वक्ररेखीय निर्देशांक

ज्यामिति में, वक्रीय निर्देशांक स्थानिक रूप से घुमी हुई हो सकने वाली यूक्लिडीयन स्थान के लिए एक निर्देशांक प्रणाली है। इन निर्देशांकों को कार्टेशियन निर्देशांकों के सेट से प्राप्त किया जा सकता है जो प्रत्येक बिंदु पर स्थानिक रूप से पलटने वाली होती है। इसका अर्थ है कि हम एक कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली में दिए गए बिंदु को उसके वक्रीय निर्देशांकों में और वापस परिवर्तित कर सकता है। वक्रीय निर्देशांकों का नाम, जिसे फ़्रांसीसी गणितज्ञ लामे ने नवीनतम उपयोग किया, वक्रीय प्रणालियों के निर्देशांक सतहें घुमी हुई होने के तत्व से उत्पन्न होता है।

त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में वक्ररेखीय समन्वय प्रणालियों के प्रसिद्ध उदाहरण (आर) बेलनाकार निर्देशांक प्रणाली और गोलाकार निर्देशांक निर्देशांक हैं। इस स्थान में एक कार्टेशियन समन्वय सतह एक समन्वय विमान है; उदाहरण के लिए z = 0 x-y समतल को परिभाषित करता है। उसी स्थान में, गोलाकार निर्देशांक में समन्वय सतह r = 1 एक इकाई गोले की सतह होती है, जो घुमावदार होती है। वक्रीय निर्देशांक की औपचारिकता मानक समन्वय प्रणालियों का एकीकृत और सामान्य विवरण प्रदान करती है।

वक्रीय निर्देशांक का उपयोग प्रायः भौतिक मात्राओं के स्थान या वितरण को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, जो उदाहरण के लिए, स्केलर (गणित) एस, सदिश (ज्यामितीय) या टेन्सर  हो सकते हैं।परिवर्तन नियमों के अनुसार,  सदिश कलन और टेंसर विश्लेषण (जैसे कि  ग्रेडियेंट,  विचलन , कर्ल (गणित), और लाप्लासियन) में इन मात्राओं को सम्मिलित करने वाले गणितीय अभिव्यक्तियों को एक समन्वय प्रणाली से दूसरे में परिवर्तित किया जा सकता है। ऐसी अभिव्यक्तियाँ किसी भी वक्ररेखीय समन्वय प्रणाली के लिए मान्य होती हैं।

कुछ अनुप्रयोगों के लिए वक्रीय निर्देशांक प्रणाली कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली का उपयोग करने से सरल हो सकती है। केंद्रीय बल के प्रभाव में धारित कणों की गति को सामान्यतः कार्टेशियन निर्देशांकों के अतिरिक्त गोलाकार निर्देशांकों में हल करना आसान होता है; इसका सत्यापन R3 में परिभाषित गोलाकार सममिति वाले कई भौतिक समस्याओं के लिए सत्य होती है। किसी विशेष वक्रीय निर्देशांक प्रणाली के लिए निर्देशांक सतहों का अनुसरण करने वाली सीमा शर्तों के साथ समीकरणों को उस प्रणाली में हल करना आसान हो सकता है। जबकि किसी कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली में एक आयताकार बक्से में कण की गति का वर्णन किया जा सकता है, गोलाकार निर्देशांकों में गोला में गति का वर्णन करना आसान होता है। गोलाकार निर्देशांक सबसे सामान्य वक्रीय निर्देशांक प्रणाली हैं और इनका उपयोग पृथ्वी विज्ञान, मानचित्रकला, क्वांटम यांत्रिकी, सापेक्षता के सिद्धांत, और अभियांत्रिकी में किया जाता हैं।

निर्देशांक, आधार और सदिश
[[File:Spherical coordinate elements.svg|thumb|upright=1.35|चित्र 2 - समन्वय सतहों, समन्वय रेखाओं और गोलाकार निर्देशांक के समन्वय अक्ष। सतहें: आर - गोले, θ - शंकु, φ - अर्ध-तल; रेखाएँ: आर - सीधी किरणें, θ - ऊर्ध्वाधर अर्धवृत्त, φ - क्षैतिज वृत्त;

अक्ष: आर - सीधी किरणें, θ - ऊर्ध्वाधर अर्धवृत्त की स्पर्शरेखा, φ - क्षैतिज वृत्त की स्पर्शरेखा]]अब, 3-डी स्थान को ध्यान में रखें। 3-डी स्थान में एक बिंदु पी (P) या उसके स्थानीय सदिश r को कार्टेशियन निर्देशांक (x, y, z$$\mathbf{r} = x \mathbf{e}_x + y\mathbf{e}_y + z\mathbf{e}_z$$ का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है,, जहां ex, ey, ez मानक आधार सदिश हैं।

यदि इस तिकोनी संख्या का एकल बिंदु को निर्देशित विधियों से परिभाषित करता हो, तो यह भी उसके वक्ररेखीय निर्देशांकों (q1, q2, q3) द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। निर्देशांक के मध्य का संबंध व्युत्क्रमणीय परिवर्तन फलन द्वारा दिया जाता है:


 * $$ x = f^1(q^1, q^2, q^3),\, y = f^2(q^1, q^2, q^3),\, z = f^3(q^1, q^2, q^3)$$
 * $$ q^1 = g^1(x,y,z),\, q^2 = g^2(x,y,z),\, q^3 = g^3(x,y,z)$$

सतहें q1 = स्थिरांक, q2 = स्थिरांक, q3 = स्थिरांक को "निर्देशांक सतहें" कहा जाता है; और जोड़े में उनके प्रतिच्छेदन से बनने वाले अंतरिक्ष वक्रों को निर्देशांक वक्र कहा जाता है। निर्देशांक अक्षों का निर्धारण तीन सतहों के प्रतिच्छेदन पर समन्वय वक्र की स्पर्शरेखाओं द्वारा किया जाता है। वे अंतरिक्ष में सामान्य रूप से निश्चित दिशाओं में नहीं होते हैं, जो कि सरल कार्टेशियन निर्देशांक के परिस्थति में होता है, और इस प्रकार वक्रीय निर्देशांक के लिए सामान्यतः कोई प्राकृतिक वैश्विक आधार नहीं होता है।

कार्टेशियन प्रणाली में, मानक आधार वेक्टर निर्देशांकीय स्थान के अवशिष्टीकरण से प्राप्त किए जा सकते हैं, जिसमें बिंदु p की स्थान के अवशिष्टीकरण के साथ संबंधित अवशिष्टीकरण होते हैं।


 * $$\mathbf{e}_x = \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial x}; \;

\mathbf{e}_y = \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial y}; \; \mathbf{e}_z = \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial z}.$$ बिंदु P पर स्थानिक रूप से वक्रीय प्रणाली में उसी अवशिष्टीकरण को लागू करने से प्राकृतिक आधार वेक्टरों को परिभाषित किया जाता है।


 * $$\mathbf{h}_1 = \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial q^1}; \;

\mathbf{h}_2 = \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial q^2}; \; \mathbf{h}_3 = \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial q^3}.$$ ऐसा आधार, जिसके सदिश एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर अपनी दिशा और/या परिमाण परिवर्तित होते हैं, जिसे स्थानिक रूप से निर्देशित किया जाता है। वक्ररेखीय निर्देशांक से जुड़े सभी आधार आवश्यक रूप से स्थानीय हैं। आधार वैक्टर जो सभी बिंदुओं पर समान होते हैं, वैश्विक आधार होते हैं, और केवल रैखिक या धार्मिक समन्वय प्रणालियों से जुड़े हो सकते हैं।

इस लेख के लिए, e को मानक आधार (कार्टेशियन) के लिए और h या b को वक्रीय आधार के लिए आरक्षित किया गया है।

ये आधार एक इकाई लंबाई नहीं रख सकते हैं और संभवतः अर्थोगोनल नहीं हो सकते हैं। जब वे सभी बिंदुओं पर अर्थयोग्य अवशिष्टीकरण के साथ अर्थोगोनल होते हैं, तब हम गब्रियेल लामे के नाम से लामे संख्याओं की परिभाषा करते हैं।


 * $$h_1 = |\mathbf{h}_1|; \; h_2 = |\mathbf{h}_2|; \; h_3 = |\mathbf{h}_3|$$

और वक्ररेखीय ऑर्थोनॉर्मल आधार वैक्टर द्वारा


 * $$\mathbf{b}_1 = \dfrac{\mathbf{h}_1}{h_1}; \;

\mathbf{b}_2 = \dfrac{\mathbf{h}_2}{h_2}; \; \mathbf{b}_3 = \dfrac{\mathbf{h}_3}{h_3}.$$ ये आधार वेक्टर बिंदु पी के स्थान पर निर्भर कर सकते हैं; इसलिए इसे माना नहीं जा सकता है कि वे क्षेत्र के अधिकांश में स्थिर हैं।

सामान्यतः, वक्रीय निर्देशांक में प्राकृतिक आधार वेक्टरों ही सभी एक-दूसरे के लिए अनुपेक्षागत नहीं होते हैं और इकाई लंबाई का आवश्यकता नहीं होती है: वे विभिन्न गुणांक और दिशा के हो सकते हैं। अर्थोगोनल आधार का उपयोग गैर-अर्थोगोनल के मुकाबले वेक्टर में गणनाएं सरल बना देता है। यद्यपि, भौतिकी और अभियांत्रिकी के कुछ क्षेत्र, विशेषकर तरल यांत्रिकी और संयोजन संयंत्रिकी, विघटनों और तरल परिवहन का वर्णन करने के लिए गैर-अर्थोगोनल आधार की आवश्यकता होती है, जिसमें भौतिक मात्राओं की जटिल दिशात्मकता के लिए समर्थन होता है। इस पृष्ठ पर सामान्य विधियों की चर्चा उपरांत में दी गई है।

विभेदक तत्व
अर्थोगोनल वक्रीय निर्देशांकों में, क्योंकि r में कुल अंतर परिवर्तित होता रहता है


 * $$d\mathbf{r}=\dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial q^1}dq^1 + \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial q^2}dq^2 + \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial q^3}dq^3 = h_1 dq^1 \mathbf{b}_1 + h_2 dq^2 \mathbf{b}_2 + h_3 dq^3 \mathbf{b}_3 $$

तो पैमाने के कारक $$h_i = \left|\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q^i}\right|$$ हैं

गैर-अर्थोगोनल निर्देशांकों में, $$d\mathbf{r}= dq^1 \mathbf{h}_1 + dq^2 \mathbf{h}_2 + dq^3 \mathbf{h}_3 $$ की लंबाई $$d\mathbf{r} \cdot d\mathbf{r} = dq^i dq^j \mathbf{h}_i \cdot \mathbf{h}_j $$ की सकारात्मक वर्गमूल है। प्राकृतिक आधार वेक्टरों के छः असम्बद्ध स्केलर उत्पाद gij=hi.hj वास्तविक आधार निर्देशांकों के लिए ऊपर वर्णित तीन माप अंकों को व्यापकता देते हैं। नौ gij g टेंसर घटक हैं, जो मीट्रिक टेंसर के घटक हैं, जो अर्थोगोनल निर्देशांकों g11=h1h1, g22=h2h2, g33=h3h3. में केवल तीन गैर-समशून्य घटकों की होती है।

सहपरिवर्ती और प्रतिपरिवर्ती आधार
[[File:Vector 1-form.svg|upright=1.5|thumb| एक सदिश v ( red ) द्वारा दर्शाया गया है

• एक सदिश आधार (पीला, बाएँ: e1, यह है2, यह है3), वक्रों का समन्वय करने के लिए स्पर्शरेखा सदिश (काला) और

• एक कोसदिश आधार या कोबासिस ( blue, दाएं: e1, और2, और3), सतहों के समन्वय के लिए सामान्य सदिश ( ग्रे )

सामान्य में (जरूरी नहीं कि ओर्थोगोनल निर्देशांक) वक्ररेखीय निर्देशांक (q1, प्र2, प्र3). जब तक समन्वय प्रणाली ऑर्थोगोनल न हो, आधार और कोबासिस मेल नहीं खाते। ]]स्थानिक ग्रेडिएंट, दूरियां, समय व्युत्पन्न और पैमाने के कारक एक समन्वय प्रणाली के अंदर आधार वैक्टर के दो समूहों द्वारा परस्पर जुड़े हुए हैं:


 * 1) आधार सदिश जो स्थानीय रूप से उनके संबंधित समन्वय पथरेखा के स्पर्शरेखा होता हैं: $$\mathbf{b}_i=\dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial q^i}$$ सदिशों के सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण होते हैं, और
 * 2) आधार सदिश जो अन्य निर्देशांकों द्वारा निर्मित आइसोसतह के लिए स्थानीय रूप से सामान्य होते हैं: $$\mathbf{b}^i=\nabla q^i $$इन आधार सदिशों को सहसंवर्ती वेक्टर कहा जाता है (ऊपरी आंकन द्वारा चिह्नित), ∇ डेल ऑपरेटर है।

ध्यान दें कि, आइंस्टीन के योग परिपाटी के कारण, सदिशों के सूचकांकों की स्थिति निर्देशांकों के विपरीत होती है।

इसलिए, प्रत्येक बिंदु के लिए एक सामान्य वक्रीय निर्देशांक प्रणाली में दो सेट आधार वेक्टर होते हैं: {b1, b2, b3} संविरोधी आधार है, और {b1, b2, b3} सहसंवर्ती (जिसे आपके द्वारा प्राचलित रूप से प्रतिस्थापी भी कहा जाता है) आधार है। अर्थोगोनल वक्रीय निर्देशांक प्रणालियों के लिए सहसंवर्ती और संविरोधी आधार वेक्टरों के दिशा समान होती हैं, परंतु उनकी इकाई्स एक-दूसरे के प्रति विपरीत होती हैं।

निम्नलिखित महत्वपूर्ण समानता पर ध्यान दें।$$ \mathbf{b}^i\cdot\mathbf{b}_j = \delta^i_j $$

जहां $$ \delta^i_j $$ में सामान्यकृत क्रोनेकर डेल्टा को दर्शाता है।

$$

एक वेक्टर v को किसी भी आधार के आधार पर निर्दिष्ट किया जा सकता है, अर्थात्,,


 * $$ \mathbf{v} = v^1\mathbf{b}_1 + v^2\mathbf{b}_2 + v^3\mathbf{b}_3 = v_1\mathbf{b}^1 + v_2\mathbf{b}^2 + v_3\mathbf{b}^3 $$

आइंस्टीन सारांश सम्मेलन का उपयोग करते हुए, आधार वैक्टर घटकों से संबंधित होते हैं
 * $$ \mathbf{v}\cdot\mathbf{b}^i = v^k\mathbf{b}_k\cdot\mathbf{b}^i = v^k\delta^i_k = v^i $$
 * $$ \mathbf{v}\cdot\mathbf{b}_i = v_k\mathbf{b}^k\cdot\mathbf{b}_i = v_k\delta_i^k = v_i $$

और
 * $$ \mathbf{v}\cdot\mathbf{b}_i = v^k\mathbf{b}_k\cdot\mathbf{b}_i = g_{ki}v^k $$
 * $$ \mathbf{v}\cdot\mathbf{b}^i = v_k\mathbf{b}^k\cdot\mathbf{b}^i = g^{ki}v_k $$

जहां g मीट्रिक टेंसर है।

एक सदिश को सहसंयोजक निर्देशांक (निचले आंकन, vk के रूप में लिखे जाते हैं) या विरोधाभासी निर्देशांक (ऊपरी आंकन, vk के रूप में लिखे जाते हैं). ऊपरी वेक्टर युग्मों से पता चलता है कि संविरोधी निर्देशांक सहसंवर्ती आधार वेक्टरों से संबंधित होते हैं, और निचले निर्देशांक संविरोधी आधार वेक्टरों से संबंधित होते हैं।

सूचकांकित घटकों और आधार वेक्टरों के माध्यम से वेक्टरों और टेंसरों की प्रतिनिधि करने की एक महत्वपूर्ण विशेषता वैषम्यशून्यता में है, जिसका अर्थ है कि सहसंवर्ती ढंग में (या संविरोधी ढंग में) परिवर्तित होने वाले वेक्टर घटक संविरोधी ढंग में (या सहसंवर्धी ढंग में) परिवर्तित होने वाले आधार वेक्टरों के साथ जोड़े जाते हैं।

एक आयाम में सहसंयोजक आधार का निर्माण
चित्र 3 में दर्शाई गई एक-आयामी वक्र को ध्यान में रखें। बिंदु पी को मूल मानक माना जाता है, x मानक निर्देशांकों में से एक है, और q1 मानक निर्देशांकों में से एक है। स्थानिक (गैर-इकाई) आधार वेक्टर b1 (ऊपर h1 के रूप में चिह्नित, b को इकाई वेक्टरों के लिए आरक्षित किया गया है) और यह q1 धुरी पर बना है जो बिंदु पी पर उस निर्देशांक रेखा को छूता है। धुरी q1 और इसलिए वेक्टर b1 मूल कार्टेशियन x धुरी और कार्टेशियन आधार वेक्टर e1 के साथ एक कोण बनाते हैं, जिसे एल्फा (α) कहा जाता है।

इसे त्रिभुज PAB से देखा जा सकता है
 * $$ \cos \alpha = \cfrac{|\mathbf{e}_1|}{|\mathbf{b}_1|} \quad \Rightarrow \quad |\mathbf{e}_1| = |\mathbf{b}_1|\cos \alpha$$

जहां |e1|, |b1| दोनों आधार वेक्टरों के मान हैं, अर्थात्, दो अंशक यानि PB और PA। PA भी x धुरी पर b1 की प्रक्षेपण है।.

यद्यपि, दिशात्मक कोसाइन का उपयोग करके आधार सदिश परिवर्तनों के लिए यह विधि निम्नलिखित कारणों से वक्रीय निर्देशांक पर लागू नहीं होता है:
 * 1) बिंदु P से दूरी बढ़ाने से, कर्वीलीन रेखा q1 और कार्टेशियन धुरी x के बीच का $$\alpha$$ कोण धीरे-धीरे एक से पृथक होता है।.
 * 2) दूरी PB पर सच्चा कोण वही है जिसे बिंदु C पर स्पर्श रेखा x धुरी के साथ बनाती है और इस अंतिम कोण का खुला स्पष्ट रूप से a से पृथक होता है।

जब किसी व्यक्ति ने पी बिंदु की ओर आगे बढ़ना प्रारंभ किया है, तो q1 रेखा और उस धुरी का कोण जो x धुरी के साथ बनाते हैं, वह मान के काफी समीप आते हैं और P पर बिल्कुल समान हो जाते हैं।

मान लीजिए कि बिंदु E, P के बहुत समीप स्थित है, इतना समीप कि दूरी PE अनंत रूप से छोटी है। पुनः पीई को क्यू पर मापा गया1 अक्ष लगभग q पर मापे गए PE से मेल खाता है1लाइन. साथ ही, अनुपात पीडी/पीई (पीडी एक्स अक्ष पर पीई का प्रक्षेपण है) लगभग बिल्कुल समान हो जाता है.

मान लीजिए कि बिंदु E P के काफी पास स्थित है, इतना समीप कि दूरी PE असीमित छोटी होती है। पुनः PE को q1 धुरी पर मापा जाता है जो q1 रेखा पर मापे जाने वाले PE के साथ लगभग मिलता है। उसी समय, अनुपात PD/PE (PD PE की x धुरी पर प्रक्षेपण होती है) तथा $$\cos\alpha$$ के समान हो जाता है।

मान लीजिए कि अत्यंत छोटे अंतःखंड PD और PE को क्रमशः dx और dq1 के रूप में लेबल किया गया है. तब
 * $$\cos \alpha = \cfrac{dx}{dq^1} = \frac{|\mathbf{e}_1|}{|\mathbf{b}_1|}$$.

इस प्रकार, दिशात्मक कोसाइन को असीम रूप से छोटे समन्वय अंतःखंडों के मध्य अधिक सटीक अनुपात के साथ परिवर्तनों में प्रतिस्थापित किया जा सकता है। यह इस प्रकार है कि बी का घटक (प्रक्षेपण)।1 x अक्ष

पर है

इस प्रकार,दिशात्मक कोसाइनों को असीमित छोटे निर्देशांक अंतरों के  मध्य के अधिक सटीक अनुपातों के साथ प्रतिस्थापित किया जा सकता है। इससे परिणामित होता है कि x धुरी पर b1 का घटक (प्रक्षेपण) होता है।


 * $$p^1 = \mathbf{b}_1\cdot\cfrac{\mathbf{e}_1}{|\mathbf{e}_1|} = |\mathbf{b}_1|\cfrac{|\mathbf{e}_1|}{|\mathbf{e}_1|}\cos\alpha = |\mathbf{b}_1|\cfrac{dx}{dq^1} \quad \Rightarrow \quad \cfrac{p^1}{|\mathbf{b}_1|} = \cfrac{dx}{dq^1}$$.

यदि qi = qi(x1, x2, x3) और xi = xi(q1, q2, q3) सतत (निरंतर विभेदीमान) फलन हैं, तो प्रतिरूपण अनुपात $$\cfrac{\partial q^i}{\partial x_j}$$ और $$\cfrac{\partial x_i}{\partial q^j}$$ के रूप में लिखे जा सकते हैं। इसका अर्थ है, वे अनुपात उन निर्देशांकों के संबंध हैं जिनके संबंध अन्य प्रणाली में निर्देशांक सम्मिलित होते हैं।

तीन आयामों में सहसंयोजक आधार का निर्माण
अन्य 2 आयामों में निर्देशांकों के लिए भी ऐसा ही करते हुए, b1 को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

\mathbf{b}_1 = p^1\mathbf{e}_1 + p^2\mathbf{e}_2 + p^3\mathbf{e}_3 = \cfrac{\partial x_1}{\partial q^1} \mathbf{e}_1 + \cfrac{\partial x_2}{\partial q^1} \mathbf{e}_2 + \cfrac{\partial x_3}{\partial q^1} \mathbf{e}_3 $$ इसी तरह के समीकरण b2 और b3 के लिए भी समान होते हैं क्योंकी मानक आधार {e1, e2, e3} स्थानीय (क्रमशः व्यवस्थित और मानकृत) आधार {b1, b2, b3} में परिवर्तित हो जाता हैं। यह समीकरण सिस्टम है:


 * $$\begin{align}

\mathbf{b}_1 & = \cfrac{\partial x_1}{\partial q^1} \mathbf{e}_1 + \cfrac{\partial x_2}{\partial q^1} \mathbf{e}_2 + \cfrac{\partial x_3}{\partial q^1} \mathbf{e}_3 \\ \mathbf{b}_2 & = \cfrac{\partial x_1}{\partial q^2} \mathbf{e}_1 + \cfrac{\partial x_2}{\partial q^2} \mathbf{e}_2 + \cfrac{\partial x_3}{\partial q^2} \mathbf{e}_3 \\ \mathbf{b}_3 & = \cfrac{\partial x_1}{\partial q^3} \mathbf{e}_1 + \cfrac{\partial x_2}{\partial q^3} \mathbf{e}_2 + \cfrac{\partial x_3}{\partial q^3} \mathbf{e}_3 \end{align}$$ समानांतरित तर्क के द्वारा, हम स्थानीय आधार से मानक आधार तक का प्रतिस्थापन प्राप्त कर सकते हैं:
 * $$\begin{align}

\mathbf{e}_1 & = \cfrac{\partial q^1}{\partial x_1} \mathbf{b}_1 + \cfrac{\partial q^2}{\partial x_1} \mathbf{b}_2 + \cfrac{\partial q^3}{\partial x_1} \mathbf{b}_3 \\ \mathbf{e}_2 & = \cfrac{\partial q^1}{\partial x_2} \mathbf{b}_1 + \cfrac{\partial q^2}{\partial x_2} \mathbf{b}_2 + \cfrac{\partial q^3}{\partial x_2} \mathbf{b}_3 \\ \mathbf{e}_3 & = \cfrac{\partial q^1}{\partial x_3} \mathbf{b}_1 + \cfrac{\partial q^2}{\partial x_3} \mathbf{b}_2 + \cfrac{\partial q^3}{\partial x_3} \mathbf{b}_3 \end{align}$$

परिवर्तन का जैकोबियन
रैखिक समीकरणों की उपरोक्त प्रणालियों को आइंस्टीन योग सम्मेलन का उपयोग करके आव्यूह रूप में लिखा जा सकता है


 * $$\cfrac{\partial x_i}{\partial q^k} \mathbf{e}_i = \mathbf{b}_k, \quad \cfrac{\partial q^i}{\partial x_k} \mathbf{b}_i = \mathbf{e}_k$$.

रैखिक प्रणाली का यह गुणांक आव्यूह  परिवर्तन का जैकोबियन आव्यूह  (और इसका व्युत्क्रम) है। ये वे समीकरण हैं जिनका उपयोग कार्टेशियन आधार को वक्रीय आधार में परिवर्तितने के लिए किया जा सकता है, और इसके विपरीत इसका परिवर्तन नही किया जा सकता है।

तीन आयामों में इन आव्यूहों के विस्तारित रूप हैं

\mathbf{J} = \begin{bmatrix} \cfrac{\partial x_1}{\partial q^1} & \cfrac{\partial x_1}{\partial q^2} & \cfrac{\partial x_1}{\partial q^3} \\ \cfrac{\partial x_2}{\partial q^1} & \cfrac{\partial x_2}{\partial q^2} & \cfrac{\partial x_2}{\partial q^3} \\ \cfrac{\partial x_3}{\partial q^1} & \cfrac{\partial x_3}{\partial q^2} & \cfrac{\partial x_3}{\partial q^3} \\ \end{bmatrix},\quad \mathbf{J}^{-1} = \begin{bmatrix} \cfrac{\partial q^1}{\partial x_1} & \cfrac{\partial q^1}{\partial x_2} & \cfrac{\partial q^1}{\partial x_3} \\ \cfrac{\partial q^2}{\partial x_1} & \cfrac{\partial q^2}{\partial x_2} & \cfrac{\partial q^2}{\partial x_3} \\ \cfrac{\partial q^3}{\partial x_1} & \cfrac{\partial q^3}{\partial x_2} & \cfrac{\partial q^3}{\partial x_3} \\ \end{bmatrix} $$ व्युत्क्रम परिवर्तन (द्वितीय समीकरण प्रणाली) में, अज्ञात वक्रीय आधार वैक्टर हैं। किसी भी विशिष्ट स्थान के लिए आधार वैक्टर का केवल एक और केवल एक सेट मौजूद हो सकता है (अन्यथा उस बिंदु पर आधार अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है)। यह शर्त तभी संतुष्ट होती है जब समीकरण प्रणाली का एक ही समाधान हो। रैखिक बीजगणित में, एक रैखिक समीकरण प्रणाली का एक ही समाधान (गैर-तुच्छ) होता है, यदि इसके सिस्टम आव्यूह का निर्धारक गैर-शून्य होता है::
 * $$ \det(\mathbf{J}^{-1}) \neq 0$$

जो व्युत्क्रम जैकोबियन निर्धारक से संबंधित उपरोक्त आवश्यकता के पीछे तर्क को दर्शाता है।

n आयामों का सामान्यीकरण
यह प्रारूपता किसी भी सीमित आयाम तक निम्नानुसार विस्तारित होती है।

n-आयामी रियल यूक्लिडियन स्थान को विचार करें, जो R × R × ... × R (n बार) के रूप में होता है, यहां R वास्तविक संख्याओं की समूह है और × कार्टेशियन उत्पाद को दर्शाता है, जो एक सदिश स्थल होता है।

इस स्थान के निर्देशांक इस प्रकार से चिह्नित x = (x1, x2,...,xn) किए जा सकते हैं। यह एक वेक्टर (वेक्टर स्थान का एक तत्व) होता है, और इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:


 * $$ \mathbf{x} = \sum_{i=1}^n x_i\mathbf{e}^i $$

यहां e1 = (1,0,0...,0), e2 = (0,1,0...,0), e3 = (0,0,1...,0),...,en = (0,0,0...,1) Rn स्थान के लिए मानक आधार सेट वेक्टर होते हैं, और i = 1, 2, ..., n एक संकेतक है जो घटकों को लेबल करता है। प्रत्येक वेक्टर का प्रत्येक आयाम (या "धुरी") में बिल्कुल एक घटक होता है और वे परस्पर ऑर्थोगोनल सदिश (लंबवृत्त) और मानकृत (इकाई सदिश) होते हैं।

सामान्यतः, हम आधार वैक्टर 'बी' को परिभाषित कर सकते हैं क्योंकी वे q = (q पर निर्भर हों)1, क्यू2,...,क्यूn), यानी वे एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर परिवर्तित हैं: 'बी'i = बीi(क्यू)। किस परिस्थति में इस वैकल्पिक आधार के संदर्भ में एक ही बिंदु x को परिभाषित किया जाए: इस आधार के संबंध में समन्वय सदिश viयह आवश्यक रूप से 'x' पर भी निर्भर करता है,अर्थात vi = vi(x).निर्भर करता है, पुनः इस स्थान में एक सदिश 'v', इन वैकल्पिक निर्देशांक और आधार वैक्टर के संबंध में, इस आधार में एक रैखिक संयोजन के रूप में विस्तारित किया जा सकता है (जिसका अर्थ है कि प्रत्येक आधार को समन्वयित सदिश ' ei से गुणा करना है i एक संख्या द्वारा vi - स्केलर गुणज भी होता हैं) :


 * $$ \mathbf{v} = \sum_{j=1}^n \bar{v}^j\mathbf{b}_j = \sum_{j=1}^n \bar{v}^j(\mathbf{q})\mathbf{b}_j(\mathbf{q}) $$

नवीन आधार में v का वर्णन करने वाला सदिश योग विभिन्न सदिशों से बना है, यद्यपि योग वही रहता है।

निर्देशांक का परिवर्तन
एक अधिक सामान्य और सार्वभौमिक दृष्टिकोण से, एक वक्रीय निर्देशांक प्रणाली सिर्फ एन (n-आयामी यूक्लिडियन स्थान) पर डिफीमोर्फिक कार्यशील मानिफोल्ड के रूप में कार्यशील होने वाले कार्यशील पैच का एक निर्देशांक पैच होता है जो मानिफोल्ड पर कार्तेशियन निर्देशांक पैच के रूप में है। दो डिफीमोर्फिक कार्यशील पैचों पर एक डिफ़ेरेंटिएबल ओवरलैप न होने की आवश्यकता होती है। इस सरल वक्रीय निर्देशांक प्रणाली की परिभाषा के साथ, नीचे दिए गए सभी परिणाम सिर्फ अंतर टोपोलॉजी में मानक प्रमेयों के अनुप्रयोग होते हैं।

परिवर्तन फलनें ऐसी होती हैं कि "पुराने" और "नए" निर्देशांकों में बिंदुओं के बीच एक-एक संबंध होता है, अर्थात,वे फलन अनुमान लगाते हैं, और फलन के अपने डोमेन के अंदर निम्नलिखित आवश्यकताओं को पूरा करते हैं:

त्रि-आयामी वक्रीय निर्देशांक में सदिश और टेंसर बीजगणित
वक्रीय निर्देशांक में प्राथमिक वेक्टर और टेंसर बीजगणित का उपयोग यांत्रिकी और भौतिक विज्ञान की कुछ पुरानी वैज्ञानिक साहित्य में किया जाता है और पहले और मध्य-20वीं सदी के काम को समझने में अविवाहित हो सकता है, जैसे कि ग्रीन और जरना के पाठ से ] वक्रीय निर्देशांक में वेक्टर और द्वितीय क्रम टेंसरों के बीजगणित में कुछ उपयोगी संबंध इस खंड में दिए गए हैं। नोटेशन और सामग्री मुख्य रूप से ओग्डेन, नगधी, साइमंड्स, हरा और ज़र्ना, बाज़ार और वीचर्ट, और सियारलेट. से हैं।

वक्ररेखीय निर्देशांक में टेंसर
दूसरे क्रम के टेंसर को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

\boldsymbol{S} = S^{ij}\mathbf{b}_i\otimes\mathbf{b}_j = S^i{}_j\mathbf{b}_i\otimes\mathbf{b}^j = S_i{}^j\mathbf{b}^i\otimes\mathbf{b}_j = S_{ij}\mathbf{b}^i\otimes\mathbf{b}^j $$ जहाँ $$\scriptstyle\otimes$$ टेंसर उत्पाद को दर्शाता है। घटक एसij को 'विपरीत' घटक कहा जाता है, Sमैं j'मिश्रित दाएँ-सहसंयोजक' घटक, एसi j 'मिश्रित वाम-सहसंयोजक' घटक, और एसijदूसरे क्रम के टेंसर के 'सहसंयोजक' घटक। दूसरे क्रम के टेंसर के घटक संबंधित हैं

जहां ⊗ टेंसर गुणा को दर्शाता है। घटक Sij को अपवादी घटक कहा जाता है, SSi j मिश्रित दायाँ-अपवादी घटक,Si j j मिश्रित बाएँ-अपवादी घटक, और Sij द्वितीय क्रम टेंसर के अपवादी घटक हैं। द्वितीय क्रम टेंसर के घटकों के मध्य संबंध होता हैं:


 * $$ S^{ij} = g^{ik}S_k{}^j = g^{jk}S^i{}_k = g^{ik}g^{j\ell}S_{k\ell} $$

ऑर्थोगोनल वक्रीय निर्देशांक में मीट्रिक टेंसर
प्रत्येक बिंदु पर, कोई एक छोटी रेखा $dx$ तत्व का निर्माण कर सकता है ,इसलिए रेखा तत्व की लंबाई का वर्ग अदिश उत्पाद dx • dx होता है और इसे स्थान का मीट्रिक कहा जाता है, जो निम्न द्वारा दिया गया है:


 * $$d\mathbf{x}\cdot d\mathbf{x} = \cfrac{\partial x_i}{\partial q^j}\cfrac{\partial x_i}{\partial q^k}dq^jdq^k

$$.

उपरोक्त समीकरण का निम्नलिखित भाग
 * $$ \cfrac{\partial x_k}{\partial q^i}\cfrac{\partial x_k}{\partial q^j} = g_{ij}(q^i,q^j) = \mathbf{b}_i\cdot\mathbf{b}_j $$

यह एक सममिति टेंसर है जिसे वक्रीय निर्देशांक में यूक्लिडियन स्थान का मूल (या मैट्रिक) टेंसर कहा जाता है।

सूचकांकों को मैट्रिक द्वारा उठाया और नीचे किया जा सकता है:
 * $$ v^i = g^{ik}v_k $$

लेमे गुणांक से संबंध
पैमाने के कारकों को परिभाषित करना hi द्वारा दर्शाया जाता है


 * $$ h_ih_j = g_{ij} = \mathbf{b}_i\cdot\mathbf{b}_j \quad \Rightarrow \quad h_i =\sqrt{g_{ii}}= \left|\mathbf{b}_i\right|=\left|\cfrac{\partial\mathbf{x}}{\partial q^i}\right| $$

मीट्रिक टेंसर और लैम गुणांक के मध्य एक संबंध देता है, और


 * $$ g_{ij} = \cfrac{\partial\mathbf{x}}{\partial q^i}\cdot\cfrac{\partial\mathbf{x}}{\partial q^j}

= \left( h_{ki}\mathbf{e}_k\right)\cdot\left( h_{mj}\mathbf{e}_m\right) = h_{ki}h_{kj} $$ जहां hij लैम गुणांक हैं। ऑर्थोगोनल आधार के लिए हमारे पास यह भी है:


 * $$ g = g_{11}g_{22}g_{33} = h_1^2h_2^2h_3^2 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{g} = h_1h_2h_3 = J $$

उदाहरण: ध्रुवीय निर्देशांक
यदि हम R2 के लिए ध्रुवीय निर्देशांक पर विचार करें,
 * $$ (x, y)=(r \cos \theta, r \sin \theta) $$

(r, θ) वक्रीय निर्देशांक हैं, और परिवर्तन (r,θ) → (r cos θ, r sin θ) का जैकोबियन निर्धारक का निर्णय r होता है।

आधार वैक्टर 'बी' हैंr = (cos θ, पाप θ), bθ = (−r पाप θ, r cos θ). स्केल कारक एच हैंr = 1 और एचθ= आर. मौलिक टेंसर g है11 =1, जी22 =आर2, जी12 = जी21 =0.

(r, θ) वक्रीय निर्देशांक हैं, और परिवर्तन (r,θ) → (r cos θ, r sin θ) का जैकोबियन निर्धारक का निर्णय r होता है।

ओर्थोगोनल आधार वेक्टर br = (cos θ, sin θ), bθ = (−r sin θ, r cos θ) हैं। मापन के कारक hr = 1 और hθ=r हैं। मूल टेंसर  g11 =1, g22 =r2, g12 = g21 =0. है।

प्रत्यावर्ती टेंसर
ऑर्थोनॉर्मल दाएं हाथ के आधार पर, तीसरे क्रम के लेवी-सिविटा प्रतीक को इस प्रकार परिभाषित किया गया है


 * $$ \boldsymbol{\mathcal{E}} = \varepsilon_{ijk}\mathbf{e}^i\otimes\mathbf{e}^j\otimes\mathbf{e}^k $$

सामान्य वक्ररेखीय आधार पर समान टेंसर को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है



\boldsymbol{\mathcal{E}} = \mathcal{E}_{ijk}\mathbf{b}^i\otimes\mathbf{b}^j\otimes\mathbf{b}^k = \mathcal{E}^{ijk}\mathbf{b}_i\otimes\mathbf{b}_j\otimes\mathbf{b}_k $$ वो भी दर्शाया जा सकता है

\mathcal{E}^{ijk} = \cfrac{1}{J}\varepsilon_{ijk} = \cfrac{1}{+\sqrt{g}}\varepsilon_{ijk} $$

क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक

 * पहली तरह के क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक $$\Gamma_{kij}$$:



\mathbf{b}_{i,j} = \frac{\partial \mathbf{b}_i}{\partial q^j} = \mathbf{b}^k \Gamma_{kij} \quad \Rightarrow \quad \mathbf{b}_k \cdot \mathbf{b}_{i,j}  = \Gamma_{kij} $$ जहां अल्पविराम आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाता है। Γkij व्यक्त करने के लिए gij, के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है,



\begin{align} g_{ij,k} & = (\mathbf{b}_i\cdot\mathbf{b}_j)_{,k} = \mathbf{b}_{i,k}\cdot\mathbf{b}_j + \mathbf{b}_i\cdot\mathbf{b}_{j,k} = \Gamma_{jik} + \Gamma_{ijk}\\ g_{ik,j} & = (\mathbf{b}_i\cdot\mathbf{b}_k)_{,j} = \mathbf{b}_{i,j}\cdot\mathbf{b}_k + \mathbf{b}_i\cdot\mathbf{b}_{k,j} = \Gamma_{kij} + \Gamma_{ikj}\\ g_{jk,i} & = (\mathbf{b}_j\cdot\mathbf{b}_k)_{,i} = \mathbf{b}_{j,i}\cdot\mathbf{b}_k + \mathbf{b}_j\cdot\mathbf{b}_{k,i} = \Gamma_{kji} + \Gamma_{jki} \end{align} $$ तब से
 * $$\mathbf{b}_{i,j} = \mathbf{b}_{j,i}\quad\Rightarrow\quad\Gamma_{kij} = \Gamma_{kji}$$

उपरोक्त संबंधों को पुनर्व्यवस्थित करने के लिए इनका उपयोग करने से प्राप्त होता है


 * $$\Gamma_{kij} = \frac{1}{2}(g_{ik,j} + g_{jk,i} - g_{ij,k}) = \frac{1}{2}[(\mathbf{b}_i\cdot\mathbf{b}_k)_{,j} + (\mathbf{b}_j\cdot\mathbf{b}_k)_{,i} - (\mathbf{b}_i\cdot\mathbf{b}_j)_{,k}]

$$
 * दूसरे प्रकार के क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक $$\Gamma^k{}_{ji}$$:


 * $$\Gamma^k{}_{ij} = g^{kl}\Gamma_{lij} = \Gamma^k{}_{ji},\quad \cfrac{\partial \mathbf{b}_i}{\partial q^j} = \mathbf{b}_k \Gamma^k{}_{ij} $$

इसका अर्थ यह है कि
 * $$ \Gamma^k{}_{ij} = \cfrac{\partial \mathbf{b}_i}{\partial q^j}\cdot\mathbf{b}^k = -\mathbf{b}_i\cdot\cfrac{\partial \mathbf{b}^k}{\partial q^j}\quad $$ तब से $$ \quad\cfrac{\partial}{\partial q^j}(\mathbf{b}_i\cdot\mathbf{b}^k)=0$$.

अन्य संबंध जो अनुसरण करते हैं वे हैं

\cfrac{\partial \mathbf{b}^i}{\partial q^j} = -\Gamma^i{}_{jk}\mathbf{b}^k,\quad \boldsymbol{\nabla}\mathbf{b}_i = \Gamma^k{}_{ij}\mathbf{b}_k\otimes\mathbf{b}^j,\quad \boldsymbol{\nabla}\mathbf{b}^i = -\Gamma^i{}_{jk}\mathbf{b}^k\otimes\mathbf{b}^j $$

त्रि-आयामी वक्रीय निर्देशांक में सदिश और टेंसर कैलकुलस
रेखा, सतह और आयतन अभिन्न इंटीग्रल की गणना में समायोजन करने की आवश्यकता है। सरलता के लिए, निम्नलिखित तीन आयामों और ऑर्थोगोनल वक्ररेखीय निर्देशांक तक सीमित है। यद्यपि, वही तर्क एन-आयामी रिक्त स्थान के लिए प्रारंभ होते हैं। जब समन्वय प्रणाली ऑर्थोगोनल नहीं होती है, तो अभिव्यक्तियों में कुछ अतिरिक्त पद होते हैं।

साइमंड्स, टेंसर विश्लेषण पर अपनी पुस्तक में, अल्बर्ट आइंस्टीन के कथन को उद्धृत किया गया है

 इस सिद्धांत का जादू शायद ही किसी ऐसे व्यक्ति पर थोपने में असफल होगा जिसने इसे वास्तव में समझा है; यह गॉस, रीमैन, रिक्की और लेवी-सिविटा द्वारा स्थापित पूर्ण अंतर कैलकुलस की विधि की वास्तविक विजय का प्रतिनिधित्व करता है।

 सामान्य वक्ररेखीय निर्देशांक में सदिश और टेंसर कैलकुलस का उपयोग सामान्य सापेक्षता में चार-आयामी वक्ररेखीय कई गुना ्स पर टेंसर विश्लेषण में किया जाता है, घुमावदार प्लेट सिद्धांत के ठोस यांत्रिकी में, मैक्सवेल के समीकरणों के अपरिवर्तनीय (गणित) गुणों की जांच करने में जो metamaterials में रुचि का रहा है  और कई अन्य क्षेत्रों में.

वक्रीय निर्देशांक में सदिशों और दूसरे क्रम के टेंसरों की गणना में कुछ उपयोगी संबंध इस खंड में दिए गए हैं। नोटेशन और सामग्री मुख्य रूप से ओग्डेन से हैं, साइमंड्स, हरा और ज़र्ना, बाज़ार और वीचर्ट, और सियारलेट.

मान लीजिए φ = φ(x) एक अच्छी तरह से परिभाषित अदिश क्षेत्र है और v = v(x) एक अच्छी तरह से परिभाषित सदिश क्षेत्र है, और λ1, एल2...निर्देशांक के पैरामीटर बनें

ज्यामितीय तत्व
1. {\partial \mathbf{x} \over \partial \lambda} \right

2. = \sqrt{h_{ki}h_{kj}\cfrac{\partial q^i}{\partial \lambda}\cfrac{\partial q^j}{\partial \lambda}} = \sqrt{ g_{ij}\cfrac{\partial q^i}{\partial \lambda}\cfrac{\partial q^j}{\partial \lambda}} = \sqrt{h_{i}^2\left(\cfrac{\partial q^i}{\partial \lambda}\right)^2} $
 * 2= Tangent plane element: If x(λ1, λ2) parametrizes a surface S in Cartesian coordinates, then the following cross product of tangent vectors is a normal vector to S with the magnitude of infinitesimal plane element, in curvilinear coordinates. Using the above result,


 * $ {\partial \mathbf{x} \over \partial \lambda_1}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial \lambda_2} =\left({\partial \mathbf{x} \over \partial q^i}{\partial q^i \over \partial \lambda_1}\right) \times \left({\partial \mathbf{x} \over \partial q^j}{\partial q^j \over \partial \lambda_2}\right) = \mathcal{E}_{kmp}\left( h_{ki}{\partial q^i \over \partial \lambda_1}\right)\left(h_{mj}{\partial q^j \over \partial \lambda_2}\right) \mathbf{b}_p $

where $\mathcal{E}$ is the permutation symbol. In determinant form:


 * ${\partial \mathbf{x} \over \partial \lambda_1}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial \lambda_2}

=\begin{vmatrix} \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \mathbf{e}_3 \\ h_{1i} \dfrac{\partial q^i}{\partial \lambda_1} & h_{2i} \dfrac{\partial q^i}{\partial \lambda_1} & h_{3i} \dfrac{\partial q^i }{\partial \lambda_1} \\ h_{1j} \dfrac{\partial q^j}{\partial \lambda_2} & h_{2j} \dfrac{\partial q^j}{\partial \lambda_2} & h_{3j} \dfrac{\partial q^j }{\partial \lambda_2} \end{vmatrix}$
 * undefined

एकीकरण

 * {| class="wikitable"

!scope=col width="10px"| Operator !scope=col width="200px"| Scalar field !scope=col width="200px"| Vector field
 * Line integral
 * $$ \int_C \varphi(\mathbf{x}) ds = \int_a^b \varphi(\mathbf{x}(\lambda))\left|{\partial \mathbf{x} \over \partial \lambda}\right| d\lambda$$
 * $$ \int_C \mathbf{v}(\mathbf{x}) \cdot d\mathbf{s} = \int_a^b \mathbf{v}(\mathbf{x}(\lambda))\cdot\left({\partial \mathbf{x} \over \partial \lambda}\right) d\lambda$$
 * Surface integral
 * $$\int_S \varphi(\mathbf{x}) dS = \iint_T \varphi(\mathbf{x}(\lambda_1, \lambda_2)) \left|{\partial \mathbf{x} \over \partial \lambda_1}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial \lambda_2}\right| d\lambda_1 d\lambda_2$$
 * $$\int_S \mathbf{v}(\mathbf{x}) \cdot dS = \iint_T \mathbf{v}(\mathbf{x}(\lambda_1, \lambda_2)) \cdot\left({\partial \mathbf{x} \over \partial \lambda_1}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial \lambda_2}\right) d\lambda_1 d\lambda_2$$
 * Volume integral
 * $$\iiint_V \varphi(x,y,z) dV = \iiint_V \chi(q_1,q_2,q_3) Jdq_1dq_2dq_3 $$
 * $$\iiint_V \mathbf{u}(x,y,z) dV = \iiint_V \mathbf{v}(q_1,q_2,q_3) Jdq_1dq_2dq_3 $$
 * }
 * $$\iiint_V \varphi(x,y,z) dV = \iiint_V \chi(q_1,q_2,q_3) Jdq_1dq_2dq_3 $$
 * $$\iiint_V \mathbf{u}(x,y,z) dV = \iiint_V \mathbf{v}(q_1,q_2,q_3) Jdq_1dq_2dq_3 $$
 * }
 * }

भेदभाव
ग्रेडिएंट, डाइवर्जेंस और लाप्लासियन के भावों को सीधे एन-आयामों तक बढ़ाया जा सकता है, यद्यपि कर्ल को केवल 3डी में परिभाषित किया गया है।

सदिश फ़ील्ड 'बी'i q के स्पर्शरेखा हैमैं वक्र का समन्वय करता हूं और वक्र पर प्रत्येक बिंदु पर एक 'प्राकृतिक आधार' बनाता हूं। इस आधार को, जैसा कि इस लेख की शुरुआत में चर्चा की गई है, 'सहसंयोजक' वक्ररेखीय आधार भी कहा जाता है। हम 'पारस्परिक आधार', या 'विपरीत' वक्ररेखीय आधार, 'बी' को भी परिभाषित कर सकते हैं। मैं. आधार सदिशों के मध्य सभी बीजगणितीय संबंध, जैसा कि टेन्सर बीजगणित पर अनुभाग में चर्चा की गई है, प्रत्येक बिंदु 'x' पर प्राकृतिक आधार और उसके व्युत्क्रम के लिए लागू होते हैं।


 * {| class="wikitable"

!scope=col width="10px"| Operator !scope=col width="200px"| Scalar field !scope=col width="200px"| Vector field !scope=col width="200px"| 2nd order tensor field (\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{S})\cdot\mathbf{a} = \boldsymbol{\nabla}\cdot(\boldsymbol{S}\cdot\mathbf{a}) $$ where a is an arbitrary constant vector. In curvilinear coordinates,
 * Gradient
 * $$ \nabla\varphi = \cfrac{1}{h_i}{\partial\varphi \over \partial q^i} \mathbf{b}^i $$
 * $$\nabla\mathbf{v} = \cfrac{1}{h_i^2}{\partial \mathbf{v} \over \partial q^i}\otimes\mathbf{b}_i $$
 * $$\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{S} = \cfrac{\partial \boldsymbol{S}}{\partial q^i}\otimes\mathbf{b}^i$$
 * Divergence
 * N/A
 * $$ \nabla \cdot \mathbf{v} = \cfrac{1}{\prod_j h_j} \frac{\partial }{\partial q^i}(v^i\prod_{j\ne i} h_j) $$
 * N/A
 * $$ \nabla \cdot \mathbf{v} = \cfrac{1}{\prod_j h_j} \frac{\partial }{\partial q^i}(v^i\prod_{j\ne i} h_j) $$

$$\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{S} = \left[\cfrac{\partial S_{ij}}{\partial q^k} - \Gamma^l_{ki}S_{lj} - \Gamma^l_{kj}S_{il}\right]g^{ik}\mathbf{b}^j $$ \nabla^2 \varphi = \cfrac{1}{\prod _j h_j}\frac{\partial }{\partial q^i}\left(\cfrac{\prod _j h_j}{h_i^2}\frac{\partial \varphi}{\partial q^i}\right) $$
 * Laplacian
 * Laplacian

$$ \nabla\times\mathbf{v} = \frac{1}{h_1h_2h_3} \mathbf{e}_i \epsilon_{ijk} h_i \frac{\partial (h_k v_k)}{\partial q^j} $$
 * Curl
 * N/A
 * For vector fields in 3D only,
 * N/A
 * For vector fields in 3D only,

where $$\epsilon_{ijk}$$ is the Levi-Civita symbol.
 * See Curl of a tensor field
 * }

सामान्य वक्रीय निर्देशांक में काल्पनिक बल
परिभाषा के अनुसार, यदि किसी कण पर कोई बल कार्य नहीं कर रहा है तो उसकी स्थिति एक जड़त्वीय समन्वय प्रणाली में व्यक्त की जाती है, (x)।1, एक्स2, एक्स3,t), तो वहां इसका कोई त्वरण नहीं होगा (डी)।2xj/dt2=0). इस संदर्भ में, एक समन्वय प्रणाली गैर-सीधे समय अक्ष या गैर-सीधे अंतरिक्ष अक्ष (या दोनों) के कारण "जड़त्वीय" होने में विफल हो सकती है। दूसरे शब्दों में, निर्देशांक के आधार वैक्टर निश्चित स्थानों पर समय के साथ भिन्न हो सकते हैं, या वे निश्चित समय पर स्थिति के साथ भिन्न हो सकते हैं, या दोनों। जब गति के समीकरणों को किसी गैर-जड़त्वीय समन्वय प्रणाली (इस अर्थ में) के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो अतिरिक्त शब्द प्रकट होते हैं, जिन्हें क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक कहा जाता है। कड़ाई से बोलते हुए, ये शब्द पूर्ण त्वरण (शास्त्रीय यांत्रिकी में) के घटकों का प्रतिनिधित्व करते हैं, लेकिन हम डी के संबंध में जारी रखना भी चुन सकते हैं2xj/dt2त्वरण के रूप में (जैसे कि निर्देशांक जड़त्वीय थे) और अतिरिक्त शब्दों को ऐसे मानें जैसे कि वे बल थे, इस स्थिति में उन्हें काल्पनिक बल कहा जाता है। कण के पथ और पथ की वक्रता के तल में सामान्य ऐसे किसी काल्पनिक बल के घटक को केन्द्रापसारक बल कहा जाता है। यह अधिक सामान्य संदर्भ घूर्णन संदर्भ फ़्रेमों और स्थिर वक्ररेखीय समन्वय प्रणालियों में केन्द्रापसारक बल की अवधारणाओं के मध्य पत्राचार को स्पष्ट करता है। (ये दोनों अवधारणाएँ साहित्य में प्रायः दिखाई देती हैं।  ) एक सरल उदाहरण के लिए, द्रव्यमान m के एक कण पर विचार करें जो कोणीय गति W के साथ घूर्णन करने वाले ध्रुवीय निर्देशांक प्रणाली के सापेक्ष कोणीय गति w के साथ त्रिज्या r के एक वृत्त में घूम रहा है। गति का रेडियल समीकरण mr” = F है।r+ श्री(डब्ल्यू + डब्ल्यू)2. इस प्रकार केन्द्रापसारक बल कण की पूर्ण घूर्णी गति A = w + W के वर्ग का mr गुना है। यदि हम कण की गति से घूमने वाली एक समन्वय प्रणाली चुनते हैं, तो W = A और w = 0, इस स्थिति में केन्द्रापसारक बल mrA है2, जबकि यदि हम एक स्थिर समन्वय प्रणाली चुनते हैं तो हमारे पास W = 0 और w = A है, इस स्थिति में केन्द्रापसारक बल पुनः से mrA है2. परिणामों की इस समानता का कारण यह है कि दोनों मामलों में कण के स्थान पर आधार वैक्टर समय के साथ बिल्कुल उसी तरह परिवर्तित रहे हैं। इसलिए ये वास्तव में बिल्कुल एक ही चीज़ का वर्णन करने के दो पृथक-पृथक विधियों हैं, एक वर्णन घूर्णन निर्देशांक के संदर्भ में है और दूसरा स्थिर वक्रीय निर्देशांक के संदर्भ में है, जो दोनों उस शब्द के अधिक अमूर्त अर्थ के अनुसार गैर-जड़त्वीय हैं।.

सामान्य गति का वर्णन करते समय, किसी कण पर कार्य करने वाली वास्तविक शक्तियों को प्रायः गति के पथ के स्पर्शरेखा वाले तात्कालिक दोलन वृत्त के रूप में संदर्भित किया जाता है, और सामान्य स्थिति में यह वृत्त एक निश्चित स्थान पर केंद्रित नहीं होता है, और इसलिए अपकेंद्रित्र और कोरिओलिस में विघटित होता है घटक लगातार परिवर्तित रहे हैं. यह सत्य है चाहे गति को स्थिर या घूर्णन निर्देशांक के संदर्भ में वर्णित किया गया हो।

यह भी देखें

 * सदिशों का सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण
 * सामान्य सापेक्षता के गणित का परिचय
 * विशेष स्थितियां:
 * ऑर्थोगोनल निर्देशांक
 * तिरछा निर्देशांक
 * वक्ररेखीय निर्देशांक में टेंसर
 * फ्रेनेट-सेरेट सूत्र
 * सहसंयोजक व्युत्पन्न
 * टेंसर व्युत्पन्न (सातत्य यांत्रिकी)
 * वक्ररेखीय परिप्रेक्ष्य
 * बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में डेल

बाहरी संबंध

 * Planetmath.org Derivation of Unit vectors in curvilinear coordinates
 * MathWorld's page on Curvilinear Coordinates
 * Prof. R. Brannon's E-Book on Curvilinear Coordinates
 * Introduction to Elasticity/Tensors – Wikiversity, Introduction to Elasticity/Tensors.