बीजगणित



बीजगणित गणित के   व्यापक क्षेत्र    गणित । मोटे तौर पर, बीजगणित   गणितीय प्रतीक  एस का अध्ययन है और   सूत्र  एस में इन प्रतीकों में हेरफेर करने के नियमों का अध्ययन है। यह लगभग सभी गणित का एक एकीकृत सूत्र है

प्रारंभिक बीजगणित    चर  के हेरफेर से संबंधित है जैसे कि वे संख्याएँ थीं (चित्र देखें), और इसलिए गणित के सभी अनुप्रयोगों में आवश्यक है।   सार बीजगणित,   शिक्षा  में   बीजीय संरचना  के अध्ययन के लिए दिया गया नाम है जैसे    समूह ,    छल्ले , और    क्षेत्र. रेखीय बीजगणित, जो  रैखिक समीकरण  एस और   रैखिक मानचित्रण  एस से संबंधित है, का उपयोग   ज्यामिति  की आधुनिक प्रस्तुतियों के लिए किया जाता है, और इसमें कई हैं व्यावहारिक अनुप्रयोग (उदाहरण के लिए   मौसम पूर्वानुमान  में)। गणित के ऐसे कई क्षेत्र हैं जो बीजगणित से संबंधित हैं, कुछ में उनके नाम पर बीजगणित है, जैसे   कम्यूटेटिव बीजगणित  और कुछ नहीं, जैसे   गैलोइस सिद्धांत ।

'बीजगणित' शब्द का प्रयोग केवल गणित के एक क्षेत्र और कुछ उपक्षेत्रों के नामकरण के लिए नहीं किया जाता है; इसका उपयोग कुछ प्रकार की बीजीय संरचनाओं के नामकरण के लिए भी किया जाता है, जैसे कि ]] क्षेत्र पर  बीजगणित, जिसे आमतौर पर बीजगणित कहा जाता है। कभी-कभी, उपक्षेत्र और इसकी मुख्य बीजीय संरचनाओं के लिए एक ही वाक्यांश का उपयोग किया जाता है; उदाहरण के लिए,  [[ बूलियन बीजगणित  और    बूलियन बीजगणित । बीजगणित में विशेषज्ञता रखने वाले गणितज्ञ को बीजगणित विज्ञानी कहा जाता है।

व्युत्पत्ति
अंगूठा | सीधा=0.8

'बीजगणित' शब्द से आया है الجبر 9वीं शताब्दी की शुरुआत की किताब   cइल्म अल-जबर वा एल-मुकाबाला   द साइंस ऑफ रिस्टोरिंग एंड बैलेंसिंग बाय द    फारसी  गणितज्ञ और खगोलशास्त्री    अल-ख्वारिज्मी । अपने काम में, 'अल-जबर' शब्द एक समीकरण के एक तरफ से दूसरी तरफ एक शब्द को स्थानांतरित करने के संचालन को संदर्भित करता है, المقابلة अल-मुकाबाला संतुलन को दोनों पक्षों में समान शब्दों को जोड़ने के लिए संदर्भित किया जाता है। लैटिन में केवल बीजगणित या बीजगणित तक संक्षिप्त किया गया, यह शब्द अंततः 15वीं शताब्दी के दौरान स्पेनिश, इतालवी या   मध्यकालीन लैटिन  से अंग्रेजी भाषा में प्रवेश कर गया। यह मूल रूप से    टूटी हुई  या    अव्यवस्थित हड्डियों  को स्थापित करने की शल्य प्रक्रिया को संदर्भित करता है। गणितीय अर्थ पहली बार (अंग्रेज़ी में) 16वीं सदी में दर्ज किया गया था

बीजगणित के विभिन्न अर्थ
बीजगणित शब्द के गणित में एक शब्द के रूप में या क्वालीफायर के साथ कई संबंधित अर्थ हैं।
 * एक लेख के बिना एक शब्द के रूप में, बीजगणित गणित के एक व्यापक हिस्से का नाम देता है।
 * एक लेख के साथ या बहुवचन में एक शब्द के रूप में, एक बीजगणित या बीजगणित एक विशिष्ट गणितीय संरचना को दर्शाता है, जिसकी सटीक परिभाषा संदर्भ पर निर्भर करती है। आमतौर पर, संरचना में एक जोड़, गुणा और अदिश गुणन होता है (देखें  बीजगणित एक क्षेत्र  पर)। जब कुछ लेखक बीजगणित शब्द का उपयोग करते हैं, तो वे निम्नलिखित अतिरिक्त मान्यताओं का एक सबसेट बनाते हैं:    सहयोगी,    कम्यूटेटिव ,    यूनिटल , और/या परिमित-आयामी।   सार्वभौमिक बीजगणित  में, बीजगणित शब्द उपरोक्त अवधारणा के सामान्यीकरण को संदर्भित करता है, जो    एन-आर्य संचालन  की अनुमति देता है।
 * एक क्वालीफायर के साथ, एक ही भेद है:
 * एक लेख के बिना, इसका मतलब बीजगणित का एक हिस्सा है, जैसे  रैखिक बीजगणित,   प्रारंभिक बीजगणित  (   प्राथमिक  और   माध्यमिक शिक्षा  के भाग के रूप में गणित के प्राथमिक पाठ्यक्रमों में पढ़ाए जाने वाले प्रतीक-हेरफेर नियम) ), या   अमूर्त बीजगणित  (स्वयं के लिए बीजीय संरचनाओं का अध्ययन)।
 * एक लेख के साथ, इसका अर्थ कुछ बीजीय संरचना का एक उदाहरण है, जैसे  झूठ बीजगणित,   सहयोगी बीजगणित , या   वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित ।
 * कभी-कभी दोनों अर्थ एक ही क्वालीफायर के लिए मौजूद होते हैं, जैसा कि वाक्य में है:  कम्यूटेटिव बीजगणित    कम्यूटेटिव रिंग  एस का अध्ययन है, जो    कम्यूटेटिव बीजगणित  पूर्णांकों पर है।

बीजगणित गणित की एक शाखा के रूप में
बीजगणित की शुरुआत  अंकगणित  के समान गणनाओं के साथ हुई, जिसमें संख्याओं के लिए अक्षर खड़े थे इसने उन संपत्तियों के प्रमाणों की अनुमति दी जो सत्य हैं चाहे कोई भी संख्या शामिल हो। उदाहरण के लिए,   द्विघात समीकरण. में$$ax^2+bx+c=0,$$ $$a, b, c$$ can be any numbers whatsoever (except that $$a$$ cannot be $$0$$), and the quadratic formula can be used to quickly and easily find the values of the unknown quantity $$x$$ जो समीकरण को संतुष्ट करते हैं। अर्थात् समीकरण के सभी हल ज्ञात करना।

ऐतिहासिक रूप से, और वर्तमान शिक्षण में, बीजगणित का अध्ययन समीकरणों को हल करने से शुरू होता है, जैसे कि ऊपर द्विघात समीकरण। फिर अधिक सामान्य प्रश्न, जैसे कि क्या किसी समीकरण का कोई हल है? एक समीकरण के कितने हल होते हैं? , समाधान की प्रकृति के बारे में क्या कहा जा सकता है? माना जाता है। इन सवालों ने बीजगणित को गैर-संख्यात्मक वस्तुओं तक बढ़ाया, जैसे कि  क्रमचय  एस,    वैक्टर,    मैट्रिक्स , और   बहुपद  एस। इन गैर-संख्यात्मक वस्तुओं के संरचनात्मक गुणों को तब   बीजगणितीय संरचना  में औपचारिक रूप दिया गया था जैसे कि    समूह ,    रिंग , और    फ़ील्ड ।

16वीं शताब्दी से पहले, गणित को केवल दो उपक्षेत्रों में विभाजित किया गया था,  अंकगणित  और   ज्यामिति । भले ही कुछ तरीके, जो बहुत पहले विकसित किए गए थे, उन्हें आजकल बीजगणित, बीजगणित के उद्भव और इसके तुरंत बाद, गणित के उपक्षेत्रों के रूप में   इनफिनिट्सिमल कैलकुलस  के रूप में माना जा सकता है, जो केवल 16वीं या 17वीं शताब्दी के हैं। 19वीं शताब्दी के उत्तरार्ध से, गणित के कई नए क्षेत्र सामने आए, जिनमें से अधिकांश ने अंकगणित और ज्यामिति दोनों का उपयोग किया, और लगभग सभी ने बीजगणित का उपयोग किया।

आज, बीजगणित काफी बढ़ गया है और इसमें गणित की कई शाखाएँ शामिल हैं, जैसा कि   क्षेत्र सिद्धांत  और   बहुपद  एस, 13-  कम्यूटेटिव बीजगणित, 15-   रैखिक  और   बहुरेखीय बीजगणित  शामिल हैं;   मैट्रिक्स सिद्धांत , 16-   सहयोगी छल्ले और बीजगणित , 17-  गैर-सहयोगी अंगूठी  एस और    बीजगणित , 18-  श्रेणी सिद्धांत ;   समरूप बीजगणित , 19-  के-सिद्धांत  और 20-  समूह सिद्धांत । 11-  संख्या सिद्धांत  और 14-  बीजगणितीय ज्यामिति  में भी बीजगणित का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

बीजगणित का प्रारंभिक इतिहास
thumb|upright=0.8| [[ से एक पृष्ठ :en:मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी | अल-ख्वारिज्मी  की '   अल-किताब अल-मुश्तर फी इसाब अल-मुकबला 22- ''

बीजगणित की जड़ों का पता प्राचीन   बेबीलोनियाई. से लगाया जा सकता है जिन्होंने एक उन्नत अंकगणितीय प्रणाली विकसित की जिसके साथ वे  एल्गोरिथम  आईसी फैशन में गणना करने में सक्षम थे। बेबीलोनियों ने   रैखिक समीकरण  एस,   द्विघात समीकरण  एस और    अनिश्चित रैखिक समीकरण  का उपयोग करके आज आमतौर पर हल की गई समस्याओं के समाधान की गणना करने के लिए सूत्र विकसित किए। इसके विपरीत, इस युग के अधिकांश    मिस्रवासी, साथ ही    यूनानी  और   चीनी गणित  पहली सहस्राब्दी ईसा पूर्व में, आमतौर पर ज्यामितीय तरीकों से ऐसे समीकरणों को हल करते थे, जैसे कि 'में वर्णित'। '  रेंड मैथमैटिकल पेपिरस ',    यूक्लिड के तत्व  , और   द नाइन चैप्टर ऑन द मैथमैटिकल आर्ट । यूनानियों के ज्यामितीय कार्य, 'तत्वों' में टाइप किए गए, विशेष समस्याओं के समाधान से परे सूत्रों को समीकरणों को बताने और हल करने की अधिक सामान्य प्रणालियों में सामान्यीकरण के लिए रूपरेखा प्रदान करते हैं, हालांकि यह    गणित मध्यकालीन इस्लाम में विकसित हुआ

प्लेटो के समय तक, ग्रीक गणित में भारी बदलाव आया था। यूनानियों ने एक    ज्यामितीय बीजगणित  बनाया जहां शब्दों को ज्यामितीय वस्तुओं के पक्षों द्वारा दर्शाया गया था, आमतौर पर रेखाएं, जिनमें उनके साथ जुड़े अक्षर थे   डायोफैंटस  (तीसरी शताब्दी ई.)   अलेक्जेंड्रिया  एन ग्रीक गणितज्ञ और '  अंकगणित ' नामक पुस्तकों की एक श्रृंखला के लेखक थे। ये ग्रंथ   बीजगणितीय समीकरण  s. को हल करने से संबंधित हैं और  संख्या सिद्धांत  में,   डायोफैंटाइन समीकरण  की आधुनिक धारणा का नेतृत्व किया है।

ऊपर चर्चा की गई पूर्व परंपराओं का ईरान के   फारसी  गणितज्ञ    मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी  (सी। 780-850) पर सीधा प्रभाव था। बाद में उन्होंने   द कम्पेंडिअस बुक ऑन कैलकुलेशन बाय कंप्लीशन एंड बैलेंसिंग  लिखा, जिसने बीजगणित को एक गणितीय अनुशासन के रूप में स्थापित किया जो   ज्यामिति  और   अंकगणित  से स्वतंत्र है।

हेलेनिस्टिक गणितज्ञ   अलेक्जेंड्रिया के हीरो  और डायोफैंटु साथ ही    भारतीय गणितज्ञ  जैसे   ब्रह्मगुप्त, ने मिस्र और बेबीलोन की परंपराओं को जारी रखा, हालांकि डायोफैंटस अरिथमेटिका और ब्रह्मगुप्त की   ब्रह्मस्फूससिद्धांत  उच्च स्तर पर हैं।  उदाहरण के लिए, प्रतीकों के बजाय शब्दों में लिखा गया पहला पूर्ण अंकगणितीय हल ब्रह्मगुप्त ने 628 ई. में प्रकाशित अपनी पुस्तक ब्रह्मस्फुटसिद्धान्त में द्विघात समीकरणों के शून्य और ऋणात्मक हलों का वर्णन किया है। बाद में, फारसी और   अरब  गणितज्ञों ने बीजगणितीय विधियों को बहुत अधिक परिष्कार के लिए विकसित किया। हालांकि डायोफैंटस और बेबीलोनियों ने समीकरणों को हल करने के लिए ज्यादातर विशेष तदर्थ तरीकों का इस्तेमाल किया, अल-ख्वारिज्मी का योगदान मौलिक था। उन्होंने बीजगणितीय प्रतीकवाद के बिना रैखिक और द्विघात समीकरणों को हल किया,   ऋणात्मक संख्या  या   शून्य, इस प्रकार उन्हें कई प्रकार के समीकरणों में अंतर करना पड़ा

उस संदर्भ में जहां बीजगणित की पहचान  समीकरणों के सिद्धांत  के साथ की जाती है, ग्रीक गणितज्ञ डायोफैंटस को पारंपरिक रूप से बीजगणित के पिता के रूप में जाना जाता है और संदर्भ में जहां इसे समीकरणों में हेरफेर और हल करने के नियमों के साथ पहचाना जाता है, फारसी गणितज्ञ अल-ख्वारिज्मी है बीजगणित का जनक माना जाता है     यह बहस के लिए खुला है कि क्या डायोफैंटस या अल-ख्वारिज्मी सामान्य अर्थों में, बीजगणित के पिता के रूप में जाने जाने के अधिक हकदार हैं। जो लोग डायोफैंटस का समर्थन करते हैं, वे इस तथ्य की ओर इशारा करते हैं कि अल-जबर में पाया गया बीजगणित अरिथमेटिका में पाए जाने वाले बीजगणित की तुलना में थोड़ा अधिक प्राथमिक है और अरिथमेटिका को अल-जबर के साथ जोड़कर देखा जाता है। 'पूरी तरह से बयानबाजी है जो लोग अल-ख्वारिज्मी का समर्थन करते हैं, वे इस तथ्य की ओर इशारा करते हैं कि उन्होंने    रिडक्शन  और बैलेंसिंग (एक समीकरण के दूसरी तरफ घटाए गए शब्दों का स्थानान्तरण, यानी   को रद्द करना ) के तरीकों की शुरुआत की। समीकरण के विपरीत पक्षों पर) जिसे अल-जबर शब्द मूल रूप से संदर्भित किया जाता है और उन्होंने द्विघात समीकरणों को हल करने की विस्तृत व्याख्या की बीजगणित को अपने आप में एक स्वतंत्र अनुशासन के रूप में मानते हुए ज्यामितीय प्रमाणों द्वारा समर्थित उनका बीजगणित भी अब हल की जाने वाली समस्याओं की एक श्रृंखला से संबंधित नहीं था, लेकिन एक    प्रदर्शनी  जो आदिम शब्दों से शुरू होता है जिसमें संयोजनों को समीकरणों के लिए सभी संभावित प्रोटोटाइप देना चाहिए, जो आगे स्पष्ट रूप से अध्ययन की वास्तविक वस्तु का गठन करते हैं. उन्होंने अपने स्वयं के लिए और सामान्य तरीके से एक समीकरण का भी अध्ययन किया, क्योंकि यह किसी समस्या को हल करने के दौरान न केवल उभरता है, बल्कि विशेष रूप से समस्याओं के अनंत वर्ग को परिभाषित करने के लिए कहा जाता है।

एक अन्य फारसी गणितज्ञ  उमर खय्याम  को   बीजगणितीय ज्यामिति  की नींव की पहचान करने का श्रेय दिया जाता है और उन्होंने   घन समीकरण  का सामान्य ज्यामितीय हल खोजा। उसका बोओके बीजगणित की समस्याओं के प्रदर्शन पर ग्रंथ (1070), जो बीजगणित के सिद्धांतों को निर्धारित करता है, फारसी गणित के शरीर का हिस्सा है जिसे अंततः यूरोप में प्रसारित किया गया था। फिर भी एक और फारसी गणितज्ञ,   शराफ अल-दीन अल-त्सī, ने घन समीकरणों के विभिन्न मामलों के बीजीय और संख्यात्मक समाधान पाए उन्होंने    फंक्शन. की अवधारणा भी विकसित की भारतीय गणितज्ञ   महावीर  और   भास्कर द्वितीय, फारसी गणितज्ञ   अल-काराजी  और चीनी गणितज्ञ   झू शिजी  ने संख्यात्मक विधियों का उपयोग करते हुए क्यूबिक,    क्वार्टिक ,    क्विंटिक  और उच्च-क्रम   बहुपद  समीकरणों के विभिन्न मामलों को हल किया। 13वीं शताब्दी में,   फाइबोनैचि  द्वारा एक घन समीकरण का समाधान यूरोपीय बीजगणित में एक पुनरुद्धार की शुरुआत का प्रतिनिधि है।   अबू अल-आसन इब्न अली अल-क़लादादी  (1412-1486) ने बीजगणितीय प्रतीकवाद की शुरुआत की दिशा में पहला कदम उठाया। उन्होंने Σn2, Σn3 की भी गणना की और वर्गमूलों को निर्धारित करने के लिए क्रमिक सन्निकटन की विधि का उपयोग किया

बीजगणित का आधुनिक इतिहास


फ्रेंकोइस विएते का   नए बीजगणित  पर 16वीं सदी के अंत में किया गया कार्य आधुनिक बीजगणित की दिशा में एक महत्वपूर्ण कदम था। 1637 में,   रेने डेसकार्टेस  ने '  ला जियोमेट्री ' प्रकाशित किया,   विश्लेषणात्मक ज्यामिति  का आविष्कार किया और आधुनिक बीजगणितीय संकेतन की शुरुआत की। बीजगणित के आगे विकास में एक अन्य महत्वपूर्ण घटना घन और चतुर्थक समीकरणों का सामान्य बीजगणितीय समाधान था, जिसे 16 वीं शताब्दी के मध्य में विकसित किया गया था।   निर्धारक  का विचार    जापानी गणितज्ञ    सेकी कोवा  द्वारा 17वीं शताब्दी में विकसित किया गया था, इसके बाद   मैट्रिक्स का उपयोग करते हुए एक साथ रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के उद्देश्य से  [[ गॉटफ्राइड लाइबनिज  ने स्वतंत्र रूप से पीछा किया। (गणित) |  मैट्रिक्स ]]।   गेब्रियल क्रैमर  ने भी 18वीं शताब्दी में मैट्रिक्स और निर्धारकों पर कुछ काम किया। क्रमपरिवर्तन का अध्ययन   जोसेफ-लुई लैग्रेंज  ने अपने 1770 के पेपर रिफ्लेक्सियंस सुर ला रिजोल्यूशन अल्जेब्रिक डेस इक्वेशन्स में किया था। बीजगणितीय समीकरणों के समाधान के लिए समर्पित, जिसमें उन्होंने    लैग्रेंज रिसोल्वेंट  पेश किया।   पाओलो रफिनी    क्रमचय समूह  एस के सिद्धांत को विकसित करने वाले पहले व्यक्ति थे, और अपने पूर्ववर्तियों की तरह, बीजीय समीकरणों को हल करने के संदर्भ में भी।

सार बीजगणित को 19वीं शताब्दी में विकसित किया गया था, जो समीकरणों को हल करने में रुचि से प्राप्त हुआ था, शुरू में उस पर ध्यान केंद्रित किया गया था जिसे अब   गैलोइस सिद्धांत  कहा जाता है, और    निर्माण क्षमता  मुद्दे   जॉर्ज पीकॉक  अंकगणित और बीजगणित में स्वयंसिद्ध सोच के संस्थापक थे।   ऑगस्टस डी मॉर्गन  ने अपने तर्क की एक प्रस्तावित प्रणाली के पाठ्यक्रम में   संबंध बीजगणित  की खोज की।   योशिय्याह विलार्ड गिब्स  ने त्रि-आयामी अंतरिक्ष में वैक्टर का बीजगणित विकसित किया, और   आर्थर केली  ने मैट्रिक्स का बीजगणित विकसित किया (यह एक गैर-अनुवांशिक बीजगणित है)

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============================================================================================================================================================================================================================================================================================== = बीजगणित के कुछ उपक्षेत्रों के नाम में बीजगणित शब्द है;  रैखिक बीजगणित  एक उदाहरण है। अन्य नहीं करते हैं:   समूह सिद्धांत,   वलय सिद्धांत , और    क्षेत्र सिद्धांत  उदाहरण हैं। इस खंड में, हम गणित के कुछ क्षेत्रों को नाम में बीजगणित शब्द के साथ सूचीबद्ध करते हैं।


 * प्रारंभिक बीजगणित, बीजगणित का वह भाग जो आमतौर पर गणित के प्रारंभिक पाठ्यक्रमों में पढ़ाया जाता है।
 * सार बीजगणित, जिसमें  बीजगणितीय संरचना  एस जैसे    समूह ,    वलय  और    क्षेत्र   [[ स्वयंसिद्ध हैं।.
 * रैखिक बीजगणित, जिसमें  रैखिक समीकरण  एस,   वेक्टर स्पेस  एस और    मैट्रिक्स  के विशिष्ट गुणों का अध्ययन किया जाता है।
 * बूलियन बीजगणित, बीजगणित की एक शाखा जो  सत्य मान  एस गलत और सत्य के साथ अभिकलन को सारगर्भित करती है।
 * कम्यूटेटिव बीजगणित,  कम्यूटेटिव रिंग  एस का अध्ययन।
 * कंप्यूटर बीजगणित,  एल्गोरिथम  एस और   कंप्यूटर प्रोग्राम  एस के रूप में बीजीय विधियों का कार्यान्वयन।
 * होमोलॉजिकल बीजगणित, बीजीय संरचनाओं का अध्ययन जो  टोपोलॉजिकल स्पेस  एस का अध्ययन करने के लिए मौलिक हैं।
 * सार्वभौम बीजगणित, जिसमें सभी बीजीय संरचनाओं के सामान्य गुणों का अध्ययन किया जाता है।
 * बीजगणितीय संख्या सिद्धांत, जिसमें बीजीय दृष्टिकोण से संख्याओं के गुणों का अध्ययन किया जाता है।
 * बीजगणितीय ज्यामिति, ज्यामिति की एक शाखा, अपने आदिम रूप में वक्रों और सतहों को  बहुपद समीकरण  एस के समाधान के रूप में निर्दिष्ट करती है।
 * बीजगणितीय संयोजन, जिसमें संयोजक प्रश्नों का अध्ययन करने के लिए बीजीय विधियों का उपयोग किया जाता है।
 * संबंधपरक बीजगणित :  परिमितीय संबंध  एस का एक सेट जो    कुछ ऑपरेटरों के तहत  बंद हुआ।

कई गणितीय संरचनाओं को बीजगणित कहा जाता है:


 * बीजगणित एक क्षेत्र पर या उससे अधिक सामान्यतः    बीजगणित एक वलय पर  ।
 * साहचर्य बीजगणित
 * असहयोगी बीजगणित
 * लेट बीजगणित
 * रचना बीजगणित
 * हॉप्फ़ बीजगणित
 * सी*-बीजगणित
 * सममित बीजगणित
 * बाहरी बीजगणित
 * टेंसर बीजगणित
 * माप सिद्धांत में,
 * सिग्मा-बीजगणित
 * बीजगणित एक सेट पर
 * श्रेणी सिद्धांत में
 * एफ-बीजगणित और   एफ-कोलजेब्रा
 * टी-बीजगणित
 * तर्क में,
 * संबंध बीजगणित, एक अवशिष्ट बूलियन बीजगणित का विस्तार एक अंतर्विरोध के साथ हुआ जिसे कनवर्स कहा जाता है।
 * बूलियन बीजगणित, एक      वितरणात्मक जाली  पूरक।
 * बीजगणित

प्राथमिक बीजगणित


प्रारंभिक बीजगणित बीजगणित का सबसे बुनियादी रूप है। यह उन छात्रों को पढ़ाया जाता है जिनके बारे में माना जाता है कि उन्हें  अंकगणित  के मूल सिद्धांतों से परे   गणित  का कोई ज्ञान नहीं है। अंकगणित में, केवल   संख्या  s और उनकी अंकगणितीय संक्रियाएँ (जैसे +, -, ×, ) होती हैं। बीजगणित में, संख्याओं को अक्सर    चर  (जैसे a, n, x, y या z) नामक प्रतीकों द्वारा दर्शाया जाता है। ) यह उपयोगी है क्योंकि:


 * यह अंकगणितीय कानूनों के सामान्य निर्माण की अनुमति देता है (जैसे a + b = b + a सभी a और b) के लिए, और इस प्रकार   वास्तविक संख्या प्रणाली  के गुणों के व्यवस्थित अन्वेषण का पहला कदम है।
 * यह अज्ञात संख्याओं के संदर्भ,  समीकरण  एस के निर्माण और इन्हें हल करने के तरीके के अध्ययन की अनुमति देता है। (उदाहरण के लिए, एक संख्या x इस प्रकार खोजें कि 3x + 1 = 10 या थोड़ा आगे जाकर x ऐसी संख्या ज्ञात करें कि ax + b = c। यह कदम इस निष्कर्ष की ओर ले जाता है कि यह विशिष्ट संख्याओं की प्रकृति नहीं है जो हमें इसे हल करने की अनुमति देती है, बल्कि इसमें शामिल संचालन की है।)
 * यह   कार्यात्मक  संबंधों के निर्माण की अनुमति देता है। (उदाहरण के लिए, यदि आप x टिकट बेचते हैं, तो आपका लाभ होगा 3x − 10 डॉलर, या f(x) = 3x − 10, जहां f फंक्शन है, और x वह नंबर है जिस पर फंक्शन लागू होता है।)

बहुपद


एक बहुपद एक   व्यंजक  है जो गैर-शून्य    पद, प्रत्येक पद में    चर  को पूर्ण संख्या घात तक बढ़ा दिया गया है। उदाहरण के लिए, x2 + 2x − 3 एकल चर x में एक बहुपद है। एक बहुपद व्यंजक एक व्यंजक है जिसे एक बहुपद के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, जोड़ और गुणन के क्रमपरिवर्तन, साहचर्य और वितरण का उपयोग करके। उदाहरण के लिए, (x − 1)(x + 3) एक बहुपद व्यंजक है, जो ठीक से बोलने पर बहुपद नहीं है। एक बहुपद फलन एक ऐसा फलन है जो एक बहुपद द्वारा परिभाषित किया जाता है, या, समान रूप से, एक बहुपद व्यंजक द्वारा। पिछले दो उदाहरण समान बहुपद फलन को परिभाषित करते हैं।

बीजगणित में दो महत्वपूर्ण और संबंधित समस्याएं हैं बहुपद ]] का  गुणनखंडन, अर्थात्, दिए गए बहुपद को अन्य बहुपदों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करना, जिन्हें और अधिक गुणनखंडित नहीं किया जा सकता है, और  [[ बहुपद सबसे बड़े सामान्य भाजक  s की गणना। उपरोक्त उदाहरण बहुपद को (x - 1)(x + 3) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। समस्याओं का एक संबंधित वर्ग एक एकल चर में एक बहुपद के एक फ़ंक्शन |  रूट ]] के  [[ रूट के लिए बीजीय व्यंजक ढूंढ रहा है।

शिक्षा
यह सुझाव दिया गया है कि प्रारंभिक बीजगणित को ग्यारह वर्ष से कम उम्र के छात्रों को पढ़ाया जाना चाहिए हालांकि हाल के वर्षों में संयुक्त राज्य अमेरिका में आठवीं कक्षा के स्तर (≈ 13 y.o. ±) पर सार्वजनिक पाठ शुरू होना आम बात है। हालांकि, कुछ अमेरिकी स्कूलों में बीजगणित नौवीं कक्षा में शुरू होता है।

सार बीजगणित
सार बीजगणित प्रारंभिक बीजगणित में पाई जाने वाली परिचित अवधारणाओं और  अंक  के   अंकगणितीय  को अधिक सामान्य अवधारणाओं तक विस्तारित करता है। यहाँ सार बीजगणित में सूचीबद्ध मूलभूत अवधारणाएँ हैं।

सेट : विभिन्न प्रकार के  नंबर  एस पर विचार करने के बजाय, अमूर्त बीजगणित सेट की अधिक सामान्य अवधारणा से संबंधित है:    तत्व  नामक वस्तुओं का संग्रह। परिचित प्रकार की संख्याओं के सभी संग्रह समुच्चय हैं। सेट के अन्य उदाहरणों में सभी टू-बाय-टू    मैट्रिक्स  का सेट, सभी सेकेंड-डिग्री   बहुपद  (ax2 +  शामिल हैं। bx + c), एक विमान के सभी दो आयामी    वैक्टर  का सेट, और विभिन्न   परिमित समूह  जैसे   चक्रीय समूह  एस, जो कि समूह हैं पूर्णांक    मॉड्यूल  एन।   सेट सिद्धांत    तर्क  की एक शाखा है और तकनीकी रूप से बीजगणित की एक शाखा नहीं है।

बाइनरी ऑपरेशन एस:   जोड़  (+) की धारणा को 'बाइनरी ऑपरेशन' की धारणा के लिए सामान्यीकृत किया गया है (यहाँ ∗ द्वारा दर्शाया गया है)। बाइनरी ऑपरेशन की धारणा उस सेट के बिना अर्थहीन है जिस पर ऑपरेशन परिभाषित किया गया है। एक सेट एस में दो तत्वों ए और बी के लिए, ए बी समुच्चय का एक अन्य तत्व है; इस स्थिति को    क्लोजर  कहा जाता है।   जोड़  (+),   घटाव  (-),   गुणा  (×), और    डिवीजन  (÷) विभिन्न सेटों पर परिभाषित होने पर बाइनरी ऑपरेशन हो सकते हैं, जैसे कि मैट्रिक्स का जोड़ और गुणा, वैक्टर और बहुपद।

पहचान तत्व एस: संख्या शून्य और एक को एक ऑपरेशन के लिए पहचान तत्व की धारणा देने के लिए सामान्यीकृत किया जाता है। शून्य जोड़ के लिए पहचान तत्व है और एक गुणन के लिए पहचान तत्व है। एक सामान्य बाइनरी ऑपरेटर के लिए पहचान तत्व ई को ए ∗ ई = ए और ई ए = ए को संतुष्ट करना चाहिए। ', और अनिवार्य रूप से अद्वितीय है, यदि यह मौजूद है। यह जोड़ने के लिए a + 0 = a और 0 + a = a और गुणा a × 1 = a और 1 × ए = ए। सभी सेट और ऑपरेटर संयोजनों में एक पहचान तत्व नहीं होता है; उदाहरण के लिए, धनात्मक प्राकृत संख्याओं (1, 2, 3, ...) के समुच्चय में जोड़ के लिए कोई पहचान तत्व नहीं है।

व्युत्क्रम तत्व : ऋणात्मक संख्याएं प्रतिलोम तत्वों की अवधारणा को जन्म देती हैं। इसके अतिरिक्त, a का व्युत्क्रम -a लिखा जाता है, और गुणा के लिए a−1 लिखा जाता है। एक सामान्य दो-तरफा उलटा तत्व a−1 उस गुण को संतुष्ट करता है जो a a−1 = e' ' और a−1 ∗ a = e, जहां e'' पहचान तत्व है।

साहचर्यता : पूर्णांकों के योग का एक गुण साहचर्य कहलाता है। अर्थात् जो संख्याएँ जोड़ी जानी हैं उनका समूहन योग को प्रभावित नहीं करता है। उदाहरण के लिए: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4). सामान्य तौर पर, यह (a ∗ b) c = a (b ∗ c) बन जाता है। यह गुण अधिकांश बाइनरी ऑपरेशन द्वारा साझा किया जाता है, लेकिन घटाव या विभाजन या  ऑक्टोनियन गुणन  नहीं।

कम्यूटेटिविटी : वास्तविक संख्याओं का जोड़ और गुणा दोनों कम्यूटेटिव हैं। यानी संख्याओं का क्रम परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। उदाहरण के लिए: 2 + 3 = 3 + 2. सामान्य तौर पर, यह a ∗ b = b a' हो जाता है। यह गुण सभी बाइनरी ऑपरेशंस के लिए नहीं है। उदाहरण के लिए,  मैट्रिक्स गुणन  और    क्वाटरनियन गुणन  दोनों गैर-कम्यूटेटिव हैं।

समूह
उपरोक्त अवधारणाओं का संयोजन गणित में सबसे महत्वपूर्ण संरचनाओं में से एक देता है: एक   समूह । एक समूह एक सेट एस और एक   बाइनरी ऑपरेशन  का एक संयोजन है, जिसे आपके द्वारा चुने गए किसी भी तरीके से परिभाषित किया गया है, लेकिन निम्नलिखित गुणों के साथ:


 * एक पहचान तत्व ई मौजूद है, जैसे कि एस के हर सदस्य ए, ई ए और ए ई ' दोनों 'ए' के ​​समान हैं।
 * प्रत्येक तत्व का एक व्युत्क्रम होता है: S के प्रत्येक सदस्य a के लिए, एक सदस्य a−1 मौजूद होता है जैसे कि a ∗  a−1 और a−1 ∗ a दोनों ही पहचान तत्व के समान हैं।
 * ऑपरेशन सहयोगी है: यदि ए, बी और सी एस के सदस्य हैं, तो (ए ∗ बी)  c a (b c) के समान है।

यदि एक समूह भी   कम्यूटेटिव  है - अर्थात, एस के किन्हीं दो सदस्यों ए और बी के लिए ए ∗ बी समान है बी ए' - तब समूह को    एबेलियन  कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, योग की संक्रिया के अंतर्गत पूर्णांकों का समुच्चय एक समूह होता है। इस समूह में, पहचान तत्व 0 है और किसी भी तत्व ए का व्युत्क्रम इसका निषेध है, -ए। संबद्धता की आवश्यकता पूरी होती है, क्योंकि किसी भी पूर्णांक a, b और c, (a + b) + c =  के लिए ए + (बी + सी)

गैर-शून्य  परिमेय संख्या  s गुणन के तहत एक समूह बनाते हैं। यहाँ, पहचान तत्व 1 है, क्योंकि किसी भी परिमेय संख्या a के लिए 1 × a = a × 1 = a है। अ का विलोम है $a$, चूँकि a × $c$ = 1.

गुणन संक्रिया के तहत पूर्णांक, हालांकि, एक समूह नहीं बनाते हैं। ऐसा इसलिए है, क्योंकि सामान्य तौर पर, एक पूर्णांक का गुणन प्रतिलोम एक पूर्णांक नहीं होता है। उदाहरण के लिए, 4 एक पूर्णांक है, लेकिन इसका गुणन प्रतिलोम है $1⁄a$, जो एक पूर्णांक नहीं है।

समूह सिद्धांत का अध्ययन  समूह सिद्धांत  में किया गया है। इस सिद्धांत का एक प्रमुख परिणाम परिमित सरल समूहों ]] का    परिमित    सरल समूह  को लगभग 30 मूल प्रकारों में अलग करता है।

अर्ध-समूह एस,   अर्ध-समूह  एस, और   मोनॉयड  एस समूह के समान   बीजगणितीय संरचना  एस हैं, लेकिन संचालन पर कम बाधाओं के साथ। उनमें एक सेट और एक बंद बाइनरी ऑपरेशन शामिल है लेकिन जरूरी नहीं कि वे अन्य शर्तों को पूरा करें। एक   अर्ध-समूह  में एक सहयोगी बाइनरी ऑपरेशन होता है, लेकिन इसमें एक पहचान तत्व नहीं हो सकता है। एक   मोनॉयड  एक अर्ध-समूह है जिसकी एक पहचान है लेकिन प्रत्येक तत्व के लिए इसका व्युत्क्रम नहीं हो सकता है। एक   अर्ध-समूह  एक आवश्यकता को पूरा करता है कि किसी भी तत्व को एक अद्वितीय बाएँ-गुणा या दाएँ-गुणा द्वारा किसी अन्य में बदल दिया जा सकता है; हालांकि, बाइनरी ऑपरेशन सहयोगी नहीं हो सकता है।

सभी समूह मोनोइड हैं, और सभी मोनोइड अर्ध-समूह हैं।

{| वर्ग = विकिटेबल | +उदाहरण | - !सेट | colspan=2 |    प्राकृत संख्या  s N | colspan=2 |    पूर्णांक  s Z | colspan=4 |    परिमेय संख्या  s Q  वास्तविक संख्या  s R  सम्मिश्र संख्या  s C | colspan=2 |     पूर्णांक मॉड्यूल 3  Z/3Z = {0, 1, 2} | - !कार्यवाही | + |  × |  + |  × |  + |  - |  × |  |  + |  × |  - !बंद किया हुआ | हाँ | हाँ | हाँ | हाँ | हाँ | हाँ | हाँ | नहीं | हाँ | हाँ | - |  पहचान | 0 |  1 |  0 |  1 |  0 |  एन / ए | 1 |  एन / ए | 0 |  1 |  - |  उलटा | एन / ए | एन / ए | -ए | एन / ए | -ए | एन / ए | 1/a (a 0) | एन / ए | 0, 2, 1, क्रमशः | एन/ए, 1, 2, क्रमशः | - |  सहयोगी | हाँ | हाँ | हाँ | हाँ | हाँ | नहीं | हाँ | नहीं | हाँ | हाँ | - |  कम्यूटेटिव | हाँ | हाँ | हाँ | हाँ | हाँ | नहीं | हाँ | नहीं | हाँ | हाँ | - |  संरचना |   मोनॉयड |   मोनॉयड |   एबेलियन समूह |   मोनॉयड |   एबेलियन समूह |   अर्ध-समूह |   मोनॉयड |   अर्ध-समूह |   एबेलियन समूह |   मोनॉयड | }

अंगूठियां और क्षेत्र
समूहों में सिर्फ एक बाइनरी ऑपरेशन होता है। विभिन्न प्रकार की संख्याओं के व्यवहार को पूरी तरह से समझाने के लिए, दो संकारकों वाली संरचनाओं का अध्ययन करने की आवश्यकता है। इनमें से सबसे महत्वपूर्ण   रिंग  और    फील्ड  हैं।

एक   रिंग  में दो बाइनरी ऑपरेशन (+) और (×) हैं, जिसमें × डिस्ट्रीब्यूटिव ओवर + है। पहले ऑपरेटर (+) के तहत यह एक एबेलियन ग्रुप बनाता है। दूसरे ऑपरेटर (×) के तहत यह साहचर्य है, लेकिन इसके लिए एक पहचान या व्युत्क्रम की आवश्यकता नहीं है, इसलिए विभाजन की आवश्यकता नहीं है। योगात्मक (+) पहचान तत्व को 0 लिखा जाता है और a के योगात्मक प्रतिलोम को -a लिखा जाता है।

वितरण संख्याओं के लिए वितरण कानून को सामान्य करता है। पूर्णांकों के लिए (a + b) × c = a × c + b × c और c × (a + b) = c × a + c × b, और × को + से अधिक वितरक कहा जाता है।

पूर्णांक वलय के उदाहरण हैं। पूर्णांकों में अतिरिक्त गुण होते हैं जो इसे  अभिन्न डोमेन  बनाते हैं।

एक   फ़ील्ड  अतिरिक्त संपत्ति के साथ एक रिंग है जिसमें 0 को छोड़कर सभी तत्व × के तहत एबेलियन ग्रुप बनाते हैं। गुणक (×) पहचान को 1 लिखा जाता है और a के गुणनात्मक प्रतिलोम को a−1 लिखा जाता है।

परिमेय संख्याएँ, वास्तविक संख्याएँ और सम्मिश्र संख्याएँ सभी क्षेत्रों के उदाहरण हैं।

रैखिक बीजगणित
गणित की एक शाखा जो रेखीय समीकरणों से संबंधित है और   रेखीय मानचित्र    वेक्टर स्पेस. रेखीय बीजगणित हर दृष्टि से बीजगणित का महत्वपूर्ण हिस्सा है।