हाइपरबोलाइड मॉडल

ज्यामिति में, हाइपरबोलॉइड मॉडल, जिसे हरमन मिन्कोव्स्की के बाद मिंकोव्स्की मॉडल के रूप में भी जाना जाता है, 'एन'-डायमेंशनल अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति का एक मॉडल है जिसमें पॉइंट्स को फॉरवर्ड शीट एस पर पॉइंट्स द्वारा दर्शाया जाता है।+ (n+1)-आयामी मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष में या मूल से उन बिंदुओं तक छद्म-यूक्लिडियन रिक्त स्थान के विस्थापन द्वारा दो-शीट वाले hyperboloid का, और m-विमानों को (m+1) के चौराहों द्वारा दर्शाया जाता है )-एस के साथ मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष में उत्पत्ति के माध्यम से गुजरने वाले विमान+ या m सदिशों के बाह्य बीजगणित द्वारा। हाइपरबोलिक स्पेस मिन्कोव्स्की स्पेस में आइसोमेट्रिक रूप से एम्बेडिंग हो रहा है; अर्थात्, अतिपरवलयिक दूरी फलन मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष से विरासत में मिला है, जिस तरह गोलाकार दूरी यूक्लिडियन दूरी से विरासत में मिली है, जब n-sphere|n-sphere (n+1)-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में सन्निहित है।

अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान के अन्य मॉडलों को एस के मानचित्र अनुमानों के रूप में माना जा सकता है+: बेल्ट्रामी-क्लेन मॉडल एस का प्रक्षेपण (गणित) है+ मूल से एस में विशिष्ट बिंदु तक मूल से एक सदिश के लम्बवत तल पर मूल के माध्यम से+ गोले के ग्नोमोनिक प्रक्षेपण के अनुरूप; Poincare डिस्क मॉडल S का प्रक्षेपण है+ अन्य शीट पर एक बिंदु के माध्यम से− लंब तल पर, गोले के त्रिविम प्रक्षेपण के अनुरूप; हाइपरबोलिक ज्योमेट्री#द गन्स मॉडल एस का ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन है+ एस में एक विशिष्ट बिंदु के लंबवत विमान पर+, ऑर्थोग्राफिक मानचित्र प्रक्षेपण के अनुरूप; अतिशयोक्तिपूर्ण तल का बैंड मॉडल एक अनुरूप "बेलनाकार" प्रक्षेपण है जो गोले के मर्केटर प्रक्षेपण के अनुरूप है; अतिपरवलयिक तल के लिए समन्वय प्रणालियाँ#लोबचेवस्की निर्देशांक एक बेलनाकार प्रक्षेपण हैं जो गोले के समआयताकार प्रक्षेपण (देशांतर, अक्षांश) के अनुरूप हैं।

मिन्कोव्स्की द्विघात रूप
अगर (एक्स0, एक्स1, ..., एक्सn) में एक वेक्टर है (n + 1)-आयामी समन्वय स्थान आरn+1, 'Minkowski द्विघात रूप' परिभाषित किया गया है


 * $$ Q(x_0, x_1, \ldots, x_n) = -x_0^2 + x_1^2 + \ldots + x_n^2.$$

वैक्टर v ∈ Rn+1 ऐसा है कि Q(v) = -1 एक n-डायमेंशनल हाइपरबोलॉइड S बनाता है जिसमें दो जुड़ा हुआ स्थान  या शीट होते हैं: फ़ॉरवर्ड, या फ्यूचर, शीट S+, जहां x0> 0 और पिछड़ा, या अतीत, शीट एस−, जहां x0<0. एन-डायमेंशनल हाइपरबोलॉइड मॉडल के बिंदु फॉरवर्ड शीट एस पर बिंदु हैं+.

मिन्कोव्स्की द्विरेखीय रूप बी मिन्कोवस्की द्विघात रूप क्यू की ध्रुवीकरण पहचान है,


 * $$B(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = (Q(\mathbf{u}+\mathbf{v}) - Q(\mathbf{u}) - Q(\mathbf{v})) / 2 .$$

(इसे कभी-कभी स्केलर उत्पाद संकेतन का उपयोग करते हुए भी लिखा जाता है $$\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}.$$) स्पष्ट रूप से,
 * $$B((x_0, x_1, \ldots, x_n), (y_0, y_1, \ldots, y_n)) = -x_0y_0 + x_1 y_1 + \ldots + x_n y_n .$$

S के दो बिंदुओं u और v के बीच अतिशयोक्तिपूर्ण दूरी+ सूत्र द्वारा दिया गया है


 * $$d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \operatorname{arcosh}(-B(\mathbf{u}, \mathbf{v})) ,$$

कहाँ $arcosh$ अतिशयोक्तिपूर्ण कोज्या का प्रतिलोम फलन है।

मीट्रिक हस्ताक्षर का विकल्प
द्विरेखीय रूप $$B$$ अंतरिक्ष पर मीट्रिक टेंसर के रूप में भी कार्य करता है। n+1 आयामी Minkowski अंतरिक्ष में, विपरीत मीट्रिक हस्ताक्षर वाले मीट्रिक के लिए दो विकल्प हैं, 3-आयामी मामले में या तो (+, -, -) या (-, +, +)।

यदि हस्ताक्षर (-, +, +) चुना जाता है, तो हाइपरबोलॉइड की एक ही शीट पर अलग-अलग बिंदुओं के बीच जीवाओं का छद्म-यूक्लिडियन स्थान सकारात्मक होगा, जो गणित में पारंपरिक परिभाषाओं और अपेक्षाओं के साथ अधिक निकटता से संरेखित होता है। फिर एन-डायमेंशनल हाइपरबोलिक स्पेस एक रिमानियन अंतरिक्ष  है और दूरी या लंबाई को स्केलर वर्ग के वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। यदि हस्ताक्षर (+, −, −) चुना जाता है, तो हाइपरबोलॉइड पर अलग-अलग बिंदुओं के बीच का अदिश वर्ग ऋणात्मक होगा, इसलिए बुनियादी शब्दों की विभिन्न परिभाषाओं को समायोजित किया जाना चाहिए, जो असुविधाजनक हो सकता है। बहरहाल, भौतिकी में अंतरिक्ष-समय का वर्णन करने के लिए हस्ताक्षर (+, −, −, −) भी आम है। (Cf. साइन कन्वेंशन#मैट्रिक सिग्नेचर।)

सीधी रेखाएँ
हाइपरबॉलिक एन-स्पेस में एक सीधी रेखा हाइपरबोलॉइड पर geodesic  द्वारा तैयार की जाती है। हाइपरबोलॉइड पर एक जियोडेसिक n+1-आयामी मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष के द्वि-आयामी रैखिक उप-स्थान (मूल सहित) के साथ हाइपरबोलाइड का (गैर-रिक्त) चौराहा है। यदि हम 'u' और 'v' को उस रैखिक उपसमष्टि के आधार सदिशों के रूप में लेते हैं
 * $$ B (\mathbf{u}, \mathbf{u}) = 1 $$
 * $$ B (\mathbf{v}, \mathbf{v}) = -1 $$
 * $$ B (\mathbf{u}, \mathbf{v}) = B (\mathbf{v}, \mathbf{u}) = 0 $$

और जियोडेसिक पर बिंदुओं के लिए एक वास्तविक पैरामीटर के रूप में w का उपयोग करें
 * $$ \mathbf{u} \cosh w + \mathbf{v} \sinh w $$

जियोडेसिक पर एक बिंदु होगा।

अधिक आम तौर पर, हाइपरबोलिक एन-स्पेस में एक के-डायमेंशनल फ्लैट हाइपरबोलॉइड के (गैर-खाली) इंटरसेक्शन द्वारा मिंकोव्स्की स्पेस के के+1-डायमेंशनल लीनियर सबस्पेस (मूल सहित) के साथ तैयार किया जाएगा।

आइसोमेट्री
अनिश्चितकालीन लंबकोणीय समूह O(1,n), को भी कहा जाता है (n+1)-विमीय लॉरेंत्ज़ समूह, वास्तविक संख्या (n+1)×(n+1) मैट्रिक्स (गणित) का लाई समूह है जो मिन्कोव्स्की द्विरेखीय रूप को संरक्षित करता है। एक अलग भाषा में, यह है मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष के रैखिक समरूपता का समूह। विशेष रूप से, यह समूह हाइपरबोलॉइड एस को संरक्षित करता है। याद रखें कि अनिश्चित ऑर्थोगोनल समूहों में चार जुड़े घटक होते हैं, जो प्रत्येक उप-स्थान (यहां 1-आयामी और एन-आयामी) पर अभिविन्यास को उलटने या संरक्षित करने के अनुरूप होते हैं, और एक क्लेन चार-समूह बनाते हैं। O(1,n) का उपसमूह जो पहले निर्देशांक के चिह्न को संरक्षित करता है, 'ऑर्थोक्रोनस [[लोरेंत्ज़ समूह]]' है, जिसे O निरूपित किया गया है।+(1,n), और इसके दो घटक हैं, स्थानिक उप-स्थान के अभिविन्यास को संरक्षित करने या उलटने के अनुरूप। इसका उपसमूह SO+(1,n) एक निर्धारक के साथ मैट्रिक्स से मिलकर आयाम n(n+1)/2 का जुड़ा हुआ समूह है जो एस पर कार्य करता है+ लीनियर ऑटोमॉर्फिज्म द्वारा और हाइपरबोलिक दूरी को संरक्षित करता है। यह क्रिया सकर्मक है और वेक्टर के स्टेबलाइजर (1,0,...,0) में फॉर्म के मैट्रिसेस होते हैं


 * $$\begin{pmatrix}

1     & 0 & \ldots & 0 \\ 0     &   &        &   \\ \vdots &   & A      &   \\ 0     &   &        &   \\ \end{pmatrix}$$ कहाँ $$ A $$ कॉम्पैक्ट  विशेष ऑर्थोगोनल समूह  एसओ (एन) के अंतर्गत आता है (घूर्णन समूह SO(3) (3) को सामान्य बनाने के लिए n = 3). यह इस प्रकार है कि एन-डायमेंशनल अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान को सजातीय स्थान और रैंक 1 के रिमेंनियन सममित स्थान के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है,


 * $$ \mathbb{H}^n=\mathrm{SO}^{+}(1,n)/\mathrm{SO}(n).$$

ग्रुप एसओ+(1,n) n-डायमेंशनल हाइपरबोलिक स्पेस के ओरिएंटेशन-प्रिज़र्विंग आइसोमेट्रीज़ का पूरा समूह है।

अधिक ठोस शब्दों में, SO+(1,n) को n(n-1)/2 घुमावों में विभाजित किया जा सकता है (निचले-दाएं ब्लॉक में एक नियमित यूक्लिडियन रोटेशन मैट्रिक्स के साथ गठित) और n अतिशयोक्तिपूर्ण अनुवाद, जो रूप लेते हैं


 * $$\begin{pmatrix}

\cosh \alpha & \sinh \alpha & 0 & \ldots \\ \sinh \alpha & \cosh \alpha & 0 & \ldots \\ 0           & 0            & 1 &        \\ \vdots       & \vdots       &   & \ddots \\ \end{pmatrix}$$ कहाँ $$\alpha$$ अनुवादित दूरी है (इस मामले में एक्स अक्ष के साथ), और दूसरी पंक्ति/स्तंभ को एक अलग जोड़ी के साथ एक अलग अक्ष के साथ अनुवाद में बदलने के लिए आदान-प्रदान किया जा सकता है। वेक्टर के साथ 3 आयामों में अनुवाद का सामान्य रूप $$(w, x, y, z)$$ है:


 * $$\begin{pmatrix}

w & x                & y                 & z                 \\ x & \frac{x^2}{w+1}+1 & \frac{yx}{w+1}   & \frac{zx}{w+1}    \\ y & \frac{xy}{w+1}   & \frac{y^2}{w+1}+1 & \frac{zy}{w+1}    \\ z & \frac{xz}{w+1}   & \frac{yz}{w+1}    & \frac{z^2}{w+1}+1 \\ \end{pmatrix}$$ कहाँ $$w = \sqrt{x^2+y^2+z^2+1}$$.

यह स्वाभाविक रूप से अधिक आयामों तक विस्तारित होता है, और जब आप सापेक्षता-विशिष्ट शर्तों को हटाते हैं तो यह लोरेंत्ज़ रूपांतरण#उचित रूपांतरणों का सरलीकृत संस्करण भी होता है।

आइसोमेट्रिज के समूहों के उदाहरण
हाइपरबोलाइड मॉडल के सभी आइसोमेट्री का समूह ओ है+(1,एन). आइसोमेट्री का कोई भी समूह इसका एक उपसमूह है।

प्रतिबिंब
दो अंक के लिए $$\mathbf p, \mathbf q \in \mathbb{H}^n, \mathbf p \neq \mathbf q$$, उनका आदान-प्रदान करने वाला एक अनूठा प्रतिबिंब है।

होने देना $$\mathbf u = \frac {\mathbf p - \mathbf q}{\sqrt{Q(\mathbf p - \mathbf q)}}$$. ध्यान दें कि $$Q(\mathbf u) = 1$$, और इसलिए $$u \notin \mathbb{H}^n$$.

तब


 * $$\mathbf x \mapsto \mathbf x - 2 B(\mathbf x, \mathbf u) \mathbf u$$

एक प्रतिबिंब है जो आदान-प्रदान करता है $$\mathbf p$$ और $$\mathbf q$$. यह निम्नलिखित मैट्रिक्स के बराबर है:


 * $$R = I - 2 \mathbf u \mathbf u^{\operatorname{T}} \begin{pmatrix}

-1 & 0 \\ 0 & I \\ \end{pmatrix}$$ (ब्लॉक मैट्रिक्स नोटेशन के उपयोग पर ध्यान दें)।

तब $$\{I, R\}$$ आइसोमेट्रीज का एक समूह है। ऐसे सभी उपसमूह संयुग्मी वर्ग#उपसमूहों और सामान्य उपसमुच्चयों की संयुग्मता हैं।

घुमाव और प्रतिबिंब

 * $$S = \left \{ \begin{pmatrix}

1 & 0 \\ 0 & A \\ \end{pmatrix} : A \in O(n) \right \}$$ घुमावों और परावर्तनों का समूह है जो संरक्षित करता है $$(1, 0, \dots, 0)$$. कार्यक्रम $$A \mapsto \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & A \\ \end{pmatrix}$$ इस समूह के लिए ओर्थोगोनल समूह|O(n) से एक समूह समरूपता है। किसी भी बिंदु के लिए $$p$$, अगर $$X$$ एक आइसोमेट्री है जो मैप करती है $$(1, 0, \dots, 0)$$ को $$p$$, तब $$XSX^{-1}$$ घुमावों और परावर्तनों का समूह है जो संरक्षित करता है $$p$$.

अनुवाद
किसी भी वास्तविक संख्या के लिए $$t$$, एक अनुवाद है


 * $$L_t = \begin{pmatrix}

\cosh t & \sinh t & 0 \\ \sinh t & \cosh t & 0 \\ 0      & 0       & I \\ \end{pmatrix}$$ यह दूरी का अनुवाद है $$t$$ सकारात्मक एक्स दिशा में अगर $$t \ge 0$$ या दूरी का $$-t$$ नकारात्मक x दिशा में यदि $$t \le 0$$. दूरी का कोई भी अनुवाद $$t$$ से संयुग्मित है $$L_t$$ और $$L_{-t}$$. सेट $$\left \{L_t : t \in \mathbb R \right \}$$ एक्स-अक्ष के माध्यम से अनुवाद का समूह है, और आइसोमेट्री का एक समूह इसके साथ संयुग्मित है अगर और केवल अगर यह एक रेखा के माध्यम से आइसोमेट्री का समूह है।

उदाहरण के लिए, मान लें कि हम एक पंक्ति के माध्यम से अनुवादों के समूह को खोजना चाहते हैं $$\overline{\mathbf p \mathbf q}$$. होने देना $$X$$ एक आइसोमेट्री बनें जो मैप करता है $$(1, 0, \dots, 0)$$ को $$p$$ और जाने $$Y$$ एक आइसोमेट्री बनें जो ठीक करता है $$p$$ और नक्शे $$X L_{d(\mathbf p, \mathbf q)} [1, 0, \dots, 0]^{\operatorname{T}}$$ को $$q$$. एक ऐसा उदाहरण $$Y$$ एक प्रतिबिंब विनिमय है $$X L_{d(\mathbf p, \mathbf q)} [1, 0, \dots, 0]^{\operatorname{T}}$$ और $$q$$ (यह मानते हुए कि वे भिन्न हैं), क्योंकि वे दोनों एक ही दूरी से हैं $$p$$. तब $$YX$$ एक आइसोमेट्री मैपिंग है $$(1, 0, \dots, 0)$$ को $$p$$ और सकारात्मक एक्स-अक्ष पर एक बिंदु $$q$$. $$(YX)L_t(YX)^{-1}$$ पंक्ति के माध्यम से अनुवाद है $$\overline{\mathbf p \mathbf q}$$ दूरी का $$|t|$$. अगर $$t \ge 0$$, वह उस में है $$\overrightarrow{\mathbf p \mathbf q}$$ दिशा। अगर $$t \le 0$$, वह उस में है $$\overrightarrow{\mathbf q \mathbf p}$$ दिशा। $$\left \{(YX)L_t(YX)^{-1} : t \in \mathbb R \right \}$$ के माध्यम से अनुवाद का समूह है $$\overline{\mathbf p \mathbf q}$$.

राशिफल की समरूपता
मान लीजिए एच कुछ होरोस्फीयर है जैसे फॉर्म के बिंदु $$(w, x, 0, \dots, 0)$$ मनमाने ढंग से बड़े x के लिए इसके अंदर हैं। किसी भी वेक्टर बी के लिए $$\mathbb R^{n-1}$$
 * $$\begin{pmatrix}

1 + \frac {\|\mathbf b\|^2} 2 & - \frac {\|\mathbf b\|^2} 2 & \mathbf b^{\operatorname{T}} \\ \frac {\|\mathbf b\|^2} 2    & 1 - \frac{\|\mathbf b\|^2} 2 & \mathbf b^{\operatorname{T}} \\ \mathbf b                    & -\mathbf b                   & I                            \\ \end{pmatrix}$$ एक होरोरोटेशन है जो एच को खुद से मैप करता है। इस तरह के भयावहता का सेट एच को संरक्षित करने वाले भयावहता का समूह है। सभी हॉरोटेशन एक दूसरे से संयुग्मित होते हैं।

किसी के लिए $$A$$ ओ (एन -1) में


 * $$\begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & A \\ \end{pmatrix}$$ एक घूर्णन या प्रतिबिंब है जो एच और एक्स-अक्ष को संरक्षित करता है। ये भयावहताएं, घूर्णन और प्रतिबिंब एच के समरूपता के समूह को उत्पन्न करते हैं। किसी भी होरोस्फीयर का समरूपता समूह इसके साथ संयुग्मित होता है। वे यूक्लिडियन समूह E(n-1) के समरूपी हैं।

इतिहास
1878-1885 के बीच कई पत्रों में, विल्हेम हत्या    लोबचेवस्कियन ज्यामिति के लिए उन्होंने कार्ल वीयरस्ट्रास को जिम्मेदार प्रतिनिधित्व का इस्तेमाल किया। विशेष रूप से, उन्होंने द्विघात रूपों पर चर्चा की जैसे $$k^{2}t^{2}+u^{2}+v^{2}+w^{2}=k^{2}$$ या मनमाने आयामों में $$k^{2}x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\dots+x_{n}^{2}=k^{2}$$, कहाँ $$k$$ वक्रता का पारस्परिक उपाय है, $$k^{2}=\infty$$ यूक्लिडियन ज्यामिति को दर्शाता है, $$k^{2}>0$$ अण्डाकार ज्यामिति, और $$k^{2}<0$$ अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति।

जेरेमी ग्रे (1986) के अनुसार, हेनरी पोंकारे | पोंकारे ने 1880 में अपने व्यक्तिगत नोट्स में हाइपरबोलॉइड मॉडल का इस्तेमाल किया। पोंकारे ने 1881 में अपने परिणाम प्रकाशित किए, जिसमें उन्होंने द्विघात रूप के व्युत्क्रम पर चर्चा की $$\xi^{2}+\eta^{2}-\zeta^{2}=-1$$. ग्रे दिखाता है कि पोनकारे द्वारा बाद के लेखन में हाइपरबोलॉइड मॉडल निहित है। इसके अलावा 1882 में होमर्शम कॉक्स (गणितज्ञ)। उपयोग किए गए वीयरस्ट्रैस निर्देशांक (इस नाम का उपयोग किए बिना) संबंध को संतुष्ट करते हैं $$z^{2}-x^{2}-y^{2}=1$$ साथ ही $$w^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=1$$.

1891 में अल्फ्रेड क्लेब्सच और फर्डिनेंड लिंडमैन द्वारा मॉडल के आगे के संबंध पर चर्चा की गई $$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4k^{2}x_{3}^{2}=-4k^{2}$$ और $$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4k^{2}x_{4}^{2}=-4k^{2}$$. जेरार्ड (1892) द्वारा वीयरस्ट्रास निर्देशांक का भी उपयोग किया गया था, फेलिक्स हॉसडॉर्फ (1899), फ्रेडरिक एस. वुड्स (1903)], हेनरिक लिबमैन (1905)। अंतरिक्ष विश्लेषण में अपने पेपर्स (1894) में अलेक्जेंडर मैकफर्लेन द्वारा हाइपरबोलॉइड को एक मीट्रिक स्थान के रूप में खोजा गया था। उन्होंने नोट किया कि अतिपरवलयज पर बिन्दुओं को इस प्रकार लिखा जा सकता है
 * $$\cosh A + \alpha \sinh A,$$

जहां α अतिपरवलय अक्ष के लिए एक आधार सदिश ओर्थोगोनल है। उदाहरण के लिए, उन्होंने अपने प्रयोग के माध्यम से कोसाइन का अतिशयोक्तिपूर्ण नियम प्राप्त किया अतिशयोक्तिपूर्ण चतुष्कोण। एच. जानसन ने हाइपरबोलॉइड मॉडल को अपने 1909 के पेपर रिप्रेजेंटेशन ऑफ हाइपरबोलिक ज्योमेट्री ऑन ए टू शीटेड हाइपरबोलॉइड का स्पष्ट फोकस बनाया। 1993 में डब्ल्यू.एफ. रेनॉल्ड्स ने अमेरिकी गणितीय मासिक  में अपने लेख में मॉडल के कुछ शुरुआती इतिहास का वर्णन किया। बीसवीं शताब्दी तक एक सामान्य मॉडल होने के नाते, इसकी पहचान 1907 में गोटिंगेन व्याख्यान 'द रिलेटिविटी प्रिंसिपल' में हरमन मिन्कोव्स्की द्वारा गेशविंडिग्केइट्सवेक्टरन (वेग वैक्टर) के साथ की गई थी। स्कॉट वाल्टर, अपने 1999 के पेपर द नॉन-यूक्लिडियन स्टाइल ऑफ़ मिंकोव्स्की रिलेटिविटी में मिन्कोव्स्की की जागरूकता को याद करते हैं, लेकिन वेइरस्ट्रास और किलिंग के बजाय मॉडल के वंश को हरमन हेल्महोल्ट्ज़ के लिए खोजते हैं।

सापेक्षता के शुरुआती वर्षों में वेग की भौतिकी की व्याख्या करने के लिए व्लादिमीर वरिकैक द्वारा हाइपरबोलॉइड मॉडल का उपयोग किया गया था। 1912 में जर्मन गणितीय संघ के अपने भाषण में उन्होंने वेइरस्ट्रास निर्देशांकों का उल्लेख किया।

यह भी देखें

 * पॉइनकेयर डिस्क मॉडल
 * अतिशयोक्तिपूर्ण चतुष्कोण

नोट्स और संदर्भ

 * , अध्याय 3
 * माइल्स रीड एंड बालाज़ सज़ेंड्रोई (2005) ज्यामिति और टोपोलॉजी, चित्र 3.10, पृष्ठ 45, कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, ISBN 0-521-61325-6,.
 * , अध्याय 3
 * माइल्स रीड एंड बालाज़ सज़ेंड्रोई (2005) ज्यामिति और टोपोलॉजी, चित्र 3.10, पृष्ठ 45, कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, ISBN 0-521-61325-6,.

श्रेणी:बहुआयामी ज्यामिति श्रेणी:अतिपरवलयिक ज्यामिति श्रेणी:मिन्कोस्की स्पेसटाइम