व्युत्क्रम वर्ग नियम

[[Image:Inverse square law.svg|thumb|420px|एस प्रकाश स्रोत का प्रतिनिधित्व करता है, जबकि आर मापा बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करता है। रेखाएँ स्रोतों और [[फ्लक्स]] से निकलने वाले प्रवाह का प्रतिनिधित्व करती हैं।

फ्लक्स लाइनों की कुल संख्या प्रकाश स्रोत की ताकत पर निर्भर करती है और बढ़ती दूरी के साथ स्थिर होती है, जहां फ्लक्स लाइनों की अधिक घनत्व (लाइन प्रति इकाई क्षेत्र) का मतलब एक मजबूत ऊर्जा क्षेत्र है। प्रवाह रेखाओं का घनत्व स्रोत से दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है क्योंकि त्रिज्या के वर्ग के साथ एक गोले का सतह क्षेत्र बढ़ता है। इस प्रकार क्षेत्र की तीव्रता स्रोत से दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होती है।]]विज्ञान में व्युत्क्रम-वर्ग नियम एक वैज्ञानिक नियम है जो यह बताता है कि निर्दिष्ट भौतिक मात्रा आनुपातिकता (गणित) उस भौतिक मात्रा के स्रोत से दूरी के वर्ग (बीजगणित) के व्युत्क्रमानुपाती है। इसका मूलभूत कारण त्रि-आयामी स्थान में बिंदु-स्रोत विकिरण के अनुरूप ज्यामितीय तनुता के रूप में समझा जा सकता है।

संकेत संचरण और परावर्तित रिटर्न दोनों के समय राडार ऊर्जा का विस्तार होता है इसलिए दोनों रास्तों के लिए व्युत्क्रम वर्ग का अर्थ है कि रडार रेंज की विपरीत चौथी शक्ति के अनुसार ऊर्जा प्राप्त करेगा।

किसी सिग्नल को प्रसारित करते समय ऊर्जा के कमजोर पड़ने को रोकने के लिए कुछ विधियों का उपयोग किया जा सकता है जैसे कि वेवगाइड जो पानी के लिए नहर की तरह काम करता है या जैसे गन बैरल गर्म गैस के विस्तार को एक आयाम तक सीमित करता है ताकि गोली की ऊर्जा हस्तांतरण के नुकसान को रोका जा सके।

सूत्र
गणितीय संकेतन में व्युत्क्रम वर्ग नियम को एक तीव्रता (I) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जो किसी केंद्र से दूरी (d) के कार्य के रूप में भिन्न होता है। इस प्रकार दूरी के वर्ग के गुणात्मक व्युत्क्रम के लिए तीव्रता आनुपातिक है (देखें ∝): $$\text{intensity} \ \propto \ \frac{1}{\text{distance}^2} \, $$ इसे गणितीय रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है: $$\frac{\text{intensity}_1}{\text{intensity}_2} = \frac{\text{distance}_2^2}{\text{distance}_1^2}$$ या स्थिर मात्रा के निर्माण के रूप में: $$\text{intensity}_1 \times \text{distance}_1^2 = \text{intensity}_2 \times \text{distance}_2^2$$ एक या अधिक स्रोतों के संबंध में त्रिज्यीय व्युत्क्रम-वर्ग नियम फ़ील्ड का परिणामी सदिश क्षेत्र का अपसरण स्थानीय स्रोतों की शक्ति के समानुपाती होता है और इसलिए बाहरी स्रोत शून्य होते हैं। न्यूटन का सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण का नियम व्युत्क्रम-वर्ग नियम का पालन करता है जैसा कि बिजली, प्रकाश, ध्वनि और विकिरण घटनाओं के प्रभाव करते हैं।

औचित्य
व्युत्क्रम-वर्ग नियम सामान्य रूप से तब लागू होता है जब कुछ बल, ऊर्जा, या प्रवाह समान रूप से त्रि-आयामी स्थान में बिंदु स्रोत से बाहर की ओर विकिरित होते हैं। चूँकि गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल (जो कि 4πr2) त्रिज्या के वर्ग के समानुपाती है क्योंकि प्रवाह घनत्व स्रोत से दूर हो जाता है, यह एक ऐसे क्षेत्र में फैला हुआ है जो स्रोत से दूरी के वर्ग के अनुपात में बढ़ रहा है। इसलिए किसी भी इकाई क्षेत्र (सीधे बिंदु स्रोत का सामना करना) से गुजरने वाले विकिरण की तीव्रता बिंदु स्रोत से दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होती है। गुरुत्वाकर्षण के लिए गॉस का नियम समान रूप से लागू होता है और इसका उपयोग किसी भी भौतिक मात्रा के साथ किया जा सकता है जो व्युत्क्रम-वर्ग संबंध के अनुसार कार्य करता है।

गुरुत्वाकर्षण
गुरुत्वाकर्षण उन वस्तुओं के बीच का आकर्षण है जिनमें द्रव्यमान होता है। न्यूटन का नियम कहता है:

"दो बिंदु द्रव्यमानों के बीच गुरुत्वाकर्षण आकर्षण बल सीधे उनके द्रव्यमान के उत्पाद के समानुपाती होता है और उनकी पृथक्करण दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है। बल सदैव आकर्षक होता है और उन्हें मिलाने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करता है।."

यदि प्रत्येक पिंड में पदार्थ का वितरण गोलाकार रूप से सममित है तो वस्तुओं को बिना सन्निकटन के बिंदु द्रव्यमान के रूप में माना जा सकता है जैसा कि शेल प्रमेय में दिखाया गया है। अन्यथा यदि हम बड़े पिंडों के बीच आकर्षण की गणना करना चाहते हैं तो हमें सभी बिंदु-बिंदु आकर्षण बलों को सदिश रूप से जोड़ना होगा और शुद्ध आकर्षण सटीक व्युतक्रम वर्ग नहीं हो सकता है। जबकि यदि विशाल पिंडों के बीच अलगाव उनके आकार की तुलना में बहुत बड़ा है तो एक अच्छे सन्निकटन के लिए गुरुत्वाकर्षण बल की गणना करते समय द्रव्यमान को वस्तु के द्रव्यमान के केंद्र पर स्थित बिंदु द्रव्यमान के रूप में मानना ​​​​उचित है।

गुरुत्वाकर्षण के नियम के रूप में सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के इस नियम का सुझाव सन 1645 में इस्माइल बुलियालडस ने दिया था। परंतु बुलियालडस ने केपलर के ग्रहों की गति के नियमों को स्वीकार नहीं किया | केप्लर के दूसरे और तीसरे नियम और न ही उन्होंने परिपत्र गति के लिए क्रिस्टियान ह्यूजेंस के समाधान की सराहना की (केंद्रीय बल द्वारा खींची गई सीधी रेखा में गति)। वास्तव में बुलियालडस ने सूर्य की शक्ति को अपसौर पर आकर्षक और उपसौर पर प्रतिकारक बनाए रखा। रॉबर्ट हुक और जियोवन्नी अल्फोंसो बोरेली दोनों ने सन 1666 में गुरुत्वाकर्षण को एक आकर्षक बल के रूप में प्रतिपादित किया। 21 मार्च को लंदन में रॉयल सोसाइटी में गुरुत्व पर हुक का व्याख्यान था। बोरेली का ग्रहों का सिद्धांत उसके उपरांत सन 1666 में प्रकाशित हुआ था। हुक के सन 1670, ग्रेशम व्याख्यान में समझाया कि गुरुत्वाकर्षण सभी खगोलीय पिंडों पर लागू होता है और सिद्धांतों को जोड़ा गया है कि गुरुत्वाकर्षण शक्ति दूरी के साथ घट जाती है और ऐसी किसी भी शक्ति के अभाव में पिंड सीधी रेखा में चलते हैं। सन 1679 तक हूक ने सोचा कि गुरुत्वाकर्षण में व्युत्क्रम वर्ग निर्भरता है और आइजैक न्यूटन को लिखे एक पत्र में इसे संप्रेषित किया: मेरा अनुमान है कि आकर्षण हमेशा केंद्र पारस्परिक से दूरी के दोगुने अनुपात में होता है।

न्यूटन के इस सिद्धांत के आविष्कार के दावे को लेकर कटु बने रहे भले ही न्यूटन के सन 1686 के फिलोसोफी नेचुरेलिस प्रिंसिपिया मैथेमेटिका ने हुक, व्रेन और हैली के साथ स्वीकार किया कि सौर मंडल में व्युत्क्रम वर्ग कानून की अलग से सराहना की थी साथ ही बुलियालडस को भी कुछ श्रेय दिया था।

इलेक्ट्रोस्टैटिक्स
दो विद्युत आवेशित कणों के बीच आकर्षण या प्रतिकर्षण का बल विद्युत आवेशों के उत्पाद के सीधे आनुपातिक होने के साथ ही उनके बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है; इसे कूलम्ब के नियम के रूप में जाना जाता है। घातांक का 2 से विचलन 1015 के भाग से कम है।

$$F=k_\text{e}\frac{q_1 q_2}{r^2}$$

प्रकाश और अन्य विद्युत चुम्बकीय विकिरण
एक बिंदु स्रोत (स्रोत के लंबवत क्षेत्र की प्रति इकाई ऊर्जा) से निकलने वाली प्रकाश या अन्य रैखिक तरंगों की तीव्रता (भौतिकी) (या रोशनी या विकिरण) स्रोत से दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होती है इसलिए एक वस्तु ( एक ही आकार का) दुगुनी दूरी से केवल एक-चौथाई ऊर्जा (एक ही समय अवधि में) प्राप्त करता है।

अधिक सामान्य रूप में तरंग प्रसार की दिशा में प्रति इकाई क्षेत्र में विकिरण अर्थात तीव्रता (या शक्ति (भौतिकी)) गोलाकार तरंगफ्रंट स्रोत से दूरी के वर्ग के साथ विपरीत रूप से भिन्न होती है (यह मानते हुए कि अवशोषण (प्रकाशिकी) या बिखराव से कोई हानि नहीं होती है)।

उदाहरण के लिए बुध (ग्रह) (0.387 खगोलीय इकाई) की दूरी पर सूर्य से विकिरण की तीव्रता 9126 वाट प्रति वर्ग मीटर है परन्तु पृथ्वी की दूरी (1 ए यू) पर केवल 1367 वाट प्रति वर्ग मीटर - दूरी में लगभग तीन गुना वृद्धि के परिणामस्वरूप विकिरण की तीव्रता में लगभग नौ गुना कमी आती है।

गैर-आइसोट्रोपिक रेडिएटर्स जैसे परवलयिक एंटीना, हेडलाइट्स और लेजर के लिए प्रभावी मूल बीम एपर्चर के पीछे स्थित है। यदि आप उत्पत्ति के करीब हैं तो आपको त्रिज्या को दोगुना करने के लिए दूर जाने की आवश्यकता नहीं है इसलिए सिग्नल जल्दी गिर जाता है। जब आप मूल से दूर हों और अभी भी एक सशक्त संकेत हो जैसे कि लेज़र के साथ तो आपको त्रिज्या को दोगुना करने और संकेत को कम करने के लिए बहुत दूर जाना होगा। इसका अर्थ है कि आपके पास आइसोट्रोपिक रेडिएटर के सभी दिशाओं में विस्तृत बीम के सापेक्ष संकीर्ण बीम की दिशा में सशक्त सिग्नल या एंटीना लाभ है।

फोटोग्राफी और मंच प्रकाश व्यवस्था में व्युत्क्रम-वर्ग कानून का उपयोग किसी विषय पर "फॉल ऑफ" या रोशनी में अंतर को निर्धारित करने के लिए किया जाता है क्योंकि यह प्रकाश स्रोत के समीप या उससे आगे बढ़ता है। त्वरित सन्निकटन के लिए यह याद रखना पर्याप्त है कि दूरी को दोगुना करने से प्रकाश एक चौथाई तक कम हो जाता है या इसी प्रकार प्रकाश को आधा करने के लिए 1.4 (2 का वर्गमूल) के कारक से दूरी बढ़ाएं और दोगुने प्रकाश के लिए दूरी को 0.7 (1/2 का वर्गमूल) तक कम करें। जब प्रदीपक बिंदु स्रोत नहीं है तो व्युत्क्रम वर्ग नियम अधिकतर एक उपयोगी सन्निकटन होता है जब प्रकाश स्रोत का आकार विषय से दूरी के पांचवें भाग से कम हो तो गणना त्रुटि 1% से कम होती है।

बिंदु स्रोत से बढ़ती दूरी के साथ अप्रत्यक्ष रूप से आयनकारी विकिरण के लिए विद्युत चुम्बकीय प्रवाह (Φ) में आंशिक कमी की गणना व्युत्क्रम-वर्ग कानून का उपयोग करके की जा सकती है। चूंकि बिंदु स्रोत से उत्सर्जन में त्रिज्यिक दिशाएं होती हैं, वे लंबवत घटना पर अवरोधन करती हैं। ऐसे गोले का क्षेत्रफल 4πr है 2 जहां r केंद्र से रेडियल दूरी है। डायग्नोस्टिक रेडियोग्राफ़ और रेडियोथेरेपी उपचार योजना में कानून विशेष रूप से महत्वपूर्ण है जबकि यह आनुपातिकता व्यावहारिक स्थितियों में नहीं होती है जब तक कि स्रोत आयाम दूरी से बहुत छोटा न हो। जैसा कि गर्मी के फूरियर सिद्धांत में कहा गया है, "चूंकि बिंदु स्रोत दूरी से आवर्धन है एवं इसका विकिरण कोण के मूल बिंदु से बढ़ती परिधि चाप के दोष के समानुपाती होता है "।

उदाहरण
मान लें कि P  बिंदु स्रोत से निकलने वाली कुल शक्ति है (उदाहरण के लिए सर्वदिशात्मक आइसोट्रोपिक रेडिएटर)। स्रोत से बड़ी दूरी पर (स्रोत के आकार की तुलना में) यह शक्ति बड़ी और बड़ी गोलाकार सतहों पर वितरित की जाती है क्योंकि स्रोत से दूरी बढ़ जाती है। चूँकि विकिरण की तीव्रता (भौतिकी) I (शक्ति प्रति इकाई क्षेत्र) r दूरी पर त्रिज्या r वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल A = 4πr2 हैI $$ I = \frac P A = \frac P {4 \pi r^2}. \, $$ दूरी r दोगुनी होने पर ऊर्जा या तीव्रता कम हो जाती है (4 से विभाजित) यदि डेसिबल में मापा जाता है तो दूरी के दोगुने होने पर 6.02 dB की कमी आएगी। बिजली की मात्रा के मापन का संदर्भ देते समय अनुपात को डेसिबल में स्तर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जो मापी गई मात्रा के संदर्भ मूल्य के अनुपात के आधार -10 लघुगणक का दस गुना मूल्यांकन करता है।

गैस में ध्वनि
ध्वनिकी में बिंदु स्रोत से निकलने वाले गोलाकार वेवफ्रंट का ध्वनि दबाव 50% कम हो जाता है क्योंकि दूरी r दोगुनी हो जाती है। डेसिबल में मापी गयी कमी अभी भी 6.02 dB (डेसिबल) है क्योंकि dB (डेसिबल) तीव्रता अनुपात का प्रतिनिधित्व करता है। दबाव अनुपात (शक्ति अनुपात के विपरीत) व्युत्क्रम-वर्ग नहीं है परन्तु व्युत्क्रम-आनुपातिक (व्युत्क्रम दूरी नियम) है:

$$ p \ \propto \ \frac{1}{r} \, $$ कण वेग $$ v \,$$ के घटक के लिए भी यही सत्य है कि इन-फेज के साथ तात्कालिक ध्वनि दबाव $$p \,$$:

$$ v \ \propto \frac{1}{r} \ \, $$ निकट और दूर के क्षेत्र में कण वेग का एक चतुर्भुज चरण है जो ध्वनि दबाव के साथ 90 ° चरण से बाहर है और समय-औसत ऊर्जा या ध्वनि की तीव्रता में योगदान नहीं करता है। ध्वनि की तीव्रता वर्गमूल औसत का वर्ग ध्वनि दबाव और आरएमएस कण वेग के इन-फेज घटक का उत्पाद है, जो दोनों व्युत्क्रमानुपाती हैं। तदनुसार, तीव्रता एक व्युत्क्रम-वर्ग व्यवहार का अनुसरण करती है:

$$ I \ = \ p v \ \propto \ \frac{1}{r^2}. \, $$

क्षेत्र सिद्धांत व्याख्या
त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक इर्रोटेशनल वेक्टर फ़ील्ड के लिए, व्युत्क्रम-वर्ग कानून उस संपत्ति से मेल खाता है जो स्रोत के बाहर विचलन शून्य है। इसे उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। आम तौर पर, एन-डायमेंशनल यूक्लिडियन अंतरिक्ष  में एक अघूर्णन सदिश क्षेत्र के लिए, वेक्टर फील्ड की तीव्रता I व्युत्क्रम (n − 1) के बाद दूरी r के साथ कम हो जाती है।वें शक्ति कानून

$$I\propto \frac 1 {r^{n-1}},$$ दिया गया है कि स्रोत के बाहर का स्थान अपसरण मुक्त है।

इतिहास
14वीं सदी के ऑक्सफोर्ड कैलकुलेटर के जॉन डंबलटन, ग्राफिकल रूप में कार्यात्मक संबंधों को व्यक्त करने वाले पहले लोगों में से एक थे। उन्होंने औसत गति प्रमेय का प्रमाण देते हुए कहा कि समान रूप से भिन्न आंदोलन का अक्षांश मध्य बिंदु की डिग्री से मेल खाता है और इस पद्धति का उपयोग अपने सुम्मा लॉजिक एट फिलोसोफी नेचुरलिस (सी.ए. 1349) में रोशनी की तीव्रता में मात्रात्मक कमी का अध्ययन करने के लिए किया।, यह बताते हुए कि यह दूरी के रैखिक रूप से आनुपातिक नहीं था, लेकिन व्युत्क्रम-वर्ग नियम को उजागर करने में असमर्थ था। अपनी पुस्तक Ad Vitellione paralipomena, quibus astronomiae pars optica traditur (1604) की पुस्तक 1 ​​के प्रस्ताव 9 में, खगोलशास्त्री जोहान्स केप्लर ने तर्क दिया कि एक बिंदु स्रोत से प्रकाश का प्रसार एक व्युत्क्रम वर्ग नियम का पालन करता है:

1645 में, अपनी पुस्तक एस्ट्रोनोमिया फिलोलाइका ... में, फ्रांसीसी खगोलशास्त्री इस्माइल बुलियालडस (1605-1694) ने जोहान्स केपलर के सुझाव का खंडन किया कि गुरुत्वाकर्षण दूरी के व्युत्क्रम के रूप में कमजोर हो जाता है; इसके बजाय, बुलियलडस ने तर्क दिया, गुरुत्वाकर्षण दूरी के व्युत्क्रम वर्ग के रूप में कमजोर होता है:

इंग्लैंड में, एंग्लिकन बिशप सेठ वार्ड (सैलिसबरी के बिशप) (1617-1689) ने इस्माइलिस बुलियाल्डी एस्ट्रोनोमिया फिलोलाइके फंडामेंटा इनक्विसिटियो ब्रेविस (1653) में अपनी समालोचना में बुलियालडस के विचारों को प्रचारित किया और अपनी पुस्तक एस्ट्रोनोमिया जियोमेट्रिका में केपलर के ग्रह संबंधी खगोल विज्ञान का प्रचार किया। 1656)।

1663-1664 में, अंग्रेजी वैज्ञानिक रॉबर्ट हुक अपनी पुस्तक माइक्रोग्राफिया (1666) लिख रहे थे जिसमें उन्होंने अन्य बातों के अलावा, वातावरण की ऊंचाई और सतह पर बैरोमीटर के दबाव के बीच संबंध पर चर्चा की। चूँकि वायुमंडल पृथ्वी को घेरे हुए है, जो स्वयं एक गोला है, पृथ्वी की सतह के किसी भी इकाई क्षेत्र पर असर करने वाले वातावरण का आयतन एक छोटा शंकु है (जो पृथ्वी के केंद्र से अंतरिक्ष के निर्वात तक फैला हुआ है; स्पष्ट रूप से केवल शंकु का खंड पृथ्वी की सतह से अंतरिक्ष भालू पृथ्वी की सतह पर)। हालांकि एक शंकु का आयतन उसकी ऊंचाई के घन के समानुपाती होता है, हुक ने तर्क दिया कि पृथ्वी की सतह पर हवा का दबाव इसके बजाय वायुमंडल की ऊंचाई के समानुपाती होता है क्योंकि ऊंचाई के साथ गुरुत्वाकर्षण कम हो जाता है। हालांकि हुक ने स्पष्ट रूप से ऐसा नहीं कहा था, लेकिन उन्होंने जो संबंध प्रस्तावित किया वह केवल तभी सत्य होगा जब गुरुत्वाकर्षण पृथ्वी के केंद्र से दूरी के व्युत्क्रम वर्ग के रूप में घटता है।

यह भी देखें

 * प्रवाह
 * एंटीना (रेडियो)
 * गॉस का नियम
 * केपलर के ग्रहों की गति के नियम
 * केप्लर समस्या
 * दूरसंचार, विशेष रूप से:
 * विलियम थॉमसन, प्रथम बैरन केल्विन#डेटा दर पर गणना|विलियम थॉमसन, प्रथम बैरन केल्विन
 * तदर्थ रूटिंग प्रोटोकॉल की सूची#पावर-अवेयर रूटिंग प्रोटोकॉल|पावर-अवेयर रूटिंग प्रोटोकॉल
 * उलटा अनुपात# उलटा आनुपातिकता
 * गुणात्मक प्रतिलोम
 * दूरियों का क्षय
 * फर्मी विरोधाभास
 * स्क्वायर-क्यूब कानून
 * समानता का सिद्धांत

बाहरी संबंध

 * Damping of sound level with distance
 * Sound pressure p and the inverse distance law 1/r