मीट्रिक टेंसर

विभेदक ज्यामिति के गणितीय क्षेत्र में, एक मीट्रिक टेन्सर (या बस मीट्रिक) कई गुना $M$ (जैसे सतह) पर एक अतिरिक्त गणितीय संरचना है जो दूरी और कोणों को परिभाषित करने की अनुमति देता है, जैसे यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर आंतरिक उत्पाद दूरी को परिभाषित करने की अनुमति देता है और वहाँ कोण। अधिक सटीक रूप से, $M$ के बिंदु $p$ पर एक मीट्रिक टेन्सर $p$ पर स्पर्शरेखा स्थान पर परिभाषित एक द्विरेखीय रूप है (यानी, एक बिलिनियर फ़ंक्शन जो स्पर्शरेखा वैक्टर के जोड़े को वास्तविक संख्या में मैप करता है), और $M$ पर एक मीट्रिक टेंसर में एक होता है $M$ के प्रत्येक बिंदु $p$ पर मीट्रिक टेंसर जो $p$ के साथ आसानी से बदलता रहता है।

एक मेट्रिक टेन्सर $g$ धनात्मक-निश्चित होता है यदि $g(v, v) > 0$ प्रत्येक अशून्य सदिश $v$ के लिए। धनात्मक-निश्चित मेट्रिक टेन्सर से सुसज्जित मैनिफोल्ड को रीमैनियन मैनिफोल्ड के रूप में जाना जाता है। इस तरह के एक मीट्रिक टेन्सर को कई गुना पर असीम दूरी को निर्दिष्ट करने के बारे में सोचा जा सकता है। रिमेंनियन मैनिफोल्ड $M$ पर, दो बिंदुओं $p$ और $q$ के बीच एक चिकनी वक्र की लंबाई को एकीकरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है, और $p$ और $q$ के बीच की दूरी को ऐसे सभी वक्रों की लंबाई के न्यूनतम के रूप में परिभाषित किया जा सकता है; यह $M$ को एक मीट्रिक स्थान बनाता है। इसके विपरीत, मीट्रिक टेन्सर स्वयं दूरी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है (उपयुक्त तरीके से लिया गया)।

जबकि एक मीट्रिक टेन्सर की धारणा कुछ अर्थों में कार्ल गॉस जैसे गणितज्ञों को 19वीं शताब्दी की शुरुआत से ज्ञात थी, यह 20वीं शताब्दी की शुरुआत तक नहीं थी कि टेन्सर के रूप में इसके गुणों को, विशेष रूप से, ग्रेगोरियो रिक्की-क्लैस्ट्रो और द्वारा समझा गया था। टुल्लियो लेवी-सिविटा, जिन्होंने पहली बार एक सममितीय टेंसर की धारणा को संहिताबद्ध किया। मीट्रिक टेंसर टेंसर क्षेत्र का एक उदाहरण है।

एक मीट्रिक टेन्सर के घटक एक समन्वय समन्वय आधार पर एक सममित मैट्रिक्स के रूप में लेते हैं, जिनकी प्रविष्टियाँ समन्वय प्रणाली में परिवर्तन के तहत सहसंयोजक रूप से बदलती हैं। इस प्रकार एक मीट्रिक टेन्सर एक सहपरिवर्ती सममित टेन्सर है। समन्वय-स्वतंत्र दृष्टिकोण से, एक मीट्रिक टेन्सर फ़ील्ड को प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान पर एक नॉनडिजेनरेट सममित द्विरेखीय रूप के रूप में परिभाषित किया जाता है जो बिंदु से बिंदु तक सुचारू रूप से भिन्न होता है।

परिचय
कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने अपने 1827 के डिक्विजिशन्स जेनरल सर्का सुपरफिसीज कर्वस (वक्र सतहों की सामान्य जांच) में एक सतह को पैरामीट्रिक रूप से माना, कार्टेशियन निर्देशांक $x$, $y$, और $z$ के साथ सतह पर दो सहायक चर $u$ और $v$ पर निर्भर करता है। इस प्रकार एक पैरामीट्रिक सतह (आज के संदर्भ में) एक सदिश-मूल्यवान कार्य है


 * $$\vec{r}(u,\,v) = \bigl( x(u,\,v),\, y(u,\,v),\, z(u,\,v) \bigr)$$

वास्तविक चर $(u, v)$ की एक आदेशित जोड़ी के आधार पर, और $uv$-प्लेन में एक खुले सेट $D$ में परिभाषित किया गया है। गॉस की जांच के मुख्य उद्देश्यों में से एक सतह की उन विशेषताओं को निकालना था, जिन्हें एक फ़ंक्शन द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जो अपरिवर्तित रहेगा यदि सतह अंतरिक्ष में एक परिवर्तन से गुजरती है (जैसे कि सतह को बिना खींचे झुकना), या एक परिवर्तन। एक ही ज्यामितीय सतह का विशेष पैरामीट्रिक रूप।

एक प्राकृतिक ऐसी अपरिवर्तनीय मात्रा सतह के साथ खींची गई वक्र की लंबाई है। एक और कोण सतह के साथ खींचे गए वक्रों की एक जोड़ी और एक सामान्य बिंदु पर मिलने के बीच का कोण है। ऐसी तीसरी मात्रा सतह के एक टुकड़े का क्षेत्रफल है। सतह के इन अपरिवर्तनीयों के अध्ययन ने गॉस को मीट्रिक टेन्सर की आधुनिक धारणा के पूर्ववर्ती को पेश करने के लिए प्रेरित किया।

मीट्रिक टेंसर है नीचे दिए गए विवरण में;मैट्रिक्स में ई, एफ, और जी में कोई भी संख्या हो सकती है जब तक कि मैट्रिक्स सकारात्मक निश्चित हो।

मीट्रिक टेन्सर नीचे दिए गए विवरण में $ \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix} $ है; मैट्रिक्स में E, F, और G में कोई भी संख्या हो सकती है जब तक मैट्रिक्स सकारात्मक निश्चित है।

चाप लंबाई
यदि चर $u$ और $v$ को एक तीसरे चर पर निर्भर करने के लिए लिया जाता है, $t$, एक अंतराल $[a, b]$ में मान लेते हुए, फिर $r(u(t), v(t))$ पैरामीट्रिक में एक पैरामीट्रिक वक्र का पता लगाएगा सतह $M$। उस वक्र की चाप लंबाई अभिन्न द्वारा दी गई है


 * $$ \begin{align}

s &= \int_a^b\left\|\frac{d}{dt}\vec{r}(u(t),v(t))\right\|\,dt \\[5pt] &= \int_a^b \sqrt{u'(t)^2\,\vec{r}_u\cdot\vec{r}_u + 2u'(t)v'(t)\, \vec{r}_u\cdot\vec{r}_v + v'(t)^2\,\vec{r}_v\cdot\vec{r}_v}\, dt \,, \end{align}$$ जहां $$ \left\| \cdot \right\| $$ यूक्लिडियन मानदंड का प्रतिनिधित्व करता है। यहाँ श्रृंखला नियम लागू किया गया है, और सबस्क्रिप्ट आंशिक डेरिवेटिव को दर्शाते हैं:


 * $$\vec{r}_u = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u}\,, \quad \vec{r}_v = \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}\,.$$

इंटीग्रैंड (द्विघात) अंतर के वर्गमूल के वक्र के लिए प्रतिबंध है

जहाँ

मात्रा $$ in ($$) को रेखा तत्व कहा जाता है, जबकि $ds^{2}$ को $ds$ का पहला मौलिक रूप कहा जाता है। सहज रूप से, यह $r(u, v)$द्वारा किए गए विस्थापन के वर्ग के प्रमुख भाग का प्रतिनिधित्व करता है जब $$ में वृद्धि होती है $M$ इकाइयों द्वारा, और $u$ $du$ इकाइयों द्वारा बढ़ाया जाता है।

मैट्रिक्स संकेतन का उपयोग करते हुए, पहला मौलिक रूप बन जाता है
 * $$ds^2 =

\begin{bmatrix} du & dv \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du \\ dv \end{bmatrix} $$

समन्वय परिवर्तन
अब मान लीजिए कि $v$ और $dv$ को चर $u′$ और $v′$ की एक और जोड़ी पर निर्भर करने की अनुमति देकर एक अलग पैरामीटर का चयन किया जाता है। तब नए चरों के लिए ($u$) का अनुरूप है

श्रृंखला नियम मैट्रिक्स समीकरण के माध्यम से $E′$, $F′$, और $G′$ को $v$, $$, और $$ से संबंधित है

जहां सुपरस्क्रिप्ट टी मैट्रिक्स ट्रांसपोज़ को दर्शाता है। गुणांक $E$, $F$, और $G$ के साथ मैट्रिक्स इस तरह व्यवस्थित होता है इसलिए समन्वय परिवर्तन के जैकोबियन मैट्रिक्स द्वारा बदल दिया जाता है



J = \begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial u'} & \frac{\partial u}{\partial v'} \\ \frac{\partial v}{\partial u'} & \frac{\partial v}{\partial v'} \end{bmatrix}\,.$$ एक मैट्रिक्स जो इस तरह से रूपांतरित होता है वह एक प्रकार का होता है जिसे टेन्सर कहा जाता है। साँचा


 * $$\begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix}$$

परिवर्तन कानून ($$) के साथ सतह के मीट्रिक टेन्सर के रूप में जाना जाता है।

निर्देशांक रूपांतरणों के अंतर्गत चापलम्बाई का व्युत्क्रम
ने सबसे पहले गुणांक $E$, $F$, और $G$ की एक प्रणाली के महत्व का अवलोकन किया, जो निर्देशांक की एक प्रणाली से दूसरी में जाने पर इस तरह से बदल गई। नतीजा यह है कि पहला मौलिक रूप ($$) समन्वय प्रणाली में परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है, और यह विशेष रूप से $E$, $F$, और $G$ के परिवर्तन गुणों से अनुसरण करता है। वास्तव में, श्रृंखला नियम द्वारा,


 * $$\begin{bmatrix} du \\ dv \end{bmatrix} =

\begin{bmatrix} \dfrac{\partial u}{\partial u'} & \dfrac{\partial u}{\partial v'} \\ \dfrac{\partial v}{\partial u'} & \dfrac{\partial v}{\partial v'} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du' \\ dv' \end{bmatrix} $$ जिससे


 * $$\begin{align}

ds^2 &=   \begin{bmatrix} du & dv \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du \\ dv \end{bmatrix} \\[6pt] &=   \begin{bmatrix} du' & dv' \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{\partial u}{\partial u'} & \dfrac{\partial u}{\partial v'} \\[6pt] \dfrac{\partial v}{\partial u'} & \dfrac{\partial v}{\partial v'} \end{bmatrix}^\mathsf{T} \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{\partial u}{\partial u'} & \dfrac{\partial u}{\partial v'} \\[6pt] \dfrac{\partial v}{\partial u'} & \dfrac{\partial v}{\partial v'} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du' \\ dv' \end{bmatrix} \\[6pt] &=   \begin{bmatrix} du' & dv' \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E' & F' \\ F' & G' \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du' \\ dv' \end{bmatrix}\\[6pt] &= (ds')^2 \,. \end{align}$$

लंबाई और कोण
मीट्रिक टेंसर की एक अन्य व्याख्या, जिसे गॉस द्वारा भी माना जाता है, यह है कि यह सतह पर स्पर्शरेखा सदिशों की लंबाई, साथ ही दो स्पर्शरेखा सदिशों के बीच के कोण की गणना करने का एक तरीका प्रदान करता है। समकालीन शब्दों में, मीट्रिक टेन्सर सतह के पैरामीट्रिक विवरण से स्वतंत्र तरीके से स्पर्शरेखा सदिशों के डॉट गुणनफल (गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति) की गणना करने की अनुमति देता है। पैरामीट्रिक सतह $$ के किसी बिंदु पर किसी भी स्पर्शरेखा सदिश को रूप में लिखा जा सकता है


 * $$\mathbf{p} = p_1\vec{r}_u + p_2\vec{r}_v$$

उपयुक्त वास्तविक संख्या $p_{1}$ और $p_{2}$ के लिए। यदि दो स्पर्शरेखा सदिश दिए गए हों:


 * $$\begin{align}

\mathbf{a} &= a_1\vec{r}_u + a_2\vec{r}_v \\ \mathbf{b} &= b_1\vec{r}_u + b_2\vec{r}_v \end{align}$$ फिर डॉट उत्पाद की द्विरैखिकता का उपयोग करके,


 * $$\begin{align}

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} &= a_1 b_1 \vec{r}_u\cdot\vec{r}_u + a_1b_2 \vec{r}_u\cdot\vec{r}_v + a_2b_1 \vec{r}_v\cdot\vec{r}_u + a_2 b_2 \vec{r}_v\cdot\vec{r}_v \\[8pt] &= a_1 b_1 E + a_1b_2 F + a_2b_1 F + a_2b_2G. \\[8pt] &= \begin{bmatrix} a_1 & a_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} \,. \end{align}$$ यह स्पष्ट रूप से चार चर $a_{1}$, $b_{1}$, $a_{2}$, और $b_{2}$ का एक कार्य है। हालाँकि, इसे अधिक लाभप्रद रूप से देखा जाता है, हालांकि, एक ऐसे फ़ंक्शन के रूप में जो तर्कों की एक जोड़ी $a = [a_{1} a_{2}]$ और $b = [b_{1} b_{2}]$ लेता है, जो $E$-प्लेन में वैक्टर हैं। यानी डाल दिया


 * $$g(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = a_1b_1 E + a_1b_2 F + a_2b_1 F + a_2b_2G \,.$$

यह $a$ और $b$ में एक सममित फलन है, जिसका अर्थ है


 * $$g(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = g(\mathbf{b}, \mathbf{a})\,.$$

यह द्विरेखीय भी है, जिसका अर्थ है कि यह प्रत्येक चर $a$ और $b$ में अलग-अलग रैखिक है। वह है,


 * $$\begin{align}

g\left(\lambda\mathbf{a} + \mu\mathbf{a}', \mathbf{b}\right) &= \lambda g(\mathbf{a}, \mathbf{b}) + \mu g\left(\mathbf{a}', \mathbf{b}\right),\quad\text{and} \\ g\left(\mathbf{a}, \lambda\mathbf{b} + \mu\mathbf{b}'\right) &= \lambda g(\mathbf{a}, \mathbf{b}) + \mu g\left(\mathbf{a}, \mathbf{b}'\right) \end{align}$$ $F$ विमान में किसी भी वैक्टर $a$, $a′$, $b$, और $b′$ के लिए, और कोई वास्तविक संख्या $G$ और $M$।

विशेष रूप से, एक स्पर्शरेखा सदिश $a$ की लंबाई द्वारा दिया जाता है


 * $$ \left\| \mathbf{a} \right\| = \sqrt{g(\mathbf{a}, \mathbf{a})}$$

और दो सदिशों $a$ और $b$ के बीच के कोण $uv$ की गणना किसके द्वारा की जाती है


 * $$\cos(\theta) = \frac{g(\mathbf{a}, \mathbf{b})}{ \left\| \mathbf{a} \right\| \left\| \mathbf{b} \right\| } \,.$$

क्षेत्रफल
सतह क्षेत्र एक अन्य संख्यात्मक मात्रा है जो केवल सतह पर ही निर्भर होना चाहिए, न कि यह कैसे पैरामीटरकृत है। यदि सतह $uv$ $μ$-प्लेन में डोमेन $λ$ पर फ़ंक्शन $r(u, v)$ द्वारा पैरामीटरकृत है, तो $θ$ का सतह क्षेत्र अभिन्न द्वारा दिया जाता है


 * $$\iint_D \left|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right|\,du\,dv$$

जहाँ $×$ क्रॉस उत्पाद को दर्शाता है, और निरपेक्ष मान यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक वेक्टर की लंबाई को दर्शाता है। क्रॉस उत्पाद के लिए लैग्रेंज की पहचान से, अभिन्न लिखा जा सकता है


 * $$\begin{align}

&\iint_D \sqrt{\left(\vec{r}_u\cdot\vec{r}_u\right) \left(\vec{r}_v\cdot\vec{r}_v\right) - \left(\vec{r}_u\cdot\vec{r}_v\right)^2}\,du\,dv \\[5pt] ={} &\iint_D \sqrt{EG - F^2}\,du\,dv\\[5pt] ={} &\iint_D \sqrt{\det \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix}}\, du\, dv \end{align}$$ जहां $det$ सारणिक है।

परिभाषा
$M$ को आयाम $uv$ का एक चिकनी कई गुना होने दें; उदाहरण के लिए कार्टेसियन स्पेस $$\R^{n+1}$$ में एक सतह (मामले में $n = 2$) या हाइपरसफेस। प्रत्येक बिंदु $p ∈ M$ पर एक सदिश स्थल $T_{p}M$ होती है, जिसे स्पर्शरेखा समष्टि कहा जाता है, जिसमें बिंदु $D$ पर कई गुना स्पर्शरेखा सदिश होते हैं। $M$ पर एक मीट्रिक टेंसर एक फ़ंक्शन $g_{p}(X_{p}, Y_{p})$ है जो इनपुट के रूप में $M$ पर स्पर्शरेखा वैक्टर $X_{p}$ और $Y_{p}$ की एक जोड़ी लेता है, और आउटपुट के रूप में एक वास्तविक संख्या (स्केलर) उत्पन्न करता है, ताकि निम्नलिखित शर्तों को पूरा किया जा सके: g_p(aU_p + bV_p, Y_p) &= ag_p(U_p, Y_p) + bg_p(V_p, Y_p) \,, \quad \text{and} \\ g_p(Y_p, aU_p + bV_p) &= ag_p(Y_p, U_p) + bg_p(Y_p, V_p) \,. \end{align}$$
 * $g_{p}$ बिलिनियर है। दो सदिश तर्कों का एक फलन द्विरेखीय होता है यदि यह प्रत्येक तर्क में पृथक रूप से रैखिक हो। इस प्रकार यदि $U_{p}$, $V_{p}$, $Y_{p}$ $n$ पर तीन स्पर्शरेखा सदिश हैं और $p$ और $p$ वास्तविक संख्याएँ हैं, तो$$\begin{align}
 * $g_{p}$ सममित है। दो सदिश तर्कों का एक फलन सममित होता है बशर्ते कि सभी सदिशों $X_{p}$ और $Y_{p}$ के लिए,$$g_p(X_p, Y_p) = g_p(Y_p, X_p)\,.$$
 * $g_{p}$ गैर-डीजेनरेट है। एक द्विरेखीय फलन अविकृत होता है, बशर्ते कि प्रत्येक स्पर्शरेखा सदिश $X_{p} ≠ 0$ के लिए, फलन$$Y_p \mapsto g_p(X_p,Y_p)$$$X_{p}$ को स्थिर रखते हुए और $Y_{p}$ को अलग-अलग करने की अनुमति देकर प्राप्त किया गया समान रूप से शून्य नहीं है। अर्थात्, प्रत्येक $X_{p} ≠ 0$ के लिए एक $Y_{p}$ का अस्तित्व होता है जैसे कि $g_{p}(X_{p}, Y_{p}) ≠ 0$

$p$ पर एक मीट्रिक टेन्सर फील्ड $p$, $a$ के प्रत्येक बिंदु $b$ को $M$ पर स्पर्शरेखा स्थान में एक मीट्रिक टेंसर $g_{p}$ को इस तरह से असाइन करता है जो आसानी से $g$ के साथ बदलता रहता है। अधिक सटीक रूप से, $M$ पर कई गुना $p$ और किसी भी (चिकनी) वेक्टर क्षेत्र $p$ और $p$ के किसी भी खुले उपसमुच्चय को देखते हुए, वास्तविक कार्य$$g(X, Y)(p) = g_p(X_p, Y_p)$$$U$ का एक सहज कार्य है।

मीट्रिक के घटक
वेक्टर फ़ील्ड के वेक्टर स्पेस, या फ्रेम बंडल  के किसी भी आधार में मीट्रिक के घटक, $f = (X_{1}, ..., X_{n})$ द्वारा दिए गए हैं $n^{2}$ }} फ़ंक्शन $g_{ij}[f]$ की प्रविष्टियों को बनाएं $n × n$ सममित मैट्रिक्स, $G[f]$।यदि
 * $$v = \sum_{i=1}^n v^iX_i \,, \quad w = \sum_{i=1}^n w^iX_i$$

पर दो वैक्टर हैं $p ∈ U$, फिर मीट्रिक के मूल्य पर लागू किया गया $M$ और $X$ गुणांक द्वारा निर्धारित किया जाता है ($Y$) बिलिनियरिटी द्वारा:


 * $$g(v, w) = \sum_{i,j=1}^n v^iw^jg\left(X_i,X_j\right) = \sum_{i,j=1}^n v^iw^jg_{ij}[\mathbf{f}]$$

मैट्रिक्स (गणित) को दर्शाते हुए $(g_{ij}[f])$ द्वारा $G[f]$ और वैक्टर के घटकों की व्यवस्था करना $p$ और $$ स्तंभ वैक्टर में $v[f]$ और $w[f]$,


 * $$g(v,w) = \mathbf{v}[\mathbf{f}]^\mathsf{T} G[\mathbf{f}] \mathbf{w}[\mathbf{f}] = \mathbf{w}[\mathbf{f}]^\mathsf{T} G[\mathbf{f}]\mathbf{v}[\mathbf{f}]$$

कहां $v[f]$T और $w[f]$T वैक्टर के मैट्रिक्स ट्रांसपोज़ को दर्शाता है $v[f]$ और $w[f]$, क्रमश।फॉर्म के आधार के परिवर्तन के तहत


 * $$\mathbf{f}\mapsto \mathbf{f}' = \left(\sum_k X_ka_{k1},\dots,\sum_k X_ka_{kn}\right) = \mathbf{f}A$$

कुछ उल्टे मैट्रिक्स के लिए $n × n$ आव्यूह $A = (a_{ij})$, मीट्रिक के घटकों के मैट्रिक्स द्वारा परिवर्तन $v$ भी।वह है,


 * $$G[\mathbf{f}A] = A^\mathsf{T} G[\mathbf{f}]A$$

या, इस मैट्रिक्स की प्रविष्टियों के संदर्भ में,


 * $$g_{ij}[\mathbf{f}A] = \sum_{k,l=1}^n a_{ki}g_{kl}[\mathbf{f}]a_{lj} \, .$$

इस कारण से, मात्रा की प्रणाली $g_{ij}[f]$ कहा जाता है कि फ्रेम में परिवर्तन के संबंध में सहसंयोजक रूप से बदलना $f$।

निर्देशांक में मीट्रिक
की एक प्रणाली $w$ वास्तविक मूल्यवान कार्य $(x^{1}, ..., x^{n})$, एक खुले सेट पर एक स्थानीय निर्देशांक  देना $$ में $v$, वेक्टर क्षेत्रों का एक आधार निर्धारित करता है $w$
 * $$\mathbf{f} = \left(X_1 = \frac{\partial}{\partial x^1}, \dots, X_n = \frac{\partial}{\partial x^n}\right) \,.$$

मीट्रिक $A$ इस फ्रेम के सापेक्ष घटक हैं
 * $$g_{ij}\left[\mathbf{f}\right] = g\left(\frac{\partial}{\partial x^i}, \frac{\partial}{\partial x^j}\right) \,.$$

स्थानीय निर्देशांक की एक नई प्रणाली के सापेक्ष, कहते हैं
 * $$y^i = y^i(x^1, x^2, \dots, x^n),\quad i=1,2,\dots,n$$

मीट्रिक टेंसर गुणांक के एक अलग मैट्रिक्स का निर्धारण करेगा,
 * $$g_{ij}\left[\mathbf{f}'\right] = g\left(\frac{\partial}{\partial y^i}, \frac{\partial}{\partial y^j}\right).$$

कार्यों की यह नई प्रणाली मूल से संबंधित है $g_{ij}(f)$ श्रृंखला नियम के माध्यम से
 * $$\frac{\partial}{\partial y^i} = \sum_{k=1}^n \frac{\partial x^k}{\partial y^i}\frac{\partial}{\partial x^k}$$

ताकि
 * $$g_{ij}\left[\mathbf{f}'\right] = \sum_{k,l=1}^n \frac{\partial x^k}{\partial y^i} g_{kl}\left[\mathbf{f}\right]\frac{\partial x^l}{\partial y^j}.$$

या, मैट्रिस के संदर्भ में $G[f] = (g_{ij}[f])$ और $G[f′] = (g_{ij}[f′])$,
 * $$G\left[\mathbf{f}'\right] = \left((Dy)^{-1}\right)^\mathsf{T} G\left[\mathbf{f}\right] (Dy)^{-1}$$

कहां $n$ समन्वय परिवर्तन के जैकबियन मैट्रिक्स को दर्शाता है।

एक मीट्रिक का हस्ताक्षर
किसी भी मीट्रिक टेंसर से संबंधित प्रत्येक स्पर्शरेखा अंतरिक्ष में परिभाषित द्विघात रूप है


 * $$q_m(X_m) = g_m(X_m,X_m) \,, \quad X_m\in T_mM.$$

यदि $q_{m}$ सभी गैर-शून्य के लिए सकारात्मक है $X_{m}$, तो मीट्रिक निश्चित बिलिनियर रूप  है $U$।यदि मीट्रिक हर पर सकारात्मक-परिभाषा है $m ∈ M$, तब $M$ एक  रिमैनियन मीट्रिक  कहा जाता है।अधिक आम तौर पर, यदि द्विघात रूप $q_{m}$ एक द्विघात रूप के निरंतर हस्ताक्षर के पास स्वतंत्र है $U$, फिर हस्ताक्षर $g$ क्या यह हस्ताक्षर है, और $Dy$ एक  छद्म-रीमेनियन मीट्रिक  कहा जाता है। यदि $m$  जुड़ा हुआ स्थान  है, फिर हस्ताक्षर $g$ इस पर निर्भर नहीं करता है $m$. सिल्वेस्टर के कानून के कानून द्वारा, स्पर्शरेखा वैक्टर का एक आधार $X_{i}$ स्थानीय रूप से चुना जा सकता है ताकि द्विघात रूप निम्नलिखित तरीके से विकर्ण हो जाए


 * $$q_m\left(\sum_i\xi^iX_i\right) = \left(\xi^1\right)^2+\left(\xi^2\right)^2+\cdots+\left(\xi^p\right)^2 - \left(\xi^{p+1}\right)^2-\cdots-\left(\xi^n\right)^2$$

कुछ के लिए $g$ 1 और के बीच $g$।के किसी भी दो भाव $M$ (एक ही बिंदु पर $q_{m}$ का $m$) एक ही संख्या होगी $p$ सकारात्मक संकेतों की।के हस्ताक्षर $n$ पूर्णांक की जोड़ी है $(p, n − p)$, यह बताते हुए कि वहाँ हैं $q$ सकारात्मक संकेत और $n − p$ ऐसी किसी भी अभिव्यक्ति में नकारात्मक संकेत।समान रूप से, मीट्रिक में हस्ताक्षर हैं $(p, n − p)$ अगर मैट्रिक्स $g_{ij}$ मीट्रिक के पास है $m$ सकारात्मक और $n − p$ नकारात्मक eigenvalue s।

कुछ मीट्रिक हस्ताक्षर जो अनुप्रयोगों में अक्सर उत्पन्न होते हैं:
 * यदि $M$ हस्ताक्षर है $(n, 0)$, तब $p$ एक riemannian मीट्रिक है, और $g$ एक रिमैनियन कई गुना कहा जाता है।अन्यथा, $p$ एक छद्म रीमैनियन मीट्रिक है, और $p$ एक छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड  कहा जाता है (शब्द अर्ध-रीमैनियन शब्द का भी उपयोग किया जाता है)।
 * यदि $g$ हस्ताक्षर के साथ चार आयामी है $(1, 3)$ या $(3, 1)$, फिर मीट्रिक को लोरेंट्ज़ियन मीट्रिक  कहा जाता है।अधिक आम तौर पर, आयाम में एक मीट्रिक टेंसर $g$ हस्ताक्षर के 4 से अन्य $(1, n − 1)$ या $(n − 1, 1)$ कभी -कभी लोरेंट्ज़ियन भी कहा जाता है।
 * यदि $M$ है $2n$-माद और $g$ हस्ताक्षर है $(n, n)$, फिर मीट्रिक को अल्ट्राहेरबोलिक मीट्रिक  कहा जाता है।

उलटा मीट्रिक
होने देना $f = (X_{1}, ..., X_{n})$ वेक्टर क्षेत्रों का आधार हो, और ऊपर के रूप में $G[f]$ गुणांक का मैट्रिक्स हो
 * $$g_{ij}[\mathbf{f}] = g\left(X_i,X_j\right) \,.$$

एक उलटा मैट्रिक्स  पर विचार कर सकते हैं $G[f]^{−1}$, जिसे उलटा मीट्रिक (या  संयुग्म  या  दोहरी मीट्रिक ) के साथ पहचाना जाता है।उलटा मीट्रिक फ्रेम होने पर एक परिवर्तन कानून को संतुष्ट करता है $f$ एक मैट्रिक्स द्वारा बदल दिया जाता है $M$ के जरिए

उलटा मीट्रिक वैक्टर के सहसंयोजक और कॉन्ट्रैवेरियन को बदल देता है, या आधार मैट्रिक्स के परिवर्तन के व्युत्क्रम के संबंध में $M$।जबकि मीट्रिक स्वयं वेक्टर क्षेत्रों की लंबाई (या कोण) की लंबाई को मापने का एक तरीका प्रदान करता है, उलटा मीट्रिक कोवेटर  फ़ील्ड की लंबाई (या कोण) की लंबाई को मापने का एक साधन प्रदान करता है;अर्थात्, रैखिक कार्य के क्षेत्र।

यह देखने के लिए, मान लीजिए कि $n$ एक covector क्षेत्र है।बुद्धि के लिए, प्रत्येक बिंदु के लिए $M$, $g$ एक फ़ंक्शन निर्धारित करता है $α_{p}$ पर स्पर्शरेखा वैक्टर पर परिभाषित किया गया $A$ ताकि निम्नलिखित रैखिक परिवर्तन  की स्थिति सभी स्पर्शरेखा वैक्टर के लिए हो $X_{p}$ और $Y_{p}$, और सभी वास्तविक संख्याएँ $$ और $A$:


 * $$\alpha_p \left(aX_p + bY_p\right) = a\alpha_p \left(X_p\right) + b\alpha_p \left(Y_p\right)\,.$$

जैसा $α$ भिन्न होता है, $p$ इस अर्थ में एक चिकनी कार्य माना जाता है


 * $$p \mapsto \alpha_p \left(X_p\right)$$

का एक चिकनी कार्य है $α$ किसी भी चिकनी वेक्टर क्षेत्र के लिए $p$।

कोई कोवेक्टर फ़ील्ड $a$ वेक्टर क्षेत्रों के आधार में घटक हैं $f$।ये द्वारा निर्धारित किए जाते हैं


 * $$\alpha_i = \alpha \left(X_i\right)\,,\quad i = 1, 2, \dots, n\,.$$

इन घटकों की पंक्ति वेक्टर  को निरूपित करें


 * $$\alpha[\mathbf{f}] = \big\lbrack\begin{array}{cccc} \alpha_1 & \alpha_2 & \dots & \alpha_n \end{array}\big\rbrack \,.$$

एक परिवर्तन के तहत $f$ एक मैट्रिक्स द्वारा $b$, $α[f]$ नियम द्वारा परिवर्तन


 * $$\alpha[\mathbf{f}A] = \alpha[\mathbf{f}]A \,.$$

अर्थात्, घटकों की पंक्ति वेक्टर $α[f]$ एक सहसंयोजक वेक्टर के रूप में बदल जाता है।

एक जोड़ी के लिए $p$ और $α$ Covector क्षेत्रों में, इन दो कोवेक्टर्स द्वारा लागू उलटा मीट्रिक को परिभाषित करें

परिणामी परिभाषा, हालांकि इसमें आधार का विकल्प शामिल है $f$, वास्तव में निर्भर नहीं करता है $f$ एक आवश्यक तरीके से।दरअसल, बदलने के लिए बदलना $fA$ देता है


 * $$\begin{align}

&\alpha[\mathbf{f}A] G[\mathbf{f}A]^{-1} \beta[\mathbf{f}A]^\mathsf{T} \\ ={} &\left(\alpha[\mathbf{f}]A\right) \left(A^{-1}G[\mathbf{f}]^{-1} \left(A^{-1}\right)^\mathsf{T}\right) \left(A^\mathsf{T}\beta[\mathbf{f}]^\mathsf{T}\right) \\ ={} &\alpha[\mathbf{f}] G[\mathbf{f}]^{-1} \beta[\mathbf{f}]^\mathsf{T}. \end{align} $$ ताकि समीकरण के दाहिने हाथ की ओर ($p$) आधार बदलकर अप्रभावित है $f$ किसी अन्य आधार पर $fA$ जो भी हो।नतीजतन, समीकरण को आधार की पसंद से स्वतंत्र रूप से एक अर्थ सौंपा जा सकता है।मैट्रिक्स की प्रविष्टियाँ $G[f]$ द्वारा निरूपित किया जाता है $g^{ij}$, जहां सूचकांक $X$ और $α$ परिवर्तन कानून को इंगित करने के लिए उठाया गया है ($A$)।

उठाना और कम करना सूचकांक
वेक्टर क्षेत्रों के आधार पर $f = (X_{1}, ..., X_{n})$, किसी भी चिकनी स्पर्शरेखा वेक्टर क्षेत्र $α$ रूप में लिखा जा सकता है

कुछ विशिष्ट रूप से निर्धारित चिकनी कार्यों के लिए $v^{1}, ..., v^{n}$।आधार बदलने पर $f$ एक निरर्थक मैट्रिक्स द्वारा $β$, गुणांक $v^{i}$ इस तरह से बदलें कि समीकरण ($$) सच है।वह है,


 * $$X = \mathbf{fA}v[\mathbf{fA}] = \mathbf{f}v[\mathbf{f}]\,.$$

फलस्वरूप, $v[fA] = A^{−1}v[f]$।दूसरे शब्दों में, एक वेक्टर के घटक निरर्थक मैट्रिक्स द्वारा आधार के परिवर्तन के तहत कॉन्ट्रैरेटिव रूप से (यानी, विपरीत या विपरीत तरीके से) को बदल देते हैं $$।के घटकों के विपरीत $v[f]$ के सूचकांकों को रखकर नोटिस रूप से नामित किया गया है $v^{i}[f]$ ऊपरी स्थिति में।

एक फ्रेम भी कोवेक्टर्स को उनके घटकों के संदर्भ में व्यक्त करने की अनुमति देता है।वेक्टर क्षेत्रों के आधार के लिए $f = (X_{1}, ..., X_{n})$ रैखिक फ़ंक्शंस होने के लिए दोहरे आधार को परिभाषित करें $(θ^{1}[f], ..., θ^{n}[f])$ ऐसा है कि


 * $$\theta^i[\mathbf{f}](X_j) = \begin{cases} 1 & \mathrm{if}\ i=j\\ 0&\mathrm{if}\ i\not=j.\end{cases}$$

वह है, $θ^{i}[f](X_{j}) = δ_{j}^{i}$, क्रोनकर कोलन।पत्र


 * $$\theta[\mathbf{f}] = \begin{bmatrix}\theta^1[\mathbf{f}] \\ \theta^2[\mathbf{f}] \\ \vdots \\ \theta^n[\mathbf{f}]\end{bmatrix}.$$

आधार के परिवर्तन के तहत $f ↦ fA$ एक निरर्थक मैट्रिक्स के लिए $A$, $θ[f]$ के माध्यम से बदल जाता है


 * $$\theta[\mathbf{f}A] = A^{-1}\theta[\mathbf{f}].$$

कोई रैखिक कार्यात्मक $i$ स्पर्शरेखा वैक्टर को दोहरे आधार के संदर्भ में विस्तारित किया जा सकता है $j$

कहां $a[f]$ पंक्ति वेक्टर को दर्शाता है $[ a_{1}[f] ... a_{n}[f] ]$।अवयव $a_{i}$ आधार पर बदलें $f$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $fA$ इस तरह से कि समीकरण ($$) जारी है।वह है,


 * $$\alpha = a[\mathbf{f}A]\theta[\mathbf{f}A] = a[\mathbf{f}]\theta[\mathbf{f}]$$

whence, क्योंकि $θ[fA] = A^{−1}θ[f]$, यह इस प्रकार है कि $1=a[fA] = a[f]A$।अर्थात्, घटक $X$ मैट्रिक्स द्वारा कोवेरिएंट रूप से ट्रांसफ़ॉर्म करें $$ इसके उलटे होने के बजाय)।के घटकों के सहसंयोजक $a[f]$ के सूचकांकों को रखकर नोटिस रूप से नामित किया गया है $a_{i}[f]$ निचली स्थिति में।

अब, मीट्रिक टेंसर वैक्टर और कोवेक्टर्स की पहचान करने के लिए एक साधन देता है।होल्डिंग $X_{p}$ फिक्स्ड, फ़ंक्शन


 * $$g_p(X_p, -) : Y_p \mapsto g_p(X_p, Y_p)$$

स्पर्शरेखा वेक्टर का $Y_{p}$ स्पर्शरेखा पर एक रैखिक कार्यात्मक को परिभाषित करता है $A$।यह ऑपरेशन एक वेक्टर लेता है $X_{p}$ एक बिंदु पर $$ और एक covector का उत्पादन करता है $g_{p}(X_{p}, −)$।वेक्टर क्षेत्रों के आधार पर $f$, अगर एक वेक्टर क्षेत्र $A$ घटक हैं $v[f]$, फिर कोवेक्टर फ़ील्ड के घटक $g(X, −)$ दोहरे आधार में पंक्ति वेक्टर की प्रविष्टियों द्वारा दिया जाता है
 * $$a[\mathbf{f}] = v[\mathbf{f}]^\mathsf{T} G[\mathbf{f}].$$

आधार के परिवर्तन के तहत $f ↦ fA$, इस समीकरण के दाहिने हाथ के माध्यम से बदल जाता है

v[\mathbf{f}A]^\mathsf{T} G[\mathbf{f}A] = v[\mathbf{f}]^\mathsf{T} \left(A^{-1}\right)^\mathsf{T} A^\mathsf{T} G[\mathbf{f}]A = v[\mathbf{f}]^\mathsf{T} G[\mathbf{f}]A $$ ताकि $a[fA] = a[f]A$: $α$ सहसंयोजक रूप से बदल जाता है।एक वेक्टर क्षेत्र के (कॉन्ट्रावेरियनट) घटकों से जुड़ने का संचालन $v[f] = [ v^{1}[f] v^{2}[f] ... v^{n}[f] ]$T (कोवेरिएंट) कोवेक्टर फ़ील्ड के घटक $a[f] = [ a_{1}[f] a_{2}[f] … a_{n}[f] ]$, कहां
 * $$a_i[\mathbf{f}] = \sum_{k=1}^n v^k[\mathbf{f}]g_{ki}[\mathbf{f}]$$

इंडेक्स को कम करना कहा जाता है।

 सूचकांक बढ़ाने के लिए , एक समान निर्माण लागू करता है लेकिन मीट्रिक के बजाय उलटा मीट्रिक के साथ।यदि $a[f] = [ a_{1}[f] a_{2}[f] ... a_{n}[f] ]$ दोहरे आधार में एक covector के घटक हैं $θ[f]$, फिर कॉलम वेक्टर

ऐसे घटक हैं जो कॉन्ट्रैरेटिव रूप से बदलते हैं:
 * $$v[\mathbf{f}A] = A^{-1}v[\mathbf{f}].$$

नतीजतन, मात्रा $X = fv[f]$ आधार की पसंद पर निर्भर नहीं करता है $f$ एक आवश्यक तरीके से, और इस प्रकार एक वेक्टर क्षेत्र को परिभाषित करता है $θ$।आपरेशन ($$) एक कोवेक्टर के (कोवेरिएंट) घटकों से जुड़ना $a[f]$ एक वेक्टर के (कॉन्ट्रैवेरियनट) घटक $v[f]$ दिया गया सूचकांक को बढ़ाना कहा जाता है।घटकों में, ($$) है
 * $$v^i[\mathbf{f}] = \sum_{k=1}^n g^{ik}[\mathbf{f}] a_k[\mathbf{f}].$$

प्रेरित मीट्रिक
होने देना $a$ में एक खुला सेट हो $ℝ^{n}$, और जाने $A$ से लगातार अलग -अलग  कार्य हो $p$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष में $ℝ^{m}$, कहां $m > n$।मानचित्रण $p$ यदि इसका अंतर हर बिंदु पर  इंजेक्शन लगाने वाला  है तो एक  विसर्जन (गणित)  कहा जाता है $X$।की छवि $a$ एक डूबे हुए सबमेनिफोल्ड कहा जाता है।अधिक विशेष रूप से, के लिए $m = 3$, जिसका अर्थ है कि परिवेश यूक्लिडियन स्थान है $ℝ^{3}$, प्रेरित मीट्रिक टेंसर को First_fundamental_form कहा जाता है।

लगता है कि $$ सबमेनिफोल्ड पर एक विसर्जन है $M ⊂ R^{m}$।सामान्य यूक्लिडियन डॉट उत्पाद में $ℝ^{m}$ एक मीट्रिक है, जो जब वैक्टर स्पर्शरेखा के लिए प्रतिबंधित है $M$, इन स्पर्शरेखा वैक्टर के डॉट उत्पाद को लेने के लिए एक साधन देता है।इसे प्रेरित मीट्रिक कहा जाता है।

लगता है कि $$ एक बिंदु पर एक स्पर्शरेखा वेक्टर है $$, कहना
 * $$v = v^1\mathbf{e}_1 + \dots + v^n\mathbf{e}_n$$

कहां $e_{i}$ में मानक समन्वय वैक्टर हैं $ℝ^{n}$।कब $U$ पर लागू होता है $φ$, वेक्टर $U$ वेक्टर स्पर्शरेखा पर जाता है $φ$ के द्वारा दिया गया
 * $$\varphi_*(v) = \sum_{i=1}^n \sum_{a=1}^m v^i\frac{\partial \varphi^a}{\partial x^i}\mathbf{e}_a\,.$$

(इसे पुष्पकार (अंतर) कहा जाता है $U$ साथ में $φ$।) ऐसे दो वैक्टर दिए गए, $φ$ और $M$, प्रेरित मीट्रिक द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$g(v,w) = \varphi_*(v)\cdot \varphi_*(w).$$

यह एक सीधी गणना से है कि समन्वित वेक्टर क्षेत्रों के आधार पर प्रेरित मीट्रिक का मैट्रिक्स $e$ द्वारा दिया गया है
 * $$G(\mathbf{e}) = (D\varphi)^\mathsf{T}(D\varphi)$$

कहां $v$ जैकबियन मैट्रिक्स है:
 * $$D\varphi = \begin{bmatrix}

\frac{\partial\varphi^1}{\partial x^1} & \frac{\partial\varphi^1}{\partial x^2} & \dots & \frac{\partial\varphi^1}{\partial x^n} \\[1ex] \frac{\partial\varphi^2}{\partial x^1} & \frac{\partial\varphi^2}{\partial x^2} & \dots & \frac{\partial\varphi^2}{\partial x^n} \\ \vdots                                & \vdots                                 & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial\varphi^m}{\partial x^1} & \frac{\partial\varphi^m}{\partial x^2} & \dots & \frac{\partial\varphi^m}{\partial x^n} \end{bmatrix}.$$

एक मीट्रिक की आंतरिक परिभाषाएँ
एक मीट्रिक की धारणा को फाइबर बंडल ों और  वेक्टर बंडल ों की भाषा का उपयोग करके आंतरिक रूप से परिभाषित किया जा सकता है।इन शब्दों में, एक मीट्रिक टेंसर एक फ़ंक्शन है

के स्पर्शरेखा  बंडल के  फाइबर उत्पाद  से $U$ खुद के साथ $R$ ऐसा कि प्रतिबंध $φ$ प्रत्येक फाइबर के लिए एक nondegenerate बिलिनियर मैपिंग है


 * $$g_p : \mathrm{T}_pM\times \mathrm{T}_pM \to \mathbf{R}.$$

मानचित्रण ($U$) निरंतर कार्य करने की आवश्यकता होती है, और अक्सर लगातार अलग -अलग, चिकनी फ़ंक्शन, या वास्तविक विश्लेषणात्मक, ब्याज के मामले पर निर्भर करता है, और क्या $v$ ऐसी संरचना का समर्थन कर सकते हैं।

मीट्रिक एक बंडल के एक खंड के रूप में
टेंसर उत्पाद#सार्वभौमिक संपत्ति द्वारा, किसी भी बिलिनियर मैपिंग ($M$) एक खंड (फाइबर बंडल) में प्राकृतिक परिवर्तन  को जन्म देता है $g_{⊗}$ के  टेंसर उत्पाद बंडल  के दोहरे स्थान $TM$ खुद के साथ


 * $$g_\otimes \in \Gamma\left((\mathrm{T}M \otimes \mathrm{T}M)^*\right).$$

अनुभाग $g_{⊗}$ के सरल तत्वों पर परिभाषित किया गया है $TM ⊗ TM$ द्वारा


 * $$g_\otimes(v \otimes w) = g(v, w)$$

और के मनमाने तत्वों पर परिभाषित किया गया है $TM ⊗ TM$ सरल तत्वों के रैखिक संयोजनों के लिए रैखिक रूप से विस्तारित करके।मूल बिलिनियर रूप $v$ सममित है अगर और केवल अगर
 * $$g_\otimes \circ \tau = g_\otimes$$

कहां
 * $$\tau : \mathrm{T}M \otimes \mathrm{T}M \stackrel{\cong}{\to} TM \otimes TM$$

टेंसर उत्पाद#टेंसर शक्तियां और ब्रेडिंग है।

तब से $φ$ परिमित-आयामी है, एक प्राकृतिक आइसोमोर्फिज्म है


 * $$(\mathrm{T}M \otimes \mathrm{T}M)^* \cong \mathrm{T}^*M \otimes \mathrm{T}^*M,$$

ताकि $g_{⊗}$ बंडल के एक हिस्से के रूप में भी माना जाता है $T*M ⊗ T*M$ कोटगेंट बंडल  की $T*M$ खुद के साथ।तब से $v$ एक बिलिनियर मैपिंग के रूप में सममित है, यह इस प्रकार है $g_{⊗}$ एक सममित टेंसर है।

एक वेक्टर बंडल में मीट्रिक
आम तौर पर, कोई एक वेक्टर बंडल में एक मीट्रिक की बात कर सकता है।यदि $w$ एक कई गुना पर एक वेक्टर बंडल है $Dφ$, फिर एक मीट्रिक एक मानचित्रण है


 * $$g : E\times_M E\to \mathbf{R}$$

के फाइबर उत्पाद से $$ को $R$ जो प्रत्येक फाइबर में बिलिनियर है:


 * $$g_p : E_p \times E_p\to \mathbf{R}.$$

ऊपर के रूप में द्वंद्व का उपयोग करते हुए, एक मीट्रिक को अक्सर टेंसर उत्पाद  बंडल के एक खंड (फाइबर बंडल) के साथ पहचाना जाता है $E* ⊗ E*$।(मीट्रिक देखें (वेक्टर बंडल)।)

स्पर्शरेखा -कोटैंगेंट आइसोमोर्फिज्म
मीट्रिक टेंसर स्पर्शरेखा बंडल से लेकर कोटेंजेंट बंडल तक एक संगीतमय आइसोमोर्फिज्म  देता है, जिसे कभी -कभी संगीत समरूपता कहा जाता है। यह आइसोमोर्फिज्म प्रत्येक स्पर्शरेखा वेक्टर के लिए सेटिंग द्वारा प्राप्त किया जाता है $X_{p} ∈ T_{p}M$,


 * $$S_gX_p\, \stackrel\text{def}{=}\, g(X_p, -),$$

पर रैखिक कार्यात्मक $T_{p}M$ जो एक स्पर्शरेखा वेक्टर भेजता है $Y_{p}$ पर $M$ को $g_{p}(X_{p},Y_{p})$।जो कि जोड़ी के संदर्भ में है $[−, −]$ के बीच $T_{p}M$ और इसकी दोहरी जगह $T∗ pM$,


 * $$[S_gX_p, Y_p] = g_p(X_p, Y_p)$$

सभी स्पर्शरेखा वैक्टर के लिए $X_{p}$ और $Y_{p}$।मानचित्रण $S_{g}$ से एक रैखिक परिवर्तन है $T_{p}M$ को $T∗ pM$।यह गैर-नियुक्तता की परिभाषा से अनुसरण करता है कि कर्नेल (सेट थ्योरी) $S_{g}$ शून्य तक कम हो जाता है, और इसलिए रैंक -अशुद्धि प्रमेय द्वारा, $S_{g}$ एक रैखिक समरूपता  है।आगे, $S_{g}$ इस अर्थ में एक सममित रैखिक परिवर्तन है


 * $$[S_gX_p, Y_p] = [S_gY_p, X_p] $$

सभी स्पर्शरेखा वैक्टर के लिए $X_{p}$ और $Y_{p}$।

इसके विपरीत, किसी भी रैखिक आइसोमोर्फिज्म $S : T_{p}M → T∗ pM$ पर एक गैर-संघटित बिलिनियर रूप को परिभाषित करता है $T_{p}M$ के माध्यम से


 * $$g_S(X_p, Y_p) = [SX_p, Y_p]\,.$$

यह बिलिनियर रूप सममित है यदि और केवल अगर $g$ सममित है।इस प्रकार सममित बिलिनियर रूपों के बीच एक प्राकृतिक एक-से-एक पत्राचार है $T_{p}M$ और सममित रैखिक आइसोमोर्फिज्म $T_{p}M$ दोहरे को $T∗ pM$।

जैसा $$ अलग हो जाता है $M$, $S_{g}$ बंडल के एक खंड को परिभाषित करता है $Hom(TM, T*M)$ स्पर्शरेखा बंडल के वेक्टर बंडल आकृति विज्ञान  को कोटेंजेंट बंडल में।इस खंड में समान चिकनाई है $$: यह निरंतर, अलग-अलग, चिकनी, या वास्तविक-एनालिटिक के अनुसार है $g$।मानचित्रण $S_{g}$, जो हर वेक्टर क्षेत्र से जुड़ता है $M$ एक कोवेक्टर फ़ील्ड पर $g$ एक वेक्टर क्षेत्र पर सूचकांक को कम करने का एक अमूर्त सूत्रीकरण देता है।का उलटा $S_{g}$ एक मानचित्रण है $T*M → TM$ जो, अनुरूप रूप से, एक कोवेक्टर क्षेत्र पर सूचकांक को बढ़ाने का एक सार सूत्रीकरण देता है।

उलटा $S−1 g$ एक रैखिक मानचित्रण को परिभाषित करता है
 * $$S_g^{-1} : \mathrm{T}^*M \to \mathrm{T}M$$

जो इस अर्थ में निरर्थक और सममित है
 * $$\left[S_g^{-1}\alpha, \beta\right] = \left[S_g^{-1}\beta, \alpha\right]$$

सभी covectors के लिए $E$, $M$।इस तरह के एक नॉनसिंगुलर सममित मानचित्रण को एक मानचित्र में ( टेन्सर-हेम एडजंक्शन द्वारा) को जन्म देता है
 * $$\mathrm{T}^*M \otimes \mathrm{T}^*M \to \mathbf{R}$$

या टेंसर उत्पाद के एक खंड के लिए दोहरे दोहरे द्वारा
 * $$\mathrm{T}M \otimes \mathrm{T}M.$$

arclength और लाइन तत्व
लगता है कि $E$ एक रीमैनियन मीट्रिक है $p$।एक स्थानीय समन्वय प्रणाली में $x^{i}$, $i = 1, 2, …, n$, मीट्रिक टेंसर एक मैट्रिक्स (गणित)  के रूप में प्रकट होता है, यहां द्वारा निरूपित किया गया $G$, जिनकी प्रविष्टियाँ घटक हैं $g_{ij}$ समन्वय वेक्टर क्षेत्रों के सापेक्ष मीट्रिक टेंसर।

होने देना $γ(t)$ एक टुकड़ा-अलग-अलग पैरामीट्रिक वक्र हो $S$, के लिए $a ≤ t ≤ b$।वक्र के आर्कलेंथ द्वारा परिभाषित किया गया है


 * $$L = \int_a^b \sqrt{ \sum_{i,j=1}^n g_{ij}(\gamma(t)) \left(\frac{d}{dt}x^i \circ \gamma(t)\right) \left(\frac{d}{dt} x^j \circ \gamma(t)\right)}\,dt \,.$$

इस ज्यामितीय अनुप्रयोग के संबंध में, द्विघात रूप विभेदक रूप


 * $$ds^2 = \sum_{i,j=1}^n g_{ij}(p) dx^i dx^j$$

मीट्रिक से जुड़ा पहला मौलिक रूप कहा जाता है, जबकि $p$ लाइन तत्व है।कब $ds^{2}$ एक वक्र की छवि के लिए पुलबैक (विभेदक ज्यामिति)  है $M$, यह arclength के संबंध में अंतर के वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है।

एक छद्म-रीमैनियन मीट्रिक के लिए, ऊपर की लंबाई का सूत्र हमेशा परिभाषित नहीं किया जाता है, क्योंकि वर्गमूल के नीचे का शब्द नकारात्मक हो सकता है।हम आम तौर पर केवल एक वक्र की लंबाई को परिभाषित करते हैं जब वर्गमूल के नीचे की मात्रा हमेशा एक संकेत या दूसरे की होती है।इस मामले में, परिभाषित करें


 * $$L = \int_a^b \sqrt{ \left|\sum_{i,j=1}^ng_{ij}(\gamma(t)) \left(\frac{d}{dt}x^i \circ \gamma(t)\right)\left(\frac{d}{dt}x^j \circ \gamma(t)\right)\right|}\,dt \, .$$

ध्यान दें कि, जबकि ये सूत्र समन्वय अभिव्यक्तियों का उपयोग करते हैं, वे वास्तव में चुने गए निर्देशांक से स्वतंत्र हैं;वे केवल मीट्रिक पर निर्भर करते हैं, और वक्र जिसके साथ सूत्र एकीकृत है।

ऊर्जा, परिवर्तनशील सिद्धांत और जियोडेसिक्स
एक वक्र के एक खंड को देखते हुए, एक और अक्सर परिभाषित मात्रा वक्र की (गतिज) ऊर्जा है:


 * $$E = \frac{1}{2} \int_a^b \sum_{i,j=1}^ng_{ij}(\gamma(t)) \left(\frac{d}{dt}x^i \circ \gamma(t)\right)\left(\frac{d}{dt}x^j \circ \gamma(t)\right)\,dt \,. $$

यह उपयोग भौतिकी, विशेष रूप से, शास्त्रीय यांत्रिकी  से आता है, जहां अभिन्न अंग $g$ एक गुना की सतह पर चलते हुए एक बिंदु कण की  गतिज ऊर्जा  के सीधे अनुरूप देखा जा सकता है।इस प्रकार, उदाहरण के लिए, जैकोबी के माउपरटुइस के सिद्धांत के निर्माण में, मीट्रिक टेंसर को एक चलती कण के द्रव्यमान टेंसर के अनुरूप देखा जा सकता है।

कई मामलों में, जब भी गणना की लंबाई का उपयोग करने के लिए कॉल करता है, तो ऊर्जा का उपयोग करके एक समान गणना भी की जा सकती है।यह अक्सर वर्ग-रूट की आवश्यकता से बचकर सरल सूत्रों की ओर जाता है।इस प्रकार, उदाहरण के लिए, जियोडेसिक समीकरण ों को लंबाई या ऊर्जा के लिए परिवर्तनशील सिद्धांतों को लागू करके प्राप्त किया जा सकता है।बाद के मामले में, जियोडेसिक समीकरणों को कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत से उत्पन्न होने के लिए देखा जाता है: वे एक मुक्त कण (एक कण महसूस नहीं बल) की गति का वर्णन करते हैं जो कई गुना बढ़ने के लिए सीमित होता है, लेकिन अन्यथा स्वतंत्र रूप से, स्थिर के साथ चलता हैगति, कई गुना के भीतर।

कैनोनिकल माप और वॉल्यूम फॉर्म
सतहों के मामले के साथ सादृश्य में, एक मीट्रिक टेंसर पर $g$-डिमेंशनल पैराकंपैक्ट मैनिफोल्ड $M$ मापने के लिए एक प्राकृतिक तरीके को जन्म देता है $M$कई गुना के सबसेट की मात्रा  की मात्रा।परिणामस्वरूप प्राकृतिक सकारात्मक बोरेल उपाय किसी को संबंधित  लेबेसग्यू इंटीग्रल  के माध्यम से कई गुना पर कार्यों को एकीकृत करने का एक सिद्धांत विकसित करने की अनुमति देता है।

एक माप को एक सकारात्मक रैखिक कार्यात्मक  देकर,  Riesz प्रतिनिधित्व प्रमेय  द्वारा परिभाषित किया जा सकता है $α$ अंतरिक्ष में $C_{0}(M)$  कॉम्पैक्ट समर्थन  निरंतर कार्यों पर $β$।अधिक सटीक रूप से, अगर $g$ एक (छद्म-) riemannian मीट्रिक टेंसर के साथ एक कई गुना है $M$, फिर एक अद्वितीय सकारात्मक बोरेल उपाय है $μ_{g}$ ऐसा कि किसी भी  समन्वय चार्ट  के लिए $(U, φ)$, $$\Lambda f = \int_U f \, d\mu_g = \int_{\varphi(U)} f \circ \varphi^{-1}(x) \sqrt{\left|\det g\right|}\,dx$$ सबके लिए $M$ में समर्थित है $ds$।यहां $det g$ समन्वय चार्ट में मीट्रिक टेंसर के घटकों द्वारा गठित मैट्रिक्स का निर्धारक है।उस $Λ$ समन्वय पड़ोस में समर्थित कार्यों पर अच्छी तरह से परिभाषित है, प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण  द्वारा उचित है।यह एक अद्वितीय सकारात्मक रैखिक कार्यात्मक तक फैली हुई है $C_{0}(M)$ एकता के एक विभाजन के माध्यम से।

यदि $M$ भी अभिविन्यास (गणित)  है, तो मीट्रिक टेंसर से एक प्राकृतिक मात्रा रूप को परिभाषित करना संभव है।एक दाएं हाथ के समन्वय प्रणाली में $(x^{1}, ..., x^{n})$ वॉल्यूम फॉर्म का प्रतिनिधित्व किया जाता है $$\omega = \sqrt{\left|\det g\right|} \, dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^n$$ जहां $dx^{i}$ समन्वय अंतर  हैं और $∧$ विभेदक रूपों के बीजगणित में  बाहरी उत्पाद  को दर्शाता है।वॉल्यूम फॉर्म भी कई गुना पर कार्यों को एकीकृत करने का एक तरीका देता है, और यह ज्यामितीय अभिन्न कैनोनिकल बोरेल माप द्वारा प्राप्त अभिन्न के साथ सहमत है।

यूक्लिडियन मीट्रिक
सबसे परिचित उदाहरण प्राथमिक यूक्लिडियन ज्यामिति  का है: द्वि-आयामी  यूक्लिडियन दूरी  मीट्रिक टेंसर।सामान्य रूप में $(x, y)$ निर्देशांक, हम लिख सकते हैं


 * $$g = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \,. $$

एक वक्र की लंबाई सूत्र में कम हो जाती है:


 * $$L = \int_a^b \sqrt{ (dx)^2 + (dy)^2} \,. $$

कुछ अन्य सामान्य समन्वय प्रणालियों में यूक्लिडियन मीट्रिक को निम्नानुसार लिखा जा सकता है।

धुवीय निर्देशांक $(r, θ)$:
 * $$\begin{align}

x &= r \cos\theta \\ y &= r \sin\theta \\ J &= \begin{bmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta\end{bmatrix} \,. \end{align}$$ इसलिए
 * $$g = J^\mathsf{T}J =

\begin{bmatrix} \cos^2\theta + \sin^2\theta                 & -r\sin\theta \cos\theta + r\sin\theta\cos\theta \\ -r\cos\theta\sin\theta + r\cos\theta\sin\theta & r^2 \sin^2\theta + r^2\cos^2\theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\   0 & r^2 \end{bmatrix} $$ त्रिकोणमितीय पहचान  द्वारा।

सामान्य तौर पर, एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में $x^{i}$ एक यूक्लिडियन स्थान पर, आंशिक डेरिवेटिव $∂ / ∂x^{i}$ यूक्लिडियन मीट्रिक के संबंध में रूढ़िवादी  हैं।इस प्रकार मीट्रिक टेंसर क्रोनकर डेल्टा हैij इस समन्वय प्रणाली में।मनमाना (संभवतः वक्रता) निर्देशांक के संबंध में मीट्रिक टेंसर $q^{i}$ द्वारा दिया गया है
 * $$g_{ij} =

\sum_{kl}\delta_{kl}\frac{\partial x^k}{\partial q^i} \frac{\partial x^l}{\partial q^j} = \sum_k\frac{\partial x^k}{\partial q^i}\frac{\partial x^k}{\partial q^j}. $$

एक क्षेत्र पर गोल मीट्रिक
में इकाई क्षेत्र $ℝ^{3}$ Metric_tensor#Indeded_metric में बताई गई प्रक्रिया के माध्यम से परिवेश यूक्लिडियन मीट्रिक से प्रेरित एक प्राकृतिक मीट्रिक से सुसज्जित है।मानक गोलाकार निर्देशांक में $(θ, φ)$, साथ $θ$ कोलाट्यूट, कोण से मापा जाता है $E$-एक्सिस, और $n$ से कोण $M$-एक्सिस में $n$-प्लेन, मीट्रिक फॉर्म लेता है


 * $$g = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \sin^2 \theta\end{bmatrix} \,.$$

यह आमतौर पर फॉर्म में लिखा जाता है


 * $$ds^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta\,d\varphi^2\,.$$

लोरेंट्ज़ियन मेट्रिक्स रिलेटिविटी से
समन्वय के साथ फ्लैट मिंकोव्स्की अंतरिक्ष ( विशेष सापेक्षता ) में
 * $$r^\mu \rightarrow \left(x^0, x^1, x^2, x^3\right) = (ct, x, y, z) \, ,$$

मीट्रिक, मीट्रिक हस्ताक्षर  की पसंद पर निर्भर करता है,
 * $$g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \quad \text{or} \quad g = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \,. $$

एक वक्र के साथ -उदाहरण के लिए - निरंतर समय समन्वय करें, इस मीट्रिक के साथ लंबाई का सूत्र सामान्य लंबाई के सूत्र को कम कर देता है।एक स्पेसटाइम अंतराल  वक्र के लिए, लंबाई का सूत्र वक्र के साथ  उचित समय  देता है।

इस मामले में, स्पेसटाइम अंतराल के रूप में लिखा गया है
 * $$ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 = dr^\mu dr_\mu = g_{\mu \nu} dr^\mu dr^\nu\,. $$

श्वार्ज़शिल्ड मीट्रिक एक गोलाकार सममित शरीर के आसपास स्पेसटाइम का वर्णन करता है, जैसे कि एक ग्रह, या एक  ब्लैक होल ।समन्वय के साथ
 * $$\left(x^0, x^1, x^2, x^3\right) = (ct, r, \theta, \varphi) \,,$$

हम मीट्रिक के रूप में लिख सकते हैं
 * $$g_{\mu\nu} =

\begin{bmatrix} \left(1 - \frac{2GM}{rc^2}\right) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\left(1 - \frac{2GM}{r c^2}\right)^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -r^2 \sin^2 \theta \end{bmatrix}\,, $$ कहां $Λ$ (मैट्रिक्स के अंदर) गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है और $M$ केंद्रीय वस्तु की कुल द्रव्यमान-ऊर्जा सामग्री का प्रतिनिधित्व करता है।

यह भी देखें

 * घुमावदार स्पेसटाइम के गणित का मूल परिचय
 * क्लिफोर्ड बीजगणित
 * फिन्सलर मैनिफोल्ड
 * समन्वय चार्ट की सूची
 * रिक्की कैलकुलस
 * टिसोट्स इंडिकेट्रिक्स, मीट्रिक टेंसर की कल्पना करने के लिए एक तकनीक

संदर्भ

 * translated by A. M. Hiltebeitel and J. C. Morehead; "Disquisitiones generales circa superficies curvas", Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores Vol. VI (1827), pp. 99–146.
 * (to appear).
 * translated by A. M. Hiltebeitel and J. C. Morehead; "Disquisitiones generales circa superficies curvas", Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores Vol. VI (1827), pp. 99–146.
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