बास विसरण मॉडल

बास मॉडल या बास प्रसार मॉडल फ्रैंक बास द्वारा विकसित किया गया था। इसमें एक सरल अंतर समीकरण शामिल है जो इस प्रक्रिया का वर्णन करता है कि किसी आबादी में नए उत्पाद कैसे अपनाए जाते हैं। मॉडल एक तर्क प्रस्तुत करता है कि किसी नए उत्पाद को वर्तमान अपनाने वाले और संभावित अपनाने वाले कैसे परस्पर क्रिया करते हैं। मॉडल का मूल आधार यह है कि अपनाने वालों को नवप्रवर्तकों या नकल करने वालों के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है, और अपनाने की गति और समय उनके नवाचार की डिग्री और अपनाने वालों के बीच नकल की डिग्री पर निर्भर करता है। बास मॉडल का व्यापक रूप से पूर्वानुमान में उपयोग किया गया है, विशेष रूप से नए उत्पादों की बिक्री पूर्वानुमान और प्रौद्योगिकी पूर्वानुमान में। गणितीय रूप से, मूल बास प्रसार एक रिकाटी समीकरण है जिसमें वर्हुल्स्ट-पर्ल लॉजिस्टिक ग्रोथ के बराबर निरंतर गुणांक होता है।

1969 में, फ्रैंक बैस ने उपभोक्ता टिकाऊ वस्तु के लिए एक नए उत्पाद विकास मॉडल पर अपना पेपर प्रकाशित किया। इससे पहले, एवरेट रोजर्स ने Fusion-Innovations-5th-Everett-Rogers/dp/0743222091 डिफ्यूजन ऑफ इनोवेशन प्रकाशित किया था, जो एक बेहद प्रभावशाली काम था जिसमें उत्पाद अपनाने के विभिन्न चरणों का वर्णन किया गया था। बैस ने इस अवधारणा में कुछ गणितीय विचारों का योगदान दिया। जबकि रोजर्स मॉडल उत्पाद जीवनचक्र के सभी चार चरणों (परिचय, विकास, परिपक्वता, गिरावट) का वर्णन करता है, बास मॉडल पहले दो (परिचय और विकास) पर ध्यान केंद्रित करता है। कुछ बास-मॉडल एक्सटेंशन पिछले दो (परिपक्वता और गिरावट) के लिए गणितीय मॉडल प्रस्तुत करते हैं।

मॉडल सूत्रीकरण

 * $$\frac{f(t)}{1-F(t)} = p + q F(t)$$

कहाँ:
 * $$\ F(t) $$ स्थापित आधार अंश है
 * $$\ f(t) $$ स्थापित आधार अंश के परिवर्तन की दर है, अर्थात $$\ f(t)= F'(t) $$ * $$\ p $$ नवप्रवर्तन का गुणांक है
 * $$\ q $$ अनुकरण का गुणांक है

एक साधारण अंतर समीकरण के रूप में व्यक्त किया गया,
 * $$\frac{dF}{dt} = p (1-F) + q (1-F) F = (1-F)(p+qF).$$

बिक्री (या नए अपनाने वाले) $$\ s(t) $$ समय पर $$\ t$$ स्थापित आधार के परिवर्तन की दर है, अर्थात,  $$\ f(t) $$ अंतिम बाज़ार क्षमता से गुणा किया गया $$\ m $$. शर्त के तहत $$\ F(0)=0 $$, हमारे पास वह है


 * $$\ s(t)=mf(t) $$
 * $$\ s(t)=m{ \frac{(p+q)^2}{p}} \frac{e^{-(p+q)t}}{(1+\frac{q}{p}e^{-(p+q)t})^2} $$

हमारे पास विघटन है $$\ s(t)=s_n(t)+ s_i(t) $$ कहाँ $$\ s_n(t):= m p (1-F(t))$$ समय पर नवप्रवर्तकों की संख्या है $$\ t $$, और $$\ s_i(t):= m q (1-F(t))F(t) $$ समय पर नकल करने वालों की संख्या है $$\ t$$.

चरम बिक्री का समय $$\ t^* $$
 * $$\ t^*=\frac{\ln q - \ln p}{p+q} $$ विभक्ति का समय नए अपनाने वालों के वक्र t** पर इंगित करता है

$$\ t^{**}=\frac{\ln (q/p ) - \ln ( 2 \pm \sqrt { 3 }))}{p+q} $$ या किसी अन्य रूप में (शीर्ष बिक्री से संबंधित)

$$\ t^{**}= t^{*} \pm \frac{\ln ( 2 + \sqrt { 3 }))}{p+q} $$

चरम समय और विभक्ति बिंदुओं का समय सकारात्मक होना चाहिए। जब t* ऋणात्मक होता है तो बिक्री का कोई शिखर नहीं होता (और परिचय के बाद से इसमें गिरावट होती है)। ऐसे मामले हैं (पी, क्यू मानों के आधार पर) जब नए अपनाने वाले वक्र (जो 0 से शुरू होता है) में केवल एक या कोई विभक्ति बिंदु नहीं होता है।

स्पष्टीकरण
गुणांक पी को नवाचार, बाहरी प्रभाव या विज्ञापन प्रभाव का गुणांक कहा जाता है। गुणांक q को अनुकरण, आंतरिक प्रभाव या मौखिक प्रभाव का गुणांक कहा जाता है।

जब समय t को वर्षों में मापा जाता है तो p और q के विशिष्ट मान:
 * p का औसत मान 0.03 पाया गया है, जिसकी सामान्य सीमा 0.01 और 0.03 के बीच है
 * q का औसत मान 0.38 पाया गया है, जिसकी सामान्य सीमा 0.3 और 0.5 के बीच है

[[image:Bass adopters.svg [[image:Bass new adopters.svg

व्युत्पत्ति
बास प्रसार मॉडल खतरे की दर को मानकर तैयार किया गया है $$\lambda(t)$$ किसी उत्पाद या सेवा की प्राप्ति के लिए इसे इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:$$\lambda(t) = {f(t)\over{S(t)}} = p + q[1-S(t)]$$कहाँ $$f(t)$$ संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन है और $$S(t) = 1-F(t)$$ उत्तरजीविता कार्य है, साथ में $$F(t)$$ संचयी वितरण फ़ंक्शन होना। उत्तरजीविता विश्लेषण में इन बुनियादी परिभाषाओं से, हम जानते हैं कि:$$f(t) = -{dS\over{dt}} \implies \lambda(t) = -{1\over{S}}{dS\over{dt}}$$इसलिए, उत्तरजीविता फ़ंक्शन के लिए अंतर समीकरण इसके बराबर है:$${dS\over{S[p + q(1-S)]}} = -dt$$शब्दों का एकीकरण और पुनर्व्यवस्था हमें यह देती है:$${S\over{p+q(1-S)}} = Ae^{-(p+q)t}$$किसी भी जीवित रहने के कार्य के लिए, हमारे पास वह होना ही चाहिए $$S(0) = 1$$ और इसका तात्पर्य यह है $$A = p^{-1}$$. इस स्थिति के साथ, उत्तरजीविता कार्य है:$$S(t) = {e^{-(p+q)t} + {q\over{p}}e^{-(p+q)t}\over{1 + {q\over{p}} e^{-(p+q)t} }}$$अंत में, इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि $$F(t) = 1-S(t)$$, हम पाते हैं कि उत्पाद ग्रहण के लिए बास प्रसार मॉडल है:$$F(t) = {1 - e^{-(p+q)t}\over{1 + {q\over{p}} e^{-(p+q)t} }}$$

सामान्यीकृत बास मॉडल (मूल्य निर्धारण के साथ)
बैस ने पाया कि प्रबंधकीय निर्णय चर की एक विस्तृत श्रृंखला के बावजूद, उनका मॉडल लगभग सभी उत्पाद परिचय के लिए डेटा फिट बैठता है। मूल्य निर्धारण और विज्ञापन। इसका मतलब यह है कि निर्णय चर समय के साथ बास वक्र को स्थानांतरित कर सकते हैं, लेकिन वक्र का आकार हमेशा समान होता है।

हालाँकि मॉडल के कई विस्तार प्रस्तावित किए गए हैं, सामान्य परिस्थितियों में इनमें से केवल एक ही बास मॉडल तक सीमित है। [[image:Bass diffusion model.svg|rightयह मॉडल 1994 में फ्रैंक बास, त्रिची कृष्णन और दीपक जैन द्वारा विकसित किया गया था:


 * $$\frac{f(t)}{1-F(t)} = (p + {q}F(t)) x(t)$$

कहाँ $$\ x(t) $$ कीमत और अन्य चरों में प्रतिशत परिवर्तन का एक कार्य है

बास मॉडल के विपरीत, जिसमें एक विश्लेषणात्मक समाधान होता है, लेकिन इसे संख्यात्मक रूप से भी हल किया जा सकता है, सामान्यीकृत बास मॉडल में आमतौर पर विश्लेषणात्मक समाधान नहीं होते हैं और इन्हें संख्यात्मक रूप से हल किया जाना चाहिए। ओरबैक (2016) ध्यान दें कि निरंतर-समय और असतत-समय रूपों के लिए p,q के मान बिल्कुल समान नहीं हैं। सामान्य मामलों के लिए (जहाँ p 0.01-0.03 की सीमा के भीतर है और q 0.2-0.4 की सीमा के भीतर है) असतत-समय और निरंतर-समय के पूर्वानुमान बहुत करीब हैं। अन्य पी, क्यू मानों के लिए पूर्वानुमान महत्वपूर्ण रूप से भिन्न हो सकते हैं।

उत्तरोत्तर पीढ़ियाँ
प्रौद्योगिकी उत्पाद पीढ़ियों में एक दूसरे को सफल बनाते हैं। नॉर्टन और बैस ने 1987 में लगातार बार-बार खरीदारी के साथ उत्पादों की बिक्री के लिए मॉडल का विस्तार किया। तीन पीढ़ियों के लिए सूत्रीकरण इस प्रकार है:
 * $$\ S_{1,t} = F(t_1) m_1 (1-F(t_2)) $$
 * $$\ S_{2,t} = F(t_2) (m_2 + F(t_1) m_1 ) (1-F(t_3)) $$
 * $$\ S_{3,t} = F(t_3) (m_3 + F(t_2) (m_2 + F(t_1) m_1 )) $$

कहाँ यह पाया गया है कि पी और क्यू पद आम तौर पर क्रमिक पीढ़ियों के बीच समान होते हैं।
 * $$\ m_i = a_i M_i $$
 * $$\ M_i $$ Ith पीढ़ी के उत्पाद को अंतिम रूप से अपनाने वालों की वृद्धिशील संख्या है
 * $$\ a_i $$ पहली पीढ़ी के उत्पाद को अपनाने वालों के बीच औसत (निरंतर) बार-बार खरीदारी की दर है
 * $$\ t_i $$ यह पहली पीढ़ी के उत्पाद की शुरूआत के बाद का समय है
 * $$\ F(t_i) = \frac{1-e^{-(p+q)t_i}}{1+\frac{q}{p} e^{-(p+q)t_i}} $$

अन्य s-वक्रों के साथ संबंध
बास प्रसार मॉडल के दो विशेष मामले हैं।


 * पहला विशेष मामला तब होता है जब q=0, जब मॉडल घातीय वितरण तक कम हो जाता है।
 * दूसरा विशेष मामला लॉजिस्टिक वितरण तक सीमित हो जाता है, जब p=0.

बास मॉडल गामा/स्थानांतरित गोम्पर्ट्ज़ वितरण (जी/एसजी) का एक विशेष मामला है: बेम्मोर (1994)

ऑनलाइन सामाजिक नेटवर्क में उपयोग
ऑनलाइन सोशल नेटवर्क (और अन्य आभासी समुदायों) में तेजी से, हाल ही में (2007 की शुरुआत तक) वृद्धि के कारण बास प्रसार मॉडल का उपयोग बढ़ गया है। बास प्रसार मॉडल का उपयोग इन सामाजिक नेटवर्क के आकार और विकास दर का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है। क्रिश्चियन बॉकहेज और सह-लेखकों द्वारा काम दर्शाता है कि बास मॉडल वेइबुल वितरण और स्थानांतरित गोम्पर्ट्ज़ वितरण जैसे वैकल्पिक मॉडल की तुलना में भविष्य की अधिक निराशावादी तस्वीर प्रदान करता है।

पी, क्यू पैरामीटर की श्रेणियां
बास (1969) पी<क्यू के एक मामले के बीच अंतर किया गया है जिसमें आवधिक बिक्री बढ़ती है और फिर गिरावट आती है (एक सफल उत्पाद में आवधिक बिक्री शिखर होता है); और p>q का एक मामला जिसमें लॉन्च से समय-समय पर बिक्री में गिरावट आती है (कोई शिखर नहीं)।

जैन एट अल. (1995) बीजारोपण के प्रभाव का पता लगाया। सीडिंग का उपयोग करते समय, प्रसार तब शुरू हो सकता है जब p + qF(0) > 0, भले ही p का मान नकारात्मक हो, लेकिन एक विपणक F(0) > -p/q के बीज आकार के साथ सीडिंग रणनीति का उपयोग करता है। नकारात्मक पी मान की व्याख्या का मतलब यह नहीं है कि उत्पाद बेकार है: ऐसे मामले हो सकते हैं जिनमें गोद लेने के लिए कीमत या प्रयास बाधाएं होती हैं जब बहुत कम अन्य लोग पहले ही अपना चुके होते हैं। जब अन्य लोग इसे अपनाते हैं, तो बाह्यताओं या अनिश्चितता में कमी के कारण उत्पाद से लाभ बढ़ जाता है, और उत्पाद कई संभावित ग्राहकों के लिए अधिक से अधिक प्रशंसनीय हो जाता है।

मोल्दोवन और गोल्डनबर्ग (2004) प्रसार पर नकारात्मक वर्ड ऑफ माउथ (डब्ल्यूओएम) प्रभाव शामिल है, जो नकारात्मक क्यू की संभावना को दर्शाता है। नकारात्मक क्यू का मतलब यह नहीं है कि गोद लेने वाले अपनी खरीद से निराश और असंतुष्ट हैं। यह उस मामले में फिट हो सकता है जिसमें किसी उत्पाद को अधिक लोगों द्वारा अपनाए जाने पर उससे होने वाला लाभ कम हो जाता है। उदाहरण के लिए, ट्रेन यात्रा के लिए एक निश्चित मांग स्तर के लिए, आरक्षित टिकट उन लोगों को बेचे जा सकते हैं जो सीट की गारंटी चाहते हैं। जो लोग सीट आरक्षित नहीं कराते उन्हें खड़े होकर यात्रा करनी पड़ सकती है। जैसे-जैसे अधिक आरक्षित सीटें बेची जाती हैं, गैर-आरक्षित रेलरोड कार में भीड़ कम हो जाती है, और गैर-आरक्षित कार में सीट मिलने की संभावना बढ़ जाती है, जिससे आरक्षित सीटें खरीदने के लिए प्रोत्साहन कम हो जाता है। जबकि नकारात्मक q के साथ गैर-संचयी बिक्री वक्र q = 0 के समान है, संचयी बिक्री वक्र एक अधिक दिलचस्प स्थिति प्रस्तुत करता है: जब p > -q, बाजार अपनी क्षमता का 100% तक पहुंच जाएगा, अंततः, एक के लिए q का नियमित धनात्मक मान. हालाँकि, यदि p < -q, लंबी दूरी पर, बाजार अपनी क्षमता के संतुलन स्तर -p/q पर संतृप्त होगा।

ओरबैक (2022) पी, क्यू स्थान के प्रत्येक भाग में प्रसार व्यवहार को संक्षेप में प्रस्तुत किया गया है और सकारात्मक दाएं चतुर्थांश (जहां प्रसार सहज है) से परे विस्तारित (पी, क्यू) क्षेत्रों को अन्य क्षेत्रों में मैप किया गया है जहां प्रसार बाधाओं (नकारात्मक पी) का सामना करता है, जहां प्रसार की आवश्यकता होती है " शुरू करने के लिए उत्तेजनाएं, या नए सदस्यों के प्रति अपनाने वालों का प्रतिरोध (नकारात्मक क्यू), जो बाजार को पूर्ण गोद लेने के नीचे स्थिर कर सकता है, घटित होता है।

इस मॉडल को अपनाना
यह मॉडल विपणन में सर्वाधिक उद्धृत अनुभवजन्य सामान्यीकरणों में से एक है; अगस्त 2023 तक प्रबंधन विज्ञान में प्रकाशित पेपर ए न्यू प्रोडक्ट ग्रोथ फॉर मॉडल कंज्यूमर ड्यूरेबल्स में Google Scholar में (लगभग) 11352 उद्धरण थे। यह मॉडल विपणन और प्रबंधन विज्ञान में व्यापक रूप से प्रभावशाली रहा है। 2004 में इसे प्रबंधन विज्ञान के 50 साल के इतिहास में दस सबसे अधिक उद्धृत पत्रों में से एक के रूप में चुना गया था। इसे पांचवें स्थान पर रखा गया और यह सूची में एकमात्र मार्केटिंग पेपर था। बाद में इसे मैनेजमेंट साइंस के दिसंबर 2004 अंक में दोबारा प्रकाशित किया गया।

बास मॉडल उपभोक्ता टिकाऊ वस्तुओं के लिए विकसित किया गया था। हालाँकि, इसका उपयोग मूर्त, गैर-मूर्त, चिकित्सा सहित कई उपभोक्ता और औद्योगिक उत्पादों और सेवाओं की बाजार स्वीकृति का पूर्वानुमान लगाने के लिए भी किया गया है। और वित्तीय उत्पाद. सुलतान और अन्य। (1990) ने बास मॉडल को 213 उत्पाद श्रेणियों में लागू किया, ज्यादातर उपभोक्ता टिकाऊ वस्तुओं (कीमतों की एक विस्तृत श्रृंखला में) लेकिन मोटल और हाइब्रिड मकई के बीज जैसे औद्योगिक/कृषि उत्पादों जैसी सेवाओं के लिए भी।

यह भी देखें

 * नवीनता का प्रसार
 * भविष्यवाणी
 * आलसी उपयोगकर्ता मॉडल
 * गोम्पर्ट्ज़ वितरण स्थानांतरित