एक बिंदु की शक्ति

प्राथमिक समतल ज्यामिति में, एक बिंदु की शक्ति एक वास्तविक संख्या है जो किसी दिए गए वृत्त से दिए गए बिंदु की सापेक्ष दूरी को दर्शाती है। इसे 1826 में जैकब स्टेनर द्वारा पेश किया गया था। विशेष रूप से, शक्ति $$\Pi(P)$$ एक बिंदु का $$P$$ एक वृत्त के संबंध में $$c$$ केंद्र के साथ  $$O$$ और त्रिज्या $$r$$ द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$\Pi(P)=|PO|^2 - r^2.$$

अगर $$P$$ सर्कल के बाहर है, तो $$\Pi(P)>0$$, अगर $$P$$ सर्कल पर है, तो $$\Pi(P)=0$$ और अगर $$P$$ सर्कल के अंदर है, तो $$\Pi(P)<0$$.

पाइथागोरस प्रमेय के कारण संख्या $$\Pi(P)$$ आरेख में दिखाए गए सरल ज्यामितीय अर्थ हैं: एक बिंदु के लिए $$P$$ घेरे के बाहर $$\Pi(P)$$ वर्ग स्पर्शरेखा दूरी है $$|PT|$$ बिंदु का $$P$$ सर्कल के लिए $$c$$.

समान शक्ति वाले अंक, के isolines $$\Pi(P)$$, वृत्त के संकेंद्रित वृत्त हैं $$c$$.

स्टेनर ने वृत्तों पर कई कथनों के प्रमाण के लिए एक बिंदु की शक्ति का उपयोग किया, उदाहरण के लिए:
 * एक वृत्त का निर्धारण, जो एक ही कोण से चार वृत्तों को काटता है।
 * एपोलोनियस की समस्या का समाधान
 * मालफट्टी हलकों का निर्माण: दिए गए त्रिभुज के लिए तीन वृत्त निर्धारित करें, जो एक दूसरे को स्पर्श करें और प्रत्येक त्रिभुज की दो भुजाएँ हों।
 * मालफत्ती की समस्या का गोलाकार त्रिकोणमिति संस्करण: त्रिभुज एक गोलाकार है।

वृत्तों पर अन्वेषण के लिए आवश्यक उपकरण दो वृत्तों का मूल अक्ष तथा तीन वृत्तों का शक्ति केंद्र (ज्यामिति) हैं।

वृत्तों के एक समूह का शक्ति आरेख विमान को उन क्षेत्रों में विभाजित करता है जिनके भीतर शक्ति को कम करने वाला वृत्त स्थिर होता है।

अधिक सामान्यतः, फ्रांसीसी गणितज्ञ एडमंड लागुएरे ने इसी तरह से किसी भी बीजगणितीय वक्र के संबंध में एक बिंदु की शक्ति को परिभाषित किया।

ज्यामितीय गुण
सीसे में उल्लिखित गुणों के अलावा और भी गुण हैं:

ओर्थोगोनल सर्कल
किसी भी बिंदु के लिए $$P$$ घेरे के बाहर $$c$$ दो स्पर्शरेखा बिंदु हैं $$T_1,T_2$$ वृत्त पर $$c$$, जिनकी समान दूरी है $$P$$. इसलिए घेरा $$o$$ केंद्र के साथ $$P$$ द्वारा $$T_1$$ गुजरता $$T_2$$, भी, और प्रतिच्छेद करता है $$c$$ ओर्थोगोनल: यदि त्रिज्या $$\rho$$ पर केंद्रित वृत्त का $$P$$ से भिन्न $$\sqrt{\Pi(P)}$$ किसी को चौराहे का कोण मिलता है $$\varphi$$ कोसाइन के नियम को लागू करने वाले दो वृत्तों के बीच (आरेख देखें):
 * केंद्र के साथ वृत्त $$P$$ और त्रिज्या $$\sqrt{\Pi(P)}$$ वृत्त को काटता है $$c$$ ओर्थोगोनल।
 * $$\rho^2+r^2-2\rho r \cos\varphi=|PO|^2 $$
 * $$ \rightarrow \

\cos\varphi=\frac{\rho^2+r^2-|PO|^2}{2\rho r}=\frac{\rho^2-\Pi(P)}{2\rho r}$$ ($$PS_1$$ और $$OS_1$$ वृत्त स्पर्शरेखाओं के लिए सामान्य (ज्यामिति) हैं।)

अगर $$P$$ फिर नीले घेरे के अंदर स्थित है $$\Pi(P)<0$$ और $$ \varphi$$ से सदैव भिन्न होता है $$90^\circ$$. यदि कोण $$\varphi$$ दिया जाता है, तो त्रिज्या मिलती है $$\rho$$ द्विघात समीकरण को हल करके
 * $$\rho^2-2\rho r \cos\varphi-\Pi(P)=0$$.

अन्तर्विभाजक छेदक प्रमेय, अन्तर्विभाजक जीवा प्रमेय
अन्तर्विभाजक छेदक प्रमेय और अन्तर्विभाजक तार प्रमेय के लिए एक बिंदु की शक्ति एक अपरिवर्तनीय (गणित) की भूमिका निभाती है:


 * अन्तर्विभाजक छेदक प्रमेय: एक बिंदु के लिए $$P$$ एक घेरे के बाहर $$c$$ और चौराहे अंक $$S_1,S_2$$ एक दूसरी रेखा का $$ g$$ साथ $$c$$ निम्नलिखित कथन सत्य है: $$|PS_1| \cdot |PS_2|= \Pi(P)$$, इसलिए उत्पाद लाइन से स्वतंत्र है $$g$$. अगर $$g$$ तब स्पर्शरेखा है $$S_1=S_2$$ और कथन स्पर्शज्या-सेकेंट प्रमेय है।
 * अन्तर्विभाजक तार प्रमेय: एक बिंदु के लिए $$P$$ एक घेरे के अंदर $$c$$ और चौराहे अंक $$S_1,S_2$$ एक दूसरी रेखा का $$ g$$ साथ $$c$$ निम्नलिखित कथन सत्य है: $$|PS_1| \cdot |PS_2|= -\Pi(P)$$, इसलिए उत्पाद लाइन से स्वतंत्र है $$g$$.

रेडिकल अक्ष
होने देना $$P$$ एक बिंदु हो और $$c_1,c_2$$ के साथ दो गैर संकेंद्रित वृत्त केन्द्रों $$O_1,O_2$$ और त्रिज्या $$r_1,r_2$$. बिंदु $$P$$ शक्ति है $$\Pi_i(P)$$ वृत्त के संबंध में $$c_i$$. सभी बिंदुओं का समुच्चय $$P$$ साथ $$\Pi_1(P)=\Pi_2(P)$$ एक रेखा है जिसे रेडिकल एक्सिस कहा जाता है। इसमें मंडलियों के संभावित सामान्य बिंदु होते हैं और रेखा के लंबवत होते हैं $$\overline{O_1O_2}$$.

सिकेंट्स प्रमेय, जीवा प्रमेय: सामान्य प्रमाण
टेंगेंट-सेकेंट प्रमेय सहित दोनों प्रमेयों को समान रूप से सिद्ध किया जा सकता है:

होने देना $$P:\vec p$$ एक बिंदु हो, $$c: \vec x^2-r^2=0$$ इसके केंद्र के रूप में मूल के साथ एक चक्र और $$\vec v$$ मनमाना इकाई वेक्टर। पैरामीटर $$t_1,t_2$$ रेखा के संभावित सामान्य बिंदुओं की  $$g: \vec x=\vec p+t\vec v$$ (द्वारा $$P$$) और घेरा $$c$$ सर्कल के समीकरण में पैरामीट्रिक समीकरण डालकर निर्धारित किया जा सकता है:
 * $$(\vec p+t\vec v)^2-r^2=0 \quad \rightarrow \quad

t^2+2t\;\vec p\cdot\vec v +\vec p^2-r^2=0 \. $$ वीटा के प्रमेय से कोई पाता है:
 * $$t_1\cdot t_2=\vec p^2-r^2 =\Pi(P)$$. (स्वतंत्र $$\vec v$$ !)

$$\Pi(P)$$ की शक्ति है $$P$$ सर्कल के संबंध में $$c$$.

की वजह से $$|\vec v|=1$$ किसी को बिंदुओं के लिए निम्नलिखित कथन मिलता है $$S_1,S_2$$:
 * $$|PS_1|\cdot|PS_2|=t_1t_2=\Pi(P)\ $$, अगर $$P$$ घेरे के बाहर है,
 * $$|PS_1|\cdot|PS_2|=-t_1t_2=-\Pi(P)\ $$, अगर $$P$$ सर्कल के अंदर है ($$t_1,t_2$$ अलग-अलग संकेत हैं!)

के मामले में $$t_1=t_2$$ पंक्ति $$g$$ एक स्पर्शरेखा है और $$\Pi(P)$$ बिंदु की स्पर्शरेखा दूरी का वर्ग $$P$$ गोल घूमना $$c$$.

समानता बिंदु
मंडलियों पर स्टेनर की जांच के लिए समानता बिंदु एक आवश्यक उपकरण हैं। दो वृत्त दिए गए हैं
 * $$\ c_1: (\vec x -\vec m_1)-r_1^2=0, \quad c_2: (\vec x -\vec m_2)-r_2^2=0 \ .$$

एक समरूपता (समानता (ज्यामिति)) $$\sigma$$, वह मानचित्र $$c_1$$ पर $$c_2$$ फैला (झटका) त्रिज्या $$ r_1$$ को $$r_2$$ और इसका केंद्र है $$Z:\vec z$$ रेखा पर $$\overline{M_1 M_2}$$, क्योंकि $$\sigma(M_1)=M_2$$. अगर केंद्र $$Z$$ के बीच है $$M_1,M_2$$ पैमाना कारक है $$s=-\tfrac{r_2}{r_1}$$. दूसरे मामले में $$s=\tfrac{r_2}{r_1}$$. किसी भी स्थिति में:
 * $$\sigma(\vec m_1)=\vec z + s(\vec m_1-\vec z)=\vec m_2$$.

डालने $$s=\pm\tfrac{r_2}{r_1}$$ और हल करने के लिए $$\vec z$$ पैदावार:
 * $$ \vec z= \frac{r_1\vec m_2\mp r_2\vec m_1}{r_1\mp r_2}$$.

बिंदु $$E:\vec e=\frac{r_1\vec m_2-r_2\vec m_1}{r_1-r_2}$$ बाहरी समानता बिंदु कहा जाता है और $$I:\vec i=\frac{r_1\vec m_2+r_2\vec m_1}{r_1+r_2}$$ आंतरिक समानता बिंदु कहा जाता है।

के मामले में $$M_1=M_2$$ एक मिलता है $$E=I=M_i$$ के मामले में $$r_1=r_2$$: $$E$$ रेखा की अनंतता पर बिंदु है $$\overline{M_1 M_2}$$ और $$I$$ का केन्द्र है $$M_1,M_2$$ के मामले में $$r_1=|EM_1|$$ वृत्त एक दूसरे को बिंदु पर स्पर्श करते हैं $$E$$ अंदर (सामान्य स्पर्श रेखा के एक ही तरफ दोनों वृत्त)। के मामले में $$r_1=|IM_1|$$ वृत्त एक दूसरे को बिंदु पर स्पर्श करते हैं $$I$$ बाहर (सामान्य स्पर्श रेखा के विभिन्न पक्षों पर दोनों वृत्त)।

आगे:
 * यदि वृत्त असंयुक्त हों (डिस्क का कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है), तो बाहर की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ मिलती हैं $$E$$ और भीतर वाले पर $$I$$.
 * यदि एक वृत्त दूसरे के भीतर समाहित है, तो अंक $$E,I$$ दोनों हलकों के भीतर झूठ बोलो।
 * जोड़े $$M_1,M_2;E,I$$ प्रक्षेपी हार्मोनिक संयुग्म हैं: उनका क्रॉस अनुपात है $$(M_1,M_2;E,I)=-1$$.

Monge की प्रमेय कहती है: तीन अलग-अलग मंडलियों के बाहरी समानता बिंदु एक रेखा पर स्थित हैं।

दो हलकों की सामान्य शक्ति
होने देना $$c_1,c_2$$ दो घेरे हो, $$E$$ उनकी बाहरी समानता बिंदु और $$g$$ एक लाइन के माध्यम से $$E$$, जो दो वृत्तों को चार बिन्दुओं पर मिलती है $$G_1,H_1,G_2,H_2$$. बिंदु की परिभाषित संपत्ति से $$E$$ एक मिलता है
 * $$\frac{|EG_1|}{|EG_2|}=\frac{r_1}{r_2}=\frac{|EH_1|}{|EH_2|}\ $$
 * $$ \rightarrow \ |EG_1|\cdot|EH_2|=|EH_1|\cdot|EG_2|\ $$

और छेदक प्रमेय से (ऊपर देखें) दो समीकरण
 * $$|EG_1|\cdot|EH_1|=\Pi_1(E),\quad |EG_2|\cdot|EH_2|=\Pi_2(E) .$$

इन तीन समीकरणों को मिलाने पर प्राप्त होता है: $$\begin{align} \Pi_1(E)\cdot\Pi_2(E) &=|EG_1|\cdot|EH_1|\cdot|EG_2|\cdot|EH_2| \\ &=|EG_1|^2\cdot|EH_2|^2= |EG_2|^2\cdot|EH_1|^2 \. \end{align}$$ इस तरह: $$|EG_1|\cdot|EH_2|= |EG_2| \cdot |EH_1|=\sqrt{ \Pi_1(E)\cdot\Pi_2(E)} $$ (रेखा से स्वतंत्र $$g$$ !). आंतरिक समानता बिंदु के लिए अनुरूप कथन $$I$$ सच भी है।

आक्रमणकारी $\sqrt{\Pi_1(E)\cdot\Pi_2(E)},\ \sqrt{ \Pi_1(I)\cdot\Pi_2(I)} $ स्टेनर द्वारा दो हलकों की सामान्य शक्ति (समानता के बिंदुओं के संबंध में दो हलकों की सामान्य शक्ति) कहा जाता है। जोड़े $$G_1,H_2$$ और $$H_1,G_2$$ बिंदुओं का प्रतिसमरूप बिंदु हैं। जोड़े $$G_1,G_2$$ और $$H_1,H_2$$ समरूप हैं।

एक वृत्त का निर्धारण जो दो वृत्तों की स्पर्शरेखा है
के माध्यम से एक दूसरे सेकंड के लिए $$E$$:
 * $$|EH_1|\cdot|EG_2|= |EH'_1|\cdot|EG'_2|$$

सिकेंट प्रमेय से प्राप्त होता है:
 * चार अंक $$H_1,G_2,H'_1,G'_2$$ एक घेरे पर लेट जाओ।

और समान रूप से:
 * चार अंक $$G_1,H_2,G'_1,H'_2$$ एक सर्कल पर भी लेट जाओ।

क्योंकि तीन वृत्तों की मूल रेखाएँ मूलांक पर मिलती हैं (देखें: लेख मूल रेखा), एक को मिलता है:
 * द सेकेंट $$\overline{H_1H'_1},\;\overline{G_2G'_2}$$ दिए गए दो वृत्तों के मूल अक्ष पर मिलते हैं।

निचले छेदक (आरेख देखें) को ऊपर की ओर ले जाने पर, लाल वृत्त एक वृत्त बन जाता है, जो कि दिए गए दोनों वृत्तों की स्पर्श रेखा है। स्पर्शरेखा वृत्त का केंद्र रेखाओं का अवरोधन है $$\overline{M_1H_1},\overline{M_2G_2}$$. जलशुष्कक $$\overline{H_1H'_1}, \overline{G_2G'_2}$$ बिंदुओं पर स्पर्शरेखा बन जाते हैं $$H_1,G_2$$. स्पर्शरेखाएँ मूल रेखा पर अवरोधन करती हैं $$p$$ (पीले आरेख में)।

समान विचार दूसरे स्पर्शरेखा वृत्त को उत्पन्न करते हैं, जो बिंदुओं पर दिए गए वृत्तों से मिलता है $$G_1,H_2$$ (आरेख देखें)।

दिए गए वृत्तों के सभी स्पर्शरेखा वृत्तों को अलग-अलग रेखा द्वारा पाया जा सकता है $$g$$.


 * केंद्रों की स्थिति

अगर $$X $$ केंद्र है और $$\rho$$ वृत्त की त्रिज्या, जो बिंदुओं पर दिए गए वृत्तों की स्पर्शरेखा है $$H_1,G_2$$, तब:
 * $$\rho=|XM_1|-r_1=|XM_2|-r_2 $$
 * $$ \rightarrow \ |XM_2|-|XM_1|=r_2-r_1 . $$

इसलिए: केंद्र अतिशयोक्ति  पर स्थित हैं
 * foci $$M_1,M_2$$,
 * शिखर की दूरी $$2a=r_2-r_1$$,
 * केंद्र $$M$$ का केन्द्र है $$M_1,M_2$$ ,
 * रैखिक सनकीपन $$c=\tfrac{|M_1M_2|}{2}$$ और
 * $$\ b^2=e^2-a^2=\tfrac{|M_1M_2|^2-(r_2-r_1)^2}{4}$$.

बाहरी स्पर्शरेखा हलकों पर विचार अनुरूप परिणाम की ओर ले जाते हैं:

अगर $$X $$ केंद्र है और $$\rho$$ वृत्त की त्रिज्या, जो बिंदुओं पर दिए गए वृत्तों की स्पर्शरेखा है $$G_1,H_2$$, तब:
 * $$\rho=|XM_1|+r_1=|XM_2|+r_2 $$
 * $$ \rightarrow \ |XM_2|-|XM_1|=-(r_2-r_1) . $$

केंद्र एक ही हाइपरबोला पर स्थित हैं, लेकिन दाहिनी शाखा पर।

एपोलोनियस की समस्या#समाधान विधियों को भी देखें।



एक क्षेत्र के संबंध में शक्ति
एक वृत्त के संबंध में एक बिंदु की शक्ति का विचार एक गोले तक बढ़ाया जा सकता है . सिकेंट्स और कॉर्ड्स प्रमेय एक गोले के लिए भी सही हैं, और सर्कल के मामले में भी इसे शाब्दिक रूप से सिद्ध किया जा सकता है।

डार्बौक्स उत्पाद
एक बिंदु की शक्ति दो सर्किलों के बीच डार्बौक्स उत्पाद का एक विशेष मामला है, जो इसके द्वारा दिया जाता है
 * $$\left| A_1A_2 \right|^2-r_1^2-r_2^2 \, $$

जहाँ एक1 और ए2 दो हलकों और आर के केंद्र हैं1 और आर2 उनकी त्रिज्याएँ हैं। एक बिंदु की शक्ति विशेष मामले में उत्पन्न होती है कि त्रिज्या में से एक शून्य है।

यदि दो वृत्त ओर्थोगोनल हैं, तो डार्बौक्स उत्पाद गायब हो जाता है।

यदि दो वृत्त प्रतिच्छेद करते हैं, तो उनका डार्बौक्स गुणनफल है


 * $$2r_1 r_2 \cos\varphi \, $$

जहां φ प्रतिच्छेदन का कोण है (अनुभाग लंबकोणीय वृत्त देखें)।

लैगुएरे का प्रमेय
एडमंड लेगुएरे ने डिग्री n के बीजगणितीय वक्र के संबंध में एक बिंदु P की शक्ति को परिभाषित किया, जो बिंदु से दूरी के गुणनफल के रूप में वक्र के साथ बिंदु के माध्यम से होता है, जिसे व्यास d की nth शक्ति से विभाजित किया जाता है।. लागुएरे ने दिखाया कि यह संख्या व्यास से स्वतंत्र है. मामले में जब बीजगणितीय वक्र एक वृत्त है, यह इस लेख के बाकी हिस्सों में परिभाषित एक वृत्त के संबंध में एक बिंदु की शक्ति के समान नहीं है, लेकिन d के एक कारक से भिन्न है 2।

बाहरी संबंध

 * Jacob Steiner and the Power of a Point at Convergence
 * Intersecting Chords Theorem at cut-the-knot
 * Intersecting Chords Theorem With interactive animation
 * Intersecting Secants Theorem With interactive animation
 * Intersecting Secants Theorem With interactive animation