हेइलब्रॉन त्रिकोण समस्या

फ़ाइल:हेइलब्रॉन वर्ग n=6.svg|thumb|300px|इकाई वर्ग में छह बिंदु, सबसे छोटे त्रिकोण (लाल) का क्षेत्रफल 1/8 है, जो इस अंक की संख्या के लिए इष्टतम क्षेत्र है। अन्य बड़े त्रिभुज नीले रंग के हैं। ये बिंदु एक नियमित षट्भुज का एक एफ़िन रूपांतरण हैं, लेकिन बड़ी संख्या में बिंदुओं के लिए इष्टतम समाधान उत्तल बहुभुज नहीं बनाता है। असतत ज्यामिति और विसंगति सिद्धांत में, हेइलब्रॉन त्रिकोण समस्या छोटे क्षेत्र के त्रिकोणों से बचते हुए, विमान में बिंदु रखने की समस्या है। इसका नाम हंस हेइलब्रोन के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने अनुमान लगाया था कि, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि किसी दिए गए क्षेत्र में बिंदु कैसे रखे गए हैं, सबसे छोटा त्रिकोण क्षेत्र अधिकतम आनुपातिकता (गणित) # बिंदुओं की संख्या के वर्ग (बीजगणित) के व्युत्क्रम आनुपातिकता पर होगा। उनका अनुमान गलत साबित हुआ, लेकिन न्यूनतम त्रिभुज क्षेत्र की स्पर्शोन्मुख विश्लेषण दर अज्ञात बनी हुई है।

परिभाषा
हेइलब्रॉन त्रिकोण समस्या के स्थान से संबंधित है $$n$$ किसी दिए गए आकार के लिए समतल में किसी आकृति के भीतर बिंदु, जैसे इकाई वर्ग या इकाई डिस्क number $n$. बिंदुओं का प्रत्येक त्रिक एक त्रिभुज के तीन शीर्ष बनाता है, और इन त्रिभुजों के बीच, समस्या सबसे छोटे त्रिभुज से संबंधित है, जैसा कि क्षेत्रफल द्वारा मापा जाता है। बिंदुओं के अलग-अलग स्थानों पर अलग-अलग सबसे छोटे त्रिकोण होंगे, और समस्या पूछती है: कैसे होना चाहिए $$n$$ सबसे छोटे के क्षेत्रफल को अधिकतम करने के लिए बिंदु लगाए जाएं triangle?

अधिक औपचारिक रूप से, आकार को एक कॉम्पैक्ट सेट माना जा सकता है $$D$$ समतल में, जिसका अर्थ है कि यह मूल से एक निश्चित दूरी के भीतर रहता है और इसकी सीमा पर बिंदुओं को रखने की अनुमति है। इस समस्या पर अधिकांश कार्यों में, $$D$$ इसके अतिरिक्त शून्येतर क्षेत्र का एक उत्तल समुच्चय है। जब रखे गए तीन बिंदु संरेख होते हैं, तो उन्हें एक अपक्षयी (गणित) त्रिकोण बनाने के रूप में माना जाता है जिसका क्षेत्रफल शून्य के रूप में परिभाषित किया गया है, इसलिए सबसे छोटे त्रिकोण को अधिकतम करने वाले स्थानों में बिंदुओं का संरेख त्रिक नहीं होगा। यह धारणा कि आकार सघन है, इसका तात्पर्य यह है कि इसका एक इष्टतम स्थान मौजूद है $$n$$ अंक, न कि केवल इष्टतमता तक पहुंचने वाले प्लेसमेंट का एक क्रम। जो नंबर $$\Delta_D(n)$$ इस इष्टतम में सबसे छोटे त्रिभुज के क्षेत्रफल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है placement. चित्र में एक उदाहरण दिखाया गया है, जिसमें एक इकाई वर्ग में छह बिंदु हैं। ये छह बिंदु बनते हैं $$\tbinom63=20$$ विभिन्न त्रिभुज, जिनमें से चार चित्र में छायांकित हैं। इन 20 त्रिभुजों में से छह, जिनमें दो छायांकित आकृतियाँ हैं, का क्षेत्रफल 1/8 है; शेष 14 त्रिभुजों का क्षेत्रफल बड़ा है। यह एक इकाई वर्ग में छह बिंदुओं का इष्टतम स्थान है: अन्य सभी स्थान कम से कम एक त्रिभुज बनाते हैं जिसका क्षेत्रफल 1/8 या उससे छोटा है। इसलिए, $\Delta_D(6)=\tfrac18$.

हालाँकि शोधकर्ताओं ने इसके मूल्य का अध्ययन किया है $$\Delta_D(n)$$ विशिष्ट आकृतियों और विशिष्ट छोटी संख्या में बिंदुओं के लिए, हेइलब्रॉन इसके स्पर्शोन्मुख व्यवहार के बारे में चिंतित था: यदि आकार $$D$$ निश्चित रखा गया है, लेकिन $$n$$ भिन्न-भिन्न होता है, सबसे छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे भिन्न-भिन्न होता है with $n$?अर्थात हेइलब्रॉन का प्रश्न विकास दर से संबंधित है of $\Delta_D(n)$, एक समारोह के रूप में of $n$. किन्हीं दो आकृतियों के लिए $$D$$ and $D'$, संख्या $$\Delta_D(n)$$ और $$\Delta_{D'}(n)$$ किसी भी प्लेसमेंट की तरह, केवल एक स्थिर कारक से भिन्न होता है $$n$$ भीतर अंक $$D$$ फिट करने के लिए एफ़िन ट्रांसफ़ॉर्मेशन द्वारा स्केल किया जा सकता है within $D'$,न्यूनतम त्रिभुज क्षेत्रफल को केवल एक स्थिरांक द्वारा बदलना। इसलिए, विकास दर पर सीमा में $$\Delta_D(n)$$ जो उस वृद्धि की आनुपातिकता के स्थिरांक को छोड़ देता है, की पसंद $$D$$ अप्रासंगिक है और सबस्क्रिप्ट हो सकती है omitted.

हेइलब्रॉन का अनुमान और उसका खंडन
हेइलब्रॉन ने 1951 से पहले अनुमान लगाया था कि न्यूनतम त्रिभुज क्षेत्र हमेशा एक फ़ंक्शन के रूप में तेजी से सिकुड़ता है of $n$—अधिक विशेष रूप से, वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती of $n$. बड़ा ओ अंकन के संदर्भ में, इसे बाउंड के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$\Delta(n)=O\left(\frac{1}{n^2}\right).$$ दूसरी दिशा में, पॉल एर्डोस को न्यूनतम त्रिभुज क्षेत्र आनुपातिक वाले बिंदु सेट के उदाहरण मिले to $1/n^2$, यह दर्शाता है कि, यदि सत्य है, तो हेइलब्रॉन की अनुमानित सीमा को मजबूत नहीं किया जा सकता है। इन उदाहरणों का वर्णन करने के लिए, एर्डोज़ ने ग्रिड बिंदुओं के बड़े सेट पर, एक पंक्ति में तीन नहीं होने पर, नो-थ्री-इन-लाइन समस्या तैयार की। जैसा कि एर्दो ने देखा, जब $$n$$ एक अभाज्य संख्या है, का समुच्चय $$n$$ अंक $$(i,i^2\bmod n)$$ एक पर $$n\times n$$ पूर्णांक जाली (के लिए) $0\le i<n$) में कोई तीन संरेख बिंदु नहीं हैं, और इसलिए पिक के सूत्र के अनुसार उनके द्वारा बनाए गए प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल होता है least $\tfrac12$. जब इन ग्रिड बिंदुओं को एक इकाई वर्ग के भीतर फिट करने के लिए स्केल किया जाता है, तो उनका सबसे छोटा त्रिकोण क्षेत्र आनुपातिक होता है to $1/n^2$, हेइलब्रॉन की अनुमानित ऊपरी सीमा से मेल खाता हुआ। अगर $$n$$ अभाज्य नहीं है, तो उसके निकट एक अभाज्य संख्या का उपयोग करके एक समान निर्माण $$n$$ समान स्पर्शोन्मुख निम्न को प्राप्त करता है bound.

अंततः उन बिंदुओं के सेट को खोजने के लिए संभाव्य विधि का उपयोग करके हेइलब्रॉन के अनुमान को खारिज कर दिया, जिनका सबसे छोटा त्रिकोण क्षेत्र एर्दो द्वारा पाए गए से बड़ा है। उनके निर्माण में निम्नलिखित चरण शामिल हैं: इनके निर्माण से उत्पन्न क्षेत्रफल असमान्य रूप से बढ़ता है $$\Delta(n)=\Omega\left(\frac{\log n}{n^2}\right).$$ इसका प्रमाण व्युत्पन्नकरण हो सकता है, जिससे इस त्रिभुज क्षेत्र के साथ प्लेसमेंट के निर्माण के लिए एक बहुपद समय|बहुपद-समय एल्गोरिदम तैयार हो सकता है।
 * बेतरतीब जगह $$n^{1+\varepsilon}$$ इकाई वर्ग में अंक, के लिए some $\varepsilon>0$.
 * उन सभी बिंदुओं के जोड़े को हटा दें जो अप्रत्याशित रूप से एक-दूसरे के करीब हैं।
 * साबित करें कि निम्न-क्षेत्र त्रिभुज कुछ शेष बचे हैं और इसलिए दो, तीन या चार निम्न-क्षेत्र त्रिभुजों द्वारा बनने वाले चक्रों की केवल एक उपरेखीय संख्या है। इन चक्रों से संबंधित सभी बिंदुओं को हटा दें।
 * उच्च परिधि (ग्राफ सिद्धांत) के 3-समान हाइपरग्राफ के लिए एक त्रिकोण हटाने वाला लेम्मा लागू करें ताकि यह दिखाया जा सके कि, उच्च संभावना के साथ, शेष बिंदुओं में का एक उपसमूह शामिल है $$n$$ ऐसे बिंदु जो किसी छोटे क्षेत्रफल वाले त्रिभुज का निर्माण नहीं करते।

ऊपरी सीमा
का हर सेट $$n$$ इकाई वर्ग में बिंदु अधिकतम व्युत्क्रमानुपाती क्षेत्रफल का एक त्रिभुज बनाते हैं to $n$. इसे देखने का एक तरीका दिए गए बिंदु के उत्तल पतवार को बिंदु सेट त्रिकोणीकरण करना है set $S$, और त्रिभुज में सबसे छोटे त्रिभुज को चुनें। दूसरा है अंकों को उनके आधार पर क्रमबद्ध करना $x$-coordinates, और इस क्रम में लगातार तीन बिंदुओं को चुनना है जिसका $x$-coordinates एक साथ सबसे करीब हैं. 1951 में हेइलब्रॉन त्रिकोण समस्या पर प्रकाशित पहले पेपर में, क्लॉस रोथ ने एक मजबूत ऊपरी सीमा साबित की on $\Delta(n)$, फॉर्म का $$\Delta(n)=O\left(\frac{1}{n\sqrt{\log\log n}}\right).$$ अब तक ज्ञात सर्वोत्तम बाउंड फॉर्म का है $$\Delta(n)\leq\frac{\exp{\left(c\sqrt{\log n}\right)}}{n^{8/7}},$$ कुछ के लिए constant $c$, द्वारा सिद्ध.

के बराबर एक नई ऊपरी सीमा $$n^{-\frac{8}{7}-\frac{1}{2000}}$$ द्वारा सिद्ध किया गया था.

विशिष्ट आकृतियाँ और संख्याएँ
की इष्टतम व्यवस्था की जांच की है $$n$$ एक वर्ग में अंक, के लिए $$n$$ 16 तक. गोल्डबर्ग के छह बिंदुओं तक के निर्माण वर्ग की सीमा पर स्थित हैं, और एक नियमित बहुभुज के शीर्षों का एक एफ़िन परिवर्तन बनाने के लिए रखे गए हैं। बड़े मूल्यों के लिए of $n$, गोल्डबर्ग की सीमा में सुधार हुआ, और इन मूल्यों के लिए समाधान में वर्ग के आंतरिक बिंदु शामिल हैं। ये निर्माण सात बिंदुओं तक इष्टतम साबित हुए हैं। प्रमाण ने बिंदुओं की संभावित व्यवस्था के कॉन्फ़िगरेशन स्थान (गणित) को 226 अलग-अलग उप-समस्याओं में उप-विभाजित करने के लिए एक कंप्यूटर खोज का उपयोग किया, और यह दिखाने के लिए  अरेखीय प्रोग्रामिंग  तकनीकों का उपयोग किया कि उनमें से 225 मामलों में, सबसे अच्छी व्यवस्था ज्ञात सीमा जितनी अच्छी नहीं थी।. शेष मामले में, अंतिम इष्टतम समाधान सहित, प्रतीकात्मक गणना तकनीकों का उपयोग करके इसकी इष्टतमता सिद्ध की गई थी।

एक इकाई वर्ग में 7-12 बिंदुओं के लिए सबसे प्रसिद्ध समाधान निम्नलिखित हैं, जो तैयार किए हुयी धातु पे पानी चढाने की कला  के माध्यम से पाए गए हैं;सात बिंदुओं की व्यवस्था इष्टतम मानी जाती है।

किसी दिए गए आकार के लिए इष्टतम प्लेसमेंट की तलाश करने के बजाय, कोई दिए गए अंकों की संख्या के लिए इष्टतम आकार की तलाश कर सकता है। उत्तल आकृतियों के बीच $$D$$ क्षेत्रफल एक के साथ, नियमित षट्भुज वह है maximizes $\Delta_D(6)$; इस आकृति के लिए, $\Delta_D(6)=\tfrac16$, छह बिंदुओं के साथ षट्कोण शीर्षों पर इष्टतम रूप से रखा गया है। इकाई क्षेत्रफल की उत्तल आकृतियाँ जो अधिकतम होती हैं $$\Delta_D(7)$$ पास $\Delta_D(7)=\tfrac19$.

भिन्नताएँ
इस समस्या के कई रूप रहे हैं इसमें बिंदुओं के समान रूप से यादृच्छिक सेट का मामला भी शामिल है, जिसके लिए कोलमोगोरोव जटिलता या पॉइसन सन्निकटन पर आधारित तर्क बताते हैं कि न्यूनतम क्षेत्र का अपेक्षित मूल्य अंकों की संख्या के घन के व्युत्क्रमानुपाती है। उच्च-आयामी संकेतन की मात्रा से संबंधित विविधताओं का भी अध्ययन किया गया है।

सरलताओं पर विचार करने के बजाय, एक और उच्च-आयामी संस्करण एक और जोड़ता है parameter $k$, और प्लेसमेंट मांगता है $$n$$ यूनिट अतिविम  में बिंदु जो किसी भी उपसमूह के उत्तल पतवार की न्यूनतम मात्रा को अधिकतम करते हैं $$k$$ अंक. के लिए $$k=d+1$$ ये उपसमुच्चय सरलीकरण बनाते हैं लेकिन बड़े मूल्यों के लिए of $k$, रिश्तेदार to $d$, वे अधिक जटिल आकृतियाँ बना सकते हैं। कब $$k$$ पर्याप्त रूप से बड़ा सापेक्ष है to $\log n$, बेतरतीब ढंग से रखे गए बिंदु सेट न्यूनतम हैं $k$-point उन्नतोत्तर पेटा volume $\Omega(k/n)$. इससे बेहतर कोई बंधन संभव नहीं है; किसी भी प्लेसमेंट में है $$k$$ के साथ अंक volume $O(k/n)$, कुछ चुनकर प्राप्त किया गया $$k$$ समन्वित क्रम में लगातार अंक। इस परिणाम में रेंज खोज डेटा संरचनाओं में अनुप्रयोग हैं।

यह भी देखें

 * नर्तक सेट, बिंदुओं का एक सेट जो बड़े क्षेत्र के खाली त्रिकोणों से बचाता है

बाहरी संबंध

 * Erich's Packing Center, by Erich Friedman, including the best known solutions to the Heilbronn problem for small values of $$n$$ for squares, circles, equilateral triangles, and convex regions of variable shape but fixed area
 * Erich's Packing Center, by Erich Friedman, including the best known solutions to the Heilbronn problem for small values of $$n$$ for squares, circles, equilateral triangles, and convex regions of variable shape but fixed area