नियंत्रण सिद्धांत

नियंत्रण सिद्धांत गणित का वह क्षेत्र है जो अभियन्त्रित प्रक्रियाओं और यंत्रों में गतिशील प्रणालियों के नियंत्रण से संबंधित है। इसका उद्देश्य किसी भी विलम्ब, अतिलंघन या स्थिर-स्थिति त्रुटि को कम करते हुए और नियंत्रण स्थिरता के स्तर को सुनिश्चित करते हुए प्रणाली को वांछित स्थिति में संचालित करने के लिए प्रायः इष्टतम नियंत्रण की कोटि प्राप्त करने के उद्देश्य से प्रणाली इनपुट के अनुप्रयोग को नियंत्रित करने वाला एक मॉडल या एल्गोरिदम विकसित करना है।

ऐसा करने के लिए, आवश्यक सुधारात्मक व्यवहार वाले नियंत्रक की आवश्यकता होती है। यह नियंत्रक नियंत्रित प्रक्रिया चर (पीवी) पर नज़र रखता है, और इसकी तुलना संदर्भ या निर्धारण बिंदु (एसपी) से करता है। प्रक्रिया चर के वास्तविक और वांछित मानों के बीच का अंतर, जिसे त्रुटि संकेत या एसपी-पीवी त्रुटि कहा जाता है, नियंत्रित प्रक्रिया चर को निर्धारण बिंदु के समान मान पर लाने के लिए नियंत्रण कार्रवाई उत्पन्न करने के लिए प्रतिक्रिया के रूप में प्रयुक्त किया जाता है। इसके अन्य स्वरूपों नियंत्रणीयता और प्रेक्षणीयता का भी अध्ययन किया जाता है। नियंत्रण सिद्धांत का उपयोग नियंत्रण प्रणाली अभियांत्रिकी में स्वचालन को संरचित करने के लिए किया जाता है जिसने विनिर्माण, विमान, संचार और अन्य उद्योगों में क्रांति ला दी है और रोबोटिक्स जैसे नए क्षेत्रों का निर्माण किया है।

व्यापक उपयोग सामान्यतः एक आरेखीय शैली से बना होता है जिसे खंड आरेख के रूप में जाना जाता है। इसमें स्थानांतरण फलन, जिसे प्रणाली फलन या नेटवर्क फलन के रूप में भी जाना जाता है, प्रणाली का वर्णन करने वाले अवकल समीकरणों के आधार पर इनपुट और आउटपुट के बीच संबंध का एक गणितीय मॉडल है।

नियंत्रण सिद्धांत 19वीं शताब्दी का है, जब जेम्स क्लर्क मैक्सवेल द्वारा पहली बार अधिनियंत्रकों के संचालन के लिए सैद्धांतिक आधार का वर्णन किया गया था। नियंत्रण सिद्धांत को वर्ष 1874 में एडवर्ड राउथ, चार्ल्स स्टर्म और वर्ष 1895 में, एडॉल्फ हर्विट्ज़ द्वारा आगे बढ़ाया गया, जिन्होंने नियंत्रण स्थिरता मानदंडों की स्थापना में योगदान दिया; और वर्ष 1922 से, निकोलस मिनोर्स्की द्वारा पीआईडी ​​​​नियंत्रण सिद्धांत का विकास किया गया। हालांकि गणितीय नियंत्रण सिद्धांत का एक प्रमुख अनुप्रयोग नियंत्रण प्रणाली अभियांत्रिकी में है, जो उद्योग के लिए प्रक्रिया नियंत्रण प्रणाली की संरचना से संबंधित है, और अन्य अनुप्रयोग इससे काफी आगे हैं। प्रतिक्रिया प्रणाली के सामान्य सिद्धांत के रूप में, प्रतिक्रिया होने पर नियंत्रण सिद्धांत उपयोगी होता है, इस प्रकार नियंत्रण सिद्धांत के जीवन विज्ञान, कंप्यूटर अभियांत्रिकी, समाजशास्त्र और संचालन अनुसंधान में भी अनुप्रयोग होते हैं।

इतिहास
हालांकि विभिन्न प्रकार की नियंत्रण प्रणालियाँ प्राचीन काल से चली आ रही हैं, इस क्षेत्र का एक अधिक औपचारिक विश्लेषण अपकेन्द्री अधिनियंत्रक के गतिकी विश्लेषण के साथ प्रारंभ हुआ, जो वर्ष 1868 में भौतिकविद् जेम्स क्लर्क मैक्सवेल द्वारा आयोजित किया गया था, जिसका शीर्षक ऑन गवर्नर्स था। पवन चक्कियों के वेग को नियंत्रित करने के लिए पहले से ही एक अपकेन्द्री अभियन्त्रक का उपयोग किया जाता था। मैक्सवेल ने स्व-दोलन की घटना का वर्णन और विश्लेषण किया, जिसमें प्रणाली में पिछड़ने से अति-क्षतिपूर्ति और व्यवहार अस्थिर हो सकता है। इसने इस विषय में रुचि की एक लहर उत्पन्न की, जिसके दौरान मैक्सवेल के सहपाठी, एडवर्ड जॉन राउथ ने मैक्सवेल के परिणामों को रेखीय प्रणालियों के सामान्य वर्ग के लिए सारगर्भित किया। स्वतंत्र रूप से, एडॉल्फ हर्विट्ज ने वर्ष 1877 में अवकल समीकरणों का उपयोग करते हुए प्रणाली स्थिरता का विश्लेषण किया, जिसके परिणामस्वरूप अब इसे रूथ-हर्विट्ज प्रमेय के रूप में जाना जाता है। चालक दल की उड़ान के क्षेत्र में गतिशील नियंत्रण का एक उल्लेखनीय अनुप्रयोग था। राइट बंधुओं ने 17 दिसंबर, 1903 को अपनी पहली सफल परीक्षण उड़ानें भरीं, और पर्याप्त अवधि (एक एयरफ़ॉइल से लिफ्ट का उत्पादन करने की क्षमता से कहीं अधिक, जो ज्ञात था) के लिए अपनी उड़ानों को नियंत्रित करने की उनकी क्षमता से प्रतिष्ठित थे। कुछ सेकंड से अधिक समय तक चलने वाली उड़ानों के लिए हवाई जहाज का निरंतर, विश्वसनीय नियंत्रण आवश्यक था।

द्वितीय विश्व युद्ध तक, नियंत्रण सिद्धांत अनुसंधान का एक महत्वपूर्ण क्षेत्र बनता जा रहा था। इर्मगार्ड फ्लुज-लॉट्ज़ ने असंतत स्वचालित नियंत्रण प्रणाली के सिद्धांत को विकसित किया, और विमान के लिए स्वचालित उड़ान नियंत्रण उपकरण के विकास के लिए बैंग-बैंग सिद्धांत को प्रयुक्त किया। अग्नि नियंत्रण प्रणाली, मार्गदर्शन प्रणाली और इलेक्ट्रानिक्स अनिरंतर नियंत्रण के लिए अनुप्रयोग के अन्य क्षेत्रों में सम्मिलित हैं।

कभी-कभी, प्रणाली की स्थिरता में सुधार के लिए यांत्रिक विधियों का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, जलयान स्थिरक जल की रेखा के नीचे लगे हुए पंख होते हैं और बाद में उभरते हैं। समकालीन जहाजों में, ये घूर्णाक्षस्थापी रूप से नियंत्रित सक्रिय पंख हो सकते हैं, जो जलयान पर प्रतिक्रिया करने वाली वायु या लहरों के कारण होने वाले हमले के कोण को बदलने की क्षमता रखते हैं।

अंतरिक्ष दौड़ भी सटीक अंतरिक्षयान नियंत्रण पर निर्भर थी, और अर्थशास्त्र एवं कृत्रिम बुद्धिमता जैसे क्षेत्रों में नियंत्रण सिद्धांत के बढ़ते उपयोग को भी देखा गया है। यहाँ, कहा जा सकता है कि इसका लक्ष्य एक ऐसे आंतरिक मॉडल को खोजना है जो अच्छे नियामक प्रमेय का पालन करता है। अतः उदाहरण के लिए, अर्थशास्त्र में, अधिक सटीक रूप से एक (भण्डार या माल) व्यापार मॉडल बाजार के कार्यों को निरूपित करता है, उतनी ही आसानी से वह उस बाजार को नियंत्रित कर सकता है (और इससे "उपयोगी कार्य" (लाभ) निकाल सकता है)। एआई में, इसका उदाहरण एक चैटबॉट हो सकता है जो मनुष्यों की संवाद स्थिति को प्रतिरूपित करता है: अधिक सटीक रूप से यह मानव स्थिति (जैसे टेलीफोन ध्वनि-आधारित हॉटलाइन पर) को प्रतिरूपित कर सकता है, और इससे बेहतर यह मानव से कुशलतापूर्वक कार्य भी करवा सकता है ( जैसे सुधारात्मक कार्यों को करने में उस समस्या को हल करने के लिए जिसके कारण हेल्प-लाइन को फोन किया गया था)। ये अंतिम दो उदाहरण नियंत्रण सिद्धांत की संकीर्ण ऐतिहासिक व्याख्या को अवकल समीकरणों के प्रतिरूपण और गतिज गति को विनियमित करने के एक समूह के रूप में लेते हैं, और इसे एक संयंत्र के साथ अंतःक्रिया करने वाले नियामक के विशाल सामान्यीकरण में विस्तृत करते हैं।

खुला-पाश और बंद-पाश (फीडबैक) नियंत्रण
मूल रूप से, नियंत्रण पाश दो प्रकार के होते हैं: खुला पाश नियंत्रण और बंद पाश (प्रतिक्रिया) नियंत्रण।

खुले पाश नियंत्रण में, नियंत्रक से नियंत्रण क्रिया "प्रक्रिया आउटपुट" (या "नियंत्रित प्रक्रिया चर" - पीवी) से स्वतंत्र होती है। इसका एक अच्छा उदाहरण केंद्रीय तापन वाष्पित्र है जो केवल एक समय नियामक द्वारा नियंत्रित होता है, जिससे भवन के तापमान पर ध्यान दिए बिना ऊष्मा को निरंतर समय के लिए प्रयुक्त किया जा सके। नियंत्रण क्रिया वाष्पित्र के चालू/बंद होने का समय है, भवन का तापमान प्रक्रिया चर है, लेकिन कोई भी परस्पर जुड़ा नहीं है।

बंद पाश नियंत्रण में, नियंत्रक से नियंत्रण क्रिया प्रक्रिया चर (पीवी) के मान के रूप में प्रक्रिया से प्रतिक्रिया पर निर्भर होती है। वाष्पित्र समानता की स्थिति में, एक बंद पाश में ताप-स्थापी (निर्धारण बिंदु - एसपी) पर निर्धारित तापमान के साथ भवन के तापमान (पीवी) की तुलना करने के लिए ताप-स्थापी सम्मिलित होता है। यह वाष्पित्र को चालू और बंद करके भवन को वांछित तापमान पर व्यवस्थित रखने के लिए एक नियंत्रक आउटपुट उत्पन्न करता है। इसलिए एक बंद पाश नियंत्रक में एक प्रतिक्रिया पाश होता है जो यह सुनिश्चित करता है कि नियंत्रक "संदर्भ इनपुट" या "निर्धारण बिंदु" के समान होने के लिए प्रक्रिया चर में हेरफेर करने के लिए एक नियंत्रण क्रिया करता है। इस कारण से बंद पाश नियंत्रकों को प्रतिक्रिया नियंत्रक भी कहा जाता है।

ब्रिटिश मानक संस्थान के अनुसार एक बंद पाश नियंत्रण प्रणाली की परिभाषा "निगरानी प्रतिक्रिया रखने वाली एक नियंत्रण प्रणाली है, इस प्रतिक्रिया के परिणामस्वरूप विचलन संकेत का उपयोग अंतिम नियंत्रण तत्व की कार्रवाई को नियंत्रित करने के लिए इस प्रकार किया जाता है कि विचलन को शून्य तक कम किया जा सके।"

ऐसे ही; "प्रतिक्रिया नियंत्रण प्रणाली एक ऐसी प्रणाली है जो इन चरों के फलनों की तुलना करके और नियंत्रण के साधन के रूप में अंतर का उपयोग करके प्रणाली चर के एक निर्धारित संबंध को व्यवस्थित रखती है।"

अन्य उदाहरण
नियंत्रण प्रणाली का एक उदाहरण कार का क्रूज नियंत्रण है, जो एक ऐसा उपकरण है जिसे चालक द्वारा प्रदान की गई स्थिर वांछित या संदर्भ गति पर वाहन की गति को व्यवस्थित रखने के लिए संरचित किया गया है। इसमें क्रूज नियंत्रण नियंत्रक है, कार संयंत्र है, और कार और क्रूज नियंत्रण प्रणाली है। प्रणाली आउटपुट कार की गति है, और नियंत्रण ही इंजन की उपरोधक स्थिति है जो यह निर्धारित करती है कि इंजन कितनी शक्ति प्रदान करता है।

क्रूज नियंत्रण को प्रयुक्त करने की एक प्राचीन विधि केवल उपरोधक स्थिति को बंद करना है जब चालक क्रूज नियंत्रण प्रयुक्त करता है। हालांकि, यदि क्रूज नियंत्रण असमतल सड़क के एक खंड पर लगा हुआ है, तो कार धीमी गति से ऊपर की ओर और तेजी से नीचे की ओर जाएगी। इस प्रकार के नियंत्रक को खुला-पाश नियंत्रक कहा जाता है क्योंकि इसमें कोई प्रतिक्रिया नहीं होती है; नियंत्रण (उपरोधक स्थिति) को बदलने के लिए प्रणाली आउटपुट (कार की गति) का कोई माप नहीं किया जाता है। परिणामस्वरुप, नियंत्रक कार पर प्रतिक्रिया करने वाले परिवर्तनों जैसे सड़क की ढाल में बदलाव की क्षतिपूर्ति नहीं कर सकता है।

एक बंद-पाश नियंत्रण प्रणाली में, डेटा कार की गति (प्रणाली आउटपुट) की निगरानी करने वाले संवेदक से एक नियंत्रक में प्रवेश करता है जो वांछित गति को निरूपित करने वाली संदर्भ मात्रा के साथ गति को निरूपित करने वाली मात्रा की लगातार तुलना करता है। अंतर, जिसे त्रुटि कहा जाता है, उपरोधक स्थिति (नियंत्रण) को निर्धारित करता है। इसका परिणाम कार की गति को संदर्भ गति से मिलाना है (वांछित प्रणाली आउटपुट व्यवस्थित रखना)। अब, जब कार ऊपर जाती है, तो इनपुट (संवेदी गति) और संदर्भ के बीच का अंतर लगातार उपरोधक स्थिति को निर्धारित करता है। जैसे ही संवेदी गति संदर्भ से कम हो जाती है, अंतर बढ़ जाता है, उपरोधक खुल जाता है, और इंजन की शक्ति बढ़ जाती है, जिससे वाहन की गति बढ़ जाती है। इस प्रकार, नियंत्रक गतिशील रूप से कार की गति में परिवर्तन का प्रतिकार करता है। प्रणाली आउटपुट को प्रभावित करने वाला नियंत्रक, प्रतिक्रिया पाश इन नियंत्रण प्रणालियों का केंद्रीय विचार है, जिसे बदले में मापा जाता है और नियंत्रक में पुनः फीड किया जाता है।

चिरसम्मत नियंत्रण सिद्धांत
नियंत्रण सिद्धांत खुले-पाश नियंत्रक की सीमाओं को दूर करने के लिए प्रतिक्रिया प्रस्तुत करता है। एक बंद-पाश नियंत्रक एक गतिशील प्रणाली की अवस्थाओं या आउटपुट को नियंत्रित करने के लिए प्रतिक्रिया का उपयोग करता है। इसका नाम प्रणाली में सूचना पथ से आता है: प्रक्रिया इनपुट (जैसे, विद्युत मोटर पर प्रयुक्त विभवान्तर) का प्रक्रिया आउटपुट (जैसे, मोटर की गति या बलाघूर्ण) पर प्रभाव पड़ता है, जिसे संवेदक से मापा जाता है और इसके द्वारा संसाधित किया जाता है। इसका परिणाम (नियंत्रण संकेत) प्रक्रिया के इनपुट के रूप में "पुनः संभरण" है, जो पाश को बंद करता है।

बंद-पाश नियंत्रकों के खुला-पाश नियंत्रकों की तुलना में निम्नलिखित लाभ हैं:
 * बाधा अस्वीकृति (जैसे ऊपर क्रूज नियंत्रण के उदाहरण में चढ़ाव)
 * मॉडल अनिश्चितताओं के साथ भी आश्वस्त प्रदर्शन, जब मॉडल संरचना पूरी तरह से वास्तविक प्रक्रिया के संगत नहीं होती है और मॉडल मापदण्ड यथार्थ नहीं हैं
 * अस्थिर प्रक्रियाओं को स्थिर किया जा सकता है
 * मापदण्ड विविधताओं के प्रति कम संवेदनशीलता
 * बेहतर संदर्भ ट्रैकिंग प्रदर्शन

कुछ प्रणालियों में, बंद-पाश और खुले-पाश नियंत्रण का एक साथ उपयोग किया जाता है। ऐसी प्रणालियों में, खुले-पाश नियंत्रण को अग्रभरण नियंत्रण कहा जाता है और यह संदर्भ ट्रैकिंग प्रदर्शन को और बेहतर बनाने के लिए कार्य करता है।

पीआईडी ​​​​नियंत्रक एक सामान्य बंद-पाश नियंत्रक वास्तुकला है।

बंद-पाश स्थानांतरण फलन
प्रणाली के आउटपुट y(t) को संदर्भ मान r(t) के साथ तुलना करने के लिए एक सेंसर माप F के माध्यम से पुनः फीड किया जाता है। नियंत्रक C तब संदर्भ और आउटपुट के बीच त्रुटि e (अंतर) लेता है जिससे इनपुट u को नियंत्रण P के तहत प्रणाली में बदला जा सके। यह चित्र में दिखाया गया है। इस प्रकार का नियंत्रक एक बंद पाश नियंत्रक या प्रतिक्रिया नियंत्रक होता है।

इसे एकल-इनपुट-एकल-आउटपुट (एसआईएसओ) नियंत्रण प्रणाली कहा जाता है; एमआईएमओ (अर्थात्, मल्टी-इनपुट-मल्टी-आउटपुट) प्रणाली, एक से अधिक इनपुट/आउटपुट के साथ सामान्य होते हैं। ऐसी स्थितियों में चरों को सरल अदिश मानों के स्थान पर सदिशों के माध्यम से निरूपित किया जाता है। कुछ वितरित मापदण्ड प्रणालियों के लिए सदिश अनंत-विमीय (सामान्यतः फलन) हो सकते हैं।

यदि हम मान लें कि नियंत्रक C, संयंत्र P, और संवेदक F रैखिक और समय-अपरिवर्तनीय हैं (अर्थात्, इनके स्थानांतरण फलन C(s), P(s), और F(s) के तत्व समय पर निर्भर नहीं होते हैं), चरों पर लाप्लास रूपान्तरण का उपयोग करके उपरोक्त प्रणालियों का विश्लेषण किया जा सकता है। यह निम्नलिखित संबंध प्रदान करता है:


 * $$Y(s) = P(s) U(s)$$
 * $$U(s) = C(s) E(s)$$
 * $$E(s) = R(s) - F(s)Y(s).$$

Y(s) को R(s) के पदों में हल करने पर निम्न सम्बन्ध प्राप्त होता है


 * $$Y(s) = \left( \frac{P(s)C(s)}{1 + P(s)C(s)F(s)} \right) R(s) = H(s)R(s).$$

व्यंजक $$H(s) = \frac{P(s)C(s)}{1 + F(s)P(s)C(s)}$$ को प्रणाली के बंद पाश स्थानांतरण फलन के रूप में जाना जाता है। इसका अंश r से y तक अग्र (खुला-पाश) लाभ है, और भाजक एक और प्रतिक्रिया पाश, तथाकथित पाश लाभ के चारों ओर जाने में लाभ का योग है। यदि $$|P(s)C(s)| \gg 1$$, अर्थात्, इसमें s के प्रत्येक मान के साथ एक बड़ा मानक है, और यदि $$|F(s)| \approx 1$$, तो Y(s) लगभग R(s) के बराबर होता है और आउटपुट संदर्भ इनपुट को गहनता से ट्रैक करता है।

पीआईडी ​​प्रतिक्रिया नियंत्रण
आनुपातिक-समाकल-अवकलज नियंत्रक (पीआईडी ​​​​नियंत्रक), एक नियंत्रण पाश प्रतिक्रिया तंत्र नियंत्रण तकनीक है, जो नियंत्रण प्रणालियों में व्यापक रूप से उपयोग की जाती है।

पीआईडी ​​​​नियंत्रक एक वांछित निर्धारण बिंदु और एक मापे गए प्रक्रिया चर के बीच अंतर के रूप में एक त्रुटि मान $r(t)$ की लगातार गणना करता है और आनुपातिक, समाकल और अवकलज पदों के आधार पर संशोधन प्रयुक्त करता है। पीआईडी ​​​​आनुपातिक-समाकल-अवकलज के लिए एक प्रथमाक्षर है, जो नियंत्रण संकेत उत्पन्न करने के लिए त्रुटि संकेत पर कार्य करने वाले तीन शब्दों को संदर्भित करता है।

सैद्धांतिक समझ और अनुप्रयोग 1920 के दशक के समय के हैं, और ये लगभग सभी एनालॉग नियंत्रण प्रणालियों; मूल रूप से यांत्रिक नियंत्रकों में, और फिर असतत इलेक्ट्रॉनिक्स और बाद में औद्योगिक प्रक्रिया कंप्यूटरों में प्रयुक्त किये जाते हैं। पीआईडी ​​​​नियंत्रक संभवतः सर्वाधिक उपयोग की जाने वाली प्रतिक्रिया नियंत्रण संरचना है।

यदि $y(t)$, प्रणाली को प्रेषित नियंत्रण संकेत, $e(t)$ मापा गया आउटपुट और $u(t)$ वांछित आउटपुट, और $y(t)$ ट्रैकिंग त्रुटि है, तो एक पीआईडी ​​​​नियंत्रक का सामान्य रूप है


 * $$u(t) = K_P e(t) + K_I \int^t e(\tau)\text{d}\tau + K_D \frac{\text{d}e(t)}{\text{d}t}.$$

वांछित बंद पाश गतिशीलता प्रायः "ट्यूनिंग" द्वारा और संयंत्र मॉडल के विशिष्ट ज्ञान के बिना तीन मापदंडों $r(t)$, $e(t) = r(t) − y(t)$ और $K_{P}$ को समायोजित करके प्राप्त की जाती है। केवल आनुपातिक शब्द का उपयोग करके स्थिरता को प्रायः सुनिश्चित किया जा सकता है। शब्द समाकल, एक चरण बाधा (प्रायः प्रक्रिया नियंत्रण में एक अवघाती विनिर्देश) की अस्वीकृति की सुविधा प्रदान करता है। अवकलज शब्द का उपयोग प्रतिक्रिया को अवमंदित करने या आकार देने के लिए किया जाता है। पीआईडी ​​​​नियंत्रक नियंत्रण प्रणालियों की सबसे अच्छी तरह से स्थापित श्रेणी हैं: हालांकि, इनका उपयोग कई जटिल स्थितियों में नहीं किया जा सकता है, विशेषतयः यदि एमआईएमओ प्रणाली पर विचार किया जाता है।

रूपांतरित पीआईडी ​​​​नियंत्रक समीकरण में लाप्लास परिवर्तन परिणाम प्रयुक्त करने पर


 * $$u(s) = K_P \, e(s) + K_I \, \frac{1}{s} \, e(s) + K_D \, s \, e(s)$$
 * $$u(s) = \left(K_P + K_I \, \frac{1}{s} + K_D \, s\right) e(s)$$

पीआईडी ​​​​नियंत्रक स्थानांतरण फलन के साथ
 * $$C(s) = \left(K_P + K_I \, \frac{1}{s} + K_D \, s\right).$$

बंद-पाश प्रणाली $K_{I}$ में पीआईडी ​​​​नियंत्रक को ट्यून करने के उदाहरण के रूप में, दिए गए प्रथम कोटि प्लांट पर विचार करें


 * $$P(s) = \frac{A}{1 + sT_P}$$

जहाँ $A$ और $K_{D}$ कुछ नियतांक हैं। प्लांट उत्पादन को निम्न के माध्यम से पुनः फीड किया जाता है


 * $$F(s) = \frac{1}{1 + sT_F}$$

जहाँ $H(s)$ भी एक नियतांक है। अब यदि हम $$K_P=K\left(1+\frac{T_D}{T_I}\right)$$, $T_{P}$, और $$K_I=\frac{K}{T_I}$$ को निर्धारित करते हैं, तो पीआईडी ​नियंत्रण स्थानांतरण फलन को निम्न श्रृंखला के रूप में व्यक्त कर सकते हैं


 * $$C(s) = K \left(1 + \frac{1}{sT_I}\right)(1 + sT_D)$$

$T_{F}$, $K_{D} = KT_{D}$, और $P(s)$ को बंद-पाश स्थानांतरण फलन $F(s)$ में लगाकर, निम्न निर्धारण करने पर


 * $$K = \frac{1}{A},  T_I = T_F,   T_D = T_P$$

हमें $C(s)$ प्राप्त होता है। उदाहरण में इस ट्यूनिंग के साथ, प्रणाली आउटपुट संदर्भ इनपुट का अनुसरण यथार्थ रूप से करता है।

हालांकि, व्यवहार में, प्रणाली में ध्वनि और अनुनादी अवस्था के प्रवर्धन के कारण एक शुद्ध अवकलक न तो भौतिक रूप से प्राप्य है और न ही वांछनीय है। इसलिए, इसके स्थान पर एक चरण-लीड प्रतिपूरक प्रकार के दृष्टिकोण या लो-पास रोल-ऑफ के साथ एक अवकलक का उपयोग किया जाता है।

रैखिक और अरैखिक नियंत्रण सिद्धांत
नियंत्रण सिद्धांत के क्षेत्र को दो शाखाओं में विभाजित किया जा सकता है:
 * रैखिक नियंत्रण सिद्धांत - यह उन उपकरणों से बनी प्रणालियों पर प्रयुक्त होता है जो अध्यारोपण सिद्धांत का पालन करते हैं, जिसका सामान्य रूप से अर्थ यह है कि आउटपुट इनपुट के समानुपाती होता है। ये रैखिक अवकल समीकरणों द्वारा अधिनियंत्रित होते हैं। इसक एक प्रमुख उपवर्ग ऐसी प्रणालियाँ हैं जिनमें ऐसे अतिरिक्त मापदण्ड हैं जो समय के साथ परिवर्तित नहीं होते हैं, जिन्हें रैखिक समय अपरिवर्तनीय (एलटीआई) प्रणाली कहा जाता है। ये प्रणालियाँ महान व्यापकता की शक्तिशाली आवृत्ति डोमेन गणितीय तकनीकों, जैसे लाप्लास रूपान्तरण, फ़ोरियर रूपांतरण, Z रूपान्तरण, बोड प्लॉट, मूल बिन्दुपथ और नाइक्विस्ट स्थिरता मानदंड के लिए उत्तरदायी हैं। ये बैंडविड्थ, आवृत्ति प्रतिक्रिया, अभिलक्षणिक मान, लाभ, अनुनादी आवृत्ति, शून्य और ध्रुव जैसे शब्दों का उपयोग करते हुए प्रणाली के विवरण की ओर ले जाते हैं, जो प्रणाली प्रतिक्रिया के लिए हल और रुचि की अधिकांश प्रणालियों के लिए संरचना तकनीक प्रदान करते हैं।
 * अरैखिक नियंत्रण सिद्धांत - यह उन प्रणालियों के व्यापक वर्ग को सम्मिलित करता है जो अध्यारोपण सिद्धांत का पालन नहीं करते हैं, और अधिक वास्तविक-संसार प्रणालियों पर प्रयुक्त होते हैं क्योंकि सभी वास्तविक नियंत्रण प्रणालियां गैर-रैखिक होती हैं। ये प्रणालियाँ प्रायः गैर-रैखिक अवकल समीकरणों द्वारा अधिनियंत्रित होती हैं। कुछ गणितीय तकनीकें, जिन्हें इन्हें व्यवस्थित करने के लिए विकसित किया गया है, अधिक कठिन और बहुत कम सामान्य हैं, जो प्रायः केवल प्रणाली की संकीर्ण श्रेणियों पर ही प्रयुक्त होती हैं। इनमें सीमा चक्र सिद्धांत, पोइंकेरे मानचित्र, लायपुनोव स्थिरता प्रमेय और वर्णनात्मक फलन सम्मिलित हैं। अरैखिक प्रणाली का विश्लेषण प्रायः कंप्यूटर पर संख्यात्मक विधियों, उदाहरण के लिए एक अनुकरण भाषा का उपयोग करके उनके संचालन का अनुकरण करके, का उपयोग करके किया जाता है। यदि केवल एक स्थिर बिंदु के पास के हल रुचि के हैं, तो अरैखिक प्रणालियों को प्रायः क्षोभ सिद्धांत का उपयोग करके एक रैखिक प्रणाली द्वारा अनुमानित करके रेखीकृत किया जा सकता है, और रेखीय तकनीकों का उपयोग किया जा सकता है।

विश्लेषण तकनीक - आवृत्ति डोमेन और समय डोमेन
नियंत्रण प्रणाली के विश्लेषण और संरचना के लिए गणितीय तकनीकें दो अलग-अलग श्रेणियों में आती हैं: चिरसम्मत नियंत्रण सिद्धांत के आवृत्ति डोमेन विश्लेषण के विपरीत, आधुनिक नियंत्रण सिद्धांत समय-डोमेन अवस्था समष्टि निरूपण का उपयोग करता है, भौतिक प्रणाली का एक गणितीय मॉडल जो इनपुट, आउटपुट और अवस्था चर के एक समुच्चय के रूप में प्रथम-क्रम के अवकल समीकरणों से संबंधित है। इनपुट, आउटपुट और अवस्थाओं की संख्या से अमूर्त करने के लिए, चर को सदिश के रूप में व्यक्त किया जाता है और अवकल और बीजगणितीय समीकरण आव्यूह के रूप में लिखे जाते हैं (उत्तरार्द्ध केवल तभी संभव होता है जब गतिशील प्रणाली रैखिक हो)। अवस्था समष्टि निरूपण (जिसे "समय-डोमेन दृष्टिकोण" के रूप में भी जाना जाता है) कई इनपुट और आउटपुट के साथ प्रणाली को मॉडल और विश्लेषण करने के लिए एक सुविधाजनक और सघन विधि प्रदान करता है। इनपुट और आउटपुट के साथ, हमें प्रणाली के बारे में सभी जानकारी को एनकोड करने के लिए लाप्लास रूपान्तरण को लिखना होता है। आवृत्ति डोमेन दृष्टिकोण के विपरीत, अवस्था-समष्टि निरूपण का उपयोग रैखिक घटकों और शून्य प्रारंभिक स्थितियों वाली प्रणाली तक सीमित नहीं है। "अवस्था समष्टि" उस समष्टि को संदर्भित करती है, जिसकी अक्ष अवस्था चर हैं। प्रणाली की स्थिति को उस समष्टि के भीतर एक बिंदु के रूप में दर्शाया जा सकता है।
 * आवृत्ति डोमेन - इस प्रकार में अवस्था चर के मान, प्रणाली के इनपुट, आउटपुट और प्रतिक्रिया का प्रतिनिधित्व करने वाले गणितीय चर आवृत्ति के फलनों के रूप में प्रदर्शित किये जाते हैं। इनपुट संकेत और प्रणाली के स्थानांतरण फलन को फोरियर रूपान्तरण, लाप्लास रूपान्तरण या ज़ेड रूपान्तरण जैसे रूपान्तरणों द्वारा आवृत्ति के फलनों में समय फलनों से रूपांतरित किया जाता है। इस तकनीक का लाभ यह है कि इसके परिणामस्वरूप गणित का सरलीकरण होता है; प्रणाली को निरूपित करने वाले अवकल समीकरणों को आवृत्ति डोमेन में बीजगणितीय समीकरणों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है जो हल करने में बहुत आसान होते हैं। हालाँकि, आवृत्ति डोमेन तकनीकों का उपयोग केवल रैखिक प्रणालियों के साथ किया जा सकता है, जैसा ऊपर बताया गया है।
 * समय-डोमेन अवस्था समष्टि निरूपण - इस प्रकार में अवस्था चर के मानों को समय के फलनों के रूप में दर्शाया जाता है। इस मॉडल के साथ, विश्लेषण की जा रही प्रणाली को एक या अधिक अवकल समीकरणों द्वारा दर्शाया गया है। चूंकि आवृत्ति डोमेन तकनीकें रैखिक प्रणालियों तक सीमित हैं, अतः समय डोमेन का व्यापक रूप से उपयोग वास्तविक-संसार की अरैखिक प्रणालियों का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। हालांकि इन्हें हल करना अधिक कठिन होता है, आधुनिक कंप्यूटर अनुकरण तकनीकों, जैसे अनुकरण भाषाओं ने इनके विश्लेषण को नियमित बना दिया है।

प्रणाली अंतर्पृष्ठन - एसआईएसओ और एमआईएमओ
नियंत्रण प्रणालियों को इनपुट और आउटपुट की संख्या के आधार पर विभिन्न श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है।
 * एकल-इनपुट एकल-आउटपुट प्रणाली (एसआईएसओ) – यह सबसे सरल और सामान्य प्रकार है, जिसमें एक आउटपुट को एक नियंत्रण संकेत द्वारा नियंत्रित किया जाता है। इसका उदाहरण ऊपर के क्रूज नियंत्रण का उदाहरण या एक ऑडियो प्रणाली है, जिसमें नियंत्रण इनपुट, इनपुट ऑडियो संकेत है और स्पीकर से निकलने वाली ध्वनि तरंगें आउटपुट हैं।
 * बहु-इनपुट बहु-आउटपुट (एमआईएमओ) – ये अधिक जटिल प्रणालियों में पाए जाते हैं। इसके उदाहरण, केक और एमएमटी वेधशाला जैसे आधुनिक बड़े दूरदर्शियों में एक प्रवर्तक द्वारा नियंत्रित प्रत्येक पृथक खंडों से बने दर्पण हैं। तापीय प्रसार, संकुचन, वातावरण में विक्षोभ के कारण तरंगाग्र के घूर्णन और विकृति के रूप में तनाव के कारण दर्पण के आकार में बदलाव की क्षतिपूर्ति के लिए वक्रता तल में कई संवेदकों के इनपुट का उपयोग करके पूरे दर्पण के आकार को लगातार एमआईएमओ सक्रिय प्रकाशिकी नियंत्रण प्रणाली द्वारा समायोजित किया जाता है। जटिल प्रणालियों, जैसे परमाणु रिएक्टर और मानव कोशिकाओं का अनुकरण कंप्यूटर द्वारा बड़े एमआईएमओ नियंत्रण प्रणालियों के रूप में किया जाता है।

स्थिरता
बिना किसी इनपुट के एक सामान्य गतिशील प्रणाली की स्थिरता को लायपुनोव स्थिरता मानदंड के साथ वर्णित किया जा सकता है।
 * एक रैखिक प्रणाली को परिबद्ध-इनपुट परिबद्ध-आउटपुट (बीआईबीओ) स्थिर कहा जाता है यदि इसका आउटपुट किसी परिबद्ध इनपुट के लिए परिबद्ध रहता है।
 * इनपुट-से-अवस्था स्थिरता (आईएसएस), इनपुट ग्रहण करने वाली अरैखिक प्रणालियों के लिए स्थिरता है, जो लायपुनोव स्थिरता और बीआईबीओ स्थिरता के समान धारणा को संयोजित करती है।

सरलता के लिए, निम्नलिखित विवरण सतत-समय और असतत-समय रैखिक प्रणालियों पर ध्यान केंद्रित करते हैं।

गणितीय रूप से, इसका अर्थ यह है कि एक कारणात्मक रैखिक प्रणाली के स्थिर होने के लिए इसके स्थानांतरण फलन के सभी ध्रुवों में ऋणात्मक-वास्तविक मान होना चाहिए, अर्थात् प्रत्येक ध्रुव का वास्तविक भाग शून्य से कम होना चाहिए। व्यावहारिक रूप से बोलते हुए, स्थिरता के लिए आवश्यक है कि स्थानांतरण फलन सम्मिश्र ध्रुवों पर स्थापित हों। दो स्थितियों के बीच का अंतर केवल सतत समय बनाम असतत समय स्थानान्तरण फलनों की आलेखन की पारंपरिक पद्धति के कारण है। निरंतर लाप्लास रूपान्तरण कार्तीय निर्देशांकों में होते हैं जहाँ $$x$$ अक्ष वास्तविक अक्ष है और असतत Z-रूपांतरण वृत्तीय निर्देशांकों में होते है जहाँ $$\rho$$ अक्ष वास्तविक अक्ष है।
 * सतत समय के लिए सम्मिश्र तल के खुले बाएँ अर्द्ध भाग में, जब स्थानांतरण फलन प्राप्त करने के लिए लाप्लास रूपान्तरण का उपयोग किया जाता है।
 * इकाई वृत्त के अंदर असतत समय के लिए, जब Z-रूपान्तरण का उपयोग किया जाता है।

जब उपरोक्त उपयुक्त शर्तें पूरी होती हैं, तो प्रणाली को उपगामित रूप से स्थिर कहा जाता है; एक उपगामित रूप से स्थिर नियंत्रण प्रणाली के चर सदैव अपने प्रारंभिक मान से घटते हैं और स्थायी दोलन नहीं दिखाते हैं। स्थायी दोलन तब होते हैं जब एक ध्रुव का वास्तविक भाग बिल्कुल शून्य के बराबर (सतत समय की स्थिति में) या मापांक एक के बराबर (असतत समय की स्थिति में) होता है। यदि एक साधारण स्थिर प्रणाली प्रतिक्रिया समय के साथ न तो घटती है और न ही बढ़ती है, और इसमें कोई दोलन नहीं है, तो यह सामान्य रूप से स्थिर होती है; इस स्थिति में प्रणाली स्थानांतरण फलन में सम्मिश्र तल के मूलबिंदु पर अनावृत्त ध्रुव होते हैं (अर्थात सतत समय की स्थिति में इनका वास्तविक और सम्मिश्र घटक शून्य है)। दोलन उपस्थित होते हैं, जब शून्य के बराबर वास्तविक भाग वाले ध्रुवों का एक काल्पनिक भाग शून्य के बराबर नहीं होता है।

यदि विचाराधीन प्रणाली की आवेग प्रतिक्रिया,


 * $$\ x[n] = 0.5^n u[n]$$ है,

तो Z-रूपान्तरण (इस उदाहरण को देखें), निम्न द्वारा दिया गया है


 * $$\ X(z) = \frac{1}{1 - 0.5z^{-1}}$$

जिसमें $$z = 0.5$$ (शून्य काल्पनिक भाग ) में एक ध्रुव है। यह प्रणाली बीआईबीओ (उपगामित रूप से) स्थिर है क्योंकि ध्रुव इकाई वृत्त के अंदर है।

हालांकि, यदि आवेग प्रतिक्रिया,


 * $$\ x[n] = 1.5^n u[n]$$ थी,

तो Z-रूपांतरण,


 * $$\ X(z) = \frac{1}{1 - 1.5z^{-1}}$$ है

जिसका एक ध्रुव $$z = 1.5$$ पर है और बीआईबीओ स्थिर नहीं है क्योंकि ध्रुव का मापांक दृढ़ता से एक से अधिक है।

प्रणाली के ध्रुवों के विश्लेषण के लिए कई उपकरण उपलब्ध हैं। इनमें मूल बिन्दुपथ, बोड प्लॉट या नाइक्विस्ट प्लॉट जैसी आलेखीय प्रणालियाँ सम्मिलित हैं।

यांत्रिक परिवर्तन उपकरण (और नियंत्रण प्रणाली) को अधिक स्थिर बना सकते हैं। जलयानों की स्थिरता में सुधार के लिए नाविक स्थिरक जोड़ते हैं। क्रूज जहाज प्रतिलोटन पंखों का उपयोग करते हैं जो जलयान के किनारे से लगभग 30 फीट (10 मीटर) तक फैले होते हैं और लोटन का विरोध करने वाली शक्तियों को विकसित करने के लिए अपने अक्ष के अनुदिश लगातार घुमाए जाते हैं।

नियंत्रणीयता और प्रेक्षणीयता
प्रयुक्त की जाने वाली सर्वोत्तम नियंत्रण रणनीति तय करने या प्रणाली को नियंत्रित या स्थिर करना संभव है या नहीं, इससे पहले एक प्रणाली के विश्लेषण में नियंत्रणीयता और प्रेक्षणीयता मुख्य मुद्दे हैं। नियंत्रणीयता उचित नियंत्रण संकेत का उपयोग करके प्रणाली को किसी विशेष स्थिति में प्रेरित करने की संभावना से संबंधित है। यदि कोई अवस्था नियंत्रण योग्य नहीं है, तो कोई भी संकेत कभी भी अवस्था को नियंत्रित नहीं कर पाएगा। यदि कोई अवस्था नियंत्रणीय नहीं है, लेकिन इसकी गतिशीलता स्थिर है, तो अवस्था को स्थिरीकरण कहा जाता है। इसके स्थान पर प्रेक्षणीयता आउटपुट मापन के माध्यम से प्रणाली की स्थिति के प्रेक्षण की संभावना से संबंधित है। यदि कोई स्थिति प्रेक्षणीय नहीं है, तो नियंत्रक कभी भी एक अप्राप्य स्थिति के व्यवहार को निर्धारित करने में सक्षम नहीं होगा और इसलिए प्रणाली को स्थिर करने के लिए इसका उपयोग नहीं कर सकता है। हालांकि, उपरोक्त स्थिरीकरण की स्थिति के समान, यदि कोई अवस्था प्रेक्षित नहीं की जा सकती है तो यह फिर भी पता लगाने योग्य हो सकती है।

एक ज्यामितीय दृष्टिकोण से, प्रणाली के प्रत्येक चर की अवस्थाओं को नियंत्रित करने के लिए देखते हुए, बंद-पाश प्रणाली में एक अच्छा व्यवहार सुनिश्चित करने के लिए इन चरों की प्रत्येक "खराब" अवस्था को नियंत्रणीय और प्रेक्षणीय होना चाहिए। अर्थात्, यदि प्रणाली के अभिलक्षणिक मानों ​​​​में से एक नियंत्रणीय और प्रेक्षणीय दोनों नहीं है, तो गतिकी का यह हिस्सा बंद-पाश प्रणाली में अछूता रहेगा। यदि इस तरह का एक अभिलक्षणिक मान स्थिर नहीं है, तो इस अभिलक्षणिक मान की गतिशीलता बंद-पाश प्रणाली में उपस्थित होगी, जो इसलिए अस्थिर होगी। एक अवस्था-समष्टि निरूपण के स्थानांतरण फलन की प्राप्ति में अप्राप्य ध्रुव उपस्थित नहीं हैं, यही कारण है कि कभी-कभी गतिशील प्रणाली विश्लेषण में उत्तरार्द्ध को प्राथमिकता दी जाती है।

एक अनियंत्रित या अप्राप्य प्रणाली की समस्याओं के समाधान में प्रवर्तक और संवेदक जोड़ना सम्मिलित है।

नियंत्रण विनिर्देश
पिछले वर्षों में कई अलग-अलग नियंत्रण रणनीतियों को तैयार किया गया है। ये अत्यंत सामान्य नियंत्रकों (पीआईडी ​​नियंत्रक) से भिन्न होते हैं, जो प्रणाली के बहुत विशेष वर्गों (विशेष रूप से रोबोटिक्स या विमान क्रूज नियंत्रण) के लिए समर्पित होते हैं।

एक नियंत्रण समस्या के कई विनिर्देश हो सकते हैं। स्थिरता, निश्चित रूप से सदैव उपस्थित होती है। नियंत्रक को यह सुनिश्चित करना चाहिए कि खुले-पाश स्थिरता को ध्यान में रखे बिना बंद-पाश प्रणाली स्थिर होती है। नियंत्रक का एक खराब विकल्प खुले-पाश प्रणाली की स्थिरता को और भी खराब कर सकता है, जिससे सामान्य रूप से बचना चाहिए। कभी-कभी बंद पाश में विशेष गतिकी प्राप्त करना वांछित होता है: अर्थात् ध्रुवों में $$Re[\lambda] < -\overline{\lambda}$$ होता है, जहाँ $$\overline{\lambda}$$ शून्य से अधिक निश्चित मान है, केवल यह पूछने के स्थान पर कि $$Re[\lambda]<0$$।

एक चरण बाधा की अस्वीकृति, एक अन्य विशिष्ट विनिर्देश है; खुले-पाश श्रृंखला में एक समाकलक सहित (अर्थात् सीधे नियंत्रण में प्रणाली से पहले) इसे आसानी से प्राप्त किया जा सकता है। बाधा के अन्य वर्गों को सम्मिलित करने के लिए विभिन्न प्रकार की उप-प्रणालियों की आवश्यकता होती है।

अन्य "चिरसम्मत" नियंत्रण सिद्धांत विनिर्देश बंद-पाश प्रणाली की समय-प्रतिक्रिया के संबंध में हैं। इनमें वृद्धि का समय (एक बाधा के बाद वांछित मान तक पहुँचने के लिए नियंत्रण प्रणाली द्वारा आवश्यक समय), शिखर ओवरशूट (वांछित मान तक पहुँचने से पहले प्रतिक्रिया द्वारा प्राप्त उच्चतम मान) और अन्य (सेटलिंग समय, एक-चौथाई क्षय) सम्मिलित हैं। आवृत्ति डोमेन विनिर्देश सामान्यतः दृढ़ता से संबंधित होते हैं (बाद में देखें)।

आधुनिक प्रदर्शन आकलन एकीकृत ट्रैकिंग त्रुटि (आईएई, आईएसए, सीक्यूआई) की कुछ भिन्नता का उपयोग करते हैं।

मॉडल की पहचान और दृढ़ता
एक नियंत्रण प्रणाली में सदैव कुछ दृढ़ता गुण होने चाहिए। एक मजबूत नियंत्रक ऐसा होता है कि इसके संश्लेषण के लिए उपयोग किए जाने वाले गणितीय रूप से थोड़ा अलग प्रणाली पर प्रयुक्त होने पर इसके गुणों में ज्यादा परिवर्तन नहीं होता है। यह आवश्यकता महत्वपूर्ण है, क्योंकि कोई वास्तविक भौतिक प्रणाली वास्तव में गणितीय रूप से इसका निरूपण करने के लिए उपयोग किए जाने वाले अवकल समीकरणों की श्रृंखला की तरह व्यवहार नहीं करती है। सामान्यतः गणनाओं को सरल बनाने के लिए एक सरल गणितीय मॉडल का चयन किया जाता है, अन्यथा, वास्तविक प्रणाली की गतिशीलता इतनी जटिल हो सकती है कि एक पूर्ण मॉडल असंभव है।

प्रणाली पहचान
मॉडल की गतिशीलता को नियंत्रित करने वाले समीकरणों को निर्धारित करने की प्रक्रिया को प्रणाली पहचान कहा जाता है। इसे ऑफ-लाइन किया जा सकता है: उदाहरण के लिए, मापों की एक श्रृंखला, सामान्यतः इसके स्थानांतरण फलन या आव्यूह, को क्रियान्वित करना, जिससे एक अनुमानित गणितीय मॉडल की गणना की जा सके। हालाँकि, आउटपुट से इस तरह की पहचान, अप्राप्य गतिकी को ध्यान में नहीं रख सकती है। कभी-कभी मॉडल को सीधे ज्ञात भौतिक समीकरणों से प्रारंभ करके बनाया जाता है, उदाहरण के लिए, द्रव्यमान-स्प्रिंग-अवमंदक मॉडल की स्थिति में हम जानते हैं कि $$ m \ddot(t) = - K x(t) - \Beta \dot{x}(t)$$, यहाँ तक ​​​​कि यह मानते हुए कि नियंत्रक को संरचित करने में एक "पूर्ण" मॉडल का उपयोग किया जाता है, इन समीकरणों में सम्मिलित सभी मापदण्ड (जिन्हें "सांकेतिक मापदण्ड" कहा जाता है) कभी भी पूर्ण सटीकता के साथ ज्ञात नहीं होते हैं; संकेतन से दूर सही मापदण्ड मानों के साथ भौतिक प्रणाली से जुड़े होने पर भी नियंत्रण प्रणाली को सही ढंग से व्यवहार करना होता है।

कुछ उन्नत नियंत्रण तकनीकों में "ऑन-लाइन" पहचान प्रक्रिया सम्मिलित है (बाद में देखें)। मॉडल के मापदंडों की गणना ("पहचान") की जाती है, जबकि नियंत्रक स्वयं चल रहा होता है। इस प्रकार, यदि मापदंडों में भारी परिवर्तन होता है, उदाहरण के लिए, यदि रोबोट का हाथ वजन कम करता है, तो नियंत्रक सही प्रदर्शन सुनिश्चित करने के लिए खुद को समायोजित करता है।

एक एसआईएसओ (एकल इनपुट एकल आउटपुट) नियंत्रण प्रणाली की दृढ़ता का विश्लेषण प्रणाली के स्थानांतरण फलन पर विचार करते हुए और नाइक्विस्ट और बोड आरेखों का उपयोग करते हुए आवृत्ति डोमेन में किया जा सकता है। इन विषयों में लाभ और चरण अंतर और आयाम अंतर सम्मिलित हैं। एमआईएमओ (मल्टी-इनपुट मल्टी आउटपुट) और, सामान्य तौर पर, अधिक जटिल नियंत्रण प्रणालियों के लिए, प्रत्येक नियंत्रण तकनीक के लिए तैयार किए गए सैद्धांतिक परिणामों पर विचार करना चाहिए (अगला खंड देखें)। अर्थात्, यदि विशेष दृढ़ता गुणों की आवश्यकता होती है, तो अभियंता को इन गुणों को इसके गुणों में सम्मिलित करके एक नियंत्रण तकनीक पर अपना ध्यान केंद्रित करना चाहिए।
 * विश्लेषण

इनपुट और अवस्था की बाधाओं की उपस्थिति में एक नियंत्रण प्रणाली के ठीक से प्रदर्शन करने के लिए एक विशेष दृढ़ता का मुद्दा आवश्यक है। भौतिक संसार में प्रत्येक संकेत सीमित है। ऐसा हो सकता है कि एक नियंत्रक नियंत्रण संकेत भेजेगा, जिसका पालन भौतिक प्रणाली द्वारा नहीं किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, अत्यधिक गति से वाल्व को घुमाने की कोशिश करना। यह बंद-पाश प्रणाली के अवांछित व्यवहार का उत्पादन कर सकता है, या प्रवर्तकों या अन्य उप-प्रणालियों को भी हानि पहुँचा सकता है या तोड़ सकता है। समस्या को हल करने के लिए विशिष्ट नियंत्रण तकनीकें मॉडल पूर्वानुमानित नियंत्रण (बाद में देखें), और प्रति-समापन प्रणालियाँ उपलब्ध हैं। उत्तरार्द्ध में एक अतिरिक्त नियंत्रण खंड होता है जो यह सुनिश्चित करता है कि नियंत्रण संकेत कभी भी दी गई सीमा से अधिक न हो।
 * प्रतिबंध

रैखिक प्रणाली नियंत्रण
एमआईएमओ प्रणाली के लिए, खुला-पाश प्रणाली की अवस्था समष्टि निरूपण का उपयोग करके ध्रुव स्थापन को गणितीय रूप से प्रदर्शित किया जा सकता है और वांछित स्थिति में ध्रुव निर्धारित करने वाले प्रतिक्रिया आव्यूह की गणना की जा सकती है। जटिल प्रणालियों में इसके लिए कंप्यूटर-सहायता प्राप्त गणना क्षमताओं की आवश्यकता हो सकती है, और यह हमेशा मजबूती सुनिश्चित नहीं कर सकता है। इसके अतिरिक्त, सभी प्रणाली अवस्थाओं को सामान्य रूप से नहीं मापा जाता है और इसलिए पर्यवेक्षकों को सम्मिलित किया जाना चाहिए और ध्रुव स्थापन संरचना में सम्मिलित किया जाना चाहिए।

अरैखिक प्रणाली नियंत्रण
रोबोटिक्स और एयरोस्पेस उद्योग जैसे उद्योगों में प्रक्रियाओं में सामान्यतः मजबूत अरैखिक गतिकी होती है। नियंत्रण सिद्धांत में कभी-कभी ऐसी प्रणालियों के वर्गों को रैखिक बनाना और रैखिक तकनीकों को प्रयुक्त करना संभव होता है, लेकिन कई स्थितियों में इन्हें गैर-रैखिक प्रणालियों के नियंत्रण की सुविधा देने वाले खरोंच सिद्धांतों से तैयार करना आवश्यक हो सकता है। उदाहरण के लिए, ये प्रतिक्रिया रेखीकरण, बैकस्टेपिंग, स्खलन अवस्था नियंत्रण, प्रक्षेपवक्र रेखीकरण नियंत्रण सामान्य रूप से लायपुनोव के सिद्धांत के आधार पर परिणामों का लाभ उठाते हैं। अवकल ज्यामिति का उपयोग व्यापक रूप से गैर-रैखिक स्थितियों में प्रसिद्ध रैखिक नियंत्रण अवधारणाओं को सामान्य बनाने के लिए एक उपकरण के रूप में किया गया है, साथ ही उन सूक्ष्मताओं को भी दिखाया गया है जो इसे और अधिक चुनौतीपूर्ण समस्या बनाती हैं। नियंत्रण सिद्धांत का उपयोग संज्ञानात्मक अवस्थाओं को निर्देशित करने वाले तंत्रिका तंत्र को समझने के लिए भी किया गया है।

विकेंद्रीकृत सिस्टम नियंत्रण
जब सिस्टम को कई नियंत्रकों द्वारा नियंत्रित किया जाता है, तो समस्या विकेंद्रीकृत नियंत्रण में से एक है। विकेंद्रीकरण कई मायनों में मददगार है, उदाहरण के लिए, यह नियंत्रण प्रणालियों को एक बड़े भौगोलिक क्षेत्र में संचालित करने में मदद करता है। विकेंद्रीकृत नियंत्रण प्रणाली में एजेंट संचार चैनलों का उपयोग करके बातचीत कर सकते हैं और अपने कार्यों का समन्वय कर सकते हैं।

नियतात्मक और स्टोकेस्टिक सिस्टम नियंत्रण
एक स्टोकास्टिक नियंत्रण समस्या वह है जिसमें राज्य चर के विकास को सिस्टम के बाहर से यादृच्छिक झटके के अधीन किया जाता है। एक नियतात्मक नियंत्रण समस्या बाहरी यादृच्छिक झटकों के अधीन नहीं है।

मुख्य नियंत्रण रणनीतियाँ
प्रत्येक नियंत्रण प्रणाली को पहले बंद लूप व्यवहार की स्थिरता की गारंटी देनी चाहिए। रैखिक प्रणालियों के लिए, इसे सीधे डंडे लगाकर प्राप्त किया जा सकता है। गैर-रैखिक नियंत्रण प्रणालियां विशिष्ट सिद्धांतों का उपयोग करती हैं (आमतौर पर अलेक्जेंडर लायपुनोव के सिद्धांत पर आधारित) ताकि प्रणाली की आंतरिक गतिशीलता की परवाह किए बिना स्थिरता सुनिश्चित की जा सके। विभिन्न विशिष्टताओं को पूरा करने की संभावना विचार किए गए मॉडल और चुनी गई नियंत्रण रणनीति से भिन्न होती है।


 * मुख्य नियंत्रण तकनीकों की सूची


 * अनुकूली नियंत्रण प्रक्रिया मापदंडों की ऑन-लाइन पहचान, या नियंत्रक लाभ के संशोधन का उपयोग करता है, जिससे मजबूत मजबूती गुण प्राप्त होते हैं। 1950 के दशक में एयरोस्पेस उद्योग में पहली बार अनुकूली नियंत्रण लागू किए गए थे, और उस क्षेत्र में उन्हें विशेष सफलता मिली है।
 * एक पदानुक्रमित नियंत्रण प्रणाली एक प्रकार की नियंत्रण प्रणाली है जिसमें एक पदानुक्रमित पेड़ (डेटा संरचना) में उपकरणों और शासी सॉफ़्टवेयर का एक सेट व्यवस्थित किया जाता है। जब पेड़ में लिंक एक कंप्यूटर नेटवर्क द्वारा कार्यान्वित किया जाता है, तो वह श्रेणीबद्ध नियंत्रण प्रणाली भी नेटवर्क नियंत्रण प्रणाली का एक रूप है।
 * बुद्धिमान नियंत्रण विभिन्न एआई कंप्यूटिंग दृष्टिकोणों का उपयोग करता है जैसे कृत्रिम तंत्रिका नेटवर्क, बायेसियन प्रायिकता, अस्पष्ट तर्क,

विकेंद्रीकृत प्रणाली नियंत्रण
जब प्रणाली को कई नियंत्रकों द्वारा नियंत्रित किया जाता है, तो समस्या विकेंद्रीकृत नियंत्रण में से एक है। विकेंद्रीकरण कई दृष्टिकोणों में सहायक है, उदाहरण के लिए, यह नियंत्रण प्रणालियों को एक बड़े भौगोलिक क्षेत्र में संचालित करने में सहायता प्रदान करता है। विकेंद्रीकृत नियंत्रण प्रणाली में एजेंट संचार चैनलों का उपयोग करके अंतःक्रिया कर सकते हैं और अपनी क्रियाओं का समन्वय कर सकते हैं।

नियतात्मक और प्रसंभाव्य प्रणाली नियंत्रण
एक प्रसंभाव्य नियंत्रण समस्या वह समस्या है जिसमें अवस्था चर के विकास को प्रणाली के बाहर से यादृच्छिक आघातों के अधीन किया जाता है। एक नियतात्मक नियंत्रण समस्या बाह्य यादृच्छिक आघातों के अधीन नहीं है।

मुख्य नियंत्रण रणनीतियाँ
प्रत्येक नियंत्रण प्रणाली को पहले बंद पाश व्यवहार की स्थिरता की आश्वस्तता देनी चाहिए। रैखिक प्रणालियों के लिए, इसे सीधे ध्रुव लगाकर प्राप्त किया जा सकता है। गैर-रैखिक नियंत्रण प्रणालियाँ विशिष्ट सिद्धांतों (सामान्यतः अलेक्सांद्र लायपुनोव के सिद्धांत पर आधारित) का उपयोग करती हैं, जिससे प्रणाली की आंतरिक गतिशीलता को ध्यान में रखे बिना स्थिरता सुनिश्चित की जा सके। विभिन्न विशिष्टताओं को पूरा करने की संभावना विचार किए गए मॉडल और चुनी गई नियंत्रण रणनीति से भिन्न होती है।

मुख्य नियंत्रण तकनीकों की सूची

 * अनुकूली नियंत्रण प्रक्रिया मापदंडों की ऑन-लाइन पहचान, या नियंत्रक लाभ के संशोधन का उपयोग करती है, जिससे मजबूत सुदृढ़ता गुण प्राप्त होते हैं। 1950 के दशक में एयरोस्पेस उद्योग में पहली बार अनुकूली नियंत्रण प्रयुक्त किए गए थे, और इस क्षेत्र में इन्हें विशेष सफलता मिली है।
 * एक पदानुक्रमित नियंत्रण प्रणाली एक प्रकार की नियंत्रण प्रणाली है जिसमें पदानुक्रमित वृक्षरूपी डेटा प्रकार में उपकरणों और अधिनियंत्रित सॉफ़्टवेयर का एक समुच्चय व्यवस्थित किया जाता है। जब वृक्ष में संयोजन एक कंप्यूटर नेटवर्क द्वारा कार्यान्वित किया जाता है, तो यह श्रेणीबद्ध नियंत्रण प्रणाली भी नेटवर्क नियंत्रण प्रणाली का एक रूप है।
 * बुद्धिमता नियंत्रण एक गतिशील प्रणाली को नियंत्रित करने के लिए कृत्रिम तंत्रिका नेटवर्क, बेसियन प्रायिकता, फ़ज़ी तर्क, मशीन लर्निंग, विकासवादी संगणना और आनुवंशिक एल्गोरिदम या इन विधियों के संयोजन जैसे न्यूरो फजी एल्गोरिदम जैसे विभिन्न एआई संगणना दृष्टिकोणों का उपयोग करता है।
 * इष्टतम नियंत्रण एक विशेष नियंत्रण तकनीक है जिसमें नियंत्रण संकेत एक निश्चित "लागत सूचकांक" का अनुकूलन करता है: उदाहरण के लिए, एक उपग्रह की स्थिति में, जेट थ्रस्ट को इसे वांछित प्रक्षेपवक्र में लाने कि आवश्यकता होती है जो कम से कम ईंधन की खपत करता है। औद्योगिक अनुप्रयोगों में दो इष्टतम नियंत्रण संरचना विधियों का उपयोग व्यापक रूप से किया गया है, क्योंकि यह दिखाया गया है कि ये बंद-पाश स्थिरता की आश्वस्तता दे सकते हैं। ये मॉडल पूर्वानुमानित नियंत्रण (एमपीसी) और रैखिक-द्विघात-गाऊसी नियंत्रण (एलक्यूजी) हैं। पहला, प्रणाली में संकेतों पर अधिक स्पष्ट रूप से व्यवरोधों को ध्यान में रख सकता है, जो कई औद्योगिक प्रक्रियाओं में एक महत्वपूर्ण विशेषता है। हालाँकि, एमपीसी में इष्टतम नियंत्रण संरचना केवल ऐसे परिणाम प्राप्त करने का एक साधन है, क्योंकि यह बंद-पाश नियंत्रण प्रणाली के एक सत्य प्रदर्शन सूचकांक का अनुकूलन नहीं करता है। पीआईडी ​​​​नियंत्रकों के साथ मिलकर, एमपीसी प्रणाली प्रक्रिया नियंत्रण में सबसे व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली नियंत्रण तकनीक है।
 * सुदृढ़ नियंत्रण, स्पष्ट रूप से नियंत्रक संरचना के अपने दृष्टिकोण में अनिश्चितता से संबंधित है। सुदृढ़ नियंत्रण विधियों का उपयोग करके संरचित किए गए नियंत्रक, वास्तविक प्रणाली और संरचना के लिए उपयोग किए जाने वाले सांकेतिक मॉडल के बीच छोटे अंतरों का सामना करने में सक्षम होते हैं। हेनरी वेड बोडे और अन्य कि प्रारंभिक विधियाँ काफी सुदृढ़ थीं; 1960 और 1970 के दशक में आविष्कृत अवस्था-समष्टि विधियों में कभी-कभी दृढ़ता की कमी पाई गई। आधुनिक सुदृढ़ नियंत्रण तकनीकों के उदाहरणों में डंकन मैकफर्लेन और कीथ ग्लोवर द्वारा विकसित एच-अनन्तता पाश-संरूपण, वादिम यूटकिन द्वारा विकसित स्खलन अवस्था नियंत्रण (एसएमसी) और स्मार्ट पावर ग्रिड अनुप्रयोगों में विद्युत भार की बड़ी विषम आबादी के नियंत्रण के लिए संरचित किए गए सुरक्षित प्रोटोकॉल सम्मिलित हैं। सुदृढ़ विधियों का उद्देश्य छोटी मॉडलिंग त्रुटियों की उपस्थिति में सुदृढ़ प्रदर्शन और/या स्थिरता सिद्धांत प्राप्त करना है।
 * प्रसंभाव्य नियंत्रण मॉडल में अनिश्चितता के साथ नियंत्रण संरचना से संबंधित है। विशिष्ट प्रसंभाव्य नियंत्रण समस्याओं में, यह माना जाता है कि मॉडल और नियंत्रक में यादृच्छिक ध्वनि और बाधाएँ विद्यमान हैं, इन यादृच्छिक विचलनों को नियंत्रण संरचना द्वारा ध्यान में रखा जाना चाहिए।
 * स्व-संगठित क्रांतिकता नियंत्रण को उन प्रक्रियाओं में हस्तक्षेप करने के प्रयासों के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिनके द्वारा स्व-संगठित प्रणाली ऊर्जा का प्रसार करती है।

प्रणाली और नियंत्रण में लोग
कई सक्रिय और ऐतिहासिक पुरुषों ने सिद्धांतों को नियंत्रित करने में महत्वपूर्ण योगदान दिया, जिनमें सम्मिलित हैं:
 * पियरे-साइमन लाप्लास ने संभाव्यता सिद्धांत पर अपने कार्य में Z-रूपान्तरण का आविष्कार किया, जिसका उपयोग अब असतत-समय नियंत्रण सिद्धांत समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है। Z-रूपान्तरण लाप्लास रूपान्तरण का असतत-समय समकक्ष है, जिसे इसके नाम पर रखा गया है।
 * इर्मगार्ड फ्लग-लोट्ज़ ने असंतुलित स्वचालित नियंत्रण के सिद्धांत को विकसित किया और इसे स्वचालित विमान नियंत्रण प्रणालियों पर प्रयुक्त किया।
 * 1890 के दशक में अलेक्जेंडर लायपुनोव ने स्थिरता सिद्धांत प्रारंभ किया।
 * हेरोल्ड स्टीफन ब्लैक ने वर्ष 1927 में ऋणात्मक प्रतिक्रिया प्रवर्धकों की अवधारणा का आविष्कार किया। इन्होंने वर्ष 1930 के दशक में स्थिर ऋणात्मक प्रतिक्रिया प्रवर्धकों को विकसित करने में सफलता प्राप्त की।
 * हैरी नाइक्विस्ट ने वर्ष 1930 के दशक में प्रतिक्रिया प्रणाली के लिए नाइक्विस्ट स्थिरता मानदंड विकसित किया।
 * रिचर्ड बेलमैन ने वर्ष 1940 के दशक में गतिशील प्रोग्रामिंग विकसित की।
 * वारेन ई. डिक्सन, नियंत्रण सिद्धांतकार और एक प्रोफेसर
 * एंड्री कोलमोगोरोव ने वर्ष 1941 में वीनर-कोल्मोगोरोव फिल्टर को सह-विकसित किया।
 * नॉर्बर्ट वीनर ने वीनर-कोल्मोगोरोव फ़िल्टर का सह-विकास किया और 1940 के दशक में साइबरनेटिक्स शब्द की रचना की।
 * 1950 के दशक में जॉन आर. रागाज़िनी ने डिजिटल नियंत्रण और नियंत्रण सिद्धांत में Z-रूपान्तरण (लाप्लास द्वारा आविष्कृत) के उपयोग को प्रारंभ किया।


 * लेव पोंट्रीगिन ने पोंट्रीगिन के न्यूनतम सिद्धांत और बैंग-बैंग सिद्धांत को प्रारंभ किया।
 * पियरे-लुई लायंस ने प्रसंभाव्य नियंत्रण और इष्टतम नियंत्रण विधियों में श्यानता समाधान विकसित किया।
 * रूडोल्फ ई. काल्मन ने प्रणाली और नियंत्रण के लिए अवस्था-समष्टि दृष्टिकोण की जिम्मेदारी उठायी। नियंत्रणीयता और अवलोकनीयता की धारणाओं का परिचय दिया। रेखीय आकलन के लिए कलमन निस्पंदन का विकास किया।
 * अली एच. नायफेह जो अरैखिक नियंत्रण सिद्धांत के मुख्य योगदानकर्ताओं में से एक थे और क्षोभ विधियों पर कई पुस्तकें प्रकाशित कीं
 * जेन कैमियल विलेम्स ने इनपुट/स्टेट/आउटपुट प्रणाली के लिए लायपुनोव फलन के सामान्यीकरण के रूप में, अपव्यय की अवधारणा का परिचय दिया। संग्रहण फलन के निर्माण, जिसे लाइपुनोव फलन के एनालॉग के रूप में जाना जाता है, ने नियंत्रण सिद्धांत में रैखिक आव्यूह असमानता (एलएमआई) के अध्ययन का नेतृत्व किया। इन्होंने गणितीय प्रणाली सिद्धांत के व्यवहारिक दृष्टिकोण का जिम्मेदारी उठायी।

यह भी देखें

 * नियंत्रण प्रणालियों के उदाहरण


 * स्वचालन
 * डेडबीट नियंत्रक
 * वितरित मापदण्ड प्रणाली
 * आंशिक क्रम नियंत्रण
 * एच-अनंतता पाश-संरूपण
 * पदानुक्रमित नियंत्रण प्रणाली
 * मॉडल पूर्वानुमानित नियंत्रण
 * इष्टतम नियंत्रण
 * प्रक्रिया नियंत्रण
 * सुदृढ़ नियंत्रण
 * सेवा तंत्र
 * अवस्था समष्टि (नियंत्रण)
 * सदिश नियंत्रण (मोटर)

नियंत्रण सिद्धांत में विषय

 * गुणांक आरेख विधि
 * नियंत्रण पुनर्गठन
 * प्रतिपुष्टि
 * एच अनंतता
 * हैंकेल एकल मान
 * क्रेनर प्रमेय
 * लीड-लैग प्रतिपूरक
 * लघु पाश प्रतिक्रिया
 * बहु-पाश प्रतिक्रिया
 * धनात्मक प्रणाली
 * त्रिज्यीय आधार फलन
 * मूल बिन्दुपथ
 * संकेत-प्रवाह आलेख
 * स्थिर बहुपद
 * अवस्था समष्टि निरूपण
 * स्थिर अवस्था
 * अस्थायी प्रतिक्रिया
 * क्षणिक अवस्था
 * प्रवर्तन के तहत
 * यूला-कुचेरा मापदंडीकरण
 * मार्कोव श्रृंखला सन्निकटन विधि

अन्य संबंधित विषय

 * अनुकूली प्रणाली
 * स्वचालन और रिमोट नियंत्रण
 * बॉन्ड आलेख
 * नियंत्रण अभियांत्रिकी
 * नियंत्रण-प्रतिक्रिया-निष्कासन पाश
 * नियंत्रक (नियंत्रण सिद्धांत)
 * साइबरनेटिक्स
 * बुद्धिमता नियंत्रण
 * गणितीय प्रणाली सिद्धांत
 * ऋणात्मक प्रतिक्रिया प्रवर्धक
 * प्रणाली और नियंत्रण में लोग
 * अवधारणात्मक नियंत्रण सिद्धांत
 * प्रणाली सिद्धांत
 * समय पैमाने की गणना

अग्रिम पठन



 * For Chemical Engineering
 * For Chemical Engineering

बाहरी संबंध

 * Control Tutorials for Matlab, a set of worked-through control examples solved by several different methods.
 * Control Tuning and Best Practices
 * Advanced control structures, free on-line simulators explaining the control theory
 * The Dark Side of Loop Control Theory, a professional seminar taught at APEC in 2012 (Orlando, FL).