बीजगणितीय फलन

गणित में, बीजगणितीय फलन एक ऐसा फलन (गणित) होता है जिसे बहुपद समीकरण  के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। अधिकांश बीजगणितीय फलन बीजगणितीय व्यंजक होते हैं, जिनमें शब्दों की  सीमित संख्या का प्रयोग किया जाता है, इसमें केवल बीजगणितीय संक्रियाएँ जोड़, घटाव, गुणा, भाग और एक भिन्नात्मक शक्ति तक उठाना सम्मालित होता है। ऐसे फलनों के उदाहरण हैं: चूंकि, कुछ बीजगणितीय फलनों को ऐसे परिमित भावों द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता है (यह एबेल-रफ़िनी प्रमेय है)। उदाहरण के लिए,  प्रस्तुत करना मौलिक  के लिए, जो कि फलन निहित फलन द्वारा परिभाषित है
 * $$f(x) = 1/x$$
 * $$f(x) = \sqrt{x}$$
 * $$f(x) = \frac{\sqrt{1 + x^3}}{x^{3/7} - \sqrt{7} x^{1/3}}$$


 * $$f(x)^5+f(x)+x = 0$$.

अधिक उपयुक्त शब्दों में, एक चर $x$ में घात $n$ का एक बीजगणितीय फलन $$y = f(x),$$एक फलन है जो अपने क्षेत्र में सतत फलन है और एक बहुपद समीकरण को संतुष्ट करता है


 * $$a_n(x)y^n+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots+a_0(x)=0$$

जहां गुणांक $a_{i}(x)$ पूर्णांक गुणांक वाले x के बहुपद फलन हैं, यह दिखाया जा सकता है कि $a_{i}(x)$ के गुणांकों के लिए बीजगणितीय संख्याओं को स्वीकार करने पर फलनों की एक ही श्रेणी प्राप्त होता है। यदि गुणांक में अनुवांशिक संख्याएँ होती हैं, तो फलन सामान्यतः बीजगणितीय नहीं होता है, लेकिन यह इन गुणांकों द्वारा उत्पन्न क्षेत्र (गणित) पर बीजगणितीय होता है।

एक परिमेय संख्या पर एक बीजीय फलन का मान, और अधिक सामान्यतः, एक बीजगणितीय संख्या पर हमेशा एक बीजगणितीय संख्या होती है।

कभी-कभी, गुणांक $$a_i(x)$$ जो एक वलय (गणित) $R$ पर बहुपद होते हैं पर विचार किया जाता है, और फिर $R$ बीजगणितीय फलनों के संबंध में बात करता है.

एक फलन जो बीजगणितीय नहीं है उसे अनुवांशिक फलन कहा जाता है, जैसा कि उदाहरण के लिए है $$\exp x, \tan x, \ln x, \Gamma(x)$$. अनुवांशिक फलनों की संरचना एक बीजगणितीय फलन दे सकती है:  $$f(x)=\cos \arcsin x = \sqrt{1-x^2}$$.

घात n के एक बहुपद समीकरण के रूप में n मूले हैं (और बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर बिल्कुल n मूले, जैसे कि सम्मिश्र संख्याएं), एक बहुपद समीकरण एक एकल फलन को स्पष्ट रूप से परिभाषित नहीं करता है, लेकिन n फलन तक, जिसे कभी-कभी शाखा कट भी कहा जाता है। उदाहरण के लिए इकाई वलय के समीकरण पर विचार करें:

$$y^2+x^2=1.\,$$

केवल एक समग्र चिह्न तक को छोड़कर यह y को निर्धारित करता है; तदनुसार, इसकी दो शाखाएँ हैं:

$$y=\pm \sqrt{1-x^2}.\,$$

m चर राशि में एक बीजगणितीय फलन समान रूप से एक फलन के रूप में परिभाषित किया गया है $$y=f(x_1,\dots ,x_m)$$ जो m + 1 चरों में एक बहुपद समीकरण को हल करता है:


 * $$p(y,x_1,x_2,\dots,x_m) = 0.$$

यह सामान्य रूप से माना जाता है कि p एक अलघुकरणीय बहुपद होना चाहिए। एक बीजगणितीय फलन के अस्तित्व की आश्वस्त निहित फलन प्रमेय द्वारा दी जाती है।

औपचारिक रूप से, क्षेत्र K पर m चरों में एक बीजगणितीय फलन परिमेय फलन K(x1, ..., xm) के क्षेत्र के बीजगणितीय समापन का एक तत्व है।

परिचय और समीक्षा
एक बीजगणितीय फलन की अनौपचारिक परिभाषा उनके गुणों के बारे में कई संकेत प्रदान करती है। एक सहज ज्ञान प्राप्त करने के लिए, बीजगणितीय फलनों को उन फलनों के रूप में मानने में सहायक हो सकता है जो सामान्य बीजगणितीय संचालनों द्वारा गठित किए जा सकते हैं: जोड़, गुणा, भाग (गणित), और nवां मूल निकालना। यह कुछ अतिसरलीकरण है; गैलोज़ सिद्धांत के मौलिक प्रमेय के कारण, बीजगणितीय फलनों को मौलिक द्वारा अभिव्यक्त करने की आवश्यकता नहीं है।

सबसे पहले, ध्यान दें कि कोई भी बहुपद फलन $$y = p(x)$$ एक बीजगणितीय फलन है, चूँकि यह समीकरण का हल केवल y है


 * $$ y-p(x) = 0.\,$$

अधिक सामान्यतः, कोई भी परिमेय फलन $$y=\frac{p(x)}{q(x)}$$ बीजगणितीय है, इसका हल है


 * $$q(x)y-p(x)=0.$$

इसके अतिरिक्त, किसी भी बहुपद की n वां मूल $y=\sqrt[n]{p(x)}$ एक बीजगणितीय फलन है, समीकरण को हल करने पर


 * $$y^n-p(x)=0.$$

आश्चर्यजनक रूप से, एक बीजगणितीय फलन का व्युत्क्रम फलन एक बीजगणितीय फलन होता है। मान लीजिए कि y इसका हल है


 * $$a_n(x)y^n+\cdots+a_0(x)=0,$$

x के प्रत्येक मान के लिए, तो x भी y के प्रत्येक मान के लिए इस समीकरण का एक हल है। निश्चित रूप से, x और y की भूमिकाओं को बदलने और शर्तों को एकत्रीकरण करने से,


 * $$b_m(y)x^m+b_{m-1}(y)x^{m-1}+\cdots+b_0(y)=0.$$

x को y के फलन के रूप में लिखने पर प्रतिलोम फलन मिलता है, और बीजगणितीय फलन भी मिलता है।

चूंकि, प्रत्येक फलन का व्युत्क्रम नहीं होता है। उदाहरण के लिए, y = x2 क्षैतिज रेखा परीक्षण में विफल रहता है: यह एक-से-एक फलन करने में विफल रहता है | प्रतिलोम $$x = \pm\sqrt{y}$$ एक बीजगणितीय फलन है.

इसे समझने का दूसरा विधि यह है कि हमारे बीजगणितीय फलन को परिभाषित करने वाले बहुपद समीकरण की शाखाओं का समुच्चय (गणित) एक बीजगणितीय वक्र का आलेख है।

सम्मिश्र संख्या की भूमिका
बीजगणितीय यथार्थ रूप से, बीजगणितीय फलनों के अध्ययन में सम्मिश्र संख्याएं अत्यन्त स्वाभाविक रूप से प्रवेश करती हैं। सबसे पहले, बीजगणित के मौलिक प्रमेय द्वारा, सम्मिश्र संख्याएं बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र हैं। इसलिए किसी भी बहुपद संबंध p(y, x) = 0 को प्रत्येक बिंदु x पर y के लिए कम से कम एक हल (और सामान्य रूप से y में p की घात से अधिक नहीं होने वाले हलो की संख्या) की प्रत्याभूति दी जाती है, चूंकि हम y सम्मिश्र और साथ ही वास्तविक संख्या मान को मानने की अनुमति दें। इस प्रकार, एक बीजगणितीय फलन के फलन के प्रभावक्षेत्र के साथ होने वाली समस्याओं को सुरक्षित रूप से कम किया जा सकता है।

इसके अतिरिक्त, भले ही कोई अंततः वास्तविक बीजगणितीय फलनों में रुचि रखता हो, सम्मिश्र संख्याओं का सहारा लिए बिना योग, गुणन, विभाजन और nवें मूल लेने के संदर्भ में फलन को व्यक्त करने का कोई साधन नहीं हो सकता (एक अपरिवर्तनीय मौका देखें) है। उदाहरण के लिए, समीकरण द्वारा निर्धारित बीजीय फलन पर विचार करें


 * $$y^3-xy+1=0.\,$$

घन सूत्र का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं



y=-\frac{2x}{\sqrt[3]{-108+12\sqrt{81-12x^3}}}+\frac{\sqrt[3]{-108+12\sqrt{81-12x^3}}}{6}. $$ $$x\le \frac{3}{\sqrt[3]{4}},$$ के लिये वर्गमूल वास्तविक है और घनमूल इस प्रकार अच्छी तरह से परिभाषित है, अद्वितीय वास्तविक मूल प्रदान करता है। दूसरी ओर, $$x>\frac{3}{\sqrt[3]{4}},$$ के लिए वर्गमूल वास्तविक नहीं है, और वर्गमूल के लिए या तो अवास्तविक वर्गमूल को चुनना होगा। इस प्रकार घनमूल को तीन अवास्तविक संख्याओं में से चुनना होता है। यदि सूत्र के दो पदों में समान विकल्प किए जाते हैं,घनमूल के लिए तीन विकल्प प्रतिबिम्ब में दिखाये गये है जो तीन शाखाएँ प्रदान करते हैं

यह सिद्ध किया जा सकता है कि केवल वास्तविक संख्याओं का प्रयोग करके nवें मूल के रूप में इस फलन को व्यक्त करने का कोई विधि नहीं है, भले ही परिणामी फलन दिखाए गए ग्राफ़ के क्षेत्र पर वास्तविक-मूल्यवान हो।

अधिक महत्वपूर्ण सैद्धांतिक स्तर पर, सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग करने से बीजगणितीय फलनों पर चर्चा करने के लिए सम्मिश्र विश्लेषण की प्रभावशाली तकनीकों का प्रयोग करने की अनुमति मिलती है। विशेष रूप से, तर्क सिद्धांत का प्रयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि कोई भी बीजगणितीय फलन वास्तव में कम से कम बहु-मूल्यवान अर्थों में एक विश्लेषणात्मक फलन है।

औपचारिक रूप से, p(x,-y) को सम्मिश्र चर x और y में एक सम्मिश्र बहुपद बनने दें। मान लो कि

x0 ∈ C ऐसा है कि y के बहुपद p(x0,-y) में n विशिष्ट शून्य हैं। हम दिखाएंगे कि बीजगणितीय फलन x0 के निकट (गणित) में विश्लेषणात्मक है। n गैर-अतिव्यापी चक्र Δi की एक प्रणाली चुनें जिसमें इनमें से प्रत्येक शून्य हो। फिर तर्क सिद्धांत द्वारा


 * $$\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial\Delta_i} \frac{p_y(x_0,y)}{p(x_0,y)}\,dy = 1.$$

निरंतरता से, यह x0 के निकट में सभी x के लिए भी लागू होता है. विशेष रूप से, p(x,-y) का Δi में केवल एक मूल है, जिसे अवशेष प्रमेय द्वारा दिया गया है:


 * $$f_i(x) = \frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial\Delta_i} y\frac{p_y(x,y)}{p(x,y)}\,dy$$

जो एक विश्लेषणात्मक फलन है।

मोनोड्रोमी
ध्यान दें कि विश्लेषणात्मकता के पूर्वगामी प्रमाण ने n विभिन्न 'फलन तत्वों' f (x) की एक प्रणाली के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त कीi परंतु x p(x, y) का 'महत्वपूर्ण बिंदु' नहीं है। एक महत्वपूर्ण बिंदु एक बिंदु है जहां अलग-अलग शून्यों की संख्या p की घात से कम होती है, और यह केवल वहीं होता है जहां p का उच्चतम घात शब्द गायब हो जाता है, और जहां विवेचक गायब हो जाता है। इसलिए ऐसे बहुत से बिंदु c1, ..., cm हैं.

महत्वपूर्ण बिंदुओं के पास फलन तत्वों fi  के गुणों का एक करीबी विश्लेषण यह दिखाने के लिए प्रयोग किया जा सकता है कि प्रमेय मोनोड्रोम महत्वपूर्ण बिंदुओं (और संभवतः अनंत पर बिंदु) पर फैला हुआ है। इस प्रकार fi का होलोमॉर्फिक फलन विस्तार में महत्वपूर्ण बिंदुओं पर सर्वाधिक गलत बीजगणितीय ध्रुव और सामान्य बीजगणितीय शाखाएँ हैं।

ध्यान दें कि, महत्वपूर्ण बिंदुओं से दूर, हमारे पास है


 * $$p(x,y) = a_n(x)(y-f_1(x))(y-f_2(x))\cdots(y-f_n(x))$$

चूंकि fi परिभाषा के अनुसार p के विशिष्ट शून्य हैं। मोनोड्रोमी समूह कारकों की अनुमति देकर कार्य करता है, और इस प्रकार p के गैलोज़ समूह के 'मोनोड्रोमी प्रतिनिधित्व' का निर्माण करता है। (सार्वभौमिक आवरण स्थान पर मोनोड्रोमी क्रिया संबंधित है लेकिन रीमैन सतहों के सिद्धांत में अलग धारणा है।)

इतिहास
बीजगणितीय फलनों के नजदीक के विचार कम से कम रेने डेसकार्टेस तक वापस जाते हैं। बीजगणितीय फलनों की पहली चर्चा एडवर्ड वारिंग के 1794 मानव ज्ञान के सिद्धांतों पर एक निबंध में हुई है जिसमें वे लिखते हैं:
 * कोटि को निरूपित करने वाली मात्रा को भुज x का बीजगणितीय फलन होने दें, मूलो के विभाजन और निष्कर्षण के सामान्य विधियों द्वारा, इसे x के आयामों के अनुसार इसे आरोही या अवरोही अनंत श्रृंखला में कम करें, और फिर प्रत्येक परिणामी पद का समाकल ज्ञात कीजिए।।

यह भी देखें

 * बीजगणतीय अभिव्यक्ति
 * विश्लेषणात्मक फलन
 * सम्मिश्र फलन
 * प्राथमिक फलन
 * समारोह (गणित)
 * सामान्यीकृत फलन
 * विशेष फलनों और नामों की सूची]]
 * फलनों के प्रकारों की सूची
 * बहुपद
 * तर्कसंगत फलन
 * विशेष फलन
 * ट्रान्सेंडैंटल फंक्शन

बाहरी संबंध

 * Definition of "Algebraic function" in the Encyclopedia of Math
 * Definition of "Algebraic function" in David J. Darling's Internet Encyclopedia of Science
 * Definition of "Algebraic function" in David J. Darling's Internet Encyclopedia of Science
 * Definition of "Algebraic function" in David J. Darling's Internet Encyclopedia of Science