कोटैंजेंट सम्मिश्र

गणित में कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स मुख्य रूप से कई गुना  या स्कीम जैसे ज्यामितीय स्थानों के मानचित्र के कोटैंजेंट शीफ, सामान्य समूह और आभासी स्पर्शरेखा समूह का सामान्यीकरण है। यहाँ पर यदि $$f: X \to Y$$ ज्यामितीय या बीजगणितीय वस्तुओं का संरचना है, जो संबंधित कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स $$\mathbf{L}_{X/Y}^\bullet$$ है, इसे इसके सार्वभौमिक रैखिककरण के रूप में सोचा जा सकता है, जो विरूपण (गणित) को नियंत्रित करने के लिए फलन $$f$$ का उपयोग करता है, इस प्रकार इसका निर्माण शीफ (गणित) की एक निश्चित व्युत्पन्न श्रेणियों में $$X$$ के रूप में किया गया है, इसके समस्थानिक बीजगणित की विधियों का उपयोग करता हैं।

कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स के प्रतिबंधित संस्करणों को पहली बार 1960 के दशक के प्रारंभ में कई लेखकों द्वारा विभिन्न स्थितियों में परिभाषित किया गया था। इस प्रकार इसके बाद 1960 के दशक के उत्तरार्ध में, मिशेल आंद्रे गणितज्ञ या मिशेल आंद्रे और डेनियल क्विलेन स्वतंत्र रूप से क्रमविनिमेय वलय के संरचना के लिए सही परिभाषा के साथ सामने आए थे, इस प्रकार उन्होंने कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स के विचार को सटीक बनाने के लिए सरलीकृत समुच्च्य विधियों का उपयोग किया था, जैसा कि इसको लेकर दिया गया था। जहाँ पर एबेलियन काहलर डिफरेंशियल का बायां व्युत्पन्न फ़ैक्टर उपलब्ध किये थे। इस प्रकार इसके पश्चात ल्यूक भ्रम ने इस परिभाषा को चक्राकार टोपोस  के संरचना की सामान्य स्थिति के लिए वैश्विक बना दिया था, जिससे इस प्रकार चक्राकार स्थान, स्कीम (गणित), और बीजगणितीय स्थान के आकारवाद को सिद्धांत में सम्मिलित किया गया हैं।

प्रेरणा
इसके आधार पर हम यह कह सकते हैं कि $$X$$ और $$Y$$ बीजगणितीय विविधता को प्रकट करता हैं, और वह $$f:X\to Y$$ हैं, जिनके बीच संरचना भी उत्पन्न होता है। जिसका कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स $$f$$ सापेक्ष काहलर अंतरों का अधिक सार्वभौमिक संस्करण $$\Omega_{X/Y}$$ है, इस प्रकार की वस्तु के लिए सबसे मौलिक प्रेरणा दो संरचना से जुड़े काहलर अंतरों का सटीक अनुक्रम है। इस प्रकार यदि $$Z$$ का एक प्रकार है, और यदि $$g:Y\to Z$$ संरचना है, तो इसका सटीक अनुक्रम इस प्रकार प्रदर्शित होता है-


 * $$f^*\Omega_{Y/Z} \to \Omega_{X/Z} \to \Omega_{X/Y} \to 0.$$

इसलिए, कुछ अर्थों में, सापेक्ष काहलर अंतर सही सटीक फ़ैक्टर में हैं। वस्तुतः यह सत्य नहीं है, चूंकि इस प्रकार बीजगणितीय प्रकारों की श्रेणी एबेलियन श्रेणी नहीं है, और इसलिए सही-सटीकता परिभाषित नहीं है। वास्तव में, कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स की परिभाषा से पहले, फ़ैक्टर्स की कई परिभाषाएँ थीं। जिसके अनुक्रम के लिए इसे बाईं ओर आगे बढ़ाया जाता है, जैसे कि इस प्रकार लिक्टेनबाम-श्लेसिंगर फ़ैक्टर $$T^i$$ और अपूर्णता मॉड्यूल इसका प्रमुख उदाहरण हैं। इनमें से अधिकांश विरूपण सिद्धांत से प्रेरित थे।

यदि संरचना है तो यह क्रम बाईं ओर सटीक है $$f$$ समतल है, इसके कारण यदि Ω ने पहले व्युत्पन्न फ़ंक्टर को स्वीकार किया है, तो बाईं ओर की सटीकता का अर्थ यह होगा कि समरूपता को जोड़ना विलुप्त हो गया है, और यह निश्चित रूप से सच होगा यदि F का पहला व्युत्पन्न फ़ंक्टर, चाहे वह कुछ भी हो उसे विलुप्त कर दिया जाता हैं। इसलिए इस प्रकार इसका उचित अनुमान यह है कि सहज संरचना का पहला व्युत्पन्न फ़नकार विलुप्त हो जाता है। इसके अतिरिक्त जब काहलर विभेदकों के अनुक्रम को बढ़ाने वाले किसी भी फ़ैक्टर को एक समतल संरचना पर लागू किया गया था, तो इस प्रकार वे भी विलुप्त हो गए, जिसने सुझाव दिया कि एक समतल संरचना का कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स काहलर अंतर के बराबर हो सकता है।

काहलर अंतर से संबंधित एक और प्राकृतिक सटीक अनुक्रम असामान्य सटीक अनुक्रम है। यदि f आदर्श शीफ I के साथ एक विवृत विसर्जन है, तो एक सटीक अनुक्रम है


 * $$I/I^2 \to f^*\Omega_{Y/Z} \to \Omega_{X/Z} \to 0.$$

यह उपरोक्त सटीक अनुक्रम का विस्तार है: बाईं ओर इसका नया शब्द है, F का सामान्य शीफ, और सापेक्ष अंतर ΩX/Y विलुप्त हो गए हैं क्योंकि किसी विवृत विसर्जन औपचारिक रूप से अप्रभावित हो जाता है। यदि f एक सहज उपविविधता का समावेश को प्रकट करता है, तो इस प्रकार यह अनुक्रम एक संक्षिप्त सटीक अनुक्रम है। इससे पता चलता है कि एक समतल प्रकार को सम्मिलित करने का कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स पद द्वारा स्थानांतरित किए गए सामान्य शीफ के बराबर है।

कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स पर प्रारंभिक कार्य
1960 के दशक की प्रारंभ में बढ़ती व्यापकता के कारण कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स कई और आंशिक रूप से असंगत संस्करणों में दिखाई देते हैं। इस प्रकार इसके आधार पर क्षेत्रविस्तार के प्रतिबंधित संदर्भ में संबंधित होमोलॉजी फ़ैक्टर का पहला उदाहरण कार्टियर (1956) में सामने आया था। इसके आधार पर अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक ने 1961 में बीजगणितीय ज्यामिति में अपने सामान्य ग्रोथेंडिक-रीमैन-रोच प्रमेय|रीमैन-रोच प्रमेय के लिए कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स का एक प्रारंभिक संस्करण विकसित किया था, जिससे कि नियमित एम्बेडिंग स्थानीय पूर्ण प्रतिच्छेदन संरचना और आभासी स्पर्शरेखा समूहों का एक सिद्धांत प्राप्त किया जा सके। यह एसजीए 6, xपोज़ VIII में पियरे बर्थेलॉट द्वारा वर्णित संस्करण है। यह केवल तभी लागू होता है जब F एक सुचारु संरचना है, इस प्रकार जो एक विवृत विसर्जन में कारक होता है, जिसके बाद इसकी सुचारु संरचना भी प्राप्त होती है। इस स्थिति में, x पर सुसंगत शीफ की व्युत्पन्न श्रेणी में वस्तु के रूप में F का कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स इस प्रकार दिया गया है: यह परिभाषा V से स्वतंत्र रहती है, और सुचारु पूर्ण तरीके से प्रतिच्छेदन संरचना के लिए इस परिसर के लिए पूर्णतयः सही मानी जाती है। इस प्रकार इसके अतिरिक्त, यदि g : Y → Z एक और सुचारु पूर्ण प्रतिच्छेदन संरचना है और यदि एक अतिरिक्त तकनीकी स्थिति संतुष्ट होती है, तो सटीक त्रिकोण उत्पन्न होता है।
 * $$L^{X/Y}_0 = i^*\Omega_{V/Y}.$$
 * यदि V में J, X का आदर्श है, तो इस प्रकार $$L^{X/Y}_1 = J/J^2 = i^*J.$$ द्वारा इसे प्रकट कर सकते हैं।
 * $$L^{X/Y}_i = 0$$ अन्य सभी के लिए i का मान प्राप्त करते हैं।
 * इस प्रकार दिए गए अंतर $$L^{X/Y}_1 \to L^{X/Y}_0$$ के लिए प्राप्त होने वाली संरचना शीफ ​​में जे को सम्मिलित करने के साथ-साथ पुलबैक $$\mathcal{O}_V$$ को भी प्रयोग किया जाता हैं, इस प्रकार V की सार्वभौमिक व्युत्पत्ति के पश्चात $$d : \mathcal{O}_V \to \Omega_{V/Y}.$$ का मान प्राप्त होता हैं।
 * अन्य सभी अंतर शून्य हैं।


 * $$\mathbf{L}f^*L^{Y/Z}_\bullet \to L^{X/Z}_\bullet \to L^{X/Y}_\bullet \to \mathbf{L}f^*L^{Y/Z}_\bullet[1].$$

1963 में ग्रोथेंडिक ने अधिक सामान्य रूप से इसका निर्माण विकसित किया था, जो सुचारु रूप से संरचना के लिए जो बीजगणितीय ज्यामिति के अतिरिक्त अन्य संदर्भों में भी कार्य करता है, इस पर प्रतिबंध को हटा देता है। चूंकि, 1961 के सिद्धांत के लिए इसने ट्रंकेशन के अनुरूप केवल 2 लंबाई का एक कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स $$\tau_{\leq 1}\mathbf{L}^{\bullet}_{X/Y}$$ उत्पन्न किया था, जिसे पूरे परिसर के लिए जो उस समय तक ज्ञात नहीं था। इस प्रकार इस दृष्टिकोण के पश्चात ग्रोथेंडिक (1968) में प्रकाशित हुआ था। उसी समय 1960 के दशक की प्रारंभ में, बड़े पैमाने पर समान सिद्धांतों को मरे गेरस्टेनहाबर द्वारा कम्यूटेटिव वलय्स के लिए बीजगणितीय ज्यामिति में फिन योजनाओं के स्थानीय स्थिति के अनुरूप) के लिए स्वतंत्र रूप से प्रस्तुत किया गया था। इसके आधार पर स्टीफ़न लिक्टेनबाम और माइकल श्लेसिंगर को प्राप्त किया जाता हैं। इसके इस सिद्धांत के लिए लंबाई 3 के कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स तक विस्तारित हुए है, जिसे इस प्रकार अधिक जानकारी प्राप्त हुई हैं।

कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स की परिभाषा
कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स की सही परिभाषा होमोटोपिक बीजगणित में प्रारंभ होती है। इस प्रकार क्विलेन और आंद्रे ने सरल समुच्च्य सरल ऑब्जेक्ट्स कम्यूटेटिव वलय्स के साथ कार्य किया, जबकि इलुसी ने सामान्यतः सरल वलय वाले टोपोस के साथ कार्य किया, इस प्रकार विभिन्न प्रकार के ज्यामितीय स्थानों पर वैश्विक सिद्धांत को कवर किया हैं। इसकी सरलता को बनाये रखने के लिए, हम केवल सरल क्रमविनिमेय वलय के स्थिति पर विचार करेंगे। इससे लगता है कि $$A$$ और $$B$$ सरल वलय हैं और उनमें से एक $$B$$ हैं और इस प्रकार यह एक $$A$$-बीजगणित को प्रदर्शित करता हैं। इसके आधार पर $$r: P^{\bullet} \to B$$ का $$B$$ सरल मुफ़्त द्वारा $$A$$-बीजगणित को प्रकट करता हैं। इसका संकल्प $$B$$ निःशुल्क कम्यूटेटिव का उपयोग करके बनाया जा सकता है, जो $$A$$-बीजगणित फ़ैक्टर जो एक समुच्च्य $$S$$ के लिए उपयोग करता है, और $$A$$-बीजगणित $$A[S]$$ का मान मुफ़्त देता है, इसके लिए $$A$$-बीजगणित $$B$$, यह प्राकृतिक वृद्धि $$\eta_B: A[B] \to B$$ मानचित्र के साथ आता है, जो के तत्वों का औपचारिक योग मैप करता है $$B$$ के एक तत्व के लिए $$B$$ नियम $$a_1[b_1] + \cdots + a_n[b_n] \mapsto a_1\cdot b_1 + \cdots a_n\cdot b_n$$ के माध्यम सेइस निर्माण को दोहराने से सरल बीजगणित इस प्रकार हैं- "प्राप्त होने वाला मान $\cdots \to A[A[A[B]]] \to A[A[B]] \to A[B] \to B$|undefined"जहां क्षैतिज मानचित्र विभिन्न विकल्पों के लिए संवर्द्धन मानचित्रों की रचना से आते हैं। उदाहरण के लिए, दो संवर्द्धन मानचित्र $$A[A[B]] \to A[B]$$ हैं, जिसमें नियमों के माध्यम से  उक्त समीकरण प्राप्त करते हैं।$$\begin{align} a_i[a_{i,1}[b_{i,1}] + \cdots + a_{i,n_i}[b_{i,n_i}]] & \mapsto a_ia_{i,1}[b_{i,1}] + \cdots + a_ia_{i,n_i}[b_{i,n_i}] \\ & \mapsto a_{i,1}[a_i\cdot b_{i,1}] + \cdots + a_{i,n_i}[a_i\cdot b_{i,n_i}] \end{align}$$जिसे प्रत्येक निःशुल्क में अनुकूलित किया जा सकता है, जिसके लिए $$A$$-बीजगणित $$A[\cdots A[A[B]]$$ इसका प्रमुख उदाहरण हैं।

काहलर डिफरेंशियल फ़ैक्टर को लागू करना $$P^{\bullet}$$ इसकी सरलता को उत्पन्न करता है, जिसे $$B$$-मापांक द्वारा प्राप्त करते हैं। इस सरल वस्तु का कुल परिसर कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स एलबी/ए है, इस प्रकार संरचना r कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स से ΩB/A तक एक संरचना को प्रेरित करता है, इसे संवर्द्धन मानचित्र कहा जाता है। इस प्रकार सरल ए-बीजगणित या सरल वलय वाले गहरआई की होमोटॉपी श्रेणी में, यह निर्माण काहलर डिफरेंशियल फ़ैक्टर के बाएं व्युत्पन्न फ़ैक्टर को लेने के समान है।

इस प्रकार एक क्रमविनिमेय वर्ग दिया गया है:
 * [[File:Commutative square.svg]]
 * कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स का एक संरचना $$L^{B/A} \otimes_B D \to L^{D/C}$$ है, जो संवर्द्धन मानचित्रों का सम्मान करता है। इस मानचित्र का निर्माण मान लीजिए, डी के एक निःशुल्क सरल सी-बीजगणित रिज़ॉल्यूशन $$s: Q^{\bullet} \to D.$$ को चुनकर किया गया है, क्योंकि $$P^{\bullet}$$ स्वतंत्र वस्तु है, इसके समग्र घंटे को $$P^{\bullet} \to Q^{\bullet}.$$ संरचना में उठाया जा सकता है, इसके आधार पर इस संरचना में काहलर अंतरों की कार्यात्मकता को लागू करने से कोटैंजेंट क्षेत्रों का आवश्यक संरचना मिलता है। विशेष रूप से, समरूपताएँ $$A \to B \to C,$$ दी गईं जो इस अनुक्रम उत्पन्न करता है-


 * $$L^{B/A} \otimes_B C \to L^{C/A} \to L^{C/B}.$$

इसका संयोजक समरूपता इस प्रकार है,


 * $$L^{C/B} \to \left (L^{B/A} \otimes_B C \right )[1],$$

जो इस क्रम को एक सटीक त्रिभुज में परिवर्तित कर देता है।

कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स को किसी भी कॉम्बिनेटरियल मॉडल श्रेणी एम में भी परिभाषित किया जा सकता है। मान लीजिए $$f: A\to B$$ एम. कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स में एक संरचना $$L^f$$ (या $$L^{B/A}$$) है, जो स्पेक्ट्रा की श्रेणी में $$M_{B//B}$$ मान प्राप्त होता है, इसकी रचनायोग्य संरचना की जोड़ी, $$f: A\to B$$ और $$g: B \to C$$ समरूप श्रेणी में एक सटीक त्रिभुज उत्पन्न करता है,


 * $$L^{B/A}\otimes_BC\to L^{C/A}\to L^{C/B}\to \left (L^{B/A}\otimes_BC \right )[1].$$

समुच्च्यअप
कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स के पहले प्रत्यक्ष अनुप्रयोगों में से विरूपण सिद्धांत में है। उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास $$f:X\to S$$ योजना है और इस प्रकार वर्ग-शून्य अतिसूक्ष्म गाढ़ापन $$S \to S'$$ हैं, यह योजनाओं का एक संरचना है जहां कर्नेल $$\mathcal{I} = \text{ker}\{ \mathcal{O}_{S'} \to \mathcal{O}_S\} $$ के पास यह गुण है कि इसका वर्ग शून्य शीफ़ है, इसलिए"$\mathcal{I}^2 = 0$"विरूपण सिद्धांत में मूलभूत प्रश्नों में से एक समुच्च्य $$X'$$ का निर्माण करना है, इस प्रकार फॉर्म के कार्तीय वर्गों में फिट होना$$\left\{ \begin{matrix} X & \to & X' \\ \downarrow & & \downarrow \\ S & \to & S' \end{matrix} \right\}$$आवश्यक होता हैं। यहाँ पर ध्यान में रखने योग्य कुछ उदाहरण ऊपर परिभाषित योजनाओं $$\mathbb{Z}/p$$ को $$\mathbb{Z}/p^2$$ का विस्तार करना है, या किसी क्षेत्र में परिभाषित योजनाएं $$k$$ विशेषता का $$0$$ वलय के लिए $$k[\varepsilon]$$ जहाँ $$\varepsilon^2 = 0$$ कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स $$\mathbf{L}_{X/S}^\bullet$$ फिर इस समस्या से संबंधित जानकारी को नियंत्रित करता है। इस प्रकार हम क्रमविनिमेय आरेख के विस्तारों के समुच्च्य पर विचार करते हुए इसे पुन: तैयार कर सकते हैं, इस प्रकार$$\begin{matrix} 0 & \to & \mathcal{G} & \to & \mathcal{O}_{X'} & \to & \mathcal{O}_X &\to & 0 \\ & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow \\ 0 & \to & \mathcal{I} & \to & \mathcal{O}_{S'} & \to & \mathcal{O}_S &\to & 0 \end{matrix}$$ जो एक घरेलू समस्या है। फिर, ऐसे आरेखों का समुच्च्य जिसका कर्नेल $$\mathcal{G}$$ है, जहाँ एबेलियन समूह के लिए समरूपी $$\text{Ext}^1(\mathbf{L}_{X/S}^\bullet, \mathcal{G})$$ है, इसके आधार पर कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स को दिखाते हुए उपलब्ध विकृतियों के समुच्च्य को नियंत्रित किया जाता है। इस प्रकार इसके अतिरिक्त दूसरी दिशा से, यदि कोई संक्षिप्त सटीक अनुक्रम है, जो इस प्रकार $$\begin{matrix} 0 & \to & \mathcal{G} & \to & \mathcal{O}_{X'} & \to & \mathcal{O}_X &\to & 0 \end{matrix}$$ से संबंधित तत्व $$\xi \in \text{Ext}^2(\mathbf{L}_{X/S}^\bullet, \mathcal{G})$$ के रूप में उपस्थित है।

जिसके लुप्त होने से तात्पर्य यह है कि यह ऊपर दी गई विकृति समस्या का समाधान है। इसके अतिरिक्त, समूह $$\text{Ext}^0(\mathbf{L}_{X/S}^\bullet, \mathcal{G})$$ के विरूपण की समस्या के किसी भी निश्चित समाधान के लिए ऑटोमोर्फिज्म के समुच्च्य को नियंत्रित करता है।

कुछ महत्वपूर्ण निहितार्थ
कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स के सबसे ज्यामितीय रूप से महत्वपूर्ण गुणों में से यह तथ्य है कि इसका एक संरचना दिया गया है $$S$$-योजनाएं $$f:X \to Y$$हम सापेक्ष कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स बना सकते हैं $$\mathbf{L}_{X/Y}^\bullet$$  के शंकु के रूप में$$f^*\mathbf{L}_{Y/S}^\bullet \to \mathbf{L}_{X/S}^\bullet$$ के विशिष्ट त्रिभुज में फ़िट होना आवश्यक होता हैं।"$f^*\mathbf{L}_{Y/S}^\bullet \to \mathbf{L}_{X/S}^\bullet \to \mathbf{L}_{X/Y}^\bullet \xrightarrow{+1}$"यह कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स के स्तंभों में से एक है क्योंकि यह संरचना की विकृतियों को दर्शाता है, जहाँ पर $$f$$ का $$S$$-योजनाओं को इस कॉम्प्लेक्स द्वारा नियंत्रित किया जाता है। विशेष रूप से, $$\mathbf{L}_{X/Y}^\bullet$$ की विकृतियों को नियंत्रित करता है, इस प्रकार यहाँ पर $$f$$ में एक निश्चित संरचना के रूप में $$\text{Hom}_S(X,Y)$$, की विकृति $$X$$ जो बढ़ सकता है, जिसके आधार पर $$f$$ से इसका अर्थ हैं कि यह $$f': X' \to S$$ संरचना को प्रकट करता है, इसके प्रक्षेपण मानचित्र के माध्यम से कौन से कारक $$X' \to X$$ के साथ रचित $$f$$, और की विकृतियाँ $$Y$$ समान रूप से परिभाषित किया गया हैं और इस प्रकार यह एक शक्तिशाली तकनीक है, और इस प्रकार ग्रोमोव-विटन सिद्धांत के लिए मूलभूत है, जो एक निश्चित जीनस के बीजगणितीय वक्रों और एक योजना के लिए निश्चित संख्या में पंचर से संरचना $$X$$ का अध्ययन करता है।

फ्लैट आधार परिवर्तन
मान लीजिए कि B और C इस प्रकार A-बीजगणित हैं $$\operatorname{Tor}^A_q(B,C) = 0$$ सभी के लिए q > 0. फिर अर्ध-समरूपताएँ हैं, जो इस प्रकार हैं
 * $$\begin{align}

L^{B \otimes_A C/C} &\cong C \otimes_A L^{B/A} \\ L^{B \otimes_A C/A} &\cong \left (L^{B/A} \otimes_A C \right ) \oplus \left (B \otimes_A L^{C/A} \right ) \end{align}$$ यदि C एक समतल A-बीजगणित है, तो शर्त यह है कि $$\operatorname{Tor}^A_q(B,C)$$ के लिए विलुप्त हो जाता है, जिसके आधार पर q > 0 स्वचालित होता है, इसके लिए इसका पहला सूत्र तब इसे प्रमाणित करता है जब यह कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स का निर्माण फ्लैट टोपोलॉजी में आधार पर स्थानीय रहता है।

लुप्त गुण
f : A → B होने पर:
 * यदि B, A के वलय का स्थानीयकरण है, तो $$L_{B/A} \simeq 0$$ मान प्राप्त होता हैं।
 * यदि f एक étale संरचना है, तो $$L_{B/A} \simeq 0$$ मान प्राप्त होता हैं।
 * यदि f एक सहज संरचना है, तो $$L_{B/A}$$ के लिए अर्ध-समरूपी $$\Omega_{B/A}$$ है, विशेष रूप से, इसका प्रक्षेप्य आयाम शून्य है।
 * यदि f एक स्थानीय पूर्ण प्रतिच्छेदन संरचना है, तो $$L_{B/A}$$ [-1,0] में टोर आयाम के साथ आदर्श परिसर है।
 * यदि A नोथेरियन है, $$B = A/I$$, और $$I$$ फिर, एक नियमित अनुक्रम द्वारा उत्पन्न होता है, जहाँ पर $$I/I^2$$ प्रक्षेप्य मॉड्यूल को दर्शाता है, और $$L_{B/A}$$ के लिए अर्ध-समरूपी $$I/I^2[1].$$ है।
 * यदि f विशेषता के पूर्ण क्षेत्र k पर पूर्ण k-बीजगणित का संरचना है p > 0, तब $$L_{B/A} \simeq 0$$ मान प्राप्त होता हैं।

स्थानीय पूर्ण प्रतिच्छेदन की विशेषता
कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स का सिद्धांत किसी को स्थानीय पूर्ण प्रतिच्छेदन एलसीआई संरचना का एक समरूप लक्षण वर्णन देने की अनुमति देता है, कम से कम नोथेरियन मान्यताओं के अनुसार f : A → B नोथेरियन वलय का एक संरचना इस प्रकार हो कि बी परिमित रूप से उत्पन्न ए-बीजगणित को प्रकट करता हैं। जैसा कि इस प्रकार क्विलेन द्वारा पुनर्व्याख्या की गई है, इस प्रकार लिक्टेनबाम-श्लेसिंगर के कार्य से पता चलता है कि दूसरा आंद्रे-क्विलेन होमोलॉजी समूह $D_2(B/A,M)$  सभी बी-मॉड्यूल एम के लिए विलुप्त हो जाता है यदि और केवल यदि F एलसीआई है। इस प्रकार, उपरोक्त लुप्त परिणाम के साथ मिलकर हम यह निष्कर्ष निकालते हैं:


 * संरचना f : A → B एलसीआई है यदि और केवल यदि $$L_{B/A}$$ [-1,0] में टोर आयाम के साथ इसका आदर्श परिसर है।

क्विलेन ने आगे अनुमान लगाया कि यदि कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स $$L_{B/A}$$ इसका परिमित प्रक्षेप्य आयाम है और बी एक ए-मॉड्यूल के रूप में परिमित टोर आयाम का है, तो F एलसीआई है। यह लचेज़र अव्रामोव द्वारा 1999 के गणित के इतिहास पेपर में सिद्ध किया गया था। अव्रामोव ने एलसीआई संरचना की धारणा को गैर-परिमित प्रकार की समुच्च्यिंग तक भी बढ़ाया, केवल यह मानते हुए कि संरचना F स्थानीय रूप से परिमित समतल आयाम का है, और उन्होंने साबित किया कि एलसीआई संरचना का समान समरूप लक्षण वर्णन उपस्थित है, इसके अतिरिक्त $$L_{B/A}$$ पूर्ण नहीं रहता हैं। इस प्रकार अव्रामोव के परिणाम में हाल ही में ब्रिग्स-अयंगर द्वारा सुधार किया गया, जिन्होंने दिखाया कि एलसीआई संपत्ति एक बार स्थापित होने के पश्चात $${\textstyle D_{n}(B/A,-)}$$ का अनुसरण करती है, इस प्रकार किसी एक मान जैसे $$n \geq 2$$ के लिए विलुप्त हो जाता है।

इस सब में, यह मानना ​​आवश्यक है कि प्रश्न में वलय नोथेरियन हैं। इस प्रकार उदाहरण के लिए मान लीजिए कि k विशेषता का आदर्श क्षेत्र p > 0 है, फिर जैसा कि ऊपर बताया गया है कि $$L_{B/A}$$ किसी भी संरचना के लिए विलुप्त हो जाता है, इसके कारण A → B के लिए k-बीजगणित का उत्तम मान हैं। अपितु पूर्ण k-बीजगणित का प्रत्येक संरचना lci नहीं है।

समतल पर उतरना
भार्गव भट्ट गणितज्ञ ने दिखाया कि कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स के मान से फ्लैट वंश को संतुष्ट (व्युत्पन्न) करता है। दूसरे शब्दों में, किसी भी मान के अनुसार जिसे समतल संरचना के लिए f : A → B आर-बीजगणित में से एक में समतुल्यता होती है


 * $$L_{A/R} \simeq \mathrm{Tot}(L_{\mathrm{Cech}(A \to B)/R})$$

आर की व्युत्पन्न श्रेणी में, जहां दाहिना हाथ लेने से दी गई सह-सरलीकृत वस्तु की समरूपता सीमा को दर्शाता है, इस प्रकार $L_{-/R}$ F के सेच कॉनर्व का सेच कॉनर्व अमितसूर कॉम्प्लेक्स को निर्धारित करने वाली एक सरल वस्तु है। अधिक सामान्यतः, कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स की सभी बाहरी शक्तियां  से समतल वंश को संतुष्ट करती हैं।

समतल योजनाएं
$$X \in \operatorname{Sch}/S$$ के मान को प्रदर्शित करने के लिए कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स $$\Omega_{X/S}$$. का उपयोग करते हैं। इस प्रकार बर्थेलॉट की संरचना में, इसे लेने से यह स्पष्ट हो जाता है कि $$V=X$$ के समान हैं। इस प्रकार सामान्यतः स्थानीय स्तर पर $$S, X$$ का मान प्रसारित हो गया हैं। इसके आधारा पर परिमित आयामी फिन स्पेस और संरचना $$X\to S$$ को प्रदर्शित करता है, इस प्रकार यह प्रक्षेपण है, इसलिए हम उस स्थिति को कम कर सकते हैं जहां $$S= \operatorname{Spec}(A)$$ और $$X = \operatorname{Spec}(A[x_1, \ldots, x_n]).$$ का संकल्प हम ले सकते हैं, इसके आधारा पर $$\operatorname{Spec}(A[x_1,\ldots,x_n])$$ पहचान मानचित्र होना, और फिर यह स्पष्ट है कि कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स काहलर अंतर के समान है।

समतल योजनाओं में विवृत एम्बेडिंग
$$i:X \to Y$$ सुचारू योजनाओं का एक विवृत एम्बेडिंग $$\text{Sch}/S$$ के द्वारा बनायी जाती हैं, इसकी संरचना के अनुरूप सटीक त्रिभुज $$X \to Y \to S$$ का उपयोग करना आवश्यक होता हैं, इसके आधार पर हम कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स $$\mathbf{L}_{X/Y}$$ को निर्धारित कर सकते हैं, इस प्रकार ऐसा करने के लिए, ध्यान दें कि पिछले उदाहरण से, कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स $$\mathbf{L}_{X/S}$$ और $$\mathbf{L}_{Y/S}$$ काहलर विभेदकों से मिलकर बना है, जहाँ $$\Omega_{X/S}$$ और $$\Omega_{Y/S}$$ क्रमशः शून्यवीं डिग्री में, और अन्य सभी डिग्री में शून्य हैं। इसके सबसे सही उपयोग के लिए त्रिभुज $$\mathbf{L}_{X/Y}$$ का तात्पर्य यही है कि यह केवल प्रथम डिग्री में गैर-शून्य है, और उस डिग्री में, यह मानचित्र का कर्नेल $$i^*\mathbf{L}_{Y/S} \to \mathbf{L}_{X/S}.$$ है, इस प्रकार यह कर्नेल असामान्य समूह है, और सटीक अनुक्रम असामान्य सटीक अनुक्रम है, इसलिए पहली डिग्री में, $$\mathbf{L}_{X/Y}$$ सामान्य समूह $$C_{X/Y}$$ है।

स्थानीय पूर्ण प्रतिच्छेदन
अधिकांशतः इस स्थानीय पूर्ण प्रतिच्छेदन संरचना के लिए $$X \to Y$$ को समतल लक्ष्य के साथ आयाम में परिपूर्ण एक कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स $$[-1,0].$$ होता है, इसके आधार पर यह कॉम्प्लेक्स $$I/I^2 \to \Omega_{Y}|_X.$$ द्वारा दिया गया है, इस प्रकार उदाहरण के लिए मुड़े हुए घन का कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स $$X$$ में $$\mathbb{P}^3$$ कॉम्प्लेक्स $$\mathcal{O}(-2)\oplus\mathcal{O}(-2)\oplus\mathcal{O}(-2) \xrightarrow{s} \Omega_{\mathbb{P}^3}|_X.$$ द्वारा दिया गया है।

ग्रोमोव-विटन सिद्धांत में कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स
ग्रोमोव-विटन इनवेरिएंट|ग्रोमोव-विटन सिद्धांत में गणितज्ञ रिक्त स्थान पर एन-नुकीले वक्रों के गणनात्मक ज्यामितीय इनवेरिएंट का अध्ययन करते हैं। सामान्यतः बीजगणितीय स्टैक $$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}(X,\beta)$$ प्रकार के होते हैं, जो मानचित्रों के मॉड्यूलि स्थान को प्रकट करते हैं।"$\pi: C \to X$ जीनस से $g$ के साथ $n$ भी घटता है, यह निश्चित ही लक्ष्य को भेदने में सहायक होता हैं। चूँकि गणनात्मक ज्यामिति ऐसे मानचित्रों के सामान्य व्यवहार का अध्ययन करती है, इसलिए इस प्रकार की समस्याओं को नियंत्रित करने वाले विरूपण सिद्धांत के लिए वक्र के विरूपण की आवश्यकता होती है, इसके आधार पर $C$, मुख्य रूप से $\pi$, और लक्ष्य स्थान $X$ के लिए इन सभी विरूपण सिद्धांत संबंधी जानकारी को कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स $\mathbf{L}_{C/X}^\bullet$ द्वारा ट्रैक किया जा सकता है, यहाँ पर विशिष्ट त्रिभुज $\pi^*\mathbf{L}_{X}^\bullet \to \mathbf{L}_{C}^\bullet \to \mathbf{L}_{C/X}^\bullet \to $ का उपयोग करना आवश्यक होता हैं।"संरचना की संरचना से संबद्ध"$C \xrightarrow{\pi} X \rightarrow \text{Spec}(\mathbb{C})$"कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स की गणना कई स्थितियों में की जा सकती है। वास्तव में इसकी जटिल विविधता के लिए $$X$$, इसका कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स $$\Omega_X^1$$ द्वारा दिया गया है, और इसके लिए समतल $$n$$-छिद्रित वक्र $$C$$, यह $$\Omega_C^1(p_1 + \cdots + p_n)$$ द्वारा दिया गया है, इसके लिए त्रिकोणीय श्रेणी के सामान्य सिद्धांत से, कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स $$\mathbf{L}_{C/X}^\bullet$$ शंकु के लिए अर्ध-समरूपी $$\text{Cone}(\pi^*\mathbf{L}_{X}^\bullet \to \mathbf{L}_{C}^\bullet) \simeq \text{Cone} (\pi^*\Omega_X^1 \to \Omega_C^1(p_1+\cdots + p_n)) $$ के समान है।

यह भी देखें

 * आंद्रे-क्विलेन कोहोमोलॉजी
 * विरूपण सिद्धांत
 * एक्सलकॉम
 * कोडैरा-स्पेंसर वर्ग
 * अतियाह वर्ग

अनुप्रयोग

 * https://mathoverflow.net/questions/372128/what-is-the-cotangent-complex-good-for

सामान्यीकरण

 * लॉगरिदमिक कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स
 * आर्क्सिव:2005.01382