प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण

कैलकुलस में, प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण, जिसे  'यू'-प्रतिस्थापन, रिवर्स चेन नियम या चर के परिवर्तन के रूप में भी जाना जाता है, अभिन्न और एंटीडेरिवेटिव के मूल्यांकन के लिए एक विधि है। इस प्रकार यह व्युत्पन्न के लिए श्रृंखला नियम का प्रतिरूप है, और इसे शिथिल रूप से श्रृंखला नियम को "पीछे की ओर" उपयोग करने के बारे में सोचा जा सकता है।

परिचय
गणितीय कठोरता के परिणाम को बताने से पहले, अनिश्चित समाकलों का उपयोग करते हुए एक साधारण स्थितियों पर विचार करें।

गणना करना $$\textstyle\int(2x^3+1)^7(x^2)\,dx$$.

तय करना $$u=2x^3+1$$. इसका कारण यह है $$\textstyle\frac{du}{dx}=6x^2$$, या विभेदक रूप में, $$du=6x^2\,dx$$. वर्तमान


 * $$\begin{aligned}

\int(2x^3 +1)^7(x^2)\,dx &= \frac{1}{6}\int\underbrace{(2x^3+1)^{7}}_{u^{7}}\underbrace{(6x^2)\,dx}_{du} \\ &= \frac{1}{6}\int u^{7}\,du \\ &= \frac{1}{6}\left(\frac{1}{8}u^{8}\right)+C \\ &= \frac{1}{48}(2x^3+1)^{8}+C, \end{aligned}$$ कहाँ $$C$$ एकीकरण का एक मनमाना स्थिरांक है।

इस प्रक्रिया का सामान्यतः उपयोग किया जाता है, किन्तु सभी अभिन्न एक ऐसे रूप में नहीं होते हैं जो इसके उपयोग की अनुमति देता है। इस प्रकार किसी भी स्थिति में, परिणाम को मूल एकीकृत से भिन्न करके और तुलना करके सत्यापित किया जाना चाहिए।


 * $$\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{48}(2x^3+1)^{8}+C\right]=\frac{1}{6}(2x^3+1)^{7}(6x^2) = (2x^3+1)^7(x^2).$$

निश्चित समाकलों के लिए, समाकलन की सीमाओं को भी समायोजित किया जाना चाहिए, किन्तु प्रक्रिया अधिकतर समान होती है।

निश्चित अभिन्न
होने देना $$g:[a,b]\rightarrow I$$ एक निरंतर फलन डेरिवेटिव के साथ एक भिन्न-भिन्न कार्य हो, जहां $$I \subset \mathbb{R}$$ एक अंतराल (गणित) है। इस प्रकार लगता है कि $$f:I\rightarrow\mathbb{R}$$ एक सतत कार्य है। तब
 * $$\int_a^b f(g(x))\cdot g'(x)\, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\ du. $$

लीबनिज संकेतन में, प्रतिस्थापन $$u=g(x)$$ उत्पन्नवार
 * $$\frac{du}{dx} = g'(x).$$

बहुत छोता के साथ ह्यूरिस्टिक रूप से कार्य करने से समीकरण प्राप्त होता है
 * $$du = g'(x)\,dx,$$

जो ऊपर प्रतिस्थापन सूत्र का सुझाव देता है। (इस समीकरण को विभेदक रूपों के बारे में एक कथन के रूप में व्याख्या करके एक कठोर आधार पर रखा जा सकता है।) इस प्रकार एक व्यक्ति प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण की विधि को इंटीग्रल और डेरिवेटिव के लिए लीबनिज के संकेतन के आंशिक औचित्य के रूप में देख सकता है।

सूत्र का उपयोग एक अभिन्न को दूसरे अभिन्न में बदलने के लिए किया जाता है जो कि गणना करना आसान है। इस प्रकार, किसी दिए गए अभिन्न को सरल बनाने के लिए सूत्र को बाएं से दाएं या दाएं से बाएं पढ़ा जा सकता है। जब पूर्व तरीके से उपयोग किया जाता है, तब इसे कभी-कभी यू-प्रतिस्थापन या डब्ल्यू-प्रतिस्थापन के रूप में जाना जाता है जिसमें एक नया चर परिभाषित किया जाता है जो मूल चर के फलन के रूप में परिभाषित किया जाता है‚ इस प्रकार बाद वाली विधि सामान्यतः त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन में उपयोग किया जाता है, मूल चर को एक नए चर के त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के साथ और मूल अंतर को त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के अंतर के साथ प्रतिस्थापित किया जाता है।

प्रमाण
प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण को कैलकुलस के मौलिक प्रमेय से निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है। इस प्रकार होने देना $$f$$ और $$g$$ उपरोक्त परिकल्पना को संतुष्ट करने वाले दो कार्य हो $$f$$ निरंतर चालू है $$I$$ और $$g'$$ बंद अंतराल पर पूर्णांक है $$[a,b]$$. फिर फंक्शन $$f(g(x))\cdot g'(x)$$ पर भी समाकलनीय है $$[a,b]$$. इसलिए अभिन्न


 * $$\int_a^b f(g(x))\cdot g'(x)\ dx$$

और


 * $$\int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\ du$$

वास्तव में उपस्तिथ हैं, और यह दिखाना बाकी है कि वह समान हैं।

तब से $$f$$ निरंतर है, इसमें एक प्रतिपक्षी है $$F$$. फंक्शन रचना $$F \circ g$$ तब परिभाषित किया जाता है। तब से $$g$$ अवकलनीय है, शृंखला नियम और प्रतिअवकलज की परिभाषा को मिलाकर देता है


 * $$(F \circ g)'(x) = F'(g(x)) \cdot g'(x) = f(g(x)) \cdot g'(x).$$

कलन की मूलभूत प्रमेय को दो बार प्रयुक्त करने पर प्राप्त होता है



\begin{align} \int_a^b f(g(x)) \cdot g'(x)\ dx &= \int_a^b (F \circ g)'(x)\ dx \\ &= (F \circ g)(b) - (F \circ g)(a) \\ &= F(g(b)) - F(g(a)) \\ &= \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\ du, \end{align} $$ जो प्रतिस्थापन नियम है।

उदाहरण 1
अभिन्न पर विचार करें
 * $$\int_0^2 x \cos(x^2+1)\ dx.$$

प्रतिस्थापन करें $$u = x^{2} + 1$$ प्राप्त करने के लिए $$du = 2x\ dx$$, अर्थ $$x\ dx = \frac{1}{2}\ du$$. इसलिए,


 * $$\begin{align}

\int_{x=0}^{x=2} x \cos(x^2+1) \ dx &= \frac{1}{2} \int_{u=1}^{u=5}\cos(u)\ du \\[6pt] &= \frac{1}{2}(\sin(5)-\sin(1)). \end{align}$$ निचली सीमा के पश्चात् से $$x = 0$$ के साथ बदल दिया गया था $$u = 1$$, और ऊपरी सीमा $$x = 2$$ साथ $$2^{2} + 1 = 5$$, के संदर्भ में एक परिवर्तन वापस $$x$$ अनावश्यक था।

वैकल्पिक रूप से, कोई पहले अनिश्चित समाकल (प्रतिअवकलज) का पूरी तरह से मूल्यांकन कर सकता है, फिर सीमा शर्तों को प्रयुक्त कर सकता है। यह विशेष रूप से आसान हो जाता है जब एकाधिक प्रतिस्थापन का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण 2
अभिन्न के लिए
 * $$\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx,$$

उपरोक्त प्रक्रिया में बदलाव की आवश्यकता है। प्रतिस्थापन $$x = \sin u $$ जिसका अर्थ $$dx = \cos u \,du$$ उपयोगी है क्योंकि $$\sqrt{1-\sin^2u} = \cos(u)$$. इस प्रकार हमारे पास है


 * $$\begin{align}

\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\ dx &= \int_0^{\pi/2} \sqrt{1-\sin^2u} \cos(u)\ du \\[6pt] &= \int_0^{\pi/2} \cos^2u\ du \\[6pt] &= \left[\frac{u}{2} + \frac{\sin(2u)}{4}\right]_0^{\pi/2} \\[6pt] &= \frac{\pi}{4} + 0 \\ &= \frac{\pi}{4}. \end{align}$$ परिणामी अभिन्न की गणना भागों द्वारा एकीकरण या त्रिकोणमितीय पहचानों की सूची एकाधिक-कोण और अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करके की जा सकती है, $$2\cos^{2} u = 1 + \cos (2u)$$, उसके पश्चात् एक और प्रतिस्थापन एवं कोई यह भी नोट कर सकता है कि एकीकृत किया जा रहा कार्य एक त्रिज्या के साथ एक वृत्त का ऊपरी दाहिना चौथाई है, और इसलिए ऊपरी दाएँ चौथाई को शून्य से एक तक एकीकृत करना इकाई चक्र के एक चौथाई के क्षेत्रफल के सामान्तर ज्यामितीय है, या $$\frac\pi 4 $$.

एंटीडेरिवेटिव्स
प्रतिस्थापन का उपयोग एंटीडेरिवेटिव निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। एक के मध्य एक संबंध चुनता है $$x$$ और $$u$$, के मध्य संबंधित संबंध निर्धारित करता है $$dx$$ और $$du$$ अंतर करके, और प्रतिस्थापन करता है। उम्मीद है कि प्रतिस्थापित फलन के लिए एक एंटीडेरिवेटिव निर्धारित किया जा सकता है; के मध्य मूल प्रतिस्थापन $$x$$ और $$u$$ फिर पूर्ववत है।

उपरोक्त उदाहरण 1 के समान, इस विधि से निम्नलिखित प्रतिअवकलज प्राप्त किए जा सकते हैं:


 * $$\begin{align}

\int x \cos(x^2+1) \,dx &= \frac{1}{2} \int 2x \cos(x^2+1) \,dx \\[6pt] &= \frac{1}{2} \int\cos u\,du \\[6pt] &= \frac{1}{2}\sin u + C \\ &= \frac{1}{2}\sin(x^2+1) + C, \end{align}$$ कहाँ $$C$$ एकीकरण का एक मनमाना स्थिरांक है।

रूपांतरण के लिए कोई अभिन्न सीमाएँ नहीं थीं, किन्तु मूल प्रतिस्थापन को वापस लाने के अंतिम चरण में $$u = x^{2} + 1$$ आवश्यक था। प्रतिस्थापन द्वारा निश्चित समाकलों का मूल्यांकन करते समय, कोई पहले पूरी तरह से प्रतिपक्षी की गणना कर सकता है, फिर सीमा शर्तों को प्रयुक्त कर सकता है। इस प्रकार उस स्थिति में, सीमा शर्तों को बदलने की कोई आवश्यकता नहीं है।

स्पर्शरेखा फलन को साइन और कोसाइन के संदर्भ में व्यक्त करके प्रतिस्थापन का उपयोग करके एकीकृत किया जा सकता है:
 * $$\int \tan x \,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \,dx$$

प्रतिस्थापन का उपयोग करना $$u = \cos x$$ देता है $$du = -\sin x\,dx$$ और
 * $$\begin{align}

\int \tan x \,dx &= \int \frac{\sin x}{\cos x} \,dx \\ &= \int -\frac{du}{u} \\ &= -\ln |u| + C \\ &= -\ln |\cos x| + C \\ &= \ln |\sec x| + C. \end{align}$$

एकाधिक चर के लिए प्रतिस्थापन
बहुभिन्नरूपी फलन को एकीकृत करते समय कोई भी प्रतिस्थापन का उपयोग कर सकता है।

यहाँ प्रतिस्थापन फंक्शन $(v_{1},...,v_{n}) = φ(u_{1}, ..., u_{n})$ अंतःक्षेपी और निरंतर अवकलनीय होने की आवश्यकता है और अवकलन इस रूप में परिवर्तित होते हैं


 * $$dv_1 \cdots dv_n = \left|\det(D\varphi)(u_1, \ldots, u_n)\right| \, du_1 \cdots du_n,$$

कहाँ $det(Dφ)(u_{1}, ..., u_{n})$ के आंशिक डेरिवेटिव के जैकबियन आव्युह के निर्धारक को दर्शाता है $φ$ बिंदु पर $(u_{1}, ..., u_{n})$. यह सूत्र इस तथ्य को व्यक्त करता है कि एक आव्युह के निर्धारक का निरपेक्ष मान इसके स्तंभों या पंक्तियों द्वारा फैलाए गए पैरेललेपिप्ड पैरेललोटोप के आयतन के सामान्तर होता है।

इस प्रकार अधिक त्रुटिहीन रूप से, चर सूत्र का परिवर्तन अगले प्रमेय में बताया गया है:

'प्रमेय'। होने देना $U$ में एक खुला समूह हो $R^{n}$ और $φ : U → R^{n}$ निरंतर आंशिक डेरिवेटिव के साथ एक इंजेक्शन फंक्शन भिन्न-भिन्न फलन, जिसका जैकोबियन प्रत्येक के लिए गैर-शून्य है $x$ में $U$. फिर किसी वास्तविक मूल्यवान, कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित, निरंतर कार्य के लिए $f$, में निहित समर्थन के साथ $φ(U)$,


 * $$\int_{\varphi(U)} f(\mathbf{v})\, d\mathbf{v}

= \int_U f(\varphi(\mathbf{u})) \left|\det(D\varphi)(\mathbf{u})\right| \,d\mathbf{u}.$$ प्रमेय पर शर्तों को विभिन्न तरीकों से अशक्त किया जा सकता है। सबसे पहले, आवश्यकता है कि $φ$ लगातार भिन्न-भिन्न होने को अशक्त धारणा से बदला जा सकता है $φ$ केवल अवकलनीय हो और एक सतत व्युत्क्रम हो। इस प्रकार इसे धारण करने की गारंटी है $φ$ प्रतिलोम फलन प्रमेय द्वारा निरंतर अवकलनीय है। वैकल्पिक रूप से, आवश्यकता है कि $det(Dφ) ≠ 0$ सार्ड के प्रमेय को प्रयुक्त करके समाप्त किया जा सकता है।

लेब्सग्यू मापने योग्य कार्यों के लिए, प्रमेय को निम्नलिखित रूप में कहा जा सकता है:

प्रमेय। होने देना $U$ का एक मापने योग्य उपसमुच्चय हो $R^{n}$ और $φ : U → R^{n}$ एक इंजेक्शन फलन, और प्रत्येक के लिए मान लीजिए $x$ में $U$ वहां उपस्तिथ $φ&prime;(x)$ में $R^{n,n}$ ऐसा है कि $φ(y) = φ(x) + φ&prime;(x)(y − x) + o(||y − x||)$ जैसा $y → x$ (यहाँ $o$ लन्दौ प्रतीक है संबंधित स्पर्शोन्मुख संकेतन थोड़ा-ओ अंकन)। तब $φ(U)$ औसत अंकित का है, और किसी भी वास्तविक-मूल्यवान कार्य के लिए $f$ पर परिभाषित $φ(U)$,
 * $$\int_{\varphi(U)} f(v)\, dv = \int_U f(\varphi(u)) \left|\det \varphi'(u)\right| \,du$$

इस अर्थ में कि यदि कोई अभिन्न उपस्तिथ है (उचित रूप से अनंत होने की संभावना सहित), तब दूसरा भी ऐसा ही करता है, और उनका मूल्य समान है।

इस प्रकार माप सिद्धांत में एक और बहुत सामान्य संस्करण निम्नलिखित है:

प्रमेय। होने देना $X$ एक सीमित रेडॉन माप से लैस एक स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस बनें $μ$, और जाने $Y$ एक Σ-कॉम्पैक्ट स्पेस बनें एवं σ-कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस एक सिग्मा परिमित माप के साथ σ-फाइनाइट रैडॉन माप $ρ$. होने देना $φ : X → Y$ एक बिल्कुल निरंतर कार्य हो (जहां पश्चात् का कारणहै $ρ(φ(E)) = 0$ जब कभी भी $μ(E) = 0$). फिर एक वास्तविक मूल्यवान बोरेल बीजगणित उपस्तिथ है $w$ पर $X$ ऐसा है कि प्रत्येक लेब्सग्यू अभिन्न फलन के लिए $f : Y → R$, कार्यक्रम $(f ∘ φ) ⋅ w$ लेब्सग्यू पर पूर्णांक है $X$, और
 * $$\int_Y f(y)\,d\rho(y) = \int_X (f\circ \varphi)(x)\,w(x)\,d\mu(x).$$

इसके अतिरिक्त, लिखना संभव है
 * $$w(x) = (g\circ \varphi)(x)$$

कुछ बोरेल मापने योग्य कार्य के लिए $g$ पर $Y$.

ज्यामितीय माप सिद्धांत में, प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण लिप्सचिट्ज़ कार्यों के साथ प्रयोग किया जाता है। इस प्रकार एक द्वि-लिप्सचिट्ज़ फलन एक लिप्सचिट्ज़ फलन है $φ : U → R^{n}$ जो इंजेक्शन है और जिसका उलटा कार्य है $φ^{&minus;1} : φ(U) → U$ लिपशिट्ज भी है। रैडेमाकर के प्रमेय के अनुसार द्वि-लिप्सचिट्ज़ मानचित्रण लगभग हर स्थान भिन्न-भिन्न होती है। इस प्रकार विशेष रूप से, द्वि-लिप्सचिट्ज़ मानचित्रण का जैकबियन निर्धारक $det Dφ$ लगभग हर स्थान अच्छी तरह से परिभाषित है। निम्नलिखित परिणाम तब धारण करता है:

प्रमेय। होने देना $U$ का एक खुला उपसमुच्चय हो $R^{n}$ और $φ : U → R^{n}$ एक द्वि-लिप्सचिट्ज़ मानचित्रण बनें। होने देना $f : φ(U) → R$ मापने योग्य हो। तब
 * $$\int_U (f\circ \varphi)(x) |\det D\varphi(x)|\,dx = \int_{\varphi(U)} f(x)\,dx$$

इस अर्थ में कि यदि कोई अभिन्न उपस्तिथ है (या ठीक से अनंत है), तब दूसरा भी ऐसा ही करता है, और उनका मूल्य समान है।

उपरोक्त प्रमेय पहली बार यूलर द्वारा प्रस्तावित किया गया था जब उन्होंने साल 1769 में डबल इंटीग्रल की धारणा विकसित की थी। चूंकि साल 1773 में लैग्रेंज द्वारा ट्रिपल इंटीग्रल के लिए सामान्यीकृत किया गया था और एड्रियन मैरी लीजेंड्रे, लाप्लास, गॉस द्वारा उपयोग किया गया था एवं साल 1836 में मिखाइल ओस्ट्रोग्रैडस्की द्वारा पहली बार $n$ चर के लिए सामान्यीकृत किया गया था। इसने आश्चर्यजनक रूप से लंबे समय के लिए पूरी तरह से कठोर औपचारिक प्रमाण का विरोध किया, और 125 साल पश्चात् एली कार्टन द्वारा साल 1890 के दशक के मध्य में प्रारंभ होने वाले पत्रों की एक श्रृंखला में पहली बार संतोषजनक रूप से हल किया गया था।

संभाव्यता में आवेदन
प्रायिकता में निम्नलिखित महत्वपूर्ण प्रश्न का उत्तर देने के लिए प्रतिस्थापन का उपयोग किया जा सकता है: एक यादृच्छिक चर दिया गया है $$X$$ संभाव्यता घनत्व के साथ $$p_X$$ और दूसरा यादृच्छिक चर $$Y$$ ऐसा है कि $$Y=\phi(X)$$ इंजेक्शन फलन के लिए (एक-से-एक) $$\phi$$, के लिए प्रायिकता घनत्व क्या है $$Y$$?

पहले थोड़े भिन्न प्रश्न का उत्तर देकर इस प्रश्न का उत्तर देना सबसे आसान है: इसकी क्या प्रायिकता है $$Y$$ किसी विशेष उपसमुच्चय में मान लेता है $$S$$? इस संभावना को निरूपित करें $$P(Y \in S)$$. बेशक यदि $$Y$$ संभाव्यता घनत्व है $$p_Y$$ तब उत्तर है


 * $$P(Y \in S) = \int_S p_Y(y)\,dy, $$

किन्तु यह वास्तव में उपयोगी नहीं है क्योंकि हम नहीं जानते $$p_Y$$; हम इसे खोजने की कोशिश कर रहे हैं। इस प्रकार हम चर में समस्या पर विचार करके प्रगति कर सकते हैं $$X$$. $$Y$$ में मान लेता है $$S$$ जब कभी भी $$X$$ में मान लेता है $$\phi^{-1}(S)$$, इसलिए


 * $$P(Y \in S) = P(X \in \phi^{-1}(S)) = \int_{\phi^{-1}(S)} p_X(x)\,dx.$$

चर से बदल रहा है $$x$$ को $$y$$ देता है


 * $$P(Y \in S) = \int_{\phi^{-1}(S)} p_X(x)\,dx = \int_S p_X(\phi^{-1}(y)) \left|\frac{d\phi^{-1}}{dy}\right|\,dy.$$

इसे हमारे पहले समीकरण के साथ जोड़कर देता है


 * $$\int_S p_Y(y)\,dy = \int_S p_X(\phi^{-1}(y)) \left|\frac{d\phi^{-1}}{dy}\right|\,dy,$$

इसलिए


 * $$p_Y(y) = p_X(\phi^{-1}(y)) \left|\frac{d\phi^{-1}}{dy}\right|.$$

स्थितियों में जहां $$X$$ और $$Y$$ अनेक असंबद्ध चरों पर निर्भर करता है, अर्थात $$p_X=p_X(x_1, \ldots, x_n)$$ और $$y=\phi(x)$$, $$p_Y$$ ऊपर चर्चा किए गए अनेक चरों में प्रतिस्थापन द्वारा पाया जा सकता है। परिणाम है


 * $$p_Y(y) = p_X(\phi^{-1}(y)) \left|\det D\phi ^{-1}(y) \right|.$$

यह भी देखें

 * संभाव्यता सघनता फलन
 * चर का प्रतिस्थापन
 * त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन
 * वीयरस्ट्रास प्रतिस्थापन
 * यूलर प्रतिस्थापन
 * ग्लासर का मास्टर प्रमेय
 * आगे बढ़ाने का उपाय

बाहरी संबंध

 * Integration by substitution at Encyclopedia of Mathematics
 * Area formula at Encyclopedia of Mathematics