समूहों के उदाहरण

गणित में समुच्चयों के कुछ प्रारंभिक उदाहरण समुच्चय (गणित) पर दिए गए हैं। इसके आगे के उदाहरण यहां सूचीबद्ध किए गए हैं।

तीन तत्वों के समुच्चय का क्रमपरिवर्तन


तीन रंगीन ब्लॉक वाले लाल, हरे और नीले रंग पर विचार करें, जिन्हें प्रारंभ में RGB क्रम में रखा गया था। मान लीजिए a ऐसी प्रक्रिया है, जहाँ पहले ब्लॉक और दूसरे ब्लॉक को स्वैप किया जाता हैं, और b ऐसी प्रक्रिया है जिसके लिए दूसरे ब्लॉक और तीसरे ब्लॉक को स्वैप करते हैं।

हम इस प्रकार की प्रक्रिया के लिए xy लिख सकते हैं, जहाँ पहले y का उपयोग किया जाता हैं इसके पश्चात x का उपयोग करते हैं, जिससे कि ab प्रक्रिया RGB → RBG → BRG के समान रहती हैं, जिसे इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है कि पहले दो ब्लॉकों को स्थिति दाईं ओर ले जाएं और तीसरे ब्लॉक को पहली स्थिति में रखें जाते हैं। यदि हम ब्लॉकों को वैसे ही छोड़ने के लिए E लिखते हैं, जैसे आइडेंटिटी एलिमेंट प्रक्रिया के रूप में उपयोग करते हैं, तो हम तीन ब्लॉकों के छह क्रम परिवर्तन को इस प्रकार लिख सकते हैं:


 * E : RGB → RGB
 * A : RGB → GRB
 * B : RGB → RBG
 * AB : RGB → BRG
 * BA: RGB → GBR
 * ABA : RGB → BGR

ध्यान दें कि यहाँ पर aa का प्रभाव RGB → GRB → RGB के समान रहता है, तो हम aa = e लिख सकते हैं। इसी प्रकार, bb = (aba)(aba) = e, (ab)(ba) = (ba)(ab) = e, इसलिए प्रत्येक तत्व का व्युत्क्रम तत्व होता है।

निरीक्षण द्वारा हम साहचर्यता और समापन (गणित) निर्धारित कर सकते हैं, यहाँ पर विशेष रूप से ध्यान दें कि (ba)b = bab = b(ab) के समान होता हैं।

चूँकि यह मौलिक संक्रियाओं a और b से बना है, इसलिए हम कहते हैं कि समुच्चय {a, b} इस समुच्चय का समुच्चय उत्पन्न करता है। समुच्चय को सममित समुच्चय S3 कहा जाता है, जिसका क्रम (समुच्चय सिद्धांत) 6 है, और यह गैर-एबेलियन समुच्चय है। इस कारण गैर-एबेलियन का मान इस प्रकार हैं, क्योंकि उदाहरण के लिए, ab ≠ ba का समान हैं।

समतल के अनुवादों का समुच्चय
यूक्लिडियन समतल का अनुवाद निश्चित दिशा में निश्चित दूरी के लिए समतल के प्रत्येक बिंदु की कठोर गति है। उदाहरण के लिए उत्तर-पूर्व दिशा में 2 मील तक चलना समतल का अनुवाद है। a और b जैसे दो अनुवाद नये अनुवाद को a ∘ b बनाने के लिए फलन संरचना का उपयोग इस प्रकार कर सकते हैं: इस प्रकार पहले b के प्राप्त परिमाणों का पालन करते हैं, इसके बाद पुनः a का का उपयोग किया जाता हैं। उदाहरण के लिए, यदि
 * a = 3 मील उत्तर-पूर्व की ओर बढ़ते हैं।

और
 * b = 4 मील तक दक्षिण-पूर्व की ओर बढ़ते हैं।

इसके पश्चात
 * a ∘ b = 5 मील के लिए 8.13° बेयरिंग की ओर बढ़ें (बेयरिंग को वामावर्त और पूर्व से मापा जाता है)

या यदि
 * a = 3 मील के लिए 36.87° बेयरिंग की ओर बढ़ें (बेयरिंग को वामावर्त और पूर्व से मापा जाता है)

और
 * b = 4 मील के लिए 306.87° बियरिंग की ओर बढ़ें (बियरिंग को वामावर्त और पूर्व से मापा जाता है)

तब
 * a ∘ b = 5 मील पूर्व की ओर बढ़ते हैं।

(ज्यामितीय रूप से ऐसा क्यों है, इसके लिए पाइथागोरस प्रमेय देखें)।

प्रक्रिया के रूप में संरचना के साथ समतल के सभी अनुवादों का समुच्चय समुच्चय बनाता है:


 * 1) यदि a और b अनुवाद हैं, तो a ∘ b भी अनुवाद है।
 * 2) अनुवादों की संरचना साहचर्य (a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c) है।
 * 3) इस समुच्चय के लिए आइडेंटिटी एलिमेंट नुस्खे के साथ किसी भी दिशा में शून्य मील की दूरी पर अनुवाद है।
 * 4) अनुवाद का व्युत्क्रम समान दूरी तक विपरीत दिशा में चलकर दिया जाता है।

यह एबेलियन समुच्चय है और लाई समुच्चय का हमारा पहला (अविच्छिन्न) उदाहरण है: समुच्चय जो कई गुना भी है।

एक वर्ग की समरूपता समुच्चय: क्रम 8 का डायहेड्रल समुच्चय
वस्तुओं की समरूपता का वर्णन करने के लिए समुच्चय बहुत महत्वपूर्ण हैं, चाहे वे ज्यामिति ( चतुर्पाश्वीय की तरह) या बीजगणितीय समीकरणों के समुच्चय के समान रहता हैं। उदाहरण के रूप में हम निश्चित मोटाई के कांच के वर्ग पर विचार करते हैं जिस पर अलग-अलग स्थितियों को अलग-अलग दिखाने के लिए उस पर अक्षर F लिखा होता है।

इसकी समरूपता का वर्णन करने के लिए, हम वर्ग के उन सभी कठोर सिद्धांतों का समुच्चय बनाते हैं, जो F को छोड़कर कोई दृश्य अंतर नहीं बनाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि कोई वस्तु 90° दक्षिणावर्त घूमती है तब भी वैसी ही दिखती है, तो गति समुच्चय का तत्व है, उदाहरण के लिए a इसका प्रमुख उदाहरण हैं।

हम इसे ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर भी पलट सकते हैं, जिससे कि इसकी निचली सतह इसकी ऊपरी सतह बन जाए, जबकि बायां किनारा दायां किनारा बन जाते हैं। इस प्रकार पुनः इस क्रिया को करने के बाद, कांच का वर्ग वैसा ही दिखता है, इसलिए यह भी हमारे समुच्चय का तत्व है और हम इसे b कहते हैं। वह गति जो कुछ नहीं करती उसे e से दर्शाया जाता है।

ऐसे दो सिद्धांतो x और y को देखते हुए, संरचना x ∘ y को ऊपर बताए अनुसार परिभाषित करना संभव है: पहले सिद्धांत y किया जाता है, उसके बाद सिद्धांत x किया जाता है।जिसके परिणाम स्वरूप स्लैब पहले जैसा दिखने लगता हैं।

इसका प्रमाण यह है कि उन सभी सिद्धांतो का समुच्चय, संचालन के रूप में संरचना के साथ, समुच्चय बनाता है। यह समुच्चय वर्ग की समरूपता का सबसे संक्षिप्त विवरण है। इस प्रकार रसायनज्ञ क्रिस्टल और अणुओं की समरूपता का वर्णन करने के लिए इस प्रकार के समरूपता समुच्चयों का उपयोग करते हैं।

समुच्चय बनाना
आइए हमारे वर्ग के समरूपता समुच्चय की कुछ और जाँच करें। अभी, हमारे पास ए, b और E तत्व हैं, अपितु हम साधारण रूप से और अधिक तत्व बना सकते हैं:

उदाहरण के लिए a ∘ a, जिसे a2 भी लिखा जाता है, इस प्रकार 180° डिग्री का घुमान है।

a3270° दक्षिणावर्त घुमाव (या 90° वामावर्त घुमाव) है।

हम यह भी देखते हैं कि b2=e और a4 =e के समान हैं।

यहाँ दिलचस्प बात है: a ∘ b क्या करता है?

पहले क्षैतिज रूप से पलटें, फिर घुमाते हैं।

कल्पना करने का प्रयास करें कि a ∘ b = b ∘ a3 हैं।

यह भी a2 ∘ b ऊर्ध्वाधर फ्लिप है और b ∘ a2 के बराबर है।

हम कहते हैं कि तत्व a और b समुच्चय का समुच्चय उत्पन्न करते हैं।

क्रम 8 के इस समुच्चय में निम्नलिखित केली सूची है:

समुच्चय में किन्हीं दो तत्वों के लिए इस सूची को रिकॉर्ड करती है कि उनकी संरचना क्या है। यहां हमने लिखा है b3 a, a3 ∘ b के लिए आशुलिपि के रूप में होती हैं।

गणित में इस समुच्चय को क्रम 8 के 'डायहेड्रल समुच्चय' के रूप में जाना जाता है, और इसे या तो d4, d4 या d8 कहा जाता है, यह इस सम्मेलन पर निर्भर करता है। यह गैर-एबेलियन समुच्चय का उदाहरण था: यहां प्रक्रिया ∘ क्रमविनिमेय नहीं है, जिसे इस सूची से देखा जा सकता है, सूची मुख्य विकर्ण के प्रति सममित नहीं है।



सामान्य उपमुच्चय
केली सूची के इस संस्करण से पता चलता है कि इस समुच्चय में लाल पृष्ठभूमि के साथ दिखाया गया सामान्य उपसमुच्चय है। इस सूची में r का अर्थ घूर्णन है, और f का अर्थ फ़्लिप है। क्योंकि उपसमुच्चय सामान्य है, बायां उपसमुच्चय दाएँ उपसमुच्चय के समान है।


 * {| class="wikitable" style="float:left; text-align:center; margin:.5em 0 .5em 1em; width:40ex; height:40ex;"

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 * }
 * }

दो जेनरेटर पर निःशुल्क समुच्चय
दो जनरेटर a और b वाले मुक्त समुच्चय में सभी परिमित स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान)/शब्द सम्मिलित हैं जिन्हें चार प्रतीकों a, a−1, b और b−1 से बनाया जा सकता है। इसका मान इस प्रकार हैं कि कोई भी a सीधे a−1 के बगल में नहीं दिखता है, और कोई भी b सीधे a b−1 के बगल में नहीं दिखता है,

ऐसी दो स्ट्रिंग्स को संयोजित किया जा सकता है और निषिद्ध सबस्ट्रिंग्स को रिक्त स्ट्रिंग के साथ बार-बार प्रतिस्थापित करके इस प्रकार की स्ट्रिंग में परिवर्तित किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए: abab−1a−1 के साथ संघटित होती हैं। abab−1a से abab−1a−1abab−1a निकलता है, जो घटकर abab−1a हो जाता है। कोई यह जांच सकता है कि इस प्रक्रिया के साथ उन स्ट्रिंग्स का समुच्चय रिक्त स्ट्रिंग के साथ समुच्चय बनाता है, जहां पर ε := आइडेंटिटी एलिमेंट है, (सामान्यतः उद्धरण चिह्न छोड़ दिए जाते हैं, यही कारण है कि प्रतीक ε की आवश्यकता होती है)।

यह और अनंत गैर-एबेलियन समुच्चय है।

बीजगणितीय टोपोलॉजी में मुक्त समुच्चय महत्वपूर्ण हैं, दो जनरेटरों में मुक्त समुच्चय का उपयोग बानाच-टार्स्की विरोधाभास के गणितीय प्रमाण के लिए भी किया जाता है।

एक समुच्चय से समुच्चय तक मानचित्रों का समुच्चय
माना G समुच्चय है और S समुच्चय है। इस प्रकार मानचित्रों का समुच्चय m(s,g) स्वयं समुच्चय है, अर्थात् दो मानचित्रों f, g के S से G के लिए हम fg को इस प्रकार मानचित्र के रूप में परिभाषित करते हैं कि S और f में प्रत्येक x के लिए (fg)(x)=f(x)g(x)−1 जिसके आधार पर मानचित्र इस प्रकार होना चाहिए कि f−1(x)=f(x)−1 के समान हो।

m(s, g) में मानचित्र f, g और h का मान उपयोग करते हैं।

S में प्रत्येक x के लिए, f(x) और g(x) दोनों G में हैं, और (fg)(x) भी ऐसा ही है।

इसलिए, fg भी M(S, G) में है, अर्ताथ M(S, G) संवृत रहता है।

M(S,G) साहचर्य है क्योंकि ((fg)h)(x)=(fg)(x)h(x)=(f(x)g(x))h(x)=f(x)( g(x)h(x)) = f(x)(gh)(x) = (f(gh))(x) और मानचित्र i इस प्रकार है कि i(x)=e जहां e, G का आइडेंटिटी एलिमेंट है।

मानचित्र i ऐसा है जो M(S,G) में सभी f के लिए हमारे पास, इस प्रकार fi = if = f, अर्थात i, M(S,G) का आइडेंटिटी एलिमेंट है। इस प्रकार, m(s,g) वास्तव में समुच्चय है।

यदि G एबेलियन है तो (fg)(x) = f(x)g(x) = g(x)f(x) = (gf)(x), और इसलिए M(S,G) भी ऐसा ही है।

क्रमपरिवर्तन के समुच्चय
मान लीजिए कि G अपने आप में समुच्चय S की विशेषण मानचित्रण का समुच्चय है। फिर जी मैपिंग की सामान्य फलन संरचना के तहत समुच्चय बनाता है। इस समुच्चय को 'सममित समुच्चय' कहा जाता है, और इसे आमतौर पर दर्शाया जाता है, इस प्रकार $$\operatorname{Sym}(S)$$, SS, या $$\mathfrak{S}_{S}$$. G का आइडेंटिटी एलिमेंट S का आइडेंटिटी मानचित्र है। दो मानचित्रों के लिए G में f, g विशेषण हैं, fg भी विशेषण है। इसलिए, G संवृत है। मानचित्रों की संरचना साहचर्यात्मक होती है, अतः G समुच्चय है। S या तो परिमित या अनंत समुच्चय हो सकता है।

आव्यूह समुच्चय
यदि n कुछ धनात्मक पूर्णांक है, तो हम वास्तविक संख्या घटकों के साथ सभी व्युत्क्रमणीय आव्यूह n बटा n आव्यूह (गणित) के समुच्चय पर विचार कर सकते हैं।

यह प्रक्रिया के रूप में आव्यूह गुणन वाला समुच्चय है। इसे 'सामान्य रैखिक समुच्चय' कहा जाता है और इसे GLn(r) या GL(n, r) कहा जाता है, जहांr वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। इस प्रकार ज्यामितीय रूप से, इसमें n-आयामी यूक्लिडियन स्थान के घूर्णन, प्रतिबिंब, प्रसार और विकर्ण पर आधारित परिवर्तनों के सभी संयोजन सम्मिलित रहते हैं, जो दिए गए बिंदु (मूल) को निश्चित बिंदु (गणित) देते हैं।

यदि हम स्वयं को सारणिक 1 वाले आव्यूहों तक सीमित रखते हैं, तो हमें अन्य समुच्चय, विशेष रैखिक समुच्चय, SLn(r) या SL(n,r) मिलता है।

ज्यामितीय रूप से, इसमें GLn(r) के सभी तत्व सम्मिलित हैं, जो यूक्लिडियन अंतरिक्ष में विभिन्न ज्यामितीय ठोस पदार्थों के अभिविन्यास और आयतन दोनों को संरक्षित करता है।

यदि इसके अतिरिक्त हम स्वयं को ऑर्थोगोनल आव्यूह तक सीमित रखते हैं, तो हमें ऑर्थोगोनल समुच्चय On(r) या O(n, r) मिलता है।

ज्यामितीय रूप से, इसमें घुमावों और प्रतिबिंबों के सभी संयोजन सम्मिलित होते हैं जो मूल को तय करते हैं। ये बिल्कुल वे परिवर्तन हैं जो लंबाई और कोणों को संरक्षित करते हैं।

अंत में, यदि हम दोनों प्रतिबंध लगाते हैं, तो हमें विशेष ऑर्थोगोनल समुच्चय SOn(r) या SO(n, r) मिलता है, जिसमें केवल घूर्णन सम्मिलित हैं।

ये समुच्चय अनंत गैर-एबेलियन समुच्चयों के हमारे पहले उदाहरण हैं। वे असत्य समुच्चय भी होते हैं। वास्तव में, अधिकांश महत्वपूर्ण असत्य समुच्चयों अपितु सभी नहीं होते हैं, इसको आव्यूह समुच्चय के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

यदि इस विचार को प्रविष्टियों के रूप में जटिल संख्याओं वाले आव्यूहों के लिए सामान्यीकृत किया जाता है, तो हमें और भी उपयोगी असत्य समुच्चय मिलते हैं, जैसे कि एकात्मक समुच्चय U(n) इसका प्रमुख उदाहरण हैं।

हम चतुर्भुज वाले आव्यूहों को भी प्रविष्टियों के रूप में मान सकते हैं, इस स्थिति में, निर्धारक की कोई अच्छी तरह से परिभाषित धारणा नहीं है, और इस प्रकार चतुर्धातुक आयतन को परिभाषित करने का कोई अच्छा तरीका नहीं है, अपितु हम अभी भी ऑर्थोगोनल समुच्चय के अनुरूप समुच्चय को परिभाषित कर सकते हैं, इस प्रकार सहानुभूति समुच्चय SP(n ) हैं।

इसके अतिरिक्त, इस विचार को किसी भी क्षेत्र (गणित) पर आव्यूह के साथ पूरी तरह से बीजगणितीय रूप से व्यवहार किया जा सकता है, अपितु फिर समुच्चय असत्य समुच्चय नहीं हैं।

उदाहरण के लिए, हमारे पास परिमित क्षेत्रों पर सामान्य रैखिक समुच्चय हैं। समुच्चय सिद्धांतकार जे.एल. अल्पेरिन ने लिखा है कि परिमित समुच्चय का विशिष्ट उदाहरण GL (n, q) है, जो q के साथ क्षेत्र पर n आयामों का सामान्य रैखिक समुच्चय है। इस प्रकार इन तत्वों के लिए जिसे किसी छात्र को अन्य उदाहरणों से विषय से परिचित कराया जाता है, उसे प्रकार उन्हें इससे दूर किया जा रहा है।

यह भी देखें

 * समुच्चयों की सूची
 * 230 क्रिस्टलोग्राफिक 3डी अंतरिक्ष समुच्चयों की सूची