विमाहीन संख्या

एक आयाम रहित राशि (जिसे मात्र राशि, शुद्ध राशि या अदिश राशि के साथ-साथ ही एक आयाम की राशि के रूप में भी जाना जाता है ) एक राशि है जिसके लिए भौतिकी में,, एक (या 1), जो स्पष्ट रूप से प्रदर्शित नहीं होता है, के माप की इकाइयों की एक संगत अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली के साथ,कोई आयाम निर्दिष्ट नहीं किया गया है। गणित, भौतिकी, रसायन विज्ञान, अभियांत्रिकी और अर्थशास्त्र जैसे अनेक क्षेत्रों में आयाम रहित राशिओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। आयाम रहित राशिएँ उन राशिओं से भिन्न होती हैं जिनके संबंधित आयाम होते हैं, जैसे समय (सेकण्ड्स में मापा जाता है)। आयाम रहित इकाइयाँ आयाम रहित मान हैं जो क्रमशः समतल कोणों और ठोस कोणों के लिए रेडियंस (rad) या स्टरेडियन (sr) जैसी अन्य राशिओं को व्यक्त करने के लिए माप की इकाइयों के रूप में काम करती हैं। उदाहरण के लिए, ऑप्टिकल सीमा को स्टेरेडियन द्वारा गुणा मीटर की इकाइयों के रूप में परिभाषित किया गया है।

इतिहास
आयाम एक, आयाम रहित राशि वाली राशिएँ नियमित रूप से विज्ञान में होती हैं, और औपचारिक रूप से आयामी विश्लेषण के क्षेत्र में व्यवहार की जाती हैं। उन्नीसवीं शताब्दी में, फ्रांसीसी गणितज्ञ जोसेफ फूरियर और स्कॉटिश भौतिक विज्ञानी जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने आयाम और इकाई (माप) की आधुनिक अवधारणाओं में महत्वपूर्ण विकास का नेतृत्व किया। बाद में ब्रिटिश भौतिकविदों ओसबोर्न रेनॉल्ड्स और लॉर्ड रेले के काम ने भौतिकी में आयाम रहित संख्याओं की समझ में योगदान दिया। रेले की विमीय विश्लेषण पद्धति पर आधारित, एडगर बकिंघम ने बकिंघम π प्रमेय को सिद्ध किया|$\pi$ प्रमेय (फ्रांसीसी गणितज्ञ जोसेफ बर्ट्रेंड के पिछले काम से स्वतंत्र) इन राशिओं की प्रकृति को औपचारिक रूप देने के लिए। 1900 की शुरुआत में, विशेष रूप से द्रव यांत्रिकी और गर्मी हस्तांतरण के क्षेत्रों में, अनेक आयामहीन संख्याएं, ज्यादातर अनुपात, गढ़े गए थे। (व्युत्पन्न) इकाई dB (डेसिबल) में अनुपातों को मापने का आजकल व्यापक उपयोग होता है।

भौतिक आयामों के संबंध में भ्रम को कम करने के लिए SI प्रणाली को पैच करने के लिए समय-समय पर प्रस्ताव दिए गए हैं। उदाहरण के लिए, प्रकृति (पत्रिका) में 2017 का एक ऑप-एड ने कांति को एक भौतिक इकाई के रूप में औपचारिक रूप देने का तर्क दिया। विचार का खंडन किया गया इस आधार पर कि इस तरह के परिवर्तन से दोनों स्थापित आयाम रहित समूहों, जैसे स्ट्रोहल संख्या, और गणितीय रूप से अलग-अलग संस्थाओं के लिए विसंगतियां बढ़ेंगी, जो समान इकाइयों के साथ होती हैं, जैसे टोक़ (एक क्रॉस उत्पाद) बनाम ऊर्जा (एक डॉट) उत्पाद)। 2000 के दशक की शुरुआत में एक अन्य उदाहरण में, वज़न और माप के लिए अंतर्राष्ट्रीय समिति ने 1 की इकाई को यूनो (इकाई) के रूप में नामित करने पर चर्चा की, लेकिन 1 के लिए एक नया एसआई नाम पेश करने का विचार छोड़ दिया गया। रेफरी>

पूर्णांक
असतत आयाम रहित राशिओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए पूर्णांक संख्याओं का उपयोग किया जा सकता है। विशेष रूप से, गिनती करने योग्य राशिओं को व्यक्त करने के लिए गिनती संख्याओं का उपयोग किया जा सकता है, जैसे कणों की संख्या और जनसंख्या का आकार। गणित में, एक सेट में तत्वों की संख्या को प्रमुखता कहा जाता है। गणनीय संज्ञाएं एक संबंधित भाषाविज्ञान अवधारणा है। गिनती की संख्या, जैसे कि काटा्स की संख्या, को आवृत्ति की इकाइयों (उलटा सेकंड) के साथ जोड़ा जा सकता है ताकि गणना दर की इकाइयां प्राप्त की जा सकें, जैसे बिट्स प्रति सेकंड। गणना डेटा सांख्यिकी में एक संबंधित अवधारणा है।

अनुपात, अनुपात और कोण
आयाम रहित राशिएँ अक्सर उन राशिओं के अनुपात के रूप में प्राप्त की जाती हैं जो आयाम रहित नहीं हैं, लेकिन जिनके आयाम गणितीय संक्रिया में निरस्त हो जाते हैं। उदाहरणों में ढलान की गणना या इकाइयों का रूपांतरण शामिल है। इस तरह के अनुपात का एक अधिक जटिल उदाहरण इंजीनियरिंग तनाव है, प्रारंभिक लंबाई से विभाजित लंबाई में परिवर्तन के रूप में परिभाषित भौतिक विरूपण का एक उपाय। चूँकि दोनों राशिओं की आयाम लंबाई है, उनका अनुपात आयाम रहित है। उदाहरणों का एक और सेट द्रव्यमान अंश (रसायन विज्ञान) या मोल अंश है जिसे अक्सर भागों-प्रति संकेतन जैसे पीपीएम (= 10) का उपयोग करके लिखा जाता है−6), पीपीबी (= 10-9), और पीपीटी (= 10−12), या शायद भ्रमित रूप से दो समान इकाइयों (किलोग्राम/किग्रा या तिल (इकाई)/मोल) के अनुपात के रूप में। उदाहरण के लिए, राशि द्वारा अल्कोहल, जो अल्कोहल पेय में इथेनॉल की एकाग्रता को दर्शाता है, के रूप में लिखा जा सकता है mL / 100 mL.

अन्य सामान्य अनुपात हैं प्रतिशत % (= 0.01),  प्रति मील|‰ (= 0.001) और कोण इकाइयां जैसे रेडियन, डिग्री (कोण) (° =$\pi⁄180$) और ग्रेडियन (=$\pi⁄200$). आँकड़ों में भिन्नता का गुणांक औसत से मानक विचलन का अनुपात है और इसका उपयोग सांख्यिकीय डेटा में सांख्यिकीय फैलाव को मापने के लिए किया जाता है।

यह तर्क दिया गया है कि राशिओं को अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है Q = A/B अंश और भाजक में समान आयाम वाले वास्तव में केवल इकाई रहित राशिएँ हैं और अभी भी भौतिक आयाम के रूप में परिभाषित हैं dim Q = dim A × dim B. उदाहरण के लिए, नमी की राशि को आयतन के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जा सकता है (वॉल्यूमेट्रिक नमी, मी3⋅मि -3, डाइमेंशन एल$3$⋅L$−3$) या द्रव्यमान के अनुपात के रूप में (गुरुत्वाकर्षण नमी, इकाइयाँ kg⋅kg-1, आयाम M⋅M$−1$); दोनों इकाई रहित राशिएँ होंगी, लेकिन विभिन्न आयामों की।

बकिंघम π प्रमेय
बकिंघम π प्रमेय इंगित करता है कि भौतिकी के नियमों की वैधता एक विशिष्ट इकाई प्रणाली पर निर्भर नहीं करती है। इस प्रमेय का एक कथन यह है कि किसी भी भौतिक कानून को एक पहचान (गणित) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जिसमें कानून से जुड़े चर के केवल आयाम रहित संयोजन (अनुपात या उत्पाद) शामिल होते हैं (जैसे, दबाव और आयतन बॉयल के नियम से जुड़े होते हैं - वे व्युत्क्रम हैं आनुपातिक)। यदि इकाइयों के सिस्टम के साथ आयाम रहित संयोजनों का मान बदल जाता है, तो समीकरण एक पहचान नहीं होगी, और बकिंघम का प्रमेय मान्य नहीं होगा।

प्रमेय का एक अन्य परिणाम यह है कि चर (गणित) की एक निश्चित संख्या (जैसे, n) के बीच फ़ंक्शन (गणित) निर्भरता को एक सेट देने के लिए उन चरों में होने वाले स्वतंत्र चर आयामों की संख्या (कहते हैं, k) से कम किया जा सकता है। p का ​​= n - k स्वतंत्र, आयाम रहित राशि। प्रयोगकर्ता के प्रयोजनों के लिए, आयाम रहित राशि द्वारा समान विवरण साझा करने वाली विभिन्न प्रणालियाँ समतुल्य हैं।

उदाहरण
के आवेदन को प्रदर्शित करने के लिए π प्रमेय, एक दिए गए आकार के साथ विलोडक की बिजली की खपत पर विचार करें। शक्ति, पी, आयामों में [एम · एल2/टी3], घनत्व का एक कार्य है, ρ [एम/एल3], और हिलाए जाने वाले द्रव की चिपचिपाहट, μ [एम/(एल · टी)], साथ ही इसके व्यास, डी [एल], और कोणीय वेग द्वारा दिए गए स्टिरर का आकार विलोडक की, n [1/T]। इसलिए, हमारे उदाहरण का प्रतिनिधित्व करने वाले कुल n = 5 चर हैं। वे n = 5 चर k = 3 मौलिक आयामों से निर्मित होते हैं, लंबाई: L (SI इकाइयाँ: मीटर की दूरी पर), समय: T (सेकंड), और द्रव्यमान: M (किलोग्राम)।

के मुताबिक π-प्रमेय, p = n − k = 5 − 3 = 2 स्वतंत्र विमाहीन संख्याएँ बनाने के लिए n = 5 चरों को k = 3 विमाओं द्वारा कम किया जा सकता है। आमतौर पर, इन राशिओं को चुना जाता है $\mathrm{Re} = {\frac{\rho n D^2}{\mu}}$, आमतौर पर रेनॉल्ड्स संख्या का नाम दिया गया है जो द्रव प्रवाह शासन का वर्णन करता है, और $N_\mathrm{p} = \frac{P}{\rho n^3 D^5}$ , शक्ति संख्या, जो विलोडक का आयाम रहित विवरण है।

ध्यान दें कि दो आयाम रहित राशिएँ अद्वितीय नहीं हैं और निर्भर करती हैं कि n = 5 चरों में से किसे k = 3 स्वतंत्र आधार चर के रूप में चुना जाता है, जो दोनों आयाम रहित राशिओं में दिखाई देते हैं। उपरोक्त विश्लेषण से रेनॉल्ड्स संख्या और शक्ति संख्या गिरती है यदि $\rho$, n, और D को आधार चर के रूप में चुना जाता है। यदि इसके बजाय, $\mu$ , n, और D का चयन किया जाता है, रेनॉल्ड्स संख्या को पुनः प्राप्त किया जाता है जबकि दूसरी आयामहीन राशि बन जाती है $N_\mathrm{Rep} = \frac{P}{\mu D^3 n^2}$. हमने ध्यान दिया कि $N_\mathrm{Rep}$ रेनॉल्ड्स संख्या और शक्ति संख्या का उत्पाद है।

विमाहीन भौतिक स्थिरांक
कुछ सार्वभौमिक आयाम वाले भौतिक स्थिरांक, जैसे कि निर्वात में प्रकाश की गति, सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक, प्लैंक स्थिरांक, कूलम्ब स्थिरांक, और बोल्ट्जमान स्थिरांक को 1 तक सामान्यीकृत किया जा सकता है यदि समय, लंबाई, द्रव्यमान, विद्युत आवेश के लिए उपयुक्त इकाइयाँ, और तापमान चुना जाता है। इकाइयों की परिणामी प्रणाली को प्राकृतिक इकाइयों के रूप में जाना जाता है, विशेष रूप से इन पांच स्थिरांकों, प्लैंक इकाइयों के संबंध में। हालांकि, इस तरीके से सभी भौतिक स्थिरांकों को सामान्य नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित स्थिरांक के मान इकाइयों की प्रणाली से स्वतंत्र हैं, परिभाषित नहीं किए जा सकते हैं, और केवल प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित किए जा सकते हैं:
 * α ≈ 1/137, सूक्ष्म-संरचना स्थिरांक, जो इलेक्ट्रॉनों के बीच विद्युत चुम्बकीय संपर्क के परिमाण की विशेषता है।
 * β (या μ) ≈ 1836, प्रोटॉन-से-इलेक्ट्रॉन द्रव्यमान अनुपात। यह अनुपात इलेक्ट्रॉन के द्वारा विभाजित प्रोटॉन का शेष द्रव्यमान है। किसी भी प्राथमिक कण के लिए एक समान अनुपात को परिभाषित किया जा सकता है;
 * αs ≈ 1, मजबूत बल युग्मन शक्ति को निरूपित करने वाला एक निरंतर;
 * किसी दिए गए प्राथमिक कण के द्रव्यमान का प्लैंक द्रव्यमान से अनुपात, $\sqrt{\hbar c/G}$.

गैर-विमीयकरण द्वारा उत्पादित अन्य राशिएँ
अनेक अंतःक्रियात्मक भौतिक घटनाओं के साथ प्रणालियों के लक्षण वर्णन को सरल बनाने के लिए भौतिकी अक्सर आयाम रहित राशि का उपयोग करती है। इन्हें बकिंघम π प्रमेय|बकिंघम को लागू करके पाया जा सकता है π प्रमेय या अन्यथा गैर-विमीयकरण की प्रक्रिया द्वारा आंशिक अंतर समीकरणों को इकाई रहित बनाने से उभर सकता है। इंजीनियरिंग, अर्थशास्त्र और अन्य क्षेत्र अक्सर इन विचारों को प्रासंगिक प्रणालियों के डिजाईन और विश्लेषण में विस्तारित करते हैं।

भौतिकी और इंजीनियरिंग

 * फ्रेस्नेल संख्या - दूरी पर तरंग संख्या
 * मच संख्या - द्रव में ध्वनि की गति के सापेक्ष किसी वस्तु या प्रवाह की गति का अनुपात।


 * बीटा (प्लाज्मा भौतिकी) - चुंबकीय दबाव के लिए प्लाज्मा दबाव का अनुपात, मैग्नेटोस्फेरिक भौतिकी के साथ-साथ संलयन प्लाज्मा भौतिकी में उपयोग किया जाता है।
 * डम्कोहलर नंबर (डीए) - रासायनिक अभियांत्रिकी में रासायनिक प्रतिक्रिया टाइमस्केल (प्रतिक्रिया दर) को एक प्रणाली में होने वाली परिवहन घटना दर से संबंधित करने के लिए उपयोग किया जाता है।
 * थीले मॉडुलस - झरझरा उत्प्रेरक छर्रों में प्रसार और प्रतिक्रिया दर के बीच संबंध का वर्णन करता है जिसमें कोई बड़े पैमाने पर स्थानांतरण सीमा नहीं होती है।
 * संख्यात्मक छिद्र - कोणों की उस सीमा को दर्शाता है जिस पर सिस्टम प्रकाश को स्वीकार या उत्सर्जित कर सकता है।
 * शेरवुड नंबर - (जिसे मास ट्रांसफर नुसेल्ट संख्या भी कहा जाता है) मास-ट्रांसफर ऑपरेशन में उपयोग की जाने वाली एक आयामहीन संख्या है। यह संवहन द्रव्यमान हस्तांतरण के अनुपात को फैलाने वाले द्रव्यमान परिवहन की दर का प्रतिनिधित्व करता है।
 * श्मिट संख्या - संवेग विसरणशीलता (कीनेमेटिक चिपचिपाहट) और द्रव्यमान विसरणशीलता के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है, और इसका उपयोग द्रव प्रवाह को चिह्नित करने के लिए किया जाता है जिसमें एक साथ गति और द्रव्यमान विसरण संवहन प्रक्रियाएं होती हैं।
 * रेनॉल्ड्स संख्या का उपयोग आमतौर पर द्रव यांत्रिकी में प्रवाह को चिह्नित करने के लिए किया जाता है, जिसमें द्रव और प्रवाह दोनों के गुण शामिल होते हैं। इसे चिपचिपी ताकतों के लिए जड़त्वीय बलों के अनुपात के रूप में व्याख्या की जाती है और यह प्रवाह शासन को इंगित कर सकता है और साथ ही पाइपों में प्रवाह के लिए आवेदन में घर्षण ताप से संबंधित हो सकता है।
 * ज़ुकोस्की संख्या, आमतौर पर नोट किया गया Q*, आग से निकलने वाली गैस की प्रवाह दर की एन्थैल्पी और आग से निकलने वाली गर्मी की दर का अनुपात है। आकस्मिक और प्राकृतिक आग में आमतौर पर ~1 का Q* होता है। चपटी आग जैसे जंगल में लगने वाली आग में Q*<1 होता है। दबाव वाले जहाजों या पाइपों से उत्पन्न होने वाली आग, दबाव के कारण होने वाली अतिरिक्त गति के साथ, Q*>>>1 होती है।

रसायन विज्ञान

 * आपेक्षिक घनत्व - जल के सापेक्ष घनत्व
 * सापेक्ष परमाणु द्रव्यमान, मानक परमाणु भार
 * संतुलन स्थिरांक (जो कभी-कभी आयाम रहित होता है)

अन्य क्षेत्र

 * परिवहन की लागत एक स्थान से दूसरे स्थान पर जाने की दक्षता है
 * लोच (अर्थशास्त्र) दूसरे में परिवर्तन के जवाब में एक आर्थिक चर के आनुपातिक परिवर्तन का माप है

यह भी देखें

 * अनियंत्रित इकाई
 * आयामी विश्लेषण
 * सामान्यीकरण (सांख्यिकी) और मानकीकृत क्षण, आँकड़ों में अनुरूप अवधारणाएँ
 * परिमाण के आदेश (संख्या)
 * समानता (मॉडल)
 * आयाम रहित राशिओं की सूची