होम फ़ैक्टर

गणित में, विशेष रूप से श्रेणी सिद्धांत में, होम-सेट (यानी ऑब्जेक्ट (श्रेणी सिद्धांत) के बीच आकारिकी के सेट) सेट की श्रेणी के लिए महत्वपूर्ण फ़ैक्टर्स को जन्म देते हैं। इन फ़ैक्टर्स को होम-फ़ंक्टर्स कहा जाता है और श्रेणी सिद्धांत और गणित की अन्य शाखाओं में इनके कई अनुप्रयोग हैं।

औपचारिक परिभाषा
मान लीजिए कि C एक स्थानीय रूप से छोटी श्रेणी है (यानी एक श्रेणी (गणित) जिसके लिए होम-क्लास वास्तव में सेट (गणित) हैं और उचित वर्ग नहीं हैं)।

सी में सभी ऑब्जेक्ट ए और बी के लिए हम सेट की श्रेणी में दो फ़ैक्टर्स को निम्नानुसार परिभाषित करते हैं:
 * {| class=wikitable

! Hom(A, –) : C &rarr; Set ! Hom(–, B) : C &rarr; Set फ़ैक्टर होम(-, बी) को ऑब्जेक्ट बी के बिंदुओं का फ़ैक्टर भी कहा जाता है।
 * This is a covariant functor given by:
 * Hom(A, –) maps each object X in C to the set of morphisms, Hom(A, X)
 * Hom(A, –) maps each morphism f : X → Y to the function
 * Hom(A, f) : Hom(A, X) → Hom(A, Y) given by
 * $$g \mapsto f \circ g$$ for each g in Hom(A, X).
 * This is a contravariant functor given by:
 * Hom(–, B) maps each object X in C to the set of morphisms, Hom(X, B)
 * Hom(–, B) maps each morphism h : X → Y to the function
 * Hom(h, B) : Hom(Y, B) → Hom(X, B) given by
 * $$g \mapsto g \circ h$$ for each g in Hom(Y, B).
 * }
 * }

ध्यान दें कि होम के पहले तर्क को ठीक करने से स्वाभाविक रूप से एक सहसंयोजक फ़ैक्टर उत्पन्न होता है और दूसरे तर्क को ठीक करने से स्वाभाविक रूप से एक कॉन्ट्रावेरिएंट फ़ंक्टर उत्पन्न होता है। यह उस तरीके की एक कलाकृति है जिसमें किसी को रूपवाद की रचना करनी चाहिए।

फ़ैक्टर्स होम (ए, -) और होम (-, बी) की जोड़ी एक प्राकृतिक परिवर्तन में संबंधित है। रूपवादों के किसी भी जोड़े के लिए f : B → B' और h : A' → A निम्नलिखित आरेख क्रमविनिमेय आरेख: दोनों पथ g : A → B से f तक भेजते हैं ∘ जी ∘ एच : ए' → बी'।

उपरोक्त आरेख की क्रमविनिमेयता से पता चलता है कि होम (-, -) C × C से 'सेट' तक एक द्विभाजक है जो पहले तर्क में विरोधाभासी है और दूसरे में सहसंयोजक है। समान रूप से, हम कह सकते हैं कि होम(-,-) एक द्विभाजक है
 * होम(–, –) : सीop × C → 'सेट'

जहां सीop C की विपरीत श्रेणी है। संकेतन होमCडोमेन बनाने वाली श्रेणी पर जोर देने के लिए कभी-कभी होम(-, -) के लिए (-, -) का उपयोग किया जाता है।

योनेडा लेम्मा
उपरोक्त क्रमविनिमेय आरेख का उल्लेख करते हुए, कोई यह देख सकता है कि प्रत्येक रूपवाद
 * एच : ए' → ए

एक प्राकृतिक परिवर्तन को जन्म देता है
 * होम(एच, -) : होम(ए, -) → होम(ए', -)

और हर रूपवाद
 * एफ : बी → बी'

एक प्राकृतिक परिवर्तन को जन्म देता है
 * होम(-, एफ) : होम(-, बी) → होम(-, बी')

योनेडा की लेम्मा का तात्पर्य है कि होम फ़ैक्टर्स के बीच प्रत्येक प्राकृतिक परिवर्तन इसी रूप का होता है। दूसरे शब्दों में, होम फ़ैक्टर श्रेणी सी को फ़ैक्टर श्रेणी 'सेट' में एम्बेड करके एक पूर्ण और वफादार फ़ैक्टर को जन्म देते हैं।C op (सहसंयोजक या विरोधाभासी, यह इस पर निर्भर करता है कि किस होम फ़ैक्टर का उपयोग किया गया है)।

आंतरिक होम फ़ैक्टर
कुछ श्रेणियों में एक फ़ंक्टर हो सकता है जो होम फ़ंक्टर की तरह व्यवहार करता है, लेकिन 'सेट' के बजाय श्रेणी सी में ही मान लेता है। ऐसे फ़नकार को 'आंतरिक होम फ़नकार' कहा जाता है, और अक्सर इसे इसी रूप में लिखा जाता है
 * $$\left[-\ -\right] : C^\text{op} \times C \to C$$

इसकी उत्पाद-जैसी प्रकृति, या जैसे पर जोर देना
 * $$\mathop\Rightarrow : C^\text{op} \times C \to C$$

इसकी क्रियात्मक प्रकृति पर जोर देने के लिए, या कभी-कभी केवल छोटे मामले में:
 * $$\operatorname{hom}(-, -) : C^\text{op} \times C \to C .$$ उदाहरण के लिए, संबंधों की श्रेणी देखें.

जिन श्रेणियों में आंतरिक होम फ़ैक्टर होता है उन्हें बंद श्रेणी कहा जाता है। एक के पास वह है
 * $$\operatorname{Hom}(I, \operatorname{hom}(-, -)) \simeq \operatorname{Hom}(-, -)$$,

जहां I बंद श्रेणी की इकाई वस्तु है। एक बंद मोनोइडल श्रेणी के मामले में, यह करींग की धारणा तक विस्तारित है, अर्थात्
 * $$\operatorname{Hom}(X, Y \Rightarrow Z) \simeq \operatorname{Hom}(X\otimes Y, Z)$$

कहाँ $$\otimes$$ एक द्विफंक्टर है, आंतरिक उत्पाद फ़ंक्टर एक मोनोइडल श्रेणी को परिभाषित करता है। समरूपता X और Z दोनों में प्राकृतिक समरूपता है। दूसरे शब्दों में, एक बंद मोनोइडल श्रेणी में, आंतरिक होम फ़ैक्टर आंतरिक उत्पाद फ़ैक्टर का एक सहायक फ़ैक्टर है। जो वस्तु $$Y \Rightarrow Z$$ आंतरिक होम कहा जाता है। कब $$\otimes$$ कार्टेशियन बंद श्रेणी है $$\times$$, जो वस्तु $$Y \Rightarrow Z$$ इसे घातीय वस्तु कहा जाता है, और इसे अक्सर इस रूप में लिखा जाता है $$Z^Y$$.

आंतरिक होम्स, जब एक साथ जंजीर में बंधे होते हैं, तो एक भाषा बनाते हैं, जिसे श्रेणी की आंतरिक भाषा कहा जाता है। इनमें से सबसे प्रसिद्ध बस टाइप किए गए लैम्ब्डा कैलकुलस हैं, जो कार्टेशियन बंद श्रेणियों की आंतरिक भाषा है, और रैखिक प्रकार प्रणाली, जो बंद मोनोइडल श्रेणी की आंतरिक भाषा है।

गुण
ध्यान दें कि प्रपत्र का एक फ़ैक्टर
 * होम(-, ए) : सीऑप → सेट करें

एक प्रीशीफ (श्रेणी सिद्धांत) है; इसी तरह, होम(ए, -) एक कॉपरशीफ़ है।

एक फ़नकार F : C → वह सेट जो C में कुछ A के लिए होम (A, -) के लिए प्राकृतिक समरूपता है, को एक प्रतिनिधित्व योग्य फ़नकार कहा जाता है (या प्रतिनिधित्वयोग्य कॉपरशीफ़); इसी तरह, होम(-, ए) के समतुल्य एक कॉन्ट्रावेरिएंट फ़ैक्टर को कोरप्रजेंटेबल कहा जा सकता है।

ध्यान दें कि होम(–, –) : सीop × C → 'सेट' एक प्रोफ़ंक्टर है, और, विशेष रूप से, यह पहचान प्रोफ़ंक्टर है $$\operatorname{id}_C \colon C \nrightarrow C$$.

आंतरिक होम फ़ैक्टर सीमा (श्रेणी सिद्धांत) को संरक्षित करता है; वह है, $$\operatorname{hom}(X, -) \colon C \to C$$ जबकि, सीमा को सीमा तक भेजता है $$\operatorname{hom}(-, X) \colon C^\text{op} \to C$$ सीमाएँ भेजता है $$C^\text{op}$$, वह कॉलिमिट है $$C$$, सीमा में. एक निश्चित अर्थ में, इसे सीमा या कोलिमिट की परिभाषा के रूप में लिया जा सकता है।

एंडोफन्क्टर होम(ई, -) : 'सेट' → 'सेट' को एक मोनाड (श्रेणी सिद्धांत) की संरचना दी जा सकती है; इस सन्यासी को मोनाड (श्रेणी सिद्धांत)#पर्यावरण सन्यासी|पर्यावरण (या पाठक) सन्यासी कहा जाता है।

अन्य गुण
यदि ए एक एबेलियन श्रेणी है और ए ए की वस्तु है, तो होमA(ए, -) एबेलियन समूहों की श्रेणी 'ए' से 'ए' तक एक सहसंयोजक सटीक फ़नकार|बाएं-सटीक फ़नकार है। यह सटीक है यदि और केवल यदि A प्रक्षेप्य मॉड्यूल है। मान लीजिए कि R एक रिंग (गणित) है और M एक बायाँ R-मॉड्यूल (गणित) है। फनकार होमR(एम, -): 'मॉड'-आर → 'अब' मॉड्यूल फ़ैक्टर के टेंसर उत्पाद के ठीक बगल में है - $$\otimes$$R एम: 'अब' → 'मॉड'-आर।

यह भी देखें

 * एक्सट ऑपरेटर
 * फनकार श्रेणी
 * प्रतिनिधित्व करने योग्य फ़नकार