फ़फ़ियान

गणित में, m×m विकर्ण-सममित आव्यूह के निर्धारक को सदैव आव्यूह प्रविष्टियों में बहुपद के वर्ग के रूप में लिखा जा सकता है, इस प्रकार किसी पूर्णांक के लिए उसके गुणांक वाले बहुपद में जो केवल m पर निर्भर करता है। जब m विषम होता है, तो बहुपद शून्य होता है। जब m सम होता है, तो यह घात m/2 का शून्येतर बहुपद के समान होता है, और इस प्रकार &pm;1 से गुणा करने तक अद्वितीय होता है। नीचे दिए गए उदाहरणों में विकर्ण-सममित त्रिविकर्ण आव्यूह पर संयोजन पुनः विशिष्ट बहुपद निर्धारित करता है, जिसे 'फ़फ़ियान ' बहुपद कहा जाता है। इस बहुपद का मान, जब विकर्ण-सममित आव्यूह की प्रविष्टियों पर लागू किया जाता है, तो उस आव्यूह का 'फ़फ़ियान' कहा जाता है। फ़फ़ियान शब्द का प्रारंभ किसके द्वारा की गई थी? , जिन्होंने अप्रत्यक्ष रूप से उनका नाम जोहान फ्रेडरिक पफैफ़ के नाम पर रखा था।

स्पष्ट रूप से, विकर्ण-सममित आव्यूह के लिए $$A$$ का मान इस प्रकार प्रदर्शित किया जा सकता हैं,
 * $$ \operatorname{pf}(A)^2=\det(A),$$

जो सर्वप्रथम द्वारा प्रमाणित हुआ था, जो विभेदक समीकरणों की फ़फ़ियान प्रणाली पर कार्य करने वाले इन बहुपदों को प्रस्तुत करने के लिए कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी का संकेत देते हैं। केली केवल पहली पंक्ति और पहले कॉलम में विकर्ण समरूपता से विचलित होने वाले आव्यूह पर अधिक सामान्य परिणाम पर विशेष ध्यान देकर यह संबंध प्राप्त करता है। ऐसे आव्यूह का निर्धारक मूल आव्यूह में पहले ऊपरी बाएँ प्रविष्टि को शून्य पर स्थित करके प्राप्त किए गए दो आव्यूह के फ़फ़ियान का उत्पाद है और पुनः क्रमशः, पहली पंक्ति के ऋणात्मक स्थानान्तरण को पहले कॉलम में और ऋणात्मक को कॉपी करता है। पहले कॉलम को पहली पंक्ति में स्थानांतरित किया जाता हैं। यह अवयस्कों पर निर्धारक का विस्तार करके और नीचे दिए गए प्रत्यावर्तन सूत्र को नियोजित करके प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जाता है।

उदाहरण

 * $$A=\begin{bmatrix} 0 & a \\ -a & 0  \end{bmatrix}.\qquad\operatorname{pf}(A)=a.$$
 * $$B=\begin{bmatrix}  0     & a & b \\ -a & 0        & c  \\   -b      &  -c       & 0 \end{bmatrix}.\qquad\operatorname{pf}(B)=0.$$

(3 विषम है, इसलिए B का फ़फ़ियान 0 है)


 * $$\operatorname{pf}\begin{bmatrix}   0     & a & b & c \\ -a & 0        & d & e  \\   -b      &  -d       & 0& f    \\-c &  -e      & -f & 0 \end{bmatrix}=af-be+dc.$$

2n × 2n विकर्ण-सममित त्रिविकर्ण आव्यूह का फ़फ़ियान इस प्रकार दिया गया है।
 * $$\operatorname{pf}\begin{bmatrix}

0 & a_1 & 0 & 0\\ -a_1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 &0 & a_2 \\ 0 & 0 & -a_2 &0&\ddots\\ &&&\ddots&\ddots& \\ &&&& &0&a_n\\ &&&&&-a_n&0 \end{bmatrix} = a_1 a_2\cdots a_n.$$ (ध्यान दें कि किसी भी विकर्ण-सममित आव्यूह को इस रूप में कम किया जा सकता है, इसके आधार पर विकर्ण-सममित आव्यूह स्पेक्ट्रल सिद्धांत या विकर्ण-सममित आव्यूह का स्पेक्ट्रल सिद्धांत देखें।)

औपचारिक परिभाषा
माना A = (ai,j) 2n × 2n विकर्ण-सममित आव्यूह हो। A के फ़फ़ियान को सूत्र द्वारा स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है


 * $$\operatorname{pf}(A) = \frac{1}{2^n n!}\sum_{\sigma\in S_{2n}}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}a_{\sigma(2i-1),\sigma(2i)} \,, $$

जहां s2n (2n) क्रम का सममित समूह है! और sgn(σ) σ का हस्ताक्षर (क्रम[[परिवर्तन)]] है।

सभी संभावित क्रमपरिवर्तनों के योग से बचने के लिए A की विकर्ण-समरूपता का उपयोग किया जा सकता है। मान लीजिए Π किसी समुच्चय के सभी विभाजनों का समुच्चय $\{1, 2, ..., 2n\}$ है, जिसके आदेश के बारे में सोचे बिना इसे जोड़े में प्रदर्शित कर सकते हैं। इसके लिए (2n)!/(2nn!) = (2n − 1)!! ऐसे विभाजन तत्व हैं जिसे α ∈ Π के रूप में लिखा जा सकता है।
 * $$\alpha=\{(i_1,j_1),(i_2,j_2),\cdots,(i_n,j_n)\}$$

इस प्रकार ik < jk और $$i_1 < i_2 < \cdots < i_n$$ के लिए
 * $$\pi_\alpha=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 2n -1 & 2n \\ i_1 & j_1 & i_2 & j_2 & \cdots & i_n & j_{n} \end{bmatrix}$$

संगत क्रमपरिवर्तन हो. ऊपर दिए गए विभाजन α को देखते हुए इसे इस प्रकार परिभाषित करते हैं।
 * $$ A_\alpha =\operatorname{sgn}(\pi_\alpha)a_{i_1,j_1}a_{i_2,j_2}\cdots a_{i_n,j_n}.$$

A का फ़फ़ियान तब इस प्रकार प्रदर्शित किया जाता है।
 * $$\operatorname{pf}(A)=\sum_{\alpha\in\Pi} A_\alpha.$$

n विषम के लिए n×n विकर्ण-सममित आव्यूह का फ़फ़ियान शून्य के रूप में परिभाषित किया गया है, क्योंकि विषम विकर्ण-सममित आव्यूह का निर्धारक शून्य है, क्योंकि विकर्ण-सममित आव्यूह के लिए, $$\det\,A = \det\,A^\text{T} = \det\left(-A\right) = (-1)^n \det\,A,$$ और n विषम के लिए, इसका तात्पर्य $$\det\,A = 0$$ है।

पुनरावर्ती परिभाषा
इसके अनुसार 0×0 आव्यूह का फ़फ़ियान के समान है। जिसके लिए विकर्ण-सममित 2n×2n आव्यूह A का फ़फ़ियान n > 0 की गणना पुनरावर्ती रूप से की जा सकती है।
 * $$\operatorname{pf}(A)=\sum_{{j=1}\atop{j\neq i}}^{2n}(-1)^{i+j+1+\theta(i-j)}a_{ij}\operatorname{pf}(A_{\hat{\imath}\hat{\jmath}}),$$

जहां सूचकांक I को इस प्रकार चुना जा सकता है, जहाँ $$\theta(i-j)$$ हेविसाइड स्टेप फलन है, और $$A_{\hat{\imath}\hat{\jmath}}$$ iवें और jवें दोनों पंक्तियों और स्तंभों को हटाकर आव्यूह A को दर्शाता है। यहाँ ध्यान दें कि विशेष विकल्प के लिए कैसे $$i=1$$ यह सरल अभिव्यक्ति को कम करता है:
 * $$\operatorname{pf}(A)=\sum_{j=2}^{2n}(-1)^{j}a_{1j}\operatorname{pf}(A_{\hat{1}\hat{\jmath}}).$$

वैकल्पिक परिभाषाएँ
कोई भी किसी भी विकर्ण-सममित 2n×2n आव्यूह से जुड़ सकता है, इस प्रकार A = (aij) बाह्य बीजगणित के लिए
 * $$\omega=\sum_{i<j} a_{ij}\;e_i\wedge e_j ,$$

जहाँ $\{e_{1}, e_{2}, ..., e_{2n}\}$ R2n का मानक आधार है। यहाँ पर फ़फ़ियान को पुनः समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है।
 * $$\frac{1}{n!}\omega^n = \operatorname{pf}(A)\;e_1\wedge e_2\wedge\cdots\wedge e_{2n},$$

यहाँ ωn ω की n प्रतियों के वेज उत्पाद को दर्शाता है।

समान रूप से हम बायवेक्टर पर विचार कर सकते हैं (जो तब अधिक सुविधाजनक होता है जब हम योग बाधा $$i < j$$ लागू नहीं करना चाहते हैं):$$\omega'=2 \omega = \sum_{i, j} a_{ij}\;e_i\wedge e_j,$$जो $$\omega'^n = 2^n n! \operatorname{pf}(A)\;e_1\wedge e_2\wedge\cdots\wedge e_{2n}.$$ मान प्रदान करता है। निर्धारकों से जुड़े कई इंटीग्रल पर डी ब्रुइज़न के कार्य में फ़फ़ियान से विषम-आयामी आव्यूह का गैर-शून्य सामान्यीकरण दिया गया है। इस प्रकार विशेष रूप से किसी के लिए $$m\times m$$-आव्यूह A, हम उपरोक्त औपचारिक परिभाषा का उपयोग करते हैं, किन्तु $$n = \lfloor m/2\rfloor $$ स्थित करते हैं। यहाँ पर m विषम होने पर कोई यह दिखा सकता है कि यह एन के सामान्य फ़फ़ियान के समान है, इस प्रकार $$(m+1) \times (m+1)$$-आयामी विकर्ण सममित आव्यूह हैं जहाँ हमने $$(m+1)$$वें स्तंभ में m तत्व को जोड़ा है, इस प्रकार a में में 1 सम्मिलित है, तथा $$(m+1)$$वीं पंक्ति में m तत्व -1 सम्मिलित है, और कोने का तत्व शून्य है। इसके आधार पर फ़फ़ियान के सामान्य गुण, उदाहरण के लिए निर्धारक से संबंध, पुनः इस विस्तारित आव्यूह पर लागू होते हैं।

गुण और अभिन्न
पफैफियंस में निम्नलिखित गुण होते हैं, जो निर्धारकों के समान होते हैं। इन गुणों का उपयोग करके, निर्धारकों की गणना के समान, फ़फ़ियान की शीघ्रता से गणना की जा सकती है।
 * एक पंक्ति और स्तंभ को स्थिरांक से गुणा करना फ़फ़ियान को उसी स्थिरांक से गुणा करने के समान होते हैं।
 * दो अलग-अलग पंक्तियों और संबंधित स्तंभों के साथ आदान-प्रदान से फ़फ़ियान का चिह्न परिवर्तित हो जाता है।
 * एक पंक्ति और संबंधित कॉलम का गुणज दूसरी पंक्ति और संबंधित कॉलम में जोड़ा जाने से फ़फ़ियान का मान परिवर्तित नहीं होता हैं।

विविध
2n × 2n विकर्ण-सममित आव्यूह A के लिए
 * $$\operatorname{pf}(A^\text{T}) = (-1)^n\operatorname{pf}(A).$$
 * $$\operatorname{pf}(\lambda A) = \lambda^n \operatorname{pf}(A).$$
 * $$\operatorname{pf}(A)^2 = \det(A).$$

इसके आधार पर 2n × 2n आव्यूह B के लिए,
 * $$\operatorname{pf}(BAB^\text{T})= \det(B)\operatorname{pf}(A).$$

इस समीकरण में B = Am प्रतिस्थापित करने पर, सभी पूर्णांकों के लिए m प्राप्त होता है
 * $$\operatorname{pf}(A^{2m+1})= (-1)^{nm}\operatorname{pf}(A)^{2m+1}.$$

$$

$$

व्युत्पन्न अभिन्न
यदि A किसी चर x पर निर्भर करता हैi, तो फ़फ़ियान की ग्रेडिएंट द्वारा दी गई है
 * $$\frac{1}{\operatorname{pf}(A)}\frac{\partial\operatorname{pf}(A)}{\partial x_i}=\frac{1}{2}\operatorname{tr}\left(A^{-1}\frac{\partial A}{\partial x_i}\right),$$

और फ़फ़ियान का हेस्सियन आव्यूह द्वारा दिया गया है
 * $$\frac{1}{\operatorname{pf}(A)}\frac{\partial^2\operatorname{pf}(A)}{\partial x_i\partial x_j}=\frac{1}{2}\operatorname{tr}\left(A^{-1}\frac{\partial^2 A}{\partial x_i\partial x_j}\right)-\frac{1}{2}\operatorname{tr}\left(A^{-1}\frac{\partial A}{\partial x_i}A^{-1}\frac{\partial A}{\partial x_j}\right)+\frac{1}{4}\operatorname{tr}\left(A^{-1}\frac{\partial A}{\partial x_i}\right)\operatorname{tr}\left(A^{-1}\frac{\partial A}{\partial x_j}\right).$$

अभिन्न का पता लगाना
विकर्ण-सममित आव्यूह A और B के फ़फ़ियान के उत्पाद को घातांक के रूप में दर्शाया जा सकता है
 * $$\textrm{pf}(A)\,\textrm{pf}(B) = \exp(\tfrac{1}{2}\mathrm{tr}\log(A^\text{T}B)).$$

मान लीजिए कि A और B 2n × 2n विकर्ण-सममित आव्यूह हैं
 * $$ \mathrm{pf}(A)\,\mathrm{pf}(B) = \tfrac{1}{n!} B_n(s_1, s_2, \ldots, s_n), \qquad \mathrm{where} \qquad s_l = - \tfrac{1}{2}(l - 1)!\,\mathrm{tr}((AB)^l)$$

और Bn(s1,s2,...,sn) बेल बहुपद हैं।

ब्लॉक आव्यूह
एक ब्लॉक-विकर्ण आव्यूह के लिए
 * $$A_1\oplus A_2=\begin{bmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{bmatrix},$$
 * $$\operatorname{pf}(A_1\oplus A_2) =\operatorname{pf}(A_1)\operatorname{pf}(A_2).$$

इसी प्रकार n × n आव्यूह में M मान के लिए:
 * $$\operatorname{pf}\begin{bmatrix} 0 & M \\ -M^\text{T} & 0  \end{bmatrix} =

(-1)^{n(n-1)/2}\det M.$$ विकर्ण-सममित आव्यूह के फ़फ़ियान की गणना करने के लिए अधिकांशतः $$ S $$ ब्लॉक संरचना के साथ इसकी आवश्यकता होती है।

S = \begin{pmatrix} M & Q\\-Q^\mathrm{T} & N \end{pmatrix}\, $$ जहाँ $$ M $$ और $$ N $$ विकर्ण-सममित आव्यूह हैं और $$ Q $$ सामान्य आयताकार आव्यूह है।

इस प्रकार जब $$ M $$ व्युत्क्रम होता है, तब हमारे पास निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता हैं।

\operatorname{pf}( S) = \operatorname{pf}( M)\operatorname{pf}( N+ Q^\mathrm{T}   M^{-1}  Q). $$ इसे ऐटकेन ब्लॉक-विकर्णीकरण सूत्र से देखा जा सकता है,
 * $$\begin{pmatrix}M& 0\\ 0 & N+Q^\mathrm{T} M^{-1} Q\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}I& 0\\ Q^\mathrm{T} M^{-1} & I\end{pmatrix}\begin{pmatrix} M& Q\\ -Q^\mathrm{T} & N\end{pmatrix} \begin{pmatrix}I& -M^{-1} Q\\ 0& I \end{pmatrix}.$$

इस अपघटन में सर्वांगसमता परिवर्तन सम्मिलित है, जो फ़फ़ियान मान $$ \operatorname{pf}(BAB^\mathrm{T}) = \operatorname{det}(B)\operatorname{pf}(A)$$ का उपयोग करने की अनुमति देता है।

इसी प्रकार, जब $$ N $$ व्युत्क्रम होता है तब हमारे पास निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है।

\operatorname{pf}( S) = \operatorname{pf}(N)\operatorname{pf}( M+ Q N^{-1} Q^\mathrm{T}), $$ जैसा कि अपघटन को नियोजित करके देखा जा सकता है।
 * $$\begin{pmatrix}M+Q N^{-1} Q^\mathrm{T}& 0\\ 0 & N\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}I& -Q N^{-1}\\ 0 & I\end{pmatrix}\begin{pmatrix} M& Q\\ -Q^\mathrm{T} & N\end{pmatrix} \begin{pmatrix}I& 0\\ N^{-1} Q^\mathrm{T}& I \end{pmatrix}.$$

फ़फ़ियान की संख्यात्मक गणना करना
मान लीजिए A 2n × 2n विकर्ण-सममित आव्यूह है
 * $$\textrm{pf}(A) = i^{(n^2)} \exp\left(\tfrac{1}{2}\mathrm{tr}\log((\sigma_y\otimes I_n)^\mathrm{T}\cdot A)\right), $$

जहाँ $$\sigma_y$$ दूसरा पॉल के आव्यूह है, इस प्रकार $$I_n$$ आयाम n का अभिन्न आव्यूह है, और हमने आव्यूह लघुगणक पर ट्रेस कर लिया जाता हैं।

यह समानता फ़फ़ियान ट्रेस करके अभिन्नता पर इसे आधारित किया जाता है।
 * $$\textrm{pf}(A)\,\textrm{pf}(B) = \exp\left(\tfrac{1}{2}\mathrm{tr}\log(A^\text{T}B)\right)$$

और उस अवलोकन $$\textrm{pf}(\sigma_y\otimes I_n)=(-i)^{n^2}$$ पर यह मान प्राप्त होता हैं।

चूंकि आव्यूह के लघुगणक की गणना कम्प्यूटरीकृत रूप से प्राप्त किये जाने वाला एक फलन है, इसके अतिरिक्त कोई इसके सभी आईजन मान ​​​​$$((\sigma_y\otimes I_n)^\mathrm{T}\cdot A)$$ की गणना कर सकता है, इन सभी का लॉग लेकर उन्हें सारांशित किया जाता हैं। यह प्रक्रिया केवल आव्यूह गुणों के लघुगणक $$\operatorname{tr}{\log{(AB)}} = \operatorname{tr}{\log{(A)}} + \operatorname{tr}{\log{(B)}} $$ का उपयोग करती है, इसे वोल्फ्राम मैथमैटिका में ही कथन के साथ लागू किया जाता है:

चूंकि, फ़फ़ियान बड़ा होने पर यह एल्गोरिथ्म अस्थिर है। इसके लिए आइजन मान $$(\sigma_y\otimes I_n)^\mathrm{T}\cdot A $$ आम तौर पर जटिल होगा, और इन जटिल आइजन मान ​​​​के लघुगणक को सामान्यतः $$ [-\pi, \pi] $$ पर प्राप्त कर लिया जाता है। इसे सारांशित करके वास्तविक मूल्यवान फ़फ़ियान के लिए, घातांक का तर्क फॉर्म $$ x + k\pi/2 $$ में दिया जाएगा। इस प्रकार कुछ पूर्णांकों के लिए $$k$$ जब $$x$$ के लिए अधिक होता है, इस स्थिति में जटिलता के क्रम में परिणामी संकेत की गणना में इस गोलाई में आने वाली त्रुटियां गैर-शून्य काल्पनिक घटक को जन्म दे सकती हैं।

इसके अन्य (अधिक) कुशल एल्गोरिदम के लिए देखें।

अनुप्रयोग

 * विभिन्न प्लेटफार्मों (पायथन, मैटलैब, मैथमेटिका) पर फ़फ़ियान की संख्यात्मक गणना के लिए यह फलन उपस्थित हैं।
 * फ़फ़ियान आधार के उचित ऑर्थोगोनल समूह परिवर्तन के अनुसार विकर्ण-सममित आव्यूह का अपरिवर्तनीय बहुपद है। इसी प्रकार यह चारित्रिक वर्गों के सिद्धांत में महत्वपूर्ण है। विशेष रूप से, इसका उपयोग रीमैनियन मैनिफोल्ड के यूलर वर्ग को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है, जिसका उपयोग सामान्यीकृत गॉस-बोनट प्रमेय में किया जाता है।
 * इस प्रकार किसी समतलीय ग्राफ में पूर्ण संयोजन की संख्या फ़फ़ियान द्वारा प्राप्त की जाती है, इसलिए एफकेटी एल्गोरिथ्म के माध्यम से बहुपद समय की गणना की जा सकती है। यह आश्चर्य की बात है कि सामान्य ग्राफ़ के लिए यह इस समस्या से बहुत कठिन है, तथाकथित शार्प-पी-कम्प्लीट या पी-कम्प्लीट के समान होता हैं। इस परिणाम का उपयोग आयत के डोमिनोज़ टाइलिंग की संख्या, भौतिकी में आइसिंग प्रारूप के विभाजन फलन (सांख्यिकीय यांत्रिकी), या यंत्र अधिगम में मार्कोव यादृच्छिक क्षेत्रों की गणना करने के लिए किया जाता है। जहां अंतर्निहित ग्राफ समतलीय है। इसका उपयोग कुछ अन्यथा प्रतीत होने वाली कठिन समस्याओं के लिए कुशल एल्गोरिदम प्राप्त करने के लिए भी किया जाता है, जिसमें कुछ प्रकार के प्रतिबंधित क्वांटम गणना के कुशल सिमुलेशन भी सम्मिलित हैं। इसकी अधिक जानकारी के लिए होलोग्राफिक एल्गोरिदम पढ़ें।

यह भी देखें

 * निर्धारक
 * डिमर प्रारूप
 * हफ़नियन
 * पॉलीओमिनो
 * सांख्यिकीय यांत्रिकी

संदर्भ

 * Reprinted in Collected mathematical papers, volume 2.
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बाहरी संबंध

 * Pfaffian at PlanetMath.org
 * T. Jones, The Pfaffian and the Wedge Product (a demonstration of the proof of the Pfaffian/determinant relationship)
 * R. Kenyon and A. Okounkov, What is ... a dimer?
 * W. Ledermann "A note on skew-symmetric determinants" https://www.researchgate.net/publication/231827602_A_note_on_skew-symmetric_determinants
 * W. Ledermann "A note on skew-symmetric determinants" https://www.researchgate.net/publication/231827602_A_note_on_skew-symmetric_determinants
 * W. Ledermann "A note on skew-symmetric determinants" https://www.researchgate.net/publication/231827602_A_note_on_skew-symmetric_determinants