बोरसुक-उलम प्रमेय

गणित में, बोरसुक-उलम प्रमेय में कहा गया है कि n-गोले से यूक्लिडियन n-समष्टि में प्रत्येक संतत फलन एक ही बिंदु पर प्रतिव्यासांत बिंदुओं की कुछ युग्म को मानचित्र करता है। यहाँ, गोले पर दो बिंदुओं को प्रतिव्यासांत कहा जाता है यदि वे गोले के केंद्र से यथार्थतः विपरीत दिशाओं में होते है।

औपचारिक रूप से: यदि $$f: S^n \to \R^n$$ संतत है तो $$x\in S^n$$ उपस्तिथ है जैसे: $$f(-x)=f(x)$$

प्रकरण $$n=1$$ यह कहकर चित्रित किया जा सकता है कि समान तापमान वाले पृथ्वी के भूमध्य रेखा पर हमेशा विपरीत बिंदुओं का एक युग्म उपस्तिथ होता है। किसी भी वृत्त के लिए यही सत्य है। यह मानता है कि समष्टि में तापमान लगातार बदलता रहता है।

प्रकरण $$n=2$$ प्रायः यह कहते हुए चित्रित किया जाता है कि किसी भी समय, पृथ्वी की सतह पर समान तापमान और समान बैरोमीटर के दबावों के साथ हमेशा प्रतिव्यासांत बिंदुओं का एक युग्म होता है, यह मानते हुए कि दोनों प्राचल समष्टि में लगातार भिन्न होते हैं।

विषम फलनों के संदर्भ में बोरसुक-उलम प्रमेय में कई समान कथन हैं। याद रखें कि $$S^n$$ n-गोला है और $$B^n$$ n-गोलक है:
 * अगर $$g : S^n \to \R^n$$ एक सतत विषम फलन है, तो एक $$x\in S^n$$ उपस्तिथ है जैसे कि: $$g(x)=0$$ हैं।
 * अगर $$g : B^n \to \R^n$$ एक सतत फलन है जो $$S^{n-1}$$($$B^n$$ की सीमा) पर विषम है, तो $$x\in B^n$$ उपस्तिथ है जैसे: $$g(x)=0$$ हैं।

इतिहास
के अनुसार, बोरसुक-उलम प्रमेय के कथन का पहला ऐतिहासिक उल्लेख में प्रकट होते हैं। प्रथम प्रमाण  द्वारा दिया गया था, जहां समस्या के सूत्रीकरण का श्रेय स्टैनिस्लाव उलम को दिया गया था। तब से, कई वैकल्पिक प्रमाण विभिन्न लेखकों द्वारा खोजे गए हैं, जैसा कि  द्वारा एकत्र किया गया था।

समतुल्य कथन
निम्नलिखित कथन बोरसुक-उलम प्रमेय के समतुल्य हैं।

विषम फलनों के साथ
एक फलन $$g$$ को विषम (उर्फ प्रतिव्यासांत या प्रतिव्यासांत-संरक्षी) कहा जाता है यदि प्रत्येक $$x$$: $$g(-x)=-g(x)$$ के लिए हैं।

बोरसुक-उलम प्रमेय निम्नलिखित कथन के समतुल्य है: एक n-क्षेत्र से यूक्लिडियन n-समष्टि में एक सतत विषम फलन शून्य होता है।

प्रमाण:
 * यदि प्रमेय सही है, तो यह विशेष रूप से विषम फलनों के लिए सही है, और विषम फलनों के लिए, $$g(-x)=g(x)$$ आईएफएफ $$g(x)=0$$ है। इसलिए प्रत्येक विषम सतत फलन का एक शून्य होता है।
 * प्रत्येक संतत फलन $$f$$ के लिए, निम्न फलन संतत और विषम: $$g(x)=f(x)-f(-x)$$ है। यदि प्रत्येक विषम सतत फलन में शून्य है, तो $$g$$ एक शून्य है, और इसलिए, $$f(x)=f(-x)$$ है। अतः प्रमेय सही है।

प्रत्यावर्तन के साथ
प्रत्यावर्तन को एक फलन $$h: S^n \to S^{n-1}$$ के रूप में परिभाषित करता है। बोरसुक-उलम प्रमेय निम्नलिखित अनुरोध के समान है: कोई संतत विषम प्रत्यावर्तन नहीं है।

प्रमाण: यदि प्रमेय सही है, तो $$S^n$$ से प्रत्येक सतत विषम फलन को उसकी श्रेणी में 0 अवश्य सम्मिलित होना चाहिए। हालाँकि, $$0 \notin S^{n-1}$$ इसलिए कोई सतत विषम फलन नहीं हो सकता जिसकी सीमा $$S^{n-1}$$ है।

इसके विपरीत, यदि यह गलत है, तो एक सतत विषम फलन $$g: S^n \to \Bbb{R}^n$$ है, जिसमें कोई शून्य नहीं है। तब हम एक और विषम फलन $$h: S^n \to S^{n-1}$$ का निर्माण कर सकते हैं:


 * $$h(x)=\frac{g(x)}{|g(x)|}$$

क्योंकि $$g$$ का कोई शून्य नहीं है, $$h$$ अच्छी तरह से परिभाषित और संतत है। इस प्रकार हमारे पास संतत विषम प्रतिगमन है।

1-आयामी प्रकरण
मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय (आईवीटी) का उपयोग करके 1-आयामी प्रकरण आसानी से सिद्ध किया जा सकता है।

$$g$$ को एक वृत्त पर विषम वास्तविक-मूल्यवान सतत फलन होने दें। एक स्वेच्छाचारी $$x$$ का चयन करे। अगर $$g(x)=0$$ हम कर चुके हैं। अन्यथा, सामान्यता की हानि के बिना, $$g(x)>0$$ लेकिन $$g(-x)<0$$ है। इसलिए, IVT द्वारा, $$x$$ और $$-x$$ के मध्य एक बिंदु $$y$$ है जिस पर $$g(y)=0$$ है।

बीजगणितीय सामयिक प्रमाण
मान लें कि $$h: S^n \to S^{n-1}$$ $$n > 2$$ के साथ एक विषम सतत फलन है (प्रकरण $$n = 1$$ को ऊपर माना गया है, प्रकरण $$n = 2$$ को आधार आवरण सिद्धांत का उपयोग करके नियंत्रित किया जा सकता है)। प्रतिव्यासांत फलन के अंतर्गत कक्षाओं में जाने से, हम वास्तविक प्रक्षेपीय समष्टि के मध्य एक प्रेरित संतत फलन $$h': \mathbb{RP}^n \to \mathbb{RP}^{n-1}$$प्राप्त करते हैं, जो मौलिक समूहों पर एक समरूपता को प्रेरित करता है। ह्यूरेविक्ज़ प्रमेय द्वारा, $$\mathbb F_2$$ गुणांकों के साथ सह-समरूपता पर प्रेरित वलय समरूपता [जहाँ $$\mathbb F_2$$ दो तत्वों के साथ क्षेत्र को दर्शाता है],


 * $$ \mathbb F_2[a]/a^{n+1} = H^*\left(\mathbb{RP}^n; \mathbb{F}_2\right) \leftarrow H^*\left(\mathbb{RP}^{n-1}; \mathbb F_2\right) = \mathbb F_2[b]/b^{n},$$

$$b$$ को $$a$$ भेजता है। लेकिन फिर हम प्राप्त करते हैं कि $$b^n = 0$$ को $$a^n \neq 0$$, परस्पर भेजा जाता है।

कोई भी मजबूत कथन दिखा सकता है कि कोई भी विषम मानचित्र $$S^{n-1} \to S^{n-1}$$ में विषम डिग्री है और फिर इस परिणाम से प्रमेय को घटाते है।

संयुक्त प्रमाण
टकर लेम्मा से बोरसुक-उलम प्रमेय को सिद्ध किया जा सकता है।

अनुमान $$g : S^n \to \R^n$$ एक संतत विषम फलन है। क्योंकि g सघन प्रक्षेत्र पर संतत है, यह समान रूप से संतत है। इसलिए, प्रत्येक $$\epsilon > 0$$ के लिए, एक $$\delta > 0$$ ऐसा है कि, $$S_n$$ के प्रत्येक दो बिंदुओं के लिए जो एक दूसरे के $$\delta$$ अंतर्गत, g के अंतर्गत उनका प्रतिबिंब एक दूसरे के $$\epsilon$$ के अंतर्गत हैं।

अधिकतम $$\delta$$ पर लंबाई के किनारों के साथ $$S_n$$ के त्रिकोणासन को परिभाषित करें। त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष $$v$$ को एक लेबल $$l(v)\in {\pm 1, \pm 2, \ldots, \pm n}$$ के साथ निम्नलिखित प्रकार से लेबल करें:


 * लेबल का निरपेक्ष मान g: $$|l(v)| = \arg\max_k (|g(v)_k|)$$ के उच्चतम निरपेक्ष मान के साथ निर्देशांक का सूचकांक हैं।
 * लेबल का चिह्न g का चिह्न है, ताकि: $$l(v) = \sgn (g(v)) |l(v)|$$ हैं।

क्योंकि g विषम है, लेबलिंग भी विषम: $$l(-v) = -l(v)$$ है इसलिए, टकर लेम्मा द्वारा, विपरीत लेबल वाले $$u, v$$ दो आसन्न शीर्ष हैं। मान लीजिए w.l.o.g. कि लेबल $$l(u)=1, l(v)=-1$$ हैं। l की परिभाषा के अनुसार, इसका अर्थ है कि $$g(u)$$ और $$g(v)$$ दोनों में, समन्वय #1 सबसे बड़ा निर्देशांक $$g(u)$$ है यह समन्वय सकारात्मक है जबकि $$g(v)$$ में यह नकारात्मक है। त्रिभुज की रचना से, $$g(u)$$ और $$g(v)$$ के मध्य की दूरी अधिक से अधिक $$\epsilon$$ है, इसलिए विशेष रूप से $$|g(u)_1 - g(v)_1| = |g(u)_1| + |g(v)_1| \leq \epsilon $$ (क्योंकि $$g(u)_1$$ और $$g(v)_1$$ के विपरीत चिह्न हैं) और इसलिए $$|g(u)_1| \leq \epsilon$$ है। लेकिन $$g(u)$$ का सबसे बड़ा निर्देशांक #1 है, इसका अर्थ है कि $$|g(u)_k| \leq \epsilon$$ प्रत्येक $$1 \leq k \leq n$$ के लिए हैं। इसलिए $$|g(u)| \leq c_n \epsilon$$, जहां $$c_n $$ कुछ स्थिरांक है जो $$n $$ और मानक $$|\cdot| $$ पर निर्भर करता है जिसका चयन किया है।

उपरोक्त प्रत्येक $$\epsilon > 0$$ के लिए सत्य है; क्योंकि $$S_n$$ संक्षिप्त है इसलिए एक बिंदु u होना चाहिए जिसमें $$|g(u)|=0$$ हैं।

परिणाम

 * $$\R^n$$ का कोई उपसमुच्चय $$S^n$$ के लिए समरूपी नहीं हैं।
 * हैम सैंडविच प्रमेय: किसी भी सुसम्बद्ध समष्टि समुच्चय के लिए A1, ..., An में $$\R^n$$ के लिए हम हमेशा उनमें से प्रत्येक को समान माप के दो उपसमुच्चय में विभाजित करने वाला एक अधिसमतल प्राप्त कर सकते हैं।

समतुल्य परिणाम
ऊपर हमने टकर लेम्मा से बोरसुक-उलम प्रमेय को सिद्ध करने का प्रकार दिखाया। इसका विलोम भी सत्य है: टकर लेम्मा को बोरसुक-उलम प्रमेय से सिद्ध करना संभव है। इसलिए, ये दो प्रमेय समकक्ष हैं।

सामान्यीकरण

 * मूल प्रमेय में, फलन f का प्रक्षेत्र इकाई n-क्षेत्र (इकाई n-गेंद की सीमा) है। सामान्य रूप से, यह तब भी सही होता है जब f का प्रांत मूल वाले $$\R^n$$ के किसी विवृत परिबद्ध सममित उपसमुच्चय की सीमा होता है (यहाँ, सममित का अर्थ है कि यदि x उपसमुच्चय में है तो -x भी उपसमुच्चय में है)।
 * फलन A पर विचार करें जो एक बिंदु को उसके प्रतिव्यासांत बिंदु पर $$A(x) = -x$$ मानचित्र करता है। ध्यान दें कि $$A(A(x))=x$$ है। मूल प्रमेय का अनुरोध है कि एक बिंदु x है जिसमें $$f(A(x))=f(x)$$ है।सामान्यतः, यह प्रत्येक फलन A के लिए भी सत्य है जिसके लिए $$A(A(x))=x$$ है। हालांकि, सामान्य रूप से यह अन्य फलन A के लिए सही नहीं है।

यह भी देखें

 * सांस्थितिक साहचर्य
 * नेकलेस टूटने की समस्या
 * हैम सैंडविच प्रमेय
 * काकुटानी की प्रमेय (ज्यामिति)
 * इमरे बरनी