Gδ समुच्चय

टोपोलॉजी के गणितीय क्षेत्र में, एक जी (Gδ ) सेट एक टोपोलॉजिकल स्पेस का सबसेट है जो खुले सेटों का एक गणनीय प्रतिच्छेदन (सेट थ्योरी) है। नोटेशन की उत्पत्ति जर्मन में G से Gebiet ( जर्मन : क्षेत्र, या पड़ोस) के साथ हुई है, जिसका अर्थ इस मामले में खुला सेट है और δ Durchschnitt ( जर्मन : चौराहा) के लिए है।

ऐतिहासिक रूप से जी (Gδ ) सेट को आंतरिक सीमित सेट भी कहा जाता था, लेकिन वह शब्दावली अब उपयोग में नहीं है।

जी (Gδ ) समुच्चय, और उनका दोहरा, Fσ समुच्चय| F$\sigma$ सेट, बोरेल पदानुक्रम का दूसरा स्तर हैं।

परिभाषा
एक टोपोलॉजिकल स्पेस में एक जी (Gδ ) सेट खुले सेटों का एक गणनीय चौराहा (सेट सिद्धांत) है। जी (Gδ ) सेट बिल्कुल स्तर Π हैं$0 2$ बोरेल पदानुक्रम के सेट।

उदाहरण

 * कोई भी खुला सेट तुच्छ रूप से Gδ तय करना।
 * अपरिमेय संख्याएँ Gδ वास्तविक संख्या में सेट करें $$\R$$. उन्हें खुले सेट के गणनीय चौराहे के रूप में लिखा जा सकता है $$\{ q \}^{c}$$ (सुपरस्क्रिप्ट पूरक (सेट सिद्धांत) को दर्शाता है) जहां $$q$$ परिमेय संख्या है।
 * परिमेय संख्याओं का समुच्चय $$\Q$$ है एक Gδ शुरु होना $$\R$$. अगर $$\Q$$ खुले सेटों का चौराहा था $$A_n$$ प्रत्येक $$A_n$$ घना सेट होगा $$\R$$ क्योंकि $$\Q$$ में घना है $$\R$$. हालांकि, ऊपर के निर्माण ने अपरिमेय संख्या को खुले घने उपसमुच्चय के एक गणनीय चौराहे के रूप में दिया। इन दोनों सेटों के प्रतिच्छेदन को लेने से खाली सेट को खुले घने सेटों के गणनीय चौराहे के रूप में मिलता है $$\R$$, बेयर श्रेणी प्रमेय का उल्लंघन।
 * निरंतरता सेट किसी भी वास्तविक मूल्यवान फ़ंक्शन के फ़ंक्शन का निरंतरता सेट एक जी हैδ इसके डोमेन का सबसेट (अधिक सामान्य कथन के लिए गुण अनुभाग देखें)।
 * हर जगह अलग-अलग वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन के डेरिवेटिव (गणित) का शून्य-सेट $$\R$$ एक जी δ तय करना; यह खाली इंटीरियर के साथ एक सघन सेट हो सकता है, जैसा कि पोम्पेई व्युत्पन्न#पोम्पेई के निर्माण|पोम्पेयू के निर्माण द्वारा दिखाया गया है।
 * कार्यों का सेट में $$C([0,1])$$ भीतर किसी भी बिंदु पर भिन्न नहीं $[0, 1]$ एक घना जी (G) सम्मिलित हैδ मीट्रिक स्थान का सबसेट $$C([0,1])$$. (देखना .)

गुण
जी की धारणाδ मीट्रिक स्थान (और टोपोलॉजिकल स्पेस) स्पेस में सेट मेट्रिक स्पेस के पूर्ण मीट्रिक स्थान के साथ-साथ बेयर श्रेणी प्रमेय की धारणा से संबंधित है। नीचे गुणों की सूची में पूरी तरह से मेट्रिज़ेबल रिक्त स्थान के बारे में परिणाम देखें। $$\mathrm {G_\delta}$$ सेट और उनके पूरक भी वास्तविक विश्लेषण में महत्वपूर्ण हैं, विशेष रूप से माप सिद्धांत।

बुनियादी गुण

 * जी का पूरक (सेट सिद्धांत)।δ समुच्चय एक Fσ समुच्चय है|Fσसेट और इसके विपरीत।
 * गिने-चुने कई जी का प्रतिच्छेदनδ सेट एक जी Gδ तय करना।
 * का संघ कई जीδ सेट एक जी Gδ तय करना।
 * जी का एक गणनीय संघδ सेट (जिसे जी कहा जाएगाδσ सेट) जी नहीं हैδ सामान्य रूप से सेट करें। उदाहरण के लिए, परिमेय संख्याएँ $$\Q$$ जी मत बनाओδ शुरु होना $$\R$$.
 * एक टोपोलॉजिकल स्पेस में, प्रत्येक वास्तविक मूल्यवान निरंतर कार्य का शून्य सेट $$f$$ एक (बंद) जी Gδ सेट, के बाद से $$f^{-1}(0)$$ खुले सेटों का चौराहा है $$\{x \in X : -1/n < f(x) < 1/n\}$$, $$(n = 1, 2, \ldots)$$.
 * metrizable स्पेस में, प्रत्येक बंद सेट एक जी हैδ सेट और, दो तरह से, हर खुला सेट एक एफ हैσ तय करना। दरअसल, एक बंद सेट $$F \subseteq X$$ निरंतर कार्य का शून्य सेट है $$f(x) = d(x, F)$$, कहाँ $$d$$ एक सेट की दूरी को इंगित करता है। स्यूडोमेट्रिजेबल स्पेस में भी ऐसा ही होता है।
 * पहले गणनीय T1 स्थान में|T1 अंतरिक्ष, हर सिंगलटन (गणित) एक जी हैδ सेट।
 * पूरी तरह से मेट्रिजेबल स्पेस का एक टोपोलॉजिकल सबस्पेस $$X$$ अगर और केवल अगर यह एक G है तो यह खुद पूरी तरह से मेट्रिजेबल हैδ शुरु होना $$X$$.
 * पोलिश अंतरिक्ष का एक उप-स्थान $$X$$ स्वयं पोलिश है यदि और केवल यदि वह Gδ शुरु होना $$X$$. यह पिछले परिणाम से पूरी तरह से मेट्रिजेबल सबस्पेस के बारे में है और तथ्य यह है कि एक वियोज्य मीट्रिक स्पेस के प्रत्येक सबस्पेस वियोज्य है।
 * एक टोपोलॉजिकल स्पेस $$X$$ पोलिश है अगर और केवल अगर यह जी के लिए होमियोमॉर्फिक हैδ कॉम्पैक्ट जगह मेट्रिक स्पेस का सबसेट।

वास्तविक मूल्यवान कार्यों का निरंतरता सेट
उन बिंदुओं का समूह जहां एक फ़ंक्शन होता है $$f$$ टोपोलॉजिकल स्पेस से मेट्रिक स्पेस तक निरंतर कार्य होता है $$\mathrm {G_\delta}$$ तय करना। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक बिंदु पर निरंतरता $$p$$ द्वारा परिभाषित किया जा सकता है $$\Pi^0_2$$ सूत्र, अर्थात् सभी सकारात्मक पूर्णांकों के लिए $$n,$$ एक खुला सेट है $$U$$ युक्त $$p$$ ऐसा है कि $$d(f(x), f(y)) < 1/n$$ सबके लिए $$x, y$$ में $$U$$. यदि इसका मान $$n$$ तय है, का सेट $$p$$ जिसके लिए इस तरह का एक समान खुला $$U$$ अपने आप में एक खुला सेट है (खुले सेटों का एक संघ होने के नाते), और सार्वभौमिक क्वांटिफायर चालू है $$n$$ इन सेटों के (गणनीय) चौराहे से मेल खाती है। परिणामस्वरूप, जबकि अपरिमेय के लिए एक फ़ंक्शन के निरंतरता बिंदुओं का सेट होना संभव है (पॉपकॉर्न समारोह देखें), एक फ़ंक्शन का निर्माण करना असंभव है जो केवल परिमेय संख्याओं पर निरंतर हो।

वास्तविक रेखा में विलोम भी धारण करता है कि किसी भी जी Gδ सबसेट के लिए $$A$$ वास्तविक रेखा का एक कार्य है $$f : \R \to \R$$ यह बिल्कुल बिंदुओं पर निरंतर है $$A$$.

जीδ अंतरिक्ष
जी (Gδ ) अंतरिक्ष एक टोपोलॉजिकल स्पेस है जिसमें हर बंद सेट एक जी Gδ सेट है। एक सामान्य स्थान जो कि Gδ अंतरिक्ष को बिल्कुल सामान्य स्थान कहा जाता है। उदाहरण के लिए प्रत्येक मेट्रिजेबल स्पेस पूरी तरह से सामान्य है।

यह भी देखें

 * एफσ सेट | एफσ सेट, द्वैत (गणित) अवधारणा; ध्यान दें कि G जर्मन है (विकट:Gebiet#जर्मन) और F फ्रेंच है (विकट:fermé#French|fermé)।
 * पी-स्पेस | पी-स्पेस, कोई भी स्पेस जिसमें संपत्ति है कि हर जीδ सेट खुला है