वास्तविक प्रक्षेपी तल

गणित में, वास्तविक प्रक्षेपी तल एक कॉम्पैक्ट गैर-उन्मुखता द्वि-आयामी कई गुना का एक उदाहरण है; दूसरे शब्दों में, एक तरफा सतह (टोपोलॉजी)। यह खुद को काटे बिना मानक त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एम्बेडिंग नहीं किया जा सकता है। इसमें ज्यामिति के लिए बुनियादी अनुप्रयोग हैं, क्योंकि वास्तविक प्रक्षेपी विमान का सामान्य निर्माण लाइनों की जगह के रूप में है $\mathbb{R}^3$ उत्पत्ति से गुजर रहा है।

मोबियस पट्टी के आधार पर एक निर्माण के संदर्भ में, विमान को अक्सर स्थलीय रूप से वर्णित किया जाता है: यदि कोई मोबियस पट्टी के (एकल) किनारे को सही दिशा में चिपका सकता है, तो वह प्रोजेक्टिव विमान प्राप्त करेगा। (यह त्रि-आयामी अंतरिक्ष में सतह के स्वयं को प्रतिच्छेद किए बिना नहीं किया जा सकता है।) समान रूप से, मोबियस पट्टी की सीमा के साथ एक डिस्क को चिपकाने से प्रक्षेपी विमान मिलता है। टोपोलॉजिकल रूप से, इसमें यूलर की विशेषता 1 है, इसलिए 1 का एक जीनस (गणित) (गैर-उन्मुख जीनस, यूलर जीनस) है।

चूंकि मोबियस पट्टी, बदले में, एक वर्ग (ज्यामिति) से इसके दो पक्षों को एक साथ आधा-मोड़ के साथ जोड़कर बनाया जा सकता है, वास्तविक प्रक्षेपी विमान इस प्रकार एक इकाई वर्ग के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है (अर्थात, $[0, 1] × [0,1]$) निम्नलिखित तुल्यता संबंधों द्वारा पहचाने गए पक्षों के साथ:
 * $(0, y) ~ (1, 1 − y)$ के लिए $0 ≤ y ≤ 1$

और
 * $(x, 0) ~ (1 − x, 1)$ के लिए $0 ≤ x ≤ 1,$

जैसा कि यहां दिखाए गए सबसे बाएं आरेख में है।

उदाहरण
प्रक्षेपी ज्यामिति आवश्यक रूप से वक्रता से संबंधित नहीं है और वास्तविक प्रक्षेपी विमान को कई अलग-अलग तरीकों से यूक्लिडियन विमान या 3-स्पेस में घुमाया और रखा जा सकता है। कुछ अधिक महत्वपूर्ण उदाहरणों का वर्णन नीचे किया गया है।

प्रक्षेपी तल को त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एम्बेड नहीं किया जा सकता है (जो बिना चौराहे के है)। सबूत है कि प्रोजेक्टिव विमान त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एम्बेड नहीं होता है: यह मानते हुए कि यह एम्बेड करता है, यह जॉर्डन वक्र प्रमेय द्वारा त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक कॉम्पैक्ट क्षेत्र को बाध्य करेगा। आउटवर्ड-पॉइंटिंग यूनिट नॉर्मल वेक्टर फील्ड तब बाउंड्री मैनिफोल्ड का ओरिएंटेशन (गणित) देगा, लेकिन बाउंड्री मैनिफोल्ड प्रोजेक्टिव प्लेन होगा, जो ओरिएंटेबल नहीं है। यह एक विरोधाभास है, और इसलिए हमारी यह धारणा कि यह एम्बेड करता है, गलत होना चाहिए।

प्रक्षेप्य क्षेत्र
एक गोले पर विचार करें, और गोले के बड़े वृत्तों को रेखाएँ होने दें, और प्रतिव्यासांत बिंदुओं के जोड़े को बिंदु होने दें। यह जाँचना आसान है कि यह प्रणाली प्रक्षेपी तल के लिए आवश्यक स्वयंसिद्धों का पालन करती है:


 * विभिन्न बड़े वृत्तों की कोई भी जोड़ी एंटीपोडल बिंदुओं की एक जोड़ी पर मिलती है; और
 * एंटीपोडल बिंदुओं के कोई भी दो अलग-अलग जोड़े एक बड़े वृत्त पर स्थित होते हैं।

यदि हम गोले के प्रत्येक बिंदु को उसके प्रतिमुख बिंदु से पहचानते हैं, तो हमें वास्तविक प्रक्षेपी तल का प्रतिनिधित्व मिलता है जिसमें प्रक्षेपी तल के बिंदु वास्तव में बिंदु होते हैं। इसका अर्थ यह है कि प्रक्षेपी तल, गोले को समतुल्यता संबंध ~ के अंतर्गत तुल्यता वर्गों में विभाजित करके प्राप्त किए गए गोले का भागफल स्थान है, जहाँ x ~ y सशर्त खंड y = x या y = −x है। आर में मूल से गुजरने वाली सभी रेखाओं के संग्रह के साथ गोले का यह भागफल स्थान होमियोमॉर्फिक है 3।

क्षेत्र से वास्तविक प्रक्षेपी तल पर भागफल मानचित्र वास्तव में एक दो शीट (यानी दो-से-एक) कवरिंग मानचित्र है। यह इस प्रकार है कि वास्तविक प्रोजेक्टिव विमान का मौलिक समूह क्रम 2 का चक्रीय समूह है; यानी, पूर्णांक मॉडुलो 2। जनरेटर होने के लिए ऊपर की आकृति से लूप एबी ले सकते हैं।

प्रक्षेप्य गोलार्द्ध
क्योंकि गोला वास्तविक प्रक्षेपी तल को दो बार ढकता है, समतल को एक बंद गोलार्द्ध के रूप में दर्शाया जा सकता है जिसके रिम के चारों ओर विपरीत बिंदु समान रूप से पहचाने जाते हैं।

लड़के की सतह - एक विसर्जन
प्रोजेक्टिव प्लेन 3-स्पेस में इमर्सन (गणित) हो सकता है (स्रोत स्थान के स्थानीय पड़ोस में आत्म-चौराहे नहीं हैं)। लड़के की सतह विसर्जन का एक उदाहरण है।

बहुफलकीय उदाहरणों में कम से कम नौ फलक होने चाहिए।

रोमन सतह
स्टेनर की रोमन सतह 3-अंतरिक्ष में प्रक्षेपी तल का एक अधिक पतित नक्शा है, जिसमें एक क्रॉस-कैप है।

एक बहुतल प्रतिनिधित्व टेट्राहेमीहेक्साइड्रोन है, जिसका वही सामान्य रूप है जो स्टेनर की रोमन सतह जैसा है, यहाँ दिखाया गया है।

हेमी पॉलीहेड्रा
विपरीत दिशा में देखते हुए, कुछ अमूर्त नियमित पॉलीटोप्स - हेमीक्यूब (ज्यामिति) | हेमी-क्यूब, हेमी-द्वादशफलक, और हेमी-विंशतिफलक - प्रोजेक्टिव प्लेन में नियमित आंकड़े के रूप में बनाए जा सकते हैं; प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रा भी देखें।

समतलीय अनुमान
प्रोजेक्टिव प्लेन के विभिन्न प्लानर (फ्लैट) अनुमानों या मैपिंग का वर्णन किया गया है। 1874 में क्लेन ने मानचित्रण का वर्णन किया: : $$k (x, y) = \left(1 + x^2 + y^2\right)^\frac{1}{2} \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}$$ प्रक्षेपी गोलार्द्ध का एक विमान पर केंद्रीय प्रक्षेपण नीचे वर्णित सामान्य अनंत प्रक्षेपी विमान उत्पन्न करता है।

क्रॉस-कैप्ड डिस्क
एक डिस्क (गणित) को क्रॉस-कैप से चिपकाकर एक बंद सतह प्राप्त की जाती है। इस सतह को निम्नलिखित समीकरणों द्वारा पैरामीट्रिक रूप से दर्शाया जा सकता है:
 * $$\begin{align}

X(u,v) &= r \, (1 + \cos v) \, \cos u, \\ Y(u,v) &= r \, (1 + \cos v) \, \sin u, \\ Z(u,v) &= -\operatorname{tanh}\left(u - \pi \right) \, r \, \sin v, \end{align}$$ जहाँ u और v दोनों का परिसर 0 से 2π तक है।

ये समीकरण एक टोरस्र्स के समान हैं। चित्र 1 एक बंद क्रॉस-कैप्ड डिस्क दिखाता है।

एक क्रॉस-कैप्ड डिस्क में समरूपता का एक तल होता है जो दोहरे बिंदुओं के रेखा खंड से होकर गुजरता है। चित्र 1 में क्रॉस-कैप्ड डिस्क को सममिति z = 0 के तल के ऊपर से देखा जा सकता है, लेकिन नीचे से देखने पर यह वैसी ही दिखेगी।

एक क्रॉस-कैप्ड डिस्क को इसके समरूपता के तल के साथ खुला काटा जा सकता है, जबकि यह सुनिश्चित किया जाता है कि इसके किसी भी दोहरे बिंदु के साथ कटौती न हो। परिणाम चित्र 2 में दिखाया गया है।

एक बार यह अपवाद हो जाने के बाद, यह देखा जाएगा कि कटा हुआ क्रॉस-कैप्ड डिस्क स्व-प्रतिच्छेदी डिस्क के लिए होमियोमोर्फिज्म है, जैसा कि चित्र 3 में दिखाया गया है।

स्व-प्रतिच्छेदी डिस्क एक साधारण डिस्क के लिए होमोमोर्फिक है। स्व-प्रतिच्छेदी डिस्क के पैरामीट्रिक समीकरण हैं:
 * $$\begin{align}

X(u, v) &= r \, v \, \cos 2u, \\ Y(u, v) &= r \, v \, \sin 2u, \\ Z(u, v) &= r \, v \, \cos u, \end{align}$$ जहाँ u 0 से 2π तक और v 0 से 1 तक होता है।

स्व-प्रतिच्छेदी डिस्क को समरूपता के तल पर प्रक्षेपित करना (पहले दिए गए पैरामीट्रिजेशन में z = 0) जो केवल दोहरे बिंदुओं से होकर गुजरता है, परिणाम एक साधारण डिस्क है जो स्वयं को दोहराती है (स्वयं पर दोगुनी हो जाती है)।

समतल z = 0 स्व-प्रतिच्छेदी डिस्क को डिस्क की एक जोड़ी में काटता है जो एक दूसरे के दर्पण प्रतिबिंब (गणित) हैं। डिस्क के केंद्र उत्पत्ति (गणित) पर होते हैं।

अब डिस्क के किनारों पर विचार करें (v = 1 के साथ)। स्व-प्रतिच्छेदी डिस्क के रिम पर बिंदु जोड़े में आते हैं जो समतल z = 0 के संबंध में एक दूसरे के प्रतिबिंब होते हैं।

बिंदुओं के इन युग्मों की पहचान करके, उन्हें एक दूसरे के समतुल्य बनाकर एक क्रॉस-कैप्ड डिस्क बनाई जाती है। इसका मतलब है कि मापदंडों (यू, 1) और निर्देशांक के साथ एक बिंदु $$(r \, \cos 2u, r \, \sin 2u, r \, \cos u)$$ बिंदु (u + π, 1) से पहचाना जाता है जिसके निर्देशांक हैं $$ (r \, \cos 2 u, r \, \sin 2 u, - r \, \cos u) $$. लेकिन इसका मतलब यह है कि (समतुल्य) साधारण डिस्क के रिम पर विपरीत बिंदुओं के जोड़े एक दूसरे के साथ पहचाने जाते हैं; डिस्क से वास्तविक प्रक्षेपी तल इस प्रकार बनता है। इसलिए, चित्र 1 में दिखाई गई सतह (डिस्क के साथ क्रॉस-कैप) स्थैतिक रूप से वास्तविक प्रोजेक्टिव प्लेन RP के समतुल्य है 2।

सजातीय निर्देशांक
समतल में बिंदुओं को सजातीय निर्देशांक द्वारा दर्शाया जा सकता है। एक बिंदु में सजातीय निर्देशांक होते हैं [x : y : z], जहां निर्देशांक [x : y : z] और [tx : ty : tz] को t के सभी अशून्य मानों के लिए एक ही बिंदु का प्रतिनिधित्व करने के लिए माना जाता है। निर्देशांक [x : y : 1] वाले बिंदु सामान्य वास्तविक तल होते हैं, जिन्हें प्रक्षेपी तल का 'परिमित भाग' कहा जाता है, और निर्देशांक वाले बिंदु [x : y : 0], जिन्हें 'अनंत पर बिंदु' या 'आदर्श बिंदु' कहा जाता है ', 'रेखा पर अनंत' नामक एक रेखा का गठन करें। (सजातीय निर्देशांक [0 : 0 : 0] किसी भी बिंदु का प्रतिनिधित्व नहीं करते।)

समतल में रेखाओं को सजातीय निर्देशांक द्वारा भी दर्शाया जा सकता है। विमान के अनुरूप एक प्रोजेक्टिव लाइन ax + by + cz = 0 आर में3 के समरूप निर्देशांक हैं (a : b : c)। इस प्रकार, इन निर्देशांकों में डी के सभी शून्येतर मानों के लिए तुल्यता संबंध (a : b : c) = (da : db : dc) है। इसलिए एक ही रेखा का एक अलग समीकरण dax+dby+dcz=0 समान सजातीय निर्देशांक देता है। एक बिंदु [x : y : z] एक रेखा पर स्थित है (a : b : c) यदि ax + by +cz = 0 है। इसलिए, निर्देशांक वाली रेखाएँ (a : b : c) जहाँ a, b दोनों 0 नहीं हैं, सामान्य वास्तविक तल की रेखाओं के अनुरूप हैं, क्योंकि उनमें ऐसे बिंदु हैं जो अनंत पर नहीं हैं। निर्देशांक वाली रेखा (0 : 0 : 1) अनंत पर रेखा है, क्योंकि इस पर केवल वही बिंदु हैं जिनके पास z = 0 है।

अंक, रेखाएँ और तल
पी में एक पंक्ति2 को समीकरण ax + by + cz = 0 द्वारा दर्शाया जा सकता है। यदि हम a, b, और c को स्तंभ सदिश 'ℓ' और x, y, z को स्तंभ सदिश 'x' मानते हैं तो उपरोक्त समीकरण को मैट्रिक्स रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:


 * 'एक्स'टीℓ = 0 या ℓ टीएक्स = 0।

वेक्टर संकेतन का उपयोग करके हम इसके बजाय x ⋅ ℓ = 0 या ℓ ⋅ x = 0 लिख सकते हैं।

समीकरण  के  (एक्सTℓ) = 0 (जो k एक गैर-शून्य अदिश राशि है) R में शून्य से गुजरने वाले समतल को पार करता है3 और k(x) एक रेखा को पार करते हैं, फिर से शून्य से होकर जाते हैं। समतल और रेखा वास्तविक निर्देशांक स्थान में रेखीय उपसमष्टि हैं|'R'3, जो हमेशा शून्य से होकर जाता है।

आदर्श बिंदु
पी में2 एक रेखा का समीकरण है ax + by + cz = 0 और यह समीकरण समीकरण को k से गुणा करके x, y समतल के समानांतर किसी भी तल पर एक रेखा का प्रतिनिधित्व कर सकता है।

अगर हमारे पास सामान्यीकृत सजातीय समन्वय है। z = 1 वाले सभी बिंदु एक समतल बनाते हैं। आइए मान लें कि हम उस विमान को देख रहे हैं (जेड अक्ष के साथ आगे की स्थिति से और मूल की तरफ देख रहे हैं) और विमान पर दो समांतर रेखाएं खींची गई हैं। जहां से हम खड़े हैं (हमारी दृश्य क्षमताओं को देखते हुए) हम केवल इतना ही विमान देख सकते हैं, जिसे हम आरेख में लाल रंग में उल्लिखित क्षेत्र के रूप में दर्शाते हैं। यदि हम जेड अक्ष के साथ विमान से दूर चलते हैं, (फिर भी पीछे की ओर मूल की ओर देख रहे हैं), तो हम विमान के और अधिक देख सकते हैं। हमारे देखने के क्षेत्र में मूल बिंदु स्थानांतरित हो गए हैं। हम सजातीय समन्वय को एक स्थिरांक से विभाजित करके इस गति को प्रतिबिंबित कर सकते हैं। बगल की छवि में हमने 2 से विभाजित किया है इसलिए z मान अब 0.5 हो जाता है। यदि हम काफी दूर चले जाते हैं तो हम जो देख रहे हैं वह दूरी में एक बिंदु बन जाता है। जैसे-जैसे हम दूर जाते हैं हम अधिक से अधिक समानांतर रेखाएँ देखते हैं। रेखाएँ अनंत पर एक रेखा पर मिलेंगी (एक रेखा जो विमान पर शून्य से होकर जाती है ). विमान पर लाइनें कब आदर्श बिन्दु हैं। पर विमान  अनंत पर रेखा है।

सजातीय बिंदु (0, 0, 0) वह जगह है जहां सभी वास्तविक बिंदु जाते हैं जब आप विमान को अनंत दूरी से देखते हैं, एक रेखा पर समतल वह है जहाँ समानांतर रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

द्वैत
समीकरण में दो कॉलम वेक्टर हैं। आप या तो स्थिर रख सकते हैं और दूसरे को बदल सकते हैं। यदि हम बिंदु x को स्थिर रखते हैं और गुणांक ℓ बदलते हैं तो हम बिंदु से होकर जाने वाली नई रेखाएँ बनाते हैं। यदि हम गुणांकों को स्थिर रखते हैं और उन बिंदुओं को बदलते हैं जो समीकरण को संतुष्ट करते हैं तो हम एक रेखा बनाते हैं। हम x को एक बिंदु के रूप में देखते हैं, क्योंकि जिन अक्षों का हम उपयोग कर रहे हैं वे हैं x, y, और z। यदि हम इसके बजाय 'a', b, c चिह्नित अक्षों का उपयोग करके गुणांकों को प्लॉट करते हैं, तो बिंदु रेखाएँ बन जाएंगे और रेखाएँ बिंदु बन जाएँगी। यदि आप x, y, और z चिह्नित अक्ष पर प्लॉट किए गए डेटा के साथ कुछ साबित करते हैं तो उसी तर्क का उपयोग अक्ष पर प्लॉट किए गए डेटा के लिए a,  चिह्नित किया जा सकता है बी , और  सी । वह द्वैत है।

बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखाएँ और रेखाओं का प्रतिच्छेदन (द्वंद्व का उपयोग करके)
समीकरण दो कॉलम वैक्टर के डॉट उत्पाद की गणना करता है। यदि वेक्टर ओर्थोगोनल हैं तो दो वैक्टरों का आंतरिक उत्पाद शून्य है। पी में2, बिंदु x के बीच की रेखा1 और एक्स2 एक कॉलम वेक्टर ℓ के रूप में दर्शाया जा सकता है जो समीकरणों को संतुष्ट करता है  और, या दूसरे शब्दों में एक कॉलम वेक्टर ℓ जो x के लिए ओर्थोगोनल है1 और एक्स2. क्रॉस उत्पाद ऐसे वेक्टर को खोजेगा: दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा में समीकरण द्वारा दिए गए सजातीय निर्देशांक हैं x1 × x2. दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन उसी तरह से पाया जा सकता है, द्वैत का उपयोग करते हुए, रेखाओं का प्रतिनिधित्व करने वाले वैक्टर के क्रॉस उत्पाद के रूप में, ℓ1 × ℓ2.

4-आयामी अंतरिक्ष में एम्बेड करना
प्रोजेक्टिव प्लेन 4-डायमेंशनल यूक्लिडियन स्पेस में एम्बेड होता है। वास्तविक प्रक्षेपी तल P2(R) दो-गोले का भागफल स्थान (टोपोलॉजी) है


 * एस2 = {(x, y, z) ∈ 'आर'3 : एक्स2 + और2 + के साथ2 = 1}

प्रतिव्यास संबंध द्वारा (x, y, z) ~ (−x, −y, −z). समारोह पर विचार करें R3 → R4 द्वारा दिए गए (x, y, z) ↦ (xy, xz, y2 − z2, 2yz). यह मानचित्र उस मानचित्र तक सीमित है जिसका डोमेन S है2 और, चूंकि प्रत्येक घटक सम कोटि का समांगी बहुपद है, यह R में समान मान लेता है4 S पर किन्ही दो प्रतिव्यासांत बिंदुओं में से प्रत्येक पर2। यह एक नक्शा देता है P 2(R) → R4. इसके अलावा, यह नक्शा एक एम्बेडिंग है। ध्यान दें कि यह एम्बेडिंग आर में प्रक्षेपण को स्वीकार करता है3 जो रोमन सतह है।

उच्च गैर-उन्मुख सतहें
क्रमिक रूप से प्रक्षेपी विमानों को एक साथ जोड़कर हमें उच्च जीनस (गणित) की गैर-उन्मुख सतहें मिलती हैं। ग्लूइंग प्रक्रिया में प्रत्येक सतह से एक छोटी सी डिस्क को काटना और उनकी सीमा वृत्तों की पहचान (ग्लूइंग) करना शामिल है। दो प्रोजेक्टिव विमानों को चिपकाने से क्लेन की बोतल बनती है।

मौलिक बहुभुज पर लेख उच्च गैर-उन्मुख सतहों का वर्णन करता है।

यह भी देखें

 * वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान
 * प्रोजेक्टिव स्पेस
 * पु की असमानता| वास्तविक प्रक्षेपी तल के लिए पु की असमानता
 * चिकना प्रक्षेपी विमान

संदर्भ

 * Coxeter, H.S.M. (1955), The Real Projective Plane, 2nd ed. Cambridge: At the University Press.
 * Reinhold Baer, Linear Algebra and Projective Geometry, Dover, 2005 (ISBN 0-486-44565-8 )

बाहरी संबंध

 * Line field coloring using Werner Boy's real projective plane immersion
 * The real projective plane on YouTube
 * The real projective plane on YouTube