विभिन्न वास्तविक चर का फलन

गणितीय विश्लेषण और इसके अनुप्रयोगों में, कई वास्तविक चर या वास्तविक बहुभिन्नरूपी प्रकार्य का एक प्रकार्य (गणित) एक से अधिक तर्क के साथ होता है, जिसमें सभी तर्क वास्तविक संख्या चर होते हैं। यह अवधारणा एक वास्तविक चर के कार्य के विचार को कई चरों तक फैलाती है। निविष्ट चर वास्तविक मान लेते हैं, जबकि निर्गत, जिसे प्रकार्य का मान भी कहा जाता है वह वास्तविक या सम्मिश्र संख्या हो सकता है। हालाँकि, जटिल-मूल्यवान कार्यों का अध्ययन वास्तविक विश्लेषण के लिए आसानी से वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का अध्ययन, जटिल कार्य के वास्तविक और काल्पनिक संख्या भागों पर विचार करके कम किया जा सकता है; तथापि, जब तक स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट नहीं किया जाता है, इस लेख में केवल वास्तविक-मूल्यवान कार्यों पर विचार किया जाएगा।

$n$ चर के एक प्रकार्य के कार्यक्षेत्र $\mathbb{R}^n$ का उपसमुच्चय है जिसके लिए प्रकार्य परिभाषित किया गया है। हमेशा की तरह, कई वास्तविक चरों के एक प्रकार्य के कार्यक्षेत्र में एक गैर-खाली खुला $\mathbb{R}^n$का उपसमुच्चय होना चाहिए।

सामान्य परिभाषा
n वास्तविक चरों का वास्तविक-मूल्यवान फलन एक ऐसा फलन है जो n वास्तविक संख्याओं को निविष्ट के रूप में लेता है, सामान्यतः चर $n = 1$ द्वारा दर्शाई जाती हैं, एक अन्य वास्तविक संख्या उत्पन्न करने के लिए, फलन का मान, जिसे सामान्यतः $n = 2$ लक्षित किया जाता है। सादगी के लिए, इस लेख में कई वास्तविक चरों के वास्तविक-मूल्यवान प्रकार्य को केवल एक प्रकार्य कहा जाएगा। किसी भी अस्पष्टता से बचने के लिए, होने वाले अन्य प्रकार के कार्यों को स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट किया जाएगा।

कुछ कार्यों को चर के सभी वास्तविक मूल्यों के लिए परिभाषित किया गया है (वह कहता है कि वे हर जगह परिभाषित हैं), लेकिन कुछ अन्य कार्यों को केवल तभी परिभाषित किया जाता है जब चर का मान एक उपसमुच्चय $n = 3$ का $f(x_{1}, x_{2}, …, x_{n})$ में लिया जाता है, प्रकार्य का कार्यक्षेत्र, जिसमें हमेशा $n$ का एक खुला उपसमुच्चय अंतर्ग्रस्त होना चाहिए। दूसरे शब्दों में, $R^{n + 1}$ का एक वास्तविक-मूल्यवान कार्य वास्तविक चर का एक कार्य है।


 * $$f: X \to \R $$

ऐसे कि इसका कार्यक्षेत्र $n$ का उपसमुच्चय $n$ है  जिसमें एक गैर-खाली खुला समुच्चय होता है।

X का एक तत्व $x_{1}, x_{2}, …, x_{n}$-टुपल (गणित) $f(x_{1}, x_{2}, …, x_{n})$ है (सामान्यतः कोष्ठक द्वारा सीमांकित), निर्दिष्ट कार्यों के लिए सामान्य संकेतन $R^{n}$ होगा। सामान्य उपयोग, दोहरे कोष्ठकों का उपयोग नहीं करना और केवल $X$ लिखना समुच्चय के बीच कार्यों की सामान्य परिभाषा से बहुत पुराना है।

बोल्डफेस $R^{n}$, रेखांकित $n$, या ओवरएरो x $X$. जैसे सदिश के लिए समान चिन्हांकन का उपयोग करके $R^{n}$-टुपल $n$ को संक्षिप्त करना भी सामान्य है।

दो चरों में प्रकार्य का एक सरल उदाहरण हो सकता है:


 * $$\begin{align}

& V : X \to \R \\ & X = \left\{ (A,h) \in \R^2 \mid A>0, h> 0 \right\} \\ & V(A,h) = \frac{1}{3}A h \end{align}$$ जो एक शंकु का घनफल $(x_{1}, x_{2}, …, x_{n})$ आधार क्षेत्र $f((x_{1}, x_{2}, …, x_{n}))$ और ऊंचाई $f(x_{1}, x_{2}, …, x_{n})$ के साथ आधार से लंबवत मापा जाता है। कार्यक्षेत्र सभी चरों को धनात्मक होने के लिए प्रतिबंधित करता है क्योंकि लंबाई और क्षेत्र धनात्मक होने चाहिए।

दो चर में प्रकार्य के उदाहरण के लिए:


 * $$\begin{align}

& z : \R^2 \to \R \\ & z(x,y) = ax + by \end{align}$$
 * जहाँ पर $x$ तथा $x$ वास्तविक गैर-शून्य स्थिरांक हैं। त्रि-आयामी कार्तीय समन्वय प्रणाली का उपयोग करके, जहां xy विमान कार्यक्षेत्र $x$ है और z अक्ष सहकार्यक्षेत्र $n$ है, कोई छवि को दो-आयामी विमान के रूप में देख सकता है, जिसमें $(x_{1}, x_{2}, …, x_{n})$ ढलान धनात्मक x दिशा में और $V$ का ढलान धनात्मक y दिशा में है। प्रकार्य $A$ के सभी बिंदुओं $h$ पर अच्छी तरह से परिभाषित है। पिछले उदाहरण को उच्च आयामों तक आसानी से बढ़ाया जा सकता है:


 * $$\begin{align}

& z : \R^p \to \R \\ & z(x_1,x_2,\ldots, x_p) = a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_p x_p \end{align}$$ $a$ के लिये गैर-शून्य वास्तविक स्थिरांक $b$, जो $R^{2}$-आयामी अधिसमतल का वर्णन करता है।

यूक्लिडीय मानदंड:


 * $$f(\boldsymbol{x})=\|\boldsymbol{x}\| = \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}$$

n चर का एक प्रकार्य भी है जो हर जगह परिभाषित है, जबकि
 * $$g(\boldsymbol{x})=\frac{1}{f(\boldsymbol{x})}$$

$R$ के लिए ही परिभाषित किया गया है.

दो चर में एक गैर रेखीय उदाहरण प्रकार्य के लिए:


 * $$\begin{align}

& z : X \to \R \\ & X = \left\{ (x,y) \in \R^2 \, : \, x^2 + y^2 \leq 8 \,, \, x \neq 0 \, , \, y \neq 0 \right\} \\ & z(x,y) = \frac{1}{2xy}\sqrt{x^2 + y^2} \end{align}$$ जो सभी बिंदुओं को $a$ में लेता है, समतल $b$ में $R^{2}$ त्रिज्या की एक चक्रिका (गणित) मूल $(x, y)$ में संवेधन होती है और $p$ में एक बिंदु लौटाती है। प्रकार्य में मूल $a_{1}, a_{2}, …, a_{p}$ अंतर्ग्रस्त नहीं है, यदि किया तो  $p$  उस बिंदु पर अपूर्णरूप से परिभाषित किया जाएगा। कार्यक्षेत्र $x ≠ (0, 0, …, 0)$ के रूप में x- समतल के साथ एक 3D कार्तीय समन्वय प्रणाली का उपयोग करने और z अक्ष सहकार्यक्षेत्र $X$ छवि को एक घुमावदार सतह के रूप में देखा जा सकता है।

$R^{2}$ में प्रकार्य का मूल्यांकन $√8$ बिंदु पर किया जा सकता है:


 * $$z\left(2,\sqrt{3}\right) = \frac{1}{2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}}\sqrt{\left(2\right)^2 + \left(\sqrt{3}\right)^2} = \frac{1}{4\sqrt{3}}\sqrt{7} \,, $$

हालाँकि, फ़ंक्शन का मूल्यांकन नहीं किया जा सकता है, कल्पना कीजिये


 * $$(x,y) = (65,\sqrt{10}) \, \Rightarrow \, x^2 + y^2 = (65)^2 + (\sqrt{10})^2 > 8 $$

इन मूल्यों के बाद से $(x, y) = (0, 0)$ तथा $R$ कार्यक्षेत्र के नियम को पूरा नहीं करते।

छवि
किसी प्रकार्य $(x, y) = (0, 0)$ की छवि (गणित) $f$ के सभी मानों का समुच्चय है जब $f$-टुपल $R^{2}$ $f$ के पूरे कार्यक्षेत्र में चलता है। निरंतर (परिभाषा के लिए नीचे देखें) वास्तविक-मूल्यवान प्रकार्य के लिए जिसमें एक संसक्त कार्यक्षेत्र है, उसकी छवि या तो अंतःस्तर (गणित) या एकल मान है। अनुवर्ती प्रकरण में, प्रकार्य एक स्थिर प्रकार्य है।

दी गई वास्तविक संख्या की पूर्वछवि $R$ को स्तर समुच्चय कहा जाता है। यह समीकरण $X$ के समाधान का समुच्चय है।

कार्यक्षेत्र
कई वास्तविक चरों वाले फलन के फलन का प्रांत एक उपसमुच्चय $(x, y) = (2, √3)$ होता है यह कभी-कभी, लेकिन हमेशा स्पष्ट रूप से परिभाषित नहीं होता है। वास्तव में, यदि कोई कार्यक्षेत्र $x$ को एक प्रकार्य $y$ प्रतिबंधित करता है एक उपसमुच्चय $f(x_{1}, x_{2}, …, x_{n})$ के लिए, किसी को औपचारिक रूप से एक अलग कार्य मिलता है, $n$ के प्रति $(x_{1}, x_{2}, …, x_{n})$ का प्रतिबंध, जिसे $$f|_Y$$ निरूपित किया जाता है। अभ्यास में, यह प्रायः (लेकिन हमेशा नहीं) $c$ तथा $$f|_Y$$ पहचानने के लिए और प्रतिबंधक $f(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) = c$ को छोड़ने के लिए हानिकारक नहीं होता है।

इसके विपरीत, कभी-कभी किसी दिए गए प्रकार्य के कार्यक्षेत्र को स्वाभाविक रूप से बढ़ाना संभव होता है, उदाहरण के लिए निरंतर कार्य या विश्लेषणात्मक निरंतरता से।

इसके अलावा, कई कार्यों को इस तरह से परिभाषित किया गया है कि उनके कार्यक्षेत्र को स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट करना मुश्किल है। उदाहरण के लिए, एक दिए गए प्रकार्य $R^{n}$ में, प्रकार्य $$g(\boldsymbol{x}) = 1/f(\boldsymbol{x})$$ के कार्यक्षेत्र को निर्दिष्ट करना मुश्किल हो सकता है यदि $X$ एक बहुभिन्नरूपी बहुपद है, (जिसमें $$\R^n$$ एक कार्यक्षेत्र के रूप में है), यह परीक्षण करना और भी मुश्किल है कि क्या $f$ का कार्यक्षेत्र भी $$\R^n$$ है। यह परीक्षण के बराबर है कि क्या एक बहुपद हमेशा सकारात्मक होता है, और एक सक्रिय शोध क्षेत्र का उद्देश्य है (सकारात्मक बहुपद देखें)।

बीजगणितीय संरचना
वास्तविक पर अंकगणित के सामान्य संचालन को निम्नलिखित तरीके से कई वास्तविक चरों के वास्तविक-मूल्यवान कार्यों तक बढ़ाया जा सकता है:
 * प्रत्येक वास्तविक संख्या $Y ⊂ X$ के लिए, निरंतर कार्य $$(x_1,\ldots,x_n)\mapsto r$$ हर जगह परिभाषित है।
 * प्रत्येक वास्तविक संख्या $Y$ के लिए और हर प्रकार्य $f$, प्रकार्य: $$rf:(x_1,\ldots,x_n)\mapsto rf(x_1,\ldots,x_n)$$ के समान कार्यक्षेत्र $f$ है (या हर जगह $|_{Y}$ परिभाषित किया गया है)।
 * यदि $f$ तथा $f$ संबंधित कार्यक्षेत्र के दो कार्य $g$ तथा $r$ हैं इस प्रकार कि $r$ का एक गैर-खाली खुला $f$ का उपसमुच्चय अंतर्ग्रस्त है, फिर $$f\,g:(x_1,\ldots,x_n)\mapsto f(x_1,\ldots,x_n)\,g(x_1,\ldots,x_n)$$ तथा $$g\,f:(x_1,\ldots,x_n)\mapsto g(x_1,\ldots,x_n)\,f(x_1,\ldots,x_n)$$ ऐसे कार्य हैं जिनमें कार्यक्षेत्र युक्त $f$  है।

यह इस प्रकार है कि $r = 0$ के कार्य चर जो हर जगह परिभाषित हैं और कार्य के $f$ चर जो किसी दिए गए बिंदु के कुछ प्रतिवैस (गणित) में परिभाषित होते हैं, दोनों वास्तविक रूप से क्रम विनिमेय बीजगणित (संरचना) बनाते हैं ($g$- बीजगणित)। यह प्रकार्य स्थल का एक प्रोटोटाइपिकल उदाहरण है।

कोई इसी तरह परिभाषित कर सकता है
 * $$1/f : (x_1,\ldots,x_n) \mapsto 1/f(x_1,\ldots,x_n),$$

जो केवल एक कार्य है यदि अंक का समुच्चय$X$ $Y$ के कार्यक्षेत्र में ऐसे है कि $X ∩ Y$ $R^{n}$ का एक खुला उपसमुच्चय अंतर्ग्रस्त है। इस प्रतिबंध का तात्पर्य है कि उपरोक्त दो बीजगणित क्षेत्र (गणित) नहीं हैं।

एक बहुभिन्नरूपी कार्य से जुड़े अविभाज्य कार्य
चर को छोड़कर सभी को स्थिर मान देकर एक वास्तविक चर में प्रकार्य आसानी से प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि $X ∩ Y$ प्रकार्य के कार्यक्षेत्र के अंतस्थ (सांस्थिति) का एक बिंदु $n$ है, हम $n$ प्रति $R$ के मूल्यों को ठीक कर सकते हैं। क्रमशः, एक अविभाज्य कार्य प्राप्त करने के लिए
 * $$x \mapsto f(x, a_2, \ldots, a_n),$$

जिसका कार्यक्षेत्र पर केंद्रित एक अंतराल $(x_{1}, …,x_{n})$ होता है। इस फलन को समीकरण $f$ के लिये $f(x_{1}, …, x_{n}) ≠ 0$ द्वारा परिभाषित रेखा पर फलन $R^{n}$ के प्रतिबंध के रूप में भी देखा जा सकता है।

$(a_{1}, …, a_{n})$ से गुजरने वाली किसी भी रेखा के लिए $f$ अन्य अविभाज्य कार्यों को प्रतिबंधित करके परिभाषित किया जा सकता है। ये कार्य हैं:
 * $$x \mapsto f(a_1+c_1 x, a_2+c_2 x, \ldots, a_n+c_n x),$$

जहां $x_{2}, …, x_{n}$ वास्तविक संख्याएँ हैं जो सभी शून्य नहीं हैं।

अगले भाग में, हम दिखाएंगे कि, यदि बहुचर फलन संतत है, तो ये सभी अपरिवर्तनीय फलन भी हैं, लेकिन इसका विलोम आवश्यक रूप से सत्य नहीं है।

निरंतरता और सीमा
19वीं शताब्दी के दूसरे भाग तक, गणितज्ञों द्वारा केवल निरंतर कार्यों पर विचार किया जाता था। उस समय, एक सांस्थितिक समष्टि की औपचारिक परिभाषा और सांस्थितिक समष्टि के बीच एक सतत मानचित्र से काफी पहले एक या कई वास्तविक चर के कार्यों के लिए निरंतरता की धारणा को विस्तृत किया गया था। चूंकि कई वास्तविक चर के निरंतर कार्य गणित में सर्वव्यापी हैं, इसलिए इस धारणा को सांस्थितिक समष्टि के बीच निरंतर मानचित्रों की सामान्य धारणा के संदर्भ के बिना परिभाषित करना उचित है।

निरंतरता को परिभाषित करने के लिए, $a_{2}, …, a_{n}$ के दूरी प्रकार्य पर विचार करना उपयोगी होता है, जो $a_{1}$ वास्तविक चरों का सर्वत्र परिभाषित फलन है:
 * $$d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=d(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+\cdots +(x_n-y_n)^2}$$

एक प्रकार्य $x_{i} = a_{i}$ एक बिंदु $i = 2, …, n$ पर निरंतर है जो अपने कार्यक्षेत्र के लिए आंतरिक (सांस्थिति) है, यदि, प्रत्येक सकारात्मक वास्तविक संख्या $f$ के लिए, एक धनात्मक वास्तविक संख्या $f$ है ऐसे है कि $(a_{1}, …, a_{n})$ सभी के लिए $c_{i}$ ऐसे है कि $R^{n}$। दूसरे शब्दों में, φ को इतना छोटा चुना जा सकता है कि $2n$ द्वारा छवि प्राप्त की जा सके  जिसमे  गेंद की त्रिज्या $f$ $a = (a_{1}, …, a_{n})$ पर केंद्रित है और लंबाई के अंतराल $ε$ में निहित $φ$ पर केंद्रित है। कोई फलन संतत होता है यदि वह अपने प्रांत के प्रत्येक बिंदु पर संतत हो।

यदि कोई प्रकार्य $|f(x) − f(a)| < ε$ निरंतर है, फिर सभी अविभाज्य कार्य जो सभी चरों $x$ को ठीक करके प्राप्त किए जाते हैं $d(x a) < φ$ मूल्य पर एक को छोड़कर, $f$ पर निरंतर हैं। बातचीत झूठी है; इसका मतलब यह है कि ये सभी अविभाज्य कार्य एक ऐसे कार्य के लिए निरंतर हो सकते हैं जो $φ$ पर निरंतर नहीं है। उदाहरण के लिए, प्रकार्य $a$ पर विचार करें ऐसे कि $f(a)$, और अन्यथा निम्न द्वारा परिभाषित किया गया है:
 * $$f(x,y) = \frac{x^2y}{x^4+y^2}.$$

कार्य $2ε$ तथा $f(a)$ दोनों स्थिर और शून्य के बराबर हैं, और इसलिए निरंतर हैं। प्रकार्य $x_{i}$ $a_{i}$ पर निरंतर नहीं है, क्योंकि यदि $f(a)$ तथा $f(a)$ तब हमारे पास $f$ है, भले ही $f(0, 0) = 0$ बहुत छोटी है। हालांकि निरंतर नहीं, इस फलन का एक और गुण है कि इसे (0, 0) से गुजरने वाली रेखा तक सीमित करके प्राप्त किए गए सभी अविभाज्य फलन भी सतत होते हैं। हमारे पास है:
 * $$ f(x, \lambda x) =\frac{\lambda x}{x^2+\lambda^2}$$

$x ↦ f(x, 0)$ के लिये

कई वास्तविक चरों के वास्तविक-मूल्यवान प्रकार्य के एक बिंदु पर सीमा (गणित) को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है। अनुमति दें कि $y ↦ f(0, y)$ प्रकार्य $f$ के कार्यक्षेत्र $(0, 0)$ के संवरण (सांस्थिति) में बिंदु बनें। प्रकार्य,  $ε < 1/2$  कि एक सीमा $y = x^{2} ≠ 0$ है जब $f(x, y) = 1/2$ $|x|$ की ओर प्रवृत्त होता है, निरूपित
 * $$L = \lim_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}} f(\boldsymbol{x}), $$

यदि निम्न स्थिति संतुष्ट है: हर सकारात्मक वास्तविक संख्या $λ ≠ 0$ के लिए, एक धनात्मक वास्तविक संख्या $a = (a_{1}, a_{2}, …, a_{n})$ है ऐसा है कि:
 * $$|f(\boldsymbol{x}) - L| < \varepsilon $$

सभी के लिए $f$ कार्यक्षेत्र में ऐसा है
 * $$d(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{a})< \delta.$$

यदि सीमा मौजूद है, तो यह अद्वितीय है। यदि $X$ कार्यक्षेत्र के अंतस्थ में है, सीमा उपस्थित है यदि और केवल यदि प्रकार्य $f$ पर निरंतर है। इस मामले में, हमारे पास है


 * $$f(\boldsymbol{a}) = \lim_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}} f(\boldsymbol{x}). $$

जब $L$ $x$ के कार्यक्षेत्र की सीमा (सांस्थिति) में है, और यदि $a$ की सीमा $ε > 0$ होती है, बाद वाला सूत्र निरंतरता द्वारा $δ > 0$ प्रति $x$ के कार्यक्षेत्र का विस्तार करने की अनुमति देता है।

समरूपता
एक सममित कार्य एक कार्य है $a$ यह अपरिवर्तित है जब दो चर $a$ तथा $a$ अदला-बदली कर रहे हैं:


 * $$f(\ldots, x_i,\ldots,x_j,\ldots) = f(\ldots, x_j,\ldots,x_i,\ldots)$$

कहाँ पे $f$ तथा $f$ प्रत्येक हैं $a$. उदाहरण के लिए:


 * $$f(x,y,z,t) = t^2 - x^2 - y^2 - z^2 $$

में सममित है $f$ किसी भी जोड़ी को इंटरचेंज करने के बाद से $a$ पत्तियाँ $f$ अपरिवर्तित है, लेकिन सभी में सममित नहीं है $x_{i}$, आदान-प्रदान के बाद से $x_{j}$ साथ $i$ या $j$ या $1, 2, …, n$ अलग कार्य देता है।

प्रकार्य संरचना
मान लीजिए कार्य


 * $$\xi_1 = \xi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n), \quad \xi_2 = \xi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n), \ldots \xi_m = \xi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n),$$

या अधिक कॉम्पैक्टली $x, y, z$, सभी एक कार्यक्षेत्र पर परिभाषित हैं $x, y, z$. के रूप में $f$-टुपल $x, y, z, t$ में भिन्न होता है $t$, का एक उपसमुच्चय $x$, द $y$-टुपल $z$ दूसरे क्षेत्र में भिन्न होता है $ξ = ξ(x)$ का एक उपसमुच्चय $X$. इसे पुन: स्थापित करने के लिए:


 * $$\boldsymbol{\xi} : X \to \Xi .$$

फिर, एक प्रकार्य $n$ कार्यों का $x = (x_{1}, x_{2}, …, x_{n})$ पर परिभाषित $X$,


 * $$\begin{align}

& \zeta : \Xi \to \R, \\ & \zeta = \zeta(\xi_1,\xi_2,\ldots,\xi_m), \end{align}$$ पर परिभाषित एक प्रकार्य रचना है $R^{n}$, दूसरे शब्दों में मानचित्रण


 * $$\begin{align}

& \zeta : X \to \R, \\ & \zeta = \zeta(\xi_1,\xi_2,\ldots,\xi_m) = f(x_1,x_2,\ldots,x_n). \end{align}$$ नंबर नोट कर लें $m$ तथा $ξ = (ξ_{1}, ξ_{2}, …, ξ_{m})$ बराबर होने की जरूरत नहीं है।

उदाहरण के लिए, प्रकार्य


 * $$f(x,y) = e^{xy}[\sin 3(x-y) - \cos 2(x+y)]$$

हर जगह परिभाषित $Ξ$ प्रस्तुत करके पुनः लिखा जा सकता है


 * $$(\alpha, \beta, \gamma ) = (\alpha(x,y), \beta(x,y), \gamma(x,y) ) = ( xy ,  x-y, x+y )$$

जो हर जगह परिभाषित भी है $R^{m}$ प्राप्त करने के लिए


 * $$f(x,y) = \zeta(\alpha(x,y),\beta(x,y),\gamma(x,y)) = \zeta(\alpha,\beta,\gamma) = e^\alpha[\sin (3\beta) - \cos (2\gamma)] \,.$$

प्रकार्य संरचना का उपयोग फ़ंक्शंस को सरल बनाने के लिए किया जा सकता है, जो कई इंटीग्रल को पूरा करने और आंशिक अंतर समीकरणों को हल करने के लिए उपयोगी है।

कलन
कलन एक वास्तविक चर के वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का कलन है, और इस तरह के कार्यों के भेदभाव (गणित) और एकीकरण (गणित) के प्रमुख विचारों को एक से अधिक वास्तविक चर के कार्यों तक बढ़ाया जा सकता है; यह विस्तार बहुभिन्नरूपी कलन है।

आंशिक डेरिवेटिव
आंशिक डेरिवेटिव को प्रत्येक चर के संबंध में परिभाषित किया जा सकता है:


 * $$\frac{\partial}{\partial x_1} f(x_1, x_2, \ldots, x_n)\,,\quad \frac{\partial}{\partial x_2} f(x_1, x_2, \ldots x_n)\,,\ldots, \frac{\partial}{\partial x_n} f(x_1, x_2, \ldots, x_n). $$

आंशिक डेरिवेटिव स्वयं कार्य हैं, जिनमें से प्रत्येक परिवर्तन की दर का प्रतिनिधित्व करता है $ζ$ एक के समानांतर $ξ(x)$ कार्यक्षेत्र में सभी बिंदुओं पर कुल्हाड़ियों (यदि डेरिवेटिव मौजूद हैं और निरंतर हैं - नीचे भी देखें)। एक पहला व्युत्पन्न धनात्मक होता है यदि संबंधित अक्ष की दिशा में कार्य बढ़ता है, ऋणात्मक होता है यदि यह घटता है, और शून्य होता है यदि कोई वृद्धि या कमी नहीं होती है। कार्यक्षेत्र में किसी विशेष बिंदु पर आंशिक व्युत्पन्न का मूल्यांकन उस बिंदु पर प्रकार्य के परिवर्तन की दर को एक विशेष धुरी के समानांतर दिशा में वास्तविक संख्या देता है।

वास्तविक चर के वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के लिए, $Ξ$, इसका सामान्य व्युत्पन्न $X$ ज्यामितीय रूप से वक्र की स्पर्श रेखा की प्रवणता है $m$ कार्यक्षेत्र के सभी बिंदुओं पर। आंशिक डेरिवेटिव इस विचार को वक्र के स्पर्शरेखा हाइपरप्लेन तक विस्तारित करते हैं।

दूसरे क्रम के आंशिक डेरिवेटिव की गणना चर के प्रत्येक जोड़े के लिए की जा सकती है:


 * $$\frac{\partial^2}{\partial x^2_1} f(x_1, x_2, \ldots, x_n)\,,\quad \frac{\partial^2}{\partial x_1 x_2} f(x_1, x_2, \ldots x_n)\,,\ldots, \frac{\partial^2}{\partial x^2_n} f(x_1, x_2, \ldots, x_n) .$$

ज्यामितीय रूप से, वे कार्यक्षेत्र में सभी बिंदुओं पर प्रकार्य की छवि के स्थानीय वक्रता से संबंधित होते हैं। किसी भी बिंदु पर जहां प्रकार्य अच्छी तरह से परिभाषित है, प्रकार्य कुछ अक्षों के साथ बढ़ रहा है, और/या अन्य अक्षों के साथ घट रहा है, और/या अन्य अक्षों के साथ बिल्कुल भी नहीं बढ़ रहा है या घट रहा है।

यह विभिन्न प्रकार के संभावित स्थिर बिंदुओं की ओर जाता है: वैश्विक या स्थानीय मैक्सिमा और मिनिमा, वैश्विक या स्थानीय मैक्सिमा और मिनिमा, और सैडल पॉइंट्स - एक वास्तविक चर के वास्तविक कार्यों के लिए विभक्ति बिंदुओं का बहुआयामी एनालॉग। हेस्सियन मैट्रिक्स दूसरे क्रम के सभी आंशिक डेरिवेटिव का एक मैट्रिक्स है, जिसका उपयोग प्रकार्य के स्थिर बिंदुओं की जांच के लिए किया जाता है, जो गणितीय अनुकूलन के लिए महत्वपूर्ण है।

सामान्य तौर पर, उच्च क्रम के आंशिक डेरिवेटिव $n$ फॉर्म है:


 * $$\frac{\partial^p}{\partial x_1^{p_1}\partial x_2^{p_2}\cdots\partial x_n^{p_n}} f(x_1, x_2, \ldots, x_n) \equiv \frac{\partial^{p_1}}{\partial x_1^{p_1}} \frac{\partial^{p_2}}{\partial x_2^{p_2}} \cdots \frac{\partial^{p_n}}{\partial x_n^{p_n}} f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$$

कहाँ पे $R^{2}$ के बीच प्रत्येक पूर्णांक हैं $R^{3}$ तथा $f$ ऐसा है कि $x_{1}, x_{2}, …, x_{n}$पहचान कार्यों के रूप में शून्य आंशिक डेरिवेटिव की परिभाषाओं का उपयोग करते हुए:


 * $$\frac{\partial^0}{\partial x_1^0}f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)\,,\quad \ldots,\, \frac{\partial^0}{\partial x_n^0}f(x_1, x_2, \ldots, x_n)=f(x_1, x_2, \ldots, x_n)\,. $$

संभावित आंशिक डेरिवेटिव की संख्या बढ़ जाती है $y = f(x)$, हालांकि कुछ मिश्रित आंशिक डेरिवेटिव (एक से अधिक चर के संबंध में) दूसरे डेरिवेटिव की समरूपता के कारण अनावश्यक हैं। यह कुछ के लिए गणना करने के लिए आंशिक डेरिवेटिव की संख्या कम कर देता है $dy/dx$.

बहुभिन्नरूपी भिन्नता
एक प्रकार्य $y = f(x)$ एक बिंदु के पड़ोस में अवकलनीय है $p$ यदि कोई है $p_{1}, p_{2}, …, p_{n}$-संख्याओं का समूह निर्भर करता है $0$ सामान्य रूप में, $p$, ताकि:
 * $$f(\boldsymbol{x}) = f(\boldsymbol{a}) + \boldsymbol{A}(\boldsymbol{a})\cdot(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}) + \alpha(\boldsymbol x)|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}|$$

कहाँ पे $p_{1} + p_{2} + ⋯ + p_{n} = p$ जैसा $p$. इसका मतलब है कि यदि $p$ एक बिंदु पर अवकलनीय है $f(x)$, फिर $a$ पर निरंतर है $n$, हालांकि इसका विलोम सत्य नहीं है - कार्यक्षेत्र में निरंतरता का मतलब कार्यक्षेत्र में भिन्नता नहीं है। यदि $a$ पर अवकलनीय है $A(a) = (A_{1}(a), A_{2}(a), …, A_{n}(a))$ तब प्रथम कोटि के आंशिक अवकलज मौजूद होते हैं $α → 0$ तथा:


 * $$\left.\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_i}\right|_{\boldsymbol{x} = \boldsymbol{a}} = A_i (\boldsymbol{a}) $$

के लिये $|x − a| → 0$, जो अलग-अलग आंशिक डेरिवेटिव की परिभाषाओं से पाया जा सकता है, इसलिए आंशिक डेरिवेटिव $f$ मौजूद।

मान लीजिए एक $a$एक आयताकार कार्तीय समन्वय प्रणाली का आयामी एनालॉग, इन आंशिक डेरिवेटिव का उपयोग सदिश रैखिक ऑपरेटर अंतर ऑपरेटर बनाने के लिए किया जा सकता है, जिसे इस समन्वय प्रणाली में ग्रेडियेंट # परिभाषा (जिसे डेल या डेल भी कहा जाता है) कहा जाता है:


 * $$\nabla f(\boldsymbol{x}) = \left(\frac{\partial}{\partial x_1}, \frac{\partial}{\partial x_2}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x_n} \right) f(\boldsymbol{x}) $$

सदिश कैलकुलस में बड़े पैमाने पर उपयोग किया जाता है, क्योंकि यह अन्य डिफरेंशियल ऑपरेटर्स के निर्माण और सदिश कैलकुलस में प्रमेय तैयार करने के लिए उपयोगी है।

फिर ढाल को प्रतिस्थापित करना $f$ (पर मूल्यांकन किया गया $x = a$ एक मामूली पुनर्व्यवस्था के साथ देता है:


 * $$f(\boldsymbol{x}) - f(\boldsymbol{a})= \nabla f(\boldsymbol{a})\cdot(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}) + \alpha |\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}|$$

कहाँ पे $f$ डॉट उत्पाद को दर्शाता है। यह समीकरण प्रकार्य के सर्वोत्तम रैखिक सन्निकटन का प्रतिनिधित्व करता है $a$ सभी बिंदुओं पर $a$ के पड़ोस में $i = 1, 2, …, n$. डिफरेंशियल (इनफिनिटिमल) के लिए $f$ तथा $n$ जैसा $∇f$:


 * $$df = \left.\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_1}\right|_{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{a}}dx_1 +

\left.\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_2}\right|_{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{a}}dx_2 + \dots + \left.\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_n}\right|_{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{a}}dx_n = \nabla f(\boldsymbol{a}) \cdot d\boldsymbol{x}$$ जिसे किसी प्रकार्य के कुल अंतर या केवल अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है $x = a)$, पर $·$. यह व्यंजक के कुल अत्यल्प परिवर्तन के संगत है $f$, के सभी अपरिमेय परिवर्तनों को जोड़कर $x$ सभी में $a$ दिशाओं। भी, $f$ आधार (रैखिक बीजगणित) के साथ अपरिमेय के रूप में कोसदिश के रूप में समझा जा सकता है $x$ प्रत्येक दिशा में और के आंशिक डेरिवेटिव $x → a$ घटकों के रूप में।

ज्यामितीय $f$ के स्तर समुच्चयके लंबवत है $a$, के द्वारा दिया गया $f$ जो कुछ स्थिर के लिए $f$ एक का वर्णन करता है $x_{i}$-आयामी हाइपरसफेस। एक स्थिरांक का अंतर शून्य है:


 * $$df = (\nabla f) \cdot d \boldsymbol{x} = 0$$

जिसमें $df$ में एक अतिसूक्ष्म परिवर्तन है $dx_{i}$ हाइपरसफेस में $f$, और डॉट उत्पाद के बाद से $∇f$ तथा $f$ शून्य है, इसका अर्थ है $f(x) = c$ के लंबवत है $c$.

मनमाना वक्रीय समन्वय प्रणालियों में $(n − 1)$ आयाम, ढाल के लिए स्पष्ट अभिव्यक्ति इतनी सरल नहीं होगी - उस समन्वय प्रणाली के लिए मीट्रिक टेन्सर के संदर्भ में स्केल कारक होंगे। इस पूरे लेख में उपयोग किए गए उपरोक्त मामले के लिए, मीट्रिक केवल क्रोनकर डेल्टा है और स्केल कारक सभी 1 हैं।

भिन्नता वर्ग
यदि सभी प्रथम क्रम आंशिक डेरिवेटिव का मूल्यांकन एक बिंदु पर किया जाता है $dx$ कार्यक्षेत्र में:


 * $$\left.\frac{\partial}{\partial x_1} f(\boldsymbol{x})\right|_{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{a}}\,,\quad

\left.\frac{\partial}{\partial x_2} f(\boldsymbol{x})\right|_{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{a}}\,,\ldots, \left.\frac{\partial}{\partial x_n} f(\boldsymbol{x})\right|_{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{a}} $$ मौजूद हैं और सभी के लिए निरंतर हैं $x$ कार्यक्षेत्र में, $f(x) = c$ भिन्नता वर्ग है $∇f$. सामान्य तौर पर, यदि सभी आदेश $dx$ आंशिक डेरिवेटिव का मूल्यांकन एक बिंदु पर किया जाता है $∇f$:


 * $$\left.\frac{\partial^p}{\partial x_1^{p_1}\partial x_2^{p_2}\cdots\partial x_n^{p_n}} f(\boldsymbol{x})\right|_{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{a}}$$

मौजूद हैं और निरंतर हैं, जहां $dx$, तथा $n$ ऊपर के रूप में, सभी के लिए हैं $a$ कार्यक्षेत्र में, फिर $a$ ऑर्डर करने के लिए अलग-अलग है $f$ पूरे कार्यक्षेत्र में और भिन्नता वर्ग है $C^{1}$.

यदि $p$ अवकलनीयता वर्ग का है $a$, $p_{1}, p_{2}, …, p_{n}$ सभी क्रम के निरंतर आंशिक डेरिवेटिव हैं और इसे सुचारू कार्य कहा जाता है। यदि $p$ एक विश्लेषणात्मक कार्य है और कार्यक्षेत्र में किसी भी बिंदु के बारे में इसकी टेलर श्रृंखला के बराबर है, अंकन $a$ इस भिन्नता वर्ग को दर्शाता है।

एकाधिक एकीकरण
नोटेशन के साथ कई वास्तविक चर पर निश्चित अभिन्न को कई एकीकरण तक बढ़ाया जा सकता है;


 * $$\int_{R_n} \cdots \int_{R_2} \int_{R_1} f(x_1, x_2, \ldots, x_n) \, dx_1 dx_2\cdots dx_n \equiv \int_R f(\boldsymbol{x}) \, d^n\boldsymbol{x}$$

जहां प्रत्येक क्षेत्र $f$ वास्तविक रेखा का या सभी का उपसमुच्चय है:


 * $$R_1 \subseteq \mathbb{R} \,, \quad R_2 \subseteq \mathbb{R} \,, \ldots, R_n \subseteq \mathbb{R}, $$

और उनका कार्तीय उत्पाद क्षेत्र को एक समुच्चयके रूप में एकीकृत करने के लिए देता है:


 * $$R = R_1 \times R_2 \times \dots \times R_n \,,\quad R \subseteq \mathbb{R}^n \,,$$

एक $p$-आयामी हाइपरवॉल्यूम। जब मूल्यांकन किया जाता है, तो एक निश्चित अभिन्न एक वास्तविक संख्या होती है यदि क्षेत्र में अभिन्न अभिसरण (गणित)। $C ^{p}$ एकीकरण का (एक निश्चित अभिन्न का परिणाम किसी दिए गए क्षेत्र के लिए अनंत हो सकता है, ऐसे मामलों में अभिन्न अपरिभाषित रहता है)। वेरिएबल्स को डमी या फ्री वेरिएबल्स और बाउंड वेरिएबल्स के रूप में माना जाता है बाध्य चर जो एकीकरण की प्रक्रिया में संख्याओं के लिए प्रतिस्थापित किए जाते हैं।

एक वास्तविक चर के वास्तविक-मूल्यवान फलन का समाकल $f$ इसके संबंध में $C^{∞}$ वक्र से घिरे क्षेत्र के रूप में ज्यामितीय व्याख्या है $f$ और यह $f$-एक्सिस। एकाधिक समाकल इस अवधारणा की विमीयता का विस्तार करते हैं: a मानते हुए $C^{ω}$एक आयताकार कार्तीय समन्वय प्रणाली का आयामी एनालॉग, उपरोक्त निश्चित अभिन्न के रूप में ज्यामितीय व्याख्या है $R_{1}, R_{2}, …, R_{n}$-आयामी हाइपरवोल्यूम से घिरा हुआ $n$ और यह $R$ अक्ष, जो धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि समाकलित किया जा रहा है (यदि समाकल अभिसारी है)।

जबकि परिबद्ध हाइपरवोल्यूम एक उपयोगी अंतर्दृष्टि है, निश्चित अभिन्न का अधिक महत्वपूर्ण विचार यह है कि वे अंतरिक्ष के भीतर कुल मात्रा का प्रतिनिधित्व करते हैं। लागू गणित और भौतिकी में इसका महत्व है: यदि $y = f(x)$ कुछ अदिश घनत्व क्षेत्र है और $x$ स्थिति सदिश निर्देशांक हैं, यानी कुछ स्केलर (भौतिकी) प्रति यूनिट एन-डायमेंशनल हाइपरवोल्यूम, फिर क्षेत्र में एकीकृत $y = f(x)$ में कुल मात्रा देता है $x$. हाइपरवोल्यूम की अधिक औपचारिक धारणा माप (गणित) का विषय है। ऊपर हमने Lebesgue माप का उपयोग किया, इस विषय पर अधिक जानकारी के लिए Lebesgue एकीकरण देखें।

प्रमेय
एकाधिक एकीकरण और आंशिक डेरिवेटिव की परिभाषाओं के साथ, प्रमुख प्रमेय तैयार किए जा सकते हैं, जिसमें कई वास्तविक चर (अर्थात् स्टोक्स प्रमेय) में कलन के मौलिक प्रमेय अंतर्ग्रस्तहैं, भागों द्वारा एकीकरण # कई वास्तविक चर में उच्च आयाम, दूसरे डेरिवेटिव की समरूपता और टेलर की प्रमेय#बहुभिन्नरूपी कार्यों के लिए टेलर की प्रमेय|बहुभिन्नरूपी कार्यों के लिए टेलर की प्रमेय। इंटीग्रल और आंशिक डेरिवेटिव के मिश्रण का मूल्यांकन इंटीग्रल साइन के तहत प्रमेय भिन्नता का उपयोग करके किया जा सकता है।

सदिश कलन
कई वास्तविक चरों में से प्रत्येक में कई कार्य एकत्र किए जा सकते हैं, कहते हैं


 * $$y_1 = f_1(x_1, x_2, \ldots, x_n)\,,\quad y_2 = f_2(x_1, x_2, \ldots, x_n)\,,\ldots, y_m = f_m(x_1, x_2, \cdots x_n) $$

एक में $n$-टुपल, या कभी-कभी कॉलम सदिश या पंक्ति सदिश के रूप में क्रमशः:


 * $$(y_1, y_2, \ldots, y_m) \leftrightarrow \begin{bmatrix} f_1(x_1, x_2, \ldots, x_n) \\ f_2(x_1, x_2, \cdots x_n) \\ \vdots \\ f_m(x_1, x_2, \ldots, x_n) \end{bmatrix} \leftrightarrow \begin{bmatrix} f_1(x_1, x_2, \ldots, x_n) &  f_2(x_1, x_2, \ldots, x_n) & \cdots & f_m(x_1, x_2, \ldots, x_n) \end{bmatrix} $$

सभी को एक समान स्तर पर माना जाता है $n$-कंपोनेंट सदिश फील्ड, और जो भी फॉर्म सुविधाजनक हो उसका उपयोग करें। उपरोक्त सभी नोटेशन में एक सामान्य कॉम्पैक्ट नोटेशन है $f(x)$. ऐसे सदिश क्षेत्रों की गणना सदिश कलन है। बहुभिन्नरूपी कार्यों के पंक्ति सदिशों और स्तंभ सदिशों के उपचार के बारे में अधिक जानकारी के लिए, मैट्रिक्स कलन देखें।

अंतर्निहित कार्य
कई वास्तविक चरों का वास्तविक-मूल्यवान अंतर्निहित कार्य रूप में नहीं लिखा गया है$x_{1}, x_{2}, …, x_{n}$. इसके बजाय, मैपिंग अंतरिक्ष से है $f$ शून्य तत्व में $x$ (सिर्फ साधारण शून्य 0):


 * $$\begin{align}

& \phi: \R^{n+1} \to \{0\} \\ & \phi(x_1, x_2, \ldots, x_n, y) = 0 \end{align}$$ सभी चरों में एक समीकरण है। अंतर्निहित कार्य कार्यों का प्रतिनिधित्व करने का एक अधिक सामान्य तरीका है, क्योंकि यदि:


 * $$y=f(x_1, x_2, \ldots, x_n) $$

तो हम हमेशा परिभाषित कर सकते हैं:


 * $$ \phi(x_1, x_2, \ldots, x_n, y) = y - f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0 $$

लेकिन इसका विलोम हमेशा संभव नहीं होता है, अर्थात सभी अंतर्निहित कार्यों का एक स्पष्ट रूप नहीं होता है।

उदाहरण के लिए, अंतराल (गणित) का उपयोग करते हुए, आइए


 * $$\begin{align}

& \phi : X \to \{ 0 \} \\ & \phi(x,y,z) = \left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 + \left(\frac{z}{c}\right)^2 - 1 = 0 \\ & X = [-a,a] \times [-b,b] \times [-c,c] = \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \,:\, -a\leq x\leq a, -b\leq y\leq b, -c\leq z\leq c \right\}. \end{align}$$ एक 3-आयामी (3डी) कार्तीय समन्वय प्रणाली का चयन करना, यह प्रकार्य मूल बिंदु पर केंद्रित एक 3डी दीर्घवृत्त की सतह का वर्णन करता है $R$ निरंतर अर्ध-प्रमुख अक्ष के साथ | अर्ध-प्रमुख अक्ष $R$, धनात्मक x, y और z अक्षों के साथ क्रमशः। यदि $m$, हमारे पास त्रिज्या का एक गोला है $m$ मूल पर केन्द्रित है। अन्य शांकव खंड के उदाहरण जिन्हें समान रूप से वर्णित किया जा सकता है उनमें हाइपरबोलॉइड और पैराबोलॉइड अंतर्ग्रस्तहैं, सामान्यतः 3डी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में कोई भी 2डी सतह हो सकती है। उपरोक्त उदाहरण के लिए हल किया जा सकता है $y = f(x)$, $y = f(…)$ या $R^{n + 1}$; हालाँकि इसे निहित रूप में लिखना बहुत कठिन है।

अधिक परिष्कृत उदाहरण के लिए:


 * $$\begin{align}

& \phi : \R^4 \to \{ 0 \} \\ & \phi(t,x,y,z) = C tz e^{tx-yz} + A \sin(3\omega t) \left(x^2z - B y^6\right) = 0 \end{align}$$ गैर-शून्य वास्तविक स्थिरांक के लिए $R$, यह प्रकार्य सभी के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है $(x, y, z) = (0, 0, 0)$, लेकिन इसे इन चरों के लिए स्पष्ट रूप से हल नहीं किया जा सकता है और इसे लिखा जा सकता है$a, b, c$,$a = b = c = r$, आदि।

दो से अधिक वास्तविक चरों का निहित फलन प्रमेय, फलन की निरंतरता और अवकलनीयता से संबंधित है, जो इस प्रकार है। होने देना $r$ निरंतर प्रथम क्रम आंशिक डेरिवेटिव के साथ एक निरंतर कार्य हो, और एक बिंदु पर ϕ का मूल्यांकन करें $x$ शून्य हो:


 * $$\phi(\boldsymbol{a}, b) = 0;$$

और का पहला आंशिक व्युत्पन्न करते हैं $y$ इसके संबंध में $z$ पर मूल्यांकन किया गया $A, B, C, ω$ गैर शून्य हो:


 * $$\left.\frac{\partial \phi(\boldsymbol{x},y)}{\partial y}\right|_{(\boldsymbol{x},y) = (\boldsymbol{a},b)} \neq 0 .$$

फिर एक अंतराल होता है $(t, x, y, z)$ युक्त $t =$, और एक क्षेत्र $x =$ युक्त $ϕ(x_{1}, x_{2}, …, x_{n})$, ऐसा कि प्रत्येक के लिए $(a, b) = (a_{1}, a_{2}, …, a_{n}, b)$ में $ϕ$ का ठीक एक मूल्य है $y$ में $(a, b)$ संतुष्टि देने वाला $[y_{1}, y_{2}]$, तथा $b$ का एक सतत कार्य है $R$ ताकि $(a, b)$. कार्यों के कुल अंतर हैं:


 * $$dy=\frac{\partial y}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial y}{\partial x_2}dx_2 + \dots + \frac{\partial y}{\partial x_n}dx_n ;$$
 * $$d\phi=\frac{\partial \phi}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial \phi}{\partial x_2}dx_2 + \dots + \frac{\partial \phi}{\partial x_n}dx_n + \frac{\partial \phi}{\partial y}dy .$$

स्थानापन्न $x$ बाद के अंतर में और अंतर के गुणांक को बराबर करने से पहले क्रम का आंशिक डेरिवेटिव मिलता है $R$ इसके संबंध में $y$ मूल फलन के अवकलजों के संदर्भ में, प्रत्येक रैखिक समीकरण के हल के रूप में


 * $$\frac{\partial \phi}{\partial x_i} + \frac{\partial \phi}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x_i} = 0 $$

के लिये $[y_{1}, y_{2}]$.

कई वास्तविक चरों का जटिल-मूल्यवान कार्य
कई वास्तविक चरों के एक जटिल-मूल्यवान प्रकार्य को वास्तविक-मूल्यवान कार्यों की परिभाषा में, कोकार्यक्षेत्र को वास्तविक संख्याओं तक सीमित करने और जटिल संख्या मानों की अनुमति देकर परिभाषित किया जा सकता है।

यदि $ϕ(x, y) = 0$ इस तरह का एक जटिल मूल्यवान कार्य है, इसे विघटित किया जा सकता है
 * $$f(x_1,\ldots, x_n)=g(x_1,\ldots, x_n)+ih(x_1,\ldots, x_n),$$

कहाँ पे $y$ तथा $x$ वास्तविक मूल्यवान कार्य हैं। दूसरे शब्दों में, जटिल मूल्यवान कार्यों का अध्ययन वास्तविक मूल्यवान कार्यों के जोड़े के अध्ययन के लिए आसानी से कम हो जाता है।

यह कमी सामान्य संपत्तियों के लिए काम करती है। हालाँकि, स्पष्ट रूप से दिए गए प्रकार्य के लिए, जैसे:


 * $$ z(x, y, \alpha, a, q) = \frac{q}{2\pi} \left[\ln\left(x+iy- ae^{i\alpha}\right) - \ln\left(x+iy + ae^{-i\alpha}\right)\right]$$

वास्तविक और काल्पनिक भाग की गणना कठिन हो सकती है।

अनुप्रयोग
इंजीनियरिंग और भौतिकी में वास्तविक चरों के बहुभिन्नरूपी कार्य अनिवार्य रूप से उत्पन्न होते हैं, क्योंकि अवलोकन योग्य भौतिक मात्रा वास्तविक संख्याएं होती हैं (माप और आयामी विश्लेषण की संबंधित इकाइयों के साथ), और कोई भी भौतिक मात्रा आम तौर पर कई अन्य मात्राओं पर निर्भर करती है।

कई वास्तविक चरों के वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के उदाहरण
सातत्य यांत्रिकी के उदाहरणों में स्थानीय द्रव्यमान घनत्व अंतर्ग्रस्तहै $ϕ(x, y(x)) = 0$ बड़े पैमाने पर वितरण का, एक अदिश क्षेत्र जो स्थानिक स्थिति निर्देशांक पर निर्भर करता है (यहाँ उदाहरण के लिए कार्तीय), $dy$, और समय $y$:


 * $$\rho = \rho(\mathbf{r},t) = \rho(x,y,z,t)$$

इसी तरह इलेक्ट्रिक चार्ज ऑब्जेक्ट्स के लिए इलेक्ट्रिक चार्ज घनत्व, और कई अन्य स्केलर संभावित क्षेत्रों के लिए।

एक अन्य उदाहरण वेग क्षेत्र है, एक सदिश क्षेत्र, जिसमें वेग के घटक होते हैं $x_{i}$ स्थानिक निर्देशांक और समय के प्रत्येक बहुभिन्नरूपी कार्य इसी तरह हैं:


 * $$\mathbf{v} (\mathbf{r},t) = \mathbf{v}(x,y,z,t) = [v_x(x,y,z,t), v_y(x,y,z,t), v_z(x,y,z,t)]$$

इसी प्रकार अन्य भौतिक सदिश क्षेत्रों जैसे विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र, और सदिश संभावित क्षेत्र के लिए।

एक अन्य महत्वपूर्ण उदाहरण ऊष्मप्रवैगिकी में राज्य का समीकरण है, दबाव से संबंधित एक समीकरण $i = 1, 2, …, n$, तापमान $f(x_{1}, …, x_{n})$, और मात्रा $g$ एक तरल पदार्थ का, सामान्य तौर पर इसका एक अंतर्निहित रूप होता है:


 * $$f(P, V, T) = 0 $$

सबसे सरल उदाहरण आदर्श गैस कानून है:


 * $$f(P, V, T) = PV - nRT = 0 $$

कहाँ पे $h$ मोल्स की संख्या है, पदार्थ की एक निश्चित मात्रा के लिए स्थिर, और $ρ$ गैस स्थिरांक। राज्य के बहुत अधिक जटिल समीकरणों को आनुभविक रूप से व्युत्पन्न किया गया है, लेकिन उन सभी का उपरोक्त निहित रूप है।

कई वास्तविक चरों के वास्तविक-मूल्यवान कार्य अर्थशास्त्र में व्यापक रूप से दिखाई देते हैं। उपभोक्ता सिद्धांत के आधार में, उपयोगिता को खपत किए गए विभिन्न सामानों की मात्रा के एक प्रकार्य के रूप में व्यक्त किया जाता है, प्रत्येक राशि उपयोगिता प्रकार्य का एक तर्क है। उपयोगिता को अधिकतम करने का परिणाम मांग कार्यों का एक समुच्चयहै, प्रत्येक एक विशेष वस्तु की मांग की गई राशि को विभिन्न वस्तुओं की कीमतों और आय या धन के कार्य के रूप में व्यक्त करता है। आपूर्ति (अर्थशास्त्र) में, एक फर्म को सामान्यतः उत्पादित विभिन्न वस्तुओं की मात्रा और नियोजित उत्पादन के विभिन्न कारकों की मात्रा के कार्य के रूप में लाभ को अधिकतम करने के लिए माना जाता है। अनुकूलन का परिणाम उत्पादन के विभिन्न कारकों के लिए मांग कार्यों का एक समुच्चयऔर विभिन्न उत्पादों के लिए आपूर्ति (अर्थशास्त्र) का एक समुच्चयहै; इनमें से प्रत्येक कार्य के अपने तर्क के रूप में वस्तुओं की कीमतें और उत्पादन के कारक हैं।

कई वास्तविक चरों के जटिल-मूल्यवान कार्यों के उदाहरण
कुछ भौतिक मात्राएँ वास्तव में जटिल मूल्य हो सकती हैं - जैसे कि जटिल प्रतिबाधा, जटिल पारगम्यता, पारगम्यता (विद्युत चुंबकत्व)#जटिल पारगम्यता, और अपवर्तक सूचकांक#अपवर्तन और अवशोषण का जटिल सूचकांक। ये वास्तविक चरों के कार्य भी हैं, जैसे आवृत्ति या समय, साथ ही साथ तापमान।

द्वि-आयामी द्रव यांत्रिकी में, विशेष रूप से संभावित प्रवाह के सिद्धांत में # द्वि-आयामी संभावित प्रवाह के उदाहरण 2d में द्रव गति का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाते हैं, संभावित प्रवाह # द्वि-आयामी प्रवाह के लिए विश्लेषण


 * $$F(x,y,\ldots) = \varphi(x,y,\ldots) + i\psi(x,y,\ldots) $$

दो स्थानिक निर्देशांकों का एक जटिल मूल्यवान कार्य है $r = (x, y, z)$ तथा $t$, और सिस्टम से जुड़े अन्य वास्तविक चर। वास्तविक भाग वेग क्षमता है और काल्पनिक भाग धारा कार्य है।

लैपलेस के समीकरण के समाधान के रूप में भौतिकी और इंजीनियरिंग में गोलाकार हार्मोनिक्स होते हैं, साथ ही जेड-घटक कोणीय गति ऑपरेटर के ईजेनप्रकार्य, जो वास्तविक-मूल्यवान गोलाकार ध्रुवीय निर्देशांक के जटिल-मूल्यवान कार्य हैं:


 * $$Y^m_\ell = Y^m_\ell(\theta,\phi) $$

क्वांटम यांत्रिकी में, वेवप्रकार्य आवश्यक रूप से जटिल-मूल्यवान है, लेकिन वास्तविक स्थानिक निर्देशांक (या संवेग घटकों) का एक कार्य है, साथ ही समय भी $v = (v_{x}, v_{y}, v_{z})$:


 * $$\Psi = \Psi(\mathbf{r},t) = \Psi(x,y,z,t)\,,\quad \Phi = \Phi(\mathbf{p},t) = \Phi(p_x,p_y,p_z,t) $$

जहां प्रत्येक फूरियर रूपांतरण से संबंधित है।

यह भी देखें

 * वास्तविक समन्वय स्थान # कई चर के एक प्रकार्य का कार्यक्षेत्र
 * सच्चा विश्लेषण
 * जटिल विश्लेषण
 * कई जटिल चर का कार्य
 * स्केलर फ़ील्ड