इलास्टिक पेंडुलम



भौतिकी और गणित में, गतिशील प्रणालियों के क्षेत्र में, इलास्टिक पेंडुलम (इसे स्प्रिंग पेंडुलम भी कहा जाता है  या झूलता हुआ स्प्रिंग कहा जाता है) भौतिक प्रणाली है जहां द्रव्यमान का टुकड़ा स्प्रिंग (उपकरण) से जुड़ा होता है जिससे कि परिणामी गति में पेंडुलम (गणित) और आयामी स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली दोनों के अवयव सम्मिलित होंते है । प्रणाली चाओटिक बेहेवियर को प्रदर्शित करती है और प्रारंभिक स्थितियों के प्रति संवेदनशील है। इस प्रकार इलास्टिक पेंडुलम की गति युग्मित साधारण अंतर समीकरण के समूह द्वारा नियंत्रित होती है।

विश्लेषण और व्याख्या
इस प्रकार की प्रणाली साधारण पेंडुलम की तुलना में बहुत अधिक सम्मिश्र होती है, क्योंकि स्प्रिंग के गुण प्रणाली में स्वतंत्रता का अतिरिक्त आयाम जोड़ते हैं। उदाहरण के लिए, जब स्प्रिंग संपीड़ित होता है, तो छोटी त्रिज्या कोणीय गति के संरक्षण के कारण स्प्रिंग को तेजी से आगे बढ़ने का कारण बनती है। यह भी संभव है कि स्प्रिंग की सीमा होती है जो पेंडुलम की गति से आगे निकल जाती है, जिससे यह पेंडुलम की गति के प्रति व्यावहारिक रूप से निष्पक्ष हो जाती है।

लैग्रेंजियन
स्प्रिंग की बाकी लंबाई $$l_0$$ होती है और इसे $$x$$ लम्बाई तक खींचा जा सकता है. जहाँ पेंडुलम का दोलन कोण $$\theta$$ होता है.

लैग्रेंजियन (क्षेत्र सिद्धांत) $$L$$ है:
 * $$L = T - V                                                                                                                                                                                                           $$

जहाँ $$T$$ गतिज ऊर्जा है और $$V$$ स्थितिज ऊर्जा है.

देखना। हुक का नियम स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा ही है:
 * $$V_k=\frac{1}{2}kx^2                                                                                                                                                                                    $$

जहाँ $$k$$ स्प्रिंग स्थिरांक है.

दूसरी ओर, गुरुत्वाकर्षण से संभावित ऊर्जा द्रव्यमान की ऊंचाई से निर्धारित होती है। किसी दिए गए कोण और विस्थापन के लिए, स्थितिज ऊर्जा है:
 * $$V_g=-gm(l_0+x)\cos \theta

$$ जहाँ $$g$$ गुरुत्वाकर्षण त्वरण है.

गतिज ऊर्जा निम्न द्वारा दी जाती है:
 * $$T=\frac{1}{2}mv^2                                                                                                                                                                                                $$

जहाँ $$v$$ द्रव्यमान का वेग है. तथा $$v$$ को अन्य वेरिएबलों से संबंधित करने के लिए, वेग को स्प्रिंग के अनुदिश और लंबवत गति के संयोजन के रूप में लिखा जाता है:
 * $$T=\frac{1}{2}m(\dot x^2+(l_0+x)^2\dot \theta^2)

$$ तब लैग्रेंजियन बन जाता है:

$$L = T -V_k - V_g                                                                                                                                                                 $$
 * $$L[x,\dot x,\theta, \dot \theta] = \frac{1}{2}m(\dot x^2+(l_0+x)^2\dot \theta^2) -\frac{1}{2}kx^2 + gm(l_0+x)\cos \theta                                          $$

गति के समीकरण
स्वतंत्रता की दो डिग्री के साथ, $$x$$ और $$\theta$$ के लिए गति के समीकरण दो यूलर-लैग्रेंज समीकरणों का उपयोग करके पाए जा सकते हैं:
 * $${\partial L\over\partial x}-{\operatorname d \over \operatorname dt} {\partial L\over\partial \dot x}=0                                                            $$
 * $${\partial L\over\partial \theta}-{\operatorname d \over \operatorname dt} {\partial L\over\partial \dot \theta}=0$$

$$x$$ के लिए : :

$$m(l_0+x)\dot \theta^2 -kx + gm\cos \theta-m \ddot x=0$$

$$\ddot x$$ पृथक:
 * $$\ddot x =(l_0+x)\dot \theta^2 -\frac{k}{m}x + g\cos \theta$$

और $$\theta                                                                      $$ के लिए :

$$-gm(l_0+x)\sin \theta - m(l_0+x)^2\ddot \theta- 2m(l_0+x)\dot x \dot \theta=0                                                                                               $$

$$\ddot \theta$$ पृथक:
 * $$\ddot \theta=-\frac{g}{l_0+x}\sin \theta-\frac{2\dot x}{l_0+x}\dot \theta                                                                                                   $$

इलास्टिक पेंडुलम को अब दो युग्मित साधारण अंतर समीकरणों के साथ वर्णित किया गया है। इन्हें संख्यात्मक विश्लेषण से हल किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, कोई व्यक्ति ऑर्डर-चाओस-ऑर्डर की दिलचस्प घटना का अध्ययन करने के लिए इस प्रणाली में विश्लेषणात्मक विधियों का उपयोग कर सकता है

यह भी देखें

 * दोहरा पेंडुलम
 * डफिंग ऑसिलेटर
 * पेंडुलम (गणित)
 * स्प्रिंग-मास प्रणाली

बाहरी संबंध

 * Holovatsky V., Holovatska Y. (2019) "Oscillations of an elastic pendulum" (interactive animation), Wolfram Demonstrations Project, published February 19, 2019.