रॉक मास प्लास्टिसिटी

चट्टानों के लिए प्लास्टिसिटी सिद्धांत लोचदार सीमा से परे भार के लिए चट्टानों की प्रतिक्रिया से संबंधित है। ऐतिहासिक रूप से, पारंपरिक ज्ञान यह है कि चट्टान भंगुर है और भंजन से विफल हो जाती है जबकि प्लास्टिसिटी की पहचान नमनीय सामग्री से की जाती है। क्षेत्र पैमाना रॉक मास में, रॉक में संरचनात्मक विसंगतियां उपस्तिथ हैं जो यह दर्शाता है कि विफलता हुई है। चूंकि चट्टान अलग नहीं हुई है, भंगुर व्यवहार की अपेक्षा के विपरीत, स्पष्ट रूप से लोच सिद्धांत अंतिम कार्य नहीं है।

सैद्धांतिक रूप से रॉक प्लास्टिसिटी की अवधारणा मिट्टी की प्लास्टिसिटी पर आधारित है जो धातु की प्लास्टिसिटी से अलग है। धातु की प्लास्टिसिटी में उदाहरण के लिए स्टील में अव्यवस्था का आकार उप-अनाज का आकार होता है, जबकि मिट्टी के लिए यह सूक्ष्म अनाज का सापेक्ष संचलन होता है। 1960 के दशक में चावल विश्वविद्यालय में मिट्टी की नमनीयता का सिद्धांत विकसित किया गया था जिससे धातुओं में नहीं देखे जाने वाले अयोग्य प्रभावों को प्रदान किया जा सके। चट्टानों में पाए जाने वाले विशिष्ट व्यवहारों में तनाव को नरम करना और सही प्लास्टिसिटी कठोरता को कम करना सम्मलित है।

संयुक्त चट्टानों में सातत्य सिद्धांत का अनुप्रयोग संभव है क्योंकि विस्थापन के माध्यम से भी जोड़ों में कर्षण सदिश की निरंतरता असंतत हो सकती है। इन जोड़ों के साथ समग्र भूविज्ञान और निरंतर ठोस के बीच का अंतर संवैधानिक नियम के प्रकार और संवैधानिक मापदंडों के मान में दिया गया है।

प्रायोगिक साक्ष्य
सामग्री की चट्टान की शक्ति के संदर्भ में चट्टान के यांत्रिक व्यवहार को चिह्नित करने के उद्देश्य से प्रयोग सामान्यतः किए जाते हैं। शक्ति लोचदार व्यवहार की सीमा है और उन क्षेत्रों को चित्रित करती है जहां प्लास्टिसिटी सिद्धांत लागू होता है। रॉक प्लास्टिसिटी को चिह्नित करने के लिए प्रयोगशाला परीक्षण चार अतिव्यापी श्रेणियों में आते हैं। प्रभावी तनाव परीक्षण, तापमान-निर्भर परीक्षण और तनाव दर-निर्भर परीक्षण, 1900 की प्रारंभिक से इन सभी तकनीकों का उपयोग करके चट्टानों में प्लास्टिक व्यवहार देखा गया है। बौडिनेज प्रयोग दिखाते हैं कि कुछ रॉक प्रमाणों में स्थानीयकृत प्लास्टिसिटी देखी गई है जो अपरूपण में विफल रहे हैं। रॉक प्रदर्शित करने वाली नमनीयता के अन्य उदाहरण चीथम और ग्निरक के कार्य में देखे जा सकते हैं। संपीड़न और तनाव का उपयोग करते हुए परीक्षण रॉक प्रतिरूप की कृशन दिखाता है, जबकि वेज पैठ का उपयोग करते हुए परीक्षण होंठ के गठन को दर्शाता है। रॉबर्टसन द्वारा किए गए परीक्षण उच्च सीमित दबावों पर होने वाली प्लास्टिसिटी दिखाएं। इस प्रकार हैंडिन और हैगर द्वारा किए गए प्रायोगिक कार्य में इसी प्रकार के परिणाम देखे जा सकते हैं। पैटरसन और मोगी इन परिणामों से ऐसा प्रतीत होता है कि लोचदार से प्लास्टिक व्यवहार में परिवर्तन भी संक्रमण को नरम करने से कठोर होने का संकेत दे सकता है। अधिक साक्ष्य रॉबिन्सन द्वारा श्वार्ट्ज प्रस्तुत किया गया है और यह देखा गया है कि सीमित दबाव जितना अधिक होता है, उतनी ही अधिक नमनीयता देखी जाती है। किंतु, टूटने का तनाव लगभग 1 पर समान रहता है।

शोधकर्ताओं की कई समूहो द्वारा रॉक प्लास्टिसिटी पर तापमान के प्रभाव का पता लगाया गया है। यह देखा गया है कि अधिकतम तनाव तापमान के साथ घटता है। विस्तार परीक्षण संपीडित तनाव से अधिक सीमित दबाव के साथ दिखाते हैं कि मध्यवर्ती प्रमुख तनाव के साथ-साथ तनाव दर का भी क्षमता पर प्रभाव पड़ता है। सेरेंगेती और बूज़र द्वारा तनाव दर के प्रभाव पर प्रयोग दिखाएँ कि तनाव दर बढ़ने से चट्टान शक्तिशाली हो जाती है किन्तु यह अधिक भंगुर भी दिखाई देती है। इस प्रकार गतिशील लोडिंग वास्तव में चट्टान की शक्ति को पर्याप्त सीमा तक बढ़ा सकती है। तापमान में वृद्धि चट्टानों के प्लास्टिक व्यवहार में दर प्रभाव को बढ़ाती प्रतीत होती है।

चट्टानों के प्लास्टिक व्यवहार में इन प्रारंभिक अन्वेषणों के बाद, मुख्य रूप से पेट्रोलियम उद्योग द्वारा इस विषय पर महत्वपूर्ण मात्रा में शोध किया गया है। संचित साक्ष्य से यह स्पष्ट है, कि चट्टान कुछ स्थितियाँ के अनुसार उल्लेखनीय प्लास्टिसिटी प्रदर्शित करती है और रॉक के लिए प्लास्टिसिटी सिद्धांत का अनुप्रयोग उपयुक्त है।

शासकीय समीकरण
संयुक्त चट्टान के विरूपण को नियंत्रित करने वाले समीकरण वही हैं जो निरंतर यांत्रिकी की गति का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

{   \begin{align} \dot{\rho} + \rho~\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{v} & = 0 & & \qquad\text{Balance of Mass} \\ \rho~\dot{\mathbf{v}} - \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{\sigma} - \rho~\mathbf{b} & = 0 & & \qquad\text{Balance of Linear Momentum} \\ \boldsymbol{\sigma} & = \boldsymbol{\sigma}^T & & \qquad\text{Balance of Angular Momentum} \\ \rho~\dot{e} - \boldsymbol{\sigma}:(\boldsymbol{\nabla}\mathbf{v}) + \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{q} - \rho~s & = 0 & & \qquad\text{Balance of Energy.} \end{align} } $$ जहाँ $$\rho(\mathbf{x},t)$$ द्रव्यमान घनत्व है, $$\dot{\rho}$$ भौतिक समय का व्युत्पन्न है $$\rho$$, $$\mathbf{v}(\mathbf{x},t) = \dot{\mathbf{u}}(\mathbf{x},t)$$ कण वेग है, $$\mathbf{u}$$ कण विस्थापन (सदिश ) है, $$\dot{\mathbf{v}}$$ भौतिक समय का व्युत्पन्न है $$\mathbf{v}$$, $$\boldsymbol{\sigma}(\mathbf{x},t)$$ कॉची तनाव तानिका है, $$\mathbf{b}(\mathbf{x},t)$$ शरीर बल घनत्व है, $$e(\mathbf{x},t)$$ प्रति इकाई द्रव्यमान आंतरिक ऊर्जा है, $$\dot{e}$$ भौतिक समय का व्युत्पन्न है $$e$$, $$\mathbf{q}(\mathbf{x},t)$$ ऊष्मा प्रवाह सदिश है, $$s(\mathbf{x},t)$$ प्रति इकाई द्रव्यमान ऊर्जा स्रोत है, $$\mathbf{x}$$ विकृत विन्यास में बिंदु का स्थान है और t समय है।

संतुलन समीकरणों के अतिरिक्त, समस्या को अच्छी प्रकार से प्रस्तुत करने के लिए प्रारंभिक सीमा स्थितियों और संवैधानिक प्रारूप की आवश्यकता होती है। संयुक्त चट्टानों जैसे आंतरिक असंतुलन वाले निकायों के लिए, रैखिक गति का संतुलन अभिन्न रूप में अधिक आसानी से व्यक्त किया जाता है, जिसे आभासी कार्य का सिद्धांत भी कहा जाता है।

\int_{\Omega} [\boldsymbol{\sigma}\cdot\nabla{\mathbf{w}} - \rho\,\mathbf{b}\cdot\mathbf{w} + \rho\,\dot{\mathbf{v}}\cdot\mathbf{w}]\,\text{dV} = \int_{\partial\Omega} \mathbf{t}\cdot\mathbf{w}\,\text{dS} $$ जहाँ $$\Omega$$ शरीर की मात्रा का प्रतिनिधित्व करता है और $$\partial\Omega$$ इसकी सतह है। किसी भी आंतरिक असंतुलन सहित, $$\mathbf{w}$$ स्वीकार्य परिवर्तनशील कलन है जो विस्थापन वेग सीमा स्थितियों को संतुष्ट करता है, विचलन प्रमेय का उपयोग तनाव तानिका के यौगिक को खत्म करने के लिए किया गया है और $$\mathbf{t}$$ सतहों पर सतह कर्षण $$\partial\Omega$$ हैं। स्थिर आंतरिक प्रतिबल विच्छिन्नता में कूदने की स्थिति के लिए आवश्यक है कि इन सतहों पर कर्षण निरंतर हो, अर्थात,

\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\sigma}^{+} + \mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\sigma}^{-1} = \mathbf{0} \qquad \text{or} \qquad \mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\sigma} = \mathbf{0} $$ जहाँ $$\boldsymbol{\sigma}^{+},\boldsymbol{\sigma}^{-}$$ उप-निकायों में तनाव हैं $$\Omega^{+},\Omega^{-}$$ और $$\mathbf{n}$$ असातत्य की सतह के लिए सामान्य है।

संवैधानिक संबंध
अतिसूक्ष्म तनाव सिद्धांत के लिए, रॉक यांत्रिकी का वर्णन करने के लिए उपयोग की जाने वाली गति-विज्ञान मात्रा छोटा तनाव तानिका है $$ \boldsymbol{\varepsilon} = \tfrac{1}{2}\left[\nabla\mathbf{u} + (\nabla\mathbf{u})^T\right] \,. $$ यदि तापमान के प्रभावों को उपेक्षा किया जाता है, तो चट्टानों के छोटे तनाव विकृतियों का वर्णन करने के लिए सामान्यतः चार प्रकार के संवैधानिक संबंधों का उपयोग किया जाता है। इन संबंधों में रैखिक लोच, विस्कोलोच (भौतिकी) और चिपचिपापन व्यवहार सम्मलित हैं और इसके निम्नलिखित रूप हैं। चट्टान के लिए विफलता मानदंड या उपज सतह को सामान्य रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
 * 1) लोचदार सामग्री: $$\,\,\boldsymbol{\sigma} = \mathsf{H}:\boldsymbol{\varepsilon}\,\,$$ या $$\,\,\sigma_{ij} = H_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\,\,$$. समदैशिक, रैखिक लोचदार सामग्री के लिए, यह संबंध रूप लेता है $$\,\,\boldsymbol{\sigma} = 2\mu\,\boldsymbol{\varepsilon} + \lambda\,\text{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\,\boldsymbol{I}\,\,$$ और $$\,\,\sigma_{ij} = 2\mu\varepsilon_{ij} + \lambda\varepsilon_{kk}\delta_{ij}$$. मात्राएँ $$\mu,\lambda$$ लमे पैरामीटर हैं।
 * 2) चिपचिपा द्रव: समदैशिक सामग्री के लिए, $$\,\,\boldsymbol{\sigma} = -p\,\boldsymbol{I} + 2\mu\,\dot{\boldsymbol{\varepsilon}} + \lambda\,\text{tr}(\dot{\boldsymbol{\varepsilon}})\,\boldsymbol{I}\,\,$$ या $$\,\,\sigma_{ij} = -P\,\delta_{ij} + 2\mu\dot{\varepsilon}_{ij} + \lambda\dot{\varepsilon}_{kk}\delta_{ij}$$ जहाँ $$\mu$$ कतरनी चिपचिपाहट है और $$\lambda$$ थोक चिपचिपापन है।
 * 3) अरैखिक सामग्री: समदैशिक अरैखिक भौतिक संबंध रूप ले लेते हैं $$\,\,\boldsymbol{\sigma} = 2\mu\,\boldsymbol{\varepsilon} + \lambda\,\text{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\,\boldsymbol{I} + \lambda'\,\boldsymbol{\varepsilon}\cdot\boldsymbol{\varepsilon}\,\,$$ और $$\,\,\sigma_{ij} = 2\mu\varepsilon_{ij} + \lambda\varepsilon_{kk}\delta_{ij} + \lambda'\,\varepsilon_{ik}\,\varepsilon_{kj}$$. इस प्रकार के संबंध का प्रयोग सामान्यतः प्रायोगिक डेटा को उपयुक्त करने के लिए किया जाता है और इसमें बेलोचदार व्यवहार सम्मलित हो सकता है।
 * 4) अर्ध-रेखीय सामग्री: इन सामग्रियों के लिए संवैधानिक संबंध सामान्यतः दर के रूप में व्यक्त किए जाते हैं, जैसे, $$\,\,\dot{\boldsymbol{\sigma}} = \mathsf{H}(\boldsymbol{\sigma}):\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}\,\,$$ या $$\,\,\dot{\sigma}_{ij} = H_{ijkl}(\sigma_{mn})\,\dot{\varepsilon}_{kl}\,\,$$.

F(\boldsymbol{\sigma}, \dot{\boldsymbol{\sigma}}, \boldsymbol{\varepsilon}, \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}, \mathbf{x}, t) = 0 \,. $$ चट्टानों के लिए विशिष्ट संवैधानिक संबंध मानते हैं कि विरूपण प्रक्रिया समतापीय है, सामग्री समदैशिक, अर्ध-रेखीय और समरूप है और भौतिक गुण विरूपण प्रक्रिया की प्रारंभिक में स्थिति पर निर्भर नहीं करते हैं, कोई चिपचिपा प्रभाव नहीं है और इसलिए कोई आंतरिक नहीं है समय के पैमाने, कि विफलता मानदंड दर-स्वतंत्र प्लास्टिसिटी है। दर-स्वतंत्र और यह कि कोई आकार प्रभाव नहीं है। किंतु, ये धारणाएँ केवल विश्लेषण को सरल बनाने के लिए बनाई गई हैं और यदि किसी विशेष समस्या के लिए आवश्यक हो तो उन्हें छोड़ देना चाहिए।

चट्टानों के लिए उपज सतहों
रॉक में खनन अभियांत्रिकी और असैनिक अभियंत्रण संरचनाओं के डिजाइन में सामान्यतः भौतिक विफलता सिद्धांत सम्मलित होता है जो संसक्त-घर्षण है। विफलता मानदंड का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि क्या चट्टान में तनाव की स्थिति अस्थिभंग यांत्रिकी सहित अयोग्य व्यवहार को जन्म देती हैं। उच्च द्रवस्थैतिक तनाव के अनुसार चट्टानों के लिए, भंगुर विफलता प्लास्टिक विरूपण से पहले होती है और प्लास्टिक विरूपण की प्रारंभिक को निर्धारित करने के लिए विफलता मानदंड का उपयोग किया जाता है। सामान्यतः पूर्ण प्लास्टिसिटी को उपज बिंदु से परे माना जाता है। चूंकि अ-स्थानीय अयोग्यता और क्षति यांत्रिकी के साथ कठोर और नरम संबंधों को भी उपयोग किया गया है। भौतिक स्थितियों से बचने के लिए विफलता मानदंड और उपज सतहों को अधिकांशतः कैप प्रारूप (प्लास्टिसिटी) के साथ संवर्धित किया जाता है जहां अत्यधिक द्रवस्थैतिक तनाव स्थिति विफलता प्लास्टिक विरूपण का कारण नहीं बनते हैं।

चट्टानों के लिए दो व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली उपज सतहें/विफलता मानदंड हैं, इस प्रकार के मोहर कूलॉम्ब प्रारूप और ड्रकर-प्रेगर उपज मानदंड, प्रारूप के साथ गंभीर स्थिरता समस्या के अतिरिक्त, होक-ब्राउन विफलता मानदंड का भी उपयोग किया जाता है। इन प्रारूपों की परिभाषित विशेषता यह है कि कम तनाव पर तन्यता विफलता की भविष्यवाणी की जाती है। इसके दूसरी ओर जैसे-जैसे तनाव की स्थिति तेजी से संकुचित होती जाती है, विफलता और उपज के लिए तनाव के उच्च और उच्च मूल्यों की आवश्यकता होती है।

प्लास्टिसिटी सिद्धांत
यदि हम प्लास्टिक विरूपण के दौर से निकल रहे रॉक बॉडी में तनाव और विस्थापन की गणना कर रहे हैं, तो ऊपर चर्चा किए गए शासकीय समीकरण, संवैधानिक प्रारूप और उपज सतहें पर्याप्त नहीं हैं। अतिरिक्त गति-विज्ञान धारणा की आवश्यकता है, अर्थात शरीर में तनाव को लोचदार भाग और प्लास्टिक भाग में योगात्मक रूप से कुछ स्थितियों में गुणक रूप से विघटित किया जा सकता है। तनाव के लोचदार भाग की गणना रेखीय लोचदार संवैधानिक प्रारूप से की जा सकती है। चूंकि, तनाव के प्लास्टिक भाग का निर्धारण करने के लिए प्रवाह नियम और कठोर प्रारूप की आवश्यकता होती है।

विशिष्ट प्रवाह प्लास्टिसिटी सिद्धांत छोटे विरूपण पूर्ण प्लास्टिसिटी या कठोर प्लास्टिसिटी के लिए निम्नलिखित आवश्यकताओं के आधार पर विकसित किए गए हैं।
 * 1) चट्टान में रेखीय लोचदार सीमा होती है।
 * 2) चट्टान की लोचदार सीमा होती है, जिसे उस तनाव के रूप में परिभाषित किया जाता है जिस पर पहले प्लास्टिक विरूपण होता है, अर्थात, $$\sigma = \sigma_0$$.
 * 3) लोचदार सीमा से परे तनाव की स्थिति सदैव उपज सतह पर रहती है, अर्थात, $$\sigma = \sigma_y$$.
 * 4) लोडिंग को उस स्थिति के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके अनुसार तनाव की वृद्धि शून्य से अधिक होती है, अर्थात, $$d\sigma > 0$$. यदि लोडिंग तनाव की स्थिति को प्लास्टिक कार्यक्षेत्र में ले जाती है तो प्लास्टिक के तनाव की वृद्धि सदैव शून्य से अधिक अर्थात $$d\varepsilon_p > 0$$ होती है,
 * 5) अनलोडिंग को उस स्थिति के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके अनुसार तनाव की वृद्धि शून्य से कम होती है, अर्थात, $$d\sigma < 0$$. इसमें होने वाली कमी के पर्यन्त सामग्री लोचदार होती है और कोई अतिरिक्त प्लास्टिक तनाव जमा नहीं होता है।
 * 6) कुल तनाव लोचदार और प्लास्टिक भागों का रैखिक संयोजन है, अर्थात, $$d\varepsilon = d\varepsilon_e + d\varepsilon_p$$. लोचदार भाग पूरी प्रकार से पुनर्प्राप्त करने योग्य होने पर प्लास्टिक का भाग पुनर्प्राप्त नहीं किया जा सकता है।
 * 7) इस चक्र का कार्य धनात्मक या शून्य है, अर्थात, $$d\sigma\,d\varepsilon = d\sigma\,(d\varepsilon_e + d\varepsilon_p) \ge 0$$. इसे ड्रकर स्थिरता स्वसिद्ध भी कहा जाता है और तनाव को कम करने वाले व्यवहार की संभावना को समाप्त करता है।

त्रि-आयामी प्लास्टिसिटी
उपरोक्त आवश्यकताओं को निम्नानुसार तीन आयामों में व्यक्त किया जा सकता है।
 * लोच हुक का नियम। रैखिक लोचदार शासन में चट्टान में तनाव और तनाव से संबंधित ,

\boldsymbol{\sigma} = \mathsf{C}:\boldsymbol{\varepsilon} $$
 * जहां कठोरता आव्यूह $$\mathsf{C}$$ स्थिर है


 * लोचदार सीमा को उपज सतह द्वारा परिभाषित किया जाता है, जो प्लास्टिक के तनाव पर निर्भर नहीं होता है और इसका रूप होता है।

f(\boldsymbol{\sigma}) = 0 \,. $$
 * लोचदार सीमा से हटकर यह तनाव कठोर चट्टानों के लिए, उपज की सतह बढ़ते प्लास्टिक के तनाव के साथ विकसित होती है और लोचदार सीमा में परिवर्तन होता है। विकसित उपज सतह का रूप है

f(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}_p) = 0 \,. $$
 * इसके लोड होने पर इस स्थिति के लिए भूविज्ञान $$d\sigma > 0$$ का अनुवाद करना सीधा नहीं है, तीन आयामों के लिए, विशेष रूप से रॉक प्लास्टिसिटी के लिए जो न केवल विचलित तनाव पर जबकि औसत तनाव पर भी निर्भर है। चूंकि, लोडिंग के पर्यन्त $$f \ge 0$$ और यह माना जाता है कि प्लास्टिक तनाव की दिशा उपज सतह के सामान्य सतह के समान है ($$\partial f/\partial\boldsymbol{\sigma}$$) ओर वो $$d\boldsymbol{\varepsilon}_p:d\boldsymbol{\sigma} \ge 0$$, अर्थात,

d\boldsymbol{\sigma}:\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\sigma}} \ge 0 \,. $$
 * उपरोक्त समीकरण, जब यह शून्य के बराबर है, तटस्थ लोडिंग की स्थिति को इंगित करता है जहां तनाव स्थिति उपज सतह के साथ प्लास्टिक के तनाव को बदले बिना चलता है।


 * अनलोडिंग: इसी प्रकार का तर्क किस स्थिति के लिए अनलोडिंग के लिए दिया जाता है $$ f < 0 $$, सामग्री लोचदार कार्यक्षेत्र में है, और

d\boldsymbol{\sigma}:\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\sigma}} < 0 \,. $$
 * तनाव अपघटन: लोचदार और प्लास्टिक भागों में तनाव के योगात्मक अपघटन को इस रूप में लिखा जा सकता है

d\boldsymbol{\varepsilon} = d\boldsymbol{\varepsilon}_e + d\boldsymbol{\varepsilon}_p \,. $$
 * स्थिरता अभिधारणा: स्थिरता अभिधारणा के रूप में व्यक्त की जाती है

d\boldsymbol{\sigma}:d\boldsymbol{\varepsilon} \ge 0 \,. $$

प्रवाह नियम
धातु प्लास्टिसिटी में, यह माना जाता है कि प्लास्टिक तनाव वृद्धि और डिवेटोरिक तनाव तानिका की ही प्रमुख दिशाएं होती हैं, जो प्रवाह नियम नामक संबंध में समझाया जाता है। रॉक प्लास्टिसिटी सिद्धांत भी इसी प्रकार की अवधारणा का उपयोग करते हैं, अतिरिक्त इसके कि उपज सतह के दबाव-निर्भरता की आवश्यकता के लिए उपरोक्त धारणा में छूट की आवश्यकता होती है। इसके अतिरिक्त, यह सामान्यतः माना जाता है कि प्लास्टिक तनाव वृद्धि और सामान्य से दबाव पर निर्भर उपज सतह की ही दिशा है, अर्थात,

d\boldsymbol{\varepsilon}_p = d\lambda\,\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\sigma}} $$ जहाँ $$d\lambda > 0$$ कठोर पैरामीटर है। प्रवाह नियम के इस रूप को संबद्ध प्रवाह नियम कहा जाता है और सह-दिशात्मकता की धारणा को सामान्य स्थिति (प्लास्टिसिटी) कहा जाता है। कार्यक्रम $$f$$ इसे प्लास्टिक क्षमता भी कहा जाता है।

जिसके लिए पूरी प्रकार से प्लास्टिक विकृतियों के लिए उपरोक्त प्रवाह नियम आसानी से उचित है $$d\boldsymbol{\sigma} = 0 $$ जब $$d\boldsymbol{\varepsilon}_p > 0$$, अर्थात, बढ़ती प्लास्टिक विरूपण के अनुसार उपज की सतह स्थिर रहती है। इसका तात्पर्य है कि लोचदार तनाव की वृद्धि भी शून्य है, $$d\boldsymbol{\varepsilon}_e = 0$$, हुक के नियम के कारण। इसलिए,

d\boldsymbol{\sigma}:\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\sigma}} = 0 \quad \text{and} \quad d\boldsymbol{\sigma}:d\boldsymbol{\varepsilon}_p = 0 \,. $$ इसलिए, उपज सतह के लिए सामान्य और प्लास्टिक तनाव तानिका दोनों तनाव तानिका के लंबवत हैं और उनकी ही दिशा होनी चाहिए।

तनाव कठोर सामग्री के लिए, उपज की सतह बढ़ते तनाव के साथ फैल सकती है। हम मानते हैं कि ड्रकर की दूसरी स्थिरता अभिधारणा है जिसमें कहा गया है कि अतिसूक्ष्म तनाव चक्र के लिए यह प्लास्टिक कार्य धनात्मक है, अर्थात,

d\boldsymbol{\sigma}: d\boldsymbol{\varepsilon}_p \ge 0 \,. $$ उपरोक्त मात्रा विशुद्ध रूप से लोचदार चक्रों के लिए शून्य के बराबर है। प्लास्टिक लोड-अनलोडिंग के चक्र पर किए गए कार्य की जांच का उपयोग संबंधित प्रवाह नियम की वैधता को सही रहने के लिए किया जा सकता है।

संगति की स्थिति
संवैधानिक समीकरणों के समूह को बंद करने और अज्ञात पैरामीटर को खत्म करने के लिए प्रेगर संगति की स्थिति आवश्यक है। $$d\lambda$$ समीकरणों की प्रणाली से संगति की स्थिति बताती है कि $$df = 0 $$ उपज पर क्योंकि $$ f(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{\varepsilon}_p) = 0 $$ और इसलिए

df = \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\sigma}}:d\boldsymbol{\sigma} + \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\varepsilon}_p}:d\boldsymbol{\varepsilon}_p = 0 \,. $$

बाहरी संबंध

 * Microstructures and deformation mechanisms