रीमैन परिकल्पना



गणित में, रीमैन परिकल्पना यह अनुमान है कि रीमैन ज़ेटा फलन के शून्य केवल नकारात्मक सम पूर्णांक और वास्तविक भाग $1⁄2$ के साथ जटिल संख्याओं पर होते हैं। कई लोग इसे शुद्ध गणित की सबसे महत्वपूर्ण अनसुलझी समस्या मानते हैं। यह संख्या सिद्धांत में बहुत रुचि रखता है क्योंकि यह अभाज्य संख्याओं के वितरण के बारे में परिणाम बताता है। इसे द्वारा प्रस्तावित किया गया था, जिनके नाम पर इसका नाम रखा गया है।

रिमेंन परिकल्पना और इसके कुछ सामान्यीकरण, गोल्डबैक के अनुमान और जुड़वां अभाज्य अनुमान के साथ, डेविड हिल्बर्ट की हिल्बर्ट की समस्याओं की सूची में हिल्बर्ट की आठवीं समस्या बनाते हैं। तेईस अनसुलझी समस्याएं; यह कार्य (गणित) इंस्tट्यूट के मिलेनियम पुरस्कार समस्याएं में से है, जो किसी को भी हल करने वाले को मिलियन डॉलर प्रदान करता है। नाम का उपयोग कुछ निकट संबंधी अनुरूपताओं के लिए भी किया जाता है, जैसे परिमित क्षेत्रों पर घटता के लिए रीमैन परिकल्पना है।

रीमैन ज़ेटा फलन ζ(s) फलन (गणित) है जिसका फलन s का तर्क 1 के अतिरिक्त कोई भी जटिल संख्या हो सकता है और जिसका मान भी जटिल होता है। इसमें ऋणात्मक सम पूर्णांकों पर शून्य होते हैं; अर्थात, ζ(s) = 0 जब s −2, −4, −6, .... में से होता है, इन्हें इसका छोटा शून्य कहा जाता है। जीटा फलन s के अन्य मानों के लिए भी शून्य है, जिन्हें गैर तुच्छ शून्य कहा जाता है। रीमैन परिकल्पना इन गैर-तुच्छ शून्यों के स्थानों से संबंधित है, और कहती है कि:

इस प्रकार, यदि परिकल्पना सही है, तो सभी गैर-तुच्छ शून्य जटिल संख्याओं $1⁄2$ + it, से युक्त महत्वपूर्ण रेखा पर स्थित हैं, जहाँ t वास्तविक संख्या है और i काल्पनिक इकाई है।

रीमैन जीटा फलन
रीमैन जीटा फलन को पूर्ण अभिसरण अनंत श्रृंखला द्वारा 1 से अधिक वास्तविक भाग वाले जटिल s के लिए परिभाषित किया गया है
 * $$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots$$

लियोनहार्ड यूलर ने 1730 के दशक में बेसल समस्या के अपने समाधान के संयोजन में s के वास्तविक मूल्यों के लिए इस श्रृंखला पर पहले ही विचार कर लिया था। उन्होंने यह भी सिद्ध किया कि यह यूलर उत्पाद के समान है
 * $$\zeta(s) = \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}= \frac{1}{1-2^{-s}}\cdot\frac{1}{1-3^{-s}}\cdot\frac{1}{1-5^{-s}}\cdot\frac{1}{1-7^{-s}} \cdot \frac{1}{1-11^{-s}} \cdots$$

जहाँ अपरिमित गुणनफल सभी अभाज्य संख्याओं p पर विस्तृत होता है।

रीमैन परिकल्पना इस श्रृंखला और यूलर उत्पाद के अभिसरण के क्षेत्र के बाहर शून्य पर चर्चा करती है। परिकल्पना को समझने के लिए, सभी जटिल s के लिए मान्य फॉर्म प्राप्त करने के लिए फलन को विश्लेषणात्मक निरंतरता के लिए आवश्यक है। क्योंकि जेटा फलन मेरोमोर्फिक है, इस विश्लेषणात्मक निरंतरता को कैसे निष्पादित किया जाए, इसके सभी विकल्प पहचान प्रमेय द्वारा समान परिणाम की ओर ले जाएंगे। इस निरंतरता में पहला कदम यह देखता है कि जीटा फलन और डिरिचलेट और कार्य के लिए श्रृंखला संबंध को संतुष्ट करती है
 * $$\left(1-\frac{2}{2^s}\right)\zeta(s) = \eta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s} = \frac{1}{1^s} - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \cdots,$$

दोनों श्रृंखलाओं के लिए अभिसरण के क्षेत्र के भीतर। चूँकि, दाईं ओर ज़ेटा फलन श्रृंखला न केवल तब परिवर्तित होती है जब s का वास्तविक भाग से अधिक होता है, किंतु सामान्यतः  जब भी s का सकारात्मक वास्तविक भाग होता है। इस प्रकार, ज़ेटा फलन को $$\eta(s)/(1-2/2^s)$$ के रूप में फिर से परिभाषित किया जा सकता है, इसे Re(s) > 1 से बड़े डोमेन तक विस्तारित किया जा सकता है: Re(s) > 0, उन बिंदुओं को छोड़कर जहां $$1-2/2^s$$ शून्य है। ये वे बिंदु हैं $$s = 1 + 2\pi in/\log 2$$ जहां $$n$$ कोई भी गैर-शून्य पूर्णांक हो सकता है; ज़ेटा फलन को सीमाएं लेकर इन मानों तक भी बढ़ाया जा सकता है (देखें ), = 1 पर सरल ध्रुव को छोड़कर सकारात्मक वास्तविक भाग के साथ s के सभी मानों के लिए परिमित मान देता है।

रिबन में 0 < Re(s) < 1 जीटा फलन का यह विस्तार रिमेंन जीटा फलन या रिमेंन के प्रकार्यात्मक समीकरण को संतुष्ट करता है
 * $$\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s).$$

फिर कोई इस समीकरण को रिबन के बाहर प्रयुक्त करके, और ζ(s) को समीकरण के दाईं ओर के समान मानकर शेष सभी गैर-शून्य सम्मिश्र संख्याओं s (Re(s) ≤ 0 और s ≠ 0) के लिए ζ(s) को परिभाषित कर सकता है। जब भी s में गैर-सकारात्मक वास्तविक भाग होता है (और s ≠ 0)।

यदि s ऋणात्मक सम पूर्णांक है तो ζ(s) = 0 क्योंकि कारक sin(πs/2) लुप्त हो जाता है; ये जीटा फलन के तुच्छ शून्य हैं। (यदि s धनात्मक सम पूर्णांक है तो यह तर्क प्रयुक्त नहीं होता है क्योंकि साइन फलन के शून्य गामा फलन के ध्रुवों द्वारा रद्द कर दिए जाते हैं क्योंकि यह ऋणात्मक पूर्णांक तर्क लेता है।)

मान 1 + 1 + 1 + 1 + · · ·|ζ(0) = −1/2 क्रियात्मक समीकरण द्वारा निर्धारित नहीं किया जाता है, किंतु ζ(s) का सीमित मान है क्योंकि s शून्य की ओर अग्रसर होता है। कार्यात्मक समीकरण का यह भी अर्थ है कि जीटा फलन में शून्य शून्य के अतिरिक्त नकारात्मक वास्तविक भाग के साथ कोई शून्य नहीं है, इसलिए सभी गैर-तुच्छ शून्य महत्वपूर्ण रिबन में स्थित हैं जहां 0 और 1 के बीच वास्तविक भाग है।

उत्पत्ति
"...इसका मतलब यह है कि यह अभी भी वुर्जेलन रील है। इससे पहले कि वे वुन्सचेन में एक और शसक्त एलर्जी उत्पन्न करते; यदि आप एक वर्ष से अधिक समय से एक वर्ष से अधिक समय तक काम करना चाहते हैं, तो आप एक वर्ष से अधिक समय तक जीवित रह सकते हैं, और आप एक वर्ष से अधिक समय तक जीवित रह सकते हैं।

......यह बहुत संभव है कि सभी जड़ें वास्तविक हों। निःसंदेह कोई यहां कठोर प्रमाण की कामना करेगा; कुछ समय के लिए, कुछ क्षणिक व्यर्थ प्रयासों के बाद, मैंने इसकी खोज को अस्थायी रूप से स्थगित कर दिया है, क्योंकि यह मेरी जांच के तात्कालिक उद्देश्य के लिए अपरिहार्य प्रतीत होता है।"

जीटा फलन और इसके शून्यों का अध्ययन करने के लिए रीमैन की मूल प्रेरणा प्रधान-गणना फलन के लिए उनके स्पष्ट सूत्रों (एल-फलन) में उनकी घटना थी। $\pi$(x) किसी दी गई संख्या x से कम या उसके समान, जिसे उन्होंने अपने 1859 के पेपर किसी दिए गए परिमाण से कम प्राइम्स की संख्या पर प्रकाशित किया था। संबंधित कार्य के संदर्भ में उनका सूत्र दिया गया था


 * $$\Pi(x) = \pi(x) + \tfrac{1}{2} \pi(x^{\frac{1}{2}}) +\tfrac{1}{3} \pi(x^{\frac{1}{3}}) + \tfrac{1}{4}\pi(x^{\frac{1}{4}}) + \tfrac{1}{5} \pi(x^{\frac{1}{5}}) +\tfrac{1}{6}\pi(x^{\frac{1}{6}}) +\cdots $$

जो x तक अभाज्य और अभाज्य घातों को गिनता है, अभाज्य घात pn को 1⁄n के रूप में गिनता है। मोबियस व्युत्क्रम सूत्र का उपयोग करके इस फलन से अभाज्य संख्याओं की संख्या पुनर्प्राप्त की जा सकती है,


 * $$\begin{align}

\pi(x) &= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)}{n}\Pi(x^{\frac{1}{n}}) \\ &= \Pi(x) -\frac{1}{2}\Pi(x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{3}\Pi(x^{\frac{1}{3}}) - \frac{1}{5}\Pi(x^{\frac{1}{5}}) + \frac{1}{6} \Pi(x^{\frac{1}{6}}) -\cdots, \end{align}$$ जहां μ मोबियस फलन है। रीमैन का सूत्र तब है


 * $$\Pi_0(x) = \operatorname{li}(x) - \sum_\rho \operatorname{li}(x^\rho) -\log 2 + \int_x^\infty\frac{dt}{t(t^2-1)\log t}$$

जहां योग जीटा फलन के गैर-तुच्छ शून्य से अधिक है और जहां Π0 Π का थोड़ा संशोधित संस्करण है जो इसके मान को इसकी ऊपरी और निचली सीमाओं के औसत से विच्छिन्नता (गणित) के बिंदुओं पर प्रतिस्थापित करता है:


 * $$\Pi_0(x) = \lim_{\varepsilon \to 0}\frac{\Pi(x-\varepsilon) + \Pi(x+\varepsilon)}2. $$

रीमैन के सूत्र में योग बिल्कुल अभिसरण नहीं है, किंतु उनके काल्पनिक भाग के पूर्ण मूल्य के क्रम में शून्य ρ लेकर मूल्यांकन किया जा सकता है। पहले पद में होने वाला फलन ली (अनऑफ़सेट) लघुगणकीय समाकल फलन है जो अपसारी समाकल के कॉची प्रमुख मूल्य द्वारा दिया गया है


 * $$\operatorname{li}(x) = \int_0^x\frac{dt}{\log t}.$$

ज़ेटा फलन के शून्य को सम्मिलित करने वाले शब्दों li(xρ) को उनकी परिभाषा में कुछ देखभाल की आवश्यकता है क्योंकि li के शाखा बिंदु 0 और 1 पर हैं, और क्षेत्र Re (ρ) > 0 में जटिल चर ρ में विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा (x > 1 के लिए) परिभाषित किए गए हैं। अथार्त उन्हें Ei(ρ log x) माना जाना चाहिए। अन्य पद भी शून्य के अनुरूप हैं: प्रमुख शब्द li(x) s = 1 पर ध्रुव से आता है, जिसे बहुलता -1 का शून्य माना जाता है, और शेष छोटे पद तुच्छ शून्य से आते हैं। इस श्रृंखला के पहले कुछ पदों के योग के कुछ ग्राफ़ के लिए रीज़ल और गोहल (1970) या ज़ैगियर (1977) देखें।

यह सूत्र कहता है कि रीमैन ज़ेटा फलन के शून्य उनकी "अपेक्षित" स्थिति के आसपास अभाज्य संख्याओं के दोलन को नियंत्रित करते हैं। रीमैन को पता था कि ज़ेटा फलन के गैर-तुच्छ शून्य को रेखा के बारे में सममित रूप से वितरित किया गया था, और वह जानता था कि इसके सभी गैर-तुच्छ शून्य 0 ≤ Re(s) ≤ 1. की सीमा में होने चाहिए। उन्होंने जांच की कि कुछ शून्य वास्तविक भाग 1/2 के साथ महत्वपूर्ण रेखा पर हैं और सुझाव दिया कि वे सभी ऐसा करते हैं; यह रीमैन परिकल्पना है।

परिणाम
रीमैन परिकल्पना के व्यावहारिक उपयोगों में कई प्रस्ताव सम्मिलित हैं जिन्हें रीमैन परिकल्पना के अनुसार सत्य माना जाता है, और कुछ जिन्हें रीमैन परिकल्पना के समकक्ष दिखाया जा सकता है।

अभाज्य संख्याओं का वितरण
रीमैन जेटा फलन के शून्य से अधिक राशि के संदर्भ में प्राइम-काउंटिंग फलन के लिए रीमैन का स्पष्ट सूत्र कहता है कि उनकी अपेक्षित स्थिति के आसपास प्राइम्स के दोलनों का परिमाण ज़ेटा फलन के शून्य के वास्तविक भागों द्वारा नियंत्रित होता है। विशेष रूप से अभाज्य संख्या प्रमेय में त्रुटि शब्द शून्य की स्थिति से निकटता से संबंधित है। उदाहरण के लिए, यदि β शून्य के वास्तविक भागों की ऊपरी सीमा है, तब $$\pi(x) - \operatorname{li}(x) = O \left( x^{\beta} \log x \right).$$ यह पहले से ही ज्ञात है कि 1/2 ≤ β ≤ 1.

वॉन कोच (1901) ने सिद्ध किया कि रीमैन परिकल्पना अभाज्य संख्या प्रमेय की त्रुटि के लिए बाध्य "सर्वोत्तम संभव" को दर्शाती है। स्कोनफेल्ड (1976) के कारण कोच के परिणाम का स्पष्ट संस्करण कहता है कि रीमैन परिकल्पना का तात्पर्य है
 * $$|\pi(x) - \operatorname{li}(x)| < \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \log(x), \qquad \text{for all } x \ge 2657,$$

जहाँ $$\pi(x)$$ प्राइम-काउंटिंग फलन है, $$\operatorname{li}(x)$$ लॉगरिदमिक इंtग्रल फलन है, और $$\log(x)$$ x का प्राकृतिक लघुगणक है।

यह भी दिखाया कि रीमैन परिकल्पना का तात्पर्य है


 * $$|\psi(x) - x| < \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \log^2 x, \qquad \text{for all } x \ge 73.2, $$

जहाँ $$\psi(x)$$ चेबिशेव फलन है | चेबिशेव का दूसरा फलन है ।

डुडेक (2014) ने सिद्ध किया कि रीमैन परिकल्पना का तात्पर्य है कि सभी $$x \geq 2$$ के लिए प्रमुख $$p$$ संतोषजनक है
 * $$x - \frac{4}{\pi} \sqrt{x} \log x < p \leq x$$.

यह क्रैमर के प्रमेय का स्पष्ट संस्करण है।

अंकगणितीय कार्यों की वृद्धि
ऊपर दिए गए अभाज्य गिनती कार्य के अतिरिक्त, रीमैन परिकल्पना कई अन्य अंकगणितीय कार्यों के विकास पर प्रबल सीमा का अर्थ है।

एक उदाहरण में मोबियस फलन μ सम्मिलित है। कथन है कि समीकरण


 * $$\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^s}$$

1/2 से अधिक वास्तविक भाग के साथ प्रत्येक s के लिए मान्य है, दाहिने हाथ की ओर अभिसरण के योग के साथ, रीमैन परिकल्पना के समान है। इससे हम यह भी निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यदि मर्टेंस फलन द्वारा परिभाषित किया गया है


 * $$M(x) = \sum_{n \le x} \mu(n)$$

फिर प्रमाण है कि


 * $$M(x) = O\left(x^{\frac{1}{2}+\varepsilon}\right)$$

प्रत्येक धनात्मक ε के लिए रीमैन परिकल्पना के समतुल्य है (जॉन एडेन्सर लिटिलवुड या जे.ई. लिटलवुड, 1912; उदाहरण के लिए देखें: पैरा 14.25 इन ). (इन प्रतीकों के अर्थ के लिए, बिग ओ नोटेशन देखें।) ऑर्डर n रेडहेफर मैट्रिक्स का निर्धारक M(n), के समान है, इसलिए रीमैन परिकल्पना को इन निर्धारकों के विकास पर नियम के रूप में भी कहा जा सकता है। रीमैन परिकल्पना एम के विकास पर तंग बाध्यता रखती है, क्योंकि  थोड़ा प्रबल मेर्टेंस अनुमान को अस्कवीकार कर दिया था


 * $$|M(x)| \le \sqrt x.$$

के कारण और निकट संबंधी परिणाम यह है कि रीमैन परिकल्पना इस कथन के समतुल्य है कि विभाज्यता के अनुसार पूर्णांकों की जाली द्वारा निर्धारित सरल परिसर की यूलर विशेषता है। $$o(n^{1/2+\epsilon})$$ सभी के लिए $$\epsilon>0$$के लिए (घटना बीजगणित देखें)।

रीमैन परिकल्पना μ(n) के अतिरिक्त अन्य अंकगणितीय कार्यों के विकास की दर के बारे में कई अन्य अनुमानों के समान है। विशिष्ट उदाहरण रॉबिन का प्रमेय है, जो बताता है कि यदि σ(n) विभाजक कार्य है, द्वारा दिया गया है


 * $$\sigma(n) = \sum_{d\mid n} d$$

तब


 * $$\sigma(n) < e^\gamma n \log \log n$$

सभी n > 5040 के लिए यदि और केवल यदि रीमैन परिकल्पना सत्य है, जहां γ यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक है।

2002 में जेफरी लागरियास द्वारा संबंधित बाध्यता दी गई थी, जिन्होंने सिद्ध किया था कि रीमैन परिकल्पना इस कथन के समान है कि:
 * $$ \sigma(n) < H_n + \log(H_n)e^{H_n}$$

प्रत्येक प्राकृत संख्या n > 1 के लिए, जहाँ $$H_n$$ nth हार्मोनिक संख्या है।

रीमैन परिकल्पना भी सच है यदि और केवल यदि  असमानता
 * $$\frac{n}{\varphi (n)} 0 के लिए


 * $$\sum_{i=1}^m|F_n(i) - \tfrac{i}{m}| = O\left(n^{\frac{1}{2}+\epsilon}\right)$$

रीमैन परिकल्पना के समान है। यहाँ


 * $$m = \sum_{i=1}^n\phi(i)$$

क्रम n के फेरी क्रम में पदों की संख्या है।

समूह सिद्धांत के उदाहरण के लिए, यदि g(n) लन्दौ का फलन है जो सममित समूह Sn के तत्वों के अधिकतम क्रम द्वारा दिया गया है डिग्री n, फिर दिखाया कि रीमैन परिकल्पना बाध्य के समान है


 * $$\log g(n) < \sqrt{\operatorname{Li}^{-1}(n)}$$

सभी के लिए पर्याप्त रूप से बड़ा n है ।

लिंडेलोफ परिकल्पना और जीटा कार्य की वृद्धि
रीमैन परिकल्पना के विभिन्न अशक्त परिणाम भी हैं; क्रिटिकल लाइन पर जीटा फलन के विकास की दर पर लिंडेलोफ़ परिकल्पना है, जो कहती है कि, किसी भी ε > 0 के लिए,


 * $$\zeta\left(\frac{1}{2} + it\right) = O(t^\varepsilon),$$

जैसा $$t \to \infty$$.

रिमेंन परिकल्पना भी महत्वपूर्ण रिबन के अन्य क्षेत्रों में जीटा फलन की विकास दर के लिए अधिक तेज सीमा का अर्थ है। उदाहरण के लिए, इसका तात्पर्य है


 * $$ e^\gamma\le \limsup_{t\rightarrow +\infty}\frac{|\zeta(1+it)|}{\log\log t}\le 2e^\gamma$$
 * $$ \frac{6}{\pi^2}e^\gamma\le \limsup_{t\rightarrow +\infty}\frac{1/|\zeta(1+it)|}{\log\log t}\le \frac{12}{\pi^2}e^\gamma$$

इसलिए ζ(1+it) की वृद्धि दर और इसके व्युत्क्रम को 2 के कारक तक जाना जाता है।

बड़ा प्रमुख अंतर अनुमान
अभाज्य संख्या प्रमेय का अर्थ है कि औसतन, अभाज्य p और उसके उत्तराधिकारी के बीच प्रधान अंतर log p है।चूँकि अभाज्य संख्याओं के बीच कुछ अंतराल औसत से बहुत बड़े हो सकते हैं। क्रैमर ने सिद्ध किया कि, रीमैन परिकल्पना को मानते हुए, हर अंतर ओ है ($1⁄2$लॉग p )। यह ऐसा मामला है जिसमें रीमैन परिकल्पना का उपयोग करके सिद्ध की जा सकने वाली सबसे अच्छी बाध्यता भी सत्य प्रतीत होने की तुलना में बहुत अशक्त है: क्रैमर के अनुमान का अर्थ है कि प्रत्येक अंतर ओ है O((log p)2), जो, जबकि औसत अंतर से बड़ा है, रीमैन परिकल्पना द्वारा निहित सीमा से बहुत छोटा है। संख्यात्मक साक्ष्य क्रैमर के अनुमान का समर्थन करते हैं।

रीमैन परिकल्पना के समतुल्य विश्लेषणात्मक मानदंड
रीमैन परिकल्पना के समतुल्य कई कथन पाए गए हैं, चूँकि अभी तक उनमें से किसी ने भी इसे सिद्ध करने (या खंडन करने) में बहुत प्रगति नहीं की है। कुछ विशिष्ट उदाहरण इस प्रकार हैं। (दूसरों में भाजक फलन या विकास दर σ(n) सम्मिलित है।)

रिज्ज़ मानदंड द्वारा दिया गया था, इस आशय से कि बाध्य


 * $$-\sum_{k=1}^\infty \frac{(-x)^k}{(k-1)! \zeta(2k)}= O\left(x^{\frac{1}{4}+\epsilon}\right)$$

सभी ε > 0 के लिए मान्य है यदि और केवल यदि रीमैन परिकल्पना मान्य है। हार्डी-लिटलवुड मानदंड भी देखें।

सिद्ध कर दिया कि रीमैन परिकल्पना सच है यदि और केवल यदि  प्रपत्र के कार्यों का स्थान है


 * $$f(x) = \sum_{\nu=1}^nc_\nu\rho \left(\frac{\theta_\nu}{x} \right)$$

जहाँ ρ(z) z का भिन्नात्मक भाग है, 0 ≤ θν ≤ 1, और


 * $$\sum_{\nu=1}^nc_\nu\theta_\nu=0$$,

इकाई अंतराल पर वर्ग-अभिन्न कार्यों के हिल्बर्ट स्थान L2(0,1)  में सघन है। बर्लिंग (1955) ने इसे यह दिखाते हुए बढ़ाया कि ज़ेटा फलन में 1/पी से अधिक वास्तविक भाग के साथ कोई शून्य नहीं है यदि और केवल तभी जब यह फलन स्पेस Lp(0,1). में सघन हो। इस निमन-बेर्लिंग मानदंड को बेज-डुआर्टे द्वारा प्रबल किया गया था उस स्थिति में जहां $$\theta_\nu \in \{1/k\}_{k\geq 1}$$.

दिखाया कि रीमैन परिकल्पना सत्य है यदि और केवल यदि  अभिन्न समीकरण


 * $$\int_{0}^\infty\frac{z^{-\sigma-1}\phi(z)}{{e^{x/z}}+1}\,dz=0 $$

$$1/2<\sigma <1$$ के लिए कोई गैर-तुच्छ परिबद्ध समाधान $$\phi$$ नहीं है।

वेइल की मानदंड यह कथन है कि निश्चित कार्य की सकारात्मकता रीमैन परिकल्पना के समान है। संबंधित ली की मानदंड है, कथन है कि संख्याओं के निश्चित क्रम की सकारात्मकता रीमैन परिकल्पना के समान है।

सिद्ध किया कि रीमैन परिकल्पना उस कथन के समतुल्य है $$\zeta'(s)$$, का व्युत्पन्न $$\zeta(s)$$, रिबन में कोई शून्य नहीं है


 * $$0 < \Re(s) < \frac12.$$

वह $$\zeta(s)$$ क्रांतिक रेखा पर केवल साधारण शून्य है, इसके व्युत्पन्न के समतुल्य है जिसका क्रांतिक रेखा पर कोई शून्य नहीं है।

1924 में जेरोम फ्रैनेल और एडमंड लैंडौ के कारण, फेरी अनुक्रम या रीमैन परिकल्पना दो तुल्यता प्रदान करती है।

डी ब्रुइज़न-न्यूमैन स्थिरांक को Λ द्वारा निरूपित किया जाता है और इसका नाम निकोलस गवर्नमेंट डी ब्रुजन और चार्ल्स एम न्यूमैन के नाम पर रखा गया है, इसे परिभाषित किया गया है

अद्वितीय वास्तविक संख्या के रूप में जैसे कि फलन (गणित)


 * $$H(\lambda, z):=\int_{0}^{\infty} e^{\lambda u^{2}} \Phi(u) \cos (z u)\, d u$$,

जो वास्तविक संख्या मापदंड λ द्वारा पैरामीट्रिज्ड है, जटिल संख्या चर z है और इसे सुपर-एक्सपोनेंशियली क्षयकारी फलन का उपयोग करके परिभाषित किया गया है


 * $$\Phi(u) = \sum_{n=1}^{\infty} (2\pi^2n^4e^{9u} - 3 \pi n^2 e^{5u} ) e^{-\pi n^2 e^{4u}}$$.

केवल वास्तविक शून्य हैं यदि और केवल यदि λ ≥ Λ। चूँकि रीमैन परिकल्पना इस दावे के समतुल्य है कि H(0, z) के सभी शून्य वास्तविक हैं, रीमैन परिकल्पना उस अनुमान के समतुल्य है कि $$\Lambda\leq 0$$ ब्रैड रॉजर्स और टेरेंस ताओ ने शून्य को स्थिरांक की निचली सीमा साबित करके यह पता लगाया कि समतुल्यता वास्तव में $$\Lambda = 0$$ है। इसलिए यह सिद्ध करना कि शून्य भी ऊपरी सीमा है, रीमैन परिकल्पना सिद्ध होगी। अप्रैल 2020 तक ऊपरी सीमा $$\Lambda\leq 0.2$$ है।

सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना के परिणाम
कई अनुप्रयोग केवल रीमैन परिकल्पना के अतिरिक्त डिरिचलेट एल-सीरीज़ या डेडेकाइंड जीटा फलन के लिए सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना का उपयोग करते हैं। रीमैन ज़ेटा फलन के कई मूलभूत गुणों को आसानी से सभी डिरिचलेट एल-श्रृंखला के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, इसलिए यह प्रशंसनीय है कि विधि जो रीमैन ज़ेटा फलन के लिए रीमैन परिकल्पना को सिद्ध करती है, वह डीरिचलेट एल-फलन के लिए सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना के लिए भी काम करेगी। सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना का उपयोग करके पहले सिद्ध किए गए कई परिणाम बाद में इसका उपयोग किए बिना बिना नियम प्रमाण दिए गए, चूँकि ये सामान्यतः बहुत कठिन थे। निम्नलिखित सूची में से कई परिणामों  से लिया जाता है
 * 1913 में, थॉमस हाकोन ग्रोनवॉल या ग्रोनवॉल ने दिखाया कि सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना का अर्थ है कि गॉस की वर्ग संख्या समस्या पूर्ण है, चूँकि बाद में बेकर, स्टार्क और हेगनेर ने सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना का उपयोग किए बिना इसके बिना नियम प्रमाण दिए गए है।
 * जो कहता है कि प्राइम्स 3 मॉड 4 कुछ अर्थों में प्राइम्स 1 मॉड 4 से अधिक सामान्य हैं। (संबंधित परिणामों के लिए, अभाज्य संख्या प्रमेय § अभाज्य संख्या रेस देखें।)
 * 1923 में, हार्डी और लिटिलवुड ने दिखाया कि सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना विषम संख्याओं के लिए गोल्डबैक अनुमान के अशक्त रूप को दर्शाती है: कि प्रत्येक पर्याप्त रूप से बड़ी विषम संख्या तीन अभाज्य संख्याओं का योग है, चूँकि 1937 में विनोग्रादोव ने बिना नियम प्रमाण दिया। 1997 में जीन-मार्क डेशोइलर्स, एफिंगर, हरमन ते रीले और ज़िनोविएव ने दिखाया कि सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना का अर्थ है कि 5 से बड़ी प्रत्येक विषम संख्या तीन अभाज्य संख्याओं का योग है। 2013 में हेराल्ड हेलफगोट ने डेविड जे. प्लैट की सहायता से पूरी की गई कुछ व्यापक गणनाओं के अधीन जीआरएच निर्भरता के बिना टर्नरी गोल्डबैक अनुमान को सिद्ध कर दिया गया था।
 * 1934 में, चौला ने दिखाया कि सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना का तात्पर्य है कि अंकगणितीय प्रगति में पहला अभाज्य मॉड m कुछ निश्चित स्थिरांक K के लिए अधिकतम Km2log(m)2 है।
 * 1967 में, हूले ने दिखाया कि सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना आदिम जड़ों पर आर्टिन के अनुमान को दर्शाती है।
 * 1973 में, वेनबर्गर ने दिखाया कि सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना का अर्थ है कि यूलर की आदर्श संख्याओं की सूची पूरी हो गई है।
 * वेनबर्गर (1973) ने दिखाया कि सभी बीजगणितीय संख्या क्षेत्रों के जीटा कार्यों के लिए सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना का तात्पर्य है कि वर्ग संख्या 1 वाला कोई भी संख्या क्षेत्र या तो यूक्लिडियन है या विभेदक −19, −43, −67, या -163 का काल्पनिक द्विघात संख्या क्षेत्र है।
 * 1976 में, जी मिलर ने दिखाया कि सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना का तात्पर्य है कि मिलर-राबिन प्राइमलिt टेस्ट के माध्यम से बहुपद समय में प्रारंभिक परीक्षण किया जा सकता है। 2002 में, मनिंद्र अग्रवाल, नीरज कयाल और नितिन सक्सेना ने एकेs प्रारंभिक परीक्षण का उपयोग करके बिना नियम इस परिणाम को सिद्ध कर दिया था।
 * चर्चा की कि कैसे सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना का उपयोग विवेचकों और संख्या क्षेत्रों की वर्ग संख्याओं के लिए तीव्र अनुमान देने के लिए किया जा सकता है।
 * ओनो और साउंडराजन (1997) ने दिखाया कि सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना का तात्पर्य है कि रामानुजन का अभिन्न द्विघात रूप x2 + y2 + 10z2 उन सभी पूर्णांकों का प्रतिनिधित्व करता है जो यह स्थानीय रूप से प्रतिनिधित्व करता है, ठीक 18 अपवादों के साथ होता है।
 * 2021 में, अलेक्जेंडर (एलेक्स) डन और मैक्सीम रैडज़विल ने जीआरएच की धारणा के अनुसार पैटरसन के अनुमान को सिद्ध कर दिया था।

बीच से बाहर
आरएच के कुछ परिणाम इसके निषेध के परिणाम भी हैं, और इस प्रकार प्रमेय हैं। हेके, ड्यूरिंग, मोर्डेल, हेइलब्रॉन प्रमेय, आयरलैंड और रोसेन (1990, पृष्ठ 359) की अपनी चर्चा में कहते हैं

"यहाँ प्रमाण की विधि वास्तव में अद्भुत है। यदि सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना सत्य है, तो प्रमेय सत्य है। यदि सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना गलत है, तो प्रमेय सत्य है। इस प्रकार, प्रमेय सत्य है!! (विराम चिह्न मूल रूप में)"

यह समझने के लिए सावधानी रख्खी जानी चाहिए कि सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना को झूठा कहने का क्या कारण है: किसी को यह निर्दिष्ट करना चाहिए कि डिरिचलेट श्रृंखला के किस वर्ग का प्रतिउदाहरण है।

लिटिलवुड का प्रमेय
यह अभाज्य संख्या प्रमेय में त्रुटि के संकेत से संबंधित है। यह गणना की गई है कि सभी x ≤ 1025 के लिए π(x) < li(x) (यह तालिका देखें), और x का कोई मान ज्ञात नहीं है जिसके लिए π(x) > li(x) है।

1914 में लिटलवुड ने सिद्ध किया कि जिसके लिए x के इच्छानुसार रूप से बड़े मान हैं
 * $$\pi(x)>\operatorname{li}(x) +\frac13\frac{\sqrt x}{\log x}\log\log\log x,$$

और यह कि x के इच्छानुसार से बड़े मान भी हैं जिनके लिए
 * $$\pi(x)<\operatorname{li}(x) -\frac13\frac{\sqrt x}{\log x}\log\log\log x.$$

इस प्रकार अंतर π(x) - li(x) अनंत बार कई बार चिन्ह बदलता है। स्केव्स' संख्या पहले चिह्न परिवर्तन के संगत x के मान का अनुमान है।

लिटिलवुड के प्रमाण को दो स्थितियों में विभाजित किया गया है: आरएच को गलत माना गया है (इंग्हैम 1932, अध्याय V का लगभग आधा पृष्ठ), और आरएच को सत्य माना गया है (लगभग दर्जन पृष्ठ)। स्टैनिस्लाव नैपोव्स्की (1962) ने इसके बाद अंतराल $$ \Delta(n) $$ में संकेत को बदलने की संख्या $$ \Delta(n) $$ पर पेपर जारी किया जाता है ।

गॉस का वर्ग संख्या अनुमान
यह अनुमान है (पहली बार गॉस के डिस्क्विजिशन अरिथमेटिके के अनुच्छेद 303 में कहा गया है) कि किसी दिए गए वर्ग संख्या के साथ केवल सीमित रूप से कई काल्पनिक द्विघात क्षेत्र होते हैं। इसे सिद्ध करने का विधि यह दिखाना होगा कि विभेदक $D → −∞$ के रूप में वर्ग संख्या $h(D) → ∞$ है।

रीमैन परिकल्पना से जुड़े प्रमेयों के निम्नलिखित अनुक्रम में वर्णित है : $\sqrt{p}$ $$ $$ $$ (हेके और हेइलब्रॉन के काम में, केवल एल-फलन जो होते हैं वे काल्पनिक द्विघात वर्णों से जुड़े होते हैं, और यह केवल उन एल-फलन के लिए है जो जीआरएच सच है या जीआरएच गलत है; विफलता का इरादा है क्यूबिक डिरिचलेट चरित्र के एल-फलन के लिए जीआरएच का, सख्ती से बोलना, इसका कारण होगा कि जीआरएच गलत है, किंतु जीआरएच की उस तरह की विफलता नहीं थी जो हेइलब्रॉन के दिमाग में थी, इसलिए उनकी धारणा केवल जीआरएच की तुलना में अधिक प्रतिबंधित थी। )

1935 में, कार्ल सीगल ने बाद में किसी भी तरह से आरएच या जीआरएच का उपयोग किए बिना परिणाम को प्रबल किया था।

यूलर के टोटिएंट की वृद्धि
1983 में जीन-लुइस निकोलस|जे. एल निकोलस ने सिद्ध कर दिया था $$\varphi(n) < e^{-\gamma}\frac {n} {\log \log n} $$ अपरिमित रूप से अनेक n के लिए, जहाँ φ(n) यूलर का कुल फलन है और γ ऑयलर का स्थिरांक है। रिबेनबोइम की टिप्पणी है कि: प्रमाण की विधि रोचक है, जिसमें असमानता को पहले इस धारणा के अनुसार दिखाया गया है कि रीमैन परिकल्पना सत्य है, दूसरी विपरीत धारणा के अनुसार।

डिरिचलेट एल-सीरीज़ और अन्य संख्या क्षेत्र
औपचारिक रूप से समान, किंतु बहुत अधिक सामान्य, वैश्विक एल-फलन द्वारा रीमैन ज़ेटा फलन को बदलकर रीमैन परिकल्पना को सामान्यीकृत किया जा सकता है। इस व्यापक सेटिंग में, वैश्विक एल-फलन के गैर-तुच्छ शून्यों की अपेक्षा वास्तविक भाग 1/2 है। केवल एकल रीमैन ज़ेटा फलन के लिए मौलिक रीमैन परिकल्पना के अतिरिक्त ये अनुमान हैं, जो गणित में रीमैन परिकल्पना के वास्तविक महत्व के लिए उत्तरदायी हैं।

सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना, रीमैन परिकल्पना को सभी डिरिचलेट एल-फलन तक विस्तारित करती है। विशेष रूप से यह अनुमान लगाता है कि सीगल शून्य (1/2 और 1 के बीच एल-फलन के शून्य) उपस्थित नहीं हैं।

विस्तारित रीमैन परिकल्पना बीजगणितीय संख्या क्षेत्र के सभी डेडेकिंड जीटा कार्यों के लिए रीमैन परिकल्पना का विस्तार करती है। परिमेय के एबेलियन विस्तार के लिए विस्तारित रीमैन परिकल्पना सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना के समान है। रीमैन परिकल्पना को संख्या क्षेत्रों के हेके वर्णों के एल-फलनों तक भी बढ़ाया जा सकता है।

ग्रैंड रीमैन अवधारणा इसे सभी ऑटोमोर्फिक एएल फलन तक विस्तारित करती है, जैसे हेज अजीबोगरीब आकार के मेलिन रूपांतरण है।

परिमित क्षेत्रों पर किस्मों के कार्य क्षेत्र और जेटा कार्य
बीजगणितीय विविधता के (द्विघात) कार्य क्षेत्र के वैश्विक जीटा कार्यों की प्रारंभ की और उनके लिए रीमैन परिकल्पना के एनालॉग का अनुमान लगाया था, जो हसे द्वारा जीनस 1 स्थिति में और द्वारा सिद्ध किया गया है सामान्य रूप में। उदाहरण के लिए, तथ्य यह है कि आकार q (q विषम के साथ) के परिमित क्षेत्र के द्विघात वर्ण के द्विघात गॉस योग का निरपेक्ष मान है $$\sqrt{q}$$ वास्तव में फलन फ़ील्ड सेटिंग में रीमैन परिकल्पना का उदाहरण है। इससे यह हुआ  सभी बीजगणितीय विविधता के लिए समान कथन का अनुमान लगाने के लिए; परिणामी वेइल अनुमानों द्वारा सिद्ध किया गया था.

अंकगणित योजनाओं के अंकगणित जीटा कार्य और उनके एल-कारक
अंकगणित ज़ेटा फलन रीमैन और डेडेकिंड ज़ेटा फलन के साथ-साथ परिमित क्षेत्रों पर किस्मों के ज़ेटा फलन को प्रत्येक अंकगणितीय योजना या पूर्णांकों पर परिमित प्रकार की योजना के लिए सामान्यीकृत करते हैं। क्रोनेकर डायमेंशन n की नियमित रूप से जुड़ी हुई समानता की अंकगणितीय योजना के अंकगणितीय जेटा फलन को उचित रूप से परिभाषित एल-कारकों और सहायक कारक के उत्पाद में कारक बनाया जा सकता है।. कार्यात्मक समीकरण और मेरोमोर्फिक निरंतरता मानते हुए, एल-फैक्टर के लिए सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना बताती है कि महत्वपूर्ण रिबन के अंदर इसके शून्य $$\Re(s)\in (0,n)$$ केंद्रीय रेखा पर लेट जाओ। इसके अनुरूप, नियमित रूप से जुड़े समान आयामी अंकगणितीय योजना के अंकगणित जीटा फलन के लिए सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना बताती है कि महत्वपूर्ण रिबन के अंदर इसके शून्य लंबवत रेखाओं पर स्थित हैं। $$\Re(s)=1/2,3/2,\dots,n-1/2$$ और क्रांतिक रिबन के अंदर इसके खंभे ऊर्ध्वाधर रेखाओं पर स्थित हैं $$\Re(s)=1, 2, \dots,n-1$$. यह सकारात्मक विशेषताओं में योजनाओं के लिए जाना जाता है और इससे अनुसरण करता है, किंतु विशेषता शून्य में पूरी तरह से अज्ञात रहता है।

सेलबर्ग जीटा फलन
रीमैन सतह के सेलबर्ग जेटा फलन की प्रारंभ की थी। ये रीमैन ज़ेटा फलन के समान हैं: उनके पास कार्यात्मक समीकरण है, और यूलर उत्पाद के समान अनंत उत्पाद है, किंतु प्राइम्स के अतिरिक्त बंद जियोडेसिक्स पर ले लिया गया है। सेलबर्ग ट्रेस सूत्र अभाज्य संख्या सिद्धांत में स्पष्ट सूत्र (एल-फलन) के इन कार्यों के लिए एनालॉग है। सेल्बर्ग ने सिद्ध किया कि सेलबर्ग जेटा फलन रीमैन परिकल्पना के अनुरूप को संतुष्ट करते हैं, रीमैन सतह के लाप्लासियन ऑपरेटर ​​​​से संबंधित उनके शून्य के काल्पनिक भागों के साथ किया जाता है।

इहारा जीटा फलन
एक परिमित ग्राफ का इहारा जीटा कार्य सेलबर्ग ज़ेटा फलन का एनालॉग है, जिसे पहली बार यासुताका इहारा द्वारा दो-दो-दो पी-एडिक विशेष रैखिक समूह के असतत उपसमूहों के संदर्भ में पेश किया गया था। नियमित परिमित ग्राफ रामानुजन ग्राफ है, जो कुशल संचार नेटवर्क का गणितीय मॉडल है, यदि और केवल यदि  इसका इहारा ज़ेटा फलन रीमैन परिकल्पना के एनालॉग को संतुष्ट करता है जैसा कि तोशिकाज़ु सुनदा t द्वारा इंगित किया गया था।

मोंटगोमरी की जोड़ी सहसंबंध अनुमान
जोड़ी सहसंबंध अनुमान का सुझाव दिया कि ज़ेटा फलन के (उपयुक्त रूप से सामान्यीकृत) शून्य के सहसंबंध कार्य गॉसियन एकात्मक पहनावा के आइगेनवेल्यूज़ के समान होने चाहिए। दिखाया गया है कि यह इन सहसंबंध कार्यों के बड़े मापदंड पर संख्यात्मक गणनाओं द्वारा समर्थित है।

मोंटगोमरी ने दिखाया कि (रीमैन परिकल्पना को मानते हुए) सभी शून्यों में से कम से कम 2/3 सरल हैं, और संबंधित अनुमान यह है कि जीटा फलन के सभी शून्य सरल हैं (या अधिक सामान्यतः उनके काल्पनिक भागों के बीच कोई गैर-तुच्छ पूर्णांक रैखिक संबंध नहीं है) ) बीजगणितीय संख्या क्षेत्रों के डेडेकिंड जीटा फलन, जो रीमैन ज़ेटा फलन को सामान्यीकृत करते हैं, में अक्सर कई जटिल शून्य होते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि डेडेकिंड जीटा फलन आर्टिन एल-फलन की शक्तियों के उत्पाद के रूप में फ़ैक्टराइज़ करते हैं, इसलिए आर्टिन एल-फलन के शून्य कभी-कभी डेडेकिंड ज़ेटा फलन के कई शून्यों को जन्म देते हैं। कई शून्य वाले जीटा फलन के अन्य उदाहरण कुछ दीर्घवृत्तीय वक्रों के एल-फलन हैं: इनमें उनकी महत्वपूर्ण रेखा के वास्तविक बिंदु पर एकाधिक शून्य हो सकते हैं; बिर्च-स्वाइनर्टन-डायर अनुमान भविष्यवाणी करता है कि इस शून्य की बहुलता दीर्घवृत्तीय वक्र की कोटि है।

अन्य जेटा कार्य
रीमैन परिकल्पना के अनुरूपों के साथ जीटा कार्यों के जीटा कार्य हैं, जिनमें से कुछ सिद्ध हो चुके हैं। फलन फ़ील्ड्स के गॉस जीटा फलन में रीमैन परिकल्पना है, जिसे सिद्ध किया गया है. इवासावा सिद्धांत के इवासावा सिद्धांत का मुख्य अनुमान, साइक्लोटोमिक क्षेत्र के लिए बैरी मजूर और एंड्रयू विल्स द्वारा सिद्ध किया गया है, और विल्स पूरी तरह से वास्तविक संख्या क्षेत्र के लिए, ऑपरेटर के ईगेनवैल्यू के साथ पी-एडिक एल-फलन के शून्य की पहचान करता है, इसलिए सोचा जा सकता है पी-एडिक एल-फलन के लिए हिल्बर्ट-पोल्या अनुमान के एनालॉग के रूप में उपयुक्त होता है।

प्रयास किए गए प्रमाण
कई गणितज्ञों ने रीमैन परिकल्पना को संबोधित किया है, किंतु उनके किसी भी प्रयास को अभी तक प्रमाण के रूप में स्वीकार नहीं किया गया है। कुछ गलत समाधान सूचीबद्ध करता है।

संचालक सिद्धांत
हिल्बर्ट और पोल्या ने सुझाव दिया कि रीमैन परिकल्पना को प्राप्त करने का विधि स्व-संलग्न संकारक को खोजना होगा, जिसके अस्तित्व से ζ(s) के शून्य के वास्तविक भागों पर कथन का पालन तब होगा जब कोई वास्तविक पर मानदंड प्रयुक्त करेगा। इस विचार के लिए कुछ समर्थन रीमैन ज़ेटा फलन के कई एनालॉग्स से आता है, जिनके शून्य कुछ ऑपरेटर के ईजेनवेल्यूज़ के अनुरूप होते हैं: परिमित क्षेत्र पर विविधता के जीटा फलन के शून्य ईटेल कोहोलॉजी समूह पर फ्रोबेनियस तत्व के ईजेनवेल्यूज़ के अनुरूप होते हैं, सेलबर्ग जीटा फलन के शून्य रीमैन सतह के लाप्लासियन संचालिका के ईजेनमान हैं, और पी-एडिक ज़ेटा फलन के शून्य आदर्श वर्ग समूह पर गैलोज क्रिया के ईजेनवेक्टर के अनुरूप हैं।

दिखाया गया है कि रीमैन जेटा फलन के शून्य का वितरण गॉसियन एकात्मक पहनावा से तैयार किए गए यादृच्छिक मेट्रिसेस ​​​​के साथ कुछ सांख्यिकीय गुणों को साझा करता है। यह हिल्बर्ट-पोल्या अनुमान को कुछ समर्थन देता है।

1999 में, माइकल बेरी (भौतिक विज्ञानी) और जोनाथन कीटिंग ने अनुमान लगाया कि कुछ अज्ञात परिमाणीकरण है $$\hat H$$ मौलिक हैमिल्टनियन h = xp जिससे $$\zeta (1/2+i\hat H) = 0 $$ और इससे भी अधिक दृढ़ता से, कि रीमैन शून्य ऑपरेटर के स्पेक्ट्रम के साथ मेल खाता है $$1/2 + i \hat H$$. यह विहित परिमाणीकरण के विपरीत है, जो हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत की ओर जाता है $$\sigma_x \sigma_p \geq \frac{\hbar}{2}$$ और क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर के स्पेक्ट्रम के रूप में प्राकृतिक संख्या। महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि हैमिल्टन को स्व-संबद्ध संचालिका होना चाहिए जिससे परिमाणीकरण हिल्बर्ट-पोल्या कार्यक्रम का अहसास हो। इस क्वांटम यांत्रिक समस्या के संबंध में बेरी और कॉन्स ने प्रस्ताव दिया था कि हैमिल्टन की क्षमता का व्युत्क्रम फलन के अर्ध-व्युत्पन्न से जुड़ा है $$ N(s)= \frac{1}{\pi}\operatorname{Arg}\xi(1/2+i\sqrt s)$$ फिर, बेरी-कॉन्स दृष्टिकोण में $$ V^{-1}(x) = \sqrt{4\pi} \frac{d^{1/2}N(x)}{dx^{1/2}}.$$ यह हैमिल्टनियन पैदा करता है जिसका आइगेनवैल्यू रीमैन जीरो के काल्पनिक भाग का वर्ग है, और यह भी कि इस हैमिल्टनियन ऑपरेटर का कार्यात्मक निर्धारक सिर्फ रीमैन शी कार्य है। वास्तव में रीमैन शी फलन कार्यात्मक निर्धारक (हैडमार्ड उत्पाद (मैट्रिसेस)) के समानुपाती होता है $$\det(H+1/4+s(s-1)) $$ जैसा कि कॉन्स और अन्य ने इस दृष्टिकोण में सिद्ध किया है $$\frac{\xi(s)}{\xi(0)}=\frac{\det(H+s(s-1)+1/4)}{\det(H+1/4)}.$$ परिमित क्षेत्रों पर रिमेंन परिकल्पना के साथ समानता से पता चलता है कि हिल्बर्ट अंतरिक्ष जिसमें शून्य से संबंधित ईजेनवेक्टर होते हैं, पूर्णांक के रिंग स्पेक (जेड) के स्पेक्ट्रम के पहले कोहोलॉजी समूह के कुछ प्रकार हो सकते हैं। इस तरह के कोहोलॉजी सिद्धांत को खोजने के कुछ प्रयासों का वर्णन किया था।

ऊपरी आधे विमान पर अपरिवर्तनीय कार्यों के प्राकृतिक स्थान का निर्माण किया, जिसमें लाप्लासियन ऑपरेटर के अनुसार आईगेनवैल्यूज ​​​​हैं जो रीमैन ज़ेटा फलन के शून्य के अनुरूप हैं - और टिप्पणी की कि असंभावित घटना में कोई उपयुक्त सकारात्मक निश्चित आंतरिक उत्पाद के अस्तित्व को दिखा सकता है यह स्थान, रीमैन परिकल्पना का अनुसरण करेगा। संबंधित उदाहरण पर चर्चा की थी, जहां विचित्र बग के कारण कंप्यूटर प्रोग्राम ने रिमेंन जीटा फलन के शून्य को उसी लाप्लासियन ऑपरेटर के आईगेनवैल्यूज ​​​​के रूप में सूचीबद्ध किया था।

ने रीमैन जेटा फलन से संबंधित उपयुक्त भौतिक मॉडल के निर्माण के कुछ प्रयासों का सर्वेक्षण किया था।

ली-यांग प्रमेय
ली-यांग प्रमेय में कहा गया है कि सांख्यिकीय यांत्रिकी में कुछ विभाजन फलन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) के शून्य उनके वास्तविक भाग के समान 0 के साथ महत्वपूर्ण रेखा पर स्थित हैं, और इसने रीमैन परिकल्पना के साथ संबंध के बारे में कुछ अटकलों को जन्म दिया है।

तुरन का परिणाम
दिखाया कि यदि कार्य करता है $$\sum_{n=1}^N n^{-s}$$ कोई शून्य नहीं है जब s का वास्तविक भाग से अधिक हो $$T(x) = \sum_{n\le x}\frac{\lambda(n)}{n}\ge 0\text{ for } x > 0,$$ जहां λ(n) (-1) द्वारा दिया गया लिउविल फलन हैr यदि n के r अभाज्य गुणनखंड हैं। उन्होंने दिखाया कि बदले में इसका अर्थ यह होगा कि रीमैन परिकल्पना सत्य है। किंतु सिद्ध किया कि t (एक्स) अपरिमित रूप से कई एक्स के लिए नकारात्मक है (और निकट से संबंधित पोल्या अनुमान को भी खारिज कर दिया), और  दिखाया कि सबसे छोटा ऐसा x है 72  185  376  951  205. संख्यात्मक गणना द्वारा दिखाया गया है कि N = 19 के लिए उपरोक्त परिमित डिरिचलेट श्रृंखला में 1 से अधिक वास्तविक भाग के साथ शून्य है। तुरान ने यह भी दिखाया कि कुछ हद तक अशक्त धारणा, 1 + N−1/2+ε से अधिक वास्तविक भाग के साथ शून्य का अस्तित्व नहीं ऊपर परिमित डिरिचलेट श्रृंखला में बड़े N के लिए, रीमैन परिकल्पना को भी इंगित करेगा, किंतु दिखाया गया है कि सभी पर्याप्त रूप से बड़े एन के लिए इन श्रृंखलाओं में वास्तविक भाग से अधिक के साथ शून्य हैं 1 + (log log N)/(4 log N). इसलिए, तुरान का नतीजा खाली सच है और रीमैन परिकल्पना को सिद्ध करने में सहायता नहीं कर सकता है।

गैर-अनुवर्ती ज्यामिति
रीमैन परिकल्पना और गैर-अनुक्रमिक ज्यामिति के बीच संबंध का वर्णन किया है, और दिखाया है कि एडेल क्लास स्पेस पर आइडल क्लास ग्रुप की कार्रवाई के लिए सेलबर्ग ट्रेस फॉर्मूला का उपयुक्त एनालॉग रीमैन परिकल्पना का अर्थ होगा। इनमें से कुछ विचारों का विस्तार से वर्णन किया गया है.

संपूर्ण कार्यों के हिल्बर्ट रिक्त स्थान
दिखाया गया है कि रीमैन परिकल्पना संपूर्ण कार्यों के निश्चित हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर सकारात्मकता की स्थिति का पालन करेगी। चूँकि  दिखाया कि आवश्यक सकारात्मकता की स्थिति संतुष्ट नहीं है। इस बाधा के अतिरिक्त, डी ब्रैंज ने उसी तर्ज पर रीमैन परिकल्पना के प्रयास के प्रमाण पर काम करना जारी रखा है, किंतु इसे अन्य गणितज्ञों द्वारा व्यापक रूप से स्वीकार नहीं किया गया है।

क्वासिक क्रिस्टल
रीमैन परिकल्पना का तात्पर्य है कि जीटा फलन के शून्य क्वासिक क्रिस्टल बनाते हैं, असतत समर्थन वाला वितरण जिसके फूरियर रूपांतरण में असतत समर्थन भी होता है।

सुझाव दिया कि रीमैन परिकल्पना को वर्गीकृत करके, या कम से कम अध्ययन करके, 1-आयामी क्वासिक क्रिस्टल को सिद्ध करने का प्रयास करें।

संख्या क्षेत्रों पर अण्डाकार वक्रों के मॉडल के अंकगणित जीटा कार्य
जब कोई ज्यामितीय आयाम से जाता है, उदाहरण बीजगणितीय संख्या क्षेत्र, ज्यामितीय आयाम दो के लिए, उदा। संख्या क्षेत्र पर दीर्घवृत्त वक्र का नियमित मॉडल, मॉडल के अंकगणित जीटा फलन के लिए सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना का द्वि-आयामी भाग ज़ेटा फलन के ध्रुवों से संबंधित है। पहले आयाम में टेट की थीसिस में जीटा इंtग्रल के अध्ययन से रीमैन परिकल्पना पर नई महत्वपूर्ण जानकारी नहीं मिलती है। इसके विपरीत, टेट की थीसिस के द्वि-आयामी सामान्यीकरण पर इवान फेसेंको के आयाम दो कार्य में ज़ेटा फलन से निकटता से संबंधित जीटा इंtग्रल का अभिन्न प्रतिनिधित्व सम्मिलित है। इस नई स्थिति में, आयाम में संभव नहीं है, जीटा फलन के ध्रुवों का जीटा इंtग्रल और संबद्ध एडेल समूहों के माध्यम से अध्ययन किया जा सकता है। का संबंधित अनुमान ज़ेटा इंtग्रल से जुड़े सीमा कार्य के चौथे व्युत्पन्न की सकारात्मकता पर अनिवार्य रूप से सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना के ध्रुव भाग का तात्पर्य है।  सिद्ध कर दिया कि उत्तरार्द्ध, कुछ तकनीकी मान्यताओं के साथ मिलकर, फ़ेसेंको के अनुमान को दर्शाता है।

एकाधिक जेटा कार्य
डेलिग्ने के परिमित क्षेत्रों पर रीमैन परिकल्पना के प्रमाण ने उत्पाद किस्मों के जीटा कार्यों का उपयोग किया, जिनके शून्य और ध्रुव मूल जीटा कार्य के शून्य के वास्तविक भागों को बाध्य करने के लिए मूल जीटा कार्य के शून्य और ध्रुवों के योग के अनुरूप हैं। समानता से, कई ज़ेटा फलन पेश किए जिनके शून्य और ध्रुव रीमैन ज़ेटा फलन के शून्य और ध्रुवों के योग के अनुरूप हैं। श्रृंखला को अभिसरण करने के लिए वह गैर-नकारात्मक काल्पनिक भाग के साथ शून्य या ध्रुवों के योग तक सीमित है। अब तक, कई जेटा कार्यों के शून्य और ध्रुवों पर ज्ञात सीमाएं रीमैन जेटा फलन के शून्य के लिए उपयोगी अनुमान देने के लिए पर्याप्त प्रबल नहीं हैं।

शून्य की संख्या
तर्क सिद्धांत के साथ संयुक्त कार्यात्मक समीकरण का तात्पर्य है कि ज़ीटा फलन के शून्य की संख्या 0 और T के बीच काल्पनिक भाग के द्वारा दी गई है
 * $$N(T)=\frac{1}{\pi}\mathop{\mathrm{Arg}}(\xi(s)) = \frac{1}{\pi}\mathop{\mathrm{Arg}}(\Gamma(\tfrac{s}{2})\pi^{-\frac{s}{2}}\zeta(s)s(s-1)/2)$$

s=1/2+iT के लिए, जहां तर्क को ∞+iT पर तर्क 0 से प्रारंभ करते हुए, Im(s)=T के साथ निरंतर बदलते हुए परिभाषित किया जाता है। यह बड़े किंतु अच्छी तरह से समझे जाने वाले शब्द का योग है
 * $$\frac{1}{\pi}\mathop{\mathrm{Arg}}(\Gamma(\tfrac{s}{2})\pi^{-s/2}s(s-1)/2) = \frac{T}{2\pi}\log\frac{T}{2\pi}-\frac{T}{2\pi} +7/8+O(1/T) $$

और छोटा किंतु किंतु रहस्यमयी शब्द
 * $$S(T) = \frac{1}{\pi}\mathop{\mathrm{Arg}}(\zeta(1/2+iT)) =O(\log T).$$

T के निकट काल्पनिक भाग के साथ शून्य का घनत्व लगभग log(T)/2π है, और फलन S इससे छोटे विचलन का वर्णन करता है। कार्य s (t) जीटा कार्य के प्रत्येक शून्य पर 1 से कूदता है, और के लिए t ≥ 8 यह −log t के निकट डेरिवेटिव के साथ शून्य के बीच मोनोटोनिक रूप से घटता है।

सिद्ध कर दिया, यदि $$T > e$$, तब
 * $$|N(T) - \frac{T}{2\pi} \log{\frac{T}{2\pi e}}| \leq 0.112 \log T + 0.278 \log\log T + 3.385 + \frac{0.2}{T}$$.

अनातोली अलेक्सेविच करत्सुबा (1996) ने सिद्ध किया कि हर अंतराल (T, T+H) के लिए $$H \ge T^{\frac{27}{82}+\varepsilon}$$ कम से कम सम्मिलित है
 * $$ H(\log T)^{\frac{1}{3}}e^{-c\sqrt{\log\log T}} $$

वे बिंदु जहां फलन S(t) चिह्न बदलता है।

दिखाएँ कि S की सम घातों का औसत संचलन किसके द्वारा दिया जाता है
 * $$\int_0^T|S(t)|^{2k}dt = \frac{(2k)!}{k!(2\pi)^{2k}}T(\log \log T)^k + O(T(\log \log T)^{k-1/2}).$$

इससे पता चलता है कि s(t)/(लॉग लॉग t)1/2 माध्य 0 और प्रसरण 2π के साथ गॉसियन यादृच्छिक चर जैसा दिखता है2 ( इस तथ्य को सिद्ध किया था। विशेष रूप से |s(t)| सामान्यतः कहीं आसपास होता है किंतु कभी-कभी बहुत बड़ा। S(T) की वृद्धि का स्पष्ट क्रम ज्ञात नहीं है। रीमैन की मूल सीमा S(T)=O(log T) में कोई बिना नियम सुधार नहीं हुआ है, चूँकि रीमैन परिकल्पना का कारण थोड़ा छोटा बाध्य S(T)=O(log T/log log T) है। परिमाण का सही क्रम इससे कुछ कम हो सकता है, क्योंकि s(t)1/2 के समान वितरण वाले यादृच्छिक कार्यों में लॉग(t) के क्रम में वृद्धि होती है।. दूसरी दिशा में यह बहुत छोटा नहीं हो सकता:  पता चला है कि S(T) ≠ o((log T)1/3/(log log T)7/3), और रीमैन परिकल्पना मानते हुए मोंटगोमरी ने यह दिखाया था S(T) ≠ o((log T)1/2/(log log T)1/2).

संख्यात्मक गणना इस बात की पुष्टि करती है कि S बहुत धीमी गति से बढ़ता है: |S(T)| < 1 के लिए T < 280, |s(t)| < 2 t के लिए <<6 800  000, और |S(T)| का सबसे बड़ा मान है अब तक पाया गया 3 से अधिक बड़ा नहीं है।

रीमैन का अनुमान s(t)=ओ(लॉग t) का अर्थ है कि शून्य के बीच अंतराल सीमित हैं, और लिटिलवुड ने इसमें थोड़ा सुधार किया, यह दर्शाता है कि उनके काल्पनिक भागों के बीच अंतराल 0 हो जाता है।

हैडमर्ड और डे ला वाली-पौसिन की प्रमेय
और स्वतंत्र रूप से सिद्ध किया कि रेखा Re(s) = 1 पर कोई भी शून्य नहीं हो सकता है। साथ में कार्यात्मक समीकरण और तथ्य यह है कि 1 से अधिक वास्तविक भाग के साथ कोई शून्य नहीं है, इससे पता चलता है कि सभी गैर-तुच्छ शून्यों को इंटीरियर में झूठ बोलना चाहिए महत्वपूर्ण रिबन की 0 < Re(s) < 1. अभाज्य संख्या प्रमेय के उनके पहले प्रमाण में यह महत्वपूर्ण कदम था।

दोनों मूल प्रमाण हैं कि ज़ेटा फलन में वास्तविक भाग 1 के साथ कोई शून्य नहीं है, और यह दिखाने पर निर्भर करता है कि यदि ζ(1+it) गायब हो जाता है, तो ζ(1+2it) एकवचन है, जो संभव नहीं है। ऐसा करने का विधि असमानता का उपयोग करना है
 * $$|\zeta(\sigma)^3\zeta(\sigma+it)^4\zeta(\sigma+2it)|\ge 1$$

σ > 1 के लिए, t वास्तविक, और σ → 1 के रूप में सीमा को देखते हुए। यह असमानता यह देखने के लिए यूलर उत्पाद के लॉग के वास्तविक भाग को लेकर अनुसरण करती है
 * $$|\zeta(\sigma+it)| = \exp\Re\sum_{p^n}\frac{p^{-n(\sigma+it)}}{n}=\exp\sum_{p^n}\frac{p^{-n\sigma}\cos(t\log p^n)}{n},$$

जहां योग सभी प्रमुख शक्तियों से अधिक है pn, जिससे
 * $$|\zeta(\sigma)^3\zeta(\sigma+it)^4\zeta(\sigma+2it)| = \exp\sum_{p^n}p^{-n\sigma}\frac{3+4\cos(t\log p^n)+\cos(2t\log p^n)}{n}$$

जो कि कम से कम 1 है क्योंकि असमानता के कारण योग के सभी पद धनात्मक हैं
 * $$3+4\cos(\theta)+\cos(2\theta) = 2 (1+\cos(\theta))^2\ge0.$$

शून्य-मुक्त क्षेत्र
प्लैट और ट्रूजियन द्वारा सबसे व्यापक कंप्यूटर खोज रीमैन परिकल्पना के काउंटर उदाहरणों के लिए इसे सत्यापित किया है $$|t| \leq 3.0001753328 \cdot 10^{12} $$. इसके अतिरिक्त शून्य-मुक्त क्षेत्रों को असमानताओं के रूप में जाना जाता है σ + it, जो शून्य हो सकता है। सबसे पुराना संस्करण सेंटर डी ला वल्ली-पौसिन1899-1900|डे ला वली-पौसिन (1899-1900) से है, जिन्होंने सिद्ध किया कि शून्य के बिना क्षेत्र है जो संतुष्ट करता है 1 − σ ≥ $$ किसी धनात्मक स्थिरांक C के लिए। दूसरे शब्दों में, शून्य रेखा के बहुत निकट नहीं हो सकते इस रेखा के निकट शून्य-मुक्त क्षेत्र है। इसे विनोग्रादोव के माध्य-मूल्य प्रमेय जैसे विधियों का उपयोग करके कई लेखकों द्वारा विस्तारित किया गया है।

सबसे हालिया पेपर मॉसिंगहॉफ, ट्रुडजियन और यांग द्वारा दिसंबर 2022 से है और चार शून्य-मुक्त क्षेत्र प्रदान करता है जिसने 2002 से केविन फोर्ड के पिछले परिणामों में सुधार किया, मोसिंगहॉफ और ट्रुडजियन ने स्वयं को 2015 से और पेस नीलसन ने अक्टूबर 2022 से फोर्ड में सामान्य सुधार किया था:


 * $$\sigma\ge 1 - \frac{1}{5.558691 \log|t|}$$ जब कभी भी $$|t| \geq 2 $$,
 * $$\sigma\ge 1-\frac{1}{55.241(\log{|t|})^{2/3}(\log{\log{|t|}})^{1/3}}$$ जब कभी भी $$|t| \geq 3 $$ (बाध्य में सबसे बड़ा ज्ञात क्षेत्र $$3.0001753328 \cdot 10^{12} \leq |t| \leq \exp(64.1) \approx 6.89 \cdot 10^{27} $$),
 * $$\sigma\ge 1 - \frac{0.04962 - \frac{0.0196}{1.15 + \log 3 + \frac{1}{6} \log t + \log\log t}}{0.685 + \log 3 + \frac{1}{6} \log t + 1.155 \cdot \log\log t}$$ जब कभी भी $$|t| \geq 1.88 \cdot 10^{14} $$ (बाध्य में सबसे बड़ा ज्ञात क्षेत्र $$\exp(64.1) \leq |t| \leq exp(1000) \approx 1.97 \cdot 10^{434} $$) और
 * $$\sigma\ge 1-\frac{0.05035}{\frac{27}{164}(\log{|t|})+7.096}+\frac{0.0349}{(\frac{27}{164}(\log{|t|})+7.096)^2}$$ जब कभी भी $$|t| \geq exp(1000) $$ (अपनी सीमा में सबसे बड़ा ज्ञात क्षेत्र)

पेपर में दूसरे शून्य-मुक्त क्षेत्र में भी सुधार हुआ है, जिसकी सीमा के कारण अज्ञात हैं $$|t| $$ कागज के प्रमाण की आवश्यकताओं को पूरा करने के लिए केवल पर्याप्त रूप से बड़ा माना जा रहा है। यह क्षेत्र है

$$\sigma\ge 1-\frac{1}{48.1588(\log{|t|})^{2/3}(\log{\log{|t|}})^{1/3}}$$.

महत्वपूर्ण रेखा पर शून्य
और दिखाया गया है कि जीटा फलन से संबंधित कुछ कार्यों के क्षणों पर विचार करके महत्वपूर्ण रेखा पर असीम रूप से कई शून्य हैं।  सिद्ध कर दिया कि शून्य का कम से कम (छोटा) सकारात्मक अनुपात रेखा पर स्थित है।  जीटा फलन के शून्यों को इसके डेरिवेटिव के शून्यों से जोड़कर इसे शून्यों के एक-तिहाई तक सुधारा गया है, और  इसे और बढ़ाकर दो-पांचवां कर दिया। 2020 में, इस अनुमान को प्रैट, रॉबल्स, अलेक्जेंडर ज़हारेस्कु और ज़िंडलर द्वारा पाँच-बारहवें तक बढ़ाया गया था विस्तारित मोलिफायर्स पर विचार करके जो जीटा फलन के उच्च ऑर्डर डेरिवेटिव और उनके संबंधित क्लोस्टरमैन रकम को समायोजित कर सकते हैं।

अधिकांश शून्य क्रांतिक रेखा के निकट स्थित होते हैं। अधिक ठीक, दिखाया गया है कि किसी भी सकारात्मक ε के लिए, वास्तविक भाग के साथ शून्य की संख्या कम से कम 1/2+ε और काल्पनिक भाग -T और T के बीच है $$O(T)$$. इस तथ्य के साथ संयुक्त कि महत्वपूर्ण रिबन पर शून्य महत्वपूर्ण रेखा के बारे में सममित हैं और महत्वपूर्ण रिबन में शून्यों की कुल संख्या है $$\Theta(T\log T)$$, लगभग सभी गैर-तुच्छ शून्य महत्वपूर्ण रेखा के ε दूरी के अंदर हैं।  इस परिणाम के कई और स्पष्ट संस्करण देता है, जिसे शून्य घनत्व अनुमान कहा जाता है, जो अधिकांश T पर काल्पनिक भाग वाले क्षेत्रों में शून्य की संख्या और कम से कम 1/2 + ε वास्तविक भाग को सीमित करता है।

हार्डी-लिटिलवुड अनुमान
1914 में जी. एच. हार्डी ने यह सिद्ध किया $$\zeta\left(\tfrac{1}{2}+it\right)$$ अपरिमित रूप से अनेक वास्तविक शून्य होते हैं।

के वास्तविक शून्यों के बीच की दूरी पर जी.एच. हार्डी और जॉन एडेंसर लिटिलवुड के अगले दो अनुमान $$\zeta\left(\tfrac{1}{2}+it\right)$$ और शून्य के घनत्व पर $$\zeta\left(\tfrac{1}{2}+it\right)$$ अंतराल पर $$(T,T+H]$$ अधिक बड़े के लिए $$T > 0$$, और $$H = T^{a + \varepsilon}$$ और यथासंभव छोटे मूल्य के साथ $$a > 0$$, जहाँ $$\varepsilon > 0$$ इच्छानुसार से छोटी संख्या है, रीमैन ज़ेटा फलन की जांच में दो नई दिशाएँ खोलें:


 * 1) किसी के लिए $$\varepsilon > 0$$ निचली सीमा $$T_0 = T_0(\varepsilon) > 0$$ उपस्थित है  ऐसा कि के लिए $$T \geq T_0$$ और $$H=T^{\tfrac{1}{4}+\varepsilon}$$ अंतराल $$(T,T+H]$$ फलन के विषम $$\zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)$$ क्रम का शून्य होता है.

माना $$N(T)$$ वास्तविक शून्यों की कुल संख्या हो, और $$N_0(T)$$ फलन के विषम क्रम के शून्यों की कुल संख्या हो $$~\zeta\left(\tfrac{1}{2}+it\right)~$$ अंतराल $$(0,T]~$$ पर होता है.


 * 1) किसी के लिए भी $$\varepsilon > 0$$ वहां उपस्थित $$T_0 = T_0(\varepsilon) > 0$$ और कुछ $$c = c(\varepsilon) > 0$$, ऐसे के लिए $$T \geq T_0$$ और $$H=T^{\tfrac{1}{2}+\varepsilon}$$ असमानता $$N_0(T+H)-N_0(T) \geq c H$$ सच है।

सेलबर्ग का जीटा फलन अनुमान
हार्डी-लिटिलवुड 2 की समस्या की जांच की और सिद्ध किया कि किसी भी ε> 0 के लिए ऐसा उपस्थित है $$T_0 = T_0(\varepsilon) > 0$$ और c = c(ε) > 0, जैसे कि के लिए $$T \geq T_0$$ और $$H=T^{0.5+\varepsilon}$$ असमानता $$N(T+H)-N(T) \geq cH\log T$$ क्या सच है। सेलबर्ग ने अनुमान लगाया कि इसे कड़ा किया जा सकता है $$H=T^{0.5}$$. सिद्ध कर दिया कि निश्चित ε नियम 0 < ε < 0.001 को संतुष्ट करने के लिए, पर्याप्त बड़ा t और $$H = T^{a+\varepsilon}$$, $$a = \tfrac{27}{82} = \tfrac{1}{3} -\tfrac{1}{246}$$, अंतराल (t, t+h) में कम से कम सीएच लॉग (t) रीमैन जेटा फलन के वास्तविक शून्य सम्मिलित हैं $$\zeta\left(\tfrac{1}{2}+it\right)$$ और इसलिए सेलबर्ग अनुमान की पुष्टि की। t → ∞ के रूप में विकास के क्रम के संबंध में सेलबर्ग और करत्सुबा के अनुमानों में सुधार नहीं किया जा सकता है।

सिद्ध किया कि सेलबर्ग अनुमान का एनालॉग लगभग सभी अंतरालों (T, T+H] के लिए प्रयुक्त होता है। $$H = T^{\varepsilon}$$, जहां ε इच्छानुसार से छोटी निश्चित सकारात्मक संख्या है। करात्सुबा विधि महत्वपूर्ण रेखा के सुपरशॉर्ट अंतरालों पर रीमैन जेटा फलन के शून्य की जांच करने की अनुमति देती है, जो कि अंतराल (t, t + एच] पर है, जिसकी लंबाई एच किसी भी इच्छानुसार से छोटी डिग्री t की तुलना में धीमी होती है। विशेष रूप से, उन्होंने सिद्ध किया कि किसी भी दी गई संख्या ε के लिए, $$\varepsilon_1$$ शर्तों को पूरा करना $$0<\varepsilon, \varepsilon_{1}<1$$ लगभग सभी अंतराल (t, t + एच] के लिए $$H\ge\exp{\{(\log T)^{\varepsilon}\}}$$ कम से कम सम्मिलित हों $$H(\log T)^{1-\varepsilon_{1}}$$ कार्य के शून्य $$\zeta\left(\tfrac{1}{2}+it\right)$$. यह अनुमान रीमैन की परिकल्पना के अधिक निकट है।

संख्यात्मक गणना
कार्यक्रम


 * $$\pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma(\tfrac{s}{2})\zeta(s)$$

क्रिटिकल स्ट्रिप में जीटा फलन के समान शून्य है, और कार्यात्मक समीकरण के कारण क्रिटिकल लाइन पर वास्तविक है, इसलिए संख्यात्मक रूप से जांच कर दो बिंदुओं के बीच वास्तविक रेखा पर शून्य के अस्तित्व को सिद्ध कर सकते हैं कि फलन विपरीत है इन बिंदुओं पर संकेत सामान्यतः कोई लिखता है


 * $$\zeta(\tfrac{1}{2} +it) = Z(t)e^{-i\theta(t)}$$

जहां हार्डी का जेड कार्य और रीमैन-सीगल थीटा फलन θ विशिष्ट रूप से इसके द्वारा परिभाषित किया गया है और नियम यह है कि वे θ(0)=0 के साथ सहज वास्तविक फलन हैं। कई अंतराल खोजने से जहां फलन जेड साइन बदलता है, यह दिखा सकता है कि महत्वपूर्ण रेखा पर कई शून्य हैं। शून्य के किसी दिए गए काल्पनिक भाग t तक रीमैन परिकल्पना को सत्यापित करने के लिए, किसी को यह भी जांचना होगा कि इस क्षेत्र में रेखा से आगे कोई शून्य नहीं है। यह ट्यूरिंग की विधि का उपयोग करके क्षेत्र में शून्य की कुल संख्या की गणना करके और यह जाँच कर किया जा सकता है कि यह रेखा पर पाए जाने वाले शून्यों की संख्या के समान है। यह किसी को t के किसी भी वांछित मूल्य तक कम्प्यूटेशनल रूप से रीमैन परिकल्पना को सत्यापित करने की अनुमति देता है (बशर्ते इस क्षेत्र में जीटा फलन के सभी शून्य सरल और महत्वपूर्ण रेखा पर हों)।

जीटा फलन के शून्य की कुछ गणनाएं नीचे सूचीबद्ध हैं, जहां शून्य की ऊंचाई उसके काल्पनिक भाग का परिमाण है, और nवें शून्य की ऊंचाई को γn द्वारा दर्शाया गया है. अब तक जिन शून्यों की जाँच की जा चुकी है वे क्रांतिक रेखा पर हैं और सरल हैं। (एक बहु शून्य शून्य खोजने वाले एल्गोरिदम के लिए समस्या पैदा करेगा, जो शून्य के बीच साइन परिवर्तन खोजने पर निर्भर करता है।) शून्य की तालिकाओं के लिए, देखें या.

ग्राम अंक
एक ग्राम बिंदु महत्वपूर्ण रेखा 1/2 + पर बिंदु है जहां जीटा फलन वास्तविक और गैर-शून्य है। महत्वपूर्ण रेखा पर जीटा फलन के लिए अभिव्यक्ति का उपयोग करना, ζ(1/2 + it) = Z(t)e− iθ(t), जहां हार्डी का फलन, Z फलन, वास्तविक t के लिए वास्तविक है, और θ रीमैन-सीगल थीटा फलन है, हम देखते हैं कि जब sin(θ(t)) = 0 होता है तो जीटा वास्तविक होता है। इसका तात्पर्य है कि θ(t) π का ​​एक पूर्णांक बहु है, जो ग्राम बिंदुओं के स्थान को θ के सूत्र को उल्टा करके अधिक आसानी से गणना करने की अनुमति देता है। वे सामान्यतः जी के रूप में गिने जाते हैंn n = 0, 1, ... के लिए, जहाँ gn θ(t) = nπ का अद्वितीय हल है।

ग्राम ने देखा कि किन्हीं भी दो ग्राम बिंदुओं के बीच जीटा फलन का ठीक शून्य होता है; हचिंसन ने इस अवलोकन को 'ग्राम का नियम' कहा। कई अन्य निकट संबंधी कथन हैं जिन्हें कभी-कभी ग्राम का नियम भी कहा जाता है: उदाहरण के लिए, (-1)एनजेड (जीn) सामान्यतः धनात्मक होता है, या Z(t) का सामान्यतः निरंतर ग्राम बिंदुओं पर विपरीत चिह्न होता है। काल्पनिक भाग γn पहले कुछ शून्य (नीले रंग में) और पहले कुछ ग्राम बिंदु जीn निम्न तालिका में दिए गए हैं

ग्राम के नियम की पहली विफलता 127 वें शून्य और ग्राम बिंदु जी पर होती है126, जो गलत क्रम में हैं।

एक ग्राम बिंदु t को अच्छा कहा जाता है यदि जीटा फलन 1/2 + पर सकारात्मक है। खराब ग्राम बिंदुओं के सूचकांक जहां Z का गलत चिन्ह है 126, 134, 195, 211, ... . ग्राम ब्लॉक अंतराल है जो दो अच्छे ग्राम बिंदुओं से घिरा होता है जैसे कि उनके बीच के सभी ग्राम बिंदु खराब होते हैं। ग्राम के नियम के परिशोधन के कारण रोसेर नियम कहा जाता है का कहना है कि ग्राम ब्लॉक में अक्सर शून्य की अपेक्षित संख्या होती है (ग्राम अंतराल की संख्या के समान), भले ही ब्लॉक में व्यक्तिगत ग्राम अंतराल में से कुछ में बिल्कुल शून्य न हो। उदाहरण के लिए, जी से घिरा अंतराल125 और जी127 ग्राम ब्लॉक है जिसमें अद्वितीय खराब ग्राम बिंदु जी है126, और इसमें शून्य की अपेक्षित संख्या 2 सम्मिलित है, चूँकि इसके दो ग्राम अंतरालों में से कोई भी अद्वितीय शून्य नहीं है। रोसेर एट अल। जांच की गई कि पहले 3 मिलियन शून्य में रोसेर के नियम का कोई अपवाद नहीं था, चूँकि पूरे जेटा फलन पर रोसेर के नियम के असीम रूप से कई अपवाद हैं।

ग्राम का नियम और रोसेर का नियम दोनों कहते हैं कि मायने में शून्य अपने अपेक्षित स्थान से बहुत दूर नहीं भटकते हैं। इसकी अपेक्षित स्थिति से शून्य की दूरी ऊपर परिभाषित फलन s द्वारा नियंत्रित होती है, जो बहुत धीमी गति से बढ़ती है: इसका औसत मान (लॉग लॉग t) के क्रम का है1/2, जो 10 के आसपास T के लिए केवल 2 तक पहुंचता है24. इसका कारण यह है कि दोनों नियम अधिकतर समय छोटे t के लिए रहते हैं किंतु अंततः अक्सर टूट जाते हैं। वास्तव में, दिखाया कि ग्राम का नियम और रोसेर का नियम दोनों स्थितियों के सकारात्मक अनुपात में विफल होते हैं। विशिष्ट होने के लिए, यह उम्मीद की जाती है कि लगभग 73% में शून्य दो क्रमिक ग्राम बिंदुओं से घिरा होता है, किंतु 14% में कोई शून्य नहीं होता है और 13% में दो शून्य लंबे समय तक ऐसे ग्राम-अंतराल में होते हैं।

रीमैन परिकल्पना के पक्ष और विपक्ष में तर्क
रीमैन परिकल्पना के बारे में गणितीय कागजात इसकी सच्चाई के बारे में सावधानी से गैर-प्रतिबद्ध होते हैं। लेखकों में से जो राय व्यक्त करते हैं, उनमें से अधिकांश, जैसे और, इसका कारण है कि वे उम्मीद करते हैं (या कम से कम उम्मीद करते हैं) कि यह सच है। इसके बारे में गंभीर संदेह व्यक्त करने वाले कुछ लेखकों में सम्मिलित हैं , जो संशयवाद के कुछ कारणों को सूचीबद्ध करता है, और , जो स्पष्ट रूप से कहता है कि वह इसे झूठा मानता है, कि इसके लिए कोई प्रमाण नहीं है और कोई कल्पनीय कारण यह सच नहीं होगा। सर्वेक्षण लेखों की आम सहमति (, , और ) यह है कि इसके लिए प्रमाण प्रबल है किंतु भारी नहीं है, जिससे जब यह सच हो तो उचित संदेह हो।

रीमैन परिकल्पना के पक्ष और विपक्ष में कुछ तर्क निम्नलिखित द्वारा सूचीबद्ध हैं, , और , और निम्नलिखित सम्मिलित करें:
 * रीमैन परिकल्पना के कई अनुरूप पहले ही सिद्ध हो चुके हैं। द्वारा परिमित क्षेत्रों पर किस्मों के लिए रीमैन परिकल्पना का प्रमाण संभवतः रीमैन परिकल्पना के पक्ष में सबसे प्रबल सैद्धांतिक कारण है। यह अधिक सामान्य अनुमान के लिए कुछ प्रमाण प्रदान करता है कि ऑटोमोर्फिक रूप फॉर्म से जुड़े सभी जीटा फलन रीमैन परिकल्पना को संतुष्ट करते हैं, जिसमें विशेष स्थिति के रूप में मौलिक रीमैन परिकल्पना सम्मिलित है। इसी तरह सेलबर्ग ज़ेटा फलन रीमैन अवधारणा के एनालॉग को संतुष्ट करते हैं, और कुछ मायनों में रीमैन ज़ेटा फलन के समान होते हैं, जिसमें कार्यात्मक समीकरण और यूलर उत्पाद विस्तार के अनुरूप अनंत उत्पाद विस्तार होता है। किंतु कुछ प्रमुख अंतर भी हैं; उदाहरण के लिए, वे डिरिचलेट श्रृंखला द्वारा नहीं दिए गए हैं। गॉस जीटा फलन के लिए रीमैन परिकल्पना किसके द्वारा सिद्ध की गई थी? . इन सकारात्मक उदाहरणों के विपरीत, कुछ एपस्tन जीटा कार्य रीमैन परिकल्पना को संतुष्ट नहीं करते हैं, भले ही उनके पास महत्वपूर्ण रेखा पर अनंत संख्या में शून्य हों। ये कार्य रिमेंन जेटा फलन के समान हैं, और डिरिचलेट श्रृंखला विस्तार और कार्यात्मक समीकरण (एल-फलन) है, किंतु रीमैन परिकल्पना को विफल करने के लिए जाने जाने वाले कार्यों में यूलर उत्पाद नहीं है और सीधे ऑटोमोर्फिक प्रस्तुतियों से संबंधित नहीं हैं.
 * सबसे पहले, रेखा पर कई शून्य होने का संख्यात्मक सत्यापन इसके लिए प्रबल प्रमाण लगता है। किंतु विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में पर्याप्त संख्यात्मक साक्ष्य द्वारा समर्थित कई अनुमान हैं जो गलत निकले। कुख्यात उदाहरण के लिए Skewes संख्या देखें, जहां रीमैन परिकल्पना से संबंधित प्रशंसनीय अनुमान का पहला अपवाद संभवतः 10 के आसपास होता है।316; काल्पनिक भाग के साथ रीमैन परिकल्पना के लिए प्रति उदाहरण यह आकार किसी भी चीज़ से परे होगा जिसे वर्तमान में प्रत्यक्ष दृष्टिकोण का उपयोग करके गणना की जा सकती है। समस्या यह है कि व्यवहार अक्सर बहुत धीरे-धीरे बढ़ते कार्यों से प्रभावित होता है जैसे कि लॉग लॉग t, जो अनंत तक जाते हैं, किंतु इतनी धीमी गति से करते हैं कि गणना द्वारा इसका पता नहीं लगाया जा सकता है। इस तरह के कार्य अपने शून्य के व्यवहार को नियंत्रित करने वाले जीटा फलन के सिद्धांत में होते हैं; उदाहरण के लिए उपरोक्त फलन s (t) का औसत आकार है (लॉग लॉग t)1/2. जैसा कि S(T) रीमैन परिकल्पना के किसी भी प्रतिउदाहरण पर कम से कम 2 से कूदता है, कोई उम्मीद कर सकता है कि रीमैन परिकल्पना के लिए कोई भी प्रति उदाहरण केवल तभी दिखाई देने लगे जब S(T) बड़ा हो जाए। जहाँ तक इसकी गणना की गई है, यह कभी भी 3 से अधिक नहीं है, किंतु इसे अनबाउंड के रूप में जाना जाता है, यह सुझाव देते हुए कि गणना अभी तक जीटा फलन के विशिष्ट व्यवहार के क्षेत्र तक नहीं पहुँची है।
 * रीमैन परिकल्पना के लिए अरनौद डेंजॉय का संभाव्य तर्क अवलोकन पर आधारित है कि यदि μ(x) 1 s और −1 s का यादृच्छिक अनुक्रम है, तो प्रत्येक के लिए ε > 0, आंशिक रकम $$M(x) = \sum_{n \le x} \mu(n)$$ (जिनके मान साधारण रैंडम वॉक में स्थिति हैं) बाउंड को संतुष्ट करते हैं $$M(x) = O(x^{1/2+\varepsilon})$$ लगभग निश्चित रूप से। रीमैन परिकल्पना मोबियस फलन μ और मेर्टेंस फलन एम के लिए इस सीमा के समान है जो उसी तरह से प्राप्त हुई है। दूसरे शब्दों में, रीमैन परिकल्पना कुछ अर्थों में यह कहने के समान है कि μ(x) सिक्का टॉस के यादृच्छिक अनुक्रम की तरह व्यवहार करता है। जब μ(x) अशून्य होता है तो इसका चिह्न x के अभाज्य गुणनखंडों की संख्या की समानता (गणित) देता है, इसलिए अनौपचारिक रूप से रीमैन परिकल्पना कहती है कि पूर्णांक के अभाज्य गुणनखंडों की संख्या की समता बेतरतीब ढंग से व्यवहार करती है। संख्या सिद्धांत में इस तरह के संभाव्य तर्क अक्सर सही उत्तर देते हैं, किंतु कठोर बनाने के लिए बहुत कठिन होते हैं, और कभी-कभी मैयर के प्रमेय जैसे कुछ परिणामों के लिए गलत उत्तर देते हैं।
 * गणना में दिखाएँ कि ज़ेटा फलन के शून्य यादृच्छिक हर्मिटियन मैट्रिक्स के आइगेनवेल्यूज़ की तरह व्यवहार करते हैं, यह सुझाव देते हुए कि वे कुछ स्व-आसन्न ऑपरेटर के आइगेनवैल्यू हैं, जो रीमैन परिकल्पना को प्रयुक्त करेंगे। ऐसे ऑपरेटर को खोजने के सभी प्रयास विफल रहे हैं।
 * कई प्रमेय हैं, जैसे पर्याप्त रूप से बड़ी विषम संख्याओं के लिए गोल्डबैक का अशक्त अनुमान, जो पहले सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना का उपयोग करके सिद्ध किया गया था, और बाद में बिना नियम के सत्य दिखाया गया। इसे सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना के लिए अशक्त साक्ष्य माना जा सकता है, क्योंकि इसकी कई भविष्यवाणियां सत्य हैं।
 * लेहमर जोड़ी | लेहमर की घटना, जहां दो शून्य कभी-कभी बहुत निकट होते हैं, कभी-कभी रीमैन परिकल्पना पर विश्वास न करने के कारण के रूप में दिया जाता है। किंतु कोई उम्मीद करेगा कि यह कभी-कभी संयोग से होगा, भले ही रीमैन की परिकल्पना सच हो, और ओडलीज़को की गणना बताती है कि शून्य के पास के जोड़े उतनी ही बार होते हैं जितनी बार मॉन्टगोमरी की जोड़ी सहसंबंध अनुमान | मॉन्टगोमरी के अनुमान द्वारा भविष्यवाणी की जाती है।
 * शमूएल जेम्स पैटरसन सुझाव देते हैं कि अधिकांश गणितज्ञों के लिए रीमैन परिकल्पना का सबसे सम्मोहक कारण यह आशा है कि अभाज्य संख्याएँ यथासंभव नियमित रूप से वितरित की जाती हैं।

संदर्भ
There are several nontechnical books on the Riemann hypothesis, such as, , , , and. The books, , , and  give mathematical introductions, while ,  and  are advanced monographs.


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 * . Reprinted 1990, ISBN 978-0-521-39789-6,
 * (Reprinted by Dover 2003)
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 * .ISBN 978-0-521-84903-6
 * This unpublished book describes the implementation of the algorithm and discusses the results in detail.
 * . In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953). Original manuscript (with English translation). Reprinted in and
 * ; see also announcement on Tao's blog, January 19, 2018
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 * Reprinted in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966.
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 * Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by Andre Weil ISBN 0-387-90330-5
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लोकप्रिय प्रदर्शन

 * एडवर्ड फ्रेनकेल | फ्रेंकेल, एडवर्ड (2014), द रीमैन हाइपोथीसिस नंबरफाइल, 11 मार्च 2014 (वीडियो)
 * एडवर्ड फ्रेनकेल | फ्रेंकेल, एडवर्ड (2014), द रीमैन हाइपोथीसिस नंबरफाइल, 11 मार्च 2014 (वीडियो)
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 * एडवर्ड फ्रेनकेल | फ्रेंकेल, एडवर्ड (2014), द रीमैन हाइपोथीसिस नंबरफाइल, 11 मार्च 2014 (वीडियो)
 * एडवर्ड फ्रेनकेल | फ्रेंकेल, एडवर्ड (2014), द रीमैन हाइपोथीसिस नंबरफाइल, 11 मार्च 2014 (वीडियो)

बाहरी संबंध



 * American institute of mathematics, Riemann hypothesis
 * Zeroes database, 103 800 788 359 zeroes
 * The Key to the Riemann Hypothesis - Numberphile, a YouTube video about the Riemann hypothesis by Numberphile
 * Poem about the Riemann hypothesis, sung by John Derbyshire.
 * (Slides for a lecture)
 * (Reviews the GUE hypothesis, provides an extensive bibliography as well).
 * including papers on the zeros of the zeta function and tables of the zeros of the zeta function
 * Slides of a talk
 * . A discussion of Xavier Gourdon's calculation of the first ten trillion non-trivial zeros
 * , a simple animated Java applet.
 * Zetagrid (2002) A distributed computing project that attempted to disprove Riemann's hypothesis; closed in November 2005
 * , a simple animated Java applet.
 * Zetagrid (2002) A distributed computing project that attempted to disprove Riemann's hypothesis; closed in November 2005
 * , a simple animated Java applet.
 * Zetagrid (2002) A distributed computing project that attempted to disprove Riemann's hypothesis; closed in November 2005
 * , a simple animated Java applet.
 * Zetagrid (2002) A distributed computing project that attempted to disprove Riemann's hypothesis; closed in November 2005
 * Zetagrid (2002) A distributed computing project that attempted to disprove Riemann's hypothesis; closed in November 2005