अम्बिलिकल पॉइंट

तीन आयामों में सतहों की विभेदक ज्यामिति में, नाभि या नाभि बिंदु सतह पर बिंदु होते हैं जो स्थानीय रूप से गोलाकार होते हैं। ऐसे बिंदुओं पर सभी दिशाओं में सामान्य वक्रताएँ समान होती हैं, इसलिए, दोनों प्रमुख वक्रताएँ समान होती हैं, और प्रत्येक स्पर्शरेखा सदिश एक प्रमुख दिशा होती है। नाभि नाम लैटिन नाभि (नाभि) से आया है।

नाभि बिंदु आमतौर पर सतह के अण्डाकार क्षेत्र में पृथक बिंदुओं के रूप में होते हैं; यानी, जहां गाऊसी वक्रता धनात्मक है।

गोला गैर-शून्य वक्रता वाली एकमात्र सतह है जहां हर बिंदु नाभि है। सपाट नाभि शून्य गाऊसी वक्रता वाली नाभि है।  बंदर की काठी  समतल नाभि वाली सतह का  उदाहरण है और समतल (गणित) पर प्रत्येक बिंदु एक सपाट नाभि है।   टोरस्र्स  में नाभि नहीं हो सकती है, लेकिन यूक्लिडियन अंतरिक्ष में सुचारू रूप से एम्बेडेड गैर-शून्य यूलर विशेषता की प्रत्येक बंद सतह में कम से कम एक नाभि होती है। कॉन्स्टेंटिन कैराथियोडोरी के कैराथियोडोरी अनुमान में कहा गया है कि यूक्लिडियन अंतरिक्ष में हर चिकनी टोपोलॉजिकल क्षेत्र में कम से कम दो नाभि हैं।

नाभि बिंदुओं के तीन मुख्य प्रकार हैं अण्डाकार नाभि, परवलयिक नाभि और अतिशयोक्तिपूर्ण नाभि। अण्डाकार नाभि में तीन रिज (अंतर ज्यामिति) रेखाएँ होती हैं जो नाभि से होकर गुजरती हैं और अतिशयोक्तिपूर्ण नाभि में सिर्फ एक होती है। परवलयिक नाभि एक संक्रमणकालीन मामला है जिसमें दो लकीरें होती हैं जिनमें से विलक्षण होती है। संक्रमणकालीन मामलों के लिए अन्य विन्यास संभव हैं। ये मामले डी के अनुरूप हैं4-, डी5 और डी4+ रेने थॉम के आपदा सिद्धांत की प्रारंभिक तबाही।

नाभि को नाभि के चारों ओर प्रमुख दिशा सदिश क्षेत्र के पैटर्न द्वारा भी चित्रित किया जा सकता है जो आम तौर पर तीन विन्यासों में से एक का निर्माण करता है: तारा, नींबू, और लेमनस्टार (या मोनस्टार)। सदिश क्षेत्र के सदिश क्षेत्र का सूचकांक या तो −½ (तारा) या ½ (नींबू, मोनस्टार) है। अण्डाकार और परवलयिक नाभि में हमेशा तारा पैटर्न होता है, जबकि अतिशयोक्तिपूर्ण नाभि तारा, नींबू या मोनस्टार हो सकती है। यह वर्गीकरण पहले डार्बौक्स के कारण था और नाम हन्ने से आए थे।

पृथक नाभि के साथ जीनस (गणित) 0 वाली सतहों के लिए, उदाहरण दीर्घवृत्ताभ, मुख्य दिशा सदिश क्षेत्र का सूचकांक पॉइंकेयर-हॉफ प्रमेय द्वारा 2 होना चाहिए। सामान्य जीनस 0 सतहों में इंडेक्स ½ के कम से कम चार नाभि होते हैं। परिक्रमण के एक दीर्घवृत्त में दो गैर-जेनेरिक नाभि होते हैं जिनमें से प्रत्येक का सूचकांक 1 होता है।

इसलिए अण्डाकार फोकल सतह की प्रत्येक शीट में तीन पुच्छल किनारे होंगे जो नाभि पर एक साथ आते हैं और फिर दूसरी शीट पर स्विच करते हैं।

घन रूप
नाभि का वर्गीकरण वास्तविक घन रूपों $$a x^3 + 3 b x^2 y + 3 c x y^2 + d y^3$$ के वर्गीकरण से निकटता से जुड़ा हुआ है. क्यूबिक फॉर्म में कई मूल रेखाएँ $$\lambda (x,y)$$ होंगी  जैसे कि सभी वास्तविक $$\lambda$$ के लिए घन रूप  शून्य है. इसमें कई संभावनाएं हैं जिनमें निम्न शामिल हैं: एकसमान स्केलिंग के तहत ऐसे घनों की तुल्यता कक्षाएं त्रि-आयामी वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान बनाती हैं और परवलयिक रूपों का सबसेट एक सतह को परिभाषित करता है - जिसे क्रिस्टोफर ज़िमन द्वारा नाभि कंगन कहा जाता है। समन्वय प्रणाली के रोटेशन के तहत समतुल्य वर्ग लेना एक और पैरामीटर को हटा देता है और एक घन रूपों को जटिल घन रूप $$z^3+3 \overline{\beta} z^2 \overline{z} + 3 \beta z \overline{z}^2 + \overline{z}^3$$ से प्रदर्शित किया जा सकता है $$\beta=\tfrac{1}{3}(2 e^{i\theta}+e^{-2 i\theta})$$  जटिल पैरामीटर के साथ $$\beta$$. परवलयिक रूप तब होते हैं जब $$\left |\beta\right |=\tfrac{1}{3}$$, आंतरिक त्रिभुजाकार, अण्डाकार रूप त्रिभुजाकार के अंदर और अतिशयोक्तिपूर्ण एक बाहर हैं। अगर $$\left |\beta\right |=1$$ और $$\beta$$ एकता का घनमूल नहीं है तो घन रूप एक समकोण घन रूप है जो नाभि के लिए एक विशेष भूमिका निभाता है। अगर दो रूट लाइन ऑर्थोगोनल हैं।
 * तीन विशिष्ट रेखाएँ: अण्डाकार घन रूप, मानक मॉडल $$x^2 y-y^3$$.
 * तीन रेखाएँ, जिनमें से दो संपाती हैं: परवलयिक घन रूप, मानक मॉडल $$x^2 y$$.
 * एक वास्तविक रेखा: अतिशयोक्तिपूर्ण घन रूप, मानक मॉडल $$x^2 y+y^3$$.
 * तीन संपाती रेखाएँ, मानक मॉडल $$x^3$$.

एक दूसरा घन रूप, जैकोबियन सदिश मूल्य फलन के जैकोबियन निर्धारक को लेकर बनता है $$F : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$$, $$F(x,y)=(x^2+y^2,a x^3 + 3 b x^2 y + 3 c x y^2 + d y^3)$$. स्थिर गुणक तक यह घन रूप $$b x^3+(2 c-a)x^2 y+(d-2 b)x y^2-c y^3$$ है. जटिल संख्याओं का उपयोग करते हुए जब $$\beta=-2 e^{i\theta}-e^{-2 i\theta}$$, वर्गीकरण आरेख में बाहरी त्रिभुजाकार जैकोबियन परवलयिक घन रूप है ।

नाभि वर्गीकरण
उत्पत्ति पर एक पृथक नाभि बिंदु वाली कोई भी सतह को मोंज रूप पैरामीटराइजेशन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$z=\tfrac{1}{2}\kappa(x^2+y^2)+\tfrac{1}{3}(a x^3 + 3 b x^2 y + 3 c x y^2 + d y^3)+\ldots$$, जहाँ $$\kappa$$ अद्वितीय प्रमुख वक्रता है। नाभि के प्रकार को क्यूबिक भाग से क्यूबिक रूप और संबंधित जैकोबियन क्यूबिक फॉर्म द्वारा वर्गीकृत किया जाता है। जबकि मुख्य दिशाओं को नाभि पर विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं किया जाता है, जब सतह पर  रिज का अनुसरण करते हुए प्रमुख दिशाओं की सीमाएं पाई जा सकती हैं और ये घन रूप की जड़-रेखाओं के अनुरूप होती हैं। वक्रता रेखाओं का पैटर्न जैकोबियन द्वारा निर्धारित किया जाता है।

नाभि बिंदुओं का वर्गीकरण इस प्रकार है:


 * आंतरिक त्रिभुजाकार - अण्डाकार नाभि
 * आंतरिक वृत्त पर - दो रिज रेखाएँ स्पर्शरेखा
 * आंतरिक तिकोने भाग पर - परवलयिक नाभि
 * आंतरिक तिकोने भाग के बाहर - अतिपरवलयिक नाभि
 * बाहरी सर्कल के अंदर - स्टार पैटर्न
 * बाहरी घेरे पर - नाभि का जन्म
 * बाहरी सर्कल और बाहरी डेल्टॉइड के बीच - मोनस्टार पैटर्न
 * बाहरी डेल्टॉइड - लेमन पैटर्न
 * आंतरिक त्रिभुजाकार पुच्छल (विलक्षणता) - घन (प्रतीकात्मक) नाभि
 * विकर्णों और क्षैतिज रेखा पर - दर्पण समरूपता के साथ सममित नाभि

सतहों के एक सामान्य परिवार में नाभि को जोड़े में बनाया या नष्ट किया जा सकता है: नाभि संक्रमण का जन्म। दोनों नाभि अतिशयोक्तिपूर्ण होंगी, एक स्टार पैटर्न के साथ और  एक मोनस्टार पैटर्न के साथ। आरेख में बाहरी वृत्त, एक समकोण घन रूप, इन संक्रमणकालीन मामलों को देता है। प्रतीकात्मक नाभि इसका  विशेष मामला है।

फोकल सतह
अण्डाकार नाभि और अतिशयोक्तिपूर्ण नाभि में अलग-अलग फोकल सतह होती हैं। सतह पर रिज एक पुच्छल किनारों से मेल खाती है, इसलिए अण्डाकार फोकल सतह की प्रत्येक शीट में तीन पुच्छल किनारे होंगे जो नाभि पर एक साथ आते हैं और फिर दूसरी शीट पर स्विच करते हैं।  अतिशयोक्तिपूर्ण नाभि के लिए  एकल पुच्छल किनारा होता है जो एक शीट से दूसरी शीट पर स्विच करता है।

रिमेंनियन सबमेनिफोल्ड में उच्च आयाम में परिभाषा
रीमैनियन सबमेनिफोल्ड में एक बिंदु p नाभि है यदि, p पर, (वेक्टर-मूल्यवान) दूसरा मौलिक रूप कुछ सामान्य वेक्टर टेन्सर प्रेरित मीट्रिक (पहला मौलिक रूप) है। सामान्यतः, सभी सदिशों के लिए U, V at p, II(U, V) = gp(यू, वी)$$\nu$$, जहाँ $$\nu$$ पी पर औसत वक्रता वेक्टर है।

सबमेनिफोल्ड को नाभि (या ऑल-नाम्बिलिक) कहा जाता है यदि यह स्थिति प्रत्येक बिंदु p पर होती है। यह कहने के बराबर है कि आसपास के (परिवेश) मैनिफोल्ड के मीट्रिक के उपयुक्त अनुरूप परिवर्तन द्वारा सबमनीफोल्ड को पूरी तरह से जियोडेसिक बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन अंतरिक्ष में  सतह नाभि है अगर और केवल अगर यह एक गोले का टुकड़ा है।

यह भी देखें

 * विक्ट: नाभि - एक संरचनात्मक शब्द जिसका अर्थ है, या नाभि से संबंधित

संदर्भ

 * Pictures of star, lemon, monstar, and further references
 * Pictures of star, lemon, monstar, and further references