एनुलस (गणित)

गणित में, एक वलय (बहुवचन वलय या वलय) दो संकेंद्रित वृत्तों के बीच का क्षेत्र है। अनौपचारिक रूप से, इसका आकार रिंग या हार्डवेयर वॉशर जैसा होता है। शब्द "एनुलस" लैटिन शब्द एनुलस या एनलस से लिया गया है जिसका अर्थ है 'छोटी अंगूठी'। विशेषण रूप वलयाकार होता है (जैसा कि वलयाकार ग्रहण में होता है)।

खुला वलय स्थलाकृतिक रूप से खुले सिलेंडर $S^{1} &times; (0,1)$ और छिद्रित तल दोनों के बराबर है।

क्षेत्रफल
वलय का क्षेत्रफल त्रिज्या के बड़े वृत्त के क्षेत्रफलों का अंतर है $R$ और त्रिज्या का छोटा $r$:
 * $$A = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi\left(R^2 - r^2\right).$$

वलय का क्षेत्रफल वलय के भीतर सबसे लंबी रेखा खंड की लंबाई से निर्धारित होता है, जो आंतरिक वृत्त की स्पर्श रेखा (ज्यामिति) है, $2d$ संलग्न चित्र में। इसे पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके दिखाया जा सकता है क्योंकि यह रेखा छोटे वृत्त की स्पर्शरेखा है और उस बिंदु पर इसकी त्रिज्या के लंबवत है, इसलिए $d$ और $r$ कर्ण वाले समकोण त्रिभुज की भुजाएँ हैं $R$, और वलय का क्षेत्रफल इसके द्वारा दिया गया है
 * $$A = \pi\left(R^2 - r^2\right) = \pi d^2.$$

क्षेत्र को गणना  के माध्यम से भी प्राप्त किया जा सकता है, जिसे वलय को अनंत चौड़ाई के अनंत संख्या में वलय में विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है। $dρ$ और क्षेत्र $2πρ dρ$ और फिर  अभिन्न  से $ρ = r$ को $ρ = R$:
 * $$A = \int_r^R\!\! 2\pi\rho\, d\rho = \pi\left(R^2 - r^2\right).$$

कोण के वलय क्षेत्र का क्षेत्रफल $θ$, साथ $θ$ रेडियन में मापा जाता है, द्वारा दिया जाता है
 * $$ A = \frac{\theta}{2} \left(R^2 - r^2\right). $$

जटिल संरचना
जटिल विश्लेषण में एक वलय $ann(a; r, R)$संमिश्र तल में एक खुला क्षेत्र है जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है


 * $$ r < |z - a| < R. $$

अगर $r$ है $0$, इस क्षेत्र को त्रिज्या की पंचर डिस्क (एक डिस्क (गणित) जिसके केंद्र में एक बिंदु (गणित) छेद) के रूप में जाना जाता है $R$ बिंदु के आसपास $a$.

जटिल समतल (गणित) के एक उपसमुच्चय के रूप में, एक वलय को रीमैन सतह के रूप में माना जा सकता है। वलय की जटिल संरचना केवल अनुपात पर निर्भर करती है $r⁄R$. प्रत्येक वलय $ann(a; r, R)$ होलोमोर्फिक फ़ंक्शन को मूल पर केन्द्रित और मानचित्र द्वारा बाहरी त्रिज्या 1 के साथ एक मानक पर मैप किया जा सकता है
 * $$z \mapsto \frac{z - a}{R}.$$

आंतरिक त्रिज्या तो है $r⁄R < 1$.

हैडामर्ड तीन-वृत्त प्रमेय एक वलय के अंदर एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन द्वारा लिए जा सकने वाले अधिकतम मूल्य के बारे में एक कथन है।

जौकोव्स्की ने फ़ॉसी के बीच एक स्लिट कट के साथ अनुरूप मानचित्र को एक वलय में दीर्घवृत्त में बदल दिया।

बाहरी संबंध

 * Annulus definition and properties With interactive animation
 * Area of an annulus, formula With interactive animation