अनंत संख्या

गणित में, अनंत संख्याएँ या अनंत संख्याएँ ऐसी संख्याएँ होती हैं जो इस अर्थ में अनंत होती हैं कि वे सभी परिमित संख्याओं से बड़ी होती हैं। इनमें ट्रांसफ़िनिट कार्डिनल्स शामिल हैं, जो कि कार्डिनल संख्याएँ हैं जिनका उपयोग अनंत सेटों के आकार को निर्धारित करने के लिए किया जाता है, और ट्रांसफ़िनिट ऑर्डिनल्स, जो कि अनंत सेटों का क्रम प्रदान करने के लिए उपयोग की जाने वाली क्रमिक संख्याएँ हैं। ट्रांसफ़िनिट शब्द 1895 में जॉर्ज कैंटर द्वारा गढ़ा गया था,   जो इन वस्तुओं के संबंध में अनंत शब्द के कुछ निहितार्थों से बचना चाहते थे, जो फिर भी, सीमित नहीं थे। कुछ समकालीन लेखक इन शंकाओं को साझा करते हैं; अब ट्रांसफिनिट कार्डिनल्स और ऑर्डिनल्स को अनंत संख्याओं के रूप में संदर्भित करने के लिए इसे स्वीकार कर लिया गया है। फिर भी, ट्रांसफ़िनिट शब्द भी प्रयोग में रहता है।

ट्रांसफ़िनिट नंबरों पर उल्लेखनीय कार्य वाकलॉ सिएरपिंस्की द्वारा किया गया था: लेकन्स सुर लेस नॉम्ब्रेस ट्रांसफ़िनिस (1928 पुस्तक) को कार्डिनल और क्रमसूचक संख्याएँ (1958) में विस्तारित किया गया। & अगर। 1965 ).

परिभाषा
किसी भी परिमित प्राकृतिक संख्या का उपयोग कम से कम दो तरीकों से किया जा सकता है: क्रमसूचक के रूप में और कार्डिनल के रूप में। कार्डिनल संख्याएं सेट का आकार निर्दिष्ट करती हैं (उदाहरण के लिए, का एक बैग)। मार्बल्स), जबकि क्रमसूचक संख्याएँ एक क्रमबद्ध सेट के भीतर एक सदस्य के क्रम को निर्दिष्ट करती हैं (उदा., द  बाएं ओर से आदमी या  जनवरी का दिन ). जब अनंत संख्याओं तक विस्तारित किया जाता है, तो ये दोनों अवधारणाएं एक-से-एक पत्राचार में नहीं रह जाती हैं। एक अनंत कार्डिनल संख्या का उपयोग एक अनंत बड़े सेट के आकार का वर्णन करने के लिए किया जाता है, जबकि एक ट्रांसफ़िनिट ऑर्डिनल का उपयोग ऑर्डर किए गए एक अनंत बड़े सेट के भीतर स्थान का वर्णन करने के लिए किया जाता है।  सबसे उल्लेखनीय क्रमिक और कार्डिनल संख्याएँ क्रमशः हैं:


 * $$\omega$$ (क्रमसूचक संख्या#ऑर्डिनल्स प्राकृतिक संख्याओं का विस्तार करते हैं): सबसे कम ट्रांसफ़िनिट क्रमिक संख्या। यह उनके सामान्य रैखिक क्रम के तहत प्राकृतिक संख्याओं का क्रम प्रकार भी है।
 * $$\aleph_0 $$ (aleph-एक): पहला ट्रांसफ़िनिट कार्डिनल नंबर। यह प्राकृतिक संख्याओं की प्रमुखता भी है। यदि पसंद का सिद्धांत कायम रहता है, तो अगली उच्चतर कार्डिनल संख्या एलेफ़-वन है, $$\aleph_1.$$ यदि नहीं, तो ऐसे अन्य कार्डिनल भी हो सकते हैं जो एलेफ़-वन के साथ अतुलनीय हों और एलेफ़-नल से बड़े हों। किसी भी तरह से, एलेफ़-नल और एलेफ़-वन के बीच कोई कार्डिनल नहीं हैं।

सातत्य परिकल्पना यह प्रस्ताव है कि बीच में कोई मध्यवर्ती कार्डिनल संख्याएँ नहीं हैं $$\aleph_0$$ और सातत्य की प्रमुखता (वास्तविक संख्याओं के समुच्चय की प्रमुखता): या समकक्ष वह $$\aleph_1$$ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय की प्रमुखता है। ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत में, न तो सातत्य परिकल्पना और न ही इसके निषेध को सिद्ध किया जा सकता है।

पी. सुप्प्स और जे. रुबिन सहित कुछ लेखक, डेडेकाइंड-अनंत सेट की कार्डिनैलिटी को संदर्भित करने के लिए ट्रांसफिनिट कार्डिनल शब्द का उपयोग उन संदर्भों में करते हैं जहां यह अनंत कार्डिनल के बराबर नहीं हो सकता है; अर्थात्, उन संदर्भों में जहां गणनीय विकल्प के सिद्धांत को नहीं माना जाता है या माना नहीं जाता है। इस परिभाषा को देखते हुए, निम्नलिखित सभी समकक्ष हैं: हालाँकि ट्रांसफ़िनिट ऑर्डिनल्स और कार्डिनल्स दोनों केवल प्राकृतिक संख्याओं का सामान्यीकरण करते हैं, हाइपररियल संख्याओं और अतियथार्थवादी संख्याओं सहित संख्याओं की अन्य प्रणालियाँ, वास्तविक संख्याओं का सामान्यीकरण प्रदान करती हैं।
 * $$\mathfrak{m}$$ एक अनंत कार्डिनल है. अर्थात् एक डेडेकाइंड अनंत समुच्चय है $$A$$ ऐसी कि प्रमुखता$$A$$है $$\mathfrak {m}.$$
 * $$\mathfrak{m} + 1 = \mathfrak{m}.$$
 * $$\aleph_0 \leq \mathfrak{m}.$$
 * एक कार्डिनल है $$\mathfrak{n}$$ ऐसा है कि $$\aleph_0 + \mathfrak{n} = \mathfrak{m}.$$

उदाहरण
कैंटर के क्रमिक संख्याओं के सिद्धांत में, प्रत्येक पूर्णांक संख्या का एक उत्तराधिकारी होना चाहिए। सभी नियमित पूर्णांकों के बाद अगला पूर्णांक, जो कि पहला अनंत पूर्णांक है, नाम दिया गया है $$\omega$$. इस संदर्भ में, $$\omega+1$$ से बड़ा है $$\omega$$, और $$\omega\cdot2$$, $$\omega^{2}$$ और $$\omega^{\omega}$$ अभी भी बड़े हैं. अंकगणितीय अभिव्यक्ति युक्त $$\omega$$ एक क्रमसूचक संख्या निर्दिष्ट करें, और उस संख्या तक के सभी पूर्णांकों के समुच्चय के रूप में सोचा जा सकता है। किसी दी गई संख्या में आम तौर पर कई अभिव्यक्तियाँ होती हैं जो इसका प्रतिनिधित्व करती हैं, हालाँकि, एक अद्वितीय क्रमसूचक अंकगणित है जो इसका प्रतिनिधित्व करता है, अनिवार्य रूप से अंकों का एक सीमित अनुक्रम जो अवरोही शक्तियों के गुणांक देता है $$\omega$$.

हालाँकि, सभी अनंत पूर्णांकों को कैंटर सामान्य रूप द्वारा प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, और पहला जो नहीं किया जा सकता उसे सीमा द्वारा दर्शाया जा सकता है $$\omega^{\omega^{\omega^{...}}}$$ और कहा जाता है $$\varepsilon_{0}$$. $$\varepsilon_{0}$$ का सबसे छोटा समाधान है $$\omega^{\varepsilon}=\varepsilon$$, और निम्नलिखित समाधान $$\varepsilon_{1}, ...,\varepsilon_{\omega}, ...,\varepsilon_{\varepsilon_{0}}, ...$$ अभी भी बड़े क्रम-निर्देश दें, और जब तक कोई सीमा तक नहीं पहुंच जाता तब तक उसका पालन किया जा सकता है $$\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_{...}}}$$, जो इसका पहला समाधान है $$\varepsilon_{\alpha}=\alpha$$. इसका मतलब यह है कि सभी ट्रांसफ़िनिट पूर्णांकों को निर्दिष्ट करने में सक्षम होने के लिए, किसी को नामों के अनंत अनुक्रम के बारे में सोचना चाहिए: क्योंकि यदि किसी को एक सबसे बड़ा पूर्णांक निर्दिष्ट करना होता है, तो वह हमेशा उसके बड़े उत्तराधिकारी का उल्लेख करने में सक्षम होगा। लेकिन जैसा कि कैंटर ने उल्लेख किया है, यहां तक ​​कि यह किसी को केवल अनंत संख्याओं के निम्नतम वर्ग तक पहुंचने की अनुमति देता है: जिनके सेट का आकार कार्डिनल संख्या के अनुरूप होता है $$\aleph_{0}$$.

यह भी देखें

 * वास्तविक अनन्तता
 * बेथ संख्या
 * एप्सिलॉन संख्या
 * असीमित

ग्रन्थसूची

 * Levy, Azriel, 2002 (1978) Basic Set Theory. Dover Publications. ISBN 0-486-42079-5
 * O'Connor, J. J. and E. F. Robertson (1998) "Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor," MacTutor History of Mathematics archive.
 * Rubin, Jean E., 1967. "Set Theory for the Mathematician". San Francisco: Holden-Day. Grounded in Morse–Kelley set theory.
 * Rudy Rucker, 2005 (1982) Infinity and the Mind. Princeton Univ. Press. Primarily an exploration of the philosophical implications of Cantor's paradise. ISBN 978-0-691-00172-2.
 * Patrick Suppes, 1972 (1960) "Axiomatic Set Theory". Dover. ISBN 0-486-61630-4. Grounded in ZFC.