अधिसंकुचन प्रतिचित्रण



रैखिक बीजगणित में, ' अधिसंकुचन प्रतिचित्रण ', जिसे 'अधिसंकुचन रूपांतरण ' भी कहा जाता है, एक प्रकार का रैखिक मानचित्र है जो कार्तीय तल में क्षेत्रों के यूक्लिडियन क्षेत्र को संरक्षित करता है, लेकिन यह घूर्णन (गणित) या अपरूपण मानचित्रण नहीं है।

एक निश्चित धनात्मक वास्तविक संख्या a के लिए, मानचित्रण


 * $$(x, y) \mapsto (ax, y/a)$$

पैरामीटर $a$ के साथ अधिसंकुचन मानचित्रण है। तब से


 * $$\{ (u,v) \, : \, u v = \mathrm{constant}\}$$

अतिपरवलय है, यदि $u = ax$ और $v = y/a$, तब $uv = xy$ और अधिसंकुचन मानचित्रण की छवि के बिंदु समान अतिपरवलयिक पर हैं जैसे $(x,y)$ है। इस कारण से अधिसंकुचन मानचित्रण को अतिपरवलयिक घूर्णन के रूप में सोचना स्वाभाविक है, जैसा कि एमिल बोरेल ने 1914 में किया था, वृत्ताकार घूर्णन के अनुरूप, जो वृत्तों को संरक्षित करते हैं।

लघुगणक और अतिपरवलयिक कोण
अधिसंकुचन मानचित्रण लघुगणक की अवधारणा के विकास के लिए चरण निर्धारित करता है। अतिपरवलय से परिबद्ध क्षेत्र को खोजने की समस्या (जैसे $xy = 1)$ चतुष्कोण (गणित) में से एक है। 1647 में ग्रेगोइरे डी सेंट-विन्सेंट और अल्फोन्स एंटोनियो डी सरसा द्वारा खोजा गया समाधान, प्राकृतिक लघुगणक फलन, एक नई अवधारणा की आवश्यकता थी। लघुगणक में कुछ अंतर्दृष्टि अतिपरवलयिक क्षेत्रों के माध्यम से आती है जो अपने क्षेत्र को संरक्षित करते हुए अधिसंकुचन मानचित्रण द्वारा स्वीकृत होते हैं। अतिपरवलयिक खंड के क्षेत्र को खंड से जुड़े अतिपरवलयिक कोण के माप के रूप में लिया जाता है। अतिपरवलयिक कोण की अवधारणा कोण से अपेक्षाकृत अधिक स्वतंत्र है, लेकिन इसके साथ निश्चरता की एक गुण साझा करती है: जबकि परिपत्र कोण घूर्णन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है, अतिपरवलयिक कोण अधिसंकुचन मानचित्रण के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। परिपत्र और अतिपरवलयिक कोण दोनों निश्‍चर माप उत्पन्न करते हैं लेकिन विभिन्न परिवर्तन समूहों के संबंध में उत्पन्न करते है। अतिपरवलयिक फलन, जो अतिपरवलयिक कोण को तर्क के रूप में लेते हैं, वह भूमिका निभाते हैं जो वृत्ताकार फलन वृत्ताकार कोण तर्क के साथ कार्य करते है हैं।

समूह सिद्धांत
1688 में, अमूर्त समूह सिद्धांत से बहुत पहले, यूक्लिड स्पीडेल द्वारा दिन के संदर्भ में अधिसंकुचन मानचित्रण का वर्णन किया गया था: एक वर्ग से और एक सतही पर दीर्घाकार की एक अनंत इकाई, प्रत्येक उस वर्ग के बराबर, वक्र कैसे उत्पन्न होता है जो होगा एक समकोण शंकु के अंदर अंकित किसी भी अतिपरवलय के समान गुण या विकृत अवस्था हैं। यदि $r$ और $s$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं, उनके अधिसंकुचन मानचित्रण की फलन संरचना उनके गुणन की अधिसंकुचन मानचित्रण है। इसलिए, अधिसंकुचन मानचित्रण का संग्रह धनात्मक वास्तविक संख्याओं के गुणात्मक समूह के लिए एक-पैरामीटर समूह समरूपी बनाता है। इस समूह का एक योगात्मक दृष्टिकोण अतिपरवलयिक क्षेत्रों और उनके अतिपरवलयिक कोणों के विचार से उत्पन्न होता है।

उत्कृष्ट समूह के दृष्टिकोण से, अधिसंकुचन मानचित्रण $SO^{+}(1,1)$ का समूह है, द्विघात रूप को संरक्षित करने वाले 2×2 वास्तविक आव्यूह के अनिश्चित लंबकोणीय समूह का सर्वसमिका घटक $u^{2} − v^{2}$ द्विघात रूपको संरक्षित करता है। यह आधार के परिवर्तन के माध्यम से समघात $xy$ को संरक्षित करने के बराबर है,


 * $$x=u+v,\quad y=u-v\,,$$

और अतिपरवलय के संरक्षण के लिए ज्यामितीय रूप से समरूपी है। अतिपरवलयिक घूर्णन के रूप में अधिसंकुचन मानचित्रण के समूह का परिप्रेक्ष्य समूह $SO(2)$  (निश्चित लंबकोणीय समूह का जुड़ा हुआ घटक) की व्याख्या के अनुरूप है द्विघात रूप $x^{2} + y^{2}$ को परिपत्र घुमाव के रूप में संरक्षित करता है।

ध्यान दें कि$SO^{+}$ अंकन इस तथ्य से अनुरूप है कि प्रतिबिंब


 * $$u \mapsto -u,\quad v \mapsto -v$$

स्वीकृति नहीं है, हालांकि वे समघात (के संदर्भ में $x$ और $y$ ये $x ↦ y, y ↦ x$ और $x ↦ −x, y ↦ −y)$ को संरक्षित करते हैं; इसके अतिरिक्त  $+$  अतिपरवलयिक स्थिति में (परिपत्र स्थिति की तुलना में) सर्वसमिका घटक को निर्दिष्ट करना आवश्यक हैक्योंकि समूह O(1,1) में 4 जुड़े हुए घटक हैं,जबकि समूह O(2) में 2 घटक हैं SO (1,1) में 2 घटक हैं, जबकि SO(2) में केवल 1 है। तथ्य यह है कि अधिसंकुचन क्षेत्र को संरक्षित करता है और अभिविन्यास उपसमूहों SO ⊂ SL के समावेश से अनुरूप है - इस स्थिति में SO(1,1) ⊂ SL( 2) - रूपांतरण संरक्षित क्षेत्र और अभिविन्यास (आयतन समघात) के विशेष रैखिक समूह में अतिपरवलयिक रोटेशन के उपसमूह के समान है। मोबियस रूपांतरण की भाषा में, अधिसंकुचन परिवर्तन अवयवो के वर्गीकरण में अतिपरवलयिक अवयव हैं।

ज्यामितीय परिवर्तन को अनुरूप कहा जाता है जब यह कोणों को संरक्षित करता है। अतिपरवलयिक कोण को y = 1/x के अंतर्गत क्षेत्र का उपयोग करके परिभाषित किया गया है। चूंकि अधिसंकुचन मानचित्रण रूपांतरित भागों के क्षेत्रों को संरक्षित करती है जैसे अतिपरवलयिक भाग, क्षेत्रों के कोण माप को संरक्षित किया जाता है। इस प्रकार अतिपरवलयिक कोण को संरक्षित करने के अर्थ में अधिसंकुचन मानचित्रण 'अनुरूप' हैं।

अनुप्रयोग
यहाँ कुछ अनुप्रयोगों को ऐतिहासिक संदर्भों के साथ संक्षेपित किया गया है।

आपेक्षिक दिक्काल
दिक्काल ज्यामिति पारंपरिक रूप से निम्नानुसार विकसित होती है: दिक्काल में यहां और अभी के लिए (0,0) चयन करे। इस केंद्रीय घटना के माध्यम से बाएँ और दाएँ प्रकाश दीप्तिमान दिक्काल में दो रेखाओ को जांच करता है, ऐसी रेखाएँ जिनका उपयोग (0,0) से दूर की घटनाओं को निर्देशांक देने के लिए किया जा सकता है। कम वेग के प्रक्षेपवक्र मूल समयरेखा (0,t) के समीप जांच करते हैं। इस तरह के किसी भी वेग को लोरेंत्ज़ बूस्ट नामक अधिसंकुचन मानचित्रण के अंतर्गत शून्य वेग के रूप में देखा जा सकता है। यह अंतर्दृष्टि विभाजित-सम्मिश्र संख्या गुणन और विकर्ण आधार के अध्ययन से प्राप्त होती है जो प्रकाश रेखाओं के युग्म से अनुरूप है। औपचारिक रूप से, एक अधिसंकुचन एक अलग समन्वय प्रणाली में अतिपरवलयिक दूरीक को xy के रूप में व्यक्त करता है। सापेक्षता के सिद्धांत में इस अनुप्रयोग को 1912 में विल्सन और लुईस द्वारा वर्नर ग्रीब द्वारा, और लुइस कॉफ़मैन द्वारा प्रचलित किया गया था। इसके अतिरिक्त, गुस्ताव हर्ग्लोट्ज़ (1909/10) द्वारा लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के अधिसंकुचन मानचित्रण रूप का उपयोग किया गया था। मूलतः कठोरता पर चर्चा करते हुए, और वोल्फगैंग रिंडलर द्वारा सापेक्षता पर अपनी पाठ्यपुस्तक में लोकप्रिय किया गया था, जिन्होंने इसे अपनी विशिष्ट गुण के प्रदर्शन में उपयोग किया था।

अधिसंकुचन परिवर्तन शब्द का उपयोग इस संदर्भ में एक लेख में किया गया था, जो लोरेंत्ज़ समूह को प्रकाश तथा दर्शन विद्या संबंधी में जोन्स कैलकुलस से जोड़ता है।

शृंग प्रवाह
द्रव गतिकी में एक असंपीड्य प्रवाह के मौलिक गतियों में से एक में स्थिर परत के ऊपर गति करने वाले प्रवाह का द्विभाजन सिद्धांत सम्मिलित होता है। अक्ष y = 0 द्वारा परत का प्रतिनिधित्व करना और पैरामीटर r = exp (t) लेना जहां t समय है, फिर एक प्रारंभिक द्रव अवस्था पर प्रयुक्त पैरामीटर r के साथ अधिसंकुचन मानचित्रण द्विभाजन के साथ एक प्रवाह उत्पन्न करता है और अक्ष x = 0 के दाएं और बाएं होता है। समय को पीछे की ओर सक्रिय करने पर वही गणितीय मॉडल 'द्रव अभिसरण' देता है। वास्तव मे, किसी भी अतिपरवलयिक भाग का क्षेत्र अधिसंकुचन के अंतर्गत अचर (गणित) है।

अतिपरवलयिक प्रवाह रेखा, के साथ प्रवाह के लिए एक अन्य दृष्टिकोण के लिए, संभावित प्रवाह § n = 2 के साथ विद्युत नियम देखें।

1989 में ओटिनो ने "रैखिक सम-आयतनिक द्वि-आयामी प्रवाह" का वर्णन इस रूप में किया
 * $$v_1 = G x_2 \quad v_2 = K G x_1$$

जहां K अंतराल [−1, 1] में स्थित है। धाराएँ वक्रों का अनुसरण करती हैं
 * $$x_2^2 - K x_1^2 = \mathrm{constant}$$

इसलिए ऋणात्मक K एक दीर्घवृत्त और धनात्मक K से अतिपरवलयिक से अनुरूप है, जिसमें K = 1 के अनुरूप अधिसंकुचन मानचित्रण की आयताकार स्थिति है।

स्टॉकर और होसोई ने शृंग प्रवाह के लिए उनके दृष्टिकोण का वर्णन इस प्रकार है:
 * हम हाइपरबॉलिक निर्देशांक के उपयोग के आधार पर शृंग जैसी ज्यामिति के लिए एक वैकल्पिक सूत्रीकरण का सुझाव देते हैं, जो स्थिरांक सीमा और संलग्न तरल तन्तु में प्रवाह के निर्धारण की दिशा में पर्याप्त विश्लेषणात्मक प्रगति की स्वीकृति देता है। हम प्रवाह के एक क्षेत्र पर विचार करते हैं जो π/2 का कोण बनाता है और समरूपता तलों द्वारा बाईं और नीचे की ओर सीमांकित होता है।

स्टॉकर और होसोई ने फिर मोफेट के विचार को स्मरण किया, "दृढ सीमाओं के बीच एक शृंग में प्रवाह, एक बड़ी दूरी पर एक स्वेच्छ विक्षोभ से प्रेरित है।" स्टॉकर और होसोई के अनुसार,
 * वर्गाकार शृंग में एक मुक्त तरल पदार्थ के लिए, मोफेट ( प्रतिसममित) प्रवाह फलन ... [इंगित करता है] कि अतिपरवलयिक निर्देशांक वास्तव में इन प्रवाहों का वर्णन करने के लिए प्राकृतिक विकल्प हैं।

अबीजीय संबंध
अधिसंकुचन मानचित्रण की क्षेत्र-संरक्षण गुण में अबीजीय फलनों के प्राकृतिक लघुगणक और इसके व्युत्क्रम घातीय फलन की नींव स्थापित करने में एक अनुप्रयोग है:

परिभाषा: भाग (a,b) (a, 1/a) और (b, 1/b ') को केंद्रीय किरणों से प्राप्त अतिपरवलयिक क्षेत्र है।

लेम्मा: यदि bc = ad है, तो एक अधिसंकुचन मानचित्रण है जो भाग (a,b) को भाग(c,d) में ले जाता है।

प्रमाण: पैरामीटर r = c/a लें ताकि (u,v) = (rx, y/r) (a, 1/a) से (c, 1/c) और (b, 1/b) से (b, 1/b) में (d, 1/d) ले जाए।

प्रमेय (ग्रेगोइरे डे सेंट-विंसेंट 1647) यदि bc = ad, तो अतिपरवलय xy = 1 के स्पर्शोन्मुख के चतुर्भुज में a और b के बीच की तुलना में c और d के बीच समान क्षेत्र हैं।

प्रमाण: 1⁄2 क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों को जोड़ने और घटाने का तर्क, एक त्रिभुज {(0,0), (0,1), (1,1)}, दिखाता है कि अतिपरवलयिक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल स्पर्शोन्मुख रेखा के क्षेत्रफल के बराबर है। प्रमेय तब लेम्मा से आता है।

प्रमेय (अल्फोन्स एंटोनियो डी सरसा 1649) अंकगणितीय प्रगति में स्पर्शोन्मुख के विरुद्ध मापा गया क्षेत्र ज्यामितीय अनुक्रम में वृद्धि के रूप में अनुमानों पर अनुमान लगाता है। इस प्रकार क्षेत्र स्पर्शोन्मुख सूचकांक के लघुगणक बनाते हैं।

उदाहरण के लिए, एक मानक स्थिति कोण के लिए जो (1, 1) से (x, 1/x) तक सक्रिय है, कोई पूछ सकता है कि अतिपरवलयिक कोण एक के बराबर कब होता है? तब उत्तर अनुभवातीत संख्या x = e (गणितीय स्थिरांक) है।

r = e के साथ एक अधिसंकुचन इकाई कोण को (e, 1/e) और (ee, 1/ee) के बीच एक में ले जाता है जो एक क्षेत्र के भाग को भी घटाता है। ज्यामितीय विकास
 * e, e2, e3, ..., en, ...

क्षेत्रों के प्रत्येक योग के साथ प्राप्त स्पर्शोन्मुख सूचकांक से अनुरूप है
 * 1,2,3, ...,,...

जो एक आद्य-प्ररूपी अंकगणितीय विकास A + nd है जहाँ A = 0 और d = 1 है।

लाइ रूपांतरण
निरंतर वक्रता की सतहों पर पियरे ओसियन बोनट (1867) की जांच के बाद, सोफस लाइ (1879) ने एक ज्ञात सतह से नई छद्मगोलीय सतहों को प्राप्त करने का एक तरीका निकाला। ऐसी सतहें साइन-गॉर्डन समीकरण को संतुष्ट करती हैं:


 * $$\frac{d^{2}\Theta}{ds\ d\sigma}=K\sin\Theta ,$$

जहाँ $$(s,\sigma)$$ दो प्रमुख स्पर्शरेखा वक्रों के स्पर्शोन्मुख निर्देशांक हैं और $$\Theta$$ उनका संबंधित कोण है। लाइ ने दिखाया कि यदि $$\Theta=f(s,\sigma)$$ साइन-गॉर्डन समीकरण का एक समाधान है, तो निम्नलिखित अधिसंकुचन मानचित्रण (अब लाई परिवर्तन के रूप में जाना जाता है। उस समीकरण के अन्य समाधान इंगित करता है:
 * $$\Theta=f\left(ms,\ \frac{\sigma}{m}\right) .$$

लाइ (1883) ने छद्मगोलीय सतहों के दो अन्य परिवर्तनों के साथ इसके संबंध को देखा: बैकलंड रूपांतरण (1883 में अल्बर्ट विक्टर बैकलंड द्वारा पेश किया गया) को बिआंची रूपांतरण (1879 में लुइगी बियांची द्वारा पेश किया गया) के साथ लाइ रूपांतरण के संयोजन के रूप में देखा जा सकता है। गैस्टन डार्बौक्स (1894) द्वारा, लुइगी बियांची (1894), या लूथर फाहलर आइजनहार्ट (1909) द्वारा विभेदक ज्यामिति पर व्याख्यान में छद्मगोलीय सतहों के ऐसे परिवर्तनों पर विस्तार से चर्चा की गई थी।।


 * सोफस लाइ ने देखा कि एसजीई [साइन-गॉर्डन समीकरण] लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। स्पर्शोन्मुख निर्देशांक में, जो प्रकाश शंकु निर्देशांक के अनुरूप है, एक लोरेंत्ज़ परिवर्तन है $$(x,t)\mapsto\left(\tfrac{1}{\lambda}x,\lambda t\right)$$.

इसे निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:


 * $$\begin{matrix}-c^{2}t^{2}+x^{2}=-c^{2}t^{\prime2}+x^{\prime2}\\

\hline \begin{align}ct' & =ct\gamma-x\beta\gamma & & =ct\cosh\eta-x\sinh\eta\\ x' & =-ct\beta\gamma+x\gamma & & =-ct\sinh\eta+x\cosh\eta \end{align} \\ \hline u=ct+x,\ v=ct-x,\ k=\sqrt{\tfrac{1+\beta}{1-\beta}}=e^{\eta}\\ u'=\frac{u}{k},\ v'=kv\\ \hline u'v'=uv \end{matrix}$$ जहां k बॉन्डी k-गणना में डॉपलर कारक से अनुरूप है, और η तीव्रता है।

यह भी देखें

 * अनिश्चितकालीन लंबकोणीय समूह
 * सम-आयतनिक प्रक्रिया

संदर्भ

 * HSM Coxeter & SL Greitzer (1967) Geometry Revisited, Chapter 4 Transformations, A genealogy of transformation.
 * P. S. Modenov and A. S. Parkhomenko (1965) Geometric Transformations, volume one. See pages 104 to 106.
 * (see page 9 of e-link)