कनेक्शन (गणित)

ज्यामिति में, एक कनेक्शन की धारणा स्थानीय ज्यामितीय वस्तुओं के परिवहन के विचार को सटीक बनाती है, जैसे स्पर्शरेखा स्थान में स्पर्शरेखा वैक्टर या टेन्सर, वक्र या वक्र के परिवार के साथ 'समानांतर' और सुसंगत तरीके से। आधुनिक ज्यामिति में विभिन्न प्रकार के कनेक्शन हैं, यह इस बात पर निर्भर करता है कि कोई किस प्रकार के डेटा को ट्रांसपोर्ट करना चाहता है। उदाहरण के लिए, एक affine कनेक्शन, सबसे प्राथमिक प्रकार का कनेक्शन, वक्र के साथ एक बिंदु से दूसरे तक कई गुना स्पर्शरेखा स्थान के समानांतर परिवहन के लिए एक साधन देता है। एक सजातीय संबंध आमतौर पर एक सहसंयोजक व्युत्पन्न के रूप में दिया जाता है, जो सदिश क्षेत्रों के दिशात्मक यौगिक लेने के लिए एक साधन देता है, सदिश क्षेत्र के विचलन को किसी दिए गए दिशा में समानांतर होने से मापता है।

बड़े हिस्से में आधुनिक ज्यामिति में कनेक्शन केंद्रीय महत्व के हैं क्योंकि वे एक बिंदु पर स्थानीय ज्यामिति और दूसरे बिंदु पर स्थानीय ज्यामिति के बीच तुलना की अनुमति देते हैं। विभेदक ज्यामिति कनेक्शन थीम पर कई भिन्नताओं को अपनाती है, जो दो प्रमुख समूहों में आती हैं: इनफिनिटिमल और स्थानीय सिद्धांत। स्थानीय सिद्धांत मुख्य रूप से समानांतर परिवहन और पवित्रता की धारणाओं से संबंधित है। अतिसूक्ष्म सिद्धांत स्वयं को ज्यामितीय डेटा के विभेदीकरण से संबंधित करता है। इस प्रकार एक सहसंयोजक व्युत्पन्न एक वेक्टर क्षेत्र के व्युत्पन्न को एक अन्य वेक्टर क्षेत्र के साथ कई गुना निर्दिष्ट करने का एक तरीका है। एक कार्टन कनेक्शन अंतर रूपों और झूठ समूहों का उपयोग करके कनेक्शन सिद्धांत के कुछ पहलुओं को तैयार करने का एक तरीका है। क्षेत्र की गति की अनुमत दिशाओं को निर्दिष्ट करके एक एह्रेसमैन कनेक्शन एक फाइबर बंडल या एक प्रमुख बंडल में एक कनेक्शन है। एक कनेक्शन शर्ट एक कनेक्शन है जो स्पर्शरेखा बंडल की तुलना में अधिक सामान्य वेक्टर बंडल के वर्गों के लिए दिशात्मक व्युत्पन्न को परिभाषित करता है।

कनेक्शन भी 'ज्यामितीय आक्रमणकारियों' के सुविधाजनक योगों की ओर ले जाते हैं, जैसे कि वक्रता (रीमैन वक्रता टेन्सर और वक्रता रूप भी देखें), और मरोड़ टेंसर।

प्रेरणा: निर्देशांक की अनुपयुक्तता
निम्नलिखित समस्या पर विचार करें। मान लीजिए कि गोले S के लिए एक स्पर्शरेखा सदिश उत्तरी ध्रुव पर दिया गया है, और हमें इस सदिश को गोले के अन्य बिंदुओं पर लगातार ले जाने के तरीके को परिभाषित करना है: समानांतर परिवहन के लिए एक साधन। स्वाभाविक रूप से, यह एक विशेष समन्वय प्रणाली का उपयोग करके किया जा सकता है। हालांकि, जब तक उचित देखभाल लागू नहीं की जाती है, समन्वय की एक प्रणाली में परिभाषित समांतर परिवहन किसी अन्य समन्वय प्रणाली से सहमत नहीं होगा। एक अधिक उपयुक्त समानांतर परिवहन प्रणाली रोटेशन के तहत गोले की समरूपता का फायदा उठाती है। उत्तरी ध्रुव पर एक सदिश को देखते हुए, इस सदिश को गोले को इस तरह से घुमाकर एक वक्र के साथ ले जाया जा सकता है कि उत्तरी ध्रुव अक्षीय रोलिंग के बिना वक्र के साथ चलता है। समानांतर परिवहन का यह बाद वाला साधन क्षेत्र पर लेवी-Civita कनेक्शन है। यदि एक ही प्रारंभिक और अंतिम बिंदु के साथ दो अलग-अलग वक्र दिए गए हैं, और एक सदिश v को एक घुमाव द्वारा पहले वक्र के साथ सख्ती से स्थानांतरित किया जाता है, तो अंतिम बिंदु पर परिणामी सदिश सदिश से भिन्न होगा, जिसके परिणामस्वरूप v दूसरे के साथ सख्ती से चल रहा है। वक्र। यह घटना गोले की वक्रता को दर्शाती है। एक साधारण यांत्रिक उपकरण जिसका उपयोग समानांतर परिवहन की कल्पना करने के लिए किया जा सकता है, दक्षिण-इंगित रथ है।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि S त्रिविम प्रक्षेपण द्वारा दिए गए निर्देशांकों वाला एक गोला है। एस के संबंध में 'आर' में यूनिट वैक्टर शामिल हैं 3। फिर S उत्तरी ध्रुव और दक्षिणी ध्रुव से अनुमानों के अनुरूप एटलस (टोपोलॉजी) # चार्ट की एक जोड़ी रखता है। मानचित्रण

\begin{align} \varphi_0(x,y) & = \left(\frac{2x}{1+x^2+y^2}, \frac{2y}{1+x^2+y^2}, \frac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2}\right)\\[8pt] \varphi_1(x,y) & = \left(\frac{2x}{1+x^2+y^2}, \frac{2y}{1+x^2+y^2}, \frac{x^2+y^2-1}{1+x^2+y^2}\right) \end{align} $$ एक पड़ोस यू को कवर करें0 उत्तरी ध्रुव और यू1 दक्षिणी ध्रुव की, क्रमशः। X, Y, Z को 'R' में परिवेश निर्देशांक होने दें 3। फिर φ0 और φ1 व्युत्क्रम हैं

\begin{align} \varphi_0^{-1}(X,Y,Z) &= \left(\frac{X}{Z+1}, \frac{Y}{Z+1}\right), \\[8pt] \varphi_1^{-1}(X,Y,Z) &= \left(\frac{-X}{Z-1}, \frac{-Y}{Z-1}\right), \end{align} $$ ताकि समन्वय संक्रमण समारोह एक सर्कल में उलटा हो:


 * $$\varphi_{01}(x,y) = \varphi_0^{-1}\circ\varphi_1(x,y) = \left(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{y}{x^2+y^2}\right)$$

आइए अब एक वेक्टर क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करते हैं $$v$$ स्थानीय निर्देशांक में एस पर (एस में प्रत्येक बिंदु के लिए एक स्पर्शरेखा वेक्टर का असाइनमेंट)। यदि P, U का एक बिंदु है0 ⊂ एस, तो एक सदिश क्षेत्र को एक सदिश क्षेत्र 'v' के पुशफॉरवर्ड (अवकलन) द्वारा दर्शाया जा सकता है0 आर पर2 द्वारा $$\varphi_0$$:

कहाँ $$J_{\varphi_0}$$ φ के जैकबियन मैट्रिक्स को दर्शाता है0 ($$d{\varphi_0}_x({\mathbf u}) = J_{\varphi_0}(x)\cdot {\mathbf u}$$), और वी0= वि0(x, y) 'R' पर एक सदिश क्षेत्र है2 विशिष्ट रूप से v द्वारा निर्धारित किया गया है (चूंकि किसी भी बिंदु पर एक स्थानीय भिन्नता का पुशफॉरवर्ड उलटा है)। इसके अलावा, समन्वय चार्ट के बीच ओवरलैप पर यू0 ∩ यू1, φ के संबंध में एक ही सदिश क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करना संभव है1 निर्देशांक:

घटकों को संबंधित करने के लिए v0 और वी1, श्रृंखला नियम को सर्वसमिका φ पर लागू करें1 = च0 का01:


 * $$J_{\varphi_1}\left(\varphi_1^{-1}(P)\right) = J_{\varphi_0}\left(\varphi_0^{-1}(P)\right) \cdot J_{\varphi_{01}}\left(\varphi_1^{-1}(P)\right). $$

इस मैट्रिक्स समीकरण के दोनों पक्षों को घटक वेक्टर v पर लागू करना1(फा1−1(पी)) और आह्वान ($$) और ($$) पैदावार

अब हम यह परिभाषित करने के मुख्य प्रश्न पर आते हैं कि एक सदिश क्षेत्र को एक वक्र के समानांतर कैसे ले जाया जाए। मान लीजिए कि P(t) S में एक वक्र है। भोलेपन से, कोई सदिश क्षेत्र को समानांतर मान सकता है यदि सदिश क्षेत्र के निर्देशांक घटक वक्र के साथ स्थिर हैं। हालाँकि, एक तत्काल अस्पष्टता उत्पन्न होती है: किस समन्वय प्रणाली में इन घटकों को स्थिर होना चाहिए?

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि v(P(t)) के U में स्थिर घटक हैं1 निर्देशांक तरीका। अर्थात्, कार्य v1(फा1−1(P(t))) स्थिर हैं। हालांकि, उत्पाद नियम को लागू करने के लिए ($$) और इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि d'v'1/dt = 0 देता है


 * $$\frac{d}{dt}{\mathbf v}_0\left(\varphi_0^{-1}(P(t))\right) = \left(\frac{d}{dt}J_{\varphi_{01}}\left(\varphi_1^{-1}(P(t))\right)\right) \cdot {\mathbf v}_1\left(\varphi_1^{-1}\left(P(t)\right)\right).$$

लेकिन $$\left(\frac{d}{dt}J_{\varphi_{01}}\left(\varphi_1^{-1}(P(t))\right)\right)$$ हमेशा एक गैर-एकवचन मैट्रिक्स होता है (बशर्ते कि वक्र P(t) स्थिर न हो), इसलिए 'v'1 और वी0 वक्र के साथ कभी भी एक साथ स्थिर नहीं हो सकता।

संकल्प
ऊपर देखी गई समस्या यह है कि वेक्टर पथरी का सामान्य दिशात्मक व्युत्पन्न वेक्टर क्षेत्रों के घटकों पर लागू होने पर समन्वय प्रणाली में परिवर्तन के तहत अच्छा व्यवहार नहीं करता है। इससे यह वर्णन करना काफी मुश्किल हो जाता है कि वेक्टर फ़ील्ड को समानांतर तरीके से कैसे अनुवादित किया जाए, अगर वास्तव में ऐसी धारणा बिल्कुल भी समझ में आती है। इस समस्या को हल करने के दो मूलभूत रूप से भिन्न तरीके हैं।

पहला दृष्टिकोण यह जांचना है कि समन्वय संक्रमण के तहत अच्छी तरह से व्यवहार करने के लिए दिशात्मक व्युत्पन्न के सामान्यीकरण के लिए क्या आवश्यक है। यह कनेक्शन के लिए सहसंयोजक व्युत्पन्न दृष्टिकोण द्वारा अपनाई गई रणनीति है: अच्छे व्यवहार को सहप्रसरण और वैक्टर के विपरीतता के साथ जोड़ा जाता है। यहां एक निश्चित रैखिक ऑपरेटर द्वारा दिशात्मक व्युत्पन्न के संशोधन पर विचार किया जाता है, जिनके घटकों को क्रिस्टोफेल प्रतीक कहा जाता है, जिसमें वेक्टर क्षेत्र पर कोई डेरिवेटिव शामिल नहीं है। दिशात्मक व्युत्पन्न डीuएक समन्वय प्रणाली φ में एक वेक्टर v के घटकों के v दिशा में u को एक सहसंयोजक व्युत्पन्न द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है:


 * $$\nabla_{\mathbf u} {\mathbf v} = D_{\mathbf u} {\mathbf v} + \Gamma(\varphi)\{{\mathbf u},{\mathbf v}\}$$

जहां Γ समन्वय प्रणाली φ पर निर्भर करता है और 'यू' और 'वी' में द्विरेखीय रूप है। विशेष रूप से, Γ में 'यू' या 'वी' पर कोई डेरिवेटिव शामिल नहीं है। इस दृष्टिकोण में, Γ को एक निर्धारित तरीके से बदलना चाहिए जब समन्वय प्रणाली φ को एक अलग समन्वय प्रणाली में बदल दिया जाता है। यह परिवर्तन तन्य नहीं है, क्योंकि इसमें न केवल समन्वय संक्रमण का पहला व्युत्पन्न शामिल है, बल्कि इसका दूसरा व्युत्पन्न भी है। Γ के परिवर्तन कानून को निर्दिष्ट करना Γ को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए पर्याप्त नहीं है। कुछ अन्य सामान्यीकरण शर्तों को लागू किया जाना चाहिए, आमतौर पर विचाराधीन ज्यामिति के प्रकार के आधार पर। रीमैनियन ज्यामिति में, लेवी-सिविता कनेक्शन के लिए रिमेंनियन मीट्रिक (साथ ही एक निश्चित समरूपता की स्थिति) के साथ क्रिस्टोफ़ेल प्रतीकों की अनुकूलता की आवश्यकता होती है। इन सामान्यीकरणों के साथ, कनेक्शन विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है।

दूसरा दृष्टिकोण अंतरिक्ष पर समरूपता के कुछ अवशेष को पकड़ने का प्रयास करने के लिए झूठ समूहों का उपयोग करना है। यह कार्टन कनेक्शन का दृष्टिकोण है। गोले पर सदिशों के समानांतर परिवहन को निर्दिष्ट करने के लिए घुमाव का उपयोग करने वाला उपरोक्त उदाहरण इस नस में बहुत अधिक है।

संबंधों का ऐतिहासिक सर्वेक्षण
ऐतिहासिक रूप से, रिमेंनियन ज्यामिति में एक अतिसूक्ष्म परिप्रेक्ष्य से कनेक्शन का अध्ययन किया गया था। एल्विन ब्रूनो क्रिस्टोफर के साथ कुछ हद तक संबंधों का अतिसूक्ष्म अध्ययन शुरू हुआ। इसे बाद में ग्रेगोरियो रिक्की-कर्बस्त्रो और टुल्लियो लेवी-सिविता द्वारा और अधिक अच्छी तरह से लिया गया जिन्होंने भाग में देखा कि क्रिस्टोफेल के अतिसूक्ष्म अर्थ में एक संबंध ने समानांतर परिवहन की धारणा के लिए भी अनुमति दी।

लेवी-सीविटा का काम विशेष रूप से एक प्रकार के विभेदक ऑपरेटर के रूप में कनेक्शन के संबंध में केंद्रित था, जिनके समानांतर विस्थापन अंतर समीकरणों के समाधान थे। जैसे-जैसे बीसवीं सदी आगे बढ़ी, एली कार्टन ने संबंध की एक नई धारणा विकसित की। उन्होंने फेलिक्स क्लेन के एर्लांगेन कार्यक्रम की ज्यामिति के लिए Pfaffian सिस्टम की तकनीकों को लागू करने की मांग की। इन जांचों में, उन्होंने पाया कि कनेक्शन की एक निश्चित अतिसूक्ष्म धारणा (एक कार्टन कनेक्शन) को इन ज्यामितीयों और अधिक पर लागू किया जा सकता है: उनकी कनेक्शन अवधारणा वक्रता की उपस्थिति के लिए अनुमति देती है जो अन्यथा शास्त्रीय क्लेन ज्यामिति में अनुपस्थित होगी। (देखें, उदाहरण के लिए, और ।) इसके अलावा, गैस्टन डार्बौक्स की गतिशीलता का उपयोग करते हुए, कार्टन अपने अतिसूक्ष्म कनेक्शनों के वर्ग के लिए समानांतर परिवहन की धारणा को सामान्य बनाने में सक्षम था। इसने कनेक्शन के सिद्धांत में एक और प्रमुख सूत्र स्थापित किया: कि एक कनेक्शन एक निश्चित प्रकार का विभेदक रूप है।

कनेक्शन सिद्धांत में दो धागे वर्तमान दिन के माध्यम से बने रहे हैं: एक अंतर ऑपरेटर के रूप में एक कनेक्शन, और एक अंतर रूप के रूप में एक कनेक्शन। 1950 में, जीन लुइस कोज़ुल कोज़ुल कनेक्शन के माध्यम से एक अंतर ऑपरेटर के रूप में एक कनेक्शन के संबंध में एक बीजगणितीय ढांचा दिया। कोज़ुल कनेक्शन लेवी-सिविता की तुलना में अधिक सामान्य था, और इसके साथ काम करना आसान था क्योंकि यह अंततः कनेक्शन औपचारिकता से अजीब क्रिस्टोफेल प्रतीकों को खत्म करने (या कम से कम छिपाने) में सक्षम था। परिचर समानांतर विस्थापन संचालन में कनेक्शन के संदर्भ में प्राकृतिक बीजगणितीय व्याख्याएं भी थीं। कोज़ुल की परिभाषा को बाद में अधिकांश विभेदक ज्यामिति समुदाय द्वारा अपनाया गया, क्योंकि इसने सहसंयोजक विभेदन और समानांतर अनुवाद के बीच विश्लेषणात्मक पत्राचार को एक बीजगणितीय में प्रभावी रूप से परिवर्तित कर दिया।

उसी वर्ष, चार्ल्स एह्रेसमैन, कार्टन के एक छात्र, ने मुख्य बंडलों और, अधिक सामान्यतः, फाइबर बंडलों के संदर्भ में एक अंतर रूप दृश्य के रूप में कनेक्शन पर भिन्नता प्रस्तुत की। एह्रेसमैन कनेक्शन, सख्ती से बोलना, कार्टन कनेक्शन का सामान्यीकरण नहीं था। कार्टन के तुल्यता पद्धति के साथ उनके संबंध के कारण कार्टन कनेक्शन कई गुना अंतर्निहित अंतर टोपोलॉजी से काफी कठोर रूप से बंधे थे। एह्रेसमैन कनेक्शन उस समय के अन्य जियोमीटर के मूलभूत कार्य को देखने के लिए एक ठोस ढांचा थे, जैसे कि शिंग-शेन चेर्न, जो गेज कनेक्शन कहे जाने वाले अध्ययन के लिए कार्टन कनेक्शन से दूर जाना शुरू कर चुके थे। एह्रेसमैन के दृष्टिकोण में, एक प्रमुख बंडल में एक कनेक्शन में बंडल के कुल स्थान पर लंबवत बंडल का एक विनिर्देश होता है। एक समानांतर अनुवाद तब आधार से एक वक्र को मुख्य बंडल में एक वक्र तक उठाना है जो क्षैतिज है। यह दृष्टिकोण होलोनॉमी के अध्ययन में विशेष रूप से मूल्यवान साबित हुआ है।

संभावित दृष्टिकोण

 * एक प्रत्यक्ष दृष्टिकोण यह निर्दिष्ट करना है कि कैसे एक सहसंयोजक व्युत्पन्न एक अंतर ऑपरेटर के रूप में वेक्टर क्षेत्रों के मॉड्यूल (गणित) के तत्वों पर कार्य करता है। अधिक सामान्यतः, एक समान दृष्टिकोण किसी भी वेक्टर बंडल में कनेक्शन (वेक्टर बंडल) के लिए लागू होता है।
 * पारंपरिक सूचकांक संकेतन घटकों द्वारा कनेक्शन निर्दिष्ट करता है; क्रिस्टोफेल प्रतीक देखें। (ध्यान दें: इसके तीन सूचकांक हैं, लेकिन 'नहीं' एक टेन्सर है)।
 * छद्म-रीमैनियन और रीमैनियन ज्यामिति में लेवी-सिविता कनेक्शन मीट्रिक टेंसर से जुड़ा एक विशेष कनेक्शन है।
 * ये एफ़ाइन कनेक्शन के उदाहरण हैं. प्रक्षेपण कनेक्शन की एक अवधारणा भी है, जिसमें जटिल विश्लेषण में श्वार्जियन व्युत्पन्न एक उदाहरण है। आम तौर पर, दोनों affine और projective कनेक्शन कार्टन कनेक्शन के प्रकार होते हैं।
 * प्रिंसिपल बंडलों का उपयोग करके, एक कनेक्शन को लाइ बीजगणित-मूल्यवान अंतर रूप के रूप में महसूस किया जा सकता है। कनेक्शन देखें (प्रिंसिपल बंडल)।
 * कनेक्शन के लिए एक दृष्टिकोण जो डेटा के परिवहन की धारणा का प्रत्यक्ष उपयोग करता है (जो कुछ भी हो सकता है) एह्रेसमैन कनेक्शन है।
 * अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक द्वारा सुझाया गया सबसे अमूर्त दृष्टिकोण हो सकता है, जहां ग्रोथेंडिक कनेक्शन को विकर्ण के अतिसूक्ष्म पड़ोस से वंश (श्रेणी सिद्धांत) डेटा के रूप में देखा जाता है; देखना.

यह भी देखें

 * एफ़िन कनेक्शन
 * कार्टन कनेक्शन
 * एह्रेसमैन कनेक्शन
 * ग्रोथेंडिक कनेक्शन
 * लेवी-सिविता कनेक्शन
 * कनेक्शन प्रपत्र
 * कनेक्शन (फाइबर कई गुना)
 * कनेक्शन (प्रिंसिपल बंडल)
 * कनेक्शन (वेक्टर बंडल)
 * कनेक्शन (एफ़ाइन बंडल)
 * कनेक्शन (समग्र बंडल)
 * कनेक्शन (बीजीय ढांचा)
 * गेज सिद्धांत (गणित)

बाहरी संबंध

 * Connections at the Manifold Atlas
 * Connections at the Manifold Atlas