उन्नत z-परिवर्तन

गणित और सिग्नल प्रोसेसिंग में, उन्नत z-परिवर्तन एक z-ट्रांसफॉर्म का विस्तार है, जिसमें आदर्श विलंब को सम्मिलित किया जाता है जो प्रतिरूप दर के गुणक नहीं हैं। यह रूप धारण कर लेता है


 * $$F(z, m) = \sum_{k=0}^{\infty} f(k T + m)z^{-k}$$

जहाँ इसे संशोधित z-परिवर्तन के रूप में भी जाना जाता है। उन्नत z-ट्रांसफॉर्म को व्यापक रूप से लागू किया जाता है, उदाहरण के लिए डिजिटल नियंत्रण में प्रसंस्करण देरी को सटीक रूप से मॉडल करने के लिए।
 * T प्रतिरूप अवधि है
 * m (विलंब मापदंड) प्रतिरूप अवधि $$[0, T].$$ का अंश है

उदाहरण के लिए, डिजिटल नियंत्रण में प्रोसेसिंग देरी को सटीक रूप से मॉडल करने के लिए उन्नत z-ट्रांसफॉर्म को व्यापक रूप से प्रयुक्त किया जाता है।

गुण
यदि विलंब मापदंड, एम, को निश्चित माना जाता है तो ज़ेड-ट्रांसफ़ॉर्म के सभी गुण उन्नत ज़ेड-ट्रांसफ़ॉर्म के लिए मान्य होते हैं।

रैखिकता

 * $$\mathcal{Z} \left\{ \sum_{k=1}^{n} c_k f_k(t) \right\} = \sum_{k=1}^{n} c_k F_k(z, m).$$

समय परिवर्तन

 * $$\mathcal{Z} \left\{ u(t - n T)f(t - n T) \right\} = z^{-n} F(z, m).$$

डंपिंग

 * $$\mathcal{Z} \left\{ f(t) e^{-a\, t} \right\} = e^{-a\, m} F(e^{a\, T} z, m).$$

समय गुणन

 * $$\mathcal{Z} \left\{ t^y f(t) \right\} = \left(-T z \frac{d}{dz} + m \right)^y F(z, m).$$

अंतिम मान प्रमेय

 * $$\lim_{k \to \infty} f(k T + m) = \lim_{z \to 1} (1-z^{-1})F(z, m).$$

उदाहरण
निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें जहां $$f(t) = \cos(\omega t)$$:


 * $$\begin{align}

F(z, m) & = \mathcal{Z} \left\{ \cos \left(\omega \left(k T + m \right) \right) \right\} \\ & = \mathcal{Z} \left\{ \cos (\omega k T) \cos (\omega m) - \sin (\omega k T) \sin (\omega m) \right\} \\ & = \cos(\omega m) \mathcal{Z} \left\{ \cos (\omega k T) \right\} - \sin (\omega m) \mathcal{Z} \left\{ \sin (\omega k T) \right\} \\ & = \cos(\omega m) \frac{z \left(z - \cos (\omega T) \right)}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1} - \sin(\omega m) \frac{z \sin(\omega T)}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1} \\ & = \frac{z^2 \cos(\omega m) - z \cos(\omega(T - m))}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1}. \end{align}$$ यदि $$m=0$$ तब $$F(z, m)$$ परिवर्तन को कम करता है


 * $$F(z, 0) = \frac{z^2 - z \cos(\omega T)}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1},$$

जो स्पष्ट रूप से $$f(t)$$ का z-रूपांतरण है

==संदर्भ                                                                                                                                                                                                                                                                                      ==