यूक्लिडियन संबंध

गणित में यूक्लिडियन संबंध, बाइनरी संबंधों का एक वर्ग है जो यूक्लिड के संख्याओ में "स्वत: सिद्ध 1" को निष्चित रूप देता है, कि वे परिमाण में समान और एक दूसरे के बराबर हैं।"

परिभाषा
एक समुच्चय X पर एक बाइनरी संबंध R यूक्लिडियन है (कभी-कभी राईट यूक्लिडियन भी कहा जाता है) यदि यह निम्नलिखित को संतुष्ट करता है की X में प्रत्येक a, b, c के लिए, यदि a, b और c से संबंधित है और b, c से संबंधित है। तो इसे संकेत तर्क के रूप में लिखने पर:


 * $$\forall a, b, c\in X\,(a\,R\, b \land a \,R\, c \to b \,R\, c).$$

दुसरे तरह यदि X पर एक संबंध R, लेफ्ट यूक्लिडियन है, और X में प्रत्येक a, b, c के लिए, यदि b, a से संबंधित है और c, a से संबंधित है, तो b, c से संबंधित होगा :


 * $$\forall a, b, c\in X\,(b\,R\, a \land c \,R\, a \to b \,R\, c).$$

गुण
परिभाषा के पूर्व पद में ∧ क्रमविनिमेयता के कारण aRb ∧ aRc का तात्पर्य bRc ∧ cRb से भी है, जब R राइट यूक्लिडियन है, इसी प्रकार bRa ∧ cRa का तात्पर्य bRc ∧ cRb से है, जब R एक लेफ्ट यूक्लिडियन है।
 * 1) यूक्लिडियन होने का गुण सकर्मक संबंध से भिन्न होता है। उदाहरण के लिए '≤' सकर्मक है, लेकिन राइट यूक्लिडियन नहीं है, जबकि xRy 0 ≤ x ≤ y + 1 ≤ 2 द्वारा परिभाषित संक्रामक नहीं है, लेकिन प्राकृतिक संख्याओ  पर राइट यूक्लिडियन है।
 * 2) सममित संबंधों के लिए सकर्मकता, राइट यूक्लिडियन और लेफ्ट यूक्लिडियन सभी के सामान होता हैं। जबकि एक असममित संबंध भी सकर्मक और राइट यूक्लिडियन दोनों हो सकता है, उदाहरण के लिए, xRy को y=0 द्वारा परिभाषित किया गया है।
 * 3) एक संबंध जो राइट यूक्लिडियन, स्वतुल्य संबंध और सममित तीनो है, तो वह तुल्य संबंध भी होगा। इसी प्रकार से प्रत्येक लेफ्ट यूक्लिडियन और स्वतुल्य संबंध के बीच एक समानता होती है।
 * 4) एक राइट यूक्लिडियन संबंध का परिसर इसके डोमेन के उपसमुच्चय होता है। अपनी परिसर के संबंध में राईट यूक्लिडियन का प्रतिबंध, स्वतुल्य संबंध होता है, और इसलिए इनमे एक समानता भी होता है। इसी तरह एक लेफ्ट यूक्लिडियन संबंध का डोमेन इसकी परिसर के उपसमुच्चय होता है, और एक लेफ्ट यूक्लिडियन संबंध का इसके डोमेन के लिए प्रतिबंध के बीच एक समानता होती है।
 * 5) एक संबंध R लेफ्ट और राईट दोनों यूक्लिडियन है, यदि R का डोमेन और श्रेणी आपस में बराबर हैं तो R के उस समुच्चय के बीच तुल्यता संबंध होगा |
 * 6) एक राईट यूक्लिडियन संबंध हमेशा लेफ्ट यूक्लिडियन संबंध की तरह अकर्मक होता है |
 * 7) एक संबंधित राईट यूक्लिडियन संबंध हमेशा सकर्मक होता है; और ऐसा ही एक संबंधित लेफ्ट यूक्लिडियन संबंध भी सकर्मक होता है|
 * 8) यदि X में कम से कम 3 संख्याये है, तो X से सम्बंधित राईट यूक्लिडियन संबंध R, प्रतिसममित संबंध नहीं हो सकता है, और न ही X पर लेफ्ट यूक्लिडियन संबंध को जोड़ा जा सकता है। दो संख्याये समुच्चय X = {0, 1} में हैं, यदि उदा. संबंध xRy, y=1 द्वारा परिभाषित है, तो यह राईट यूक्लिडियन और असममित होगा | और यदि  x=1 द्वारा परिभाषित xRy है, तो यह लेफ्ट यूक्लिडियन और असममित होगा ।
 * 9) एक समुच्चय X पर एक संबंध R राईट यूक्लिडियन है, यदि प्रतिबंध R := R|ran(R) के बीच एक समानता है, और X\ran(R) में प्रत्येक x के लिए वे सभी संख्या जिनसे x, R के साथ संबंधित है,वे सभी R के अंतर्गत समतुल्य होंगे. इसी प्रकार X पर R लेफ्ट यूक्लिडियन है,तो R′ := R|dom(R) के बीच एक तुल्यता है और X\dom(R) में प्रत्येक x के लिए, R के अंतर्गत x से संबंधित सभी संख्या R′ के तुल्य हैं।
 * 10) एक लेफ्ट यूक्लिडियन संबंध, लेफ्ट -अद्वितीय संबंध और साथ ही प्रतिसममित संबंध भी होते है। इसी तरह एक राईट यूक्लिडियन संबंध, राईट अद्वितीय और यह असममित सम्बन्ध भी होते है।
 * 11) लेफ्ट यूक्लिडियन और लेफ्ट अद्वितीय संबंध रिक्त रूप से सकर्मक होते है, और ऐसा ही एक राईट यूक्लिडियन और राईट अद्वितीय संबंध भी रिक्त रूप से सकर्मक होते हैं |
 * 12) एक लेफ्ट यूक्लिडियन संबंध लगभग प्रतिवर्ती होता है। लेफ्ट-अद्वितीय संबंधों के लिय यह बिपरीत होता है,और प्रत्येक राईट यूक्लिडियन संबंध राईट और लगभग स्वतुल्य है, और प्रत्येक राईट अद्वितीय और राईट अर्ध-स्वतुल्य संबंध राईट यूक्लिडियन है।