मौलिक मैट्रिक्स (कंप्यूटर विज़न)

कंप्यूटर दृष्टि में, मौलिक मैट्रिक्स $$ \mathbf{F} $$ एक 3×3 मैट्रिक्स है जो स्टीरियो (त्रिविम) इमेजेस में संबंधित बिंदुओं से संबंधित है। एपिपोलर ज्यामिति में, स्टीरियो इमेज युग्म में संबंधित बिंदुओं के सजातीय इमेज निर्देशांक, x और x' के साथ, Fx एक रेखा (एपिपोलर रेखा) का वर्णन करता है जिस पर अन्य इमेज पर संबंधित पॉइंट x' होना चाहिए। इसका अर्थ है, सभी युग्मों के लिए संगत पॉइंट मान्य हैं।


 * $$ \mathbf{x}'^{\top} \mathbf{F x} = 0. $$

रैंक दो का होने और केवल पैमाने तक निर्धारित होने के कारण, मौलिक मैट्रिक्स का अनुमान कम से कम सात बिंदुओं के अनुरूप होने पर लगाया जा सकता है। इसके सात पैरामीटर कैमरों के बारे में एकमात्र ज्यामितीय जानकारी का प्रतिनिधित्व करते हैं जो अकेले पॉइंट अनुरूपता के माध्यम से प्राप्त की जा सकती है।

शब्द "मौलिक मैट्रिक्स" को क्यूटी लुओंग ने अपने प्रभावशाली पीएचडी थीसिस में इसको लिखा था। इसे कभी-कभी "बाइफोकल टेन्सर" भी कहा जाता है। टेंसर के रूप में, यह दो-पॉइंट टेंसर है क्योंकि यह अलग-अलग समन्वय प्रणालियों में बिंदुओं से संबंधित द्विरेखीय रूप है।

उपरोक्त संबंध जो मूलभूत मैट्रिक्स को परिभाषित करता है, 1992 में ओलिवियर फौगेरस और रिचर्ड हार्टले दोनों द्वारा प्रकाशित किया गया था। यद्यपि एच. क्रिस्टोफर लॉन्गुएट-हिगिंस का आवश्यक मैट्रिक्स एक समान संबंध को संतुष्ट करता है, आवश्यक मैट्रिक्स कैलिब्रेटेड कैमरों से संबंधित मापीय वस्तु है, जबकि मौलिक मैट्रिक्स प्रक्षेप्य ज्यामिति के अधिक सामान्य और मौलिक शब्दों में समानता का वर्णन करता है। इसे मौलिक मैट्रिक्स $$\mathbf{F}$$ और इसके संबंधित आवश्यक मैट्रिक्स $$\mathbf{E}$$, जो कि है, के बीच संबंध द्वारा गणितीय रूप से ज्ञात कर लिया गया है।
 * $$ \mathbf{E} = ({\mathbf{K}'})^{\top} \; \mathbf{F} \; \mathbf{K} $$

$$\mathbf{K}$$ और $$\mathbf{K}'$$ सम्मिलित दो इमेजेस के आंतरिक कैलिब्रेशन मैट्रिक्स हैं।

परिचय
मौलिक मैट्रिक्स एक ही दृश्य की किन्हीं दो इमेजेस के बीच एक संबंध है जो यह निर्धारित करता है कि दृश्य से बिंदुओं का प्रक्षेपण दोनों इमेजेस में कहां हो सकता है। इमेजेस में से एक में दृश्य पॉइंट के प्रक्षेपण को देखते हुए दूसरी इमेज में संबंधित पॉइंट को एक रेखा तक सीमित कर दिया जाता है, जिससे खोज और गलत समानता का पता लगाने में सहायता मिलती है। संबंधित बिंदुओं के बीच का संबंध, जो मौलिक मैट्रिक्स का प्रतिनिधित्व करता है, को एपिपोलर प्रतिबंध, मिलान प्रतिबंध, असतत मिलान प्रतिबंध, या घटना संबंध के रूप में जाना जाता है।

प्रक्षेप्य पुनर्निर्माण प्रमेय
मूलभूत मैट्रिक्स को पॉइंट समानता के एक समूह द्वारा निर्धारित किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, इन संबंधित इमेज बिंदुओं को सीधे इस मौलिक मैट्रिक्स से प्राप्त कैमरा मैट्रिक्स की सहायता से विश्व बिंदुओं पर त्रिकोणित किया जा सकता है। इन विश्व बिंदुओं से बना दृश्य वास्तविक दृश्य के प्रक्षेपी परिवर्तन के अंतर्गत है।

प्रमाण
मान लीजिए कि इमेज पॉइंट समानता $$\mathbf{x} \leftrightarrow \mathbf{x'}$$ कैमरा मैट्रिस $$\left ( \textbf{P}, \textbf{P}' \right )$$ के अंतर्गत विश्व पॉइंट $$\textbf{X}$$ से प्राप्त होता है।

\begin{align} \mathbf{x} & = \textbf{P} \textbf{X} \\ \mathbf{x'} & = \textbf{P}' \textbf{X} \end{align} $$ मान लें कि हम एक सामान्य होमोग्राफी मैट्रिक्स $$\textbf{H}_{4 \times 4}$$ द्वारा स्थान को इस प्रकार परिवर्तित करते हैं कि $$\textbf{X}_0 = \textbf{H} \textbf{X}$$।

कैमरे फिर रूपांतरित हो जाते हैं

\begin{align} \textbf{P}_0 & = \textbf{P} \textbf{H}^{-1} \\ \textbf{P}_0' & = \textbf{P}' \textbf{H}^{-1} \end{align} $$
 * $$\textbf{P}_0 \textbf{X}_0 = \textbf{P} \textbf{H}^{-1} \textbf{H} \textbf{X} = \textbf{P} \textbf{X} = \mathbf{x}$$ और इसी तरह $$\textbf{P}_0'$$ के साथ भी हमें अभी भी वही इमेज पॉइंट मिलते हैं।

समतलीयता स्थिति का उपयोग करके मौलिक मैट्रिक्स की व्युत्पत्ति
मौलिक मैट्रिक्स को समतलीय स्थिति का उपयोग करके भी प्राप्त किया जा सकता है।

सैटेलाइट इमेजेस के लिए
मौलिक मैट्रिक्स स्टीरियो इमेजेस में एपिपोलर ज्यामिति को व्यक्त करता है। परिप्रेक्ष्य कैमरों से ली गई तस्वीरों में एपिपोलर ज्यामिति सीधी रेखाओं के रूप में दिखाई देती है। हालाँकि, उपग्रह चित्रों में, इमेज अपनी कक्षा (पुशब्रूम सेंसर) के साथ सेंसर की गति के दौरान बनती है। इसलिए, एक इमेज दृश्य के लिए एकाधिक प्रक्षेपण केंद्र होते हैं और एपिपोलर रेखा एक एपिपोलर वक्र के रूप में बनती है। हालाँकि, विशेष परिस्थितियों जैसे कि छोटी इमेज टाइलों में, उपग्रह इमेजेस को मौलिक मैट्रिक्स का उपयोग करके ठीक किया जा सकता है।

गुण
मूलभूत मैट्रिक्स श्रेणी 2 का है। इसका कर्नेल एपिपोलर को परिभाषित करता है।

यह भी देखें

 * एपिपोलर ज्यामिति
 * आवश्यक मैट्रिक्स
 * ट्राइफोकल टेंसर
 * आठ-पॉइंट एल्गोरिदम

संदर्भ




























टूलबॉक्स

 * मजबूत आँकड़ों के लिए एक GPL C (प्रोग्रामिंग भाषा)/C++ लाइब्रेरी है, गैर-रेखीय (लेवेनबर्ग-मार्क्वार्ड एल्गोरिथ्म पर आधारित) मौलिक मैट्रिक्स मिलान किए गए पॉइंट जोड़े और विभिन्न वस्तुनिष्ठ कार्यों से अनुमान (मानोलिस लौराकिस)।
 * MATLAB में संरचना और मोशन टूलकिट (फिलिप एच.एस. टोर)
 * मौलिक मैट्रिक्स अनुमान टूलबॉक्स (जोआकिम साल्वी)
 * एपिपोलर ज्योमेट्री टूलबॉक्स (ईजीटी)

बाहरी संबंध

 * Epipolar Geometry and the Fundamental Matrix (chapter from Hartley &amp; Zisserman)
 * Determining the epipolar geometry and its uncertainty: A review (Zhengyou Zhang)
 * Visualization of epipolar geometry (originally by Sylvain Bougnoux of INRIA Robotvis, requires Java)
 * The Fundamental Matrix Song Video demonstrating laws of epipolar geometry.