समांतर श्रेणी

समांतर श्रेणी या अंकगणितीय क्रम संख्याओं का एक ऐसा क्रम है जिसमें लगातार शब्दों के बीच का अंतर स्थिर होता है। उदाहरण के लिए 5, 7, 9, 11, 13, 15 के क्रम में सामान्य अंतर के साथ समांतर श्रेणी दिखाई दे रही है।

यदि समांतर श्रेणी का प्रारंभिक शब्द $$a_1$$है एवं क्रमिक सदस्यों का सामान्य अंतर $$d$$ है तत्कालीन $$n$$ क्रम का शब्द ($$a_n$$) दिया गया है |
 * $$\ a_n = a_1 + (n - 1)d$$,

और सामान्य रूप से


 * $$\ a_n = a_m + (n - m)d$$।

समांतर श्रेणी के परिमित हिस्से को परिमित समांतर श्रेणी कहा जाता है | कभी -कभी इस इकाई को केवल समांतर श्रेणी भी कहा जाता है। वहीं एक परिमित समांतर श्रेणी के योग को अंकगणित श्रृंखला कहा जाता है।

योग
एक परिमित समांतर श्रेणी के कुल इकाई के |योग को अंकगणित श्रृंखला कहा जाता है। उदाहरण के लिए नीचे दिए गए योगफल पर विचार करें |


 * $$2 + 5 + 8 + 11 + 14$$

यहाँ त्वरित रूप से जोड़े जा रहे रहे योग के अनुसार (5) की संख्या के लिए n को अंकगणितीय क्रम में पहले और अंतिम संख्या के योग से गुणा करने पर (यहां 2 + 14 = 16), और 2 से विभाजित करने पर प्राप्त समीकरण


 * $$\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$

उपरोक्त विधि के अनुसार जो समीकरण मिलता है वह निम्नांकित है |


 * $$2 + 5 + 8 + 11 + 14 = \frac{5(2 + 14)}{2} = \frac{5 \times 16}{2} = 40.$$

यह सूत्र किसी भी वास्तविक संख्या के लिए काम करता है $$a_1$$ तथा $$a_n$$। उदाहरण के लिए नीचे के योग पर ध्यान दें |


 * $$\left(-\frac{3}{2}\right) + \left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2} = \frac{3\left(-\frac{3}{2} + \frac{1}{2}\right)}{2} = -\frac{3}{2}.$$

व्युत्पत्ति
उपरोक्त सूत्र को प्राप्त करने के लिए दो अलग -अलग तरीकों से अंकगणित श्रृंखला को व्यक्त करके कुछ इस तरह समीकरण शुरू करें |
 * $$ S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\cdots+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)$$
 * $$ S_n=(a_n-(n-1)d)+(a_n-(n-2)d)+\cdots+(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n.$$

d को हटाकर दो समीकरणों के दोनों किनारों के सभी शब्दों को जोड़ते हुए प्राप्त समीकरण


 * $$\ 2S_n=n(a_1 + a_n).$$

दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने से समीकरण का प्राप्त सामान्य रूप

$$ S_n=\frac{n}{2}( a_1 + a_n).$$

प्रतिस्थापन को पुनः सम्मिलित करने पर वैकल्पिक रूप से ज्ञात परिणाम $$a_n = a_1 + (n-1)d$$:


 * $$ S_n=\frac{n}{2}[ 2a_1 + (n-1)d].$$

इसके अलावा श्रृंखला केऔसत मूल्य की गणना इस समीकरण के माध्यम से की जा सकती है: $$S_n / n$$:


 * $$ \overline{a} =\frac{a_1 + a_n}{2}.$$

दिया गया यह सूत्र असतत समान वितरण(डिस्क्रीट यूनिफार्म डिस्ट्रीब्यूशन ) के मध्यमान के समान है।

उत्पाद
एक प्रारंभिक तत्व के साथ एक परिमित समांतर श्रेणी के सदस्यों का उत्पाद1 सामान्य अंतर d, और कुल कुल में n तत्व बंद अभिव्यक्ति में निर्धारित किया जाता है |


 * $$a_1a_2a_3\cdots a_n = a_1(a_1+d)(a_1+2d)...(a_1+(n-1)d)= \prod_{k=0}^{n-1} (a_1+kd) = d^n \frac{\Gamma \left(\frac{a_1}{d} + n\right) }{\Gamma \left( \frac{a_1}{d} \right)}$$

जहां $$\Gamma$$ |गामा फ़ंक्शन को दर्शाता है। जब $$a_1/d$$ नकारात्मक या फिर शून्य है तब ऐसे में सूत्र मान्य नहीं है |

यह इस तथ्य से एक सामान्यीकरण है कि श्रेणी का उत्पाद $$1 \times 2 \times \cdots \times n$$ कारख़ाने का द्वारा दिया जाता है $$n!$$ और वह उत्पाद


 * $$m \times (m+1) \times (m+2) \times \cdots \times (n-2) \times (n-1) \times n $$

सकारात्मक पूर्णांक के लिए $$m$$ तथा $$n$$ द्वारा दिया गया है |


 * $$\frac{n!}{(m-1)!}.$$

व्युत्पत्ति

 * $$\begin{align}

a_1a_2a_3\cdots a_n &=\prod_{k=0}^{n-1} (a_1+kd) \\ &= \prod_{k=0}^{n-1} d\left(\frac{a_1}{d}+k\right) = d \left (\frac{a_1}{d}\right) d \left (\frac{a_1}{d}+1 \right )d \left ( \frac{a_1}{d}+2 \right )\cdots d \left ( \frac{a_1}{d}+(n-1) \right ) \\ &= d^n\prod_{k=0}^{n-1} \left(\frac{a_1}{d}+k\right)=d^n {\left(\frac{a_1}{d}\right)}^{\overline{n}} \end{align}$$ जहाँ $$x^{\overline{n}}$$ बढ़ते कारख़ाने का को दर्शाता है।

पुनरावृत्ति सूत्र द्वारा $$\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$$, एक जटिल संख्या के लिए मान्य है $$z>0$$,


 * $$\Gamma(z+2)=(z+1)\Gamma(z+1)=(z+1)z\Gamma(z)$$,


 * $$\Gamma(z+3)=(z+2)\Gamma(z+2)=(z+2)(z+1)z\Gamma(z)$$,

ताकि


 * $$ \frac{\Gamma(z+m)}{\Gamma(z)} = \prod_{k=0}^{m-1}(z+k)$$

के लिये $$m$$ एक प्राकृतिक संख्या‎ (redirected) और $$z$$ सकारात्मक जटिल संख्या है |

इस प्रकार, अगर $$a_1/d > 0 $$,


 * $$\prod_{k=0}^{n-1} \left(\frac{a_1}{d}+k\right)= \frac{\Gamma \left(\frac{a_1}{d} + n\right) }{\Gamma \left( \frac{a_1}{d} \right)}$$,

और अंत में,


 * $$a_1a_2a_3\cdots a_n = d^n\prod_{k=0}^{n-1} \left(\frac{a_1}{d}+k\right) = d^n \frac{\Gamma \left(\frac{a_1}{d} + n\right) }{\Gamma \left( \frac{a_1}{d} \right)} $$

उदाहरण
उदाहरण $$ 3, 8, 13, 18, 23, 28, \ldots $$, द्वारा दिए गए समांतर श्रेणी के तथ्य का 50 निश्चित अंक तक का परिणाम होगा $$a_n = 3 + 5(n-1) $$
 * उदाहरण 1
 * $$P_{50} = 5^{50} \cdot \frac{\Gamma \left(3/5 + 50\right) }{\Gamma \left( 3 / 5 \right) } \approx 3.78438 \times 10^{98}. $$

पहले 10 विषम संख्याओं का परिणाम $$(1,3,5,7,9,11,13,15,17,19)$$ द्वारा दिया गया है |
 * उदाहरण 2
 * $$ 1.3.5\cdots 19 =\prod_{k=0}^{9} (1+2k) = 2^{10} \cdot \frac{\Gamma \left(\frac{1}{2} + 10\right) }{\Gamma \left( \frac{1}{2} \right) } $$ = 654,729,075

मानक विचलन
किसी भी समांतर श्रेणी के मानक विचलन की गणना कुछ इस तरह की जा सकती है |


 * $$ \sigma = |d|\sqrt{\frac{(n-1)(n+1)}{12}}$$

जहां पर $$ n$$ श्रेणी में शर्तों की संख्या है और $$ d$$ शर्तों के बीच आम अंतर है।सूत्र एक असतत समान वितरण के मानक विचलन के समान है।

चौराहा
चौराहा को चीनी शेष प्रमेय यानि (चाइनीज रिमाइंडर थियोरम ) का उपयोग कर दो दोगुनी अंकगणतीय क्रम या अन्य अंकगणतीय क्रम को रिक्त किया जा सकता है |  यदि दोगुनी अनंत अंकगणितीय क्रम के वर्ग में क्रम की प्रत्येक जोड़ी में अरिक्‍त चौराहा है तो उन सभी के लिए एक सामान्य संख्या मौजूद है अर्थात् अनंत समांतर श्रेणी एक हेल्ली परिवार (चौराहा फार्मूला का एक प्रकार ) का निर्माण करती है। हालांकि असीम रूप से कई अनंत समांतर श्रेणी का क्रम अनंत क्रम होने के बजाय एकल संख्या के रूप में हो सकती है ।

इतिहास
अनिश्चित विश्वसनीयता के एक किस्से के अनुसार, प्राथमिक विद्यालय में युवा कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने इस पद्धति को पुनर्निवेशित किया, जिसमें 1 से 100 के माध्यम से पूर्णांक के योग की गणना करने के लिए गुणा करके $n⁄2$ प्रत्येक जोड़ी के मानों द्वारा योग में संख्याओं के जोड़े {गणित | n + 1}} पर काम किया। ।  हालांकि, इस कहानी की सच्चाई की परवाह किए बिना, गॉस इस सूत्र की खोज करने वाले पहले व्यक्ति नहीं थे | कुछ को यह संभावना है कि इसकी उत्पत्ति 5 वीं शताब्दी ईसा पूर्व में पाइथागोरस में वापस चली जाती है। इसी तरह के नियमों को पुरातनता में आर्किमिडीज, हाइपिकल्स और डायोफेंटस के लिए जाना जाता था | चीन में झांग किउजियान, भारत में आर्यभत, ब्रह्मगुप्त और भास्कर II, और मध्ययुगीन यूरोप में अल्कुइन, Dicuil, फाइबोनैचि, पवित्र और तल्मूड के अनाम टिप्पणीकारों को तोसाफिस्ट के रूप में जाना जाता है।

यह भी देखें

 * ज्यामितीय क्रम
 * हार्मोनिक श्रेणी
 * त्रिकोणीय संख्या
 * अंकगणित-ज्यामितीय क्रम
 * अंकगणित और ज्यामितीय साधनों की असमानता
 * समांतर श्रेणी में प्राइम
 * रैखिक अंतर समीकरण
 * सामान्यीकृत समांतर श्रेणी, समांतर श्रेणी के रूप में निर्मित पूर्णांक का एक सेट है, लेकिन कई संभावित अंतरों की अनुमति देता है
 * समांतर श्रेणी में पक्षों के साथ हेरोनियन त्रिकोण
 * समांतर श्रेणी से जुड़ी समस्याए
 * बहुपद समांतर श्रेणी की शक्तियों की गणना करना