द्विरेखीय प्रतिचित्रण

गणित में, एक द्विरेखीय मानचित्र एक फलन (गणित) है जो दो सदिश समष्टियों के तत्वों को मिलाकर तीसरे सदिश समष्टि का एक अवयव प्राप्त करता है, और इसके प्रत्येक तर्कों में एक रेखीय मानचित्र होता है। मैट्रिक्स गुणा एक उदाहरण है।

वेक्टर रिक्त स्थान
होने देना $$V, W $$ और $$X$$ एक ही आधार क्षेत्र (गणित) पर तीन सदिश स्थान हो $$F$$. बिलिनियर मैप एक फंक्शन (गणित) है $$B : V \times W \to X$$ ऐसा कि सभी के लिए $$w \in W$$, वो नक्शा $$B_w$$ $$v \mapsto B(v, w)$$ से एक रेखीय मानचित्र है $$V$$ को $$X,$$ और सभी के लिए $$v \in V$$, वो नक्शा $$B_v$$ $$w \mapsto B(v, w)$$ से एक रेखीय मानचित्र है $$W$$ को $$X.$$ दूसरे शब्दों में, जब हम द्विरेखीय मानचित्र की पहली प्रविष्टि को स्थिर रखते हैं जबकि दूसरी प्रविष्टि को बदलते हैं, तो परिणाम एक रैखिक संकारक होता है, और इसी तरह जब हम दूसरी प्रविष्टि को स्थिर रखते हैं।

ऐसा नक्शा $$B$$ निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है।

अगर $$V = W$$ और हमारे पास है B(v, w) = B(w, v) सभी के लिए $$v, w \in V,$$ तब हम कहते हैं कि B सममित फलन है। यदि X आधार क्षेत्र F है, तो मानचित्र को द्विरेखीय रूप कहा जाता है, जिसका अच्छी तरह से अध्ययन किया जाता है (उदाहरण के लिए: स्केलर उत्पाद, आंतरिक उत्पाद और द्विघात रूप)।
 * किसी के लिए $$\lambda \in F$$, $$B(\lambda v,w) = B(v, \lambda w) = \lambda B(v, w).$$
 * वो नक्शा $$B$$ दोनों घटकों में योज्य है: यदि $$v_1, v_2 \in V$$ और $$w_1, w_2 \in W,$$ तब $$B(v_1 + v_2, w) = B(v_1, w) + B(v_2, w)$$ और $$B(v, w_1 + w_2) = B(v, w_1) + B(v, w_2).$$

मॉड्यूल
परिभाषा बिना किसी बदलाव के काम करती है यदि एक फ़ील्ड F पर वेक्टर रिक्त स्थान के बजाय, हम एक क्रमविनिमेय अंगूठी  R पर मॉड्यूल (गणित) का उपयोग करते हैं। यह n-ary फ़ंक्शंस के लिए सामान्यीकरण करता है, जहाँ उचित शब्द बहुरेखीय नक्शा है।

गैर-कम्यूटेटिव रिंग आर और एस के लिए, एक बायां आर-मॉड्यूल एम और एक दायां एस-मॉड्यूल एन, एक बिलिनियर मैप एक मैप है B : M × N → T टी के साथ (R, S)-बिमॉड्यूल, और जिसके लिए N में कोई n, m ↦ B(m, n) एक आर-मॉड्यूल समरूपता है, और एम में किसी भी एम के लिए, n ↦ B(m, n) एक एस-मॉड्यूल समरूपता है। यह संतुष्ट करता है


 * बी (आर ⋅ एम, एन) = आर ⋅ बी (एम, एन)
 * बी (एम, एन ⋅ एस) = बी (एम, एन) ⋅ एस

एम में सभी एम के लिए, एन में एन, आर में आर और एस में एस, साथ ही बी प्रत्येक तर्क में योगात्मक नक्शा है।

गुण
परिभाषा का एक तात्कालिक परिणाम यह है कि B(v, w) = 0X जब कभी भी v = 0V या w = 0W. इसे शून्य वेक्टर 0 लिखकर देखा जा सकता हैV जैसा 0 ⋅ 0V (और इसी तरह 0 के लिएW) और रैखिकता द्वारा स्केलर 0 को बी के सामने, बाहर ले जाना।

सेट {{nowrap|L(V, W; X)}सभी द्विरेखीय नक्शों में से } अंतरिक्ष का एक रेखीय उपस्थान है (अर्थात सदिश स्थान, मॉड्यूल (गणित)) से सभी नक्शों का V × W एक्स में।

यदि वी, डब्ल्यू, एक्स परिमित-आयामी हैं, तो ऐसा है L(V, W; X). के लिए $$X = F,$$ अर्थात् द्विरेखीय रूप, इस स्थान का आयाम है dim V × dim W (जबकि अंतरिक्ष {{nowrap|L(V × W; F)}रैखिक रूपों का } आयाम का है dim V + dim W). इसे देखने के लिए, V और W के लिए एक आधार (रैखिक बीजगणित) चुनें; तब प्रत्येक बिलिनियर मानचित्र को मैट्रिक्स द्वारा विशिष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है B(ei, fj), और इसके विपरीत। अब, यदि X उच्च आयाम का स्थान है, तो हमारे पास स्पष्ट रूप से है dim L(V, W; X) = dim V × dim W × dim X.

उदाहरण

 * मैट्रिक्स (गणित) एक द्विरेखीय मानचित्र है M(m, n) × M(n, p) → M(m, p).
 * यदि एक सदिश स्थान V वास्तविक संख्याओं से अधिक है $$\R$$ एक आंतरिक उत्पाद स्थान रखता है, फिर आंतरिक उत्पाद एक बिलिनियर मानचित्र है $$V \times V \to \R.$$ उत्पाद वेक्टर स्थान का एक आयाम है।
 * सामान्य तौर पर, फ़ील्ड F पर सदिश समष्टि V के लिए, V पर द्विरेखीय रूप द्विरेखीय मानचित्र के समान होता है V × V → F.
 * यदि V दोहरी समष्टि V के साथ एक सदिश समष्टि है∗, फिर एप्लिकेशन ऑपरेटर, b(f, v) = f(v) से एक द्विरेखीय नक्शा है V∗ × V आधार क्षेत्र के लिए।
 * मान लीजिए V और W एक ही आधार क्षेत्र F पर सदिश समष्टियाँ हैं। यदि f, V का एक सदस्य है∗ और g W के सदस्य हैं∗, फिर b(v, w) = f(v)g(w) बिलिनियर मैप को परिभाषित करता है V × W → F.
 * क्रॉस उत्पाद में $$\R^3$$ द्विरेखीय मानचित्र है $$\R^3 \times \R^3 \to \R^3.$$
 * होने देना $$B : V \times W \to X$$ एक द्विरेखीय नक्शा हो, और $$L : U \to W$$ एक रेखीय नक्शा हो, तो (v, u) ↦ B(v, Lu) एक द्विरेखीय मानचित्र है V × U.

निरंतरता और अलग निरंतरता
कल्पना करना $$X, Y, \text{ and } Z$$ टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस हैं और चलो $$b : X \times Y \to Z$$ एक बिलिनियर मानचित्र बनें। तो बी कहा जाता है ' यदि निम्न दो शर्तें लागू होती हैं:
 * 1) सभी के लिए $$x \in X,$$ वो नक्शा $$Y \to Z$$ द्वारा दिए गए $$y \mapsto b(x, y)$$ निरंतर है;
 * 2) सभी के लिए $$y \in Y,$$ वो नक्शा $$X \to Z$$ द्वारा दिए गए $$x \mapsto b(x, y)$$ निरंतर है।

कई अलग-अलग निरंतर द्विरेखीय जो निरंतर नहीं हैं, एक अतिरिक्त संपत्ति को संतुष्ट करते हैं: hypocontinuity सभी निरंतर बिलिनियर मानचित्र हाइपोकॉन्टिनस होते हैं।

निरंतरता के लिए पर्याप्त शर्तें
व्यवहार में पाए जाने वाले अनेक द्विरेखीय मानचित्र अलग-अलग निरंतर होते हैं लेकिन सभी निरंतर नहीं होते हैं। हम यहां अलग से निरंतर बिलिनियर के निरंतर होने के लिए पर्याप्त शर्तें सूचीबद्ध करते हैं।


 * यदि X एक बाहर की जगह है और Y metrizable  है तो प्रत्येक अलग से लगातार बिलिनियर मैप $$b : X \times Y \to Z$$ निरंतर है।
 * अगर $$X, Y, \text{ and } Z$$ फ्रेचेट रिक्त स्थान के मजबूत दोहरे हैं तो प्रत्येक अलग-अलग निरंतर द्विरेखीय मानचित्र $$b : X \times Y \to Z$$ निरंतर है।
 * यदि एक द्विरेखीय मानचित्र (0, 0) पर निरंतर है तो यह हर जगह निरंतर है।

रचना मानचित्र
होने देना $$X, Y, \text{ and } Z$$ हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान को स्थानीय रूप से उत्तल करें और दें $$C : L(X; Y) \times L(Y; Z) \to L(X; Z)$$ द्वारा परिभाषित रचना मानचित्र हो $$C(u, v) := v \circ u.$$ सामान्य तौर पर, द्विरेखीय नक्शा $$C$$ निरंतर नहीं है (इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि रेखीय मानचित्रों के स्थान क्या हैं)। हालाँकि, हमारे पास निम्नलिखित परिणाम हैं:

रैखिक मानचित्रों के सभी तीन स्थानों को निम्नलिखित सांस्थितियों में से एक दें:
 * 1) तीनों को परिबद्ध अभिसरण की टोपोलॉजी दें;
 * 2) तीनों को कॉम्पैक्ट अभिसरण की टोपोलॉजी दें;
 * 3) तीनों को बिंदुवार अभिसरण की टोपोलॉजी दें।


 * अगर $$E$$ का एक समानान्तर उपसमुच्चय है $$L(Y; Z)$$ फिर प्रतिबंध $$C\big\vert_{L(X; Y) \times E} : L(X; Y) \times E \to L(X; Z)$$ सभी तीन टोपोलॉजी के लिए निरंतर है।
 * अगर $$Y$$ एक बैरल वाली जगह है तो हर क्रम के लिए $$\left(u_i\right)_{i=1}^{\infty}$$ में अभिसरण $$u$$ में $$L(X; Y)$$ और हर क्रम $$\left(v_i\right)_{i=1}^{\infty}$$ में अभिसरण $$v$$ में $$L(Y; Z),$$ क्रम $$\left(v_i \circ u_i\right)_{i=1}^{\infty}$$ में विलीन हो जाता है $$v \circ u$$ में $$L(Y; Z).$$