बास विसरण मॉडल

बास प्रतिरूप या बास विसरण प्रतिरूप फ्रैंक बास द्वारा विकसित किया गया था। इसमें एक सरल अंतर समीकरण सम्मिलित है जो इस प्रक्रिया का वर्णन करता है कि किसी आबादी में नए उत्पाद कैसे अपनाए जाते हैं। प्रतिरूप एक तर्क प्रस्तुत करता है कि किसी नए उत्पाद को वर्तमान ग्राही और संभावित ग्राही कैसे परस्पर क्रिया करते हैं। प्रतिरूप का मूल आधार यह है कि ग्राही को नवप्रवर्तकों या नकल करने वालों के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है, और अपनाने की गति और समय उनके नवीनीकरण की कोटि और ग्राही के बीच नकल की कोटि पर निर्भर करता है। बास प्रतिरूप का व्यापक रूप से पूर्वानुमान में उपयोग विशेष रूप से नए उत्पादों की बिक्री पूर्वानुमान और प्रौद्योगिकी पूर्वानुमान में किया गया है। गणितीय रूप से, मूल बास विसरण एक रिकाटी समीकरण है जिसमें वर्हुल्स्ट-पर्ल संभार तन्त्र विकास के बराबर निरंतर गुणांक होता है।

1969 में, फ्रैंक बैस ने उपभोक्ता टिकाऊ वस्तु के लिए एक नए उत्पाद विकास प्रतिरूप पर अपना लेख प्रकाशित किया। इससे पहले, एवरेट रोजर्स ने Fusion-Innovations-5th-Everett-Rogers/dp/0743222091 डिफ्यूजन ऑफ इनोवेशन प्रकाशित किया था, जो एक बेहद प्रभावशाली काम था जिसमें उत्पाद अपनाने के विभिन्न चरणों का वर्णन किया गया था। बैस ने इस अवधारणा में कुछ गणितीय विचारों का योगदान दिया। जबकि रोजर्स प्रतिरूप उत्पाद जीवनचक्र के सभी चार चरणों (परिचय, विकास, परिपक्वता, गिरावट) का वर्णन करता है, बास प्रतिरूप पहले दो (परिचय और विकास) पर ध्यान केंद्रित करता है। कुछ बास-प्रतिरूप विस्तारण पिछले दो (परिपक्वता और गिरावट) के लिए गणितीय प्रतिरूप प्रस्तुत करते हैं।

प्रतिरूप सूत्रीकरण

 * $$\frac{f(t)}{1-F(t)} = p + q F(t)$$

जहाँ:
 * $$\ F(t) $$ स्थापित आधार अंश है
 * $$\ f(t) $$ स्थापित आधार अंश के परिवर्तन की दर है, अर्थात $$\ f(t)= F'(t) $$
 * $$\ p $$ नवप्रवर्तन का गुणांक है
 * $$\ q $$ अनुकरण का गुणांक है

एक साधारण अंतर समीकरण के रूप में व्यक्त किया गया,
 * $$\frac{dF}{dt} = p (1-F) + q (1-F) F = (1-F)(p+qF).$$

बिक्री (या नए ग्राही)$$\ s(t) $$ समय$$\ t$$ पर स्थापित आधार के परिवर्तन की दर है, अर्थात,$$\ f(t) $$ अंतिम बाज़ार क्षमता$$\ m $$ से गुणा किया गया। स्तिथि के अंतर्गत$$\ F(0)=0 $$, हमारे पास निम्न है


 * $$\ s(t)=mf(t) $$
 * $$\ s(t)=m{ \frac{(p+q)^2}{p}} \frac{e^{-(p+q)t}}{(1+\frac{q}{p}e^{-(p+q)t})^2} $$

हमारे पास विघटन $$\ s(t)=s_n(t)+ s_i(t) $$ है जहाँ $$\ s_n(t):= m p (1-F(t))$$ समय पर नवप्रवर्तकों की संख्या$$\ t $$ है और $$\ s_i(t):= m q (1-F(t))F(t) $$ समय$$\ t$$ पर प्रवर्तक की संख्या है।

चरम बिक्री $$\ t^* $$ का समय
 * $$\ t^*=\frac{\ln q - \ln p}{p+q} $$
 * विभक्ति का समय नए ग्राही को वक्र t** पर इंगित करता है

$$\ t^{**}=\frac{\ln (q/p ) - \ln ( 2 \pm \sqrt { 3 }))}{p+q} $$

या किसी अन्य रूप में (शीर्ष बिक्री से संबंधित)

$$\ t^{**}= t^{*} \pm \frac{\ln ( 2 + \sqrt { 3 }))}{p+q} $$

चरम समय और विभक्ति बिंदुओं का समय सकारात्मक होना चाहिए। जब t* ऋणात्मक होता है तो बिक्री का कोई चरम नहीं होता (और परिचय के बाद से इसमें गिरावट होती है)। ऐसी स्तिथियाँ हैं (p, q मानों के आधार पर) जब नए ग्राही वक्र (जो 0 से प्रारम्भ होता है) में केवल एक या कोई विभक्ति बिंदु नहीं होता है।

स्पष्टीकरण
गुणांक p को नवीनीकरण, बाहरी प्रभाव या विज्ञापन प्रभाव का गुणांक कहा जाता है। गुणांक q को अनुकरण, आंतरिक प्रभाव या मौखिक प्रभाव का गुणांक कहा जाता है।

जब समय t को वर्षों में मापा जाता है तो p और q के विशिष्ट मान निम्न हैं:
 * p का औसत मान 0.03 पाया गया है, जिसकी सामान्य सीमा 0.01 और 0.03 के बीच है
 * q का औसत मान 0.38 पाया गया है, जिसकी सामान्य सीमा 0.3 और 0.5 के बीच है

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[[image:Bass new adopters.svg

व्युत्पत्ति
बास विसरण प्रतिरूप आपददर $$\lambda(t)$$ को मानकर किसी उत्पाद या सेवा की प्राप्ति के लिए तैयार किया गया है, इसे इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:$$\lambda(t) = {f(t)\over{S(t)}} = p + q[1-S(t)]$$जहाँ $$f(t)$$ संभाव्यता घनत्व फलन है और $$S(t) = 1-F(t)$$ उत्तरजीविता कार्य है, साथ में $$F(t)$$ संचयी वितरण फलन है। उत्तरजीविता विश्लेषण में इन बुनियादी परिभाषाओं से, हम जानते हैं कि:$$f(t) = -{dS\over{dt}} \implies \lambda(t) = -{1\over{S}}{dS\over{dt}}$$इसलिए, उत्तरजीविता फलन के लिए अंतर समीकरण इसके बराबर है:$${dS\over{S[p + q(1-S)]}} = -dt$$शब्दों का एकीकरण और पुनर्व्यवस्था हमें यह देती है:$${S\over{p+q(1-S)}} = Ae^{-(p+q)t}$$किसी भी जीवित रहने के कार्य के लिए, हमारे पास $$S(0) = 1$$ होना ही चाहिए और इसका तात्पर्य $$A = p^{-1}$$ है। इस स्थिति के साथ, उत्तरजीविता कार्य निम्न है:$$S(t) = {e^{-(p+q)t} + {q\over{p}}e^{-(p+q)t}\over{1 + {q\over{p}} e^{-(p+q)t} }}$$अंत में, इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि $$F(t) = 1-S(t)$$, हम पाते हैं कि उत्पाद ग्रहण के लिए बास विसरण प्रतिरूप निम्न है:$$F(t) = {1 - e^{-(p+q)t}\over{1 + {q\over{p}} e^{-(p+q)t} }}$$

सामान्यीकृत बास प्रतिरूप (मूल्य निर्धारण के साथ)
बैस ने पाया कि प्रबंधकीय निर्णय चर की एक विस्तृत श्रृंखला के होने के बाद भी, उनका प्रतिरूप लगभग सभी उत्पाद के आंकड़े परिचय के लिए उपयुक्त हैं, जैसे कि मूल्य निर्धारण और विज्ञापन। इसका मतलब यह है कि निर्णय चर समय के साथ बास वक्र को स्थानांतरित कर सकते हैं, लेकिन वक्र का आकार हमेशा समान होता है।

हालाँकि प्रतिरूप के कई विस्तार प्रस्तावित किए गए हैं, सामान्य परिस्थितियों में इनमें से केवल एक ही बास प्रतिरूप तक सीमित है। [[image:Bass diffusion model.svg|right यह प्रतिरूप 1994 में फ्रैंक बास, त्रिची कृष्णन और दीपक जैन द्वारा विकसित किया गया था:


 * $$\frac{f(t)}{1-F(t)} = (p + {q}F(t)) x(t)$$

जहाँ $$\ x(t) $$ कीमत और अन्य चरों में प्रतिशत परिवर्तन का एक कार्य है

बास प्रतिरूप के विपरीत, जिसमें एक विश्लेषणात्मक समाधान होता है, लेकिन इसे संख्यात्मक रूप से भी हल किया जा सकता है, सामान्यीकृत बास प्रतिरूप में सामान्यतः विश्लेषणात्मक समाधान नहीं होते हैं और इन्हें संख्यात्मक रूप से हल किया जाना चाहिए। ओरबैक (2016) ध्यान दें कि निरंतर-समय और असतत-समय रूपों के लिए p,q के मान बिल्कुल समान नहीं हैं। सामान्य स्तिथियों के लिए (जहाँ p 0.01-0.03 की सीमा के भीतर है और q 0.2-0.4 की सीमा के भीतर है) असतत-समय और निरंतर-समय के पूर्वानुमान बहुत करीब हैं। अन्य पी, q मानों के लिए पूर्वानुमान महत्वपूर्ण रूप से भिन्न हो सकते हैं।

उत्तरोत्तर पीढ़ियाँ
प्रौद्योगिकी उत्पाद पीढ़ियों में एक दूसरे को सफल बनाते हैं। नॉर्टन और बैस ने 1987 में लगातार पुनराव्रत्ति खरीदारी के साथ उत्पादों की बिक्री के लिए प्रतिरूप का विस्तार किया। तीन पीढ़ियों के लिए सूत्रीकरण इस प्रकार है:
 * $$\ S_{1,t} = F(t_1) m_1 (1-F(t_2)) $$
 * $$\ S_{2,t} = F(t_2) (m_2 + F(t_1) m_1 ) (1-F(t_3)) $$
 * $$\ S_{3,t} = F(t_3) (m_3 + F(t_2) (m_2 + F(t_1) m_1 )) $$

जहाँ यह पाया गया है कि p और q पद सामान्यतः क्रमिक पीढ़ियों के बीच समान होते हैं।
 * $$\ m_i = a_i M_i $$
 * $$\ M_i $$ Ith पीढ़ी के उत्पाद को अंतिम रूप से ग्राही की वृद्धिशील संख्या है
 * $$\ a_i $$ पहली पीढ़ी के उत्पाद को ग्राही के बीच औसत (निरंतर) पुनराव्रत्ति खरीदारी की दर है
 * $$\ t_i $$ यह पहली पीढ़ी के उत्पाद की प्रारम्भ के बाद का समय है
 * $$\ F(t_i) = \frac{1-e^{-(p+q)t_i}}{1+\frac{q}{p} e^{-(p+q)t_i}} $$

अन्य s-वक्रों के साथ संबंध
बास विसरण प्रतिरूप की दो विशेष स्तिथियाँ हैं।


 * पहली विशेष स्तिथि तब होता है जब q=0, जब प्रतिरूप घातीय वितरण तक कम हो जाता है।
 * दूसरी विशेष स्तिथि संभार तंत्र वितरण तक सीमित हो जाता है, जब p=0 है।

बास प्रतिरूप गामा/स्थानांतरित गोम्पर्ट्ज़ वितरण (जी/एसजी): बेम्मोर (1994) की एक विशेष स्तिथि है

ऑनलाइन सामाजिक विरचना में उपयोग
ऑनलाइन सामाजिक विरचना (और अन्य आभासी समुदाय) में तीव्रता से, हाल ही में (2007 के प्रारम्भ तक) वृद्धि के कारण बास विसरण प्रतिरूप का उपयोग बढ़ गया है। बास विसरण प्रतिरूप का उपयोग इन सामाजिक विरचना के आकार और विकास दर का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है। क्रिश्चियन बॉकहेज और सह-लेखकों द्वारा काम दर्शाता है कि बास प्रतिरूप विबुलबंटन और स्थानांतरित गोम्पर्ट्ज़ वितरण जैसे वैकल्पिक प्रतिरूप की तुलना में भविष्य की अधिक निराशावादी तस्वीर प्रदान करता है।

p, q मापदण्ड की श्रेणियां
बास (1969) p q का एक स्तिथि जिसमें प्रक्षेपण से समय-समय पर बिक्री में गिरावट आती है (कोई चरम नहीं)।

जैन एट अल. (1995) बिरवा के प्रभाव का पता लगाया। बिरवा का उपयोग करते समय, विसरण तब प्रारम्भ हो सकता है जब p + qF(0) > 0, भले ही p का मान प्रतिकूल हो, लेकिन एक विपणक F(0) > -p/q के बीज आकार के साथ बिरवा रणनीति का उपयोग करता है। प्रतिकूल p मान की व्याख्या का मतलब यह नहीं है कि उत्पाद बेकार है: ऐसी स्तिथियाँ हो सकती हैं जिनमें गोद लेने के लिए कीमत या प्रयास बाधाएं होती हैं जब बहुत कम अन्य लोग पहले ही अपना चुके होते हैं। जब अन्य लोग इसे अपनाते हैं, तो बाह्यताओं या अनिश्चितता में कमी के कारण उत्पाद से लाभ बढ़ जाता है, और उत्पाद कई संभावित ग्राहकों के लिए अधिक से अधिक प्रशंसनीय हो जाता है।

मोल्दोवन और गोल्डनबर्ग (2004) विसरण पर प्रतिकूल वर्ड ऑफ माउथ (डब्ल्यूओएम) प्रभाव सम्मिलित है, जो प्रतिकूल q की संभावना को दर्शाता है। प्रतिकूल q का मतलब यह नहीं है कि ग्राही अपनी खरीद से निराश और असंतुष्ट हैं। यह उस स्तिथि में उपयुक्त हो सकता है जिसमें किसी उत्पाद को अधिक लोगों द्वारा अपनाए जाने पर उससे होने वाला लाभ कम हो जाता है। उदाहरण के लिए, ट्रेन यात्रा के लिए एक निश्चित मांग स्तर के लिए, आरक्षित टिकट उन लोगों को बेचे जा सकते हैं जो सीट की प्रत्याभुति चाहते हैं। जो लोग सीट आरक्षित नहीं कराते उन्हें खड़े होकर यात्रा करनी पड़ सकती है। जैसे-जैसे अधिक आरक्षित सीटें बेची जाती हैं, गैर-आरक्षित रेलमार्ग कार में भीड़ कम हो जाती है, और गैर-आरक्षित कार में सीट मिलने की संभावना बढ़ जाती है, जिससे आरक्षित सीटें खरीदने के लिए प्रोत्साहन कम हो जाता है। जबकि प्रतिकूल q के साथ गैर-संचयी बिक्री वक्र q = 0 के समान है, संचयी बिक्री वक्र एक अधिक रोचक स्थिति प्रस्तुत करता है: जब p > -q, बाजार अपनी क्षमता के 100% तक अंततः, q के नियमित सकारात्मक मूल्य के लिए पहुंच जाएगा। हालाँकि, यदि p < -q, जब सुदूर होते हैं तब बाजार अपनी क्षमता के संतुलन स्तर -p/q पर संतृप्त होगा।

p, q दिक्स्थान के प्रत्येक भाग में विसरण व्यवहार को सारांशित किया गया है और सकारात्मक दाएं चतुर्थांश (जहां विसरण सहज है) से परे विस्तारित (पी, क्यू) क्षेत्रों को अन्य क्षेत्रों में मानचित्रित किया गया है जहां विसरण बाधाओं (प्रतिकूल पी) का सामना करता है, जहां विसरण " प्रारम्भ करने के लिए उत्तेजनाएं, या नए सदस्यों के प्रति ग्राही का प्रतिरोध (प्रतिकूल क्यू), की आवश्यकता होती है। जो बाजार को पूर्ण अधिग्रहण के नीचे स्थिर कर सकता है, घटित होता है।

इस प्रतिरूप को अपनाना
यह प्रतिरूप विपणन में सर्वाधिक उद्धृत अनुभवजन्य सामान्यीकरणों में से एक है; अगस्त 2023 तक प्रबंधन विज्ञान में प्रकाशित लेख ए न्यू प्रोडक्ट ग्रोथ फॉर मॉडल कंज्यूमर ड्यूरेबल्स में गूगल स्कॉलर में (लगभग) 11352 उद्धरण थे।

यह प्रतिरूप विपणन और प्रबंधन विज्ञान में व्यापक रूप से प्रभावशाली रहा है। 2004 में इसे प्रबंधन विज्ञान के 50 साल के इतिहास में दस सबसे अधिक उद्धृत पत्रों में से एक के रूप में चुना गया था। इसे पांचवें स्थान पर रखा गया और यह सूची में एकमात्र विपणन लेख था। बाद में इसे प्रबंध विज्ञान के दिसंबर 2004 अंक में दोबारा प्रकाशित किया गया।

बास प्रतिरूप उपभोक्ता टिकाऊ वस्तुओं के लिए विकसित किया गया था। हालाँकि, इसका उपयोग मूर्त, गैर-मूर्त, चिकित्सा सहित कई उपभोक्ता और औद्योगिक उत्पादों और सेवाओं और वित्तीय उत्पाद की बाजार स्वीकृति का पूर्वानुमान लगाने के लिए भी किया गया है।   सुलतान एट अल. (1990) ने बास प्रतिरूप को 213 उत्पाद श्रेणियों में लागू किया, अधिकतर उपभोक्ता टिकाऊ वस्तुओं (कीमतों की एक विस्तृत श्रृंखला में) लेकिन मोटल और संकर मकई के बीज जैसे औद्योगिक/कृषि उत्पादों जैसी सेवाओं के लिए भी लागू किया गया।

यह भी देखें

 * नवीनता का विसरण
 * भविष्यवाणी
 * आलसी उपयोगकर्ता प्रतिरूप
 * गोम्पर्ट्ज़ वितरण स्थानांतरित