चरण रेखा (गणित)

गणित में, चरण रेखा एक आरेख है जो एक एकल चर में एक स्वायत्त प्रणाली (गणित) के साधारण अंतर समीकरण के गुणात्मक व्यवहार को दर्शाता है, $$\tfrac{dy}{dx} = f(y)$$. चरण रेखा सामान्य का 1-आयामी रूप है $$n$$-आयामी चरण स्थान, और इसका आसानी से विश्लेषण किया जा सकता है।

आरेख
एक रेखा, आमतौर पर लंबवत, व्युत्पन्न के डोमेन के अंतराल का प्रतिनिधित्व करती है। महत्वपूर्ण बिंदु (गणित) (यानी, व्युत्पन्न के एक फ़ंक्शन की जड़ $$\tfrac{dy}{dx}$$, अंक $$y$$ ऐसा है कि $$f(y) = 0$$) दर्शाए गए हैं, और महत्वपूर्ण बिंदुओं के बीच के अंतराल को तीरों से दर्शाया गया है: एक अंतराल जिस पर व्युत्पन्न सकारात्मक है, एक तीर है जो रेखा (ऊपर या दाएं) के साथ सकारात्मक दिशा में इंगित करता है, और एक अंतराल जिस पर व्युत्पन्न होता है ऋणात्मक है में एक तीर है जो रेखा के साथ ऋणात्मक दिशा (नीचे या बाएँ) की ओर इशारा करता है। चरण रेखा क्षैतिज के बजाय लंबवत रूप से खींची जाने के अलावा, पहले व्युत्पन्न परीक्षण में उपयोग की गई रेखा के रूप में समान है, और महत्वपूर्ण बिंदुओं के समान वर्गीकरण के साथ व्याख्या लगभग समान है।

उदाहरण
चरण रेखा का सबसे सरल उदाहरण कार्यों के अनुरूप तुच्छ चरण रेखाएं हैं $$f(y)$$ जो संकेत नहीं बदलता है: यदि $$f(y) = 0$$, प्रत्येक बिंदु एक स्थिर संतुलन है ($$y$$ बदलना मत); अगर $$f(y) > 0$$ सभी के लिए $$y$$, तब $$y$$ सदैव बढ़ रहा है, और यदि $$f(y) < 0$$ तब $$y$$ सदैव घट रहा है.

सबसे सरल गैर-तुच्छ उदाहरण घातीय वृद्धि मॉडल/क्षय (एक अस्थिर/स्थिर संतुलन) और लॉजिस्टिक ग्रोथ मॉडल (दो संतुलन, एक स्थिर, एक अस्थिर) हैं।

महत्वपूर्ण बिंदुओं का वर्गीकरण
एक महत्वपूर्ण बिंदु को उसके पड़ोसी तीरों के निरीक्षण द्वारा स्थिर, अस्थिर, या अर्ध-स्थिर (समकक्ष, सिंक, स्रोत, या नोड) के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है।

यदि दोनों तीर महत्वपूर्ण बिंदु की ओर इशारा करते हैं, तो यह स्थिर (एक सिंक) है: पास के समाधान स्पर्शोन्मुख को महत्वपूर्ण बिंदु पर परिवर्तित कर देंगे, और समाधान छोटे गड़बड़ी के तहत स्थिर है, जिसका अर्थ है कि यदि समाधान परेशान है, तो यह (अभिसरण) पर वापस आ जाएगा को) समाधान.

यदि दोनों तीर महत्वपूर्ण बिंदु से दूर इंगित करते हैं, तो यह अस्थिर है (एक स्रोत): पास के समाधान महत्वपूर्ण बिंदु से अलग हो जाएंगे, और समाधान छोटे गड़बड़ी के तहत अस्थिर है, जिसका अर्थ है कि यदि समाधान परेशान है, तो यह वापस नहीं आएगा समाधान।

अन्यथा - यदि एक तीर महत्वपूर्ण बिंदु की ओर इंगित करता है, और एक दूर की ओर - यह अर्ध-स्थिर (एक नोड) है: यह एक दिशा में स्थिर है (जहां तीर बिंदु की ओर इंगित करता है), और दूसरी दिशा में अस्थिर है (जहां तीर बिंदु से दूर इंगित करता है)।

यह भी देखें

 * पहला व्युत्पन्न परीक्षण, प्रारंभिक अंतर कैलकुलस में एनालॉग
 * चरण तल, 2-आयामी रूप
 * चरण स्थान, $$n$$-आयामी रूप

संदर्भ

 * Equilibria and the Phase Line, by Mohamed Amine Khamsi, S.O.S. Math, last Update 1998-6-22