समग्र बेज़ियर वक्र

ज्यामितीय मॉडलिंग और कंप्यूटर चित्रलेख में, समग्र बेज़ियर वक्र या बेज़ियर स्पलाइन (गणित) है जो बेज़ियर वक्रों से बना होता है जो कम से कम $$C^0$$ होता है सतत कार्य. दूसरे शब्दों में, समग्र बेज़ियर वक्र सिरे से दूसरे सिरे तक जुड़े हुए बेज़ियर वक्रों की श्रृंखला है जहां वक्र का अंतिम बिंदु अगले वक्र के प्रारंभिक बिंदु के साथ मेल खाता है। अनुप्रयोग के आधार पर, अतिरिक्त समतलता आवश्यकताएँ (जैसे $$C^1$$ या $$C^2$$ निरंतरता) जोड़ा जा सकता है। पॉलीलाइन की समानता से सतत मिश्रित बेज़ियर को पॉलीबेज़ियर भी कहा जाता है, किन्तु जहां पॉलीलाइनों में बिंदु सीधी रेखाओं से जुड़े होते हैं, वहीं पॉलीबेज़ियर में बिंदु बेज़ियर वक्रों से जुड़े होते हैं। बेज़ियरगॉन (जिसे बेज़िगॉन भी कहा जाता है) बेज़ियर वक्रों से बना विवृत पथ है | इस प्रकार बेज़ियर वक्र यह बहुभुज के समान है जिसमें यह शीर्षों (ज्यामिति) के समुच्चय को रेखाओं द्वारा जोड़ता है, किन्तु जहां बहुभुजों में शीर्ष सीधी रेखाओं से जुड़े होते हैं, वहीं बेज़ियरगोन में शीर्ष बेज़ियर वक्रों द्वारा जुड़े होते हैं।  कुछ लेखक तो 'a' $$C^0$$ भी कहते हैं  मिश्रित बेज़ियर वक्र से बेज़ियर वक्र का उपयोग किया जाता है; चूँकि बाद वाले शब्द का उपयोग अन्य लेखकों द्वारा (गैर-मिश्रित) बेज़ियर वक्र के पर्याय के रूप में किया जाता है, और वे समग्र स्थिति को दर्शाने के लिए बेज़ियर स्पलाइन के सामने मिश्रित जोड़ते हैं। इस प्रकार संभवतः समग्र बेज़ियर्स का सबसे सामान्य उपयोग परिशिष्ट भाग या पीडीएफ फ़ाइल में प्रत्येक अक्षर की रूपरेखा का वर्णन करना है। ऐसी रूपरेखाएँ टाइपफेस रचना के लिए बेज़िएर्गोन, या विवृत अक्षरों के लिए एकाधिक बेज़िएर्गोन से बनी होती हैं। आधुनिक वेक्टर ग्राफिक्स और कंप्यूटर फ़ॉन्ट सिस्टम जैसे पोस्टस्क्रिप्ट, एसिम्पटोट (वेक्टर ग्राफिक्स भाषा), मेटाफॉन्ट, संवृत प्रकार का और स्केलेबल वेक्टर ग्राफिक्स वृत्ताकार आकृतियों को चित्रित करने के लिए क्यूबिक बेज़ियर कर्व्स (तीसरे क्रम के कर्व्स) से बने मिश्रित बेज़ियर कर्व्स का उपयोग करते हैं।



सुचारू जुड़ाव
स्प्लिंस की सामान्यतः वांछित प्रोपर्टी उनके व्यक्तिगत वक्रों को निर्दिष्ट स्तर के पैरामीट्रिक या ज्यामितीय चिकनाई निरंतरता के साथ जोड़ना है। जबकि वक्र में अलग-अलग मोड़ पूरी तरह से हैं इस प्रकार $$C^\infin$$ अपने स्वयं के अंतराल के अन्दर निरंतर, जहां विभिन्न वक्र मिलते हैं वहां सदैव कुछ मात्रा में असंततता होती है।

बेज़ियर स्पलाइन इस प्रयोजन में अधिक अद्वितीय है कि यह उन कुछ स्प्लिंस में से है जो निरंतरता की किसी भी उच्च डिग्री $$C^0$$ की गारंटी नहीं देता है. चूँकि, जोड़ों में निरंतरता के विभिन्न स्तरों की गारंटी के लिए नियंत्रण बिंदुओं की व्यवस्था करना संभव है, चूँकि यदि बेज़ियर स्पलाइन की दी गई डिग्री के लिए बाधा बहुत सख्त है तो इससे स्थानीय नियंत्रण का हानि हो सकता है।

क्यूबिक बेज़ियर्स को सुचारू रूप से जोड़ना
क्रमशः नियंत्रण बिंदुओं $$[\mathbf  P_0,\mathbf  P_1,\mathbf  P_2,\mathbf  P_3]$$ और $$[\mathbf  P_3,\mathbf  P_4,\mathbf  P_5,\mathbf  P_6]$$ के साथ दो घन बेज़ियर वक्र दिए गए हैं, इस प्रकार $$\mathbf  P_3$$ पर निरंतरता सुनिश्चित करने के लिए बाधाओं को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है:

जबकि निम्नलिखित निरंतरता बाधाएँ संभव हैं, उन्हें क्यूबिक बेज़ियर स्प्लिन के साथ संभवतः ही कभी उपयोग किया जाता है, जैसे कि बी-पट्टी या बीटा-स्पलाइन या β-स्पलाइन जैसे अन्य स्प्लिन स्थानीय नियंत्रण खोए बिना स्वाभाविक रूप से उच्च बाधाओं को संभाल लेता है।
 * $$C^0/G^0$$ (स्थितीय निरंतरता) के लिए आवश्यक है कि वे ही बिंदु पर मिलते है, जो परिभाषा के अनुसार सभी बेज़ियर स्प्लिन करते हैं। इस उदाहरण में, साझा बिंदु $$\mathbf P_3$$ है
 * $$C^1$$ (वेग निरंतरता) के लिए आवश्यक है कि जोड़ के आसपास के वर्ग नियंत्रण बिंदु एक-दूसरे के दर्पण होते है। इस प्रकार दूसरे शब्दों में, उन्हें इसकी बाध्यता $$\mathbf P_4=2\mathbf  P_3-\mathbf  P_2$$ का पालन करना होता है
 * $$G^1$$ (स्पर्शरेखा निरंतरता) के लिए वर्ग नियंत्रण बिंदुओं को जुड़ने के साथ संरेखता की आवश्यकता होती है। यह उससे $$C^1$$ कम सख्त है निरंतरता, स्वतंत्रता की अतिरिक्त डिग्री छोड़ती है जिसे अदिश $$\beta_1$$ का उपयोग करके मानकीकृत किया जा सकता है . तब बाधा $$\mathbf  P_4=\mathbf  P_3+(\mathbf  P_3-\mathbf  P_2)\beta_1$$ को व्यक्त किया जा सकता है


 * $$C^2$$ त्वरण निरंतरता $$\mathbf P_5 =\mathbf  P_1+4(\mathbf  P_3-\mathbf  P_2)$$ द्वारा बाधित है चूँकि, इस बाधा को संपूर्ण क्यूबिक बेज़ियर स्पलाइन पर प्रयुक्त करने से स्पर्शरेखा बिंदुओं पर स्थानीय नियंत्रण का व्यापक हानि होता है। वक्र अभी भी वक्र में हर तीसरे बिंदु से होकर निकलता है, किन्तु इसके आकार पर नियंत्रण खो जाता है। इस प्रकार $$C^2$$ प्राप्त करने के लिए  क्यूबिक कर्व्स का उपयोग करके निरंतरता कों बनाये रखते है, इसके अतिरिक्त क्यूबिक यूनिफ़ॉर्म बी-स्पलाइन का उपयोग करने की अनुशंसा की जाती है, क्योंकि यह $$C^2$$ सुनिश्चित करता है  विशिष्ट बिंदुओं से निकलने की गारंटी न होने की मूल्य पर, स्थानीय नियंत्रण खोए बिना निरंतरता कों बनाये रखता है


 * $$G^2$$ (वक्रता निरंतरता) द्वारा बाधित है इस प्रकार $$\mathbf P_5=\mathbf  P_3+(\mathbf  P_3-\mathbf  P_2)(2\beta_1+\beta_1^2+\beta_2/2)+(\mathbf  P_1-\mathbf  P_2)\beta_1^2$$, की तुलना में स्वतंत्रता की दो डिग्री छोड़कर $$C^2$$, दो अदिश राशि के रूप में $$\beta_1$$ और $$\beta_2$$. ज्यामितीय निरंतरता की उच्च डिग्री संभव है, चूँकि वे तेजी से जटिल होती जा रही हैं
 * $$C^3$$ (जोल्ट निरंतरता) द्वारा बाधित है इस बाधा $$\mathbf P_6=\mathbf  P_3+(\mathbf  P_3-\mathbf  P_0)+6(\mathbf  P_1-\mathbf  P_2+\mathbf  P_3-\mathbf  P_2)$$ को क्यूबिक बेज़ियर स्पलाइन पर प्रयुक्त करने से स्थानीय नियंत्रण का पूर्ण हानि हो जाती है, इस प्रकार क्योंकि संपूर्ण स्पलाइन अब पूरी तरह से बाधित है और पहले वक्र के नियंत्रण बिंदुओं द्वारा परिभाषित है। वास्तव में, यह वास्तविक अब वक्र नहीं है, क्योंकि इसका आकार अब पहले वक्र को अनिश्चित काल तक एक्सट्रपलेशन करने के सामान्य है, जिससे यह $$C^3$$ निरंतर न केवल बनता है, किन्तु $$C^\infin$$, क्योंकि अलग-अलग वक्रों के बीच जोड़ अब उपस्थित नहीं हैं

अनुमानित वृत्ताकार चाप
यदि वृत्ताकार चाप मौलिक किसी विशेष वातावरण में समर्थित नहीं हैं, जिससे उन्हें बेज़ियर वक्रों द्वारा अनुमानित किया जा सकता है। सामान्यतः, आठ द्विघात खंड या चार घन खंडों का उपयोग वृत्त का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है। लंबाई $$\mathbf{k}$$ ज्ञात करना वांछनीय है नियंत्रण बिंदुओं की संख्या जिसके परिणामस्वरूप घन खंडों की दी गई संख्या के लिए सबसे कम सन्निकटन त्रुटि होती है।

चार वक्रों का उपयोग करना
प्रथम चतुर्थांश में केवल 90-डिग्री इकाई-वृत्ताकार चाप को ध्यान में रखते हुए, हम अंतबिंदुओं $$\mathbf{A}$$ और $$\mathbf{B}$$ को क्रमशः नियंत्रण बिंदुओं $$\mathbf{A}$$ और $$\mathbf{B}$$ के साथ परिभाषित करते हैं।, जैसा:



\begin{align} \mathbf{A} & = [0, 1] \\ \mathbf{A'} & = [\mathbf{k}, 1] \\ \mathbf{B'} & = [1, \mathbf{k}] \\ \mathbf{B} & = [1, 0] \\ \end{align} $$ घन बेज़ियर वक्र की परिभाषा से, हमारे पास है:


 * $$\mathbf{C}(t)=(1-t)^3\mathbf{A} + 3(1-t)^2t\mathbf{A'}+3(1-t)t^2\mathbf{B'}+t^3\mathbf{B}$$

कथन के साथ $$\mathbf{C}(t=0.5)$$ चाप के मध्यबिंदु के रूप में, हम निम्नलिखित दो समीकरण लिख सकते हैं:



\begin{align} \mathbf{C} &= \frac{1}{8}\mathbf{A} + \frac{3}{8}\mathbf{A'}+\frac{3}{8}\mathbf{B'}+\frac{1}{8}\mathbf{B} \\ \mathbf{C} &= \sqrt{1/2} = \sqrt{2}/2 \end{align} $$ x-निर्देशांक (और y-निर्देशांक के लिए समान रूप से) के लिए इन समीकरणों को हल करने से परिणाम मिलते हैं:


 * $$\frac{0}{8}\mathbf + \frac{3}{8}\mathbf{k}+\frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \sqrt{2}/2$$
 * $$\mathbf{k} = \frac{4}{3}(\sqrt{2} - 1) \approx 0.5522847498$$

चूँकि ध्यान दें कि परिणामी बेज़ियर वक्र पूरी तरह से वृत्त के बाहर है, जिसकी त्रिज्या का अधिकतम विचलन लगभग 0.00027 है। जैसे मध्यवर्ती बिंदुओं में छोटा सा सुधार जोड़कर उपयुक्त किया जाता है



\begin{align} \mathbf{A'} & = [\mathbf{k}+0.0009, 1-0.00103] \\ \mathbf{B'} & = [1-0.00103, \mathbf{k}+0.0009] , \end{align} $$ 1 तक त्रिज्या विचलन का परिमाण लगभग 3 के कारक से घटकर 0.000068 हो जाता है (अंतिम बिंदुओं पर अनुमानित वृत्त वक्र की व्युत्पत्ति की मूल्य पर)।

सामान्य स्थिति
हम क्यूबिक बेज़ियर वक्रों की मनमानी संख्या से त्रिज्या आर का एक वृत्त बना सकते हैं। मान लीजिए कि चाप बिंदु $$\mathbf{A}$$ से शुरू होता है और बिंदु $$\mathbf{B}$$ पर समाप्त होता है, जो x-अक्ष के ऊपर और नीचे समान दूरी पर रखा गया है, कोण $$\theta = 2\phi$$ का एक चाप फैला हुआ है


 * $$\begin{align}

\mathbf{A}_x &= R\cos(\phi) \\ \mathbf{A}_y &= R\sin(\phi) \\ \mathbf{B}_x &= \mathbf{A}_x \\ \mathbf{B}_y &= -\mathbf{A}_y \end{align}$$ नियंत्रण बिंदु इस प्रकार लिखे जा सकते हैं:
 * $$\begin{align}

\mathbf{A'}_x &= \frac{4R - \mathbf{A}_x}{3} \\ \mathbf{A'}_y &= \frac{(R - \mathbf{A}_x)(3R - \mathbf{A}_x)}{3\mathbf{A}_y} \\ \mathbf{B'}_x &= \mathbf{A'}_x \\ \mathbf{B'}_y &= -\mathbf{A'}_y \end{align}$$

फ़ॉन्ट
ट्रू टाइप फ़ॉन्ट द्विघात बेज़ियर वक्रों (द्वितीय क्रम वक्र) से बने मिश्रित बेज़ियर्स का उपयोग करते हैं। किसी निर्दिष्ट सटीकता के साथ कंप्यूटर फ़ॉन्ट के रूप में विशिष्ट प्रकार के डिज़ाइन का वर्णन करने के लिए, तीसरे क्रम के बेज़ियर्स को दूसरे क्रम के बेज़ियर्स की तुलना में कम डेटा की आवश्यकता होती है; और इस प्रकार विनिमय में इन्हें सीधी रेखाओं की श्रृंखला की तुलना में कम डेटा की आवश्यकता होती है। यह सही है, तथापि किसी सीधी रेखा खंड को परवलय के किसी खंड की तुलना में कम डेटा की आवश्यकता होती है; और इस प्रकार विनिमय में उस परवलयिक खंड को तीसरे क्रम के वक्र के किसी खंड की तुलना में कम डेटा की आवश्यकता होती है।

यह भी देखें

 * बी-वक्र