अल्फा-बीटा परिवर्तन

विद्युत अभियन्त्रण में, अल्फा-बीटा ($$\alpha\beta\gamma$$) ट्रांसफ़ॉर्मेशन (क्लार्क ट्रांसफ़ॉर्मेशन के रूप में भी जाना जाता है) एक गणितीय ट्रांसफ़ॉर्म (गणित) है जिसका उपयोग तीन-चरण विद्युत शक्ति | तीन-चरण सर्किट के विश्लेषण को सरल बनाने के लिए किया जाता है। वैचारिक रूप से यह dq0 परिवर्तन के समान है। का एक अत्यंत उपयोगी अनुप्रयोग $$\alpha\beta\gamma$$ परिवर्तन तीन-चरण इन्वर्टर (इलेक्ट्रिकल) के स्पेस वेक्टर मॉड्यूलेशन नियंत्रण के लिए उपयोग किए जाने वाले संदर्भ सिग्नल की पीढ़ी है।

इतिहास
1937 और 1938 में, एडिथ क्लार्क ने असंतुलित तीन चरण की समस्याओं पर गणना के संशोधित तरीकों के साथ पत्र प्रकाशित किए, जो विशेष रूप से उपयोगी साबित हुए।

परिभाषा
$$\alpha\beta\gamma$$ एच> परिवर्तन तीन-चरण धाराओं पर लागू होता है, जैसा कि एडिथ क्लार्क द्वारा उपयोग किया जाता है
 * $$i_{\alpha\beta\gamma}(t) = Ti_{abc}(t) = \frac{2}{3}\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\

0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_a(t)\\i_b(t)\\i_c(t)\end{bmatrix}$$ कहाँ $$i_{abc}(t)$$ एक सामान्य तीन-चरण वर्तमान अनुक्रम है और $$i_{\alpha\beta\gamma}(t)$$ परिवर्तन द्वारा दिया गया संगत वर्तमान क्रम है $$T$$. उलटा परिवर्तन है:


 * $$i_{abc}(t) = T^{-1}i_{\alpha\beta\gamma}(t) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\

-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1\\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}i_\alpha(t)\\i_\beta(t)\\i_\gamma(t)\end{bmatrix}.$$ उपरोक्त क्लार्क का परिवर्तन उन विद्युत चरों के आयाम को संरक्षित करता है जिन पर इसे लागू किया जाता है। दरअसल, तीन-चरण सममित, प्रत्यक्ष, वर्तमान अनुक्रम पर विचार करें

\begin{align} i_a(t)=&\sqrt{2}I\cos\theta(t),\\ i_b(t)=&\sqrt{2}I\cos\left(\theta(t)-\frac23\pi\right),\\ i_c(t)=&\sqrt{2}I\cos\left(\theta(t)+\frac23\pi\right), \end{align} $$ कहाँ $$I$$ का मूल माध्य वर्ग है $$i_a(t)$$, $$i_b(t)$$, $$i_c(t)$$ और $$\theta(t)$$ सामान्य समय-भिन्न कोण है जिसे भी सेट किया जा सकता है $$\omega t$$ व्यापकता के नुकसान के बिना। फिर, आवेदन करके $$T$$ वर्तमान क्रम में, यह परिणामित होता है

\begin{align} i_{\alpha}=&\sqrt2 I\cos\theta(t),\\ i_{\beta}=&\sqrt2 I\sin\theta(t),\\ i_{\gamma}=&0, \end{align} $$ चूँकि हमने संतुलित धाराओं पर विचार किया है, इसलिए अंतिम समीकरण यहीं लागू होता है। जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, धाराओं के आयाम $$\alpha\beta\gamma$$ संदर्भ फ़्रेम प्राकृतिक संदर्भ फ़्रेम के समान हैं।

शक्ति अपरिवर्तनीय परिवर्तन
ऊपर दिखाए गए परिवर्तन के साथ क्लार्क के डोमेन में गणना की गई सक्रिय और प्रतिक्रियाशील शक्तियां मानक संदर्भ फ्रेम में गणना की गई शक्तियों के समान नहीं हैं। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि $$T$$ एकात्मक मैट्रिक्स नहीं है. सक्रिय और प्रतिक्रियाशील शक्तियों को संरक्षित करने के लिए, इसके बजाय, विचार करना होगा
 * $$i_{\alpha\beta\gamma}(t) = Ti_{abc}(t) = \sqrt{\frac{2}{3}}\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\

0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_a(t)\\i_b(t)\\i_c(t)\end{bmatrix},$$ जो एक एकात्मक मैट्रिक्स है और व्युत्क्रम इसके स्थानान्तरण के साथ मेल खाता है। इस मामले में रूपांतरित धाराओं के आयाम मानक संदर्भ फ्रेम के समान नहीं हैं, अर्थात

\begin{align} i_{\alpha}=&\sqrt3 I\cos\theta(t),\\ i_{\beta}=&\sqrt3 I\sin\theta(t),\\ i_{\gamma}=&0. \end{align} $$ अंततः, इस मामले में उलटा परिवर्तन है

i_{abc}(t) = \sqrt{\frac{2}{3}}\begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_\alpha(t)\\i_\beta(t)\\i_\gamma(t)\end{bmatrix}. $$

सरलीकृत परिवर्तन
चूंकि एक संतुलित प्रणाली में $$i_a(t)+i_b(t)+i_c(t)=0$$ और इस तरह $$i_\gamma(t)=0$$ कोई सरलीकृत परिवर्तन पर भी विचार कर सकता है
 * $$i_{\alpha\beta}(t) = \frac23 \begin{bmatrix} 1 & -\frac12 & -\frac12\\

0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_a(t)\\i_b(t)\\i_c(t)\end{bmatrix}$$ जो तीसरे समीकरण को छोड़कर केवल मूल क्लार्क का परिवर्तन है, और


 * $$i_{abc}(t) = \frac32\begin{bmatrix} \frac23 & 0 \\

-\frac{1}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} \\ -\frac{1}{3} & -\frac{\sqrt{3}}{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}i_\alpha(t)\\i_\beta(t)\end{bmatrix}.$$

ज्यामितीय व्याख्या
$$\alpha\beta\gamma$$ h> परिवर्तन को दो स्थिर अक्षों, अल्फा अक्ष और बीटा अक्ष पर तीन चरण मात्राओं (वोल्टेज या धाराओं) के प्रक्षेपण के रूप में माना जा सकता है। हालाँकि, यदि सिस्टम संतुलित है, तो समीकरण के अनुसार कोई भी जानकारी नष्ट नहीं होती है $$I_a+I_b+I_c=0$$ के समीकरण के समतुल्य है $$I_{\gamma}$$ परिवर्तन में. यदि सिस्टम संतुलित नहीं है, तो $$I_{\gamma}$$ टर्म में प्रक्षेपण का त्रुटि घटक शामिल होगा। इस प्रकार, ए $$I_{\gamma}$$ शून्य का मतलब है कि सिस्टम संतुलित है (और इस प्रकार पूरी तरह से अल्फा-बीटा समन्वय स्थान में मौजूद है), और दो समन्वय गणनाओं के लिए इसे अनदेखा किया जा सकता है जो इस धारणा के तहत काम करते हैं कि सिस्टम संतुलित है। यह क्लार्क परिवर्तन की सुंदरता है क्योंकि यह इस धारणा के कारण तीन घटक प्रणाली को दो घटक प्रणाली में बदल देता है।

इसे समझने का दूसरा तरीका है समीकरण $$I_a+I_b+I_c=0$$ यूक्लिडियन तीन समन्वय स्थान में एक विमान को परिभाषित करता है। अल्फा-बीटा समन्वय स्थान को इस विमान द्वारा परिभाषित दो समन्वय स्थान के रूप में समझा जा सकता है, यानी अल्फा-बीटा अक्ष परिभाषित विमान पर स्थित हैं $$I_a+I_b+I_c=0$$.

इसका मतलब यह भी है कि क्लार्क ट्रांसफॉर्म का उपयोग करने के लिए, किसी को यह सुनिश्चित करना होगा कि सिस्टम संतुलित है, अन्यथा बाद की दो समन्वय गणनाएँ गलत होंगी। यह उन अनुप्रयोगों में एक व्यावहारिक विचार है जहां तीन चरण की मात्राएं मापी जाती हैं और संभवतः माप में त्रुटि हो सकती है।



dq0 परिवर्तन
Dq0 परिवर्तन|$$dq0$$ परिवर्तन वैचारिक रूप से समान है $$\alpha\beta\gamma$$ परिवर्तन. जहांकि $$dq0$$ परिवर्तन एक घूर्णन दो-अक्ष संदर्भ फ्रेम पर चरण मात्राओं का प्रक्षेपण है $$\alpha\beta\gamma$$ परिवर्तन को एक स्थिर दो-अक्ष संदर्भ फ्रेम पर चरण मात्राओं के प्रक्षेपण के रूप में माना जा सकता है।

यह भी देखें

 * सममित घटक
 * Y-Δ परिवर्तन
 * क्षेत्र-उन्मुख नियंत्रण

संदर्भ

 * General references


 * C.J. O'Rourke et al. "A Geometric Interpretation of Reference Frames and Transformations: dq0, Clarke, and Park," in IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 34, no. 4, pp. 2070-2083, Dec. 2019.