अवस्थाओं का घनत्व

ठोस अवस्था भौतिकी और संघनित पदार्थ भौतिकी में, प्रणाली की अवस्थाओं का घनत्व (DOS) प्रति इकाई आवृत्ति रेंज में मोड की संख्या का वर्णन करता है। राज्यों के घनत्व के रूप में परिभाषित किया गया है $$ D(E) = N(E)/V $$, कहाँ $$N(E)\delta E$$ मात्रा की प्रणाली में राज्यों की संख्या है $$V$$ जिसकी ऊर्जा से सीमा में है $$E$$ को $$E+\delta E$$. यह गणितीय रूप से संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन द्वारा वितरण के रूप में दर्शाया गया है, और यह आम तौर पर सिस्टम द्वारा कब्जा किए गए विभिन्न राज्यों के स्थान और समय डोमेन पर औसत है। राज्यों का घनत्व सीधे सिस्टम के गुणों के फैलाव संबंधों से संबंधित है। विशिष्ट ऊर्जा स्तर पर उच्च DOS का अर्थ है कि कई राज्य व्यवसाय के लिए उपलब्ध हैं।

आम तौर पर, पदार्थ की अवस्थाओं का घनत्व निरंतर होता है। हालांकि पृथक प्रणालियों में, जैसे कि गैस चरण में परमाणु या अणु, घनत्व वितरण वर्णक्रमीय घनत्व की तरह असतत वितरण होता है। मूल प्रणाली की विकृतियों के कारण अक्सर स्थानीय विविधताओं को अक्सर राज्यों के स्थानीय घनत्व (एलडीओएस) के रूप में संदर्भित किया जाता है।

परिचय
क्वांटम यांत्रिक प्रणालियों में, तरंगें, या तरंग जैसे कण, प्रणाली द्वारा निर्धारित तरंगदैर्घ्य और प्रसार दिशाओं वाले मोड या अवस्थाओं पर कब्जा कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, कुछ प्रणालियों में, अंतर-परमाण्विक रिक्ति और सामग्री का परमाणु आवेश केवल कुछ तरंग दैर्ध्य के इलेक्ट्रॉन को ही मौजूद रहने की अनुमति दे सकता है। अन्य प्रणालियों में, सामग्री की क्रिस्टलीय संरचना तरंगों को दिशा में फैलाने की अनुमति दे सकती है, जबकि दूसरी दिशा में तरंग प्रसार को दबा सकती है। अक्सर, केवल विशिष्ट राज्यों को ही अनुमति दी जाती है। इस प्रकार, ऐसा हो सकता है कि कई राज्य विशिष्ट ऊर्जा स्तर पर व्यवसाय के लिए उपलब्ध हों, जबकि अन्य ऊर्जा स्तरों पर कोई राज्य उपलब्ध न हो।

चालन बैंड में इलेक्ट्रॉन के लिए अर्धचालक में वैलेंस और चालन बैंड के बीच बैंड किनारे पर इलेक्ट्रॉनों के राज्यों के घनत्व को देखते हुए, इलेक्ट्रॉन ऊर्जा में वृद्धि कब्जे के लिए अधिक राज्यों को उपलब्ध कराती है। वैकल्पिक रूप से, ऊर्जा के अंतराल के लिए राज्यों का घनत्व बंद है, जिसका अर्थ है कि सामग्री के बैंड अंतराल के भीतर इलेक्ट्रॉनों के कब्जे के लिए कोई राज्य उपलब्ध नहीं हैं। इस स्थिति का यह भी अर्थ है कि वैलेंस बैंड में किसी अन्य राज्य में संक्रमण के लिए चालन बैंड किनारे पर इलेक्ट्रॉन को सामग्री की कम से कम बैंड गैप ऊर्जा खोनी चाहिए।

यह निर्धारित करता है कि सामग्री प्रसार के आयाम में इन्सुलेटर (बिजली) या विद्युत कंडक्टर है या नहीं। इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना में राज्यों की संख्या का परिणाम चालन गुणों की भविष्यवाणी करने के लिए भी उपयोगी है। उदाहरण के लिए, आयामी क्रिस्टलीय संरचना में प्रति परमाणु इलेक्ट्रॉनों की विषम संख्या का परिणाम आधे भरे हुए शीर्ष बैंड में होता है; फर्मी स्तर पर मुक्त इलेक्ट्रॉन होते हैं जिसके परिणामस्वरूप धातु बनती है। दूसरी ओर, इलेक्ट्रॉनों की सम संख्या वास्तव में पूरी संख्या में बैंड भरती है, बाकी को खाली छोड़ देती है। यदि तब फर्मी स्तर उच्चतम व्याप्त अवस्था और निम्नतम खाली अवस्था के बीच अधिकृत बैंड गैप में स्थित है, तो सामग्री इन्सुलेटर या अर्धचालक होगी।

क्वांटम मैकेनिकल सिस्टम के आधार पर, राज्यों के घनत्व की गणना इलेक्ट्रॉनों, फोटोन या फोनन के लिए की जा सकती है, और इसे या तो ऊर्जा या तरंग वेक्टर k के कार्य के रूप में दिया जा सकता है। DOS के बीच ऊर्जा के कार्य के रूप में और DOS को तरंग सदिश के कार्य के रूप में परिवर्तित करने के लिए, E और k के बीच प्रणाली-विशिष्ट ऊर्जा फैलाव संबंध ज्ञात होना चाहिए।

सामान्य तौर पर, बैंड संरचना जैसे सिस्टम के टोपोलॉजिकल गुणों का राज्यों के घनत्व के गुणों पर बड़ा प्रभाव पड़ता है। न्यूट्रॉन स्टार में न्यूट्रोनियम और मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल (पतित पदार्थ और फर्मी गैस के उदाहरण) जैसी सबसे प्रसिद्ध प्रणालियों में 3-आयामी यूक्लिडियन टोपोलॉजी है। ग्रेफाइट परतों में द्वि-आयामी इलेक्ट्रॉन गैस (2DEG) और MOSFET प्रकार के उपकरणों में क्वांटम हॉल प्रभाव प्रणाली जैसी कम परिचित प्रणालियों में 2-आयामी यूक्लिडियन टोपोलॉजी है। इससे भी कम परिचित कार्बन नैनोट्यूब, कितना तार और ल्यूटिंगर तरल हैं, जिनके 1-आयामी टोपोलॉजी हैं। 1डी और 2डी टोपोलॉजी वाले सिस्टम के और अधिक सामान्य होने की संभावना है, यह मानते हुए कि नैनो टेक्नोलॉजी और सामग्री विज्ञान आगे बढ़ता है।

परिभाषा
मात्रा V और N गणनीय ऊर्जा स्तरों से संबंधित राज्यों के घनत्व को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
 * $$ D(E) = \frac{1}{V} \, \sum _{i=1}^N \delta (E - E({\mathbf{k}}_i)). $$

क्योंकि गति के सबसे छोटे अनुमत परिवर्तन $$k$$ आयाम के बॉक्स में कण के लिए $$d$$ और लंबाई $$L$$ है $$ (\Delta k)^d = (\tfrac{2\pi}{L})^d $$, निरंतर ऊर्जा स्तरों के लिए राज्यों का आयतन-संबंधी घनत्व सीमा में प्राप्त होता है $$L \to \infty$$ जैसा
 * $$ D(E) := \int_{\mathbb{R}^d}{\frac{\mathrm{d}^d k}{(2\pi)^d}} \cdot \delta (E - E(\mathbf{k})),$$

यहाँ, $$d$$ माना प्रणाली का स्थानिक आयाम है और $$\mathbf{k}$$ लहर वेक्टर।

परवलयिक ऊर्जा फैलाव के साथ आइसोट्रोपिक एक-आयामी प्रणालियों के लिए, राज्यों का घनत्व है$$D_{1D}(E)=\tfrac{1}{2\pi\hbar}(\tfrac{2m}{E})^{1/2}$$. दो आयामों में राज्यों का घनत्व स्थिर है $$D_{2D}=\tfrac{m}{2\pi\hbar^2}$$, जबकि तीन आयामों में यह बन जाता है $$D_{3D}(E)=\tfrac{m}{2\pi^2\hbar^3}(2mE)^{1/2}$$.

समतुल्य रूप से, राज्यों के घनत्व को माइक्रोकैनोनिकल विभाजन फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के रूप में भी समझा जा सकता है $$ Z_m (E)$$ (अर्थात, से कम ऊर्जा वाले राज्यों की कुल संख्या $$E$$) ऊर्जा के संबंध में:
 * $$ D(E) = \frac {1}{V} \cdot \frac{\mathrm{d} Z_m (E)}{\mathrm{d} E}$$.

ऊर्जा वाले राज्यों की संख्या $$ E' $$ (पतन की डिग्री) द्वारा दिया गया है:
 * $$ g\left(E'\right) = \lim _{\Delta E\to 0} \int _{E'}^{E' + \Delta E} D(E) \mathrm{d} E = \lim _{\Delta E\to 0} D\left(E'\right) \Delta E,$$

जहां अंतिम समानता केवल तभी लागू होती है जब इंटीग्रल के लिए औसत मूल्य प्रमेय मान्य हो।

समरूपता
कई प्रकार की प्रणालियाँ और प्रकार के राज्य हैं जिनके लिए DOS गणना की जा सकती है।

कुछ संघनित पदार्थ प्रणालियों में सूक्ष्म पैमाने पर क्रिस्टल संरचना समरूपता होती है जिसका राज्यों के घनत्व की गणना को सरल बनाने के लिए उपयोग किया जा सकता है। गोलाकार रूप से सममित प्रणालियों में, कार्यों के अभिन्न अंग एक-आयामी होते हैं क्योंकि गणना में सभी चर केवल फैलाव संबंध के रेडियल पैरामीटर पर निर्भर करते हैं। तरल पदार्थ, कांच और अनाकार ठोस सममित प्रणाली के उदाहरण हैं जिनके फैलाव संबंधों में घूर्णी समरूपता होती है।

पाउडर या पॉलीक्रिस्टलाइन नमूनों पर मापन के लिए ब्याज की प्रणाली के फैलाव संबंधों के समारोह के पूरे डोमेन पर मूल्यांकन और गणना कार्यों और इंटीग्रल की आवश्यकता होती है। कभी-कभी सिस्टम की समरूपता अधिक होती है, जो सिस्टम के फैलाव संबंधों का वर्णन करने वाले कार्यों के आकार को फैलाव संबंध के पूरे डोमेन पर कई बार प्रकट होने का कारण बनता है। ऐसे मामलों में डीओएस की गणना करने का प्रयास बड़ी राशि से कम किया जा सकता है जब गणना कम क्षेत्र या मौलिक डोमेन तक सीमित हो। क्यूबिक क्रिस्टल सिस्टम का ब्रिलौइन ज़ोन | दाईं ओर की आकृति में चेहरा-केंद्रित क्यूबिक जाली (FCC) में तीन आयामों O में बिंदु समूहों की 48-गुना समरूपता हैhपूर्ण अष्टफलकीय समरूपता#अचिरल अष्टफलकीय समरूपता के साथ। इस कॉन्फ़िगरेशन का मतलब है कि ब्रिलौइन ज़ोन के पूरे डोमेन पर एकीकरण को पूरे ब्रिलौइन ज़ोन के 48-वें हिस्से में घटाया जा सकता है। आवर्त सारणी (क्रिस्टल संरचना) के रूप में, एफसीसी क्रिस्टल संरचना वाले कई तत्व हैं, जैसे हीरा, सिलिकॉन और प्लैटिनम और उनके ब्रिलॉइन जोन और फैलाव संबंधों में यह 48 गुना समरूपता है। दो अन्य परिचित क्रिस्टल संरचनाएं क्रमशः घन और हेक्सागोनल जाली के साथ शरीर-केंद्रित घन जाली (बीसीसी) और हेक्सागोनल बंद पैक संरचनाएं (एचसीपी) हैं। बीसीसी संरचना में 24 गुना टेट्राहेड्रल समरूपता # बिंदु समूह टी की पाइरिटोहेड्रल समरूपता हैh. HCP संरचना में तीन आयामों में 12-गुना डायहेड्रल समरूपता है # बिंदु समूह D की समरूपता के उदाहरण3h. रासायनिक रूप से महत्वपूर्ण 3D बिंदु समूहों # वर्ण तालिकाओं के लिए वर्ण तालिकाओं की सूची में बिंदु समूह के समरूपता गुणों की पूरी सूची पाई जा सकती है।

सामान्य तौर पर जब सिस्टम की समरूपता अधिक होती है और फैलाव संबंध के टोपोलॉजिकल आयामों की संख्या कम होती है, तो DOS की गणना करना आसान होता है। घूर्णी समरूपता के साथ फैलाव संबंधों के DOS की गणना अक्सर विश्लेषणात्मक रूप से की जा सकती है। यह परिणाम सौभाग्यशाली है, क्योंकि स्टील और सिलिकॉन जैसी व्यावहारिक रुचि की कई सामग्रियों में उच्च समरूपता होती है।

एनिस्ट्रोपिक संघनित पदार्थ प्रणालियों जैसे कि यौगिक के एकल क्रिस्टल में, राज्यों का घनत्व क्रिस्टलोग्राफिक दिशा में दूसरे की तुलना में भिन्न हो सकता है। इसके कारण राज्यों के अनिसोट्रोपिक घनत्व को कल्पना करना अधिक कठिन हो जाता है, और विशेष बिंदुओं या दिशाओं के लिए DOS की गणना करने या किसी विशेष क्रिस्टल अभिविन्यास के लिए राज्यों (PDOS) के अनुमानित घनत्व की गणना करने जैसी विधियों की आवश्यकता हो सकती है।

के-स्पेस टोपोलॉजी
अवस्थाओं का घनत्व स्वयं वस्तु की विमीय सीमाओं पर निर्भर करता है। तीन ऑर्थोगोनल पैरामीटर्स (3 डायमेंशन) द्वारा वर्णित प्रणाली में, DOS की इकाई ऊर्जा है-1वॉल्यूम−1, द्विविमीय प्रणाली में, DOS की इकाई ऊर्जा है-1क्षेत्र−1 , आयामी प्रणाली में, DOS की इकाई ऊर्जा है-1लंबाई-1. संदर्भित आयतन k-स्थान का आयतन है; फैलाव संबंध के माध्यम से प्राप्त प्रणाली की निरंतर ऊर्जा सतह से घिरा स्थान जो E से k से संबंधित है। चित्र 1 में 3-आयामी k-स्पेस का उदाहरण दिया गया है। यह देखा जा सकता है कि सिस्टम की डायमेंशनलिटी सिस्टम के अंदर कणों की गति को सीमित करती है।

वेव वेक्टर स्टेट्स (गोले) का घनत्व
DOS के लिए गणना N अनुमत राज्यों को निश्चित k पर गिनने से शुरू होती है जो भीतर समाहित हैं [k, k + dk] सिस्टम के वॉल्यूम के अंदर। यह प्रक्रिया पूरे के-स्पेस वॉल्यूम को अलग करके की जाती है $$\Omega_{n, k}$$ n-आयामों में मनमाने k पर, k के संबंध में। 3, 2 या 1-आयामी गोलाकार k-स्थानों में आयतन, क्षेत्रफल या लंबाई को व्यक्त किया जाता है
 * $$\Omega_n(k) = c_n k^n$$

स्थैतिक रूप से निर्धारित स्थिरांक के साथ एन-आयामी के-स्पेस के लिए
 * $$c_1 = 2,\ c_2 = \pi,\  c_3 = \frac{4 \pi}{3}$$

क्रमशः 1, 2 और 3-आयामी यूक्लिडियन के-स्पेस में रैखिक, डिस्क और गोलाकार सममित आकार के कार्यों के लिए।

इस योजना के अनुसार, वेव वेक्टर राज्यों का घनत्व N है, विभेदन के माध्यम से $$\Omega_{n,k}$$ k के संबंध में, द्वारा व्यक्त किया गया
 * $$N_n(k) = \frac{{\rm d}\Omega_n(k)}{{\rm d}k} = n\; c_n\; k^{n - 1}$$

एक रेखा, डिस्क या गोले के लिए वेव वेक्टर राज्यों का 1, 2 और 3-आयामी घनत्व स्पष्ट रूप से लिखा जाता है
 * $$\begin{align}

N_1(k) &= 2 \\ N_2(k) &= 2 \pi k \\ N_3(k) &= 4 \pi k^2 \end{align}$$ तरंग दैर्ध्य λ वाले कणों को शामिल करने के लिए राज्य काफी बड़ा है। तरंगदैर्घ्य संबंध के माध्यम से k से संबंधित है।
 * $$k = \frac{2\pi}{\lambda}$$

एक क्वांटम सिस्टम में λ की लंबाई सिस्टम L की विशिष्ट रिक्ति पर निर्भर करेगी जो कणों को सीमित कर रही है। अंत में राज्यों एन के घनत्व को कारक से गुणा किया जाता है$$s/V_k$$, जहां s निरंतर अध: पतन कारक है जो स्पिन या ध्रुवीकरण जैसी भौतिक घटनाओं के कारण स्वतंत्रता की आंतरिक डिग्री के लिए जिम्मेदार है। यदि ऐसी कोई घटना मौजूद नहीं है $$s = 1$$. मेंkके-स्पेस में आयतन है, जिसके वेववेक्टर सिस्टम की विशेषता रिक्ति द्वारा तय किए गए सबसे छोटे संभव वेववेक्टर से छोटे होते हैं।

ऊर्जा राज्यों का घनत्व
डॉस के लिए गणना समाप्त करने के लिए ऊर्जा पर प्रति इकाई नमूना मात्रा राज्यों की संख्या का पता लगाएं $$E$$ अंतराल के अंदर $$[E, E+dE]$$. सिस्टम के DOS का सामान्य रूप इस प्रकार दिया गया है
 * $$D_n\left(E\right) = \frac{{\rm d}\Omega_n(E)}{{\rm d}E}$$

अब तक स्केच की गई योजना केवल नीरस रूप से बढ़ते और गोलाकार रूप से सममित फैलाव संबंधों पर लागू होती है। सामान्य तौर पर फैलाव संबंध $$E(k)$$ गोलाकार रूप से सममित नहीं है और कई मामलों में यह लगातार बढ़ भी नहीं रहा है। डी को ई के समारोह के रूप में उलटा समारोह के रूप में व्यक्त करने के लिए $$E(k)$$ की अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित किया जाना है $$\Omega_n(k)$$ की अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए k के कार्य के रूप में $$\Omega_n(E)$$ ऊर्जा के कार्य के रूप में। यदि फैलाव संबंध गोलाकार रूप से सममित नहीं है या लगातार बढ़ रहा है और इसे आसानी से उलटा नहीं किया जा सकता है, तो ज्यादातर मामलों में DOS की गणना संख्यात्मक रूप से की जानी चाहिए। अधिक विस्तृत व्युत्पत्तियाँ उपलब्ध हैं।

फैलाव संबंध
एक ठोस में इलेक्ट्रॉनों के लिए फैलाव संबंध इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना द्वारा दिया जाता है। किसी कण की गतिज ऊर्जा तरंग सदिश k के परिमाण और दिशा, कण के गुणों और उस वातावरण पर निर्भर करती है जिसमें कण गति कर रहा है। उदाहरण के लिए, फर्मी गैस में इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा द्वारा दिया जाता है
 * $$E = E_0 + \frac{\left(\hbar k\right)^2}{2m} \ ,$$

जहाँ m इलेक्ट्रॉन विराम द्रव्यमान है। फैलाव संबंध गोलाकार सममित पैराबोला है और यह लगातार बढ़ रहा है इसलिए डॉस की आसानी से गणना की जा सकती है।

परमाणुओं की स्ट्रिंग में अनुदैर्ध्य फ़ोनों के लिए, 1-आयामी के-स्पेस में गतिज ऊर्जा का फैलाव संबंध, जैसा कि चित्र 2 में दिखाया गया है, द्वारा दिया गया है
 * $$E = 2 \hbar \omega_0 \left|\sin\left(\frac{ka}{2}\right)\right| $$

कहाँ $$\omega_0 = \sqrt{k_{\rm F} / m}$$ थरथरानवाला आवृत्ति है, $$m$$ परमाणुओं का द्रव्यमान, $$k_{\rm F}$$ अंतर-परमाणु बल स्थिरांक और $$a$$ अंतर-परमाणु रिक्ति। के छोटे मूल्यों के लिए $$k \ll \pi / a $$ फैलाव संबंध बल्कि रैखिक है:
 * $$E = \hbar \omega_0 ka $$

कब $$k \approx \pi / a $$ ऊर्जा है
 * $$E = 2 \hbar \omega_0 \left|\cos\left(\frac{\pi - ka}{2}\right)\right|$$

परिवर्तन के साथ $$q = k - \pi/a $$ और छोटा $$q$$ इस संबंध को रूपांतरित किया जा सकता है
 * $$E = 2 \hbar \omega_0 \left[1 - \left(\frac{qa}{2}\right)^2\right] $$

आइसोट्रोपिक फैलाव संबंध
यहाँ उल्लिखित दो उदाहरणों को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है
 * $$E = E_0 + c_k k^p$$

यह व्यंजक प्रकार का फैलाव संबंध है क्योंकि यह दो तरंग गुणों को आपस में जोड़ता है और यह आइसोट्रॉपी है क्योंकि व्यंजक में केवल लंबाई दिखाई देती है न कि दिशा। वेव वेक्टर का परिमाण ऊर्जा से संबंधित है:
 * $$k = \left(\frac{E - E_0}{c_k}\right)^\frac{1}{p} \ ,$$

तदनुसार, एन-आयामी के-स्पेस की मात्रा जिसमें के से छोटे वेव वैक्टर होते हैं:
 * $$\Omega_n(k) = c_n k^n$$

समदैशिक ऊर्जा संबंध का प्रतिस्थापन अधिग्रहीत अवस्थाओं का आयतन देता है
 * $$\Omega_n(E) = \frac{c_n}{{c_k}^\frac{n}{p}}\left(E - E_0\right)^\frac{n}{p}\ ,$$

ऊर्जा के संबंध में इस आयतन को विभेदित करने से आइसोट्रोपिक फैलाव संबंध के DOS के लिए अभिव्यक्ति मिलती है
 * $$D_n\left(E\right) = \frac {d}{dE}\Omega_n(E) = \frac{n c_n}{p {c_k}^\frac{n}{p}} \left(E - E_0\right)^{\frac{n}{p} - 1} $$

परवलयिक फैलाव
एक परवलयिक फैलाव संबंध (पी = 2) के मामले में, जैसे फर्मी गैस में मुक्त इलेक्ट्रॉनों पर लागू होता है, राज्यों के परिणामस्वरूप घनत्व, $$D_n\left(E\right)$$, एन-डायमेंशनल सिस्टम में इलेक्ट्रॉनों के लिए है


 * $$\begin{align}

D_1\left(E\right) &= \frac{1}{2\sqrt{c_k \left(E - E_0\right)}} \\ D_2\left(E\right) &= \frac{\pi}{2c_k} \\ D_3\left(E\right) &= \pi \sqrt{\frac{E - E_0}{c_k^3}} \. \end{align}$$ के लिए $$E > E_0$$, साथ $$D(E) = 0$$ के लिए $$E < E_0$$.

1-आयामी सिस्टम में डॉस बैंड के निचले भाग में अलग हो जाता है $$E$$ पर गिरता है $$E_0$$. 2-आयामी प्रणालियों में DOS स्वतंत्र हो जाता है $$E$$. अंत में 3-आयामी प्रणालियों के लिए DOS ऊर्जा के वर्गमूल के रूप में उगता है।

प्रीफैक्टर सहित$$s/V_k$$, 3D DOS के लिए व्यंजक है
 * $$N(E) = \frac {V}{2\pi^2} \left(\frac{2m}{\hbar^2}\right)^\frac{3}{2}\sqrt{E - E_0}$$,

कहाँ $$V$$ कुल मात्रा है, और $$N(E-E_0)$$ 2 गुना स्पिन अध: पतन शामिल है।

रेखीय फैलाव
एक रैखिक संबंध (पी = 1) के मामले में, जैसे कि फोटॉन, ध्वनिक फोनन, या ठोस में कुछ विशेष प्रकार के इलेक्ट्रॉनिक बैंड पर लागू होता है, 1, 2 और 3 आयामी प्रणालियों में डीओएस ऊर्जा से संबंधित है :


 * $$\begin{align}

D_1\left(E\right) &= \frac{1}{c_k} \\ D_2\left(E\right) &= \frac{2 \pi}{c_k^2}\left(E - E_0\right) \\ D_3\left(E\right) &= \frac{4 \pi}{c_k^3}\left(E - E_0\right)^2 \end{align}$$

वितरण कार्य
ठोस पदार्थों के गतिज सिद्धांत में राज्यों का घनत्व महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। राज्यों के घनत्व और वितरण समारोह (भौतिकी) का उत्पाद तापीय संतुलन में प्रणाली के लिए दी गई ऊर्जा पर प्रति इकाई मात्रा में व्याप्त राज्यों की संख्या है। पदार्थ के विभिन्न भौतिक गुणों की जांच के लिए इस मान का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। निम्नलिखित उदाहरण हैं, दो सामान्य वितरण कार्यों का उपयोग करके, राज्यों के घनत्व के लिए वितरण फ़ंक्शन को लागू करने से भौतिक गुणों को कैसे जन्म दिया जा सकता है।

Fermi-Dirac सांख्यिकी: Fermi-Dirac प्रायिकता वितरण फलन, चित्र 4, का उपयोग इस संभावना का पता लगाने के लिए किया जाता है कि तापीय संतुलन पर प्रणाली में फर्मियन विशिष्ट क्वांटम अवस्था में रहता है। फ़र्मियन कण होते हैं जो पाउली अपवर्जन सिद्धांत (जैसे इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन, न्यूट्रॉन) का पालन करते हैं। वितरण समारोह के रूप में लिखा जा सकता है
 * $$f_{\mathrm{FD}}(E) = \frac{1}{\exp\left(\frac{E - \mu}{k_\mathrm{B} T}\right) + 1}$$.

$$\mu$$ रासायनिक क्षमता है (ई के रूप में भी निरूपित)।F और फर्मी स्तर कहा जाता है जब टी = 0), $$k_\mathrm{B}$$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है, और $$T$$ तापमान है। चित्र 4 दिखाता है कि फर्मी-डिराक वितरण समारोह का उत्पाद और सेमीकंडक्टर के लिए राज्यों के त्रि-आयामी घनत्व कैसे वाहक एकाग्रता और ऊर्जा बैंड अंतराल जैसे भौतिक गुणों को अंतर्दृष्टि दे सकते हैं।

बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी: बोस-आइंस्टीन संभाव्यता वितरण समारोह का उपयोग इस संभावना को खोजने के लिए किया जाता है कि बोसॉन थर्मल संतुलन में प्रणाली में विशिष्ट क्वांटम अवस्था में रहता है। बोसोन वे कण हैं जो पाउली अपवर्जन सिद्धांत (जैसे फोनन और फोटॉन) का पालन नहीं करते हैं। वितरण समारोह के रूप में लिखा जा सकता है
 * $$f_{\mathrm{BE}}(E) = \frac{1}{\exp\left(\frac{E - \mu}{k_{\rm B} T}\right) - 1}$$

इन दो वितरणों से गुणों की गणना करना संभव है जैसे आंतरिक ऊर्जा प्रति इकाई आयतन $$u$$, कणों की संख्या $$N$$, विशिष्ट गर्मी की क्षमता $$c$$, और तापीय चालकता $$k$$. इन गुणों और राज्यों के घनत्व के उत्पाद और संभाव्यता वितरण के बीच संबंध, राज्यों के घनत्व को दर्शाते हुए $$g(E)$$ के बजाय $$D(E)$$, द्वारा दिया गया है
 * $$\begin{align}

u &= \int E\, f(E)\, g(E)\,{\rm d}E \\ N &= V \int f(E)\, g(E)\,{\rm d}E \\ c &= \frac{\partial}{\partial T} \int E\, f(E)\, g(E) \,{\rm d}E \\ k &= \frac{1}{d}\frac{\partial}{\partial T} \int E f(E)\, g(E)\, \nu(E)\, \Lambda(E)\,{\rm d}E \end{align}$$

$$d$$ आयाम है, $$\nu$$ ध्वनि वेग है और $$\Lambda$$ मतलब मुक्त पथ है।

अनुप्रयोग
राज्यों का घनत्व भौतिकी के कई क्षेत्रों में प्रकट होता है, और कई क्वांटम यांत्रिक घटनाओं की व्याख्या करने में मदद करता है।

परिमाणीकरण
छोटी संरचनाओं के लिए राज्यों के घनत्व की गणना से पता चलता है कि इलेक्ट्रॉनों के वितरण में परिवर्तन के रूप में आयाम कम हो जाता है। कितने तार के लिए, कुछ ऊर्जाओं के लिए DOS वास्तव में बल्क सेमीकंडक्टर्स के लिए DOS से अधिक हो जाता है, और क्वांटम डॉट्स के लिए इलेक्ट्रॉन कुछ ऊर्जाओं के लिए परिमाणित हो जाते हैं।

फोटोनिक क्रिस्टल
प्रकाश की तरंग दैर्ध्य के क्रम में लंबाई के पैमाने के साथ आवधिक संरचनाओं का उपयोग करके राज्यों के फोटॉन घनत्व में हेरफेर किया जा सकता है। कुछ संरचनाएं कुछ रंगों (ऊर्जा) के प्रकाश के प्रसार को पूरी तरह से रोक सकती हैं, फोटोनिक बैंड गैप बना सकती हैं: उन फोटॉन ऊर्जाओं के लिए DOS शून्य है। अन्य संरचनाएं दर्पण, वेवगाइड और गुहा बनाने के लिए केवल कुछ दिशाओं में प्रकाश के प्रसार को रोक सकती हैं। ऐसी आवधिक संरचनाओं को फोटोनिक क्रिस्टल के रूप में जाना जाता है।   नैनोस्ट्रक्चर्ड मीडिया में राज्यों के स्थानीय घनत्व (LDOS) की अवधारणा अक्सर DOS की तुलना में अधिक प्रासंगिक होती है, क्योंकि DOS बिंदु से दूसरे बिंदु पर काफी भिन्न होता है।

कम्प्यूटेशनल गणना
दिलचस्प प्रणालियाँ सामान्य रूप से जटिल हैं, उदाहरण के लिए यौगिक, जैव अणु, पॉलिमर, आदि। इन प्रणालियों की जटिलता के कारण राज्यों के घनत्व की विश्लेषणात्मक गणना अधिकांश मामलों में असंभव है। कंप्यूटर सिमुलेशन उच्च सटीकता के साथ राज्यों के घनत्व का मूल्यांकन करने के लिए एल्गोरिदम का सेट प्रदान करते हैं। इनमें से एल्गोरिदम को वैंग और लैंडौ एल्गोरिदम कहा जाता है। वांग और लन्दौ योजना के भीतर राज्यों के घनत्व के किसी भी पिछले ज्ञान की आवश्यकता है। निम्नानुसार आगे बढ़ता है: प्रणाली का लागत फलन (उदाहरण के लिए ऊर्जा) असतत है। प्रत्येक बार जब बिन i पहुँचता है तो अद्यतन होता है

राज्यों के घनत्व के लिए हिस्टोग्राम, $$g(i)$$, द्वारा


 * $$ g(i) \rightarrow g(i) + f$$

जहाँ f को संशोधन कारक कहा जाता है। जैसे ही हिस्टोग्राम में प्रत्येक बिन को निश्चित संख्या में देखा जाता है

(10-15), संशोधन कारक कुछ मानदंड से कम हो जाता है, उदाहरण के लिए,


 * $$ f_{n+1} \rightarrow \frac{1}{2} f_{n}$$

जहाँ n n-वें अद्यतन चरण को दर्शाता है। अनुकरण तब समाप्त होता है जब संशोधन कारक निश्चित सीमा से कम होता है, उदाहरण के लिए $$f_n < 10^{-8} $$.

वैंग और लैंडौ एल्गोरिथ्म के अन्य सामान्य एल्गोरिदम जैसे मल्टीकैनोनिकल पहनावा और समानांतर टेम्परिंग पर कुछ फायदे हैं। उदाहरण के लिए, राज्यों के घनत्व को सिमुलेशन के मुख्य उत्पाद के रूप में प्राप्त किया जाता है। इसके अतिरिक्त, वांग और लैंडौ सिमुलेशन तापमान से पूरी तरह स्वतंत्र हैं। यह सुविधा प्रोटीन जैसे बहुत मोटे ऊर्जा परिदृश्य वाले सिस्टम के राज्यों की घनत्व की गणना करने की अनुमति देती है।

गणितीय रूप से राज्यों के घनत्व को आच्छादित नक्शों के टॉवर के रूप में तैयार किया जाता है।

राज्यों का स्थानीय घनत्व
DOS की परिभाषा की महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि इसे किसी भी सिस्टम तक बढ़ाया जा सकता है। इसके गुणों में से अनुवादात्मक रूप से अपरिवर्तनीयता है जिसका अर्थ है कि राज्यों का घनत्व सजातीय है और यह सिस्टम के प्रत्येक बिंदु पर समान है। लेकिन यह सिर्फ विशेष मामला है और एलडीओएस प्रणाली के माध्यम से राज्यों के विषम घनत्व के साथ व्यापक विवरण देता है।

अवधारणा
राज्यों का स्थानीय घनत्व (LDOS) राज्यों के अंतरिक्ष-संकल्पित घनत्व का वर्णन करता है। सामग्री विज्ञान में, उदाहरण के लिए, यह शब्द स्कैनिंग टनलिंग माइक्रोस्कोप (एसटीएम) से डेटा की व्याख्या करते समय उपयोगी होता है, क्योंकि यह विधि परमाणु संकल्प वाले राज्यों के इलेक्ट्रॉन घनत्वों को इमेजिंग करने में सक्षम है। क्रिस्टल संरचना के अनुसार, इस मात्रा की गणना कम्प्यूटेशनल विधियों द्वारा की जा सकती है, उदाहरण के लिए घनत्व कार्यात्मक सिद्धांत के साथ।

एक सामान्य परिभाषा
राज्यों के स्थानीय घनत्व में प्रत्येक राज्य का योगदान बिंदु पर उसके तरंग समारोह के घनत्व से भारित होता है। $$N(E)$$ बन जाता है $$n(E,x)$$
 * $$n(E,x)=\sum_j |\phi_j (x)|^2\delta(E-\varepsilon_j)$$

का कारक $$|\phi_j (x)|^2$$ इसका अर्थ है कि प्रत्येक राज्य उन क्षेत्रों में अधिक योगदान देता है जहाँ घनत्व अधिक है। औसत ओवर $$x$$ इस अभिव्यक्ति का DOS के लिए सामान्य सूत्र को पुनर्स्थापित करेगा। एलडीओएस विषम प्रणालियों में उपयोगी है, जहां $$n(E,x)$$ से अधिक जानकारी रखता है $$n(E)$$ अकेला।

एक दीवार के साथ आयामी प्रणाली के लिए, साइन तरंगें देती हैं


 * $$n_{1D}(E,x)=\frac{2}{\pi\hbar}\sqrt{\frac{2m}{E}}\sin^2{kx}$$

कहाँ $$k=\sqrt{2mE}/\hbar$$.

के साथ त्रि-आयामी प्रणाली में $$x>0$$ अभिव्यक्ति है


 * $$n_{3D}(E,x)=\left(1-\frac{\sin{2kx}}{2kx}\right)n_{3D}(E)$$

वास्तव में, हम आगे के लिए राज्यों के स्थानीय घनत्व का सामान्यीकरण कर सकते हैं


 * $$n(E,x,x')=\sum_j \phi_j (x)\phi^*_j (x')\delta(E-\varepsilon_j)$$

इसे स्पेक्ट्रल फ़ंक्शन कहा जाता है और यह प्रत्येक तरंग फ़ंक्शन के साथ अलग-अलग चर में अलग-अलग फ़ंक्शन होता है। अधिक उन्नत सिद्धांत में यह ग्रीन के कार्यों से जुड़ा हुआ है और अवशोषण (विद्युत चुम्बकीय विकिरण) जैसे कुछ परिणामों का कॉम्पैक्ट प्रतिनिधित्व प्रदान करता है।



सॉलिड स्टेट डिवाइस
एलडीओएस का उपयोग ठोस-अवस्था डिवाइस में लाभ प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, दाईं ओर का आंकड़ा ट्रांजिस्टर के एलडीओएस को दिखाता है क्योंकि यह बैलिस्टिक सिमुलेशन में चालू और बंद होता है। एलडीओएस की स्रोत और नाली में स्पष्ट सीमा है, जो बैंड किनारे के स्थान से मेल खाती है। चैनल में, DOS बढ़ रहा है क्योंकि गेट वोल्टेज बढ़ता है और संभावित बाधा कम हो जाती है।

प्रकाशिकी और फोटोनिक्स
प्रकाशिकी और फोटोनिक्स में, राज्यों के स्थानीय घनत्व की अवधारणा उन राज्यों को संदर्भित करती है जिन्हें फोटॉन द्वारा कब्जा किया जा सकता है। प्रकाश के लिए इसे आमतौर पर प्रतिदीप्ति विधियों, निकट-क्षेत्र स्कैनिंग विधियों या कैथोडोल्यूमिनेसेंस तकनीकों द्वारा मापा जाता है। विभिन्न फोटोनिक संरचनाओं के लिए, एलडीओएस के अलग-अलग व्यवहार होते हैं और वे अलग-अलग तरीकों से सहज उत्सर्जन को नियंत्रित कर रहे हैं। फोटोनिक क्रिस्टल में, लगभग शून्य LDOS अपेक्षित होते हैं और वे सहज उत्सर्जन में अवरोध पैदा करते हैं।

एलडीओएस अभी भी फोटोनिक क्रिस्टल में हैं लेकिन अब वे गुहा में हैं। इस मामले में, एलडीओएस को और अधिक बढ़ाया जा सकता है और वे सहज उत्सर्जन के पुरसेल संवर्द्धन के साथ आनुपातिक हैं।

प्लास्मोनिक कैविटी में भी इसी तरह के एलडीओएस एन्हांसमेंट की उम्मीद है।

हालांकि, अव्यवस्थित फोटोनिक नैनोस्ट्रक्चर में, एलडीओएस अलग तरह से व्यवहार करता है। वे अपने आँकड़ों के साथ स्थानिक रूप से उतार-चढ़ाव करते हैं जो संरचनाओं की प्रकीर्णन शक्ति के समानुपाती होते हैं।

इसके अलावा, बिखरने के औसत मुक्त पथ के साथ संबंध तुच्छ है क्योंकि एलडीओएस अभी भी उत्सर्जन के मजबूत परसेल वृद्धि के रूप में मजबूत विकारों के संक्षिप्त विवरण से प्रभावित हो सकता है।

और अंत में, प्लास्मोनिक डिसऑर्डर के लिए, यह प्रभाव एलडीओएस उतार-चढ़ाव के लिए बहुत मजबूत है क्योंकि इसे मजबूत निकट-क्षेत्र स्थानीयकरण के रूप में देखा जा सकता है।

यह भी देखें
• Effective mass (solid-state physics)

• Band structure

• k·p perturbation theory

• Semiconductor

• Electrical conduction

• Valence band

• Kronig–Penney model

• Tight-binding model

• Muffin-tin approximation

• Britney Spears' Guide to Semiconductor Physics

अग्रिम पठन

 * Chen, Gang. Nanoscale Energy Transport and Conversion. New York: Oxford, 2005
 * Streetman, Ben G. and Sanjay Banerjee. Solid State Electronic Devices. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2000.
 * Muller, Richard S. and Theodore I. Kamins. Device Electronics for Integrated Circuits. New York: John Wiley and Sons, 2003.
 * Kittel, Charles and Herbert Kroemer. Thermal Physics. New York: W.H. Freeman and Company, 1980
 * Sze, Simon M. Physics of Semiconductor Devices. New York: John Wiley and Sons, 1981

बाहरी संबंध

 * Online lecture:ECE 606 Lecture 8: Density of States by M. Alam
 * Scientists shed light on glowing materials How to measure the Photonic LDOS