स्थिरोष्म अपरिवर्तनीय

एक भौतिक प्रणाली की एक विशेषता, जैसे कि गैस की एन्ट्रापी, जो परिवर्तन धीरे-धीरे होने पर लगभग स्थिर रहती है, एक रुद्धोष्म निश्चर कहलाती है। इसका अर्थ यह है कि यदि एक प्रणाली दो अंत बिंदुओं के बीच भिन्न होती है, जैसे अंत बिंदुओं के बीच भिन्नता का समय अनंत तक बढ़ जाता है, तो दो अंत बिंदुओं के बीच रुद्धोष्म निश्चर की भिन्नता शून्य हो जाती है।

ऊष्मप्रवैगिकी में, एक रुद्धोष्म प्रक्रिया एक परिवर्तन है जो गर्मी के प्रवाह के बिना होता है; यह धीमा या तेज हो सकता है। एक प्रतिवर्ती रुद्धोष्म प्रक्रिया एक रुद्धोष्म प्रक्रिया है जो संतुलन तक पहुंचने के समय की तुलना में धीरे-धीरे होती है। प्रतिवर्ती रूद्धोष्म प्रक्रिया में, प्रणाली सभी चरणों में संतुलन में है और एन्ट्रापी स्थिर है। 20 वीं शताब्दी के पहले छमाही में क्वांटम भौतिकी में काम करने वाले वैज्ञानिकों ने प्रतिवर्ती रूद्धोष्म प्रक्रियाओं के लिए रुद्धोष्म शब्द का इस्तेमाल किया और बाद में किसी भी धीरे-धीरे बदलती परिस्थितियों के लिए जो सिस्टम को इसके संरूपण को अनुकूलित करने की अनुमति देता है। क्वांटम यांत्रिक परिभाषा एक अर्धस्थैतिक प्रक्रिया की ऊष्मप्रवैगिकी अवधारणा के करीब है, और ऊष्मप्रवैगिकी में रुद्धोष्म प्रक्रियाओं के साथ कोई सीधा संबंध नहीं है।

यांत्रिकी में, रुद्धोष्म परिवर्तन [हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)] का एक धीमा विरूपण है, जहाँ ऊर्जा के परिवर्तन की आंशिक दर कक्षीय आवृत्ति की तुलना में बहुत धीमी है। चरण स्थान में विभिन्न गतियों से घिरा क्षेत्र रुद्धोष्म निश्चर है।

क्वांटम यांत्रिकी में, एक रूद्धोष्म परिवर्तन वह होता है जो ऊर्जा ईजेनस्टेट्स के बीच आवृत्ति में अंतर की तुलना में बहुत धीमी गति से होता है। इस स्थिति में, सिस्टम की ऊर्जा अवस्थाएं संक्रमण नहीं करती हैं, जिससे कि क्वांटम संख्या एक रूद्धोष्म अपरिवर्तनीय है।

पुराने क्वांटम सिद्धांत को एक प्रणाली की क्वांटम संख्या को उसके पारम्परिक रुद्धोष्म निश्चर के साथ जोड़कर तैयार किया गया था। इसने बोह्र-सोमरफेल्ड परिमाणीकरण नियम के रूप को निर्धारित किया: क्वांटम संख्या पारम्परिक कक्षा के चरण स्थान में क्षेत्र है।

ऊष्मप्रवैगिकी
ऊष्मप्रवैगिकी में, रूद्धोष्म परिवर्तन वे हैं जो एन्ट्रापी में वृद्धि नहीं करते हैं। वे ब्याज की प्रणाली के अन्य विशिष्ट समयमानों की तुलना में धीरे-धीरे होते हैं, और केवल एक ही तापमान पर वस्तुओं के बीच ऊष्मा प्रवाह की अनुमति दें। पृथक प्रणालियों के लिए, एक रूद्धोष्म परिवर्तन गर्मी को अंदर या बाहर प्रवाहित करने की अनुमति नहीं देता है।

एक आदर्श गैस का रुद्धोष्म प्रसार
यदि एक आदर्श गैस वाले पात्र को तत्काल विस्तारित किया जाता है, तो गैस का तापमान बिल्कुल नहीं बदलता है, क्योंकि कोई भी अणु धीमा नहीं होता है। अणु अपनी गतिज ऊर्जा बनाए रखते हैं, लेकिन अब गैस एक बड़ी मात्रा में रहती है। हालांकि, यदि पात्र धीरे-धीरे फैलता है, ताकि आदर्श गैस दबाव नियम किसी भी समय लागू हो, तो गैस अणु उस दर पर ऊर्जा खो देते हैं जिस दर पर वे विस्तारित दीवार पर काम करते हैं। वे जो काम करते हैं वह दीवार के बाहरी विस्थापन के दबाव के क्षेत्र का दबाव होता है, जो गैस की मात्रा में दबाव का दबाव होता है:

dW = P dV = {N k_B T \over V} dV $$ यदि कोई ऊष्मा गैस में प्रवेश नहीं करती है, तो गैस के अणुओं में ऊर्जा समान मात्रा में घट रही है। परिभाषा के अनुसार, एक गैस तब आदर्श होती है जब उसका तापमान प्रति कण आंतरिक ऊर्जा का केवल एक कार्य होता है, मात्रा नहीं। इसलिए

dT = {1 \over N C_v} dE $$ जहाँ $$C_{v}$$ स्थिर आयतन पर विशिष्ट ऊष्मा है। जब ऊर्जा में परिवर्तन पूरी तरह से दीवार पर किए गए कार्य के कारण होता है, तो तापमान में परिवर्तन निम्न द्वारा दिया जाता है:

N C_v dT = - dW = - {N{k_B}T \over V} dV $$ यह तापमान और आयतन में परिवर्तन के बीच एक अंतर संबंध देता है, जिसे अपरिवर्तनीय खोजने के लिए एकीकृत किया जा सकता है। अटल $$ k_B $$ केवल एक प्राकृतिक इकाई है, जिसे एक के बराबर सेट किया जा सकता है:

d(C_v N \log T) = - d( N \log V) $$ इसलिए

C_v N \log T + N \log V $$ एक रुद्धोष्म निश्चरहै, जो एंट्रॉपी से संबंधित है

S = C_v N \log T + N \log V - N \log N = N \log (T^{C_v} V/N) $$ जो एन्ट्रापी एक रुद्धोष्म निश्चर है। N log(N) शब्द एंट्रॉपी को योगात्मक बनाता है, इसलिए गैस के दो संस्करणों की एन्ट्रॉपी प्रत्येक की एंट्रॉपी का योग है।

एक आणविक व्याख्या में, एस ऊर्जा E(T) और आयतन V के साथ सभी गैस अवस्थाओं के चरण अंतरिक्ष मात्रा का लघुगणक है।

एक परमाणुक आदर्श गैस के लिए, इसे ऊर्जा को लिखकर आसानी से देखा जा सकता है,


 * $$E= {1\over 2m} \sum_k p_{k1}^2 + p_{k2}^2 + p_{k3}^2$$

कुल ऊर्जा E के साथ गैस की विभिन्न आंतरिक गतियाँ एक गोले को परिभाषित करती हैं, त्रिज्या के साथ एक 3N-आयामी गेंद की सतह $$\scriptstyle \sqrt{2mE}$$. गोले का आयतन है


 * $${2\pi^{3N/2}(2mE)^{{3N-1}\over 2}}\over {\Gamma(3N/2)}$$,
 * जहाँ $$\Gamma$$ गामा फलन  है।

चूँकि प्रत्येक गैस अणु आयतन V के भीतर कहीं भी हो सकता है, ऊर्जा E के साथ गैस अवस्थाओं द्वारा घेरे गए चरण स्थान में आयतन है
 * $${2\pi^{3N/2}(2mE)^{{3N-1}\over 2}}V^N\over {\Gamma(3N/2)}$$.

चूंकि एन गैस के अणु अप्रभेद्य हैं, इसलिए चरण स्थान की मात्रा को विभाजित किया जाता है $$N! = \Gamma(N+1) $$एन अणुओं के क्रमपरिवर्तन की संख्या।

गामा फलन के लिए स्टर्लिंग के सन्निकटन का उपयोग करना, और उन कारकों की अनदेखी करना जो N बड़ा लेने के बाद लघुगणक में गायब हो जाते हैं,

S= N \big( 3/2 \log(E)- 3/2 \log(3N/2)+\log(V)-\log(N)\big ) $$
 * $$ = N \big( 3/2 \log(\scriptstyle{\frac 2 3} \displaystyle E/N)+\log(V/N)\big )$$

चूंकि एकपरमाणुक गैस की विशिष्ट ऊष्मा 3/2 है, यह एंट्रॉपी के लिए थर्मोडायनामिक सूत्र के समान है।

वीन का नियम - प्रकाश के एक बॉक्स का रूद्धोष्म विस्तार
विकिरण के एक बॉक्स के लिए, क्वांटम यांत्रिकी की उपेक्षा करते हुए, तापीय संतुलन में एक पारम्परिक क्षेत्र की ऊर्जा पराबैंगनी आपदा है, क्योंकि समविभाजन की मांग है कि प्रत्येक क्षेत्र मोड में औसत समान ऊर्जा होती है और असीम रूप से कई मोड होते हैं। यह शारीरिक रूप से हास्यास्पद है, क्योंकि इसका मतलब है कि समय के साथ सभी ऊर्जा उच्च आवृत्ति विद्युत चुम्बकीय तरंगों में लीक हो जाती है।

फिर भी, क्वांटम यांत्रिकी के बिना, कुछ चीजें हैं जो अकेले उष्मप्रवैगिकी से संतुलन वितरण के बारे में कहा जा सकता है, क्योंकि अभी भी रुद्धोष्म आक्रमण की धारणा है जो विभिन्न आकार के बक्से से संबंधित है।

जब एक बॉक्स धीरे-धीरे विस्तारित होता है, तो प्रकाश की आवृत्ति से पीछे हटने लगती है

दीवार की गणना डॉपलर शिफ्ट से की जा सकती है। अगर दीवार नहीं हिल रही है,

प्रकाश समान आवृत्ति पर प्रतिक्षेपित होता है। यदि दीवार धीरे-धीरे चल रही है, तो रिकॉइल फ्रीक्वेंसी केवल उस फ्रेम में बराबर होती है जहाँ दीवार स्थिर होती है। उस फ्रेम में जहाँ दीवार प्रकाश से दूर जा रही है, डॉपलर शिफ्ट फैक्टर v/c के दोगुने से बाहर आने वाले प्रकाश की तुलना में आने वाला प्रकाश नीला है।

\Delta f = {2v\over c} f $$ दूसरी ओर, दीवार के दूर जाने पर प्रकाश में ऊर्जा भी कम हो जाती है, क्योंकि प्रकाश दीवार पर विकिरण दबाव द्वारा कार्य कर रहा होता है। क्योंकि प्रकाश परावर्तित होता है, दबाव प्रकाश द्वारा किए गए संवेग के दोगुने के बराबर होता है, जो कि E/c है। जिस दर पर दीवार पर दबाव काम करता है, उसे वेग से गुणा करके पाया जाता है:

\Delta E = v{2E \over c} $$ इसका अर्थ है कि प्रकाश की आवृत्ति में परिवर्तन विकिरण दाब द्वारा दीवार पर किए गए कार्य के बराबर होता है। जो प्रकाश परावर्तित होता है वह आवृत्ति और ऊर्जा दोनों में समान मात्रा में परिवर्तित होता है:

{\Delta f \over f} = {\Delta E \over E} $$ चूँकि दीवार को धीरे-धीरे हिलाने से एक तापीय वितरण स्थिर रहना चाहिए, संभावना है कि प्रकाश की आवृत्ति f पर ऊर्जा E है, केवल E/f का एक कार्य होना चाहिए।

यह फलन केवल उष्मागतिकीय तर्क से निर्धारित नहीं किया जा सकता है, और वीन ने उस रूप में अनुमान लगाया जो उच्च आवृत्ति पर मान्य था। उनका मानना ​​था कि उच्च आवृत्ति मोड में औसत ऊर्जा बोल्ट्जमैन जैसे कारक द्वारा दबा दी गई थी। यह विधा में अपेक्षित पारम्परिक ऊर्जा नहीं है, जो है $$1/2\beta$$ समविभाजन द्वारा, लेकिन एक नई और अनुचित धारणा जो उच्च-आवृत्ति डेटा में फिट होती है।

\langle E_f \rangle = e^{-\beta h f} $$ जब एक कैविटी में सभी मोड में अपेक्षा मूल्य जोड़ा जाता है, तो यह वीन सन्निकटन | वीन का वितरण है, और यह फोटॉनों की एक पारम्परिक गैस में ऊर्जा के थर्मोडायनामिक वितरण का वर्णन करता है। वीन का नियम स्पष्ट रूप से मानता है कि प्रकाश सांख्यिकीय रूप से उन पैकेटों से बना है जो ऊर्जा और आवृत्ति को उसी तरह बदलते हैं। एक वीन गैस की एन्ट्रापी शक्ति एन की मात्रा के रूप में होती है, जहाँ एन पैकेट की संख्या है। इसने आइंस्टीन को सुझाव दिया कि प्रकाश आवृत्ति के आनुपातिक ऊर्जा के साथ स्थानीय कणों से बना है। तब वीन गैस की एन्ट्रॉपी को एक सांख्यिकीय व्याख्या दी जा सकती है, जिसमें फोटॉन की संभावित स्थिति की संख्या हो सकती है।

पारम्परिक यांत्रिकी - क्रिया चर
मान लीजिए कि हैमिल्टनियन धीरे-धीरे समय बदलता है, उदाहरण के लिए, एक आयामी हार्मोनिक ऑसीलेटर एक बदलती आवृत्ति के साथ।

H_t(p,x) = {p^2\over 2m} + {m \omega(t)^2 x^2\over 2} \,$$ पारम्परिक कक्षा का क्रिया-कोण चर J क्षेत्र है चरण अंतरिक्ष में कक्षा से घिरा हुआ।

J = \int_0^T p(t) {dx \over dt} dt \,$$ चूँकि J पूर्ण अवधि के लिए एक समाकल है, यह केवल ऊर्जा का एक फलन है। कब

हैमिल्टनियन समय में स्थिर है और जे समय में स्थिर है, कैनोनिक रूप से संयुग्मित चर $$\theta$$ समय के साथ स्थिर दर से बढ़ता है।

{d\theta \over dt} = {\partial H \over \partial J} =H\,'(J) \,$$ तो स्थिर $$H\,'$$ कक्षा के साथ समय डेरिवेटिव को आंशिक डेरिवेटिव में बदलने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है $$\theta$$ स्थिर जे पर। जे के संबंध में जे के अभिन्न अंग को अलग करने से एक पहचान मिलती है जो तय करती है $$H\,':$$

{dJ\over dJ } = 1 = \int_0^T \bigg( {\partial p \over \partial J} {dx \over dt} + p {\partial \over \partial J} {dx \over dt} \bigg) dt = H\,' \int_0^T \bigg({\partial p \over \partial J}{\partial x \over \partial \theta} - {\partial p \over \partial \theta}{\partial x \over \partial J}\bigg) dt \,$$ समाकलन x और p का प्वासों कोष्ठक है। x और p जैसी दो विहित संयुग्मी मात्राओं का पोइसन कोष्ठक किसी भी विहित समन्वय प्रणाली में 1 के बराबर है। इसलिए

$$ 1 = H\,' \int_0^T \{ x,p \}\, dt = H\,'\, T \,$$ और $$H\,'$$ उलटा काल है। चर $$\theta$$ J के सभी मानों के लिए प्रत्येक अवधि में समान मात्रा में वृद्धि होती है - यह एक कोण-चर है।


 * जे का रुद्धोष्म इनवेरियंस

हैमिल्टनियन केवल जे का एक कार्य है, और हार्मोनिक ऑसीलेटर के साधारण स्थिति में।

H= \omega J \,$$ जब H की कोई समय निर्भरता नहीं है, J स्थिर है। जब एच धीरे-धीरे समय बदल रहा है, तो जे के परिवर्तन की दर की गणना जे के अभिन्न अंग को फिर से व्यक्त करके की जा सकती है

J = \int_0^{2\pi} p {\partial x \over \partial \theta} d\theta \,$$ इस मात्रा का समय व्युत्पन्न है

{dJ\over dt} = \int_0^{2\pi} \bigg({dp \over dt} {\partial x\over \partial \theta} + p {d\over dt} {\partial x \over \partial \theta} \bigg) d\theta \,$$ उपयोग करते हुए थीटा डेरिवेटिव के साथ टाइम डेरिवेटिव को बदलना $$ d\theta = \omega dt \,$$ और सेटिंग $$ \omega:=1\,$$ व्यापकता के नुकसान के बिना ($$\omega$$ कार्रवाई के परिणामी समय व्युत्पन्न में एक वैश्विक गुणात्मक स्थिरांक होने के नाते), पैदावार

{dJ \over dt} = \int_0^{2\pi} \bigg({\partial p \over \partial \theta} {\partial x \over \partial \theta} + p {\partial \over \partial \theta} {\partial x \over \partial \theta} \bigg) d\theta \,$$ तो जब तक निर्देशांक जे, $$\theta$$ एक अवधि में उल्लेखनीय रूप से परिवर्तन न करें, इस अभिव्यक्ति को शून्य देने के लिए भागों द्वारा एकीकृत किया जा सकता है। इसका मतलब यह है धीमी विविधताओं के लिए, इससे घिरे क्षेत्र में कोई निम्नतम क्रम परिवर्तन नहीं है कक्षा। यह रुद्धोष्म इनवेरिएंस प्रमेय है - एक्शन वेरिएबल्स रुद्धोष्म निश्चरहैं।

एक हार्मोनिक ऑसीलेटर के लिए, ऊर्जा ई पर कक्षा के चरण अंतरिक्ष में क्षेत्र क्षेत्र है निरंतर ऊर्जा के दीर्घवृत्त का,

E = {p^2\over 2m} + {m\omega^2 x^2\over 2} \,$$ इस दीर्घवृत्त की x-त्रिज्या है $$\scriptstyle \sqrt{2E/\omega^2m}$$, जबकि दीर्घवृत्त की p-त्रिज्या है $$\scriptstyle \sqrt{2mE}$$. गुणा, क्षेत्र $$2\pi E/\omega$$है तो अगर एक पेंडुलम धीरे-धीरे खींचा जाता है, ताकि आवृत्ति में परिवर्तन हो, तो ऊर्जा आनुपातिक मात्रा में बदल जाती है।

पुराना क्वांटम सिद्धांत
प्लैंक द्वारा पहचाने जाने के बाद कि वियन के नियम को सभी आवृत्तियों तक बढ़ाया जा सकता है, यहां तक ​​कि बहुत कम आवृत्तियों पर भी, विकिरण के लिए पारम्परिक समविभाजन नियम के साथ प्रक्षेपित करके, भौतिकविद अन्य प्रणालियों के क्वांटम व्यवहार को समझना चाहते थे।

प्लैंक विकिरण नियम ने आवृत्ति के आनुपातिक ऊर्जा की इकाइयों में फील्ड ऑसिलेटर्स की गति को परिमाणित किया:

E= h f = \hbar \omega \,$$ क्वांटम केवल रुद्धोष्म आक्रमण द्वारा ऊर्जा/आवृत्ति पर निर्भर कर सकता है, और चूंकि बक्से को अंत तक डालते समय ऊर्जा योगात्मक होनी चाहिए, स्तरों को समान रूप से स्थान दिया जाना चाहिए।

आइंस्टीन, डेबी के बाद, आइंस्टीन ठोस के रूप में एक ठोस में ध्वनि मोड पर विचार करके क्वांटम यांत्रिकी के डोमेन का विस्तार किया। इस मॉडल ने समझाया कि कम तापमान पर ठोस पदार्थों की विशिष्ट ऊष्मा शून्य क्यों हो जाती है,

जहाँ पर स्थिर रहने के अतिरिक्त $$3k_B$$ पारम्परिक समविभाजन प्रमेय द्वारा भविष्यवाणी के अनुसार।

सॉल्वे सम्मेलन में, अन्य गतियों को परिमाणित करने का प्रश्न उठाया गया था, और हेंड्रिक लोरेंत्ज़ ने एक समस्या की ओर इशारा किया, जिसे रेले-लोरेंत्ज़ पेंडुलम के रूप में जाना जाता है। ओल्ड क्वांटम सिद्धांत बताती है कि प्लैंक, आइंस्टीन, रदरफोर्ड, बोह्र और अन्य योगदानकर्ताओं द्वारा परमाणु घटनाओं के लिए शास्त्रीय कानूनों को कैसे संशोधित किया गया था, जिसमें 19 वीं शताब्दी के अंत में क्वांटम सिद्धांत के विकास को शामिल किया गया था। 20 वीं सदी। यह पुस्तक प्लैंक द्वारा अपने विकिरण नियम की खोज के साथ शुरू होती है, इसके बाद आइंस्टीन द्वारा क्वांटम का परिचय दिया जाता है। यदि आप क्वांटम पेंडुलम पर विचार करते हैं जिसका स्ट्रिंग बहुत धीरे-धीरे छोटा हो जाता है, तो पेंडुलम की क्वांटम संख्या नहीं बदल सकती है क्योंकि अवस्थाओं के बीच संक्रमण के कारण किसी भी बिंदु पर उच्च आवृत्ति नहीं होती है। लेकिन जब डोरी छोटी होती है तो पेंडुलम की आवृत्ति बदल जाती है, इसलिए क्वांटम अवस्थाएं ऊर्जा को बदल देती हैं। अगला परमाणु के रदरफोर्ड मॉडल और बोह्र की अभिधारणाओं का विवरण है, जिसकी पुष्टि फ्रेंक-हर्ट्ज प्रयोग द्वारा की जाती है। यह चयन इस विवरण के साथ समाप्त होता है कि बोर का सिद्धांत परमाणु स्पेक्ट्रा की मुख्य विशेषताओं को कैसे समझा सकता है।

आइंस्टीन ने जवाब दिया कि धीमी गति से खींचने के लिए पेंडुलम की आवृत्ति और ऊर्जा दोनों बदलती हैं लेकिन अनुपात स्थिर रहता है। यह वीन के प्रेक्षण के अनुरूप है कि दीवार की धीमी गति के तहत परावर्तित तरंगों की ऊर्जा से आवृत्ति अनुपात स्थिर है। निष्कर्ष यह था कि प्रमात्रण करने वाली मात्रा रुद्धोष्म अपरिवर्तनीय होनी चाहिए।

सोमरफेल्ड द्वारा तर्क की इस पंक्ति को एक सामान्य सिद्धांत में विस्तारित किया गया था: एक मनमानी यांत्रिक प्रणाली की क्वांटम संख्या रुद्धोष्म क्रिया चर द्वारा दी गई है। चूंकि हार्मोनिक ऑसीलेटर में क्रिया चर एक पूर्णांक है, सामान्य स्थिति है:

\int p dq = n h \,$$ यह स्थिति पुराने क्वांटम सिद्धांत की नींव थी, जो परमाणु प्रणालियों के गुणात्मक व्यवहार की भविष्यवाणी करने में सक्षम थी। सिद्धांत छोटे क्वांटम नंबरों के लिए सटीक नहीं है, क्योंकि यह पारम्परिक और क्वांटम अवधारणाओं को मिलाता है। लेकिन यह मैट्रिक्स यांत्रिकी के लिए एक उपयोगी आधा रास्ता था।

प्लाज्मा भौतिकी
प्लाज़्मा भौतिकी में आवेशित कण गति के तीन रुद्धोष्म अपरिवर्तनीय हैं।

पहला रुद्धोष्म इनवेरिएंट, μ
गतिमान कण का चुंबकीय आघूर्ण होता है
 * $$\mu = \frac{p_\perp^2}{2mB}$$

जो विशेष सापेक्षता का सम्मान करता है। $$p_\perp = \gamma m v_\perp$$चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत आपेक्षिक संवेग है। $$\mu$$ विस्तार में सभी आदेशों के लिए गति का एक स्थिरांक है $$\omega/\omega_c$$, कहाँ $$\omega$$ कण द्वारा अनुभव किए गए किसी भी परिवर्तन की दर है, उदाहरण के लिए, टक्करों के कारण या चुंबकीय क्षेत्र में अस्थायी या स्थानिक भिन्नताओं के कारण। नतीजतन, जाइरोफ्रीक्वेंसी के करीब आने वाली दरों में बदलाव के लिए भी चुंबकीय क्षण लगभग स्थिर रहता है। जब μ स्थिर होता है, लंबवत कण ऊर्जा B के समानुपाती होती है, इसलिए B को बढ़ाकर कणों को गर्म किया जा सकता है, लेकिन यह एक 'वन शॉट' सौदा है क्योंकि क्षेत्र को अनिश्चित काल तक नहीं बढ़ाया जा सकता है। यह चुंबकीय दर्पणों और चुंबकीय बोतलों में अनुप्रयोग पाता है।

कुछ महत्वपूर्ण स्थितियाँ हैं जिनमें चुंबकीय क्षण अपरिवर्तनीय नहीं है:
 * 'चुंबकीय पम्पिंग:' यदि टकराव की आवृत्ति पंप आवृत्ति से अधिक है, μ अब संरक्षित नहीं है। विशेष रूप से, टकराव कुछ लंबवत ऊर्जा को समानांतर ऊर्जा में स्थानांतरित करके शुद्ध ताप की अनुमति देते हैं।
 * 'साइक्लोट्रॉन हीटिंग:' यदि साइक्लोट्रॉन आवृत्ति पर बी दोलन किया जाता है, तो रुद्धोष्म इनवेरिएंस की स्थिति का उल्लंघन होता है और हीटिंग संभव है। विशेष रूप से, प्रेरित विद्युत क्षेत्र कुछ कणों के साथ चरण में घूमता है और उन्हें लगातार तेज करता है।
 * 'चुंबकीय कस्प्स:' कस्प के केंद्र में चुंबकीय क्षेत्र गायब हो जाता है, इसलिए साइक्लोट्रॉन आवृत्ति स्वचालित रूप से किसी भी परिवर्तन की दर से कम होती है। इस प्रकार चुंबकीय क्षण संरक्षित नहीं होता है और कण चुंबकीय दर्पण में अपेक्षाकृत आसानी से बिखर जाते हैं।

दूसरा रुद्धोष्म अपरिवर्तनीय, जे
चुंबकीय दर्पण में फंसे कण का 'अनुदैर्ध्य अपरिवर्तनीय',
 * $$J = \int_a^b p_\parallel d s$$

जहाँ इंटीग्रल दो टर्निंग पॉइंट्स के बीच है, वह भी एक रुद्धोष्म निश्चरहै। यह गारंटी देता है, उदाहरण के लिए, कि पृथ्वी के चारों ओर घूमने वाले चुंबकमंडल में एक कण हमेशा बल की एक ही रेखा पर लौटता है।

तारकीय यंत्रों में नियोक्लासिकल परिवहन की गणना के लिए स्थानीय रूप से फंसे कणों के लिए उपयोग किया जाता है। 𝐽 की भिन्नता की गणना के लिए एक संख्यात्मक विधि एक चुंबकीय सतह पर विकसित किया गया है, जो वास्तविक अंतरिक्ष निर्देशांक में दिए गए मनमाना तारकीय चुंबकीय क्षेत्र में क्षेत्र को चुंबकीय निर्देशांक में परिवर्तित किए बिना गणना करने की अनुमति देता है। ट्रांजिट-टाइम मैग्नेटिक पंपिंग में रुद्धोष्म स्थिति का उल्लंघन होता है, जहाँ चुंबकीय दर्पण की लंबाई बाउंस फ्रीक्वेंसी पर दोलन करती है, जिसके परिणामस्वरूप नेट हीटिंग होता है।

तीसरा रुद्धोष्म अपरिवर्तनीय, Φ
कुल चुंबकीय प्रवाह $$\Phi$$ एक बहाव सतह से घिरा तीसरा रुद्धोष्म निश्चरहै, जो सिस्टम की धुरी के चारों ओर बहने वाले दर्पण-फंसे कणों की आवधिक गति से जुड़ा हुआ है। क्योंकि यह बहाव गति अपेक्षाकृत धीमी है, $$\Phi$$ व्यावहारिक अनुप्रयोगों में अक्सर संरक्षित नहीं होता है।

संदर्भ

 * §10
 * pp. 85–89

बाहरी संबंध

 * lecture notes on the second adiabatic invariant
 * lecture notes on the third adiabatic invariant