अनुक्रम परिवर्तन

गणित में, अनुक्रम परिवर्तन एक संचालिका (गणित) है जो अनुक्रमों के किसी दिए गए स्थान (एक अनुक्रम स्थान) पर कार्य करता है। अनुक्रम परिवर्तनों में रैखिक मानचित्रण शामिल हैं जैसे कि किसी अन्य अनुक्रम के साथ कनवल्शन, और एक अनुक्रम का फिर से शुरू होना और, अधिक सामान्यतः, आमतौर पर श्रृंखला त्वरण के लिए उपयोग किया जाता है, अर्थात, धीरे-धीरे अभिसरण अनुक्रम या श्रृंखला (गणित) के अभिसरण की दर में सुधार के लिए। अनुक्रम परिवर्तनों का उपयोग आम तौर पर संख्यात्मक रूप से भिन्न श्रृंखला की एंटीलिमिट की गणना करने के लिए भी किया जाता है, और एक्सट्रपलेशन विधियों के साथ संयोजन में उपयोग किया जाता है।

अवलोकन
अनुक्रम परिवर्तनों के शास्त्रीय उदाहरणों में द्विपद परिवर्तन, मोबियस परिवर्तन, स्टर्लिंग परिवर्तन और अन्य शामिल हैं।

परिभाषाएँ
किसी दिए गए क्रम के लिए


 * $$S=\{ s_n \}_{n\in\N},\,$$

परिवर्तित क्रम है


 * $$\mathbf{T}(S)=S'=\{ s'_n \}_{n\in\N},\,$$

जहां रूपांतरित अनुक्रम के सदस्यों की गणना आमतौर पर मूल अनुक्रम के सदस्यों की कुछ सीमित संख्या से की जाती है, अर्थात।


 * $$s_n' = T(s_n,s_{n+1},\dots,s_{n+k})$$

कुछ के लिए $$k$$ जो अक्सर निर्भर करता है $$n$$ (cf. उदाहरण के लिए द्विपद परिवर्तन)। सबसे सरल मामले में, $$s_n$$ और यह $$s'_n$$ वास्तविक संख्या या सम्मिश्र संख्याएँ हैं। अधिक सामान्यतः, वे किसी क्षेत्र में कुछ सदिश समष्टि या बीजगणित के तत्व हो सकते हैं।

अभिसरण के त्वरण के संदर्भ में, रूपांतरित अनुक्रम को मूल अनुक्रम की तुलना में तेजी से अभिसरण करने के लिए कहा जाता है


 * $$\lim_{n\to\infty} \frac{s'_n-\ell}{s_n-\ell} = 0$$ कहाँ $$\ell$$ के अनुक्रम की सीमा है $$S$$, अभिसरण माना जाता है। इस स्थिति में, अभिसरण त्वरण प्राप्त होता है। यदि मूल अनुक्रम अपसारी अनुक्रम है, तो अनुक्रम परिवर्तन एंटीलिमिट के लिए एक्सट्रपलेशन विधि के रूप में कार्य करता है $$\ell$$.

यदि मैपिंग $$T$$ इसके प्रत्येक तर्क में रैखिक मानचित्रण है, अर्थात, के लिए


 * $$s'_n=\sum_{m=0}^{k} c_m s_{n+m}$$ कुछ स्थिरांक के लिए $$c_0,\dots,c_k$$ (जो n पर निर्भर हो सकता है), अनुक्रम परिवर्तन $$\mathbf{T}$$ रैखिक अनुक्रम परिवर्तन कहलाता है। अनुक्रम परिवर्तन जो रैखिक नहीं होते हैं उन्हें अरैखिक अनुक्रम परिवर्तन कहा जाता है।

उदाहरण
(रैखिक) अनुक्रम परिवर्तनों के सबसे सरल उदाहरणों में सभी तत्वों को स्थानांतरित करना शामिल है, $$s'_n = s_{n+k}$$ (सम्मान = 0 यदि n+k<0) एक निश्चित k के लिए, और अनुक्रम का अदिश गुणन।

एक कम तुच्छ उदाहरण एक निश्चित अनुक्रम के साथ कन्वोल्यूशन#असतत कन्वोल्यूशन होगा। एक विशेष रूप से बुनियादी रूप अंतर ऑपरेटर है, जो अनुक्रम के साथ कनवल्शन है $$(-1,1,0,\ldots),$$ और व्युत्पन्न का एक अलग एनालॉग है। द्विपद परिवर्तन और भी अधिक सामान्य प्रकार का एक और रैखिक परिवर्तन है।

अरेखीय अनुक्रम परिवर्तन का एक उदाहरण ऐटकेन की डेल्टा-वर्ग प्रक्रिया है, जिसका उपयोग धीरे-धीरे अभिसरण अनुक्रम के अभिसरण की दर में सुधार करने के लिए किया जाता है। इसका एक विस्तारित रूप शैंक्स परिवर्तन है। मोबियस परिवर्तन भी एक अरेखीय परिवर्तन है, जो केवल पूर्णांक अनुक्रमों के लिए संभव है।

यह भी देखें

 * ऐटकेन की डेल्टा-वर्ग प्रक्रिया
 * न्यूनतम बहुपद एक्सट्रपलेशन
 * रिचर्डसन एक्सट्रपलेशन
 * शृंखला त्वरण
 * स्टेफेंसन की विधि

संदर्भ

 * Hugh J. Hamilton, "Mertens' Theorem and Sequence Transformations", AMS (1947)

बाहरी संबंध

 * Transformations of Integer Sequences, a subpage of the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences