सिग्नल पुनर्निर्माण

संकेत आगे बढ़ाना में, पुनर्निर्माण का मतलब आमतौर पर समान दूरी वाले नमूनों के अनुक्रम से एक मूल निरंतर सिग्नल का निर्धारण होता है।

यह आलेख सिग्नल सैंपलिंग और पुनर्निर्माण के लिए एक सामान्यीकृत अमूर्त गणितीय दृष्टिकोण अपनाता है। बैंड-सीमित संकेतों पर आधारित अधिक व्यावहारिक दृष्टिकोण के लिए, व्हिटेकर-शैनन इंटरपोलेशन फॉर्मूला देखें।

सामान्य सिद्धांत
मान लीजिए कि F कोई नमूनाकरण विधि है, अर्थात वर्ग-अभिन्न कार्यों के हिल्बर्ट स्थान से एक रेखीय मानचित्र $$L^2$$ जटिल संख्या स्थान के लिए $$\mathbb C^n$$.

हमारे उदाहरण में, नमूना संकेतों का वेक्टर स्थान $$\mathbb C^n$$ एन-आयामी जटिल स्थान है। एफ के किसी भी प्रस्तावित व्युत्क्रम आर (पुनर्निर्माण सूत्र, भाषा में) को मैप करना होगा $$\mathbb C^n$$ के कुछ उपसमुच्चय के लिए $$L^2$$. हम इस उपसमुच्चय को मनमाने ढंग से चुन सकते हैं, लेकिन यदि हम एक पुनर्निर्माण सूत्र आर चाहते हैं जो एक रैखिक मानचित्र भी है, तो हमें एक एन-आयामी रैखिक उप-स्थान चुनना होगा $$L^2$$.

यह तथ्य कि आयामों को सहमत होना है, नाइक्विस्ट-शैनन नमूनाकरण प्रमेय से संबंधित है।

प्राथमिक रैखिक बीजगणित दृष्टिकोण यहां काम करता है। होने देना $$d_k:=(0,...,0,1,0,...,0)$$ (सभी प्रविष्टियाँ शून्य, kth प्रविष्टि को छोड़कर, जो एक है) या कोई अन्य आधार $$\mathbb C^n$$. F के लिए व्युत्क्रम परिभाषित करने के लिए, बस प्रत्येक k के लिए an चुनें $$e_k \in L^2$$ ताकि $$F(e_k)=d_k$$. यह विशिष्ट रूप से F के (छद्म-)व्युत्क्रम को परिभाषित करता है।

बेशक, कोई पहले कुछ पुनर्निर्माण सूत्र चुन सकता है, फिर या तो पुनर्निर्माण सूत्र से कुछ नमूना एल्गोरिदम की गणना कर सकता है, या दिए गए सूत्र के संबंध में दिए गए नमूना एल्गोरिदम के व्यवहार का विश्लेषण कर सकता है।

आदर्श रूप से, पुनर्निर्माण सूत्र अपेक्षित त्रुटि विचरण को कम करके प्राप्त किया जाता है। इसके लिए आवश्यक है कि या तो सिग्नल आँकड़े ज्ञात हों या सिग्नल के लिए पूर्व संभावना निर्दिष्ट की जा सके। सूचना क्षेत्र सिद्धांत एक इष्टतम पुनर्निर्माण सूत्र प्राप्त करने के लिए एक उपयुक्त गणितीय औपचारिकता है।

लोकप्रिय पुनर्निर्माण सूत्र
शायद सबसे व्यापक रूप से इस्तेमाल किया जाने वाला पुनर्निर्माण सूत्र इस प्रकार है। होने देना $$\{ e_k \}$$ का आधार बनें $$L^2$$ हिल्बर्ट अंतरिक्ष अर्थ में; उदाहरण के लिए, कोई ईकोनल का उपयोग कर सकता है


 * $$e_k(t):=e^{2\pi i k t}\,$$,

हालाँकि अन्य विकल्प निश्चित रूप से संभव हैं। ध्यान दें कि यहाँ सूचकांक k कोई भी पूर्णांक हो सकता है, यहाँ तक कि ऋणात्मक भी।

तब हम एक रेखीय मानचित्र R को परिभाषित कर सकते हैं


 * $$R(d_k)=e_k\,$$

प्रत्येक के लिए $$k=\lfloor -n/2 \rfloor,...,\lfloor (n-1)/2 \rfloor$$, कहाँ $$(d_k)$$ का आधार है $$\mathbb C^n$$ द्वारा दिए गए


 * $$d_k(j)=e^{2 \pi i j k \over n}$$

(यह सामान्य असतत फूरियर आधार है।)

रेंज का चुनाव $$k=\lfloor -n/2 \rfloor,...,\lfloor (n-1)/2 \rfloor$$ कुछ हद तक मनमाना है, हालांकि यह आयामीता की आवश्यकता को पूरा करता है और सामान्य धारणा को दर्शाता है कि सबसे महत्वपूर्ण जानकारी कम आवृत्तियों में निहित है। कुछ मामलों में, यह गलत है, इसलिए एक अलग पुनर्निर्माण फॉर्मूला चुनने की जरूरत है।

हिल्बर्ट आधारों के बजाय तरंगिकाओं का उपयोग करके एक समान दृष्टिकोण प्राप्त किया जा सकता है। कई अनुप्रयोगों के लिए, सर्वोत्तम दृष्टिकोण आज भी स्पष्ट नहीं है।

यह भी देखें

 * एलियासिंग
 * नाइक्विस्ट-शैनन नमूनाकरण प्रमेय
 * व्हिटेकर-शैनन इंटरपोलेशन फॉर्मूला