यूक्लिडियन प्लेन आइसोमेट्री

ज्यामिति में, एक यूक्लिडियन समतल आइसोमेट्री यूक्लिडियन प्लेन का एक आइसोमेट्री है, या अधिक अनौपचारिक रूप से, प्लेन को रूपांतरित करने का एक तरीका है जो ज्यामितीय गुणों जैसे कि लंबाई को संरक्षित करता है। चार प्रकार हैं: ट्रांसलेशन (गणित में), घूर्णन, परावर्तन और ग्लाइड परावर्तन (नीचे यूक्लिडियन समतल सममितियों के वर्गीकरण के अंतर्गत देखें)।

यूक्लिडियन प्लेन आइसोमेट्री का सेट संरचना के तहत एक समूह (गणित) बनाता है: यूक्लिडियन समूह दो आयामों में। यह रेखाओं में प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न होता है, और यूक्लिडियन समूह का प्रत्येक तत्व तीन अलग-अलग प्रतिबिंबों का सम्मिश्रण है।

अनौपचारिक चर्चा
अनौपचारिक रूप से, एक यूक्लिडियन प्लेन आइसोमेट्री प्लेन को "विरूपित" किए बिना परिवर्तित करने का कोई तरीका है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि यूक्लिडियन प्लेन को डेस्क पर रखे पारदर्शी प्लास्टिक की शीट द्वारा दर्शाया गया है। आइसोमेट्री के उदाहरणों में सम्मिलित हैं:


 * शीट को एक इंच दाईं ओर खिसकाने पर।
 * किसी चिन्हित बिंदु (जो गतिहीन रहता है) के चारों ओर शीट को दस डिग्री घुमाने पर।
 * पीछे से देखने के लिए शीट को पलट दें और ध्यान दें कि यदि शीट के एक तरफ कोई चित्र बनाया जाता है, तो शीट को पलटने के बाद, हमें चित्र का दर्पण प्रतिबिम्ब दिखाई देता है।

ये क्रमशः ट्रांसलेशन, घुमाव और परावर्तन के उदाहरण हैं। एक और प्रकार की आइसोमेट्री है, जिसे ग्लाइड रिफ्लेक्शन कहा जाता है (नीचे यूक्लिडियन प्लेन आइसोमेट्रीज के वर्गीकरण के अंतर्गत देखें)।

यद्यपि, शीट को मोड़ने, काटने या पिघलाने को आइसोमेट्री नहीं माना जाता है। बंकन, प्रसार या मरोड़ना जैसे कम कठोर परिवर्तन भी नहीं हैं।

औपचारिक परिभाषा
यूक्लिडियन प्लेन का एक आइसोमेट्री प्लेन का एक दूरी-संरक्षण परिवर्तन है। यानी यह एक नक्शा (गणित) है
 * $$ M : \textbf{R}^2 \to \textbf{R}^2 $$

इस प्रकार कि समतल में किसी बिंदु p और q के लिए,
 * $$d(p, q) = d(M(p), M(q)),$$

जहाँ d(p, q) p और q के बीच सामान्य यूक्लिडियन दूरी  है।

वर्गीकरण
यह दिखाया जा सकता है कि चार प्रकार के यूक्लिडियन समतल समरूपताएँ हैं। (ध्यान दें: नीचे सूचीबद्ध आइसोमेट्री के प्रकारों के लिए संकेतन पूरी तरह से मानकीकृत नहीं हैं।)

प्रतिबिंब
परावर्तन (गणित) या मिरर आइसोमेट्री, जिसे F द्वारा दर्शाया जाता हैc,v, जहाँ c समतल में एक बिंदु है और v 'R' में एक इकाई सदिश है2। (एफ फ्लिप के लिए है।) लाइन एल में बिंदु पी को प्रतिबिंबित करने का प्रभाव है जो वी के लंबवत है और जो सी के माध्यम से गुजरता है। रेखा L को 'प्रतिबिंब अक्ष' या संबंधित 'दर्पण' कहा जाता है। एफ के लिए एक सूत्र खोजने के लिएc,v, हम v दिशा में p - c के घटक t को खोजने के लिए सबसे पहले डॉट उत्पाद  का उपयोग करते हैं,
 * $$t = (p-c) \cdot v = (p_x - c_x)v_x + (p_y - c_y)v_y,$$
 * और फिर हम घटाव द्वारा पी का प्रतिबिंब प्राप्त करते हैं,
 * $$F_{c,v}(p) = p - 2tv.$$

मूल के बारे में घुमावों का संयोजन और मूल के माध्यम से एक रेखा के बारे में प्रतिबिंब सभी ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस (यानी निर्धारक 1 और -1 के साथ) के साथ प्राप्त किया जाता है जो ऑर्थोगोनल समूह ओ (2) बनाते हैं। -1 के निर्धारक के मामले में हमारे पास है:
 * $$R_{0,\theta}(p) =

\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta & \mathbf{-} \cos\theta \end{pmatrix} \begin{bmatrix} p_x \\ p_y \end{bmatrix}.$$ जो x-अक्ष में एक प्रतिबिंब है जिसके बाद एक कोण θ द्वारा घूर्णन होता है, या समकक्ष रूप से, x-अक्ष के साथ θ/2 का कोण बनाने वाली रेखा में एक प्रतिबिंब होता है। एक समानांतर रेखा में परावर्तन इसके लिए एक सदिश लम्ब जोड़ने से मेल खाता है।

अनुवाद
अनुवाद (गणित) एस, 'टी' द्वारा चिह्नितv, जहाँ v 'R' में एक वेक्टर (ज्यामितीय)  है2 में तल को v की दिशा में स्थानांतरित करने का प्रभाव होता है। अर्थात, तल में किसी बिंदु p के लिए,
 * $$T_v(p) = p + v,$$
 * या (x, y) निर्देशांक के संदर्भ में,
 * $$ T_v(p) = \begin{bmatrix} p_x + v_x \\ p_y + v_y \end{bmatrix}. $$

एक अनुवाद को दो समांतर प्रतिबिंबों के संयोजन के रूप में देखा जा सकता है।

परिभ्रमण
रोटेशन (गणित), आर द्वारा निरूपितc,θ, जहाँ c समतल (घूर्णन का केंद्र) में एक बिंदु है, और θ घूर्णन का कोण है। निर्देशांक के संदर्भ में, घुमावों को दो संक्रियाओं में तोड़कर सबसे आसानी से व्यक्त किया जाता है। सबसे पहले, मूल के चारों ओर एक घुमाव किसके द्वारा दिया जाता है


 * $$R_{0,\theta}(p) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}

\begin{bmatrix} p_x \\ p_y \end{bmatrix}.$$
 * ये मैट्रिसेस ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स  हैं (अर्थात प्रत्येक एक  स्क्वायर मैट्रिक्स  G है जिसका स्थानान्तरण इसका व्युत्क्रम मैट्रिक्स है, अर्थात $$GG^T=G^T G=I_2.$$), निर्धारक 1 के साथ (ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस के लिए दूसरी संभावना -1 है, जो एक दर्पण छवि देता है, नीचे देखें)। वे विशेष लांबिक समूह SO(2) बनाते हैं।


 * c के चारों ओर एक घुमाव को पहले c को मूल में अनुवाद करके, फिर मूल के चारों ओर घुमाकर, और अंत में मूल को वापस c में अनुवाद करके पूरा किया जा सकता है। वह है,
 * $$R_{c,\theta} = T_c \circ R_{0,\theta} \circ T_{-c},$$
 * या दूसरे शब्दों में,
 * $$R_{c,\theta}(p) = c + R_{0,\theta}(p - c).$$
 * वैकल्पिक रूप से, मूल के चारों ओर एक घूर्णन किया जाता है, उसके बाद अनुवाद किया जाता है:
 * $$R_{c,\theta}(p) = c-R_{0,\theta} c + R_{0,\theta}(p).$$

एक घुमाव को दो गैर-समानांतर प्रतिबिंबों के सम्मिश्रण के रूप में देखा जा सकता है।

कठोर परिवर्तन
अनुवाद और घूर्णन का सेट एक साथ कठोर गति या कठोर विस्थापन का निर्माण करता है। यह सेट रचना के तहत एक समूह (गणित) बनाता है,  कठोर गतियों का समूह , यूक्लिडियन आइसोमेट्रीज़ के पूर्ण समूह का एक उपसमूह।

सरकना प्रतिबिंब
ग्लाइड प्रतिबिंब, जी द्वारा निरूपितc,v,w, जहाँ c समतल में एक बिंदु है, v 'R' में एक इकाई सदिश है2, और w गैर-रिक्त एक सदिश है जो v के लंबवत है, c और v द्वारा वर्णित रेखा में प्रतिबिंब का एक संयोजन है, जिसके बाद w के साथ अनुवाद होता है। वह है,
 * $$G_{c,v,w} = T_w \circ F_{c,v},$$
 * या दूसरे शब्दों में,
 * $$G_{c,v,w}(p) = w + F_{c,v}(p).$$
 * (यह भी सच है
 * $$G_{c,v,w}(p) = F_{c,v}(p + w);$$
 * यानी, यदि हम अनुवाद और प्रतिबिंब को विपरीत क्रम में करते हैं तो हमें वही परिणाम मिलता है।)


 * वैकल्पिक रूप से हम एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स द्वारा निर्धारक -1 (मूल के माध्यम से एक पंक्ति में एक प्रतिबिंब के अनुरूप) के साथ गुणा करते हैं, जिसके बाद एक अनुवाद होता है। यह एक सरकना प्रतिबिंब है, विशेष मामले को छोड़कर कि अनुवाद प्रतिबिंब की रेखा के लंबवत है, इस मामले में संयोजन स्वयं समानांतर रेखा में एक प्रतिबिंब है।

सभी बिंदुओं के लिए I(p) = p द्वारा परिभाषित पहचान (गणित)  आइसोमेट्री एक अनुवाद का एक विशेष मामला है, और एक रोटेशन का एक विशेष मामला भी है। यह एकमात्र आइसोमेट्री है जो ऊपर वर्णित एक से अधिक प्रकारों से संबंधित है।

सभी मामलों में हम स्थिति वेक्टर को ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स से गुणा करते हैं और एक वेक्टर जोड़ते हैं; यदि सारणिक 1 है तो हमारे पास एक घूर्णन, एक अनुवाद या पहचान है, और यदि यह -1 है तो हमारे पास एक ग्लाइड प्रतिबिंब या प्रतिबिंब है।

एक यादृच्छिक आइसोमेट्री, जैसे एक मेज से कागज की एक शीट लेना और इसे बेतरतीब ढंग से वापस रखना, लगभग निश्चित रूप से  एक रोटेशन या ग्लाइड प्रतिबिंब है (उनके पास स्वतंत्रता की तीन डिग्री (भौतिकी और रसायन विज्ञान) है)। यह संभाव्यता वितरण के विवरण की परवाह किए बिना लागू होता है, जब तक कि θ और जोड़े गए वेक्टर की दिशा  सांख्यिकीय स्वतंत्रता  और  समान वितरण (निरंतर)  है और जोड़े गए वेक्टर की लंबाई में निरंतर वितरण होता है। एक शुद्ध अनुवाद और एक शुद्ध प्रतिबिंब स्वतंत्रता की केवल दो डिग्री के साथ विशेष मामले हैं, जबकि पहचान और भी विशेष है, स्वतंत्रता की कोई डिग्री नहीं है।

प्रतिबिंब समूह के रूप में आइसोमेट्री
किसी भी आइसोमेट्री का उत्पादन करने के लिए प्रतिबिंब, या दर्पण आइसोमेट्रीज़ को जोड़ा जा सकता है। इस प्रकार आइसोमेट्री एक प्रतिबिंब समूह का एक उदाहरण है।

दर्पण संयोजन
यूक्लिडियन तल में, हमारे पास निम्नलिखित संभावनाएँ हैं।


 * [ d ] पहचान
 * एक ही दर्पण में दो प्रतिबिंब प्रत्येक बिंदु को उसकी मूल स्थिति में पुनर्स्थापित करते हैं। सभी बिंदुओं को स्थिर छोड़ दिया गया है। समान दर्पणों की किसी भी जोड़ी का प्रभाव समान होता है।


 * [ d बी ] प्रतिबिंब
 * जैसा कि ऐलिस ने लुकिंग-ग्लास के माध्यम से पाया | लुकिंग-ग्लास के माध्यम से, एक दर्पण बाएं और दाएं हाथों को स्विच करने का कारण बनता है। (औपचारिक शब्दों में, टोपोलॉजिकल ओरिएंटेशन उलट जाता है।) दर्पण पर बिंदुओं को स्थिर छोड़ दिया जाता है। प्रत्येक दर्पण का एक अनूठा प्रभाव होता है।


 * [ d p ] रोटेशन
 * दो अलग-अलग प्रतिच्छेदी दर्पणों में एक सामान्य बिंदु होता है, जो स्थिर रहता है। अन्य सभी बिंदु इसके चारों ओर दर्पणों के बीच के कोण के दोगुने से घूमते हैं। समान निश्चित बिंदु और समान कोण वाले कोई भी दो दर्पण समान घुमाव देते हैं, जब तक कि उनका उपयोग सही क्रम में किया जाता है।


 * [ d घ ] अनुवाद
 * दो अलग-अलग दर्पण जो प्रतिच्छेद नहीं करते हैं उन्हें समानांतर होना चाहिए। प्रत्येक बिंदु समान मात्रा में, दर्पणों के बीच की दुगुनी दूरी पर और एक ही दिशा में गति करता है। कोई अंक निश्चित नहीं छोड़ा गया है। समान समानांतर दिशा और समान दूरी वाले कोई भी दो दर्पण समान अनुवाद देते हैं, जब तक कि उनका सही क्रम में उपयोग किया जाता है।


 * [ d q ] सरकना प्रतिबिंब
 * तीन दर्पण। यदि वे सभी समानांतर हैं, तो प्रभाव एकल दर्पण के समान होता है (तीसरे को रद्द करने के लिए एक जोड़ी को स्लाइड करें)। अन्यथा हम एक समतुल्य व्यवस्था प्राप्त कर सकते हैं जहां दो समानांतर हैं और तीसरा उनके लिए लंबवत है। प्रभाव दर्पण के समानांतर अनुवाद के साथ संयुक्त प्रतिबिंब है। कोई अंक निश्चित नहीं छोड़ा गया है।

तीन दर्पण पर्याप्त
अधिक दर्पण जोड़ने से अधिक संभावनाएँ ( प्लेन में) नहीं जुड़ती हैं, क्योंकि रद्दीकरण का कारण बनने के लिए उन्हें हमेशा पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।


 * सबूत। एक आइसोमेट्री पूरी तरह से तीन स्वतंत्र (संरेखित नहीं) बिंदुओं पर इसके प्रभाव से निर्धारित होती है। तो मान लीजिए पी1, पी2, पी3 क्यू के लिए नक्शा1, क्यू2, क्यू3; हम इसे निम्नानुसार प्राप्त करने के लिए दर्पणों का एक क्रम उत्पन्न कर सकते हैं। अगर प1 और क्यू1 भिन्न हैं, उनके लंब समद्विभाजक को दर्पण के रूप में चुनें। अब प1 क्यू के नक्शे1; और हम आगे के सभी दर्पणों को q से गुजारेंगे1, इसे ठीक करके छोड़ दें। पी की छवियों को कॉल करें2 और पी3 इस प्रतिबिंब के तहत पी2' और प3’। अगर क्यू2 प से भिन्न है2', कोण को q पर समद्विभाजित करें1 एक नए आईने के साथ। पी के साथ1 और पी2 अब जगह में, पी3 पी पर है3"; और अगर यह जगह में नहीं है, क्यू के माध्यम से एक अंतिम दर्पण1 और क्यू2 इसे q पर फ़्लिप करेंगे3. इस प्रकार किसी भी प्लेन समरूपता को पुन: उत्पन्न करने के लिए अधिकतम तीन प्रतिबिंब पर्याप्त हैं। ∎

मान्यता
हम पहचान सकते हैं कि इनमें से कौन सी आइसोमेट्री हमारे पास है या नहीं यह हाथों को संरक्षित करता है या उन्हें स्वैप करता है, और क्या इसमें कम से कम एक निश्चित बिंदु है या नहीं, जैसा कि निम्न तालिका में दिखाया गया है (पहचान को छोड़कर)।

समूह संरचना
विषम संख्या में दर्पणों की आवश्यकता वाले आइसोमेट्रीज़ - प्रतिबिंब और सरकना प्रतिबिंब - हमेशा बाएँ और दाएँ उलटे होते हैं। यहां तक ​​​​कि आइसोमेट्रीज़ - पहचान, रोटेशन और अनुवाद - कभी नहीं करते; वे कठोर गतियों के अनुरूप हैं, और आइसोमेट्रीज़ के पूर्ण यूक्लिडियन समूह का एक सामान्य उपसमूह  बनाते हैं। न तो पूरा समूह और न ही उपसमूह  एबेलियन समूह  हैं; उदाहरण के लिए, दो समानांतर दर्पणों की रचना के क्रम को उलटने से उनके द्वारा उत्पन्न अनुवाद की दिशा उलट जाती है।


 * 'सबूत'। पहचान एक आइसोमेट्री है; कुछ नहीं बदलता, इसलिए दूरी नहीं बदल सकती। और अगर एक आइसोमेट्री दूरी नहीं बदल सकती है, न ही दो (या तीन, या अधिक) उत्तराधिकार में; इस प्रकार दो आइसोमेट्री की संरचना फिर से एक आइसोमेट्री है, और आइसोमेट्री का सेट रचना के तहत बंद है। पहचान समरूपता  भी रचना के लिए एक पहचान है, और रचना साहचर्य है; इसलिए आइसोमेट्री एक  semigroup  के लिए स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करती है। एक समूह (गणित) के लिए, हमारे पास प्रत्येक तत्व के लिए व्युत्क्रम भी होना चाहिए। एक प्रतिबिंब को रद्द करने के लिए, हम केवल इसे स्वयं के साथ बनाते हैं (प्रतिबिंब इनवॉल्यूशन (गणित) हैं)। और चूंकि प्रत्येक आइसोमेट्री को प्रतिबिंबों के अनुक्रम के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, इसके व्युत्क्रम को उस क्रम के उलट होने के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। ध्यान दें कि समान प्रतिबिंबों की एक जोड़ी को रद्द करने से अनुक्रम की समता को संरक्षित करते हुए प्रतिबिंबों की संख्या एक सम संख्या से कम हो जाती है; यह भी ध्यान दें कि सर्वसमिका में सम समानता है। इसलिए सभी आइसोमेट्री एक समूह बनाते हैं, और आइसोमेट्री भी एक उपसमूह बनाते हैं। (विषम आइसोमेट्री में पहचान शामिल नहीं है, इसलिए उपसमूह नहीं हैं)। यह उपसमूह एक सामान्य उपसमूह है, क्योंकि दो विषम लोगों के बीच एक समान आइसोमेट्री को सैंडविच करने से एक समान आइसोमेट्री प्राप्त होती है। ∎

चूँकि सम उपसमूह सामान्य है, यह भागफल समूह  के लिए समरूपता का कर्नेल (बीजगणित) है, जहाँ भागफल प्रतिबिंब और पहचान वाले समूह के लिए समरूप है। हालाँकि पूरा समूह  समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद  नहीं है, बल्कि केवल उपसमूह और भागफल समूह का एक  अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद  है।

रचना
आइसोमेट्री की संरचना विभिन्न प्रकार से मिश्रित होती है। हम पहचान को या तो दो दर्पणों के रूप में सोच सकते हैं या कोई नहीं; किसी भी तरह से, रचना में इसका कोई प्रभाव नहीं है। और दो प्रतिबिंब या तो एक अनुवाद या एक रोटेशन, या पहचान देते हैं (जो दोनों एक तुच्छ तरीके से है)। इनमें से किसी के साथ बना प्रतिबिंब एक ही प्रतिबिंब को रद्द कर सकता है; अन्यथा यह केवल उपलब्ध तीन-दर्पण आइसोमेट्री, एक सरकना प्रतिबिंब देता है। अनुवादों की एक जोड़ी हमेशा एक ही अनुवाद में घट जाती है; इसलिए चुनौतीपूर्ण मामलों में रोटेशन शामिल है। हम जानते हैं कि एक घुमाव या तो एक रोटेशन या एक अनुवाद से बना एक रोटेशन एक समान आइसोमेट्री का उत्पादन करना चाहिए। अनुवाद के साथ संरचना एक और रोटेशन उत्पन्न करती है (उसी राशि से, स्थानांतरित निश्चित बिंदु के साथ), लेकिन रोटेशन के साथ संरचना या तो अनुवाद या रोटेशन उत्पन्न कर सकती है। यह अक्सर कहा जाता है कि दो घुमावों की संरचना एक घूर्णन उत्पन्न करती है, और यूलर  ने 3डी में उस प्रभाव के लिए एक प्रमेय सिद्ध किया; हालाँकि, यह केवल एक निश्चित बिंदु साझा करने वाले घुमावों के लिए सही है।

अनुवाद, रोटेशन, और ऑर्थोगोनल उपसमूह
इस प्रकार हमारे पास दो नए प्रकार के आइसोमेट्री उपसमूह हैं: सभी अनुवाद, और रोटेशन एक निश्चित बिंदु साझा करते हैं। दोनों समान उपसमूह के उपसमूह हैं, जिसके भीतर अनुवाद सामान्य हैं। क्योंकि अनुवाद एक सामान्य उपसमूह हैं, हम आइसोमेट्री के उपसमूह को एक निश्चित बिंदु, ओर्थोगोनल समूह के साथ छोड़कर उन्हें कारक बना सकते हैं।


 * यदि दो अनुवाद समानांतर हैं, तो हम दूसरे अनुवाद के दर्पण जोड़े को चार के अनुक्रम के आंतरिक दर्पण को रद्द करने के लिए स्लाइड कर सकते हैं, जितना कि रोटेशन मामले में। इस प्रकार दो समानांतर अनुवादों की रचना एक ही दिशा में दूरियों के योग द्वारा एक अनुवाद उत्पन्न करती है। अब मान लीजिए कि अनुवाद समानांतर नहीं हैं, और दर्पण अनुक्रम ए है1, ए2 (पहला अनुवाद) उसके बाद बी1, बी2 (द्वितीय)। फिर एक2 और बी1 पार करना होगा, सी पर कहें; और, पुन: संबद्ध करते हुए, हम इस आंतरिक जोड़ी को c के आसपास पिवट करने के लिए स्वतंत्र हैं। यदि हम 90° को पिवोट करते हैं, तो एक दिलचस्प बात घटित होती है: अब A1 और ए290° के कोण पर प्रतिच्छेद करता है, मान लीजिए p पर, और इसी प्रकार B पर भी1' और बी2, q पर कहें। पुन: संबद्ध करते हुए, हम बी बनाने के लिए पी के चारों ओर पहली जोड़ी को पिवोट करते हैं2″ q से गुजरें, और दूसरी जोड़ी को q के चारों ओर A बनाने के लिए पिवोट करें1″ पी के माध्यम से पारित करें। आंतरिक दर्पण अब मेल खाते हैं और रद्द हो जाते हैं, और बाहरी दर्पण समानांतर रह जाते हैं। इस प्रकार दो गैर-समानांतर अनुवादों की रचना भी एक अनुवाद उत्पन्न करती है। साथ ही, तीन धुरी बिंदु एक त्रिभुज बनाते हैं, जिसके किनारे सदिश योग का हेड-टू-टेल नियम देते हैं: 2(p c) + 2(c q) = 2(p q)। ∎

नेस्टेड समूह निर्माण
उपसमूह संरचना एक मनमाना आइसोमेट्री बनाने का एक और तरीका सुझाती है:
 * एक निश्चित बिंदु चुनें, और इसके माध्यम से एक दर्पण चुनें।


 * 1) यदि आइसोमेट्री विषम है, तो दर्पण का उपयोग करें; अन्यथा नहीं।
 * 2) यदि आवश्यक हो, तो निश्चित बिंदु के चारों ओर घुमाएँ।
 * 3) यदि आवश्यक हो, अनुवाद करें।

यह काम करता है क्योंकि अनुवाद आइसोमेट्री के पूर्ण समूह का एक सामान्य उपसमूह है, भागफल के साथ ओर्थोगोनल समूह; और एक निश्चित बिंदु के बारे में घुमाव ऑर्थोगोनल समूह का एक सामान्य उपसमूह है, जिसमें भागफल एक प्रतिबिंब होता है।

असतत उपसमूह
अब तक जिन उपसमूहों की चर्चा की गई है, वे न केवल अनंत हैं, वे निरंतर भी हैं (झूठे समूह)। कम से कम एक गैर-शून्य अनुवाद वाला कोई भी उपसमूह अनंत होना चाहिए, लेकिन ऑर्थोगोनल समूह के उपसमूह परिमित हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक नियमित पंचकोण  की  समरूपता  में 72° (360° / 5) के पूर्णांक गुणकों द्वारा घुमावों के साथ-साथ पाँच दर्पणों में प्रतिबिंब होते हैं जो किनारों को लंबवत रूप से विभाजित करते हैं। यह एक समूह है, डी5, 10 तत्वों के साथ। इसका एक उपसमूह है, सी5, आधे आकार का, प्रतिबिंबों को छोड़ते हुए। ये दो समूह दो परिवारों के सदस्य हैं, डीn और सीn, किसी भी n> 1 के लिए। साथ में, ये परिवार  बिंदु समूह  बनाते हैं।

अनुवाद स्वयं पर वापस नहीं आते हैं, लेकिन हम उपसमूह के रूप में किसी भी परिमित अनुवाद के पूर्णांक गुणक, या ऐसे दो स्वतंत्र अनुवादों के गुणकों का योग ले सकते हैं। ये प्लेन के आवधिक  चौकोर  की  जाली (समूह)  उत्पन्न करते हैं।

हम इन दो प्रकार के असतत समूहों को भी जोड़ सकते हैं - एक निश्चित बिंदु के चारों ओर असतत घुमाव और प्रतिबिंब और असतत अनुवाद - फ्रिजी समूह और वॉलपेपर समूह  उत्पन्न करने के लिए। विचित्र रूप से, निश्चित-बिंदु समूहों में से केवल कुछ ही असतत अनुवादों के साथ  क्रिस्टलोग्राफिक प्रतिबंध प्रमेय  पाए जाते हैं। वास्तव में, जाली संगतता इतनी गंभीर प्रतिबंध लगाती है कि,  समाकृतिकता  तक, हमारे पास केवल 7 अलग-अलग फ्रिज़ समूह और 17 अलग-अलग वॉलपेपर समूह हैं। उदाहरण के लिए, पेंटागन समरूपता, डी5, अनुवादों के असतत जाली के साथ असंगत हैं। (प्रत्येक उच्च आयाम में ऐसे  क्रिस्टलोग्राफिक समूह ों की केवल एक सीमित संख्या होती है, लेकिन संख्या तेजी से बढ़ती है; उदाहरण के लिए, 3D में 230 समूह हैं और 4D में 4783 हैं।)

जटिल आंकड़े में आइसोमेट्रीज
सम्मिश्र संख्याओं के संदर्भ में, समतल की सममितियाँ या तो किसी रूप की होती हैं
 * $$\begin{array}{ccc}\mathbb{C}&\longrightarrow&\mathbb{C}\\ z&\mapsto&a+\omega z\end{array}$$

या रूप का
 * $$\begin{array}{ccc}\mathbb{C}&\longrightarrow&\mathbb{C}\\ z&\mapsto&a+\omega\overline z\mbox{,}\end{array}$$

कुछ सम्मिश्र संख्याओं के लिए a और ω के साथ |ω| = 1. यह सिद्ध करना आसान है: यदि a = f(0) और ω = f(1) − f(0) और यदि कोई परिभाषित करता है
 * $$\begin{array}{rccc}g\colon&\mathbb{C}&\longrightarrow&\mathbb{C}\\ &z&\mapsto&\frac{f(z)-a}{\omega}\mbox{,}\end{array}$$

तो जी एक आइसोमेट्री है, जी (0) = 0, और जी (1) = 1। फिर यह देखना आसान है कि जी या तो पहचान या संयुग्मन है, और सिद्ध किया जा रहा बयान इससे और इस तथ्य से है कि f(z) = a + ωg(z).

यह स्पष्ट रूप से समतल आइसोमेट्री के पिछले वर्गीकरण से संबंधित है, क्योंकि:
 * z → a + z प्रकार के कार्य अनुवाद हैं;
 * z → ωz प्रकार के कार्य घूर्णन हैं (जब |ω| = 1);
 * संयुग्मन प्रतिबिम्ब है।

ध्यान दें कि जटिल बिंदु पी के बारे में एक रोटेशन जटिल अंकगणित द्वारा प्राप्त किया जाता है
 * $$z \mapsto \omega (z - p) + p = \omega z + p(1 - \omega)$$

जहां अंतिम अभिव्यक्ति 0 और एक अनुवाद पर रोटेशन के बराबर मैपिंग दिखाती है। इसलिए, प्रत्यक्ष समरूपता दी गई है $$z \mapsto \omega z + a,$$ कोई हल कर सकता है $$p(1 - \omega) = a$$ प्राप्त करने के लिए $$p = a/(1 - \omega)$$ समतुल्य रोटेशन के केंद्र के रूप में, बशर्ते कि $$\omega \ne 1$$, बशर्ते कि प्रत्यक्ष समरूपता शुद्ध अनुवाद न हो। जैसा कि सीडरबर्ग ने कहा है, एक प्रत्यक्ष समरूपता या तो एक घूर्णन या एक अनुवाद है।

यह भी देखें

 * बेकमैन-क्वार्ल्स प्रमेय, रूपांतरण के रूप में आइसोमेट्री का लक्षण वर्णन जो इकाई दूरी को संरक्षित करता है
 * सर्वांगसमता (ज्यामिति)
 * समन्वय घूर्णन और प्रतिबिंब
 * ह्जेल्म्सलेव प्रमेय, यह कथन कि रेखाओं की एक सममिति में बिंदुओं के संगत युग्मों के मध्य बिंदु संरेखी होते हैं

बाहरी कड़ियाँ

 * Plane Isometries