हाइपोएक्सपोनेंशियल वितरण

संभाव्यता सिद्धांत में हाइपोएक्सपोनेंशियल वितरण या सामान्यीकृत एरलांग वितरण एक अति-घातीय वितरण है, जिसका उपयोग एरलांग वितरण के समान क्षेत्रों में किया गया है, जैसे कतारबद्ध सिद्धांत, टेलीट्रैफ़िक इंजीनियरिंग और सामान्यतः स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं में, इसे हाइपोएक्सपोनेशियल डिस्ट्रीब्यूशन कहा जाता है, क्योंकि इसमें भिन्नता का गुणांक एक से कम होता है, हाइपर-एक्सपोनेंशियल डिस्ट्रीब्यूशन की तुलना में जिसमें भिन्नता का गुणांक एक से अधिक होता है, और एक्सपोनेंशियल डिस्ट्रीब्यूशन जिसमें भिन्नता का गुणांक एक से अधिक होता है।

अवलोकन
एर्लांग वितरण दर के साथ k घातांकीय वितरणों की एक श्रृंखला है, $$\lambda$$ हाइपोएक्सपोनेन्शियल, k घातीय वितरणों की एक श्रृंखला है, जिनमें से प्रत्येक की अपनी दर होती है, $$\lambda_{i}$$ की दर $$i^{th}$$ घातीय वितरण, यदि हमारे पास k स्वतंत्र रूप से वितरित घातीय यादृच्छिक चर है, $$\boldsymbol{X}_{i}$$ फिर यादृच्छिक चर,



\boldsymbol{X}=\sum^{k}_{i=1}\boldsymbol{X}_{i} $$ हाइपोएक्सपोनेन्शियल रूप से वितरित किया जाता है। हाइपोएक्सपोनेंशियल में भिन्नता का न्यूनतम गुणांक $$1/k$$ होता है।

चरण-प्रकार वितरण से संबंध
परिभाषा के परिणामस्वरूप इस वितरण को चरण-प्रकार वितरण के एक विशेष स्थितियाँ के रूप में मानना ​​सरल है। चरण-प्रकार वितरण एक सीमित स्टेट मार्कोव प्रक्रिया के अवशोषण का समय है। यदि हमारे पास k+1 अवस्था प्रक्रिया है, जहां पहली k अवस्थाएं क्षणिक हैं, और अवस्था k+1 एक अवशोषित अवस्था है, तो प्रक्रिया की शुरुआत से लेकर अवशोषण अवस्था तक पहुंचने तक समय का वितरण चरण-प्रकार से वितरित होता है, यदि हम पहले 1 से प्रारंभ करते हैं, और दर के साथ स्किप-फ्री स्थिति i से i+1 तक जाते हैं, तो यह हाइपोएक्सपोनेंशियल बन जाता है, $$\lambda_{i}$$ जब तक कि स्थिति k दर के साथ परिवर्तित न हो जाए, $$\lambda_{k}$$ को अवशोषित अवस्था k+1 तक, इसे सबजेनरेटर आव्यूह के रूप में लिखा जा सकता है।



\left[\begin{matrix}-\lambda_{1}&\lambda_{1}&0&\dots&0&0\\ 0&-\lambda_{2}&\lambda_{2}&\ddots&0&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\ddots&-\lambda_{k-2}&\lambda_{k-2}&0\\ 0&0&\dots&0&-\lambda_{k-1}&\lambda_{k-1}\\ 0&0&\dots&0&0&-\lambda_{k} \end{matrix}\right]\;. $$ सरलता के लिए उपरोक्त आव्यूह को निरूपित करें, $$\Theta\equiv\Theta(\lambda_{1},\dots,\lambda_{k})$$ यदि प्रत्येक k अवस्था में प्रारंभ होने की प्रायिकता है।



\boldsymbol{\alpha}=(1,0,\dots,0) $$ तब $$Hypo(\lambda_{1},\dots,\lambda_{k})=PH(\boldsymbol{\alpha},\Theta).$$

दो पैरामीटर केस
जहां वितरण के दो पैरामीटर हैं, ($$\lambda_1 \neq \lambda_2$$) संभाव्यता कार्यों के स्पष्ट रूप और संबंधित आँकड़े हैं।

सीडीएफ: $$F(x) = 1 - \frac{\lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}e^{-\lambda_1x} + \frac{\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1}e^{-\lambda_2x}$$

पीडीएफ: $$f(x) = \frac{\lambda_1\lambda_2}{\lambda_1-\lambda_2}( e^{-x \lambda_2} - e^{-x \lambda_1} )$$

अर्थ: $$\frac{1}{\lambda_1}+\frac{1}{\lambda_2}$$

विचरण: $$\frac{1}{\lambda_1^2}+\frac{1}{\lambda_2^2}$$

गुणांक का परिवर्तन: $$\frac{\sqrt{\lambda_1^2 + \lambda_2^2}}{ \lambda_1 + \lambda_2 }$$

भिन्नता का गुणांक सदैव <1 होता है।

मॉडल माध्य दिया गया ($$\bar{x}$$) और भिन्नता का मॉडल गुणांक ($$c$$) पैरामीटर $$\lambda_1$$ और $$\lambda_2$$ का अनुमान इस प्रकार लगाया जा सकता है।

$$\lambda_1= \frac{ 2}{ \bar{x} } \left[ 1 + \sqrt{ 1 + 2 ( c^2 - 1 ) } \right]^{-1}$$

$$\lambda_2 = \frac{ 2 }{ \bar{x} } \left[ 1 - \sqrt{ 1 + 2 ( c^2 - 1 ) } \right]^{-1}$$

इन अनुमानकों को सेटिंग द्वारा क्षणों के विधियों से प्राप्त किया जा सकता है। $$\frac{1}{\lambda_1}+\frac{1}{\lambda_2}=\bar x

$$ और $$ \frac{\sqrt{\lambda_1^2+\lambda_2^2}}{\lambda_1+\lambda_2}=c

$$.

परिणामी पैरामीटर $$\lambda_1$$ और $$\lambda_2$$ वास्तविक मान हैं, यदि $$c^2\in[0.5,1]$$

विशेषता
एक यादृच्छिक चर $$\boldsymbol{X}\sim Hypo(\lambda_{1},\dots,\lambda_{k})$$ में संचयी वितरण फ़ंक्शन दिया गया है।



F(x)=1-\boldsymbol{\alpha}e^{x\Theta}\boldsymbol{1} $$ और घनत्व फ़ंक्शन,



f(x)=-\boldsymbol{\alpha}e^{x\Theta}\Theta\boldsymbol{1}\; , $$ जहाँ $$\boldsymbol{1}$$ k और बनावट वाले लोगों का एक स्तंभ सदिश है, e^ A का आव्यूह घातांक है। जब $$\lambda_{i} \ne \lambda_{j}$$ सभी के लिए $$i \ne j$$ घनत्व फ़ंक्शन को इस प्रकार लिखा जा सकता है।



f(x) = \sum_{i=1}^k \lambda_i e^{-x \lambda_i} \left(\prod_{j=1, j \ne i}^k \frac{\lambda_j}{\lambda_j - \lambda_i}\right) = \sum_{i=1}^k \ell_i(0) \lambda_i e^{-x \lambda_i} $$ जहाँ $$\ell_1(x), \dots, \ell_k(x)$$ बिंदुओं से जुड़े लैग्रेंज आधार बहुपद हैं, $$\lambda_1,\dots,\lambda_k$$

वितरण में लाप्लास रूपांतरण है।



\mathcal{L}\{f(x)\}=-\boldsymbol{\alpha}(sI-\Theta)^{-1}\Theta\boldsymbol{1} $$ जिसका उपयोग क्षणों को खोजने के लिए किया जा सकता है।



E[X^{n}]=(-1)^{n}n!\boldsymbol{\alpha}\Theta^{-n}\boldsymbol{1}\;. $$

सामान्य स्थिति
सामान्य स्थितियाँ में जहां हैं, $$a$$ दरों के साथ घातीय वितरण का एक भिन्न योग $$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_a$$ और प्रत्येक योग में पदों की संख्या के समतुल्य होती है, क्रमशः $$r_1,r_2,\cdots,r_a$$ के लिए संचयी वितरण फ़ंक्शन $$t\geq0$$ द्वारा दिया गया है।


 * $$F(t)

= 1 - \left(\prod_{j=1}^a \lambda_j^{r_j} \right) \sum_{k=1}^a \sum_{l=1}^{r_k} \frac{\Psi_{k,l}(-\lambda_k) t^{r_k-l} \exp(-\lambda_k t)} {(r_k-l)!(l-1)!} , $$ साथ


 * $$\Psi_{k,l}(x)

= -\frac{\partial^{l-1}}{\partial x^{l-1}} \left(\prod_{j=0,j\neq k}^a \left(\lambda_j+x\right)^{-r_j} \right). $$ अतिरिक्त सम्मलेन के साथ $$\lambda_0 = 0, r_0 = 1$$.

उपयोग
इस वितरण का उपयोग जनसंख्या आनुवंशिकी, कोशिका जीव विज्ञान, और कतारबद्ध सिद्धांत  में किया गया है।

यह भी देखें

 * चरण-प्रकार वितरण
 * कॉक्सियन वितरण

अग्रिम पठन

 * M. F. Neuts. (1981) Matrix-Geometric Solutions in Stochastic Models: an Algorthmic Approach, Chapter 2: Probability Distributions of Phase Type; Dover Publications Inc.
 * G. Latouche, V. Ramaswami. (1999) Introduction to Matrix Analytic Methods in Stochastic Modelling, 1st edition. Chapter 2: PH Distributions; ASA SIAM,
 * Colm A. O'Cinneide (1999). Phase-type distribution: open problems and a few properties, Communication in Statistic - Stochastic Models, 15(4), 731–757.
 * L. Leemis and J. McQueston (2008). Univariate distribution relationships, The American Statistician, 62(1), 45—53.
 * S. Ross. (2007) Introduction to Probability Models, 9th edition, New York: Academic Press
 * S.V. Amari and R.B. Misra (1997) Closed-form expressions for distribution of sum of exponential random variables,IEEE Trans. Reliab. 46, 519–522
 * B. Legros and O. Jouini (2015) A linear algebraic approach for the computation of sums of Erlang random variables, Applied Mathematical Modelling, 39(16), 4971–4977

Erlang分布