एकपक्षीय संपर्क

संपर्क यांत्रिकी में, एकतरफा संपर्क शब्द, जिसे एकतरफा बाधा भी कहा जाता है, एक यांत्रिक बाधा (शास्त्रीय यांत्रिकी) को दर्शाता है जो दो कठोर/लचीले निकायों के बीच प्रवेश को रोकता है। इस तरह की बाधाएं गैर-चिकनी यांत्रिकी में सर्वव्यापी हैं। गैर-चिकनी मल्टीबॉडी डायनामिक्स अनुप्रयोग, जैसे दानेदार प्रवाह, पैर पैर वाला रोबोट, वाहन की गतिशीलता, कण भिगोना, अपूर्ण जोड़, या रॉकेट लैंडिंग। इन अनुप्रयोगों में, एकतरफा बाधाओं के परिणामस्वरूप प्रभाव हो रहा है, इसलिए ऐसी बाधाओं से निपटने के लिए उपयुक्त तरीकों की आवश्यकता होती है।

एकतरफा बाधाओं की मॉडलिंग
एकतरफा बाधाओं को मॉडल करने के लिए मुख्य रूप से दो प्रकार के तरीके हैं। पहला प्रकार सातत्य यांत्रिकी पर आधारित है, जिसमें हर्ट्ज़ के मॉडल, पेनल्टी विधियों और कुछ नियमितीकरण बल मॉडल का उपयोग करने के तरीके शामिल हैं, जबकि दूसरा प्रकार संपर्क गतिकी पर आधारित है। असमानता।

चिकनी संपर्क गतिशीलता
इस पद्धति में, एकतरफा बाधाओं द्वारा उत्पन्न सामान्य बलों को निकायों के स्थानीय भौतिक गुणों के अनुसार प्रतिरूपित किया जाता है। विशेष रूप से, संपर्क बल मॉडल सातत्य यांत्रिकी से प्राप्त होते हैं, और अंतर के कार्यों और पिंडों के प्रभाव वेग के रूप में व्यक्त किए जाते हैं। एक उदाहरण के रूप में, क्लासिक संपर्क यांत्रिकी का एक उदाहरण दाईं ओर की आकृति में दिखाया गया है। ऐसे मॉडल में, संपर्क को निकायों के स्थानीय विरूपण द्वारा समझाया गया है। कुछ समीक्षा वैज्ञानिक कार्यों में अधिक संपर्क मॉडल मिल सकते हैं  या संपर्क यांत्रिकी को समर्पित लेख में।

गैर-चिकनी संपर्क गतिशीलता
गैर-चिकनी विधि में, निकायों के बीच एकतरफा बातचीत मूल रूप से सिग्नोरिनी समस्या द्वारा प्रतिरूपित की जाती है गैर-प्रवेश के लिए, और प्रभाव प्रक्रिया को परिभाषित करने के लिए प्रभाव कानूनों का उपयोग किया जाता है। सिग्नोरिनी स्थिति को पूरकता समस्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$$g \geq 0, \quad \lambda \geq 0, \quad \lambda \perp g   $$,

कहाँ $$g $$ दो निकायों और के बीच की दूरी को दर्शाता है $$\lambda $$ एकतरफा बाधाओं द्वारा उत्पन्न संपर्क बल को दर्शाता है, जैसा कि नीचे की आकृति में दिखाया गया है। इसके अलावा, उत्तल सिद्धांत के समीपस्थ बिंदु की अवधारणा के संदर्भ में, सिग्नोरिनी स्थिति को समान रूप से व्यक्त किया जा सकता है जैसा:

$$\lambda ={\rm{proj}}_{\R^+}(\lambda -\rho g )$$,

कहाँ $$\rho>0$$ एक सहायक पैरामीटर को दर्शाता है, और $${\rm proj}_{\bf C}(x)$$ सेट में समीपस्थ बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है $$C$$ चर के लिए $$x$$, के रूप में परिभाषित:

$${\rm proj}_{\bf C}(x)={\rm argmin}_{y\in C}\|y-x\|$$.

उपरोक्त दोनों भाव एकतरफा बाधाओं के गतिशील व्यवहार का प्रतिनिधित्व करते हैं: एक ओर, जब सामान्य दूरी $$g_{\rm N} $$ शून्य से ऊपर है, संपर्क खुला है, जिसका अर्थ है कि पिंडों के बीच कोई संपर्क बल नहीं है, $$\lambda =0 $$; दूसरी ओर, जब सामान्य दूरी $$g_{\rm N} $$ शून्य के बराबर है, संपर्क बंद है, जिसके परिणामस्वरूप $$\lambda \geq0$$.

गैर-चिकनी सिद्धांत आधारित विधियों को लागू करते समय, ज्यादातर मामलों में वेग सिग्नोरिनी स्थिति या त्वरण सिग्नोरिनी स्थिति वास्तव में नियोजित होती है। वेग सिग्नोरिनी स्थिति को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

$$U_{\rm N}^{+}\geq 0,\quad \lambda \geq0,\quad U^{+}\lambda =0$$,

कहाँ $$U_{\rm N}^{+}$$ प्रभाव के बाद सापेक्ष सामान्य वेग को दर्शाता है। वेग सिग्नोरिनी स्थिति को पिछली शर्तों के साथ समझा जाना चाहिए $$g \geq 0,\;\lambda  \geq 0,\;\lambda  \perp g   $$. त्वरण सिग्नोरिनी स्थिति को बंद संपर्क के तहत माना जाता है ($$g =0, U_{\rm N}^{+}=0$$), जैसा:

$$\ddot g \geq 0,\quad \lambda \geq0,\quad \ddot g \lambda =0$$,

जहां ओवरडॉट्स समय के संबंध में दूसरे क्रम के व्युत्पन्न को दर्शाता है।

दो कठोर निकायों के बीच एकतरफा बाधाओं के लिए इस पद्धति का उपयोग करते समय, सिग्नोरिनी की स्थिति अकेले प्रभाव प्रक्रिया को मॉडल करने के लिए पर्याप्त नहीं है, इसलिए प्रभाव कानून, जो प्रभाव से पहले और बाद में राज्यों के बारे में जानकारी देते हैं, भी आवश्यक हैं। उदाहरण के लिए, जब न्यूटन बहाली कानून लागू होता है, तो बहाली के गुणांक को इस प्रकार परिभाषित किया जाएगा: $$e=-{U_{\rm N}^{+}}/{U_{\rm N}^{-}}$$, कहाँ $$U_{\rm N}^{-}$$प्रभाव से पहले सापेक्ष सामान्य वेग को दर्शाता है।

घर्षण एकतरफा बाधाएं
घर्षण एकतरफा बाधाओं के लिए, सामान्य संपर्क बलों को उपरोक्त तरीकों में से एक द्वारा तैयार किया जाता है, जबकि घर्षण बलों को आमतौर पर घर्षण के माध्यम से वर्णित किया जाता है। कूलम्ब का घर्षण कानून। कूलम्ब के घर्षण नियम को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: जब स्पर्शरेखा वेग $$U_{\rm T}$$ शून्य के बराबर नहीं है, अर्थात् जब दो पिंड फिसल रहे हों, घर्षण बल $$\lambda_{\rm T}$$ सामान्य संपर्क बल के समानुपाती होता है $$\lambda$$; जब इसके बजाय स्पर्शरेखा वेग $$U_{\rm T}$$ शून्य के बराबर है, अर्थात् जब दो शरीर अपेक्षाकृत स्थिर होते हैं, तो घर्षण बल $$\lambda_{\rm T}$$ अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल से अधिक नहीं है। अधिकतम अपव्यय सिद्धांत का उपयोग करके इस संबंध को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है, जैसा

$$\lambda_{\rm T} \in D(\mu \lambda)\forall S\in D(\mu \lambda)(S-\lambda_{\rm T})U_{\rm T}\geq 0,$$ कहाँ

$$D(\mu \lambda)=\{\forall x|-\mu \lambda\leq\|x\|\leq \mu \lambda\}$$ घर्षण शंकु का प्रतिनिधित्व करता है, और $$\mu$$ कीनेमेटिक घर्षण गुणांक को दर्शाता है। सामान्य संपर्क बल के समान, उपरोक्त सूत्रीकरण को समान रूप से समीपस्थ बिंदु की धारणा के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$$\lambda_{\rm T}={\rm{proj}}_{D(\mu\lambda)}(\lambda_T-\rho U_{\rm T})$$,

कहाँ $$\rho>0$$ एक सहायक पैरामीटर को दर्शाता है।

समाधान तकनीक
यदि एकतरफा बाधाओं को निरंतर यांत्रिकी आधारित संपर्क मॉडल द्वारा तैयार किया जाता है, तो संपर्क बलों की गणना सीधे एक स्पष्ट गणितीय सूत्र के माध्यम से की जा सकती है, जो पसंद के संपर्क मॉडल पर निर्भर करता है। यदि इसके बजाय गैर-चिकनी सिद्धांत आधारित पद्धति को नियोजित किया जाता है, तो सिग्नोरिनी स्थितियों के समाधान के लिए दो मुख्य सूत्रीकरण हैं: गैर-रैखिक पूरकता समस्या/रैखिक पूरकता समस्या (N/LCP) सूत्रीकरण और संवर्धित Lagrangian सूत्रीकरण। संपर्क मॉडल के समाधान के संबंध में, गैर-चिकनी विधि अधिक कठिन है, लेकिन कम्प्यूटेशनल दृष्टिकोण से कम खर्चीला है। पज़ौकी एट अल द्वारा संपर्क मॉडल और गैर-चिकनी सिद्धांत का उपयोग करके समाधान विधियों की अधिक विस्तृत तुलना की गई।

एन/एलसीपी योगों
इस दृष्टिकोण के बाद, एकतरफा बाधाओं के साथ गतिकी समीकरणों का समाधान N/LCPs के समाधान में बदल जाता है। विशेष रूप से, घर्षण रहित एकतरफा बाधाओं या समतलीय घर्षण के साथ एकतरफा बाधाओं के लिए, समस्या LCPs में बदल जाती है, जबकि घर्षण एकतरफा बाधाओं के लिए, समस्या NCPs में बदल जाती है। LCPs को हल करने के लिए, Lemek और Dantzig के एल्गोरिथम से उत्पन्न सिम्पलेक्स एल्गोरिथम सबसे लोकप्रिय तरीका है। दुर्भाग्य से, हालांकि, संख्यात्मक प्रयोगों से पता चलता है कि बड़ी संख्या में एकतरफा संपर्कों के साथ सिस्टम को संभालते समय धुरी एल्गोरिथ्म विफल हो सकता है, यहां तक ​​कि सर्वोत्तम अनुकूलन का उपयोग भी कर सकता है। एनसीपी के लिए, पॉलीहेड्रल सन्निकटन का उपयोग एनसीपी को एलसीपी के एक सेट में बदल सकता है, जिसे एलसीपी सॉल्वर द्वारा हल किया जा सकता है। इन तरीकों से परे अन्य दृष्टिकोण, जैसे एनसीपी-फ़ंक्शंस  या शंकु संपूरकता समस्याएँ (CCP) आधारित विधियाँ  एनसीपी को हल करने के लिए भी कार्यरत हैं।

संवर्धित Lagrangian सूत्रीकरण
N/LCP योगों से भिन्न, संवर्धित Lagrangian सूत्रीकरण ऊपर वर्णित समीपस्थ कार्यों का उपयोग करता है, $$\lambda={\rm{proj}}_{\R^+}(\lambda-\rho g)$$. डायनेमिक्स समीकरणों के साथ, यह फॉर्मूलेशन रूट-खोज एल्गोरिदम के माध्यम से हल किया जाता है। मशायेखी एट अल द्वारा एलसीपी योगों और संवर्धित लग्रांगियन सूत्रीकरण के बीच एक तुलनात्मक अध्ययन किया गया था।

यह भी देखें

 * टक्कर प्रतिक्रिया
 * परिवर्तनशील असमानताएँ
 * टक्कर प्रतिक्रिया
 * परिवर्तनशील असमानताएँ
 * टक्कर प्रतिक्रिया
 * परिवर्तनशील असमानताएँ
 * परिवर्तनशील असमानताएँ

ओपन-सोर्स सॉफ्टवेयर
गैर-चिकनी आधारित पद्धति का उपयोग करते हुए ओपन-सोर्स कोड और गैर-वाणिज्यिक पैकेज:
 * Chrono, एक ओपन सोर्स मल्टी-फिजिक्स सिमुलेशन इंजन, प्रोजेक्ट वेबसाइट भी देखें
 * Chrono, एक ओपन सोर्स मल्टी-फिजिक्स सिमुलेशन इंजन, प्रोजेक्ट वेबसाइट भी देखें

किताबें और लेख

 * एकरी वी., ब्रोगलीटो बी. न्यूमेरिकल मेथड्स फॉर नॉनस्मूथ डायनामिकल सिस्टम्स। यांत्रिकी और इलेक्ट्रॉनिक्स में अनुप्रयोग। स्प्रिंगर वेरलाग, LNACM 35, हीडलबर्ग, 2008।
 * ब्रोगलीटो बी. नॉनस्मूथ मैकेनिक्स। संचार और नियंत्रण इंजीनियरिंग श्रृंखला स्प्रिंगर-वर्लाग, लंदन, 1999 (2dn संस्करण)।
 * Demyanov, V.F., Stavroulakis, G.E., Polyakova, L.N., Panagiotopoulos, P.D. यांत्रिकी, इंजीनियरिंग और अर्थशास्त्र स्प्रिंगर 1996 में अर्धविभेद्यता और गैर-चिकनी मॉडलिंग
 * ग्लोकर, च। डायनेमिक वॉन स्टारकोर्परसिस्टमन मिट रिबंग अंड स्टोएसेन, VDI फोर्टस्क्रिट्सबेरिच्टे मैकेनिक/ब्रुचमैकेनिक का खंड 18/182। VDI Verlag, डसेलडोर्फ, 1995
 * ग्लॉकर च. और स्टडर सी। सूत्रीकरण और रैखिक पूरकता प्रणालियों के संख्यात्मक मूल्यांकन के लिए तैयारी। मल्टीबॉडी सिस्टम डायनामिक्स 13(4):447-463, 2005
 * जीन एम। गैर-चिकनी संपर्क गतिकी विधि। अनुप्रयुक्त यांत्रिकी और इंजीनियरिंग में कंप्यूटर तरीके 177(3-4):235-257, 1999
 * मोरो जे.जे. परिमित स्वतंत्रता गतिशीलता में एकतरफा संपर्क और शुष्क घर्षण, गैर-चिकनी यांत्रिकी और अनुप्रयोग, CISM पाठ्यक्रम और व्याख्यान का खंड 302। स्प्रिंगर, वीन, 1988
 * फीफर एफ., फोर्ज एम. और अलब्रिच एच. नॉन-स्मूथ मल्टीबॉडी डायनामिक्स के संख्यात्मक पहलू। गणना। तरीके मेक। इंजीनियरिंग 195(50-51):6891-6908, 2006
 * पोट्रा एफ.ए., एनेटेस्कु एम., गेवरिया बी. और ट्रिंकल जे. संपर्क, जोड़ों और घर्षण के साथ कठोर मल्टीबॉडी गतिशीलता को एकीकृत करने के लिए एक रैखिक रूप से अंतर्निहित समलम्बाकार विधि। इंट। जे अंक। मेथ। इंजीनियरिंग 66(7):1079-1124, 2006
 * स्टीवर्ट डी.ई. और ट्रिंकल जे.सी. इनलेस्टिक कोलिशन्स और कूलम्ब फ्रिक्शन के साथ रिजिड बॉडी डायनामिक्स के लिए एक इंप्लिसिट टाइम-स्टेपिंग स्कीम। इंट। जे अंक। मेथड्स इंजीनियरिंग 39(15):2673-2691, 1996
 * स्टूडर सी. नॉन-स्मूथ डायनामिकल सिस्टम्स का ऑगमेंटेड टाइम-स्टेपिंग इंटीग्रेशन, पीएचडी थीसिस ईटीएच ज्यूरिख, ईटीएच ई-कलेक्शन, 2008 में प्रदर्शित होने के लिए
 * स्टूडर सी. न्यूमेरिक्स ऑफ एकलेटरल कॉन्टैक्ट्स एंड फ्रिक्शन-- मॉडलिंग एंड न्यूमेरिकल टाइम इंटीग्रेशन इन नॉन-स्मूथ डायनामिक्स, लेक्चर नोट्स इन एप्लाइड एंड कम्प्यूटेशनल मैकेनिक्स, वॉल्यूम 47, स्प्रिंगर, बर्लिन, हीडलबर्ग, 2009

श्रेणी:यांत्रिकी