ज्यामितीय प्रकाशिकी

ज्यामितीय प्रकाशिकी, या किरण प्रकाशिकी, प्रकाशिकी का एक मॉडल है जो किरणों के संदर्भ में प्रकाश के प्रसार का वर्णन करता है। ज्यामितीय प्रकाशिकी में किरण उन पथों के सन्निकटन के लिए उपयोगी एक अमूर्तता है जिसके साथ कुछ परिस्थितियों में प्रकाश फैलता है।

ज्यामितीय प्रकाशिकी की सरल धारणाओं में प्रकाश किरणें शामिल हैं।


 * एक सजातीय माध्यम में यात्रा करते समय सीधी रेखा पथों में प्रचारित करें।
 * मोड़, और विशेष परिस्थितियों में दो अलग-अलग मीडिया के बीच इंटरफेस दो में विभाजित हो सकता है।
 * एक माध्यम में घुमावदार पथों का अनुसरण करें जिसमें अपवर्तनांक बदलता है।
 * अवशोषित या परावर्तित हो सकता है।

ज्यामितीय प्रकाशिकी कुछ ऑप्टिकल प्रभावों जैसे विवर्तन और व्यतिकरण के लिए जिम्मेदार नहीं है। यह सरलीकरण व्यवहार में उपयोगी है, यह एक उत्कृष्ट सन्निकटन है जब तरंग दैर्ध्य संरचनाओं के आकार की तुलना में छोटी होती है जिसके साथ प्रकाश संपर्क करता है। ऑप्टिकल विपथन सहित प्रतिबिम्ब के ज्यामितीय पहलुओं का वर्णन करने में तकनीक विशेष रूप से उपयोगी है।

स्पष्टीकरण
एक प्रकाश किरण एक रेखा या वक्र है जो प्रकाश के तरंगों के लिए लंबवत है (और इसलिए तरंग वेक्टर के साथ मिलती है)। प्रकाश किरण की थोड़ी अधिक कठोर परिभाषा फ़र्मेट के सिद्धांत से आती है, जिसमें कहा गया है कि प्रकाश की किरण द्वारा दो बिंदुओं के बीच लिया गया पथ वह पथ है जिसे कम से कम समय में पार किया जा सकता है।

ज्यामितीय प्रकाशिकी को प्रायः पराअक्षीय सन्निकटन, या "छोटे कोण सन्निकटन" बनाकर सरल बनाया जाता है। गणितीय व्यवहार तब रैखिक हो जाता है, जिससे प्रकाशिक घटकों और प्रणालियों को साधारण मैट्रिक्स द्वारा वर्णित किया जा सकता है। यह गॉसियन ऑप्टिक्स और पराअक्षीय किरण अनुरेखण की तकनीकें सामने आती है, जिनका उपयोग प्रकाशिक प्रणाली के बुनियादी गुणों को खोजने के लिए किया जाता है, जैसे अनुमानित छवि और वस्तु की स्थिति और आवर्धन।

प्रतिबिंब


दर्पण जैसी चमकदार सतहें प्रकाश को सरल, पूर्वानुमेय तरीके से परावर्तित करती हैं। यह प्रतिबिंबित छवियों के उत्पादन की अनुमति देता है जो अन्तराल में वास्तविक (वास्तविक) या बहिर्वेशित (आभासी) स्थान से जुड़ा हो सकता है।

ऐसी सतहों के साथ, परावर्तित किरण की दिशा उस कोण से निर्धारित होती है जिस पर आपतित किरण सतह के साथ उस बिंदु पर सतह के लंबवत रेखा बनाती है जहां किरण टकराती है। आपतित और परावर्तित किरणें एक ही तल में होती हैं, और परावर्तित किरण और सतह अभिलंब के बीच का कोण वही होता है जो आपतित किरण और अभिलंब के बीच होता है। इसे परावर्तन के नियम के रूप में जाना जाता है।

समतल दर्पणों के लिए, परावर्तन के नियम का तात्पर्य है कि वस्तुओं के प्रतिबिम्ब सीधे और दर्पण के पीछे उतनी ही दूरी पर होते हैं जितनी कि वस्तुएँ दर्पण के सामने होती हैं। छवि का आकार वस्तु के आकार के समान है। (समतल दर्पण का आवर्धन एक के बराबर होता है।) नियम का यह भी तात्पर्य है कि दर्पण छवियां समता व्युत्क्रमण होती हैं, जिसे बाएं-दाएं व्युत्क्रमण माना जाता है।

घुमावदार सतहों वाले दर्पणों को किरण अनुरेखण और सतह पर प्रत्येक बिंदु पर परावर्तन के नियम का उपयोग करके बनाया जा सकता है। परवलयिक सतहों वाले दर्पणों के लिए, दर्पण पर आपतित समानांतर किरणें परावर्तित किरणें उत्पन्न करती हैं जो एक सामान्य फोकस पर अभिसरित होती हैं। अन्य घुमावदार सतहें भी प्रकाश पर ध्यान केंद्रित कर सकती हैं, लेकिन विचलन के साथ आकार के विचलन के कारण अंतराल में फोकस को धुंधला कर दिया जाता है। विशेष रूप से, गोलाकार दर्पण गोलाकार विपथन प्रदर्शित करते हैं। घुमावदार दर्पण एक से अधिक या उससे कम आवर्धन वाली छवियां बना सकते हैं, और छवि सीधी या उलटी हो सकती है। दर्पण में परावर्तन से बनने वाला सीधा प्रतिबिम्ब हमेशा आभासी होता है, जबकि उल्टा प्रतिबिम्ब वास्तविक होता है और इसे परदे पर प्रक्षेपित किया जा सकता है।

अपवर्तन




अपवर्तन तब होता है जब प्रकाश अंतराल के एक क्षेत्र से होकर गुजरता है जिसमें अपवर्तन का एक परिवर्तनशील सूचकांक होता है। अपवर्तन का सबसे सरल स्थिति तब होती है जब अपवर्तन के सूचकांक के साथ समान माध्यम के बीच एक इंटरफेस $$n_1$$होता है और और दूसरा माध्यम अपवर्तन के सूचकांक के साथ $$n_2$$ होता है। तो ऐसी स्थितियों में, स्नेल का नियम प्रकाश किरण के परिणामी विक्षेपण का वर्णन करता है।

$$n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2\ $$

जहाँ $$\theta_1$$ तथा $$\theta_2$$ क्रमशः अभिलंब (अंतराफलक के लिए) और आपतित और अपवर्तित तरंगों के बीच के कोण हैं। यह घटना प्रकाश की बदलती गति से भी जुड़ी है जैसा कि ऊपर दिए गए अपवर्तन सूचकांक की परिभाषा से देखा गया है जिसका अर्थ है-

$$v_1\sin\theta_2\ = v_2\sin\theta_1$$

जहाँ $$v_1$$ तथा $$v_2$$ संबंधित मीडिया के माध्यम से तरंग वेग हैं।

स्नेल के नियम के विभिन्न परिणामों में यह तथ्य शामिल है कि उच्च अपवर्तन सूचकांक वाली पदार्थ से कम अपवर्तन सूचकांक वाली पदार्थ तक जाने वाली प्रकाश किरणों के लिए, अंतराफलक के साथ परस्पर क्रिया के परिणामस्वरूप शून्य संचरण संभव है। इस घटना को पूर्ण आंतरिक परावर्तन कहा जाता है और यह प्रकाशीय तन्तु प्रौद्योगिकी के लिए अनुमति देता है। जैसे ही प्रकाश संकेत एक फाइबर प्रकाशीय केबल के नीचे जाते हैं, वे कुल आंतरिक प्रतिबिंब से गुजरते हैं जिससे अनिवार्य रूप से केबल की लंबाई में कोई प्रकाश नहीं खोता है। परावर्तन और अपवर्तन के संयोजन का उपयोग करके ध्रुवीकृत प्रकाश किरणों उत्पन्न करना भी संभव है। जब एक अपवर्तित किरण और परावर्तित किरण एक समकोण बनाती है, तो परावर्तित किरण में "प्लेन ध्रुवीकरण" का गुण होता है। ऐसे परिदृश्य के लिए आवश्यक आपतन कोण को ब्रूस्टर कोण के रूप में जाना जाता है।

स्नेल के नियम का उपयोग प्रकाश किरणों के विक्षेपण की भविष्यवाणी करने के लिए किया जा सकता है क्योंकि वे "रैखिक मीडिया" से गुजरते हैं, जब तक कि अपवर्तन के सूचकांक और माध्यम की ज्यामिति ज्ञात होती है। उदाहरण के लिए, प्रिज्म के माध्यम से प्रकाश के प्रसार के परिणामस्वरूप प्रकाश की किरण प्रिज्म के आकार और अभिविन्यास के आधार पर विक्षेपित हो जाती है। इसके अतिरिक्त, चूंकि प्रकाश की विभिन्न आवृत्तियों में अधिकांश पदार्थों में अपवर्तन के थोड़ा अलग सूचकांक होते हैं, इसलिए अपवर्तन का उपयोग इंद्रधनुष के रूप में दिखाई देने वाले परिक्षेपण वर्णक्रम का उत्पादन करने के लिए किया जा सकता है। एक प्रिज्म के माध्यम से प्रकाश पारित करते समय इस घटना की खोज का श्रेय आइजैक न्यूटन को दिया जाता है।

कुछ माध्यम में अपवर्तन का एक सूचकांक होता है जो धीरे-धीरे स्थिति के साथ बदलता रहता है और इस प्रकार, प्रकाश किरणें सीधी रेखाओं में यात्रा करने के बजाय माध्यम से वक्र होती हैं। यह प्रभाव गर्म दिनों में देखी जाने वाली मृगतृष्णाओं के लिए उत्तरदायी होता है, जहां हवा के अपवर्तन के बदलते सूचकांक के कारण प्रकाश किरणें झुक जाती हैं, जिससे दूरी में नियमित परावर्तन (जैसे कि पानी के एक पूल की सतह पर) का आभास होता है। पदार्थ जिसमें अपवर्तन का एक अलग सूचकांक होता है उसे ढाल सूचकांक (जीआरआईएन) पदार्थ कहा जाता है और इसमें फोटोकॉपियर और स्कैनर सहित आधुनिक प्रकाशिकी अवलोकन (स्कैनिंग) तकनीकों में उपयोग किए जाने वाले कई उपयोगी गुण होते हैं। घटना का अध्ययन ढाल-सूचकांक प्रकाशिकी के क्षेत्र में किया जाता है।

एक उपकरण जो अपवर्तन के कारण प्रकाश किरणों को अभिसारी या अपसारी करता है, लेंस के रूप में जाना जाता है। पतले लेंस दोनों तरफ फोकल बिन्दु उत्पन्न करते हैं जिन्हें लेंसमेकर के समीकरण का उपयोग करके मॉडल किया जा सकता है। सामान्य तौर पर, दो प्रकार के लेंस मौजूद होते हैं- उत्तल लेंस, जो समानांतर प्रकाश किरणों के अभिसरण का कारण बनते हैं, और अवतल लेंस, जो समानांतर प्रकाश किरणों का विचलन करते हैं। घुमावदार दर्पणों के समान किरण-अनुरेखण का उपयोग करके इन लेंसों द्वारा छवियों का निर्माण कैसे किया जा सकता है, इसकी विस्तृत भविष्यवाणी की जा सकती है। इसी तरह घुमावदार दर्पणों के लिए, पतले लेंस एक साधारण समीकरण का अनुसरण करते हैं जो एक विशेष फोकल लंबाई ( $$f$$ ) और वस्तु दूरी ( $$S_1$$ ) द्वारा दी गई छवियों के स्थान को निर्धारित करता है।

$$\frac{1}{S_1} + \frac{1}{S_2} = \frac{1}{f} $$

जहाँ $$S_2$$ छवि से जुड़ी दूरी है। यदि वस्तु और लेंस एक ही तरफ है तो इसे अभिसमय द्बारा ऋणात्मक माना जाता है और यदि वस्तु लेंस के विपरीत तरफ है तो इसे सकारात्मक माना जाता है। अवतल लेंस के लिए फोकस दूरी f को ऋणात्मक माना जाता है।

आने वाली समानांतर किरणें उत्तल लेंस द्वारा लेंस के दूर की ओर एक उल्टे वास्तविक छवि में लेंस से एक फोकल लंबाई में केंद्रित होती हैं।

परिमित दूरी पर किसी वस्तु से किरणें फोकल दूरी की तुलना में लेंस से अधिक केंद्रित होती हैं, वस्तु लेंस के जितना निकट होगी, प्रतिबिम्ब लेंस से उतना ही अधिक दूर होगा। अवतल लेंस के साथ, आने वाली समानांतर किरणें लेंस के माध्यम से जाने के बाद अलग हो जाती हैं, इस तरह से कि वे लेंस से एक फोकल लंबाई की सीधी आभासी छवि से उत्पन्न होती हैं, लेंस के उसी तरफ जहां समानांतर किरणें आ रही हैं।

परिमित दूरी पर किसी वस्तु से किरणें एक आभासी छवि से जुड़ी होती हैं जो फोकल लंबाई की तुलना में लेंस के करीब होती है, और लेंस के उसी तरफ होती है जिस पर वस्तु। वस्तु लेंस के जितना निकट होगी, आभासी प्रतिबिम्ब लेंस के उतना ही निकट होगा।

इसी तरह, लेंस का आवर्धन किसके द्वारा दिया जाता है-

$$ M = - \frac{S_2}{S_1} = \frac{f}{f - S_1} $$

जहां सकारात्मक मूल्यों के लिए एक सीधी वस्तु और नकारात्मक मूल्यों के लिए एक उलटी वस्तु को इंगित करने के लिए अभिसमय द्वारा ऋणात्मक चिह्न दिया जाता है। दर्पणों के समान, एकल लेंस द्वारा निर्मित सीधे प्रतिबिम्ब आभासी होते हैं जबकि उल्टे प्रतिबिम्ब वास्तविक होते हैं।

लेंस विपथन से ग्रस्त हैं जो छवियों और फोकल बिंदुओं को विकृत करते हैं। ये दोनों ज्यामितीय अपूर्णताओं और प्रकाश की विभिन्न तरंग दैर्ध्य (क्रोमैटिक विपथन) के लिए अपवर्तन के बदलते सूचकांक के कारण हैं।

अंतर्निहित गणित
एक गणितीय अध्ययन के रूप में, ज्यामितीय प्रकाशिकी अतिपरवलयिक आंशिक अंतर समीकरणों (सोमरफेल्ड-रंज विधि) के समाधान के लिए एक लघु-तरंग दैर्ध्य सीमा के रूप में उभरती है या मैक्सवेल के समीकरणों (लूनबर्ग विधि) के अनुसार क्षेत्र असंतुलन के प्रसार के गुणों के रूप में उभरती है। इस लघु-तरंग दैर्ध्य सीमा में, स्थानीय रूप से समाधान का अनुमान लगाना संभव है।

$$u(t,x) \approx a(t,x)e^{i(k\cdot x - \omega t)}$$

जहाँ $$k, \omega$$ एक फैलाव संबंध को संतुष्ट करता हैं, और आयाम $$a(t,x)$$ धीरे-धीरे बदलता है। अधिक सटीक रूप से, अग्रणी आदेश समाधान रूप लेता है।

$$a_0(t,x) e^{i\varphi(t,x)/\varepsilon}.$$

अवधि $$\varphi(t,x)/\varepsilon$$ बड़े तरंग संख्या को पुनर्प्राप्त करने के लिए रैखिक किया जा सकता है $$k:= \nabla_x \varphi$$, और आवृत्ति $$\omega := -\partial_t \varphi$$. आयाम $$a_0$$ सातत्य समीकरण को संतुष्ट करता है। छोटा पैरामीटर $$\varepsilon\,$$अत्यधिक दोलनशील प्रारंभिक स्थितियों के कारण दृश्य में प्रवेश करता है। इस प्रकार, जब प्रारंभिक स्थितियां अवकल समीकरण के गुणांकों की तुलना में बहुत तेजी से दोलन करती हैं, तो समाधान अत्यधिक दोलन होंगे, और किरणों के साथ परिवहन किए जाएंगे। अवकल समीकरण में गुणांकों को सुचारू मानकर किरणें भी होंगी। दूसरे शब्दों में, अपवर्तन नहीं होता है। इस तकनीक के लिए प्रेरणा प्रकाश प्रसार के विशिष्ट परिदृश्य का अध्ययन करने से आती है जहां लघु तरंग दैर्ध्य प्रकाश किरणों के साथ यात्रा करता है जो इसके यात्रा समय को कम (अधिक या कम) करता है। इसके पूर्ण अनुप्रयोग के लिए माइक्रोलोकल विश्लेषण के उपकरणों की आवश्यकता होती है।

सोमरफेल्ड-रंज विधि
शून्य तरंगदैर्घ्य की सीमा लेकर ज्यामितीय प्रकाशिकी के समीकरण प्राप्त करने की विधि का वर्णन पहली बार 1911 में अर्नोल्ड सोमरफेल्ड और जे. रनगे ने किया था। उनकी व्युत्पत्ति पीटर डेबी की एक मौखिक टिप्पणी पर आधारित थी। एक रंग के अदिश क्षेत्र पर विचार करें $$\psi(\mathbf{r},t)=\phi(\mathbf{r})e^{i\omega t}$$, जहाँ  $$\psi$$ विद्युत या चुंबकीय क्षेत्र का कोई भी घटक हो सकता है और इसलिए फलन $$\phi$$ तरंग समीकरण को संतुष्ट करता है।

$$\nabla^2\phi + k_o^2 n(\mathbf{r}) \phi =0$$

जहाँ $$k_o=\omega/c=2\pi/\lambda_o$$ साथ $$c$$ निर्वात में प्रकाश की गति है। यहां, $$n(\mathbf{r})$$ माध्यम का अपवर्तनांक है। व्यापकता के खोए बिना, आइए परिचय देते हैं $$\phi=A(k_o,\mathbf{r}) e^{ik_oS(\mathbf{r})}$$ समीकरण को बदलने के लिए

चूंकि ज्यामितीय प्रकाशिकी का अंतर्निहित सिद्धांत सीमा में निहित है $$\lambda_o\sim k_o^{-1}\rightarrow 0$$, निम्नलिखित स्पर्शोन्मुख श्रृंखला मान ली गई है,

$$A(k_o,\mathbf{r}) = \sum_{m=0}^\infty \frac{A_m(\mathbf{r})}{(ik_o)^m}$$

के बड़े लेकिन परिमित मान के लिए $$k_o$$, श्रृंखला अलग हो जाती है, और व्यक्ति को केवल पहले कुछ शब्दों को ही उपयुक्त रखने में सावधानी बरतनी चाहिए। $$k_o$$ के प्रत्येक मान के लिए, किसी को रखे जाने वाले शब्दों की एक इष्टतम संख्या मिल सकती है और इष्टतम संख्या से अधिक शब्दों को जोड़ने से एक खराब सन्निकटन हो सकता है। श्रृंखला को समीकरण में प्रतिस्थापित करने और विभिन्न आदेशों की शर्तों को एकत्रित करने पर, पाया जाता है।

सामान्य रूप में,

पहले समीकरण को ईकोनल समीकरण के रूप में जाना जाता है, जो ईकोनल को निर्धारित करता है $$S(\mathbf{r})$$ एक हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण है, उदाहरण के लिए कार्टेशियन निर्देशांक में लिखा जाता है।

$$\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)^2 + \left(\frac{\partial S}{\partial z}\right)^2 = n^2.$$

शेष समीकरण कार्यों का निर्धारण करते हैं $$A_m(\mathbf{r})$$.

लूनबर्ग विधि
मैक्सवेल के समीकरणों के समाधान की असंगति की सतहों का विश्लेषण करके ज्यामितीय प्रकाशिकी के समीकरण प्राप्त करने की विधि का वर्णन पहली बार 1944 में रुडोल्फ कार्ल लूनबर्ग द्वारा किया गया था। यह विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र को सोमरफेल्ड-रुंज विधि द्वारा आवश्यक एक विशेष रूप के लिए प्रतिबंधित नहीं करता है जो आयाम $$A(k_o,\mathbf{r})$$ और चरण $$S(\mathbf{r})$$ मानता है, और समीकरण को संतुष्ट करता हैं।$$\lim_{k_0\to\infty}{1\over k_0}\left({1\over A}\,\nabla S \cdot \nabla A + {1\over 2}\nabla^2 S\right) = 0$$. यह स्थिति समतल तरंगों से संतुष्ट होती है, लेकिन योगात्मक नहीं है।

लूनबर्ग के दृष्टिकोण का मुख्य निष्कर्ष निम्नलिखित है।

प्रमेय। मान लीजिए क्षेत्रों $$\mathbf{\vec E}(x, y, z, t)$$ तथा $$\mathbf{\vec H}(x, y, z, t)$$ (अचालक स्थिरांक द्वारा वर्णित एक रैखिक आइसोट्रोपिक माध्यम में) $$\varepsilon(x, y, z)$$ तथा $$\mu(x, y, z)$$ ) में (चलती) सतह के साथ परिमित असंतुलन है $$\mathbf{R}^3$$ समीकरण द्वारा वर्णित $$\psi(x, y, z) - ct = 0$$ . तब मैक्सवेल के समाकलन रूप में समीकरणों का अर्थ है कि $$\psi$$ ईकोनल समीकरण को संतुष्ट करता है।

$$\psi_x^2 + \psi_y^2 + \psi_z^2 = \varepsilon\mu = n^2$$ ,

जहाँ $$n$$ माध्यम (गाऊसी इकाइयों) के अपवर्तन का सूचकांक है।

असंततता की ऐसी सतह का एक उदाहरण एक स्रोत से निकलने वाला प्रारंभिक तरंग अग्रभाग है जो एक निश्चित समय पर विकिरण करना प्रारम्भ कर देता है।

इस प्रकार क्षेत्र असंततता की सतह ज्यामितीय प्रकाशिकी तरंग अग्रभागोंं के रूप में परिभाषित संबंधित ज्यामितीय प्रकाशिकी क्षेत्रों के साथ बन जाती है।


 * $$\mathbf{\vec E}^*(x, y, z) = \mathbf{\vec E}(x, y, z, \psi(x, y, z)/c)$$
 * $$\mathbf{\vec H}^*(x, y, z) = \mathbf{\vec H}(x, y, z, \psi(x, y, z)/c)$$
 * वे क्षेत्र सोमरफेल्ड-रंज दृष्टिकोण के परिवहन समीकरणों के अनुरूप परिवहन समीकरणों का पालन करते हैं। लूनबर्ग के सिद्धांत में प्रकाश किरणों को विच्छेदन सतहों के लिए ओर्थोगोनल के रूप में परिभाषित किया गया है और सही पैरामीट्रिजेशन के साथ उन्हें फ़र्मेट के कम से कम समय के सिद्धांत का पालन करने के लिए दिखाया जा सकता है, इस प्रकार मानक प्रकाशिकी की प्रकाश किरणों के साथ उन किरणों की पहचान स्थापित की जा सकती है।
 * उपरोक्त घटनाक्रम को विषमदैशिक माध्यम के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।
 * ल्यूनबर्ग के प्रमेय का प्रमाण इस बात की जांच पर आधारित है कि मैक्सवेल के समीकरण समाधान की असंततता के प्रसार को कैसे नियंत्रित करते हैं। बुनियादी तकनीकी लेम्मा इस प्रकार है:
 * एक तकनीकी लेम्मा। माना $$\varphi(x, y, z, t) = 0$$ अवकाशकालीन में एक हाइपरसर्फेस (एक 3-आयामी कई गुना) बनें $$\mathbf{R}^4$$ जिस पर एक या अधिक $$\mathbf{\vec E}(x, y, z, t)$$, $$\mathbf{\vec H}(x, y, z, t)$$, $$\varepsilon(x, y, z)$$, $$\mu(x, y, z)$$, एक सीमित असंततता है। फिर हाइपरसर्फेस के प्रत्येक बिंदु पर निम्नलिखित सूत्र होते हैं।
 * $$\nabla\varphi \times [\mathbf{\vec H}] - {1\over c} \, \varphi_t \, [\varepsilon\mathbf{\vec E}] = 0$$
 * $$\nabla\varphi \times [\mathbf{\vec E}] + {1\over c} \, \varphi_t \, [\mu\mathbf{\vec H}] = 0$$
 * $$\nabla\cdot [\varepsilon\mathbf{\vec E}] = 0$$
 * $$\nabla\cdot [\mu\mathbf{\vec H}] = 0$$
 * जहां $$\nabla$$ ऑपरेटर में कार्य करता है $$xyz$$ -स्पेस (प्रत्येक निश्चित $$t$$ के लिए) ) और वर्गाकार कोष्ठक असंततता सतह के दोनों किनारों पर मानों में अंतर को दर्शाते हैं (एक मनमाना लेकिन निश्चित अभिसमय के अनुसार स्थापित किया गया है, उदाहरण के लिए ढाल $$\nabla\varphi$$ से घटाई जा रही मात्राओं की दिशा में इशारा करते हुए)।
 * प्रमाण का संक्षिप्त विवरण। स्रोतों से दूर मैक्सवेल के समीकरणों से प्रारम्भ करें (गाऊसी इकाइयाँ)-
 * $$\nabla\cdot \varepsilon\mathbf{\vec E} = 0$$
 * $$\nabla\cdot \mu\mathbf{\vec H} = 0$$
 * $$\nabla\times \mathbf{\vec E} + {\mu\over c} \, \mathbf{\vec H}_t = 0$$
 * $$\nabla\times \mathbf{\vec H} - {\varepsilon\over c} \, \mathbf{\vec E}_t = 0$$

स्टोक्स के प्रमेय को $$\mathbf{R}^4$$ में उपयोग करने से यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि किसी भी डोमेन के लिए $$D$$ में $$\mathbf{R}^4$$ एक टुकड़े की सुचारू सीमा के साथ $$\Gamma$$ निम्नलिखित सत्य है।

$$\oint_\Gamma (\mathbf{\vec M} \cdot \varepsilon\mathbf{\vec E}) \, dS = 0$$

जहाँ $$\mathbf{\vec M} = (x_N, y_N, z_N)$$ बाहरी इकाई का प्रक्षेपण सामान्य है $$(x_N, y_N, z_N, t_N)$$ का $$\Gamma$$ 3डी स्लाइस पर $$t = \rm{const}$$, तथा $$dS$$ वॉल्यूम 3-फॉर्म पर $$\Gamma$$ हैं। इसी प्रकार, शेष मैक्सवेल के समीकरणों से निम्नलिखित को स्थापित किया जाता है।


 * $$\oint_\Gamma (\mathbf{\vec M} \cdot \mu\mathbf{\vec H}) \, dS = 0$$
 * $$\oint_\Gamma (\mathbf{\vec M} \times \mathbf{\vec E} + {\mu\over c} \, t_N \, \mathbf{\vec H}) \, dS = 0$$
 * $$\oint_\Gamma (\mathbf{\vec M} \times \mathbf{\vec H} - {\varepsilon\over c} \, t_N \, \mathbf{\vec E}) \, dS = 0$$
 * अब मनमानी छोटी उप-सतहों पर विचार करके $$\Gamma_0$$ का $$\Gamma$$ और $$\Gamma_0$$ के आसपास के छोटे-छोटे प्रतिवेश स्थापित करके $$\mathbf{R}^4$$में, और तदनुसार उपरोक्त समाकलों को घटाने पर, एक प्राप्त होता है।
 * $$\int_{\Gamma_0} (\nabla\varphi \cdot [\varepsilon\mathbf{\vec E}]) \, {dS\over \|\nabla^{4D}\varphi\|} = 0$$
 * $$\int_{\Gamma_0} (\nabla\varphi \cdot [\mu\mathbf{\vec H}]) \, {dS\over \|\nabla^{4D}\varphi\|} = 0$$
 * $$\int_{\Gamma_0} \left( \nabla\varphi \times [\mathbf{\vec H}] - {1\over c} \, \varphi_t \, [\varepsilon\mathbf{\vec E}] \right) \, {dS\over \|\nabla^{4D}\varphi\|} = 0$$
 * $$\int_{\Gamma_0} \left( \nabla\varphi \times [\mathbf{\vec E}] + {1\over c} \, \varphi_t \, [\mu\mathbf{\vec H}] \right) \, {dS\over \|\nabla^{4D}\varphi\|} = 0$$

जहाँ $$\nabla^{4D}$$,  4D $$xyzt$$-अंतराल में  ढाल को दर्शाता है। चूँकि $$\Gamma_0$$ मनमाना है, इसलिए इंटीग्रेंड 0 के बराबर होना चाहिए जो लेम्मा को प्रमाणित करता है।

अब यह दिखाना आसान है कि जैसे-जैसे वे एक सतत माध्यम से फैलते हैं, असंततता सतहें ईकोनल समीकरण का पालन करती हैं। विशेष रूप से, यदि $$\varepsilon$$ तथा $$\mu$$ निरंतर हैं, तो के विच्छेदन $$\mathbf{\vec E}$$ तथा $$\mathbf{\vec H}$$ संतुष्ट करना: $$[\varepsilon\mathbf{\vec E}] = \varepsilon[\mathbf{\vec E}]$$ तथा $$[\mu\mathbf{\vec H}] = \mu[\mathbf{\vec H}]$$. इस मामले में लेम्मा के पहले दो समीकरणों को इस प्रकार लिखा जा सकता है:


 * $$\nabla\varphi \times [\mathbf{\vec H}] - {\varepsilon\over c} \, \varphi_t \, [\mathbf{\vec E}] = 0$$
 * $$\nabla\varphi \times [\mathbf{\vec E}] + {\mu\over c} \, \varphi_t \, [\mathbf{\vec H}] = 0$$
 * के साथ पहले समीकरण का क्रॉस उत्पाद लेना $$\nabla\varphi$$ और दूसरे प्रतिफल को प्रतिस्थापित करना।
 * मैक्सवेल के दूसरे समीकरण के अनुसार, $$\nabla\varphi \cdot [\mathbf{\vec H}] = 0$$, इसलिए, केवल सतह पर स्थित बिंदुओं के लिए $$\varphi = 0$$ केवल
 * $$\|\nabla\varphi\|^2 = {\varepsilon\mu\over c^2} \varphi_t^2$$
 * (ध्यान दें कि इस चरण में असंततता की उपस्थिति आवश्यक है क्योंकि अन्यथा हम शून्य से भाग देंगे।)
 * भौतिक विचारों के कारण कोई सामान्यता खोए बिना यह मान सकते है कि $$\varphi$$ निम्नलिखित रूप का है: $$\varphi(x, y, z, t) = \psi(x, y, z) - ct$$, यानी एक 2D सतह जो अंतराल में घूम रही है, $$\psi$$ को लेवल पृष्ठ के रूप में तैयार किया गया। (गणितीय रूप से $$\psi$$ मौजूद है अगर $$\varphi_t \ne 0$$ निहित कार्य प्रमेय द्वारा। ) उपरोक्त समीकरण को $$\psi$$ के रूप में लिखा जाता है।
 * $$\|\nabla\psi\|^2 = {\varepsilon\mu\over c^2} \, (-c)^2 = \varepsilon\mu = n^2$$
 * अर्थात्,
 * $$\psi_x^2 + \psi_y^2 + \psi_z^2 = n^2$$
 * जो ईकोनल समीकरण है और यह सभी $$x$$, $$y$$, $$z$$, के लिए मान्य है, क्योंकि चर $$t$$ अनुपस्थित है। प्रकाशिकी के अन्य नियम जैसे कि स्नेल का नियम और फ्रेस्नेल सूत्रों को इसी प्रकार $$\varepsilon$$ तथा $$\mu$$ में विसंगतियों पर विचार करके प्राप्त किए जा सकता हैं।

चार-सदिश संकेतन का उपयोग करते हुए सामान्य समीकरण
विशेष सापेक्षता में प्रयुक्त चार-सदिश संकेतन में, तरंग समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है।

$$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x_i\partial x^i}=0$$

और प्रतिस्थापन $$\psi= A e^{iS/\epsilon}$$ की ओर जाता है

इसलिए ईकोनल समीकरण द्वारा दिया गया है

$$\frac{\partial S}{\partial x_i} \frac{\partial S}{\partial x^i}=0.$$

एक बार उपरोक्त समीकरण को हल करके ईकोनल मिल जाने के बाद, तरंग चार-सदिश को पाया जा सकता है।

$$k_i=- \frac{\partial S}{\partial x^i}.$$

यह सभी देखें

 * हैमिल्टनियन प्रकाशिकी
 * ज्यामितीय ध्वनिकी

अग्रिम पठन

 * रॉबर्ट अल्फ्रेड हरमन (1900) Archive.org से ज्यामितीय प्रकाशिकी पर एक ग्रंथ ।
 * "आंखों की रोशनी और दृष्टि का प्रबुद्ध परिदृश्य" एक पांडुलिपि है, अरबी में, ज्यामितीय प्रकाशिकी के बारे में, 16 वीं शताब्दी से डेटिंग।
 * थ्योरी ऑफ़ सिस्टम्स ऑफ़ रेज़ - WR हैमिल्टन इन ट्रांज़ैक्शन्स ऑफ़ द रॉयल आयरिश एकेडमी, वॉल्यूम। एक्सवी, 1828।

कुछ प्रारंभिक पुस्तकों और पत्रों के अंग्रेजी अनुवाद

 * एच. ब्रून्स, दास इकोनल
 * एम. मालुस, ऑप्टिक
 * जे. प्लकर, प्रकाश तरंगों के सामान्य रूप की चर्चा
 * ई. कुमेर, रेक्टिलिनियर रे सिस्टम का सामान्य सिद्धांत
 * E. Kummer, ऑप्टिकली-रियलिज़ेबल रेक्टिलिनियर रे सिस्टम पर प्रस्तुति
 * R. Meibauer, प्रकाश किरणों के रेक्टिलिनियर सिस्टम का सिद्धांत
 * एम. पास्च, रे सिस्टम की फोकल सतहों और परिसरों की विलक्षणता सतहों पर
 * ए. लेविस्टल, ज्यामितीय प्रकाशिकी में अनुसंधान
 * एफ. क्लेन, ब्रंस ईकोनल पर
 * R. Dontot, इंटीग्रल इनवेरिएंट्स और ज्यामितीय प्रकाशिकी के कुछ बिंदुओं पर
 * टी. डी डोंडर, ऑप्टिक्स के इंटीग्रल इनवेरिएंट पर

बाहरी संबंध

 * Feynman's lecture on Geometrical Optics