न्यूनतम-वर्ग समायोजन

न्यूनतम-वर्ग समायोजन, अवलोकन अवशेषों के न्यूनतम वर्गों के सिद्धांत के आधार पर समीकरणों की एक अतिनिर्धारित प्रणाली के समाधान के लिए एक मॉडल है। इसका उपयोग बड़े पैमाने पर सर्वेक्षण, भूगणित और फोटोग्राममेट्री-जियोमैटिक्स के क्षेत्र में सामूहिक रूप से किया जाता है।

निरूपण
न्यूनतम वर्ग समायोजन के तीन रूप हैं: पैरामीट्रिक, सशर्त और संयुक्त: स्पष्ट रूप से, पैरामीट्रिक और सशर्त समायोजन अधिक सामान्य संयुक्त मामले के अनुरूप होते हैं जब क्रमशः f(X,Y)=h(X)-Y और f(X,Y)=g(Y)। फिर भी विशेष मामलों में सरल समाधान की आवश्यकता होती है, जैसा कि नीचे बताया गया है। अक्सर साहित्य में, Y को L से दर्शाया जा सकता है।
 * 'पैरामीट्रिक समायोजन' में, कोई अवलोकन समीकरण h(X)=Y पा सकता है जो स्पष्ट रूप से पैरामीटर X के संदर्भ में अवलोकन Y से संबंधित है (नीचे ए-मॉडल की ओर ले जाता है)।
 * 'सशर्त समायोजन' में, एक शर्त समीकरण मौजूद है जो g(Y)=0 है जिसमें केवल अवलोकन Y शामिल है (नीचे बी-मॉडल की ओर ले जाता है) - बिना किसी पैरामीटर X के।
 * अंत में, 'संयुक्त समायोजन' में, दोनों पैरामीटर X और अवलोकन Y मिश्रित-मॉडल समीकरण f(X,Y)=0 में अंतर्निहित रूप से शामिल होते हैं।

समाधान
उपरोक्त समानताएँ केवल अनुमानित मापदंडों के लिए मान्य हैं $$\hat{X}$$ और अवलोकन $$\hat{Y}$$, इस प्रकार $$f\left(\hat{X},\hat{Y}\right)=0$$. इसके विपरीत, मापे गए अवलोकन $$\tilde{Y}$$ और अनुमानित पैरामीटर $$\tilde{X}$$ एक गैर-शून्य गलत प्रकटीकरण उत्पन्न करें:
 * $$\tilde{w} = f\left(\tilde{X},\tilde{Y}\right).$$

कोई समीकरणों के टेलर श्रृंखला विस्तार के लिए आगे बढ़ सकता है, जिसके परिणामस्वरूप जैकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक या डिजाइन मैट्रिक्स होता है: पहला,
 * $$A=\partial{f}/\partial{X};$$

और दूसरा,
 * $$B=\partial{f}/\partial{Y}.$$

रेखीयकृत मॉडल तब पढ़ता है:
 * $$\tilde{w} + A \hat{x} + B \hat{y} = 0,$$

कहाँ $$\hat{x}=\hat{X}-\tilde{X}$$ प्राथमिक मानों के लिए अनुमानित पैरामीटर सुधार हैं, और $$\hat{y}=\hat{Y}-\tilde{Y}$$ आँकड़ों में पोस्ट-फिट अवलोकन त्रुटियाँ और अवशेष हैं।

पैरामीट्रिक समायोजन में, दूसरा डिज़ाइन मैट्रिक्स एक पहचान है, बी = -आई, और मिसक्लोजर वेक्टर को पूर्व-फिट अवशेषों के रूप में व्याख्या किया जा सकता है, $$\tilde{y}=\tilde{w}=h(\tilde{X})-\tilde{Y}$$, इसलिए सिस्टम सरल हो जाता है:
 * $$A \hat{x} = \hat{y} - \tilde{y},$$

जो साधारण न्यूनतम वर्ग के रूप में है। सशर्त समायोजन में, पहला डिज़ाइन मैट्रिक्स शून्य है, A=0। अधिक सामान्य मामलों के लिए, लैग्रेंज गुणक को दो जैकोबियन मैट्रिक्स से संबंधित करने के लिए पेश किया गया है, और बाधा (गणित) न्यूनतम वर्ग समस्या को एक अप्रतिबंधित (यद्यपि एक बड़ा) में बदल दिया गया है। किसी भी मामले में, उनके हेरफेर की ओर जाता है $$\hat{X}$$ और $$\hat{Y}$$ वैक्टर के साथ-साथ संबंधित पैरामीटर और पोस्टीरियर कोवेरिएंस मैट्रिसेस का अवलोकन।

गणना
उपरोक्त आव्यूहों और सदिशों को देखते हुए, उनका समाधान मानक न्यूनतम-वर्ग विधियों के माध्यम से पाया जाता है; उदाहरण के लिए, सामान्य मैट्रिक्स बनाना और चोलेस्की अपघटन को लागू करना, क्यूआर फैक्टराइजेशन को सीधे जैकोबियन मैट्रिक्स पर लागू करना, बहुत बड़ी प्रणालियों के लिए पुनरावृत्त तरीके आदि।

अनुप्रयोग

 * लेवलिंग, ट्रैवर्स (सर्वेक्षण), और नियंत्रण नेटवर्क
 * बंडल समायोजन
 * त्रिकोणीकरण, त्रिपुंजीकरण, विकट:त्रिकोणीकरण
 * GPS / जीएनएसएस स्थिति
 * हेल्मर्ट परिवर्तन

संबंधित अवधारणाएँ

 * पैरामीट्रिक समायोजन अधिकांश प्रतिगमन विश्लेषण के समान है और गॉस-मार्कोव मॉडल के साथ मेल खाता है
 * संयुक्त समायोजन, जिसे गॉस-हेल्मर्ट मॉडल के रूप में भी जाना जाता है (जर्मन गणितज्ञों/जियोडेसिस्ट कार्ल फ्रेडरिक गॉस|सी.एफ. गॉस और फ्रेडरिक रॉबर्ट हेल्मर्ट|एफ.आर. हेल्मर्ट के नाम पर), त्रुटि-में-चर मॉडल और कुल न्यूनतम वर्गों से संबंधित है। रेफरी नाम = शेफ़रिन&स्नो2010 >
 * प्राथमिक पैरामीटर सहप्रसरण मैट्रिक्स का उपयोग तिखोनोव नियमितीकरण के समान है

एक्सटेंशन
यदि रैंक की कमी का सामना करना पड़ता है, तो इसे अक्सर अतिरिक्त समीकरणों को शामिल करके मापदंडों और/या टिप्पणियों पर बाधाएं डालकर ठीक किया जा सकता है, जिससे न्यूनतम वर्ग सीमित हो जाते हैं।

ग्रन्थसूची

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