शेर्क सतह

गणित में, शर्क सतह (हेनरिक शर्क के नाम पर) न्यूनतम सतह का एक उदाहरण है। शर्क ने 1834 में दो पूर्ण एम्बेडेड न्यूनतम सतहों का वर्णन किया था; उसकी पहली सतह दोहरी ऊँची सतह है, उसकी दूसरी सतह एकल ऊँची है। वे न्यूनतम सतहों के तीसरे गैर-तुच्छ उदाहरण थे (पहले दो कैटेनॉइड और घुमावदार थे)। दो सतह एक दूसरे के संयुग्मी हैं।

न्यूनतम सतह की समस्याओं को सीमित करने और अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान के हार्मोनिक डिफियोमोर्फिज्म के अध्ययन में शर्क सतह उत्पन्न होती हैं।

शर्क की पहली सतह
शर्क की पहली सतह समानांतर तलों के दो अनंत परिवारों के लिए स्पर्शोन्मुख है, जो एक दूसरे के लिए लंबकोणीय हैं, जो ब्रिजिंग आरशेज़ के चेकरबोर्ड स्वरूप में z = 0 के पास मिलते हैं। इसमें सीधी खड़ी रेखाओं की अनंत संख्या होती है।

एक साधारण शर्क सतह का निर्माण
यूक्लिडियन विमान में एक वर्ग पर निम्न न्यूनतम सतह समस्या पर विचार करें: प्राकृतिक संख्या n के लिए, किसी फलन के ग्राफ़ के रूप में न्यूनतम सतह Σn खोजें |


 * $$u_{n} : \left( - \frac{\pi}{2}, + \frac{\pi}{2} \right) \times \left( - \frac{\pi}{2}, + \frac{\pi}{2} \right) \to \mathbb{R}$$

चूकि


 * $$\lim_{y \to \pm \pi / 2} u_{n} \left( x, y \right) = + n \text{ for } - \frac{\pi}{2} < x < + \frac{\pi}{2},$$
 * $$\lim_{x \to \pm \pi / 2} u_{n} \left( x, y \right) = - n \text{ for } - \frac{\pi}{2} < y < + \frac{\pi}{2}.$$

अर्थात यूn न्यूनतम सतह समीकरण को संतुष्ट करता है


 * $$\mathrm{div} \left( \frac{\nabla u_{n} (x, y)}{\sqrt{1 + | \nabla u_{n} (x, y) |^{2}}} \right) \equiv 0$$

और


 * $$\Sigma_{n} = \left\{ (x, y, u_{n}(x, y)) \in \mathbb{R}^{3} \left| - \frac{\pi}{2} < x, y < + \frac{\pi}{2} \right. \right\}.$$

यदि कुछ भी, सीमांत सतह है क्योंकि n अनंत की ओर जाता है? उत्तर 1834 में एच. शर्क द्वारा दिया गया था: सीमांत सतह Σ का ग्राफ है |


 * $$u : \left( - \frac{\pi}{2}, + \frac{\pi}{2} \right) \times \left( - \frac{\pi}{2}, + \frac{\pi}{2} \right) \to \mathbb{R},$$
 * $$u(x, y) = \log \left( \frac{\cos (x)}{\cos (y)} \right).$$

अर्थात्, वर्ग के ऊपर शर्क सतह है |


 * $$\Sigma = \left\{ \left. \left(x, y, \log \left( \frac{\cos (x)}{\cos (y)} \right) \right) \in \mathbb{R}^{3} \right| - \frac{\pi}{2} < x, y < + \frac{\pi}{2} \right\}.$$

अधिक सामान्य शर्क सतह
यूक्लिडियन विमान में अन्य चतुर्भुजों पर समान न्यूनतम सतह की समस्याओं पर विचार किया जा सकता है। अतिशयोक्तिपूर्ण तल में चतुर्भुजों पर भी इसी समस्या पर विचार किया जा सकता है। 2006 में, हेरोल्ड रोसेनबर्ग और पास्कल कोलिन ने अतिशयोक्तिपूर्ण तल (अतिशयोक्तिपूर्ण मेट्रिक के साथ यूनिट डिस्क) पर कॉम्प्लेक्स तल से हार्मोनिक डिफेओमोर्फिज्म बनाने के लिए अतिशयोक्तिपूर्ण शर्क सतहों का इस्तेमाल किया, जिससे स्कोएन-यॉ अनुमान को खारिज कर दिया।

शर्क की दूसरी सतह
शर्क की दूसरी सतह विश्व स्तर पर दो लंबकोणीय तलों की तरह दिखती है, जिनके चौराहे में बारी-बारी से दिशाओं में सुरंगों का क्रम होता है। क्षैतिज तलों के साथ इसके चौराहों में बारी-बारी से अतिशयोक्तिपूर्ण होते हैं।

इसका निहित समीकरण है: इसमें वीयरस्ट्रैस-एनीपर पैरामीटराइजेशन है
 * $$\sin(z) - \sinh(x)\sinh(y)=0$$

$$f(z) = \frac{4}{1-z^4}$$, $$g(z) = iz$$

और पैरामीट्रिज्ड किया जा सकता है:
 * $$x(r,\theta) = 2 \Re ( \ln(1+re^{i \theta}) - \ln(1-re^{i \theta}) ) = \ln \left( \frac{1+r^2+2r \cos \theta}{1+r^2-2r \cos \theta} \right)$$
 * $$y(r,\theta) = \Re ( 4i \tan^{-1}(re^{i \theta})) = \ln \left( \frac{1+r^2-2r \sin\theta}{1+r^2+2r \sin \theta} \right)$$
 * $$z(r,\theta) = \Re ( 2i(-\ln(1-r^2e^{2i \theta}) + \ln(1+r^2e^{2i \theta}) ) = 2 \tan^{-1}\left( \frac{2 r^2 \sin 2\theta}{r^4-1} \right)$$

$$\theta \in [0, 2\pi)$$ और $$r \in (0,1)$$ के लिए. यह सतह की एक समय देता है, जिसे समरूपता द्वारा जेड-दिशा में बढ़ाया जा सकता है।

समय-समय पर न्यूनतम सतहों के सैडल टॉवर परिवार में एच करचर द्वारा सतह को सामान्यीकृत किया गया है।

कुछ अस्पष्टत रूप से, इस सतह को कभी-कभी साहित्य में शर्क की पांचवीं सतह कहा जाता है। अस्तव्यस्तता को कम करने के लिए इसे शर्क की एकल ऊँची सतह या शर्क-टॉवर के रूप में संदर्भित करना उपयोगी है।

बाहरी संबंध

 * एमएसआरआई ज्यामिति में शार्क की पहली सतह [1]
 * एमएसआरआई ज्यामिति में शार्क की दूसरी सतह [1]
 * मैथवर्ल्ड में शार्क की न्यूनतम सतह [1]
 * मैथवर्ल्ड में शार्क की न्यूनतम सतह [1]