कैसिनी अंडाकार

[[File:Cassini-3kurv.svg|300px|thumb|तीन कैसिनी अंडाकार, जिस सीमा के अन्दर पैरामीटर भिन्न होता है $e$ (के बराबर $b/a$) गिरता है:

नहीं दिख रहा: $0 < e < 1$ (उत्तल)।]]ज्यामिति में, कैसिनी अंडाकार चतुर्भुज समतल वक्र है जिसे समतल (ज्यामिति) में बिंदुओं के बिंदुपथ (गणित) के रूप में परिभाषित किया जाता है, जैसे कि दो निश्चित बिंदुओं (फोकस (ज्यामिति)) की दूरी का गुणनफल (गणित) स्थिर होता है। इसकी तुलना दीर्घवृत्त से की जा सकती है, जिसके लिए उत्पाद के अतिरिक्त दूरियों का योग स्थिर होता है। कैसिनी अण्डाकार बहुपद द्विपाशी का विशेष स्थिति है जब उपयोग किए गए बहुपद की घात 2 होती है।

कैसिनी अंडाकारों का नाम खगोलशास्त्री जॉन डोमिनिक कैसिनी के नाम पर रखा गया है जिन्होंने 17वीं शताब्दी के अंत में इसका अध्ययन किया था। कैसिनी का मानना था कि सूर्य अंडाकार के एक फोकस पर पृथ्वी के साथ इन अंडाकारों में से एक पर पृथ्वी के चारों ओर घूमता है।

अन्य नामों में कैसिनियन अंडाकार, कैसिनियन वक्र और कैसिनी के अंडाकार सम्मिलित हैं।

औपचारिक परिभाषा
कैसिनी अंडाकार बिंदुओं का समूह है, जैसे कि समुच्चय के किसी भी बिंदु $$P$$ के लिए, $$|PP_1|,\, |PP_2|$$ से दो निश्चित बिंदुओं $$P_1, P_2$$ की दूरी का गुणनफल एक स्थिरांक है, जिसे सामान्यतः $$b^2$$ लिखा जाता है, जहाँ $$b > 0$$:
 * $$\{P : |PP_1| \!\!\;\times\!\!\; |PP_2| = b^2 \}\ .$$

दीर्घवृत्त के प्रकार, निश्चित बिंदु $$P_1,P_2$$ कैसिनी अंडाकार का फोकस कहा जाता है।

समीकरण
यदि फोकियाँ (a, 0) और (−a, 0) हैं, तो वक्र का समीकरण है
 * $$((x-a)^2+y^2)((x+a)^2+y^2) = b^4.$$

विस्तारित होने पर यह बन जाता है
 * $$(x^2+y^2)^2-2a^2(x^2-y^2)+a^4 = b^4.$$

समतुल्य ध्रुवीय निर्देशांक समीकरण है
 * $$r^4-2a^2r^2 \cos 2\theta = b^4-a^4.\,$$

आकार
वक्र, समानता तक, e = b/a पर निर्भर करता है। जब e < 1, वक्र में दो वियोजित किए गए लूप होते हैं, जिनमें से प्रत्येक में फोकस होता है। जब ई = 1, तो वक्र बर्नौली का द्विपाशी होता है जिसका मूल बिंदु पर दोहरे बिंदु (विशेष रूप से, अपरिष्कृत) के साथ बग़ल में आकृति आठ का आकार होता है। जब e > 1, वक्र एकल, जुड़ा हुआ लूप होता है जो दोनों फ़ोकस को घेरता है। यह $$1 < e < \sqrt{2}$$  के लिए मूंगफली के आकार का और $$e \geq \sqrt{2}$$ के लिए उत्तल होता है। a → 0 का सीमित स्थिति (इसलिए e → $$\infty$$), जिस स्थिति में फोकस एक दूसरे से मेल खाती हैं, वह एक वृत्त है।

वक्र में हमेशा ± c पर x-अवरोधन होता है जहाँ c2 = a2 + b2 होता है। जब e < 1 दो अतिरिक्त वास्तविक संख्या x-अवरोधन होते हैं और जब e > 1 में दो वास्तविक y-प्रतिच्छेद होते हैं, तो अन्य सभी x- और y-प्रतिच्छेद काल्पनिक होते हैं।

वक्र में अनंत पर वृत्ताकार बिंदुओं पर दोहरे बिंदु होते हैं, दूसरे शब्दों में वक्र वृत्ताकार बीजगणितीय वक्र होता है। ये बिंदु बिफलेक्नोड्स हैं, जिसका अर्थ है कि इन बिंदुओं पर वक्र की दो अलग-अलग स्पर्शरेखाएँ हैं और वक्र की प्रत्येक शाखा में विभक्ति बिंदु है। इस जानकारी और प्लकर सूत्र से स्थिति के लिए प्लकर संख्या e ≠ 1: डिग्री = 4, वर्ग = 8, नोड्स की संख्या = 2, क्यूप्स की संख्या = 0, दोहरी स्पर्शरेखाओं की संख्या = 8, विभक्ति के बिंदुओं की संख्या = 12, जीनस = 1 निकालना संभव है।

वृत्ताकार बिंदुओं पर स्पर्शरेखाएँ x ± iy = ± a द्वारा दी जाती हैं, जिनके प्रतिच्छेदन के वास्तविक बिंदु (± a, 0) हैं। तो, वास्तव में, फोकस प्लकर द्वारा परिभाषित अर्थ में फोकस हैं। वृत्ताकार बिंदु विभक्ति के बिंदु हैं इसलिए ये त्रिपक्षीय फ़ोकस हैं। जब e ≠ 1 वक्र में कक्षा आठ होती है, जिसका अर्थ है कि कुल आठ वास्तविक फोकस होने चाहिए। इनमें से छह को दो त्रिपक्षीय फॉसी में गिना गया है और शेष दो पर हैं
 * $$(\pm a \sqrt{1-e^4}, 0)\quad(e<1)$$
 * $$(0, \pm a \sqrt{e^4-1})\quad(e>1).$$

अतः अतिरिक्त फोकस x-अक्ष पर होते हैं जब वक्र में दो लूप होते हैं और y-अक्ष पर जब वक्र में लूप होता है।

कैसिनी अंडाकार और लंबकोणीय प्रक्षेपवक्र
किसी दिए गए वर्तिका (गणित) के घटता के लंबकोणीय प्रक्षेपवक्र वक्र होते हैं जो सभी दिए गए वक्रों को लंबवत रूप से काटते हैं। उदाहरण के लिए संनाभि शांकव खंड दीर्घवृत्त की वर्तिका के लंबकोणीय प्रक्षेपवक्र ही फोकस के साथ संनाभि अतिपरवलय हैं। कैसिनी अंडाकार के लिए है:
 * फोसी के साथ कैसिनी वक्रों के लंबकोणीय प्रक्षेपवक्र $$P_1, P_2$$ युक्त समबाहु अतिपरवलय होते हैं जिनमे $$P_1, P_2$$ कैसिनी अंडाकार के समान केंद्र होता है (चित्र देखें)।

प्रमाण: सादगी के लिए कोई चुनता $$P_1 = (1,0),\, P_2 = (-1,0)$$ है.
 * कैसिनी अंडाकारों का समीकरण है
 * $$f(x,y) = (x^2+y^2)^2-2(x^2-y^2)+1-b^4=0.$$
 * समबाहु अतिपरवलय (उनके स्पर्शोन्मुख आयताकार हैं) युक्त $$(1, 0), (-1, 0)$$ केंद्र के साथ $$(0, 0)$$ समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है
 * $$x^2 - y^2 - \lambda x y - 1 = 0,\ \ \ \lambda \in \R.$$

इन शंकु खंडों में y-अक्ष के साथ कोई बिंदु नहीं है और x-अक्ष पर प्रतिच्छेद करते हैं $$(\pm 1, 0)$$. उनका शंक्वाकार खंड सामान्य कार्तीय रूप दर्शाता है कि ये वक्र अतिपरवलय हैं। अधिक विस्तृत जांच से पता चलता है कि अतिपरवलय आयताकार होते हैं। मानदंड प्राप्त करने के लिए, जो पैरामीटर से स्वतंत्र हैं $$\lambda$$ निम्नलिखित निहित प्रतिनिधित्व अधिक सुविधाजनक है
 * $$g(x,y) = \frac{x^2 - y^2 -1}{xy} - \lambda = \frac{x}{y} - \frac{y}{x} - \frac{1}{xy} - \lambda = 0 \; .$$

साधारण गणना से पता चलता है $$\operatorname{grad}f(x,y) \cdot \operatorname{grad}g(x,y) = 0$$ सभी के लिए $$(x,y),\, x \ne 0 \ne y$$. इसलिए कैसिनी अंडाकार और हाइपरबोलस लंबवत रूप से प्रतिच्छेद करते हैं।

टिप्पणी: कैसिनी अंडाकार और हाइपरबोलस को दर्शाने वाली छवि उत्पन्न विद्युत क्षेत्र की रेखाओं के साथ दो समान बिंदु आवेशों के समविभव वक्र वक्र की प्रकार दिखती है। किन्तु दो समान बिंदु आवेशों की क्षमता के लिए $$1/|PP_1| + 1/|PP_2| = \text{constant}$$ के पास है. (अंतर्निहित वक्र देखें।)

सिंगल-लूप और दोहरा लूप कैसिनी कर्व्स को एक-दूसरे के लंबकोणीय ट्रैजेक्टोरियों के रूप में दर्शाया जा सकता है जब प्रत्येक परिवार समाक्षीय होता है किन्तु मुखर नहीं होता है। यदि सिंगल-लूप $$(x^2+y^2)-1=axy$$ द्वारा वर्णित किया गया है तब फोकी $$y=x$$ अक्ष पर परिवर्तनशील होते हैं यदि $$a>0$$, $$y=-x$$ यदि $$a<0$$; यदि दोहरा-लूप $$(x^2+y^2)+1=b(x^2-y^2)$$ द्वारा वर्णित किया गया है तो अक्ष, $$y=0$$ और $$x=0$$ क्रमशः हैं. प्रत्येक वक्र, समानता तक, छवि में दो बार प्रकट होता है, जो अब क्षेत्र रेखाओं और चार समान बिंदु आवेशों के लिए संभावित वक्र जैसा दिखता है, जो पर स्थित है $$(\pm1,0)$$ और $$(0,\pm1)$$. इसके अतिरिक्त, ऊपरी अर्ध-तल में इस छवि का भाग निम्नलिखित स्थिति को दर्शाता है: दोहरा-लूप सीधे संरेखण द्वारा उत्पादित अतिशयोक्तिपूर्ण तल में केंद्रीय स्टेनर शांकवों के लिए सर्वांगसमता वर्गों का घटा हुआ समुच्चय है; और प्रत्येक एकल-लूप बिंदुओं $$P$$ का स्थान है जैसे कि कोण $$OPQ$$ स्थिर है, जहाँ $$O=(0,1)$$ और $$Q$$ के माध्यम से $$P$$ द्वारा वर्णित रेखा पर $$x^2+y^2=1$$ लंबवत का चरण है.

उदाहरण
मंडेलब्रॉट समुच्चय का लेम्निस्केट कैसिनी अंडाकार है जिसे समीकरण $$L_2=\{c: \operatorname{abs}(c^2 + c)=ER \}.$$ द्वारा परिभाषित किया गया है इसकी फोकियाँ उस जटिल समतल पर बिंदु c पर होती हैं जिसमें कक्षाएँ होती हैं जहाँ z का प्रत्येक दूसरा मान शून्य के बराबर होता है, जो कि मान 0 और -1 हैं।

टोरी पर कैसिनी अंडाकार कैसिनी अंडाकार टॉरस के तलीय अनुभाग के रूप में दिखाई देते हैं, किन्तु केवल तब
 * काटने वाला विमान टोरस्र्स की धुरी के समानांतर होता है और धुरी की दूरी उत्पन्न करने वाले सर्कल के त्रिज्या के बराबर होती है (चित्र देखें)।

समीकरण के साथ टोरस का प्रतिच्छेदन
 * $$\left(x^2+y^2+z^2 + R^2 - r^2\right)^2 = 4R^2 \!\left(x^2+y^2\right)$$

और समतल $$y=r$$ मान लेने पर
 * $$\left(x^2+z^2 + R^2\right)^2 = 4R^2 \!\left(x^2+r^2\right).$$

पहले कोष्ठक को आंशिक रूप से समाधान करने के बाद समीकरण प्राप्त होता है
 * $$\left(x^2+z^2\right)^2 -2R^2(x^2-z^2)= 4R^2r^2-R^4,$$

जो पैरामीटर के साथ कैसिनी अंडाकार का समीकरण $$b^2 = 2Rr$$ और $$a = R$$ है.

सामान्यीकरण
कैसिनी की विधि स्वैच्छिक रूप से कई परिभाषित बिंदुओं के साथ घटता और सतहों को सामान्यीकृत करना आसान है: समतल स्थिति में अन्तर्निहित वक्र और 3-स्पेस में निहित सतह का वर्णन करता है।
 * $$|PP_1| \times |PP_2| \times \cdots \times |PP_n| = b^n$$

यह भी देखें

 * दो-केंद्र द्विध्रुवी निर्देशांक

संदर्भ

 * Bibliography
 * Lawden, D. F., "Families of ovals and their orthogonal trajectories", Mathematical Gazette 83, November 1999, 410–420.
 * Lawden, D. F., "Families of ovals and their orthogonal trajectories", Mathematical Gazette 83, November 1999, 410–420.
 * Lawden, D. F., "Families of ovals and their orthogonal trajectories", Mathematical Gazette 83, November 1999, 410–420.
 * Lawden, D. F., "Families of ovals and their orthogonal trajectories", Mathematical Gazette 83, November 1999, 410–420.

बाहरी संबंध

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 * "MacTutor History of Mathematics" Famous Curves
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