लूप बीजगणित

गणित में, लूप अलजेब्रा कुछ प्रकार के लाई अलजेब्रा हैं, जो सैद्धांतिक भौतिकी में विशेष रुचि रखते हैं।

परिभाषा
एक झूठ बीजगणित के लिए $$\mathfrak{g}$$ एक मैदान के ऊपर $$K$$, अगर $$K[t,t^{-1}]$$ तो, लॉरेंट बहुपद का स्थान है $$L\mathfrak{g} := \mathfrak{g}\otimes K[t,t^{-1}],$$ विरासत में मिले ब्रैकेट के साथ $$[X\otimes t^m, Y\otimes t^n] = [X,Y]\otimes t^{m+n}.$$

ज्यामितीय परिभाषा
अगर $$\mathfrak{g}$$ एक झूठ बीजगणित है, जिसका टेंसर गुणनफल है $$\mathfrak{g}$$ साथ $C^{∞}(S^{1})$, ए एन-क्षेत्र  कई गुना  पर (जटिल) सुचारू कार्यों का सहयोगी बीजगणित $S^{1}$ (समकक्ष, किसी दिए गए अवधि का सुचारू जटिल-मूल्यवान आवधिक कार्य),

$$\mathfrak{g}\otimes C^\infty(S^1),$$ वेक्टर फ़ील्ड्स के लाई ब्रैकेट के साथ एक अनंत-आयामी लाई बीजगणित है

$$[g_1\otimes f_1,g_2 \otimes f_2]=[g_1,g_2]\otimes f_1 f_2.$$ यहाँ $g_{1}$ और $g_{2}$ के तत्व हैं $$\mathfrak{g}$$ और $f_{1}$ और $f_{2}$ के तत्व हैं $C^{∞}(S^{1})$.

यह बिल्कुल वैसा नहीं है जो अनंत प्रतियों के प्रत्यक्ष उत्पाद के अनुरूप होगा $$\mathfrak{g}$$, प्रत्येक बिंदु के लिए एक $S^{1}$, चिकनाई प्रतिबंध के कारण। इसके बजाय, इसे सहज मानचित्र के संदर्भ में सोचा जा सकता है $S^{1}$ को $$\mathfrak{g}$$; अंदर एक चिकना पैरामीट्रिज्ड लूप $$\mathfrak{g}$$, दूसरे शब्दों में। इसीलिए इसे लूप बीजगणित कहा जाता है।

पदक्रम
परिभाषित $$\mathfrak{g}_i$$ रैखिक उपस्थान होना $$\mathfrak{g}_i = \mathfrak{g}\otimes t^i < L\mathfrak{g},$$ ब्रैकेट किसी उत्पाद तक सीमित है $$[\cdot\,, \, \cdot]: \mathfrak{g}_i \times \mathfrak{g}_j \rightarrow \mathfrak{g}_{i+j},$$ इसलिए लूप बीजगणित a दिया जा रहा है $$\mathbb{Z}$$-वर्गीकृत झूठ बीजगणित संरचना।

विशेष रूप से, ब्रैकेट 'शून्य-मोड' उपबीजगणित तक सीमित है $$\mathfrak{g}_0 \cong \mathfrak{g}$$.

व्युत्पत्ति
लूप बीजगणित पर एक प्राकृतिक व्युत्पत्ति है, जिसे पारंपरिक रूप से दर्शाया गया है $$d$$ के रूप में कार्य $$d: L\mathfrak{g} \rightarrow L\mathfrak{g}$$ $$d(X\otimes t^n) = nX\otimes t^n$$ और औपचारिक रूप से ऐसा सोचा जा सकता है $$d = t\frac{d}{dt}$$.

एफ़िन लाई बीजगणित को परिभाषित करना आवश्यक है, जिसका उपयोग भौतिकी, विशेष रूप से अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत में किया जाता है।

लूप समूह
इसी प्रकार, सभी सुचारू मानचित्रों का एक सेट $S^{1}$ एक झूठ समूह के लिए $G$ एक अनंत-आयामी झूठ समूह बनाता है (झूठ समूह इस अर्थ में कि हम इसके ऊपर कार्यात्मक व्युत्पन्न को परिभाषित कर सकते हैं) जिसे लूप समूह कहा जाता है। लूप समूह का झूठ बीजगणित संगत लूप बीजगणित है।

लूप बीजगणित के केंद्रीय विस्तार के रूप में एफ़िन लाई बीजगणित
अगर $$\mathfrak{g}$$ एक अर्धसरल झूठ बीजगणित है, फिर एक गैर-तुच्छ समूह विस्तार#इसके लूप बीजगणित का केंद्रीय विस्तार $$L\mathfrak g$$ एक एफ़िन लाई बीजगणित को जन्म देता है। इसके अलावा यह केंद्रीय विस्तार अद्वितीय है। केंद्रीय विस्तार एक केंद्रीय तत्व को जोड़कर दिया जाता है $$\hat k$$, अर्थात सभी के लिए $$X\otimes t^n \in L\mathfrak{g}$$, $$[\hat k, X\otimes t^n] = 0,$$ और लूप बीजगणित पर ब्रैकेट को संशोधित करना $$[X\otimes t^m, Y\otimes t^n] = [X,Y] \otimes t^{m + n} + mB(X,Y) \delta_{m+n,0} \hat k,$$ कहाँ $$B(\cdot, \cdot)$$ संहार रूप है.

केंद्रीय विस्तार, एक सदिश समष्टि के रूप में है, $$L\mathfrak{g} \oplus \mathbb{C}\hat k$$ (इसकी सामान्य परिभाषा में, जैसा कि आम तौर पर होता है, $$\mathbb{C}$$ एक मनमाना क्षेत्र के रूप में लिया जा सकता है)।

कोसाइकिल
झूठ बीजगणित सहसंरचना की भाषा का उपयोग करते हुए, केंद्रीय विस्तार को लूप बीजगणित पर 2-कोसायकल का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है। यह नक्शा है $$\varphi: L\mathfrak g \times L\mathfrak g \rightarrow \mathbb{C}$$ संतुष्टि देने वाला $$\varphi(X\otimes t^m, Y\otimes t^n) = mB(X,Y)\delta_{m+n,0}.$$ फिर कोष्ठक में जोड़ा गया अतिरिक्त शब्द है $$\varphi(X\otimes t^m, Y\otimes t^n)\hat k.$$

एफ़िन लाई बीजगणित
भौतिकी में, केंद्रीय विस्तार $$L\mathfrak g \oplus \mathbb C \hat k$$ इसे कभी-कभी एफ़िन लाई बीजगणित के रूप में जाना जाता है। गणित में, यह अपर्याप्त है, और पूर्ण एफ़िन ले बीजगणित वेक्टर स्थान है $$\hat \mathfrak{g} = L\mathfrak{g} \oplus \mathbb C \hat k \oplus \mathbb C d$$ कहाँ $$d$$ ऊपर परिभाषित व्युत्पत्ति है।

इस स्थान पर, किलिंग फॉर्म को गैर-पतित फॉर्म तक बढ़ाया जा सकता है, और इस प्रकार एफ़िन लाई बीजगणित के रूट सिस्टम विश्लेषण की अनुमति मिलती है।