दो-वस्तु समस्या

मौलिक यांत्रिकी में, दो-वस्तु की समस्या दो बड़े पैमाने पर वस्तुओं की गति की भविष्यवाणी करना होता है जो बिंदु कणों के रूप में अमूर्त रूप से देखी जाती है। समस्या यह मानती है कि दो वस्तुएं केवल एक दूसरे के साथ बातचीत करती है; प्रत्येक वस्तु को प्रभावित करने वाला एकमात्र बल दूसरी वस्तु से उत्पन्न होता है, और अन्य सभी वस्तुओं को अनदेखा कर दिया जाता है।

शास्त्रीय दो-वस्तु समस्या का सबसे प्रमुख मामला गुरुत्वाकर्षण का मामला है (केपलर समस्या भी देखें), उपग्रहों, ग्रहों और सितारों जैसे वस्तुओं की कक्षाओं (या कक्षा से पलायन) की भविष्यवाणी करने के लिए खगोल विज्ञान में उत्पन्न होता है। ऐसी प्रणाली का एक दो-बिंदु-कण मॉडल लगभग हमेशा उपयोगी अंतर्दृष्टि और भविष्यवाणियां प्रदान करने के लिए पर्याप्त रूप से अपने व्यवहार का वर्णन करता है।

एक सरल "एक निकाय" मॉडल, "केंद्रीय-बल समस्या", एक वस्तु को दूसरे पर कार्य करने वाले बल के स्थिर स्रोत के रूप में मानता है। इसके बाद एक शेष मोबाइल वस्तु की गति की भविष्यवाणी करना चाहता है। इस तरह का सन्निकटन तब उपयोगी परिणाम दे सकता है जब एक वस्तु दूसरे की तुलना में बहुत अधिक विशाल हो (जैसा कि एक प्रकाश ग्रह एक भारी तारे की परिक्रमा करता है, जहाँ तारे को अनिवार्य रूप से स्थिर माना जा सकता है)।

हालांकि, एक-निकाय सन्निकटन आमतौर पर अनावश्यक होता है सिवाय एक कदम पत्थर के। गुरुत्वाकर्षण वाले सहित कई बलों के लिए, दो-वस्तु की समस्या के सामान्य संस्करण को एक-वस्तु की समस्याओं की एक जोड़ी में कम किया जा सकता है, जिससे इसे पूरी तरह हल किया जा सकता है, और प्रभावी ढंग से उपयोग करने के लिए पर्याप्त सरल समाधान प्रदान किया जा सकता है।

इसके विपरीत, विशेष स्थितियों को छोड़कर, तीन-निकाय समस्या (और, अधिक सामान्यतः, n ≥ 3 के लिए n-निकाय समस्या) को पहले अभिन्न के संदर्भ में हल नहीं किया जा सकता है।

गुरुत्वाकर्षण और अन्य व्युत्क्रम-वर्ग उदाहरण
दो वस्तुों की समस्या खगोल विज्ञान में दिलचस्प है क्योंकि खगोलीय वस्तुओं के जोड़े अक्सर मनमानी दिशाओं में तेजी से आगे बढ़ रहे है (इसलिए उनकी गति दिलचस्प हो जाती है), व्यापक रूप से एक दूसरे से अलग हो जाते है (इसलिए वे टकराएंगे नहीं) और अन्य वस्तुओं से भी अधिक व्यापक रूप से अलग हो जाते है ( इसलिए बाहरी प्रभाव इतने छोटे होंगे कि उन्हें सुरक्षित रूप से अनदेखा किया जा सके)।

गुरुत्वाकर्षण बल के तहत, ऐसी वस्तुओं की एक जोड़ी के प्रत्येक सदस्य एक अण्डाकार पैटर्न में द्रव्यमान के अपने पारस्परिक केंद्र की परिक्रमा करेंगे, जब तक कि वे एक दूसरे से पूरी तरह से बचने के लिए पर्याप्त तेजी से आगे नहीं बढ़ रहे हों, जिस स्थिति में उनके पथ अन्य प्लानर शंकु वर्गों के साथ अलग हो जाएंगे।. यदि एक वस्तु दूसरे की तुलना में बहुत अधिक भारी है, तो वह द्रव्यमान के साझा केंद्र के संदर्भ में दूसरे की तुलना में बहुत कम गति करेगी। द्रव्यमान का आपसी केंद्र बड़ी वस्तु के अंदर भी हो सकता है।

समस्या के समाधान की व्युत्पत्ति के लिए, शास्त्रीय केंद्रीय-बल समस्या या केप्लर समस्या देखें।

सिद्धांत रूप में, एक ही समाधान मैक्रोस्कोपिक समस्याओं पर लागू होता है जिसमें ऑब्जेक्ट न केवल गुरुत्वाकर्षण के माध्यम से बातचीत करते है, बल्कि किसी भी अन्य आकर्षक स्केलर बल क्षेत्र के माध्यम से व्युत्क्रम-वर्ग कानून का पालन करते है, जिसमें इलेक्ट्रोस्टैटिक आकर्षण स्पष्ट भौतिक उदाहरण है। व्यवहार में, ऐसी समस्याएं शायद ही कभी उत्पन्न होती है। शायद प्रायोगिक उपकरण या अन्य विशेष उपकरणों को छोड़कर, हम शायद ही कभी इलेक्ट्रोस्टैटिक रूप से परस्पर क्रिया करने वाली वस्तुओं का सामना करते है जो काफी तेजी से आगे बढ़ रही है, और इस तरह की दिशा में टकराने से बचने के लिए, और/या जो अपने परिवेश से पर्याप्त रूप से अलग है।

बलाघूर्ण के प्रभाव में दो-निकाय प्रणाली की गतिकीय प्रणाली एक स्टर्म-लिउविल समीकरण बन जाती है।

परमाणुओं और उप-परमाणु कणों के लिए अनुपयुक्तता
यद्यपि दो-बॉडी मॉडल वस्तुओं को बिंदु कणों के रूप में मानता है, शास्त्रीय यांत्रिकी केवल मैक्रोस्कोपिक स्केल की प्रणालियों पर लागू होती है। उप-परमाणु कणों के अधिकांश व्यवहार की भविष्यवाणी इस लेख में निहित शास्त्रीय मान्यताओं के तहत या यहाँ गणित का उपयोग करके नहीं की जा सकती है।

नील्स बोह्र (यह शब्द "ऑर्बिटल" का स्रोत है) के प्रारंभिक अनुमान के बाद, एक परमाणु में इलेक्ट्रॉनों को कभी-कभी इसके नाभिक की "कक्षा" के रूप में वर्णित किया जाता है। हालांकि, इलेक्ट्रॉन वास्तव में किसी भी सार्थक अर्थ में नाभिक की परिक्रमा नहीं करते है, और इलेक्ट्रॉन के वास्तविक व्यवहार की किसी भी उपयोगी समझ के लिए क्वांटम यांत्रिकी आवश्यक है। एक परमाणु नाभिक की परिक्रमा करने वाले एक इलेक्ट्रॉन के लिए क्लासिकल टू-बॉडी प्रॉब्लम को हल करना भ्रामक है और कई उपयोगी अंतर्दृष्टि उत्पन्न नहीं करता है।

दो स्वतंत्र, एक-निकाय समस्याओं में कमी
पूर्ण दो-निकाय समस्या को दो एक-निकाय समस्याओं के रूप में पुन: सूत्रित करके हल किया जा सकता है: एक तुच्छ एक और एक जिसमें बाहरी क्षमता में एक कण की गति को हल करना शामिल है। चूंकि कई एक-वस्तु की समस्याओं को सटीक रूप से हल किया जा सकता है, इसलिए संबंधित दो-वस्तु की समस्या को भी हल किया जा सकता है।

$x_{1}$ और $x_{2}$ को दो वस्तुों की सदिश स्थिति होने दें, और m1 और m2 उनके द्रव्यमान हों। लक्ष्य सभी समय टी के लिए प्रक्षेपवक्र $x_{1}(t)$ और $x_{2}(t)$ निर्धारित करना है, प्रारंभिक स्थिति $x_{1}(t = 0)$ और $x_{2}(t = 0)$ और प्रारंभिक वेग $v_{1}(t = 0)$ और $v_{2}(t = 0)$ दिए गए है।

जब दो द्रव्यमानों पर लागू किया जाता है, तो न्यूटन का दूसरा नियम कहता है कि

जहां F12 द्रव्यमान 1 पर द्रव्यमान 2 के साथ इसकी अन्योन्य क्रिया के कारण बल है, और F21 द्रव्यमान 2 पर द्रव्यमान 1 के साथ इसकी बातचीत के कारण बल है। x स्थिति वैक्टर के शीर्ष पर स्थित दो बिंदु समय के संबंध में उनके दूसरे व्युत्पन्न या उनके त्वरण वैक्टर को दर्शाते है।

इन दो समीकरणों को जोड़ना और घटाना उन्हें दो एक-निकाय समस्याओं में अलग करता है, जिन्हें स्वतंत्र रूप से हल किया जा सकता है। समीकरणों (1) और ($$) को जोड़ने से द्रव्यमान केंद्र गति का वर्णन करने वाला समीकरण प्राप्त होता है। इसके विपरीत, समीकरण (2) को समीकरण (1) से घटाने पर एक ऐसा समीकरण बनता है जो बताता है कि द्रव्यमान के बीच सदिश $r = x_{1} − x_{2}$ समय के साथ कैसे बदलता है। इन स्वतंत्र एक-निकाय समस्याओं के समाधान को प्रक्षेपवक्र $x_{1}(t)$ और $x_{2}(t)$ के समाधान प्राप्त करने के लिए जोड़ा जा सकता है।

द्रव्यमान गति का केंद्र (पहली एक-वस्तु समस्या)
मान लेते है $$\mathbf{R} $$ निकाय के द्रव्यमान केंद्र की स्थिति है। बल समीकरणों (1) और (2) को जोड़ने पर प्राप्त होता है$$m_1 \ddot{\mathbf{x}}_1 + m_2 \ddot{\mathbf{x}}_2 = (m_1 + m_2)\ddot{\mathbf{R}} = \mathbf{F}_{12} + \mathbf{F}_{21} = 0$$जहाँ हमने न्यूटन के तीसरे नियम $F_{12} = −F_{21}$ का प्रयोग किया है और जहाँ$$\ddot{\mathbf{R}}  \equiv \frac{m_{1}\ddot{\mathbf{x}}_{1} + m_{2}\ddot{\mathbf{x}}_{2}}{m_{1} + m_{2}}.$$परिणामी समीकरण:$$\ddot{\mathbf{R}}  = 0$$वेग दर्शाता है $$\mathbf{v} = \frac{dR}{dt}$$ द्रव्यमान का केंद्र स्थिर है, जिससे कुल संवेग $m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}$ भी स्थिर होती है। इसलिए, प्रारंभिक स्थितियों और वेगों से हर समय द्रव्यमान के केंद्र की स्थिति R(t) निर्धारित की जा सकती है।

विस्थापन वेक्टर गति (द्वितीय एक-निकाय समस्या)
दोनों बल समीकरणों को संबंधित द्रव्यमानों से विभाजित करने पर, पहले से दूसरे समीकरण को घटाने पर, और पुनर्व्यवस्थित करने पर समीकरण प्राप्त होता है $$ \ddot {\mathbf{r}} = \ddot{\mathbf{x}}_{1} - \ddot{\mathbf{x}}_{2} = \left( \frac{\mathbf{F}_{12}}{m_{1}} - \frac{\mathbf{F}_{21}}{m_{2}} \right) = \left(\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}} \right)\mathbf{F}_{12} $$ जहाँ हमने फिर से न्यूटन के तीसरे नियम का प्रयोग किया है $F_{12} = −F_{21}$ और कहाँ $r$ द्रव्यमान 2 से द्रव्यमान 1 तक विस्थापन (वेक्टर) है, जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है।

दो वस्तुओं के बीच बल, जो दो वस्तुओं में उत्पन्न होता है, केवल उनके अलगाव का एक कार्य होना चाहिए $r$ और उनके पूर्ण पदों की नहीं $x_{1}$ और $x_{2}$; अन्यथा, अनुवाद संबंधी समरूपता नहीं होगी, और भौतिकी के नियमों को एक स्थान से दूसरे स्थान पर बदलना होगा। घटाया गया समीकरण इसलिए लिखा जा सकता है: $$\mu \ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{F}_{12}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = \mathbf{F}(\mathbf{r})$$ कहाँ $$\mu$$ घटा हुआ द्रव्यमान है $$\mu = \frac{1}{\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}} = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}.$$ के लिए समीकरण को हल करना $r(t)$ दो-वस्तु की समस्या की कुंजी है। समाधान निकायों के बीच विशिष्ट बल पर निर्भर करता है, जिसे परिभाषित किया गया है $$\mathbf{F}(\mathbf{r})$$. मामले के लिए जहां $$\mathbf{F}(\mathbf{r})$$ व्युत्क्रम-वर्ग नियम का पालन करता है, केप्लर समस्या देखें।

एक बार $R(t)$ और $r(t)$ निर्धारित किया गया है, मूल प्रक्षेपवक्र प्राप्त किया जा सकता है $$\mathbf{x}_1(t) = \mathbf{R} (t) + \frac{m_2}{m_1 + m_2} \mathbf{r}(t)$$ $$\mathbf{x}_2(t) = \mathbf{R} (t) - \frac{m_1}{m_1 + m_2} \mathbf{r}(t)$$ जैसा कि इन दो समीकरणों के दाहिने हाथ की ओर R और r की परिभाषाओं को प्रतिस्थापित करके सत्यापित किया जा सकता है।

दो वस्तु गति तलीय है
एक दूसरे के संबंध में दो वस्तुों की गति हमेशा एक समतल (द्रव्यमान फ्रेम के केंद्र में) में होती है।

प्रमाण: रैखिक गति को परिभाषित करना $p$ और कोणीय गति $L$ प्रणाली के, द्रव्यमान के केंद्र के संबंध में, समीकरणों द्वारा $$\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} = \mathbf{r} \times \mu \frac{d\mathbf{r}}{dt},$$ कहाँ $$ घटा हुआ द्रव्यमान है और $r$ सापेक्ष स्थिति है $r_{2} − r_{1}$ (इनके साथ द्रव्यमान के केंद्र को उत्पत्ति के रूप में लिखा गया है, और इस प्रकार दोनों समानांतर है $r$) कोणीय गति के परिवर्तन की दर $L$ नेट टॉर्कः के बराबर है $N$ $$\mathbf{N} = \frac{d\mathbf{L}}{dt} = \dot{\mathbf{r}} \times \mu\dot{\mathbf{r}} + \mathbf{r} \times \mu\ddot{\mathbf{r}} \ ,$$ और वेक्टर क्रॉस उत्पाद की संपत्ति का उपयोग करना $v × w = 0$ किसी भी वैक्टर के लिए $v$ और $w$ उसी दिशा में इशारा करते हुए,

$$ \mathbf{N} \ = \ \frac{d\mathbf{L}}{dt} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} \ ,$$ साथ $F = μ&thinsp;dr/dt$.

धारणा का परिचय देते हुए (अधिकांश भौतिक बलों के लिए सच है, क्योंकि वे न्यूटन के गति के नियमों का पालन करते है | न्यूटन की गति का मजबूत तीसरा नियम) कि दो कणों के बीच का बल उनकी स्थिति के बीच की रेखा के साथ कार्य करता है, यह इस प्रकार है $r × F = 0$ और कोणीय गति का संरक्षण | कोणीय गति वेक्टर $L$ स्थिर (संरक्षित) है। इसलिए, विस्थापन वेक्टर $r$ और इसका वेग $v$ हमेशा स्थिर सदिश के लंबवत तल में होते है $L$.

दो-वस्तु प्रणाली की ऊर्जा
यदि बल $F(r)$ संरक्षी बल है तो तंत्र में स्थितिज ऊर्जा होती है $U(r)$, इसलिए कुल यांत्रिक ऊर्जा को इस रूप में लिखा जा सकता है $$E_\text{tot} = \frac{1}{2} m_1 \dot{\mathbf{x}}_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \dot{\mathbf{x}}_2^2 + U(\mathbf{r}) = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) \dot{\mathbf{R}}^2 + {1 \over 2} \mu \dot{\mathbf{r}}^2 + U(\mathbf{r})$$ द्रव्यमान फ्रेम के केंद्र में काइनेटिक ऊर्जा # संदर्भ का फ्रेम सबसे कम होता है और कुल ऊर्जा बन जाती है $$E = \frac{1}{2} \mu \dot{\mathbf{r}}^2 + U(\mathbf{r})$$ निर्देशांक $x_{1}$ और $x_{2}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$ \mathbf{x}_1 = \frac{\mu}{m_1} \mathbf{r}$$$$ \mathbf{x}_2 = - \frac{\mu}{m_2} \mathbf{r}$$ और इसी प्रकार ऊर्जा E ऊर्जाओं से संबंधित है $E_{1}$ और $E_{2}$ जिसमें अलग-अलग प्रत्येक वस्तु की गतिज ऊर्जा होती है: $$\begin{align} E_1 & = \frac{\mu}{m_1} E = \frac{1}{2} m_1 \dot{\mathbf{x}}_1^2 + \frac{\mu}{m_1} U(\mathbf{r}) \\[4pt] E_2 & = \frac{\mu}{m_2} E = \frac{1}{2} m_2 \dot{\mathbf{x}}_2^2 + \frac{\mu}{m_2} U(\mathbf{r}) \\[4pt] E_\text{tot} & = E_1 + E_2 \end{align}$$

केंद्रीय बल
कई शारीरिक समस्याओं के लिए बल $F(r)$ एक केंद्रीय बल है, अर्थात यह रूप का है $$\mathbf{F}(\mathbf{r}) = F(r)\hat{\mathbf{r}}$$ कहाँ $r = |r|$ और $r̂ = r/r$ संगत इकाई सदिश है। अब हमारे पास है: $$\mu \ddot{\mathbf{r}} = {F}(r) \hat{\mathbf{r}} \ ,$$ जहां आकर्षक बल के मामले में एफ (आर) नकारात्मक है।

यह भी देखें

 * ऊर्जा बहाव
 * केंद्र का समीकरण
 * यूलर की तीन-वस्तु की समस्या
 * केप्लर कक्षा
 * केप्लर प्रॉब्लम
 * एन-बॉडी प्रॉब्लम|एन-बॉडी प्रॉब्लम
 * वायरल प्रमेय

बाहरी संबंध

 * Two-body problem at Eric Weisstein's World of Physics