सार्वभौमिक बीजगणित

सार्वभौमिक बीजगणित गणित का वह क्षेत्र है जो स्वयं बीजगणितीय संरचनाओं का अध्ययन करता है, न कि बीजगणितीय संरचनाओं के उदाहरणो का अध्ययन करता है। उदाहरण के रूप में, विशेष समूहों को अध्ययन का वस्तु नहीं बनाते हुए, सार्वभौमिक बीजगणित में हम समूहों की वर्ग को अध्ययन का वस्तु बनाते हैं।

मूल विचार
सार्वभौमिक बीजगणित में, एक बीजगणित या बीजगणितीय संरचना समुच्चय A के साथ एक संग्रहणी संक्रिया के साथ होता है। A पर एक एन-री संक्रिया वह फलन होता है जो A के n तत्वों को लेता है और एक एकल तत्व A को लौटाता है। इस प्रकार, एक 0-री संक्रिया  को सरलता से A का एक तत्व या स्थिरांक के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है, इस तरह, जो सामान्यतः a जैसे अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है। एक 1-री संक्रिया सीधे A से A की ओर एक फलन होती है, जिसे अपने तर्क के सामने रखे गए प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है, एक 1-री संक्रिया या एक-री संक्रिया सीधे A से A की ओर एक फलन होती है, जिसे अपने तर्क के सामने रखे गए प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है, जिसे मध्यप्रत्यय संकेतन पद्धति भी कहा जाता है,जैसे x ∗ y। अधिक या निर्दिष्ट आरिति की संक्रिया सामान्यतः फलन प्रतीकों द्वारा निरूपित किया जाता है,जहांतर्कों को कोष्ठक में रखा जाता हैऔर अल्पविराम द्वारा अलग किया जाता है जैसे f(x, y, z) या f(x1,...,xn)। बीजगणित के बारे में बात करने का एक विधि है कि, उसे एक निश्चित प्रकार की बीजगणित,के रूप में संदर्भित किया जाता है,जहां $$\Omega$$ एक क्रमशः व्यवस्थित प्राकृतिक संख्याओं की एक क्रमबद्ध सूची होता है जो बीजगणित की संक्रियाओ की आरिति को प्रतिष्ठानित करता हैं। यद्यपि, कुछ शोधकर्ता असीमित संक्रियाओ को भी स्वीकार करते हैं, जैसे $$\textstyle\bigwedge_{\alpha\in J} x_\alpha$$ जहाँ J एक असीमित अनुक्रमित समूह है, जो पूर्ण छँदों के बीजगणितीय सिद्धांत में एक संक्रिया होता है।

समीकरण
संचालन निर्दिष्ट किए जाने के बाद, बीजगणित की प्रकृति को सिद्धांतों द्वारा आगे परिभाषित किया जाता है, जो सार्वभौमिक बीजगणित में प्रायः पहचान, या समीकरण विधियों का रूप लेते हैं। एक उदाहरण बाइनरी संक्रिया के लिए साहचर्य नियम अभिगृहीत है, जो समीकरण x ∗ (y ∗ z)= (x ∗ y) द्वारा दिया गया है। भिगृहीत का उद्देश्य समुच्चय A के सभी तत्वों x, y और z को धारण करना है।

किस्में
एक अभिधानों द्वारा परिभाषित बीजगणितीय संरचनाओं का संग्रह विविधता या समीकरणिक वर्ग कहलाता है।

किसी के अध्ययन को किस्मों तक सीमित करना नियमों से बाहर है:हिन्दी में, क्वांटिफिकेशन (quantification) के साथ, सर्वांकारिता को (universal quantification, ∀) इकाई के पहले व्यक्त किया जाता है और अस्तित्वात्मकता को (existential quantification, ∃) इकाई के पहले व्यक्त किया जाता है, उपयुक्त समीकरण के सामने।


 * परिमाणीकरण सार्वभौमिक परिमाणीकरण सहित ($$\forall$$) एक समीकरण से पहले और अस्तित्वगत परिमाणीकरण को छोड़कर ($$\exists$$) इकाई के पहले व्यक्त किया जाता है,
 * तार्किक संयोजन (∧) के अतिरिक्त अन्य तार्किक संयोजक
 * समानता के अतिरिक्त परिमित संबंध, विशेष रूप से असमानता दोनों में a ≠ b और आदेश सिद्धांत

समीकरणिक वर्गों के अध्ययन को प्रारूप सिद्धांत की एक विशेष शाखा के रूप में देखा जा सकता है, जो सामान्यतः केवल संरचनाओं के साथ संबंध रखने वाली संरचनाओं के साथ निपुणता करता है अर्थात प्रकार में केवल फलन के लिए प्रतीक हो सकते हैं, परन्तु समानता के अतिरिक्त अन्य संबंधों के लिए प्रतीक नहीं हो सकते हैं, और जिसमें इन संरचनाओं के बारे में बात करने के लिए उपयोग की जाने वाली भाषा में केवल समीकरण ही होते हैं।

एक अधिक दृष्टि में, सभी बीजगणितीय संरचनाएं इस परिधि में नहीं आतीं। उदाहरण के लिए, क्रमित समूहों में क्रमबद्ध संबंध सम्मिलित होता है, इसलिए यह इस परिधि में नहीं आते हैं।

क्षेत्रो का वर्ग एक समतुल्य वर्ग नहीं है क्योंकि कोई प्रकार नहीं है जिसमें सभी क्षेत्र नियमों को समीकरणों के रूप में लिखा जा सकता है तत्वों के व्युत्क्रम को एक क्षेत्र में सभी गैर-शून्य तत्वों के लिए परिभाषित किया गया है, इसलिए व्युत्क्रम प्रकार में नहीं जोड़ा जा सकता।

इस प्रतिबंधन का एक लाभ यह है कि सार्वभौमिक बीजगणित में अध्ययन की गई संरचनाएं किसी भी वर्ग में परिभाषित की जा सकती है जिसमें अंतिम उत्पाद होते हैं। उदाहरण के लिए, एक टोपोलॉजिकल समूह केवल टोपोलॉजिकल स्पेसेज़ के वर्ग का एक समूह होता है

उदाहरण
गणित की अधिकांश सामान्य बीजगणितीय प्रणालियाँ किस्मों के उदाहरण हैं, परंतु सदैव एक स्पष्ट नियमों से नहीं, क्योंकि सामान्य परिभाषाओं में प्रायः परिमाणीकरण या असमानताएँ सम्मिलित होती हैं।

समूह
उदाहरण के तौर पर, समूह की परिभाषा पर विचार करें. सामान्यतः एक समूह को एकल बाइनरी संक्रिया के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है, जो स्वयंसिद्धों के अधीन होता है:


 * साहचर्य x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z; औपचारिक रूप से: ∀x, y, z. x∗(y∗z)=(x∗y)∗z ।
 * पहचान तत्व: ऐसा एक तत्व e होता है जिसके लिए हर तत्व x के लिए e ∗ x = x = x ∗ e होता है; औपचारिक रूप से: ∃e ∀x. e∗x=x=x∗e।
 * विपरीत तत्व: पहचान तत्व का एकदेशीय होना स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है, और सामान्यतः e से प्रतिष्ठानित किया जाता है। तब हर x के लिए एक ऐसा तत्व i होता है जिसके लिए x ∗ i = e = i ∗ x होता है; औपचारिक रूप से: ∀x ∃i. x∗i=e=i∗x।

कुछ लेखक अभिधान "आवरण" अभिधान का भी उपयोग करते हैं, जहां x और y जब भी होते हैं तो x ∗ y A का तत्व होता है, परंतु   यहां ∗ को एक बाइनरी संक्रिया कहने से यह पहले से ही इसमें सम्मिलित है।

एक समूह की परिभाषा सीधे सार्वभौमिक बीजगणित के दृष्टिकोण से तुरंत संगत नहीं है, क्योंकि पहचान तत्व और विपरीत तत्व के अभिधान प्रायः संकेतों के रूप में नहीं दिए जाते हैं जो केवल समीकरणिक नियमों के माध्यम से सभी "सभी ..." तत्वों के लिए सत्य होते हैं, बल्कि यह कुछ स्वीकारी के साथ संलग्न भावी क्वांटिफायर भी सम्मिलित करते हैं। गण के नियम सामान्यतः सार्वभौमिक क्वांटिफाय किए जाने वाले समीकरणों के रूप में व्यक्त किए जा सकते हैं, ∗ के अतिरिक्त, एक शून्यार्य संक्रिया e और एक एकार्य संक्रिया ~ की विशेषता को निर्दिष्ट करके, जहां ~x सामान्यतः x−1 के रूप में लिखा जाता है।

नियम समीकरण हो जाते हैं


 * साहचर्य: x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z.
 * पहचान तत्व: e ∗ x = x = x ∗ e; औपचारिक रूप से: ∀x। e∗x=x=x∗e.
 * उलटा तत्व: x ∗ (~x) = e = (~x) ∗ x   औपचारिक रूप से: ∀x. x∗~x=e=~x∗x.

संक्षेप में, सामान्य परिभाषा में है:

जबकि सार्वभौमिक बीजगणित की परिभाषा है:
 * एक एकल बाइनरी संक्रिया (हस्ताक्षर (तर्क) (2))
 * 1 समतुल्य नियम
 * 2 मात्रात्मक नियम
 * 3 संक्रिया: एक बाइनरी, एक यूनरी, और एक न्यूलरी
 * 3 समान नियम
 * कोई मात्रात्मक नियम नहीं

एक महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि अतिरिक्त संचालन जानकारी नहीं जोड़ते हैं, परंतु समूह की सामान्य परिभाषा से विशिष्ट रूप से अनुसरण करते हैं। यद्यपि सामान्य परिभाषा विशिष्ट रूप से पहचान तत्व ई को निर्दिष्ट नहीं करती है, एक आसान अभ्यास से पता चलता है कि यह अद्वितीय है, जैसा कि प्रत्येक व्युत्क्रम तत्व है।

सार्वभौमिक बीजगणित दृष्टिकोण श्रेणी सिद्धांत के अनुकूल है। उदाहरण के लिए, श्रेणी सिद्धांत में एक समूह वस्तु को परिभाषित करते समय, जहां प्रश्न में वस्तु एक समुच्चय नहीं हो सकती है, मात्रात्मक नियम के बजाय समीकरण नियम का उपयोग करना चाहिए। इसके अतिरिक्त, व्युत्क्रम और पहचान को श्रेणी में आकारिकी के रूप में निर्दिष्ट किया गया है। उदाहरण के लिए, एक टोपोलॉजिकल समूह में, व्युत्क्रम न केवल तत्व-वार उपस्थित होना चाहिए, बल्कि एक निरंतर मानचित्रण देना चाहिए। कुछ लेखकों को पहचान मानचित्र को एक बंद समावेशन होने की भी आवश्यकता होती है।

अन्य उदाहरण
अधिकांश बीजगणितीय संरचनाएं सार्वभौमिक बीजगणित के उदाहरण हैं।


 * रिंग, सेमिग्रुप, क्वासीग्रुप, ग्रुपॉइड्स, मैग्मास, लूप्स, और अन्य संरचनाएं हैं।
 * एक निश्चित क्षेत्र पर वेक्टर रिक्त स्थान और एक निश्चित रिंग पर सार्वभौमिक बीजगणित हैं। इनमें एक द्विआधारी योग और एकात्मक अदिश गुणन संचालकों का एक परिवार है, जो क्षेत्र या रिंग के प्रत्येक तत्व के लिए एक है।

संबंधपरक बीजगणित के उदाहरणों में अर्द्ध लेटेक्स, जाली और बूलियन बीजगणित सम्मिलित हैं।

बुनियादी निर्माण
हम यह मानते हैं कि प्रकार $$\Omega$$ स्थायी रूप से निर्धारित किया गया है। इसके बाद सार्वभौमिक बीजगणित में तीन मूल निर्माण होते हैं: सदृश छवि, उपसमलय, और उत्पाद।

दो बीजगणितीय संरचनाओं A और B के बीच एक समानोन्नति h: A → B एक फलन होती है जो सेट A से सेट B तक होती है, ऐसा कि हर A के संक्रिया fA के लिए और इसके उपस्थित fB के लिए h(fA(x1,...,xn)) =fB(h(x1),...,h(xn)) होता है। उदाहरण के लिए, यदि e एक ध्यात्मिक संक्रिया है, तो h(eA) = eB होता है। यदि ~ एक एकार्य संक्रिया  है, तो h(~x) = ~h(x) होता है। यदि ∗ एक बाइनरी संक्रिया  है, तो h(x ∗ y) = h(x) ∗ h(y) होता है। और ऐसी ही कई बातें हो सकती हैं जो समरूपता के साथ की जा सकती हैं, साथ ही कुछ विशेष प्रकार के समरूपता की परिभाषाएं भी होती हैं, जो "समरूपता" शीर्षक वाले प्रविष्टि के तहत सूचीबद्ध हैं। विशेष रूप से, हम बीजगणित के समानोन्नति ले सकते हैं, h(A) की समरूपी छवि ले सकते हैं।

A का एक उपसमलय A का एक उपसमुच्चय है जो A के सभी कार्यों के तहत बंद है। बीजगणितीय संरचनाओं के कुछ समुच्चय का एक उत्पाद समुच्चय का कार्टेशियन उत्पाद है जिसमें संचालन को समन्वयित परिभाषित किया गया है।

कुछ बुनियादी प्रमेय

 * समरूपता प्रमेय, जिसमें समूह, वलय, मॉड्यूल, आदि की समरूपता प्रमेय सम्मिलित हैं।
 * बर्खोफ का सिद्धांत कहता है कि यदि कोई बीजगणितीय संरचनाओं की वर्ग हो जो समानोन्नति छवि, उपसमलय और ऐसे किसी भी सत्यापित नियत्रित उत्पाद के तहत बंद होती है, तो वह विविधता होती है।

प्रेरणा और अनुप्रयोग
अपने एकीकृत दृष्टिकोण के अतिरिक्त, सार्वभौमिक बीजगणित गहन प्रमेय और महत्वपूर्ण उदाहरण और प्रति उदाहरण भी देता है। यह उन लोगों के लिए एक उपयोगी ढांचा प्रदान करता है जो बीजगणित की नई कक्षाओं का अध्ययन प्रारंभ करना चाहते हैं। यह सार्वभौमिक बीजगणित के संदर्भ में विधियों को पुन: व्यवस्थित करके, बीजगणित के कुछ विशेष वर्गों के लिए बीजगणित के अन्य वर्गों के लिए आविष्कृत विधियों के उपयोग को सक्षम कर सकता है, और फिर इन्हें अन्य वर्गों पर लागू करने के रूप में व्याख्या कर सकता है। इसने वैचारिक स्पष्टीकरण भी प्रदान किया है; जे.डी.एच के रूप में स्मिथ इसे कहते हैं, जो एक विशेष ढांचे में गन्दा और जटिल दिखता है वह उचित सामान्य में सरल और स्पष्ट हो सकता है।

विशेष रूप से, सार्वभौमिक बीजगणित को मोनोइड्स, रिंग्स, और जाली (क्रम) के अध्ययन के लिए लागू किया जा सकता है। सार्वभौमिक बीजगणित के आने से पहले, इन सभी वर्गों में कई प्रमेय अलग-अलग प्रमाणित हुए थे, परंतु   सार्वभौमिक बीजगणित के साथ, वे हर तरह की बीजगणितीय प्रणाली के लिए एक बार और सभी के लिए सिद्ध हो सकते हैं।

नीचे संदर्भित हिगिंस द्वारा 1956 के पेपर का विशेष बीजगणितीय प्रणालियों की एक श्रृंखला के लिए इसके ढांचे के लिए अच्छी तरह से पालन किया गया है, जबकि उनका 1963 का पेपर संचालन के साथ बीजगणित की चर्चा के लिए उल्लेखनीय है जो केवल आंशिक रूप से परिभाषित हैं, इसके लिए विशिष्ट उदाहरण श्रेणियां और समूह हैं। यह उच्च-आयामी बीजगणित के विषय की ओर जाता है जिसे आंशिक संचालन वाले बीजीय सिद्धांतों के अध्ययन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिनके डोमेन को ज्यामितीय स्थितियों के तहत परिभाषित किया गया है। इनमें से उल्लेखनीय उदाहरण उच्च-आयामी श्रेणियों और समूह भार के विभिन्न रूप हैं।

तंत्र संरचना समस्या
सार्वभौमिक बीजगणित तंत्र संरचना समस्या के लिए एक प्राकृतिक भाषा प्रदान करता है। सीएसपी संगणनात्मक समस्याओं के एक एक महत्वपूर्ण गणितीय समस्या कक्षा को संदर्भित करता है जहां एक संबंधिक बीजगणित $A$ और एक ऐसा सत्यापितीय वाक्य $$\varphi$$ दिया गया होता है और सवाल यह होता है कि क्या $$\varphi$$$A$ में संतुष्टि प्राप्त कर सकता है। बीजगणित $A$. सामान्यतः निर्धारित होता है जिससे सीएसपी  उस समस्या को संदर्भित करे जिसके उदाहरण केवल सत्यापितीय वाक्य $$\varphi$$.होते हैं।

सिद्ध किया गया है कि प्रत्येक गणितीय समस्या किसी बीजगणित $A$. के लिए सीएसपी के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

उदाहरण के रूप में, n-रंगीकरण समस्या को बीजगणित $$\big(\{0,1,\dots,n-1\}, \neq\big)$$,  का सीएसपी  के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, अर्थात् एक बीजगणित जिसमे n तत्व होते हैं और एकल संबंध,के साथ असमानता, होती है।

द्विभाजन अनुमान (अप्रैल 2017 में सिद्ध) में कहा गया है कि यदि ए एक सीमित बीजगणित है, तो सीएसपी $A$ या तो पी या एनपी-पूर्ण है

सामान्यीकरण
श्रेणी सिद्धांत की तकनीकों का उपयोग करके सार्वभौमिक बीजगणित का भी अध्ययन किया गया है। इस दृष्टिकोण में, उन संक्रियाओं द्वारा पालन किए गए संक्रियाओं और समीकरणों की एक सूची लिखने के बजाय, एक विशेष प्रकार की श्रेणियों का उपयोग करके एक बीजगणितीय संरचना का वर्णन किया जा सकता है, जिसे लॉवरे सिद्धांत या अधिक सामान्यतः बीजगणितीय सिद्धांत के रूप में जाना जाता है। वैकल्पिक रूप से, कोई मोनाड या श्रेणी सिद्धांत का उपयोग करके बीजगणितीय संरचनाओं का वर्णन कर सकता है। दो दृष्टिकोण निकट से संबंधित हैं, जिनमें से प्रत्येक के अपने फायदे हैं। विशेष रूप से, प्रत्येक लॉवर सिद्धांत समुच्चय की श्रेणी पर एक मोनाड देता है, जबकि समुच्चय की श्रेणी पर कोई भी अंतिम मोनाड एक लॉवर सिद्धांत से उत्पन्न होता है। यद्यपि, एक मोनाड एक विशेष श्रेणी के अंदर बीजगणितीय संरचनाओं का वर्णन करता है, जबकि बीजगणितीय सिद्धांत श्रेणियों के किसी भी बड़े वर्ग अर्थात् परिमित उत्पाद के अंदर संरचना का वर्णन करते हैं।

श्रेणी सिद्धांत में एक और तात्कालिक विकास है ओपेरा सिद्धांत एक ऑपेरड संचालन का एक समुच्चय है, जो एक सार्वभौमिक बीजगणित के समान है, परंतु उस समीकरण में प्रतिबंधित है जो चर के साथ अभिव्यक्तियों के बीच ही अनुमत है, जिसमें चर के दोहराव या चूक की अनुमति नहीं है। इस प्रकार, रिंग को नियम के बाद से कुछ ओपेरा के तथाकथित बीजगणित के रूप में वर्णित किया जा सकता है, परंतु समूहों को नहीं क्योंकि नियम  $$g g^{-1} = 1$$ बाएं ओर में चर g की दोहराव करता है और दाएं ओर उसे छोड़ देता है। पहले तो यह  यह एक समस्या भरी सीमा के रूप में दिख सकता है, परंतु इसका लाभ है कि ऑपरैड के कुछ लाभ होते हैं: उदाहरण के लिए, रिंग और सदिश स्थानों के अवधारणाओं को मिश्रित करके संयुक्त बीजगणित की अवधारणा प्राप्त की जा सकती है, लेकिन समूह और सदिश स्थानों की अवधारणा की इसी तरह की मिश्रण नहीं बना सकते हैं।

एक और विकास आंशिक बीजगणित है जहां संचालक आंशिक कार्य हो सकते हैं। कुछ आंशिक कार्यों को अनिवार्य रूप से बीजगणितीय सिद्धांत के रूप में जाने वाले लॉवर सिद्धांतों के सामान्यीकरण द्वारा नियंत्रित किया जा सकता है।

सार्वभौमिक बीजगणित का एक अन्य सामान्यीकरण प्रारूप सिद्धांत है, जिसे कभी-कभी सार्वभौमिक बीजगणित + तर्क के रूप में वर्णित किया जाता है।

इतिहास
1898 में प्रकाशित अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड की किताब ए ट्रीटिस ऑन यूनिवर्सल अलजेब्रा में, यूनिवर्सल बीजगणित शब्द का अनिवार्य रूप से वही अर्थ था जो आज है। व्हाइटहेड ने विलियम रोवन हैमिल्टन और ऑगस्टस डी मॉर्गन को विषय वस्तु के प्रवर्तक के रूप में श्रेय दिया है, और जेम्स जोसेफ सिल्वेस्टर ने स्वयं इस शब्द को गढ़ा है।

उस समय ली बीजगणित और अतिशयोक्तिपूर्ण चतुर्भुज जैसी संरचनाओं ने साहचर्य गुणक वर्ग से परे बीजगणितीय संरचनाओं का विस्तार करने की आवश्यकता पर ध्यान आकर्षित किया। एक समीक्षा में अलेक्जेंडर मैकफर्लेन ने लिखा: काम का मुख्य विचार कई नियमों का एकीकरण नहीं है, न ही साधारण बीजगणित का सामान्यीकरण है जिससे उन्हें सम्मिलित किया जा सके, बल्कि उनकी कई संरचनाओं का तुलनात्मक अध्ययन किया जा सके। उस समय जॉर्ज बूले के तर्क के बीजगणित ने साधारण संख्या बीजगणित के लिए एक मजबूत प्रतिरूप बनाया, इसलिए सार्वभौमिक शब्द ने तनावपूर्ण संवेदनाओं को शांत करने का काम किया।

व्हाइटहेड के शुरुआती काम ने चतुष्कोणों, ग्रासमैन के बाहरी बीजगणित इतिहास, और बूल के तर्क के बीजगणित को संगठित करने की मांग की। व्हाइटहेड ने अपनी पुस्तक में लिखा है:
 * इस तरह के बीजगणित अलग-अलग विस्तृत अध्ययन के लिए एक आंतरिक मूल्य रखते हैं; साथ ही वे प्रतीकात्मक तर्क के सामान्य सिद्धांत पर और विशेष रूप से बीजगणितीय प्रतीकवाद पर प्रकाश डालने के लिए तुलनात्मक अध्ययन के योग्य हैं। तुलनात्मक अध्ययन अनिवार्य रूप से पिछले कुछ अलग अध्ययन को मानता है, ज्ञान के बिना तुलना असंभव है।

यद्यपि, व्हाइटहेड के पास सामान्य प्रकृति का कोई परिणाम नहीं था। 1930 के दशक के प्रारंभ तक इस विषय पर काम न्यूनतम था, जब गैरेट बिरखॉफ और ऑयस्टीन ओरे ने सार्वभौमिक बीजगणित पर प्रकाशन प्रारंभकिया। 1940 और 1950 के दशक में मेटामैथमैटिक्स और श्रेणी सिद्धांत में, विशेष रूप से अब्राहम रॉबिन्सन, अल्फ्रेड टार्स्की, आंद्रेज मोस्टोव्स्की और उनके छात्रों के काम को इस क्षेत्र ने आगे बढ़ाया। 1935 और 1950 के मध्य की अवधि में, अधिकांश पत्र बिरखॉफ के पत्रों द्वारा सुझाई गई पंक्तियों के साथ लिखे गए थे, जो मुक्त वस्तु, सर्वांगसमता और सबलजेब्रा लैटिस और होमोमोर्फिज्म प्रमेयों से संबंधित थे। यद्यपि गणितीय तर्क के विकास ने बीजगणित के लिए अनुप्रयोगों को संभव बना दिया था, 1940 के दशक में अनातोली माल्टसेव द्वारा प्रकाशित परिणाम युद्ध के कारण किसी का ध्यान नहीं गया। 1950 में कैंब्रिज में गणितज्ञों की अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस में टार्स्की के व्याख्यान ने एक नई अवधि की शुरुआत की जिसमें प्रारूप-सैद्धांतिक पहलुओं को विकसित किया गया था, मुख्य रूप से स्वयं टार्स्की द्वारा, साथ ही सी.सी. चांग, आह वापसी पर, बज़्नी जॉनसन, रोजर लिंडन,और अन्यों द्वारा।।

1950 के दशक के अंत में, एडवर्ड मार्क्ज़वेस्की मुक्त बीजगणित के महत्व पर जोर दिया, जिसके कारण स्वयं मार्कजेवस्की द्वारा मुक्त बीजगणित के बीजगणितीय सिद्धांत पर 50 से अधिक पत्रों का प्रकाशन किया गया, साथ में जान माइसिल्स्की, व्लाडिसलाव नारकिविक्ज़, विटोल्ड नित्का, जे. प्लोन्का, एस. उरबनिक और अन्यों द्वारा।

1963 में विलियम लॉवरे की थीसिस से प्रारंभ होकर, श्रेणी सिद्धांत की तकनीकें सार्वभौमिक बीजगणित में महत्वपूर्ण हो गई हैं।

यह भी देखें

 * ग्राफ बीजगणित
 * अवधि बीजगणित
 * क्लोन (बीजगणित)
 * सार्वभौमिक बीजगणितीय ज्यामिति


 * सरल सार्वभौमिक बीजगणित

संदर्भ

 * Bergman, George M., 1998. An Invitation to General Algebra and Universal Constructions (pub. Henry Helson, 15 the Crescent, Berkeley CA, 94708) 398 pp. ISBN 0-9655211-4-1.
 * Birkhoff, Garrett, 1946. Universal algebra. Comptes Rendus du Premier Congrès Canadien de Mathématiques, University of Toronto Press, Toronto, pp. 310–326.
 * Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, 1981. A Course in Universal Algebra Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2 Free online edition.
 * Cohn, Paul Moritz, 1981. Universal Algebra. Dordrecht, Netherlands: D.Reidel Publishing. ISBN 90-277-1213-1 (First published in 1965 by Harper & Row)
 * Freese, Ralph, and Ralph McKenzie, 1987. Commutator Theory for Congruence Modular Varieties, 1st ed. London Mathematical Society Lecture Note Series, 125. Cambridge Univ. Press. ISBN 0-521-34832-3. Free online second edition.
 * Grätzer, George, 1968. Universal Algebra D. Van Nostrand Company, Inc.
 * Higgins, P. J. Groups with multiple operators. Proc. London Math. Soc. (3) 6 (1956), 366–416.
 * Higgins, P.J., Algebras with a scheme of operators. Mathematische Nachrichten (27) (1963) 115–132.
 * Hobby, David, and Ralph McKenzie, 1988. The Structure of Finite Algebras American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3400-2. Free online edition.
 * Jipsen, Peter, and Henry Rose, 1992. Varieties of Lattices, Lecture Notes in Mathematics 1533. Springer Verlag. ISBN 0-387-56314-8. Free online edition.
 * Pigozzi, Don. General Theory of Algebras. Free online edition.
 * Smith, J.D.H., 1976. Mal'cev Varieties, Springer-Verlag.
 * Whitehead, Alfred North, 1898. A Treatise on Universal Algebra, Cambridge.  (Mainly of historical interest.)

बाहरी संबंध

 * Algebra Universalis—a journal dedicated to Universal Algebra.