बिस्पेक्ट्रम

गणित में, सांख्यिकीय विश्लेषण के क्षेत्र में, बिस्पेक्ट्रम एक आँकड़ा है जिसका उपयोग गैर-रेखीय इंटरैक्शन की खोज के लिए किया जाता है।

परिभाषाएँ
दूसरे क्रम के संचयी का फूरियर रूपांतरण, यानी, ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन, पारंपरिक पावर स्पेक्ट्रम है।

सी का फूरियर रूपांतरण3(टी1, टी2) (तीसरे क्रम का संचयी-उत्पादक कार्य) को बिस्पेक्ट्रम या बिस्पेक्ट्रल घनत्व कहा जाता है।

गणना
कनवल्शन प्रमेय को लागू करने से बिस्पेक्ट्रम की तेज़ गणना की अनुमति मिलती है: $$B(f_1,f_2)=F(f_1)\cdot F(f_2)\cdot F^*(f_1+f_2)$$, कहाँ $$F$$ सिग्नल के फूरियर रूपांतरण को दर्शाता है, और $$F^*$$ यह संयुग्मित है.

अनुप्रयोग
एक आयाम में प्रसारित तरंगों के निरंतर स्पेक्ट्रम के गैर-रेखीय इंटरैक्शन के मामले में बिस्पेक्ट्रम और द्विसंगति  को लागू किया जा सकता है। इलेक्ट्रोएन्सेफलोग्राफी संकेतों की निगरानी के लिए बिस्पेक्ट्रल माप किए गए हैं। यह भी दिखाया गया कि बिस्पेक्ट्रा संगीत वाद्ययंत्रों के परिवारों के बीच अंतर को दर्शाता है। भूकंप विज्ञान में, समय के औसत से समझदार द्विवर्णीय अनुमान लगाने के लिए संकेतों की शायद ही कभी पर्याप्त अवधि होती है।

बिस्पेक्ट्रल विश्लेषण दो तरंग दैर्ध्य पर किए गए अवलोकनों का वर्णन करता है। इसका उपयोग अक्सर वैज्ञानिकों द्वारा विभिन्न रंग फ़िल्टर (प्रकाशिकी)  के माध्यम से परावर्तित और प्राप्त प्रकाश की मात्रा का विश्लेषण करके ग्रह के वायुमंडल की मौलिक संरचना का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। दो फिल्टरों को मिलाकर और हटाकर, केवल दो फिल्टरों से ही बहुत कुछ हासिल किया जा सकता है। आधुनिक कम्प्यूटरीकृत प्रक्षेप के माध्यम से, झूठी रंगीन तस्वीरों को फिर से बनाने के लिए एक तीसरा वर्चुअल फ़िल्टर बनाया जा सकता है, जो वैज्ञानिक विश्लेषण के लिए विशेष रूप से उपयोगी नहीं है, पाठ्यपुस्तकों और धन जुटाने के अभियानों में सार्वजनिक प्रदर्शन के लिए लोकप्रिय हैं।

पृथ्वी पर तरंग पैटर्न और ज्वार के बीच बातचीत का विश्लेषण करने के लिए बिस्पेक्ट्रल विश्लेषण का भी उपयोग किया जा सकता है। एनेस्थीसिया की गहराई की निगरानी के लिए ईईजी तरंगों पर बिस्पेक्ट्रल विश्लेषण का एक रूप जिसे द्विवर्णीय सूचकांक  कहा जाता है, लागू किया जाता है। चरण युग्मन का पता लगाने के लिए द्विचरण (पॉलीस्पेक्ट्रम का चरण) का उपयोग किया जा सकता है, पोलहार्मोनिक का शोर कम करना (विशेषकर, भाषण)। ) संकेत विश्लेषण।

सामान्यीकरण
बिस्पेक्ट्रा उच्च-क्रम स्पेक्ट्रा, या पॉलीस्पेक्ट्रा की श्रेणी में आता है और पावर स्पेक्ट्रम को पूरक जानकारी प्रदान करता है। तीसरे क्रम का पॉलीस्पेक्ट्रम (बिस्पेक्ट्रम) गणना करने में सबसे आसान है, और इसलिए सबसे लोकप्रिय है। अनुरूप रूप से परिभाषित एक आँकड़ा द्विवर्णीय सुसंगतता या द्विसंगति है।

ट्राइस्पेक्ट्रम
C4 (t1, t2, t3) (चौथे क्रम का क्यूम्यलेंट-जनरेटिंग फ़ंक्शन) के फूरियर रूपांतरण को ट्राइस्पेक्ट्रम या ट्राइस्पेक्ट्रल घनत्व कहा जाता है।

ट्राइस्पेक्ट्रम T(f1,f2,f3) उच्च-क्रम स्पेक्ट्रा, या पॉलीस्पेक्ट्रा की श्रेणी में आता है, और पावर स्पेक्ट्रम को पूरक जानकारी प्रदान करता है। ट्राइस्पेक्ट्रम एक त्रि-आयामी निर्माण है। ट्राइस्पेक्ट्रम की समरूपता बहुत कम समर्थन सेट को परिभाषित करने की अनुमति देती है, जो निम्नलिखित शीर्षों के भीतर समाहित है, जहां 1 नाइक्विस्ट आवृत्ति है। (0,0,0) (1/2,1/2,-1/2) (1/3,1/3,0) (1/2,0,0) (1/4,1/4, 1/4). बिंदु (1/6,1/6,1/6) (1/4,1/4,0) (1/2,0,0) वाला तल इस आयतन को आंतरिक और बाहरी क्षेत्र में विभाजित करता है। एक स्थिर सिग्नल की बाहरी क्षेत्र में शून्य शक्ति (सांख्यिकीय रूप से) होगी। ट्राइस्पेक्ट्रम समर्थन को ऊपर पहचाने गए विमान और (f1,f2) विमान द्वारा क्षेत्रों में विभाजित किया गया है। गैर-शून्य मानों के लिए आवश्यक सिग्नल की बैंडविड्थ के संदर्भ में प्रत्येक क्षेत्र की अलग-अलग आवश्यकताएं होती हैं।

जिस तरह से बिस्पेक्ट्रम आवृत्ति ट्रिपल के एक फ़ंक्शन के रूप में सिग्नल की विषमता में योगदान की पहचान करता है, उसी तरह ट्राइस्पेक्ट्रम आवृत्ति क्वाड्रुपलेट्स के एक फ़ंक्शन के रूप में सिग्नल के कुकुदता में योगदान की पहचान करता है।

ट्राइस्पेक्ट्रम का उपयोग परत संरचना को खोजने के लिए भूकंपीय डेटा के विघटन में उपयोग किए जाने वाले अधिकतम कर्टोसिस चरण अनुमान की प्रयोज्यता के डोमेन की जांच करने के लिए किया गया है।

अग्रिम पठन

 * HOSA - Higher Order Spectral Analysis Toolbox: A MATLAB toolbox for spectral and polyspectral analysis, and time-frequency distributions. The documentation explains polyspectra in great detail.
 * HOSA - Higher Order Spectral Analysis Toolbox: A MATLAB toolbox for spectral and polyspectral analysis, and time-frequency distributions. The documentation explains polyspectra in great detail.