विस्तार (ज्यामिति)

ज्यामिति में, विस्तार बहुतलीय ऑपरेशन है जहां फलक (गणित) अलग हो जाते हैं और रेडियल रूप से अलग हो जाते हैं, और अलग-अलग तत्वों (कोने (ज्यामिति), किनारों (ज्यामिति), आदि) पर नए फलक बनते हैं। समतुल्य रूप से इस ऑपरेशन की कल्पना एक ही स्थिति में फलकों को रखकर लेकिन उनके आकार को कम करके की जा सकती है।

नियमित पॉलीटॉप का विस्तार समान पॉलीटॉप बनाता है, लेकिन ऑपरेशन को किसी भी उत्तल पॉलीटॉप पर प्रायुक्त किया जा सकता है, जैसा कि कॉनवे पॉलीहेड्रॉन नोटेशन (जो अक्षर $e$ के साथ विस्तार का प्रतिनिधित्व करता है) में बहुकोणीय आकृति के लिए दिखाया गया हैं। पॉलीहेड्रा के लिए, विस्तारित पॉलीहेड्रॉन में मूल पॉलीहेड्रॉन के सभी फलक (ज्यामिति), दोहरे पॉलीहेड्रॉन के सभी फलक और मूल किनारों के स्थान पर नए वर्ग फलक होते हैं।

नियमित पॉलीटोप्स का विस्तार
कॉक्सेटर के अनुसार, इस बहुआयामी शब्द को एलिसिया बोले स्टॉट द्वारा विशेष रूप से नियमित पॉलीटोप्स से प्रारंभ होने वाले नए पॉलीटोप्स बनाने के लिए परिभाषित किया गया था, जिससे नये एकसमान पॉलीटोप्स का निर्माण किया जा सके।

विस्तार ऑपरेशन नियमित पॉलीटॉप और इसके दोहरे पॉलीहेड्रॉन और टेसलेशन के संबंध में सममित है। परिणामी आकृति में मध्यवर्ती आयामी तत्वों के बीच बने अंतराल को भरने वाले विभिन्न प्रिज्मीय फलकों के साथ-साथ नियमित और इसके दोहरे दोनों फलकों (ज्यामिति) को सम्मिलित किया गया है।

आयाम से इसका कुछ अलग अर्थ है। वायथॉफ निर्माण में, पहले और आखिरी दर्पणों से प्रतिबिंबों द्वारा विस्तार उत्पन्न होता है। उच्च आयामों में, निम्न आयामी विस्तार को सबस्क्रिप्ट के साथ लिखा जा सकता है, इसलिए e2 किसी भी आयाम में t0,2 के समान है।

आयाम द्वारा:
 * नियमित {p} बहुभुज नियमित 2n-गॉन में विस्तारित होता है।
 * ऑपरेशन बहुभुजों के लिए ट्रंकेशन (ज्यामिति) के समान है, e{p} = e1{p} = t0,1{p} = t{p} और कॉक्सेटर-डाइनकिन आरेख है।
 * नियमित {p,q} बहुतल (3-पॉलीटॉप) शीर्ष आकृति p.4.q.4 वाले पॉलीहेड्रॉन में फैलता है।
 * बहुफलक के लिए इस संक्रिया को कैन्टेलेशन (ज्यामिति) भी कहा जाता है, e{p,q} = e2{p,q} = t0,2{p,q} = rr{p,q}, और कॉक्सेटर आरेख है।
 * [[Image:Cube cantellation sequence.svg|480px]]
 * उदाहरण के लिए, रॉम्बिक्यूबोक्टाहेड्रॉन को विस्तारित घन, विस्तारित ऑक्टाहेड्रॉन, साथ ही कैन्टेलेटेड घन या कैन्टेलेटेड ऑक्टाहेड्रॉन कहा जा सकता है।
 * नियमित {p,q,r} 4-पॉलीटॉप (4-पॉलीटॉप) मूल {p,q} सेलों के साथ नए 4-पॉलीटोप में फैलता है, पुराने कोने के स्थान पर नई सेल {r,q}, p -गोनल प्रिज्म पुराने चेहरों के स्थान पर, और आर-गोनल प्रिज्म पुराने किनारों के स्थान पर फैलता है।
 * 4-पॉलीटॉप्स के लिए इस ऑपरेशन को रनसीनेशन (ज्यामिति) भी कहा जाता है, e{p,q,r} = e3{p,q,r} = t0,3{p,q,r}, और कॉक्सेटर आरेख हैं।
 * इसी प्रकार नियमित {p,q,r,s} 5-पॉलीटॉप एक नए 5-पॉलीटॉप में फलकों {p,q,r}, {s,r,q}, {p,q}×{ } प्रिज़्म {s,r}×{ } प्रिज़्म और {p}×{s} डुओप्रिज्म के साथ फैलता है।
 * इस संक्रिया को विसंक्रमण कहते हैं, e{p,q,r,s} = e4{p,q,r,s} = t0,4{p,q,r,s} = 2r2r{p,q,r,s} और कॉक्सेटर आरेख हैं।

नियमित n-पॉलीटॉप के विस्तार के लिए सामान्य ऑपरेटर t0,n-1{p,q,r,...} है। नया नियमित प्रत्येक शीर्ष पर फलकों को जोड़ा जाता है, और प्रत्येक विभाजित किनारे, फलक, ... रिज (ज्यामिति), आदि पर नए प्रिज्मीय पॉलीटोप्स जोड़े जाते हैं।

यह भी देखें

 * कॉनवे पॉलीहेड्रॉन नोटेशन

संदर्भ

 * Coxeter, H. S. M., Regular Polytopes. 3rd edition, Dover, (1973) ISBN 0-486-61480-8.
 * Norman Johnson Uniform Polytopes, Manuscript (1991)
 * N.W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
 * N.W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966