वासेरस्टीन मेट्रिक

गणित में, वेसरस्टीन दूरी या कांटोरोविच-रुबिनस्टीन मापीय एक दूरी का फलन है जो किसी दिए गए मापीय समष्टि $$M$$ पर संभाव्यता वितरण के मध्य परिभाषित किया गया है। इसका नाम लियोनिद वेसरस्टीन के नाम पर रखा गया है।

सहज रूप से, यदि प्रत्येक वितरण को $$M$$ पर पुंजित पृथ्वी (मिट्टी) की एक इकाई मात्रा के रूप में देखा जाता है, मापीय एक समूह को दूसरे में बदलने की न्यूनतम लागत है, जिसे पृथ्वी की वह मात्रा माना जाता है जिसे स्थानांतरित करने के लिए माध्य दूरी से गुणा करने की आवश्यकता होती है। इस समस्या को पहली बार 1781 में गैसपार्ड मोंगे द्वारा औपचारिक रूप दिया गया था। इस समानता के कारण, मापीय को कंप्यूटर विज्ञान में अर्थ स्थानांतरित की दूरी के रूप में जाना जाता है।

स्वचल प्ररूप (रूसी, 1969) की बड़ी प्रणालियों का वर्णन करने वाली मार्कोव प्रक्रियाओं पर लियोनिद वेसरस्टीन के काम में इसे सीखने के बाद, 1970 में आर. एल. डोब्रुशिन द्वारा वासेरस्टीन दूरी नाम अविष्कार किया गया था। हालांकि मापन को पहली बार प्रदार्थ और सामग्रियों की इष्टतम परिवहन योजना के संदर्भ में उत्पादन योजना और संगठन की गणितीय विधि (रूसी मूल 1939) में लियोनिद कांटोरोविच द्वारा परिभाषित किया गया था। कुछ विद्वान इस प्रकार कांटोरोविच मापीय और कांटोरोविच दूरी शब्दों के उपयोग को प्रोत्साहित करते हैं। अधिकांश अंग्रेजी भाषा के प्रकाशन जर्मन वर्तनी वासेरस्टीन का उपयोग करते हैं (जर्मन मूल के होने के कारण वासेरस्टीन नाम दिया गया)।

परिभाषा
अनुमान $$(M,d)$$ एक मापीय समष्टि है जो एक राडोण समष्टि है। $$p \in [1, \infty)$$ के लिए, परिमित $$p$$-क्षण के साथ $$M$$ पर दो प्रायिकता उपायों $$\mu$$ और $$\nu$$ के मध्य वासरस्टीन $$p$$-दूरी है।
 * $$W_p(\mu, \nu) = \left( \inf_{\gamma \in \Gamma(\mu, \nu)} \mathbf{E}_{(x, y) \sim \gamma} d(x, y)^p \right)^{1/p}$$

जहाँ $$\Gamma(\mu, \nu)$$ $$\mu$$ और $$\nu$$ के सभी युग्मन (संभाव्यता) का समुच्चय है। एक युग्मन $$\gamma$$, $$M \times M$$ पर एक संयुक्त संभाव्यता मापक है, जिसके सीमान्त क्रमशः पहले और दूसरे कारकों पर $$\mu$$ और $$\nu$$ है। अर्थात,
 * $$\int_M \gamma(x, y) \,\mathrm{d}y = \mu(x)$$
 * $$\int_M \gamma(x, y) \,\mathrm{d}x = \nu(y)$$

अंतर्ज्ञान और इष्टतम परिवहन के लिए संबंध
उपरोक्त परिभाषा को समझने का प्रकार इष्टतम परिवहन समस्या पर विचार करना है। अर्थात समष्टि $$X$$ पर द्रव्यमान $$\mu(x)$$ के वितरण के लिए, हम द्रव्यमान को इस तरह से परिवहन करना चाहते हैं कि यह वितरण $$\nu(x)$$ में परिवर्तित हो जाए; 'पृथ्वी के समूह' $$\mu$$ के समूह $$\nu$$ में बदलना है। यह समस्या केवल तभी समझ में आती है जब बनाए जाने वाले समूह का द्रव्यमान उतना ही हो जितना समूह को स्थानांतरित किया जाता है; इसलिए व्यापकता के हानि के बिना यह मान लें कि $$\mu$$ और $$\nu$$ संभाव्यता वितरण हैं जिनका कुल 1 द्रव्यमान है। यह भी मान लें कि कुछ लागत फलन दिया गया है


 * $$c(x,y) \geq 0$$

यह एक इकाई द्रव्यमान को बिंदु $$x$$ से बिंदु $$y$$ तक ले जाने की लागत देता है। $$\mu$$ को $$\nu$$ ले जाने की एक परिवहन योजना को एक फलन $$\gamma(x,y)$$ द्वारा वर्णित किया जा सकता है जो $$x$$ से $$y$$ तक जाने के लिए द्रव्यमान की मात्रा देता है। आप फलन की कल्पना कर सकते हैं कि आकृति $$\nu$$ की जमीन में छेद करने के लिए $$\mu$$ आकार की पृथ्वी के समूह को स्थानांतरित करने की आवश्यकता है, जैसे कि अंत में, मिट्टी का ढेर और जमीन में छेद दोनों पूरी तरह से लुप्त हो जाते हैं। इस योजना के सार्थक होने के लिए, इसे निम्नलिखित गुणों को पूरा करना होगा



\begin{align} \int \gamma(x,y) \,\mathrm{d} y = \mu(x) & \qquad \text{(the amount of earth moved out of point } x \text{ needs to equal the amount that was there to begin with)} \\ \int \gamma(x,y) \,\mathrm{d} x = \nu(y) & \qquad \text{(the amount of earth moved into point } y \text{ needs to equal the depth of the hole that was there at the beginning)} \end{align} $$ अर्थात्, $$x$$ के आसपास एक अतिसूक्ष्म क्षेत्र से बाहर चला गया कुल द्रव्यमान $$\mu(x) \mathrm{d}x$$ के समान होना चाहिए और $$y$$ के आसपास एक क्षेत्र में स्थानांतरित कुल द्रव्यमान $$\nu(y)\mathrm{d}y$$ होना चाहिए। यह आवश्यकता के समान है कि $$\gamma$$ सीमांत $$\mu$$ और $$\nu$$ के साथ एक संयुक्त संभाव्यता वितरण है। इस प्रकार, $$x$$ से $$y$$ तक पहुँचाया गया अतिसूक्ष्म द्रव्यमान $$\gamma(x,y) \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y$$ है, और लागत फलन की परिभाषा के बाद चलने की लागत $$c(x,y) \gamma(x,y) \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y$$ है। इसलिए, परिवहन योजना $$\gamma$$ की कुल लागत है।

\iint c(x,y) \gamma(x,y) \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y = \int c(x,y) \, \mathrm{d} \gamma(x,y) $$ योजना $$\gamma$$ अद्वितीय नहीं है; इष्टतम परिवहन योजना सभी संभावित परिवहन योजनाओं में से न्यूनतम लागत वाली योजना है। जैसा कि उल्लेख किया गया है, एक योजना के वैध होने की आवश्यकता यह है कि यह सीमांत $$\mu$$ और $$\nu$$ के साथ एक संयुक्त वितरण है; $$\Gamma$$ पहले खंड के रूप में ऐसे सभी उपायों के समुच्चय को दर्शाता है, इष्टतम योजना की लागत है

C = \inf_{\gamma \in \Gamma(\mu, \nu)} \int c(x,y) \, \mathrm{d} \gamma(x,y) $$ यदि एक चाल की लागत केवल दो बिंदुओं के मध्य की दूरी है, तो इष्टतम लागत $$W_1$$ दूरी की परिभाषा के समान है।

नियतात्मक वितरण
अनुमान $$\mu_{1} = \delta_{a_{1}}$$ और $$\mu_{2} = \delta_{a_{2}}$$ $$\mathbb{R}$$ में बिंदुओं $$a_{1}$$ और $$a_{2}$$ पर स्थित दो पतित वितरण (अर्थात डायराक डेल्टा वितरण) बनें है। इन दो मापों का केवल एक संभावित युग्मन है, अर्थात् बिंदु द्रव्यमान $$\delta_{(a_{1}, a_{2})}$$ $$(a_{1}, a_{2}) \in \mathbb{R}^{2}$$ पर स्थित है। इस प्रकार, किसी भी $$p \geq 1$$ के लिए, $$\mathbb{R}$$ पर दूरी फलन के रूप में सामान्य निरपेक्ष मान फलन का उपयोग करते हुए, $$\mu_{1}$$ और $$\mu_2$$ के मध्य $$p$$-वासेरस्टीन की दूरी है।
 * $$W_p (\mu_1, \mu_2) = | a_1 - a_2 | .$$

इसी तरह के तर्क से, यदि $$\mu_{1} = \delta_{a_{1}}$$ और $$\mu_{2} = \delta_{a_{2}}$$ $$\mathbb{R}^{n}$$ में बिंदु $$a_{1}$$ और $$a_{2}$$ पर स्थित बिंदु द्रव्यमान हैं, और दूरी फलन के रूप में $$\mathbb{R}^{n}$$ पर सामान्य यूक्लिडियन मानदंड का उपयोग करते हैं, तब
 * $$W_p (\mu_1, \mu_2) = \| a_1 - a_2 \|_2 .$$

एक आयाम
अगर $$P$$ प्रतिदर्श $$X_1, \ldots, X_n$$ के साथ एक अनुभवजन्य माप है और $$Q$$ प्रतिदर्श $$Y_1, \ldots, Y_n$$ के साथ एक अनुभवजन्य माप है, तो दूरी क्रम के आँकड़ों का एक सरल फलन है:
 * $$W_p(P, Q) = \left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \|X_{(i)} - Y_{(i)}\|^p \right)^{1/p}$$

उच्च आयाम
यदि $$P$$ और $$Q$$ अनुभवजन्य वितरण हैं, प्रत्येक $$n$$ अवलोकन पर आधारित है, तब


 * $$W_p(P, Q) = \inf_\pi \left( \sum_{i=1}^n \|X_i - Y_{\pi(i)}\|^p \right)^{1/p}$$

जहां $$n$$ तत्वों के सभी क्रमपरिवर्तन $$\pi$$ पर सबसे कम है। यह एक रेखीय समनुदेश समस्या है, और हंगेरियन कलनविधि द्वारा घन समय में समाधान किया जा सकता है।

सामान्य वितरण
अनुमान $$\mu_1 = \mathcal{N}(m_1, C_1)$$ और $$\mu_2 = \mathcal{N}(m_2, C_2)$$ $$\mathbb{R}^n$$ पर दो गैर-पतित गॉसियन मापक (यानी सामान्य वितरण) होने दें, संबंधित अपेक्षित मूल्यों के साथ $$m_1$$ और $$m_2 \in \mathbb{R}^n$$ और सममित सकारात्मक अर्ध-निश्चित सहप्रसरण आव्यूह $$C_{1}$$ और $$C_2 \in \mathbb{R}^{n \times n}$$ है। तब, $$\mathbb{R}^{n}$$ पर सामान्य यूक्लिडियन मानदंड के संबंध में, $$\mu_{1}$$ और $$\mu_{2}$$ के मध्य 2-वासेरस्टीन की दूरी है।
 * $$W_{2} (\mu_1, \mu_2)^2 = \| m_1 - m_2 \|_2^2 + \mathop{\mathrm{trace}} \bigl( C_1 + C_2 - 2 \bigl( C_2^{1/2} C_1 C_2^{1/2} \bigr)^{1/2} \bigr) .$$

ध्यान दें कि दूसरा शब्द (ट्रेस निहीत) यथार्थतः (असामान्यीकृत) $$C_1$$ और $$C_2$$ के मध्य मापीय है। यह परिणाम दो बिंदु द्रव्यमानों के मध्य वासेरस्टीन दूरी के पहले के उदाहरण को सामान्यीकृत करता है (कम से कम प्रकरण में $$p = 2$$), क्योंकि एक बिंदु द्रव्यमान को सामान्य वितरण के रूप में माना जा सकता है, जिसमें सहसंयोजक आव्यूह शून्य के समान होता है जिस प्रकरण में ट्रेस (रैखिक बीजगणित) शब्द लुप्त हो जाता है और केवल साधनों के मध्य यूक्लिडियन दूरी को सम्मलित करने वाला शब्द रहता है।

एक आयामी वितरण
अनुमान $$\mu_1, \mu_2 \in P_p(\mathbb{R})$$ $$\mathbb{R}$$ पर संभाव्यता मापक हैं, और $$F_1(x)$$ और $$F_2(x)$$ द्वारा उनके संचयी वितरण फलन को निरूपित करते हैं। फिर परिवहन समस्या का एक विश्लेषणात्मक समाधान है: इष्टतम परिवहन संभाव्यता द्रव्यमान तत्वों के क्रम को संरक्षित करता है, इसलिए $$\mu_1$$ के विभाजक $$q$$ पर द्रव्यमान $$\mu_2$$ के विभाजक $$q$$ में चला जाता है। इस प्रकार $$\mu_1$$ और $$\mu_2$$ के मध्य $$p$$-वासेरस्टीन की दूरी है।
 * $$W_p(\mu_1, \mu_2) = \left(\int_0^1 \left| F_1^{-1}(q) - F_2^{-1}(q) \right|^p \, \mathrm{d} q\right)^{1/p} $$

जहाँ $$F_1^{-1}$$ और $$F_2^{-1}$$ मात्रात्मक फलन (प्रतिलोम सीडीएफ) हैं। $$p=1$$ के प्रकरण में, चर के परिवर्तन से सूत्र की ओर जाता है।
 * $$W_1(\mu_1, \mu_2) = \int_{\mathbb{R}} \left| F_1(x) - F_2(x) \right| \, \mathrm{d} x $$.

अनुप्रयोग
वासेरस्टीन मापीय दो चर X और Y के प्रायिकता वितरण की तुलना करने का एक स्वाभाविक प्रकार है, जहां एक चर दूसरे से छोटे, गैर-समान क्षोभ (यादृच्छिक या नियतात्मक) द्वारा प्राप्त किया जाता है।

कंप्यूटर विज्ञान में, उदाहरण के लिए, मापीय W1 का व्यापक रूप से असतत वितरणों की तुलना करने के लिए उपयोग किया जाता है, उदाहरण दो अंकीय प्रतिबिंब का रंग आयतचित्र; अधिक विवरण के लिए अर्थ स्थानांतरित की दूरी देखता है।

अपने काग़ज़ 'वासेरस्टीन जीएएन' में, अरजोव्स्की एट अल और अन्य प्रजनन विरोधात्मक संजाल (GAN) के मूल संरचना में सुधार करने के प्रकार के रूप में वासेरस्टीन-1 मापीय का उपयोग करते हैं, लुप्त होने वाले प्रवणता और विधि के निपात के परिणाम को कम करने के लिए है। सामान्य वितरण के विशेष प्रकरण का उपयोग फ़्रेचेट स्थापना दूरी में किया जाता है।

वासेरस्टीन मापीय का प्रोक्रिस्ट्स विश्लेषण के साथ एक औपचारिक श्रंखला है, जिसमें इंगित मापक के लिए आवेदन और विश्लेषण को आकार देने के लिए है।

अभिकलन जीव विज्ञान में, वासेरस्टीन मापीय का उपयोग साइटोमेट्री आंकड़े समुच्चय के दृढ़ता आरेखों के मध्य तुलना करने के लिए किया जा सकता है।

भूभौतिकी में व्युत्क्रम समस्याओं में वासेरस्टीन मापीय का भी उपयोग किया गया है।

वासेरस्टीन मापीय का उपयोग एकीकृत सूचना सिद्धांत में अवधारणाओं और वैचारिक संरचनाओं के मध्य अंतर की गणना करने के लिए किया जाता है।

मापीय संरचना
यह दिखाया जा सकता है कि Wp, Pp(M) पर एक मापक (गणित) के सभी सिद्धांतों को संतुष्ट करता है। इसके अलावा, Wp के संबंध में अभिसरण माप के सामान्य दुर्बल अभिसरण और पहले pth क्षणों के अभिसरण के समान है।

W1 का दोहरा प्रतिनिधित्व
W1 का निम्नलिखित दोहरा प्रतिनिधित्व कांटोरोविच और रुबिनस्टीन (1958) के द्वैत प्रमेय का एक विशेष प्रकरण है: जब μ और ν का परिबद् आश्रय होता है,


 * $$W_1 (\mu, \nu) = \sup \left\{ \left. \int_{M} f(x) \, \mathrm{d} (\mu - \nu) (x) \right| \text{continuous } f : M \to \mathbb{R}, \operatorname{Lip} (f) \leq 1 \right\},$$

जहां लिप(f) f के लिए न्यूनतम लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक को दर्शाता है।

इसकी तुलना रैडॉन मापीय की परिभाषा से करें:


 * $$\rho (\mu, \nu) := \sup \left\{ \left. \int_M f(x) \, \mathrm{d} (\mu - \nu) (x) \right| \text{continuous } f : M \to [-1, 1] \right\}.$$

यदि मापीय d कुछ स्थिर C से परिबद्ध है, तब


 * $$2 W_1 (\mu, \nu) \leq C \rho (\mu, \nu),$$

और इसलिए रैडॉन मापीय में अभिसरण (कुल भिन्नता अभिसरण के समान जब 'M ' एक पोलिश समष्टि है) का तात्पर्य वासरस्टीन मापीय में अभिसरण से है, लेकिन इसके विपरीत नहीं है।

प्रमाण
निम्नलिखित एक सहज प्रमाण है जो तकनीकी बिंदुओं पर छोड़ देता है। पूर्णतः परिशुद्ध प्रमाण मिलता है। असतत प्रकरण: जब $$M$$ असतत है, 1-वासेरस्टीन दूरी के लिए समाधान करना रैखिक क्रमादेशन में एक समस्या है:$$\begin{cases} \min_\gamma \sum_{x, y} c(x, y) \gamma(x, y) \\ \sum_y \gamma(x, y) = \mu(x) \\ \sum_x \gamma(x, y) = \nu(y) \\ \gamma \geq 0 \end{cases}$$जहाँ $$c: M \times M \to [0, \infty)$$ एक सामान्य लागत फलन है।

उपरोक्त समीकरणों को सावधानीपूर्वक आव्यूह समीकरणों के रूप में लिखने पर, हमें इसकी द्विरेखीय समस्या प्राप्त होती है :$$\begin{cases} \max_{f, g} \sum_x \mu(x)f(x) + \sum_y \nu(y)g(y)\\ f(x) + g(y) \leq c(x, y)	 \end{cases}$$और रैखिक क्रमादेशनके द्वैत प्रमेय द्वारा, क्योंकि मूल समस्या संभव और परिबद्ध है, इसलिए दोहरी समस्या है, और पहली समस्या में न्यूनतम दूसरी समस्या में अधिकतम के समान है। अर्थात्, समस्या युग्म प्रबल द्वैत प्रदर्शित करता है।

सामान्य प्रकरण के लिए, योगों को अभिन्न में परिवर्तित करके दोहरी समस्या पाई जाती है:$$\begin{cases} \sup_{f, g} \mathbb E_{x\sim \mu}[f(x)] + \mathbb E_{y\sim \nu}[g(y)]\\ f(x) + g(y) \leq c(x, y)	 \end{cases}$$और प्रबलद्वैत अभी भी स्थिर है। सेड्रिक विलानी ने लुइस कैफरेली से निम्नलिखित व्याख्या की गणना की:

मान लीजिए कि आप खानों से कुछ कोयले को $$\mu$$ के रूप में वितरित करना चाहते हैं, कारखानों को, $$\nu$$ के रूप में वितरित करना चाहते हैं। परिवहन का लागत फलन $$c$$ है। अब एक शिपर आता है और आपके लिए परिवहन प्रस्तुत करता है। आप उसे $$x$$ पर कोयला लोड करने के लिए प्रति कोयला $$f(x)$$ भुगतान करेंगे, और $$y$$ पर कोयले को उतारने के लिए उसे $$g(y)$$ प्रति कोयला भुगतान करेंगे।

आपके लिए सौदा स्वीकार करने के लिए, मूल्य अनुसूची को पूरा करना होगा $$f(x) + g(y) \leq c(x, y)$$. कांटोरोविच द्वैत कहता है कि शिपर एक मूल्य अनुसूची बना सकता है जो आपको लगभग उतना ही भुगतान करता है जितना आप स्वयं शिप करेंगे। इस परिणाम को प्राप्त करने के लिए आगे दबाया जा सकता है:$$

संभाव्यता समष्टि $$\R$$ होने पर दो अनौपचारिक दृढ़ संकल्प पद दृष्टिगत रूप से स्पष्ट होते हैं।

सांकेतिक सुविधा के लिए, अनुमान $$\square$$ अनंत संवलन संचालन को निरूपित करता है।

पहले पद के लिए, जहाँ हमने $$f = cone\square (-g)$$ का प्रयोग किया था, $$-g$$ का वक्र आरेखित करें, फिर प्रत्येक बिंदु पर, ढलान 1 का एक शंकु बनाएं, और शंकु के निचले आवरण को $$f$$ के रूप में लें, जैसा कि आरेख में दिखाया गया है, तो $$f$$ 1 से बड़े ढलान के साथ नहीं बढ़ सकता है। इस प्रकार इसके सभी व्युत्क्रम कोटिज्या का ढलान $$\Big| \frac{f(x) - f(y)}{x-y}\Big| \leq 1$$ है।

दूसरे पद के लिए, अनंत संवलन $$cone \square (-f)$$ को चित्रित करें, फिर यदि $$f$$ के सभी व्युत्क्रम कोटिज्या अधिकतम 1 ढलान है, तो $$cone \square (-f) $$ का निचला आवरण केवल शंकु-शीर्ष हैं, इस प्रकार $$cone \square (-f)=-f$$ है।

1D उदाहरण: जब दोनों $$\mu, \nu$$ $$\R$$ पर वितरण होते हैं, तो भागों द्वारा एकीकरण देते है।$$\mathbb{E}_{x\sim \mu}[f(x)] - \mathbb E_{y\sim \nu}[f(y)] = \int f'(x) (F_\nu(x) - F_\mu(x)) dx$$इस प्रकार,$$ f(x) = K \cdot \mathop{sign}(F_\nu(x) - F_\mu(x))$$

द्रव यांत्रिकी W2 की व्याख्या
बेनमौ और ब्रेनियर ने द्रव यांत्रिकी द्वारा $$W_2$$ को दोहरा प्रतिनिधित्व मिला, जो उत्तल अनुकूलन द्वारा दक्ष समाधान की अनुमति देता है। घनत्व $$p, q$$ के साथ $$\R^n$$ पर दो प्रायिकता वितरण दिए गए हैं, तब $$W_2(p, q) = \min_v \int_0^T \int_{\R^n} \|v(x, t)\|^2 \rho(x, t)dxdt$$जहाँ $$v(x, t)$$ एक वेग क्षेत्र है, और $$\rho(x, t)$$ द्रव घनत्व क्षेत्र है, जैसे कि $$\begin{aligned} &\frac{\partial \rho(\cdot, t)}{\partial t}=-\operatorname{div}\left( \rho(\cdot, t) v \right) \\ &\rho(x, 0)=p \\ &\rho(x, T)=q \end{aligned}$$अर्थात्, द्रव्यमान को संरक्षित किया जाना चाहिए, और वेग क्षेत्र को समय अंतराल $$[0, T]$$ के समय संभाव्यता वितरण $$p$$ को $$q$$ तक ले जाना चाहिए।

W2 की समतुल्यता और एक नकारात्मक-क्रम सोबोलेव मानदंड
उपयुक्त धारणाओं के अंतर्गत, क्रम दो की वासेरस्टीन दूरी $$W_2$$ लिप्सचिट्ज़ एक नकारात्मक-क्रम सजातीय सोबोलिव मानदंड के समान है। अधिक सटीक रूप से, यदि हम $$M$$ को एक सकारात्मक माप $$\pi$$ से सुसज्जित एक जुड़े हुए रीमैनियन बहुरूपता के रूप में लेते हैं, तो हम $$f \colon M \to \mathbb{R}$$ के लिए अर्धनॉर्मल परिभाषित कर सकते हैं।
 * $$\| f \|_{\dot{H}^{1}(\pi)}^{2} = \int_{M} | \nabla f(x) |^{2} \, \pi(\mathrm{d} x)$$

और $$M$$ दोहरे मानदंड एक हस्ताक्षरित मापक $$\mu$$ के लिए
 * $$\| \mu \|_{\dot{H}^{-1}(\pi)} = \sup \bigg\{ | \langle f, \mu \rangle | \,\bigg|\, \| f \|_{\dot{H}^{1}(\pi)} \leq 1 \bigg\} .$$

तब $$M$$ पर कोई भी दो प्रायिकता माप $$\mu$$ और $$\nu$$ ऊपरी सीमा को संतुष्ट करते हैं।
 * $$W_{2} (\mu, \nu) \leq 2 \| \mu - \nu \|_{\dot{H}^{-1}(\pi)} .$$

दूसरी दिशा में, यदि $$\mu$$ और $$\nu$$ प्रत्येक में $$M$$ पर मानक मात्रा माप के संबंध में घनत्व है जो दोनों कुछ $$0 < C < \infty$$ से ऊपर बंधे हैं, और $$M$$ में गैर-नकारात्मक रिक्की वक्रता है, तब
 * $$\| \mu - \nu \|_{\dot{H}^{-1}(\pi)} \leq \sqrt{C} W_{2} (\mu, \nu) .$$

पृथक्करणीयता और पूर्णता
किसी भी p ≥ 1 के लिए, मापीय समष्टि (Pp(M), Wp) वियोज्य है, और पूर्ण है यदि (M, d) वियोज्य और पूर्ण है।

यह भी देखें

 * हचिंसन मापीय
 * लेवी मापीय
 * लेवी-प्रोखोरोव मापीय
 * फ्रेचेट दूरी
 * संभाव्यता मापक की कुल भिन्नता दूरी
 * परिवहन सिद्धांत (गणित)
 * पृथ्वी स्थानांतरित की दूरी
 * वासेरस्टीन जीएएन