घनत्व आव्यूह

क्वांटम यांत्रिकी में, घनत्व आव्यूह या घनत्व सक्रियक (ऑपरेटर) एक आव्यूह है जो भौतिक प्रणाली की क्वांटम स्थिति का वर्णन करता है। यह बोर्न नियम का उपयोग करके इस प्रणाली पर किए गए किसी भी माप के परिणामों की संभावनाओं की गणना करने की स्वीकृति देता है। यह अधिक सामान्य स्थैतिक सदिश या तरंग फलन का सामान्यीकरण है जबकि वे केवल शुद्ध स्थितियों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं घनत्व आव्यूह भी समिश्र स्थितियों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। दो अलग-अलग स्थितियों में क्वांटम यांत्रिकी के हल उत्पन्न होते हैं पहला जब प्रणाली की तैयारी पूरी तरह से ज्ञात नहीं है और इस प्रकार किसी को संभावित तैयारियों के एक सांख्यिकीय समूह से निपटना चाहिए, और दूसरा जब कोई एक भौतिक प्रणाली का वर्णन करना चाहता है जो उनकी संयुक्त स्थिति का वर्णन किए बिना दूसरे से जटिल होता है।

घनत्व आव्यूह इस प्रकार क्वांटम यांत्रिकी के क्षेत्रों में महत्वपूर्ण आव्यूह हैं जिसमे क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी, विवृत क्वांटम प्रणाली, क्वांटम असंगति और क्वांटम प्रौद्योगिकी जैसी समिश्र स्थितिया सम्मिलित हैं।

परिभाषा और प्रेरणा
घनत्व आव्यूह एक रैखिक सक्रियक का प्रतिनिधित्व है जिसे "घनत्व सक्रियक" कहा जाता है। घनत्व आव्यूह अंतर्निहित समष्टि में आधार (रैखिक बीजगणित) की स्थिति से घनत्व सक्रियक प्राप्त किया जाता है। सामान्यतः शब्द घनत्व आव्यूह और घनत्व सक्रियक प्रायः एक दूसरे के स्थान पर उपयोग किए जाते हैं।

सक्रियक भाषा में, एक प्रणाली के लिए एक घनत्व सक्रियक एक धनात्मक अर्ध-निश्चित, हर्मिटियन सक्रियक है जो प्रणाली के हिल्बर्ट समष्टि पर अभिनय करता है। इस परिभाषा को एक ऐसी स्थिति पर विचार करके प्रेरित किया जा सकता है जहाँ एक शुद्ध स्थिति $$|\psi_j\rangle$$ होती है और प्रायिकता के साथ तैयार किया जाता है जिसको $$p_j$$ के रूप में जाना जाता है। क्वांटम यांत्रिकी प्रक्षेपी माप परिणाम में मापन प्राप्त करने की प्रायिकता $$m$$ प्रक्षेपण सक्रियकों का उपयोग करते समय $$\Pi_m$$ द्वारा दिया गया है:
 * $$ p(m) = \sum_j p_j \langle \psi_j\mid \Pi_m \mid\psi_j\rangle = \operatorname{tr} \left[ \Pi_m \left ( \sum_j p_j |\psi_j\rangle \langle \psi_j|\right)  \right],$$

जो घनत्व सक्रियक बनाता है, जिसे परिभाषित किया गया है:


 * $$\rho = \sum_j p_j |\psi_j \rangle \langle \psi_j|, $$

इस प्रायिकता की स्थिति के लिए एक सुविधाजनक प्रतिनिधित्व के लिए यह जांचना आसान है कि यह सक्रियक धनात्मक अर्ध-निश्चित, हर्मिटियन है और इसका एक संकेत है। इसके विपरीत, यह स्पेक्ट्रम प्रमेय से अनुसरण करता है कि इन गुणों वाले प्रत्येक संकारक को इस रूप $$\textstyle \sum_j p_j |\psi_j \rangle \langle \psi_j|$$ में लिखा जा सकता है कुछ स्थितियों के लिए $$|\psi_j\rangle$$ और गुणांक $$p_j$$ जो गैर- ऋणात्मक हैं और एक के बराबर हैं। हालांकि, यह प्रतिनिधित्व अद्वितीय नहीं होगा, जैसा कि श्रोडिंगर-एचजेडब्ल्यू प्रमेय द्वारा प्रदर्शित किया गया है।

घनत्व सक्रियकों की परिभाषा के लिए एक और प्रेरणा समिश्र स्थितियों पर स्थानीय मापों पर विचार करने से आती है। माना कि $$|\Psi\rangle$$ समग्र हिल्बर्ट समष्टि में एक शुद्ध समिश्र स्थिति $$ \mathcal{H}_1\otimes\mathcal{H}_2$$ है माप परिणाम प्राप्त करने की प्रायिकता $$m$$ प्रक्षेपक को मापते समय $$\Pi_m$$ हिल्बर्ट समष्टि पर $$\mathcal{H}_1$$ द्वारा ही दिया जाता है:


 * $$ p(m) = \langle \Psi| \Pi_m \otimes I |\Psi\rangle = \operatorname{tr} \left[ \Pi_m \left ( \operatorname{tr}_2 |\Psi\rangle\langle \Psi| \right) \right],$$

जहाँ $$ \operatorname{tr}_2 $$ हिल्बर्ट समष्टि पर आंशिक संकेत $$\mathcal{H}_2$$ को दर्शाता है यह सक्रियक बनाता है:


 * $$\rho = \operatorname{tr}_2 |\Psi\rangle\langle \Psi| $$

इन स्थानीय मापों की प्रायिकता की गणना करने के लिए एक सुविधाजनक उपकरण है इसे कम घनत्व आव्यूह $$|\Psi\rangle$$ के रूप में जाना जाता है उप-प्रणाली 1 पर यह जांचना आसान होता है कि इस सक्रियक में घनत्व सक्रियक के सभी गुण हैं। इसके विपरीत, श्रोडिंगर-एचजेडब्ल्यू प्रमेय का अर्थ है कि सभी घनत्व सक्रियकों को $$\operatorname{tr}_2 |\Psi\rangle\langle \Psi|$$ के रूप में लिखा जा सकता है अन्य किसी स्थिति के लिए $$|\Psi\rangle $$ के रूप मे प्रदर्शित किया जा सकता है।

शुद्ध और समिश्र स्थितियाँ
शुद्ध क्वांटम स्थिति एक ऐसी स्थिति है जिसे अन्य क्वांटम स्थितियों के संभाव्य मिश्रण या उत्तल संयोजन के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। घनत्व सक्रियकों की भाषा में शुद्ध स्थितियों के कई समकक्ष लक्षण होते हैं। :यदि घनत्व सक्रियक एक शुद्ध स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है: क्वांटम स्थितियों के प्रायिकतात्मक समिश्र और उनके अध्यारोपण के बीच अंतर पर महत्व देना महत्वपूर्ण है। यदि एक भौतिक प्रणाली या तो $$| \psi_1 \rangle$$ या $$| \psi_2 \rangle$$ की स्थिति में होने के लिए तैयार है तब समान प्रायिकता के साथ, इसे समिश्र स्थिति द्वारा वर्णित किया जा सकता है:
 * इसे स्थैतिक सदिश के बाहरी उत्पाद को $$|\psi\rangle$$ रूप में लिखा जा सकता है अर्थात, $$ \rho = |\psi \rangle \langle \psi|.$$
 * यह एक प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित) है।
 * यह निःशेष है, अर्थात् $$\rho = \rho^2.$$
 * इसमें शुद्धता (क्वांटम यांत्रिकी) होती है अर्थात, $$\operatorname{tr}(\rho^2) = 1.$$
 * $$\rho = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}, $$

जहाँ $$| \psi_1 \rangle$$ और $$| \psi_2 \rangle$$ की स्थिति के लिए लंबकोणीय और आयाम 2 माना किया जाता है। दूसरी तरफ समान प्रायिकता आयाम वाले इन दो स्थितियों की एक क्वांटम अध्यारोपण का परिणाम शुद्ध स्थिति $$| \psi \rangle = (| \psi_1 \rangle + | \psi_2 \rangle)/\sqrt{2},$$ में होता है और घनत्व आव्यूह के साथ $$|\psi\rangle\langle\psi| = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}.$$ प्रायिकतात्मक समिश्र के विपरीत, यह क्वांटम अध्यारोपण क्वांटम हस्तक्षेप प्रदर्शित कर सकता है। ज्यामितीय रूप से, घनत्व सक्रियकों का समुच्चय एक उत्तल समुच्चय होता है और शुद्ध स्थिति उस समुच्चय के फेज बिंदु हैं। सबसे सरल स्थिति द्वि-आयामी हिल्बर्ट समष्टि है जिसे एक कक्ष के रूप में जाना जाता है। एक घन के लिए एक अपेक्षाकृत स्थिति पाउली आव्यूह के एक रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है जो एक साथ पहचान आव्यूह के लिए एक आधार $$2 \times 2$$ का स्व-संलग्न आव्यूह प्रदान करता है:
 * $$\rho = \frac{1}{2}\left(I + r_x \sigma_x + r_y \sigma_y + r_z \sigma_z\right),$$

जहां वास्तविक संख्या $$(r_x, r_y, r_z)$$ इकाई क्षेत्र के भीतर एक बिंदु के निर्देशांक हैं और

\sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1\\     1&0    \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1&0\\     0&-1    \end{pmatrix} .$$ के साथ अंक $$r_x^2 + r_y^2 + r_z^2 = 1$$ शुद्ध स्थितियों का प्रतिनिधित्व करते हैं, जबकि समिश्र स्थितियों को आंतरिक बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है। इसे क्वेट स्थिति समष्टि के "बलोच स्फीयर" के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण: प्रकाश ध्रुवीकरण
[[File:vertical polarization.svg|right|thumb|200px|ऊष्मीय विद्युत बल्ब समिश्र घनत्व आव्यूह के साथ पूरी तरह से यादृच्छिक ध्रुवीकृत फोटॉन का उत्सर्जन करता है:

$$\begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}$$.

ऊर्ध्वाधर समतल ध्रुवीकरण से गुजरने के बाद, शेष फोटॉन सभी लंबवत ध्रुवीकृत होते हैं और शुद्ध स्थिति घनत्व आव्यूह हैं:$$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} $$ . ]]फोटॉन ध्रुवीकरण शुद्ध और समिश्र स्थितियों का एक उदाहरण है। एक व्यक्तिगत फोटॉन लंबकोणीय क्वांटम स्थितियों द्वारा वर्णित दाएं या बाएं वृत्तीय ध्रुवीकरण $$|\mathrm{R}\rangle$$ और $$|\mathrm{L}\rangle$$ के रूप में वर्णित किया जा सकता है या दोनों का क्वांटम अध्यारोपण यह किसी भी स्थिति में हो सकता है $$\alpha|\mathrm{R}\rangle+\beta|\mathrm{L}\rangle$$ $$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$$), रैखिक ध्रुवीकरण, वृत्तीय ध्रुवीकरण या दीर्घवृत्तीय ध्रुवीकरण के अनुरूप स्थिति द्वारा वर्णित लंबवत ध्रुवीकृत फोटॉन $$|\mathrm{V}\rangle = (|\mathrm{R}\rangle+|\mathrm{L}\rangle)/\sqrt{2}$$ पर विचार करें यदि हम इसे एक वृत्तीय ध्रुवीकरण से गुजारते हैं जो या तो केवल $$|\mathrm{R}\rangle$$ ध्रुवीकृत प्रकाश या केवल $$|\mathrm{L}\rangle$$ ध्रुवीकृत प्रकाश की स्वीकृति देता है दोनों स्थितियों में आधे फोटॉन अवशोषित होते हैं। इससे ऐसा लग सकता है कि आधे फोटॉन $$|\mathrm{R}\rangle$$ स्थिति में हैं और दूसरा आधा $$|\mathrm{L}\rangle$$ स्थिति में लेकिन यह सही नहीं है यदि हमारे पास $$(|\mathrm{R}\rangle+|\mathrm{L}\rangle)/\sqrt{2}$$ फोटॉन हो जाते हैं तब एक रैखिक ध्रुवीकरण के माध्यम से कोई अवशोषण नहीं होता है, लेकिन यदि हम किसी भी स्थिति को प्रतिच्छेदित करते हैं तो $$|\mathrm{R}\rangle$$ या $$|\mathrm{L}\rangle$$ आधे फोटॉन अवशोषित हो जाते हैं।

अध्रुवित प्रकाश (जैसे कि ऊष्मीय विद्युत बल्ब से प्रकाश) को $$\alpha|\mathrm{R}\rangle+\beta|\mathrm{L}\rangle$$ के किसी भी रूप में वर्णित नहीं किया जा सकता है रैखिक ध्रुवीकरण, दीर्घवृत्तीय ध्रुवीकरण या ध्रुवीकृत प्रकाश के विपरीत, यह 50% तीव्रता की कमी के साथ एक ध्रुवीकरणकर्ता के माध्यम से गुजरता है जो कि ध्रुवीकरणकर्ता के उन्मुखीकरण के कारण होता है और इसे किसी तरंग प्लेट से गुजारकर ध्रुवीकृत नहीं किया जा सकता है। हालांकि, ध्रुवीकृत प्रकाश को एक सांख्यिकीय समुच्चय के रूप में वर्णित किया जा सकता है, उदाहरण प्रत्येक फोटॉन के रूप में या तो $$|\mathrm{R}\rangle$$ ध्रुवीकरण या $$|\mathrm{L}\rangle$$ प्रायिकता 1/2 के साथ ध्रुवीकरण यदि प्रत्येक फोटॉन में या तो लंबवत ध्रुवीकरण $$| \mathrm{V}\rangle $$ होता है या क्षैतिज ध्रुवीकरण $$| \mathrm{H} \rangle $$ प्रायिकता 1/2 के साथ ये दो समुच्चय प्रयोगात्मक रूप से अप्रभेद्य हैं और इसलिए उन्हें एक ही समिश्र स्थिति मे माना जाता है। अध्रुवित प्रकाश के इस उदाहरण के लिए घनत्व सक्रियक बराबर होता है:


 * $$\rho = \frac{1}{2} |\mathrm{R}\rangle \langle \mathrm{R}| + \frac{1}{2}|\mathrm{L}\rangle \langle \mathrm{L}| = \frac{1}{2} |\mathrm{H}\rangle \langle \mathrm{H}| + \frac{1}{2}|\mathrm{V}\rangle \langle \mathrm{V}| = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}.$$

अध्रुवीकृत प्रकाश उत्पन्न करने के अन्य तरीके भी हैं: फोटॉन की तैयारी में अनिश्चितता का परिचय देने की एक संभावना है उदाहरण के लिए, इसे एक सतह के साथ एक द्विअर्थी क्रिस्टल के माध्यम से पारित करना, ताकि प्रकाश किरण के अपेक्षाकृत अलग भाग अलग-अलग ध्रुवीकरण प्राप्त कर सकें। एक और संभावना जटिल स्थितियों का उपयोग कर रही है एक रेडियोधर्मी क्षय क्वांटम स्थिति में विपरीत दिशाओं में संचरण करने वाले दो फोटॉन $$(|\mathrm{R},\mathrm{L}\rangle+|\mathrm{L},\mathrm{R}\rangle)/\sqrt{2}$$ उत्सर्जित कर सकते है एक साथ दो फोटॉनों की संयुक्त स्थिति शुद्ध है, लेकिन प्रत्येक फोटॉन के लिए सामान्य रूप से घनत्व आव्यूह, संयुक्त घनत्व आव्यूह के आंशिक समीकरण को ले कर पाया जाता है कि यह पूरी तरह से समिश्र होता है।

समतुल्य समुच्चय और शुद्धीकरण
एक दिया गया घनत्व सक्रियक विशिष्ट रूप से यह निर्धारित नहीं करता है कि शुद्ध स्थितियों का कौन सा समूह इसे उत्पन्न करता है सामान्यतः एक ही घनत्व आव्यूह उत्पन्न करने वाले असीम रूप से कई अलग-अलग समुच्चय होते हैं। इन्हें किसी माप से नहीं पहचाना जा सकता है समतुल्य समुच्चय पूरी तरह से चित्रित किया जा सकता है।

माना कि $$\{p_j,|\psi_j\rangle\}$$ एक समुच्चय है फिर किसी समिश्र आव्यूह के लिए $$U$$ ऐसा है कि $$U^\dagger U = I$$ (एक आंशिक समदूरीकता), समुच्चय $$\{q_i,|\varphi_i\rangle\}$$ द्वारा परिभाषित है:


 * $$\sqrt{q_i} \left| \varphi_i \right\rangle = \sum_j U_{ij} \sqrt{p_j} \left| \psi_j  \right\rangle $$

एक ही घनत्व सक्रियक को :उत्पन्न करता है और सभी समतुल्य समुच्चय इस रूप में हैं। एक निकट से संबंधित तथ्य यह है कि एक दिए गए घनत्व सक्रियक के पास परिमित रूप से क्वांटम स्थिति के कई अलग-अलग शुद्धिकरण होते हैं, जो शुद्ध स्थितिया होती हैं जो आंशिक समीकरण किए जाने पर घनत्व संचालिका उत्पन्न करती हैं।

माना कि


 * $$\rho = \sum_j p_j |\psi_j \rangle \langle \psi_j| $$

यदि समुच्चय द्वारा उत्पन्न घनत्व सक्रियक $$\{p_j,|\psi_j\rangle\}$$ हो तब स्थितियों के साथ $$|\psi_j\rangle$$ आवश्यक नहीं कि लंबकोणीय हो। फिर सभी आंशिक समदूरीकता के लिए $$U$$ है:


 * $$ |\Psi\rangle = \sum_j \sqrt{p_j} |\psi_j \rangle U |a_j\rangle $$

जहाँ $$|a_j\rangle$$ एक लंबकोणीय आधार है और इसके अतिरिक्त सभी शुद्धिकरण $$\rho$$ के रूप हैं।

माप
माना कि $$A$$ प्रणाली का एक अवलोकनीय प्रणाली है और मान लीजिए कि समुच्चय एक समिश्र स्थिति में है, जैसे कि प्रत्येक शुद्ध स्थिति $$\textstyle |\psi_j\rangle$$ प्रायिकता $$p_j$$ से होता है फिर संबंधित घनत्व सक्रियक बराबर होता है


 * $$\rho = \sum_j p_j |\psi_j \rangle \langle \psi_j|.$$

क्वांटम यांत्रिकी में मापन का आपेक्षिक मान (क्वांटम यांत्रिकी) की गणना शुद्ध स्थितियों की स्थिति से बढ़ाकर की जा सकती है:


 * $$ \langle A \rangle = \sum_j p_j \langle \psi_j|A|\psi_j \rangle = \sum_j p_j \operatorname{tr}\left(|\psi_j \rangle \langle \psi_j|A \right) =  \operatorname{tr}\left(\sum_j p_j |\psi_j \rangle \langle \psi_j|A\right) = \operatorname{tr}(\rho A),$$

जहाँ $$\operatorname{tr}$$ ट्रेस (रैखिक बीजगणित) को दर्शाता है। इस प्रकार, परिचित अभिव्यक्ति $$\langle A\rangle=\langle\psi|A|\psi\rangle$$ शुद्ध स्थितियों को समिश्र स्थितियों के लिए $$ \langle A \rangle = \operatorname{tr}( \rho A)$$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

इसके अतिरिक्त यदि $$A$$ अविनिमेय विश्लेषण है तब


 * $$A = \sum _i a_i P_i,$$

जहाँ $$P_i$$ आइगेन मान के संगत आइगेन समष्टि में प्रक्षेप सक्रियक $$a_i$$ है और माप घनत्व सक्रियक द्वारा दिया जाता है:
 * $$\rho_i' = \frac{P_i \rho P_i}{\operatorname{tr}\left[\rho P_i\right]}$$

जब परिणाम i प्राप्त होता है। तो ऐसे स्थिति में जहां माप परिणाम ज्ञात नहीं है, समुच्चय इसके अतिरिक्त वर्णित होता है:


 * $$\; \rho ' = \sum_i P_i \rho P_i.$$

यदि कोई मानता है कि माप परिणामों की संभावनाएं प्रक्षेप $$P_i$$ के रैखिक कार्य हैं, तो उन्हें प्रक्षेप के घनत्व सक्रियक के चिन्ह द्वारा दिया जाना चाहिए। ग्लीसन की प्रमेय से पता चलता है कि आयाम 3 या बड़े हिल्बर्ट रिक्त समष्टि में रैखिकता की धारणा को क्वांटम प्रासंगिकता की धारणा से परिवर्तित किया जा सकता है। पीओवीएम के लिए भी गैर-प्रासंगिकता मानकर आयाम पर इस प्रतिबंध को प्रतिबंध जा सकता है, लेकिन भौतिकी मे असंबद्ध के रूप में इसकी आलोचना की गई है।

एंट्रॉपी
वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी $$S$$ समिश्र के आइगेन मान $$\rho$$ ​​​​के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है या घनत्व सक्रियक के सूक्ष्ममात्रिक सक्रियक और आव्यूह लघुगणक के संदर्भ में $$\rho$$ से $$\rho$$ तक एक धनात्मक अर्ध-निश्चित सक्रियक है इसमें एक वर्णक्रमीय प्रमेय है जैसे कि $$\rho = \textstyle\sum_i \lambda_i |\varphi_i\rangle \langle\varphi_i|$$, जहाँ $$|\varphi_i\rangle$$ या लंबकोणीय सदिश $$\lambda_i \ge 0$$, और $$\textstyle \sum \lambda_i = 1$$ घनत्व आव्यूह के साथ एक क्वांटम प्रणाली $$\rho$$ की एन्ट्रापी है:


 * $$S = -\sum_i \lambda_i \ln\lambda_i = -\operatorname{tr}(\rho \ln\rho).$$

इस परिभाषा का तात्पर्य यह है कि किसी भी शुद्ध स्थिति की वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी शून्य होती है। यदि $$\rho_i$$ ऐसे स्थिति हैं जिनके पास लंबकोणीय उप समष्टि पर समर्थन है, फिर इन स्थितियों के उत्तल संयोजन के वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी,


 * $$\rho = \sum_i p_i \rho_i,$$

स्थितियों के वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी $$\rho_i$$ द्वारा दिया गया है और प्रायिकता $$p_i$$ की शैनन एंट्रॉपी:
 * $$S(\rho) = H(p_i) + \sum_i p_i S(\rho_i).$$

जब स्थिति $$\rho_i$$ लंबकोणीय समर्थन होता है, तो दाईं ओर का योग उत्तल संयोजन के वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी $$\rho$$ से अधिक होता है।

एक घनत्व सक्रियक $$\rho$$ दिया गया है और पिछले भाग की स्थिति के रूप में एक प्रक्षेपी माप $$\rho'$$ उत्तल संयोजन द्वारा परिभाषित है:
 * $$\rho' = \sum_i P_i \rho P_i,$$

जिसे माप के प्रदर्शन द्वारा उत्पादित स्थिति के रूप में व्याख्या की जा सकती है, लेकिन यह निर्धारित नहीं किया जा सकता है कि कौन सा परिणाम हुआ, जिसकी तुलना में एक वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी $$\rho$$ बड़ा होता है यदि $$\rho = \rho'$$ के लिए संभव $$\rho'$$ है तो सामान्यीकृत माप या पीओवीएम द्वारा उत्पादन की तुलना में कम वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी $$\rho$$ है।

समय विकास के लिए वॉन न्यूमैन समीकरण
जिस प्रकार श्रोडिंगर समीकरण वर्णन करता है कि समय के साथ शुद्ध स्थिति कैसे विकसित होती हैं, वॉन न्यूमैन समीकरण (जिसे लिउविल-वॉन न्यूमैन समीकरण भी कहा जाता है) वर्णन करता है कि समय में एक घनत्व सक्रियक कैसे विकसित होता है। वॉन न्यूमैन समीकरण यह निर्धारित करता है:
 * $$ i \hbar \frac{\partial \rho}{\partial t} = [H, \rho]~, $$

जहां कोष्ठक क्रमविनिमयक को दर्शाता है।

यह समीकरण केवल तभी प्रयुक्त करता है जब घनत्व सक्रियक को श्रोडिंगर चित्र में लिया जाता है यद्यपि यह समीकरण हाइजेनबर्ग चित्र में गति के हाइजेनबर्ग समीकरण का अनुकरण करने के लिए एक महत्वपूर्ण संकेतिक अंतर के साथ प्रयुक्त किया जाता है:


 * $$ i \hbar \frac{dA^{(\mathrm{H})}}{dt} = -\left[H, A^{(\mathrm{H})}\right] ~,$$

जहाँ $$A^{(\mathrm{H})}(t)$$ हाइजेनबर्ग चित्र संचालिका है लेकिन इस चित्र में घनत्व आव्यूह समय-निर्भर नहीं है और सापेक्ष संकेत यह सुनिश्चित करता है कि अपेक्षित मान का व्युत्पन्न समय $$\langle A \rangle$$ श्रोडिंगर चित्र के समान ही बाहर आता है। यदि हैमिल्टनियन समय-रैखिक है, तो वॉन न्यूमैन समीकरण को इसके लिए आसानी से हल किया जा सकता है:


 * $$\rho(t) = e^{-i H t/\hbar} \rho(0) e^{i H t/\hbar}.$$

अधिक सामान्य हैमिल्टनियन के लिए, यदि $$G(t)$$ कुछ अंतराल पर तरंग फलन प्रचारक है, तो उसी अंतराल पर घनत्व आव्यूह का समय विकास द्वारा दिया जाता है:


 * $$ \rho(t) = G(t) \rho(0) G(t)^\dagger.$$

विग्नर फलन और उपमाएँ
घनत्व आव्यूह सक्रियक को फेज़ समष्टि में भी प्रयुक्त किया जा सकता है। विग्नेर चित्रण के अंतर्गत घनत्व आव्यूह समकक्ष विग्नेर फलन में परिवर्तित हो जाता है।
 * $$ W(x,p) \,\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \, \frac{1}{\pi\hbar} \int_{-\infty}^\infty \psi^*(x + y) \psi(x - y) e^{2ipy/\hbar} \,dy.$$

विग्नर फलन के समय विकास के लिए समीकरण, जिसे मोयल समीकरण के रूप में जाना जाता है, फिर उपरोक्त वॉन न्यूमैन समीकरण का विग्नर-रूपांतरण है।
 * $$\frac{\partial W(x, p, t)}{\partial t} = -\{\{W(x, p, t), H(x, p)\}\},$$

जहाँ $$H(x,p)$$ हैमिल्टनियन है और $$\{\{\cdot,\cdot\}\}$$ मोयल कोष्ठक है, क्वांटम क्रमविनिमयक का परिवर्तन विग्नर फलन के लिए विकास समीकरण तब इसकी निर्धारित सीमा के अनुरूप होता है लिउविल के प्रमेय हैमिल्टनियन भौतिकी के लिउविल समीकरण प्लैंक नियतांक $$\hbar$$ की सीमा में है जो फेज़ समष्टि $$W(x,p,t)$$ में लिउविल प्रायिकता घनत्व फलन को अपेक्षाकृत कम करता है।

उदाहरण अनुप्रयोग
घनत्व आव्यूह क्वांटम यांत्रिकी का एक आधारिक उपकरण है और कम से कम कभी-कभी लगभग किसी भी प्रकार की क्वांटम-यांत्रिक गणना में दिखाई देता है। कुछ विशिष्ट उदाहरण जहां घनत्व आव्यूह विशेष रूप से सहायक और सामान्य हैं, वे इस प्रकार हैं:
 * सांख्यिकीय यांत्रिकी घनत्व आव्यूह का उपयोग करता है सबसे प्रमुख रूप से इस विचार को व्यक्त करने के लिए कि एक गैर-शून्य तापमान पर एक प्रणाली तैयार की जाती है। एक विहित समुदाय का उपयोग करके घनत्व आव्यूह का निर्माण $$\rho = \exp(-\beta H)/Z(\beta)$$ का परिणाम देता है जहाँ $$\beta$$ व्युत्क्रम तापमान है $$(k_{\rm B} T)^{-1}$$ और $$H$$ प्रणाली का हैमिल्टनियन मान है। सामान्यीकरण शर्त है कि $$\rho$$ का पता लगाने 1 के बराबर होना विभाजन फलन सांख्यिकीय यांत्रिकी $$Z(\beta) = \mathrm{tr} \exp(-\beta H)$$ को परिभाषित करता है यदि प्रणाली में सम्मिलित कणों की संख्या स्वयं निश्चित नहीं है तो एक भव्य विहित समुच्चय प्रयुक्त किया जा सकता है जहां स्थितियों को घनत्व आव्यूह बनाने के लिए फॉक समष्टि से तैयार किया जाता है।
 * क्वांटम असम्बद्धता सिद्धान्त में सामान्यतः गैर-पृथक क्वांटम प्रणाली सम्मिलित होती हैं, जो माप उपकरण सहित अन्य प्रणालियों के साथ विकसित होती हैं। जो घनत्व आव्यूह प्रक्रिया का वर्णन करना और उसके परिणामों की गणना करना बहुत आसान बनाती हैं। क्वांटम असम्बद्धता को बताती है कि एक प्रणाली पर्यावरण के साथ परस्पर क्रिया करती है एक शुद्ध स्थिति होने से अध्यारोपण प्रदर्शित करने से एक समिश्र स्थिति में, क्वांटम असम्बद्धता के विकल्पों का एक असंगत संयोजन यह रूपान्तरण मौलिक रूप से प्रतिवर्ती होता है क्योंकि प्रणाली और पर्यावरण की संयुक्त स्थिति अभी भी शुद्ध है, लेकिन सभी व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए अपरिवर्तनीय है क्योंकि पर्यावरण एक बहुत बड़ी और जटिल क्वांटम प्रणाली है और उनकी परस्पर क्रिया को व्युक्रम करना संभव नहीं है। इस प्रकार क्वांटम यांत्रिकी सीमा की व्याख्या करने के लिए असम्बद्धता बहुत महत्वपूर्ण है, लेकिन तरंग फलन की व्याख्या नहीं कर सकता है, क्योंकि सभी क्वांटम असम्बद्धता के विकल्प अभी भी समिश्र स्थिति में सम्मिलित हैं और तरंग फलन उनमें से केवल एक का चयन करता है।
 * इसी प्रकार क्वांटम गणना, क्वांटम सूचना सिद्धांत, विवृत क्वांटम प्रणाली और अन्य क्षेत्रों में जहां स्थिति और अव्यवस्था हो सकती है घनत्व आव्यूह का प्रायः उपयोग किया जाता है। ध्वनि को प्रायः एक क्वांटम विध्रुवण चैनल या एक आयाम वाले चैनल के माध्यम से तैयार किया जाता है। क्वांटम टोमोग्राफी एक ऐसी प्रक्रिया है जिसके द्वारा, क्वांटम मापन के परिणामों का प्रतिनिधित्व करने वाले डेटा का एक उपकरण दिया जाता है उन माप परिणामों के अनुरूप एक घनत्व आव्यूह की गणना की जाती है।
 * परमाणु या अणु जैसे कई इलेक्ट्रॉनों के साथ एक प्रणाली का विश्लेषण करते समय, एक अपूर्ण लेकिन उपयोगी पहला सन्निकटन इलेक्ट्रॉनों को इलेक्ट्रॉनिक सहसंबंध या प्रत्येक को रैखिक एकल-कण तरंग के रूप में माना जाता है। हार्ट्री-फॉक पद्धति में स्लेटर निर्धारक का निर्माण करते समय यह सामान्य प्रारम्भिक बिंदु है। यदि वहाँ $$N$$ इलेक्ट्रॉन स्थित हैं और $$N$$ एकल-कण तरंग फलन $$|\psi_i\rangle$$, के संग्रह $$N$$ इलेक्ट्रॉनों को एक साथ घनत्व आव्यूह $\sum_{i=1}^N |\psi_i\rangle \langle \psi_i|$ द्वारा चित्रित किया जा सकता है।

सी * - स्थितियों का बीजगणितीय सूत्रीकरण
यह सामान्यतः स्वीकृत किया जाता है कि क्वांटम यांत्रिकी का वर्णन जिसमें सभी स्व-संलग्न संचालिकाएं प्रेक्षणीयों का प्रतिनिधित्व करती हैं इस कारण से, वेधशालाओं की पहचान एक अमूर्त C* बीजगणित A के तत्वों के साथ की जाती है जो सक्रियकों के बीजगणित के रूप में एक विशिष्ट प्रतिनिधित्व के बिना है और स्थित (कार्यात्मक विश्लेषण) A पर धनात्मक रैखिक कार्यात्मक हैं। हालांकि जीएनएस का उपयोग करके निर्माण हिल्बर्ट रिक्त समष्टि को पुनर्प्राप्त कर सकते हैं जो A को सक्रियकों के उप-लजेब्रा के रूप में सिद्ध करते हैं।

ज्यामितीय रूप से, C* बीजगणित A पर एक शुद्ध स्थिति एक ऐसी स्थिति है जो A पर सभी स्थितियों के समूह का एक मुख्य बिंदु है। जीएनएस निर्माण के गुणों से ये स्थिति A के अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व के अनुरूप हैं। संक्षिप्त सक्रियक K(H) के C* बीजगणित की स्थिति घनत्व सक्रियकों के अनुरूप होती हैं और इसलिए K(H) की शुद्ध स्थिति क्वांटम यांत्रिकी के अर्थ में पूर्णतः शुद्ध स्थिति हैं।

C* बीजगणितीय सूत्रीकरण को समिश्र और क्वांटम दोनों प्रणालियों को सम्मिलित करने के लिए देखा जा सकता है। जब प्रणाली समिश्र होती है, तो वेधशालाओं का बीजगणित विनिमेय समूह C* बीजगणित समूह बन जाता है। उस स्थिति में विनिमेय समूह प्रायिकता माप हैं।

इतिहास
घनत्व सक्रियक और आव्यूह की औपचारिकता 1927 में जॉन वॉन न्यूमैन और रैखिक रूप से, लेव लैंडौ और बाद में 1946 में फेलिक्स बलोच द्वारा प्रस्तुत की गई थी। क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी और क्वांटम माप के सिद्धांत दोनों को विकसित करने के लिए वॉन न्यूमैन ने घनत्व आव्यूह प्रस्तुत किया था। नाम घनत्व आव्यूह स्वयं सांख्यिकीय यांत्रिकी में एक फेज़-समष्टि प्रायिकता माप (स्थिति और संवेग का विनिमेय वितरण) के सांख्यिकीय यांत्रिकी से संबंधित है, जिसे 1932 में विग्नर द्वारा प्रस्तुत किया गया था।

इसके विपरीत, लेव लैंडौ को प्रेरित करने वाली प्रेरणा एक स्थैतिक सदिश द्वारा एक समग्र क्वांटम प्रणाली की निहित प्रणाली का वर्णन करने की असंभवता थी।

यह भी देखें

 * परमाणु इलेक्ट्रॉन रूपांतरण
 * सघनता कार्यात्मक सिद्धांत
 * ग्रीन-कुबो संबंध
 * ग्रीन फलन (कई-शरीर सिद्धांत)
 * लिंडब्लाड समीकरण
 * विग्नर अर्ध-प्रायिकता वितरण

नोट्स और संदर्भ
श्रेणी:कार्यात्मक विश्लेषण श्रेणी:क्वांटम सूचना विज्ञान श्रेणी:सांख्यिकीय यांत्रिकी श्रेणी:लेव लैंडौ