रेनॉल्ड्स समीकरण

द्रव यांत्रिकी (विशेष रूप से स्नेहन सिद्धांत) में, रेनॉल्ड्स समीकरण पतली चिपचिपी तरल फिल्मों के दबाव वितरण को नियंत्रित करने वाला आंशिक अंतर समीकरण है। इसे प्रथम बार सन्न 1886 में ओसबोर्न रेनॉल्ड्स द्वारा प्राप्त किया गया था। इस प्रकार मौलिक रेनॉल्ड्स समीकरण का उपयोग लगभग किसी भी प्रकार के द्रव फिल्म बेयरिंग में दबाव वितरण का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है। सामान्यतः असर प्रकार जिसमें बाउंडिंग बॉडी तरल या गैस की पतली परत से पूर्ण प्रकार से भिन्न हो जाती है।

सामान्य उपयोग
सामान्य रेनॉल्ड्स समीकरण है:$$\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\rho h^3}{12\mu}\frac{\partial p}{\partial x}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\rho h^3}{12\mu} \frac{\partial p}{\partial y}\right) = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\rho h \left( u_a + u_b \right)}{2}\right)+\frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\rho h \left( v_a + v_b \right)}{2}\right)+\rho\left(w_a-w_b\right) - \rho u_a\frac{\partial h}{\partial x} - \rho v_a \frac{\partial h}{\partial y} + h\frac{\partial \rho}{\partial t}$$

जहाँ:
 * $$p$$ द्रव फिल्म दबाव है।
 * $$x$$ और $$y$$ असर की चौड़ाई और लंबाई निर्देशांक हैं।
 * $$z$$ द्रव फिल्म की मोटाई का समन्वय है।
 * $$h$$ द्रव फिल्म की मोटाई है।
 * $$\mu$$ द्रव श्यानता है।
 * $$\rho$$ द्रव घनत्व है।
 * $$u, v, w$$ में बाउंडिंग बॉडी वेग हैं।
 * $$a, b$$ क्रमशः ऊपर और नीचे की बाउंडिंग बॉडी को दर्शाने वाली सबस्क्रिप्ट हैं।

समीकरण का उपयोग या तो सुसंगत इकाइयों या गैर-आयामीकरण के साथ किया जा सकता है।

रेनॉल्ड्स समीकरण मानता है:
 * द्रव न्यूटोनियन द्रव है।
 * द्रव श्यान बल द्रव जड़त्व बलों पर हावी होते हैं। यह रेनॉल्ड्स संख्या का सिद्धांत है।
 * द्रव शरीर बल नगण्य हैं।
 * द्रव फिल्म में दबाव का अंतर नगण्य रूप से छोटा है (अर्थात्, $$\frac{\partial p}{\partial z} = 0$$)
 * द्रव फिल्म की मोटाई चौड़ाई और लंबाई से बहुत कम है और इस प्रकार वक्रता प्रभाव नगण्य होता है। (अर्थात् $$h \ll l$$ और $$h \ll w$$).

कुछ सरल असर वाली ज्यामिति और सीमा स्थितियों के लिए, रेनॉल्ड्स समीकरण को विश्लेषणात्मक रूप से हल किया जा सकता है। चूँकि, अधिकांशतः समीकरण को संख्यात्मक रूप से हल किया जाता है। इस प्रकार अधिकांशतः इसमें ज्यामितीय कार्यक्षेत्र का विवेकीकरण सम्मिलित होता है, और फिर परिमित विधि क्रियान्वित होती है - अधिकांशतः परिमित अंतर विधि, परिमित मात्रा विधि, या परिमित तत्व विधि होती है।

नेवियर-स्टोक्स से व्युत्पत्ति
नेवियर-स्टोक्स समीकरणों से रेनॉल्ड्स समीकरण की पूर्ण व्युत्पत्ति अनेक स्नेहन पाठ्य पुस्तकों में पाया जा सकता है।

रेनॉल्ड्स समीकरण का समाधान
सामान्यतः, रेनॉल्ड्स समीकरण को परिमित अंतर, या परिमित तत्व जैसे संख्यात्मक विधियों का उपयोग करके हल करना पड़ता है। चूँकि, कुछ सरलीकृत स्थितियों में, विश्लेषणात्मक या अनुमानित समाधान प्राप्त किए जा सकते हैं।

समतल ज्यामिति पर कठोर गोले की स्थितियों, स्थिर-अवस्था की स्थितियों और अर्ध-सोमरफेल्ड गुहिकायन सीमा की स्थिति के लिए, 2-डी रेनॉल्ड्स समीकरण को विश्लेषणात्मक रूप से हल किया जा सकता है। यह समाधान नोबेल पुरस्कार विजेता प्योत्र कपित्सा द्वारा प्रस्तावित किया गया था। इस प्रकार हाफ-सोमरफेल्ड सीमा स्थिति को गलत दिखाया गया है और इस समाधान का उपयोग सावधानी से किया जाता है।

1-डी रेनॉल्ड्स समीकरण के स्थितियों में अनेक विश्लेषणात्मक या अर्ध-विश्लेषणात्मक समाधान उपलब्ध होता हैं। इस प्रकार सन्न 1916 में मार्टिन ने बंद फॉर्म समाधान प्राप्त किया था। चूँकि कठोर सिलेंडर और समतल ज्यामिति के लिए न्यूनतम फिल्म मोटाई और दबाव के लिए यह समाधान उन स्थितियों के लिए त्रुटिहीन नहीं होता है जब सतहों का लोचदार विरूपण फिल्म की मोटाई में महत्वपूर्ण योगदान देता है। सन्न 1949 में, ग्रुबिन ने अनुमानित समाधान प्राप्त किया है। इस प्रकार तथाकथित इलास्टो-हाइड्रोडायनामिक स्नेहन (ईएचएल) लाइन संपर्क समस्या के लिए, जहां उन्होंने लोचदार विरूपण और स्नेहक हाइड्रोडायनामिक प्रवाह दोनों को संयोजित किया है। इस समाधान में यह माना गया है कि दबाव प्रोफ़ाइल संपर्क यांत्रिकी का पालन करती है। इसलिए मॉडल उच्च भार पर त्रुटिहीन होता है, जब हाइड्रोडायनामिक दबाव हर्ट्ज़ संपर्क दबाव के समीप होता है।

अनुप्रयोग
रेनॉल्ड्स समीकरण का उपयोग अनेक अनुप्रयोगों में दबाव को मॉडल करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए:
 * बॉल बेयरिंग
 * वायु बीयरिंग
 * ज़र्नल बीयरिंग
 * विमान गैस टर्बाइनों में फिल्म डैम्पर्स को निचोड़ें
 * मानव कूल्हे और घुटने के जोड़
 * चिकनाई युक्त गियर संपर्क

रेनॉल्ड्स समीकरण अनुकूलन - औसत प्रवाह मॉडल
सन्न 1978 में पाटिर और चेंग ने औसत प्रवाह मॉडल प्रस्तुत किया था, जो लुब्रिकेटेड संपर्कों पर एस्परिटी (सामग्री विज्ञान) के प्रभावों पर विचार करने के लिए रेनॉल्ड्स समीकरण को संशोधित करता है। इस प्रकार औसत प्रवाह मॉडल स्नेहन के उन क्षेत्रों तक फैला है जहां सतहें एक-दूसरे के समीप होती हैं और/या छू रही हैं। चूँकि औसत प्रवाह मॉडल ने प्रवाह कारकों को यह समायोजित करने के लिए क्रियान्वित किया है कि स्नेहक के लिए स्लाइडिंग या लंबवत दिशा में प्रवाह करना कितना सरल है। अतः उन्होंने संपर्क कतरनी गणना को समायोजित करने के लिए शर्तें भी प्रस्तुत कीं है। इन व्यवस्थाओं में, सतह स्थलाकृति स्नेहक प्रवाह को निर्देशित करने का कार्य करती है, जो स्नेहक दबाव को प्रभावित करने और इस प्रकार सतह पृथक्करण और संपर्क घर्षण को प्रभावित करने के लिए प्रदर्शित किया गया है।

संपर्कों में द्रव फिल्मों के अनुकरण में संपर्क के अतिरिक्त विवरणों को ध्यान में रखने के लिए अनेक उल्लेखनीय प्रयास किए गए हैं। इस प्रकार लीटन एट अल. किसी भी मापी गई सतह से औसत प्रवाह मॉडल के लिए आवश्यक प्रवाह कारकों को निर्धारित करने के लिए विधि प्रस्तुत की गई है। सामान्यतः हार्प और सैलेंट अंतर-एस्पेरिटी गुहिकायन पर विचार करके औसत प्रवाह मॉडल को बढ़ाया है। चूँकि चेंगवेई और लिंकिंग औसत रेनॉल्ड्स समीकरण से अधिक समष्टि शब्दों में से किसी को हटाने के लिए सतह ऊंचाई संभाव्यता वितरण के विश्लेषण का उपयोग किया गया है, अतः $$d\bar{h_T}/dh$$ और इसे संपर्क प्रवाह कारक कहे जाने वाले प्रवाह कारक से बदलें, $$\phi_h$$. नोल एट अल. सतहों के लोचदार विरूपण को ध्यान में रखते हुए, प्रवाह कारकों की गणना की जाती है। मेंग एट अल. संपर्क सतहों के लोचदार विरूपण पर भी विचार किया गया है।

पाटिर और चेंग का कार्य चिकनाई वाले संपर्कों में सतह की बनावट की जांच का अग्रदूत था। यह प्रदर्शित करते हुए कि कैसे बड़े पैमाने पर सतह की विशेषताएं फिल्मों को भिन्न करने और घर्षण को कम करने के लिए माइक्रो-हाइड्रोडायनामिक लिफ्ट उत्पन्न करती हैं, किन्तु केवल तभी जब संपर्क स्थितियां इसका समर्थन करती हैं।

पाटिर और चेंग का औसत प्रवाह मॉडल, लोड किए गए संपर्कों में खुरदरी सतहों की परस्पर क्रिया के मॉडलिंग के लिए इसे अधिकांशतः संपर्क यांत्रिकी के साथ जोड़ा जाता है।