कैलाबी त्रिकोण

कैलाबी त्रिकोण एक विशेष त्रिकोण है जो यूजेनियो कैलाबी द्वारा पाया गया है और इसमें शामिल सबसे बड़े वर्ग के लिए तीन अलग-अलग प्लेसमेंट होने की इसकी संपत्ति द्वारा परिभाषित किया गया है। यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है जो एक अपरिमेय संख्या के साथ कुंठित त्रिभुज है लेकिन इसकी भुजाओं की लंबाई और इसके आधार के बीच बीजगणितीय संख्या अनुपात है।

परिभाषा
सबसे बड़े वर्ग पर विचार करें जिसे एक स्वेच्छ त्रिभुज में रखा जा सकता है। ऐसा हो सकता है कि इस तरह के वर्ग को त्रिकोण में एक से अधिक तरीकों से रखा जा सकता है। यदि इस तरह के सबसे बड़े वर्ग को तीन अलग-अलग तरीकों से रखा जा सकता है, तो त्रिभुज या तो एक समबाहु त्रिभुज है या कैलाबी त्रिभुज है। इस प्रकार, कैलाबी त्रिभुज को ऐसे त्रिभुज के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो समबाहु नहीं है और इसके सबसे बड़े वर्ग के लिए तीन स्थान हैं।

आकार
कैलाबी त्रिभुज समद्विबाहु है। किसी भी पैर के आधार का अनुपात है
 * $$ x = {1 \over 3} \Bigg(1 + \sqrt[3]{-23 + 3i \sqrt{237} \over 4} + \sqrt[3]{-23 - 3i \sqrt{237} \over 4} \Bigg) = 1.55138752454...\,.$$

त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करके यह मान जटिल संख्याओं के बिना भी व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$ x = {1 \over 3} \bigg(1 + \sqrt{22} \cos\!\bigg( {1 \over 3} \cos^{-1}\!\!\bigg(\!-{23 \over 11 \sqrt{22}} \bigg) \bigg) \bigg) .$$

यह किसी फलन का सबसे बड़ा धनात्मक शून्य है
 * $$ 2x^3 - 3x^2 -2x + 2 = 0 $$

और अंश प्रतिनिधित्व जारी रखा है [1, 1, 1, 4, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 1, 3, 1, 1, 390, ...]।

कैलाबी त्रिकोण आधार कोण 39.1320261...° और तीसरा कोण 101.7359477...° वाला अधिककोण त्रिभुज है।

यह भी देखें

 * सबसे बड़ा छोटा बहुभुज