बहुस्तरीय मोंटे कार्लो विधि

संख्यात्मक विश्लेषण में बहुस्तरीय मोंटे कार्लो (एमएलएमसी) विधियाँ संयोजनात्मक अनुरूपण में उत्पन्न होने वाले अपेक्षित मूल्यों की गणना के लिए एक कलन विधि हैं। मोंटे कार्लो विधियों की तरह, बहुस्तरीय मोंटे कार्लो विधियाँ भी दोहरे प्रक्रिया आधारित यादृच्छिक प्रतिरूप चयन पर आधारित होती हैं, परंतु इन प्रतिरूपो को विभिन्न सत्यता स्तरों पर लिया जाता है। एमएलएमसी विधियाँ मुख्य रूप से मानक मोंटे कार्लो विधियों की गणना के गणितीय लागत को अत्यधिक कम कर सकती हैं, क्योंकि इसमें अधिकांश प्रतिरूपो को कम सत्यता और उसके संबंधित कम लागत के साथ लिया जाता है, और मात्र बहुत कम संख्या में प्रतिरूपो को उच्च सत्यता और उसके संबंधित उच्च लागत के साथ लिया जाता है।

लक्ष्य
बहुस्तरीय मोंटे कार्लो विधि का उद्देश्य एक प्रसंभाव्य अनुरूपण के आउटपुट होने वाले यादृच्छिक परिवर्तन $$G$$ की अपेक्षित मान $$\operatorname{E}[G]$$ का अनुमान लगाना है। यदि यह यादृच्छिक परिवर्तन सटीकता से अनुकारित नहीं किया जा सकता है, तब यहां एक अनुक्रमणिका$$G_0, G_1, \ldots, G_L$$ होती है $$G_0, G_1, \ldots, G_L$$ जो सुधारती सटीकता के साथ बढ़ती है, परंतु उसके साथ लागत भी बढ़ती है, जैसा कि $$G$$ और $$L\rightarrow\infty$$अभिसरण करता है बहुस्तरीय विधि का आधार दूरबीन योग समीकरण होता है।,

$ \operatorname{E}[G_{L}] = \operatorname{E}[G_{0}] + \sum_{\ell=1}^L \operatorname{E}[G_\ell - G_{\ell-1}],$

यह अपेक्षा ऑपरेटर की रैखिकता के कारण आसानी से पूरा किया जा सकता है। इसके बाद हर अपेक्षा $$\operatorname{E}[G_\ell - G_{\ell-1}]$$ को मोंटे कार्लो विधि के द्वारा अनुमानित किया जाता है, जिससे बहुस्तरीय मोंटे कार्लो विधि प्राप्त होती है। ध्यान दें कि स्तर $$\ell$$ के $$G_\ell - G_{\ell-1}$$ का एक प्रतिरूप लेना  $$G_{\ell}$$ और $$G_{\ell-1}$$ दोनों अनुरूपण की आवश्यकता होती है।

एमएलएमसी विधि केवल तभी काम करती है जब प्रसरण $$\operatorname{V}[G_\ell - G_{\ell-1}]\rightarrow0$$ के रूप में होती है तब $$\ell\rightarrow\infty$$, हो सकती है यदि दोनों $$G_{\ell}$$ और $$G_{\ell-1}$$ एक ही यादृच्छिक परिवर्तन $$G$$.को अनुमानित करते हैं। केंद्रीय सीमा सिद्धांत के अनुसार, यह इसका अर्थ है कि जैसे ही $$G_\ell - G_{\ell-1}$$ होता है, अंतर  $$\ell\rightarrow\infty$$.की अपेक्षा को सटीकता से अनुमानित करने के लिए कम से कम प्रतिरूपों की आवश्यकता होती है।

इसलिए, अधिकांश प्रतिरूप स्तर $$0$$, पर लिए जाएंगे, जहां प्रतिरूप सस्ते होते हैं, और केवल बहुत कम प्रतिरूप सबसे छोटे स्तर $$L$$. पर आवश्यक होंगे। इस अर्थ में, एमएलएमसी को एक पुनरावर्ती नियंत्रण भिन्न रणनीति के रूप में माना जा सकता है।

अनुप्रयोग
एमएलएमसी के पहले आवेदन का श्रेय माइक जाइल्स को दिया जाता है, मोंटे कार्लो विकल्प मॉडल के लिए स्टोचैस्टिक अंतर समीकरण (एसडीई) के संदर्भ में, हालांकि, पैरामीट्रिक एकीकरण के संदर्भ में हेनरिक के काम में पहले के निशान पाए जाते हैं। यहाँ, यादृच्छिक चर $$G=f(X(T))$$ अदायगी समारोह, और सन्निकटन के अनुक्रम के रूप में जाना जाता है $$G_\ell$$, $$\ell=0,\ldots,L$$ प्रतिरूप  पथ के सन्निकटन का उपयोग करें $$X(t)$$ समय कदम के साथ $$h_\ell=2^{-\ell}T$$.

अनिश्चितता परिमाणीकरण (यूक्यू) में समस्याओं के लिए एमएलएमसी का अनुप्रयोग अनुसंधान का एक सक्रिय क्षेत्र है। इन समस्याओं का एक महत्वपूर्ण प्रोटोटाइपिकल उदाहरण आंशिक अंतर समीकरण (पीडीई) हैं जो स्टोकेस्टिक आंशिक अंतर समीकरण के साथ हैं। इस संदर्भ में, यादृच्छिक चर $$G$$ ब्याज की मात्रा के रूप में जाना जाता है, और सन्निकटन का क्रम अलग-अलग जाल आकारों के साथ पीडीई के विवेक से मेल खाता है।

एमएलएमसी अनुकरण के लिए एक एल्गोरिथ्म
एमएलएमसी अनुरूपण के लिए एक सरल स्तर-अनुकूली एल्गोरिदम छद्म कोड में नीचे दिया गया है। $$L\gets0$$ दोहराना स्तर पर वार्म-अप के नमूने लें $$L$$ सभी स्तरों पर प्रतिरूप  प्रसरण की गणना करें $$\ell=0,\ldots,L$$ प्रतिरूपो  की इष्टतम संख्या को परिभाषित करें $$N_\ell$$ सभी स्तरों पर $$\ell=0,\ldots,L$$ प्रत्येक स्तर पर अतिरिक्त नमूने लें $$\ell$$ के अनुसार $$N_\ell$$ अगर $$L\geq2$$ तब अभिसरण के लिए परीक्षण अंत अगर नहीं मिला तो $$L\gets L+1$$ अंत अभिसरण होने तक

एमएलएमसी का विस्तार
बहुस्तरीय मोंटे कार्लो पद्धति के हाल के विस्तार में मल्टी-इंडेक्स मोंटे कार्लो शामिल हैं, जहां शोधन की एक से अधिक दिशाओं पर विचार किया जाता है, क्वासी-मोंटे कार्लो विधि पद्धति के साथ एमएलएमसी का संयोजन।

यह भी देखें

 * मोंटे कार्लो विधि
 * वित्त में मोंटे कार्लो के तरीके
 * वित्त में क्वासी-मोंटे कार्लो पद्धति
 * अनिश्चितता मात्रा का ठहराव
 * स्टोकेस्टिक आंशिक अंतर समीकरण