ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण

सांख्यिकीय यांत्रिकी में ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण लियोनार्ड ऑर्नस्टीन और फ्रिट्स ज़र्निके द्वारा प्रस्तुत किया गया एक अभिन्न समीकरण है जो एक दूसरे के साथ विभिन्न सहसंबंध फलन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) को जोड़ता है। क्लोजर रिलेशन के साथ, इसका उपयोग तरल पदार्थ या कोलाइड जैसे अनाकार पदार्थ के संरचना कारक और थर्मोडायनामिक स्थिति कार्यों की गणना करने के लिए किया जाता है।

संदर्भ
तरल पदार्थ में अणुओं या आयनों, या कोलाइडल कणों के युग्म सहसंबंध फलन की गणना के लिए सन्निकटन की नींव के रूप में ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण का व्यावहारिक महत्व है। जोड़ी सहसंबंध फलन फूरियर ट्रांसफॉर्म के माध्यम से स्थिर संरचना कारक से संबंधित है, जिसे एक्स-रे विवर्तन या न्यूट्रॉन विवर्तन का उपयोग करके प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित किया जा सकता है।

ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण युग्म सहसंबंध फलन को प्रत्यक्ष सहसंबंध फलन से संबंधित करता है। प्रत्यक्ष सहसंबंध फलन का उपयोग केवल ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण के संबंध में किया जाता है, जिसे वास्तव में इसकी परिभाषा के रूप में देखा जा सकता है।

ओजेड समीकरण के अतिरिक्त, जोड़ी सहसंबंध फलन की गणना के लिए अन्य तरीकों में कम घनत्व पर वायरल विस्तार और बोगोलीबोव-बॉर्न-ग्रीन-किर्कवुड-यवॉन (बीबीजीकेवाई) पदानुक्रम सम्मिलित हैं। इनमें से किसी भी विधि को वायरल विस्तार के मामले में ऑर्नस्टीन-ज़र्निक या बीबीजीकेवाई के लिए एक समापन संबंध के साथ भौतिक सन्निकटन काट-छाँट के साथ जोड़ा जाना चाहिए।

समीकरण
अंकन को सरल रखने के लिए, हम केवल सजातीय तरल पदार्थों पर विचार करते हैं। इस प्रकार जोड़ी सहसंबंध फलन केवल दूरी पर निर्भर करता है, और इसलिए इसे रेडियल वितरण फलन भी कहा जाता है। इसे लिखा जा सकता है
 * $$g(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2) = g(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2) \equiv g(\mathbf{r}_{12}) = g(|\mathbf{r}_{12}|) \equiv g(r_{12}) \equiv g(12),$$

जहां पहली समानता एकरूपता से आती है, दूसरी आइसोट्रॉपी से, और समतुल्यताएं नए अंकन का परिचय देती हैं।

कुल सहसंबंध फलन को इस प्रकार परिभाषित करना सुविधाजनक है:


 * $$ h(12)\equiv g(12)-1$$

जो दूरी पर अणु 2 पर अणु 1 के प्रभाव को व्यक्त करता है $$\,r_{12}\,$$. ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण

इस प्रभाव को दो योगदानों में विभाजित करता है, प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष। प्रत्यक्ष योगदान प्रत्यक्ष सहसंबंध फलन $$c(r).$$ को परिभाषित करता है। अप्रत्यक्ष भाग एक तिहाई, लेबल अणु 3 पर अणु 1 के प्रभाव के कारण होता है, जो बदले में अणु 2 को प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष रूप से प्रभावित करता है। यह अप्रत्यक्ष प्रभाव घनत्व द्वारा भारित होता है और अणु 3 की सभी संभावित स्थितियों पर औसत होता है।

अप्रत्यक्ष प्रभाव को ख़त्म करके, $$\,c(r)\,$$ से कम दूरी वाला है $$h(r)$$ और अधिक आसानी से मॉडलिंग और अनुमान लगाया जा सकता है। की त्रिज्या $$\,c(r)\,$$ अंतर-आण्विक बलों की त्रिज्या द्वारा निर्धारित किया जाता है, जबकि की त्रिज्या $$\,h(r)\,$$ सहसंबंध लंबाई के क्रम का है।

फूरियर रूपांतरण
ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण में अभिन्न एक कनवल्शन है। इसलिए, ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण को फूरियर रूपांतरित करता है द्वारा हल किया जा सकता है। यदि हम फूरियर परिवर्तनों को निरूपित करते हैं $$h(\mathbf{r})$$ और $$c(\mathbf{r})$$ द्वारा $$\hat{h}(\mathbf{k})$$ और $$\hat{c}(\mathbf{k})$$, क्रमशः, और कनवल्शन प्रमेय का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं


 * $$ \hat{h}(\mathbf{k}) \; = \; \hat{c}(\mathbf{k}) \; + \; \rho \; \hat{h}(\mathbf{k})\;\hat{c}(\mathbf{k})~, $$

कौन सी पैदावार


 * $$ \hat{c}(\mathbf{k}) \; = \; \frac{\hat{h}(\mathbf{k})}{\;1 \;+\;\rho \;\hat{h}(\mathbf{k})\;} \qquad \text{ and } \qquad \hat{h}(\mathbf{k}) \; = \; \frac{\hat{c}(\mathbf{k})}{\; 1 \; - \; \rho \; \hat{c}(\mathbf{k}) \;} ~. $$

समापन संबंध
दोनों कार्यों के रूप में, $$ \,h \,$$ और $$ \,c \,$$, अज्ञात हैं, किसी को एक अतिरिक्त समीकरण की आवश्यकता होती है, जिसे क्लोजर (गणित) संबंध के रूप में जाना जाता है। जबकि ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण पूरी तरह से औपचारिक है, समापन में कुछ शारीरिक रूप से प्रेरित सन्निकटन सम्मिलित होना चाहिए।

निम्न-घनत्व सीमा में, युग्म सहसंबंध फलन बोल्ट्ज़मान कारक द्वारा दिया जाता है,


 * $$g(12)=\text{e}^{-\beta u(12)},\quad \rho\to 0$$

साथ $$\beta=1/k_\text{B} T$$ और जोड़ी क्षमता के साथ $$u(r)$$. उच्च घनत्व के लिए समापन संबंध इस सरल संबंध को विभिन्न तरीकों से संशोधित करते हैं। सबसे प्रसिद्ध समापन सन्निकटन हैं:
 * अभेद्य (कठोर) कोर वाले कणों के लिए पर्कस-येविक सन्निकटन,
 * हाइपरनेटेटेड-चेन समीकरण नरम कोर और आकर्षक संभावित पूंछ वाले कणों के लिए,
 * माध्य गोलाकार सन्निकटन,
 * रोजर्स-यंग सन्निकटन

बाद वाले दो पहले वाले दो कणों के बीच अलग-अलग तरीकों से प्रक्षेप करते हैं, और इस प्रकार उन कणों का संतोषजनक विवरण प्राप्त करते हैं जिनमें कठोर कोर और आकर्षक बल होते हैं।