एप्सिलॉन गणना

तर्क में, डेविड हिल्बर्ट का एप्सिलॉन कैलकुलस एप्सिलॉन ऑपरेटर द्वारा एक औपचारिक भाषा का विस्तार है, जहां एप्सिलॉन ऑपरेटर विस्तारित औपचारिक भाषा के लिए एक स्थिरता प्रमाण के लिए अग्रणी विधि के रूप में उस भाषा में परिमाणीकरण (तर्क)तर्क) को प्रतिस्थापित करता है। एप्सिलॉन ऑपरेटर और एप्सिलॉन प्रतिस्थापन विधि को आम तौर पर प्रथम-क्रम तर्क|प्रथम-क्रम विधेय कलन पर लागू किया जाता है, जिसके बाद स्थिरता का प्रदर्शन किया जाता है। एप्सिलॉन-विस्तारित कैलकुलस को उन गणितीय वस्तुओं, वर्गों और श्रेणियों को कवर करने के लिए आगे बढ़ाया और सामान्यीकृत किया गया है, जिनके लिए पहले के स्तरों पर पहले से दिखाई गई स्थिरता के आधार पर स्थिरता दिखाने की इच्छा है।

हिल्बर्ट संकेतन
किसी भी औपचारिक भाषा एल के लिए, मात्रा निर्धारण को फिर से परिभाषित करने के लिए एप्सिलॉन ऑपरेटर को जोड़कर एल का विस्तार करें:

ϵx A की इच्छित व्याख्या कुछ x है जो A को संतुष्ट करती है, यदि वह मौजूद है। दूसरे शब्दों में, ϵx A कुछ शब्द (तर्क) t लौटाता है जैसे कि A(t) सत्य है, अन्यथा यह कुछ डिफ़ॉल्ट या मनमाना शब्द देता है। यदि एक से अधिक पद A को संतुष्ट कर सकते हैं, तो इनमें से कोई भी एक पद (जो A को सत्य बनाता है) गैर-नियतात्मक रूप से पसंद का सिद्धांत हो सकता है। एल के तहत समानता को परिभाषित करना आवश्यक है, और ईपीएसलॉन ऑपरेटर द्वारा विस्तारित एल के लिए आवश्यक एकमात्र नियम मूड सेट करना और किसी भी शब्द टी के लिए ए (एक्स) को प्रतिस्थापित करने के लिए ए (टी) का प्रतिस्थापन है।
 * $$ (\exists x) A(x)\ \equiv \ A(\epsilon x\ A) $$
 * $$ (\forall x) A(x)\ \equiv \ A(\epsilon x\ (\neg A)) $$

बोरबाकी संकेतन
निकोलस बॉर्बकी|एन से ताऊ-स्क्वायर नोटेशन में। बॉर्बकी के समुच्चय सिद्धांत के अनुसार, परिमाणकों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

जहां A, L में एक संबंध है, x एक चर है, और $$\tau_x(A)$$ तुलना करता है ए $$\tau$$ A के सामने, x के सभी उदाहरणों को प्रतिस्थापित करता है $$\square$$, और उन्हें वापस लिंक करता है $$\tau$$. फिर Y को एक असेंबली होने दें, (Y|x)A, A में सभी वेरिएबल x को Y के साथ बदलने को दर्शाता है।
 * $$ (\exists x) A(x)\ \equiv \ (\tau_x(A)|x)A $$
 * $$ (\forall x) A(x)\ \equiv \ \neg (\tau_x(\neg A)|x)\neg A\ \equiv \ (\tau_x(\neg A)|x)A$$

यह नोटेशन हिल्बर्ट नोटेशन के समतुल्य है और उसी तरह पढ़ा जाता है। इसका उपयोग बॉर्बकी द्वारा कार्डिनल असाइनमेंट को परिभाषित करने के लिए किया जाता है क्योंकि वे प्रतिस्थापन के सिद्धांत का उपयोग नहीं करते हैं।

इस तरह से परिमाणकों को परिभाषित करने से बड़ी अक्षमताएँ पैदा होती हैं। उदाहरण के लिए, इस संकेतन का उपयोग करते हुए नंबर एक की बॉर्बकी की मूल परिभाषा के विस्तार की लंबाई लगभग 4.5 × 10 है12, और बॉर्बकी के बाद के संस्करण के लिए जिसने इस संकेतन को क्रमित जोड़े की कुराटोस्की परिभाषा के साथ जोड़ा, यह संख्या लगभग 2.4 × 10 हो गई54.

आधुनिक दृष्टिकोण
गणित के लिए हिल्बर्ट का कार्यक्रम उन औपचारिक प्रणालियों को रचनात्मक या अर्ध-रचनात्मक प्रणालियों के संबंध में सुसंगत ठहराना था। जबकि अपूर्णता पर गोडेल के परिणामों ने काफी हद तक हिल्बर्ट के कार्यक्रम पर विचार किया, आधुनिक शोधकर्ताओं ने एप्सिलॉन प्रतिस्थापन विधि में वर्णित प्रणालीगत स्थिरता के साक्ष्य के लिए विकल्प प्रदान करने के लिए एप्सिलॉन कैलकुलस पाया।

एप्सिलॉन प्रतिस्थापन विधि
स्थिरता के लिए जांचे जाने वाले सिद्धांत को पहले एक उपयुक्त एप्सिलॉन कैलकुलस में एम्बेड किया जाता है। दूसरा, एप्सिलॉन प्रतिस्थापन विधि के माध्यम से एप्सिलॉन संचालन के संदर्भ में व्यक्त किए जाने वाले परिमाणित प्रमेयों को फिर से लिखने के लिए एक प्रक्रिया विकसित की गई है। अंत में, पुनर्लेखन प्रक्रिया को सामान्य बनाने के लिए प्रक्रिया को दिखाया जाना चाहिए, ताकि पुनः लिखे गए प्रमेय सिद्धांत के सिद्धांतों को संतुष्ट करें।