हाइपोसाइक्लॉइड

ज्यामिति में, एक पराचक्रज (हाइपोसायक्लाइड) एक छोटे वृत्त पर एक निश्चित बिंदु के चिह्न से उत्पन्न एक विशेष समतल वक्र होता है जो एक बड़े वृत्त के भीतर लुढ़कता है। जैसे-जैसे बड़े वृत्त की त्रिज्या बढ़ती है, वैसे-वैसे पराचक्रज एक रेखा पर एक वृत्त को घुमाकर बनाए गए चक्रज की तरह बन जाता है।

गुण
यदि छोटे वृत्त की त्रिज्या r है, और बड़े वृत्त की त्रिज्या R = kr है, तो वक्र के लिए प्राचलिक (पैरामीट्रिक) समीकरण निम्न द्वारा दिए जा सकते हैं।
 * $$x (\theta) = (R - r) \cos \theta + r \cos \left(\frac{R-r}{r} \theta \right)$$
 * $$y (\theta) = (R - r) \sin \theta - r \sin \left( \frac{R - r}{r} \theta \right),$$

या
 * $$x (\theta) = r (k - 1) \cos \theta + r \cos \left( (k - 1) \theta \right) \,$$
 * $$y (\theta) = r (k - 1) \sin \theta - r \sin \left( (k - 1) \theta \right). \,$$

यदि k एक पूर्णांक है, तो वक्र बंद है, और k वलन (अर्थात, नुकीले कोने, जहाँ वक्र भिन्न नहीं है) है। विशेष रूप से k=2 के लिए वक्र एक सीधी रेखा है और वृत्तों को कार्डानो वृत्त कहा जाता है। जिरोलामो कार्डानो ने इन पराचक्रज और उच्च-गति प्रिंटिंग के लिए उनके अनुप्रयोगों का वर्णन करने वाले पहले व्यक्ति थे।

यदि k एक परिमेय संख्या है, मान लें कि k = p/q सरलतम शब्दों में व्यक्त किया गया है, तो वक्र में p वलन है।

यदि k एक अपरिमेय संख्या है, तो वक्र कभी बंद नहीं होता है, और बड़े वृत्त और त्रिज्या R − 2r के वृत्त के बीच की जगह भरता है।

प्रत्येक पराचक्रज (r के किसी भी मान के लिए) त्रिज्या R के एक सजातीय क्षेत्र के भीतर गुरुत्वाकर्षण क्षमता के लिए एक क्षिप्रतम वक्र (ब्राचिस्टोक्रोन) है।

एक पराचक्रज द्वारा घिरा क्षेत्र दिया जाता है।
 * $$A = \frac {(k - 1)(k - 2)} {k^2} \pi R^2 = (k - 1)(k - 2) \pi r^2 $$

एक पराचक्रज की चाप लंबाई निम्न द्वारा दी गई है।


 * $$s = \frac {8(k - 1)} {k} R = 8(k - 1) r $$

उदाहरण
पराचक्रज एक विशेष प्रकार का हाइपोट्रोकॉइड है, जो एक विशेष प्रकार का दाँतेदर चक्र है।

तीन वलन वाले एक पराचक्रज को त्रिभुजाकार के रूप में जाना जाता है।

चार वलन वाले पराचक्रज वक्र को एस्ट्रोइड के रूप में जाना जाता है।

दो "वलन" वाला पराचक्रज एक पतित लेकिन फिर भी बहुत दिलचस्प स्थिति है, जिसे तुसी युगल के रूप में जाना जाता है।

समूह सिद्धांत से संबंध
k के अभिन्न मान के साथ कोई भी पराचक्रज, और इस प्रकार k वलन, k+1 वलनोंं के साथ एक और पराचक्रज के अंदर आराम से घूम सकता है, जैसे कि छोटे पराचक्रज के बिंदु हमेशा बड़े के संपर्क में रहेंगे। यह गति 'रोलिंग(लुढ़कते)' की तरह दिखती है, हालांकि तकनीकी रूप से चिरसम्मत यांत्रिकी के अर्थ में यह लुढ़कते नहीं है, क्योंकि इसमें फिसलन सम्मिलित है।

पराचक्रज आकार विशेष एकात्मक समूहों विशेष एकात्मक समूहों से संबंधित हो सकते हैं, जिन्हें SU(k) के रूप में चिह्नित किया गया है, जिसमें निर्धारक 1 के साथ k × k एकात्मक मैट्रिक्स सम्मिलित हैं। उदाहरण के लिए, SU(3) में एक मैट्रिक्स के लिए विकर्ण प्रविष्टियों के योग के अनुमत मान हैं। तीन वलनों (एक त्रिभुजाकार) के पराचक्रज के अंदर स्थित जटिल तल में सटीक बिंदु हैं। इसी तरह, SU(4) पराचक्रज की विकर्ण प्रविष्टियों को जोड़ने से एक एस्ट्रोइड के अंदर बिंदु मिलते हैं, और इसी तरह।

इस परिणाम के लिए धन्यवाद, कोई इस तथ्य का उपयोग कर सकता है कि SU(k) उपसमूह के रूप में SU(k+1) के अंदर अनुरूप बैठता है यह साबित करने के लिए कि k वलनों वाला एक अधिचक्रज k+1 वलनों के साथ एक के अंदर सुरक्षित ढंग से से चलता है।

व्युत्पन्न वक्र
पराचक्रज का विकास स्वयं पराचक्रज का ही एक बढ़ा हुआ संस्करण है, जबकि पराचक्रज का अन्तर्वलित स्वयं की एक छोटी प्रतिलिपि है।

पराचक्रज के केंद्र में ध्रुव के साथ पराचक्रज का पैडल एक पाटलाकार (रोज़) वक्र है।

एक पराचक्रज का समस्थानिक एक पराचक्रज है।

प्रचलित संवर्ध में पराचक्रज
श्वासलेखी टॉय के साथ पराचक्रज के समान वक्र खींचे जा सकते हैं। विशेष रूप से, श्वासलेखी पराचक्रज और एपिट्रोकोइड्स को चित्रित कर सकता है।

पिट्सबर्ग स्टीलर्स का चिन्ह, जो स्टीलमार्क पर आधारित है, में तीन एस्ट्रोइड्स (चार वलन के पराचक्रज) सम्मिलित हैं। अपने साप्ताहिक एनएफएल डॉट कॉम (NFL.com) कॉलम "मंगलवार सुबह क्वार्टरबैक" में, ग्रेग ईस्टरब्रुक प्रायः स्टीलर्स को पराचक्रज के रूप में संदर्भित करता है। चिली की फ़ुटबॉल टीम सीडी हुआचीपाटो स्टीलर्स के चिन्ह पर अपना शृंग आधारित करती है, और इस तरह की विशेषताओं में पराचक्रज होते हैं।

द प्राइस इज राइट के सेट के पहले ड्रू कैरी सीज़न में तीन मुख्य दरवाजों, विशाल मूल्य लेबल और घूर्णीमंच क्षेत्र पर एस्ट्रोइड्स हैं। 2008 में प्रारम्भ होने वाले उच्च स्पष्टता प्रसारण में स्विच करने पर दरवाजे और घूर्णीमंच पर लगे एस्ट्रोइड्स को हटा दिया गया था, और केवल विशाल मूल्य लेबल अवलंब आज भी उन्हें दिखाता है।

यह भी देखें

 * रूलेट (वक्र)।
 * विशेष परिस्थितियाँ- तुसी युगल, एस्ट्रॉइड, त्रिभुजाकार।
 * आवधिक कार्यों की सूची।
 * साइक्लोगोन।
 * अधिचक्रज।
 * हाइपोट्रोकॉइड।
 * एपिट्रोकॉइड।
 * श्वासलेखी।
 * पोर्टलैंड, ओरेगॉन का ध्वज, जिसमें एक हाइपोसाइक्लॉइड है।
 * मुर्रे का पराचक्रज इंजन, वक्रोक्ति के प्रतिस्थापी के रूप में तुसी युगल का उपयोग करना।

बाहरी संबंध

 * A free Javascript tool for generating Hypocyloid curves
 * Animation of Epicycloids, Pericycloids and Hypocycloids
 * Plot Hypcycloid &mdash; GeoFun
 * Iterative demonstration showing the brachistochrone property of Hypocycloid
 * Animation of Epicycloids, Pericycloids and Hypocycloids
 * Plot Hypcycloid &mdash; GeoFun
 * Iterative demonstration showing the brachistochrone property of Hypocycloid