द्विपद रचनांतर

साहचर्य में, द्विपद परिवर्तन एक अनुक्रम परिवर्तन है (यानी, अनुक्रम का एक परिवर्तन) जो इसके आगे के अंतरों की गणना करता है। यह यूलर ट्रांसफॉर्म से निकटता से संबंधित है, जो कि इसके सामान्य जनरेटिंग फ़ंक्शन से जुड़े अनुक्रम में द्विपद ट्रांसफॉर्म को लागू करने का परिणाम है।

परिभाषा
एक अनुक्रम का द्विपद परिवर्तन, टी, {एn}, अनुक्रम {s हैn} द्वारा परिभाषित


 * $$s_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k} a_k.$$

औपचारिक रूप से, कोई लिख सकता है


 * $$s_n = (Ta)_n = \sum_{k=0}^n T_{nk} a_k$$

परिवर्तन के लिए, जहां टी मैट्रिक्स तत्वों टी के साथ एक अनंत-आयामी ऑपरेटर (गणित) हैnk. परिवर्तन एक इनवोलुशन (गणित) है, अर्थात,


 * $$TT = 1$$

या, सूचकांक संकेतन का उपयोग करते हुए,


 * $$\sum_{k=0}^\infty T_{nk}T_{km} = \delta_{nm}$$

कहाँ $$\delta_{nm}$$ क्रोनकर डेल्टा है। मूल श्रृंखला को पुनः प्राप्त किया जा सकता है


 * $$a_n=\sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k} s_k.$$

किसी अनुक्रम का द्विपद परिवर्तन केवल अनुक्रम का nवाँ आगे का अंतर#n-वाँ अंतर है, जिसमें विषम अंतर एक नकारात्मक चिह्न रखते हैं, अर्थात्:


 * $$\begin{align}

s_0 &= a_0 \\ s_1 &= - (\Delta a)_0 = -a_1+a_0 \\ s_2 &= (\Delta^2 a)_0 = -(-a_2+a_1)+(-a_1+a_0) = a_2-2a_1+a_0 \\ &\;\; \vdots \\ s_n &= (-1)^n (\Delta^n a)_0 \end{align}$$ जहां Δ फॉरवर्ड डिफरेंस ऑपरेटर है।

कुछ लेखक द्विपद परिवर्तन को एक अतिरिक्त चिह्न के साथ परिभाषित करते हैं, ताकि यह स्व-प्रतिलोम न हो:


 * $$t_n = \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} {n\choose k} a_k$$

जिसका व्युत्क्रम है


 * $$a_n=\sum_{k=0}^n {n\choose k} t_k.$$

इस मामले में पहले वाले परिवर्तन को व्युत्क्रम द्विपद परिवर्तन कहा जाता है, और बाद वाले को केवल द्विपद परिवर्तन कहा जाता है। उदाहरण के लिए पूर्णांक अनुक्रमों के ऑन-लाइन विश्वकोश में यह मानक उपयोग है।

उदाहरण
द्विपद परिवर्तन के दोनों संस्करण अंतर तालिकाओं में दिखाई देते हैं। निम्नलिखित अंतर तालिका पर विचार करें:

प्रत्येक पंक्ति पिछली पंक्ति का अंतर है। (एम-वें लाइन में एन-वां नंबर एक हैm,n = 3n−2(2एम+1एन2+2म(1+6m)n + 2एम-1यम2), और अंतर समीकरण am+1,n = एm,n+1 - एm,n धारण करता है।)

बाएँ से दाएँ पढ़ी जाने वाली शीर्ष पंक्ति {a हैn} = 0, 1, 10, 63, 324, 1485, ...समान प्रारंभिक बिंदु 0 वाला विकर्ण {t हैn} = 0, 1, 8, 36, 128, 400, ... {टीn} {ए का अनैच्छिक द्विपद रूपांतरण हैn}.

दाएँ से बाएँ पढ़ी जाने वाली शीर्ष पंक्ति {बी हैn} = 1485, 324, 63, 10, 1, 0, ... समान प्रारंभिक बिंदु 1485 वाला क्रॉस-विकर्ण {s हैn} = 1485, 1161, 900, 692, 528, 400, ... {एसn} {बी का अनैच्छिक द्विपद परिवर्तन हैn}.

सामान्य जनरेटिंग फ़ंक्शन
परिवर्तन श्रृंखला से जुड़े उत्पन्न करने वाले कार्यों को जोड़ता है। सामान्य जनरेटिंग फ़ंक्शन के लिए, चलो


 * $$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$$

और


 * $$g(x)=\sum_{n=0}^\infty s_n x^n $$

तब


 * $$g(x) = (Tf)(x) = \frac{1}{1-x} f\left(\frac{-x}{1-x}\right).$$

यूलर रूपांतरण
सामान्य जनरेटिंग फ़ंक्शंस के बीच संबंध को कभी-कभी यूलर ट्रांसफ़ॉर्म कहा जाता है। यह आमतौर पर दो अलग-अलग तरीकों में से एक में अपनी उपस्थिति बनाता है। एक रूप में, इसका उपयोग एक वैकल्पिक श्रृंखला के श्रृंखला त्वरण के लिए किया जाता है। यानी अपनी पहचान होती है


 * $$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(\Delta^n a)_0}{2^{n+1}}$$

जो उपरोक्त अंतिम सूत्र में x = 1/2 प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है। दायीं ओर के शब्द आम तौर पर बहुत छोटे हो जाते हैं, बहुत तेजी से, इस प्रकार तेजी से संख्यात्मक योग की अनुमति मिलती है।

यूलर परिवर्तन को सामान्यीकृत किया जा सकता है (बोरिसोव बी. और श्कोड्रोव वी., 2007):


 * $$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n {n+p\choose n} a_n = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n {n+p\choose n} \frac{(\Delta^n a)_0}{2^{n+p+1}} ,$$

जहाँ p = 0, 1, 2,…

यूलर ट्रांसफ़ॉर्म को अक्सर यूलर हाइपरजियोमेट्रिक इंटीग्रल पर भी लागू किया जाता है $$\,_2F_1$$. यहाँ, यूलर परिवर्तन रूप लेता है:


 * $$\,_2F_1 (a,b;c;z) = (1-z)^{-b} \,_2F_1 \left(c-a, b; c;\frac{z}{z-1} \right).$$

द्विपद परिवर्तन, और यूलर परिवर्तन के रूप में इसकी भिन्नता, किसी संख्या के निरंतर अंश प्रतिनिधित्व के संबंध के लिए उल्लेखनीय है। होने देना $$0 < x < 1$$ निरंतर भिन्न प्रतिनिधित्व है


 * $$x=[0;a_1, a_2, a_3,\cdots]$$

तब


 * $$\frac{x}{1-x}=[0;a_1-1, a_2, a_3,\cdots]$$

और


 * $$\frac{x}{1+x}=[0;a_1+1, a_2, a_3,\cdots].$$

घातांकीय सृजन फलन
घातीय जनरेटिंग फ़ंक्शन के लिए, आइए


 * $$\overline{f}(x)= \sum_{n=0}^\infty a_n \frac{x^n}{n!}$$

और


 * $$\overline{g}(x)= \sum_{n=0}^\infty s_n \frac{x^n}{n!}$$

तब


 * $$\overline{g}(x) = (T\overline{f})(x) = e^x \overline{f}(-x).$$

बोरेल योग सामान्य जनरेटिंग फ़ंक्शन को घातीय जेनरेटिंग फ़ंक्शन में परिवर्तित कर देगा।

अभिन्न प्रतिनिधित्व
जब अनुक्रम को एक जटिल विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन द्वारा इंटरपोल किया जा सकता है, तो अनुक्रम के द्विपद परिवर्तन को इंटरपोलिंग फ़ंक्शन पर नॉरलुंड-राइस इंटीग्रल के माध्यम से दर्शाया जा सकता है।

सामान्यीकरण
प्रोडिंगर एक संबंधित, मॉड्यूलर रूप |मॉड्यूलर-जैसा परिवर्तन देता है: देना


 * $$u_n = \sum_{k=0}^n {n\choose k} a^k (-c)^{n-k} b_k$$

देता है


 * $$U(x) = \frac{1}{cx+1} B\left(\frac{ax}{cx+1}\right)$$

जहां यू और बी श्रृंखला से जुड़े सामान्य उत्पादक कार्य हैं $$\{u_n\}$$ और $$\{b_n\}$$, क्रमश।

बढ़ते हुए k-द्विपद परिवर्तन को कभी-कभी इस प्रकार परिभाषित किया जाता है


 * $$\sum_{j=0}^n {n\choose j} j^k a_j.$$

गिरता हुआ k-द्विपद परिवर्तन है


 * $$\sum_{j=0}^n {n\choose j} j^{n-k} a_j$$.

दोनों एक श्रृंखला के हेंकेल रूपांतरण के कर्नेल (बीजगणित) की समरूपताएं हैं।

ऐसे मामले में जहां द्विपद परिवर्तन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है


 * $$\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}a_i=b_n.$$

इसे फ़ंक्शन के बराबर होने दें $$\mathfrak J(a)_n=b_n.$$ यदि एक नई फॉरवर्ड अंतर तालिका बनाई जाती है और एक नया अनुक्रम बनाने के लिए इस तालिका की प्रत्येक पंक्ति से पहले तत्वों को लिया जाता है $$\{b_n\}$$, तो मूल अनुक्रम का दूसरा द्विपद परिवर्तन है,


 * $$\mathfrak J^2(a)_n=\sum_{i=0}^n(-2)^{n-i}\binom{n}{i}a_i.$$

यदि एक ही प्रक्रिया को k बार दोहराया जाता है, तो परिणाम यह होता है कि,


 * $$\mathfrak J^k(a)_n=b_n=\sum_{i=0}^n(-k)^{n-i}\binom{n}{i}a_i.$$

इसका उलटा है,


 * $$\mathfrak J^{-k}(b)_n=a_n=\sum_{i=0}^nk^{n-i}\binom{n}{i}b_i.$$

इसे इस प्रकार सामान्यीकृत किया जा सकता है,


 * $$\mathfrak J^k(a)_n=b_n=(\mathbf E-k)^na_0$$

कहाँ $$\mathbf E$$ शिफ्ट ऑपरेटर है.

इसका उलटा है


 * $$\mathfrak J^{-k}(b)_n=a_n=(\mathbf E+k)^nb_0.$$

यह भी देखें

 * न्यूटन श्रृंखला
 * हैंकेल मैट्रिक्स
 * मोबियस परिवर्तन
 * स्टर्लिंग परिवर्तन
 * यूलर योग
 * द्विपद क्यूएमएफ
 * रीमैन-लिउविल इंटीग्रल
 * तथ्यात्मक और द्विपद विषयों की सूची

संदर्भ

 * John H. Conway and Richard K. Guy, 1996, The Book of Numbers
 * Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming Vol. 3, (1973) Addison-Wesley, Reading, MA.
 * Helmut Prodinger, 1992, Some information about the Binomial transform
 * Michael Z. Spivey and Laura L. Steil, 2006, The k-Binomial Transforms and the Hankel Transform
 * Borisov B. and Shkodrov V., 2007, Divergent Series in the Generalized Binomial Transform, Adv. Stud. Cont. Math., 14 (1): 77-82
 * Khristo N. Boyadzhiev, Notes on the Binomial Transform, Theory and Table, with Appendix on the Stirling Transform (2018), World Scientific.

बाहरी संबंध

 * Binomial Transform
 * Transformations of Integer Sequences