संरचनात्मक स्थिरता

गणित में, संरचनात्मक स्थिरता एक गतिशील प्रणाली की एक मौलिक संपत्ति है, जिसका अर्थ है कि प्रक्षेपवक्रों का गुणात्मक व्यवहार छोटे गड़बड़ियों से अप्रभावित है (सटीक रूप से लगातार अलग होने के लिए |  C  '' 'C' '1 -small गड़बड़ी)।

इस तरह के गुणात्मक गुणों के उदाहरण निश्चित बिंदु (गणित) और आवधिक कक्षा ओं (लेकिन उनकी अवधि नहीं) की संख्या हैं।Lyapunov स्थिरता के विपरीत, जो एक निश्चित प्रणाली के लिए प्रारंभिक स्थितियों के गड़बड़ी पर विचार करता है, संरचनात्मक स्थिरता प्रणाली के गड़बड़ी से संबंधित है।इस धारणा के वेरिएंट  साधारण [[ अंतर  समीकरण ]]ों की प्रणालियों पर लागू होते हैं, चिकनी कई गुना और  प्रवाह (गणित)  पर  वेक्टर क्षेत्र  उनके द्वारा उत्पन्न होते हैं, और diffeomorphisms।

संरचनात्मक रूप से स्थिर प्रणालियों को 1937 में Aleksandr Andronov  और  Lev Pontryagin  द्वारा Systèmes Grossiers, या किसी न किसी सिस्टम के नाम से पेश किया गया था।उन्होंने विमान, एंड्रोनोव -पोंट्रीगिन मानदंड में किसी न किसी सिस्टम के लक्षण वर्णन की घोषणा की।इस मामले में, संरचनात्मक रूप से स्थिर सिस्टम  विशिष्ट  हैं, वे उपयुक्त टोपोलॉजी के साथ संपन्न सभी प्रणालियों के स्थान में एक खुला घना सेट बनाते हैं।उच्च आयामों में, यह अब सच नहीं है, यह दर्शाता है कि विशिष्ट गतिशीलता बहुत जटिल हो सकती है (सीएफ  अजीब आकर्षण )।मनमाना आयामों में संरचनात्मक रूप से स्थिर प्रणालियों का एक महत्वपूर्ण वर्ग  एनोसोव डिफोमोर्फिज्म  और प्रवाह द्वारा दिया गया है।

परिभाषा
चलो जी 'आर' में एक खुला सेट  हैN  कॉम्पैक्ट सेट  क्लोजर और स्मूथ (n & minus; 1) -डिमेंशनल  सीमा (टोपोलॉजी)  के साथ।अंतरिक्ष एक्स पर विचार करें1 (g) c के g पर प्रतिबंधों से युक्तआर पर 1 वेक्टर फ़ील्डn जो G की सीमा के लिए ट्रांसवर्सल हैं और आवक उन्मुख हैं।यह स्थान सी के साथ संपन्न हैसामान्य फैशन में 1 मीट्रिक (गणित)।एक वेक्टर फ़ील्ड f ∈ x1 (g) 'कमजोर रूप से संरचनात्मक रूप से स्थिर' है यदि किसी भी पर्याप्त रूप से छोटे गड़बड़ी f के लिए1, इसी प्रवाह जी पर टोपोलॉजिकल रूप से समतुल्य हैं: एक  गृहिणी  H: G → G मौजूद है जो F के उन्मुख प्रक्षेपवक्रों को F के उन्मुख प्रक्षेपवक्र में बदल देता है1।यदि, इसके अलावा, किसी भी ε> 0 के लिए होमोमोर्फिज्म एच को सी के लिए चुना जा सकता है0 ε-Close Idectition Map पर जब f1 f के आधार पर f के एक उपयुक्त पड़ोस से संबंधित है, फिर f को (दृढ़ता से) 'संरचनात्मक रूप से स्थिर' कहा जाता है।ये परिभाषाएं सीमा के साथ एन-डायमेंशनल कॉम्पैक्ट चिकनी कई गुना के मामले में एक सीधा तरीके से विस्तारित होती हैं।एंड्रोनोव और पोंट्रीगिन ने मूल रूप से मजबूत संपत्ति माना।वेक्टर क्षेत्रों और प्रवाह के स्थान पर डिफोमोर्फिज्म के लिए अनुरूप परिभाषाएं दी जा सकती हैं: इस सेटिंग में, होमोमोर्फिज्म एच को एक सामयिक संयुग्म होना चाहिए।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि टोपोलॉजिकल तुल्यता को चिकनाई के नुकसान के साथ महसूस किया जाता है: मानचित्र एच, सामान्य रूप से, एक अंतर नहीं हो सकता है।इसके अलावा, हालांकि टोपोलॉजिकल तुल्यता उन्मुख प्रक्षेपवक्रों का सम्मान करती है, टोपोलॉजिकल संयुग्मन के विपरीत, यह समय-संगत नहीं है।इस प्रकार, टोपोलॉजिकल तुल्यता की प्रासंगिक धारणा भोले सी की काफी कमजोर है1 वेक्टर क्षेत्रों की संयुग्मता।इन प्रतिबंधों के बिना, निश्चित बिंदुओं या आवधिक कक्षाओं के साथ कोई निरंतर समय प्रणाली संरचनात्मक रूप से स्थिर नहीं हो सकती थी।कमजोर संरचनात्मक रूप से स्थिर सिस्टम x में एक खुला सेट बनाते हैं1 (g), लेकिन यह अज्ञात है कि क्या एक ही संपत्ति मजबूत मामले में रखती है।

उदाहरण
सी की संरचनात्मक स्थिरता के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति1 यूनिट डिस्क डी पर वेक्टर फ़ील्ड जो सीमा के लिए और दो-क्षेत्र  के लिए ट्रांसवर्सल हैं2 को एंड्रोनोव और पोंट्रीगिन के संस्थापक पेपर में निर्धारित किया गया है।एंड्रोनोव-पोंट्रीगिन मानदंड के अनुसार, ऐसे क्षेत्र संरचनात्मक रूप से स्थिर होते हैं यदि और केवल अगर उनके पास केवल कई विलक्षण बिंदु (हाइपरबोलिक संतुलन बिंदु) और आवधिक प्रक्षेपवक्र ( सीमा चक्र ) हैं, जो सभी गैर-पतित (हाइपरबोलिक) हैं, और नहीं करते हैं, और नहीं करते हैं, और नहीं करते हैं।काठी-से-साहसी कनेक्शन हैं।इसके अलावा, सिस्टम का गैर-भटकने वाला सेट ठीक एकवचन बिंदुओं और आवधिक कक्षाओं का मिलन है।विशेष रूप से, दो आयामों में संरचनात्मक रूप से स्थिर वेक्टर क्षेत्रों में  होमोक्लिनिनिक  प्रक्षेपवक्र नहीं हो सकते हैं, जो कि हेनरी पोइंकेरे द्वारा खोजे गए गतिशीलता को बहुत जटिल करते हैं।

टोरस्र्स पर गैर-विलय चिकनी वेक्टर क्षेत्रों की संरचनात्मक स्थिरता की जांच पॉइंकेरे और  अरनौद डेनजॉय  द्वारा विकसित सिद्धांत का उपयोग करके की जा सकती है।Poincaré पुनरा वृत्त ि मानचित्र का उपयोग करते हुए, सर्कल के diffeomorphisms की संरचनात्मक स्थिरता का निर्धारण करने के लिए प्रश्न कम हो जाता है।रोटेशन नंबर पर डेनजॉय के प्रमेय के परिणामस्वरूप, एक ओरिएंटेशन को संरक्षित करता है2 सर्कल का diffeomorphism the संरचनात्मक रूप से स्थिर है यदि और केवल अगर इसकी  रोटेशन संख्या  तर्कसंगत है, ρ (ƒ) = p/q, और आवधिक प्रक्षेपवक्र, जो सभी की अवधि Q है, गैर-पतित हैं: जैकबियन हैंमैट्रिक्स और to का निर्धारकQ आवधिक बिंदुओं पर 1 से अलग है,  सर्कल मैप  देखें।

दिमित्री एनोसोव ने पाया कि टोरस के हाइपरबोलिक ऑटोमोर्फिज्म, जैसे कि अर्नोल्ड के कैट मैप, संरचनात्मक रूप से स्थिर हैं।इसके बाद उन्होंने इस कथन को एक व्यापक वर्ग के सिस्टम के लिए सामान्य किया, जिसे तब से Anosov diffeomorphisms और Anosov प्रवाह कहा जाता है।एनोसोव प्रवाह का एक प्रसिद्ध उदाहरण जियोडेसिक प्रवाह द्वारा निरंतर नकारात्मक वक्रता, सीएफ  हदामार्ड बिलियर्ड्स  की सतह पर दिया गया है।

इतिहास और महत्व
सिस्टम की संरचनात्मक स्थिरता ठोस भौतिक प्रणालियों के विश्लेषण के लिए गतिशील प्रणालियों के गुणात्मक सिद्धांत को लागू करने के लिए एक औचित्य प्रदान करती है।इस तरह के गुणात्मक विश्लेषण का विचार आकाशीय यांत्रिकी  में  तीन-शरीर की समस्या  पर हेनरी पोइंकेरे के काम पर वापस जाता है।एक ही समय के आसपास,  अलेक्जेंडर ल्यापुनोव  ने एक व्यक्तिगत प्रणाली के छोटे गड़बड़ियों की स्थिरता की सख्ती से जांच की।व्यवहार में, विभिन्न छोटे इंटरैक्शन की उपस्थिति के कारण सिस्टम (यानी विभेदक समीकरण) का विकास कानून कभी नहीं जाना जाता है।इसलिए, यह जानना महत्वपूर्ण है कि गतिशीलता की बुनियादी विशेषताएं मॉडल प्रणाली के किसी भी छोटे गड़बड़ी के लिए समान हैं, जिसका विकास एक निश्चित ज्ञात भौतिक कानून द्वारा नियंत्रित होता है।गुणात्मक विश्लेषण को आगे 1920 के दशक में  जॉर्ज बिरखॉफ़  द्वारा विकसित किया गया था, लेकिन पहली बार 1937 में एंड्रोनोव और पोंट्रीगिन द्वारा किसी न किसी प्रणाली की अवधारणा की शुरुआत के साथ औपचारिक रूप दिया गया था। यह तुरंत एंड्रोनोव, विट, और खाइकिन द्वारा दोलनों के साथ भौतिक प्रणालियों के विश्लेषण के लिए लागू किया गया था।संरचनात्मक स्थिरता शब्द  सोलोमन लेफसचेट्ज़  के कारण है, जिन्होंने अंग्रेजी में अपने मोनोग्राफ के अनुवाद की देखरेख की।1960 के दशक में हाइपरबोलिक डायनामिक्स के संदर्भ में  स्टीफन स्मेल  और उनके स्कूल द्वारा संरचनात्मक स्थिरता के विचारों को लिया गया था।इससे पहले,  मार्स्टन मोर्स  और  हस्लर व्हिटनी  ने पहल की और रेने थॉम ने अलग -अलग मानचित्रों के लिए स्थिरता का एक समानांतर सिद्धांत विकसित किया, जो  विलक्षणता सिद्धांत  का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है।थॉम ने जैविक प्रणालियों के लिए इस सिद्धांत के अनुप्रयोगों की परिकल्पना की।स्मेल और थॉम दोनों ने मौरिसियो पेक्सोटो के साथ सीधे संपर्क में काम किया, जिन्होंने 1950 के दशक के अंत में पेक्सोटो के प्रमेय को विकसित किया।

जब स्मेल ने हाइपरबोलिक डायनेमिक सिस्टम के सिद्धांत को विकसित करना शुरू किया, तो उन्हें उम्मीद थी कि संरचनात्मक रूप से स्थिर सिस्टम विशिष्ट होंगे।यह कम आयामों में स्थिति के अनुरूप होता: प्रवाह दो प्रवाह के लिए और डिफोमोर्फिज्म के लिए आयाम एक।हालांकि, उन्होंने जल्द ही उच्च-आयामी कई गुना पर वेक्टर क्षेत्रों के उदाहरण पाए, जिन्हें एक मनमाने ढंग से छोटे गड़बड़ी द्वारा संरचनात्मक रूप से स्थिर नहीं बनाया जा सकता है (ऐसे उदाहरण बाद में आयाम तीन के कई गुना पर निर्मित किए गए हैं)।इसका मतलब यह है कि उच्च आयामों में, संरचनात्मक रूप से स्थिर सिस्टम घने सेट  नहीं हैं।इसके अलावा, एक संरचनात्मक रूप से स्थिर प्रणाली में हाइपरबोलिक काठी बंद कक्षाओं और असीम रूप से कई आवधिक कक्षाओं के ट्रांसवर्सल होमोक्लिनिक प्रक्षेपवक्र हो सकते हैं, भले ही चरण स्थान कॉम्पैक्ट हो।एंड्रोनोव और पोंट्रीगिन द्वारा माना जाता है कि संरचनात्मक रूप से स्थिर प्रणालियों के निकटतम उच्च-आयामी एनालॉग को मोर्स-स्मेल सिस्टम द्वारा दिया गया है।

यह भी देखें

 * समस्थिति
 * स्व-स्थिरीकरण, सुपरस्टेबिलाइजेशन
 * स्थिरता सिद्धांत