विविधता (सार्वभौमिक बीजगणित)

सार्वभौमिक बीजगणित में, विभिन्न प्रकार के बीजगणित या समतुल्य वर्ग किसी दिए गए हस्ताक्षर (तर्क) के सभी बीजगणितीय संरचनाओं का वर्ग (समुच्चय सिद्धांत) है जो गणितीय पहचान तर्क और सार्वभौमिक बीजगणित के दिए गए समुच्चय को संतुष्ट करता है। उदाहरण के लिए, समूह (गणित) विभिन्न प्रकार के बीजगणित बनाता है, जैसा कि एबेलियन समूह, रिंग (गणित), मोनोइड्स आदि करते हैं। एक किस्म अगर और केवल अगर यह होमोमोर्फिज्म चित्र, सबलजेब्रस और डायरेक्ट प्रोडक्ट डायरेक्ट प्रोडक्ट इन यूनिवर्सल बीजगणित|(डायरेक्ट) उत्पादों के तहत बंद है। श्रेणी सिद्धांत के संदर्भ में, विभिन्न प्रकार के बीजगणित, अपने समरूपता के साथ मिलकर एक श्रेणी (गणित) बनाते हैं; इन्हें आमतौर पर अंतिम बीजगणितीय श्रेणियां कहा जाता है।

एक सहसंयोजकता किसी दिए गए हस्ताक्षर के सभी कोलजेब्रा में का वर्ग है।

शब्दावली
विभिन्न प्रकार के बीजगणित को बीजगणितीय विविधता के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जिसका अर्थ बहुपद समीकरणों की प्रणाली के समाधान का एक समुच्चय है। वे औपचारिक रूप से काफी अलग हैं और उनके सिद्धांतों में बहुत कम समानता है।

बीजगणित की शब्द विविधता सार्वभौमिक बीजगणित के सामान्य अर्थों में बीजगणित को संदर्भित करती है; बीजगणित का एक अधिक विशिष्ट बोध भी है, अर्थात् एक क्षेत्र पर बीजगणित, अर्थात बिलिनियर मानचित्र गुणन से सुसज्जित एक सदिश स्थान।

परिभाषा
एक हस्ताक्षर (इस संदर्भ में) एक समुच्चय है, जिसके तत्वों को संचालन कहा जाता है, जिनमें से प्रत्येक को एक प्राकृतिक संख्या (0, 1, 2,...) निर्दिष्ट की जाती है जिसे इसकी arity कहा जाता है। एक हस्ताक्षर दिया $$\sigma$$ और एक समुच्चय $$V$$, जिनके तत्वों को चर कहा जाता है, एक शब्द एक परिमित प्लेनर ग्राफ रूटेड ट्री है जिसमें प्रत्येक नोड को एक चर या एक संचालन द्वारा लेबल किया जाता है, जैसे कि एक वेरिएबल द्वारा लेबल किए गए प्रत्येक नोड की रूट से दूर कोई शाखा नहीं होती है और प्रत्येक नोड द्वारा लेबल किया जाता है एक संचालन $$o$$ इसकी जड़ से उतनी ही शाखाएँ दूर होती हैं जितनी इसकी जड़ से दूर होती हैं $$o$$. एक समानुपातिक नियम ऐसे शब्दों का एक युग्म है; शब्दों से मिलकर बना स्वयंसिद्ध $$v$$ और $$w$$ के रूप में लिखा गया है

$$v = w$$.

एक सिद्धांत में एक हस्ताक्षर, चर का एक समुच्चय और समीकरण कानूनों का एक समुच्चय होता है। कोई भी सिद्धांत विभिन्न प्रकार के बीजगणित इस प्रकार देता है। एक सिद्धांत दिया $$T$$, का एक बीजगणित $$T$$ एक समुच्चय के होते हैं $$A$$ साथ में, प्रत्येक संचालन के लिए $$o$$ का $$T$$ एरीटी के साथ $$n$$, एक समारोह $$o_A \colon A^n \to A$$ ऐसा है कि प्रत्येक स्वयंसिद्ध के लिए $$v = w$$ और तत्वों के प्रत्येक असाइनमेंट $$A$$ उस अभिगृहीत में चरों के लिए, समीकरण धारण करता है जो कि के तत्वों पर संक्रियाओं को लागू करके दिया जाता है $$A$$ जैसा कि पेड़ों द्वारा परिभाषित किया गया है $$v$$ और $$w$$. किसी दिए गए सिद्धांत के बीजगणित का वर्ग $$T$$ बीजगणित की एक किस्म कहलाती है।

एक सिद्धांत के दो बीजगणित दिए गए हैं $$T$$, कहना $$A$$ और $$B$$, समाकारिता एक फलन है $$f \colon A \to B$$ ऐसा है कि


 * $$f(o_A(a_1, \dots, a_n)) = o_B(f(a_1), \dots, f(a_n))$$

हर संचालन के लिए $$o$$ दया की $$n$$. कोई भी सिद्धांत एक श्रेणी (गणित) देता है जहाँ वस्तुएँ उस सिद्धांत के बीजगणित होती हैं और आकारिकी समरूपताएँ होती हैं।

उदाहरण
सभी सेमीग्रुप्स का वर्ग हस्ताक्षर (2) के विभिन्न प्रकार के बीजगणित बनाता है, जिसका अर्थ है कि एक सेमीग्रुप में एक ही बाइनरी संचालन होता है। एक पर्याप्त परिभाषित समीकरण साहचर्य कानून है:
 * $$x(yz) = (xy)z.$$

समूह (गणित) का वर्ग हस्ताक्षर (2,0,1) के विभिन्न प्रकार के बीजगणित बनाता है, तीन संचालन क्रमशः गुणन (बाइनरी), पहचान (शून्य, एक स्थिर) और व्युत्क्रम (एकात्मक) होते हैं। सहयोगीता, पहचान और व्युत्क्रम के परिचित सिद्धांत पहचान का एक उपयुक्त समुच्चय बनाते हैं:


 * $$x(yz) = (xy)z$$
 * $$1 x = x 1 = x$$
 * $$x x^{-1} = x^{-1} x = 1.$$

रिंग ऑफ क्लास (गणित) भी विभिन्न प्रकार के बीजगणित बनाता है। यहाँ हस्ताक्षर है (2,2,0,0,1) (दो बाइनरी संचालन, दो स्थिरांक और एक यूनरी संचालन )।

यदि हम एक विशिष्ट रिंग आर को ठीक करते हैं, तो हम मॉड्यूल (गणित) के वर्ग पर विचार कर सकते हैं | बाएं आर-मॉड्यूल। आर से तत्वों के साथ स्केलर गुणन को व्यक्त करने के लिए, हमें आर के प्रत्येक तत्व के लिए एक यूनरी संचालन की आवश्यकता है। यदि अंगूठी अनंत है, तो हमारे पास असीम रूप से कई संचालन होंगे, जो कि सार्वभौमिक बीजगणित में बीजगणितीय संरचना की परिभाषा द्वारा अनुमत है। तब हमें मॉड्यूल अभिगृहीतों को व्यक्त करने के लिए अपरिमित रूप से अनेक सर्वसमिकाओं की आवश्यकता होगी, जिसकी अनुमति विभिन्न बीजगणितों की परिभाषा द्वारा दी जाती है। तो बाएं आर-मॉड्यूल विभिन्न प्रकार के बीजगणित बनाते हैं।

क्षेत्र (गणित) विभिन्न प्रकार के बीजगणित नहीं बनाता है; आवश्यकता है कि सभी गैर-शून्य तत्व उलटा हो, एक सार्वभौमिक रूप से संतुष्ट पहचान (नीचे देखें) के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

रद्द करने वाले अर्धसमूह भी विभिन्न प्रकार के बीजगणित नहीं बनाते हैं, क्योंकि रद्द करने की संपत्ति एक समीकरण नहीं है, यह एक निहितार्थ है जो समीकरणों के किसी भी समुच्चय के बराबर नहीं है। हालाँकि, वे एक अर्धविविधता का निर्माण करते हैं क्योंकि रद्दीकरण संपत्ति को परिभाषित करने वाला निहितार्थ एक अर्ध-पहचान का एक उदाहरण है|अर्ध-पहचान।

बिरखॉफ प्रमेय
एक ही हस्ताक्षर के बीजगणितीय संरचनाओं के एक वर्ग को देखते हुए, हम सार्वभौम बीजगणित में समरूपता, सबलजेब्रा और प्रत्यक्ष उत्पाद#प्रत्यक्ष उत्पाद की धारणाओं को परिभाषित कर सकते हैं। गैरेट बिरखॉफ ने साबित किया कि एक ही हस्ताक्षर के बीजगणितीय संरचनाओं का एक वर्ग एक विविधता है अगर और केवल अगर यह होमोमोर्फिक छवियों, सबलजेब्रा और मनमाने उत्पादों के तहत बंद हो। यह सार्वभौमिक बीजगणित के मूलभूत महत्व का परिणाम है और इसे बिरखॉफ प्रमेय या एचएसपी प्रमेय के रूप में जाना जाता है। एच, एस, और पी क्रमशः होमोमोर्फिज्म, सबलजेब्रा और उत्पाद के संचालन के लिए खड़े हैं।

ऊपर वर्णित समकक्षता की एक दिशा, अर्थात् पहचान के कुछ समुच्चय को संतुष्ट करने वाले बीजगणित का एक वर्ग एचएसपी संचालन के तहत बंद होना चाहिए, परिभाषाओं से तुरंत अनुसरण करता है। कनवर्स_(तर्क) को साबित करना - एचएसपी संचालन के तहत बंद किए गए बीजगणित के वर्ग समान होना चाहिए - अधिक कठिन है।

बिरखॉफ के प्रमेय की आसान दिशा का उपयोग करते हुए, उदाहरण के लिए, हम ऊपर किए गए दावे को सत्यापित कर सकते हैं, कि फ़ील्ड स्वयंसिद्ध किसी भी संभावित पहचान के समुच्चय द्वारा अभिव्यक्त नहीं होते हैं: फ़ील्ड का उत्पाद फ़ील्ड नहीं है, इसलिए फ़ील्ड विविधता नहीं बनाते हैं।

उप-किस्मों
विभिन्न प्रकार के बीजगणित V की एक उप-किस्म V का एक उप-वर्ग है जिसका हस्ताक्षर V के समान है और यह स्वयं एक विविधता है, अर्थात, पहचान के एक समुच्चय द्वारा परिभाषित किया गया है।

ध्यान दें कि यद्यपि हर समूह एक अर्धसमूह बन जाता है, जब एक स्थिर के रूप में पहचान छोड़ दी जाती है (और/या उलटा संचालन छोड़ दिया जाता है), समूहों का वर्ग विभिन्न प्रकार के अर्धसमूहों की उप-विविधता नहीं बनाता है क्योंकि हस्ताक्षर अलग-अलग होते हैं। इसी तरह, सेमीग्रुप्स का वर्ग जो समूह हैं, सेमीग्रुप्स की विविधता की उप-किस्म नहीं है। मोनॉइड्स का वर्ग जो समूह हैं उनमें सम्मिलित हैं $$\langle\mathbb Z,+\rangle$$ और इसमें इसका सबलजेब्रा नहीं है (अधिक सटीक, सबमोनॉयड) $$\langle\mathbb N,+\rangle$$.

हालाँकि, एबेलियन समूहों का वर्ग समूहों की विविधता का एक उप-वर्ग है क्योंकि इसमें उन समूहों को सम्मिलित किया गया है जो संतुष्ट हैं $$xy = yx,$$ बिना हस्ताक्षर के बदलाव के। अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह एक उप-किस्म नहीं बनाते हैं, क्योंकि बिरखॉफ के प्रमेय के अनुसार वे विविधता नहीं बनाते हैं, क्योंकि अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूहों का एक मनमाना उत्पाद अंतिम रूप से उत्पन्न नहीं होता है।

एक श्रेणी सिद्धांत के रूप में एक किस्म V और उसके समरूपता को देखते हुए, V की एक उप-श्रेणी U, V की एक पूर्ण उपश्रेणी है, जिसका अर्थ है कि U में किसी भी वस्तु a, b के लिए, U में a से b तक की समरूपता वास्तव में a से b तक होती है। वी में

मुक्त वस्तुएं
मान लीजिए V बीजगणित की एक गैर-तुच्छ किस्म है, अर्थात V में एक से अधिक तत्वों वाले बीजगणित हैं। कोई दिखा सकता है कि प्रत्येक समुच्चय एस के लिए, विविधता वी में एक मुक्त बीजगणित एफ होता हैS एस पर। इसका मतलब है कि एक इंजेक्शन समुच्चय मैप i : S → F हैSजो निम्नलिखित सार्वभौमिक संपत्ति को संतुष्ट करता है: V में कोई भी बीजगणित A दिया गया है और कोई मानचित्र k : S → A, एक अद्वितीय V-समरूपता f : F मौजूद हैS→ ए ऐसा कि $$f\circ i = k$$.

यह मुक्त समूह, मुक्त एबेलियन समूह, मुक्त बीजगणित, मुक्त मॉड्यूल आदि की धारणाओं का सामान्यीकरण करता है।

श्रेणी सिद्धांत
किस्मों के अलावा, श्रेणी सिद्धांतकार दो अन्य रूपरेखाओं का उपयोग करते हैं जो उनके द्वारा वर्णित बीजगणित के प्रकारों के समान हैं: अंतिम मोनाड (श्रेणी सिद्धांत) और लॉवरे सिद्धांत। हम निम्न प्रकार से विभिन्न प्रकार से एक परिमित सन्यासी तक जा सकते हैं। वस्तुओं के रूप में कुछ प्रकार के बीजगणित वाली श्रेणी और आकारिकी के रूप में समरूपता को एक अंतिम बीजगणितीय श्रेणी कहा जाता है। किसी भी अंतिम बीजगणितीय श्रेणी के लिए $$V$$, भुलक्कड़ कारक


 * $$G\colon V\to\mathbf{Set}$$

बायां जोड़ है $$F\colon \mathbf{Set}\to V$$, अर्थात् फ़ंक्टर जो प्रत्येक समुच्चय को उस समुच्चय पर मुक्त बीजगणित प्रदान करता है। यह संयोजन मोनाड (श्रेणी सिद्धांत) है, जिसका अर्थ है कि श्रेणी $$V$$ एलेनबर्ग-मूर श्रेणी के बराबर है $$\mathbf{Set}^{T}$$ मोनाड के लिए $$T=GF$$. इसके अलावा मोनाद $$T$$ फ़िनिटरी है, जिसका अर्थ है कि यह फ़िल्टर किए गए colimits के साथ आवागमन करता है।

सन्यासी $$T\colon \mathbf{Set}\to\mathbf{Set}$$ इस प्रकार परिमित बीजगणितीय श्रेणी को पुनर्प्राप्त करने के लिए पर्याप्त है। वास्तव में, अंतिम बीजगणितीय श्रेणियां ठीक वही श्रेणियां हैं जो एलेनबर्ग-मूर श्रेणियों के अंतिम मठों के बराबर हैं। बदले में ये दोनों, लॉवर सिद्धांतों के बीजगणित की श्रेणियों के बराबर हैं।

मोनैड के साथ कार्य करना निम्नलिखित सामान्यीकरण की अनुमति देता है। एक कहता है कि एक श्रेणी एक बीजगणितीय श्रेणी है यदि यह मोनाड (श्रेणी सिद्धांत) खत्म हो गई है $$\mathbf{Set}$$. यह अंतिम बीजगणितीय श्रेणी की तुलना में अधिक सामान्य धारणा है क्योंकि यह सीएबीए (पूर्ण परमाणु बूलियन बीजगणित) और सीएसएलएटी (पूर्ण सेमिलैटिस) जैसी श्रेणियों को स्वीकार करता है जिनके हस्ताक्षरों में अनन्त संचालन सम्मिलित हैं। उन दो मामलों में हस्ताक्षर बड़ा है, जिसका अर्थ है कि यह एक समुच्चय नहीं बल्कि एक उचित वर्ग बनाता है, क्योंकि इसके संचालन असीमित हैं। सिग्मा बीजगणित की बीजगणितीय श्रेणी में अनंत संक्रियाएं भी होती हैं, लेकिन उनकी संख्या गणना योग्य होती है जहां से इसका हस्ताक्षर छोटा होता है (एक समुच्चय बनाता है)।

प्रत्येक अंतिम बीजगणितीय श्रेणी एक स्थानीय रूप से प्रस्तुत करने योग्य श्रेणी है।

परिमित बीजगणित की छद्म विविधता
चूंकि किस्में मनमाने प्रत्यक्ष उत्पादों के तहत बंद हैं, सभी गैर-तुच्छ किस्मों में अनंत बीजगणित होते हैं। किस्मों के सिद्धांत का एक परिमित एनालॉग विकसित करने का प्रयास किया गया है। इसने, उदाहरण के लिए, विभिन्न प्रकार के परिमित अर्धसमूहों की धारणा को जन्म दिया। इस तरह की विविधता केवल अंतिम उत्पादों का उपयोग करती है। हालाँकि, यह अधिक सामान्य प्रकार की पहचान का उपयोग करता है।

एक छद्म विविधता को आमतौर पर किसी दिए गए हस्ताक्षर के बीजगणित के एक वर्ग के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो होमोमोर्फिक छवियों, सबलेजेब्रस और अंतिम प्रत्यक्ष उत्पादों के तहत बंद हो जाता है। प्रत्येक लेखक यह नहीं मानता है कि छद्म विविधता के सभी बीजगणित परिमित हैं; यदि यह स्थिति है, तो कभी-कभी विभिन्न परिमित बीजगणितों की बात की जाती है। छद्म विविधताओं के लिए, बिरखॉफ के प्रमेय का कोई सामान्य परिमित समकक्ष नहीं है, लेकिन कई मामलों में समीकरणों की एक अधिक जटिल धारणा की शुरूआत समान परिणाम प्राप्त करने की अनुमति देती है। परिमित अर्धसमूहों के अध्ययन में छद्म विविधताओं का विशेष महत्व है और इसलिए औपचारिक भाषा में। ईलेनबर्ग के प्रमेय, जिसे अक्सर विविधता प्रमेय के रूप में संदर्भित किया जाता है, नियमित भाषाओं की किस्मों और परिमित अर्धसमूहों की छद्म किस्मों के बीच एक प्राकृतिक पत्राचार का वर्णन करता है।

यह भी देखें

 * क्वासिवैरिटी

बाहरी संबंध
Two monographs available free online:
 * Stanley N. Burris and H.P. Sankappanavar (1981), A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2. [Proof of Birkhoff's Theorem is in II§11.]
 * Peter Jipsen and Henry Rose (1992), Varieties of Lattices, Lecture Notes in Mathematics 1533. Springer Verlag. ISBN 0-387-56314-8.