पुनरावृत्त फ़ंक्शन सिस्टम

गणित में, पुनरावृत्त फ़ंक्शन सिस्टम (आईएफएस) फ्रैक्टल के निर्माण की एक विधि है; परिणामी भग्न अक्सर स्व-समान होते हैं। IFS फ्रैक्टल, फ्रैक्टल ज्यामिति की तुलना में सेट सिद्धांत से अधिक संबंधित हैं। इन्हें 1981 में पेश किया गया था।

आईएफएस फ्रैक्टल, जैसा कि उन्हें आम तौर पर कहा जाता है, किसी भी संख्या में आयाम के हो सकते हैं, लेकिन आमतौर पर 2डी में गणना और तैयार किए जाते हैं। फ्रैक्टल स्वयं की कई प्रतियों के मिलन से बना है, प्रत्येक प्रतिलिपि एक फ़ंक्शन (इसलिए फ़ंक्शन सिस्टम) द्वारा रूपांतरित होती है। विहित उदाहरण सिएरपिंस्की त्रिकोण है। कार्य आम तौर पर संकुचन मानचित्रण होते हैं, जिसका अर्थ है कि वे बिंदुओं को एक साथ लाते हैं और आकृतियों को छोटा बनाते हैं। इसलिए, एक IFS फ्रैक्टल का आकार स्वयं की कई संभवतः-अतिव्यापी छोटी प्रतियों से बना होता है, जिनमें से प्रत्येक भी स्वयं की प्रतियों से बना होता है, विज्ञापन अनंत तक। यह इसकी स्व-समान भग्न प्रकृति का स्रोत है।

परिभाषा
औपचारिक रूप से, एक पुनरावृत्त फ़ंक्शन सिस्टम पूर्ण मीट्रिक स्थान पर संकुचन मैपिंग का एक सीमित सेट है। प्रतीकात्मक रूप से,
 * $$\{f_i:X\to X\mid i=1,2,\dots,N\},\ N\in\mathbb{N}$$

यदि प्रत्येक एक पुनरावृत्त फ़ंक्शन प्रणाली है $$f_i$$ संपूर्ण मीट्रिक स्थान पर संकुचन है $$X$$.

गुण
हचिंसन ने मीट्रिक स्थान के लिए यह दिखाया $$\mathbb{R}^n$$, या अधिक सामान्यतः, संपूर्ण मीट्रिक स्थान के लिए $$X$$, कार्यों की ऐसी प्रणाली में एक अद्वितीय गैर-रिक्त सघन स्थान (बंद और घिरा हुआ) निश्चित सेट एस होता है। एक निश्चित सेट के निर्माण का एक तरीका प्रारंभिक गैर-रिक्त बंद और परिबद्ध सेट एस से शुरू करना है0 और f की क्रियाओं को पुनरावृत्त करेंi, एस ले रहा हैn+1 एस की छवियों का मिलन होनाn एफ के तहतi; फिर S को सीमा का समापन (टोपोलॉजी)  मान लें $$\lim_{n \rightarrow \infty} S_n$$. प्रतीकात्मक रूप से, अद्वितीय निश्चित (गैर-रिक्त कॉम्पैक्ट) सेट $$S\subseteq X$$ संपत्ति है
 * $$S = \overline{\bigcup_{i=1}^N f_i(S)}.$$

इस प्रकार सेट S, हचिंसन ऑपरेटर का निश्चित सेट है $$F: 2^X\to 2^X$$ के लिए परिभाषित $$A\subseteq X$$ के जरिए
 * $$F(A)=\overline{\bigcup_{i=1}^N f_i(A)}.$$

एस का अस्तित्व और विशिष्टता संकुचन मानचित्रण सिद्धांत का परिणाम है, जैसा कि तथ्य है
 * $$\lim_{n\to\infty}F^{n}(A)=S$$

किसी भी गैर-रिक्त कॉम्पैक्ट सेट के लिए $$A$$ में $$X$$. (अनुबंधित आईएफएस के लिए यह अभिसरण किसी भी गैर-रिक्त बंद सीमा वाले सेट के लिए भी होता है $$A$$). नीचे वर्णित कैओस गेम द्वारा मनमाने ढंग से एस के करीब यादृच्छिक तत्व प्राप्त किए जा सकते हैं।

हाल ही में यह दिखाया गया था कि गैर-संकुचित प्रकार के आईएफएस (अर्थात उन मानचित्रों से बने होते हैं जो एक्स में किसी भी टोपोलॉजिकली समतुल्य मीट्रिक के संबंध में संकुचन नहीं हैं) आकर्षित करने वाले परिणाम दे सकते हैं। ये प्रक्षेप्य स्थानों में स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं, हालाँकि वृत्त पर शास्त्रीय अपरिमेय घुमाव को भी अनुकूलित किया जा सकता है। कार्यों का संग्रह $$f_i$$ फ़ंक्शन संरचना के अंतर्गत एक मोनोइड सेट तैयार करना। यदि ऐसे केवल दो फ़ंक्शन हैं, तो मोनॉइड को एक द्विआधारी वृक्ष  के रूप में देखा जा सकता है, जहां, पेड़ के प्रत्येक नोड पर, एक या दूसरे फ़ंक्शन के साथ रचना की जा सकती है (यानी बाईं या दाईं शाखा लें)। सामान्य तौर पर, यदि k फ़ंक्शन हैं, तो कोई मोनॉइड को पूर्ण k-ary वृक्ष के रूप में देख सकता है|k-ary वृक्ष, जिसे केली वृक्ष के रूप में भी जाना जाता है।

निर्माण
कभी-कभी प्रत्येक फ़ंक्शन $$f_i$$ एक रेखीय परिवर्तन, या अधिक सामान्यतः एक एफ़िन परिवर्तन, परिवर्तन होना आवश्यक है, और इसलिए इसे एक मैट्रिक्स (गणित) द्वारा दर्शाया जाता है। हालाँकि, IFS को गैर-रेखीय कार्यों से भी बनाया जा सकता है, जिसमें प्रक्षेप्य परिवर्तन और रैखिक परिवर्तन शामिल हैं। भग्न ज्वाला गैर-रेखीय कार्यों वाले IFS का एक उदाहरण है।

IFS फ्रैक्टल्स की गणना करने के लिए सबसे आम एल्गोरिदम को कैओस गेम कहा जाता है। इसमें विमान में एक यादृच्छिक बिंदु को चुनना, फिर अगले बिंदु को प्राप्त करने के लिए बिंदु को बदलने के लिए फ़ंक्शन सिस्टम से यादृच्छिक रूप से चुने गए कार्यों में से एक को पुनरावृत्त करना शामिल है। एक वैकल्पिक एल्गोरिदम किसी दिए गए अधिकतम लंबाई तक कार्यों के प्रत्येक संभावित अनुक्रम को उत्पन्न करना है, और फिर कार्यों के इन अनुक्रमों में से प्रत्येक को प्रारंभिक बिंदु या आकार पर लागू करने के परिणामों को प्लॉट करना है।

इनमें से प्रत्येक एल्गोरिदम एक वैश्विक निर्माण प्रदान करता है जो पूरे फ्रैक्टल में वितरित अंक उत्पन्न करता है। यदि फ्रैक्टल का एक छोटा सा क्षेत्र खींचा जा रहा है, तो इनमें से कई बिंदु स्क्रीन की सीमाओं से बाहर हो जाएंगे। इससे इस तरीके से तैयार किए गए IFS निर्माण में ज़ूम करना अव्यावहारिक हो जाता है।

हालाँकि IFS के सिद्धांत के लिए प्रत्येक फ़ंक्शन को संविदात्मक होना आवश्यक है, व्यवहार में IFS को लागू करने वाले सॉफ़्टवेयर को केवल यह आवश्यक है कि संपूर्ण सिस्टम औसतन संविदात्मक हो।

विभाजित पुनरावृत्त फ़ंक्शन सिस्टम
पीआईएफएस (विभाजित पुनरावृत्त फ़ंक्शन सिस्टम), जिसे स्थानीय पुनरावृत्त फ़ंक्शन सिस्टम भी कहा जाता है, आश्चर्यजनक रूप से अच्छी छवि संपीड़न प्रदान करें, यहां तक ​​कि उन तस्वीरों के लिए भी जिनमें साधारण आईएफएस फ्रैक्टल्स द्वारा दिखाए गए स्व-समान संरचना के प्रकार प्रतीत नहीं होते हैं।

उलटा समस्या
IFS या PIFS मापदंडों के एक सेट से एक छवि उत्पन्न करने के लिए बहुत तेज़ एल्गोरिदम मौजूद हैं। यह तेज़ है और इसे कैसे बनाया गया इसका विवरण संग्रहीत करने, उस विवरण को गंतव्य डिवाइस पर प्रसारित करने और छवि में प्रत्येक पिक्सेल के रंग को संग्रहीत करने और प्रसारित करने की तुलना में उस छवि को गंतव्य डिवाइस पर नए सिरे से पुन: उत्पन्न करने के लिए बहुत कम संग्रहण स्थान की आवश्यकता होती है।. उलटा समस्या अधिक कठिन है: कुछ मूल मनमानी डिजिटल छवि जैसे डिजिटल फोटोग्राफ को देखते हुए, आईएफएस पैरामीटर का एक सेट ढूंढने का प्रयास करें, जो पुनरावृत्ति द्वारा मूल्यांकन किए जाने पर, मूल के समान एक और छवि उत्पन्न करता है। 1989 में, अरनॉड जैक्विन ने केवल पीआईएफएस का उपयोग करके व्युत्क्रम समस्या के एक प्रतिबंधित रूप का समाधान प्रस्तुत किया; व्युत्क्रम समस्या का सामान्य रूप अनसुलझा रहता है।

1995 तक, सभी भग्न संपीड़न  सॉफ़्टवेयर जैक्विन के दृष्टिकोण पर आधारित हैं।

उदाहरण
आरेख दो एफ़िन फ़ंक्शंस से IFS पर निर्माण दिखाता है। फ़ंक्शन को द्वि-इकाई वर्ग पर उनके प्रभाव द्वारा दर्शाया जाता है (फ़ंक्शन उल्लिखित वर्ग को छायांकित वर्ग में बदल देता है)। दो कार्यों का संयोजन हचिंसन ऑपरेटर बनाता है। ऑपरेटर के तीन पुनरावृत्तियों को दिखाया गया है, और फिर अंतिम छवि निश्चित बिंदु, अंतिम फ्रैक्टल की है।

फ्रैक्टल के शुरुआती उदाहरण जो आईएफएस द्वारा उत्पन्न किए जा सकते हैं उनमें कैंटर सेट शामिल है, जिसका वर्णन पहली बार 1884 में किया गया था; और डी राम वक्र, 1957 में गेर्जेस डी. रहम द्वारा वर्णित एक प्रकार का स्व-समान वक्र।

इतिहास
IFS की वर्तमान स्वरूप में कल्पना 1981 में जॉन ई. हचिंसन द्वारा की गई थी और माइकल बार्न्सले की पुस्तक फ्रैक्टल्स एवरीव्हेयर द्वारा लोकप्रिय हुआ।

"IFSs provide models for certain plants, leaves, and ferns, by virtue of the self-similarity which often occurs in branching structures in nature."

- Michael Barnsley et al.

यह भी देखें

 * कॉम्प्लेक्स-बेस एल प्रणाली#बेस .E2.88.921.C2.B1i|कॉम्प्लेक्स-बेस सिस्टम
 * कोलाज प्रमेय
 * विश्लेषणात्मक कार्यों की अनंत रचनाएँ
 * एल-प्रणाली
 * फ्रैक्टल संपीड़न

संदर्भ

 * For an historical overview, and the generalization :
 * For an historical overview, and the generalization :
 * For an historical overview, and the generalization :
 * For an historical overview, and the generalization :

बाहरी संबंध

 * A Primer on the Elementary Theory of Infinite Compositions of Complex Functions