हॉपफ मैनिफोल्ड

समष्टि ज्यामिति में, एक होपफ मैनिफोल्ड पूर्णांकों के समूह$$({\mathbb C}^n\backslash 0)$$की एक मुक्त कार्रवाई द्वारा समष्टि सदिश स्थान (शून्य हटाए गए) $$\Gamma \cong {\mathbb Z}$$ के भागफल के रूप में प्राप्त किया जाता है, जिसमें होलोमोर्फिक संकुचन द्वारा जनरेटर $$\gamma$$ का $$\Gamma$$ कार्य होता है। यहां, एक होलोमोर्फिक संकुचन एक मानचित्र `$$\gamma:\; {\mathbb C}^n \to  {\mathbb C}^n $$ है, जैसे कि एक पर्याप्त बड़ा पुनरावृत्ति $$\;\gamma^N$$किसी भी दिए गए कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय $${\mathbb C}^n$$ को 0 के एक इच्छित रूप से छोटे निकट पर मैप करता है।

द्वि-आयामी हॉपफ मैनिफोल्ड्स को हॉपफ सतह कहा जाता है।

उदाहरण
एक विशिष्ट स्थिति में, $$\Gamma$$ एक रैखिक संकुचन द्वारा उत्पन्न होता है, सामान्यतः एक विकर्ण आव्यूह $$q\cdot Id$$, जिसमें $$q\in {\mathbb C}$$ एक समष्टि संख्या,$$0<|q|<1$$ होती है। ऐसे मैनिफोल्ड को क्लासिकल हॉफ मैनिफोल्ड कहा जाता है।

गुण
एक हॉपफ मैनिफोल्ड $$H:=({\mathbb C}^n\backslash 0)/{\mathbb Z}$$, $$S^{2n-1}\times S^1$$से भिन्न है। $$n\geq 2$$ के लिए, यह गैर-काहलर है। वास्तव में, यह सहानुभूतिपूर्ण भी नहीं है क्योंकि दूसरा कोहोमोलोजी समूह शून्य है।

हाइपरकॉम्प्लेक्स संरचना
सम-आयामी हॉफ मैनिफोल्ड्स हाइपरकॉम्प्लेक्स संरचना को स्वीकार करते हैं। हॉपफ सतह क्वाटरनियोनिक आयाम 1 का एकमात्र कॉम्पैक्ट हाइपरकॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड है जो हाइपरकेहलर नहीं है।