अनुबंधित स्थान

गणित में, एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स 'संकुचन योग्य' है यदि एक्स पर पहचान फ़ंक्शन शून्य-होमोटोपिक है, यानी यदि यह कुछ स्थिर मानचित्र के लिए होमोटोपिक है। सहज रूप से, एक अनुबंधित स्थान वह है जो उस स्थान के भीतर एक बिंदु तक लगातार सिकुड़ा जा सकता है।

गुण
एक सिकुड़ा हुआ स्थान ठीक एक बिंदु के होमोटोपी प्रकार के साथ होता है। यह इस प्रकार है कि एक संविदात्मक स्थान के सभी समरूप समूह तुच्छ समूह हैं। इसलिए एक गैर-तुच्छ होमोटोपी समूह के साथ कोई भी स्थान संविदात्मक नहीं हो सकता। इसी तरह, चूंकि एकवचन होमोलॉजी एक होमोटॉपी इनवेरिएंट है, एक सिकुड़ा हुआ स्थान का कम समरूपता सभी तुच्छ हैं।

एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स के लिए निम्नलिखित सभी समतुल्य हैं:
 * X सिकुड़ा जा सकता है (अर्थात आइडेंटिटी मैप नल-होमोटोपिक है)।
 * X होमोटोपी एक बिंदु स्थान के बराबर है।
 * एक्स विरूपण एक बिंदु पर पीछे हट जाता है। (हालांकि, वहां अनुबंधित रिक्त स्थान मौजूद हैं जो एक बिंदु पर दृढ़ता से विरूपण नहीं करते हैं।)
 * किसी भी पथ से जुड़े स्थान Y के लिए, कोई भी दो मानचित्र f, g: Y → X होमोटोपिक हैं।
 * किसी भी स्थान Y के लिए, कोई भी नक्शा f: Y → X शून्य-होमोटोपिक है।

एक स्थान X पर शंकु (टोपोलॉजी) हमेशा सिकुड़ा हुआ होता है। इसलिए किसी भी स्थान को एक अनुबंधित स्थान में एम्बेड किया जा सकता है (जो यह भी दर्शाता है कि अनुबंधित स्थानों के उप-स्थानों को अनुबंधित करने की आवश्यकता नहीं है)।

इसके अलावा, एक्स सिकुड़ा हुआ है अगर और केवल तभी मौजूद है जब एक्स के शंकु से एक्स के लिए एक विकृति वापस आती है।

प्रत्येक अनुबंधित स्थान जुड़ा हुआ है और बस जुड़ा हुआ है। इसके अलावा, चूंकि सभी उच्च होमोटॉपी समूह गायब हो जाते हैं, इसलिए प्रत्येक अनुबंधित स्थान n-जुड़ा हुआ है | सभी n ≥ 0 के लिए n-जुड़ा हुआ है।

स्थानीय रूप से अनुबंधित स्थान
एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स 'स्थानीय रूप से एक बिंदु पर अनुबंधित' x है यदि एक्स के प्रत्येक पड़ोस (टोपोलॉजी) यू के लिए यू में निहित एक्स का एक पड़ोस वी है जैसे कि वी का समावेश यू में नुलहोमोटोपिक है। एक स्थान 'स्थानीय रूप से अनुबंध योग्य है ' अगर यह हर बिंदु पर स्थानीय रूप से अनुबंधित है। इस परिभाषा को कभी-कभी ज्यामितीय टोपोलॉजिस्ट के स्थानीय रूप से संविदात्मक के रूप में संदर्भित किया जाता है, हालांकि यह शब्द का सबसे आम उपयोग है। एलन हैचर | हैचर के मानक बीजगणितीय टोपोलॉजी पाठ में, इस परिभाषा को कमजोर रूप से स्थानीय रूप से अनुबंधित कहा जाता है, हालांकि उस शब्द के अन्य उपयोग हैं।

यदि प्रत्येक बिंदु का अनुबंध योग्य पड़ोस का स्थानीय आधार है, तो हम कहते हैं कि X 'दृढ़ता से स्थानीय रूप से अनुबंधित' है। अनुबंधित स्थान आवश्यक रूप से स्थानीय रूप से अनुबंधित नहीं होते हैं और न ही इसके विपरीत। उदाहरण के लिए, कंघी स्थान सिकुड़ा हुआ है लेकिन स्थानीय रूप से अनुबंधित नहीं है (यदि ऐसा होता, तो यह स्थानीय रूप से जुड़ा होता जो यह नहीं है)। स्थानीय रूप से अनुबंधित स्थान सभी n ≥ 0 के लिए स्थानीय रूप से जुड़े हुए हैं। विशेष रूप से, वे स्थानीय रूप से जुड़े हुए हैं, स्थानीय रूप से जुड़े हुए हैं, और स्थानीय रूप से जुड़े हुए हैं। सर्कल (जोरदार) स्थानीय रूप से सिकुड़ा हुआ है लेकिन अनुबंध योग्य नहीं है।

मजबूत स्थानीय संविदात्मकता स्थानीय संविदात्मकता की तुलना में सख्ती से मजबूत संपत्ति है; प्रतिउदाहरण परिष्कृत हैं, सबसे पहले करोल बोरसुक और स्टीफ़न मज़ुर्कीविक्ज़ द्वारा अपने पेपर सुर लेस रिट्रेक्स एब्सोलस इंडेकोम्पोज़ेबल्स, सी.आर.. एकेड में दिए गए हैं। विज्ञान। पेरिस 199 (1934), 110-112)।

इस बारे में कुछ असहमति है कि कौन सी परिभाषा स्थानीय संविदात्मकता की मानक परिभाषा है; पहली परिभाषा अधिक सामान्यतः ज्यामितीय टोपोलॉजी में उपयोग की जाती है, विशेष रूप से ऐतिहासिक रूप से, जबकि दूसरी परिभाषा टोपोलॉजिकल गुणों के संबंध में स्थानीय शब्द के विशिष्ट उपयोग के साथ बेहतर होती है। इन गुणों के बारे में परिणामों की व्याख्या करते समय हमेशा परिभाषाओं के संबंध में सावधानी बरतनी चाहिए।

उदाहरण और प्रति उदाहरण

 * कोई भी यूक्लिडियन अंतरिक्ष  सिकुड़ा जा सकता है, जैसा कि यूक्लिडियन स्पेस पर कोई भी स्टार डोमेन है।
 * व्हाइटहेड कई गुना  सिकुड़ा हुआ है।
 * किसी परिमित आयाम का n-क्षेत्र सिकुड़ने योग्य नहीं है।
 * हिल्बर्ट अंतरिक्ष में इकाई क्षेत्र की एक अनंत-आयामी हिल्बर्ट अंतरिक्ष संविदात्मकता में इकाई क्षेत्र।
 * दो कमरों वाला घर एक ऐसे स्थान का एक मानक उदाहरण है जो सिकुड़ा हुआ है, लेकिन सहज रूप से ऐसा नहीं है।
 * द डंस हैट (टोपोलॉजी) सिकुड़ा जा सकता है, लेकिन पतन (टोपोलॉजी)  नहीं है।
 * हवाईयन कान की बाली पर शंकु सिकुड़ा हुआ है (चूंकि यह एक शंकु है), लेकिन स्थानीय रूप से अनुबंधित नहीं है या यहां तक ​​​​कि स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ है।
 * सभी मैनिफोल्ड और सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स स्थानीय रूप से अनुबंधित हैं, लेकिन सामान्य तौर पर अनुबंध योग्य नहीं हैं।
 * (0,−1) और (1,sin(1)) को जोड़ने वाले चाप द्वारा टोपोलॉजिस्ट के ज्या वक्र को बंद करके वारसॉ सर्कल प्राप्त किया जाता है। यह एक आयामी सातत्यक है जिसके होमोटॉपी समूह सभी तुच्छ हैं, लेकिन यह संविदात्मक नहीं है।