अभिन्न तत्व

क्रमविनिमेय बीजगणित में, क्रमविनिमेय वलय B के तत्व b को 'अभिन्न' A कहा जाता है, B का एक उपवलय, यदि n ≥ 1 और a j ऐसा है
 * $$b^n + a_{n-1} b^{n-1} + \cdots + a_1 b + a_0 = 0.$$

अर्थात्, b, A पर एकात्मक बहुपद का मूल है। B के तत्वों का समूह जो A पर अभिन्न है, B में A का 'इंटीग्रल क्लोजर' कहलाता है। यह B युक्त A का सबरिंग है। यदि B का प्रत्येक अवयव A पर समाकलित है,तो हम कहते हैं की B,A पर समाकलित है,या समतुल्य B,A का समाकलित विस्तार है।

यदि A,B फ़ील्ड (गणित) हैं, तो समाकलित ओवर और समाकलित विस्तार की धारणा बीजगणितीय तत्व ओवर जो क्षेत्र सिद्धांत (गणित) में बीजगणितीय विस्तार हैं (चूंकि किसी भी बहुपद की जड़ एक मोनिक बहुपद की जड़ है).

संख्या सिद्धांत में सबसे बड़ी घटना 'Z' पर समाकलित जटिल संख्याओं का घटना है (उदाहरण के लिए, $$\sqrt{2}$$ या $$1+i$$); इस संदर्भ में, अभिन्न तत्वों को सामान्यतः बीजगणितीय पूर्णांक कहा जाता है। परिमेय संख्या 'Q' के परिमित क्षेत्र विस्तार k में बीजगणितीय पूर्णांक k का एक उप-वलय बनाते हैं, जिसे k के पूर्णांकों का वलय कहा जाता है, जो बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में अध्ययन का केंद्रीय उद्देश्य है।

इस लेख में, शब्द वलय (गणित) को एक गुणात्मक पहचान के साथ क्रमविनिमेय वलय के समान समझा जाएगा।

बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में समाकलन
समाकलन क्लोजर के कई उदाहरण हैं जो बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में पाए जा सकते हैं, क्योंकि यह बीजगणितीय विस्तार के लिए पूर्णांकों की छल्लों को परिभाषित करने के लिए वास्तविक है। $$K/\mathbb{Q}$$ (या $$L/\mathbb{Q}_p$$).

परिमेय में पूर्णांकों का अभिन्न समापन
पूर्णांक Q एकमात्र तत्व हैं जो Z पर अभिन्न हैं। दूसरे शब्दों में, Z, Q में Z का अभिन्न समापन है।

द्विघात विस्तार
गॉसियन पूर्णांक फॉर्म की जटिल संख्याएँ हैं $$a + b \sqrt{-1},\, a, b \in \mathbf{Z}$$, और Z पर अभिन्न हैं। $$\mathbf{Z}[\sqrt{-1}]$$ तब Z का अभिन्न समापन है $$\mathbf{Q}(\sqrt{-1})$$.सामान्य स्तर पर इस छल्ले को निरूपित किया जाता है $$\mathcal{O}_{\mathbb{Q}[i]}$$.

Z का अभिन्न समापन $$\mathbf{Q}(\sqrt{5})$$ छल्ला है
 * $$\mathcal{O}_{\mathbb{Q}[\sqrt{5}]} = \mathbb{Z}\!\left[ \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right]$$

यह और पिछला उदाहरण द्विघात पूर्णांकों के उदाहरण हैं। एक द्विघात विस्तार का अभिन्न समापन $$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$$ एक मनमाना तत्व के न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत) का निर्माण करके पाया जा सकता है $$a + b \sqrt{d}$$ और पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद के लिए संख्या-सैद्धांतिक कसौटी खोजना। यह विश्लेषण द्विघात पूर्णांक # पूर्णांकों की अंगूठी का निर्धारण में पाया जा सकता है।

एकता की जड़ें
ζ एकता की जड़ हो। तब साइक्लोटोमिक क्षेत्र(वृत्तभाजनिक क्षेत्र ) Q(ζ) में Z का अभिन्न समापन Z[ζ] है। यह न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत) का उपयोग करके और ईसेनस्टीन क्राइटिरीअन(मापदंड) का उपयोग करके पाया जा सकता है।

बीजगणितीय पूर्णांकों का वलय
जटिल संख्या C, या बीजगणितीय संवरण के क्षेत्र में Z का अभिन्न संवरण $$\overline{\mathbb{Q}}$$ बीजगणितीय पूर्णांकों का वलय कहा जाता है।

अन्य
किसी भी वलय में एकता, निलपोटेंट तत्वों(शून्यंभावी तत्व) और इडेम्पोटेंट (वलय सिद्धांत) की जड़ें Z पर अभिन्न हैं।

ज्यामिति में इंटीग्रल क्लोजर
ज्यामिति में, इंटीग्रल क्लोजर (अभिन्न समापन) सामान्यीकरण और सामान्य योजनाओं से निकटता से सम्बंधित है। यह विलक्षणताओं के समाधान में पहला कदम है क्योंकि यह कोडिमेंशन 1 की विलक्षणताओं को हल करने की प्रक्रिया है।


 * उदाहरण के लिए, का अभिन्न समापन $$\mathbb{C}[x,y,z]/(xy)$$ छल्ला है $$\mathbb{C}[x,z] \times \mathbb{C}[y,z]$$ ज्यामितीय रूप से, पहली छल्ले से मेल खाती है $$xz$$-समतल के साथ yz समतल जुड़ा है | उनके पास कोडिमेंशन 1 विलक्षणता है $$z$$-अक्ष जहां वे प्रतिच्छेद करते हैं।
 * एक परिमित समूह G समूह को एक वलय A पर क्रिया करने दें। फिर A, A पर अभिन्न हैG, G द्वारा तय किए गए तत्वों का समूह ; फिक्स्ड-पॉइंट सबरिंग देखें।
 * मान लें कि R एक वलय है और u एक इकाई (रिंग थ्योरी) है जिसमें R है। तब
 * 1) u-1 R का अभिन्न अंग है यदि और केवल यदि u−1 ∈ R[u]।
 * 2) $$R[u] \cap R[u^{-1}]$$ R पर अभिन्न है।
 * 3) एक सामान्य प्रक्षेपी किस्म X के सजातीय समन्वय वलय का अभिन्न समापन वर्गों का वलय है
 * $$\bigoplus_{n \ge 0} \operatorname{H}^0(X, \mathcal{O}_X(n)).$$

बीजगणित में अखंडता

 * अगर $$\overline{k}$$ एक फ़ील्ड k का बीजगणितीय समापन है, तब $$\overline{k}[x_1, \dots, x_n]$$ अभिन्न है $$k[x_1, \dots, x_n].$$
 * C((x)) के परिमित विस्तार में C x  का इंटीग्रल क्लोजर(अभिन्न समापन ) फॉर्म का है $$\mathbf{C}x^{1/n}$$ (cf. प्यूसेक्स श्रृंखला)

समतुल्य परिभाषाएँ
B को वलय होने दें, और A को B का उप-वलय होने दें। B में एक तत्व b दिया गया है, निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैं:
 * (i) b A से अधिक अभिन्न है;
 * (ii) A और b द्वारा उत्पन्न B का सबरिंग A[b]अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल है। अंतिम रूप से उत्पन्न A-मॉड्यूल;
 * (iii) A [b] युक्त B का सबरिंग C मौजूद है और जो अंतिम रूप से उत्पन्न A-मॉड्यूल है;
 * (iv) एक वफादार मॉड्यूल A [b] -मॉड्यूल M उपस्थित है जैसे कि M, A-मॉड्यूल के रूप में अंततः उत्पन्न होता है।

इसका सामान्य गणितीय प्रमाण निर्धारकों पर केली-हैमिल्टन प्रमेय के निम्नलिखित संस्करण का उपयोग करता है:
 * 'प्रमेय' मान लीजिए कि आप एन तत्वों द्वारा उत्पन्न A-मॉड्यूल M का एंडोमोर्फिज्म हैं और A का आदर्श (छल्ला सिद्धांत) ऐसा है कि $$u(M) \subset IM$$. फिर एक संबंध है:
 * $$u^n + a_1 u^{n-1} + \cdots + a_{n-1} u + a_n = 0, \, a_i \in I^i.$$

यह प्रमेय (I = A और u गुणा b द्वारा) देता है (iv) ⇒ (i) और बाकी आसान है। संयोग से, नाकायमा की लेम्मा भी इस प्रमेय का एक तात्कालिक परिणाम है।

प्राथमिक गुण
इंटीग्रल क्लोजर(अभिन्न समापन )छल्ला बनाता है उपरोक्त चार समकक्ष कथनों से यह पता चलता है कि तत्वों का समुच्चय $$B$$ जो अभिन्न हैं $$A$$ का उपसमूह बनाता है$$B$$युक्त $$A$$. (उपपत्ति: यदि x, y के अवयव हैं$$B$$जो अभिन्न हैं $$A$$, तब $$x + y, xy, -x$$ अभिन्न हैं $$A$$ चूंकि वे स्थिर हैं $$A[x]A[y]$$, जो अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल है $$A$$ शून्य से ही नष्ट हो जाता है।) इस छल्ले को इंटीग्रल क्लोजर(अभिन्न समापन) कहा जाता है $$A$$ में $$B$$.

अखंडता की संक्रामकता
उपरोक्त तुल्यता का परिणाम यह है कि निम्नलिखित अर्थों में समग्रता सकर्मक संबंध है। $$C$$ छल्ले युक्त हो $$B$$ और $$c \in C$$. अगर $$c$$ अभिन्न है $$B$$ और $$B$$ अभिन्न $$A$$, तब $$c$$ अभिन्न है $$A$$. विशेष रूप से, अगर $$C$$ स्वयं अभिन्न है $$B$$ और $$B$$ अभिन्न है $$A$$, तब $$C$$ भी अभिन्न है $$A$$.

अंश क्षेत्र में बंद इंटीग्रल
यदि A का अभिन्न समापन होता है $$A$$ में $$B$$, तब A को 'पूर्ण रूप से समापन' कहा जाता है $$B$$. यदि $$B$$ के अंशों का कुल वलय है $$A$$, (उदाहरण के लिए, भिन्नों का क्षेत्र जब $$A$$ एक अभिन्न डोमेन है), तो कभी-कभी कोई योग्यता छोड़ देता है $$B$$ बस अभिन्न समापन कहते हैं $$A$$ और $$A$$ अभिन्न रूप से बंद डोमेन है। उदाहरण के लिए, पूर्णांकों का वलय $$\mathcal{O}_K$$ क्षेत्र में पूरी तरह से बंद है $$K$$.

अभिन्न रूप से बंद डोमेन के साथ अभिन्न क्लोजर की संक्रामकता
मान लीजिए कि A, अंश K के क्षेत्र के साथ एक अभिन्न डोमेन है और A', K के बीजगणितीय विस्तार L में A का अभिन्न संवरण है। फिर A' के अंशों का क्षेत्र L है। विशेष रूप से, A' एक अभिन्न रूप से बंद डोमेन है।

बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में सकर्मकता
यह स्थिति बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में लागू होती है जब पूर्णांकों की छल्ला और क्षेत्र विस्तार से संबंधित होता है। विशेष रूप से, क्षेत्र विस्तार दिया गया $$L/K$$ का अभिन्न समापन $$\mathcal{O}_K$$ में $$L$$ पूर्णांकों का वलय है $$\mathcal{O}_L$$.

टिप्पणियाँ
ध्यान दें कि ऊपर अभिन्नता की संक्रामकता का तात्पर्य है कि यदि $$B$$ अभिन्न है $$A$$, तब $$B$$ सब का संघ (समतुल्य रूप से एक आगमनात्मक सीमा) है जो सूक्ष्म रूप से उत्पन्न होते हैं $$A$$-मॉड्यूल।

अगर $$A$$ नोथेरियन वलय है, अभिन्नता की परिवर्तनशीलता को कथन से कमजोर किया जा सकता है:


 * निश्चित रूप से उत्पन्न उपस्थित है $$A$$-सबमॉड्यूल $$B$$ उसमें सम्मिलित है $$A[b]$$.

परिमितता शर्तों के साथ संबंध
अंत में, धारणा है कि $$A$$ का उपसमुच्चय हो $$B$$ थोड़ा संशोधित किया जा सकता है। यदि $$f:A \to B$$ रिंग्स समरूपता है, तो कहता है $$f$$ अभिन्न है यदि $$B$$ अभिन्न है $$f(A)$$. इसी प्रकार कोई कहता है $$f$$ परिमित है ($$B$$ अंतिम रूप से उत्पन्न $$A$$-मॉड्यूल) या परिमित प्रकार ($$B$$ अंतिम रूप से उत्पन्न $$A$$-अंगूठी पर बीजगणित)। इस दृष्टिकोण से, किसी के पास वह है


 * $$f$$ परिमित है यदि केवल $$f$$ अभिन्न और परिमित प्रकार का है।

या स्पष्ट रूप से,
 * $$B$$ निश्चित रूप से उत्पन्न होता है $$A$$-मॉड्यूल यदि $$B$$ रूप में उत्पन्न होता है $$A$$-बीजगणित तत्वों की एक परिमित संख्या से अभिन्न $$A$$.

कोहेन-सीडेनबर्ग प्रमेय
अभिन्न विस्तार A ⊆ B में अप एंड गोइंग प्रॉपर्टी है। स्पष्ट रूप से, प्रमुख आदर्शों की श्रृंखला दी गई है $$\mathfrak{p}_1 \subset \cdots \subset \mathfrak{p}_n$$ A में उपिस्थत है $$\mathfrak{p}'_1 \subset \cdots \subset \mathfrak{p}'_n$$ B के साथ $$\mathfrak{p}_i = \mathfrak{p}'_i \cap A$$ (ऊपर जा रहा है और उसके ऊपर लगा हुआ है ) और समावेशन संबंध के साथ दो अलग-अलग प्रमुख आदर्श एक ही मूल आदर्श (अतुलनीयता) से अनुबंध नहीं कर सकते हैं। विशेष रूप से, A और B के क्रुल आयाम समान हैं। इसके अतिरिक्त, यदि A अभिन्न रूप से बंद डोमेन है, तो गोइंग-डाउन होल्ड (नीचे देखें)।

सामान्य तौर पर, गोइंग-अप का तात्पर्य लेटे-ओवर से है। इस प्रकार, नीचे में, हम केवल गोइंग-अप का अर्थ ऊपर जाना कहते हैं।

जब A, B ऐसे डोमेन हैं कि B, A पर अभिन्न है, A क्षेत्र है यदि केवल B क्षेत्र है। एक उपप्रमेय के रूप में, किसी ने: प्रमुख आदर्श दिया है $$\mathfrak{q}$$ B का, $$\mathfrak{q}$$ B का अधिकतम आदर्श है यदि केवल $$\mathfrak{q} \cap A$$ A का उच्चिष्ठ गुणज है। अन्य उपप्रमेय: यदि  L/K बीजीय विस्तार है, तो L युक्त के कोई उपवलय क्षेत्र है।

आवेदन
मान लीजिए कि B ऐसा वलय है जो बीजगणितीय रूप से समाप्त A और k पर समाकलित है। यदि $$f: A \to k$$ समरूपता है, तो f समरूपता B → k तक विस्तारित होता है। यह गोइंग-अप से अनुसरण करता है।

ऊपर जाने की ज्यामितीय व्याख्या
$$f: A \to B$$ रिंग्स का अभिन्न विस्तार हो। फिर प्रेरित नक्शा


 * $$\begin{cases} f^\#: \operatorname{Spec} B \to \operatorname{Spec} A \\ p \mapsto f^{-1}(p)\end{cases}$$

बंद नक्शा है; वास्तवf(V(I))=V(f-1(I)) किसी भी आदर्श के लिए मैं और f आच्छादन मानचित्र है यदि f अंतःक्षेपी मानचित्र है। यह गोइंग-अप की ज्यामितीय व्याख्या है।

अभिन्न विस्तार की ज्यामितीय व्याख्या
मान लीजिए कि B एक वलय है और A एक उपवलय है जो नोएथेरियन अभिन्न रूप से बंद डोमेन है (अर्थात, $$\operatorname{Spec} A$$ सामान्य योजना है।) यदि B A पर अभिन्न है, तो $$\operatorname{Spec} B \to \operatorname{Spec} A$$ विसर्जन (बीजगणित) है; अर्थात, टोपोलॉजिकल स्पेस $$\operatorname{Spec} A$$ भागफल टोपोलॉजी है। रचनात्मक समूह (टोपोलॉजी) की धारणा का उपयोग करता है। (यह भी देखें: टोरसर (बीजगणितीय ज्यामिति)।)

अखंडता, आधार-परिवर्तन, सार्वभौमिक रूप से बंद, और ज्यामिति
यदि $$B$$ अभिन्न है $$A$$, तब $$B \otimes_A R$$ किसी भी A-बीजगणित R के लिए R पर अभिन्न है। विशेष रूप से, $$\operatorname{Spec} (B \otimes_A R) \to \operatorname{Spec} R$$ बन्द है; अर्थात अभिन्न विस्तार सार्वभौमिक रूप से समापन मानचित्र को प्रेरित करता है। इससे इंटीग्रल एक्सटेंशन(अभिन्न विस्तार) ज्यामितीय लक्षण का वर्णन होता है। अर्थात्, 'B ' को बहुत कम न्यूनतम प्रमुख आदर्शों  (जैसे, अभिन्न डोमेन या नोथेरियन रिंग) के साथ रिंग्स होने दें। तब B (सबरिंग) A पर अभिन्न है यदि केवल $$\operatorname{Spec} (B \otimes_A R) \to \operatorname{Spec} R$$ किसी भी A-बीजगणित R के लिए बंद है। विशेष रूप से, प्रत्येक उचित क्षेत्र सार्वभौमिक रूप से बंद होता है।

अभिन्न रूप से बंद डोमेन के अभिन्न विस्तार पर गाल्वा कार्रवाई

 * प्रस्ताव। चलो 'ए' अंश के क्षेत्र के साथ एक अभिन्न रूप से बंद डोमेन हो 'के', 'एल' 'के' का एक सामान्य सामान्य विस्तार, बी ए का अभिन्न समापन  एल '' में। फिर समूह (गणित) $$G = \operatorname{Gal}(L/K)$$ के प्रत्येक फाइबर पर Group_action#Types_of_actions कार्य करता है $$\operatorname{Spec} B \to \operatorname{Spec} A$$.

सबूत। कल्पना करना $$\mathfrak{p}_2 \ne \sigma(\mathfrak{p}_1)$$ किसी के लिए $$\sigma$$ जी में। फिर, प्रधान परिहार द्वारा, एक तत्व x है $$\mathfrak{p}_2$$ ऐसा है कि $$\sigma(x) \not\in \mathfrak{p}_1$$ किसी के लिए $$\sigma$$. जी तत्व को ठीक करता है $$y = \prod\nolimits_{\sigma} \sigma(x)$$ और इस प्रकार y विशुद्ध रूप से K के ऊपर अविभाज्य है। फिर कुछ शक्ति $$y^e$$ के के अंतर्गत आता है; चूंकि ए पूरी तरह से बंद है, हमारे पास है: $$y^e \in A.$$ इस प्रकार, हमने पाया $$y^e$$ में है $$\mathfrak{p}_2 \cap A$$ लेकिन अंदर नहीं $$\mathfrak{p}_1 \cap A$$; अर्थात।, $$\mathfrak{p}_1 \cap A \ne \mathfrak{p}_2 \cap A$$.

बीजगणितीय संख्या सिद्धांत के लिए आवेदन
गैलोज़ समूह $$\operatorname{Gal}(L/K)$$ फिर सभी प्रमुख आदर्शों पर कार्य करता है $$\mathfrak{q}_1,\ldots, \mathfrak{q}_k \in \text{Spec}(\mathcal{O}_L)$$ एक निश्चित प्रधान आदर्श पर झूठ बोलना $$\mathfrak{p} \in \text{Spec}(\mathcal{O}_K)$$. यानी अगर
 * $$\mathfrak{p} = \mathfrak{q}_1^{e_1}\cdots\mathfrak{q}_k^{e_k} \subset \mathcal{O}_L$$

फिर सेट पर गैलोज़ एक्शन होता है $$S_\mathfrak{p} = \{\mathfrak{q}_1,\ldots,\mathfrak{q}_k \}$$. इसे गैलोज़ एक्सटेंशन में प्रमुख आदर्शों का विभाजन कहा जाता है।

टिप्पणियाँ
प्रमाण में यही विचार दर्शाता है कि यदि $$L/K$$ एक विशुद्ध रूप से अविभाज्य विस्तार है (सामान्य होने की आवश्यकता नहीं है), तब $$\operatorname{Spec} B \to \operatorname{Spec} A$$ विशेषण है।

मान लीजिए A, K, आदि पहले की तरह हैं लेकिन मान लें कि L, K का केवल एक परिमित क्षेत्र विस्तार है। तब
 * (मैं) $$\operatorname{Spec} B \to \operatorname{Spec} A$$ परिमित तंतु होते हैं।
 * (ii) गोइंग-डाउन ए और बी के बीच रहता है: दिया गया $$\mathfrak{p}_1 \subset \cdots \subset \mathfrak{p}_n = \mathfrak{p}'_n \cap A$$, वहां मौजूद $$\mathfrak{p}'_1 \subset \cdots \subset \mathfrak{p}'_n$$ जो इसे अनुबंधित करता है।

वास्तव में, दोनों कथनों में, L को बड़ा करके, हम मान सकते हैं कि L एक सामान्य विस्तार है। तब (i) तत्काल है। (ii) के लिए, ऊपर जाने से, हम एक श्रृंखला पा सकते हैं $$\mathfrak{p}''_i$$ जो अनुबंध करता है $$\mathfrak{p}'_i$$. संक्रामकता से, वहाँ है $$\sigma \in G$$ ऐसा है कि $$\sigma(\mathfrak{p}_n) = \mathfrak{p}'_n$$ और तब $$\mathfrak{p}'_i = \sigma(\mathfrak{p}_i)$$ वांछित श्रृंखला हैं।

इंटीग्रल क्लोजर
मान लीजिए A ⊂ B वलय हैं और A' B में A का समाकलित संवरण है। (परिभाषा के लिए ऊपर देखें।)

इंटीग्रल क्लोजर(अभिन्न विस्तार) विभिन्न निर्माणों के तहत अच्छा व्यवहार करते हैं। विशेष रूप से, A के गुणात्मक रूप से बंद उपसमुच्चय S के लिए, रिंग S का स्थानीयकरण-1A', S का समाकलित समापन हैS-1A में S-1B, और $$A'[t]$$ अभिन्न समापन है $$A[t]$$ में $$B[t]$$. यदि $$A_i$$ रिंग्स के उप-वलय हैं $$B_i, 1 \le i \le n$$, फिर अभिन्न समापन $$\prod A_i$$ में $$\prod B_i$$ है $$\prod {A_i}'$$ कहाँ $${A_i}'$$ के अभिन्न समापन हैं $$A_i$$ में $$B_i$$. स्थानीय रिंग A का अभिन्न समापन, कहते हैं, B, स्थानीय होने की आवश्यकता नहीं है। (यदि यह स्थिति है, तो रिंग को यूनिब्रांच स्थानीय रिंग्स कहा जाता है।) उदाहरण के लिए जब A हेंसेलियन रिंग है और B A के अंशों के क्षेत्र का विस्तार है।

यदि A क्षेत्र K का उप-वलय है, तो K में A का अभिन्न समापन K के सभी मूल्यांकन रिंगों का प्रतिच्छेदन है जिसमें A है।

मान लीजिए A है $$\mathbb{N}$$ का ग्रेडेड सबरिंग $$\mathbb{N}$$-वर्गीकृत रिंग्स B। फिर B में A का अभिन्न समापन होना है $$\mathbb{N}$$-ग्रेडेड सबरिंग ऑफ B। आदर्श के अभिन्न समापन की अवधारणा भी है। आदर्श का अभिन्न समापन $$I \subset R$$,  सामान्य तौर पर I निरूपित किया जाता है, सभी तत्वों का समुच्चय है $$r \in R$$ जैसे कि मोनिक बहुपद उपस्थित  है
 * $$x^n + a_{1} x^{n-1} + \cdots + a_{n-1} x^1 + a_n$$ साथ $$a_i \in I^i$$ साथ $$r$$ जड़ के रूप में।  आदर्श का रेडिकल अभिन्न रूप से समापन है।

नोथेरियन के लिए, वैकल्पिक परिभाषाएँ भी हैं।


 * $$r \in \overline I$$ यदि उपस्थित है $$c \in R$$ किसी भी न्यूनतम अभाज्य में समाहित नहीं है, जैसे कि $$c r^n \in I^n$$ सभी के लिए $$n \ge 1$$.
 * $$ r \in \overline I$$ यदि I के सामान्यीकृत ब्लो-अप में, r का पुल बैक I की व्युत्क्रम छवि में समाहित है। आदर्श का ब्लो-अप योजनाओं का संचालन है जो दिए गए आदर्श को प्रमुख आदर्श के साथ बदल देता है। किसी योजना का सामान्यीकरण केवल उसके सभी रिंग्स के अभिन्न समापन के अनुरूप योजना है।

आदर्श के अभिन्न समापन की धारणा का उपयोग गोइंग अप एंड गोइंग डाउन प्रमेय के कुछ प्रमाणों में किया जाता है।

कंडक्टर
मान लीजिए कि B एक वलय है और A एक उप-वलय है जैसे कि B, A पर अभिन्न है। तब A-मॉड्यूल B/A के विनाशक (रिंग थ्योरी) को B में A का संवाहक कहा जाता है। क्योंकि बीजगणितीय में धारणा का मूल है संख्या सिद्धांत, कंडक्टर द्वारा निरूपित किया जाता है $$\mathfrak{f} = \mathfrak{f}(B/A)$$. स्पष्ट रूप से, $$\mathfrak{f}$$ A में ऐसे तत्व होते हैं जैसे कि $$aB \subset A$$. (cf. अमूर्त बीजगणित में आदर्शवादी।) यह A का सबसे बड़ा आदर्श (रिंग थ्योरी) है जो B का भी आदर्श है। यदि S, A का गुणनात्मक रूप से बंद उपसमुच्चय है, तब
 * $$S^{-1}\mathfrak{f}(B/A) = \mathfrak{f}(S^{-1}B/S^{-1}A)$$.

यदि B, A के अंशों के कुल वलय का उपवलय है, तो हम पहचान सकते हैं
 * $$\mathfrak{f}(B/A)=\operatorname{Hom}_A(B, A)$$.

उदाहरण: मान लीजिए k एक क्षेत्र है और मान लीजिए $$A = k[t^2, t^3] \subset B = k[t]$$ (अर्थात, A, एफिन वक्र का निर्देशांक वलय है $$x^2 = y^3$$.) B, A का इंटीग्रल क्लोजर(अभिन्न विस्तार) है $$k(t)$$. B में A का संवाहक आदर्श है $$(t^2, t^3) A$$. सामान्यतः,K कंडक्टर $$A = kt^a, t^b$$, A, B अपेक्षाकृत प्रधान, है $$(t^c, t^{c+1}, \dots) A$$ साथ $$c = (a-1)(b-1)$$. मान लीजिए B A के अंशों के क्षेत्र में अभिन्न डोमेन A का अभिन्न समापन है, जैसे कि A-मॉड्यूल $$B/A$$ अन्तिम रूप से उत्पन्न होता है। कंडक्टर $$\mathfrak{f}$$ A का एक मॉड्यूल के समर्थन को परिभाषित करने वाला आदर्श है $$B/A$$; इस प्रकार, A के पूरक में B के साथ मेल खाता है $$V(\mathfrak{f})$$ में $$\operatorname{Spec}A$$. विशेष रूप से, समूह$$\{ \mathfrak{p} \in \operatorname{Spec}A \mid A_\mathfrak{p} \text{ is integrally closed} \}$$ का पूरक $$V(\mathfrak{f})$$, खुला समूह है।

इंटीग्रल क्लोजर की परिमितता
महत्वपूर्ण परन्तु कठिन प्रश्न अंतिम रूप से उत्पन्न बीजगणित के अभिन्न समापन की परिमितता पर है। कई ज्ञात परिणाम हैं।

भिन्नों के क्षेत्र के परिमित विस्तार में डेडेकिंड डोमेन का अभिन्न संवरण डेडेकाइंड डोमेन है; विशेष रूप से, नोथेरियन रिंग। यह क्रुल-अकीज़ुकी प्रमेय का परिणाम है। सामान्य तौर पर, ज्यादा से ज्यादा 2 पर आयाम के नोथेरियन डोमेन का अभिन्न समापन नोथेरियन है; नागाटा ने डायमेंशन 3 नोथेरियन डोमेन का उदाहरण दिया, जिसका इंटीग्रल क्लोजर(अभिन्न समापन) नोथेरियन नहीं है। अच्छा कथन यह है: नोथेरियन डोमेन का अभिन्न समापन क्रुल डोमेन (मोरी-नागाटा प्रमेय) है। नागाटा ने डायमेंशन 1 नोथेरियन स्थानीय डोमेन का उदाहरण भी दिया, जैसे कि उस डोमेन पर इंटीग्रल क्लोजर(अभिन्न समापन) परिमित नहीं है। मान लीजिए कि A भिन्न K के क्षेत्र के साथ नोथेरियन अभिन्न प्रकार से बंद डोमेन है। यदि L/K एक परिमित वियोज्य विस्तार है, तो अभिन्न संवरण $$A'$$ L में A का सूक्ष्म रूप से उत्पन्न A-मॉड्यूल है। यह सरल मापदंड है (इस तथ्य का उपयोग यह है कि ट्रेस गैर-पतित द्विरेखीय रूप को परिभाषित करता है।)

बता दें कि A क्षेत्र k पर एक अंतिम रूप से उत्पन्न बीजगणित है, जो अंश K के क्षेत्र के साथ एक अभिन्न डोमेन है। यदि L, K का परिमित विस्तार है, तो अभिन्न समापन $$A'$$ Lमें A का अंतिम रूप से उत्पन्न A-मॉड्यूल है और यह अंतिम रूप से उत्पन्न K-बीजगणित भी है। परिणाम नोथेर के कारण है और निम्नानुसार नोथेर सामान्यीकरण लेम्मा का उपयोग करके दिखाया जा सकता है। यह स्पष्ट है कि L/K या तो वियोज्य या विशुद्ध रूप से अविभाज्य होने पर अभिकथन दिखाने के लिए पर्याप्त है। वियोज्य घटना का ऊपर उल्लेख किया गया है, इसलिए मान लें कि L/K विशुद्ध रूप से अविभाज्य है। सामान्यीकरण लेम्मा द्वारा, A बहुपद वलय पर अभिन्न है $$S = k[x_1, ..., x_d]$$. चूँकि L/K परिमित विशुद्ध रूप से अविभाज्य विस्तार है, अभाज्य संख्या की शक्ति q है जैसे कि L का प्रत्येक तत्व K में तत्व का q-वाँ मूल है। मान लीजिए $$k'$$ k का परिमित विस्तार होना चाहिए जिसमें L उत्पन्न करने वाले बहुत से परिमेय फलनों के गुणांकों के सभी q-वें मूल हों। तब हमारे पास है: $$L \subset k'(x_1^{1/q}, ..., x_d^{1/q}).$$ दाईं ओर का वलय के अंशों का क्षेत्र है $$k'[x_1^{1/q}, ..., x_d^{1/q}]$$, जो एस का अभिन्न समापन है; इस प्रकार,सम्मिलित है $$A'$$. इस तरह, $$A'$$ S पर परिमित है; a निश्चयपूर्वक A के ऊपर। यदि हम k को 'Z' से प्रतिस्थापित करते हैं तो परिणाम सही रहता है।

A के अंशों के क्षेत्र के परिमित विस्तार में पूर्ण स्थानीय नोथेरियन डोमेन A का अभिन्न समापन A पर परिमित है। अत्यधिक सही रूप से, स्थानीय नोथेरियन छल्ला R के लिए, हमारे पास निहितार्थों की निम्नलिखित श्रृंखलाएँ हैं:
 * (i) एक पूर्ण $$\Rightarrow$$ A नागाटा छल्ला है
 * (ii) A नागाटा डोमेन है $$\Rightarrow$$ विश्लेषणात्मक रूप से असम्बद्ध $$\Rightarrow$$ पूर्ण होने का अभिन्न समापन $$\widehat{A}$$ परिमित है $$\widehat{A}$$ $$\Rightarrow$$ A का अभिन्न समापन A पर परिमित है।

नोएदर का सामान्यीकरण लेम्मा
क्रमविनिमेय बीजगणित में नोएदर का सामान्यीकरण का प्रमेय है| क्षेत्र के अंतिम रूप से उत्पन्न K-बीजगणित A दिया गया है, प्रमेय कहता है कि तत्वों को खोजना संभव है1, और2, ..., औरm A में जो K पर बीजगणितीय स्वतंत्रता है जैसे कि A परिमित है (और इसलिए अभिन्न) B = K[y पर1,..., औरm]। इस प्रकार विस्तार K ⊂ A को समग्र K ⊂ B ⊂ A के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ K ⊂ B विशुद्ध रूप से पारलौकिक विस्तार है और B ⊂ A परिमित है।

इंटीग्रल मोर्फिज्म
बीजगणितीय ज्यामिति में, रूपवाद $$f:X \to Y$$ योजना का (गणित) अभिन्न है यदि यह विशेषण है और यदि कुछ (समतुल्य,प्रत्येक) विशेषण खुले आवरण के लिए है Ui Y का,हर नक्शा $$U_i$$ $$f^{-1}(U_i)\to U_i$$ स्वरूप का है $$\operatorname{Spec}(A)\to\operatorname{Spec}(B)$$ जहाँ A एक अभिन्न B-बीजगणित है। अभिन्न मोर्फिज़्म का वर्ग परिमित आकारिकी के वर्ग की तुलना में अत्यधिक सामान्य है क्योंकि ऐसे अभिन्न विस्तार हैं जो परिमित नहीं हैं, जैसे कि, कई मामलों में, क्षेत्र के बीजगणितीय समापन।

पूर्ण अभिन्न क्लोजर
A को अभिन्न डोमेन और L (कुछ) A के अंशों के क्षेत्र के बीजगणितीय समापन होने दें। फिर अभिन्न समापन $$A^+$$ L में A को A का 'पूर्ण अभिन्न समापन' कहा जाता है। यह गैर-विहित समरूपता तक अद्वितीय है। सभी बीजगणितीय पूर्णांकों की छल्ला एक उदाहरण है (और इस प्रकार $$A^+$$ सामान्य स्तर पर नोथेरियन नहीं है)।

यह भी देखें

 * सामान्य योजना
 * कोई सामान्यीकरण लेम्मा नहीं
 * बीजगणितीय पूर्णांक
 * गैलोइस एक्सटेंशन में प्रमुख आदर्शों का विभाजन
 * मरोड़ (बीजगणितीय ज्यामिति)

संदर्भ

 * M. Atiyah, I.G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison–Wesley, 1994. ISBN 0-201-40751-5
 * Nicolas Bourbaki, Algèbre commutative, 2006.
 * H. Matsumura Commutative ring theory. Translated from the Japanese by M. Reid. Second edition. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8.
 * J. S. Milne, "Algebraic number theory." available at http://www.jmilne.org/math/
 * M. Reid, Undergraduate Commutative Algebra, London Mathematical Society, 29, Cambridge University Press, 1995.
 * H. Matsumura Commutative ring theory. Translated from the Japanese by M. Reid. Second edition. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8.
 * J. S. Milne, "Algebraic number theory." available at http://www.jmilne.org/math/
 * M. Reid, Undergraduate Commutative Algebra, London Mathematical Society, 29, Cambridge University Press, 1995.
 * M. Reid, Undergraduate Commutative Algebra, London Mathematical Society, 29, Cambridge University Press, 1995.
 * M. Reid, Undergraduate Commutative Algebra, London Mathematical Society, 29, Cambridge University Press, 1995.

अग्रिम पठन

 * Irena Swanson, Integral closures of ideals and rings
 * Do DG-algebras have any sensible notion of integral closure?
 * Is $k[x_1,\ldots,x_n$ always an integral extension of $$k[f_1,\ldots,f_n]$$ for a regular sequence $$(f_1,\ldots,f_n)$$?]