फ्रोबेनियस मैट्रिक्स

फ्रोबेनियस मैट्रिक्स संख्यात्मक गणित से एक विशेष प्रकार का वर्ग मैट्रिक्स है। एक मैट्रिक्स एक फ्रोबेनियस मैट्रिक्स है यदि इसमें निम्नलिखित तीन गुण हैं:
 * मुख्य विकर्ण पर सभी प्रविष्टियाँ एक हैं
 * अधिकतम एक कॉलम के मुख्य विकर्ण के नीचे की प्रविष्टियाँ मनमानी हैं
 * प्रत्येक अन्य प्रविष्टि शून्य है

निम्नलिखित मैट्रिक्स एक उदाहरण है.
 * $$A=\begin{pmatrix}

1   &   0    &   0    & \cdots & 0 \\ 0   &   1    &   0    & \cdots & 0 \\ 0   & a_{32} &   1    & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0   & a_{n2} &   0    & \cdots & 1 \end{pmatrix}$$ फ्रोबेनियस मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स हैं। फ्रोबेनियस मैट्रिक्स का व्युत्क्रम फिर से फ्रोबेनियस मैट्रिक्स है, जो मुख्य विकर्ण के बाहर परिवर्तित संकेतों के साथ मूल मैट्रिक्स के बराबर है। इसलिए उपरोक्त उदाहरण का व्युत्क्रम है:
 * $$A^{-1}=\begin{pmatrix}

1   &    0    &   0    & \cdots & 0 \\ 0   &    1    &   0    & \cdots & 0 \\ 0   & -a_{32} &   1    & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0   & -a_{n2} &   0    & \cdots & 1 \end{pmatrix}$$ फ्रोबेनियस मैट्रिसेस का नाम फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस के नाम पर रखा गया है।

फ्रोबेनियस मैट्रिक्स शब्द का उपयोग एक वैकल्पिक मैट्रिक्स फॉर्म के लिए भी किया जा सकता है जो एक पहचान मैट्रिक्स से केवल उस पंक्ति के विकर्ण प्रविष्टि से पहले की एकल पंक्ति के तत्वों में भिन्न होता है (उपरोक्त परिभाषा के विपरीत जिसमें मैट्रिक्स विकर्ण के नीचे एक एकल कॉलम में पहचान मैट्रिक्स से भिन्न होता है)। निम्नलिखित मैट्रिक्स इस वैकल्पिक रूप का एक उदाहरण है जिसमें 4-बाय-4 मैट्रिक्स दिखाया गया है जिसकी तीसरी पंक्ति पहचान मैट्रिक्स से भिन्न है।
 * $$A=\begin{pmatrix}

1   &   0    &   0    & 0 \\  0    &   1    &   0    & 0 \\ a_{31} & a_{32} &   1    & 0 \\ 0   &   0    &   0    & 1 \end{pmatrix}$$ फ्रोबेनियस मैट्रिसेस के इस बाद वाले रूप का एक वैकल्पिक नाम कार्ल फ्रेडरिक गॉस के बाद गॉस ट्रांसफ़ॉर्मेशन मैट्रिक्स है। इनका उपयोग गॉसियन परिवर्तनों को दर्शाने के लिए गॉसियन उन्मूलन की प्रक्रिया में किया जाता है।

यदि एक मैट्रिक्स को गॉस ट्रांसफॉर्मेशन मैट्रिक्स के साथ बाएं (बाएं गुणा) से गुणा किया जाता है, तो एक रैखिक संयोजन पिछली पंक्तियों को मैट्रिक्स की दी गई पंक्ति में जोड़ा जाता है (ऊपर दिखाए गए उदाहरण में, पंक्तियों 1 और 2 का एक रैखिक संयोजन पंक्ति 3 में जोड़ा जाएगा)। व्युत्क्रम मैट्रिक्स के साथ गुणा करने से दी गई पंक्ति से संबंधित रैखिक संयोजन घट जाता है। यह गॉसियन उन्मूलन के प्राथमिक संचालन में से एक से मेल खाता है (पंक्तियों को स्थानांतरित करने और एक पंक्ति को एक अदिश गुणक के साथ गुणा करने के संचालन के अलावा)।

यह भी देखें

 * प्राथमिक मैट्रिक्स, फ्रोबेनियस मैट्रिक्स का एक विशेष मामला जिसमें केवल एक ऑफ-विकर्ण गैर-शून्य होता है

संदर्भ

 * Gene H. Golub and Charles F. Van Loan (1996). Matrix Computations, third edition, Johns Hopkins University Press. ISBN 0-8018-5413-X (hardback), ISBN 0-8018-5414-8 (paperback).