अपचायक समूह

गणित में, अपचायक समूह एक क्षेत्र (गणित) पर रैखिक बीजगणितीय समूह का एक प्रकार है। एक परिभाषा यह है कि एक पूर्ण क्षेत्र पर एक संयोजित रैखिक बीजगणितीय समूह G अपचायक है, यदि इसमें परिमित आधार (बीजगणित) के साथ एक समूह का निरूपण होता है जो अखंडनीय प्रस्तुतियों का प्रत्यक्ष योग है। अपचायक समूहों में गणित के कुछ सबसे महत्वपूर्ण समूह सम्मिलित हैं, जैसे सामान्य रैखिक समूह GL(n) व्युत्क्रम आव्यूह, विशेष लंब कोणीय समूह SO(n), और सममिती समूह Sp(2n)। सरल बीजगणितीय समूह और (अधिक सामान्यतः) अर्धसरल बीजगणितीय समूह अपचायक होते हैं।

क्लाउड चेवेली ने दिखाया कि किसी भी बीजीय रूप से संवृत क्षेत्र पर अपचायक समूहों का वर्गीकरण समान है। विशेष रूप से, साधारण बीजगणितीय समूहों को डाइनकिन आरेखों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जैसा कि संहत लाई समूहों के सिद्धांत या जटिल लाई बीजगणित अर्धसरल लाई बीजगणित में होता है। एक स्वेच्छ क्षेत्र पर अपचायक समूह वर्गीकृत करना जटिल होता है, परन्तु कई क्षेत्रों जैसे कि वास्तविक संख्या R या एक संख्या क्षेत्र के लिए, वर्गीकरण ठीक रूप से समझा जाता है। परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण कहता है कि अधिकांश परिमित सरल समूह k के समूह G(k) के रूप में उत्पन्न होते हैं - एक परिमित पर एक साधारण बीजीय समूह G के तर्कसंगत बिंदु क्षेत्र के, या उस निर्माण के लघु रूपों के रूप में है।

अपचायक समूहों के निकट विभिन्न संदर्भों में एक समृद्ध निरूपण सिद्धांत है। सबसे पहले, एक बीजगणितीय समूह के रूप में एक क्षेत्र k पर अपचायक समूह G के निरूपण का अध्ययन कर सकता है, जो k-सदिश रिक्त समष्टि पर G की क्रियाएं हैं। परन्तु साथ ही, समूह G(k) के जटिल निरूपण का अध्ययन कर सकता है जब k एक परिमित क्षेत्र है, या एक वास्तविक अपचायक समूह का अनंत-विमीय एकात्मक निरूपण, या एक एडिलिक बीजगणितीय समूह के स्वसमाकृतिक निरूपण है। इन सभी क्षेत्रों में अपचायक समूहों के संरचना सिद्धांत का उपयोग किया जाता है।

परिभाषाएँ
किसी क्षेत्र k पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह को कुछ धनात्मक पूर्णांक n के लिए k पर GL(n) की एक समृणीकृत पद्धति संवृत समूह पद्धति के रूप में परिभाषित किया गया है। समतुल्य रूप से, k पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह k पर एक समृणीकृत संबंध पद्धति समूह पद्धति है।

एकांगी मूलक के साथ
एक संयोजित समष्टि रैखिक बीजगणितीय समूह $$G$$ एक बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र को अर्द्धसरल कहा जाता है यदि प्रत्येक समृणीकृत रूप से संयोजित हल करने योग्य समूह का सामान्य उपसमूह $$G$$ नगण्य है। अधिक सामान्यतः, एक संयोजित रैखिक बीजगणितीय समूह $$G$$ एक बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र पर अपचायक कहा जाता है यदि $$G$$ के सबसे बड़े समृणीकृत रूप से संयोजित रैखिक बीजगणितीय समूह सामान्य उपसमूह नगण्य है। इस सामान्य उपसमूह को एकांगी मूलक कहा जाता है और इसे $$R_u(G)$$ के रूप में दर्शाया जाता है। (कुछ लेखकों को जोड़ने के लिए अपचायक समूहों की आवश्यकता नहीं होती है।) एक स्वेच्छ क्षेत्र k पर एक समूह $$G$$ को अर्द्धसरल या अपचायक कहा जाता है यदि पद्धतिओं के तन्तु उत्पाद $$G_{\overline k}$$ अर्द्धसरल या अपचायक है, जहां $$\overline k$$ k का बीजगणितीय संवरक है। (यह परिचय में अपचायक समूह की परिभाषा के बराबर है जब k उतम है। ) k पर कोई भी रैखिक बीजगणितीय समूह, जैसे गुणक समूह Gm, अपचायक होता है।

निरूपण सिद्धांत के साथ
विशेषता शून्य के क्षेत्रों में अपचायक समूह की एक और समकक्ष परिभाषा एक संयोजित समूह $$G$$ है एक विश्वासपात्र अर्धसरल निरूपण को स्वीकार करता है जो इसके बीजगणितीय संवरक $$k^{al}$$ पर अर्धसरल रहता है पृष्ठ 424।

सरल अपचायक समूह
क्षेत्र k पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह G को 'सरल' (या k-'सरल') कहा जाता है, यदि यह अर्धसूत्रीय, असतहीय है, और G से अधिक k का प्रत्येक समृणीकृत रूप से संयोजित सामान्य उपसमूह नगण्य या G के बराबर है। (कुछ लेखक इस गुण को लगभग सरल कहते हैं।) यह अमूर्त समूहों के लिए शब्दावली से किंचित अलग है, जिसमें एक साधारण बीजगणितीय समूह में असतहीय केंद्र (समूह सिद्धांत) हो सकता है (यद्यपि केंद्र परिमित होना चाहिए)। उदाहरण के लिए, किसी भी पूर्णांक n के लिए कम से कम 2 और किसी भी क्षेत्र k के लिए, k पर समूह SL(n) सरल है, और इसका केंद्र गुणक समूह एकता की nth मूलों की समूह पद्धति μn है।

अपचायक समूहों के 'केंद्रीय समरूपता' विशेषण समूह समरूपता है जिसमें आधार एक परिमित केंद्रीय उपसमूह पद्धति है। एक क्षेत्र पर प्रत्येक अपचायक समूह एक टोरस और कुछ सरल समूहों के उत्पाद से केंद्रीय समरूपता को स्वीकार करते है। उदाहरण के लिए, किसी भी क्षेत्र k,
 * $$GL(n)\cong (G_m\times SL(n))/\mu_n$$ पर।

यह किंचित अनुपयुक्त है कि एक क्षेत्र पर अपचायक समूह की परिभाषा में बीजगणितीय संवरक को पारित करना सम्मिलित है। पूर्ण क्षेत्र k के लिए, इससे बचा जा सकता है: k पर एक रैखिक बीजगणितीय समूह G अपचायक है यदि और मात्र यदि G के प्रत्येक समृणीकृत संयोजित एकांगी सामान्य k-उपसमूह नगण्य हैं। स्वेच्छ क्षेत्र के लिए, बाद की गुण एक छद्म-अपचायक समूह को परिभाषित करती है, जो कुछ अधिक सामान्य है।

विभाजित-अपचायक समूह
क्षेत्र k पर अपचायक समूह G को 'विभाजित' कहा जाता है, यदि इसमें k पर एक विभाजित अधिकतम टोरस T होता है (अर्थात, G में रैखिक बीजगणितीय समूह जिसका आधार बदल जाता है) $$\overline k$$ में एक अधिकतम टोरस है $$G_{\overline k}$$)। यह कहने के बराबर है कि टी G में विभाजित टोरस है जो कि G में सभी k-टोरी के बीच अधिकतम है। इस प्रकार के समूह उपयोगी होते हैं क्योंकि उनके वर्गीकरण को संयोजी आंकड़ों के माध्यम से वर्णित किया जा सकता है जिसे मूल आंकड़ें कहा जाता है।

GLn और SLn
अपचायक समूह का मूलभूत उदाहरण प्राकृतिक संख्या n के लिए क्षेत्र k पर व्युत्क्रमणीय n × n आव्यूह सामान्य रैखिक समूह $$\text{GL}_n$$ है । विशेष रूप से, 'गुणक समूह' Gm समूह GL (1) है, और इसलिए k-तर्कसंगत बिंदुओं का इसका समूह Gm(k) गुणन के अंतर्गत k के शून्येतर अवयवों का समूह k* है। अन्य अपचायक समूह विशेष रैखिक समूह SL(n) एक क्षेत्र k पर, निर्धारक 1 के साथ आव्यूहों का उपसमूह है। वस्तुतः, SL(n) कम से कम 2 n के लिए सरल बीजगणितीय समूह है।

O(n), SO(n), और SP(n)
महत्वपूर्ण सरल समूह क्षेत्र k पर सममिती समूह Sp(2n) है, GL(2n) का उपसमूह जो सदिश समष्टि k2n पर गैर-अपघटित वैकल्पिक द्विरेखीय रूप को संरक्षित करता है। इसी प्रकार, लांबिक समूह O(q) सामान्य रैखिक समूह का उपसमूह है जो क्षेत्र k पर सदिश समष्टि पर अविकृत द्विघात रूप q को संरक्षित करता है। बीजगणितीय समूह O(q) में दो संयोजित घटक (सांस्थिति) हैं, और इसकी तत्समक घटक SO(q) अपचायक है, वस्तुतः विमा n के q के लिए कम से कम 3 सरल है। (विशेषता 2 और n विषम के k के लिए, समूह पद्धति O(q) वस्तुतः सम्बद्ध है, परन्तु k पर समृणीकृत नहीं है। सरल समूह SO(q) को सदैव O(q) के अधिक से अधिक समृणीकृत रूप से संयोजित उपसमूह के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।) जब k बीजगणितीय रूप से संवृत होता है, तो कोई भी दो ( अनपभ्रष्ट) ही विमा के द्विघात रूप समरूपी हैं, और इसलिए इस समूह को SO(n) कहना उचित है। सामान्य क्षेत्र k के लिए, विमा n के विभिन्न द्विघात रूपों से k पर गैर-समरूपी सरल समूह SO(q) प्राप्त हो सकते हैं, यद्यपि उन सभी में बीजगणितीय संवरक $$\overline k$$ में समान आधार परिवर्तन होता है।

टोरी
समूह $$\mathbb{G}_m$$ और इसके उत्पादों को बीजगणितीय टोरस कहा जाता है। वे अपचायक समूहों के उदाहरण हैं क्योंकि वे विकर्ण के माध्यम से $$\text{GL}_n$$ में अंतःस्थापित होते हैं, और इस निरूपण से, उनका एकरूप मूलक नगण्य है। उदाहरण के लिए, $$\mathbb{G}_m\times \mathbb {G}_m$$ प्रतिचित्र

$$(a_1,a_2) \mapsto \begin{bmatrix} a_1 & 0 \\ 0 & a_2 \end{bmatrix}$$ से $$\text{GL}_2$$ में अंतःस्थापित होता है।

गैर-उदाहरण

 * कोई भी एकांगी समूह अपचायक नहीं है क्योंकि उसका एकांगी मूलक स्वयं है। इसमें योजक समूह $$\mathbb{G}_a$$ सम्मिलित है।
 * $$\text{GL}_n$$ के बोरेल समूह $$B_n$$ में विकर्ण पर $$1$$ के साथ ऊपरी-त्रिकोणीय आव्यूह का असतहीय एकांगी मूलक $$\mathbb{U}_n$$ है। यह एक गैर-अपचायक समूह का उदाहरण है जो एक-एकांगी नहीं है।

संबद्ध अपचायक समूह
ध्यान दें कि एकांगी मूलक $$R_u(G)$$ की सामान्यता का तात्पर्य है कि भागफल समूह $$G/R_u(G)$$ अपचायक है। उदाहरण के लिए,$$B_n/(R_u(B_n)) \cong \prod^n_{i=1} \mathbb{G}_m.$$

अपचायक समूहों के अन्य लक्षण
प्रत्येक संहत संयोजित लाई समूह में जटिलता (लाई समूह) होती है, जो जटिल अपचायक बीजगणितीय समूह है। वस्तुतः, यह निर्माण समरूपता तक संहत संयोजित लाई समूहों और जटिल अपचायक समूहों के बीच एक-से-एक संगति देता है। जटिलता G के साथ एक संहत लाई समूह k के लिए, k से जटिल अपचायक समूह G (' C ') में सम्मिलित होना, G ('C ') पर शास्त्रीय सांस्थिति के संबंध में समस्थेयता समतुल्यता है। उदाहरण के लिए, एकात्मक समूह U(n) से GL(n,'C') में समावेश एक समस्थेयता तुल्यता है।

एक क्षेत्र शून्य की विशेषता के क्षेत्र में अपचायक समूह G के लिए, G के सभी परिमित-विमीय निरूपण (एक बीजगणितीय समूह के रूप में) अर्धसूत्रीय निरूपण हैं, अर्थात, वे अखंडनीय निरूपण के प्रत्यक्ष योग हैं। यह नाम अपचायक का स्रोत है। ध्यान दें, यद्यपि, पूर्ण न्यूनीकरण धनात्मक विशेषता (टोरी के अतिरिक्त ) में अपचायक समूहों के लिए विफल रहता है। अधिक विवरण में: एक क्षेत्र k पर परिमित प्रकार की एक सजातीय समूह पद्धति G को रैखिक रूप से अपचायक' कहा जाता है यदि इसके परिमित-विमीय निरूपण पूर्ण रूप से कम हो जाते हैं। विशेषता शून्य के k के लिए, G रैखिक रूप से अपचायक है यदि और मात्र यदि G का तत्समक घटक Go अपचायक है। विशेषता p>0 के k के लिए, यद्यपि, मासायोशी नागाटा ने दिखाया कि G रैखिक रूप से अपचायक है यदि और मात्र यदि Go गुणक प्रकार का है और G/Go के निकट p से क्रम अभाज्य है।

मूल
अपचायक बीजगणितीय समूहों का वर्गीकरण संबद्ध मूल प्रणाली के संदर्भ में है, जैसा कि जटिल अर्ध-सरल लाई बीजगणित या संहत लाई समूहों के सिद्धांतों में है। यहाँ जिस प्रकार से मूल अपचायक समूहों के लिए दिखाई देती हैं।

G को एक क्षेत्र k पर विभाजित अपचायक समूह होने दें, और T को G में विभाजित अधिकतम टोरस होने दें; इसलिए T कुछ n के लिए (Gm)n के लिए समरूपी है, जिसमें n को G का पद कहा जाता है। T का प्रत्येक निरूपण (एक बीजगणितीय समूह के रूप में) 1-विमीय निरूपण का प्रत्यक्ष योग है। G के लिए भार का अर्थ है T के 1-विमीय निरूपण का एक समरूपता वर्ग, या समतुल्य समरूपता T→ Gm। पूर्णांक 'Zn' की n प्रतियों के उत्पाद के लिए X(T) समरूपता के साथ निरूपण के टेंसर गुणनफल के अंतर्गत भार एक समूह X(T) बनाते हैं।

संलग्न निरूपण G की क्रिया है जो इसके लाई बीजगणित $$\mathfrak g$$ पर संयुग्मन द्वारा होते है। G के एक मूल का अर्थ है गैर-शून्य भार जो $$\mathfrak g$$पर T ⊂ G की क्रिया में होते है। प्रत्येक मूल के अनुरूप $$\mathfrak g$$ की उप-समष्टि उपक्षेत्र 1-विमीय है, और T द्वारा निश्चित की गई $$\mathfrak g$$ की उपसमष्टि यथार्थ T की लाई बीजगणित $$\mathfrak t$$ है। इसलिए, G का लाई बीजगणित $$\mathfrak t$$ में मूलों के सम्मुचय Φ द्वारा अनुक्रमित 1-आयामी उप-स्थानों के साथ विघटित होते है:
 * $${\mathfrak g} = {\mathfrak t}\oplus \bigoplus_{\alpha\in\Phi} {\mathfrak g}_{\alpha}.$$

उदाहरण के लिए, जब G समूह GL(n) है, तो इसका लाई बीजगणित $${\mathfrak gl}(n)$$, k पर सभी n × n आव्यूहों की सदिश समष्टि है। मान लीजिए कि G में विकर्ण आव्यूहों का उपसमूह T है। फिर मूल-समष्टि अपघटन $${\mathfrak gl}(n)$$ को विकर्ण आव्यूह के प्रत्यक्ष योग और संवृत-विकर्ण पदों (i, j) द्वारा अनुक्रमित 1-विमीय उप-समष्टि के रूप में व्यक्त करते है। भार जालक X(T) ≅ 'Z n' के मानक आधार के लिए L1,..., Ln लिखते हुए, 1 से n तक सभी i ≠ j के लिए मूल अवयव Li - Lj हैं।

एक अर्धसरल समूह की मूल 'मूल पद्धति' बनाती हैं; यह एक मिश्रित संरचना है जिसे पूर्ण रूप से वर्गीकृत किया जा सकता है। अधिक सामान्यतः, अपचायक समूह की मूल मूल आधार बनाती हैं, एक सधारण भिन्नता। अपचायक समूह G के वेइल समूह का अर्थ है टोरस द्वारा अधिकतम टोरस के प्रसामान्यक का भागफल समूह, W = nG(T) / T। वेइल समूह वस्तुतः परावर्तनों द्वारा उत्पन्न परिमित समूह है। उदाहरण के लिए, समूह GL(n) (या SL(n)) के लिए, वेइल समूह सममित समूह Sn है।

एक दिए गए अधिकतम टोरस वाले बहुत से बोरेल उपसमूह हैं, और वे वेइल समूह (संयुग्मन द्वारा अभिनय) द्वारा केवल सकर्मक रूप से अनुमत हैं। बोरेल उपसमूह का एक विकल्प धनात्मक मूलों का एक सम्मुचय निर्धारित करता है Φ+ ⊂ Φ, इस गुण के साथ कि Φ Φ+ और −Φ+ का असंयुक्त सम्मिलन है। स्पष्ट रूप से, B का लाई बीजगणित T के लाई बीजगणित और धनात्मक मूल स्थानों का प्रत्यक्ष योग है:
 * $${\mathfrak b}={\mathfrak t}\oplus \bigoplus_{\alpha\in\Phi^{+}} {\mathfrak g}_{\alpha}.$$

उदाहरण के लिए, यदि B, GL (n) में ऊपरी-त्रिकोणीय आव्यूहों का बोरेल उपसमूह है, तो यह $${\mathfrak gl}(n)$$ में ऊपरी-त्रिकोणीय आव्यूहों के उप-समष्टि $$\mathfrak b$$ का स्पष्ट अपघटन है। 1 ≤ i <j ≤ n के लिए धनात्मक मूल Li - Lj हैं।

एक 'सरल मूल' का अर्थ एक धनात्मक मूल है जो दो अन्य धनात्मक मूलों का योग नहीं है। सरल मूलों के समुच्चय के लिए Δ लिखिए। सरल मूलों की संख्या R G के क्रमविनिमेयक उपसमूह के पद के बराबर है, जिसे G के 'अर्धसरल पद' कहा जाता है (जो कि G के अर्धसरल होने पर मात्र G का पद है)। उदाहरण के लिए, GL(n) (या SL(n)) के लिए सरल मूल 1 ≤ i ≤ n − 1 के लिए Li - Li+1 हैं।

मूल पद्धति को संबंधित डायनकिन आरेख द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जो एक परिमित आरेख (असतत गणित) है (कुछ किनारों को निर्देशित या एकाधिक के साथ)। डायनकिन आरेख के शीर्षों का समुच्चय सरल मूलों का समुच्चय है। संक्षेप में, डायनकिन आरेख भार जाली पर एक वेइल समूह-निश्‍चर आंतरिक उत्पाद के संबंध में सरल मूलों और उनकी सापेक्ष लंबाई के बीच के कोणों का वर्णन करते है। संयोजित डायकिन आरेख (सरल समूहों के अनुरूप) नीचे चित्रित किए गए हैं।

एक क्षेत्र k पर विभाजित अपचायक समूह G के लिए, एक महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि एक मूल α न मात्र G के लाई बीजगणित के 1-विमीय उप-समष्टि को निर्धारित करते है, बल्कि दिए गए लाई बीजगणित के साथ G में योज्य समूह Ga की एक प्रति भी है, जिसे 'मूल उपसमूह' Uα कहा जाता है। मूल उपसमूह G में योज्य समूह की अद्वितीय प्रति है जो T द्वारा सामान्य है और जिसमें दिया गया बीजगणित है। पूर्ण समूह G को T और मूल उपसमूहों द्वारा (एक बीजगणितीय समूह के रूप में) उत्पन्न किया जाता है, जबकि बोरेल उपसमूह B को T और धनात्मक मूल उपसमूहों द्वारा उत्पन्न किया जाता है। वस्तुतः, एक विभाजित अर्धसरल समूह G अकेले मूल उपसमूहों द्वारा उत्पन्न होते है।

परवलयिक उपसमूह
एक क्षेत्र k पर विभाजित अपचायक समूह G के लिए, G के समृणीकृत संयोजित उपसमूह जिनमें G का दिया गया बोरेल उपसमूह B होता है, सरल मूलों के सम्मुचय Δ के उपसम्मुचय के साथ एक-से-एक संगति में होते हैं (या समतुल्य, उपसम्मुचय) डायकिन आरेख के शीर्षों के सम्मुचय का)। मान लीजिए r Δ की कोटि है, जो G का अर्धसरल कोटि है। G का प्रत्येक 'परवलयिक उपसमूह' G(k) के किसी अवयव द्वारा B युक्त उपसमूह से संयुग्मित होते है। फलस्वरूप, k पर G में परवलयिक उपसमूहों के वस्तुतः 2r संयुग्मन वर्ग हैं। स्पष्ट रूप से, Δ के दिए गए उपसमुच्चय S के संगत परवलयिक उपसमूह, S में α के लिए मूल उपसमूहों U−α के साथ मिलकर B द्वारा उत्पन्न समूह है। उदाहरण के लिए, एस में α के लिए। उदाहरण के लिए, GL (n) के परवलयिक उपसमूहों में उपरोक्त बोरेल उपसमूह B होते हैं, विकर्ण के साथ वर्गों के दिए गए सम्मुचय के नीचे शून्य प्रविष्टियों के साथ व्युत्क्रम आव्यूह के समूह होते हैं, जैसे:
 * $$\left \{ \begin{bmatrix}

* & * & * & *\\ * & * & * & *\\ 0 & 0 & * & *\\ 0 & 0 & 0 & * \end{bmatrix} \right \}$$ परिभाषा के अनुसार, एक क्षेत्र k पर अपचायक समूह G का एक परवलयिक उपसमूह P एक समृणीकृत k-उपसमूह है, जैसे कि भागफल प्रकार G/P 'K' पर उचित पद्धति है, या 'K' पर समकक्ष प्रक्षेपी विविधता है। इस प्रकार परवलयिक उपसमूहों का वर्गीकरण 'G' के लिए सामान्यीकृत चिह्‍नक विविधता के वर्गीकरण के बराबर है (समृणीकृत स्थिरक समूह के साथ; यह विशेषता शून्य के K के लिए कोई प्रतिबंध नहीं है)। GL(n) के लिए, ये चिह्‍नक प्रकार हैं, दिए गए विमाओं a1,...,ai के रैखिक उप-स्थानों के प्राचलीकरण अनुक्रम विमा n:
 * $$0\subset S_{a_1}\subset \cdots \subset S_{a_i}\subset V$$ के एक निश्चित सदिश समष्टि V में समाहित है

लंब कोणीय समूह या सममिती समूह के लिए, प्रक्षेप्य सजातीय प्रकारों का एक समान विवरण होता है, जो किसी दिए गए द्विघात रूप या सममिती रूप के संबंध में समानुवर्ती उप-समष्टि चिह्‍नक की प्रकार के रूप में होते है। बोरेल उपसमूह B के साथ किसी भी अपचायक समूह G के लिए, G/B को 'चिह्‍नक प्रकार' या 'चिह्‍नक कई गुना' कहा जाता है।

विभाजित अपचायक समूह का वर्गीकरण
चेवेली ने 1958 में दिखाया कि किसी भी बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र पर अपचायक समूहों को मूल आंकड़ों द्वारा समरूपता तक वर्गीकृत किया जाता है। विशेष रूप से, एक बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र पर अर्ध-सरल समूहों को उनके डायनकिन आरेख द्वारा केंद्रीय समरूपता तक वर्गीकृत किया जाता है, और सरल समूह संयोजित आरेखों के अनुरूप होते हैं। इस प्रकार An, Bn, Cn, Dn, E6, E7, E8, F4, G2 के सरल समूह हैं। यह परिणाम अनिवार्य रूप से 1880 और 1890 के दशक में विल्हेम किलिंग और एली कार्टन द्वारा संहत लाई समूहों या जटिल अर्ध-सरल लाई बीजगणित के वर्गीकरण के समान है। विशेष रूप से, साधारण बीजगणितीय समूहों के विमा, केंद्र और अन्य गुणों को सरल लाई समूहों की सूची से पढ़ा जा सकता है। यह उल्लेखनीय है कि अपचायक समूहों का वर्गीकरण विशेषता से स्वतंत्र है। तुलना के लिए, अभिलक्षणिक शून्य की तुलना में धनात्मक अभिलक्षण में बहुत अधिक सरल लाई बीजगणित हैं।

प्रकार G2 और E6 के असाधारण समूह G का निर्माण कम से कम अमूर्त समूह G (K) के रूप में लियोनार्ड यूजीन डिक्सन द्वारा किया गया था। उदाहरण के लिए, समूह G2 k पर एक अष्टकैक बीजगणित का स्वसमाकृतिकता समूह है। इसके विपरीत, धनात्मक विशेषताओं के क्षेत्र में F4, E7, E8 प्रकार के शेवाले समूह पूर्ण रूप से नवीन थे।

अधिक सामान्यतः, विभाजित अपचायक समूहों का वर्गीकरण किसी भी क्षेत्र में समान होता है। एक क्षेत्र k पर एक अर्द्धसरल समूह G को ' पूर्णतः संयोजित' कहा जाता है, यदि अर्द्धसरल समूह से G तक प्रत्येक केंद्रीय समरूपता एक समरूपता है। (जटिल संख्याओं पर G अर्धसरल के लिए, इस अर्थ में पूर्णतः संयोजित G ('C') के बराबर है जो शास्त्रीय सांस्थिति में पूर्णतः संयोजित है।) चेवेली का वर्गीकरण देता है कि, किसी भी क्षेत्र पर, एक दिए गए डायनकिन आरेख के साथ एक अद्वितीय सरलता से संयोजित विभाजित अर्धसरल समूह G है, जिसमें संयोजित आरेखों के अनुरूप सरल समूह हैं। दूसरे परम पर, एक अर्धसरल समूह 'संलग्न प्रकार' का होता है यदि इसका केंद्र नगण्य होता है। दिए गए डायनकिन आरेख के साथ k पर विभाजित अर्धसरल समूह वस्तुतः समूह G/A हैं, जहाँ G सरल रूप से संयोजित समूह है और A, G के केंद्र की एक k-उपसमूह पद्धति है।

उदाहरण के लिए, शास्त्रीय डायनकिन आरेखों के संगत क्षेत्र k पर सरलता से संयोजित विभाजित सरल समूह इस प्रकार हैं:
 * An: SL(n+1) पर K;
 * Bn: चक्रण समूह चक्रण (2n+1) विट सूचकांक n के साथ विमा 2n+1 पर k के द्विघात रूप से संयोजित है, उदाहरण के लिए रूप
 * $$q(x_1,\ldots,x_{2n+1})=x_1x_2+x_3x_4+\cdots+x_{2n-1}x_{2n}+x_{2n+1}^2;$$


 * Cn: सममिती समूह Sp(2n) k पर ;
 * Dn: चक्रण समूह चक्रण (2n) विट सूचकांक n के साथ विमा 2n पर k के द्विघात रूप से सम्बद्ध है, जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
 * $$q(x_1,\ldots,x_{2n})=x_1x_2+x_3x_4+\cdots+x_{2n-1}x_{2n}.$$

एक क्षेत्र k पर विभाजित अपचायक समूह G का बाहरी स्वसमाकृतिकता समूह, G के मूल आधार के स्वसमाकृतिकता समूह के लिए समरूपी है। इसके अतिरिक्त, G का स्वसमाकृतिकता समूह एक अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद के रूप में विभाजित होते है:
 * $$\operatorname{Aut}(G)\cong \operatorname{Out}(G)\ltimes (G/Z)(k),$$

जहाँ Z, G का केंद्र है। एक विभाजित अर्ध-सरल के लिए एक क्षेत्र पर पूर्णतः संयोजित समूह G के लिए, G के बाहरी स्वसमाकृतिकता समूह का एक सरल विवरण है: यह G के डायनकिन आरेख का स्वसमाकृतिकता समूह है।

अपचायक समूह पद्धति
एक पद्धति S पर एक समूह पद्धति G को 'अपचायक' कहा जाता है यदि आकारिकी G → S समृणीकृत आकारिकी और संकरण है, और प्रत्येक ज्यामितीय तन्तु $$G_{\overline k}$$ अपचायक है। (S में एक बिंदु p के लिए, संबंधित ज्यामितीय तन्तु का अर्थ है बीजगणितीय संवृत करने के लिए G का आधार परिवर्तन $$\overline k$$ p के अवशेष क्षेत्र का।) चेवेली के काम का विस्तार करते हुए, मिशेल डेमाज़र और ग्रोथेंडिक ने दिखाया कि किसी भी गैर-रिक्त पद्धति S पर विभाजित अपचायक समूह पद्धतिओं को मूल आंकड़ों द्वारा वर्गीकृत किया गया है। इस कथन में Z से अधिक समूह पद्धतिओं के रूप में चेवेली समूहों का अस्तित्व सम्मिलित है, और यह कहता है कि एक पद्धति 'S' पर प्रत्येक विभाजित अपचायक समूह Z से 'S' तक एक चेवली समूह के आधार परिवर्तन के लिए समरूपी है।

वास्तविक अपचायक समूह
बीजगणितीय समूहों के अतिरिक्त लाई समूहों के संदर्भ में, एक वास्तविक अपचायक समूह एक लाई समूह G है, जैसे कि R पर एक रैखिक बीजीय समूह L है जिसका तत्समक घटक (जरिस्की सांस्थिति में) अपचायक है, और एक समरूपता G → L(R) जिसका आधार परिमित है और जिसका प्रतिरूप L(R) (शास्त्रीय सांस्थिति में) में विवृत है। यह मानने के लिए भी मानक है कि आसन्न निरूपण Ad(G) का प्रतिरूप Int(gC = Ad (L0(C)) में निहित है (जो G संयोजित के लिए स्वचालित है)।

विशेष रूप से, प्रत्येक संयोजित अर्ध-सरल लाई समूह (जिसका अर्थ है कि इसका लाई बीजगणित अर्ध-सरल है) अपचायक है। इसके अतिरिक्त, लाई समूह R इस अर्थ में अपचायक है, क्योंकि इसे GL (1, R) ≅ R * के तत्समक घटक के रूप में देखा जा सकता है। वास्तविक अपचायक समूहों को वर्गीकृत करने की समस्या व्यापक रूप से साधारण लाई समूहों को वर्गीकृत करने के लिए कम हो जाती है। इन्हें उनके सैटेक आरेख द्वारा वर्गीकृत किया गया है; या कोई साधारण लाई समूहों (परिमित आवरण तक) की सूची का उल्लेख कर सकता है।

इस व्यापकता में वास्तविक अपचायक समूहों के लिए स्वीकार्य निरूपण और एकात्मक निरूपण के उपयोगी सिद्धांत विकसित किए गए हैं। इस परिभाषा और अपचायक बीजगणितीय समूह की परिभाषा के बीच मुख्य अंतर इस तथ्य के साथ है कि एक बीजगणितीय समूह G R पर एक बीजगणितीय समूह के रूप में सम्बद्ध हो सकता है जबकि लाई समूह G(R) सम्बद्ध नहीं है, और इसी प्रकार मात्र संयोजित समूहों के लिए।

उदाहरण के लिए, प्रक्षेपी रैखिक समूह PGL(2) किसी भी क्षेत्र पर एक बीजगणितीय समूह के रूप में संयोजित है, परन्तु इसके वास्तविक बिंदुओं के समूह PGL(2,R) में दो संयोजित घटक हैं। PGL(2,R) (कभी-कभी PSL(2,R) कहा जाता है) का तत्समक घटक एक वास्तविक अपचायक समूह है जिसे बीजगणितीय समूह के रूप में नहीं देखा जा सकता है। इसी प्रकार, SL(2) किसी भी क्षेत्र पर एक बीजगणितीय समूह के रूप में पूर्णतः संयोजित है, परन्तु लाई समूह SL(2,R) में पूर्णांक Z के लिए मूलभूत समूह समरूपी है, और इसलिए SL' '(2, R) में असतहीय समष्टि को आच्छादित करना हैं। परिभाषा के अनुसार, SL(2,R) के सभी परिमित आवरण (जैसे कि मेटाप्लेक्टिक समूह) वास्तविक अपचायक समूह हैं। दूसरी ओर, SL(2,R) का सार्वभौमिक आवरण एक वास्तविक अपचायक समूह नहीं है, यद्यपि इसका लाई बीजगणित अपचायक लाई बीजगणित है, जो कि अर्द्धसरल लाई बीजगणित और एक एबेलियन लाई बीजगणित का उत्पाद है।

एक संयोजित वास्तविक अपचायक समूह G के लिए, अधिकतम संहत उपसमूह K द्वारा G का भागफल कई गुना G/K गैर-संहत प्रकार का एक सममित समष्टि है। वस्तुतः, गैर-संहत प्रकार का प्रत्येक सममित समष्टि इस प्रकार से उत्पन्न होता है। ये गैर-धनात्मक अनुभागीय वक्रता के साथ कई गुना के रीमैनियन ज्यामिति में केंद्रीय उदाहरण हैं। उदाहरण के लिए, SL(2,R)/SO(2) अतिपरवलयिक तल है, और SL(2,C)/SU(2) अतिपरवलयिक 3-समष्टि है।

एक क्षेत्र k पर अपचायक समूह G के लिए जो असतत मूल्यांकन (जैसे p-एडिक संख्या Qp) के संबंध में पूर्ण है, G का सजातीय निर्माण X सममित स्थान की भूमिका निभाता है। अर्थात, X G(k) की क्रिया के साथ एक साधारण परिसर है, और G(k) गैर-धनात्मक वक्रता वाले मापीय का रेखीय सजातीय 'X' पर CAT(0) मापीय को संरक्षित करते है। सजातीय निर्माण की विमा G का K-पद है। उदाहरण के लिए, SL (2, Qp) एक ट्री (आरेख सिद्धांत) है।

अपचायक समूहों का निरूपण
एक क्षेत्र k पर एक विभाजित अपचायक समूह G के लिए, G (बीजगणितीय समूह के रूप में) के अखंडनीय निरूपण को प्रमुख भार द्वारा प्राचलीकरण किया जाता है, जिसे Rn में एक उत्तल शंकु (एक वेइल कक्ष) के साथ भार जालक X(T) ≅ 'Zn' के प्रतिच्छेदन के रूप में परिभाषित किया जाता है। विशेष रूप से, यह प्राचलीकरण k की विशेषता से स्वतंत्र है। अधिक विस्तार से, एक विभाजित अधिकतम टोरस और एक बोरेल उपसमूह, T ⊂ B ⊂ G को ठीक करें। फिर B एक समृणीकृत संयोजित एकांगी उपसमूह U के साथ T का अर्ध प्रत्यक्ष उत्पाद है। G पर के निरूपण V में 'उच्चतम भार सदिश' परिभाषित करें k एक गैर-शून्य सदिश v होना चाहिए जैसे कि B स्वयं में v द्वारा फैलाई गई रेखा को प्रतिचित्रित करते है। फिर B उस रेखा पर अपने भागफल समूह T के माध्यम से भार जालक X (T) के कुछ अवयव λ द्वारा कार्य करते है। चेवेली ने दिखाया कि G के प्रत्येक अखंडनीय निरूपण में अदिश तक एक अद्वितीय उच्चतम भार सदिश होते है; संबंधित उच्चतम भार λ प्रमुख है; और प्रत्येक प्रमुख भार λ, समरूपता तक G के एक अद्वितीय अखंडनीय निरूपण L(λ) का उच्चतम भार है।

दिए गए उच्चतम भार के साथ अखंडनीय निरूपण का वर्णन करने की समस्या बनी हुई है। विशेषता शून्य के k के लिए, अनिवार्य रूप से पूर्ण उत्तर हैं। एक प्रमुख भार λ के लिए, 'शूर मॉड्यूल' ∇(λ) को λ से संयोजित चिह्‍नक कई गुना G/B पर परिभाषित करें G-समतुल्य व्युत्क्रम शीफ के वर्गों के K-सदिश समष्टि के रूप में परिभाषित करें; यह G का निरूपण है। विशेषता शून्य के k के लिए, बोरेल-वील प्रमेय का कहना है कि अखंडनीय निरूपण L(λ) शूर मॉड्यूल ∇(λ) के लिए आइसोमॉर्फिक है। इसके अतिरिक्त, वेइल गुण सूत्र इस निरूपण के गुण सिद्धांत (और विशेष रूप से विमा) देता है।

धनात्मक विशेषता के क्षेत्र k पर विभाजित अपचायक समूह G के लिए, स्थिति कहीं अधिक सूक्ष्म है, क्योंकि G का निरूपण सामान्यतः अखंडनीय का प्रत्यक्ष योग नहीं है। एक प्रमुख भार λ के लिए, अखंडनीय निरूपण L (λ) शूर मॉड्यूल ∇ (λ) का अद्वितीय सरल सबमॉड्यूल (सोकल (गणित)) है, परन्तु यह शूर मॉड्यूल के बराबर नहीं होना चाहिए। शूर मॉड्यूल की विमा और गुण जॉर्ज केम्फ द्वारा वेइल वर्ण सूत्र (विशेषता शून्य के रूप में) द्वारा दिया गया है। अखंडनीय निरूपण L(λ) के विमा और लक्षण सामान्य रूप से अज्ञात हैं, यद्यपि इन निरूपणों का विश्लेषण करने के लिए सिद्धांत का एक बड़ा निकाय विकसित किया गया है। एक महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि L (λ) के विमा और गुण को तब जाना जाता है जब हेनिंग हाहर एंडरसन, जेन्स कार्स्टन जैंटजेन, और वोल्फगैंग सॉर्जेल द्वारा G के कॉक्सम्मुचयर संख्या की तुलना में k की विशेषता p बहुत बड़ी है ( उस स्थिति में जॉर्ज लुसिग के अनुमान को सिद्ध करना) )। p व्यापक के लिए उनका वर्ण सूत्र कज़्दान-लुज़्ज़टिग बहुपदों पर आधारित है, जो मिश्रित रूप से जटिल हैं। किसी भी अभाज्य p के लिए, साइमन रिचे और जिओर्डी विलियमसन ने p-कज़्दान-लुज़्ज़टिग बहुपदों के संदर्भ में अपचायक समूह के अखंडनीय वर्णों का अनुमान लगाया, जो कि और भी जटिल हैं, परन्तु कम से कम संगणनीय हैं।

गैर-विभाजित अपचायक समूह
जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, विभाजित अपचायक समूहों का वर्गीकरण किसी भी क्षेत्र में समान है। इसके विपरीत, आधार क्षेत्र के आधार पर स्वेच्छ अपचायक समूहों का वर्गीकरण जटिल हो सकता है। शास्त्रीय समूहों में से कुछ उदाहरण हैं:
 * एक क्षेत्र k पर प्रत्येक अविकृत द्विघात रूप q अपचायक समूह G = SO(q) निर्धारित करते है। यहाँ G सरल है यदि q की विमा n कम से कम 3 है, क्योंकि $$G_{\overline k}$$ एक बीजगणितीय संवृत $$\overline k$$ पर SO(n) के लिए समरूपी है। G का k-पद q के 'विट सूचकांक' के बराबर है (k पर एक समदैशिक उपसमष्टि का अधिकतम विमा)। तो साधारण समूह G को k पर विभाजित किया जाता है यदि और मात्र यदि q में अधिकतम संभव विट सूचकांक, $$\lfloor n/2\rfloor$$ है।
 * प्रत्येक केंद्रीय सरल बीजगणित A पर k अपचायक समूह G = SL (1, A) इकाइयों A* के समूह पर कम मानदंड के आधार को निर्धारित करते है (k से अधिक बीजगणितीय समूह के रूप में)। A की 'घात' का अर्थ A की विमा के वर्ग मूल को k-सदिश समष्टि के रूप में दर्शाता है। यहाँ G सरल है यदि A के निकट घात n कम से कम 2 है, क्योंकि $$G_{\overline k}$$ $$\overline k$$ पर SL(n) पर के लिए समरूपी है । यदि A में सूचकांक r है (जिसका अर्थ है कि A, k पर घात r के विभाजन बीजगणित D के लिए A आव्यूह बीजगणित Mn/r(D) के लिए समरूपी है ), तो G का k-पद (n / R) - 1 है। तो साधारण समूह G को k पर विभाजित किया जाता है यदि और मात्र यदि A, k पर एक आव्यूहों बीजगणित है।

परिणामस्वरूप, k पर अपचायक समूहों को वर्गीकृत करने की समस्या में अनिवार्य रूप से k पर सभी द्विघात रूपों को वर्गीकृत करने की समस्या या k पर सभी केंद्रीय सरल बीजगणित सम्मिलित हैं। बीजगणितीय रूप से संवृत k के लिए ये समस्याएँ सरल हैं, और उन्हें कुछ अन्य क्षेत्रों जैसे संख्या क्षेत्रों के लिए समझा जाता है, परन्तु स्वेच्छ क्षेत्रों के लिए कई विवृत प्रश्न हैं।

किसी क्षेत्र k पर अपचायक समूह को 'समानुवर्ती' कहा जाता है, यदि इसमें k-पद 0 से अधिक है (अर्थात, यदि इसमें एक असतहीय विभाजित टोरस है), और अन्यथा 'विषमदैशिक' है। क्षेत्र k पर अर्धसरल समूह G के लिए, निम्न स्थितियाँ समतुल्य हैं: k परिपूर्ण के लिए, यह कहने के बराबर भी है कि G (k) में 1 के अतिरिक्त एक रैखिक बीजगणितीय समूह#सेमिसिम्पल और एकांगी अवयव अवयव सम्मिलित हैं।
 * G समानुवर्ती है (अर्थात, G में गुणक समूह Gm पर k की एक प्रति है);
 * G में k पर एक परवलयिक उपसमूह है जो G के बराबर नहीं है;
 * G में योगात्मक समूह Ga पर k की एक प्रति है।

विशेषता शून्य (जैसे वास्तविक संख्या) के एक स्थानीय क्षेत्र k पर संयोजित रैखिक बीजगणितीय समूह G के लिए, समूह G(k) शास्त्रीय सांस्थिति में संहत स्थान है (k की सांस्थिति पर आधारित) यदि और मात्र यदि G अपचायक और विषमदैशिक है । उदाहरण: लंब कोणीय समूह SO(p,q) पर 'R' का वास्तविक पद min(p,q) है, और इसलिए यह विषमदैशिक है यदि और मात्र यदि p या q शून्य है।

एक क्षेत्र k पर अपचायक समूह G को 'अर्ध-विभाजन' कहा जाता है, यदि इसमें k पर एक बोरेल उपसमूह होता है। एक विभाजित अपचायक समूह अर्ध-विभाजन है। यदि G, k पर अर्ध-विभाजित है, तो G के किसी भी दो बोरेल उपसमूह G (k) के कुछ अवयव से संयुग्मित होते हैं। उदाहरण: लांबिक समूह SO(p,q) पर 'R' विभाजित है यदि और मात्र यदि |p−q| ≤ 1, और यह अर्ध-विभाजित है यदि और मात्र यदि |p−q| ≤ 2।

अमूर्त समूहों के रूप में अर्धसरल समूहों की संरचना
क्षेत्र k पर सरल रूप से संयोजित विभाजित अर्धसरल समूह G के लिए, रॉबर्ट स्टाइनबर्ग ने अमूर्त समूह G(k) के एक समूह की एक स्पष्ट प्रस्तुति दी। यह G के डायनकिन आरेख द्वारा निर्धारित संबंधों के साथ G (मूल उपसमूह) की मूलों द्वारा अनुक्रमित के योगात्मक समूह की प्रतियों द्वारा उत्पन्न होते है।

एक पूर्ण क्षेत्र k पर सरल रूप से संयोजित विभाजित अर्धसरल समूह G के लिए, स्टाइनबर्ग ने अमूर्त समूह G(k) के स्वसमाकृतिकता समूह का भी निर्धारण किया। प्रत्येक स्वसमाकृतिकता एक आंतरिक स्वसमाकृतिकता का उत्पाद है, एक विकर्ण स्वसमाकृतिकता (अर्थात् एक उपयुक्त द्वारा संयुग्मन $$\overline k$$-एक अधिकतम टोरस का बिंदु), एक आरेख स्वसमाकृतिकता (डाइनकिन आरेख के एक स्वसमाकृतिकता के अनुरूप), और एक क्षेत्र स्वसमाकृतिकता (क्षेत्र के एक स्वसमाकृतिकता से आ रहा है)।

k-सरल बीजगणितीय समूह G के लिए, 'टिट्स की सरलता प्रमेय' का कहना है कि अमूर्त समूह G (k) हल्के अनुमानों के अंतर्गत, सरल होने के निकट है। अर्थात्, मान लीजिए कि G, k पर समदैशिक है, और मान लीजिए कि क्षेत्र k में कम से कम 4 अवयव हैं। G (k)+ को G में समाहित योगात्मक समूह Ga पर k की प्रतियों के k-बिंदुओं द्वारा उत्पन्न अमूर्त समूह G(k) का उपसमूह होने दें। (इस धारणा से कि G k पर समदैशिक है, समूह G(k)+ असतहीय है, और यहाँ तक कि G में ज़रिस्की सघन है यदि k अनंत है।) तब इसके केंद्र द्वारा G(k)+ का विभाग समूह सरल है (एक अमूर्त समूह के रूप में)। परिमाण जैक्स टिट्स की BN-युग्मन की मशीनरी का उपयोग करता है।

क्रम 2 या 3 के क्षेत्रों के अपवादों को ठीक रूप से समझा गया है। K = F2 के लिए, टिट्स की सरलता प्रमेय मान्य रहता है अतिरिक्त इसके कि जब G प्रकार A1, B2, या g2, या गैर-विभाजित (अर्थात, एकात्मक) प्रकार A2 का विभाजन होता है। K = 'F3 के लिए, A1 प्रकार के G को छोड़कर प्रमेय मान्य है।

k-सरल समूह G के लिए, पूर्ण समूह G (k) को समझने के लिए, 'व्हाइटहेड समूह' W (k, G) = G (k)/G (k)+ पर विचार किया जा सकता है। G के लिए पूर्णतः संयोजित है और अर्ध-विभाजित है, व्हाइटहेड समूह छोटा है, और इसलिए पूर्ण समूह G (k) सरल मोडुलो इसका केंद्र है। अधिक सामान्यतः, केनेसर-टिट्स समस्या पूछती है कि व्हाइटहेड समूह कौन सा समदैशिक k-सरल समूह नगण्य है। सभी ज्ञात उदाहरणों में, W(k, G) अबेलियन है।

विषमदैशिक k-सरल समूह G के लिए, अमूर्त समूह G (k) सरल से बहुत दूर हो सकता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि D एक विभाजन बीजगणित है जिसका केंद्र a p-एडिक क्षेत्र k है। मान लीजिए कि k पर D की विमा परिमित है और 1 से अधिक है। फिर G = SL(1,D) एक विषमदैशिक k-सरल समूह है। जैसा ऊपर बताया गया है, G (k) शास्त्रीय सांस्थिति में संहत है। चूंकि यह पूर्ण रूप से असंबद्ध भी है, G (k) एक असीमित समूह है (परन्तु सीमित नहीं है)। फलस्वरूप, G (k) में उपसमूह के परिमित सूचकांक के अपरिमिततः कई सामान्य उपसमूह होते हैं।

जाली और अंकगणितीय समूह
मान लीजिए G परिमेय संख्याओं 'Q' पर एक रैखिक बीजगणितीय समूह है। फिर G को 'Z' पर एक सजातीय समूह पद्धति G तक बढ़ाया जा सकता है, और यह एक अमूर्त समूह G ('Z') निर्धारित करते है। एक 'अंकगणितीय समूह' का अर्थ G('Q') का कोई भी उपसमूह है जो G('Z') के साथ समानता (समूह सिद्धांत) है। (G('Q') के एक उपसमूह की अंकगणितीयता 'Z'-संरचना की पसंद से स्वतंत्र है।) उदाहरण के लिए, SL(n,'Z') SL(n,'Q') का एक अंकगणितीय उपसमूह है।

एक लाई समूह G के लिए, G में एक 'जाली (असतत उपसमूह)' का अर्थ है G का एक असतत उपसमूह Γ जैसे कि कई गुना G/Γ में परिमित आयतन (G- अचर माप के संबंध में) है। उदाहरण के लिए, एक असतत उपसमूह Γ एक जाली है यदि G/Γ संहत है। मार्गुलिस अंकगणितीय प्रमेय विशेष रूप से कहता है: कम से कम 2 वास्तविक पद के एक साधारण लाई समूह G के लिए, G में प्रत्येक जाली एक अंकगणितीय समूह है।

डाइनकिन आरेख पर गैलोज क्रिया
अपचायक समूहों को वर्गीकृत करने की मांग में, जिन्हें विभाजित करने की आवश्यकता नहीं है, एक चरण टिट्स सूचकांक है, जो विषमदैशिक समूहों के स्थिति में समस्या को कम करते है। यह कमी बीजगणित में कई मूलभूत प्रमेयों का सामान्यीकरण करती है। उदाहरण के लिए, विट के अपघटन प्रमेय का कहना है कि एक क्षेत्र पर एक गैर-अपघटित द्विघात रूप को इसके विषमदैशिक आधार के साथ मिलकर इसके विट सूचकांक द्वारा समरूपता तक निर्धारित किया जाता है। इसी प्रकार, आर्टिन-वेडरबर्न प्रमेय विभाजन बीजगणित के स्थिति में एक क्षेत्र पर केंद्रीय सरल बीजगणित के वर्गीकरण को कम करते है। इन परिणामों को सामान्य करते हुए, टिट्स ने दिखाया कि क्षेत्र k पर अपचायक समूह समरूपता तक इसके टिट्स सूचकांक द्वारा इसके विषमदैशिक आधार, एक संबद्ध विषमदैशिक अर्द्धसरल k-समूह के साथ निर्धारित किया जाता है।

एक क्षेत्र k पर अपचायक समूह G के लिए, निरपेक्ष गैलोज़ समूह Gal(ks/k) G के पूर्ण डायनकिन आरेख पर (निरंतर) कार्य करते है, जो कि एक वियोज्य संवरक ks पर G का डायनकिन आरेख है (जो एक बीजगणितीय संवृत $${\overline k}$$ पर G का डायनकिन आरेख भी है )। G के टिट्स सूचकांक में Gk s का मूल आधार, इसके डायनकिन आरेख पर गैलोज़ क्रिया और डाइकिन आरेख के शीर्षों का एक गैलोज़-निश्‍चर उपसमुच्चय होता है। परंपरागत रूप से, दिए गए उपसमुच्चय में गैलोज़ कक्षाओं के चक्कर लगाकर टिट्स सूचकांक तैयार किया जाता है।

इन प्रतिबंधों में अर्ध-विभाजित समूहों का पूर्ण वर्गीकरण है। अर्थात्, डायनकिन आरेख पर एक क्षेत्र k के निरपेक्ष गैलोज़ समूह की प्रत्येक क्रिया के लिए, दिए गए क्रिया के साथ एक अद्वितीय अर्ध-विभाजित अर्ध-विभाजित समूह H पर k है। (अर्ध-विभाजित समूह के लिए, डायनकिन आरेख में प्रत्येक गैलोज़ कक्षा परिक्रमा की जाती है।) इसके अतिरिक्त, दी गई क्रिया के साथ कोई अन्य सरल रूप से संयोजित अर्ध-सरल समूह G, अर्ध-विभाजित समूह H का एक आंतरिक रूप है, जिसका अर्थ है कि G है गाल्वा सह समरूपता सम्मुचय H1 के एक अवयव से सम्बद्ध समूह (k,H/Z), जहां Z, H का केंद्र है। दूसरे शब्दों में, G कुछ H/Z-टॉर्सर पर k से सम्बद्ध H का घुमाव है, जैसा कि अगले भाग में चर्चा की गई है।

उदाहरण: मान लीजिए कि n ≥ 5 के साथ 2 नहीं विशेषता वाले क्षेत्र k पर 2n सम विमा का गैर- अपभ्रष्ट द्विघात रूप है। (इन प्रतिबंधों से बचा जा सकता है।) G को साधारण समूह SO(q) से अधिक k होने दें। G का निरपेक्ष डायनकिन आरेख प्रकार Dn का है, और इसलिए इसका स्वसमाकृतिकता समूह क्रम 2 का है, जो Dn आरेख के दो "पैरों" को बदल रहा है। डायनकिन आरेख पर k के निरपेक्ष गैलोज़ समूह की क्रिया नगण्य है यदि और मात्र यदि k*/(k *)2 में q का हस्ताक्षरित विभेदक d नगण्य है। यदि d असतहीय है, तो यह डायनकिन आरेख पर गाल्वा क्रिया में विकोडित किया गया है: गाल्वा समूह का सूचकांक -2 उपसमूह जो तत्समक के रूप में कार्य करते है, वह $$\operatorname{Gal}(k_s/k(\sqrt{d}))\subset \operatorname{Gal}(k_s/k)$$है। समूह G को विभाजित किया जाता है यदि और मात्र यदि q का विट सूचकांक n है, जो अधिकतम संभव है, और G अर्ध-विभाजित है यदि और मात्र यदि q का विट सूचकांक कम से कम n − 1 है।

टॉर्सर और हास सिद्धांत
एक सजातीय समूह पद्धति G के लिए क्षेत्र k पर एक टॉर्सर का अर्थ है G की क्रिया (गणित) के साथ k पर सजातीय पद्धति X, जैसे कि $$X_{\overline k}$$ समरूपी से $$G_{\overline k}$$ पर बाएं अनुवाद द्वारा स्वयं $$G_{\overline k}$$ की क्रिया के साथ। एक टॉर्सर को k पर fppf सांस्थिति के संबंध में k पर एक प्रमुख G- समूह के रूप में भी देखा जा सकता है, या इटेल सांस्थिति यदि G k पर समृणीकृत है। गाल्वा सह समरूपता की भाषा में, K पर G-टॉर्सर के समरूपता वर्गों के नुकीले सम्मुचय को H1(k,G), कहा जाता है।

जब भी कोई दिए गए बीजगणितीय वस्तु Y के 'रूपों' को एक क्षेत्र k पर वर्गीकृत करने का प्रयास करते है, तो टॉर्स उत्पन्न होते हैं, जिसका अर्थ है कि x से अधिक k पर वस्तुएँ जो k के बीजगणितीय संवृत होने पर Y के लिए समरूपी बन जाती हैं। अर्थात्, इस प्रकार के रूप (समरूपता तक) सम्मुचय H1(k, Aut (y)) के साथ एक-से-एक संगति में हैं। उदाहरण के लिए, (अनपभ्रष्ट) k पर विमा n के द्विघात रूपों को H1(k,O(n)) द्वारा वर्गीकृत किया गया है, और k पर घात n के केंद्रीय सरल बीजगणित को H1(k,PGL(n)) द्वारा वर्गीकृत किया जाता है। साथ ही, दिए गए बीजगणितीय समूह G के k-रूपों (जिन्हें कभी-कभी G का घुमाव कहा जाता है) को H1(k, Aut (G)) द्वारा वर्गीकृत किया जाता है। ये समस्याएँ विशेष रूप से अपचायक समूह G के लिए, G-टॉर्सर के व्यवस्थित अध्ययन को प्रेरित करती हैं।

जब संभव हो, तो सह समरूपी निश्‍चर का उपयोग करके G-टॉर्सर को वर्गीकृत करने की अपेक्षा है, जो एबेलियन गुणांक समूहों M, Ha(k, M) के साथ गाल्वा सह समरूपता में मान लेने वाले अपरिवर्तनीय हैं। इस दिशा में, स्टाइनबर्ग ने जीन पियरे सेरे के अनुमान "I" को सिद्ध किया: अधिकतम 1, H1(k, G) = 1 पर के सह समरूपी विमा के एक पूर्ण क्षेत्र पर संयोजित रैखिक बीजीय समूह G के लिए। (परिमित क्षेत्र के स्थिति को पहले लैंग के प्रमेय के रूप में जाना जाता था।) उदाहरण के लिए, यह इस प्रकार है कि परिमित क्षेत्र पर प्रत्येक अपचायक समूह अर्ध-विभाजित है।

सेरे का अनुमान II (बीजगणित) भविष्यवाणी करता है कि अधिक से अधिक 2, H1(k,G) = 1 पर सह समरूपी विमा के एक क्षेत्र पर पूर्णतः संयोजित अर्ध-सरल समूह G के लिए। अनुमान पूर्ण रूप से काल्पनिक संख्या क्षेत्र के लिए जाना जाता है (जिसमें सह समरूपी विमा 2 है)। अधिक सामान्यतः, किसी भी संख्या क्षेत्र k के लिए, मार्टिन केनेसर, गुंटर हार्डर और व्लादिमीर चेरनौसोव (1989) ने हास सिद्धांत को सिद्ध किया: एक साधारण रूप से संयोजित अर्धसरल समूह G के लिए k, प्रतिचित्र
 * $$H^1(k,G)\to \prod_{v} H^1(k_v,G)$$

विशेषणात्मक है। यहाँ v k, और kv के सभी स्थानों (गणित) पर चलता है संबंधित स्थानीय क्षेत्र है (संभवतः R या C)। इसके अतिरिक्त, नुकीला सम्मुचय H1(केv, G) प्रत्येक गैर आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र kv के लिए नगण्य है, और इसलिए मात्र k के वास्तविक समष्टि महत्व रखते हैं। धनात्मक विशेषता के एक वैश्विक क्षेत्र k के लिए अनुरूप परिणाम पहले हार्डर (1975) द्वारा सिद्ध किया गया था: प्रत्येक सरलता से संयोजित अर्द्धसरल समूह G पर k, H1(k,G) के लिए नगण्य है (क्योंकि k का कोई वास्तविक समष्टि नहीं है)।

एक संख्या क्षेत्र k पर एक निकटवर्ती समूह G के थोड़े अलग स्थिति में, हास सिद्धांत एक दुर्बल रूप में है: प्राकृतिक प्रतिचित्र
 * $$H^1(k,G)\to \prod_{v} H^1(k_v,G)$$

अंतःक्षेपक है। G = PGL (n) के लिए, यह अल्बर्ट-ब्रुएर-हास-नोथेर प्रमेय की मात्रा है, यह कहते हुए कि एक संख्या क्षेत्र पर एक केंद्रीय सरल बीजगणित अपने स्थानीय आक्रमणकारियों द्वारा निर्धारित किया जाता है।

हास सिद्धांत पर निर्माण, संख्या क्षेत्रों पर अर्ध-सरल समूहों का वर्गीकरण ठीक रूप से समझा जाता है। उदाहरण के लिए, असाधारण समूह E8 (गणित) के ठीक तीन 'Q'- रूप हैं, जो E8 के तीन वास्तविक रूपों के अनुरूप हैं।

यह भी देखें

 * लाई प्रकार का समूह परिमित क्षेत्रों पर सरल बीजगणितीय समूहों से निर्मित परिमित सरल समूह हैं।
 * सामान्यीकृत चिह्‍नक प्रकार, ब्रुहट अपघटन, शुबर्ट प्रकार, शुबर्ट कलन
 * शूर बीजगणित, डेलिग्ने-लुज़्ज़टिग सिद्धांत
 * वास्तविक रूप (लाई सिद्धांत)
 * तमागावा संख्या पर वील का अनुमान
 * लैंगलैंड वर्गीकरण, लैंगलैंड्स दोहरे समूह, लैंगलैंड क्रमानुदेश, ज्यामितीय लैंगलैंड क्रमानुदेश
 * विशेष समूह (बीजगणितीय समूह सिद्धांत), आवश्यक विमा
 * ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत, लूना स्तरित प्रमेय, हबश का प्रमेय
 * एक बीजगणितीय समूह का मूलांक

संदर्भ

 * Revised and annotated edition of the 1970 original.
 * Revised and annotated edition of the 1970 original.
 * Revised and annotated edition of the 1970 original.
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 * Revised and annotated edition of the 1970 original.
 * Revised and annotated edition of the 1970 original.

बाहरी संबंध

 * Revised and annotated edition of the 1970 original.