वर्णक्रमीय विधि

स्पेक्ट्रल विधि, ऐसे तकनीकों का एक वर्ग है जिसका उपयोग व्यावहारिक गणित और वैज्ञानिक कंप्यूटिंग में कुछ अभिविभाज्य समीकरणों को संख्यात्मक रूप से हल करने के लिए किया जाता है। मुख्य विचार यह है कि अभिविभाज्य समीकरणों के समाधान को कुछ आधार फलनों के योग के रूप में लिखा जाए और फिर इन्हे यथासंभव हल करने के लिए योग में गुणांक का चयन किया जाए।

स्पेक्ट्रल विधि और परिमित तत्व विधि परस्पर गहरे रूप से संबंधित हैं और समान विचारों पर निर्मित हैं; उनके बीच मुख्य अंतर यह है कि स्पेक्ट्रल विधियां आधार फलनों का उपयोग करती हैं जो सामान्यतः सम्पूर्ण क्षेत्र पर गैर-शून्य होती हैं, जबकि परिमित तत्व विधियां ऐसे आधार फलनों का उपयोग करती हैं जो केवल छोटे उप-क्षेत्र पर गैर-शून्य होती हैं। नतीजतन, स्पेक्ट्रल विधियाँ चर को विश्व स्तर पर परिभाषित करतें हैं जबकि परिमित तत्व ऐसा स्थानीय रूप से करते हैं। आंशिक रूप से इसी कारण से, स्पेक्ट्रल विधियों में उत्कृष्ट त्रुटि गुण होते हैं, तथाकथित घातीय अभिसरण तीव्रता से संभव होता है, जब समाधान सुचारू होता है। यद्यपि, कोई ज्ञात त्रि-आयामी एकल क्षेत्र स्पेक्ट्रल शॉक कैप्चरिंग परिणाम नहीं हैं। परिमित तत्व वर्ग में, एक विधि जहां तत्वों का क्रम बहुत अधिक होता है या ग्रिड पैरामीटर एच बढ़ने पर बढ़ जाता है, तो उसे कभी-कभी स्पेक्ट्रल तत्व विधि कहा जाता है।

स्पेक्ट्रल विधियों का उपयोग अभिविभाज्य समीकरणों (पीडीई, ओडीई, आइजेनवैल्यू, आदि) और अनुकूलन समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है। समय-निर्भर पीडीई के लिए स्पेक्ट्रल विधियों को लागू करते समय, समाधान सामान्यतः समय-निर्भर गुणांक के साथ आधार फलनों के योग के रूप में लिखा जाता है; इसे पीडीई में प्रतिस्थापित करने से गुणांकों में ओडीई की एक प्रणाली प्राप्त होती है जिसे साधारण अभिविभाज्य समीकरणों के लिए किसी भी संख्यात्मक विधियों का उपयोग करके हल किया जा सकता है। ओडीई के लिए आइजेनवैल्यू समस्याओं को इसी तरह आव्यूह आइजेनवैल्यू समस्याओं में परिवर्तित किया जाता है।

1969 में स्टीवन ओर्सज़ैग द्वारा पत्रों की एक लंबी श्रृंखला में स्पेक्ट्रल विधियां विकसित की गईं, जिनमें आवधिक ज्यामिति समस्याओं के लिए फूरियर श्रृंखला विधियां, परिमित और असीमित ज्यामिति समस्याओं के लिए बहुपद स्पेक्ट्रल विधियां, अत्यधिक गैर-रेखीय समस्याओं के लिए छद्मस्पेक्ट्रल विधियां, और स्थिर-अवस्था समस्याओं के तेज़ समाधान के लिए स्पेक्ट्रल पुनरावृत्ति विधियां शामिल हैं, लेकिन इन्हीं तक सीमित नहीं हैं। स्पेक्ट्रल विधि का कार्यान्वयन सामान्यतः या तो सहसंयोजन विधि या गैलेरकिन विधि या ताऊ विधि दृष्टिकोण के साथ पूरा किया जाता है। बहुत छोटी समस्याओं के लिए, स्पेक्ट्रल विधि इस मायने में अद्वितीय है कि समाधानों को प्रतीकात्मक रूप से लिखा जा सकता है, जिससे अभिविभाज्य समीकरणों के लिए श्रृंखला समाधानों का व्यावहारिक विकल्प मिलता है।

परिमित तत्व विधियों की तुलना में स्पेक्ट्रल विधियाँ कम्प्यूटेशनल रूप से कम महंगी और लागू करने में सरल हो सकती हैं; जब सहज समाधानों के साथ सरल क्षेत्र में उच्च सटीकता की मांग की जाती है तो वे सबसे अच्छे विकल्प के रूप में उभरते हैं। यद्यपि, उनकी वैश्विक प्रकृति के कारण, चरण गणना से जुड़े आव्यूह सघन हैं और स्वतंत्रता की कई डिग्री होने पर संगणनीय दक्षता शीघ्रता से प्रभावित होगी। बड़ी समस्याओं और गैर-सुचारू समाधानों के लिए, विरल आव्यूह और असंतुलन और तीव्र घूर्णन के बेहतर प्रारूपण के कारण परिमित तत्व सामान्यतः बेहतर कार्य करते है।

एक ठोस, रैखिक उदाहरण
यहां हम आधारभूत बहुभिन्नरूपी कलन(कैल्कुलस) और फूरियर श्रृंखला की समझ का अनुमान लगाते हैं। यदि $$g(x,y)$$ दो वास्तविक चरों का एक ज्ञात, जटिल-मान फलन है, और g, x और y में आवधिक है (अर्थात्, $$g(x,y)=g(x+2\pi,y)=g(x,y+2\pi)$$) तो हम एक फलन f(x,y) खोजने में रुचि रखते हैं जिससे


 * $$\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)f(x,y)=g(x,y)\quad \text{for all } x,y$$

जहां बाईं ओर की अभिव्यक्ति क्रमशः x और y में f के दूसरे आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाती है। यह पॉइसन समीकरण है, और इसे भौतिक रूप से किसी प्रकार की ऊष्मा चालन समस्या, या अन्य संभावनाओं के बीच संभावित सिद्धांत में एक समस्या के रूप में व्याख्यायित किया जा सकता है।

यदि हम फूरियर श्रृंखला में f और g लिखते हैं:


 * $$f=:\sum a_{j,k}e^{i(jx+ky)}$$
 * $$g=:\sum b_{j,k}e^{i(jx+ky)}$$

और अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें यह समीकरण प्राप्त होता है:


 * $$\sum -a_{j,k}(j^2+k^2)e^{i(jx+ky)}=\sum b_{j,k}e^{i(jx+ky)}$$

हमने एक अनंत योग के साथ आंशिक विभेदन का आदान-प्रदान किया है, जो वैध है यदि हम उदाहरण के लिए मान लें कि f में निरंतर दूसरा व्युत्पन्न है। फूरियर विस्तार के लिए विशिष्टता प्रमेय के अनुसार, हमें फूरियर गुणांक को पद दर पद बराबर करना चाहिए, जिससे

जो फूरियर गुणांक j,k. के लिए एक स्पष्ट सूत्र है

आवधिक सीमा स्थितियों के साथ, पॉइसन समीकरण का कोई समाधान केवल तभी होता है जब b0,0 = 0 होता है। इसलिए, हम स्वतंत्र रूप से a0,0 चुन सकते हैं जो विश्लेषण के माध्य के बराबर होगा। यह एकीकरण स्थिरांक को चुनने के अनुरूप है।

इसे एक विधिकलन में परिवर्तित करने के लिए, केवल परिमित आवृत्तियों को हल किया जाता है। यह एक त्रुटि प्रस्तुत करता है जिसे $$h^n$$ के आनुपातिक दिखाया जा सकता है, जहाँ $$h := 1/n$$ और $$n$$ उपचारित उच्चतम आवृत्ति है।

विधिकलन

 * 1) g के फूरियर रूपांतरण (bj,k) की गणना करें।
 * 2) (*) सूत्र के माध्यम से f के फूरियर रूपांतरण (aj,k) की गणना करें।.
 * 3) (aj,k) का व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण लेकर f की गणना करें

चूँकि हम केवल आवृत्तियों की एक सीमित क्षेत्र (जैसे आकार n,) में रुचि रखते हैं, यह एक फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म विधिकलन का उपयोग करके किया जा सकता है। इसलिए, विश्व स्तर पर विधिकलन time O(n log n). समय में चलता है

अरेखीय उदाहरण
हम स्पेक्ट्रल विधि का उपयोग करके प्रेरित, क्षणिक, अरेखीय बर्गर समीकरण को हल करना चाहते हैं।

पुर्तस्य क्षेत्र $$x\in\left[0,2\pi\right)$$ पर $$t>0$$ के लिए दिए गए $$u(x,0)$$ के साथ ऐसे $$u \in \mathcal{U}$$ का पता लगाएं जो निम्नलिखित समीकरण को पूरा करते हैं:

$$\partial_{t} u + u \partial_{x} u = \rho \partial_{xx} u + f \quad \forall x\in\left[0,2\pi\right), \forall t>0$$ यहां $$\rho$$ विशेषता (विस्कोसिटी) संकेतक है, और $$f$$ प्रेरण (फोर्सिंग) संकेतक है।

कमजोर रूढ़िवादी रूप में यह बन जाता है
 * $$\left\langle \partial_{t} u, v \right\rangle = \left\langle \partial_x \left(-\frac{1}{2} u^2 + \rho \partial_{x} u\right) , v \right\rangle + \left\langle f, v \right\rangle \quad \forall v\in \mathcal{V}, \forall t>0$$

जहां आंतरिक गुणन संकेतन निम्नलिखित है। भागों द्वारा एकीकरण और आवधिकता अनुदान का उपयोग करने पर
 * $$\langle \partial_{t} u, v \rangle = \left\langle  \frac{1}{2} u^2 - \rho \partial_{x} u  ,  \partial_x v\right\rangle+\left\langle f, v \right\rangle \quad \forall v\in \mathcal{V}, \forall t>0.$$

फूरियर-गैलेरकिन विधि लागू करने के लिए, दोनों को चुना जाता है
 * $$\mathcal{U}^N := \left\{ u : u(x,t)=\sum_{k=-N/2}^{N/2-1} \hat{u}_{k}(t) e^{i k x}\right\}$$

और
 * $$\mathcal{V}^N :=\operatorname{span}\left\{ e^{i k x} : k\in -N/2,\dots,N/2-1\right\}$$

जहाँ $$\hat{u}_k(t):=\frac{1}{2\pi}\langle u(x,t), e^{i k x} \rangle$$. इससे खोजने में समस्या कम हो जाती है।

$$u\in\mathcal{U}^N$$ इस प्रकार है कि
 * $$\langle \partial_{t} u, e^{i k x} \rangle = \left\langle \frac{1}{2} u^2 - \rho \partial_{x} u  ,  \partial_x e^{i k x}  \right\rangle + \left\langle f, e^{i k x} \right\rangle \quad \forall k\in \left\{ -N/2,\dots,N/2-1 \right\}, \forall t>0.$$

लंबकोणीयता संबंध $$\langle e^{i l x}, e^{i k x} \rangle = 2 \pi \delta_{lk}$$ का उपयोग जहाँ $$\delta_{lk}$$ क्रोनकर डेल्टा है, हम प्रत्येक के लिए उपरोक्त तीन शब्दों को सरल बनाते हैं। $$k$$ देखने के लिए

\begin{align} \left\langle \partial_{t} u, e^{i k x}\right\rangle &= \left\langle    \partial_{t} \sum_{l} \hat{u}_{l} e^{i l x}     ,      e^{i k x} \right\rangle  = \left\langle    \sum_{l} \partial_{t} \hat{u}_{l} e^{i l x}    ,     e^{i k x} \right\rangle = 2 \pi \partial_t \hat{u}_k, \\ \left\langle f, e^{i k x} \right\rangle &= \left\langle   \sum_{l} \hat{f}_{l} e^{i l x}    ,     e^{i k x}\right\rangle= 2 \pi \hat{f}_k, \text{ and} \\ \left\langle \frac{1}{2} u^2 - \rho \partial_{x} u , \partial_x e^{i k x} \right\rangle &= \left\langle \frac{1}{2} \left(\sum_{p} \hat{u}_p e^{i p x}\right) \left(\sum_{q} \hat{u}_q e^{i q x}\right) - \rho \partial_x \sum_{l} \hat{u}_l e^{i l x}   , \partial_x e^{i k x} \right\rangle \\ &= \left\langle \frac{1}{2} \sum_{p} \sum_{q} \hat{u}_p \hat{u}_q e^{i \left(p+q\right) x}   , i k e^{i k x} \right\rangle - \left\langle \rho i \sum_{l} l \hat{u}_l e^{i l x}   , i k e^{i k x} \right\rangle \\ &= -\frac{i k}{2} \left\langle \sum_{p} \sum_{q} \hat{u}_p \hat{u}_q e^{i \left(p+q\right) x}   , e^{i k x} \right\rangle - \rho k \left\langle \sum_{l} l \hat{u}_l e^{i l x}   , e^{i k x} \right\rangle \\ &= - i \pi k \sum_{p+q=k} \hat{u}_p \hat{u}_q - 2\pi\rho{}k^2\hat{u}_k. \end{align} $$ प्रत्येक के लिए तीन पद एकत्रित करने प $$k$$ प्राप्त करने के लिए

2 \pi \partial_t \hat{u}_k = - i \pi k \sum_{p+q=k} \hat{u}_p \hat{u}_q - 2\pi\rho{}k^2\hat{u}_k + 2 \pi \hat{f}_k \quad k\in\left\{ -N/2,\dots,N/2-1 \right\}, \forall t>0. $$ $$2\pi$$ द्वारा विभाजित करने पर, हम अंततः निम्नलिखित निष्कर्ष पर पहुँचते हैं

\partial_t \hat{u}_k = - \frac{i k}{2} \sum_{p+q=k} \hat{u}_p \hat{u}_q - \rho{}k^2\hat{u}_k + \hat{f}_k \quad k\in\left\{ -N/2,\dots,N/2-1 \right\}, \forall t>0. $$ फुरियर रूपांतरण के साथ प्रारंभिक उपबंध $$\hat{u}{k}(0)$$ और प्रेरण $$\hat{f}{k}(t)$$ के साथ, यह संयुक्त सामान्य अभिविभाज्य समीकरणों की प्रणाली को, उदाहरण के लिए, एक रुनगे कुट्टा तकनीक का उपयोग करके कोई समाधान ढूंढने हेतु, समय के साथ समन्वयित किया जा सकता है। अरेखीय शब्द एक संलयन है, और इसे कुशलतापूर्वक मूल्यांकन करने के लिए कई रूपांतरण-आधारित तकनीकें हैं। अधिक जानकारी के लिए बॉयड और कैनुटो एट अल के संदर्भ देखें।

स्पेक्ट्रल तत्व विधि के साथ संबंध
यदि $$g$$ अनंत बार अविभाज्य है, तो फास्ट फ़ौरीयर रूपांतरण का उपयोग करके संख्यात्मक विधिकलन को सिद्ध किया जा सकता है कि यह ग्रिड आकार h के किसी भी बहुपद से शीघ्रता से अभिसरित होगा। अर्थात्, किसी भी n>0 के लिए, एक ऐसी संख्या $$C_n<\infty$$ है जिसके लिए त्रुटि, $$h$$ के सभी पर्याप्त छोटे मानों के लिए $$C_nh^n$$ से कम हो। तब हम कह सकते हैं कि स्पेक्ट्रल विधि प्रत्येक n>0 के लिए $$n$$ के क्रम में है।

क्योंकि स्पेक्ट्रल तत्व विधि अत्यधिक उच्च क्रम की एक परिमित तत्व विधि है, इसके अभिसरण गुणों में समानता होती है। यद्यपि, जबकि स्पेक्ट्रल विधि विशेष सीमा मान समस्या के इगेनडिकोम्पोजीशन पर आधारित है, परिमित तत्व विधि उस जानकारी का उपयोग नहीं करती है और यादृच्छिक दीर्घवृत्तीय सीमा मान समस्याओं के लिए काम करती है।

यह भी देखें

 * सीमित तत्व विधि
 * गाऊसी ग्रिड
 * छद्म स्पेक्ट्रल विधि
 * स्पेक्ट्रल तत्व विधि
 * गैलेरकिन विधि
 * संयोजन विधि

संदर्भ

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 * Chebyshev and Fourier Spectral Methods by John P. Boyd.
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 * Lloyd N. Trefethen (2000) Spectral Methods in MATLAB. SIAM, Philadelphia, PA
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