जालक गेज सिद्धांत

भौतिकी में, जालक गेज सिद्धांत एक स्पेसटाइम पर गेज सिद्धांत का अध्ययन है जिसे एक जालक (समूह) में विवेकित किया गया है।

कण भौतिकी में गेज सिद्धांत महत्वपूर्ण हैं, और इसमें प्राथमिक कण के प्रचलित सिद्धांत सम्मिलित हैं: क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स, क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स (क्यूसीडी) और कण भौतिकी का मानक मॉडल। निरंतर स्पेसटाइम में गैर-विपरीत गेज सिद्धांत गणना में औपचारिक रूप से एक अनंत-आयामी पथ अभिन्न सूत्रीकरण का मूल्यांकन सम्मिलित होता है, जो कम्प्यूटेशनल रूप से कठिन है। असतत स्पेसटाइम पर काम करने से, कार्यात्मक एकीकरण परिमित-आयामी हो जाता है, और मोंटे कार्लो विधि जैसी स्टोकेस्टिक अनुकरण तकनीकों द्वारा इसका मूल्यांकन किया जा सकता है। जब जालक का आकार असीम रूप से बड़ा लिया जाता है और इसकी साइट एक-दूसरे के बेहद नज़दीक होती हैं, तो सातत्य गेज सिद्धांत पुनः प्राप्त हो जाता है।

बुनियादी बातें
जालक गेज सिद्धांत में, स्पेसटाइम को यूक्लिडियन स्पेस (समष्टि) में घुमाया जाता है और दूरी से अलग की गई साइट के साथ एक जालक में विभाजित किया जाता है $$a$$ और लिंक द्वारा जुड़ा हुआ है। सबसे सामान्यतः माने जाने वाले परिस्थितियों में, जैसे कि जालक क्यूसीडी, फरमिओन्स फ़ील्ड को जालक स्थलों पर परिभाषित किया जाता है (जिससे फ़र्मियन दोगुना हो जाता है), जबकि गेज बोसॉन को लिंक पर परिभाषित किया जाता है। अर्थात्, प्रत्येक लिंक को कॉम्पैक्ट लाई ग्रुप G (बीजगणित नहीं) का एक तत्व यू सौंपा गया है। इसलिए जालक क्यूसीडी को लाई ग्रुप विशेष एकात्मक समूह एसयू(3) के साथ अनुकरण करने के लिए, प्रत्येक लिंक पर एक 3×3 एकात्मक आव्यूह परिभाषित किया गया है। लिंक को एक ओरिएंटेशन सौंपा गया है, जिसमें उलटा तत्व विपरीत ओरिएंटेशन के साथ उसी लिंक के अनुरूप है। और प्रत्येक नोड को एक मान दिया गया है $$\mathbb{C}^3$$ (एक रंग 3-वेक्टर, वह स्थान जिस पर एसयू(3) का मौलिक प्रतिनिधित्व कार्य करता है), बिस्पिनोर (डिराक 4-स्पिनर) के रूप में, एक nf वेक्टर, और एक ग्रासमैन संख्या है।

इस प्रकार, एक पथ के साथ लिंक के एसयू(3) तत्वों की संरचना (अर्थात उनके आव्यूहों का क्रमबद्ध गुणन) एक पथ-क्रमित घातीय (ज्यामितीय अभिन्न) का अनुमान लगाती है, जिससे बंद पथ के लिए विल्सन लूप मान की गणना की जा सकती है।

यांग-मिल्स कार्रवाई
यांग-मिल्स सिद्धांत यांग-मिल्स क्रिया विल्सन लूप्स (केनेथ जी. विल्सन के नाम पर) का उपयोग करके जालक पर लिखी गई है, ताकि सीमा $$a \to 0$$ मूल सातत्य क्रिया को औपचारिक रूप से पुन: प्रस्तुत करता है। G के एक विश्वसनीय प्रतिनिधित्व अघुलनशील प्रतिनिधित्व ρ को देखते हुए, जालक यांग-मिल्स कार्रवाई, जिसे विल्सन कार्रवाई के रूप में जाना जाता है, n लिंक e1, ..., en पर ट्रेस (आव्यूह) के (वास्तविक घटक) के सभी जालक साइट का योग हैl यह है विल्सन पाश में,


 * $$S=\sum_F -\Re\{\chi^{(\rho)}(U(e_1)\cdots U(e_n))\}.$$

यहाँ, χ वर्ण (गणित) है। यदि ρ एक वास्तविक प्रतिनिधित्व (या छद्म वास्तविक प्रतिनिधित्व) प्रतिनिधित्व है, तो वास्तविक घटक लेना अनावश्यक है, क्योंकि भले ही विल्सन लूप का अभिविन्यास फ़्लिप हो, कार्रवाई में इसका योगदान अपरिवर्तित रहता है।

कई संभावित विल्सन क्रियाएं हैं, यह इस पर निर्भर करता है कि कार्रवाई में विल्सन लूप का उपयोग किया जाता है। सबसे सरल विल्सन क्रिया केवल 1×1 विल्सन लूप का उपयोग करती है, और छोटी जालक रिक्ति के आनुपातिक जालक कलाकृतियों द्वारा सातत्य क्रिया से भिन्न होती है $$a$$l बेहतर क्रियाओं के निर्माण के लिए अधिक जटिल विल्सन लूप का उपयोग करके, जालक कलाकृतियों को आनुपातिक रूप से कम किया जा सकता है $$a^2$$, गणना को अधिक सटीक बनाना।

माप और गणना
कण द्रव्यमान जैसी मात्राओं की गणना मोंटे कार्लो विधि जैसी तकनीकों का उपयोग करके स्टोकेस्टिक रूप से की जाती है। गेज फ़ील्ड कॉन्फ़िगरेशन संभाव्यता के आनुपातिक के साथ उत्पन्न होते हैं $$e^{-\beta S}$$, जहाँ $$S$$ जालक कार्रवाई है और $$\beta$$ जालक रिक्ति से संबंधित है $$a$$. प्रत्येक कॉन्फ़िगरेशन के लिए ब्याज की मात्रा की गणना की जाती है, और औसत किया जाता है। गणनाएं प्रायः विभिन्न जालक रिक्तियों पर दोहराई जाती हैं $$a$$ ताकि परिणाम सातत्य का एक्सट्रपलेशन हो सके, $$a \to 0$$.

ऐसी गणनाएँ प्रायः कम्प्यूटेशनल रूप से अत्यधिक गहन होती हैं, और सबसे बड़े उपलब्ध सुपर कंप्यूटर के उपयोग की आवश्यकता हो सकती है। कम्प्यूटेशनल बर्डन (अभिकलनात्मक भार)  को कम करने के लिए, तथाकथित बुझती सन्निकटन का उपयोग किया जा सकता है, जिसमें फर्मिओनिक क्षेत्रों को गैर-गतिशील  जमे हुए  (  फ्रोजेन  ) चर के रूप में माना जाता है। हालाँकि प्रारंभिक जालक क्यूसीडी गणनाओं में यह सामान्य था,  गतिशील  फ़र्मियन अब मानक हैं। ये सिमुलेशन सामान्यतः आणविक गतिशीलता या माइक्रोकैनोनिकल पहनावा एल्गोरिदम पर आधारित एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं।

जालक क्यूसीडी संगणना के परिणाम दिखाते हैं जैसे कि मेसॉन में न केवल कण (क्वार्क और एंटीक्वार्क), बल्कि ग्लूऑन फ़ील्ड के  फ्लक्स ट्यूब  भी महत्वपूर्ण हैं।

क्वांटम क्षुद्रता
वास्तविक-स्पेस पुनर्सामान्यीकरण समूह द्वारा क्वांटम क्षुद्रता के अध्ययन के लिए जालक गेज सिद्धांत भी महत्वपूर्ण है। आरजी प्रवाह में सबसे महत्वपूर्ण जानकारी वह है जिसे निश्चित बिंदु कहा जाता है।

बड़े पैमाने पर सिस्टम की संभावित स्थूल अवस्थाएँ, निश्चित बिंदुओं के इस सेट द्वारा दी जाती हैं। यदि ये निश्चित बिंदु एक मुक्त क्षेत्र सिद्धांत के अनुरूप हैं, तो सिद्धांत को क्षुद्रता या गैर-अंतःक्रियात्मक कहा जाता है। लैटिस हिग्स सिद्धांतों के अध्ययन में कई निश्चित बिंदु सामने आते हैं, लेकिन इनसे जुड़े क्वांटम क्षेत्र सिद्धांतों की प्रकृति एक खुला प्रश्न है।

क्षुद्रता को अभी भी कठोरता से सिद्ध किया जाना बाकी है, लेकिन जालक गणना ने इसके लिए सशक्त सबूत प्रदान किए हैं। यह तथ्य महत्वपूर्ण है क्योंकि क्वांटम क्षुद्रता का उपयोग हिग्स बॉसन के द्रव्यमान जैसे मापदंडों को सीमित करने या भविष्यवाणी करने के लिए भी किया जा सकता है।

अन्य अनुप्रयोग
मूल रूप से, हल करने योग्य द्वि-आयामी जालक गेज सिद्धांत पहले से ही 1971 में सिद्धांतकार फ्रांज वेगनर द्वारा दिलचस्प सांख्यिकीय गुणों वाले मॉडल के रूप में पेश किए गए थे, जिन्होंने चरण संक्रमण के क्षेत्र में काम किया था।

जब केवल 1×1 विल्सन लूप क्रिया में दिखाई देते हैं, तो जालक गेज सिद्धांत को स्पिन फोम मॉडल के बिल्कुल दोहरे रूप में दिखाया जा सकता है।

यह भी देखें

 * हैमिल्टनियन जालक गेज सिद्धांत
 * जालक क्षेत्र सिद्धांत
 * जालक क्यूसीडी
 * क्वांटम क्षुद्रता
 * विल्सन एक्शन

अग्रिम पठन

 * Creutz, M., Quarks, gluons and lattices, Cambridge University Press, Cambridge, (1985). ISBN 978-0521315357
 * Montvay, I., Münster, G., Quantum Fields on a Lattice, Cambridge University Press, Cambridge, (1997). ISBN 978-0521599177
 * Makeenko, Y., Methods of contemporary gauge theory, Cambridge University Press, Cambridge, (2002). ISBN 0-521-80911-8.
 * Smit, J., Introduction to Quantum Fields on a Lattice, Cambridge University Press, Cambridge, (2002). ISBN 978-0521890519
 * Rothe, H., Lattice Gauge Theories, An Introduction, World Scientific, Singapore, (2005). ISBN 978-9814365857
 * DeGrand, T., DeTar, C., Lattice Methods for Quantum Chromodynamics, World Scientific, Singapore, (2006). ISBN 978-9812567277
 * Gattringer, C., Lang, C. B., Quantum Chromodynamics on the Lattice, Springer, (2010). ISBN 978-3642018497
 * Knechtli, F., Günther, M., Peardon, M., Lattice Quantum Chromodynamics: Practical Essentials, Springer, (2016). ISBN 978-9402409970

बाहरी संबंध

 * The FermiQCD Library for Lattice Field theory
 * US Lattice Quantum Chromodynamics Software Libraries