समतल आलेख

ग्राफ़ सिद्धांत में, एक समतल ग्राफ़ एक ग्राफ़ (असतत गणित) होता है जिसे समतल (ज्यामिति) में ग्राफ एम्बेडिंग किया जा सकता है, अर्थात, इसे समतल पर इस तरह से खींचा जा सकता है कि इसके किनारे केवल अपने अंतिम बिंदुओं पर ही प्रतिच्छेद करते हैं। दूसरे शब्दों में, इसे इस तरह से खींचा जा सकता है कि कोई भी किनारा एक-दूसरे को पार न करे। इस तरह के रेखाचित्र को समतल ग्राफ़ या ग्राफ़ का समतलीय एम्बेडिंग कहा जाता है। एक समतल ग्राफ़ को एक समतल ग्राफ़ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसमें एक समतल पर प्रत्येक नोड से एक बिंदु तक और प्रत्येक किनारे से उस समतल पर एक समतल वक्र तक मैपिंग की जाती है, जैसे कि प्रत्येक वक्र के चरम बिंदु उसके अंत से मैप किए गए बिंदु होते हैं। नोड्स, और सभी वक्र अपने चरम बिंदुओं को छोड़कर असंयुक्त हैं।

प्रत्येक ग्राफ जो एक समतल पर खींचा जा सकता है, उसे त्रिविम प्रक्षेपण के माध्यम से गोले पर भी खींचा जा सकता है, और इसके विपरीत।

समतल ग्राफ़ संयोजक मानचित्र मानचित्रों या रोटेशन प्रणाली  द्वारा एन्कोड किया जा सकता है।

गोले पर टोपोलॉजिकल रूप से समतुल्य रेखाचित्रों का एक समतुल्य वर्ग, आमतौर पर पुल (ग्राफ सिद्धांत) की अनुपस्थिति जैसी अतिरिक्त मान्यताओं के साथ, एक समतल मानचित्र कहलाता है। हालाँकि समतल ग्राफ़ का एक बाहरी या असीमित फलक होता है (ग्राफ़ सिद्धांत), समतल मानचित्र के किसी भी फलक की कोई विशेष स्थिति नहीं होती।

समतलीय ग्राफ़ किसी दिए गए जीनस (गणित) की सतह पर खींचे जाने योग्य ग्राफ़ के लिए सामान्यीकृत होते हैं। इस शब्दावली में, समतलीय ग्राफ़ में ग्राफ जीनस 0 होता है, क्योंकि समतल (और गोला) जीनस 0 की सतहें होती हैं। अन्य संबंधित विषयों के लिए ग्राफ़ एम्बेडिंग देखें।

कुराटोव्स्की और वैगनर के प्रमेय
पोलैंड के गणितज्ञ काज़िमिर्ज़ कुराटोव्स्की ने निषिद्ध ग्राफ़ लक्षण वर्णन के संदर्भ में समतल ग्राफ़ का एक लक्षण वर्णन प्रदान किया, जिसे अब कुराटोव्स्की के प्रमेय के रूप में जाना जाता है:


 * एक ग्राफ़ (असतत गणित)#परिमित और अनंत ग्राफ़ समतल है यदि और केवल यदि इसमें ग्राफ़ सिद्धांत की शब्दावली शामिल नहीं है#सबग्राफ़ जो संपूर्ण ग्राफ़ का एक उपखंड (ग्राफ़ सिद्धांत) है $K5$ या संपूर्ण द्विदलीय ग्राफ़ $K3,3$ (उपयोगिता ग्राफ)।

ग्राफ़ का एक उपखंड (ग्राफ़ सिद्धांत) किनारों में शीर्ष डालने से उत्पन्न होता है (उदाहरण के लिए, एक किनारे को बदलना)। • —— • to • — • — • ) शून्य या अधिक बार. उपखंडों पर विचार करने के बजाय, वैगनर का प्रमेय लघु (ग्राफ़ सिद्धांत) से संबंधित है:


 * एक परिमित ग्राफ समतलीय होता है यदि और केवल तभी जब उसमें ऐसा न हो $K5$ या $K3,3$ एक लघु (ग्राफ़ सिद्धांत) के रूप में।

ग्राफ़ का एक लघु (ग्राफ सिद्धांत) एक सबग्राफ लेने और एक किनारे को बार-बार एक शीर्ष में अनुबंधित करने से उत्पन्न होता है, जिसमें मूल अंत-शीर्ष का प्रत्येक पड़ोसी नए शीर्ष का पड़ोसी बन जाता है।

क्लॉस वैगनर (गणितज्ञ) ने अधिक सामान्यतः पूछा कि क्या ग्राफ़ का कोई लघु-बंद वर्ग निषिद्ध लघु के एक सीमित सेट द्वारा निर्धारित किया जाता है। यह अब रॉबर्टसन-सेमुर प्रमेय है, जो कागजात की एक लंबी श्रृंखला में साबित हुआ है। इस प्रमेय की भाषा में, $K3,3$ और $K5$परिमित समतलीय ग्राफ़ के वर्ग के लिए निषिद्ध अवयस्क हैं।

अन्य मानदंड
व्यवहार में, यह तय करने के लिए कि कोई दिया गया ग्राफ समतल है या नहीं, कुराटोस्की की कसौटी का उपयोग करना मुश्किल है। हालाँकि, इस समस्या के लिए तेज़ कलन विधि मौजूद हैं: एक ग्राफ़ के लिए $n$ शिखर, समय पर निर्धारित करना संभव है $K3,3$ (रैखिक समय) ग्राफ समतलीय हो सकता है या नहीं (तलीयता परीक्षण देखें)।

एक सरल, कनेक्टेड, समतलीय ग्राफ़ के लिए $v$ शीर्ष और $e$किनारे और $f$ चेहरों के लिए निम्नलिखित सरल स्थितियाँ लागू होती हैं $K3,3$:


 * प्रमेय 1. $K5$;
 * प्रमेय 2. यदि लंबाई 3 का कोई चक्र नहीं है, तो $K3,3$.
 * प्रमेय 3. $O(n)$.

इस अर्थ में, समतलीय ग्राफ़ विरल ग्राफ़ होते हैं, इसमें केवल यही होता है $v ≥ 3$ किनारे, अधिकतम से बिल्कुल छोटे $e ≤ 3v – 6$. लेखाचित्र K$3,3$}उदाहरण के लिए, } में 6 शीर्ष, 9 किनारे और लंबाई 3 का कोई चक्र नहीं है। इसलिए, प्रमेय 2 के अनुसार, यह समतल नहीं हो सकता। ये प्रमेय समतलता के लिए आवश्यक शर्तें प्रदान करते हैं जो पर्याप्त स्थितियाँ नहीं हैं, और इसलिए इसका उपयोग केवल यह साबित करने के लिए किया जा सकता है कि ग्राफ़ समतल नहीं है, न कि यह समतल है। यदि प्रमेय 1 और 2 दोनों विफल हो जाते हैं, तो अन्य विधियों का उपयोग किया जा सकता है।


 * व्हिटनी का समतलीय मानदंड एक बीजगणितीय दोहरे के अस्तित्व के आधार पर एक लक्षण वर्णन देता है;
 * मैक लेन का समतलीय मानदंड, उनके चक्र स्थानों के माध्यम से, परिमित समतलीय ग्राफ़ का बीजगणितीय लक्षण वर्णन देता है;
 * फ्रैसेसिक्स-रोसेनस्टीहल प्लैनरिटी मानदंड गहराई-प्रथम खोज वृक्ष के कोट्री किनारों के द्विविभाजन के अस्तित्व के आधार पर एक लक्षण वर्णन देता है। यह बाएँ-दाएँ समतलता परीक्षण एल्गोरिथ्म का केंद्र है;
 * श्नाइडर का प्रमेय क्रम आयाम के संदर्भ में समतलता का लक्षण वर्णन देता है;
 * कॉलिन डी वेरडीयर ग्राफ़ इनवेरिएंट|कॉलिन डी वेरडीयर का प्लानेरिटी मानदंड ग्राफ़ द्वारा परिभाषित कुछ श्रोडिंगर ऑपरेटरों के दूसरे आइगेनवैल्यू की अधिकतम बहुलता के आधार पर एक लक्षण वर्णन देता है।
 * हनानी-टुट्टे प्रमेय में कहा गया है कि एक ग्राफ समतल होता है यदि और केवल तभी जब इसमें एक रेखाचित्र हो जिसमें किनारों का प्रत्येक स्वतंत्र जोड़ा सम संख्या में बार पार करता हो; इसका उपयोग समीकरण मॉड्यूलो 2 की प्रणाली के माध्यम से समतलीय ग्राफ़ को चित्रित करने के लिए किया जा सकता है।

यूलर का सूत्र
यूलर के सूत्र में कहा गया है कि यदि एक परिमित, कनेक्टिविटी (ग्राफ़ सिद्धांत), समतलीय ग्राफ बिना किसी किनारे के चौराहे के समतल में खींचा जाता है, और $v$ शीर्षों की संख्या है, $e$ किनारों की संख्या है और $f$ तो फलकों की संख्या है (किनारों से घिरा क्षेत्र, जिसमें बाहरी, असीम रूप से बड़ा क्षेत्र भी शामिल है)।


 * $$v-e+f=2.$$

उदाहरण के तौर पर, ऊपर दिए गए तितली ग्राफ़ में, $e ≤ 2v – 4$, $f ≤ 2v – 4$ और $O(v)$. सामान्य तौर पर, यदि संपत्ति सभी समतलीय ग्राफों के लिए मान्य है $f$ चेहरे, ग्राफ़ में कोई भी परिवर्तन जो ग्राफ़ को समतल रखते हुए एक अतिरिक्त चेहरा बनाता है, रखा जाएगा $O(v2)$ एक अपरिवर्तनीय. चूंकि संपत्ति सभी ग्राफ़ के लिए मान्य है $v = 5$, गणितीय प्रेरण द्वारा यह सभी मामलों के लिए लागू होता है। यूलर के सूत्र को इस प्रकार भी सिद्ध किया जा सकता है: यदि ग्राफ़ एक पेड़ नहीं है (ग्राफ़ सिद्धांत), तो एक किनारे को हटा दें जो एक चक्र (ग्राफ़ सिद्धांत) को पूरा करता है। इससे दोनों कम हो जाते हैं $e$ और $f$ एक करके, जा रहा हूँ $e = 6$ नियत। तब तक दोहराएँ जब तक शेष ग्राफ़ एक पेड़ न बन जाए; पेड़ों के पास है $f = 3$ और $v – e + f$, उपज $f = 2$, मैं। ई., यूलर विशेषता 2 है।

एक परिमित में, कनेक्टिविटी (ग्राफ सिद्धांत), सरल ग्राफ, समतल ग्राफ, कोई भी चेहरा (संभवतः बाहरी को छोड़कर) कम से कम तीन किनारों से घिरा होता है और प्रत्येक किनारा अधिकतम दो चेहरों को छूता है; यूलर के सूत्र का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि ये ग्राफ़ इस अर्थ में विरल हैं कि यदि $v – e + f$:


 * $$e\leq 3v-6.$$

यूलर का सूत्र उत्तल बहुफलक के लिए भी मान्य है। यह कोई संयोग नहीं है: प्रत्येक उत्तल पॉलीहेड्रॉन को पॉलीहेड्रॉन के श्लेगल आरेख का उपयोग करके एक कनेक्टेड, सरल, प्लेनर ग्राफ़ में बदल दिया जा सकता है, एक विमान पर पॉलीहेड्रॉन का एक परिप्रेक्ष्य प्रक्षेपण जिसमें से किसी एक के केंद्र के पास चुने गए परिप्रेक्ष्य का केंद्र होता है बहुफलक के फलक. प्रत्येक समतलीय ग्राफ इस तरह से उत्तल बहुफलक से मेल नहीं खाता: उदाहरण के लिए, पेड़ ऐसा नहीं करते। स्टीनिट्ज़ के प्रमेय का कहना है कि उत्तल पॉलीहेड्रा से बने बहुफलकीय ग्राफ ़ सटीक रूप से परिमित कनेक्टिविटी (ग्राफ़ सिद्धांत) | 3-जुड़े हुए सरल प्लानर ग्राफ़ हैं। अधिक आम तौर पर, यूलर का सूत्र किसी भी बहुफलक पर लागू होता है जिसके चेहरे सरल बहुभुज होते हैं जो एक गोले की सतह समरूपता बनाते हैं, भले ही उसकी उत्तलता कुछ भी हो।

औसत डिग्री
एक से अधिक किनारों वाले जुड़े समतलीय ग्राफ़ असमानता का पालन करते हैं $v = e + 1$, क्योंकि प्रत्येक चेहरे में कम से कम तीन चेहरे-किनारे की घटनाएं होती हैं और प्रत्येक किनारे ठीक दो घटनाओं में योगदान देता है। यह यूलर के सूत्र के साथ इस असमानता के बीजगणितीय परिवर्तनों का अनुसरण करता है $f = 1$कि परिमित समतलीय ग्राफ़ के लिए औसत डिग्री 6 से बिल्कुल कम होती है। उच्चतर औसत डिग्री वाले ग्राफ़ समतलीय नहीं हो सकते।

सिक्का ग्राफ
हम कहते हैं कि समतल में खींचे गए दो वृत्त जब भी बिल्कुल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं तो चुंबन (या ऑस्कुलेटिंग वृत्त) करते हैं। एक सिक्का ग्राफ एक ऐसा ग्राफ है जो वृत्तों के एक समूह द्वारा बनाया जाता है, जिनमें से किसी भी दो में ओवरलैपिंग अंदरूनी भाग नहीं होते हैं, प्रत्येक सर्कल के लिए एक शीर्ष बनाते हैं और सर्कल की प्रत्येक जोड़ी के लिए एक किनारा बनाते हैं जो चुंबन करते हैं। सर्कल पैकिंग प्रमेय, जिसे पहली बार 1936 में पॉल कोबे द्वारा सिद्ध किया गया था, बताता है कि एक ग्राफ़ समतल है यदि और केवल अगर यह एक सिक्का ग्राफ़ है।

यह परिणाम फ़ेरी के प्रमेय का एक आसान प्रमाण प्रदान करता है, कि प्रत्येक सरल समतलीय ग्राफ़ को समतल में इस तरह से एम्बेड किया जा सकता है कि उसके किनारे सीधी रेखा खंड हों जो एक दूसरे को पार न करें। यदि कोई सिक्का ग्राफ प्रतिनिधित्व में ग्राफ के प्रत्येक शीर्ष को संबंधित सर्कल के केंद्र में रखता है, तो चुंबन सर्कल के केंद्रों के बीच की रेखा खंड किसी भी अन्य किनारों को पार नहीं करती है।

समतलीय ग्राफ घनत्व
जालीपन गुणांक या घनत्व $D$ एक समतलीय ग्राफ या नेटवर्क का, संख्या का अनुपात है $v – e + f = 2$ इसके अधिकतम संभव मानों द्वारा परिबद्ध फलकों का (मैक लेन के समतलीय मानदंड के अनुसार, ग्राफ़ के सर्किट रैंक के समान) $v ≥ 3$ के साथ एक ग्राफ़ के लिए $v$ शीर्ष:
 * $$D = \frac{f-1}{2v-5}$$

घनत्व पालन करता है $2e ≥ 3f$, साथ $v – e + f = 2$ के लिए एक पूरी तरह से विरल समतलीय ग्राफ़ (एक पेड़), और $K−5$ पूरी तरह से सघन (अधिकतम) समतलीय ग्राफ़ के लिए।

दोहरा ग्राफ
एक एम्बेडिंग दिया गया $G$ किनारों के प्रतिच्छेदन के बिना समतल में (आवश्यक रूप से सरल नहीं) जुड़े हुए ग्राफ़ का, हम दोहरे ग्राफ़ का निर्माण करते हैं $G*$ इस प्रकार है: हम प्रत्येक फलक में एक शीर्ष चुनते हैं $G$ (बाहरी चेहरे सहित) और प्रत्येक किनारे के लिए $e$ में $G$ हम एक नई बढ़त का परिचय देते हैं $G*$ दो शीर्षों को अंदर जोड़ना $G*$ दो चेहरों के अनुरूप $G$ जो यहां मिलते हैं $e$. इसके अलावा, यह किनारा खींचा जाता है ताकि यह पार हो जाए $e$ बिल्कुल एक बार और उसका कोई दूसरा किनारा नहीं $G$ या $G*$ प्रतिच्छेदित है. तब $G*$ फिर से एक (जरूरी नहीं कि सरल) समतलीय ग्राफ का एम्बेडिंग है; इसके उतने ही किनारे हैं $G$, जितने शीर्ष $G$ के चेहरे और उतने ही चेहरे हैं $G$ शीर्ष है. द्वैत शब्द इस तथ्य से उचित है $f – 1$; यहां समानता गोले पर एम्बेडिंग की तुल्यता है। अगर $G$ तो उत्तल बहुफलक के अनुरूप समतलीय ग्राफ है $G*$ दोहरे बहुफलक के अनुरूप समतलीय ग्राफ है।

दोहरे उपयोगी होते हैं क्योंकि दोहरे ग्राफ़ के कई गुण मूल ग्राफ़ के गुणों से सरल तरीकों से संबंधित होते हैं, जिससे उनके दोहरे ग्राफ़ की जांच करके ग्राफ़ के बारे में परिणामों को सिद्ध किया जा सकता है।

जबकि किसी विशेष एम्बेडिंग के लिए निर्मित दोहरा अद्वितीय है ( समाकृतिकता तक), ग्राफ़ में अलग-अलग (यानी गैर-आइसोमोर्फिक) दोहरे हो सकते हैं, जो अलग-अलग (यानी होम्योमॉर्फिक) एम्बेडिंग से प्राप्त होते हैं।

अधिकतम समतलीय ग्राफ
एक साधारण ग्राफ़ को अधिकतम तलीय कहा जाता है यदि यह समतल है, लेकिन कोई भी किनारा जोड़ने (दिए गए शीर्ष सेट पर) उस संपत्ति को नष्ट कर देगा। फिर सभी फलकों (बाहरी फलक सहित) को तीन किनारों से घिरा दिया जाता है, जो वैकल्पिक शब्द समतल त्रिभुज की व्याख्या करता है। वैकल्पिक नाम त्रिकोणीय ग्राफ़ या त्रिकोणीय ग्राफ का भी उपयोग किया गया है, लेकिन वे अस्पष्ट हैं, क्योंकि वे आमतौर पर क्रमशः पूर्ण ग्राफ़ के लाइन ग्राफ़ और कॉर्डल ग्राफ़ को संदर्भित करते हैं। प्रत्येक अधिकतम तलीय ग्राफ़ कम से कम 3-जुड़ा हुआ होता है।

यदि एक अधिकतम समतलीय ग्राफ़ है $v$ शीर्षों के साथ $2v – 5$, तो यह बिल्कुल ठीक है $0 ≤ D ≤ 1$किनारे और $D = 0$ चेहरे के।

अपोलोनियन नेटवर्क त्रिकोणीय चेहरों को बार-बार छोटे त्रिकोणों के त्रिगुणों में विभाजित करके बनाए गए अधिकतम समतलीय ग्राफ़ हैं। समान रूप से, वे समतलीय k-वृक्ष|3-वृक्ष हैं।

स्ट्रेंग्युलेटेड ग्राफ़ वे ग्राफ़ होते हैं जिनमें प्रत्येक परिधीय चक्र एक त्रिभुज होता है। अधिकतम समतलीय ग्राफ़ (या अधिक आम तौर पर एक बहुफलकीय ग्राफ़) में परिधीय चक्र फलक होते हैं, इसलिए अधिकतम समतलीय ग्राफ़ का गला घोंट दिया जाता है। गला घोंट दिया गया ग्राफ में कॉर्डल ग्राफ़ भी शामिल हैं, और ये बिल्कुल ऐसे ग्राफ़ हैं जो पूर्ण ग्राफ़ और अधिकतम प्लानर ग्राफ़ के क्लिक-योग (किनारों को हटाए बिना) द्वारा बनाए जा सकते हैं।

आउटरप्लानर ग्राफ़
आउटरप्लानर ग्राफ़ समतल में एम्बेडिंग वाले ग्राफ़ होते हैं, जैसे कि सभी कोने एम्बेडिंग के असीमित चेहरे से संबंधित होते हैं। प्रत्येक बाहरी तलीय ग्राफ समतलीय होता है, लेकिन इसका विपरीत सत्य नहीं है: $D = 1$ समतलीय है लेकिन बाह्यतलीय नहीं है। कुराटोस्की के समान एक प्रमेय में कहा गया है कि एक परिमित ग्राफ बाहरी तलीय होता है यदि और केवल तभी जब इसमें उपविभाजन न हो $G** = G$ या का $v > 2$. उपरोक्त इस तथ्य का प्रत्यक्ष परिणाम है कि एक ग्राफ G}यदि ग्राफ़ से बना है तो } आउटरप्लानर है $G$ एक नया शीर्ष जोड़कर, किनारों के साथ इसे अन्य सभी शीर्षों से जोड़कर, एक समतल ग्राफ बनता है। ग्राफ़ का 1-आउटरप्लानर एम्बेडिंग आउटरप्लानर एम्बेडिंग के समान है। के लिए $3v – 6$ एक समतल एम्बेडिंग है $k$-आउटरप्लानर यदि बाहरी फलक पर शीर्षों को हटाने पर परिणाम मिलता है $2v – 4$-आउटरप्लानर एम्बेडिंग। एक ग्राफ है $k$-आउटरप्लानर अगर इसमें एक है $k$-आउटरप्लानर एम्बेडिंग।

हैलिन ग्राफ़
हालीन ग्राफ एक अप्रत्यक्ष समतल वृक्ष (बिना डिग्री-दो नोड्स के) से बना एक ग्राफ है, जो पेड़ के समतल एम्बेडिंग द्वारा दिए गए क्रम में, इसकी पत्तियों को एक चक्र में जोड़ता है। समान रूप से, यह एक बहुफलकीय ग्राफ है जिसमें एक फलक अन्य सभी फलकों से सटा हुआ होता है। प्रत्येक हेलिन ग्राफ समतलीय है। आउटरप्लानर ग्राफ़ की तरह, हेलिन ग्राफ़ में कम  वृक्ष चौड़ाई  होती है, जिससे उन पर कई एल्गोरिथम समस्याएं अप्रतिबंधित प्लेनर ग्राफ़ की तुलना में अधिक आसानी से हल हो जाती हैं।

ऊपर की ओर समतलीय ग्राफ़
एक उर्ध्व तलीय रेखाचित्र एक निर्देशित चक्रीय ग्राफ है जिसे समतल में इसके किनारों के साथ गैर-क्रॉसिंग वक्र के रूप में खींचा जा सकता है जो लगातार ऊपर की दिशा में उन्मुख होते हैं। प्रत्येक तलीय निर्देशित अचक्रीय ग्राफ उर्ध्व तलीय नहीं है, और यह परीक्षण करने के लिए एनपी-पूर्ण है कि कोई दिया गया ग्राफ उर्ध्व तलीय है या नहीं।

उत्तल तलीय ग्राफ
एक समतल ग्राफ को उत्तल कहा जाता है यदि उसके सभी फलक (बाहरी फलक सहित) उत्तल बहुभुज हों। सभी समतलीय ग्राफ़ में उत्तल एम्बेडिंग नहीं होती है (उदाहरण के लिए पूर्ण द्विदलीय ग्राफ़)। $K_{4}$). एक पर्याप्त शर्त यह है कि एक ग्राफ को उत्तल रूप से खींचा जा सकता है कि यह एक के-वर्टेक्स-कनेक्टेड ग्राफ़  | 3-वर्टेक्स-कनेक्टेड प्लेनर ग्राफ का एक उपखंड (ग्राफ सिद्धांत) है। टुट्टे एम्बेडिंग|टुट्टे का स्प्रिंग प्रमेय यहां तक ​​कहता है कि सरल 3-वर्टेक्स-कनेक्टेड प्लेनर ग्राफ़ के लिए आंतरिक शीर्षों की स्थिति को उसके पड़ोसियों के औसत के रूप में चुना जा सकता है।

शब्द-प्रतिनिधित्व योग्य समतलीय ग्राफ
शब्द-प्रतिनिधित्व योग्य ग्राफ़|शब्द-प्रतिनिधित्व योग्य समतलीय ग्राफ़ में त्रिभुज-मुक्त समतलीय ग्राफ़ और, अधिक सामान्यतः, 3-रंगीय समतलीय ग्राफ़ शामिल हैं, साथ ही त्रिकोणीय ग्रिड ग्राफ़ के कुछ निश्चित फलक उपविभाजन, रेफरी नाम = CKS2016 > और ग्रिड से ढके सिलेंडर ग्राफ़ के कुछ त्रिभुज। रेफरी नाम = CKS2016-2 >

समतलीय ग्राफ़ की गणना
(लेबल किए गए) समतल ग्राफ़ की संख्या के लिए स्पर्शोन्मुख विश्लेषण $$n$$ शिखर है $$g\cdot n^{-7/2}\cdot \gamma^n\cdot n!$$, कहाँ $$\gamma\approx 27.22687$$ और $$g\approx 0.43\times 10^{-5}$$. लगभग सभी समतलीय ग्राफों में ऑटोमोर्फिज्म की घातीय संख्या होती है। बिना लेबल वाले (गैर-आइसोमोर्फिक) समतल ग्राफ़ की संख्या $$n$$ शिखर के बीच है $$27.2^n$$ और $$30.06^n$$.

अन्य परिणाम
चार रंग प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक समतलीय ग्राफ ग्राफ़ रंग (यानी, 4-पार्टाइट) है।

फ़ेरी के प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक सरल समतलीय ग्राफ़ एक समतलीय सीधी-रेखा ग्राफ़ के रूप में प्रतिनिधित्व स्वीकार करता है। एक सार्वभौमिक बिंदु सेट बिंदुओं का एक सेट है जैसे कि एन कोने वाले प्रत्येक समतल ग्राफ में बिंदु सेट में सभी शीर्षों के साथ ऐसा एम्बेडिंग होता है; द्विघात आकार के सार्वभौमिक बिंदु सेट मौजूद हैं, जो पूर्णांक जाली के आयताकार उपसमुच्चय को लेकर बनते हैं। प्रत्येक सरल आउटरप्लानर ग्राफ़ समतल में एक एम्बेडिंग को स्वीकार करता है जैसे कि सभी शीर्ष एक निश्चित वृत्त पर स्थित होते हैं और सभी किनारे सीधी रेखा खंड होते हैं जो डिस्क के अंदर स्थित होते हैं और प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, इसलिए एन-वर्टेक्स नियमित बहुभुज आउटरप्लानर ग्राफ़ के लिए सार्वभौमिक होते हैं।

शीनरमैन का अनुमान (अब एक प्रमेय) बताता है कि प्रत्येक समतल ग्राफ को समतल में रेखा खंडों के प्रतिच्छेदन ग्राफ के रूप में दर्शाया जा सकता है।

समतल विभाजक प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक एन-वर्टेक्स समतल ग्राफ को ग्राफ सिद्धांत की दो शब्दावली में विभाजित किया जा सकता है # O को हटाकर अधिकतम 2n/3 आकार के सबग्राफ$\sqrt{n}$) शिखर. परिणामस्वरूप, समतलीय ग्राफ़ में वृक्ष-चौड़ाई और शाखा-चौड़ाई O($\sqrt{n}$).

समतलीय उत्पाद संरचना प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक समतलीय ग्राफ़ अधिकतम 8 और एक पथ पर वृक्ष चौड़ाई वाले ग्राफ़ के मजबूत ग्राफ़ उत्पाद का एक उपग्राफ़ है। इस परिणाम का उपयोग यह दिखाने के लिए किया गया है कि समतल ग्राफ़ में परिबद्ध कतार संख्या, परिबद्ध थू संख्या|गैर-दोहरावीय रंगीन संख्या और निकट-रेखीय आकार के सार्वभौमिक ग्राफ़ होते हैं। इसमें वर्टेक्स रैंकिंग के लिए भी एप्लिकेशन हैं और पी-केंद्रित रंग समतलीय रेखांकन का.

V शीर्षों वाले दो समतलीय ग्राफ़ों के लिए, समय O(v) में यह निर्धारित करना संभव है कि वे ग्राफ़ सिद्धांत हैं या नहीं (ग्राफ़ समरूपता समस्या भी देखें)।

सामान्यीकरण
शीर्ष ग्राफ एक ऐसा ग्राफ है जिसे एक शीर्ष को हटाकर समतल बनाया जा सकता है, और के-एपेक्स ग्राफ एक ऐसा ग्राफ है जिसे अधिकतम k शीर्षों को हटाकर समतल बनाया जा सकता है।

1-तलीय ग्राफ एक ऐसा ग्राफ है जिसे प्रति किनारे अधिकतम एक साधारण क्रॉसिंग के साथ समतल में खींचा जा सकता है, और के-प्लानर ग्राफ एक ऐसा ग्राफ है जिसे प्रति किनारे अधिकतम एक साधारण क्रॉसिंग के साथ खींचा जा सकता है।

मानचित्र ग्राफ़ एक ऐसा ग्राफ़ होता है जो दो क्षेत्रों को जोड़कर समतल में बहुत सारे सरलता से जुड़े हुए आंतरिक-विच्छेदित क्षेत्रों के एक सेट से बनता है, जब वे कम से कम एक सीमा बिंदु साझा करते हैं। जब अधिकतम तीन क्षेत्र एक बिंदु पर मिलते हैं, तो परिणाम एक समतलीय ग्राफ होता है, लेकिन जब चार या अधिक क्षेत्र एक बिंदु पर मिलते हैं, तो परिणाम गैर-तलीय हो सकता है (उदाहरण के लिए, यदि कोई सेक्टरों में विभाजित एक वृत्त के बारे में सोचता है, तो सेक्टरों के साथ) क्षेत्र होने पर, संबंधित मानचित्र ग्राफ़ पूर्ण ग्राफ़ होता है क्योंकि सभी सेक्टरों का एक सामान्य सीमा बिंदु होता है - केंद्र बिंदु)।

टॉरॉइडल ग्राफ़ एक ऐसा ग्राफ़ है जिसे टोरस्र्स  पर क्रॉसिंग के बिना एम्बेड किया जा सकता है। अधिक सामान्यतः, ग्राफ़ का जीनस (गणित) एक द्वि-आयामी सतह का न्यूनतम जीनस होता है जिसमें ग्राफ़ को एम्बेड किया जा सकता है; समतलीय ग्राफ़ में जीनस शून्य होता है और नॉनप्लानर टोरॉयडल ग्राफ़ में जीनस एक होता है। प्रत्येक ग्राफ़ को किसी (ओरिएंटेबल, कनेक्टेड) ​​बंद द्वि-आयामी सतह (हैंडल के साथ क्षेत्र) में क्रॉस किए बिना एम्बेड किया जा सकता है और इस प्रकार ग्राफ़ का जीनस अच्छी तरह से परिभाषित होता है। जाहिर है, यदि ग्राफ को जीनस जी के साथ एक (ओरिएंटेबल, कनेक्टेड, बंद) सतह में क्रॉसिंग के बिना एम्बेड किया जा सकता है, तो इसे अधिक या समान जीनस के साथ सभी (ओरिएंटेबल, कनेक्टेड, बंद) सतहों में क्रॉसिंग के बिना एम्बेड किया जा सकता है। ग्राफ़ सिद्धांत में अन्य अवधारणाएँ भी हैं जिन्हें एक्स कुछ क्वालीफायर के साथ एक्स जीनस कहा जाता है; सामान्य तौर पर ये बिना किसी योग्यता के जीनस की उपरोक्त परिभाषित अवधारणा से भिन्न होते हैं। विशेष रूप से एक ग्राफ़ का गैर-उन्मुखी जीनस (इसकी परिभाषा में गैर-उन्मुखी सतहों का उपयोग करके) उस ग्राफ़ के जीनस (इसकी परिभाषा में उन्मुखी सतहों का उपयोग करके) से एक सामान्य ग्राफ़ के लिए भिन्न होता है।

किसी भी ग्राफ़ को बिना क्रॉसिंग के त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एम्बेड किया जा सकता है। वास्तव में, किसी भी ग्राफ़ को दो समतल सेटअप में क्रॉसिंग के बिना खींचा जा सकता है, जहां दो विमानों को एक दूसरे के ऊपर रखा जाता है और किनारों को किसी भी स्थान पर एक विमान से दूसरे तक कूदने और नीचे गिरने की अनुमति होती है (सिर्फ नहीं) ग्राफ शीर्ष) ताकि किनारे अन्य किनारों के साथ प्रतिच्छेदन से बच सकें। इसकी व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है कि किसी भी विद्युत कंडक्टर नेटवर्क को दो-तरफा सर्किट बोर्ड के साथ बनाना संभव है जहां बोर्ड के किनारों के बीच विद्युत कनेक्शन बनाया जा सकता है (जैसा कि सामान्य वास्तविक जीवन सर्किट बोर्डों के साथ संभव है, विद्युत कनेक्शन के साथ) बोर्ड के ऊपरी हिस्से में तार के टुकड़ों के माध्यम से और नीचे की तरफ बोर्ड पर बने तांबे के ट्रैक के माध्यम से प्राप्त किया गया और बोर्ड के किनारों के बीच ड्रिलिंग छेद के माध्यम से विद्युत कनेक्शन प्राप्त किया गया, तारों को छेद के माध्यम से पारित किया गया और उन्हें टांका लगाया गया। पटरियों में); इसकी व्याख्या इस तरह भी की जा सकती है कि किसी भी सड़क नेटवर्क को बनाने के लिए केवल पुलों या सिर्फ सुरंगों की जरूरत होती है, दोनों की नहीं (2 स्तर पर्याप्त हैं, 3 की जरूरत नहीं है)। साथ ही, तीन आयामों में क्रॉसिंग के बिना ग्राफ़ खींचने का प्रश्न तुच्छ है। हालाँकि, प्लेनर ग्राफ़ का एक त्रि-आयामी एनालॉग लिंक रहित एम्बेडिंग  द्वारा प्रदान किया जाता है, ग्राफ़ जिन्हें त्रि-आयामी अंतरिक्ष में इस तरह से एम्बेड किया जा सकता है कि कोई भी दो चक्र एक दूसरे के साथ संख्या को नहीं जोड़ रहे हैं। कुराटोस्की और वैगनर के समतलीय ग्राफ़ के लक्षण वर्णन के अनुरूप, ऐसे ग्राफ़ जिनमें K शामिल नहीं है5 या के3,3 एक नाबालिग के रूप में, लिंकलेस एंबेडेबल ग्राफ़ को उन ग्राफ़ के रूप में चित्रित किया जा सकता है जिनमें पीटरसन परिवार के सात ग्राफ़ों में से कोई भी नाबालिग के रूप में शामिल नहीं है। आउटरप्लेनर और प्लेनर ग्राफ़ के लक्षण वर्णन के अनुरूप, कॉलिन डी वेरडीयर ग्राफ़ अधिकतम दो या तीन में अपरिवर्तनीय होते हैं, लिंकलेस एंबेडेबल ग्राफ़ वे ग्राफ़ होते हैं जिनमें कॉलिन डी वेरडीयर अधिकतम चार में अपरिवर्तनीय होते हैं।

यह भी देखें

 * कॉम्बिनेटरियल मैप एक कॉम्बिनेटरियल ऑब्जेक्ट है जो प्लेन ग्राफ़ को एनकोड कर सकता है
 * समतलीकरण, प्रत्येक क्रॉसिंग बिंदु को एक नए शीर्ष द्वारा प्रतिस्थापित करके क्रॉसिंग के साथ एक रेखाचित्र से बनाया गया एक समतल ग्राफ
 * मोटाई (ग्राफ़ सिद्धांत), समतलीय ग्राफ़ की सबसे छोटी संख्या जिसमें किसी दिए गए ग्राफ़ के किनारों को विभाजित किया जा सकता है
 * समतलता, एक पहेली कंप्यूटर गेम जिसमें उद्देश्य एक समतल ग्राफ़ को एक समतल पर एम्बेड करना है
 * अंकुर (खेल), एक पेंसिल-और-पेपर गेम जहां गेम खेलने के हिस्से के रूप में कुछ बाधाओं के अधीन एक प्लानर ग्राफ का निर्माण किया जाता है
 * तीन उपयोगिताएँ समस्या, एक लोकप्रिय पहेली

संदर्भ

 * . Special Issue on Graph Drawing.
 * . Special Issue on Graph Drawing.
 * . Special Issue on Graph Drawing.
 * . Special Issue on Graph Drawing.
 * . Special Issue on Graph Drawing.

बाहरी संबंध

 * Edge Addition Planarity Algorithm Source Code, version 1.0 &mdash; Free C source code for reference implementation of Boyer–Myrvold planarity algorithm, which provides both a combinatorial planar embedder and Kuratowski subgraph isolator. An open source project with free licensing provides the Edge Addition Planarity Algorithms, current version.
 * Public Implementation of a Graph Algorithm Library and Editor &mdash; GPL graph algorithm library including planarity testing, planarity embedder and Kuratowski subgraph exhibition in linear time.
 * Boost Graph Library tools for planar graphs, including linear time planarity testing, embedding, Kuratowski subgraph isolation, and straight-line drawing.
 * 3 Utilities Puzzle and Planar Graphs
 * NetLogo Planarity model &mdash; NetLogo version of John Tantalo's game