सप्त आकारीय क्रॉस गुणनफल

गणित में, सप्त आकारीय क्रॉस गुणनफल, सप्त आकारीय यूक्लिडियन अंतरिक्ष में सदिश पर एक द्विरेखीय संचालक है। यह किन्हीं दो सदिशों a, b और सदिश a × b को $\mathbb{R}^7$ में निर्दिष्ट करता है। तीन आकारों में क्रॉस गुणनफल की तरह, सप्त आकारीय गुणनफल प्रतिविनिमय है और a × b में a और b दोनों के लिए समकोण है। तीन आकारों के विपरीत, यह जैकोबी समरूपता को संतुष्ट नहीं करता है, और त्रि-आकारीय क्रॉस गुणनफल एक संकेत तक अद्वितीय है, जबकि सप्त आकारीय क्रॉस गुणनफल कई हैं। सप्त आकारीय क्रॉस गुणनफल का अष्टकोणों से वही संबंध है जो त्रि-आकारीय गुणनफल का चतुर्भुजों से है।

सप्त आकारीय क्रॉस गुणनफल तीन आकारों के अतिरिक्त क्रॉस गुणनफल को सामान्यीकृत करने का एक तरीका है, और यह दो सदिशों का एकमात्र अन्य द्विरेखीय गुणनफल है जो सदिश-मान, समकोण और 3D स्तिथियों के समान परिमाण है। अन्य आकारों में तीन या अधिक सदिश के सदिश-मान वाले गुणनफल होते हैं जो इन शर्तों को पूरा करते हैं, और द्विसदिश परिणामों के साथ बाइनरी गुणनफल होते हैं।

गुणन सारणी
दी गई सारणी की तरह गुणनफल को गुणन सारणी द्वारा दर्शाया जा सकता है। यह तालिका, केली के कारण, प्रत्येक i, j के लिए 1 से 7 तक प्रसामान्य आधार सदिश ei  और ej  का गुणनफल देता है। उदाहरण के लिए, तालिका से
 * $$\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_3 =-\mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_1$$

तालिका का उपयोग किन्हीं दो सदिशों के गुणनफल की गणना करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, x × y के e1 घटक की गणना करने के लिए e1 उत्पन्न करने के लिए गुणा करने वाले आधार सदिश को चुना जा सकता है
 * $$\left( \mathbf{ x \times y}\right)_1 = x_2y_3 - x_3y_2 +x_4y_5-x_5y_4 + x_7y_6-x_6y_7.$$

इसे अन्य छह घटकों के लिए दोहराया जा सकता है।

परिभाषा को पूरा करने वाले प्रत्येक गुणनफल के लिए एक तालिका है और ऐसी 480 तालिकाएँ हैं। इस तालिका को संबंध द्वारा संक्षेपित किया जा सकता है :

$$\mathbf{e}_i \mathbf{\times} \mathbf{e}_j = \varepsilon _{ijk} \mathbf{e}_k, $$

जब ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365 होता है तब $$\varepsilon _{ijk}$$ सकारात्मक मान +1 के साथ एक पूरी तरह से असममित सदिश है।

इस तालिका का शीर्ष बाएँ 3 × 3 कोना तीन आकारों में क्रॉस गुणनफल देता है।

परिभाषा
यूक्लिडियन स्थान V पर क्रॉस गुणनफल V × V से V तक एक द्विरेखीय आलेखन है, जहाँ सदिश 'x' और 'y' और दूसरे सदिश 'x' × 'y' को V में आलेख करता है।

जहां 'x' × ' y' में गुण हैं:
 * वर्ग समीकरण:
 * $$\mathbf{x} \cdot (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) = (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) \cdot \mathbf{y}=0,$$


 * परिमाण (गणित):
 * $$|\mathbf{x} \times \mathbf{y}|^2 = |\mathbf{x}|^2 |\mathbf{y}|^2 - (\mathbf{x} \cdot \mathbf{y})^2 $$

जहां (x·y) यूक्लिडियन डॉट गुणनफल है और |x| यूक्लिडियन प्रमाण है। पहला गुण बताता है कि गुणनफल उसके तर्कों के वर्ग समीकरण है, जबकि दूसरा गुण गुणनफल का परिमाण बताता है। सदिश के  बीच कोण θ के गुणनफल और सामान्यीकरण के संदर्भ में एक समतुल्य अभिव्यक्ति है


 * $$|\mathbf{x} \times \mathbf{y}| = |\mathbf{x}| |\mathbf{y}| \sin \theta, $$

जो x और y के सतह में दो सदिशों की भुजा वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है। आकार की स्थिति का तीसरा कथन है:


 * $$|\mathbf{x} \times \mathbf{y}| = |\mathbf{x}| |\mathbf{y}|~\mbox{if} \  \left( \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} \right)= 0,$$

यदि x × x = 0 को एक अलग सिद्धांत माना जाता है।

 परिभाषित गुणों के परिणाम

द्विरेखीयता, वर्ग समीकरण और परिमाण के गुणों को देखते हुए, एक गैर-शून्य क्रॉस गुणनफल केवल तीन और सप्त आकारों में उपलब्ध होता है। जब आकार 0, 1, 3 या 7 होता है केवल तभी इसे क्रॉस गुणनफल के लिए आवश्यक गुणों को निर्धारित करके, फिर एक समीकरण निकालकर दिखाया जा सकता है। शून्य आकारों में सदिश केवल शून्य होता है, जबकि एक आकार में सभी सदिश समानांतर होते हैं, इसलिए इन दोनों स्तिथियों में गुणनफल समान रूप से शून्य होना चाहिए।

0, 1, 3 और 7 आकारों पर प्रतिबंध हर्विट्ज़ के प्रमेय (मानक विभाजन बीजगणित) से संबंधित है कि मानक विभाजन केवल 1, 2, 4 और 8 आकारों में ही संभव है। क्रॉस गुणनफल मानक विभाजन बीजगणित के गुणनफल से बनता है, इसे बीजगणित के 0, 1, 3, या 7 काल्पनिक आकारों तक सीमित करके, केवल तीन और सप्त आकारों में गैर-शून्य गुणनफल देता है।

त्रि-आकारीय क्रॉस गुणनफल जो अद्वितीय है के विपरीत, सप्त आकारों में कई संभावित बाइनरी क्रॉस गुणनफल होते हैं। इसे देखने का एक तरीका यह है कि सदिश x और y $$\isin \mathbb{R}^7$$ के किसी भी जोड़े को ध्यान में रखें और परिमाण का कोई भी सदिश v |v| = |x||y| sin θ, x और y द्वारा फैलाए गए सतह के वर्ग समीकरण पांच-आकारीय स्थान में गुणन तालिका के साथ एक क्रॉस गुणनफल जैसे कि x × y = v ढूंढना संभव है। तीन आकारों के विपरीत, x × y = a × b का अर्थ यह नहीं है कि a और b, x और y के तरह समान सतह में हैं।

आगे के गुण परिभाषा से अनुसरण करते हैं, जिनमें निम्नलिखित समरूपता सम्मिलित हैं:

अन्य गुण केवल त्रि-आकारीय स्तिथियों में अनुसरण करते हैं, और सप्त आकारीय क्रॉस गुणनफल से संतुष्ट नहीं होते हैं, विशेष रूप से, $$ \mathbf{x} \times (\mathbf{y} \times \mathbf{z}) + \mathbf{y} \times (\mathbf{z} \times \mathbf{x}) + \mathbf{z} \times (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) \ne 0$$
 * 1) प्रतिविनिमय:
 * $$ \mathbf{x} \times \mathbf{y} = -\mathbf{y} \times \mathbf{x} $$
 * 1) अदिश त्रिगुण गुणनफल:
 * $$ \mathbf{x} \cdot (\mathbf{y} \times \mathbf{z}) = \mathbf{y} \cdot (\mathbf{z} \times \mathbf{x}) = \mathbf{z} \cdot (\mathbf{x} \times \mathbf{y})$$
 * 1) मालसेव बीजगणित:
 * $$ (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) \times (\mathbf{x} \times \mathbf{z}) = ((\mathbf{x} \times \mathbf{y}) \times \mathbf{z}) \times \mathbf{x} + ((\mathbf{y} \times \mathbf{z}) \times \mathbf{x}) \times \mathbf{x} + ((\mathbf{z} \times \mathbf{x}) \times \mathbf{x}) \times \mathbf{y}$$
 * $$ \mathbf{x} \times (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) = -|\mathbf{x}|^2 \mathbf{y} + (\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}) \mathbf{x}.$$
 * 1) सदिश त्रिपक्षीय गुणनफल:
 * $$ \mathbf{x} \times (\mathbf{y} \times \mathbf{z}) = (\mathbf{x} \cdot \mathbf{z}) \mathbf{y} - (\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}) \mathbf{z} $$
 * 1) जैकोबी समरूपता:

ली बीजगणित की संरचना के अनुसार सप्तआकारीय क्रॉस गुणनफल R7  नहीं देता है इसलिए जैकोबी समरूपता संतुष्ट नहीं है।

अभिव्यक्तियों का समन्वय
किसी विशेष क्रॉस गुणनफल को परिभाषित करने के लिए, एक समबाहु आधार {ej} का चयन किया जा सकता है और एक गुणन तालिका प्रदान की जा सकती है जो सभी गुणनफलों {ei × ej} को निर्धारित करती है। गुणा तालिका में एक संभावित गुणन सारणी का वर्णन किया गया है, लेकिन यह अद्वितीय नहीं है। तीन आकारों के विपरीत, कई तालिकाएँ हैं क्योंकि इकाई सदिश की प्रत्येक जोड़ी पांच अन्य इकाई सदिश के लंबवत है, जिससे प्रत्येक क्रॉस गुणनफल के लिए कई विकल्प मिलते हैं।

एक बार जब हम एक गुणन तालिका स्थापित कर लेते हैं, तो इसे आधार के संदर्भ में x और y को व्यक्त करके और द्विरेखीयता के माध्यम से x × y का विस्तार करके सामान्य सदिश x और y पर लागू किया जाता है। आधार सदिश के लिए e1 से e7 का उपयोग करते हुए परिचय में दी गई गुणन सारणी से भिन्न गुणन तालिका दी गई है, जिससे एक अलग क्रॉस गुणनफल प्राप्त होता है, जिसे प्रतिविनिमय के साथ दिया गया है।


 * $$\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_4, \quad \mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_4 = \mathbf{e}_1, \quad \mathbf{e}_4 \times \mathbf{e}_1 = \mathbf{e}_2,$$
 * $$\mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_3 = \mathbf{e}_5, \quad \mathbf{e}_3 \times \mathbf{e}_5 = \mathbf{e}_2, \quad \mathbf{e}_5 \times \mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_3,$$
 * $$\mathbf{e}_3 \times \mathbf{e}_4 = \mathbf{e}_6, \quad \mathbf{e}_4 \times \mathbf{e}_6 = \mathbf{e}_3, \quad \mathbf{e}_6 \times \mathbf{e}_3 = \mathbf{e}_4,$$
 * $$\mathbf{e}_4 \times \mathbf{e}_5 = \mathbf{e}_7, \quad \mathbf{e}_5 \times \mathbf{e}_7 = \mathbf{e}_4, \quad \mathbf{e}_7 \times \mathbf{e}_4 = \mathbf{e}_5,$$
 * $$\mathbf{e}_5 \times \mathbf{e}_6 = \mathbf{e}_1, \quad \mathbf{e}_6 \times \mathbf{e}_1 = \mathbf{e}_5, \quad \mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_5 = \mathbf{e}_6,$$
 * $$\mathbf{e}_6 \times \mathbf{e}_7 = \mathbf{e}_2, \quad \mathbf{e}_7 \times \mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_6, \quad \mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_6 = \mathbf{e}_7,$$
 * $$\mathbf{e}_7 \times \mathbf{e}_1 = \mathbf{e}_3, \quad \mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_3 = \mathbf{e}_7, \quad \mathbf{e}_3 \times \mathbf{e}_7 = \mathbf{e}_1.$$

इस नियम को अधिक संक्षेप में इस प्रकार लिखा जा सकता है


 * $$\mathbf{e}_i \times \mathbf{e}_{i+1} = \mathbf{e}_{i+3}$$

i = 1...7 मॉड्यूलर 7 और सूचकांकों i, i + 1 और i + 3 के साथ समान रूप से क्रमपरिवर्तन की अनुमति दी गई। प्रतिविनिमय के साथ मिलकर यह गुणनफल उत्पन्न करता है। यह नियम सीधे तालिका में शून्य के विकर्ण के ठीक समीप दो विकर्ण उत्पन्न करता है। इसके अतिरिक्त, परिणामों पर उपशाखा में एक समरूपता से,
 * $$\mathbf{e}_i \times \left( \mathbf{e}_i \times \mathbf{e}_{i+1}\right) =-\mathbf{e}_{i+1} = \mathbf{e}_i \times \mathbf{e}_{i+3} \ ,$$

जो आगे की ओर विकर्ण उत्पन्न करता है, इत्यादि।

क्रॉस उत्पाद x × y का ej घटक तालिका में ej की सभी घटनाओं का चयन करके और बाएं कॉलम से x और शीर्ष पंक्ति से y के संबंधित घटकों को एकत्रित करके दिया जाता है। परिणाम है:


 * $$\begin{align}\mathbf{x} \times \mathbf{y}

=  (x_2y_4 - x_4y_2 + x_3y_7 - x_7y_3 + x_5y_6 - x_6y_5)\,&\mathbf{e}_1 \\ {}+ (x_3y_5 - x_5y_3 + x_4y_1 - x_1y_4 + x_6y_7 - x_7y_6)\,&\mathbf{e}_2 \\ {}+ (x_4y_6 - x_6y_4 + x_5y_2 - x_2y_5 + x_7y_1 - x_1y_7)\,&\mathbf{e}_3 \\ {}+ (x_5y_7 - x_7y_5 + x_6y_3 - x_3y_6 + x_1y_2 - x_2y_1)\,&\mathbf{e}_4 \\ {}+ (x_6y_1 - x_1y_6 + x_7y_4 - x_4y_7 + x_2y_3 - x_3y_2)\,&\mathbf{e}_5 \\ {}+ (x_7y_2 - x_2y_7 + x_1y_5 - x_5y_1 + x_3y_4 - x_4y_3)\,&\mathbf{e}_6 \\ {}+ (x_1y_3 - x_3y_1 + x_2y_6 - x_6y_2 + x_4y_5 - x_5y_4)\,&\mathbf{e}_7. \end{align}$$ चूँकि क्रॉस गुणनफल द्विरेखीय है इसलिए संचालक x×– को एक मैट्रिक्स के रूप में लिखा जा सकता है, जो रूप लेता है


 * $$T_{\mathbf x} = \begin{bmatrix}

0  & -x_4 & -x_7 &  x_2 & -x_6 &  x_5 &  x_3 \\ x_4 & 0   & -x_5 & -x_1 &  x_3 & -x_7 &  x_6 \\ x_7 & x_5 & 0    & -x_6 & -x_2 &  x_4 & -x_1 \\ -x_2 & x_1 &  x_6 &  0   & -x_7 & -x_3 &  x_5 \\ x_6 & -x_3 & x_2 &  x_7 &  0   & -x_1 & -x_4 \\ -x_5 & x_7 & -x_4 &  x_3 &  x_1 & 0    & -x_2 \\ -x_3 & -x_6 & x_1 & -x_5 &  x_4 &  x_2 & 0 \end{bmatrix}.$$ इसके बाद क्रॉस गुणनफल दिया जाता है


 * $$\mathbf{x} \times \mathbf{y} = T_{\mathbf{x}} \mathbf{y}.$$

 विभिन्न गुणन सारणी इस आलेख में दो अलग-अलग गुणन तालिकाओं का उपयोग किया गया है, इसके अतिरिक्त भी विभिन्न तालिकायें होती है। इन गुणन तालिकाओं को फ़ानो सतह द्वारा चित्रित किया गया है, और इन्हें यहां उपयोग की गई दो तालिकाओं के चित्र में दिखाया गया है: सबसे ऊपर, सबिनिन, सबितनेवा और शेस्ताकोव द्वारा वर्णित तालिका, और सबसे नीचे लूनेस्टो द्वारा वर्णित तालिका है। फ़ानो आरेख के अंतर्गत संख्याएँ प्रत्येक स्तिथियों में सप्त स्वतंत्र गुणनफलों के लिए सूचकांकों का एक समुच्चय दर्शाती हैं, जिसे ijk → ei × ej = ek के रूप में दर्शाया जाता है। गुणन तालिका को फ़ानो आरेख से किन्हीं तीन बिंदुओं को जोड़ने वाली सीधी रेखा या केंद्र में वृत्त का अनुसरण करके तीरों द्वारा दिए गए चिह्न के साथ पुनर्प्राप्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त सूचि में e1 के परिणामस्वरूप होने वाले गुणन की पहली पंक्ति निचले फैनो आरेख में e1 से जुड़े तीन पथों का पालन करके प्राप्त की जाती है। निचले फ़ैनो आरेख में: वृत्ताकार पथ e2 × e4,  और विकर्ण पथ  e3 × e7 और किनारे पथ e6 × e1 = e5 का उपरोक्त समरूपता में से एक उपयोग करके पुनर्व्यवस्थित किया गया इस प्रकार है  :


 * $$\mathbf{e}_6 \times \left( \mathbf{e}_6 \times \mathbf{e}_1 \right) = -\mathbf{e}_1 = \mathbf{e}_6 \times \mathbf{e}_5, $$

या


 * $$ \mathbf{e}_5 \times \mathbf{e}_6 =\mathbf{e}_1, $$

आरेख से सीधे इस नियम के साथ प्राप्त किया जाता है कि एक सीधी रेखा पर कोई भी दो इकाई सदिश उस सीधी रेखा पर तीसरी इकाई सदिश से गुणा करके तीरों के अनुसार संकेतों के साथ जुड़े होते हैं (क्रमपरिवर्तन का संकेत जो इकाई सदिश को आदेश देता है)।

यह देखा जा सकता है कि दोनों गुणन नियम केवल इकाई सदिश का नाम बदलकर और केंद्र इकाई सदिश का अर्थ बदलकर एक ही फ़ानो आरेख का पालन करते हैं। आधार के सभी संभावित क्रमपरिवर्तनों को ध्यान में रखते हुए इस तरह के 480 गुणन सारणी और 480 क्रॉस गुणनफल हैं।

 ज्यामितीय बीजगणित का उपयोग करना

गुणनफल की गणना ज्यामितीय बीजगणित का उपयोग करके भी की जा सकती है। गुणनफल बाहरी गुणनफल से शुरू होता है, दो सदिशों का एक द्विसदिश मान गुणनफल:


 * $$\mathbf{B} = \mathbf{x} \wedge \mathbf{y} = \frac{1}{2}(\mathbf{xy} - \mathbf{yx}).$$

यह द्विरेखीय है, वैकल्पिक, इसमें वांछित परिमाण है, लेकिन सदिश मान नहीं है। सदिश, और इसलिए क्रॉस गुणनफल, त्रिसदिश के साथ द्विसदिश के गुणनफल से आता है। परिमाण गुणक तक तीन आकारों में केवल एक त्रि-सदिश, स्थान का स्यूडोस्केलर और उपरोक्त द्विसदिश का एक गुणनफल होता है और दो इकाई त्रि-सदिश में से हॉज दोहरे का द्विसदिश एक सदिश परिणाम देता है।

एक समान गणना सप्त आकारों में की जाती है, सिवाय इसके कि त्रि-सदिश एक 35-आकारीय स्थान बनाते हैं, ऐसे कई त्रि-सदिश हैं जिनका उपयोग किया जा सकता है, हालांकि कोई भी त्रि-सदिश ऐसा नहीं करेगा। त्रि-सदिश जो उपरोक्त समन्वय परिवर्तन के समान गुणनफल देता है:


 * $$\mathbf{v} = \mathbf{e}_{124} + \mathbf{e}_{235} + \mathbf{e}_{346} + \mathbf{e}_{457} + \mathbf{e}_{561} + \mathbf{e}_{672} + \mathbf{e}_{713}.$$

क्रॉस गुणनफल देने के लिए इसे बाहरी गुणनफल के साथ जोड़ा जाता है


 * $$ \mathbf{x} \times \mathbf{y} = -(\mathbf{x} \wedge \mathbf{y}) ~\lrcorner~ \mathbf{v} $$

जहाँ $$ \lrcorner $$ ज्यामितीय बीजगणित से बायां संकुचन संचालक है।

अष्टकोणों से संबंध
जिस तरह 3-आकारीय क्रॉस गुणनफल को चतुर्भुज के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, उसी तरह 7-आकारीय क्रॉस गुणनफल को अष्टकोणों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। समरूपता करने के बाद $$\mathbb{R}^7$$ काल्पनिक अष्टकोणों के साथ क्रॉस गुणनफल अष्टकोणों गुणन के संदर्भ में दिया गया है:
 * $$\mathbf x \times \mathbf y = \mathrm{Im}(\mathbf{xy}) = \frac{1}{2}(\mathbf{xy}-\mathbf{yx}).$$

इसके विपरीत, मान लीजिए कि V  एक दिए गए क्रॉस गुणनफल के साथ 7-आकारीय यूक्लिडियन स्थान है। फिर कोई द्विरेखीय गुणन को $$\mathbb{R} \oplus V$$ में निम्नलिखित परिभाषित कर सकता है:
 * $$(a,\mathbf{x})(b,\mathbf{y}) = (ab - \mathbf{x}\cdot\mathbf{y}, a\mathbf y + b\mathbf x + \mathbf{x}\times\mathbf{y}).$$

स्थान $$\mathbb{R} \oplus V$$ इसके साथ ही गुणन अष्टकोणों के समरूपी हो जाता है।

क्रॉस गुणनफल केवल तीन और सप्त आकारों में उपलब्ध होता है क्योंकि कोई हमेशा ऊपर बताए अनुसार एक उच्च आकार के स्थान पर गुणन को परिभाषित कर सकता है, और इस स्थान को एक मानक विभाजन बीजगणित के रूप में दिखाया जा सकता है। हर्विट्ज़ के प्रमेय (मानक विभाजन बीजगणित) के अनुसार, ऐसे बीजगणित केवल एक, दो, चार और आठ आकारों में उपलब्ध होते हैं, इसलिए क्रॉस गुणनफल शून्य, एक, तीन या सप्त आकारों में होना चाहिए। शून्य और एक आकार में गुणनफल निम्न हैं, इसलिए गैर-निम्न क्रॉस गुणनफल केवल तीन और सप्त आकारों में उपलब्ध हैं।

जैकोबी समरूपता को संतुष्ट करने में 7-आकार क्रॉस गुणनफल की विफलता अष्टकोणों की गैर-सहयोगिता के कारण है। वास्तव में,
 * $$\mathbf{x}\times(\mathbf{y}\times\mathbf{z}) + \mathbf{y}\times(\mathbf{z}\times\mathbf{x}) + \mathbf{z}\times(\mathbf{x}\times\mathbf{y}) = -\frac{3}{2}[\mathbf x, \mathbf y, \mathbf z]$$

जहां [x, y, z] सहयोगी है।

रोटेशन
तीन आकारों में क्रॉस गुणनफल घूर्णन समूह SO(3) की कार्रवाई के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है, इसलिए घुमाए जाने के बाद x और y का क्रॉस गुणनफल घूर्णन के अंतर्गत x × y की छवि है। लेकिन यह अपरिवर्तनीयता सप्त आकारों में सत्य नहीं है; अर्थात्,सप्त आकारों में घूर्णन के समूह SO(7) के अंतर्गत क्रॉस गुणनफल अपरिवर्तनीय नहीं है। इसके बजाय यह SO(7) के एक उपसमूह, असाधारण ली समूह G 2 के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है।

 सामान्यीकरण 

गैर-शून्य बाइनरी क्रॉस गुणनफल केवल तीन और सप्त आकारों में उपलब्ध हैं। इस प्रतिबंध को हटाने पर कि यह एक द्विआधारी गुणनफल होना चाहिए आगे के गुणनफल संभव हैं । हमें प्रत्येक निविष्ट सदिश ai  के लिए गुणनफल को बहु-रेखीय, वैकल्पिक संचालक, सदिश-मान और समकोण होना चाहिए। समकोण आवश्यकता का तात्पर्य है कि n आकारों में,  n − 1 से कम सदिश का उपयोग किया जा सकता है। गुणनफल का परिमाण किनारों के रूप में सदिश के साथ समान्तर चतुर्भुज के आयतन के बराबर होना चाहिए, जिसकी गणना ग्राम निर्धारक का उपयोग करके की जा सकती है। जिनकी शर्तें निम्नलिखित हैं:

= \det (\mathbf{a}_i \cdot \mathbf{a}_j) = \begin{vmatrix} \mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{a}_k\\ \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{a}_k\\ \vdots                         & \vdots                          & \ddots & \vdots                         \\ \mathbf{a}_k \cdot \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_k \cdot \mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{a}_k \cdot \mathbf{a}_k\\ \end{vmatrix} $$ग्राम निर्धारक a1, ..., ak के किनारों के साथ समांतर चतुर्भुज का वर्ग आयतन है।
 * समकोण: $$\left( \mathbf{a}_1 \times \ \cdots \ \times \mathbf{a}_k\right) \cdot \mathbf{a}_i = 0$$ के लिए $$i = 1,\ \dots\, k$$.
 * ग्राम निर्धारक: $$|\mathbf{a}_1 \times \cdots \times \mathbf{a}_k |^2

इन शर्तों के साथ केवल एक गैर-निम्न क्रॉस गुणनफल उपलब्ध है: आठ आकारों में तीन सदिशों के गुणनफल का एक संस्करण दिया गया है: $$\mathbf{a} \times \mathbf{b} \times \mathbf{c} = (\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \wedge \mathbf{c}) ~\lrcorner~ (\mathbf{w} - \mathbf{ve}_8)$$जहां v वही ​​त्रि-सदिश है जिसका उपयोग सप्त आकारों में किया जाता है, $$\lrcorner$$ फिर से बायां संकुचन है, और w = −ve12...7 एक 4-सदिश है।
 * तीन और सप्त आकारों में एक द्विआधारी गुणनफल के रूप में
 * n ≥ 3 आकारों में n - 1 सदिश के गुणनफल के रूप में, सदिश के बाहरी गुणनफल का हॉज डुअल होना
 * आठ आकारों में तीन सदिश के गुणनफल के रूप में

निम्न गुणनफल भी हैं। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, एक द्विआधारी गुणनफल केवल 7, 3, 1 और 0 आकारों में उपलब्ध होता है, अंतिम दो समान रूप से शून्य होते हैं। एक और निम्न 'गुणनफल' सम आकारों में उत्पन्न होता है, जो एक एकल सदिश लेता है और एक उपयुक्त बाय सदिश के साथ बाएं संकुचन के माध्यम से उसी परिमाण समकोण का एक सदिश उत्पन्न करता है। दो आकारों में यह एक समकोण से घूमना है।

एक और सामान्यीकरण के रूप में, हम बहुरेखीयता और परिमाण की आवश्यकताओं को लचीला कर सकते हैं, और एक सामान्य निरंतर क्रिया $$V^d \to V$$ पर विचार कर सकते हैं $$V^d \to V$$ (जहां $$ d \geq 2 $$ है और $$V$$ यूक्लिडियन आंतरिक गुणनफल से संपन्न $$\mathbb{R}^n$$ है ) जो केवल निम्नलिखित दो गुणों को संतुष्ट करने के लिए आवश्यक है:


 * 1) क्रॉस गुणनफल हमेशा सभी निविष्ट सदिश के लिए समकोण होता है।
 * 2) यदि निविष्ट सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, तो क्रॉस गुणनफल गैर-शून्य है।

इन आवश्यकताओं के अंतर्गत, क्रॉस गुणनफल केवल (I) $$n = 3, d = 2$$, (II) $$n = 7, d = 3$$, (III)  $$n = 8, d = 3$$ और (IV) $$ d = n - 1 $$ के लिए उपलब्ध है.

 यह भी देखें
 * रचना बीजगणित

संदर्भ

 * Also available as ArXiv reprint.
 * Also available as ArXiv reprint.
 * Also available as ArXiv reprint.