ऑटोरेग्रेसिव मॉडल

सांख्यिकी, अर्थमिति और संकेत संसाधन में स्वप्रतिगामी मॉडल (AR) एक प्रकार की यादृच्छिक प्रक्रिया का प्रतिनिधित्व करता है। इसका उपयोग प्रकृति, अर्थशास्त्र, व्यवहार आदि में प्रायः समय-परिवर्तनीय प्रक्रियाओं का वर्णन करने के लिए किया जाता है। स्वप्रतिगामी मॉडल निर्दिष्ट करता है कि आउटपुट चर अपने पिछले मानों और प्रसंभाव्य शब्द (अपूर्ण रूप से पूर्वानुमानित शब्द) पर रैखिक रूप से निर्भर करता है। इस प्रकार मॉडल एक प्रसंभाव्य अंतर समीकरण (या पुनरावृत्ति संबंध जिसे अंतर समीकरण के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए) के रूप में है। गतिमान माध्य मॉडल (एमए) के साथ यह समय श्रृंखला के अधिक सामान्य स्वप्रतिगामी गतिमान माध्य (ARएमए) और स्वप्रतिगामी एकीकृत गतिमान माध्य (ARआईएमए) मॉडल का एक विशेष और प्रमुख घटक है, जिसमें अधिक जटिल प्रसंभाव्य संरचना है। यह सदिश स्वप्रतिगामी मॉडल (वीAR) की एक विशेष स्थिति है, जिसमें एक से अधिक विकसित यादृच्छिक चर में एक से अधिक अंतःबंधन प्रसंभाव्य अंतर समीकरण की एक प्रणाली सम्मिलित है।

गतिमान माध्य (एमए) मॉडल के विपरीत, स्वप्रतिगामी मॉडल सदैव स्थिर नहीं होता है क्योंकि इसमें एक इकाई वर्ग हो सकता है।

परिभाषा
अंकन $$AR(p)$$ अनुक्रम p के एक स्वप्रतिगामी मॉडल को इंगित करता है जिसको $$AR(p)$$ मॉडल के रूप में परिभाषित किया गया है:


 * $$ X_t = \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i} + \varepsilon_t$$

जहाँ $$\varphi_1, \ldots, \varphi_p$$ मॉडल के पैरामीटर हैं और $$\varepsilon_t$$ श्वेत रव (वाइट नॉइज़) है। इसे बैकशिफ्ट संक्रियक B का उपयोग करके समान रूप से लिखा जा सकता है:


 * $$ X_t = \sum_{i=1}^p \varphi_i B^i X_{t} + \varepsilon_t $$

ताकि, योग पद को बाईं ओर ले जाने और बहुपद संकेतन का उपयोग करने पर यह फलन के निकट हो


 * $$\phi [B]X_t= \varepsilon_t$$

इस प्रकार स्वप्रतिगामी मॉडल को ऑल-पोल (समिश्र विश्लेषण) अनंत आवेग प्रतिक्रिया फ़िल्टर के आउटपुट के रूप में देखा जा सकता है जिसका इनपुट वाइट-नॉइज़ है। मॉडल को दुर्बल-अर्थ स्थिर बने रहने के लिए कुछ पैरामीटर बाधाएँ आवश्यक हैं। उदाहरण के लिए AR (1) मॉडल में $$|\varphi_1 | \geq 1$$ वाली प्रक्रियाएं स्थिर नहीं हैं। अधिक सामान्यतः $$AR(p)$$ मॉडल के लिए दुर्बल-भावना स्थिर होने के लिए बहुपद के मूल $$\Phi(z):=\textstyle 1 - \sum_{i=1}^p \varphi_i z^{i}$$ इकाई वृत्त के बाहर होने चाहिए, अर्थात प्रत्येक समिश्र वर्ग $$z_i$$ को $$|z_i |>1$$ संतुष्ट करना चाहिए। (पेज 89,92 देखें)

प्रघात का अंतर्कालिक प्रभाव
$$AR(p)$$ प्रक्रिया में एक बार का प्रघात भविष्य में विकसित हो रहे चर के मानों को अनंत तक प्रभावित करता है। उदाहरण के लिए, AR(1) मॉडल $$ X_t = \varphi_1 X_{t-1} + \varepsilon_t$$ पर विचार करें। मान लीजिए समय t=1 पर $$\varepsilon_t$$ के लिए एक गैर-शून्य मान $$X_1$$ को $$\varepsilon_t$$ की मात्रा से प्रभावित करता है। फिर $$X_2$$ के लिए AR समीकरण द्वारा $$X_1$$ के संदर्भ में यह $$X_2$$ को $$\varepsilon_1$$ की मात्रा से प्रभावित करता है। फिर $$X_2$$ के संदर्भ में $$X_3$$ के लिए AR समीकरण द्वारा यह $$X_3$$ को $$\varphi_1 \varepsilon_1$$ की मात्रा से प्रभावित करता है। इस प्रक्रिया को प्रारम्भ रखने से पता चलता है कि $$\varepsilon_1$$ का प्रभाव कभी समाप्त नहीं होता है। हालाँकि यदि प्रक्रिया स्थिर है तो सीमा में प्रभाव शून्य की ओर अपेक्षाकृत कम हो जाता है।

चूँकि प्रत्येक प्रघात अपने घटित होने के समय से लेकर भविष्य में अनंत तक X मानों को प्रभावित करता है, इसलिए कोई भी दिया गया मान $$X_t$$ अतीत में अनंत रूप से घटित होने वाले प्रघातों से प्रभावित होता है। इस स्वप्रतिगमन को पुनः लिखकर भी देखा जा सकता है:


 * $$\phi (B)X_t= \varepsilon_t \,$$

जहाँ अचर पद को यह मानकर दबा दिया गया है कि चर को उसके माध्य से विचलन के रूप में मापा गया है:

जैसे,


 * $$X_t= \frac{1}{\phi (B)}\varepsilon_t \, .$$

जब दाईं ओर बहुपद विभाजन किया जाता है, तो $$\varepsilon_t$$ पर प्रयुक्त बैकशिफ्ट संक्रियक में बहुपद का एक अनंत क्रम होता है - अर्थात, समीकरण के दाईं ओर $$\varepsilon_t$$ के अनंत संख्या में विलंबित मान दिखाई देते हैं।

विशेषता बहुपद
$$AR(p)$$ प्रक्रिया को स्वसहसंबंध फलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$\rho(\tau) = \sum_{k=1}^p a_k y_k^{-|\tau|} ,$$

जहाँ $$y_k$$ बहुपद के मूल हैं:
 * $$\phi(B) = 1- \sum_{k=1}^p \varphi_k B^k $$

जहां B बैकशिफ्ट संक्रियक है, $$\phi(\cdot)$$ स्वप्रतिगमन को परिभाषित करने वाला फलन है और जहाँ $$\varphi_k$$ स्वप्रतिगमन में गुणांक हैं। सूत्र तभी मान्य होता है जब सभी मूलों की बहुलता 1 होती है।

$$AR(p)$$ प्रक्रिया का स्वसहसंबंध फलन क्षयकारी घातीयों का योग है।
 * प्रत्येक वास्तविक मूल स्वसहसंबंध फलन में एक घटक का योगदान देता है जो तीव्रता से घटता है।
 * इसी प्रकार समिश्र संयुग्म मूलों की प्रत्येक जोड़ी एक घातीय रूप से अवमंदित दोलन का योगदान करती है।

$$AR(p)$$ प्रक्रियाओं के रेखांकन
सबसे सरल $$AR(p)$$ प्रक्रिया AR(0) है, जिसमें पदों के बीच कोई निर्भरता नहीं होती है। केवल त्रुटि या नवीनीकरण शब्द प्रक्रिया के आउटपुट में योगदान देते है, इसलिए चित्र में, AR(0) वाइट-नॉइज़ के अनुरूप है।

धनात्मक $$\varphi$$ वाली AR(1) प्रक्रिया के लिए प्रक्रिया में केवल पिछला पद और अनभिप्रेत पद आउटपुट में योगदान करते हैं। यदि $$\varphi$$, 0 के निकट है, तो प्रक्रिया अभी भी वाइट-नॉइज़ की तरह दिखती है, लेकिन जैसे ही $$\varphi$$,1 के निकट जाता है आउटपुट को अनभिप्रेत पद के सापेक्ष पिछले शब्द से बड़ा योगदान देता है। इसके परिणामस्वरूप निम्न पास फिल्टर के समान आउटपुट का संरेखण या समाकलन होता है।

AR(2) प्रक्रिया के लिए पिछले दो पद और अनभिप्रेत पद आउटपुट में योगदान करते हैं। यदि $$\varphi_1$$ और $$\varphi_2$$ दोनों धनात्मक हैं, तो आउटपुट एक निम्न पास फिल्टर जैसा होगा, जिससे अनभिप्रेत पद का उच्च आवृत्ति वाला भाग अपेक्षाकृत कम हो जाएगा। यदि $$\varphi_1$$ धनात्मक है जबकि $$\varphi_2$$ ऋणात्मक है, तो प्रक्रिया की शर्तों के बीच संकेत में परिवर्तन होता है और आउटपुट दोलन करता है। इसकी तुलना शीर्ष का पता लगाने या दिशा में परिवर्तन का पता लगाने से की जा सकती है।

उदाहरण: एक AR (1) प्रक्रिया
एक AR (1) प्रक्रिया द्वारा दिया जाता है:$$X_t = \varphi X_{t-1}+\varepsilon_t\,$$जहां $$\varepsilon_t$$ शून्य माध्य और स्थिर विचरण के साथ एक वाइट-नॉइज़ प्रक्रिया $$\sigma_\varepsilon^2$$ है। ध्यान दें कि $$\varphi_1$$ पर सबस्क्रिप्ट को हटा दिया गया है प्रक्रिया दुर्बल-अर्थ स्थिर है यदि $$|\varphi|<1$$ एक स्थिर फिल्टर के आउटपुट के रूप में प्राप्त किया जाता है जिसका इनपुट वाइट-नॉइज़ है। यदि $$\varphi=1$$ है तो $$X_t$$ का प्रसरण समय अंतराल t पर निर्भर करता है, जिससे कि जैसे-जैसे t अनंत तक जाता है, श्रृंखला का प्रसरण अनंत की ओर विचलन करता है और इसलिए दुर्बल अर्थ स्थिर नहीं होती है। यह मानते हुए $$|\varphi|<1$$, माध्य $$\operatorname{E} (X_t)$$ दुर्बल इंद्रिय स्थिरता की परिभाषा के अनुसार t के सभी मानों के लिए समान है यदि माध्य को $$\mu$$ द्वारा निरूपित किया जाता है तो इसका अनुसरण होता है:$$\operatorname{E} (X_t)=\varphi\operatorname{E} (X_{t-1})+\operatorname{E}(\varepsilon_t), $$वह$$ \mu=\varphi\mu+0,$$और इसलिए $$\mu=0$$ भिन्न है:
 * $$\textrm{var}(X_t)=\operatorname{E}(X_t^2)-\mu^2=\frac{\sigma_\varepsilon^2}{1-\varphi^2},$$

जहां $$\sigma_\varepsilon$$ का मानक विचलन $$\varepsilon_t$$ है। इसे ध्यान देते हुए दर्शाया जा सकता है:
 * $$\textrm{var}(X_t) = \varphi^2\textrm{var}(X_{t-1}) + \sigma_\varepsilon^2,$$

और फिर यह देखते हुए कि ऊपर की मात्रा इस संबंध का एक स्थिर निश्चित बिंदु है जिसे स्वसहप्रसरण द्वारा दिया जाता है:


 * $$B_n=\operatorname{E}(X_{t+n}X_t)-\mu^2=\frac{\sigma_\varepsilon^2}{1-\varphi^2}\,\,\varphi^{|n|}.$$

यह देखा जा सकता है कि स्वसहप्रसरण फलन $$\tau=1-\varphi$$ के क्षय समय (जिसे समय स्थिरांक भी कहा जाता है) के साथ क्षय हो जाता है। वर्णक्रमीय घनत्व फलन स्वसहप्रसरण फलन का फूरियर रूपांतरण है :जिसमे अलग-अलग शब्दों में यह अलग-अलग समय का फूरियर रूपांतरण हो सकता है:


 * $$\Phi(\omega)=

\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\sum_{n=-\infty}^\infty B_n e^{-i\omega n} =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\left(\frac{\sigma_\varepsilon^2}{1+\varphi^2-2\varphi\cos(\omega)}\right). $$ यह अभिव्यक्ति $$X_j$$ की असतत प्रकृति के कारण आवधिक है, जो प्रत्येक में कोसाइन पद के रूप में प्रकट होती है। यदि हम मानते हैं कि प्रारूप समय $$\Delta t=1$$ क्षय समय $$\tau$$ से बहुत छोटा है, तो हम $$B_n$$ के लिए एक सातत्य सन्निकटन का उपयोग कर सकते हैं:


 * $$B(t)\approx \frac{\sigma_\varepsilon^2}{1-\varphi^2}\,\,\varphi^{|t|}$$

जो वर्णक्रमीय घनत्व के लिए कॉची वितरण देता है:


 * $$\Phi(\omega)=

\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\frac{\sigma_\varepsilon^2}{1-\varphi^2}\,\frac{\gamma}{\pi(\gamma^2+\omega^2)}$$ जहां $$\gamma=1/\tau$$ क्षय समय $$\tau$$ से सम्बद्ध कोणीय आवृत्ति है। $$X_t$$ के लिए एक वैकल्पिक अभिव्यक्ति पहले प्रतिस्थापन द्वारा प्राप्त की जा सकती है। परिभाषित समीकरण में $$\varphi X_{t-2}+\varepsilon_{t-1}$$ के लिए $$X_{t-1}$$ इस प्रक्रिया को प्रारम्भ रखने से N गुना लाभ प्राप्त होता है:


 * $$X_t=\varphi^NX_{t-N}+\sum_{k=0}^{N-1}\varphi^k\varepsilon_{t-k}.$$

अनंत की ओर अग्रसर N के लिए $$\varphi^N$$ शून्य तक अभिगम्य हो सकता है:


 * $$X_t=\sum_{k=0}^\infty\varphi^k\varepsilon_{t-k}.$$

यह देखा गया है कि $$X_t$$ कर्नेल $$\varphi^k$$ और स्थिर माध्य के साथ संबद्ध वाइट-नॉइज़ है। यदि श्वेत अनभिप्रेत $$\varepsilon_t$$ एक गाऊसी प्रक्रिया है तो $$X_t$$ भी एक गाऊसी प्रक्रिया है। अन्य स्थितियों में केंद्रीय सीमा प्रमेय इंगित करता है कि $$X_t$$ लगभग सामान्य रूप से वितरित किया जाएगा जब $$\varphi$$ एक के निकट होगा। $$\varepsilon_t = 0$$ के लिए प्रक्रिया $$X_t = \varphi X_{t-1}$$ ज्यामितीय प्रगति (घातीय वृद्धि या क्षय) होगी। इस स्थिति में समाधान $$X_t = a \varphi^t$$ विश्लेषणात्मक रूप से प्राप्त किया जा सकता है। जिससे $$a$$ एक अज्ञात स्थिरांक (प्रारंभिक स्थिति) है।

AR (1) प्रक्रिया का स्पष्ट माध्य/अंतर रूप
AR (1) मॉडल निरंतर ऑर्नस्टीन-उहलेनबेक प्रक्रिया का असतत समय सादृश्य है। इसलिए कभी-कभी AR (1) मॉडल के गुणों को समतुल्य रूप में समझना उपयोगी होता है। इस रूप में AR (1) मॉडल प्रक्रिया पैरामीटर के साथ $$\theta$$ द्वारा दिया गया है:


 * $$X_{t+1} = X_t + (1-\theta)(\mu - X_t) + \varepsilon_{t+1}$$,
 * जहाँ $$|\theta| < 1 \,$$ और $$\mu$$ मॉडल माध्य है।

इसे $$ X_{t+1} = \phi X_t +\varepsilon_{t+1} $$ के रूप में रखकर और फिर $$X_{t+n}$$ के लिए श्रृंखला का विस्तार करके कोई भी यह दिखा सकता है:


 * $$ \operatorname{E}(X_{t+n} | X_t) = \mu\left[1-\theta^n\right] + X_t\theta^n$$, और
 * $$ \operatorname{Var} (X_{t+n} | X_t) = \sigma^2 \frac{ 1 - \theta^{2n} }{1 -\theta^2}$$.

अधिकतम अंतराल चुनना
$$AR(p)$$ प्रक्रिया का आंशिक स्वसहसंबंध p से बड़े अंतराल पर शून्य के बराबर होता है, इसलिए उपयुक्त अधिकतम अंतराल p वह होता है जिसके बाद आंशिक स्वसहसंबंध सभी शून्य होते हैं।

$$AR(p)$$ मापदंडों की गणना
गुणांकों का अनुमान लगाने के कई प्रकार हैं जैसे सामान्य न्यूनतम वर्ग प्रक्रिया या क्षणों की विधि (यूलवॉकर समीकरणों के माध्यम से) $$AR(p)$$ मॉडल समीकरण द्वारा दिया गया है:


 * $$ X_t = \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i}+ \varepsilon_t.\,$$

यह पैरामीटर $$\varphi_i$$ पर आधारित है जहां i = 1, ..., p. इन मापदंडों और प्रक्रिया के सहप्रसरण फलन के बीच एक प्रत्यक्ष पत्राचार है और इस पत्राचार को स्वसहसंबंध फलन (जो स्वयं सहप्रसरण से प्राप्त होता है) से मापदंडों को निर्धारित करने के लिए व्युत्क्रमित किया जा सकता है। प्रायः यह यूल-वॉकर समीकरणों का उपयोग करके किया जाता है।

यूल–वॉकर समीकरण
यूल-वॉकर समीकरण, जिसका नाम उडनी यूल और गिल्बर्ट वाकर (भौतिक विज्ञानी) के नाम पर रखा गया है। इन समीकरणों के निम्नलिखित समुच्चय हैं।
 * $$\gamma_m = \sum_{k=1}^p \varphi_k \gamma_{m-k} + \sigma_\varepsilon^2\delta_{m,0},$$

जहां m = 0, …, p से m = 0, …, p समीकरण प्राप्त होता है। यहां $$\gamma_m$$ $$X_t$$ का स्वसहसंबंध फलन है, $$\sigma_\varepsilon$$ इनपुट अनभिप्रेत प्रक्रिया का मानक विचलन है और $$\delta_{m,0}$$ क्रोनकर डेल्टा फलन है।

चूँकि किसी व्यक्तिगत समीकरण का अंतिम भाग केवल तभी गैर-शून्य होता है जब m = 0, समीकरणों के समुच्चय को आव्यूह रूप में m > 0 के समीकरणों का प्रतिनिधित्व करके हल किया जा सकता है। इस प्रकार समीकरण प्राप्त होता है:


 * $$\begin{bmatrix}

\gamma_1 \\ \gamma_2 \\ \gamma_3 \\ \vdots \\ \gamma_p \\ \end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix} \gamma_0    & \gamma_{-1}  & \gamma_{-2}  & \cdots \\ \gamma_1    & \gamma_0     & \gamma_{-1}  & \cdots \\ \gamma_2    & \gamma_1     & \gamma_0     & \cdots \\ \vdots      & \vdots       & \vdots       & \ddots \\ \gamma_{p-1} & \gamma_{p-2} & \gamma_{p-3} & \cdots \\ \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} \varphi_{1} \\ \varphi_{2} \\ \varphi_{3} \\ \vdots \\ \varphi_{p} \\ \end{bmatrix}

$$ जिसे सभी $$\{\varphi_m; m=1,2, \dots ,p\}$$ के लिए हल किया जा सकता है और m = 0 के लिए शेष समीकरण है:


 * $$\gamma_0 = \sum_{k=1}^p \varphi_k \gamma_{-k} + \sigma_\varepsilon^2 ,$$

यदि $$\{\varphi_m ; m=1,2, \dots ,p \}$$ ज्ञात हो जाए, उसे $$\sigma_\varepsilon^2 $$ के लिए हल किया जा सकता है। AR पैरामीटर ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन के पहले p+1 तत्वों $$\rho(\tau)$$ द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। पूर्ण स्वसंबंध फलन को पुनरावर्ती गणना द्वारा प्राप्त किया जा सकता है:
 * $$\rho(\tau) = \sum_{k=1}^p \varphi_k \rho(k-\tau)$$

कुछ निम्न-क्रम AR(p) प्रक्रियाओं के उदाहरण,
 * p = 1
 * $$\gamma_1 = \varphi_1 \gamma_0$$
 * इसी प्रकार $$\rho_1 = \gamma_1 / \gamma_0 = \varphi_1$$
 * p = 2
 * AR (2) प्रक्रिया के लिए यूल-वाकर समीकरण हैं:
 * $$\gamma_1 = \varphi_1 \gamma_0 + \varphi_2 \gamma_{-1}$$
 * $$\gamma_2 = \varphi_1 \gamma_1 + \varphi_2 \gamma_0$$
 * $$\gamma_{-k} = \gamma_k$$
 * पहले समीकरण का उपयोग करने से $$\rho_1 = \gamma_1 / \gamma_0 = \frac{\varphi_1}{1-\varphi_2}$$ प्राप्त होता है।
 * पुनरावर्तन सूत्र का उपयोग करने से $$\rho_2 = \gamma_2 / \gamma_0 = \frac{\varphi_1^2 - \varphi_2^2 + \varphi_2}{1 - \varphi_2}$$ प्राप्त होता है।

$$AR(p)$$ मापदंडों का अनुमान
उपरोक्त समीकरण (यूल-वाकर समीकरण) अनुमानित मानों के साथ सैद्धांतिक सहप्रसरण को प्रतिस्थापित करके, $$AR(p)$$ मॉडल के मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए कई मार्ग प्रदान करते हैं। इनमें से कुछ प्रकारों का वर्णन इस प्रकार किया जा सकता है:


 * स्वसहप्रसरणों या स्वसहसंबंधों का अनुमान- यहां पारंपरिक अनुमानों का उपयोग करते हुए इनमें से प्रत्येक शब्द का अलग-अलग अनुमान लगाया गया है। ऐसा करने के विभिन्न तरीके हैं और इनके बीच चयन अनुमान योजना के गुणों को प्रभावित करता है। उदाहरण के लिए कुछ विकल्पों द्वारा विचरण का ऋणात्मक अनुमान लगाया जा सकता है।
 * न्यूनतम वर्ग प्रतिगमन समस्या के रूप में सूत्रीकरण- जिसमें एक सामान्य न्यूनतम वर्ग पूर्वानुमानित समस्या का निर्माण किया जाता है, जो उसी श्रृंखला के p पिछले मानों पर Xt के मानों के पूर्वानुमान को आधार बनाता है। इसे एक भविष्य-पूर्वानुमान योजना के रूप में सोचा जा सकता है। इस समस्या के लिए सामान्य समीकरणों को यूल-वाकर समीकरणों के आव्यूह के रूप के एक अनुमान के अनुरूप देखा जा सकता है। जिसमें एक ही अंतराल के एक स्वसहप्रसरण की प्रत्येक उपस्थिति को अपेक्षाकृत अलग अनुमान से परिवर्तित कर दिया जाता है।
 * सामान्य न्यूनतम वर्ग पूर्वानुमान समस्या के विस्तारित रूप में निरूपण- यहां पूर्वानुमानित समीकरणों के दो समुच्चयों को एक एकल अनुमान योजना और सामान्य समीकरणों के समुच्चय में संयोजित किया गया है। एक समुच्चय आगे-पूर्वानुमानित समीकरणों का समुच्चय है और दूसरा AR मॉडल के पिछड़े प्रतिनिधित्व से संबंधित पिछड़े पूर्वानुमानित समीकरणों का एक संगत समुच्चय है:
 * $$ X_t = \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i}+ \varepsilon^*_t \,.$$
 * यहां Xt के अनुमानित मान उसी श्रृंखला p के अनुमानित के मानों पर आधारित होंगे। AR पैरामीटर का अनुमान लगाने का यह तरीका जॉन पार्कर बर्ग के कारण है, और इसे बर्ग विधि कहा जाता है: बर्ग और बाद के लेखकों ने इन विशेष अनुमानों को "अधिकतम एन्ट्रापी अनुमान" कहा है। लेकिन इसके पीछे का तर्क अनुमानित AR मापदंडों के किसी भी समुच्चय के उपयोग पर प्रयुक्त होता है। केवल आगे की पूर्वानुमान समीकरणों का उपयोग करके अनुमान योजना की तुलना में स्वसहप्रसरण के विभिन्न अनुमान उत्पन्न होते हैं और अनुमानों में अलग-अलग स्थिरता गुण होते हैं। बर्ग अनुमान विशेष रूप से अधिकतम एन्ट्रापी वर्णक्रमीय अनुमान से संबद्ध हैं।

अनुमान के अन्य संभावित प्रकारों में अधिकतम संभावित अनुमान सम्मिलित है। अधिकतम संभावित अनुमान के दो अलग-अलग प्रकार उपलब्ध हैं एक में (सामान्यतः आगे की पूर्वानुमान न्यूनतम वर्ग योजना के बराबर) संभावित फलन पर विचार किया जाता है कि श्रृंखला में प्रारंभिक p मान दिए गए श्रृंखला में बाद के मानों के सशर्त वितरण के अनुरूप है। दूसरे में, संभावित फलन पर विचार किया गया है जो प्रेक्षित श्रृंखला में सभी मानों के अतिरिक्त शर्त संयुक्त वितरण के अनुरूप है। यदि प्रेक्षित श्रृंखला छोटी है या यदि प्रक्रिया गैर-स्थिरता के मिकत है तो इन दृष्टिकोणों के परिणामों में पर्याप्त अंतर हो सकता है।

स्पेक्ट्रम
अनभिप्रेत पद विचरण के साथ AR(p) प्रक्रिया का ऊर्जा स्पेक्ट्रल घनत्व $$\mathrm{Var}(Z_t) = \sigma_Z^2$$ है:

$$S(f) = \frac{\sigma_Z^2}{| 1-\sum_{k=1}^p \varphi_k e^{-i 2 \pi f k} |^2}.$$

AR (0)
वाइट-नॉइज़ के लिए (AR (0))
 * $$S(f) = \sigma_Z^2.$$

AR (1)
AR के लिए (1)
 * $$S(f) = \frac{\sigma_Z^2}{| 1- \varphi_1 e^{-2 \pi i f} |^2}

= \frac{\sigma_Z^2}{ 1 + \varphi_1^2 - 2 \varphi_1 \cos 2 \pi f }$$
 * यदि $$\varphi_1 > 0$$ पर f = 0 पर एकल वर्णक्रमीय शीर्ष है, तो इसे प्रायः लाल अनभिप्रेत के रूप में जाना जाता है। जैसे-जैसे $$\varphi_1 $$, 1 के निकट आता है, कम आवृत्तियों पर जटिल ऊर्जा होती है, अर्थात बड़ा समय अंतराल होता है। यह तब एक निम्न-पास फिल्टर है, जब पूर्ण स्पेक्ट्रम प्रकाश पर प्रयुक्त किया जाता है, तो लाल प्रकार को छोड़कर सब कुछ फ़िल्टर किया जाता है।
 * यदि $$\varphi_1 < 0$$ पर f = 0 न्यूनतम है, तो इसे प्रायः नीला अनभिप्रेत कहा जाता है। यह इसी प्रकार एक उच्च-पास फ़िल्टर के रूप में फलन करता है, नीले प्रकाश को छोड़कर सब कुछ फ़िल्टर किया जाता है।

AR (2)
AR(2) प्रक्रियाओं को उनके मूलों की विशेषताओं के आधार पर तीन समूहों में विभाजित किया जा सकता है:
 * $$z_1,z_2 = -\frac{1}{2\varphi_2}\left(\varphi_1 \pm \sqrt{\varphi_1^2 + 4\varphi_2}\right)$$


 * जब $$\varphi_1^2 + 4\varphi_2 < 0$$ हो तब इस प्रक्रिया में समिश्र संयुग्मी मूलों की एक जोड़ी होती है, जो निम्न पर एक मध्य-आवृत्ति शीर्ष बनाती है:
 * $$f^* = \frac{1}{2\pi}\cos^{-1}\left(\frac{\varphi_1(\varphi_2-1)}{4\varphi_2}\right)$$

अन्यथा प्रक्रिया की वास्तविक मूल हैं: जब मूल इकाई वृत्त के बाहर होती हैं तो प्रक्रिया गैर-स्थिर होती है। प्रक्रिया तब स्थिर होती है जब मूल इकाई वृत्त के भीतर होती हैं या समकक्ष रूप से जब गुणांक त्रिभुज $$-1 \le \varphi_2 \le 1 - |\varphi_1|$$ में होते हैं।
 * जब $$\varphi_1 > 0$$ तब यह $$f=0$$ पर वर्णक्रमीय शीर्ष के साथ वाइट-नॉइज़ पर एक निम्न-पास फिल्टर के रूप में कार्य करता है।
 * जब $$\varphi_1 < 0$$ तब यह https://alpha.indicwiki.in/index.php?title=Special:MathShowImage&hash=580c5956f0f73d71efaecf50b47a0341&mode=mathml पर वर्णक्रमीय शीर्ष के साथ वाइट-नॉइज़ पर एक उच्च-पास फिल्टर के रूप में कार्य करता है।

पूर्ण पीएसडी फलन को वास्तविक रूप में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$S(f) = \frac{\sigma_Z^2}{1 + \varphi_1^2 + \varphi_2^2 - 2\varphi_1(1-\varphi_2)\cos(2\pi f) - 2\varphi_2\cos(4\pi f)}$$

सांख्यिकी पैकेजों में फलनान्वयन

 * आर (प्रोग्रामिंग भाषा), सांख्यिकी पैकेज में एक ar फलन सम्मिलित है।
 * मैटलैब (प्रोग्रामिंग भाषा) का अर्थमिति टूलबॉक्स और सिस्टम पहचान टूलबॉक्स स्वप्रतिगामी मॉडल सम्मिलित हैं।
 * मैटलैब (प्रोग्रामिंग भाषा) और ऑक्टेव (प्रोग्रामिंग भाषा), टीएसए टूलबॉक्स में एकचर विधि, बहुचर विधि और अनुकूलनीय स्वप्रतिगामी मॉडल के लिए कई आकलन फलन सम्मिलित हैं।
 * पीईएमसी-3: बायेसियन सांख्यिकी और संभाव्य प्रोग्रामिंग संरचना p लैग्स के साथ स्वप्रतिगामी मोड का समर्थन करता है।
 * बेयसलूप समय-भिन्न मापदंडों के साथ AR-1 प्रक्रिया के लिए पैरामीटर अनुमान और मॉडल चयन का समर्थन करता है।
 * पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा): स्टैटमॉडल में कार्यान्वयन।

आवेग प्रतिक्रिया
प्रणाली की आवेग प्रतिक्रिया k के एक फलन के रूप में एक शॉक पद k समय के पहले के मान में परिवर्तन के जवाब में एक विकसित चर में परिवर्तन है। चूंकि AR मॉडल सदिश स्वप्रतिगामी मॉडल की एक विशेष अवस्था है। इसलिए सदिश स्वप्रतिगामी या आवेग प्रतिक्रिया में आवेग प्रतिक्रिया की गणना प्रयुक्त होती है।

n-चरण पूर्वानुमान
स्वप्रतिगमन के पैरामीटर $$ X_t = \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i}+ \varepsilon_t \,$$ मे अनुमान लगाया गया है कि स्वप्रतिगमन का उपयोग भविष्य में अपेक्षाकृत संख्या का पूर्वानुमान करने के लिए किया जा सकता है। पहले उस अवधि को संदर्भित करने के लिए t का उपयोग करें जिसके लिए आंकड़ा अभी तक उपलब्ध नहीं है। त्रुटि शब्द $$\varepsilon_t$$ को शून्य के बराबर समुच्चय करते समय स्वप्रतिगामी समीकरण में i=1, ..., p के लिए ज्ञात पूर्ववर्ती मान Xt-i को प्रतिस्थापित करें (क्योंकि हम अनुमान लगाते हैं कि Xt इसके अपेक्षित मान और अपेक्षित मान के बराबर होगा) अवलोकित त्रुटि पद शून्य है। स्वप्रतिगामी समीकरण का आउटपुट पहली न देखी गई अवधि के लिए पूर्वानुमान है। इसके बाद अगली अवधि को संदर्भित करने के लिए t का उपयोग करें जिसके लिए आंकड़ा अभी तक उपलब्ध नहीं है। पूर्वानुमान बनाने के लिए फिर से स्वप्रतिगामी समीकरण का एक अंतर के साथ उपयोग किया जाता है। जिस अवधि का अब पूर्वानुमान लगाया जा रहा है उससे एक अवधि पहले X का मान ज्ञात नहीं है, इसलिए इसके अपेक्षित मान - पिछले पूर्वानुमान चरण से उत्पन्न अनुमानित मान का उपयोग इसके अतिरिक्त किया जाता है। फिर भविष्य की अवधि के लिए उसी प्रक्रिया का उपयोग किया जाता है। प्रत्येक बार पूर्वानुमानित समीकरण के दाईं ओर एक और पूर्वानुमान मान का उपयोग किया जाता है, जब तक कि p पूर्वानुमानों के बाद, सभी p दाईं ओर के मान पिछले चरणों से अनुमानित मान नहीं होते हैं।

इस प्रकार से प्राप्त पूर्वानुमानों के संबंध में अनिश्चितता के चार स्रोत हैं: (1) इस बात की निश्चितता कि क्या स्वप्रतिगामी मॉडल सही मॉडल है। (2) पूर्वानुमानित मानों की शुद्धता के विषय में अनिश्चितता जो स्वप्रतिगामी समीकरण के दाईं ओर विलंबित मानों के रूप में उपयोग की जाती है। (3) स्वप्रतिगामी गुणांक के वास्तविक मानों के विषय में अनिश्चितता और (4) अनुमानित अवधि के लिए त्रुटि शब्द $$\varepsilon_t \,$$ के मान के विषय में अनिश्चितता है। n-चरण पूर्वानुमानों मे आत्मविश्वास अंतराल देने के लिए अंतिम तीन में से प्रत्येक को मात्राबद्ध और संयोजित किया जा सकता है। दाईं ओर के चर के लिए अनुमानित मानों की बढ़ती संख्या के उपयोग के कारण n बढ़ने पर विश्वास अंतराल व्यापक हो सकता है।

यह भी देखें

 * गतिमान माध्य मॉडल
 * रेखीय अंतर समीकरण
 * भविष्यसूचक विश्लेषक
 * रैखिक भविष्यसूचक कोडिंग
 * प्रतिध्वनि
 * लेविंसन प्रत्यावर्तन
 * ऑर्स्टीन-उहलेनबेक प्रक्रिया
 * अनंत आवेग प्रतिक्रिया

बाहरी संबंध

 * AutoRegression Analysis (AR) by Paul Bourke
 * by एमएrk Thoएमए