लिउविले का प्रमेय (हैमिल्टनियन)

भौतिकी में, लिउविले का प्रमेय, जिसका नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ जोसेफ लिउविले के नाम पर रखा गया है, शास्त्रीय सांख्यिकीय यांत्रिकी और हैमिल्टनियन यांत्रिकी में एक प्रमुख प्रमेय है। यह दावा करता है कि चरण स्थान|चरण-स्थान वितरण फ़ंक्शन सिस्टम के प्रक्षेपवक्र के साथ स्थिर है - यानी कि चरण-स्थान के माध्यम से यात्रा करने वाले किसी दिए गए सिस्टम बिंदु के आसपास के सिस्टम बिंदुओं का घनत्व समय के साथ स्थिर है. यह समय-स्वतंत्र घनत्व सांख्यिकीय यांत्रिकी में शास्त्रीय प्राथमिक संभाव्यता के रूप में जाना जाता है। सिंपलेक्टिक टोपोलॉजी और एर्गोडिक सिद्धांत में संबंधित गणितीय परिणाम हैं; लिउविले के प्रमेय का पालन करने वाली प्रणालियाँ रूढ़िवादी प्रणाली के उदाहरण हैं।

लिउविले के प्रमेय का स्टोकेस्टिक प्रणालियों तक विस्तार है।

लिउविल समीकरण
लिउविल समीकरण चरण अंतरिक्ष वितरण फ़ंक्शन (भौतिकी) के समय विकास का वर्णन करता है। हालाँकि इस समीकरण को आमतौर पर लिउविले समीकरण के रूप में जाना जाता है, जोशिया विलार्ड गिब्स सांख्यिकीय यांत्रिकी के मौलिक समीकरण के रूप में इस समीकरण के महत्व को पहचानने वाले पहले व्यक्ति थे। इसे लिउविले समीकरण के रूप में जाना जाता है क्योंकि गैर-विहित प्रणालियों के लिए इसकी व्युत्पत्ति 1838 में लिउविले द्वारा पहली बार प्राप्त की गई पहचान का उपयोग करती है। विहित निर्देशांक वाली हैमिल्टनियन प्रणाली पर विचार करें $$q_i$$ और संयुग्मित क्षण $$p_i$$, कहाँ $$i=1,\dots,n$$. फिर चरण स्थान वितरण $$\rho(p,q)$$ संभावना निर्धारित करता है $$\rho(p,q)\; \mathrm{d}^nq\,\mathrm{d}^n p$$ यह प्रणाली अतिसूक्ष्म चरण अंतरिक्ष आयतन में पाई जाएगी $$\mathrm{d} ^nq\,\mathrm{d}^n p$$. लिउविल समीकरण किसके विकास को नियंत्रित करता है? $$\rho(p,q;t)$$ समय के भीतर $$t$$:


 * $$\frac{d\rho}{dt}=

\frac{\partial\rho}{\partial t} +\sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial\rho}{\partial q_i}\dot{q}_i +\frac{\partial\rho}{\partial p_i}\dot{p}_i\right)=0.$$ समय व्युत्पन्न को बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है, और सिस्टम के लिए हैमिल्टन के समीकरणों के अनुसार मूल्यांकन किया जाता है। यह समीकरण चरण स्थान में घनत्व के संरक्षण को प्रदर्शित करता है (जो प्रमेय के लिए विलार्ड गिब्स का नाम था)। लिउविले का प्रमेय यह बताता है


 * चरण स्थान में किसी भी प्रक्षेपवक्र के साथ वितरण फ़ंक्शन स्थिर है।

ए वी:उन्नत शास्त्रीय यांत्रिकी/लिउविल प्रमेय|लिउविल प्रमेय का प्रमाण विचलन प्रमेय#एकाधिक आयाम|एन-आयामी विचलन प्रमेय का उपयोग करता है। यह प्रमाण इस तथ्य पर आधारित है कि का विकास $$\rho$$ निरंतरता समीकरण के 2n-आयामी संस्करण का पालन करता है:


 * $$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial(\rho\dot{q}_i)}{\partial q_i}+\frac{\partial(\rho\dot{p}_i)}{\partial p_i}\right)=0.$$

यानी 3-ट्यूपल $$(\rho, \rho\dot{q}_i,\rho\dot{p}_i)$$ एक संरक्षित धारा है. ध्यान दें कि इसके और लिउविल के समीकरण के बीच अंतर पद हैं


 * $$\rho\sum_{i=1}^n\left(

\frac{\partial\dot{q}_i}{\partial q_i} +\frac{\partial\dot{p}_i}{\partial p_i}\right) =\rho\sum_{i=1}^n\left( \frac{\partial^2 H}{\partial q_i\,\partial p_i} -\frac{\partial^2 H}{\partial p_i \partial q_i}\right)=0,$$ कहाँ $$H$$ हैमिल्टनियन है, और हैमिल्टन के समीकरणों के साथ-साथ प्रवाह के साथ हैमिल्टनियन के संरक्षण का उपयोग किया गया है। अर्थात्, चरण स्थान के माध्यम से गति को सिस्टम बिंदुओं के 'द्रव प्रवाह' के रूप में देखना, प्रमेय कि घनत्व का संवहनी व्युत्पन्न, $$d \rho/dt$$, क्या 'वेग क्षेत्र' को ध्यान में रखते हुए शून्य निरंतरता के समीकरण का अनुसरण करता है $$(\dot p, \dot q)$$ चरण स्थान में शून्य विचलन होता है (जो हैमिल्टन के संबंधों से अनुसरण करता है)। एक अन्य उदाहरण चरण स्थान के माध्यम से बिंदुओं के बादल के प्रक्षेप पथ पर विचार करना है। यह दिखाना सीधा है कि जैसे बादल एक समन्वय में फैलता है, $$p_i$$ उदाहरण के लिए, यह संगत में सिकुड़ता है $$q^i $$ दिशा ताकि उत्पाद $$\Delta p_i \, \Delta q^i $$ स्थिर रहता है।

पॉइसन ब्रैकेट
उपरोक्त प्रमेय को अक्सर पॉइसन ब्रैकेट के संदर्भ में दोहराया जाता है
 * $$\frac{\partial\rho}{\partial t}=-\{\,\rho,H\,\}$$

या, रैखिक लिउविल ऑपरेटर या लिउविलियन के संदर्भ में,
 * $$\mathrm{i}\widehat{\mathbf{L}}=\sum_{i=1}^n \left[\frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\partial}{\partial q^i}-\frac{\partial H}{\partial q^i}\frac{\partial }{\partial p_i}\right]=\{\bullet,H\}$$

जैसा
 * $$\frac{\partial \rho }{\partial t}+{\mathrm{i}\widehat{\mathbf{L}}}\rho =0.$$

एर्गोडिक सिद्धांत

एर्गोडिक सिद्धांत और गतिशील प्रणालियों में, अब तक दिए गए भौतिक विचारों से प्रेरित, एक संगत परिणाम होता है जिसे लिउविले के प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है। हैमिल्टनियन यांत्रिकी में, चरण स्थान एक अलग-अलग मैनिफोल्ड है जो स्वाभाविक रूप से एक चिकनी माप (गणित) से सुसज्जित होता है (स्थानीय रूप से, यह माप 6 एन-आयामी लेब्सेग माप है)। प्रमेय कहता है कि हैमिल्टनियन प्रवाह के तहत यह सहज माप अपरिवर्तनीय है। अधिक आम तौर पर, कोई उस आवश्यक और पर्याप्त स्थिति का वर्णन कर सकता है जिसके तहत एक प्रवाह के तहत एक सुचारू माप अपरिवर्तनीय होता है. हैमिल्टनियन मामला तब एक परिणाम बन जाता है।

सिंपलेक्टिक ज्यामिति
हम सिम्प्लेक्टिक ज्यामिति के संदर्भ में लिउविले के प्रमेय को भी तैयार कर सकते हैं। किसी दिए गए सिस्टम के लिए, हम चरण स्थान पर विचार कर सकते हैं $$(q^\mu, p_\mu)$$ एक विशेष हैमिल्टनियन का $$H$$ अनेक गुना के रूप में $$(M,\omega)$$ सिम्प्लेक्टिक 2-प्रपत्र से संपन्न


 * $$\omega = dp_\mu\wedge dq^\mu.$$

हमारे मैनिफोल्ड का वॉल्यूम फॉर्म सिंपलेक्टिक 2-फॉर्म की शीर्ष बाहरी शक्ति है, और ऊपर वर्णित चरण स्थान पर माप का एक और प्रतिनिधित्व है।

हमारे चरण अंतरिक्ष सिंपलेक्टिक मैनिफ़ोल्ड पर हम एक फ़ंक्शन द्वारा उत्पन्न हैमिल्टनियन वेक्टर फ़ील्ड को परिभाषित कर सकते हैं $$f(q,p)$$ जैसा


 * $$X_f = \frac{\partial f}{\partial p_\mu}\frac{\partial}{\partial q^\mu} - \frac{\partial f}{\partial q^\mu}\frac{\partial}{\partial p_\mu}.$$

विशेष रूप से, जब जनरेटिंग फ़ंक्शन हैमिल्टनियन ही है, $$f(q,p) = H$$, हम पाते हैं


 * $$X_H = \frac{\partial H}{\partial p_\mu}\frac{\partial}{\partial q^\mu} - \frac{\partial H}{\partial q^\mu}\frac{\partial}{\partial p_\mu} = \frac{d q^\mu}{d t}\frac{\partial}{\partial q^\mu} + \frac{d p^\mu}{dt}\frac{\partial}{\partial p_\mu} = \frac{d}{dt}$$

जहां हमने हैमिल्टन के गति के समीकरणों और श्रृंखला नियम की परिभाषा का उपयोग किया। इस औपचारिकता में, लिउविले के प्रमेय में कहा गया है कि वॉल्यूम फॉर्म का ली व्युत्पन्न प्रवाह द्वारा उत्पन्न प्रवाह के साथ शून्य है $$X_H$$. यानी, के लिए $$(M,\omega)$$ एक 2एन-आयामी सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड,


 * $$\mathcal{L}_{X_H}(\omega^n) = 0.$$

वास्तव में, सहानुभूतिपूर्ण संरचना $$\omega$$ स्वयं संरक्षित है, न केवल उसकी शीर्ष बाहरी शक्ति। अर्थात् लिउविले का प्रमेय भी देता है
 * $$\mathcal{L}_{X_H}(\omega) = 0.$$

क्वांटम लिउविल समीकरण

क्वांटम यांत्रिकी में लिउविले समीकरण का एनालॉग घनत्व मैट्रिक्स के समय विकास का वर्णन करता है। कैनोनिकल परिमाणीकरण से इस प्रमेय का एक क्वांटम-मैकेनिकल संस्करण, वॉन न्यूमैन समीकरण प्राप्त होता है। यह प्रक्रिया, जिसका उपयोग अक्सर शास्त्रीय प्रणालियों के क्वांटम एनालॉग्स को तैयार करने के लिए किया जाता है, में हैमिल्टनियन यांत्रिकी का उपयोग करके एक शास्त्रीय प्रणाली का वर्णन करना शामिल है। शास्त्रीय चर को फिर से क्वांटम ऑपरेटरों के रूप में व्याख्या किया जाता है, जबकि पॉइसन ब्रैकेट को कम्यूटेटर द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इस मामले में, परिणामी समीकरण है
 * $$\frac{\partial \rho}{\partial t} = \frac{1}{i \hbar}[H, \rho],$$

जहां ρ घनत्व मैट्रिक्स है।

जब किसी अवलोकन योग्य के अपेक्षित मूल्य पर लागू किया जाता है, तो संबंधित समीकरण एरेनफेस्ट के प्रमेय द्वारा दिया जाता है, और रूप लेता है


 * $$\frac{d}{dt}\langle A\rangle = -\frac{1}{i \hbar}\langle [H, A]\rangle,$$

कहाँ $$A$$ एक अवलोकनीय है. चिह्न अंतर पर ध्यान दें, जो इस धारणा से चलता है कि ऑपरेटर स्थिर है और स्थिति समय पर निर्भर है।

क्वांटम यांत्रिकी के चरण-अंतरिक्ष सूत्रीकरण में, वॉन न्यूमैन समीकरण के चरण-अंतरिक्ष एनालॉग में पॉइसन कोष्ठक के लिए मोयल ब्रैकेट को प्रतिस्थापित करने से चरण-अंतरिक्ष सूत्रीकरण#समय विकास होता है, और इस प्रकार लिउविले की प्रमेय असंपीड्यता का उल्लंघन होता है। इसके बाद, सार्थक क्वांटम प्रक्षेप पथ को परिभाषित करने में सहवर्ती कठिनाइयाँ पैदा होती हैं।

SHO चरण-अंतरिक्ष आयतन
एक पर विचार करें $$N$$-कण प्रणाली तीन आयामों में, और केवल के विकास पर ध्यान केंद्रित करें $$\mathrm{d}\mathcal{N}$$ कण. चरण स्थान के भीतर, ये $$\mathrm{d}\mathcal{N}$$ कण दिए गए अनंत लघु आयतन पर कब्जा कर लेते हैं


 * $$\mathrm{d}\Gamma = \displaystyle\prod_{i=1}^N d^3p_i d^3q_i.$$

हम चाहते हैं $$\frac{\mathrm{d}\mathcal{N}}{\mathrm{d}\Gamma}$$ पूरे समय एक जैसा रहना, ताकि $$\rho(\Gamma, t)$$ सिस्टम के प्रक्षेप पथ के साथ स्थिर है। यदि हम अपने कणों को एक अतिसूक्ष्म समय चरण द्वारा विकसित होने की अनुमति देते हैं $$\delta t$$, हम देखते हैं कि प्रत्येक कण चरण स्थान स्थान बदलता है


 * $$\begin{cases}

q_i' = q_i + \dot{q_i}\delta t,\\ p_i' = p_i + \dot{p_i}\delta t, \end{cases}$$ कहाँ $$\dot{q_i}$$ और $$\dot{p_i}$$ निरूपित $$\frac{dq_i}{dt}$$ और $$\frac{dp_i}{dt}$$ क्रमशः, और हमने केवल पदों को रैखिक रखा है $$\delta t$$. इसे हमारे अतिसूक्ष्म हाइपरक्यूब तक विस्तारित करना $$\mathrm{d}\Gamma$$, साइड की लंबाई इस प्रकार बदलती है


 * $$\begin{cases}

dq_i' = dq_i + \frac{\partial\dot{q_i}}{\partial q_i}dq_i\delta t,\\ dp_i' = dp_i + \frac{\partial\dot{p_i}}{\partial p_i}dp_i\delta t. \end{cases}$$ नए अनंत-सूक्ष्म चरण-अंतरिक्ष आयतन को खोजने के लिए $$\mathrm{d}\Gamma'$$, हमें उपरोक्त मात्रा के उत्पाद की आवश्यकता है। पहले ऑर्डर करने के लिए $$\delta t$$, हमें निम्नलिखित मिलता है:


 * $$dq_i'dp_i' = dq_idp_i\left[1 + \left( \frac{\partial\dot{q_i}}{\partial q_i} + \frac{\partial\dot{p_i}}{\partial p_i}\right) \delta t\right].$$

अभी तक, हमें अपने सिस्टम के बारे में कोई विशिष्टताएँ नहीं बनानी हैं। आइए अब हम इस मामले में विशेषज्ञ बनें $$N$$ $$3$$-आयामी आइसोट्रोपिक हार्मोनिक ऑसिलेटर। अर्थात्, हमारे समूह के प्रत्येक कण को ​​एक सरल हार्मोनिक थरथरानवाला के रूप में माना जा सकता है। इस प्रणाली के लिए हैमिल्टनियन द्वारा दिया गया है


 * $$H = \displaystyle\sum_{i = 1}^{3N}\left(\frac{1}{2m}p_i^2 + \frac{m\omega^2}{2}q_i^2\right).$$

उपरोक्त हैमिल्टनियन के साथ हैमिल्टन के समीकरणों का उपयोग करके हम पाते हैं कि उपरोक्त कोष्ठक में शब्द समान रूप से शून्य है, इस प्रकार परिणाम मिलता है


 * $$dq_i'dp_i' = dq_idp_i.$$

इससे हम चरण स्थान का असीम आयतन ज्ञात कर सकते हैं:


 * $$\mathrm{d}\Gamma' = \displaystyle\prod_{i=1}^N d^3q_i'd^3p_i' = \prod_{i=1}^N d^3q_id^3p_i = \mathrm{d}\Gamma.$$

इस प्रकार हमने अंततः पाया है कि अनंत चरण-स्थान की मात्रा अपरिवर्तित है, उपज दे रही है


 * $$\rho(\Gamma', t + \delta t) = \frac{\mathrm{d}\mathcal{N}}{\mathrm{d}\Gamma'} =  \frac{\mathrm{d}\mathcal{N}}{\mathrm{d}\Gamma} = \rho(\Gamma, t),$$

यह दर्शाता है कि लिउविले का प्रमेय इस प्रणाली के लिए मान्य है। सवाल यह है कि चरण-स्थान की मात्रा वास्तव में समय के साथ कैसे विकसित होती है। ऊपर हमने दिखाया है कि कुल आयतन संरक्षित है, लेकिन यह कैसा दिखता है इसके बारे में कुछ नहीं कहा। एक एकल कण के लिए हम देख सकते हैं कि चरण स्थान में इसका प्रक्षेपवक्र स्थिरांक के दीर्घवृत्त द्वारा दिया गया है $$H$$. स्पष्ट रूप से, कोई सिस्टम के लिए हैमिल्टन के समीकरणों को हल कर सकता है और पा सकता है


 * $$\begin{align}

q_i(t) &= Q_i\cos{\omega t} + \frac{P_i}{m\omega}\sin{\omega t},\\ p_i(t) &= P_i\cos{\omega t} - m\omega Q_i\sin{\omega t}, \end{align}$$ कहाँ $$Q_i$$ और $$P_i$$ की प्रारंभिक स्थिति और संवेग को निरूपित करें $$i$$-वाँ कण. एकाधिक कणों की एक प्रणाली के लिए, प्रत्येक के पास एक चरण-स्थान प्रक्षेपवक्र होगा जो कण की ऊर्जा के अनुरूप एक दीर्घवृत्त का पता लगाता है। वह आवृत्ति जिस पर दीर्घवृत्त का पता लगाया जाता है, द्वारा दी गई है $$\omega$$ हैमिल्टनियन में, ऊर्जा में किसी भी अंतर से स्वतंत्र। परिणामस्वरूप, चरण स्थान का एक क्षेत्र बस बिंदु के चारों ओर घूमेगा $$(\mathbf{q}, \mathbf{p}) = (0, 0)$$ आवृत्ति पर निर्भर के साथ $$\omega$$. इसे उपरोक्त एनीमेशन में देखा जा सकता है।

नम हार्मोनिक थरथरानवाला
लिउविले के प्रमेय की मूलभूत धारणाओं में से एक यह है कि प्रणाली ऊर्जा के संरक्षण का पालन करती है। चरण स्थान के संदर्भ में, यह कहना है $$\rho$$ स्थिर ऊर्जा की चरण-अंतरिक्ष सतहों पर स्थिर है $$E$$. यदि हम एक ऐसी प्रणाली पर विचार करके इस आवश्यकता को तोड़ते हैं जिसमें ऊर्जा संरक्षित नहीं है, तो हम पाते हैं $$\rho$$ स्थिर रहने में भी विफल रहता है।

इसके उदाहरण के रूप में, की प्रणाली पर फिर से विचार करें $$N$$ एक में प्रत्येक कण $$3$$-आयामी आइसोट्रोपिक हार्मोनिक क्षमता, हैमिल्टनियन जिसके लिए पिछले उदाहरण में दिया गया है। इस बार, हम यह शर्त जोड़ते हैं कि प्रत्येक कण एक घर्षण बल का अनुभव करता है। चूँकि यह एक गैर-रूढ़िवादी बल है, हमें हैमिल्टन के समीकरणों को इस प्रकार विस्तारित करने की आवश्यकता है


 * $$\begin{align}

\dot{q_i} &= \frac{\partial H}{\partial p_i},\\ \dot{p_i} &= -\frac{\partial H}{\partial q_i} - \gamma p_i, \end{align}$$ कहाँ $$\gamma$$ घर्षण की मात्रा निर्धारित करने वाला एक सकारात्मक स्थिरांक है। अनडैम्प्ड हार्मोनिक ऑसिलेटर केस के समान प्रक्रिया का पालन करते हुए, हम फिर से पहुँचते हैं


 * $$dq_i'dp_i' = dq_idp_i\left[1 + \left( \frac{\partial\dot{q_i}}{\partial q_i} + \frac{\partial\dot{p_i}}{\partial p_i}\right) \delta t\right].$$

हमारे संशोधित हैमिल्टन के समीकरणों को जोड़ने पर, हम पाते हैं


 * $$\begin{align}

dq_i'dp_i' &= dq_idp_i\left[1 + \left( \frac{\partial^2 H}{\partial q_i\partial p_i} - \frac{\partial^2 H}{\partial p_i\partial q_i} - \gamma\right) \delta t\right],\\ &= dq_idp_i\left[1 -\gamma \delta t\right]. \end{align}$$ हमारे नए अतिसूक्ष्म चरण अंतरिक्ष आयतन की गणना करना, और केवल प्रथम क्रम को अंदर रखना $$\delta t$$ हमें निम्नलिखित परिणाम मिलता है:


 * $$\mathrm{d}\Gamma' = \displaystyle\prod_{i=1}^N d^3q_i'd^3p_i' = \left[1-\gamma\delta t\right]^{3N}\prod_{i=1}^N d^3q_id^3p_i = \mathrm{d}\Gamma\left[1-3N\gamma\delta t\right].$$

हमने पाया है कि अनंतिम चरण-स्थान की मात्रा अब स्थिर नहीं है, और इस प्रकार चरण-स्थान घनत्व संरक्षित नहीं है। जैसा कि समय बढ़ने के साथ समीकरण से देखा जा सकता है, हम उम्मीद करते हैं कि हमारे चरण-स्थान की मात्रा शून्य हो जाएगी क्योंकि घर्षण प्रणाली को प्रभावित करता है।

जहां तक ​​यह बात है कि चरण-अंतरिक्ष का आयतन समय के साथ कैसे विकसित होता है, हमारे पास अभी भी निरंतर घूर्णन होगा जैसा कि अविभाजित मामले में होता है। हालाँकि, अवमंदन प्रत्येक दीर्घवृत्त की त्रिज्या में लगातार कमी लाएगा। फिर से हम स्पष्ट रूप से हैमिल्टन के समीकरणों का उपयोग करके प्रक्षेप पथों को हल कर सकते हैं, ऊपर दिए गए संशोधित समीकरणों का उपयोग करने का ध्यान रखते हुए। दे $$\alpha \equiv \frac{\gamma}{2}$$ सुविधा के लिए, हम पाते हैं


 * $$\begin{align}

q_i(t) &= e^{-\alpha t}\left[Q_i\cos{\omega_1 t} + B_i\sin{\omega_1 t}\right] & &\omega_1 \equiv \sqrt{\omega^2 - \alpha^2},\\ p_i(t) &= e^{-\alpha t}\left[P_i\cos{\omega_1 t} - m(\omega_1 Q_i + 2\alpha B_i)\sin{\omega_1 t}\right] & &B_i \equiv \frac{1}{\omega_1}\left(\frac{P_i}{m} + 2\alpha Q_i\right), \end{align}$$ जहां मूल्य $$Q_i$$ और $$P_i$$ की प्रारंभिक स्थिति और संवेग को निरूपित करें $$i$$-वाँ कण. जैसे-जैसे सिस्टम विकसित होता है, कुल चरण-स्थान की मात्रा मूल की ओर बढ़ती जाएगी। इसे ऊपर चित्र में देखा जा सकता है।

टिप्पणियाँ

 * लिउविल समीकरण संतुलन और गैर-संतुलन दोनों प्रणालियों के लिए मान्य है। यह गैर-संतुलन सांख्यिकीय यांत्रिकी का एक मौलिक समीकरण है।
 * लिउविले समीकरण उतार-चढ़ाव प्रमेय के प्रमाण का अभिन्न अंग है जिससे थर्मोडायनामिक्स का दूसरा नियम प्राप्त किया जा सकता है। यह कतरनी चिपचिपाहट, थर्मल चालकता या विद्युत चालकता जैसे रैखिक परिवहन गुणांक के लिए ग्रीन-कुबो संबंधों की व्युत्पत्ति का प्रमुख घटक भी है।
 * वस्तुतः हैमिल्टनियन यांत्रिकी, उन्नत सांख्यिकीय यांत्रिकी, या सिंपलेक्टिक ज्यामिति पर कोई भी पाठ्यपुस्तक लिउविले प्रमेय प्राप्त करेगी।

यह भी देखें

 * बोल्ट्जमैन परिवहन समीकरण
 * प्रतिवर्ती संदर्भ प्रणाली प्रसार एल्गोरिथ्म (r-RESPA)