चेन (बीजगणितीय टोपोलॉजी)

बीजगणितीय टोपोलॉजी में, ए k-ज़ंजीर का एक औपचारिक रैखिक संयोजन है k-सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स में कोशिकाएं। साधारण परिसरों में (क्रमशः, घनीय परिसर), k-चेन का संयोजन है k-सरलताएं (क्रमशः, k-क्यूब्स),  लेकिन जरूरी नहीं कि जुड़ा हो। जंजीरों का उपयोग होमोलॉजी (गणित) में किया जाता है; समरूपता समूह के तत्व जंजीरों के समतुल्य वर्ग हैं।

परिभाषा
एक साधारण परिसर के लिए $$X$$, समूह $$C_n(X)$$ का $$n$$-की जंजीर $$X$$ द्वारा दिया गया है:

$$C_n(X) = \left\{ \sum\limits_i m_i \sigma_i | m_i \in \mathbb{Z} \right\}$$ कहाँ $$\sigma_i$$ एकवचन समरूपता हैं | एकवचन $$n$$-सरल $$X$$. ध्यान दें कि कोई भी तत्व $$C_n(X)$$ कनेक्टेड सिंपल कॉम्प्लेक्स होना जरूरी नहीं है।

जंजीरों पर एकीकरण
गुणांक (जो आमतौर पर पूर्णांक होते हैं) के साथ श्रृंखला में सरलताओं पर इंटीग्रल के रैखिक संयोजन को ले कर एकीकरण को जंजीरों पर परिभाषित किया जाता है। सभी के-चेन का सेट एक समूह बनाता है और इन समूहों के अनुक्रम को चेन कॉम्प्लेक्स कहा जाता है।

जंजीरों पर सीमा संचालक
एक श्रृंखला की सीमा श्रृंखला में सरलताओं की सीमाओं का रैखिक संयोजन है। के-श्रृंखला की सीमा एक (के-1)-श्रृंखला है। ध्यान दें कि एक सिम्प्लेक्स की सीमा एक सिम्प्लेक्स नहीं है, लेकिन 1 या -1 के गुणांक वाली एक श्रृंखला है - इस प्रकार चेन सीमा ऑपरेटर के तहत सरलताओं का बंद होना है।

'उदाहरण 1:' पथ की सीमा (टोपोलॉजी) इसके अंतबिंदुओं का औपचारिक अंतर है: यह एक दूरबीन राशि है। वर्णन करने के लिए, यदि 1-श्रृंखला $$c = t_1 + t_2 + t_3\,$$ बिंदु से पथ है $$v_1\,$$ इंगित करने के लिए $$v_4\,$$, कहाँ $$t_1=[v_1, v_2]\,$$, $$t_2=[v_2, v_3]\,$$ और $$t_3=[v_3, v_4]\,$$ इसके घटक 1-सिम्प्लेक्स हैं, फिर

$$\begin{align} \partial_1 c &= \partial_1(t_1 + t_2 + t_3)\\ &= \partial_1(t_1) + \partial_1(t_2) + \partial_1(t_3)\\ &= \partial_1([v_1, v_2]) + \partial_1([v_2, v_3]) + \partial_1([v_3, v_4]) \\ &= ([v_2]-[v_1]) + ([v_3]-[v_2]) + ([v_4]-[v_3]) \\ &= [v_4]-[v_1]. \end{align} $$ उदाहरण 2: त्रिभुज की सीमा इसके किनारों का एक औपचारिक योग है जिसमें चिन्हों को व्यवस्थित किया गया है ताकि सीमा को घड़ी की विपरीत दिशा में पार किया जा सके।

एक श्रृंखला को चक्र कहा जाता है जब इसकी सीमा शून्य होती है। एक श्रृंखला जो किसी अन्य श्रृंखला की सीमा होती है, सीमा कहलाती है। सीमाएं चक्र हैं, इसलिए शृंखलाएं एक शृंखला संकुल बनाती हैं, जिनके समरूपता समूह (साइकिल मोडुलो सीमाएं) सरल समरूपता (गणित) समूह कहलाते हैं।

उदाहरण 3: मूल बिंदु पर पंक्चर किए गए विमान में गैर-तुच्छ 1-समरूपता समूह है क्योंकि यूनिट सर्कल एक चक्र है, लेकिन सीमा नहीं है।

अंतर ज्यामिति में, चेन पर बाउंड्री ऑपरेटर और  बाहरी व्युत्पन्न  के बीच द्वैत को सामान्य स्टोक्स प्रमेय द्वारा व्यक्त किया जाता है।