प्रतिचित्रण वर्ग समूह

गणित में, ज्यामितीय टोपोलॉजी के उपक्षेत्र में, मैपिंग क्लास ग्रुप एक टोपोलॉजिकल स्पेस का एक महत्वपूर्ण बीजगणितीय अपरिवर्तनीय है। संक्षेप में, मानचित्रण वर्ग समूह अंतरिक्ष की समरूपता के अनुरूप एक निश्चित असतत समूह है।

प्रेरणा
एक टोपोलॉजिकल स्पेस पर विचार करें, यानी अंतरिक्ष में बिंदुओं के बीच निकटता की कुछ धारणा वाला स्थान। हम होमोमोर्फिज्म के सेट को अंतरिक्ष से अपने आप में विचार कर सकते हैं, अर्थात, कंटीन्यूअस_फंक्शन#Continuous_functions_between_topological_spaces मैप्स विथ कंटीन्यूअस उलटा काम करना : ऐसे फंक्शन्स जो स्पेस को बिना तोड़े या चिपकाए लगातार स्पेस को स्ट्रेच और डिफॉर्म करते हैं।  होमियोमोर्फिज्म  के इस सेट को एक स्थान के रूप में ही माना जा सकता है। यह कार्यात्मक संरचना के तहत एक समूह बनाता है। हम होमोमोर्फिज्म के इस नए स्थान पर एक टोपोलॉजी को भी परिभाषित कर सकते हैं। इस नए फंक्शन स्पेस के  खुला सेट  उन फंक्शन्स के सेट से बने होंगे जो  कॉम्पैक्ट जगह  सबसेट K को ओपन सबसेट U में K और U रेंज के रूप में हमारे मूल टोपोलॉजिकल स्पेस में मैप करते हैं, जो उनके परिमित  चौराहा (सेट सिद्धांत)  के साथ पूरा होता है (जो होना चाहिए) टोपोलॉजी की परिभाषा द्वारा खुला) और मनमाना संघ (सेट सिद्धांत) (फिर से खुला होना चाहिए)। यह कार्यों के स्थान पर निरंतरता की धारणा देता है, ताकि हम होमियोमॉर्फिज्म के निरंतर विरूपण पर विचार कर सकें: होमोटॉपी कहा जाता है। हम होमोमोर्फिज्म की होमोटॉपी क्लासेस लेकर मैपिंग क्लास ग्रुप को परिभाषित करते हैं, और होमोमोर्फिज्म के स्थान पर पहले से मौजूद फंक्शनल कंपोजिशन ग्रुप स्ट्रक्चर से ग्रुप स्ट्रक्चर को प्रेरित करते हैं।

परिभाषा
मैपिंग क्लास ग्रुप शब्द का एक लचीला उपयोग है। बहुधा इसका प्रयोग कई गुना 'एम' के संदर्भ में किया जाता है। 'M' के मानचित्रण वर्ग समूह की व्याख्या 'M' के automorphism  के परिवेश समस्थानिक के समूह के रूप में की जाती है। इसलिए यदि 'एम' एक टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड है, तो मैपिंग क्लास ग्रुप 'एम' के होमोमोर्फिज्म समूह के आइसोटोपी क्लास का समूह है। यदि M एक  चिकना कई गुना  है, तो मैपिंग क्लास ग्रुप M के डिफियोमोर्फिज्म के आइसोटोपी क्लास का समूह है। जब भी किसी ऑब्जेक्ट 'एक्स' के ऑटोमोर्फिज्म के समूह में प्राकृतिक टोपोलॉजिकल स्पेस होता है, तो 'एक्स' के मैपिंग क्लास ग्रुप को परिभाषित किया जाता है $$\operatorname{Aut}(X)/\operatorname{Aut}_0(X)$$, कहाँ $$\operatorname{Aut}_0(X)$$ जुड़ा हुआ स्थान है | पहचान का पथ-घटक $$\operatorname{Aut}(X)$$. (ध्यान दें कि कॉम्पैक्ट-ओपन टोपोलॉजी में, पथ घटक और समस्थानिक वर्ग मेल खाते हैं, अर्थात, दो मानचित्र f और g एक ही पथ-घटक में हैं यदि वे समस्थानिक हैं). टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए, यह आमतौर पर कॉम्पैक्ट-ओपन टोपोलॉजी है। कम-आयामी टोपोलॉजी साहित्य में, एक्स के मानचित्रण वर्ग समूह को आम तौर पर एमसीजी (एक्स) दर्शाया जाता है, हालांकि इसे अक्सर निरूपित किया जाता है $$\pi_0(\operatorname{Aut}(X))$$, जहाँ ऑट के स्थान पर उस श्रेणी के सिद्धांत के लिए उपयुक्त समूह रखा जाता है जिससे X संबंधित है। यहाँ $$\pi_0$$ किसी स्थान के 0-वें होमोटॉपी समूह को दर्शाता है।

तो सामान्य तौर पर, समूहों का एक सटीक अनुक्रम # लघु सटीक अनुक्रम सटीक अनुक्रम होता है:


 * $$1 \rightarrow \operatorname{Aut}_0(X) \rightarrow \operatorname{Aut}(X) \rightarrow \operatorname{MCG}(X) \rightarrow 1.$$

अक्सर यह अनुक्रम सटीक अनुक्रम विभाजित नहीं होता है। होमोटॉपी श्रेणी में काम करने पर, एक्स का मैपिंग क्लास ग्रुप एक्स के होमोटॉपी के होमोटॉपी का समूह है।

मानचित्रण वर्ग समूहों के कई उपसमूह हैं जिनका अक्सर अध्ययन किया जाता है। यदि एम एक उन्मुख कई गुना है, $$\operatorname{Aut}(M)$$ M का ओरिएंटेशन-प्रिज़र्विंग ऑटोमोर्फिज्म होगा और इसलिए M का मैपिंग क्लास ग्रुप (एक ओरिएंटेड मैनिफोल्ड के रूप में) M के मैपिंग क्लास ग्रुप में इंडेक्स दो होगा (एक अनरिएंटेड मैनिफोल्ड के रूप में) बशर्ते M एक ओरिएंटेशन-रिवर्सिंग ऑटोमोर्फिज्म को स्वीकार करे। इसी प्रकार जो उपसमूह M के सभी समजातियों (गणित) पर सर्वसमिका का कार्य करता है, उसे M का 'टोरेली समूह' कहते हैं।

क्षेत्र
किसी भी श्रेणी में (चिकनी, पीएल, टोपोलॉजिकल, होमोटॉपी)
 * $$\operatorname{MCG}(S^2) \simeq \Z/2\Z,$$

एक सतत मानचित्रण की डिग्री के नक्शे के अनुरूप ±1।

टोरस
होमोटॉपी श्रेणी में
 * $$ \operatorname{MCG}(\mathbf{T}^n) \simeq \operatorname{GL}(n,\Z). $$

ऐसा इसलिए है क्योंकि टोरस#एन-डायमेंशनल टोरस|एन-डायमेंशनल टोरस $$\mathbf{T}^n = (S^1)^n$$ एक ईलेनबर्ग-मैकलेन स्थान है।

अन्य श्रेणियों के लिए यदि $$n\ge 5$$, one में निम्नलिखित विभाजन-सटीक क्रम हैं:

टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी में
 * $$0\to \Z_2^\infty\to \operatorname{MCG}(\mathbf{T}^n) \to \operatorname{GL}(n,\Z)\to 0$$

टुकड़े-टुकड़े रैखिक कई गुना | पीएल-श्रेणी में
 * $$0\to \Z_2^\infty\oplus\binom n2\Z_2\to \operatorname{MCG}(\mathbf{T}^n)\to \operatorname{GL}(n,\Z)\to 0$$

(⊕ प्रत्यक्ष योग का प्रतिनिधित्व)। स्मूथ मैनिफोल्ड में
 * $$0\to \Z_2^\infty\oplus\binom n2\Z_2\oplus\sum_{i=0}^n\binom n i\Gamma_{i+1}\to \operatorname{MCG}(\mathbf{T}^n)\to \operatorname{GL}(n,\Z)\to 0$$

कहाँ $$\Gamma_i$$ होमोटॉपी क्षेत्रों के केरवायर-मिल्नोर परिमित एबेलियन समूह हैं और $$\Z_2$$ क्रम 2 का समूह है।

सतहें
सतह (टोपोलॉजी) के मानचित्रण वर्ग समूहों का गहन अध्ययन किया गया है, और कभी-कभी उन्हें टीचमुलर मॉड्यूलर समूह कहा जाता है (विशेष मामले पर ध्यान दें) $$\operatorname{MCG}(\mathbf{T}^2)$$ ऊपर), चूंकि वे टीचमूलर अंतरिक्ष पर कार्य करते हैं और भागफल रिमेंन सतहों का मॉडुली स्थान है जो सतह पर होमोमोर्फिक है। ये समूह अतिशयोक्तिपूर्ण समूहों और उच्च रैंक रैखिक समूहों दोनों के समान सुविधाएँ प्रदर्शित करते हैं. उनके पास विलियम थर्स्टन के ज्यामितीय तीन-कई गुना के सिद्धांत में कई अनुप्रयोग हैं (उदाहरण के लिए, सतह बंडलों के लिए)। इस समूह के तत्वों का स्वयं भी अध्ययन किया गया है: एक महत्वपूर्ण परिणाम नीलसन-थर्स्टन वर्गीकरण प्रमेय है, और समूह के लिए एक जनक परिवार स्ट्रेच ट्विस्ट द्वारा दिया गया है जो एक अर्थ में सबसे सरल मानचित्रण वर्ग हैं। प्रत्येक परिमित समूह एक बंद, उन्मुख सतह के मानचित्रण वर्ग समूह का एक उपसमूह है; वास्तव में किसी भी परिमित समूह को कुछ कॉम्पैक्ट रीमैन सतह के आइसोमेट्री के समूह के रूप में महसूस किया जा सकता है (जिसका अर्थ है कि यह अंतर्निहित टोपोलॉजिकल सतह के मैपिंग वर्ग समूह में इंजेक्ट करता है)।

गैर-उन्मुख सतहें
कुछ उन्मुखीकरण | गैर-उन्मुख सतहों में सरल प्रस्तुतियों के साथ वर्ग समूहों का मानचित्रण होता है। उदाहरण के लिए, वास्तविक प्रक्षेपी तल का प्रत्येक होमोमोर्फिज्म $$\mathbf{P}^2(\R)$$ पहचान के लिए समस्थानिक है:


 * $$ \operatorname{MCG}(\mathbf{P}^2(\R)) = 1. $$

क्लेन बोतल K का मानचित्रण वर्ग समूह है:


 * $$ \operatorname{MCG}(K)= \Z_2 \oplus \Z_2.$$

चार तत्व पहचान हैं, दो तरफा वक्र पर एक देह मोड़ जो मोबियस पट्टी, लिकोरिश के y-होमियोमोर्फिज्म, और मोड़ और वाई-होमियोमोर्फिज्म के उत्पाद को बाध्य नहीं करता है। यह दिखाने के लिए एक अच्छा अभ्यास है कि देह मोड़ का वर्ग पहचान के लिए समस्थानिक है।

हम यह भी टिप्पणी करते हैं कि बंद जीनस (गणित) तीन गैर-उन्मुख सतह एन3 (तीन प्रोजेक्टिव विमानों का जुड़ा हुआ योग) है:


 * $$ \operatorname{MCG}(N_3) = \operatorname{GL}(2,\Z). $$

ऐसा इसलिए है क्योंकि सतह N में एकतरफा वक्रों का एक अनूठा वर्ग है, जैसे कि, जब N को इस तरह के वक्र C के साथ खोला जाता है, तो परिणामी सतह $$N\setminus C$$ एक डिस्क के साथ एक टोरस है जिसे हटा दिया गया है। एक गैर-उन्मुख सतह के रूप में, इसका मानचित्रण वर्ग समूह है $$\operatorname{GL}(2,\Z)$$. (प्रमेयिका 2.1 ).

3-कई गुना
3-मेनिफोल्ड्स के मैपिंग क्लास ग्रुप्स ने भी काफी अध्ययन प्राप्त किया है, और 2-मैनीफोल्ड्स के मैपिंग क्लास ग्रुप्स से निकटता से संबंधित हैं। उदाहरण के लिए, किसी भी परिमित समूह को कॉम्पैक्ट हाइपरबोलिक 3-मैनिफ़ोल्ड के मैपिंग क्लास ग्रुप (और आइसोमेट्री ग्रुप) के रूप में महसूस किया जा सकता है।

जोड़े के वर्ग समूहों का मानचित्रण
रिक्त स्थान (एक्स, ए) की एक जोड़ी को देखते हुए जोड़ी का मानचित्रण वर्ग समूह जोड़ी के ऑटोमोर्फिज्म का आइसोटोपी-वर्ग है, जहां (एक्स, ए) के ऑटोमोर्फिज्म को एक्स के ऑटोमोर्फिज्म के रूप में परिभाषित किया जाता है जो ए को संरक्षित करता है, यानी एफ : X → X व्युत्क्रमणीय है और f(A) = A.

गाँठ और कड़ियों का सममिति समूह
यदि के ⊂ 'एस'3 एक गाँठ (गणित) या एक लिंक (गांठ सिद्धांत) है, गाँठ के समरूपता समूह (प्रतिक्रिया लिंक) को जोड़ी के मानचित्रण वर्ग समूह (एस) के रूप में परिभाषित किया गया है 3, के)अतिशयोक्तिपूर्ण गाँठ गाँठ के समरूपता समूह को डायहेड्रल समूह या चक्रीय समूह के रूप में जाना जाता है, इसके अलावा प्रत्येक डायहेड्रल और चक्रीय समूह को गांठों के समरूपता समूह के रूप में महसूस किया जा सकता है। एक टोरस गाँठ का समरूपता समूह क्रम दो 'Z' के रूप में जाना जाता है2.

टोरेली समूह
ध्यान दें कि स्पेस एक्स के सह-समरूपता (गणित) (और कोहोलॉजी) पर मैपिंग क्लास ग्रुप की एक प्रेरित क्रिया है। ऐसा इसलिए है क्योंकि (सह) होमोलॉजी फंक्शनोरियल और होमियो है0 तुच्छ रूप से कार्य करता है (क्योंकि सभी तत्व समस्थानिक हैं, इसलिए पहचान के लिए होमोटोपिक हैं, जो तुच्छ रूप से कार्य करता है, और (सह) होमोलॉजी पर कार्रवाई समरूपता के तहत अपरिवर्तनीय है)। इस क्रिया का मूल टोरेली समूह है, जिसका नाम टोरेली प्रमेय के नाम पर रखा गया है।

उन्मुख सतहों के मामले में, यह पहली कोहोलॉजी एच पर कार्रवाई है1(Σ) ≅ Z2जी. अभिविन्यास-संरक्षण मानचित्र ठीक वे हैं जो शीर्ष कोहोलॉजी एच पर तुच्छ रूप से कार्य करते हैं2(Σ) ≅ Z. ​​H1(Σ) में एक सहानुभूतिपूर्ण ज्यामिति संरचना है, जो कप उत्पाद से आती है; चूंकि ये नक्शे ऑटोमोर्फिज्म हैं, और मैप्स कप उत्पाद को संरक्षित करते हैं, मैपिंग क्लास ग्रुप सिम्पलेक्टिक ऑटोमोर्फिज्म के रूप में कार्य करता है, और वास्तव में सभी सिम्प्लेक्टिक ऑटोमोर्फिज्म का एहसास होता है, जो संक्षिप्त सटीक अनुक्रम प्रदान करता है:
 * $$1 \to \operatorname{Tor}(\Sigma) \to \operatorname{MCG}(\Sigma) \to \operatorname{Sp}(H^1(\Sigma)) \cong \operatorname{Sp}_{2g}(\mathbf{Z}) \to 1$$

कोई इसे बढ़ा सकता है
 * $$1 \to \operatorname{Tor}(\Sigma) \to \operatorname{MCG}^*(\Sigma) \to \operatorname{Sp}^{\pm}(H^1(\Sigma)) \cong \operatorname{Sp}^{\pm}_{2g}(\mathbf{Z}) \to 1$$

सहानुभूतिपूर्ण समूह अच्छी तरह से समझा जाता है। इसलिए मानचित्रण वर्ग समूह की बीजगणितीय संरचना को समझने से अक्सर टोरेली समूह के बारे में प्रश्न कम हो जाते हैं।

ध्यान दें कि टोरस (जीनस 1) के लिए सहानुभूति समूह का नक्शा एक समरूपता है, और टोरेली समूह गायब हो जाता है।

स्थिर मानचित्रण वर्ग समूह
कोई सतह एम्बेड कर सकता है $$\Sigma_{g,1}$$ जीनस जी और 1 सीमा घटक में $$\Sigma_{g+1,1}$$ अंत में एक अतिरिक्त छेद जोड़कर (यानी, एक साथ चिपकाकर $$\Sigma_{g,1}$$ और $$\Sigma_{1,2}$$), और इस प्रकार सीमा तय करने वाली छोटी सतह के ऑटोमोर्फिज्म बड़ी सतह तक फैल जाते हैं। इन समूहों और समावेशन की सीधी सीमा लेने से स्थिर मानचित्रण वर्ग समूह प्राप्त होता है, जिसकी तर्कसंगत कोहोलॉजी रिंग डेविड ममफोर्ड द्वारा अनुमानित की गई थी (अनुमानों में से एक जिसे ममफोर्ड अनुमान (बहुविकल्पी) कहा जाता है)। इंटीग्रल (सिर्फ तर्कसंगत नहीं) कोहोलॉजी रिंग की गणना 2002 में इब पागल  और माइकल वीस (गणितज्ञ) द्वारा की गई थी, जो ममफोर्ड के अनुमान को साबित करता है।

यह भी देखें

 * ब्रेड समूह, पंचर डिस्क के मानचित्रण वर्ग समूह
 * होमोटोपी समूह
 * होम्योपैथी समूह
 * दीपक संबंध

बाहरी संबंध

 * Madsen-Weiss MCG Seminar; many references