चरण-प्रकार वितरण

एक चरण-प्रकार वितरण एक संभाव्यता वितरण है जो एक कनवल्शन या घातीय वितरण के मिश्रण द्वारा निर्मित होता है। यह अनुक्रम, या चरणों में होने वाली एक या एक से अधिक अंतर-संबंधित पॉइसन प्रक्रियाओं की एक प्रणाली का परिणाम है। जिस क्रम में प्रत्येक चरण होता है वह अपने आप में एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया हो सकती है। वितरण को एक अवशोषित राज्य के साथ मार्कोव प्रक्रिया के अवशोषण तक के समय का वर्णन करने वाले एक यादृच्छिक चर द्वारा दर्शाया जा सकता है। मार्कोव प्रक्रिया की प्रत्येक मार्कोव प्रक्रिया चरणों में से एक का प्रतिनिधित्व करती है।

इसका एक असतत समय है | असतत-समय समतुल्य – असतत चरण-प्रकार वितरण।

चरण-प्रकार के वितरण का सेट सभी सकारात्मक-मूल्यवान वितरणों के क्षेत्र में सघन है, अर्थात इसका उपयोग किसी भी सकारात्मक-मूल्यवान वितरण को अनुमानित करने के लिए किया जा सकता है।

परिभाषा
m + 1 अवस्थाओं के साथ एक निरंतर-समय की मार्कोव प्रक्रिया पर विचार करें, जहाँ m ≥ 1, जैसे कि अवस्थाएँ 1,...,m क्षणिक अवस्थाएँ हैं और अवस्था 0 एक अवशोषित अवस्था है। इसके अलावा, मान लें कि प्रक्रिया में प्रायिकता सदिश (α0,ए) जहां ए0 एक अदिश राशि है और α एक 1 × m सदिश है।

निरंतर चरण-प्रकार का वितरण उपरोक्त प्रक्रिया के शुरू होने से लेकर अवशोषित अवस्था में अवशोषण तक के समय का वितरण है।

इस प्रक्रिया को संक्रमण दर मैट्रिक्स के रूप में लिखा जा सकता है,



{Q}=\left[\begin{matrix}0&\mathbf{0}\\\mathbf{S}^0&{S}\\\end{matrix}\right], $$ जहां S एक m × m मैट्रिक्स है और 'S'0 = –S1. यहां 1 m ×1 कॉलम वेक्टर को दर्शाता है, जिसमें प्रत्येक तत्व 1 है।

लक्षण वर्णन
समय X का वितरण जब तक प्रक्रिया अवशोषित अवस्था तक नहीं पहुंच जाती है, तब तक चरण-प्रकार वितरित कहा जाता है और इसे PH ('α', S) निरूपित किया जाता है।

एक्स का वितरण समारोह द्वारा दिया गया है,



F(x)=1-\boldsymbol{\alpha}\exp({S}x)\mathbf{1}, $$ और घनत्व समारोह,



f(x)=\boldsymbol{\alpha}\exp({S}x)\mathbf{S^{0}}, $$ सभी x > 0 के लिए, जहां exp( · ) मैट्रिक्स घातीय  है। आमतौर पर यह माना जाता है कि अवशोषित अवस्था में प्रक्रिया शुरू होने की संभावना शून्य है (यानी α0= 0). वितरण समारोह के क्षण द्वारा दिया जाता है



E[X^{n}]=(-1)^{n}n!\boldsymbol{\alpha}{S}^{-n}\mathbf{1}. $$ चरण प्रकार वितरण का लाप्लास परिवर्तन किसके द्वारा दिया जाता है



M(s) = \alpha_0 + \boldsymbol{\alpha} (sI - S)^{-1} \mathbf{S^0}, $$ जहां मैं पहचान मैट्रिक्स है।

विशेष मामले
निम्नलिखित प्रायिकता बंटनों को निरंतर चरण-प्रकार वितरण के सभी विशेष मामलों में माना जाता है:

जैसा कि चरण-प्रकार वितरण सभी सकारात्मक-मूल्यवान वितरणों के क्षेत्र में सघन है, हम किसी भी सकारात्मक मूल्यवान वितरण का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। हालांकि, चरण-प्रकार एक हल्की-पूंछ या प्लैटीकुर्टिक वितरण है। तो चरण प्रकार द्वारा हेवी-टेल्ड या लेप्टोकर्टिक वितरण का प्रतिनिधित्व एक सन्निकटन है, भले ही सन्निकटन की शुद्धता उतनी ही अच्छी हो जितनी हम चाहते हैं।
 * पतित वितरण, बिंदु द्रव्यमान शून्य या खाली चरण-प्रकार वितरण पर – 0 चरण।
 * घातांकी रूप से वितरण – 1 चरण।
 * एरलांग वितरण – क्रम में 2 या अधिक समान चरण।
 * नियतात्मक वितरण (या स्थिर) – एरलांग वितरण का सीमित मामला, क्योंकि चरणों की संख्या अनंत हो जाती है, जबकि प्रत्येक राज्य में समय शून्य हो जाता है।
 * कॉक्सियन वितरण – प्रत्येक चरण के बाद समाप्ति/अवशोषित अवस्था में संक्रमण की संभावना के साथ क्रम में 2 या अधिक (आवश्यक रूप से समान नहीं) चरण।
 * हाइपरएक्सपोनेंशियल वितरण (जिसे एक्सपोनेंशियल का मिश्रण भी कहा जाता है) –  2 या अधिक गैर-समान चरण, जिनमें से प्रत्येक में परस्पर अनन्य, या समानांतर, तरीके से होने की संभावना है। (ध्यान दें: घातीय वितरण एक पतित स्थिति है जब सभी समानांतर चरण समान होते हैं।)
 * हाइपोएक्सपोनेंशियल वितरण – क्रम में 2 या अधिक चरण, गैर-समान हो सकते हैं या समान और गैर-समान चरणों का मिश्रण हो सकते हैं, Erlang को सामान्य करता है।

उदाहरण
निम्नलिखित सभी उदाहरणों में यह माना जाता है कि शून्य पर कोई प्रायिकता द्रव्यमान नहीं है, जो α है0 = 0.

घातीय वितरण
चरण-प्रकार के वितरण का सबसे सरल गैर-तुच्छ उदाहरण पैरामीटर λ का घातीय वितरण है। फेज-टाइप डिस्ट्रीब्यूशन के पैरामीटर हैं: S = -λ और α = 1।

हाइपरएक्सपोनेंशियल या एक्सपोनेंशियल डिस्ट्रीब्यूशन का मिश्रण
λ के साथ चरघातांकी या अतिघातांक वितरण का मिश्रण1, एल2,..., एलn> 0 को चरण प्रकार के वितरण के रूप में दर्शाया जा सकता है



\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,...,\alpha_n) $$ साथ $$\sum_{i=1}^n \alpha_i =1$$ और



{S}=\left[\begin{matrix}-\lambda_1&0&0&0&0\\0&-\lambda_2&0&0&0\\0&0&-\lambda_3&0&0\\0&0&0&-\lambda_4&0\\0&0&0&0&-\lambda_5\\\end{matrix}\right]. $$ एक्सपोनेंशियल डिस्ट्रीब्यूटेड रैंडम वेरिएबल्स के घनत्व के इस मिश्रण की विशेषता बताई जा सकती है



f(x)=\sum_{i=1}^n \alpha_i \lambda_i e^{-\lambda_i x} =\sum_{i=1}^n\alpha_i f_{X_i}(x), $$ या इसका संचयी वितरण समारोह


 * $$ F(x)=1-\sum_{i=1}^n \alpha_i e^{-\lambda_i x}=\sum_{i=1}^n\alpha_iF_{X_i}(x). $$

साथ $$ X_i \sim Exp( \lambda_i ) $$

एरलांग वितरण
Erlang बंटन के दो पैरामीटर हैं, आकार एक पूर्णांक k > 0 और दर λ > 0। इसे कभी-कभी E(k, λ) के रूप में दर्शाया जाता है। Erlang वितरण को चरण-प्रकार वितरण के रूप में S a k × k मैट्रिक्स को विकर्ण तत्वों -λ और सुपर-विकर्ण तत्वों λ के साथ लिखा जा सकता है, राज्य 1 के बराबर 1 में शुरू होने की संभावना के साथ। उदाहरण के लिए, ई (5, λ),



\boldsymbol{\alpha}=(1,0,0,0,0), $$ और

{S}=\left[\begin{matrix}-\lambda&\lambda&0&0&0\\0&-\lambda&\lambda&0&0\\0&0&-\lambda&\lambda&0\\0&0&0&-\lambda&\lambda\\0&0&0&0&-\lambda\\\end{matrix}\right]. $$ दिए गए चरणों की संख्या के लिए, एरलांग वितरण चरण प्रकार का वितरण है जिसमें भिन्नता का सबसे छोटा गुणांक है। प्रत्येक संक्रमण (गैर-सजातीय मामले) के लिए अलग-अलग दरों के होने से हाइपोएक्सपोनेंशियल डिस्ट्रीब्यूशन एर्लैंग डिस्ट्रीब्यूशन का एक सामान्यीकरण है।

एरलांग वितरण का मिश्रण
पैरामीटर E(3,β1), ई (3, बी2) और (α1,ए2) (जैसे कि α1 + ए2 = 1 और प्रत्येक i, α के लिएi ≥ 0) के साथ चरण प्रकार वितरण के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है



\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1,0,0,\alpha_2,0,0), $$ और



{S}=\left[\begin{matrix} -\beta_1&\beta_1&0&0&0&0\\ 0&-\beta_1&\beta_1&0&0&0\\ 0&0&-\beta_1&0&0&0\\ 0&0&0&-\beta_2&\beta_2&0\\ 0&0&0&0&-\beta_2&\beta_2\\ 0&0&0&0&0&-\beta_2\\ \end{matrix}\right]. $$

कॉक्सियन वितरण
कॉक्सियन वितरण एरलांग वितरण का एक सामान्यीकरण है। केवल 'क' अवस्था से अवशोषित अवस्था में प्रवेश करने में सक्षम होने के बजाय किसी भी चरण से पहुंचा जा सकता है। चरण-प्रकार का प्रतिनिधित्व इसके द्वारा दिया गया है,



S=\left[\begin{matrix}-\lambda_{1}&p_{1}\lambda_{1}&0&\dots&0&0\\ 0&-\lambda_{2}&p_{2}\lambda_{2}&\ddots&0&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\ddots&-\lambda_{k-2}&p_{k-2}\lambda_{k-2}&0\\ 0&0&\dots&0&-\lambda_{k-1}&p_{k-1}\lambda_{k-1}\\ 0&0&\dots&0&0&-\lambda_{k} \end{matrix}\right]$$ और


 * $$\boldsymbol{\alpha}=(1,0,\dots,0),$$

जहां 0 <पी1,...,पीk-1 ≤ 1. ऐसे मामले में जहां सभी pi = 1 हमारे पास एरलांग वितरण है। कॉक्सियन वितरण अत्यंत महत्वपूर्ण है क्योंकि किसी भी एसाइक्लिक चरण-प्रकार के वितरण में समकक्ष कॉक्सियन प्रतिनिधित्व होता है।

सामान्यीकृत कॉक्सियन वितरण उस स्थिति को आराम देता है जिसे पहले चरण में शुरू करने की आवश्यकता होती है।

स्वतंत्र PH यादृच्छिक चर का न्यूनतम
एक्सपोनेंशियल डिस्ट्रीब्यूशन#डिस्ट्रीब्यूशन ऑफ मिनिमम एक्सपोनेंशियल रैंडम वेरिएबल्स के समान, PH डिस्ट्रीब्यूशन का वर्ग स्वतंत्र रैंडम वेरिएबल्स के मिनिमा के तहत बंद है। इसका विवरण यहां है।

चरण-प्रकार वितरित यादृच्छिक चर से नमूने उत्पन्न करना
BuTools में चरण-प्रकार वितरित यादृच्छिक चर से नमूने उत्पन्न करने के तरीके शामिल हैं।

अनुमानित अन्य वितरण
किसी भी वितरण को चरण प्रकार के वितरण द्वारा मनमाने ढंग से अच्छी तरह से अनुमानित किया जा सकता है। व्यवहार में, हालांकि, सन्निकटन प्रक्रिया का आकार निश्चित होने पर सन्निकटन खराब हो सकता है। 10 चरणों के साथ समय 1 के नियतात्मक वितरण का अनुमान लगाते हुए, प्रत्येक औसत लंबाई 0.1 में भिन्नता 0.1 होगी (क्योंकि एरलांग वितरण में सबसे छोटा भिन्नता है ).
 * BuTools एक MATLAB और Mathematica स्क्रिप्ट जो 3 निर्दिष्ट पलों में चरण-प्रकार के वितरण को फ़िट करने के लिए है
 * Momentmatching एक MATLAB स्क्रिप्ट जो 3 निर्दिष्ट पलों के लिए न्यूनतम चरण-प्रकार वितरण में फिट हो
 * KPC-toolbox मार्कोवियन आगमन प्रक्रियाओं और चरण-प्रकार के वितरण के अनुभवजन्य डेटासेट को फिट करने के लिए MATLAB स्क्रिप्ट की एक लाइब्रेरी।

डेटा के लिए एक चरण प्रकार के वितरण को फ़िट करना
डेटा के लिए एक चरण प्रकार के वितरण को फिट करने के तरीकों को अधिकतम संभावना विधियों या क्षण मिलान विधियों के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है। भारी-पूंछ वाले वितरणों के लिए चरण प्रकार के वितरण को फ़िट करना कुछ स्थितियों में व्यावहारिक होना दिखाया गया है।
 * PhFit डेटा के लिए असतत और निरंतर चरण प्रकार के वितरण को फ़िट करने के लिए एक सी स्क्रिप्ट
 * EMpht एक अपेक्षा-अधिकतमीकरण एल्गोरिदम का उपयोग करके डेटा या पैरामीट्रिक वितरण के लिए चरण-प्रकार के वितरण को फ़िट करने के लिए एक C स्क्रिप्ट है।
 * HyperStar फेज-टाइप फिटिंग को सरल और उपयोगकर्ता के अनुकूल बनाने के मूल विचार के आसपास विकसित किया गया था, क्षेत्रों की एक विस्तृत श्रृंखला में चरण-प्रकार के वितरण के उपयोग को आगे बढ़ाने के लिए। यह एक ग्राफिकल यूजर इंटरफेस प्रदान करता है और केवल कम उपयोगकर्ता सहभागिता के साथ अच्छे उपयुक्त परिणाम देता है।
 * jPhase एक जावा लाइब्रेरी है जो फिटेड फेज टाइप डिस्ट्रीब्यूशन का उपयोग करके कतारों के लिए मेट्रिक्स की गणना भी कर सकती है

यह भी देखें

 * असतत चरण-प्रकार वितरण
 * सतत-समय मार्कोव प्रक्रिया
 * घातांकी रूप से वितरण
 * अति-घातीय वितरण
 * कतारबद्ध सिद्धांत

संदर्भ

 * M. F. Neuts (1975), Probability distributions of phase type, In Liber Amicorum Prof. Emeritus H. Florin, Pages 173-206, University of Louvain.
 * M. F. Neuts. Matrix-Geometric Solutions in Stochastic Models: an Algorithmic Approach, Chapter 2: Probability Distributions of Phase Type; Dover Publications Inc., 1981.
 * G. Latouche, V. Ramaswami. Introduction to Matrix Analytic Methods in Stochastic Modelling, 1st edition. Chapter 2: PH Distributions; ASA SIAM, 1999.
 * C. A. O'Cinneide (1990). Characterization of phase-type distributions. Communications in Statistics: Stochastic Models, 6(1), 1-57.
 * C. A. O'Cinneide (1999). Phase-type distribution: open problems and a few properties, Communication in Statistic: Stochastic Models, 15(4), 731-757.