विशेष एकात्मक समूह

गणित में, डिग्री n का विशेष एकात्मक समूह, जिसे SU (n) कहा जाता है, निर्धारक 1 के साथ n × n एकात्मक मैट्रिसेस का लाई समूह है।

गणित में, डिग्री n का विशेष एकात्मक समूह $n$, जिसे $SU(n)$ निरूपित किया जाता है, निर्धारक 1 के साथ  $n × n$  एकात्मक मैट्रिक्स (गणित) का भ्रमित करने वाला समूह है।

विशेष स्थितियों में वास्तविक 1 के बजाय अधिक सामान्य एकात्मक समूह  में पूर्ण मान 1 के साथ सम्मिश्र निर्धारक हो सकते हैं।

समूह संचालन मैट्रिक्स गुणन है। विशेष एकात्मक समूह एकात्मक समूह का एक सामान्य उपसमूह है $U(n)$, सभी से मिलकर $n×n$ एकात्मक मैट्रिक्स बनाता है। एक क्लासिकल समूह के रूप में, $U(n)$ वह समूह है जो आंतरिक उत्पाद स्थान को संरक्षित करता है # कुछ उदाहरण $$\mathbb{C}^n$$. यह स्वयं सामान्य रेखीय समूह का एक उपसमूह है, $$\operatorname{SU}(n) \subset \operatorname{U}(n) \subset \operatorname{GL}(n, \mathbb{C} )$$. $U(n)$ यह समूह विशेष रूप से कण भौतिकी के मानक मॉडल में व्यापक अनुप्रयोग में अपनाये जाते हैं $SU(n)$ इलेक्ट्रोवीक इंटरैक्शन में और $SU(n)$ क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स में अपनाये जाते हैं। समूह $SU(2)$ क्वांटम कंप्यूटिंग में महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि उसमे यह कितना घूमता है में संभावित क्वांटम लॉजिक गेट ऑपरेशंस का प्रतिनिधित्व करते हैं $$n$$ कुबिट्स और इस प्रकार $$2^n$$ आधार की स्थिति है। (वैकल्पिक रूप से, अधिक सामान्य एकात्मक समूह $$U(2^n)$$ उपयोग किया जा सकता है, क्योंकि एक वैश्विक चरण कारक से गुणा करना $$e^{i\varphi}$$ क्वांटम ऑपरेटर की अपेक्षा मूल्यों को नहीं बदलता है।)

सबसे सरल, $SU(3)$, ट्रिविअल समूह है, जिसमें केवल एक ही तत्व है। समूह $SU(2^{n})$ कूटरनिओं # कोंजूगेशन, मानदंड,और पारस्परिक 1 के चतुष्कोणों के समूह के लिए आइसोमॉर्फिक है, और इस प्रकार 3-क्षेत्र के लिए भिन्न है। चूँकि इकाई चतुष्कोण का उपयोग 3-आयामी अंतरिक्ष (साइन अप करने के लिए) में घुमावों का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जा सकता है, वहाँ से एक विशेषण [ समरूपता] है $SU(1)$ घूर्णन समूह और SO(3) के बीच यह होता है| घूर्णन समूह के लिए $SU(2)$जिसकी गिरी (बीजगणित) है $SU(2)$. $SO(3)$ स्पाइनर, स्पिन समूह (3) के समरूपता समूहों में से एक के समान है, जो घुमावों की स्पिनर प्रस्तुति को सक्षम बनाता है।

गुण
विशेष एकात्मक समूह ${+I, −I}$ एक सख्त और वास्तविक भ्रमित करने वाला समूह है (बनाम एक अधिक सामान्य सम्मिश्र भ्रमित समूह)। इसका आयाम कई गुना है $SU(2) → SO(3)$. टोपोलॉजिकल रूप से, यह कॉम्पैक्ट जगह है और बस जुड़ा हुआ है । बीजगणितीय रूप से, यह एक सरल भ्रमित समूह है (जिसका अर्थ है कि इसका लाई बीजगणित सरल है; नीचे देखें)। के एक समूह का केंद्र $SU(2)$ चक्रीय समूह के लिए आइसोमोर्फिक है $$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$, और विकर्ण मैट्रिसेस से बना है $SU(n)$ के लिए $ζ$ एक $n$- एकता की जड़ और $I$ $n^{2} − 1$ शिनाख्त सांचा।

इसका बाहरीऑटोमोर्फिज्म समूह के लिए $SU(n)$ है $$\, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \,,$$ जबकि बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह $ζ I$ तुच्छ समूह है।

रैंक n - 1 का एक अधिकतम टोरस निर्धारक 1 के साथ विकर्ण मैट्रिसेस के सेट द्वारा दिया गया है। SU(n) का वीइल समूह सममित समूह Sn है, जिसे हस्ताक्षरित क्रमपरिवर्तन मैट्रिसेस द्वारा दर्शाया गया है (निर्धारक को सुनिश्चित करने के लिए संकेत आवश्यक हैं) 1) है।

रैंक n - 1 का एक अधिकतम टोरस निर्धारक 1 के साथ विकर्ण मेट्रिसेस के सेट द्वारा दिया गया है। SU(n) का वीइल समूह सममित समूह $n×n$ है, जिसे हस्ताक्षरित क्रमपरिवर्तन मैट्रिसेस द्वारा दर्शाया गया है (निर्धारक को सुनिश्चित करने के लिए संकेत आवश्यक हैं) 1) है।

SU(n) का लाई बीजगणित, जिसे su(n) द्वारा निरूपित किया जाता है, ट्रेसलेस एंटी-हर्मिटियन n×n के सेट से पहचाना जा सकता है सम्मिश्र मेट्रिसेस, नियमित कम्यूटेटर के साथ एक लाई ब्रैकेट के रूप में। कण भौतिक विज्ञानी अक्सर एक अलग, समकक्ष प्रतिनिधित्व का उपयोग करते हैं: ट्रेसलेस हर्मिटियन एन × एन कॉम्प्लेक्स मेट्रिसेस का सेट लाई ब्रैकेट के साथ -i बार कम्यूटेटर द्वारा दिया जाता है।

लाई बीजगणित $$\mathfrak{su}(n)$$ का $$\operatorname{SU}(n)$$ के होते हैं $$n \times n$$ स्केव हर्मिटियन मैट्रिक्स| स्केव-हर्मिटियन मैट्रिक्स ट्रेस शून्य के साथ। इस (असली) लाई बीजगणित में आयाम है $$n^2 - 1$$. इस लाई बीजगणित की संरचना के बारे में अधिक जानकारी नीचे लाई बीजगणित संरचना अनुभाग में पाई जा सकती है।

मौलिक प्रतिनिधित्व
भौतिकी साहित्य में, लाई बीजगणित को ट्रेस-शून्य हर्मिटियन (स्केव-हर्मिटियन के बजाय) मैट्रिसेस के स्थान के साथ पहचानना आम है। कहने का तात्पर्य यह है कि भौतिकविदों का लाई बीजगणित एक कारक से भिन्न होता है $$i$$ गणितज्ञों से'। इस सम्मेलन के साथ, कोई जनरेटर चुन सकता है $n ≥ 3$ जो ट्रेस (रैखिक बीजगणित) हर्मिटियन मैट्रिक्स कॉम्प्लेक्स हैं $SU(2)$ मैट्रिसेस, जहां:


 * $$ T_a \, T_b = \tfrac{1}{\, 2n \,}\,\delta_{ab}\,I_n + \tfrac{1}{2}\,\sum_{c=1}^{n^2 -1}\left(if_{abc} + d_{abc} \right) \, T_c $$

जहाँ $S_{n}$ संरचना स्थिरांक हैं और सभी सूचकांकों में विषम हैं, जबकि $T_{a}$-गुणांक सभी सूचकांकों में सममित होते हैं।

नतीजतन, कम्यूटेटर है:
 * $$ ~ \left[T_a, \, T_b\right] ~ = ~ i \sum_{c=1}^{n^2 -1} \, f_{abc} \, T_c \;,$$

और संबंधित एंटीकोम्यूटेटर है:
 * $$ \left\{T_a, \, T_b\right\} ~ = ~ \tfrac{1}{n} \, \delta_{ab} \, I_n + \sum_{c=1}^{n^2 -1}{d_{abc} \, T_c} ~.$$

का कारक $$i$$ रूपान्तरण संबंध भौतिकी सम्मेलन से उत्पन्न होता है और गणितज्ञों के सम्मेलन का उपयोग करते समय मौजूद नहीं होता है।

पारंपरिक सामान्यीकरण की स्थिति है


 * $$\sum_{c,e=1}^{n^2 - 1} d_{ace}\,d_{bce} = \tfrac{\, n^2 - 4 \,}{n} \, \delta_{ab}~ .$$

संलग्न प्रतिनिधित्व
में $n×n$लाई समूह के आयामी संलग्न प्रतिनिधित्व, जनरेटर द्वारा प्रतिनिधित्व कर रहे हैं $f$× $d$ मैट्रिसेस, जिनके तत्वों को संरचना स्थिरांक द्वारा परिभाषित किया गया है:


 * $$\left(T_a\right)_{jk} = -if_{ajk}.$$

समूह SU(2)
$(n^{2} − 1)$ निम्नलिखित समूह है,
 * $$\operatorname{SU}(2) = \left\{ \begin{pmatrix} \alpha & -\overline{\beta} \\ \beta & \overline{\alpha} \end{pmatrix}: \ \ \alpha,\beta \in \mathbb{C}, |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1 \right\}~,$$

जहाँ ओवरलाइन सम्मिश्र संयुग्म को दर्शाता है।

3-क्षेत्र के साथ डिफियोमोर्फिज्म | एस3
यदि हम विचार करें $$\alpha,\beta$$ एक जोड़ी के रूप में $$\mathbb{C}^2$$ जहाँ $$\alpha=a+bi$$ और $$\beta=c+di$$, फिर समीकरण $$|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$$ हो जाता है


 * $$ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1 $$

यह 3-sphere|3-sphere S का समीकरण है 3। इसे एम्बेडिंग: मानचित्र का उपयोग करके भी देखा जा सकता है
 * $$\begin{align}

\varphi \colon \mathbb{C}^2 \to{} &\operatorname{M}(2, \mathbb{C}) \\[5pt] \varphi(\alpha, \beta) ={} &\begin{pmatrix} \alpha & -\overline{\beta}\\ \beta & \overline{\alpha}\end{pmatrix}, \end{align}$$ जहाँ $$\operatorname{M}(2,\mathbb{C})$$ 2 से 2 सम्मिश्र आव्यूहों के समुच्चय को दर्शाता है, एक अंतःक्षेपी वास्तविक रेखीय नक्शा है (विचार करके $$\mathbb{C}^2$$ डिफियोमोर्फिज्म को $$\mathbb{R}^4$$ और $$\operatorname{M}(2,\mathbb{C})$$ डिफियोमॉर्फिक से $$\mathbb{R}^8$$). इसलिए, का प्रतिबंध (गणित) । $(n^{2} − 1)$ 3-गोले के लिए (चूंकि मापांक 1 है), निरूपित $(n^{2} − 1)$, 3-गोले का एक कॉम्पैक्ट सबमेनिफोल्ड पर एम्बेडिंग है $$\operatorname{M}(2,\mathbb{C})$$, अर्थात् $SU(2)$.

इसलिए, कई गुना के रूप में, $φ$ के लिए डिफियोमॉर्फिक है $S^{3}$, जिससे पता चलता है $φ(S^{3}) = SU(2)$ बस जुड़ा हुआ स्थान है और वह $S^{3}$ एक कॉम्पैक्ट, जुड़े हुए समूह की संरचना के साथ संपन्न किया जा सकता है।

रोटेशन समूह के साथ समरूपता SO(3)#यूनिट मानदंड के चतुष्कोणों का उपयोग
जटिल मैट्रिक्स:
 * $$ \begin{pmatrix}

a + bi & c + di \\ -c + di & a - bi  \end{pmatrix} \quad (a, b, c, d \in \mathbb{R}) $$ क्वाटरनियन में मैप किया जा सकता है:
 * $$a\,\hat{1} + b\,\hat{i} + c\,\hat{j} + d\,\hat{k}$$

यह नक्शा वास्तव में एक समरूपता है। इसके अतिरिक्त, मैट्रिक्स का निर्धारक संबंधित चतुष्कोण का वर्ग मानदंड है। स्पष्ट रूप से कोई मैट्रिक्स $SU(2)$ इस रूप का है और, चूँकि इसमें निर्धारक 1 है, संगत चतुष्कोण का मानदंड 1 है। इस प्रकार $SU(2)$ छंद के लिए आइसोमॉर्फिक है।

स्थानिक घुमावों से संबंध
प्रत्येक इकाई चतुष्कोण स्वाभाविक रूप से 3 आयामों में एक स्थानिक घुमाव से जुड़ा होता है, और दो चतुष्कोणों का उत्पाद संबंधित घुमावों की संरचना से जुड़ा होता है। इसके अलावा, हर घुमाव इस तरह से ठीक दो इकाई चतुष्कोणों से उत्पन्न होता है। संक्षेप में: SU(2) से 3 डी रोटेशन समूह तक होता है | SO(3); फलस्वरूप SO(3) भागफल समूह SU(2)/{±I} के लिए समरूप है, जो की कई गुना अंतर्निहित SO(3) 3-क्षेत्र के एंटीपोडल बिंदुओं की पहचान करके प्राप्त किया जाता है $S^{3}$,और SU(2) SO(3) का यूनिवर्सल कवरिंग ग्रुप है।

लाई बीजगणित
SU(2) के लाई बीजगणित में ट्रेस शून्य के साथ $$2\times 2$$  स्केव-हर्मिटियन मैट्रिसेस होते हैं। स्पष्ट रूप से, इसका मतलब है
 * $$\mathfrak{su}(2) = \left\{ \begin{pmatrix} i\ a & -\overline{z} \\ z & -i\ a \end{pmatrix}:\ a \in \mathbb{R}, z \in \mathbb{C} \right\}~.$$

इसके बाद लाई बीजगणित निम्नलिखित मैट्रिसेस द्वारा उत्पन्न होता है,
 * $$u_1 = \begin{pmatrix}

0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad u_2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\   1 &  0  \end{pmatrix}, \quad u_3 = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}~, $$ जो ऊपर निर्दिष्ट सामान्य तत्व का रूप है।

इसे इस रूप में भी लिखा जा सकता है $$\mathfrak{s u}(2)=\operatorname{span}\left\{i \sigma_{1}, i \sigma_{2}, i \sigma_{3}\right\}$$ पाउली_मैट्रिसेस SU(2) का उपयोग करना।

ये चतुष्कोणीय संबंधों को संतुष्ट करते हैं $$u_2\ u_3 = -u_3\ u_2 = u_1~,$$  $$u_3\ u_1 = -u_1\ u_3 = u_2~,$$ और  $$u_1 u_2 = -u_2\ u_1 = u_3~.$$ कम्यूटेटर ब्रैकेट इसलिए द्वारा निर्दिष्ट किया गया है
 * $$\left[u_3, u_1\right] = 2\ u_2, \quad \left[u_1, u_2\right] = 2\ u_3, \quad \left[u_2, u_3\right] = 2\ u_1~.$$

उपरोक्त जनरेटर पॉल मैट्रिसेस से संबंधित हैं $$u_1 = i\ \sigma_1~, \, u_2 = -i\ \sigma_2$$ और $$u_3 = +i\ \sigma_3~.$$  इलेक्ट्रॉन जैसे मौलिक कण के स्पिन (भौतिकी)  का प्रतिनिधित्व करने के लिए यह प्रतिनिधित्व नियमित रूप से  क्वांटम यांत्रिकी  में उपयोग किया जाता है। वे पाश क्वांटम गुरुत्वाकर्षण में हमारे 3 स्थानिक आयामों के विवरण के लिए इकाई वैक्टर के रूप में भी काम करते हैं। वे क्वांटम लॉजिक गेट, पाउली गेट्स (एक्स, वाई, जेड) | पाउली एक्स, वाई, और जेड गेट्स के अनुरूप भी हैं, जो सिंगल क्यूबिट गेट्स के लिए मानक जनरेटर हैं, जो  बलोच क्षेत्र  के अक्षों के बारे में 3 डी-रोटेशन के अनुरूप हैं।.

लाई बीजगणित SU(2)|के निरूपण के प्रतिनिधित्व सिद्धांत को तैयार करने का काम करता है $SU(2)$.

समूह एसयू (3)
$$SU(3)$$ एक 8-आयामी सरल लाई समूह है जिसमें सभी $SU(2)$ निर्धारक मिले हैं तथा 1 के साथ एकात्मक मैट्रिक्स (गणित) बनाते हैं ।

टोपोलॉजी
समूह $$SU(3)$$ एक आसानी से जुड़ा हुआ, कॉम्पैक्ट लाई ग्रुप है। इसकी टोपोलॉजिकल संरचना को यह समझकर समझा जा सकता है कि एसयू (3) इकाई क्षेत्र पर सकर्मक क्रिया करता है $$S^5$$ में $$\mathbb{C}^3 \cong \mathbb{R}^6$$. समूह क्रिया (गणित) # क्षेत्र में एक मनमाना बिंदु के निश्चित बिंदु और स्टेबलाइज़र उपसमूह एसयू (2) के लिए आइसोमोर्फिक है, जो स्थलाकृतिक रूप से एक त्रि-गोला है। इसके बाद यह पता चलता है कि SU(3) बेस के ऊपर एक फाइबर बंडल है $$S^5$$ फाइबर के साथ $$S^3$$. चूंकि तंतु और आधार बस जुड़े हुए हैं, एसयू (3) की सरल जुड़ाव तब एक मानक टोपोलॉजिकल परिणाम (होमोटॉपी समूह # फाइबर बंडलों के लिए एक कंपन का लंबा सटीक अनुक्रम) के माध्यम से होता है।

$$SU(2)$$वें>-बंडल खत्म $$S^5$$ द्वारा वर्गीकृत किया गया है $$\pi_4\mathord\left(S^3\right) = \mathbb{Z}_2$$ क्योंकि ऐसा कोई भी बंडल दो गोलार्द्धों पर तुच्छ बंडलों को देखकर बनाया जा सकता है $$S^5_N, S^5_S$$ और उनके प्रतिच्छेदन पर संक्रमण फलन को देख रहे हैं, जो समरूपता के समतुल्य है $$S^4$$, इसलिए
 * $$S^5_N \cap S^5_S \simeq S^4$$

फिर, ऐसे सभी संक्रमण कार्यों को मानचित्रों के होमोटॉपी वर्गों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है
 * $$\left[S^4, SU(2)\right] \cong \left[S^4, S^3\right] = \pi_4\mathord\left(S^3\right) \cong \mathbb{Z}/2$$

और जैसे $$\pi_4(SU(3)) = \{0\}$$ इसके बजाय $$\mathbb{Z}/2$$, $$SU(3)$$ तुच्छ बंडल नहीं हो सकता $$SU(2) \times S^5 \cong S^3 \times S^5$$, और इसलिए अद्वितीय गैर तुच्छ (मुड़) बंडल होना चाहिए। यह होमोटॉपी समूहों पर प्रेरित लंबे सटीक अनुक्रम को देखकर दिखाया जा सकता है।

प्रतिनिधित्व सिद्धांत
का प्रतिनिधित्व सिद्धांत $$SU(3)$$ अच्छी तरह से समझा जाता है। इन निरूपणों का विवरण, इसके सम्मिश्र लाई बीजगणित के दृष्टिकोण से $$\mathfrak{sl}(3; \mathbb{C})$$, लाई बीजगणित प्रतिनिधित्व पर लेखों में पाया जा सकता है # SU (3) # SU.283.29 समूह के प्रतिनिधित्व के लिए लाई बीजगणित या क्लेब्स-गॉर्डन गुणांक के परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व को वर्गीकृत करना। SU (3) के लिए क्लेब्स-गॉर्डन गुणांक।

लाई बीजगणित
जनरेटर, $T$ लाई बीजगणित का $$\mathfrak{su}(3)$$ का $$SU(3)$$ परिभाषित (कण भौतिकी, हर्मिटियन) प्रतिनिधित्व में, हैं
 * $$T_a = \frac{\lambda_a}{2}~, $$

जहाँ $S^{3}$, गेल-मैन मैट्रिसेस, हैं $SU(2)$ पाउली मेट्रिसेस का एनालॉग $3 × 3$:
 * $$\begin{align}

\lambda_1 ={} &\begin{pmatrix} 0 & 1 &  0 \\ 1 &  0 &  0 \\ 0 & 0 &  0 \end{pmatrix}, & \lambda_2 ={} &\begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i &  0 &  0 \\ 0 & 0 &  0 \end{pmatrix}, & \lambda_3 ={} &\begin{pmatrix} 1 & 0 &  0 \\ 0 & -1 &  0 \\ 0 & 0 &  0 \end{pmatrix}, \\[6pt] \lambda_4 ={} &\begin{pmatrix} 0 & 0 &  1 \\ 0 &  0 &  0 \\ 1 & 0 &  0 \end{pmatrix}, & \lambda_5 ={} &\begin{pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 &  0 &  0 \\ i & 0 &  0 \end{pmatrix}, \\[6pt] \lambda_6 ={} &\begin{pmatrix} 0 & 0 &  0 \\ 0 &  0 &  1 \\ 0 & 1 &  0 \end{pmatrix}, & \lambda_7 ={} &\begin{pmatrix} 0 & 0 &  0 \\ 0 &  0 & -i \\ 0 & i &  0 \end{pmatrix}, & \lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} &\begin{pmatrix} 1 & 0 &  0 \\ 0 &  1 &  0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}. \end{align}$$ इन $λ$ स्पैन ऑल ट्रेस (रैखिक बीजगणित) हर्मिटियन मैट्रिक्स $H$ लाई बीजगणित की, आवश्यकतानुसार। ध्यान दें कि $SU(3)$ विषम हैं।

वे संबंधों का पालन करते हैं
 * $$\begin{align}

\left[T_a, T_b\right] &= i \sum_{c=1}^8 f_{abc} T_c, \\ \left\{T_a, T_b\right\} &= \frac{1}{3} \delta_{ab} I_3 + \sum_{c=1}^8 d_{abc} T_c, \end{align}$$ या, समकक्ष,
 * $$\{\lambda_a, \lambda_b\} = \frac{4}{3}\delta_{ab} I_3 + 2\sum_{c=1}^8{d_{abc} \lambda_c}$$. $f$ }} द्वारा दिए गए लाई बीजगणित के संरचना स्थिरांक हैं
 * $$\begin{align}

f_{123} &= 1, \\ f_{147} = -f_{156} = f_{246} = f_{257} = f_{345} = -f_{367} &= \frac{1}{2}, \\ f_{458} = f_{678} &= \frac{\sqrt{3}}{2}, \end{align}$$ जबकि अन्य सभी $SU(2)$ क्रमचय द्वारा इनसे संबंधित नहीं शून्य हैं। सामान्य तौर पर, वे तब तक गायब हो जाते हैं जब तक कि सेट {2, 5, 7} से विषम संख्या में सूचकांक न हों।सममित गुणांक $λ_{a}$ मान लें
 * $$\begin{align}

d_{118} = d_{228} = d_{338} = -d_{888} &= \frac{1}{\sqrt{3}} \\ d_{448} = d_{558} = d_{668} = d_{778} &= -\frac{1}{2\sqrt{3}} \\ d_{344} = d_{355} = -d_{366} = -d_{377} = -d_{247} = d_{146} = d_{157} = d_{256} &=  \frac{1}{2} ~. \end{align}$$ सेट {2, 5, 7} से सूचकांकों की संख्या विषम होने पर वे गायब हो जाते हैं।

एक सामान्य $λ_{2}, λ_{5}, λ_{7}$ ट्रेसलेस 3×3 हर्मिटियन मैट्रिक्स द्वारा उत्पन्न समूह तत्व $1/6$, के रूप में सामान्यीकृत $f_{abc}$, में दूसरे क्रम के मैट्रिक्स बहुपद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $H$:
 * $$\begin{align}

\exp(i\theta H) ={} &\left[-\frac{1}{3} I\sin\left(\varphi + \frac{2\pi}{3}\right) \sin\left(\varphi - \frac{2\pi}{3}\right) - \frac{1}{2\sqrt{3}}~H\sin(\varphi) - \frac{1}{4}~H^2\right] \frac{\exp\left(\frac{2}{\sqrt{3}}~i\theta\sin(\varphi)\right)} {\cos\left(\varphi + \frac{2\pi}{3}\right) \cos\left(\varphi - \frac{2\pi}{3}\right)} \\[6pt] & {} + \left[-\frac{1}{3}~I\sin(\varphi) \sin\left(\varphi - \frac{2\pi}{3}\right) - \frac{1}{2\sqrt{3}}~H\sin\left(\varphi + \frac{2\pi}{3}\right) - \frac{1}{4}~H^{2}\right] \frac{\exp\left(\frac{2}{\sqrt{3}}~i\theta \sin\left(\varphi + \frac{2\pi}{3}\right)\right)} {\cos(\varphi) \cos\left(\varphi - \frac{2\pi}{3}\right)} \\[6pt] & {} + \left[-\frac{1}{3}~I\sin(\varphi) \sin\left(\varphi + \frac{2\pi}{3}\right) - \frac{1}{2\sqrt{3}}~H \sin\left(\varphi - \frac{2\pi}{3}\right) - \frac{1}{4}~H^2\right] \frac{\exp\left(\frac{2}{\sqrt{3}}~i\theta \sin\left(\varphi - \frac{2\pi}{3}\right)\right)} {\cos(\varphi)\cos\left(\varphi + \frac{2\pi}{3}\right)} \end{align}$$ जहाँ
 * $$\varphi \equiv \frac{1}{3}\left[\arccos\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\det H\right) - \frac{\pi}{2}\right].$$

लाई बीजगणित संरचना
जैसा ऊपर बताया गया है, लाई बीजगणित $$\mathfrak{su}(n)$$ का $$\operatorname{SU}(n)$$ के होते हैं $$n\times n$$ स्केव हर्मिटियन मैट्रिक्स | स्केव-हर्मिटियन मैट्रिक्स ट्रेस शून्य के साथ। लाई बीजगणित की सम्मिश्रता $$\mathfrak{su}(n)$$ है $$\mathfrak{sl}(n; \mathbb{C})$$, सभी का स्थान $$n\times n$$ ट्रेस शून्य के साथ सम्मिश्र मैट्रिसेस। एक कार्टन सबलजेब्रा में निशान शून्य के साथ विकर्ण मैट्रिसेस होते हैं, जिसे हम वैक्टर के साथ पहचानते हैं $$\mathbb C^n$$ जिनकी प्रविष्टियों का योग शून्य है।  मूल प्रक्रिया  तब सभी से मिलकर बनता है $f_{abc}$ के क्रमपरिवर्तन $d$.

सरल रूट (रूट सिस्टम) का एक विकल्प है
 * $$\begin{align}

(&1, -1, 0, \dots, 0,  0), \\ (&0, 1, -1, \dots, 0,  0), \\ &\vdots                   \\ (&0, 0,  0, \dots, 1, -1). \end{align}$$ इसलिए, $SU(3)$ रैंक का है (रैखिक बीजगणित) $tr(H^{2}) = 2$ और इसके डायकिन आरेख द्वारा दिया गया है $n(n − 1)$, की एक श्रृंखला $(1, −1, 0, ..., 0)$ नोड्स: .... इसका कार्टन मैट्रिक्स  है
 * $$\begin{pmatrix}

2 & -1 & 0 & \dots & 0 \\ -1 & 2 & -1 & \dots & 0 \\ 0 & -1 & 2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 2 \end{pmatrix}. $$ इसका वेइल समूह  या  कॉक्सेटर समूह  सममित समूह है $SU(n)$, का  समरूपता समूह  $n − 1$- सिंप्लेक्स ।

सामान्यीकृत विशेष एकात्मक समूह
एक क्षेत्र के लिए (गणित) $A_{n−1}$,F पर सामान्यीकृत विशेष एकात्मक समूह, $n − 1$, रैंक के एक सदिश स्थान के निर्धारक 1 के सभी रैखिक परिवर्तनों का समूह (गणित) है $S_{n}$ ऊपर $(n − 1)$ जो अपरिवर्तनीय रूप से एक अपरिवर्तनीय रूप छोड़ते हैं, द्विघात रूप के हस्ताक्षर का हर्मिटियन रूप  $F$. इस समूह को प्रायः हस्ताक्षर के विशेष एकात्मक समूह के रूप में जाना जाता है $SU(p, q; F)$ ऊपर $n = p + q$. फील्ड $F$ एक क्रमविनिमेय अंगूठी द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जिस स्थिति में वेक्टर स्पेस को एक मुफ्त मॉड्यूल द्वारा बदल दिया जाता है।

विशेष रूप से, एक हर्मिटियन मैट्रिक्स को सही से देखें तो $(p, q)$ हस्ताक्षर का $p q$ में $$\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$$, यहाँ पर...
 * $$M \in \operatorname{SU}(p, q, \mathbb{R})$$

संतुष्ट करना
 * $$\begin{align}

M^{*} A M &= A \\ \det M &= 1. \end{align}$$ प्रायः कोई नोटेशन देखेगा $F$ एक अंगूठी या क्षेत्र के संदर्भ के बिना; इस मामले में, रिंग या फील्ड को संदर्भित किया जा रहा है $$\mathbb C$$ और यह शास्त्रीय लाई समूहों में से एक देता है। के लिए मानक विकल्प $F$ कब $\operatorname{F} = \mathbb{C}$ है
 * $$A = \begin{bmatrix}

0 & 0      & i \\ 0 & I_{n-2} & 0 \\ -i & 0      & 0 \end{bmatrix}. $$ हालांकि, के लिए बेहतर विकल्प हो सकते हैं $A$ कुछ आयामों के लिए जो के सबरिंग्स पर प्रतिबंध के तहत अधिक व्यवहार प्रदर्शित करते हैं $$\mathbb C$$.

उदाहरण
इस प्रकार के समूह का एक महत्वपूर्ण उदाहरण पिकार्ड मॉड्यूलर समूह है $$\operatorname{SU}(2, 1; \mathbb{Z}[i])$$ जो डिग्री दो के सम्मिश्र अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान पर (अनुमानित रूप से) कार्य करता है, उसी तरह $$\operatorname{SL}(2,9;\mathbb{Z})$$ आयाम दो के वास्तविक अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान पर कार्य (अनुमानित रूप से)। 2005 में गैबोर फ़्रैंक्सिक्स और पीटर लैक  ने इस समूह की कार्रवाई के लिए एक स्पष्ट मौलिक डोमेन की गणना की $p q$.

एक और उदाहरण है $$\operatorname{SU}(1, 1; \mathbb{C})$$, जो कि आइसोमॉर्फिक है $$\operatorname{SL}(2, \mathbb{R})$$.

महत्वपूर्ण उपसमूह
भौतिकी में विशेष एकात्मक समूह का उपयोग बोसोनिक  समरूपता का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। समरूपता तोड़ने के सिद्धांतों में विशेष एकात्मक समूह के उपसमूहों को खोजने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है। के उपसमूह $SU(p, q)$  महा एकीकरण सिद्धांत  में जो महत्वपूर्ण हैं, वे हैं $A$,
 * $$\operatorname{SU}(n) \supset \operatorname{SU}(p) \times \operatorname{SU}(n - p) \times \operatorname{U}(1),$$

जहाँ × समूहों के प्रत्यक्ष उत्पाद को दर्शाता है और $A$, वृत्त समूह के रूप में जाना जाता है, निरपेक्ष मान सम्मिश्र संख्या 1 के साथ सभी सम्मिश्र संख्याओं का गुणनात्मक समूह है।

पूर्णता के लिए, ओर्थोगोनल समूह और कॉम्पैक्ट सहानुभूतिपूर्ण समूह उपसमूह भी हैं,
 * $$\begin{align}

\operatorname{SU}(n) &\supset \operatorname{SO}(n), \\ \operatorname{SU}(2n) &\supset \operatorname{Sp}(n). \end{align}$$ के एक लाई समूह की रैंक के बाद से $HC^{2}$ है $SU(n)$ और का $p > 1, n − p > 1$ 1 है, एक उपयोगी जाँच यह है कि उपसमूहों के रैंकों का योग मूल समूह के रैंक से कम या उसके बराबर है। $U(1)$ विभिन्न अन्य लाई समूहों का एक उपसमूह है,
 * $$\begin{align}

\operatorname{SO}(2n) &\supset \operatorname{SU}(n) \\ \operatorname{Sp}(n) &\supset \operatorname{SU}(n) \\ \operatorname{Spin}(4) &= \operatorname{SU}(2) \times \operatorname{SU}(2) \\ \operatorname{E}_6 &\supset \operatorname{SU}(6) \\ \operatorname{E}_7 &\supset \operatorname{SU}(8) \\ \operatorname{G}_2 &\supset \operatorname{SU}(3) \end{align}$$ स्पिन समूह देखें और  सरल लाई समूह के लिए E6, E7, और G2.

स्पिन समूह असाधारण समरूपताएं भी हैं: $SU(n)$, $n − 1$, और $U(1)$.

कोई अंत में इसका उल्लेख कर सकता है $SU(n)$ का दोहरा आवरण समूह है $SU(4) = Spin(6)$, एक संबंध जो गैर-सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी में 2-स्पिनरों के घूर्णन के सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

समूह SU (1,1)
$$SU(1,1) = \left \{ \begin{pmatrix}u & v \\ v^* & u^* \end{pmatrix} \in M(2,\mathbb{C}): u u^* - v v^* = 1 \right \}~,~$$ जहाँ $$~u^*~$$ सम्मिश्र संख्या के सम्मिश्र संयुग्म को दर्शाता है $H$.

यह समूह आइसोमॉर्फिक है $SU(2) = Spin(3) = Sp(1)$ और $Sp(n)$ जहां अल्पविराम द्वारा अलग की गई संख्याएं समूह द्वारा संरक्षित द्विघात रूप के हस्ताक्षर (द्विघात रूप) को संदर्भित करती हैं। भाव $$~u u^* - v v^*~$$ की परिभाषा में $USp(2n)$ एक हर्मिटियन रूप है जो एक आइसोट्रोपिक द्विघात रूप  बन जाता है जब $u$ और $Sp(n)$ उनके वास्तविक घटकों के साथ विस्तारित हैं।

इस समूह की प्रारंभिक उपस्थिति 1852 में जेम्स कॉकल  द्वारा शुरू की गई  coquaternion  की इकाई क्षेत्र के रूप में थी।

j = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\,, \quad k = \begin{bmatrix} 1 & \;~0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\,, \quad i = \begin{bmatrix} \;~0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}~. $$ फिर $$~j\,k = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & \;~0 \end{bmatrix} = -i ~,~$$ $$~ i\,j\,k = I_2 \equiv \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}~,~$$ 2×2 पहचान मैट्रिक्स, $$~k\,i = j ~,$$ और $$\;i\,j = k \;,$$ और तत्व $u$ और $i, j,$ चतुष्कोणों के रूप में सभी एंटीकोम्यूटेटिव संपत्ति। भी $$i$$ का वर्गमूल अभी भी है $2n × 2n$ (पहचान मैट्रिक्स का नकारात्मक), जबकि $$~j^2 = k^2 = +I_2~$$ चतुष्कोणों के विपरीत नहीं हैं। चतुर्धातुक और सहचतुर्भुज दोनों के लिए, सभी अदिश राशियों को के निहित गुणकों के रूप में माना जाता है $k$$I$और के रूप में नोट किया गया $U(1) = Spin(2) = SO(2)$.

कोक्वाटरनियन $$~q = w + x\,i + y\,j + z\,k~$$ अदिश के साथ $2$, संयुग्मी है $$~q = w - x\,i - y\,j - z\,k~$$ हैमिल्टन के चतुष्कोणों के समान। द्विघात रूप है $$~q\,q^* = w^2 + x^2 - y^2 - z^2~.$$

यहाँ ध्यान दें कि 2-शीट hyperboloid $$\left\{ x i + y j + z k : x^2 - y^2 - z^2 = 1 \right\}$$ बीजगणित में काल्पनिक इकाइयों से मेल खाता है ताकि कोई बिंदु $w$ यूलर के सूत्र के अनुसार इस हाइपरबोलॉइड को साइनसोइडल तरंग के ध्रुव के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है।

हाइपरबोलाइड के तहत स्थिर है $SU(2)$, समरूपतावाद का चित्रण $SO(3)$. एक लहर के ध्रुव की परिवर्तनशीलता, जैसा कि ध्रुवीकरण (तरंगों) के अध्ययन में उल्लेख किया गया है,अण्डाकार ध्रुवीकरण को एक अंडाकार लहर के क्रम में देख सकता है pole $~p \ne \pm i~$. पोंकारे स्फीयर (ऑप्टिक्स) | 1892 से उपयोग किए जाने वाले पॉइंकेयर स्फीयर मॉडल की तुलना 2-शीट हाइपरबोलॉइड मॉडल से की गई है।

जब एक तत्व $SL(2,ℝ)$ एक मोबियस परिवर्तन के रूप में व्याख्या की जाती है, यह यूनिट डिस्क को स्थिर छोड़ देता है, इसलिए यह समूह हाइपरबोलिक प्लेन ज्योमेट्री के पॉइनकेयर डिस्क मॉडल की गति (ज्यामिति) का प्रतिनिधित्व करता है। दरअसल, एक बिंदु के लिए $Spin(2,1)$ सम्मिश्र प्रक्षेप्य रेखा में, की क्रिया $SU(1,1)$ द्वारा दिया गया है
 * $$\bigl[\;z,\;1\;\bigr]\,\begin{pmatrix}u & v \\ v^* & u^* \end{pmatrix} = [\;u\,z + v^*, \, v\,z +u^*\;] \, = \, \left[\;\frac{uz + v^*}{vz +u^*}, \, 1 \;\right]$$

चूंकि अनुमानित निर्देशांक में $$(\;u\,z + v^*, \; v\,z +u^*\;) \thicksim \left(\;\frac{\,u\,z + v^*\,}{v\,z +u^*}, \; 1 \;\right)~.$$

लिखना $$\;suv + \overline{suv} = 2\,\Re\mathord\bigl(\,suv\,\bigr)\;,$$ सम्मिश्र संख्या अंकगणितीय दिखाता है
 * $$\bigl|u\,z + v^*\bigr|^2 = S + z\,z^* \quad \text{ and } \quad \bigl|v\,z + u^*\bigr|^2 = S + 1~,$$

जहाँ $$~S = v\,v^* \left(z\,z^* + 1\right) + 2\,\Re\mathord\bigl(\,uvz\,\bigr)~.$$इसलिए, $$~z\,z^* < 1 \implies \bigl|uz + v^*\bigr| < \bigl|\,v\,z + u^*\,\bigr|~$$ ताकि उनका अनुपात ओपन डिस्क में रहे।

यह भी देखें

 * एकात्मक समूह
 * अनुमानित विशेष एकात्मक समूह, $v$
 * ऑर्थोगोनल समूह
 * पाउली मेट्रिसेस का सामान्यीकरण
 * SU(2) का प्रतिनिधित्व सिद्धांत