फ़िल्टरिंग समस्या (स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं)

स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के सिद्धांत में, फ़िल्टरिंग अपूर्ण और संभावित ध्वनि (सिग्नल प्रोसेसिंग) अवलोकनों के समुच्चय से सिस्टम की स्थिति (नियंत्रण) निर्धारित करने की समस्या का वर्णन करता है। जबकि मूल रूप से इंजीनियरिंग की समस्याओं से प्रेरित होकर, फ़िल्टरिंग को सिग्नल प्रोसेसिंग से लेकर वित्त तक कई क्षेत्रों में अनुप्रयोग मिला।

इष्टतम गैर-रैखिक फ़िल्टरिंग की समस्या (यहां तक ​​कि गैर-स्थिर स्तिथियाँ के लिए भी) रुस्लान एल. स्ट्रैटोनोविच (1959) द्वारा हल की गई थी। 1960 ), हेरोल्ड जे. कुशनर का काम भी देखें और मोशे ज़काई, जिन्होंने फ़िल्टर के असामान्य सशर्त नियम के लिए सरलीकृत गतिशीलता प्रस्तुत की ज़काई समीकरण के नाम से जाना जाता है। चूँकि, सामान्य स्तिथियाँ में समाधान अनंत-आयामी है। कुछ सन्निकटन और विशेष स्तिथियाँ अच्छी तरह से समझे जाते हैं: उदाहरण के लिए, रैखिक फ़िल्टर गॉसियन यादृच्छिक वेरिएबल के लिए इष्टतम हैं, और इन्हें विनीज़ फ़िल्टर और कलमन-बुसी फ़िल्टर के रूप में जाना जाता है। अधिक सामान्यतः, चूंकि समाधान अनंत आयामी है, इसलिए इसे सीमित मेमोरी वाले कंप्यूटर में प्रयुक्त करने के लिए सीमित आयामी सन्निकटन की आवश्यकता होती है। परिमित आयामी अनुमानित अरेखीय फ़िल्टर अनुमानों पर आधारित हो सकता है, जैसे कि विस्तारित कलमैन फ़िल्टर या अनुमानित घनत्व फ़िल्टर होते है तथा यह अधिक पद्धतिगत रूप से उन्मुख जैसे उदाहरण के लिए प्रोजेक्शन फ़िल्टर होते है, जिनमें से कुछ उप-वर्गों  को अनुमानित घनत्व फ़िल्टर के साथ मेल खाते हुए दिखाया गया है। कण फिल्टर अनंत आयामी फ़िल्टरिंग समस्या पर हमला करने के लिए अन्य विकल्प हैं और अनुक्रमिक मोंटे कार्लो विधियों पर आधारित हैं।

सामान्यतः, यदि पृथक्करण सिद्धांत प्रयुक्त होता है, तो इष्टतम नियंत्रण समस्या के समाधान के भागों के रूप में फ़िल्टरिंग भी उत्पन्न होती है। उदाहरण के लिए, कलमन फ़िल्टर रैखिक-द्विघात-गाऊसी नियंत्रण समस्या के इष्टतम नियंत्रण समाधान का अनुमान भाग होता है।

गणितीय औपचारिकता
इस प्रकार संभाव्यता स्थान (Ω, Σ, P) पर विचार करें और मान लें कि समय t पर ब्याज की प्रणाली के n-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष Rn में (यादृच्छिक) स्थिति Yt यादृच्छिक वेरिएबल Yt है: Ω → Rn के समाधान द्वारा दिया गया है यह इटो प्रपत्र का स्टोकेस्टिक विभेदक समीकरण है


 * $$\mathrm{d} Y_{t} = b(t, Y_{t}) \, \mathrm{d} t + \sigma (t, Y_{t}) \, \mathrm{d} B_{t},$$

जहां B मानक p-आयामी प्रकार कि गति को दर्शाता है, b : [0, +∞)×'R'n‍→'R'n बहाव क्षेत्र है, और σ : [0, +∞)×'R'n‍→'R'n×p प्रसार क्षेत्र है। यह माना जाता है कि Rm में अवलोकन Ht (ध्यान दें कि m और n, सामान्यतः, असमान हो सकते हैं) प्रत्येक समय t के अनुसार लिया जाता है


 * $$H_{t} = c(t, Y_{t}) + \gamma (t, Y_{t}) \cdot \mbox{noise}.$$

स्टोकेस्टिक अंतर और सेटिंग की इटो व्याख्या को स्वीकारना


 * $$ Z_{t} = \int_{0}^{t} H_{s} \, \mathrm{d} s,                                                                                                                               $$

यह प्रेक्षणों Zt के लिए निम्नलिखित स्टोकेस्टिक अभिन्न प्रतिनिधित्व देता है:


 * $$\mathrm{d} Z_{t} = c(t, Y_{t}) \, \mathrm{d} t + \gamma (t, Y_{t}) \, \mathrm{d} W_{t},                                               $$

जहां W मानक r-आयामी ब्राउनियन गति को दर्शाता है, जो B और प्रारंभिक स्थिति Y0 से स्वतंत्र है, और c : [0, +∞)×'R'n‍→'R'n और γ: [0, +∞) × 'R'n‍→'R'n×r को संतुष्ट करते है,


 * $$\big| c (t, x) \big| + \big| \gamma (t, x) \big| \leq C \big( 1 + | x | \big)                                                 $$

सभी t और x और कुछ स्थिरांक C के लिए।

'फ़िल्टरिंग समस्या' निम्नलिखित है: 0 ≤ s ≤ t के लिए दिए गए अवलोकन Zs, उन अवलोकनों के आधार पर प्रणाली कि वास्तविक अवस्था का Yt का सबसे अच्छा अनुमान क्या है ?

"उन अवलोकनों के आधार पर" यह अभिप्राय है कि Yt अवलोकन Zs, 0 ≤ s ≤ t के द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित Gt के संबंध में मापने योग्य है। सभी Rn -मूल्यवान यादृच्छिक वेरिएबल Y के संग्रह को K = K(Z, t) द्वारा निरूपित करें जो वर्ग-अभिन्न और Gt -मापने योग्य हैं:


 * $$K = K(Z, t) = L^{2} (\Omega, G_{t}, \mathbf{P}; \mathbf{R}^{n}).$$

सर्वोत्तम अनुमान से इसका तात्पर्य यह है कि Ŷt, Yt और K में सभी उम्मीदवार के बीच माध्य-वर्ग दूरी को न्यूनतम करता है :


 * $$\mathbf{E} \left[ \big| Y_{t} - \hat{Y}_{t} \big|^{2} \right] = \inf_{Y \in K} \mathbf{E} \left[ \big| Y_{t} - Y \big|^{2} \right]. \qquad \mbox{(M)}     $$

मूल परिणाम: ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण
उम्मीदवारों का स्थान K(Z,t) हिल्बर्ट स्थान है, और हिल्बर्ट रिक्त स्थान के सामान्य सिद्धांत का तात्पर्य है कि न्यूनतमकरण समस्या (M) का समाधान Ŷt द्वारा दी गई है


 * $$\hat{Y}_{t} = P_{K(Z, t)} \big( Y_{t} \big),$$

जहां PK(Z,t) रैखिक उपस्थान K(Z, t) = L2(Ω, Gt, P; Rn) पर L2(Ω, Σ, P; Rn)  के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण को दर्शाता है. इसके अतिरिक्त, सशर्त अपेक्षाओं के बारे में यह सामान्य तथ्य है कि यदि F Σ का कोई उप-σ-बीजगणित है तो ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण


 * $$P_{K} : L^{2} (\Omega, \Sigma, \mathbf{P}; \mathbf{R}^{n}) \to L^{2} (\Omega, F, \mathbf{P}; \mathbf{R}^{n})                                         $$

वास्तव में सशर्त अपेक्षा ऑपरेटर E[·|F] है, अर्थात ,


 * $$P_{K} (X) = \mathbf{E} \big[ X \big | F \big].$$

इस तरह,


 * $$\hat{Y}_{t} = P_{K(Z, t)} \big( Y_{t} \big) = \mathbf{E} \big[ Y_{t} \big | G_{t} \big].$$

यह प्रारंभिक परिणाम फ़िल्टरिंग सिद्धांत के सामान्य फुजिसाकी-कल्लियानपुर-कुनीता समीकरण का आधार है।

अधिक उन्नत परिणाम: नॉनलाइनियर फ़िल्टरिंग एसपीडीई
एक समय t पर फ़िल्टर का पूरा ज्ञान सिग्नल Y के संभाव्यता नियम द्वारा दिया जाएगाt सिग्मा-फ़ील्ड जी पर सशर्तt समय t तक प्रेक्षण Z द्वारा उत्पन्न। यदि यह संभाव्यता नियम अनौपचारिक रूप से घनत्व को स्वीकार करता है
 * $$ p_t(y)\ dy = {\bf P}(Y_t \in dy|G_t), $$

फिर कुछ नियमितता मान्यताओं के तहत घनत्व $$p_t(y)$$ द्वारा संचालित गैर-रेखीय स्टोकेस्टिक आंशिक अंतर समीकरण (एसपीडीई) को संतुष्ट करता है $$dZ_t$$ और इसे कुशनर_समीकरण|कुशनर-स्ट्रेटोनोविच समीकरण कहा जाता है, या असामान्य संस्करण $$q_t(y)$$ घनत्व का $$p_t(y)$$ ज़काई समीकरण नामक रैखिक एसपीडीई को संतुष्ट करता है। ये समीकरण उपरोक्त प्रणाली के लिए तैयार किए जा सकते हैं, लेकिन व्याख्या को सरल बनाने के लिए कोई यह मान सकता है कि न देखे गए सिग्नल Y और आंशिक रूप से देखे गए ध्वनि सिग्नल Z समीकरणों को संतुष्ट करते हैं
 * $$\mathrm{d} Y_{t} = b(t, Y_{t}) \, \mathrm{d} t + \sigma (t, Y_{t}) \, \mathrm{d} B_{t},$$
 * $$\mathrm{d} Z_{t} = c(t, Y_{t}) \, \mathrm{d} t +  \mathrm{d} W_{t}.$$

दूसरे शब्दों में, यह मानकर प्रणाली को सरल बनाया गया है कि अवलोकन ध्वनि W राज्य पर निर्भर नहीं है। कोई नियतिवादी समय पर निर्भर रख सकता है $$\gamma$$ के सामने $$ dW$$ लेकिन हम मानते हैं कि इसे पुनः स्केलिंग द्वारा हटा दिया गया है।

इस विशेष प्रणाली के लिए, घनत्व के लिए कुशनर-स्ट्रैटोनोविच एसपीडीई $$p_t$$ पढ़ता

\mathrm{d} p_t = {\cal L}^*_t p_t \  dt + p_t[c(t,\cdot) - E_{p_t}(c(t,\cdot))]^T [ d Z_t - E_{p_t}(c(t,\cdot)) d t] $$ जहाँ T स्थानान्तरण को दर्शाता है, $$E_p$$ घनत्व पी के संबंध में अपेक्षा को दर्शाता है, $$ E_p[f] = \int f(y) p(y) dy,$$ और आगे प्रसार ऑपरेटर $${\cal L}^*_t$$ है

{\cal L}_t^* f(t,y) = - \sum_i \frac{\partial}{\partial y_i} [ b_i(t,y) f(t,y) ] + \frac{1}{2} \sum_{i,j} \frac{\partial^2}{\partial y_i \partial y_j} [a_{ij}(t,y) f(t,y)] $$ कहाँ $$a=\sigma \sigma^T$$. यदि हम असामान्य घनत्व चुनते हैं $$ q_t(y)$$, उसी सिस्टम के लिए ज़काई एसपीडीई पढ़ता है

\mathrm{d} q_t = {\cal L}^*_t q_t \  dt + q_t[c(t,\cdot)]^T  d Z_t. $$ पी और क्यू के लिए ये एसपीडीई इटो कैलकुलस फॉर्म में लिखे गए हैं। उन्हें स्ट्रैटोनोविच कैलकुलस फॉर्म में लिखना संभव है, जो प्रक्षेपण फिल्टर की तरह, अंतर ज्यामिति के आधार पर फ़िल्टरिंग अनुमान प्राप्त करते समय सहायक साबित होता है। उदाहरण के लिए, स्ट्रैटोनोविच कैलकुलस में लिखा गया कुशनर-स्ट्रैटोनोविच समीकरण पढ़ता है
 * $$  d p_t = {\cal L}^\ast_t\, p_t\,dt

- \frac{1}{2}\, p_t\, [\vert c \vert^2 - E_{p}(\vert c \vert^2)] \,dt + p\, [c-E_{p}(c)]^T \circ dZ\ .$$ किसी भी घनत्व p और q से कोई सिग्नल Y के सभी आँकड़ों की गणना कर सकता हैt समय t तक अवलोकन Z द्वारा उत्पन्न सिग्मा-क्षेत्र पर सशर्त, ताकि घनत्व फ़िल्टर का पूरा ज्ञान दे सके। Y के संबंध में विशेष रैखिक-स्थिर धारणाओं के तहत, जहां सिस्टम गुणांक b और c, Y के रैखिक कार्य हैं और जहां $$\sigma$$ और $$\gamma$$ वाई पर निर्भर न रहें, सिग्नल वाई के लिए प्रारंभिक शर्त गॉसियन या नियतात्मक, घनत्व है $$p_t(y)$$ गॉसियन है और इसे इसके माध्य और विचरण-सहप्रसरण मैट्रिक्स द्वारा चित्रित किया जा सकता है, जिसके विकास का वर्णन कलमैन_फिल्टर#कलमैन-बुसी_फिल्टर|कलमैन-बुसी फिल्टर द्वारा किया गया है, जो परिमित आयामी है। अधिक सामान्यतः, फ़िल्टर घनत्व का विकास अनंत-आयामी फ़ंक्शन स्थान में होता है, और इसे परिमित आयामी सन्निकटन के माध्यम से अनुमानित किया जाना चाहिए, जैसा कि ऊपर संकेत दिया गया है।

यह भी देखें

 * स्मूथिंग समस्या, फ़िल्टरिंग समस्या से निकटता से संबंधित है
 * फ़िल्टर (सिग्नल प्रोसेसिंग)
 * कलमन फ़िल्टर, प्रसिद्ध फ़िल्टरिंग एल्गोरिदम जो फ़िल्टरिंग समस्या और स्मूथिंग समस्या दोनों से संबंधित है
 * चौरसाई करना
 * प्रोजेक्शन फिल्टर
 * कण फिल्टर

अग्रिम पठन

 * (See Section 6.1)
 * (See Section 6.1)