वोइग्ट प्रोफ़ाइल

वोइग्ट प्रोफाइल (वोल्डेमर वोइगट के नाम पर) संभावना वितरण है | जो कॉची वितरण और सामान्य वितरण के कनवल्शन द्वारा दिया गया है। यह अधिकांशतः स्पेक्ट्रोस्कोपी या विवर्तन से डेटा का विश्लेषण करने में प्रयोग किया जाता है।

परिभाषा
सामान्यता के हानि के बिना, हम केवल केंद्रित प्रोफाइल पर विचार कर सकते हैं | जो शून्य पर चरम पर है। वोइग्ट प्रोफ़ाइल तब है |

V(x;\sigma,\gamma) \equiv \int_{-\infty}^\infty G(x';\sigma)L(x-x';\gamma)\, dx', $$ जहाँ x रेखा सेंटर से शिफ्ट है | $$G(x;\sigma)$$ केंद्रित गाऊसी प्रोफ़ाइल है |



G(x;\sigma) \equiv \frac{e^{-x^2/(2\sigma^2)}}{\sigma \sqrt{2\pi}}, $$ और $$L(x;\gamma)$$ केंद्रित लोरेंट्ज़ियन प्रोफ़ाइल है |



L(x;\gamma) \equiv \frac{\gamma}{\pi(x^2+\gamma^2)}. $$ परिभाषित अभिन्न का मूल्यांकन इस प्रकार किया जा सकता है |



V(x;\sigma,\gamma)=\frac{\operatorname{Re}[w(z)]}{\sigma\sqrt{2 \pi}}, $$ जहां Re[w(z)] फदीवा फलन का वास्तविक भाग है | जिसका मूल्यांकन किया गया है |



z=\frac{x+i\gamma}{\sigma\sqrt{2}}. $$ $$\sigma=0$$ और $$ \gamma =0 $$ के सीमित मामलों में तब $$ V(x;\sigma,\gamma) $$ को $$L(x;\gamma)$$ और $$G(x;\sigma)$$ सरल करता है |

इतिहास और अनुप्रयोग
स्पेक्ट्रोस्कोपी में, वोइग्ट प्रोफ़ाइल दो व्यापक तंत्रों के संयोजन से उत्पन्न होती है | जिनमें से अकेले गॉसियन प्रोफ़ाइल (सामान्यतः, डॉपलर विस्तार के परिणामस्वरूप) का उत्पादन करती है, और दूसरा लोरेंत्ज़ियन प्रोफ़ाइल का उत्पादन करती है। स्पेक्ट्रोस्कोपी और पाउडर विवर्तन की कई शाखाओं में वोइग्ट प्रोफाइल समान हैं। फदीवा फलन की गणना के खर्च के कारण, वोइग्ट प्रोफ़ाइल को कभी-कभी छद्म-वोइग्ट प्रोफ़ाइल का उपयोग करके अनुमानित किया जाता है।

गुण
वोइग्ट प्रोफ़ाइल सामान्यीकृत है |

\int_{-\infty}^\infty V(x;\sigma,\gamma)\,dx = 1, $$ चूंकि यह सामान्यीकृत प्रोफाइल का कनवल्शन है। लोरेंत्ज़ियन प्रोफ़ाइल में कोई क्षण नहीं है (ज़ीरोथ के अतिरिक्त), और इसलिए कॉची वितरण के लिए क्षण-उत्पन्न करने वाला फलन परिभाषित नहीं है। यह इस प्रकार है कि वोइग्ट प्रोफ़ाइल में एक क्षण-उत्पन्न कार्य नहीं होगा, किन्तु कॉची वितरण के लिए विशिष्ट कार्य (संभाव्यता सिद्धांत) अच्छी तरह से परिभाषित है | जैसा कि सामान्य वितरण के लिए विशिष्ट कार्य है। (केंद्रित) वोइग्ट प्रोफ़ाइल के लिए विशेषता कार्य (संभाव्यता सिद्धांत) तब दो का उत्पाद होगा |



\varphi_f(t;\sigma,\gamma) = E(e^{ixt}) = e^{-\sigma^2t^2/2 - \gamma |t|}. $$ चूंकि सामान्य वितरण और कॉची वितरण स्थिर वितरण हैं, वे प्रत्येक कनवल्शन (पैमाने के परिवर्तन तक) के अनुसार बंद हैं, और यह अनुसरण करता है कि वोइग्ट वितरण भी कनवल्शन के अनुसार बंद हैं।

संचयी वितरण फलन
z के लिए उपरोक्त परिभाषा का उपयोग करते हुए, संचयी वितरण फलन (सीडीएफ) को निम्नानुसार पाया जा सकता है |


 * $$F(x_0;\mu,\sigma)

=\int_{-\infty}^{x_0} \frac{\operatorname{Re}(w(z))}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,dx =\operatorname{Re}\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{z(-\infty)}^{z(x_0)} w(z)\,dz\right). $$ फदीवा फलन (स्केल्ड कॉम्प्लेक्स त्रुटि फलन) की परिभाषा को प्रतिस्थापित करने से अनिश्चितकालीन इंटीग्रल प्राप्त होता है |



\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int w(z)\,dz =\frac{1}{\sqrt{\pi}} \int e^{-z^2}\left[1-\operatorname{erf}(-iz)\right]\,dz, $$ जिसे उपज के लिए हल किया जा सकता है



\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int w(z)\,dz = \frac{\operatorname{erf}(z)}{2} +\frac{iz^2}{\pi}\,_2F_2\left(1,1;\frac{3}{2},2;-z^2\right), $$ जहाँ $${}_2F_2$$ हाइपरज्यामितीय कार्य है। फलन के लिए शून्य तक पहुंचने के लिए x ऋणात्मक अनंत तक पहुंचता है (जैसा कि सीडीएफ को करना चाहिए), 1/2 का एकीकरण स्थिरांक जोड़ा जाना चाहिए। यह वोइग्ट के सीडीएफ के लिए देता है |


 * $$F(x;\mu,\sigma)=\operatorname{Re}\left[\frac{1}{2}+

\frac{\operatorname{erf}(z)}{2} +\frac{iz^2}{\pi}\,_2F_2\left(1,1;\frac{3}{2},2;-z^2\right)\right]. $$

अकेंद्रित वोइग्ट प्रोफ़ाइल
यदि गाऊसी प्रोफ़ाइल $$\mu_G$$ पर केंद्रित है और लोरेंट्ज़ियन प्रोफ़ाइल $$\mu_L$$ पर केंद्रित है, कनवल्शन $$\mu_V = \mu_G+\mu_L$$ पर केंद्रित है और विशेषता कार्य है |



\varphi_f(t;\sigma,\gamma,\mu_\mathrm{G},\mu_\mathrm{L})= e^{i(\mu_\mathrm{G}+\mu_\mathrm{L})t-\sigma^2t^2/2 - \gamma |t|}. $$ संभाव्यता घनत्व फलन केवल $$\mu_V$$ केंद्रित प्रोफ़ाइल से ऑफ़समुच्चय होता है |



V(x;\mu_V,\sigma,\gamma)=\frac{\operatorname{Re}[w(z)]}{\sigma\sqrt{2 \pi}}, $$ जहाँ:



z= \frac{x-\mu_V+i \gamma}{\sigma\sqrt{2}} $$ मोड और माध्यिका दोनों $$\mu_V$$ पर स्थित हैं |

व्युत्पत्ति
thumb| वोइग्ट प्रोफ़ाइल (यहाँ, मानते हुए $\mu_{V} = 10$, $\sigma = 1.3$, और $\gamma = 2.5$) और इसके पहले दो आंशिक व्युत्पत्ति के संबंध में $x$ (पहला कॉलम) और तीन मापदंड $\mu_{V}$, $\sigma$, और $\gamma$ (क्रमशः दूसरा, तीसरा और चौथा स्तंभ), विश्लेषणात्मक और संख्यात्मक रूप से प्राप्त किया।|link=|alt={\displaystyle \mu _{V}=10} उपरोक्त परिभाषा का उपयोग के लिए $$z$$ और $$x_{c}=x-\mu_{V}$$, पहले और दूसरे व्युत्पत्ति को फदीवा फलन व्युत्पत्ति के रूप में व्यक्त किया जा सकता है |

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x} V(x_{c};\sigma,\gamma) &= -\frac{\operatorname{Re}\left[z ~w(z)\right]}{\sigma^2\sqrt{\pi}} = -\frac{x_{c}}{\sigma^2} \frac{\operatorname{Re}\left[w(z)\right]}{\sigma\sqrt{2\pi}}+\frac{\gamma}{\sigma^2} \frac{\operatorname{Im}\left[w(z)\right]}{\sigma\sqrt{2\pi}} \\ &= \frac{1}{\sigma^{3}\sqrt{2\pi}}\cdot\left(\gamma\cdot\operatorname{Im}\left[w(z)\right]-x_{c}\cdot\operatorname{Re}\left[w(z)\right]\right) \end{aligned} $$ और

\begin{aligned} \frac{\partial^2}{\left(\partial x\right)^2} V(x_{c};\sigma,\gamma) &= \frac{x_{c}^{2}-\gamma^2-\sigma^2}{\sigma^4} \frac{\operatorname{Re}\left[w(z)\right]}{\sigma\sqrt{2\pi}} -\frac{2 x_{c} \gamma}{\sigma^4} \frac{\operatorname{Im}\left[w(z)\right]}{\sigma\sqrt{2\pi}} +\frac{\gamma}{\sigma^4}\frac{1}{\pi} \\ &= -\frac{1}{\sigma^{5}\sqrt{2\pi}}\cdot\left(\gamma\cdot\left(2x_{c}\cdot\operatorname{Im}\left[w(z)\right] - \sigma\cdot\sqrt{\frac{2}{\pi}}\right) + \left(\gamma^{2} + \sigma^{2} - x_{c}^{2}\right)\cdot\operatorname{Re}\left[w(z)\right]\right), \end{aligned} $$ क्रमशः

अधिकांशतः, एक या एकाधिक वोइग्ट प्रोफाइल और/या उनके संबंधित व्युत्पत्ति को गैर-रैखिक कम से कम वर्गों के माध्यम से मापे गए सिग्नल में फिट करने की आवश्यकता होती है | उदाहरण के लिए वर्णक्रमीय रेखा आकार आकार में फिर, कम्प्यूटेशंस में तेजी लाने के लिए और आंशिक व्युत्पत्ति का उपयोग किया जा सकता है। मापदंडों के संबंध में जैकबियन आव्युह का अनुमान लगाने के अतिरिक्त $$\mu_{V}$$, $$\sigma$$, और $$\gamma$$ परिमित अंतरों की सहायता से, संबंधित विश्लेषणात्मक अभिव्यक्तियों को प्रयुक्त किया जा सकता है। इनके साथ $$\operatorname{Re}\left[w(z)\right] = \Re_{w}$$ और $$\operatorname{Im}\left[w(z)\right] = \Im_{w}$$, द्वारा दिया गया है |



\begin{align} \frac{\partial V}{\partial \mu_{V}} = -\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{1}{\sigma^{3}\sqrt{2\pi}}\cdot\left(x_{c}\cdot\Re_{w} - \gamma\cdot\Im_{w}\right) \end{align} $$

\begin{align} \frac{\partial V}{\partial \sigma} = \frac{1}{\sigma^{4}\sqrt{2\pi}}\cdot\left(\left(x_{c}^{2} - \gamma^{2}-\sigma^{2}\right)\cdot\Re_{w} - 2x_{c}\gamma\cdot\Im_{w} + \gamma\sigma\cdot\sqrt{\frac{2}{\pi}}\right) \end{align} $$

\begin{align} \frac{\partial V}{\partial \gamma} = -\frac{1}{\sigma^{3}\sqrt{2\pi}}\cdot\left(\sigma\cdot\sqrt{\frac{2}{\pi}} - x_{c}\cdot\Im_{w} - \gamma\cdot\Re_{w}\right) \end{align} $$ $$V$$ मूल वायगेट प्रोफ़ाइल के लिए ;



\begin{align} \frac{\partial V'}{\partial \mu_{V}} = -\frac{\partial V'}{\partial x} = -\frac{\partial^{2} V}{\left(\partial x\right)^{2}} = \frac{1}{\sigma^{5}\sqrt{2\pi}}\cdot\left(\gamma\cdot\left(2x_{c}\cdot\Im_{w} - \sigma\cdot\sqrt{\frac{2}{\pi}}\right) + \left(\gamma^{2} + \sigma^{2} - x_{c}^{2}\right)\cdot\Re_{w}\right) \end{align} $$

\begin{align} \frac{\partial V'}{\partial \sigma} = \frac{3}{\sigma^{6}\sqrt{2\pi}}\cdot\left(-\gamma\sigma x_{c}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{\pi}} + \left(x_{c}^{2} - \frac{\gamma^{2}}{3} - \sigma^{2}\right)\cdot\gamma\cdot\Im_{w} + \left(\gamma^{2}  + \sigma^{2} - \frac{x_{c}^{2}}{3}\right)\cdot x_{c}\cdot\Re_{w}\right) \end{align} $$

\begin{align} \frac{\partial V'}{\partial \gamma} = \frac{1}{\sigma^{5}\sqrt{2\pi}}\cdot\left(x_{c}\cdot\left(\sigma\cdot\sqrt{\frac{2}{\pi}} - 2\gamma\cdot\Re_{w}\right) + \left(\gamma^{2} + \sigma^{2} - x_{c}^{2}\right)\cdot\Im_{w}\right) \end{align} $$ पहले क्रम के आंशिक व्युत्पन्न के लिए $$V' = \frac{\partial V}{\partial x}$$; और



\begin{align} \frac{\partial V}{\partial \mu_{V}} = -\frac{\partial V}{\partial x} = -\frac{\partial^{3} V}{\left(\partial x\right)^{3}} = -\frac{3}{\sigma^{7}\sqrt{2\pi}}\cdot\left(\left(x_{c}^{2} - \frac{\gamma^{2}}{3} - \sigma^{2}\right)\cdot\gamma\cdot\Im_{w} + \left(\gamma^{2} + \sigma^{2} - \frac{x_{c}^{2}}{3}\right)\cdot x_{c}\cdot\Re_{w} - \gamma\sigma x_{c}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{\pi}}\right) \end{align} $$

\begin{align} & \frac{\partial V''}{\partial \sigma} = -\frac{1}{\sigma^{8}\sqrt{2\pi}}\cdot \\ & \left(\left(-3\gamma x_{c}\sigma^{2} + \gamma x_{c}^{3} - \gamma^{3} x_{c}\right)\cdot 4\cdot\Im_{w} + \left(\left(2x_{c}^{2} - 2\gamma^{2} - \sigma^{2}\right)\cdot 3\sigma^{2} + 6\gamma^{2} x_{c}^{2} - x_{c}^{4} - \gamma^{4}\right)\cdot\Re_{w} + \left(\gamma^{2} + 5\sigma^{2} - 3x_{c}^{2}\right)\cdot\gamma\sigma\cdot\sqrt{\frac{2}{\pi}}\right) \end{align} $$

\begin{align} \frac{\partial V''}{\partial \gamma} = -\frac{3}{\sigma^{7}\sqrt{2\pi}}\cdot\left(\left(\gamma^{2} + \sigma^{2} - \frac{x_{c}^{2}}{3}\right)\cdot x_{c}\cdot\Im_{w} + \left(\frac{\gamma^{2}}{3} + \sigma^{2} - x_{c}^{2}\right)\cdot \gamma\cdot\Re_{w} + \left(x_{c}^{2} - \gamma^{2} - 2\sigma^{2} \right)\cdot\sigma\cdot\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{\pi}}\right) \end{align} $$ दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न के लिए $$V'' = \frac{\partial^{2} V}{\left(\partial x\right)^{2}}$$. तब से $$\mu_{V}$$ और $$\gamma$$ की गणना में अपेक्षाकृत समान भूमिका $$z$$ निभाते हैं |, उनके संबंधित आंशिक व्युत्पत्ति भी उनकी संरचना के स्थिति में अधिक समान दिखते हैं | चूँकि उनका परिणाम पूरी तरह से अलग व्युत्पन्न प्रोफाइल में होता है। आंशिक व्युत्पत्ति के संबंध में $$\sigma$$ और $$\gamma$$ अधिक समानता दिखाएं क्योंकि दोनों चौड़ाई मापदंड हैं। इन सभी व्युत्पत्ति में केवल साधारण संचालन (गुणा और जोड़) शामिल हैं क्योंकि कम्प्यूटेशनल रूप से महंगा है | $$\Re_{w}$$ और $$\Im_{w}$$ $$w\left(z\right)$$ गणना करते समय सरलता से प्राप्त होते हैं | पिछली गणनाओं का ऐसा पुन: उपयोग न्यूनतम निवेश पर व्युत्पत्ति की अनुमति देता है। यह परिमित अंतरों का स्थिति नहीं है क्योंकि क्रमशः प्रत्येक ढाल के लिए $$w\left(z\right)$$ मूल्यांकन की आवश्यकता है |

वोइगट फलन
वोइग्ट कार्य करता है | U, v, और H (कभी-कभी 'रेखा ब्रॉडनिंग फलन' कहा जाता है) द्वारा परिभाषित किया जाता है |
 * $$U(x,t)+iV(x,t) = \sqrt \frac{\pi}{4t} e^{z^2} \operatorname{erfc}(z) = \sqrt \frac{\pi}{4t} w(iz),$$ :$$H(a,u) = \frac{U(u/a,1/4 a^2)}{a\sqrt \pi},$$

जहाँ
 * $$z=(1-ix)/2\sqrt t,$$

ईआरएफसी पूरक त्रुटि फलन है, और w(z) फदीवा फलन है।

वोइग्ट प्रोफाइल से संबंध

 * $$ V(x;\sigma,\gamma) = H(a,u) / (\sqrt 2 \sqrt \pi \sigma), $$

साथ
 * $$ a = \gamma / (\sqrt 2 \sigma) $$

और
 * $$ u = x / (\sqrt 2 \sigma). $$

टेपर-गार्सिया फलन
जर्मन-मैक्सिकन एस्ट्रोफिजिसिस्ट थोर टेपर-गार्सिया के नाम पर टेपर-गार्सिया फलन, घातीय फलन और तर्कसंगत फलन का संयोजन है | जो रेखा ब्रॉडिंग फलन का अनुमान लगाता है |$$H(a,u)$$ इसके मापदंडों की विस्तृत श्रृंखला पर यह स्पष्ट रेखा ब्रॉडिंग फलन के ट्रंकेटेड पावर सारणी एक्सपेंशन से प्राप्त होता है।

अपने सबसे कम्प्यूटेशनल रूप से उत्तम रूप में, टेपर-गार्सिया फलन को इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है |

T(a,u) = R - \left(a /\sqrt{\pi} P \right) ~\left[R^2 ~(4 P^2 + 7 P + 4 + Q) - Q - 1\right] \, , $$ जहाँ $$P \equiv u^2$$, $$Q \equiv 3 / (2 P) $$, और $$R \equiv e^{-P}$$.

इस प्रकार रेखा विस्तार फलन को पहले क्रम में, शुद्ध गॉसियन फलन के साथ-साथ सुधार कारक के रूप में देखा जा सकता है | जो अवशोषित माध्यम के सूक्ष्म गुणों पर रैखिक रूप से निर्भर करता है (में एन्कोडेड) $$a$$); चूँकि, श्रृंखला विस्तार में प्रारंभिक छंटनी के परिणामस्वरूप, सन्निकटन $$a$$ में त्रुटि अभी भी क्रम की है, अर्थात $$H(a,u) \approx T(a,u) + \mathcal{O}(a)$$. इस सन्निकटन की सापेक्ष स्पष्टता है |

\epsilon \equiv \frac{\vert H(a,u) - T(a,u) \vert}{H(a,u)} \lesssim 10^{-4} $$

$$H(a,u)$$ की पूर्ण तरंग दैर्ध्य सीमा पर, परंतु कि $$a \lesssim 10^{-4}$$। इसकी उच्च स्पष्टता के अतिरिक्त, फलन $$T(a,u)$$ को प्रयुक्त करना सरल है और साथ ही कम्प्यूटेशनल रूप से तेज़ है। क्वासर अवशोषण रेखा विश्लेषण के क्षेत्र में इसका व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

छद्म-वायग्ट सन्निकटन
स्यूडो-वोइग्ट प्रोफ़ाइल (या स्यूडो-वोइग्ट फलन) गाऊसी फलन G(x के रैखिक संयोजन का उपयोग करके वोइग्ट प्रोफ़ाइल V(x) का अनुमान है ) और कॉची वितरण L(x) उनके कनवल्शन के अतिरिक्त होते है ।

स्यूडो-वोइगट फलन का प्रयोग अधिकांशतः प्रयोगात्मक वर्णक्रमीय रेखा आकृतियों की गणना के लिए किया जाता है।

सामान्यीकृत स्यूडो-वोइग प्रोफाइल की गणितीय परिभाषा इसके द्वारा दी गई है |

V_p(x,f) = \eta \cdot L(x,f) + (1 - \eta) \cdot G(x,f) $$ साथ $$ 0 < \eta < 1 $$. $$ \eta $$ मापदंड के लिए कई संभावित विकल्प हैं।   साधारण सूत्र, 1% के लिए स्पष्ट है |
 * $$ \eta $$ आधा अधिकतम (एफडब्ल्यूएचएम) मापदंड पर पूर्ण चौड़ाई का एक कार्य है।
 * $$ \eta $$ आधा अधिकतम (एफडब्ल्यूएचएम) मापदंड पर पूर्ण चौड़ाई का एक कार्य है।



\eta = 1.36603 (f_L/f) - 0.47719 (f_L/f)^2 + 0.11116(f_L/f)^3, $$ जहाँ, $$ \eta $$ लोरेंत्ज़ का कार्य है | ($$ f_L $$), गॉसियन ($$ f_G $$) और कुल ($$ f $$) आधी अधिकतम (एफडब्ल्यूएचएम) मापदंड पर पूरी चौड़ाई कुल एफडब्ल्यूएचएम ($$ f $$) मापदंड द्वारा वर्णित है |

f = [f_G^5 + 2.69269 f_G^4 f_L + 2.42843 f_G^3 f_L^2 + 4.47163 f_G^2 f_L^3 + 0.07842 f_G f_L^4 + f_L^5]^{1/5}. $$

वोइग्ट प्रोफ़ाइल की चौड़ाई
वोइग्ट प्रोफ़ाइल की आधी अधिकतम (एफडब्ल्यूएचएम) पर पूरी चौड़ाई पाई जा सकती है |

संबद्ध गाऊसी और लोरेंत्ज़ियन चौड़ाई गॉसियन प्रोफाइल का एफडब्ल्यूएचएम है |


 * $$f_\mathrm{G}=2\sigma\sqrt{2\ln(2)}.$$

लोरेंट्ज़ियन प्रोफाइल का एफडब्ल्यूएचएम है |


 * $$f_\mathrm{L}=2\gamma.$$

वोइग्ट, गॉसियन और लोरेंट्ज़ियन प्रोफाइल की चौड़ाई के बीच अनुमानित संबंध (लगभग 1.2% के अन्दर स्पष्ट) है |
 * $$f_\mathrm{V}\approx f_\mathrm{L}/2+\sqrt{f_\mathrm{L}^2/4+f_\mathrm{G}^2}.$$

निर्माण के द्वारा, यह अभिव्यक्ति शुद्ध गाऊसी या लोरेंत्ज़ियन के लिए स्पष्ट है।

0.02% की स्पष्टता के साथ उत्तम सन्निकटन द्वारा दिया गया है | (मूल रूप से किल्कोफ द्वारा पाया गया )


 * $$f_\mathrm{V}\approx 0.5346 f_\mathrm{L}+\sqrt{0.2166f_\mathrm{L}^2+f_\mathrm{G}^2}.$$

फिर से, यह अभिव्यक्ति शुद्ध गाऊसी या लोरेंत्ज़ियन के लिए स्पष्ट है। इसी प्रकाशन में, थोड़ा अधिक स्पष्ट (0.012% के अन्दर), फिर भी अधिक अधिक जटिल अभिव्यक्ति पाई जा सकती है।

बाहरी संबंध

 * http://jugit.fz-juelich.de/mlz/libcerf, numeric C library for complex error functions, provides a function voigt(x, sigma, gamma) with approximately 13–14 digits precision.
 * The original article is : वोइग्ट, Woldemar, 1912,  Das Gesetz der Intensitätsverteilung innerhalb der Linien eines Gasspektrums , Sitzungsbericht der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, 25, 603 (see also: http://publikationen.badw.de/de/003395768 )