परमाणु कक्षीय

परमाणु सिद्धांत और क्वांटम यांत्रिकी में, एक परमाणु कक्षीय एक परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन के स्थान और तरंग जैसे व्यवहार का वर्णन करने वाला एक फ़ंक्शन (गणित) है। इस फ़ंक्शन का उपयोग परमाणु के नाभिक के आसपास के किसी विशिष्ट क्षेत्र में परमाणु के किसी भी इलेक्ट्रॉन को खोजने की संभावना की गणना करने के लिए किया जा सकता है। परमाणु कक्षीय शब्द भौतिक क्षेत्र या स्थान को भी संदर्भित कर सकता है जहां इलेक्ट्रॉन की उपस्थिति की गणना की जा सकती है, जैसा कि कक्षीय के विशेष गणितीय रूप से भविष्यवाणी की गई है। एक परमाणु में प्रत्येक कक्षीय तीन क्वांटम संख्याओं के मूल्यों के एक समूह द्वारा विशेषता है $n|size=120%$, $ℓ|size=120%$, तथा $m_{l}|size=120%$, जो क्रमशः इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा, कोणीय गति और एक कोणीय गति वेक्टर घटक (चुंबकीय क्वांटम संख्या) के अनुरूप है। चुंबकीय क्वांटम संख्या के विकल्प के रूप में, ऑर्बिटल्स को अक्सर संबंधित गोलाकार हार्मोनिक्स # हार्मोनिक बहुपद प्रतिनिधित्व द्वारा लेबल किया जाता है (उदाहरण के लिए, xy, x2 − y2) ऐसे प्रत्येक कक्ष में अधिकतम दो इलेक्ट्रॉनों का कब्जा हो सकता है, जिनमें से प्रत्येक स्पिन क्वांटम संख्या के अपने स्वयं के प्रक्षेपण के साथ हो सकता है $$m_s$$. सरल नाम एस ऑर्बिटल, पी ऑर्बिटल, डी ऑर्बिटल और एफ ऑर्बिटल कोणीय गति क्वांटम संख्या वाले ऑर्बिटल्स को संदर्भित करते हैं $ψ(x, y, z)$ तथा $ψ(x, y, z)^{2}$ क्रमश। ये नाम, के मान के साथ$n$, परमाणुओं के इलेक्ट्रॉन विन्यास का वर्णन करने के लिए उपयोग किया जाता है। वे शार्प सीरीज़, प्रिंसिपल सीरीज़ (स्पेक्ट्रोस्कोपी), डिफ्यूज़ सीरीज़ और फंडामेंटल सीरीज़ के रूप में क्षार धातु स्पेक्ट्रल लाइन की कुछ श्रृंखलाओं के शुरुआती स्पेक्ट्रोस्कोपिस्टों के विवरण से प्राप्त हुए हैं। के लिए कक्षक $ℓ|size=120%$ > 3 वर्णानुक्रम में जारी रखें (g, h, i, k, ...), छोड़ रहा है क्योंकि कुछ भाषाएं i और j अक्षरों में अंतर नहीं करती हैं। परमाणु ऑर्बिटल्स परमाणु ऑर्बिटल मॉडल (या इलेक्ट्रॉन क्लाउड या वेव मैकेनिक्स मॉडल) के बुनियादी निर्माण खंड हैं, जो पदार्थ में इलेक्ट्रॉनों के सबमाइक्रोस्कोपिक व्यवहार को देखने के लिए एक आधुनिक ढांचा है। इस मॉडल में एक परमाणु के इलेक्ट्रॉन बादल को एक इलेक्ट्रॉन विन्यास में निर्मित (सन्निकटन में) के रूप में देखा जा सकता है जो कि सरल हाइड्रोजन परमाणु का एक उत्पाद है। हाइड्रोजन जैसे परमाणु ऑर्बिटल्स। आवर्त सारणी के वर्गों के भीतर 2, 6, 10, और 14 रासायनिक तत्व के ब्लॉकों की 'आवर्तता' की पुनरावृत्ति स्वाभाविक रूप से s, p, d, और f ऑर्बिटल्स के एक पूरे सेट पर कब्जा करने वाले इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या से होती है। क्रमशः, हालांकि क्वांटम संख्या के उच्च मूल्यों के लिए $n|size=120%$, विशेष रूप से जब परमाणु एक धनात्मक आवेश धारण करता है, तो कुछ उप-कोशों की ऊर्जाएँ बहुत समान हो जाती हैं और इसलिए औफ़बौ सिद्धांत जिसमें उन्हें इलेक्ट्रॉनों से भरा हुआ कहा जाता है (जैसे, क्रोमियम = [Ar]4s13डी5 और Cr2+ = [Ar]3डी4) को केवल कुछ हद तक मनमाने ढंग से युक्तिसंगत बनाया जा सकता है।



इलेक्ट्रॉन गुण
क्वांटम यांत्रिकी और प्रायोगिक निष्कर्षों के विकास के साथ (जैसे इलेक्ट्रॉनों के दो भट्ठा विवर्तन), यह पाया गया कि एक नाभिक की परिक्रमा करने वाले इलेक्ट्रॉनों को पूरी तरह से कणों के रूप में वर्णित नहीं किया जा सकता है, लेकिन तरंग-कण द्वैत द्वारा समझाया जाना आवश्यक है। इस अर्थ में, इलेक्ट्रॉनों में निम्नलिखित गुण होते हैं:

लहर की तरह गुण:
 * 1) इलेक्ट्रॉन किसी ग्रह की तरह सूर्य की परिक्रमा नहीं करते, बल्कि खड़े तरंगों के रूप में मौजूद रहते हैं। इस प्रकार एक इलेक्ट्रॉन जो न्यूनतम संभव ऊर्जा ले सकता है वह एक स्ट्रिंग पर एक तरंग की मौलिक आवृत्ति के समान है। उच्च ऊर्जा राज्य उस मौलिक आवृत्ति के हार्मोनिक्स के समान हैं।
 * 2) इलेक्ट्रॉन कभी भी एक बिंदु स्थान पर नहीं होते हैं, हालांकि एक बिंदु पर इलेक्ट्रॉन के साथ बातचीत करने की संभावना इलेक्ट्रॉन के तरंग फ़ंक्शन से पाई जा सकती है। इलेक्ट्रॉन का आवेश ऐसे कार्य करता है जैसे कि यह निरंतर वितरण में अंतरिक्ष में फैल गया हो, किसी भी बिंदु पर इलेक्ट्रॉन के तरंग फ़ंक्शन के वर्ग परिमाण के समानुपाती हो।

कण जैसे गुण:
 * 1) एक नाभिक की परिक्रमा करने वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या केवल एक पूर्णांक हो सकती है।
 * 2) इलेक्ट्रॉन कणों की तरह ऑर्बिटल्स के बीच कूदते हैं। उदाहरण के लिए, यदि एक फोटॉन इलेक्ट्रॉनों से टकराता है, तो परिणामस्वरूप केवल एक इलेक्ट्रॉन ही राज्य बदलता है।
 * 3) इलेक्ट्रॉन कण-समान गुणों को बनाए रखते हैं जैसे: प्रत्येक तरंग अवस्था में उसके इलेक्ट्रॉन कण के समान विद्युत आवेश होता है। प्रत्येक तरंग अवस्था में क्वांटम सुपरपोजिशन के आधार पर एक एकल असतत स्पिन (स्पिन अप या स्पिन डाउन) होता है।

इस प्रकार, इलेक्ट्रॉनों को केवल ठोस कणों के रूप में वर्णित नहीं किया जा सकता है। एक सादृश्य एक बड़े और अक्सर विषम आकार के वातावरण (इलेक्ट्रॉन) का हो सकता है, जो एक अपेक्षाकृत छोटे ग्रह (नाभिक) के चारों ओर वितरित होता है। परमाणु कक्षक इस वायुमंडल के आकार का ठीक-ठीक वर्णन तभी करते हैं जब एक इलेक्ट्रॉन मौजूद हो। जब अधिक इलेक्ट्रॉनों को जोड़ा जाता है, तो अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन अधिक समान रूप से नाभिक के चारों ओर अंतरिक्ष के आयतन में भर जाते हैं ताकि परिणामी संग्रह (इलेक्ट्रॉन क्लाउड) ) अनिश्चितता के सिद्धांत के कारण, इलेक्ट्रॉन के स्थान का वर्णन करने वाले प्रायिकता के एक गोलाकार क्षेत्र की ओर जाता है।

औपचारिक क्वांटम यांत्रिक परिभाषा
औपचारिक क्वांटम यांत्रिकी भाषा में परमाणु कक्षाओं को अधिक सटीक रूप से परिभाषित किया जा सकता है। वे परमाणु के परमाणु नाभिक के विद्युत क्षेत्र द्वारा परमाणु से बंधे इलेक्ट्रॉनों के लिए श्रोडिंगर समीकरण के अनुमानित समाधान हैं। विशेष रूप से, क्वांटम यांत्रिकी में, एक परमाणु की स्थिति, यानी, परमाणु हैमिल्टन (क्वांटम यांत्रिकी) का एक स्वदेशी, एक विस्तार द्वारा अनुमानित है (कॉन्फ़िगरेशन इंटरैक्शन विस्तार और आधार सेट (रसायन विज्ञान) देखें) विरोधी-सममित उत्पादों के रैखिक संयोजन में (स्लेटर निर्धारक) एक-इलेक्ट्रॉन कार्यों के। इन एक-इलेक्ट्रॉन कार्यों के स्थानिक घटकों को परमाणु कक्षक कहा जाता है। (जब कोई उनके स्पिन (भौतिकी) घटक पर भी विचार करता है, तो कोई परमाणु स्पिन ऑर्बिटल्स की बात करता है।) एक राज्य वास्तव में सभी इलेक्ट्रॉनों के निर्देशांक का एक कार्य है, ताकि उनकी गति सहसंबद्ध हो, लेकिन यह अक्सर इस परमाणु संरचना द्वारा अनुमानित होता है। #स्वतंत्र-कण मॉडल|स्वतंत्र-कण मॉडल एकल इलेक्ट्रॉन तरंग कार्यों के उत्पादों का। (लंदन फैलाव बल, उदाहरण के लिए, इलेक्ट्रॉनों की गति के सहसंबंधों पर निर्भर करता है।)

परमाणु भौतिकी में, परमाणु वर्णक्रमीय रेखाएं एक परमाणु की क्वांटम अवस्थाओं के बीच संक्रमण (परमाणु इलेक्ट्रॉन संक्रमण) के अनुरूप होती हैं। इन राज्यों को शब्द प्रतीक में संक्षेपित क्वांटम संख्याओं के एक समूह द्वारा लेबल किया जाता है और आमतौर पर विशेष इलेक्ट्रॉन विन्यास से जुड़ा होता है, अर्थात, परमाणु कक्षाओं की व्यवसाय योजनाओं द्वारा (उदाहरण के लिए, 1s2 2s2 2p6 नियॉन-टर्म प्रतीक की जमीनी स्थिति के लिए: 1S0)

इस संकेतन का अर्थ है कि संबंधित स्लेटर निर्धारकों का कॉन्फ़िगरेशन इंटरैक्शन विस्तार में स्पष्ट रूप से उच्च भार है। इसलिए परमाणु कक्षीय अवधारणा किसी दिए गए परमाणु इलेक्ट्रॉन संक्रमण से जुड़ी उत्तेजना प्रक्रिया को देखने के लिए एक महत्वपूर्ण अवधारणा है। उदाहरण के लिए, कोई किसी दिए गए संक्रमण के लिए कह सकता है कि यह एक इलेक्ट्रॉन के एक कब्जे वाले कक्षीय से किसी दिए गए खाली कक्ष में उत्तेजना से मेल खाता है। फिर भी, किसी को यह ध्यान रखना होगा कि इलेक्ट्रॉन पाउली अपवर्जन सिद्धांत द्वारा शासित फ़र्म हैं और उन्हें एक दूसरे से अलग नहीं किया जा सकता है। इसके अलावा, कभी-कभी ऐसा होता है कि कॉन्फ़िगरेशन इंटरैक्शन विस्तार बहुत धीरे-धीरे परिवर्तित होता है और यह कि कोई साधारण एक-निर्धारक तरंग फ़ंक्शन के बारे में बिल्कुल भी नहीं बोल सकता है। यह वह स्थिति है जब इलेक्ट्रॉन सहसंबंध बड़ा होता है।

मूल रूप से, एक परमाणु कक्षीय एक-इलेक्ट्रॉन तरंग फ़ंक्शन है, भले ही कई इलेक्ट्रॉन एक-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं में नहीं होते हैं, और इसलिए एक-इलेक्ट्रॉन दृश्य एक सन्निकटन है। ऑर्बिटल्स के बारे में सोचते समय, हमें अक्सर एक ऑर्बिटल विज़ुअलाइज़ेशन दिया जाता है जो हार्ट्री-फॉक सन्निकटन से काफी प्रभावित होता है, जो आणविक कक्षीय सिद्धांत की जटिलताओं को कम करने का एक तरीका है।

कक्षीय के प्रकार
परमाणु ऑर्बिटल्स हाइड्रोजन जैसे ऑर्बिटल्स हो सकते हैं जो हाइड्रोजन जैसे परमाणु के लिए श्रोडिंगर समीकरण के सटीक समाधान हैं। हाइड्रोजन-जैसे परमाणु (यानी, एक इलेक्ट्रॉन के साथ परमाणु)। वैकल्पिक रूप से, परमाणु ऑर्बिटल्स उन कार्यों को संदर्भित करते हैं जो एक इलेक्ट्रॉन (यानी, ऑर्बिटल्स) के निर्देशांक पर निर्भर करते हैं, लेकिन तरंग कार्यों के अनुमान के लिए शुरुआती बिंदुओं के रूप में उपयोग किए जाते हैं जो एक परमाणु या अणु में सभी इलेक्ट्रॉनों के एक साथ निर्देशांक पर निर्भर करते हैं। ऑर्बिटल्स के लिए चुनी गई निर्देशांक प्रणालियाँ आमतौर पर गोलाकार निर्देशांक होती हैं $ℓ = 0, 1, 2,$ परमाणुओं और कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में $3$ बहुपरमाणुक अणुओं में। यहां गोलाकार निर्देशांक का लाभ यह है कि एक कक्षीय तरंग फ़ंक्शन तीन कारकों का एक उत्पाद है जो प्रत्येक एक समन्वय पर निर्भर करता है: $(r, θ, φ)$. परमाणु कक्षकों के कोणीय कारक $(x, y, z)$ उत्पन्न s, p, d, आदि गोलाकार हार्मोनिक्स के रूप में कार्य करता है#गोलाकार हार्मोनिक्स का वास्तविक रूप $ψ(r, θ, φ) = R(r) Θ(θ) Φ(φ)$ (कहाँ पे $ℓ$ तथा $m$ क्वांटम संख्याएं हैं)। रेडियल फ़ंक्शंस के लिए आमतौर पर तीन गणितीय रूप होते हैं$Θ(θ) Φ(φ)$ जिसे कई इलेक्ट्रॉनों के साथ परमाणुओं और अणुओं के गुणों की गणना के लिए एक प्रारंभिक बिंदु के रूप में चुना जा सकता है:


 * 1) हाइड्रोजन जैसे ऑर्बिटल्स हाइड्रोजन जैसे परमाणु के लिए एक इलेक्ट्रॉन और एक नाभिक के लिए श्रोडिंगर समीकरण के सटीक समाधान से प्राप्त होते हैं। फंक्शन का वह भाग जो नाभिक से दूरी r पर निर्भर करता है, में रेडियल नोड (भौतिकी) होता है और इस प्रकार क्षय होता है $Y_{ℓm}(θ, φ)$.
 * 2) स्लेटर-टाइप ऑर्बिटल (एसटीओ) रेडियल नोड्स के बिना एक रूप है, लेकिन नाभिक से क्षय होता है जैसा कि हाइड्रोजन जैसा ऑर्बिटल होता है।
 * 3) गॉसियन ऑर्बिटल (गॉसियन) के रूप में कोई रेडियल नोड नहीं होता है और यह क्षय होता है $$ e^{-\alpha r^2} $$.

हालाँकि हाइड्रोजन जैसे ऑर्बिटल्स को अभी भी शैक्षणिक उपकरण के रूप में उपयोग किया जाता है, कंप्यूटर के आगमन ने एसटीओ को परमाणुओं और डायटोमिक अणुओं के लिए बेहतर बना दिया है क्योंकि एसटीओ के संयोजन हाइड्रोजन जैसे ऑर्बिटल्स में नोड्स को बदल सकते हैं। गाऊसी आमतौर पर तीन या अधिक परमाणुओं वाले अणुओं में उपयोग किए जाते हैं। हालांकि एसटीओ के रूप में अपने आप में सटीक नहीं है, कई गाऊसी के संयोजन हाइड्रोजन जैसी कक्षाओं की सटीकता प्राप्त कर सकते हैं।

इतिहास
ऑर्बिटल शब्द को रॉबर्ट मुल्लिकेन ने 1932 में वन-इलेक्ट्रॉन ऑर्बिटल वेव फंक्शन के लिए संक्षिप्त रूप में गढ़ा था। नील्स बोहर ने 1913 के आसपास समझाया कि इलेक्ट्रॉन निश्चित कोणीय गति के साथ एक कॉम्पैक्ट नाभिक के चारों ओर घूम सकते हैं। बोर का मॉडल अर्नेस्ट रदरफोर्ड के 1911 के स्पष्टीकरण पर एक सुधार था, जो कि एक नाभिक के चारों ओर घूमने वाले इलेक्ट्रॉन का था। जापानी भौतिक विज्ञानी हंतारो नागाओका ने 1904 की शुरुआत में इलेक्ट्रॉन व्यवहार के लिए एक कक्षा-आधारित परिकल्पना प्रकाशित की थी। ये सिद्धांत सरल समझ से शुरू होकर और अधिक सही और जटिल होते हुए नए अवलोकनों पर बनाए गए थे। इन इलेक्ट्रॉन कक्षाओं के व्यवहार की व्याख्या करना क्वांटम यांत्रिकी के विकास के पीछे प्रेरक शक्तियों में से एक था।

प्रारंभिक मॉडल
जे जे थॉमसन द्वारा 1897 में इलेक्ट्रॉन की खोज के साथ, यह स्पष्ट हो गया कि परमाणु प्रकृति के सबसे छोटे निर्माण खंड नहीं थे, बल्कि मिश्रित कण थे। परमाणुओं के भीतर खोजी गई नई संरचना ने कई लोगों को यह कल्पना करने के लिए प्रेरित किया कि परमाणु के घटक भाग एक दूसरे के साथ कैसे बातचीत कर सकते हैं। थॉमसन ने सिद्धांत दिया कि कई इलेक्ट्रॉन एक सकारात्मक चार्ज जेली जैसे पदार्थ के भीतर कक्षा जैसे छल्ले में घूमते हैं, और इलेक्ट्रॉन की खोज और 1909 के बीच, यह प्लम पुडिंग मॉडल परमाणु संरचना की सबसे व्यापक रूप से स्वीकृत व्याख्या थी।

थॉमसन की खोज के कुछ समय बाद, हंटारो नागाओका ने इलेक्ट्रॉनिक संरचना के लिए एक अलग मॉडल की भविष्यवाणी की। वृत्ताकार कक्षाएँ शनि के वलयों की याद दिलाती हैं। उस समय नागाओका के काम पर कुछ लोगों ने ध्यान दिया, और नागाओका ने स्वयं अपनी अवधारणा में भी सिद्धांत में एक मौलिक दोष को मान्यता दी, अर्थात् एक शास्त्रीय आवेशित वस्तु कक्षीय गति को बनाए नहीं रख सकती क्योंकि यह तेज हो रही है और इसलिए विद्युत चुम्बकीय विकिरण के कारण ऊर्जा खो देती है। फिर भी, सैटर्नियन मॉडल अपने किसी भी समकालीन की तुलना में आधुनिक सिद्धांत के साथ अधिक सामान्य निकला।

बोहर परमाणु
1909 में, अर्नेस्ट रदरफोर्ड ने पाया कि परमाणु द्रव्यमान के थोक को एक नाभिक में कसकर संघनित किया गया था, जिसे सकारात्मक रूप से चार्ज भी पाया गया था। 1911 में उनके विश्लेषण से यह स्पष्ट हो गया कि प्लम पुडिंग मॉडल परमाणु संरचना की व्याख्या नहीं कर सका। 1913 में, रदरफोर्ड के डॉक्टरेट के बाद के छात्र, नील्स बोहर ने परमाणु के एक नए मॉडल का प्रस्ताव रखा, जिसमें इलेक्ट्रॉनों ने शास्त्रीय काल के साथ नाभिक की परिक्रमा की, लेकिन केवल कोणीय गति के असतत मूल्यों की अनुमति दी गई, इकाइयों में परिमाणित प्लैंक स्थिरांक | ħ। इस बाधा ने स्वचालित रूप से केवल कुछ इलेक्ट्रॉन ऊर्जा की अनुमति दी। परमाणु के बोहर मॉडल ने जमीनी अवस्था से विकिरण से ऊर्जा हानि की समस्या को ठीक किया (यह घोषित करके कि इसके नीचे कोई अवस्था नहीं थी), और अधिक महत्वपूर्ण रूप से वर्णक्रमीय रेखाओं की उत्पत्ति की व्याख्या की।

बोह्र द्वारा अल्बर्ट आइंस्टीन द्वारा उत्सर्जित प्रकाश की तरंग दैर्ध्य के साथ परमाणुओं में ऊर्जा के स्तर को जोड़ने के लिए फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव की व्याख्या के बाद, परमाणुओं में इलेक्ट्रॉनों की संरचना और उत्सर्जन स्पेक्ट्रा और परमाणुओं के अवशोषण स्पेक्ट्रा के बीच संबंध समझने में एक तेजी से उपयोगी उपकरण बन गया। परमाणुओं में इलेक्ट्रॉनों की। उत्सर्जन और अवशोषण स्पेक्ट्रा (19 वीं शताब्दी के मध्य से प्रयोगात्मक रूप से ज्ञात) की सबसे प्रमुख विशेषता यह थी कि इन परमाणु स्पेक्ट्रा में असतत रेखाएँ होती थीं। बोहर मॉडल का महत्व यह था कि यह उत्सर्जन और अवशोषण स्पेक्ट्रा की रेखाओं को उन कक्षाओं के बीच ऊर्जा अंतर से संबंधित करता है जो इलेक्ट्रॉन एक परमाणु के चारों ओर ले जा सकते हैं। हालांकि, बोहर द्वारा इलेक्ट्रॉनों को कुछ प्रकार की तरंग जैसी गुण देकर हासिल नहीं किया गया था, क्योंकि यह विचार कि इलेक्ट्रॉन पदार्थ तरंगों के रूप में व्यवहार कर सकते हैं, ग्यारह साल बाद तक सुझाव नहीं दिया गया था। फिर भी, बोहर मॉडल का मात्रात्मक कोणीय गति का उपयोग और इसलिए मात्राबद्ध ऊर्जा स्तर परमाणुओं में इलेक्ट्रॉनों की समझ की दिशा में एक महत्वपूर्ण कदम था, और क्वांटम यांत्रिकी के विकास की दिशा में एक महत्वपूर्ण कदम यह भी सुझाव देता है कि मात्राबद्ध बाधाओं को सभी असंतुलित ऊर्जा स्तरों के लिए जिम्मेदार होना चाहिए और परमाणुओं में स्पेक्ट्रा।

1924 में इलेक्ट्रॉन पदार्थ तरंगों के अस्तित्व के लुइस डी ब्रोगली के सुझाव के साथ, और हाइड्रोजन जैसे परमाणुओं के पूर्ण 1926 श्रोडिंगर समीकरण उपचार से पहले थोड़े समय के लिए, एक बोहर इलेक्ट्रॉन तरंग दैर्ध्य को इसकी गति का एक कार्य माना जा सकता है; इसलिए एक बोहर परिक्रमा करने वाला इलेक्ट्रॉन अपनी अर्ध-तरंग दैर्ध्य के गुणक पर एक वृत्त में परिक्रमा करते हुए देखा गया। थोड़े समय के लिए बोहर मॉडल को 'तरंग दैर्ध्य' तर्क द्वारा प्रदान की गई अतिरिक्त बाधा के साथ एक शास्त्रीय मॉडल के रूप में देखा जा सकता है। हालाँकि, इस अवधि को 1926 के पूर्ण त्रि-आयामी तरंग यांत्रिकी द्वारा तुरंत हटा दिया गया था। भौतिकी की हमारी वर्तमान समझ में, बोहर मॉडल को कोणीय गति के परिमाणीकरण के कारण अर्ध-शास्त्रीय मॉडल कहा जाता है, न कि मुख्य रूप से इसके संबंध के कारण इलेक्ट्रॉन तरंगदैर्घ्य, जो बोहर मॉडल के प्रस्तावित होने के एक दर्जन साल बाद दृष्टिगोचर हुआ।

बोहर मॉडल हाइड्रोजन के उत्सर्जन और अवशोषण स्पेक्ट्रा की व्याख्या करने में सक्षम था। बोहर मॉडल में n = 1, 2, 3, आदि राज्यों में इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा वर्तमान भौतिकी से मेल खाती है। हालांकि, यह विभिन्न परमाणुओं के बीच समानता की व्याख्या नहीं करता है, जैसा कि आवर्त सारणी द्वारा व्यक्त किया गया है, जैसे कि हीलियम (दो इलेक्ट्रॉन), नियॉन (10 इलेक्ट्रॉन), और आर्गन (18 इलेक्ट्रॉन) समान रासायनिक जड़ता प्रदर्शित करते हैं। आधुनिक क्वांटम यांत्रिकी इसे इलेक्ट्रॉन के गोले और उपकोशों के संदर्भ में समझाते हैं जो प्रत्येक पाउली अपवर्जन सिद्धांत द्वारा निर्धारित कई इलेक्ट्रॉनों को धारण कर सकते हैं। इस प्रकार n = 1 अवस्था एक या दो इलेक्ट्रॉनों को धारण कर सकती है, जबकि n = 2 अवस्था 2s और 2p उपकोशों में आठ इलेक्ट्रॉनों को धारण कर सकती है। हीलियम में, सभी n = 1 राज्य पूरी तरह से व्याप्त हैं; नियॉन में n = 1 और n = 2 के लिए भी यही सच है। आर्गन में, 3s और 3p उपकोश समान रूप से आठ इलेक्ट्रॉनों द्वारा पूरी तरह से कब्जा कर लिया जाता है; क्वांटम यांत्रिकी भी एक 3d उपकोश की अनुमति देता है लेकिन यह आर्गन (हाइड्रोजन की स्थिति के विपरीत) में 3s और 3p की तुलना में अधिक ऊर्जा पर है और खाली रहता है।

आधुनिक अवधारणाएं और हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत से संबंध
वर्नर हाइजेनबर्ग ने अपने अनिश्चितता सिद्धांत की खोज के तुरंत बाद, नील्स बोहर ने नोट किया कि किसी भी प्रकार के तरंग पैकेट का अस्तित्व तरंग आवृत्ति और तरंग दैर्ध्य में अनिश्चितता का तात्पर्य है, क्योंकि पैकेट को स्वयं बनाने के लिए आवृत्तियों के फैलाव की आवश्यकता होती है। क्वांटम यांत्रिकी में, जहां सभी कण गति तरंगों से जुड़े होते हैं, यह एक ऐसे तरंग पैकेट का निर्माण होता है जो तरंग को स्थानीय करता है, और इस प्रकार कण, अंतरिक्ष में। उन राज्यों में जहां एक क्वांटम यांत्रिक कण बाध्य है, इसे एक तरंग पैकेट के रूप में स्थानीयकृत किया जाना चाहिए, और पैकेट का अस्तित्व और इसका न्यूनतम आकार कण तरंग दैर्ध्य में एक प्रसार और न्यूनतम मूल्य का अर्थ है, और इस प्रकार गति और ऊर्जा भी। क्वांटम यांत्रिकी में, जैसा कि एक कण अंतरिक्ष में एक छोटे से क्षेत्र में स्थानीयकृत होता है, संबंधित संपीड़ित तरंग पैकेट को गति की एक बड़ी और बड़ी सीमा की आवश्यकता होती है, और इस प्रकार बड़ी गतिज ऊर्जा की आवश्यकता होती है। इस प्रकार अंतरिक्ष के एक छोटे से क्षेत्र में एक कण को ​​शामिल करने या फंसाने के लिए बाध्यकारी ऊर्जा बिना बाध्य के बढ़ जाती है क्योंकि अंतरिक्ष का क्षेत्र छोटा हो जाता है। कणों को अंतरिक्ष में एक ज्यामितीय बिंदु तक सीमित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि इसके लिए अनंत कण गति की आवश्यकता होगी।

रसायन विज्ञान में, इरविन श्रोडिंगर | श्रोडिंगर, लिनुस पॉलिंग, रॉबर्ट एस। मुलिकेन और अन्य ने उल्लेख किया कि हाइजेनबर्ग के संबंध का परिणाम यह था कि इलेक्ट्रॉन, एक तरंग पैकेट के रूप में, इसकी कक्षीय में एक सटीक स्थान नहीं माना जा सकता है। मैक्स बॉर्न ने सुझाव दिया कि इलेक्ट्रॉन की स्थिति को एक संभाव्यता वितरण द्वारा वर्णित करने की आवश्यकता है जो कि तरंग-फ़ंक्शन में किसी बिंदु पर इलेक्ट्रॉन को खोजने से जुड़ा था, जिसने इसके संबंधित तरंग पैकेट का वर्णन किया था। नए क्वांटम यांत्रिकी ने सटीक परिणाम नहीं दिए, लेकिन विभिन्न संभावित ऐसे परिणामों की घटना के लिए केवल संभावनाएं दीं। हाइजेनबर्ग ने कहा कि यदि हम इसका अवलोकन नहीं कर सकते हैं तो गतिमान कण के पथ का कोई अर्थ नहीं है, जैसा कि हम एक परमाणु में इलेक्ट्रॉनों के साथ नहीं कर सकते।

हाइजेनबर्ग, श्रोडिंगर और अन्य की क्वांटम तस्वीर में, प्रत्येक कक्षीय के लिए बोहर परमाणु संख्या n को n-क्षेत्र के रूप में जाना जाता है एक त्रि-आयामी परमाणु में और परमाणु को घेरने वाले इलेक्ट्रॉन के तरंग पैकेट के संभाव्यता बादल की सबसे संभावित ऊर्जा के रूप में चित्रित किया गया था।

कक्षीय संकेतन और उपकोश
ऑर्बिटल्स को नाम दिए गए हैं, जो आमतौर पर फॉर्म में दिए जाते हैं:
 * $$X \, \mathrm{type} \ $$

जहां एक्स प्रमुख क्वांटम संख्या के अनुरूप ऊर्जा स्तर है $n$; प्रकार एक छोटा अक्षर है जो आकार या इलेक्ट्रॉन शेल को दर्शाता है# कक्षीय के उपकोश, कोणीय गति क्वांटम संख्या के अनुरूप$ℓ$.

उदाहरण के लिए, कक्षीय 1s (व्यक्तिगत संख्याओं और अक्षरों के रूप में उच्चारित: 'one' 'ess') ऊर्जा का निम्नतम स्तर है ($R(r)$) और की कोणीय क्वांटम संख्या है $e^{−(constant × distance)}$, एस के रूप में निरूपित। ऑर्बिटल्स के साथ $n = 1$ क्रमशः p, d और f के रूप में निरूपित किए जाते हैं।

किसी दिए गए n और. के लिए कक्षकों का समुच्चय $ℓ$ एक उपकोश कहा जाता है, निरूपित
 * $$X \, \mathrm{type}^y \ $$.

घातांक y उपकोश में इलेक्ट्रॉनों की संख्या दर्शाता है। उदाहरण के लिए, अंकन 2p4 इंगित करता है कि एक परमाणु के 2p उपकोश में 4 इलेक्ट्रॉन होते हैं। इस उपकोश में 3 कक्षक हैं, जिनमें से प्रत्येक में n = 2 और. हैं $ℓ$ = 1.

एक्स-रे संकेतन
एक्स-रे विज्ञान में अभी भी एक और कम सामान्य प्रणाली का उपयोग किया जाता है जिसे एक्स-रे नोटेशन के रूप में जाना जाता है, जो कि कक्षीय सिद्धांत को अच्छी तरह से समझने से पहले उपयोग किए जाने वाले नोटेशन की निरंतरता है। इस प्रणाली में, प्रमुख क्वांटम संख्या को इससे जुड़ा एक अक्षर दिया जाता है। के लिये $ℓ = 0$, उन संख्याओं से जुड़े अक्षर क्रमशः K, L, M, N, O, ... हैं।

हाइड्रोजन जैसी कक्षाएँ
सबसे सरल परमाणु ऑर्बिटल्स वे हैं जिनकी गणना एकल इलेक्ट्रॉन वाले सिस्टम के लिए की जाती है, जैसे कि हाइड्रोजन परमाणु। किसी भी अन्य तत्व का परमाणु जो एक इलेक्ट्रॉन में आयनित होता है, हाइड्रोजन के समान होता है, और ऑर्बिटल्स समान रूप लेते हैं। एक ऋणात्मक और एक धनात्मक कण की इस प्रणाली के लिए श्रोडिंगर समीकरण में, परमाणु ऑर्बिटल्स ऊर्जा के लिए हैमिल्टनियन ऑपरेटर के आइजेनस्टेट हैं। उन्हें विश्लेषणात्मक रूप से प्राप्त किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि परिणामी कक्षा एक बहुपद श्रृंखला के उत्पाद हैं, और घातीय और त्रिकोणमितीय कार्य हैं। (हाइड्रोजन परमाणु देखें)।

दो या दो से अधिक इलेक्ट्रॉनों वाले परमाणुओं के लिए, शासी समीकरणों को केवल पुनरावृत्त सन्निकटन के तरीकों के उपयोग से हल किया जा सकता है। बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं की कक्षाएँ गुणात्मक रूप से हाइड्रोजन के समान होती हैं, और सरलतम मॉडल में, उन्हें एक ही रूप में लिया जाता है। अधिक कठोर और सटीक विश्लेषण के लिए, संख्यात्मक अनुमानों का उपयोग किया जाना चाहिए।

एक दिए गए (हाइड्रोजन-जैसे) परमाणु कक्षीय को तीन क्वांटम संख्याओं के अद्वितीय मूल्यों द्वारा पहचाना जाता है: $n|size=120%$, $ℓ|size=120%$, तथा $m_{ℓ}|size=120%$. क्वांटम संख्याओं और उनकी ऊर्जाओं (नीचे देखें) के मूल्यों को प्रतिबंधित करने वाले नियम, परमाणुओं के इलेक्ट्रॉन विन्यास और आवर्त सारणी की व्याख्या करते हैं।

हाइड्रोजन जैसे परमाणुओं की स्थिर अवस्थाएँ (क्वांटम अवस्थाएँ) इसके परमाणु कक्षक हैं। हालांकि, सामान्य तौर पर, एक एकल कक्षीय द्वारा एक इलेक्ट्रॉन के व्यवहार का पूरी तरह से वर्णन नहीं किया जाता है। इलेक्ट्रॉन अवस्थाओं को बहु-कक्षकों के समय-आधारित मिश्रण (रैखिक संयोजन) द्वारा सर्वोत्तम रूप से प्रदर्शित किया जाता है। परमाणु कक्षीय आणविक कक्षीय विधि का रैखिक संयोजन देखें।

क्वांटम संख्या $n$ पहली बार बोहर मॉडल में दिखाई दिया जहां यह प्रत्येक गोलाकार इलेक्ट्रॉन कक्षा की त्रिज्या निर्धारित करता है। आधुनिक क्वांटम यांत्रिकी में हालांकि, $n$ नाभिक से इलेक्ट्रॉन की औसत दूरी निर्धारित करता है; n के समान मान वाले सभी इलेक्ट्रॉन समान औसत दूरी पर स्थित होते हैं। इस कारण से, n के समान मान वाले ऑर्बिटल्स को एक इलेक्ट्रॉन शेल कहा जाता है। n के समान मान और के समान मान वाले कक्षक$ℓ$ और भी अधिक निकटता से संबंधित हैं, और कहा जाता है कि इसमें एक इलेक्ट्रॉन उपकोश शामिल है।

क्वांटम संख्या
एक नाभिक के चारों ओर इलेक्ट्रॉनों की क्वांटम यांत्रिक प्रकृति के कारण, परमाणु कक्षाओं को विशिष्ट रूप से पूर्णांकों के एक समूह द्वारा परिभाषित किया जा सकता है जिन्हें क्वांटम संख्या के रूप में जाना जाता है। ये क्वांटम संख्याएं केवल मूल्यों के कुछ संयोजनों में होती हैं, और उनकी भौतिक व्याख्या इस बात पर निर्भर करती है कि परमाणु कक्षाओं के वास्तविक संख्या या जटिल संख्या संस्करण कार्यरत हैं या नहीं।

जटिल कक्षक
भौतिकी में, सबसे आम कक्षीय विवरण हाइड्रोजन परमाणु के समाधान पर आधारित होते हैं, जहां रेडियल फ़ंक्शन और शुद्ध गोलाकार हार्मोनिक के बीच उत्पाद द्वारा ऑर्बिटल्स दिए जाते हैं। क्वांटम संख्याएँ, उनके संभावित मूल्यों को नियंत्रित करने वाले नियमों के साथ, इस प्रकार हैं:

प्रमुख क्वांटम संख्या $n$ इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का वर्णन करता है और हमेशा एक सकारात्मक पूर्णांक होता है। वास्तव में, यह कोई भी धनात्मक पूर्णांक हो सकता है, लेकिन नीचे चर्चा किए गए कारणों से, बड़ी संख्याएँ शायद ही कभी सामने आती हैं। प्रत्येक परमाणु में, सामान्य रूप से, n के प्रत्येक मान से जुड़े कई कक्षक होते हैं; इन ऑर्बिटल्स को एक साथ कभी-कभी इलेक्ट्रॉन शेल कहा जाता है।

अज़ीमुथल क्वांटम संख्या $ℓ$ प्रत्येक इलेक्ट्रॉन की कक्षीय कोणीय गति का वर्णन करता है और एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है। एक खोल के भीतर जहाँ $n$ कुछ पूर्णांक है $ℓ = 1, 2 and 3$, $ℓ$ संबंध को संतुष्ट करने वाले सभी (पूर्णांक) मानों में पर्वतमाला $$0 \le \ell \le n_0-1$$. उदाहरण के लिए, $n = 1, 2, 3, 4, 5, ...$शेल में केवल ऑर्बिटल्स होते हैं $$\ell=0$$, और यह $n_{0}$शेल में केवल ऑर्बिटल्स होते हैं $$\ell=0$$, तथा $$\ell=1$$. के एक विशेष मान से जुड़े कक्षकों का समुच्चय$ℓ$ कभी-कभी सामूहिक रूप से उपकोश कहा जाता है।

चुंबकीय क्वांटम संख्या, $$m_\ell$$, एक मनमाना दिशा में एक इलेक्ट्रॉन के चुंबकीय क्षण का वर्णन करता है, और हमेशा एक पूर्णांक भी होता है। एक उपकोश के भीतर जहां $$\ell$$ कुछ पूर्णांक है $$\ell_0$$, $$m_\ell$$ इस प्रकार पर्वतमाला: $$-\ell_0 \le m_\ell \le \ell_0$$.

उपरोक्त परिणामों को निम्न तालिका में संक्षेपित किया जा सकता है। प्रत्येक सेल एक सबशेल का प्रतिनिधित्व करता है, और के मूल्यों को सूचीबद्ध करता है $$m_\ell$$ उस उपधारा में उपलब्ध है। खाली कोशिकाएँ उन उपकोशों का प्रतिनिधित्व करती हैं जो मौजूद नहीं हैं।

उपकोशों की पहचान आमतौर पर उनके द्वारा की जाती है $$n$$- तथा $$\ell$$-मूल्य। $$n$$ इसके संख्यात्मक मान द्वारा दर्शाया जाता है, लेकिन $$\ell$$ एक अक्षर द्वारा इस प्रकार दर्शाया गया है: 0 को 's' द्वारा, 1 को 'p' द्वारा, 2 को 'd' द्वारा, 3 को 'f' द्वारा, और 4 को 'g' द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, कोई सबहेल के साथ बोल सकता है $$n=2$$ तथा $$\ell=0$$ '2s सबशेल' के रूप में।

प्रत्येक इलेक्ट्रॉन में एक स्पिन क्वांटम संख्या, s भी होती है, जो प्रत्येक इलेक्ट्रॉन के स्पिन (स्पिन अप या स्पिन डाउन) का वर्णन करती है। संख्या s +. हो सकती है$1⁄2$ या -$1⁄2$.

पाउली अपवर्जन सिद्धांत बताता है कि एक परमाणु में किसी भी दो इलेक्ट्रॉनों का मान सभी चार क्वांटम संख्याओं के समान नहीं हो सकता है। यदि किसी कक्षक में तीन क्वांटम संख्याओं के लिए दिए गए मान वाले दो इलेक्ट्रॉन हैं, ($n$, $ℓ$, $m$), इन दो इलेक्ट्रॉनों को अपने स्पिन में भिन्न होना चाहिए।

उपरोक्त सम्मेलनों में एक पसंदीदा अक्ष (उदाहरण के लिए, कार्टेशियन निर्देशांक में z दिशा) का अर्थ है, और वे इस पसंदीदा अक्ष के साथ एक पसंदीदा दिशा भी दर्शाते हैं। अन्यथा भेद करने का कोई मतलब नहीं होगा $n = 1$ से $n = 2$. जैसे, इन समरूपताओं को साझा करने वाली भौतिक प्रणालियों पर लागू होने पर मॉडल सबसे उपयोगी होता है। स्टर्न-गेरलाच प्रयोग - जहां एक परमाणु चुंबकीय क्षेत्र के संपर्क में आता है - ऐसा एक उदाहरण प्रदान करता है।

वास्तविक कक्षक
ऊपर वर्णित जटिल कक्षकों के अतिरिक्त, वास्तविक परमाणु कक्षकों का उपयोग करना, विशेष रूप से रसायन शास्त्र साहित्य में आम है। ये वास्तविक कक्षक जटिल कक्षकों के सरल रैखिक संयोजनों से उत्पन्न होते हैं। गोलाकार हार्मोनिक्स # कोंडोन-शॉर्टली चरण | कॉन्डन-शॉर्टली चरण सम्मेलन का उपयोग करते हुए, वास्तविक ऑर्बिटल्स जटिल ऑर्बिटल्स से उसी तरह संबंधित होते हैं जैसे वास्तविक गोलाकार हार्मोनिक्स जटिल गोलाकार हार्मोनिक्स से संबंधित होते हैं। दे $$\psi_{n,\ell, m}$$ क्वांटम संख्या के साथ एक जटिल कक्षीय निरूपित करें $$n$$, $$l$$, तथा $$m$$, असली ऑर्बिटल्स $$\psi_{n, \ell, m}^{\text{real}}$$ द्वारा परिभाषित किया जा सकता है

\psi_{n,\ell, m}^{\text{real}} = \begin{cases} \sqrt{2} (-1)^m \text{Im}\left\{\psi_{n,\ell,|m|}\right\} &\text{ for } m<0\\ \psi_{n,\ell,|m|} &\text{ for } m=0\\ \sqrt{2} (-1)^m \text{Re}\left\{\psi_{n,\ell,|m|}\right\} &\text{ for } m>0 \end{cases} = \begin{cases} \frac{i}{\sqrt{2}}\left(\psi_{n,\ell, -|m|} - (-1)^m \psi_{n,\ell, |m|}\right) & \text{ for } m<0\\ \psi_{n, \ell, |m|}& \text{ for } m=0\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\psi_{n,\ell, -|m|} + (-1)^m \psi_{n,\ell, |m|}\right) & \text{ for } m<0\\ \end{cases} $$ यदि $$\psi_{n,\ell, m}(r, \theta, \phi) = R_{nl}(r) Y_{\ell}^m(\theta, \phi)$$, साथ $$R_{nl}(r)$$ कक्षीय का रेडियल भाग, यह परिभाषा बराबर है $$\psi_{n,\ell, m}^{\text{real}}(r, \theta, \phi) = R_{nl}(r) Y_{\ell m}(\theta, \phi)$$ कहाँ पे $$Y_{\ell m}$$ वास्तविक गोलाकार हार्मोनिक है जो जटिल गोलाकार हार्मोनिक के वास्तविक या काल्पनिक भाग से संबंधित है $$Y_{\ell}^m$$.

वास्तविक गोलाकार हार्मोनिक्स भौतिक रूप से प्रासंगिक होते हैं जब एक परमाणु एक क्रिस्टलीय ठोस में एम्बेडेड होता है, इस मामले में कई पसंदीदा समरूपता अक्ष होते हैं लेकिन कोई भी पसंदीदा दिशा नहीं होती है. वास्तविक परमाणु ऑर्बिटल्स भी अधिक बार परिचयात्मक रसायन शास्त्र पाठ्यपुस्तकों में पाए जाते हैं और सामान्य कक्षीय दृश्यों में दिखाए जाते हैं। वास्तविक हाइड्रोजन जैसे कक्षकों में, क्वांटम संख्याएँ $$n$$ तथा $$\ell$$ उनके जटिल समकक्षों के समान व्याख्या और महत्व है, लेकिन $$m$$ अब एक अच्छी क्वांटम संख्या नहीं है (लेकिन इसका निरपेक्ष मान है)।

कुछ वास्तविक कक्षकों को सरल से परे विशिष्ट नाम दिए गए हैं $$\psi_{n, \ell, m}$$ पद। क्वांटम संख्या के साथ ऑर्बिटल्स $$\ell$$ के बराबर $$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\ldots$$ कहा जाता है $$s, p, d, f, g, h, \ldots$$ कक्षक इससे कोई पहले से ही जटिल ऑर्बिटल्स को नाम दे सकता है जैसे कि $$2p_{\pm 1} = \psi_{2, 1, \pm 1}$$; पहला प्रतीक है $$n$$ क्वांटम संख्या, दूसरी संख्या उस विशेष के लिए प्रतीक है $$\ell$$ क्वांटम संख्या और सबस्क्रिप्ट है $$m$$ सांख्यिक अंक।

वास्तविक ऑर्बिटल्स के लिए पूर्ण कक्षीय नाम कैसे उत्पन्न होते हैं, इसका एक उदाहरण के रूप में, कोई गणना कर सकता है $$\psi_{n, 1, \pm 1}^{\text{real}}$$. गोलाकार हार्मोनिक्स की तालिका से, $$\psi_{n, 1, \pm1} = R_{n, 1}Y_1^{\pm 1} = \mp R_{n, 1} \sqrt{3/8\pi} \cdot (x\pm i y)/r$$ साथ $$r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$$. फिर



\begin{align} \psi_{n, 1, +1}^{\text{real}} =& R_{n, 1} \sqrt{\frac{3}{4\pi}} \cdot \frac{x}{r}\\ \psi_{n, 1, -1}^{\text{real}} =& R_{n, 1} \sqrt{\frac{3}{4\pi}} \cdot \frac{y}{r} \end{align} $$ वैसे ही $$\psi_{n, 1, 0} = R_{n, 1} \sqrt{3/4\pi} \cdot z/r$$. अधिक जटिल उदाहरण के रूप में:



\psi_{n, 3, +1}^{\text{real}} = R_{n, 3} \frac{1}{4} \sqrt{\frac{21}{2\pi}} \cdot \frac{x\cdot (5z^2 - r^2)}{r^3} $$ इन सभी मामलों में हम बहुपद की जांच और संक्षिप्त रूप में कक्षीय के लिए एक कार्टेशियन लेबल उत्पन्न करते हैं $$x$$, $$y$$, तथा $$z$$ अंश में दिखाई दे रहा है। हम इसमें किसी भी शर्तों को अनदेखा करते हैं $$z, r$$ में उच्चतम घातांक वाले पद को छोड़कर बहुपद $$z$$. हम तब परमाणु अवस्था के लिए एक सबस्क्रिप्ट लेबल के रूप में संक्षिप्त बहुपद का उपयोग करते हैं, उपरोक्त समान नामकरण का उपयोग करके इंगित करते हैं $$n$$ तथा $$\ell$$ क्वांटम संख्याएं।



\begin{align} \psi_{n, 1, -1}^{\text{real}} =& np_y = \frac{i}{\sqrt{2}} \left(np_{-1} + np_{+1}\right)\\ \psi_{n, 1, 0}^{\text{real}} =& np_z = 2p_0\\ \psi_{n, 1, +1}^{\text{real}} =& np_x = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(np_{-1} - np_{+1}\right)\\ \psi_{n, 3, +1}^{\text{real}} =& nf_{xz^2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(nf_{-1} - nf_{+1}\right) \end{align} $$ सबसे ऊपर की अभिव्यक्ति गोलाकार हार्मोनिक्स # कोंडोन-शॉर्टली चरण | कोंडोन-शॉर्टली चरण सम्मेलन का उपयोग करती है जो क्वांटम भौतिकविदों द्वारा समर्थित है। गोलाकार हार्मोनिक्स के चरण के लिए अन्य सम्मेलन मौजूद हैं। इन विभिन्न सम्मेलनों के तहत $$p_x$$ तथा $$p_y$$ ऑर्बिटल्स प्रकट हो सकते हैं, उदाहरण के लिए, के योग और अंतर के रूप में $$p_{+1}$$ तथा $$p_{-1}$$, ऊपर जो दिखाया गया है उसके विपरीत।

परमाणु कक्षकों के लिए इन कार्तीय बहुपद नामों की सूची नीचे दी गई है। ध्यान दें कि साहित्य में इस बात का संदर्भ नहीं मिलता है कि लंबे कार्टेशियन गोलाकार हार्मोनिक बहुपदों को कैसे संक्षिप्त किया जाए $$\ell>3$$ इसलिए के नामकरण पर आम सहमति नहीं लगती $$g$$ इस नामकरण के अनुसार कक्षक या उच्चतर।

ऑर्बिटल्स के आकार
कक्षीय आकृतियों को दर्शाने वाले सरल चित्रों का उद्देश्य अंतरिक्ष में उन क्षेत्रों के कोणीय रूपों का वर्णन करना है जहां कक्ष में रहने वाले इलेक्ट्रॉनों के पाए जाने की संभावना है। आरेख पूरे क्षेत्र को नहीं दिखा सकते हैं जहां एक इलेक्ट्रॉन पाया जा सकता है, क्योंकि क्वांटम यांत्रिकी के अनुसार अंतरिक्ष में कहीं भी इलेक्ट्रॉन (लगभग) खोजने की एक गैर-शून्य संभावना है। इसके बजाय आरेख सीमा या समोच्च रेखा के अनुमानित प्रतिनिधित्व हैं जहां संभाव्यता घनत्व $ℓ = 0 (s)$ एक स्थिर मान है, इसलिए चुना गया है कि समोच्च के भीतर इलेक्ट्रॉन को खोजने की एक निश्चित संभावना (उदाहरण के लिए 90%) है। यद्यपि $ℓ = 1 (p)$ चूंकि निरपेक्ष मान का वर्ग हर जगह गैर-ऋणात्मक होता है, तरंग फलन का संकेत $ℓ = 2 (d)$ अक्सर कक्षीय चित्र के प्रत्येक उपक्षेत्र में इंगित किया जाता है।

कभी - कभी $ℓ = 3 (f)$ फ़ंक्शन को इसके चरणों को दिखाने के लिए रेखांकन किया जाता है, न कि $ℓ = 4 (g)$ जो प्रायिकता घनत्व दिखाता है लेकिन उसका कोई चरण नहीं है (जो निरपेक्ष मान लेते समय खो जाता है, क्योंकि $n = 1$ एक सम्मिश्र संख्या है)। $n = 2$ कक्षीय रेखांकन में कम गोलाकार, पतले लोब होते हैं $n = 3$ रेखांकन, लेकिन समान स्थानों पर समान संख्या में लोब होते हैं, और अन्यथा पहचानने योग्य होते हैं। वेव फंक्शन फेज दिखाने के लिए यह लेख ज्यादातर दिखाता है $n = 4$ रेखांकन।

लोब को दो काउंटर रोटेटिंग, रिंग रेजोनेंट ट्रैवलिंग वेव के बीच स्टैंडिंग वेव वेव इंटरफेरेंस पैटर्न के रूप में देखा जा सकता है $m$ तथा $n = 5$ मोड; xy तल पर कक्षीय प्रक्षेपण में एक गुंजयमान होता है $m$ परिधि के चारों ओर तरंग दैर्ध्य। हालांकि शायद ही कभी दिखाया गया हो, यात्रा तरंग समाधानों को घूर्णन बैंडेड तोरी के रूप में देखा जा सकता है; बैंड चरण जानकारी का प्रतिनिधित्व करते हैं। प्रत्येक के लिए $m$ दो स्थायी तरंग समाधान हैं $m = +1$ तथा $m = −1$. यदि $m = −3$, कक्षीय लंबवत है, काउंटर घूर्णन जानकारी अज्ञात है, और कक्षीय z-अक्ष सममित है। यदि $m = −2$ कोई काउंटर घूर्णन मोड नहीं हैं। केवल रेडियल मोड हैं और आकार गोलाकार रूप से सममित है। किसी दिए गए के लिए $n$, छोटे $ℓ$ है, जितने अधिक रेडियल नोड हैं। किसी दिए गए के लिए $ℓ$, छोटे $n$ है, कम रेडियल नोड्स हैं (शून्य जो भी हो) $n$ पहले उसके पास है $ℓ$ कक्षीय)। शिथिल बोल, $n$ ऊर्जा है, $ℓ$ कक्षीय विलक्षणता के अनुरूप है, और $m$ अभिविन्यास है। शास्त्रीय मामले में, एक रिंग रेजोनेंट ट्रैवलिंग वेव, उदाहरण के लिए एक सर्कुलर ट्रांसमिशन लाइन में, जब तक कि सक्रिय रूप से मजबूर नहीं किया जाता है, अनायास रिंग रेजोनेंट स्टैंडिंग वेव में बदल जाता है क्योंकि प्रतिबिंब समय के साथ-साथ सबसे छोटी अपूर्णता या असंतुलन पर भी बनते हैं।

सामान्य रूप में, $n$ किसी दिए गए नाभिक के लिए कक्षक का आकार और ऊर्जा निर्धारित करता है; जैसा $n$ बढ़ता है, कक्षक का आकार बढ़ता है। उच्च परमाणु प्रभार $Z$ भारी तत्वों के कारण उनके ऑर्बिटल्स हल्के वाले की तुलना में सिकुड़ जाते हैं, जिससे कि इलेक्ट्रॉनों की संख्या बढ़ने पर भी परमाणु का आकार लगभग स्थिर रहता है। सामान्य शब्दों में भी, $ℓ$ एक कक्षीय आकार निर्धारित करता है, और $m_{ℓ}$ इसका अभिविन्यास। हालांकि, चूंकि कुछ कक्षकों को जटिल संख्याओं में समीकरणों द्वारा वर्णित किया जाता है, आकार कभी-कभी पर निर्भर करता है $m_{ℓ}$ भी। एक साथ, किसी दिए गए के लिए ऑर्बिटल्स का पूरा सेट $ℓ$ तथा $n$ जितना संभव हो उतना सममित रूप से अंतरिक्ष भरें, हालांकि लोब और नोड्स के तेजी से जटिल सेट के साथ।

सिंगल एस-ऑर्बिटल्स ($$\ell=0$$) गोले के आकार के होते हैं। के लिये $m = −1$ यह मोटे तौर पर एक गेंद (गणित) है (केंद्र में सबसे घनी होती है और तेजी से बाहर की ओर फीकी पड़ती है), लेकिन के लिए $m = 0$, प्रत्येक एकल s-कक्षक गोलाकार रूप से सममित सतहों से बना होता है जो नेस्टेड गोले होते हैं (यानी, तरंग-संरचना रेडियल होती है, एक साइनसॉइडल रेडियल घटक के बाद भी)। इन नेस्टेड गोले के क्रॉस-सेक्शन का चित्रण देखें, दाईं ओर। सभी के लिए एस-ऑर्बिटल्स $n$ नाभिक के केंद्र में एक एंटी-नोड (उच्च तरंग फ़ंक्शन घनत्व का एक क्षेत्र) के साथ संख्याएं एकमात्र कक्षा हैं। अन्य सभी कक्षकों (p, d, f, आदि) में कोणीय संवेग होता है, और इस प्रकार वे नाभिक से बचते हैं (नाभिक पर तरंग नोड होते हैं)। हाल ही में, एक SrTiO. में 1s और 2p ऑर्बिटल्स की प्रयोगात्मक रूप से छवि बनाने का प्रयास किया गया है3 ऊर्जा फैलाव एक्स-रे स्पेक्ट्रोस्कोपी के साथ स्कैनिंग ट्रांसमिशन इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोपी का उपयोग कर क्रिस्टल। क्योंकि इमेजिंग एक इलेक्ट्रॉन बीम का उपयोग करके आयोजित की गई थी, कूलम्बिक बीम-ऑर्बिटल इंटरैक्शन जिसे अक्सर प्रभाव पैरामीटर प्रभाव कहा जाता है, अंतिम परिणाम में शामिल होता है (दाईं ओर आंकड़ा देखें)।

p, d और f-कक्षकों के आकार का वर्णन यहाँ मौखिक रूप से किया गया है और नीचे कक्षक तालिका में आलेखीय रूप से दिखाया गया है। के लिए तीन p-कक्षक $m = +1$ परमाणु नाभिक पर स्पर्शरेखा के बिंदु के साथ दो दीर्घवृत्त का रूप होता है (दो-लोब वाले आकार को कभी-कभी डम्बल के रूप में संदर्भित किया जाता है - एक दूसरे से विपरीत दिशाओं में इंगित दो लोब होते हैं)। प्रत्येक इलेक्ट्रॉन शेल में तीन पी-ऑर्बिटल्स एक दूसरे के समकोण पर उन्मुख होते हैं, जैसा कि उनके संबंधित रैखिक संयोजन द्वारा निर्धारित किया जाता है$m_{ℓ}$. समग्र परिणाम प्राथमिक अक्षों की प्रत्येक दिशा की ओर इशारा करते हुए एक लोब है।

के लिए पाँच d-कक्षकों में से चार $m = +2$ समान दिखते हैं, प्रत्येक में चार नाशपाती के आकार के लोब हैं, प्रत्येक लोब दो अन्य के समकोण पर स्पर्शरेखा है, और चारों के केंद्र एक ही तल में स्थित हैं। इनमें से तीन विमान xy-, xz-, और yz-प्लेन हैं- लोब प्राथमिक अक्षों के जोड़े के बीच होते हैं- और चौथे में x और y अक्षों के साथ केंद्र होता है। पांचवें और अंतिम डी-ऑर्बिटल में उच्च संभावना घनत्व के तीन क्षेत्र होते हैं: दो नाशपाती के आकार के क्षेत्रों के बीच एक टोरस सममित रूप से अपने z अक्ष पर रखा जाता है। प्रत्येक प्राथमिक अक्ष दिशा में और प्रत्येक जोड़ी के बीच कुल 18 दिशात्मक लोब इंगित करते हैं।

सात f-कक्षक हैं, जिनमें से प्रत्येक का आकार d-कक्षकों की तुलना में अधिक जटिल है।

इसके अतिरिक्त, जैसा कि s ऑर्बिटल्स के मामले में है, व्यक्तिगत p, d, f और g ऑर्बिटल्स के साथ $n$ न्यूनतम संभव मान से अधिक मान, एक अतिरिक्त रेडियल नोड संरचना प्रदर्शित करता है जो तरंग के निम्नतम (या मौलिक) मोड की तुलना में उसी प्रकार की हार्मोनिक तरंगों की याद दिलाता है। एस ऑर्बिटल्स की तरह, यह घटना पी, डी, एफ, और जी ऑर्बिटल्स को अगले उच्च संभव मान पर प्रदान करती है $n$ (उदाहरण के लिए, 3p ऑर्बिटल्स बनाम मौलिक 2p), प्रत्येक लोब में एक अतिरिक्त नोड। के अभी भी उच्च मान $n$ प्रत्येक प्रकार के कक्षीय के लिए रेडियल नोड्स की संख्या में और वृद्धि करें।

एक-इलेक्ट्रॉन परमाणु में परमाणु कक्षकों की आकृतियाँ 3-आयामी गोलाकार हार्मोनिक्स से संबंधित होती हैं। ये आकार अद्वितीय नहीं हैं, और कोई भी रैखिक संयोजन मान्य है, जैसे क्यूबिक हार्मोनिक्स में परिवर्तन, वास्तव में सेट उत्पन्न करना संभव है जहां सभी डी समान आकार हैं, ठीक उसी तरह जैसे $m = +3$ तथा $(n = 6, ℓ = 0, m = 0)$ एक ही रूप हैं।

हालांकि अलग-अलग ऑर्बिटल्स को अक्सर एक-दूसरे से स्वतंत्र दिखाया जाता है, ऑर्बिटल्स एक ही समय में नाभिक के चारों ओर सह-अस्तित्व रखते हैं। इसके अलावा, 1927 में, अल्ब्रेक्ट अनसोल्ड ने साबित किया कि यदि कोई एक विशेष अज़ीमुथल क्वांटम संख्या के सभी ऑर्बिटल्स के इलेक्ट्रॉन घनत्व का योग करता है $ℓ$ एक ही खोल के $n$ (उदाहरण के लिए, सभी तीन 2p ऑर्बिटल्स, या सभी पांच 3d ऑर्बिटल्स) जहां प्रत्येक ऑर्बिटल पर एक इलेक्ट्रॉन का कब्जा है या प्रत्येक पर एक इलेक्ट्रॉन जोड़ी का कब्जा है, तो सभी कोणीय निर्भरता गायब हो जाती है; अर्थात्, उस उपकोश के सभी परमाणु कक्षकों का परिणामी कुल घनत्व (जिनके पास समान है  $ℓ$) गोलाकार है। इसे गोलाकार हार्मोनिक्स#जोड़ प्रमेय|अनसोल्ड प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

ऑर्बिटल्स टेबल
यह तालिका 7s तक के सभी परमाणु कक्षकों के लिए वास्तविक हाइड्रोजन-सदृश तरंग कार्यों को दर्शाती है, और इसलिए आवर्त सारणी में रेडियम तक और कुछ से आगे के सभी तत्वों की जमीनी अवस्था में व्याप्त कक्षकों को कवर करती है। ग्राफ़ दो अलग-अलग रंगों (मनमाने ढंग से लाल और नीले) में दिखाए गए - और + तरंग फ़ंक्शन चरणों के साथ दिखाए जाते हैं। $n > 1$ }} कक्षीय समान है $| ψ(r, θ, φ) |^{2}$ कक्षीय, लेकिन $| ψ |^{2}$ तथा $ψ(r, θ, φ)$ के रैखिक संयोजन लेकर बनते हैं $ψ$ तथा $| ψ(r, θ, φ) |^{2}$ ऑर्बिटल्स (यही कारण है कि उन्हें के तहत सूचीबद्ध किया गया है) $ψ(r, θ, φ)$ लेबल)। यह भी $|ψ(r, θ, φ)|^{2}$ तथा $ψ(r, θ, φ)$ के समान आकार नहीं हैं $ψ(r, θ, φ)$, क्योंकि वे शुद्ध गोलाकार हार्मोनिक्स हैं।

* अभी तक 6f, 7d या 7f इलेक्ट्रान वाले किसी तत्व की खोज नहीं हुई है।

7p इलेक्ट्रॉनों वाले तत्वों की खोज की गई है, लेकिन उनके इलेक्ट्रॉनिक विन्यास की भविष्यवाणी की जाती है।

उन तत्वों के लिए जिनका उच्चतम कक्षक कक्षक 6d कक्षक है, केवल कुछ इलेक्ट्रॉनिक विन्यास की पुष्टि की गई है। (डार्मस्टेडियम, रोएंटजेनियम और कॉपरनिकियम अभी भी गायब हैं)।

ये वास्तविक-मूल्यवान ऑर्बिटल्स हैं जो आमतौर पर रसायन विज्ञान में उपयोग किए जाते हैं। केवल $$m = 0$$ ऑर्बिटल्स जहां ऑर्बिटल एंगुलर मोमेंटम ऑपरेटर के आइजेनस्टेट हैं, $$\hat L_z$$. के साथ कॉलम $$m = \pm 1, \pm 2,\cdots$$ are combinations of two eigenstates. See निम्न चित्र में तुलना: [[File:Atomic orbitals spdf m-eigenstates and superpositions.png|thumb|परमाणु ऑर्बिटल्स spdf m-eigenstates और superpositions

आकृतियों की गुणात्मक समझ
एक गोलाकार ड्रम के कंपन के अनुरूप मामले पर विचार करके परमाणु कक्षाओं के आकार को गुणात्मक रूप से समझा जा सकता है। सादृश्य को देखने के लिए, कई चक्रों पर संतुलन बिंदु से ड्रम झिल्ली के प्रत्येक बिट का औसत कंपन विस्थापन (उस बिंदु पर औसत ड्रम झिल्ली वेग और गति का एक माप) को ड्रम के केंद्र से उस बिंदु की दूरी के सापेक्ष माना जाना चाहिए। सिर। यदि इस विस्थापन को नाभिक से एक निश्चित दूरी पर एक इलेक्ट्रॉन को खोजने की संभावना के अनुरूप माना जाता है, तो यह देखा जाएगा कि कंपन डिस्क के कई तरीके पैटर्न बनाते हैं जो परमाणु कक्षाओं के विभिन्न आकारों का पता लगाते हैं। इस पत्राचार का मूल कारण इस तथ्य में निहित है कि पदार्थ-तरंग में गतिज ऊर्जा और संवेग का वितरण इस बात का अनुमान है कि तरंग से जुड़ा कण कहाँ होगा। अर्थात्, किसी दिए गए स्थान पर एक इलेक्ट्रॉन को खोजने की संभावना भी उस बिंदु पर इलेक्ट्रॉन की औसत गति का एक कार्य है, क्योंकि किसी दिए गए स्थान पर उच्च इलेक्ट्रॉन गति इलेक्ट्रॉन तरंग के गुणों के माध्यम से उस स्थिति में इलेक्ट्रॉन को स्थानीयकृत करती है- पैकेट (तंत्र के विवरण के लिए हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत देखें)।

इस संबंध का अर्थ है कि ड्रम झिल्ली मोड और परमाणु कक्षा दोनों में कुछ प्रमुख विशेषताएं देखी जा सकती हैं। उदाहरण के लिए, s ऑर्बिटल्स (नीचे एनिमेटेड चित्रण में शीर्ष पंक्ति) के अनुरूप सभी मोड में, यह देखा जा सकता है कि ड्रम झिल्ली का बहुत केंद्र एक परमाणु में सभी s ऑर्बिटल्स में एंटीनोड के अनुरूप सबसे अधिक कंपन करता है।. इस एंटीनोड का अर्थ है कि इलेक्ट्रॉन नाभिक की भौतिक स्थिति में होने की सबसे अधिक संभावना है (जो इसे बिना बिखरने या हड़ताल किए सीधे गुजरता है), क्योंकि यह उस बिंदु पर सबसे तेजी से (औसतन) बढ़ रहा है, जिससे इसे अधिकतम गति मिलती है।

एस ऑर्बिटल्स में इलेक्ट्रॉनों के व्यवहार के सबसे करीब एक मानसिक ग्रहीय कक्षा चित्र, जिनमें से सभी में कोई कोणीय गति नहीं है, शायद 1 की कक्षीय विलक्षणता के साथ केप्लरियन कक्षा की हो सकती है, लेकिन एक सीमित प्रमुख अक्ष, शारीरिक रूप से संभव नहीं है (क्योंकि कण थे टकराने के लिए), लेकिन समान प्रमुख अक्षों के साथ कक्षाओं की एक सीमा (गणित) के रूप में कल्पना की जा सकती है लेकिन बढ़ती विलक्षणता। नीचे, कई ड्रम झिल्ली कंपन मोड और हाइड्रोजन परमाणु के संबंधित तरंग कार्यों को दिखाया गया है। एक पत्राचार पर विचार किया जा सकता है जहां एक कंपन ड्रम सिर के तरंग कार्य दो-समन्वय प्रणाली के लिए होते हैं $−m$ और एक कंपन क्षेत्र के लिए तरंग कार्य तीन-निर्देशांक हैं $⟨m⟩ + ⟨−m⟩$.

 File:Drum vibration mode01.gif|ड्रम मोड $$u_{01}$$ File:Drum vibration mode02.gif|ड्रम मोड $$u_{02}$$ File:Drum vibration mode03.gif|ड्रम मोड $$u_{03}$$ File:Phi 1s.gif|1s कक्षीय का तरंग कार्य (वास्तविक भाग, 2D-कट, $$r_{max}=2 a_0$$) File:Phi 2s.gif|2s कक्षीय का तरंग कार्य (वास्तविक भाग, 2D-कट, $$r_{max}=10 a_0$$) File:Phi 3s.gif|3s कक्षीय का तरंग कार्य (वास्तविक भाग, 2D-कट, $$r_{max}=20 a_0$$) 

ड्रम झिल्ली में मोड के अन्य सेटों में से कोई भी केंद्रीय एंटीनोड नहीं होता है, और उन सभी में ड्रम का केंद्र नहीं चलता है। ये एक परमाणु में सभी गैर-कक्षकों के लिए नाभिक में एक नोड के अनुरूप होते हैं। इन सभी ऑर्बिटल्स में कुछ कोणीय गति होती है, और ग्रहों के मॉडल में, वे 1.0 से कम सनकी के साथ कक्षा में कणों के अनुरूप होते हैं, ताकि वे सीधे प्राथमिक शरीर के केंद्र से न गुजरें, लेकिन इससे कुछ दूर रहें।

इसके अलावा, परमाणु में पी और डी मोड के अनुरूप ड्रम मोड ड्रम के केंद्र से विभिन्न रेडियल दिशाओं के साथ स्थानिक अनियमितता दिखाते हैं, जबकि एस मोड के अनुरूप सभी मोड रेडियल दिशा में पूरी तरह से सममित होते हैं। गैर-एस ऑर्बिटल्स के गैर-रेडियल-समरूपता गुण एक कण को ​​कोणीय गति और एक तरंग प्रकृति के साथ एक कक्षीय में स्थानांतरित करने के लिए आवश्यक हैं, जहां इसे केंद्रीय आकर्षण बल से दूर रहना चाहिए, क्योंकि कोई भी कण केंद्रीय आकर्षण के बिंदु पर स्थानीयकृत होता है। कोई कोणीय गति नहीं हो सकती है। इन तरीकों के लिए, ड्रम हेड में तरंगें केंद्रीय बिंदु से बचती हैं। इस तरह की विशेषताएं फिर से जोर देती हैं कि परमाणु कक्षाओं के आकार इलेक्ट्रॉनों की तरंग प्रकृति का प्रत्यक्ष परिणाम हैं।

 File:Drum vibration mode11.gif|ड्रम मोड $$u_{11}$$ File:Drum vibration mode12.gif|ड्रम मोड $$u_{12}$$ File:Drum vibration mode13.gif|ड्रम मोड $$u_{13}$$ File:Phi 2p.gif|2p कक्षीय का तरंग कार्य (वास्तविक भाग, 2D-कट, $$r_{max}=10 a_0$$) File:Phi 3p.gif|3p कक्षीय का तरंग कार्य (वास्तविक भाग, 2D-कट, $$r_{max}=20 a_0$$) File:Phi 4p.gif|4p कक्षीय का तरंग कार्य (वास्तविक भाग, 2D-कट, $$r_{max}=25 a_0$$) 

 File:Drum vibration mode21.gif|ड्रम मोड $$u_{21}$$ File:Drum vibration mode22.gif|ड्रम मोड $$u_{22}$$ File:Drum vibration mode23.gif|ड्रम मोड $$u_{23}$$ 

कक्षीय ऊर्जा
एक इलेक्ट्रॉन (हाइड्रोजन-जैसे परमाणु) वाले परमाणुओं में, एक कक्षीय की ऊर्जा (और, परिणामस्वरूप, कक्षीय में कोई भी इलेक्ट्रॉन) मुख्य रूप से निर्धारित होती है $$n$$. $$n=1$$ h> कक्षक में परमाणु में न्यूनतम संभव ऊर्जा होती है। प्रत्येक क्रमिक रूप से उच्च मूल्य $$n$$ एक उच्च ऊर्जा है, लेकिन अंतर कम हो जाता है $$n$$ बढ़ती है। उच्च के लिए $$n$$, ऊर्जा इतनी अधिक हो जाती है कि इलेक्ट्रॉन आसानी से परमाणु से बच सकता है। एकल इलेक्ट्रॉन परमाणुओं में, विभिन्न स्तरों वाले सभी स्तर $$\ell$$ किसी दिए गए के भीतर $$n$$ श्रोडिंगर सन्निकटन में पतित हैं, और समान ऊर्जा रखते हैं। डिराक समीकरण के समाधान में यह सन्निकटन थोड़ा टूट गया है (जहां ऊर्जा निर्भर करती है $n$ और एक अन्य क्वांटम संख्या $j$), और नाभिक के चुंबकीय क्षेत्र और क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स प्रभावों के प्रभाव से। उत्तरार्द्ध विशेष रूप से नाभिक के पास जाने वाले एस इलेक्ट्रॉनों के लिए छोटे बाध्यकारी ऊर्जा अंतर को प्रेरित करते हैं, क्योंकि ये एक-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं में भी बहुत थोड़ा अलग परमाणु चार्ज महसूस करते हैं; मेमने की पारी देखें।

कई इलेक्ट्रॉनों वाले परमाणुओं में, एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा न केवल उसके कक्षीय पर निर्भर करती है, बल्कि अन्य इलेक्ट्रॉनों के साथ उसकी बातचीत पर भी निर्भर करती है। ये अंतःक्रियाएं इसके स्थानिक संभाव्यता वितरण के विवरण पर निर्भर करती हैं, और इसलिए कक्षकों का ऊर्जा स्तर न केवल पर निर्भर करता है $$n$$ लेकिन यह भी $$\ell$$. के उच्च मूल्य $$\ell$$ ऊर्जा के उच्च मूल्यों से जुड़े हैं; उदाहरण के लिए, 2p अवस्था 2s अवस्था से ऊँची है। कब $$\ell = 2$$, कक्षक की ऊर्जा में वृद्धि इतनी बड़ी हो जाती है कि कक्षीय की ऊर्जा को अगले उच्च कक्ष में s-कक्षीय की ऊर्जा से ऊपर धकेल देती है; जब $$\ell = 3$$ ऊर्जा को दो कदम ऊपर खोल में धकेल दिया जाता है। 3d ऑर्बिटल्स की फिलिंग तब तक नहीं होती जब तक कि 4s ऑर्बिटल्स को नहीं भर दिया जाता।

बड़े परमाणुओं में बढ़ती कोणीय गति के उपकोशों के लिए ऊर्जा में वृद्धि इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन अंतःक्रिया प्रभावों के कारण होती है, और यह विशेष रूप से कम कोणीय गति वाले इलेक्ट्रॉनों की नाभिक की ओर अधिक प्रभावी ढंग से प्रवेश करने की क्षमता से संबंधित है, जहां वे कम स्क्रीनिंग के अधीन हैं। हस्तक्षेप करने वाले इलेक्ट्रॉनों के प्रभार से। इस प्रकार, उच्च परमाणु क्रमांक वाले परमाणुओं में, $$\ell$$ इलेक्ट्रॉनों का अधिक से अधिक उनकी ऊर्जा में एक निर्धारण कारक बन जाता है, और प्रमुख क्वांटम संख्या $$n$$ इलेक्ट्रॉनों की संख्या उनके ऊर्जा स्थान में कम से कम महत्वपूर्ण हो जाती है।

पहले 35 उपकोशों (जैसे, 1s, 2p, 3d, आदि) का ऊर्जा क्रम निम्न तालिका में दिया गया है। प्रत्येक सेल एक उपकोश का प्रतिनिधित्व करता है $$n$$ तथा $$\ell$$ क्रमशः इसकी पंक्ति और स्तंभ सूचकांकों द्वारा दिया गया। सेल में संख्या अनुक्रम में उपकोश की स्थिति है। बहुइलेक्ट्रॉन परमाणुओं में बढ़ती ऊर्जा के संदर्भ में उपकोशों की एक रैखिक सूची के लिए, नीचे दिया गया अनुभाग देखें।

नोट: खाली कोशिकाएं गैर-मौजूद उप-स्तरों को दर्शाती हैं, जबकि इटैलिक में संख्याएं उन उपस्तरों को दर्शाती हैं जो (संभावित रूप से) मौजूद हो सकते हैं, लेकिन जो वर्तमान में ज्ञात किसी भी तत्व में इलेक्ट्रॉनों को धारण नहीं करते हैं।

इलेक्ट्रॉन प्लेसमेंट और आवर्त सारणी




कई नियम ऑर्बिटल्स (इलेक्ट्रॉन कॉन्फ़िगरेशन) में इलेक्ट्रॉनों की नियुक्ति को नियंत्रित करते हैं। पहला निर्देश देता है कि एक परमाणु में किसी भी दो इलेक्ट्रॉनों में क्वांटम संख्याओं के मूल्यों का समान सेट नहीं हो सकता है (यह पाउली अपवर्जन सिद्धांत है)। इन क्वांटम संख्याओं में तीन शामिल हैं जो ऑर्बिटल्स को परिभाषित करते हैं, साथ ही $r$, या स्पिन क्वांटम संख्या। इस प्रकार, दो इलेक्ट्रॉन एक एकल कक्षक पर कब्जा कर सकते हैं, जब तक कि उनके अलग-अलग मान हों$s$. हालांकि, केवल दो इलेक्ट्रॉनों, उनके स्पिन के कारण, प्रत्येक कक्षीय के साथ जुड़े हो सकते हैं।

इसके अतिरिक्त, एक इलेक्ट्रॉन हमेशा न्यूनतम संभव ऊर्जा अवस्था में गिरता है। जब तक यह पाउली अपवर्जन सिद्धांत का उल्लंघन नहीं करता है, तब तक यह किसी भी कक्षीय पर कब्जा करना संभव है, लेकिन यदि निम्न-ऊर्जा कक्ष उपलब्ध हैं, तो यह स्थिति अस्थिर है। इलेक्ट्रॉन अंततः ऊर्जा खो देगा (एक फोटॉन जारी करके) और निचले कक्षीय में गिर जाएगा। इस प्रकार, इलेक्ट्रॉन ऊपर दिए गए ऊर्जा अनुक्रम द्वारा निर्दिष्ट क्रम में कक्षकों को भरते हैं।

यह व्यवहार आवर्त सारणी की संरचना के लिए जिम्मेदार है। तालिका को कई पंक्तियों में विभाजित किया जा सकता है (जिन्हें 'पीरियड्स' कहा जाता है), जिनकी संख्या शीर्ष पर 1 से शुरू होती है। वर्तमान में ज्ञात तत्व सात आवर्त में व्याप्त हैं। यदि एक निश्चित अवधि की संख्या i है, तो इसमें ऐसे तत्व होते हैं जिनके सबसे बाहरी इलेक्ट्रॉन ith कोश में आते हैं। नील्स बोहर ने सबसे पहले (1923) प्रस्तावित किया था कि तत्वों के गुणों में आवर्त सारणी को इलेक्ट्रॉन ऊर्जा स्तरों के आवधिक भरने से समझाया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप परमाणु की इलेक्ट्रॉनिक संरचना होती है। आवर्त सारणी को कई गिने हुए आयताकार 'आवर्त सारणी ब्लॉक' में भी विभाजित किया जा सकता है। किसी दिए गए ब्लॉक से संबंधित तत्वों में यह सामान्य विशेषता होती है: उनके उच्चतम-ऊर्जा इलेक्ट्रॉन सभी समान होते हैं $s$-राज्य (लेकिन $ℓ$ इसके साथ जुड़े $n$-राज्य अवधि पर निर्भर करता है)। उदाहरण के लिए, सबसे बाईं ओर के दो कॉलम 'एस-ब्लॉक' बनाते हैं। लिथियम और बेरिलियम के सबसे बाहरी इलेक्ट्रॉन क्रमशः 2s उपकोश के होते हैं, और सोडियम और मैग्नीशियम 3s उपकोश के होते हैं।

सबशेल ऑर्बिटल्स को भरने का क्रम निम्नलिखित है, जो आवर्त सारणी में ब्लॉकों का क्रम भी देता है:


 * 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 4s, 3d, 4p, 5s, 4d, 5p, 6s, 4f, 5d, 6p, 7s, 5f, 6d, 7p

ऑर्बिटल्स के भरने की आवधिक प्रकृति, साथ ही s, p, d, और f ब्लॉकों का उद्भव, अधिक स्पष्ट है यदि भरने का यह क्रम मैट्रिक्स रूप में दिया जाता है, जिसमें प्रमुख क्वांटम संख्याएँ नई पंक्तियों (अवधि) को शुरू करती हैं। ) मैट्रिक्स में। फिर, प्रत्येक उपकोश (पहले दो क्वांटम संख्याओं से बना) को इलेक्ट्रॉनों की प्रत्येक जोड़ी के लिए जितनी बार आवश्यक हो उतनी बार दोहराया जाता है। परिणाम एक संकुचित आवर्त सारणी है, जिसमें प्रत्येक प्रविष्टि दो क्रमिक तत्वों का प्रतिनिधित्व करती है:

यद्यपि यह मैडेलुंग नियम के अनुसार कक्षीय भरने का सामान्य क्रम है, इसके अपवाद हैं, और प्रत्येक तत्व की वास्तविक इलेक्ट्रॉनिक ऊर्जा भी परमाणुओं के अतिरिक्त विवरण पर निर्भर है (देखें )

विद्युत उदासीन परमाणु में इलेक्ट्रॉनों की संख्या परमाणु क्रमांक के साथ बढ़ती है। सबसे बाहरी कोश में इलेक्ट्रॉन, या वैलेंस इलेक्ट्रॉन, किसी तत्व के रासायनिक व्यवहार के लिए जिम्मेदार होते हैं। जिन तत्वों में समान संख्या में वैलेंस इलेक्ट्रॉन होते हैं उन्हें एक साथ समूहीकृत किया जा सकता है और समान रासायनिक गुण प्रदर्शित कर सकते हैं।

सापेक्ष प्रभाव
उच्च परमाणु क्रमांक वाले तत्वों के लिए $ℓ$, सापेक्षता के प्रभाव अधिक स्पष्ट हो जाते हैं, और विशेष रूप से s इलेक्ट्रॉनों के लिए, जो सापेक्षतावादी वेगों पर चलते हैं क्योंकि वे उच्च के कोर के पास स्क्रीनिंग इलेक्ट्रॉनों में प्रवेश करते हैं-$Z$ परमाणु। उच्च गति वाले इलेक्ट्रॉनों के लिए संवेग में यह सापेक्षिक वृद्धि 5d ऑर्बिटल्स के सापेक्ष 6s ऑर्बिटल्स के तरंग दैर्ध्य और संकुचन में एक समान कमी का कारण बनती है (आवर्त सारणी के एक ही कॉलम में लाइटर तत्वों में संबंधित s और d इलेक्ट्रॉनों की तुलना में); इसके परिणामस्वरूप 6s संयोजकता इलेक्ट्रॉन ऊर्जा में कम हो जाते हैं।

इस प्रभाव के महत्वपूर्ण भौतिक परिणामों के उदाहरणों में पारा (तत्व) का कम पिघलने वाला तापमान (जिसके परिणामस्वरूप 6s इलेक्ट्रॉन धातु बंधन के लिए उपलब्ध नहीं होते हैं) और सोने और सीज़ियम का सुनहरा रंग शामिल है। बोहर मॉडल में, an $⟨m⟩ − ⟨−m⟩$इलेक्ट्रॉन का वेग द्वारा दिया गया है $$v = Z \alpha c$$, कहाँ पे $Z$ परमाणु संख्या है, $$\alpha$$ ठीक-संरचना स्थिरांक है, और $m = 0$ प्रकाश की गति है। गैर-सापेक्ष क्वांटम यांत्रिकी में, इसलिए, 137 से अधिक परमाणु संख्या वाले किसी भी परमाणु को अपने 1s इलेक्ट्रॉनों को प्रकाश की गति से तेज यात्रा करने की आवश्यकता होगी। यहां तक ​​​​कि डायराक समीकरण में, जो सापेक्षतावादी प्रभावों के लिए जिम्मेदार है, परमाणुओं के लिए इलेक्ट्रॉन का तरंग कार्य $$Z > 137$$ ऑसिलेटरी और अनबाउंड फंक्शन है। तत्व 137 का महत्व, जिसे अनट्रिसेप्टियम के रूप में भी जाना जाता है, सबसे पहले भौतिक विज्ञानी रिचर्ड फेनमैन ने बताया था। तत्व 137 को कभी-कभी अनौपचारिक रूप से फेनमैनियम (प्रतीक Fy) कहा जाता है। हालांकि, फेनमैन का अनुमान सटीक महत्वपूर्ण मूल्य की भविष्यवाणी करने में विफल रहता है$Z$ नाभिक की गैर-बिंदु-आवेश प्रकृति और आंतरिक इलेक्ट्रॉनों की बहुत छोटी कक्षीय त्रिज्या के कारण, जिसके परिणामस्वरूप आंतरिक इलेक्ट्रॉनों द्वारा देखी जाने वाली क्षमता प्रभावी रूप से कम होती है $Z$. आलोचनात्मक $Z$मूल्य, जो परमाणु को वैक्यूम के उच्च-क्षेत्र टूटने और इलेक्ट्रॉन-पॉज़िट्रॉन जोड़े के उत्पादन के संबंध में अस्थिर बनाता है, तब तक नहीं होता है जब तक $Z$ लगभग 173 है। इन स्थितियों को त्वरक में सीसा या यूरेनियम जैसे बहुत भारी नाभिक के टकराव में क्षणिक रूप से छोड़कर नहीं देखा जाता है, जहां इन प्रभावों से ऐसे इलेक्ट्रॉन-पॉज़िट्रॉन उत्पादन का दावा किया गया है।

सापेक्षिक कक्षीय घनत्व में कोई नोड नहीं होते हैं, हालांकि तरंग फ़ंक्शन के अलग-अलग घटकों में नोड्स होंगे।

पीपी संकरण (अनुमानित)
देर से विस्तारित आवर्त सारणी में, 8p. का कक्षीय संकरण3/2 और 9p1/2 होने की उम्मीद है, जहां 3/2 और 1/2 कुल कोणीय गति क्वांटम संख्या को संदर्भित करते हैं। यह पीपी हाइब्रिड अवधि के पी-ब्लॉक के लिए जिम्मेदार हो सकता है क्योंकि सामान्य वैलेंस शेल में पी सबशेल के समान गुण होते हैं। 8p. का ऊर्जा स्तर3/2 और 9p1/2 आपेक्षिक स्पिन-ऑर्बिट इंटरैक्शन के कारण करीब आते हैं|स्पिन-ऑर्बिट प्रभाव; 9s उपकोश को भी भाग लेना चाहिए, क्योंकि इन तत्वों से क्सीनन के माध्यम से संबंधित 5p तत्वों इंडियम के अनुरूप होने की उम्मीद है।

कक्षकों के बीच संक्रमण
बाध्य क्वांटम राज्यों में असतत ऊर्जा स्तर होते हैं। जब परमाणु कक्षकों पर लागू किया जाता है, तो इसका मतलब है कि राज्यों के बीच ऊर्जा अंतर भी असतत है। इन राज्यों के बीच एक संक्रमण (यानी, एक फोटॉन को अवशोषित या उत्सर्जित करने वाला एक इलेक्ट्रॉन) इस प्रकार केवल तभी हो सकता है जब फोटॉन में उक्त राज्यों के बीच सटीक ऊर्जा अंतर के अनुरूप ऊर्जा हो।

हाइड्रोजन परमाणु की दो अवस्थाओं पर विचार कीजिए: क्वांटम सिद्धांत के अनुसार, अवस्था 1 की एक निश्चित ऊर्जा होती है $ℓ = 0$, और राज्य 2 की एक निश्चित ऊर्जा होती है $n = 1$. अब, क्या होगा यदि राज्य 1 में एक इलेक्ट्रॉन राज्य 2 में स्थानांतरित हो जाए? ऐसा होने के लिए, इलेक्ट्रॉन को बिल्कुल की ऊर्जा प्राप्त करने की आवश्यकता होगी $n ≥ 2$. यदि इलेक्ट्रॉन इस मान से कम या अधिक ऊर्जा प्राप्त करता है, तो वह राज्य 1 से राज्य 2 तक नहीं जा सकता है। अब, मान लीजिए कि हम प्रकाश के व्यापक स्पेक्ट्रम के साथ परमाणु को विकिरणित करते हैं। फोटॉन जो परमाणु तक पहुंचते हैं जिनकी ऊर्जा बिल्कुल $n = 2$ राज्य 1 में इलेक्ट्रॉन द्वारा अवशोषित किया जाएगा, और वह इलेक्ट्रॉन राज्य 2 में कूद जाएगा। हालांकि, ऊर्जा में अधिक या कम फोटॉन इलेक्ट्रॉन द्वारा अवशोषित नहीं किए जा सकते हैं, क्योंकि इलेक्ट्रॉन केवल एक कक्षा में कूद सकता है, यह नहीं कर सकता ऑर्बिटल्स के बीच की स्थिति में कूदें। परिणाम यह है कि परमाणु द्वारा केवल एक विशिष्ट आवृत्ति के फोटॉन को ही अवशोषित किया जाएगा। यह स्पेक्ट्रम में एक रेखा बनाता है, जिसे अवशोषण रेखा के रूप में जाना जाता है, जो राज्यों 1 और 2 के बीच ऊर्जा अंतर से मेल खाती है।
 * 1) राज्य $n = 3$, $p_{x}, p_{y},$, $p_{z}$ तथा $p_{z}$
 * 2) राज्य $p_{0}$, $p_{x}$, $p_{y}$ तथा $p_{+1}$

परमाणु कक्षीय मॉडल इस प्रकार लाइन स्पेक्ट्रा की भविष्यवाणी करता है, जो प्रयोगात्मक रूप से देखे जाते हैं। यह परमाणु कक्षीय मॉडल की मुख्य मान्यताओं में से एक है।

परमाणु कक्षीय मॉडल फिर भी पूर्ण क्वांटम सिद्धांत का एक सन्निकटन है, जो केवल कई इलेक्ट्रॉन अवस्थाओं को पहचानता है। लाइन स्पेक्ट्रा की भविष्यवाणियां गुणात्मक रूप से उपयोगी हैं लेकिन केवल एक इलेक्ट्रॉन वाले परमाणुओं और आयनों के अलावा अन्य के लिए मात्रात्मक रूप से सटीक नहीं हैं।

यह भी देखें

 * परमाणु इलेक्ट्रॉन विन्यास तालिका
 * बुद्धिजीवी का नियम
 * संघनित पदार्थ भौतिकी
 * ऋणावेशित सूक्ष्म अणु का विन्यास
 * ऊर्जा स्तर
 * हुंड के नियम
 * आणविक कक्षीय
 * क्वांटम केमिस्ट्री*
 * क्वांटम रसायन विज्ञान कंप्यूटर प्रोग्राम
 * भौतिक विज्ञान की ठोस अवस्था
 * वेव फंक्शन पतन

बाहरी संबंध

 * 3D hydrogen orbitals on Wikimedia Commons
 * Guide to atomic orbitals
 * Covalent Bonds and Molecular Structure
 * Animation of the time evolution of an hydrogenic orbital
 * 3D representation of hydrogenic orbitals
 * The Orbitron, a visualization of all common and uncommon atomic orbitals, from 1s to 7g
 * Grand table Still images of many orbitals