रिचर्ड्स समीकरण

रिचर्ड्स समीकरण वडोस क्षेत्र की मिट्टी में पानी की गति का प्रतिनिधित्व करता है, और इसका श्रेय लोरेंजो ए. रिचर्ड्स को दिया जाता है जिन्होंने 1931 में समीकरण प्रकाशित किया था। यह एक विभेदक समीकरण आंशिक अवकल समीकरण है; इसका विश्लेषणात्मक समाधान अक्सर विशिष्ट प्रारंभिक और सीमा स्थितियों तक ही सीमित होता है। समाधान के अस्तित्व प्रमेय और विशिष्टता प्रमेय का प्रमाण केवल 1983 में ऑल्ट और लकहॉस द्वारा दिया गया था। यह समीकरण डार्सी-बकिंघम कानून पर आधारित है विभिन्न संतृप्त स्थितियों के तहत झरझरा मीडिया में प्रवाह का प्रतिनिधित्व करना, जिसे इस प्रकार कहा गया है


 * $$\vec{q}=-\mathbf{K}(\theta) (\nabla h + \nabla z),$$

कहाँ
 * $$\vec{q}$$ वॉल्यूमेट्रिक फ्लक्स है;
 * $$\theta$$ जल सामग्री है;
 * $$h$$ तरल दबाव शीर्ष है, जो असंतृप्त झरझरा मीडिया के लिए नकारात्मक है;
 * $$\mathbf{K}(h)$$ असंतृप्त हाइड्रोलिक चालकता है;
 * $$\nabla z$$ जियोडेटिक हेड ग्रेडिएंट है, जिसे माना जाता है $$\nabla z = \left(\begin{smallmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{smallmatrix} \right)$$ त्रि-आयामी समस्याओं के लिए.

एक असम्पीडित झरझरा माध्यम और स्थिर तरल घनत्व के लिए द्रव्यमान संरक्षण के नियम पर विचार करते हुए, के रूप में व्यक्त किया गया


 * $$\frac{\partial \theta}{\partial t} + \nabla \cdot \vec{q} + S = 0$$,

कहाँ
 * $$S$$ सिंक शब्द है [टी$$^{-1}$$], आम तौर पर जड़ जल ग्रहण।

फिर डार्सी-बकिंघम कानून द्वारा फ्लक्स को प्रतिस्थापित करने पर निम्नलिखित मिश्रित-रूप रिचर्ड्स समीकरण प्राप्त होता है:


 * $$ \frac{\partial \theta}{\partial t} = \nabla \cdot \mathbf{K}(h) (\nabla h + \nabla z) - S $$.

एक-आयामी घुसपैठ के मॉडलिंग के लिए यह विचलन रूप कम हो जाता है


 * $$\frac{\partial \theta}{\partial t}= \frac{\partial}{\partial z}

\left( \mathbf{K}(\theta) \left (\frac{\partial h}{\partial z} + 1 \right) \right) - S $$.

हालाँकि इसका श्रेय एल. ए. रिचर्ड्स को दिया जाता है, यह समीकरण मूल रूप से 9 साल पहले 1922 में लुईस फ्राई रिचर्डसन द्वारा पेश किया गया था।

सूत्रीकरण
रिचर्ड्स समीकरण पर्यावरण साहित्य के कई लेखों में दिखाई देता है क्योंकि यह वायुमंडल और जलभृत के बीच वाडोज़ क्षेत्र में प्रवाह का वर्णन करता है। यह शुद्ध गणितीय पत्रिकाओं में भी दिखाई देता है क्योंकि इसमें गैर-तुच्छ समाधान हैं। ऊपर दिए गए मिश्रित सूत्रीकरण में दो अज्ञात चर शामिल हैं: $$\theta$$ और $$h$$. इसे संवैधानिक संबंध पर विचार करके आसानी से हल किया जा सकता है $$\theta(h)$$, जिसे जल प्रतिधारण वक्र के रूप में जाना जाता है। श्रृंखला नियम को लागू करते हुए, रिचर्ड्स समीकरण को या तो दोबारा तैयार किया जा सकता है $$h$$-फॉर्म (सिर आधारित) या $$\theta$$-फॉर्म (संतृप्ति आधारित) रिचर्ड्स समीकरण।

सिर आधारित
अस्थायी व्युत्पन्न पर श्रृंखला नियम लागू करने से होता है
 * $$\frac{\partial \theta(h)}{\partial t} = \frac{\textrm{d} \theta}{\textrm{d} h} \frac{\partial h}{\partial t} $$,

कहाँ $$\frac{\textrm{d} \theta}{\textrm{d} h}$$ जल धारण क्षमता के रूप में जाना जाता है $$ C(h) $$. फिर समीकरण इस प्रकार बताया गया है
 * $$ C(h)\frac{\partial h}{\partial t}= \nabla \cdot \left( \mathbf{K}(h) \nabla h + \nabla z\right) - S $$.

हेड-आधारित रिचर्ड्स समीकरण निम्नलिखित कम्प्यूटेशनल मुद्दे से ग्रस्त है: अंतर्निहित एरिच रोथे विधि का उपयोग करके विवेकाधीन अस्थायी व्युत्पन्न निम्नलिखित सन्निकटन उत्पन्न करता है:

$$\frac{\Delta \theta}{\Delta t} \approx C(h) \frac{\Delta h}{\Delta t}, \quad \mbox{and so} \quad \frac{\Delta \theta}{\Delta t} - C(h) \frac{\Delta h}{\Delta t} = \varepsilon .$$ यह सन्निकटन एक त्रुटि उत्पन्न करता है $$\varepsilon$$ जो संख्यात्मक समाधान के बड़े पैमाने पर संरक्षण को प्रभावित करता है, और इसलिए अस्थायी व्युत्पन्न उपचार के लिए विशेष रणनीतियाँ आवश्यक हैं।

संतृप्ति-आधारित
स्थानिक व्युत्पन्न पर श्रृंखला नियम लागू करने से
 * $$ \mathbf{K}(h) \nabla h = \mathbf{K}(h) \frac{\textrm{d}h}{\textrm{d} \theta} \nabla \theta, $$

कहाँ $$\mathbf{K}(h) \frac{\textrm{d}h}{\textrm{d} \theta}$$, जिसे आगे इस प्रकार तैयार किया जा सकता है $$\frac{\mathbf{K}(\theta)}{C(\theta)}$$, को मृदा जल विसरणशीलता के रूप में जाना जाता है $$\mathbf{D}(\theta)$$. फिर समीकरण इस प्रकार बताया गया है


 * $$ \frac{\partial \theta }{\partial t}= \nabla \cdot \mathbf{D}(\theta) \nabla \theta - S. $$

संतृप्ति-आधारित रिचर्ड्स समीकरण निम्नलिखित कम्प्यूटेशनल मुद्दों से ग्रस्त है। सीमा के बाद से $$ \lim_{\theta \to \theta_s} ||\mathbf{D}(\theta)|| = \infty $$ और $$\lim_{\theta \to \theta_r}||\mathbf{D}(\theta)|| = \infty$$, कहाँ $$ \theta_s $$ संतृप्त (अधिकतम) जल सामग्री है और $$\theta_r$$ क्या यह अवशिष्ट (न्यूनतम) जल सामग्री है, एक सफल संख्यात्मक समाधान केवल पूर्ण संतृप्ति के नीचे संतोषजनक जल सामग्री की श्रेणियों के लिए प्रतिबंधित है (संतृप्ति जल प्रतिधारण वक्र से भी कम होनी चाहिए) और साथ ही अवशिष्ट जल सामग्री के ऊपर संतोषजनक है।

पैरामीट्रिज़ेशन
रिचर्ड्स समीकरण अपने किसी भी रूप में मिट्टी के हाइड्रोलिक गुणों को शामिल करता है, जो मिट्टी के प्रकार का प्रतिनिधित्व करने वाले पांच मापदंडों का एक सेट है। मिट्टी के हाइड्रोलिक गुणों में आमतौर पर वैन जेनचटेन द्वारा जल प्रतिधारण वक्र पैरामीटर शामिल होते हैं: ($$ \alpha, \, n, \,m, \, \theta_s, \theta_r $$), कहाँ $$\alpha$$ वायु प्रवेश मान का व्युत्क्रम है [L−1], $$n$$ छिद्र आकार वितरण पैरामीटर है [-], और $$m$$ आमतौर पर मान लिया जाता है $$m= 1-\frac{1}{n}$$. इसके अलावा संतृप्त हाइड्रोलिक चालकता $$\mathbf{K}_s$$ (जो गैर आइसोट्रॉपी वातावरण के लिए दूसरे क्रम का टेन्सर  है) भी प्रदान किया जाना चाहिए। इन मापदंडों की पहचान अक्सर गैर-तुच्छ होती है और कई दशकों से कई प्रकाशनों का विषय रही है।

सीमाएँ
रिचर्ड्स समीकरण का संख्यात्मक समाधान पृथ्वी विज्ञान में सबसे चुनौतीपूर्ण समस्याओं में से एक है। कम्प्यूटेशनल रूप से महंगा और अप्रत्याशित होने के कारण रिचर्ड्स के समीकरण की आलोचना की गई है क्योंकि इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि एक सॉल्वर मिट्टी के संवैधानिक संबंधों के एक विशेष सेट के लिए जुट जाएगा। इस बाधा पर काबू पाने के लिए उन्नत कम्प्यूटेशनल और सॉफ्टवेयर समाधान की आवश्यकता है। केशिकात्व की भूमिका पर अत्यधिक जोर देने के लिए भी इस पद्धति की आलोचना की गई है, और कुछ मायनों में 'अत्यधिक सरलीकृत' होने के कारण शुष्क मिट्टी में वर्षा घुसपैठ के एक आयामी सिमुलेशन में, भूमि की सतह के पास एक सेमी से कम सूक्ष्म स्थानिक विवेक की आवश्यकता होती है, जो झरझरा मीडिया में बहुचरणीय प्रवाह के लिए प्रतिनिधि प्राथमिक आयतन के छोटे आकार के कारण है। त्रि-आयामी अनुप्रयोगों में रिचर्ड्स समीकरण का संख्यात्मक समाधान पहलू अनुपात बाधाओं के अधीन है जहां समाधान डोमेन में क्षैतिज से ऊर्ध्वाधर रिज़ॉल्यूशन का अनुपात लगभग 7 से कम होना चाहिए।

यह भी देखें

 * घुसपैठ (जल विज्ञान)
 * जल धारण वक्र
 * परिमित जल-सामग्री वाडोज़ ज़ोन प्रवाह विधि
 * मिट्टी की नमी वेग समीकरण

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