रोचक संख्या विरोधक्ति

रोचक संख्या विरोधक्ति हास्य पूर्ण विरोधक्ति है जो प्रत्येक प्राकृतिक संख्या को रोचक या अरुचिकर के रूप में वर्गीकृत करने के प्रयास से उत्पन्न होता है। विरोधक्ति बताता है कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या रोचक है। गणितीय प्रमाण विरोधक्ति द्वारा प्रमाण है: यदि अरुचिकर प्राकृतिक संख्याओं का अरिक्त समूह उपस्थित है, तो सबसे छोटी अरुचिकर संख्या होगी - परन्तु सबसे छोटी अरुचिकर संख्या स्वयं रोचक है क्योंकि यह सबसे छोटी अरुचिकर संख्या है, इस प्रकार विरोधक्ति उत्पन्न करती है।

संख्याओं के संबंध में रोचकता सामान्य शब्दों में औपचारिक अवधारणा नहीं है, परन्तु कुछ संख्या सिद्धांतों के बीच रोचकता की सहज धारणा चलती हुई प्रतीत होती है। प्रसिद्ध रूप से, गणितज्ञ जी.एच. हार्डी और श्रीनिवास रामानुजन के बीच रोचक और अरुचिकर संख्याओं के बारे में एक चर्चा में, हार्डी ने टिप्पणी की कि उन्होंने जिस टैक्सीकैब से पूर्ण की थी उसका नंबर 1729 (संख्या) बहुत अरुचिकर लग रहा था, और रामानुजन ने तुरंत उत्तर दिया कि यह रोचक है, यह सबसे छोटी संख्या है जो डॉयलाग अलग तरीकों से दो घनों का योग है।

विरोधक्ति प्रकृति
इस तरह से सभी संख्याओं को वर्गीकृत करने का प्रयास विरोधक्ति की ओर ले जाता है परिभाषा का. प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय का रोचक और अरुचिकर समुच्चयों में कोई भी काल्पनिक विभाजन विफल होता प्रतीत होता है। चूँकि रोचक की परिभाषा सामान्य स्तर पर स्वप्रत्यय, सहज ज्ञान युक्त धारणा है, इसे विरोधक्ति प्राप्त करने के लिए स्व-संदर्भ के अर्ध-हास्यपूर्ण अनुप्रयोग के रूप में समझा जाना चाहिए।

विरोधक्ति कम हो जाता है यदि रोचक को वस्तुनिष्ठ रूप से परिभाषित किया जाए: उदाहरण के लिए, सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या जो पूर्णांक अनुक्रमों का ऑनलाइन विश्वकोश (ओईआईएस) की प्रविष्टि में दिखाई नहीं देती है, मूल रूप से 12 जून 2009 को 11630 पाई गई थी। इस परिभाषा में फिट होने वाली संख्या बाद में नवंबर 2009 से कम से कम नवंबर 2011 तक 12407 हो गई, फिर अप्रैल 2012 तक 13794 हो गई, जब तक कि यह अनुक्रम में 3 नवंबर 2012 तक प्रकट नहीं हुई | नवंबर 2013 से, यह संख्या 14228 थी, कम से कम 14 अप्रैल 2014 तक हुई। मई 2021 में, संख्या 20067 थी। (अरुचिकर की यह परिभाषा केवल इसलिए संभव है क्योंकि ओईआईएस प्रत्येक प्रविष्टि के लिए केवल सीमित संख्या में शब्दों को सूचीबद्ध करता है। उदाहरण के लिए,  सभी प्राकृतिक संख्याओं का अनुक्रम है, और यदि इसे अनिश्चित काल तक चलाए रखा जाए तो इसमें सभी धनात्मक पूर्णांक सम्मिलित होंगे। वैसे भी, अनुक्रम इसकी प्रविष्टि में केवल 77 तक सूचीबद्ध किया गया है।) रोचक संख्याओं की सूची के लिए उपयोग किए जाने वाले स्रोतों के आधार पर, कई अन्य संख्याओं को उसी तरह से अरुचिकर के रूप में चित्रित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, गणितज्ञ और दार्शनिक एलेक्स बेलोस ने 2014 में सुझाव दिया था कि सबसे कम अरुचिकर संख्या के लिए एक व्यक्ति 224 (संख्या) होगा क्योंकि उस समय, यह सबसे कम संख्या थी जिसका [अंग्रेजी-भाषा संस्करण पर अपना स्वयं  विकिपीडिया का पृष्ठ नहीं था]।

चूँकि, गणित में कई महत्वपूर्ण परिणाम हैं जो स्व-संदर्भ का उपयोग करते हैं (जैसे कि गोडेल की अपूर्णता प्रमेय), विरोधक्ति स्व-संदर्भ की कुछ शक्ति को दर्शाता है, और इस प्रकार अध्ययन के कई क्षेत्रों में कठिन प्रकरण को छूता है। विरोधक्ति को सीधे गोडेल के अपूर्णता प्रमेयों से संबंधित किया जा सकता है यदि कोई रोचक संख्या को एक ऐसी संख्या के रूप में परिभाषित करता है जिसकी गणना प्रोग्राम द्वारा की जा सकती है जिसमें संख्या की तुलना में कम बिट्स होते हैं। इसी तरह, रोचकता की व्यक्तिपरक भावना को मापने की कोशिश करने के बदले, कोई संख्या निर्दिष्ट करने के लिए आवश्यक वाक्यांश की लंबाई पर विचार कर सकता है। उदाहरण के लिए, वाक्यांश सबसे छोटी संख्या जिसे ग्यारह शब्दों से कम में व्यक्त नहीं किया जा सकता, ऐसा लगता है कि इसे अद्वितीय संख्या की पहचान करनी चाहिए, परन्तु वाक्यांश में केवल दस शब्द हैं, और इसलिए वाक्यांश द्वारा पहचानी गई संख्या की अभिव्यक्ति ग्यारह शब्दों से कम में होगी अंत में इसे बेरी विरोधक्ति के नाम से जाना जाता है।

इतिहास
1945 में, एडविन एफ. बेकनबैक ने अमेरिकी गणितीय मासिक में संक्षिप्त पत्र प्रकाशित किया था जिसमें सुझाव दिया गया था कि कोई यह अनुमान लगा सकता है कि प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक के संबंध में रोचक तथ्य है। यहां प्रेरण द्वारा प्रमाण दिया गया है कि कथन ऐसा ही है। निश्चित रूप से, 1, जो प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक का गुणनखंड है, 2 की तरह, सबसे छोटा अभाज्य 3 है; सबसे छोटा विषम अभाज्य; 4, बीबरबैक का नंबर; आदि है। मान लीजिए कि धनात्मक पूर्णांकों का समूह S, जिसमें से प्रत्येक के संबंध में कोई रोचक तथ्य नहीं है, रिक्त नहीं है, और मान ले की k को S का सबसे छोटी संख्या है। परन्तु यह k के संबंध में सबसे रोचक तथ्य है! अतः S का कोई सबसे छोटा सदस्य नहीं है और इसलिए यह रिक्त है। क्या प्रमाण मान्य है?

कॉन्स्टेंस रीड ने 1955 में अपनी लोकप्रिय गणित की पुस्तक शून्य से अनंत तक के पहले संस्करण में विरोधक्ति को सम्मिलित किया, परन्तु बाद के संस्करणों से इसे हटा दिया गया है। मार्टिन गार्डनर ने 1958 में अपने अमेरिकी वैज्ञानिक कॉलम में इस विरोधक्ति को भ्रम के रूप में प्रस्तुत किया, जिसमें छह अन्य आश्चर्यजनक प्रमाण भी सम्मिलित थे जिनके कथित प्रमाण भी सूक्ष्म रूप से गलत थे। 1980 में गणित शिक्षक को लिखे पत्र में हास्य पूर्ण प्रमाण का उल्लेख किया गया है कि सभी प्राकृतिक संख्याएँ रोचक हैं, जिन पर तीन दशक पहले चर्चा की गई थी। 1977 में, ग्रेग चैटिन ने विरोधक्ति के बारे में गार्डनर के बयान का उल्लेख किया और सबसे छोटे अपरिभाषित क्रमसूचक संख्या के अस्तित्व पर बर्ट्रेंड रसेल के पहले के विरोधक्ति से इसके संबंध की ओर संकेत किया है (इस तथ्य के अतिरिक्त कि क्रमवाचकों के सभी समूहों में सबसे छोटा अवयव होता है और वह सबसे छोटा होता है) अपरिभाषित क्रमसूचक परिभाषा प्रतीत होगी)। जिज्ञासु और रोचक संख्याओं का पेंगुइन शब्दकोश (1987) में, डेविड वेल्स ने टिप्पणी की कि 39 (संख्या) पहली अरुचिकर संख्या प्रतीत होती है, एक तथ्य जिसने इसे विशेष रूप से रोचक बना दिया है, और इस प्रकार 39 एक साथ रोचक और अरुचिकर होना चाहिए।

यह भी देखें

 * चर्च-ट्यूरिंग थीसिस
 * विरोधक्ति की सूची