असीम तर्क

एक असीम तर्क एक औपचारिक तार्किक प्रणाली है जो असीम रूप से लंबे कथन (तर्क) और/या असीम रूप से लंबे गणितीय प्रमाण की अनुमति देता है। कुछ इन् अंतिम तर्क ्स में मानक प्रथम-क्रम तर्क से भिन्न गुण हो सकते हैं। विशेष रूप से, इन्फिनिटरी लॉजिक्स कॉम्पैक्टनेस (तर्क) या पूर्णता (तर्क) होने में विफल हो सकता है। सघनता और पूर्णता की धारणाएँ जो कभी-कभी परिमित तर्क में समतुल्य होती हैं, अनंत तर्कशास्त्र में नहीं होती हैं। इसलिए असीमित लॉजिक्स के लिए, मजबूत कॉम्पैक्टनेस और मजबूत पूर्णता की धारणाएं परिभाषित की गई हैं। यह लेख हिल्बर्ट प्रणाली  | हिल्बर्ट-टाइप इनफिनिटरी लॉजिक्स को संबोधित करता है, क्योंकि इनका बड़े पैमाने पर अध्ययन किया गया है और यह फ़िनिटरी लॉजिक के सबसे सीधे विस्तार का गठन करता है। हालाँकि, ये केवल इन्फिनिटी लॉजिक्स नहीं हैं जिन्हें तैयार या अध्ययन किया गया है।

यह विचार करते हुए कि क्या Ω-तर्क नामक एक निश्चित असीमित तर्क पूर्ण वादे हैं सातत्य परिकल्पना पर प्रकाश डालने के लिए।

अंकन पर एक शब्द और पसंद का स्वयंसिद्ध
चूंकि अनंत रूप से लंबे सूत्रों वाली भाषा प्रस्तुत की जा रही है, ऐसे सूत्रों को स्पष्ट रूप से लिखना संभव नहीं है। इस समस्या को हल करने के लिए कई सांकेतिक उपयुक्तताएं, जो वास्तव में औपचारिक भाषा का हिस्सा नहीं हैं, का उपयोग किया जाता है। $$\cdots$$ एक अभिव्यक्ति को इंगित करने के लिए प्रयोग किया जाता है जो असीम रूप से लंबा है। जहां यह स्पष्ट नहीं है, अनुक्रम की लंबाई बाद में नोट की जाती है। जहाँ यह अंकन अस्पष्ट या भ्रामक हो जाता है, वहाँ प्रत्यय जैसे $$\bigvee_{\gamma < \delta}{A_{\gamma}}$$ प्रमुखता के सूत्रों के एक सेट पर एक अनंत तार्किक संयोजन को इंगित करने के लिए उपयोग किया जाता है $$\delta$$. उदाहरण के लिए क्वांटिफायरों पर एक ही संकेतन लागू किया जा सकता है $$\forall_{\gamma < \delta}{V_{\gamma}:}$$. यह क्वांटिफायर के अनंत अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करने के लिए है: प्रत्येक के लिए क्वांटिफायर $$V_{\gamma}$$ कहाँ $$\gamma < \delta$$.

प्रत्यय के सभी उपयोग और $$\cdots$$ औपचारिक अनंत भाषाओं का हिस्सा नहीं हैं।

पसंद का स्वयंसिद्ध माना जाता है (जैसा कि अनंत तर्क पर चर्चा करते समय अक्सर किया जाता है) क्योंकि समझदार वितरण कानूनों के लिए यह आवश्यक है।

हिल्बर्ट-टाइप इन्फिनिटरी लॉजिक्स की परिभाषा
एक प्रथम-क्रम अनंत भाषा एलα,β, α नियमित कार्डिनल, β = 0 या ω ≤ β ≤ α, एक परिमित तर्क के रूप में प्रतीकों का एक ही सेट है और कुछ अतिरिक्त लोगों के साथ एक परिमित तर्क के सूत्रों के निर्माण के लिए सभी नियमों का उपयोग कर सकता है:
 * सूत्रों का एक सेट दिया $$A=\{A_\gamma | \gamma < \delta <\alpha \}$$ तब $$(A_0 \lor A_1 \lor \cdots)$$ और $$(A_0 \land A_1 \land \cdots)$$ सूत्र हैं। (प्रत्येक मामले में अनुक्रम की लंबाई होती है $$\delta$$.)
 * चर का एक सेट दिया $$V=\{V_\gamma | \gamma< \delta < \beta \}$$ और एक सूत्र $$A_0$$ तब $$\forall V_0 :\forall V_1 \cdots (A_0)$$ और $$\exists V_0 :\exists V_1 \cdots (A_0)$$ सूत्र हैं। (प्रत्येक मामले में क्वांटिफायर के अनुक्रम की लंबाई होती है $$\delta$$.)

मुक्त और परिबद्ध चरों की संकल्पनाएँ उसी प्रकार से अनंत सूत्रों पर लागू होती हैं। ठीक वैसे ही जैसे परिमित तर्क में, एक सूत्र जिसके सभी चर बंधे होते हैं उसे एक वाक्य (गणितीय तर्क) के रूप में संदर्भित किया जाता है।

अनंत भाषा में एक सिद्धांत (गणितीय तर्क) टी $$L_{\alpha, \beta}$$ तर्क में वाक्यों का एक समूह है। एक सिद्धांत टी से असीम तर्क में एक प्रमाण बयानों का एक (संभवतः अनंत) अनुक्रम है जो निम्नलिखित शर्तों का पालन करता है: प्रत्येक कथन या तो एक तार्किक स्वयंसिद्ध है, टी का एक तत्व है, या अनुमान के नियम का उपयोग करके पिछले बयानों से घटाया गया है। पहले की तरह, परिमित तर्क में अनुमान के सभी नियमों का उपयोग एक अतिरिक्त के साथ किया जा सकता है:

इन्फिनिटरी लॉजिक के लिए विशिष्ट लॉजिकल एक्सिओम स्कीमाटा नीचे प्रस्तुत किया गया है। वैश्विक स्कीमाटा चर: $$\delta$$ और $$\gamma$$ ऐसा है कि $$0 < \delta < \alpha $$. अंतिम दो अभिगृहीत स्कीमाटा को पसंद के अभिगृहीत की आवश्यकता होती है क्योंकि कुछ सेट अच्छी तरह से व्यवस्थित होने चाहिए। अंतिम स्वयंसिद्ध स्कीमा सख्ती से अनावश्यक बोल रही है, जैसा कि चांग के वितरण कानूनों का अर्थ है, हालांकि इसे तर्क को प्राकृतिक कमजोरियों की अनुमति देने के प्राकृतिक तरीके के रूप में शामिल किया गया है।
 * बयानों का एक सेट दिया $$A=\{A_\gamma | \gamma < \delta <\alpha \}$$ जो पहले सबूत और फिर बयान में हुआ है $$\land_{\gamma < \delta}{A_{\gamma}}$$ यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है।
 * $$((\land_{\epsilon < \delta}{(A_{\delta} \implies A_{\epsilon})}) \implies (A_{\delta} \implies \land_{\epsilon < \delta}{A_{\epsilon}}))$$
 * प्रत्येक के लिए $$\gamma < \delta$$, $$((\land_{\epsilon < \delta}{A_{\epsilon}}) \implies A_{\gamma})$$
 * चेन-चुंग चांग के वितरण नियम (प्रत्येक के लिए $$\gamma$$): $$(\lor_{\mu < \gamma}{(\land_{\delta < \gamma}{A_{\mu, \delta}})})$$, कहाँ $$\forall \mu \forall \delta \exists \epsilon < \gamma: A_{\mu , \delta} = A_{\epsilon}$$ या $$A_{\mu , \delta} = \neg A_{\epsilon}$$, और $$\forall g \in \gamma^{\gamma} \exists \epsilon < \gamma: \{A_{\epsilon} , \neg A_{\epsilon}\} \subseteq \{A_{\mu , g(\mu)} : \mu < \gamma\}$$
 * के लिए $$\gamma < \alpha$$, $$((\land_{\mu < \gamma}{(\lor_{\delta < \gamma}{A_{\mu, \delta}})}) \implies (\lor_{\epsilon < \gamma^{\gamma}}{(\land_{\mu < \gamma}{A_{\mu ,\gamma_{\epsilon}(\mu)})}}))$$, कहाँ $$\{\gamma_{\epsilon}: \epsilon < \gamma^{\gamma}\}$$ का एक अच्छा क्रम है $$\gamma^{\gamma}$$

संपूर्णता, कॉम्पैक्टनेस, और मजबूत पूर्णता
एक सिद्धांत वाक्यों का कोई सेट है। मॉडलों में बयानों की सच्चाई रिकर्सन द्वारा परिभाषित की जाती है और अंतिम तर्क के लिए परिभाषा से सहमत होगी जहां दोनों परिभाषित हैं। एक सिद्धांत टी दिए जाने पर एक वाक्य को सिद्धांत टी के लिए मान्य कहा जाता है यदि यह टी के सभी मॉडलों में सत्य है।

भाषा में एक तर्क $$L_{\alpha, \beta}$$ यदि प्रत्येक मॉडल में मान्य प्रत्येक वाक्य S के लिए S का प्रमाण मौजूद है तो यह पूर्ण है। यह दृढ़ता से पूर्ण है यदि किसी भी सिद्धांत T के लिए प्रत्येक वाक्य S के लिए T में मान्य है, T से S का प्रमाण है। बिना अनंत तर्क के पूरा हो सकता है दृढ़ता से पूर्ण होना।

एक कार्डिनल $$\kappa \neq \omega$$ कमजोर रूप से कॉम्पैक्ट कार्डिनल है जब प्रत्येक सिद्धांत टी के लिए $$L_{\kappa, \kappa}$$ अधिक से अधिक युक्त $$\kappa$$ कई सूत्र, यदि प्रत्येक एस $$\subseteq$$ कार्डिनैलिटी का टी से कम $$\kappa$$ एक मॉडल है, तो T का एक मॉडल है। एक कार्डिनल $$\kappa \neq \omega$$ दृढ़ता से कॉम्पैक्ट कार्डिनल है जब प्रत्येक सिद्धांत टी के लिए $$L_{\kappa , \kappa}$$, आकार पर प्रतिबंध के बिना, यदि प्रत्येक S $$\subseteq$$ कार्डिनैलिटी का टी से कम $$\kappa$$ एक मॉडल है, तो T का एक मॉडल है।

इन्फिनिटरी लॉजिक
में व्यक्त की जाने वाली अवधारणाएँ समुच्चय सिद्धांत की भाषा में निम्नलिखित कथन नियमितता के अभिगृहीत को व्यक्त करता है:


 * $$\forall_{\gamma < \omega}{V_{\gamma}:} \neg \land_{\gamma < \omega}{V_{\gamma +} \in V_{\gamma}}.\,$$

नींव के स्वयंसिद्ध के विपरीत, यह कथन गैर-मानक व्याख्याओं को स्वीकार नहीं करता है। अच्छी तरह से स्थापित होने की अवधारणा को केवल एक तर्क में व्यक्त किया जा सकता है जो एक व्यक्तिगत बयान में असीम रूप से कई क्वांटिफायर की अनुमति देता है। एक परिणाम के रूप में पीनो अंकगणित सहित कई सिद्धांत, जो अंतिम तर्क में ठीक से अभिगृहीत नहीं हो सकते, एक उपयुक्त अनंत तर्क में हो सकते हैं। अन्य उदाहरणों में गैर-आर्किमिडीयन क्षेत्रों और मरोड़-मुक्त समूहों के सिद्धांत शामिल हैं। इन तीन सिद्धांतों को अनंत परिमाणीकरण के उपयोग के बिना परिभाषित किया जा सकता है; केवल अनंत जंक्शन जरूरत है।

पूर्ण इन्फिनिटरी लॉजिक्स
दो असीमित लॉजिक्स अपनी संपूर्णता में स्पष्ट दिखाई देते हैं। ये के तर्क हैं $$L_{\omega, \omega}$$ और $$L_{\omega_1 , \omega}$$. पूर्व मानक अंतिम प्रथम-क्रम तर्क है और बाद वाला एक असीम तर्क है जो केवल गणनीय आकार के बयानों की अनुमति देता है।

का तर्क $$L_{\omega, \omega}$$ दृढ़ता से पूर्ण, कॉम्पैक्ट और दृढ़ता से कॉम्पैक्ट भी है।

का तर्क $$L_{\omega_1, \omega}$$ कॉम्पैक्ट होने में विफल रहता है, लेकिन यह पूर्ण है (ऊपर दिए गए सिद्धांतों के तहत)। इसके अलावा, यह क्रेग प्रक्षेप  संपत्ति के एक प्रकार को संतुष्ट करता है।

अगर का तर्क $$L_{\alpha, \alpha}$$ दृढ़ता से पूर्ण है (ऊपर दिए गए स्वयंसिद्धों के तहत) तब $$\alpha$$ दृढ़ता से कॉम्पैक्ट है (क्योंकि इन लॉजिक्स में सबूत का उपयोग नहीं किया जा सकता है $$\alpha$$ या दिए गए स्वयंसिद्धों में से अधिक)।