असतत कलन

असतत कलन या असतत फलनों की कलन वृद्धिशील परिवर्तन का गणितीय अध्ययन है। उसी प्रकार जैसे ज्यामिति आकार का अध्ययन है और बीजगणित अंकगणितीय फलनों के सामान्यीकरण का अध्ययन है। कैलकुलस शब्द एक लैटिन शब्द है। जिसका अर्थ मूल रूप से "छोटा कंकड़" होता है। चूंकि इस प्रकार के कंकड़ गणना के लिए उपयोग किए जाते थे। इस शब्द का अर्थ विकसित हुआ है और आज के समय सामान्यतः गणना की एक विधि का अर्थ है। इसके बीच कैलकुलस निरंतर परिवर्तन का अध्ययन है। जिसे मूल रूप से इनफिनिटिमल्स कैलकुलस या इनफिनिटिमल्स का कैलकुलस कहा जाता है।

असतत कलन के दो प्रवेश बिंदु होते हैं। जो निम्नलिखित हैं- डिफरेंशियल कलन और इंटीग्रल कलन। डिफरेंशियल कलन परिवर्तन की वृद्धिशील दरों और पीस-वाइज रैखिक वक्रों के ढलानों से संबंधित है। इंटीग्रल कलन मात्राओं के संचय और पीस-वाइज स्थिर वक्र के अनुसार क्षेत्रों से संबंधित होते हैं। असतत कलन के मौलिक प्रमेय द्वारा ये दो दृष्टिकोण एक दूसरे से संबंधित होते हैं।

परिवर्तन की अवधारणाओं का अध्ययन उनके असतत रूप से प्रारम्भ होता है। डेवलवमेन्ट एक पैरामीटर और $$\Delta x$$ वृद्धि स्वतंत्र चर पर निर्भर करता है। यदि हम ऐसा चुनते हैं। जिससे हम वृद्धि को अधिक छोटा कर सकते हैं और इन अवधारणाओं के निरंतर समकक्षों को निर्धारित रूप में प्राप्त कर सकते हैं। अनौपचारिक रूप से असतत कलन की निर्धारित रूप में $$\Delta x\to 0$$ अतिसूक्ष्म कलन है। तथापि यह कलन के असतत आधार के रूप में कार्य करता है। असतत कलन का मुख्य मूल्य अनुप्रयोगों में है।

दो प्रारंभिक निर्माण
असतत अवकल कलन किसी फलन के अंतर भागफल की परिभाषा, गुणों और अनुप्रयोगों का अध्ययन है। अंतर भागफल ज्ञात करने की प्रक्रिया को विभेदीकरण कहा जाता है। वास्तविक रेखा के कई बिंदुओं पर परिभाषित एक फलन को देखते हुए उस बिंदु पर अंतर भागफल फलन के छोटे-मापदंड (अर्थात् बिंदु से अगले तक) को एन्कोड करने का एक उपाय है। डोमेन में लगातार बिंदुओं की प्रत्येक जोड़ी पर एक फलन के अंतर भागफल को खोजने से नया फलन उत्पन्न करना संभव है। जिसे 'अंतर भागफल फलन' या मूल फलन का 'अंतर भागफल' कहा जाता है। औपचारिक शब्दों में अंतर भागफल एक रेखीय ऑपरेटर है। जो इसके इनपुट के रूप में फलन लेता है और इसके आउटपुट के रूप में दूसरा फलन उत्पन्न करता है। प्राथमिक बीजगणित में अध्ययन की गई विभिन्न प्रक्रियाओं की तुलना में यह अधिक अमूर्त है। जहां फलन सामान्यतः एक संख्या इनपुट करते हैं और दूसरी संख्या का उत्पादन करते हैं। उदाहरण के लिए यदि डबलिंग फलन को इनपुट तीन दिया जाता है। जिससे यह छह को आउटपुट करता है और यदि स्क्वेरिंग फलन को इनपुट तीन दिया जाता है। जिससे यह नौ को आउटपुट करता है। चूंकि डेरिवेटिव, स्क्वायरिंग फलन को इनपुट के रूप में प्राप्त कर सकते हैं। इसका तात्पर्य यह है कि व्युत्पन्न वर्ग फलन की सभी जानकारी प्राप्त करता है। जैसे कि दो को चार को भेजा जाता है, तीन को नौ को भेजा जाता है, चार को सोलह को भेजा जाता है और इसी प्रकार आगे की प्रक्रिया जारी रहती है और इस जानकारी का उपयोग दूसरे फलन को उत्पन्न करने के लिए करता है। स्क्वेरिंग फलन को अलग करने से उत्पन्न फलन डबलिंग फलन के कुछ पास हो जाता है।

माना कि फलनों को वृद्धि $$\Delta x=h>0$$ से अलग किए गए बिंदुओं पर परिभाषित किया गया है:
 * $$a, a+h, a+2h, \ldots, a+nh,\ldots$$

डबलिंग फलन $$g(x)=2x$$ द्वारा और स्क्वायरिंग फलन $$f(x)=x^2$$ द्वारा निरूपित किया जा सकता है। अंतर भागफल एक अंतराल $$[x,x+h]$$ पर फलन के परिवर्तन की दर है। जिसे निम्नलिखित सूत्र द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:
 * $$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

यह फलन $$f$$ एक इनपुट के रूप में ग्रहण करता है। वह सम्पूर्ण जानकारी है, जैसे कि दो को चार को भेजा जाता है, तीन को नौ को भेजा जाता है, चार को सोलह को भेजा जाता है और इसी प्रकार आगे की प्रक्रिया सक्रिय होती है और इस जानकारी का उपयोग दूसरे फलन $$g(x)=2x+h$$ को आउटपुट करने के लिए करता है। सुविधा की दृष्टि से नए फलन को उपरोक्त अंतरालों के मध्य बिंदुओं पर परिभाषित किया जा सकता है:
 * $$a+h/2, a+h+h/2, a+2h+h/2,..., a+nh+h/2,...$$

चूंकि परिवर्तन की दर पूरे अंतराल $$[x,x+h]$$ के लिए है। इसके अन्दर किसी भी बिंदु को इस प्रकार के संदर्भ के रूप में या इससे भी अच्छा सम्पूर्ण अंतराल का उपयोग किया जा सकता है। जो अंतर को भागफल $$1$$-कोचेन बनाता है।

अंतर भागफल के लिए सबसे सामान्य संकेतन होता है:
 * $$\frac{\Delta f}{\Delta x}(x+h/2)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

यदि फलन का इनपुट समय का प्रतिनिधित्व करता है। जिससे अंतर भागफल समय के संबंध में परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। उदाहरण के लिए यदि $$f$$ एक ऐसा फलन है। जो इनपुट के रूप में एक समय प्राप्त करता है और उस समय आउटपुट के रूप में एक गेंद की स्थिति प्रदान करता है। फिर अंतर भागफल $$f$$ समय के साथ स्थिति कैसे बदल रही है। यह गेंद के वेग को प्रदर्शित करता है।

यदि कोई फलन रेखीय फलन है (अर्थात यदि फलन के ग्राफ के बिंदु एक सीधी रेखा पर स्थित हैं)। जिससे फलन को $$y=mx + b$$ के रूप में लिखा जा सकता है। जहाँ $$x$$ स्वतंत्र चर है, $$y$$ निर्भर चर है, $$b$$ अवरोधन-$$y$$ है और:
 * $$m= \frac{\text{rise}}{\text{run}}= \frac{\text{change in } y}{\text{change in } x} = \frac{\Delta y}{\Delta x}.$$

यह एक सीधी रेखा के ढलान के लिए एक स्पष्ट मान देता है।

चूंकि यदि फलन रैखिक नहीं है। जिससे इसमें $$y$$ में परिवर्तन $$x$$ के परिवर्तन से भिन्न विभाजित होता है। अंतर भागफल इनपुट में परिवर्तन के संबंध में आउटपुट में परिवर्तन की धारणा को स्पष्ट अर्थ प्रदान करता है। ठोस होने के लिए माना $$f$$ एक फलन है और एक बिंदु $$x$$ के अधिकार क्षेत्र में $$f$$ निर्धारित करें। फलन के ग्राफ़ पर एक बिंदु $$(x, f(x))$$ है। यदि $$h$$,$$x$$ की वृद्धि है। तब $$x + h$$ का आने वाला अगला मान $$x$$ होगा। इसलिए $$(x+h, f(x+h))$$ की वृद्धि $$(x, f(x))$$ है। इन दो बिंदुओं के बीच की रेखा का ढलान निम्नलिखित है-
 * $$m = \frac{f(x+h) - f(x)}{(x+h) - x} = \frac{f(x+h) - f(x)}{h}.$$

इसलिए $$(x, f(x))$$ और $$(x+h, f(x+h))$$ के बीच की रेखा की ढाल $$m$$ है।

यहाँ स्क्वेरिंग फलन का एक विशेष उदाहरण अंतर भागफल है। माना कि $$f(x)=x^2$$ स्क्वायरिंग फलन हो। तब:
 * $$\begin{align}\frac{\Delta f}{\Delta x}(x) &={(x+h)^2 - x^2\over{h}} \\

&={x^2 + 2hx + h^2 - x^2\over{h}} \\ &={2hx + h^2\over{h}} \\ &= 2x + h. \end{align} $$ अंतर भागफल के अंतर भागफल को दूसरा अंतर भागफल कहा जाता है और इसे परिभाषित किया जाता है।
 * $$a+h, a+2h, a+3h, \ldots, a+nh,\ldots$$

और इसी प्रकार।

डिस्क्रीट इंटीग्रल कलन रीमैन योग की परिभाषाओं, गुणों और अनुप्रयोगों का अध्ययन है। राशि का मूल्य ज्ञात करने की प्रक्रिया को 'एकीकरण' कहा जाता है। प्रणाली की भाषा में इंटीग्रल कलन एक निश्चित लीनियर ऑपरेटर का अध्ययन करता है।

रिमैन सम एक फंक्शन को इनपुट करता है और एक फंक्शन को आउटपुट करता है, जो इनपुट के ग्राफ के हिस्से और X- अक्ष के बीच क्षेत्रों का बीजगणितीय योग देता है।

एक प्रेरक उदाहरण एक निश्चित समय में तय की गई दूरी है।
 * $$\text{distance} = \text{speed} \cdot \text{time}$$

यदि गति स्थिर है। जिससे केवल गुणन की आवश्यकता है। किन्तु यदि गति में परिवर्तन होता है। तो हम समय के कई छोटे अंतरालों में समय को विभाजित निश्चित की गई दूरी का मूल्यांकन करते हैं। फिर प्रत्येक अंतराल में बीतने वाले समय को उस अंतराल में गति से गुणा करते हैं और फिर प्रत्येक अंतराल में निर्धारित की गई दूरी का योग (रीमैन योग) प्राप्त किया जाता है।

जब वेग स्थिर होता है। तब दिए गए समय अंतराल में निर्धारित की गई कुल दूरी की गणना वेग और समय को गुणा करके की जा सकती है। उदाहरण के लिए 3 घंटे के लिए 50 मील प्रति घंटे की गति से यात्रा करने से कुल 150 मील की दूरी निर्धारित होती है। बाईं ओर के आरेख में, जब निरंतर वेग और समय का रेखांकन किया जाता है। जिससे ये दो मान एक आयत बनाते हैं। जिसकी ऊँचाई वेग के बराबर होती है और चौड़ाई बीता हुआ समय के बराबर होती है। इसलिए वेग और समय का गुणनफल भी (स्थिर) वेग वक्र के अंतर्गत आयताकार क्षेत्र की गणना करता है। एक वक्र के अनुसार क्षेत्र और निर्धारित की गई दूरी के बीच के इस संबंध को किसी भी अनियमित आकार के क्षेत्र में विस्तारित किया जा सकता है। जो एक निश्चित समय अवधि में वृद्धिशील रूप से भिन्न वेग प्रदर्शित करता है। यदि दाईं ओर आरेख में बार गति का प्रतिनिधित्व करते हैं क्योंकि यह अंतराल से अगले तक भिन्न होता है। तो निर्धारित की गई दूरी (द्वारा दर्शाए गए समय के बीच) $$a$$ और $$b$$ छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल $$s$$ प्राप्त होता है।

तो $$a$$ और $$b$$ बीच का अंतराल कई समान खंडों में बांटा गया है। प्रत्येक खंड $$\Delta x$$ की लंबाई प्रतीक द्वारा दर्शायी जाती है। प्रत्येक छोटे खंड के लिए हमारे पास फलन का एक मान $$f(x)$$ होता है। उस मूल्य $$v$$ को निर्धारित करते हैं। फिर आधार के साथ आयत का क्षेत्रफल $$\Delta x$$ और ऊंचाई $$v$$ उस सेगमेंट में गति प्रदान करता है (समय $$\Delta x$$ गति से गुणा $$v$$)। प्रत्येक खंड के साथ संबद्ध इसके ऊपर के फलन $$f(x) = v$$ का मान है। ऐसे सभी आयतों का योग अक्ष और पीस-वाइज स्थिर वक्र के बीच का क्षेत्र प्रदान करता है, जो कि निर्धारित की गई कुल दूरी है।

माना कि एक फलन समान लंबाई $$\Delta x=h>0$$ के अंतरालों के मध्य-बिंदुओं पर परिभाषित है:
 * $$a+h/2, a+h+h/2, a+2h+h/2,\ldots, a+nh-h/2,\ldots$$

फिर रीमैन योग से $$a$$ को $$b=a+nh$$ सिग्मा संकेतन में है:
 * $$\sum_{i=1}^n f(a+ih)\, \Delta x.$$

चूंकि यह गणना प्रत्येक $$n$$ के लिए की जाती है। नया फलन बिंदुओं पर परिभाषित किया गया है:
 * $$a, a+h, a+2h, \ldots, a+nh,\ldots$$

कलन की मूलभूत प्रमेय में कहा गया है कि विभेदीकरण और एकीकरण व्युत्क्रम संक्रियाएँ हैं। अधिक स्पष्ट रूप से यह अंतर भागफलों को रीमैन योग से संबंधित करता है। इसकी व्याख्या इस तथ्य के स्पष्ट कथन के रूप में भी की जा सकती है कि विभेदीकरण एकीकरण का पूर्णतयः व्युत्क्रम है।

कैलकुलस का मूलभूत प्रमेय: यदि कोई फलन $$f$$ अंतराल $$[a, b]$$, $$b=a+nh$$ के एक विभाजन पर परिभाषित किया गया है और यदि $$F$$ एक ऐसा फलन है। जिसका अंतर भागफल $$f$$ है। जिससे हमारे पास हैं:
 * $$\sum_{i=0}^{n-1} f(a+ih+h/2)\, \Delta x = F(b) - F(a).$$

इसके अतिरिक्त प्रत्येक $m=0,1,2,\ldots,n-1$ के लिए अपने पास है:
 * $$\frac{\Delta}{\Delta x}\sum_{i=0}^m f(a+ih+h/2)\, \Delta x = f(a+mh+h/2).$$

यह अंतर समीकरण का एक प्रोटोटाइप समाधान भी है। अंतर समीकरण एक अज्ञात फलन को उसके अंतर या अंतर भागफल से संबंधित करते हैं और विज्ञान में सार्वभौमिक हैं।

इतिहास
असतत कलन का प्रारंभिक इतिहास कलन का इतिहास है। इस प्रकार के मूलभूत विचार अंतर भागफल और रीमैन योग परिभाषाओं और प्रमाणों में स्पष्ट रूप से प्रतीत होते हैं। चूंकी सीमा निर्धारित हो जाने के बाद उन्हें दूसरी बार कभी नहीं देख सकते है। चूंकि किरचॉफ के वोल्टेज नियम (1847) को एक आयामी असतत संवृत व्युत्पन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

20वीं सदी के समय असतत कलन इनफिनिटिमल कलन के साथ जुड़ा रहता है, विशेष रूप से डिफरेंशियल रूप इसके साथ जुड़ा रहता है। किन्तु समय के साथ दोनों विकसित होते हैं, बीजगणितीय टोपोलॉजी से भी आकर्षित होना प्रारम्भ हो जाता है। इसमेंं प्रमुख योगदान देने वाले व्यक्ति निम्नलिखित है:
 * हेनरी पॉइनकेयर: त्रिकोणासन (बैरीसेंट्रिक उपखंड, दोहरा ग्राफ), पॉइंकेयर की लेम्मा, सामान्य स्टोक्स प्रमेय का प्रथम प्रमाण और भी बहुत कुछ इसमें सम्मिलित हैं।
 * ल. ई. जे. ब्रौवर: सरल सन्निकटन प्रमेय
 * एली कार्टन, जार्ज डी रहम: अंतर रूप की धारणा एक समन्वय-स्वतंत्र रैखिक ऑपरेटर के रूप में बाहरी व्युत्पन्न, रूपों की स्पष्टता / निकटता
 * एमी नोथेर, हेंज हॉफ, लियोपोल्ड विटोरिस, वाल्थर मेयर: श्रृंखलाओं की प्रतिरूपकता, सीमा संचालक, श्रृंखला परिसर
 * जेम्स वैडेल अलेक्जेंडर, सोलोमन लेफशेट्ज़, लेव पोंट्रीगिन, एंड्री कोलमोगोरोव, नॉर्मन स्टीनरोड, एडुआर्ड चेक: प्रारंभिक कोचेन धारणाएं
 * हरमन वेइल: किरचॉफ नियम सीमा और सह-सीमा संचालकों के संदर्भ में बताए गए हैं।
 * डब्ल्यू वी डी हॉज: हॉज स्टार ऑपरेटर, हॉज अपघटन
 * सैमुअल एलेनबर्ग, सॉन्डर्स मैक लेन, नॉर्मन स्टीनरोड, जे.एच.सी. व्हाइटहेड: श्रृंखला और कोचेन कॉम्प्लेक्स, कप उत्पाद सहित सह-समरूपता (गणित) और कोहोलॉजी सिद्धांत का कठोर विकास
 * हस्लर व्हिटनी: कोहोलॉजी इंटिग्रैंड्स के रूप में

व्हिटनी से प्रारम्भ होकर असतत कलन का वर्तमान विकास संख्यात्मक आंशिक अंतर समीकरणों की आवश्यकताओं से प्रेरित है।

अनुप्रयोग
असतत कलन का उपयोग भौतिक विज्ञान, बीमांकिक विज्ञान, कंप्यूटर विज्ञान, सांख्यिकी, इंजीनियरिंग, अर्थशास्त्र, व्यवसाय, चिकित्सा, जनसांख्यिकी और अन्य क्षेत्रों की प्रत्येक शाखा में प्रत्यक्ष या अप्रत्यक्ष रूप से मॉडलिंग के लिए जहाँ कहीं भी समस्या हो सकती है, वहाँ पर इसका प्रयोग किया जाता है। गणितीय रूप से प्रारूपित करें। यह किसी को परिवर्तन की (अस्थिर) दरों से कुल परिवर्तन या इसके विपरीत जाने की अनुमति देता है और कई बार एक समस्या का अध्ययन करने में हम एक को जानते हैं और दूसरे को खोजने का प्रयत्न कर रहे होते हैं।

भौतिकी कलन का विशेष उपयोग करती है। जैसे शास्त्रीय यांत्रिकी और विद्युत चुंबकत्व में सभी असतत अवधारणाएँ असतत कलन के माध्यम से संबंधित हैं। ज्ञात घनत्व की एक वस्तु का द्रव्यमान जो वृद्धिशील रूप से भिन्न होता है, ऐसी वस्तुओं की जड़ता का क्षण साथ ही असतत कलन क्षेत्र के अन्दर किसी वस्तु की कुल ऊर्जा असतत कलन के उपयोग से पाई जा सकती है। यांत्रिकी में असतत कलन के उपयोग का एक उदाहरण न्यूटन के गति के नियम हैं। न्यूटन का गति का दूसरा नियम: ऐतिहासिक रूप से कहा गया है कि यह स्पष्ट रूप से गति के परिवर्तन शब्द का उपयोग करता है। जिसका अर्थ है अंतर भागफल यह कहना कि किसी पिंड के संवेग में परिवर्तन पिंड पर कार्य करने वाले परिणामी बल के बराबर होता है और उसी दिशा में होता है। सामान्यतः आज बल = द्रव्यमान × त्वरण के रूप में व्यक्त किया जाता है। जब परिवर्तन वृद्धिशील होता है। जिससे असतत कलन को सामान्यंत्रित करता है क्योंकि त्वरण समय के संबंध में वेग का अंतर भागफल या स्थानिक स्थिति का दूसरा अंतर भागफल है। किसी वस्तु का त्वरण कैसे हो रहा है। यह जानने से प्रारम्भ करते हुए हम इसका पथ निकालने के लिए रिमेंन योग का उपयोग करते हैं।

मैक्सवेल का विद्युत चुंबकत्व का सिद्धांत और अल्बर्ट आइंस्टीन का सामान्य सापेक्षता का सिद्धांत असतत कलन की भाषा में व्यक्त किया गया है।

रसायन विज्ञान प्रतिक्रिया दर और रेडियोधर्मी क्षय (घातीय क्षय) निर्धारित करने में कलन का उपयोग करता है।

जीव विज्ञान में जनसंख्या गतिशीलता मॉडल जनसंख्या परिवर्तन (जनसंख्या मॉडलिंग) के लिए प्रजनन और मृत्यु दर से प्रारम्भ होती है।

इंजीनियरिंग में शून्य गुरुत्वाकर्षण वातावरण के अन्दर एक अंतरिक्ष यान के पाठ्यक्रम को प्रारम्भ करने के लिए हीट हस्तांतरण, प्रसार और तरंग प्रसार के मॉडल के लिए अंतर समीकरणों का उपयोग किया जाता है।

ग्रीन के प्रमेय के असतत एनालॉग को प्लैनीमीटर के रूप में जाने वाले उपकरण में संचालित किया जाता है। जिसका उपयोग ड्राइंग पर एक प्लेन सतह के क्षेत्र की गणना करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए संपत्ति के एक टुकड़े के लेआउट को डिजाइन करते समय अनियमित आकार के फूलों के बिस्तर या स्विमिंग पूल द्वारा उठाए गए क्षेत्र की मात्रा की गणना करने के लिए इसका उपयोग किया जा सकता है। इसका उपयोग छवियों में आयताकार डोमेन की कुशलता से गणना करने, सुविधाओं को तेजी से निकालने और वस्तु का पता लगाने के लिए किया जा सकता है। जिसका उपयोग किया जा सकता है। वह एक अन्य एल्गोरिथ्म सारांशित क्षेत्र तालिका है।

दवा के क्षेत्र में रक्त वाहिका के अधिकतं शाखाओं के कोण को खोजने के लिए कलन का उपयोग किया जा सकता है। जिससे प्रवाह को अधिकतम किया जा सके। शरीर से किसी विशेष दवा के उन्मूलन के लिए क्षय नियमों से इसका उपयोग नियमित दवा नियमों को प्राप्त करने के लिए किया जाता है। परमाणु चिकित्सा में लक्षित ट्यूमर उपचारों में विकिरण परिवहन के मॉडल बनाने के लिए इसका उपयोग किया जाता है।

अर्थशास्त्र में कैलकुस सीमांत व्यय और सीमांत राजस्व, साथ ही बाजारों के मॉडलिंग दोनों की गणना करके अधिकतम लाभ के निर्धारण की अनुमति देता है।

असतत कलन का उपयोग अन्य गणितीय विषयों के संयोजन में किया जा सकता है। उदाहरण के लिए एक अनुमानित घनत्व फलन से असतत यादृच्छिक चर की संभावना निर्धारित करने के लिए संभाव्यता सिद्धांत में इसका उपयोग किया जा सकता है।

अंतर और योग की गणना
माना कि एक फलन ($$0$$-कोचेन) $$f$$ वृद्धि $$\Delta x=h>0$$ द्वारा विभाजित किए गए बिंदुओं पर परिभाषित किया गया है:
 * $$a, a+h, a+2h, \ldots, a+nh,\ldots$$

फलन का अंतर (या संवृत व्युत्पन्न या कोबाउंडरी ऑपरेटर) द्वारा दिया गया है:
 * $$\big(\Delta f\big)\big([x,x+h]\big)=f(x+h)-f(x).$$

इसे उपरोक्त प्रत्येक अंतराल पर परिभाषित किया गया है। यह एक $$1$$-कोचेन है।

माना कि $$1$$-कोचेन $$g$$ उपरोक्त प्रत्येक अंतराल पर परिभाषित किया गया है। फिर इसका योग एक फलन ($$0$$-cochain) द्वारा प्रत्येक बिंदु पर परिभाषित है:
 * $$\left(\sum g\right)\!(a+nh) = \sum_{i=1}^{n} g\big([a+(i-1)h,a+ih]\big).$$

ये इनके गुण हैं: $$\Delta c = 0$$
 * निरंतर नियम : यदि $$c$$ एक स्थिर (गणित) है। फिर

विभेदन की रैखिकता: यदि $$a$$ और $$b$$ स्थिर हैं (गणित),
 * $$\Delta (a f + b g) = a \,\Delta f + b \,\Delta g,\quad \sum (a f + b g) = a \,\sum f + b \,\sum g$$
 * प्रॉडक्ट नियम:

$$ \Delta (f g) = f \,\Delta g + g \,\Delta f + \Delta f \,\Delta g $$ $$ \left( \sum \Delta f\right)\!(a+nh) = f(a+nh)-f(a) $$
 * कलन I का मौलिक प्रमेय:


 * कलन II का मौलिक प्रमेय:
 * $$ \Delta\!\left(\sum g\right) = g $$ परिभाषाएँ ग्राफ (असतत गणित) पर निम्नानुसार निर्धारित होती हैं। यदि कोई फलन ($$0$$-कोचेन) $$f$$ एक ग्राफ के नोड्स पर परिभाषित किया गया है:

$$a, b, c, \ldots $$

जिससे इसका संवृत व्युत्पन्न अंतर है। अर्थात निम्नलिखित फलन को ग्राफ ($$1$$-कोचेन) के किनारों पर परिभाषित किया गया है:
 * $$\left(df\right)\!\big([a,b]\big) = f(b)-f(a).$$

यदि $$g$$ एक $$1$$-कोचेन है। फिर किनारों के अनुक्रम पर इसका अभिन्न अंग $$\sigma$$ ग्राफ़ के सभी किनारों पर इसके मानों का योग है $$\sigma$$ (पथ अभिन्न):
 * $$\int_\sigma g = \sum_{\sigma} g\big([a,b]\big).$$

ये इसके निम्नलिखित गुण हैं: $$dc = 0$$
 * निरंतर नियम : यदि $$c$$ एक स्थिर (गणित) है, फिर


 * रैखिकता: यदि $$a$$ और $$b$$ स्थिर हैं (गणित),

$$d(a f + b g) = a \,df + b \,dg,\quad \int_\sigma (a f + b g) = a \,\int_\sigma f + b \,\int_\sigma g$$


 * प्रॉडक्ट नियम:

$$d(f g) = f \,dg + g \,df + df \,dg$$


 * कैलकुलस I का मौलिक प्रमेय: यदि $$1$$-चेन $$\sigma$$ किनारों $$[a_0,a_1],[a_1,a_2],...,[a_{n-1},a_n]$$ से मिलकर बनता है। फिर किसी के लिए $$0$$-कोचेन $$f$$-

$$\int_\sigma df = f(a_n)-f(a_0)$$


 * कैलकुलस II का मौलिक प्रमेय: यदि ग्राफ एक पेड़ (डेटा संरचना) है, $$g$$ एक $$1$$-कोचेन है और एक फलम ($$0$$-कोचेन) द्वारा ग्राफ के नोड्स पर परिभाषित किया गया है-
 * $$f(x) = \int_\sigma g$$ जहाँ एक $$1$$-चेन $$\sigma$$ के कुछ निश्चित के लिए $$a_0$$ $$[a_0,a_1],[a_1,a_2],...,[a_{n-1},x]$$ होते हैं। तब-
 * $$df = g$$ संदर्भ देखें।

सिंपलिस और क्यूब्स की चेन
एक साधारण परिसर $$S$$ सिंप्लेक्स का एक समुच्चय है। जो निम्नलिखित नियमों को पूरा करता है:
 * 1. प्रत्येक संकेतन सिंप्लेक्स $$S$$ के तत्व $$S$$ में भी है।
 * 2. किसी भी दो सरलताओं का भरा हुआ समुच्चय चौराहा $$\sigma_1, \sigma_2 \in S$$ दोनों का फेस $$\sigma_1$$ और $$\sigma_2$$ है।

परिभाषा के अनुसार k-सिम्प्लेक्स की ओरिएन्टेड वर्टिकल के ऑर्डर द्वारा दी जाती है। जिसे $$(v_0,...,v_k)$$ लिखा जाता है। इस नियम के साथ कि दो क्रम एक ही अभिविन्यास को परिभाषित करते हैं। यदि और केवल यदि वे एक समान क्रमचय से भिन्न होते हैं। इस प्रकार प्रत्येक सिम्प्लेक्स में बिल्कुल दो ओरिएंटेशन होते हैं और दो कोने के क्रम को बदलने से एक ओरिएंटेशन विपरीत ओरिएंटेशन में बदल जाता है। उदाहरण के लिए दो संभावित दिशाओं में से किसी एक को चुनने के लिए 1-सिम्प्लेक्स राशियों का ओरिएंटेशन चुनना और 2-सिम्प्लेक्स राशियों का ओरिएंटेशन चुनने के लिए यह चुनना कि वामावर्त का क्या अर्थ होना चाहिए।

माना कि $$S$$ एक साधारण कॉम्प्लेक्स है। एक साधारण k-चेन एक परिमित औपचारिक योग है
 * $$\sum_{i=1}^N c_i \sigma_i, \,$$

जहां प्रत्येक ci एक पूर्णांक और σ एक ओरिएन्टेड k-सिम्प्लेक्स है। इस परिभाषा में हम घोषणा करते हैं कि प्रत्येक ओरिएंटेड सिम्प्लेक्स विपरीत ओरिएंटेशन वाले सिम्प्लेक्स के नेगेटिव के बराबर है। उदाहरण के लिए,
 * $$ (v_0,v_1) = -(v_1,v_0).$$

$$S$$ पर k-श्रृंखलाओं का सदिश स्थान $$C_k$$ लिखा हुआ है। इसमें k-सिम्प्लेक्स के समुच्चय के साथ पत्राचार में इसका आधार $$S$$ है। एक आधार को स्पष्ट रूप से परिभाषित करने के लिए प्रत्येक सिम्प्लेक्स का एक ओरिएंटेशन चुनना होगा। ऐसा करने का एक मानक उपाय यह है कि सभी शीर्षों के क्रम का चयन किया जाए और प्रत्येक सिम्प्लेक्स को उसके शीर्षों के प्रेरित क्रम के अनुरूप अभिविन्यास दिया जाए।

माना कि $$\sigma = (v_0,...,v_k)$$ एक ओरिएन्टेड k-सिम्प्लेक्स का निर्माण हो। जिसे $$C_k$$ के आधार तत्व के रूप में देखा जाता है। सीमा संचालक-
 * $$\partial_k: C_k \rightarrow C_{k-1}$$

द्वारा परिभाषित रैखिक ऑपरेटर है।
 * $$\partial_k(\sigma)=\sum_{i=0}^k (-1)^i (v_0, \dots , \widehat{v_i} , \dots ,v_k),$$

जहां ओरिएंटेड सिंप्लेक्स
 * $$(v_0, \dots , \widehat{v_i} , \dots ,v_k)$$

$$i$$वें शीर्ष हटाकर $$\sigma$$ का $$i$$ फेस प्राप्त किया गया है।

$$C_k$$ में उपसमूह के तत्व-
 * $$Z_k = \ker \partial_k$$

चक्रों और उपसमूह के रूप में जाना जाता है।
 * $$B_k = \operatorname{im} \partial_{k+1}$$

सीमाओं से परिपूर्ण बताया गया है।

प्रत्यक्ष गणना $$\partial^2= 0$$ से पता चलता है। ज्यामितीय शब्दों में यह कहता है कि किसी भी वस्तु की सीमा की कोई निर्धारित सीमा नहीं होती है। समान रूप से वेक्टर रिक्त स्थान $$(C_k, \partial_k)$$ एक चेन कॉम्प्लेक्स बनाएं। एक अन्य समतुल्य कथन है। जो कि $$B_k$$, $$Z_k$$में निहित है.

एक क्यूबिकल कॉम्प्लेक्स बिंदुओं, रेखा खंडों, वर्गों, क्यूब्स और उनके n-डायमेंशनल समकक्षों से बना एक समुच्चय है। उनका उपयोग कॉम्प्लेक्स बनाने के लिए सरलता के अनुरूप किया जाता है। एक प्राथमिक अंतराल एक उपसमुच्चय $$I\subset\mathbf{R}$$ फार्म का है।
 * $$I = [\ell, \ell+1]\quad\text{or}\quad I=[\ell, \ell]$$

कुछ $$\ell\in\mathbf{Z}$$ के लिए एक प्राथमिक घन $$Q$$ प्रारंभिक अंतराल का परिमित उत्पाद है। अर्थात
 * $$Q=I_1\times I_2\times \cdots\times I_d\subset \mathbf{R}^d$$

जहाँ $$I_1,I_2,\ldots,I_d$$ प्रारंभिक अंतराल हैं। समतुल्य रूप से एक प्रारंभिक घन इकाई घन $$[0,1]^n$$ का कोई भी अनुवाद यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एम्बेडिंग $$\mathbf{R}^d$$ (कुछ के लिए $$n,d\in\mathbf{N}\cup\{0\}$$ साथ $$n\leq d$$) है। एक समुच्चय $$X\subseteq\mathbf{R}^d$$ एक क्यूबिकल कॉम्प्लेक्स है। यदि इसे प्राथमिक क्यूब्स के समूह के रूप में लिखा जा सकता है (या संभवतः ऐसे समुच्चय के लिए होमियोमोर्फिज्म है) और इसमें इसके सभी क्यूब्स के सभी फेस सम्मिलित हैं। बाउंड्री ऑपरेटर और चेन कॉम्प्लेक्स को सरलीकृत कॉम्प्लेक्स के समान ही परिभाषित किया गया है।

अधिक सामान्य कोशिका परिसर हैं।

एक चेन कॉम्प्लेक्स $$(C_*, \partial_*)$$ वेक्टर रिक्त स्थान $$\ldots,C_0, C_1, C_2, C_3, C_4, \ldots$$ का अनुक्रम रैखिक ऑपरेटरों द्वारा जुड़ा हुआ है। जिसे लिमिट ऑपरेटर $$\partial_n : C_n \to C_{n-1}$$ कहा जाता है। जैसे कि किन्हीं भी दो क्रमिक मानचित्रों की रचना शून्य मानचित्र है। स्पष्ट रूप से लिमिट संचालक $$\partial_n \circ \partial_{n+1} = 0$$ या दबे हुए सूचकांकों के साथ $$\partial^2 = 0$$ संतुष्ट हैं। कॉम्प्लेक्स को निम्नानुसार लिखा जा सकता है।

\cdots \xleftarrow{\partial_0} C_0 \xleftarrow{\partial_1} C_1 \xleftarrow{\partial_2} C_2 \xleftarrow{\partial_3} C_3 \xleftarrow{\partial_4} C_4 \xleftarrow{\partial_5} \cdots $$ एक सरलीकृत मानचित्र सरलीकृत परिसरों के बीच एक गुण के साथ एक मानचित्र है कि एक सिंप्लेक्स के कोने की छवियां सदैव एक सिंप्लेक्स को फैलाती हैं (इसलिए कोने में छवियों के लिए कोने होते हैं)। एक साधारण मानचित्र $$f$$ एक साधारण परिसर से $$S$$ दूसरे करने के लिए $$T$$ के वर्टेक्स सेट से एक फलन $$S$$ के शीर्ष समुच्चय के लिए $$T$$ ऐसा है कि प्रत्येक सिंप्लेक्स की छवि में $$S$$ (कोने के एक सेट के रूप में देखा गया) एक सिंप्लेक्स $$T$$ है। यह एक रेखीय मानचित्र बनाता है। जिसे श्रृंखला मानचित्र श्रृंखला परिसर $$S$$ से श्रृंखला परिसर $$T$$ के लिए कहा जाता है। $$k$$-चेन द्वारा स्पष्ट रूप से यह दिया जाता है। $$f((v_0, \ldots, v_k)) = (f(v_0),\ldots,f(v_k))$$

यदि $$f(v_0), ..., f(v_k)$$ सभी अलग हैं और अन्यथा इसे $$0$$ के बराबर निर्धारित किया गया है।

एक श्रृंखला का मानचित्र $$f$$ दो श्रृंखला परिसरों के बीच $$(A_*, d_{A,*})$$ और $$(B_*, d_{B,*})$$ एक क्रम $$f_*$$ है। समरूपता का $$f_n : A_n \rightarrow B_n$$ प्रत्येक $$n$$ के लिए जो दो श्रृंखला परिसरों पर सीमा संचालकों के साथ संचार करता है। इसलिए $$ d_{B,n} \circ f_n = f_{n-1} \circ d_{A,n}$$ यह निम्नलिखित क्रमविनिमेय आरेख में लिखा गया है:
 * Chain map.svgएक श्रृंखला मानचित्र चक्रों को चक्रों और सीमाओं को सीमाओं में भेजता है।

संदर्भ देखें।

असतत अंतर रूप: कोचेन्स
प्रत्येक सदिश समष्टि के लिए Ci चेन परिसर में हम इसके दोहरे स्थान $$C_i^* := \mathrm{Hom}(C_i,{\bf R}),$$ और $$d^i=\partial^*_i$$ एक रैखिक मानचित्र का स्थानांतरण पर विचार करते हैं।
 * $$d^{i-1}: C_{i-1}^* \to C_{i}^*.$$

यह एक कोचेन कॉम्प्लेक्स को छोड़कर मूल परिसर के सभी तीरों को पलटने का प्रभाव है-
 * $$\cdots \leftarrow C_{i+1}^* \stackrel{\partial^*_i}{\leftarrow}\ C_{i}^* \stackrel{\partial^*_{i-1}}{\leftarrow} C_{i-1}^* \leftarrow \cdots $$

कोचेन कॉम्प्लेक्स $$(C^*, d^*)$$ एक श्रृंखला परिसर के लिए दोहरी (श्रेणी सिद्धांत) धारणा है। इसमें वेक्टर रिक्त स्थान $$...,C_0, C_1, C_2, C_3, C_4, ...$$ का अनुक्रम होता है। जो रैखिक ऑपरेटरों $$d^n: C^n\to C^{n+1}$$ द्वारा जुड़ा हुआ है। जिसको $$d^{n+1}\circ d^n = 0$$ संतुष्ट करता है। कोचेन कॉम्प्लेक्स को चेन कॉम्प्लेक्स के समान ही लिखा जा सकता है।

\cdots \xrightarrow{d^{-1}} C^0 \xrightarrow{d^0} C^1 \xrightarrow{d^1} C^2 \xrightarrow{d^2} C^3 \xrightarrow{d^3} C^4 \xrightarrow{d^4} \cdots $$ अनुक्रमणिका $$n$$ में या तो $$C_n$$ या $$C^n$$ डिग्री (या आयाम) के रूप में प्राप्त कर सकते हैे। चेन और कोचेन कॉम्प्लेक्स के बीच अंतर यह है कि चेन कॉम्प्लेक्स में डिफरेंशियल डायमेंशन को कम करते हैं। जबकि कोचेन कॉम्प्लेक्स में वे डायमेंशन को निरंतर बढ़ाते हैं। एक (सह) श्रृंखला परिसर के विभिन्न प्रकार के वेक्टर रिक्त स्थान के तत्वों को कोचेन्स कहा जाता है। $$d$$ के कर्नेल (रैखिक बीजगणित) में तत्व को कोसाइकल्स (या संवृत तत्व) कहा जाता है और d की छवि (गणित) में तत्व कोबाउंडरी (या स्पष्ट तत्व) कहा जाता है। अंतर की परिभाषा से ही, सभी सीमाएँ चक्र हैं।

पोंकारे लेम्मा यह प्रदर्शित करता है कि यदि $${\bf R}^n$$ में एक विवृत गेंद $$B$$ है। कोई बंद $$p$$-प्रपत्र $$\omega$$ पर परिभाषित $$B$$ स्पष्ट है। किसी भी पूर्णांक $$p$$ के लिए $$1 \le p\le n$$ साथ स्थित है।

जब हम कोचेन को डिस्क्रीट (डिफरेंशियल) रूपों के रूप में संदर्भित करते हैं। जिससे हम $$d$$ बाहरी व्युत्पन्न के रूप में संदर्भित करते हैं। हम फार्म के वैल्यू के लिए कलन संकेतन का भी उपयोग करते हैं:
 * $$\omega (s)=\int_s\omega.$$

स्टोक्स प्रमेय कई गुना पर असतत अंतर रूपों के विषय में जानकारी प्राप्त हुई है। जो एक अंतराल के विभाजन के लिए असतत कलन के मौलिक प्रमेय को सामान्य प्रदर्शित करता है:
 * $$\sum_{i=0}^{n-1} \frac{\Delta F}{\Delta x}(a+ih+h/2) \, \Delta x = F(b) - F(a).$$

स्टोक्स की प्रमेय के अनुसार एक रूप $$\omega$$ का योग कुछ ओरिएंटेशन (वेक्टर स्पेस) के कई गुना की सीमा $$\Omega$$ पर अभिविन्यास $$d\omega$$ पूरे में $$\Omega$$ इसके बाहरी व्युत्पन्न के योग के बराबर है, अर्थात-
 * $$\int_\Omega d\omega=\int_{\partial \Omega}\omega\,.$$

$$d=2$$ आयाम के लिए एक उदाहरण पर विचार करके अंतर्निहित सिद्धांत की जांच करना सार्थक है।आवश्यक विचार को बाईं ओर आरेख द्वारा समझा जा सकता है। जो यह दर्शाता है कि कई गुना ओरिएन्टेड टाइलिंग में आंतरिक पथ विपरीत दिशाओं में चलते हैं। पथ अभिन्न में उत्तराधिकारी का योगदान इस प्रकार एक दूसरे को जोड़ो में नष्ट कर देता है। परिणाम स्वरूप केवल लिमिट से योगदान रहता है।

संदर्भ देखें।

फार्म का वेज उत्पाद
असतत कलन में यह एक ऐसा निर्माण है, जो उच्च क्रम के रूपों से बनाता है। डिग्री के दो कोचेन से लगे हुए $$p$$ और $$q$$ डिग्री का एक समग्र कोचेन $$p + q$$ बनाने के लिए उचित है।

क्यूबिकल कॉम्प्लेक्स के लिए वेज उत्पाद को उसी आयाम के वेक्टर स्पेस के रूप में देखे जाने वाले प्रत्येक क्यूब पर परिभाषित किया गया है।

साधारण परिसरों के लिए, वेज उत्पाद को कप उत्पाद के रूप में संचालित किया जाता है। यदि $$f^p$$ एक $$p$$-कोचेन है और $$g^q$$ एक $$q$$-कोचेन है। फिर-
 * $$(f^p \smile g^q)(\sigma) = f^p(\sigma_{0,1, ..., p}) \cdot g^q(\sigma_{p, p+1 ,..., p + q})$$

जहाँ $$\sigma$$ एक $$(p + q)$$ -सिम्प्लेक्स और $$\sigma_S,\ S \subset \{0,1,...,p+q \}$$ है।

सिंप्लेक्स $$S$$ में $$(p+q)$$-सिम्प्लेक्स द्वारा फैलाया गया है। जिसका वर्टिकल $$\{0,...,p+q \}$$ द्वारा अनुक्रमित किया जाता है। इसलिए $$\sigma$$ का क्रमश $$p$$-वाँ सामने का चेहरा $$\sigma_{0,1, ..., p}$$ और $$q$$-वाँ पिछला चेहरा $$\sigma_{p, p+1, ..., p + q}$$ है।

कोचेन के कप उत्पाद की सीमा $$f^p$$ और $$g^q$$ द्वारा दिया गया है
 * $$d(f^p \smile g^q) = d{f^p} \smile g^q + (-1)^p(f^p \smile d{g^q}).$$

दो कोसायकल का कप उत्पाद पुनः एक कोसायकल है और एक कोसायकल के साथ एक कोबाउंड्री का उत्पाद (किसी भी क्रम में) एक कोबाउंड्री होता है।

कप उत्पाद संचालन पहचान को संतुष्ट करता है।
 * $$\alpha^p \smile \beta^q = (-1)^{pq}(\beta^q \smile \alpha^p).$$

दूसरे शब्दों में संबंधित गुणन सुपरकम्यूटेटिव बीजगणित है |

संदर्भ देखें।

लाप्लास ऑपरेटर
फलन $$f$$ का लाप्लास ऑपरेटर $$\Delta f$$ एक शीर्ष $$p$$ पर (एक कारक तक) वह दर है, जिस पर औसत मूल्य $$f$$ के एक सेलुलर निकटता $$p$$ पर $$f(p)$$ से विचलित होता है। लाप्लास ऑपरेटर किसी फलन के ढाल प्रवाह के प्रवाह घनत्व का प्रतिनिधित्व करता है। उदाहरण के लिए शुद्ध दर जिस पर किसी द्रव में घुला हुआ रसायन किसी बिंदु की ओर या उससे दूर जाता है, उस बिंदु पर रासायनिक सांद्रता के लाप्लास ऑपरेटर के समानुपाती होता है। प्रतीकात्मक रूप से व्यक्त परिणामी समीकरण प्रसार समीकरण है। इन कारणों से विभिन्न भौतिक घटनाओं के मॉडलिंग के लिए विज्ञान में इसका व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

कोड डिफरेंशियल-
 * $$\delta:C^k\to C^{k-1}$$

पर $$k$$-द्वारा परिभाषित एक ऑपरेटर है:
 * $$\delta = (-1)^{n(k-1) + 1} {\star} d {\star} = (-1)^{k}\, {\star}^{-1} d {\star} ,$$

जहाँ $$d$$ बाहरी व्युत्पन्न या अंतर है और $$\star$$ हॉज स्टार ऑपरेटर है।

स्टोक्स के प्रमेय के अनुसार कोडिफ़रेंशियल बाहरी डेरिवेटिव का हर्मिटियन सहायक है:
 * $$ (\eta,\delta \zeta) = (d\eta,\zeta). $$

चूंकि $$d^2=0$$ अंतर संतुष्ट करता है। कोडिफ़रेंशियल में संबंधित गुण होती है
 * $$\delta^2 = {\star} d {\star} {\star} d {\star} = (-1)^{k(n-k)} {\star} d^2 {\star} = 0 .$$

लाप्लास ऑपरेटर द्वारा परिभाषित किया गया है:
 * $$\Delta = (\delta + d)^2 = \delta d + d\delta .$$

संदर्भ देखें।

संबंधित

 * असतत तत्व विधि
 * विभाजित मतभेद
 * परिमित अंतर गुणांक
 * परिमित अंतर विधि
 * सीमित तत्व विधि
 * परिमित मात्रा विधि
 * संख्यात्मक भेद
 * संख्यात्मक एकीकरण
 * साधारण अंतर समीकरणों के लिए संख्यात्मक उपाय

यह भी देखें

 * परिमित अंतरों की गणना
 * परिमित भारित रेखांकन पर कलन
 * सेलुलर ऑटोमेशन
 * असतत अंतर ज्यामिति
 * असतत लाप्लास ऑपरेटर
 * परिमित अंतर की गणना, असतत कलन या असतत विश्लेषण
 * असतत मोर्स सिद्धांत