गॉसियन फलन

गणित में, गाऊसी फलन, जिसे अधिकांशतः गाऊसी के रूप में संदर्भित किया जाता है, वह आधार रूप का फलन (गणित) होता है। $$f(x) = \exp (-x^2)$$ और पैरामीट्रिक प्रारूप के साथ, $$f(x) = a \exp\left( -\frac{(x - b)^2}{2c^2} \right)$$ अनैतिक वास्तविक संख्या स्थिरांक के लिए $a$, $b$ और गैर शून्य $c$ के लिए इसका नाम गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस के नाम पर रखा गया है। गाऊसी के समारोह का ग्राफ विशिष्ट सममित सामान्य वितरण "घंटी वक्र" आकार है। पैरामीटर $a$ वक्र के शिखर की ऊंचाई है, $b$ चोटी के केंद्र की स्थिति है, और $c$ (मानक विचलन, जिसे कभी-कभी गाऊसी आरएमएस चौड़ाई कहा जाता है) जो "घंटी" की चौड़ाई को नियंत्रित करता है।

गाऊसी फलन का उपयोग अधिकांशतः अपेक्षित मान $μ = b$ और विचरण $σ 2 = c 2$ के साथ सामान्य वितरण यादृच्छिक चर के प्रायिकता घनत्व फलन का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। इस स्थिति में गाऊसी फॉर्म का है। $$g(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left( -\frac{1}{2} \frac{(x - \mu)^2}{\sigma^2} \right).$$

गाऊसी फलन का व्यापक रूप से उपयोग सामान्य वितरण का वर्णन करने के लिए किया जाता है, गाऊसी फिल्टर को परिभाषित करने के लिए संकेत आगे बढ़ाने में,  मूर्ति प्रोद्योगिकी में जहां  गौस्सियन धुंधलापन के लिए द्वि-आयामी गाऊसी का उपयोग किया जाता है और गणित में गर्मी समीकरणों और प्रसार समीकरण को हल करने और वीयरस्ट्रैस को परिभाषित करने के लिए उपयोग किया जाता है।

गुण
गाऊसी फलन अवतल फलन द्विघात फलन के साथ चरघातांकी फलन की रचना करके उत्पन्न होता है।$$f(x) = \exp(\alpha x^2 + \beta x + \gamma),$$ जंहा (नोट: में $$ \ln a, a= 1/(\sigma\sqrt{2\pi}) $$,
 * $$\alpha = -1/2c^2,$$
 * $$\beta = b/c^2,$$
 * $$\gamma = \ln a-(b^2 / 2c^2).$$

के साथ भ्रमित नहीं होना है $$\alpha = -1/2c^2,$$)

गाऊसी फलन इस प्रकार के फलन हैं। जिनका लघुगणक अवतल द्विघात फलन है।

पैरामीटर $c$ चोटी के आधे अधिकतम (एफडब्ल्यूएचएम) के अनुसार पूर्ण चौड़ाई से संबंधित है।

$$\text{FWHM} = 2 \sqrt{2 \ln 2}\,c \approx 2.35482\,c.$$ समारोह तब एफडब्ल्यूएचएम के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। जिसका $w$ द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है। $$f(x) = a e^{-4 (\ln 2) (x - b)^2 / w^2}.$$ वैकल्पिक रूप से, पैरामीटर $c$ की व्याख्या यह कहकर की जा सकती है कि फलन के दो विभक्ति बिंदु $x = b ± c$ पर होते हैं।

गाऊसी के लिए अधिकतम दसवें (FWTM) पर पूर्ण चौड़ाई रुचि की हो सकती है। $$\text{FWTM} = 2 \sqrt{2 \ln 10}\,c \approx 4.29193\,c.$$ गाऊसी कार्य विश्लेषणात्मक कार्य हैं और $x → ∞$ के रूप में उनकी सीमा (गणित) 0 है। (उपर्युक्त स्थिति के लिए $b = 0$).

गाऊसी कार्य उन कार्यों में से हैं जो प्राथमिक कार्य (अंतर बीजगणित) हैं, किन्तु प्राथमिक प्रतिपक्षी की कमी है। गाऊसी फलन का अभिन्न अंग त्रुटि फलन है। किसी न किसी प्रकार से गाऊसी अभिन्न का उपयोग करके पूर्ण वास्तविक रेखा पर उनके अनुचित अभिन्न अंग का मूल्यांकन किया जा सकता है। $$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \,dx = \sqrt{\pi},$$ और प्राप्त करता है। $$\int_{-\infty}^\infty a e^{-(x - b)^2 / (2c^2)} \,dx = ac \cdot \sqrt{2\pi}.$$

यह अभिन्न 1 है। यदि $a = \tfrac{1}{c\sqrt{2\pi}}$ (सामान्यीकरण स्थिरांक) और इस स्थिति में गाऊसी अपेक्षित मान के साथ सामान्य रूप से वितरण यादृच्छिक चर का प्रायिकता घनत्व $σ 2$ और विचरण कार्य $b = μ$ है। $$g(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left(\frac{-(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right).$$ इन गाऊसी को संलग्न आकृति में प्लॉट किया गया है।

शून्य पर केंद्रित गाऊसी फलन फूरियर अनिश्चितता सिद्धांत को कम करता है।

दो गाऊसी कार्यों का उत्पाद गाऊसी है और दो गाऊसी कार्यों का कनवल्शन भी गाऊसी है। जिसमें विचरण मूल प्रसरण का योग है।$$c^2 = c_1^2 + c_2^2$$. चूंकि, दो गाऊसी संभाव्यता घनत्व कार्यों (पीडीएफ) का उत्पाद सामान्य रूप से गाऊसी पीडीएफ नहीं है।

पैरामीटर $c = σ$, $μ = b$ और $σ 2 = c 2$ के साथ गाऊसी फलन का फूरियर ट्रांसफॉर्म (एकात्मक, कोणीय-आवृत्ति सम्मेलन) लेने से पैरामीटर के साथ और गाऊसी फलन $$c$$, $a = 1$ और $$1/c$$  प्राप्त होता है।. तब विशेष रूप से गाऊसी $b = 0$ कार्य करता है। $$c = 1$$ फूरियर रूपांतरण द्वारा स्थिर रखा जाता है (वे eigenvalue 1 के साथ फूरियर रूपांतरण के eigenfunctions हैं)।

भौतिक बोध फ्राउन्होफर विवर्तन पैटर्न का है। उदाहरण के लिए, फोटोग्राफिक स्लाइड जिसका संप्रेषण गाऊसी भिन्नता है। वह भी गाऊसी फलन है।

चूँकि तथ्य यह है कि गाऊसी फलन निरंतर फूरियर रूपांतरण का ईजेनफंक्शन है। जो हमें पोइसन सारांश सूत्र से निम्नलिखित रोचक [स्पष्टीकरण की आवश्यकता] पहचान प्राप्त करने की अनुमति देता है। $$\sum_{k\in\Z} \exp\left(-\pi \cdot \left(\frac{k}{c}\right)^2\right) = c \cdot \sum_{k\in\Z} \exp\left(-\pi \cdot (kc)^2\right).$$

गाऊसी फलन का अभिन्न अंग
स्वेच्छ गाऊसी फलन का समाकल है। $$\int_{-\infty}^\infty a\,e^{-(x - b)^2/2c^2}\,dx = \sqrt{2} a \, |c| \, \sqrt{\pi}.$$ वैकल्पिक रूप है। $$\int_{-\infty}^\infty k\,e^{-f x^2 + g x + h}\,dx = \int_{-\infty}^\infty k\,e^{-f \big(x - g/(2f)\big)^2 + g^2/(4f) + h}\,dx = k\,\sqrt{\frac{\pi}{f}}\,\exp\left(\frac{g^2}{4f} + h\right),$$ जहां अभिन्न अभिसरण के लिए सख्ती से सकारात्मक होना चाहिए।

मानक गाऊसी अभिन्न अंग से संबंध
अभिन्न $$\int_{-\infty}^\infty ae^{-(x - b)^2/2c^2}\,dx$$ कुछ वास्तविक संख्या स्थिरांकों के लिए a, b, c > 0 की गणना गाऊसी समाकल के रूप में करके की जा सकती है। सबसे पहले, स्थिरांक a को केवल समाकलन से गुणनखंडित किया जा सकता है। इसके पश्चात्, एकीकरण के चर को x से $c$ में परिवर्तित कर दिया जाता है। $$a\int_{-\infty}^\infty e^{-y^2/2c^2}\,dy,$$ और फिर करने के लिए $$z = y/\sqrt{2 c^2}$$: $$a\sqrt{2 c^2} \int_{-\infty}^\infty e^{-z^2}\,dz.$$ फिर, गाऊसी अभिन्न अंग का उपयोग करना $$\int_{-\infty}^\infty e^{-z^2}\,dz = \sqrt{\pi},$$ अपने पास $$\int_{-\infty}^\infty ae^{-(x-b)^2/2c^2}\,dx = a\sqrt{2\pi c^2}.$$

द्वि-आयामी गाऊसी फलन
आधार फार्म $$f(x,y) = \exp(-x^2-y^2)$$ दो आयामों में, गाऊसी फलन में ई की शक्ति किसी भी नकारात्मक-निश्चित द्विघात रूप में होती है। परिणाम स्वरुप, गाऊसी का स्तर समूह हमेशा दीर्घवृत्त होता है।

द्वि-आयामी गाऊसी फलन का विशेष उदाहरण है।$$f(x,y) = A \exp\left(-\left(\frac{(x - x_0)^2}{2\sigma_X^2} + \frac{(y - y_0)^2}{2\sigma_Y^2} \right)\right).$$

यहाँ गुणांक A आयाम है, x0 और y0 केंद्र है, और σx और σy बूँद के x और y फैलाव हैं। दाईं ओर का चित्र A = 1, x0 = 0, y0 = 0, σx = σy = 1 का उपयोग करके बनाई गई थी।

गाऊसी फलन के अंतर्गत आयतन किसके द्वारा दिया जाता है। $$V = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(x, y)\,dx \,dy = 2 \pi A \sigma_X \sigma_Y.$$ सामान्यतः, द्वि-आयामी अण्डाकार गाऊसी फलन के रूप में व्यक्त किया जाता है। $$f(x, y) = A \exp\Big(-\big(a(x - x_0)^2 + 2b(x - x_0)(y - y_0) + c(y - y_0)^2 \big)\Big),$$ जहां मैट्रिक्स $$\begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix}$$ सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स है।

इस सूत्रीकरण का उपयोग करके, $b = 0$, $b = 0$, $y = x − b$, $A = 1$ दाईं ओर की आकृति बनाई जा सकती है।

सामान्य समीकरण के लिए मापदंडों का अर्थ
समीकरण के सामान्य रूप के लिए गुणांक ए चोटी की ऊंचाई है और $(x_{0}, y_{0}) = (0, 0)$ बूँद का केंद्र है।

यदि हम सेट करते हैं।$$ \begin{align} a &= \frac{\cos^2\theta}{2\sigma_X^2} + \frac{\sin^2\theta}{2\sigma_Y^2}, \\ b &= -\frac{\sin 2\theta}{4\sigma_X^2} + \frac{\sin 2\theta}{4\sigma_Y^2}, \\ c &= \frac{\sin^2\theta}{2\sigma_X^2} + \frac{\cos^2\theta}{2\sigma_Y^2}, \end{align} $$फिर हम ब्लॉब को सकारात्मक, वामावर्त कोण से घुमाते हैं $$\theta$$ (नकारात्मक, दक्षिणावर्त घुमाने के लिए, b गुणांक में संकेतों को उल्टा कर देता है)। गुणांक वापस पाने के लिए $$\theta$$, $$\sigma_X$$ और $$\sigma_Y$$ से $$a$$, $$b$$ और $$c$$ उपयोग

$$\begin{align} \theta &= \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{2b}{a-c}\right), \quad \theta \in [-45, 45], \\ \sigma_X^2 &= \frac{1}{2 (a \cdot \cos^2\theta + 2 b \cdot \cos\theta\sin\theta + c \cdot \sin^2\theta)}, \\ \sigma_Y^2 &= \frac{1}{2 (a \cdot \sin^2\theta - 2 b \cdot \cos\theta\sin\theta + c \cdot \cos^2\theta)}. \end{align}$$

गाऊसी ब्लॉब्स के उदाहरण घुमावों को निम्नलिखित उदाहरणों में देखा जा सकता है।

निम्नलिखित जीएनयू ऑक्टेव कोड का उपयोग करके, मापदंडों को परिवर्तित करने के प्रभाव को सरलता से देखा जा सकता है।

इस प्रकार के कार्यों का उपयोग अधिकांशतः मूर्ति प्रोद्योगिकी और दृश्य प्रणाली फलन के कम्प्यूटेशनल मॉडल में किया जाता है। - स्केल स्पेस और एफ़िन आकार अनुकूलन पर लेख देख सकते है।

बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण भी देख सकते है।

उच्च-क्रम गाऊसी या सुपर-गाऊसी फलन
फ्लैट-टॉप और गाऊसी फॉल-ऑफ के साथ गाऊसी फलन का अधिक सामान्य सूत्रीकरण प्रतिपादक की सामग्री को शक्ति तक बढ़ाकर $$P$$ लिया जा सकता है। $$f(x) = A \exp\left(-\left(\frac{(x - x_0)^2}{2\sigma_X^2}\right)^P\right).$$ इस फलन को सुपर-गाऊसी फलन के रूप में जाना जाता है और इसे अधिकांशतः गाऊसी बीम स्वरूप के लिए उपयोग किया जाता है। यह फलन आधी अधिकतम (एफडब्ल्यूएचएम) पर पूर्ण चौड़ाई के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है, जिसे $μ$ के द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। $$f(x) = A \exp\left(-\ln 2\left(4\frac{(x - x_0)^2}{w^2}\right)^P\right).$$ द्वि-आयामी स्वरूप में, गाऊसी फलन के साथ में $$x$$ और $$y$$ जोड़ा जा सकता है। संभावित रूप से भिन्न के साथ $$P_X$$ और $$P_Y$$ अण्डाकार गाऊसी वितरण बनाने के लिए इसका प्रयोग किया जाता है। $$f(x, y) = A \exp\left(-\left(\frac{(x - x_0)^2}{2\sigma_X^2} + \frac{(y - y_0)^2}{2\sigma_Y^2}\right)^P\right)$$ या आयताकार गाऊसी वितरण, $$f(x, y) = A \exp\left(-\left(\frac{(x - x_0)^2}{2\sigma_X^2}\right)^{P_X} - \left(\frac{(y - y_0)^2}{2\sigma_Y^2}\right)^{P_Y}\right).$$

बहु-आयामी गाऊसी फलन
इसमें $$n$$ आयामी स्थान गाऊसी फलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। $$f(x) = \exp(-x^\mathsf{T} C x),$$ जंहा $$x = \begin{bmatrix} x_1 & \cdots & x_n\end{bmatrix}$$ का स्तंभ है $$n$$ निर्देशांक, $$C$$ सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स है $$n \times n$$ मैट्रिक्स, और $${}^\mathsf{T}$$ स्थानान्तरण को दर्शाता है।

इस गाऊसी फलन का अभिन्न अंग संपूर्ण है। जी $$n$$-आयामी स्थान के रूप में दिया गया है। $$\int_{\R^n} \exp(-x^\mathsf{T} C x) \, dx = \sqrt{\frac{\pi^n}{\det C}}.$$ मैट्रिक्स को विकर्ण करके इसकी गणना सरलता से की जा सकती है, $$C$$ और एकीकरण चर को eigenvectors में परिवर्तित किया जा सकता है।

अधिक सामान्यतः स्थानांतरित गाऊसी फलन को इस रूप में परिभाषित किया जाता है। $$f(x) = \exp(-x^\mathsf{T} C x + s^\mathsf{T} x),$$ जंहा $$s = \begin{bmatrix} s_1 & \cdots & s_n\end{bmatrix}$$ शिफ्ट वेक्टर और मैट्रिक्स है। $$C$$ सममित माना जा सकता है। $$C^\mathsf{T} = C$$, और सकारात्मक-निश्चित इस फलन के साथ निम्नलिखित अभिन्न अंग की गणना उसी तकनीक से की जा सकती है। $$\int_{\R^n} e^{-x^\mathsf{T} C x + v^\mathsf{T}x} \, dx = \sqrt{\frac{\pi^n}{\det{C}}} \exp\left(\frac{1}{4} v^\mathsf{T} C^{-1} v\right) \equiv \mathcal{M}.$$$$\int_{\mathbb{R}^n} e^{- x^\mathsf{T} C x + v^\mathsf{T} x} (a^\mathsf{T} x) \, dx = (a^T u) \cdot \mathcal{M}, \text{ where } u = \frac{1}{2} C^{-1} v.$$$$\int_{\mathbb{R}^n} e^{- x^\mathsf{T} C x + v^\mathsf{T} x} (x^\mathsf{T} D x) \, dx = \left( u^\mathsf{T} D u + \frac{1}{2} \operatorname{tr} (D C^{-1}) \right) \cdot \mathcal{M}.$$$$\begin{align} & \int_{\mathbb{R}^n} e^{- x^\mathsf{T} C' x + s'^\mathsf{T} x} \left( -\frac{\partial}{\partial x} \Lambda \frac{\partial}{\partial x} \right) e^{-x^\mathsf{T} C x + s^\mathsf{T} x} \, dx \\ & \qquad = \left( 2 \operatorname{tr}(C' \Lambda C B^{- 1}) + 4 u^\mathsf{T} C' \Lambda C u - 2 u^\mathsf{T} (C' \Lambda s + C \Lambda s') + s'^\mathsf{T} \Lambda s \right) \cdot \mathcal{M}, \end{align}$$ जंहा, $u = \frac{1}{2} B^{- 1} v,\ v = s + s',\ B = C + C'.$

मापदंडों का अनुमान
फोटोमेट्री (खगोल विज्ञान), गाऊसी बीम लक्षण वर्णन, और उत्सर्जन/अवशोषण लाइन स्पेक्ट्रोस्कोपी जैसे अनेक क्षेत्र प्रतिरूप गाऊसी कार्यों के साथ कार्य करते हैं, और फलन की ऊंचाई, स्थिति और चौड़ाई पैरामीटर का त्रुटिहीन अनुमान लगाने की आवश्यकता होती है। अतः 1D गाऊसी फलन के लिए तीन अज्ञात पैरामीटर हैं (a, b, c) और 2D गाऊसी फलन के लिए पांच $$(A; x_0,y_0; \sigma_X,\sigma_Y)$$ अज्ञात पैरामीटर हैं।

गाऊसी मापदंडों का आकलन करने के लिए सबसे सरल विधि डेटा के लघुगणक और परिणामी डेटा समूह के बहुपद फिटिंग को लेना है। चूंकि यह सरल वक्र फिटिंग प्रक्रिया प्रदान करता है, परिणामी एल्गोरिथ्म (कलन विधि) छोटे डेटा मानों को अत्यधिक भारित करके पक्षपाती हो सकता है। जो प्रोफ़ाइल अनुमान में बड़ी त्रुटियां उत्पन्न कर सकता है। भारित न्यूनतम वर्ग के अनुमान के माध्यम से इस समस्या की आंशिक रूप से मुक्ति की जा सकती है। अतः छोटे डेटा मानों के वजन को कम किया जा सकता है, किन्तु यह भी गाऊसी की पूंछ को फिट पर हावी होने की अनुमति देकर पक्षपाती हो सकता है। पूर्वाग्रह को दूर करने के लिए, इसके अतिरिक्त पुनरावृत्त रूप से पुन: भारित न्यूनतम वर्ग प्रक्रिया का उपयोग कर सकते हैं। जिसमें प्रत्येक पुनरावृत्ति पर भार अद्यतन किए जाते हैं। लॉगरिदमिक डेटा परिवर्तन को सम्मिलित किए बिना सीधे डेटा पर गैर-रैखिक प्रतिगमन करना भी संभव है। अतः अधिक विकल्पों के लिए, प्रायिकता वितरण फिटिंग देख सकते है।

पैरामीटर परिशुद्धता
गाऊसी फलन मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए बार एल्गोरिथ्म (कलन विधि) होने के पश्चात्, यह जानना भी महत्वपूर्ण है कि ये अनुमान कितने त्रुटिहीन हैं। कोई भी कम से कम वर्ग अनुमान एल्गोरिदम प्रत्येक पैरामीटर के भिन्नता के लिए संख्यात्मक अनुमान प्रदान कर सकता है (अर्थात, अनुमानित ऊंचाई, स्थिति और फलन की चौड़ाई का भिन्नता)। डेटा के बारे में कुछ मान्यताओं को देखते हुए, पैरामीटर भिन्नताओं पर निचली सीमा के लिए विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए क्रैमर-राव बाध्य सिद्धांत का भी उपयोग कर सकते हैं। जब ये धारणाएँ संतुष्ट होती हैं। तब निम्न सहप्रसरण मैट्रिक्स K 1D प्रोफ़ाइल पैरामीटर के लिए प्रयुक्त होता है। जो $$a$$, $$b$$, और $$c$$ आई.आई.डी. गाऊसी शोर और पोइसन शोर के अनुसार कार्य करता है। $$ \mathbf{K}_{\text{Gauss}} = \frac{\sigma^2}{\sqrt{\pi} \delta_X Q^2} \begin{pmatrix} \frac{3}{2c} &0 &\frac{-1}{a} \\ 0 &\frac{2c}{a^2} &0 \\ \frac{-1}{a} &0 &\frac{2c}{a^2} \end{pmatrix} \ , \qquad \mathbf{K}_\text{Poiss} = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \begin{pmatrix} \frac{3a}{2c} &0 &-\frac{1}{2} \\ 0 &\frac{c}{a} &0 \\ -\frac{1}{2} &0 &\frac{c}{2a} \end{pmatrix} \ ,$$ जंहा $$\delta_X$$ फलन का प्रतिरूप लेने के लिए उपयोग किए जाने वाले पिक्सेल की चौड़ाई है, $$Q$$ डिटेक्टर की क्वांटम दक्षता है, और $$\sigma$$ माप शोर के मानक विचलन को इंगित करता है। इस प्रकार, पैरामीटर के लिए अलग-अलग भिन्नता गाऊसी शोर स्थिति में हैं।$$\begin{align} \operatorname{var} (a) &= \frac{3 \sigma^2}{2 \sqrt{\pi} \, \delta_X Q^2 c} \\ \operatorname{var} (b) &= \frac{2 \sigma^2 c}{\delta_X \sqrt{\pi} \, Q^2 a^2} \\ \operatorname{var} (c) &= \frac{2 \sigma^2 c}{\delta_X \sqrt{\pi} \, Q^2 a^2} \end{align}$$ और पॉसों शोर स्थिति में, $$\begin{align} \operatorname{var} (a) &= \frac{3a}{2 \sqrt{2 \pi} \, c} \\ \operatorname{var} (b) &= \frac{c}{\sqrt{2 \pi} \, a} \\ \operatorname{var} (c) &= \frac{c}{2 \sqrt{2 \pi} \, a}. \end{align} $$ आयाम देने वाले 2डी प्रोफाइल पैरामीटर के लिए $$A$$, पद $$(x_0,y_0)$$, और चौड़ाई $$(\sigma_X,\sigma_Y)$$ प्रोफ़ाइल में, निम्नलिखित सहप्रसरण मैट्रिक्स प्रयुक्त होते हैं।
 * 1) मापी गई प्रोफ़ाइल में शोर आई.आई.डी. गाऊसी या शोर पॉसों वितरण है। जो स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर है।
 * 2) प्रत्येक नमूने के मध्य की दूरी (अर्थात डेटा को मापने वाले पिक्सेल के मध्य की दूरी) समान है।
 * 3) चोटी "अच्छी प्रकार से प्रतिरूप" है। जिससे कि चोटी के नीचे के क्षेत्र या आयतन का 10% से कम (क्षेत्र यदि 1डी गाऊसी है, मात्रा यदि 2डी गाऊसी है) माप क्षेत्र के बाहर स्थित है।
 * 4) चोटी की चौड़ाई प्रतिरूप स्थानों के मध्य की दूरी से बहुत बड़ी है। (अर्थात डिटेक्टर पिक्सल गाऊसी एफडब्ल्यूएचएम से कम से कम 5 गुना छोटा होना चाहिए)।

$$\begin{align} \mathbf{K}_\text{Gauss} = \frac{\sigma^2}{\pi \delta_X \delta_Y Q^2} & \begin{pmatrix} \frac{2}{\sigma_X \sigma_Y} &0 &0 &\frac{-1}{A \sigma_Y} &\frac{-1}{A \sigma_X} \\ 0 &\frac{2 \sigma_X}{A^2 \sigma_Y} &0 &0 &0 \\ 0 &0 &\frac{2 \sigma_Y}{A^2 \sigma_X} &0 &0 \\ \frac{-1}{A \sigma_y} &0 &0 &\frac{2 \sigma_X}{A^2 \sigma_y} &0 \\ \frac{-1}{A \sigma_X} &0 &0 &0 &\frac{2 \sigma_Y}{A^2 \sigma_X} \end{pmatrix} \\[6pt] \mathbf{K}_{\operatorname{Poisson}} = \frac{1}{2 \pi} & \begin{pmatrix} \frac{3A}{\sigma_X \sigma_Y} &0 &0 &\frac{-1}{\sigma_Y} &\frac{-1}{\sigma_X} \\ 0 & \frac{\sigma_X}{A \sigma_Y} &0 &0 &0 \\ 0 &0 &\frac{\sigma_Y}{A \sigma_X} &0 &0 \\ \frac{-1}{\sigma_Y} &0 &0 &\frac{2 \sigma_X}{3A \sigma_Y} &\frac{1}{3A} \\ \frac{-1}{\sigma_X} &0 &0 &\frac{1}{3A} &\frac{2 \sigma_Y}{3A \sigma_X} \end{pmatrix}. \end{align}$$ जहां भिन्न-भिन्न पैरामीटर प्रसरण सहप्रसरण मैट्रिक्स के विकर्ण तत्वों द्वारा दिए गए हैं।

असतत गाऊसी
कोई गाऊसी के असतत अनुरूप के लिए पूछ सकता है। यह असतत अनुप्रयोगों, विशेष रूप से अंकीय संकेत प्रक्रिया  में आवश्यक है। यह सरल उत्तर निरंतर गाऊसी का प्रतिरूप लेना है। जो प्रतिरूप गाऊसी कर्नेल का उत्पादन करता है। चूंकि, इस असतत फलन में निरंतर फलन के गुणों के असतत एनालॉग नहीं होते हैं, और अवांछित प्रभाव उत्पन्न कर सकते हैं, जैसा लेख स्केल स्पेस कार्यान्वयन में वर्णित है।

असतत गाऊसी कर्नेल का उपयोग करने की वैकल्पिक विधि है। $$T(n, t) = e^{-t} I_n(t)$$ जंहा $$I_n(t)$$ पूर्णांक क्रम के संशोधित बेसेल कार्यों को दर्शाता है।

यह निरंतर गाऊसी का असतत एनालॉग है। जिसमें यह असतत प्रसार समीकरण (असतत स्थान, निरंतर समय) का समाधान है। जैसे निरंतर गाऊसी निरंतर प्रसार समीकरण का समाधान है।

अनुप्रयोग
गाऊसी फलन प्राकृतिक विज्ञान, सामाजिक विज्ञान, गणित और अभियांत्रिकी  के कई संदर्भों में दिखाई देते हैं। जो कुछ उदाहरणों में सम्मिलित हैं।
 * सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत में, गाऊसी फलन सामान्य वितरण के घनत्व फलन के रूप में दिखाई देते हैं। जो कि केंद्रीय सीमा प्रमेय के अनुसार जटिल योगों का सीमित संभाव्यता वितरण है।
 * गाऊसी फलन (समरूप और समदैशिक) विसरण समीकरण (और ऊष्मा समीकरण, जो ही चीज है) के लिए ग्रीन का फलन है। आंशिक अवकल समीकरण जो विसरण के अनुसार द्रव्यमान-घनत्व के समय विकास का वर्णन करता है। विशेष रूप से, यदि समय t = 0 पर द्रव्यमान-घनत्व डिराक डेल्टा द्वारा दिया जाता है। जिसका अनिवार्य रूप से अर्थ है कि द्रव्यमान प्रारंभ से बिंदु में केंद्रित होता है। तब समय t पर द्रव्यमान-वितरण गाऊसी फलन द्वारा दिया जाता है। जिसमें पैरामीटर 'ए' रैखिक रूप से 1/$w$  से संबंधित है और c रैखिक रूप से $\sqrt{t}$  से संबंधित हैं। इस समय-परिवर्तनशील गाऊसी को ऊष्मा कर्नेल द्वारा वर्णित किया गया है। अधिक सामान्यतः, यदि प्रारंभिक द्रव्यमान-घनत्व φ(x) है, तब बाद के समय में द्रव्यमान-घनत्व φ के गाऊसी फलन के साथ कनवल्शन लेकर प्राप्त किया जाता है। गाऊसी के साथ फलन का कनवल्शन वीयरस्ट्रैस ट्रांसफ़ॉर्म के रूप में भी जाना जाता है।
 * गाऊसी फलन क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर की जमीनी स्थिति का तरंग फलन है।
 * कम्प्यूटेशनल रसायन विज्ञान में उपयोग किए जाने वाले आणविक ऑर्बिटल्स गाऊसी फलन के रैखिक संयोजन हो सकते हैं। जिन्हें गाऊसी कक्षीय कहा जाता है। (आधार सेट (रसायन विज्ञान) भी देखें)।
 * गणितीय रूप से, गाऊसी फलन के यौगिक  को हर्मिट फलन का उपयोग करके प्रदर्शित किया जा सकता है। इकाई प्रसरण के लिए, गाऊसी का n-वां डेरिवेटिव गाऊसी फलन है जिसे n-वें हर्मिट बहुपद से गुणा किया जाता है, प्रतिरूप तक।
 * परिणाम स्वरुप, गाऊसी फलन भी क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत  में  निर्वात अवस्था  से जुड़े होते हैं।
 * गाऊसी बीम का उपयोग ऑप्टिकल सिस्टम, माइक्रोवेव सिस्टम और लेजर में किया जाता है।
 * स्केल स्पेस प्रतिनिधित्व में, गाऊसी फलन का उपयोग कंप्यूटर दृष्टि और मूर्ति प्रोद्योगिकी में मल्टी-स्केल रिप्रेजेंटेशन बनाने के लिए स्मूथिंग कर्नेल के रूप में किया जाता है। विशेष रूप से, गाऊसी (हर्मिट कार्य करता है) के डेरिवेटिव का उपयोग बड़ी संख्या में दृश्य संचालन को परिभाषित करने के आधार के रूप में किया जाता है।
 * कुछ प्रकार के कृत्रिम तंत्रिका नेटवर्क को परिभाषित करने के लिए गाऊसी फलन का उपयोग किया जाता है।
 * प्रतिदीप्ति माइक्रोस्कोपी में 2डी गाऊसी फलन का उपयोग हवादार डिस्क को अनुमानित करने के लिए किया जाता है। जो बिंदु स्रोत द्वारा उत्पादित तीव्रता वितरण का वर्णन करता है।
 * संकेत प्रक्रमन में वे गाऊसी फिल्टर को परिभाषित करने का कार्य करते हैं, जैसे कि मूर्ति प्रोद्योगिकी में जहां गाऊसी ब्लर्स के लिए 2डी गाऊसी का उपयोग किया जाता है। डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग में, असतत गाऊसी कर्नेल का उपयोग करता है। जिसे गाऊसी का प्रतिरूप लेकर या भिन्न प्रकार से परिभाषित किया जा सकता है।
 * भू-सांख्यिकी में उनका उपयोग जटिल प्रशिक्षण प्रतिरूप के पैटर्न के मध्य परिवर्तनशीलता को समझने के लिए किया गया है। फीचर स्पेस में पैटर्न को क्लस्टर करने के लिए उनका उपयोग कर्नेल विधियों के साथ किया जाता है।

यह भी देखें

 * सामान्य वितरण
 * लोरेंट्ज़ियन फलन
 * रेडियल आधार फलन कर्नेल

बाहरी संबंध

 * Mathworld, includes a proof for the relations between c and FWHM
 * Haskell, Erlang and Perl implementation of Gaussian distribution
 * Bensimhoun Michael, N-Dimensional Cumulative Function, And Other Useful Facts About Gaussians and Normal Densities (2009)
 * Code for fitting Gaussians in ImageJ and Fiji.
 * Code for fitting Gaussians in ImageJ and Fiji.