व्युत्क्रम-गामा वितरण

संभाव्यता सिद्धांत और आंकड़ों में, व्युत्क्रम गामा वितरण सकारात्मक वास्तविक रेखा पर निरंतर संभाव्यता वितरण की एक दो-पैरामीटर श्रेणी होती है, जो गामा वितरण के अनुसार वितरित चर के गुणक व्युत्क्रम का वितरण होता है।

संभवतः व्युत्क्रम गामा वितरण का मुख्य उपयोग बायेसियन सांख्यिकी में है, जहां वितरण एक सामान्य वितरण के अज्ञात विचरण के लिए सीमांत पश्च वितरण के रूप में उत्पन्न होता है, यदि एक गैर-सूचनात्मक पूर्व का उपयोग किया जाता है, और एक विश्लेषणात्मक रूप से ट्रैक्टेबल संयुग्म पूर्व के रूप में, यदि एक सूचनात्मक है पूर्व आवश्यक है कुछ बायेसियनों के बीच परिशुद्धता (सांख्यिकी) के संदर्भ में सामान्य वितरण के एक वैकल्पिक सांख्यिकीय पैरामीटर पर विचार करना आम बात है, जिसे विचरण के पारस्परिक के रूप में परिभाषित किया गया है, जो गामा वितरण को सीधे संयुग्मित पूर्व के रूप में उपयोग करने की अनुमति देता है। अन्य बायेसियन व्युत्क्रम गामा वितरण को स्केल्ड व्युत्क्रम ची-वर्ग वितरण के रूप में अलग ढंग से पैरामीट्रिज करना पसंद करते हैं।

संभावना घनत्व फलन
व्युत्क्रम गामा वितरण की संभाव्यता घनत्व फलन को समर्थन (गणित) पर परिभाषित किया गया है $$x > 0$$

f(x; \alpha, \beta) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} (1/x)^{\alpha + 1}\exp\left(-\beta/x\right) $$ आकार पैरामीटर के साथ $$\alpha$$ और स्केल पैरामीटर $$\beta$$. यहाँ $$\Gamma(\cdot)$$ गामा फलन को दर्शाता है।

गामा वितरण के विपरीत, जिसमें कुछ हद तक समान घातांकीय शब्द सम्मलित है, $$\beta$$ एक स्केल पैरामीटर है क्योंकि वितरण फलन संतुष्ट करता है:

f(x; \alpha, \beta) = \frac{f(x / \beta; \alpha, 1)}{\beta} $$

संचयी वितरण फलन
संचयी वितरण फलन अपूर्ण गामा फलन नियमित गामा फलन और पॉइसन यादृच्छिक चर है


 * $$F(x; \alpha, \beta) = \frac{\Gamma\left(\alpha,\frac{\beta}{x}\right)}{\Gamma(\alpha)} = Q\left(\alpha, \frac{\beta}{x}\right)\!$$

जहां अंश ऊपरी अपूर्ण गामा फलन है और हर गामा फलन है। कई गणित पैकेज सीधे गणना की अनुमति देते हैं $$Q$$, नियमित गामा फलन ।

क्षण
उसे उपलब्ध कराया $$\alpha > n$$, द $$n$$व्युत्क्रम गामा वितरण का -वाँ क्षण किसके द्वारा दिया जाता है? :$$\mathrm{E}[X^n] = \beta^n \frac{\Gamma(\alpha - n)}{\Gamma(\alpha)} = \frac{\beta^n}{(\alpha - 1) \cdots (\alpha - n)}.$$

विशेषता कार्य
$$K_{\alpha}(\cdot)$$ विशेषता फलन (संभावना सिद्धांत) की अभिव्यक्ति में दूसरे प्रकार का संशोधित बेसेल फलन है।

गुण
के लिए $$\alpha>0 $$ और $$\beta>0$$,
 * $$\mathbb{E}[\ln(X)] = \ln(\beta) - \psi(\alpha)\, $$

और
 * $$\mathbb{E}[X^{-1}] = \frac{\alpha}{\beta},\, $$

सूचना एन्ट्रापी है



\begin{align} \operatorname{H}(X) & = \operatorname{E}[-\ln(p(X))] \\ & = \operatorname{E}\left[-\alpha \ln(\beta) + \ln(\Gamma(\alpha)) + (\alpha+1)\ln(X) + \frac{\beta}{X}\right] \\ & = -\alpha \ln(\beta) + \ln(\Gamma(\alpha)) + (\alpha+1)\ln(\beta) - (\alpha+1)\psi(\alpha) + \alpha\\ & = \alpha + \ln(\beta\Gamma(\alpha)) - (\alpha+1)\psi(\alpha). \end{align} $$ कहाँ $$\psi(\alpha) $$ डिगामा फलन  है।

कुल्बैक-लीब्लर विचलन|कुल्बैक-लीब्लर विचलन व्युत्क्रम-गामा(α)p, बीp) व्युत्क्रम-गामा(α) सेq, बीq) गामा(α) के केएल-विचलन के समान हैp, बीp) गामा(α) सेq, बीq):

$$D_{\mathrm{KL}}(\alpha_p,\beta_p; \alpha_q, \beta_q) = \mathbb{E}\left[ \log \frac{\rho(X)}{\pi(X)}\right] = \mathbb{E}\left[ \log \frac{\rho(1/Y)}{\pi(1/Y)}\right] = \mathbb{E}\left[ \log \frac{\rho_G(Y)}{\pi_G(Y)}\right], $$ कहाँ $$\rho, \pi $$ व्युत्क्रम-गामा वितरण के पीडीएफ हैं और  $$\rho_G, \pi_G $$ गामा वितरण की पीडीएफ़ हैं, $$Y $$ गामा(α) हैp, बीp) वितरित।



\begin{align} D_{\mathrm{KL}}(\alpha_p,\beta_p; \alpha_q, \beta_q) = {} & (\alpha_p-\alpha_q) \psi(\alpha_p) - \log\Gamma(\alpha_p) + \log\Gamma(\alpha_q) + \alpha_q(\log \beta_p - \log \beta_q) + \alpha_p\frac{\beta_q-\beta_p}{\beta_p}. \end{align} $$

संबंधित वितरण

 * अगर $$X \sim \mbox{Inv-Gamma}(\alpha, \beta)$$ तब $$ k X \sim \mbox{Inv-Gamma}(\alpha, k \beta) \,$$, के लिए $$ k > 0 $$
 * अगर $$X \sim \mbox{Inv-Gamma}(\alpha, \tfrac{1}{2})$$ तब $$X \sim \mbox{Inv-}\chi^2(2 \alpha)\,$$ (व्युत्क्रम-ची-वर्ग वितरण)
 * अगर $$X \sim \mbox{Inv-Gamma}(\tfrac{\alpha}{2}, \tfrac{1}{2})$$ तब $$X \sim \mbox{Scaled Inv-}\chi^2(\alpha,\tfrac{1}{\alpha})\,$$ (स्केल्ड-उलटा-ची-वर्ग वितरण)
 * अगर $$X \sim \textrm{Inv-Gamma}(\tfrac{1}{2},\tfrac{c}{2})$$ तब $$X \sim \textrm{Levy}(0,c)\,$$ (लेवी वितरण)
 * अगर $$X \sim \textrm{Inv-Gamma}(1,c)$$ तब $$\tfrac{1}{X} \sim \textrm{Exp}(c)\,$$ (घातांकी रूप से वितरण)
 * अगर $$X \sim \mbox{Gamma}(\alpha, \beta)\,$$ (दर पैरामीटर के साथ गामा वितरण $$\beta$$) तब $$\tfrac{1}{X} \sim \mbox{Inv-Gamma}(\alpha, \beta)\,$$ (विवरण के लिए अगले पैराग्राफ में व्युत्पत्ति देखें)
 * ध्यान दें कि यदि $$X \sim \mbox{Gamma}(k, \theta)$$ (स्केल पैरामीटर के साथ गामा वितरण $$\theta$$ ) तब $$1/X \sim \mbox{Inv-Gamma}(k, 1/\theta)$$ * व्युत्क्रम गामा वितरण प्रकार 5 पियर्सन वितरण का एक विशेष मामला है
 * व्युत्क्रम-गामा वितरण का एक बहुभिन्नरूपी यादृच्छिक चर सामान्यीकरण व्युत्क्रम-विशार्ट वितरण है।
 * स्वतंत्र उल्टे गामा चरों के योग के वितरण के लिए विटकोवस्की (2001) देखें

गामा वितरण से व्युत्पत्ति
मान लेते है $$X \sim \mbox{Gamma}(\alpha, \beta)$$, और याद रखें कि गामा वितरण का पीडीएफ है


 * $$ f_{X}(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}$$, $$x > 0$$.

ध्यान दें कि $$ \beta $$ गामा वितरण के परिप्रेक्ष्य से दर पैरामीटर है।

परिवर्तन को परिभाषित करें $$Y = g(X) = \tfrac{1}{X}$$ फिर, की पीडीएफ $$Y$$ है


 * $$\begin{align}

f_Y(y) &= f_X \left( g^{-1}(y) \right) \left| \frac{d}{dy} g^{-1}(y) \right| \\[6pt] &= \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \left( \frac{1}{y} \right)^{\alpha-1} \exp \left( \frac{-\beta}{y}  \right)  \frac{1}{y^2} \\[6pt] &= \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \left( \frac{1}{y} \right)^{\alpha+1} \exp \left( \frac{-\beta}{y}  \right)   \\[6pt] &= \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \left( y \right)^{-\alpha-1} \exp \left( \frac{-\beta}{y}  \right) \\[6pt] \end{align}$$ ध्यान दें कि $$ \beta $$ व्युत्क्रम गामा वितरण के परिप्रेक्ष्य से स्केल पैरामीटर है। इसे देखकर इसका सीधा-सीधा अंदाजा लगाया जा सकता है $$ \beta $$ स्केल पैरामीटर होने की शर्तों को पूरा करता है।
 * $$\begin{align}

\frac{f_{\beta}(y / \beta)}{\beta} &= \frac{1}{\beta} \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \left( \frac{y}{\beta} \right)^{-\alpha-1} \exp(-y) \\[6pt] &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \left( y \right)^{-\alpha-1} \exp(-y) \\[6pt] &= f_{\beta=1}(y) \end{align}$$

घटना

 * वीनर प्रक्रिया का हिटिंग का समय लेवी वितरण का अनुसरण करता है, जो व्युत्क्रम-गामा वितरण का एक विशेष स्थिति है $$\alpha=0.5$$

यह भी देखें

 * गामा वितरण
 * व्युत्क्रम-ची-वर्ग वितरण
 * सामान्य वितरण
 * पियर्सन वितरण

संदर्भ

 * Hoff, P. (2009). "A first course in bayesian statistical methods". Springer.