मॉड्यूलो (गणित)

गणित में, 'मॉड्यूलो' शब्द ('विकट:मॉड्यूलस' के लैटिन विभक्ति के एक मापांक के संबंध में) का प्रयोग अक्सर यह दावा करने के लिए किया जाता है कि दो अलग-अलग गणितीय वस्तुओं को माना जा सकता है समतुल्य - यदि उनके अंतर को एक अतिरिक्त कारक द्वारा हिसाब दिया जाता है। इसे शुरू में 1801 में कार्ल फ्रेडरिक गॉस द्वारा मॉड्यूलर अंकगणित के संदर्भ में गणित में पेश किया गया था। तब से, इस शब्द ने कई अर्थ प्राप्त किए हैं - कुछ सटीक और कुछ अभेद्य (जैसे कि को छोड़कर के साथ मॉडुलो की बराबरी करना)। अधिकांश भाग के लिए, शब्द अक्सर फॉर्म के बयानों में होता है:


 * ए बी मोडुलो सी के समान है

मतलब
 * ए और बी समान हैं - सी द्वारा हिसाब या व्याख्या किए गए मतभेदों को छोड़कर।

इतिहास
मोडुलो एक गणितीय शब्दजाल है जिसे 1801 में कार्ल फ्रेडरिक गॉस द्वारा अंकगणितीय शोध पुस्तक में गणित में पेश किया गया था। पूर्णांक a, b और n दिए गए हैं, व्यंजक a ≡ b (mod n), उच्चारित a, b modulo n के अनुरूप है, इसका अर्थ है कि a − b n का एक पूर्णांक गुणक है, या समतुल्य रूप से, a और b दोनों समान साझा करते हैं n से भाग देने पर शेषफल। यह विकट का लैटिन विभक्ति है: मापांक, जिसका अर्थ है एक छोटा उपाय। इस शब्द ने वर्षों में कई अर्थ प्राप्त किए हैं - कुछ सटीक और कुछ अभेद्य। सबसे सामान्य सटीक परिभाषा केवल एक तुल्यता संबंध R के संदर्भ में है, जहां a, b modulo R के समतुल्य (या सर्वांगसम) है यदि aRb। अधिक अनौपचारिक रूप से, शब्द फार्म के बयानों में पाया जाता है:
 * ए बी मोडुलो सी के समान है

मतलब
 * ए और बी समान हैं - सी द्वारा हिसाब या व्याख्या किए गए मतभेदों को छोड़कर।

मूल उपयोग
गॉस मूल रूप से मॉड्यूलो का उपयोग करने का इरादा रखता है: पूर्णांक ए, बी और एन दिया गया है, अभिव्यक्ति ए ≡ बी (मॉड एन) (उच्चारण ए बी मॉड्यूलो एन के अनुरूप है) का अर्थ है कि ए − बी एन का एक पूर्णांक गुणक है, या समतुल्य रूप से, a और b दोनों n से भाग देने पर समान शेष छोड़ते हैं। उदाहरण के लिए:
 * 13 63 सापेक्ष 10 के सर्वांगसम है

मतलब कि
 * 13 − 63, 10 का गुणक है (समतुल्य, 13 और 63, 10 के गुणज से भिन्न है)।

कम्प्यूटिंग
कंप्यूटिंग और कंप्यूटर विज्ञान में इस शब्द का प्रयोग कई तरह से किया जा सकता है:
 * कंप्यूटिंग में, यह आमतौर पर मोडुलो ऑपरेशन होता है: दो नंबर (या तो पूर्णांक या वास्तविक), a और n दिए गए हैं, एक मापांक n, कुछ बाधाओं के तहत n द्वारा संख्यात्मक विभाजन (गणित) का शेष है।
 * श्रेणी सिद्धांत में जैसा कि कार्यात्मक प्रोग्रामिंग पर लागू होता है, ऑपरेटिंग मॉडुलो विशेष शब्दजाल है जो अवशेषों को हाइलाइट या परिभाषित करके किसी वर्ग के लिए एक फ़ैक्टर को मैप करने के लिए संदर्भित करता है।

संरचनाएं
मोडुलो शब्द का अलग-अलग इस्तेमाल किया जा सकता है - जब विभिन्न गणितीय संरचनाओं का जिक्र किया जाता है। उदाहरण के लिए:
 * एक समूह (गणित) के दो सदस्य a और b एक सामान्य उपसमूह के सर्वांगसम मॉड्यूल हैं, यदि और केवल यदि ab−1 सामान्य उपसमूह का सदस्य है (अधिक के लिए भागफल समूह और समरूपता प्रमेय देखें)।
 * एक वलय (गणित) या एक बीजगणित के दो सदस्य सर्वांगसम सापेक्ष एक आदर्श (अंगूठी सिद्धांत) हैं, यदि उनके बीच का अंतर आदर्श में है।
 * एक क्रिया के रूप में प्रयोग किया जाता है, एक समूह (या अंगूठी) से एक सामान्य उपसमूह (या एक आदर्श) के भागफल समूह के कार्य को अक्सर मोडिंग आउट कहा जाता है ... या अब हम मॉड आउट करते हैं ...।
 * एक अनंत सेट के दो सबसेट 'बराबर मोडुलो परिमित सेट' होते हैं, यदि उनका सममित अंतर परिमित है, यानी आप पहले उपसमुच्चय से एक परिमित टुकड़ा निकाल सकते हैं, फिर उसमें एक परिमित टुकड़ा जोड़ सकते हैं, और दूसरा उपसमुच्चय प्राप्त कर सकते हैं नतीजा # परिणाम।
 * नक्शों का एक संक्षिप्त सटीक अनुक्रम एक स्पेस मॉडुलो दूसरे के रूप में भागफल स्थान (टोपोलॉजी) की परिभाषा की ओर ले जाता है; इस प्रकार, उदाहरण के लिए, कि एक सह-समरूपता विभेदक रूप मॉड्यूलो सटीक रूपों का स्थान है।

मोडिंग आउट
सामान्य तौर पर, मोडिंग आउट कुछ हद तक अनौपचारिक शब्द है जिसका अर्थ है कि चीजों को समकक्ष घोषित करना अन्यथा अलग माना जाएगा। उदाहरण के लिए, मान लें कि अनुक्रम 1 4 2 8 5 7 को अनुक्रम 7 1 4 2 8 5 के समान माना जाना है, क्योंकि प्रत्येक दूसरे का चक्रीय रूप से स्थानांतरित संस्करण है:

\begin{array}{ccccccccccccc} & 1 & & 4 & & 2 & & 8 & & 5 & & 7 \\ \searrow & & \searrow & & \searrow & & \searrow & & \searrow & & \searrow & & \searrow \\ & 7 & & 1 & & 4 & & 2 & & 8 & & 5 \end{array} $$ उस स्थिति में, व्यक्ति चक्रीय पारियों द्वारा सुधार कर रहा होता है।

यह भी देखें

 * अनिवार्य रूप से अद्वितीय
 * गणितीय शब्दजाल की सूची
 * तक

बाहरी संबंध

 * Modulo in the Jargon File