शीर्ष आकृति

ज्यामिति में, एक शीर्ष आकृति, मोटे तौर पर बोलना, एक बहुफलक या polytope के एक कोने को काट देने पर प्रकट होने वाली आकृति है।

परिभाषाएँ
किसी बहुफलक का कोई कोना या शीर्ष (ज्यामिति) लीजिए। प्रत्येक जुड़े हुए किनारे के साथ कहीं एक बिंदु चिह्नित करें। जुड़े हुए चेहरों पर रेखाएँ खींचें, चेहरे के आस-पास के बिंदुओं को मिलाएँ। पूरा होने पर, ये रेखाएँ शीर्ष के चारों ओर एक पूर्ण परिपथ बनाती हैं, यानी एक बहुभुज। यह बहुभुज शीर्ष आकृति है।

परिस्थिति के अनुसार अधिक सटीक औपचारिक परिभाषाएँ काफी व्यापक रूप से भिन्न हो सकती हैं। उदाहरण के लिए कॉक्सेटर (उदाहरण के लिए 1948, 1954) चर्चा के वर्तमान क्षेत्र के लिए अपनी परिभाषा को सुविधाजनक बनाता है। एक वर्टेक्स आकृति की निम्नलिखित परिभाषाओं में से अधिकांश अनंत चौकोर या, विस्तार से, हनीकॉम्ब (ज्यामिति) | पॉलीटॉप सेल (ज्यामिति) और अन्य उच्च-आयामी पॉलीटोप्स के साथ स्पेस-फिलिंग टेसलेशन के लिए समान रूप से अच्छी तरह से लागू होती हैं।

एक फ्लैट स्लाइस के रूप में
पॉलीहेड्रॉन के कोने के माध्यम से एक स्लाइस बनाएं, वर्टेक्स से जुड़े सभी किनारों को काटकर। कटी हुई सतह शीर्ष आकृति है। यह शायद सबसे आम तरीका है, और सबसे आसानी से समझा जा सकता है। अलग-अलग लेखक अलग-अलग जगहों पर स्लाइस बनाते हैं। वेनिंगर (2003) कॉक्सेटर (1948) की तरह प्रत्येक किनारे को शीर्ष से एक इकाई की दूरी पर काटता है। एकसमान पॉलीहेड्रा के लिए डॉर्मन ल्यूक निर्माण प्रत्येक जुड़े हुए किनारे को उसके मध्य बिंदु पर काटता है। अन्य लेखक प्रत्येक किनारे के दूसरे छोर पर शीर्ष के माध्यम से कट बनाते हैं। एक अनियमित पॉलीहेड्रॉन के लिए, शीर्ष से समान दूरी पर किसी दिए गए शीर्ष पर घटना के सभी किनारों को काटने से एक ऐसी आकृति उत्पन्न हो सकती है जो एक विमान में नहीं होती है। मनमाना उत्तल पॉलीहेड्रा के लिए मान्य एक अधिक सामान्य दृष्टिकोण, किसी भी विमान के साथ कटौती करना है जो दिए गए शीर्ष को अन्य सभी शीर्षों से अलग करता है, लेकिन अन्यथा मनमाना है। यह निर्माण वर्टेक्स फिगर की कॉम्बीनेटरियल संरचना को निर्धारित करता है, कनेक्टेड वर्टिकल के सेट के समान (नीचे देखें), लेकिन इसकी सटीक ज्यामिति नहीं; इसे किसी भी आयाम में उत्तल पॉलीटोप्स के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। हालांकि, गैर-उत्तल पॉलीहेड्रा के लिए, शीर्ष के पास एक विमान मौजूद नहीं हो सकता है जो शीर्ष पर आने वाले सभी चेहरों को काटता है।

एक गोलाकार बहुभुज के रूप में
क्रॉमवेल (1999) शीर्ष पर केन्द्रित एक गोले के साथ पॉलीहेड्रॉन को काटकर शीर्ष आकृति बनाता है, इतना छोटा कि यह केवल किनारों को काटता है और शीर्ष पर घटना का सामना करता है। इसे शीर्ष पर केंद्रित एक गोलाकार कट या स्कूप बनाने के रूप में देखा जा सकता है। कटी हुई सतह या शीर्ष आकृति इस प्रकार इस गोले पर चिह्नित एक गोलाकार बहुभुज है। इस पद्धति का एक फायदा यह है कि शीर्ष आकृति का आकार निश्चित होता है (गोले के पैमाने तक), जबकि समतल के साथ प्रतिच्छेद करने की विधि समतल के कोण के आधार पर विभिन्न आकृतियों का उत्पादन कर सकती है। इसके अतिरिक्त, यह विधि गैर-उत्तल पॉलीहेड्रा के लिए काम करती है।

कनेक्टेड वर्टिकल
के सेट के रूप में कई संयोजक और कम्प्यूटेशनल दृष्टिकोण (उदाहरण के लिए स्किलिंग, 1975) एक शीर्ष आकृति को दिए गए शीर्ष पर सभी पड़ोसी (किनारे के माध्यम से जुड़े) कोने के क्रमबद्ध (या आंशिक रूप से आदेशित) बिंदुओं के सेट के रूप में मानते हैं।

सार परिभाषा
अमूर्त पॉलीटोप्स के सिद्धांत में, किसी दिए गए शीर्ष V पर शीर्ष आकृति में वे सभी तत्व शामिल होते हैं जो शीर्ष पर घटित होते हैं; किनारे, फलक आदि। अधिक औपचारिक रूप से यह (n−1)-अनुभाग F हैn/वी, जहां एफnसबसे बड़ा चेहरा है।

तत्वों के इस सेट को कहीं और वर्टेक्स स्टार के रूप में जाना जाता है। ज्यामितीय वर्टेक्स आकृति और वर्टेक्स स्टार को एक ही अमूर्त खंड के अलग-अलग अहसासों के रूप में समझा जा सकता है।

सामान्य गुण
एक n-पॉलीटॉप का एक वर्टेक्स फिगर एक (n−1)4-पॉलीटॉप है। उदाहरण के लिए, एक बहुफलक की शीर्ष आकृति एक बहुभुज है, और 4-बहुलक के लिए शीर्ष आकृति एक बहुफलक है।

सामान्य तौर पर एक शीर्ष आकृति को समतलीय होने की आवश्यकता नहीं है।

गैर-उत्तल पॉलीहेड्रा के लिए, शीर्ष आकृति भी गैर-उत्तल हो सकती है। उदाहरण के लिए, समान पॉलीटोप्स में चेहरे और/या शीर्ष आकृतियों के लिए स्टार बहुभुज हो सकते हैं।

समकोणीय आंकड़े
वर्टेक्स के आंकड़े विशेष रूप से एकसमान पॉलीटोप्स और अन्य समकोणीय आकृति (वर्टेक्स-ट्रांसिटिव) पॉलीटोप्स के लिए महत्वपूर्ण हैं क्योंकि एक वर्टेक्स फिगर पूरे पॉलीटॉप को परिभाषित कर सकता है।

नियमित चेहरों के साथ पॉलीहेड्रा के लिए, शीर्ष आकृति को शीर्ष विन्यास संकेतन में दर्शाया जा सकता है, शीर्ष के चारों ओर क्रम में चेहरों को सूचीबद्ध करके। उदाहरण के लिए 3.4.4.4 एक त्रिकोण और तीन वर्गों के साथ एक शीर्ष है, और यह एकसमान rhombicuboctahedron को परिभाषित करता है।

यदि पॉलीटॉप आइसोगोनल है, तो वर्टेक्स फिगर एन-स्पेस की hyperplane सतह में मौजूद होगा।

आसन्न कोने से
इन पड़ोसी कोने की कनेक्टिविटी पर विचार करके, पॉलीटोप के प्रत्येक शीर्ष के लिए एक शीर्ष आकृति का निर्माण किया जा सकता है:
 * शीर्ष आकृति का प्रत्येक शीर्ष (ज्यामिति) मूल पॉलीटॉप के शीर्ष के साथ मेल खाता है।
 * वर्टेक्स फिगर का प्रत्येक ग्राफ सिद्धांत मूल पॉलीटॉप के चेहरे पर या उसके अंदर मौजूद होता है, जो मूल चेहरे से दो वैकल्पिक शीर्षों को जोड़ता है।
 * शीर्ष आकृति का प्रत्येक फलक (ज्यामिति) मूल n-पॉलीटॉप (n > 3 के लिए) के एक सेल पर या उसके अंदर मौजूद होता है।
 * ... और इसी तरह उच्च क्रम वाले पॉलीटोप्स में उच्च क्रम के तत्वों के लिए।

डोरमन ल्यूक निर्माण
एक समान पॉलीहेड्रॉन के लिए, दोहरी पॉलीहेड्रॉन का चेहरा मूल पॉलीहेड्रॉन के वर्टेक्स फिगर से डुअल पॉलीहेड्रॉन # डोरमैन ल्यूक निर्माण निर्माण का उपयोग करके पाया जा सकता है।

नियमित पॉलीटोप्स
यदि एक पॉलीटॉप नियमित है, तो इसे श्लाफली प्रतीक द्वारा दर्शाया जा सकता है और सेल (ज्यामिति) और शीर्ष आकृति दोनों को इस अंकन से तुच्छ रूप से निकाला जा सकता है।

आम तौर पर श्लाफली प्रतीक {ए, बी, सी, ..., वाई, जेड} के साथ एक नियमित पॉलीटॉप में {ए, बी, सी, ..., वाई} के रूप में कोशिकाएं होती हैं, और वर्टेक्स आंकड़े {बी, सी, के रूप में होते हैं। .., वाई, जेड}।
 * 1) एक नियमित पॉलीहेड्रॉन {पी, क्यू} के लिए, वर्टेक्स आकृति {क्यू}, एक क्यू-गॉन है।
 * 2) *उदाहरण, घन {4,3} के लिए शीर्ष आकृति त्रिभुज {3} है।
 * 3) एक नियमित 4-पॉलीटॉप या हनीकॉम्ब (ज्यामिति) के लिए | स्पेस-फिलिंग टेसलेशन {पी, क्यू, आर}, वर्टेक्स फिगर {क्यू, आर} है।
 * 4) *उदाहरण, हाइपरक्यूब {4,3,3} के लिए वर्टेक्स फिगर, वर्टेक्स फिगर रेगुलर टेट्राहेड्रॉन {3,3} है।
 * 5) *इसके अलावा एक घन मधुकोश {4,3,4} के लिए शीर्ष आकृति, शीर्ष आकृति एक नियमित ऑक्टाहेड्रॉन {3,4} है।

चूँकि एक नियमित पॉलीटोप का दोहरा पॉलीटॉप भी नियमित होता है और श्लाफली प्रतीक सूचकांकों द्वारा उलटा हुआ होता है, इसलिए यह देखना आसान है कि शीर्ष आकृति का दोहरा दोहरा पॉलीटोप का कक्ष है। नियमित पॉलीहेड्रा के लिए, यह डुअल पॉलीहेड्रोन का एक विशेष मामला है।

मधुकोश
का एक उदाहरण शीर्ष आकृति एक काटे गए क्यूबिक मधुकोश का शीर्ष आंकड़ा एक गैर-समान वर्ग पिरामिड है। एक ऑक्टाहेड्रॉन और चार कटे-फटे क्यूब प्रत्येक शीर्ष पर मिलते हैं, एक स्पेस-फिलिंग टेसलेशन बनाते हैं।

एज फिगर
वर्टेक्स फिगर से संबंधित, एक एज फिगर एक वर्टेक्स फिगर का वर्टेक्स फिगर होता है। किनारे के आंकड़े नियमित और समान पॉलीटोप्स के तत्वों के बीच संबंधों को व्यक्त करने के लिए उपयोगी होते हैं।

किनारे की आकृति एक (n−2)-पॉलीटॉप होगी, जो दिए गए किनारे के चारों ओर फ़ैसेट (ज्यामिति) की व्यवस्था का प्रतिनिधित्व करती है। रेगुलर और सिंगल-रिंगेड कॉक्सेटर आरेख यूनिफॉर्म पॉलीटोप्स में सिंगल एज टाइप होगा। सामान्य तौर पर, एक समान पॉलीटॉप में निर्माण में सक्रिय दर्पणों के रूप में कई प्रकार के किनारे हो सकते हैं, क्योंकि प्रत्येक सक्रिय दर्पण मौलिक डोमेन में एक किनारे का उत्पादन करता है।

नियमित पॉलीटोप्स (और मधुकोश) में एक किनारे का आंकड़ा होता है जो नियमित भी होता है। एक नियमित पॉलीटॉप {पी, क्यू, आर, एस, ..., जेड} के लिए, किनारे का आंकड़ा {आर, एस, ..., जेड} है।

चार आयामों में, एक 4-पॉलीटॉप या मधुकोश (ज्यामिति) | 3-मधुकोश का किनारा आकृति एक बहुभुज है जो किनारे के चारों ओर पहलुओं के एक सेट की व्यवस्था का प्रतिनिधित्व करता है। उदाहरण के लिए, नियमित क्यूबिक मधुकोश {4,3,4} के लिए किनारे का आंकड़ा एक वर्ग (ज्यामिति) है, और एक नियमित 4-पॉलीटोप {p,q,r} के लिए बहुभुज {r} है।

कम तुच्छ रूप से, काटे गए घन मधुकोश टी0,1{4,3,4}, एक चौकोर पिरामिड वर्टेक्स आकृति है, जिसमें छोटे घन और अष्टफलक कोशिकाएँ हैं। यहाँ दो प्रकार के किनारे के आंकड़े हैं। एक पिरामिड के शीर्ष पर एक चौकोर किनारे वाली आकृति है। यह किनारे के चारों ओर चार छंटे हुए क्यूब्स का प्रतिनिधित्व करता है। अन्य चार किनारों के आंकड़े पिरामिड के आधार शिखर पर समद्विबाहु त्रिभुज हैं। ये दूसरे किनारों के चारों ओर दो छोटे क्यूब्स और एक ऑक्टाहेड्रॉन की व्यवस्था का प्रतिनिधित्व करते हैं।

यह भी देखें

 * सरल कड़ी - शीर्ष आकृति से संबंधित एक अमूर्त अवधारणा।
 * नियमित पॉलीटोप्स की सूची

ग्रन्थसूची

 * H. S. M. Coxeter, Regular Polytopes, Hbk (1948), ppbk (1973).
 * H.S.M. Coxeter (et al.), Uniform Polyhedra, Phil. Trans. 246 A (1954) pp. 401–450.
 * P. Cromwell, Polyhedra, CUP pbk. (1999).
 * H.M. Cundy and A.P. Rollett, Mathematical Models, Oxford Univ. Press (1961).
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 * M. Wenninger, Dual Models, CUP hbk (1983) ppbk (2003).
 * The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 (p289 Vertex figures)

बाहरी संबंध

 * Vertex Figures
 * Consistent Vertex Descriptions
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 * Consistent Vertex Descriptions