सजातीय बीजगणित

समजात बीजगणित गणित की वह शाखा है जो सामान्य बीजीय सेटिंग में समरूपता का अध्ययन करती है। यह एक अपेक्षाकृत युवा अनुशासन है, जिसकी उत्पत्ति 19वीं सदी के अंत में मुख्य रूप से हेनरी पोनकारे और डेविड हिल्बर्ट द्वारा सांयोगिक टोपोलॉजी (बीजगणितीय टोपोलॉजी का पूर्ववर्ती) और अमूर्त बीजगणित (मॉड्यूल और सिज़ीजी का सिद्धांत) में परीक्षण से पता लगाया जा सकता है।

होमोलॉजिकल बीजगणित, होमोलॉजिकल फ़नकारकों और उनसे जुड़ी जटिल बीजीय संरचनाओं का अध्ययन है; इसके विकास का श्रेणी सिद्धांत के उद्भव के साथ घनिष्ठ संबंध था। एक केंद्रीय अवधारणा श्रृंखला परिसरों की है, जिनका अध्ययन उनकी समरूपता और सहसंबद्धता दोनों के माध्यम से किया जा सकता है।

होमोलॉजिकल बीजगणित इन परिसरों में निहित जानकारी को निकालने और इसे रिंगों, मॉड्यूल, टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान और अन्य 'मूर्त' गणितीय वस्तुओं के होमोलॉजिकल इनवेरिएंट के रूप में प्रस्तुत करने का साधन प्रदान करता है। ऐसा करने के लिए एक प्रभावशाली उपकरण वर्णक्रमीय अनुक्रम द्वारा प्रदान किया गया है।

इसने बीजीय टोपोलॉजी में बहुत बड़ी भूमिका निभाई है। इसके प्रभाव का धीरे-धीरे विस्तार हुआ है और वर्तमान में इसमें क्रमविनिमेय बीजगणित, बीजगणितीय ज्यामिति, बीजगणितीय संख्या सिद्धांत, प्रतिनिधित्व सिद्धांत, गणितीय भौतिकी, संचालिका बीजगणित, जटिल विश्लेषण और आंशिक अंतर समीकरणों का सिद्धांत शामिल है। के-सिद्धांत एक स्वतंत्र अनुशासन है जो समजात बीजगणित के तरीकों पर आधारित है, जैसा कि एलेन कोन्स की गैर-अनुवांशिक ज्यामिति पर होता है।

इतिहास
होमोलॉजिकल बीजगणित का अध्ययन 1800 के दशक में टोपोलॉजी की एक शाखा के रूप में अपने सबसे बुनियादी रूप में किया जाना शुरू हुआ, लेकिन 1940 के दशक तक यह एक स्वतंत्र विषय नहीं बन पाया, जिसमें एक्सट ऑपरेटर  और  प्रसार प्रचालक  जैसी वस्तुओं का अध्ययन शामिल था। अन्य।

श्रृंखला परिसर और समरूपता
शृंखला संकुल की धारणा समजात बीजगणित में केंद्रीय है। एक अमूर्त श्रृंखला संकुल एक अनुक्रम है $$ (C_\bullet, d_\bullet)$$ एबेलियन समूहों और समूह समरूपताओं की, इस गुण के साथ कि किन्हीं दो लगातार मानचित्रों (गणित) की संरचना शून्य है:
 * $$ C_\bullet: \cdots \longrightarrow

C_{n+1} \stackrel{d_{n+1}}{\longrightarrow} C_n \stackrel{d_n}{\longrightarrow} C_{n-1} \stackrel{d_{n-1}}{\longrightarrow} \cdots, \quad d_n \circ d_{n+1}=0.$$

सी के तत्वn n-'श्रृंखला' और समरूपताएँ d कहलाती हैंn सीमा मानचित्र या अंतर कहलाते हैं। श्रृंखला समूह सीn अतिरिक्त संरचना से संपन्न हो सकता है; उदाहरण के लिए, वे एक निश्चित रिंग (गणित) आर पर वेक्टर रिक्त स्थान या मॉड्यूल (गणित) हो सकते हैं। यदि मौजूद है तो अंतर को अतिरिक्त संरचना को संरक्षित करना होगा; उदाहरण के लिए, वे आर-मॉड्यूल के रैखिक मानचित्र या समरूपताएं होनी चाहिए। सांकेतिक सुविधा के लिए, एबेलियन समूहों पर ध्यान केंद्रित करें (अधिक सही ढंग से, एबेलियन समूहों की श्रेणी (गणित) 'एब' तक); एक प्रसिद्ध मिशेल के एम्बेडिंग प्रमेय का तात्पर्य है कि परिणाम किसी भी एबेलियन श्रेणी के लिए सामान्यीकृत होंगे। प्रत्येक श्रृंखला परिसर एबेलियन समूहों के दो और अनुक्रमों, 'चक्र' Z को परिभाषित करता हैn= केर डीn और सीमाएं बीn= डी मेंn+1, जहां Ker d और Im d कर्नेल (बीजगणित) और d की छवि (गणित) को दर्शाते हैं। चूंकि दो लगातार सीमा मानचित्रों की संरचना शून्य है, इसलिए ये समूह एक-दूसरे में अंतर्निहित हैं


 * $$ B_n \subseteq Z_n \subseteq C_n. $$

एबेलियन समूहों के उपसमूह स्वचालित रूप से सामान्य उपसमूह होते हैं; इसलिए हम nवें 'होमोलॉजी समूह' H को परिभाषित कर सकते हैंn(सी) एन-सीमाओं द्वारा एन-चक्रों के कारक समूह के रूप में,


 * $$ H_n(C) = Z_n/B_n = \operatorname{Ker}\, d_n/ \operatorname{Im}\, d_{n+1}. $$

एक श्रृंखला परिसर को एसाइक्लिक या सटीक अनुक्रम कहा जाता है यदि इसके सभी समरूप समूह शून्य हैं।

अमूर्त बीजगणित और बीजगणितीय टोपोलॉजी में चेन कॉम्प्लेक्स बहुतायत में उत्पन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि X एक टोपोलॉजिकल स्पेस है तो एकवचन श्रृंखला Cn(एक्स) मानक एन-सिंप्लेक्स से एक्स तक निरंतर मानचित्रों के औपचारिक रैखिक संयोजन हैं; यदि K एक सरल सम्मिश्र है तो श्रृंखला (बीजगणितीय टोपोलॉजी) Cn(K) K के n-सरलताओं के औपचारिक रैखिक संयोजन हैं; यदि A = F/R एक समूह की प्रस्तुति द्वारा एक एबेलियन समूह A की प्रस्तुति है, जहां F जनरेटर द्वारा फैलाया गया एक मुक्त एबेलियन समूह है और R संबंधों का उपसमूह है, तो C को दें1(ए) = आर, सी0(ए) = एफ, और सीn(ए) = अन्य सभी एन के लिए 0 एबेलियन समूहों के अनुक्रम को परिभाषित करता है। इन सभी मामलों में, प्राकृतिक अंतर हैंn सी बनानाn एक श्रृंखला परिसर में, जिसकी समरूपता टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स, सरल कॉम्प्लेक्स के, या एबेलियन समूह ए की संरचना को दर्शाती है। टोपोलॉजिकल स्पेस के मामले में, हम एकवचन होमोलॉजी की धारणा पर पहुंचते हैं, जो जांच में एक मौलिक भूमिका निभाता है ऐसे स्थानों के गुण, उदाहरण के लिए, कई गुना।

दार्शनिक स्तर पर, होमोलॉजिकल बीजगणित हमें सिखाता है कि बीजगणितीय या ज्यामितीय वस्तुओं (टोपोलॉजिकल स्पेस, सरल कॉम्प्लेक्स, आर-मॉड्यूल) से जुड़े कुछ श्रृंखला परिसरों में उनके बारे में बहुत सारी मूल्यवान बीजगणितीय जानकारी होती है, होमोलॉजी केवल सबसे आसानी से उपलब्ध हिस्सा है. तकनीकी स्तर पर, होमोलॉजिकल बीजगणित परिसरों में हेरफेर करने और इस जानकारी को निकालने के लिए उपकरण प्रदान करता है। यहां दो सामान्य उदाहरण दिए गए हैं.
 * दो वस्तुएँ X और Y उनके बीच एक मानचित्र f द्वारा जुड़ी हुई हैं। होमोलॉजिकल बीजगणित, एक्स और वाई से जुड़े श्रृंखला परिसरों और उनकी होमोलॉजी के बीच, मानचित्र एफ द्वारा प्रेरित संबंध का अध्ययन करता है। इसे कई वस्तुओं और उन्हें जोड़ने वाले मानचित्रों के मामले में सामान्यीकृत किया जाता है। श्रेणी सिद्धांत की भाषा में वाक्यांशबद्ध, होमोलॉजिकल बीजगणित श्रृंखला परिसरों के विभिन्न निर्माणों और इन परिसरों की होमोलॉजी के फ़ैक्टर का अध्ययन करता है।
 * एक ऑब्जेक्ट एक्स कई विवरणों को स्वीकार करता है (उदाहरण के लिए, एक टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में और एक सरल कॉम्प्लेक्स के रूप में) या कॉम्प्लेक्स $$C_\bullet(X)$$ एक्स की कुछ 'प्रस्तुति' का उपयोग करके बनाया गया है, जिसमें गैर-विहित विकल्प शामिल हैं। एक्स से जुड़े श्रृंखला परिसरों पर एक्स के विवरण में परिवर्तन के प्रभाव को जानना महत्वपूर्ण है। आमतौर पर, परिसर और इसकी समरूपता $$H_\bullet(C)$$ प्रस्तुतिकरण के संबंध में कार्यात्मक हैं; और समरूपता (हालाँकि स्वयं जटिल नहीं) वास्तव में चुनी गई प्रस्तुति से स्वतंत्र है, इस प्रकार यह एक्स का एक अपरिवर्तनीय (गणित) है।

सटीक अनुक्रम
समूह सिद्धांत के संदर्भ में, एक क्रम
 * $$G_0 \;\xrightarrow{f_1}\; G_1 \;\xrightarrow{f_2}\; G_2 \;\xrightarrow{f_3}\; \cdots \;\xrightarrow{f_n}\; G_n$$

समूह (गणित) और समूह समरूपता को सटीक कहा जाता है यदि प्रत्येक समरूपता की छवि (गणित) अगले के कर्नेल (बीजगणित) के बराबर है:
 * $$\mathrm{im}(f_k) = \mathrm{ker}(f_{k+1}).\!$$

ध्यान दें कि समूहों और समरूपताओं का क्रम या तो परिमित या अनंत हो सकता है।

कुछ अन्य बीजीय संरचनाओं के लिए भी ऐसी ही परिभाषा बनाई जा सकती है। उदाहरण के लिए, किसी के पास वेक्टर रिक्त स्थान और रैखिक मानचित्र, या मॉड्यूल (गणित) और मॉड्यूल समरूपता का सटीक अनुक्रम हो सकता है। अधिक सामान्यतः, सटीक अनुक्रम की धारणा कर्नेल (श्रेणी सिद्धांत) और कोकर्नेल के साथ किसी भी श्रेणी (गणित) में समझ में आती है।

संक्षिप्त सटीक क्रम
सटीक अनुक्रम का सबसे सामान्य प्रकार संक्षिप्त सटीक अनुक्रम है। यह फॉर्म का सटीक क्रम है
 * $$A \;\overset{f}{\hookrightarrow}\; B \;\overset{g}{\twoheadrightarrow}\; C$$

जहां ˒ एक समाकृतिकता है और जी एक एपिमोर्फिज्म है। इस मामले में, ए, बी का एक उप-वस्तु है, और संबंधित भागफल सी के लिए एकरूपता है:
 * $$C \cong B/f(A).$$ (जहाँ f(A) = im(f)).

एबेलियन समूहों का एक संक्षिप्त सटीक अनुक्रम पांच शब्दों के साथ एक सटीक अनुक्रम के रूप में भी लिखा जा सकता है:
 * $$0 \;\xrightarrow{}\; A \;\xrightarrow{f}\; B \;\xrightarrow{g}\; C \;\xrightarrow{}\; 0$$

जहां 0 प्रारंभिक और टर्मिनल वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करता है, जैसे कि तुच्छ समूह या शून्य-आयामी वेक्टर स्थान। 0 की शक्तियों का स्थान ˒ एक मोनोमोर्फिज्म है और जी एक एपिमोर्फिज्म है (नीचे देखें)।

लंबा सटीक क्रम
एक लंबा सटीक अनुक्रम प्राकृतिक संख्याओं द्वारा अनुक्रमित एक सटीक अनुक्रम है।

पांच लेम्मा
किसी भी एबेलियन श्रेणी (जैसे एबेलियन समूहों की श्रेणी या किसी दिए गए क्षेत्र (बीजगणित) पर वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी) या समूह (गणित) की श्रेणी में निम्नलिखित क्रमविनिमेय आरेख पर विचार करें।

पांच लेम्मा में कहा गया है कि, यदि पंक्तियाँ सटीक अनुक्रम हैं, एम और पी समरूपता हैं, एल एक एपिमोर्फिज्म है, और क्यू एक मोनोमोर्फिज्म है, तो एन भी एक आइसोमोर्फिज्म है।

सांप लेम्मा
एबेलियन श्रेणी में (जैसे कि एबेलियन समूहों की श्रेणी या किसी दिए गए क्षेत्र (बीजगणित) पर वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी), एक क्रमविनिमेय आरेख पर विचार करें:

जहाँ पंक्तियाँ सटीक अनुक्रम हैं और 0 शून्य वस्तु है। फिर ए, बी, और सी के कर्नेल (श्रेणी सिद्धांत) और कोकर्नेल से संबंधित एक सटीक अनुक्रम है:


 * $$\ker a \to \ker b \to \ker c \overset{d}{\to} \operatorname{coker}a \to \operatorname{coker}b \to \operatorname{coker}c$$

इसके अलावा, यदि रूपवाद एफ एक मोनोमोर्फिज्म है, तो रूपवाद केर ए → केर बी भी है, और यदि जी' एक एपिमोर्फिज्म है, तो कोकर बी → कोकर सी भी है।

एबेलियन श्रेणियाँ
गणित में, एबेलियन श्रेणी एक श्रेणी (श्रेणी सिद्धांत) है जिसमें रूपवाद और वस्तुओं को जोड़ा जा सकता है और जिसमें कर्नेल (श्रेणी सिद्धांत) और कोकर्नेल मौजूद हैं और वांछनीय गुण हैं। एबेलियन श्रेणी का प्रेरक प्रोटोटाइप उदाहरण एबेलियन समूहों की श्रेणी, एब है। इस सिद्धांत की उत्पत्ति अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक द्वारा कई कोहोमोलॉजी सिद्धांतों को एकजुट करने के एक अस्थायी प्रयास में हुई थी। एबेलियन श्रेणियां बहुत स्थिर श्रेणियां हैं, उदाहरण के लिए वे नियमित श्रेणी हैं और वे साँप लेम्मा को संतुष्ट करती हैं। एबेलियन श्रेणियों का वर्ग कई श्रेणीबद्ध निर्माणों के अंतर्गत बंद है, उदाहरण के लिए, एबेलियन श्रेणी के श्रृंखला परिसरों की श्रेणी, या छोटी श्रेणी से एबेलियन श्रेणी तक फ़ैक्टर्स की श्रेणी भी एबेलियन हैं। ये स्थिरता गुण उन्हें होमोलॉजिकल बीजगणित और उससे आगे अपरिहार्य बनाते हैं; इस सिद्धांत का बीजगणितीय ज्यामिति, सह-समरूपता और शुद्ध श्रेणी सिद्धांत में प्रमुख अनुप्रयोग है। एबेलियन श्रेणियों का नाम नील्स हेनरिक एबेल के नाम पर रखा गया है।

अधिक ठोस रूप से, एक श्रेणी एबेलियन है यदि
 * इसमें शून्य वस्तु है,
 * इसमें सभी बाइनरी उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) और बाइनरी सह-उत्पाद हैं, और
 * इसमें सभी कर्नेल (श्रेणी सिद्धांत) और कोकर्नेल हैं।
 * सभी मोनोमोर्फिज्म और आकारिता सामान्य रूपवाद हैं।

एक्सट फ़ैक्टर
मान लीजिए R एक वलय है (गणित) और मान लीजिए ModR R के ऊपर मॉड्यूल (गणित) की श्रेणी (गणित) बनें। मान लीजिए B मॉड में हैR और T(B) = होम सेट करेंR(ए,बी), मॉड में निश्चित ए के लिएR. यह एक बायाँ सटीक फ़ैनक्टर है और इस प्रकार इसमें दाएँ व्युत्पन्न फ़ैनक्टर R हैएनटी. एक्सट फ़ैक्टर द्वारा परिभाषित किया गया है


 * $$\operatorname{Ext}_R^n(A,B)=(R^nT)(B).$$

इसकी गणना किसी भी विशेषण संकल्प को लेकर की जा सकती है


 * $$0 \rightarrow B \rightarrow I^0 \rightarrow I^1 \rightarrow \cdots, $$

और कंप्यूटिंग


 * $$0 \rightarrow \operatorname{Hom}_R(A,I^0) \rightarrow \operatorname{Hom}_R(A,I^1) \rightarrow \cdots.$$

फिर (आरnT)(B) इस परिसर की समरूपता (गणित) है। ध्यान दें कि होमR(ए,बी) को कॉम्प्लेक्स से बाहर रखा गया है।

फ़ैक्टर G(A)=Hom का उपयोग करके एक वैकल्पिक परिभाषा दी गई हैR(ए,बी). एक निश्चित मॉड्यूल बी के लिए, यह एक सहप्रसरण है और फ़ैक्टरों का विपरीत सटीक फ़ैक्टर छोड़ दिया गया है, और इस प्रकार हमारे पास दाएं व्युत्पन्न फ़ैक्टर्स आर भी हैंnG, और परिभाषित कर सकते हैं


 * $$\operatorname{Ext}_R^n(A,B)=(R^nG)(A).$$

इसकी गणना किसी भी प्रक्षेप्य संकल्प को चुनकर की जा सकती है


 * $$\dots \rightarrow P^1 \rightarrow P^0 \rightarrow A \rightarrow 0, $$

और गणना द्वारा दोहरी रूप से आगे बढ़ना


 * $$0\rightarrow\operatorname{Hom}_R(P^0,B)\rightarrow \operatorname{Hom}_R(P^1,B) \rightarrow \cdots.$$

फिर (आरएनजी)(ए) इस परिसर की समरूपता है। पुनः ध्यान दें कि होमR(ए,बी) को बाहर रखा गया है।

ये दो निर्माण समरूपी  परिणाम उत्पन्न करते हैं, और इसलिए दोनों का उपयोग एक्सट फ़ैक्टर की गणना के लिए किया जा सकता है।

टोर ऑपरेटर
मान लीजिए कि आर एक रिंग (गणित) है, और आर-'मॉड' द्वारा मॉड्यूल (गणित) के श्रेणी सिद्धांत को दर्शाया गया है। बाएं आर-मॉड्यूल और 'मॉड'-आर द्वारा दाएं आर-मॉड्यूल की श्रेणी को दर्शाया गया है (यदि आर क्रमविनिमेय वलय  है), दोनों श्रेणियां मेल खाती हैं)। आर-'मॉड' में एक मॉड्यूल बी को ठीक करें। 'मॉड'-आर में ए के लिए, टी(ए) = ए⊗ सेट करेंRबी. तब टी 'मॉड'-आर से एबेलियन समूहों की श्रेणी 'एबी' तक एक सही सटीक फ़नकार है (उस स्थिति में जब आर क्रमविनिमेय है, यह 'मॉड'-आर से 'मॉड' तक एक सही सटीक फ़नकार है- आर) और इसके व्युत्पन्न फ़ंक्शनल एलnटी परिभाषित हैं. हमलोग तैयार हैं


 * $$\mathrm{Tor}_n^R(A,B)=(L_nT)(A)$$

यानी, हम एक प्रोजेक्टिव मॉड्यूल#प्रोजेक्टिव रिज़ॉल्यूशन लेते हैं


 * $$\cdots\rightarrow P_2 \rightarrow P_1 \rightarrow P_0 \rightarrow A\rightarrow 0$$

फिर ए शब्द को हटा दें और कॉम्प्लेक्स प्राप्त करने के लिए बी के साथ प्रक्षेप्य रिज़ॉल्यूशन को टेंसर करें


 * $$\cdots \rightarrow P_2\otimes_R B \rightarrow P_1\otimes_R B \rightarrow P_0\otimes_R B \rightarrow 0$$

(ध्यान दें कि A⊗Rबी प्रकट नहीं होता है और अंतिम तीर केवल शून्य मानचित्र है) और इस परिसर की समरूपता (गणित) लें।

वर्णक्रम अनुक्रम
एबेलियन श्रेणी को ठीक करें, जैसे रिंग के ऊपर मॉड्यूल की श्रेणी। वर्णक्रमीय अनुक्रम एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक r का एक विकल्प है0 और तीन अनुक्रमों का संग्रह:
 * 1) सभी पूर्णांकों के लिए r ≥ r0, एक वस्तु ईr, जिसे एक शीट कहा जाता है (जैसा कि कागज की एक शीट में), या कभी-कभी एक पृष्ठ या एक शब्द,
 * 2) एंडोमोर्फिज्म डीr: औरr→ औरrसंतोषजनक डीr o dr= 0, जिसे सीमा मानचित्र या अंतर कहा जाता है,
 * 3) ई की समरूपताएँr+1उसके साथr), ई की होमोलॉजीrडी के संबंध मेंr.

दोहरे श्रेणीबद्ध वर्णक्रमीय अनुक्रम में ट्रैक रखने के लिए भारी मात्रा में डेटा होता है, लेकिन एक सामान्य विज़ुअलाइज़ेशन तकनीक है जो वर्णक्रमीय अनुक्रम की संरचना को स्पष्ट करती है। हमारे पास तीन सूचकांक हैं, आर, पी, और क्यू। प्रत्येक r के लिए, कल्पना करें कि हमारे पास ग्राफ़ पेपर की एक शीट है। इस शीट पर, हम क्षैतिज दिशा के रूप में p और ऊर्ध्वाधर दिशा के रूप में q लेंगे। प्रत्येक जालक बिंदु पर हमारे पास वस्तु होती है $$E_r^{p,q}$$.

वर्णक्रमीय अनुक्रम में n = p + q का एक अन्य प्राकृतिक सूचकांक होना बहुत आम है। n प्रत्येक शीट पर तिरछे, उत्तर-पश्चिम से दक्षिण-पूर्व तक चलता है। समजात मामले में, अंतरों में द्विघात (-r, r − 1) होता है, इसलिए वे n को एक से कम करते हैं। कोहोमोलॉजिकल मामले में, n एक से बढ़ जाता है। जब r शून्य होता है, तो अंतर वस्तुओं को एक स्थान नीचे या ऊपर ले जाता है। यह एक श्रृंखला परिसर पर अंतर के समान है। जब r एक होता है, तो अंतर वस्तुओं को एक स्थान बाएँ या दाएँ ले जाता है। जब r दो होता है, तो अंतर शतरंज में एक शूरवीर (शतरंज) की चाल की तरह ही वस्तुओं को स्थानांतरित करता है। उच्च आर के लिए, अंतर एक सामान्यीकृत शूरवीर चाल की तरह कार्य करता है।

व्युत्पन्न फ़ैक्टर
मान लीजिए कि हमें दो एबेलियन श्रेणी 'ए' और 'बी' के बीच एक सहसंयोजक बाएं सटीक फ़ंक्शनर एफ: 'ए' → 'बी' दिया गया है। यदि 0 → A → B → C → 0 'A' में एक संक्षिप्त सटीक अनुक्रम है, तो F लगाने से सटीक अनुक्रम 0 → F(A) → F(B) → F(C) प्राप्त होता है और कोई पूछ सकता है कि इसे कैसे जारी रखा जाए एक लंबा सटीक क्रम बनाने के लिए इस क्रम को दाईं ओर रखें। कड़ाई से कहें तो, यह प्रश्न गलत है, क्योंकि किसी दिए गए सटीक अनुक्रम को दाईं ओर जारी रखने के लिए हमेशा कई अलग-अलग तरीके होते हैं। लेकिन यह पता चला है कि (यदि 'ए' काफी अच्छा है) ऐसा करने का एक विहित रूप तरीका है, जो एफ के सही व्युत्पन्न फ़ैक्टर द्वारा दिया गया है। प्रत्येक i≥1 के लिए, एक फ़ैक्टर आर हैiF: 'ए' → 'बी', और उपरोक्त अनुक्रम इस प्रकार जारी रहता है: 0 → एफ(ए) → एफ(बी) → एफ(सी) → आर1F(A) → R1F(B) → R1F(C) → R2F(A) → R2F(B) → ... . इससे हम देखते हैं कि F एक सटीक फ़नकार है यदि और केवल यदि R1एफ = 0; तो एक अर्थ में F के सही व्युत्पन्न फ़ैक्टर मापते हैं कि F सटीक होने से कितनी दूर है।

कार्यात्मकता
टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का एक सतत मानचित्र सभी n के लिए उनके nवें समरूपता समूहों के बीच एक समरूपता को जन्म देता है। बीजगणितीय टोपोलॉजी का यह मूल तथ्य श्रृंखला परिसरों के कुछ गुणों के माध्यम से एक प्राकृतिक व्याख्या पाता है। चूंकि पढ़ाई करना बहुत आम बात है एक साथ कई टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान, होमोलॉजिकल बीजगणित में एक को कई श्रृंखला परिसरों पर एक साथ विचार करने के लिए प्रेरित किया जाता है।

दो श्रृंखला परिसरों के बीच एक 'रूपवाद', $$ F: C_\bullet\to D_\bullet,$$ एबेलियन समूहों की समरूपताओं का एक परिवार है $$F_n: C_n \to D_n$$ जो अंतर के साथ परिवर्तित होता है, इस अर्थ में $$F_{n-1} \circ d_n^C = d_n^D \circ F_n$$ सभी के लिए एन. श्रृंखला परिसरों का एक रूपवाद एक रूपवाद को प्रेरित करता है $$ H_\bullet(F)$$ उनके समरूपता समूहों में समरूपताएं शामिल हैं $$H_n(F) : H_n(C) \to H_n(D)$$ सभी के लिए एन. एक रूपवाद F को 'अर्ध-समरूपतावाद' कहा जाता है यदि यह सभी n के लिए nवें समरूपता पर एक समरूपता उत्पन्न करता है।

बीजगणित और ज्यामिति में उत्पन्न होने वाले श्रृंखला परिसरों के कई निर्माण, जिनमें एकवचन समरूपता भी शामिल है, में निम्नलिखित कार्यात्मकता गुण हैं: यदि दो वस्तुएं एक्स और वाई एक मानचित्र एफ द्वारा जुड़े हुए हैं, तो संबंधित श्रृंखला परिसर एक रूपवाद द्वारा जुड़े हुए हैं $$F=C(f) : C_\bullet(X) \to C_\bullet(Y),$$ और इसके अलावा, रचना $$g\circ f$$ मानचित्रों का f: X → Y और g: Y → Z रूपवाद को प्रेरित करता है $$C(g\circ f): C_\bullet(X) \to C_\bullet(Z)$$ जो रचना से मेल खाता है $$C(g) \circ C(f).$$ यह इस प्रकार है कि होमोलॉजी समूह $$H_\bullet(C)$$ कार्यात्मक भी हैं, ताकि बीजगणितीय या टोपोलॉजिकल वस्तुओं के बीच आकारिकी उनके समरूपता के बीच संगत मानचित्रों को जन्म दे सके।

निम्नलिखित परिभाषा बीजगणित और टोपोलॉजी में एक विशिष्ट स्थिति से उत्पन्न होती है। एक ट्रिपल जिसमें तीन श्रृंखला परिसर होते हैं $$L_\bullet, M_\bullet, N_\bullet$$ और उनके बीच दो आकारिकी, $$f:L_\bullet\to M_\bullet, g: M_\bullet\to N_\bullet,$$ इसे सटीक ट्रिपल, या कॉम्प्लेक्स का संक्षिप्त सटीक अनुक्रम कहा जाता है, और इसे इस प्रकार लिखा जाता है


 * $$ 0 \longrightarrow L_\bullet \overset{f}{\longrightarrow} M_\bullet \overset{g}{\longrightarrow} N_\bullet \longrightarrow 0,$$

यदि किसी n के लिए, अनुक्रम


 * $$ 0 \longrightarrow L_n \overset{f_n}{\longrightarrow} M_n \overset{g_n}{\longrightarrow}

N_n \longrightarrow 0 $$ एबेलियन समूहों का एक संक्षिप्त सटीक क्रम है। परिभाषा के अनुसार, इसका मतलब यह है कि एफn एक इंजेक्शन (गणित) है, जीn एक अनुमान है, और मैं चn= क्योंकि श्रीमानn. होमोलॉजिकल बीजगणित के सबसे बुनियादी प्रमेयों में से एक, जिसे कभी-कभी ज़िगज़ैग लेम्मा के रूप में जाना जाता है, बताता है कि, इस मामले में, होमोलॉजी में एक लंबा सटीक अनुक्रम है


 * $$ \cdots \longrightarrow H_n(L) \overset{H_n(f)}{\longrightarrow} H_n(M) \overset{H_n(g)}{\longrightarrow} H_n(N) \overset{\delta_n}{\longrightarrow} H_{n-1}(L) \overset{H_{n-1}(f)}{\longrightarrow} H_{n-1}(M) \longrightarrow \cdots, $$

जहां एल, एम और एन के होमोलॉजी समूह चक्रीय रूप से एक दूसरे का अनुसरण करते हैं, और δn एफ और जी द्वारा निर्धारित कुछ समरूपताएँ हैं, जिन्हें 'कनेक्टिंग समरूपताएँ' कहा जाता है। इस प्रमेय की टोपोलॉजिकल अभिव्यक्तियों में मेयर-विएटोरिस अनुक्रम और सापेक्ष समरूपता के लिए लंबा सटीक अनुक्रम शामिल है।

मूलभूत पहलू
कोहोलॉजी सिद्धांतों को कई अलग-अलग वस्तुओं के लिए परिभाषित किया गया है जैसे कि टोपोलॉजिकल स्पेस, शीफ (गणित), समूह (गणित), रिंग (गणित), ली बीजगणित, और सी*-बीजगणित। आधुनिक बीजगणितीय ज्यामिति का अध्ययन शीफ़ कोहोमोलोजी के बिना लगभग अकल्पनीय होगा।

होमोलॉजिकल बीजगणित के केंद्र में सटीक अनुक्रम की धारणा है; इनका उपयोग वास्तविक गणना करने के लिए किया जा सकता है। समजात बीजगणित का एक शास्त्रीय उपकरण व्युत्पन्न फ़ंक्टर का है; सबसे बुनियादी उदाहरण फ़ैक्टर, विस्तारक और टोर फ़ैक्टर हैं।

अनुप्रयोगों के विविध सेट को ध्यान में रखते हुए, पूरे विषय को एक समान आधार पर रखने का प्रयास करना स्वाभाविक था। मामला शांत होने से पहले कई प्रयास हुए। एक अनुमानित इतिहास इस प्रकार बताया जा सकता है:


 * हेनरी कर्तन -सैमुअल इलेनबर्ग: अपनी 1956 की पुस्तक होमोलॉजिकल अलजेब्रा में, इन लेखकों ने प्रोजेक्टिव रेजोल्यूशन और इंजेक्टिव रेजोल्यूशन का उपयोग किया।
 * 'तोहोकू': अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक द्वारा ग्रोथेंडिक के तोहोकू पेपर में दृष्टिकोण जो 1957 में तोहोकू गणितीय जर्नल की दूसरी श्रृंखला में एबेलियन श्रेणी अवधारणा (एबेलियन समूहों के शीफ (गणित) को शामिल करने के लिए) का उपयोग करते हुए दिखाई दिया।
 * ग्रोथेंडिक और जीन-लुई वर्डियर की व्युत्पन्न श्रेणी। व्युत्पन्न श्रेणियाँ वर्डियर की 1967 की थीसिस से मिलती जुलती हैं। वे कई आधुनिक सिद्धांतों में प्रयुक्त त्रिकोणीय श्रेणी के उदाहरण हैं।

ये संगणनीयता से व्यापकता की ओर बढ़ते हैं।

कम्प्यूटेशनल स्लेजहैमर सर्वोत्कृष्टता वर्णक्रमीय अनुक्रम है; ये कार्टन-एलेनबर्ग और तोहोकू दृष्टिकोणों में आवश्यक हैं जहां इनकी आवश्यकता होती है, उदाहरण के लिए, दो फ़ैक्टर्स की संरचना के व्युत्पन्न फ़ैक्टर्स की गणना करने के लिए। व्युत्पन्न श्रेणी दृष्टिकोण में वर्णक्रमीय अनुक्रम कम आवश्यक हैं, लेकिन जब भी ठोस गणना आवश्यक होती है तब भी एक भूमिका निभाते हैं।

'नॉन-कम्यूटेटिव' सिद्धांतों पर प्रयास किए गए हैं जो पहले कोहोलॉजी को मरोड़ ्स (गैलोइस कोहोमोलॉजी में महत्वपूर्ण) के रूप में विस्तारित करते हैं।

यह भी देखें

 * अमूर्त बकवास, समजात बीजगणित और श्रेणी सिद्धांत के लिए एक शब्द
 * व्युत्पन्न
 * समस्थानिक बीजगणित
 * समजात बीजगणित विषयों की सूची

संदर्भ

 * Henri Cartan, Samuel Eilenberg, Homological algebra. With an appendix by David A. Buchsbaum. Reprint of the 1956 original. Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1999. xvi+390 pp. ISBN 0-691-04991-2
 * Saunders Mac Lane, Homology. Reprint of the 1975 edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1995. x+422 pp. ISBN 3-540-58662-8
 * Peter Hilton; Stammbach, U. A course in homological algebra. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 4. Springer-Verlag, New York, 1997. xii+364 pp. ISBN 0-387-94823-6
 * Gelfand, Sergei I.; Yuri Manin, Methods of homological algebra. Translated from Russian 1988 edition. Second edition. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2003. xx+372 pp. ISBN 3-540-43583-2
 * Gelfand, Sergei I.; Yuri Manin, Homological algebra. Translated from the 1989 Russian original by the authors. Reprint of the original English edition from the series Encyclopaedia of Mathematical Sciences (Algebra, V, Encyclopaedia Math. Sci., 38, Springer, Berlin, 1994). Springer-Verlag, Berlin, 1999. iv+222 pp. ISBN 3-540-65378-3
 * Gelfand, Sergei I.; Yuri Manin, Homological algebra. Translated from the 1989 Russian original by the authors. Reprint of the original English edition from the series Encyclopaedia of Mathematical Sciences (Algebra, V, Encyclopaedia Math. Sci., 38, Springer, Berlin, 1994). Springer-Verlag, Berlin, 1999. iv+222 pp. ISBN 3-540-65378-3