मध्यवर्ती तर्क

गणितीय तर्क में, एक अधीक्षणवादी तर्क एक प्रस्तावात्मक तर्क है जो अंतर्ज्ञानवादी तर्क का विस्तार करता है। शास्त्रीय तर्क सबसे मजबूत सुसंगत अधीक्षणवादी तर्क है; इस प्रकार, सुसंगत अधीक्षणवादी तर्कों को मध्यवर्ती तर्कशास्त्र कहा जाता है (तर्क अंतर्ज्ञानवादी तर्क और शास्त्रीय तर्क के बीच मध्यवर्ती हैं)।

परिभाषा
एक सुपरिंट्यूशनिस्टिक लॉजिक एक गणनीय सेट में प्रस्तावित सूत्रों का एक सेट एल है चर पीi निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करना:
 * 1. सभी अंतर्ज्ञानवादी तर्क#स्वयंसिद्धीकरण एल के हैं;
 * 2. यदि F और G ऐसे सूत्र हैं कि F और F → G दोनों L से संबंधित हैं, तो G भी L से संबंधित है (मूड सेट करना के तहत बंद);
 * 3. अगर एफ (पी1, पी2, ..., पीn) एल, और जी का एक सूत्र है1, जी2, ..., जीn कोई सूत्र हैं, तो F(G1, जी2, ..., जीn) एल (प्रतिस्थापन के तहत बंद) से संबंधित है।

ऐसा तर्क मध्यवर्ती है यदि आगे भी
 * 4. L सभी सूत्रों का समुच्चय नहीं है।

गुण और उदाहरण
विभिन्न मध्यवर्ती लॉजिक्स की निरंतरता की एक प्रमुखता मौजूद है। विशिष्ट मध्यवर्ती लॉजिक्स अक्सर एक या एक से अधिक स्वयंसिद्धों को अंतर्ज्ञानवादी तर्क में जोड़कर या एक शब्दार्थ विवरण द्वारा निर्मित किया जाता है। मध्यवर्ती लॉजिक्स के उदाहरणों में शामिल हैं: सुपरिंट्यूशनिस्टिक या इंटरमीडिएट लॉजिक्स नीचे के तत्व के रूप में इंट्यूशनिस्टिक लॉजिक के साथ एक पूर्ण जाली बनाते हैं और शीर्ष के रूप में असंगत लॉजिक (सुपरिंट्यूशनिस्टिक लॉजिक्स के मामले में) या क्लासिकल लॉजिक (इंटरमीडिएट लॉजिक्स के मामले में)। सुपरिंट्यूशनिस्टिक लॉजिक्स की जाली में शास्त्रीय तर्क एकमात्र परमाणु (आदेश सिद्धांत) है; इंटरमीडिएट लॉजिक्स की जाली में भी एक अनोखा कोटोम होता है, जिसका नाम एसएमएल है।
 * अंतर्ज्ञानवादी तर्क (आईपीसी, इंट, आईएल, एच)
 * शास्त्रीय तर्क (सीपीसी, सीएल, सीएल): IPC + p ∨ ¬p = IPC + ¬¬p → p = IPC + ((p → q) → p) → p
 * कमजोर बहिष्कृत मध्य का तर्क (केसी, वी. ए. जानकोव का तर्क, डी मॉर्गन के नियम तर्क ): IPC + ¬¬p ∨ ¬p
 * कर्ट गोडेल | गोडेल-माइकल डमेट लॉजिक (एलसी, जी): IPC + (p → q) ∨ (q → p)
 * जॉर्ज क्रेसेल-हिलेरी पुटनाम लॉजिक (केपी): IPC + (¬p → (q ∨ r)) → ((¬p → q) ∨ (¬p → r))
 * यूरी टी. मेदवेदेव की परिमित समस्याओं का तर्क (एलएम, एमएल): फॉर्म के सभी क्रिप्के शब्दार्थों के तर्क के रूप में शब्दार्थ को परिभाषित किया गया है $$\langle\mathcal P(X)\setminus\{X\},\subseteq\rangle$$ परिमित सेट एक्स के लिए (बूलियन हाइपरक्यूब्स बिना शीर्ष), रिकर्सिवली स्वयंसिद्ध होने के लिए नहीं जाना जाता है
 * वास्तविकता तर्क
 * दाना स्कॉट का तर्क (एसएल): IPC + ((¬¬p → p) → (p ∨ ¬p)) → (¬¬p ∨ ¬p)
 * स्मेटानिच का तर्क (SmL): IPC + (¬q → p) → (((p → q) → p) → p)
 * बाउंडेड कार्डिनैलिटी के तर्क (ई.पूn): $$\textstyle\mathbf{IPC}+\bigvee_{i=0}^n\bigl(\bigwedge_{j<i}p_j\to p_i\bigr)$$
 * बाउंडेड विड्थ के लॉजिक, जिसे बाउंडेड एंटी-चेन के लॉजिक के रूप में भी जाना जाता है (BWn, बी ० एn): $$\textstyle\mathbf{IPC}+\bigvee_{i=0}^n\bigl(\bigwedge_{j\ne i}p_j\to p_i\bigr)$$
 * बाउंडेड डेप्थ का तर्क (BDn): IPC + pn ∨ (pn → (pn−1 ∨ (pn−1 → ... → (p2 ∨ (p2 → (p1 ∨ ¬p1)))...)))
 * बाउंडेड टॉप विड्थ का लॉजिक (BTWn): $$\textstyle\mathbf{IPC}+\bigvee_{i=0}^n\bigl(\bigwedge_{j<i}p_j\to\neg\neg p_i\bigr)$$
 * बाउंडेड ब्रांचिंग के तर्क (टीn, बीबीn): $$\textstyle\mathbf{IPC}+\bigwedge_{i=0}^n\bigl(\bigl(p_i\to\bigvee_{j\ne i}p_j\bigr)\to\bigvee_{j\ne i}p_j\bigr)\to\bigvee_{i=0}^np_i$$
 * गोडेल एन-वैल्यू लॉजिक्स ('जी'n): एलसी + बीसीn−1 = एलसी + बीडीn−1

इंटरमीडिएट लॉजिक्स का अध्ययन करने के उपकरण इंट्यूशनिस्टिक लॉजिक के लिए उपयोग किए जाने वाले उपकरणों के समान हैं, जैसे क्रिपके सिमेंटिक्स। उदाहरण के लिए, गोडेल-डमेट तर्क में कुल ऑर्डर के संदर्भ में एक सरल शब्दार्थ विशेषता है।

शब्दार्थ
एक Heyting बीजगणित H को देखते हुए, H में मान्य प्रस्ताव सूत्रों का सेट एक मध्यवर्ती तर्क है। इसके विपरीत, एक मध्यवर्ती तर्क दिए जाने पर इसके लिंडेनबाउम-टार्स्की बीजगणित का निर्माण संभव है, जो तब हेटिंग बीजगणित है।

एक अंतर्ज्ञानवादी क्रिपके फ्रेम एफ एक आंशिक रूप से आदेशित सेट है, और एक क्रिप्के मॉडल एम एक क्रिप्के फ्रेम है जिसका मूल्यांकन इस प्रकार है $$\{x\mid M,x\Vdash p\}$$ एफ का ऊपरी सेट है। एफ में मान्य प्रस्ताव सूत्रों का सेट एक मध्यवर्ती तर्क है। एक मध्यवर्ती तर्क एल को देखते हुए क्रिप्के मॉडल एम का निर्माण संभव है जैसे कि एम का तर्क एल है (इस निर्माण को विहित मॉडल कहा जाता है)। इस संपत्ति के साथ एक क्रिपके फ्रेम मौजूद नहीं हो सकता है, लेकिन एक सामान्य फ्रेम हमेशा होता है।

मोडल लॉजिक्स से संबंध
बता दें कि A एक प्रस्तावक सूत्र है। ए का गोडेल-अल्फ्रेड टार्स्की अनुवाद पुनरावर्ती रूप से निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

यदि एम 'एस 4' का विस्तार करने वाला एक मॉडल तर्क है तो {{nowrap begin}ρM = {ए | टी (ए) ∈ एम} एक सुपरिंट्यूशनिस्टिक लॉजिक है, और M को ρM का एक मोडल साथी कहा जाता है। विशेष रूप से:
 * $$ T(p_n) = \Box p_n $$
 * $$ T(\neg A) = \Box \neg T(A) $$
 * $$ T(A \land B) = T(A) \land T(B) $$
 * $$ T(A \vee B) = T(A) \vee T(B) $$
 * $$ T(A \to B) = \Box (T(A) \to T(B)) $$


 * 'आईपीसी' = ρ'S4'
 * 'केसी' = ρ'S4.2'
 * 'LC' = ρ'S4.3'
 * 'सीपीसी' = ρ'S5'

प्रत्येक मध्यवर्ती लॉजिक L के लिए कई मोडल लॉजिक M हैं जैसे कि L = ρM।

यह भी देखें

 * तर्क प्रणालियों की सूची

संदर्भ

 * Toshio Umezawa. On logics intermediate between intuitionistic and classical predicate logic. Journal of Symbolic Logic, 24(2):141–153, June 1959.
 * Alexander Chagrov, Michael Zakharyaschev. Modal Logic. Oxford University Press, 1997.