दशमलव

दशमलव अंक प्रणाली (जिसे आधार-दस स्थितीय अंक प्रणाली और denary भी कहा जाता है या डिकैनरी) पूर्णांक और गैर-पूर्णांक संख्याओं को दर्शाने के लिए मानक प्रणाली है। यह हिंदू-अरबी अंक प्रणाली की गैर-पूर्णांक संख्याओं का विस्तार है। दशमलव प्रणाली में संख्याओं को निरूपित करने के तरीके को अक्सर दशमलव अंकन के रूप में संदर्भित किया जाता है। एक दशमलव अंक (अक्सर केवल दशमलव या, कम सही ढंग से, दशमलव संख्या), आमतौर पर दशमलव संख्या प्रणाली में एक संख्या के अंकन को संदर्भित करता है। दशमलव को कभी-कभी दशमलव विभाजक द्वारा पहचाना जा सकता है (आमतौर पर। या, जैसा कि $25.9703$ या $3,1415$). दशमलव विशेष रूप से दशमलव विभाजक के बाद के अंकों को भी संदर्भित कर सकता है, जैसे कि में$3.14$ का अनुमान है $\pi$ दो दशमलव तक। दशमलव विभाजक के बाद शून्य-अंक किसी मान की शुद्धता को दर्शाने के उद्देश्य से काम करते हैं।

दशमलव प्रणाली में जिन संख्याओं का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, वे #दशमलव भिन्न हैं। अर्थात् रूप का अंश (गणित)। $a/10^{n}$, कहाँ पे $a$ एक पूर्णांक है, और $n$ एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है।

दशमलव विभाजक (दशमलव प्रतिनिधित्व देखें) के बाद अंकों के अनुक्रम (गणित) का उपयोग करके दशमलव प्रणाली को किसी भी वास्तविक संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए अनंत दशमलव तक बढ़ा दिया गया है। इस संदर्भ में, दशमलव विभाजक के बाद गैर-शून्य अंकों की परिमित संख्या वाले दशमलव अंकों को कभी-कभी समाप्ति दशमलव कहा जाता है। एक दोहराव वाला दशमलव एक अनंत दशमलव है, जो किसी स्थान के बाद, अंकों के समान अनुक्रम को अनिश्चित काल तक दोहराता है (उदाहरण के लिए, $5.123144144144144... = 5.123\overline{144}$). एक अनंत दशमलव एक परिमेय संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, दो पूर्णांकों का भागफल, अगर और केवल अगर यह दोहराए जाने वाला दशमलव है या गैर-शून्य अंकों की एक परिमित संख्या है।

उत्पत्ति
प्राचीन सभ्यताओं की कई अंक प्रणालियां संख्याओं को दर्शाने के लिए दस और उसकी शक्तियों का उपयोग करती हैं, संभवतः इसलिए कि दोनों हाथों में दस उंगलियां होती हैं और लोगों ने अपनी उंगलियों का उपयोग करके गिनना शुरू किया। उदाहरण हैं पहले मिस्र के अंक, फिर ब्राह्मी अंक, ग्रीक अंक, हिब्रू अंक, रोमन अंक और चीनी अंक। इन पुरानी संख्या प्रणालियों में बहुत बड़ी संख्याओं का प्रतिनिधित्व करना कठिन था, और केवल सर्वश्रेष्ठ गणितज्ञ ही बड़ी संख्याओं को गुणा या विभाजित करने में सक्षम थे। पूर्णांकों का प्रतिनिधित्व करने के लिए हिंदू-अरबी अंक प्रणाली की शुरुआत के साथ इन कठिनाइयों को पूरी तरह से हल किया गया था। दशमलव संख्या प्रणाली बनाने के लिए इस प्रणाली को कुछ गैर-पूर्णांक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए विस्तारित किया गया है, जिन्हें #दशमलव अंश या दशमलव संख्या कहा जाता है।

दशमलव संकेतन
संख्याएँ लिखने के लिए, दशमलव प्रणाली दस दशमलव अंक, एक दशमलव चिह्न और, ऋणात्मक संख्याओं के लिए, एक ऋण चिह्न - का उपयोग करती है। दशमलव अंक 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 हैं; दशमलव विभाजक डॉट है$.$कई देशों में (ज्यादातर अंग्रेजी बोलने वाले), और एक अल्पविराम$,$अन्य देशों में।

एक गैर-ऋणात्मक संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए, दशमलव अंक में शामिल होते हैं
 * या तो (परिमित) अंकों का क्रम (जैसे 2017 ), जहां संपूर्ण अनुक्रम एक पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करता है,
 * $$a_ma_{m-1}\ldots a_0$$
 * या अंकों के दो अनुक्रमों को अलग करने वाला एक दशमलव चिह्न (जैसे 20.70828 )
 * $$a_ma_{m-1}\ldots a_0.b_1b_2\ldots b_n$$.

यदि $m > 0$, अर्थात, यदि पहले अनुक्रम में कम से कम दो अंक होते हैं, तो आमतौर पर यह माना जाता है कि पहला अंक $a_{m}$ शून्य नहीं है। कुछ परिस्थितियों में बाईं ओर एक या अधिक 0 का होना उपयोगी हो सकता है; यह दशमलव द्वारा दर्शाए गए मान को नहीं बदलता है: उदाहरण के लिए, $3.14 = 03.14 = 003.14$. इसी प्रकार, यदि दशमलव चिह्न के दायीं ओर अंतिम अंक शून्य है - अर्थात, यदि $b_{n} = 0$—इसे हटाया जा सकता है; इसके विपरीत, अनुगामी शून्य को दशमलव चिह्न के बाद प्रदर्शित संख्या को बदले बिना जोड़ा जा सकता है; उदाहरण के लिए, $15 = 15.0 = 15.00$ तथा $5.2 = 5.20 = 5.200$.

किसी ऋणात्मक संख्या को दर्शाने के लिए पहले एक ऋण चिह्न लगाया जाता है $a_{m}$.

अंक $$a_ma_{m-1}\ldots a_0.b_1b_2\ldots b_n$$ संख्या का प्रतिनिधित्व करता है
 * $$a_m10^m+a_{m-1}10^{m-1}+\cdots+a_{0}10^0+\frac{b_1}{10^1}+\frac{b_2}{10^2}+\cdots+\frac{b_n}{10^n}$$.

दशमलव संख्या का पूर्णांक भाग या अभिन्न भाग दशमलव विभाजक के बाईं ओर लिखा गया पूर्णांक है (काट-छांट भी देखें)। एक गैर-ऋणात्मक दशमलव संख्या के लिए, यह सबसे बड़ा पूर्णांक है जो दशमलव से अधिक नहीं है। दशमलव विभाजक से दाईं ओर का भाग भिन्नात्मक भाग है, जो अंक और उसके पूर्णांक भाग के बीच के अंतर के बराबर होता है।

जब एक अंक का अभिन्न अंग शून्य होता है, तो यह हो सकता है, आमतौर पर कम्प्यूटिंग में, पूर्णांक भाग लिखा नहीं जाता है (उदाहरण के लिए, $.1234$, के बजाय $0.1234$). सामान्य लेखन में, आमतौर पर दशमलव चिह्न और अन्य विराम चिह्नों के बीच भ्रम के जोखिम के कारण इससे बचा जाता है।

संक्षेप में, किसी संख्या के मान में प्रत्येक अंक का योगदान अंक में उसकी स्थिति पर निर्भर करता है। अर्थात्, दशमलव प्रणाली एक स्थितीय अंक प्रणाली है।

दशमलव अंश
दशमलव अंश (कभी-कभी दशमलव संख्या कहा जाता है, विशेष रूप से स्पष्ट अंशों के संदर्भ में) वे परिमेय संख्याएँ होती हैं जिन्हें एक भिन्न (गणित) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जिसका हर दस का घातांक होता है। उदाहरण के लिए, दशमलव $$0.8, 14.89, 0.00079, 1.618, 3.14159$$ अंशों का प्रतिनिधित्व करते हैं $4⁄5$, $1489⁄100$, $79⁄100000$, $809⁄500$ तथा $314159⁄100000$, और इसलिए दशमलव संख्याएँ हैं।

अधिक आम तौर पर, एक दशमलव के साथ $n$ दशमलव विभाजक (एक बिंदु या अल्पविराम) के बाद के अंक भाजक के साथ अंश का प्रतिनिधित्व करते हैं $10^{n}$, जिसका अंश विभाजक को हटाकर प्राप्त पूर्णांक है।

यह इस प्रकार है कि एक संख्या एक दशमलव अंश है यदि और केवल यदि इसका परिमित दशमलव प्रतिनिधित्व है।

पूरी तरह से कम अंश के रूप में व्यक्त, दशमलव संख्याएं वे हैं जिनका भाजक 2 की शक्ति और 5 की शक्ति का गुणनफल है। इस प्रकार दशमलव संख्याओं के सबसे छोटे हर हैं
 * $$1=2^0\cdot 5^0, 2=2^1\cdot 5^0, 4=2^2\cdot 5^0, 5=2^0\cdot 5^1, 8=2^3\cdot 5^0, 10=2^1\cdot 5^1, 16=2^4\cdot 5^0, 20=2^2\cdot5^1, 25=2^0\cdot 5^2, \ldots$$

वास्तविक संख्या सन्निकटन
दशमलव अंक सभी वास्तविक संख्याओं के सटीक प्रतिनिधित्व की अनुमति नहीं देते हैं, उदा। वास्तविक संख्या पाई के लिए |π. फिर भी, वे किसी भी वांछित सटीकता के साथ प्रत्येक वास्तविक संख्या का अनुमान लगाने की अनुमति देते हैं, उदाहरण के लिए, दशमलव 3.14159 वास्तविक संख्या का अनुमान लगाता है π, 10 से कम होना−5 छूट; इसलिए दशमलव का व्यापक रूप से विज्ञान, अभियांत्रिकी और दैनिक जीवन में उपयोग किया जाता है।

अधिक सटीक, प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए $...5.123$ और हर सकारात्मक पूर्णांक $x$, दो दशमलव हैं $n$ तथा $L$ अधिक से अधिक के साथ$u$दशमलव चिह्न के बाद अंक जैसे कि $L ≤ x ≤ u$ तथा $(u − L) = 10^{−n}$.

माप के परिणाम के रूप में संख्याएँ बहुत बार प्राप्त होती हैं। जैसा कि माप ज्ञात ऊपरी सीमा के साथ माप अनिश्चितता के अधीन हैं, माप का परिणाम दशमलव के साथ अच्छी तरह से दर्शाया गया है $n$ दशमलव चिह्न के बाद अंक, जैसे ही पूर्ण माप त्रुटि ऊपर से घिरा हुआ है $10^{−n}$. व्यवहार में, माप परिणाम अक्सर दशमलव बिंदु के बाद अंकों की एक निश्चित संख्या के साथ दिए जाते हैं, जो त्रुटि सीमा का संकेत देते हैं। उदाहरण के लिए, हालांकि 0.080 और 0.08 एक ही संख्या को दर्शाते हैं, दशमलव अंक 0.080 0.001 से कम त्रुटि के साथ माप का सुझाव देता है, जबकि अंक 0.08 0.01 से घिरा एक पूर्ण त्रुटि दर्शाता है। दोनों ही मामलों में, मापी गई मात्रा का सही मान हो सकता है, उदाहरण के लिए, 0.0803 या 0.0796 (महत्वपूर्ण आंकड़े भी देखें)।

अनंत दशमलव विस्तार
वास्तविक संख्या के लिए $n$ और एक पूर्णांक $n ≥ 0$, होने देना $[x]_{n}$ सबसे बड़ी संख्या के (परिमित) दशमलव विस्तार को निरूपित करें जो इससे अधिक नहीं है$x$यह बिल्कुल है $x$ दशमलव चिह्न के बाद अंक। होने देना $d_{i}$ के अंतिम अंक को निरूपित करें $[x]_{i}$. यह देखना सीधा है $[x]_{n}$ जोड़कर प्राप्त किया जा सकता है $d_{n}$ के अधिकार के लिए $[x]_{n−1}$. इस तरह एक है

और का अंतर $[x]_{n} = [x]_{0}.d_{1}d_{2}...d_{n−1}d_{n}$ तथा $[x]_{n−1}$ के बराबर
 * $$\left\vert \left [ x \right ]_n-\left [ x \right ]_{n-1} \right\vert=d_n\cdot10^{-n}<10^{-n+1}$$,

जो या तो 0 है, अगर $[x]_{n}$, या मनमाने ढंग से छोटा हो जाता है$n$अनंत की ओर जाता है। एक सीमा (गणित) की परिभाषा के अनुसार,$n$की सीमा है $d_{n} = 0$ जब$x$अनंत की ओर जाता है। इसे इस प्रकार लिखा जाता है$\; x = \lim_{n\rightarrow\infty} [x]_n \;$ या

जिसे '' का अनंत दशमलव विस्तार कहा जाता है$n$.

इसके विपरीत, किसी भी पूर्णांक के लिए $[x]_{n}$ और अंकों का कोई भी क्रम$\;(d_n)_{n=1}^{\infty}$ (अनंत) अभिव्यक्ति $x = [x]_{0}.d_{1}d_{2}...d_{n}...$ एक वास्तविक संख्या का अनंत दशमलव विस्तार है$x$. यह विस्तार अद्वितीय है यदि न तो सभी $[x]_{0}$ 9 के बराबर हैं और न ही सभी $[x]_{0}.d_{1}d_{2}...d_{n}...$ के लिए 0 के बराबर हैं$x$काफी बड़ा (सभी के लिए$n$किसी प्राकृतिक संख्या से अधिक $n$).

मैं गिरा $d_{n}$ के लिये $d_{n}$ 9 के बराबर और $d_{n}$, अनुक्रम की सीमा$\;([x]_n)_{n=1}^{\infty}$ अंतिम अंक जो 9 नहीं है, को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया गया दशमलव अंश है, अर्थात: $n > N$, द्वारा $[x]_{n} = [x]_{0}.d_{1}d_{2}...d_{n}$, और बाद के सभी 9s को 0s से बदलना (देखें 0.999...)।

ऐसा कोई भी दशमलव अंश, अर्थात: $d_{N}$ के लिये $d_{N} + 1$, को प्रतिस्थापित करके इसके समतुल्य अनंत दशमलव प्रसार में परिवर्तित किया जा सकता है $d_{n} = 0$ द्वारा $n > N$ और बाद के सभी 0s को 9s से बदलना (देखें 0.999...)।

संक्षेप में, प्रत्येक वास्तविक संख्या जो दशमलव अंश नहीं है, का एक अद्वितीय अनंत दशमलव विस्तार होता है। प्रत्येक दशमलव अंश में ठीक दो अनंत दशमलव प्रसार होते हैं, जिनमें से एक में किसी स्थान के बाद केवल 0 होता है, जो उपरोक्त परिभाषा से प्राप्त होता है $d_{N}$, और दूसरे में किसी स्थान के बाद केवल 9 होते हैं, जिसे परिभाषित करके प्राप्त किया जाता है $d_{N} − 1$ सबसे बड़ी संख्या के रूप में जो इससे कम है $N$, बिल्कुल$x$दशमलव चिह्न के बाद अंक।

परिमेय संख्या
दीर्घ विभाजन एक परिमेय संख्या के अनंत दशमलव विस्तार की गणना करने की अनुमति देता है। यदि परिमेय संख्या एक #दशमलव अंश है, तो विभाजन अंततः बंद हो जाता है, एक दशमलव अंक का निर्माण करता है, जिसे असीम रूप से कई शून्य जोड़कर एक अनंत विस्तार में बढ़ाया जा सकता है। यदि परिमेय संख्या दशमलव अंश नहीं है, तो विभाजन अनिश्चित काल तक जारी रह सकता है। हालाँकि, जैसा कि सभी क्रमिक अवशेष भाजक से कम हैं, केवल संभावित अवशेषों की एक सीमित संख्या है, और कुछ स्थानों के बाद, अंकों के समान क्रम को भागफल में अनिश्चित काल तक दोहराया जाना चाहिए। अर्थात्, किसी के पास एक आवर्ती दशमलव होता है। उदाहरण के लिए,
 * $n$ = 0. 012345679 012... (समूह 012345679 अनिश्चित काल तक दोहराने के साथ)।

इसका विलोम भी सत्य है: यदि, किसी संख्या के दशमलव निरूपण में किसी बिंदु पर, अंकों की एक ही श्रृंखला अनिश्चित काल तक दोहराना शुरू कर देती है, तो संख्या परिमेय होती है। या अंश और हर दोनों को 6 से भाग देने पर, $1⁄81$.

दशमलव गणना
अधिकांश आधुनिक संगणक हार्डवेयर और सॉफ्टवेयर सिस्टम आमतौर पर आंतरिक रूप से एक बाइनरी अंक प्रणाली का उपयोग करते हैं (हालांकि कई शुरुआती कंप्यूटर, जैसे कि ENIAC या IBM 650, आंतरिक रूप से दशमलव प्रतिनिधित्व का उपयोग करते हैं)। कंप्यूटर विशेषज्ञों द्वारा बाहरी उपयोग के लिए, यह बाइनरी प्रतिनिधित्व कभी-कभी संबंधित अष्टभुजाकार या हेक्साडेसिमल सिस्टम में प्रस्तुत किया जाता है।

अधिकांश उद्देश्यों के लिए, हालांकि, बाइनरी मानों को मनुष्यों के लिए प्रस्तुति या इनपुट के लिए समतुल्य दशमलव मानों में परिवर्तित किया जाता है; कंप्यूटर प्रोग्राम डिफ़ॉल्ट रूप से दशमलव में शाब्दिक व्यक्त करते हैं। (123.1, उदाहरण के लिए, कंप्यूटर प्रोग्राम में इस तरह लिखा जाता है, भले ही कई कंप्यूटर भाषाएं उस संख्या को सटीक रूप से एनकोड करने में असमर्थ हों।)

कंप्यूटर हार्डवेयर और सॉफ्टवेयर दोनों ही आंतरिक अभ्यावेदन का उपयोग करते हैं जो दशमलव मानों को संग्रहीत करने और अंकगणित करने के लिए प्रभावी रूप से दशमलव हैं। अक्सर यह अंकगणित डेटा पर किया जाता है जो बाइनरी-कोडित दशमलव के कुछ प्रकार का उपयोग करके एन्कोड किया जाता है,

दशमलव अंकगणित का उपयोग कंप्यूटरों में किया जाता है ताकि उनके भिन्नात्मक भाग की एक निश्चित लंबाई के साथ मानों को जोड़ने (या घटाना) के दशमलव भिन्नात्मक परिणाम हमेशा इसी लंबाई की सटीकता के साथ गणना किए जाते हैं। यह विशेष रूप से वित्तीय गणनाओं के लिए महत्वपूर्ण है, उदाहरण के लिए, बहीखाता पद्धति के उद्देश्यों के लिए उनके परिणामों में सबसे छोटी मुद्रा इकाई के पूर्णांक गुणकों की आवश्यकता होती है। बाइनरी में यह संभव नहीं है, क्योंकि की नकारात्मक शक्तियां $$10$$ कोई सीमित द्विआधारी भिन्नात्मक प्रतिनिधित्व नहीं है; और आमतौर पर गुणा (या भाग) के लिए असंभव है। सटीक गणना के लिए मनमाना-परिशुद्धता अंकगणित देखें।

इतिहास
कई प्राचीन संस्कृतियों की गणना दस पर आधारित अंकों के साथ की जाती है, कभी-कभी मानव हाथों के कारण तर्क दिया जाता है कि आम तौर पर दस अंगुलियां/अंक होते हैं। सिंधु घाटी सभ्यता में प्रयुक्त मानकीकृत बाट (c. 3300–1300 BCE) अनुपातों पर आधारित थे: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, और 500, जबकि उनके मानकीकृत शासक - मोहनजो- दारो शासक - दस बराबर भागों में विभाजित था।  लगभग 3000 ईसा पूर्व से साक्ष्य के रूप में मिस्र की चित्रलिपि, विशुद्ध रूप से दशमलव प्रणाली का उपयोग करती है, जैसा कि क्रेटन चित्रलिपि ने किया था (c. 1625−1500 BCE) मिनोअंस के हैं जिनके अंक मिस्र के मॉडल पर आधारित हैं।  दशमलव प्रणाली लगातार कांस्य युग ग्रीस को सौंपी गई थी, जिसमें रैखिक ए (सी। 18वीं शताब्दी ईसा पूर्व-1450 ईसा पूर्व) और रैखिक बी (सी। 1375-1200 ईसा पूर्व) शामिल थे - शास्त्रीय ग्रीस की संख्या प्रणाली भी दस की शक्तियों का उपयोग करती थी, सहित, रोमन अंक, 5 का एक मध्यवर्ती आधार। विशेष रूप से, पॉलीमैथ आर्किमिडीज़ (सी। 287-212 ईसा पूर्व) ने अपने रेत रेकनर में एक दशमलव स्थिति प्रणाली का आविष्कार किया जो 10 पर आधारित था।8 और बाद में जर्मन गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस को विलाप करने के लिए प्रेरित किया कि अगर आर्किमिडीज ने अपनी सरल खोज की क्षमता को पूरी तरह से महसूस किया होता तो विज्ञान उनके दिनों में कितनी ऊंचाइयों तक पहुंच चुका होता। हित्तियों के चित्रलिपि (15वीं शताब्दी ईसा पूर्व से) भी पूरी तरह से दशमलव थे। कुछ गैर-गणितीय प्राचीन ग्रंथ जैसे वेदों, जो 1700-900 ईसा पूर्व के हैं, दशमलव और गणितीय दशमलव अंशों का उपयोग करते हैं। मिस्र के पदानुक्रम अंक, ग्रीक वर्णमाला अंक, हिब्रू वर्णमाला अंक, रोमन अंक, चीनी अंक और प्रारंभिक भारतीय ब्राह्मी अंक सभी गैर-स्थितीय दशमलव प्रणाली हैं, और बड़ी संख्या में प्रतीकों की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, मिस्र के अंकों ने 10, 20 से 90, 100, 200 से 900, 1000, 2000, 3000, 4000, से 10,000 के लिए विभिन्न प्रतीकों का उपयोग किया। दुनिया की सबसे पहली स्थितीय दशमलव प्रणाली चीनी रॉड कैलकुलस थी।

दशमलव अंशों का इतिहास
दशमलव अंश पहली बार चौथी शताब्दी ईसा पूर्व के अंत में चीनियों द्वारा विकसित और उपयोग किए गए थे। और फिर मध्य पूर्व और वहां से यूरोप तक फैल गया। लिखित चीनी दशमलव अंश गैर-स्थितीय थे। हालाँकि, रॉड कैलकुलस # फ्रैक्शन स्थितीय थे। जे आईयू में क्यू कम ने अपनी पुस्तक नौ खंडों में गणितीय ग्रंथ (1247 ) द्वारा 0.96644 दर्शाया गया


 * 寸
 * [[File:Counting rod 0.png]] [[File:Counting rod h9 num.png]] [[File:Counting rod v6.png]] [[File:Counting rod h6.png]] [[File:Counting rod v4.png]] [[File:Counting rod h4.png]], अर्थ
 * 寸
 * 096644

जे. लेनार्ट बर्गग्रेन ने नोट किया कि स्थितीय दशमलव अंश पहली बार 10वीं शताब्दी में लिखी गई अरब गणितज्ञ अबुल-हसन अल-उक्लिदिसी की एक पुस्तक में दिखाई दिए। यहूदी गणितज्ञ इमैनुएल बोनफिल्स ने 1350 के आसपास दशमलव अंशों का उपयोग किया, साइमन स्टीवन की आशंका, लेकिन उनका प्रतिनिधित्व करने के लिए कोई संकेतन विकसित नहीं किया। फ़ारसी गणितज्ञ जमशीद अल-काशी ने दावा किया कि उन्होंने 15वीं शताब्दी में स्वयं दशमलव भिन्नों की खोज की थी। 9वीं शताब्दी की शुरुआत में अलखावरिज़मी ने इस्लामिक देशों में गुट की शुरुआत की; एक चीनी लेखक ने आरोप लगाया है कि उनकी अंश प्रस्तुति सूरज बैंगनी एसयू शांत से पारंपरिक चीनी गणितीय अंश की एक सटीक प्रति थी। क्षैतिज पट्टी के बिना शीर्ष पर अंश और तल पर भाजक के साथ भिन्न के इस रूप का उपयोग अल-उक्लिदिसी और अल-काशी द्वारा अपने कार्य अंकगणितीय कुंजी में भी किया गया था। 

16वीं शताब्दी में साइमन स्टीविन द्वारा आधुनिक यूरोपीय दशमलव संकेतन का एक अग्रदूत पेश किया गया था। जॉन नेपियर ने 1620 में मरणोपरांत प्रकाशित लघुगणक तालिका के निर्माण पर अपनी पुस्तक में भिन्नात्मक भाग से एक दशमलव संख्या के पूर्णांक भाग को अलग करने के लिए अवधि (.) का उपयोग करके पेश किया।

प्राकृतिक भाषाएँ
दस प्रतीकों के एक सेट का उपयोग करके हर संभव प्राकृतिक संख्या को व्यक्त करने की एक विधि भारत में उभरी। कई भारतीय भाषाएँ एक सीधी दशमलव प्रणाली दिखाती हैं। कई इंडो-आर्यन भाषाएँ | इंडो-आर्यन और द्रविड़ भाषाओं की संख्या 10 और 20 के बीच होती है, जो 10 के जोड़ के एक नियमित पैटर्न में व्यक्त की जाती है। हंगेरियन भाषा भी एक सीधी दशमलव प्रणाली का उपयोग करती है। 10 और 20 के बीच की सभी संख्याएँ नियमित रूप से बनती हैं (उदाहरण के लिए 11 को टिज़ेनेजी के रूप में शाब्दिक रूप से दस पर एक के रूप में व्यक्त किया जाता है), जैसा कि 20 और 100 के बीच होता है (23 के रूप में हुज़ोनहारोम = तीन पर बीस)।

प्रत्येक क्रम के लिए एक शब्द के साथ एक सीधी दशमलव रैंक प्रणाली (10 十, 100 百, 1000 千, 10,000 万), और जिसमें 11 को दस-एक और 23 को दो-दस-तीन के रूप में व्यक्त किया जाता है, और 89,345 को 8 (दस हजार) के रूप में व्यक्त किया जाता है। 万 9 (हजार) 千 3 (सौ) 百 4 (दसियों) 十 5 चीनी भाषा में और कुछ अनियमितताओं के साथ वियतनामी भाषा में पाया जाता है। जापानी भाषा, कोरियाई भाषा और थाई भाषा ने चीनी दशमलव प्रणाली का आयात किया है। दशमलव प्रणाली वाली कई अन्य भाषाओं में 10 और 20 के बीच की संख्या और दशकों के लिए विशेष शब्द हैं। उदाहरण के लिए, अंग्रेजी में 11 ग्यारह है न कि दस-एक या एक-किशोर।

क्वेशुआ भाषा और आयमारा भाषा जैसी इंकान भाषाओं में लगभग सीधी दशमलव प्रणाली है, जिसमें 11 को दस के साथ एक और 23 को दो-दस के साथ तीन के रूप में व्यक्त किया जाता है।

कुछ मनोवैज्ञानिक सुझाव देते हैं कि अंकों के अंग्रेजी नामों की अनियमितता बच्चों की गिनने की क्षमता में बाधा उत्पन्न कर सकती है।

अन्य आधार
कुछ संस्कृतियाँ संख्याओं के अन्य आधारों का उपयोग करती हैं या करती हैं।
 * कलमबुस से पहले मेसोअमेरिका संस्कृतियों जैसे कि माया अंकों में एक वीजीसिमल|बेस-20 सिस्टम (शायद सभी बीस अंगुलियों और पैर की उंगलियों के उपयोग पर आधारित) का उपयोग किया जाता है।
 * कैलिफोर्निया में युकी जनजाति की भाषा और पामियन भाषाएँ मेक्सिको में ऑक्टल (मूलांक-8) प्रणालियाँ हैं क्योंकि वक्ता स्वयं अंगुलियों के बजाय अपनी अंगुलियों के बीच के रिक्त स्थान का उपयोग करके गिनते हैं।
 * जर्मनिक भाषाओं के शुरुआती अंशों में एक गैर-दशमलव आधार का अस्तित्व शब्दों और शब्दावलियों की उपस्थिति से प्रमाणित होता है, जिसका अर्थ है कि गिनती दशमलव में है (दस-गिनती या दस-वार के समान); यदि सामान्य गिनती दशमलव नहीं है, और यदि यह असामान्य है तो ऐसी अपेक्षा की जाएगी। जहां यह गणना प्रणाली ज्ञात है, यह दीर्घ सौ = 120, और दीर्घ हजार 1200 पर आधारित है। दीर्घ जैसे वर्णन ईसाइयों के साथ 100 के छोटे सौ के प्रकट होने के बाद ही प्रकट होते हैं। गॉर्डन का इंट्रोडक्शन टू ओल्ड नॉर्स  पी। 293, संख्या नाम देता है जो इस प्रणाली से संबंधित हैं। एक अभिव्यक्ति 'एक सौ अस्सी' का अनुवाद 200 में होता है, और 'दो सौ' का अनुवाद 240 में होता है। /pdf/vol_123/123_395_418.pdf गुडारे मध्य युग में स्कॉटलैंड में लंबे सौ के उपयोग का विवरण देता है, उदाहरण के तौर पर गणना जहां कैरी का अर्थ है i C (अर्थात एक सौ) 120, आदि कि सामान्य आबादी थी ऐसी संख्याओं का सामना करने के लिए चिंतित नहीं होना सामान्य पर्याप्त उपयोग का सुझाव देता है। पाउंड की लंबी गिनती के बजाय मध्यवर्ती इकाइयों, जैसे पत्थर और पाउंड का उपयोग करके सौ जैसी संख्याओं से बचना भी संभव है। गुडारे vii स्कोर जैसी संख्याओं का उदाहरण देते हैं, जहां कोई विस्तारित स्कोर का उपयोग करके सौ से बचता है। W.H द्वारा एक पेपर भी है। स्टीवेन्सन, 'लॉन्ग हंड्रेड एंड इट्स यूजेज इन इंग्लैंड' पर।
 * कई या सभी चुमाशन भाषाओं में मूल रूप से एक चतुर्धातुक अंक प्रणाली का उपयोग किया जाता था। बेस -4 गिनती प्रणाली, जिसमें संख्याओं के नाम 4 के गुणकों और हेक्साडेसिमल के अनुसार संरचित किए गए थे।
 * बहुत सारी भाषाएं गुमात्ज भाषा, नुंगगुब्यु भाषा, कुर्न कोपन नोट भाषा और सरवेसा इनमें से, गुमत्ज एकमात्र सच्ची 5-25 भाषा है, जिसमें 25 5 का उच्च समूह है।
 * कुछ नाइजीरियाई ग्रहणी प्रणाली का उपयोग करते हैं। ऐसा ही भारत और नेपाल में कुछ छोटे समुदायों ने किया, जैसा कि उनकी भाषाओं से संकेत मिलता है।
 * पापुआ न्यू गिनी की हुली भाषा में पंचदशमलव|आधार-15 अंक होने की सूचना है। नगुई का अर्थ है 15, नगुई की का अर्थ है 15 × 2 = 30, और नगुई का अर्थ है 15 × 15 =
 * उम्बु-उंगु भाषा|उम्बु-उंगु भाषा, जिसे काकोली के नाम से भी जाना जाता है, के आधार 24|आधार-24 संख्या होने की सूचना है। टोकापू का अर्थ है 24, तोकापु तालु का अर्थ है 24 × 2 = 48, और टोकापु टोकापू का अर्थ है 24 × 24 = 576।
 * एनजीटी भाषा में आधार-4 चक्रों के साथ आधार 32|आधार-32 संख्या प्रणाली होने की सूचना है। * पापुआ न्यू गिनी की Ndom भाषा में आधार-6 अंक होने की सूचना है। मेर का अर्थ है 6, मेर चोर का अर्थ है 6 × 2 = 12, निफ़ का अर्थ है 36, और यदि इसका अर्थ है 36×2 = 72।

यह भी देखें
• Algorism

• Binary-coded decimal (BCD)

• Decimal classification

• Decimal computer

• Decimal time

• Decimal representation

• Decimal section numbering

• Decimal separator

• Decimalisation

• Densely packed decimal (DPD)

• Duodecimal

• Octal

• Scientific notation

• Serial decimal

• SI prefix

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * गैर-नकारात्मक पूर्णांक
 * आवर्ती दशमलव
 * लब्धि
 * घटाव का चिन्ह
 * गैर-नकारात्मक संख्या
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 * अगर और केवल अगर
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