पेंटोमिनो

'5' के लिए ग्रीक शब्द से व्युत्पन्न, और डॉमिनो ज़, एक पेंटोमिनो (या 5-ओमिनो) ऑर्डर 5 का एक पॉलीओमिनो है, जो कि समतल (ज्यामिति) में एक बहुभुज है जो 5 समान आकार के वर्गों से जुड़ा हुआ है। -किनारा। जब रोटेशन समरूपता और प्रतिबिंब समरूपता को अलग-अलग आकार नहीं माना जाता है, तो 12 अलग-अलग फ़्री पॉलीओमिनो पेंटोमिनोइन होते हैं। जब प्रतिबिंबों को अलग माना जाता है, तो 18 एक तरफा पॉलीओमिनो|वन-साइडेड पेंटोमिनोइज़ होते हैं। जब घुमावों को भी अलग माना जाता है, तो 63 फिक्स्ड पॉलीओमिनो पेंटोमिनोइज़ होते हैं।

मनोरंजक गणित में पेंटोमिनो टाइलिंग पहेली और खेल लोकप्रिय हैं। सामान्यतः, वीडियो गेम जैसे कि टेट्रिस इमिटेशन और रैम्पर्ट (गेम) दर्पण प्रतिबिंबों को अलग मानते हैं, और इस प्रकार 18 एक तरफा पेंटोमिनो के पूर्ण समुच्चय का उपयोग करते हैं।

बारह पेंटोमिनो में से प्रत्येक कॉनवे कसौटी पर खरे उतरते हैं; इसलिए हर पेंटोमिनो विमान को खपरैल करने में सक्षम है। प्रत्येक चिराल पेंटोमिनो बिना परावर्तित हुए विमान को टाइल कर सकता है।

इतिहास
1907 में प्रकाशित हेनरी डुडेनी की पुस्तक कैंटरबरी पहेलियाँ में पेंटोमिनोज़ के एक पूर्ण समुच्चय वाली सबसे पहली पहेली दिखाई दी। 1935 समस्यावादी फेयरी चेस सप्लीमेंट में पेंटोमिनो के एक पूरे समुच्चय के साथ आयतों की प्रारंभिक टाइलिंग दिखाई दी, और पीआरसीएस और इसके उत्तराधिकारी, परी शतरंज की समीक्षा में आगे की टाइलिंग समस्याओं का पता लगाया गया। Pentominoes को औपचारिक रूप से अमेरिकी प्रोफेसर सोलोमन डब्ल्यू गोलोम्ब द्वारा 1953 में और बाद में उनकी 1965 की पुस्तक Polyominoes: पहेलियाँ, पैटर्न, समस्याएं और पैकिंग में परिभाषित किया गया था। मार्टिन गार्डनर द्वारा अक्टूबर 1965 में अमेरिकी वैज्ञानिक  में गणितीय खेलों के कॉलम में उन्हें आम जनता से परिचित कराया गया था। गोलोम्ब ने प्राचीन ग्रीक से पेंटोमिनो शब्द गढ़ा πέντε / पेंटे, फाइव, और -ओमिनो ऑफ़ डोमिनोज़, काल्पनिक रूप से डोमिनोज़ के डी- की व्याख्या करते हैं जैसे कि यह ग्रीक उपसर्ग डी- (दो) का एक रूप था। लैटिन वर्णमाला के अक्षरों के बाद गोलोम्ब ने 12 मुक्त पॉलीओमिनो पेंटोमिनो का नाम दिया, जो कि वे मिलते-जुलते हैं।

जॉन हॉर्टन कॉनवे ने पेन्टोमिनो के लिए एक वैकल्पिक लेबलिंग योजना प्रस्तावित की, जिसमें I के अतिरिक्त O, L के अतिरिक्त Q, F के अतिरिक्त R, और N के अतिरिक्त S का उपयोग किया गया। अक्षरों से समानता अधिक तनावपूर्ण है, विशेष रूप से O पेंटोमिनो के लिए, किन्तु यह योजना में वर्णमाला के लगातार 12 अक्षरों का उपयोग करने का लाभ है। कॉनवे के गेम ऑफ लाइफ पर चर्चा करने के लिए सम्मेलन द्वारा इसका उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, एफ-पेंटोमिनो के अतिरिक्त आर-पेंटोमिनो की बात की जाती है।

समरूपता

 * F, L, N, P, और Y को 8 तरीकों से उन्मुख किया जा सकता है: 4 रोटेशन द्वारा, और 4 और दर्पण छवि के लिए। उनके समरूपता समूह में केवल पहचान कार्य होता है।
 * T, और U को रोटेशन द्वारा 4 तरीकों से उन्मुख किया जा सकता है। उनके पास ग्रिडलाइनों के साथ संरेखित प्रतिबिंब समरूपता का एक अक्ष है। उनके समरूपता समूह में दो तत्व होते हैं, पहचान और वर्गों के किनारों के समानांतर एक रेखा में प्रतिबिंब।
 * V और W को भी रोटेशन द्वारा 4 तरह से उन्मुख किया जा सकता है। उनके पास ग्रिडलाइनों के 45 डिग्री पर प्रतिबिंब समरूपता का अक्ष है। उनके समरूपता समूह में दो तत्व होते हैं, पहचान और एक विकर्ण प्रतिबिंब।
 * Z को 4 तरीकों से उन्मुख किया जा सकता है: 2 रोटेशन द्वारा, और 2 और दर्पण छवि के लिए। इसमें बिंदु समरूपता है, जिसे क्रम 2 की घूर्णी समरूपता के रूप में भी जाना जाता है। इसके समरूपता समूह में दो तत्व होते हैं, पहचान और 180° घूर्णन।
 * रोटेशन द्वारा मुझे 2 तरह से उन्मुख किया जा सकता है। इसमें प्रतिबिंब समरूपता के दो अक्ष हैं, दोनों ग्रिडलाइनों के साथ संरेखित हैं। इसके समरूपता समूह में चार तत्व हैं, पहचान, दो प्रतिबिंब और 180 डिग्री रोटेशन। यह क्रम 2 का डायहेड्रल समूह है, जिसे क्लेन चार-समूह के रूप में भी जाना जाता है।
 * X को केवल एक ही तरीके से उन्मुख किया जा सकता है। इसमें प्रतिबिंब समरूपता के चार अक्ष हैं, जो ग्रिडलाइन और विकर्णों के साथ संरेखित हैं, और क्रम 4 की घूर्णी समरूपता है। इसके समरूपता समूह, क्रम 4 के डायहेड्रल समूह में आठ तत्व हैं।

एफ, एल, एन, पी, वाई, और जेड पेंटोमिनोइज चिरायता (गणित) हैं; उनके प्रतिबिंबों (F', J, N', Q, Y', S) को जोड़ने से एक तरफा पेन्टोमिनो की संख्या 18 हो जाती है। अगली तीन श्रेणियां (T, U, V, W, Z) चार गुना, I दो बार और X केवल एक बार गिना जाता है। इसका परिणाम 5×8 + 5×4 + 2 + 1 = 63 स्थिर पेन्टोमिनो है।

उदाहरण के लिए, L, F, N, P और Y पेंटोमिनोइज़ के आठ संभावित झुकाव इस प्रकार हैं:

सामान्यतः 2डी आंकड़ों के लिए दो और श्रेणियां हैं:
 * 90 डिग्री के घूर्णन द्वारा 2 तरीकों से उन्मुख होने के नाते, प्रतिबिंब समरूपता के दो अक्षों के साथ, दोनों विकर्णों के साथ संरेखित होते हैं। इस प्रकार की समरूपता के लिए कम से कम heptomino  की आवश्यकता होती है।
 * 2 तरह से उन्मुख होना, जो एक दूसरे की दर्पण छवि हैं, उदाहरण के लिए स्वस्तिक। इस प्रकार की समरूपता के लिए कम से कम एक octomino की आवश्यकता होती है।

आयताकार आयामों का निर्माण
एक मानक पेंटोमिनो पहेली पेंटोमिनोइज के साथ एक आयताकार बॉक्स को चौकोर करना है, अर्थात बिना ओवरलैप और बिना अंतराल के इसे कवर करना। 12 पेंटोमिनो में से प्रत्येक का क्षेत्रफल 5 इकाई वर्ग है, इसलिए बॉक्स में 60 इकाई का क्षेत्रफल होना चाहिए। संभावित आकार 6×10, 5×12, 4×15 और 3×20 हैं।

6×10 का मामला पहली बार 1960 में सी. ब्रायन हैसेलग्रोव और जेनिफर हैसलग्रोव द्वारा हल किया गया था। संपूर्ण आयत के रोटेशन और प्रतिबिंब द्वारा प्राप्त तुच्छ विविधताओं को छोड़कर, बिल्कुल 2339 समाधान हैं, किन्तु पेंटोमिनोइज़ के एक सबसमुच्चय के रोटेशन और प्रतिबिंब सहित (जो कभी-कभी सरल तरीके से एक अतिरिक्त समाधान प्रदान करता है)। 5×12 बॉक्स में 1010 समाधान हैं, 4×15 बॉक्स में 368 समाधान हैं, और 3×20 बॉक्स में सिर्फ 2 समाधान हैं (एक चित्र में दिखाया गया है, और दूसरा घुमाकर दिखाए गए समाधान से प्राप्त किया जा सकता है, एक पूरे के रूप में, एल, एन, एफ, टी, डब्ल्यू, वाई, और जेड पेंटोमिनोइज़ से युक्त ब्लॉक)।

कुछ सीमा तक आसान (अधिक सममित) पहेली, केंद्र में 2×2 छेद के साथ 8×8 आयत, दाना स्कॉट द्वारा 1958 तक हल की गई थी। 65 उपाय हैं। स्कॉट का एल्गोरिदम बैक ट्रैकिंग  कंप्यूटर प्रोग्राम के पहले अनुप्रयोगों में से एक था। इस पहेली की विविधताएं चार छेदों को किसी भी स्थिति में रखने की अनुमति देती हैं। बाहरी लिंक में से एक इस नियम का उपयोग करता है। इस तरह के अधिकांश पैटर्न सॉल्व करने योग्य हैं, बोर्ड के दो कोनों के पास छेद के प्रत्येक जोड़े को इस तरह से रखने के अपवाद के साथ कि दोनों कोनों को केवल एक पी-पेंटोमिनो द्वारा फिट किया जा सकता है, या एक टी-पेंटोमिनो या यू-पेंटोमिनो को मजबूर किया जा सकता है। कोने ऐसे कि एक और छेद बनाया जाता है।

ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए कुशल एल्गोरिदम का वर्णन किया गया है, उदाहरण के लिए डोनाल्ड नुथ द्वारा। आधुनिक निजी कंप्यूटर  पर चलने वाली ये पेंटोमिनो पहेलियां अब मात्र सेकंड में हल की जा सकती हैं।

पेंटोमिनो समुच्चय एकमात्र मुफ्त पॉलीओमिनो समुच्चय है जिसे तुच्छ monomino  और डोमिनोज़ (गणित) समुच्चयों के अपवाद के साथ एक आयत में पैक किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक में केवल एक आयत होता है।

भरने वाले डिब्बे
एक पेंटाक्यूब पांच क्यूब्स का एक polycube  है। 29 पेंटाक्यूब में से, ठीक बारह पेंटाक्यूब समतल (1-परत) हैं और एक वर्ग की गहराई तक एक्सट्रूडेड बारह पेंटोमिनो के अनुरूप हैं।

एक पेंटाक्यूब पहेली या 3डी पेंटोमिनो पहेली, 12 फ्लैट पेंटाक्यूब के साथ एक 3-आयामी बॉक्स को भरने के बराबर है, अर्थात इसे बिना ओवरलैप और बिना अंतराल के कवर करें। चूंकि प्रत्येक पेंटाक्यूब में 5 यूनिट क्यूब की मात्रा होती है, बॉक्स में 60 यूनिट की मात्रा होनी चाहिए। संभावित आकार 2×3×10 (12 समाधान), 2×5×6 (264 समाधान) और 3×4×5 (3940 समाधान) हैं। निम्नलिखित प्रत्येक स्थितियों का एक समाधान है। वैकल्पिक रूप से पांच क्यूब्स के संयोजन पर भी विचार किया जा सकता है जो स्वयं 3डी हैं, अर्थात क्यूब्स की एक परत का हिस्सा नहीं हैं। चूँकि, 12 एक्सट्रूडेड पेंटोमिनोइज़ के अतिरिक्त, चिरल जोड़े के 6 समुच्चय और 5 टुकड़े कुल 29 टुकड़े बनाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप 145 क्यूब्स बनते हैं, जो एक 3D बॉक्स नहीं बनेगा (145 केवल 29 × 5 × 1 हो सकता है, जो गैर -फ्लैट पेंटोमिनो में फिट नहीं हो सकता)।

विशेष प्रकार के बोर्ड या पट्टे के खेल जैसे शतरंज, साँप सीढ़ी आदि
पेन्टोमिनो पर पूरी तरह से आधारित कौशल के बोर्ड गेम हैं। ऐसे खेलों को अधिकांशतः केवल पेंटोमिनोइज़ कहा जाता है।

खेलों में से एक 8x8 ग्रिड पर दो या तीन खिलाड़ियों द्वारा खेला जाता है। खिलाड़ी बारी-बारी से पेंटोमिनो को बोर्ड पर रखते हैं जिससे वे वर्तमान टाइलों के साथ ओवरलैप न हों और किसी भी टाइल का एक से अधिक बार उपयोग न किया जाए। उद्देश्य बोर्ड पर टाइल लगाने वाला अंतिम खिलाड़ी बनना है। Pentominoes के इस संस्करण को Golomb's Game कहा जाता है।

1996 में हिलेरी ऑरमैन द्वारा दो-खिलाड़ी संस्करण को बोर्ड गेम हल किया गया था। लगभग 22 बिलियन बोर्ड पदों की जाँच करके यह पहली खिलाड़ी की जीत सिद्ध हुई। Pentominoes, और इसी तरह के आकार, कई अन्य टाइलिंग गेम, पैटर्न और पहेलियों का आधार भी हैं। उदाहरण के लिए, फ्रांसीसी बोर्ड गेम ब्लोकस पॉलीओमिनो के 4 रंगीन समुच्चयों के साथ खेला जाता है, प्रत्येक में प्रत्येक पेंटोमिनो (12), टेट्रोमिनो (5), ट्रायोमिनो (2) डोमिनोज़ (1) और मोनोमिनो (1) होते हैं। खेल पेंटोमिनोइज़ की तरह, लक्ष्य आपकी सभी टाइलों का उपयोग करना है, और यदि अंतिम चाल पर मोनोमिनो खेला जाता है तो एक बोनस दिया जाता है। सबसे कम ब्लाकों शेष रखने वाला खिलाड़ी जीत जाता है।

कैथेड्रल (बोर्ड गेम) का खेल भी पॉलीओमिनो पर आधारित है। पार्कर ब्रदर्स ने 1966 में यूनिवर्स नामक एक मल्टी-प्लेयर पेंटोमिनो बोर्ड गेम जारी किया। इसकी थीम 1968 की फिल्म 2001: ए स्पेस ओडिसी (फिल्म) से हटाए गए दृश्य पर आधारित है। 2001: ए स्पेस ओडिसी जिसमें एक अंतरिक्ष यात्री दो- एचएएल 9000 के खिलाफ खिलाड़ी पेंटोमिनो गेम (पूल बनाम एचएएल 9000 को निरंतर रखा गया था)। बोर्ड गेम बॉक्स के सामने फिल्म के दृश्यों के साथ-साथ इसे भविष्य के खेल के रूप में वर्णित करने वाला कैप्शन भी है। खेल लाल, पीले, नीले और सफेद रंग में पेंटोमिनो के चार समुच्चय के साथ आता है। बोर्ड में दो खेलने योग्य क्षेत्र हैं: दो खिलाड़ियों के लिए एक आधार 10x10 क्षेत्र जिसमें दो से अधिक खिलाड़ियों के लिए प्रत्येक तरफ अतिरिक्त 25 वर्ग (10 की दो पंक्तियाँ और पाँच की एक ऑफ़समुच्चय पंक्ति) हैं।

गेम निर्माता लोनपोस के पास कई गेम हैं जो एक ही पेंटोमिनो का उपयोग करते हैं, किन्तु विभिन्न गेम प्लेन पर। उनके 101 गेम में 5 x 11 प्लेन है। विमान के आकार को बदलकर, हजारों पहेलियाँ खेली जा सकती हैं, चूँकि इन पहेलियों का केवल एक अपेक्षाकृत छोटा चयन ही प्रिंट में उपलब्ध है।

साहित्य
Pentominoes को आर्थर सी. क्लार्क के 1975 के उपन्यास इंपीरियल पृथ्वी के एक प्रमुख सबप्लॉट में चित्रित किया गया था। क्लार्क ने एक निबंध भी लिखा था जिसमें उन्होंने इस खेल का वर्णन किया था और बताया था कि वह कैसे इसके आदी हो गए। उन्हें ब्लू बैलिट के वर्मीर का पीछा करते हुए में भी चित्रित किया गया था, जिसे 2003 में प्रकाशित किया गया था और ब्रेट हेलक्विस्ट द्वारा चित्रित किया गया था, साथ ही इसके सीक्वेल, द राइट 3 और द काल्डर गेम। 27 जून, 2012 के न्यूयॉर्क टाइम्स क्रॉसवर्ड पहेली में, 37 के पार 11-अक्षर वाले शब्द का सुराग इस पहेली के काले वर्गों द्वारा गठित 12 आकृतियों का पूरा समुच्चय था।

वीडियो गेम

 * टेट्रिस पेंटोमिनो पहेली से प्रेरित था, चूंकि यह चार-ब्लॉक टेट्रोमिनो का उपयोग करता है। कुछ टेट्रिस क्लोन और वेरिएंट, जैसे बेल लैब्स से प्लान 9 के साथ सम्मिलित गेम 5s, और जादुई टेट्रिस चैलेंज, पेंटोमिनो का उपयोग करते हैं।
 * डेडलियन कार्य पूरे खेल में पेंटोमिनो पहेली का उपयोग करता है।

पिछले और अगले आदेश

 * Tetromino
 * हेक्सोमिनो

अन्य

 * टाइलिंग पहेली
 * कैथेड्रल (बोर्ड गेम) बोर्ड गेम
 * सोलोमन डब्ल्यू गोलोम्ब

संदर्भ

 * Chasing Vermeer, with information about the book Chasing Vermeer and a click-and-drag pentomino board.

बाहरी संबंध

 * Pentomino configurations and solutions An exhaustive listing of solutions to many of the classic problems showing how each solution relates to the others.