ऊर्जा के स्तर को कम करना

क्वांटम यांत्रिकी में, एक ऊर्जा स्तर पतित होता है यदि यह एक क्वांटम प्रणाली के दो या दो से अधिक अलग-अलग औसत दर्जे की अवस्थाओं से मेल खाता है। इसके विपरीत, क्वांटम मैकेनिकल सिस्टम के दो या दो से अधिक अलग-अलग राज्यों को पतित कहा जाता है यदि वे माप पर ऊर्जा का समान मूल्य देते हैं। एक विशेष ऊर्जा स्तर के अनुरूप विभिन्न अवस्थाओं की संख्या को स्तर की अध: पतन की डिग्री के रूप में जाना जाता है। यह हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) द्वारा गणितीय रूप से प्रतिनिधित्व किया जाता है, जिसमें एक से अधिक रैखिक स्वतंत्रता eigenstate एक ही ऊर्जा eigenvalue के साथ होती है। जब यह स्थिति होती है, तो अकेले ऊर्जा यह बताने के लिए पर्याप्त नहीं होती है कि सिस्टम किस अवस्था में है, और अन्य क्वांटम संख्या की आवश्यकता तब होती है जब विशिष्ट स्थिति वांछित होती है। शास्त्रीय यांत्रिकी में, इसे एक ही ऊर्जा के अनुरूप विभिन्न संभावित प्रक्षेपवक्रों के संदर्भ में समझा जा सकता है।

अध: पतन क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी में एक मौलिक भूमिका निभाता है। एक के लिए $N$-कण प्रणाली तीन आयामों में, एक एकल ऊर्जा स्तर कई अलग-अलग तरंग कार्यों या ऊर्जा अवस्थाओं के अनुरूप हो सकता है। समान स्तर पर इन पतित अवस्थाओं में सभी के भरे जाने की समान संभावना है। ऐसे राज्यों की संख्या एक विशेष ऊर्जा स्तर की अध: पतन देती है।



गणित
एक क्वांटम यांत्रिक प्रणाली की संभावित अवस्थाओं को गणितीय रूप से पृथक, जटिल हिल्बर्ट अंतरिक्ष में अमूर्त वैक्टर के रूप में माना जा सकता है, जबकि वेधशालाओं को उन पर कार्य करने वाले रैखिक ऑपरेटर हर्मिटियन ऑपरेटरों द्वारा दर्शाया जा सकता है। एक उपयुक्त आधार फ़ंक्शन का चयन करके, इन वैक्टरों के घटकों और उस आधार पर ऑपरेटरों के मैट्रिक्स तत्वों का निर्धारण किया जा सकता है। अगर $A$ एक है $N × N$ आव्यूह, $X$ एक गैर-शून्य यूक्लिडियन वेक्टर, और $λ$ एक अदिश (भौतिकी) है, जैसे कि $$AX = \lambda X$$, फिर अदिश $λ$ का आइगेनवैल्यू कहा जाता है $A$ और वेक्टर $X$ को इसके अनुरूप ईजेनवेक्टर कहा जाता है $λ$. शून्य सदिश के साथ, किसी दिए गए ईगेनवैल्यू के अनुरूप सभी ईजेनवेक्टरों का सेट $λ$ का एक उप-स्थान टोपोलॉजी बनाते हैं $C^{n}$, जिसे का आइगेनस्पेस कहा जाता है $λ$. एक आइगेनवैल्यू $λ$ जो दो या दो से अधिक अलग-अलग रैखिक रूप से स्वतंत्र ईजेनवेक्टरों से मेल खाता है, उसे अध: पतन कहा जाता है, अर्थात। $$A X_1 = \lambda X_1$$ और $$ A X_2 = \lambda X_2$$, कहाँ $$ X_1 $$ और $$ X_2 $$ रैखिक रूप से स्वतंत्र ईजेनवेक्टर हैं। ईजेनस्पेस के आयाम (वेक्टर स्पेस) जो कि ईजेनवेल्यू के अनुरूप है, को इसके अध: पतन की डिग्री के रूप में जाना जाता है, जो परिमित या अनंत हो सकता है। एक eigenvalue को गैर-पतित कहा जाता है यदि इसका eigenspace एक आयामी है।

क्वांटम यांत्रिकी में भौतिक वेधशालाओं का प्रतिनिधित्व करने वाले मेट्रिसेस के आइगेनवेल्यूज इन ऑब्जर्वेबल्स के औसत दर्जे का मान देते हैं, जबकि इन ईजेनवेल्यूज के अनुरूप ईजेनस्टेट्स संभावित अवस्थाओं को देते हैं जिसमें सिस्टम को माप पर पाया जा सकता है। एक क्वांटम प्रणाली की ऊर्जा के मापने योग्य मूल्य हैमिल्टनियन ऑपरेटर के आइजेनवेल्यू द्वारा दिए जाते हैं, जबकि इसके आइजेनस्टेट्स सिस्टम की संभावित ऊर्जा स्थिति देते हैं। ऊर्जा के एक मूल्य को पतित कहा जाता है यदि इससे जुड़े कम से कम दो रैखिक रूप से स्वतंत्र ऊर्जा अवस्थाएँ मौजूद हों। इसके अलावा, दो या दो से अधिक पतित ईजेनस्टेट्स का कोई भी रैखिक संयोजन भी हैमिल्टनियन ऑपरेटर का एक ईजेनस्टेट है जो समान ऊर्जा ईजेनवेल्यू के अनुरूप है। यह स्पष्ट रूप से इस तथ्य से अनुसरण करता है कि ऊर्जा मूल्य eigenvalue का eigenspace $λ$ हैमिल्टनियन माइनस का एक उप-क्षेत्र (कर्नेल (रैखिक बीजगणित) है $λ$ पहचान से गुणा), इसलिए रैखिक संयोजनों के तहत बंद है।

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ऊर्जा के मापन पर अपकर्ष का प्रभाव
अध: पतन की अनुपस्थिति में, यदि एक क्वांटम प्रणाली की ऊर्जा का मापा मूल्य निर्धारित किया जाता है, तो प्रणाली की इसी स्थिति को ज्ञात माना जाता है, क्योंकि केवल एक ईजेनस्टेट प्रत्येक ऊर्जा ईजेनवेल्यू से मेल खाती है। हालाँकि, यदि हैमिल्टन $$\hat{H}$$ एक पतित ईगेनवैल्यू है $$E_n$$ डिग्री जीn, इससे जुड़े ईजेनस्टेट्स आयाम जी के एक वेक्टर उप-स्थान बनाते हैंn. ऐसी स्थिति में, कई अंतिम अवस्थाएँ संभवतः एक ही परिणाम से जुड़ी हो सकती हैं $$E_n$$, जो सभी जी के रैखिक संयोजन हैंn ऑर्थोनॉर्मल ईजेनवेक्टर $$|E_{n,i}\rangle$$.

इस मामले में, संभावना है कि राज्य में एक प्रणाली के लिए ऊर्जा मूल्य मापा जाता है $$|\psi\rangle$$ मूल्य प्राप्त होगा $$E_n$$ इस आधार पर प्रत्येक राज्य में प्रणाली को खोजने की संभावनाओं के योग द्वारा दिया जाता है, अर्थात
 * $$P(E_n)=\sum_{i=1}^{g_n}|\langle E_{n,i}|\psi\rangle|^2$$

विभिन्न आयामों में विकृति
यह खंड विभिन्न आयामों में अध्ययन किए गए क्वांटम सिस्टम में अपक्षयी ऊर्जा स्तरों के अस्तित्व को चित्रित करने का इरादा रखता है। एक और द्वि-आयामी प्रणालियों का अध्ययन अधिक जटिल प्रणालियों की वैचारिक समझ में सहायता करता है।

एक आयाम में अध: पतन
कई मामलों में, एक-आयामी प्रणालियों के अध्ययन में विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति के परिणाम अधिक आसानी से प्राप्त किए जा सकते हैं। एक तरंग समारोह के साथ एक क्वांटम कण के लिए $$|\psi\rangle$$ एक आयामी क्षमता में आगे बढ़ रहा है $$V(x)$$, समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण को इस रूप में लिखा जा सकता है
 * $$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} + V\psi =E\psi$$

चूँकि यह एक सामान्य अवकल समीकरण है, किसी दी गई ऊर्जा के लिए दो स्वतंत्र आइगेन फलन होते हैं $$E$$ अधिक से अधिक, ताकि पतन की डिग्री कभी भी दो से अधिक न हो। यह सिद्ध किया जा सकता है कि एक आयाम में, सामान्यीकृत तरंग समारोह के लिए कोई पतित बाध्य अवस्थाएँ नहीं हैं। टुकड़ेवार निरंतर क्षमता पर एक पर्याप्त स्थिति $$V$$ और ऊर्जा $$E$$ दो वास्तविक संख्याओं का अस्तित्व है $$M,x_0$$ साथ $$M \neq 0$$ ऐसा है कि $$\forall x > x_0$$ अपने पास $$V(x) - E \geq M^2$$. विशेष रूप से, $$V$$ इस कसौटी पर नीचे है।


 * {| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"

!Proof of the above theorem.


 * Considering a one-dimensional quantum system in a potential $$V(x)$$ with degenerate states $$|\psi_1\rangle$$ and $$|\psi_2\rangle$$ corresponding to the same energy eigenvalue $$E$$, writing the time-independent Schrödinger equation for the system:
 * $$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi_1}{dx^2} + V\psi_1 =E\psi_1$$
 * $$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi_2}{dx^2} + V\psi_2 =E\psi_2$$
 * $$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi_2}{dx^2} + V\psi_2 =E\psi_2$$

Multiplying the first equation by $$ \psi_2 $$ and the second by $$\psi_1$$ and subtracting one from the other, we get:
 * $$\psi_1\frac{d^2}{dx^2}\psi_2-\psi_2\frac{d^2}{d x^2}\psi_1=0$$

Integrating both sides
 * $$\psi_1\frac{d\psi_2}{dx}-\psi_2\frac{d\psi_1}{dx}=\mbox{constant}$$

In case of well-defined and normalizable wave functions, the above constant vanishes, provided both the wave functions vanish at at least one point, and we find: $$\psi_1(x)=c\psi_2(x)$$ where $$c$$ is, in general, a complex constant. For bound state eigenfunctions (which tend to zero as $$x \rightarrow \infty$$), and assuming $$V$$ and $$E$$ satisfy the condition given above, it can be shown that also the first derivative of the wave function approaches zero in the limit $$x\to\infty$$, so that the above constant is zero and we have no degeneracy.
 * }

द्वि-आयामी क्वांटम सिस्टम में अध: पतन
पदार्थ की तीनों अवस्थाओं में द्वि-आयामी क्वांटम प्रणालियाँ मौजूद हैं और त्रि-आयामी पदार्थ में देखी जाने वाली अधिकांश विविधताएँ दो आयामों में बनाई जा सकती हैं। वास्तविक द्विविमीय पदार्थ ठोसों की सतह पर एकपरमाणुक परतों से बने होते हैं। प्रयोगात्मक रूप से प्राप्त द्वि-आयामी इलेक्ट्रॉन प्रणालियों के कुछ उदाहरणों में MOSFET, हीलियम, नियोन, आर्गन, क्सीनन आदि के द्वि-आयामी superlattices और तरल हीलियम की सतह शामिल हैं। एक बॉक्स में कण और द्वि-आयामी लयबद्ध दोलक के मामलों में पतित ऊर्जा स्तरों की उपस्थिति का अध्ययन किया जाता है, जो कई वास्तविक विश्व प्रणालियों के लिए उपयोगी गणितीय मॉडल के रूप में कार्य करता है।

आयताकार तल में कण
आयामों के विमान में एक मुक्त कण पर विचार करें $$L_x$$ और $$L_y$$ अभेद्य दीवारों के एक विमान में। वेव फंक्शन के साथ इस प्रणाली के लिए समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण $$|\psi\rangle$$ रूप में लिखा जा सकता है
 * $$ -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2 \psi}{{\partial x}^2} +\frac{\partial^2 \psi}{{\partial y}^2}\right) =E\psi$$

अनुमत ऊर्जा मूल्य हैं
 * $$E_{n_x,n_y}=\frac{\pi^2 \hbar^2}{2m}\left(\frac{n_x^2}{L_x^2}+\frac{n_y^2}{L_y^2}\right)$$

सामान्यीकृत तरंग समारोह है
 * $$\psi_{n_x,n_y}(x,y)=\frac 2{\sqrt{L_xL_y}} \sin\left(\frac{n_x\pi x}{L_x}\right)\sin\left(\frac{n_y\pi y}{L_y}\right)$$

कहाँ $$n_x,n_y=1,2,3...$$ तो, क्वांटम संख्या $$n_x$$ और $$n_y$$ ऊर्जा eigenvalues ​​​​का वर्णन करने के लिए आवश्यक हैं और सिस्टम की सबसे कम ऊर्जा द्वारा दी गई है
 * $$E_{1,1}=\pi^2\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac 1{L_x^2}+\frac 1{L_y^2}\right)$$

दो लंबाई के कुछ अनुरूप अनुपात के लिए $$L_x$$ और $$L_y$$राज्यों के कुछ जोड़े पतित हैं। अगर $$L_x/L_y=p/q$$, जहाँ p और q पूर्णांक हैं, अवस्थाएँ $$(n_x, n_y)$$ और $$(pn_y/q, qn_x/p)$$ एक ही ऊर्जा है और इसलिए एक दूसरे के लिए पतित हैं।

एक वर्ग बॉक्स में कण
इस मामले में, बॉक्स के आयाम $$L_x = L_y = L$$ और ऊर्जा eigenvalues ​​द्वारा दिया जाता है
 * $$E_{n_x,n_y}=\frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}(n_x^2+n_y^2)$$

तब से $$n_x$$ और $$n_y$$ ऊर्जा को बदले बिना अदला-बदली की जा सकती है, प्रत्येक ऊर्जा स्तर में कम से कम दो की गिरावट होती है $$n_x$$ और $$n_y$$ कुछ अलग हैं। पतित अवस्थाएँ तब भी प्राप्त होती हैं जब विभिन्न ऊर्जा स्तरों के अनुरूप क्वांटम संख्याओं के वर्गों का योग समान होता है। उदाहरण के लिए, तीन राज्य (एनx = 7, एनy = 1), (एनx = 1, एनy = 7) और (एनx = एनy = 5) सभी के पास है $$E=50 \frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}$$ और एक पतित सेट का गठन करें।

एक वर्ग बॉक्स में एक कण के लिए विभिन्न ऊर्जा स्तरों की गिरावट की डिग्री:

एक घन बॉक्स में कण
इस मामले में, बॉक्स के आयाम $$L_x = L_y =L_z= L$$ और ऊर्जा eigenvalues ​​​​तीन क्वांटम संख्याओं पर निर्भर करते हैं।
 * $$E_{n_x,n_y,n_z}=\frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}(n_x^2+n_y^2+n_z^2)$$

तब से $$n_x$$, $$n_y$$ और $$n_z$$ ऊर्जा को बदले बिना अदला-बदली की जा सकती है, प्रत्येक ऊर्जा स्तर में कम से कम तीन की विकृति होती है जब तीन क्वांटम संख्याएँ सभी समान नहीं होती हैं।

अध: पतन
के मामले में एक अद्वितीय eigenbasis ढूँढना

यदि दो संकारक (भौतिकी) s $$\hat{A}$$ और $$\hat{B}$$ आवागमन, अर्थात् $$[\hat{A},\hat{B}]=0$$, फिर प्रत्येक eigenvector के लिए $$|\psi\rangle$$ का $$\hat{A}$$, $$\hat{B}|\psi\rang$$ का आइजनवेक्टर भी है $$\hat{A}$$ समान आइगेनवैल्यू के साथ। हालांकि, अगर यह आइगेनवैल्यू कहते हैं $$\lambda$$पतित है, ऐसा कहा जा सकता है $$\hat{B}|\psi\rangle$$ आइगेनस्पेस के अंतर्गत आता है $$E_\lambda$$ का $$\hat{A}$$, जिसे की कार्रवाई के तहत विश्व स्तर पर अपरिवर्तनीय कहा जाता है $$\hat{B}$$.

दो कम्यूटिंग ऑब्जर्वेबल ए और बी के लिए, दो ऑपरेटरों के लिए ईजेनवेक्टरों के साथ राज्य अंतरिक्ष के एक सामान्य आधार का निर्माण कर सकते हैं। हालाँकि, $$\lambda$$ का पतित ईगेनवैल्यू है $$\hat{A}$$, तो यह का एक ईजेनसबस्पेस है $$\hat{A}$$ की कार्रवाई के तहत अपरिवर्तनीय है $$\hat{B}$$, इसलिए का प्रतिनिधित्व (गणित)। $$\hat{B}$$ के ईजेनबेसिस में $$\hat{A}$$ एक विकर्ण नहीं है, लेकिन एक ब्लॉक विकर्ण मैट्रिक्स है, यानी पतित ईजेनवेक्टर $$\hat{A}$$ सामान्य तौर पर, के ईजेनवेक्टर नहीं हैं $$\hat{B}$$. हालांकि, के हर पतित आइजन सबस्पेस में चुनना हमेशा संभव होता है $$\hat{A}$$, ईजेनवेक्टरों का एक सामान्य आधार $$\hat{A}$$ और $$\hat{B}$$.

आने-जाने वाली वेधशालाओं का एक पूरा सेट चुनना
यदि एक दिया गया अवलोकन योग्य ए गैर-पतित है, तो इसके ईजेनवेक्टरों द्वारा गठित एक अद्वितीय आधार मौजूद है। दूसरी ओर, यदि एक या कई eigenvalues $$\hat{A}$$ पतित हैं, एक आधार वेक्टर को चिह्नित करने के लिए एक ईजेनवेल्यू निर्दिष्ट करना पर्याप्त नहीं है। यदि, एक अवलोकन योग्य चुनकर $$\hat{B}$$, जो साथ आवागमन करता है $$\hat{A}$$, ईजेनवेक्टरों के लिए सामान्य रूप से एक ऑर्थोनॉर्मल आधार का निर्माण करना संभव है $$\hat{A}$$ और $$\hat{B}$$, जो अद्वितीय है, प्रत्येक संभव eigenvalues ​​\u200b\u200bजोड़े {ए, बी} के लिए, फिर $$\hat{A}$$ और $$\hat{B}$$ कहा जाता है कि वे आने-जाने वाले अवलोकनों का एक पूरा सेट बनाते हैं। हालांकि, अगर ईजेनवेक्टरों का एक अनूठा सेट अभी भी निर्दिष्ट नहीं किया जा सकता है, तो कम से कम एक आइगेनवैल्यू के जोड़े के लिए, एक तीसरा अवलोकनीय $$\hat{C}$$, जो दोनों के साथ आवागमन करता है $$\hat{A}$$ और $$\hat{B}$$ ऐसे पाया जा सकता है कि तीनों आने-जाने वाले अवलोकनों का एक पूरा सेट बनाते हैं।

यह इस प्रकार है कि एक सामान्य ऊर्जा मूल्य के साथ एक क्वांटम प्रणाली के हैमिल्टनियन के ईजेनफंक्शन को कुछ अतिरिक्त जानकारी देकर लेबल किया जाना चाहिए, जो हैमिल्टनियन के साथ चलने वाले ऑपरेटर को चुनकर किया जा सकता है। इन अतिरिक्त लेबलों को एक अद्वितीय ऊर्जा ईजेनफंक्शन के नामकरण की आवश्यकता होती है और आमतौर पर सिस्टम की गति के स्थिरांक से संबंधित होते हैं।

पतित ऊर्जा ईजेनस्टेट्स और समता संचालिका
समता ऑपरेटर को इसकी क्रिया द्वारा परिभाषित किया गया है $$|r\rangle$$ r को −r में बदलने का प्रतिनिधित्व, यानी
 * $$\langle r|P|\psi\rangle=\psi(-r)$$

P के eigenvalues ​​​​को सीमित दिखाया जा सकता है $$\pm1$$, जो दोनों एक अनंत-आयामी राज्य अंतरिक्ष में पतित eigenvalues ​​​​हैं। eigenvalue +1 के साथ P का एक eigenvector सम कहा जाता है, जबकि eigenvalue −1 के साथ विषम कहा जाता है।

अब, एक सम संचालिका $$\hat{A}$$ एक है जो संतुष्ट करता है,
 * $$\tilde{A}=P \hat{A} P$$
 * $$[P,\hat{A}]=0$$

जबकि एक विषम ऑपरेटर $$\hat{B}$$ एक है जो संतुष्ट करता है
 * $$P \hat{B}+\hat{B} P=0$$

गति ऑपरेटर के वर्ग के बाद से $$\hat{p}^2$$ सम है, यदि विभव V(r) सम है, हैमिल्टनियन $$\hat{H}$$ एक सम संचालिका कहा जाता है। उस स्थिति में, यदि इसके प्रत्येक eigenvalues ​​​​गैर-पतित हैं, तो प्रत्येक eigenvector आवश्यक रूप से P का एक eigenstate है, और इसलिए यह संभव है कि eigenstates की तलाश की जाए $$\hat{H}$$ सम और विषम राज्यों के बीच। हालांकि, यदि ऊर्जा ईजेनस्टेट्स में से किसी एक की कोई निश्चित समता (भौतिकी) नहीं है, तो यह दावा किया जा सकता है कि संबंधित आइगेनवैल्यू पतित है, और $$P|\psi\rangle$$ का आइजनवेक्टर है $$\hat{H}$$ के रूप में एक ही eigenvalue के साथ $$|\psi\rangle$$.

अध: पतन और समरूपता
क्वांटम-मैकेनिकल सिस्टम में अपक्षय की भौतिक उत्पत्ति अक्सर सिस्टम में कुछ समरूपता की उपस्थिति होती है। क्वांटम प्रणाली की समरूपता का अध्ययन, कुछ मामलों में, हमें श्रोडिंगर समीकरण को हल किए बिना ऊर्जा के स्तर और गिरावट को खोजने में सक्षम बनाता है, जिससे प्रयास कम हो जाता है।

गणितीय रूप से, समरूपता के साथ अध: पतन के संबंध को इस प्रकार स्पष्ट किया जा सकता है। एकात्मक संकारक से संबंधित सममिति संक्रिया पर विचार करें $S$. इस तरह के एक ऑपरेशन के तहत, ऑपरेटर द्वारा उत्पन्न मैट्रिक्स समानता द्वारा नया हैमिल्टनियन मूल हैमिल्टनियन से संबंधित है $S$, ऐसा है कि $$H'=SHS^{-1}=SHS^\dagger$$, तब से $S$ एकात्मक है। यदि हैमिल्टनियन परिवर्तन ऑपरेशन के तहत अपरिवर्तित रहता है $S$, अपने पास
 * $$SHS^\dagger=H$$
 * $$SHS^{-1}=H$$
 * $$SH=HS$$
 * $$[S,H]=0$$

अब अगर $$|\alpha\rangle $$ एक ऊर्जा स्वदेशी है,
 * $$H|\alpha\rangle=E|\alpha\rangle$$

जहाँ E संगत ऊर्जा eigenvalue है।
 * $$HS|\alpha\rangle=SH|\alpha\rangle=SE|\alpha\rangle=ES|\alpha\rangle$$

जिसका अर्थ है कि $$S|\alpha\rangle$$ एक ही ईजेनवेल्यू के साथ एक एनर्जी ईजेनस्टेट भी है $E$. यदि दोनों राज्य $$|\alpha\rangle$$ और $$S|\alpha\rangle$$ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं (यानी शारीरिक रूप से अलग), इसलिए वे पतित हैं।

जिन मामलों में $S$ एक सतत पैरामीटर द्वारा विशेषता है $$\epsilon$$, प्रपत्र के सभी राज्यों $$S(\epsilon)|\alpha\rangle$$ एक ही ऊर्जा eigenvalue है।

हैमिल्टनियन
का सममिति समूह

क्वांटम सिस्टम के हैमिल्टनियन के साथ यात्रा करने वाले सभी ऑपरेटरों के सेट को हैमिल्टन के समरूपता समूह बनाने के लिए कहा जाता है। इस समूह के जनरेटर (समूहों) के commutators समूह के बीजगणित का निर्धारण करते हैं। समरूपता समूह का एक एन-आयामी प्रतिनिधित्व समरूपता ऑपरेटरों की गुणा तालिका को संरक्षित करता है। एक विशेष समरूपता समूह के साथ हैमिल्टनियन की संभावित अध:पतन समूह के अलघुकरणीय अभ्यावेदन के आयामों द्वारा दिए गए हैं। एन-गुना पतित ईजेनवेल्यू के अनुरूप ईजेनफंक्शन हैमिल्टनियन के समरूपता समूह के एन-डायमेंशनल इर्रेड्यूबल प्रतिनिधित्व के लिए एक आधार बनाते हैं।

अधोगति के प्रकार
एक क्वांटम प्रणाली में विकृति प्रकृति में व्यवस्थित या आकस्मिक हो सकती है।

व्यवस्थित या आवश्यक अध: पतन
इसे एक ज्यामितीय या सामान्य अध: पतन भी कहा जाता है और विचाराधीन प्रणाली में किसी प्रकार की समरूपता की उपस्थिति के कारण उत्पन्न होता है, अर्थात एक निश्चित ऑपरेशन के तहत हैमिल्टन का आक्रमण, जैसा कि ऊपर वर्णित है। एक सामान्य अध: पतन से प्राप्त प्रतिनिधित्व अप्रासंगिक है और संबंधित ईजेनफंक्शन इस प्रतिनिधित्व के लिए एक आधार बनाते हैं।

आकस्मिक अध: पतन
यह प्रणाली की कुछ विशेष विशेषताओं या विचाराधीन क्षमता के कार्यात्मक रूप से उत्पन्न होने वाली विकृति का एक प्रकार है, और संभवतः प्रणाली में एक छिपी हुई गतिशील समरूपता से संबंधित है। इसका परिणाम संरक्षित मात्राओं में भी होता है, जिन्हें पहचानना अक्सर आसान नहीं होता है। असतत ऊर्जा स्पेक्ट्रम में आकस्मिक समरूपता इन अतिरिक्त अध: पतन की ओर ले जाती है। एक आकस्मिक अध: पतन इस तथ्य के कारण हो सकता है कि हैमिल्टनियन का समूह पूर्ण नहीं है। ये पतन शास्त्रीय भौतिकी में बाध्य कक्षाओं के अस्तित्व से जुड़े हैं।

उदाहरण: कूलम्ब और हार्मोनिक ऑसिलेटर पोटेंशिअल
एक केंद्रीय में एक कण के लिए $1/r$ संभावित, लाप्लास-रनगे-लेन्ज़ वेक्टर एक संरक्षित मात्रा है जो घूर्णी आक्रमण के कारण कोणीय गति के संरक्षण के अलावा एक आकस्मिक अध: पतन से उत्पन्न होती है।

के प्रभाव में एक शंकु पर गतिमान कण के लिए $1/r$ और $r^{2}$ संभावित, शंकु की नोक पर केंद्रित, आकस्मिक समरूपता के अनुरूप संरक्षित मात्रा कोणीय गति वेक्टर के एक घटक के अलावा रनगे-लेनज़ वेक्टर के बराबर के दो घटक होंगे। ये मात्राएँ दोनों विभवों के लिए SU(2) समरूपता उत्पन्न करती हैं।

उदाहरण: एक स्थिर चुंबकीय क्षेत्र में कण
एक स्थिर चुंबकीय क्षेत्र के प्रभाव में गतिमान एक कण, एक वृत्ताकार कक्षा पर साइक्लोट्रॉन गति से गुजर रहा है, आकस्मिक समरूपता का एक और महत्वपूर्ण उदाहरण है। इस मामले में समरूपता गुणक लांडौ स्तर हैं जो असीम रूप से पतित हैं।

हाइड्रोजन परमाणु
परमाणु भौतिकी में, एक हाइड्रोजन परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन की बाध्य अवस्थाएँ हमें अध: पतन के उपयोगी उदाहरण दिखाती हैं। इस मामले में, हैमिल्टनियन कुल कोणीय गति ऑपरेटर के साथ यात्रा करता है $$\hat{L^2}$$, z-दिशा के साथ इसका घटक, $$\hat{L_z}$$, कुल स्पिन (भौतिकी) $$\hat{S^2}$$ और इसका z-घटक $$\hat{S_z}$$. इन ऑपरेटरों के अनुरूप क्वांटम संख्याएं हैं $$l$$, $$m_l$$, $$s$$ (हमेशा एक इलेक्ट्रॉन के लिए 1/2) और $$m_s$$ क्रमश।

हाइड्रोजन परमाणु में ऊर्जा का स्तर केवल मुख्य क्वांटम संख्या पर निर्भर करता है $n$. किसी प्रदत्त के लिए $n$, सभी राज्यों के अनुरूप $$l=0, \ldots, n-1$$ समान ऊर्जा रखते हैं और पतित होते हैं। इसी प्रकार के दिए गए मानों के लिए $n$ और $l$, द $$(2l+1)$$, के साथ बताता है $$m_l = -l, \ldots, l$$ पतित हैं। ऊर्जा स्तर ई की अध: पतन की डिग्रीn इसलिए :$$\sum_{l \mathop =0}^{n-1}(2l+1) = n^2$$, जो दुगुनी हो जाती है यदि स्पिन अध: पतन शामिल हो।

के संबंध में पतन $$m_l$$ एक आवश्यक अध: पतन है जो किसी भी केंद्रीय क्षमता के लिए मौजूद है, और एक पसंदीदा स्थानिक दिशा के अभाव से उत्पन्न होता है। के संबंध में पतन $$l$$ अक्सर एक आकस्मिक अपक्षय के रूप में वर्णित किया जाता है, लेकिन इसे श्रोडिंगर समीकरण की विशेष समरूपता के संदर्भ में समझाया जा सकता है जो केवल हाइड्रोजन परमाणु के लिए मान्य होते हैं जिसमें कूलम्ब के नियम द्वारा संभावित ऊर्जा दी जाती है।

आइसोट्रोपिक त्रि-आयामी हार्मोनिक ऑसीलेटर
यह द्रव्यमान एम का एक स्पिन रहित कण है जो त्रि-आयामी अंतरिक्ष में घूम रहा है, केंद्रीय बल के अधीन जिसका पूर्ण मूल्य बल के केंद्र से कण की दूरी के समानुपाती होता है।
 * $$F=-kr$$

इसे क्षमता के बाद से आइसोट्रोपिक कहा जाता है $$V(r)$$ इस पर कार्य करना घूर्णी रूप से अपरिवर्तनीय है, अर्थात:$$V(r) = 1/2 \left(m\omega^2r^2\right)$$ कहाँ $$\omega$$ द्वारा दी गई कोणीय आवृत्ति है $\sqrt{k/m}$.

चूंकि इस तरह के एक कण का राज्य स्थान अलग-अलग एक-आयामी तरंग कार्यों से जुड़े राज्य रिक्त स्थान का टेन्सर उत्पाद है, इस तरह की प्रणाली के लिए समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण द्वारा दिया जाता है-
 * $$-\frac{\hbar^2}{2m} \left(\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}\right) +\frac{1}{2}{m\omega^2(x^2+y^2+z^2)\psi}=E\psi$$

तो, ऊर्जा eigenvalues ​​​​हैं $$E_{n_x,n_y,n_z}=(n_x+n_y+n_z+3/2) \hbar\omega$$ या, $$E_n=(n+3/2)\hbar\omega$$ जहाँ n एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है। तो, ऊर्जा के स्तर पतित हैं और अध: पतन की डिग्री विभिन्न सेटों की संख्या के बराबर है $$\{n_x, n_y, n_z\}$$ संतुष्टि देने वाला
 * $$n_x+n_y+n_z=n$$

की अधोगति $$n$$-वें राज्य के वितरण पर विचार करके पाया जा सकता है $$n$$ क्वांटा पार $$n_x$$, $$n_y$$ और $$n_z$$. 0 में होना $$n_x$$ देता है $$n + 1$$ भर में वितरण की संभावनाएं $$n_y$$ और $$n_z$$. 1 क्वांटा होना $$n_x$$ देता है $$n$$ संभावनाएं भर $$n_y$$ और $$n_z$$ और इसी तरह। यह के सामान्य परिणाम की ओर जाता है $$n - n_x + 1$$ और कुल मिलाकर $$n$$ की अधोगति की ओर ले जाता है $$n$$-वें राज्य,
 * $$\sum_{n_x=0}^n (n-n_x+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$$

जैसा कि दिखाया गया है, केवल जमीनी राज्य जहां $$n = 0$$ गैर-पतित है (यानी, की गिरावट है $$1$$).

पतन दूर करना
एक क्वांटम यांत्रिक प्रणाली में गिरावट को हटाया जा सकता है यदि अंतर्निहित समरूपता बाहरी गड़बड़ी सिद्धांत (क्वांटम यांत्रिकी) द्वारा तोड़ा जाता है। यह पतित ऊर्जा स्तरों में विभाजन का कारण बनता है। यह अनिवार्य रूप से मूल अलघुकरणीय अभ्यावेदन का एक विखंडन है जो विकृत प्रणाली के निम्न-आयामी ऐसे निरूपणों में होता है।

गणितीय रूप से, एक छोटी गड़बड़ी क्षमता के आवेदन के कारण विभाजन की गणना समय-स्वतंत्र पतित गड़बड़ी सिद्धांत का उपयोग करके की जा सकती है। यह एक सन्निकटन योजना है जिसे हेमिल्टनियन एच के लिए समाधान दिए जाने पर, एक अनुप्रयुक्त गड़बड़ी के साथ एक क्वांटम प्रणाली के हैमिल्टनियन एच के लिए ईजेनवेल्यू समीकरण के समाधान को खोजने के लिए लागू किया जा सकता है।0 असंतुलित प्रणाली के लिए। इसमें गड़बड़ी श्रृंखला में हैमिल्टनियन एच के eigenvalues ​​​​और eigenkets का विस्तार करना शामिल है। किसी दिए गए ऊर्जा eigenvalue के साथ degenerate eigenstates एक वेक्टर उप-स्थान बनाते हैं, लेकिन इस स्थान के eigenstates का हर आधार गड़बड़ी सिद्धांत के लिए एक अच्छा प्रारंभिक बिंदु नहीं है, क्योंकि आम तौर पर उनके पास परेशान प्रणाली के कोई eigenstates नहीं होंगे। चुनने का सही आधार वह है जो पतित उप-स्थान के भीतर गड़बड़ी हैमिल्टनियन को विकर्ण करता है।


 * {| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"

!Lifting of degeneracy by first-order degenerate perturbation theory.
 * Consider an unperturbed Hamiltonian $$\hat{H_0}$$ and perturbation $$\hat{V}$$, so that the perturbed Hamiltonian
 * $$\hat{H}=\hat{H_0}+\hat{V}$$
 * $$\hat{H}=\hat{H_0}+\hat{V}$$

The perturbed eigenstate, for no degeneracy, is given by-
 * $$|\psi_0\rangle=|n_0\rangle+\sum_{k\neq0}V_{k0}/(E_0-E_k)|n_k\rangle$$

The perturbed energy eigenket as well as higher order energy shifts diverge when $$E_0=E_k$$, i.e., in the presence of degeneracy in energy levels. Assuming $$\hat{H_0}$$ possesses N degenerate eigenstates $$|m\rangle$$ with the same energy eigenvalue E, and also in general some non-degenerate eigenstates. A perturbed eigenstate $$|\psi_j\rangle$$ can be written as a linear expansion in the unperturbed degenerate eigenstates as-
 * $$ |\psi_j\rangle=\sum_{i}|m_i\rangle\langle m_i|\psi_j\rangle=\sum_{i}c_{ji}|m_i\rangle$$
 * $$[\hat{H_0}+\hat{V}]\psi_j\rangle=[\hat{H_0}+\hat{V}]\sum_{i}c_{ji}|m_i\rangle=E_j\sum_{i}c_{ji}|m_i\rangle$$

where $$E_j$$ refer to the perturbed energy eigenvalues. Since $$E$$ is a degenerate eigenvalue of $$\hat{H_0}$$,
 * $$\sum_{i}c_{ji}\hat{V}|m_i\rangle=(E_j-E)\sum_{i}c_{ji}|m_i\rangle=\Delta E_j\sum_{i}c_{ji}|m_i\rangle$$

Premultiplying by another unperturbed degenerate eigenket $$\langle m_k|$$ gives-
 * $$\sum_{i}c_{ji}[\langle m_k|\hat{V}|m_i\rangle-\delta_{ik}(E_j-E)]=0$$

This is an eigenvalue problem, and writing $$V_{ik}=\langle m_i|\hat{V}|m_k\rangle$$, we have-
 * $$\begin{vmatrix} V_{11}-\Delta E_j & V_{12} & \dots & V_{1N} \\

V_{21} & V_{22}-\Delta E_j & \dots & V_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ V_{N1} & V_{N2} & \dots & V_{NN}-\Delta E_j \end{vmatrix}.\,$$

The N eigenvalues obtained by solving this equation give the shifts in the degenerate energy level due to the applied perturbation, while the eigenvectors give the perturbed states in the unperturbed degenerate basis $$|m\rangle$$. To choose the good eigenstates from the beginning, it is useful to find an operator $$\hat{V}$$ which commutes with the original Hamiltonian $$\hat{H_0}$$ and has simultaneous eigenstates with it.
 * }

क्षोभ द्वारा अपक्षय को दूर करने के भौतिक उदाहरण
भौतिक स्थितियों के कुछ महत्वपूर्ण उदाहरण जहां एक क्वांटम प्रणाली के अपक्षयी ऊर्जा स्तर एक बाहरी गड़बड़ी के अनुप्रयोग द्वारा विभाजित होते हैं, नीचे दिए गए हैं।

दो-स्तरीय प्रणालियों में समरूपता टूटना
एक दो-स्तरीय प्रणाली अनिवार्य रूप से एक भौतिक प्रणाली को संदर्भित करती है जिसमें दो राज्य होते हैं जिनकी ऊर्जा एक साथ होती है और सिस्टम के अन्य राज्यों से बहुत अलग होती है। ऐसी प्रणाली के लिए सभी गणनाएं राज्य अंतरिक्ष के द्वि-आयामी उप-स्थल टोपोलॉजी पर की जाती हैं।

यदि किसी भौतिक प्रणाली की जमीनी स्थिति दो गुना पतित है, तो दो संबंधित राज्यों के बीच कोई भी युग्मन प्रणाली की जमीनी स्थिति की ऊर्जा को कम करता है, और इसे और अधिक स्थिर बनाता है।

अगर $$E_1$$ और $$E_2$$ सिस्टम के ऊर्जा स्तर हैं, जैसे कि $$E_1=E_2=E$$, और गड़बड़ी $$W$$ निम्नलिखित 2×2 मैट्रिक्स के रूप में द्वि-आयामी उप-स्थान में दर्शाया गया है


 * $$\mathbf{W}=\begin{bmatrix}

0 & W_{12} \\ W_{12}^* & 0 \end{bmatrix}. $$ तब विक्षुब्ध ऊर्जाएं हैं
 * $$E_{+}=E+|W_{12}|$$
 * $$E_{-}=E-|W_{12}|$$

दो-राज्य प्रणालियों के उदाहरण जिनमें सिस्टम की अंतर्निहित संपत्ति के कारण आंतरिक संपर्क से हैमिल्टनियन में ऑफ-डायगोनल शर्तों की उपस्थिति से ऊर्जा राज्यों में गिरावट टूट जाती है:
 * बेंजीन, पड़ोसी कार्बन परमाणुओं के बीच तीन दोहरे बंधनों के दो संभावित स्वभावों के साथ।
 * अमोनिया अणु, जहां नाइट्रोजन परमाणु तीन हाइड्रोजन परमाणुओं द्वारा परिभाषित विमान के ऊपर या नीचे हो सकता है।
 * अणु, जिसमें इलेक्ट्रॉन को दो नाभिकों में से किसी एक के आसपास स्थानीयकृत किया जा सकता है।

ललित-संरचना विभाजन
आपेक्षिकीय गति और स्पिन-कक्षा युग्मन के कारण हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन के बीच कूलम्ब अन्योन्यक्रिया में सुधार एक एकल प्रमुख क्वांटम संख्या n के संगत l के विभिन्न मानों के लिए ऊर्जा स्तरों में पतन को तोड़ने में परिणाम देता है।

आपेक्षिक सुधार के कारण गड़बड़ी हैमिल्टन द्वारा दिया गया है


 * $$H_r=-p^4/8m^3c^2$$

कहाँ $$p$$ संवेग संचालक है और $$m$$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है। में प्रथम-क्रम सापेक्ष ऊर्जा सुधार $$|nlm\rangle$$ द्वारा आधार दिया गया है
 * $$E_r=(-1/8m^3c^2)\langle nlm|p^4|nlm \rangle$$

अब $$p^4=4m^2(H^0+e^2/r)^2$$
 * $$\begin{aligned}

E_r&=(-1/2mc^2)[E_n^2+2E_ne^2\langle 1/r \rangle + e^4\langle 1/r^2 \rangle]\\ &=(-1/2)mc^2\alpha^4[-3/(4n^4)+1/{n^3(l+1/2)}] \end{aligned}$$ कहाँ $$\alpha$$ ठीक संरचना स्थिर है।

स्पिन-ऑर्बिट इंटरेक्शन, प्रोटॉन के साथ सापेक्ष गति के कारण इसके द्वारा अनुभव किए गए चुंबकीय क्षेत्र के साथ इलेक्ट्रॉन के आंतरिक चुंबकीय क्षण के बीच की बातचीत को संदर्भित करता है। इंटरैक्शन हैमिल्टनियन है
 * $$H_{so}=-(e/mc){\vec{m}\cdot\vec{L}/r^3}=[(e^2/(m^2c^2r^3))\vec{S}\cdot\vec{L}] $$

जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है


 * $$H_{so}=(e^2/(4m^2c^2r^3))[\vec{J}^2-\vec{L}^2-\vec{S}^2]$$

में पहला क्रम ऊर्जा सुधार $$|j,m,l,1/2\rangle$$ आधार जहां हैमिल्टनियन विकर्ण है, द्वारा दिया गया है
 * $$E_{so}=(\hbar^2e^2)/(4m^2c^2)[j(j+1)-l(l+1)-3/4]/((a_0)^3n^3(l(l+1/2)(l+1))]$$

कहाँ $$a_0$$ बोह्र त्रिज्या है। टोटल फाइन-स्ट्रक्चर एनर्जी शिफ्ट द्वारा दिया गया है


 * $$E_{fs}=-(mc^2\alpha^4/(2n^3))[1/(j+1/2)-3/4n]$$

के लिए $$j=l\pm1/2$$.

ज़ीमान प्रभाव
चुंबकीय क्षण की परस्पर क्रिया के कारण बाहरी चुंबकीय क्षेत्र में रखे जाने पर परमाणु के ऊर्जा स्तरों का विभाजन $$\vec{m}$$ लागू क्षेत्र के साथ परमाणु को Zeeman प्रभाव के रूप में जाना जाता है।

कक्षीय और स्पिन कोणीय संवेग को ध्यान में रखते हुए, $$\vec{L}$$ और $$\vec{S}$$, क्रमशः, हाइड्रोजन परमाणु में एक एकल इलेक्ट्रॉन की गड़बड़ी हैमिल्टन द्वारा दी गई है
 * $$\hat{V}=-(\vec{m_l}+\vec{m_s})\cdot\vec{B}$$

कहाँ $$m_l=-e \vec{L}/2m$$ और $$m_s=-e \vec{S}/m$$. इस प्रकार,
 * $$\hat{V}=e (\vec{L}+2\vec{S})\cdot\vec{B}/2m$$

अब, कमजोर क्षेत्र Zeeman प्रभाव के मामले में, जब आंतरिक क्षेत्र की तुलना में लागू क्षेत्र कमजोर होता है, तो स्पिन-ऑर्बिट युग्मन हावी होता है और $$\vec{L}$$ और $$\vec{S}$$ अलग से संरक्षित नहीं हैं। अच्छी क्वांटम संख्याएँ n, l, j और m हैंj, और इस आधार पर, पहला आदेश ऊर्जा सुधार द्वारा दिखाया जा सकता है
 * $$E_z=-\mu_B g_j B m_j$$, कहाँ

$$\mu_B={e\hbar}/2m$$ बोह्र मैग्नेटो कहा जाता है। इस प्रकार, के मूल्य पर निर्भर करता है $$m_j$$, प्रत्येक पतित ऊर्जा स्तर कई स्तरों में विभाजित हो जाता है।

मजबूत-क्षेत्र Zeeman प्रभाव के मामले में, जब लागू क्षेत्र काफी मजबूत होता है, ताकि कक्षीय और स्पिन कोणीय गति कम हो जाए, तो अच्छी क्वांटम संख्याएं अब n, l, m हैंl, और एमs. इधर, एलzऔर एसzसंरक्षित हैं, इसलिए गड़बड़ी हैमिल्टन द्वारा दी गई है-
 * $$\hat{V}=eB(L_z+2S_z)/2m$$

चुंबकीय क्षेत्र को z- दिशा के साथ मानते हुए। इसलिए,
 * $$\hat{V}=eB(m_l+2m_s)/2m$$

एम के प्रत्येक मूल्य के लिएl, m के दो संभावित मान हैंs, $$\pm1/2$$.

निरा प्रभाव
किसी बाहरी विद्युत क्षेत्र के अधीन होने पर किसी परमाणु या अणु के ऊर्जा स्तरों का विभाजन स्टार्क प्रभाव के रूप में जाना जाता है।

हाइड्रोजन परमाणु के लिए, गड़बड़ी हैमिल्टनियन है


 * $$\hat{H}_{s}=-|e|Ez$$

यदि विद्युत क्षेत्र को z-दिशा के साथ चुना जाता है।

लागू क्षेत्र के कारण ऊर्जा सुधार की अपेक्षा मूल्य द्वारा दिए गए हैं $$\hat{H}_{s}$$ में $$|nlm\rangle$$ आधार। यह चयन नियमों द्वारा दिखाया जा सकता है कि $$\langle nlm_l|z|n_1l_1m_{l1}\rangle\ne0$$ कब $$l=l_1\pm1$$ और $$m_l=m_{l1}$$.

पहले क्रम में चयन नियमों का पालन करने वाले कुछ राज्यों के लिए ही पतन को हटा दिया जाता है। पतित राज्यों के लिए ऊर्जा स्तरों में प्रथम-क्रम विभाजन $$|2,0,0\rangle$$ और $$|2,1,0\rangle$$, दोनों n = 2 के अनुरूप, द्वारा दिया गया है $$\Delta E_{2,1,m_l}=\pm|e|(\hbar^2)/(m_e e^2)E$$.

यह भी देखें

 * राज्यों का घनत्व

अग्रिम पठन

 * Quantum degeneracy in two dimensional systems, Debnarayan Jana, Dept. of Physics, University College of Science and Technology
 * Quantum degeneracy in two dimensional systems, Debnarayan Jana, Dept. of Physics, University College of Science and Technology
 * Quantum degeneracy in two dimensional systems, Debnarayan Jana, Dept. of Physics, University College of Science and Technology
 * Quantum degeneracy in two dimensional systems, Debnarayan Jana, Dept. of Physics, University College of Science and Technology
 * Quantum degeneracy in two dimensional systems, Debnarayan Jana, Dept. of Physics, University College of Science and Technology
 * Quantum degeneracy in two dimensional systems, Debnarayan Jana, Dept. of Physics, University College of Science and Technology