प्रत्यावर्तन (टोपोलॉजी)

टोपोलॉजी में, गणित की एक शाखा, एक रिट्रैक्शन एक टोपोलॉजिकल स्पेस से एक सबस्पेस टोपोलॉजी में एक निरंतर मैपिंग है जो उस सबस्पेस में सभी बिंदुओं की स्थिति को संरक्षित करता है। तब उपस्थान को मूल स्थान का प्रत्यावर्तन कहा जाता है। विरूपण प्रत्यावर्तन एक मानचित्रण है जो किसी स्थान को उप-स्थान में लगातार सिकुड़ने के विचार को पकड़ता है।

एब्सोल्यूट नेबरहुड रिट्रेक्ट (एएनआर) एक विशेष रूप से अच्छी तरह से व्यवहार किया जाने वाला टोपोलॉजिकल स्पेस है। उदाहरण के लिए, प्रत्येक टोपोलॉजिकल मैनिफ़ोल्ड एक ANR है। प्रत्येक एएनआर में एक बहुत ही सरल टोपोलॉजिकल स्पेस, एक सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स का होमोटॉपी प्रकार होता है।

वापस लेना
मान लीजिए कि X एक टोपोलॉजिकल स्पेस है और A, X का एक सबस्पेस है। फिर एक सतत मानचित्र
 * $$r\colon X \to A$$

यदि फ़ंक्शन (गणित)#आर से ए तक के प्रतिबंध और विस्तार ए पर पहचान फ़ंक्शन है तो एक वापसी है; वह है, $r(a) = a$ ए में सभी ए के लिए। समान रूप से, द्वारा निरूपित करना


 * $$\iota\colon A \hookrightarrow X$$

समावेशन मानचित्र, एक प्रत्यावर्तन एक सतत मानचित्र है जैसे कि
 * $$r \circ \iota = \operatorname{id}_A,$$

अर्थात्, समावेशन के साथ r की संरचना A की पहचान है। ध्यान दें कि, परिभाषा के अनुसार, एक प्रत्यावर्तन X को A पर मैप करता है। एक उपस्थान A को X का 'वापसी' कहा जाता है यदि ऐसा कोई प्रत्यावर्तन मौजूद है। उदाहरण के लिए, कोई भी गैर-रिक्त स्थान स्पष्ट तरीके से एक बिंदु पर वापस आ जाता है (स्थिर मानचित्र एक वापसी उत्पन्न करता है)। यदि X हॉसडॉर्फ़ स्थान है, तो A, X का एक बंद उपसमुच्चय होना चाहिए।

अगर $r: X \to A$ एक प्रत्यावर्तन है, तो रचना ι∘r एक्स से एक्स तक एक निष्क्रिय निरंतर मानचित्र है। इसके विपरीत, किसी भी निष्क्रिय निरंतर मानचित्र को देखते हुए $s: X \to X,$  हम कोडोमेन को प्रतिबंधित करके s की छवि पर एक प्रत्यावर्तन प्राप्त करते हैं।

विरूपण पीछे हटना और मजबूत विरूपण पीछे हटना
एक सतत मानचित्र
 * $$F\colon X \times [0, 1] \to X $$

एक स्थान X का एक उपस्थान A पर विरूपण प्रत्यावर्तन है, यदि,
 * $$ F(x,0) = x, \quad F(x,1) \in A ,\quad \mbox{and} \quad F(a,1) = a.$$

दूसरे शब्दों में, एक विरूपण प्रत्यावर्तन एक प्रत्यावर्तन और एक्स पर पहचान मानचित्र के बीच एक समरूपता है। उपस्थान ए को एक्स का 'विरूपण प्रत्यावर्तन' कहा जाता है। एक विरूपण प्रत्यावर्तन एक समरूप समतुल्य का एक विशेष मामला है।

प्रत्यावर्तन को विरूपण प्रत्यावर्तन की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, किसी स्थान X के विरूपण प्रत्यावर्तन के रूप में एक एकल बिंदु होने का अर्थ यह होगा कि

नोट: विरूपण प्रत्यावर्तन की एक समतुल्य परिभाषा निम्नलिखित है। एक सतत मानचित्र $r: X \to A$ यदि यह एक विरूपण प्रत्यावर्तन है और समावेशन के साथ इसकी संरचना एक्स पर पहचान मानचित्र के लिए समरूप है। इस सूत्रीकरण में, एक विरूपण प्रत्यावर्तन अपने साथ एक्स और स्वयं पर पहचान मानचित्र के बीच एक समरूपता रखता है।

यदि, विरूपण प्रत्यावर्तन की परिभाषा में, हम वह आवश्यकता जोड़ते हैं
 * $$F(a,t) = a$$

[0, 1] में सभी टी और ए में ए के लिए, तो एफ को 'मजबूत विरूपण प्रत्यावर्तन' कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, एक मजबूत विरूपण प्रत्यावर्तन पूरे समरूपता में ए में अंक निर्धारित करता है। (कुछ लेखक, जैसे एलन हैचर, इसे विरूपण प्रत्यावर्तन की परिभाषा के रूप में लेते हैं।)

उदाहरण के तौर पर, n-स्फीयर|n-स्फीयर$S^{n}$ का एक मजबूत विरूपण प्रत्यावर्तन है $\reals^{n+1} \backslash \{0\};$ मजबूत विरूपण प्रत्यावर्तन के रूप में कोई भी मानचित्र चुन सकता है


 * $$F(x,t)=\left((1-t)+{t\over \|x\|}\right) x.$$

सह-फाइब्रेशन और पड़ोस विरूपण पीछे हटना== टोपोलॉजिकल स्पेस का एक मानचित्र f: A → X एक (विटोल्ड ह्यूरविक्ज़) 'कोफाइब्रेशन' है यदि इसमें किसी भी स्थान के मानचित्रों के लिए होमोटॉपी एक्सटेंशन संपत्ति है। यह समरूपता सिद्धांत की केंद्रीय अवधारणाओं में से एक है। एक कोफाइब्रेशन एफ हमेशा इंजेक्टिव होता है, वास्तव में इसकी छवि के लिए एक होमियोमोर्फिज्म होता है। यदि

सभी बंद समावेशन के बीच, सह-फाइब्रेशन को निम्नानुसार चित्रित किया जा सकता है। एक बंद उप-स्थान ए को अंतरिक्ष $$u: X \rightarrow [0, 1]$$ साथ $A = u^{-1}\!\left(0\right)$ और एक समरूपता $H: X \times [0, 1] \rightarrow X$  ऐसा है कि $H(x,0) = x$  सभी के लिए $$x \in X,$$ $$H(a,t) = a$$ सभी के लिए $$a \in A$$ और $$t \in [0, 1],$$ और $H\left(x,1\right) \in A$  अगर $$u(x) < 1$$. उदाहरण के लिए, सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स में एक उप-कॉम्प्लेक्स को शामिल करना एक सह-फाइब्रेशन है।

गुण

 * एक्स के रिट्रैक्ट ए का एक मूल गुण (रिट्रैक्शन के साथ)। $r: X \to A$ ) वह प्रत्येक सतत मानचित्र है $f: A \rightarrow Y$ कम से कम एक एक्सटेंशन है $g: X \rightarrow Y,$  अर्थात् $g = f \circ r$.
 * विरूपण प्रत्यावर्तन समरूप समतुल्यता का एक विशेष मामला है। वास्तव में, दो स्थान समरूप समतुल्य हैं यदि और केवल यदि वे दोनों एक ही बड़े स्थान के विरूपण के प्रति समरूप हैं।
 * कोई भी टोपोलॉजिकल स्पेस जो विरूपण एक बिंदु पर वापस आ जाता है, सिकुड़ने योग्य होता है और इसके विपरीत। हालाँकि, ऐसे संकुचन योग्य स्थान मौजूद हैं जो एक बिंदु पर दृढ़ता से विरूपण नहीं करते हैं।

अवापसी प्रमेय
एन-बॉल|एन-डायमेंशनल गेंद की सीमा (टोपोलॉजी), यानी (एन−1)-गोला, गेंद का प्रत्यावर्तन नहीं है। (देखना .)

पूर्ण पड़ोस पीछे हटना (और)
एक बंद उपसमुच्चय $X$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस का $Y$  का नेबरहुड रिट्रेक्ट कहा जाता है $Y$  अगर $X$  के कुछ खुले उपसमुच्चय का प्रत्यावर्तन है $Y$  उसमें सम्मिलित है $X$.

होने देना $$\mathcal{C}$$ टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का एक वर्ग बनें, होमोमोर्फिज्म के तहत बंद और बंद उपसमुच्चय के लिए मार्ग। करोल बोरसुक (1931 से शुरू) के बाद, एक स्थान$X$ वर्ग के लिए 'एब्सोल्यूट रिट्रेक्ट' कहा जाता है $$\mathcal{C}$$, लिखा हुआ $\operatorname{AR} \left(\mathcal{C}\right),$ अगर$X$ में है $$\mathcal{C}$$ और जब भी$X$ किसी स्थान का एक बंद उपसमुच्चय है  $Y$  में $$\mathcal{C}$$, $X$  का प्रत्यावर्तन है $Y$. एक स्थान $X$ कक्षा के लिए एक पूर्ण पड़ोस वापसी है $$\mathcal{C}$$, लिखा हुआ $\operatorname{ANR} \left(\mathcal{C}\right),$  अगर $X$  में है $$\mathcal{C}$$ और जब भी $X$  किसी स्थान का एक बंद उपसमुच्चय है $Y$  में $$\mathcal{C}$$, $X$  का पड़ोस प्रत्यावर्तन है $Y$.

विभिन्न वर्ग $$\mathcal{C}$$ जैसे कि इस परिभाषा में सामान्य स्थानों पर विचार किया गया है, लेकिन वर्ग $$\mathcal{M}$$ मेट्रिज़ेबल रिक्त स्थान को सबसे संतोषजनक सिद्धांत देने वाला पाया गया है। इसी कारण से, इस लेख में एआर और एएनआर नोटेशन का उपयोग अर्थ के लिए किया गया है $$\operatorname {AR} \left({\mathcal {M}}\right)$$ और $$\operatorname {ANR} \left({\mathcal {M}}\right)$$. एक मेट्रिज़ेबल स्पेस एक एआर है यदि और केवल अगर यह अनुबंध योग्य है और एक एएनआर है। जेम्स डुगुंडजी द्वारा, प्रत्येक स्थानीय रूप से उत्तल मेट्रिजेबल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस $V$ एक एआर है; अधिक सामान्यतः, ऐसे सदिश समष्टि का प्रत्येक अरिक्त उत्तल समुच्चय $V$  एक एआर है. उदाहरण के लिए, कोई भी मानकीकृत सदिश स्थान (पूर्ण मीट्रिक स्थान या नहीं) एक एआर है। अधिक ठोस रूप से, यूक्लिडियन स्थान $\reals^{n},$ इकाई घन $I^{n},$ और हिल्बर्ट क्यूब $I^{\omega}$  एआर हैं.

एएनआर अच्छे व्यवहार वाले|अच्छे व्यवहार वाले टोपोलॉजिकल स्पेस का एक उल्लेखनीय वर्ग बनाते हैं। उनकी संपत्तियों में ये हैं:
 * एएनआर का प्रत्येक खुला उपसमुच्चय एक एएनआर है।
 * ओलोफ़ हैनर के अनुसार, एक मेट्रिज़ेबल स्थान जिसमें एएनआर द्वारा खुला कवर होता है, एक एएनआर होता है। (अर्थात, ANR होना मेट्रिज़ेबल रिक्त स्थान के लिए एक स्थानीय संपत्ति है।) यह इस प्रकार है कि प्रत्येक टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड एक ANR है। उदाहरण के लिए, गोला ''$S^{n}$ एक एएनआर है लेकिन एआर नहीं (क्योंकि यह अनुबंध योग्य नहीं है)। अनंत आयामों में, हैनर के प्रमेय का तात्पर्य है कि प्रत्येक हिल्बर्ट क्यूब मैनिफोल्ड के साथ-साथ (बल्कि भिन्न, उदाहरण के लिए स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान नहीं) हिल्बर्ट मैनिफ़ोल्ड  और बनच मैनिफोल्ड एएनआर हैं।
 * प्रत्येक स्थानीय रूप से परिमित सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स एक एएनआर है। एक मनमाना सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स को मेट्रिजेबल होने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन प्रत्येक सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स में एएनआर का होमोटॉपी प्रकार होता है (जो परिभाषा के अनुसार मेट्रिजेबल है)।
 * प्रत्येक एएनआर एक्स प्रत्येक खुले पड़ोस के लिए इस अर्थ में 'स्थानीय रूप से अनुबंध योग्य' है $U$ एक बिंदु का $x$  में $X$, एक खुला पड़ोस है $V$  का $x$  में निहित $U$  इस तरह कि समावेशन $V \hookrightarrow U$  एक स्थिर मानचित्र के लिए समस्थानिक है। एक कवरिंग आयाम|परिमित-आयामी मेट्रिज़ेबल स्पेस एक एएनआर है यदि और केवल अगर यह इस अर्थ में स्थानीय रूप से अनुबंध योग्य है। उदाहरण के लिए, कैंटर सेट वास्तविक लाइन का एक  सघन स्थान  उपसमुच्चय है जो ANR नहीं है, क्योंकि यह स्थानीय रूप से भी जुड़ा नहीं है।
 * प्रतिउदाहरण: बोरसुक को इसका एक सघन उपसमुच्चय मिला $\reals^{3}$ यह एक ANR है लेकिन सख्ती से स्थानीय रूप से अनुबंध योग्य नहीं है। (यदि प्रत्येक खुला पड़ोस हो तो एक स्थान सख्ती से स्थानीय रूप से अनुबंध योग्य होता है $U$  प्रत्येक बिंदु का $x$  का एक अनुबंध योग्य खुला पड़ोस शामिल है $x$ .) बोरसुक को हिल्बर्ट क्यूब का एक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय भी मिला जो स्थानीय रूप से संकुचन योग्य है (जैसा कि ऊपर परिभाषित है) लेकिन एएनआर नहीं।
 * प्रत्येक ANR में J. H. C. व्हाइटहेड और जॉन मिल्नोर द्वारा CW कॉम्प्लेक्स का होमोटॉपी प्रकार होता है। इसके अलावा, स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट एएनआर में स्थानीय रूप से परिमित सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स का होमोटॉपी प्रकार होता है; और, वेस्ट द्वारा, एक कॉम्पैक्ट एएनआर में एक परिमित सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स का होमोटॉपी प्रकार होता है। इस अर्थ में, एएनआर मनमाने टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के सभी समरूप-सैद्धांतिक विकृति से बचते हैं। उदाहरण के लिए, व्हाइटहेड प्रमेय एएनआर के लिए है: एएनआर का एक नक्शा जो होमोटॉपी समूहों (आधार बिंदु के सभी विकल्पों के लिए) पर एक समरूपता उत्पन्न करता है, एक होमोटॉपी तुल्यता है। चूँकि ANR में टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड्स, हिल्बर्ट क्यूब मैनिफोल्ड्स, बानाच मैनिफोल्ड्स इत्यादि शामिल हैं, इसलिए ये परिणाम रिक्त स्थान के एक बड़े वर्ग पर लागू होते हैं।
 * कई मैपिंग स्पेस ANR हैं। विशेष रूप से, मान लें कि Y एक बंद उप-स्थान A के साथ एक ANR है जो कि एक ANR है, और मान लीजिए कि X एक बंद उप-स्थान B के साथ कोई कॉम्पैक्ट मेट्रिज़ेबल स्थान है। फिर अंतरिक्ष $\left(Y, A\right)^{\left(X, B\right)}$ टोपोलॉजिकल जोड़ी के मानचित्रों का $\left(X, B\right) \rightarrow \left(Y, A\right)$  (कार्य स्थान पर कॉम्पैक्ट-ओपन टोपोलॉजी के साथ) एक ANR है। उदाहरण के लिए, यह इस प्रकार है कि किसी भी सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स के लूप स्पेस में सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स का होमोटॉपी प्रकार होता है।
 * कॉटी द्वारा, एक विशाल स्थान $X$ एक ANR है यदि और केवल यदि प्रत्येक खुला उपसमुच्चय $X$  इसमें CW कॉम्प्लेक्स का होमोटॉपी प्रकार है।
 * कॉटी द्वारा, एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस#टोपोलॉजिकल संरचना है$V$ (अर्थात अनुवाद अपरिवर्तनीय |ट्रांसलेशन-इनवेरिएंट मेट्रिक के साथ एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस) जो कि एआर नहीं है। कोई भी ले सकता है $V$  अलग करने योग्य स्थान और एक एफ-स्पेस (अर्थात, एक पूर्ण मीट्रिक रैखिक स्थान)। (उपरोक्त दुगुंडजी प्रमेय के अनुसार, $V$  स्थानीय रूप से उत्तल नहीं हो सकता।) चूंकि $V$  अनुबंध योग्य है और एआर नहीं है, यह एएनआर भी नहीं है। उपरोक्त कॉटी के प्रमेय के अनुसार, $V$  एक खुला उपसमुच्चय है $U$  यह सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स के समतुल्य होमोटॉपी नहीं है। इस प्रकार वहाँ एक विस्तृत स्थान है $U$  यह पूरी तरह से स्थानीय रूप से अनुबंध योग्य है लेकिन सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स के समतुल्य होमोटॉपी नहीं है। यह ज्ञात नहीं है कि एक कॉम्पैक्ट (या स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट) मेट्रिज़ेबल स्पेस जो सख्ती से स्थानीय रूप से अनुबंध योग्य है, एक एएनआर होना चाहिए।