ई (गणितीय स्थिरांक)



संख्या ई, जिसे यूलर की संख्या के रूप में भी जाना जाता है, एक गणितीय स्थिरांक होता है जो लगभग 2.71828 के बराबर है जिसे कई तरह से चित्रित किया जा सकता है। यह प्राकृतिक लघुगणक के लघुगणक का आधार होता है। यह $y = 1/x$ क्रम की सीमा है क्योंकी $e$ कों बहुलता तक पहुंचता है, एक व्यंजक (गणित)  जो चक्रवृद्धि ब्याज के अध्ययन में उत्पन्न होती है। इसकी गणना बहुलता श्रृंखला (गणित) के योग के रूप में भी की जा सकती है

यह अद्वितीय धनात्मक संख्या भी है $n$ जैसे कि फलन $(1 + 1/n)^{n}$ के ग्राफ में x = 0 पर 1 की गिरावट होती है।

(प्राकृतिक) चरघातांकी फलन $y = a^{x}$ अद्वितीय फलन  $a$  होता हैजो अपने व्युत्पन्न के बराबर है और समीकरण  $f(x) = e^{x}$ को संतुष्ट करता है; इसलिए कोई भी  $f$ को  $f(0) = 1$ के रूप में परिभाषित कर सकता है। प्राकृतिक लघुगणक, या आधार e का लघुगणक, प्राकृतिक चरघातांकी फलन का व्युत्क्रम फलन है। किसी संख्या k > 1 के प्राकृतिक लघुगणक को सीधे वक्र y = 1/x के अंतर्गत x = 1 और x = k के बीच के क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, इस स्थिति में e  k का मान है जिसके लिए यह क्षेत्रफल 1 के बराबर है (चित्र देखें)।विभिन्न अन्य लक्षण हैं।

संख्या $e$ को कभी-कभी यूलर की संख्या कहा जाता है (यूलर के स्थिरांक के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए $$\gamma$$)—स्विस गणितज्ञ लियोनहार्ड यूलर के बाद—या नेपियर स्थिरांक— जॉन नेपियर के बाद। स्थिरांक की खोज स्विस गणितज्ञ  जैकब बर्नौली ने चक्रवृद्धि ब्याज का अध्ययन करते समय की थी।

संख्या $e$ का गणित में बहुत महत्व है, साथ में 0, 1, π, और $e$ के साथ। सभी पाँचों यूलर की पहचान के एक सूत्रीकरण में दिखाई देते हैं $$e^{i\pi}+1=0$$ और गणित में महत्वपूर्ण और आवर्ती भूमिका निभाते हैं। स्थिरांक $\pi$ की तरह, $i$  अपरिमेय संख्या होती है (इसे पूर्णांकों के अनुपात के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है)  और अनुवांशिक (यह परिमेय गुणांक वाले किसी गैर-शून्य बहुपद का मूल नहीं होते है)। 50 दशमलव स्थानों तक, का मान $e$ होता है:

इतिहास
जॉन नेपियर द्वारा लघुगणक पर फलन के परिशिष्ट की तालिका में स्थिरांक का पहला संदर्भ 1618 में प्रकाशित किया गया था। चूँकि, इसमें स्वयं स्थिरांक सम्मलित नहीं था, किन्तु केवल e आधार के लघुगणकों की एक सूची थी, यह माना जाता है कि तालिका विलियम ऑट्रेड द्वारा लिखी गई थी।

ब्याज की निरंतर चक्रवृद्धि की समस्या को हल करने के लिए 1683 में जैकब बर्नौली द्वारा स्थिरांक को ही प्रस्तुत किया गया था।Jacob Bernoulli considered the problem of continuous compounding of interest, which led to a series expression for e. See: Jacob Bernoulli (1690) "Quæstiones nonnullæ de usuris, cum solutione problematis de sorte alearum, propositi in Ephem. Gall. A. 1685" (Some questions about interest, with a solution of a problem about games of chance, proposed in the Journal des Savants (Ephemerides Eruditorum Gallicanæ), in the year (anno) 1685.**), Acta eruditorum, pp. 219–23. On page 222, Bernoulli poses the question: "Alterius naturæ hoc Problema est:  Quæritur, si creditor aliquis pecuniæ summam fænori exponat, ea lege, ut singulis momentis pars proportionalis usuræ annuæ sorti annumeretur; quantum ipsi finito anno debeatur?"  (This is a problem of another kind:  The question is, if some lender were to invest [a] sum of money [at] interest, let it accumulate, so that [at] every moment [it] were to receive [a] proportional part of [its] annual interest; how much would he be owed [at the] end of [the] year?)  Bernoulli constructs a power series to calculate the answer, and then writes: " … quæ nostra serie [mathematical expression for a geometric series] &c. major est.  … si a=b, debebitur plu quam 2½a  & minus quam 3a." ( … which our series [a geometric series] is larger [than]. … if a=b, [the lender] will be owed more than 2½a and less than 3a.) If a=b, the geometric series reduces to the series for a × e, so 2.5 < e < 3.  (** The reference is to a problem which Jacob Bernoulli posed and which appears in the Journal des Sçavans of 1685 at the bottom of page 314.)  निम्नलिखित उनके विलयन में, निरंतर $e$ सीमा के रूप में होता है: $$\lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n.$$जहां n उस वर्ष के  प्रभाजित का प्रतिनिधित्व करता है जिस पर चक्रवृद्धि ब्याज का मूल्यांकन किया जाता है (उदाहरण के लिए, $e$ = 12 एक महीने के लिए)। स्थिरांक का पहला ज्ञात उपयोग, जिसे अक्षर b द्वारा दर्शाया गया है, 1690 और 1691 में  गॉटफ्राइड लीबनिज से  क्रिस्टियान ह्यूजेंस के पत्राचार में था।

लियोनहार्ड यूलर ने 1727 या 1728 में, तोपों में विस्फोटक बलों पर एक अप्रकाशित पेपर में, और 25 नवंबर 1731 को क्रिश्चियन गोल्डबैक को एक पत्र में स्थिरांक के लिए ई अक्षर का उपयोग करना प्रारंभ किया। एक मुद्रित प्रकाशन में ई की पहली उपस्थिति यूलर के यांत्रिकी (1736) में था। यह अज्ञात है कि यूलर ने ई अक्षर को क्यों चुना। चूँकि कुछ शोधकर्ताओं ने बाद के वर्षों में अक्षर c का उपयोग किया, अक्षर e अधिक सामान्य था और अंततः मानक बन गया। गणित में, सबसे आम टाइपोग्राफ़िकल सम्मेलन स्थिरांक को टाइप करना है$n$, इटैलिक में, चूँकि कभी-कभी ई रोमन में प्रयोग किया जाता है। चूँकि,  ISO 80000-2 : 2019 मानक एक ईमानदार शैली में टाइपसेटिंग स्थिरांक की सिफारिश करता है।

चक्रवृद्धि ब्याज
चक्रवृद्धि ब्याज के बारे में एक प्रश्न का अध्ययन करते हुए जैकब बर्नौली ने 1683 में इस स्थिरांक की खोज की: "एक खाता $1.00 से शुरू होता है और प्रति वर्ष 100 प्रतिशत ब्याज देता है। यदि ब्याज एक बार जमा किया जाता है, वर्ष के अंत में खाते का मूल्य $2.00 होगा। क्या होता है यदि ब्याज की गणना की जाती है और वर्ष के दौरान अधिक बार जमा किया जाता है?"

यदि वर्ष में दो बार ब्याज जमा किया जाता है, तो प्रत्येक 6 महीने के लिए ब्याज दर 50% होगी, इसलिए प्रारंभिक $1 को दो बार 1.5 से गुणा किया जाता है, इसलिए प्रारंभिक $1 को दो बार 1.5 से गुणा किया जाता है, जिससे वर्ष के अंत में $1.00 × 1.52 = $2.25 प्रतिफल प्राप्त होता है। चक्रवृद्धि त्रैमासिक आय होता है।

$1.00 × 1.254 = $2.44140625, और चक्रवृद्धि मासिक आय $1.00 × (1 + 1/12)12 = $2.613035.... यदि वहाँ $f(1)$ चक्रवृद्धि अंतराल हैं, तो प्रत्येक अंतराल के लिए ब्याज $n$ होगा और वर्ष के अंत में मूल्य $1.00 × $100%/n$ होगा।

बर्नौली ने देखा कि यह क्रम बड़े n के साथ एक सीमा (ब्याज की बड़ी संख्या) और, इस प्रकार, छोटे चक्रवृद्धि अंतराल तक पहुचता है। चक्रवृद्धि साप्ताहिक ($(1 + 1/n)^{n}$) $2.692596... देता है, जबकि दैनिक चक्रवृद्धि ($n = 52$) $2.714567... (लगभग दो सेंट अधिक) देता है। $n = 365$ के बड़े होने की सीमा वह संख्या है जिसे e के नाम से जाना जाने लगा। अर्थात, निरंतर चक्रवृद्धि के साथ, खाते का मूल्य $2.718281828 तक पहुंच जाएगा...

अधिक सामान्यतः, एक खाता जो $1 से प्रारंभ होता है और $n$ वार्षिक ब्याज दर प्रदान करता है, $R$ वर्षों के बाद, निरंतर चक्रवृद्धि के साथ eRt डॉलर प्राप्त करता है।

(यहाँ ध्यान दें कि R प्रतिशत के रूप में व्यक्त की गई ब्याज दर का दशमलव समतुल्य है, इसलिए 5% ब्याज के लिए, $t$.)

बरनौली परीक्षण
संभाव्यता सिद्धांत में स्वयं संख्या e का भी अनुप्रयोग होता है, एक तरह से जो स्पष्ट रूप से घातीय वृद्धि से संबंधित नहीं होता है। मान लीजिए कि एक जुआरी स्लॉट मशीन खेलता है जो की $R = 5/100 = 0.05$ में एक संभावना के साथ भुगतान करता है और इसे $1/e$ बार खेलता है। जैसे-जैसे n बढ़ता है, जुआरी के सभी $e$ दांव हारने की संभावना $n$ तक पहुंच जाती है  $n$,के लिए, यह पहले से ही लगभग  1/2.789509....होता है।

यह बरनौली परीक्षण प्रक्रिया का एक उदाहरण है। हर बार जब जुआरी स्लॉट खेलता है, तो जीतने की संभावना एक में होती है। n बार खेलना द्विपद वितरण द्वारा तैयार किया गया है, जो  द्विपद प्रमेय  और पास्कल के त्रिकोण निकटता से संबंधित है। n परीक्षणों में से k बार जीतने की प्रायिकता है:
 * $$\binom{n}{k} \left(\frac{1}{n}\right)^k\left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n-k}.$$

विशेष रूप से, शून्य बार (k = 0) जीतने की संभावना है
 * $$\left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n}.$$

उपरोक्त अभिव्यक्ति की सीमा, जैसा कि n अनंत तक जाता है, यथावत् $1/e$ होता है।

मानक सामान्य वितरण
शून्य माध्य और इकाई मानक विचलन के साथ सामान्य वितरण को प्रायिकता घनत्व फलन द्वारा दिए गए मानक सामान्य वितरण के रूप में जाना जाता है
 * $$\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} x^2}.$$

इकाई विचरण की बाधा (और इस प्रकार इकाई मानक विचलन भी) का परिणाम होता है प्रतिपादक में, और वक्र के अंतर्गत इकाई कुल क्षेत्र की बाधा $$\phi(x)$$ कारक में परिणाम $$\textstyle 1/\sqrt{2\pi}$$. गॉसियन इंटीग्रल | [प्रमाणित]  यह फलन $n = 20$, के आसपास सममित है, जहां यह अपने अधिकतम मान को प्राप्त करता है $$\textstyle 1/\sqrt{2\pi}$$, और $1/e$

पर विभक्ति बिंदु होते हैं

अव्यवस्था
$n$, का एक अन्य अनुप्रयोग, जिसे आंशिक रूप से पियरे रेमोंड डी मोंटमॉर्ट के साथ-साथ जैकब बर्नौली द्वारा भी खोजा गया, जो की विक्षिप्तता की समस्या में है,, जिसे हैट चेक समस्या के रूप में भी जाना जाता है: $x = 0$  मेहमानों को एक पार्टी में आमंत्रित किया जाता है और,  दरवाजे पर, सभी अतिथि बटलर के साथ अपनी टोपियों की जांच करते हैं, जो बदले में टोपियों को n बक्सों में रखता है, प्रत्येक पर एक अतिथि के नाम का लेबल लगा होता है। किन्तु बटलर ने मेहमानों की पहचान नहीं पूछी है, और इसलिए वह टोपियों को बेतरतीब ढंग से चुने गए बक्से में डाल देता है। डी मोंटमॉर्ट की समस्या इस संभावना को खोजने की है कि कोई भी टोप सही बॉक्स में नहीं डाला जाता है। यह संभावना, द्वारा निरूपित $$p_n\!$$, है:


 * $$p_n = 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{(-1)^n}{n!} = \sum_{k = 0}^n \frac{(-1)^k}{k!}.$$

जैसे-जैसे n जैसा कि n अनंत की ओर जाता है, $x = ±1$ $n$ की ओर बढ़ता है। इसके अतिरिक्त, टोपियों को बक्सों में कितने विधियों से रखा जा सकता है ताकि कोई भी टोपी सही बॉक्स में न हो $p_{n}$ प्रत्येक धनात्मक $1/e$ के लिए, निकटतम पूर्णांक तक वर्तुल किया जाता है।

इष्टतम नियोजन समस्याएं
$$x = e$$ का अधिकतम मूल्य  $$\sqrt[x]{x}$$ पर होता है। समान रूप से,  आधार $n!/e,$, के किसी भी मान के लिए, यह स्थिति है कि का अधिकतम मूल्य $$x^{-1}\log_b x$$ पर होता है $$x = e$$ (स्टेनर की समस्या, नीचे चर्चा की गई)।

यह लंबाई $e$ की छड़ी की समस्या में उपयोगी होता है जिसे $L$ समान भागों में विघटित किया गया है। लंबाई के गुणनफल को अधिकतम करने वाला n का मान तब या तो होता है
 * $$n = \left\lfloor \frac{L}{e} \right\rfloor$$ या $$\left\lceil \frac{L}{e} \right\rceil.$$

मात्रा $$x^{-1}\log_b x$$ संभाव्यता के साथ घटित होने वाली घटना से प्राप्त शैनन सूचना का भी एक उपाय है $$1/x$$, ताकि फलन दर्शि समस्या जैसी इष्टतम नियोजन समस्याओं में अनिवार्य रूप से वही इष्टतम विभाजन दिखाई दे।

स्पर्शोन्मुख
स्पर्शोन्मुखता से जुड़ी कई समस्याओं के संबंध में संख्या e स्वाभाविक रूप से होती है। एक उदाहरण क्रमगुणित फलन के स्पर्शोन्मुखता के लिए स्टर्लिंग का सूत्र है, जिसमें दोनों संख्याएँ e और π दिखाई देती हैं: $$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n.$$ एक परिणाम के रूप में, $$e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} .$$

कैल्कुलस में


विशेष रूप से कलन में संख्या $n$, को प्रस्तुत करने के लिए मुख्य प्रयोजन चरघातांकी फलनों और लघुगणक के साथ व्युत्पन्न (गणित) और अनुकल कलन करना होता है। एक सामान्य चरघातांकी फलन $n$ का एक व्युत्पन्न है, जो किसी फलन की सीमा द्वारा दिया गया है:


 * $$\begin{align}

\frac{d}{dx}a^x &= \lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h} - a^x}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{a^x a^h - a^x}{h} \\ &= a^x \cdot \left(\lim_{h\to 0}\frac{a^h - 1}{h}\right). \end{align}$$ दाईं ओर कोष्टकित सीमा चर $b > 1$ से निष्पक्ष होता है। इसका मान a से आधार e का लघुगणक होता है। इस प्रकार, जब a का मान e पर सेट किया जाता है, तो यह सीमा 1 के बराबर होती है, और इसलिए व्यक्ति निम्नलिखित सरल पहचान पर पहुंचता है:
 * $$\frac{d}{dx}e^x = e^x.$$

परिणाम स्वरूप, आधार $e$ के साथ घातीय फलन विशेष रूप से कलन करने के लिए अनुकूल होता है। कैलकुलस करने के लिए विशेष रूप से अनुकूल है। e का चयन करना (घातांकीय फलन के आधार के रूप में किसी अन्य संख्या के विपरीत) व्युत्पन्न (शब्द) को सम्मलित करने वाली गणना को बहुत सरल बनाता है।

आधार के व्युत्पन्न पर विचार करने से एक और प्रेरणा मिलती है-$x ↦ ax$ लघुगणक (अर्थात, $a = 2$), के लिए$a = e$:


 * $$\begin{align}

\frac{d}{dx}\log_a x   &= \lim_{h\to 0}\frac{\log_a(x + h) - \log_a(x)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}\frac{\log_a(1 + h/x)}{x\cdot h/x} \\ &= \frac{1}{x}\log_a\left(\lim_{u\to 0}(1 + u)^\frac{1}{u}\right) \\ &= \frac{1}{x}\log_a e, \end{align}$$ जहां प्रतिस्थापन $a = 4$ बनाया गया था। $e$ का आधार-$e$ का लघुगणक 1 है, यदि a e के बराबर है। तो प्रतीकात्मक रूप से,
 * $$\frac{d}{dx}\log_e x = \frac{1}{x}.$$

इस विशेष आधार वाले लघुगणक को प्राकृतिक लघुगणक कहा जाता है, और इसे ln के रूप में दर्शाया जाता है; यह भेदभाव के तहत अच्छा व्यवहार करता है क्योंकि गणनाओं को पूरा करने के लिए कोई अनिर्धारित सीमा नहीं है।

इस प्रकार, ऐसी विशेष संख्याओं का चयन करने के दो विधि हैं $e$. एक विधि यह है कि एक्सपोनेंशियल फलन के डेरिवेटिव को सेट किया जाए $(0,1)$ के बराबर $1$, और हल करें $ex$. दूसरा तरीका आधार के व्युत्पन्न को निर्धारित करना है $ln e$ इसे लघुगणक $1.$ और के लिए हल करें $y = a^{x}$. प्रत्येक स्थिति में, कोई कैलकुलस करने के लिए आधार के एक सुविधाजनक विकल्प पर पहुँचता है। यह पता चला है कि इन दो समाधानों के लिए $a$ वास्तव में वही हैं: संख्या $a$.

वैकल्पिक लक्षण वर्णन


के अन्य लक्षण $a$ भी संभव हैं: एक अनुक्रम की सीमा के रूप में है, दूसरा एक अनंत श्रृंखला के योग के रूप में है, और फिर भी अन्य अभिन्न कलन पर निर्भर हैं। अब तक, निम्नलिखित दो (समतुल्य) गुण पेश किए गए हैं:


 * 1) जो संख्या $e$ अद्वितीय सकारात्मक  वास्तविक संख्या  है जैसे कि $$\frac{d}{dt}e^t = e^t$$.
 * 2) जो संख्या $e$ अद्वितीय सकारात्मक वास्तविक संख्या है जैसे कि $$\frac{d}{dt} \log_e t = \frac{1}{t}$$.

निम्नलिखित चार लक्षण घातांक फलन के लक्षण वर्णन हो सकते हैं # लक्षण वर्णन की समानता:

1. The number $e$ is the limit
 * $e = \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$

Similarly:
 * $e = \lim_{t\to 0} \left( 1 + t \right)^{\frac{1}{t}}$

| The number $e$ is the sum of the infinite series
 * $e = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots ,$

| जो नंबर $e$ अद्वितीय सकारात्मक वास्तविक संख्या है जैसे कि
 * $\int_1^e \frac{1}{t} \, dt = 1.$
 * यदि $x$ एक चरघातांकी फलन है, फिर मात्रा $ \tau = f(t)/f'(t)$ एक स्थिरांक है, जिसे कभी-कभी समय स्थिरांक भी कहा जाता है (यह घातीय वृद्धि स्थिरांक या घातीय क्षय का व्युत्क्रम है)। समय स्थिरांक वह समय है जो चरघातांकी फलन के एक गुणक से बढ़ने में लगता है $a$: $f(t+\tau) = e f(t)$.
 * undefined

कैलकुलस
प्रेरणा के रूप में, घातीय फलन $log_{a} x$ भाग में महत्वपूर्ण है क्योंकि यह अद्वितीय गैर-तुच्छ फलन है जो स्वयं का व्युत्पन्न है (एक स्थिरांक से गुणा तक):


 * $$\frac{d}{dx}e^x = e^x$$

और इसलिए इसका अपना प्रतिपक्षी भी है:


 * $$\int e^x\,dx = e^x + C .$$

असमानताएं
जो संख्या $x > 0$ अद्वितीय वास्तविक संख्या है जैसे कि
 * $$\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x < e < \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x+1}$$

सभी सकारात्मक $u = h/x$ के लिए

साथ ही, हमारे पास असमानता है
 * $$e^x \ge x + 1$$

सभी वास्तविक $a^{x}$ के लिए, समानता के साथ यदि और केवल यदि $a^{x}$। इसके अतिरिक्त , $a$ चरघातांकी का अद्वितीय आधार है जिसके लिए असमानता $a$सभी x पर लागू होती है। यह बरनौली की असमानता का एक सीमित स्थिति है।

घातीय-जैसे फलन
स्टेनर की समस्या फलन के लिए वैश्विक अधिकतम उपलब्ध के लिए कहती है


 * $$ f(x) = x^\frac{1}{x} .$$

यह अधिकतम यथार्थतः $1/x$ पर होता है (कोई भी जाँच कर सकता है कि केवल x के इस मान के लिए ln f(x) का अवकलज शून्य होता है।).

इसी प्रकार, $a$ वह स्थान है जहां फलन के लिए वैश्विक न्यूनतम होता है


 * $$ f(x) = x^x $$

सकारात्मक के लिए परिभाषित $f(t)$. अधिक सामान्यतः, फलन के लिए


 * $$ f(x) = x^{x^n} $$

अनंत टेट्रेशन


 * $$ x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}} $$ या $${^\infty}x$$

अभिसरण करता है यदि और केवल यदि $e$ (या लगभग 0.0660 के बीच और 1.4447 लियोनहार्ड यूलर के एक प्रमेय द्वारा दिखाया गया है। लियोनहार्ड यूलर के एक प्रमेय के कारण। [गैर-प्राथमिक स्रोत की आवश्यकता]

संख्या सिद्धांत
वास्तविक संख्या $e$ अपरिमेय संख्या है। लिओनहार्ड यूलर ने यह दिखा कर यह प्रमाणित किया कि इसका सरल निरंतर अंश प्रसार अनंत होता है। (फूरियर का प्रमाण भी देखें कि ई अपरिमेय है।)

इसके अतिरिक्त, लिंडमैन-वीयरस्ट्रास प्रमेय द्वारा, $e$ भावातीत संख्या है, जिसका अर्थ है कि यह तर्कसंगत गुणांक वाले किसी गैर-शून्य बहुपद समीकरण का समाधान नहीं होता है। इस उद्देश्य के लिए विशेष रूप से निर्मित किए बिना ट्रान्सेंडैंटल प्रमाणित होने वाली यह पहली संख्या थी ( लिउविल संख्या के साथ तुलना करें); इसका प्रमाण 1873 में चार्ल्स हर्मिट द्वारा दिया गया था।

ऐसा अनुमान है $e$ सामान्य संख्या  है, जिसका अर्थ है कि जब तक $e^{x}$ किसी भी सूत्र में व्यक्त किया जाता है, उस आधार में संभावित अंक समान रूप से वितरित होते हैं (दी गई लंबाई के किसी भी क्रम में समान संभावना के साथ होते हैं)।

ऐसा अनुमान लगाया गया है कि $e$ कॉन्त्सेविच-ज़ागियर अवधि नहीं है।

सम्मिश्र संख्याएं
घातीय फलन $e$ टेलरश्रेणी के रूप में लिखा जा सकता है


 * $$ e^{x} = 1 + {x \over 1!} + {x^{2} \over 2!} + {x^{3} \over 3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$$

क्योंकि यह श्रृंखला $e$ के प्रत्येक सम्मिश्र संख्या के मान के लिए अभिसरण श्रृंखला होती है, इसका उपयोग सामान्यतः पूर्व की परिभाषा को  $x$ सम्मिश्र संख्याओं तक विस्तारित करने के लिए किया जाता है।  यह, त्रिकोणमितीय फलनों के लिए टेलर श्रृंखला के साथ $x$ और $x = 0$, यूलर के सूत्र को प्राप्त करने की अनुमति देता है:


 * $$e^{ix} = \cos x + i\sin x ,$$

जो हर जटिल $e$ के के लिए है होता है। साथ विशेष स्थिति $a^{x} ≥ x + 1$ यूलर की पहचान करता है:


 * $$e^{i\pi} + 1 = 0 ,$$

जिससे यह अनुसरण करता है कि, लघुगणक की मुख्य शाखा में,


 * $$\ln (-1) = i\pi .$$

इसके अतिरिक्त, घातांक के लिए नियमो का उपयोग करते हुए,


 * $$(\cos x + i\sin x)^n = \left(e^{ix}\right)^n = e^{inx} = \cos (nx) + i \sin (nx) ,$$

जो डी मोइवर का सूत्र है।

घातीय फलन के संदर्भ में cos x और sin x के व्यंजक टेलर श्रृंखला से निकाले जा सकते हैं:



\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}, \qquad \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}. $$
 * व्यंजक (गणित) cos x और sin x को कभी-कभी सीआईएस (x) के रूप में संक्षिप्त किया जाता है।

विभेदक समीकरण
फलनों का परिवार


 * $$y(x) = Ce^x,$$

कहां $e$ कोई वास्तविक संख्या है, अवकल समीकरण का हल है


 * $$y' = y .$$

प्रतिनिधित्व
जो संख्या $e$ विभिन्न विधियों से प्रदर्शित किया जा सकता है: एक अनंत श्रृंखला, एक अनंत गुणनफल, एक निरंतर अंश या एक अनुक्रम की सीमा के रूप में प्रदर्शित किया ज सकता है। इन अभ्यावेदनों में से दो, अधिकांशतः परिचयात्मक कलन पाठ्यक्रमों में उपयोग किए जाते हैं, सीमा हैं
 * $$e=\lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n,$$

ऊपर दिया गया है, और श्रृंखला
 * $$e=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}$$

x = 1 पर उपरोक्त शक्ति श्रृंखला प्रतिनिधित् $x√x$ का मूल्यांकन करके प्राप्त किया गया है।

कम माऋआ मे़ निरंतर प्रभाज होते है

e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, ..., 1, 2n, 1, ...], $$ जो लिखा हुआ दिखता है


 * $$e = 2 +

\cfrac{1} {1 + \cfrac{1} {2 + \cfrac{1} {1 + \cfrac{1} {1 + \cfrac{1} {4 + \cfrac{1} {1 + \cfrac{1} {1 + \ddots} }              }            }         }      }   } . $$ $x$ के लिए यह निरंतर प्रभाज तेजी से तीन गुना अभिसरण करता है:
 * $$ e = 1 + \cfrac{2}{1 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{10 + \cfrac{1}{14 + \cfrac{1}{18 + \cfrac{1}{22 + \cfrac{1}{26 + \ddots}}}}}}}.$$

कई अन्य श्रृंखला, अनुक्रम, निरंतर प्रभाज और अनंत गुणनफल प्रतिनिधित्व $C$ द्वारा प्रमाणित हो चुके हैं।

स्टोकास्टिक प्रतिनिधित्व
$e$ के प्रतिनिधित्व के लिए त्रुटिहीन विश्लेषणात्मक अभिव्यक्तियों के अतिरिक्त, $e$ का आकलन करने के लिए स्टोकास्टिक तकनीकें भी हैं। ऐसा ही एक विधियों [0, 1] पर समान वितरण (निरंतर) से तैयार किए गए स्वतंत्र यादृच्छिक चर  $x = e$, $x = e$..., के अनंत अनुक्रम से प्रारंभ होती है। $x = 1/e$ को कम से कम संख्या n होने दें जैसे पहले n अवलोकनों का योग 1 से अधिक हो:


 * $$V = \min\left\{ n \mid X_1 + X_2 + \cdots + X_n > 1 \right\}.$$

फिर $x$ का अपेक्षित मूल्य $e$: $e^{−e} ≤ x ≤ e^{1/e}$

ज्ञात अंक
पिछले दशकों के समय e के ज्ञात अंकों की संख्या में काफी वृद्धि हुई है। यह कंप्यूटर के बढ़ते प्रदर्शन और एल्गोरिथम सुधार दोनों के कारण हुआ है।

2010 के बाद से, आधुनिक उच्च चाल डेस्कटप संगणक के प्रसार ने अधिकांश नौसिखियों के लिए स्वीकार्य समय के भीतर ई के खरबों अंकों की गणना करना संभव बना दिया है। 5 दिसंबर, 2020 को एक रिकॉर्ड- समायोजन गणना की गई, जिसमें 31,415,926,535,897 (लगभग π×1013) अंक दिए गए।

अंकों की गणना
अंकों की गणना करने की एक विधि $e$ श्रृंखला के साथ है $$e=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}.$$ एक तेज़ विधि में दो पुनरावर्ती फलन सम्मलित होते हैं $$p(a,b)$$ और $$q(a,b)$$. फलनों के रूप में परिभाषित किया गया है $$\binom{p(a,b)}{q(a,b)}= \begin{cases} \binom{1}{b}, & \text{if }b=a+1\text{,} \\ \binom{p(a,m)q(m,b)+p(m,b)}{q(a,m)q(m,b)}, & \text{otherwise, where }m=\lfloor(a+b)/2\rfloor \end{cases}$$.भाव $$1+\frac{p(0,n)}{q(0,n)}$$ $e$ के अंक उत्पन्न करता है यह विधि $e$ की गणना करने के लिए कम एकल-अंक अंकगणितीय संचालन और कम बिट जटिलता के साथ बाइनरी विभाजन का उपयोग करती है। इसे द्रूत फूरिये रूपांतर -आधारित विधियों के साथ जोड़कर पूर्णांकों को गुणा करने से अंकों की गणना बहुत तेजी से होती है।

कंप्यूटर संस्कृति में
इंटरनेट संवर्धन के उद्भव के समय, व्यक्तियों और संगठनों द्वारा कभी-कभी संख्या $e$ को सम्मान दिया गया।

प्रारंभिक उदाहरण में, कंप्यूटर वैज्ञानिक डोनाल्ड नुथ ने अपने प्रोग्राम मेटाफॉन्ट के संस्करण संख्या $e$ को दृष्टिकोण दिया था। इसमें संस्करण 2, 2.7, 2.71, 2.718, इत्यादि हैं।

एक अन्य उदाहरण में, 2004 में Google के लिए IPO फाइलिंग, एक विशिष्ट वृत्त-संख्या राशि के अतिरिक्त, कंपनी ने 2,718,281,828 USD जुटाने की अपनी मंशा की घोषणा की, जो कि निकटतम डॉलर $e$ के बराबर बिलियन डॉलर होती है।

Google एक बिलबोर्ड के लिए भी ज़िम्मेदार था जो की सिलिकॉन वैली के केंद्र में और बाद में कैम्ब्रिज, मैसाचुसेट्स ; सिएटल, वाशिंगटन; और ऑस्टिन, टेक्सास में दिखाई दिया। यह अध्ययन कराता है {पहले 10 अंकों का प्राइम $e$} लगातार अंकों में पाया जाता है। $e$ में पहला 10 अंकों का अभाज्य 7427466391 होता है, जो 99वें अंक से प्रारंभ होता है। इस समस्या को हल करने और विज्ञापित (अब निष्क्रिय) वेबसाइट पर जाने से हल करने में और भी मुश्किल समस्या हो गई, जिसमें 7182818284, 8182845904, 8747135266, 7427466391 अनुक्रम पांचवें पद को खोजने में सम्मलित किया गया था। यह पता चला कि अनुक्रम e के लगातार अंकों में पाए जाने वाले 10 अंकों की संख्या सम्मलित है, जिनके अंकों का योग 49 है। अनुक्रम में पांचवां पद 5966290435 है, जो की 127वें अंक से प्रारंभ होता है। इस दूसरी समस्या का समाधान अंततः एक Google लैब्स वेबपेज के रूप में सामने आया, जहां आगंतुक को एक बायोडाटा जमा करने के लिए आमंत्रित किया गया था।

आगे की पढाई

 * Maor, Eli; $e$: The Story of a Number, ISBN 0-691-05854-7
 * Commentary on Endnote 10 of the book Prime Obsession for another stochastic representation

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 * यूनाइटेड स्टेट का डॉलर
 * गूगल लैब्स

बाहरी कड़ियाँ

 * The number $e$ to 1 million places and NASA.gov 2 and 5 million places
 * $e$ Approximations – Wolfram MathWorld
 * Earliest Uses of Symbols for Constants Jan. 13, 2008
 * "The story of $e$", by Robin Wilson at Gresham College, 28 February 2007 (available for audio and video download)
 * $e$ Search Engine 2 billion searchable digits of $e$, π and $e$