सघन स्थान

] गणित में, विशेष रूप से सामान्य टोपोलॉजी में, कॉम्पैक्टनेस एक संपत्ति है जो यूक्लिडियन स्थान  के एक [[परिबद्ध सेट]] और बंधे हुए सेट उपसमुच्चय की धारणा को सामान्य बनाने का प्रयास करती है। विचार यह है कि एक कॉम्पैक्ट स्पेस में कोई पंक्चर या लापता समापन बिंदु नहीं होता है, यानी, इसमें बिंदुओं की सभी सीमाएं (गणित) शामिल होती हैं। उदाहरण के लिए, खुला अंतराल (गणित) (0,1) सघन नहीं होगा क्योंकि इसमें 0 और 1 के सीमित मान शामिल नहीं हैं, जबकि बंद अंतराल [0,1] सघन होगा। इसी प्रकार, परिमेय संख्याओं का स्थान $$\mathbb{Q}$$ कॉम्पैक्ट नहीं है, क्योंकि इसमें अपरिमेय संख्याओं और वास्तविक संख्याओं के स्थान के अनुरूप अनंत रूप से कई पंचर हैं $$\mathbb{R}$$ कॉम्पैक्ट भी नहीं है, क्योंकि इसमें दो सीमित मान शामिल नहीं हैं $$+\infty$$ और $$-\infty$$. हालाँकि, विस्तारित वास्तविक संख्याएँ सघन होंगी, क्योंकि इसमें दोनों अनन्तताएँ शामिल हैं। इस अनुमानी धारणा को सटीक बनाने के कई तरीके हैं। ये तरीके आम तौर पर मीट्रिक स्थान में सहमत होते हैं, लेकिन अन्य टोपोलॉजिकल स्पेस में तार्किक तुल्यता नहीं हो सकते हैं।

ऐसा एक सामान्यीकरण यह है कि एक टोपोलॉजिकल स्पेस क्रमिक रूप से कॉम्पैक्ट होता है यदि अंतरिक्ष से सैंपल किए गए बिंदुओं के प्रत्येक अनंत अनुक्रम में एक अनंत परिणाम होता है जो अंतरिक्ष के किसी बिंदु पर परिवर्तित होता है। बोलजानो-वीयरस्ट्रैस प्रमेय में कहा गया है कि यूक्लिडियन अंतरिक्ष का एक उपसमुच्चय इस अनुक्रमिक अर्थ में कॉम्पैक्ट है यदि और केवल अगर यह बंद और घिरा हुआ है।

इस प्रकार, यदि कोई बंद इकाई अंतराल में अनंत अंक चुनता है $A = (−∞, −2]$, उनमें से कुछ बिंदु मनमाने ढंग से उस स्थान में कुछ वास्तविक संख्या के करीब आ जाएंगे। उदाहरण के लिए, अनुक्रम में कुछ संख्याएँ $1⁄2$, $4⁄5$, $1⁄3$, $5⁄6$, $1⁄4$, $6⁄7$, ... 0 तक जमा होता है (जबकि अन्य 1 तक जमा होते हैं)। चूँकि न तो 0 और न ही 1 खुले इकाई अंतराल के सदस्य हैं $C = (2, 4)$, बिंदुओं का वही सेट इसके किसी भी बिंदु पर जमा नहीं होगा, इसलिए खुली इकाई अंतराल कॉम्पैक्ट नहीं है। यद्यपि यूक्लिडियन अंतरिक्ष के उपसमुच्चय (उपस्थान) कॉम्पैक्ट हो सकते हैं, संपूर्ण स्थान स्वयं कॉम्पैक्ट नहीं है, क्योंकि यह बाध्य नहीं है। उदाहरण के लिए, विचार कर रहे हैं $$\mathbb{R}^1$$ (वास्तविक संख्या रेखा), बिंदुओं का क्रम 0,  1,  2,  3, ... का कोई अनुवर्ती नहीं है जो किसी वास्तविक संख्या में परिवर्तित होता हो।

कॉम्पैक्टनेस को औपचारिक रूप से 1906 में मौरिस फ्रेचेट द्वारा बोल्ज़ानो-वीयरस्ट्रैस प्रमेय को ज्यामितीय बिंदुओं के स्थानों से कार्य स्थान तक सामान्यीकृत करने के लिए पेश किया गया था। अर्ज़ेला-अस्कोली प्रमेय और पीनो अस्तित्व प्रमेय शास्त्रीय विश्लेषण के लिए सघनता की इस धारणा के अनुप्रयोगों का उदाहरण देते हैं। इसके प्रारंभिक परिचय के बाद, सामान्य मीट्रिक स्थानों में अनुक्रमिक रूप क्रमिक रूप से संकुचित स्थान और सीमा बिंदु कॉम्पैक्टनेस सहित कॉम्पैक्टनेस की विभिन्न समकक्ष धारणाएं विकसित की गईं। हालाँकि, सामान्य टोपोलॉजिकल स्पेस में, कॉम्पैक्टनेस की ये धारणाएँ आवश्यक रूप से समतुल्य नहीं हैं। सबसे उपयोगी धारणा - और अयोग्य शब्द कॉम्पैक्टनेस की मानक परिभाषा - को खुले सेटों के परिमित परिवारों के अस्तित्व के संदर्भ में व्यक्त किया गया है जो अंतरिक्ष को कवर (टोपोलॉजी) इस अर्थ में करते हैं कि अंतरिक्ष का प्रत्येक बिंदु किसी न किसी सेट में निहित है। परिवार। 1929 में पावेल अलेक्जेंड्रोव और पावेल उरीसोहन द्वारा पेश की गई यह अधिक सूक्ष्म धारणा, सीमित स्थानों को परिमित सेटों के सामान्यीकरण के रूप में प्रदर्शित करती है। ऐसे स्थानों में जो इस अर्थ में कॉम्पैक्ट होते हैं, स्थानीय संपत्ति रखने वाली जानकारी को एक साथ पैच करना अक्सर संभव होता है - यानी, प्रत्येक बिंदु के पड़ोस में - संबंधित बयानों में जो पूरे स्थान में होते हैं, और कई प्रमेय इस चरित्र के होते हैं।

'कॉम्पैक्ट सेट' शब्द का प्रयोग कभी-कभी कॉम्पैक्ट स्पेस के पर्याय के रूप में किया जाता है, लेकिन यह अक्सर टोपोलॉजिकल स्पेस के सबसेट की कॉम्पैक्टनेस को भी संदर्भित करता है।

ऐतिहासिक विकास
19वीं शताब्दी में, कई असमान गणितीय गुणों को समझा गया जिन्हें बाद में सघनता के परिणाम के रूप में देखा जाएगा। एक ओर, बर्नार्ड बोलजानो (#CITEREFBolzano1817) को पता था कि बिंदुओं के किसी भी बंधे हुए अनुक्रम (उदाहरण के लिए, रेखा या विमान में) का एक परिणाम होता है जो अंततः मनमाने ढंग से किसी अन्य बिंदु के करीब आना चाहिए, जिसे सीमा बिंदु कहा जाता है। अनुक्रम। बोल्ज़ानो का प्रमाण द्विभाजन की विधि पर निर्भर करता था: अनुक्रम को एक अंतराल में रखा गया था जिसे फिर दो बराबर भागों में विभाजित किया गया था, और अनुक्रम के अनंत रूप से कई पदों वाले एक भाग का चयन किया गया था। परिणामी छोटे अंतराल को छोटे और छोटे भागों में विभाजित करके प्रक्रिया को दोहराया जा सकता है - जब तक कि यह वांछित सीमा बिंदु पर बंद न हो जाए। बोलजानो-वीयरस्ट्रैस प्रमेय का पूरा महत्व|बोलजानो की प्रमेय, और इसकी प्रमाण की विधि, लगभग 50 साल बाद तक सामने नहीं आई जब इसे कार्ल वीयरस्ट्रैस द्वारा फिर से खोजा गया। 1880 के दशक में, यह स्पष्ट हो गया कि बोलजानो-वीयरस्ट्रैस प्रमेय के समान परिणाम केवल संख्याओं या ज्यामितीय बिंदुओं के बजाय कार्य स्थान के लिए तैयार किए जा सकते हैं। कार्यों को एक सामान्यीकृत स्थान के बिंदुओं के रूप में मानने का विचार गिउलिओ एस्कोली और सेसारे अर्ज़ेला की जांच से जुड़ा है। उनकी जांच की परिणति, अर्ज़ेला-एस्कोली प्रमेय, निरंतर कार्यों के परिवारों के लिए बोल्ज़ानो-वीयरस्ट्रैस प्रमेय का एक सामान्यीकरण था, जिसका सटीक निष्कर्ष यह था कि एक उपयुक्त परिवार से कार्यों का एक समान अभिसरण अनुक्रम निकालना संभव था। कार्य. इस क्रम की एकसमान सीमा ने बोल्ज़ानो के सीमा बिंदु के समान ही भूमिका निभाई। बीसवीं शताब्दी की शुरुआत में, डेविड हिल्बर्ट और एरहार्ड श्मिट द्वारा जांच के अनुसार, अर्ज़ेला और एस्कोली के समान परिणाम अभिन्न समीकरणों के क्षेत्र में जमा होने लगे। इंटीग्रल समीकरणों के समाधान से आने वाले ग्रीन के कार्यों के एक निश्चित वर्ग के लिए, श्मिट ने दिखाया था कि आर्ज़ेला-एस्कोली प्रमेय के अनुरूप एक संपत्ति माध्य अभिसरण के अर्थ में होती है - या अभिसरण जिसे बाद में हिल्बर्ट स्थान  कहा जाएगा। इसने अंततः एक कॉम्पैक्ट स्पेस की सामान्य धारणा की एक शाखा के रूप में एक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर की धारणा को जन्म दिया। यह मौरिस रेने फ़्रेचेट थे|मौरिस फ़्रेचेट, जिन्होंने #CITEREFFréchet1906 में, बोल्ज़ानो-वीयरस्ट्रैस संपत्ति के सार को आसवित किया था और इस सामान्य घटना को संदर्भित करने के लिए कॉम्पैक्टनेस शब्द गढ़ा था (उन्होंने इस शब्द का उपयोग अपने 1904 के पेपर में पहले से ही किया था) जिसके फलस्वरूप प्रसिद्ध 1906 थीसिस सामने आई)।

हालाँकि, 19वीं शताब्दी के अंत में रैखिक सातत्य के अध्ययन से समग्रता की एक अलग धारणा भी धीरे-धीरे उभरी थी, जिसे विश्लेषण के कठोर सूत्रीकरण के लिए मौलिक माना गया था। 1870 में, एडवर्ड हेन ने दिखाया कि एक बंद और सीमित अंतराल पर परिभाषित एक सतत कार्य वास्तव में समान रूप से निरंतर था। प्रमाण के दौरान, उन्होंने एक लेम्मा का उपयोग किया कि छोटे खुले अंतरालों द्वारा अंतराल के किसी भी गणनीय कवर से, इनमें से एक सीमित संख्या का चयन करना संभव था जो इसे भी कवर करता था। इस लेम्मा के महत्व को एमिल बोरेल (#CITEREFBorel1895) द्वारा पहचाना गया था, और इसे पियरे कजिन (गणितज्ञ) (1895) और हेनरी लेबेस्गुए (#CITEREFLebesgue1904) द्वारा अंतरालों के मनमाने संग्रह के लिए सामान्यीकृत किया गया था। हेन-बोरेल प्रमेय, जैसा कि परिणाम अब ज्ञात है, वास्तविक संख्याओं के बंद और बंधे हुए सेटों के पास एक और विशेष संपत्ति है।

यह संपत्ति महत्वपूर्ण थी क्योंकि यह एक सेट के बारे में स्थानीय संपत्ति (जैसे किसी फ़ंक्शन की निरंतरता) से सेट के बारे में वैश्विक जानकारी (जैसे किसी फ़ंक्शन की एक समान निरंतरता) तक पारित होने की अनुमति देती थी। यह भावना व्यक्त की गई, जिन्होंने लेब्सग इंटीग्रल के विकास में भी इसका उपयोग किया। अंततः, पावेल अलेक्जेंड्रोव और पावेल उरीसोहन के निर्देशन में बिंदु-सेट टोपोलॉजी  के रूसी स्कूल ने हेइन-बोरेल कॉम्पैक्टनेस को इस तरह से तैयार किया, जिसे टोपोलॉजिकल स्पेस की आधुनिक धारणा पर लागू किया जा सके।   ने दिखाया कि फ़्रेचेट के कारण कॉम्पैक्टनेस का पुराना संस्करण, जिसे अब (सापेक्ष) अनुक्रमिक कॉम्पैक्टनेस कहा जाता है, उचित परिस्थितियों अनुक्रमिक सघनता के उस संस्करण का अनुसरण करता है जिसे परिमित उपकवरों के अस्तित्व के संदर्भ में तैयार किया गया था। यह कॉम्पैक्टनेस की धारणा थी जो प्रमुख बन गई, क्योंकि यह न केवल एक मजबूत संपत्ति थी, बल्कि इसे न्यूनतम अतिरिक्त तकनीकी मशीनरी के साथ अधिक सामान्य सेटिंग में तैयार किया जा सकता था, क्योंकि यह केवल खुले सेट की संरचना पर निर्भर थी। एक स्थान में.

बुनियादी उदाहरण
कोई भी परिमित स्थलाकृतिक स्थान सघन होता है; प्रत्येक बिंदु के लिए, उसमें मौजूद एक खुले सेट का चयन करके एक सीमित उपकवर प्राप्त किया जा सकता है। कॉम्पैक्ट स्पेस का एक गैर-तुच्छ उदाहरण (बंद) इकाई अंतराल है $X$ वास्तविक संख्याओं का। यदि कोई इकाई अंतराल में अनंत संख्या में अलग-अलग बिंदु चुनता है, तो उस अंतराल में इन बिंदुओं के बीच कुछ संचय बिंदु होना चाहिए। उदाहरण के लिए, अनुक्रम के विषम संख्या वाले पद 1, 1/2, 1/3, 3/4, 1/5, 5/6, 1/7, 7/8, ... मनमाने ढंग से 0 के करीब पहुंच जाते हैं, जबकि सम-संख्या वाले मनमाने ढंग से 1 के करीब पहुंच जाते हैं। दिया गया उदाहरण अनुक्रम अंतराल की सीमा (टोपोलॉजी) बिंदुओं को शामिल करने के महत्व को दर्शाता है, क्योंकि अनुक्रम की सीमा अंतरिक्ष में ही होनी चाहिए - वास्तविक संख्याओं का एक खुला (या आधा खुला) अंतराल सघन नहीं होता है। यह भी महत्वपूर्ण है कि अंतराल को सीमित किया जाए, क्योंकि अंतराल में $A$, कोई अंकों का क्रम चुन सकता है 0, 1, 2, 3, ..., जिसका कोई भी उप-अनुक्रम अंततः मनमाने ढंग से किसी भी वास्तविक संख्या के करीब नहीं आता है।

दो आयामों में, बंद डिस्क (गणित) कॉम्पैक्ट होती है क्योंकि डिस्क से लिए गए किसी भी अनंत संख्या में बिंदुओं के लिए, उन बिंदुओं के कुछ उपसमुच्चय को मनमाने ढंग से या तो डिस्क के भीतर एक बिंदु या सीमा पर एक बिंदु के करीब आना चाहिए। हालाँकि, एक खुली डिस्क कॉम्पैक्ट नहीं होती है, क्योंकि बिंदुओं का एक क्रम सीमा की ओर बढ़ सकता है - आंतरिक भाग में किसी भी बिंदु के मनमाने ढंग से करीब आए बिना। इसी तरह, गोले सघन होते हैं, लेकिन एक गोले में एक बिंदु नहीं होता है क्योंकि बिंदुओं का एक क्रम अभी भी लुप्त बिंदु की ओर बढ़ सकता है, जिससे अंतरिक्ष के भीतर किसी भी बिंदु के मनमाने ढंग से करीब नहीं आ सकता है। रेखाएं और समतल सघन नहीं होते हैं, क्योंकि कोई भी व्यक्ति किसी भी बिंदु तक पहुंचे बिना किसी भी दिशा में समान दूरी वाले बिंदुओं का एक सेट ले सकता है।

परिभाषाएँ
व्यापकता के स्तर के आधार पर सघनता की विभिन्न परिभाषाएँ लागू हो सकती हैं। विशेष रूप से यूक्लिडियन स्पेस के एक उपसमुच्चय को कॉम्पैक्ट कहा जाता है यदि यह बंद सेट और घिरा हुआ सेट है। बोल्ज़ानो-वीयरस्ट्रैस प्रमेय द्वारा इसका तात्पर्य यह है कि सेट से किसी भी अनंत अनुक्रम (गणित) का एक परिणाम होता है जो सेट में एक बिंदु पर परिवर्तित होता है। सघनता की विभिन्न समतुल्य धारणाएँ, जैसे अनुक्रमिक सघनता और सीमा बिंदु सघनता, सामान्य मीट्रिक स्थानों में विकसित की जा सकती हैं।

इसके विपरीत, कॉम्पैक्टनेस की विभिन्न धारणाएं सामान्य टोपोलॉजिकल स्पेस में समतुल्य नहीं हैं, और कॉम्पैक्टनेस की सबसे उपयोगी धारणा - जिसे मूल रूप से बायोकॉम्पैक्टनेस कहा जाता है - को खुले सेटों से युक्त कवर (टोपोलॉजी) का उपयोग करके परिभाषित किया गया है (नीचे ओपन कवर परिभाषा देखें)। कॉम्पैक्टनेस का यह रूप यूक्लिडियन अंतरिक्ष के बंद और बंधे उपसमुच्चय के लिए मान्य है, जिसे हेइन-बोरेल प्रमेय के रूप में जाना जाता है। कॉम्पैक्टनेस, जब इस तरीके से परिभाषित की जाती है, तो अक्सर किसी को वह जानकारी लेने की अनुमति मिलती है जो स्थानीय संपत्ति के रूप में जानी जाती है - अंतरिक्ष के प्रत्येक बिंदु के पड़ोस (गणित) में - और इसे उस जानकारी तक विस्तारित करने के लिए जो पूरे अंतरिक्ष में विश्व स्तर पर मौजूद है। इस घटना का एक उदाहरण डिरिचलेट का प्रमेय है, जिस पर इसे मूल रूप से हेइन द्वारा लागू किया गया था, कि एक कॉम्पैक्ट अंतराल पर एक निरंतर कार्य समान रूप से निरंतर होता है; यहां, निरंतरता फ़ंक्शन की एक स्थानीय संपत्ति है, और समान निरंतरता संबंधित वैश्विक संपत्ति है।

ओपन कवर परिभाषा
औपचारिक रूप से, एक टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ को कॉम्पैक्ट कहा जाता है यदि प्रत्येक खुला कवर $x$ में एक सीमित सेट छिपाना  है। वह है, $x$ यदि प्रत्येक संग्रह के लिए कॉम्पैक्ट है $A$ के खुले उपसमुच्चय $x$ ऐसा है कि


 * $$X = \bigcup_{x \in C}x$$,

एक सीमित उपसंग्रह है $a$ ⊆ $x$ ऐसा है कि


 * $$X = \bigcup_{x \in F} x\ .$$

गणित की कुछ शाखाएँ जैसे कि बीजगणितीय ज्यामिति, आमतौर पर निकोलस बॉर्बकी के फ्रांसीसी स्कूल से प्रभावित होती हैं, सामान्य धारणा के लिए अर्ध-कॉम्पैक्ट शब्द का उपयोग करती हैं, और टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के लिए कॉम्पैक्ट शब्द को आरक्षित करती हैं जो हॉसडॉर्फ़ स्थान और अर्ध-कॉम्पैक्ट दोनों हैं। एक कॉम्पैक्ट सेट को कभी-कभी कॉम्पैक्टम, बहुवचन कॉम्पेक्टा के रूप में जाना जाता है।

उपसमुच्चय की सघनता
उपसमुच्चय $A$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस का $A$ को कॉम्पैक्ट कहा जाता है यदि यह एक सबस्पेस (सबस्पेस टोपोलॉजी में) के रूप में कॉम्पैक्ट है। वह है, $x$ प्रत्येक मनमाने संग्रह के लिए कॉम्पैक्ट है $x$ के खुले उपसमुच्चय $A$ ऐसा है कि


 * $$K \subseteq \bigcup_{c \in C} c\ ,$$

एक सीमित उपसंग्रह है $A$ ⊆ $[0,1]$ ऐसा है कि


 * $$K \subseteq \bigcup_{c \in F} c\ .$$

सघनता एक टोपोलॉजिकल गुण है। अर्थात यदि $$K \subset Z \subset Y$$, उपसमुच्चय के साथ $[0,∞)$ फिर, सबस्पेस टोपोलॉजी से सुसज्जित $X$ में कॉम्पैक्ट है $X$ अगर और केवल अगर $X$ में कॉम्पैक्ट है $C$.

लक्षण वर्णन
अगर $X$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस है तो निम्नलिखित समकक्ष हैं:
 * 1) $F$ सघन है; यानी, हर खुला कवर $C$ का एक सीमित उपकवर है।
 * 2) $K$ का एक उप-आधार इस प्रकार है कि उप-आधार के सदस्यों द्वारा अंतरिक्ष के प्रत्येक आवरण में एक परिमित उप-आधार होता है (अलेक्जेंडर का उप-आधार प्रमेय)।
 * 3) $X$ लिंडेलोफ स्थान है|लिंडेलोफ और गणनीय रूप से सघन
 * 4) बंद उपसमुच्चय का कोई भी संग्रह $K$ परिमित प्रतिच्छेदन संपत्ति के साथ गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन है।
 * 5) हर नेट (गणित) चालू $C$ में एक अभिसरण सबनेट है (प्रमाण के लिए नेट (गणित) पर आलेख देखें)।
 * 6) टोपोलॉजी में प्रत्येक फ़िल्टर चालू है $X$ में अभिसरण शोधन है।
 * 7) हर नेट ऑन $F$ का एक क्लस्टर बिंदु है।
 * 8) प्रत्येक फ़िल्टर चालू $C$ का एक क्लस्टर बिंदु है।
 * 9) हर  अल्ट्राफिल्टर (सेट सिद्धांत)  चालू $Z$ कम से कम एक बिंदु पर एकत्रित होता है।
 * 10) प्रत्येक अनंत उपसमुच्चय $K$ का एक पूर्ण संचय बिंदु है।
 * 11) प्रत्येक टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए $Z$, प्रक्षेपण $$X \times Y \to Y$$ एक बंद मैपिंग है (उचित मानचित्र देखें)।

बोर्बाकी एक कॉम्पैक्ट स्पेस (अर्ध-कॉम्पैक्ट स्पेस) को एक टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में परिभाषित करता है जहां प्रत्येक फ़िल्टर में एक क्लस्टर पॉइंट होता है (यानी, उपरोक्त में 8)।

यूक्लिडियन स्पेस
किसी भी उपसमुच्चय के लिए $K$यूक्लिडियन अंतरिक्ष का, $Y$ सघन है यदि और केवल यदि यह बंद सेट और परिबद्ध सेट है; यह हेइन-बोरेल प्रमेय है।

चूंकि यूक्लिडियन स्पेस एक मीट्रिक स्पेस है, अगले उपधारा की शर्तें इसके सभी उपसमुच्चयों पर भी लागू होती हैं। सभी समतुल्य स्थितियों में, व्यवहार में यह सत्यापित करना सबसे आसान है कि एक उपसमुच्चय बंद और परिबद्ध है, उदाहरण के लिए, एक बंद अंतराल (गणित) या बंद अंतराल के लिए $X$-गेंद।

मीट्रिक रिक्त स्थान
किसी भी मीट्रिक स्थान के लिए $B = [0, 1]$, निम्नलिखित समकक्ष हैं (गणनीय विकल्प मानते हुए):
 * 1) $[0, 1]$ सघन है.
 * 2) $(0, 1)$ पूर्णता (टोपोलॉजी) है और पूरी तरह से घिरा हुआ है (यह समान स्थानों के लिए कॉम्पैक्टनेस के बराबर भी है)।
 * 3) $x ∈ X$ क्रमिक रूप से सघन है; अर्थात्, प्रत्येक क्रम में $X$ में एक अभिसरण अनुवर्ती है जिसकी सीमा अंदर है $X$ (यह प्रथम-गणनीय समान स्थानों के लिए कॉम्पैक्टनेस के बराबर भी है)।
 * 4) $a ∈ A$ सीमा बिंदु कॉम्पैक्ट है (जिसे कमजोर रूप से गणनीय कॉम्पैक्ट भी कहा जाता है); अर्थात्, प्रत्येक अनंत उपसमुच्चय $X$ में सेट का कम से कम एक सीमा बिंदु होता है $X$.
 * 5) $U(x)$ गणनीय रूप से सघन है; अर्थात्, प्रत्येक गणनीय खुला आवरण $X$ का एक सीमित उपकवर है।
 * 6) $V(a)$ कैंटर सेट से एक सतत फ़ंक्शन की एक छवि है।
 * 7) गैर-रिक्त बंद उपसमुच्चय का प्रत्येक घटता हुआ नेस्टेड अनुक्रम $U(x)$ में $V(a)$ में एक गैर-रिक्त चौराहा है।
 * 8) उचित खुले उपसमुच्चय का हर बढ़ता हुआ नेस्टेड अनुक्रम ${V(a) : a ∈ A}$ में $U(x)$ कवर करने में विफल रहता है $X$.

एक कॉम्पैक्ट मीट्रिक स्थान $(X, d)$ निम्नलिखित गुणों को भी संतुष्ट करता है:
 * 1) लेबेस्ग्यू की संख्या प्रमेयिका: प्रत्येक खुले आवरण के लिए $X$, वहां एक संख्या मौजूद है δ > 0 ऐसा कि प्रत्येक उपसमुच्चय $X$ व्यास का < $X$ कवर के कुछ सदस्य में निहित है।
 * 2) $(X, d)$ द्वितीय-गणनीय स्थान है|द्वितीय-गणनीय, पृथक्करणीय स्थान और लिंडेलोफ़ स्थान|लिंडेलोफ़ - ये तीन स्थितियाँ मीट्रिक रिक्त स्थान के लिए समतुल्य हैं। इसका उलट सत्य नहीं है; उदाहरण के लिए, एक गणनीय असतत स्थान इन तीन शर्तों को पूरा करता है, लेकिन कॉम्पैक्ट नहीं है।
 * 3) $X$ बंद और घिरा हुआ है (किसी भी मीट्रिक स्थान के सबसेट के रूप में जिसका प्रतिबंधित मीट्रिक है $X$). गैर-यूक्लिडियन स्थान के लिए इसका विपरीत विफल हो सकता है; जैसे असतत मीट्रिक से सुसज्जित वास्तविक रेखा बंद और परिबद्ध है लेकिन कॉम्पैक्ट नहीं है, क्योंकि अंतरिक्ष के सभी सिंगलटन (गणित) का संग्रह एक खुला आवरण है जो किसी परिमित उपकवर को स्वीकार नहीं करता है। यह पूर्ण है लेकिन पूरी तरह से सीमित नहीं है।

आदेशित स्थान
एक आदेशित स्थान के लिए $(X, d)$ (यानी ऑर्डर टोपोलॉजी से सुसज्जित एक पूरी तरह से ऑर्डर किया गया सेट), निम्नलिखित समकक्ष हैं:
 * 1) $(X, d)$ सघन है.
 * 2) प्रत्येक उपसमुच्चय $Y$ में एक सर्वोच्च (अर्थात न्यूनतम ऊपरी सीमा) है $A$.
 * 3) प्रत्येक उपसमुच्चय $A$ में एक अनंत (अर्थात सबसे बड़ी निचली सीमा) है $n$.
 * 4) प्रत्येक गैर-रिक्त बंद उपसमुच्चय $X$ में अधिकतम और न्यूनतम तत्व है।

इन शर्तों में से किसी एक को संतुष्ट करने वाला एक व्यवस्थित स्थान पूर्ण जाली कहलाता है।

इसके अलावा, निम्नलिखित सभी ऑर्डर किए गए स्थानों के लिए समतुल्य हैं $(X, d)$, और (गणनीय विकल्प मानते हुए) जब भी सत्य होते हैं $(X, d)$ सघन है. (सामान्य तौर पर बातचीत विफल हो जाती है यदि $(X, d)$ भी मेट्रिज़ेबल नहीं है।):
 * 1) हर क्रम में $S_{1} ⊇ S_{2} ⊇ ...$ में एक अनुवर्ती है जो अभिसरण करता है $(X, d)$.
 * 2) प्रत्येक मोनोटोन में क्रम बढ़ता जा रहा है $X$ में एक अद्वितीय सीमा तक अभिसरण होता है $X$.
 * 3) प्रत्येक मोनोटोन घटते क्रम में $X$ में एक अद्वितीय सीमा तक अभिसरण होता है $X$.
 * 4) गैर-रिक्त बंद उपसमुच्चय का प्रत्येक घटता हुआ नेस्टेड अनुक्रम $X$1 ⊇ $X$2 ⊇ ...में $S_{1} ⊆ S_{2} ⊆ ...$ में एक गैर-रिक्त चौराहा है।
 * 5) उचित खुले उपसमुच्चय का हर बढ़ता हुआ नेस्टेड अनुक्रम $X$1 ⊆ $δ$2 ⊆...में $(X, d)$ कवर करने में विफल रहता है $X$.

सतत कार्यों द्वारा विशेषता
होने देना $d$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस बनें और $(X, d)$ वास्तविक सतत कार्यों का वलय $X$. प्रत्येक के लिए $(X, d)$, मूल्यांकन मानचित्र $$\operatorname{ev}_p\colon C(X)\to \mathbb{R}$$ द्वारा दिए गए $(X, <)$ एक वलय समरूपता है। का कर्नेल (बीजगणित)। evp}अवशेष क्षेत्र के बाद से } एक अधिकतम आदर्श है $(X, <)$ प्रथम समरूपता प्रमेय के अनुसार, वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र है। एक टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ छद्मकॉम्पैक्ट स्थान  है यदि और केवल यदि प्रत्येक अधिकतम आदर्श में $(X, <)$ में अवशेष फ़ील्ड में वास्तविक संख्याएँ हैं। पूरी तरह से नियमित स्थानों के लिए, यह मूल्यांकन समरूपता के कर्नेल होने वाले प्रत्येक अधिकतम आदर्श के बराबर है। हालाँकि, ऐसे छद्मकॉम्पैक्ट स्थान हैं जो कॉम्पैक्ट नहीं हैं।

सामान्य तौर पर, गैर-छद्मकॉम्पैक्ट स्थानों के लिए हमेशा अधिकतम आदर्श होते हैं $X$ में $(X, <)$ जैसे कि अवशेष क्षेत्र $(X, <)$ एक (गैर-आर्किमिडीयन क्षेत्र|गैर-आर्किमिडीयन) अतियथार्थवादी क्षेत्र है। गैर-मानक विश्लेषण की रूपरेखा कॉम्पैक्टनेस के निम्नलिखित वैकल्पिक लक्षण वर्णन की अनुमति देती है: एक टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ सघन है यदि और केवल यदि प्रत्येक बिंदु $X$प्राकृतिक विस्तार का $(X, <)$ एक बिंदु से अतिसूक्ष्म है $(X, <)$ का $X$ (ज्यादा ठीक, $X$ के मोनैड (गैर-मानक विश्लेषण) में निहित है $(X, <)$).

हाइपररियल परिभाषा
एक स्थान $X$ सघन है यदि इसकी अतिवास्तविक संख्या है $(X, <)$ (उदाहरण के लिए, अल्ट्रापावर निर्माण द्वारा निर्मित) में वह गुण है जो प्रत्येक बिंदु का है $C(X)$ किसी बिंदु के असीम रूप से करीब है $p ∈ X$. उदाहरण के लिए, एक खुला वास्तविक अंतराल $ev_{p}(f) = f(p)$ सघन नहीं है क्योंकि यह अतियथार्थवादी विस्तार है $C(X)/ker ev_{p}$ में इनफिनिटिमल्स शामिल हैं, जो 0 के असीम रूप से करीब हैं, जो कि एक बिंदु नहीं है $X$.

पर्याप्त स्थितियाँ

 * संहत स्थान का एक बंद उपसमुच्चय संहत होता है।
 * सघन समुच्चयों का एक परिमित संघ (समुच्चय सिद्धांत) सघन होता है।
 * एक कॉम्पैक्ट स्पेस की एक सतत फ़ंक्शन (टोपोलॉजी) छवि कॉम्पैक्ट होती है।
 * हॉसडॉर्फ स्थान के कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय के किसी भी गैर-रिक्त संग्रह का प्रतिच्छेदन कॉम्पैक्ट (और बंद) है;
 * अगर $S$ हॉसडॉर्फ नहीं है तो दो कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय का प्रतिच्छेदन कॉम्पैक्ट होने में विफल हो सकता है (उदाहरण के लिए फ़ुटनोट देखें)।
 * कॉम्पैक्ट स्पेस के किसी भी संग्रह की उत्पाद टोपोलॉजी कॉम्पैक्ट होती है। (यह टाइकोनोफ़ का प्रमेय है, जो पसंद के स्वयंसिद्ध के बराबर है।)
 * एक मेट्रिज़ेबल स्थान में, एक उपसमुच्चय कॉम्पैक्ट होता है यदि और केवल यदि यह क्रमिक रूप से कॉम्पैक्ट होता है (गणनीय विकल्प के सिद्धांत को मानते हुए)
 * किसी भी टोपोलॉजी से युक्त एक परिमित सेट कॉम्पैक्ट होता है।

सघन स्थानों के गुण

 * हॉसडॉर्फ़ स्थान का एक संक्षिप्त उपसमुच्चय $S$ बन्द है।
 * अगर $S$ हॉसडॉर्फ़ नहीं है तो इसका एक संक्षिप्त उपसमुच्चय है $S$ का एक बंद उपसमुच्चय बनने में विफल हो सकता है $X$ (उदाहरण के लिए फ़ुटनोट देखें)।
 * अगर $X$ हॉसडॉर्फ नहीं है तो कॉम्पैक्ट सेट का बंद होना कॉम्पैक्ट होने में विफल हो सकता है (उदाहरण के लिए फ़ुटनोट देखें)।
 * किसी भी टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (टीवीएस) में, एक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय पूर्ण स्पेस होता है। हालाँकि, प्रत्येक गैर-हॉसडॉर्फ टीवीएस में कॉम्पैक्ट (और इस प्रकार पूर्ण) उपसमुच्चय होते हैं जो बंद नहीं होते हैं।
 * अगर $X$ और $X$ हॉसडॉर्फ स्पेस के असंयुक्त कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय हैं $m$, तो वहां असंयुक्त खुले सेट मौजूद हैं $X$ और $x$ में $X$ ऐसा है कि $C(X)$ और $C(X)$.
 * एक सघन स्थान से हॉसडॉर्फ अंतरिक्ष में निरंतर प्रक्षेपण एक होमियोमोर्फिज्म है।
 * एक कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्थान सामान्य स्थान और नियमित स्थान है।
 * यदि कोई स्थान $x$ कॉम्पैक्ट और हॉसडॉर्फ है, फिर कोई बेहतर टोपोलॉजी नहीं है $X$ कॉम्पैक्ट है और इसमें कोई मोटे टोपोलॉजी नहीं है $X$ हॉसडॉर्फ है।
 * यदि मीट्रिक स्थान का एक उपसमुच्चय $C(X)/m$ कॉम्पैक्ट है तो यह है $X$-बाउंड।

फ़ंक्शंस और कॉम्पैक्ट स्पेस
चूंकि एक कॉम्पैक्ट स्पेस की निरंतर फ़ंक्शन (टोपोलॉजी) छवि कॉम्पैक्ट होती है, ऐसे स्थानों के लिए चरम मूल्य प्रमेय लागू होता है: एक गैर-रिक्त कॉम्पैक्ट स्पेस पर एक निरंतर वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन ऊपर से घिरा होता है और अपने सर्वोच्च को प्राप्त करता है। (थोड़ा अधिक सामान्यतः, यह एक ऊपरी अर्ध-निरंतर फ़ंक्शन के लिए सच है।) उपरोक्त कथनों के विपरीत, एक उचित मानचित्र के तहत एक कॉम्पैक्ट स्थान की पूर्व-छवि कॉम्पैक्ट है।

संघनन
हर टोपोलॉजिकल स्पेस $a$ एक कॉम्पैक्ट स्पेस का एक खुला सघन टोपोलॉजिकल उपस्थान है जिसमें अधिकतम एक बिंदु से अधिक होता है $X$, कॉम्पेक्टिफिकेशन (गणित) द्वारा|अलेक्जेंड्रॉफ़ एक-बिंदु कॉम्पेक्टिफिकेशन। एक ही निर्माण से, प्रत्येक स्थानीय रूप स्थानीय रूप से सघन हॉसडॉर्फ स्थान $U$ एक कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ अंतरिक्ष का एक खुला सघन उपस्थान है जिसमें अधिकतम एक बिंदु से अधिक है $b$.

ऑर्डर किए गए कॉम्पैक्ट स्पेस
वास्तविक संख्याओं के एक गैर-रिक्त कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय में एक सबसे बड़ा तत्व और सबसे छोटा तत्व होता है।

होने देना $X$ ऑर्डर टोपोलॉजी से संपन्न कुल ऑर्डर सेट बनें। तब $V$ सघन है यदि और केवल यदि $U$ एक पूर्ण जाली है (यानी सभी उपसमुच्चय में सुप्रीमा और इन्फिमा है)।

उदाहरण

 * खाली सेट सहित कोई भी परिमित टोपोलॉजिकल स्पेस कॉम्पैक्ट होता है। अधिक आम तौर पर, परिमित टोपोलॉजी (केवल सीमित रूप से कई खुले सेट) वाला कोई भी स्थान कॉम्पैक्ट होता है; इसमें विशेष रूप से तुच्छ टोपोलॉजी शामिल है।
 * सहपरिमित टोपोलॉजी वाला कोई भी स्थान कॉम्पैक्ट होता है।
 * किसी भी स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ स्थान को अलेक्जेंड्रोफ़ एक-बिंदु संघनन के माध्यम से, इसमें एक बिंदु जोड़कर एक कॉम्पैक्ट स्थान में बदल दिया जा सकता है। का एक-बिंदु संघनन $$\mathbb{R}$$ वृत्त के लिए समरूपी है $
 * X$; का एक-बिंदु संघनन $$\mathbb{R}^2$$ गोले के लिए समरूपी है $x_{0}$. एक-बिंदु कॉम्पेक्टिफिकेशन का उपयोग करके, कोई भी आसानी से गैर-हॉसडॉर्फ़ स्थान से शुरू करके, कॉम्पैक्ट रिक्त स्थान का निर्माण कर सकता है जो हॉसडॉर्फ़ नहीं हैं।
 * किसी भी पूर्णतः व्यवस्थित सेट पर दायां क्रम टोपोलॉजी या बायां क्रम टोपोलॉजी कॉम्पैक्ट है। विशेष रूप से, सिएरपिंस्की स्थान कॉम्पैक्ट है।
 * अनंत बिंदुओं वाला कोई भी पृथक स्थान संहत नहीं होता। अंतरिक्ष के सभी सिंगलटन (गणित) का संग्रह एक खुला आवरण है जो किसी परिमित उपकवर को स्वीकार नहीं करता है। परिमित असतत स्थान सघन होते हैं।
 * में $$\mathbb{R}$$ निचली सीमा टोपोलॉजी को ध्यान में रखते हुए, कोई भी बेशुमार सेट कॉम्पैक्ट नहीं है।
 * बेशुमार सेट पर सहगणनीय टोपोलॉजी में, कोई भी अनंत सेट कॉम्पैक्ट नहीं होता है। पिछले उदाहरण की तरह, संपूर्ण स्थान स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट नहीं है लेकिन फिर भी लिंडेलोफ़ स्पेस|लिंडेलोफ़ है।
 * बंद इकाई अंतराल $x_{0}$ सघन है. यह हेन-बोरेल प्रमेय से अनुसरण करता है। खुला अंतराल $V$ कॉम्पैक्ट नहीं है: खुला कवर $\left( \frac{1}{n}, 1 - \frac{1}{n} \right)$ के लिए $
 * X$ में कोई परिमित उपकवर नहीं है। इसी प्रकार, बंद अंतराल में परिमेय संख्याओं का समुच्चय $U$ सघन नहीं है: अंतरालों में परिमेय संख्याओं का समुच्चय $\left[0, \frac{1}{\pi} - \frac{1}{n}\right]\text{ and }\left[\frac{1}{\pi} + \frac{1}{n}, 1\right]$  [0, 1] में सभी तर्कसंगतताओं को शामिल करें $
 * X$ लेकिन इस कवर में कोई सीमित सबकवर नहीं है। यहां, सेट उप-स्थान टोपोलॉजी में खुले हैं, भले ही वे उप-समूह के रूप में खुले नहीं हैं$$\mathbb{R}$$.
 * सेट $$\mathbb{R}$$ सभी वास्तविक संख्याओं का संहत नहीं है क्योंकि इसमें खुले अंतरालों का एक आवरण होता है जिसमें कोई परिमित उपआवरण नहीं होता है। उदाहरण के लिए, अंतराल $X ⊂ *X$, कहाँ $V$ सभी पूर्णांक मान लेता है $X = (0, 1)$, ढकना $$\mathbb{R}$$ लेकिन कोई सीमित उपकवर नहीं है.
 * दूसरी ओर, अनुरूप टोपोलॉजी ले जाने वाली विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा कॉम्पैक्ट है; ध्यान दें कि ऊपर वर्णित कवर कभी भी अनंत बिंदुओं तक नहीं पहुंचेगा और इस प्रकार विस्तारित वास्तविक रेखा को कवर नहीं करेगा। वास्तव में, सेट में प्रत्येक अनन्तता को उसकी संबंधित इकाई में मैप करने और प्रत्येक वास्तविक संख्या को उसके चिह्न के लिए अंतराल के सकारात्मक भाग में अद्वितीय संख्या से गुणा करने की होमोमोर्फिज्म है, जिसके परिणामस्वरूप विभाजित होने पर इसका पूर्ण मान प्राप्त होता है। एक माइनस स्वयं, और चूंकि होमोमोर्फिज्म कवर को संरक्षित करता है, हेन-बोरेल संपत्ति का अनुमान लगाया जा सकता है।
 * प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए $X$, n-क्षेत्र|$X$-गोला सघन है. फिर से हेइन-बोरेल प्रमेय से, किसी भी परिमित-आयामी मानक वेक्टर स्थान की बंद इकाई गेंद कॉम्पैक्ट होती है। यह अनंत आयामों के लिए सत्य नहीं है; वास्तव में, एक मानक वेक्टर स्थान परिमित-आयामी होता है यदि और केवल तभी जब इसकी बंद इकाई गेंद कॉम्पैक्ट हो।
 * दूसरी ओर, मानक स्थान के दोहरे की बंद इकाई गेंद कमजोर-* टोपोलॉजी के लिए कॉम्पैक्ट है। (अलाओग्लू का प्रमेय)
 * कैंटर सेट कॉम्पैक्ट है। वास्तव में, प्रत्येक कॉम्पैक्ट मीट्रिक स्थान कैंटर सेट की एक सतत छवि है।
 * सेट पर विचार करें $X$ सभी कार्यों का $
 * (0,1)$ वास्तविक संख्या रेखा से बंद इकाई अंतराल तक, और एक टोपोलॉजी को परिभाषित करें $X$ ताकि एक क्रम $$\{f_n\}$$ में $X$ की ओर अभिसरण होता है $X = {a, b} &cup; $\mathbb{N}$$ अगर और केवल अगर $$\{f_n(x)\}$$ की ओर अभिमुख हो जाता है $U = {a} &cup; $\mathbb{N}$$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए $X$. ऐसी केवल एक टोपोलॉजी है; इसे बिंदुवार अभिसरण की टोपोलॉजी या उत्पाद टोपोलॉजी कहा जाता है। तब $X$ एक कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल स्पेस है; यह टाइकोनोफ़ प्रमेय से अनुसरण करता है।
 * सेट पर विचार करें $X$ सभी कार्यों का $V = {b} &cup; $\mathbb{N}$$ लिप्सचिट्ज़ स्थिति को संतुष्ट करना $X$ सभी के लिए $X = {a, b}$. पर विचार करें $S$समान अभिसरण से प्रेरित मीट्रिक $$d(f, g) = \sup_{x \in [0, 1]} |f(x) - g(x)|.$$ फिर अर्ज़ेला-एस्कोली प्रमेय द्वारा अंतरिक्ष $X$ सघन है.
 * बनच स्थान पर किसी भी बंधे हुए रैखिक ऑपरेटर के ऑपरेटर का स्पेक्ट्रम जटिल संख्याओं का एक गैर-रिक्त कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय है $$\mathbb{C}$$. इसके विपरीत, कोई भी कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय $$\mathbb{C}$$ कुछ परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर के स्पेक्ट्रम के रूप में, इस तरह से उत्पन्न होता है। उदाहरण के लिए, हिल्बर्ट अंतरिक्ष अनुक्रम space#ℓp space| पर एक विकर्ण ऑपरेटर$$\ell^2$$का कोई भी कॉम्पैक्ट गैररिक्त उपसमुच्चय हो सकता है $$\mathbb{C}$$ स्पेक्ट्रम के रूप में.

बीजगणितीय उदाहरण

 * ऑर्थोगोनल समूह जैसे टोपोलॉजिकल समूह कॉम्पैक्ट होते हैं, जबकि सामान्य रैखिक समूह जैसे समूह नहीं होते हैं।
 * चूंकि पी-एडिक संख्याएं|$X$-एडीआईसी पूर्णांक कैंटर सेट के होम्योमॉर्फिक हैं, वे एक कॉम्पैक्ट सेट बनाते हैं।
 * ज़ारिस्की टोपोलॉजी (अर्थात, सभी प्रमुख आदर्शों का सेट) के साथ किसी भी क्रमविनिमेय वलय  के रिंग का स्पेक्ट्रम कॉम्पैक्ट होता है, लेकिन हॉसडॉर्फ स्पेस कभी नहीं (तुच्छ मामलों को छोड़कर)। बीजगणितीय ज्यामिति में, ऐसे टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान अर्ध-कॉम्पैक्ट योजना (गणित) के उदाहरण हैं, अर्ध टोपोलॉजी की गैर-हॉसडॉर्फ प्रकृति का संदर्भ देते हैं।
 * बूलियन बीजगणित का स्पेक्ट्रम कॉम्पैक्ट है, एक तथ्य जो स्टोन प्रतिनिधित्व प्रमेय का हिस्सा है। पत्थर के स्थान, कॉम्पैक्ट पूरी तरह से अलग किए गए स्थान हॉसडॉर्फ स्थान, अमूर्त ढांचे का निर्माण करते हैं जिसमें इन स्पेक्ट्रा का अध्ययन किया जाता है। ऐसे स्थान अनंत समूहों के अध्ययन में भी उपयोगी होते हैं।
 * क्रमविनिमेय इकाई बानाच बीजगणित का संरचना स्थान एक कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्थान है।
 * हिल्बर्ट क्यूब कॉम्पैक्ट है, जो फिर से टाइकोनोफ़ के प्रमेय का परिणाम है।
 * एक अनंत समूह (जैसे गैलोज़ समूह) सघन होता है।

यह भी देखें

 * संक्षिप्त रूप से उत्पन्न स्थान
 * सघनता प्रमेय
 * एबरलीन कॉम्पैक्ट
 * कॉम्पैक्ट सेट से थकावट
 * लिंडेलोफ़ स्थान
 * मेटाकॉम्पैक्ट स्पेस
 * नोथेरियन टोपोलॉजिकल स्पेस
 * ऑर्थोकॉम्पैक्ट स्पेस
 * पैराकॉम्पैक्ट स्पेस
 * पूर्णतः घिरा हुआ स्थान - पूर्णतः घिरा हुआ भी कहा जाता है
 * अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट उपस्थान
 * पूरी तरह से घिरा हुआ

ग्रन्थसूची

 * (Purely analytic proof of the theorem that between any two values which give results of opposite sign, there lies at least one real root of the equation).
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 * (Purely analytic proof of the theorem that between any two values which give results of opposite sign, there lies at least one real root of the equation).