टैक्सीकैब ज्यामिति

टेक्सीकैब ज्यामिति या मैनहटन ज्यामिति ऐसी ज्यामिति है। जिसकी सामान्य दूरी का कार्य या यूक्लिडियन ज्यामिति की मापीय (गणित) को नए मापीय से परिवर्तित किया जाता है। जिसमें दो बिंदुओं के मध्य की दूरी उनके कार्टेशियन निर्देशांक के पूर्ण अंतर का योग होता है। टेक्सीकैब मापीय को सीधी रेखीय दूरी, एल1 दूरी या $$\ell_1$$ के रूप में भी जाना जाता है। मानदंड (एलपी रिक्त स्थान देखें।), सांप (वीडियो गेम) दूरी, शहर ब्लॉक दूरी, मैनहट्टन दूरी या मैनहट्टन लंबाई होती है। अतः बाद वाले नाम मैनहट्टन द्वीप पर सीधी रेखीय पथ के विन्यास को संदर्भित करते हैं। जहां दो बिंदुओं के मध्य टैक्सी यात्रा करने वाला सबसे छोटा पथ और पथों पर यात्रा करने वाली दूरी के पूर्ण मूल्यों का योग है।

18वीं शताब्दी से प्रतिगमन विश्लेषण में ज्यामिति का उपयोग किया जाता रहा है और इसे अधिकांशतः लासो (सांख्यिकी) के रूप में संदर्भित किया जाता है। ज्यामितीय व्याख्या 19वीं शताब्दी के गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति की है और यह हरमन मिन्कोव्स्की के कारण है।

इसमें $$\mathbb{R}^2 $$, दो बिंदुओं के मध्य टैक्सीकैब की दूरी $$(x_1, y_1)$$ और $$(x_2, y_2)$$ है। चूँकि $$\left|x_1 - x_2\right| + \left|y_1 - y_2\right|$$ अर्थात्, यह दोनों निर्देशांकों में अंतरों के निरपेक्ष मूल्यों का योग है।

औपचारिक परिभाषा
टैक्सी की दूरी, $$d_\text{T}$$, दो सदिश के मध्य $$\mathbf{p} = (p_1, p_2, \dots, p_n) \text{ and } \mathbf{q} = (q_1, q_2, \dots, q_n)$$ निश्चित कार्तीय समन्वय प्रणाली के साथ एन-आयामी वास्तविक संख्या सदिश स्थान में, समन्वय अक्षों पर बिंदुओं के मध्य रेखा खंड के अनुमानों की लंबाई का योग है। अतः अधिक औपचारिक रूप से,$$d_\text{T}(\mathbf{p}, \mathbf{q}) = \left\|\mathbf{p} - \mathbf{q}\right\|_\text{T} = \sum_{i=1}^n \left|p_i - q_i\right|$$उदाहरण के लिए, $$\mathbb{R}^2 $$ में, टैक्सीकैब के मध्य की दूरी $$\mathbf{p} = (p_1,p_2)$$ और $$\mathbf{q} = (q_1,q_2)$$ है $$\left| p_1 - q_1 \right| + \left| p_2 - q_2 \right|.$$

इतिहास
सन्न 1757 में रोजर जोसेफ बोस्कोविच द्वारा प्रतिगमन विश्लेषण में एल1 मापीय का उपयोग किया गया था। ज्यामितीय व्याख्या 19वीं शताब्दी के उत्तरार्ध और गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के विकास की तिथि है। अतः विशेष रूप से हरमन मिंकोव्स्की और उनकी मिंकोव्स्की असमानता द्वारा, जिनमें से यह ज्यामिति विशेष स्थिति है। विशेष रूप से संख्याओं की ज्यामिति में उपयोग की जाती है।  जिसके द्वारा एलपी रिक्त स्थान की औपचारिकता का श्रेय  को दिया जाता है।

गुण
टैक्सीकैब की दूरी समन्वय प्रणाली के रोटेशन पर निर्भर करती है। किन्तु समन्वय अक्ष या इसके अनुवाद (ज्यामिति) के बारे में इसके प्रतिबिंब (गणित) पर निर्भर नहीं करती है। टेक्सीकैब ज्यामिति हिल्बर्ट के स्वयंसिद्धों (यूक्लिडियन ज्यामिति का औपचारिककरण) को पार्श्व-कोण-पार्श्व सर्वांगसमता (ज्यामिति) को छोड़कर सभी को संतुष्ट करती है। चूँकि समान रूप से लंबी दो भुजाओं वाले दो त्रिभुज और उनके मध्य समान कोण सामान्यतः सर्वांगसम नहीं होते हैं। जब तक कि उल्लेखित भुजाएँ समानांतर नही होती है।

बॉल्स
गेंद (गणित) निश्चित दूरी के साथ बिंदुओं का समूह है। जिसे त्रिज्या कहा जाता है। बिंदु जिसे केंद्र (ज्यामिति) कहा जाता है। एन-आयामी यूक्लिडियन ज्यामिति में, गेंदें गोलाकार हैं। टैक्सीकैब ज्यामिति में, यूक्लिडियन ज्यामिति की तुलना में दूरी भिन्न मापीय द्वारा निर्धारित की जाती है और गेंद का आकार भी परिवर्तित हो जाता है। चूँकि एन आयामों में, टैक्सीकैब गेंद एन-आयामी ऑर्थोप्लेक्स के आकार में होती है। अतः दो आयामों में, ये वर्गाकार (ज्यामिति) होते हैं। जिनकी भुजाएँ निर्देशांक अक्षों से 45° के कोण पर उन्मुख होती हैं। जो नीले रंग में दिखाए गए केंद्र से निश्चित दूरी के साथ सभी बिंदुओं के समूह को लाल रंग में दिखाकर दाईं ओर की छवि दिखाती है कि यह सच क्यों है। जैसे-जैसे शहर के ब्लॉक का आकार कम होता जाता है। वैसे ही अंक और अधिक होते जाते हैं। अतः यह निरंतर टैक्सीकेब ज्यामिति में घुमाया हुआ वर्ग बन जाता है। जबकि प्रत्येक पक्ष की लंबाई $$\sqrt{2}r$$ होती है। जो यूक्लिडियन मापीय का उपयोग करते हुए किया जाता है। जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है। टेक्सीकैब ज्यामिति में इसकी लंबाई 2r है। अत: वृत्त की परिधि 8r है। इस प्रकार, $$\pi $$ के ज्यामितीय अनुरूप का मान इस ज्यामिति में 4 है। टेक्सीकैब ज्यामिति में यूनिट वृत्त का सूत्र $$|x| + |y| = 1$$ है। कार्तीय निर्देशांक में,$$r = \frac{1}{\left| \sin \theta\right| + \left|\cos\theta\right|}$$ध्रुवीय निर्देशांक में।

त्रिज्या 1 का वृत्त (इस दूरी का उपयोग करके) इसके केंद्र का वॉन न्यूमैन समीप है।

इस समतल पर चेबीशेव दूरी (एल∞ मापीय) के लिए त्रिज्या r का वृत्त भी वर्ग है। जिसकी भुजा लंबाई 2r समन्वय अक्षों के समानांतर है। अतः प्लानर चेबिशेव दूरी को रोटेशन और स्केलिंग द्वारा प्लानर टैक्सीकैब दूरी के समान्तर देखा जा सकता है। चूंकि, एल1 और एल∞ मापीय के मध्य यह समानता उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत नहीं होती हैं।

जब भी इन मंडलियों के संग्रह में प्रत्येक जोड़ी में गैर-रिक्त चौराहा होता है। तब पूर्ण संग्रह के लिए प्रतिच्छेदन बिंदु उपस्तिथ होता है। चूँकि, मैनहटन दूरी अंतःक्षेपी मापीय स्थान बनाती है।

चाप की लंबाई
सामान्यतः $$y = f(x)$$ में निरंतर भिन्न कार्य होते है। $$\mathbb{R}^2$$ होने देना $$s $$ द्वारा परिभाषित प्लानर वक्र की टैक्सीकैब चाप लंबाई होती है। जिसमे $$f$$ किसी अंतराल पर $$[a,b] $$ फिर टैक्सी की लंबाई $$i^{\text{th}}$$ चाप का अतिसूक्ष्म विभाजन (संख्या सिद्धांत) $$\Delta s_i$$ द्वारा दिया गया है।

$$\Delta s_i = \Delta x_i + \Delta y_i = \Delta x_i+ |f(x_i) - f(x_{i-1})|$$

औसत मूल्य प्रमेय के अनुसार, कुछ बिंदु उपस्तिथ हैं $$x^*_i$$ मध्य में $$x_i $$ और $$x_{i-1} $$ऐसा है कि $$f(x_i) - f(x_{i-1}) = f'(x^*_i)dx_i$$.

$$\Delta s_i = \Delta x_i + |f'(x^*_i)|\Delta x_i = \Delta x_i(1+|f'(x^*_i)|)$$ तब $$s $$ के प्रत्येक विभाजन के योग के रूप में दिया जाता है। $$[a,b]$$ चूँकि वह अनैतिक रूप से बड़े हो जाते हैं।$$\begin{align} s &= \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \Delta x_i(1+|f'(x^*_i)|) \\ & = \int_{a}^{b} 1+|f'(x)| \,dx \end{align} $$ इसे टेस्ट करने के लिए रेडियस का टेक्सीकैब वृत्त ले सकते है अतः $$r $$ मूल पर केन्द्रित है। प्रथम चतुर्थांश (समतल ज्यामिति) में इसका वक्र किसके द्वारा दिया गया है। जिसकी लंबाई $$f(x)=-x+r $$ है।

$$s = \int_{0}^{r} 1+|-1|dx = 2r $$

इस मान को गुणा करके $$4 $$ शेष चतुर्भुजों के लिए $$8r $$ खाता देता है। जो टैक्सीकैब वृत्त की परिधि से सहमत है। अब त्रिज्या के यूक्लिडियन ज्यामिति वृत्त को लें सकते है। $$r $$ मूल पर केंद्रित है। जो $$f(x) = \sqrt{r^2-x^2} $$ द्वारा दिया गया है। प्रथम चतुर्थांश में इसकी चाप की लंबाई द्वारा दिया गया है।

$$\begin{align} s &= \int_{0}^{r} 1+|x\sqrt{r^2-x^2}|dx\\ &= x+\sqrt{r^2-x^2} \bigg|^{r}_{0}\\ &= r-(-r)\\ &= 2r

\end{align} $$ शेष चतुर्भुजों के लिए लेखांकन देता है। $$4 \times 2r = 8r $$ पुनः देता है। अतः, टैक्सीकैब मापीय स्थान में टैक्सीकैब वृत्त और यूक्लिडियन ज्यामिति वृत्त की परिधि समान्तर है। जिस कारण, किसी भी फंक्शन के लिए $$f$$ यह अंतराल पर निरंतर व्युत्पन्न के साथ मोनोटोनिक और अवकलनीय कार्य है। $$[a,b]$$, चाप की लंबाई $$f$$ ऊपर $$[a, b]$$ है। $$(b-a) + \mid f(b)-f(a) \mid$$.

त्रिभुज सर्वांगसमता
सामान्यतः दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं। यदि तीन संगत भुजाएँ दूरी में समान्तर होते है और तीन संगत कोण माप में समान्तर होते है। ऐसे कई प्रमेय हैं जो यूक्लिडियन ज्यामिति में सर्वांगसमता (ज्यामिति) की गारंटी देते हैं। जैसे कोण-कोण-पक्ष (AAS), कोण-पार्श्व-कोण (ASA), पार्श्व-कोण-पक्ष (SAS) और पार्श्व-पक्ष-पक्ष (SSS) इत्यादि। टैक्सिकैब ज्यामिति में, चूँकि, केवल SASAS त्रिभुज सर्वांगसमता की गारंटी देता है।

उदाहरण के लिए, दो समद्विबाहु टैक्सीकैब त्रिभुज लेंते है। जिनके कोण 45-90-45 मापते हैं। दोनों त्रिभुजों के दो पादों की करलंबाई 2 है। किन्तु कर्ण सर्वांगसम नहीं हैं। यह प्रति उदाहरण एएएस, एएसए और एसएएस को हटा देता है। यह AASS, AAAS और यहां तक ​​कि ASASA को भी हटा देता है। तीन सर्वांगसम कोणों और दो भुजाओं का होना टेक्सीकैब ज्यामिति में त्रिभुज सर्वांगसमता की गारंटी नहीं देता है। इसलिए, टैक्सिकैब ज्यामिति में एकमात्र त्रिभुज सर्वांगसमता प्रमेय SASAS है। जहां तीनों संगत भुजाएं सर्वांगसम होनी चाहिए और कम से कम दो संगत कोण सर्वांगसम होने चाहिए। यह परिणाम मुख्य रूप से इस तथ्य के कारण है कि रेखा खंड की लंबाई टेक्सीकैब ज्यामिति में इसके अभिविन्यास पर निर्भर करती है।

संकुचित संवेदन
रेखीय समीकरणों की कम निर्धारित प्रणाली को हल करने में, पैरामीटर सदिश के लिए नियमितीकरण (गणित) शब्द के रूप में व्यक्त किया जाता है $$\ell_1$$ सदिश का मानदंड (टैक्सीकैब ज्यामिति) होता है। यह दृष्टिकोण पुनर्प्राप्ति संकेत संरचना में दिखाई देता है। जिसे संकुचित संवेदन कहा जाता है।

आवृत्ति वितरण के अंतर
टैक्सिकैब ज्यामिति का उपयोग असतत आवृत्ति वितरण में अंतर का आकलन करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, हेक्सामर के आरएनए स्पिलिंग स्थितीय वितरण में, जो ब्याह स्थल के पास प्रत्येक दिए गए न्यूक्लियोटाइड पर दिखाई देने वाले प्रत्येक हेक्सामर की संभावना की साजिश करते हैं। जो की तुलना L1-दूरी से की जा सकती है। प्रत्येक स्थिति वितरण को सदिश के रूप में दर्शाया जा सकता है। जहां प्रत्येक प्रविष्टि निश्चित न्यूक्लियोटाइड पर प्रारंभ होने वाले हेक्सामर की संभावना का प्रतिनिधित्व करती है। दो सदिशों के मध्य बड़ी L1-दूरी वितरण की प्रकृति में महत्वपूर्ण अंतर को इंगित करती है। जबकि छोटी दूरी समान आकार के वितरण को दर्शाती है। यह दो वितरण वक्रों के मध्य के क्षेत्र को मापने के समान्तर है। अतः प्रत्येक खंड का क्षेत्रफल उस बिंदु पर दो वक्रों की संभावना के मध्य पूर्ण अंतर है। जब सभी खंडों को साथ जोड़ा जाता है। तो यह L1-दूरी के समान माप प्रदान करता है।