) के प्रकाशन के कुछ ही समय पश्चात, संयुक्त माप के सिद्धांत के लिए एक "त्रुटि सिद्धांत" विकसित करने पर ध्यान केंद्रित किया गया। संयुक्त सरणियों की संख्या पर अध्ययन किए गए जो केवल एकल निरस्तीकरण और एकल तथा दोहरे निरस्तीकरण दोनों का समर्थन करते थे । तत्पश्चात गणना अध्ययन बहुपदीय संयोजन माप पर केंद्रित थे । इन अध्ययनों में पाया गया कि इसकी अत्यधिक संभावना नहीं है कि संयुक्त मापन विधियों के सिद्धांत यादृच्छिक रूप से संतुष्ट हैं जबकि घटक विशेषताओं में से कम से कम एक के तीन से अधिक स्तरों की पहचान की गई हो।

जोएल मिशेल (वर्ष 1988) ने बाद में पहचाना कि दोहरे निरस्तीकरण सिद्धांत के परीक्षणों का "कोई परीक्षण नहीं" वर्ग खाली था। इस प्रकार दोहरे निरस्तीकरण का कोई भी उदाहरण या तो सिद्धांत की स्वीकृति या अस्वीकृति है। मिशेल ने इस समय संयुक्त माप के सिद्धांत का एक गैर-तकनीकी परिचय भी लिखा, जिसमें स्कॉट के (वर्ष 1964) के कार्य के आधार पर उच्च कोटि के निरस्तीकरण की स्थिति प्राप्त करने के लिए एक रूपरेखा भी सम्मिलित था। मिशेल की रूपरेखा का उपयोग करते हुए बेन रिचर्ड्स (किंग्डन और रिचर्ड्स, वर्ष 2007) ने पाया कि त्रिपक्षीय निरस्तीकरण सिद्धांत के कुछ उदाहरण "असंगत" हैं क्योंकि वे एकल निरस्तीकरण सिद्धांत का खंडन करते हैं। इसके अतिरिक्त उन्होंने त्रिपक्षीय निरस्तीकरण के अनेक उदाहरणों की पहचान की जो दोहरे निरस्तीकरण का समर्थन करने पर तुच्छ रूप से सत्य हैं।

संयुक्त मापन के सिद्धांत के अभिगृहीत प्रसंभाव्य नहीं हैं; और निरस्तीकरण अनुक्रम सिद्धांतों द्वारा डेटा पर लगाए गए क्रमिक बाधाओं को देखते हुए प्रतिबंधित निष्कर्ष पद्धति का उपयोग किया जाना चाहिए । जॉर्ज काराबात्सोस और उनके सहयोगियों (कराबात्सोस, वर्ष 2001; ) ने मनोमिति सम्बन्धी अनुप्रयोगों के लिए बायेसियन मार्कोव श्रृंखला मोंटे कार्लो पद्धति विकसित की। करबात्सोस और उलरिच वर्ष 2002 ने प्रदर्शित किया कि इस संरचना  को बहुपदीय संयुक्त संरचनाओं तक किस प्रकार विस्तारित किया जा सकता है। करबात्सोस (वर्ष 2005) ने अपने बहुपदीय डिरिक्ले संरचना के साथ इस कार्य को सामान्यीकृत किया, जिसने गणितीय मनोविज्ञान के अनेक गैर-प्रसंभाव्य सिद्धांतों के प्रायिकतात्मक परीक्षण को सक्षम किया। अभी हाल ही में क्लिंटिन डेविस-स्टॉबर (वर्ष 2009) ने प्रतिबंधित अनुमान के लिए एक फ़्रीक्वेंटिस्ट संरचना विकसित की है जिसका उपयोग निरस्तीकरण सिद्धांतों का परीक्षण करने के लिए भी किया जा सकता है।

संभवतः संयुक्त माप के सिद्धांत का सबसे उल्लेखनीय (किंग्डन, वर्ष 2011) उपयोग इजरायली - अमेरिकी मनोवैज्ञानिक डैनियल काह्नमैन और अमोस टावर्सकी (कह्नमैन और टावर्सकी, वर्ष 1979) द्वारा प्रस्तावित पूर्वेक्षण सिद्धांत में था। पूर्वेक्षण सिद्धांत संकट और अस्थिरता के अंतर्गत निर्णय लेने का एक सिद्धांत था जो एलाइस मिथ्याभास जैसे विकल्प आचरण के लिए उत्तरदायी था। डेविड क्रांत्ज़ ने संयुक्त माप के सिद्धांत का उपयोग करते हुए संभावना सिद्धांत का औपचारिक प्रमाण लिखा। वर्ष 2002 में, कन्नमैन को पूर्वेक्षण सिद्धांत के लिए अर्थशास्त्र में नोबेल मेमोरियल पुरस्कार प्राप्त हुआ (बिर्नबाम, वर्ष 2008)।

मापन की चिरसम्मत/मानक परिभाषा
भौतिकी और मापविद्या में, मापन की मानक परिभाषा एक निरंतर मात्रा के परिमाण और उसी प्रकार की एक इकाई परिमाण के बीच के अनुपात का आकलन है (डी बोअर,वर्ष 1994/95; एमर्सन, वर्ष 2008)। उदाहरण के लिए, कथन "पीटर का प्रवेश कक्ष 4 मीटर लंबा है" प्रवेश कक्ष की लंबाई के लिए इकाई (इस स्थिति में मीटर) के अनुपात के रूप में अभी तक के अज्ञात लंबाई परिमाण (प्रवेश कक्ष की लंबाई) के मापन को व्यक्त करता है। इस शब्द के पूर्णतः गणितीय अर्थ में संख्या 4 एक वास्तविक संख्या है।

कुछ अन्य मात्राओं के लिए निश्चर गुण असमानताओं के मध्य अनुपात हैं। उदाहरण के लिए, तापमान पर विचार करें। परिचित नित्य प्रति उदाहरणों में, तापमान को फ़ारेनहाइट या सेल्सियस पैमाने में अंशांकित उपकरणों का उपयोग करके मापा जाता है। ऐसे उपकरणों से वास्तव में जो मापा जा रहा है, वह तापमान असमानताओं का परिमाण है। उदाहरण के लिए, एंडर्स सेल्सियस ने सेल्सियस पैमाने की इकाई को समुद्र तल पर जल के हिमांक और क्वथनाक बिन्दु के मध्य तापमान में अंतर के 1/100वें अंश के रूप में परिभाषित किया। 20 डिग्री सेल्सियस के मध्याह्न का तापमान मापन केवल मध्याह्न तापमान और हिमकारी जल के तापमान के अंतर को सेल्सियस इकाई और हिमकारी जल के तापमान के अंतर से विभाजित किया जाता है।

औपचारिक रूप से अभिव्यक्त, एक वैज्ञानिक मापन है:


 * $$ Q = r \times [Q]$$

जहाँ Q मात्रा का परिमाण है, r एक वास्तविक संख्या है और [Q] उसी प्रकार का एक इकाई परिमाण है।

विस्तीर्ण एवं सघन मात्रा
लंबाई एक मात्रा है जिसके लिए प्राकृतिक श्रृखंलाबद्धीकरण संचालन उपस्थित हैं। यानी उदाहरण के लिए, हम कठोर स्टील की छड़ों की लंबाई को साथ-साथ जोड़ सकते हैं, ताकि लंबाई के बीच योगात्मक संबंध सरलता से प्रेक्षित किया जा सके। यदि ऐसी चार 1 मीटर लंबाई के छड़ें हैं, तो उन्हें 4 मीटर की लंबाई प्राप्त करने के लिए एक सिरे से दूसरे सिरे तक रखा जा सकता हैं। श्रृखंलाबद्धीकरण में सक्षम मात्राएँ विस्तीर्ण मात्राएँ कहलाती हैं और इसमें द्रव्यमान, काल, विद्युत प्रतिरोध और समतल कोण सम्मिलित हैं। इन्हें भौतिकी और मापविद्या में आधार मात्रा के रूप में जाना जाता है।

तापमान एक ऐसी मात्रा है जिसके लिए श्रृखंलाबद्धीकरण संक्रियाओं का अभाव होता है। 40 डिग्री सेल्सियस तापमान वाले जल की मात्रा को 20 डिग्री सेल्सियस के जल की अन्य बाल्टी में नहीं डाला जा सकता हैं और 60 डिग्री सेल्सियस तापमान वाले जल की मात्रा की अपेक्षा नहीं किया जा सकता हैं। इसलिए तापमान एक सघन मात्रा है।

तापमान जैसे मनोवैज्ञानिक गुणों को सघन माना जाता है क्योंकि ऐसे गुणों को श्रृखंलाबद्धीकृत करने का कोई तरीका नहीं पाया गया है। लेकिन इसका अर्थ यह नहीं कि ऐसे गुण परिमाण निर्धारित करने योग्य नहीं हैं। संयुक्त मापन का सिद्धांत ऐसा करने का एक सैद्धांतिक साधन प्रदान करता है।

सिद्धांत
दो प्राकृतिक गुणों A और X पर विचार करें। A या X, या दोनों एक सतत मात्रा है या नहीं यह ज्ञात नहीं है। मान लें a, b, और c, A के तीन स्वतंत्र, अभिज्ञेय स्तरों का प्रतिनिधित्व करते हैं; और मान लें x, y और z, X के तीन स्वतंत्र, अभिज्ञेय स्तरों का प्रतिनिधित्व करते हैं। एक तृतीय गुण P में A और X के स्तरों के नौ क्रमित युग्म सम्मिलित हैं। अर्थात्, (a, x),  (b, y),... , (c, z) (चित्र संख्या 1 देखें)। A, X और P के परिमाणन P के स्तर पर संबंध के व्यवहार पर निर्भर करता है। इन संबंधों को संयुक्त मापन के सिद्धांत में सूक्तियों के रूप में प्रस्तुत किया गया है।

एकल निरस्तीकरण या स्वतंत्र सिद्धांत
एकल निरस्तीकरण सूक्ति इस प्रकार है। P पर संबंध एकल निरस्तीकरण को संतुष्ट करता है यदि केवल A में सभी a और b के लिए, और X में x के लिए (a, x) > (b, x), X में प्रत्येक w के लिए निहित है इस प्रकार कि (a, w) > (b, w)। इसी प्रकार, X में सभी x और y और A में a के लिए , (a, x) > (a, y), A में प्रत्येक d के लिए इस प्रकार निहित है कि (d, x) > (d, y)। इसका अर्थ यह है कि यदि किन्हीं दो स्तरों, a, b, का आदेश दिया जाता है, तो यह क्रम X के प्रत्येक स्तर पर ध्यान दिए बिना स्थायी होता है। A के प्रत्येक स्तर के संबंध में X के किन्हीं दो स्तरों, x और y के लिए भी यही प्रयुक्त होता है।

एकल निरस्तीकरण को तथाकथित इसलिए कहा जाता है क्योंकि P के दो स्तरों का एक सामान्य कारक शेष तत्वों पर समान क्रमिक संबंध बनाए रखने के लिए निरस्त हो जाता है। उदाहरण के लिए, a असमानता (a, x) > (a, y) से निरस्त हो जाता है क्योंकि  x > y के अलावा, यह दोनों पक्षों के लिए उभयनिष्ठ है। क्रांत्ज़, एट अल., (1971) ने मूल रूप से इस सूक्ति को स्वतंत्रता कहा है, क्योंकि किसी गुण के दो स्तरों के बीच क्रमिक संबंध अन्य गुण के किसी भी और सभी स्तरों से स्वतंत्र होता है। यद्यपि, यह देखते हुए कि स्वतंत्रता शब्द स्वतंत्रता की सांख्यिकीय अवधारणाओं के साथ भ्रम उत्पन्न करता है, एकल निरस्तीकरण ही उपयुक्त शब्द है। चित्र एक एकल निरस्तीकरण के एक उदाहरण का आलेखी निरूपण है।

गुणों A और X के परिमाणन के लिए एकल निरस्तीकरण सूक्ति की संतुष्टि आवश्यक है, यद्यपि पर्याप्त नहीं है। यह केवल दर्शाता है कि A, X और P के स्तर क्रमबद्ध हैं। अनौपचारिक रूप से, एकल निरस्तीकरण A और X की मात्रा निर्धारित करने के लिए P के स्तर पर आदेश को पर्याप्त रूप से बाधित नहीं करता है। उदाहरण के लिए, क्रमित युग्मों (a, x), (b, x) और (b, y) पर विचार करें। यदि एकल निरस्तीकरण स्थायी रहता है तो (a, x) > (b, x) और (b, x) > (b, y)। इसलिए पारगमनता के माध्यम से (a, x) > (b, y)। इन अनुवर्ती दो क्रमित युग्मों के बीच का संबंध, अनौपचारिक रूप से वामावर्त विकर्ण एकल निरस्तीकरण सूक्ति की संतुष्टि से निर्धारित होता है, जैसे कि P पर सभी "वामावर्त विकर्ण" संबंधित हैं ।

दोहरा निरस्तीकरण सिद्धांत
एकल निरस्तीकरण P पर "दाएं-झुकाव वाले विकर्ण" संबंधों के क्रम को निर्धारित नहीं करता है। यद्यपि पारगमनता और एकल निरस्तीकरण द्वारा यह स्थापित किया गया था कि (a, x) > (b, y), तो (a, y) और (b, x) के मध्य संबंध अनिर्धारित रह गया है। यह हो सकता है कि या तो (b, x) > (a, y) या (a, y) > (b, x) और ऐसी अस्पष्टता अनिर्णीत नहीं रह सकती।

दोहरा निरस्तीकरण सिद्धांत P पर ऐसे संबंधों के वर्ग की विवेचना करता है जिसमें दो पूर्ववर्ती असमानताओं की सामान्य शर्तें तृतीय असमानता उत्पन्न करने के लिए निरस्त हो जाती हैं। चित्र दो द्वारा आलेखी निरूपित युग्म निरस्तीकरण के उदाहरण पर विचार करें। युग्म निरस्तीकरण के इस विशेष उदाहरण की पूर्ववर्ती असमानताएँ हैं:


 * $$(a, y) > (b, x)$$

और


 * $$(b, z)> (c, y).$$

मान लें कि:


 * $$ (a, y) > (b, x)$$

सत्य है यदि केवल $$ a + y > b + x; $$ और


 * $$(b, z) > (c, y)$$

सत्य है यदि केवल $$ b + z > c + y $$, यह इस प्रकार है कि:


 * $$a + y + b + z > b + x + c + y.$$

सामान्य पदों के निरस्तीकरण के परिणामस्वरूप:


 * $$ (a, z) > (c, x). $$

इसलिए दोहरा निरस्तीकरण केवल तभी प्राप्त किया जा सकता है जब A और X मात्राएँ हों।

दोहरा निरस्तीकरण तब संतुष्ट होता है जब परिणामी असमानता पूर्ववर्ती असमानताओं का खंडन नहीं करती है। उदाहरण के लिए, यदि उपरोक्त परिणामी असमानता थी:


 * $$ (a, z)< (c, x),$$ या वैकल्पिक रूप से,


 * $$ (a, z) = (c, x),$$

तो दोहरे निरस्तीकरण का उल्लंघन होगा और यह निष्कर्ष नहीं निकाला जा सका कि A और X मात्राएँ हैं।

दोहरे निरस्तीकरण P पर "दाएं झुकाव वाले विकर्ण" संबंधों के व्यवहार पर विवेचन करता है क्योंकि ये तार्किक रूप से एकल निरस्तीकरण में सम्मिलित नहीं होते हैं। ने अभिनिश्चित किया कि जब A और X का स्तर अनंत तक पहुंचता है, तो दाएं झुकाव वाले विकर्ण संबंधों की संख्या P पर कुल संबंधों की संख्या की आधी होती है। इसलिए यदि A और X मात्राएँ हैं, तो P पर संबंधों की आधी संख्या A और X पर क्रमिक संबंधों के कारण हैं और आधी A और X पर योगज संबंधों के कारण हैं ।

दोहरे निरस्तीकरण के उदाहरणों की संख्या A और X दोनों के लिए निर्धारित स्तरों की संख्या पर निर्भर है। यदि A के n स्तर और X के m हैं, तो युग्म निरस्तीकरण के उदाहरणों की संख्या है n! × m! । इसलिए, यदि n = m = 3, तो 3! ×3! = 6 × 6 = युग्म निरस्तीकरण के कुल 36 उदाहरण है। यद्यपि, यदि एकल निरस्तीकरण सत्य है, तो इनमें से 6 के अलावा सभी उदाहरण तुच्छ रूप से सत्य हैं, और यदि इन 6 उदाहरणों में से कोई भी सत्य है, तो वे सभी सत्य हैं। ऐसा ही एक उदाहरण चित्र दो में दर्शाया गया है। इसे कहते हैं युग्म निरस्तीकरण का लूस-टुकी उदाहरण।

यदि पूर्व डेटा के एक समुच्चय पर एकल निरस्तीकरण का परीक्षण किया गया है और स्थापित किया गया है, तो केवल युग्म निरस्तीकरण के लूस-टुकी उदाहरणों का परीक्षण करने की आवश्यकता है। A के n स्तरों और X के m स्तरों के लिए, लूस-टुकी युग्म निरस्तीकरण उदाहरणों की संख्या$$\tbinom{n}{3}$$$$\tbinom{m}{3}$$ है। उदाहरण के लिए, यदि n = m = 4 है, तो ऐसे 16 उदाहरण हैं। यदि n = m = 5 है तो ऐसे 100 हैं। A और X दोनों में स्तरों की संख्या जितनी अधिक होती हैं उतनी ही कम संभावना है कि निरस्तीकरण सिद्धांत यादृच्छिक पर संतुष्ट हो और संयुक्त मापन का अनुप्रयोग मात्रा का उतनी अधिक कठोर परीक्षण हो जाता है।

समाधेयता और आर्किमीडी सिद्धांत
निरंतर मात्रा स्थापित करने के लिए एकल और युग्म निरस्तीकरण सिद्धांत स्वयं पर्याप्त नहीं हैं। निरंतरता सुनिश्चित करने के लिए अन्य स्थितियां भी प्रस्तुत की जानी चाहिए। ये समाधेयता और आर्किमीडी स्थितियाँ हैं।

समाधेयता का अर्थ है कि a, b, x और y के किन्हीं तीन तत्वों के लिए, चौथा इस प्रकार उपस्थित है कि समीकरण a x = b y हल हो जाता है, इसलिए स्थिति का नाम यह है। समाधेयता अनिवार्य रूप से यह आवश्यकता है कि प्रत्येक स्तर P में, A में एक तत्व और X में एक तत्व हो। समाधेयता से A और X के स्तरों के विषय में कुछ ज्ञात होता है - वे या तो वास्तविक संख्याओं के समान सघन होते हैं या पूर्णांकों के समान समदूरस्थ होते हैं (क्रांत्ज़ एट अल वर्ष 1971)।

आर्किमीडी स्थिति इस प्रकार है। मान लें I क्रमागत पूर्णांकों का एक समुच्चय है, जो या तो परिमित या अनंत, धनात्मक या ऋणात्मक है। A के स्तर एक मानक अनुक्रम बनाते हैं यदि केवल X में x और y उपस्थित हैं जहां x ≠ y और I में सभी पूर्णांकों i और i + 1 के लिए :


 * $$ (a_i, x) = (a_{i+1}, y).$$

इसका मूलतः अर्थ यह है कि उदाहरण के लिए यदि x, y से अधिक है, तो A के स्तर हैं जिन्हें पाया जा सकता है जो दो प्रासंगिक क्रमित युग्म, P के स्तरों को समान बनाता है।

आर्किमिडीज स्थिति का तर्क है कि P का कोई असीम रूप से उच्चतम स्तर नहीं है और इसलिए A या X का भी कोई उच्चतम स्तर नहीं है। यह स्थिति प्राचीन यूनानी गणितज्ञ आर्किमिडीज द्वारा दी गई निरंतरता की एक परिभाषा है, जिन्होंने लिखा था कि "इसके अतिरिक्त असमान रेखाओं, असमान सतहों और असमान ठोस पदार्थों में, जब स्वयं में योजित किया जाता है तो बृहत्तर न्यूनतर से ऐसे परिमाण से अधिक होता है जैसे, किसी भी निर्दिष्ट परिमाण को उनमें अधिक बनाया जा सकता है जो एक दूसरे के साथ तुलनीय हैं " (वृत्त और सिलेंडर पर, पुस्तक I, परिकलन 5)। आर्किमिडीज़ ने अभिज्ञात किया कि किसी सतत मात्रा के किन्हीं दो परिमाणों के लिए, जिनमें एक अन्य से न्यूनतर है, न्यूनतर को पूर्ण संख्या से इस प्रकार गुणा किया जा सकता है कि वह बृहत्तर परिमाण के समान हो जाए। यूक्लिड तत्वों की पुस्तक V में आर्किमीडी स्थिति को एक सूक्ति के रूप में व्यक्त किया, जिसमें यूक्लिड ने निरंतर मात्रा और मापन के स्वयं का सिद्धांत प्रस्तुत किया।

चूँकि उनमें अनन्तवादी अवधारणाएँ सम्मिलित हैं, समाधेयता और आर्किमिडीयन सिद्धांत किसी भी सीमित अनुभवजन्य स्थिति में प्रत्यक्ष परीक्षण के लिए उत्तरदायी नहीं हैं। लेकिन इसका अर्थ यह नहीं है कि इन सिद्धांतों का अनुभवजन्य परीक्षण किसी भी प्रकार नहीं किया जा सकता है। स्कॉट (वर्ष 1964) के निरस्तीकरण स्थितियों के सीमित समुच्चय का उपयोग अप्रत्यक्ष रूप से इन सिद्धांतों का परीक्षण करने के लिए किया जा सकता है; ऐसे परीक्षण की सीमा अनुभवजन्य रूप से निर्धारित की जा रही है। उदाहरण के लिए, यदि A और X दोनों में तीन स्तरें संयुक्त होते हैं, तो स्कॉट (वर्ष 1964) के वर्गीकरण में अंतर्निहित उच्चतम कोटि निरस्तीकरण सूक्ति जो अप्रत्यक्ष रूप से समाधेयता और आर्किमिडीज़ का परीक्षण करता है वे युग्म निरस्तीकरण हैं। चार स्तरों के साथ यह त्रिक निरस्तीकरण है (चित्र संख्या 3)। यदि ऐसे परीक्षण संतुष्ट होते हैं, तो A और X पर अंतर में मानक अनुक्रम का निर्माण संभव हैं। इसलिए ये गुण वास्तविक संख्याओं के अनुसार सघन हो सकती हैं या पूर्णांकों के अनुसार समदूरस्थ हो सकती हैं (क्रांत्ज़ एट अल. 1971)। अन्य शब्दों में, A और X सतत मात्राएँ हैं।

मापन की वैज्ञानिक परिभाषा से संबंध
संयुक्त मापन की स्थितियों की संतुष्टि का अर्थ है कि A और X के स्तरों की मापन को या तो परिमाण के बीच अनुपात या परिमाण अंतर के बीच अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इसे सामान्यतः उत्तरार्द्ध के रूप में व्याख्या किया जाता है, यह देखते हुए कि अधिकांश व्यवहार वैज्ञानिक मानते हैं कि उनके परीक्षण और सर्वेक्षण तथाकथित "अंतराल मापनी" पर गुणों को "मापते" हैं। अर्थात्, उनका मानना है कि परीक्षण मनोवैज्ञानिक गुणों के पूर्ण शून्य स्तर की तादात्म्य नहीं करते हैं।

औपचारिक रूप से, यदि P, A और X एक योगात्मक संयुक्त संरचना बनाते हैं, तो वास्तविक संख्याओं में A और X से फलन इस प्रकार उपस्थित होते हैं कि A में a और b के लिए, और X में x और y के लिए:


 * $$(a, x)\succsim(b, y)\iff \varphi_A (a) + \varphi_X (x)\geqslant\varphi_A (b) + \varphi_X (y).$$

यदि $$\varphi'_A \, $$ और $$\varphi'_X \, $$ उपरोक्त अभिव्यक्ति को संतुष्ट करने वाले दो अन्य वास्तविक मान फलन हैं, तो $$\alpha > 0, \beta_A \, $$ और $$\beta_X \, $$ वास्तविक मान स्थिरांक है जो संतुष्ट करता है:


 * $$\varphi'_A = \alpha \varphi_A + \beta_A \text{ and } \varphi'_X = \alpha \varphi_X + \beta_X. \, $$

अर्थात् $$\varphi'_A, \varphi_A, \varphi'_X \, $$ और $$\varphi_X \, $$ A और X के मापन एफ़िन परिवर्तन तक अद्वितीय हैं (अर्थात प्रत्येक स्टीवंस (1946) की भाषा में एक अंतराल मापनी है)। इस परिणाम का गणितीय प्रमाण (क्रांत्ज़ एट अल. 1971, पृ. 261-6) में दिया गया है।

इसका अर्थ यह है कि A और X के स्तर किसी प्रकार के इकाई अंतर के सापेक्ष मापे गए परिमाण अंतर हैं। P का प्रत्येक स्तर A और X के स्तरों के मध्य का अंतर है। यद्यपि, साहित्य से यह स्पष्ट नहीं है कि किसी इकाई को योगात्मक संयुक्त संदर्भ में कैसे परिभाषित किया जा सकता है। ने संयुक्त संरचनाओं के लिए एक अनुमाप प्रविधि का प्रस्ताव रखा लेकिन उन्होंने भी इकाई पर चर्चा नहीं की।

यद्यपि, संयुक्त मापन का सिद्धांत असमानताओं की मात्रा निर्धारित करने तक ही सीमित नहीं है। यदि P का प्रत्येक स्तर A के स्तर और X के स्तर का गुणनफल है, तो P एक अन्य भिन्न मात्रा है जिसका मापन X के प्रति इकाई परिमाण को A के परिमाण के रूप में व्यक्त किया जाता है।  उदाहरण के लिए, A में द्रव्यमान सम्मिलित है और X में आयतन सम्मिलित है, तो P में घनत्व सम्मिलित है जिसे आयतन की प्रति इकाई द्रव्यमान के रूप में मापा जाता है। ऐसे स्थितियों में, ऐसा प्रतीत होगा कि A का एक स्तर और X का एक स्तर संयुक्त मापन के अनुप्रयोग से पूर्व इसे एक अस्थायी इकाई के रूप में निर्धारित किया जाना चाहिए।

यदि P का प्रत्येक स्तर A के स्तर और X के स्तर का योग है, तो P, A और X के समान मात्रा है। उदाहरण के लिए, A और X लंबाई हैं तो इसलिए P भी लंबाई होनी चाहिए। इसलिए तीनों को एक ही इकाई में व्यक्त किया जाना चाहिए। ऐसे स्थितियों में, ऐसा प्रतीत होता है कि A या X के स्तर को अस्थायी रूप से इकाई के रूप में निर्धारित किया जाना चाहिए। इसलिए ऐसा प्रतीत होता है कि संयुक्त मापन के अनुप्रयोग के लिए प्रासंगिक प्राकृतिक प्रणाली के कुछ पूर्व वर्णनात्मक सिद्धांत की आवश्यकता होती है।

संयुक्त माप के अनुप्रयोग
संयुक्त माप के सिद्धांत के अनुभवजन्य अनुप्रयोग विरल रहे हैं.

दोहरे निरस्तीकरण के अनेक अनुभवजन्य मूल्यांकन संचालित किए गए हैं। इनमे से, ने द्विकर्णी प्रबलता के मनोभौतिकी के सिद्धांत का मूल्यांकन किया। उन्होंने पाया कि दोहरे निरस्तीकरण सिद्धांत को अस्वीकार कर दिया गया था।  ने इसी प्रकार की जांच की तथा लेवल्ट, एट अल' ( वर्ष 1972) के निष्कर्षों को दोहराया।  ने प्रेक्षित किया कि दोहरे निरस्तीकरण के मूल्यांकन में अधिक अतिरेक सम्मिलित है जो इसके अनुभवजन्य परीक्षण को जटिल बनाता है। इसलिए,  ने समतुल्य थॉमसन स्थिति सिद्धांत का मूल्यांकन किया जो इस अतिरेक से रक्षा करता है और गुणों को द्विकर्णीय प्रबलता में समर्थित पाया।, उस तिथि तक के साहित्य को सारांशित करता है, जिसमें यह अवलोकन भी सम्मिलित है कि थॉमसन स्थिति के मूल्यांकन में एक अनुभवजन्य चुनौती भी सम्मिलित है जिसे वे संयुक्त क्रम विनिमेयता सिद्धांत द्वारा हल कर सकते हैं, जिसे वे थॉमसन स्थिति के समतुल्य प्रदर्शित करते हैं।  में संयुक्त क्रम विनिमेयता को द्विकर्णीय प्रबलता और धवलता के लिए समर्थित पाया गया।

ने इस सिद्धांत को एल. एल. थर्स्टन (वर्ष 1927) के बहुआयामी युग्मित प्रवर्धन तुलना के सिद्धांत और कूम्ब्स (वर्ष 1964) के एकआयामी विकास के सिद्धांत पर प्रयुक्त किया। उन्हें केवल कॉम्ब्स (वर्ष 1964) सिद्धांत के साथ निरस्तीकरण सिद्धांतों का समर्थन प्राप्त हुआ।हालाँकि, थर्स्टन के सिद्धांत और बहुआयामी प्रवर्धन के परीक्षण में मिशेल (वर्ष 1990) द्वारा नियोजित सांख्यिकीय तकनीकों ने निरस्तीकरण सिद्धांतों द्वारा लगाए गए क्रमिक बाधाओं को ध्यान में नहीं रखा।.

,किंग्डन (वर्ष 2006), मिशेल (वर्ष 1994) और ने कॉम्ब्स के (वर्ष 1964) एकआयामी विकास सिद्धांत के उपयोग से प्राप्त इंटरस्टिमुलस मिडपॉइंट व्यवस्था पर निरस्तीकरण सिद्धांतों का परीक्षण किया। तीनों अध्ययनों में कॉम्ब्स के सिद्धांत को छह कथनों के एक समुच्चय पर प्रयुक्त किया गया था। इन लेखकों ने पाया कि सिद्धांत संशयपूर्ण थे, हालांकि, ये सकारात्मक परिणाम के पूर्वाग्रहित अनुप्रयोग थे। छह अस्थिरताओ के साथ यादृच्छिक रूप से दोहरे निरस्तीकरण सिद्धांतों को संतुष्ट करने वाले एक इंटरस्टिमुलस मिडपॉइंट ऑर्डर की संभावना .5874 है (मिशेल, वर्ष 1994)। यह कोई अप्रत्याशित घटना नहीं है। किंगडम एंड रिचर्ड्स (वर्ष 2007) ने आठ कथनों को नियोजित किया और पाया कि इंटरस्टिमुलस मिडपॉइंट ऑर्डर ने दोहरे निरस्तीकरण की स्थिति को अस्वीकृत कर दिया।

ने एक दोषी पैरोल प्रश्नावली के वस्तु प्रतिक्रिया डेटा और डेनिश सैन्यदल द्वारा एकत्र किए गए सूचना परीक्षण डेटा पर संयुक्त माप प्रयुक्त किया। उन्होंने पैरोल प्रश्नावली डेटा में निरस्तीकरण सिद्धांतों का अत्यधिक उल्लंघन पाया, किंतु सूचना परीक्षण डेटा में नहीं। इसके अतिरिक्त उन्होंने दोहरे निरस्तीकरण के कथित "कोई परीक्षण नहीं" उदाहरण भी अभिलेखित किए। दोहरे निरस्तीकरण (मिशेल, वर्ष 1988) के समर्थन में उदाहरणों के रूप में इनकी सही ढंग से व्याख्या करने पर के परिणाम उनके विश्वास से बेहतर हैं।

ने अनुक्रम पूर्णता कार्यों पर प्रदर्शन के लिए संयुक्त माप प्रयुक्त किया। उनके संयुक्त सरणियों (X) के कॉलम को पत्र श्रृंखला पूर्ण कार्यों में कार्यशील मेमोरी स्थान रखने वालों की बढ़ती संख्या के माध्यम से कार्यशील मेमोरी क्षमता पर रखी गई मांग द्वारा परिभाषित किया गया था। पंक्तियों को अभिप्रेरण के स्तर (A) द्वारा परिभाषित किया गया था जिसमें परीक्षण सम्पूर्ण करने के लिए उपलब्ध समय की भिन्न-भिन्न संख्या सम्मिलित थी। उनके डेटा (P) में समय समाप्ति और सही श्रृंखला की औसत संख्या सम्मिलित थी। हालांकि, उन्हें निरस्तीकरण सिद्धांतों के लिए समर्थन प्राप्त हुआ, उनका अध्ययन संयुक्त सरणियों के न्यूनतम आकार (3 × 3 आकार) तथा सांख्यिकीय तकनीकों द्वारा पूर्वाग्रहित था, जिन्होंने निरस्तीकरण सिद्धांतों द्वारा लगाए गए क्रमिक प्रतिबंधों को ध्यान में नहीं रखा।

क्यंगडन (2011) ने वस्तु प्रतिक्रिया अनुपात (P) पढ़ने के एक संयुक्त मैट्रिक्स का परीक्षण करने के लिए कराबात्सोस (2001) ऑर्डर-प्रतिबंधित अनुमानित ढांचे का उपयोग किया जहां परीक्षार्थी की पढ़ने की क्षमता में संयुक्त सरणी (A) की पंक्तियां और गठित पढ़ने वाली वस्तुओं की कठिनाई ने सरणी (X) के कॉलम बनाए। पाठन क्षमता के स्तर को अशिक्षित कुल परीक्षण स्कोर के माध्यम से निर्धारित किया  गया और पाठन वस्तु कठिनाई के स्तर को लेक्साइल फ्रेमवर्क फॉर रीडिंग (स्टेनर एट अल वर्ष 2006) द्वारा पहचाना गया। किन्ग्डन ने पाया कि निरस्तीकरण सिद्धांतों की संतुष्टि केवल आव्यूह के क्रमपरिवर्तन के माध्यम से एकांश काठिन्य के कथित लेक्साइल उपायों के साथ असंगत तरीके से प्राप्त की गई थी। किन्ग्डन ने बहुपदीय संयोजन माप का प्रयोग करके कृत्रिम योग्यता परीक्षण प्रतिक्रिया डेटा का भी परीक्षण किया। डेटा हम्फ्री के विस्तारित संदर्भ फ्रेम रैश मॉडल का उपयोग करके तैयार किया गया था। उन्होंने तीन चरों में वितरणात्मक बहुपद संयोजन संरचना के अनुरूप वितरणात्मक, एकल और दोहरे निरस्तीकरण का समर्थन पाया ।

संदर्भ

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बाहरी संबंध

 * Karabatsos' S-Plus programs for testing conjoint axioms
 * Birnbaum's FORTRAN MONANOVA program for testing additivity
 * Kyngdon's R programs for enumerating cancellation tests, testing axioms and prospect theory
 * R statistical computing software