सहपरिवर्ती व्युत्पन्न

गणित में, सहसंयोजक व्युत्पन्न कई गुना के स्पर्शरेखा वैक्टर के साथ एक व्युत्पन्न को निर्दिष्ट करने का एक विधि है। वैकल्पिक रूप से, सहसंयोजक व्युत्पन्न एक अंतर ऑपरेटर के माध्यम से कई गुना पर एक कनेक्शन (गणित) के साथ प्रारंभ करने और काम करने का एक विधि है, फ्रेम बंडल पर एक कनेक्शन (प्रमुख बंडल) द्वारा दिए गए दृष्टिकोण के विपरीत होने के लिए - affine कनेक्शन देखें. एक उच्च-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एम्बेडेड मैनिफोल्ड आइसोमेट्री के विशेष स्थितियोंमें, सहसंयोजक व्युत्पन्न को कई गुना स्पर्शरेखा स्थान पर यूक्लिडियन दिशात्मक व्युत्पन्न के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण के रूप में देखा जा सकता है। इस स्थितियोंमें यूक्लिडियन व्युत्पन्न को दो भागों में विभाजित किया गया है, बाह्य सामान्य घटक (एम्बेडिंग पर निर्भर) और आंतरिक सहसंयोजक व्युत्पन्न घटक।

नाम भौतिकी में सामान्य सहप्रसरण के महत्व से प्रेरित है: सहसंयोजक व्युत्पन्न एक सामान्य समन्वय परिवर्तन के अनुसार सहसंयोजक परिवर्तन को रूपांतरित करता है, जो कि रैखिक रूप से जैकोबियन मैट्रिक्स और परिवर्तन के निर्धारक के माध्यम से होता है। यह आलेख एक सदिश क्षेत्र के संबंध में एक सदिश क्षेत्र के सहसंयोजक व्युत्पन्न का परिचय प्रस्तुत करता है, दोनों एक समन्वय मुक्त भाषा में और एक स्थानीय समन्वय प्रणाली और पारंपरिक सूचकांक संकेतन का उपयोग करते हुए। एक टेंसर क्षेत्र के सहसंयोजक व्युत्पन्न को उसी अवधारणा के विस्तार के रूप में प्रस्तुत किया जाता है। सहसंयोजक व्युत्पन्न एक सदिश बंडल पर एक कनेक्शन से जुड़े भेदभाव की धारणा को सीधे तौर पर सामान्य करता है, जिसे कोज़ुल कनेक्शन के रूप में भी जाना जाता है।

इतिहास
ऐतिहासिक रूप से, 20वीं शताब्दी के मोड़ पर, सहपरिवर्ती व्युत्पन्न को ग्रेगोरियो रिक्की-कर्बस्त्रो और टुल्लियो लेवी-सिविता द्वारा रिमेंनियन ज्यामिति और स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड|स्यूडो- रिमानियन ज्यामिति के सिद्धांत में प्रस्तुत किया गया था। रिक्की और लेवी-सिविता ( एल्विन ब्रूनो क्रिस्टोफर  के निम्नलिखित विचारों) ने देखा कि रीमैन टेंसर को परिभाषित करने के लिए उपयोग किए गए क्रिस्टोफेल प्रतीक भी व्युत्पन्न की एक धारणा प्रदान कर सकते हैं जो कई गुना सदिश क्षेत्रों के मौलिक  दिशात्मक व्युत्पन्न को सामान्यीकृत करता है।  यह नया व्युत्पन्न - लेवी-Civita कनेक्शन - सहप्रसरण और सदिशों का प्रतिप्रसरण इस अर्थ में था कि यह रीमैन की आवश्यकता को संतुष्ट करता है कि ज्यामिति में वस्तुओं को एक विशेष समन्वय प्रणाली में उनके विवरण से स्वतंत्र होना चाहिए।

इसे जल्द ही अन्य गणितज्ञों द्वारा नोट किया गया, इनमें से प्रमुख थे हरमन वेइल, जान अर्नोल्ड शाउटन और एली कार्टन। कि एक मीट्रिक टेंसर की उपस्थिति के बिना एक सहसंयोजक व्युत्पन्न को अमूर्त रूप से परिभाषित किया जा सकता है। महत्वपूर्ण विशेषता मीट्रिक पर एक विशेष निर्भरता नहीं थी, किन्तु यह कि क्रिस्टोफेल प्रतीकों ने एक निश्चित त्रुटिहीन दूसरे क्रम परिवर्तन कानून को संतुष्ट किया। यह परिवर्तन कानून व्युत्पन्न को सहसंयोजक तरीके से परिभाषित करने के लिए एक प्रारंभिक बिंदु के रूप में काम कर सकता है। इस प्रकार सहसंयोजक विभेदीकरण का सिद्धांत सख्ती से रिमेंनियन संदर्भ से अलग हो गया जिससे कि संभावित ज्यामिति की एक विस्तृत श्रृंखला सम्मिलित हो सके।

1940 के दशक में, अंतर ज्यामिति  के चिकित्सकों ने सामान्य वेक्टर बंडलों में सहसंयोजक विभेदन की अन्य धारणाओं को प्रस्तुत करना प्रारंभ किया, जो कि जियोमीटर के हित के मौलिक  बंडलों के विपरीत थे, जो कई गुना के टेन्सर विश्लेषण का हिस्सा नहीं थे। द्वारा और बड़े पैमाने पर, इन सामान्यीकृत सहसंयोजक डेरिवेटिव को कनेक्शन अवधारणा के कुछ संस्करण द्वारा तदर्थ निर्दिष्ट किया जाना था। 1950 में, जीन-लुई शर्ट्स ने सदिश बंडल में सहपरिवर्ती विभेदीकरण के इन नए विचारों को एकीकृत किया, जिसे आज कनेक्शन शर्ट या वेक्टर बंडल पर कनेक्शन के रूप में जाना जाता है। लाई बीजगणित कोहोलॉजी के विचारों का उपयोग करते हुए, कोज़ुल ने सहसंयोजक विभेदन की कई विश्लेषणात्मक विशेषताओं को सफलतापूर्वक बीजगणितीय में परिवर्तित कर दिया। विशेष रूप से, कोज़ुल कनेक्शन ने अलग-अलग ज्यामिति में क्रिस्टोफ़ेल प्रतीकों (और अन्य समान गैर-टेंसोरियल ऑब्जेक्ट्स) के अजीब हेरफेर की आवश्यकता को समाप्त कर दिया। इस प्रकार उन्होंने विषय के 1950 के बाद के कई उपचारों में सहसंयोजक व्युत्पन्न की मौलिक  धारणा को जल्दी से बदल दिया।

प्रेरणा
सहपरिवर्ती व्युत्पन्न सदिश कलन से दिशात्मक व्युत्पन्न का एक सामान्यीकरण है। दिशात्मक व्युत्पन्न के साथ, सहसंयोजक व्युत्पन्न एक नियम है, $$\nabla_{\mathbf u}{\mathbf v}$$, जो इसके इनपुट के रूप में लेता है: (1) एक वेक्टर, यू, एक बिंदु पी पर परिभाषित, और (2) एक वेक्टर फील्ड वी जो पी के पड़ोस में परिभाषित है। आउटपुट वेक्टर है $$\nabla_{\mathbf u}{\mathbf v}(P)$$, बिंदु P पर भी। सामान्य दिशात्मक व्युत्पन्न से प्राथमिक अंतर यह है $$\nabla_{\mathbf u}{\mathbf v}$$ एक निश्चित अर्थ में, उस तरीके से स्वतंत्र होना चाहिए जिसमें यह एक समन्वय प्रणाली में व्यक्त किया गया हो।

एक वेक्टर को एक आधार (गणित) के संदर्भ में संख्याओं की एक सूची के रूप में वर्णित किया जा सकता है, किन्तु एक ज्यामितीय वस्तु के रूप में वेक्टर अपनी पहचान को बनाए रखता है, यदि इसका वर्णन कैसे किया जाए। एक आधार के संबंध में घटकों में लिखे गए एक ज्यामितीय वेक्टर के लिए, जब आधार को बदल दिया जाता है, तो घटक एक सहसंयोजक परिवर्तन के दौर से गुजरने वाले निर्देशांक के साथ आधार सूत्र के परिवर्तन के अनुसार बदल जाते हैं। निर्देशांक में परिवर्तन के अनुसार  सहसंयोजक व्युत्पन्न को रूपांतरित करने की आवश्यकता होती है, एक सहसंयोजक परिवर्तन द्वारा उसी तरह जैसे एक आधार करता है (इसलिए नाम)।

यूक्लिडियन अंतरिक्ष के स्थितियोंमें, सामान्यतः एक सदिश क्षेत्र के दिशात्मक व्युत्पन्न को दो पास के बिंदुओं पर दो सदिशों के बीच के अंतर के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है। ऐसी प्रणाली में एक सदिश का दूसरे के मूल में अनुवाद (ज्यामिति), इसे समानांतर रखते हुए, फिर एक ही सदिश स्थान के भीतर उनके अंतर को लेते हुए। एक कार्टेशियन (फिक्स्ड ऑर्थोनॉर्मल) समन्वय प्रणाली के साथ घटकों को स्थिर रखने के लिए इसे समानांतर मात्रा में रखते हुए। यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर यह सामान्य दिशात्मक व्युत्पन्न सहसंयोजक व्युत्पन्न का पहला उदाहरण है।

अगला, किसी को समन्वय प्रणाली के परिवर्तनों को ध्यान में रखना चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि यूक्लिडियन तल को ध्रुवीय निर्देशांकों द्वारा वर्णित किया जाता है, तो इसे समानांतर रखने का मतलब अनुवाद के अनुसार ध्रुवीय घटकों को स्थिर रखना नहीं है, क्योंकि समन्वय ग्रिड स्वयं घूमता है। इस प्रकार, निर्देशांक (प्रारंभिक गणित) में लिखे गए समान सहसंयोजक व्युत्पन्न में अतिरिक्त शब्द होते हैं जो वर्णन करते हैं कि समन्वय ग्रिड स्वयं कैसे घूमता है, या कैसे अधिक सामान्य निर्देशांक में ग्रिड फैलता है, अनुबंध करता है, मुड़ता है, इंटरव्यू करता है, आदि।

वक्र के अनुदिश गतिमान कण के उदाहरण पर विचार करें $γ(t)$ यूक्लिडियन विमान में। ध्रुवीय निर्देशांक में, $γ$ इसके रेडियल और कोणीय निर्देशांक के संदर्भ में लिखा जा सकता है $γ(t) = (r(t), θ(t))$. एक विशेष समय में एक वेक्टर $t$ (उदाहरण के लिए, कण का एक निरंतर त्वरण) के रूप में व्यक्त किया जाता है $$(\mathbf{e}_r, \mathbf{e}_{\theta})$$, कहाँ $$\mathbf{e}_r$$ और $$\mathbf{e}_{\theta}$$ ध्रुवीय निर्देशांक के लिए इकाई स्पर्शरेखा वैक्टर हैं, जो रेडियल और स्पर्शरेखा घटकों के संदर्भ में वेक्टर को विघटित करने के आधार के रूप में कार्य करते हैं। थोड़ी देर बाद, ध्रुवीय निर्देशांक में नया आधार पहले सेट के संबंध में थोड़ा घूमता हुआ दिखाई देता है। आधार वैक्टर (क्रिस्टोफेल प्रतीक) के सहपरिवर्ती व्युत्पन्न इस परिवर्तन को व्यक्त करने के लिए सेवा प्रदान करते हैं।

एक घुमावदार स्थान में, जैसे कि पृथ्वी की सतह (एक क्षेत्र के रूप में माना जाता है), विभिन्न बिंदुओं के बीच स्पर्शरेखा सदिशों का अनुवाद (ज्यामिति) अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है, और इसके अनुरूप, समानांतर परिवहन, पथ पर निर्भर करता है जिसके साथ सदिश अनुवादित है। भूमध्य रेखा पर ग्लोब पर बिंदु Q पर एक वेक्टर उत्तर की ओर निर्देशित होता है। मान लीजिए कि हम वेक्टर (इसे समानांतर रखते हुए) को पहले भूमध्य रेखा के साथ बिंदु P पर ले जाते हैं, फिर इसे एक भूमध्य रेखा के साथ N ध्रुव तक खींचते हैं, और अंत में इसे दूसरे भूमध्य रेखा के साथ वापस Q पर ले जाते हैं। फिर हम देखते हैं कि समानांतर-परिवहन वेक्टर एक बंद सर्किट के साथ उसी वेक्टर के रूप में वापस नहीं आता है; इसके अतिरिक्त, इसका एक और अभिविन्यास है। यह यूक्लिडियन अंतरिक्ष में नहीं होगा और ग्लोब की सतह की वक्रता के कारण होता है। एक ही प्रभाव तब होता है जब हम सदिश को एक असीम रूप से छोटी बंद सतह पर बाद में दो दिशाओं में और फिर वापस खींचते हैं। सदिश का यह अतिसूक्ष्म परिवर्तन रिमेंनियन मैनिफोल्ड्स की वक्रता का एक उपाय है, और सहसंयोजक व्युत्पन्न के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है।

टिप्पणी

 * सहसंयोजक व्युत्पन्न की परिभाषा अंतरिक्ष में मीट्रिक का उपयोग नहीं करती है। चूंकि, प्रत्येक मीट्रिक के लिए लेवी-सीविटा कनेक्शन नामक एक अद्वितीय मरोड़ वाला टेंसर-मुक्त सहसंयोजक व्युत्पन्न होता है, जैसे कि मीट्रिक का सहसंयोजक व्युत्पन्न शून्य होता है।
 * एक व्युत्पन्न के गुणों का अर्थ है $$\nabla_\mathbf{v} \mathbf{u}$$ एक बिंदु p के मनमाने ढंग से छोटे पड़ोस पर यू के मूल्यों पर उसी तरह निर्भर करता है जैसे उदा। किसी दिए गए बिंदु p पर एक वक्र के साथ एक स्केलर फ़ंक्शन f का व्युत्पन्न, p के मनमाने ढंग से छोटे पड़ोस में f के मानों पर निर्भर करता है।
 * सहसंयोजक व्युत्पन्न में एक बिंदु p के पड़ोस की जानकारी का उपयोग सदिश के समानांतर परिवहन को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त रिमेंनियन मैनिफोल्ड्स, मरोड़ टेंसर और geodesic ्स की वक्रता को केवल सहसंयोजक व्युत्पन्न या कनेक्शन (वेक्टर बंडल) के विचार पर अन्य संबंधित भिन्नता के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है।

यूक्लिडियन स्पेस में एम्बेडिंग का उपयोग करके अनौपचारिक परिभाषा
मान लीजिए एक खुला उपसमुच्चय $$U$$ एक का $$d$$-डायमेंशनल रीमैनियन मैनिफोल्ड $$M$$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष में सन्निहित है $$(\R^n, \langle\cdot, \cdot\rangle)$$ एक चिकनाई के माध्यम से # भिन्नता वर्ग | दो बार लगातार-अलग-अलग (सी$t$) मैपिंग $$\vec\Psi : \R^d \supset U \to \R^n$$ ऐसा है कि स्पर्शरेखा स्थान पर $$\vec\Psi(p) \in M$$ वैक्टर द्वारा फैला हुआ है $$\left\{ \left. \frac{\partial\vec\Psi}{\partial x^i} \right|_p : i \in \{ 1, \dots, d\}\right\}$$ और अदिश उत्पाद $$\left \langle \cdot, \cdot \right \rangle $$ पर $$\R^n$$ एम पर मीट्रिक के साथ संगत है: $$g_{ij} = \left\langle \frac{\partial\vec\Psi}{\partial x^i}, \frac{\partial\vec\Psi}{\partial x^j} \right\rangle.$$ (चूंकि मैनिफोल्ड मेट्रिक को हमेशा नियमित माना जाता है, अनुकूलता की स्थिति का तात्पर्य आंशिक व्युत्पन्न स्पर्शरेखा सदिशों की रैखिक स्वतंत्रता से है।)

स्पर्शरेखा सदिश क्षेत्र के लिए, $\vec V = v^j \frac{\partial \vec\Psi}{\partial x^j}$, किसी के पास $$\frac{\partial\vec V}{\partial x^i} = \frac{\partial}{\partial x^i} \left( v^j \frac{\partial \vec\Psi}{\partial x^j} \right)= \frac{\partial v^j}{\partial x^i} \frac{\partial\vec \Psi}{\partial x^j} + v^j \frac{\partial^2 \vec\Psi}{\partial x^i \, \partial x^j} .$$ अंतिम शब्द एम के लिए स्पर्शरेखा नहीं है, किन्तु क्रिस्टोफेल प्रतीकों का उपयोग रैखिक कारकों के साथ-साथ स्पर्शरेखा अंतरिक्ष के लिए वेक्टर ऑर्थोगोनल के रूप में टेंगेंट स्पेस बेस वैक्टर के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: $$ \frac{\partial^2 \vec\Psi}{\partial x^i \, \partial x^j} = {\Gamma^k}_{ij} \frac{\partial\vec\Psi}{\partial x^k} + \vec n. $$ लेवी-सिविता कनेक्शन के स्थितियोंमें, सहसंयोजक डेरिवेटिव $$\nabla_{\mathbf{e}_i} \vec V$$, लिखा भी है $\nabla_i \vec V$, को स्पर्शरेखा स्थान पर सामान्य व्युत्पन्न के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण के रूप में परिभाषित किया गया है: $$ \nabla_{\mathbf{e}_i} \vec V := \frac{\partial\vec V}{\partial x^i} - \vec n = \left( \frac{\partial v^k}{\partial x^i} + v^j {\Gamma^k}_{ij} \right) \frac{\partial\vec\Psi}{\partial x^k}. $$ लेवी-सिविता कनेक्शन और मीट्रिक के लिए क्रिस्टोफेल प्रतीकों के बीच संबंध प्राप्त करने के लिए, पहले हमें ध्यान देना चाहिए कि, चूंकि $$\vec n$$ पिछले समीकरण में स्पर्शरेखा स्थान के लिए ओर्थोगोनल है: $$ \left\langle \frac{\partial^2 \vec\Psi}{\partial x^i \, \partial x^j}, \frac{\partial\vec \Psi}{\partial x^l} \right\rangle = \left\langle {\Gamma^k}_{ij} \frac{\partial\vec\Psi}{\partial x^k} + \vec n, \frac{\partial\vec \Psi}{\partial x^l} \right\rangle = {\Gamma^k}_{ij} \left\langle \frac{\partial\vec\Psi}{\partial x^k}, \frac{\partial\vec\Psi}{\partial x^l} \right\rangle = {\Gamma^k}_{ij} \, g_{kl}. $$ दूसरा, मीट्रिक के एक घटक का आंशिक व्युत्पन्न है: $$ \frac{\partial g_{ab}}{\partial x^c} = \frac{\partial}{ \partial x^c} \left\langle \frac{\partial \vec\Psi}{ \partial x^a}, \frac{\partial \vec\Psi}{\partial x^b} \right\rangle = \left\langle \frac{\partial^2 \vec\Psi}{ \partial x^c \, \partial x^a}, \frac{\partial \vec\Psi}{\partial x^b} \right\rangle + \left\langle \frac{\partial \vec\Psi}{\partial x^a}, \frac{\partial^2 \vec\Psi}{ \partial x^c \, \partial x^b} \right\rangle $$ एक आधार के लिए तात्पर्य है $x^i, x^j, x^k$, स्केलर उत्पाद की समरूपता का उपयोग करना और आंशिक विभेदन के क्रम की अदला-बदली करना: $$ \begin{pmatrix} \frac{\partial g_{jk}}{\partial x^i} \\ \frac{\partial g_{ki}}{\partial x^j} \\ \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \left\langle \frac{\partial\vec \Psi}{\partial x^i}, \frac{\partial^2 \vec\Psi}{\partial x^j \, \partial x^k} \right\rangle \\ \left\langle \frac{\partial\vec \Psi}{\partial x^j}, \frac{\partial^2 \vec\Psi}{\partial x^k \, \partial x^i} \right\rangle \\ \left\langle \frac{\partial\vec \Psi}{\partial x^k}, \frac{\partial^2 \vec\Psi}{\partial x^i \, \partial x^j} \right\rangle \end{pmatrix} $$ पहली पंक्ति को दूसरी से जोड़ना और तीसरी को घटाना: $$ \frac{\partial g_{jk}}{\partial x^i} + \frac{\partial g_{ki}}{\partial x^j} - \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k} = 2\left\langle \frac{\partial\vec \Psi}{\partial x^k}, \frac{\partial^2 \vec\Psi}{\partial x^i \, \partial x^j} \right\rangle $$ और मीट्रिक के संदर्भ में लेवी-सिविता कनेक्शन के लिए क्रिस्टोफ़ेल प्रतीकों का उत्पादन करता है: $$ g_{kl} {\Gamma^k}_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial g_{jl}}{\partial x^i} + \frac{\partial g_{li}}{\partial x^j}- \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l}\right). $$ एक बहुत ही सरल उदाहरण के लिए जो उपरोक्त विवरण के सार को दर्शाता है, कागज की एक सपाट शीट पर एक वृत्त बनाएं। सर्कल के चारों ओर एक स्थिर गति से यात्रा करें। आपके वेग का व्युत्पन्न, आपका त्वरण सदिश, हमेशा अंदर की ओर इंगित करता है। कागज की इस शीट को एक बेलन में बेल लें। अब आपके वेग के व्युत्पन्न (यूक्लिडियन) में एक घटक होता है जो कभी-कभी सिलेंडर की धुरी की ओर इशारा करता है, इस पर निर्भर करता है कि आप संक्रांति या विषुव के पास हैं या नहीं। (वृत्त के बिंदु पर जब आप अक्ष के समानांतर चल रहे होते हैं, कोई आवक त्वरण नहीं होता है। इसके विपरीत, एक बिंदु पर (बाद में एक वृत्त का 1/4) जब वेग सिलेंडर के मोड़ के साथ होता है, तो आवक त्वरण अधिकतम होता है। .) यह (यूक्लिडियन) सामान्य घटक है। सहसंयोजक व्युत्पन्न घटक सिलेंडर की सतह के समानांतर घटक है, और यह वैसा ही है जैसा आपने शीट को सिलेंडर में रोल करने से पहले किया था।

औपचारिक परिभाषा
एक सहसंयोजक व्युत्पन्न एक कनेक्शन (वेक्टर बंडल) | (कोस्जुल) स्पर्शरेखा बंडल और अन्य टेंसर बंडलों पर कनेक्शन है: यह वेक्टर क्षेत्रों को कार्यों पर सामान्य अंतर के समान तरीके से अलग करता है। यह परिभाषा दो सदिश क्षेत्रों (अर्थात् स्पर्शरेखा स्थान  फ़ील्ड्स) और स्वेच्छित टेंसर फ़ील्ड्स के विभेदीकरण तक फैली हुई है, एक अनोखे तरीके से जो टेन्सर उत्पाद और ट्रेस ऑपरेशन्स (टेंसर संकुचन) के साथ अनुकूलता सुनिश्चित करता है।

कार्य
एक बिंदु दिया $$p \in M$$ कई गुना $$M$$, एक वास्तविक कार्य $$f : M \to \R$$ कई गुना और एक स्पर्शरेखा वेक्टर पर $$\mathbf{v} \in T_pM$$, सहपरिवर्ती व्युत्पन्न $f$ पर $p$ साथ में $v$ पर अदिश है $p$, निरूपित $$\left(\nabla_\mathbf{v} f\right)_p$$, जो f के मूल्य में परिवर्तन के प्रधान भाग # कलन का प्रतिनिधित्व करता है जब का तर्क $f$ को अपरिमित विस्थापन सदिश द्वारा बदला जाता है $v$. (यह एक समारोह का अंतर है $f$ वेक्टर के विरुद्ध मूल्यांकन किया गया $v$।) औपचारिक रूप से, एक अवकलनीय वक्र होता है $$\phi:[-1, 1]\to M$$ ऐसा है कि $$\phi(0) = p$$ और $$\phi'(0) = \mathbf{v}$$, और पी पर एफ के सहसंयोजक व्युत्पन्न द्वारा परिभाषित किया गया है $$\left(\nabla_\mathbf{v} f\right)_p = \left(f \circ \phi\right)'\left(0\right) = \lim_{t \to 0} \frac{ f(\phi\left(t\right)) - f(p) }{t}.$$ कब $$\mathbf{v} : M \to T_pM$$ सदिश क्षेत्र चालू है $$M$$, सहसंयोजक व्युत्पन्न $$\nabla_\mathbf{v}f : M \to \R $$ वह कार्य है जो f और 'v' स्केलर के सामान्य डोमेन में प्रत्येक बिंदु p से संबद्ध है $$\left(\nabla_\mathbf{v}f\right)_p$$.

एक अदिश फलन f और सदिश क्षेत्र 'v' के लिए, सहपरिवर्ती व्युत्पन्न $$\nabla_\mathbf{v} f$$ झूठ व्युत्पन्न के साथ मेल खाता है $$L_v(f)$$, और बाहरी व्युत्पन्न के साथ $$df(v)$$.

वेक्टर क्षेत्र
एक बिंदु दिया $$p$$ कई गुना $$M$$, एक वेक्टर क्षेत्र $$\mathbf{u} : M \to T_p M$$ पी और एक स्पर्शरेखा सदिश के पड़ोस में परिभाषित $$\mathbf{v} \in T_pM$$, v के साथ p पर u का सहपरिवर्ती व्युत्पन्न p पर स्पर्शरेखा सदिश है, जिसे निरूपित किया गया है $$(\nabla_\mathbf{v} \mathbf{u})_p$$, जैसे कि निम्नलिखित गुण धारण करते हैं (p पर किसी भी स्पर्शरेखा वैक्टर v, x और y के लिए, वेक्टर फ़ील्ड्स u और w p के पड़ोस में परिभाषित हैं, अदिश मान g और  h at p, और स्केलर फंक्शन f को p के पड़ोस में परिभाषित किया गया है): ध्यान दें कि $$\left(\nabla_\mathbf{v} \mathbf{u}\right)_p$$ न केवल p पर u के मान पर निर्भर करता है, बल्कि अंतिम संपत्ति, उत्पाद नियम के कारण p के एक अतिसूक्ष्म पड़ोस में u के मूल्यों पर भी निर्भर करता है।
 * 1) $$\left(\nabla_\mathbf{v} \mathbf{u}\right)_p$$ में रैखिक है $$\mathbf{v}$$ इसलिए $$\left(\nabla_{g\mathbf{x} + h\mathbf{y}} \mathbf{u}\right)_p = \left(\nabla_\mathbf{x} \mathbf{u}\right)_p g + \left(\nabla_\mathbf{y} \mathbf{u}\right)_p h$$
 * 2) $$\left(\nabla_\mathbf{v} \mathbf{u}\right)_p$$ में योगात्मक है $$\mathbf{u}$$ इसलिए: $$\left(\nabla_\mathbf{v}\left[\mathbf{u} + \mathbf{w}\right]\right)_p = \left(\nabla_\mathbf{v} \mathbf{u}\right)_p + \left(\nabla_\mathbf{v} \mathbf{w}\right)_p$$
 * 3) $$(\nabla_\mathbf{v} \mathbf{u})_p$$ उत्पाद नियम का पालन करता है; अर्थात, कहाँ $$\nabla_\mathbf{v}f$$ ऊपर परिभाषित किया गया है, $$\left(\nabla_\mathbf{v} \left[f\mathbf{u}\right]\right)_p = f(p)\left(\nabla_\mathbf{v} \mathbf{u})_p + (\nabla_\mathbf{v}f\right)_p\mathbf{u}_p.$$

यदि $u$ और $v$ दोनों वेक्टर फ़ील्ड एक सामान्य डोमेन पर परिभाषित हैं, फिर $$\nabla_\mathbf{v}\mathbf u$$ सदिश क्षेत्र को दर्शाता है जिसका डोमेन के प्रत्येक बिंदु p पर मान स्पर्शरेखा सदिश है $$\left(\nabla_\mathbf{v}\mathbf u\right)_p$$.

कोवेक्टर फ़ील्ड
Cotangent अंतरिक्ष (या एक रूप) के एक क्षेत्र को देखते हुए $$\alpha$$ पी के एक पड़ोस में परिभाषित किया गया है, इसका सहसंयोजक व्युत्पन्न $$(\nabla_\mathbf{v}\alpha)_p$$ परिणामी संचालन को टेन्सर संकुचन और उत्पाद नियम के अनुकूल बनाने के लिए एक तरह से परिभाषित किया गया है। वह है, $$(\nabla_\mathbf{v}\alpha)_p$$ पी पर अद्वितीय एक-रूप के रूप में परिभाषित किया गया है जैसे कि निम्नलिखित पहचान पी के पड़ोस में सभी वेक्टर क्षेत्रों 'यू' के लिए संतुष्ट है $$\left(\nabla_\mathbf{v}\alpha\right)_p \left(\mathbf{u}_p\right) = \nabla_\mathbf{v}\left[\alpha\left(\mathbf{u}\right)\right]_p - \alpha_p\left[\left(\nabla_\mathbf{v}\mathbf{u}\right)_p\right].$$ एक सदिश क्षेत्र के साथ एक कोवेक्टर क्षेत्र का सहपरिवर्ती व्युत्पन्न $v$ फिर से एक कोवेक्टर क्षेत्र है।

टेन्सर क्षेत्र
एक बार सहसंयोजक व्युत्पन्न को वैक्टर और कोवेक्टर के क्षेत्रों के लिए परिभाषित किया जाता है, इसे टेन्सर क्षेत्रों की प्रत्येक जोड़ी के लिए निम्नलिखित पहचानों को लागू करके स्वैच्छिक टेन्सर (आंतरिक परिभाषा) क्षेत्रों के लिए परिभाषित किया जा सकता है। $$ \varphi$$ और $$\psi $$ बिंदु पी के पड़ोस में: $$\nabla_\mathbf{v}\left(\varphi \otimes \psi\right)_p = \left(\nabla_\mathbf{v}\varphi\right)_p \otimes \psi(p) + \varphi(p) \otimes \left(\nabla_\mathbf{v}\psi\right)_p,$$ और के लिए $$\varphi$$ और $$\psi$$ समान वैलेंस का $$\nabla_\mathbf{v}(\varphi + \psi)_p = (\nabla_\mathbf{v}\varphi)_p + (\nabla_\mathbf{v}\psi)_p.$$ एक सदिश क्षेत्र v के साथ एक टेंसर क्षेत्र का सहपरिवर्ती व्युत्पन्न फिर से उसी प्रकार का एक टेंसर क्षेत्र है।

स्पष्ट रूप से, 'टी' प्रकार का एक टेन्सर क्षेत्र होने दें (p, q). T को चिकने फंक्शन अनुभाग (फाइबर बंडल)  α का एक अलग-अलग बहुरेखीय नक्शा माना जाता है1, ए 2, ..., एकोटैंजेंट बंडल T का q∗M और सेक्शन X का1, एक्स2, …, एक्सp स्पर्शरेखा बंडल TM का, लिखा हुआ T(α1, ए 2, ..., एक्स1, एक्स2, …) को R में। Y के साथ T का सहसंयोजक व्युत्पन्न सूत्र द्वारा दिया गया है

$$\begin{align} (\nabla_Y T)\left(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, X_1, X_2, \ldots\right) = &{} \nabla_Y\left(T\left(\alpha_1,\alpha_2, \ldots, X_1, X_2, \ldots\right)\right) \\ &{}- T\left(\nabla_Y\alpha_1, \alpha_2, \ldots, X_1, X_2, \ldots\right) - T\left(\alpha_1, \nabla_Y\alpha_2, \ldots, X_1, X_2, \ldots\right) - \cdots \\ &{}- T\left(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \nabla_YX_1, X_2, \ldots\right) - T\left(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, X_1, \nabla_Y X_2, \ldots\right) - \cdots \end{align}$$

समन्वय विवरण
दिए गए समन्वय कार्य $$x^i,\ i=0,1,2,\dots ,$$ किसी भी स्पर्शरेखा वेक्टर को उसके घटकों के आधार पर वर्णित किया जा सकता है $$\mathbf{e}_i = \frac{\partial}{\partial x^i} .$$ बेस वेक्टर के साथ बेस वेक्टर का कोवैरिएंट डेरिवेटिव फिर से एक वेक्टर होता है और इसलिए इसे एक रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$\Gamma^k \mathbf{e}_k$$. सहसंयोजक व्युत्पन्न को निर्दिष्ट करने के लिए यह पर्याप्त है कि प्रत्येक आधार सदिश क्षेत्र के सहपरिवर्ती व्युत्पन्न को निर्दिष्ट किया जाए $$\mathbf{e}_i$$ साथ में $$\mathbf{e}_j$$. $$ \nabla_{\mathbf{e}_j} \mathbf{e}_i = {\Gamma^k}_{i j} \mathbf{e}_k,$$ गुणांक $$\Gamma^k_{i j}$$ स्थानीय निर्देशांक की एक प्रणाली के संबंध में कनेक्शन के घटक हैं। रीमैनियन और स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड्स के सिद्धांत में, स्थानीय निर्देशांक की एक प्रणाली के संबंध में लेवी-सिविता कनेक्शन के घटकों को क्रिस्टोफेल प्रतीक कहा जाता है।

फिर परिभाषा में नियमों का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि सामान्य सदिश क्षेत्रों के लिए $$\mathbf{v} = v^j \mathbf{e}_j $$ और $$\mathbf{u} = u^i \mathbf{e}_i$$ हम पाते हैं $$\begin{align} \nabla_\mathbf{v} \mathbf{u} &= \nabla_{v^j \mathbf{e}_j} u^i \mathbf{e}_i \\ &= v^j \nabla_{\mathbf{e}_j} u^i \mathbf{e}_i \\ &= v^j u^i \nabla_{\mathbf{e}_j} \mathbf{e}_i + v^j \mathbf{e}_i \nabla_{\mathbf{e}_j} u^i \\ &= v^j u^i {\Gamma^k}_{i j}\mathbf{e}_k + v^j{\partial u^i \over \partial x^j} \mathbf{e}_i \end{align}$$ इसलिए $$ \nabla_\mathbf{v} \mathbf{u} = \left(v^j u^i {\Gamma^k}_{i j} + v^j {\partial u^k\over\partial x^j} \right)\mathbf{e}_k .$$ इस सूत्र में पहला पद सहसंयोजक व्युत्पन्न के संबंध में समन्वय प्रणाली को घुमा देने के लिए और दूसरा सदिश क्षेत्र यू के घटकों के परिवर्तन के लिए जिम्मेदार है। विशेष रूप से $$\nabla_{\mathbf{e}_j} \mathbf{u} = \nabla_j \mathbf{u} = \left( \frac{\partial u^i}{\partial x^j} + u^k {\Gamma^i}_{kj} \right) \mathbf{e}_i $$ शब्दों में: सहसंयोजक व्युत्पन्न सामान्य व्युत्पन्न है जो निर्देशांक के साथ सुधार की शर्तों के साथ होता है जो बताता है कि निर्देशांक कैसे बदलते हैं।

covectors के लिए इसी तरह हमारे पास है $$\nabla_{\mathbf{e}_j} {\mathbf \theta} = \left( \frac{\partial \theta_i}{\partial x^j} - \theta_k {\Gamma^k}_{ij} \right) {\mathbf e^*}^i $$ कहाँ $${\mathbf e^*}^i (\mathbf{e}_j) = {\delta^i}_j$$.

एक प्रकार का सहपरिवर्ती व्युत्पन्न $(r, s)$ टेंसर फ़ील्ड साथ $$e_c$$ अभिव्यक्ति द्वारा दिया गया है:

$$\begin{align} {(\nabla_{e_c} T)^{a_1 \ldots a_r}}_{b_1 \ldots b_s} = {} &\frac{\partial}{\partial x^c}{T^{a_1 \ldots a_r}}_{b_1 \ldots b_s} \\ &+ \,{\Gamma ^{a_1}}_{dc} {T^{d a_2 \ldots a_r}}_{b_1 \ldots b_s} + \cdots + {\Gamma^{a_r}}_{dc} {T^{a_1 \ldots a_{r-1}d}}_{b_1 \ldots b_s} \\ &-\,{\Gamma^d}_{b_1 c} {T^{a_1 \ldots a_r}}_{d b_2 \ldots b_s} - \cdots - {\Gamma^d}_{b_s c} {T^{a_1 \ldots a_r}}_{b_1 \ldots b_{s-1} d}. \end{align}$$ या, शब्दों में: टेंसर का आंशिक व्युत्पन्न लें और जोड़ें: $$+{\Gamma^{a_i}}_{dc}$$ हर ऊपरी सूचकांक के लिए $$a_i$$, और $$-{\Gamma^d}_{b_ic}$$ हर निचले सूचकांक के लिए $$b_i$$.

यदि एक टेंसर के अतिरिक्त, एक टेंसर घनत्व (वजन +1) में अंतर करने की कोशिश कर रहा है, तो कोई एक शब्द भी जोड़ता है $$-{\Gamma^d}_{d c} {T^{a_1 \ldots a_r}}_{b_1 \ldots b_s}.$$ यदि यह भार W का टेन्सर घनत्व है, तो उस पद को W से गुणा करें। उदाहरण के लिए, $ \sqrt{-g}$ एक अदिश घनत्व (वजन +1) है, इसलिए हम प्राप्त करते हैं: $$\left(\sqrt{-g}\right)_{;c} = \left(\sqrt{-g}\right)_{,c} - \sqrt{-g}\,{\Gamma^d}_{d c}$$ जहां अर्धविराम; सहपरिवर्ती विभेदन और अल्पविराम को इंगित करता है, आंशिक विभेदन को इंगित करता है। संयोग से, यह विशेष अभिव्यक्ति शून्य के बराबर है, क्योंकि केवल मीट्रिक के एक फ़ंक्शन का सहसंयोजक व्युत्पन्न हमेशा शून्य होता है।

नोटेशन
भौतिक विज्ञान की पाठ्यपुस्तकों में सहपरिवर्ती अवकलज को कभी-कभी इस समीकरण में इसके घटकों के संदर्भ में सरलता से कहा जाता है।

अधिकांशतःएक संकेतन का उपयोग किया जाता है जिसमें सहसंयोजक व्युत्पन्न अर्धविराम के साथ दिया जाता है, जबकि एक सामान्य आंशिक व्युत्पन्न अल्पविराम द्वारा इंगित किया जाता है। इस संकेतन में हम इसे इस प्रकार लिखते हैं: $$ \nabla_{e_j} \mathbf{v} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ {v^s}_{;j}\mathbf{e}_s \;\;\;\;\;\; {v^i}_{;j} = {v^i}_{,j} + v^k {\Gamma^i}_{k j} $$ यदि अर्धविराम के बाद दो या दो से अधिक इंडेक्स दिखाई देते हैं, तो उन सभी को सहसंयोजक डेरिवेटिव के रूप में समझा जाना चाहिए: $$ \nabla_{e_k} \left( \nabla_{e_j} \mathbf{v} \right) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ {v^s}_{;jk}\mathbf{e}_s $$ कुछ पुराने ग्रंथों में (विशेष रूप से एडलर, बेज़िन और शिफर, सामान्य सापेक्षता का परिचय), सहसंयोजक व्युत्पन्न को एक डबल पाइप और आंशिक व्युत्पन्न को एकल पाइप द्वारा दर्शाया गया है: $$\nabla_{e_j} \mathbf{v} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ {v^i}_{||j} = {v^i}_{|j} + v^k {\Gamma^i}_{k j}$$

क्षेत्र प्रकार द्वारा सहपरिवर्ती व्युत्पन्न
एक अदिश क्षेत्र के लिए $$ \phi\,$$, सहसंयोजक विभेदीकरण केवल आंशिक विभेदन है: $$ \phi_{;a} \equiv \partial_a \phi$$ एक प्रतिपरिवर्ती सदिश क्षेत्र के लिए $$\lambda^a$$, अपने पास: $${\lambda^a}_{;b} \equiv \partial_b \lambda^a + {\Gamma^a}_{bc}\lambda^c$$ एक सहसंयोजक वेक्टर क्षेत्र के लिए $$\lambda_a$$, अपने पास: $$\lambda_{a;c} \equiv \partial_c \lambda_a - {\Gamma^b}_{c a}\lambda_b$$ एक प्रकार (2,0) टेंसर फ़ील्ड के लिए $$\tau^{a b}$$, अपने पास: $${\tau^{a b}}_{;c} \equiv \partial_c \tau^{a b} + {\Gamma^a}_{c d}\tau^{d b} + {\Gamma^b}_{c d}\tau^{a d} $$ एक प्रकार (0,2) टेंसर फ़ील्ड के लिए $$\tau_{a b}$$, अपने पास: $$\tau_{a b ;c} \equiv \partial_c \tau_{a b} - {\Gamma^d}_{c a}\tau_{d b} - {\Gamma^d}_{c b}\tau_{a d}$$ एक प्रकार (1,1) टेंसर फ़ील्ड के लिए $${\tau^{a}}_{b}$$, अपने पास: $${\tau^a}_{b;c}\equiv \partial_c {\tau^a}_b + {\Gamma^a}_{c d}{\tau^d}_b - {\Gamma^d}_{c b} {\tau^a}_d $$ उपरोक्त संकेतन अर्थ में है $${\tau^{a b}}_{;c} \equiv \left(\nabla_{\mathbf{e}_c}\tau\right)^{a b}$$

गुण
सामान्यतः, सहपरिवर्ती डेरिवेटिव कम्यूट नहीं करते हैं। उदाहरण के लिए, सदिश क्षेत्र के सहपरिवर्ती डेरिवेटिव $$\lambda_{a;bc} \neq \lambda_{a;cb}$$. रीमैन टेंसर $${R^d}_{abc} $$ इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि: $$ \lambda_{a;bc} - \lambda_{a;cb} = {R^d}_{abc}\lambda_d$$ या, समकक्ष, $$ {\lambda^a}_{;bc} - {\lambda^a}_{;cb} = -{R^a}_{dbc}\lambda^d$$ एक (2,0)-टेंसर क्षेत्र का सहपरिवर्ती व्युत्पन्न पूरा करता है: $$ {\tau^{ab}}_{;cd} - {\tau^{ab}}_{;dc} = -{R^a}_{ecd}\tau^{eb} - {R^b}_{ecd}\tau^{ae}$$ उत्तरार्द्ध को (सामान्यता के नुकसान के बिना) लेकर दिखाया जा सकता है $$\tau^{ab} = \lambda^a \mu^b $$.

एक वक्र के साथ व्युत्पन्न
सहसंयोजक व्युत्पन्न के बाद से $$\nabla_X T$$ एक टेंसर क्षेत्र का $$T$$ एक बिंदु पर $$p$$ केवल सदिश क्षेत्र के मान पर निर्भर करता है $$X$$ पर $$p$$ एक चिकनी वक्र के साथ सहसंयोजक व्युत्पन्न को परिभाषित कर सकता है $$\gamma(t)$$ कई गुना में: $$D_tT=\nabla_{\dot\gamma(t)}T.$$ ध्यान दें कि टेंसर फ़ील्ड $$T$$ केवल वक्र पर परिभाषित करने की आवश्यकता है $$\gamma(t)$$ इस परिभाषा को समझने के लिए।

विशेष रूप से, $$\dot{\gamma}(t)$$ वक्र के साथ एक सदिश क्षेत्र है $$\gamma$$ अपने आप। यदि $$\nabla_{\dot\gamma(t)}\dot\gamma(t)$$ लुप्त हो जाता है तो वक्र को सहसंयोजक व्युत्पन्न का जियोडेसिक कहा जाता है। यदि सहसंयोजक व्युत्पन्न एक मीट्रिक टेंसर का लेवी-सीविटा कनेक्शन है। सकारात्मक-निश्चित मीट्रिक तो कनेक्शन के लिए geodesics त्रुटिहीन रूप से मीट्रिक के जियोडेसिक्स हैं जो आर्क लंबाई # सामान्यीकरण से (छद्म-) रीमैनियन मैनिफोल्ड द्वारा पैरामीट्रिज किए गए हैं।

वक्र के साथ व्युत्पन्न का उपयोग वक्र के समानांतर समानांतर परिवहन को परिभाषित करने के लिए भी किया जाता है।

कभी-कभी एक वक्र के साथ सहसंयोजक व्युत्पन्न को निरपेक्ष या आंतरिक व्युत्पन्न कहा जाता है।

झूठ व्युत्पन्न से संबंध
एक सहसंयोजक व्युत्पत्ति कई गुना पर एक अतिरिक्त ज्यामितीय संरचना का परिचय देता है जो पड़ोसी स्पर्शरेखा स्थानों में वैक्टर की तुलना करने की अनुमति देता है: विभिन्न स्पर्शरेखा स्थानों से वैक्टर की तुलना करने का कोई प्रामाणिक विधि नहीं है क्योंकि कोई विहित समन्वय प्रणाली नहीं है।

चूंकि दिशात्मक डेरिवेटिव का एक और सामान्यीकरण है जो विहित है: लाई डेरिवेटिव, जो एक वेक्टर क्षेत्र के प्रवाह के साथ दूसरे वेक्टर क्षेत्र के परिवर्तन का मूल्यांकन करता है। इस प्रकार, एक खुले पड़ोस में दोनों सदिश क्षेत्रों को जानना चाहिए, केवल एक बिंदु पर नहीं। दूसरी ओर सहसंयोजक व्युत्पन्न किसी दिए गए दिशा में वैक्टर के लिए अपने स्वयं के परिवर्तन का परिचय देता है, और यह केवल एक बिंदु पर वेक्टर दिशा पर निर्भर करता है, अतिरिक्त एक बिंदु के खुले पड़ोस में वेक्टर क्षेत्र के अतिरिक्त। दूसरे शब्दों में, सहपरिवर्ती अवकलज रेखीय होता है (C से अधिक∞(M)) दिशा तर्क में, जबकि लाइ डेरिवेटिव न तो तर्क में रैखिक है।

ध्यान दें कि एंटीसिमेट्रिज्ड सहसंयोजक व्युत्पन्न $∇_{u}v − ∇_{v}u$, और लाई डेरिवेटिव $L_{u}v$ कनेक्शन के मरोड़ से भिन्न होता है, जिससे कि यदि कोई कनेक्शन मरोड़ मुक्त हो, तो इसका एंटीसिमेट्रिजेशन लाइ डेरिवेटिव है।

यह भी देखें

 * एफ़िन कनेक्शन
 * क्रिस्टोफेल प्रतीक
 * कनेक्शन (बीजीय ढांचा)
 * कनेक्शन (गणित)
 * कनेक्शन (वेक्टर बंडल)
 * कनेक्शन प्रपत्र
 * बाहरी सहसंयोजक व्युत्पन्न
 * गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न
 * सामान्य सापेक्षता के गणित का परिचय
 * लेवी-सिविता कनेक्शन
 * समानांतर परिवहन
 * घुंघराले पथरी
 * टेंसर व्युत्पन्न (सातत्य यांत्रिकी)
 * रीमानियन ज्यामिति में सूत्रों की सूची