एडिटिव श्वार्ज़ विधि

गणित में, एडिटिव श्वार्ज़ विधि, जिसका नाम हरमन ब्लैक के नाम पर रखा गया है, आंशिक अंतर समीकरण के लिए एक सीमा मूल्य समस्या को छोटे डोमेन पर सीमा मूल्य समस्याओं में विभाजित करके और परिणामों को जोड़कर हल करती है।

सिंहावलोकन
आंशिक अंतर समीकरण (पीडीई) का उपयोग सभी विज्ञानों से लेकर गणितीय मॉडलिंग घटनाओं तक में किया जाता है। व्याख्या के उद्देश्य से, हम एक उदाहरण भौतिक समस्या और उससे जुड़ी सीमा मूल्य समस्या (बीवीपी) देते हैं। भले ही पाठक नोटेशन से अपरिचित हो, उद्देश्य केवल यह दिखाना है कि लिखे जाने पर बीवीपी कैसा दिखता है।


 * (मॉडल समस्या) एक वर्गाकार धातु की प्लेट में ऊष्मा का वितरण इस प्रकार किया जाता है कि बाएं किनारे को 1 डिग्री पर रखा जाता है, और अन्य किनारों को 0 डिग्री पर रखा जाता है, इसे लंबे समय तक रखने के बाद निम्नलिखित सीमा मान समस्या को संतुष्ट किया जाता है :


 * एफxx(एक्स,वाई) + एफyy(एक्स,वाई) = 0
 * f(0,y) = 1; f(x,0) = f(x,1) = f(1,y) = 0


 * जहाँ f अज्ञात फलन (गणित) है, fxx और एफyy क्रमशः x और y के संबंध में दूसरे आंशिक व्युत्पन्न को निरूपित करें।

यहां, डोमेन (गणितीय विश्लेषण) वर्ग [0,1] × [0,1] है।

इस विशेष समस्या को बिल्कुल कागज पर हल किया जा सकता है, इसलिए कंप्यूटर की कोई आवश्यकता नहीं है। हालाँकि, यह एक असाधारण मामला है, और अधिकांश बीवीपी को सटीक रूप से हल नहीं किया जा सकता है। अनुमानित समाधान खोजने के लिए कंप्यूटर का उपयोग करना ही एकमात्र संभावना है।

कंप्यूटर पर समाधान
ऐसा करने का एक विशिष्ट तरीका वर्ग (ज्यामिति) [0,1] × [0,1] में नियमित अंतराल (गणित) पर एफ का नमूना लेना है। उदाहरण के लिए, हम x दिशा में x = 0.1, 0.2, ..., 0.8 और 0.9 पर 8 नमूने ले सकते हैं, और समान समन्वय प्रणाली पर y दिशा में 8 नमूने ले सकते हैं। फिर हमारे पास (0.2,0.8) और (0.6,0.6) जैसी जगहों पर वर्ग के 64 नमूने होंगे। कंप्यूटर प्रोग्राम का लक्ष्य उन 64 बिंदुओं पर f के मान की गणना करना होगा, जो वर्ग के एक अमूर्त फ़ंक्शन को खोजने से आसान लगता है।

कुछ कठिनाइयाँ हैं, उदाहरण के लिए एफ की गणना करना संभव नहीं हैxx(0.5,0.5) वर्ग में केवल 64 बिंदुओं पर एफ जानना। इसे दूर करने के लिए, कोई व्यक्ति व्युत्पन्नों के किसी प्रकार के संख्यात्मक सन्निकटन का उपयोग करता है, उदाहरण के लिए परिमित तत्व विधि या परिमित अंतर देखें। हम इन कठिनाइयों को नजरअंदाज करते हैं और समस्या के दूसरे पहलू पर ध्यान केंद्रित करते हैं।

रैखिक समस्याओं को हल करना
इस समस्या को हल करने के लिए हम जो भी तरीका चुनें, हमें समीकरणों की एक बड़ी रैखिक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता होगी। पाठक हाई स्कूल के समीकरणों की रैखिक प्रणालियों को याद कर सकते हैं, वे इस तरह दिखती हैं:


 * 2ए + 5बी = 12 (*)
 * 6a − 3b = −3

यह 2 अज्ञात (ए और बी) में 2 समीकरणों की एक प्रणाली है। यदि हम उपरोक्त सुझाए गए तरीके से बीवीपी को हल करते हैं, तो हमें 64 अज्ञात में 64 समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता होगी। आधुनिक कंप्यूटरों के लिए यह कोई कठिन समस्या नहीं है, लेकिन यदि हम बड़ी संख्या में नमूनों का उपयोग करते हैं, तो आधुनिक कंप्यूटर भी बीवीपी को बहुत कुशलता से हल नहीं कर सकते हैं।

डोमेन अपघटन
जो हमें डोमेन अपघटन विधियों तक लाता है। यदि हम डोमेन [0,1] × [0,1] को दो उपडोमेन [0,0.5] × [0,1] और [0.5,1] × [0,1] में विभाजित करते हैं, तो प्रत्येक में केवल आधा नमूना होता है अंक. इसलिए हम प्रत्येक उपडोमेन पर अपनी मॉडल समस्या के एक संस्करण को हल करने का प्रयास कर सकते हैं, लेकिन इस बार प्रत्येक उपडोमेन में केवल 32 नमूना बिंदु हैं। अंत में, प्रत्येक उपडोमेन पर समाधान दिए जाने पर, हम [0,1] × [0,1] पर मूल समस्या का समाधान प्राप्त करने के लिए उन्हें समेटने का प्रयास कर सकते हैं।

समस्याओं का आकार
रैखिक प्रणालियों के संदर्भ में, हम 64 अज्ञातों में 64 समीकरणों की प्रणाली को 32 अज्ञातों में 32 समीकरणों की दो प्रणालियों में विभाजित करने का प्रयास कर रहे हैं। निम्नलिखित कारणों से यह एक स्पष्ट लाभ होगा। सिस्टम (*) पर पीछे मुड़कर देखने पर, हम देखते हैं कि जानकारी के 6 महत्वपूर्ण टुकड़े हैं। वे a और b के गुणांक हैं (पहली पंक्ति पर 2,5 और दूसरी पंक्ति पर 6,−3), और दाईं ओर (जिसे हम 12,−3 के रूप में लिखते हैं)। दूसरी ओर, यदि हम 1 अज्ञात में 1 समीकरण की दो प्रणालियाँ लेते हैं, तो यह इस तरह दिख सकती है:


 * सिस्टम 1: 2ए = 12
 * सिस्टम 2: -3बी = −3

हम देखते हैं कि इस प्रणाली में जानकारी के केवल 4 महत्वपूर्ण टुकड़े हैं। इसका मतलब यह है कि एक कंप्यूटर प्रोग्राम के लिए एक 2×2 सिस्टम को हल करने की तुलना में दो 1×1 सिस्टम को हल करना आसान होगा, क्योंकि 1×1 सिस्टम की जोड़ी एकल 2×2 सिस्टम की तुलना में सरल होती है। जबकि 64×64 और 32×32 प्रणालियाँ यहाँ वर्णन करने के लिए बहुत बड़ी हैं, हम सादृश्य द्वारा कह सकते हैं कि 64×64 प्रणाली में 4160 जानकारी हैं, जबकि 32×32 प्रणालियों में से प्रत्येक में 1056, या लगभग एक चौथाई जानकारी है। 64×64 प्रणाली।

डोमेन अपघटन एल्गोरिथ्म
दुर्भाग्य से, तकनीकी कारणों से आमतौर पर हमारे 64 बिंदुओं के ग्रिड (रैखिक समीकरणों की 64x64 प्रणाली) को 32 बिंदुओं के दो ग्रिडों (रैखिक समीकरणों की दो 32x32 प्रणालियों) में विभाजित करना और 64 का उत्तर प्राप्त करना संभव नहीं है। ×64 प्रणाली. इसके बजाय, निम्नलिखित एल्गोरिदम वास्तव में होता है:


 * 1) 64×64 प्रणाली के अनुमानित समाधान से शुरुआत करें।
 * 2) 64×64 सिस्टम से, अनुमानित समाधान को बेहतर बनाने के लिए दो 32×32 सिस्टम बनाएं।
 * 3) दो 32×32 प्रणालियों को हल करें।
 * 4) 64×64 प्रणाली के अनुमानित समाधान को बेहतर बनाने के लिए दो 32×32 समाधानों को एक साथ रखें।
 * 5) यदि समाधान अभी भी बहुत अच्छा नहीं है, तो 2 से दोहराएं।

ऐसे दो तरीके हैं जिनसे यह आधार 64×64 प्रणाली को हल करने से बेहतर हो सकता है। सबसे पहले, यदि एल्गोरिदम की पुनरावृत्ति की संख्या छोटी है, तो दो 32×32 सिस्टम को हल करना 64×64 सिस्टम को हल करने की तुलना में अधिक कुशल हो सकता है। दूसरा, दो 32×32 सिस्टम को एक ही कंप्यूटर पर हल करने की आवश्यकता नहीं है, इसलिए इस एल्गोरिदम को कई कंप्यूटरों की शक्ति का उपयोग करने के लिए समानांतर में चलाया जा सकता है।

वास्तव में, एक ही कंप्यूटर पर 64×64 सिस्टम के बजाय दो 32×32 सिस्टम को हल करना (समानांतरता का उपयोग किए बिना) कुशल होने की संभावना नहीं है। हालाँकि, यदि हम दो से अधिक उपडोमेन का उपयोग करते हैं, तो तस्वीर बदल सकती है। उदाहरण के लिए, हम चार 16×16 समस्याओं का उपयोग कर सकते हैं, और ऐसी संभावना है कि इन्हें हल करना एकल 64×64 समस्या को हल करने से बेहतर होगा, भले ही डोमेन अपघटन एल्गोरिदम को कुछ बार पुनरावृत्त करने की आवश्यकता हो।

एक तकनीकी उदाहरण
यहां हम मानते हैं कि पाठक आंशिक अंतर समीकरणों से परिचित है।

हम आंशिक अवकल समीकरण को हल करेंगे


 * यूxx + यूyy = एफ (**)

हम अनंत पर सीमा थोपते हैं।

हम डोमेन 'R'² को दो अतिव्यापी उपडोमेन H में विघटित करते हैं1 = ( − ∞,1] × R और H2 = [0,+ ∞ ) × R. प्रत्येक उपडोमेन में, हम फॉर्म का एक BVP हल करेंगे:


 * यूजे )xx + यूजे )yy = एच में एफj
 * मेंजे )(xj,y) = g(y)

कहां एक्स1 = 1 और एक्स2 = 0 और अनंत पर सीमा को अन्य सीमा शर्त के रूप में लेना। हम समाधान को निरूपित करते हैं यूj ) उपरोक्त समस्या का S(f,g) द्वारा। ध्यान दें कि S द्विरेखीय है।

श्वार्ज़ एल्गोरिथ्म इस प्रकार आगे बढ़ता है:


 * 1) अनुमानित समाधानों से शुरुआत करें1 )0 और आप2 )0 उपडोमेन एच में पीडीई का1 और वह2 क्रमश। K से 1 आरंभ करें.
 * 2) आपकी गणना करेंजे )k + 1 = एस(एफ,यू(3 − जे)k(एक्सj)) j = 1,2 के साथ।
 * 3) k को एक से बढ़ाएं और पर्याप्त सटीकता प्राप्त होने तक 2 को दोहराएं।

यह भी देखें

 * डोमेन अपघटन विधि
 * श्वार्ज़ वैकल्पिक विधि

संदर्भ

 * Barry Smith, Petter Bjørstad, William Gropp, Domain Decomposition, Parallel Multilevel Methods for Elliptic Partial Differential Equations, Cambridge University Press 1996
 * Andrea Toselli and Olof Widlund, Domain Decomposition Methods - Algorithms and Theory, Springer Series in Computational Mathematics, Vol. 34, 2004

बाहरी संबंध

 * The official Domain Decomposition Methods page