दशमलव

दशमलव अंक प्रणाली (जिसे आधार-दस स्थितीय अंक प्रणाली और या दशकीय भी कहा जाता है) पूर्णांक और गैर-पूर्णांक संख्याओं को दर्शाने के लिए मानक प्रणाली है। यह हिंदी-अरबिक अंक प्रणाली के गैर-पूर्णांक संख्या का विस्तार है। दशमलव प्रणाली में संख्याओं को दर्शाने की विधि को अधिकांश दशमलव संकेतन के रूप में संदर्भित किया जाता है। दशमलव अंक (अधिकांश केवल दशमलव या, कम सही रूप से, दशमलव संख्या), सामान्यतः दशमलव अंक प्रणाली में एक संख्या के अंकन को संदर्भित करता है। दशमलव को कभी -कभी एक दशमलव विभाजक (सामान्यतः। या, $25.9703$ या $3,1415$ के रूप में) द्वारा पहचाना जा सकता है। दशमलव विशेष रूप से दशमलव विभाजक के बाद विशेष रूप से अंकों को संदर्भित कर सकता है, जैसे कि $3.14$ में $\pi$ का अनुमान है। दशमलव विभाजक के बाद शून्य-अंक किसी मान की शुद्धता को दर्शाने के उद्देश्य से काम करते हैं।

दशमलव प्रणाली में जिन संख्याओं का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, वे दशमलव अंश हैं। अर्थात्, $a/10^{n}$ के रूप का भिन्न (गणित) हैं, जहाँ $a$ पूर्णांक है, और $n$ एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है।

दशमलव विभाजक (दशमलव प्रतिनिधित्व देखें) के बाद अंकों के अनुक्रम (गणित) का उपयोग करके, दशमलव प्रणाली को किसी भी वास्तविक संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए अनंत दशमलव तक बढ़ाया गया है। इस संदर्भ में, दशमलव विभाजक के बाद गैर-शून्य अंकों की एक परिमित संख्या के साथ दशमलव अंकों को कभी-कभी समाप्ति को समाप्त करने के लिए कहा जाता है। एक दोहराने वाला दशमलव एक अनंत दशमलव है, जो किसी स्थान के बाद, अंकों के समान क्रम को अनिश्चित काल तक दोहराता है (जैसे, $5.123144144144144... = 5.123\overline{144}$)। एक अनंत दशमलव एक तर्कसंगत संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, दो पूर्णांक का भागफल, यदि और केवल यदि यह एक दोहराया दशमलव है या गैर-शून्य अंकों की एक परिमित संख्या है।

मूल
प्राचीन सभ्यताओं की कई अंक प्रणालियां संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए दस और उसकी शक्तियों का उपयोग करती हैं, संभवतः इसलिए कि दोनों हाथों में दस उंगलियां होती हैं और लोगों ने अपनी उंगलियों का उपयोग करके गिनना प्रारंभ किया। जिसका उदाहरण सबसे पहले मिस्र के अंक हैं, फिर ब्राह्मी अंक, ग्रीक अंक, हिब्रू अंक, रोमन अंक और चीनी अंक इसके उदाहरण है। इन पुराने अंक प्रणालियों में बहुत बड़ी संख्या का प्रतिनिधित्व करना कठिन था, और केवल सबसे अच्छा गणितज्ञ बड़ी संख्या में गुणा या विभाजित करने में सक्षम थे।इन कठिनाइयों को पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करने के लिए हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली की प्रारंभ के साथ पूरी तरह से समाधान किया गया था।इस प्रणाली को दशमलव अंक प्रणाली बनाने के लिए कुछ गैर-पूर्णांक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए बढ़ाया गया है, जिसे दशमलव अंश या दशमलव संख्या कहा जाता है।

दशमलव अंकन
संख्याएँ लिखने के लिए, दशमलव प्रणाली दस दशमलव अंक, एक दशमलव चिह्न, और, नकारात्मक संख्याओं के लिए, एक ऋणात्मक चिन्ह "−" का उपयोग करती है। दशमलव अंक 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 हैं; दशमलव विभाजक डॉट "$.$" है कई अन्य देशों में (अधिकांश अंग्रेजी बोलने वाले), और अल्पविराम "$,$" का प्रयोग किया जाता है।

एक गैर-नकारात्मक संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए, एक दशमलव अंक होता है
 * या तो अंकों का एक (परिमित) अनुक्रम (जैसे 2017), जहां पूरा अनुक्रम एक पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करता है,
 * $$a_ma_{m-1}\ldots a_0$$
 * या एक दशमलव चिह्न अंक के दो अनुक्रमों को अलग करना (जैसे कि 20.70828)
 * $$a_ma_{m-1}\ldots a_0.b_1b_2\ldots b_n$$।

यदि $m > 0$, अर्थात्, यदि पहले अनुक्रम में कम से कम दो अंक होते हैं, तो यह सामान्यतः माना जाता है कि पहला अंक $a_{m}$ शून्य नहीं है।कुछ परिस्थितियों में बाईं ओर एक या एक से अधिक 0 होना उपयोगी हो सकता है; यह दशमलव द्वारा दर्शाए गए मूल्य को नहीं बदलता है: उदाहरण के लिए, $3.14 = 03.14 = 003.14$। इसी प्रकार, यदि दशमलव चिह्न के दाईं ओर अंतिम अंक शून्य है - अर्थात्, तो, यदि $b_{n} = 0$ इसे हटाया जा सकता है; इसके विपरीत, ट्रेनिंग शून्य को दशमलव चिह्न के बाद प्रतिनिधित्व संख्या को बदलने के बिना जोड़ा जा सकता है; उदाहरण के लिए, $15 = 15.0 = 15.00$ और $5.2 = 5.20 = 5.200$।

एक ऋणात्मक संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए, एक ऋण चिह्न $a_{m}$ से पहले रखा जाता है।

अंक $$a_ma_{m-1}\ldots a_0.b_1b_2\ldots b_n$$ संख्या का प्रतिनिधित्व करता है
 * $$a_m10^m+a_{m-1}10^{m-1}+\cdots+a_{0}10^0+\frac{b_1}{10^1}+\frac{b_2}{10^2}+\cdots+\frac{b_n}{10^n}$$।

दशमलव अंक का पूर्णांक भाग या अभिन्न अंग दशमलव विभाजक के बाईं ओर लिखा पूर्णांक है (यह भी देखें)। एक गैर-नकारात्मक दशमलव अंक के लिए, यह सबसे बड़ा पूर्णांक है जो दशमलव से अधिक नहीं है। दशमलव विभाजक से दाईं ओर का हिस्सा आंशिक भाग है, जो संख्या और उसके पूर्णांक भाग के बीच अंतर के बराबर है।

जब एक अंक का अभिन्न अंग शून्य होता है, तो यह हो सकता है, सामान्यतः कम्प्यूटिंग में, कि पूर्णांक भाग नहीं लिखा जाता है (उदाहरण के लिए, $.1234$, के अतिरिक्त $0.1234$)। सामान्य लेखन में, दशमलव चिन्ह और अन्य विराम चिह्न के बीच भ्रम के जोखिम के कारण इसके प्रयोग से बचा जाता है ।

संक्षेप में, एक संख्या के मूल्य में प्रत्येक अंक का योगदान अंक में इसकी स्थिति पर निर्भर करता है। अर्थात्, दशमलव प्रणाली एक स्थितीय संख्या प्रणाली है।

दशमलव अंश
दशमलव अंश (कभी -कभी दशमलव संख्या कहा जाता है, विशेष रूप से स्पष्ट अंशों को सम्मिलित करने वाले संदर्भों में) तर्कसंगत संख्याएं हैं जिन्हें एक अंश (गणित) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसका भाजक दस का घातांक है। उदाहरण के लिए, दशमलव $$0.8, 14.89, 0.00079, 1.618, 3.14159$$ अंशों का प्रतिनिधित्व करते हैं और $4⁄5$, $1489⁄100$, $79⁄100000$, $809⁄500$ और $314159⁄100000$, इसलिए दशमलव संख्या हैं।

अधिक सामान्यतः, एक दशमलव के साथ $n$ दशमलव विभाजक (एक बिंदु या अल्पविराम) के बाद अंकों में हर $10^{n}$, जिसका अंश विभाजक को हटाकर प्राप्त पूर्णांक है।

यह इस प्रकार है कि एक संख्या एक दशमलव अंश है यदि और केवल यदि इसमें एक परिमित दशमलव प्रतिनिधित्व है।

पूरी तरह से कम किए गए अंश के रूप में व्यक्त किया गया, दशमलव संख्या वे हैं जिनके भाजक 2 की घात और 5 की घात का एक उत्पाद है। इस प्रकार दशमलव संख्या के सबसे छोटे भाजक हैं
 * $$1=2^0\cdot 5^0, 2=2^1\cdot 5^0, 4=2^2\cdot 5^0, 5=2^0\cdot 5^1, 8=2^3\cdot 5^0, 10=2^1\cdot 5^1, 16=2^4\cdot 5^0, 20=2^2\cdot5^1, 25=2^0\cdot 5^2, \ldots$$

वास्तविक संख्या सन्निकटन
दशमलव अंक सभी वास्तविक संख्याओं के लिए एक त्रुटिहीन प्रतिनिधित्व की अनुमति नहीं देते हैं, उदा. वास्तविक संख्या π के लिए। फिर भी, वे किसी भी वांछित शुद्धता के साथ हर वास्तविक संख्या को अनुमानित करने की अनुमति देते हैं, उदाहरण के लिए, दशमलव 3.14159 वास्तविक π का अनुमान लगाता है, जो 10−5 से कम है; इसलिए दशमलव का व्यापक रूप से विज्ञान, अभियांत्रिकी और दैनिक जीवन में उपयोग किया जाता है।

अधिक त्रुटिहीन रूप से, हर वास्तविक संख्या $...5.123$ के लिए और हर धनात्मक पूर्णांक $x$, के लिए दो दशमलव $n$ और $L$ होते हैं जिनमें दशमलव चिह्न के बाद अधिक से $u$ अंक होते हैं जैसे कि $L ≤ x ≤ u$ और $(u − L) = 10^{−n}$।

माप के परिणाम के रूप में संख्या बहुत बार प्राप्त की जाती है। जैसा कि माप एक ज्ञात ऊपरी सीमा के साथ माप अनिश्चितता के अधीन हैं, जैसे ही पूर्ण माप त्रुटि ऊपर से बंधी हुई है $10^{−n}$ से ऊपर से घिरी होती है, माप का परिणाम दशमलव चिह्न के बाद $n$ अंकों के साथ दशमलव द्वारा अच्छी तरह से दर्शाया जाता है। व्यवहार में, माप के परिणाम अधिकांश दशमलव बिंदु के बाद एक निश्चित संख्या में अंकों के साथ दिए जाते हैं, जो त्रुटि सीमा का संकेत देते हैं। उदाहरण के लिए, चूंकि 0.080 और 0.08 एक ही संख्या को दर्शाते हैं, दशमलव अंक 0.080 0.001 से कम त्रुटि के साथ एक माप का सुझाव देता है, जबकि अंक 0.08 0.01 से बंधी एक पूर्ण त्रुटि को निरुपित करता है। दोनों स्थितियों में, मापा मात्रा का सही मान, उदाहरण के लिए, 0.0803 या 0.0796 (महत्वपूर्ण आंकड़े भी देखें) हो सकता है।

अनंत दशमलव विस्तार
एक वास्तविक संख्या $n$ और एक पूर्णांक $n ≥ 0$ के लिए, मान लीजिए $[x]_{n}$ सबसे बड़ी संख्या के (परिमित) दशमलव विस्तार को निरूपित करें जो कि $x$ से अधिक नहीं है जिसमें दशमलव चिह्न के बाद बिल्कुल $x$ अंक हैं। मना $d_{i}$ के अंतिम अंक को $[x]_{i}$ निरूपित करें। यह देखना सीधा है कि $[x]_{n}$ को $[x]_{n−1}$ के दाईं $d_{n}$ जोड़कर प्राप्त किया जा सकता है। इस प्रकार एक है

और $[x]_{n} = [x]_{0}.d_{1}d_{2}...d_{n−1}d_{n}$ और $[x]_{n−1}$ का अंतर
 * $$\left\vert \left [ x \right ]_n-\left [ x \right ]_{n-1} \right\vert=d_n\cdot10^{-n}<10^{-n+1}$$,

जो या तो 0 है, यदि $[x]_{n}$, या स्वैच्छिक रूप से छोटा हो जाता है क्योंकि $n$ अनंत की ओर जाता है। एक सीमा (गणित) की परिभाषा के अनुसार, $n$ $d_{n} = 0$ की सीमा है जब $x$ अनंत की ओर जाता है। यह के रूप में लिखा है

$\; x = \lim_{n\rightarrow\infty} [x]_n \;$

या

$[x]_{n}$,

जिसे $n$ का अनंत दशमलव विस्तार कहा जाता है।

इसके विपरीत, किसी भी पूर्णांक के लिए $x = [x]_{0}.d_{1}d_{2}...d_{n}...$ और अंकों का कोई भी क्रम$\;(d_n)_{n=1}^{\infty}$ (अनंत) व्यंजक $[x]_{0}$ एक वास्तविक संख्या $x$ का एक अनंत दशमलव विस्तार है। यह विस्तार अद्वितीय है यदि पर्याप्त $x$ के लिये न तो सभी $[x]_{0}.d_{1}d_{2}...d_{n}...$ 9 के बराबर हैं और न ही सभी $d_{n}$ के लिए 0 के बराबर हैं (किसी प्राकृतिक संख्या $n$ से अधिक सभी $N$ के लिए)।

यदि $d_{n}$ के लिए $d_{n}$ 9 के बराबर और $n > N$, अनुक्रम की सीमा$\;([x]_n)_{n=1}^{\infty}$ क्या दशमलव अंश अंतिम अंक को बदलकर प्राप्त किया गया है जो 9 नहीं है, अर्थात:: $[x]_{n} = [x]_{0}.d_{1}d_{2}...d_{n}$, द्वारा $d_{N}$, और बाद के सभी 9s को 0s द्वारा प्रतिस्थापित करना (0.999 देखें ...)।

इस प्रकार के किसी भी दशमलव अंश, अर्थात्: $d_{N} + 1$ के लिए $d_{n} = 0$, प्रतिस्थापित करके इसके समकक्ष अनंत दशमलव विस्तार में परिवर्तित किया जा सकता है $n > N$ द्वारा $d_{N}$ और सभी बाद के 0s को 9s द्वारा प्रतिस्थापित करना (0.999 देखें ...)।

सारांश में, प्रत्येक वास्तविक संख्या जो दशमलव अंश नहीं है, उसका एक अद्वितीय अनंत दशमलव विस्तार होता है।प्रत्येक दशमलव अंश में बिल्कुल दो अनंत दशमलव विस्तार होते हैं, जिनमें से केवल कुछ जगह के बाद 0s होता है, जो उपरोक्त परिभाषा $d_{N} − 1$ द्वारा प्राप्त किया जाता है, और दूसरा जिसमें कुछ जगह के बाद केवल 9s होते हैं, जो कि $[x]_{n}$ को सबसे बड़ी संख्या के रूप में परिभाषित करके प्राप्त किया जाता है जो कि $n$ से कम है, जिसमें दशमलव चिह्न के बाद ठीक $x$ अंक होते हैं।

तर्कसंगत संख्या
लम्बा विभाजन एक तर्कसंगत संख्या के अनंत दशमलव विस्तार की गणना करने की अनुमति देता है।यदि तर्कसंगत संख्या एक दशमलव अंश है, तो विभाजन अंततः रुक जाता है, एक दशमलव अंक का उत्पादन करता है, जो कि अनंत रूप से कई शून्य जोड़कर अनंत विस्तार में लंबे समय तक हो सकता है। यदि तर्कसंगत संख्या दशमलव अंश नहीं है, तो विभाजन अनिश्चित काल तक जारी रह सकता है। चूंकि, चूंकि सभी क्रमिक अवशेष विभाजक से कम होते हैं, इसलिए केवल संभावित अवशेषों की एक परिमित संख्या होती है, और कुछ जगह के बाद, अंक के समान अनुक्रम को भागफल में अनिश्चित काल तक दोहराया जाना चाहिए। अर्थात्, एक को दोहराया दशमलव है। उदाहरण के लिए,
 * $n$ = 0।012345679012 ... (समूह के साथ 012345679 अनिश्चित काल के लिए)।

यह भी सच है: यदि, किसी संख्या के दशमलव प्रतिनिधित्व में कुछ बिंदु पर, अंकों के समान स्ट्रिंग अनिश्चित काल तक दोहराने लगती है, तो संख्या तर्कसंगत है। या अंश और हर दोनों को 6 से भाग देने पर, $1⁄81$।

दशमलव गणना
अधिकांश आधुनिक संगणक हार्डवेयर और सॉफ्टवेयर प्रणाली सामान्यतः आंतरिक रूप से एक बाइनरी अंक प्रणाली का उपयोग करते हैं (चूंकि कई प्रारंभिक कंप्यूटर, जैसे कि ईएनआईएसी या आईबीएम 650, आंतरिक रूप से दशमलव प्रतिनिधित्व का उपयोग करते हैं)। कंप्यूटर विशेषज्ञों द्वारा बाहरी उपयोग के लिए, यह बाइनरी प्रतिनिधित्व कभी -कभी संबंधित अष्टभुजाकार या हेक्साडेसिमल प्रणाली में प्रस्तुत किया जाता है।

अधिकांश उद्देश्यों के लिए, चूंकि, द्विआधारी मूल्यों को मनुष्यों से प्रस्तुति या इनपुट के लिए समतुल्य दशमलव मूल्यों में या परिवर्तित किया जाता है;कंप्यूटर प्रोग्राम डिफ़ॉल्ट रूप से दशमलव में शाब्दिक व्यक्त करते हैं।(123.1, उदाहरण के लिए, कंप्यूटर प्रोग्राम में इस प्रकार लिखा जाता है, चाहे कई कंप्यूटर भाषाएं उस संख्या को ठीक से एनकोड करने में असमर्थ हों।)

कंप्यूटर हार्डवेयर और सॉफ्टवेयर दोनों भी आंतरिक अभ्यावेदन का उपयोग करते हैं जो दशमलव मानों को संग्रहीत करने और अंकगणित करने के लिए प्रभावी रूप से दशमलव हैं। अधिकांश यह अंकगणित डेटा पर किया जाता है जो बाइनरी-कोडित दशमलव के कुछ प्रकार का उपयोग करके एन्कोड किया जाता है, विशेष रूप से डेटाबेस कार्यान्वयन में, किन्तु उपयोग में अन्य दशमलव प्रतिनिधित्व हैं (दशमलव अस्थायी बिंदु जैसे कि IEEE 754 के नए संशोधन में)।

Ref> दशमलव फ़्लोटिंग-पॉइंट: कंप्यूटर के लिए अल्गोरिज्म, माइक काउलिशॉव | Cowlishaw, माइक एफ।, कार्यवाही 16 वीं IEEE संगोष्ठी कंप्यूटर अंकगणित पर, ISBN 0-7695-1894-X, पीपी। 104–11, IEEE COMP।Soc।, 2003

दशमलव अंकगणित का उपयोग कंप्यूटर में किया जाता है जिससे उनके आंशिक भाग की एक निश्चित लंबाई के साथ मूल्यों को जोड़ने (या घटाने) के दशमलव आंशिक परिणाम हमेशा शुद्धता की समान लंबाई के लिए गणना की जाती हैं। यह विशेष रूप से वित्तीय गणना के लिए महत्वपूर्ण है, उदाहरण के लिए, उनके परिणामों की आवश्यकता होती है, जो कि पुस्तक रखने के उद्देश्यों के लिए सबसे छोटी मुद्रा इकाई के पूर्णांक गुणकों की आवश्यकता होती है।यह बाइनरी में संभव नहीं है, क्योंकि नकारात्मक शक्तियां $$10$$ कोई परिमित द्विआधारी आंशिक प्रतिनिधित्व नहीं है;और सामान्यतः गुणा (या विभाजन) के लिए असंभव है। त्रुटिहीन गणना के लिए स्वैच्छिक-त्रुटिहीन अंकगणित देखें।

इतिहास
कई प्राचीन संस्कृतियों की गणना दस के आधार पर अंकों के साथ की जाती है, कभी -कभी मानव हाथों के कारण तर्क दिया जाता है कि सामान्यतः दस अंगुलियों/अंक होते हैं। सिंधु घाटी सभ्यता में उपयोग किए जाने वाले मानकीकृत भार (c. 3300–1300 BCE) अनुपात पर आधारित थे: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 100, 200, और 500, जबकि उनके मानकीकृत शासक- मोहनजो-दारो शासक - को दस समान भागों में विभाजित किया गया था।  लगभग 3000 ईसा पूर्व के बाद से सबूतों में मिस्र के चित्रलिपि, एक विशुद्ध रूप से दशमलव प्रणाली का उपयोग करते हैं, जैसा कि क्रेटन हाइरोग्लिफ़्स (c. 1625−1500 BCE) उन मीनियों का जिनके अंक मिस्र के मॉडल पर बारीकी से आधारित हैं।  और दशमलव प्रणाली कांस्य युग ग्रीस की लगातार कांस्य युग की संस्कृतियों को सौंपी गई थी, जिसमें रैखिक ए (सी. 18 वीं शताब्दी ईसा पूर्व bc1450 ईसा पूर्व) और रैखिक बी (सी। 1375−1200 ईसा पूर्व) सम्मिलित थे - मौलिक ग्रीस की संख्या प्रणाली ने दस की शक्तियों का भी उपयोग किया था,रोमन अंक 5 का एक मध्यवर्ती आधार है। विशेष रूप से, पॉलीमैथ आर्किमिडीज (सी। 287–212 ईसा पूर्व) ने अपने रेत रेकनर में एक दशमलव स्थिति प्रणाली का आविष्कार किया जो 10 पर आधारित था8 और बाद में जर्मन गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस का नेतृत्व किया, जो कि हाइट्स साइंस ने अपने दिनों में पहले ही पहुंच लिया होगा यदि आर्किमिडीज ने अपनी सरल खोज की क्षमता को पूरी तरह से अनुभव किया होता हैं। हित्तियों (15 वीं शताब्दी ईसा पूर्व के बाद से) भी सख्ती से दशमलव थे। कुछ गैर-पारिश्रमिक प्राचीन ग्रंथ जैसे कि वेदों, 1700-900 ईसा पूर्व में डेटिंग दशमलव और गणितीय दशमलव अंशों का उपयोग करते हैं।

मिस्र के हायरैटिक अंक, ग्रीक वर्णमाला अंक, हिब्रू वर्णमाला अंक, रोमन अंक, चीनी अंक और प्रारंभिक भारतीय ब्राह्मी अंक सभी गैर-स्थिति दशमलव प्रणालियों हैं, और बड़ी संख्या में प्रतीकों की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, मिस्र के अंकों ने 10, 20 से 90, 100, 200 से 900, 1000, 2000, 3000, 4000, से 10,000 के लिए अलग -अलग प्रतीकों का उपयोग किया।

दुनिया की सबसे पुरानी स्थिति दशमलव प्रणाली चीनी रॉड कैलकुलस थी।

दशमलव अंशों का इतिहास
दशमलव अंशों को पहली बार 4 वीं शताब्दी के अंत में चीनी द्वारा विकसित और उपयोग किया गया था, और फिर मध्य पूर्व में और वहां से यूरोप तक फैल गया। लिखित चीनी दशमलव अंश गैर-स्थिति में थे। चूंकि, रॉड कैलकुलस अंश स्थितिगत थे। नौ खंडों में अपनी पुस्तक गणितीय ग्रंथ (1247 (1247 ) 0.96644 को निरूपित किया था


 * 寸
 * [[File:Counting rod 0.png]] [[File:Counting rod h9 num.png]] [[File:Counting rod v6.png]] [[File:Counting rod h6.png]] [[File:Counting rod v4.png]] [[File:Counting rod h4.png]], अर्थ
 * 寸
 * 096644

जे. लेनार्ट बर्गग्रेन ने नोट किया कि 10 वीं शताब्दी में लिखे गए अरब गणितज्ञ अबू'ल-हसन अल-उक्लिडिसी की एक पुस्तक में पहली बार स्थित दशमलव अंश दिखाई देते हैं। यहूदी गणितज्ञ इमैनुएल बोनफिल्स ने साइमन स्टीविन की आशंका के साथ 1350 के आसपास दशमलव अंशों का उपयोग किया, किन्तु उनका प्रतिनिधित्व करने के लिए कोई संकेतन विकसित नहीं किया था। फारसी गणितज्ञ जमशिद अल-कशी ने प्रमाणित किया कि 15 वीं शताब्दी में स्वयं दशमलव अंशों की खोज की गई थी। अलखावरिज़्मी ने 9 वीं शताब्दी की प्रारंभ में इस्लामी देशों में अंश प्रस्तुत किया; एक चीनी लेखक ने आरोप लगाया है कि उनकी अंश प्रस्तुति सूरज बैंगनी सु शांत से पारंपरिक चीनी गणितीय अंश की एक त्रुटिहीन प्रति थी। एक क्षैतिज बार के बिना नीचे और नीचे की तरफ अंश पर अंश के साथ अंश का यह रूप अल-उक्लिडिसी द्वारा और अल-काशी द्वारा उनके कार्य अंकगणितीय कुंजी में भी उपयोग किया गया था। 

16 वीं शताब्दी में साइमन स्टीविन द्वारा आधुनिक यूरोपीय दशमलव संकेतन का एक अग्रदूत प्रस्तुत किया गया था।

जॉन नेपियर ने 1620 में मरणोपरांत प्रकाशित, लॉगरिथम्स के निर्माण तालिकाओं पर अपनी पुस्तक में एक दशमलव संख्या के पूर्णांक भाग को अलग करने के लिए अवधि (।) का उपयोग करके प्रारंभ किया था।

प्राकृतिक भाषाएँ
भारत में दस प्रतीकों के एक सेट का उपयोग करके हर संभव प्राकृतिक संख्या को व्यक्त करने की एक विधि हैं। कई भारतीय भाषाएं एक सीधी दशमलव प्रणाली दिखाती हैं। कई इंडो-आर्यन भाषाएँ और द्रविड़ियन भाषाओं में 10 और 20 के बीच संख्या 10 के अतिरिक्त नियमित स्वरूप में व्यक्त की गई है।

हंगेरियन भाषा एक सीधी दशमलव प्रणाली का भी उपयोग करती है। 10 और 20 के बीच सभी संख्याएं नियमित रूप से बनती हैं (जैसे कि 11 को टिज़ेगी के रूप में शाब्दिक रूप से दस पर एक के रूप में व्यक्त किया जाता है), जैसे कि 20 से 100 (23 के बीच 23 के रूप में हुसोनह्रोम = 20 पर 3)।

प्रत्येक आदेश के लिए एक शब्द के साथ एक सीधा दशमलव रैंक प्रणाली (10) 十, 100 百, 1000 千, 10,000 万), और जिसमें 11 को दस-एक के रूप में और 23 को दो-दस-तीन के रूप में, और 89,345 को 8 (दस हजारों) के रूप में और 万 9 (हजार) 千 3 (सौ) 百 4 (दसियों) 十 5 चीनी भाषा में व्यक्त किया गया है, और वियतनामी भाषा में कुछ अनियमितताओं के साथ पाया जाता है। जापानी भाषा, कोरियाई भाषा और थाई भाषा ने चीनी दशमलव प्रणाली का आयात किया है। दशमलव प्रणाली वाली कई अन्य भाषाओं में 10 और 20 और दशकों के बीच संख्याओं के लिए विशेष शब्द हैं। उदाहरण के लिए, अंग्रेजी में 11 ग्यारह नहीं दस-एक या एक-किशोरावस्था है।

इंकान भाषाओं जैसे कि क्वेशुआ भाषाओं और आयमारा भाषा में लगभग सीधी दशमलव प्रणाली होती है, जिसमें 11 को दस के साथ एक और 23 के रूप में दो-दस के रूप में व्यक्त किया जाता है।

कुछ मनोवैज्ञानिक सुझाव देते हैं कि अंकों के अंग्रेजी नामों की अनियमितता बच्चों की गिनती की क्षमता में बाधा डाल सकती है।

अन्य आधार
कुछ संस्कृतियां संख्याओं के अन्य स्थानों का उपयोग करती हैं, या करती हैं।
 * पूर्व-कोलंबियन मेसोअमेरिका संस्कृतियों जैसे कि माया अंकों ने एक विजय का उपयोग किया। आधार -20 प्रणाली (संभवतः सभी बीस उंगलियों और पैर की उंगलियों का उपयोग करने के आधार पर)।
 * कैलिफोर्निया और पामियन भाषाओं में युकी जनजाति भाषा मेक्सिको में ऑक्टल ( सूत्र -8) प्रणाली हैं क्योंकि वक्ताओं ने अपनी उंगलियों के अतिरिक्त स्वयं को उंगलियों के अतिरिक्त रिक्त स्थान का उपयोग करके गिना है।
 * जर्मनिक भाषाओं के प्रारंभिक चिन्ह में एक गैर-दशमलव आधार का अस्तित्व शब्दों और शब्दावली की उपस्थिति से संबंधित है, जिसका अर्थ है कि गिनती दशमलव में है (दस-गिनती या टेंटी-वार के लिए संज्ञानात्मक); इस प्रकार की आशा की जाएगी यदि सामान्य गिनती दशमलव नहीं है, और यदि यह असामान्य है। जहां यह गिनती प्रणाली ज्ञात है, यह लॉन्ग हंड्रेड = 120 पर आधारित है, और 1200 का एक लॉन्ग थाउजेंड पर आधारित है। लंबे समय के विवरण केवल छोटे सौ 100 के बाद दिखाई देते हैं जो ईसाइयों के साथ दिखाई देते हैं। गॉर्डन का परिचय पुराने नॉर्स के लिए]  पी; 293, संख्या नाम देता है जो इस प्रणाली से संबंधित हैं। एक व्यंजक 'एक सौ अस्सी' का अनुवाद 200 हो जाता है, और 'दो सौ' का अनुवाद 240 हो जाता है। गुडारे मध्य युग में स्कॉटलैंड में लॉन्ग हंड्रेड के उपयोग का विवरण देते हैं, गणना जैसे उदाहरण देना जहां कैरी का तात्पर्य i C (अर्थात् एक सौ) 120 आदि के रूप में है। और सामान्य आबादी ऐसी संख्याओं का सामना करने के लिए चिंतित नहीं थी, सामान्य पर्याप्त उपयोग का सुझाव देती है। पाउंड की लंबी गिनती के अतिरिक्त मध्यवर्ती इकाइयों, जैसे पत्थर और पाउंड का उपयोग करके सौ जैसी संख्याओं से बचना भी संभव है। गुडारे vii स्कोर जैसी संख्याओं का उदाहरण देते हैं, जहां कोई विस्तारित स्कोर का उपयोग करके सौ से बचता है। लॉन्ग हंड्रेड और इंग्लैंड में इसके उपयोग पर डब्ल्यू.एच. स्टीवेंसन का एक पेपर भी है।
 * कई या सभी चुमाशान भाषाओं ने मूल रूप से एक चतुर्धातुक संख्यात्मक प्रणाली का उपयोग किया था। जिसमें संख्याओं के नाम 4 और 16 के गुणकों के अनुसार संरचित किए गए थे।
 * कई भाषाओं में गुमात्ज, नुंगगुबुयू, कुर्न कोपन नोट लैंग्वेज और सरवका सहित पांचवीं (आधार-5) संख्या प्रणाली का उपयोग किया जाता है | इनमें से केवल गुमत्ज ही 5-25 भाषा ज्ञात है जिसमें 25 5 का उच्च समूह है।
 * कुछ नाइजीरियाई ग्रहणी प्रणाली का उपयोग करते हैं। इसी प्रकार भारत और नेपाल में कुछ छोटे समुदायों ने अपनी भाषाओं के संकेत के अनुसार किया था।
 * पापुआ न्यू गिनी की हुली भाषा में आधार -15 संख्या होने की सूचना है। जिसमे नगुई का अर्थ 15 है, नगुई "की" का अर्थ है 15 × 2 = 30 और नगुई नगुई का अर्थ 15 × 15 = 225 होता हैं।
 * उम्बु-उंगु, जिसे काकोली के नाम से भी जाना जाता है, के आधार 24 संख्या के लिए सूचना दी गई है। जिसमे टोकापू का अर्थ 24 है, टोकापू तालु का अर्थ 24 × 2 = 48 है, और टोकापू टोकापु का अर्थ 24 × 24 = 576 है।
 * नगीती भाषा में आधार - 4 चक्रों के साथ आधार 32 संख्या प्रणाली होने की सूचना है।
 * पापुआ न्यू गिनी की नडोम भाषा में आधार -6 अंक होने की सूचना है। जिसमे मेर का अर्थ 6 है, मेर एन थेफ का अर्थ 6 × 2 = 12 है, निफ का अर्थ 36 है, और निफ थेफ़ का अर्थ 36 × 2 = 72 है।

यह भी देखें
• एल्गोरिज्म

• बाइनरी-कोडित दशमलव (बीसीडी)

• दशमलव वर्गीकरण

• दशमलव कंप्यूटर

• दशमलव समय

• दशमलव प्रतिनिधित्व

• दशमलव खंड क्रमांकन

• दशमलव विभाजक

• दशमलवीकरण

• घनी पैक दशमलव (डीपीडी)

• डुओडेसिमल

• ऑक्टल

• वैज्ञानिक संकेतन

• सीरियल दशमलव

• एसआई उपसर्ग