बीजीय वक्र

गणित में, एक एफ़िन बीजीय विमान वक्र दो चरों में बहुपद  का  शून्य सेट  है। एक प्रक्षेपी बीजीय तल वक्र तीन चरों में एक  सजातीय बहुपद  के प्रक्षेप्य तल में शून्य सेट होता है। एक बहुपद के परिभाषित बहुपद के समरूपीकरण द्वारा एक प्रक्षेपी बीजीय विमान वक्र में एक एफ़िन बीजीय विमान वक्र को पूरा किया जा सकता है। इसके विपरीत, सजातीय समीकरण का एक प्रक्षेपी बीजीय समतल वक्र $h(x, y, t) = 0$ समीकरण के एफाइन बीजीय समतल वक्र तक सीमित किया जा सकता है $h(x, y, 1) = 0$. ये दो संक्रियाएं एक-दूसरे के प्रतिलोम फलन हैं; इसलिए, वाक्यांश बीजीय समतल वक्र अक्सर स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट किए बिना प्रयोग किया जाता है कि क्या यह एफ़िन या प्रोजेक्टिव केस है जिसे माना जाता है।

अधिक सामान्यतः, एक बीजीय वक्र एक बीजीय किस्म  के आयाम की एक बीजीय किस्म है। समतुल्य रूप से, एक बीजीय वक्र एक बीजगणितीय किस्म है जो बीजीय समतल वक्र के लिए द्विभाजित तुल्यता है। यदि वक्र एक  एफ़िन स्पेस  या  प्रक्षेप्य स्थान  में निहित है, तो इस तरह के द्विवार्षिक तुल्यता के लिए एक  प्रक्षेपण (गणित)  ले सकता है।

ये द्विवार्षिक तुल्यता बीजगणितीय वक्रों के अधिकांश अध्ययन को बीजीय तल वक्रों के अध्ययन तक कम कर देती है। हालांकि, कुछ गुणों को द्विभाजित तुल्यता के तहत नहीं रखा जाता है और गैर-समतल वक्रों पर अध्ययन किया जाना चाहिए। यह, विशेष रूप से, एक बीजीय किस्म की डिग्री  और एक बीजीय किस्म के एकवचन बिंदु के मामले में है। उदाहरण के लिए, जीनस (गणित) 0 के चिकने वक्र और दो से अधिक डिग्री मौजूद होते हैं, लेकिन ऐसे वक्रों के किसी भी समतल प्रक्षेपण में एकवचन बिंदु होते हैं (जीनस-डिग्री सूत्र देखें)।

एक नॉन-प्लेन कर्व को अक्सर  तिरछा वक्र  या स्क्यू कर्व कहा जाता है।

यूक्लिडियन ज्यामिति में
यूक्लिडियन विमान में एक बीजीय वक्र उन बिंदुओं का समूह होता है जिनके निर्देशांक द्विचर  बहुपद समीकरण  p(x, y) = 0 के समाधान होते हैं। x के एक फ़ंक्शन के रूप में स्पष्ट रूप से y को परिभाषित करने वाले फ़ंक्शन का ग्राफ़ हैं।

इस तरह के एक निहित समीकरण  द्वारा दिए गए वक्र के साथ, पहली समस्या वक्र के आकार को निर्धारित करना और इसे खींचना है। इन समस्याओं को हल करना उतना आसान नहीं है जितना कि किसी फ़ंक्शन के ग्राफ के मामले में होता है, जिसके लिए x के विभिन्न मानों के लिए y की गणना आसानी से की जा सकती है। तथ्य यह है कि परिभाषित समीकरण एक बहुपद है, यह दर्शाता है कि वक्र में कुछ संरचनात्मक गुण हैं जो इन समस्याओं को हल करने में मदद कर सकते हैं।

प्रत्येक बीजगणितीय वक्र विशिष्ट रूप से चिकनी मोनोटोन चाप (ज्यामिति)  (जिसे शाखाएं भी कहा जाता है) की एक सीमित संख्या में विघटित किया जा सकता है, जिसे कभी-कभी कुछ बिंदुओं से जोड़ा जाता है, जिन्हें कभी-कभी उल्लेखनीय बिंदु कहा जाता है, और संभवतः  एक्नोड ्स नामक पृथक बिंदुओं की एक सीमित संख्या। एक चिकनी मोनोटोन चाप एक चिकनी फ़ंक्शन का ग्राफ होता है जिसे परिभाषित किया जाता है और एक्स-अक्ष के खुले अंतराल पर  मोनोटोन फ़ंक्शन  होता है। प्रत्येक दिशा में, एक चाप या तो असीम होता है (आमतौर पर एक अनंत चाप कहा जाता है) या एक समापन बिंदु होता है जो या तो एक विलक्षण बिंदु होता है (इसे नीचे परिभाषित किया जाएगा) या एक समन्वय अक्ष के समानांतर स्पर्शरेखा वाला बिंदु।

उदाहरण के लिए, Tschirnhausen क्यूबिक के लिए, दो अनंत चाप हैं जिनका मूल (0,0) समापन बिंदु के रूप में है। यह बिंदु वक्र की एकमात्र गणितीय विलक्षणता  है। इस विलक्षण बिंदु के एक समापन बिंदु के रूप में दो चाप भी हैं और एक क्षैतिज स्पर्शरेखा के साथ दूसरा समापन बिंदु है। अंत में, दो अन्य चाप होते हैं जिनमें से प्रत्येक में इनमें से एक बिंदु होता है जिसमें पहले समापन बिंदु के रूप में क्षैतिज स्पर्शरेखा होती है और दूसरे समापन बिंदु के रूप में ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा के साथ अद्वितीय बिंदु होता है। इसके विपरीत, साइन लहर निश्चित रूप से एक बीजीय वक्र नहीं है, जिसमें अनंत संख्या में मोनोटोन आर्क होते हैं।

बीजगणितीय वक्र बनाने के लिए, उल्लेखनीय बिंदुओं और उनकी स्पर्शरेखाओं, अनंत शाखाओं और उनके स्पर्शोन्मुख (यदि कोई हो) और जिस तरह से चाप उन्हें जोड़ते हैं, उसे जानना महत्वपूर्ण है। विभक्ति बिंदुओं को उल्लेखनीय बिंदुओं पर विचार करना भी उपयोगी है। जब यह सारी जानकारी कागज की एक शीट पर खींची जाती है, तो वक्र का आकार आमतौर पर स्पष्ट रूप से दिखाई देता है। यदि नहीं, तो वक्र का अच्छा विवरण प्राप्त करने के लिए कुछ अन्य बिंदुओं और उनके स्पर्शरेखाओं को जोड़ना पर्याप्त है।

उल्लेखनीय बिंदुओं और उनके स्पर्शरेखाओं की गणना करने के तरीकों का वर्णन नीचे बीजगणितीय वक्र # समतल वक्र के उल्लेखनीय बिंदु अनुभाग में किया गया है।

समतल प्रक्षेप्य वक्र
प्रक्षेप्य स्थान में वक्रों पर विचार करना अक्सर वांछनीय होता है। प्रोजेक्टिव प्लेन या प्लेन प्रोजेक्टिव कर्व में एक बीजीय वक्र एक प्रोजेक्टिव प्लेन में बिंदुओं का समूह होता है, जिसके प्रक्षेपी निर्देशांक  तीन चर P(x, y) में एक सजातीय बहुपद के शून्य होते हैं।, जेड)।

समीकरण p(x, y) = 0 के प्रत्येक affine बीजीय वक्र को समीकरण के प्रक्षेप्य वक्र में पूरा किया जा सकता है $$^hp(x,y,z)=0,$$ कहाँ पे $$^hp(x,y,z)=z^{\deg(p)}p(\tfrac{x}{z},\tfrac{y}{z})$$ सजातीय बहुपद#पी के समरूपीकरण का परिणाम है। इसके विपरीत, यदि P(x, y, z) = 0 एक प्रक्षेप्य वक्र का समांगी समीकरण है, तो P(x, y, 1) = 0 एक परिबद्ध वक्र का समीकरण है, जिसमें प्रक्षेप्य वक्र के बिंदु होते हैं जिसका तीसरा प्रक्षेप्य निर्देशांक शून्य नहीं है। ये दो संक्रियाएं एक दूसरे से पारस्परिक हैं, जैसे $$^hp(x,y,1)=p(x,y)$$ और, यदि p को द्वारा परिभाषित किया गया है $$p(x,y)=P(x,y,1)$$, फिर $$^hp(x,y,z)=P(x,y,z),$$ जैसे ही समांगी बहुपद P, z से विभाज्य नहीं है।

उदाहरण के लिए, समीकरण x. का प्रक्षेप्य वक्र2 + और2 - z2 समीकरण x. के इकाई वृत्त का प्रक्षेपी समापन है2 + और2 - 1 = 0.

इसका तात्पर्य यह है कि एक एफ़िन वक्र और इसकी प्रक्षेपी पूर्णता एक ही वक्र हैं, या, अधिक सटीक रूप से कि एफ़िन वक्र प्रोजेक्टिव वक्र का एक हिस्सा है जो पूर्ण वक्र को अच्छी तरह से परिभाषित करने के लिए पर्याप्त है। यह दृष्टिकोण आमतौर पर एफ़िन वक्र के अनंत पर बिंदुओं को कॉल करके व्यक्त किया जाता है, जो प्रोजेक्टिव पूर्णता के बिंदु (सीमित संख्या में) होते हैं जो कि एफ़िन भाग से संबंधित नहीं होते हैं।

प्रक्षेपी वक्रों का अक्सर स्वयं के लिए अध्ययन किया जाता है। वे affine घटता के अध्ययन के लिए भी उपयोगी हैं। उदाहरण के लिए, यदि p(x, y) आंशिक डेरिवेटिव के बगल में एक एफ़िन वक्र को परिभाषित करने वाला बहुपद है $$ p'_x$$ तथा $$ p'_y$$, अनंत पर व्युत्पन्न पर विचार करना उपयोगी है $$ p'_\infty(x,y)={^hp'_z(x,y,1)}.$$ उदाहरण के लिए, एक बिंदु (ए, बी) पर समीकरण पी (एक्स, वाई) = 0 के एफाइन वक्र के स्पर्शरेखा का समीकरण है $$xp'_x(a,b)+yp'_y(a,b)+p'_\infty(a,b)=0.$$

समतल वक्र के उल्लेखनीय बिंदु
इस खंड में, हम एक द्विचर बहुपद p(x, y) द्वारा परिभाषित एक समतल बीजीय वक्र पर विचार करते हैं और समरूपीकरण द्वारा परिभाषित इसकी प्रक्षेपी पूर्णता पर विचार करते हैं। $$P(x,y,z)= {}^hp(x,y,z)$$ पी का

एक रेखा के साथ प्रतिच्छेदन
किसी दी गई रेखा के साथ वक्र के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को जानना अक्सर उपयोगी होता है। निर्देशांक की कुल्हाड़ियों के साथ प्रतिच्छेदन और स्पर्शोन्मुख वक्र को खींचने के लिए उपयोगी होते हैं। कुल्हाड़ियों के समानांतर एक रेखा के साथ प्रतिच्छेद करने से वक्र की प्रत्येक शाखा में कम से कम एक बिंदु खोजने की अनुमति मिलती है। यदि एक कुशल रूट-फाइंडिंग एल्गोरिदम  उपलब्ध है, तो यह y-अक्ष के समानांतर सभी रेखाओं के साथ चौराहे बिंदु को प्लॉट करके और x-अक्ष पर प्रत्येक  पिक्सेल  से गुजरते हुए वक्र खींचने की अनुमति देता है।

यदि वक्र को परिभाषित करने वाले बहुपद की डिग्री d है, तो कोई भी रेखा वक्र को अधिकतम d बिंदुओं में काटती है। बेज़ाउट के प्रमेय का दावा है कि यह संख्या बिल्कुल डी है, यदि अंक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र  (उदाहरण के लिए  जटिल संख्या ) पर प्रोजेक्टिव विमान में खोजे जाते हैं, और उनकी  बहुलता (गणित)  के साथ गिना जाता है। इस सरल मामले में, गणना की विधि इस प्रमेय को फिर से साबित करती है।

समीकरण ax+by+c = 0 की रेखा के साथ बहुपद p द्वारा परिभाषित वक्र के प्रतिच्छेदन की गणना करने के लिए, कोई x के लिए रेखा के समीकरण को हल करता है (या y के लिए यदि a = 0)। परिणाम को p में प्रतिस्थापित करने पर, एक अविभाज्य समीकरण q(y) = 0 (या q(x) = 0 प्राप्त होता है, यदि रेखा का समीकरण y में हल किया गया है), जिसका प्रत्येक मूल प्रतिच्छेदन बिंदु का एक निर्देशांक है. अन्य निर्देशांक रेखा के समीकरण से काटे जाते हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु की बहुलता संबंधित मूल की बहुलता है। यदि q की घात p की घात से कम है, तो अनंत पर एक प्रतिच्छेदन बिंदु होता है; अनंत पर ऐसे प्रतिच्छेदन बिंदु की बहुलता p और q की डिग्री का अंतर है।

एक बिंदु पर स्पर्शरेखा
वक्र के एक बिंदु (ए, बी) पर स्पर्शरेखा समीकरण की रेखा है $$(x-a)p'_x(a,b)+(y-b)p'_y(a,b)=0$$, जैसे एक निहित समीकरण द्वारा परिभाषित प्रत्येक अवकलनीय वक्र  के लिए। बहुपदों के मामले में, स्पर्शरेखा के लिए एक अन्य सूत्र का एक सरल स्थिर पद होता है और यह अधिक सममित होता है:

$$xp'_x(a,b)+yp'_y(a,b)+p'_\infty(a,b)=0,$$ कहाँ पे $$p'_\infty(x,y)=P'_z(x,y,1)$$ अनंत पर व्युत्पन्न है। दो समीकरणों की तुल्यता, P पर लागू यूलर के समांगी फलन प्रमेय से प्राप्त होती है।

यदि $$p'_x(a,b)=p'_y(a,b)=0,$$ स्पर्शरेखा परिभाषित नहीं है और बिंदु एक विलक्षण बिंदु है।

यह प्रोजेक्टिव केस तक तुरंत विस्तारित होता है: प्रोजेक्टिव कोऑर्डिनेट (a:b:c) के प्रोजेक्टिव कर्व के समीकरण P के टेंगेंट का समीकरण। (x, y, z) = 0 is

$$xP'_x(a,b,c)+yP'_y(a,b,c)+zP'_z(a,b,c)=0,$$ और वक्रों के बिंदु जो एकवचन हैं वे ऐसे बिंदु हैं कि

$$P'_x(a,b,c)=P'_y(a,b,c)=P'_z(a,b,c)=0.$$ (शर्त P(a, b, c) = 0 इन शर्तों से, यूलर के समांगी फलन प्रमेय द्वारा निहित है।)

स्पर्शोन्मुख
बीजगणितीय वक्र की प्रत्येक अनंत शाखा वक्र पर अनंत पर एक बिंदु से मेल खाती है, जो वक्र के प्रक्षेपी समापन का एक बिंदु है जो इसके परिबद्ध भाग से संबंधित नहीं है। संगत स्पर्शोन्मुख उस बिंदु पर वक्र की स्पर्शरेखा है। एक प्रक्षेप्य वक्र के स्पर्शरेखा के लिए सामान्य सूत्र लागू हो सकता है, लेकिन इस मामले में इसे स्पष्ट करना उचित है।

होने देना $$p=p_d+\cdots+p_0$$ वक्र को उसके सजातीय भागों में परिभाषित करने वाले बहुपद का अपघटन हो, जहाँ piडिग्री i के p के एकपदी का योग है। यह इस प्रकार है कि $$P={^hp}=p_d+zp_{d-1}+\cdots+z^dp_0$$ तथा $$P'_z(a,b,0) =p_{d-1}(a,b).$$ वक्र की अनंतता पर एक बिंदु p (a, b, 0) के रूप का शून्य होता है। समान रूप से, (a, b) p. का एक शून्य हैd. बीजगणित के मौलिक प्रमेय का तात्पर्य है कि, बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र (आमतौर पर, जटिल संख्याओं का क्षेत्र) पर, pd रैखिक कारकों के उत्पाद में कारक। प्रत्येक कारक वक्र पर अनंत पर एक बिंदु को परिभाषित करता है: यदि bx - ay ऐसा कारक है, तो यह अनंत (a, b, 0) पर बिंदु को परिभाषित करता है। रियल के ऊपर, पीd रैखिक और द्विघात कारकों में कारक। अपरिवर्तनीय बहुपद  द्विघात कारक अनंत पर गैर-वास्तविक बिंदुओं को परिभाषित करते हैं, और वास्तविक बिंदु रैखिक कारकों द्वारा दिए जाते हैं। यदि (ए, बी, 0) वक्र के अनंत पर एक बिंदु है, तो कोई कहता है कि (ए, बी) एक 'एसिम्प्टोटिक दिशा' है। क्यू = पी. सेट करनाd संबंधित स्पर्शोन्मुख का समीकरण है $$xq'_x(a,b)+yq'_y(a,b)+p_{d-1}(a,b)=0.$$ यदि $$q'_x(a,b)=q'_y(a,b)=0$$ तथा $$p_{d-1}(a,b)\neq 0,$$ स्पर्शोन्मुख रेखा अनंत पर है, और, वास्तविक स्थिति में, वक्र की एक शाखा होती है जो एक परवलय  की तरह दिखती है। इस मामले में कोई कहता है कि वक्र की एक परवलयिक शाखा है। यदि $$q'_x(a,b)=q'_y(a,b)=p_{d-1}(a,b)=0,$$ वक्र में अनंत पर एक विलक्षण बिंदु होता है और इसमें कई स्पर्शोन्मुख हो सकते हैं। उनकी गणना एक विलक्षण बिंदु के स्पर्शरेखा शंकु की गणना की विधि द्वारा की जा सकती है।

एकवचन अंक
डिग्री d के एक बहुपद p(x,y) द्वारा परिभाषित डिग्री d के वक्र का एकवचन बिंदु  समीकरणों की प्रणाली के समाधान हैं: $$p'_x(x,y)=p'_y(x,y)=p(x,y)=0.$$ विशेषता (बीजगणित) में, यह प्रणाली बराबर है $$p'_x(x,y)=p'_y(x,y)=p'_\infty(x,y)=0,$$ जहां, पूर्ववर्ती खंड के संकेतन के साथ, $$p'_\infty(x,y)=P'_z(x,y,1).$$ यूलर के सजातीय कार्य प्रमेय के कारण सिस्टम समतुल्य हैं। बाद वाली प्रणाली को d के बजाय d-1 घात का तीसरा बहुपद होने का लाभ मिलता है।

इसी तरह, डिग्री डी के एक सजातीय बहुपद पी (एक्स, वाई, जेड) द्वारा परिभाषित एक प्रक्षेप्य वक्र के लिए, एकवचन बिंदुओं में सिस्टम के समाधान होते हैं $$P'_x(x,y,z)=P'_y(x,y,z)=P'_z(x,y,z)=0$$ सजातीय निर्देशांक के रूप में। (सकारात्मक विशेषता में, समीकरण $$P(x,y,z)$$ सिस्टम में जोड़ा जाना चाहिए।)

इसका तात्पर्य यह है कि एकवचन बिंदुओं की संख्या तब तक सीमित है जब तक p(x,y) या P(x,y,z) वर्ग-मुक्त बहुपद  है। बेज़ौट के प्रमेय का तात्पर्य इस प्रकार है कि एकवचन बिंदुओं की संख्या अधिकतम (d−1) है2, लेकिन यह सीमा तीक्ष्ण नहीं है क्योंकि समीकरणों की प्रणाली  अतिनिर्धारित प्रणाली  है। यदि अपरिवर्तनीय बहुपद की अनुमति है, तो तेज सीमा d(d−1)/2 है, यह मान तब प्राप्त होता है जब रैखिक कारकों में बहुपद कारक होते हैं, अर्थात यदि वक्र d रेखाओं का संघ है। इरेड्यूसिबल कर्व्स और बहुपदों के लिए, एकवचन बिंदुओं की संख्या सबसे अधिक (d−1)(d−2)/2 है, क्योंकि सूत्र एकवचन की अवधि में जीनस को व्यक्त करता है (नीचे देखें)। अधिकतम जीनस शून्य के वक्रों द्वारा पहुँचा जाता है जिनकी सभी विलक्षणताओं में बहुलता दो और विशिष्ट स्पर्शरेखाएँ होती हैं (नीचे देखें)।

एकवचन बिंदु पर स्पर्शरेखा का समीकरण एकवचन बिंदु पर बहुपद की टेलर श्रृंखला  में निम्नतम डिग्री के गैर-शून्य सजातीय भाग द्वारा दिया जाता है। जब कोई एकवचन बिंदु को मूल में रखने के लिए निर्देशांक बदलता है, तो एकवचन बिंदु पर स्पर्शरेखा का समीकरण इस प्रकार बहुपद की निम्नतम डिग्री का गैर-शून्य सजातीय भाग होता है, और एकवचन बिंदु की बहुलता इस सजातीय की डिग्री होती है अंश।

विश्लेषणात्मक संरचना
एक विलक्षण बिंदु के पड़ोस (टोपोलॉजी)  में बीजीय वक्र के  विश्लेषणात्मक कार्य  का अध्ययन विलक्षणताओं की टोपोलॉजी की सटीक जानकारी प्रदान करता है। वास्तव में, एक विलक्षण बिंदु के पास, एक वास्तविक बीजगणितीय वक्र शाखाओं की एक सीमित संख्या का संघ होता है जो केवल एकवचन बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है और या तो एक  पुच्छ (विलक्षण)  या एक  चिकनी वक्र  के रूप में दिखता है।

एक नियमित बिंदु के पास, वक्र के निर्देशांक में से एक को दूसरे निर्देशांक के विश्लेषणात्मक कार्य के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यह विश्लेषणात्मक निहित फ़ंक्शन प्रमेय का एक परिणाम है, और इसका तात्पर्य है कि वक्र बिंदु के निकट चिकना वक्र है। एक विलक्षण बिंदु के पास, स्थिति अधिक जटिल है और इसमें पुइसेक्स श्रृंखला  शामिल है, जो शाखाओं के विश्लेषणात्मक  पैरामीट्रिक समीकरण  प्रदान करती है।

एक विलक्षणता का वर्णन करने के लिए, मूल में विलक्षणता होने के लिए वक्र (ज्यामिति) का अनुवाद करना उचित है। इसमें प्रपत्र के चर का परिवर्तन शामिल है $$X=x-a, Y=y-b,$$ कहाँ पे $$a, b$$ एकवचन बिंदु के निर्देशांक हैं। निम्नलिखित में, विचाराधीन एकवचन बिंदु को हमेशा मूल बिंदु पर माना जाता है।

एक बीजीय वक्र का समीकरण है $$f(x,y)=0, $$ कहाँ पे $f$ में एक बहुपद है $x$ तथा $y$. इस बहुपद को एक बहुपद के रूप में माना जा सकता है $y$, Puiseux श्रृंखला के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में गुणांक के साथ $x$. इस प्रकार $f$ फॉर्म के कारकों में फैक्टर किया जा सकता है $$y-P(x),$$ कहाँ पे $P$ एक Puiseux श्रृंखला है। ये सभी कारक अलग हैं यदि $f$ एक अपरिवर्तनीय बहुपद है, क्योंकि इसका तात्पर्य है कि $f$ वर्ग-मुक्त बहुपद|वर्ग-मुक्त है, एक गुण जो गुणांक के क्षेत्र से स्वतंत्र है।

यहां होने वाली पुइसेक्स श्रृंखला का रूप है $$P(x)=\sum_{n=n_0}^\infty a_nx^{n/d},$$ कहाँ पे $d$ एक धनात्मक पूर्णांक है, और $n_0$ एक पूर्णांक है जिसे धनात्मक भी माना जा सकता है, क्योंकि हम वक्र की केवल उन शाखाओं पर विचार करते हैं जो मूल बिंदु से होकर गुजरती हैं। व्यापकता के नुकसान के बिना, हम मान सकते हैं कि $d$ के सबसे बड़े सामान्य भाजक के साथ सहअभाज्य पूर्णांक  है $n$ ऐसा है कि $a_n \ne 0$ (अन्यथा, कोई घातांक के लिए एक छोटा सा सामान्य भाजक चुन सकता है)।

होने देना $\omega_d$ एकता का आदिम मूल हो|आदिम $d$एकता की जड़। यदि उपरोक्त Puiseux श्रृंखला के गुणनखंड में होती है $f(x,y)=0$, फिर $d$ श्रृंखला $$P_i(x)=\sum_{n=n_0}^\infty a_n\omega_d^i x^{n/d}$$ गुणनखंड ( गैलोइस सिद्धांत का एक परिणाम) में भी होते हैं। इन $d$ श्रृंखला को बीजगणितीय संयुग्म कहा जाता है, और वक्र की एक शाखा के रूप में माना जाता है, प्रभाव सूचकांक की $d$.

एक वास्तविक वक्र के मामले में, जो वास्तविक गुणांक वाले बहुपद द्वारा परिभाषित एक वक्र है, तीन मामले हो सकते हैं। अगर कोई नहीं $P_i(x)$ वास्तविक गुणांक हैं, तो किसी के पास एक गैर-वास्तविक शाखा है। यदि कुछ $P_i(x)$ वास्तविक गुणांक हैं, तो कोई इसे इस रूप में चुन सकता है $P_0(x)$. यदि $d$ विषम है, तो का प्रत्येक वास्तविक मान $x$ का वास्तविक मूल्य प्रदान करता है $P_0(x)$, और किसी के पास एक वास्तविक शाखा है जो नियमित दिखती है, हालांकि यह एकवचन है if $d > 1$. यदि $d$ सम है, तो $P_0(x)$ तथा $P_{d/2}(x)$ वास्तविक मूल्य हैं, लेकिन केवल. के लिए $x ≥ 0$. इस मामले में, वास्तविक शाखा एक पुच्छ (विलक्षणता) के रूप में दिखती है (या एक पुच्छल है, जो उपयोग किए जाने वाले पुच्छ की परिभाषा पर निर्भर करता है)।

उदाहरण के लिए, साधारण पुच्छ की केवल एक शाखा होती है। यदि इसे समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है $$y^2-x^3=0,$$ तो गुणनखंड है $$(y-x^{3/2})(y+x^{3/2});$$ प्रभाव सूचकांक 2 है, और दो कारक वास्तविक हैं और प्रत्येक आधा शाखा को परिभाषित करते हैं। यदि पुच्छल घुमाया जाता है, तो यह समीकरण बन जाता है $$y^3-x^2=0,$$ और गुणनखंड है $$(y-x^{2/3})(y-j^2x^{2/3})(y-(j^2)^2x^{2/3}),$$ साथ $$j=(1+\sqrt{-3})/2$$ (गुणांक $(j^2)^2$ करने के लिए सरल नहीं किया गया है $j$ यह दिखाने के लिए कि . की उपरोक्त परिभाषा कैसे है $P_i(x)$ विशिष्ट है)। यहां प्रभाव सूचकांक 3 है, और केवल एक कारक वास्तविक है; इससे पता चलता है कि, पहले मामले में, दो कारकों को एक ही शाखा को परिभाषित करने के रूप में माना जाना चाहिए।

गैर समतल बीजीय वक्र
एक बीजीय वक्र एक बीजीय किस्म के आयाम की एक बीजीय किस्म है। इसका तात्पर्य यह है कि आयाम एन के एफ़िन स्पेस में एक एफ़िन वक्र को कम से कम एनएन वेरिएबल्स में 'एन''-1 बहुपद द्वारा परिभाषित किया जाता है। एक वक्र को परिभाषित करने के लिए, इन बहुपदों को क्रुल आयाम 1 का एक प्रमुख आदर्श  उत्पन्न करना चाहिए। व्यवहार में इस स्थिति का परीक्षण करना आसान नहीं है। इसलिए, गैर-समतल वक्रों का प्रतिनिधित्व करने के लिए निम्नलिखित तरीके को प्राथमिकता दी जा सकती है।

होने देना $$f, g_0, g_3, \ldots, g_n$$ दो चर x. में n बहुपद हो1 और x2 ऐसा है कि f अपरिवर्तनीय है। आयाम n के एफ़िन स्पेस में ऐसे बिंदु जिनके निर्देशांक समीकरणों और असमानताओं को संतुष्ट करते हैं

$$\begin{align} &f(x_1,x_2)=0\\ &g_0(x_1,x_2)\neq 0\\ x_3&=\frac{g_3(x_1,x_2)}{g_0(x_1,x_2)}\\ & {}\ \vdots \\ x_n&=\frac{g_n(x_1,x_2)}{g_0(x_1,x_2)} \end{align}$$ एक बीजीय वक्र के सभी बिंदु हैं जिसमें एक सीमित संख्या में अंक हटा दिए गए हैं। यह वक्र बहुपद एच के आदर्श के जनरेटर की एक प्रणाली द्वारा परिभाषित किया गया है जैसे कि यह एक पूर्णांक k मौजूद है $$g_0^kh$$ द्वारा उत्पन्न आदर्श के अंतर्गत आता है $$f, x_3g_0-g_3, \ldots, x_ng_0-g_n$$. यह निरूपण f द्वारा परिभाषित वक्र और समतल वक्र के बीच एक द्विवार्षिक तुल्यता है। प्रत्येक बीजीय वक्र को इस प्रकार निरूपित किया जा सकता है। हालांकि, दो पहले चर पर लगभग हमेशा इंजेक्शन प्रक्षेपण (गणित) बनाने के लिए चर के एक रैखिक परिवर्तन की आवश्यकता हो सकती है। जब चर के परिवर्तन की आवश्यकता होती है, तो लगभग हर परिवर्तन सुविधाजनक होता है, जैसे ही इसे एक अनंत क्षेत्र में परिभाषित किया जाता है।

यह निरूपण हमें एक गैर-समतल बीजगणितीय वक्र की किसी भी संपत्ति को आसानी से निकालने की अनुमति देता है, जिसमें इसके चित्रमय प्रतिनिधित्व भी शामिल है, इसके समतल प्रक्षेपण की संबंधित संपत्ति से।

इसके निहित समीकरणों द्वारा परिभाषित एक वक्र के लिए, वक्र के उपरोक्त प्रतिनिधित्व को एक मोनोमियल ऑर्डर # ब्लॉक ऑर्डर के लिए ग्रोबनर आधार से आसानी से निकाला जा सकता है जैसे कि छोटे चर का ब्लॉक है (x1, एक्स2) बहुपद f आधार में अद्वितीय बहुपद है जो केवल x. पर निर्भर करता है1 और x2. अंश जीi/जी0 i = 3, ..., n, के आधार पर एक बहुपद को चुनकर प्राप्त किया जाता है जो x में रैखिक है।iऔर केवल x. पर निर्भर करता है1, एक्स2 और xi. यदि ये विकल्प संभव नहीं हैं, तो इसका मतलब है कि या तो समीकरण एक बीजीय सेट को परिभाषित करते हैं जो कि एक किस्म नहीं है, या यह कि विविधता आयाम एक की नहीं है, या कि किसी को निर्देशांक बदलना होगा। बाद वाला मामला तब होता है जब f मौजूद होता है और अद्वितीय होता है, और, i = 3, …, n के लिए, ऐसे बहुपद मौजूद होते हैं जिनका प्रमुख एकपदी केवल x पर निर्भर करता है1, एक्स2 और xi.

बीजीय कार्य क्षेत्र
बीजीय वक्रों के अध्ययन को अघुलनशील घटक बीजीय वक्रों के अध्ययन तक कम किया जा सकता है: वे वक्र जिन्हें दो छोटे वक्रों के मिलन के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। बायरेशनल ज्यामिति  तुल्यता तक, एक फील्ड F पर इरेड्यूसिबल कर्व्स, F के ऊपर एक वेरिएबल में एक बीजीय वेरायटी के फंक्शन फील्ड के लिए कैटेगरी की तुल्यता है। ऐसा बीजीय फंक्शन फील्ड F का  क्षेत्र विस्तार  K होता है जिसमें एक एलिमेंट x होता है जो कि बीजीय है। F के ऊपर तत्व, और ऐसा कि K, F(x) का एक परिमित बीजीय विस्तार है, जो कि F पर अनिश्चित x में तर्कसंगत कार्यों का क्षेत्र है।

उदाहरण के लिए, सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र 'C' पर विचार करें, जिस पर हम 'C' में परिमेय फलनों के क्षेत्र 'C'(x) को परिभाषित कर सकते हैं। यदि $y^{2} = x^{3} − x − 1$, तो फ़ील्ड C(x, y) एक अण्डाकार फलन है। तत्व x विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं है; उदाहरण के लिए, फ़ील्ड को C(y) के विस्तार के रूप में भी माना जा सकता है। फ़ंक्शन फ़ील्ड से संबंधित बीजगणितीय वक्र केवल C में बिंदुओं (x, y) का समूह है2 संतोषजनक $y^{2} = x^{3} − x − 1$.

यदि फ़ील्ड F बीजगणितीय रूप से बंद नहीं है, तो फ़ंक्शन फ़ील्ड का दृष्टिकोण बिंदुओं के स्थान पर विचार करने की तुलना में थोड़ा अधिक सामान्य है, क्योंकि हम, उदाहरण के लिए, उन पर बिना किसी बिंदु के वक्र शामिल करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आधार क्षेत्र F वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र 'R' है, तो $x^{2} + y^{2} = −1$ R(x) के बीजीय विस्तार क्षेत्र को परिभाषित करता है, लेकिन संबंधित वक्र को R. का सबसेट माना जाता है2 का कोई अंक नहीं है। समीकरण $x^{2} + y^{2} = −1$ योजना (गणित)  अर्थ में R पर एक इरेड्यूसिबल बीजीय वक्र को परिभाषित करता है (योजना सिद्धांत की एक शब्दावली#अभिन्न, योजना सिद्धांत की शब्दावली#पृथक और उचित आकारिकी योजना सिद्धांत की शब्दावली#आयाम|एक-आयामी योजना (गणित)शब्दावली की योजना सिद्धांत का # परिमित, अर्ध-परिमित, और परिमित प्रकार के आकारिकी R पर)। इस अर्थ में, F (बायरेशनल तुल्यता तक) पर इरेड्यूसेबल बीजीय वक्रों के बीच एक-से-एक पत्राचार और F के ऊपर एक चर में बीजगणितीय फ़ंक्शन फ़ील्ड सामान्य रूप से धारण करते हैं।

दो वक्र द्विअर्थी रूप से समतुल्य हो सकते हैं (अर्थात समरूपता फ़ंक्शन फ़ील्ड हैं) बिना वक्र के रूप में समरूप होने के। स्थिति तब आसान हो जाती है जब नॉनसिंगुलर कर्व्स से निपटते हैं, यानी वे जिनमें एकवचनता का अभाव होता है। एक क्षेत्र पर दो गैर-एकवचन प्रक्षेप्य वक्र समरूपी होते हैं यदि और केवल यदि उनके कार्य क्षेत्र समरूप हैं।

त्सेन का प्रमेय बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर एक बीजीय वक्र के कार्य क्षेत्र के बारे में है।

जटिल वक्र और वास्तविक सतह
एक जटिल प्रक्षेपी बीजगणितीय वक्र n-आयामी जटिल प्रक्षेप्य स्थान 'CP' में रहता हैएन. इसमें जटिल आयाम n है, लेकिन टोपोलॉजिकल आयाम, वास्तविक कई गुना, 2n के रूप में, और कॉम्पैक्ट स्पेस,  कनेक्टेड स्पेस  और  उन्मुखता  है। 'सी' के ऊपर एक बीजीय वक्र में भी टोपोलॉजिकल आयाम दो होते हैं; दूसरे शब्दों में, यह एक  सतह (टोपोलॉजी)  है।

इस सतह का जीनस (गणित), जो हैंडल या डोनट होल की संख्या है, बीजीय वक्र के ज्यामितीय जीनस  के बराबर है जिसे बीजीय माध्यमों द्वारा गणना की जा सकती है। संक्षेप में, यदि कोई एक गैर-एकवचन वक्र के समतल प्रक्षेपण पर विचार करता है जिसमें एक बहुपद d की डिग्री है और केवल साधारण विलक्षणताएं (अलग-अलग स्पर्शरेखाओं के साथ बहुलता दो की विलक्षणताएं) हैं, तो जीनस है $(d − 1)(d − 2)/2 − k$, जहां k इन विलक्षणताओं की संख्या है।

कॉम्पैक्ट रीमैन सतह
एक रीमैन सतह एक जटिल आयाम का एक जुड़ा हुआ जटिल विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड है, जो इसे दो आयामों का एक जुड़ा हुआ वास्तविक कई गुना बनाता है। यदि यह टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में कॉम्पैक्ट है तो यह कॉम्पैक्ट स्पेस है।

सी पर चिकनी इरेड्यूसीबल प्रोजेक्टिव बीजगणितीय वक्रों की श्रेणी (रूपताओं के रूप में किस्मों के गैर-निरंतर रूपवाद के साथ), कॉम्पैक्ट रीमैन सतहों की श्रेणी (रूपताओं के रूप में गैर-स्थिर होलोमोर्फिक मानचित्रों के साथ) और विपरीत के बीच श्रेणियों की एक तिहाई समानता है। सी पर एक चर में बीजगणितीय फ़ंक्शन फ़ील्ड की श्रेणी की श्रेणी (फ़ील्ड होमोमोर्फिज्म के साथ जो सी को मॉर्फिज्म के रूप में ठीक करती है)। इसका अर्थ यह हुआ कि इन तीनों विषयों का अध्ययन करके हम एक अर्थ में एक ही वस्तु का अध्ययन कर रहे हैं। यह बीजीय ज्यामिति में जटिल विश्लेषणात्मक विधियों का उपयोग करने की अनुमति देता है, और जटिल विश्लेषण में बीजीय-ज्यामितीय विधियों और दोनों में उपयोग किए जाने वाले क्षेत्र-सैद्धांतिक तरीकों की अनुमति देता है। यह बीजीय ज्यामिति में समस्याओं के बहुत व्यापक वर्ग की विशेषता है।

अधिक सामान्य सिद्धांत के लिए बीजीय ज्यामिति और विश्लेषणात्मक ज्यामिति  भी देखें।

विलक्षणताएं
स्पर्शरेखा स्थान की आंतरिक अवधारणा का उपयोग करते हुए, बीजीय वक्र C पर बिंदु P को चिकने (समानार्थी: गैर-एकवचन), या फिर वक्र के एकवचन बिंदु के रूप में वर्गीकृत किया जाता है। n+1 चरों में n−1 सजातीय बहुपदों को देखते हुए, हम जैकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक#जैकोबियन मैट्रिक्स को आंशिक डेरिवेटिव के (n−1)×(n+1) मैट्रिक्स के रूप में पा सकते हैं। यदि इस मैट्रिक्स की  रैंक (रैखिक बीजगणित)  n-1 है, तो बहुपद एक बीजीय वक्र को परिभाषित करते हैं (अन्यथा वे उच्च आयाम की बीजगणितीय विविधता को परिभाषित करते हैं)। यदि जैकोबियन मैट्रिक्स का मूल्यांकन वक्र पर एक बिंदु P पर किया जाता है, तो रैंक n−1 बनी रहती है, तो बिंदु एक चिकना या नियमित बिंदु होता है; अन्यथा यह एक विलक्षण बिंदु है। विशेष रूप से, यदि वक्र एक समतल प्रक्षेपी बीजगणितीय वक्र है, जिसे एकल समरूप बहुपद समीकरण f(x,y,z) = 0 द्वारा परिभाषित किया गया है, तो एकवचन बिंदु ठीक वे बिंदु P होते हैं जहां 1×(n+) की रैंक होती है। 1) मैट्रिक्स शून्य है, अर्थात जहाँ $$\frac{ \partial f }{ \partial x }(P)=\frac{ \partial f }{ \partial y }(P)=\frac{ \partial f }{ \partial z }(P)=0.$$ चूँकि f एक बहुपद है, यह परिभाषा विशुद्ध रूप से बीजीय है और क्षेत्र F की प्रकृति के बारे में कोई धारणा नहीं बनाती है, जो विशेष रूप से वास्तविक या सम्मिश्र संख्या होने की आवश्यकता नहीं है। बेशक, यह याद रखना चाहिए कि (0,0,0) वक्र का बिंदु नहीं है और इसलिए एकवचन बिंदु नहीं है।

इसी तरह, एकल बहुपद समीकरण f(x,y) = 0 द्वारा परिभाषित एक एफ़िन बीजगणितीय वक्र के लिए, तो एकवचन बिंदु वक्र के बिंदु P होते हैं जहां 1×n जैकोबियन मैट्रिक्स की रैंक शून्य होती है, अर्थात, कहाँ पे

$$f(P)=\frac{ \partial f }{ \partial x }(P)=\frac{ \partial f }{ \partial y }(P)=0.$$ एक वक्र की विलक्षणताएँ द्विअर्थी अपरिवर्तनीय नहीं हैं। हालांकि, वक्र की विलक्षणताओं का पता लगाना और उन्हें वर्गीकृत करना ज्यामितीय जीनस की गणना करने का एक तरीका है, जो एक द्विवार्षिक अपरिवर्तनीय है। इसके लिए काम करने के लिए, हमें वक्र पर प्रक्षेप्य रूप से विचार करना चाहिए और F को बीजगणितीय रूप से बंद करने की आवश्यकता होती है, ताकि वक्र से संबंधित सभी विलक्षणताओं पर विचार किया जा सके।

विलक्षणताओं का वर्गीकरण
एकवचन बिंदुओं में कई बिंदु शामिल होते हैं जहां वक्र अपने आप को पार करता है, और विभिन्न प्रकार के पुच्छल भी, उदाहरण के लिए जो समीकरण x के साथ वक्र द्वारा दिखाया गया है3 = और2 पर (0,0)।

एक वक्र C में एकवचन बिंदुओं की अधिकतम संख्या सीमित होती है। यदि इसमें कोई नहीं है, तो इसे चिकना या गैर-एकवचन कहा जा सकता है। आमतौर पर, इस परिभाषा को एक बीजीय रूप से बंद क्षेत्र पर और एक वक्र सी के लिए एक प्रक्षेप्य स्थान (यानी, बीजगणितीय ज्यामिति के अर्थ में पूर्ण) के लिए समझा जाता है। उदाहरण के लिए, समीकरण का समतल वक्र $$y-x^3=0$$ अनंत पर एकवचन बिंदु (एक पुच्छ) होने के रूप में, एकवचन के रूप में माना जाता है।

इस खंड के शेष भाग में, एक समतल वक्र पर विचार किया जाता है $C$ द्विचर बहुपद के शून्य समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है $f(x, y)$. कुछ परिणाम, लेकिन सभी नहीं, गैर-समतल वक्रों के लिए सामान्यीकृत किए जा सकते हैं।

एकवचन बिंदुओं को कई अपरिवर्तनीयों के माध्यम से वर्गीकृत किया जाता है। बहुलता $m$ को अधिकतम पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया जाता है जैसे कि का व्युत्पन्न $f$ तक के सभी आदेशों तक $m – 1$ ग़ायब हो जाता है (वक्र और सीधी रेखा के बीच की न्यूनतम प्रतिच्छेदन संख्या भी $P$) सहज रूप से, एक विलक्षण बिंदु में डेल्टा अपरिवर्तनीय होता है $δ$ अगर यह ध्यान केंद्रित करता है $δ$ साधारण दोहरे अंक $P$. इसे सटीक बनाने के लिए, उड़ाते हुए  प्रक्रिया तथाकथित  असीम रूप से निकट बिंदु ओं का उत्पादन करती है, और संक्षेप $m(m−1)/2$ अपरिमित निकट बिंदुओं पर, जहाँ m उनकी बहुलता है, उत्पन्न करता है $δ$. एक अपरिवर्तनीय और कम वक्र और एक बिंदु के लिए $P$ हम परिभाषित कर सकते हैं $δ$ बीजगणितीय रूप से की लंबाई के रूप में $$\widetilde{\mathcal{O}_P} / \mathcal{O}_P$$ कहाँ पे $$\mathcal{O}_P$$ P और. पर स्थानीय वलय है $$\widetilde{\mathcal{O}_P}$$ इसका अभिन्न बंद है। मिल्नोर नंबर $μ$ एक विलक्षणता का मानचित्रण की डिग्री है $grad f(x,y)⁄|grad f(x,y)|$ त्रिज्या के छोटे गोले पर, एक सतत मानचित्रण की टोपोलॉजिकल डिग्री के अर्थ में, जहां $grad f$ f का (जटिल) ग्रेडिएंट वेक्टर क्षेत्र है। यह मिल्नोर-जंग सूत्र द्वारा δ और r से संबंधित है,

यहाँ, P की शाखा संख्या r, P पर स्थानीय रूप से अपरिवर्तनीय शाखाओं की संख्या है। उदाहरण के लिए, r = 1 एक साधारण पुच्छल पर, और r = 2 एक साधारण दोहरे बिंदु पर। बहुलता m कम से कम r है, और वह P एकवचन है यदि और केवल यदि m कम से कम 2 है। इसके अलावा, कम से कम m(m-1)/2 है।

सभी विलक्षणताओं के डेल्टा इनवेरिएंट की गणना करने से वक्र के जीनस (गणित) को निर्धारित किया जा सकता है; यदि d डिग्री है, तो

$$g = \frac{1}{2}(d-1)(d-2) - \sum_P \delta_P,$$ जहां योग जटिल प्रक्षेप्य समतल वक्र के सभी एकवचन बिंदु P पर लिया जाता है। इसे वंश सूत्र कहते हैं।

इनवेरिएंट्स [m, δ, r] को एक विलक्षणता के लिए असाइन करें, जहां m बहुलता है, डेल्टा-इनवेरिएंट है, और r ब्रांचिंग नंबर है। फिर एक साधारण पुच्छल एक बिंदु है जिसमें अपरिवर्तनीय [2,1,1] और एक साधारण दोहरा बिंदु अपरिवर्तनीय [2,1,2] के साथ एक बिंदु है, और एक साधारण एम-एकाधिक बिंदु अपरिवर्तनीय [एम, एम] के साथ एक बिंदु है। (एम -1) / 2, एम]।

परिमेय वक्र
एक परिमेय वक्र, जिसे एकतरफा वक्र भी कहा जाता है, कोई भी वक्र है जो एक रेखा के लिए द्विभाजित ज्यामिति है, जिसे हम एक प्रक्षेपी रेखा मान सकते हैं; तदनुसार, हम एक अनिश्चित F(x) में परिमेय फलनों के क्षेत्र के साथ वक्र के फलन क्षेत्र की पहचान कर सकते हैं। यदि F बीजगणितीय रूप से बंद है, तो यह जीनस (गणित) शून्य के वक्र के बराबर है; हालांकि, वास्तविक बीजीय किस्म x पर परिभाषित सभी वास्तविक बीजीय फलनों का क्षेत्र2+y2 = −1 जीनस जीरो का एक क्षेत्र है जो एक परिमेय फलन क्षेत्र नहीं है।

सीधे तौर पर, एफ के ऊपर आयाम n के एफ़िन स्पेस में एम्बेडेड एक तर्कसंगत वक्र को एक पैरामीटर टी के तर्कसंगत कार्य ों के माध्यम से पैरामीटर किया जा सकता है (पृथक असाधारण बिंदुओं को छोड़कर); इन तर्कसंगत कार्यों को एक ही हर में कम करके, n+1 परिणामी बहुपद प्रोजेक्टिव स्पेस में वक्र के प्रोजेक्टिव पूर्णता के बहुपद पैरामीटर को परिभाषित करते हैं। एक उदाहरण है परिमेय प्रसामान्य वक्र, जहाँ ये सभी बहुपद एकपद ी हैं।

F पर एक परिमेय बिंदु के साथ F पर परिभाषित कोई भी शंकु खंड  एक परिमेय वक्र है। इसे परिमेय बिंदु के माध्यम से ढलान टी के साथ एक रेखा खींचकर और समतल द्विघात वक्र के साथ एक प्रतिच्छेदन द्वारा परिचालित किया जा सकता है; यह एफ-तर्कसंगत गुणांक और एक एफ-तर्कसंगत मूल के साथ एक बहुपद देता है, इसलिए दूसरा रूट एफ-तर्कसंगत है (यानी, एफ से संबंधित है)।

उदाहरण के लिए, दीर्घवृत्त x. पर विचार करें2 + xy + y2 = 1, जहां (−1, 0) एक परिमेय बिंदु है। (−1,0), y = t(x+1) से ढलान t वाली एक रेखा खींचना, इसे दीर्घवृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करना, गुणनखंड करना और x के लिए हल करना, हम प्राप्त करते हैं

$$x = \frac{1-t^2}{1+t+t^2}.$$ तब y का समीकरण है

$$y=t(x+1)=\frac{t(t+2)}{1+t+t^2}\,,$$ जो दीर्घवृत्त के परिमेय मानकीकरण को परिभाषित करता है और इसलिए दर्शाता है कि दीर्घवृत्त एक परिमेय वक्र है। दीर्घवृत्त के सभी बिंदु दिए गए हैं, (−1,1) को छोड़कर, जो t = से मेल खाता है; इसलिए संपूर्ण वक्र को वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा द्वारा परिचालित किया जाता है।

प्रोजेक्टिव स्पेस में इस तरह के तर्कसंगत पैरामीटर पर विचार किया जा सकता है, जो पहले प्रोजेक्टिव कोऑर्डिनेट को पैरामीटराइजेशन के अंशों और अंतिम एक को सामान्य हर के बराबर करके माना जा सकता है। जैसा कि पैरामीटर को प्रोजेक्टिव लाइन में परिभाषित किया गया है, पैरामीटर में बहुपद समरूप बहुपद # होमोजेनाइजेशन होना चाहिए। उदाहरण के लिए, उपरोक्त दीर्घवृत्त का प्रक्षेप्य मानकीकरण है

$$X=U^2-T^2,\quad Y=T\,(T+2\,U),\quad Z=T^2+TU+U^2.$$ इन समीकरणों के बीच उन्मूलन सिद्धांत  T और U हमें फिर से दीर्घवृत्त का प्रक्षेप्य समीकरण प्राप्त होता है $$X^2+X\,Y+Y^2=Z^2,$$ जो उपरोक्त समीकरण को समरूप करके आसानी से सीधे प्राप्त किया जा सकता है।

विकिपीडिया की वक्रों की सूची में कई वक्र तर्कसंगत हैं और इसलिए समान तर्कसंगत पैरामीटर हैं।

परिमेय समतल वक्र
परिमेय समतल वक्र, परिमेय वक्र होते हैं जिन्हें में अंतःस्थापित किया जाता है $$\mathbb{P}^2$$. सामान्य वर्गों को देखते हुए $$s_1,s_2,s_3 \in \Gamma(\mathbb{P}^1, \mathcal{O}(d))$$ डिग्री का $$d$$ दो निर्देशांकों में सजातीय बहुपद, $$x,y$$, एक नक्शा है$$s:\mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^2$$ के द्वारा दिया गया $$s([x:y]) = [s_1([x:y]):s_2([x:y]):s_3([x:y])]$$डिग्री के एक तर्कसंगत विमान वक्र को परिभाषित करना $$d$$. एक संबद्ध मोडुलि स्पेस  है $$\mathcal{M} = \overline{\mathcal{M}}_{0,0}(\mathbb{P}^2, d\cdot [H])$$ (कहाँ पे $$[H]$$ हाइपरप्लेन क्लास है) ऐसे सभी  स्थिर वक्र ों को पैरामीट्रिज करना। मोडुलि रिक्त स्थान आयाम निर्धारित करने के लिए एक आयाम गणना की जा सकती है: वहाँ हैं $$d+1$$ में पैरामीटर $$\Gamma(\mathbb{P}^1, \mathcal{O}(d))$$ दे रही है $$3d+3$$ प्रत्येक अनुभाग के लिए कुल पैरामीटर। तब, चूंकि उन्हें एक प्रक्षेपी भागफल तक माना जाता है $$\mathbb{P}^2$$ वहाँ है $$1$$ में कम पैरामीटर $$\mathcal{M}$$. इसके अलावा, ऑटोमोर्फिज्म का एक त्रि-आयामी समूह है $$\mathbb{P}^1$$, इसलिये $$\mathcal{M}$$ आयाम है $$3d + 3 - 1 - 3 = 3d - 1$$. इस मापांक स्थान का उपयोग संख्या गिनने के लिए किया जा सकता है $$N_d$$ डिग्री का $$d$$ परिमेय समतल वक्र प्रतिच्छेद करते हैं $$3d-1$$ ग्रोमोव-विटन इनवेरिएंट | ग्रोमोव-विटन सिद्धांत का उपयोग करते हुए अंक। यह पुनरावर्ती संबंध द्वारा दिया जाता है$$N_d = \sum_{d_A + d_B = d} N_{d_A} N_{d_B} d_A^2 d_B\left( d_B\binom{3d-4}{3d_A-2} - d_A\binom{3d-4}{3d_A-1} \right)$$कहाँ पे $$N_1 = N_2 = 1$$.

अण्डाकार वक्र
एक अंडाकार वक्र को तर्कसंगत बिंदु के साथ जीनस (गणित) के किसी भी वक्र के रूप में परिभाषित किया जा सकता है: एक सामान्य मॉडल एक गैर-एकवचन क्यूबिक विमान वक्र है, जो किसी भी जीनस एक वक्र को मॉडल करने के लिए पर्याप्त है। इस मॉडल में विशिष्ट बिंदु को आमतौर पर अनंत पर एक विभक्ति बिंदु के रूप में लिया जाता है; यह आवश्यक है कि वक्र को टेट-वीयरस्ट्रैस रूप में लिखा जा सकता है, जो इसके प्रक्षेपी संस्करण में है $$y^2z + a_1 xyz + a_3 yz^2 = x^3 + a_2 x^2z + a_4 xz^2 + a_6 z^3.$$ यदि क्षेत्र की विशेषता 2 और 3 से भिन्न है, तो निर्देशांक का एक रैखिक परिवर्तन डालने की अनुमति देता है $$a_1=a_2=a_3=0,$$ जो शास्त्रीय वीयरस्ट्रैस रूप देता है $$y^2 = x^3 + p x + q.$$ अंडाकार वक्र समूह कानून की पहचान के रूप में विशिष्ट बिंदु के साथ एक एबेलियन समूह  की संरचना को ले जाते हैं। एक समतल घन मॉडल में समूह में तीन बिंदुओं का योग शून्य होता है यदि और केवल यदि वे  रेखा (ज्यामिति)  हों। जटिल संख्याओं पर परिभाषित एक अण्डाकार वक्र के लिए समूह समरूप समतल मॉड्यूलो के योगात्मक समूह के लिए समरूपी होता है, जो संबंधित अण्डाकार कार्यों की  अवधियों की मौलिक जोड़ी  होती है।

दो क्वाड्रिक सतहों का प्रतिच्छेदन, सामान्य तौर पर, एक और डिग्री चार का एक गैर-एकवचन वक्र होता है, और इस प्रकार एक अण्डाकार वक्र होता है, यदि इसमें एक तर्कसंगत बिंदु होता है। विशेष मामलों में, प्रतिच्छेदन या तो एक तर्कसंगत एकवचन चतुर्थक हो सकता है या छोटी डिग्री के घटता में विघटित होता है जो हमेशा अलग नहीं होते हैं (या तो एक घन वक्र और एक रेखा, या दो शंकु, या एक शंकु और दो रेखाएं, या चार रेखाएं).

एक से अधिक जीनस के वक्र
एक से अधिक जीनस (गणित) के वक्र तर्कसंगत और अण्डाकार दोनों वक्रों से स्पष्ट रूप से भिन्न होते हैं। फाल्टिंग्स के प्रमेय द्वारा परिमेय संख्याओं पर परिभाषित ऐसे वक्रों में केवल परिमेय बिंदुओं की एक सीमित संख्या हो सकती है, और उन्हें अतिपरवलयिक ज्यामिति  संरचना के रूप में देखा जा सकता है। उदाहरण  अतिअण्डाकार वक्र,  क्लेन क्वार्टिक  और  फ़र्मेट वक्र  हैं $x^{n} + y^{n} = z^{n}$ जब $n$ तीन से बड़ा है। इसके अलावा प्रक्षेपी समतल वक्र में $$\mathbb{P}^2$$ और वक्र $$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$$ कई उपयोगी उदाहरण प्रदान करें।

प्रक्षेप्य समतल वक्र
समतल वक्र $$C \subset \mathbb{P}^2$$ डिग्री का $$k$$, जिसे एक सामान्य खंड के लुप्त ठिकाने के रूप में बनाया जा सकता है $$s \in \Gamma(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}(k))$$, जीनस है $$\frac{(k-1)(k-2)}{2}$$ जिसे सुसंगत शीफ कोहोलॉजी  का उपयोग करके परिकलित किया जा सकता है। यहां उनकी डिग्री के सापेक्ष वक्र पीढ़ी का संक्षिप्त सारांश दिया गया है उदाहरण के लिए, वक्र $$x^4 + y^4 + z^4$$ जीनस के एक वक्र को परिभाषित करता है $$3$$ जो अंतर के बाद से चिकनी योजना  है $$4x^3, 4y^3, 4z^3$$ वक्र के साथ कोई उभयनिष्ठ शून्य नहीं है.. एक सामान्य खंड का एक गैर-उदाहरण वक्र है $$x(x^2 + y^2 + z^2)$$ जो, Bezouts प्रमेय के अनुसार, अधिक से अधिक प्रतिच्छेद करना चाहिए $$2$$ अंक, दो परिमेय वक्रों का मिलन है $$C_1 \cup C_2$$ दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करना। टिप्पणी $$C_1$$ के लुप्त ठिकाने द्वारा दिया गया है $$x$$ तथा $$C_2$$ के लुप्त ठिकाने द्वारा दिया गया है $$x^2 + y^2 + z^2$$. इन्हें स्पष्ट रूप से पाया जा सकता है: एक बिंदु दोनों में निहित है if $$x = 0$$. तो दो समाधान बिंदु हैं $$[0:y:z]$$ ऐसा है कि $$y^2 + z^2 = 0$$, जो हैं $$[0:1:-\sqrt{-1}]$$ तथा $$[0: 1: \sqrt{-1}]$$.

प्रक्षेप्य रेखाओं के गुणनफल में वक्र
वक्र $$C \subset \mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$$ के लुप्त ठिकाने द्वारा दिया गया $$s \in \Gamma(\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1, \mathcal{O}(a,b))$$, के लिये $$a,b \geq 2$$, जीनस के वक्र दें$$ab - a -b + 1$$जिसे सुसंगत शीफ कोहोलॉजी का उपयोग करके जांचा जा सकता है। यदि $$a = 2$$, फिर वे जीनस के घटता को परिभाषित करते हैं $$2b -2 -b + 1 = b-1$$, इसलिए किसी भी जीनस के वक्र का निर्माण वक्र के रूप में किया जा सकता है $$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$$. उनकी पीढ़ी को तालिका में संक्षेपित किया जा सकता है और के लिए $$a = 3$$, ये है

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संदर्भ

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