लैग्रेंज उलटा प्रमेय

गणितीय विश्लेषण में, लैग्रेंज व्युत्क्रम प्रमेय, जिसे लैग्रेंज-बर्मन सूत्र के रूप में भी जाना जाता है, एक विश्लेषणात्मक फलन के व्युत्क्रम फलन का टेलर श्रृंखला विस्तार देता है।

कथन
मान लीजिए कि z को विधि के समीकरण द्वारा w के एक फलन के रूप में परिभाषित किया गया है


 * $$z = f(w)$$

जहाँ $f$  एक बिंदु है, जो $a$ पर विश्लेषणात्मक है और  $$f'(a)\neq 0.$$ तब $w$ के लिए समीकरण को उलटना या हल करना संभव हो पाता है, इसे व्यक्त करना $$w=g(z)$$ के रूप में एक शक्ति श्रृंखला द्वारा दिया गया हैं
 * $$ g(z) = a + \sum_{n=1}^{\infty} g_n \frac{(z - f(a))^n}{n!}, $$

जहाँ
 * $$ g_n = \lim_{w \to a} \frac{d^{n-1}}{dw^{n-1}} \left[\left( \frac{w-a}{f(w) - f(a)} \right)^n \right]. $$

प्रमेय आगे कहता है कि इस श्रृंखला में अभिसरण का गैर-शून्य त्रिज्या है, अर्थात, $$g(z)$$ के एक विश्लेषणात्मक फलन का प्रतिनिधित्व करता है $z$ के एक निकट (गणित) में $$z= f(a).$$ इसे श्रृंखला का प्रत्यावर्तन भी कहा जाता है।

यदि विश्लेषणात्मकता के बारे में अभिकथनों को छोड़ दिया जाए, तो सूत्र औपचारिक शक्ति श्रृंखला के लिए भी मान्य है और इसे विभिन्न विधिओ से सामान्यीकृत किया जा सकता है: इसे कई चरों के फलनो के लिए तैयार किया जा सकता है; इसे किसी भी विश्लेषणात्मक फलन F के लिए F(g(z)) के लिए एक तैयार सूत्र प्रदान करने के लिए बढ़ाया जा सकता है और इसे $$f'(a)=0,$$ स्थिति में सामान्यीकृत किया जा सकता है जहां प्रतिलोम g एक बहुमूल्यवान फलन है।

18वीं सदी के अंत में इस प्रमेय को जोसेफ लुइस लाग्रेंज ने सिद्ध किया था। और हैंस हेनरिक बर्मन द्वारा सामान्यीकृत किया गया था।   जटिल विश्लेषण और समोच्च एकीकरण का प्रयोग करते हुए एक सीधी व्युत्पत्ति है; जटिल औपचारिक शक्ति श्रृंखला संस्करण बहुपदो के सूत्र को जानने का परिणाम है, इसलिए विश्लेषणात्मक फलनो के सिद्धांत को लागू किया जा सकता है। चूंकि, विश्लेषणात्मक फलन सिद्धांत से  यंत्र इस प्रमाण में केवल एक औपचारिक विधि से प्रवेश करती है, जिसमें सामान्यतः आवश्यक है औपचारिक शक्ति श्रृंखला की कुछ गुण है, और एक अधिक प्रत्यक्ष औपचारिक प्रमाण उपलब्ध है।

यदि f एक औपचारिक शक्ति श्रृंखला है, तो उपरोक्त सूत्र श्रृंखला f के गुणांकों के संदर्भ में सीधे संरचनागत व्युत्क्रम श्रृंखला g के गुणांक नहीं देता है। यदि कोई औपचारिक शक्ति श्रृंखला में f और g कार्यों को व्यक्त कर सकता है


 * $$f(w) = \sum_{k=0}^\infty f_k \frac{w^k}{k!} \qquad \text{and} \qquad  g(z) = \sum_{k=0}^\infty g_k \frac{z^k}{k!}$$

$f_{0} = 0$ और $f_{1} ≠ 0$, के साथ, तो प्रतिलोम गुणांकों का एक स्पष्ट रूप बेल बहुपदो के रूप में दिया जा सकता है:
 * $$ g_n = \frac{1}{f_1^n} \sum_{k=1}^{n-1} (-1)^k n^{(k)} B_{n-1,k}(\hat{f}_1,\hat{f}_2,\ldots,\hat{f}_{n-k}), \quad n \geq 2, $$

जहाँ पे
 * $$\begin{align}

\hat{f}_k &= \frac{f_{k+1}}{(k+1)f_{1}}, \\ g_1 &= \frac{1}{f_{1}}, \text{ and} \\ n^{(k)} &= n(n+1)\cdots (n+k-1) \end{align}$$ फैक्टोरियल बढ़ता है।

जब $f_{1} = 1$, अंतिम सूत्र की व्याख्या असोसिएहेड्रोन के फलकों के संदर्भ में की जा सकती है
 * $$ g_n = \sum_{F \text{ face of } K_n} (-1)^{n-\dim F} f_F, \quad n \geq 2, $$ जहाँ  $$ f_{F} = f_{i_{1}} \cdots f_{i_{m}} $$ प्रत्येक फलके के लिए $$ F = K_{i_1} \times \cdots \times K_{i_m} $$ एसोसिएहेड्रोन का $$ K_n .$$

उदाहरण
उदाहरण के लिए, डिग्री $p$ का बीजगणितीय समीकरण
 * $$ x^p - x + z= 0$$

फलन f(x) = x − xp के लैग्रेंज व्युत्क्रम सूत्र के माध्यम से x के लिए हल किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप एक औपचारिक श्रृंखला समाधान प्राप्त होता है


 * $$ x = \sum_{k=0}^\infty \binom{pk}{k} \frac{z^{(p-1)k+1} }{(p-1)k+1} . $$

अभिसरण परीक्षणों द्वारा, यह श्रृंखला उपयुक्त $$|z| \leq (p-1)p^{-p/(p-1)},$$ के लिये अभिसारी है जो सबसे बड़ी डिस्क भी है जिसमें  $f$   के स्थानीय व्युत्क्रम को परिभाषित किया जा सकता है।

प्रमाण का रेखाचित्र
सरलता के लिए मान लीजिए $$z=0=f(w=0)$$. तब हम तब गणना कर सकते हैं

\oint_{w=0} \frac{d w}{2\pi i} \frac{1}{f(w) -z} = \oint_{w=0} \frac{d w}{2\pi i} \frac{1}{f'(g(z)) w + O(w^2)} = \frac{1}{f'(g(z))} = g'(f(w)) = g'(z) . $$ यदि हम ज्यामितीय श्रृंखला का प्रयोग करके इंटीग्रैंड का विस्तार करते हैं तो हमें मिलता है

\oint_{w=0} \frac{d w}{2\pi i} \frac{1}{f(w) -z} = \sum_{n=0}^\infty z^n \oint_{w=0} \frac{d w}{2\pi i} \frac{1}{(f(w))^{n+1}} = \sum_{n=0}^\infty z^n \oint_{w=0} \frac{d w}{2\pi i} \frac{1}{w^{n+1}} \left(\frac{w}{f(w)}\right)^{n+1} = \sum_{n=0}^\infty \frac{ z^n }{n!} \left. \frac{d^n}{ d w^n}\left(\frac{w}{f(w)}\right)^{n+1} \right|_{w=0} , $$

जहाँ हमने आखिरी के चरणों में इस तथ्यका प्रयोग किया था कि $f$ (w)  में एक सामान्य शून्य है।

अंत में हम $$z$$ $$g(0)=0$$ को ध्यान में रखते हुए एकीकृत कर सकते हैं

g'(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{ z^n }{n!} \left. \frac{d^n}{ d w^n}\left(\frac{w}{f(w)}\right)^{n+1} \right|_{w=0} \Longrightarrow g(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{ z^{n+1} }{(n+1)!} \left. \frac{d^n}{ d w^n}\left(\frac{w}{f(w)}\right)^{n+1} \right|_{w=0} . $$ योग सूचकांक की पुनर्परिभाषा करने पर हमें ऊपर वर्णित सूत्र प्राप्त होता है।

लैग्रेंज-बर्मन फॉर्मूला
लैग्रेंज व्युत्क्रम प्रमेय का एक विशेष स्थिति है जो संयोजन विज्ञान में प्रयोग किया जाता है और तब लागू होता है जब $$f(w)=w/\phi(w)$$ कुछ विश्लेषणात्मक के लिए $$\phi(w)$$ साथ $$\phi(0)\ne 0.$$के साथ लेना $$a=0$$ प्राप्त करने के लिए $$f(a)=f(0)=0.$$ फिर प्रतिलोम के लिए $$g(z)$$ (संतुष्टि देने वाला $$f(g(z))\equiv z$$), हमारे पास है


 * $$\begin{align}

g(z) &= \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \lim_{w \to 0} \frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}} \left(\left( \frac{w}{w/\phi(w)} \right)^n \right)\right] \frac{z^n}{n!} \\ {} &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \left[\frac{1}{(n-1)!} \lim_{w \to 0} \frac{d^{n-1}}{dw^{n-1}} (\phi(w)^n) \right] z^n, \end{align}$$ जिसे वैकल्पिक रूप से लिखा जा सकता है


 * $$[z^n] g(z) = \frac{1}{n} [w^{n-1}] \phi(w)^n,$$

जहाँ $$[w^r]$$ एक ऑपरेटर है जो $w$ एक फलन की टेलर श्रृंखला में  $$w^r$$के गुणांक को निकालता है.

सूत्र के एक सामान्यीकरण को लैग्रेंज-बर्मन सूत्र के रूप में जाना जाता है:
 * $$[z^n] H (g(z)) = \frac{1}{n} [w^{n-1}] (H' (w) \phi(w)^n)$$

जहाँ $H$ एक एकपक्षीय विश्लेषणात्मक फलन है।

कभी-कभी व्युत्पन्न $H'(w)$ काफी जटिल हो सकता है। सूत्र का एक सरल संस्करण $H'(w)$ साथ $H(w)(1 &minus; φ'(w)/φ(w))$ प्रतिस्थापित करता है ताकि प्राप्त हो सके


 * $$ [z^n] H (g(z)) = [w^n] H(w) \phi(w)^{n-1} (\phi(w) - w \phi'(w)), $$

जिसमे $H'(w)$. के अतिरिक्त $φ'(w)$ सम्मालित है

लैम्बर्ट डब्ल्यू फलन
लैम्बर्ट $W$ फलन फलन $$W(z)$$ है जो समीकरण द्वारा अंतर्निहित रूप से परिभाषित है


 * $$ W(z) e^{W(z)} = z.$$

हम $$z=0.$$पर $$W(z)$$की टेलर श्रृंखला की गणना करने के लिए प्रमेय का प्रयोग कर सकते हैं हम $$f(w) = we^w$$ तथा $$a = 0.$$ लेते हैं यह पहचानते हुए


 * $$\frac{d^n}{dx^n} e^{\alpha x} = \alpha^n e^{\alpha x},$$

यह देता है


 * $$\begin{align}

W(z) &= \sum_{n=1}^{\infty} \left[\lim_{w \to 0} \frac{d^{n-1}}{dw^{n-1}} e^{-nw} \right] \frac{z^n}{n!} \\ {} &= \sum_{n=1}^{\infty} (-n)^{n-1} \frac{z^n}{n!} \\ {} &= z-z^2+\frac{3}{2}z^3-\frac{8}{3}z^4+O(z^5). \end{align}$$ इस श्रृंखला की अभिसरण की त्रिज्या $$e^{-1}$$ है (लैम्बर्ट फलन की मुख्य शाखा देते हुए)।

एक श्रृंखला जो बड़े z के लिए अभिसरण करती है (चूंकि सभी z के लिए नहीं) को श्रृंखला व्युत्क्रम द्वारा भी प्राप्त किया जा सकता है। फलन $$f(z) = W(e^z) - 1$$ समीकरण को संतुष्ट करता है


 * $$1 + f(z) + \ln (1 + f(z)) = z.$$

फिर $$z + \ln (1 + z)$$ एक शक्ति श्रृंखला में विस्तार किया जा सकता है और व्युत्क्रम किया जा सकता है। यह $$f(z+1) = W(e^{z+1})-1\text{:}$$के लिए एक श्रृंखला देता है
 * $$W(e^{1+z}) = 1 + \frac{z}{2} + \frac{z^2}{16} - \frac{z^3}{192} - \frac{z^4}{3072} + \frac{13 z^5}{61440} - O(z^6).$$

उपरोक्त श्रृंखला में $z$ के लिये $$\ln x - 1$$ को  प्रतिस्थापित करके $$W(x)$$ गणना की जा सकती है। उदाहरण के लिए, -1 को z से प्रतिस्थापन करने पर हमें  $$W(1) \approx 0.567143.$$का मान प्राप्त होता है।

बाइनरी पेड़
विचार करे कि सेट $$\mathcal{B}$$ बिना लेबल वाले बाइनरी ट्री। $$\mathcal{B}$$ का एक तत्व या तो आकार शून्य का एक पत्ता है, या दो उपपेड़ के साथ एक रूट नोड है।  $$B_n$$द्वारा $$n$$ नोड्स पर बाइनरी पेड़ की संख्या को निरूपित करें।

रूट को हटाने से एक बाइनरी ट्री छोटे आकार के दो पेड़ों में टूट जाता है। यह उत्पादक फलन $$\textstyle B(z) = \sum_{n=0}^\infty B_n z^n\text{:}$$ पर फलनात्मक समीकरण उत्पन्न करता है
 * $$B(z) = 1 + z B(z)^2.$$

माना $$C(z) = B(z) - 1$$, देने पर एक के पास $$C(z) = z (C(z)+1)^2.$$ प्रमेय को  $$\phi(w) = (w+1)^2$$ उपज के साथ लागू करना
 * $$ B_n = [z^n] C(z) = \frac{1}{n} [w^{n-1}] (w+1)^{2n} = \frac{1}{n} \binom{2n}{n-1} = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n}.$$

यह दर्शाता है कि $$B_n$$ $n$वें कैटलन संख्या है।

भिन्नता का एसिम्प्टोटिक समीपता
लाप्लास-एर्डेली प्रमेय में जो लाप्लास-प्रकार के भिन्नता के लिए स्पर्शोन्मुख समीपता देता है, फलन व्युत्क्रम को एक महत्वपूर्ण कदम के रूप में लिया जाता है।

यह भी देखें

 * Fa di Bruno's सूत्र उन दो श्रृंखलाओं के गुणांकों के संदर्भ में दो औपचारिक शक्ति श्रृंखलाओं की संरचना के गुणांक देता है। समतुल्य रूप से, यह एक समग्र फलन के n वें व्युत्पन्न के लिए एक सूत्र है।
 * एक अन्य प्रमेय के लिए लैग्रेंज प्रत्यावर्तन प्रमेय जिसे कभी-कभी व्युत्क्रम प्रमेय कहा जाता है
 * औपचारिक शक्ति श्रृंखला# लैग्रेंज व्युत्क्रम सूत्र

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 * व्युत्क्रम काम करना
 * प्रमुख शाखा

बाहरी संबंध

 * Bürmann–Lagrange series at Springer EOM
 * Bürmann–Lagrange series at Springer EOM
 * Bürmann–Lagrange series at Springer EOM