फ्री एबेलियन ग्रुप

गणित में, फ्री एबेलियन समूह आधारक के रूप में एबेलियन समूह होता है। एबेलियन समूह का मतलब है, कि अतिरिक्त ऑपरेशन के साथ स्थित करना जो कि साहचर्य, क्रमविनिमेय और व्युत्क्रमणीय करना होता है। एक आधारक, जिसे एक अभिन्न आधारक भी कहा जाता है, एक उपसमुच्चय है, जैसे कि समूह के प्रत्येक तत्व को विशिष्ट रूप से कई  आधारकतत्त्व के पूर्णांक रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, द्वि-आयामी पूर्णांक लैटिस फ्री एबेलियन समूह बनाती है, इसके संचालन के रूप में समन्वय के साथ, और इसके  आधारक के रूप में दो बिंदु (1,0) और (0,1) के साथ बनाती है। फ्री एबेलियन समूहों में ऐसे गुण होते हैं जो उन्हें सदिश स्थानों के समान बनाते हैं, और समतुल्य मुक्त कहा जा सकता है  $\Z$'''- मॉड्यूल''', पूर्णांकों पर मुक्त मॉड्यूल होते है । लैटिस सिद्धांत वास्तविक संख्या वेक्टर रिक्त स्थान के मुक्त एबेलियन उपसमूहो का अध्ययन करता है। बीजगणितीय टोपोलॉजी में, फ्री एबेलियन समूहों का उपयोग श्रृंखला समूहों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, और बीजगणितीय ज्यामिति में विभाजक (बीजीय ज्यामिति) को परिभाषित करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

आधारक के रूप में फ्री एबेलियन समूह के तत्व $$B$$ को कई समकक्ष विधियो द्वारा वर्णित किया जा सकता है। इनमें औपचारिक योग सम्मलित होते हैं, ऊपर $B$, जो रूप के अनुसरण हैं $\sum a_i b_i $ जहां प्रत्येक $$a_i$$ अशून्य पूर्णांक है, प्रत्येक के लिए $$b_i$$ एक विशिष्ट आधारक तत्व होते है, और योग में निश्चित रूप से अनेक नियम होते हैं। वैकल्पिक रूप से, एक फ्री एबेलियन समूह तत्वों को हस्ताक्षरित बहुपदीय रूप में माना जा सकता है जिसमें बहुत से तत्व सम्मलित होते हैं $B$ का, औपचारिक योग इसके गुणांक के बराबर बहुपदीय तत्व की बहुलता के साथ होता है। फ्री एबेलियन समूह के तत्व का प्रतिनिधित्व करने का एक अन्य तरीका एक फ़ंक्शन के रूप में है, B पूर्णांकों के लिए बहुत से अशून्य मानों के साथ; इस कार्यात्मक प्रतिनिधित्व के लिए, समूह संचालन कार्यों का बिंदुवार जोड़ होता है।

प्रत्येक सेट $$B$$ के साथ एक मुफ्त एबेलियन समूह $$B$$ के आधारक के रूप में होता है। यह समूह इस अर्थ में अद्वितीय है कि समान आधारक वाले प्रत्येक दो फ्री एबेलियन समूह तुल्याकारी हैं। इसके व्यक्तिगत तत्वों का वर्णन करके इसका निर्माण करने के अतिरिक्त, आधारक के साथ एक फ्री एबेलियन समूह $$B$$ को पूर्णांकों के योज्य समूह की प्रतियों के प्रत्यक्ष योग के रूप में बनाया जा सकता है, जिसमें प्रति सदस्य एक प्रति के साथ $B$. का वैकल्पिक रूप से, फ्री एबेलियन समूह आधारक के रूप में $$B$$ तत्वों के साथ एक समूह की प्रस्तुति द्वारा वर्णित किया जा सकता है, $$B$$ इसके जनरेटर के रूप में और इसके संबंधकों के रूप में सदस्यों के जोड़े के कम्यूटेटर के साथ, फ्री एबेलियन समूह के एक एबेलियन समूह की रैंक एक आधारक की प्रमुखता है; एक ही समूह के लिए हर दो आधारक एक ही रैंक देते हैं, और एक ही रैंक के साथ हर दो मुक्त एबेलियन समूह आइसोमोर्फिक होते हैं। फ्री एबेलियन समूह का प्रत्येक उपसमूह स्वयं मुक्त एबेलियन समूह होता है; यह तथ्य एक सामान्य एबेलियन समूह को "संबंधों" द्वारा एक मुक्त एबेलियन समूह भागफल समूह के रूप में, या मुक्त एबेलियन समूहों के बीच एक इंजेक्टिव होमोमोर्फिज्म के कोकर्नेल के रूप में समझने की अनुमति देता है। केवल मुफ्त एबेलियन समूह वो मुक्त समूह हैं, जिसमे तुच्छ समूह और अनंत चक्रीय समूह सम्मलित होते हैं।

परिभाषा और उदाहरण
फ्री एबेलियन समूह एक एबेलियन समूह है, जिसका एक आधारक है। यहाँ, एक एबेलियन समूह होने का अर्थ है कि यह एक सेट द्वारा वर्णित है $$S$$ इसके तत्वों और द्विआधारी संक्रिया पारंपरिक रूप से एक योगात्मक समूह के रूप में निरूपित किया जाता है $$+$$ चिन्ह (चूँकि यह आवश्यक नहीं है कि संख्याओं का सामान्य जोड़ हो) जो निम्नलिखित गुणों का पालन करते हैं: आधारक एक उपसमुच्चय $$B$$ के तत्वों में से $$S$$ उस गुण के साथ प्रत्येक तत्व $$S$$ बहुत से आधारक तत्त्व को चुनकर एक विशिष्ट विधि से बनाया जा सकता है $$b_i$$ का $B$, अशून्य पूर्णांक का चयन $$k_i$$ प्रत्येक चुने हुए आधार तत्वों के लिए, और एक साथ जोड़ना $$k_i$$आधारक तत्त्व की प्रतियां $$b_i$$ जिसके लिए $$k_i$$ सकारात्मक है, और $$-k_i$$ की प्रतियां $$-b_i$$ प्रत्येक आधारक तत्व जिसके लिए $$k_i$$ ऋणात्मक है।। एक विशेष स्थितियों के रूप में, तत्समक तत्व सदैव इस तरह से शून्य आधारक तत्त्व के संयोजन के रूप में बनाया जा सकता है, रिक्त योग के लिए सामान्य पारम्परिक के अनुसार, और तत्समक का प्रतिनिधित्व करने वाले किसी अन्य संयोजन को खोजना संभव नहीं होना चाहिए।
 * संचालन $$+$$ क्रमविनिमेय और सहचारिता है, जिसका अर्थ सभी तत्वों के लिए है $x$, $y$, and $z$ of $S$, $$x+y=y+x$$ और $(x+y)+z=x+(y+z)$. इसलिए, जब दो या दो से अधिक तत्वों का संयोजन होता है $$S$$ इस सिद्धांत का उपयोग करते हुए, तत्वों का क्रम और समूहन परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
 * $$S$$ एक तत्समक तत्व सम्मलित होते है पारंपरिक रूप से चिह्नित $0$) उस गुण के साथ जो प्रत्येक तत्व के लिए, तत्व$x$, $x+0=0+x=x$.
 * प्रत्येक तत्व $$x$$ में $$S$$ का एक प्रतिलोम तत्त्व है $-x$, जैसा कि $x+(-x)=0$.

पूर्णांक $\mathbb{Z}$, सामान्य योग संचालन के अनुसार, एक फ्री एबेलियन समूह बनाते हैं $\{1\}$.पूर्णांक क्रमविनिमेय और सहचारिता हैं, 0 के साथ योगात्मक पहचान के रूप में और प्रत्येक पूर्णांक के साथ एक योज्य व्युत्क्रम, इसकी अस्वीकृति है। प्रत्येक गैर-नकारात्मक $$x$$ का योग है $$x$$ कि प्रतियां $1$, और प्रत्येक नकारात्मक पूर्णांक $$x$$ का योग है $$-x$$ प्रतियां of $-1$, तो आधारक गुण भी संतुष्ट होते है। एक उदाहरण जहां समूह संचालन संख्याओं के सामान्य योग से भिन्न होता है, सकारात्मक परिमेय संख्याओं द्वारा दिया जाता है $\mathbb{Q}^+$, जो संख्याओं पर सामान्य गुणन संक्रिया और उनके आधारक पर अभाज्य संख्याओं के साथ एक फ्री एबेलियन समूह बनाते हैं। गुणन संख्या के साथ क्रमविनिमेय और साहचर्य है $$1$$ इसकी पहचान के रूप में और साथ $$1/x$$ प्रत्येक सकारात्मक परिमेय के प्रतिलोम तत्व के रूप में संख्या $x$. तथ्य यह है कि अभाज्य संख्याएँ इन संख्याओं के गुणा के लिए एक आधारक बनाती हैं, जो अंकगणित के मूलभूत प्रमेय से अनुसरण करती हैं, जिसके अनुसार प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक विशिष्ट रूप से कई अभाज्यों या उनके व्युत्क्रमों के गुणनफल में पूर्णांक गुणनखंड हो सकता है। यदि $$q=a/b$$ एक धनात्मक परिमेय संख्या है, जिसे सरल शब्दों में व्यक्त किया जाता है $$q$$ के गुणनखंडों में दिखाई देने वाली अभाज्य संख्याओं के परिमित संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$a$$ and $b$. इस संयोजन में उपयोग किए जाने वाले प्रत्येक अभाज्य की प्रतियों की संख्या के गुणनखंड में इसका घातांक है $$a$$, या गुणनखंडन में इसके प्रतिपादक का निषेधन of $b$.

एकल के बहुपद अस्थिर $x$, पूर्णांक गुणांकों के साथ, की शक्तियों के साथ बहुपद जोड़ के अनुसार एक फ्री एबेलियन समूह बनाते हैं $$x$$ आधारक रूप से। एक अमूर्त समूह के रूप में, यह धनात्मक परिमेय संख्याओं के गुणात्मक समूह (एक समूह समरूपता समूह) के समान है। इन दो समूहों को एक दूसरे से मैप करने का एक तरीका, यह दिखाते हुए कि वे आइसोमॉर्फिक हैं, के प्रतिपादक की पुनर्व्याख्या करना है $i$th इसके अतिरिक्त परिमेय के गुणक समूह में अभाज्य संख्या का गुणांक दे रहा है $$x^{i-1}$$ इसी बहुपद में, या इसके विपरीत। उदाहरण के लिए परिमेय संख्या $$5/27$$ के घातांक हैं $$0, -3, 1$$ पहले तीन अभाज्य संख्याओं के लिए $$2, 3, 5$$ और इस तरह बहुपद के अनुरूप होगा $$-3x+x^2$$ समान गुणांक वाले $$0, -3, 1$$ इसके निरंतर, रैखिक और द्विघात शब्दों के लिए। क्योंकि ये मानचित्रण केवल समान संख्याओं की पुनर्व्याख्या करते हैं, वे दो समूहों के तत्वों के बीच एक आक्षेप को परिभाषित करते हैं। और क्योंकि सकारात्मक परिमेय को गुणा करने का समूह संचालन अभाज्य संख्याओं के घातांक पर योगात्मक रूप से कार्य करता है, उसी तरह बहुपदों को जोड़ने का समूह संचालन बहुपदों के गुणांकों पर कार्य करता है, ये मानचित्र समूह संरचना को संरक्षित करते हैं; वे समरूपता हैं। एक विशेषण समरूपता को एक समरूपता कहा जाता है, और इसका अस्तित्व दर्शाता है कि इन दो समूहों में समान गुण हैं।

यद्यपि किसी दिए गए आधारक के संदर्भ में प्रत्येक समूह तत्व का प्रतिनिधित्व अद्वितीय है, एक फ्री एबेलियन समूह में सामान्यतः एक से अधिक  आधारक होते हैं, और विभिन्न  आधारकों के परिणामस्वरूप इसके तत्वों के विभिन्न प्रतिनिधित्व होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि कोई  आधारक के किसी तत्व को उसके प्रतिलोम से प्रतिस्थापित करता है, तो उसे दूसरा  आधारक प्राप्त होता है। अधिक विस्तृत उदाहरण के रूप में, द्वि-आयामी पूर्णांक लैटिस$\Z^2$, पूर्णांक कार्टेशियन निर्देशांक वाले विमान में बिंदुओं से मिलकर,  आधारक के साथ वेक्टर जोड़ के अनुसार एक फ्री एबेलियन समूह बनाता है $\{(1,0),(0,1)\}$. इस आधारक के लिए, तत्व $$(4,3)$$ लिखा जा सकता है $(4,3) = 4 \cdot (1,0) + 3 \cdot (0,1)$, जहां 'गुणा' परिभाषित किया गया है, उदाहरण के लिए, $\ 4 \cdot (1,0) := (1,0) + (1,0) + (1,0) + (1,0)$. लिखने का कोई और तरीका नहीं है $$(4,3)$$ उसी आधारक पर। चूँकि, एक अलग  आधारक के साथ जैसे $\{(1,0),(1,1)\}$, इसे इस रूप में लिखा जा सकता है $(4,3) = (1,0) + 3\cdot (1,1)$. इस उदाहरण को सामान्य करते हुए, प्रत्येक लैटिस (समूह) एक परिमित रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह बनाता है|अंततः उत्पन्न फ्री एबेलियन समूह। $d$- आकार }} पूर्णांक लैटिस $$\Z^d$$ सकारात्मक पूर्णांक इकाई वैक्टर से मिलकर एक प्राकृतिक आधारक होता है, किन्तु इसके कई अन्य  आधारक भी होते हैं: यदि $$M$$ एक है $$d\times d$$ पूर्णांक मैट्रिक्स (गणित) के साथ आकार $\pm 1$, फिर की पंक्तियाँ $$M$$ एक  आधारक बनाते हैं, और विलोम (तर्क) पूर्णांक लैटिसके हर  आधारक का यह रूप होता है। द्वि-आयामी स्थितियों पर अधिक जानकारी के लिए, अवधियों की मौलिक जोड़ी देखें।

निर्माण
हर सेट एक फ्री एबेलियन समूह का आधारक हो सकता है, जो समूह समरूपता के लिए अद्वितीय है। किसी दिए गए  आधारक सेट के लिए फ्री एबेलियन समूह को कई अलग-अलग किन्तु समतुल्य विधि से बनाया जा सकता है: पूर्णांकों की प्रतियों के प्रत्यक्ष योग के रूप में, पूर्णांक-मूल्यवान कार्यों के फ़ैमिली के रूप में, हस्ताक्षरित  बहुपदीय  के रूप में, या समूह की प्रस्तुति द्वारा किया जाता है.

उत्पाद और रकम
समूहों के प्रत्यक्ष उत्पाद में घटकवार जोड़ के साथ उत्पाद में प्रत्येक समूह के एक तत्व के टुपल्स होते हैं। दो फ्री एबेलियन समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद स्वयं मुक्त एबेलियन है, जिसके आधारक पर दो समूहों के  आधारकों का असंबद्ध मिलन होता है। सामान्यतः फ्री एबेलियन समूहों की किसी भी परिमित संख्या का प्रत्यक्ष उत्पाद मुक्त एबेलियन है। $d$-आकार }} पूर्णांक जाली, उदाहरण के लिए, प्रत्यक्ष उत्पाद के लिए आइसोमोर्फिक है $$d$$ पूर्णांक की प्रतियां समूह $\Z$. तुच्छ समूह $$\{0\}$$ रिक्त सेट के आधारक पर मुक्त एबेलियन भी माना जाता है। इसकी व्याख्या एक रिक्त उत्पाद के रूप में की जा सकती है, शून्य प्रतियों का प्रत्यक्ष उत्पाद of $\Z$.

फ्री एबेलियन समूहों के अनंत फ़ैमिलीों के लिए, प्रत्यक्ष उत्पाद आवश्यक रूप से मुक्त एबेलियन नहीं है। उदाहरण के लिए बेयर-स्पीकर समूह $\mathbb{Z}^\mathbb{N}$, अनगिनत अनंत प्रतियों के प्रत्यक्ष उत्पाद के रूप में गठित एक असंख्य अनंत समूह of $\mathbb{Z}$, 1937 में रेनहोल्ड बेयर द्वारा दिखाया गया था कि वह स्वतंत्र एबेलियन नहीं है, चूँकि 1950 में अर्नस्ट स्पेकर गणितीय प्रमाण है कि इसके सभी गणनीय उपसमूह मुक्त एबेलियन हैं। इसअतिरिक्त, समूहों के एक अनंत फ़ैमिली से एक फ्री एबेलियन समूह प्राप्त करने के लिए, प्रत्यक्ष उत्पाद के अतिरिक्त समूहों के प्रत्यक्ष योग का उपयोग किया जाना चाहिए। प्रत्यक्ष योग और प्रत्यक्ष उत्पाद समान होते हैं जब वे बहुत से समूहों पर लागू होते हैं, किन्तु समूहों के अनंत फ़ैमिलीों पर भिन्न होते हैं। प्रत्यक्ष योग में, तत्व फिर से प्रत्येक समूह के तत्वों के गुच्छे होते हैं, किन्तु इस प्रतिबंध के साथ कि इनमें से कई तत्वों को छोड़कर सभी तत्व उनके समूह के लिए पहचान हैं। असीम रूप से कई फ्री एबेलियन समूहों का प्रत्यक्ष योग मुक्त एबेलियन रहता है। इसमें एक आधारक होता है जिसमें टुपल्स होते हैं जिसमें एक तत्व के अतिरिक्त सभी तत्व पहचान होते हैं, इसके समूह के  आधारक के शेष तत्व भाग के साथ।

प्रत्येक फ्री एबेलियन समूह को प्रतियों के प्रत्यक्ष योग के रूप में वर्णित किया जा सकता है of $\mathbb{Z}$, इसके आधारक के प्रत्येक सदस्य के लिए एक प्रति के साथ। यह निर्माण किसी भी सेट की अनुमति देता है $$B$$ एक फ्री एबेलियन समूह का  आधारक बनने के लिए।

पूर्णांक कार्य और औपचारिक योग
A दिया समूह$B$, कोई एक समूह को परिभाषित कर सकता है $$\mathbb{Z}^{(B)}$$ जिनके तत्व से कार्य हैं $$B$$ पूर्णांकों के लिए, जहां सुपरस्क्रिप्ट में कोष्ठक इंगित करता है कि केवल बहुत से अशून्य मानों वाले फ़ंक्शन सम्मलित हैं।

यदि $$f(x)$$ और $$g(x)$$ दो ऐसे कार्य हैं, फिर $$f+g$$ वह फलन है जिसके मान मानों के योग हैं $$f$$ and $g$: वह है, $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$. यह बिंदुवार जोड़ ऑपरेशन देता है $$\mathbb{Z}^{(B)}$$ एबेलियन समूह की संरचना।

प्रत्येक तत्व $$x$$ दिए गए सेट से $$B$$ सदस्य से मेल खाता है of $\mathbb{Z}^{(B)}$, कार्यक्रम $$e_x$$ जिसके लिए $$e_x(x)=1$$ और जिसके लिए $$e_x(y)=0$$ के लिए all $y\ne x$.

हर समारोह $$f$$ में $$\mathbb{Z}^{(B)}$$ विशिष्ट रूप से  आधारकतत्त्व की सीमित संख्या का एक रैखिक संयोजन है: $$f=\sum_{\{x\mid f(x)\ne 0\}} f(x) e_x.$$ इस प्रकार, ये तत्व $$e_x$$ एक आधारक बनाओ for $\mathbb{Z}^{(B)}$, और $$\mathbb{Z}^{(B)}$$ एक फ्री एबेलियन समूह है। इस प्रकार प्रत्येक सेट $$B$$ एक फ्री एबेलियन समूह के  आधारक में बनाया जा सकता है। के तत्व $$\mathbb{Z}^{(B)}$$ औपचारिक राशियों के रूप में भी लिखा जा सकता है, बहुत से शब्दों के योग के रूप में अभिव्यक्तियाँ, जहाँ प्रत्येक शब्द को एक विशिष्ट सदस्य के साथ एक गैर-पूर्णांक पूर्णांक के उत्पाद के रूप में लिखा जाता है of $B$. इन अभिव्यक्तियों को समतुल्य माना जाता है जब उनके पास समान शब्द होते हैं, शर्तों के क्रम की परवाह किए बिना, और उन्हें शर्तों के संघ बनाकर जोड़ा जा सकता है, पूर्णांक गुणांक को समान आधारक तत्व के साथ शब्दों को जोड़ने के लिए जोड़ा जा सकता है, और जिनके लिए शब्द हटा दिए जाते हैं यह संयोजन एक शून्य गुणांक उत्पन्न करता है। उन्हें बहुत से तत्वों के हस्ताक्षरित  बहुपदीय  के रूप में भी व्याख्या किया जा सकता है का $B$.

प्रस्तुति
एक समूह की एक प्रस्तुति तत्वों का एक समूह है जो एक समूह के समूह का निर्माण करता है (जिसका अर्थ है कि सभी समूह तत्वों को बहुत से जनरेटर के उत्पादों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है), साथ में रिलेटर, जनरेटर के उत्पाद जो तत्समक तत्व देते हैं। इस तरह से परिभाषित एक समूह के तत्व जनरेटर और उनके व्युत्क्रमों के अनुक्रमों के समतुल्य वर्ग हैं, एक समानता संबंध के अनुसार जो किसी भी रिलेटर या जनरेटर-उलटा जोड़ी को एक सन्निहित परिणाम के रूप में सम्मिलित करने या निकालने की अनुमति देता है। आधारक के साथ फ्री एबेलियन समूह $$B$$ एक प्रस्तुति है जिसमें जेनरेटर तत्व हैं of $B$, और संबंधक तत्वों के जोड़े के कम्यूटेटर हैं of $B$. यहाँ, दो तत्वों का कम्यूटेटर $$x$$ और $$y$$ उत्पाद है $x^{-1}y^{-1}xy$; इस उत्पाद को पहचान कारणों पर सेट करना $$xy$$ को बराबर $yx$, जिससे की $$x$$ और $$y$$ आना-जाना। अधिक सामान्यतः, यदि जनरेटर के सभी जोड़े चलते हैं, तो जनरेटर के उत्पादों के सभी जोड़े भी चलते हैं। इसलिए, इस प्रस्तुति द्वारा उत्पन्न समूह एबेलियन है, और प्रस्तुति के रिलेटर यह सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक रिलेटर्स का एक न्यूनतम सेट बनाते हैं कि यह एबेलियन है।

जब जनरेटर का सेट परिमित होता है, तो एक फ्री एबेलियन समूह की प्रस्तुति भी परिमित होती है, क्योंकि प्रस्तुति में सम्मलित करने के लिए केवल बहुत से अलग-अलग कम्यूटेटर होते हैं। यह तथ्य, इस तथ्य के साथ कि एक फ्री एबेलियन समूह का प्रत्येक उपसमूह मुक्त एबेलियन है (सबसमूह्स) का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह को अंतिम रूप से प्रस्तुत किया गया है। यदि $$G$$ द्वारा निश्चित रूप से उत्पन्न होता है set $B$, यह फ्री एबेलियन समूह का भागफल समूह है $$B$$ एक मुक्त एबेलियन उपसमूह द्वारा, प्रस्तुति के रिलेटर्स द्वारा उत्पन्न उपसमूह of $G$. किन्तु चूँकि यह उपसमूह स्वयं मुक्त एबेलियन है, यह भी सूक्ष्म रूप से उत्पन्न होता है, और इसका आधारक (कम्यूटेटर के साथ) ऊपर $B$) एक प्रस्तुति के लिए रिलेटर्स का एक परिमित सेट बनाता है of $G$.

एक मॉड्यूल के रूप में पूर्णांकों पर मॉड्यूल (गणित) को वास्तविक संख्याओं या परिमेय संख्याओं पर सदिश स्थानों के समान परिभाषित किया जाता है: इनमें तत्वों की प्रणालियाँ होती हैं जिन्हें एक दूसरे से जोड़ा जा सकता है, पूर्णांकों द्वारा अदिश गुणन के लिए एक ऑपरेशन के साथ जो इसके अनुकूल है अतिरिक्त ऑपरेशन। प्रत्येक एबेलियन समूह को पूर्णांकों पर एक मॉड्यूल के रूप में माना जा सकता है, जिसमें स्केलर गुणन ऑपरेशन निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: चूँकि, वेक्टर रिक्त स्थान के विपरीत, सभी एबेलियन समूहों का आधारक नहीं होता है, इसलिए जो ऐसा करते हैं उनके लिए विशेष नाम मुक्त होता है। एक मुफ्त मॉड्यूल एक मॉड्यूल है जिसे इसके  आधारक रिंग (गणित) पर प्रत्यक्ष योग के रूप में दर्शाया जा सकता है, इसलिए फ्री एबेलियन समूह और मुफ्त $\mathbb Z$- मॉड्यूल समतुल्य अवधारणाएं हैं: प्रत्येक फ्री एबेलियन समूह (ऊपर गुणन संक्रिया के साथ) एक मुक्त है $\mathbb Z$-मापांक और प्रत्येक मुक्त $\mathbb Z$- मापांक इस तरह एक फ्री एबेलियन समूह से आता है। साथ ही प्रत्यक्ष योग, फ्री एबेलियन समूहों को संयोजित करने का एक और तरीका मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद का उपयोग करना है $\Z$- मॉड्यूल। दो फ्री एबेलियन समूहों का टेंसर उत्पाद सदैव मुक्त एबेलियन होता है, जिसका आधारक उत्पाद में दो समूहों के  आधारकों का कार्टेशियन उत्पाद होता है।

फ्री एबेलियन समूहों के कई महत्वपूर्ण गुणों को एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर मुफ्त मॉड्यूल के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, प्रमुख आदर्श डोमेन पर मुफ्त मॉड्यूल के उपमापांक मुफ्त हैं, एक तथ्य यह है कि राइट्स इन मॉड्यूलों के लिए होमोलॉजी (गणित) मशीनरी के स्वचालित सामान्यीकरण की अनुमति देता है। इसके अतिरिक्त, प्रमेय है कि हर प्रक्षेपी मॉड्यूल $\Z$- मापांक मुक्त है उसी तरह सामान्यीकरण करता है।

सार्वभौमिक संपत्ति
एक फ्री एबेलियन समूह $$F$$ आधारक के साथ $$B$$ निम्नलिखित सार्वभौमिक संपत्ति है: प्रत्येक कार्य के लिए $$f$$ से $$B$$ एक एबेलियन समूह के लिए $$A$$, वहाँ से एक अद्वितीय समूह समरूपता उपस्थित है $$F$$ को $$A$$ जो फैलता है $$f$$. यहां, एक समूह होमोमोर्फिज्म एक समूह से दूसरे समूह में मैपिंग है जो समूह उत्पाद कानून के अनुरूप है: मैपिंग से पहले या बाद में एक उत्पाद का प्रदर्शन एक ही परिणाम उत्पन्न करता है। सार्वभौमिक गुणों की एक सामान्य संपत्ति से, यह दर्शाता है कि आधारक का एबेलियन समूह $$B$$ एक समरूपता तक अद्वितीय है। इसलिए, सार्वभौमिक संपत्ति का उपयोग  आधारक के फ्री एबेलियन समूह की परिभाषा के रूप में किया जा सकता है $$B$$. इस संपत्ति द्वारा परिभाषित समूह की विशिष्टता से पता चलता है कि अन्य सभी परिभाषाएँ समकक्ष हैं।

यह इस सार्वभौमिक संपत्ति के कारण है कि फ्री एबेलियन समूहों को मुक्त कहा जाता है: वे एबेलियन समूहों की श्रेणी में मुक्त वस्तुएं हैं, श्रेणी (गणित) जिसमें एबेलियन समूह अपनी वस्तुओं के रूप में और होमोमोर्फिज्म इसके तीर के रूप में हैं। एक आधारक से इसके फ्री एबेलियन समूह का नक्शा एक ऑपरेटर है, श्रेणियों का एक संरचना-संरक्षण मानचित्रण, सेट से एबेलियन समूहों तक, और एबेलियन समूहों से सेट तक भुलक्कड़ फ़ैक्टर के लिए सहायक फ़ंक्टर है। चूँकि, एक फ्री एबेलियन समूह दो स्थितियों को छोड़कर एक स्वतंत्र समूह नहीं है: एक फ्री एबेलियन समूह जिसका रिक्त  आधारक है (रैंक शून्य, तुच्छ समूह दे रहा है) या  आधारक में सिर्फ एक तत्व है (रैंक एक, अनंत चक्रीय समूह दे रहा है) ). अन्य एबेलियन समूह मुक्त समूह नहीं हैं क्योंकि मुक्त समूहों में हैं $$ab$$ से भिन्न होना चाहिए $$ba$$ यदि $$a$$ और $$b$$  आधारक के विभिन्न तत्व हैं, जबकि फ्री एबेलियन समूहों में तत्वों के सभी युग्मों के लिए दो उत्पाद समान होने चाहिए। समूहों की सामान्य श्रेणी में, यह मांग करने के लिए एक अतिरिक्त बाधा है $$ab=ba$$, जबकि एबेलियन समूहों की श्रेणी में यह एक आवश्यक गुण है।

रैंक
एक ही फ्री एबेलियन समूह के प्रत्येक दो आधारकों में समान कार्डिनैलिटी होती है, इसलिए एक  आधारक की कार्डिनैलिटी समूह के एक अपरिवर्तनीय (गणित) का निर्माण करती है जिसे इसकी रैंक के रूप में जाना जाता है। दो फ्री एबेलियन समूह आइसोमोर्फिक हैं यदि और केवल यदि उनके पास समान रैंक है। एक फ्री एबेलियन समूह परिमित रूप से उत्पन्न मॉड्यूल है यदि और केवल यदि इसकी रैंक एक परिमित संख्या है $$n$$, जिस स्थिति में समूह आइसोमॉर्फिक है $$\mathbb{Z}^n$$.

रैंक की इस धारणा को सामान्यीकृत किया जा सकता है, फ्री एबेलियन समूहों से एबेलियन समूहों तक, जो आवश्यक रूप से मुक्त नहीं हैं। एक एबेलियन समूह का पद $$G$$ एक मुक्त एबेलियन उपसमूह के रैंक के रूप में परिभाषित किया गया है $$F$$ का $$G$$ जिसके लिए भागफल समूह $$G/F$$ एक मरोड़ समूह है। समतुल्य रूप से, यह अधिकतम तत्व उपसमुच्चय की प्रमुखता है $$G$$ जो एक मुक्त उपसमूह उत्पन्न करता है। रैंक एक समूह अपरिवर्तनीय है: यह उपसमूह की पसंद पर निर्भर नहीं करता है।

उपसमूह
एक फ्री एबेलियन समूह का प्रत्येक उपसमूह अपने आप में एक फ्री एबेलियन समूह है। रिचर्ड डेडेकिंड का यह परिणाम अनुरूप नीलसन-श्रेयर प्रमेय का अग्रदूत था कि एक मुक्त समूह का प्रत्येक उपसमूह स्वतंत्र है, और इस तथ्य का एक सामान्यीकरण है कि चक्रीय समूहों के उपसमूह। सबूत को पसंद के स्वयंसिद्ध की जरूरत है। सर्ज लैंग के बीजगणित में ज़ोर्न की लेम्मा (पसंद के स्वयंसिद्ध के कई समकक्ष मान्यताओं में से एक) का उपयोग करने वाला प्रमाण पाया जा सकता है। सोलोमन लेफशेट्ज़ और इरविंग कपलान्स्की का तर्क है कि ज़ोर्न के लेम्मा के स्थान पर सुव्यवस्थित सिद्धांत का उपयोग करने से अधिक सहज प्रमाण प्राप्त होता है। सूक्ष्म रूप से उत्पन्न फ्री एबेलियन समूहों के स्थितियों में, प्रमाण आसान है, पसंद के स्वयंसिद्ध की आवश्यकता नहीं है, और अधिक त्रुटिहीन परिणाम की ओर ले जाता है। यदि $$G$$ एक अंतिम रूप से उत्पन्न फ्री एबेलियन समूह का एक उपसमूह है $$F$$, तब $$G$$ मुक्त है और एक आधारक उपस्थित है $$(e_1, \ldots, e_n)$$ का $$F$$ और सकारात्मक पूर्णांक $$d_1|d_2|\ldots|d_k$$ (अर्थात् प्रत्येक एक दूसरे को विभाजित करता है) ऐसा कि $$(d_1e_1,\ldots, d_ke_k)$$ का एक  आधारक है $$G.$$ इसके अतिरिक्त, क्रम $$d_1,d_2,\ldots,d_k$$ पर ही निर्भर करता है $$F$$ और $$G$$ और  आधारक पर नहीं। प्रमेय के अस्तित्व भाग का एक रचनात्मक प्रमाण किसी भी एल्गोरिथम द्वारा प्रदान किया जाता है जो पूर्णांकों के मैट्रिक्स के स्मिथ सामान्य रूप की गणना करता है। विशिष्टता इस तथ्य से अनुसरण करती है कि, किसी के लिए भी $$r\le k$$, रैंक के (रैखिक बीजगणित) का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक $$r$$ स्मिथ सामान्य फॉर्म गणना के समय मैट्रिक्स का नहीं बदला गया है और यह उत्पाद है $$d_1\cdots d_r$$ गणना के अंत में।

मरोड़ और विभाज्यता
सभी फ्री एबेलियन समूह मरोड़ (बीजगणित) | मरोड़-मुक्त हैं, जिसका अर्थ है कि कोई गैर-पहचान समूह तत्व नहीं है $$x$$ और अशून्य पूर्णांक $$n$$ ऐसा है कि $$nx=0$$. इसके विपरीत, सभी परिमित रूप से उत्पन्न मरोड़-फ्री एबेलियन समूह मुक्त एबेलियन हैं।

परिमेय संख्याओं का योज्य समूह $$\mathbb{Q}$$ एक मरोड़-मुक्त (किन्तु सूक्ष्म रूप से उत्पन्न नहीं) एबेलियन समूह का एक उदाहरण प्रदान करता है जो मुक्त एबेलियन नहीं है। एक कारण है $$\mathbb{Q}$$ मुक्त नहीं है एबेलियन यह है कि यह विभाज्य समूह है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक तत्व के लिए $$x\in\mathbb{Q}$$ और प्रत्येक अशून्य पूर्णांक $$n$$, अभिव्यक्त किया जा सकता है $$x$$ एक अदिश गुणक के रूप में $$ny$$ दूसरे तत्व का$$y=x/n$$. इसके विपरीत, गैर-तुच्छ फ्री एबेलियन समूह कभी भी विभाज्य नहीं होते हैं, क्योंकि एक फ्री एबेलियन समूह में  आधारकतत्त्व को अन्य तत्वों के गुणकों के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

समरूपता
किसी भी समूह की समरूपता को समूह ऑटोमोर्फिज्म के रूप में वर्णित किया जा सकता है, समूह से स्वयं के लिए उलटा कार्य होमोमोर्फिज्म। गैर-अबेलियन समूहों में इन्हें आगे आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म और बाहरी ऑटोमोर्फिज्म ऑटोमोर्फिज्म में विभाजित किया जाता है, किन्तु एबेलियन समूहों में सभी गैर-पहचान वाले ऑटोमोर्फिज्म बाहरी होते हैं। वे समारोह रचना के संचालन के अनुसार दिए गए समूह के एक अन्य समूह, ऑटोमोर्फिज्म समूह का निर्माण करते हैं। परिमित रैंक के एक फ्री एबेलियन समूह का ऑटोमोर्फिज़्म समूह $$n$$ सामान्य रैखिक समूह है $$\operatorname{GL}(n,\mathbb{Z})$$, जिसे निश्चित रूप से वर्णित किया जा सकता है (मुक्त ऑटोमोर्फिज्म समूह के एक विशिष्ट आधारक के लिए) के सेट के रूप में $$n\times n$$ मैट्रिक्स गुणन के संचालन के अनुसार व्युत्क्रमणीय पूर्णांक मैट्रिक्स। फ्री एबेलियन समूह पर समरूपता के रूप में उनकी समूह क्रिया $$\Z^n$$ सिर्फ मैट्रिक्स-वेक्टर गुणन है।

दो अनंत-रैंक फ्री एबेलियन समूहों के ऑटोमोर्फिज़्म समूहों में एक ही प्रथम-क्रम सिद्धांत है | प्रथम-क्रम सिद्धांत एक-दूसरे के समान हैं, यदि और केवल यदि उनके रैंक दूसरे-क्रम तर्क के दृष्टिकोण से समतुल्य कार्डिनल संख्या हैं। यह परिणाम फ्री एबेलियन समूहों के इन्वोल्यूशन (गणित) की संरचना पर निर्भर करता है, ऑटोमोर्फिज्म जो स्वयं के व्युत्क्रम हैं। एक नि: शुल्क एबेलियन समूह के लिए एक आधारक दिया गया है, कोई भी ऐसे अंतर्विरोधों को पा सकता है जो   आधारकतत्त्व के असंबद्ध जोड़े के किसी भी सेट को एक-दूसरे से जोड़ते हैं, या जो   आधारकतत्त्व के किसी भी चुने हुए सबसेट को नकारते हैं, अन्य   आधारकतत्त्व को छोड़ देते हैं। इसके विपरीत, एक फ्री एबेलियन समूह के प्रत्येक समावेशन के लिए, समूह का एक  आधारक मिल सकता है जिसके लिए सभी   आधारकतत्त्व को जोड़े में बदल दिया जाता है, अस्वीकार कर दिया जाता है, या सम्मलित होने से अपरिवर्तित छोड़ दिया जाता है।

अन्य समूहों से संबंध
यदि एक फ्री एबेलियन समूह दो समूहों का भागफल है $$A/B$$, तब $$A$$ प्रत्यक्ष योग है $$B\oplus A/B$$. एक मनमाना एबेलियन समूह दिया गया $$A$$, वहाँ सदैव एक फ्री एबेलियन समूह उपस्थित होता है $$F$$ और एक विशेषण समूह समरूपता से $$F$$ को $$A$$. किसी दिए गए समूह पर अनुमान लगाने का एक तरीका $$A$$ जाने देना है $$F=\mathbb{Z}^{(A)}$$ फ्री एबेलियन समूह बनें $$A$$, औपचारिक रकम के रूप में प्रतिनिधित्व किया। तब एक अनुमान को परिभाषित किया जा सकता है, में औपचारिक योगों की मैपिंग करके $$F$$ के सदस्यों की इसी राशि के लिए $$A$$. यही है, प्रक्षेपण मानचित्र $$\sum_{\{x\mid a_x\ne 0\}} a_x e_x \mapsto \sum_{\{x\mid a_x\ne 0\}} a_x x,$$ कहाँ $$a_x$$ आधारक तत्व का पूर्णांक गुणांक है $$e_x$$ दी गई औपचारिक राशि में,

पहली राशि में है $$F$$, और दूसरा योग अंदर है $$A$$. यह आक्षेप अद्वितीय समूह समरूपता है जो कार्य का विस्तार करता है $$e_x\mapsto x$$, और इसलिए इसके निर्माण को सार्वभौमिक संपत्ति के उदाहरण के रूप में देखा जा सकता है।

कब $$F$$ और $$A$$ ऊपर के रूप में हैं, कर्नेल (बीजगणित) $$G$$ से अनुमान $$F$$ को $$A$$ मुक्त आबेली भी है, क्योंकि यह एक उपसमूह है $$F$$ (पहचान के लिए मैप किए गए तत्वों का उपसमूह)।

इसलिए, ये समूह एक संक्षिप्त त्रुटिहीन अनुक्रम बनाते हैं $$0\to G\to F\to A\to 0$$ जिसमें $$F$$ और $$G$$ मुक्त एबेलियन और दोनों हैं $$A$$ कारक समूह के लिए आइसोमोर्फिक है $$F/G$$. यह का एक मुक्त संकल्प है $$A$$. इसके अतिरिक्त, पसंद के स्वयंसिद्ध मानते हुए, फ्री एबेलियन समूह एबेलियन समूहों की श्रेणी में त्रुटिहीन रूप से प्रक्षेपी मॉड्यूल हैं।

बीजगणितीय टोपोलॉजी
बीजगणितीय टोपोलॉजी में, का एक औपचारिक योग $$k$$- डायमेंशनल संकेतन को कहा जाता है $$k$$- श्रंखला और फ्री एबेलियन समूह का संग्रह है $$k$$-सरलता को इसके  आधारक के रूप में एक श्रृंखला समूह कहा जाता है। उदाहरण के लिए, सरलता को सामान्यतः कुछ टोपोलॉजिकल स्पेस से लिया जाता है $$k$$ सरल जटिल, या एकवचन होमोलॉजी के सेट में सरलताएं $$k$$ कई गुना में सरलता। कोई $$k$$-डायमेंशनल सिम्प्लेक्स की एक सीमा होती है जिसे औपचारिक योग के रूप में दर्शाया जा सकता है $$(k-1)$$-आयामी सरलताएं, और फ्री एबेलियन समूहों की सार्वभौमिक संपत्ति इस सीमा संचालिका को एक समूह समरूपता से विस्तारित करने की अनुमति देती है $$k$$-जंजीरों को $$(k-1)$$-जंजीरें। इस तरह से सीमा संचालकों द्वारा जुड़े श्रृंखला समूहों की प्रणाली एक श्रृंखला परिसर बनाती है, और श्रृंखला परिसरों का अध्ययन होमोलॉजी सिद्धांत का  आधारक बनता है।

बीजगणितीय ज्यामिति और जटिल विश्लेषण
सम्मिश्र संख्याओं पर प्रत्येक परिमेय फलन सम्मिश्र संख्याओं के हस्ताक्षरित बहुसमूह से संबद्ध किया जा सकता है $$c_i$$, फ़ंक्शन के शून्य और ध्रुव (बिंदु जहां इसका मान शून्य या अनंत है)। बहुलत इस बहुपदीय  में एक बिंदु का  $$m_i$$फ़ंक्शन के शून्य के रूप में इसका क्रम है, या ध्रुव के रूप में इसके आदेश की अस्वीकृति है।

तब फ़ंक्शन को इस डेटा से स्केलर कारक तक पुनर्प्राप्त किया जा सकता है, जैसे $$f(q)=\prod (q-c_i)^{m_i}.$$ यदि इन बहुपदीय ्स को जटिल संख्याओं पर फ्री एबेलियन समूह के सदस्यों के रूप में व्याख्या किया जाता है, तो दो तर्कसंगत कार्यों का उत्पाद या भागफल दो समूह सदस्यों के योग या अंतर से मेल खाता है। तर्कसंगत कार्यों के गुणक समूह को जटिल संख्याओं के गुणक समूह (प्रत्येक फ़ंक्शन के लिए संबद्ध स्केलर कारक) और जटिल संख्याओं पर फ्री एबेलियन समूह में सम्मलित किया जा सकता है।  परिमेय फलन जिनका अनंत पर एक शून्येतर सीमित मान होता है (रीमैन क्षेत्र पर मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन) इस समूह का एक उपसमूह बनाते हैं जिसमें बहुगुणों का योग शून्य होता है।

बीजगणितीय ज्यामिति में, भाजक की धारणा के लिए इस निर्माण को सामान्यीकृत किया गया है।विभाजकों की अलग-अलग परिभाषाएँ हैं, किन्तु सामान्यतः वे कोडिमेंशन का एक सार बनाते हैं - एक बीजगणितीय किस्म की एक उप-विविधता, बहुपद समीकरणों की एक प्रणाली के समाधान बिंदुओं का समूह। ऐसे स्थितियों में जहां समीकरणों की प्रणाली में स्वतंत्रता की एक डिग्री होती है (इसके समाधान एक बीजगणितीय वक्र या रीमैन सतह बनाते हैं), एक उप-किस्म में कोडिमेंशन एक होता है जब इसमें पृथक बिंदु होते हैं, और इस स्थितियों में एक विभाजक फिर से बिंदुओं का एक हस्ताक्षरित  बहुपदीय  होता है। एक कॉम्पैक्ट रीमैन सतह पर मेरोमोर्फिक कार्यों में सूक्ष्म रूप से कई शून्य और ध्रुव होते हैं, और उनके विभाजक समूह तत्वों के जोड़ या घटाव के अनुरूप कार्यों के गुणन या विभाजन के साथ सतह के बिंदुओं पर एक फ्री एबेलियन समूह का एक उपसमूह बनाते हैं। एक विभाजक होने के लिए, फ्री एबेलियन समूह के एक तत्व में गुणन का योग शून्य होना चाहिए, और सतह के  आधारक पर कुछ अतिरिक्त बाधाओं को पूरा करना चाहिए।

समूह के छल्ले
पूर्णांक समूह की रिंग $$\Z[G]$$, किसी भी समूह के लिए $$G$$, एक वलय है जिसका योगात्मक समूह फ्री एबेलियन समूह है $$G$$. कब $$G$$ परिमित समूह और एबेलियन है, में यूनिट (रिंग थ्योरी) का गुणात्मक समूह $$\Z[G]$$ में एक परिमित समूह और एक परिमित रूप से उत्पन्न फ्री एबेलियन समूह के प्रत्यक्ष उत्पाद की संरचना है।