ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण

सांख्यिकीय यांत्रिकी में ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण लियोनार्ड ऑर्नस्टीन और फ्रिट्स ज़र्निके द्वारा प्रस्तुत किया गया एक समाकल समीकरण है जो एक दूसरे के साथ विभिन्न सहसंबंधन फलनों को जोड़ता है। क्लोज़र (समापन) फलन के साथ इसका उपयोग तरल या कोलाइड जैसे अक्रिस्टलीय पदार्थ की संरचना और ऊष्मागतिकीय अवस्था की गणना करने के लिए किया जाता है।

विधि
तरल पदार्थ में अणुओं, आयनों या कोलाइडल कणों के युग्म सहसंबंध फलन की गणना करने के लिए सन्निकटन फलन की नींव के रूप में ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण का अत्यधिक महत्व है। युग्म सहसंबंध फलन फूरियर रूपांतरण के माध्यम से स्थैतिक संरचना कारक से संबंधित है जिसको एक्स-रे विवर्तन या न्यूट्रॉन विवर्तन का उपयोग करके प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित किया जा सकता है।

ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण युग्म सहसंबंध फलन को प्रत्यक्ष सहसंबंध फलन से संबंधित करता है। प्रत्यक्ष सहसंबंध फलन का उपयोग केवल ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण के संबंध में किया जाता है जिसे सामान्यतः इसकी परिभाषा के रूप में देखा जा सकता है।

ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण के अतिरिक्त युग्म सहसंबंध फलन की गणना के लिए अन्य प्रकारों में कम घनत्व पर वीरियल विस्तार और बोगोलीबोव-बॉर्न-ग्रीन-किर्कवुड-यवॉन (बीबीजीकेवाई) वर्गीकरण सम्मिलित है। इनमें से किसी भी विधि को वीरियल विस्तार की स्थिति में ऑर्नस्टीन-ज़र्निक या बीबीजीकेवाई के लिए एक समापन संबंध फलन के साथ भौतिक सन्निकटन फलन के साथ जोड़ा जा सकता है।

समीकरण
संकेत चिन्ह को सरल करने के लिए हम केवल समांगी तरल पदार्थों पर विचार करते हैं। इस प्रकार युग्म सहसंबंध फलन केवल दूरी पर निर्भर करता है इसलिए इसे रेडियल वितरण फलन भी कहा जाता है। इसे निम्न प्रकार से लिखा जा सकता है:
 * $$g(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2) = g(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2) \equiv g(\mathbf{r}_{12}) = g(|\mathbf{r}_{12}|) \equiv g(r_{12}) \equiv g(12),$$

जहां पहली समतुल्यता समांगी पदार्थों से आती है और दूसरी समस्‍थानिकता से और ये दोनों समतुल्यताएं नए संकेतक चिन्हों का परिचय देती हैं।

कुल सहसंबंध फलन को इस प्रकार परिभाषित करना सुविधाजनक होता है:


 * $$ h(12)\equiv g(12)-1$$

जो दूरी $$\,r_{12}\,$$के अणु 2 पर अणु 1 के प्रभाव को व्यक्त करता है:

इस प्रभाव को दो प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष योगफलों में विभाजित किया जाता है। प्रत्यक्ष योगफल प्रत्यक्ष सहसंबंध फलन $$c(r)$$ को परिभाषित करता है। अप्रत्यक्ष भाग एक तिहाई अवस्था मे अणु 3 पर अणु 1 के प्रभाव के कारण को परिभाषित करता है जो अणु 2 को प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष रूप से प्रभावित करता है। यह अप्रत्यक्ष प्रभाव घनत्व द्वारा भारित होता है और अणु 3 की सभी संभावित स्थितियों पर औसत होता है। अप्रत्यक्ष प्रभाव को समाप्त करके $$\,c(r)\,$$ को $$h(r)$$ से कम दूरी का बनाया गया है जिसको अधिक सामान्य रूप से अनुमानित किया जा सकता है।

जहाँ $$\,c(r)\,$$ की त्रिज्या अंतराआण्विक बलों की त्रिज्या से निर्धारित होती है जबकि $$\,h(r)\,$$ की त्रिज्या सहसंबंध लंबाई के क्रम की होती है।

फूरियर रूपांतरण
ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण में अभिन्न एक कनवल्शन है। इसलिए, ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण को फूरियर रूपांतरित करता है द्वारा हल किया जा सकता है। यदि हम फूरियर परिवर्तनों को निरूपित करते हैं $$h(\mathbf{r})$$ और $$c(\mathbf{r})$$ द्वारा $$\hat{h}(\mathbf{k})$$ और $$\hat{c}(\mathbf{k})$$, क्रमशः, और कनवल्शन प्रमेय का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं


 * $$ \hat{h}(\mathbf{k}) \; = \; \hat{c}(\mathbf{k}) \; + \; \rho \; \hat{h}(\mathbf{k})\;\hat{c}(\mathbf{k})~, $$

कौन सी पैदावार


 * $$ \hat{c}(\mathbf{k}) \; = \; \frac{\hat{h}(\mathbf{k})}{\;1 \;+\;\rho \;\hat{h}(\mathbf{k})\;} \qquad \text{ and } \qquad \hat{h}(\mathbf{k}) \; = \; \frac{\hat{c}(\mathbf{k})}{\; 1 \; - \; \rho \; \hat{c}(\mathbf{k}) \;} ~. $$

समापन संबंध
दोनों कार्यों के रूप में, $$ \,h \,$$ और $$ \,c \,$$, अज्ञात हैं, किसी को एक अतिरिक्त समीकरण की आवश्यकता होती है, जिसे क्लोजर (गणित) संबंध के रूप में जाना जाता है। जबकि ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण पूरी तरह से औपचारिक है, समापन में कुछ शारीरिक रूप से प्रेरित सन्निकटन सम्मिलित होना चाहिए।

निम्न-घनत्व सीमा में, युग्म सहसंबंध फलन बोल्ट्ज़मान कारक द्वारा दिया जाता है,


 * $$g(12)=\text{e}^{-\beta u(12)},\quad \rho\to 0$$

साथ $$\beta=1/k_\text{B} T$$ और जोड़ी क्षमता के साथ $$u(r)$$. उच्च घनत्व के लिए समापन संबंध इस सरल संबंध को विभिन्न तरीकों से संशोधित करते हैं। सबसे प्रसिद्ध समापन सन्निकटन हैं:
 * अभेद्य (कठोर) कोर वाले कणों के लिए पर्कस-येविक सन्निकटन,
 * हाइपरनेटेटेड-चेन समीकरण नरम कोर और आकर्षक संभावित पूंछ वाले कणों के लिए,
 * माध्य गोलाकार सन्निकटन,
 * रोजर्स-यंग सन्निकटन

बाद वाले दो पहले वाले दो कणों के बीच अलग-अलग तरीकों से प्रक्षेप करते हैं, और इस प्रकार उन कणों का संतोषजनक विवरण प्राप्त करते हैं जिनमें कठोर कोर और आकर्षक बल होते हैं।