जीनस (गणित)

गणित में, जीनस (बहुवचन जेनेरा) के कुछ अलग, लेकिन निकट से संबंधित अर्थ होते हैं। सहज रूप से, जीनस सतह (टोपोलॉजी) के छिद्रों की संख्या है।  गोले का जीनस 0 होता है, जबकि   टोरस्र्स  का जीनस 1 होता है।

समायोज्य सतह
जुड़ा हुआ स्थान का जीनस, ओरिएंटेबल सतह पूर्णांक है जो परिणामी  कई गुना  को डिस्कनेक्ट किए बिना गैर-प्रतिच्छेदी वक्र#टोपोलॉजिकल_वक्र के साथ कटिंग की अधिकतम संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। यह इस पर लगे हैंडल (गणित) की संख्या के बराबर है। वैकल्पिक रूप से, इसे यूलर विशेषता χ के संदर्भ में, Surface_(topology)#Closed_surfaces के लिए संबंध χ = 2 − 2g के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है, जहां g जीनस है। बी सीमा (टोपोलॉजी) घटकों वाली सतहों के लिए, समीकरण χ = 2 − 2g − b पढ़ता है। आम आदमी के शब्दों में, यह किसी वस्तु में छेदों की संख्या है (छेदों की व्याख्या डोनट छेद के अर्थ में की जाती है;  खोखले गोले को इस अर्थ में शून्य छेद वाला माना जाएगा)।  टोरस में 1 ऐसा छेद होता है, जबकि  गोले में 0. ऊपर चित्रित हरी सतह में संबंधित प्रकार के 2 छेद होते हैं।

उदाहरण के लिए:
 * गोला 'एस'2और डिस्क (गणित) दोनों में जीनस शून्य है।
 * टोरस में जीनस होता है, जैसे हैंडल के साथ कॉफी मग की सतह होती है। यह मजाक का स्रोत है टोपोलॉजिस्ट वे लोग हैं जो अपने कॉफी मग से अपने डोनट का पता नहीं लगा सकते हैं।

मौलिक बहुभुज पर लेख में जीनस जी की सतहों का स्पष्ट निर्माण दिया गया है।

सरल शब्दों में, उन्मुख सतह के जीनस का मूल्य उसमें मौजूद छिद्रों की संख्या के बराबर होता है।

गैर-अभिमुख सतहें

किसी जुड़े हुए, गैर-उन्मुख बंद सतह की उन्मुखता  | गैर-ओरिएंटेबल जीनस, डेमिजेनस या यूलर जीनस  सकारात्मक पूर्णांक है जो  गोले से जुड़े क्रॉस-कैप्स की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। वैकल्पिक रूप से, इसे यूलर विशेषता χ के संदर्भ में, संबंध χ = 2 - k के माध्यम से  बंद सतह के लिए परिभाषित किया जा सकता है, जहां k गैर-उन्मुख जीनस है।

उदाहरण के लिए:
 * वास्तविक प्रक्षेप्य तल में गैर-उन्मुख जीनस 1 होता है।
 * क्लेन बोतल में नॉन-ओरिएंटेबल जीनस 2 होता है।

गांठ
गांठ की गांठ के जीनस (गणित) K को K के लिए सभी सीफ़र्ट सतहों के न्यूनतम जीनस के रूप में परिभाषित किया गया है। हालाँकि, गाँठ की सीफर्ट सतह सीमा के साथ कई गुना होती है, सीमा गाँठ होती है, यानी। यूनिट सर्कल के लिए होमियोमोर्फिक। ऐसी सतह के जीनस को टू-मैनिफोल्ड के जीनस के रूप में परिभाषित किया गया है, जो सीमा के साथ यूनिट डिस्क को चिपकाकर प्राप्त किया जाता है।

हैंडलबॉडी
3-आयामी हैंडलबॉडी का जीनस पूर्णांक है जो परिणामी मैनिफोल्ड को डिस्कनेक्ट किए बिना एम्बेडेड डिस्क (गणित) के साथ कटिंग की अधिकतम संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। यह उस पर लगे हैंडल की संख्या के बराबर है।

उदाहरण के लिए:
 * गेंद (गणित) का वंश 0 है।
 * ठोस टोरस डी2× एस1में वंश 1 है।

ग्राफ़ सिद्धांत
ग्राफ़ का जीनस (असतत गणित) न्यूनतम पूर्णांक n है, ताकि ग्राफ़ को n हैंडल वाले गोले पर खुद को पार किए बिना खींचा जा सके (यानी जीनस n की उन्मुख सतह) '). इस प्रकार,  समतल ग्राफ़ का जीनस 0 होता है, क्योंकि इसे स्व-क्रॉसिंग के बिना  गोले पर खींचा जा सकता है।

ग्राफ़ (असतत गणित) का गैर-उन्मुख जीनस न्यूनतम पूर्णांक एन है, जैसे कि ग्राफ़ को एन क्रॉस-कैप्स (यानी गैर-उन्मुख सतह) के साथ  गोले पर खुद को पार किए बिना खींचा जा सकता है (गैर-उन्मुख) जीनस एन)। (इस संख्या को डेमिजेनस भी कहा जाता है।)

यूलर जीनस न्यूनतम पूर्णांक n है, जिससे ग्राफ को n क्रॉस-कैप वाले गोले पर या n/2 हैंडल वाले गोले पर खुद को क्रॉस किए बिना खींचा जा सकता है। टोपोलॉजिकल ग्राफ़ सिद्धांत में समूह (गणित) के जीनस की कई परिभाषाएँ हैं। आर्थर टी. व्हाइट ने निम्नलिखित अवधारणा प्रस्तुत की। समूह G का जीनस G के लिए (जुड़े, अप्रत्यक्ष) केली ग्राफ का न्यूनतम जीनस है।

ग्राफ एम्बेडिंग#कम्प्यूटेशनल जटिलता एनपी-पूर्ण है।

बीजगणितीय ज्यामिति
किसी भी प्रक्षेपी बीजगणितीय योजना (गणित) X के जीनस की दो संबंधित परिभाषाएँ हैं: अंकगणितीय जीनस और ज्यामितीय जीनस। जब X जटिल संख्याओं की परिभाषा के क्षेत्र (गणित) के साथ बीजगणितीय वक्र है, और यदि उदाहरण के लिए, बीजीय ज्यामिति से अण्डाकार वक्र की परिभाषा जीनस 1 के गैर-वचन प्रक्षेप्य वक्र से उस पर दिए गए तर्कसंगत बिंदु से जुड़ी होती है।

रीमैन-रोच प्रमेय#अनुप्रयोग|रीमैन-रोच प्रमेय द्वारा, डिग्री का अप्रासंगिक समतल वक्र $$d$$  अनुभाग के लुप्त हो रहे स्थान द्वारा दिया गया $$s \in \Gamma(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(d))$$ ज्यामितीय जीनस है


 * $$g=\frac{(d-1)(d-2)}{2}-s,$$

जहां ठीक से गणना करने पर s विलक्षणताओं की संख्या है।

विभेदक ज्यामिति
विभेदक ज्यामिति में, उन्मुख कई गुना का  जीनस $$M$$  सम्मिश्र संख्या के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$\Phi(M)$$ शर्तों के अधीन
 * $$\Phi(M_{1}\amalg M_{2})=\Phi(M_{1})+\Phi(M_{2})$$
 * $$\Phi(M_{1}\times M_{2})=\Phi(M_{1})\cdot \Phi(M_{2})$$
 * $$\Phi(M_{1})=\Phi(M_{2})$$ अगर $$M_{1}$$ और $$M_{2}$$ सहसंबद्ध हैं.

दूसरे शब्दों में, $$\Phi$$ वलय समरूपता है $$R\to\mathbb{C}$$, कहाँ $$R$$ थॉम्स ओरिएंटेड कोबॉर्डिज्म रिंग है। वंश $$\Phi$$ यदि कनेक्टेड कॉम्पैक्ट संरचना के साथ स्पिनर मैनिफोल्ड पर सभी बंडलों के लिए गुणक है $$\log_{\Phi}$$ जैसे अण्डाकार अभिन्न अंग है $$\log_{\Phi}(x)=\int^{x}_{0}(1-2\delta t^{2}+\varepsilon t^{4})^{-1/2}dt$$ कुछ के लिए $$\delta,\varepsilon\in\mathbb{C}.$$ इस जीनस को अण्डाकार जीनस कहा जाता है।

यूलर विशेषता $$\chi(M)$$ इस अर्थ में यह जीनस नहीं है क्योंकि यह सह-बॉर्डिज्म के संबंध में अपरिवर्तनीय नहीं है।

जीव विज्ञान
जीनस की गणना न्यूक्लिक एसिड या प्रोटीन में रासायनिक अंतःक्रियाओं के जाल द्वारा फैलाए गए ग्राफ के लिए भी की जा सकती है। विशेष रूप से, कोई श्रृंखला के साथ जीनस की वृद्धि का अध्ययन कर सकता है। ऐसा फ़ंक्शन (जिसे जीनस ट्रेस कहा जाता है) बायोमोलेक्यूल्स की टोपोलॉजिकल जटिलता और डोमेन संरचना को दर्शाता है।

यह भी देखें

 * समूह (गणित)
 * अंकगणित जाति
 * ज्यामितीय जाति
 * गुणात्मक अनुक्रम का वंश
 * द्विघात रूप की जाति
 * स्पिनर जाति