विभिन्न वास्तविक चर का फलन

गणितीय विश्लेषण और इसके अनुप्रयोगों में, कई वास्तविक चर या वास्तविक बहुभिन्नरूपी फ़ंक्शन का एक फ़ंक्शन (गणित) एक फ़ंक्शन के एक से अधिक तर्क के साथ होता है, जिसमें सभी तर्क वास्तविक संख्या चर होते हैं। यह अवधारणा एक वास्तविक चर के कार्य के विचार को कई चरों तक फैलाती है। इनपुट चर वास्तविक मान लेते हैं, जबकि आउटपुट, जिसे फ़ंक्शन का मान भी कहा जाता है, वास्तविक या सम्मिश्र संख्या हो सकता है। हालाँकि, जटिल विश्लेषण | जटिल-मूल्यवान कार्यों का अध्ययन वास्तविक विश्लेषण के लिए आसानी से कम किया जा सकता है। वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का अध्ययन, जटिल कार्य के वास्तविक और काल्पनिक संख्या भागों पर विचार करके; इसलिए, जब तक स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट नहीं किया जाता है, इस लेख में केवल वास्तविक-मूल्यवान कार्यों पर विचार किया जाएगा।

किसी फ़ंक्शन के फ़ंक्शन का डोमेन $n$ चर का उपसमुच्चय है $\mathbb{R}^n$ जिसके लिए कार्य निर्धारित किया गया है। हमेशा की तरह, कई वास्तविक चरों के एक फ़ंक्शन के डोमेन में एक गैर-खाली खुला सेट सबसेट होना चाहिए $\mathbb{R}^n$.

सामान्य परिभाषा
का एक वास्तविक मूल्यवान कार्य $n = 1$ वास्तविक चर एक फ़ंक्शन (गणित) है जो इनपुट के रूप में लेता है $n = 2$ वास्तविक संख्याएँ, आमतौर पर चर (गणित) द्वारा दर्शाई जाती हैं $n = 3$, एक अन्य वास्तविक संख्या उत्पन्न करने के लिए, फलन का मान, जिसे आमतौर पर निरूपित किया जाता है $f(x_{1}, x_{2}, …, x_{n})$. सादगी के लिए, इस लेख में कई वास्तविक चरों के वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन को केवल एक फ़ंक्शन कहा जाएगा। किसी भी अस्पष्टता से बचने के लिए, होने वाले अन्य प्रकार के कार्यों को स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट किया जाएगा।

कुछ कार्यों को चर के सभी वास्तविक मूल्यों के लिए परिभाषित किया गया है (एक कहता है कि वे हर जगह परिभाषित हैं), लेकिन कुछ अन्य कार्यों को केवल तभी परिभाषित किया जाता है जब चर का मान एक उपसमुच्चय में लिया जाता है $n$ का $R^{n + 1}$, फ़ंक्शन के फ़ंक्शन का डोमेन, जिसमें हमेशा एक खुला सेट सबसेट शामिल होना चाहिए $n$. दूसरे शब्दों में, का एक वास्तविक-मूल्यवान कार्य $n$ वास्तविक चर एक कार्य है


 * $$f: X \to \R $$

ऐसा है कि इसका डोमेन $n$ का उपसमुच्चय है $n$ जिसमें एक गैर-खाली खुला सेट होता है।

का एक तत्व $x_{1}, x_{2}, …, x_{n}$ एक होने के नाते $f(x_{1}, x_{2}, …, x_{n})$-टुपल (गणित) $X$ (आमतौर पर कोष्ठक द्वारा सीमांकित), निरूपित कार्यों के लिए सामान्य संकेतन होगा $R^{n}$. सामान्य उपयोग, सेट के बीच कार्यों की सामान्य परिभाषा से बहुत पुराना है, दोहरे कोष्ठकों का उपयोग नहीं करना और केवल लिखना है $R^{n}$.

संक्षिप्त करना भी आम है $n$-टुपल $X$ वेक्टर (गणित) के लिए बोल्डफेस की तरह एक नोटेशन का उपयोग करके $R^{n}$, रेखांकित करें $X$, या ओवरएरो $n$. यह लेख बोल्ड का प्रयोग करेगा।

दो चरों में एक फ़ंक्शन का एक सरल उदाहरण हो सकता है:


 * $$\begin{align}

& V : X \to \R \\ & X = \left\{ (A,h) \in \R^2 \mid A>0, h> 0 \right\} \\ & V(A,h) = \frac{1}{3}A h \end{align}$$ जो मात्रा है $(x_{1}, x_{2}, …, x_{n})$ आधार क्षेत्र के साथ एक शंकु का $f((x_{1}, x_{2}, …, x_{n}))$ और ऊंचाई $f(x_{1}, x_{2}, …, x_{n})$ आधार से लंबवत मापा जाता है। डोमेन सभी चरों को धनात्मक होने के लिए प्रतिबंधित करता है क्योंकि लंबाई और क्षेत्र धनात्मक होने चाहिए।

दो चर में फ़ंक्शन के उदाहरण के लिए:


 * $$\begin{align}

& z : \R^2 \to \R \\ & z(x,y) = ax + by \end{align}$$ कहाँ पे $n$ तथा $(x_{1}, x_{2}, …, x_{n})$ वास्तविक गैर-शून्य स्थिरांक हैं। त्रि-आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का उपयोग करना, जहां xy विमान डोमेन है $x$ और z अक्ष कोडोमेन है $x$, कोई छवि को दो-आयामी विमान के रूप में देख सकता है, जिसमें ढलान है $x$ धनात्मक x दिशा में और का ढलान $V$ सकारात्मक वाई दिशा में। समारोह सभी बिंदुओं पर अच्छी तरह से परिभाषित है $A$ में $h$. पिछले उदाहरण को उच्च आयामों तक आसानी से बढ़ाया जा सकता है:


 * $$\begin{align}

& z : \R^p \to \R \\ & z(x_1,x_2,\ldots, x_p) = a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_p x_p \end{align}$$ के लिये $a$ गैर-शून्य वास्तविक स्थिरांक $b$, जो एक का वर्णन करता है $R^{2}$-आयामी हाइपरप्लेन।

यूक्लिडियन मानदंड:


 * $$f(\boldsymbol{x})=\|\boldsymbol{x}\| = \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}$$

n वेरिएबल्स का एक फंक्शन भी है जो हर जगह परिभाषित है, जबकि
 * $$g(\boldsymbol{x})=\frac{1}{f(\boldsymbol{x})}$$

के लिए ही परिभाषित किया गया है $R$.

दो चर में एक गैर रेखीय उदाहरण समारोह के लिए:


 * $$\begin{align}

& z : X \to \R \\ & X = \left\{ (x,y) \in \R^2 \, : \, x^2 + y^2 \leq 8 \,, \, x \neq 0 \, , \, y \neq 0 \right\} \\ & z(x,y) = \frac{1}{2xy}\sqrt{x^2 + y^2} \end{align}$$ जो सभी बिंदुओं में लेता है $a$, त्रिज्या की एक डिस्क (गणित)। $b$ मूल में पंचर $(x, y)$ प्लेन में $R^{2}$, और एक बिंदु देता है $p$. समारोह में मूल शामिल नहीं है $a_{1}, a_{2}, …, a_{p}$, अगर किया तो $p$ उस बिंदु पर बीमार परिभाषित किया जाएगा। डोमेन के रूप में एक्स-प्लेन के साथ एक 3डी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का उपयोग करना $x ≠ (0, 0, …, 0)$, और z अक्ष कोडोमेन $X$छवि को एक घुमावदार सतह के रूप में देखा जा सकता है।

समारोह का मूल्यांकन बिंदु पर किया जा सकता है $√8$ में $(x, y) = (0, 0)$:


 * $$z\left(2,\sqrt{3}\right) = \frac{1}{2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}}\sqrt{\left(2\right)^2 + \left(\sqrt{3}\right)^2} = \frac{1}{4\sqrt{3}}\sqrt{7} \,, $$

हालांकि, फ़ंक्शन का मूल्यांकन नहीं किया जा सका, कहें


 * $$(x,y) = (65,\sqrt{10}) \, \Rightarrow \, x^2 + y^2 = (65)^2 + (\sqrt{10})^2 > 8 $$

इन मूल्यों के बाद से $R^{2}$ तथा $R$ डोमेन के नियम को पूरा नहीं करते।

छवि
किसी फ़ंक्शन की छवि (गणित)। $(x, y) = (0, 0)$ के सभी मानों का समुच्चय है $f$ जब $f$-टुपल $R^{2}$ के पूरे डोमेन में चलता है $f$. निरंतर (परिभाषा के लिए नीचे देखें) वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन के लिए जिसमें एक कनेक्टेड डोमेन है, छवि या तो अंतराल (गणित) या एकल मान है। बाद के मामले में, फ़ंक्शन एक स्थिर फ़ंक्शन है।

दी गई वास्तविक संख्या की पूर्वछवि $R$ लेवल सेट कहा जाता है। यह समीकरण के समाधान का सेट है $(x, y) = (2, √3)$.

डोमेन
कई वास्तविक चरों वाले फलन के फलन का प्रांत एक उपसमुच्चय होता है $X$ यह कभी-कभी, लेकिन हमेशा स्पष्ट रूप से परिभाषित नहीं होता है। वास्तव में, यदि कोई डोमेन को प्रतिबंधित करता है $x$ एक समारोह का $y$ एक उपसमुच्चय के लिए $f(x_{1}, x_{2}, …, x_{n})$, किसी को औपचारिक रूप से एक अलग कार्य मिलता है, का प्रतिबंध $n$ प्रति $(x_{1}, x_{2}, …, x_{n})$, जिसे निरूपित किया जाता है $$f|_Y$$. व्यवहार में, यह अक्सर (लेकिन हमेशा नहीं) पहचानने के लिए हानिकारक नहीं होता है $c$ तथा $$f|_Y$$, और प्रतिबंधक को छोड़ने के लिए $f(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) = c$.

इसके विपरीत, कभी-कभी किसी दिए गए फ़ंक्शन के डोमेन को स्वाभाविक रूप से बढ़ाना संभव होता है, उदाहरण के लिए निरंतर कार्य या विश्लेषणात्मक निरंतरता से।

इसके अलावा, कई कार्यों को इस तरह से परिभाषित किया गया है कि उनके डोमेन को स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट करना मुश्किल है। उदाहरण के लिए, एक समारोह दिया $R^{n}$, फ़ंक्शन के डोमेन को निर्दिष्ट करना मुश्किल हो सकता है $$g(\boldsymbol{x}) = 1/f(\boldsymbol{x}).$$ यदि $X$ एक बहुभिन्नरूपी बहुपद है, (जिसमें है $$\R^n$$ एक डोमेन के रूप में), यह परीक्षण करना और भी मुश्किल है कि क्या का डोमेन $f$ ई आल्सो $$\R^n$$. यह परीक्षण के बराबर है कि क्या एक बहुपद हमेशा सकारात्मक होता है, और एक सक्रिय शोध क्षेत्र का उद्देश्य है (सकारात्मक बहुपद देखें)।

बीजगणितीय संरचना
वास्तविक पर अंकगणित के सामान्य संचालन को निम्नलिखित तरीके से कई वास्तविक चरों के वास्तविक-मूल्यवान कार्यों तक बढ़ाया जा सकता है:
 * प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए $Y ⊂ X$, निरंतर कार्य $$(x_1,\ldots,x_n)\mapsto r$$ हर जगह परिभाषित है।
 * प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए $f$ और हर समारोह $Y$, कार्यक्रम: $$rf:(x_1,\ldots,x_n)\mapsto rf(x_1,\ldots,x_n)$$ के समान डोमेन है $f$ (या हर जगह परिभाषित किया गया है $|_{Y}$).
 * यदि $f$ तथा $f$ संबंधित डोमेन के दो कार्य हैं $g$ तथा $r$ ऐसा है कि $r$ का एक गैर-खाली खुला सबसेट शामिल है $f$, फिर $$f\,g:(x_1,\ldots,x_n)\mapsto f(x_1,\ldots,x_n)\,g(x_1,\ldots,x_n)$$ तथा $$g\,f:(x_1,\ldots,x_n)\mapsto g(x_1,\ldots,x_n)\,f(x_1,\ldots,x_n)$$ ऐसे कार्य हैं जिनमें डोमेन युक्त है $f$.

यह इस प्रकार है कि के कार्य $r = 0$ चर जो हर जगह परिभाषित हैं और के कार्य $f$ वे चर जो किसी दिए गए बिंदु के कुछ पड़ोस (गणित) में परिभाषित होते हैं, दोनों वास्तविक रूप से कम्यूटेटिव बीजगणित (संरचना) बनाते हैं ($g$- बीजगणित)। यह फ़ंक्शन स्पेस का एक प्रोटोटाइपिकल उदाहरण है।

कोई इसी तरह परिभाषित कर सकता है
 * $$1/f : (x_1,\ldots,x_n) \mapsto 1/f(x_1,\ldots,x_n),$$

जो केवल एक कार्य है यदि अंक का सेट $X$ के अधिकार क्षेत्र में $Y$ ऐसा है कि $X ∩ Y$ का एक खुला उपसमुच्चय शामिल है $R^{n}$. इस बाधा का तात्पर्य है कि उपरोक्त दो बीजगणित क्षेत्र (गणित) नहीं हैं।

एक बहुभिन्नरूपी कार्य से जुड़े अविभाज्य कार्य
एक चर को छोड़कर सभी को एक स्थिर मान देकर एक वास्तविक चर में एक फ़ंक्शन आसानी से प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि $X ∩ Y$ फ़ंक्शन के डोमेन के इंटीरियर (टोपोलॉजी) का एक बिंदु है $n$, हम के मूल्यों को ठीक कर सकते हैं $n$ प्रति $R$ क्रमशः, एक अविभाज्य कार्य प्राप्त करने के लिए
 * $$x \mapsto f(x, a_2, \ldots, a_n),$$

जिसका डोमेन पर केंद्रित एक अंतराल होता है $(x_{1}, …,x_{n})$. इस फ़ंक्शन को फ़ंक्शन के प्रतिबंध के रूप में भी देखा जा सकता है $f$ समीकरणों द्वारा परिभाषित रेखा के लिए $f(x_{1}, …, x_{n}) ≠ 0$ के लिये $R^{n}$.

अन्य अविभाज्य कार्यों को प्रतिबंधित करके परिभाषित किया जा सकता है $(a_{1}, …, a_{n})$ से गुजरने वाली किसी भी रेखा के लिए $f$. ये कार्य हैं
 * $$x \mapsto f(a_1+c_1 x, a_2+c_2 x, \ldots, a_n+c_n x),$$

जहां $x_{2}, …, x_{n}$ वास्तविक संख्याएँ हैं जो सभी शून्य नहीं हैं।

अगले भाग में, हम दिखाएंगे कि, यदि बहुचर फलन संतत है, तो ये सभी अपरिवर्तनीय फलन भी हैं, लेकिन इसका विलोम आवश्यक रूप से सत्य नहीं है।

निरंतरता और सीमा
19वीं शताब्दी के दूसरे भाग तक, गणितज्ञों द्वारा केवल निरंतर कार्यों पर विचार किया जाता था। उस समय, एक टोपोलॉजिकल स्पेस की औपचारिक परिभाषा और टोपोलॉजिकल स्पेस के बीच एक सतत मानचित्र से काफी पहले एक या कई वास्तविक चर के कार्यों के लिए निरंतरता की धारणा को विस्तृत किया गया था। चूंकि कई वास्तविक चर के निरंतर कार्य गणित में सर्वव्यापी हैं, इसलिए इस धारणा को टोपोलॉजिकल स्पेस के बीच निरंतर मानचित्रों की सामान्य धारणा के संदर्भ के बिना परिभाषित करना उचित है।

निरंतरता को परिभाषित करने के लिए, दूरी समारोह पर विचार करना उपयोगी होता है $a_{2}, …, a_{n}$, जो हर जगह परिभाषित कार्य है $a_{1}$ वास्तविक चर:
 * $$d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=d(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+\cdots +(x_n-y_n)^2}$$

एक समारोह $f$ एक बिंदु पर निरंतर है $x_{i} = a_{i}$ जो अपने डोमेन के लिए आंतरिक (टोपोलॉजी) है, यदि, प्रत्येक सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए $i = 2, …, n$, एक धनात्मक वास्तविक संख्या है $f$ ऐसा है कि $(a_{1}, …, a_{n})$ सभी के लिए $c_{i}$ ऐसा है कि $R^{n}$. दूसरे शब्दों में, $2n$ द्वारा छवि रखने के लिए काफी छोटा चुना जा सकता है $f$ त्रिज्या की गेंद का $a = (a_{1}, …, a_{n})$ पर केंद्रित है $ε$ लंबाई के अंतराल में निहित $φ$ पर केंद्रित है $|f(x) − f(a)| < ε$. कोई फलन संतत होता है यदि वह अपने प्रांत के प्रत्येक बिंदु पर संतत हो।

यदि कोई फ़ंक्शन निरंतर है $x$, फिर सभी अविभाज्य कार्य जो सभी चरों को ठीक करके प्राप्त किए जाते हैं $d(x a) < φ$ मूल्य पर एक को छोड़कर $φ$, पर निरंतर हैं $f$. बातचीत झूठी है; इसका मतलब यह है कि ये सभी अविभाज्य कार्य एक ऐसे कार्य के लिए निरंतर हो सकते हैं जो निरंतर नहीं है $φ$. उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन पर विचार करें $a$ ऐसा है कि $2ε$, और अन्यथा द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$f(x,y) = \frac{x^2y}{x^4+y^2}.$$

कार्य $f(a)$ तथा $f(a)$ दोनों स्थिर और शून्य के बराबर हैं, और इसलिए निरंतर हैं। कार्यक्रम $x_{i}$ पर निरंतर नहीं है $a_{i}$, क्योंकि अगर $f(a)$ तथा $f(a)$, अपने पास $f$, भले ही $f(0, 0) = 0$ बहुत छोटी है। हालांकि निरंतर नहीं, इस फ़ंक्शन में आगे की संपत्ति है जो सभी अविभाज्य कार्यों को इसे एक रेखा से गुजरने के लिए प्रतिबंधित करके प्राप्त की जाती है $x ↦ f(x, 0)$ भी निरंतर हैं। वास्तव में, हमारे पास है
 * $$ f(x, \lambda x) =\frac{\lambda x}{x^2+\lambda^2}$$

के लिये $y ↦ f(0, y)$.

कई वास्तविक चरों के वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन के एक बिंदु पर सीमा (गणित) को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है। होने देना $f$ डोमेन के क्लोजर (टोपोलॉजी) में बिंदु बनें $(0, 0)$ समारोह का $ε < 1/2$. कार्यक्रम, $y = x^{2} ≠ 0$ एक सीमा है $f(x, y) = 1/2$ जब $|x|$ की ओर प्रवृत्त होता है $(0, 0)$, निरूपित
 * $$L = \lim_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}} f(\boldsymbol{x}), $$

यदि निम्न स्थिति संतुष्ट है: हर सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए $λ ≠ 0$, एक धनात्मक वास्तविक संख्या है $a = (a_{1}, a_{2}, …, a_{n})$ ऐसा है कि
 * $$|f(\boldsymbol{x}) - L| < \varepsilon $$

सभी के लिए $X$ डोमेन में ऐसा है
 * $$d(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{a})< \delta.$$

यदि सीमा मौजूद है, तो यह अद्वितीय है। यदि $f$ डोमेन के इंटीरियर में है, सीमा मौजूद है अगर और केवल अगर फ़ंक्शन निरंतर है $f$. इस मामले में, हमारे पास है


 * $$f(\boldsymbol{a}) = \lim_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}} f(\boldsymbol{x}). $$

कब $L$ के डोमेन की सीमा (टोपोलॉजी) में है $x$, और अगर $a$ की सीमा होती है $ε > 0$, बाद वाला सूत्र निरंतरता द्वारा डोमेन का विस्तार करने की अनुमति देता है $δ > 0$ प्रति $x$.

समरूपता
एक सममित कार्य एक कार्य है $a$ यह अपरिवर्तित है जब दो चर $a$ तथा $a$ अदला-बदली कर रहे हैं:


 * $$f(\ldots, x_i,\ldots,x_j,\ldots) = f(\ldots, x_j,\ldots,x_i,\ldots)$$

कहाँ पे $f$ तथा $f$ प्रत्येक हैं $a$. उदाहरण के लिए:


 * $$f(x,y,z,t) = t^2 - x^2 - y^2 - z^2 $$

में सममित है $f$ किसी भी जोड़ी को इंटरचेंज करने के बाद से $a$ पत्तियाँ $f$ अपरिवर्तित है, लेकिन सभी में सममित नहीं है $x_{i}$, आदान-प्रदान के बाद से $x_{j}$ साथ $i$ या $j$ या $1, 2, …, n$ अलग कार्य देता है।

समारोह संरचना
मान लीजिए कार्य


 * $$\xi_1 = \xi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n), \quad \xi_2 = \xi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n), \ldots \xi_m = \xi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n),$$

या अधिक कॉम्पैक्टली $x, y, z$, सभी एक डोमेन पर परिभाषित हैं $x, y, z$. के रूप में $f$-टुपल $x, y, z, t$ में भिन्न होता है $t$, का एक उपसमुच्चय $x$, द $y$-टुपल $z$ दूसरे क्षेत्र में भिन्न होता है $ξ = ξ(x)$ का एक उपसमुच्चय $X$. इसे पुन: स्थापित करने के लिए:


 * $$\boldsymbol{\xi} : X \to \Xi .$$

फिर, एक समारोह $n$ कार्यों का $x = (x_{1}, x_{2}, …, x_{n})$ पर परिभाषित $X$,


 * $$\begin{align}

& \zeta : \Xi \to \R, \\ & \zeta = \zeta(\xi_1,\xi_2,\ldots,\xi_m), \end{align}$$ पर परिभाषित एक फ़ंक्शन रचना है $R^{n}$, दूसरे शब्दों में मानचित्रण


 * $$\begin{align}

& \zeta : X \to \R, \\ & \zeta = \zeta(\xi_1,\xi_2,\ldots,\xi_m) = f(x_1,x_2,\ldots,x_n). \end{align}$$ नंबर नोट कर लें $m$ तथा $ξ = (ξ_{1}, ξ_{2}, …, ξ_{m})$ बराबर होने की जरूरत नहीं है।

उदाहरण के लिए, समारोह


 * $$f(x,y) = e^{xy}[\sin 3(x-y) - \cos 2(x+y)]$$

हर जगह परिभाषित $Ξ$ प्रस्तुत करके पुनः लिखा जा सकता है


 * $$(\alpha, \beta, \gamma ) = (\alpha(x,y), \beta(x,y), \gamma(x,y) ) = ( xy ,  x-y, x+y )$$

जो हर जगह परिभाषित भी है $R^{m}$ प्राप्त करने के लिए


 * $$f(x,y) = \zeta(\alpha(x,y),\beta(x,y),\gamma(x,y)) = \zeta(\alpha,\beta,\gamma) = e^\alpha[\sin (3\beta) - \cos (2\gamma)] \,.$$

फ़ंक्शन संरचना का उपयोग फ़ंक्शंस को सरल बनाने के लिए किया जा सकता है, जो कई इंटीग्रल को पूरा करने और आंशिक अंतर समीकरणों को हल करने के लिए उपयोगी है।

कलन
कलन एक वास्तविक चर के वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का कलन है, और इस तरह के कार्यों के भेदभाव (गणित) और एकीकरण (गणित) के प्रमुख विचारों को एक से अधिक वास्तविक चर के कार्यों तक बढ़ाया जा सकता है; यह विस्तार बहुभिन्नरूपी कलन है।

आंशिक डेरिवेटिव
आंशिक डेरिवेटिव को प्रत्येक चर के संबंध में परिभाषित किया जा सकता है:


 * $$\frac{\partial}{\partial x_1} f(x_1, x_2, \ldots, x_n)\,,\quad \frac{\partial}{\partial x_2} f(x_1, x_2, \ldots x_n)\,,\ldots, \frac{\partial}{\partial x_n} f(x_1, x_2, \ldots, x_n). $$

आंशिक डेरिवेटिव स्वयं कार्य हैं, जिनमें से प्रत्येक परिवर्तन की दर का प्रतिनिधित्व करता है $ζ$ एक के समानांतर $ξ(x)$ डोमेन में सभी बिंदुओं पर कुल्हाड़ियों (यदि डेरिवेटिव मौजूद हैं और निरंतर हैं - नीचे भी देखें)। एक पहला व्युत्पन्न धनात्मक होता है यदि संबंधित अक्ष की दिशा में कार्य बढ़ता है, ऋणात्मक होता है यदि यह घटता है, और शून्य होता है यदि कोई वृद्धि या कमी नहीं होती है। डोमेन में किसी विशेष बिंदु पर आंशिक व्युत्पन्न का मूल्यांकन उस बिंदु पर फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को एक विशेष धुरी के समानांतर दिशा में वास्तविक संख्या देता है।

वास्तविक चर के वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के लिए, $Ξ$, इसका सामान्य व्युत्पन्न $X$ ज्यामितीय रूप से वक्र की स्पर्श रेखा की प्रवणता है $m$ डोमेन के सभी बिंदुओं पर। आंशिक डेरिवेटिव इस विचार को वक्र के स्पर्शरेखा हाइपरप्लेन तक विस्तारित करते हैं।

दूसरे क्रम के आंशिक डेरिवेटिव की गणना चर के प्रत्येक जोड़े के लिए की जा सकती है:


 * $$\frac{\partial^2}{\partial x^2_1} f(x_1, x_2, \ldots, x_n)\,,\quad \frac{\partial^2}{\partial x_1 x_2} f(x_1, x_2, \ldots x_n)\,,\ldots, \frac{\partial^2}{\partial x^2_n} f(x_1, x_2, \ldots, x_n) .$$

ज्यामितीय रूप से, वे डोमेन में सभी बिंदुओं पर फ़ंक्शन की छवि के स्थानीय वक्रता से संबंधित होते हैं। किसी भी बिंदु पर जहां फ़ंक्शन अच्छी तरह से परिभाषित है, फ़ंक्शन कुछ अक्षों के साथ बढ़ रहा है, और/या अन्य अक्षों के साथ घट रहा है, और/या अन्य अक्षों के साथ बिल्कुल भी नहीं बढ़ रहा है या घट रहा है।

यह विभिन्न प्रकार के संभावित स्थिर बिंदुओं की ओर जाता है: वैश्विक या स्थानीय मैक्सिमा और मिनिमा, वैश्विक या स्थानीय मैक्सिमा और मिनिमा, और सैडल पॉइंट्स - एक वास्तविक चर के वास्तविक कार्यों के लिए विभक्ति बिंदुओं का बहुआयामी एनालॉग। हेस्सियन मैट्रिक्स दूसरे क्रम के सभी आंशिक डेरिवेटिव का एक मैट्रिक्स है, जिसका उपयोग फ़ंक्शन के स्थिर बिंदुओं की जांच के लिए किया जाता है, जो गणितीय अनुकूलन के लिए महत्वपूर्ण है।

सामान्य तौर पर, उच्च क्रम के आंशिक डेरिवेटिव $n$ फॉर्म है:


 * $$\frac{\partial^p}{\partial x_1^{p_1}\partial x_2^{p_2}\cdots\partial x_n^{p_n}} f(x_1, x_2, \ldots, x_n) \equiv \frac{\partial^{p_1}}{\partial x_1^{p_1}} \frac{\partial^{p_2}}{\partial x_2^{p_2}} \cdots \frac{\partial^{p_n}}{\partial x_n^{p_n}} f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$$

कहाँ पे $R^{2}$ के बीच प्रत्येक पूर्णांक हैं $R^{3}$ तथा $f$ ऐसा है कि $x_{1}, x_{2}, …, x_{n}$पहचान कार्यों के रूप में शून्य आंशिक डेरिवेटिव की परिभाषाओं का उपयोग करते हुए:


 * $$\frac{\partial^0}{\partial x_1^0}f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)\,,\quad \ldots,\, \frac{\partial^0}{\partial x_n^0}f(x_1, x_2, \ldots, x_n)=f(x_1, x_2, \ldots, x_n)\,. $$

संभावित आंशिक डेरिवेटिव की संख्या बढ़ जाती है $y = f(x)$, हालांकि कुछ मिश्रित आंशिक डेरिवेटिव (एक से अधिक चर के संबंध में) दूसरे डेरिवेटिव की समरूपता के कारण अनावश्यक हैं। यह कुछ के लिए गणना करने के लिए आंशिक डेरिवेटिव की संख्या कम कर देता है $dy/dx$.

बहुभिन्नरूपी भिन्नता
एक समारोह $y = f(x)$ एक बिंदु के पड़ोस में अवकलनीय है $p$ अगर कोई है $p_{1}, p_{2}, …, p_{n}$-संख्याओं का समूह निर्भर करता है $0$ सामान्य रूप में, $p$, ताकि:
 * $$f(\boldsymbol{x}) = f(\boldsymbol{a}) + \boldsymbol{A}(\boldsymbol{a})\cdot(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}) + \alpha(\boldsymbol x)|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}|$$

कहाँ पे $p_{1} + p_{2} + ⋯ + p_{n} = p$ जैसा $p$. इसका मतलब है कि अगर $p$ एक बिंदु पर अवकलनीय है $f(x)$, फिर $a$ पर निरंतर है $n$, हालांकि इसका विलोम सत्य नहीं है - डोमेन में निरंतरता का मतलब डोमेन में भिन्नता नहीं है। यदि $a$ पर अवकलनीय है $A(a) = (A_{1}(a), A_{2}(a), …, A_{n}(a))$ तब प्रथम कोटि के आंशिक अवकलज मौजूद होते हैं $α → 0$ तथा:


 * $$\left.\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_i}\right|_{\boldsymbol{x} = \boldsymbol{a}} = A_i (\boldsymbol{a}) $$

के लिये $|x − a| → 0$, जो अलग-अलग आंशिक डेरिवेटिव की परिभाषाओं से पाया जा सकता है, इसलिए आंशिक डेरिवेटिव $f$ मौजूद।

मान लीजिए एक $a$एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का आयामी एनालॉग, इन आंशिक डेरिवेटिव का उपयोग वेक्टर रैखिक ऑपरेटर अंतर ऑपरेटर बनाने के लिए किया जा सकता है, जिसे इस समन्वय प्रणाली में ग्रेडियेंट # परिभाषा (जिसे डेल या डेल भी कहा जाता है) कहा जाता है:


 * $$\nabla f(\boldsymbol{x}) = \left(\frac{\partial}{\partial x_1}, \frac{\partial}{\partial x_2}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x_n} \right) f(\boldsymbol{x}) $$

वेक्टर कैलकुलस में बड़े पैमाने पर उपयोग किया जाता है, क्योंकि यह अन्य डिफरेंशियल ऑपरेटर्स के निर्माण और वेक्टर कैलकुलस में प्रमेय तैयार करने के लिए उपयोगी है।

फिर ढाल को प्रतिस्थापित करना $f$ (पर मूल्यांकन किया गया $x = a$ एक मामूली पुनर्व्यवस्था के साथ देता है:


 * $$f(\boldsymbol{x}) - f(\boldsymbol{a})= \nabla f(\boldsymbol{a})\cdot(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}) + \alpha |\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}|$$

कहाँ पे $f$ डॉट उत्पाद को दर्शाता है। यह समीकरण फ़ंक्शन के सर्वोत्तम रैखिक सन्निकटन का प्रतिनिधित्व करता है $a$ सभी बिंदुओं पर $a$ के पड़ोस में $i = 1, 2, …, n$. डिफरेंशियल (इनफिनिटिमल) के लिए $f$ तथा $n$ जैसा $∇f$:


 * $$df = \left.\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_1}\right|_{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{a}}dx_1 +

\left.\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_2}\right|_{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{a}}dx_2 + \dots + \left.\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_n}\right|_{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{a}}dx_n = \nabla f(\boldsymbol{a}) \cdot d\boldsymbol{x}$$ जिसे किसी फ़ंक्शन के कुल अंतर या केवल अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है $x = a)$, पर $·$. यह व्यंजक के कुल अत्यल्प परिवर्तन के संगत है $f$, के सभी अपरिमेय परिवर्तनों को जोड़कर $x$ सभी में $a$ दिशाओं। भी, $f$ आधार (रैखिक बीजगणित) के साथ अपरिमेय के रूप में कोवेक्टर के रूप में समझा जा सकता है $x$ प्रत्येक दिशा में और के आंशिक डेरिवेटिव $x → a$ घटकों के रूप में।

ज्यामितीय $f$ के स्तर सेट के लंबवत है $a$, के द्वारा दिया गया $f$ जो कुछ स्थिर के लिए $f$ एक का वर्णन करता है $x_{i}$-आयामी हाइपरसफेस। एक स्थिरांक का अंतर शून्य है:


 * $$df = (\nabla f) \cdot d \boldsymbol{x} = 0$$

जिसमें $df$ में एक अतिसूक्ष्म परिवर्तन है $dx_{i}$ हाइपरसफेस में $f$, और डॉट उत्पाद के बाद से $∇f$ तथा $f$ शून्य है, इसका अर्थ है $f(x) = c$ के लंबवत है $c$.

मनमाना वक्रीय समन्वय प्रणालियों में $(n − 1)$ आयाम, ढाल के लिए स्पष्ट अभिव्यक्ति इतनी सरल नहीं होगी - उस समन्वय प्रणाली के लिए मीट्रिक टेन्सर के संदर्भ में स्केल कारक होंगे। इस पूरे लेख में उपयोग किए गए उपरोक्त मामले के लिए, मीट्रिक केवल क्रोनकर डेल्टा है और स्केल कारक सभी 1 हैं।

भिन्नता वर्ग
यदि सभी प्रथम क्रम आंशिक डेरिवेटिव का मूल्यांकन एक बिंदु पर किया जाता है $dx$ डोमेन में:


 * $$\left.\frac{\partial}{\partial x_1} f(\boldsymbol{x})\right|_{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{a}}\,,\quad

\left.\frac{\partial}{\partial x_2} f(\boldsymbol{x})\right|_{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{a}}\,,\ldots, \left.\frac{\partial}{\partial x_n} f(\boldsymbol{x})\right|_{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{a}} $$ मौजूद हैं और सभी के लिए निरंतर हैं $x$ डोमेन में, $f(x) = c$ भिन्नता वर्ग है $∇f$. सामान्य तौर पर, यदि सभी आदेश $dx$ आंशिक डेरिवेटिव का मूल्यांकन एक बिंदु पर किया जाता है $∇f$:


 * $$\left.\frac{\partial^p}{\partial x_1^{p_1}\partial x_2^{p_2}\cdots\partial x_n^{p_n}} f(\boldsymbol{x})\right|_{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{a}}$$

मौजूद हैं और निरंतर हैं, जहां $dx$, तथा $n$ ऊपर के रूप में, सभी के लिए हैं $a$ डोमेन में, फिर $a$ ऑर्डर करने के लिए अलग-अलग है $f$ पूरे डोमेन में और भिन्नता वर्ग है $C^{1}$.

यदि $p$ अवकलनीयता वर्ग का है $a$, $p_{1}, p_{2}, …, p_{n}$ सभी क्रम के निरंतर आंशिक डेरिवेटिव हैं और इसे सुचारू कार्य कहा जाता है। यदि $p$ एक विश्लेषणात्मक कार्य है और डोमेन में किसी भी बिंदु के बारे में इसकी टेलर श्रृंखला के बराबर है, अंकन $a$ इस भिन्नता वर्ग को दर्शाता है।

एकाधिक एकीकरण
नोटेशन के साथ कई वास्तविक चर पर निश्चित अभिन्न को कई एकीकरण तक बढ़ाया जा सकता है;


 * $$\int_{R_n} \cdots \int_{R_2} \int_{R_1} f(x_1, x_2, \ldots, x_n) \, dx_1 dx_2\cdots dx_n \equiv \int_R f(\boldsymbol{x}) \, d^n\boldsymbol{x}$$

जहां प्रत्येक क्षेत्र $f$ वास्तविक रेखा का या सभी का उपसमुच्चय है:


 * $$R_1 \subseteq \mathbb{R} \,, \quad R_2 \subseteq \mathbb{R} \,, \ldots, R_n \subseteq \mathbb{R}, $$

और उनका कार्टेशियन उत्पाद क्षेत्र को एक सेट के रूप में एकीकृत करने के लिए देता है:


 * $$R = R_1 \times R_2 \times \dots \times R_n \,,\quad R \subseteq \mathbb{R}^n \,,$$

एक $p$-आयामी हाइपरवॉल्यूम। जब मूल्यांकन किया जाता है, तो एक निश्चित अभिन्न एक वास्तविक संख्या होती है यदि क्षेत्र में अभिन्न अभिसरण (गणित)। $C ^{p}$ एकीकरण का (एक निश्चित अभिन्न का परिणाम किसी दिए गए क्षेत्र के लिए अनंत हो सकता है, ऐसे मामलों में अभिन्न अपरिभाषित रहता है)। वेरिएबल्स को डमी या फ्री वेरिएबल्स और बाउंड वेरिएबल्स के रूप में माना जाता है बाध्य चर जो एकीकरण की प्रक्रिया में संख्याओं के लिए प्रतिस्थापित किए जाते हैं।

एक वास्तविक चर के वास्तविक-मूल्यवान फलन का समाकल $f$ इसके संबंध में $C^{∞}$ वक्र से घिरे क्षेत्र के रूप में ज्यामितीय व्याख्या है $f$ और यह $f$-एक्सिस। एकाधिक समाकल इस अवधारणा की विमीयता का विस्तार करते हैं: a मानते हुए $C^{ω}$एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का आयामी एनालॉग, उपरोक्त निश्चित अभिन्न के रूप में ज्यामितीय व्याख्या है $R_{1}, R_{2}, …, R_{n}$-आयामी हाइपरवोल्यूम से घिरा हुआ $n$ और यह $R$ अक्ष, जो धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि समाकलित किया जा रहा है (यदि समाकल अभिसारी है)।

जबकि परिबद्ध हाइपरवोल्यूम एक उपयोगी अंतर्दृष्टि है, निश्चित अभिन्न का अधिक महत्वपूर्ण विचार यह है कि वे अंतरिक्ष के भीतर कुल मात्रा का प्रतिनिधित्व करते हैं। लागू गणित और भौतिकी में इसका महत्व है: यदि $y = f(x)$ कुछ अदिश घनत्व क्षेत्र है और $x$ स्थिति वेक्टर निर्देशांक हैं, यानी कुछ स्केलर (भौतिकी) प्रति यूनिट एन-डायमेंशनल हाइपरवोल्यूम, फिर क्षेत्र में एकीकृत $y = f(x)$ में कुल मात्रा देता है $x$. हाइपरवोल्यूम की अधिक औपचारिक धारणा माप (गणित) का विषय है। ऊपर हमने Lebesgue माप का उपयोग किया, इस विषय पर अधिक जानकारी के लिए Lebesgue एकीकरण देखें।

प्रमेय
एकाधिक एकीकरण और आंशिक डेरिवेटिव की परिभाषाओं के साथ, प्रमुख प्रमेय तैयार किए जा सकते हैं, जिसमें कई वास्तविक चर (अर्थात् स्टोक्स प्रमेय) में कलन के मौलिक प्रमेय शामिल हैं, भागों द्वारा एकीकरण # कई वास्तविक चर में उच्च आयाम, दूसरे डेरिवेटिव की समरूपता और टेलर की प्रमेय#बहुभिन्नरूपी कार्यों के लिए टेलर की प्रमेय|बहुभिन्नरूपी कार्यों के लिए टेलर की प्रमेय। इंटीग्रल और आंशिक डेरिवेटिव के मिश्रण का मूल्यांकन इंटीग्रल साइन के तहत प्रमेय भिन्नता का उपयोग करके किया जा सकता है।

वेक्टर कलन
कई वास्तविक चरों में से प्रत्येक में कई कार्य एकत्र किए जा सकते हैं, कहते हैं


 * $$y_1 = f_1(x_1, x_2, \ldots, x_n)\,,\quad y_2 = f_2(x_1, x_2, \ldots, x_n)\,,\ldots, y_m = f_m(x_1, x_2, \cdots x_n) $$

एक में $n$-टुपल, या कभी-कभी कॉलम वेक्टर या पंक्ति वेक्टर के रूप में क्रमशः:


 * $$(y_1, y_2, \ldots, y_m) \leftrightarrow \begin{bmatrix} f_1(x_1, x_2, \ldots, x_n) \\ f_2(x_1, x_2, \cdots x_n) \\ \vdots \\ f_m(x_1, x_2, \ldots, x_n) \end{bmatrix} \leftrightarrow \begin{bmatrix} f_1(x_1, x_2, \ldots, x_n) &  f_2(x_1, x_2, \ldots, x_n) & \cdots & f_m(x_1, x_2, \ldots, x_n) \end{bmatrix} $$

सभी को एक समान स्तर पर माना जाता है $n$-कंपोनेंट वेक्टर फील्ड, और जो भी फॉर्म सुविधाजनक हो उसका उपयोग करें। उपरोक्त सभी नोटेशन में एक सामान्य कॉम्पैक्ट नोटेशन है $f(x)$. ऐसे सदिश क्षेत्रों की गणना सदिश कलन है। बहुभिन्नरूपी कार्यों के पंक्ति सदिशों और स्तंभ सदिशों के उपचार के बारे में अधिक जानकारी के लिए, मैट्रिक्स कलन देखें।

अंतर्निहित कार्य
कई वास्तविक चरों का वास्तविक-मूल्यवान अंतर्निहित कार्य रूप में नहीं लिखा गया है$x_{1}, x_{2}, …, x_{n}$. इसके बजाय, मैपिंग अंतरिक्ष से है $f$ शून्य तत्व में $x$ (सिर्फ साधारण शून्य 0):


 * $$\begin{align}

& \phi: \R^{n+1} \to \{0\} \\ & \phi(x_1, x_2, \ldots, x_n, y) = 0 \end{align}$$ सभी चरों में एक समीकरण है। अंतर्निहित कार्य कार्यों का प्रतिनिधित्व करने का एक अधिक सामान्य तरीका है, क्योंकि यदि:


 * $$y=f(x_1, x_2, \ldots, x_n) $$

तो हम हमेशा परिभाषित कर सकते हैं:


 * $$ \phi(x_1, x_2, \ldots, x_n, y) = y - f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0 $$

लेकिन इसका विलोम हमेशा संभव नहीं होता है, अर्थात सभी अंतर्निहित कार्यों का एक स्पष्ट रूप नहीं होता है।

उदाहरण के लिए, अंतराल (गणित) का उपयोग करते हुए, आइए


 * $$\begin{align}

& \phi : X \to \{ 0 \} \\ & \phi(x,y,z) = \left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 + \left(\frac{z}{c}\right)^2 - 1 = 0 \\ & X = [-a,a] \times [-b,b] \times [-c,c] = \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \,:\, -a\leq x\leq a, -b\leq y\leq b, -c\leq z\leq c \right\}. \end{align}$$ एक 3-आयामी (3डी) कार्तीय समन्वय प्रणाली का चयन करना, यह फ़ंक्शन मूल बिंदु पर केंद्रित एक 3डी दीर्घवृत्त की सतह का वर्णन करता है $R$ निरंतर अर्ध-प्रमुख अक्ष के साथ | अर्ध-प्रमुख अक्ष $R$, धनात्मक x, y और z अक्षों के साथ क्रमशः। यदि $m$, हमारे पास त्रिज्या का एक गोला है $m$ मूल पर केन्द्रित है। अन्य शांकव खंड के उदाहरण जिन्हें समान रूप से वर्णित किया जा सकता है उनमें हाइपरबोलॉइड और पैराबोलॉइड शामिल हैं, आमतौर पर 3डी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में कोई भी 2डी सतह हो सकती है। उपरोक्त उदाहरण के लिए हल किया जा सकता है $y = f(x)$, $y = f(…)$ या $R^{n + 1}$; हालाँकि इसे निहित रूप में लिखना बहुत कठिन है।

अधिक परिष्कृत उदाहरण के लिए:


 * $$\begin{align}

& \phi : \R^4 \to \{ 0 \} \\ & \phi(t,x,y,z) = C tz e^{tx-yz} + A \sin(3\omega t) \left(x^2z - B y^6\right) = 0 \end{align}$$ गैर-शून्य वास्तविक स्थिरांक के लिए $R$, यह फ़ंक्शन सभी के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है $(x, y, z) = (0, 0, 0)$, लेकिन इसे इन चरों के लिए स्पष्ट रूप से हल नहीं किया जा सकता है और इसे लिखा जा सकता है$a, b, c$,$a = b = c = r$, आदि।

दो से अधिक वास्तविक चरों का निहित फलन प्रमेय, फलन की निरंतरता और अवकलनीयता से संबंधित है, जो इस प्रकार है। होने देना $r$ निरंतर प्रथम क्रम आंशिक डेरिवेटिव के साथ एक निरंतर कार्य हो, और एक बिंदु पर ϕ का मूल्यांकन करें $x$ शून्य हो:


 * $$\phi(\boldsymbol{a}, b) = 0;$$

और का पहला आंशिक व्युत्पन्न करते हैं $y$ इसके संबंध में $z$ पर मूल्यांकन किया गया $A, B, C, ω$ गैर शून्य हो:


 * $$\left.\frac{\partial \phi(\boldsymbol{x},y)}{\partial y}\right|_{(\boldsymbol{x},y) = (\boldsymbol{a},b)} \neq 0 .$$

फिर एक अंतराल होता है $(t, x, y, z)$ युक्त $t =$, और एक क्षेत्र $x =$ युक्त $ϕ(x_{1}, x_{2}, …, x_{n})$, ऐसा कि प्रत्येक के लिए $(a, b) = (a_{1}, a_{2}, …, a_{n}, b)$ में $ϕ$ का ठीक एक मूल्य है $y$ में $(a, b)$ संतुष्टि देने वाला $[y_{1}, y_{2}]$, तथा $b$ का एक सतत कार्य है $R$ ताकि $(a, b)$. कार्यों के कुल अंतर हैं:


 * $$dy=\frac{\partial y}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial y}{\partial x_2}dx_2 + \dots + \frac{\partial y}{\partial x_n}dx_n ;$$
 * $$d\phi=\frac{\partial \phi}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial \phi}{\partial x_2}dx_2 + \dots + \frac{\partial \phi}{\partial x_n}dx_n + \frac{\partial \phi}{\partial y}dy .$$

स्थानापन्न $x$ बाद के अंतर में और अंतर के गुणांक को बराबर करने से पहले क्रम का आंशिक डेरिवेटिव मिलता है $R$ इसके संबंध में $y$ मूल फलन के अवकलजों के संदर्भ में, प्रत्येक रैखिक समीकरण के हल के रूप में


 * $$\frac{\partial \phi}{\partial x_i} + \frac{\partial \phi}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x_i} = 0 $$

के लिये $[y_{1}, y_{2}]$.

कई वास्तविक चरों का जटिल-मूल्यवान कार्य
कई वास्तविक चरों के एक जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन को वास्तविक-मूल्यवान कार्यों की परिभाषा में, कोडोमेन को वास्तविक संख्याओं तक सीमित करने और जटिल संख्या मानों की अनुमति देकर परिभाषित किया जा सकता है।

यदि $ϕ(x, y) = 0$ इस तरह का एक जटिल मूल्यवान कार्य है, इसे विघटित किया जा सकता है
 * $$f(x_1,\ldots, x_n)=g(x_1,\ldots, x_n)+ih(x_1,\ldots, x_n),$$

कहाँ पे $y$ तथा $x$ वास्तविक मूल्यवान कार्य हैं। दूसरे शब्दों में, जटिल मूल्यवान कार्यों का अध्ययन वास्तविक मूल्यवान कार्यों के जोड़े के अध्ययन के लिए आसानी से कम हो जाता है।

यह कमी सामान्य संपत्तियों के लिए काम करती है। हालाँकि, स्पष्ट रूप से दिए गए फ़ंक्शन के लिए, जैसे:


 * $$ z(x, y, \alpha, a, q) = \frac{q}{2\pi} \left[\ln\left(x+iy- ae^{i\alpha}\right) - \ln\left(x+iy + ae^{-i\alpha}\right)\right]$$

वास्तविक और काल्पनिक भाग की गणना कठिन हो सकती है।

अनुप्रयोग
इंजीनियरिंग और भौतिकी में वास्तविक चरों के बहुभिन्नरूपी कार्य अनिवार्य रूप से उत्पन्न होते हैं, क्योंकि अवलोकन योग्य भौतिक मात्रा वास्तविक संख्याएं होती हैं (माप और आयामी विश्लेषण की संबंधित इकाइयों के साथ), और कोई भी भौतिक मात्रा आम तौर पर कई अन्य मात्राओं पर निर्भर करती है।

कई वास्तविक चरों के वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के उदाहरण
सातत्य यांत्रिकी के उदाहरणों में स्थानीय द्रव्यमान घनत्व शामिल है $ϕ(x, y(x)) = 0$ बड़े पैमाने पर वितरण का, एक अदिश क्षेत्र जो स्थानिक स्थिति निर्देशांक पर निर्भर करता है (यहाँ उदाहरण के लिए कार्टेशियन), $dy$, और समय $y$:


 * $$\rho = \rho(\mathbf{r},t) = \rho(x,y,z,t)$$

इसी तरह इलेक्ट्रिक चार्ज ऑब्जेक्ट्स के लिए इलेक्ट्रिक चार्ज घनत्व, और कई अन्य स्केलर संभावित क्षेत्रों के लिए।

एक अन्य उदाहरण वेग क्षेत्र है, एक सदिश क्षेत्र, जिसमें वेग के घटक होते हैं $x_{i}$ स्थानिक निर्देशांक और समय के प्रत्येक बहुभिन्नरूपी कार्य इसी तरह हैं:


 * $$\mathbf{v} (\mathbf{r},t) = \mathbf{v}(x,y,z,t) = [v_x(x,y,z,t), v_y(x,y,z,t), v_z(x,y,z,t)]$$

इसी प्रकार अन्य भौतिक वेक्टर क्षेत्रों जैसे विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र, और वेक्टर संभावित क्षेत्र के लिए।

एक अन्य महत्वपूर्ण उदाहरण ऊष्मप्रवैगिकी में राज्य का समीकरण है, दबाव से संबंधित एक समीकरण $i = 1, 2, …, n$, तापमान $f(x_{1}, …, x_{n})$, और मात्रा $g$ एक तरल पदार्थ का, सामान्य तौर पर इसका एक अंतर्निहित रूप होता है:


 * $$f(P, V, T) = 0 $$

सबसे सरल उदाहरण आदर्श गैस कानून है:


 * $$f(P, V, T) = PV - nRT = 0 $$

कहाँ पे $h$ मोल्स की संख्या है, पदार्थ की एक निश्चित मात्रा के लिए स्थिर, और $ρ$ गैस स्थिरांक। राज्य के बहुत अधिक जटिल समीकरणों को आनुभविक रूप से व्युत्पन्न किया गया है, लेकिन उन सभी का उपरोक्त निहित रूप है।

कई वास्तविक चरों के वास्तविक-मूल्यवान कार्य अर्थशास्त्र में व्यापक रूप से दिखाई देते हैं। उपभोक्ता सिद्धांत के आधार में, उपयोगिता को खपत किए गए विभिन्न सामानों की मात्रा के एक समारोह के रूप में व्यक्त किया जाता है, प्रत्येक राशि उपयोगिता समारोह का एक तर्क है। उपयोगिता को अधिकतम करने का परिणाम मांग कार्यों का एक सेट है, प्रत्येक एक विशेष वस्तु की मांग की गई राशि को विभिन्न वस्तुओं की कीमतों और आय या धन के कार्य के रूप में व्यक्त करता है। आपूर्ति (अर्थशास्त्र) में, एक फर्म को आमतौर पर उत्पादित विभिन्न वस्तुओं की मात्रा और नियोजित उत्पादन के विभिन्न कारकों की मात्रा के कार्य के रूप में लाभ को अधिकतम करने के लिए माना जाता है। अनुकूलन का परिणाम उत्पादन के विभिन्न कारकों के लिए मांग कार्यों का एक सेट और विभिन्न उत्पादों के लिए आपूर्ति (अर्थशास्त्र) का एक सेट है; इनमें से प्रत्येक कार्य के अपने तर्क के रूप में वस्तुओं की कीमतें और उत्पादन के कारक हैं।

कई वास्तविक चरों के जटिल-मूल्यवान कार्यों के उदाहरण
कुछ भौतिक मात्राएँ वास्तव में जटिल मूल्य हो सकती हैं - जैसे कि जटिल प्रतिबाधा, जटिल पारगम्यता, पारगम्यता (विद्युत चुंबकत्व)#जटिल पारगम्यता, और अपवर्तक सूचकांक#अपवर्तन और अवशोषण का जटिल सूचकांक। ये वास्तविक चरों के कार्य भी हैं, जैसे आवृत्ति या समय, साथ ही साथ तापमान।

द्वि-आयामी द्रव यांत्रिकी में, विशेष रूप से संभावित प्रवाह के सिद्धांत में # द्वि-आयामी संभावित प्रवाह के उदाहरण 2d में द्रव गति का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाते हैं, संभावित प्रवाह # द्वि-आयामी प्रवाह के लिए विश्लेषण


 * $$F(x,y,\ldots) = \varphi(x,y,\ldots) + i\psi(x,y,\ldots) $$

दो स्थानिक निर्देशांकों का एक जटिल मूल्यवान कार्य है $r = (x, y, z)$ तथा $t$, और सिस्टम से जुड़े अन्य वास्तविक चर। वास्तविक भाग वेग क्षमता है और काल्पनिक भाग धारा कार्य है।

लैपलेस के समीकरण के समाधान के रूप में भौतिकी और इंजीनियरिंग में गोलाकार हार्मोनिक्स होते हैं, साथ ही जेड-घटक कोणीय गति ऑपरेटर के ईजेनफंक्शन, जो वास्तविक-मूल्यवान गोलाकार ध्रुवीय निर्देशांक के जटिल-मूल्यवान कार्य हैं:


 * $$Y^m_\ell = Y^m_\ell(\theta,\phi) $$

क्वांटम यांत्रिकी में, वेवफंक्शन आवश्यक रूप से जटिल-मूल्यवान है, लेकिन वास्तविक स्थानिक निर्देशांक (या संवेग घटकों) का एक कार्य है, साथ ही समय भी $v = (v_{x}, v_{y}, v_{z})$:


 * $$\Psi = \Psi(\mathbf{r},t) = \Psi(x,y,z,t)\,,\quad \Phi = \Phi(\mathbf{p},t) = \Phi(p_x,p_y,p_z,t) $$

जहां प्रत्येक फूरियर रूपांतरण से संबंधित है।

यह भी देखें

 * वास्तविक समन्वय स्थान # कई चर के एक समारोह का डोमेन
 * सच्चा विश्लेषण
 * जटिल विश्लेषण
 * कई जटिल चर का कार्य
 * स्केलर फ़ील्ड