कक्षीय यांत्रिकी



कक्षीय यांत्रिकी या खगोलगतिकी रॉकेट और अन्य अंतरिक्ष यान की गति से संबंधित व्यावहारिक समस्याओं के लिए प्राक्षेपिकी और आकाशीय यांत्रिकी का अनुप्रयोग है। इन वस्तुओं की गति की गणना आमतौर पर न्यूटन के गति के नियमों और न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम से की जाती है। कक्षीय यांत्रिकी अंतरिक्ष अन्वेषण | अंतरिक्ष-मिशन डिजाइन और नियंत्रण के भीतर एक मुख्य अनुशासन है।

आकाशीय यांत्रिकी अंतरिक्ष यान और प्राकृतिक खगोलीय वस्तु जैसे स्टार सिस्टम, ग्रह, प्राकृतिक उपग्रह और धूमकेतु दोनों सहित गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में प्रणालियों की कक्षीय गतिशीलता का अधिक व्यापक रूप से इलाज करती है। कक्षीय यांत्रिकी अंतरिक्ष यान प्रक्षेपवक्र पर ध्यान केंद्रित करती है, जिसमें कक्षीय युद्धाभ्यास, कक्षीय विमान (खगोल विज्ञान) परिवर्तन, और ग्रहों के स्थानान्तरण शामिल हैं, और अंतरिक्ष यान प्रणोदन के परिणामों की भविष्यवाणी करने के लिए मिशन योजनाकारों द्वारा उपयोग किया जाता है।

कक्षाओं की गणना के लिए न्यूटन के नियमों की तुलना में सामान्य सापेक्षता एक अधिक सटीक सिद्धांत है, और कभी-कभी इसे अधिक सटीकता या उच्च-गुरुत्वाकर्षण स्थितियों (जैसे सूर्य के निकट कक्षा) में उपयोग करना आवश्यक होता है।

इतिहास
बीसवीं सदी में अंतरिक्ष यान के उदय तक, कक्षीय और आकाशीय यांत्रिकी के बीच बहुत कम अंतर था। स्पुतनिक के समय इस क्षेत्र को 'अंतरिक्ष गतिकी' कहा जाता था। मौलिक तकनीकें, जैसे कि केप्लरियन समस्या (समय के कार्य के रूप में स्थिति का निर्धारण) को हल करने के लिए उपयोग की जाती हैं, इसलिए दोनों क्षेत्रों में समान हैं। इसके अलावा, खेतों का इतिहास लगभग पूरी तरह से साझा किया गया है।

जोहान्स केप्लर 1605 में ग्रहीय गति के केप्लर के नियमों को प्रकाशित करते हुए उच्च स्तर की सटीकता के लिए ग्रहों की कक्षाओं को सफलतापूर्वक मॉडल करने वाला पहला व्यक्ति था। तीन प्रेक्षणों से परवलय पथ का अनुसरण करते हुए किसी पिंड की कक्षा का पता लगाने की एक विधि। इसका उपयोग एडमंड हैली द्वारा हैली के धूमकेतु समेत विभिन्न धूमकेतुओं की कक्षाओं को स्थापित करने के लिए किया गया था। सन् 1744 में यूलर द्वारा न्यूटन के उत्तरोत्तर सन्निकटन की विधि को एक विश्लेषणात्मक पद्धति में औपचारिक रूप दिया गया था, जिसका काम बदले में 1761-1777 में जोहान हेनरिक लैम्बर्ट द्वारा अण्डाकार और अतिपरवलयिक कक्षाओं के लिए सामान्यीकृत किया गया था।

कक्षा निर्धारण में एक और मील का पत्थर कार्ल फ्रेडरिक गॉस की 1801 में बौने ग्रह सेरेस (बौने ग्रह) की पुनर्प्राप्ति में सहायता थी। गॉस की विधि केवल तीन अवलोकनों (सही उदगम और गिरावट के जोड़े के रूप में) का उपयोग करने में सक्षम थी, खोजने के लिए छह कक्षीय तत्व जो पूरी तरह से कक्षा का वर्णन करते हैं। कक्षा निर्धारण के सिद्धांत को बाद में उस बिंदु तक विकसित किया गया है जहां आज इसे जीपीएस रिसीवर के साथ-साथ नए देखे गए छोटे ग्रहों की ट्रैकिंग और कैटलॉगिंग में भी लागू किया जाता है। आधुनिक कक्षा निर्धारण और भविष्यवाणी का उपयोग सभी प्रकार के उपग्रहों और अंतरिक्ष जांचों को संचालित करने के लिए किया जाता है, क्योंकि उनकी भविष्य की स्थिति को उच्च स्तर की सटीकता के लिए जानना आवश्यक है।

एस्ट्रोडायनामिक्स का विकास 1930 के दशक की शुरुआत में खगोलशास्त्री सैमुअल हेरिक (खगोलविद) द्वारा किया गया था। उन्होंने रॉकेट वैज्ञानिक रॉबर्ट गोडार्ड से परामर्श किया और उन्हें अंतरिक्ष नेविगेशन तकनीकों पर अपना काम जारी रखने के लिए प्रोत्साहित किया गया, क्योंकि गोडार्ड का मानना ​​था कि भविष्य में उनकी आवश्यकता होगी। 1960 के दशक में खगोलगतिकी की संख्यात्मक तकनीकों को नए शक्तिशाली कंप्यूटरों के साथ जोड़ा गया था, और मनुष्य चंद्रमा की यात्रा करने और वापस लौटने के लिए तैयार थे।

अंगूठे के नियम
अंगूठे के निम्नलिखित नियम शास्त्रीय यांत्रिकी द्वारा अनुमानित स्थितियों के लिए उपयोगी हैं, जो नीचे उल्लिखित ज्योतिष विज्ञान की मानक धारणाओं के तहत हैं। जिस विशिष्ट उदाहरण पर चर्चा की गई है वह किसी ग्रह की परिक्रमा करने वाले उपग्रह का है, लेकिन अंगूठे के नियम अन्य स्थितियों पर भी लागू हो सकते हैं, जैसे कि सूर्य जैसे तारे के चारों ओर छोटे पिंडों की कक्षाएँ।


 * केप्लर के ग्रहों की गति के नियम:
 * कक्षाएँ दीर्घवृत्त हैं, दीर्घवृत्त के एक फ़ोकस (ज्यामिति) पर भारी पिंड के साथ। इसका एक विशेष मामला केंद्र में ग्रह के साथ एक गोलाकार कक्षा है (एक वृत्त दीर्घवृत्त का एक विशेष मामला है)।
 * ग्रह से उपग्रह तक खींची गई एक रेखा समान समय में समान क्षेत्रों को पार करती है, चाहे कक्षा का कोई भी भाग मापा गया हो।
 * किसी उपग्रह की कक्षीय अवधि का वर्ग ग्रह से उसकी औसत दूरी के घन के समानुपाती होता है।
 * बिना बल लगाए (जैसे कि रॉकेट इंजन को फायर करना), उपग्रह की कक्षा की अवधि और आकार नहीं बदलेगा।
 * कम कक्षा में एक उपग्रह (या दीर्घवृत्तीय कक्षा का निचला हिस्सा) ग्रह की सतह के संबंध में उच्च कक्षा (या दीर्घवृत्तीय कक्षा का एक उच्च भाग) में उपग्रह की तुलना में अधिक तेज़ी से चलता है, क्योंकि यह अधिक शक्तिशाली होता है गुरुत्वाकर्षण आकर्षण ग्रह के करीब।
 * यदि उपग्रह की कक्षा में केवल एक बिंदु पर जोर लगाया जाता है, तो यह बाद की प्रत्येक कक्षा में उसी बिंदु पर वापस आ जाएगा, हालांकि इसका बाकी रास्ता बदल जाएगा। इस प्रकार एक वृत्ताकार कक्षा से दूसरी कक्षा में केवल एक संक्षिप्त प्रणोद के साथ नहीं जा सकता है।
 * एक गोलाकार कक्षा से, उपग्रह की गति के विपरीत दिशा में लगाया गया जोर कक्षा को अंडाकार में बदल देता है; उपग्रह नीचे उतरेगा और फायरिंग पॉइंट से 180 डिग्री की दूरी पर सबसे कम कक्षीय बिंदु (पेरिऐप्स) पर पहुंचेगा; फिर यह वापस चढ़ेगा। उपग्रह की गति की दिशा में लगाया गया थ्रस्ट फायरिंग बिंदु से 180 डिग्री दूर अपने उच्चतम बिंदु (एपोएप्स) के साथ एक अण्डाकार कक्षा बनाता है।

कक्षीय यांत्रिकी के नियमों के परिणाम कभी-कभी प्रति-सहज होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि दो अंतरिक्ष यान एक ही वृत्ताकार कक्षा में हैं और डॉक करना चाहते हैं, जब तक कि वे बहुत करीब न हों, अनुगामी शिल्प अपने इंजनों को तेजी से जाने के लिए आग नहीं लगा सकता। यह इसकी कक्षा के आकार को बदल देगा, जिससे यह ऊंचाई हासिल कर लेगा और वास्तव में प्रमुख शिल्प के सापेक्ष धीमा हो जाएगा, लक्ष्य को खो देगा। डॉकिंग से पहले मिलने वाला स्थान सामान्य रूप से कई कक्षीय अवधियों में कई सटीक गणना वाले इंजन फायरिंग लेता है, जिसे पूरा करने के लिए घंटों या दिनों की आवश्यकता होती है।

इस हद तक कि एस्ट्रोडायनामिक्स की मानक धारणाएं पकड़ में नहीं आतीं, वास्तविक प्रक्षेपवक्र उन परिकलित से भिन्न होंगे। उदाहरण के लिए, कम पृथ्वी की कक्षा में वस्तुओं के लिए साधारण वायुमंडलीय ड्रैग एक और जटिल कारक है।

समान द्रव्यमान के दो या दो से अधिक पिंडों का वर्णन करते समय अंगूठे के ये नियम निश्चित रूप से गलत हैं, जैसे कि बाइनरी स्टार सिस्टम (एन-बॉडी प्रॉब्लम देखें)। आकाशीय यांत्रिकी व्यापक प्रकार की स्थितियों पर लागू होने वाले अधिक सामान्य नियमों का उपयोग करती है। ग्रहों की गति के केपलर के नियम, जो गणितीय रूप से न्यूटन के नियमों से प्राप्त किए जा सकते हैं, गैर-गुरुत्वाकर्षण बलों की अनुपस्थिति में केवल दो गुरुत्वाकर्षण पिंडों की गति का वर्णन करने में सख्ती से लागू होते हैं; वे परवलयिक और अतिशयोक्तिपूर्ण प्रक्षेपवक्र का भी वर्णन करते हैं। सितारों जैसे बड़े पिंडों की निकटता में शास्त्रीय यांत्रिकी और सामान्य सापेक्षता के बीच का अंतर भी महत्वपूर्ण हो जाता है।

ज्योतिषगतिकी के नियम
खगोलगतिकी के मूलभूत नियम न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम और न्यूटन के गति के नियम हैं, जबकि मौलिक गणितीय उपकरण अवकलन कलन है।

वायुमंडल के बाहर प्रत्येक कक्षा और प्रक्षेपवक्र सैद्धांतिक रूप से प्रतिवर्ती है, अर्थात, स्पेस-टाइम फ़ंक्शन में टी-समरूपता। वेग उलटे होते हैं और त्वरण समान होते हैं, जिसमें रॉकेट फटने के कारण भी शामिल है। इस प्रकार यदि कोई रॉकेट वेग की दिशा में फटता है, तो उलटी स्थिति में यह वेग के विपरीत होता है। बेशक रॉकेट फटने के मामले में घटनाओं का पूर्ण उलटा नहीं होता है, दोनों तरीकों से एक ही डेल्टा-वी का उपयोग किया जाता है और समान द्रव्यमान अनुपात लागू होता है।

एस्ट्रोडायनामिक्स में मानक धारणाओं में बाहरी निकायों से गैर-हस्तक्षेप, निकायों में से एक के लिए नगण्य द्रव्यमान, और नगण्य अन्य बल (जैसे सौर हवा, वायुमंडलीय ड्रैग, आदि) शामिल हैं। इन सरल धारणाओं के बिना अधिक सटीक गणना की जा सकती है, लेकिन वे अधिक जटिल हैं। बढ़ी हुई सटीकता अक्सर गणना में सार्थक होने के लिए पर्याप्त अंतर नहीं बनाती है।

ग्रहों की गति के केप्लर के नियम न्यूटन के नियमों से प्राप्त हो सकते हैं, जब यह मान लिया जाता है कि परिक्रमा करने वाला पिंड केवल केंद्रीय आकर्षण बल के गुरुत्वाकर्षण बल के अधीन है। जब एक इंजन जोर या प्रणोदन बल मौजूद होता है, तब भी न्यूटन के नियम लागू होते हैं, लेकिन केप्लर के नियम अमान्य हैं। जब जोर रुकता है, परिणामी कक्षा अलग होगी लेकिन एक बार फिर केप्लर के नियमों द्वारा वर्णित की जाएगी जो ऊपर निर्धारित किए गए हैं। तीन कानून हैं:
 * 1) प्रत्येक ग्रह की कक्षा एक दीर्घवृत्त है जिसमें एक फोकस (ज्यामिति) पर सूर्य है।
 * 2) एक ग्रह और सूर्य को मिलाने वाली एक रेखा (गणित) समय के समान अंतराल के दौरान समान क्षेत्रों को पार करती है।
 * 3) ग्रहों की कक्षीय अवधियों के वर्ग (बीजगणित) कक्षाओं के अर्ध-प्रमुख अक्ष के घन (अंकगणित) के सीधे आनुपातिकता (गणित) हैं।

पलायन वेग
पलायन वेग का सूत्र इस प्रकार निकाला जाता है। किसी भी अंतरिक्ष यान की विशिष्ट ऊर्जा (ऊर्जा प्रति इकाई द्रव्यमान) दो घटकों, विशिष्ट संभावित ऊर्जा और विशिष्ट गतिज ऊर्जा से बनी होती है। द्रव्यमान M के ग्रह से जुड़ी विशिष्ट संभावित ऊर्जा किसके द्वारा दी गई है
 * $$\epsilon_p = - \frac{G M}{r} \,$$

जहाँ G गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है और r दो पिंडों के बीच की दूरी है;

जबकि किसी वस्तु की विशिष्ट गतिज ऊर्जा किसके द्वारा दी जाती है
 * $$\epsilon_k = \frac{v^2}{2} \,$$

जहाँ v इसकी गति है;

और इसलिए कुल विशिष्ट कक्षीय ऊर्जा है
 * $$ \epsilon = \epsilon_k+\epsilon_p = \frac{v^2}{2} - \frac{G M}{r} \,$$

ऊर्जा के संरक्षण के बाद से, $$ \epsilon$$ दूरी पर निर्भर नहीं हो सकता, $$r$$, केंद्रीय निकाय के केंद्र से प्रश्न में अंतरिक्ष यान तक, यानी v विशिष्ट कक्षीय ऊर्जा को स्थिर रखने के लिए r के साथ भिन्न होना चाहिए। इसलिए, वस्तु अनंत तक पहुंच सकती है $$r$$ केवल अगर यह मात्रा गैर-नकारात्मक है, जिसका तात्पर्य है
 * $$v\geq\sqrt{\frac{2 G M}{r}}.$$

पृथ्वी की सतह से पलायन वेग लगभग 11 km/s है, लेकिन यह सूर्य के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव के कारण पिंड को अनंत दूरी तक भेजने के लिए अपर्याप्त है। सूर्य से पृथ्वी की दूरी के बराबर, लेकिन पृथ्वी के करीब नहीं, सूर्य से दूरी पर एक स्थान से सौर मंडल से बचने के लिए लगभग 42 km/s वेग की आवश्यकता होती है, लेकिन अंतरिक्ष यान के लिए पृथ्वी के कक्षीय वेग के लिए आंशिक श्रेय होगा पृथ्वी से प्रक्षेपित, यदि उनका आगे त्वरण (प्रणोदन प्रणाली के कारण) उन्हें उसी दिशा में ले जाता है जैसे पृथ्वी अपनी कक्षा में यात्रा करती है।

मुक्त कक्षाओं के लिए सूत्र
कक्षाएँ शंक्वाकार खंड हैं, इसलिए किसी दिए गए कोण के लिए पिंड की दूरी का सूत्र ध्रुवीय निर्देशांक में उस वक्र के सूत्र से मेल खाता है, जो है:
 * $$r = \frac{ p }{1 + e \cos \theta}$$
 * $$\mu= G(m_1+m_2)\,$$
 * $$p=h^2/\mu\,$$

$$\mu$$ गुरुत्वाकर्षण पैरामीटर कहा जाता है। $$m_1$$ और $$m_2$$ वस्तुओं 1 और 2 के द्रव्यमान हैं, और $$h$$ वस्तु 1 के संबंध में वस्तु 2 का विशिष्ट कोणीय संवेग है। पैरामीटर $$\theta$$ असली विसंगति के रूप में जाना जाता है, $$p$$ शांकव खंड है#शंकु पैरामीटर|अर्द्ध-अक्षांश मलाशय, जबकि $$e$$ कक्षीय विलक्षणता है, जो छह स्वतंत्र कक्षीय तत्वों के विभिन्न रूपों से प्राप्त की जा सकती है।

परिपत्र कक्षाएँ
सभी परिबद्ध कक्षाएँ जहाँ एक केंद्रीय निकाय का गुरुत्वाकर्षण हावी होता है, प्रकृति में अण्डाकार होती हैं। इसका एक विशेष मामला गोलाकार कक्षा है, जो शून्य उत्केन्द्रता का दीर्घवृत्त है। द्रव्यमान M के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से दूरी r पर एक वृत्ताकार कक्षा में किसी पिंड के वेग का सूत्र निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:

केन्द्रापसारक त्वरण गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण से मेल खाता है।

इसलिए, $$\frac{v^2}{r} = \frac{GM}{r^2}$$ इसलिए,
 * $$\ v = \sqrt{\frac{GM} {r}\ }$$

कहाँ पे $$G$$ गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है, के बराबर
 * 6.673 84 × 10-11 म3/(किग्रा·से2)

इस सूत्र का ठीक से उपयोग करने के लिए, इकाइयों को संगत होना चाहिए; उदाहरण के लिए, $$M$$ किलोग्राम में होना चाहिए, और $$r$$ मीटर में होना चाहिए। उत्तर मीटर प्रति सेकंड में होगा।

मात्रा $$GM$$ अक्सर मानक गुरुत्वाकर्षण पैरामीटर कहा जाता है, जिसका सौर मंडल में प्रत्येक ग्रह या चंद्रमा के लिए एक अलग मान होता है।

एक बार वृत्ताकार कक्षीय वेग ज्ञात हो जाने पर, पलायन वेग आसानी से गुणा करके पाया जाता है $$\sqrt{2}$$:
 * $$\ v = \sqrt 2\sqrt{\frac {GM} {r}\ } = \sqrt{\frac {2GM} {r}\ }.$$

गुरुत्वाकर्षण से बचने के लिए, गतिज ऊर्जा को कम से कम नकारात्मक संभावित ऊर्जा से मेल खाना चाहिए। इसलिए, $$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{r}$$
 * $$v = \sqrt{\frac {2GM} {r}\ }.$$

अण्डाकार कक्षाएँ
यदि $$0 < e < 1$$, तो मुक्त कक्षाओं के समीकरण का भाजक सही विसंगति के साथ बदलता रहता है $$\theta$$, लेकिन सकारात्मक रहता है, कभी शून्य नहीं होता। इसलिए, सापेक्ष स्थिति सदिश परिबद्ध रहता है, पेरीपसिस पर इसका सबसे छोटा परिमाण होता है $$r_p$$, जो इसके द्वारा दिया गया है:
 * $$r_p=\frac{p}{1+e}$$

अधिकतम मूल्य $$r$$ कब पहुँच जाता है $$\theta = 180^\circ$$. इस बिंदु को एपोप्सिस कहा जाता है, और इसके रेडियल समन्वय को निरूपित किया जाता है $$r_a$$, है
 * $$r_a=\frac{p}{1-e}$$

होने देना $$2a$$ पेरीएप्सिस से एपसे रेखा के साथ मापी गई दूरी हो $$P$$ आप उसे खाते हैं $$A$$, जैसा कि नीचे दिए गए समीकरण में दिखाया गया है:
 * $$2a=r_p+r_a$$

उपरोक्त समीकरणों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
 * $$a=\frac{p}{1-e^2}$$

ए दीर्घवृत्त का अर्ध-प्रमुख अक्ष है। के लिए हल करना $$p$$, और उपरोक्त शांकव खंड वक्र सूत्र में परिणाम को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
 * $$r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta}$$

कक्षीय अवधि
मानक मान्यताओं के तहत कक्षीय अवधि ($$T\,\!$$) एक अंडाकार कक्षा के साथ यात्रा करने वाले शरीर की गणना इस प्रकार की जा सकती है:
 * $$T=2\pi\sqrt{a^3\over{\mu}}$$

कहाँ पे: निष्कर्ष:
 * $$\mu\,$$ मानक गुरुत्वाकर्षण पैरामीटर है,
 * $$a\,\!$$ अर्ध-प्रमुख अक्ष की लंबाई है।
 * कक्षीय अवधि सेमी-मेजर अक्ष के बराबर कक्षा त्रिज्या के साथ एक गोलाकार कक्षा के बराबर है ($$a\,\!$$),
 * किसी दिए गए अर्ध-प्रमुख अक्ष के लिए कक्षीय अवधि उत्केन्द्रता पर निर्भर नहीं करती है (यह भी देखें: केप्लर के ग्रहों की गति के नियम#तीसरा नियम|केप्लर का तीसरा नियम)।

वेग
मानक मान्यताओं के तहत कक्षीय गति ($$v\,$$) एक अण्डाकार कक्षा के साथ यात्रा करने वाले पिंड की गणना विस-विवा समीकरण से की जा सकती है:
 * $$v=\sqrt{\mu\left({2\over{r}}-{1\over{a}}\right)}$$

कहाँ पे:
 * $$\mu\,$$ मानक गुरुत्वाकर्षण पैरामीटर है,
 * $$r\,$$ परिक्रमा करने वाले पिंडों के बीच की दूरी है।
 * $$a\,\!$$ अर्ध-प्रमुख अक्ष की लंबाई है।

एक अतिशयोक्तिपूर्ण प्रक्षेपवक्र के लिए वेग समीकरण है $$v=\sqrt{\mu\left({2\over{r}}+\left\vert {1\over{a}} \right\vert\right)}$$.

ऊर्जा
मानक मान्यताओं के तहत, विशिष्ट कक्षीय ऊर्जा ($$\epsilon\,$$) अण्डाकार कक्षा का ऋणात्मक है और इस कक्षा के लिए कक्षीय ऊर्जा संरक्षण समीकरण (विविवा समीकरण) रूप ले सकता है:
 * $${v^2\over{2}}-{\mu\over{r}}=-{\mu\over{2a}}=\epsilon<0$$

कहाँ पे: निष्कर्ष:
 * $$v\,$$ परिक्रमा करने वाले पिंड की गति है,
 * $$r\,$$ केंद्रीय पिंड के द्रव्यमान के केंद्र से परिक्रमा करने वाले पिंड की दूरी है,
 * $$a\,$$ अर्ध-प्रमुख अक्ष है,
 * $$\mu\,$$ मानक गुरुत्वाकर्षण पैरामीटर है।
 * किसी दिए गए अर्ध-प्रमुख अक्ष के लिए विशिष्ट कक्षीय ऊर्जा उत्केन्द्रता से स्वतंत्र होती है।

वायरल प्रमेय का उपयोग करके हम पाते हैं:
 * विशिष्ट संभावित ऊर्जा का समय-औसत बराबर है $$2\epsilon$$
 * का समय-औसत $$r^{-1}$$ है $$a^{-1}$$
 * विशिष्ट गतिज ऊर्जा का समय-औसत बराबर होता है $$-\epsilon$$

परवलयिक कक्षाएँ
यदि विलक्षणता 1 के बराबर है, तो कक्षा समीकरण बन जाता है:
 * $$r={{h^2}\over{\mu}}{{1}\over{1+\cos\theta}}$$

कहाँ पे:
 * $$r\,$$ केंद्रीय निकाय के द्रव्यमान केंद्र से परिक्रमा करने वाले पिंड की रेडियल दूरी है,
 * $$h\,$$ परिक्रमा करने वाले पिंड का विशिष्ट कोणीय संवेग है,
 * $$\theta\,$$ परिक्रमा करने वाले पिंड की सच्ची विसंगति है,
 * $$\mu\,$$ मानक गुरुत्वाकर्षण पैरामीटर है।

जैसे-जैसे वास्तविक असंगति θ 180° की ओर अग्रसर होती है, हर शून्य की ओर अग्रसर होता जाता है, जिससे r अनंत की ओर प्रवृत्त होता है। इसलिए, प्रक्षेपवक्र की ऊर्जा जिसके लिए e=1 शून्य है, और इसके द्वारा दिया गया है:
 * $$\epsilon={v^2\over2}-{\mu\over{r}}=0$$

कहाँ पे:
 * $$v\,$$ परिक्रमा करने वाले पिंड की गति है।

दूसरे शब्दों में, परवलयिक पथ पर कहीं भी गति है:
 * $$v=\sqrt{2\mu\over{r}}$$

अतिशयोक्तिपूर्ण कक्षाएँ
यदि $$e>1$$कक्षा सूत्र,
 * $$r={{h^2}\over{\mu}}{{1}\over{1+e\cos\theta}}$$

अतिशयोक्तिपूर्ण कक्षा की ज्यामिति का वर्णन करता है। प्रणाली में दो सममित वक्र होते हैं। परिक्रमा करने वाला शरीर उनमें से एक पर कब्जा कर लेता है; दूसरा इसकी खाली गणितीय छवि है। स्पष्ट रूप से, उपरोक्त समीकरण का भाजक शून्य हो जाता है जब $$\cos\theta = -1/e$$. हम वास्तविक विसंगति के इस मूल्य को निरूपित करते हैं
 * $$\theta_\infty = \cos^{-1} \left( -\frac1e \right)$$

चूँकि वास्तविक विसंगति के निकट आने पर रेडियल दूरी अनंत तक पहुँच जाती है $$\theta_\infty$$, स्पर्शोन्मुख के सच्चे विसंगति के रूप में जाना जाता है। उसका अवलोकन करो $$\theta_\infty$$ 90° और 180° के बीच स्थित है। त्रिकोणमितीय पहचान से $$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$$ यह इस प्रकार है कि:
 * $$\sin\theta_\infty = \frac1e \sqrt{e^2 - 1}$$

ऊर्जा
मानक मान्यताओं के तहत, विशिष्ट कक्षीय ऊर्जा ($$\epsilon\,$$) एक अतिशयोक्तिपूर्ण प्रक्षेपवक्र शून्य से अधिक है और इस प्रकार के प्रक्षेपवक्र के लिए कक्षीय ऊर्जा संरक्षण समीकरण बनता है:
 * $$\epsilon={v^2\over2}-{\mu\over{r}}={\mu\over{-2a}}$$

कहाँ पे:
 * $$v\,$$ परिक्रमा करने वाले पिंड की कक्षीय गति है,
 * $$r\,$$ केंद्रीय निकाय से परिक्रमा करने वाले पिंड की रेडियल दूरी है,
 * $$a\,$$ कक्षा के अतिपरवलय का ऋणात्मक अर्ध-प्रमुख अक्ष है,
 * $$\mu\,$$ मानक गुरुत्वाकर्षण पैरामीटर है।

अतिशयोक्तिपूर्ण अतिरिक्त वेग
मानक मान्यताओं के तहत एक अतिशयोक्तिपूर्ण प्रक्षेपवक्र के साथ यात्रा करने वाला शरीर प्राप्त करेगा $$r =$$ अनंत एक कक्षीय गति जिसे अतिशयोक्तिपूर्ण अतिरिक्त वेग कहा जाता है ($$v_\infty\,\!$$) जिसकी गणना इस प्रकार की जा सकती है:
 * $$v_\infty=\sqrt{\mu\over{-a}}\,\!$$

कहाँ पे:
 * $$\mu\,\!$$ मानक गुरुत्वाकर्षण पैरामीटर है,
 * $$a\,\!$$ कक्षा के अतिपरवलय का ऋणात्मक अर्ध-प्रमुख अक्ष है।

अतिशयोक्तिपूर्ण अतिरिक्त वेग विशिष्ट कक्षीय ऊर्जा या विशेषता ऊर्जा से संबंधित है
 * $$2\epsilon=C_3=v_{\infty}^2\,\!$$

केप्लर का समीकरण
कक्षाओं की गणना करने के लिए एक दृष्टिकोण (मुख्य रूप से ऐतिहासिक रूप से उपयोग किया जाता है) केप्लर के समीकरण का उपयोग करना है:
 * $$ M = E - \epsilon \cdot \sin E $$.

जहां एम औसत विसंगति है, ई सनकी विसंगति है, और $$ \epsilon $$ विलक्षणता (गणित) है।

केपलर के सूत्र के साथ, के कोण (सच्ची विसंगति) तक पहुँचने के लिए उड़ान के समय का पता लगाना $$\theta$$ पेरियाप्सिस से दो चरणों में तोड़ा गया है: एक निश्चित समय पर विलक्षण विसंगति का पता लगाना (केप्लर का समीकरण# उलटा समस्या) अधिक कठिन है। केप्लर का समीकरण अनुवांशिक कार्य है $$E$$, जिसका अर्थ है कि इसे हल नहीं किया जा सकता है $$E$$ बीजगणितीय कार्य। केप्लर के समीकरण को हल किया जा सकता है $$E$$ व्युत्क्रम द्वारा विश्लेषणात्मक कार्य।
 * 1) सनकी विसंगति की गणना करें $$E$$ सच्ची विसंगति से $$\theta$$
 * 2) उड़ान के समय की गणना करें $$t$$ सनकी विसंगति से $$E$$

केप्लर के समीकरण का एक समाधान, के सभी वास्तविक मानों के लिए मान्य है $$ \textstyle \epsilon $$ है:

$$ E = \begin{cases}

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} {\frac{M^{\frac{n}{3}}}{n!}} \lim_{\theta \to 0} \left( \frac{\mathrm{d}^{\,n-1}}{\mathrm{d}\theta^{\,n-1}} \left[ \left( \frac{\theta}{ \sqrt[3]{\theta - \sin(\theta)} } \right) ^n \right] \right) , & \epsilon = 1  \\

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} { \frac{ M^n }{ n! } } \lim_{\theta \to 0} \left( \frac{\mathrm{d}^{\,n-1}}{\mathrm{d}\theta^{\,n-1}} \left[ \left( \frac{ \theta }{ \theta - \epsilon \cdot \sin(\theta)} \right) ^n \right] \right) , & \epsilon \ne  1

\end{cases} $$ इसका मूल्यांकन करने पर:

$$ E = \begin{cases} \displaystyle x + \frac{1}{60} x^3 + \frac{1}{1400}x^5 + \frac{1}{25200}x^7 + \frac{43}{17248000}x^9 + \frac{ 1213}{7207200000 }x^{11} + \frac{151439}{12713500800000 }x^{13} \cdots \ | \ x = ( 6 M )^\frac{1}{3} , & \epsilon = 1  \\ \\ \displaystyle \frac{1}{1-\epsilon} M - \frac{\epsilon}{( 1-\epsilon)^4 } \frac{M^3}{3!} + \frac{(9 \epsilon^2 + \epsilon)}{(1-\epsilon)^7 } \frac{M^5}{5!} - \frac{(225 \epsilon^3 + 54 \epsilon^2 + \epsilon ) }{(1-\epsilon)^{10} } \frac{M^7}{7!} + \frac{ (11025\epsilon^4 + 4131 \epsilon^3 + 243 \epsilon^2 + \epsilon ) }{(1-\epsilon)^{13} } \frac{M^9}{9!} \cdots

, & \epsilon \ne  1

\end{cases} $$ वैकल्पिक रूप से, केप्लर के समीकरण को संख्यात्मक रूप से हल किया जा सकता है। सबसे पहले के मूल्य का अनुमान लगाना चाहिए $$E$$ और समय-समय पर उड़ान के लिए हल करें; फिर समायोजित करें $$E$$ जब तक आवश्यक सटीकता प्राप्त नहीं हो जाती है, तब तक गणना की गई उड़ान के समय को वांछित मूल्य के करीब लाने के लिए आवश्यक है। आमतौर पर न्यूटन की विधि का उपयोग अपेक्षाकृत तेजी से अभिसरण प्राप्त करने के लिए किया जाता है।

इस दृष्टिकोण के साथ मुख्य कठिनाई यह है कि चरम अण्डाकार कक्षाओं के अभिसरण के लिए निषेधात्मक रूप से लंबा समय लग सकता है। निकट-परवलयिक कक्षाओं के लिए, विलक्षणता $$\epsilon$$ लगभग 1 है, और प्रतिस्थापन $$e = 1$$ माध्य विसंगति के सूत्र में, $$E - \sin E$$, हम अपने आप को दो लगभग-समान मानों को घटाते हुए पाते हैं, और सटीकता प्रभावित होती है। निकट-परिपत्र कक्षाओं के लिए, पहली जगह में पेरीपसिस को ढूंढना मुश्किल है (और वास्तव में परिपत्र कक्षाओं में कोई पेरीपसिस नहीं है)। इसके अलावा, समीकरण एक अण्डाकार कक्षा की धारणा पर प्राप्त किया गया था, और इसलिए यह परवलयिक या अतिशयोक्तिपूर्ण कक्षाओं के लिए सही नहीं है। ये कठिनाइयाँ हैं जो नीचे वर्णित सार्वभौमिक चर सूत्रीकरण के विकास के लिए प्रेरित करती हैं।

शंक्वाकार कक्षाएँ
सरल प्रक्रियाओं के लिए, जैसे समतलीय स्थानांतरण दीर्घवृत्त के लिए डेल्टा-वी की गणना, पारंपरिक दृष्टिकोण काफी प्रभावी हैं। अन्य, जैसे कि समय-की-उड़ान कहीं अधिक जटिल हैं, विशेष रूप से निकट-परिपत्र और अतिशयोक्तिपूर्ण कक्षाओं के लिए।

पैच्ड शंकु सन्निकटन
हॉहमैन ट्रांसफर ऑर्बिट अकेले इंटरप्लेनेटरी ट्रैजेक्टोरियों के लिए एक खराब सन्निकटन है क्योंकि यह ग्रहों के अपने गुरुत्वाकर्षण की उपेक्षा करता है। ग्रह के आसपास के क्षेत्र में अंतरिक्ष यान के व्यवहार पर ग्रहों का गुरुत्वाकर्षण हावी है और ज्यादातर मामलों में होहमैन गंभीर रूप से डेल्टा-वी का अनुमान लगाता है, और जलने के समय के लिए अत्यधिक गलत नुस्खे पैदा करता है। सन्निकटन के आदेश प्राप्त करने का एक अपेक्षाकृत सरल तरीका | डेल्टा-वी का प्रथम-क्रम सन्निकटन 'पैच्ड कॉनिक सन्निकटन' तकनीक पर आधारित है। अंतरिक्ष के प्रत्येक क्षेत्र में एक प्रमुख गुरुत्वाकर्षण पिंड का चयन करना चाहिए जिसके माध्यम से प्रक्षेपवक्र गुजरेगा, और उस क्षेत्र में केवल उस पिंड के प्रभाव को मॉडल करना होगा। उदाहरण के लिए, पृथ्वी से मंगल तक के प्रक्षेपवक्र पर, कोई केवल पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण पर विचार करके शुरू करेगा जब तक कि प्रक्षेपवक्र उस दूरी तक नहीं पहुँच जाता जहाँ पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण अब सूर्य पर हावी नहीं हो जाता है। अंतरिक्ष यान को इंटरप्लेनेटरी स्पेस में भेजने के लिए एस्केप वेलोसिटी दी जाएगी। इसके बाद, कोई केवल सूर्य के गुरुत्वाकर्षण पर विचार करेगा जब तक कि प्रक्षेपवक्र मंगल के पड़ोस तक नहीं पहुंच जाता। इस चरण के दौरान, स्थानांतरण कक्षा मॉडल उपयुक्त है। अंत में, प्रक्षेपवक्र के अंतिम भाग के दौरान केवल मंगल के गुरुत्वाकर्षण पर विचार किया जाता है जहां मंगल का गुरुत्वाकर्षण अंतरिक्ष यान के व्यवहार पर हावी होता है। अंतरिक्ष यान एक अतिशयोक्तिपूर्ण कक्षा में मंगल ग्रह पर पहुंचेगा, और एक अंतिम प्रतिगामी प्रज्वलन अंतरिक्ष यान को इतना धीमा कर देगा कि वह मंगल पर कब्जा कर सके। फ्रेडरिक ज़ेंडर ज्योतिषीय उद्देश्यों के लिए पैच-शंकु दृष्टिकोण को लागू करने वाले पहले लोगों में से एक थे, जब इंटरप्लेनेटरी यात्रा के लिए मध्यस्थ निकायों के गुरुत्वाकर्षण के उपयोग का प्रस्ताव करते थे, जिसे आज गुरुत्वाकर्षण सहायता के रूप में जाना जाता है। पड़ोस का आकार (या प्रभाव का क्षेत्र (खगोलगतिकी)) त्रिज्या के साथ बदलता रहता है $$r_{SOI}$$:
 * $$r_{SOI} = a_p\left(\frac{m_p}{m_s}\right)^{2/5}$$

कहाँ पे $$a_p$$ सूर्य के सापेक्ष ग्रह की कक्षा का अर्ध-प्रमुख अक्ष है; $$m_p$$ और $$m_s$$ क्रमशः ग्रह और सूर्य के द्रव्यमान हैं।

यह सरलीकरण ईंधन आवश्यकताओं के मोटे अनुमानों की गणना करने के लिए पर्याप्त है, और मोटे तौर पर उड़ान के समय का अनुमान है, लेकिन यह आम तौर पर एक अंतरिक्ष यान को अपने गंतव्य के लिए मार्गदर्शन करने के लिए पर्याप्त सटीक नहीं है। उसके लिए संख्यात्मक विधियों की आवश्यकता होती है।

गड़बड़ी
सार्वभौमिक चर सूत्रीकरण पैरामीटर तकनीक की भिन्नता के साथ अच्छी तरह से काम करता है, सिवाय इसके कि छह केप्लरियन कक्षीय तत्वों के बजाय, हम कक्षीय तत्वों के एक अलग सेट का उपयोग करते हैं: अर्थात्, उपग्रह की प्रारंभिक स्थिति और वेग वैक्टर $$x_0$$ और $$v_0$$ किसी दिए गए युग में $$t = 0$$. दो-बॉडी सिमुलेशन में, ये तत्व भविष्य में किसी भी समय सार्वभौमिक चर सूत्रीकरण का उपयोग करके उपग्रह की स्थिति और वेग की गणना करने के लिए पर्याप्त हैं। इसके विपरीत, उपग्रह की कक्षा में किसी भी समय, हम इसकी स्थिति और वेग को माप सकते हैं, और फिर यह निर्धारित करने के लिए सार्वभौमिक चर दृष्टिकोण का उपयोग कर सकते हैं कि इसकी प्रारंभिक स्थिति और वेग उस युग में क्या रहा होगा। पूर्ण दो-पिंड गति में, ये कक्षीय तत्व अपरिवर्तनीय होंगे (जैसे केप्लरियन तत्व होंगे)।

हालाँकि, गड़बड़ी समय के साथ कक्षीय तत्वों को बदलने का कारण बनती है। इसलिए, हम स्थिति तत्व को इस प्रकार लिखते हैं $$x_0(t)$$ और वेग तत्व के रूप में $$v_0(t)$$, यह दर्शाता है कि वे समय के साथ बदलते हैं। गड़बड़ी के प्रभाव की गणना करने की तकनीक कार्यों के लिए सटीक या अनुमानित अभिव्यक्ति खोजने में से एक बन जाती है $$x_0(t)$$ और $$v_0(t)$$. निम्नलिखित कुछ प्रभाव हैं जो वास्तविक कक्षाओं को गोलाकार पृथ्वी पर आधारित साधारण मॉडलों से भिन्न बनाते हैं। उनमें से अधिकांश को गड़बड़ी सिद्धांत द्वारा कम समय के पैमाने (शायद कुछ हज़ार कक्षाओं से कम) पर नियंत्रित किया जा सकता है क्योंकि वे संबंधित दो-शरीर प्रभावों के सापेक्ष छोटे होते हैं।
 * विषुवतीय उभार नोड और पेरिगी के पुरस्सरण का कारण बनते हैं
 * गोलाकार हार्मोनिक्स#गोलीय हार्मोनिक्स का दृश्य गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के अतिरिक्त गड़बड़ी पेश करते हैं
 * चंद्र और सौर गुरुत्व गड़बड़ी कक्षाओं को बदलते हैं
 * वायुमंडलीय ड्रैग सेमी-मेजर एक्सिस को कम करता है जब तक कि मेक-अप थ्रस्ट का उपयोग नहीं किया जाता है

बहुत लंबे समय के पैमाने पर (शायद लाखों कक्षाएँ), यहाँ तक कि छोटी गड़बड़ी भी हावी हो सकती है, और व्यवहार कैओस सिद्धांत बन सकता है। दूसरी ओर, कक्षा के रखरखाव के कार्यों में सहायता करने के लिए चतुर ज्योतिषविदों द्वारा विभिन्न गड़बड़ियों को व्यवस्थित किया जा सकता है, जैसे कक्षीय स्टेशन-रखरखाव|स्टेशन-कीपिंग, ग्राउंड ट्रैक रखरखाव या समायोजन, या कम ऊंचाई पर चयनित लक्ष्यों को कवर करने के लिए पेरिगी की चरणबद्धता।

कक्षीय पैंतरेबाज़ी
अंतरिक्ष यान में, एक कक्षीय युद्धाभ्यास एक अंतरिक्ष यान की कक्षा को बदलने के लिए अंतरिक्ष यान प्रणोदन प्रणाली का उपयोग होता है। पृथ्वी से दूर अंतरिक्ष यान के लिए - उदाहरण के लिए जो सूर्य के चारों ओर कक्षाओं में हैं - एक कक्षीय पैंतरेबाज़ी को "डीप-स्पेस पैंतरेबाज़ी (डीएसएम)" कहा जाता है।

कक्षीय स्थानांतरण
स्थानांतरण कक्षाएँ आमतौर पर अण्डाकार कक्षाएँ होती हैं जो अंतरिक्ष यान को एक (आमतौर पर काफी गोलाकार) कक्षा से दूसरी कक्षा में जाने की अनुमति देती हैं। आमतौर पर उन्हें शुरुआत में जलन, अंत में जलन और कभी-कभी बीच में एक या अधिक जलन की आवश्यकता होती है। गैर-समतलीय कक्षाओं के बीच कक्षीय स्थानांतरण के मामले में, कक्षीय झुकाव परिवर्तन|सतह का परिवर्तन जोर उस बिंदु पर बनाया जाना चाहिए जहां कक्षीय विमान प्रतिच्छेद करते हैं (नोड)। जैसा कि उद्देश्य विमानों के बीच के कोण के बराबर कोण द्वारा वेग सदिश की दिशा को बदलना है, यह लगभग सभी जोर तब बनाया जाना चाहिए जब अंतरिक्ष यान एपोप्स के पास नोड पर हो, जब वेग सदिश का परिमाण हो अपने सबसे निचले स्तर पर। हालांकि, वांछित झुकाव परिवर्तन की दिशा में ट्रांसफर ऑर्बिट इंजेक्शन थ्रस्ट को थोड़ा कोण करके, कक्षीय झुकाव परिवर्तन का एक छोटा सा अंश पेरीएप्स के पास नोड पर बनाया जा सकता है। यह काम करता है क्योंकि एक छोटे कोण का कोसाइन बहुत लगभग एक है, जिसके परिणामस्वरूप छोटा विमान परिवर्तन पेरिएप्स के पास अंतरिक्ष यान के उच्च वेग के बावजूद प्रभावी रूप से मुक्त हो जाता है, क्योंकि ओबेरथ इफेक्ट बढ़ने के कारण थोड़ा कोण वाला जोर लागत से अधिक हो जाता है। कक्षा-सामान्य अक्ष में जोर।
 * होहमान स्थानांतरण कक्षा के लिए न्यूनतम डेल्टा-वी की आवश्यकता होती है।
 * यदि कक्षाओं का अनुपात 11.94 या अधिक है, तो एक द्वि-अण्डाकार स्थानांतरण को होहमान स्थानांतरण की तुलना में कम ऊर्जा की आवश्यकता हो सकती है, लेकिन होहमन स्थानांतरण पर यात्रा के समय में वृद्धि की कीमत पर आता है।
 * उच्च डेल्टा-वी की कीमत पर तेज़ स्थानान्तरण किसी भी कक्षा का उपयोग कर सकता है जो मूल और गंतव्य दोनों कक्षाओं को काटता है।
 * लो थ्रस्ट इंजन (जैसे विद्युत प्रणोदन) का उपयोग करना, यदि प्रारंभिक कक्षा अंतिम वांछित गोलाकार कक्षा के लिए सुपरसिंक्रोनस है तो अपोजी पर वेग की दिशा में लगातार जोर देकर इष्टतम स्थानांतरण कक्षा प्राप्त की जाती है। हालांकि कम थ्रस्ट के कारण इस विधि में अधिक समय लगता है।

गुरुत्वाकर्षण सहायता और ओबेरथ प्रभाव
एक गुरुत्वाकर्षण सहायता में, एक अंतरिक्ष यान एक ग्रह से घूमता है और एक अलग दिशा में, एक अलग गति से निकलता है। यह अधिक ईंधन ले जाने के बजाय किसी अंतरिक्ष यान को गति देने या धीमा करने के लिए उपयोगी है।

इस पैंतरेबाज़ी को बड़ी दूरी पर एक लोचदार टक्कर से अनुमानित किया जा सकता है, हालांकि फ्लाईबी में कोई भौतिक संपर्क शामिल नहीं है। न्यूटन के तीसरे नियम (बराबर और विपरीत प्रतिक्रिया) के कारण, अंतरिक्ष यान द्वारा प्राप्त किसी भी संवेग को ग्रह द्वारा खो दिया जाना चाहिए, या इसके विपरीत। हालांकि, क्योंकि ग्रह अंतरिक्ष यान की तुलना में बहुत अधिक विशाल है, ग्रह की कक्षा पर प्रभाव नगण्य है।

ओबेरथ प्रभाव को नियोजित किया जा सकता है, विशेष रूप से गुरुत्वाकर्षण सहायता ऑपरेशन के दौरान। यह प्रभाव यह है कि एक प्रणोदन प्रणाली का उपयोग उच्च गति पर बेहतर काम करता है, और इसलिए गुरुत्वीय पिंड के करीब होने पर मार्ग परिवर्तन सबसे अच्छा होता है; यह प्रभावी डेल्टा-वी को गुणा कर सकता है।

इंटरप्लेनेटरी ट्रांसपोर्ट नेटवर्क और फ़ज़ी ऑर्बिट्स
सौर मंडल के ग्रहों और चंद्रमाओं के गुरुत्वाकर्षण में गैर-रैखिकताओं का उपयोग करके मार्गों की खोज के लिए कंप्यूटर का उपयोग करना अब संभव है। उदाहरण के लिए, पृथ्वी की उच्च कक्षा से मंगल तक की कक्षा को पृथ्वी के ट्रोजन बिंदुओं में से एक के करीब से गुजरना संभव है। सामूहिक रूप से इंटरप्लेनेटरी ट्रांसपोर्ट नेटवर्क के रूप में जाना जाता है, सैद्धांतिक रूप से इन अत्यधिक परेशान, यहां तक ​​​​कि अराजक, कक्षीय प्रक्षेपवक्रों को लग्रेंज बिंदु तक पहुंचने के लिए आवश्यक से अधिक ईंधन की आवश्यकता नहीं होती है (व्यवहार में प्रक्षेपवक्र को ध्यान में रखते हुए कुछ सुधार की आवश्यकता होती है)। उनके साथ सबसे बड़ी समस्या यह है कि वे अत्यधिक धीमे हो सकते हैं, जिसमें कई वर्ष लग सकते हैं। इसके अलावा लॉन्च विंडो बहुत दूर हो सकती हैं।

हालाँकि, उन्हें उत्पत्ति (अंतरिक्ष यान) जैसी परियोजनाओं पर नियोजित किया गया है। इस अंतरिक्ष यान ने पृथ्वी-सूर्य का दौरा किया बिंदु और बहुत कम प्रणोदक का उपयोग करके वापस लौटा।

यह भी देखें

 * वायुगतिकी
 * अंतरिक्ष इंजीनियरिंग
 * खगोल भौतिकी
 * विहित इकाइयाँ
 * आकाशीय यांत्रिकी
 * अराजकता सिद्धांत
 * केप्लर कक्षा
 * लैग्रेंज बिंदु
 * मैकेनिकल इंजीनियरिंग
 * एन-बॉडी प्रॉब्लम
 * की परिक्रमा
 * परिमाण के आदेश (गति)
 * रोश सीमा
 * अंतरिक्ष यान प्रणोदन
 * Tsiolkovsky रॉकेट समीकरण
 * सार्वभौमिक चर सूत्रीकरण

संदर्भ






आगे की पढाई
Many of the options, procedures, and supporting theory are covered in standard works such as:

बाहरी कड़ियाँ

 * ORBITAL MECHANICS (Rocket and Space Technology)
 * Java Astrodynamics Toolkit
 * Astrodynamics-based Space Traffic and Event Knowledge Graph