हीड्रास्टाटिक संतुलन

द्रव यांत्रिकी में, हाइड्रोस्टैटिक संतुलन (हाइड्रोस्टैटिक बैलेंस, हाइड्रोस्टेसी) एक द्रव या प्लास्टिसिटी (भौतिकी) की स्थिति है, जो आराम से ठोस होती है, जो तब होती है जब बाहरी बल, जैसे कि गुरुत्वाकर्षण, एक दबाव-प्रवणता बल द्वारा संतुलित होते हैं। पृथ्वी के ग्रहों की भौतिकी में, दबाव-प्रवण बल गुरुत्वाकर्षण को पृथ्वी के वातावरण को पतले, घने खोल में ढहने से रोकता है, जबकि गुरुत्वाकर्षण दबाव-प्रवणता बल को बाहरी अंतरिक्ष में वातावरण को फैलाने से रोकता है।

द्रवस्थैतिक संतुलन वामनता ग्रहों और छोटे सौर मंडल निकाय के बीच विशिष्ट मानदंड है, और खगोल भौतिकी और ग्रहों के भूविज्ञान में विशेषताएं हैं। संतुलन की उक्त योग्यता इंगित करती है कि वस्तु का आकार सममित रूप से गोल है, अधिकतर घूर्णन के कारण दीर्घवृत्त में जहां किसी भी अनियमित सतह की विशेषताएं अपेक्षाकृत पतली ठोस परत (भूविज्ञान) के परिणामस्वरूप होती हैं। सूर्य के अतिरिक्त, सौर मंडल के गुरुत्वीय रूप से गोल पिंडों की सूची है लगभग एक अंकितन से अधिक संतुलन वस्तुओं की पुष्टि हुई है सौर मंडल में उपस्थित होने के लिए पुष्टि हुई है।

गणितीय विचार
पृथ्वी पर एक हीड्रास्टाटिक द्रव के लिए:
 * $$dP = - \rho(P) \cdot g(h) \cdot dh$$

बल योग से व्युत्पत्ति
न्यूटन के गति के नियम कहते हैं कि द्रव का आयतन जो गति में नहीं है या जो निरंतर वेग की स्थिति में है, उस पर शून्य शुद्ध बल होना चाहिए। इसका कारण यह है कि किसी दिए गए दिशा में बलों का योग विपरीत दिशा में बलों के सामान्य योग द्वारा विरोध किया जाना चाहिए। इस बल संतुलन को हीड्रास्टाटिक संतुलन कहा जाता है।

द्रव को बड़ी संख्या में घनाभ आयतन तत्वों में विभाजित किया जा सकता है; किसी तत्व पर विचार करके द्रव की क्रिया का अनुमान लगाया जा सकता है।

तीन बल हैं: ऊपर तरल पदार्थ के दबाव, P से घनाभ के शीर्ष पर नीचे की ओर बल, दबाव की परिभाषा से है
 * $$F_\text{top} = - P_\text{top} \cdot A$$

इसी प्रकार नीचे के तरल पदार्थ के दाब से ऊपर की ओर धकेलने से आयतन तत्व पर बल लगता है
 * $$F_\text{bottom} = P_\text{bottom} \cdot A$$

अंत में, आयतन तत्व का भार नीचे की ओर बल का कारण बनता है। यदि घनत्व ρ है, आयतन V है और g मानक गुरुत्व है, तो:
 * $$F_\text{weight} = -\rho \cdot g \cdot V$$

इस घनाभ का आयतन ऊपर या नीचे के क्षेत्रफल के गुणा ऊँचाई के सामान्य है - एक घन का आयतन ज्ञात करने का सूत्र।
 * $$F_\text{weight} = -\rho \cdot g \cdot A \cdot h$$

इन बलों को संतुलित करने पर द्रव पर कुल बल होता है
 * $$\sum F = F_\text{bottom} + F_\text{top} + F_\text{weight} = P_\text{bottom} \cdot A - P_\text{top} \cdot A - \rho \cdot g \cdot A \cdot h$$

यदि द्रव का वेग स्थिर है तो यह योग शून्य के सामान्य होता है। A द्वारा विभाजित करना,
 * $$0 = P_\text{bottom} - P_\text{top} - \rho \cdot g \cdot h$$

या,
 * $$P_\text{top} - P_\text{bottom} = - \rho \cdot g \cdot h$$

Ptop - Pbottom दबाव में बदलाव है, और h आयतन तत्व की ऊंचाई है—समतल से ऊपर की दूरी में बदलाव। यह कहकर कि ये परिवर्तन असीम रूप से छोटे हैं, समीकरण को अवकल समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है।
 * $$dP = - \rho \cdot g \cdot dh$$

घनत्व दबाव के साथ बदलता है, और गुरुत्वाकर्षण ऊंचाई के साथ बदलता है, इसलिए समीकरण होगा:
 * $$dP = - \rho(P) \cdot g(h) \cdot dh$$

नेवियर-स्टोक्स समीकरण से व्युत्पत्ति
अंत में ध्यान दें कि यह अंतिम समीकरण संतुलन स्थिति के लिए त्रि-आयामी नेवियर-स्टोक्स समीकरणों को हल करके प्राप्त किया जा सकता है जहां
 * $$u=v=\frac{\partial p}{\partial x}=\frac{\partial p}{\partial y}=0$$

तब केवल गैर-तुच्छ समीकरण है $$z$$-समीकरण, जो अब पढ़ता है
 * $$\frac{\partial p}{\partial z}+\rho g=0$$

इस प्रकार, हाइड्रोस्टेटिक संतुलन को नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के विशेष रूप से सरल संतुलन समाधान के रूप में माना जा सकता है।

सामान्य सापेक्षता से व्युत्पत्ति
एक पूर्ण तरल पदार्थ के लिए ऊर्जा-संवेग टेंसर को प्लग करके
 * $$T^{\mu\nu}=(\rho c^{-2}+P)u^\mu u^\nu+Pg^{\mu\nu}$$

आइंस्टीन क्षेत्र के समीकरणों में
 * $$R_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}\left(T_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}T\right)$$

और संरक्षण की स्थिति का उपयोग करना
 * $$\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$$

आइसोट्रोपिक निर्देशांक में स्थिर, गोलाकार रूप से सममित सापेक्षतावादी स्टार की संरचना के लिए टोलमैन-ओपेनहाइमर-वोल्कॉफ़ समीकरण प्राप्त कर सकते हैं:
 * $$\frac{dP}{dr}=-\frac{G M(r)\rho(r)}{r^2}\left(1+\frac{P(r)}{\rho(r)c^2}\right)\left(1+\frac{4\pi r^3P(r)}{M(r)c^2}\right)\left(1-\frac{2GM(r)}{r c^2}\right)^{-1}$$

व्यवहार में, Ρ और ρ, f(Ρ,ρ) = 0 के रूप की स्थिति के समीकरण से संबंधित हैं, जिसमें f विशिष्ट रूप से स्टार के मेकअप के लिए है। एम (आर) द्रव्यमान घनत्व ρ (आर) द्वारा भारित गोलाकारों का एक फोलिएशन है, जिसमें त्रिज्या आर वाला सबसे बड़ा क्षेत्र है:
 * $$M(r)=4\pi\int_0^r dr' r'^2\rho(r').$$

गैर-सापेक्षतावादी सीमा लेने में मानक प्रक्रिया के अनुसार, हम c→∞ देते हैं,जिससे कारक


 * $$\left(1+\frac{P(r)}{\rho(r)c^2}\right)\left(1+\frac{4\pi r^3P(r)}{M(r)c^2}\right)\left(1-\frac{2GM(r)}{r c^2} \right)^{-1} \rightarrow 1$$

इसलिए, गैर-सापेक्षतावादी सीमा में टोलमैन-ओपेनहाइमर-वोल्कॉफ़ समीकरण न्यूटन के हाइड्रोस्टेटिक संतुलन को कम कर देता है:
 * $$\frac{dP}{dr}=-\frac{GM(r)\rho(r)}{r^2}=-g(r)\,\rho(r)\longrightarrow dP = - \rho(h)\,g(h)\, dh$$

(हमने तुच्छ अंकन परिवर्तन h = r किया है और p के संदर्भ में ρ को व्यक्त करने के लिए f(Ρ,ρ) = 0 का उपयोग किया है)। घूर्णन, अक्षीय रूप से सममित सितारों के लिए एक समान समीकरण की गणना की जा सकती है, जो इसके गेज स्वतंत्र रूप में पढ़ता है:
 * $$\frac{\partial_i P}{P+\rho} - \partial_i \ln u^t + u_t u^\varphi\partial_i\frac{u_\varphi}{u_t}=0$$
 * टीओवी संतुलन समीकरण के विपरीत, ये दो समीकरण हैं (उदाहरण के लिए, यदि सामान्य रूप से सितारों का इलाज करते समय, कोई गोलाकार निर्देशांक को आधार निर्देशांक के रूप में चुनता है $$(t,r,\theta,\varphi)$$, सूचकांक i निर्देशांक r और $$\theta$$ के लिए चलता है )

तरल पदार्थ
हाइड्रोस्टैटिक संतुलन हीड्रास्टाटिक्स और तरल संतुलन के सिद्धांत से संबंधित है। द्रवस्थैतिक तुला पानी में पदार्थों को तोलने के लिए एक विशेष तुला है। हीड्रास्टाटिक संतुलन उनके विशिष्ट गुरुत्व की खोज (अवलोकन) की अनुमति देता है। यह संतुलन सख्ती से प्रयुक्त होता है जब आदर्श द्रव स्थिर क्षैतिज लामिनार प्रवाह में होता है, और जब कोई द्रव आराम पर या स्थिर गति से ऊर्ध्वाधर गति में होता है। यह संतोषजनक सन्निकटन भी हो सकता है जब प्रवाह की गति इतनी कम हो कि त्वरण नगण्य हो सकता है।

खगोल भौतिकी
किसी तारे की किसी भी परत में, नीचे से बाहरी तापीय दबाव और अंदर की ओर दबाने वाली सामग्री के वजन के बीच हाइड्रोस्टेटिक संतुलन होता है। समदैशिक गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र तारे को सबसे अधिक संभव कॉम्पैक्ट आकार में संकुचित करता है। जलस्थैतिक संतुलन में एक घूमता हुआ तारा एक निश्चित (महत्वपूर्ण) कोणीय वेग तक एक चपटा गोलाभ है। इस घटना का चरम उदाहरण तारा वेगा है, जिसकी घूर्णन अवधि 12.5 घंटे है। परिणाम स्वरुप, ध्रुवों की तुलना में भूमध्य रेखा पर वेगा लगभग 20% बड़ा है। क्रांतिक कोणीय वेग से ऊपर कोणीय वेग वाला एक तारा जैकोबी जैकोबी (स्केलेन) दीर्घवृत्ताभ बन जाता है, और इससे भी तेज घूर्णन पर यह दीर्घवृत्ताभ नहीं रह जाता है, किंतु विक्ट: पाइरीफॉर्म या अंडाकार होता है, इसके अतिरिक्त अन्य आकार होते हैं, चूंकि स्केलीन से परे आकार स्थिर नहीं हैं।

यदि तारे के पास एक विशाल पास की साथी वस्तु है, तो ज्वारीय बल खेल में आ जाते हैं और साथ ही तारे को एक विषम आकार में विकृत कर देते हैं, जब अकेले घूमने से यह एक गोलाकार बन जाता है। इसका एक उदाहरण बीटा लाइरा है।

इंट्राक्लस्टर माध्यम के लिए हाइड्रोस्टेटिक संतुलन भी महत्वपूर्ण है, जहां यह तरल पदार्थ की मात्रा को प्रतिबंधित करता है जो आकाशगंगाओं के समूह के मूल में उपस्थित हो सकता है।

हम आकाशगंगाओं के समूहों में गहरे द्रव्य के वेग फैलाव का अनुमान लगाने के लिए हाइड्रोस्टेटिक संतुलन के सिद्धांत का भी उपयोग कर सकते हैं। केवल बैरोनिक पदार्थ (या, किंतु, इसके टकराव) एक्स-रे विकिरण का उत्सर्जन करते हैं। प्रति इकाई आयतन $$\mathcal{L}_X=\Lambda(T_B)\rho_B^2$$ में पूर्ण एक्स-रे चमक रूप लेती है जहाँ $$T_B$$ और $$\rho_B$$ बैरोनिक पदार्थ का तापमान और घनत्व हैं, और $$\Lambda(T)$$ तापमान और मौलिक स्थिरांक का कुछ कार्य है। बायरोनिक घनत्व उपरोक्त समीकरण $$dP=-\rho gdr$$ को संतुष्ट करता है :
 * $$p_B(r+dr)-p_B(r)=-dr\frac{\rho_B(r)G}{r^2}\int_0^r 4\pi r^2\,\rho_M(r)\, dr.$$

अविभाज्य, क्लस्टर के कुल द्रव्यमान का माप है जिसमे $$r$$ क्लस्टर के केंद्र के लिए उचित दूरी है । आदर्श गैस नियम $p_B=kT_B\rho_B/m_B$ ($k$ बोल्ट्जमैन का स्थिरांक है और $$m_B$$ बैरोनिक गैस कणों का विशिष्ट द्रव्यमान है) और पुनर्व्यवस्थित करते हुए, हम पहुंचते हैं
 * $$\frac{d}{dr}\left(\frac{kT_B(r)\rho_B(r)}{m_B}\right)=-\frac{\rho_B(r)G}{r^2}\int_0^r 4\pi r^2\,\rho_M(r)\, dr.$$

$$r^2/\rho_B(r)$$ से गुणा करना और $$r$$ उत्पन्न संबंध में अंतर करना
 * $$\frac{d}{dr}\left[\frac{r^2}{\rho_B(r)}\frac{d}{dr}\left(\frac{kT_B(r)\rho_B(r)}{m_B}\right)\right]=-4\pi Gr^2\rho_M(r).$$

यदि हम यह मान लें कि ठंडे काले पदार्थ के कणों का एक आइसोट्रोपिक वेग वितरण है, तो वही व्युत्पत्ति इन कणों और उनके घनत्व पर प्रयुक्त होती है। $$\rho_D=\rho_M-\rho_B$$ अरैखिक अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है
 * $$\frac{d}{dr}\left[\frac{r^2}{\rho_D(r)}\frac{d}{dr}\left(\frac{kT_D(r)\rho_D(r)}{m_D}\right)\right]=-4\pi Gr^2\rho_M(r).$$

सही एक्स-रे और दूरी डेटा के साथ, हम क्लस्टर में प्रत्येक बिंदु पर बेरोन घनत्व की गणना कर सकते हैं और इस प्रकार डार्क मैटर घनत्व तब हम डार्क मैटर के वेग फैलाव $$\sigma^2_D$$की गणना कर सकते हैं जो निम्न द्वारा दिया गया है
 * $$\sigma^2_D=\frac{kT_D}{m_D}.$$
 * केंद्रीय घनत्व अनुपात $$\rho_B(0)/\rho_M(0)$$ क्लस्टर के रेडशिफ्ट $$z$$ पर निर्भर है और इसके द्वारा दिया जाता है
 * $$\rho_B(0)/\rho_M(0)\propto (1+z)^2\left(\frac{\theta}{s}\right)^{3/2}$$
 * जहाँ $$\theta$$ क्लस्टर की कोणीय चौड़ाई है और $$s$$ क्लस्टर की उचित दूरी। विभिन्न सर्वेक्षणों के लिए अनुपात का मान .11 से .14 तक होता है।

ग्रहीय भूविज्ञान
हाइड्रोस्टैटिक संतुलन की अवधारणा यह निर्धारित करने में भी महत्वपूर्ण हो गई है कि क्या एक खगोलीय वस्तु एक ग्रह, वामनता ग्रह या छोटा सौर मंडल पिंड है। 2006 में अंतर्राष्ट्रीय खगोलीय संघ द्वारा अपनाई गई ग्रह की परिभाषा के अनुसार, ग्रहों और वामनता ग्रहों की परिभाषित विशेषता यह है कि वे ऐसे पिंड हैं जिनमें अपनी कठोरता को दूर करने के लिए पर्याप्त गुरुत्व है और जलस्थैतिक संतुलन ग्रहण करते हैं। इस तरह के निकाय में अधिकांशतः एक विश्व (एक स्तर) का विभेदित आंतरिक और भूविज्ञान होगा, चूंकि निकट-हाइड्रोस्टेटिक या पूर्व हाइड्रोस्टेटिक निकाय जैसे कि प्रोटो-प्लैनेट 4 वेस्टा को भी विभेदित किया जा सकता है और कुछ हाइड्रोस्टेटिक निकाय (विशेष रूप से कैलिस्टो (चंद्रमा)) उनके गठन के बाद से पूरी तरह से अंतर नहीं किया है। अधिकांशतः संतुलन का आकार चपटा गोलाकार होता है, जैसा कि पृथ्वी के स्थिति में होता है। चूंकि, तुल्यकालिक कक्षा में चंद्रमा के स्थिति में, लगभग दिशाहीन ज्वारीय बल एक विषमबाहु दीर्घवृत्त बनाते हैं। इसके अतिरिक्त, कथित वामनता ग्रह इसके तीव्र घूर्णन के कारण विषम है, चूंकि यह वर्तमान में संतुलन में नहीं हो सकता है।

पहले माना जाता था कि चट्टानी वस्तुओं की तुलना में शीत पदार्थ को हाइड्रोस्टेटिक संतुलन प्राप्त करने के लिए कम द्रव्यमान की आवश्यकता होती है। सबसे छोटी वस्तु जो संतुलन आकार की प्रतीत होती है, 396 किमी पर शीत चंद्रमा मीमास (चंद्रमा)चंद्रमा) है, जबकि स्पष्ट रूप से गैर-संतुलन आकार वाली सबसे बड़ी बर्फीली वस्तु 420 किमी पर शीत चंद्रमा प्रोटीस (चंद्रमा)) है, और स्पष्ट रूप से गैर-संतुलन आकार में सबसे बड़े चट्टानी पिंड लगभग 520 किमी पर क्षुद्रग्रह 2 पलास और 4 वेस्टा हैं। चूंकि, मीमास वास्तव में अपने वर्तमान घूर्णन के लिए हाइड्रोस्टेटिक संतुलन में नहीं है। हाइड्रोस्टेटिक संतुलन में होने की पुष्टि करने वाला सबसे छोटा पिंड वामनता ग्रह सेरेस (वामनता ग्रह) है, जो 945 किमी पर शीत है, जबकि हाइड्रोस्टेटिक संतुलन से ध्यान देने योग्य विचलन वाला सबसे बड़ा ज्ञात पिंड इपेटस (चंद्रमा) है जो अधिकतर पारगम्य पदार्थों से बना है शीत और लगभग कोई चट्टान नहीं है । 1,469 किमी पर इपेटस न तो गोलाकार है और न ही दीर्घवृत्ताकार है। इस के अतिरिक्त, इपेटस पर अपने अद्वितीय भूमध्यरेखीय रिज के कारण यह विचित्र अखरोट जैसी आकृति में है। कुछ शीत पिंड कम से कम आंशिक रूप से एक उपसतह महासागर के कारण संतुलन में हो सकते हैं, जो आईएयू द्वारा उपयोग किए जाने वाले संतुलन की परिभाषा नहीं है (गुरुत्वाकर्षण आंतरिक कठोर-निकाय बलों पर नियंत्रण पाता जाता है)। यहां तक ​​कि बड़े पिंड भी हाइड्रोस्टेटिक संतुलन से विचलित हो जाते हैं, चूंकि वे दीर्घवृत्ताकार होते हैं: उदाहरण हैं पृथ्वी का चंद्रमा 3,474 किमी (अधिकतर चट्टान), और 4,880 किमी (अधिकतर धातु) पर बुध (ग्रह) है ।

ठोस निकायों में अनियमित सतहें होती हैं, किन्तु स्थानीय अनियमितताएं वैश्विक संतुलन के अनुरूप हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, सबसे ऊंचे का विशाल आधार पृथ्वी पर पहाड़, सफेद पहाड़ी, ने आसपास की पपड़ी के स्तर को विकृत और उदास कर दिया है, जिससे द्रव्यमान का समग्र वितरण संतुलन के समीप पहुंच गया है।

वायुमंडलीय मॉडलिंग
वायुमण्डल में ऊँचाई के साथ वायुदाब घटता जाता है। यह दबाव अंतर एक ऊर्ध्वगामी बल का कारण बनता है जिसे दबाव-प्रवणता बल कहा जाता है। गुरुत्वाकर्षण बल इसे संतुलित करता है, वातावरण को पृथ्वी से बांधे रखता है और ऊंचाई के साथ दबाव के अंतर को बनाए रखता है।

रत्न विज्ञान
जेमोलॉजिस्ट रत्नों के विशिष्ट गुरुत्व को निर्धारित करने के लिए हाइड्रोस्टेटिक संतुलन का उपयोग करते हैं। एक रत्न विशेषज्ञरत्न के लिए जानकारी की मानकीकृत सूची के साथ एक हाइड्रोस्टेटिक संतुलन के साथ देखे जाने वाले विशिष्ट गुरुत्व की तुलना कर सकता है, जिससे उन्हें परीक्षा के अनुसार रत्न की पहचान या प्रकार को कम करने में सहायता मिलती है।

यह भी देखें

 * सौर मंडल की गुरुत्वीय गोल वस्तुओं की सूची; वस्तुओं की सूची जो अपने स्वयं के गुरुत्वाकर्षण के कारण एक गोल, दीर्घवृत्ताकार आकार की होती है (किन्तु आवश्यक नहीं कि वे हाइड्रोस्टेटिक संतुलन में होंगे)
 * स्थिति-विज्ञान
 * दो-गुब्बारे का प्रयोग

बाहरी संबंध

 * Strobel, Nick. (May, 2001). Nick Strobel's Astronomy Notes.
 * by Richard Pogge, Ohio State University, Department of Astronomy