वीनर डिकोनवोल्यूशन

गणित में, वीनर विखंडन, डीकोनवोल्यूशन में निहित शोर समस्याओं के लिए विनीज़ फ़िल्टर  का एक अनुप्रयोग है। यह आवृत्ति डोमेन में काम करता है, उन फ़्रीक्वेंसी पर डिकंवॉल्व्ड शोर के प्रभाव को कम करने का प्रयास करता है जिनमें सिग्नल-टू-शोर अनुपात खराब होता है।

वीनर डीकोनवोल्यूशन विधि का छवि डीकोनवोल्यूशन अनुप्रयोगों में व्यापक उपयोग होता है, क्योंकि अधिकांश दृश्य छवियों का आवृत्ति स्पेक्ट्रम काफी अच्छी तरह से व्यवहार किया जाता है और आसानी से अनुमान लगाया जा सकता है।

वीनर डीकोनवोल्यूशन का नाम नॉर्बर्ट वीनर के नाम पर रखा गया है।

परिभाषा
एक प्रणाली दी गई:


 * $$\ y(t) = (h*x)(t) + n(t)$$

कहाँ $$*$$ कनवल्शन को दर्शाता है और:


 * $$\ x(t)$$ समय पर कुछ मूल संकेत (अज्ञात) है $$\ t $$.
 * $$\ h(t)$$ एलटीआई प्रणाली सिद्धांत | रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली की ज्ञात आवेग प्रतिक्रिया है
 * $$\ n(t)$$ कुछ अज्ञात योगात्मक शोर है, सांख्यिकीय स्वतंत्रता की $$\ x(t)$$
 * $$\ y(t)$$ हमारा देखा हुआ संकेत है

हमारा लक्ष्य कुछ खोजना है $$\ g(t)$$ ताकि हम अनुमान लगा सकें $$\ x(t)$$ निम्नलिखित नुसार:


 * $$\ \hat{x}(t) = (g*y)(t)$$

कहाँ $$\ \hat{x}(t)$$ का एक अनुमान है $$\ x(t)$$ जो माध्य वर्ग त्रुटि को न्यूनतम करता है


 * $$\ \epsilon(t) = \mathbb{E} \left| x(t) - \hat{x}(t) \right|^2$$,

साथ $$\ \mathbb{E}$$ अपेक्षित मूल्य को दर्शाते हुए। वीनर डिकोनवोल्यूशन फ़िल्टर ऐसा प्रदान करता है $$\ g(t)$$. फ़िल्टर को फ़्रीक्वेंसी डोमेन में सबसे आसानी से वर्णित किया गया है:


 * $$\ G(f) = \frac{H^*(f)S(f)}{ |H(f)|^2 S(f) + N(f) }$$

कहाँ:


 * $$\ G(f)$$ और $$\ H(f)$$ के फूरियर रूपांतरण हैं $$\ g(t)$$ और $$\ h(t)$$,
 * $$\ S(f) = \mathbb{E}|X(f)|^2 $$ मूल सिग्नल का औसत पावर वर्णक्रमीय घनत्व है $$\ x(t)$$,
 * $$\ N(f) = \mathbb{E}|V(f)|^2 $$ शोर का औसत शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व है $$\ n(t)$$,
 * $$X(f)$$, $$Y(f)$$, और $$V(f)$$ के फूरियर रूपांतरण हैं $$x(t)$$, और $$y(t)$$, और $$n(t)$$, क्रमश,
 * सुपरस्क्रिप्ट $${}^*$$ जटिल संयुग्म को दर्शाता है।

फ़िल्टरिंग ऑपरेशन या तो समय-डोमेन में, जैसा कि ऊपर किया गया है, या फ़्रीक्वेंसी डोमेन में किया जा सकता है:


 * $$\ \hat{X}(f) = G(f)Y(f)$$

और फिर उलटा फूरियर रूपांतरण निष्पादित करना $$\ \hat{X}(f)$$ प्राप्त करने के लिए $$\ \hat{x}(t)$$.

ध्यान दें कि छवियों के मामले में, तर्क $$\ t $$ और $$\ f $$ ऊपर द्वि-आयामी हो जाओ; हालाँकि परिणाम वही है.

व्याख्या
वीनर फ़िल्टर का संचालन तब स्पष्ट हो जाता है जब उपरोक्त फ़िल्टर समीकरण को फिर से लिखा जाता है:



\begin{align} G(f) & = \frac{1}{H(f)} \left[ \frac{ 1 }{ 1 + 1/(|H(f)|^2 \mathrm{SNR}(f))} \right] \end{align} $$ यहाँ, $$\ 1/H(f)$$ मूल प्रणाली का उलटा है, $$\ \mathrm{SNR}(f) = S(f)/N(f)$$ सिग्नल-टू-शोर अनुपात है, और $$\ |H(f)|^2 \mathrm{SNR}(f)$$ शोर वर्णक्रमीय घनत्व के लिए शुद्ध फ़िल्टर किए गए सिग्नल का अनुपात है। जब शून्य शोर (यानी अनंत सिग्नल-टू-शोर) होता है, तो वर्गाकार कोष्ठक के अंदर का शब्द 1 के बराबर होता है, जिसका अर्थ है कि वीनर फ़िल्टर सिस्टम का उलटा है, जैसा कि हम उम्मीद कर सकते हैं। हालाँकि, जैसे-जैसे कुछ आवृत्तियों पर शोर बढ़ता है, सिग्नल-टू-शोर अनुपात कम हो जाता है, इसलिए वर्ग कोष्ठक के अंदर का शब्द भी कम हो जाता है। इसका मतलब यह है कि वीनर फ़िल्टर उनके फ़िल्टर किए गए सिग्नल-टू-शोर अनुपात के अनुसार आवृत्तियों को क्षीण करता है।

उपरोक्त वीनर फ़िल्टर समीकरण के लिए हमें एक विशिष्ट छवि की वर्णक्रमीय सामग्री और शोर की भी जानकारी होनी आवश्यक है। अक्सर, हमें इन सटीक मात्राओं तक पहुंच नहीं होती है, लेकिन हम ऐसी स्थिति में हो सकते हैं जहां अच्छे अनुमान लगाए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, फोटोग्राफिक छवियों के मामले में, सिग्नल (मूल छवि) में आम तौर पर मजबूत कम आवृत्तियों और कमजोर उच्च आवृत्तियों होती हैं, जबकि कई मामलों में शोर सामग्री आवृत्ति के साथ अपेक्षाकृत सपाट होगी।

व्युत्पत्ति
जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, हम मूल सिग्नल का एक अनुमान तैयार करना चाहते हैं जो माध्य वर्ग त्रुटि को कम करता है, जिसे व्यक्त किया जा सकता है:


 * $$\ \epsilon(f) = \mathbb{E} \left| X(f) - \hat{X}(f) \right|^2$$.

की पिछली परिभाषा के समतुल्य $$\epsilon$$, फूरियर रूपांतरण के लिए प्लांचरेल प्रमेय या पार्सेवल के प्रमेय का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।

यदि हम अभिव्यक्ति में इसके लिए स्थानापन्न करते हैं $$\ \hat{X}(f)$$, उपरोक्त को पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है



\begin{align} \epsilon(f) & = \mathbb{E} \left| X(f) - G(f)Y(f) \right|^2 \\ & = \mathbb{E} \left| X(f) - G(f) \left[ H(f)X(f) + V(f) \right] \right|^2 \\ & = \mathbb{E} \big| \left[ 1 - G(f)H(f) \right] X(f) - G(f)V(f) \big|^2 \end{align} $$ यदि हम द्विघात का विस्तार करें, तो हमें निम्नलिखित मिलता है:



\begin{align} \epsilon(f) & = \Big[ 1-G(f)H(f) \Big] \Big[ 1-G(f)H(f) \Big]^*\, \mathbb{E}|X(f)|^2 \\ & {} - \Big[ 1-G(f)H(f) \Big] G^*(f)\, \mathbb{E}\Big\{X(f)V^*(f)\Big\} \\ & {} - G(f) \Big[ 1-G(f)H(f) \Big]^*\, \mathbb{E}\Big\{V(f)X^*(f)\Big\} \\ & {} + G(f) G^*(f)\, \mathbb{E}|V(f)|^2 \end{align} $$ हालाँकि, हम यह मान रहे हैं कि शोर सिग्नल से स्वतंत्र है, इसलिए:


 * $$\ \mathbb{E}\Big\{X(f)V^*(f)\Big\} = \mathbb{E}\Big\{V(f)X^*(f)\Big\} = 0$$

शक्ति वर्णक्रमीय घनत्वों को प्रतिस्थापित करना $$\ S(f) $$ और $$\ N(f) $$, हमारे पास है:



\epsilon(f) = \Big[ 1-G(f)H(f) \Big]\Big[ 1-G(f)H(f) \Big]^ * S(f)  + G(f)G^*(f)N(f) $$ न्यूनतम त्रुटि मान ज्ञात करने के लिए, हम इसके संबंध में विर्टिंगर डेरिवेटिव की गणना करते हैं $$\ G(f)$$ और इसे शून्य के बराबर सेट करें।



\frac{d\epsilon(f)}{dG(f)} = 0 \Rightarrow G^*(f)N(f) - H(f)\Big[1 - G(f)H(f)\Big]^* S(f) = 0 $$ इस अंतिम समानता को वीनर फ़िल्टर देने के लिए पुन: व्यवस्थित किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * सूचना क्षेत्र सिद्धांत
 * विखंडन
 * वीनर फिल्टर
 * प्वाइंट स्प्रेड फ़ंक्शन
 * अंधा विखंडन
 * फूरियर रूपांतरण

संदर्भ

 * Rafael Gonzalez, Richard Woods, and Steven Eddins. Digital Image Processing Using Matlab. Prentice Hall, 2003.

बाहरी संबंध

 * Comparison of different deconvolution methods.