सीमा (टोपोलॉजी)

सामान्य रूप से टोपोलॉजी और गणित में, एक उपसमुच्चय की सीमा $S$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ के क्लोजर (टोपोलॉजी) में बिंदुओं का समुच्चय है $S$ आंतरिक (टोपोलॉजी) से संबंधित नहीं है $S$. की सीमा का एक तत्व $S$ की सीमा बिंदु कहा जाता है $S$. सीमा संचालन शब्द एक सेट की सीमा को खोजने या लेने के लिए संदर्भित करता है। एक सेट की सीमा के लिए प्रयुक्त संकेतन $S$ शामिल $$\operatorname{bd}(S), \operatorname{fr}(S),$$ तथा $$\partial S$$. कुछ लेखक (उदाहरण के लिए विलार्ड, सामान्य टोपोलॉजी में) बीजगणितीय टोपोलॉजी और मैनिफोल्ड के सिद्धांत में उपयोग की जाने वाली सीमा के साथ मैनिफोल्ड # मैनिफोल्ड के साथ भ्रम से बचने के प्रयास में सीमा के बजाय 'फ्रंटियर' शब्द का उपयोग करते हैं। सीमा और सीमा के अर्थ की व्यापक स्वीकृति के बावजूद, कभी-कभी उनका उपयोग अन्य सेटों को संदर्भित करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, E. T. Copson द्वारा मीट्रिक स्पेस फेलिक्स हॉसडॉर्फ की 'बॉर्डर' को संदर्भित करने के लिए सीमा शब्द का उपयोग करता है, जिसे इसकी सीमा के साथ एक सेट के प्रतिच्छेदन के रूप में परिभाषित किया गया है। हॉसडॉर्फ ने अवशेष शब्द भी पेश किया, जिसे इसके पूरक की सीमा के बंद होने के साथ एक सेट के प्रतिच्छेदन के रूप में परिभाषित किया गया है। A Connected space#. की सीमा की औपचारिक परिभाषा $S$ का सीमा घटक कहा जाता है $S$.

सामान्य परिभाषाएं
के लिए कई समान परिभाषाएं हैं एक उपसमुच्चय का $$S \subseteq X$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस $$X,$$ जिसे द्वारा दर्शाया जाएगा $$\partial_X S,$$ $$\operatorname{Bd}_X S,$$ या केवल $$\partial S$$ यदि $$X$$ विदित है: यह क्लोजर (टोपोलॉजी) है $$S$$ का आंतरिक (टोपोलॉजी) घटाव सेट करें $$S$$ में $$X$$: $$\partial S ~:=~ \overline{S} \setminus \operatorname{int}_X S$$ कहाँ पे $$\overline{S} = \operatorname{cl}_X S$$ के क्लोजर (टोपोलॉजी) को दर्शाता है $$S$$ में $$X$$ तथा $$\operatorname{int}_X S$$ आंतरिक (टोपोलॉजी) को दर्शाता है $$S$$ में $$X.$$  यह बंद होने का चौराहा है $$S$$ इसके पूरक (सेट सिद्धांत) के बंद होने के साथ: $$\partial S ~:=~ \overline{S} \cap \overline{(X \setminus S)}$$ यह बिंदुओं का समूह है $$p \in X$$ ऐसा है कि हर पड़ोस (टोपोलॉजी) $$p$$ कम से कम एक बिंदु शामिल है $$S$$ और कम से कम एक बिंदु नहीं $$S$$: $$\partial S ~:=~ \{ p \in X : \text{ for every neighborhood } O \text{ of } p, \ O \cap S \neq \varnothing \,\text{ and }\, O \cap (X \setminus S) \neq \varnothing \}.$$ 

ए किसी समुच्चय का अर्थ उस समुच्चय की सीमा के किसी भी अवयव से है। सीमा $$\partial_X S$$ ऊपर परिभाषित को कभी-कभी समुच्चय कहा जाता है  इसे अन्य समान रूप से नामित धारणाओं से अलग करने के लिए जैसे कि सीमा के साथ कई गुना की सीमा या कोनों के साथ कई गुना की सीमा, बस कुछ उदाहरण देने के लिए।

गुण
एक सेट का बंद होना $$S$$ इसकी सीमा के साथ समुच्चय के मिलन के बराबर है: $$\overline{S} = S \cup \partial_X S$$ कहाँ पे $$\overline{S} = \operatorname{cl}_X S$$ के क्लोजर (टोपोलॉजी) को दर्शाता है $$S$$ में $$X.$$ एक सेट अगर और केवल तभी बंद होता है जब उसकी सीमा होती है, और अगर और केवल तभी खुलता है जब वह अपनी सीमा से अलग होता है। एक सेट की सीमा बंद सेट है; यह सूत्र से इस प्रकार है $$\partial_X S ~:=~ \overline{S} \cap \overline{(X \setminus S)},$$ जो व्यक्त करता है $$\partial_X S$$ के दो बंद उपसमुच्चयों के प्रतिच्छेदन के रूप में $$X.$$ (ट्राइकोटॉमी) किसी उपसमुच्चय को देखते हुए $$S \subseteq X,$$ के प्रत्येक बिंदु $$X$$ ठीक तीन सेटों में से एक में स्थित है $$\operatorname{int}_X S, \partial_X S,$$ तथा $$\operatorname{int}_X (X \setminus S).$$ अलग कहा, $$X ~=~ \left(\operatorname{int}_X S\right) \;\cup\; \left(\partial_X S\right) \;\cup\; \left(\operatorname{int}_X (X \setminus S)\right)$$ और ये तीनों समुच्चय जोड़ीवार असंयुक्त हैं। नतीजतन, अगर ये सेट खाली नहीं हैं तब वे के समुच्चय का विभाजन बनाते हैं $$X.$$ एक बिंदु $$p \in X$$ एक सेट का एक सीमा बिंदु है यदि और केवल यदि प्रत्येक पड़ोस $$p$$ सेट में कम से कम एक बिंदु होता है और कम से कम एक बिंदु सेट में नहीं होता है। समुच्चय के आंतरिक भाग की सीमा और समुच्चय के बंद होने की सीमा दोनों ही समुच्चय की सीमा में समाहित हैं।

 एक उपसमुच्चय के विभिन्न बिंदुओं के बीच संबंधों को दर्शाने वाला संकल्पनात्मक वेन आरेख $$S$$ का $$\R^n.$$ $$A$$ = सीमा बिंदुओं का सेट $$S,$$ $$B = $$ सीमा बिंदुओं का सेट $$S,$$ क्षेत्र छायांकित हरा = के आंतरिक बिंदुओं का समुच्चय $$S,$$ क्षेत्र छायांकित पीला = के पृथक बिंदुओं का समुच्चय $$S,$$ क्षेत्र छायांकित काला = खाली सेट। का हर बिंदु $$S$$ या तो एक आंतरिक बिंदु या एक सीमा बिंदु है। इसके अलावा, के हर बिंदु $$S$$ या तो एक संचय बिंदु या एक पृथक बिंदु है। इसी तरह, हर सीमा बिंदु $$S$$ या तो एक संचय बिंदु या एक पृथक बिंदु है। पृथक बिंदु हमेशा सीमा बिंदु होते हैं। 

लक्षण और सामान्य उदाहरण
एक सेट की सीमा सेट के पूरक की सीमा के बराबर है: $$\partial_X S = \partial_X (X \setminus S).$$ एक सेट $$U$$ का एक सघन उपसमुच्चय है। का खुला समुच्चय उपसमुच्चय है $$X$$ अगर और केवल अगर $$\partial_X U = X \setminus U.$$ बंद समुच्चय की सीमा का आंतरिक भाग रिक्त समुच्चय है। नतीजतन, एक सेट के बंद होने की सीमा का आंतरिक भाग खाली सेट है। किसी खुले समुच्चय की सीमा का आंतरिक भाग भी रिक्त समुच्चय ही होता है। नतीजतन, एक सेट के इंटीरियर की सीमा का आंतरिक भाग खाली सेट है। विशेष रूप से, यदि $$S \subseteq X$$ का एक बंद या खुला उपसमुच्चय है $$X$$ तब कोई गैर-रिक्त उपसमुच्चय मौजूद नहीं है $$U \subseteq \partial_X S$$ ऐसा है कि $$U$$ का एक खुला उपसमुच्चय भी है $$X.$$ यह तथ्य नोव्हेयर डेंस सेट, मेगर सेट और बेयर स्पेस की परिभाषा और उपयोग के लिए महत्वपूर्ण है।

एक समुच्चय किसी खुले समुच्चय की सीमा है यदि और केवल यदि वह बंद है और कहीं भी सघन समुच्चय नहीं है। एक सेट की सीमा खाली होती है यदि और केवल तभी जब सेट बंद और खुला दोनों हो (अर्थात, एक क्लॉपेन सेट)।

ठोस उदाहरण
वास्तविक रेखा पर विचार करें $$\R$$ सामान्य टोपोलॉजी के साथ (अर्थात टोपोलॉजी जिसका आधार (टोपोलॉजी) खुले अंतराल हैं) और $$\Q,$$ परिमेय संख्याओं का उपसमुच्चय (जिसका आंतरिक (टोपोलॉजी) in $$\R$$ खाली है)। फिर

ये अंतिम दो उदाहरण इस तथ्य को स्पष्ट करते हैं कि खाली आंतरिक भाग वाले घने समुच्चय की सीमा उसका बंद होना है। वे यह भी दिखाते हैं कि यह सीमा के लिए संभव है $$\partial S$$ एक उपसमुच्चय का $$S$$ का एक गैर-रिक्त खुला उपसमुच्चय समाहित करने के लिए $$X := \R$$; वह है, के इंटीरियर के लिए $$\partial S$$ में $$X$$ खाली न होना। हालांकि, एक उपसमुच्चय की सीमा में हमेशा एक खाली आंतरिक भाग होता है।
 * $$\partial (0,5) = \partial [0,5) = \partial (0,5] = \partial [0,5] = \{0, 5\}$$
 * $$\partial \varnothing= \varnothing$$
 * $$\partial \Q = \R$$
 * $$\partial (\Q \cap [0, 1]) = [0, 1]$$

सामान्य टोपोलॉजी के साथ परिमेय संख्याओं के स्थान में ( . का उप-स्थान टोपोलॉजी) $$\R$$), की सीमा $$(-\infty, a),$$ कहाँ पे $$a$$ तर्कहीन है, खाली है।

एक सेट की सीमा एक टोपोलॉजी धारणा है और यदि कोई टोपोलॉजी बदलता है तो बदल सकता है। उदाहरण के लिए, सामान्य टोपोलॉजी को देखते हुए $$\R^2,$$ एक बंद डिस्क की सीमा $$\Omega = \left\{(x, y) : x^2 + y^2 \leq 1 \right\}$$ डिस्क के आसपास का चक्र है: $$\partial \Omega = \left\{(x, y) : x^2 + y^2 = 1 \right\}.$$ यदि डिस्क को एक सेट के रूप में देखा जाता है $$\R^3$$ अपनी सामान्य टोपोलॉजी के साथ, अर्थात्, $$\Omega = \left\{(x, y, 0) : x^2 + y^2 \leq 1 \right\},$$ तब डिस्क की सीमा डिस्क ही है: $$\partial \Omega = \Omega.$$ यदि डिस्क को अपने स्वयं के टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में देखा जाता है (उप-स्थान टोपोलॉजी के साथ) $$\R^2$$), तो डिस्क की सीमा खाली है।

खुली गेंद बनाम उसके आसपास के गोले की सीमा
यह उदाहरण दर्शाता है कि त्रिज्या की एक खुली गेंद की टोपोलॉजिकल सीमा $$r > 0$$ है आवश्यक रूप से त्रिज्या के संगत गोले के बराबर है $$r$$ (एक ही बिंदु पर केंद्रित); यह यह भी दर्शाता है कि त्रिज्या की एक खुली गेंद का बंद होना $$r > 0$$ है  आवश्यक रूप से त्रिज्या की बंद गेंद के बराबर है $$r$$ (फिर से उसी बिंदु पर केंद्रित)। सामान्य यूक्लिडियन मीट्रिक को निरूपित करें $$\R^2$$ द्वारा $$d((a, b), (x, y)) := \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}$$ जो प्रेरित करता है $$\R^2$$ सामान्य यूक्लिडियन टोपोलॉजी। होने देना $$X \subseteq \R^2$$ के संघ को निरूपित करें $$y$$-एक्सिस $$Y := \{ 0 \} \times \R$$ यूनिट सर्कल के साथ $$S^1 := \left\{ p \in \R^2 : d(p, \mathbf{0}) = 1 \right\} = \left\{ (x, y) \in \R^2 : x^2 + y^2 = 1 \right\}$$ मूल पर केंद्रित $$\mathbf{0} := (0, 0) \in \R^2$$; वह है, $$X := Y \cup S^1,$$ जो का एक टोपोलॉजिकल सबस्पेस है $$\R^2$$ जिसकी टोपोलॉजी मीट्रिक के (प्रतिबंध) द्वारा प्रेरित के बराबर है $$d.$$ विशेष रूप से, सेट $$Y, S^1, Y \cap S^1 = \{ (0, \pm 1) \},$$ तथा $$\{ 0 \} \times [-1, 1]$$ सभी बंद उपसमुच्चय हैं $$\R^2$$ और इस प्रकार इसके उप-स्थान के उपसमुच्चय भी बंद हो गए $$X.$$ इसके बाद, जब तक कि यह स्पष्ट रूप से अन्यथा इंगित न हो, प्रत्येक खुली गेंद, बंद गेंद और गोले को मूल बिंदु पर केंद्रित माना जाना चाहिए। $$\mathbf{0} = (0, 0)$$ और इसके अलावा, केवल मीट्रिक स्थान $$(X, d)$$ माना जाएगा (और इसके सुपरस्पेस नहीं $$(\R^2, d)$$); यह एक पथ से जुड़ा हुआ स्थान है | पथ से जुड़ा और स्थानीय रूप से पथ से जुड़ा पूर्ण मीट्रिक स्थान।

त्रिज्या की खुली गेंद को निरूपित करें $$r > 0$$ में $$(X, d)$$ द्वारा $$B_r := \left\{ p \in X : d(p, \mathbf{0}) < r \right\}$$ ताकि जब $$r = 1$$ फिर $$B_1 = \{ 0 \} \times (-1, 1)$$ का खुला उप-अंतराल है $$y$$-अक्ष सख्ती से $$y = -1$$ तथा $$y = 1.$$ इकाई क्षेत्र. में $$(X, d)$$ (इकाई का अर्थ है कि इसकी त्रिज्या है $$r = 1$$) है $$\left\{ p \in X : d(p, \mathbf{0}) = 1 \right\} = S^1$$ जबकि बंद इकाई गेंद in $$(X, d)$$ खुली इकाई गेंद का मिलन है और इसी बिंदु पर केंद्रित इकाई क्षेत्र है: $$\left\{ p \in X : d(p, \mathbf{0}) \leq 1 \right\} = S^1 \cup \left(\{ 0 \} \times [-1, 1]\right).$$ हालांकि, टोपोलॉजिकल सीमा $$\partial_X B_1$$ और टोपोलॉजिकल क्लोजर $$\operatorname{cl}_X B_1$$ में $$X$$ ओपन यूनिट बॉल का $$B_1$$ हैं: $$\partial_X B_1 = \{ (0, 1), (0, -1) \} \quad \text{ and } \quad \operatorname{cl}_X B_1 ~=~ B_1 \cup \partial_X B_1 ~=~ B_1 \cup\{ (0, 1), (0, -1) \} ~=~\{ 0 \} \times [-1, 1].$$ विशेष रूप से, ओपन यूनिट बॉल की टोपोलॉजिकल बाउंड्री $$\partial_X B_1 = \{ (0, 1), (0, -1) \}$$ एक है इकाई क्षेत्र का सबसेट $$\left\{ p \in X : d(p, \mathbf{0}) = 1 \right\} = S^1$$ में $$(X, d).$$ और ओपन यूनिट बॉल का टोपोलॉजिकल क्लोजर $$\operatorname{cl}_X B_1 = B_1 \cup \{ (0, 1), (0, -1) \}$$ बंद इकाई गेंद का एक उचित उपसमुच्चय है $$\left\{ p \in X : d(p, \mathbf{0}) \leq 1 \right\} = S^1 \cup \left(\{ 0 \} \times [-1, 1]\right)$$ में $$(X, d).$$ बिंदु $$(1, 0) \in X,$$ उदाहरण के लिए, से संबंधित नहीं हो सकता $$\operatorname{cl}_X B_1$$ क्योंकि इसमें कोई क्रम मौजूद नहीं है $$B_1 = \{ 0 \} \times (-1, 1)$$ जो उसमें समा जाता है; एक ही तर्क यह भी समझाने के लिए सामान्यीकृत करता है कि कोई बिंदु क्यों नहीं है $$X$$ बंद उप-अंतराल के बाहर $$\{ 0 \} \times [-1, 1]$$ का है $$\operatorname{cl}_X B_1.$$ क्योंकि सेट की टोपोलॉजिकल सीमा $$B_1$$ हमेशा का एक सबसेट है $$B_1$$का समापन, यह इस प्रकार है $$\partial_X B_1$$ का एक सबसेट भी होना चाहिए $$\{ 0 \} \times [-1, 1].$$ किसी भी मीट्रिक स्थान में $$(M, \rho),$$ टोपोलॉजिकल सीमा $$M$$ त्रिज्या की एक खुली गेंद का $$r > 0$$ एक बिंदु पर केंद्रित $$c \in M$$ हमेशा त्रिज्या के गोले का एक उपसमुच्चय होता है $$r$$ उसी बिंदु पर केंद्रित $$c$$; वह है, $$\partial_M \left(\left\{ m \in M : \rho(m, c) < r \right\}\right) ~\subseteq~ \left\{ m \in M : \rho(m, c)= r \right\}$$ हमेशा धारण करता है।

इसके अलावा, इकाई क्षेत्र $$(X, d)$$ रोकना $$X \setminus Y = S^1 \setminus \{ (0, \pm 1) \},$$ जो का एक खुला उपसमुच्चय है $$X.$$ यह दिखाता है, विशेष रूप से, कि इकाई क्षेत्र $$\left\{ p \in X : d(p, \mathbf{0}) = 1 \right\}$$ में $$(X, d)$$ इसमें शामिल है a का भाग $$X.$$

सीमा की सीमा
किसी भी सेट के लिए $$S, \partial S \supseteq \partial\partial S,$$ जहां List_of_mathematical_symbols_by_subject#Set_relations|$$\,\supseteq\,$$समानता धारण के साथ सुपरसेट को दर्शाता है यदि और केवल यदि की सीमा $$S$$ कोई आंतरिक बिंदु नहीं है, जो उदाहरण के लिए होगा यदि $$S$$ या तो बंद है या खुला है। चूँकि समुच्चय की परिसीमा बन्द है, $$\partial \partial S = \partial \partial \partial S$$ किसी भी सेट के लिए $$S.$$ सीमा संचालिका इस प्रकार एक कमजोर प्रकार की निष्क्रियता को संतुष्ट करती है।

मैनिफोल्ड्स या सिम्प्लेक्स की सीमाओं और उनके सरल परिसरों पर चर्चा करते हुए, अक्सर यह कहा जाता है कि सीमा की सीमा हमेशा खाली होती है। वास्तव में, एकवचन गृहविज्ञान का निर्माण इसी तथ्य पर समालोचनात्मक रूप से टिका हुआ है। स्पष्ट असंगति के लिए स्पष्टीकरण यह है कि टोपोलॉजिकल सीमा (इस लेख का विषय) कई गुना या एक साधारण परिसर की सीमा से थोड़ी अलग अवधारणा है। उदाहरण के लिए, एक खुली डिस्क की सीमा जिसे मैनिफोल्ड के रूप में देखा जाता है, खाली है, जैसा कि इसकी टोपोलॉजिकल सीमा को स्वयं के सबसेट के रूप में देखा जाता है, जबकि इसकी टोपोलॉजिकल सीमा को वास्तविक विमान के सबसेट के रूप में देखा जाता है, जो डिस्क के आसपास का सर्कल है। इसके विपरीत, एक बंद डिस्क की सीमा जिसे मैनिफोल्ड के रूप में देखा जाता है, बाउंडिंग सर्कल है, जैसा कि इसकी टोपोलॉजिकल सीमा को वास्तविक विमान के सबसेट के रूप में देखा जाता है, जबकि इसकी टोपोलॉजिकल सीमा को स्वयं के सबसेट के रूप में देखा जाता है। विशेष रूप से, टोपोलॉजिकल सीमा परिवेश स्थान पर निर्भर करती है, जबकि कई गुना की सीमा अपरिवर्तनीय होती है।

यह भी देखें

 * अधिक विवरण के लिए टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड में सीमा की चर्चा देखें।
 * , माप-सैद्धांतिक लक्षण वर्णन और सीमा के गुणों के लिए
 * , माप-सैद्धांतिक लक्षण वर्णन और सीमा के गुणों के लिए
 * , माप-सैद्धांतिक लक्षण वर्णन और सीमा के गुणों के लिए
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