ई (गणितीय स्थिरांक)



जो नंबर$e$, जिसे यूलर की संख्या के रूप में भी जाना जाता है, एक गणितीय स्थिरांक  है जो लगभग 2.71828 के बराबर है जिसे कई तरह से चित्रित किया जा सकता है। यह  प्राकृतिक  लघुगणक के लघुगणक का आधार है। यह एक क्रम की सीमा है $y = 1/x$ जैसा $e$ अनंत तक पहुंचता है, एक अभिव्यक्ति जो  चक्रवृद्धि ब्याज  के अध्ययन में उत्पन्न होती है। इसकी गणना अनंत  श्रृंखला (गणित)  के योग के रूप में भी की जा सकती है

यह अद्वितीय धनात्मक संख्या भी है $n$ जैसे कि समारोह का ग्राफ $(1 + 1/n)^{n}$ 1 पर ढलान  है $y = a^{x}$.

(प्राकृतिक) घातीय कार्य $x = 0$ अनूठा कार्य है $a$ जो अपने स्वयं के व्युत्पन्न के बराबर है और समीकरण को संतुष्ट करता है $f(x) = e^{x}$; इसलिए कोई परिभाषित भी कर सकता है $f$ जैसा $f(0) = 1$. प्राकृतिक लघुगणक, या आधार का लघुगणक $e$, प्राकृतिक चरघातांकी फलन का व्युत्क्रम फलन है। किसी संख्या का प्राकृतिक लघुगणक $f(1)$ सीधे अभिन्न  अंग के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $k > 1$ के बीच $y = 1/x$ और $x = 1$, कौनसे मामलेमें $e$ का मूल्य है $x = k$ जिसके लिए यह क्षेत्रफल एक के बराबर होता है (चित्र देखें)। विभिन्न #वैकल्पिक लक्षण वर्णन हैं।

जो नंबर $e$ कभी-कभी यूलर की संख्या कहा जाता है (यूलर के स्थिरांक के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए $$\gamma$$)—स्विस गणितज्ञ लियोनहार्ड यूलर  के बाद—या नेपियर स्थिरांक— जॉन नेपियर  के बाद। चक्रवृद्धि ब्याज का अध्ययन करते समय स्थिरांक की खोज स्विस गणितज्ञ  जैकब बर्नौली  ने की थी। जो नंबर $e$ गणित में बहुत महत्व है, साथ में 0, 1, पाई|$\pi$, और $e$. सभी पाँचों यूलर की पहचान के एक सूत्रीकरण में दिखाई देते हैं $$e^{i\pi}+1=0$$ और पूरे गणित में महत्वपूर्ण और आवर्ती भूमिकाएँ निभाते हैं। स्थिरांक की तरह π, $i$  अपरिमेय संख्या  है (इसे पूर्णांकों के अनुपात के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है) और अनुवांशिक संख्या (यह परिमेय गुणांक वाले किसी गैर-शून्य  बहुपद  का मूल नहीं है)। 50 दशमलव स्थानों तक, का मान $e$ है:

इतिहास
जॉन नेपियर द्वारा लघुगणक पर कार्य के परिशिष्ट की तालिका में स्थिरांक का पहला संदर्भ 1618 में प्रकाशित किया गया था। हालाँकि, इसमें स्वयं स्थिरांक शामिल नहीं था, लेकिन बस प्राकृतिक लघुगणक की एक सूची थी। आधार के लघुगणक $$e$$. यह माना जाता है कि तालिका विलियम ऑट्रेड  द्वारा लिखी गई थी।

स्थिरांक की खोज का श्रेय 1683 में जैकब बर्नौली को दिया जाता है,Jacob Bernoulli considered the problem of continuous compounding of interest, which led to a series expression for e. See: Jacob Bernoulli (1690) "Quæstiones nonnullæ de usuris, cum solutione problematis de sorte alearum, propositi in Ephem. Gall. A. 1685" (Some questions about interest, with a solution of a problem about games of chance, proposed in the Journal des Savants (Ephemerides Eruditorum Gallicanæ), in the year (anno) 1685.**), Acta eruditorum, pp. 219–23. On page 222, Bernoulli poses the question: "Alterius naturæ hoc Problema est:  Quæritur, si creditor aliquis pecuniæ summam fænori exponat, ea lege, ut singulis momentis pars proportionalis usuræ annuæ sorti annumeretur; quantum ipsi finito anno debeatur?"  (This is a problem of another kind:  The question is, if some lender were to invest [a] sum of money [at] interest, let it accumulate, so that [at] every moment [it] were to receive [a] proportional part of [its] annual interest; how much would he be owed [at the] end of [the] year?)  Bernoulli constructs a power series to calculate the answer, and then writes: " … quæ nostra serie [mathematical expression for a geometric series] &c. major est.  … si a=b, debebitur plu quam 2½a  & minus quam 3a." ( … which our series [a geometric series] is larger [than]. … if a=b, [the lender] will be owed more than 2½a and less than 3a.) If a=b, the geometric series reduces to the series for a × e, so 2.5 < e < 3.  (** The reference is to a problem which Jacob Bernoulli posed and which appears in the Journal des Sçavans of 1685 at the bottom of page 314.) निम्नलिखित अभिव्यक्ति (जो के बराबर है $e$): $$\lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n.$$ स्थिरांक का पहला ज्ञात उपयोग, अक्षर द्वारा दर्शाया गया $k$, 1690 और 1691 में  Gottfried Leibniz  से  Christiaan Huygens  के पत्राचार में था। लियोनहार्ड यूलर ने पत्र पेश किया $e$ प्राकृतिक लघुगणक के आधार के रूप में, 25 नवंबर 1731 को  क्रिश्चियन गोल्डबैक  को लिखे एक पत्र में।  यूलर ने पत्र का प्रयोग करना शुरू किया $e$ 1727 या 1728 में निरंतर के लिए, तोपों में विस्फोटक बलों पर एक अप्रकाशित पत्र में, जबकि की पहली उपस्थिति $e$ प्रकाशन यूलर के  यांत्रिकी  (1736) में था। हालांकि कुछ शोधकर्ताओं ने पत्र का इस्तेमाल किया $b$ बाद के वर्षों में, पत्र $e$ अधिक सामान्य था और अंततः मानक बन गया। गणित में, सबसे आम टाइपोग्राफ़िकल सम्मेलन स्थिरांक को टाइप करना है$e$, इटैलिक में, हालांकि कभी-कभी ई रोमन में प्रयोग किया जाता है। हालाँकि, ISO 80000-2 : 2019 मानक एक ईमानदार शैली में टाइपसेटिंग स्थिरांक की सिफारिश करता है।

चक्रवृद्धि ब्याज
चक्रवृद्धि ब्याज के बारे में एक प्रश्न का अध्ययन करते हुए जैकब बर्नौली ने 1683 में इस स्थिरांक की खोज की: "An account starts with $1.00 and pays 100 percent interest per year. If the interest is credited once, at the end of the year, the value of the account at year-end will be $2.00. What happens if the interest is computed and credited more frequently during the year?"

यदि वर्ष में दो बार ब्याज जमा किया जाता है, तो प्रत्येक 6 महीने के लिए ब्याज दर 50% होगी, इसलिए प्रारंभिक $1 को दो बार 1.5 से गुणा किया जाता है, जिससे प्रतिफल मिलता है $1.00 × 1.52 = $2.25 साल के अंत में। कंपाउंडिंग त्रैमासिक पैदावार $1.00 × 1.254 = $2.44140625, और चक्रवृद्धि मासिक पैदावार $1.00 × (1 + 1/12)12 = $2.613035.... अगर वहाँ $c$ चक्रवृद्धि अंतराल, प्रत्येक अंतराल के लिए ब्याज होगा $n$ और वर्ष के अंत में मूल्य $1.00 × होगा$100%/n$.

बरनौली ने देखा कि यह अनुक्रम बड़े के साथ एक सीमा (ब्याज की शक्ति) तक पहुंचता है $(1 + 1/n)^{n}$ और, इस प्रकार, छोटे कंपाउंडिंग अंतराल। कंपाउंडिंग साप्ताहिक ($n$) $2.692596... देता है, जबकि दैनिक चक्रवृद्धि ($n = 52$) $2.714567... (लगभग दो सेंट अधिक) देता है। सीमा के रूप में $n = 365$ बड़ी होती है वह संख्या है जिसे जाना जाने लगा $e$. यानी, निरंतर कंपाउंडिंग के साथ, खाते का मूल्य $2.718281828 तक पहुंच जाएगा...

अधिक सामान्यतः, एक खाता जो $1 से शुरू होता है और वार्षिक ब्याज दर प्रदान करता है $n$ होगा, के बाद $R$ साल, उपज $t$ निरंतर चक्रवृद्धि के साथ डॉलर।

(यहाँ ध्यान दें कि $e^{Rt}$ प्रतिशत के रूप में व्यक्त की गई ब्याज दर का दशमलव समतुल्य है, इसलिए 5% ब्याज के लिए, $R$.)

बरनौली परीक्षण
जो नंबर $e$ संभाव्यता सिद्धांत में भी इसके अनुप्रयोग हैं, एक तरह से जो स्पष्ट रूप से घातीय वृद्धि से संबंधित नहीं है। मान लीजिए कि एक जुआरी एक स्लॉट मशीन खेलता है जो एक की संभावना के साथ भुगतान करता है $R = 5/100 = 0.05$ और इसे खेलता है $1/e$ बार। जैसा $n$ बढ़ जाती है, संभावना है कि जुआरी सब कुछ खो देंगे $e$ दांव आ रहा है $n$. के लिए $n$, यह पहले से ही लगभग 1/2.789509 है....

यह बरनौली परीक्षण  प्रक्रिया का एक उदाहरण है। हर बार जब जुआरी स्लॉट खेलता है, तो जीतने की संभावना एक में होती है। एन बार बजाना  द्विपद वितरण  द्वारा तैयार किया गया है, जो  द्विपद प्रमेय  और पास्कल के त्रिकोण से निकटता से संबंधित है। जीतने की संभावना $1/e$ n परीक्षणों में से समय है:
 * $$\binom{n}{k} \left(\frac{1}{n}\right)^k\left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n-k}.$$

विशेष रूप से, शून्य बार जीतने की संभावना ($n = 20$) है
 * $$\left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n}.$$

उपरोक्त अभिव्यक्ति की सीमा, जैसा कि एन अनंत तक जाता है, ठीक है $k$.

मानक सामान्य वितरण
शून्य माध्य और इकाई मानक विचलन के साथ सामान्य वितरण को प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन द्वारा दिए गए मानक सामान्य वितरण के रूप में जाना जाता है
 * $$\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} x^2}.$$

इकाई विचरण की बाधा (और इस प्रकार इकाई मानक विचलन भी) का परिणाम होता है प्रतिपादक में, और वक्र के अंतर्गत इकाई कुल क्षेत्र की बाधा $$\phi(x)$$ कारक में परिणाम $$\textstyle 1/\sqrt{2\pi}$$. गॉसियन इंटीग्रल | [सबूत]  यह फ़ंक्शन चारों ओर सममित है $k = 0$, जहां यह अपना अधिकतम मूल्य प्राप्त करता है $$\textstyle 1/\sqrt{2\pi}$$, और पर विभक्ति बिंदु हैं $1/e$.

विकार
का एक और आवेदन $n$, पियरे रेमोंड डी मोंटमॉर्ट  के साथ-साथ जैकब बर्नौली द्वारा भी खोजा गया, अव्यवस्था की समस्या में है, जिसे हैट चेक समस्या के रूप में भी जाना जाता है: $x = 0$ मेहमानों को एक पार्टी में आमंत्रित किया जाता है, और दरवाजे पर, मेहमान बटलर के साथ अपनी टोपी की जांच करते हैं, जो बदले में टोपी को अंदर रखता है $x = ±1$ बक्से, प्रत्येक को एक अतिथि के नाम से लेबल किया गया है। लेकिन बटलर ने मेहमानों की पहचान नहीं पूछी है, और इसलिए वह टोपियों को बेतरतीब ढंग से चुने गए बक्से में डाल देता है। डी मोंटमॉर्ट की समस्या इस संभावना को खोजने की है कि कोई भी टोप सही बॉक्स में नहीं डाला जाता है। यह संभावना, द्वारा निरूपित $$p_n\!$$, है:


 * $$p_n = 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{(-1)^n}{n!} = \sum_{k = 0}^n \frac{(-1)^k}{k!}.$$

संख्या के रूप में $n$ मेहमानों की अनंत तक जाती है, $n$ दृष्टिकोण $n$. इसके अलावा, टोपियों को बक्से में कितने तरीकों से रखा जा सकता है ताकि कोई भी टोपी सही बॉक्स में न हो $p_{n}$ प्रत्येक धनात्मक के लिए, निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांक बनाना$1/e$.

इष्टतम नियोजन समस्याएं
का अधिकतम मूल्य $$\sqrt[x]{x}$$ पर होता है $$x = e$$. समतुल्य, आधार के किसी भी मूल्य के लिए $n!/e,$, यह मामला है कि का अधिकतम मूल्य $$x^{-1}\log_b x$$ पर होता है $$x = e$$ (स्टेनर की कैलकुलस समस्या | स्टेनर की समस्या, #घातीय-जैसे कार्यों पर चर्चा की गई)।

लंबाई की छड़ी की समस्या में यह उपयोगी है $e$ जिसमें तोड़ा गया है $L$ समान भाग। का मूल्य $n$ जो लंबाई के उत्पाद को अधिकतम करता है
 * $$n = \left\lfloor \frac{L}{e} \right\rfloor$$ या $$\left\lceil \frac{L}{e} \right\rceil.$$

मात्रा $$x^{-1}\log_b x$$ संभाव्यता के साथ घटित होने वाली घटना से प्राप्त शैनन सूचना का भी एक उपाय है $$1/x$$, ताकि सचिव समस्या  जैसी इष्टतम नियोजन समस्याओं में अनिवार्य रूप से वही इष्टतम विभाजन दिखाई दे।

स्पर्शोन्मुख
जो नंबर $n$ स्पर्शोन्मुख ता से जुड़ी कई समस्याओं के संबंध में स्वाभाविक रूप से होता है। एक उदाहरण बहुउपादानी फलन के असिम्प्टोटिक विश्लेषण के लिए स्टर्लिंग का सूत्र है, जिसमें दोनों संख्याएँ हैं $e$ और पाई|πदिखाई देना: $$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n.$$ एक परिणाम के रूप में, $$e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} .$$

कलन में


संख्या शुरू करने के लिए प्रमुख प्रेरणा $e$, विशेष रूप से कलन में, घातीय कार्यों और लघुगणक के साथ व्युत्पन्न (गणित)  और अभिन्न कलन करना है। एक सामान्य घातांक function $n$ का एक व्युत्पन्न है, जो किसी फ़ंक्शन की सीमा द्वारा दिया गया है:


 * $$\begin{align}

\frac{d}{dx}a^x &= \lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h} - a^x}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{a^x a^h - a^x}{h} \\ &= a^x \cdot \left(\lim_{h\to 0}\frac{a^h - 1}{h}\right). \end{align}$$ दाईं ओर कोष्ठबद्ध सीमा स्वतंत्र है variable $b > 1$. इसका मान का लघुगणक निकला $x ↦ ax$ आधार के लिए $e$. इस प्रकार, जब का मूल्य $a = 2$ सेट है to $e$, यह सीमा बराबर है to $a = e$, और इस प्रकार निम्नलिखित सरल पहचान पर पहुँचता है:
 * $$\frac{d}{dx}e^x = e^x.$$

नतीजतन, आधार के साथ घातीय कार्य $e$ कैलकुलस करने के लिए विशेष रूप से अनुकूल है। Choosing $e$ (एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन के आधार के रूप में किसी अन्य संख्या के विपरीत) डेरिवेटिव को शामिल करने वाली गणनाओं को बहुत सरल बनाता है।

आधार के व्युत्पन्न पर विचार करने से एक और प्रेरणा मिलती है-$a = 4$ लघुगणक (अर्थात, $(0,1)$), के लिए$1$:


 * $$\begin{align}

\frac{d}{dx}\log_a x   &= \lim_{h\to 0}\frac{\log_a(x + h) - \log_a(x)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}\frac{\log_a(1 + h/x)}{x\cdot h/x} \\ &= \frac{1}{x}\log_a\left(\lim_{u\to 0}(1 + u)^\frac{1}{u}\right) \\ &= \frac{1}{x}\log_a e, \end{align}$$ जहां प्रतिस्थापन $ex$ बनाया गया था। आधार-$e$ का लघुगणक $e$ 1 है, अगर $a$ बराबरी $e$. तो प्रतीकात्मक रूप से,
 * $$\frac{d}{dx}\log_e x = \frac{1}{x}.$$

इस विशेष आधार वाले लघुगणक को प्राकृतिक लघुगणक कहा जाता है, और इसे निरूपित किया जाता है $ln e$; यह भेदभाव के तहत अच्छा व्यवहार करता है क्योंकि गणनाओं को पूरा करने के लिए कोई अनिर्धारित सीमा नहीं है।

इस प्रकार, ऐसी विशेष संख्याओं का चयन करने के दो तरीके हैं $a$. एक तरीका यह है कि एक्सपोनेंशियल फंक्शन के डेरिवेटिव को सेट किया जाए $1.$ के बराबर $y = a^{x}$, और हल करें $x$. दूसरा तरीका आधार के व्युत्पन्न को निर्धारित करना है $a$ इसे लघुगणक $a$ और के लिए हल करें $1$. प्रत्येक मामले में, कोई कैलकुलस करने के लिए आधार के एक सुविधाजनक विकल्प पर पहुँचता है। यह पता चला है कि इन दो समाधानों के लिए $e$ वास्तव में वही हैं: संख्या $a$.

वैकल्पिक लक्षण वर्णन


के अन्य लक्षण $a$ भी संभव हैं: एक अनुक्रम की सीमा के रूप में है, दूसरा एक अनंत श्रृंखला के योग के रूप में है, और फिर भी अन्य अभिन्न कलन पर निर्भर हैं। अब तक, निम्नलिखित दो (समतुल्य) गुण पेश किए गए हैं:


 * 1) जो नंबर $e$ अद्वितीय सकारात्मक  वास्तविक संख्या  है जैसे कि $$\frac{d}{dt}e^t = e^t$$.
 * 2) जो नंबर $e$ अद्वितीय सकारात्मक वास्तविक संख्या है जैसे कि $$\frac{d}{dt} \log_e t = \frac{1}{t}$$.

निम्नलिखित चार लक्षण घातांक फलन के लक्षण वर्णन हो सकते हैं # लक्षण वर्णन की समानता:

1. The number $e$ is the limit
 * $e = \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$

Similarly:
 * e = \lim_{t\to 0} \left( 1 + t \right)^{\frac{1}{t}}

| जो नंबर $e$ अनंत श्रृंखला का योग है
 * $e = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots ,$

कहां $a$ का भाज्य है $log_{a} x$. | जो नंबर $e$ अद्वितीय सकारात्मक वास्तविक संख्या है जैसे कि
 * $\int_1^e \frac{1}{t} \, dt = 1.$
 * यदि $x > 0$ एक चरघातांकी फलन है, फिर मात्रा $ \tau = f(t)/f'(t)$ एक स्थिरांक है, जिसे कभी-कभी समय स्थिरांक भी कहा जाता है (यह घातीय वृद्धि स्थिरांक या घातीय क्षय  का व्युत्क्रम है)। समय स्थिरांक वह समय है जो चरघातांकी फलन के एक गुणक से बढ़ने में लगता है $u = h/x$: $f(t+\tau) = e f(t)$.
 * undefined

पथरी
प्रेरणा के रूप में, घातीय कार्य $ln$ भाग में महत्वपूर्ण है क्योंकि यह अद्वितीय गैर-तुच्छ कार्य है जो स्वयं का व्युत्पन्न है (एक स्थिरांक से गुणा तक):


 * $$\frac{d}{dx}e^x = e^x$$

और इसलिए इसका अपना प्रतिपक्षी भी है:


 * $$\int e^x\,dx = e^x + C .$$

असमानताएं
फ़ाइल:एक्सपोनेंशियल्स बनाम x+1.pdf|थंब|राइट|एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शंस $a^{x}$ और $a^{x}$ के ग्राफ को प्रतिच्छेद करें $a$, क्रमशः, पर $a$ और $1/x$. जो नंबर $a$ अद्वितीय आधार ऐसा है $n!$ पर ही प्रतिच्छेद करता है $n$. हम इसका अनुमान लगा सकते हैं $f(t)$ 2 और 4 के बीच स्थित है। जो नंबर $e$ अद्वितीय वास्तविक संख्या है जैसे कि
 * $$\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x < e < \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x+1}$$

सभी सकारात्मक के लिए $e^{x}$. साथ ही, हमारे पास असमानता है
 * $$e^x \ge x + 1$$

सभी वास्तविक के लिए $y = 2^{x}$, समानता के साथ अगर और केवल अगर $y = 4^{x}$. आगे, $y = x + 1$ घातीय का अद्वितीय आधार है जिसके लिए असमानता $x = 1$ सभी के लिए रखता है $x = -1/2$. यह बरनौली की असमानता का एक सीमित मामला है।

घातीय-जैसे कार्य
स्टेनर की कैलकुलस समस्या | स्टेनर की समस्या फ़ंक्शन के लिए वैश्विक अधिकतम खोजने के लिए कहती है


 * $$ f(x) = x^\frac{1}{x} .$$

यह अधिकतम ठीक पर होता है $e$.

इस अधिकतम का मूल्य है $y = e^{x}$.

सबूत के लिए, असमानता $$e^y \ge y + 1$$, ऊपर से, मूल्यांकन किया गया $$y = (x - e)/e$$ और सरलीकरण देता है $$e^{x/e} \ge x$$. इसलिए $$e^{1/e} \ge x^{1/x}$$ सभी सकारात्मक एक्स के लिए। इसी प्रकार, $x = 0$ वह स्थान है जहां फ़ंक्शन के लिए वैश्विक न्यूनतम  होता है


 * $$ f(x) = x^x $$

सकारात्मक के लिए परिभाषित $e$. अधिक सामान्यतः, समारोह के लिए


 * $$ f(x) = x^{x^n} $$

सकारात्मक के लिए वैश्विक अधिकतम $e$ पर होता है $x$ किसी के लिए $x$; और वैश्विक न्यूनतम पर होता है $x = 0$ किसी के लिए $e$.

अनंत टेट्रेशन


 * $$ x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}} $$ या $${^\infty}x$$

अभिसरण अगर और केवल अगर $a^{x} ≥ x + 1$ (या लगभग 0.0660 के बीच और 1.4447 ), लियोनहार्ड यूलर के एक प्रमेय के कारण।

संख्या सिद्धांत
वास्तविक संख्या $e$ अपरिमेय संख्या है। लिओनहार्ड यूलर ने यह दिखा कर यह साबित किया कि इसका सरल निरंतर अंश  प्रसार अनंत है। ( जोसेफ फूरियर  का सबूत भी देखें कि ई तर्कहीन है। सबूत है कि $x$ तर्कहीन है।)

इसके अलावा, लिंडमैन-वीयरस्ट्रास प्रमेय द्वारा, $e$ भावातीत संख्या है, जिसका अर्थ है कि यह तर्कसंगत गुणांक वाले किसी भी गैर-निरंतर बहुपद समीकरण का समाधान नहीं है। इस उद्देश्य के लिए विशेष रूप से निर्मित किए बिना ट्रान्सेंडैंटल साबित होने वाली यह पहली संख्या थी ( लिउविल संख्या के साथ तुलना करें); इसका प्रमाण 1873 में  चार्ल्स हर्मिट  द्वारा दिया गया था।

ऐसा अनुमान है $e$ सामान्य संख्या  है, जिसका अर्थ है कि कब $x√x$ किसी भी  सूत्र  में व्यक्त किया जाता है, उस आधार में संभावित अंक समान रूप से वितरित होते हैं (दी गई लंबाई के किसी भी क्रम में समान संभावना के साथ होते हैं)।

ऐसा अनुमान है $e$ कोंटसेविच-ज़गियर काल नहीं है।

जटिल संख्या
घातीय कार्य $x = e$ टेलर श्रृंखला  के रूप में लिखा जा सकता है


 * $$ e^{x} = 1 + {x \over 1!} + {x^{2} \over 2!} + {x^{3} \over 3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$$

क्योंकि यह श्रृंखला प्रत्येक सम्मिश्र संख्या के मान के लिए अभिसरण श्रृंखला  है $e$, यह आमतौर पर की परिभाषा का विस्तार करने के लिए प्रयोग किया जाता है $x = e$ जटिल संख्याओं के लिए। यह, त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए टेलर श्रृंखला के साथ$1.44466 78610 09766  13365...$ और $x = 1/e$, यूलर के सूत्र को प्राप्त करने की अनुमति देता है:


 * $$e^{ix} = \cos x + i\sin x ,$$

जो हर कॉम्प्लेक्स के लिए है $x$. के साथ विशेष मामला $x$ यूलर की पहचान है:


 * $$e^{i\pi} + 1 = 0 ,$$

जिससे यह अनुसरण करता है कि, लघुगणक की मुख्य शाखा में,


 * $$\ln (-1) = i\pi .$$

इसके अलावा, घातांक के लिए कानूनों का उपयोग करते हुए,


 * $$(\cos x + i\sin x)^n = \left(e^{ix}\right)^n = e^{inx} = \cos (nx) + i \sin (nx) ,$$

जो डी मोइवर का सूत्र है।

भाव


 * $$\cos x + i \sin x$$

कभी-कभी कहा जाता है $x = 1/e$.

की अभिव्यक्तियाँ $n < 0$ और $x = e^{−1/n}$ घातीय कार्य के संदर्भ में घटाया जा सकता है:



\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}, \qquad \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}. $$

विभेदक समीकरण
कार्यों का परिवार


 * $$y(x) = Ce^x,$$

कहां $e$ कोई वास्तविक संख्या है, अवकल समीकरण का हल है


 * $$y' = y .$$

प्रतिनिधित्व
जो नंबर $e$ विभिन्न तरीकों से प्रदर्शित किया जा सकता है: एक अनंत श्रृंखला, एक अनंत उत्पाद, एक  निरंतर अंश  या एक अनुक्रम की सीमा के रूप में। इन अभ्यावेदनों में से दो, अक्सर परिचयात्मक कलन पाठ्यक्रमों में उपयोग किए जाते हैं, सीमा हैं
 * $$e=\lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n,$$

ऊपर दिया गया है, और श्रृंखला
 * $$e=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}$$

पर मूल्यांकन करके प्राप्त किया $n > 0$ उपरोक्त शक्ति श्रृंखला का प्रतिनिधित्व $e^{−e} ≤ x ≤ e^{1/e}$.

कम आम निरंतर अंश है



e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, ..., 1, 2n, 1, ...], $$ जो लिखा हुआ दिखता है


 * $$e = 2 +

\cfrac{1} {1 + \cfrac{1} {2 + \cfrac{1} {1 + \cfrac{1} {1 + \cfrac{1} {4 + \cfrac{1} {1 + \cfrac{1} {1 + \ddots} }              }            }         }      }   } . $$ के लिए यह अंश जारी रहा $x$ तेजी से तीन गुना अभिसरण करता है:
 * $$ e = 1 + \cfrac{2}{1 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{10 + \cfrac{1}{14 + \cfrac{1}{18 + \cfrac{1}{22 + \cfrac{1}{26 + \ddots}}}}}}}.$$

कई अन्य श्रृंखला, अनुक्रम, निरंतर अंश और अनंत उत्पाद प्रतिनिधित्व $C$ सिद्ध हो चुके हैं।

स्टोकास्टिक प्रतिनिधित्व
के प्रतिनिधित्व के लिए सटीक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्तियों के अलावा $e$, अनुमान लगाने के लिए स्टोकेस्टिक तकनीकें हैं $e$. ऐसा एक दृष्टिकोण स्वतंत्र यादृच्छिक चर के अनंत अनुक्रम से शुरू होता है $e$, $e$..., [0, 1] पर समान वितरण (निरंतर)  से तैयार किया गया। होने देना $e^{x}$ सबसे कम संख्या हो $e^{x}$ जैसे कि पहले का योग $sin$ अवलोकन 1 से अधिक है:


 * $$V = \min\left\{ n \mid X_1 + X_2 + \cdots + X_n > 1 \right\}.$$

फिर का अपेक्षित मूल्य  $cos x$ है $e$: $x$.

ज्ञात अंक
के ज्ञात अंकों की संख्या $e$ पिछले दशकों में काफी वृद्धि हुई है। यह कंप्यूटर के बढ़ते प्रदर्शन और एल्गोरिथम सुधार दोनों के कारण है।

2010 के बाद से, आधुनिक हाई-स्पीड मेज पर रहने वाला कंप्यूटर  के प्रसार ने अधिकांश नौसिखियों के लिए खरबों अंकों की गणना करना संभव बना दिया है। $e$ स्वीकार्य समय के भीतर। 5 दिसंबर, 2020 को एक रिकॉर्ड-सेटिंग गणना की गई, जो दे रही है $e$ से 31,415,926,535,897 (लगभग $e$) अंक।

अंकों की गणना
के अंकों की गणना करने का एक तरीका $e$ श्रृंखला के साथ है $$e=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}.$$ एक तेज़ विधि में दो पुनरावर्ती कार्य शामिल होते हैं $$p(a,b)$$ और $$q(a,b)$$. कार्यों के रूप में परिभाषित किया गया है $$\binom{p(a,b)}{q(a,b)}= \begin{cases} \binom{1}{b}, & \text{if }b=a+1\text{,} \\ \binom{p(a,m)q(m,b)+p(m,b)}{q(a,m)q(m,b)}, & \text{otherwise, where }m=\lfloor(a+b)/2\rfloor \end{cases}$$.

भाव $$1+\frac{p(0,n)}{q(0,n)}$$ के अंक उत्पन्न करता है $e$. यह विधि गणना करने के लिए बाइनरी विभाजन का उपयोग करती है $e$ कम एकल-अंक अंकगणितीय संचालन और कम बिट जटिलता के साथ। इसे फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म -आधारित पूर्णांकों को गुणा करने के तरीकों के साथ जोड़कर अंकों की गणना बहुत तेजी से की जाती है।

कंप्यूटर संस्कृति में
इंटरनेट संस्कृति के उद्भव के दौरान, व्यक्तियों और संगठनों ने कभी-कभी संख्या को सम्मान दिया $e$.

प्रारंभिक उदाहरण में, कंप्यूटर वैज्ञानिक   डोनाल्ड नुथ  ने अपने प्रोग्राम मेटाफॉन्ट के संस्करण संख्याओं को दृष्टिकोण दिया $e$. संस्करण 2, 2.7, 2.71, 2.718, और आगे हैं। एक अन्य उदाहरण में, 2004 में Google  के लिए आरंभिक सार्वजनिक पेशकश फाइलिंग, एक विशिष्ट राउंड-नंबर राशि के बजाय, कंपनी ने 2,718,281,828  USD  जुटाने के अपने इरादे की घोषणा की, जो कि है $e$ अरब संयुक्त राज्य अमेरिका डॉलर निकटतम डॉलर के लिए गोल।

Google बिलबोर्ड के लिए भी ज़िम्मेदार था जो सिलिकॉन वैली  के केंद्र में और बाद में कैम्ब्रिज, मैसाचुसेट्स में दिखाई दिया; सीएटल, वाशिंगटन; और ऑस्टिन, टेक्सास। यह पढ़ता है {पहले 10 अंकों का प्राइम लगातार अंकों में पाया जाता है $π$कॉम। पहले 10 अंकों का प्राइम इन $e$ 7427466391 है, जो 99वें अंक से शुरू होता है। इस समस्या को हल करने और विज्ञापित (अब निष्क्रिय) वेबसाइट पर जाने से हल करने में और भी मुश्किल समस्या हो गई, जिसमें अनुक्रम 7182818284, 8182845904, 8747135266, 7427466391 में पांचवें पद को खोजने में शामिल था। यह पता चला कि अनुक्रम में 10 शामिल थे- अंकों की संख्याएँ लगातार अंकों में पाई जाती हैं $e$ जिसका योग 49 है। अनुक्रम में पांचवां पद 5966290435 है, जो 127वें अंक से शुरू होता है। इस दूसरी समस्या का समाधान अंततः एक Google लैब्स वेबपेज के रूप में सामने आया जहां विज़िटर को एक बायोडाटा जमा करने के लिए आमंत्रित किया गया था।

आगे की पढाई

 * Maor, Eli; $e$: The Story of a Number, ISBN 0-691-05854-7
 * Commentary on Endnote 10 of the book Prime Obsession for another stochastic representation

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 * यूनाइटेड स्टेट का डॉलर
 * गूगल लैब्स

बाहरी कड़ियाँ

 * The number $e$ to 1 million places and NASA.gov 2 and 5 million places
 * $e$ Approximations – Wolfram MathWorld
 * Earliest Uses of Symbols for Constants Jan. 13, 2008
 * "The story of $e$", by Robin Wilson at Gresham College, 28 February 2007 (available for audio and video download)
 * $e$ Search Engine 2 billion searchable digits of $e$, π and $e$