अवकलनीय मैनिफोल्ड

गणित में, एक अवकलनीय मैनिफोल्ड (विभेदक मैनिफोल्ड भी)।) एक प्रकार का कई गुना  है जो स्थानीय रूप से  सदिश स्थल  के समान होता है जिससे कोई कैलकुलस लागू कर सकता है। किसी भी विविधता का वर्णन चार्ट (एटलस (टोपोलॉजी)) के संग्रह द्वारा किया जा सकता है। व्यक्तिगत चार्ट के भीतर काम करते समय कोई भी कैलकुलस के विचारों को लागू कर सकता है, क्योंकि प्रत्येक चार्ट एक वेक्टर स्पेस के भीतर होता है, जिस पर कैलकुलस के सामान्य नियम लागू होते हैं। यदि चार्ट उपयुक्त रूप से संगत हैं (अर्थात्, एक चार्ट से दूसरे चार्ट में संक्रमण भिन्न कार्य है), तो एक चार्ट में की गई गणना किसी अन्य भिन्न चार्ट में मान्य हैं।

औपचारिक शब्दों में, एक विभेदक मैनिफोल्ड विश्व स्तर पर परिभाषित अंतर संरचना के साथ एक टोपोलॉजिकल मैनिफ़ोल्ड  है। किसी भी टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड को उसके एटलस में होमियोमोर्फिज्म और वेक्टर स्पेस पर मानक अंतर संरचना का उपयोग करके स्थानीय रूप से एक विभेदक संरचना दी जा सकती है। होमोमोर्फिज्म से प्रेरित स्थानीय समन्वय प्रणालियों पर एक वैश्विक अंतर संरचना को प्रेरित करने के लिए, एटलस में चार्ट चौराहों पर उनकी कार्य संरचना संबंधित वेक्टर स्थान पर भिन्न कार्य होनी चाहिए। दूसरे शब्दों में, जहां चार्ट के डोमेन ओवरलैप होते हैं, प्रत्येक चार्ट द्वारा परिभाषित निर्देशांक को एटलस में प्रत्येक चार्ट द्वारा परिभाषित निर्देशांक के संबंध में भिन्न होना आवश्यक है। वे मानचित्र जो विभिन्न चार्टों द्वारा परिभाषित निर्देशांकों को एक-दूसरे से जोड़ते हैं, संक्रमण मानचित्र कहलाते हैं।

एक अमूर्त स्थान पर ऐसी स्थानीय अंतर संरचना को परिभाषित करने की क्षमता किसी को वैश्विक समन्वय प्रणालियों के बिना रिक्त स्थान तक भिन्नता की परिभाषा का विस्तार करने की अनुमति देती है। एक स्थानीय रूप से विभेदक संरचना किसी को विश्व स्तर पर भिन्न स्पर्शरेखा स्थान, भिन्न कार्यों और भिन्न टेंसर फ़ील्ड और वेक्टर फ़ील्ड फ़ील्ड को परिभाषित करने की अनुमति देती है।

भौतिकी में विभेदक मैनिफोल्ड बहुत महत्वपूर्ण हैं। विशेष प्रकार के विभेदक मैनिफोल्ड शास्त्रीय यांत्रिकी, सामान्य सापेक्षता और यांग-मिल्स सिद्धांत जैसे भौतिक सिद्धांतों का आधार बनते हैं। भिन्न-भिन्न मैनिफोल्ड्स के लिए एक कलन विकसित करना संभव है। यह बाहरी व्युत्पन्न|बाहरी कलन जैसी गणितीय मशीनरी की ओर ले जाता है। अवकलनशील मैनिफोल्ड्स पर कैलकुलस के अध्ययन को डिफरेंशियल ज्योमेट्री और टोपोलॉजी|डिफरेंशियल ज्योमेट्री के रूप में जाना जाता है।

मैनिफ़ोल्ड की भिन्नता को कई अर्थ दिए गए हैं, जिनमें शामिल हैं: निरंतर भिन्न, k-बार भिन्न, सुचारू कार्य (जिसके स्वयं कई अर्थ हैं), और विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन।

इतिहास
एक विशिष्ट अनुशासन के रूप में विभेदक ज्यामिति के उद्भव का श्रेय आम तौर पर कार्ल फ्रेडरिक गॉस और बर्नहार्ड रीमैन को दिया जाता है। रीमैन ने पहली बार गोटिंगेन विश्वविद्यालय में संकाय के समक्ष अपने प्रसिद्ध आवास व्याख्यान में कई गुनाओं का वर्णन किया। उन्होंने किसी दिए गए ऑब्जेक्ट को एक नई दिशा में बदलने की सहज प्रक्रिया द्वारा मैनिफोल्ड के विचार को प्रेरित किया, और बाद के औपचारिक विकास में समन्वय प्रणालियों और चार्ट की भूमिका का वर्णन किया:
 * एन आयामों की विविधता की धारणा का निर्माण करने के बाद, और पाया कि इसका वास्तविक चरित्र इस संपत्ति में निहित है कि इसमें स्थिति का निर्धारण परिमाण के एन निर्धारण तक कम हो सकता है, ... - बी रीमैन

जेम्स क्लर्क मैक्सवेल जैसे भौतिकविदों के कार्य, और गणितज्ञ ग्रेगोरियो रिक्की-कर्बस्ट्रो और टुल्लियो लेवी-सिविटा टेंसर विश्लेषण के विकास और सामान्य सहप्रसरण की धारणा को जन्म दिया, जो एक आंतरिक ज्यामितीय संपत्ति की पहचान करता है जो समन्वय परिवर्तनों के संबंध में अपरिवर्तनीय है। इन विचारों को अल्बर्ट आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत और इसके अंतर्निहित तुल्यता सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग मिला। 2-आयामी मैनिफोल्ड की एक आधुनिक परिभाषा हरमन वेइल ने अपनी 1913 की रीमैन सतह  पर पुस्तक में दी थी। एटलस (गणित) के संदर्भ में मैनिफोल्ड की व्यापक रूप से स्वीकृत सामान्य परिभाषा हस्लर व्हिटनी के कारण है।

एटलस
होने देना $M$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस बनें। एक चार्ट $(U, φ)$ पर $M$ में एक खुला उपसमुच्चय होता है $U$ का $M$, और एक होमियोमोर्फिज्म $φ$ से $U$ कुछ यूक्लिडियन स्थान के एक खुले उपसमुच्चय के लिए $R^{n}$. कुछ हद तक अनौपचारिक रूप से, कोई चार्ट का उल्लेख कर सकता है $φ : U → R^{n}$, जिसका अर्थ है कि की छवि $φ$ का एक खुला उपसमुच्चय है $R^{n}$, ओर वो $φ$ इसकी छवि पर एक समरूपता है; कुछ लेखकों के उपयोग में, इसका अर्थ यह हो सकता है $φ : U → R^{n}$ स्वयं एक होमियोमोर्फिज्म है।

चार्ट की उपस्थिति से विभेदक गणना करने की संभावना का पता चलता है $M$; उदाहरण के लिए, यदि कोई फ़ंक्शन दिया गया है $u : M → R$ और एक चार्ट $(U, φ)$ पर $M$, कोई रचना पर विचार कर सकता है $u ∘ φ^{−1}$, जो एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन है जिसका डोमेन यूक्लिडियन स्पेस का एक खुला उपसमुच्चय है; इस प्रकार, यदि यह अवकलनीय होता है, तो कोई इसके आंशिक व्युत्पन्न पर विचार कर सकता है।

यह स्थिति निम्नलिखित कारणों से पूर्णतः संतोषजनक नहीं है। दूसरे चार्ट पर विचार करें $(V, ψ)$ पर $M$, और मान लीजिये $U$ और $V$ इसमें कुछ बिंदु समान हैं। दो संगत कार्य $u ∘ φ^{−1}$ और $u ∘ ψ^{−1}$ इस अर्थ में जुड़े हुए हैं कि उन्हें एक-दूसरे में पुनर्परिभाषित किया जा सकता है: $$u\circ\varphi^{-1}=\big(u\circ\psi^{-1}\big)\circ\big(\psi\circ\varphi^{-1}\big),$$ दाहिनी ओर का प्राकृतिक डोमेन $φ(U ∩ V)$. तब से $φ$ और $ψ$ होमोमोर्फिज्म हैं, यह उसका अनुसरण करता है $ψ ∘ φ^{−1}$ से एक होमोमोर्फिज्म है $φ(U ∩ V)$ को $ψ(U ∩ V)$. नतीजतन, भले ही दोनों कार्य करें $u ∘ φ^{−1}$ और $u ∘ ψ^{−1}$ अवकलनीय हैं, इसलिए उनके विभेदक गुण आवश्यक रूप से एक दूसरे से मजबूती से जुड़े नहीं होंगे $ψ ∘ φ^{−1}$श्रृंखला नियम लागू होने के लिए आवश्यक रूप से पर्याप्त रूप से भिन्न नहीं है। यदि कोई इसके बजाय कार्यों पर विचार करता है तो वही समस्या पाई जाती है $c : R → M$; एक को पुनर्परिवर्तन सूत्र की ओर ले जाया जाता है $$\varphi\circ c=\big(\varphi\circ\psi^{-1}\big)\circ\big(\psi\circ c\big),$$ जिस बिंदु पर कोई पहले जैसा ही अवलोकन कर सकता है।

इसका समाधान चार्ट के एक अलग-अलग एटलस की शुरुआत से किया जाता है, जो चार्ट के संग्रह को निर्दिष्ट करता है $M$ जिसके लिए संक्रमण मानचित्र $ψ ∘ φ^{−1}$ सभी भिन्न हैं। इससे स्थिति काफी हद तक साफ हो जाती है: यदि $u ∘ φ^{−1}$ अवकलनीय है, फिर पुनरामितीकरण सूत्र के कारण, मानचित्र $u ∘ ψ^{−1}$ क्षेत्र पर भी भिन्न है $ψ(U ∩ V)$. इसके अलावा, इन दोनों मानचित्रों के व्युत्पन्न श्रृंखला नियम द्वारा एक दूसरे से जुड़े हुए हैं। दिए गए एटलस के सापेक्ष, यह अलग-अलग मैपिंग की धारणा को सुविधाजनक बनाता है जिसका डोमेन या रेंज है $M$, साथ ही ऐसे मानचित्रों की व्युत्पत्ति की धारणा भी।

औपचारिक रूप से, डिफरेंशियल शब्द कुछ हद तक अस्पष्ट है, क्योंकि अलग-अलग लेखकों द्वारा इसका अलग-अलग अर्थ लिया जाता है; कभी-कभी इसका मतलब पहले डेरिवेटिव का अस्तित्व होता है, कभी-कभी निरंतर पहले डेरिवेटिव का अस्तित्व होता है, और कभी-कभी असीमित कई डेरिवेटिव का अस्तित्व होता है। निम्नलिखित विभेदक एटलस के विभिन्न (अस्पष्ट) अर्थों की एक औपचारिक परिभाषा देता है। आम तौर पर, विभेदीकरण का उपयोग इन सभी संभावनाओं सहित एक कैच-ऑल शब्द के रूप में किया जाएगा, बशर्ते $k ≥ 1$.

चूँकि प्रत्येक वास्तविक-विश्लेषणात्मक मानचित्र सहज है, और प्रत्येक सहज मानचित्र है $C^{k}$ किसी के लिए $M$, कोई यह देख सकता है कि किसी भी विश्लेषणात्मक एटलस को एक सहज एटलस के रूप में भी देखा जा सकता है, और प्रत्येक सहज एटलस को एक सहज एटलस के रूप में भी देखा जा सकता है ${φ_{α} : U_{α} → R^{n}}_{α∈A}|undefined$एटलस. इस श्रृंखला को होलोमोर्फिक एटलस को शामिल करने के लिए बढ़ाया जा सकता है, इस समझ के साथ कि खुले उपसमुच्चय के बीच कोई भी होलोमोर्फिक मानचित्र ${U_{α}}_{α∈A}|undefined$ को खुले उपसमूहों के बीच एक वास्तविक-विश्लेषणात्मक मानचित्र के रूप में देखा जा सकता है $M$.

टोपोलॉजिकल स्पेस पर एक अलग-अलग एटलस को देखते हुए, कोई कहता है कि एक चार्ट एटलस के साथ अलग-अलग संगत है, या दिए गए एटलस के सापेक्ष अलग-अलग है, यदि दिए गए अलग-अलग एटलस वाले चार्ट के संग्रह में चार्ट को शामिल करने से एक अलग-अलग एटलस बनता है. एक भिन्न एटलस एक अधिकतम भिन्न एटलस निर्धारित करता है, जिसमें सभी चार्ट शामिल होते हैं जो दिए गए एटलस के साथ भिन्न रूप से संगत होते हैं। अधिकतम एटलस हमेशा बहुत बड़ा होता है। उदाहरण के लिए, अधिकतम एटलस में किसी भी चार्ट को देखते हुए, उसके डोमेन के एक मनमाने खुले उपसमुच्चय पर उसका प्रतिबंध भी अधिकतम एटलस में समाहित होगा। अधिकतम चिकने एटलस को चिकनी संरचना के रूप में भी जाना जाता है; मैक्सिमम होलोमोर्फिक एटलस को जटिल अनेक गुना  के रूप में भी जाना जाता है।

एक वैकल्पिक लेकिन समतुल्य परिभाषा, अधिकतम एटलस के प्रत्यक्ष उपयोग से बचते हुए, विभेदक एटलस के समतुल्य वर्गों पर विचार करना है, जिसमें दो भिन्न एटलस को समतुल्य माना जाता है यदि एक एटलस का प्रत्येक चार्ट दूसरे एटलस के साथ भिन्न रूप से संगत है। अनौपचारिक रूप से, इसका मतलब यह है कि एक सहज मैनिफोल्ड से निपटने में, कोई एक एकल विभेदक एटलस के साथ काम कर सकता है, जिसमें केवल कुछ चार्ट शामिल हैं, इस अंतर्निहित समझ के साथ कि कई अन्य चार्ट और विभेदक एटलस समान रूप से वैध हैं।

डोमेन के अपरिवर्तनीयता के अनुसार, टोपोलॉजिकल स्पेस के प्रत्येक जुड़े घटक जिसमें एक अलग एटलस होता है, का एक अच्छी तरह से परिभाषित आयाम होता है $A$. यह होलोमोर्फिक एटलस के मामले में थोड़ी अस्पष्टता का कारण बनता है, क्योंकि विश्लेषणात्मक, सुचारू, या के रूप में विचार किए जाने पर संबंधित आयाम इसके आयाम के मूल्य का आधा होगा। $α$एटलस. इस कारण से, होलोमोर्फिक एटलस के साथ टोपोलॉजिकल स्पेस के वास्तविक और जटिल आयाम को अलग से संदर्भित किया जाता है।

अनेक गुना
एक भिन्न मैनिफोल्ड एक हॉसडॉर्फ़ स्थान और दूसरा गणनीय टोपोलॉजिकल स्पेस है $k$, एक साथ अधिकतम भिन्नात्मक एटलस के साथ $n$. अधिकांश बुनियादी सिद्धांत हॉसडॉर्फ और दूसरी गणनीयता स्थितियों की आवश्यकता के बिना विकसित किए जा सकते हैं, हालांकि वे अधिकांश उन्नत सिद्धांत के लिए महत्वपूर्ण हैं। वे अनिवार्य रूप से टक्कर समारोह और एकता के विभाजन के सामान्य अस्तित्व के बराबर हैं, दोनों का उपयोग सर्वव्यापी रूप से किया जाता है।

ए की धारणा $β$ मैनिफोल्ड टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड के समान है। हालाँकि, इसमें एक उल्लेखनीय अंतर किया जाना बाकी है। टोपोलॉजिकल स्पेस को देखते हुए, यह पूछना सार्थक है कि क्या यह टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड है या नहीं। इसके विपरीत, यह पूछना सार्थक नहीं है कि क्या दिया गया टोपोलॉजिकल स्पेस (उदाहरण के लिए) एक स्मूथ मैनिफोल्ड है या नहीं, क्योंकि स्मूथ मैनिफोल्ड की धारणा के लिए एक स्मूथ एटलस के विनिर्देशन की आवश्यकता होती है, जो एक अतिरिक्त संरचना है। हालाँकि, यह कहना सार्थक हो सकता है कि एक निश्चित टोपोलॉजिकल स्पेस को एक सहज मैनिफोल्ड की संरचना नहीं दी जा सकती है। परिभाषाओं को दोबारा तैयार करना संभव है ताकि इस प्रकार का असंतुलन मौजूद न हो; कोई एक सेट से शुरुआत कर सकता है $M$ (टोपोलॉजिकल स्पेस के बजाय $M$), टोपोलॉजिकल स्पेस की संरचना को परिभाषित करने के लिए इस सेटिंग में एक चिकने एटलस के प्राकृतिक एनालॉग का उपयोग करना $M$.

मैनिफोल्ड बनाने के लिए यूक्लिडियन टुकड़ों को एक साथ जोड़ना
मैनिफोल्ड्स के निर्माण पर एक परिप्रेक्ष्य प्राप्त करने के लिए उपरोक्त परिभाषाओं को रिवर्स-इंजीनियरिंग किया जा सकता है। विचार यह है कि चार्ट और संक्रमण मानचित्रों की छवियों के साथ शुरुआत की जाए और इस डेटा से पूरी तरह से मैनिफोल्ड का निर्माण किया जाए। जैसा कि उपरोक्त चर्चा में है, हम सहज संदर्भ का उपयोग करते हैं लेकिन अन्य सेटिंग्स में भी सब कुछ उतना ही अच्छा काम करता है।

एक अनुक्रमण सेट दिया गया $$A,$$ होने देना $$V_\alpha$$ के खुले उपसमूहों का एक संग्रह बनें $$\mathbb{R}^n$$ और प्रत्येक के लिए $$\alpha,\beta \in A$$ होने देना $$V_{\alpha\beta}$$ का एक खुला (संभवतः खाली) उपसमुच्चय बनें $$V_\beta$$ और जाने $$\phi_{\alpha\beta}:V_{\alpha\beta} \to V_{\beta\alpha}$$ एक सहज मानचित्र बनें. लगता है कि $$\phi_{\alpha\alpha}$$ पहचान मानचित्र है, वह $$\phi_{\alpha\beta} \circ \phi_{\beta\alpha}$$ पहचान मानचित्र है, और वह $$\phi_{\alpha\beta} \circ \phi_{\beta\gamma} \circ \phi_{\gamma\alpha}$$ पहचान मानचित्र है. फिर असंयुक्त संघ पर तुल्यता संबंध परिभाषित करें $\bigsqcup_{\alpha \in A} V_\alpha$ घोषणा करके $$p \in V_{\alpha\beta}$$ के बराबर होना $$\phi_{\alpha\beta}(p) \in V_{\beta\alpha}.$$ कुछ तकनीकी कार्यों के साथ, कोई यह दिखा सकता है कि तुल्यता वर्गों के सेट को स्वाभाविक रूप से एक टोपोलॉजिकल संरचना दी जा सकती है, और ऐसा करने में उपयोग किए जाने वाले चार्ट एक सहज एटलस बनाते हैं। विश्लेषणात्मक संरचनाओं (उपसमुच्चय) को एक साथ जोड़ने के लिए, विश्लेषणात्मक किस्में देखें।

अवकलनीय फलन
एन-डायमेंशनल डिफरेंशियल मैनिफोल्ड एम पर एक वास्तविक मूल्यवान फ़ंक्शन एफ को एक बिंदु पर 'डिफरेंशियल' कहा जाता है p ∈ M यदि यह पी के आसपास परिभाषित किसी भी समन्वय चार्ट में भिन्न है। अधिक सटीक शब्दों में, यदि $$(U,\phi)$$ जहां एक भिन्न चार्ट है $$U$$ एक खुला सेट है $$M$$ युक्त पी तथा $$\phi : U\to {\mathbf R}^n$$ चार्ट को परिभाषित करने वाला मानचित्र है, तो f, p पर अवकलनीय है यदि और केवल यदि $$f\circ \phi^{-1} \colon \phi(U)\subset {\mathbf R}^n \to {\mathbf R}$$ पर भिन्न है $$\phi(p)$$, वह है $$f\circ \phi^{-1}$$ खुले सेट से भिन्न कार्य है $$\phi(U)$$, का एक उपसमुच्चय माना जाता है $${\mathbf R}^n$$, को $$\mathbf R$$. सामान्य तौर पर, कई उपलब्ध चार्ट होंगे; हालाँकि, भिन्नता की परिभाषा पी पर चार्ट की पसंद पर निर्भर नहीं करती है। यह एक चार्ट और दूसरे चार्ट के बीच संक्रमण कार्यों पर लागू श्रृंखला नियम का पालन करता है कि यदि पी पर किसी विशेष चार्ट में एफ अलग-अलग है, तो यह पी पर सभी चार्ट में अलग-अलग है। सी को परिभाषित करने के लिए अनुरूप विचार लागू होते हैंk फ़ंक्शन, सुचारू फ़ंक्शन और विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन।

कार्यों का विभेदन
किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को भिन्न मैनिफोल्ड पर परिभाषित करने के कई तरीके हैं, जिनमें से सबसे मौलिक दिशात्मक व्युत्पन्न है। दिशात्मक व्युत्पन्न की परिभाषा इस तथ्य से जटिल है कि मैनिफोल्ड में एक उपयुक्त एफ़िन स्पेस संरचना का अभाव होगा जिसके साथ वेक्टर (ज्यामितीय) को परिभाषित किया जा सके। इसलिए, दिशात्मक व्युत्पन्न वैक्टर के बजाय मैनिफोल्ड में वक्रों को देखता है।

दिशात्मक विभेदन
एन आयामी विभेदक मैनिफोल्ड एम पर एक वास्तविक मूल्यवान फ़ंक्शन एफ को देखते हुए, एम में एक बिंदु पी पर एफ के दिशात्मक व्युत्पन्न को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है। मान लीजिए कि γ(t) M में एक वक्र है γ(0) = p, जो इस अर्थ में भिन्न है कि किसी भी चार्ट के साथ इसकी संरचना 'आर' में एक भिन्न वक्र हैn. फिर γ के अनुदिश p पर f का 'दिशात्मक अवकलज' है

$$\left.\frac{d}{dt}f(\gamma(t))\right|_{t=0}.$$ यदि सी1 और γ2 दो वक्र ऐसे हैं γ1(0) = γ2(0) = p, और किसी भी समन्वय चार्ट में $$\phi $$,

$$\left.\frac{d}{dt}\phi\circ\gamma_1(t)\right|_{t=0}=\left.\frac{d}{dt}\phi\circ\gamma_2(t)\right|_{t=0}$$ फिर, श्रृंखला नियम के अनुसार, f के पास γ के साथ p पर समान दिशात्मक व्युत्पन्न है1 सी के साथ के रूप में2. इसका मतलब यह है कि दिशात्मक व्युत्पन्न केवल पी पर वक्र के स्पर्शरेखा वेक्टर पर निर्भर करता है। इस प्रकार, अलग-अलग कई गुना के मामले में अनुकूलित दिशात्मक भेदभाव की अधिक अमूर्त परिभाषा अंततः एक संबद्ध स्थान में दिशात्मक भेदभाव की सहज विशेषताओं को पकड़ लेती है।

स्पर्शरेखा सदिश और अंतर
पर एक स्पर्शरेखा सदिश p ∈ M अवकलनीय वक्रों का एक तुल्यता वर्ग है γ साथ में γ(0) = p, मॉड्यूलो वक्रों के बीच प्रथम-क्रम संपर्क (गणित) का तुल्यता संबंध। इसलिए,

$$ \gamma_1\equiv \gamma_2 \iff \left.\frac{d}{dt}\phi\circ\gamma_1(t)\right|_{t=0} = \left.\frac{d}{dt}\phi\circ\gamma_2(t)\right|_{t=0}$$ प्रत्येक समन्वय चार्ट में $$\phi$$. इसलिए, समतुल्य वर्ग पी पर एक निर्धारित वेग वेक्टर के साथ पी के माध्यम से वक्र हैं। पी पर सभी स्पर्शरेखा सदिशों का संग्रह एक सदिश समष्टि बनाता है: पी पर एम की स्पर्शरेखा समष्टि, टी द्वारा निरूपितpएम।

यदि $$Xf(p) := \left.\frac{d}{dt}f(\gamma(t))\right|_{t=0}.$$ एक बार फिर, श्रृंखला नियम स्थापित करता है कि यह समतुल्य वर्ग से γ का चयन करने की स्वतंत्रता से स्वतंत्र है, क्योंकि समान प्रथम क्रम संपर्क वाला कोई भी वक्र समान दिशात्मक व्युत्पन्न प्राप्त करेगा।

यदि फ़ंक्शन f निश्चित है, तो मैपिंग $$X\mapsto Xf(p)$$ स्पर्शरेखा स्थान पर एक रैखिक कार्यात्मक है। इस रैखिक कार्यात्मकता को अक्सर df(p) द्वारा निरूपित किया जाता है और इसे p पर f का 'अंतर' कहा जाता है: $$df(p) \colon T_pM \to {\mathbf R}.$$

स्पर्शरेखा स्थान की परिभाषा और स्थानीय निर्देशांक में विभेदन
होने देना $$M$$ एक टोपोलॉजिकल बनें $$n$$-एक चिकनी एटलस के साथ कई गुना $$\{(U_\alpha,\phi_\alpha)\}_{\alpha\in A}.$$ दिया गया $$p\in M$$ होने देना $$A_p$$ निरूपित $$\{\alpha\in A:p\in U_\alpha\}.$$ पर एक स्पर्शरेखा सदिश $$p\in M$$एक मैपिंग है $$v:A_p\to\mathbb{R}^n,$$ यहाँ दर्शाया गया है $$\alpha\mapsto v_\alpha,$$ ऐसा है कि $$v_\alpha=D\Big|_{\phi_\beta(p)}(\phi_\alpha\circ\phi_\beta^{-1})(v_\beta)$$ सभी के लिए $$\alpha,\beta\in A_p.$$ आइए स्पर्शरेखा सदिशों का संग्रह करें $$p$$ द्वारा निरूपित किया जाए $$T_pM.$$ एक सुचारु कार्य दिया गया $$f:M\to\mathbb{R}$$, परिभाषित करना $$df_p:T_pM\to\mathbb{R}$$ एक स्पर्शरेखा सदिश भेजकर $$v:A_p\to\mathbb{R}^n$$ द्वारा दिए गए नंबर पर $$D\Big|_{\phi_\alpha(p)}(f\circ\phi_\alpha^{-1})(v_\alpha),$$ जो श्रृंखला नियम और स्पर्शरेखा वेक्टर की परिभाषा में बाधा के कारण की पसंद पर निर्भर नहीं करता है $$\alpha\in A_p.$$ कोई भी इसकी जांच कर सकता है $$T_pM$$ स्वाभाविक रूप से एक की संरचना है $$n$$-आयामी वास्तविक वेक्टर स्थान, और वह इस संरचना के साथ, $$df_p$$ एक रेखीय मानचित्र है. मुख्य अवलोकन यह है कि, स्पर्शरेखा वेक्टर की परिभाषा में दिखाई देने वाली बाधा के कारण, का मान $$v_\beta$$ एक ही तत्व के लिए $$\beta$$ का $$A_p$$ स्वचालित रूप से निर्धारित करता है $$v_\alpha$$ सभी के लिए $$\alpha\in A.$$ उपरोक्त औपचारिक परिभाषाएँ सटीक रूप से एक अधिक अनौपचारिक संकेतन से मेल खाती हैं जो विशेष रूप से पाठ्यपुस्तकों में अक्सर दिखाई देती है
 * $$v^i=\widetilde{v}^j\frac{\partial x^i}{\partial\widetilde{x}^j}$$ और $$df_p(v)=\frac{\partial f}{\partial x^i}v^i.$$

औपचारिक परिभाषाओं के विचार को समझने के साथ, अधिकांश उद्देश्यों के लिए, इस शॉर्टहैंड नोटेशन के साथ काम करना बहुत आसान है।

एकता का विभाजन
विभेदक मैनिफोल्ड पर विभेदक कार्यों के शीफ की टोपोलॉजिकल विशेषताओं में से एक यह है कि यह एकता के विभाजन को स्वीकार करता है। यह विभेदक संरचना को मजबूत संरचनाओं (जैसे विश्लेषणात्मक और होलोमोर्फिक संरचनाओं) से कई गुना अलग करता है जो आम तौर पर एकता के विभाजन में विफल होते हैं।

मान लीजिए कि M, वर्ग C का अनेक गुना हैक, कहाँ 0 ≤ k ≤ ∞. चलो {यूα} एम का एक खुला आवरण हो। फिर आवरण के अधीनस्थ 'एकता का विभाजन' होα} वास्तविक-मूल्यवान सी का एक संग्रह हैकफ़ंक्शंस एफi एम पर निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना: (ध्यान दें कि यह अंतिम स्थिति वास्तव में φ के समर्थन की स्थानीय परिमितता के कारण प्रत्येक बिंदु पर एक सीमित योग हैi.)
 * φ का समर्थन (गणित)।i सघन स्थान और स्थानीय रूप से सीमित संग्रह हैं;
 * φ का समर्थनi यू में पूरी तरह समाहित हैα कुछ α के लिए;
 * φi M के प्रत्येक बिंदु पर एक का योग करें: $$\sum_i \phi_i(x) = 1.$$

सी का हर खुला आवरणkमैनिफोल्ड M में C हैकएकता का विभाजन. यह सी की टोपोलॉजी से कुछ निर्माणों की अनुमति देता हैk 'R' पर कार्य करता हैnविभिन्न विविधों की श्रेणी में ले जाया जाना। विशेष रूप से, एक विशेष समन्वय एटलस के अधीनस्थ एकता के विभाजन को चुनकर और 'आर' के प्रत्येक चार्ट में एकीकरण को अंजाम देकर एकीकरण पर चर्चा करना संभव है।n. इसलिए एकता के विभाजन कुछ अन्य प्रकार के कार्य स्थान पर विचार करने की अनुमति देते हैं: उदाहरण के लिए एलपी स्पेस|एलपी रिक्त स्थान, सोबोलेव रिक्त स्थान, और अन्य प्रकार के स्थान जिन्हें एकीकरण की आवश्यकता होती है।

मैनिफोल्ड्स के बीच मैपिंग की भिन्नता
मान लीजिए कि एम और एन क्रमशः आयाम एम और एन के साथ दो अलग-अलग मैनिफोल्ड हैं, और एफ एम से एन तक एक फ़ंक्शन है। चूंकि अलग-अलग मैनिफोल्ड टोपोलॉजिकल स्पेस हैं, इसलिए हम जानते हैं कि एफ के निरंतर होने का क्या मतलब है। लेकिन एफ क्या करता है Ck(M, N) के लिए मतलब k ≥ 1? हम जानते हैं कि इसका क्या मतलब है जब एफ यूक्लिडियन स्पेस के बीच एक फ़ंक्शन है, इसलिए यदि हम एम के चार्ट और एन के चार्ट के साथ एफ की रचना करते हैं, तो हमें एक नक्शा मिलता है जो यूक्लिडियन स्पेस से एम से एन से यूक्लिडियन स्पेस तक जाता है, हम जानते हैं कि क्या इसका मतलब उस मानचित्र के लिए है Ck(Rm, Rn). हम f को परिभाषित करते हैं Ck(M, N) इसका मतलब यह है कि चार्ट के साथ एफ की ऐसी सभी रचनाएँ हैं Ck(Rm, Rn). एक बार फिर, श्रृंखला नियम यह गारंटी देता है कि भिन्नता का विचार इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि एम और एन पर एटलस के कौन से चार्ट चुने गए हैं। हालाँकि, व्युत्पन्न को परिभाषित करना स्वयं अधिक सूक्ष्म है। यदि एम या एन स्वयं पहले से ही एक यूक्लिडियन स्थान है, तो हमें इसे एक में मैप करने के लिए चार्ट की आवश्यकता नहीं है।

स्पर्शरेखा बंडल
किसी बिंदु के स्पर्शरेखा स्थान में उस बिंदु पर संभावित दिशात्मक व्युत्पन्न होते हैं, और इसका आयाम n के समान होता है जैसा कि मैनिफोल्ड का होता है। (गैर-एकवचन) निर्देशांक x के एक सेट के लिएkबिंदु पर स्थानीय, निर्देशांक व्युत्पन्न $$\partial_k=\frac{\partial}{\partial x_k}$$ स्पर्शरेखा स्थान के होलोनोमिक आधार को परिभाषित करें। सभी बिंदुओं पर स्पर्शरेखा स्थानों का संग्रह बदले में एक मैनिफोल्ड, स्पर्शरेखा बंडल में बनाया जा सकता है, जिसका आयाम 2n है। स्पर्शरेखा बंडल वह जगह है जहां वेक्टर फ़ील्ड स्थित हैं, और यह स्वयं एक अलग-अलग कई गुना है। लैग्रेंजियन प्रणाली स्पर्शरेखा बंडल पर एक फ़ंक्शन है। स्पर्शरेखा बंडल को 'आर' (वास्तविक रेखा) से एम तक 1-जेट (गणित) के बंडल के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है।

कोई व्यक्ति स्पर्शरेखा बंडल के लिए एक एटलस का निर्माण कर सकता है जिसमें चार्ट शामिल हों Uα × Rn, जहां तुमα एम के लिए एटलस में एक चार्ट को दर्शाता है। इन नए चार्टों में से प्रत्येक चार्ट यू के लिए स्पर्शरेखा बंडल हैα. इस एटलस पर संक्रमण मानचित्रों को मूल मैनिफोल्ड पर संक्रमण मानचित्रों से परिभाषित किया गया है, और मूल भिन्नता वर्ग को बरकरार रखा गया है।

कोटैंजेंट बंडल
सदिश समष्टि का दोहरा समष्टि सदिश समष्टि पर वास्तविक मूल्यवान रैखिक फलनों का समुच्चय है। किसी बिंदु पर कोटैंजेंट स्थान उस बिंदु पर स्पर्शरेखा स्पेस का दोहरा है और तत्वों को कोटैंजेंट वैक्टर के रूप में जाना जाता है; कोटैंजेंट बंडल प्राकृतिक विभेदक मैनिफोल्ड संरचना के साथ-साथ सभी कोटैंजेंट वैक्टर का संग्रह है।

स्पर्शरेखा बंडल की तरह, कोटैंजेंट बंडल फिर से एक अलग-अलग प्रकार का है। हैमिल्टनियन यांत्रिकी कोटैंजेंट बंडल पर एक अदिश राशि है। कोटैंजेंट बंडल के कुल स्थान में एक सिंपलेक्टिक मैनिफ़ोल्ड की संरचना होती है। कोटैंजेंट वैक्टर को कभी-कभी कोवेक्टर भी कहा जाता है। कोटैंजेंट बंडल को एम से 'आर' तक के कार्यों के 1-जेट (गणित) के बंडल के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है।

कोटैंजेंट स्पेस के तत्वों को अनंतिम विस्थापन के रूप में माना जा सकता है: यदि एफ एक अलग कार्य है तो हम प्रत्येक बिंदु पी पर एक कोटैंजेंट वेक्टर डीएफ परिभाषित कर सकते हैंp, जो एक स्पर्शरेखा सदिश X भेजता हैpएक्स से जुड़े एफ के व्युत्पन्न के लिएp. हालाँकि, प्रत्येक कोवेक्टर फ़ील्ड को इस तरह व्यक्त नहीं किया जा सकता है। जिन्हें सटीक अंतर कहा जा सकता है। स्थानीय निर्देशांक x के दिए गए सेट के लिएक, अंतर dx$M$ पी पर कोटैंजेंट स्पेस का आधार बनाएं।

टेंसर बंडल
टेंसर बंडल स्पर्शरेखा बंडल और कोटैंजेंट बंडल के सभी टेंसर उत्पादों के वेक्टर बंडलों का प्रत्यक्ष योग है। बंडल का प्रत्येक तत्व एक टेंसर फ़ील्ड है, जो वेक्टर फ़ील्ड या अन्य टेंसर फ़ील्ड पर बहुरेखीय ऑपरेटर के रूप में कार्य कर सकता है।

टेंसर बंडल पारंपरिक अर्थों में एक विभेदित मैनिफोल्ड नहीं है, क्योंकि यह अनंत आयामी है। हालाँकि यह अदिश कार्यों के वलय पर एक बीजगणित (रिंग सिद्धांत) है। प्रत्येक टेंसर की विशेषता उसके रैंकों से होती है, जो इंगित करता है कि इसमें कितने स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट कारक हैं। कभी-कभी इन रैंकों को सहप्रसरण और सहप्रसरण और वैक्टर रैंकों के विरोधाभास के रूप में संदर्भित किया जाता है, जो क्रमशः स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट रैंक को दर्शाता है।

फ़्रेम बंडल
एक फ्रेम (या, अधिक सटीक शब्दों में, एक स्पर्शरेखा फ्रेम), विशेष स्पर्शरेखा स्थान का एक क्रमबद्ध आधार है। इसी प्रकार, एक स्पर्शरेखा फ़्रेम R का एक रैखिक समरूपता हैnइस स्पर्शरेखा स्थान पर। एक गतिशील स्पर्शरेखा फ़्रेम वेक्टर फ़ील्ड की एक क्रमबद्ध सूची है जो उनके डोमेन के प्रत्येक बिंदु पर एक आधार देती है। कोई गतिशील फ़्रेम को फ़्रेम बंडल F(M), एक सामान्य रैखिक समूह| के एक भाग के रूप में भी मान सकता हैGL(n, R) प्रमुख बंडल  एम पर सभी फ़्रेमों के सेट से बना है। फ़्रेम बंडल उपयोगी है क्योंकि एम पर टेंसर फ़ील्ड को एफ (एम) पर समतुल्य वेक्टर-मूल्य वाले फ़ंक्शन के रूप में माना जा सकता है।

जेट बंडल
ऐसे मैनिफोल्ड पर जो पर्याप्त रूप से चिकना हो, विभिन्न प्रकार के जेट बंडलों पर भी विचार किया जा सकता है। मैनिफोल्ड का (प्रथम-क्रम) स्पर्शरेखा बंडल, प्रथम-क्रम संपर्क (गणित) के समतुल्य संबंध के मैनिफोल्ड मॉड्यूलो में वक्रों का संग्रह है। सादृश्य द्वारा, k-वें क्रम स्पर्शरेखा बंडल, k-वें क्रम संपर्क के संबंध में वक्रों का संग्रह है। इसी तरह, कोटैंजेंट बंडल मैनिफोल्ड पर फ़ंक्शन के 1-जेट्स का बंडल है: के-जेट बंडल उनके के-जेट्स का बंडल है। जेट बंडलों के सामान्य विचार के ये और अन्य उदाहरण मैनिफोल्ड्स पर अंतर ऑपरेटरों के अध्ययन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

फ़्रेम की धारणा उच्च-क्रम वाले जेट के मामले में भी सामान्यीकृत होती है। एक k-वें क्रम के फ्रेम को 'R' से भिन्नरूपता के k-जेट के रूप में परिभाषित करेंnसे एम. सभी k-वें क्रम फ़्रेमों का संग्रह, Fk(M), एक प्रमुख G हैकएम के ऊपर बंडल, जहां जीkजेट समूह है|k-जेट्स का समूह; यानी, 'R' के भिन्नरूपों के जेट (गणित)|k-जेट्स से बना समूहnजो मूल को ठीक करता है। ध्यान दें कि GL(n, R) स्वाभाविक रूप से G का समरूपी है1, और प्रत्येक G का एक उपसमूहक, k ≥ 2. विशेष रूप से, एफ का एक खंड2(एम) एम पर एक कनेक्शन (गणित) के फ्रेम घटकों को देता है। इस प्रकार, भागफल बंडल F2(M) / GL(n, R) एम के ऊपर सममित रैखिक कनेक्शन का बंडल है।

मैनिफोल्ड्स पर कैलकुलस
बहुभिन्नरूपी कलन की कई तकनीकें, यथोचित परिवर्तनों के साथ, भिन्न-भिन्न मैनिफोल्ड्स पर भी लागू होती हैं। उदाहरण के लिए, एक स्पर्शरेखा वेक्टर के साथ एक भिन्न फ़ंक्शन के दिशात्मक व्युत्पन्न को परिभाषित किया जा सकता है, और इससे किसी फ़ंक्शन के कुल व्युत्पन्न को सामान्य बनाने का एक साधन प्राप्त होता है: अंतर। कैलकुलस के परिप्रेक्ष्य से, मैनिफोल्ड पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न यूक्लिडियन स्पेस पर परिभाषित फ़ंक्शन के सामान्य व्युत्पन्न के समान ही व्यवहार करता है, कम से कम स्थानीय संपत्ति। उदाहरण के लिए, ऐसे कार्यों के लिए अंतर्निहित फ़ंक्शन और व्युत्क्रम फ़ंक्शन प्रमेयों के संस्करण हैं।

हालाँकि, वेक्टर फ़ील्ड (और सामान्य रूप से टेंसर फ़ील्ड) की गणना में महत्वपूर्ण अंतर हैं। संक्षेप में, एक सदिश क्षेत्र का दिशात्मक व्युत्पन्न अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है, या कम से कम सीधे तरीके से परिभाषित नहीं है। एक सदिश क्षेत्र (या टेंसर क्षेत्र) के व्युत्पन्न के कई सामान्यीकरण मौजूद हैं, और यूक्लिडियन स्थानों में भेदभाव की कुछ औपचारिक विशेषताओं को पकड़ते हैं। इनमें से प्रमुख हैं:
 * लाई व्युत्पन्न, जिसे विभेदक संरचना द्वारा विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है, लेकिन दिशात्मक विभेदन की कुछ सामान्य विशेषताओं को संतुष्ट करने में विफल रहता है।
 * एक एफ़िन कनेक्शन, जो विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है, लेकिन सामान्य दिशात्मक भेदभाव की विशेषताओं को अधिक संपूर्ण तरीके से सामान्यीकृत करता है। क्योंकि एफ़िन कनेक्शन अद्वितीय नहीं है, यह डेटा का एक अतिरिक्त टुकड़ा है जिसे मैनिफोल्ड पर निर्दिष्ट किया जाना चाहिए।

समाकलन गणित के विचार भी डिफरेंशियल मैनिफोल्ड्स तक ले जाते हैं। ये बाह्य कलन और विभेदक रूपों की भाषा में स्वाभाविक रूप से व्यक्त होते हैं। कई चरों में इंटीग्रल कैलकुलस के मौलिक प्रमेय - अर्थात् ग्रीन का प्रमेय, विचलन प्रमेय, और स्टोक्स का प्रमेय - एक प्रमेय (जिसे स्टोक्स का प्रमेय भी कहा जाता है) को सामान्यीकृत करते हैं, जो बाहरी व्युत्पन्न और सबमैनिफोल्ड्स पर एकीकरण से संबंधित होता है।

कार्यों की विभेदक गणना
सबमैनिफोल्ड्स और अन्य संबंधित अवधारणाओं की उपयुक्त धारणाएं तैयार करने के लिए दो मैनिफोल्ड्स के बीच विभेदक कार्यों की आवश्यकता होती है। अगर f : M → N आयाम m के एक भिन्न मैनिफोल्ड M से आयाम n के दूसरे भिन्न मैनिफोल्ड N के लिए एक भिन्न कार्य है, फिर f का पुशफॉरवर्ड (अंतर) एक मैपिंग है df : TM → TN. इसे Tf द्वारा भी निरूपित किया जाता है और इसे 'स्पर्शरेखा मानचित्र' कहा जाता है। एम के प्रत्येक बिंदु पर, यह एक स्पर्शरेखा स्थान से दूसरे स्पर्शरेखा स्थान में एक रैखिक परिवर्तन है: $$df(p)\colon T_p M \to T_{f(p)} N.$$ p पर f की रैंक इस रैखिक परिवर्तन के मैट्रिक्स की रैंक है।

आमतौर पर किसी फ़ंक्शन की रैंक एक बिंदुवार संपत्ति होती है। हालाँकि, यदि फ़ंक्शन की रैंक अधिकतम है, तो रैंक एक बिंदु के पड़ोस में स्थिर रहेगी। सार्ड के प्रमेय द्वारा दिए गए सटीक अर्थ में, एक भिन्न फ़ंक्शन में आमतौर पर अधिकतम रैंक होती है। किसी बिंदु पर अधिकतम रैंक के कार्यों को [[विसर्जन (गणित)]] और विसर्जन (गणित) कहा जाता है:


 * अगर m ≤ n, और f : M → N की रैंक एम है p ∈ M, तो f को p पर 'विसर्जन' कहा जाता है। यदि f, M के सभी बिंदुओं पर एक विसर्जन है और इसकी छवि पर एक समरूपता है, तो f एक 'एम्बेडिंग' है। एंबेडिंग एम की धारणा को औपचारिक रूप देती है कि यह एन का सबमैनिफोल्ड है। सामान्य तौर पर, एक एम्बेडिंग स्व-प्रतिच्छेदन और अन्य प्रकार की गैर-स्थानीय टोपोलॉजिकल अनियमितताओं के बिना एक विसर्जन है।
 * अगर m ≥ n, और f : M → N की रैंक n है p ∈ M, तो f को p पर 'डुबकी' कहा जाता है। निहित फलन प्रमेय बताता है कि यदि f, p पर एक निमज्जन है, तो M स्थानीय रूप से N और 'R' का उत्पाद है।m−np के निकट। औपचारिक शब्दों में, निर्देशांक मौजूद हैं (y1, ..., yn) एन में एफ(पी) के पड़ोस में, और m − n फ़ंक्शंस x1, ..., एक्सm−n एम में पी के पड़ोस में परिभाषित किया गया है $$(y_1\circ f,\dotsc,y_n\circ f, x_1, \dotsc, x_{m-n})$$ पी के पड़ोस में एम के स्थानीय निर्देशांक की एक प्रणाली है। विसर्जन तंतु और फाइबर बंडलों के सिद्धांत की नींव बनाते हैं।

झूठ व्युत्पन्न
एक लाई व्युत्पन्न, जिसका नाम सोफस झूठ के नाम पर रखा गया है, एक मैनिफोल्ड एम पर टेंसर फ़ील्ड के क्षेत्र पर बीजगणित पर एक व्युत्पत्ति (अमूर्त बीजगणित) है। एम पर सभी लाई व्युत्पन्नों का वेक्टर स्थान लाई के संबंध में एक अनंत आयामी लाई बीजगणित बनाता है। द्वारा परिभाषित वेक्टर फ़ील्ड का ब्रैकेट

$$ [A,B] := \mathcal{L}_A B = - \mathcal{L}_B A.$$ लाई डेरिवेटिव्स को वेक्टर फ़ील्ड्स द्वारा दर्शाया जाता है, जैसे कि लाई समूह#एम पर प्रवाह के लाई समूहों (सक्रिय परिवर्तन भिन्नता) से संबंधित लाई बीजगणित। इसे दूसरे तरीके से देखते हुए, एम के भिन्नता के समूह (गणित) में है लाई डेरिवेटिव की संबद्ध लाई बीजगणित संरचना, एक तरह से लाई समूह सिद्धांत के सीधे अनुरूप है।

बाहरी गणना
बाहरी कैलकुलस ग्रेडियेंट,  विचलन  और कर्ल (गणित) ऑपरेटरों के सामान्यीकरण की अनुमति देता है।

प्रत्येक बिंदु पर विभेदक रूपों के बंडल में, उस बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान पर सभी पूरी तरह से एंटीसिमेट्रिक टेंसर बहुरेखीय मानचित्र मानचित्र शामिल होते हैं। यह स्वाभाविक रूप से मैनिफोल्ड के आयाम के बराबर प्रत्येक एन के लिए एन-रूपों में विभाजित है; एन-फॉर्म एक एन-वेरिएबल फॉर्म है, जिसे डिग्री एन का फॉर्म भी कहा जाता है। 1-रूप कोटैंजेंट सदिश हैं, जबकि 0-रूप केवल अदिश फलन हैं। सामान्य तौर पर, एक एन-फॉर्म कोटैंजेंट रैंक एन और टैंजेंट रैंक 0 वाला एक टेंसर होता है। लेकिन ऐसा हर टेंसर एक फॉर्म नहीं होता है, क्योंकि एक फॉर्म को एंटीसिमेट्रिक होना चाहिए।

बाहरी व्युत्पन्न
बाहरी व्युत्पन्न एक चिकनी मैनिफोल्ड पर सभी चिकनी अंतर रूपों के वर्गीकृत वेक्टर स्थान पर एक रैखिक ऑपरेटर है $$M$$. इसे आमतौर पर द्वारा दर्शाया जाता है $$d$$. अधिक सटीक रूप से, यदि $$n=\dim(M)$$, के लिए $$0 \le k \le n$$ परिचालक $$d$$ अंतरिक्ष का मानचित्रण करता है $$\Omega^k(M)$$ का $$k$$-पर प्रपत्र $$M$$ अंतरिक्ष में $$\Omega^{k+1}(M)$$ का $$(k+1)$$-फॉर्म (यदि $$k > n$$ कोई गैर-शून्य नहीं हैं $$k$$-पर प्रपत्र $$M$$ तो नक्शा $$d$$ समान रूप से शून्य है $$n$$-रूप)।

उदाहरण के लिए, एक सुचारु कार्य का बाहरी अंतर $$f$$ स्थानीय निर्देशांक में दिया गया है $$x_1, \ldots, x_n$$, संबद्ध स्थानीय सह-फ़्रेम के साथ $$dx_1, \ldots, dx_n$$ सूत्र द्वारा: $$df = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} dx_i. $$ बाहरी अंतर फॉर्म के वेज उत्पाद के संबंध में उत्पाद नियम के समान, निम्नलिखित पहचान को संतुष्ट करता है: $$d(\omega \wedge \eta) = d\omega \wedge \eta+(-1)^{\deg\omega}\omega \wedge d\eta.$$ बाहरी व्युत्पन्न भी पहचान को संतुष्ट करता है $$d \circ d = 0$$. अर्थात यदि $$\omega$$ एक है $$k$$-रूप तो $$(k+2)$$-प्रपत्र $$d(df)$$ समान रूप से लुप्त हो रहा है. एक प्रपत्र $$\omega$$ ऐसा है कि $$d\omega = 0$$ बंद कहा जाता है, जबकि एक प्रपत्र $$\omega$$ ऐसा है कि $$\omega = d\eta$$ किसी अन्य रूप के लिए $$\eta$$ सटीक कहा जाता है. पहचान का एक और सूत्रीकरण $$d \circ d = 0$$ क्या यह एक सटीक प्रपत्र बंद है. यह किसी को मैनिफोल्ड के डॉ कहलमज गर्भाशय को परिभाषित करने की अनुमति देता है $$M$$, जहां $$k$$वां कोहोमोलोजी समूह बंद रूपों का भागफल समूह है $$M$$ पर सटीक रूपों द्वारा $$M$$.

टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड्स के साथ संबंध
लगता है कि $$M$$ एक टोपोलॉजिकल है $$n$$-कई गुना.

यदि कोई सहज एटलस दिया जाए $$\{(U_\alpha,\phi_\alpha)\}_{\alpha\in A}$$, एक चिकनी एटलस ढूंढना आसान है जो एक अलग चिकनी कई गुना संरचना को परिभाषित करता है $$M;$$ एक होमियोमोर्फिज्म पर विचार करें $$\Phi:M\to M$$ जो दिए गए एटलस के सापेक्ष सहज नहीं है; उदाहरण के लिए, कोई पहचान मानचित्र स्थानीयकृत गैर-चिकनी टक्कर को संशोधित कर सकता है। फिर नये एटलस पर विचार करें $$\{(\Phi^{-1}(U_\alpha),\phi_\alpha\circ\Phi)\}_{\alpha\in A},$$ जिसे सहज एटलस के रूप में आसानी से सत्यापित किया जा सकता है। हालाँकि, नए एटलस के चार्ट पुराने एटलस के चार्ट के साथ आसानी से संगत नहीं हैं, क्योंकि इसके लिए इसकी आवश्यकता होगी $$\phi_\alpha\circ\Phi\circ\phi_\beta^{-1}$$ और $$\phi_\alpha\circ\Phi^{-1}\circ\phi_\beta^{-1}$$ किसी के लिए भी सहज हैं $$\alpha$$ और $$\beta,$$ इन शर्तों के साथ बिल्कुल वही परिभाषा है जो दोनों $$\Phi$$ और $$\Phi^{-1}$$ सहज हैं, कैसे के विपरीत $$\Phi$$ चुना गया।

प्रेरणा के रूप में इस अवलोकन के साथ, कोई भी चिकनी एटलस के स्थान पर एक तुल्यता संबंध को परिभाषित कर सकता है $$M$$ उस चिकनी एटलस की घोषणा करके $$\{(U_\alpha,\phi_\alpha)\}_{\alpha\in A}$$ और $$\{(V_\beta,\psi_\beta)\}_{\beta\in B}$$ यदि समरूपता है तो समतुल्य हैं $$\Phi:M\to M$$ ऐसा है कि $$\{(\Phi^{-1}(U_\alpha),\phi_\alpha\circ\Phi)\}_{\alpha\in A}$$ के साथ सहजता से संगत है $$\{(V_\beta,\psi_\beta)\}_{\beta\in B},$$ और ऐसा कि $$\{(\Phi(V_\beta),\psi_\beta\circ\Phi^{-1})\}_{\beta\in B}$$ के साथ सहजता से संगत है $$\{(U_\alpha,\phi_\alpha)\}_{\alpha\in A}.$$ अधिक संक्षेप में, कोई यह कह सकता है कि यदि कोई भिन्नता मौजूद है तो दो चिकने एटलस समतुल्य हैं $$M\to M,$$ जिसमें एक स्मूथ एटलस डोमेन के लिए लिया जाता है और दूसरा स्मूथ एटलस रेंज के लिए लिया जाता है।

ध्यान दें कि यह समतुल्य संबंध समतुल्य संबंध का परिशोधन है जो एक चिकनी कई गुना संरचना को परिभाषित करता है, क्योंकि कोई भी दो सुचारू रूप से संगत एटलस वर्तमान अर्थ में भी संगत हैं; कोई भी ले सकता है $$\Phi$$ पहचान मानचित्र होना.

यदि का आयाम $$M$$ 1, 2, या 3 है, तो उस पर एक चिकनी संरचना मौजूद है $$M$$, और सभी विशिष्ट चिकनी संरचनाएं उपरोक्त अर्थ में समतुल्य हैं। उच्च आयामों में स्थिति अधिक जटिल है, हालाँकि इसे पूरी तरह से समझा नहीं गया है।
 * कुछ टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड्स में कोई चिकनी संरचना नहीं होती है, जैसा कि मूल रूप से कर्वैयर मैनिफोल्ड के साथ दिखाया गया था। दस-आयामी उदाहरण . माइकल फ्रीडमैन के परिणामों के साथ संयोजन में, साइमन डोनाल्डसन के कारण अंतर ज्यामिति में आंशिक अंतर समीकरणों के डोनाल्डसन के प्रमेय से पता चलता है कि कई सरल रूप से जुड़े कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल 4-मैनिफोल्ड चिकनी संरचनाओं को स्वीकार नहीं करते हैं। एक सुविख्यात विशेष उदाहरण E8 मैनिफोल्ड|ई है8 अनेक गुना.
 * कुछ टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड कई चिकनी संरचनाओं को स्वीकार करते हैं जो ऊपर दिए गए अर्थ में समकक्ष नहीं हैं। इसकी खोज मूलतः जॉन मिल्नोर ने विदेशी क्षेत्र|विदेशी 7-गोले के रूप में की थी।

वर्गीकरण
प्रत्येक एक-आयामी जुड़ा हुआ स्मूथ मैनिफोल्ड किसी एक से भिन्न होता है $$\mathbb{R}$$ या $$S^1,$$ प्रत्येक अपनी मानक चिकनी संरचनाओं के साथ।

स्मूथ 2-मैनिफोल्ड्स के वर्गीकरण के लिए, सतह (टोपोलॉजी)  देखें। एक विशेष परिणाम यह है कि प्रत्येक द्वि-आयामी कनेक्टेड कॉम्पैक्ट स्मूथ मैनिफोल्ड निम्नलिखित में से किसी एक से भिन्न होता है: $$S^2,$$ या $$(S^1\times S^1)\sharp\cdots\sharp(S^1\times S^1),$$ या $$\mathbb{RP}^2\sharp\cdots\sharp\mathbb{RP}^2.$$ यदि कोई चिकनी संरचना के बजाय जटिल-भिन्न संरचना पर विचार करता है तो स्थिति टेइचमुलर स्थान जैसी है।

तीन आयामों में स्थिति काफी अधिक जटिल है, और ज्ञात परिणाम अधिक अप्रत्यक्ष हैं। एक उल्लेखनीय परिणाम, जिसे 2002 में आंशिक अंतर समीकरणों के तरीकों से साबित किया गया था, थर्स्टन का ज्यामितीयकरण अनुमान है, जिसमें कहा गया है कि किसी भी कॉम्पैक्ट चिकनी 3-मैनिफोल्ड को अलग-अलग हिस्सों में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक रीमानियन मेट्रिक्स को स्वीकार करता है जिसमें कई समरूपताएं होती हैं। जियोमेट्रिजेबल 3-मैनिफोल्ड्स के लिए विभिन्न मान्यता परिणाम भी हैं, जैसे मोस्टो कठोरता और हाइपरबोलिक समूहों के लिए आइसोमोर्फिज्म समस्या के लिए सेला का एल्गोरिदम। तीन से अधिक n के लिए n-मैनिफोल्ड्स का वर्गीकरण असंभव माना जाता है, यहाँ तक कि समरूप समतुल्यता तक भी। किसी समूह समूह की किसी भी अंतिम प्रस्तुति को देखते हुए, कोई उस समूह को मौलिक समूह के रूप में रखते हुए एक बंद 4-मैनिफोल्ड का निर्माण कर सकता है। चूंकि सीमित रूप से प्रस्तुत समूहों के लिए समरूपता समस्या का निर्णय लेने के लिए कोई एल्गोरिदम नहीं है, इसलिए यह तय करने के लिए कोई एल्गोरिदम नहीं है कि क्या दो 4-मैनिफोल्ड में एक ही मौलिक समूह है। चूंकि पहले वर्णित निर्माण के परिणामस्वरूप 4-मैनिफोल्ड्स का एक वर्ग बनता है जो होमोमोर्फिक हैं यदि और केवल यदि उनके समूह आइसोमोर्फिक हैं, तो 4-मैनिफोल्ड्स के लिए होमोमोर्फिज्म समस्या निर्णय समस्या है. इसके अलावा, चूंकि तुच्छ समूह को पहचानना भी अनिर्णीत है, सामान्य तौर पर यह तय करना भी संभव नहीं है कि क्या मैनिफोल्ड में तुच्छ मौलिक समूह है, यानी बस जुड़ा हुआ है।

माइकल फ्रीडमैन द्वारा प्रतिच्छेदन सिद्धांत और किर्बी-सीबेनमैन इनवेरिएंट का उपयोग करके सरल रूप से जुड़े 4-कई गुना्स को होमोमोर्फिज्म तक वर्गीकृत किया गया है। स्मूथ 4-मैनिफोल्ड सिद्धांत को अधिक जटिल माना जाता है, जैसे कि R पर विदेशी R4s4प्रदर्शन करना.

हालाँकि, आयाम ≥ 5 के आसानी से जुड़े हुए चिकने मैनिफ़ोल्ड के लिए स्थिति अधिक सुव्यवस्थित हो जाती है, जहाँ एच-कोबॉर्डिज़्म प्रमेय का उपयोग वर्गीकरण को होमोटॉपी समकक्ष तक कम करने के लिए किया जा सकता है, और सर्जरी सिद्धांत को लागू किया जा सकता है। यह डेनिस बार्डन द्वारा सरल रूप से जुड़े 5-कई गुना का स्पष्ट वर्गीकरण प्रदान करने के लिए किया गया है।

(छद्म-)रीमैनियन मैनिफोल्ड्स
रीमैनियन मैनिफोल्ड में प्रत्येक व्यक्तिगत स्पर्शरेखा स्थान पर एक सकारात्मक-निश्चित आंतरिक उत्पाद स्थान के साथ एक चिकनी मैनिफोल्ड होता है। आंतरिक उत्पादों के इस संग्रह को रीमैनियन मीट्रिक कहा जाता है, और यह स्वाभाविक रूप से एक सममित 2-टेंसर क्षेत्र है। यह मीट्रिक एक प्राकृतिक वेक्टर अंतरिक्ष समरूपता की पहचान करता है $$T_pM\to T_p^\ast M$$ प्रत्येक के लिए $$p\in M.$$ रीमैनियन मैनिफ़ोल्ड पर कोई लंबाई, आयतन और कोण की धारणाओं को परिभाषित कर सकता है। किसी भी स्मूथ मैनिफोल्ड को कई अलग-अलग रीमैनियन मेट्रिक्स दिए जा सकते हैं।

एक छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड, रीमैनियन मैनिफोल्ड की धारणा का एक सामान्यीकरण है जहां आंतरिक उत्पादों को निश्चित बिलिनियर फॉर्म | सकारात्मक-निश्चित होने के विपरीत, मीट्रिक हस्ताक्षर की अनुमति दी जाती है; उन्हें अभी भी गैर-पतित होने की आवश्यकता है। प्रत्येक चिकनी छद्म-रीमैनियन और रीमैनियन मैनिफोल्ड कई संबंधित टेंसर क्षेत्रों को परिभाषित करता है, जैसे कि रीमैन वक्रता टेंसर। छद्म-रिमानियन हस्ताक्षर के कई गुना (3, 1) सामान्य सापेक्षता में मौलिक हैं। प्रत्येक चिकने मैनिफोल्ड को (गैर-रीमानियन) छद्म-रीमैनियन संरचना नहीं दी जा सकती; ऐसा करने पर टोपोलॉजिकल प्रतिबंध हैं।

फिन्सलर मैनिफोल्ड रीमैनियन मैनिफोल्ड का एक अलग सामान्यीकरण है, जिसमें आंतरिक उत्पाद को वेक्टर मानदंड से बदल दिया जाता है; इस प्रकार, यह लंबाई की परिभाषा की अनुमति देता है, लेकिन कोण की नहीं।

सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड्स
एक सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड एक बंद फॉर्म (कैलकुलस), नॉनडिजेनरेट फॉर्म 2-प्रपत्र से सुसज्जित मैनिफोल्ड है। यह स्थिति सिम्प्लेक्टिक मैनिफ़ोल्ड को सम-आयामी होने के लिए बाध्य करती है, इस तथ्य के कारण कि तिरछा-सममित $$(2n+1)\times(2n+1)$$ सभी मैट्रिक्स में शून्य निर्धारक होता है। दो बुनियादी उदाहरण हैं:
 * कोटैंजेंट बंडल, जो हैमिल्टनियन यांत्रिकी में चरण रिक्त स्थान के रूप में उत्पन्न होते हैं, एक प्रेरक उदाहरण हैं, क्योंकि वे एक टॉटोलॉजिकल एक-रूप को स्वीकार करते हैं।
 * सभी उन्मुख द्वि-आयामी रीमैनियन मैनिफोल्ड्स $$(M,g)$$ रूप को परिभाषित करके, स्वाभाविक रूप से, सहानुभूतिपूर्ण हैं $$\omega(u,v)=g(u,J(v))$$ कहाँ, किसी के लिए $$v \in T_pM,$$ $$J(v)$$ वेक्टर को इस प्रकार निरूपित करता है $$v,J(v)$$ एक उन्मुख है $$g_p$$-अर्थसामान्य आधार का $$T_pM.$$

झूठ समूह
एक झूठ समूह में एक C होता है∞कई गुना $$G$$ एक साथ एक समूह (गणित) संरचना पर $$G$$ जैसे कि उत्पाद और व्युत्क्रम मानचित्र $$m:G\times G \to G$$ और $$i:G\to G$$ कई गुना के मानचित्रों की तरह चिकने हैं। ये वस्तुएं अक्सर (निरंतर) समरूपता का वर्णन करते समय स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती हैं, और वे चिकनी विविधता के उदाहरणों का एक महत्वपूर्ण स्रोत बनाती हैं।

हालाँकि, स्मूथ मैनिफोल्ड्स के कई अन्यथा परिचित उदाहरणों को एक लाई समूह संरचना नहीं दी जा सकती है, क्योंकि एक लाई समूह दिया गया है $$G$$ और कोई भी $$g\in G$$, कोई मानचित्र पर विचार कर सकता है $$m(g,\cdot):G\to G$$ जो पहचान तत्व भेजता है $$e$$ को $$g$$ और इसलिए, अंतर पर विचार करके $$T_eG\to T_gG,$$ झूठ समूह के किन्हीं दो स्पर्शरेखा स्थानों के बीच एक प्राकृतिक पहचान देता है। विशेष रूप से, एक मनमाना गैर-शून्य वेक्टर पर विचार करके $$T_eG,$$ कोई इन पहचानों का उपयोग सुचारू गैर-लुप्त होने वाले वेक्टर फ़ील्ड को देने के लिए कर सकता है $$G.$$ उदाहरण के लिए, इससे पता चलता है कि कोई भी हेयरी बॉल प्रमेय|सम-आयामी क्षेत्र लाई समूह संरचना का समर्थन नहीं कर सकता है। यही तर्क आम तौर पर दिखाता है कि प्रत्येक झूठ समूह को कई गुना समानांतर होना चाहिए।

छद्म समूह
छद्मसमूह की धारणा विभिन्न संरचनाओं को एक समान तरीके से मैनिफोल्ड्स पर परिभाषित करने की अनुमति देने के लिए एटलस का एक लचीला सामान्यीकरण प्रदान करता है। एक छद्म समूह में एक टोपोलॉजिकल स्पेस एस और एक संग्रह Γ होता है जिसमें एस के खुले उपसमुच्चय से लेकर एस के अन्य खुले उपसमुच्चय तक होमोमोर्फिज्म शामिल होते हैं जैसे कि ये अंतिम तीन स्थितियाँ एक समूह (गणित) की परिभाषा के अनुरूप हैं। ध्यान दें कि Γ को एक समूह होने की आवश्यकता नहीं है, हालांकि, चूंकि फ़ंक्शन एस पर विश्व स्तर पर परिभाषित नहीं हैं। उदाहरण के लिए, सभी स्थानीय सी का संग्रहk 'R' पर भिन्नताnएक छद्म समूह बनाएं। 'सी' में खुले सेटों के बीच सभी बिहोलोमोर्फिज्मnएक छद्म समूह बनाएं। अधिक उदाहरणों में शामिल हैं: 'आर' के मानचित्रों को संरक्षित करने वाला अभिविन्यासn, लक्षणरूपता, मोबियस परिवर्तन, एफ़िन परिवर्तन, इत्यादि। इस प्रकार, विभिन्न प्रकार के फ़ंक्शन वर्ग छद्मसमूह निर्धारित करते हैं।
 * 1) अगर f ∈ Γ, और U, f के डोमेन का एक खुला उपसमुच्चय है, तो प्रतिबंध f|U Γ में भी है.
 * 2) यदि f, S के खुले उपसमुच्चय के मिलन से एक समरूपता है, $$\cup_i \, U_i $$, तो एस के एक खुले उपसमुच्चय के लिए f ∈ Γ बशर्ते $$ f|_{U_i} \in \Gamma $$ प्रत्येक i के लिए
 * 3) हर खुले के लिए U ⊂ S, यू का पहचान परिवर्तन Γ में है।
 * 4) अगर f ∈ Γ, तब f−1 ∈ Γ.
 * 5) Γ के दो तत्वों की संरचना Γ में है.

एक एटलस (यूi, फ़िi) होमोमोर्फिज्म का φi से Ui ⊂ M टोपोलॉजिकल स्पेस के सबसेट को खोलने के लिए एस को एक छद्म समूह के साथ संगत माना जाता है Γ बशर्ते कि संक्रमण कार्य करता हो φj ∘ φi−1 : φi(Ui ∩ Uj) → φj(Ui ∩ Uj) सभी Γ में हैं।

एक विभेदक मैनिफोल्ड तब सी के छद्म समूह के साथ संगत एक एटलस हैk 'R' पर कार्य करता हैn. एक कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड एक एटलस है जो 'सी' में खुले सेट पर बिहोलोमोर्फिक फ़ंक्शंस के साथ संगत है।n. इत्यादि। इस प्रकार, छद्म समूह एक एकल ढांचा प्रदान करते हैं जिसमें अंतर ज्यामिति और टोपोलॉजी के लिए कई गुना महत्वपूर्ण संरचनाओं का वर्णन किया जा सकता है।

संरचना शीफ़
कभी-कभी, मैनिफोल्ड को सी प्रदान करने के लिए वैकल्पिक दृष्टिकोण का उपयोग करना उपयोगी हो सकता हैक-संरचना. यहां वास्तविक विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड के लिए k = 1, 2, ..., ∞, या ω है। समन्वय चार्ट पर विचार करने के बजाय, मैनिफोल्ड पर परिभाषित कार्यों के साथ शुरुआत करना संभव है। एम का शीफ ​​(गणित), 'सी' को दर्शाता हैk, एक प्रकार का ऑपरेटर है जो प्रत्येक खुले सेट के लिए परिभाषित करता है U ⊂ M, एक बीजगणित सीक(U) सतत कार्यों का U → R. एक संरचना शीफ ​​सीकहा जाता है कि k, M को C की संरचना देता है कआयाम एन के कई गुना बशर्ते कि, किसी के लिए p ∈ M, पी और एन फ़ंक्शन का पड़ोस यू मौजूद है x1, ..., xn ∈ Ck(U) ऐसा कि नक्शा f = (x1, ..., xn) : U → Rn आर में एक खुले सेट पर एक होमोमोर्फिज्म हैn, और ऐसा कि 'सी'क|U 'आर' पर लगातार अलग-अलग कार्यों के के-बार के शीफ का ठहराना  हैn. विशेष रूप से, इस बाद वाली स्थिति का अर्थ है कि 'सी' में कोई भी फ़ंक्शन एचk(V), V के लिए, विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है h(x) = H(x1(x), ..., xn(x)), जहां H, f(V) पर एक k-गुना भिन्न फ़ंक्शन है ('R' में एक खुला सेट)n). इस प्रकार, शीफ-सैद्धांतिक दृष्टिकोण यह है कि भिन्न-भिन्न मैनिफोल्ड पर कार्यों को स्थानीय निर्देशांक में 'आर' पर भिन्न-भिन्न कार्यों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।n, और एक फोर्टिओरी तर्क यह मैनिफोल्ड पर विभेदक संरचना को चित्रित करने के लिए पर्याप्त है।

स्थानीय छल्लों के ढेर
भिन्न-भिन्न मैनिफोल्ड्स को परिभाषित करने के लिए एक समान, लेकिन अधिक तकनीकी दृष्टिकोण, चक्राकार स्थान  की धारणा का उपयोग करके तैयार किया जा सकता है। यह दृष्टिकोण बीजगणितीय ज्यामिति में योजना (गणित) के सिद्धांत से काफी प्रभावित है, लेकिन अलग-अलग कार्यों के रोगाणु (गणित) के स्थानीय छल्ले का उपयोग करता है। यह जटिल विविधताओं के संदर्भ में विशेष रूप से लोकप्रिय है।

हम 'आर' पर मूल संरचना शीफ ​​का वर्णन करके शुरू करते हैंn. यदि U 'R' में एक खुला समुच्चय हैn, चलो
 * 'ओ'(यू) = सीक(यू, 'आर')

यू पर सभी वास्तविक-मूल्य वाले के-बार लगातार भिन्न-भिन्न कार्यों से मिलकर बनता है। जैसे-जैसे यू बदलता है, यह 'आर' पर रिंगों का एक समूह निर्धारित करता है।n. डंठल ओp के लिए p ∈ Rn पी के निकट कार्यों के रोगाणु (गणित) से युक्त है, और 'आर' पर एक बीजगणित है। विशेष रूप से, यह एक स्थानीय वलय है जिसके अद्वितीय अधिकतम आदर्श में वे कार्य शामिल होते हैं जो p पर लुप्त हो जाते हैं। जोड़ी (Rn, O) स्थानीय रूप से वलयित स्थान का एक उदाहरण है: यह एक टोपोलॉजिकल स्थान है जो एक शीफ़ से सुसज्जित है जिसके डंठल प्रत्येक स्थानीय वलय हैं।

एक अवकलनीय मैनिफोल्ड (कक्षा सी का)k) में एक जोड़ा होता है (M, OM) जहां M दूसरा गणनीय हॉसडॉर्फ स्थान है, और 'O'M एम पर परिभाषित स्थानीय आर-बीजगणित का एक समूह है, जैसे कि स्थानीय रूप से चक्राकार स्थान (M, OM) स्थानीय रूप से समरूपी है (Rn, O). इस तरह, अलग-अलग मैनिफोल्ड्स को आर में योजना (गणित) मॉडल के रूप में सोचा जा सकता हैn. इस का मतलब है कि प्रत्येक बिंदु के लिए p ∈ M, पी का पड़ोस यू और कार्यों की एक जोड़ी है (f, f#), कहाँ
 * 1) एफ : यू → एफ(यू) ⊂ 'आर'n 'आर' में एक खुले सेट पर एक होमोमोर्फिज्म हैn.
 * 2) एफ#: हे|f(U) → एफ∗ (ओM|U) शीव्स की एक समरूपता है।
 * 3) एफ का स्थानीयकरण#स्थानीय वलयों की एक समरूपता है
 * एफ#f(p) : ओf(p) → दM,p.

इस अमूर्त ढांचे के भीतर भिन्न-भिन्न विविधताओं का अध्ययन करने के लिए कई महत्वपूर्ण प्रेरणाएँ हैं। सबसे पहले, कोई प्राथमिक कारण नहीं है कि मॉडल स्थान को 'आर' होना चाहिएn. उदाहरण के लिए, (विशेष रूप से बीजगणितीय ज्यामिति में), कोई इसे सम्मिश्र संख्या C का स्थान मान सकता हैn होलोमोर्फिक फ़ंक्शन के शीफ़ (इस प्रकार जटिल विश्लेषणात्मक ज्यामिति के स्थानों पर पहुंचने), या बहुपदों के शीफ़ (इस प्रकार जटिल बीजगणितीय ज्यामिति में रुचि के स्थानों पर पहुंचने) से सुसज्जित। व्यापक संदर्भ में, इस अवधारणा को किसी योजना की किसी भी उपयुक्त धारणा के लिए अनुकूलित किया जा सकता है (टोपोस देखें)। दूसरा, निर्माण के लिए निर्देशांक अब स्पष्ट रूप से आवश्यक नहीं हैं। एक समन्वय प्रणाली का एनालॉग युग्म है (f, f#), लेकिन ये चर्चा के केंद्र में होने के बजाय केवल स्थानीय समरूपता के विचार को मापते हैं (जैसा कि चार्ट और एटलस के मामले में होता है)। तीसरा, शीफ 'ओ'M यह स्पष्ट रूप से कार्यों का एक समूह नहीं है। बल्कि, यह निर्माण के परिणामस्वरूप कार्यों के एक समूह के रूप में उभरता है (स्थानीय रिंगों के भागफल के माध्यम से उनके अधिकतम आदर्शों द्वारा)। इसलिए, यह संरचना की अधिक आदिम परिभाषा है ( सिंथेटिक विभेदक ज्यामिति देखें)।

इस दृष्टिकोण का एक अंतिम लाभ यह है कि यह विभेदक ज्यामिति और टोपोलॉजी के अध्ययन की कई मूलभूत वस्तुओं के प्राकृतिक प्रत्यक्ष विवरण की अनुमति देता है।
 * एक बिंदु पर कोटैंजेंट स्पेस I हैp/मैंp2, जहां मैंpडंठल 'O' का अधिकतम आदर्श हैM,p.
 * सामान्य तौर पर, संपूर्ण कोटैंजेंट बंडल संबंधित तकनीक द्वारा प्राप्त किया जा सकता है (विवरण के लिए कोटैंजेंट बंडल देखें)।
 * टेलर श्रृंखला (और जेट (गणित)) को पूर्णता (बीजगणित)#क्रल टोपोलॉजी|I का उपयोग करके समन्वय-स्वतंत्र तरीके से प्राप्त किया जा सकता है।p-ओ पर एडिक निस्पंदनM,p.
 * स्पर्शरेखा बंडल (या अधिक सटीक रूप से इसके अनुभागों का शीफ़) को O के आकारिकी के शीफ़ से पहचाना जा सकता हैM दोहरी संख्याओं के वलय में।

सामान्यीकरण
चिकने नक्शों के साथ स्मूथ मैनिफोल्ड्स के श्रेणी सिद्धांत में कुछ वांछनीय गुणों का अभाव है, और लोगों ने इसे सुधारने के लिए स्मूथ मैनिफोल्ड्स को सामान्य बनाने का प्रयास किया है। डिफियोलॉजिकल स्पेस चार्ट की एक अलग धारणा का उपयोग करते हैं जिसे प्लॉट के रूप में जाना जाता है। फ्रोलिचर स्पेस और कक्षीय अन्य प्रयास हैं।

एक सुधार योग्य सेट उच्च आयामों के लिए टुकड़े-वार चिकने या सुधार योग्य वक्र के विचार को सामान्यीकृत करता है; हालाँकि, सुधार योग्य सेट सामान्य मैनिफोल्ड में नहीं होते हैं।

विशेष रूप से बनच मैनिफोल्ड और फ़्रेचेट मैनिफ़ोल्ड्स सुविधाजनक वेक्टर स्पेस#अनुप्रयोग: परिमित आयामी मैनिफोल्ड्स के बीच मैपिंग के मैनिफोल्ड्स अनंत आयामी विभेदक अनेक गुना हैं।

गैर-क्रमविनिमेय ज्यामिति
सी के लिएकमैनिफोल्ड एम, वास्तविक-मूल्यवान सी का सेट (गणित)।मैनिफ़ोल्ड पर k फ़ंक्शंस बिंदुवार जोड़ और गुणा के तहत एक फ़ील्ड पर एक बीजगणित बनाता है, जिसे स्केलर फ़ील्ड का बीजगणित या बस स्केलर का बीजगणित कहा जाता है। इस बीजगणित में गुणात्मक पहचान के रूप में निरंतर फ़ंक्शन 1 है, और यह बीजगणितीय ज्यामिति में नियमित कार्यों की अंगूठी का एक अलग एनालॉग है।

स्केलर के बीजगणित से मैनिफोल्ड का पुनर्निर्माण करना संभव है, पहले एक सेट के रूप में, लेकिन एक टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में भी - यह बानाच-स्टोन प्रमेय का एक अनुप्रयोग है, और इसे औपचारिक रूप से सी*-बीजगणित के स्पेक्ट्रम के रूप में जाना जाता है।. सबसे पहले, एम के बिंदुओं और बीजगणित समरूपताओं के बीच एक-से-एक पत्राचार है φ: Ck(M) → R, इस तरह एक समरूपता φ सी में एक आदर्श कोडिमेशन से मेल खाती हैk(M) (अर्थात् φ का कर्नेल), जो आवश्यक रूप से एक अधिकतम आदर्श है। इसके विपरीत, इस बीजगणित में प्रत्येक अधिकतम आदर्श एक बिंदु पर लुप्त होने वाले कार्यों का एक आदर्श है, जो दर्शाता है कि C का MSpec (मैक्स स्पेक)k(M) M को एक बिंदु सेट के रूप में पुनर्प्राप्त करता है, हालांकि वास्तव में यह M को एक टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में पुनर्प्राप्त करता है।

कोई व्यक्ति विभिन्न ज्यामितीय संरचनाओं को स्केलर के बीजगणित के संदर्भ में बीजगणितीय रूप से परिभाषित कर सकता है, और ये परिभाषाएँ अक्सर बीजगणितीय ज्यामिति (ज्यामितीय रूप से रिंगों की व्याख्या करना) और ऑपरेटर सिद्धांत (बैनाच रिक्त स्थान की ज्यामितीय रूप से व्याख्या करना) को सामान्यीकृत करती हैं। उदाहरण के लिए, एम के स्पर्शरेखा बंडल को एम पर सुचारू कार्यों के बीजगणित की व्युत्पत्ति के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

मैनिफोल्ड का यह बीजगणित (एक ज्यामितीय वस्तु को बीजगणित के साथ प्रतिस्थापित करना) एक C*-बीजगणित की धारणा की ओर ले जाता है - एक क्रमविनिमेय C*-बीजगणित, जो बानाच-स्टोन द्वारा सटीक रूप से मैनिफोल्ड के अदिशों का वलय है, और किसी को इसकी अनुमति देता है गैर-अनुवांशिक सी*-बीजगणित को मैनिफोल्ड्स के गैर-अनुवांशिक सामान्यीकरण के रूप में मानें। यह गैर-अनुवांशिक ज्यामिति के क्षेत्र का आधार है।

यह भी देखें

 * एफ़िन कनेक्शन
 * एटलस (टोपोलॉजी)
 * क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक
 * सामान्य सापेक्षता के गणित का परिचय
 * रीमैनियन ज्यामिति में सूत्रों की सूची
 * रीमैनियन ज्यामिति
 * अंतरिक्ष (गणित)

ग्रन्थसूची