वृद्धि समय

इलेक्ट्रानिक्स में वृद्धि समय का वर्णन करते समय सिग्नल (इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग) द्वारा निर्दिष्ट निम्न मान से निर्दिष्ट उच्च मान में बदलने के लिए लिया गया समय वोल्टेज या करंट (बिजली) होता है। इन मूल्यों को अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है या समकक्ष प्रतिशत के रूप में किसी दिए गए संदर्भ मान के संबंध में भी व्यक्त किया जा सकता है। एनालॉग इलेक्ट्रॉनिक्स और डिजिटल इलेक्ट्रॉनिक्स में आउटपुट चरण ऊंचाई का ये प्रतिशत सामान्यतः 10% और 90% या समतुल्य होते हैं। चूंकि अन्य मान सामान्यतः उपयोग किए जाते हैं। के अनुसार नियंत्रण सिद्धांत में अनुप्रयोगों के लिए उस समय के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो प्रतिक्रिया के उठने के लिए आवश्यक है। $x%$ को मिथाइल के y% के साथ कम नम सेकंड ऑर्डर तन्त्र के लिए 0% से 100% वृद्धि समय, सामान्य के साथ कम नम के लिए 5% से 95% और ओवरडैम्प वाले के लिए 10% से 90% के साथ मिलाया जाता है।  के अनुसार वृद्धि का समय या तो सकारात्मक या नकारात्मक चरण प्रतिक्रिया पर संचालित होता है। तथापि एक प्रदर्शित नकारात्मक भ्रमण को लोकप्रिय रूप से गिरावट का समय कहा जाता है।

अवलोकन
वृद्धि समय इलेक्ट्रॉनिक्स में मौलिक महत्व का एनालॉग पैरामीटर है क्योंकि यह तेजी से इनपुट संकेतों का उत्तर देने के लिए सर्किट की क्षमता का उपाय है। सर्किट, जनरेटर और डेटा मापने और ट्रांसमिशन उपकरण के वृद्धि समय को कम करने के लिए कई प्रयास किए गए हैं। ये कमी तेजी से इलेक्ट्रॉनिक उपकरण पर शोध से और उलझे सर्किट मापदंडों (मुख्य रूप से कैपेसिटेंस और इंडक्शन) में कमी की तन्त्रोंं से होती है। उच्च गति वाले इलेक्ट्रॉनिक्स के सीमा से बाहर के अनुप्रयोगों के लिए लंबा (कला की प्राप्य स्थिति की तुलना में) वृद्धि समय कभी-कभी वांछनीय होता है। उदाहरण प्रकाश का मंदक है। जहां लंबा वृद्धि-समय परिणाम अन्य चीजों के साथ लंबे समय तक बल्ब के लिए जीवन या एनालॉग स्विच के माध्यम से डिजिटल संकेतों के नियंत्रण में, जहां लंबे समय तक बढ़ने का अर्थ कम कैपेसिटिव फीडथ्रू होता है और इस प्रकार नियंत्रित एनालॉग सिग्नल लाइनों के लिए कम युग्मन शोर होता है।

वृद्धि समय को प्रभावित करने वाले कारक
किसी दिए गए प्रणाली आउटपुट के लिए इसका वृद्धि समय इनपुट सिग्नल के वृद्धि समय और तन्त्र की विशेषताओं दोनों पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए प्रतिरोधक सर्किट में वृद्धि समय मान मुख्य रूप से उलझे धारिता और अधिष्ठापन के कारण होते हैं। चूंकि प्रत्येक विद्युत नेटवर्क में न केवल विद्युत प्रतिरोध होता है, किन्तु धारिता और अधिष्ठापन भी होता है। स्थिर स्थिति (इलेक्ट्रॉनिक्स) तक पहुंचने वाले लोड में वोल्टेज और वर्तमान में विलम्ब स्पष्ट होता है। शुद्ध आरसी सर्किट में आउटपुट रिसाइमटाइम $2.2 आरसी$ (10% से 90%) लगभग बराबर होता है।

वैकल्पिक परिभाषाएं
वृद्धि समय की अन्य परिभाषाएँ के अतिरिक्त दी गयी, संघीय मानक 1037सी (1997 आर-22) और इसके द्वारा दिया गया सरल सामान्यीकरण  कभी कभी प्रयोग किया जाता है। ये वैकल्पिक परिभाषाएं न केवल माने गए संदर्भ स्तरों के लिए मानक से भिन्न हैं। उदाहरण के लिए चरण फलन प्रतिक्रिया के 50% बिंदु के माध्यम से खींची गई स्पर्शरेखा के अवरोध बिंदुओं के अनुरूप ग्राफिक रूप से समय अंतराल का उपयोग कभी-कभी किया जाता है। एक और परिभाषा, द्वारा शुरू की गई सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत से अवधारणाओं का उपयोग करता है। $V(t)$ एक कदम प्रतिक्रिया को ध्यान में रखते हुए , $t_{D}$ वह प्रसार विलंब इलेक्ट्रॉनिक्स को फिर से परिभाषित करता है। इसके पहले व्युत्पन्न के पहले क्षण के रूप में $V′(t)$ अर्थात


 * $$t_D = \frac{\int_0^{+\infty}t V^\prime(t)\mathrm{d}t}{\int_0^{+\infty} V^\prime(t)\mathrm{d}t}.$$

अंत में $t_{r}$ वह वृद्धि के समय को परिभाषित करता है। दूसरे क्षण का उपयोग करके


 * $$t_r^2 = \frac{\int_0^{+\infty}(t -t_D)^2 V^\prime(t)\mathrm{d}t}{\int_0^{+\infty} V^\prime(t)\mathrm{d}t} \quad

\Longleftrightarrow \quad t_r =\sqrt{\frac{\int_0^{+\infty}(t -t_D)^2 V^\prime(t)\mathrm{d}t}{\int_0^{+\infty} V^\prime(t)\mathrm{d}t}}$$

अंकन
विश्लेषण के लिए आवश्यक सभी संकेतन और मान्यताएँ यहाँ सूचीबद्ध हैं।


 * अगले $x%$ प्रतिशत कम मूल्य के रूप में और $y%$ प्रतिशत उच्च मूल्य संकेत के एक संदर्भ मूल्य के संबंध में हम परिभाषित करते हैं। जिसके वृद्धि समय का अनुमान लगाया जाना है।
 * $t_{1}$ वह समय है, जिस पर विश्लेषण के अनुसार तन्त्र का आउटपुट होता है। जबकि $t_{2}$ $y%$ जिस पर यह है, दोनों को दूसरा में मापा जाता है।
 * $t_{r}$ विश्लेषित प्रणाली का वृद्धि समय है। जिसे सेकंड में मापा जाता है। परिभाषा से $$t_r = t_2 - t_1.$$
 * $f_{L}$ विश्लेषित प्रणाली की निचली कटऑफ़ आवृत्ति (-3 dB बिंदु) है। जिसे हर्ट्ज में मापा जाता है।
 * $f_{H}$ विश्लेषण प्रणाली की उच्च कटऑफ आवृत्ति (-3 dB बिंदु) है। जिसे हर्ट्ज़ में मापा जाता है।
 * $h(t)$ टाइम डोमेन में विश्लेषित प्रणाली की आवेग प्रतिक्रिया है।
 * $H(ω)$ आवृत्ति डोमेन में विश्लेषित प्रणाली की आवृत्ति प्रतिक्रिया है।
 * बैंडविड्थ (सिग्नल प्रोसेसिंग) को इस रूप में परिभाषित किया गया है $$BW = f_{H} - f_{L}$$ और कम कटऑफ आवृत्ति के बाद से $f_{L}$ सामान्यतः उच्च कटऑफ आवृत्ति से $f_{H}$ कई दशक कम होता है, $$BW\cong f_H$$
 * यहाँ विश्लेषित सभी प्रणालियों में एक आवृत्ति प्रतिक्रिया होती है। जो विस्तृत होती है। इस प्रकार $$f_L=0\,\Longleftrightarrow\,f_H=BW$$
 * सरलता के लिए सभी प्रणालियों का वृद्धि समय में विश्लेषण किया गया है। वृद्धि समय खंड की गणना के सरल उदाहरण हैं। लाभ (इलेक्ट्रॉनिक्स) वोल्टेज लाभ विद्युत नेटवर्क और सभी संकेतों को वोल्टेज के रूप में माना जाता है। इनपुट का चरण कार्य है। $V_{0}$ वाट और इसका तात्पर्य है कि $$\frac{V(t_1)}{V_0}=\frac{x\%}{100} \qquad \frac{V(t_2)}{V_0}=\frac{y\%}{100}$$
 * $ζ$ भिगोना अनुपात है और $ω_{0}$ दिए गए दूसरे क्रम के अंतर समीकरण की प्राकृतिक आवृत्ति है।

वृद्धि समय की गणना के सरल उदाहरण
इस खंड का उद्देश्य कुछ सरल प्रणालियों के लिए चरण प्रतिक्रिया के वृद्धि समय की गणना करना है:

गाऊसी प्रतिक्रिया प्रणाली
गाऊसी प्रणाली को गॉसियन प्रतिक्रिया कहा जाता है। यदि यह निम्नलिखित आवृत्ति प्रतिक्रिया की विशेषता है।


 * $$|H(\omega)|=e^{-\frac{\omega^2}{\sigma^2}} $$

जहाँ $σ &gt; 0$ स्थिर है और निम्न संबंध द्वारा उच्च कटऑफ आवृत्ति से संबंधित:


 * $$f_H = \frac{\sigma}{2\pi} \sqrt{\frac{3}{20}\ln 10} \cong 0.0935 \sigma.$$

तथापि इस प्रकार की आवृत्ति प्रतिक्रिया का कारण फिल्टर द्वारा साकार नहीं होती है। इसकी उपयोगिता इस तथ्य में निहित है कि लो-पास फिल्टर फर्स्ट ऑर्डर के कैस्केड कनेक्शन का व्यवहार इस प्रणाली के व्यवहार को अधिक निकटता से देखता है क्योंकि कैस्केड चरणों की संख्या स्पर्शोन्मुख विश्लेषण गणनीय सेट तक बढ़ जाती है। दिखाए गए आवृत्ति प्रतिक्रिया के व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण का उपयोग करके संबंधित आवेग प्रतिक्रिया की गणना की जा सकती है।


 * $$\mathcal{F}^{-1}\{H\}(t)=h(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} {e^{-\frac{\omega^2}{\sigma^2}}e^{i\omega t}} d\omega=\frac{\sigma}{2\sqrt{\pi}}e^{-\frac{1}{4}\sigma^2t^2}$$

कदम प्रतिक्रिया की परिभाषा को सीधे संचालित करना,


 * $$V(t) = V_0{H*h}(t) = \frac{V_0}{\sqrt{\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\frac{\sigma t}{2}}e^{-\tau^2}d\tau = \frac{V_0}{2}\left[1+\mathrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{2}\right)\right] \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{V(t)}{V_0} = \frac{1}{2}\left[1+\mathrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{2}\right)\right].$$

तन्त्र के 10% से 90% वृद्धि समय का निर्धारण करने के लिए निम्नलिखित दो समीकरणों को समय के लिए हल करना आवश्यक है:


 * $$\frac{V(t_1)}{V_0} = 0.1 = \frac{1}{2}\left[1+\mathrm{erf}\left(\frac{\sigma t_1}{2}\right)\right]

\qquad \frac{V(t_2)}{V_0} = 0.9= \frac{1}{2}\left[1+\mathrm{erf}\left(\frac{\sigma t_2}{2}\right)\right],$$ त्रुटि फलन के ज्ञात गुणों का उपयोग करके मान $t = −t_{1} = t_{2}$ पाया जाता है। चूंकि $t_{r} = t_{2} - t_{1} = 2t$,


 * $$t_r=\frac{4}{\sigma}{\operatorname{erf}^{-1}(0.8)}\cong\frac{0.3394}{f_H},$$

और अंत में


 * $$t_r\cong\frac{0.34}{BW}\quad\Longleftrightarrow\quad BW\cdot t_r\cong 0.34.$$

एक चरण का लो-पास आरसी नेटवर्क
साधारण एक-चरण निम्न-पास आरसी परिपथ के लिए 10% से 90% वृद्धि का समय नेटवर्क समय स्थिरांक के समानुपाती होता है। जहाँ $τ = RC$:

$$t_r\cong 2.197\tau$$

आनुपातिकता स्थिरांक नेटवर्क के चरण प्रतिक्रिया के ज्ञान से इकाई चरण फलन इनपुट सिग्नल के ज्ञान से प्राप्त किया जा सकता है तथा $V_{0}$ आयाम होता है।


 * $$V(t) = V_0 \left(1-e^{-\frac{t}{\tau}} \right)$$

समय के लिए हल करना


 * $$\frac{V(t)}{V_0}=\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right) \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{V(t)}{V_0}-1=-e^{-\frac{t}{\tau}} \quad \Longleftrightarrow \quad 1-\frac{V(t)}{V_0}=e^{-\frac{t}{\tau}},$$

और अंत में,


 * $$\ln\left(1-\frac{V(t)}{V_0}\right)=-\frac{t}{\tau} \quad \Longleftrightarrow \quad t = -\tau \; \ln\left(1-\frac{V(t)}{V_0}\right)$$

तब से $t_{1}$ और $t_{2}$ ऐसे हैं


 * $$\frac{V(t_1)}{V_0}=0.1 \qquad \frac{V(t_2)}{V_0}=0.9,$$

इन समीकरणों को हल करने के लिए हम $t_{1}$ और $t_{2}$ विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति पाते हैं :


 * $$ t_1 = -\tau\;\ln\left(1-0.1\right) = -\tau \; \ln\left(0.9\right) = -\tau\;\ln\left(\frac{9}{10}\right) = \tau\;\ln\left(\frac{10}{9}\right) = \tau({\ln 10}-{\ln 9})$$
 * $$t_2=\tau\ln{10}$$

इसलिए वृद्धि का समय स्थिर समय के समानुपाती होता है:
 * $$t_r = t_2-t_1 = \tau\cdot\ln 9\cong\tau\cdot 2.197$$

अब यह देखते हुए


 * $$\tau = RC = \frac{1}{2\pi f_H},$$

तब


 * $$t_r=\frac{2\ln3}{2\pi f_H}=\frac{\ln3}{\pi f_H}\cong\frac{0.349}{f_H},$$

और चूंकि उच्च आवृत्ति कटऑफ़ बैंडविड्थ के बराबर है,


 * $$t_r\cong\frac{0.35}{BW}\quad\Longleftrightarrow\quad BW\cdot t_r\cong 0.35.$$

अंत में ध्यान दें कि यदि $t_{r}$ बन जाता है और इसके अतिरिक्त 20% से 80% वृद्धि समय पर विचार किया जाता है :


 * $$t_r = \tau\cdot\ln\frac{8}{2}=(2\ln2)\tau

\cong 1.386\tau\quad\Longleftrightarrow\quad t_r=\frac{\ln2}{\pi BW}\cong\frac{0.22}{BW}$$

एक चरण का लो-पास एलआर नेटवर्क
यहां तक ​​कि साधारण वन-स्टेज लो-पास आरएल नेटवर्क के लिए भी 10% से 90% वृद्धि समय नेटवर्क समय स्थिरांक $τ = L/R$ के समानुपाती होता है। इस अभिकथन का औपचारिक प्रमाण ठीक उसी प्रकार आगे बढ़ता है, जैसा कि पिछले खंड में दिखाया गया है। वृद्धि समय के लिए अंतिम विचारों के बीच एकमात्र अंतर समय स्थिरांक के विचारों में अंतर के कारण होता है। दो अलग-अलग सर्किटों में से वर्तमान स्थितियों में निम्नलिखित परिणाम के लिए अग्रणी है।


 * $$t_r=\tau\cdot\ln 9 = \frac{L}{R}\cdot\ln 9\cong \frac{L}{R} \cdot 2.197$$

अवमंदित द्वितीय क्रम प्रणाली का वृद्धि समय
के अनुसार नियंत्रण सिद्धांत में उपयोग किए जाने वाले अंडरडैम्प तन्त्र के लिए वृद्धि समय को सामान्यतः एक तरंग के अंतिम मूल्य के 0% से 100% तक जाने के समय के रूप में परिभाषित किया जाता है। तदानुसार अंडरडैम्प्ड द्वितीय-क्रम प्रणाली के 0 से 100% तक वृद्धि का समय निम्न रूप में है:
 * $$ t_r \cdot\omega_0= \frac{1}{\sqrt{1-\zeta^2}}\left [ \pi - \tan^{-1}\left ( {\frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta}} \right) \right ]$$

द्वितीय-क्रम प्रणाली के लिए सामान्यीकृत वृद्धि समय के लिए द्विघात फलन सन्निकटन चरण प्रतिक्रिया कोई शून्य नहीं है:
 * $$ t_r \cdot\omega_0= 2.230\zeta^2-0.078\zeta+1.12$$

जहाँ $ζ$ भिगोना अनुपात है और $ω_{0}$ नेटवर्क की प्राकृतिक आवृत्ति है।

कैस्केड ब्लॉक का वृद्धि समय
एन कैस्केड नॉन इंटरेक्टिंग ब्लॉक द्वारा रचित एक प्रणाली पर विचार करें, प्रत्येक में वृद्धि का समय tr है, $i = 1,…,n$ और उनकी चरण प्रतिक्रिया में कोई ओवरशूट (संकेत) मान लीजिए कि पहले ब्लॉक के इनपुट सिग्नल में वृद्धि का समय है। जिसका मान $t_{r_{S}}|undefined$ है। बाद में इसके आउटपुट सिग्नल में वृद्धि का समय $S$ के बराबर होता है।


 * $$t_{r_O} = \sqrt{t_{r_S}^2+t_{r_1}^2+\dots+t_{r_n}^2}$$

के अनुसार यह परिणाम केंद्रीय सीमा प्रमेय का परिणाम है और इसके द्वारा सिद्ध किया गया था। चूंकि समस्या का एक विस्तृत विश्लेषण  द्वारा प्रस्तुत किया गया है। जिसका श्रेय भी  को पिछले सूत्र को सिद्ध करने वाले पहले व्यक्ति के रूप में जाना जाता है।

यह भी देखें

 * फाल टाइम
 * आवृत्ति प्रतिक्रिया
 * आवेग प्रतिक्रिया
 * स्टेप प्रतिक्रिया
 * स्थापन काल