ब्रजुनो संख्या

गणित में ब्रजुनो संख्या एक विशेष प्रकार की अपरिमेय संख्या होती है।

औपचारिक परिभाषा
अपरिमेय संख्या $$\alpha$$ एक ब्रजुनो संख्या कहलाती है जब इसका योग अनंत होता है
 * $$B(\alpha) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\log q_{n+1}}{q_n}$$, जहाँ:


 * $$ q_n $$$n$वें अभिसारी का हर है$$\frac{p_n}{q_n}$$के निरंतर अंश विस्तार का $$\alpha$$.
 * $$B$$ ए ब्रजुनो समारोह है

नाम
ब्रजुनो संख्याओ का नाम अलेक्जेंडर ब्रूनो के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने उन्हें  में प्रस्तुत किया। कभी-कभी इनको ब्रूनो संख्या या ब्रायनो संख्या भी लिखते हैं।

महत्व
ब्रजुनो संख्याएं एक-आयामी विश्लेषणात्मक छोटे विभाजक समस्याओं में महत्वपूर्ण हैं। ब्रूनो ने सीगल के प्रमेय में डायोफैंटाइन की स्थिति में सुधार किया और दिखाया कि रैखिक भाग के साथ होलोमोर्फिक कार्यों के कीटाणु (गणित) $$e^{2\pi i \alpha}$$ यदि रेखीय हैं तो $$\alpha$$ एक ब्रजुनो संख्या है।  जीन-क्रिस्टोफ़ योकोज़ (1995) ने 1987 में दिखाया कि यह स्थिति भी आवश्यक है और द्विघात बहुपदों के लिए आवश्यक और पर्याप्त है।

गुण
सरल रूप से इन संख्याओं में अभिसरण के अनुक्रम में बहुत बड़ी छलांग नहीं होती है, जिसमें (n+1)वें अभिसरण का भाजक nवें अभिसरण की तुलना में घातीय रूप से बड़ा होता है। इस प्रकार, लिउविल संख्याओं के विपरीत, उनके पास परिमेय संख्याओं द्वारा असामान्य रूप से सटीक डायोफैंटाइन सन्निकटन नहीं होते हैं।

बृजुनो योग
ब्रजुनो योग या ब्रजुनो समारोह $$B$$ है


 * $$B(\alpha) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\log q_{n+1}}{q_n}$$, जहाँ:


 * $$ q_n $$$n$ वें अभिसारी का हर है $$\frac{p_n}{q_n}$$ के निरंतर अंश विस्तार का $$\alpha$$.

वास्तविक संस्करण
असली ब्रजुनो समारोह $$B(\alpha)$$ अपरिमेय संख्याओं के लिए परिभाषित किया गया है $$\alpha$$
 * $$ B : \mathbf R \setminus \mathbf Q \to \mathbf R \cup \left \{ + \infty \right \} $$


 * $$ B(\alpha) =B(\alpha+1)$$
 * $$ B(\alpha) = - \log \alpha + \alpha B(1/\alpha)$$
 * सभी तर्कहीन के लिए $$\alpha$$ 0 और 1 के बीच संतुष्ट करता है।

योकोज का संस्करण
ब्रजुनो परिमाण के जीन-क्रिस्टोफ़ योकोज़ के संस्करण को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
 * $$Y(\alpha)=\sum_{n=0}^{\infty} \alpha_0\cdots \alpha_{n-1} \log \frac{1}{\alpha_n},$$ जहाँ:

यह परिमाण सम्मिलित होता है अगर केवल ब्रजुनो योग करता है और वास्तव में उनका अंतर एक सार्वभौमिक स्थिरांक से जुड़ा होता है।
 * $$\alpha$$ अपरिमेय वास्तविक संख्या है: $$\alpha\in \mathbf R \setminus \mathbf Q $$
 * $$\alpha_0$$ का अंश है $$\alpha$$
 * $$\alpha_{n+1}$$ का अंश है $$\alpha_n$$

यह भी देखें

 * पारलौकिक संख्या