ट्रैक्ट्रिक्स

ज्यामिति में, ट्रैक्ट्रिक्स (बहुवचन: ट्रैक्ट्रिसेस) वह वक्र है जिसके अनुदिश कोई वस्तु घर्षण के प्रभाव में चलती है, जब खींचने वाले बिंदु (ट्रैक्टर) से जुड़े रेखा खंड द्वारा क्षैतिज विमान पर खींचा जाता है जो समकोण पर चलता है वस्तु और खींचने वाले के बीच अनंत गति से प्रारंभिक रेखा है। इसलिए यह अनुसरण का वक्र है। इसे पहली बार 1670 में क्लाउड पेरौल्ट द्वारा प्रस्तुत किया गया था, और बाद में आइजैक न्यूटन (1676) और क्रिस्टियान ह्यूजेन्स (1693) द्वारा इसका अध्ययन किया गया था।

गणितीय व्युत्पत्ति
मान लीजिए कि वस्तु को दाईं ओर दिखाए गए उदाहरण में  $(4, 0)$ (या $(a, 0)$) रखा गया है, और मूल पर खींचने वाला (गणित), इसलिए $a$ खींचने वाले धागे की लंबाई है (दाईं ओर उदाहरण में 4)। फिर खींचने वाला  $y$ अक्ष के साथ सकारात्मक दिशा में चलना प्रारंभ कर देता है। प्रत्येक क्षण, धागा वस्तु द्वारा वर्णित वक्र $(4, 0)$ पर स्पर्शरेखा होगा, जिससे यह खींचने वाले की गति से पूरी तरह से निर्धारित हो जाती है। गणितीय रूप से, यदि वस्तु के निर्देशांक $y = y(x)$ हैं, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा खींचने वाले का $y$-निर्देशांक $$y + \operatorname{sign}(y)\sqrt{a^2 - x^2},$$ है। यह लिखने पर कि धागे की ढलान वक्र की स्पर्शरेखा के सामान्तर होती है, जो अंतर समीकरण की ओर ले जाती है
 * $$\frac{dy}{dx} = \pm\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}$$

प्रारंभिक स्थिति $(x, y)$ के साथ इसका समाधान है
 * $$y = \int_x^a \frac{\sqrt{a^2-t^2}}{t}\,dt = \pm\! \left( a\ln{\frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{x}}-\sqrt{a^2-x^2} \right),$$

जहां $y(a) = 0$ का चिह्न खींचने वाले की गति की दिशा (सकारात्मक या नकारात्मक) पर निर्भर करता है।

इस समाधान का पहला पद भी लिखा जा सकता है
 * $$a \operatorname{arsech}\frac{x}{a}, $$
 * जहाँ $±$ व्युत्क्रम अतिपरवलयिक छेदक फलन है।

समाधान से पहले का संकेत इस बात पर निर्भर करता है कि खींचने वाला ऊपर की ओर या नीचे की ओर जाता है। दोनों शाखाएँ ट्रैक्ट्रिक्स से संबंधित हैं, जो शिखर (विलक्षणता) बिंदु $arsech$ पर मिलती हैं।

ट्रैक्ट्रिक्स का आधार
ट्रैक्ट्रिक्स का आवश्यक गुण वक्र पर बिंदु $P$ के बीच की दूरी और वक्र के अनंतस्पर्शी बिंदु के साथ $P$ पर स्पर्श रेखा के प्रतिच्छेदन की स्थिरता है।

ट्रैक्ट्रिक्स को कई विधियों से माना जा सकता है:
 * 1) यह सीधी रेखा पर (बिना फिसले) घूम रहे अतिशयोक्तिपूर्ण सर्पिल के केंद्र का लोकस (गणित) है।
 * 2) यह कैटेनरी फलन का इनवॉल्व है, जो दो बिंदुओं से जुड़ी पूरी तरह से लचीली, इलास्टोमेर, सजातीय स्ट्रिंग का वर्णन करता है जो गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के अधीन है। कैटेनरी का समीकरण $(a, 0)$ है।
 * 3) प्रक्षेपवक्र कार के पिछले धुरी के मध्य द्वारा स्थिर गति और स्थिर दिशा (प्रारंभ में वाहन के लंबवत) पर रस्सी द्वारा खींचे जाने से निर्धारित होता है।
 * 4) यह (अरैखिक) वक्र है जो $y(x) = a cosh&thinsp;x⁄a$ त्रिज्या का वृत्त है और सीधी रेखा पर घूम रहा है, जिसका केंद्र  $a$ अक्ष पर है, हर समय लंबवत रूप से प्रतिच्छेद करता है।

फलन क्षैतिज अनंतस्पर्शी को स्वीकार करता है। $y$-अक्ष के संबंध में वक्र सममित है। वक्रता त्रिज्या $x$ है।

ट्रैक्ट्रिक्स का बड़ा निहितार्थ इसके अनंतस्पर्शी: छद्ममंडल के बारे में इसकी क्रांति की सतह का अध्ययन था। 1868 में यूजेनियो बेल्ट्रामी द्वारा अध्ययन किया गया था, निरंतर नकारात्मक गाऊसी वक्रता की सतह के रूप में, छद्ममंडल अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति का स्थानीय मॉडल है। इस विचार को कास्नर और न्यूमैन ने अपनी पुस्तक गणित और कल्पना में आगे बढ़ाया, जहां उन्होंने टॉय ट्रेन को ट्रैक्ट्रिक्स उत्पन्न करने के लिए पॉकेट घड़ी को खींचते हुए दिखाया था।

गुण



 * वक्र को समीकरण द्वारा पैरामीटराइज़ किया जा सकता है $$x = t - \tanh(t), y= 1/{\cosh(t)}$$.
 * जिस ज्यामितीय तरीके से इसे परिभाषित किया गया था, उसके कारण ट्रैक्ट्रिक्स में यह गुण है कि अनंतस्पर्शी और स्पर्शरेखा के बिंदु के बीच, इसके स्पर्शरेखा के खंड की लंबाई स्थिर होती है $a$.
 * बीच में शाखा की चाप की लंबाई $r = a cot&thinsp;x⁄y$ और $x = x_{1}$ है $x = x_{2}$.
 * ट्रैक्ट्रिक्स और उसके अनंतस्पर्शी के बीच का क्षेत्र है $a&thinsp;ln&thinsp;x_{1}⁄x_{2}$, जिसे अभिन्न या मैमिकॉन प्रमेय का उपयोग करके पाया जा सकता है।
 * ट्रैक्ट्रिक्स की सतह के सामान्यों का आवरण (गणित) (अर्थात्, ट्रैक्ट्रिक्स का उत्क्रांति) द्वारा दिया गया कैटेनरी (या श्रृंखला वक्र) है $π&hairsp;a^{2}⁄2$.
 * ट्रैक्ट्रिक्स को उसके अनंतस्पर्शी बिंदु के चारों ओर घुमाने से बनी क्रांति की सतह छद्मगोला है।

व्यावहारिक अनुप्रयोग
1927 में, पी.जी.ए.एच. वोइगट ने इस धारणा के आधार पर हॉर्न लाउडस्पीकर डिज़ाइन का पेटेंट कराया कि हॉर्न के माध्यम से यात्रा करने वाली तरंग का अग्र भाग स्थिर त्रिज्या का गोलाकार होता है। विचार यह है कि हॉर्न के भीतर ध्वनि के आंतरिक परावर्तन के कारण होने वाली विकृति को कम किया जाए। परिणामी आकृति ट्रैक्ट्रिक्स की क्रांति की सतह है। शीट मेटल के निर्माण की तकनीक में महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है। विशेष रूप से ट्रैक्ट्रिक्स प्रोफ़ाइल का उपयोग डाई के कोने के लिए किया जाता है जिस पर गहरी ड्राइंग के दौरान शीट धातु को मोड़ा जाता है। एक दांतेदार बेल्ट-पुली डिज़ाइन अपने दांतों के लिए ट्रैक्ट्रिक्स कैटेनरी आकार का उपयोग करके यांत्रिक विद्युत संचरण के लिए बेहतर दक्षता प्रदान करता है। यह आकार चरखी से जुड़े बेल्ट के दांतों के घर्षण को कम करता है, क्योंकि हिलने वाले दांत न्यूनतम स्लाइडिंग संपर्क के साथ जुड़ते और अलग होते हैं। मूल टाइमिंग बेल्ट डिज़ाइन में सरल ट्रैपेज़ॉइडल या गोलाकार दांत आकार का उपयोग किया जाता है, जो महत्वपूर्ण फिसलन और घर्षण का कारण बनता है।

ड्राइंग मशीनें
इन सभी मशीनों का इतिहास एच. जे. एम. बोस के लेख में देखा जा सकता है।
 * अक्टूबर-नवंबर 1692 में, क्रिस्टियान ह्यूजेंस ने तीन ट्रैक्ट्रिक्स-ड्राइंग मशीनों का वर्णन किया।
 * 1693 में गॉटफ्राइड विल्हेम लीबनिज़ ने सार्वभौमिक ट्रैक्शनल मशीन तैयार की, जो सिद्धांत रूप में, किसी भी साधारण अंतर समीकरण#परिभाषाओं को एकीकृत कर सकती थी। यह अवधारणा ट्रैक्शनल सिद्धांत को लागू करने वाला एनालॉग कंप्यूटिंग तंत्र था। लीबनिज़ के समय की तकनीक के साथ इस उपकरण का निर्माण करना अव्यावहारिक था, और इसे कभी साकार नहीं किया गया।
 * 1706 में जॉन पर्क्स ने अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य क्वाडरेचर को साकार करने के लिए ट्रैक्शनल मशीन का निर्माण किया।
 * 1729 में जॉन पोलेनी ने ट्रैक्शनल उपकरण बनाया जो लॉगरिदमिक कार्यों को खींचने में सक्षम बनाता था।

यह भी देखें

 * दीनी की सतह
 * के लिए अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य $y = a cosh&thinsp;x⁄a$, $tanh$, $sech$, $csch$
 * के लिए प्राकृतिक लघुगणक $arcosh$
 * के लिए साइन फलन $ln$
 * त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए $sgn$, $sin$, $cos$, $tan$, $arccot$

बाहरी संबंध

 * Tractrix on MathWorld
 * Module: Leibniz's Pocket Watch ODE at PHASER
 * Tractrix on MathWorld
 * Module: Leibniz's Pocket Watch ODE at PHASER
 * Module: Leibniz's Pocket Watch ODE at PHASER