फलनिक समीकरण

गणित में, एक कार्यात्मक समीकरण व्यापक अर्थ में, एक समीकरण है जिसमें एक या कई कार्य अज्ञात (गणित) के रूप में प्रकट होते हैं। इसलिए, अवकल समीकरण और समाकल समीकरण फलन समीकरण हैं। हालांकि, एक अधिक प्रतिबंधित अर्थ का अक्सर उपयोग किया जाता है, जहां एक कार्यात्मक समीकरण एक समीकरण होता है जो एक ही फ़ंक्शन के कई मानों से संबंधित होता है। उदाहरण के लिए, लघुगणक फलन हैं लघुगणक#लक्षण लघुगणक क्रियात्मक समीकरण द्वारा उत्पाद सूत्र द्वारा अभिलक्षणन $$\log(xy)=\log(x) + \log(y).$$ यदि अज्ञात फ़ंक्शन के फ़ंक्शन का डोमेन प्राकृतिक संख्या माना जाता है, तो फ़ंक्शन को आम तौर पर अनुक्रम (गणित) के रूप में देखा जाता है, और, इस मामले में, एक कार्यात्मक समीकरण (संकीर्ण अर्थ में) को पुनरावृत्ति संबंध कहा जाता है. इस प्रकार कार्यात्मक समीकरण शब्द का प्रयोग मुख्य रूप से वास्तविक कार्यों और जटिल कार्यों के लिए किया जाता है। इसके अलावा, समाधान के लिए अक्सर एक सहज कार्य माना जाता है, क्योंकि ऐसी स्थिति के बिना, अधिकांश कार्यात्मक समीकरणों में बहुत अनियमित समाधान होते हैं। उदाहरण के लिए, गामा फलन एक ऐसा फलन है जो फलनात्मक समीकरण को संतुष्ट करता है $$f (x + 1) = x f (x)$$ और प्रारंभिक मूल्य $$f (1) = 1.$$ ऐसे कई कार्य हैं जो इन शर्तों को पूरा करते हैं, लेकिन गामा फ़ंक्शन अद्वितीय है जो पूरे जटिल विमान में मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन है, और लघुगणकीय रूप से उत्तल कार्य करता है $x$ वास्तविक और धनात्मक (बोहर-मोलरुप प्रमेय)।

उदाहरण

 * पुनरावृत्ति संबंधों को पूर्णांकों या प्राकृतिक संख्याओं पर कार्यों में कार्यात्मक समीकरणों के रूप में देखा जा सकता है, जिसमें शब्दों के सूचकांक के बीच के अंतर को शिफ्ट ऑपरेटर के अनुप्रयोग के रूप में देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, फाइबोनैचि संख्याओं को परिभाषित करने वाला पुनरावर्तन संबंध, $$F_{n} = F_{n-1}+F_{n-2}$$, कहाँ पे $$F_0=0$$ तथा $$F_1=1$$
 * $$f(x+P) = f(x)$$, जो आवधिक कार्यों की विशेषता प्रदर्शित करता है


 * $$f(x) = f(-x)$$, जो सम फलनों की विशेषता प्रदर्शित करता है और इसी प्रकार से $$f(x) = -f(-x)$$ जो विषम फलनों की विशेषता प्रदर्शित करता है


 * $$f(f(x)) = g(x)$$, जो फलन g के कार्यात्मक वर्गमूल की विशेषता प्रदर्शित करता है

f(s) = 2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)f(1-s) $$ रीमैन जीटा फ़ंक्शन से संतुष्ट है। राजधानी $a ○ b$ गामा समारोह को दर्शाता है।
 * $$f(x + y) = f(x) + f(y)\,\!$$ (कॉची का फलनात्मक समीकरण) रेखीय मानचित्रों से संतुष्ट होता है। चयन सिद्धांत के आधार पर समीकरण में अन्य तर्कहीन अरैखिक हल भी हो सकते हैं, जिनका अस्तित्व वास्तविक संख्याओं के लिए हेमल आधार से सिद्ध किया जा सकता है।
 * $$f(x + y) = f(x)f(y), \,\!$$ सभी घातांकीय फलनों से संतुष्ट है। कॉची के योज्य फलनात्मक समीकरण के समान इसमें भी तर्कहीन असंतत हल हो सकते हैं।
 * $$f(xy) = f(x) + f(y)\,\!$$, सभी लघुगणक फलन और सहअभाज्य पूर्णांक तर्कों, योगात्मक फलनों से संतुष्ट है।
 * $$f(xy) = f(x) f(y)\,\!$$, सभी घातीय फलनों और सहअभाज्य पूर्णांक तर्कों, गुणात्मक फलनों से संतुष्ट है।
 * $$f(x + y) + f(x - y) = 2[f(x) + f(y)]\,\!$$ (द्विघात समीकरण या समांतर चतुर्भुज नियम)
 * $$f((x + y)/2) = (f(x) + f(y))/2\,\!$$ (जेन्सेन का फलनिक समीकरण)
 * $$g(x + y) + g(x - y) = 2[g(x) g(y)]\,\!$$ (डी'अलेम्बर्ट का फलनिक समीकरण)
 * $$f(h(x)) = h(x + 1)\,\!$$ (हाबिल समीकरण)
 * $$f(h(x)) = cf(x)\,\!$$ (श्रोडर का समीकरण)।
 * $$f(h(x)) = (f(x))^c\,\!$$ (बॉटर का समीकरण)।
 * $$f(h(x)) = h'(x)f(x)\,\!$$ (जूलिया का समीकरण)।
 * $$f(xy) = \sum g_l(x) h_l(y)\,\!$$ (लेवी-सिविटा),
 * $$f(x+y) = f(x)g(y)+f(y)g(x)\,\!$$ (साइन योगात्मक सूत्र और अतिपरवलीय साइन योगात्मक सूत्र),
 * $$g(x+y) = g(x)g(y)-f(y)f(x)\,\!$$ (कोसाइन योगात्मक सूत्र)
 * $$g(x+y) = g(x)g(y)+f(y)f(x)\,\!$$ (अतिपरवलीय कोसाइन योगात्मक सूत्र)।
 * विनिमेय कानून और साहचर्य कानून कार्यात्मक समीकरण हैं। अपने परिचित रूप में, साहचर्य कानून को इंफिक्स नोटेशन में बाइनरी ऑपरेशन लिखकर व्यक्त किया जाता है, $$(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)~,$$ लेकिन अगर हम इसके बजाय f(a,-b) लिखते हैं $Γ$ तो साहचर्य कानून एक पारंपरिक कार्यात्मक समीकरण की तरह अधिक दिखता है, $$f(f(a, b),c) = f(a, f(b, c)).\,\!$$
 * कार्यात्मक समीकरण $$

\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}$$ = 1, परिभाषित करता है $f$ आदेश का एक मॉड्यूलर रूप होना $k$.
 * गामा फलन निम्नलिखित तीन समीकरणों की प्रणाली का अनूठा हल है:
 * $$f(x)={f(x+1) \over x}$$
 * $$f(y)f\left(y+\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{2^{2y-1}}f(2y)$$
 * $$f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}$$   (लियोनहार्ड यूलर|यूलर का परावर्तन सूत्र)
 * कार्यात्मक समीकरण $$f\left({az+b\over cz+d}\right) = (cz+d)^k f(z)$$ कहाँ पे $a, b, c, d$ पूर्णांक संतोषजनक हैं $$ad - bc = 1$$, अर्थात। $$

एक विशेषता यह है कि ऊपर सूचीबद्ध सभी उदाहरण आम में हिस्सा यह है कि, प्रत्येक मामले में, दो या दो से अधिक ज्ञात कार्य (कभी-कभी एक स्थिरांक से गुणा, कभी-कभी दो चर के जोड़, कभी-कभी पहचान कार्य) अज्ञात कार्यों के तर्क के अंदर होते हैं जिन्हें हल किया जाना है। जब सभी समाधान पूछने की बात आती है, तो हो सकता है कि गणितीय विश्लेषण की शर्तों को लागू किया जाए; उदाहरण के लिए, ऊपर वर्णित कॉची समीकरण के मामले में, जो समाधान निरंतर कार्य हैं वे 'उचित' हैं, जबकि अन्य समाधान जिनके व्यावहारिक अनुप्रयोग होने की संभावना नहीं है, का निर्माण किया जा सकता है (वास्तविक संख्याओं के लिए हैमल आधार का उपयोग करके) परिमेय संख्याओं पर सदिश स्थान के रूप में)। बोह्र-मोलेरुप प्रमेय एक और प्रसिद्ध उदाहरण है।

अंतर्वलन
अंतर्वलन (गणित) को कार्यात्मक समीकरण$$f(f(x)) = x$$ द्वारा दर्शाया गया है। ये बैबेज के कार्यात्मक समीकरण (वर्ष 1820) में दिखाई देते हैं,
 * $$f(f(x)) = 1-(1-x) = x \, .$$

समीकरण के अन्य अंतर्वलन और समाधान सम्मिलित हैं

जिसमें पूर्ववर्ती तीन को विशेष स्थितियों या सीमाओं के रूप में सम्मिलित किया गया है।
 * $$ f(x) = a-x\, ,$$
 * $$ f(x) = \frac{a}{x}\, ,$$ तथा
 * $$ f(x) = \frac{b-x}{1+cx} ~ ,$$

समाधान
प्रारंभिक कार्यात्मक समीकरणों को हल करने की एक विधि प्रतिस्थापन है।

कार्यात्मक समीकरणों के कुछ समाधानों ने प्रक्षेप्यता, अंतःक्षेपण, विचित्रता और समता का उपयोग किया है।

कुछ प्रकार्यात्मक समीकरणों को गणितीय प्रेरण तथा एन्सैटेज़ के प्रयोग से हल किया गया है।

कार्यात्मक समीकरणों के कुछ वर्गों को कंप्यूटर-सहायता प्राप्त तकनीकों द्वारा हल किया जा सकता है।

गतिक क्रमादेशन में बेलमैन के कार्यात्मक समीकरण को हल करने के लिए विभिन्न प्रकार की क्रमिक सन्निकटन विधियों का उपयोग किया जाता है, जिसमें निश्चित बिंदु पुनरावृत्तियों पर आधारित विधियाँ भी सम्मिलित हैं।

यह भी देखें

 * कार्यात्मक समीकरण (एल-फ़ंक्शन)
 * बेलमैन समीकरण
 * गतिक क्रमादेशन
 * अंतर्निहित फलन
 * कार्यात्मक अवकल समीकरण

संदर्भ

 * János Aczél, Lectures on Functional Equations and Their Applications, Academic Press, 1966, reprinted by Dover Publications, ISBN 0486445232.
 * János Aczél & J. Dhombres, Functional Equations in Several Variables, Cambridge University Press, 1989.
 * C. Efthimiou, Introduction to Functional Equations, AMS, 2011, ISBN 978-0-8218-5314-6 ; online.
 * Pl. Kannappan, Functional Equations and Inequalities with Applications, Springer, 2009.
 * Marek Kuczma, Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities, second edition, Birkhäuser, 2009.
 * Henrik Stetkær, Functional Equations on Groups, first edition, World Scientific Publishing, 2013.

बाहरी संबंध

 * Functional Equations: Exact Solutions at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
 * Functional Equations: Index at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
 * IMO Compendium text (archived) on functional equations in problem solving.