फलनात्मक वियोजन

गणित में, कार्यात्मक अपघटन एक फ़ंक्शन (गणित) संबंध को उसके घटक भागों में इस तरह से हल करने की प्रक्रिया है कि मूल फ़ंक्शन को फ़ंक्शन रचना द्वारा उन भागों से पुनर्निर्माण (यानी, पुनर्संरचना) किया जा सकता है।

अपघटन की यह प्रक्रिया घटक घटकों की पहचान में अंतर्दृष्टि प्राप्त करने के लिए की जा सकती है जो ब्याज की व्यक्तिगत भौतिक प्रक्रियाओं को दर्शा सकती है। इसके अलावा कार्यात्मक अपघटन के परिणामस्वरूप वैश्विक कार्य का एक संकुचित प्रतिनिधित्व हो सकता है, एक ऐसा कार्य जो तभी संभव है जब घटक प्रक्रियाओं में एक निश्चित स्तर की 'मॉड्यूलरिटी' (यानी, स्वतंत्रता या गैर-बातचीत) हो।

संग्रह के कार्य के लिए घटकों के बीच महत्वपूर्ण हैं। सभी इंटरैक्शन नहीं हो सकते हैं, लेकिन संभवतः दोहराव के माध्यम से घटाया गया समग्र व्यवहार का संश्लेषण, सत्यापन और सत्यापन।

मूल गणितीय परिभाषा
एक बहुभिन्नरूपी समारोह के लिए $$y = f(x_1,x_2,\dots,x_n)$$, कार्यात्मक अपघटन आम तौर पर कार्यों के एक सेट की पहचान करने की प्रक्रिया को संदर्भित करता है $$\{g_1, g_2, \dots g_m\}$$ ऐसा है कि


 * $$f(x_1,x_2,\dots,x_n) = \phi(g_1(x_1,x_2,\dots,x_n), g_2(x_1,x_2,\dots,x_n), \dots g_m(x_1,x_2,\dots,x_n))$$

कहाँ $$\phi$$ कोई अन्य कार्य है। इस प्रकार, हम कहेंगे कि function $$f$$ कार्यों में विघटित हो जाता है $$\{g_1, g_2, \dots g_m\}$$. यह प्रक्रिया इस अर्थ में आंतरिक रूप से पदानुक्रमित है कि हम (और अक्सर ऐसा करते हैं) कार्यों को और विघटित करना चाहते हैं $$g_i$$ घटक कार्यों के संग्रह में $$\{h_1, h_2, \dots h_p\}$$ ऐसा है कि


 * $$g_i(x_1,x_2,\dots,x_n) = \gamma(h_1(x_1,x_2,\dots,x_n), h_2(x_1,x_2,\dots,x_n), \dots h_p(x_1,x_2,\dots,x_n))$$

कहाँ $$\gamma$$ कोई अन्य कार्य है। इस तरह के अपघटन कई कारणों से दिलचस्प और महत्वपूर्ण हैं। सामान्य तौर पर, कार्यात्मक अपघटन सार्थक होते हैं जब निर्भरता संरचना में एक निश्चित विरलता होती है; यही है, जब घटक कार्य चर के लगभग असंबद्ध सेट पर निर्भर पाए जाते हैं। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, यदि हम का अपघटन प्राप्त कर सकते हैं $$x_1 = f(x_2,x_3,\dots,x_6)$$ कार्यों की एक पदानुक्रमित संरचना में $$\{g_1, g_2, g_3\}$$ ऐसा है कि $$x_1 = g_1(x_2)$$, $$x_2 = g_2(x_3,x_4,x_5)$$, $$x_5 = g_3(x_6)$$, जैसा कि दाईं ओर दिए गए चित्र में दिखाया गया है, यह संभवतः एक अत्यधिक मूल्यवान अपघटन माना जाएगा।

उदाहरण: अंकगणित
कार्यात्मक अपघटन का एक मूल उदाहरण जोड़, घटाव, गुणा और भाग के चार बाइनरी अंकगणितीय संचालन को जोड़ के दो बाइनरी संचालन के संदर्भ में व्यक्त कर रहा है। $$a + b$$ और गुणन $$a \times b,$$ और योगात्मक व्युत्क्रमण के दो एकात्मक संचालन $$-a$$ और गुणक उलटा $$1/a.$$ घटाव को जोड़ और योगात्मक व्युत्क्रम की संरचना के रूप में महसूस किया जा सकता है, $$a - b = a + (-b),$$ और विभाजन को गुणन और गुणक व्युत्क्रम की संरचना के रूप में महसूस किया जा सकता है, $$a \div b = a \times (1/b).$$ यह घटाव और विभाजन के विश्लेषण को सरल करता है, और एक क्षेत्र (गणित) की धारणा में इन परिचालनों को स्वयंसिद्ध करना भी आसान बनाता है, क्योंकि चार बाइनरी संचालनों के बजाय केवल दो बाइनरी और दो यूनरी ऑपरेशन हैं।

इन आदिम संक्रियाओं का विस्तार करते हुए, बहुपद अपघटन के विषय पर एक समृद्ध साहित्य है।

अपघटन के लिए प्रेरणा
अपघटन क्यों मूल्यवान है, इसके दो कारण हैं। सबसे पहले, गैर-अंतःक्रियात्मक घटकों में एक फ़ंक्शन का अपघटन आम तौर पर फ़ंक्शन के अधिक किफायती प्रतिनिधित्व की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, चतुष्कोणीय (यानी, 4-आर्य) चर के एक सेट पर, पूर्ण कार्य का प्रतिनिधित्व करते हुए $$x_1=f(x_2,x_3,\dots,x_6)$$ भंडारण की आवश्यकता है $$4^5=1024$$ मान, कार्टेशियन उत्पाद में प्रत्येक तत्व के लिए फ़ंक्शन का मान $$\{x_2,x_3,\dots,x_6\}$$, यानी, 1024 संभावित संयोजनों में से प्रत्येक के लिए $$\{x_2,x_3,\dots,x_6\}$$. हालांकि, अगर में अपघटन $$\{g_1, g_2, g_3\}$$ ऊपर दिया जा सकता है, तो $$g_1 = g_1(x_2)$$ 4 मानों को संग्रहित करने की आवश्यकता है, $$g_2 = g_2(x_3,x_4,x_5)$$ भंडारण की आवश्यकता है $$4^3=64$$ मूल्य, और $$g_3 = g_3(x_6)$$ फिर से केवल 4 मानों को संग्रहित करने की आवश्यकता है। तो अपघटन के आधार पर, हमें केवल स्टोर की जरूरत है $$4+64+4=72$$ 1024 मूल्यों के बजाय मूल्य, एक नाटकीय बचत।

सहज रूप से, प्रतिनिधित्व आकार में यह कमी केवल इसलिए हासिल की जाती है क्योंकि प्रत्येक चर केवल अन्य चर के सबसेट पर निर्भर करता है। इस प्रकार, परिवर्तनशील $$x_1$$ केवल सीधे चर पर निर्भर करता है $$x_2$$चर के पूरे सेट पर निर्भर होने के बजाय। हम कहेंगे कि चर $$x_2$$ स्क्रीन बंद चर $$x_1$$ बाकी दुनिया से। इस घटना के व्यावहारिक उदाहरण हमें घेरे हुए हैं, जैसा कि नीचे दार्शनिक विचारों में चर्चा की गई है, लेकिन आइए हम वेस्ट साइड हाईवे पर उत्तर की ओर जाने वाले यातायात के विशेष मामले पर विचार करें। आइए हम इस चर को मान लें ($${x_1}$$) के तीन संभावित मान लेता है { धीमी गति से चलना, घातक धीमी गति से चलना , बिलकुल नहीं चलना }। अब कहते हैं परिवर्तनशील $${x_1}$$ दो अन्य चरों पर निर्भर करता है, {सूर्य, बारिश, बर्फ} के मूल्यों के साथ मौसम और {10mph, 5mph, 1mph} के मूल्यों के साथ GW ब्रिज ट्रैफिक। यहाँ मुद्दा यह है कि जहाँ निश्चित रूप से कई माध्यमिक चर हैं जो मौसम चर को प्रभावित करते हैं (जैसे, कनाडा पर निम्न दबाव प्रणाली, जापान में तितली प्रभाव, आदि) और ब्रिज ट्रैफ़िक चर (जैसे, न्यूयॉर्क में अंतरराज्यीय 95 पर दुर्घटना) |I-95, प्रेसिडेंशियल मोटरसाइकिल, आदि) ये सभी अन्य माध्यमिक चर वेस्ट साइड हाईवे ट्रैफिक के लिए सीधे प्रासंगिक नहीं हैं। वेस्ट साइड हाईवे ट्रैफिक की भविष्यवाणी करने के लिए हमें केवल (काल्पनिक रूप से) मौसम और GW ब्रिज ट्रैफिक की जरूरत है, क्योंकि ये दो चर अन्य सभी संभावित प्रभावों से वेस्ट साइड हाईवे ट्रैफिक को स्क्रीन करते हैं। अर्थात्, अन्य सभी प्रभाव उनके माध्यम से कार्य करते हैं।

विशुद्ध रूप से गणितीय विचारों के बाहर, शायद कार्यात्मक अपघटन का सबसे बड़ा मूल्य वह अंतर्दृष्टि है जो यह दुनिया की संरचना में प्रदान करता है। जब एक कार्यात्मक अपघटन प्राप्त किया जा सकता है, तो यह ऑन्कोलॉजिकल जानकारी प्रदान करता है कि दुनिया में वास्तव में कौन सी संरचनाएं मौजूद हैं, और उनकी भविष्यवाणी और हेरफेर कैसे किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, ऊपर दिए गए उदाहरण में, यदि यह पता चला है कि $${x_1}$$ पर ही सीधे निर्भर करता है $${x_2}$$, इसका मतलब है कि की भविष्यवाणी के प्रयोजनों के लिए $${x_1}$$, केवल जानना ही पर्याप्त है $${x_2}$$. इसके अलावा, प्रभावित करने के लिए हस्तक्षेप $${x_1}$$ पर सीधे लिया जा सकता है $${x_2}$$, और चरों पर हस्तक्षेप करके कुछ भी अतिरिक्त प्राप्त नहीं किया जा सकता है $$\{x_3,x_4,x_5\}$$, चूंकि ये केवल कार्य करते हैं $${x_2}$$ किसी भी स्थिति में।

दार्शनिक विचार
कार्यात्मक अपघटन के दार्शनिक पूर्ववृत्त और शाखाएँ काफी व्यापक हैं, क्योंकि कार्यात्मक अपघटन एक तरह से या किसी अन्य आधुनिक विज्ञान के अंतर्गत आता है। यहाँ हम इनमें से कुछ दार्शनिक विचारों की समीक्षा करते हैं।

न्यूनतावादी परंपरा
पूर्वी दर्शन और पश्चिमी दर्शन के बीच अक्सर जो प्रमुख भेद किए जाते हैं उनमें से एक यह है कि पूर्वी दार्शनिक समग्रवाद के पक्ष में विचारों का समर्थन करते थे, जबकि पश्चिमी विचारक न्यूनतावाद के पक्ष में विचारों का समर्थन करते थे। पूर्व और पश्चिम के बीच यह अंतर अन्य दार्शनिक भेदों (जैसे कि दार्शनिक यथार्थवाद बनाम यथार्थवाद विरोधी) के समान है। पूर्वी समग्र भावना के कुछ उदाहरण:

पश्चिमी परंपरा, ग्रीक दार्शनिकों के बीच अपने मूल से, एक ऐसी स्थिति को पसंद करती थी जिसमें सही भेद, विभाजन और विरोधाभासों को चित्रित करना अंतर्दृष्टि का चरम शिखर माना जाता था। अरिस्टोटेलियनवाद/पोर्फिरी (दार्शनिक) विश्वदृष्टि में, (सख्त प्रमाण के माध्यम से) भेद करने में सक्षम होने के लिए कि किसी चीज के गुण उसके सार बनाम संपत्ति (दर्शन) बनाम दुर्घटना (दर्शन) बनाम आकस्मिक परिभाषा का प्रतिनिधित्व करते हैं, और इसके आधार पर प्रकृति के वर्गीकरण में उस इकाई को उसके उचित स्थान पर अलग करने के लिए औपचारिक विवरण - यह ज्ञान की चरम ऊंचाई को प्राप्त करने के लिए था।
 * अपना मुंह खोलो, अपनी गतिविधियों को बढ़ाओ, चीजों के बीच अंतर करना शुरू करो, और तुम बिना किसी उम्मीद के हमेशा के लिए मेहनत करोगे। — The Tao Te Ching of Lao Tzu (Brian Browne Walker, translator)
 * इस तथ्य का अर्थ देखना [लोगों] के लिए एक कठिन काम है कि सब कुछ, जिसमें स्वयं भी शामिल है, हर चीज पर निर्भर करता है और इसका कोई स्थायी अस्तित्व नहीं है। — Majjhima Nikaya (Anne Bankroft, translator)
 * जो वस्तु या अवस्था समझी जाती है, उस पर नाम आरोपित किया जाता है और यह उसे दूसरी वस्तुओं और अन्य अवस्थाओं से अलग करता है। लेकिन जब आप खोजते हैं कि नाम के पीछे क्या है, तो आप एक बड़ी और बड़ी सूक्ष्मता पाते हैं जिसमें कोई विभाजन नहीं है... — Visuddhi Magga (Anne Bankroft, translator)

पदानुक्रम और प्रतिरूपकता के लक्षण
प्राकृतिक या कृत्रिम प्रणालियों में जिन्हें किसी तरह से घटकों को एकीकृत करने की आवश्यकता होती है, लेकिन जहां घटकों की संख्या अधिक हो जाती है, वह यथोचित रूप से पूरी तरह से परस्पर जुड़ा हो सकता है (कनेक्शन की संख्या में वर्गवार वृद्धि के कारण (= n दो से अधिक या = n * (n - - 1) / 2)), अक्सर पाया जाता है कि समाधान में कुछ हद तक पदानुक्रम को नियोजित किया जाना चाहिए। सघन रूप से जुड़ी प्रणालियों पर विरल श्रेणीबद्ध प्रणालियों के सामान्य लाभ- और इन लाभों के मात्रात्मक अनुमान- द्वारा प्रस्तुत किए गए हैं. नीरस शब्दों में, एक पदानुक्रम उन तत्वों का एक संग्रह है जो कानूनी रूप से जटिल संपूर्णता में संयोजित होते हैं जो उनके गुणों के लिए उनके घटक भागों पर निर्भर करते हैं, और जिसमें नवीनता मौलिक रूप से दहनशील, पुनरावृत्त और पारदर्शी होती है.

एक महत्वपूर्ण धारणा जो हमेशा पदानुक्रम के संबंध में उत्पन्न होती है वह प्रतिरूपकता है, जो पदानुक्रमित टोपोलॉजी में कनेक्शन की विरलता से प्रभावी रूप से निहित है। भौतिक प्रणालियों में, एक मॉड्यूल आम तौर पर परस्पर क्रिया करने वाले घटकों का एक सेट होता है जो बाहरी दुनिया से बहुत सीमित इंटरफ़ेस के माध्यम से संबंधित होता है, इस प्रकार इसकी आंतरिक संरचना के अधिकांश पहलुओं को छुपाता है। नतीजतन, एक मॉड्यूल के आंतरिक भाग में किए गए संशोधन (उदाहरण के लिए दक्षता में सुधार करने के लिए) जरूरी नहीं कि बाकी सिस्टम के माध्यम से एक तरंग प्रभाव पैदा करें।. यह विशेषता मॉड्यूलरिटी के प्रभावी उपयोग को सभी अच्छे सॉफ़्टवेयर और हार्डवेयर इंजीनियरिंग का केंद्रबिंदु बनाती है।

पदानुक्रम और प्रतिरूपकता की अनिवार्यता
प्रकृति में पदानुक्रम/प्रतिरूपकता की व्यापकता और आवश्यकता के संबंध में कई सम्मोहक तर्क हैं. इंगित करता है कि विकसित प्रणालियों के बीच, केवल वे जो स्थिर उपसमुच्चयों (मॉड्यूल) को प्राप्त करने और फिर पुन: उपयोग करने का प्रबंधन कर सकते हैं, वे यथोचित त्वरित गति से फिटनेस परिदृश्य के माध्यम से खोज करने में सक्षम होने की संभावना रखते हैं; इस प्रकार, साइमन का कहना है कि संभावित जटिल रूपों में, पदानुक्रम वे हैं जिनके पास विकसित होने का समय है। इस विचारधारा ने और भी मजबूत दावे को जन्म दिया है कि यद्यपि हम नहीं जानते कि ब्रह्मांड में अन्य ग्रहों पर जीवन के किस रूप का विकास हुआ है, ... . यह एक सौभाग्यशाली स्थिति होगी क्योंकि सरल और पृथक उप-प्रणालियों के अस्तित्व को सफल विज्ञान के लिए एक पूर्व शर्त माना जाता है।. किसी भी मामले में, अनुभव निश्चित रूप से इंगित करता है कि अधिकांश दुनिया में पदानुक्रमित संरचना है।

यह प्रस्तावित किया गया है कि धारणा ही श्रेणीबद्ध अपघटन की एक प्रक्रिया है, और वे घटनाएँ जो अनिवार्य रूप से प्रकृति में पदानुक्रमित नहीं हैं, मानव मन के लिए सैद्धांतिक रूप से भी समझने योग्य नहीं हो सकती हैं. साइमन के शब्दों में,

अनुप्रयोग
कार्यात्मक अपघटन के व्यावहारिक अनुप्रयोग बायेसियन नेटवर्क, संरचनात्मक समीकरण मॉडलिंग, रैखिक सिस्टम और डेटाबेस सिस्टम में पाए जाते हैं।

ज्ञान प्रतिनिधित्व
कार्यात्मक अपघटन से संबंधित प्रक्रियाएं ज्ञान प्रतिनिधित्व और मशीन सीखने के क्षेत्र में प्रचलित हैं। तर्क सर्किट न्यूनीकरण, निर्णय पेड़, व्याकरणिक अनुमान, पदानुक्रमित क्लस्टरिंग, और क्वाडट्री अपघटन जैसी पदानुक्रमित मॉडल प्रेरण तकनीकें फ़ंक्शन अपघटन के सभी उदाहरण हैं। अन्य अनुप्रयोगों और फ़ंक्शन अपघटन की समीक्षा में पाया जा सकता है, जो सूचना सिद्धांत और ग्राफ सिद्धांत पर आधारित विधियों को भी प्रस्तुत करता है।

शोर की उपस्थिति में एक फ़ंक्शन अपघटन प्रक्रिया को लागू करने के रूप में कई सांख्यिकीय अनुमान विधियों के बारे में सोचा जा सकता है; अर्थात्, जहाँ कार्यात्मक निर्भरताएँ केवल लगभग धारण करने की अपेक्षा की जाती हैं। ऐसे मॉडलों में मिश्रण मॉडल और हाल ही में लोकप्रिय तरीके हैं जिन्हें कारण अपघटन या बायेसियन नेटवर्क कहा जाता है।

डेटाबेस सिद्धांत
डेटाबेस सामान्यीकरण देखें।

मशीन लर्निंग
व्यावहारिक वैज्ञानिक अनुप्रयोगों में, अध्ययन के तहत प्रणालियों की अविश्वसनीय जटिलता के कारण पूर्ण कार्यात्मक अपघटन प्राप्त करना लगभग संभव नहीं है। यह जटिलता शोर की उपस्थिति में प्रकट होती है, जो हमारी टिप्पणियों पर सभी अवांछित और अप्राप्य प्रभावों के लिए सिर्फ एक पदनाम है।

हालांकि, जबकि सही कार्यात्मक अपघटन आमतौर पर असंभव है, आत्मा बड़ी संख्या में सांख्यिकीय विधियों में रहती है जो शोर प्रणालियों से निपटने के लिए सुसज्जित हैं। जब एक प्राकृतिक या कृत्रिम प्रणाली आंतरिक रूप से पदानुक्रमित होती है, तो सिस्टम चर पर संयुक्त वितरण को इस पदानुक्रमित संरचना का प्रमाण देना चाहिए। सिस्टम को समझने की कोशिश करने वाले पर्यवेक्षक का कार्य तब इन चरों के प्रेक्षणों से श्रेणीबद्ध संरचना का अनुमान लगाना है। यह एक संयुक्त वितरण के पदानुक्रमित अपघटन के पीछे की धारणा है, आंतरिक पदानुक्रमित संरचना में से कुछ को पुनर्प्राप्त करने का प्रयास जो उस संयुक्त वितरण को उत्पन्न करता है।

एक उदाहरण के रूप में, बायेसियन नेटवर्क विधियाँ इसके कारण दोष रेखाओं के साथ एक संयुक्त वितरण को विघटित करने का प्रयास करती हैं, इस प्रकार प्रकृति को इसके सीम में काटती हैं। इन विधियों के पीछे आवश्यक प्रेरणा यह है कि अधिकांश प्रणालियों (प्राकृतिक या कृत्रिम) के भीतर, अपेक्षाकृत कुछ घटक/घटनाएँ एक दूसरे के साथ सीधे समान स्तर पर परस्पर क्रिया करती हैं।. इसके बजाय, कोई घटकों के छोटे उपसमुच्चयों के बीच सघन कनेक्शन (प्रत्यक्ष संपर्क) की जेबों को देखता है, लेकिन इन सघन रूप से जुड़े उपसमुच्चयों के बीच केवल ढीले संबंध हैं। इस प्रकार भौतिक प्रणालियों में कारणात्मक निकटता की धारणा है जिसके अंतर्गत चर स्वाभाविक रूप से छोटे समूहों में अवक्षेपित हो जाते हैं। इन समूहों की पहचान करना और संयुक्त का प्रतिनिधित्व करने के लिए उनका उपयोग भंडारण की महान दक्षता (पूर्ण संयुक्त वितरण के सापेक्ष) के साथ-साथ शक्तिशाली निष्कर्ष एल्गोरिदम के लिए आधार प्रदान करता है।

सॉफ्टवेयर आर्किटेक्चर
कार्यात्मक अपघटन एक डिजाइन विधि है जो एक कंप्यूटर प्रोग्राम के गैर-कार्यान्वयन, वास्तुशिल्प विवरण का उत्पादन करने का इरादा रखती है। वस्तुओं का अनुमान लगाने और उनमें विधियों को जोड़ने (ऑब्जेक्ट ओरिएंटेड प्रोग्रामिंग) के बजाय, प्रत्येक ऑब्जेक्ट प्रोग्राम की कुछ सेवा पर कब्जा करने का इरादा रखता है, सॉफ्टवेयर आर्किटेक्ट पहले कार्यों और प्रकारों की एक श्रृंखला स्थापित करता है जो कंप्यूटर प्रोग्राम की मुख्य प्रसंस्करण समस्या को पूरा करता है। सामान्य कार्यों और प्रकारों को प्रकट करने के लिए प्रत्येक को विघटित करता है, और अंत में इस गतिविधि से मॉड्यूल प्राप्त करता है।

उदाहरण के लिए, संपादक Emacs के डिजाइन को प्रारंभ में कार्यों के संदर्भ में सोचा जा सकता है:

$$ e\, \equiv \text{state of the Emacs editor and running operating system} $$ $$ e'\, \equiv e\text{ with some component/part of its state changed} $$

$$ f: (e, lisp\,\,expression) \rightarrow e' $$ और 'एफ'' का एक संभावित कार्य अपघटन:

$$ fromExpr: lisp\,\,expression \rightarrow \begin{cases} object, & \text{if success} \\ error, & \text{if failure} \end{cases} $$

$$ evaluate: (object, e) \rightarrow e' $$

$$ print: (error, e) \rightarrow e' $$ यह एक दुभाषिया के प्रशंसनीय मॉड्यूल, सेवा या वस्तु की ओर ले जाता है (Expr से फ़ंक्शन युक्त)। फ़ंक्शन अपघटन यकीनन पुन: प्रयोज्यता के बारे में अंतर्दृष्टि प्रदान करता है, जैसे कि यदि विश्लेषण के दौरान, दो कार्य एक ही प्रकार का उत्पादन करते हैं, तो यह संभावना है कि दोनों में एक सामान्य कार्य / क्रॉस-कटिंग चिंता रहती है। इसके विपरीत, ऑब्जेक्ट-ओरिएंटेड प्रोग्रामिंग में, इस तरह के अपघटन पर विचार करने से पहले मॉड्यूल का अनुमान लगाना एक आम बात है। यकीनन इसका परिणाम बाद में महंगा पुनर्रचना होता है। एफडी उस जोखिम को कुछ हद तक कम करता है। इसके अलावा, यकीनन, जो एफडी को अन्य डिजाइन विधियों से अलग करता है- वह यह है कि यह आर्किटेक्चरल डिस्कशन का एक संक्षिप्त उच्च-स्तरीय माध्यम प्रदान करता है जो एंड-टू-एंड है, अपस्ट्रीम आवश्यकताओं में खामियों को प्रकट करता है और अग्रिम रूप से अधिक डिजाइन निर्णयों को लाभप्रद रूप से उजागर करता है। और अंत में, एफडी को विकास को प्राथमिकता देने के लिए जाना जाता है। यकीनन, यदि एफडी सही है, तो कार्यक्रम के सबसे पुन: प्रयोज्य और लागत-निर्धारित भागों की पहचान विकास चक्र में बहुत पहले की जाती है।

संकेत आगे बढ़ाना
कई सिग्नल प्रोसेसिंग सिस्टम के विश्लेषण में कार्यात्मक अपघटन का उपयोग किया जाता है, जैसे एलटीआई प्रणाली सिद्धांत एलटीआई सिस्टम के इनपुट सिग्नल को एक फंक्शन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, $$f(t)$$. तब $$f(t)$$ घटक संकेतों नामक अन्य कार्यों के एक रैखिक संयोजन में विघटित किया जा सकता है:
 * $$ f(t) = a_1 \cdot g_1(t) + a_2 \cdot g_2(t) + a_3 \cdot g_3(t) + \dots + a_n \cdot g_n(t) $$

यहाँ, $$ \{g_1(t), g_2(t), g_3(t), \dots, g_n(t)\} $$ घटक संकेत हैं। ध्यान दें कि $$ \{a_1, a_2, a_3, \dots , a_n\} $$ स्थिरांक हैं। यह अपघटन विश्लेषण में सहायता करता है, क्योंकि अब सिस्टम के आउटपुट को इनपुट के घटकों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। अगर हम जाने दें $$T\{\}$$ सिस्टम के प्रभाव का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो आउटपुट सिग्नल है $$T\{f(t)\}$$, जिसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$ T\{f(t)\} = T\{ a_1 \cdot g_1(t) + a_2 \cdot g_2(t) + a_3 \cdot g_3(t) + \dots + a_n \cdot g_n(t)\}$$
 * $$ = a_1 \cdot T\{g_1(t)\} + a_2 \cdot T\{g_2(t)\} + a_3 \cdot T\{g_3(t)\} + \dots + a_n \cdot T\{g_n(t)\}$$

दूसरे शब्दों में, सिस्टम को इनपुट सिग्नल के प्रत्येक घटक पर अलग से कार्य करते हुए देखा जा सकता है। इस प्रकार के अपघटन के सामान्य रूप से उपयोग किए जाने वाले उदाहरण फूरियर श्रृंखला और फूरियर रूपांतरण हैं।

प्रणाली अभियांत्रिकी
सिस्टम अभियांत्रिकी में कार्यात्मक अपघटन एक प्रणाली को कार्यात्मक शर्तों में परिभाषित करने की प्रक्रिया को संदर्भित करता है, तत्पश्चात निम्न-स्तरीय कार्यों को उच्च स्तरीय सिस्टम कार्यों से अनुक्रमण संबंधों को परिभाषित करता है। मूल विचार यह है कि किसी सिस्टम को इस तरह विभाजित करने का प्रयास किया जाए कि ब्लॉक आरेख के प्रत्येक ब्लॉक को विवरण में "और" या "या" के बिना वर्णित किया जा सके।

यह अभ्यास प्रणाली के प्रत्येक भाग को शुद्ध कार्य करने के लिए बाध्य करता है। जब किसी सिस्टम को शुद्ध कार्यों के रूप में डिज़ाइन किया जाता है, तो उनका पुन: उपयोग या प्रतिस्थापन किया जा सकता है। एक सामान्य पार्श्व प्रभाव यह है कि ब्लॉक के बीच अंतरापृष्ठ सरल और सामान्य हो जाते हैं। सामान्यतः अंतरापृष्ठ  सरल हो जाते हैं, इसलिए शुद्ध फ़ंक्शन को संबंधित समान फ़ंक्शन के साथ बदलना आसान होता है।

उदाहरण के लिए, मान लें कि किसी को बूमबॉक्स सिस्टम बनाने की आवश्यकता है। ध्वनि-विस्तारक यंत्र, एम्पलीफायर, टेप डेक और फ्रंट पैनल में इसे कार्यात्मक रूप से विघटित किया जा सकता है। बाद में, जब एक अलग मॉडल को एक ऑडियो सीडी की आवश्यकता होती है, तो यह संभवतः उसी इंटरफेस को फिट कर सकता है।

यह भी देखें

 * बायेसियन नेटवर्क
 * करी
 * डेटाबेस सामान्यीकरण
 * समारोह संरचना
 * आगमनात्मक अनुमान
 * ज्ञान निरूपण

संदर्भ