समन्वय मुक्त

एक समन्वय-मुक्त, या घटक-मुक्त, एक वैज्ञानिक सिद्धांत या गणितीय विषय का उपचार किसी विशेष समन्वय प्रणाली के संदर्भ के बिना किसी भी रूप में अपनी अवधारणाओं को विकसित करता है।

लाभ
समन्वय-मुक्त उपचार आम तौर पर समीकरणों की सरल प्रणालियों के लिए अनुमति देते हैं और कुछ प्रकार की असंगति को स्वाभाविक रूप से विवश करते हैं, निर्देशांक की एक विशेष प्रणाली के भीतर इन समीकरणों का मूल्यांकन करने के लिए आवश्यक विस्तृत सूत्रों से कुछ अमूर्त की कीमत पर अधिक गणितीय लालित्य की अनुमति देते हैं।

लालित्य के अलावा, समन्वय-मुक्त उपचार कुछ अनुप्रयोगों में यह साबित करने के लिए महत्वपूर्ण हैं कि दी गई परिभाषा अच्छी तरह से तैयार की गई है। उदाहरण के लिए, एक वेक्टर स्थान के लिए $$V$$ आधार के साथ $$v_1, ..., v_n$$, यह दोहरे स्थान का निर्माण करने के लिए आकर्षक हो सकता है $$V^*$$ प्रतीकों की औपचारिक अवधि के रूप में $$v_1^*, ..., v_n^*$$ आंतरिक उत्पाद स्थान के साथ $$\langle \sum \alpha_i v_i, \sum \beta_i v_i^* \rangle := \sum \alpha_i \beta_i$$, लेकिन यह तुरंत स्पष्ट नहीं है कि यह निर्माण चयनित प्रारंभिक समन्वय प्रणाली से स्वतंत्र है। इसके बजाय, निर्माण करना सबसे अच्छा है $$V^*$$ ब्रैकेट के साथ रैखिक कार्यात्मक के स्थान के रूप में $$\langle v, \varphi \rangle = \varphi(v)$$, और फिर इस निर्माण से समन्वय-आधारित सूत्र प्राप्त करें।

बहरहाल, यह कभी-कभी एक समन्वय-मुक्त उपचार से आगे बढ़ने के लिए बहुत जटिल हो सकता है, या एक समन्वय-मुक्त उपचार विशिष्टता की गारंटी दे सकता है, लेकिन वर्णित वस्तु का अस्तित्व नहीं है, या एक समन्वय-मुक्त उपचार बस मौजूद नहीं हो सकता है। पिछली स्थिति के उदाहरण के रूप में, मैपिंग $$v_i \mapsto v_i^*$$ एक परिमित-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष और उसके दोहरे के बीच एक सामान्य समरूपता को इंगित करता है, लेकिन यह समरूपता किसी भी समन्वय-मुक्त परिभाषा द्वारा प्रमाणित नहीं है। दूसरी स्थिति के एक उदाहरण के रूप में, योजनाओं के फाइबर उत्पाद के निर्माण के एक सामान्य तरीके में एफ़िन पैच के साथ ग्लूइंग स्वयंसिद्ध शामिल है। इस निर्माण की अशुद्धता को कम करने के लिए, फाइबर उत्पाद तब एक सुविधाजनक सार्वभौमिक संपत्ति द्वारा सार्वभौमिक संपत्ति है, और चुने गए प्रारंभिक affine पैच से स्वतंत्र साबित होता है।

इतिहास
डेसकार्टेस द्वारा विश्लेषणात्मक [[ज्यामिति]] के विकास से पहले समन्वय-मुक्त उपचार ज्यामिति के लिए एकमात्र उपलब्ध दृष्टिकोण थे (और अब सिंथेटिक ज्यामिति के रूप में जाना जाता है)। आम तौर पर समन्वय-आधारित प्रदर्शनी के कई सदियों के बाद, आधुनिक प्रवृत्ति आम तौर पर छात्रों को समन्वय-मुक्त उपचार के लिए शुरू करने के लिए पेश करती है, और फिर समन्वय-आधारित उपचार को इसके विपरीत समन्वय-मुक्त उपचार से प्राप्त करने के लिए होती है।

अनुप्रयोग
जिन क्षेत्रों को अब अक्सर समन्वय-मुक्त उपचार के साथ पेश किया जाता है, उनमें वेक्टर पथरी, टेन्सर, अंतर ज्यामिति और कंप्यूटर चित्रलेख शामिल हैं। भौतिकी में, भौतिक सिद्धांतों के समन्वय-मुक्त उपचारों का अस्तित्व सामान्य सहप्रसरण के सिद्धांत का एक परिणाम है।

यह भी देखें

 * सामान्य सहप्रसरण
 * ज्यामिति की नींव
 * आधार परिवर्तन
 * समन्वय की स्थिति
 * टेंसरों का घटक-मुक्त उपचार
 * पृष्ठभूमि स्वतंत्रता
 * व्यर्थ टोपोलॉजी