निरंतर स्थिति

क्रम सिद्धांत में, एक सतत पोसेट एक आंशिक रूप से आदेशित सेट है जिसमें प्रत्येक तत्व अपने अनुमानित तत्वों का निर्देशित सेट सर्वोच्च होता है।

परिभाषाएँ
होने देना $$a,b\in P$$ पूर्व-आदेशित सेट के दो तत्व हों $$(P,\lesssim)$$. तो फिर हम कहते हैं $$a$$ अनुमानित $$b$$, या वो $$a$$ बहुत नीचे है $$b$$, यदि निम्नलिखित दो समकक्ष शर्तें पूरी होती हैं। अगर $$a$$ अनुमानित $$b$$, हम लिखते हैं $$a\ll b$$. सन्निकटन संबंध $$\ll$$ एक सकर्मक संबंध है जो मूल क्रम से कमजोर है, एंटीसिमेट्रिक संबंध भी है यदि $$P$$ आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट है, लेकिन जरूरी नहीं कि यह पूर्व आदेश हो। यह एक प्रीऑर्डर है यदि और केवल यदि $$(P,\lesssim)$$ आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करता है।
 * किसी भी निर्देशित सेट के लिए $$D\subseteq P$$ ऐसा है कि $$b\lesssim\sup D$$, वहां एक है $$d\in D$$ ऐसा है कि $$a\lesssim d$$.
 * किसी भी आदर्श के लिए (आदेश सिद्धांत) $$I\subseteq P$$ ऐसा है कि $$b\lesssim\sup I$$, $$a\in I$$.

किसी के लिए $$a\in P$$, होने देना
 * $$\mathop\Uparrow a=\{b\in L\mid a\ll b\}$$
 * $$\mathop\Downarrow a=\{b\in L\mid b\ll a\}$$

तब $$\mathop\Uparrow a$$ एक ऊपरी सेट है, और $$\mathop\Downarrow a$$ एक निचला सेट. अगर $$P$$ एक ऊपरी अर्धवृत्ताकार है, $$\mathop\Downarrow a$$ एक निर्देशित सेट है (अर्थात्, $$b,c\ll a$$ तात्पर्य $$b\vee c\ll a$$), और इसलिए एक आदर्श (आदेश सिद्धांत)।

एक पूर्व-आदेशित सेट $$(P,\lesssim)$$ यदि कोई हो तो इसे सतत पूर्व-आदेशित सेट कहा जाता है $$a\in P$$, उपसमुच्चय $$\mathop\Downarrow a$$ निर्देशित सेट है और $$a=\sup\mathop\Downarrow a$$.

प्रक्षेप गुण
किन्हीं दो तत्वों के लिए $$a,b\in P$$ एक सतत पूर्व-आदेशित सेट का $$(P,\lesssim)$$, $$a\ll b$$ यदि और केवल यदि किसी निर्देशित सेट के लिए $$D\subseteq P$$ ऐसा है कि $$b\lesssim\sup D$$, वहां एक है $$d\in D$$ ऐसा है कि $$a\ll d$$. इससे निरंतर पूर्व-आदेशित सेट की प्रक्षेप संपत्ति का पता चलता है $$(P,\lesssim)$$: किसी के लिए $$a,b\in P$$ ऐसा है कि $$a\ll b$$ वहां एक है $$c\in P$$ ऐसा है कि $$a\ll c\ll b$$.

सतत dcpos
किन्हीं दो तत्वों के लिए $$a,b\in P$$ एक सतत निर्देशित-पूर्ण आंशिक रूप से आदेशित सेट का $$(P,\le)$$, निम्नलिखित दो स्थितियाँ समतुल्य हैं। इसका उपयोग करके यह दिखाया जा सकता है कि निम्नलिखित मजबूत प्रक्षेप गुण निरंतर dcpos के लिए सत्य है। किसी के लिए $$a,b\in P$$ ऐसा है कि $$a\ll b$$ और $$a\ne b$$, वहां एक है $$c\in P$$ ऐसा है कि $$a\ll c\ll b$$ और $$a\ne c$$.
 * $$a\ll b$$ और $$a\ne b$$.
 * किसी भी निर्देशित सेट के लिए $$D\subseteq P$$ ऐसा है कि $$b\le\sup D$$, वहां एक है $$d\in D$$ ऐसा है कि $$a\ll d$$ और $$a\ne d$$.

निर्देशित-पूर्ण आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट के लिए $$(P,\le)$$, निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैं। इस मामले में, वास्तविक बायां जोड़ है
 * $$P$$ सतत है.
 * सर्वोच्च मानचित्र $$\sup \colon \operatorname{Ideal}(P)\to P$$ आदर्श (आदेश सिद्धांत) के आंशिक रूप से क्रमबद्ध सेट से $$P$$ को $$P$$ एक बायां जोड़ है.
 * $${\Downarrow} \colon P\to\operatorname{Ideal}(P)$$
 * $$\mathord\Downarrow\dashv\sup$$

सतत पूर्ण जालक
किन्हीं दो तत्वों के लिए $$a,b\in L$$ एक पूर्ण जाली का $$L$$, $$a\ll b$$ यदि और केवल यदि किसी उपसमुच्चय के लिए $$A\subseteq L$$ ऐसा है कि $$b\le\sup A$$, एक परिमित उपसमुच्चय है $$F\subseteq A$$ ऐसा है कि $$a\le\sup F$$.

होने देना $$L$$ एक पूर्ण जाली हो. फिर निम्नलिखित शर्तें समान हो जाती हैं।
 * $$L$$ सतत है.
 * सर्वोच्च मानचित्र $$\sup \colon \operatorname{Ideal}(L)\to L$$ के आदर्श (आदेश सिद्धांत) की पूरी जाली से $$L$$ को $$L$$ मनमानी सबसे कम को सुरक्षित रखता है।
 * किसी भी परिवार के लिए $$\mathcal D$$ के निर्देशित सेट के $$L$$, $$\textstyle\inf_{D\in\mathcal D}\sup D=\sup_{f\in\prod\mathcal D}\inf_{D\in\mathcal D}f(D)$$.
 * $$L$$ स्कॉट-निरंतर निष्क्रिय मानचित्र की छवि (गणित) के लिए समरूपी है $$r \colon \{0,1\}^\kappa\to\{0,1\}^\kappa$$ मनमाने ढंग से कई दो-बिंदु जाली के प्रत्यक्ष उत्पाद पर $$\{0,1\}$$.

एक सतत पूर्ण जालक को अक्सर सतत जालक कहा जाता है।

खुले सेट की जाली
टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए $$X$$, निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैं।
 * संपूर्ण हेयटिंग बीजगणित $$\operatorname{Open}(X)$$ के खुले सेट के $$X$$ एक सतत पूर्ण हेयटिंग बीजगणित है।
 * का शोक $$X$$ एक स्थानीय रूप से सघन स्थान है (इस अर्थ में कि प्रत्येक बिंदु का एक कॉम्पैक्ट सेट स्थानीय आधार है)
 * $$X$$ श्रेणी में एक घातांकीय वस्तु है $$\operatorname{Top}$$ टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का. अर्थात फनकार $$(-)\times X\colon\operatorname{Top}\to\operatorname{Top}$$ एक दायां जोड़ है.