थर्मोडायनामिक बीटा

सांख्यिकीय ऊष्मागतिकी में, ऊष्मागतिक बीटा, जिसे शीतलता के रूप में भी जाना जाता है, एक प्रणाली के ऊष्मागतिक तापमान का व्युत्क्रम है:$$\beta = \frac{1}{k_{\rm B}T}$$ (जहाँ $T$ तापमान है और $k_{B}$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है)। इसे मूल रूप से 1971 में इंगो मुलर [डी] द्वारा प्रस्तुत किया गया था, जो कि तर्कसंगत ऊष्मागतिक विचारधारा के समर्थकों में से एक था, जो "पारस्परिक तापमान" फलन के पहले के प्रस्तावों पर आधारित था। ऊष्मागतिक बीटा में ऊर्जा की व्युत्क्रम इकाइयाँ होती हैं (एसआई इकाइयों में, व्युत्क्रम जूल, $$[\beta] = \textrm{J}^{-1}$$)। गैर-ऊष्मीय इकाइयों में, इसे बाइट प्रति जूल, या अधिक सुविधाजनक रूप से, गीगाबाइट प्रति नैनोजूल में भी मापा जा सकता है; 1K−1लगभग 13,062 गीगाबाइट प्रति नैनोजूल के बराबर है; कमरे के तापमान पर: $T$ = 300K, β ≈ $44 GB/nJ$ ≈ $39 eV^{−1}$ ≈ $2.4 J^{−1}$ है। रूपांतरण कारक 1 जीबी/एनजे =  $$8\ln2\times 10^{18}$$ J−1 है

विवरण
ऊष्मागतिक बीटा अनिवार्य रूप से एक भौतिक प्रणाली की एन्ट्रापी और उसकी ऊर्जा से जुड़े ऊष्मागतिकी के माध्यम से सूचना सिद्धांत और सांख्यिकीय यांत्रिकी की व्याख्या के बीच संबंध है। यह ऊर्जा में वृद्धि के प्रति एन्ट्रापी की प्रतिक्रिया को व्यक्त करता है। यदि किसी प्रणाली को थोड़ी मात्रा में ऊर्जा से चुनौती दी जाती है, तो β उस मात्रा का वर्णन करता है जिसे प्रणाली यादृच्छिक करेगा।

एन्ट्रापी के एक फलन के रूप में तापमान की सांख्यिकीय परिभाषा के माध्यम से, शीतलता फलन की गणना सूत्र से सूक्ष्मविहित समूहन में की जा सकती है
 * $$\beta = \frac1{k_{\rm B} T} \, =\frac{1}{k_{\rm B}}\left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)_{V, N}$$

(अर्थात, एन्ट्रापी का आंशिक व्युत्पन्न $S$ ऊर्जा के संबंध में $E$ स्थिर आयतन पर $V$ और कण संख्या $N$ है)।

लाभ
यद्यपि संकल्पनात्मक विषय-वस्तु में तापमान के पूर्णतः समकक्ष, $β$ को सामान्यतः ऋणात्मक तापमान की घटना के कारण तापमान से अधिक मौलिक मात्रा माना जाता है, जिसमें $β$ निरंतर है क्योंकि यह शून्य को पार कर जाता है, जहाँ $T$ में एक विलक्षणता है। इसके साथ ही, $β$ कारणात्मक रूप से समझने में आसान होने का लाभ यह है: यदि किसी प्रणाली में थोड़ी मात्रा में ऊष्मा जोड़ी जाती है, $β$ एन्ट्रापी में वृद्धि को ऊष्मा में वृद्धि से विभाजित किया जाता है। तापमान की उसी अर्थ में व्याख्या करना कठिन है, क्योंकि तापमान, आयतन या कणों की संख्या जैसी अन्य मात्राओं को संशोधित करके अप्रत्यक्ष रूप से छोड़कर किसी प्रणाली में एन्ट्रापी जोड़ना संभव नहीं है।

सांख्यिकीय व्याख्या
सांख्यिकीय दृष्टिकोण से, β संतुलन में दो स्थूल प्रणालियों से संबंधित एक संख्यात्मक मात्रा है। उपयुक्त सूत्रीकरण इस प्रकार है। संबंधित ऊर्जा E1 और E2 के साथ ऊष्मीय संपर्क में दो प्रणालियों, 1 और 2 पर विचार करें। हम E1 + E2 = कुछ स्थिरांक E मानते हैं। प्रत्येक प्रणाली के माइक्रोस्टेट (सांख्यिकीय यांत्रिकी) की संख्या को Ω1 और Ω2 द्वारा दर्शाया जाएगा। हमारी धारणाओं के अंतर्गत Ωi केवल Ei पर निर्भर करता है। हम यह भी मानते हैं कि प्रणाली 1 का कोई भी माइक्रोस्टेट E1 के अनुरूप है, अनुरूप प्रणाली 2 के किसी भी माइक्रोस्टेट के साथ सह-अस्तित्व में रह सकता है। इस प्रकार, संयुक्त प्रणाली के लिए माइक्रोस्टेट्स की संख्या है।


 * $$\Omega = \Omega_1 (E_1) \Omega_2 (E_2) = \Omega_1 (E_1) \Omega_2 (E-E_1) . \,$$

हम सांख्यिकीय यांत्रिकी की मूलभूत धारणा से β प्राप्त करेंगे:


 * जब संयुक्त प्रणाली संतुलन पर पहुंचती है, तो संख्या Ω अधिकतम हो जाती है।

(दूसरे शब्दों में, प्रणाली स्वाभाविक रूप से अधिकतम संख्या में माइक्रोस्टेट्स चाहता है।) इसलिए, संतुलन पर,



\frac{d}{d E_1} \Omega = \Omega_2 (E_2) \frac{d}{d E_1} \Omega_1 (E_1) + \Omega_1 (E_1) \frac{d}{d E_2} \Omega_2 (E_2) \cdot \frac{d E_2}{d E_1} = 0. $$ लेकिन E1 + E2 = E का तात्पर्य है


 * $$\frac{d E_2}{d E_1} = -1.$$

इसलिए


 * $$\Omega_2 (E_2) \frac{d}{d E_1} \Omega_1 (E_1) - \Omega_1 (E_1) \frac{d}{d E_2} \Omega_2 (E_2) = 0$$

अर्थात।


 * $$\frac{d}{d E_1} \ln \Omega_1 = \frac{d}{d E_2} \ln \Omega_2 \quad \mbox{at equilibrium.} $$

उपरोक्त संबंध β की परिभाषा को प्रेरित करता है:


 * $$\beta =\frac{d \ln \Omega}{ d E}.$$

सांख्यिकीय दृश्य का ऊष्मागतिक दृश्य के साथ संबंध
जब दो प्रणालियाँ संतुलन में होती हैं, तो उनका ऊष्मागतिक तापमान T समान होता है। इस प्रकार सहज रूप से, कोई अपेक्षा करेगा कि β (जैसा कि माइक्रोस्टेट्स के माध्यम से परिभाषित किया गया है) किसी तरह से T से संबंधित होगा। यह लिंक बोल्ट्ज़मैन की मौलिक धारणा द्वारा प्रदान किया गया है


 * $$S = k_{\rm B} \ln \Omega, $$

जहाँ KB बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है, एस शास्त्रीय ऊष्मागतिक एन्ट्रापी है, और Ω माइक्रोस्टेट्स की संख्या है। इसलिए


 * $$d \ln \Omega = \frac{1}{k_{\rm B}} d S .$$

उपरोक्त सांख्यिकीय परिभाषा से β की परिभाषा में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है


 * $$\beta = \frac{1}{k_{\rm B}} \frac{d S}{d E}.$$

ऊष्मागतिक सूत्र के साथ तुलना


 * $$\frac{d S}{d E} = \frac{1}{T} ,$$

अपने पास


 * $$\beta = \frac{1}{k_{\rm B} T} = \frac{1}{\tau}$$

जहाँ $$\tau$$ इसे प्रणाली का मूलभूत तापमान कहा जाता है, और इसमें ऊर्जा की इकाइयाँ होती हैं।

यह भी देखें

 * बोल्ट्ज़मैन वितरण
 * विहित पहनावा
 * आइसिंग मॉडल