पूर्णांक

पूर्णांक का अर्थ लैटिन भाषा में "संपूर्ण" होता है एवं सामान्य बोलचाल की भाषा में इसे संख्या से परिभाषित किया जाता है और जिसे भिन्नात्मक घटक के बिना लिखा जा सकता है, उदाहरण के लिए, 21, 4, 0 और −2048 पूर्णांक हैं, जबकि 9.75, 5+1/2 और √2 नहीं हैं।

पूर्णांकों के समुच्चय में शून्य (0) धनात्मक प्राकृत संख्याएँ (1, 2, 3, ...), जिसे पूर्ण संख्याएं या गिनती संख्याएं भी कहा जाता है, और उनके योगात्मक प्रतिलोम (ऋणात्मक पूर्णांक, अर्थात, -1, −2, −3, . . .) पूर्णांकों समुच्चय को प्रायः बोल्डफेस ($Z$) या ब्लैकबोर्ड बोल्ड $$(\mathbb{Z})$$ द्वारा दर्शाया जाता है, अक्षर "Z" को मूल रूप से जर्मन शब्द ज़हलेन ("संख्या") लिया गया है।

सभी $$\mathbb{Z}$$ परिमेय संख्याओं के (समुच्चय) का उपसमुच्चय $$\mathbb{Q}$$ होता है, जो कि वास्तविक संख्याओं का उपसमुच्चय $$\mathbb{R}$$ है। प्राकृतिक संख्याओं की तरह ही $$\mathbb{Z}$$ की गणना भी अनंत है।

पूर्णांक प्राकृतिक संख्याओं का सबसे छोटा समूह और सबसे छोटा वृत्त बनाते हैं बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में, पूर्णांक कभी -कभी परिमेय पूर्णांक के रूप में योग्य होते हैं ताकि उन्हें अधिक सामान्य बीजगणितीय पूर्णांक से अलग किया जा सके। वास्तव में, (परिमेय) पूर्णांक बीजीय पूर्णांक होते हैं जो कि परिमेय संख्याएँ भी होते हैं।

चिन्ह
अलग-अलग लेखकों के द्वारा $$\mathbb{Z}$$ चिन्ह को विभिन्न समुच्चय में दर्शाया एवं उपयोग में लाया जाता है: $$\mathbb{Z}^+$$,$$\mathbb{Z}_+$$ या $$\mathbb{Z}^{>}$$धनात्मक पूर्णांकों के लिए, $$\mathbb{Z}^{0+}$$ या $$\mathbb{Z}^{\geq}$$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए, और $$\mathbb{Z}^{\neq}$$ गैर-शून्य पूर्णांक के लिए है। कुछ लेखक गैर-शून्य पूर्णांक के लिए $$\mathbb{Z}^{*}$$उपयोग करते हैं, जबकि अन्य इसे गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए, या${–1, 1}$ के लिए उपयोग करते हैं। इसके अतिरिक्त, $$\mathbb{Z}_{p}$$ पूर्णांक मोडुलो के समुच्चय को निरूपित करने के लिए उपयोग किया जाता है $p$(यानी, पूर्णांक की बधाई वर्गों का समुच्चय), या पी-एडिक पूर्णांक का समुच्चय |$p$- पूर्णांक हैं।

बीजीय गुण
प्राकृतिक संख्याओं की तरह ही, $$\mathbb{Z}$$ जोड़ और गुणा के संक्रिया के अधीन समाप्ति है।

प्राकृतिक संख्याओं की तरह, $$\mathbb{Z}$$ जोड़ और गुणन के संचालन के तहत बंद है, यानी कि किन्हीं दो पूर्णांकों का योग और गुणनफल एक पूर्णांक होता है। हालांकि, ऋणात्मक प्राकृतिक संख्याओं को समावेश करने के साथ (और महत्वपूर्ण रूप से, ), $$\mathbb{Z}$$, प्राकृतिक संख्याओं से भिन्न, यह भी घटाव में समाप्त होता है।।

पूर्णांक एक एकात्मक वलय (यूनिटल रिंग) बनाते हैं जो निम्नलिखित अर्थों में सबसे आधारभूत है: किसी भी एकात्मक वलय (यूनिटल रिंग) के लिए, इस वलय (रिंग) के पूर्णांकों में एक अद्वितीय वलय से समरूपता होती है। यह इसका  सार्वभौमिक गुण होता है,अर्थात वलय $$\mathbb{Z}$$ की विशेषता वलय की श्रृंखला में एक प्रारंभिक विषय होने के कारण होती है।

विभाजन $$\mathbb{Z}$$ के अंतर्गत समाप्त नहीं होता है, क्योंकि दो पूर्णांकों का भागफल (जैसे, 1 से विभाजित 2) एक पूर्णांक हो ऐसा आवश्यक नहीं है। यद्यपि प्राकृतिक संख्याएं घातांक के अंतर्गत बंद होती हैं, जो कि पूर्णांक नहीं होते हैं (क्योंकि घातांक का ऋणात्मक होने पर परिणाम भिन्न हो सकता है)।

निम्न तालिका किसी भी पूर्णांक के लिए जोड़ और गुणन के कुछ मूल गुणों को सूचीबद्ध करती है $a$, $b$ तथा $c$: जोड़ने के लिए ऊपर सूचीबद्ध पहले पांच गुणों का तात्यपर्य यह है कि $$\mathbb{Z}$$ इसके भिन्न, एक एबेलियन समूह भी है और यह एक चक्रीय समूह भी है, क्योंकि प्रत्येक गैर-शून्य पूर्णांक को एक परिमित योग 1 + 1 + ... + 1 या (−1) + (−1) + ... + (−1) की तरह लिखा जा सकता है। वास्तव में, $$\mathbb{Z}$$ इसके अतिरिक्त एकमात्र अनंत चक्रीय समूह है - इस अर्थ में कि कोई भी अनंत चक्रीय समूह $$\mathbb{Z}$$  के समान (आइसोमोर्फिक) है।

गुणन के लिए ऊपर सूचीबद्ध पहले चार गुण कहते हैं कि $$\mathbb{Z}$$ गुणन की तहत एक विनिमेय एकाभ (कम्यूटेटिव मोनोइड) है। हालांकि, प्रत्येक पूर्णांक में एक गुणात्मक प्रतिलोम नहीं होता है (जैसा कि संख्या 2 में दर्शाया गया है), जिसका अर्थ है कि $$\mathbb{Z}$$ गुणन की तहत एक समूह नहीं है।

उपरोक्त तालिका से सभी नियम (अंतिम को छोड़कर), जब एक साथ लिये  जाते है, तो $$\mathbb{Z}$$ जोड़ और गुणा की समानता के साथ एक विनमय वृत्त  (कम्यूटिव रिंग) है। यह बीजीय संरचना का मूलरूप (प्रोटोटाइप) है। $$\mathbb{Z}$$ परिवर्तनशील सभी मूल्य के लिए व्यंजकों की केवल वही समानताएँ सत्य हैं, जो किसी एकात्मक विनिमेय वलय में सत्य हैं। कुछ गैर-शून्य पूर्णांक कुछ वलयों में शून्य पर सम्बद्ध करते हैं।

पूर्णांकों में शून्य भाजक की कमी (तालिका में अंतिम गुण) का अर्थ है कि कम्यूटेटिव रिंग $$\mathbb{Z}$$ पूर्णांकी है

गुणक व्युत्क्रम की कमी, जो कि इस तथ्य के बराबर है कि $$\mathbb{Z}$$ विभाजन के अंतर्गत संकुचित नहीं है, अर्थात $$\mathbb{Z}$$ आधार  नहीं है। उप वलय के रूप में पूर्णांकों वाला सबसे सिद्धान्त परिमेय संख्याओं का सिद्धान्त है। पूर्णांकों से परिमेय बनाने की प्रक्रिया का पालन करके, किसी भी अविभाज्य  सिद्धान्त के भिन्नात्मक सिद्धान्त बनाए जा सकते हैं। बीजीय संख्या सिद्धान्त (परिमेय संख्याओं का एक विस्तार) से प्रारम्भ होकर, इसके पूर्णांकों के  वलय को ढूंढ सकता है, जिसमें $$\mathbb{Z}$$ उप वलय है।

हालांकि सामान्य विभाजन को Z पर परिभाषित नहीं किया गया है, परन्तु  शेष के साथ विभाजन पर परिभाषित किए गए हैं। इसे यूक्लिडियन डिवीजन कहा जाता है, और निम्नलिखित महत्वपूर्ण गुण है: दो पूर्णांक को देखते हुए $a + b$ तथा $a × b$ साथ $a + (b + c) = (a + b) + c$, अद्वितीय पूर्णांक मौजूद हैं $a × (b × c) = (a × b) × c$ तथा $a + b = b + a$ ऐसा है कि $a × b = b × a$ और 0 ≤ r <  |b|, कहाँ पे $a + 0 = a$ के निरपेक्ष मूल्य को दर्शाता है पूर्णांक $a × 1 = a$ भागफल कहा जाता है और $a + (−a) = 0$ को $−1$ से $1$ के भाग का शेषफल कहा जाता है। सबसे बड़े सामान्य भाजक की गणना के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म यूक्लिडियन डिवीजनों के अनुक्रम द्वारा काम करता है।

उपरोक्त कहता है कि $$\mathbb{Z}$$ एक यूक्लिडियन डोमेन है। यह बताता है कि $$\mathbb{Z}$$ एक प्रमुख आदर्श डोमेन है, और किसी भी धनात्मक पूर्णांक को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में अनिवार्य रूप से अद्वितीय तरीके से लिखा जा सकता है। यह अंकगणित का मौलिक प्रमेय है।

आदेश-सिद्धांत गुण
ऊपरी या निचले सीमा के बिना $$\mathbb{Z}$$ पूरी तरह से क्रम किया गया समुच्चय है। यहाँ $$\mathbb{Z}$$ क्रम दिया गया है$a × (b + c) = (a × b) + (a × c)$पूर्णांक धनात्मक होता है यदि यह शून्य से बड़ा है, और ऋणात्मक है यदि यह शून्य से कम है। शून्य को न तो ऋणात्मक और न ही धनात्मक के रूप में परिभाषित किया गया है।

पूर्णांकों का क्रम निम्नलिखित तरीके से बीजीय संक्रियाओं के अनुकूल है:
 * 1) यदि $(a + b) × c = (a × c) + (b × c)$ तथा $a × b = 0$, फिर $$
 * 2) यदि $$ तथा $a$, फिर $b$।

इस प्रकार है $$\mathbb{Z}$$ उपरोक्त आदेश के साथ मिलकर एक आदेशित वलय है।

पूर्णांक एकमात्र अतुच्छ (non-trivial)पूरी तरह से क्रमबद्ध एबेलियन समूह हैं जिनके धनात्मक तत्व अच्छी तरह से व्यवस्थित हैं। यह इस कथन के समतुल्य है कि कोई भी नोथेरियन वैल्यूएशन रिंग या तो एक फील्ड है—या एक असतत वैल्यूएशन रिंग हैं।

निर्माण


प्राथमिक विद्यालय के शिक्षण में, पूर्णांक को अक्सर सहज रूप से (धनात्मक) प्राकृतिक संख्या, शून्य और प्राकृतिक संख्याओं के प्रतिरोध से परिभाषित किया जाता है। हालांकि, परिभाषा की यह शैली कई अलग-अलग सिद्धान्तों इंगित करती है (प्रत्येक अंकगणितीय संक्रिया को पूर्णांकों के प्रकारों के प्रत्येक संयोजन पर परिभाषित करने की आवश्यकता होती है) औऔर इससे यह सिद्ध करना कठिन हो जाता है कि पूर्णांक अंकगणित के विभिन्न नियमों का पालन करते हैं। इसलिए, आधुनिक सेट-सैद्धांतिक गणित में, कार्य अंतर के बिना अंकगणितीय संचालन को परिभाषित करने की अनुमति देने वाला प्रायः इसके बदले उपयोग किया जाता है। इस प्रकार पूर्णांकों को प्राकृत संख्याओं $b ≠ 0$ के क्रमित युग्मों के तुल्यता वर्गों के रूप में औपचारिक रूप से निर्मित किया जा सकता है.

अंतर्ज्ञान यह है कि $q$ $r$ को $a = q × b + r$ से घटाने के परिणाम के लिए है। इस अपेक्षा की पुष्टि करने के लिए कि 1 − 2 और 4 − 5 एक ही संख्या को दर्शाते हैं, हम इन $|b|$ पर निम्नलिखित नियम के साथ एक तुल्यता संबंध परिभाषित कर सकते हैं:
 * $$(a,b) \sim (c,d) $$

ठीक से
 * $$a + d = b + c. $$

पूर्णांक के जोड़ और गुणन को प्राकृतिक संख्याओं पर समकक्ष संचालन के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है; $q$ का उपयोग करके एक सदस्य के रूप में $r$ वाले समकक्ष वर्ग को दर्शाने के लिए, एक के पास है:
 * $$[(a,b)] + [(c,d)] := [(a+c,b+d)].$$
 * $$[(a,b)]\cdot[(c,d)] := [(ac+bd,ad+bc)].$$

पूर्णांक का निषेधन (या योगात्मक प्रतिलोम) युग्म के क्रम को उलट कर प्राप्त किया जाता है:
 * $$-[(a,b)] := [(b,a)].$$

इसलिए घटाव को योज्य प्रतिलोम के योग के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:
 * $$[(a,b)] - [(c,d)] := [(a+d,b+c)].$$

पूर्णांकों पर मानक क्रम निम्न द्वारा दिया गया है:
 * $$[(a,b)] < [(c,d)]$$ अगर और केवल अगर $$a+d < b+c.$$

रत्येक तुल्यता वर्ग में एक अद्वितीय सदस्य होता है जो $a$ या $b$ (या दोनों एक साथ) के रूप का होता है। प्राकृत संख्या $
 * ... −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < ...$ को वर्ग $a < b$ के साथ पहचाना जाता है (अर्थात, प्राकृतिक संख्याएँ $c < d$ को $a + c < b + d$ भेजकर पूर्णांकों में अंतःस्थापित होती हैं, और वर्ग $a < b$ निरूपित है $0 < c$ (इसमें शेष सभी वर्ग शामिल हैं, और $ac < bc$ बाद दूसरी बार वर्ग $(a,b)$ देता है।

इस प्रकार, $(a,b)$ को द्वारा निरूपित किया जाता है
 * $$\begin{cases} a - b, & \mbox{if } a \ge b  \\ -(b - a),  & \mbox{if } a < b. \end{cases}$$

यदि प्राकृतिक संख्याओं को संबंधित पूर्णांकों (उपरोक्त एम्बेडिंग का उपयोग करके) के साथ पहचाना जाता है, तो यह संयोजन कोई अस्पष्टता नहीं दर्शाता है।

यह संकेतन पूर्णांकों के प्रचलित प्रतिरूप को पुनः प्राप्त करता है: $b$।

कुछ उदाहरण निम्न हैं:
 * $$\begin{align}

0 &= [(0,0)] &= [(1,1)] &= \cdots & &= [(k,k)] \\ 1 &= [(1,0)] &= [(2,1)] &= \cdots & &= [(k+1,k)] \\ -1 &= [(0,1)] &= [(1,2)] &= \cdots & &= [(k,k+1)] \\ 2 &= [(2,0)] &= [(3,1)] &= \cdots & &= [(k+2,k)] \\ -2 &= [(0,2)] &= [(1,3)] &= \cdots & &= [(k,k+2)]. \end{align}$$ सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में, पूर्णांकों के निर्माण के लिए अन्य तरीकों का उपयोग स्वचालित प्रमेय प्रोवर्स और टर्म रीराइट इंजन द्वारा किया जाता है। पूर्णांकों को कुछ बुनियादी संक्रियाओं (जैसे, शून्य, SUCC, PRED) और, संभवतः, प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग करके निर्मित बीजगणितीय शब्दों के रूप में दर्शाया जाता है, जिन्हें पहले से ही निर्मित माना जाता है ( पीनो दृष्टिकोण का उपयोग करके, कहते हैं)।।

हस्ताक्षरित पूर्णांकों के कम से कम दस ऐसे निर्माण विद्यमान हैं। ये निर्माण कई मायनों में भिन्न हैं: निर्माण के लिए उपयोग किए जाने वाले बुनियादी कार्यों की संख्या, संख्या (आमतौर पर, 0 और 2 के बीच) और इन परिचालनों द्वारा स्वीकार किए गए तर्कों के प्रकार; इनमें से कुछ संक्रियाओं के तर्क के रूप में प्राकृत संख्याओं की उपस्थिति या अनुपस्थिति, और यह तथ्य कि ये संक्रियाएं स्वतंत्र रचनाकार हैं या नहीं, अर्थात्, एक ही पूर्णांक को केवल एक या अनेक बीजीय पदों का उपयोग करके प्रदर्शित किया जा सकता है।

इस खंड में ऊपर प्रस्तुत पूर्णांकों के निर्माण की तकनीक उस विशेष मामले से मेल खाती है जिसमे एकल मूल संचालन जोड़ी है $$(x,y)$$ जो तर्क के रूप में दो प्राकृतिक संख्याएँ लेता है $$x$$ तथा $$y$$, और एक पूर्णांक देता है (के बराबर $$x-y$$ ) यह ऑपरेशन मुफ़्त नहीं है क्योंकि पूर्णांक 0 को जोड़ी (0,0), या जोड़ी (1,1), या जोड़ी (2,2), आदि लिखा जा सकता है। निर्माण की इस तकनीक का उपयोग प्रूफ सहायक इसाबेल द्वारा किया जाता है; हालांकि, कई अन्य उपकरण वैकल्पिक निर्माण तकनीकों का उपयोग करते हैं, जो कि मुक्त निर्माणकर्ताओं पर आधारित उल्लेखनीय हैं, जो सरल हैं और कंप्यूटर में अधिक कुशलता से लागू किए जा सकते हैं।

कंप्यूटर विज्ञान
पूर्णांक प्रायः कंप्यूटर भाषाओं में एक प्राथमिक डेटा का प्रकार होता है। हालाँकि, पूर्णांक डेटा प्रकार केवल सभी पूर्णांकों के उप समुच्चय का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं, क्योंकि व्यावहारिक कंप्यूटर, सीमित क्षमतों के होते हैं। इसके अतिरिक्त, सामान्य दो के पूरक प्रतिनिधित्व में, संकेत की अंतर्निहित परिभाषा "ऋणात्मक, धनात्मक और" के बजाय "ऋणात्मक" और "गैर-ऋणात्मक" के बीच अंतर करती है। 0"। (हालांकि, कंप्यूटर के लिए निश्चित रूप से यह निर्धारित करना संभव है कि एक पूर्णांक मान वास्तव में धनात्मक है या नहीं।) निश्चित लंबाई पूर्णांक सन्निकटन डेटा प्रकार (या उप समुच्चय) को कई प्रोग्रामिंग भाषाओं (जैसे Algol68, C, Java, Delphi, आदि) में int या Integer निरूपित किया जाता है। )

पूर्णांक के परिवर्तनीय-लंबाई का प्रतिनिधित्व, जैसे कि बिग्नम, कंप्यूटर की मेमोरी में फिट होने वाले किसी भी पूर्णांक को संग्रहीत कर सकता है।अन्य पूर्णांक डेटा प्रकारों को एक निश्चित आकार के साथ लागू किया जाता है, आमतौर पर कई बिट्स जो & nbsp; 2 (4, 8, 16, आदि) या दशमलव अंकों की एक यादगार संख्या (जैसे, 9 या & nbsp; 10) की एक शक्ति है।

कार्डिनलिटी
पूर्णांकों के समुच्चय की प्रधानता $a$ ( aleph-null ) के बराबर होती है। यह आसानी से एक आक्षेप के निर्माण द्वारा प्रदर्शित किया जाता है, जो कि एक ऐसा कार्य है जो इंजेक्शन और विशेषण से है $$\mathbb{Z}$$ प्रति $$\mathbb{N}= \{0, 1, 2, ...\}.$$ इस तरह के एक समारोह के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:
 * $$f(x) = \begin{cases} -2x, & \mbox{if } x \leq 0\\ 2x-1, & \mbox{if }  x > 0, \end{cases} $$

ग्राफ के साथ (जोड़े का समुच्चय) $$(x, f(x))$$ है



इसका उलटा कार्य परिभाषित किया गया है
 * $$\begin{cases}g(2x) = -x\\g(2x-1)=x, \end{cases} $$

ग्राफ के साथ

यह भी देखें

 * एक धनात्मक पूर्णांक का विहित गुणनखंड
 * हाइपरइंटेगर
 * पूर्णांक जटिलता
 * पूर्णांक जाली
 * पूर्णांक भाग
 * पूर्णांक अनुक्रम
 * पूर्णांक-मूल्यवान फ़ंक्शन
 * गणितीय प्रतीक
 * समता (गणित)
 * अनंत पूर्णांक

स्रोत

 * बेल, ई.टी., गणित के पुरुष।न्यूयॉर्क: साइमन एंड शूस्टर, 1986. (हार्डकवर; ISBN 0-671-46400-0)/(पेपरबैक; ISBN 0-671-62818-6)
 * हर्स्टीन, आई.एन., बीजगणित में विषय, विली;2 संस्करण (20 जून, 1975), ISBN 0-471-01090-1।
 * मैक लेन, सॉन्डर्स, और गैरेट बिरखॉफ;बीजगणित, अमेरिकी गणितीय सोसायटी;तीसरा संस्करण (1999)। ISBN 0-8218-1646-2।

बाहरी संबंध

 * The Positive Integers – divisor tables and numeral representation tools
 * On-Line Encyclopedia of Integer Sequences cf OEIS
 * On-Line Encyclopedia of Integer Sequences cf OEIS

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