ब्रिंग रेडिकल्स

बीजगणित में, वास्तविक संख्या a का रेडिकल या अल्ट्रारेडिकल ब्रिंग, बहुपद का अद्वितीय वास्तविक मूल होता है।$$x^5 + x + a.$$एक सम्मिश्र संख्या a का ब्रिंग रेडिकल या तो उपरोक्त बहुपद की पाँच जड़ों में से कोई होता है (यह इस प्रकार बहु-मूल्यवान है), या एक विशिष्ट रूट, जिसे सामान्यतः इस तरह चुना जाता है कि ब्रिंग रेडिकल वास्तविक a के लिए वास्तविक-मूल्यवान होता है और वास्तविक रेखा के निकटतम में एक विश्लेषणात्मक कार्य होता है। चार शाखा बिंदुओं के अस्तित्व के कारण, रेडिकल को एक ऐसे फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित नहीं किया जा सकता है जो पूरे जटिल विमान पर निरंतर है, और इसकी निरंतरता के डोमेन को चार शाखा कटौती को बाहर करना चाहिए।

जॉर्ज जेरार्ड ने दिखाया कि कुछ पंचक समीकरण नौवे रूट और ब्रिंग रेडिकल्स का उपयोग करके बंद रूप अभिव्यक्ति हो सकते है, जिसे एरलैंड सैमुअल ब्रिंग द्वारा प्रस्तुत किया गया था।

इस लेख में, ब्रिंग रेडिकल ऑफ ए को निरूपित किया गया है $$\operatorname{BR}(a).$$ वास्तविक तर्क के लिए, यह स्पर्शोन्मुख व्यवहार के साथ विषम, नीरस रूप से घटता हुआ और असीम है $$\operatorname{BR}(a) \sim -a^{1/5}$$ बड़े के लिए $$a$$.

सामान्य रूप
पांच स्वतंत्र गुणांकों के साथ अपने सबसे सामान्य रूप में सीधे समाधान प्राप्त करने के लिए पंचक समीकरण जबकि मुश्किल है: $$x^5 + a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0.$$ पंचक को हल करने के लिए विकसित किए गए विभिन्न विधियाँ सामान्यतः स्वतंत्र गुणांकों की संख्या को कम करने के लिए चिरनहॉस परिवर्तन का उपयोग करके पंचक को सरल बनाने का प्रयास करते है।

मूल पंचक रूप
क्वार्टिक और क्यूबिक शर्तों को हटाकर सामान्य पंचक को प्रिंसिपल पंचक फॉर्म के रूप में जाना जाता है: $$y^5 + c_2y^2 + c_1y + c_0 = 0 \,$$ यदि एक सामान्य पंचक और एक प्रमुख पंचक की जड़ें द्विघात चिरनहॉस परिवर्तन से संबंधित है $$y_k = x_k^2 + \alpha x_k + \beta \, ,$$ गुणांक α और β परिणामी का उपयोग करके, या शक्ति योग सममित बहुपद और न्यूटन की पहचान के माध्यम से निर्धारित किया जा सकता है। यह α और β में समीकरणों की एक प्रणाली की ओर जाता है जिसमें एक द्विघात और एक रेखीय समीकरण होता है, और समाधान के दो सेटों में से किसी एक का उपयोग प्रिंसिपल पंचक फॉर्म के संबंधित तीन गुणांक प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है।

फेलिक्स क्लेन के पंचक के समाधान द्वारा इस फॉर्म का उपयोग किया जाता है।

ब्रिंग-जेरार्ड सामान्य रूप
ब्रिंग-जेरार्ड सामान्य रूप का निर्माण करते हुए, पंचक को और भी सरल बनाना और द्विघात शब्द को समाप्त करना संभव है: $$v^5 + d_1v + d_0 = 0.$$ क्यूबिक परिवर्तन के साथ फिर से शक्ति-योग सूत्रों का उपयोग करना, जैसा कि चिरनहॉस ने कोशिश की, काम नहीं करता है, क्योंकि समीकरणों की परिणामी प्रणाली के परिणामस्वरूप छठी-डिग्री समीकरण होती है। लेकिन 1796 में ब्रिंग ने ब्रिंग-जेरार्ड पंचक के मूल पंचक की जड़ों से संबंधित करने के लिए एक क्वार्टिक चिरनहॉस परिवर्तन का उपयोग करके इसके चारों ओर एक रास्ता खोजा: $$v_k = y^4_k + \alpha y^3_k + \beta y^2_k + \gamma y_k + \delta\, .$$ इस चौथे क्रम के परिवर्तन द्वारा प्रदान किया गया अतिरिक्त पैरामीटर अन्य मापदंडों की डिग्री को कम करने के लिए ब्रिंग को अनुमति देता है। यह छह अज्ञात में पाँच समीकरणों की एक प्रणाली की ओर जाता है, जिसके लिए एक घन और एक द्विघात समीकरण के समाधान की आवश्यकता होती है। इस पद्धति की खोज भी जॉर्ज जेरार्ड ने 1852 में की थी। लेकिन यह संभावना है कि वह इस क्षेत्र में ब्रिंग के पिछले काम से अनजान थे। गणित जैसे कंप्यूटर बीजगणित पैकेज का उपयोग करके पूर्ण परिवर्तन आसानी से पूरा किया जा सकता है या मेपल (सॉफ्टवेयर)। जैसा कि इन परिवर्तनों की जटिलता से उम्मीद की जा सकती है, परिणामी भाव बहुत अधिक हो सकते है, खासकर जब कम डिग्री समीकरणों के लिए रेडिकल में समाधान की तुलना में, प्रतीकात्मक गुणांक के साथ एक सामान्य पंचक के लिए कई मेगाबाइट भंडारण लेते है।

इसे एक बीजगणितीय कार्य के रूप में माना जाता है, इसके समाधान है $$v^5+d_1v+d_0 = 0$$ दो चर सम्मलित है, डी1 और डी0, चूँकि, कमी वास्तव में एक चर के बीजगणितीय कार्य के लिए है, जो रेडिकल में एक समाधान के समान है, क्योंकि हम ब्रिंग-जेरार्ड फॉर्म को और कम कर सकते है। यदि हम उदाहरण के लिए सेट करते है $$z = {v \over \sqrt[4]{-d_1}}$$ फिर हम समीकरण को रूप में कम करते है $$z^5 - z + a = 0\, ,$$ जिसमें एक एकल चर के बीजगणितीय कार्य के रूप में z सम्मलित है $$a$$, जहाँ $$a=d_0(-d_1)^{-5/4}$$. इस फॉर्म की आवश्यकता हरमाइट-क्रोनेकर-ब्रियोस्ची विधि, ग्लासर की विधि और नीचे वर्णित डिफरेंशियल रिज़ॉल्वेंट की कॉकल-हार्ले विधि द्वारा आवश्यक है।

सेट करके एक वैकल्पिक रूप प्राप्त किया जाता है $$u = {v \over \sqrt[4]{d_1}}$$ ताकि $$u^5 + u + b = 0\, ,$$ जहाँ $$b=d_0(d_1)^{-5/4}$$. इस फॉर्म का इस्तेमाल नीचे ब्रिंग रेडिकल को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।

ब्रियोस्ची सामान्य रूप
पंचक समीकरण के लिए एक और एक-पैरामीटर सामान्य रूप है, जिसे ब्रियोस्ची सामान्य रूप के रूप में जाना जाता है $$w^5 - 10Cw^3 + 45C^2w - C^2 = 0,$$ जिसे तर्कसंगत चिरनहॉस रूपांतरण का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है $$w_k = \frac{\lambda + \mu x_k}{\frac{x_k^2}{C}-3}$$ एक ब्रियोस्की पंचक के लिए एक सामान्य पंचक की जड़ों से संबंधित करता है। मापदंडों का मान $$\lambda$$ और $$\mu$$ रीमैन क्षेत्र पर बहुफलकीय समारोह का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, और आईकोसाहेड्रल समरूपता के एक वस्तु के विभाजन से संबंधित होता है जो टेट्राहेड्रल समरूपता की पांच वस्तुओं में होता है। यह चिरनहॉस परिवर्तन एक प्रमुख पंचक को ब्रिंग-जेरार्ड रूप में बदलने के लिए उपयोग किए जाने वाले कठिन की तुलना में सरल होती है। इस सामान्य रूप का उपयोग डॉयल-मैकमुलेन पुनरावृति विधि और कीपर्ट विधि द्वारा किया जाता है।

श्रृंखला प्रतिनिधित्व
ब्रिंग रेडिकल्स के लिए एक टेलर श्रृंखला, साथ ही सामान्यीकृत हाइपरज्यामितीय कार्यों के संदर्भ में एक प्रतिनिधित्व निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है। समीकरण $$x^5+x+a=0$$ के रूप में पुनः लिखा जा सकता है $$x^5+x=-a.$$ व्यवस्थित करके $$f(x)=x^5+x,$$ वांछित समाधान है $$x = f^{-1}(-a) = -f^{-1}(a)$$ तब से $$f(x)$$ अजीब होता है।

के लिए श्रृंखला $$f^{-1}$$ इसके बाद टेलर श्रृंखला के लैग्रेंज उलटा प्रमेय द्वारा प्राप्त किया जा सकता है $$f(x)$$ (जो सरल है $$x+x^5$$), देता है $$\operatorname{BR}(a) = -f^{-1}(a) = \sum_{k=0}^\infty \binom{5k}{k} \frac{(-1)^{k+1} a^{4k+1}}{4k+1} = -a + a^5 - 5 a^9 + 35 a^{13} - 285 a^{17} + \cdots,$$ जहां पूर्णांक अनुक्रमों के ऑन-लाइन विश्वकोश में गुणांकों के निरपेक्ष मान अनुक्रम OEIS:A002294 बनाते है। श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या है $$ 4/(5 \cdot \sqrt[4]{5}) \approx 0.53499. $$

हाइपरज्यामितीय समारोह फॉर्म में, ब्रिंग रेडिकल को इस रूप में लिखा जा सकता है $$\operatorname{BR}(a) = -a \,\,_4F_3\left(\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5};\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{5}{4};-5\left(\frac{5a}{4}\right)^4\right).$$ ग्लासर की व्युत्पत्ति और डिफरेंशियल रिज़ॉल्वेंट की विधि में नीचे उत्पन्न होने वाले हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शंस के साथ तुलना करना रोचक हो सकता है।

सामान्य पंचक का समाधान
बहुपद की जड़ें $$x^5 + px +q$$ ब्रिंग रेडिकल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$\sqrt[4]{p}\,\operatorname{BR}\left(p^{-\frac{5}{4}}q\right)$$ और इसके चार जटिल संयुग्म है। हल करने योग्य बहुपद समीकरणों के संदर्भ में अब समस्या को ब्रिंग-जेरार्ड रूप में कम कर दिया गया है, और जड़ों में बहुपद अभिव्यक्तियों को सम्मलित करने वाले परिवर्तनों का उपयोग केवल चौथी डिग्री तक किया जाता है, जिसका अर्थ है कि बहुपद की जड़ों को खोजने के द्वारा परिवर्तन को उलटा किया जा सकता है। यह प्रक्रिया बाहरी समाधान देती है, लेकिन जब संख्यात्मक विधियों से सही पाया जाता है, तो पंचक की जड़ों को वर्गमूल, घनमूल और ब्रिंग रेडिकल के रूप में लिखा जा सकता है, जो कि बीजगणितीय के संदर्भ में एक बीजगणितीय समाधान है। एकल चर के कार्य (मोटे तौर पर रेडिकल्स को सम्मलित करने के लिए परिभाषित) सामान्य पंचक का एक बीजगणितीय समाधान है।

अन्य लक्षण वर्णन
ब्रिंग रैडिकल के कई अन्य लक्षण विकसित किए गए है, जिनमें से पहला 1858 में चार्ल्स हर्मिट द्वारा अण्डाकार ट्रांसेंडेंट (अण्डाकार और मॉड्यूलर कार्यों से संबंधित) के संदर्भ में है, और बाद में अन्य गणितज्ञों द्वारा विकसित किए गए विधियाँ है।

हर्मिट-क्रोनेकर-ब्रियोस्ची लक्षण वर्णन
1858 में, चार्ल्स हर्मिट ने "एलिप्टिक ट्रांसेंडेंट्स" के संदर्भ में सामान्य पंचक समीकरण का पहला ज्ञात समाधान प्रकाशित किया, और लगभग उसी समय फ्रांसेस्को ब्रियोस्की और लियोपोल्ड क्रोनकर समकक्ष समाधानों पर आए। हर्मिट त्रिकोणमितीय कार्यों के संदर्भ में क्यूबिक समीकरण के प्रसिद्ध समाधान को सामान्यीकृत करके इस समाधान पर पहुंचे और ब्रिंग-जेरार्ड रूप में पंचक का समाधान ढूंढते है: $$x^5 - x + a = 0$$ जिसमें दिखाया गया है कि चिरनहॉस परिवर्तनों के माध्यम से किसी भी पंचक समीकरण को कम किया जा सकता है। उन्होंने देखा कि अण्डाकार कार्यों की ब्रिंग-जेरार्ड पंचक के समाधान में खेलने के लिए एक समान भूमिका थी क्योंकि क्यूबिक के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों के पास था। इसके लिए $$K$$ और $$K',$$ उन्हें अण्डाकार अभिन्न के रूप में लिखें पहली तरह का पूर्ण अण्डाकार अभिन्न: $$K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\varphi}}$$ $$K'(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\varphi}{\sqrt{1-k'^2 \sin^2\varphi}}$$ जहाँ $$k^2 + k'^2 = 1.$$ दो अण्डाकार पारलौकिक को परिभाषित करें: $$\varphi(\tau) = \prod_{j=1}^\infty \tanh \frac{(2j-1)\pi i}{2\tau}=\sqrt{2}e^{\pi i\tau/8}\prod_{j=1}^\infty \frac{1+e^{2j\pi i\tau}}{1+e^{(2j-1)\pi i\tau}},\quad \operatorname{Im}\tau>0$$ $$\psi(\tau) = \prod_{j=1}^\infty \tanh \frac{(1-2j)\pi i\tau}{2},\quad\operatorname{Im}\tau>0$$ उन्हें समान रूप से अनंत श्रृंखला द्वारा परिभाषित किया जा सकता है: $$\varphi(\tau)=\sqrt{2}e^{\pi i\tau/8}\frac{\sum_{j\in\mathbb{Z}}e^{(2j^2+j)\pi i\tau}}{\sum_{j\in\mathbb{Z}}e^{j^2\pi i\tau}},\quad \operatorname{Im}\tau >0$$ $$\psi(\tau)=\frac{\sum_{j\in\mathbb{Z}}(-1)^j e^{2j^2\pi i\tau}}{\sum_{j\in\mathbb{Z}}e^{j^2\pi i\tau}},\quad\operatorname{Im}\tau >0$$ यदि n एक अभाज्य संख्या है, तो हम दो मानों को परिभाषित कर सकते है $$u$$ और $$v$$ निम्नलिखित नुसार: $$u = \varphi(n\tau)$$ और $$v = \varphi(\tau)$$ जब n एक विषम अभाज्य संख्या है, तो पैरामीटर $$u$$ और $$v$$ डिग्री n + 1 इंच के समीकरण से जुड़े हुए है $$u$$, $$\Omega_n(u,v)=0$$, मॉड्यूलर समीकरण के रूप में जाना जाता है, जिसका n+1 मूल है $$u$$ द्वारा दिया गया है: $$u=\varphi(n\tau)$$ और $$u=\varepsilon (n)\varphi\left(\frac{\tau + 16m}{n}\right)$$ जहाँ $$\varepsilon (n)$$ 1 या -1 है जो इस बात पर निर्भर करता है कि 2 एक द्विघात अवशेष है या नहीं, क्रमशः, और $$m\in\{0,1,\ldots,n-1\}$$. n = 5 के लिए, हमारे पास मॉड्यूलर समीकरण है: $$\Omega_5(u,v) = 0 \iff u^6 - v^6 + 5u^2v^2(u^2-v^2)+4uv(1-u^4v^4)=0$$ छह जड़ों के साथ $$u$$ जैसा कि उपर दिखाया गया है।

n = 5 के साथ मॉड्यूलर समीकरण मॉड्यूलर समीकरण की छह जड़ों के निम्नलिखित कार्य द्वारा ब्रिंग-जेरार्ड पंचक से संबंधित हो सकता है (हर्माइट के सुर ला थ्योरी डेस इक्वेशन मॉड्यूलेयर्स एट ला रेज़ोल्यूशन डे ल'एक्वेशन डु सिन्क्विमे डिग्रे, पहला कारक गलत विधियाँ से दिया गया है $$[\varphi(5\tau)+\varphi(\tau/5)]$$):

$$\Phi(\tau) = \left[-\varphi(5\tau) - \varphi\left(\frac{\tau}{5}\right)\right]\left[\varphi\left(\frac{\tau+16}{5}\right) - \varphi\left(\frac{\tau + 64}{5}\right)\right]\left[\varphi\left(\frac{\tau+32}{5}\right) - \varphi\left(\frac{\tau + 48}{5}\right)\right]$$ वैकल्पिक रूप से, सूत्र $$\Phi (\tau)=2\sqrt{10}e^{3\pi i\tau/40}(1+e^{\pi i\tau/5}-e^{2\pi i\tau/5}+e^{3\pi i\tau/5}-8e^{\pi i\tau}-9e^{6\pi i\tau/5}+8e^{7\pi i\tau/5}-9e^{8\pi i\tau/5}+\cdots)$$ के संख्यात्मक मूल्यांकन के लिए उपयोगी है $$\Phi (\tau)$$. हर्मिट के अनुसार, का गुणांक $$e^{n\pi i\tau/5}$$ विस्तार में प्रत्येक के लिए शून्य है $$n\equiv 4\,(\operatorname{mod}5)$$. पाँच मात्राएँ $$\Phi(\tau)$$, $$\Phi(\tau+16)$$, $$\Phi(\tau+32)$$, $$\Phi(\tau+48)$$, $$\Phi(\tau+64)$$ परिमेय गुणांक वाले पंचक समीकरण की जड़ें है $$\varphi(\tau)$$: $$\Phi^5 - 2000\varphi^4(\tau)\psi^{16}(\tau)\Phi - 64\sqrt{5^5}\varphi^3(\tau)\psi^{16}(\tau) \left[1 + \varphi^8(\tau)\right] = 0$$ जिसे प्रतिस्थापन द्वारा आसानी से ब्रिंग-जेरार्ड रूप में परिवर्तित किया जा सकता है: $$\Phi = 2\sqrt[4]{125}\varphi(\tau)\psi^4(\tau)x$$ ब्रिंग-जेरार्ड पंचक के लिए अग्रणी: $$x^5 - x + a = 0$$ जहाँ

हर्मिट-क्रोनेकर-ब्रियोस्ची विधि तब के लिए एक मूल्य खोजने के बराबर है $$\tau$$ जो के मान से मेल खाता है $$a$$, और फिर उस मान का उपयोग करना $$\tau$$ इसी मॉड्यूलर समीकरण की जड़ें प्राप्त करने के लिए होता है। हम खोजने के लिए रूट-फाइंडिंग एल्गोरिदम का उपयोग कर सकते है $$\tau$$ समीकरण से $$ (अर्थात एक व्युत्क्रम फलन सामान्यीकरण की गणना करता है $$a$$).

फिर ब्रिंग-जेरार्ड पंचक की जड़ें इस प्रकार दी गई है: $$x_r = \frac{\Phi(\tau + 16r)}{2\sqrt[4]{125}\varphi(\tau)\psi^4(\tau)}$$ के लिए $$r = 0, \ldots, 4$$.

एक वैकल्पिक, अभिन्न, दृष्टिकोण निम्नलिखित है:

विचार करना $$x^5-x+a=0$$ जहाँ $$a\in\mathbb{C}\setminus\{0\}.$$ तब $$\tau=i\frac{K'(k)}{K(k)}$$ का समाधान है $$a = s\frac{2[1+\varphi^8(\tau)]}{\sqrt[4]{5^5}\varphi^2(\tau)\psi^4(\tau)}$$ जहाँ $$s = \begin{cases} -\operatorname{sgn}\operatorname{Im}a&\text{ if }\operatorname{Re}a=0\\ \operatorname{sgn}\operatorname{Re}a&\text{ if }\operatorname{Re}a\ne 0, \end{cases}$$

$$A = \frac{a\sqrt[4]{5^5}}{2}.$$ समीकरण की जड़ें $$ है: $$k = \tan \frac{\alpha}{4}, \tan \frac{\alpha+2\pi}{4}, \tan \frac{\pi - \alpha}{4}, \tan \frac{3\pi - \alpha}{4} $$ जहाँ $$\sin \alpha = 4/A^2$$ (ध्यान दें कि कुछ महत्वपूर्ण संदर्भ गलत विधियाँ से इसे देते है $$\sin \alpha = 1/(4A^2)$$ ). इन जड़ों में से एक को अण्डाकार मापांक के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है $$k$$.

फिर ब्रिंग-जेरार्ड पंचक की जड़ें इस प्रकार दी गई है: $$x_r = -s\frac{\Phi(\tau + 16r)}{2\sqrt[4]{125}\varphi(\tau)\psi^4(\tau)}$$ के लिए $$r = 0, \ldots, 4$$.

यह देखा जा सकता है कि यह प्रक्रिया नौवे रूट के सामान्यीकरण का उपयोग करती है, जिसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: $$\sqrt[n]{x} = \exp \left( {\frac{1}{n}\ln x} \right)$$ या अधिक बिंदु तक, जैसा $$\sqrt[n]{x} = \exp \left(\frac{1}{n}\int^x_1\frac{dt}{t}\right)=\exp\left(\frac{1}{n} \exp^{-1} x\right). $$ हर्मिट-क्रोनेकर-ब्रियोस्ची विधि अनिवार्य रूप से एक अण्डाकार पारलौकिक द्वारा घातांक को प्रतिस्थापित करती है, और अभिन्न $\int^x_1 dt/t$ (या इसका उलटा $$\exp$$ वास्तविक रेखा पर) एक दीर्घवृत्तीय समाकलन द्वारा (या दीर्घवृत्तीय पारलौकिक के आंशिक व्युत्क्रम द्वारा)। क्रोनेकर ने सोचा कि यह सामान्यीकरण और भी अधिक सामान्य प्रमेय का एक विशेष स्थिति थी। यह प्रमेय, जिसे थोमे के सूत्र के रूप में जाना जाता है, पूरी तरह से हिरोशी उमेमुरा द्वारा व्यक्त किया गया था 1984 में, जिन्होंने एक्सपोनेंशियल/एलिप्टिक ट्रांसेंडेंट के स्थान पर सील मॉड्यूलर रूप का इस्तेमाल किया और इंटीग्रल को हाइपरेलिप्टिक इंटीग्रल से बदल दिया था।

ग्लासर की व्युत्पत्ति
एम एल ग्लासर के कारण यह व्युत्पत्ति प्रपत्र के किसी भी त्रिपदीय समीकरण का हल खोजने के लिए इस लेख में पहले प्रस्तुत श्रृंखला पद्धति का सामान्यीकरण करता है: $$x^N - x + t=0 $$ विशेष रूप से, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, चिरनहॉस परिवर्तनों के उपयोग से पंचक समीकरण को इस रूप में कम किया जा सकता है। $$x = \zeta^{-\frac{1}{N-1}}\,$$, सामान्य रूप बन जाता है: $$\zeta = e^{2\pi i} + t\phi(\zeta) $$ जहाँ $$\phi(\zeta) = \zeta^{\frac{N}{N-1}} $$ जोसेफ लुइस लाग्रेंज के कारण एक सूत्र में कहा गया है कि किसी भी विश्लेषणात्मक कार्य के लिए $$f \,$$के संदर्भ में रूपांतरित सामान्य समीकरण की जड़ के निकटतम में $$\zeta \,$$, ऊपर एक अनंत श्रृंखला के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: $$ f(\zeta) = f(e^{2\pi i}) + \sum^\infty_{n=1} \frac{t^n}{n!}\frac{d^{n-1}}{da^{n-1}}[f'(a)|\phi(a)|^n]_{a = e^{2\pi i}} $$ अगर हम जाने दें $$f(\zeta) = \zeta^{-\frac{1}{N-1}}\,$$ इस सूत्र में, हम जड़ के साथ आ सकते है: $$ x_k = e^{-\frac{2k\pi i}{N -1}} - \frac{t}{N-1}\sum^\infty_{n=0}\frac{(te^{\frac{2k\pi i}{N-1}})^n}{\Gamma(n + 2)}\cdot \frac{\Gamma\left(\frac{Nn}{N-1} + 1\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{N-1} + 1\right)} $$ $$ k=1,2, 3, \dots, N-1 \,$$ गॉस गुणन प्रमेय के उपयोग से ऊपर की अनंत श्रृंखला को अतिज्यामितीय कार्यों की एक परिमित श्रृंखला में तोड़ा जा सकता है: $$\psi_n(q) =\left(\frac{e^{\frac{2n\pi i}{N-1}} t}{N-1}\right)^q N^{\frac{qN}{N-1}}\frac{\prod_{k=0}^{N-1}\Gamma\left(\frac{q}{N-1} + \frac{1 + k}{N}\right)}{\Gamma\left(\frac{q}{N-1} + 1\right)\prod^{N-2}_{k=0}\Gamma\left(\frac{q+k+2}{N-1}\right)} =\left(\frac{te^{\frac{2n\pi i}{N-1}}}{N-1}\right)^q N^{\frac{qN}{N-1}}\prod_{k=2}^{N}\frac{\Gamma\left(\frac{q}{N-1}+\frac{k-1}{N}\right)}{\Gamma\left(\frac{q+k}{N-1}\right)}$$

$$ x_n = e^{-\frac{2n\pi i}{N-1}} - \frac{t}{(N-1)^2}\sqrt{\frac{N}{2\pi(N-1)}}\sum^{N-2}_{q=0}\psi_n(q)_{(N+1)}F_N \begin{bmatrix} \frac{qN+N-1}{N(N-1)}, \ldots, \frac{q+N-1}{N-1}, 1; \\[8pt]

\frac{q+2}{N-1}, \ldots, \frac{q+N}{N-1}, \frac{q+N-1}{N-1}; \\[8pt]

\left(\frac{te^{\frac{2n\pi i}{N-1}} }{N-1}\right)^{N-1}N^N \end{bmatrix},\quad n=1,2, 3, \dots, N-1$$

$$ x_N = \sum_{m=1}^{N-1} \frac{t}{(N-1)^2}\sqrt{\frac{N}{2\pi(N-1)}}\sum^{N-2}_{q=0}\psi_m(q)_{(N+1)}F_N \begin{bmatrix} \frac{qN+N-1}{N(N-1)}, \ldots, \frac{q+N-1}{N-1}, 1; \\[8pt]

\frac{q+2}{N-1}, \ldots, \frac{q+N}{N-1}, \frac{q+N-1}{N-1}; \\[8pt]

\left(\frac{te^{\frac{2m\pi i}{N-1}} }{N-1}\right)^{N-1}N^N \end{bmatrix}$$ और रूप के त्रिपद की जड़ें है $$ax^N+bx^2 + c=0,N\equiv 1\pmod{2}$$ $$ x_{N}=-\frac{a}{2b}\sqrt{\left(\frac{c}{b}\right)^{N-1}}{}_{N-1}F_{N-2} \begin{bmatrix} \frac{N+1}{2N},\frac{N+3}{2N},\cdots,\frac{N-2}{N},\frac{N-1}{N},\frac{N+1}{N},\frac{N+2}{N},\cdots,\frac{3N-3}{2N},\frac{3N-1}{2N};\\[8pt]

\frac{N+1}{2N-4},\frac{N+3}{2N-4},\cdots,\frac{N-4}{N-2},\frac{N-3}{N-2},\frac{N-1}{N-2},\frac{N}{N-2},\cdots,\frac{3N-5}{2N-4},\frac{3}{2};\\[8pt] -\frac{a^2c^{N-2}}{4b^N\left(N-2\right)^{N-2}} \end{bmatrix} +\sqrt{\frac{c}{b}}i{}_{N-1}F_{N-2} \begin{bmatrix} \frac{1}{2N},\frac{3}{2N},\cdots,\frac{N-4}{2N},\frac{N-2}{2N},\frac{N+2}{2N},\frac{N+4}{2N},\cdots,\frac{2N-3}{2N},\frac{2N-1}{2N};\\[8pt]

\frac{3}{2N-4},\frac{5}{2N-4},\cdots,\frac{2N-3}{2N-4};\\[8pt] -\frac{a^2c^{N-2}}{4b^N\left(N-2\right)^{N-2}} \end{bmatrix} $$ $$ x_{N-1}=-\frac{a}{2b}\sqrt{\left(\frac{c}{b}\right)^{N-1}}{}_{N-1}F_{N-2} \begin{bmatrix} \frac{N+1}{2N},\frac{N+3}{2N},\cdots,\frac{N-2}{N},\frac{N-1}{N},\frac{N+1}{N},\frac{N+2}{N},\cdots,\frac{3N-3}{2N},\frac{3N-1}{2N};\\[8pt]

\frac{N+1}{2N-4},\frac{N+3}{2N-4},\cdots,\frac{N-4}{N-2},\frac{N-3}{N-2},\frac{N-1}{N-2}, \frac{N}{N-2},\cdots,\frac{3N-5}{2N-4},\frac{3}{2};\\[8pt] -\frac{a^2c^{N-2}}{4b^N\left(N-2\right)^{N-2}} \end{bmatrix} -\sqrt{\frac{c}{b}}i{}_{N-1}F_{N-2} \begin{bmatrix} \frac{1}{2N},\frac{3}{2N},\cdots,\frac{N-4}{2N},\frac{N-2}{2N},\frac{N+2}{2N},\frac{N+4}{2N},\cdots,\frac{2N-3}{2N},\frac{2N-1}{2N};\\[8pt]

\frac{3}{2N-4},\frac{5}{2N-4},\cdots,\frac{2N-3}{2N-4};\\[8pt] -\frac{a^2c^{N-2}}{4b^N\left(N-2\right)^{N-2}} \end{bmatrix} $$

$$\begin{align} x_n ={}& -e^{\frac{2n\pi i}{N-2}}\sqrt[N-2]{\frac{b}{a}}{}_{N-1}F_{N-2} \begin{bmatrix} -\frac{1}{N\left(N-2\right)},-\frac{1}{N\left(N-2\right)}+\frac{1}{N},-\frac{1}{N\left(N-2\right)}+\frac{2}{N},\cdots,-\frac{1}{N\left(N-2\right)}+\frac{1}{N},\frac{N-5}{2N},-\frac{1}{N\left(N-2\right)}+\frac{N-3}{2N},-\frac{1}{N\left(N-2\right)}+\frac{N+1}{2N},-\frac{1}{N\left(N-2\right)}+\frac{N+3}{2N},\cdots,-\frac{1}{N\left(N-2\right)}+\frac{N-1}{N},;\\[8pt]

\frac{1}{N-2},\frac{2}{N-2},\cdots,\frac{2N-5}{2N-4},;\\[8pt] -\frac{a^2c^{N-2}}{4b^N\left(N-2\right)^{N-2}} \end{bmatrix}+ \\ &+\sqrt[N-2]{\frac{b}{a}}\sum^{N-3}_{q=1}\frac{\Gamma\left(\frac{2q-1}{N-2}+q\right)}{\Gamma\left(\frac{2q-1}{N-2}+1\right)}\cdot\left(-\frac{c}{b}\sqrt[N-2]{\frac{a^2}{b^2}}\right)^q\cdot\frac{e^{\frac{2n\left(1-2q\right)}{N-2}\pi i}}{q!}{}_{N-1}F_{N-2} \begin{bmatrix} \frac{Nq-1}{N\left(N-2\right)},\frac{Nq-1}{N\left(N-2\right)}+\frac{1}{N},\frac{Nq-1}{N\left(N-2\right)}+\frac{2}{N},\cdots,\frac{Nq-1}{N\left(N-2\right)}+\frac{N-3}{2N},\frac{Nq-1}{N\left(N-2\right)}+\frac{N+1}{2N},\cdots,\frac{Nq-1}{N\left(N-2\right)}+\frac{N-1}{N};\\[8pt]

\frac{q+1}{N-2},\frac{q+2}{N-2},\cdots,\frac{N-4}{N-2},\frac{N-3}{N-2},\frac{N-1}{N-2},\frac{N}{N-2},\cdots,\frac{q+N-2}{N-2},\frac{2q+2N-5}{2N-4};\\[8pt] -\frac{a^2c^{N-2}}{4b^N\left(N-2\right)^{N-2}} \end{bmatrix},n=1,2,\cdots,N-2 \end{align}$$ इस प्रकार समीकरण के मूल को अधिकतम N − 1 अतिज्यामितीय कार्यों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इस विधि को कम किए गए ब्रिंग-जेरार्ड पंचक पर लागू करते हुए, निम्नलिखित कार्यों को परिभाषित करा है: $$\begin{align} F_1(t) & = \,_4F_3\left(-\frac{1}{20}, \frac{3}{20}, \frac{7}{20}, \frac{11}{20}; \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}; \frac{3125t^4}{256}\right) \\[6pt] F_2(t) & = \,_4F_3\left(\frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}; \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{5}{4}; \frac{3125t^4}{256}\right) \\[6pt] F_3(t) & = \,_4F_3\left(\frac{9}{20}, \frac{13}{20}, \frac{17}{20}, \frac{21}{20}; \frac{3}{4}, \frac{5}{4}, \frac{3}{2}; \frac{3125t^4}{256}\right) \\[6pt] F_4(t) & = \,_4F_3\left(\frac{7}{10}, \frac{9}{10}, \frac{11}{10}, \frac{13}{10}; \frac{5}{4}, \frac{3}{2}, \frac{7}{4}; \frac{3125t^4}{256}\right) \end{align}$$ जो अतिज्यामितीय कार्य है जो उपरोक्त श्रृंखला सूत्र में दिखाई देते है। पंचक की जड़ें इस प्रकार है: $$\begin{array}{rcrcccccc} x_1 & = & {} -tF_2(t) \\[1ex] x_2 & = & {} -F_1(t) & + & \frac{1}{4}tF_2(t) & + & \frac{5}{32}t^2F_3(t) & + & \frac{5}{32}t^3F_4(t)\\[1ex] x_3 & = & F_1(t) & + & \frac{1}{4}tF_2(t) & - & \frac{5}{32}t^2F_3(t) & + & \frac{5}{32}t^3F_4(t)\\[1ex] x_4 & = & {} -i F_1(t) & + & \frac{1}{4}tF_2(t) & - & \frac{5}{32}i t^2F_3(t) & - & \frac{5}{32}t^3F_4(t)\\[1ex] x_5 & = & i F_1(t) & + & \frac{1}{4}tF_2(t) & + & \frac{5}{32}i t^2F_3(t) & - & \frac{5}{32}t^3F_4(t) \\ \end{array}$$ यह अनिवार्य रूप से वही परिणाम है जो निम्न विधि द्वारा प्राप्त किया गया है।

विभेदकों विलायक की विधि
जेम्स कॉकल और रॉबर्ट हार्ले 1860 में डिफरेंशियल इक्वेशन के माध्यम से पंचक को हल करने के लिए एक विधि विकसित की गई थी। वे जड़ों को गुणांकों के कार्य के रूप में मानते है, और इन समीकरणों के आधार पर एक विभेदक विलायक की गणना करते है। ब्रिंग-जेरार्ड पंचक को एक समारोह के रूप में व्यक्त किया गया है: $$f(x) = x^5 - x + a$$ और एक समारोह $$\,\phi(a)\,$$ इस प्रकार निर्धारित किया जाना है कि: $$f[\phi(a)] = 0$$ कार्यक्रम $$\phi$$ निम्नलिखित चार अंतर समीकरणों को भी पूरा करना चाहिए: $$\begin{align} \frac{d f[\phi(a)]}{da} = 0 \\[6pt] \frac{d^2 f[\phi(a)]}{da^2} = 0 \\[6pt] \frac{d^3 f[\phi(a)]}{da^3} = 0 \\[6pt] \frac{d^4 f[\phi(a)]}{da^4} = 0 \end{align}$$ इनका विस्तार करना और उन्हें एक साथ मिलाने से डिफरेंशियल रिज़ॉल्वेंट प्राप्त होता है: $$ \frac{(256 - 3125a^4)}{1155}\frac{d^4\phi}{da^4} - \frac{6250a^3}{231}\frac{d^3\phi}{da^3} - \frac{4875a^2}{77} \frac{d^2\phi}{da^2} - \frac{2125a}{77}\frac{d\phi}{da} + \phi = 0 $$ विभेदक विलायक का समाधान, चौथा क्रम साधारण अंतर समीकरण होने के कारण, एकीकरण के चार स्थिरांक पर निर्भर करता है, जिसे चुना जाना चाहिए ताकि मूल पंचक को संतुष्ट किया जा सके। यह अतिज्यामितीय प्रकार का फुकशियन साधारण अवकल समीकरण होता है, जिसका समाधान ऊपर ग्लासर की व्युत्पत्ति में उत्पन्न हाइपरज्यामितीय कार्यों की श्रृंखला के समान होता है।

इस विधि को मनमाने ढंग से उच्च डिग्री के समीकरणों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, विभेदक रिज़ॉल्वेंट के साथ जो आंशिक अंतर समीकरण है, जिनके समाधान में कई चर के हाइपरज्यामितीय कार्य सम्मलित है। मनमाना अविभाज्य बहुपदों के अवकल विलायकों के लिए एक सामान्य सूत्र के घात योग सूत्र द्वारा दिया जाता है।

डॉयल-मैकमुलेन पुनरावृत्ति
1989 में, पीटर डॉयल और कर्ट मैकमुलेन ने एक पुनरावृति विधि निकाली थी जो ब्रियोस्की सामान्य रूप में एक पंचक को हल करता है: $$x^5 - 10Cx^3 + 45C^2x - C^2 = 0.$$ पुनरावृत्ति एल्गोरिथ्म निम्नानुसार आगे बढ़ता है:


 * 1) तय करना $$Z = 1 - 1728C$$
 * 2) तर्कसंगत कार्य की गणना करें $$T_Z(w) = w - 12\frac{g(Z,w)}{g'(Z,w)}$$ जहाँ $$g(Z,w)$$ नीचे दिया गया एक बहुपद फलन है, और $$g'$$ का व्युत्पन्न है $$g(Z,w)$$ इसके संबंध में $$w$$
 * 3) पुनरावृति $$T_Z[T_Z(w)]$$ एक यादृच्छिक प्रारंभिक अनुमान पर जब तक यह अभिसरण नहीं हो जाता है। अनुक्रम की सीमा को बुब्रिंग $$w_1$$ और जाने $$w_2 = T_Z(w_1)\,$$.
 * 4) गणना करें $$\mu_i = \frac{100Z(Z-1)h(Z,w_i)}{g(Z, w_i)}$$ जहाँ $$h(Z,w)$$ नीचे दिया गया एक बहुपद फलन है। यह दोनों के लिए करें $$w_1\,$$ और $$w_2 = T_Z(w_1)\,$$.
 * 5) अंत में, गणना करें $$x_i = \frac{(9 + \sqrt{15}i) \mu_i + (9 - \sqrt{15}i)\mu_{3-i}}{90}$$ के लिए $i = 1, 2$. ये ब्रियोस्की क्विंटिक की दो जड़ें है।

दो बहुपद कार्य $$g(Z,w)\,$$ और $$h(Z,w)\,$$ निम्नानुसार है: $$\begin{align} g(Z,w) = {} & 91125Z^6 \\ & {} + (-133650w^2 + 61560w - 193536)Z^5 \\ & {} + (-66825w^4 + 142560w^3 + 133056w^2 - 61140w + 102400)Z^4 \\ & {} + (5940w^6 + 4752w^5 + 63360w^4 - 140800w^3)Z^3 \\ & {} + (-1485w^8 + 3168w^7 - 10560w^6)Z^2 \\ & {} + (-66w^{10} + 440w^9)Z \\ & {} + w^{12} \\[8pt] h(Z,w) = {} & (1215w - 648)Z^4 \\ & {} + (-540w^3 - 216w^2 - 1152w + 640)Z^3 \\ & {} + (378w^5 - 504w^4 + 960w^3)Z^2 \\ & {} + (36w^7 - 168w^6)Z \\ & {} + w^9 \end{align}$$ यह पुनरावृति विधि पंचक की दो जड़ें उत्पन्न करती है। दो जड़ों को विभाजित करने के लिए सिंथेटिक विभाजन का उपयोग करके शेष तीन जड़ें प्राप्त की जा सकती है, जिससे एक घन समीकरण का निर्माण होता है। जिस तरह से पुनरावृति तैयार की जाती है, उसके कारण यह विधि हमेशा पंचक की दो जटिल संयुग्मी जड़ें ढूंढती है, भले ही सभी पंचक गुणांक वास्तविक हों और शुरुआती अनुमान वास्तविक हो, यह पुनरावृति विधि विंशतिफलक की समरूपता से ली गई है और फेलिक्स क्लेन ने अपनी पुस्तक में वर्णित विधि निकटता से संबंधित है।

यह भी देखें

 * समीकरणों का सिद्धांत