ग्रीन का फलन (अनेक-निकाय सिद्धांत)

कई-निकाय सिद्धांत में, ग्रीन का फलन (या ग्रीन फलन) शब्द का उपयोग कभी-कभी सहसंबंध फलन (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत) के साथ परस्पर विनिमय के लिए किया जाता है, किन्तु विशेष रूप से क्षेत्र संचालकों या निर्माण और विलोपन संचालकों के सहसंबंधकों को संदर्भित करता है।

यह नाम ग्रीन के फलनों से आया है जिसका उपयोग असमघाती अंतर समीकरणों का समाधान करने के लिए किया जाता है, जिससे वे शिथिल रूप से संबंधित होते हैं। ( विशेष रूप से, गैर-इंटरेक्टिंग प्रणाली के स्थितियों में केवल दो-बिंदु 'ग्रीन के फलन' गणितीय अर्थ में ग्रीन के फलन हैं: रैखिक संचालक जिसे वे व्युत्क्रम देते हैं वह हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) है, जो गैर-इंटरैक्टिंग स्थितियों में क्षेत्र में द्विघात है।)

मूलभूत परिभाषाएँ
हम क्षेत्र संचालक (स्थिति के आधार पर विलोपन संचालक) $$\psi(\mathbf{x})$$ के साथ कई-निकाय सिद्धांत पर विचार करते हैं।

हाइजेनबर्ग संचालकों को श्रोडिंगर संचालकों के रूप में लिखा जा सकता है $$\psi(\mathbf{x},t) = e^{i K t} \psi(\mathbf{x}) e^{-i K t}, $$और निर्माण संचालक $$\bar\psi(\mathbf{x},t) = [\psi(\mathbf{x},t)]^\dagger$$ है, जहाँ $$K = H - \mu N$$ ग्रैंड-कैनोनिकल हैमिल्टनियन है।

इसी प्रकार, काल्पनिक समय संचालकों के लिए, $$\psi(\mathbf{x},\tau) = e^{K \tau} \psi(\mathbf{x}) e^{-K\tau}$$$$\bar\psi(\mathbf{x},\tau) = e^{K \tau} \psi^\dagger(\mathbf{x}) e^{-K\tau}.$$ [ध्यान दें कि काल्पनिक-समय निर्माण संचालक $$\bar\psi(\mathbf{x},\tau)$$ विलोपन संचालक $$\psi(\mathbf{x},\tau)$$ का हर्मिटियन संयुग्म नहीं है।]

वास्तविक समय में, $$2n$$-पॉइंट ग्रीन फलन द्वारा परिभाषित किया गया है $$ G^{(n)}(1 \ldots n \mid 1' \ldots n') = i^n \langle T\psi(1)\ldots\psi(n)\bar\psi(n')\ldots\bar\psi(1')\rangle, $$ जहां हमने एक संक्षिप्त संकेतन का उपयोग किया है जिसमें $$j$$ प्रतीक $$(\mathbf{x}_j, t_j)$$ को दर्शाता है और $$j'$$ प्रतीक $$(\mathbf{x}_j', t_j')$$ को दर्शाता है। संचालक $$T$$ समय क्रम को दर्शाता है, और निरुपित करता है कि इसका पालन करने वाले क्षेत्र संचालकों को आदेश दिया जाना चाहिए जिससे उनके समय तर्क दाएं से बाएं ओर बढ़ें।

काल्पनिक समय में, इसी परिभाषा है $$ \mathcal{G}^{(n)}(1 \ldots n \mid 1' \ldots n') = \langle T\psi(1)\ldots\psi(n)\bar\psi(n')\ldots\bar\psi(1')\rangle, $$ जहाँ $$j$$ प्रतीक $$\mathbf{x}_j, \tau_j$$ को दर्शाता है। (काल्पनिक-समय वेरिएबल $$\tau_j$$ $$0$$ से व्युत्क्रम तापमान $\beta = \frac{1}{k_\text{B} T}$ तक की सीमा तक सीमित हैं। )

इन परिभाषाओं में प्रयुक्त संकेतों और सामान्यीकरण के संबंध में ध्यान दें: ग्रीन फलनों के संकेतों को चुना गया है जिससे एक मुक्त कण के लिए दो-बिंदु ($$n=1$$) थर्मल ग्रीन फलन का फूरियर रूपांतरण हो $$ \mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n) = \frac{1}{-i\omega_n + \xi_\mathbf{k}}, $$ और मंद ग्रीन फलन है $$G^{\mathrm{R}}(\mathbf{k},\omega) = \frac{1}{-(\omega+i\eta) + \xi_\mathbf{k}},$$ जहाँ $$\omega_n = \frac{[2n+\theta(-\zeta)]\pi}{\beta}$$ मात्सुबारा आवृत्ति है।

कुल मिलाकर, $$\zeta$$ बोसॉन के लिए $$+1$$ और फ़र्मियन के लिए $$-1$$ है और $$[\ldots,\ldots]=[\ldots,\ldots]_{-\zeta}$$ या तो एक कम्यूटेटर या एंटीकम्यूटेटर को उपयुक्त रूप से दर्शाता है।

(विवरण के लिए नीचे देखें।)

दो-बिंदु फलन
तर्कों की एक जोड़ी ($$n=1$$) वाले ग्रीन फलन को दो-बिंदु फलन या प्रोपेगेटर के रूप में जाना जाता है। स्थानिक और लौकिक अनुवादात्मक समरूपता दोनों की उपस्थिति में, यह केवल इसके तर्कों के अंतर पर निर्भर करता है। फूरियर को स्थान और समय दोनों के संबंध में बदलने से लाभ मिलता है $$\mathcal{G}(\mathbf{x}\tau\mid\mathbf{x}'\tau') = \int_\mathbf{k} d\mathbf{k} \frac{1}{\beta}\sum_{\omega_n} \mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n) e^{i \mathbf{k}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{x}')-i\omega_n (\tau-\tau')},$$ जहां योग उपयुक्त मात्सुबारा आवृत्ति (और इंटीग्रल में हमेशा की तरह $$(L/2\pi)^{d}$$ का एक अंतर्निहित कारक सम्मिलित होता है) से अधिक है।

वास्तविक समय में, हम सुपरस्क्रिप्ट T के साथ समय-क्रमित फलन को स्पष्ट रूप से निरुपित करेंगे: $$G^{\mathrm{T}}(\mathbf{x} t\mid\mathbf{x}' t') = \int_\mathbf{k} d \mathbf{k} \int \frac{d\omega}{2\pi} G^{\mathrm{T}}(\mathbf{k},\omega) e^{i \mathbf{k}\cdot(\mathbf{x} -\mathbf{x} ')-i\omega(t-t')}.$$ वास्तविक समय के दो-बिंदु ग्रीन फलन को 'प्रोपगेटर' और 'उन्नत' ग्रीन फलन के संदर्भ में लिखा जा सकता है, जो सरल विश्लेषणात्मक गुणों के रूप में सामने आएगा। मंद और उन्नत ग्रीन फलनों को परिभाषित किया गया है $$G^{\mathrm{R}}(\mathbf{x} t \mid \mathbf{x}' t') = -i\langle[\psi(\mathbf{x} ,t),\bar\psi(\mathbf{x} ',t')]_{\zeta}\rangle\Theta(t-t')$$ और $$G^{\mathrm{A}}(\mathbf{x} t\mid\mathbf{x} 't') = i\langle[\psi(\mathbf{x} ,t),\bar\psi(\mathbf{x}', t')]_{\zeta}\rangle \Theta(t'-t),$$ क्रमशः

वे समय-क्रमित ग्रीन फलन से संबंधित हैं $$G^{\mathrm{T}}(\mathbf{k},\omega) = [1+\zeta n(\omega)]G^{\mathrm{R}}(\mathbf{k},\omega) - \zeta n(\omega) G^{\mathrm{A}}(\mathbf{k},\omega),$$ जहाँ $$n(\omega) = \frac{1}{e^{\beta \omega}-\zeta}$$ बोस-आइंस्टीन या फर्मी-डिराक वितरण फलन है।

काल्पनिक-समय क्रम और β-आवधिकता
थर्मल ग्रीन फलनों को केवल तभी परिभाषित किया जाता है जब दोनों काल्पनिक-समय तर्क $$0$$ से $$\beta$$ की सीमा के अंदर होते हैं। दो-बिंदु ग्रीन फलन में निम्नलिखित गुण हैं। (स्थिति या गति संबंधी तर्क इस खंड में दबा दिए गए हैं।)

सबसे पहले, यह केवल काल्पनिक समय के अंतर पर निर्भर करता है: $$\mathcal{G}(\tau,\tau') = \mathcal{G}(\tau - \tau').$$ तर्क $$\tau - \tau'$$ को $$-\beta$$ से $$\beta$$ तक चलने की अनुमति है।

दूसरे, $$\mathcal{G}(\tau)$$ $$\beta$$ की शिफ्ट के अंतर्गत(एंटी-आवधिक) है। छोटे डोमेन के कारण जिसमें फलन को परिभाषित किया गया है, इसका अर्थ $$0 < \tau < \beta$$ के लिए केवल $$\mathcal{G}(\tau - \beta) = \zeta \mathcal{G}(\tau),$$ है। इस गुण के लिए समय क्रम महत्वपूर्ण है, जिसे ट्रेस ऑपरेशन की चक्रीयता का उपयोग करके सीधे सिद्ध किया जा सकता है।

ये दो गुण फूरियर रूपांतरण प्रतिनिधित्व और इसके व्युत्क्रम की अनुमति देते हैं, $$\mathcal{G}(\omega_n) = \int_0^\beta d\tau \, \mathcal{G}(\tau)\, e^{i\omega_n \tau}.$$ अंत में, ध्यान दें कि $$\mathcal{G}(\tau)$$ में $$\tau = 0$$ पर एक असंततता है; यह $$\mathcal{G}(\omega_n) \sim 1/|\omega_n|$$ के लंबी दूरी के व्यवहार के अनुरूप है।

वर्णक्रमीय प्रतिनिधित्व
वास्तविक और काल्पनिक समय में प्रोपेगेटर दोनों वर्णक्रमीय घनत्व (या वर्णक्रमीय भार) से संबंधित हो सकते हैं, जो द्वारा दिया गया है $$\rho(\mathbf{k},\omega) = \frac{1}{\mathcal{Z}}\sum_{\alpha,\alpha'} 2\pi \delta(E_\alpha-E_{\alpha'} - \omega) |\langle \alpha \mid \psi_\mathbf{k}^\dagger \mid \alpha'\rangle|^2 \left(e^{-\beta E_{\alpha'}} - \zeta e^{-\beta E_{\alpha}}\right),$$जहां $|α⟩$ आइगेनवैल्यू $E_{α}$ के साथ ग्रैंड-कैनोनिकल हैमिल्टनियन $H − μN$ के एक (कई-निकाय) आइजेनस्टेट को संदर्भित करता है।

तब काल्पनिक-समय प्रोपेगेटर द्वारा दिया जाता है $$ \mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n) = \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega'}{2\pi} \frac{\rho(\mathbf{k},\omega')}{-i\omega_n+\omega'}~, $$ और मंदित प्रोपगेटर द्वारा $$G^{\mathrm{R}}(\mathbf{k},\omega) = \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega'}{2\pi} \frac{\rho(\mathbf{k},\omega')}{-(\omega+i\eta)+\omega'},$$ जहां सीमा के रूप में $$\eta \to 0^+$$ निहित हैं।

उन्नत प्रोपेगेटर को उसी अभिव्यक्ति द्वारा दिया जाता है, किन्तु साथ में $$-i\eta$$ हर में दिया जाता है।

समय-क्रमित फलन $$G^{\mathrm{R}}$$ और $$G^{\mathrm{A}}$$ के संदर्भ में पाया जा सकता है। जैसा कि ऊपर प्रामाणित किया गया है, $$G^{\mathrm{R}}(\omega)$$ और $$G^{\mathrm{A}}(\omega)$$ सरल विश्लेषणात्मक गुण होते हैं: पहले (बाद वाले) के सभी ध्रुव और असंततताएं निचले (ऊपरी) आधे तल में होती हैं।

थर्मल प्रोपेगेटर $$\mathcal{G}(\omega_n)$$ के सभी ध्रुव और असंततताएँ काल्पनिक $$\omega_n$$ अक्ष पर हैं।

सोखत्स्की-वीयरस्ट्रैस प्रमेय का उपयोग करके वर्णक्रमीय घनत्व को $$G^{\mathrm{R}}$$ से बहुत सीधे रूप से पाया जा सकता है। $$\lim_{\eta \to 0^+} \frac{1}{x\pm i\eta} = P\frac{1}{x} \mp i\pi\delta(x),$$ जहाँ $P$ कॉची प्रमुख भाग को दर्शाता है।

यह देता है $$\rho(\mathbf{k},\omega) = 2\operatorname{Im} G^{\mathrm{R}}(\mathbf{k},\omega).$$ इसका तात्पर्य यह भी है कि $$G^{\mathrm{R}}(\mathbf{k},\omega)$$ अपने वास्तविक और काल्पनिक भागों के बीच निम्नलिखित संबंध का पालन करता है: $$\operatorname{Re} G^{\mathrm{R}}(\mathbf{k},\omega) = -2 P \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega'}{2\pi} \frac{\operatorname{Im} G^{\mathrm{R}}(\mathbf{k},\omega')}{\omega-\omega'},$$

जहाँ $$P$$ अभिन्न के प्रमुख मान को दर्शाता है।

वर्णक्रमीय घनत्व एक योग नियम $$\int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega}{2\pi} \rho(\mathbf{k},\omega) = 1,$$ का पालन करता है, जो $$G^{\mathrm{R}}(\omega)\sim\frac{1}{|\omega|}$$ को $$|\omega| \to \infty$$ देता है।

हिल्बर्ट रूपांतरण
काल्पनिक और वास्तविक समय के ग्रीन फलनों के वर्णक्रमीय प्रतिनिधित्व की समानता हमें फलन को परिभाषित करने की अनुमति देती है $$G(\mathbf{k},z) = \int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{2\pi} \frac{\rho(\mathbf{k},x)}{-z+x},$$ जो $$\mathcal{G}$$ और $$G^{\mathrm{R}}$$ द्वारा संबंधित है $$\mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n) = G(\mathbf{k}, i\omega_n)$$ और $$G^{\mathrm{R}}(\mathbf{k},\omega) = G(\mathbf{k},\omega + i\eta).$$ एक समान अभिव्यक्ति स्पष्ट रूप से $$G^{\mathrm{A}}$$ के लिए है।

$$G(\mathbf{k},z)$$ और $$\rho(\mathbf{k},x)$$ के बीच के संबंध को हिल्बर्ट परिवर्तन कहा जाता है।

वर्णक्रमीय प्रतिनिधित्व का प्रमाण
हम थर्मल ग्रीन फलन के स्थितियों में प्रोपेगेटर के वर्णक्रमीय प्रतिनिधित्व का प्रमाण प्रदर्शित करते हैं, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है $$\mathcal{G}(\mathbf{x}, \tau\mid\mathbf{x} ',\tau') = \langle T\psi(\mathbf{x} ,\tau)\bar\psi(\mathbf{x} ', \tau') \rangle.$$ अनुवादात्मक समरूपता के कारण केवल $$\mathcal{G}(\mathbf{x} ,\tau\mid\mathbf{0},0)$$ के लिए $$\tau > 0$$ पर विचार करना आवश्यक है, जो कि दिया गया है $$ \mathcal{G}(\mathbf{x},\tau\mid\mathbf{0},0) = \frac{1}{\mathcal{Z}}\sum_{\alpha'} e^{-\beta E_{\alpha'}} \langle\alpha' \mid \psi(\mathbf{x},\tau)\bar\psi(\mathbf{0},0) \mid \alpha' \rangle. $$ आइजेनस्टेट्स का एक पूरा समुच्चय डालने से प्राप्त होता है $$ \mathcal{G}(\mathbf{x} ,\tau\mid\mathbf{0},0) = \frac{1}{\mathcal{Z}}\sum_{\alpha,\alpha'} e^{-\beta E_{\alpha'}} \langle\alpha' \mid \psi(\mathbf{x} ,\tau)\mid\alpha \rangle\langle\alpha \mid \bar\psi(\mathbf{0},0) \mid \alpha' \rangle. $$ चूँकि $$|\alpha \rangle$$ और $$|\alpha' \rangle$$ और $$H-\mu N$$ के आइजेनस्टेट्स है, हाइजेनबर्ग संचालकों $$ \mathcal{G}(\mathbf{x} ,\tau|\mathbf{0},0) = \frac{1}{\mathcal{Z}}\sum_{\alpha,\alpha'} e^{-\beta E_{\alpha'}} e^{\tau(E_{\alpha'} - E_\alpha)}\langle\alpha' \mid \psi(\mathbf{x} )\mid\alpha \rangle \langle\alpha \mid \psi^\dagger(\mathbf{0}) \mid \alpha' \rangle. $$देते हुए श्रोडिंगर संचालकों के संदर्भ में फिर से लिखा जा सकता है फूरियर रूपांतरण का प्रदर्शन तब मिलता है $$ \mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n) = \frac{1}{\mathcal{Z}} \sum_{\alpha,\alpha'} e^{-\beta E_{\alpha'}} \frac{1-\zeta e^{\beta(E_{\alpha'} - E_\alpha)}}{-i\omega_n + E_\alpha - E_{\alpha'}} \int_{\mathbf{k}'} d\mathbf{k}' \langle\alpha \mid \psi(\mathbf{k}) \mid \alpha' \rangle\langle\alpha' \mid \psi^\dagger(\mathbf{k}')\mid\alpha \rangle. $$ संवेग संरक्षण अंतिम पद को इस प्रकार लिखने की अनुमति देता है (आयतन के संभावित कारकों तक) $$|\langle\alpha' \mid\psi^\dagger(\mathbf{k})\mid\alpha \rangle|^2,$$ जो वर्णक्रमीय प्रतिनिधित्व में ग्रीन फलनों के लिए अभिव्यक्तियों की पुष्टि करता है।

कम्यूटेटर के अपेक्षित मान पर विचार करके योग नियम को सिद्ध किया जा सकता है, $$1 = \frac{1}{\mathcal{Z}} \sum_\alpha \langle\alpha \mid e^{-\beta(H-\mu N)}[\psi_\mathbf{k},\psi_\mathbf{k}^\dagger]_{-\zeta} \mid \alpha \rangle,$$ और फिर कम्यूटेटर के दोनों पदों में आइजेनस्टेट्स का एक पूरा समुच्चय सम्मिलित करना: $$ 1 = \frac{1}{\mathcal{Z}} \sum_{\alpha,\alpha'} e^{-\beta E_\alpha} \left( \langle\alpha \mid \psi_\mathbf{k} \mid \alpha' \rangle\langle\alpha' \mid \psi_\mathbf{k}^\dagger \mid \alpha \rangle - \zeta \langle\alpha \mid \psi_\mathbf{k}^\dagger \mid \alpha' \rangle\langle\alpha' \mid \psi_\mathbf{k}\mid\alpha \rangle \right). $$ पहले पद में लेबलों की अदला-बदली करने पर परिणाम मिलता है $$ 1 = \frac{1}{\mathcal{Z}} \sum_{\alpha,\alpha'} \left(e^{-\beta E_{\alpha'}} - \zeta e^{-\beta E_\alpha} \right) $$ जो वास्तव में $ρ$ के एकीकरण का परिणाम है।
 * \langle\alpha \mid \psi_\mathbf{k}^\dagger \mid \alpha' \rangle|^2 ~,

नॉन-इंटरेक्टिंग केस
गैर-अंतःक्रियात्मक स्थितियों में, $$\psi_\mathbf{k}^\dagger\mid\alpha' \rangle$$ (ग्रैंड-कैनोनिकल) ऊर्जा $$E_{\alpha'} + \xi_\mathbf{k}$$, जहाँ $$\xi_\mathbf{k} = \epsilon_\mathbf{k} - \mu$$ वाला एक आइजेनस्टेट है रासायनिक क्षमता के संबंध में मापा जाने वाला एकल-कण फैलाव संबंध है। इसलिए वर्णक्रमीय घनत्व, $$ \rho_0(\mathbf{k},\omega) = \frac{1}{\mathcal{Z}}\,2\pi\delta(\xi_\mathbf{k} - \omega) \sum_{\alpha'}\langle\alpha' \mid\psi_\mathbf{k}\psi_\mathbf{k}^\dagger\mid\alpha' \rangle(1-\zeta e^{-\beta\xi_\mathbf{k}})e^{-\beta E_{\alpha'}}. $$ मात्रा के संभावित कारकों के साथ फिर से रूपान्तरण संबंधों से, $$ \langle\alpha' \mid \psi_\mathbf{k}\psi_\mathbf{k}^\dagger\mid\alpha' \rangle = \langle\alpha' \mid(1+\zeta\psi_\mathbf{k}^\dagger\psi_\mathbf{k})\mid\alpha' \rangle, $$ बन जाता है। योग, जिसमें संख्या संचालक का थर्मल औसत सम्मिलित होता है, तब सरलता $$[1 + \zeta n(\xi_\mathbf{k})]\mathcal{Z}$$ से दिया जाता है, छोड़कर $$\rho_0(\mathbf{k},\omega) = 2\pi\delta(\xi_\mathbf{k} - \omega).$$ कल्पित-काल-प्रोपेगेटर यह है $$\mathcal{G}_0(\mathbf{k},\omega) = \frac{1}{-i\omega_n + \xi_\mathbf{k}}$$ और मंदित प्रोपेगेटर $$G_0^{\mathrm{R}}(\mathbf{k},\omega) = \frac{1}{-(\omega+i \eta) + \xi_\mathbf{k}}.$$

है।

शून्य-तापमान सीमा
जैसा $β → ∞$, वर्णक्रमीय घनत्व बन जाता है $$ \rho(\mathbf{k},\omega) = 2\pi\sum_{\alpha} \left[ \delta(E_\alpha - E_0 - \omega) \left|\left\langle \alpha \mid \psi_\mathbf{k}^\dagger \mid 0 \right\rangle\right|^2 - \zeta \delta(E_0 - E_{\alpha} - \omega) \left|\left\langle 0 \mid \psi_\mathbf{k}^\dagger \mid \alpha \right\rangle\right|^2\right] $$ जहाँ $α = 0$ स्थिर स्थिति से मेल खाता है। ध्यान दें कि केवल पहला (दूसरा) पद तब योगदान देता है जब $ω$ धनात्मक (ऋणात्मक) होता है।

मूलभूत परिभाषाएँ
हम उपरोक्त के रूप में क्षेत्र संचालकों का उपयोग कर सकते हैं या अन्य एकल-कण अवस्थाओं से जुड़े निर्माण और विलोपन संचालकों का उपयोग कर सकते हैं, संभवतः (गैर-इंटरैक्टिंग) गतिज ऊर्जा के आइजेनस्टेट्स के रूप में का उपयोग कर सकते हैं। फिर हम उपयोग करते हैं $$\psi(\mathbf{x} ,\tau) = \varphi_\alpha(\mathbf{x} ) \psi_\alpha(\tau),$$ जहाँ $$\psi_\alpha$$ एकल-कण अवस्था $$\alpha$$ के लिए विलोपन संचालक है और $$\varphi_\alpha(\mathbf{x} )$$ स्थिति के आधार पर अवस्था की तरंग क्रिया है। जो $$ \mathcal{G}^{(n)}_{\alpha_1\ldots\alpha_n|\beta_1\ldots\beta_n}(\tau_1 \ldots \tau_n | \tau_1' \ldots \tau_n') = \langle T\psi_{\alpha_1}(\tau_1)\ldots\psi_{\alpha_n}(\tau_n)\bar\psi_{\beta_n}(\tau_n')\ldots\bar\psi_{\beta_1}(\tau_1')\rangle $$ को $$G^{(n)}$$के समान अभिव्यक्ति देता है।

दो-बिंदु फलन
ये केवल उनके समय तर्कों के अंतर पर निर्भर करते हैं, जिससे $$ \mathcal{G}_{\alpha\beta}(\tau\mid \tau') = \frac{1}{\beta}\sum_{\omega_n} \mathcal{G}_{\alpha\beta}(\omega_n)\,e^{-i\omega_n (\tau-\tau')} $$ और $$ G_{\alpha\beta}(t\mid t') = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{d\omega}{2\pi}\, G_{\alpha\beta}(\omega)\,e^{-i\omega(t-t')}. $$ हम फिर से मंद और उन्नत फलनों को स्पष्ट प्रणाली से परिभाषित कर सकते हैं; ये उपरोक्त की तरह ही समय-क्रमित फलन से संबंधित हैं।

ऊपर वर्णित समान आवधिकता गुण $$\mathcal{G}_{\alpha\beta}$$ पर प्रयुक्त होते हैं। विशेष रूप से,

$$\tau < 0$$

के लिए $$\mathcal{G}_{\alpha\beta}(\tau\mid\tau') = \mathcal{G}_{\alpha\beta}(\tau-\tau')$$ और $$\mathcal{G}_{\alpha\beta}(\tau) = \mathcal{G}_{\alpha\beta}(\tau + \beta),$$

वर्णक्रमीय प्रतिनिधित्व
इस स्थितियों में, $$ \rho_{\alpha\beta}(\omega) = \frac{1}{\mathcal{Z}}\sum_{m,n} 2\pi \delta(E_n-E_m-\omega)\; \langle m \mid \psi_\alpha\mid n \rangle\langle n \mid \psi_\beta^\dagger\mid m \rangle \left(e^{-\beta E_m} - \zeta e^{-\beta E_n}\right) , $$ जहाँ $$m$$ और $$n$$ बहु-निकाय अवस्थाएँ हैं।

ग्रीन फलनों के लिए अभिव्यक्तियाँ स्पष्ट विधियों से संशोधित की गई हैं: $$ \mathcal{G}_{\alpha\beta}(\omega_n) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{d\omega'}{2\pi} \frac{\rho_{\alpha\beta}(\omega')}{-i\omega_n+\omega'}$$ और $$G^{\mathrm{R}}_{\alpha\beta}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{d\omega'}{2\pi} \frac{\rho_{\alpha\beta}(\omega')}{-(\omega+i\eta)+\omega'}.$$ उनके विश्लेषणात्मक गुण समान हैं। प्रमाण बिल्कुल उन्हीं वेरिएबलणों का पालन करता है, अतिरिक्त इसके कि दो आव्यूह अवयव अब सम्मिश्र संयुग्म नहीं हैं।

गैर-संवादात्मक स्थिति
यदि चुने गए विशेष एकल-कण अवस्था 'एकल-कण ऊर्जा ईजेनस्टेट्स' हैं, अर्थात् $$[H-\mu N,\psi_\alpha^\dagger] = \xi_\alpha\psi_\alpha^\dagger,$$ तो $$|n \rangle$$ एक आइजेनस्टेट के लिए: $$(H-\mu N)\mid n \rangle = E_n \mid n \rangle,$$ तो $$\psi_\alpha \mid n \rangle$$: $$(H-\mu N)\psi_\alpha\mid n \rangle = (E_n - \xi_\alpha) \psi_\alpha \mid n \rangle,$$भी है। और ऐसे ही $$\psi_\alpha^\dagger\mid n \rangle$$: $$(H-\mu N)\psi_\alpha^\dagger \mid n \rangle = (E_n + \xi_\alpha) \psi_\alpha^\dagger \mid n \rangle.$$ इसलिए हमारे पास है $$\langle m \mid \psi_\alpha\mid n \rangle\langle n \mid \psi_\beta^\dagger\mid m \rangle =\delta_{\xi_\alpha, \xi_\beta} \delta_{E_n, E_m + \xi_\alpha} \langle m \mid \psi_\alpha\mid n \rangle\langle n \mid \psi_\beta^\dagger \mid m \rangle.$$ हम फिर से लिखते हैं $$ \rho_{\alpha\beta}(\omega) = \frac{1}{\mathcal{Z}}\sum_{m,n} 2\pi \delta(\xi_\alpha-\omega) \delta_{\xi_\alpha,\xi_\beta}\langle m \mid \psi_\alpha\mid n \rangle\langle n \mid \psi_\beta^\dagger \mid m \rangle e^{-\beta E_m} \left(1 - \zeta e^{-\beta \xi_\alpha}\right), $$ इसलिए $$ \rho_{\alpha\beta}(\omega) = \frac{1}{\mathcal{Z}}\sum_m 2\pi \delta(\xi_\alpha-\omega) \delta_{\xi_\alpha,\xi_\beta}\langle m \mid \psi_\alpha\psi_\beta^\dagger e^{-\beta (H-\mu N)}\mid m \rangle \left(1 - \zeta e^{-\beta \xi_\alpha}\right), $$ उपयोग $$\langle m \mid \psi_\alpha \psi_\beta^\dagger\mid m \rangle = \delta_{\alpha,\beta}\langle m \mid \zeta \psi_\alpha^\dagger \psi_\alpha + 1 \mid m \rangle$$ और तथ्य यह है कि संख्या संचालक का थर्मल औसत बोस-आइंस्टीन या फर्मी-डिराक वितरण फलन देता है।

अंत में, वर्णक्रमीय घनत्व देना सरल हो जाता है $$\rho_{\alpha\beta} = 2\pi \delta(\xi_\alpha - \omega)\delta_{\alpha\beta},$$ जिससे थर्मल ग्रीन फलन हो $$\mathcal{G}_{\alpha\beta}(\omega_n) = \frac{\delta_{\alpha\beta}}{-i\omega_n + \xi_\beta}$$ और मंद ग्रीन फलन है $$G_{\alpha\beta}(\omega) = \frac{\delta_{\alpha\beta}}{-(\omega+i\eta) + \xi_\beta}.$$ ध्यान दें कि नॉनइंटरेक्टिंग ग्रीन फलन विकर्ण है, किन्तु इंटरैक्टिंग स्थितियों में यह सच नहीं होगा।

यह भी देखें

 * उतार-चढ़ाव प्रमेय
 * ग्रीन-कुबो संबंध
 * रैखिक प्रतिक्रिया फलन
 * लिंडब्लाड समीकरण
 * प्रोपेगेटर
 * सहसंबंध फलन (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत)
 * संख्यात्मक विश्लेषणात्मक निरंतरता

किताबें

 * बॉन्च-ब्रूविच वी.एल., सर्गेई टायब्लिकोव|टायब्लिकोव एस.वी. (1962): सांख्यिकीय यांत्रिकी में ग्रीन फलन विधि। नॉर्थ हॉलैंड पब्लिशिंग कंपनी
 * एब्रिकोसोव, ए.ए., गोर्कोव, एल.पी. और डज़्यालोशिंस्की, आई.ई. (1963): सांख्यिकीय भौतिकी में क्वांटम फील्ड थ्योरी के प्रणाली एंगलवुड क्लिफ्स: प्रेंटिस-हॉल।
 * नेगेले, जे.डब्ल्यू. और ऑरलैंड, एच. (1988): क्वांटम मैनी-पार्टिकल सिस्टम्स एडिसनवेस्ले।
 * दिमित्री जुबारेव|जुबारेव डी.एन., मोरोज़ोव वी., रोपके जी. (1996): नॉनक्विलिब्रियम प्रक्रियाओं के सांख्यिकीय यांत्रिकी: मूलभूत अवधारणाएं, काइनेटिक सिद्धांत (खंड 1)। जॉन विली एंड संस। ISBN 3-05-501708-0.
 * मैटक रिवेरिएबल्ड डी. (1992), ए गाइड टू फेनमैन डायग्राम्स इन द मैनी-बॉडी प्रॉब्लम, डोवर प्रकाशन, ISBN 0-486-67047-3.

कागजात

 * निकोले बोगोलीबोव|बोगोलीबोव एन.एन., सर्गेई टायब्लिकोव|टायब्लिकोव एस.वी. सांख्यिकीय भौतिकी में प्रोपगेटर और उन्नत ग्रीन फलन, सोवियत भौतिकी डोकलाडी, वॉल्यूम। 4, पृ. 589 (1959)।
 * दिमित्री जुबारेव|जुबारेव डी.एन., सांख्यिकीय भौतिकी में डबल-टाइम ग्रीन फलन, सोवियत भौतिकी उसपेखी 3(3), 320-345 (1960)।

बाहरी संबंध

 * Linear Response Functions in Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt, and Alexander Lichtenstein (eds.): DMFT at 25: Infinite Dimensions, Verlag des Forschungszentrum Jülich, 2014 ISBN 978-3-89336-953-9