पृथक्कृत समुच्चय

टोपोलॉजी और गणित की संबंधित शाखाओं में, अलग-अलग सेट किसी दिए गए टोपोलॉजिकल स्पेस के सबसेट के जोड़े होते हैं जो एक दूसरे से एक निश्चित तरीके से संबंधित होते हैं: मोटे तौर पर बोलना, न तो अतिव्यापी और न ही स्पर्श करना। जब दो सेट अलग-अलग होते हैं या नहीं, की धारणा जुड़ा हुआ स्थान  (और उनके कनेक्टेड कंपोनेंट) के साथ-साथ टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए पृथक्करण स्वयंसिद्ध दोनों के लिए महत्वपूर्ण है।

अलग-अलग सेट को अलग-अलग जगहों (नीचे परिभाषित) के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जो कुछ हद तक संबंधित हैं लेकिन अलग हैं। वियोज्य स्थान फिर से एक पूरी तरह से अलग सामयिक अवधारणा है।

परिभाषाएँ
ऐसे कई तरीके हैं जिनमें दो उपसमुच्चय हैं $$A$$ और $$B$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस का $$X$$ अलग माना जा सकता है। एक सबसे बुनियादी तरीका जिसमें दो सेटों को अलग किया जा सकता है, वह है यदि वे असंयुक्त सेट हैं, अर्थात, यदि उनका प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) खाली सेट है। इस संपत्ति का टोपोलॉजी से कोई लेना-देना नहीं है, बल्कि केवल भोली सेट थ्योरी है। नीचे दी गई प्रत्येक संपत्ति असम्बद्धता की तुलना में सख्त है, जिसमें कुछ सामयिक जानकारी शामिल है। गुणों को विशिष्टता के बढ़ते क्रम में प्रस्तुत किया जाता है, प्रत्येक पूर्ववर्ती की तुलना में एक मजबूत धारणा है।

एक अधिक प्रतिबंधात्मक संपत्ति वह है $$A$$ और $$B$$ हैं में $$X$$ यदि प्रत्येक दूसरे के बंद होने (टोपोलॉजी) से अलग है:

$$\left(A \cap \bar{B}\right) \cup \left(\bar{A} \cap B\right) = \varnothing.$$ इस संपत्ति के रूप में जाना जाता है. चूंकि प्रत्येक सेट इसके बंद होने में समाहित है, दो अलग-अलग सेट स्वचालित रूप से अलग होने चाहिए। बंदों को स्वयं एक दूसरे से अलग होने की आवश्यकता नहीं है; उदाहरण के लिए, अंतराल (गणित) एस $$[0, 1)$$ और $$(1, 2]$$ वास्तविक रेखा में अलग हो जाते हैं $$\Reals,$$ भले ही बिंदु 1 उनके दोनों बंदों से संबंधित है। एक अधिक सामान्य उदाहरण यह है कि किसी भी मीट्रिक स्थान में, दो खुली गेंदें $$B_r(p) = \{x \in X : d(p, x) < r\}$$ और $$B_s(q) = \{x \in X : d(q, x) < s\}$$ जब भी अलग होते हैं $$d(p, q) \geq r + s.$$ अलग होने की संपत्ति को व्युत्पन्न सेट (गणित) के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है (प्राइम सिंबल द्वारा दर्शाया गया है): $$A$$ और $$B$$ अलग हो जाते हैं जब वे अलग होते हैं और प्रत्येक दूसरे के व्युत्पन्न सेट से अलग होता है, यानी, $A' \cap B = \varnothing = B' \cap A.$ (परिभाषा के पहले संस्करण के मामले में, व्युत्पन्न सेट $$A'$$ और $$B'$$ एक दूसरे से अलग होने की आवश्यकता नहीं है।)

सेट $$A$$ और $$B$$ हैं अगर पड़ोस (टोपोलॉजी) हैं $$U$$ का $$A$$ और $$V$$ का $$B$$ ऐसा है कि $$U$$ और $$V$$ असंबद्ध हैं। (कभी-कभी आप आवश्यकता देखेंगे कि $$U$$ और $$V$$ ओपन (टोपोलॉजी) पड़ोस हो, लेकिन इससे अंत में कोई फर्क नहीं पड़ता।) के उदाहरण के लिए$$A = [0, 1)$$ और $$B = (1, 2],$$ तुम ले सकते हो $$U = (-1, 1)$$ और $$V = (1, 3).$$ ध्यान दें कि यदि किन्हीं दो सेटों को पड़ोस द्वारा अलग किया जाता है, तो निश्चित रूप से वे अलग हो जाते हैं। अगर $$A$$ और $$B$$ खुले और अलग हैं, तो उन्हें आस-पड़ोस से अलग किया जाना चाहिए; बस ले लो $$U = A$$ और $$V = B.$$ इस कारण से, अलगाव का उपयोग अक्सर बंद सेटों के साथ किया जाता है (जैसा कि सामान्य पृथक्करण स्वयंसिद्ध में होता है)।

सेट $$A$$ और $$B$$ हैं यदि कोई बंद (टोपोलॉजी) पड़ोस है $$U$$ का $$A$$ और एक बंद पड़ोस $$V$$ का $$B$$ ऐसा है कि $$U$$ और $$V$$ असंबद्ध हैं। हमारे उदाहरण, $$[0, 1)$$ और $$(1, 2],$$ हैं बंद पड़ोस से अलग। आप या तो बना सकते हैं $$U$$ या $$V$$ इसमें बिंदु 1 को शामिल करके बंद किया जा सकता है, लेकिन आप दोनों को असंयुक्त रखते हुए बंद नहीं कर सकते। ध्यान दें कि यदि कोई दो सेट बंद पड़ोस से अलग हो जाते हैं, तो निश्चित रूप से वे पड़ोस से अलग हो जाते हैं।

सेट $$A$$ और $$B$$ हैं यदि कोई निरंतर कार्य मौजूद है $$f : X \to \Reals$$ अंतरिक्ष से $$X$$ वास्तविक रेखा के लिए $$\Reals$$ ऐसा है कि $$A \subseteq f^{-1}(0)$$ और $$B \subseteq f^{-1}(1)$$, यानी के सदस्य $$A$$ मैप टू 0 और के सदस्य $$B$$ मानचित्र 1. (कभी-कभी इकाई अंतराल $$[0, 1]$$ के स्थान पर प्रयोग किया जाता है $$\Reals$$ इस परिभाषा में, लेकिन इससे कोई फर्क नहीं पड़ता।) हमारे उदाहरण में, $$[0, 1)$$ और $$(1, 2]$$ एक फ़ंक्शन द्वारा अलग नहीं किया जाता है, क्योंकि निरंतर परिभाषित करने का कोई तरीका नहीं है $$f$$ बिंदु 1 पर। यदि दो सेट एक सतत कार्य से अलग होते हैं, तो वे बंद पड़ोस से भी अलग हो जाते हैं; पड़ोस की प्राथमिकता के संदर्भ में दिया जा सकता है $$f$$ जैसा $$U = f^{-1}[-c, c]$$ और $$V = f^{-1}[1 - c, 1 + c],$$ कहाँ $$c$$ कोई धनात्मक संख्या इससे कम है $$1/2.$$ सेट $$A$$ और $$B$$ हैं यदि कोई निरंतर कार्य मौजूद है $$f : X \to \Reals$$ ऐसा है कि $$A = f^{-1}(0)$$ और $$B = f^{-1}(1).$$ (फिर से, आप इसके स्थान पर इकाई अंतराल भी देख सकते हैं $$\Reals,$$ और फिर से इससे कोई फर्क नहीं पड़ता।) ध्यान दें कि यदि किन्हीं भी दो सेटों को किसी फ़ंक्शन द्वारा सटीक रूप से अलग किया जाता है, तो वे एक सतत फ़ंक्शन द्वारा #अलग किए जाते हैं। तब से $$\{0\}$$ और $$\{1\}$$ में बंद हैं $$\Reals,$$ केवल बंद सेट एक फ़ंक्शन द्वारा सटीक रूप से अलग होने में सक्षम हैं, लेकिन सिर्फ इसलिए कि दो सेट बंद हैं और एक फ़ंक्शन द्वारा अलग किए गए हैं इसका मतलब यह नहीं है कि वे स्वचालित रूप से एक फ़ंक्शन (यहां तक ​​​​कि एक अलग फ़ंक्शन) द्वारा ठीक से अलग हो जाते हैं।

अलग-अलग सिद्धांतों और अलग-अलग जगहों से संबंध
पृथक्करण स्वयंसिद्ध विभिन्न स्थितियां हैं जो कभी-कभी स्थलीय स्थानों पर लगाई जाती हैं, जिनमें से कई को विभिन्न प्रकार के अलग-अलग सेटों के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है। एक उदाहरण के रूप में हम T को परिभाषित करेंगे2 स्वयंसिद्ध, जो अलग-अलग स्थानों पर लगाई गई स्थिति है। विशेष रूप से, एक टोपोलॉजिकल स्पेस को अलग किया जाता है, यदि दो अलग-अलग (गणित) बिंदु x और y दिए गए हों, तो सिंगलटन सेट {x} और {y} को पड़ोस से अलग किया जाता है।

अलग-अलग जगहों को आमतौर पर हॉसडॉर्फ स्पेस या टी कहा जाता है2 रिक्त स्थान।

कनेक्टेड स्पेस से संबंध
एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स को देखते हुए, कभी-कभी यह विचार करना उपयोगी होता है कि क्या एक सबसेट ए को इसके पूरक (सेट सिद्धांत) से अलग करना संभव है। यह निश्चित रूप से सच है अगर A या तो खाली सेट है या संपूर्ण स्थान X है, लेकिन अन्य संभावनाएं भी हो सकती हैं। यदि ये केवल दो संभावनाएं हैं तो एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स जुड़ा हुआ है। इसके विपरीत, यदि एक गैर-रिक्त उपसमुच्चय A को उसके स्वयं के पूरक से अलग किया जाता है, और यदि इस संपत्ति को साझा करने के लिए A का एकमात्र उपसमुच्चय खाली समुच्चय है, तो A, X का एक खुला-जुड़ा हुआ घटक है। (पतित मामले में जहां X स्वयं है खाली सेट $$\emptyset$$, अधिकारी इस बात पर भिन्न हैं कि क्या $$\emptyset$$ जुड़ा हुआ है और क्या $$\emptyset$$ स्वयं का एक खुला-जुड़ा हुआ घटक है।)

स्थैतिक रूप से अलग-अलग बिंदुओं से संबंध
एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स को देखते हुए, दो बिंदु एक्स और वाई टोपोलॉजिकल रूप से अलग-अलग होते हैं यदि कोई खुला सेट मौजूद होता है जो एक बिंदु से संबंधित होता है लेकिन दूसरा बिंदु नहीं होता है। यदि x और y स्थैतिक रूप से अलग-अलग हैं, तो सिंगलटन सेट {x} और {y} को अलग होना चाहिए। दूसरी ओर, यदि सिंगलटन {x} और {y} को अलग किया जाता है, तो बिंदु x और y को स्थैतिक रूप से भिन्न होना चाहिए। इस प्रकार सिंगलटन के लिए, टोपोलॉजिकल डिफरेंशियलिटी डिसजॉइंटनेस और सेपरेशननेस के बीच की स्थिति है।

स्रोत


श्रेणी:पृथक्करण अभिगृहीत श्रेणी: टोपोलॉजी