स्पाइरोग्राफ

स्पाइरोग्राफ ज्यामितीय आरेखण उपकरण है जो तकनीकी रूप से हाइपोट्रोकॉइड और एपिट्रोकॉइड के रूप में जाने वाले विभिन्न प्रकार के गणितीय रूलेट वक्रों का उत्पादन करता है। प्रसिद्ध खिलौना संस्करण ब्रिटिश इंजीनियर डेनिस फिशर द्वारा विकसित किया गया था और पहली बार 1965 में बेचा गया था।

डेनिस फिशर कंपनी का अधिग्रहण करने वाली कंपनी की खरीद के बाद 1998 से हैस्ब्रो इंक का एक पंजीकृत ट्रेडमार्क रहा है। कहुट्ज़ खिलौने द्वारा स्पाइरोग्राफ ब्रांड को 2013 में अपने मूल उत्पाद कॉन्फ़िगरेशन के साथ दुनिया भर में फिर से लॉन्च किया गया था।

इतिहास
1827 में, ग्रीक में जन्मे अंग्रेजी वास्तुकार और इंजीनियर पीटर ह्यूबर्ट डेसविग्नेस ने विस्तृत सर्पिल चित्र बनाने के लिए स्पाइराग्राफ विकसित और विज्ञापित किया था। जे. जोप्लिंग नाम के व्यक्ति ने जल्द ही दावा किया कि उसने पहले भी इसी तरह के तरीकों का आविष्कार किया था। 1845 और 1848 के बीच विएना में काम करते समय, डेसविग्नेस ने मशीन का संस्करण बनाया, जो नोटों की जालसाजी को रोकने में मदद करेगा, रूले पैटर्न के लगभग अंतहीन विविधताओं में से कोई भी जो इसे पैदा कर सकता था, रिवर्स इंजीनियर के लिए बेहद मुश्किल था। गणितज्ञ ब्रूनो अबकानोविक्ज़ ने 1881 और 1900 के बीच नए स्पाइरोग्राफ उपकरण का आविष्कार किया था। इसका उपयोग वक्रों द्वारा सीमांकित क्षेत्र की गणना के लिए किया गया था। गियर्स पर आधारित खिलौने 1908 के आसपास रहे, जब द मार्वलस वंडरग्राफ को सियर्स कैटलॉग में विज्ञापित किया गया था। 1913 में बॉयज़ मैकेनिक प्रकाशन में वंडरग्राफ ड्राइंग मशीन बनाने का वर्णन करने वाला लेख छपा था।

1962 और 1964 के बीच मेकानो के टुकड़ों के साथ ड्राइंग मशीन बनाकर ब्रिटिश इंजीनियर डेनिस फिशर द्वारा निश्चित स्पाइरोग्राफ खिलौना विकसित किया गया था। फिशर ने 1965 के नूर्नबर्ग अंतर्राष्ट्रीय खिलौना मेला में अपने स्पाइरोग्राफ का प्रदर्शन किया। बाद में इसे उनकी कंपनी ने बनाया था। अमेरिकी वितरण अधिकार केनर उत्पाद, इंक द्वारा अधिग्रहित किए गए, जिसने इसे 1966 में संयुक्त राज्य अमेरिका के बाजार में पेश किया और इसे रचनात्मक बच्चों के खिलौने के रूप में प्रचारित किया। केनर ने बाद में स्पिरोटॉट, मैग्नेटिक स्पाइरोग्राफ, स्पिरोमन और विभिन्न रिफिल सेट पेश किए।

2013 में कहुट्ज़ खिलौने द्वारा स्पाइरोग्राफ ब्रांड को मूल गियर और पहियों के साथ दुनिया भर में फिर से लॉन्च किया गया था। आधुनिक उत्पाद स्थिर टुकड़ों को जगह पर रखने के लिए पिन के स्थान पर हटाने योग्य पुट्टी का उपयोग करते हैं। स्पाइरोग्राफ, टॉय ऑफ द ईयर था (1967 में, और 2014 में दो श्रेणियों में टॉय ऑफ द ईयर फाइनलिस्ट)।

ऑपरेशन
मूल US-रिलीज़ स्पाइरोग्राफ में दो अलग-अलग आकार के प्लास्टिक के छल्ले (या स्टेटर) शामिल थे, जिसमें उनके परिधि के अंदर और बाहर दोनों तरफ गियर दांत थे। कई प्रदान किए गए गियरव्हील्स (या विक्ट: रोटर) में से कोई भी - जिसमें बॉलपॉइंट कलम के लिए छेद होते हैं रिंग के चारों ओर खींचा जा सकता है (ज्यामितीय आकार में)। बाद में, सुपर-स्पाइरोग्राफ ने अंगूठियां, त्रिकोण और सीधी सलाखों जैसे अतिरिक्त आकार पेश किए। प्रत्येक टुकड़े के सभी किनारों पर किसी अन्य टुकड़े को जोड़ने के लिए दांत होते हैं; छोटे गियर बड़े छल्लों के अंदर फिट हो जाते हैं, लेकिन वे छल्लों के बाहरी किनारे या एक दूसरे के चारों ओर भी घूम सकते हैं। गियर्स को कई अलग-अलग व्यवस्थाओं में जोड़ा जा सकता है। सेट में अक्सर विभिन्न रंगीन पेन शामिल होते हैं, जो रंगों को बदलकर एक डिज़ाइन को बढ़ा सकते हैं, जैसा कि यहां दिखाए गए उदाहरणों में देखा गया है।

शुरुआत में अक्सर गियर को खिसकाते हैं, खासकर जब बड़े पहियों के किनारे के पास छेद का उपयोग करते हैं, जिसके परिणामस्वरूप टूटी हुई या अनियमित रेखाएं होती हैं। अनुभवी उपयोगकर्ता एक दूसरे के संबंध में कई टुकड़ों को स्थानांतरित करना सीख सकते हैं ।

गणितीय आधार
एक निश्चित बाहरी वृत्त $$C_o$$ त्रिज्या का $$R$$ मूल पर केन्द्रित है। एक छोटा आंतरिक चक्र $$C_i$$ त्रिज्या के $$r < R$$ अंदर घूम रहा है, $$C_o$$ निरन्तर उससे स्पर्श करता रहता है। $$C_i$$ कभी फिसलने वाला नहीं माना जाएगा (एक वास्तविक स्पाइरोग्राफ में, दोनों सर्किलों पर दांत इस तरह की फिसलन को रोकते हैं)। अब मान लीजिए कि एक बिंदु $$A$$ अंदर कहीं पड़ा $$C_i$$ की दूरी पर स्थित है $$\rho<r$$ से $$C_i$$का केंद्र। बिंदु $$A$$ एक वास्तविक स्पाइरोग्राफ की आंतरिक डिस्क में पेन-होल से मेल खाती है। सामान्यता नुकसान के बिना यह माना जा सकता है कि प्रारंभिक क्षण में बिंदु $$A$$, $$X$$ एक्सिस पर था। स्पाइरोग्राफ द्वारा बनाए गए प्रक्षेपवक्र को खोजने के लिए, $$A$$ बिंदु का अनुसरण करें जैसा कि आंतरिक चक्र गति में सेट है।

अब दो बिंदु चिन्हित करें $$T$$ पर $$C_o$$ तथा $$B$$ पर $$C_i$$, बिंदु $$T$$ हमेशा उस स्थान को इंगित करता है जहां दो वृत्त स्पर्शरेखा होते हैं। बिंदु $$B$$हालांकि यात्रा करेंगे $$C_i$$, और इसका प्रारंभिक स्थान इसके साथ मेल खाता है $$T$$. सेटिंग के बाद $$C_i$$ चारों ओर वामावर्त गति में $$C_o$$, $$C_i$$ इसके केंद्र के संबंध में दक्षिणावर्त घुमाव है। वह दूरी जो इंगित करती है $$B$$ आगे बढ़ता है $$C_i$$ स्पर्शरेखा बिंदु द्वारा तय किए गए के समान है $$T$$ पर $$C_o$$, फिसलने की अनुपस्थिति के कारण।

अब निर्देशांक की नई (सापेक्ष) प्रणाली को परिभाषित करें $$(X', Y')$$ के केंद्र में इसकी उत्पत्ति के साथ $$C_i$$ और इसकी कुल्हाड़ियों के समानांतर $$X$$ तथा $$Y$$. चलो पैरामीटर $$t$$ वह कोण हो जिसके द्वारा स्पर्शरेखा बिंदु $$T$$ घूमता है $$C_o$$, तथा $$t'$$ वह कोण हो जिससे $$C_i$$ घूमता है (अर्थात जिसके द्वारा $$B$$ यात्रा) निर्देशांक की सापेक्ष प्रणाली में। क्योंकि कोई फिसलन नहीं है, जो दूरी तय करता है $$B$$ तथा $$T$$ इसलिए उनके संबंधित सर्कल समान होने चाहिए


 * $$tR = (t - t')r,$$

या समकक्ष,


 * $$t' = -\frac{R - r}{r} t.$$

यह मान लेना आम है कि वामावर्त गति कोण के धनात्मक परिवर्तन और दक्षिणावर्त गति कोण के ऋणात्मक परिवर्तन से मेल खाती है। उपरोक्त सूत्र में एक ऋण चिह्न ($$t' < 0$$) इस सम्मेलन को समायोजित करता है।

होने देना $$(x_c, y_c)$$ के केंद्र के निर्देशांक हो $$C_i$$ निर्देशांक की पूर्ण प्रणाली में। फिर $$R - r$$ के केंद्र के प्रक्षेपवक्र की त्रिज्या का प्रतिनिधित्व करता है $$C_i$$, जो (फिर से निरपेक्ष प्रणाली में) इस प्रकार परिपत्र गति से गुजरता है:


 * $$\begin{align}

x_c &= (R - r)\cos t,\\ y_c &= (R - r)\sin t. \end{align}$$ जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, $$t'$$ नई सापेक्ष प्रणाली में रोटेशन का कोण है। क्योंकि बिंदु $$A$$ परिपत्र गति के सामान्य नियम का पालन करता है, नए सापेक्ष समन्वय प्रणाली में इसके निर्देशांक $$(x', y')$$ हैं


 * $$\begin{align}

x' &= \rho\cos t',\\ y' &= \rho\sin t'. \end{align}$$ के प्रक्षेपवक्र प्राप्त करने के लिए $$A$$ निर्देशांक की पूर्ण (पुरानी) प्रणाली में, इन दो गतियों को जोड़ें:


 * $$\begin{align}

x &= x_c + x' = (R - r)\cos t + \rho\cos t',\\ y &= y_c + y' = (R - r)\sin t + \rho\sin t',\\ \end{align}$$ कहाँ पे $$\rho$$ ऊपर परिभाषित किया गया है।

अब, के बीच संबंध का उपयोग करें $$t$$ तथा $$t'$$ जैसा कि बिंदु के प्रक्षेपवक्र का वर्णन करने वाले समीकरणों को प्राप्त करने के लिए ऊपर दिया गया है $$A$$ एकल पैरामीटर के संदर्भ में $$t$$:


 * $$\begin{align}

x &= x_c + x' = (R - r)\cos t + \rho\cos \frac{R - r}{r}t,\\ y &= y_c + y' = (R - r)\sin t - \rho\sin \frac{R - r}{r}t\\ \end{align}$$ (इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि $$\sin$$ सम और विषम कार्य हैं)।

उपरोक्त समीकरण को त्रिज्या के संदर्भ में प्रस्तुत करना सुविधाजनक है $$R$$ का $$C_o$$ और आयाम रहित स्पाइरोग्राफ की संरचना का वर्णन करने वाले पैरामीटर। अर्थात्,


 * $$l = \frac{\rho}{r}$$

तथा


 * $$k = \frac{r}{R}.$$

पैरामीटर $$0 \le l \le 1$$ कितनी दूर बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है $$A$$ के केन्द्र से स्थित है $$C_i$$. एक ही समय पर, $$0 \le k \le 1$$ दर्शाता है कि आंतरिक चक्र कितना बड़ा है $$C_i$$ बाहरी के संबंध में है $$C_o$$.

अब देखने में आया है कि


 * $$\frac{\rho}{R} = lk,$$

और इसलिए प्रक्षेपवक्र समीकरण रूप लेते हैं


 * $$\begin{align}

x(t) &= R\left[(1 - k)\cos t + lk\cos \frac{1 - k}{k}t\right],\\ y(t) &= R\left[(1 - k)\sin t - lk\sin \frac{1 - k}{k}t\right].\\ \end{align}$$ पैरामीटर $$R$$ एक स्केलिंग पैरामीटर है और स्पाइरोग्राफ की संरचना को प्रभावित नहीं करता है। के विभिन्न मूल्य $$R$$ समानता (ज्यामिति) स्पाइरोग्राफ चित्र प्राप्त करेगा।

दो चरम मामले $$k = 0$$ तथा $$k = 1$$ स्पाइरोग्राफ के पतित प्रक्षेपवक्र में परिणाम। पहले चरम मामले में, कब $$k = 0$$, हमारे पास त्रिज्या का एक सरल वृत्त है $$R$$, उस मामले के अनुरूप जहां $$C_i$$ एक बिंदु में सिमट गया है। (द्वारा विभाजन $$k = 0$$ सूत्र में कोई समस्या नहीं है, क्योंकि दोनों $$\sin$$ तथा $$\cos$$ बंधे हुए कार्य हैं।)

दूसरा चरम मामला $$k = 1$$ आंतरिक चक्र से मेल खाता है $$C_i$$की त्रिज्या $$r$$ त्रिज्या से मेल खाता है $$R$$ बाहरी घेरे का $$C_o$$, अर्थात। $$r = R$$. इस मामले में प्रक्षेपवक्र एक बिंदु है। सहज रूप से, $$C_i$$ समान आकार के अंदर रोल करने के लिए बहुत बड़ा है $$C_o$$ बिना फिसले।

यदि $$l = 1$$, फिर बिंदु $$A$$ की परिधि में है $$C_i$$. इस मामले में प्रक्षेपवक्र को हाइपोसाइक्लोइड्स कहा जाता है और ऊपर दिए गए समीकरण हाइपोसाइक्लॉइड के लिए कम हो जाते हैं।

यह भी देखें

 * कारडायोड
 * अपसाइडल प्रीसेशन
 * साइक्लोग्राफ
 * ज्यामितीय खराद
 * गिलोच
 * हार्मोनोग्राफ
 * हाइपोट्रोकॉइड
 * लिसाजस वक्र
 * आवधिक कार्यों की सूची
 * किसी भी नाप का नक्शा इत्यादि खींचने का यंत्र
 * पंख काटना
 * गुलाब (गणित)
 * रोसेटा (कक्षा)
 * स्पाइरोग्राफ नेबुला, एक ग्रहीय नेबुला जो नाजुक, स्पाइरोग्राफ-जैसी तंतुओं को प्रदर्शित करता है।
 * तुसी युगल

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * ज्यामितिक
 * रूले (वक्र)
 * ग्रह नीहारिका
 * युगल लिखिए