वोइग्ट प्रोफ़ाइल

वोइग्ट प्रोफाइल (वोल्डेमर वोइगट के नाम पर) एक संभावना वितरण है जो कॉची वितरण | कॉची-लोरेंत्ज़ वितरण और एक सामान्य वितरण के कनवल्शन द्वारा दिया गया है। यह अक्सर स्पेक्ट्रोस्कोपी या विवर्तन से डेटा का विश्लेषण करने में प्रयोग किया जाता है।

परिभाषा
व्यापकता के नुकसान के बिना, हम केवल केंद्रित प्रोफाइल पर विचार कर सकते हैं, जो शून्य पर चरम पर है। Voigt प्रोफ़ाइल तब है

V(x;\sigma,\gamma) \equiv \int_{-\infty}^\infty G(x';\sigma)L(x-x';\gamma)\, dx', $$ जहाँ x लाइन सेंटर से शिफ्ट है, $$G(x;\sigma)$$ केंद्रित गाऊसी प्रोफ़ाइल है:



G(x;\sigma) \equiv \frac{e^{-x^2/(2\sigma^2)}}{\sigma \sqrt{2\pi}}, $$ और $$L(x;\gamma)$$ केंद्रित लोरेंट्ज़ियन प्रोफ़ाइल है:



L(x;\gamma) \equiv \frac{\gamma}{\pi(x^2+\gamma^2)}. $$ परिभाषित अभिन्न का मूल्यांकन इस प्रकार किया जा सकता है:



V(x;\sigma,\gamma)=\frac{\operatorname{Re}[w(z)]}{\sigma\sqrt{2 \pi}}, $$ जहां Re[w(z)] Faddeeva फ़ंक्शन का वास्तविक भाग है जिसका मूल्यांकन किया गया है

z=\frac{x+i\gamma}{\sigma\sqrt{2}}. $$ के सीमित मामलों में $$\sigma=0$$ और $$ \gamma =0 $$ तब $$ V(x;\sigma,\gamma) $$ को सरल करता है $$L(x;\gamma)$$ और $$G(x;\sigma)$$, क्रमश।

इतिहास और अनुप्रयोग
स्पेक्ट्रोस्कोपी में, एक वोइग्ट प्रोफ़ाइल दो व्यापक तंत्रों के संयोजन से उत्पन्न होती है, जिनमें से एक अकेले गॉसियन प्रोफ़ाइल (आमतौर पर, डॉपलर विस्तार के परिणामस्वरूप) का उत्पादन करती है, और दूसरा एक लोरेंत्ज़ियन प्रोफ़ाइल का उत्पादन करती है। स्पेक्ट्रोस्कोपी और पाउडर विवर्तन की कई शाखाओं में Voigt प्रोफाइल आम हैं। Faddeeva फ़ंक्शन की गणना के खर्च के कारण, Voigt प्रोफ़ाइल को कभी-कभी छद्म-Voigt प्रोफ़ाइल का उपयोग करके अनुमानित किया जाता है।

गुण
Voigt प्रोफ़ाइल सामान्यीकृत है:

\int_{-\infty}^\infty V(x;\sigma,\gamma)\,dx = 1, $$ चूंकि यह सामान्यीकृत प्रोफाइल का कनवल्शन है। लोरेंत्ज़ियन प्रोफ़ाइल में कोई क्षण नहीं है (ज़ीरोथ के अलावा), और इसलिए कॉची वितरण के लिए क्षण-उत्पन्न करने वाला फ़ंक्शन परिभाषित नहीं है। यह इस प्रकार है कि Voigt प्रोफ़ाइल में एक क्षण-उत्पन्न कार्य नहीं होगा, लेकिन कॉची वितरण के लिए विशिष्ट कार्य (संभाव्यता सिद्धांत) अच्छी तरह से परिभाषित है, जैसा कि सामान्य वितरण के लिए विशिष्ट कार्य है। (केंद्रित) Voigt प्रोफ़ाइल के लिए विशेषता कार्य (संभाव्यता सिद्धांत) तब दो का उत्पाद होगा:



\varphi_f(t;\sigma,\gamma) = E(e^{ixt}) = e^{-\sigma^2t^2/2 - \gamma |t|}. $$ चूंकि सामान्य वितरण और कॉची वितरण स्थिर वितरण हैं, वे प्रत्येक कनवल्शन (पैमाने के परिवर्तन तक) के तहत बंद हैं, और यह अनुसरण करता है कि वोइग्ट वितरण भी कनवल्शन के तहत बंद हैं।

संचयी वितरण समारोह
z के लिए उपरोक्त परिभाषा का उपयोग करते हुए, संचयी वितरण फलन (CDF) को निम्नानुसार पाया जा सकता है:


 * $$F(x_0;\mu,\sigma)

=\int_{-\infty}^{x_0} \frac{\operatorname{Re}(w(z))}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,dx =\operatorname{Re}\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{z(-\infty)}^{z(x_0)} w(z)\,dz\right). $$ Faddeeva फ़ंक्शन (स्केल्ड कॉम्प्लेक्स त्रुटि समारोह) की परिभाषा को प्रतिस्थापित करने से अनिश्चितकालीन इंटीग्रल प्राप्त होता है:



\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int w(z)\,dz =\frac{1}{\sqrt{\pi}} \int e^{-z^2}\left[1-\operatorname{erf}(-iz)\right]\,dz, $$ जिसे उपज के लिए हल किया जा सकता है



\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int w(z)\,dz = \frac{\operatorname{erf}(z)}{2} +\frac{iz^2}{\pi}\,_2F_2\left(1,1;\frac{3}{2},2;-z^2\right), $$ कहाँ $${}_2F_2$$ एक हाइपरज्यामितीय कार्य है। फ़ंक्शन के लिए शून्य तक पहुंचने के लिए x ऋणात्मक अनंत तक पहुंचता है (जैसा कि CDF को करना चाहिए), 1/2 का एकीकरण स्थिरांक जोड़ा जाना चाहिए। यह Voigt के सीडीएफ के लिए देता है:


 * $$F(x;\mu,\sigma)=\operatorname{Re}\left[\frac{1}{2}+

\frac{\operatorname{erf}(z)}{2} +\frac{iz^2}{\pi}\,_2F_2\left(1,1;\frac{3}{2},2;-z^2\right)\right]. $$

अकेंद्रित Voigt प्रोफ़ाइल
यदि गाऊसी प्रोफ़ाइल पर केंद्रित है $$\mu_G$$ और लोरेंट्ज़ियन प्रोफ़ाइल पर केंद्रित है $$\mu_L$$, कनवल्शन पर केंद्रित है $$\mu_V = \mu_G+\mu_L$$ और विशेषता कार्य है:



\varphi_f(t;\sigma,\gamma,\mu_\mathrm{G},\mu_\mathrm{L})= e^{i(\mu_\mathrm{G}+\mu_\mathrm{L})t-\sigma^2t^2/2 - \gamma |t|}. $$ संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन केवल केंद्रित प्रोफ़ाइल से ऑफ़सेट होता है $$\mu_V$$:



V(x;\mu_V,\sigma,\gamma)=\frac{\operatorname{Re}[w(z)]}{\sigma\sqrt{2 \pi}}, $$ कहाँ:



z= \frac{x-\mu_V+i \gamma}{\sigma\sqrt{2}} $$ मोड और माध्यिका दोनों स्थित हैं $$\mu_V$$.

संजात
उपरोक्त परिभाषा का उपयोग के लिए $$z$$ और $$x_{c}=x-\mu_{V}$$, पहले और दूसरे डेरिवेटिव को Faddeeva फ़ंक्शन # डेरिवेटिव के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x} V(x_{c};\sigma,\gamma) &= -\frac{\operatorname{Re}\left[z ~w(z)\right]}{\sigma^2\sqrt{\pi}} = -\frac{x_{c}}{\sigma^2} \frac{\operatorname{Re}\left[w(z)\right]}{\sigma\sqrt{2\pi}}+\frac{\gamma}{\sigma^2} \frac{\operatorname{Im}\left[w(z)\right]}{\sigma\sqrt{2\pi}} \\ &= \frac{1}{\sigma^{3}\sqrt{2\pi}}\cdot\left(\gamma\cdot\operatorname{Im}\left[w(z)\right]-x_{c}\cdot\operatorname{Re}\left[w(z)\right]\right) \end{aligned} $$ और

\begin{aligned} \frac{\partial^2}{\left(\partial x\right)^2} V(x_{c};\sigma,\gamma) &= \frac{x_{c}^{2}-\gamma^2-\sigma^2}{\sigma^4} \frac{\operatorname{Re}\left[w(z)\right]}{\sigma\sqrt{2\pi}} -\frac{2 x_{c} \gamma}{\sigma^4} \frac{\operatorname{Im}\left[w(z)\right]}{\sigma\sqrt{2\pi}} +\frac{\gamma}{\sigma^4}\frac{1}{\pi} \\ &= -\frac{1}{\sigma^{5}\sqrt{2\pi}}\cdot\left(\gamma\cdot\left(2x_{c}\cdot\operatorname{Im}\left[w(z)\right] - \sigma\cdot\sqrt{\frac{2}{\pi}}\right) + \left(\gamma^{2} + \sigma^{2} - x_{c}^{2}\right)\cdot\operatorname{Re}\left[w(z)\right]\right), \end{aligned} $$ क्रमश।

अक्सर, एक या एकाधिक Voigt प्रोफाइल और/या उनके संबंधित डेरिवेटिव को गैर-रैखिक कम से कम वर्गों के माध्यम से मापे गए सिग्नल में फिट करने की आवश्यकता होती है, उदाहरण के लिएवर्णक्रमीय रेखा आकार आकार में। फिर, कम्प्यूटेशंस में तेजी लाने के लिए और आंशिक डेरिवेटिव का उपयोग किया जा सकता है। मापदंडों के संबंध में जैकबियन मैट्रिक्स  का अनुमान लगाने के बजाय $$\mu_{V}$$, $$\sigma$$, और $$\gamma$$ परिमित अंतरों की सहायता से, संबंधित विश्लेषणात्मक अभिव्यक्तियों को लागू किया जा सकता है। साथ $$\operatorname{Re}\left[w(z)\right] = \Re_{w}$$ और $$\operatorname{Im}\left[w(z)\right] = \Im_{w}$$, इनके द्वारा दिया गया है:



\begin{align} \frac{\partial V}{\partial \mu_{V}} = -\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{1}{\sigma^{3}\sqrt{2\pi}}\cdot\left(x_{c}\cdot\Re_{w} - \gamma\cdot\Im_{w}\right) \end{align} $$

\begin{align} \frac{\partial V}{\partial \sigma} = \frac{1}{\sigma^{4}\sqrt{2\pi}}\cdot\left(\left(x_{c}^{2} - \gamma^{2}-\sigma^{2}\right)\cdot\Re_{w} - 2x_{c}\gamma\cdot\Im_{w} + \gamma\sigma\cdot\sqrt{\frac{2}{\pi}}\right) \end{align} $$

\begin{align} \frac{\partial V}{\partial \gamma} = -\frac{1}{\sigma^{3}\sqrt{2\pi}}\cdot\left(\sigma\cdot\sqrt{\frac{2}{\pi}} - x_{c}\cdot\Im_{w} - \gamma\cdot\Re_{w}\right) \end{align} $$ मूल वायगेट प्रोफ़ाइल के लिए $$V$$;



\begin{align} \frac{\partial V'}{\partial \mu_{V}} = -\frac{\partial V'}{\partial x} = -\frac{\partial^{2} V}{\left(\partial x\right)^{2}} = \frac{1}{\sigma^{5}\sqrt{2\pi}}\cdot\left(\gamma\cdot\left(2x_{c}\cdot\Im_{w} - \sigma\cdot\sqrt{\frac{2}{\pi}}\right) + \left(\gamma^{2} + \sigma^{2} - x_{c}^{2}\right)\cdot\Re_{w}\right) \end{align} $$

\begin{align} \frac{\partial V'}{\partial \sigma} = \frac{3}{\sigma^{6}\sqrt{2\pi}}\cdot\left(-\gamma\sigma x_{c}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{\pi}} + \left(x_{c}^{2} - \frac{\gamma^{2}}{3} - \sigma^{2}\right)\cdot\gamma\cdot\Im_{w} + \left(\gamma^{2}  + \sigma^{2} - \frac{x_{c}^{2}}{3}\right)\cdot x_{c}\cdot\Re_{w}\right) \end{align} $$

\begin{align} \frac{\partial V'}{\partial \gamma} = \frac{1}{\sigma^{5}\sqrt{2\pi}}\cdot\left(x_{c}\cdot\left(\sigma\cdot\sqrt{\frac{2}{\pi}} - 2\gamma\cdot\Re_{w}\right) + \left(\gamma^{2} + \sigma^{2} - x_{c}^{2}\right)\cdot\Im_{w}\right) \end{align} $$ पहले क्रम के आंशिक व्युत्पन्न के लिए $$V' = \frac{\partial V}{\partial x}$$; और



\begin{align} \frac{\partial V}{\partial \mu_{V}} = -\frac{\partial V}{\partial x} = -\frac{\partial^{3} V}{\left(\partial x\right)^{3}} = -\frac{3}{\sigma^{7}\sqrt{2\pi}}\cdot\left(\left(x_{c}^{2} - \frac{\gamma^{2}}{3} - \sigma^{2}\right)\cdot\gamma\cdot\Im_{w} + \left(\gamma^{2} + \sigma^{2} - \frac{x_{c}^{2}}{3}\right)\cdot x_{c}\cdot\Re_{w} - \gamma\sigma x_{c}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{\pi}}\right) \end{align} $$

\begin{align} & \frac{\partial V''}{\partial \sigma} = -\frac{1}{\sigma^{8}\sqrt{2\pi}}\cdot \\ & \left(\left(-3\gamma x_{c}\sigma^{2} + \gamma x_{c}^{3} - \gamma^{3} x_{c}\right)\cdot 4\cdot\Im_{w} + \left(\left(2x_{c}^{2} - 2\gamma^{2} - \sigma^{2}\right)\cdot 3\sigma^{2} + 6\gamma^{2} x_{c}^{2} - x_{c}^{4} - \gamma^{4}\right)\cdot\Re_{w} + \left(\gamma^{2} + 5\sigma^{2} - 3x_{c}^{2}\right)\cdot\gamma\sigma\cdot\sqrt{\frac{2}{\pi}}\right) \end{align} $$

\begin{align} \frac{\partial V''}{\partial \gamma} = -\frac{3}{\sigma^{7}\sqrt{2\pi}}\cdot\left(\left(\gamma^{2} + \sigma^{2} - \frac{x_{c}^{2}}{3}\right)\cdot x_{c}\cdot\Im_{w} + \left(\frac{\gamma^{2}}{3} + \sigma^{2} - x_{c}^{2}\right)\cdot \gamma\cdot\Re_{w} + \left(x_{c}^{2} - \gamma^{2} - 2\sigma^{2} \right)\cdot\sigma\cdot\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{\pi}}\right) \end{align} $$ दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न के लिए $$V'' = \frac{\partial^{2} V}{\left(\partial x\right)^{2}}$$. तब से $$\mu_{V}$$ और $$\gamma$$ की गणना में अपेक्षाकृत समान भूमिका निभाते हैं $$z$$, उनके संबंधित आंशिक डेरिवेटिव भी उनकी संरचना के मामले में काफी समान दिखते हैं, हालांकि उनका परिणाम पूरी तरह से अलग व्युत्पन्न प्रोफाइल में होता है। दरअसल, आंशिक डेरिवेटिव के संबंध में $$\sigma$$ और $$\gamma$$ अधिक समानता दिखाएं क्योंकि दोनों चौड़ाई पैरामीटर हैं। इन सभी डेरिवेटिव में केवल साधारण ऑपरेशन (गुणा और जोड़) शामिल हैं क्योंकि कम्प्यूटेशनल रूप से महंगा है $$\Re_{w}$$ और $$\Im_{w}$$ गणना करते समय आसानी से प्राप्त होते हैं $$w\left(z\right)$$. पिछली गणनाओं का ऐसा पुन: उपयोग न्यूनतम लागत पर व्युत्पत्ति की अनुमति देता है। यह परिमित अंतरों का मामला नहीं है क्योंकि इसके मूल्यांकन की आवश्यकता है $$w\left(z\right)$$ क्रमशः प्रत्येक ढाल के लिए।

वोइगट फ़ंक्शंस
Voigt कार्य करता है यू, वी, और एच (कभी-कभी 'लाइन ब्रॉडनिंग फ़ंक्शन' कहा जाता है) द्वारा परिभाषित किया जाता है
 * $$U(x,t)+iV(x,t) = \sqrt \frac{\pi}{4t} e^{z^2} \operatorname{erfc}(z) = \sqrt \frac{\pi}{4t} w(iz),$$ :$$H(a,u) = \frac{U(u/a,1/4 a^2)}{a\sqrt \pi},$$

कहाँ
 * $$z=(1-ix)/2\sqrt t,$$

erfc पूरक त्रुटि फलन है, और w(z) Faddeeva फलन है।

Voigt प्रोफाइल से संबंध

 * $$ V(x;\sigma,\gamma) = H(a,u) / (\sqrt 2 \sqrt \pi \sigma), $$

साथ
 * $$ a = \gamma / (\sqrt 2 \sigma) $$

और
 * $$ u = x / (\sqrt 2 \sigma). $$

<स्पैन क्लास = एंकर आईडी = टेपर फंक्शन>  टेपर-गार्सिया फंक्शन
जर्मन-मैक्सिकन एस्ट्रोफिजिसिस्ट थोर टेपर-गार्सिया के नाम पर टेपर-गार्सिया फ़ंक्शन, एक घातीय फ़ंक्शन और तर्कसंगत फ़ंक्शंस का एक संयोजन है जो लाइन ब्रॉडिंग फ़ंक्शन का अनुमान लगाता है $$H(a,u)$$ इसके मापदंडों की एक विस्तृत श्रृंखला पर। यह सटीक लाइन ब्रॉडिंग फंक्शन के ट्रंकेटेड पावर सीरीज एक्सपेंशन से प्राप्त होता है।

अपने सबसे कम्प्यूटेशनल रूप से कुशल रूप में, टेपर-गार्सिया फ़ंक्शन को इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है

T(a,u) = R - \left(a /\sqrt{\pi} P \right) ~\left[R^2 ~(4 P^2 + 7 P + 4 + Q) - Q - 1\right] \, , $$ कहाँ $$P \equiv u^2$$, $$Q \equiv 3 / (2 P) $$, और $$R \equiv e^{-P}$$.

इस प्रकार रेखा विस्तार समारोह को पहले क्रम में, एक शुद्ध गॉसियन फ़ंक्शन के साथ-साथ एक सुधार कारक के रूप में देखा जा सकता है जो अवशोषित माध्यम के सूक्ष्म गुणों पर रैखिक रूप से निर्भर करता है (में एन्कोडेड) $$a$$); हालाँकि, श्रृंखला विस्तार में शुरुआती छंटनी के परिणामस्वरूप, सन्निकटन में त्रुटि अभी भी क्रम की है $$a$$, अर्थात। $$H(a,u) \approx T(a,u) + \mathcal{O}(a)$$. इस सन्निकटन की एक सापेक्ष सटीकता है

\epsilon \equiv \frac{\vert H(a,u) - T(a,u) \vert}{H(a,u)} \lesssim 10^{-4} $$ की पूर्ण तरंग दैर्ध्य सीमा पर $$H(a,u)$$, उसे उपलब्ध कराया $$a \lesssim 10^{-4}$$. इसकी उच्च सटीकता के अलावा, फ़ंक्शन $$T(a,u)$$ कम्प्यूटेशनल रूप से तेज़ होने के साथ-साथ लागू करना आसान है। यह क्वासर अवशोषण रेखा विश्लेषण के क्षेत्र में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

छद्म-वायग्ट सन्निकटन
स्यूडो-वोइग्ट प्रोफ़ाइल (या स्यूडो-वोइग्ट फ़ंक्शन) गाऊसी समारोह G(x के रैखिक संयोजन का उपयोग करके Voigt प्रोफ़ाइल V(x) का एक अनुमान है ) और एक कॉची वितरण L(x) उनके कनवल्शन के बजाय।

स्यूडो-वोइगट फ़ंक्शन का प्रयोग अक्सर प्रयोगात्मक वर्णक्रमीय रेखा आकृतियों की गणना के लिए किया जाता है।

सामान्यीकृत स्यूडो-वोइग प्रोफाइल की गणितीय परिभाषा इसके द्वारा दी गई है

V_p(x,f) = \eta \cdot L(x,f) + (1 - \eta) \cdot G(x,f) $$ साथ $$ 0 < \eta < 1 $$. $$ \eta $$ आधा अधिकतम (एफडब्ल्यूएचएम) पैरामीटर पर पूर्ण चौड़ाई का एक कार्य है।

के लिए कई संभावित विकल्प हैं $$ \eta $$ पैरामीटर।   एक साधारण सूत्र, 1% के लिए सटीक है

\eta = 1.36603 (f_L/f) - 0.47719 (f_L/f)^2 + 0.11116(f_L/f)^3, $$ कहाँ हैं, $$ \eta $$ लोरेंत्ज़ का एक कार्य है ($$ f_L $$), गॉसियन ($$ f_G $$) और कुल ($$ f $$) आधी अधिकतम (एफडब्ल्यूएचएम) पैरामीटर पर पूरी चौड़ाई। कुल एफडब्ल्यूएचएम ($$ f $$) पैरामीटर द्वारा वर्णित है:

f = [f_G^5 + 2.69269 f_G^4 f_L + 2.42843 f_G^3 f_L^2 + 4.47163 f_G^2 f_L^3 + 0.07842 f_G f_L^4 + f_L^5]^{1/5}. $$

Voigt प्रोफ़ाइल की चौड़ाई
Voigt प्रोफ़ाइल की आधी अधिकतम (FWHM) पर पूरी चौड़ाई पाई जा सकती है संबद्ध गाऊसी और लोरेंत्ज़ियन चौड़ाई की चौड़ाई। गॉसियन प्रोफाइल का एफडब्ल्यूएचएम है


 * $$f_\mathrm{G}=2\sigma\sqrt{2\ln(2)}.$$

लोरेंट्ज़ियन प्रोफाइल का एफडब्ल्यूएचएम है


 * $$f_\mathrm{L}=2\gamma.$$

वोइग्ट, गॉसियन और लोरेंट्ज़ियन प्रोफाइल की चौड़ाई के बीच एक अनुमानित संबंध (लगभग 1.2% के भीतर सटीक) है:
 * $$f_\mathrm{V}\approx f_\mathrm{L}/2+\sqrt{f_\mathrm{L}^2/4+f_\mathrm{G}^2}.$$

निर्माण के द्वारा, यह अभिव्यक्ति शुद्ध गाऊसी या लोरेंत्ज़ियन के लिए सटीक है।

0.02% की सटीकता के साथ एक बेहतर सन्निकटन द्वारा दिया गया है (मूल रूप से किल्कोफ द्वारा पाया गया )


 * $$f_\mathrm{V}\approx 0.5346 f_\mathrm{L}+\sqrt{0.2166f_\mathrm{L}^2+f_\mathrm{G}^2}.$$

फिर से, यह अभिव्यक्ति शुद्ध गाऊसी या लोरेंत्ज़ियन के लिए सटीक है। इसी प्रकाशन में, थोड़ा अधिक सटीक (0.012% के भीतर), फिर भी काफी अधिक जटिल अभिव्यक्ति पाई जा सकती है।

बाहरी संबंध

 * http://jugit.fz-juelich.de/mlz/libcerf, numeric C library for complex error functions, provides a function voigt(x, sigma, gamma) with approximately 13–14 digits precision.
 * The original article is : Voigt, Woldemar, 1912,  Das Gesetz der Intensitätsverteilung innerhalb der Linien eines Gasspektrums , Sitzungsbericht der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, 25, 603 (see also: http://publikationen.badw.de/de/003395768 )