वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी

भौतिक विज्ञान में, जॉन वॉन न्यूमैन के नाम पर नामित वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी पारंपरिक सांख्यिकीय यांत्रिकी से क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी तक गिब्स एंट्रॉपी की अवधारणा का विस्तार है। घनत्व आव्यूह $ρ$ द्वारा वर्णित क्वांटम-यांत्रिक प्रणाली के लिए, वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी निम्नलिखित समीकरण द्वारा प्रदर्शित की गई है।
 * $$ S = - \operatorname{tr}(\rho \ln \rho),$$

जहाँ $$\operatorname{tr}$$ रैखिक बीजगणित में ट्रेस तथा ln आव्यूह लघुगणक को दर्शाता है। यदि घनत्व आव्यूह $ρ$, इसके ईगेनवेक्टर्स $$|1\rangle, |2\rangle, |3\rangle, \dots$$ के आधार पर निम्नलिखित प्रकार से लिखा गया है
 * $$ \rho = \sum_j \eta_j \left| j \right\rang \left\lang j \right| ,$$

तो वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी मात्र $$ S = -\sum_j \eta_j \ln \eta_j $$ है। :

इस रूप में, एस को सूचना सिद्धांत शैनन एंट्रॉपी के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है।

क्वांटम सूचना सिद्धांत के ढांचे में वॉन न्यूमैन एन्ट्रापी का उपयोग विभिन्न रूपों जैसे सशर्त एन्ट्रापी, सापेक्ष एन्ट्रापी, आदि में भी किया जाता है जिससे उलझाव की एन्ट्रापी को चिह्नित किया जा सके।

पृष्ठभूमि
जॉन वॉन न्यूमैन ने अपने 1932 के कार्य क्वांटम यांत्रिकी के गणितीय आधार में क्वांटम यांत्रिकी के लिए एक कठोर गणितीय ढाँचे की स्थापना की। इसमें, उन्होंने माप का एक सिद्धांत प्रदान किया, जहां तरंग-फलन क्षय की सामान्य धारणा को एक अपरिवर्तनीय प्रक्रिया तथाकथित वॉन न्यूमैन या प्रक्षेपी माप के रूप में वर्णित किया गया है।

घनत्व आव्यूह को वॉन न्यूमैन और लेव लैंडौ द्वारा विभिन्न प्रेरणाओं के साथ प्रस्तुत किया गया था। लन्दौ को प्रेरित करने वाली प्रेरणा एक स्थिति सदिश द्वारा एक समग्र क्वांटम प्रणाली के उपतंत्र का वर्णन करने की असंभवता थी। दूसरी ओर, वॉन न्यूमैन ने क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी और क्वांटम माप के सिद्धांत दोनों को विकसित करने के लिए घनत्व आव्यूह का प्रारंभ किया।

घनत्व आव्यूह औपचारिकता द्वारा विकसित हुई, पारंपरिक सांख्यिकीय यांत्रिकी के उपकरण को क्वांटम क्षेत्र तक विस्तारित किया गया। पारंपरिक ढांचे में, तंत्र के संभाव्यता वितरण और विभाजन फलन हमें सभी संभावित ऊष्मागतिकी मात्राओं की गणना करने की अनुमति देता है। वॉन न्यूमैन ने एक जटिल हिल्बर्ट समष्टि में क्वांटम स्थितियों और संक्रियाओ के संदर्भ में समान भूमिका निभाने के लिए घनत्व आव्यूह को प्रारंभ किया। सांख्यिकीय घनत्व आव्यूह संक्रिया का ज्ञान हमें वैचारिक रूप से समान, परंतु गणितीय रूप से भिन्न विधि से सभी औसत क्वांटम संस्थाओं की गणना करने की अनुमति देता है।

मान लीजिए कि हमारे पास तरंग फलनों का एक समुच्चय |Ψ〉है जो क्वांटम संख्या एन1, एन2, ..., एनN के समुच्चय पर प्राचलिक रूप से निर्भर करता है। हमारे पास वह प्राकृतिक परिवर्तक है जो निश्चित समुच्चय के एक विशेष तरंगसूत्र का प्रामाणिक विशेषतांश, वास्तविक तरंगसूत्र के रूप में प्रदर्शित होता है। मान लीजिए हम इस प्रामाणिक विशेषतांश के वर्ग को p(n1, n2, ..., nN) से चिह्नित करते है। हमारा लक्ष्य इस मात्रा p को तारकीय स्थिति-स्थान में पारंपरिक घनत्व फलन में परिवर्तित करना है। हमें यह सत्यापित करना होगा कि पी पारंपरिक सीमा में घनत्व फलन में परिवर्तित होता है तथा इसमें ऊर्जापंथी गुण होते हैं। यह जाँचने के उपरांत की p(n1, एन2, ..., एनN) गति का एक स्थिरांक है, प्रायिकता p(n1, एन2, ..., एनN) p को केवल ऊर्जा का फलन बनाता है।

इस प्रक्रिया के बाद, एक रूप की तलाश करते समय अंततः घनत्व आव्यूह औपचारिकता पर पहुंच जाता है जहां पी (एन1, एन2, ..., एनN) प्रयुक्त प्रतिनिधित्व के संबंध में अपरिवर्तनीय है। जिस रूप में यह लिखा गया है, यह केवल उन मात्राओं के लिए सही अपेक्षित मान देगा जो क्वांटम संख्या एन1, एन2, ..., एनN. के संबंध में विकर्ण हैं। संक्रियाों के अपेक्षा अन्य मान जो विकर्ण नहीं हैं, उनमें क्वांटम आयाम के चरण सम्मिलित हैं। मान लीजिए कि हम क्वांटम संख्या एन1, एन2, ..., एनN कोएकल सूची i या j में कूटबद्ध करते हैं। तब हमारे तरंग फलन का रूप निम्नलिखित होता है


 * $$ \left| \Psi \right\rangle = \sum_i a_i \left| \psi_i \right\rangle . $$

जो किसी संक्रिया बी का अपेक्षित मान है जो इन तरंग कार्यों में विकर्ण नहीं है, इसलिए


 * $$ \left\langle B \right\rangle = \sum_{i,j} a_i^{*}a_j \left\langle i \right| B \left| j \right\rangle .$$

वह भूमिका $$ \left| a_i \right| ^2$$ जो मूल रूप से मात्राओं के लिए आरक्षित थी इस प्रकार तंत्र एस के घनत्व आव्यूह द्वारा प्रदर्शित की जाती है।


 * $$ \left\langle j \right| \rho \left| i \right\rangle = a_j a_i^{*} .$$

इसलिए, 〈बी
 * $$ \left\langle B \right\rangle = \operatorname{tr} (\rho B) .$$
 * द्वारा प्रदर्शित किया जाता है।

उपरोक्त शब्दों की अविषमता को आव्यूह सिद्धांत से वर्णित किया जाता है। त्रिशीर्ष संख्यात्मक परिवर्तनों के अन्तर्गत गुणांक अपरिवर्ती होता है, और विशेष रूप से ये प्रमाण-मान मात्रिका (ρ) और बी (B) को किसी भी सुविधाजनक आधार में, सामान्यतः ईगेनवेक्टर के आधार में परिवर्तित किया जा सकता है। आव्यूह उत्पाद के चक्रीय क्रमपरिवर्तन से, यह देखा जा सकता है कि एक इकाई आव्यूह उत्पन्न होता है और इसलिए आधार में परिवर्तन से ट्रेस प्रभावित नहीं होता है। एक ऐसे गणितीय ढांचे का वर्णन किया गया था जहां घनत्व संक्रिया के उत्पाद का पता लगाने के द्वारा आव्यूहों द्वारा वर्णित क्वांटम संक्रियाों के अपेक्षा मान $$\hat{\rho}$$ और एक संक्रिया $$\hat{B}$$ को प्राप्त किया जाता है। यहां मात्रिका सूचनात्मक यांत्रिकी की सरचना में है, यद्यपि यह अन्तिम रूप में प्रायः अप्रतिसंक्षेप्त क्वांटम प्रणालियों के लिए भी लागू होता है, जहां प्रणाली की स्थिति एक उपयुक्त स्थिति द्वारा वर्णित नहीं की जा सकती है, बल्कि ऊपर दिए गए आकार $$\hat{\rho}$$ के रूप में एक सांख्यिक सक्रिया के रूप में वर्णित की जाती है।  उपरोक्त प्रपत्र का। गणितीय रूप से, $$\hat{\rho}$$ एक सकारात्मक-आधारित हर्मिटियन आव्यूह है जिसकी अविषमता 1 है।

परिभाषा
घनत्व आव्यूह ρ को देखते हुए, वॉन न्यूमैन ने एन्ट्रापी को निम्नलिखित रूप में परिभाषित किया


 * $$S(\rho) = -\operatorname{tr} (\rho \ln \rho),$$

जो गिब्स एंट्रॉपी (एक कारक केबी तक) और क्वांटम परिप्रेक्ष्य में शैनन एंट्रॉपी का उचित विस्तार है। वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी को तब निम्नलिखित समीकरण द्वारा प्रदर्शित किया जाता है


 * $$S(\rho) = - \sum_j \eta_j \ln \eta_j .$$

चूंकि, शुद्ध अवस्था के लिए, घनत्व आव्यूह इडेम्पोटेन्ट आव्यूह है, ρ = ρ2 के लिए एन्ट्रापी S(ρ) लुप्त हो जाता है। इस प्रकार, यदि तंत्र परिमित है, तो एन्ट्रापी S(ρ) शुद्ध अवस्था से तंत्र के प्रस्थान की मात्रा निर्धारित करता है। दूसरे शब्दों में, यह किसी दिए गए परिमित प्रणाली का वर्णन करते हुए स्थिति के मिश्रण की श्रेणी को संहिताबद्ध करता है।

मापन एक क्वांटम प्रणाली को गैर-हस्तक्षेप और घनत्व आव्यूह एंट्रॉपी में परिवर्तित कर देता है; इसलिए, उदाहरण के लिए, एक शुद्ध अवस्था की लुप्त एन्ट्रापी $$\Psi = ( \left| 0 \right\rangle + \left| 1 \right\rangle ) / \sqrt{2}$$, एक घनत्व आव्यूह के अनुरूप
 * $$\rho = {1\over 2} \begin{pmatrix}

1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}  $$ $S = \ln 2 \approx 0.69$ तक बढ़ जाती है तथा माप परिणाम मिश्रण के लिए निम्नलिखित हों जाती है।
 * $$\rho = {1\over 2} \begin{pmatrix}

1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}  $$ क्योंकि क्वांटम हस्तक्षेप की जानकारी को लुप्त कर दिया जाता है।

गुण
वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी के कुछ गुण:


 * $S(ρ)$ शून्य है यदि और केवल यदि $ρ$ शुद्ध अवस्था का प्रतिनिधित्व करता है।
 * $S(ρ)$ मिश्रित क्वांटम स्थिति के लिए अधिकतम और $$\ln N$$ के समान है तथा $N$ हिल्बर्ट समष्टि का आयाम है।
 * $S(ρ)$ के आधार पर परिवर्तन के अंतर्गत $ρ$ अपरिवर्तनीय है, वह है।
 * $S(ρ)$ अवतल है, अर्थात धनात्मक संख्याओं का संग्रह $λ_{i}$ दिया गया है जो $$\Sigma_i \lambda_i = 1$$ और घनत्व संक्रिया $ρ_{i}$ का योग है।
 * $$ S\bigg(\sum_{i=1}^k \lambda_i \rho_i \bigg) \geq \sum_{i=1}^k \lambda_i S(\rho_i). $$


 * $S(ρ)$ बाध्यता को संतुष्ट करता है
 * $$ S\bigg(\sum_{i=1}^k \lambda_i \rho_i \bigg) \leq \sum_{i=1}^k \lambda_i S(\rho_i) - \sum_{i=1}^k \lambda_i \log \lambda_i. $$
 * जहां समानता प्राप्त की जाती है यदि $ρ_{i}$ ओर्थोगोनल समर्थन है, और पहले की तरह $ρ_{i}$ घनत्व संचालक हैं और $λ_{i}$ सकारात्मक संख्याओं का एक संग्रह है जो $$\Sigma_i \lambda_i = 1$$ एकता के समान है।


 * $S(ρ)$ स्वतंत्र प्रणालियों के लिए योगात्मक है। स्वतंत्र तंत्र ए और बी का वर्णन करते हुए दो घनत्व आव्यूह $ρ_{A}, ρ_{B}$ दिए गए हैं। इस प्रकार
 * $$S(\rho_A \otimes \rho_B)=S(\rho_A)+S(\rho_B)$$.


 * $S(ρ)$ किसी भी तीन प्रणालियों ए, बी, और सी के लिए दृढ़ता से सहायक है:
 * $$S(\rho_{ABC}) + S(\rho_{B}) \leq S(\rho_{AB}) + S(\rho_{BC}).$$
 * इसका तात्पर्य है की $S(ρ)$ उप-योगात्मक है:
 * $$S(\rho_{AC}) \leq S(\rho_{A}) +S(\rho_{C}).$$

नीचे, उप-विषमता की अवधारणा पर चर्चा की गई है, इसके उपरांत उपयुक्त उप-विषमता के लिए इसका सामान्यीकरण किया गया है।

उपविभाजन
यदि $ρ_{A}, ρ_{B}$ सामान्य स्थिति के कम घनत्व वाले आव्यूह हैं $ρ_{AB}$, तब
 * $$ \left| S(\rho_A) - S(\rho_B) \right| \leq S(\rho_{AB}) \leq S(\rho_A) + S(\rho_B) . $$

इस दाहिने हाथ की असमानता को उप-विषमता के रूप में जाना जाता है। दो असमानताओं को एक साथ कभी-कभी त्रिभुज असमानता के रूप में जाना जाता है। वे 1970 में फुजीहिरो अर्की और इलियट एच. लीब द्वारा सिद्ध किए गए थे। जबकि शैनन के सिद्धांत में एक समग्र प्रणाली की एन्ट्रापी कभी भी इसके किसी भी हिस्से की एन्ट्रापी से कम नहीं हो सकती, क्वांटम सिद्धांत में यह मामला नहीं है, अर्थात यह संभव है कि $S(ρ_{AB}) = 0$, जबकि $S(ρ_{A}) = S(ρ_{B}) > 0$.

सहज रूप से, इसे इस प्रकार समझा जा सकता है: क्वांटम यांत्रिकी में, संयुक्त प्रणाली की एन्ट्रापी उसके घटकों की एन्ट्रापी के योग से कम हो सकती है क्योंकि घटक क्वांटम उलझाव हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, जैसा कि स्पष्ट रूप से देखा गया है, दो स्पिन-½s की बेल स्थिति,
 * $$ \left| \psi \right\rangle = \left| \uparrow \downarrow \right\rangle + \left| \downarrow \uparrow \right\rangle ,$$

शून्य एन्ट्रापी के साथ एक शुद्ध अवस्था है, परंतु प्रत्येक स्पिन में अधिकतम एन्ट्रापी होती है जब इसे क्वांटम उलझाव # कम घनत्व आव्यूह में व्यक्तिगत रूप से माना जाता है। एक स्पिन में एंट्रॉपी को दूसरे स्पिन की एंट्रॉपी से सहसंबंधित करके रद्द किया जा सकता है। बाएं हाथ की असमानता को मोटे तौर पर यह कहते हुए व्याख्या किया जा सकता है कि एंट्रॉपी को समान मात्रा में एंट्रॉपी द्वारा ही रद्द किया जा सकता है।

यदि तंत्र $A$ और तंत्र $B$ में एंट्रॉपी की अलग-अलग मात्रा होती है, छोटा केवल आंशिक रूप से बड़े को रद्द कर सकता है, और कुछ एन्ट्रापी को छोड़ देना चाहिए। इसी तरह, दाहिने हाथ की असमानता की व्याख्या यह कहते हुए की जा सकती है कि एक समग्र प्रणाली की एन्ट्रापी अधिकतम होती है जब इसके घटक असंबद्ध होते हैं, इस मामले में कुल एन्ट्रापी केवल उप-एन्ट्रॉपी का योग होता है। यह हिल्बर्ट स्पेस वन के बजाय चरण समष्टि सूत्रीकरण में अधिक सहज ज्ञान युक्त हो सकता है, जहां वॉन न्यूमैन एन्ट्रापी मात्रा के अपेक्षित मान को घटा देता है। ★ विग्नेर अर्ध-प्रायिकता बंटन का लघुगणक, $−∫ f ★ log_{_{★} }f dx dp$, एक ऑफ़समुच्चय शिफ्ट तक। इस सामान्यीकरण ऑफसमुच्चय शिफ्ट तक, एंट्रॉपी इसकी पारंपरिक सीमा के द्वारा प्रमुखता है।

मजबूत उप-विषमता
वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी क्वांटम एंट्रॉपी की मजबूत उप-विषमता भी है। तीन हिल्बर्ट रिक्त स्थान दिए गए हैं, ए, बी, सी,


 * $$S(\rho_{ABC}) + S(\rho_{B}) \leq S(\rho_{AB}) + S(\rho_{BC}).$$

यह एक अधिक कठिन प्रमेय है और इसे सबसे पहले जैक कीफर (सांख्यिकीविद)|जे. 1959 में कीफर और 1973 में स्वतंत्र रूप से इलियट एच. लीब और मैरी बेथ रुस्काई द्वारा, इलियट एच. लीब की आव्यूह असमानता का उपयोग करना 1973 में साबित हुआ। उपरोक्त त्रिभुज असमानता के बाईं ओर स्थापित करने वाली सबूत तकनीक का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि मजबूत उप-विषमता असमानता निम्नलिखित असमानता के समान है।


 * $$S(\rho_{A}) + S(\rho_{C}) \leq S(\rho_{AB}) + S(\rho_{BC})$$

कब $ρ_{AB}$, आदि घनत्व आव्यूह के कम घनत्व वाले आव्यूह हैं $ρ_{ABC}$. यदि हम इस असमानता के बाईं ओर सामान्य उप-विषमता लागू करते हैं, और ए, बी, सी के सभी क्रमपरिवर्तनों पर विचार करते हैं, तो हमें त्रिभुज असमानता प्राप्त होती है $ρ_{ABC}$: तीन संख्याओं में से प्रत्येक $S(ρ_{AB}), S(ρ_{BC}), S(ρ_{AC})$ अन्य दो के योग से कम या उसके समान है।

यह भी देखें

 * एंट्रॉपी (सूचना सिद्धांत)
 * रैखिक एन्ट्रापी
 * विभाजन समारोह (गणित)
 * क्वांटम सशर्त एन्ट्रापी
 * क्वांटम पारस्परिक जानकारी
 * बहुत नाजुक स्थिति
 * क्वांटम एंट्रॉपी की मजबूत उप-विषमता
 * वेहरल एन्ट्रॉपी