लोमैक्स वितरण

लोमैक्स वितरण, सशर्त रूप से परेटो टाइप II वितरण भी कहा जाता है, जो व्यापार, अर्थशास्त्र, बीमांकिक विज्ञान, क्यूइंग सिद्धांत और इंटरनेट ट्रैफिक मॉडलिंग में उपयोग किया जाने वाला हेवी- टेल संभाव्यता वितरण है।  इसका नाम के.एस. लोमैक्स के नाम पर रखा गया है। यह अनिवार्य रूप से एक पेरेटो वितरण है जिसे स्थानांतरित कर दिया गया है ताकि इसका समर्थन शून्य से शुरू हो।

संभाव्यता घनत्व फलन
लोमैक्स वितरण के लिए संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन (पीडीएफ) आकार प्राचल ( शेप पैरामीटर) $$\alpha > 0$$ और स्केल पैरामीटर  $$\lambda > 0$$ के साथ दिया गया है
 * $$p(x) = {\alpha \over \lambda} \left[{1 + {x \over \lambda}}\right]^{-(\alpha+1)}, \qquad x \geq 0,$$

घनत्व को इस प्रकार से पुनः लिखा जा सकता है कि परेटो टाइप I वितरण से संबंध अधिक स्पष्ट रूप से दिखाई दे। वह है:
 * $$p(x) = {{\alpha\lambda^\alpha} \over {(x + \lambda)^{\alpha+1}}}$$.

अकेंद्रीय क्षण
$$\nu$$वें अकेंद्रीय क्षण $$E\left[X^\nu\right]$$ केवल तभी उपस्थित होता है जब आकार प्राचल $$\alpha$$ सख्ती से $$\nu$$, से अधिक हो, जब क्षण का मान हो
 * $$E\left(X^\nu\right) = \frac{\lambda^\nu \Gamma(\alpha - \nu)\Gamma(1 + \nu)}{\Gamma(\alpha)}$$

पेरेटो वितरण से संबंध
लोमैक्स वितरण एक पारेटो वितरण है जिसे स्थानांतरित किया गया है ताकि इसका समर्थन शून्य से शुरू हो। विशेष रूप से:
 * $$\text{If } Y \sim \mbox{Pareto}(x_m = \lambda, \alpha), \text{ then } Y - x_m \sim \mbox{Lomax}(\alpha,\lambda).$$

लोमैक्स वितरण xm=λ और μ=0 के साथ परेटो टाइप II वितरण है:
 * $$\text{If } X \sim \mbox{Lomax}(\alpha, \lambda) \text{ then } X \sim \text{P(II)}\left(x_m = \lambda, \alpha, \mu = 0\right).$$

सामान्यीकृत पेरेटो वितरण से संबंध
लोमैक्स वितरण सामान्यीकृत पेरेटो वितरण की एक विशेष स्थिति है। विशेष रूप से:
 * $$\mu = 0,~ \xi = {1 \over \alpha},~ \sigma = {\lambda \over \alpha} .$$

बीटा प्राइम वितरण से संबंध
स्केल पैरामीटर λ = 1 के साथ लोमैक्स वितरण बीटा प्राइम वितरण की एक विशेष स्थिति है। यदि X का लोमैक्स वितरण है, तो $$\frac{X}{\lambda} \sim \beta^\prime(1, \alpha)$$.

एफ वितरण से संबंध
आकार प्राचल α = 1 और स्केल पैरामीटर λ = 1 के साथ लोमैक्स वितरण में घनत्व $$f(x) = \frac{1}{(1 + x)^2}$$ का वितरण F(2,2) वितरण के समान है। यह घातांकीय वितरण के साथ दो स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर के अनुपात का वितरण है।

क्यू-घातांकीय वितरण से संबंध
लोमैक्स वितरण क्यू-घातीय वितरण की एक विशेष स्थिति है। क्यू-घातीय एक परिबद्ध अंतराल पर समर्थन करने के लिए इस वितरण का विस्तार करता है। लोमैक्स पैरामीटर द्वारा दिए गए हैं:
 * $$\alpha = {{2 - q} \over {q - 1}}, ~ \lambda = {1 \over \lambda_q(q - 1)} .$$

(लॉग-) तार्किक वितरण से संबंध
लोमैक्स (आकार = 1.0, स्केल = λ) वितरित चर का लघुगणक स्थान लॉग (λ) और स्केल 1.0 के साथ एक तार्किक वितरण का अनुसरण करता है।

इसका तात्पर्य है कि एक लोमैक्स (आकार = 1.0, स्केल = λ) -वितरण आकार β = 1.0 और स्केल α = लॉग (λ) के साथ लॉग-तार्किक वितरण के समान है।

गामा-घातीय (स्केल-) मिश्रण संबंध
लोमैक्स वितरण घातीय वितरण के एक यौगिक संभाव्यता वितरण के रूप में उत्पन्न होता है जहां दर का मिश्रण वितरण एक गामा वितरण होता है। यदि λ|k,θ ~ गामा (आकार = k, स्केल = θ) और  X|λ ~ घातांकी (दर= λ) तो X|k,θ का सीमांत वितरण लोमैक्स है (आकार = k, स्केल = 1/θ) )। चूंकि दर पैरामीटर को स्केल पैरामीटर के समतुल्य रूप से पुनर्गणना किया जा सकता है, इसलिए लोमैक्स वितरण में घातांकियों का एक स्केल मिश्रण होता है (प्रतिलोम-गामा वितरण के अनुगामी घातांकी स्केल पैरामीटर के साथ)।

यह भी देखें

 * विद्युत नियम
 * यौगिक संभाव्यता वितरण
 * हाइपरएक्सपोनेंशियल वितरण (घातांकों का परिमित मिश्रण)
 * सामान्य-घातीय-गामा वितरण (लोमैक्स मिश्रण वितरण के साथ एक सामान्य पैमाने का मिश्रण)