डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु

ज्यामिति में, त्रिभुज का डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु एक त्रिभुज केंद्र होता है जिसका नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ गैस्टन अल्बर्ट गोहिएरे डी लॉन्गचैम्प्स के नाम पर रखा गया था है। यह परिकेंद्र के बारे में त्रिभुज के लंबकेंद्र का बिंदु प्रतिबिंब होता है।

परिभाषा
माना कि दिए गए त्रिभुज में $$A$$, $$B$$, और $$C$$ शीर्ष होता हैं जो संबंधित पक्षों $$a$$, $$b$$, और $$c$$ के विपरीत होता है जैसा कि त्रिभुज ज्यामिति में मानक संकेतन होता है। 1886 के पेपर में जिसमें उन्होंने इस बिंदु को प्रस्तुत किया था, डी लॉन्गचैम्प्स ने प्रारम्भ में इसे एक वृत्त के केंद्र $$\Delta$$ के रूप में परिभाषित किया था तीन वृत्तों के लिए ओर्थोगोनल $$\Delta_a$$, $$\Delta_b$$, और $$\Delta_c$$ होता है जहाँ $$\Delta_a$$ त्रिज्या $$a$$ के साथ$$A$$ पर केन्द्रित होता है और इस प्रकार और अन्य दो वृत्त सममित रूप से परिभाषित होते हैं। इस प्रकार डी लॉन्गचैम्प्स ने तब यह भी दिखाया कि वही बिंदु, जिसे अब डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु के रूप में जाना जाता है, को समान रूप से एंटीकॉम्प्लिमेंटरी त्रिकोण $$ABC$$ के ऑर्थोकेंद्र के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, और यह कि यह $$ABC$$ के ऑर्थोकेंद्र का प्रतिबिंब होता है जो परिधि के चारों ओर स्थित होता है।

एक त्रिभुज का स्टीनर वृत्त नौ-बिंदु वृत्त के साथ संकेंद्रित होता है और इसकी त्रिज्या त्रिभुज की परित्रिज्या 3/2 होती है; डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु स्टेनर सर्कल और परिवृत्त का समरूप केंद्र होताहै।

अतिरिक्त गुण
परिधि के चारों ओर ऑर्थोकेंद्र के प्रतिबिंब के रूप में, डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु इन दोनों बिंदुओं के माध्यम से रेखा से संबंधित होती है, जो दिए गए त्रिकोण की यूलर रेखा होती है। इस प्रकार, यह यूलर रेखा पर अन्य सभी त्रिभुज केंद्रों के साथ संरेख होती है, जिसमें ऑर्थोकेंद्र और परिधि के साथ-साथ केंद्रक और नौ-बिंदु वृत्त का केंद्र भी सम्मिलित होता है।

डी लॉन्गचैम्प बिंदु भी एक अलग रेखा के साथ, इसके त्रिभुज के अंतःकेंद्र और गेर्गोन बिंदु के साथ संरेख होते है। तीन वृत्त $$A$$, $$B$$, और $$C$$ केन्द्रित होतें हैं त्रिज्या के साथ $$s-a$$, $$s-b$$, और $$s-c$$ क्रमशः (कहां $$s$$ अर्धपरिधि है) परस्पर स्पर्शरेखा होती हैं, और उन तीनों के स्पर्शरेखा वाले दो और वृत्त होते हैं, आंतरिक और बाहरी सॉडी वृत्त; इन दोनों वृत्तों के केंद्र भी डी लॉन्गचैम्प बिंदु और अंतःकेन्द्र के साथ एक ही रेखा पर स्थित होते हैं। डी लॉन्गचैम्प बिंदु यूलर रेखा के साथ इस रेखा की सन्निपतन का बिंदु होता है, और तीन अन्य रेखाओं को केंद्र के माध्यम से रेखा के समान विधि से परिभाषित किया जाता है, लेकिन इसके अतिरिक्त त्रिकोण के तीन एक्केंद्र का उपयोग किया जाता है।

डार्बौक्स क्यूबिक को डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु से बिंदुओं के स्थान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$X$$ ऐसा है कि $$X$$, का आइसोगोनल संयुग्म $$X$$ होता है, और डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु संरेख होता हैं। यह त्रिभुज का एकमात्र घन वक्र होता है जो समकोणीय रूप से स्व-संयुग्मित और केंद्रीय रूप से सममित होता है; इसकी समरूपता का केंद्र त्रिभुज का परिकेंद्र होता है। डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु स्वयं इस वक्र पर स्थित होता है, जैसा कि इसका प्रतिबिंब ऑर्थोकेंद्र पर होता है।