अनुक्रमिक स्थान

सांस्थिति और संबंधित गणित के क्षेत्र में, एक अनुक्रमिक स्थान एक सांस्थितिक स्थान होता है जिसकी सांस्थिति को पूरी तरह से उसके आसन्न/विसर्ग सरणियों के द्वारा वर्णन किया जा सकता है। इन्हें एक बहुत ही कमजोर गणनीयता का अभिकरण माना जा सकता है, और सभी प्रथम-गणनीय स्थान अनुक्रमिक होते हैं। किसी भी सांस्थिति स्थान ($$(X, \tau),$$) में, यदि एक आसन्न सरणी किसी संवृत्त समुच्चय $$C,$$  में समाविष्ट है, तो उस सरणी का सीमा भी $$C,$$ में होना चाहिए।

अनुक्रमिक रिक्त स्थान वास्तव में वे सांस्थितिक रिक्त स्थान हैं जिनके लिए क्रमिक रूप से संवृत्त समुच्चय वास्तव में संवृत्त हैं। इन परिभाषाओं को क्रमिक रूप से विवृत्त समुच्चयों के संदर्भ में भी पुनरावर्तित किया जा सकता है दूसरे शब्दों मे कहे तो, किसी भी सांस्थिति  को नेट के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है, लेकिन वे अनुक्रम बहुत लंबे हो सकते हैं एक अनुक्रम में संपीड़ित करने के लिए अनुक्रमिक रिक्त स्थान वे सांस्थितिक रिक्त स्थान हैं जिनके लिए गणनीय लंबाई के जाल अर्थात अनुक्रम सांस्थिति का वर्णन करने के लिए पर्याप्त हैं।

किसी भी सांस्थिति को एक अनुक्रमिक सांस्थिति के लिए संशोधित किया जा सकता है, जिसे $$X.$$ का अनुक्रमिक परावर्तन कहा जाता है।

फ़्रेचेट-उरीसोहन रिक्त स्थान, $T$-अनुक्रमिक रिक्त स्थान, और की संबंधित अवधारणाएँ $$N$$-अनुक्रमिक रिक्त स्थान को इस संदर्भ में भी परिभाषित किया जाता है कि किसी स्थान की सांस्थिति अनुक्रमों के साथ कैसे प्रभावित करती है, परंतु इसमें सूक्ष्म रूप से भिन्न गुण होते हैं।

एस. पी. फ्रैंकलिन ने अनुक्रमिक स्थान और N-अनुक्रमिक स्थान को प्रस्तुत किया था।.

इतिहास
यद्यपि ऐसे गुणों को साधने वाले स्थानों का अध्ययन कई वर्षों से बिना किसी विशेष परिभाषा के किया जाता था, लेकिन पहली स्थानिक परिभाषा एस. पी. फ्रैंकलिन के द्वारा 1965 में दी गई थी। फ्रैंकलिन को "वह कक्षाएं जो अपनी आसन्न सरणियों के ज्ञान से पूरी तरह निर्धारित की जा सकती हैं" का पता लगाना था, और उन्होंने पहले-गणनीय स्थानों का अध्ययन किया, जिनके लिए पहले से ही ज्ञात था कि सरणियों की पर्याप्तता होती है। फिर फ्रैंकलिन ने पहले-गणनीय स्थानों की आवश्यक गुणों को संक्षेप में प्रस्तुत करके आधुनिक परिभाषा तय की।

प्रारंभिक परिभाषाएँ
यदि $$X$$ एक समुच्चय हो और $$x_{\bull} = \left(x_i\right){i=1}^{\infty}$$ $$X$$ में एक सरणी हो, अर्थात्, एक $$X$$ के तत्वों का परिवार हो, प्राक्तिन संख्याओं द्वारा अनुक्रमित। इस लेख में $$x{\bull} \subseteq S$$ यह अर्थ होता है कि सभी सरणी $$x_{\bull}$$ के तत्व $$S$$ के तत्व हैं, और यदि $$f : X \to Y$$ एक अवलोकन हो, तो $$f\left(x_{\bull}\right) = \left(f\left(x_i\right)\right){i=1}^{\infty}$$ होता है। किसी भी प्राक्तिन $$i$$ के लिए, $$i$$ से शुरू होने वाली सरणी को $$x{\bull}$$ की पूर्ववर्ती कहते हैं, जोकि सरणी $$x_{\geq i} = (x_i, x_{i+1}, x_{i+2}, \ldots)\text{.}$$ होती है। सरणी $$x_{\bull}$$ सभी प्रायः $$S$$ में होती है यदि कोई पूर्ववर्ती $$x_{\bull}$$ $$x_{\geq i} \subseteq S$$ को पूरा करती है। यदि $$X$$ पर $$\tau$$ एक टोपोलॉजी हो और $$x_{\bull}$$ उसमें एक सरणी हो, तो सरणी $$x_{\bull}$$ एक बिंदु $$x \in X$$ की ओर संघुश्य होती है, जिसे $$x_{\bull}\overset{\tau}{\to} x$$ (जब संदर्भ प्राप्त हो तो $$x_\bull\to x$$ कहते हैं), यदि हर बार $$U\in\tau$$ का पड़ोस $$x$$ के लिए होता है, प्रायः $$x_{\bull}$$ $$U$$ में होती है। इसके बाद $$x$$ को $$x_{\bull}$$ का सीमा बिंदु कहा जाता है। यदि $$f : X \to Y$$ टोपोलॉजिक स्थानों के बीच एक फ़ंक्शन हो तो वह अनुक्रमिक रूप से स्थिर है यदि $$x_\bull\to x$$ सत्य हो तो $$f(x_\bull)\to f(x)$$ होता है।

अनुक्रमिक समापन/आंतरिक
यदि $$(X, \tau)$$ एक संस्थानिक स्थान हो और $$S \subseteq X$$ एक उपसमूह हो, तो $$(X, \tau)$$ में $$S$$ की  संस्थानिक संवृत्त(इंगित किया जाता है: $$\operatorname{cl}_X S$$) और  संस्थानिक आंतर (इंगित किया जाता है: $$\operatorname{int}_X S$$) इस प्रकार परिभाषित होते हैं:.

क्रमिक समापन $$S$$ in $$(X, \tau)$$ का समुच्चय है$$\operatorname{scl}(S) = \left\{x : \text{there exists a sequence }s_{\bull} \subseteq S\text{ such that }s_{\bull} \to x \right\}$$आवश्यकता के अनुसार स्पष्टता के लिए, इस समुच्चय को $$\operatorname{scl}X(S)$$ या $$\operatorname{scl}{(X,\tau)}(S)$$ भी लिखा जा सकता है।:

यह एक नकारात्मक समुच्चय है जो संयोजन संगणक के रूप में प्राप्त होता है, यह अनुक्रमिक संवृत्तसंचालक को निर्धारित करता है। $$X$$ की पावर समुच्चय पर यह एक नकारात्मक अभिकल्पना है। आवश्यकता के अनुसार स्पष्टता के लिए, इस समुच्चय को यहां भी लिखा जा सकता है $$\operatorname{scl}{X}(S)$$ या $$\operatorname{scl}{(X,\tau)}(S)$$। हमेशा सत्य होता है कि $$\operatorname{scl}_X S \subseteq \operatorname{cl}_X S,$$ लेकिन उल्टा हो सकता है।

का अनुक्रमिक आंतरिक भाग $$(X, \tau)$$ में $$S$$ समुच्चय है जिसे निम्न रूप में परिभाषित किया जाता है:

$$\operatorname{sint}(S) = \{s : \text{whenever }x_{\bull}\subseteq X\text{ and }x_{\bull}\to s,\text{ then }x_{\bull}\text{ is eventually in }S\}$$(यदि आवश्यक हो तो संस्थानिक स्पेस को फिर से एक सबस्क्रिप्ट के साथ दर्शाया गया है)

अनुक्रमिक समापन और इंटीरियर संस्थानिक क्लोजर और इंटीरियर के कई अच्छे गुणों को संतुष्ट करते हैं: सभी उपसमूहों के लिए

$$R, S \subseteq X$$ निम्नलिखित सत्यापन किए जा सकते हैं।

$$\operatorname{scl}_X(X\setminus S)=X\setminus\operatorname{sint}_X(S)$$ और $$\operatorname{sint}_X(X\setminus S)=X\setminus\operatorname{scl}_X(S)$$

. $$\operatorname{scl}(\emptyset) = \emptyset$$ और $$\operatorname{sint}(\emptyset)=\emptyset$$;

. $\operatorname{sint}(S)\subseteq S\subseteq\operatorname{scl}(S)$ ;

. $$\operatorname{scl}(R\cup S)=\operatorname{scl}(R)\cup\operatorname{scl}(S)$$; और

. $\operatorname{scl}(S)\subseteq\operatorname{scl}(\operatorname{scl}(S)).$

इसका अर्थ है, अनुक्रमिक संवृत्त एक पूर्व-संवृत्त संचालक है। संस्थानिक संवृत्त के विपरीत, अनुक्रमिक संवृत्त स्वतंत्र नहीं होता है: अंतिम समावेशन सम्बंध अधिक सख्त हो सकता है। इस प्रकार, अनुक्रमिक संवृत्त संवृत्त संचालक नहीं होता है।

क्रमिक रूप से संवृत्त और विवृत्त समुच्चय
एक समुच्चय $$S$$ को क्रमशः संवृत्त कहा जाता है यदि $$S=\operatorname{scl}(S)$$ हो; समकक्षता के अनुसार, हर $$s_{\bull}\subseteq S$$ और $$x \in X$$ के लिए जहां $$s_{\bull}\overset{\tau}{\to}x$$ हो, तो  $$x\in S$$ होना चाहिए।

 एक समुच्चय $$S$$ को क्रमशः विवृत्त कहा जाता है यदि उसका समपूरक क्रमशः संवृत्त होता है। समकक्षताएँ निम्नलिखित हैं: 

एक समुच्चय $$S$$ को निम्न शर्तों के अनुसार क्रमशः विवृत्तकहा जाता है:

$$S = \operatorname{sint}(S)$$सभी $$x_{\bull}\subseteq X$$ और $$s \in S$$ के लिए जहां $$x_{\bull}\overset{\tau}{\to}s$$ होता है, अंततः $$x_{\bull}$$ $$S$$ में होता है (यानी, कुछ संख्या $$i$$ ऐसी होती है जिस पर पूरा $$x_{\geq i} \subseteq S$$ होता है। एक समुच्चय $$S$$ को बिंदु $$x \in X$$ का क्रमशः प्रतिवैस कहा जाता है यदि यह अपने क्रमशः आंतरिकता में $$x$$ को सम्मिलित करता है; क्रमशः  प्रतिवैसो को क्रमशः विवृत्त होने की आवश्यकता नहीं होती एक महत्वपूर्ण बात है कि $$X$$ के एक उपसमुच्चय क्रमशः विवृत्त होने के बाद भी वह विवृत्त नहीं हो सकता। उसी तरह, एक क्रमशः संवृत्त उपसमुच्चय संवृत्त होने के बाद भी नहीं हो सकता है

अनुक्रमिक रिक्त स्थान और परावर्तन
जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, अनुक्रमिक समापन सामान्य रूप से निष्क्रिय नहीं है, और इसलिए सांस्थिति का समापन संचालक नहीं है। कोई व्यक्ति परिमितातीत पुनरावृत्ति के माध्यम से एक निष्क्रिय अनुक्रमिक समापन प्राप्त कर सकता है: एक सफल अवधारक के लिए, लिए $$\alpha+1,$$ परिभाषित करें                                                                                                                                                                                                    $$(\operatorname{scl})^{\alpha+1}(S)=\operatorname{scl}((\operatorname{scl})^\alpha(S))$$और, एक सीमा क्रमसूचक के लिए $$\alpha,$$ परिभाषित करना$$(\operatorname{scl})^\alpha(S)=\bigcup_{\beta<\alpha}{(\operatorname{scl})^\beta(S)}\text{.}$$यह प्रक्रिया समुच्चयों का क्रमिक-अनुक्रमित बढ़ता क्रम देती है; जैसा कि यह पता चला है, वह अनुक्रम हमेशा सूचकांक द्वारा स्थिर होता है $$\omega_1$$ (पहला बेशुमार क्रमसूचक)। इसके विपरीत, का अनुक्रमिक क्रम $$X$$ किसी भी विकल्प के लिए न्यूनतम क्रमसूचक है $$S,$$ उपरोक्त क्रम स्थिर हो जाएगा. का अनंत अनुक्रमिक समापन $$S$$ उपरोक्त अनुक्रम में टर्मिनल समुच्चय है: $$(\operatorname{scl})^{\omega_1}(S).$$ परिचालक $$(\operatorname{scl})^{\omega_1}$$ निष्क्रिय है और इस प्रकार एक संवृत्त संचालक है। विशेष रूप से, यह एक सांस्थिति , अनुक्रमिक कोरफ्लेक्शन को परिभाषित करता है। अनुक्रमिक कोरफ्लेक्शन में, प्रत्येक क्रमिक रूप से संवृत्त समुच्चय संवृत्त होता है (और प्रत्येक क्रमिक रूप से विवृत्तसमुच्चय विवृत्तहोता है)।

अनुक्रमिक रिक्त स्थान
एक सांस्थितिक स्पेस $$(X, \tau)$$ अनुक्रमिक है यदि यह निम्नलिखित समकक्ष शर्तों में से किसी को संतुष्ट करता है:  <ली>$$\tau$$ इसका अपना अनुक्रमिक कोरफ्लेक्शन है। प्रत्येक क्रमिक रूप से विवृत्तउपसमुच्चय $$X$$ विवृत्तहै. प्रत्येक क्रमिक रूप से संवृत्त उपसमूह $$X$$ संवृत्त है. किसी भी उपसमुच्चय के लिए $$S \subseteq X$$ वह है संवृत्त किया $$X,$$ वहाँ कुछ उपस्थित है $$x\in\operatorname{cl}(S)\setminus S$$ और एक क्रम $$S$$ जो कि $$x.$$एकत्रित हो जाता है  (सार्वभौमिक संपत्ति) प्रत्येक सांस्थितिक स्पेस के लिए $$Y,$$ नक्षा $$f : X \to Y$$ सतत कार्य (सांस्थिति) है यदि और केवल यदि यह अनुक्रमिक निरंतरता (यदि) है $$x_{\bull} \to x$$ तब $$f\left(x_{\bull}\right) \to f(x)$$).  $$X$$ प्रथम-गणनीय स्थान का भागफल है। $$X$$ एक मीट्रिक स्थान का भागफल है। 

क्रमशः $$Y = X$$ और $$f$$ पहचान मानचित्र पर होना $$X$$ सार्वभौमिक गुण में, यह इस प्रकार है कि अनुक्रमिक रिक्त स्थान के वर्ग में सटीक रूप से वे स्थान शामिल होते हैं जिनकी सांस्थितिक संरचना अभिसरण अनुक्रमों द्वारा निर्धारित होती है। यदि दो सांस्थिति अभिसरण अनुक्रमों पर सहमत हैं, तो उनके पास आवश्यक रूप से समान अनुक्रमिक कोरफ्लेक्शन होता है। इसके अलावा, से एक समारोह $$Y$$ क्रमिक रूप से निरंतर है यदि और केवल यदि यह अनुक्रमिक कोरफ्लेक्शन $$f$$ पर क्रमिक है

$T$- और $N$-अनुक्रमिक रिक्त स्थान
क्रमशः$T$-अनुक्रमिक स्थान अनुक्रमिक क्रम 1 वाला एक सांस्थितिक स्थान है, जो निम्नलिखित में से किसी भी स्थिति के बराबर है:  प्रत्येक उपसमुच्चय का अनुक्रमिक समापन $$X$$ क्रमिक रूप से संवृत्त है .</li> $$\operatorname{scl}$$ या $$\operatorname{sint}$$ नपुंसक हैं.वह $\operatorname{scl}(S)=\bigcap_{\text{sequentially closed }C\supseteq S}{C}$ या $\operatorname{sint}(S)=\bigcup_{\text{sequentially open }U\subseteq S}{U}$

कोई अनुक्रमिक पड़ोस $$x \in X$$ अनुक्रमिक रूप से विवृत्त समुच्चय में सिकुड़ा जा सकता है जिसमें शामिल है $$x$$; औपचारिक रूप से, क्रमिक रूप से विवृत्त पड़ोस अनुक्रमिक पड़ोस के लिए पड़ोस का आधार हैं।</li> किसी के लिए $$x \in X$$ और कोई अनुक्रमिक पड़ोस $$N$$ का $$x,$$ वहां एक अनुक्रमिक पड़ोस उपस्थित है $$M$$ का $$x$$ ऐसा कि, हर किसी के लिए $$m \in M,$$ समुच्चय $$N$$ का अनुक्रमिक पड़ोस है $$m.$$ </li> </ul>

T-क्रमशः स्थान होना और क्रमशः स्थान होना के बीच अज्ञातुल्य है; कुछ क्रमशः स्थान होते हैं जो T-क्रमशः नहीं होते हैं और उलटे भी संभव हैं। यद्यपि, एक सांस्थितिक स्थान $$(X, \tau)$$ $$(X, \tau)$$ को N-क्रमशः प्रतिवैस कहा जाता है यदि यह क्रमशः स्थान और T-क्रमशः स्थान दोनों होता है। एक समकक्षता शर्त यह है कि हर क्रमशः प्रतिवैस एक विवृत्त सम्मिलित करता है।.

फ़्रेचेट-उरीसोहन रिक्त स्थान
एक सांस्थितिक स्पेस $$(X, \tau)$$ इसे फ़्रेचेट-उरीसोहन स्थान कहा जाता है|फ़्रेचेट-उरीसोहन यदि यह निम्नलिखित समकक्ष शर्तों में से किसी को संतुष्ट करता है:  $$X$$ वंशानुगत रूप से अनुक्रमिक है; अर्थात्, प्रत्येक सांस्थितिक उपस्थान अनुक्रमिक है।

प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए $$S \subseteq X,$$ $$\operatorname{scl}_X S = \operatorname{cl}_X S.$$ </li> किसी भी उपसमुच्चय के लिए $$S \subseteq X$$ वह संवृत्त नहीं है $$X$$ और हर $$x \in \left(\operatorname{cl}_X S\right) \setminus S,$$ इसमें एक क्रम $$S$$ उपस्थित है जो कि $$x.$$एकत्रित हो जाता है </li> </ul>

फ़्रेचेट-उरीसोहन रिक्त स्थान को कभी-कभी फ़्रेचेट भी कहा जाता है, लेकिन कार्यात्मक विश्लेषण में न तो फ़्रेचेट रिक्त स्थान और न ही टी1 स्पेस टी के साथ भ्रमित होता है।

उदाहरण और पर्याप्त शर्तें
प्रत्येक CW-जटिलता क्रमशः होती है, क्योंकि इसे एक स्थान के भाजन के रूप में विचार किया जा सकता है।

ज़ारिस्की सांस्थिति के साथ एक कम्यूटेटिव नोथेरियन अंगूठी का प्राइम स्पेक्ट्रम अनुक्रमिक है।

असली लाइन लो $$\R$$ और कोटिएंट स्पेस (सांस्थिति ) समुच्चय $$\Z$$ एक बिंदु तक पूर्णांकों का. मीट्रिक स्थान के भागफल के रूप में, परिणाम अनुक्रमिक है, लेकिन यह पहले गणनीय नहीं है।

प्रत्येक प्रथम-गणनीय स्थान फ़्रेचेट-उरीसोहन है और प्रत्येक फ़्रेचेट-उरीसोहन स्थान अनुक्रमिक है। इस प्रकार प्रत्येक मेट्रिज़ेबल या स्यूडोमेट्रिज़ेबल स्थान स्पेस - विशेष रूप से, प्रत्येक सेकंड-गणनीय स्पेस, मीट्रिक स्पेस, या असतत स्पेस - अनुक्रमिक है।

होने देना $$\mathcal{F}$$ फ़्रेचेट-उरीसोहन स्थान से मानचित्रों का एक समुच्चय बनें|फ़्रेचेट-उरीसोहन स्थान से लेकर $$X.$$ फिर अंतिम सांस्थिति वह $$\mathcal{F}$$ प्रेरित करता है $$X$$ अनुक्रमिक है.

हॉसडॉर्फ़ सांस्थितिक वेक्टर स्पेस अनुक्रमिक है यदि और केवल तभी यदि समान अभिसरण अनुक्रमों के साथ कोई सख्ती से बेहतर सांस्थिति उपस्थित नहीं है। </li>

</li>

रिक्त स्थान जो अनुक्रमिक हैं लेकिन फ़्रेचेट-उरीसोहन नहीं
श्वार्ट्ज स्थान $$\mathcal{S}\left(\R^n\right)$$और स्थान $$C^{\infty}(U)$$ सुचारू कार्य, जैसा कि वितरण पर लेख में चर्चा की गई है, दोनों व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले अनुक्रमिक स्थान हैं, लेकिन फ़्रेचेट-उरीसोहन स्पेस नहीं हैं फ़्रेचेट-उरीसोहन वास्तव में इन दोनों स्थानों के मजबूत दोहरे स्थान फ़्रेचेट-उरीसोहन स्थान नहीं हैं|फ़्रेचेट-उरीसोहन भी नहीं हैं। अधिक सामान्यतः, प्रत्येक अनंत-आयामी मॉन्टेल स्पेस डीएफ-स्पेस अनुक्रमिक है, लेकिन फ़्रेचेट-उरीसोहन स्पेस नहीं, फ़्रेचेट-उरीसोहन एरेन्स का स्थान अनुक्रमिक है, लेकिन फ़्रेचेट-उरीसोहन नहीं।

गैर-उदाहरण (रिक्त स्थान जो अनुक्रमिक नहीं हैं)
सबसे सरल स्थान जो अनुक्रमिक नहीं है वह समुच्चय पर सहगणनीय सांस्थिति है। ऐसे स्थान में प्रत्येक अभिसरण अनुक्रम अंततः स्थिर होता है; इसलिए प्रत्येक समुच्चय क्रमिक रूप से विवृत्तहै। लेकिन सहगणनीय सांस्थिति  पृथक स्थान नहीं है। (कोई सांस्थिति   को क्रमिक रूप से असतत कह सकता है।) यदि  $$C_c^k(U)$$ वितरण को $$k$$ से निरूपित करें तो विहित सांस्थिति और बिलंब के साथ सुचारू परीक्षण कार्य करता है $$\mathcal{D}'(U)$$ वितरण के स्थान, मजबूत दोहरे स्थान को निरूपित करें $$C_c^{\infty}(U)$$; न तो अनुक्रमिक हैं।  दूसरी ओर, दोनों $$C_c^{\infty}(U)$$ और $$\mathcal{D}'(U)$$ मोंटेल अंतरिक्ष स्थान हैं और, किसी भी मॉन्टेल स्पेस के निरंतर दोहरे स्थान में, निरंतर रैखिक कार्यात्मकताओं का एक क्रम मजबूत दोहरे स्थान में परिवर्तित होता है यदि और केवल यदि यह कमजोर सांस्थिति में परिवर्तित होता है ।

परिणाम
प्रत्येक अनुक्रमिक स्थान में गणनीय जकड़न होती है और यह कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न स्थान होता है।

यदि $$f : X \to Y$$ समुच्चय के बाद दो हॉसडॉर्फ अनुक्रमिक स्थानों के बीच एक निरंतर विवृत्तमानचित्र है $$\{y:{|f^{-1}(y)| = 1}\}\subseteq Y$$ अद्वितीय प्रीइमेज वाले बिंदुओं को संवृत्त कर दिया गया है। (निरंतरता से, इसकी पूर्वछवि भी वैसी ही है $$X,$$ जिस पर सभी बिंदुओं का समुच्चय $$f$$ इंजेक्शन है.

यदि $$f : X \to Y$$ हॉसडॉर्फ़ अनुक्रमिक स्थान पर एक विशेषण मानचित्र (आवश्यक रूप से निरंतर नहीं) है $$Y$$ और $$\mathcal{B}$$ सांस्थिति   के लिए आधार (सांस्थिति  )। $$X,$$ तब $$f : X \to Y$$ यदि और केवल यदि, प्रत्येक के लिए एक विवृत्त मानचित्र है $$x \in X,$$ बुनियादी पड़ोस $$B \in \mathcal{B}$$ का $$x,$$ और क्रम $$y_{\bull} = \left(y_i\right)_{i=1}^{\infty} \to f(x)$$ में $$Y,$$ का एक क्रम है $$y_\bull$$ वह अंततः $$f(B).$$के अंदर है

श्रेणीबद्ध गुण
सभी अनुक्रमिक रिक्त स्थान की पूर्ण उपश्रेणी Seq सांस्थितिक रिक्त स्थान की श्रेणी (गणित) शीर्ष में निम्नलिखित परिचालनों के अंतर संवृत्त है:

• भागफल

• निरंतर संवृत्त या विवृत्त छवियां

• रकम

• आगमनात्मक सीमाएं

• विवृत्तऔर संवृत्त सबस्पेस

Seq श्रेणी है शीर्ष में निम्नलिखित परिचालनों के अंतर्गत संवृत्त किया गया:

• सतत छवियाँ

• उपस्थान

• परिमित उत्पाद

चूँकि वे सांस्थितिक योगों और भागफलों के अंतर्गत संवृत्त होते हैं, अनुक्रमिक रिक्त स्थान सांस्थितिक रिक्त स्थान की श्रेणी का एक कोरफ्लेक्टिव उपश्रेणी बनाते हैं। वास्तव में, वे मेट्रिज़ेबल रिक्त स्थान अर्थात्, योग और भागफल के अंतर्गत संवृत्त सांस्थितिक रिक्त स्थान का सबसे छोटा वर्ग और मेट्रिज़ेबल रिक्त स्थान युक्त हैं।

उपश्रेणी अपने स्वयं के उत्पाद के संबंध में एक कार्टेशियन संवृत्त श्रेणी है। घातीय वस्तुएं संवृत्त सांस्थिति से सुसज्जित हैं।

पी.आई. बूथ और ए. टिलोटसन ने दिखाया है कि टॉप की सबसे छोटी कार्टेशियन संवृत्त उपश्रेणी है जिसमें सभी मीट्रिक स्पेस, सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्स और अलग-अलग मैनिफोल्ड्स के अंतर्निहित सांस्थितिक स्पेस शामिल हैं और यह कोलिमिट्स, भागफल और अन्य कुछ उचित पहचानों के तहत संवृत्त है जो नॉर्मन स्टीनरोड को सुविधाजनक बताया गया।.

प्रत्येक क्रमशः स्थान के लिए संपीड़नीय उत्पन्न होता है, और क्रमशः उत्पादों के लिए सीमित उत्पन्न के साथ समान होते हैं, क्योंकि सीमित उत्पन्नों के लिए उत्पाद सीमित उत्पादों के श्रेणी में उत्पन्नों के भाग को संरक्षित रखते हैं।

संदर्भ
</li>
 * Arkhangel'skii, A.V. and Pontryagin, L.S., General Topology I, Springer-Verlag, New York (1990) ISBN 3-540-18178-4.
 * Engelking, R., General Topology, Heldermann, Berlin (1989). Revised and completed edition.
 * Goreham, Anthony, "Sequential Convergence in Topological Spaces", (2016)
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