आवश्यकता और पर्याप्तता

तर्क और गणित में, आवश्यकता और पर्याप्तता ऐसे शब्द हैं जिनका उपयोग दो कथनों (तर्क) के बीच भौतिक सशर्त या निहितार्थ संबंध का वर्णन करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, सशर्त वाक्य में: यदि $P$ तो $Q$, $Q$ $P$ के लिए आवश्यक है, क्योंकि $Q$ की सच्चाई $P$ की सच्चाई से गारंटीकृत (समतुल्य रूप से, $Q$ के बिना $P$ होना असंभव है) है। इसी प्रकार, $P$, $Q$ के लिए पर्याप्त है, क्योंकि $P$ के सत्य होने का अर्थ सदैव यह होता है कि $Q$ सत्य है, किन्तु $P$ के सत्य न होने का अर्थ सदैव यह नहीं होता कि $Q$ सत्य नहीं है।

सामान्यतः, एक आवश्यक शर्त वह होती है जो दूसरी स्थिति उत्पन्न होने के लिए उपस्थित होनी चाहिए, जबकि एक पर्याप्त स्थिति वह होती है जो उक्त स्थिति उत्पन्न करती है। यह अभिकथन कि कथन दूसरे की आवश्यक और पर्याप्त शर्त है, इसका अर्थ है कि पूर्व कथन सत्य है यदि और केवल यदि बाद वाला सत्य है। अर्थात्, दोनों कथन या तो साथ सत्य होने चाहिए, या साथ असत्य होने चाहिए।

साधारण अंग्रेजी में (प्राकृतिक भाषा भी) आवश्यक और पर्याप्त परिस्थितियों या स्थितियों की स्थिति के बीच संबंधों को निरुपित करता है, किन्तु कथनों को नहीं दर्शाता है। उदाहरण के लिए, भाई होने के लिए पुरुष होना आवश्यक शर्त है, किन्तु यह पर्याप्त नहीं है - जबकि भाई होने के लिए पुरुष भाई होना आवश्यक और पर्याप्त शर्त है।

किसी भी सशर्त कथन में कम से कम पर्याप्त शर्त और कम से कम आवश्यक शर्त होती है।

परिभाषाएँ
सशर्त कथन में, यदि S, तो N, S द्वारा प्रस्तुत अभिव्यक्ति को पूर्ववर्ती (तर्क) कहा जाता है, और N द्वारा प्रस्तुत अभिव्यक्ति को परिणामी कहा जाता है। यह सशर्त कथन कई समकक्ष विधियों से लिखा जा सकता है, जैसे N यदि S, S केवल यदि N, S N का तात्पर्य, N S द्वारा निहित है, $S → N$, $S ⇒ N$ और N जब भी S होता है।

N की उपरोक्त स्थिति में जब भी S, S को N के लिए 'आवश्यक' शर्त कहा जाता है। सामान्य भाषा में, यह कहने के बराबर है कि यदि सशर्त कथन सत्य कथन है, तो परिणामी N सत्य होना चाहिए- यदि S को सत्य (तुरंत नीचे सत्य तालिका का तीसरा स्तंभ देखें) होना है। दूसरे शब्दों में, N के सत्य होने के बिना पूर्ववर्ती S सत्य नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, यदि N, तो S की विपरीत स्थिति में, किसी को 'S'ocrates कहलाने के लिए, उसके लिए किसी का 'N'amed होना आवश्यक है। इसी प्रकार मनुष्य के जीने के लिए आवश्यक है कि उसके पास हवा हो।

कोई यह भी कह सकता है कि S, N के लिए 'पर्याप्त' स्थिति (तुरंत नीचे दी गई सत्य तालिका के तीसरे स्तंभ को फिर से देखें) है। यदि सशर्त कथन सत्य है, तो यदि S सत्य है, N सत्य होना चाहिए; जबकि यदि सशर्त कथन सत्य है और N सत्य है, तो S सत्य या असत्य हो सकता है। सामान्य शब्दों में, S की सत्यता, N की सत्यता की गारंटी देती है। उदाहरण के लिए, पिछले उदाहरण से आगे बढ़ते हुए, कोई कह सकता है कि यह जानना कि किसी को S  ame कहा जाता है, यह जानने के लिए पर्याप्त है कि किसी के पास N''ame है।

आवश्यक और पर्याप्त शर्त के लिए आवश्यक है कि दोनों निहितार्थ $$S \Rightarrow N$$ और $$N \Rightarrow S$$ (जिसके बाद वाले को $$S \Leftarrow N$$ के रूप में भी लिखा जा सकता है) धारण करें। पहला निहितार्थ बताता है कि S, N के लिए पर्याप्त स्थिति है, जबकि दूसरा निहितार्थ बताता है कि S, N के लिए आवश्यक स्थिति है। इसे S के रूप में व्यक्त किया जाता है, जो N के लिए आवश्यक और पर्याप्त है, S यदि और केवल यदि N, या $$S \Leftrightarrow N$$ के रूप में व्यक्त किया गया है।

आवश्यकता
P के लिए Q आवश्यक है कि P के बराबर बोलचाल की बात सही नहीं हो सकती है जब तक कि Q सत्य न हो या Q असत्य हो, तो P असत्य है। विरोधाभास से, यह वही बात है जैसे जब भी P सत्य होता है, तो Q भी होता है।

P और Q के बीच तार्किक संबंध को P, फिर Q के रूप में व्यक्त किया जाता है और P ⇒ Q (P तार्किक परिणाम Q) को निरूपित किया जाता है। इसे "P केवल यदि Q" "Q, यदि P" "Q जब भी P", और "Q जब P" के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, अधिकांश गणितीय गद्य में, कई आवश्यक शर्तों को साथ लिया जाता है, जो पर्याप्त स्थिति (अर्थात, व्यक्तिगत रूप से आवश्यक और संयुक्त रूप से पर्याप्त) का गठन करती हैं। ), जैसा कि उदाहरण 5 में दिखाया गया है।

उदाहरण 1: यह सत्य होने के लिए कि जॉन अविवाहित है, यह आवश्यक है कि यह भी सत्य हो कि वह अविवाहित है
 * अविवाहित,
 * नर,
 * वयस्क,
 * चूंकि जॉन के स्नातक होने का अर्थ है कि जॉन के पास उन तीन अतिरिक्त विधेय (गणितीय तर्क) में से प्रत्येक है।

उदाहरण 2: दो से बड़ी पूर्ण संख्याओं के लिए, अभाज्य होने के लिए विषम होना आवश्यक है, क्योंकि दो ही एकमात्र पूर्ण संख्या है जो सम और अभाज्य दोनों है।

उदाहरण 3: गड़गड़ाहट पर विचार करें, बिजली की वजह से होने वाली ध्वनि। का कहना है कि बिजली चमकने के लिए गड़गड़ाहट आवश्यक है, क्योंकि बिजली कभी भी बिना गरज के नहीं होती है। जब भी बिजली होती है, गड़गड़ाहट होती है। गड़गड़ाहट बिजली का कारण नहीं है (चूंकि बिजली गड़गड़ाहट का कारण बनती है), किन्तु क्योंकि बिजली सदैव गड़गड़ाहट के साथ आती है, हम कहते हैं कि बिजली चमकने के लिए गड़गड़ाहट आवश्यक है। (अर्थात्, इसके औपचारिक अर्थ में, आवश्यकता का अर्थ कार्य-कारण नहीं है।)

उदाहरण 4: अमेरिकी सीनेट में सेवा करने के लिए कम से कम 30 वर्ष का होना आवश्यक है। यदि आपकी आयु 30 वर्ष से कम है, तो आपके लिए सीनेटर बनना असंभव है। अर्थात्, यदि आप सीनेटर हैं, तो यह इस प्रकार है कि आपकी आयु कम से कम 30 वर्ष होनी चाहिए।


 * उदाहरण 5: बीजगणित में, एक समूह (गणित) बनाने के लिए एक बाइनरी ऑपरेशन $$\star$$ के साथ कुछ समूह (गणित) S के लिए, यह आवश्यक है कि $$\star$$ साहचर्य हो। यह भी आवश्यक है कि S में एक विशेष तत्व e सम्मिलित हो जैसे कि S में प्रत्येक x के लिए, यह स्थिति है कि e $$\star$$ x और x $$\star$$ e दोनों बराबर x हैं। यह भी आवश्यक है कि S में प्रत्येक x के लिए एक संबंधित तत्व x″ उपस्थित हो, जैसे कि x $$\star$$ x″ और x″ $$\star$$ x दोनों विशेष तत्व e के बराबर हों। इन तीन आवश्यक शर्तों में से कोई भी अपने आप में पर्याप्त नहीं है, लेकिन तीनों का संयोजन (तर्क) पर्याप्त है।

पर्याप्तता
यदि P, Q के लिए पर्याप्त है, तो P का सत्य होना यह निष्कर्ष निकालने के लिए पर्याप्त आधार है कि Q सत्य है; चूँकि, P को असत्य जानना यह निष्कर्ष निकालने की न्यूनतम आवश्यकता को पूरा नहीं करता है कि Q असत्य है।

तार्किक संबंध, पहले की तरह, P, फिर Q या P ⇒ Q के रूप में व्यक्त किया गया है। इसे P के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है यदि Q, P का अर्थ Q या कई अन्य संस्करण हैं। यह स्थिति हो सकता है कि कई पर्याप्त शर्तें, जब साथ ली जाती हैं, तो आवश्यक शर्त (अर्थात, व्यक्तिगत रूप से पर्याप्त और संयुक्त रूप से आवश्यक) का गठन होता है, जैसा कि उदाहरण 5 में दिखाया गया है।

उदाहरण 1: जॉन राजा है जिसका अर्थ है कि जॉन पुरुष है। इसलिए यह जानना कि यूहन्ना राजा है, यह जानने के लिए पर्याप्त है कि वह पुरुष है।

उदाहरण 2: किसी संख्या का 4 से विभाज्य होना उसके सम होने के लिए पर्याप्त (किन्तु आवश्यक नहीं) है, किन्तु 2 से विभाज्य होना उसके सम होने के लिए पर्याप्त और आवश्यक दोनों है।

उदाहरण 3: गड़गड़ाहट की घटना इस अर्थ में बिजली की घटना के लिए पर्याप्त स्थिति है कि गड़गड़ाहट सुनना, और स्पष्ट रूप से इसे इस तरह पहचानना, यह निष्कर्ष निकालना उचित ठहराता है कि बिजली का बोल्ट हुआ है।

उदाहरण 4: यदि अमेरिकी कांग्रेस विधेयक पारित करती है, तो विधेयक पर राष्ट्रपति के हस्ताक्षर इसे कानून बनाने के लिए पर्याप्त हैं। ध्यान दें कि जिस मामले में राष्ट्रपति ने बिल पर हस्ताक्षर नहीं किए, उदाहरण के लिये राष्ट्रपति के वीटो का प्रयोग करके, इसका अर्थ यह नहीं है कि बिल कानून (उदाहरण के लिए, यह अभी भी कांग्रेस के वीटो ओवरराइड के माध्यम से कानून बन सकता है) नहीं बन गया है।


 * उदाहरण 5: ताश के केंद्र को बड़ी कुदाल (♠) से चिह्नित किया जाना चाहिए, ताश के इक्का होने के लिए पर्याप्त है। तीन अन्य पर्याप्त शर्तें हैं कि कार्ड के केंद्र को हीरे (♦), दिल (♥), या क्लब (♣) के साथ चिह्नित किया जाए। कार्ड के इक्का होने के लिए इन शर्तों में से कोई भी आवश्यक नहीं है, किन्तु उनका वियोग है, क्योंकि कोई भी कार्ड इन शर्तों में से कम से कम (वास्तव में, बिल्कुल) को पूरा किए बिना इक्का नहीं हो सकता है।

आवश्यकता और पर्याप्तता के बीच संबंध
शर्त दूसरे के बिना या तो आवश्यक या पर्याप्त हो सकती है। उदाहरण के लिए, स्तनपायी (N) होना आवश्यक है, किन्तु मानव (S) होने के लिए पर्याप्त नहीं है, और वह संख्या है $$x$$ तर्कसंगत (S) पर्याप्त है किन्तु $$x$$ के वास्तविक संख्या (N) होने के लिए आवश्यक (चूँकि ऐसी वास्तविक संख्याएँ हैं जो परिमेय नहीं हैं) नही है।

शर्त आवश्यक और पर्याप्त दोनों हो सकती है। उदाहरण के लिए, वर्तमान में, आज चौथा जुलाई आवश्यक और पर्याप्त शर्त है, आज के लिए संयुक्त राज्य अमेरिका में स्वतंत्रता दिवस (संयुक्त राज्य अमेरिका) है। इसी प्रकार, मैट्रिक्स (गणित) एम के व्युत्क्रम मैट्रिक्स के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि एम में शून्येतर निर्धारक है।

गणितीय रूप से बोलना, आवश्यकता और पर्याप्तता दूसरे के लिए द्वैत (गणित) हैं। किसी भी कथन S और N के लिए, यह दावा कि S के लिए N आवश्यक है, इस कथन के बराबर है कि S, N के लिए पर्याप्त है। इस द्वैत का अन्य पहलू यह है कि, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, आवश्यक शर्तों के संयोजन (उपयोग और ) पर्याप्तता प्राप्त कर सकते हैं, जबकि पर्याप्त शर्तों के संयोजन (उपयोग या ) आवश्यकता प्राप्त कर सकते हैं। तीसरे पहलू के लिए, प्रत्येक गणितीय विधेय (गणित) N को वस्तुओं, घटनाओं, या कथनों के सबसेट T(N) के साथ पहचानें जिसके लिए N सत्य है; तब S के लिए N की आवश्यकता पर जोर देना यह दावा करने के बराबर है कि T(N) T(S) का सुपरसेट है, जबकि N के लिए S की पर्याप्तता पर जोर देना यह दावा करने के बराबर है कि T(S) T(N) का एक उपसमुच्चय है।

मनोवैज्ञानिक रूप से बोलना, आवश्यकता और पर्याप्तता दोनों अवधारणाओं के शास्त्रीय दृष्टिकोण के प्रमुख पहलू हैं। अवधारणाओं के शास्त्रीय सिद्धांत के तहत, कैसे मानव मन श्रेणी X का प्रतिनिधित्व करता है, व्यक्तिगत रूप से आवश्यक शर्तों के समूह को जन्म देता है जो X को परिभाषित करता है। साथ में, ये व्यक्तिगत रूप से आवश्यक शर्तें X होने के लिए पर्याप्त हैं। यह अवधारणाओं के संभाव्य सिद्धांत के विपरीत है, जिसमें कहा गया है कि कोई परिभाषित विशेषता आवश्यक या पर्याप्त नहीं है, किन्तु यह कि श्रेणियां परिवार के पेड़ की संरचना के समान हैं।

साथ आवश्यकता और पर्याप्तता
यह कहना कि P, Q के लिए आवश्यक और पर्याप्त है, दो बातें कहना है:
 * 1) वह P, Q, $$P \Leftarrow Q$$ के लिए आवश्यक है, और वह P, $$P \Rightarrow Q$$ के लिए पर्याप्त है।
 * 2) समान रूप से, यह कहना समझा जा सकता है कि P और Q दूसरे $$P \Rightarrow Q \land Q \Rightarrow P$$ के लिए आवश्यक हैं, जिसे यह भी कहा जा सकता है कि प्रत्येक दूसरे के लिए पर्याप्त है या इसका तात्पर्य है।

इन स्थितियों में से कोई भी और इस प्रकार सभी को "P यदि और केवल यदि Q" कथन द्वारा सारांशित किया जा सकता है, जिसे $$P \Leftrightarrow Q$$ द्वारा दर्शाया गया है, जबकि मामले हमें बताते हैं कि $$P \Leftrightarrow Q$$ $$P \Rightarrow Q \land Q \Rightarrow P$$ के समान है

उदाहरण के लिए, ग्राफ़ सिद्धांत में ग्राफ़ G को द्विदलीय ग्राफ़ कहा जाता है यदि इसके प्रत्येक कोने को काले या सफेद रंग को इस तरह से निर्दिष्ट करना संभव है कि G के प्रत्येक किनारे पर प्रत्येक रंग का अंत बिंदु हो। और किसी भी ग्राफ़ के द्विदलीय होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त शर्त है कि इसमें कोई विषम-लंबाई चक्र (ग्राफ़ सिद्धांत) नहीं है। इस प्रकार, यह पता लगाना कि किसी ग्राफ में कोई विषम चक्र है या नहीं, यह बताता है कि क्या यह द्विदलीय है और इसके विपरीत है। एक दार्शनिक इस स्थिति को इस प्रकार चित्रित कर सकता है: चूँकि विषम चक्रों की द्विदलीयता और अनुपस्थिति की अवधारणाएँ तीव्रता में भिन्न होती हैं, लेकिन उनका समान विस्तार (शब्दार्थ) होता है।

गणित में, प्रमेयों को अधिकांश इस रूप में कहा जाता है कि P सत्य है यदि और केवल यदि Q सत्य है।

क्योंकि, जैसा कि पिछले खंड में बताया गया है, के लिए दूसरे की आवश्यकता पहले वाले के लिए दूसरे की पर्याप्तता के बराबर है, उदा। $$P \Leftarrow Q$$ तार्किक समानता है $$Q \Rightarrow P$$, यदि P, Q के लिए आवश्यक और पर्याप्त है, तो Q, P के लिए आवश्यक और पर्याप्त है। हम इसे $$P \Leftrightarrow Q \equiv Q \Leftrightarrow P$$ लिख सकते हैं और कहते हैं कि कथन P सत्य है यदि और केवल यदि Q, सत्य है और Q सत्य है यदि और केवल यदि P सत्य है तो समतुल्य हैं।

यह भी देखें
• परिणाम की पुष्टि

• आवश्यकता और पर्याप्तता के जैविक परीक्षण

• कारण संबंध

• बंद अवधारणा

• पूर्ववर्ती को नकारना

• यदि और केवल यदि

• भौतिक निहितार्थ (बहुविकल्पी)

• पर्याप्त कारण का सिद्धांत

• वासन चयन कार्य

• एक वैध, सरल तर्क और निष्कर्ष के नियम के रूप

• मोडस टोलेंस

बाहरी संबंध

 * Critical thinking web tutorial: Necessary and Sufficient Conditions
 * Simon Fraser University: Concepts with examples