डौबेकीस वेवलेट

Ingrid Daubechies के काम के आधार पर Daubechies वेवलेट्स, असतत तरंगिका रूपांतरण को परिभाषित करने वाले ऑर्थोगोनल वेवलेट्स का एक परिवार है और कुछ दिए गए समर्थन (गणित) के लिए लुप्त होने वाले क्षण (गणित) की अधिकतम संख्या की विशेषता है। इस वर्ग के प्रत्येक वेवलेट प्रकार के साथ, एक स्केलिंग फ़ंक्शन होता है (जिसे 'फादर वेवलेट' कहा जाता है) जो एक ऑर्थोगोनल मल्टीरिज़ॉल्यूशन विश्लेषण उत्पन्न करता है।

गुण
सामान्य तौर पर Daubechies वेवलेट्स को दी गई समर्थन चौड़ाई (गुणांकों की संख्या) 2A के लिए लुप्त होने वाले क्षणों की उच्चतम संख्या A के लिए चुना जाता है, (यह सबसे अच्छी चिकनाई नहीं है)। उपयोग में दो नामकरण योजनाएं हैं, डीएन लंबाई या नल की संख्या का उपयोग कर रहा है, और डीबीए गायब होने वाले क्षणों की संख्या का जिक्र कर रहा है। तो D4 और db2 एक ही तरंगिका रूपांतरण हैं।

2 के बीचA−1 पल और ऑर्थोगोनलिटी स्थितियों के लिए बीजगणितीय समीकरणों के संभावित समाधान, वह चुना जाता है जिसके स्केलिंग फ़िल्टर में चरम चरण होता तेज तरंगिका रूपांतरण को तेज़ वेवलेट ट्रांसफ़ॉर्म का उपयोग करके व्यवहार में लाना भी आसान है। Daubechies वेवलेट्स का व्यापक रूप से समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला को हल करने में उपयोग किया जाता है, उदा। सिग्नल या भग्न  समस्याओं, सिग्नल डिसकंटीन्यूटी आदि की स्व-समानता गुण।

परिणामी स्केलिंग और तरंगिका कार्यों के संदर्भ में Daubechies तरंगिकाओं को परिभाषित नहीं किया गया है; वास्तव में, उन्हें बंद अभिव्यक्ति के रूप में लिखना संभव नहीं है। नीचे दिए गए ग्राफ़ कैस्केड एल्गोरिदम का उपयोग करके उत्पन्न होते हैं, एक संख्यात्मक तकनीक जिसमें उलटा-रूपांतरण [1 0 0 0 0 ...] उचित संख्या में होता है।

ध्यान दें कि यहां दिखाया गया स्पेक्ट्रा उच्च और निम्न पास फिल्टर की आवृत्ति प्रतिक्रिया नहीं है, बल्कि स्केलिंग (नीला) और वेवलेट (लाल) कार्यों के निरंतर फूरियर रूपांतरणों के आयाम हैं।

Daubechies ऑर्थोगोनल वेवलेट्स D2–D20 सम्मान। db1-db10 आमतौर पर उपयोग किए जाते हैं। सूचकांक संख्या गुणांकों की संख्या N को संदर्भित करती है। प्रत्येक तरंगिका में कई शून्य क्षण या गायब होने वाले क्षण होते हैं जो गुणांक की आधी संख्या के बराबर होते हैं। उदाहरण के लिए, D2 में एक लुप्त होने वाला क्षण होता है, D4 में दो होते हैं, आदि। लुप्त होने वाला क्षण तरंगों की क्षमता को एक संकेत में बहुपद व्यवहार या सूचना का प्रतिनिधित्व करने के लिए सीमित करता है। उदाहरण के लिए, D2, एक लुप्त क्षण के साथ, आसानी से एक गुणांक, या निरंतर संकेत घटकों के बहुपदों को कूटबद्ध करता है। D4 बहुपदों को दो गुणांकों के साथ कूटबद्ध करता है, अर्थात स्थिर और रेखीय सिग्नल घटक; और D6 3-बहुपद, यानी स्थिर, रैखिक और द्विघात बहुपद संकेत घटकों को कूटबद्ध करता है। संकेतों को एन्कोड करने की यह क्षमता फिर भी स्केल लीकेज की घटना और शिफ्ट-इनवेरियन की कमी के अधीन है, जो परिवर्तन के आवेदन के दौरान असतत शिफ्टिंग ऑपरेशन (नीचे) से बढ़ती है। उप-अनुक्रम जो रैखिक, द्विघात बहुपद (उदाहरण के लिए) सिग्नल घटकों का प्रतिनिधित्व करते हैं, उन्हें परिवर्तन द्वारा अलग-अलग तरीके से व्यवहार किया जाता है, जो इस बात पर निर्भर करता है कि अंक अनुक्रम में सम-या विषम-संख्या वाले स्थानों के साथ संरेखित हैं या नहीं। अनुवाद संबंधी व्युत्क्रम | शिफ्ट-इनवेरिएंस की महत्वपूर्ण संपत्ति की कमी के कारण, शिफ्ट इनवेरिएंट वेवलेट ट्रांसफ़ॉर्म | शिफ्ट-इनवेरिएंट (असतत) वेवलेट ट्रांसफ़ॉर्म के कई अलग-अलग संस्करणों का विकास हुआ है।

निर्माण
स्केलिंग सीक्वेंस (लो-पास फिल्टर) और वेवलेट सीक्वेंस (बैंड-पास फिल्टर) (इस निर्माण के विवरण के लिए ऑर्थोगोनल वेवलेट देखें) दोनों को यहां 2 के बराबर योग और 2 वर्गों के योग के लिए सामान्यीकृत किया जाएगा। कुछ अनुप्रयोगों में, वे योग करने के लिए सामान्यीकृत हैं $$\sqrt{2}$$, ताकि दोनों अनुक्रम और गुणांक की एक समान संख्या द्वारा उनमें से सभी बदलाव एक दूसरे के लिए असामान्य हों।

सन्निकटन क्रम A के साथ एक ऑर्थोगोनल असतत तरंगिका के स्केलिंग अनुक्रम के लिए सामान्य प्रतिनिधित्व का उपयोग करना,


 * $$a(Z)=2^{1-A}(1+Z)^A p(Z),$$ N = 2A के साथ, p के वास्तविक गुणांक हैं, p(1) = 1 और deg(p) = A − 1, ओर्थोगोनलिटी स्थिति को इस प्रकार लिख सकते हैं


 * $$a(Z)a \left (Z^{-1} \right )+a(-Z)a \left (-Z^{-1} \right )=4,$$ या समान रूप से


 * $$(2-X)^A P(X)+X^A P(2-X)=2^A \qquad (*),$$

लॉरेंट-बहुपद के साथ


 * $$X:= \frac{1}{2}\left (2-Z-Z^{-1} \right )$$ सभी सममित अनुक्रम उत्पन्न करना और $$X(-Z)=2-X(Z).$$ इसके अलावा, P(X) सममित लॉरेंट-बहुपद के लिए खड़ा है


 * $$P(X(Z))=p(Z)p \left ( Z^{-1} \right ).$$

तब से


 * $$X(e^{iw})=1-\cos(w)$$ :$$p(e^{iw})p(e^{-iw})=|p(e^{iw})|^2$$

पी सेगमेंट [0,2] पर गैर-नकारात्मक मान लेता है।

समीकरण (*) में प्रत्येक ए के लिए एक न्यूनतम समाधान है, जिसे एक्स में ट्रंकेटेड पावर श्रृंखला की अंगूठी में विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है,


 * $$P_A(X)=\sum_{k=0}^{A-1} \binom{A+k-1}{A-1} 2^{-k}X^k.$$

जाहिर है, इसका (0,2) सकारात्मक मान है।

(*) के लिए सजातीय समीकरण एक्स = 1 के बारे में विरोधी सममित है और इस प्रकार सामान्य समाधान है


 * $$X^A(X-1)R \left ((X-1)^2 \right ),$$

आर के साथ वास्तविक गुणांकों के साथ कुछ बहुपद। वह राशि


 * $$P(X)=P_A(X)+X^A(X-1)R \left ((X-1)^2 \right )$$

अंतराल पर गैर-ऋणात्मक होगा [0,2] आर के गुणांकों पर रैखिक प्रतिबंधों के एक सेट में अनुवाद करता है। अंतराल पर पी के मान [0,2] कुछ मात्रा से बंधे हैं $$4^{A-r},$$ अधिकतम असमानता स्थितियों के साथ एक रेखीय कार्यक्रम में परिणाम को अधिकतम करना।

समाधान करना


 * $$P(X(Z))=p(Z)p \left (Z^{-1} \right)$$ पी के लिए वर्णक्रमीय गुणनखंड सम्मान नामक तकनीक का उपयोग करता है। फेजेर-रिज्ज़-एल्गोरिदम। बहुपद P(X) रैखिक गुणनखंडों में विभक्त हो जाता है


 * $$P(X)=(X-\mu_1)\cdots(X-\mu_N), \qquad N=A+1+2\deg(R).$$ प्रत्येक रैखिक कारक एक लॉरेंट-बहुपद का प्रतिनिधित्व करता है


 * $$X(Z)-\mu =-\frac{1}{2}Z+1-\mu-\frac12Z^{-1}$$ जिसे दो रैखिक कारकों में विभाजित किया जा सकता है। कोई दो रैखिक कारकों में से किसी एक को पी (जेड) को असाइन कर सकता है, इस प्रकार कोई 2 प्राप्त करता हैN संभव समाधान। चरम चरण के लिए एक वह चुनता है जिसमें पी (जेड) की सभी जटिल जड़ें अंदर या यूनिट सर्कल पर होती हैं और इस प्रकार वास्तविक होती हैं।

Daubechies तरंगिका रूपांतरण के लिए, रैखिक फिल्टर की एक जोड़ी का उपयोग किया जाता है। जोड़ी का प्रत्येक फ़िल्टर एक चतुर्भुज दर्पण फ़िल्टर होना चाहिए। रैखिक फिल्टर के गुणांक को हल करना $$c_i$$ चतुर्भुज दर्पण फ़िल्टर संपत्ति का उपयोग क्रम 4 के फ़िल्टर के लिए गुणांक मानों के लिए निम्न समाधान में होता है।


 * $$c_0 = \frac{1+\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}, \quad c_1 = \frac{3+\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}, \quad c_2 = \frac{3-\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}, \quad c_3 = \frac{1-\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}.$$

सबसे कम सन्निकटन क्रम का स्केलिंग क्रम
नीचे D2-20 के लिए स्केलिंग फ़ंक्शन के गुणांक हैं। वेवलेट गुणांक वेवलेट # स्केलिंग फ़ंक्शन गुणांक के क्रम को उलट कर और फिर प्रत्येक दूसरे के चिह्न को उलट कर प्राप्त किया जाता है, (यानी, डी 4 तरंगिका $$\approx$$ {-0.1830127, -0.3169873, 1.1830127, -0.6830127})। गणितीय रूप से, ऐसा दिखता है $$b_k = (-1)^k a_{N-1-k} $$ जहाँ k गुणांक सूचकांक है, b तरंगिका अनुक्रम का गुणांक है और स्केलिंग अनुक्रम का गुणांक है। N तरंगिका सूचकांक है, अर्थात, D2 के लिए 2।



निर्माण के कुछ हिस्सों का उपयोग बायोरथोगोनल कोहेन-डौबेचीज-फेउवेऊ वेवलेट्स (सीडीएफ) को प्राप्त करने के लिए भी किया जाता है।

कार्यान्वयन
जबकि Mathematica जैसे सॉफ़्टवेयर सीधे Daubechies wavelets को सपोर्ट करते हैं MATLAB में एक बुनियादी कार्यान्वयन संभव है (इस मामले में, Daubechies 4)। परिमित लंबाई संकेतों की समस्या को संभालने के लिए यह कार्यान्वयन आवधिकता का उपयोग करता है। अन्य, अधिक परिष्कृत तरीके उपलब्ध हैं, लेकिन अक्सर इनका उपयोग करना आवश्यक नहीं होता है क्योंकि यह केवल रूपांतरित सिग्नल के बहुत सिरों को प्रभावित करता है। आवधिकता MATLAB वेक्टर नोटेशन में सीधे आगे के परिवर्तन में पूरी की जाती है, और उलटा परिवर्तन का उपयोग करके पूरा किया जाता है  समारोह:

रूपांतरण, डी 4
यह माना जाता है कि तत्वों की सम संख्या वाले स्तंभ सदिश S को विश्लेषण किए जाने वाले संकेत के रूप में पूर्व-परिभाषित किया गया है। ध्यान दें कि D4 गुणांक [1 + हैं$\sqrt{3}$, 3 + $\sqrt{3}$, 3 − $\sqrt{3}$, 1 − $\sqrt{3}$]/4.

द्विपद-QMF
1990 में अली अकांसु द्वारा यह दिखाया गया था कि द्विपद QMF (द्विपद QMF) Daubechies तरंगिका फ़िल्टर के समान है, और इसके प्रदर्शन को असतत-समय सिग्नल प्रोसेसिंग परिप्रेक्ष्य से ज्ञात उप-स्थान समाधानों में स्थान दिया गया था। यह द्विपद गुणांक और हर्मिट बहुपदों पर पूर्व कार्य का विस्तार था, जिसने 1987 में संशोधित हर्मिट परिवर्तन (एमएचटी) के विकास का नेतृत्व किया।  द्विपद-क्यूएमएफ फिल्टर के परिमाण वर्ग कार्य दो-बैंड पूर्ण पुनर्निर्माण क्यूएमएफ (पीआर-क्यूएमएफ) डिजाइन फॉर्मूलेशन में अद्वितीय अधिकतम फ्लैट कार्य हैं जो निरंतर डोमेन में तरंगिका नियमितता से संबंधित हैं।

यह भी देखें

 * फास्ट वेवलेट ट्रांसफॉर्म

बाहरी संबंध

 * Ingrid Daubechies: Ten Lectures on Wavelets, SIAM 1992.
 * Proc. 1st NJIT Symposium on Wavelets, Subbands and Transforms, April 1990.
 * A.N. Akansu, Filter Banks and Wavelets in Signal Processing: A Critical Review, Proc. SPIE Video Communications and PACS for Medical Applications (Invited Paper), pp. 330-341, vol. 1977, Berlin, Oct. 1993.
 * Carlos Cabrelli, Ursula Molter: "Generalized Self-similarity", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 230: 251–260, 1999.
 * Hardware implementation of wavelets
 * I. Kaplan, The Daubechies D4 Wavelet Transform.
 * Jianhong (Jackie) Shen and Gilbert Strang, Applied and Computational Harmonic Analysis, 5(3), Asymptotics of Daubechies Filters, Scaling Functions, and Wavelets.
 * I. Kaplan, The Daubechies D4 Wavelet Transform.
 * Jianhong (Jackie) Shen and Gilbert Strang, Applied and Computational Harmonic Analysis, 5(3), Asymptotics of Daubechies Filters, Scaling Functions, and Wavelets.
 * Jianhong (Jackie) Shen and Gilbert Strang, Applied and Computational Harmonic Analysis, 5(3), Asymptotics of Daubechies Filters, Scaling Functions, and Wavelets.