अदिश वक्रता

रीमैनियन ज्यामिति के गणितीय क्षेत्र में, अदिश वक्रता या रिक्की अदिश रीमैनियन मैनिफोल्ड की वक्रता का एक माप है। रीमैनियन मैनिफोल्ड के प्रत्येक बिंदु पर यह उस बिंदु के निकट मीट्रिक की ज्यामिति द्वारा निर्धारित एक वास्तविक संख्या निर्दिष्ट करता है। इसे मीट्रिक घटकों के आंशिक व्युत्पन्न के संदर्भ में एक सम्मिश्र स्पष्ट सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, चूंकि यह असीम रूप से छोटी जियोडेसिक गेंदों की मात्रा की विशेषता भी है। इस प्रकार सतहों की अवकल ज्यामिति के संदर्भ में अदिश वक्रता गॉसियन वक्रता से दोगुनी होती है और पूरी तरह से सतह की वक्रता को दर्शाती है। चूंकि, उच्च आयामों में अदिश वक्रता रीमैन वक्रता टेंसर के केवल एक विशेष भाग का प्रतिनिधित्व करती है।

आंशिक व्युत्पन्न के माध्यम से अदिश वक्रता की परिभाषा स्यूडो -रिमानियन मैनिफोल्ड्स की अधिक सामान्य सेटिंग में भी मान्य होता है। यह सामान्य सापेक्षता में महत्वपूर्ण होता है, जहां लोरेंट्ज़ियन मीट्रिक की अदिश वक्रता आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों में प्रमुख शब्दों में से एक है। इसके अतिरिक्त यह अदिश वक्रता आइंस्टीन-हिल्बर्ट क्रिया के लिए लैग्रेंजियन क्षेत्र सिद्धांत है, जिसके यूलर-लैग्रेंज समीकरण निर्वात में आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण हैं।

धनात्मक अदिश वक्रता के साथ रीमैनियन मेट्रिक्स की ज्यामिति का व्यापक रूप से अध्ययन किया गया है। इस प्रकार गैर-कॉम्पैक्ट स्थानों पर यह 1970 के दशक में रिचर्ड स्कोन और शिंग-तुंग याउ द्वारा सिद्ध किए गए धनात्मक द्रव्यमान प्रमेय का संदर्भ है और इसके तुरंत बाद एडवर्ड विटेन द्वारा विभिन्न तकनीकों के साथ पुन: प्रस्तुत किया गया है। इस प्रकार स्कोएन और याउ और स्वतंत्र रूप से मिखाइल ग्रोमोव गणितज्ञ और ब्लेन लॉसन ने धनात्मक अदिश वक्रता के मेट्रिक्स का समर्थन करने वाले बंद मैनिफोल्ड्स की टोपोलॉजी पर कई मौलिक परिणाम विकसित किए है। उनके परिणामों के संयोजन में,  ग्रिगोरी पेरेलमैन द्वारा 2003 में सर्जरी के साथ रिक्की प्रवाह के निर्माण ने त्रि-आयामी स्थिति में इन टोपोलॉजी का संपूर्ण लक्षण का वर्णन प्रस्तुत किया गया है।

परिभाषा
एक रीमैनियन मीट्रिक दिया गया $g$, अदिश वक्रता S सामान्यता R या Sc को मीट्रिक के संबंध में रिक्की वक्रता टेंसर के ट्रेस (रैखिक बीजगणित) के रूप में परिभाषित किया गया है


 * $$S = \operatorname{tr}_g \operatorname{Ric}.$$

अदिश वक्रता की गणना सीधे रिक्की वक्रता से नहीं की जा सकती है क्योंकि रिक्की वक्रता एक (0,2) टेंसर क्षेत्र है इस प्रकार ट्रेस लेने के लिए मीट्रिक का उपयोग इंडेक्स को बढ़ाने के लिए (1,1) टेंसर क्षेत्र प्राप्त करने के लिए किया जाना चाहिए। स्थानीय निर्देशांक के संदर्भ में कोई भी आइंस्टीन संकेतन कन्वेंशन का उपयोग करके लिख सकता है कि:
 * $$S = g^{ij}R_{ij}$$

जहाँ $R_{ij} = Ric(∂_{i}, ∂_{j})$ समन्वय आधार में रिक्की टेंसर के घटक होते है और जहाँ $g^{ij}$ मीट्रिक टेंसर घटक हैं, अर्थात मीट्रिक घटकों के व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स के घटक $g_{ij} = g(∂_{i}, ∂_{j})$. रिक्की वक्रता अनुभागीय वक्रता के योग के आधार पर अदिश वक्रता को इस प्रकार व्यक्त करना संभव होता है
 * $$S(p)=\sum_{i\neq j}\operatorname{sec}(e_i,e_j)$$

जहाँ सेक अनुभागीय वक्रता को दर्शाता है और $e_{1}, ..., e_{n}$ p पर कोई ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम है। इसी तरह के तर्क के अनुसार, अदिश वक्रता रीमैनियन मैनिफोल्ड्स की वक्रता के निशान से दोगुनी होती है। वैकल्पिक रूप से, क्रिस्टोफ़ेल प्रतीकों के संदर्भ में रिक्की वक्रता की समन्वय आधारित परिभाषा को देखते हुए अदिश वक्रता को इस प्रकार व्यक्त करना संभव होता है,



S = g^{\mu \nu} \left({\Gamma^\lambda}_{\mu\nu,\lambda} - {\Gamma^\lambda}_{\mu\lambda,\nu} + {\Gamma^\sigma}_{\mu \nu}{\Gamma^\lambda}_{\lambda \sigma} - {\Gamma^\sigma}_{\mu \lambda}{\Gamma^\lambda}_{\nu \sigma}\right) $$ जहाँ $${\Gamma^\mu}_{\nu \lambda}$$ मीट्रिक के क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक हैं और $${\Gamma^\mu}_{\nu \lambda,\sigma}$$ का आंशिक व्युत्पन्न $${\Gamma^\mu}_{\nu \lambda}$$ है और σ-समन्वय दिशा में है।

उपरोक्त परिभाषाएँ स्यूडो -रिमानियन मीट्रिक के लिए समान रूप से मान्य होती है। लोरेंत्ज़ियन मेट्रिक्स की विशेष स्थिति सामान्य सापेक्षता के गणितीय सिद्धांत में महत्वपूर्ण होती है, जहां अदिश वक्रता और रिक्की वक्रता आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण में मौलिक शब्द के रूप में है।

चूंकि, रीमैन वक्रता टेंसर या रिक्की टेंसर के विपरीत अदिश वक्रता को एक यादृच्छिक एफ़िन कनेक्शन के लिए परिभाषित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि इस कारण से (0,2) टेंसर क्षेत्र का ट्रेस खराब परिभाषित है। चूंकि, अदिश वक्रता के अन्य सामान्यीकरण भी होते हैं, जिनमें फिन्सलर ज्यामिति भी सम्मिलित है।

पारंपरिक संकेतन
टेंसर इंडेक्स नोटेशन के संदर्भ में, अक्षर का उपयोग करना आम है $R$ तीन अलग-अलग चीजों का प्रतिनिधित्व करने के लिए:
 * 1) रीमैन वक्रता टेंसर: $R_{ijk}^{l}$ या $R_{ijkl}$
 * 2) रिक्की टेंसर: $R_{ij}$
 * 3) अदिश वक्रता: $R$

फिर इन तीनों को उनके सूचकांकों की संख्या के आधार पर एक दूसरे से अलग किया जाता है: रीमैन टेंसर में चार सूचकांक होते हैं, रिक्की टेंसर में दो सूचकांक होते हैं, और रिक्की अदिश में शून्य सूचकांक होते हैं। अदिश वक्रता के लिए उपयोग किए जाने वाले अन्य संकेतन में सम्मिलित हैं $scal$, $&kappa;$, $K$, $r$, $s$ या $S$, और $&tau;$.

जो लोग इंडेक्स नोटेशन का उपयोग नहीं करते हैं वे सामान्यता पूर्ण रीमैन वक्रता टेंसर के लिए आर आरक्षित करते हैं। वैकल्पिक रूप से, समन्वय-मुक्त संकेतन में कोई रीमैन टेंसर के लिए रीम, रिक्की टेंसर के लिए रिक और अदिश वक्रता के लिए आर का उपयोग कर सकता है।

इसके बजाय कुछ लेखक रिक्की वक्रता और अदिश वक्रता को सामान्यीकरण कारक के साथ परिभाषित करते हैं, ताकि
 * $$R_{ij}=\frac{1}{n-1}g^{kl}R_{kijl}\text{ and }R=\frac{1}{n}g^{ij}R_{ij}.$$

इस तरह के विकल्प का उद्देश्य यह है कि रिक्की और अदिश वक्रताएं अनुभागीय वक्रता के औसत मान (योग के बजाय) बन जाएं।

बुनियादी गुण
यह एक मौलिक तथ्य है कि आइसोमेट्री के तहत अदिश वक्रता अपरिवर्तनीय है। सटीक होने के लिए, यदि $f$ एक अंतरिक्ष से भिन्नता है $M$ एक स्थान के लिए $N$, बाद वाला एक (स्यूडो -)रीमैनियन मीट्रिक से सुसज्जित है $g$, फिर पुलबैक (अंतर ज्यामिति) का अदिश वक्रता $M$ की अदिश वक्रता की संरचना के बराबर है $g$ मानचित्र के साथ $f$. यह इस दावे के बराबर है कि अदिश वक्रता ज्यामितीय रूप से अच्छी तरह से परिभाषित है, समन्वय चार्ट या स्थानीय फ्रेम के किसी भी विकल्प से स्वतंत्र है। अधिक सामान्यतः, जैसा कि समरूपता की भाषा में कहा जा सकता है, एक स्थिर कारक द्वारा मीट्रिक को स्केल करने का प्रभाव $c$ व्युत्क्रम कारक द्वारा अदिश वक्रता को मापना है $c^{−1}$.

इसके अलावा, अदिश वक्रता (सामान्यीकरण कारक की मनमानी पसंद तक) मीट्रिक का एकमात्र समन्वय-स्वतंत्र कार्य है, जो सामान्य निर्देशांक के केंद्र में मूल्यांकन किया गया है, मीट्रिक के डेरिवेटिव में एक बहुपद है और उपरोक्त स्केलिंग है संपत्ति। यह वर्मील प्रमेय का एक सूत्रीकरण है।

बियान्ची पहचान
बियांची पहचान के प्रत्यक्ष परिणाम के रूप में, किसी भी (स्यूडो -)रिमानियन मीट्रिक में वह गुण होता है जो
 * $$\frac{1}{2}\nabla_iR=g^{jk}\nabla_jR_{ki}.$$

इस पहचान को अनुबंधित बियांची पहचान कहा जाता है। इसका, लगभग तात्कालिक परिणाम के रूप में, शूर का लेम्मा (रिमानियन ज्यामिति) बताता है कि यदि रिक्की टेंसर बिंदुवार मीट्रिक का एक गुणक है, तो मीट्रिक आइंस्टीन मैनिफोल्ड होना चाहिए (जब तक कि आयाम दो न हो)। इसके अलावा, यह कहता है कि (दो आयामों को छोड़कर) एक मीट्रिक आइंस्टीन है यदि और केवल यदि रिक्की टेंसर और अदिश वक्रता संबंधित हैं
 * $$R_{ij}=\frac{1}{n}Rg_{ij},$$

जहाँ $n$ आयाम को दर्शाता है. अनुबंधित बियांची पहचान सामान्य सापेक्षता के गणित में भी मौलिक है, क्योंकि यह आइंस्टीन टेंसर को मौलिक मात्रा के रूप में पहचानती है।

रिक्की अपघटन
एक (स्यूडो -)रिमानियन मीट्रिक दिया गया $g$ आयाम के एक स्थान पर $n$, रीमैन वक्रता टेंसर का अदिश वक्रता भाग (0,4)-टेंसर क्षेत्र है
 * $$\frac{1}{n(n-1)}R(g_{il}g_{jk}-g_{ik}g_{jl}).$$

(यह उस परिपाटी का अनुसरण करता है $R_{ijkl} = g_{lp}∂_{i}&Gamma;_{jk}^{p} − ...$.) यह टेंसर रिक्की अपघटन के भाग के रूप में महत्वपूर्ण है; यह रीमैन टेंसर और स्वयं के बीच अंतर के लिए ऑर्थोगोनल है। रिक्की अपघटन के अन्य दो भाग रिक्की वक्रता के घटकों से मेल खाते हैं जो अदिश वक्रता में योगदान नहीं करते हैं, और वेइल टेंसर से मेल खाते हैं, जो रीमैन टेंसर का हिस्सा है जो रिक्की वक्रता में योगदान नहीं करता है। अलग ढंग से कहें तो, उपरोक्त टेंसर क्षेत्र रीमैन वक्रता टेंसर का एकमात्र हिस्सा है जो  अदिश वक्रता में योगदान देता है; अन्य हिस्से इसके ओर्थोगोनल हैं और ऐसा कोई योगदान नहीं देते हैं। काहलर मीट्रिक की वक्रता के लिए एक रिक्की अपघटन भी है।

मूल सूत्र
अनुरूप ज्यामिति की अदिश वक्रता की गणना की जा सकती है:
 * $$R(e^{2f}g)=e^{-2f}\Big(R(g)-2(n-1)\Delta^gf-(n-2)(n-1)g(df,df)\Big),$$

कन्वेंशन का उपयोग करना $&Delta; = g^{ij }∇_{i}∇_{j}$ लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर के लिए। वैकल्पिक रूप से,
 * $$R(\psi^{4/(n-2)}g)=-\frac{4\frac{n-1}{n-2}\Delta^g\psi-R(g)\psi}{\psi^{\frac{n+2}{n-2}}}.$$

अंतर्निहित मीट्रिक में एक अत्यंत सूक्ष्म परिवर्तन के तहत, किसी के पास है
 * $$\frac{\partial R}{\partial t}=-\Delta^g\left(g^{ij}\frac{\partial g_{ij}}{\partial t}\right)+\left(\nabla_k\nabla_l\frac{\partial g_{ij}}{\partial t}-R_{kl}\frac{\partial g_{ij}}{\partial t}\right)g^{ik}g^{jl}.$$

यह विशेष रूप से दर्शाता है कि अंतर ऑपरेटर का मुख्य प्रतीक जो एक मीट्रिक को उसके अदिश वक्रता पर भेजता है, द्वारा दिया गया है
 * $$(\xi_i,h_{ij})\mapsto -g(\xi,\xi)g^{ij}h_{ij}+h_{ij}\xi^i\xi^j.$$

इसके अलावा रैखिककृत अदिश वक्रता संचालिका का जोड़ है
 * $$f\mapsto \nabla_i\nabla_jf-(\Delta f)g_{ij}-fR_{ij},$$

और रीमैनियन मीट्रिक के स्थिति में यह एक अतिनिर्धारित अण्डाकार ऑपरेटर है। यह पहले भिन्नता सूत्रों का एक सीधा परिणाम है कि, पहले क्रम में, एक बंद मैनिफोल्ड पर एक रिक्की-फ्लैट रीमैनियन मीट्रिक को विकृत नहीं किया जा सकता है ताकि या तो धनात्मक या नकारात्मक अदिश वक्रता हो। इसके अलावा पहले क्रम में, एक बंद मैनिफोल्ड पर एक आइंस्टीन मीट्रिक को वॉल्यूम सामान्यीकरण के तहत विकृत नहीं किया जा सकता है ताकि  अदिश वक्रता को बढ़ाया या घटाया जा सके।

आयतन और रीमैनियन अदिश वक्रता के बीच संबंध
जब किसी बिंदु पर अदिश वक्रता धनात्मक होती है, तो बिंदु के चारों ओर एक छोटी जियोडेसिक गेंद का आयतन यूक्लिडियन अंतरिक्ष में समान त्रिज्या की एक गेंद की तुलना में छोटा होता है। दूसरी ओर, जब किसी बिंदु पर अदिश वक्रता ऋणात्मक होती है, तो एक छोटी गेंद का आयतन यूक्लिडियन अंतरिक्ष की तुलना में बड़ा होता है।

रीमैनियन एन-मैनिफोल्ड के एक बिंदु पी पर अदिश वक्रता एस के सटीक मूल्य को चिह्नित करने के लिए इसे और अधिक मात्रात्मक बनाया जा सकता है। $$(M,g)$$. अर्थात्, त्रिज्या ε की एक गेंद के एन-आयामी आयतन का यूक्लिडियन अंतरिक्ष में संबंधित गेंद के एन-आयामी आयतन का अनुपात, छोटे ε के लिए, द्वारा दिया गया है

\frac{\operatorname{Vol}(B_\varepsilon(p) \subset M)}{\operatorname{Vol}\left(B_\varepsilon(0)\subset {\mathbb R}^n\right)} = 1 - \frac{S}{6(n + 2)}\varepsilon^2 + O\left(\varepsilon^3\right). $$ इस प्रकार, इस अनुपात का दूसरा व्युत्पन्न, त्रिज्या ε = 0 पर मूल्यांकन किया गया है, जो 3 (n + 2) से विभाजित अदिश वक्रता को बिल्कुल घटा देता है।

इन गेंदों की सीमाएँ (n − 1)-आयामी N-त्रिज्या का गोला हैं $$\varepsilon$$; उनके हाइपरसरफेस माप (क्षेत्र) निम्नलिखित समीकरण को संतुष्ट करते हैं:


 * $$\frac{\operatorname{Area} (\partial B_\varepsilon(p) \subset M)}{\operatorname{Area}(\partial B_\varepsilon(0)\subset {\mathbb R}^n)} = 1 - \frac{S}{6n} \varepsilon^2 + O\left(\varepsilon^3\right).$$

ये विस्तार कुछ बर्ट्रेंड-डिगुएट-पुइसेक्स प्रमेय को आयाम दो से उच्च आयामों तक सामान्यीकृत करते हैं।

सतहें
दो आयामों में, अदिश वक्रता गॉसियन वक्रता से ठीक दोगुनी है। यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक एम्बेडेड सतह के लिए आर3, इसका मतलब ये है


 * $$ S = \frac{2}{\rho_1\rho_2}\,$$

जहाँ $$\rho_1,\,\rho_2$$ सतह की प्रमुख वक्रता हैं। उदाहरण के लिए, त्रिज्या r के 2-गोले की अदिश वक्रता 2/r के बराबर है2.

2-आयामी रीमैन वक्रता टेंसर में केवल एक स्वतंत्र घटक होता है, और इसे व्यक्त किया जा सकता है अदिश वक्रता और मीट्रिक क्षेत्र रूप के संदर्भ में। अर्थात्, किसी भी समन्वय प्रणाली में, किसी के पास होता है


 * $$2R_{1212} \,= S \det (g_{ij}) = S\left[g_{11}g_{22} - (g_{12})^2\right].$$

अंतरिक्ष रूप
एक अंतरिक्ष रूप परिभाषा के अनुसार निरंतर अनुभागीय वक्रता के साथ एक रीमानियन मैनिफोल्ड है। अंतरिक्ष रूप निम्नलिखित प्रकारों में से एक के लिए स्थानीय रूप से सममितीय हैं: Euclidean space:The Riemann tensor of an n-dimensional Euclidean space vanishes identically, so the scalar curvature does as well. n-spheres:The sectional curvature of an n-sphere of radius r is K = 1/r2. Hence the scalar curvature is S = n(n &minus; 1)/r2. Hyperbolic space:By the hyperboloid model, an n-dimensional hyperbolic space can be identified with the subset of (n + 1)-dimensional Minkowski space
 * $x_0^2 - x_1^2 - \cdots - x_n^2 = r^2,\quad x_0 > 0.$

The parameter r is a geometrical invariant of the hyperbolic space, and the sectional curvature is K = −1/r2. The scalar curvature is thus S = −n(n − 1)/r2. स्थिर होलोमोर्फिक अनुभागीय वक्रता का काहलर मीट्रिक दिए जाने पर अदिश वक्रता भी स्थिर होती है।

उत्पाद
रीमैनियन मैनिफोल्ड्स के उत्पाद स्थान एम × एन की अदिश वक्रता एम और एन के अदिश वक्रता का योग है। उदाहरण के लिए, किसी भी चिकने मैनिफोल्ड बंद मैनिफोल्ड एम, एम × एस के लिए2में धनात्मक अदिश वक्रता का एक मीट्रिक है, बस 2-गोले को एम की तुलना में छोटा मानकर (ताकि इसकी वक्रता बड़ी हो)। यह उदाहरण सुझाव दे सकता है कि अदिश वक्रता का मैनिफोल्ड की वैश्विक ज्यामिति से बहुत कम संबंध है। वास्तव में, इसका कुछ वैश्विक महत्व है, जैसा कि चर्चा की गई अदिश वक्रता#धनात्मक अदिश वक्रता।

गणित और सामान्य सापेक्षता दोनों में, विकृत उत्पाद मेट्रिक्स उदाहरणों का एक महत्वपूर्ण स्रोत हैं। उदाहरण के लिए, सामान्य फ्रीडमैन-लेमैत्रे-रॉबर्टसन-वॉकर मीट्रिक|रॉबर्टसन-वॉकर स्पेसटाइम, ब्रह्मांड विज्ञान के लिए महत्वपूर्ण, लोरेंत्ज़ियन मीट्रिक है
 * $$-dt^2+f(t)^2 g$$

पर $(a, b) × M$, जहाँ $g$ एक स्थिर वक्रता है| त्रि-आयामी मैनिफोल्ड पर निरंतर-वक्रता रीमैनियन मीट्रिक $M$. रॉबर्टसन-वॉकर मीट्रिक की अदिश वक्रता दी गई है
 * $$6\frac{f'(t)^2+f(t)f''(t)+6k}{f(t)^2},$$

जहाँ $k$ की निरंतर वक्रता है $g$.

अदिश-समतल स्थान
यह स्वचालित है कि किसी भी रिक्की-फ्लैट मैनिफोल्ड में शून्य अदिश वक्रता होती है; इस वर्ग में सबसे प्रसिद्ध स्थान कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड्स हैं। स्यूडो -रिमानियन संदर्भ में, इसमें श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक और केर स्पेसटाइम भी सम्मिलित है।

शून्य अदिश वक्रता लेकिन गैर-लुप्त होने वाली रिक्की वक्रता वाले मेट्रिक्स हैं। उदाहरण के लिए, वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान पर टॉटोलॉजिकल लाइन बंडल पर एक पूर्ण रीमैनियन मीट्रिक है, जो एक विकृत उत्पाद मीट्रिक के रूप में निर्मित है, जिसमें शून्य अदिश वक्रता है लेकिन गैर-शून्य रिक्की वक्रता है। इसे सिलेंडर पर शून्य अदिश वक्रता के घूर्णी रूप से सममित रीमैनियन मीट्रिक के रूप में भी देखा जा सकता है $R × S^{n}$.

यामाबे समस्या
यामाबे समस्या का समाधान 1984 में हिदेहिको यामाबे, नील ट्रुडिंगर, थिएरी औबिन और रिचर्ड स्कोएन द्वारा प्राप्त परिणामों के संयोजन से किया गया था। उन्होंने साबित किया कि एक बंद मैनिफोल्ड पर प्रत्येक चिकनी रीमैनियन मीट्रिक को निरंतर अदिश वक्रता के साथ एक मीट्रिक प्राप्त करने के लिए कुछ चिकनी धनात्मक फ़ंक्शन से गुणा किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, एक बंद मैनिफ़ोल्ड पर प्रत्येक रीमैनियन मीट्रिक निरंतर  अदिश वक्रता वाले एक के अनुरूप ज्यामिति है।

धनात्मक अदिश वक्रता के रीमैनियन मेट्रिक्स
एक बंद रीमैनियन 2-मैनिफोल्ड एम के लिए, अदिश वक्रता का एम की टोपोलॉजी से स्पष्ट संबंध है, जो गॉस-बोनट प्रमेय द्वारा व्यक्त किया गया है: एम की कुल  अदिश वक्रता 4 के बराबर है$\pi$ एम की यूलर विशेषता का गुना। उदाहरण के लिए, धनात्मक  अदिश वक्रता के मैट्रिक्स के साथ एकमात्र बंद सतहें धनात्मक यूलर विशेषता वाली हैं: क्षेत्र एस2और वास्तविक प्रक्षेप्य तल|आरपी2. साथ ही, उन दो सतहों में अदिश वक्रता ≤ 0 के साथ कोई मीट्रिक नहीं है।

अस्तित्वहीनता परिणाम
1960 के दशक में, आंद्रे लिचनेरोविक्ज़ ने पाया कि एक कई गुना घूमना  पर, डिराक ऑपरेटर और टेंसर लाप्लासियन के वर्ग के बीच का अंतर (जैसा कि स्पिनर क्षेत्र पर परिभाषित किया गया है)  अदिश वक्रता के एक-चौथाई द्वारा दिया जाता है। यह वीट्ज़ेनबॉक सूत्र का एक मौलिक उदाहरण है। परिणामस्वरूप, यदि एक बंद मैनिफोल्ड पर रीमैनियन मीट्रिक में धनात्मक  अदिश वक्रता है, तो कोई हार्मोनिक स्पिनर मौजूद नहीं हो सकता है। यह अतियाह-सिंगर इंडेक्स प्रमेय का परिणाम है कि, चार से विभाज्य और धनात्मक  अदिश वक्रता वाले आयाम वाले किसी भी बंद स्पिन के लिए, जीनस गायब हो जाना चाहिए। यह धनात्मक अदिश वक्रता के साथ रीमैनियन मेट्रिक्स के अस्तित्व में एक विशुद्ध रूप से टोपोलॉजिकल बाधा है।

डिराक ऑपरेटर का उपयोग करते हुए लिचनेरोविक्ज़ के तर्क को एक सहायक वेक्टर बंडल द्वारा घुमाया जा सकता है, जिसका प्रभाव लिचनेरोविक्ज़ सूत्र में केवल एक अतिरिक्त शब्द को सम्मिलित करना है। फिर, सूचकांक प्रमेय के पारिवारिक संस्करण और α-जीनस के रूप में जाने जाने वाले जीनस के एक परिष्कृत संस्करण का उपयोग करने के अलावा ऊपर दिए गए समान विश्लेषण के बाद, निगेल हिचिन ने साबित किया कि कुछ आयामों में विदेशी क्षेत्र हैं जिनमें कोई रीमैनियन नहीं है धनात्मक अदिश वक्रता के मैट्रिक्स. ग्रोमोव और लॉसन ने बाद में लिचनेरोविक्ज़ के काम के इन रूपों को बड़े पैमाने पर नियोजित किया। उनके परिणामी प्रमेय में से एक प्रमेय विस्तार की होमोटॉपी-सैद्धांतिक धारणा का परिचय देता है और कहता है कि एक बड़े स्पिन मैनिफोल्ड में धनात्मक अदिश वक्रता का रीमैनियन मीट्रिक नहीं हो सकता है। परिणाम के रूप में, गैर-धनात्मक वक्रता के रीमैनियन मीट्रिक के साथ एक बंद मैनिफोल्ड, जैसे  टोरस्र्स, में धनात्मक  अदिश वक्रता वाला कोई मीट्रिक नहीं होता है। धनात्मक अदिश वक्रता के साथ रीमैनियन मेट्रिक्स के गैर-अस्तित्व पर ग्रोमोव और लॉसन के विभिन्न परिणाम धनात्मक अदिश वक्रता के साथ किसी भी बंद स्पिन मैनिफोल्ड के टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट की एक विस्तृत विविधता के लुप्त होने पर एक अनुमान का समर्थन करते हैं। यह (सटीक सूत्रीकरण में) बदले में मौलिक समूह के लिए नोविकोव अनुमान का एक विशेष स्थिति होगा, जो सी*-बीजगणित के ऑपरेटर के-सिद्धांत|के-सिद्धांत से संबंधित है। यह बदले में मौलिक समूह के लिए बॉम-कॉन्स अनुमान का एक विशेष स्थिति है।

चार-आयामी मैनिफोल्ड्स के विशेष स्थिति में, सेबर्ग-विटन समीकरणों को अदिश वक्रता के अध्ययन के लिए उपयोगी रूप से लागू किया गया है। लिचनेरोविक्ज़ के विश्लेषण के समान, कुंजी यह साबित करने के लिए अधिकतम सिद्धांत का एक अनुप्रयोग है कि  अदिश वक्रता धनात्मक होने पर सेबर्ग-विटन समीकरणों के समाधान तुच्छ होने चाहिए। लिचनेरोविक्ज़ के कार्य के अनुरूप, सूचकांक प्रमेय समीकरणों के गैर-तुच्छ समाधानों के अस्तित्व की गारंटी दे सकते हैं। इस तरह का विश्लेषण धनात्मक अदिश वक्रता के मैट्रिक्स की गैर-मौजूदगी के लिए नए मानदंड प्रदान करता है। क्लाउड लेब्रून ने कई पत्रों में ऐसे विचारों को आगे बढ़ाया।

अस्तित्व परिणाम
उपरोक्त गैर-अस्तित्व परिणामों के विपरीत, लॉसन और याउ ने नॉनबेलियन प्रभावी समूह क्रियाओं की एक विस्तृत श्रेणी से धनात्मक अदिश वक्रता के रीमैनियन मेट्रिक्स का निर्माण किया।

बाद में, स्कोएन-याउ और ग्रोमोव-लॉसन (विभिन्न तकनीकों का उपयोग करके) ने मौलिक परिणाम साबित किया कि धनात्मक अदिश वक्रता के रीमैनियन मेट्रिक्स का अस्तित्व सर्जरी सिद्धांत द्वारा कम से कम तीन कोडिमेंशन में संरक्षित है, और विशेष रूप से जुड़े योग द्वारा संरक्षित है। यह कई प्रकार के विविध स्तरों पर ऐसे मेट्रिक्स के अस्तित्व को स्थापित करता है। उदाहरण के लिए, यह तुरंत दिखाता है कि गोलाकार स्थान रूपों और सामान्यीकृत सिलेंडरों की प्रतियों की मनमानी संख्या का जुड़ा हुआ योग $S^{m} × S^{n}$ में धनात्मक अदिश वक्रता का रीमैनियन मीट्रिक है। ग्रिगोरी पेरेलमैन की सर्जरी के साथ रिक्की प्रवाह का निर्माण, एक तत्काल परिणाम के रूप में, त्रि-आयामी स्थिति में उलटा है: धनात्मक अदिश वक्रता के रीमैनियन मीट्रिक के साथ एक बंद  उन्मुख  3-मैनिफोल्ड एक ऐसा जुड़ा हुआ योग होना चाहिए।

ग्रोमोव-लॉसन और स्कोएन-याउ निर्माण द्वारा अनुमत सर्जरी के आधार पर, ग्रोमोव और लॉसन ने देखा कि एच-कोबॉर्डिज्म प्रमेय और कोबर्डिज्म रिंग का विश्लेषण सीधे लागू किया जा सकता है। उन्होंने सिद्ध किया कि, चार से अधिक आयामों में, किसी भी गैर-स्पिन, बस जुड़े हुए बंद मैनिफोल्ड में धनात्मक अदिश वक्रता का रीमैनियन मीट्रिक होता है। स्टीफ़न स्टोलज़ ने चार से अधिक आयामों में सरल रूप से जुड़े बंद मैनिफोल्ड्स के लिए अस्तित्व सिद्धांत को पूरा किया, जिसमें दिखाया गया कि जब तक α-जीनस शून्य है, तब तक धनात्मक  अदिश वक्रता का एक रीमैनियन मीट्रिक होता है।

इन परिणामों के अनुसार, बंद मैनिफोल्ड्स के लिए, धनात्मक अदिश वक्रता के रीमैनियन मेट्रिक्स का अस्तित्व त्रि-आयामी स्थिति में और चार से अधिक आयाम के बस-जुड़े मैनिफोल्ड्स के स्थिति में पूरी तरह से तय हो गया है।

कज़दान और वार्नर की ट्राइकोटॉमी प्रमेय
अदिश वक्रता के चिन्ह का उच्च आयामों में टोपोलॉजी से कमजोर संबंध होता है। कम से कम 3 आयाम के एक चिकने बंद मैनिफोल्ड एम को देखते हुए, जेरी काज़ से और वार्नर ने निर्धारित अदिश वक्रता समस्या को हल किया, जिसमें बताया गया कि एम पर कौन से सुचारू कार्य एम पर कुछ रीमैनियन मीट्रिक के  अदिश वक्रता के रूप में उत्पन्न होते हैं। अर्थात्, एम बिल्कुल इनमें से एक होना चाहिए निम्नलिखित तीन प्रकार:
 * 1) M पर प्रत्येक फ़ंक्शन M पर कुछ मीट्रिक की अदिश वक्रता है।
 * 2) एम पर एक फ़ंक्शन एम पर कुछ मीट्रिक का अदिश वक्रता है यदि और केवल यदि यह या तो समान रूप से शून्य या कहीं नकारात्मक है।
 * 3) एम पर एक फ़ंक्शन एम पर कुछ मीट्रिक का अदिश वक्रता है यदि और केवल अगर यह कहीं नकारात्मक है।

इस प्रकार कम से कम 3 आयाम के प्रत्येक मैनिफोल्ड में नकारात्मक अदिश वक्रता वाला एक मीट्रिक होता है, वास्तव में निरंतर नकारात्मक अदिश वक्रता का। कज़दान-वार्नर का परिणाम इस सवाल पर ध्यान केंद्रित करता है कि किन मैनिफोल्ड्स में धनात्मक अदिश वक्रता वाला एक मीट्रिक है, जो संपत्ति (1) के बराबर है। बॉर्डरलाइन केस (2) को 'दृढ़ता से स्केलर-फ्लैट मीट्रिक' के साथ मैनिफोल्ड्स के वर्ग के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जिसका अर्थ है अदिश वक्रता शून्य के साथ एक मीट्रिक जैसे कि एम में धनात्मक  अदिश वक्रता के साथ कोई मीट्रिक नहीं है।

अकिटो फूटाकी ने दिखाया कि दृढ़ता से स्केलर-फ्लैट मेट्रिक्स (जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है) बेहद खास हैं। कम से कम 5 आयाम के सरल रूप से जुड़े रीमानियन मैनिफोल्ड एम के लिए, जो दृढ़ता से अदिश-सपाट है, एम को होलोनोमी  समूह एसयू (एन) (कैलाबी-यॉ मैनिफोल्ड्स), एसपी (एन) (हाइपरकेहलर मैनिफोल्ड्स) के साथ रीमैनियन मैनिफोल्ड्स का उत्पाद होना चाहिए। या स्पिन(7). विशेष रूप से, ये मेट्रिक्स रिक्की-फ्लैट हैं, न कि केवल स्केलर-फ्लैट। इसके विपरीत, इन होलोनॉमी समूहों के साथ कई गुना के उदाहरण हैं, जैसे कि K3 सतह, जो स्पिन हैं और गैर-शून्य α-अपरिवर्तनीय हैं, इसलिए दृढ़ता से स्केलर-फ्लैट हैं।

सांख्यिकीय अनुमान के लिए अनुप्रयोग
बहुपद वितरण मॉडल में, आपके पास एक डी-सिंप्लेक्स है। उस मॉडल के अनुरूप रिक्की अदिश d(d-1)/4 है।

यह भी देखें

 * घुमावदार स्पेसटाइम के गणित का बुनियादी परिचय
 * यमबे अपरिवर्तनीय
 * क्रेश्चमैन अदिश राशि

अग्रिम पठन


Riemannscher Krümmungstensor