त्रिविकर्णीय मैट्रिक्स

रैखिक बीजगणित में, एक त्रिविकर्ण मैट्रिक्स एक बैंड मैट्रिक्स होता है जिसमें केवल मुख्य विकर्ण, उपविकर्ण/निचले विकर्ण (इसके नीचे पहला विकर्ण), और सुप्राडियागोनल/ऊपरी विकर्ण (मुख्य विकर्ण के ऊपर पहला विकर्ण) पर गैर-शून्य तत्व होते हैं। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित मैट्रिक्स (गणित) त्रिविकर्ण मैट्रिक्स एल्गोरिदम है:
 * $$\begin{pmatrix}

1 & 4 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix}.$$ एक त्रिविकर्ण मैट्रिक्स का निर्धारक उसके तत्वों के सातत्य (गणित) द्वारा दिया जाता है। एक सममित (या हर्मिटियन) मैट्रिक्स का त्रिदिकोणीय रूप में ऑर्थोगोनल परिवर्तन लैंज़ोस एल्गोरिदम के साथ किया जा सकता है।

गुण
एक त्रिविकर्ण मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स है जो ऊपरी और निचले हेसेनबर्ग मैट्रिक्स दोनों है। विशेष रूप से, एक त्रिविकर्ण मैट्रिक्स p 1-by-1 और q 2-by-2 मैट्रिक्स का सीधा योग है जैसे कि p + q/2 = n-त्रिविकर्ण का आयाम। हालाँकि एक सामान्य त्रिविकर्ण मैट्रिक्स आवश्यक रूप से सममित मैट्रिक्स या हर्मिटियन मैट्रिक्स नहीं है, उनमें से कई जो रैखिक बीजगणित समस्याओं को हल करते समय उत्पन्न होते हैं उनमें इनमें से एक गुण होता है। इसके अलावा, यदि एक वास्तविक त्रिविकर्ण मैट्रिक्स A, a को संतुष्ट करता हैk,k+1 ak+1,k > सभी k के लिए 0, ताकि इसकी प्रविष्टियों के चिह्न सममित हों, तो यह आधार मैट्रिक्स के विकर्ण परिवर्तन द्वारा, हर्मिटियन मैट्रिक्स के समान (रैखिक बीजगणित) है। इसलिए, इसके eigenvalues ​​​​वास्तविक हैं। यदि हम सख्त असमानता को a से प्रतिस्थापित करते हैंk,k+1 ak+1,k ≥ 0, तो निरंतरता से, आइगेनवैल्यू अभी भी वास्तविक होने की गारंटी है, लेकिन मैट्रिक्स को अब हर्मिटियन मैट्रिक्स के समान होने की आवश्यकता नहीं है। सभी n × n त्रिविकर्ण आव्यूहों का समुच्चय (गणित) एक 3n-2 बनाता है आयामी सदिश स्थल.

कई रैखिक बीजगणित कलन विधि को विकर्ण मैट्रिक्स पर लागू होने पर काफी कम कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत की आवश्यकता होती है, और यह सुधार अक्सर त्रिविकर्ण मैट्रिक्स पर भी लागू होता है।

निर्धारक
क्रम n के त्रिविकर्ण मैट्रिक्स A के निर्धारक की गणना तीन-अवधि के पुनरावृत्ति संबंध से की जा सकती है। एफ लिखें1=|ए1| = ए1 (यानी, एफ1 1 बटा 1 मैट्रिक्स का निर्धारक है जिसमें केवल a शामिल है1), और जाने


 * $$f_n = \begin{vmatrix}

a_1 & b_1 \\ c_1 & a_2 & b_2 \\ & c_2 & \ddots & \ddots \\ & & \ddots & \ddots & b_{n-1} \\ & & & c_{n-1} & a_n \end{vmatrix}.$$ अनुक्रम (एफi) को सतत (गणित) कहा जाता है और पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करता है


 * $$f_n = a_n f_{n-1} - c_{n-1}b_{n-1}f_{n-2}$$

प्रारंभिक मूल्यों के साथ एफ0= 1 और एफ−1= 0. इस सूत्र का उपयोग करके एक त्रिविकर्ण मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने की लागत n में रैखिक है, जबकि एक सामान्य मैट्रिक्स के लिए लागत घन है।

उलटा
एक गैर-एकवचन त्रिविकर्ण मैट्रिक्स टी का व्युत्क्रम मैट्रिक्स


 * $$T = \begin{pmatrix}

a_1 & b_1 \\ c_1 & a_2 & b_2 \\ & c_2 & \ddots & \ddots \\ & & \ddots & \ddots & b_{n-1} \\ & & & c_{n-1} & a_n \end{pmatrix}$$ द्वारा दिया गया है
 * $$(T^{-1})_{ij} = \begin{cases}

(-1)^{i+j}b_i \cdots b_{j-1} \theta_{i-1} \phi_{j+1}/\theta_n & \text{ if } i < j\\ \theta_{i-1} \phi_{j+1}/\theta_n & \text{ if } i = j\\ (-1)^{i+j}c_j \cdots c_{i-1} \theta_{j-1} \phi_{i+1}/\theta_n & \text{ if } i > j\\ \end{cases}$$ जहां θiपुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करें


 * $$\theta_i = a_i \theta_{i-1} - b_{i-1}c_{i-1}\theta_{i-2} \qquad i=2,3,\ldots,n$$

प्रारंभिक शर्तों के साथ θ0= 1, मैं1= ए1 और ϕi संतुष्ट करना


 * $$\phi_i = a_i \phi_{i+1} - b_i c_i \phi_{i+2} \qquad i=n-1,\ldots,1$$

प्रारंभिक शर्तों के साथ ϕn+1= 1 और ϕn= एn. बंद फॉर्म समाधानों की गणना विशेष मामलों के लिए की जा सकती है जैसे कि सभी विकर्ण और ऑफ-विकर्ण तत्वों के साथ सममित मैट्रिक्स या टोएप्लिट्ज़ मैट्रिसेस और सामान्य मामले के लिए भी. सामान्य तौर पर, त्रिविकर्ण मैट्रिक्स का व्युत्क्रम एक अर्धविभाज्य मैट्रिक्स होता है और इसके विपरीत।

रैखिक प्रणाली का समाधान
समीकरणों की एक प्रणाली Ax=b$$b\in \R^n$$ गाऊसी उन्मूलन के एक कुशल रूप द्वारा हल किया जा सकता है जब ए त्रिविकर्ण मैट्रिक्स एल्गोरिथ्म कहलाता है, जिसके लिए ओ (एन) संचालन की आवश्यकता होती है।

आइजेनवैल्यू
जब एक त्रिदिकोणीय मैट्रिक्स टोएप्लिट्ज़ मैट्रिक्स भी होता है, तो इसके eigenvalues ​​​​के लिए एक सरल बंद-रूप समाधान होता है, अर्थात्:
 * $$ a + 2 \sqrt{bc} \cos \left (\frac{k\pi}{n+1} \right ), \qquad k=1, \ldots, n. $$

एक वास्तविक सममित मैट्रिक्स त्रिदिकोणीय मैट्रिक्स में वास्तविक eigenvalues ​​​​होते हैं, और यदि सभी ऑफ-विकर्ण तत्व गैर-शून्य हैं तो सभी eigenvalues ​​​​eigenvalues ​​​​और eigenvectors # बीजगणितीय बहुलता | विशिष्ट (सरल) हैं। मनमाने ढंग से परिमित परिशुद्धता के लिए एक वास्तविक सममित त्रिदिकोणीय मैट्रिक्स के eigenvalues ​​​​की संख्यात्मक गणना के लिए कई विधियां मौजूद हैं, आमतौर पर इसकी आवश्यकता होती है $$O(n^2)$$ आकार के मैट्रिक्स के लिए संचालन $$n\times n$$, हालाँकि तेज़ एल्गोरिदम मौजूद हैं जिनकी (समानांतर गणना के बिना) केवल आवश्यकता होती है $$O(n\log n)$$. एक साइड नोट के रूप में, एक असंतुलित सममित त्रिदिकोणीय मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स है जिसमें त्रिदिकोण के गैर-शून्य ऑफ-विकर्ण तत्व होते हैं, जहां आइगेनवैल्यू अलग-अलग होते हैं जबकि आइजेनवेक्टर एक स्केल फैक्टर तक अद्वितीय होते हैं और परस्पर ऑर्थोगोनल होते हैं।

सममित त्रिविकर्ण मैट्रिक्स से समानता
असममित या गैर सममित त्रिदिकोणीय मैट्रिक्स के लिए कोई समानता परिवर्तन का उपयोग करके eigendecomposition की गणना कर सकता है। एक वास्तविक त्रिविकर्णीय, गैरसममितीय मैट्रिक्स दिया गया है

T = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & a_2 & b_2 \\ & c_2 & \ddots & \ddots \\ & & \ddots & \ddots & b_{n-1} \\ & & & c_{n-1} & a_n \end{pmatrix} $$ कहाँ $$b_i \neq c_i $$. मान लें कि ऑफ-विकर्ण प्रविष्टियों का प्रत्येक उत्पाद है सकारात्मक $$b_i c_i > 0 $$ और एक परिवर्तन मैट्रिक्स को परिभाषित करें $$D$$ द्वारा

D := \operatorname{diag}(\delta_1, \dots, \delta_n) \quad \text{for} \quad \delta_i := \begin{cases} 1 &, \, i=1 \\ \sqrt{\frac{c_{i-1} \dots c_1}{b_{i-1} \dots b_1}} &, \, i=2,\dots,n \,. \end{cases} $$ मैट्रिक्स समानता $$D^{-1} T D $$ एक सममित त्रिविकर्ण मैट्रिक्स उत्पन्न करता है $$J$$ द्वारा:

J:=D^{-1} T D = \begin{pmatrix} a_1 & \sgn b_1 \, \sqrt{b_1 c_1} \\ \sgn b_1 \, \sqrt{b_1 c_1} & a_2 & \sgn b_2 \, \sqrt{b_2 c_2} \\ & \sgn b_2 \, \sqrt{b_2 c_2} & \ddots & \ddots \\ & & \ddots & \ddots & \sgn b_{n-1} \, \sqrt{b_{n-1} c_{n-1}} \\ & & & \sgn b_{n-1} \, \sqrt{b_{n-1} c_{n-1}} & a_n \end{pmatrix} \,. $$ ध्यान दें कि $$T$$ और $$J$$ समान eigenvalues ​​​​हैं।

कंप्यूटर प्रोग्रामिंग
एक परिवर्तन जो एक सामान्य मैट्रिक्स को हेसेनबर्ग रूप में कम कर देता है, एक हर्मिटियन मैट्रिक्स को त्रिविकर्ण रूप में कम कर देगा। इसलिए, कई eigenvalue एल्गोरिथ्म, जब हर्मिटियन मैट्रिक्स पर लागू होते हैं, तो पहले चरण के रूप में इनपुट हर्मिटियन मैट्रिक्स को (सममित वास्तविक) त्रिविकर्ण रूप में कम कर देते हैं। एक विशेष मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व का उपयोग करके एक त्रिविकर्ण मैट्रिक्स को सामान्य मैट्रिक्स की तुलना में अधिक कुशलता से संग्रहीत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, LAPACK फोरट्रान पैकेज तीन एक-आयामी सरणियों में क्रम n के एक असममित त्रिविकर्ण मैट्रिक्स को संग्रहीत करता है, एक लंबाई n में विकर्ण तत्व होते हैं, और दो लंबाई n - 1 में उपविकर्ण और अतिविकर्ण  तत्व होते हैं।

अनुप्रयोग
एक आयामी प्रसार या ऊष्मा समीकरण के स्थान में विवेकीकरण
 * $$\frac{\partial u(t,x)}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u(t,x)}{\partial x^2}$$

दूसरे क्रम के केंद्रीय परिमित अंतर का उपयोग करने से परिणाम मिलता है



\begin{pmatrix} \frac{\partial u_{1}(t)}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}(t)}{\partial t} \\ \vdots \\ \frac{\partial u_{N}(t)}{\partial t} \end{pmatrix} = \frac{\alpha}{\Delta x} \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & -2 & 1 & \ddots & \vdots \\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & & 1 & -2 & 1 \\ 0 & \ldots & 0 & 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{1}(t) \\ u_{2}(t) \\ \vdots \\ u_{N}(t) \\ \end{pmatrix} $$ विवेकाधीन स्थिरांक के साथ $$\Delta x$$. मैट्रिक्स त्रिविकर्णीय है $$a_{i}=-2$$ और $$b_{i}=c_{i}=1$$. ध्यान दें: यहां कोई सीमा शर्तों का उपयोग नहीं किया गया है।

यह भी देखें

 * पंचकोणीय मैट्रिक्स
 * जैकोबी मैट्रिक्स (ऑपरेटर)

बाहरी संबंध

 * Tridiagonal and Bidiagonal Matrices in the LAPACK manual.
 * High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form
 * Tridiagonal linear system solver in C++
 * Tridiagonal linear system solver in C++