कासिमोर्फिज़्म

समूह सिद्धांत में, एक समूह (गणित) दिया गया $$G$$, एक अर्धरूपवाद (या अर्ध-रूपवाद) एक फलन (गणित) है $$f:G\to\mathbb{R}$$ जो बाउंडेड एरर तक योगात्मक नक्शा  है, यानी एक कॉन्स्टेंट मौजूद है (गणित) $$D\geq 0$$ ऐसा है कि $$|f(gh)-f(g)-f(h)|\leq D$$ सभी के लिए $$g, h\in G$$. का सबसे कम धनात्मक मान $$D$$ जिसके लिए यह असमानता संतुष्ट होती है, का दोष कहलाता है $$f$$, के रूप में लिखा गया है $$D(f)$$. एक समूह के लिए $$G$$, क्वासिमोर्फिज़्म समारोह स्थान का एक रेखीय उप-स्थान बनाते हैं $$\mathbb{R}^G$$.

उदाहरण

 * समूह समरूपता और परिबद्ध कार्य $$G$$ को $$\mathbb{R}$$ कासिमोर्फिज्म हैं। एक समूह समरूपता और एक परिबद्ध कार्य का योग भी एक अर्ध-रूपवाद है, और इस रूप के कार्यों को कभी-कभी तुच्छ अर्ध-रूपवाद कहा जाता है।
 * होने देना $$G=F_S$$ एक सेट पर एक मुक्त समूह बनें $$S$$. कम शब्द के लिए $$w$$ में $$S$$, हम पहले बड़े काउंटिंग फंक्शन को परिभाषित करते हैं $$C_w:F_S\to \mathbb{Z}_{\geq 0}$$, जिसके लिए लौटता है $$g\in G$$ प्रतियों की संख्या $$w$$ के कम प्रतिनिधि में $$g$$. इसी तरह, हम छोटे काउंटिंग फंक्शन को परिभाषित करते हैं $$c_w:F_S\to\mathbb{Z}_{\geq 0}$$, के कम प्रतिनिधि में गैर-अतिव्यापी प्रतियों की अधिकतम संख्या लौटाना $$g$$. उदाहरण के लिए, $$C_{aa}(aaaa)=3$$ और $$c_{aa}(aaaa)=2$$. फिर, एक बड़ी गिनती क्वासिमोर्फिज्म (प्रतिक्रिया छोटी गिनती क्वासिमोर्फिज्म) रूप का एक कार्य है $$H_w(g)=C_w(g)-C_{w^{-1}}(g)$$ (प्रति. $$h_w(g)=c_w(g)-c_{w^{-1}}(g))$$.
 * घूर्णन संख्या $$\text{rot}:\text{Homeo}^+(S^1)\to\mathbb{R}$$ एक अर्धरूपवाद है, जहां $$\text{Homeo}^+(S^1)$$ घेरा के अभिविन्यास-संरक्षण होमियोमोर्फिज्म को दर्शाता है।

सजातीय
एक क्वासिमोर्फिज्म सजातीय है अगर $$f(g^n)=nf(g)$$ सभी के लिए $$g\in G, n\in \mathbb{Z}$$. यह पता चला है कि क्वासिमोर्फिज्म के अध्ययन को सजातीय क्वासिमोर्फिज्म के अध्ययन के लिए कम किया जा सकता है, क्योंकि हर क्वासिमोर्फिज्म $$f:G\to\mathbb{R}$$ एक अद्वितीय सजातीय क्वासिमोर्फिज्म से एक सीमित दूरी है $$\overline{f}:G\to\mathbb{R}$$, द्वारा दिए गए :
 * $$\overline{f}(g)=\lim_{n\to\infty}\frac{f(g^n)}{n}$$.

एक सजातीय क्वासिमोर्फिज्म $$f:G\to\mathbb{R}$$ निम्नलिखित गुण हैं:
 * यह संयुग्मन वर्गों पर स्थिर है, अर्थात $$f(g^{-1}hg)=f(h)$$ सभी के लिए $$g, h\in G$$,
 * अगर $$G$$ एबेलियन समूह है, तो $$f$$ एक समूह समरूपता है। उपरोक्त टिप्पणी का तात्पर्य है कि इस मामले में सभी अर्ध-रूपवाद तुच्छ हैं।

पूर्णांक-मूल्यवान
एक फ़ंक्शन के मामले में भी इसी तरह क्वासिमोर्फिज़्म को परिभाषित किया जा सकता है $$f:G\to\mathbb{Z}$$. इस मामले में, सजातीय अर्ध-रूपताओं के बारे में उपरोक्त चर्चा अब सीमा के रूप में नहीं है $$\lim_{n\to\infty}f(g^n)/n$$ में मौजूद नहीं है $$\mathbb{Z}$$ सामान्य रूप में।

उदाहरण के लिए, के लिए $$\alpha\in\mathbb{R}$$, वो नक्शा $$\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}:n\mapsto\lfloor\alpha n\rfloor$$ एक कासिमोर्फिज्म है। क्वासिमोर्फिज्म के भागफल के रूप में वास्तविक संख्या का निर्माण होता है $$\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$$ एक उचित तुल्यता संबंध द्वारा, वास्तविक संख्याओं का निर्माण#पूर्णांकों से निर्माण देखें (यूडॉक्सस रियल)|पूर्णांकों से वास्तविक संख्याओं का निर्माण (यूडोक्सस रियल)।

अग्रिम पठन

 * What is a Quasi-morphism? by D. Kotschick