उप-समुच्चय

गणित में, समुच्चय A, समुच्चय B का एक उपसमुच्चय है यदि A के सभी अवयव भी B के अवयव हैं; तब B, A का सुपरसेट है। A और B का बराबर होना संभव है; यदि वे असमान हैं, तो A, B का उचित उपसमुच्चय है। एक समुच्चय का दूसरे समुच्चय का उपसमुच्चय होने के संबंध को समावेश (या कभी-कभी रोकथाम) कहा जाता है। A, B का एक उपसमुच्चय है, इसे इस प्रकार भी व्यक्त किया जा सकता है कि B में A सम्मिलित है (या सम्मिलित है) या B में A सम्मिलित है (या समाहित है)। A k-उपसमुच्चय k तत्वों वाला एक उपसमुच्चय है।

उपसमुच्चय संबंध समुच्चयों पर आंशिक क्रम को परिभाषित करता है। इस प्रकार वास्तव में, किसी दिए गए सेट के उपसमुच्चय उपसमुच्चय संबंध के अनुसार एक बूलियन बीजगणित बनाते हैं, जिसमें जुड़ना और मिलना प्रतिच्छेदन और संघ द्वारा दिया जाता है, और उपसमुच्चय संबंध स्वयं बूलियन समावेशन संबंध है।

परिभाषाएँ
यदि A और B सेट हैं और A का प्रत्येक तत्व B का एक तत्व भी है, तो: तो:
 * A B का एक 'उपसमुच्चय ' है, जिसे निरूपित किया गया है $$A \subseteq B$$, या समकक्ष,
 * बी एक 'सुपरसेट ' है, जिसे निरूपित किया गया है $$B \supseteq A.$$

यदि A B का एक उपसमुच्चय है, किन्तु A B के बराबर नहीं है (अर्थात B का कम से कम एक तत्व उपस्तिथ है जो A का एक तत्व नहीं है), तो: फिर:
 * A B का एक 'उचित ' (या ' सख्त ') 'उपसमुच्चय ' है, जिसे द्वारा निरूपित किया गया है $$A \subsetneq B$$, या समकक्ष,
 * बी एक 'उचित ' (या ' सख्त ') 'सुपरसेट ' है, जो द्वारा निरूपित किया गया है $$B \supsetneq A$$।

खाली सेट, लिखा $$\{ \}$$ या $$\varnothing,$$ किसी भी सेट X का एक उपसमुच्चय है और किसी भी सेट का एक उचित उपसमुच्चय है, सिवाय इसके, समावेश संबंध $$\subseteq$$ सेट पर एक आंशिक आदेश है $$\mathcal{P}(S)$$ (S का पावर सेट- S के सभी उपसमुच्चय का सेट ) द्वारा परिभाषित $$A \leq B \iff A \subseteq B$$।हम आंशिक रूप से ऑर्डर भी कर सकते हैं $$\mathcal{P}(S)$$ परिभाषित करके रिवर्स सेट समावेश द्वारा $$A \leq B \text{ if and only if }  B \subseteq A.$$ जब मात्रा निर्धारित की गई, $$A \subseteq B$$ के रूप में प्रतिनिधित्व किया जाता है $$\forall x \left(x \in A \implies x \in B\right).$$ हम कथन सिद्ध करना कर सकते हैं $$A \subseteq B$$ तत्व तर्क के रूप में जानी जाने वाली एक प्रूफ तकनीक को लागू करके : सेट ए और बी दिए जाने दें।सिद्ध करना करने के लिए $$A \subseteq B,$$ इस तकनीक की वैधता को सार्वभौमिक सामान्यीकरण के परिणाम के रूप में देखा जा सकता है: तकनीक शो $$c \in A \implies c \in B$$ एक मनमाने ढंग से चुने गए तत्व के लिए c।सार्वभौमिक सामान्यीकरण का अर्थ है $$\forall x \left(x \in A \implies x \in B\right),$$ जो इसके बराबर है $$A \subseteq B,$$ जैसा की ऊपर कहा गया है।
 * 1) मान लीजिए कि ए एक विशेष किन्तु मनमाने ढंग से चुना गया तत्व है
 * 2) दिखाएँ कि ए बी का एक तत्व है।

गुण

 * एक सेट A B का एक 'उपसमुच्चय' है यदि और केवल यदि उनका चौराहा A के बराबर है
 * औपचारिक रूप से:
 * $$ A \subseteq B \text{ if and only if } A \cap B = A. $$


 * एक सेट A B का एक 'उपसमुच्चय' है यदि और केवल यदि उनका संघ B के बराबर है
 * औपचारिक रूप से:
 * $$ A \subseteq B \text{ if and only if } A \cup B = B. $$


 * एक परिमित सेट ए बी का एक उपसमुच्चय है, यदि और केवल यदि उनके चौराहे की कार्डिनलिटी ए के कार्डिनलिटी के बराबर है।
 * औपचारिक रूप से:
 * $$ A \subseteq B \text{ if and only if } |A \cap B| = |A|.$$

⊂ और ⊃ प्रतीक
कुछ लेखक प्रतीकों का प्रयोग करते हैं $$\subset$$ और $$\supset$$ संकेत करना तथा   को इंगित करने के लिए; क्रमश;अर्थात्, प्रतीकों के अतिरिक्त एक ही अर्थ के साथ $$\subseteq$$ तथा $$\supseteq.$$ उदाहरण के लिए, इन लेखकों के लिए, यह हर सेट ए का सच है $$A \subset A.$$

अन्य लेखक प्रतीकों का उपयोग करना पसंद करते हैं $$\subset$$ तथा $$\supset$$ संकेत करना (जिसे सख्त कहा जाता है) उपसमुच्चय और   क्रमशः सुपरसेट;अर्थात्, प्रतीकों के अतिरिक्त एक ही अर्थ के साथ $$\subsetneq$$ तथा $$\supsetneq.$$ यह उपयोग करता है $$\subseteq$$ तथा $$\subset$$ असमानता प्रतीकों के अनुरूप $$\leq$$ तथा $$<.$$ उदाहरण के लिए, यदि $$x \leq y,$$ तब x y के बराबर हो सकता है या नहीं, किन्तु यदि $$x < y,$$ तब x निश्चित रूप से y के बराबर नहीं है, और y से कम है।इसी तरह, सम्मेलन का उपयोग करना $$\subset$$ उचित उपसमुच्चय है, यदि $$A \subseteq B,$$ तब एक हो सकता है या नहीं हो सकता है, किन्तु यदि $$A \subset B,$$ फिर ए निश्चित रूप से बी के बराबर नहीं है।

उपसमुच्चय के उदाहरण

 * सेट a = {1, 2} b = {1, 2, 3} का एक उचित उपसमूह है, इस प्रकार दोनों अभिव्यक्तियाँ $$A \subseteq B$$ तथा $$A \subsetneq B$$ सच हैं।
 * सेट d = {1, 2, 3} एक उपसमुच्चय है (किन्तु E = {1, 2, 3} का एक उचित उपसमुच्चय), इस प्रकार $$D \subseteq E$$ सच है, और $$D \subsetneq E$$ सच नहीं है (गलत)।
 * कोई भी सेट स्वयं का एक उपसमुच्चय है, किन्तु एक उचित उपसमुच्चय नहीं है।($$X \subseteq X$$ सच है, और $$X \subsetneq X$$ किसी भी सेट एक्स के लिए गलत है।)
 * सेट {x: x एक प्रमुख संख्या 10 से अधिक है} {x: x का एक उचित उपसमूह है एक विषम संख्या 10 से अधिक है}
 * प्राकृतिक संख्याओं का सेट तर्कसंगत संख्याओं के सेट का एक उचित उपसमुच्चय है;इसी तरह, एक लाइन खंड में बिंदुओं का सेट A: INE (गणित) | लाइन में बिंदुओं के सेट का एक उचित उपसमुच्चय है।ये दो उदाहरण हैं जिनमें उपसमुच्चय और पूरे सेट दोनों अनंत हैं, और उपसमुच्चय में एक ही कार्डिनैलिटी (अवधारणा जो आकार से मेल खाती है, अर्थात, तत्वों की संख्या, एक परिमित सेट की) पूरी तरह से है;इस तरह के स्थितियों किसी के प्रारंभिक अंतर्ज्ञान के लिए काउंटर चला सकते हैं।
 * तर्कसंगत संख्याओं का सेट वास्तविक संख्याओं के सेट का एक उचित उपसमुच्चय है।इस उदाहरण में, दोनों सेट अनंत हैं, किन्तु बाद वाले सेट में एक बड़ा कार्डिनैलिटी है (या ) पूर्व सेट की तुलना में।

एक यूलर आरेख में एक और उदाहरण:

समावेश के अन्य गुण
समावेशन विहित आंशिक आदेश है, इस अर्थ में कि प्रत्येक आंशिक रूप से आदेश दिया गया सेट $$(X, \preceq)$$ समावेश द्वारा आदेशित सेटों के कुछ संग्रह के लिए आइसोमॉर्फिक है। इस प्रकार ऑर्डिनल नंबर एक सरल उदाहरण हैं: यदि प्रत्येक क्रमिक n को सेट के साथ पहचाना जाता है $$[n]$$ सभी अध्यादेशों से कम या उसके बराबर, फिर $$a \leq b$$ यदि और केवल यदि $$[a] \subseteq [b].$$ पावर सेट के लिए $$\operatorname{\mathcal{P}}(S)$$ एक सेट एस की, समावेशी आंशिक आदेश है - एक आदेश के लिए एक समरूपता - कार्टेशियन उत्पाद का $$k = |S|$$ (एस की कार्डिनैलिटी) आंशिक आदेश की प्रतियां $$\{0, 1\}$$ जिसके लिए $$0 < 1.$$ इसे एनमरेट करके सचित्र किया जा सकता है $$S = \left\{ s_1, s_2, \ldots, s_k \right\},$$, और प्रत्येक उपसमुच्चय के साथ जुड़ना $$T \subseteq S$$ (अर्थात, प्रत्येक तत्व $$2^S$$) के-टपल से $$\{0, 1\}^k,$$ जिनमें से ITH समन्वय 1 है यदि और केवल यदि $$s_i$$ टी का सदस्य है।

यह भी देखें

 * उत्तल उपसमुच्चय
 * समावेश आदेश
 * क्षेत्र
 * उपसमुच्चय योग समस्या
 * पदानुक्रम#subsumptive_containment_hierarchy | Subsumptive Contactment
 * कुल उपसमुच्चय