एमवी-बीजगणित

अमूर्त बीजगणित में, शुद्ध गणित की एक शाखा, एमवी-बीजगणित एक बीजगणितीय संरचना है जिसमें बाइनरी संक्रिया $$\oplus$$, एकल संक्रिया $$\neg$$, और नियतांक $$0$$ होते है, जो कुछ अभिगृहीत को संतुष्ट करता है। एमवी-बीजगणितीय लुकासिविज़ तर्क के बीजगणितीय शब्दार्थ (गणितीय तर्क) हैं; अक्षर एमवी-बीजगणितीय लुकासिविज़ के बहु-मान तर्क का उल्लेख करते हैं। एमवी-बीजगणितीय परिबद्ध क्रमविनिमेय बीसीके बीजगणित के वर्ग के साथ समतुल्य होता है।

परिभाषाएँ
एमवी-बीजगणित एक बीजगणितीय संरचना है जिसमें $$\langle A, \oplus, \lnot, 0\rangle$$ सम्मिलित है जो निम्नलिखित सर्वसमिकाओं (गणित) को संतुष्ट करता है: पहले तीन अभिगृहीत के आधार पर, $$\langle A, \oplus, 0 \rangle$$ क्रमविनिमेय मोनोइड है। सर्वसमिकाओं द्वारा परिभाषित होने के कारण, एमवी- बीजगणित विभिन्न प्रकार के (सार्वभौमिक बीजगणित) बनाते हैं। एमवी-बीजगणित की विविधता बीएल (तर्क) -बीजगणित की विविधता की एक उप-प्रजाति है और इसमें सभी बूलियन बीजगणित (संरचना) सम्मिलित होते हैं।
 * अरिक्त समुच्चय (गणित) $$A,$$
 * बाइनरी संक्रिया $$\oplus$$ पर $$A,$$
 * एकल संक्रिया $$\lnot$$ पर $$A,$$ और
 * नियतांक $$0$$ जो $$A$$ एक निश्चित अवयव (गणित) को दर्शाता है,
 * $$ (x \oplus y) \oplus z = x \oplus (y \oplus z),$$
 * $$ x \oplus 0 = x,$$
 * $$ x \oplus y = y \oplus x,$$
 * $$ \lnot \lnot x = x,$$
 * $$ x \oplus \lnot 0 = \lnot 0,$$ और
 * $$ \lnot ( \lnot x \oplus y)\oplus y = \lnot ( \lnot y \oplus x) \oplus x.$$

एक एमवी-बीजगणित को समान रूप से परिभाषित किया जा सकता है (पेट्र हेजेक 1998) एक पूर्वरेखीय क्रमविनिमेय सीमित समाकल अवशेष लेटिस के रूप में $$\langle L, \wedge, \vee, \otimes, \rightarrow, 0, 1 \rangle $$ अतिरिक्त सर्वसमिकाओं $$x \vee y = (x \rightarrow y) \rightarrow y$$ को संतुष्ट करता है।

एमवी-बीजगणित के उदाहरण
एक साधारण संख्यात्मक उदाहरण $$A=[0,1]$$ है, जिसमे संक्रिया $$x \oplus y = \min(x + y, 1)$$ और $$\lnot x = 1 - x$$ के साथ सम्मिलित है। गणितीय फजी तर्क में, इस एमवी-बीजगणित को मानक एमवी-बीजगणित कहा जाता है, क्योंकि यह लुकासिविक्ज़ तर्क के मानक वास्तविक मान शब्दार्थ का निर्माण करता है।

सामान्य एमवी-बीजगणित में केवल अवयव 0 है और संक्रिया को एकमात्र संभव $$0\oplus0=0$$ और $$\lnot0=0$$ तरीके से परिभाषित किया गया है।

दो-अवयव एमवी-बीजगणित वास्तव में दो-अवयव बूलियन बीजगणित $$\{0,1\}$$ है, जिसमे $$\oplus$$ बूलियन संयोजन के साथ समतुल्य है और $$\lnot$$ बूलियन निषेध के साथ नहीं है। वास्तव में अभिगृहीत जोड़ना $$x \oplus x = x$$ एमवी-बीजगणित को परिभाषित करने वाले अभिगृहीतों के परिणामस्वरूप बूलियन बीजगणित का अभिगृहीतीकरण होता है।

यदि इसके अतिरिक्त $$x \oplus x \oplus x = x \oplus x$$ अभिगृहीत जोड़ा गया है, तब अभिगृहीत MV3 को परिभाषित करते हैं बीजगणित तीन-मान लुकासिविक्ज़ तर्क Ł3 के संगत है। अन्य परिमित रैखिक रूप से क्रमित एमवी-बीजगणित को मानक एमवी-बीजगणित के समष्टि और संक्रिया को समुच्चय $$n$$ 0 और 1 (दोनों सम्मिलित) के बीच समदूरस्थ वास्तविक संख्याएँ करने के लिए प्रतिबंधित करके प्राप्त किया जाता है, अर्थात् समुच्चय $$\{0,1/(n-1),2/(n-1),\dots,1\},$$ जो संक्रिया $$\oplus$$ और $$\lnot$$ मानक एमवी-बीजगणित के अंतर्गत संवृत है; इन बीजगणितों को सामान्य रूप से MVn के रूप में दर्शाया जाता है

एक अन्य महत्वपूर्ण उदाहरण सी.सी. चांग का एमवी-बीजगणित है, जिसमें केवल अनंत-सूक्ष्म (आदेश प्रकार ω के साथ) और उनके सह-अनंत-सूक्ष्म सम्मिलित हैं।

चांग ने एक धनात्मक अवयव u को निर्धारित करके और भाग [0, u] को { x ∈ G | 0 ≤ x ≤ u } जो x ⊕ y = min(u, x + y) और ¬x = u − x के साथ एक एमवी-बीजगणित बन जाता है। इसके अतिरिक्त, चांग ने दिखाया कि इस तरह से एक समूह से निर्मित एमवी-बीजगणित के लिए प्रत्येक रैखिक रूप से आदेश दिया गया एमवी-बीजगणित समरूप होते है।

डेनियल मुंडिसी ने उपरोक्त निर्माण को एबेलियन लेटिस-क्रमित समूह तक बढ़ाया। यदि G प्रबल (क्रम) इकाई u वाला एक ऐसा समूह है, तो इकाई अंतराल {x ∈ G | 0 ≤ x ≤ u} को ¬x = u − x, x ⊕ y = u ∧G (x + y) और x ⊗ y = 0 ∨G (x + y − u) से सुसज्जित किया जा सकता है। यह निर्माण प्रबल इकाई और एमवी-बीजगणित के साथ लेटिस-क्रमित एबेलियन समूहों के बीच एक स्पष्ट समानता स्थापित करता है।

एक प्रभाव बीजगणित जो लेटिस-क्रमित है और लगभग परिमित-आयामी C*-बीजगणित एक एमवी-बीजगणित है। इसके विपरीत, कोई भी एमवी-बीजगणित एक लेटिस-क्रमित प्रभाव बीजगणित है जिसमें रीज़ अपघटन गुण होता है।

लुकासिविक्ज़ तर्क से संबंध
सी.सी. चांग ने 1920 में जैन लुकासिविक्ज़ द्वारा प्रस्तुत किए गए कई-मान तर्क्स का अध्ययन करने के लिए एमवी-बीजगणित तैयार किया। विशेष रूप से, एमवी-बीजगणित लुकासिविक्ज़ तर्क के बीजगणितीय शब्दार्थ (गणितीय तर्क) का निर्माण करते हैं, जैसा कि नीचे वर्णित है।

एमवी-बीजगणित A दिया गया है, A-मूल्यांकन (तर्क) प्रस्तावपरक सूत्रों (भाषा में $$\oplus,\lnot,$$ और 0) A के बीजगणित से एक समरूपता है। सूत्र 1 के लिए मानचित्रण किए गए (अर्थात, $$\lnot$$0) सभी A-मानो के लिए A-पुनरुक्ति (तर्क) कहा जाता है। यदि [0,1] से अधिक मानक एमवी-बीजगणित नियोजित है, तो सभी [0,1]-पुनरुक्ति का समुच्चय तथाकथित अनंत-मान लुकासिविक्ज़ तर्क को निर्धारित करता है।

चांग (1958, 1959) पूर्णता प्रमेय में कहा गया है कि कोई भी एमवी-बीजगणित समीकरण मानक एमवी-बीजगणित में अंतराल [0,1] पर धारण करना प्रत्येक एमवी-बीजगणित में होगा। बीजगणितीय रूप से, इसका तात्पर्य है कि मानक एमवी-बीजगणित सभी एमवी-बीजगणित की विविधता उत्पन्न करता है। समान रूप से, चांग की पूर्णता प्रमेय कहती है कि एमवी-बीजगणितीय अनंत-मान लुकासिविक्ज़ तर्क की विशेषता है, जिसे [0,1]-पुनरुक्ति के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है।

जिस तरह से [0,1] एमवी-बीजगणित सभी संभव एमवी-बीजगणित की विशेषता बताता है, वह इस प्रसिद्ध तथ्य के समानांतर है कि दो-अवयव बूलियन बीजगणित में सम्मिलित सर्वसमिकाओं सभी संभव बूलियन बीजगणित में होती है। इसके अतिरिक्त, एमवी-बीजगणितीय अनंत-मान लुकासिविक्ज़ तर्क को इस तरह से चित्रित करते हैं जैसे कि बूलियन बीजगणितीय उत्कृष्ट दो-अवयव (लिंडेनबाम-टार्स्की बीजगणित देखें) बूलियन बीजगणित की विशेषता रखते हैं।

1984 में, फॉन्ट, रोड्रिग्ज और टॉरेंस ने वाज्सबर्ग बीजगणित को अनंत-मान लुकासिविक्ज़ तर्क के लिए एक वैकल्पिक मॉडल के रूप में प्रस्तुत किया। वाज्सबर्ग बीजगणित और एमवी-बीजगणित पद-समतुल्य हैं।

MVn-बीजगणित
1940 के दशक में ग्रिगोर मोसिल ने अपने लुकासिविक्ज़-मोइसिल बीजगणित (LMn-बीजगणित) को इस उपेक्षा में प्रस्तुत किया कि वे (अंततः) n-मान लुकासिविज़ तर्क के लिए बीजगणितीय शब्दार्थ दे सकें। हालांकि, 1956 में एलन रोज़ ने पाया कि n ≥ 5 के लिए, लुकासिविक्ज़-मोइसिल बीजगणित लुकासिविक्ज़ n-मान तर्क को प्रतिरूपित नहीं करता है। हालांकि सीसी चांग ने 1958 में अपना MV-बीजगणित प्रकाशित किया, यह केवल ℵ0-मान (अनंत-अनेक-मान) लुकासिविक्ज़-टार्स्की तर्क के लिए एक विश्वसनीय मॉडल है। स्वयंसिद्ध रूप से अधिक जटिल (अंतिम रूप से) n-मान लुकासिविक्ज़ तर्क के लिए, उपयुक्त बीजगणित 1977 में रेवाज़ ग्रिगोलिया द्वारा प्रकाशित किए गए थे और MVn-बीजगणित कहलाते थे। MVn-बीजगणित, LMn-बीजगणित का एक उपवर्ग है; समावेशन n ≥ 5 के लिए प्रबल होता है।

MVn-बीजगणित MV-बीजगणित होते हैं जो कुछ अतिरिक्त सूक्तियों को संतुष्ट करते हैं, परिशुद्ध रूप से उसी तरह जैसे n-मान लुकासिविक्ज़ तर्कों में ℵ0-मान तर्क में अतिरिक्त अभिगृहीत जोड़ दिए जाते हैं।

1982 में रॉबर्टो सिग्नोली ने कुछ अतिरिक्त बाधाओं को प्रकाशित किया जो LMn-बीजगणित में जुड़कर n-मान लुकासिविक्ज़ तर्क के लिए उपयुक्त मॉडल उत्पन्न करते हैं। LMn-बीजगणित, जो MVn-बीजगणित भी हैं, परिशुद्ध रूप से सिग्नोली के उपयुक्त n-मूल्य वाले लुकासिविक्ज़ बीजगणित हैं।

कार्यात्मक विश्लेषण से संबंध
एमवी-बीजगणित डेनियल मुंडिसी द्वारा लगभग परिमित-आयामी C*-बीजगणित से संबंधित थे, जो लगभग परिमित-आयामी C*-बीजगणित के सभी समरूप वर्गों के बीच लेटिस-क्रमित आयाम समूह और गणनीय एमवी बीजगणित के सभी समरूप वर्गों के बीच एक विशेषण पत्राचार स्थापित करके संबंधित थे। इस पत्राचार के कुछ उदाहरणों में सम्मिलित हैं:

सॉफ्टवेयर में
फ़ज़ी तर्क (प्रकार II) को प्रयुक्त करने वाले कई रूपरेखाएं होती हैं, और उनमें से अधिकांश को बहु-संलग्न तर्क कहा जाता है। यह एमवी-बीजगणित के कार्यान्वयन से अधिकतम कुछ नहीं है।

संदर्भ

 * Chang, C. C. (1958) "Algebraic analysis of many-valued logics," Transactions of the American Mathematical Society 88: 476–490.
 * -- (1959) "A new proof of the completeness of the Lukasiewicz axioms," Transactions of the American Mathematical Society 88: 74–80.
 * Cignoli, R. L. O., D'Ottaviano, I. M. L., Mundici, D. (2000) Algebraic Foundations of Many-valued Reasoning. Kluwer.
 * Di Nola A., Lettieri A. (1993) "Equational characterization of all varieties of एमवी-algebras," Journal of Algebra 221: 463–474.
 * Hájek, Petr (1998) Metamathematics of Fuzzy Logic. Kluwer.
 * Mundici, D.: Interpretation of AF C*-algebras in लुकासिविक्ज़ sentential calculus. J. Funct. Anal. 65, 15–63 (1986)

अग्रिम पठन

 * Daniele Mundici, एमवी-ALGEBRAS. A short tutorial
 * Mundici, D. The C*-Algebras of Three-Valued Logic. Logic Colloquium ’88, Proceedings of the Colloquium held in Padova 61–77 (1989).
 * Cabrer, L. M. & Mundici, D. A Stone-Weierstrass theorem for एमवी-algebras and unital ℓ-groups. Journal of Logic and Computation (2014).
 * Olivia Caramello, Anna Carla Russo (2014) The Morita-equivalence between एमवी-algebras and abelian ℓ-groups with strong unit
 * Olivia Caramello, Anna Carla Russo (2014) The Morita-equivalence between एमवी-algebras and abelian ℓ-groups with strong unit

बाहरी संबंध

 * Stanford Encyclopedia of Philosophy: "Many-valued logic"—by Siegfried Gottwald.