बीजगणितीय ग्राफ सिद्धांत

बीजगणितीय ग्राफ सिद्धांत गणित की एक शाखा है जिसमें ग्राफ (असतत गणित) के बारे में समस्याओं के लिए बीजगणितीय विधियों को लागू किया जाता है। यह ज्यामितीय ग्राफ सिद्धांत, संयोजक#ग्राफ सिद्धांत, या एल्गोरिथम ग्राफ सिद्धांत दृष्टिकोण के विपरीत है। बीजगणितीय ग्राफ सिद्धांत की तीन मुख्य शाखाएँ हैं, जिनमें रैखिक बीजगणित का उपयोग, समूह सिद्धांत का उपयोग और ग्राफ संपत्ति का अध्ययन शामिल है।

रैखिक बीजगणित का प्रयोग
बीजगणितीय ग्राफ सिद्धांत की पहली शाखा में रैखिक बीजगणित के संबंध में ग्राफ का अध्ययन शामिल है। विशेष रूप से, यह आसन्न मैट्रिक्स के एक मैट्रिक्स, या ग्राफ के लाप्लासियन मैट्रिक्स (बीजगणितीय ग्राफ सिद्धांत के इस भाग को वर्णक्रमीय ग्राफ सिद्धांत भी कहा जाता है) के Eigedecomposition का अध्ययन करता है। पीटरसन ग्राफ के लिए, उदाहरण के लिए, आसन्न मैट्रिक्स का स्पेक्ट्रम (-2, -2, -2, -2, 1, 1, 1, 1, 1, 3) है। कई प्रमेय स्पेक्ट्रम के गुणों को अन्य ग्राफ संपत्ति से संबंधित करते हैं। एक सरल उदाहरण के रूप में, दूरी (ग्राफ सिद्धांत) डी के साथ एक कनेक्टिविटी (ग्राफ सिद्धांत) ग्राफ के स्पेक्ट्रम में कम से कम डी + 1 विशिष्ट मान होंगे। नेटवर्क सिद्धांत की तुल्यकालन क्षमता के विश्लेषण में ग्राफ स्पेक्ट्रा की बीजगणितीय कनेक्टिविटी का उपयोग किया गया है।

समूह सिद्धांत का प्रयोग
बीजगणितीय ग्राफ सिद्धांत की दूसरी शाखा में समूह सिद्धांत, विशेष रूप से ग्राफ ऑटोमोर्फिज्म और ज्यामितीय समूह सिद्धांत के संबंध में ग्राफ का अध्ययन शामिल है। समरूपता के आधार पर ग्राफ़ के विभिन्न परिवारों पर ध्यान केंद्रित किया गया है (जैसे सममित ग्राफ़, शीर्ष-संक्रमणीय ग्राफ़, किनारे-संक्रमणीय ग्राफ़, दूरी-संक्रमणीय ग्राफ़, दूरी-नियमित ग्राफ़ और दृढ़ता से नियमित ग्राफ़), और समावेशन संबंधों के बीच ये परिवार। ग्राफ़ की कुछ ऐसी श्रेणियां पर्याप्त विरल हैं कि ग्राफ़ की फोस्टर जनगणना तैयार की जा सकती है। फ्रुच के प्रमेय द्वारा, सभी समूह (गणित) को एक जुड़े ग्राफ (वास्तव में, एक घन ग्राफ के) के ऑटोमोर्फिज्म समूह के रूप में दर्शाया जा सकता है। समूह सिद्धांत के साथ एक और संबंध यह है कि, किसी भी समूह को दिए जाने पर, केली ग्राफ के रूप में जाने जाने वाले सममित रेखांकन उत्पन्न किए जा सकते हैं, और इनमें समूह की संरचना से संबंधित गुण होते हैं।



बीजगणितीय ग्राफ सिद्धांत की यह दूसरी शाखा पहले से संबंधित है, क्योंकि ग्राफ के समरूपता गुण इसके स्पेक्ट्रम में परिलक्षित होते हैं। विशेष रूप से, अत्यधिक सममित ग्राफ के स्पेक्ट्रम, जैसे कि पीटरसन ग्राफ, के कुछ अलग मूल्य हैं (पीटरसन ग्राफ में 3 है, जो न्यूनतम संभव है, इसका व्यास दिया गया है)। केली ग्राफ के लिए, स्पेक्ट्रम सीधे समूह की संरचना से संबंधित हो सकता है, विशेष रूप से इसके चरित्र सिद्धांत से।

ग्राफ इनवेरिएंट्स का अध्ययन
अंत में, बीजगणितीय ग्राफ़ सिद्धांत की तीसरी शाखा ग्राफ़ की ग्राफ़ संपत्ति के बीजगणितीय गुणों और विशेष रूप से रंगीन बहुपद, टुट्टे बहुपद और गाँठ अपरिवर्तनीय से संबंधित है। एक ग्राफ के रंगीन बहुपद, उदाहरण के लिए, इसके उचित शीर्ष रंगों की संख्या की गणना करता है। पीटरसन ग्राफ के लिए, यह बहुपद है $$t(t-1)(t-2)(t^7-12t^6+67t^5-230t^4+529t^3-814t^2+775t-352)$$. विशेष रूप से, इसका मतलब है कि पीटरसन ग्राफ को एक या दो रंगों से ठीक से रंगा नहीं जा सकता है, लेकिन 120 अलग-अलग तरीकों से 3 रंगों से रंगा जा सकता है। बीजगणितीय ग्राफ सिद्धांत के इस क्षेत्र में बहुत काम चार रंग प्रमेय को सिद्ध करने के प्रयासों से प्रेरित था। हालाँकि, अभी भी कई ग्राफ़ रंग # खुली समस्याएं हैं, जैसे कि ग्राफ़ को चिह्नित करना जिसमें समान रंगीन बहुपद हैं, और यह निर्धारित करना कि कौन से बहुपद रंगीन हैं।

यह भी देखें

 * स्पेक्ट्रल ग्राफ सिद्धांत
 * बीजगणितीय कॉम्बिनेटरिक्स
 * बीजगणितीय कनेक्टिविटी
 * डल्मेज-मेंडेलसोहन अपघटन
 * ग्राफ संपत्ति
 * सहखंडज मैट्रिक्स