विभेदक (गणित)

गणित में, विभेदक गणना के आरम्भिक दिनों से प्राप्त कई संबंधित धारणाओं को संदर्भित करता है, एक परिशुद्ध आधार पर रखें, जैसे कि अत्यणु विभेदक और फलानो के व्युत्पन्न को संदर्भित करता है।

इस शब्द का प्रयोग गणित की विभिन्न शाखाओं जैसे गणना, विभेदक ज्यामिति, बीजगणितीय ज्यामिति और बीजगणितीय सांस्थिति में किया जाता है।

परिचय
अवकलन शब्द का प्रयोग गणना में गैर-कठोर रूप से कुछ परिवर्ती मात्रा में एक अतिसूक्ष्म (असीम रूप से छोटा) परिवर्तन को संदर्भित करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि x एक चर है, तो x के मान में परिवर्तन को प्रायः Δx (उच्चारण डेल्टा x) कहा जाता है। विभेदक dx चर x में असीम रूप से छोटे परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। असीम रूप से छोटे या असीम रूप से धीमे परिवर्तन का विचार सहज रूप से अत्यंत उपयोगी है, और इस धारणा को गणितीय रूप से सटीक बनाने के कई प्रकार हैं।

गणना का उपयोग करके, व्युत्पन्न का उपयोग करके गणितीय रूप से विभिन्न चरों के असीम रूप से छोटे परिवर्तनों को एक दूसरे से संबंधित करना संभव है। यदि y, x का एक फलन है, तो y का विभेदक dy सूत्र द्वारा dx से संबंधित है $$dy = \frac{dy}{dx} \,dx,$$ कहाँ $$\frac{dy}{dx} \,$$x के संबंध में y के व्युत्पन्न को दर्शाता है। यह सूत्र सहज विचार को सारांशित करता है कि x के संबंध में y का व्युत्पन्न विभेदक Δy/Δx के अनुपात की सीमा है क्योंकि Δx अत्यल्प हो जाता है।

मूलभूत धारणाएं

 * गणना में, विभेदक किसी फलन के रैखिकीकरण में परिवर्तन को दर्शाता है।
 * कुल विभेदक कई चर के फलानो के लिए इसका सामान्यीकरण है।
 * गणना के पारंपरिक दृष्टिकोण में, विभेदक (जैसे dx, dy, dt, आदि) की व्याख्या अतिसूक्ष्म के रूप में की जाती है। अतिसूक्ष्म को परिशुद्ध से परिभाषित करने के कई प्रकार हैं, लेकिन यह कहना पर्याप्त है कि एक अपरिमेय संख्या किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्या की तुलना में निरपेक्ष मान में छोटी होती है, पूर्णतः वैसे ही जैसे एक असीम रूप से बड़ी संख्या किसी भी वास्तविक संख्या से बड़ी होती है।
 * विभेदक Rn से Rm तक एक फलन के आंशिक व्युत्पन्न के जैकबियन आव्यूह का दूसरा नाम है (विशेष रूप से जब इस आव्यूह को एक रैखिक मानचित्र के रूप में देखा जाता है)।
 * अधिक सामान्यतः, विभेदक या पुशफॉरवर्ड, सुचारू बहुरूपता और इसे परिभाषित पुशफॉरवर्ड संचालन के मध्य मानचित्र के व्युत्पन्न को संदर्भित करता है। पुलबैक की दोहरी अवधारणा को परिभाषित करने के लिए विभेदक का भी उपयोग किया जाता है।
 * प्रसंभाव्य गणना प्रसंभाव्य विभेदक की धारणा और प्रसंभाव्य प्रक्रियाओं के लिए संबंधित गणना प्रदान करता है।
 * स्टील्जे समाकल में समाकलक को एक फलन के विभेदक के रूप में दर्शाया गया है। औपचारिक रूप से, समाकल के अंतर्गत दिखाई देने वाला विभेदक यथार्थत: एक विभेदक के रूप में व्यवहार करता है: इस प्रकार, स्टेल्टजेस समाकल के लिए भागों के सूत्रों द्वारा प्रतिस्थापन और एकीकरण द्वारा एकीकरण, क्रमशः श्रृंखला नियम और विभेदक के लिए उत्पाद नियम के अनुरूप होता है।

इतिहास और उपयोग
गणना के विकास में अतिसूक्ष्म मात्रा ने महत्वपूर्ण भूमिका निभाई है। आर्किमिडीज ने उनका उपयोग किया, यद्यपि वह यह नहीं मानता था कि अतिसूक्ष्म से जुड़े तर्क कठोर थे। आइजैक न्यूटन ने उन्हें प्रवाह के रूप में संदर्भित किया। हालाँकि, यह गॉटफ्रीड लीबनिज थे जिन्होंने अतिसूक्ष्म मात्राओं के लिए विभेदक शब्द सृष्ट और उनके लिए संकेतन प्रस्तावित किया जो आज भी उपयोग किया जाता है।

लीबनिज के संकेतन में, यदि x एक चर मात्रा है, तो dx चर x में एक अतिसूक्ष्म परिवर्तन को दर्शाता है। इस प्रकार, यदि y, x का एक फलन है, तो x के संबंध में y के व्युत्पन्न को प्रायः dy/dx के रूप में निरूपित किया जाता है, जिसे अन्यथा (न्यूटन या लाग्रेंज के संकेतन में) ẏ या y के रूप में निरूपित किया जाएगा। इस रूप में विभेदक के उपयोग ने बहुत आलोचना को आकर्षित किया, उदाहरण के लिए बिशप बर्कले द्वारा प्रसिद्ध पैम्फलेट विश्लेषक में है। फिर भी, संकेतन लोकप्रिय बना हुआ है क्योंकि यह दृढ़ता से इस विचार का सुझाव देता है कि x पर y का व्युत्पन्न परिवर्तन की तात्कालिक दर है (लेखाचित्र की स्पर्श रेखा का ढलान), जो अनुपात Δy/Δx की सीमा लेकर प्राप्त किया जा सकता है क्योंकि Δx स्वेच्छतः छोटा हो जाता है। विभेदक भी आयामी विश्लेषण के साथ संगत होते हैं, जहां एक विभेदक जैसे dx के चर x के समान आयाम होते हैं।

17वीं शताब्दी CE के दौरान गणना गणित की एक अलग शाखा के रूप में विकसित हुआ, हालांकि प्राचीन काल में वापस जाने वाले पूर्ववर्ती थे। उदाहरण के लिए, न्यूटन, लीबनिज की प्रस्तुतियों को विभेदक, धाराप्रवाह और  असीम रूप से छोटे  जैसे शब्दों की गैर-कठोर परिभाषाओं द्वारा चिह्नित किया गया था। जबकि बिशप बर्कले के 1734 विश्लेषक में कई तर्क प्रकृति में धर्मशास्त्रीय हैं, आधुनिक गणितज्ञ विश्लेषक  आवांछित प्रतिबिम्ब के दिवंगत मात्रा  के प्रतिकूल उनके तर्क की वैधता को स्वीकार करते हैं; हालाँकि, आधुनिक दृष्टिकोणों में समान तकनीकी समस्याएँ नहीं हैं। कठोरता की कमी के बावजूद 17वीं और 18वीं शताब्दी में असीम प्रगति हुई।19वीं शताब्दी में, कॉची और अन्य ने धीरे-धीरे एप्सिलॉन, निरंतरता, सीमा और व्युत्पन्न के लिए डेल्टा दृष्टिकोण विकसित किया, जिससे कलन के लिए एक ठोस वैचारिक आधार मिला हैं।

20वीं शताब्दी में, कई नई अवधारणाएँ, जैसे, बहुभिन्नरूपी गणना, विभेदक ज्यामिति, पुराने शब्दों के आशय को समाहित करती प्रतीत हुईं, विशेष रूप से विभेदक; विभेदक और अतिसूक्ष्म दोनों का उपयोग नए, अधिक कठोर, अर्थों के साथ किया जाता है।

विभेदक का उपयोग अभिन्न के लिए संकेतन में भी किया जाता है क्योंकि एक समाकल को अनंत मात्रा के अनंत योग के रूप में माना जा सकता है: एक लेखाचित्र के अंतर्गत क्षेत्र लेखाचित्र को असीम रूप से पतली पट्टियों में उप-विभाजित करके और उनके क्षेत्रों का योग करके प्राप्त किया जाता है। एक अभिव्यक्ति में जैसे $$\int f(x) \,dx,$$ अभिन्न चिह्न (जो एक संशोधित लंबा s है) अनंत योग को दर्शाता है, f(x) एक पतली पट्टी की ऊंचाई को दर्शाता है, और विभेदक dx इसकी असीम रूप से पतली चौड़ाई को दर्शाता है।

दृष्टिकोण
गणितीय रूप से विभेदक की धारणा को सटीक बनाने के लिए कई दृष्टिकोण हैं। ये दृष्टिकोण एक-दूसरे से बहुत अलग हैं, लेकिन उनके पास मात्रात्मक होने का विचार सामान्य है, अर्थात् यह नहीं कह रहा है कि एक विभेदक असीम रूप से छोटा है, लेकिन यह कितना छोटा है।
 * 1) रेखीय मानचित्र के रूप में विभेदक। यह दृष्टिकोण विभेदक ज्यामिति में कुल व्युत्पन्न और बाहरी व्युत्पन्न की परिभाषा को रेखांकित करता है।
 * 2) क्रमविनिमेय वलयों के निलपोटेंट तत्वों के रूप में अवकलन है। यह दृष्टिकोण बीजगणितीय ज्यामिति में लोकप्रिय है।
 * 3) समुच्चय सिद्धांत के सुचारू प्रतिरूप में विभेदक है। इस दृष्टिकोण को संश्लिष्ट विभेदक ज्यामिति या सुचारू अत्यल्प विश्लेषण के रूप में जाना जाता है और यह बीजगणितीय ज्यामितीय दृष्टिकोण से निकटता से संबंधित है, अतिरिक्त इसके कि टोपोस सिद्धांत के विचारों का उपयोग उस तंत्र को छिपाने के लिए किया जाता है जिसके द्वारा निलपोटेंट अतिसूक्ष्म प्रस्तावित किए जाते हैं।
 * 4) अति वास्तविक संख्या पद्धति में अतिसूक्ष्म के रूप में विभेदक, जो वास्तविक संख्याओं के विस्तार होते हैं जिनमें प्रतिलोम अतिसूक्ष्म और असीम रूप से बड़ी संख्याएं होती हैं। यह अब्राहम रॉबिन्सन द्वारा प्रतिपादित अमानक विश्लेषण का दृष्टिकोण है।

रेखीय मानचित्र के रूप में विभेदक
भिन्नताओं की सटीक समझ बनाने का एक सरल प्रकार है, पहले वास्तविक रेखा पर उन्हें रैखिक मानचित्रों के रूप में उपयोग किया जाता है। इसका उपयोग $$\mathbb{R}$$, $$\mathbb{R}^n$$, एक  हिल्बर्ट समष्टि, एक बनच समष्टि, या अधिक सामान्यतः, एक सांस्थितिक सदिश समष्टि पर किया जा सकता है। वास्तविक रेखा के प्रकरण की व्याख्या करना सबसे आसान है। संदर्भ के आधार पर इस प्रकार के विभेदक को सहपरिवर्ती सदिश या कोटिस्पर्श सदिश के रूप में भी जाना जाता है।

R पर रैखिक मानचित्र के रूप में विभेदक
कल्पना करना $$f(x)$$ $$\mathbb{R}$$ पर एक वास्तविक मूल्यवान फलन है। हम चर $$x$$ को $$f(x)$$ में एक संख्या के बदले एक फलन के रूप में पुनर्व्याख्या कर सकते हैं, अर्थात् वास्तविक रेखा पर तत्समक मानचित्र, जो वास्तविक संख्या $$p$$ को अपने पास ले जाता है: $$x(p)=p$$। तब $$f(x)$$ $$x$$ के साथ $$f$$ का सम्मिश्र है, जिसका  $$p$$ पर मूल्य $$f(x(p))=f(p)$$ है। विभेदक $$\operatorname{d}f$$ (जो निश्चित रूप से $$f$$ पर निर्भर करता है) तब एक फलन है जिसका $$p$$ पर मान (प्रायः पर $$df_p$$) एक संख्या नहीं है, लेकिन $$\mathbb{R}$$ से $$\mathbb{R}$$ तक एक रेखीय मानचित्र है। क्योंकि $$\mathbb{R}$$ से $$\mathbb{R}$$ तक एक रेखीय मानचित्र $$1\times 1$$ आव्यूह द्वारा दिया जाता है, यह अनिवार्य रूप से एक संख्या के समान है, लेकिन दृष्टिकोण में परिवर्तन हमें $$df_p$$ को एक अतिसूक्ष्म के रूप में सोचने और मानक अत्यल्प $$dx_p$$ के साथ तुलना करने की अनुमति देता है, जो पुनः $$\mathbb{R}$$ से $$\mathbb{R}$$ तक केवल सर्वसमिका मानचित्र (प्रविष्टि $$1$$ के साथ $$1\times 1$$ आव्यूह) है। सर्वसमिका यह गुण है कि यदि $$\varepsilon$$ बहुत छोटा है, तो $$dx_p(\varepsilon)$$ बहुत छोटा है, जो हमें इसे अतिसूक्ष्म मानने में सक्षम बनाता है। विभेदक $$df_p$$में समान गुण होते हैं, क्योंकि यह $$dx_p$$ का एक गुणक है, और यह गुणक परिभाषा के अनुसार $$f'(p)$$ है। इसलिए हम इसे प्राप्त करते हैं कि $$df_p=f'(p)\,dx_p$$, और इसलिए $$df=f'\,dx$$ है। इस प्रकार हम इस विचार को पुनः प्राप्त करते हैं कि $$f'$$विभेदकों  $$df$$ और $$dx$$ का अनुपात है।

यह सिर्फ एक ट्रिक होगी यदि यह इस तथ्य के लिए नहीं है कि:
 * 1) यह $$p$$ पर $$f$$ के व्युत्पन्न के विचार को $$p$$ पर $$f$$ के लिए सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन के रूप में पकड़ता है;
 * 2) इसके कई सामान्यीकरण हैं।

Rn पर रेखीय मानचित्र के रूप में विभेदक
अगर $$f$$ $$\mathbb{R}^n$$से $$\mathbb{R}$$ तक एक फलन है, तो हम कहते हैं कि $$p\in\mathbb{R}^n$$पर $$f$$ अवकलनीय है यदि $$\mathbb{R}^n$$से $$\mathbb{R}$$ तक एक रेखीय मानचित्र $$df_p$$ है जैसे कि किसी भी $$\varepsilon>0$$ के लिए, $$p$$ का एक प्रतिवेश $$N$$ है जैसे कि $$x\in N$$, $$\left|f(x) - f(p) - df_p(x-p)\right| < \varepsilon \left|x-p\right| .$$ अब हम एक आयामी प्रकरण में उसी तरकीब का उपयोग कर सकते हैं और अभिव्यक्ति $$f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$$ को $$\mathbb{R}^n$$ मानक निर्देशांक $$x_1, x_2, \ldots, x_n$$ के साथ $$f$$ के सम्मिश्र के रूप में सोच सकते हैं (ताकि $$x_j(p)$$ $$p\in\mathbb{R}^n$$का $$j$$-वाँ घटक है )। फिर भेद $$\left(dx_1\right)_p, \left(dx_2\right)_p, \ldots, \left(dx_n\right)_p$$ एक बिंदु  $$p$$ पर $$\mathbb{R}^n$$ से $$\mathbb{R}$$ तक रैखिक मानचित्रों के सदिश समष्टि के लिए एक आधार बनाते हैं और इसलिए, यदि $$f$$ $$p$$ पर अवकलनीय है, तो हम $$\operatorname{d}f_p$$ लिख सकते हैं इन आधार तत्वों के रैखिक संयोजन के रूप में:$$df_p = \sum_{j=1}^n D_j f(p) \,(dx_j)_p.$$

गुणांक $$D_j f(p)$$ $$x_1, x_2, \ldots, x_n$$ के संबंध में $$p$$ पर $$f$$ के आंशिक व्युत्पन्न (परिभाषा के अनुसार) है। इसलिए, यदि $$f$$ सभी $$\mathbb{R}^n$$ पर अवकलनीय है, तो हम अधिक संक्षेप में लिख सकते हैं: $$\operatorname{d}f = \frac{\partial f}{\partial x_1} \,dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2} \,dx_2 + \cdots +\frac{\partial f}{\partial x_n} \,dx_n.$$ एक आयामी प्रकरण में $$df = \frac{df}{dx}dx$$ यह पहले जैसा हो जाता है।

यह विचार सीधी तरह से $$\mathbb{R}^n$$ से $$\mathbb{R}^m$$ तक के फलानो के लिए सामान्यीकरण करता है। इसके अलावा, व्युत्पन्न की अन्य परिभाषाओं पर इसका निर्णायक लाभ है कि यह निर्देशांक के परिवर्तन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय (गणित) है। इसका अर्थ यह है कि एक ही विचार का उपयोग सुचारू बहुरूपता के मध्य सुचारू मानचित्र के अंतर को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है।

एक तरफ: ध्यान दें कि $$x$$ पर $$f(x)$$ के सभी आंशिक व्युत्पन्न का अस्तित्व $$x$$ पर विभेदक के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक प्रतिबंध है। हालांकि यह पर्याप्त प्रतिबंध नहीं है। प्रतिउदाहरणों के लिए, गेटॉक्स व्युत्पन्न देखें।

सदिश समष्टि पर रेखीय मानचित्र के रूप में विभेदक
निरंतरता के बारे में उचित रूप से बात करने के लिए एक ही प्रक्रिया एक पर्याप्त अतिरिक्त संरचना के साथ सदिश समष्टि पर काम करती है। सबसे स्थूल प्रकरण एक हिल्बर्ट समष्टि है, जिसे पूर्ण आंतरिक समष्टि के रूप में भी जाना जाता है, जहां आंतरिक उत्पाद और उससे जुड़े मानदंड दूरी की उपयुक्त अवधारणा को परिभाषित करते हैं। यही प्रक्रिया एक बनच समष्टि के लिए काम करती है, जिसे पूर्ण नॉर्मड सदिश समष्टि के रूप में भी जाना जाता है। हालांकि, अधिक सामान्य सांस्थितिक सदिश समष्टि के लिए, कुछ विवरण अधिक अमूर्त हैं क्योंकि दूरी की कोई अवधारणा नहीं है।

परिमित आयाम के महत्वपूर्ण प्रकरण के लिए, कोई भी आंतरिक उत्पाद समष्टि एक हिल्बर्ट समष्टि है, कोई भी मानक सदिश समष्टि एक बैनाच समष्टि है और कोई भी सामयिक सदिश समष्टि पूर्ण है। नतीजतन, आप स्वेच्छाचारी आधार से एक समन्वय प्रणाली को परिभाषित कर सकते हैं और उसी तकनीक का उपयोग कर सकते हैं जो $$\mathbb{R}^n$$के लिए है।

फलानो के कीटाणुओं के रूप में विभेदक
यह दृष्टिकोण किसी भी विभेदक बहुरूपता पर काम करता है। अगर तब f p पर g के समतुल्य है, जिसे $$f \sim_p g$$ के रूप में दर्शाया गया है, यदि और केवल यदि कोई विवृत $$W \subseteq U \cap V$$ है जिसमें p ऐसा है कि W में प्रत्येक x के लिए $$f(x) = g(x)$$ है। p पर f का रोगाणु, जिसे $$[f]_p$$ निरूपित किया जाता है, p पर f के समतुल्य सभी वास्तविक सतत फलनों का समुच्चय है; य f p पर सुचारू है तब $$[f]_p$$ एक सुचारू रोगाणु है। अगर तब इससे पता चलता है कि p पर रोगाणु एक बीजगणित बनाते हैं।
 * 1) U और V विवृत समुच्चय हैं जिनमें p सम्मलित है
 * 2) $$f\colon U\to \mathbb{R}$$ निरंतर है
 * 3) $$g\colon V\to \mathbb{R}$$ निरंतर है
 * 1) $$U_1$$, $$U_2$$ $$V_1$$ और $$V_2$$ p विवृत समुच्चय हैं
 * 2) $$f_1\colon U_1\to \mathbb{R}$$, $$f_2\colon U_2\to \mathbb{R}$$, $$g_1\colon V_1\to \mathbb{R}$$ और $$g_2\colon V_2\to \mathbb{R}$$ सुचारू फलन हैं
 * 3) $$f_1 \sim_p g_1$$
 * 4) $$f_2 \sim_p g_2$$
 * 5) r एक वास्तविक संख्या है
 * 1) $$r*f_1 \sim_p r*g_1$$
 * 2) $$f_1+f_2\colon U_1 \cap U_2\to \mathbb{R} \sim_p g_1+g_2\colon V_1 \cap V_2\to \mathbb{R}$$
 * 3) $$f_1*f_2\colon U_1 \cap U_2\to \mathbb{R} \sim_p g_1*g_2\colon V_1 \cap V_2\to \mathbb{R}$$

आदर्श $$\mathcal{I}_p \mathcal{I}_p$$ के उत्पाद होने के लिए p और $$\mathcal{I}_p^2$$ पर लुप्त होने वाले सभी सुचारू कीटाणुओं का समुच्चय के रूप में $$\mathcal{I}_p$$ को परिभाषित करें। तब p पर एक विभेदक (p पर स्पर्शज्या सदिश) $$\mathcal{I}_p/\mathcal{I}_p^2$$ का एक अवयव होता है। p पर एक सुचारू फलन f का विभेदक, जिसे $$\mathrm d f_p$$ के रूप में दर्शाया गया है, $$[f-f(p)]_p/\mathcal{I}_p^2$$ है।

एक समान दृष्टिकोण एक स्वेच्छाचारी समन्वय पैच में व्युत्पन्न के संदर्भ में पहले क्रम के विभेदक तुल्यता को परिभाषित करना है। तब p पर f का विभेदक सभी फलानो का समुच्चय है जो p पर $$f-f(p)$$ के समतुल्य है।

बीजगणितीय ज्यामिति
बीजगणितीय ज्यामिति में, विभेदक और अन्य अतिसूक्ष्म धारणाओं को एक बहुत ही स्पष्ट प्रकार से नियंत्रित किया जाता है, यह स्वीकार करते हुए कि एक समष्टि के समन्वय वलय या संरचना शीफ ​​में शून्य तत्व सम्मलित हो सकते हैं। सबसे सरल उदाहरण दोहरी संख्या R[ε] का वलय है, जहां ε2 = 0 हैं।

यह एक बिंदु p पर ' R ' से 'R ' तक फलन f के व्युत्पन्न पर बीजगणित-ज्यामितीय दृष्टिकोण से प्रेरित हो सकता है। इसके लिए, पहले ध्यान दें कि f − f(p) R पर फलन के आदर्श Ip से संबंधित है जो p पर लुप्त हो जाता है। यदि व्युत्पन्न f p पर लुप्त हो जाता है, तो f − f(p) इस गुणजावली के वर्ग Ip2 से संबंधित है। इसलिए p पर f का व्युत्पन्न तुल्यता वर्ग [f − f(p)] द्वारा भागफल समष्टि Ip/Ip2 में ग्रहण किया जा सकता है, और f का 1-जेट (जो इसके मूल्य और इसके पहले व्युत्पन्न को कूटबद्ध करता है) सभी फलान सापेक्ष Ip2 के समष्टि में f का समतुल्य वर्ग है। बीजगणितीय ज्यामितिज्ञ इस तुल्यता वर्ग को बिंदु p के मोटे संस्करण के लिए f के प्रतिबंध के रूप में मानते हैं, जिसका समन्वय वलय R नहीं है (जो कि R सापेक्ष Ip पर फलन का भागफल समष्टि है) लेकिन R[ε] जो कि R सापेक्ष Ip2 पर फलन का भागफल समष्टि है। ऐसा स्थूल बिंदु एक योजना का एक सरल उदाहरण है।

बीजगणितीय ज्यामिति धारणाएं
बीजगणितीय ज्यामिति में विभेदक भी महत्वपूर्ण हैं, और कई महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं।
 * एबेलियन विभेदक का अर्थ सामान्यतः एक बीजगणितीय वक्र या रीमैन सतह पर विभेदक एक रूप होता है।
 * रीमैन सतहों के सिद्धांत में द्विघात विभेदक (जो एबेलियन विभेदक के वर्गों की तरह व्यवहार करते हैं) भी महत्वपूर्ण हैं।
 * काहलर अवकलन बीजगणितीय ज्यामिति में विभेदक की एक सामान्य धारणा प्रदान करते हैं।

संश्लिष्ट विभेदक ज्यामिति
अतिसूक्ष्म के लिए पाँचवाँ दृष्टिकोण संश्लिष्ट विभेदक ज्यामिति या सहज अतिसूक्ष्म विश्लेषण की विधि है। यह बीजगणितीय-ज्यामितीय दृष्टिकोण से निकटता से संबंधित है, अतिरिक्त इसके कि अतिसूक्ष्म अधिक निहित और सहज हैं। इस दृष्टिकोण का मुख्य विचार समुच्चय की श्रेणी को आसानी से अलग-अलग समुच्चयों की दूसरी श्रेणी (गणित) के साथ बदलना है जो एक टॉपोज़ है। इस श्रेणी में, कोई भी वास्तविक संख्या, सहज फलन आदि को परिभाषित कर सकता है, लेकिन वास्तविक संख्या में स्वचालित रूप से नीलपोटेंट अतिसूक्ष्म होते हैं, इसलिए इन्हें बीजगणितीय ज्यामितीय दृष्टिकोण के रूप में हाथ से प्रस्तावित करने की आवश्यकता नहीं है। हालांकि इस नई श्रेणी में तर्क समुच्चय की श्रेणी के परिचित तर्क के समान नहीं है: विशेष रूप से, बहिष्कृत मध्य का कानून पकड़ में नहीं आता है। इसका अर्थ यह है कि समुच्चय-सैद्धांतिक गणितीय तर्क केवल रचनात्मक होने पर ही असीम विश्लेषण तक विस्तारित होते हैं (उदाहरण के लिए, विरोधाभास द्वारा प्रमाण का उपयोग न करें)। कुछ इस नुकसान को एक धनात्मक पदार्थ के रूप में मानते हैं, क्योंकि यह किसी को भी रचनात्मक तर्क खोजने के लिए मजबूर करता है, जहां भी वे उपलब्ध हैं।

अमानक विश्लेषण
अतिसूक्ष्म के अंतिम दृष्टिकोण में फिर से वास्तविक संख्याओं का विस्तार करना सम्मलित है, लेकिन कम कठोर प्रकार से है। गैर-मानक विश्लेषण दृष्टिकोण में कोई निलपोटेंट अतिसूक्ष्म नहीं होते हैं, केवल प्रतिलोम होते हैं, जिन्हें असीम रूप से बड़ी संख्या के गुणात्मक व्युत्क्रम के रूप में देखा जा सकता है। वास्तविक संख्याओं के ऐसे विस्तार स्पष्ट रूप से वास्तविक संख्याओं के अनुक्रमों के तुल्यता वर्गों का उपयोग करके निर्मित किए जा सकते हैं, ताकि, उदाहरण के लिए, अनुक्रम (1, 1/2, 1/3, ..., 1/n, ...) एक अपरिमेय का प्रतिनिधित्व करता है। हाइपररियल संख्याओ के इस नए समुच्चय का प्रथम-क्रम तर्क सामान्य वास्तविक संख्याओं के तर्क के समान है, लेकिन पूर्णता स्वयंसिद्ध (जिसमें द्वितीय-क्रम तर्क सम्मलित है) पकड़ में नहीं आता है। फिर भी, यह अतिसूक्ष्म का उपयोग करके कलन के लिए एक प्रारंभिक और पूर्णतया सहज दृष्टिकोण विकसित करने के लिए पर्याप्त है, स्थानान्तरण सिद्धांत देखें।

विभेदक ज्यामिति
विभेदक की धारणा विभेदक ज्यामिति (और विभेदक सांस्थिति) में कई अवधारणाओं को प्रेरित करती है।
 * बहुरूपता के मध्य एक मानचित्र का विभेदक (पुशफॉरवर्ड)।
 * विभेदक रूप एक ऐसा रूपरेखा प्रदान करते हैं जो विभेदक के गुणन और विभेदन को समायोजित करते है।
 * बाहरी व्युत्पन्न अंतर रूपों के विभेदन की धारणा है जो किसी फलन को सामान्य करता है (जो कि अवकलन 1-रूप है)।
 * पुलबैक, विशेष रूप से, लक्ष्य बहुरूपता पर विभेदक रूप के साथ बहुरूपता के मध्य मानचित्र बनाने के लिए श्रृंखला नियम के लिए एक ज्यामितीय नाम है।
 * सहपरिवर्ती व्युत्पन्न या अवकलन सदिश क्षेत्रों और प्रदिश क्षेत्रों के बहुरूपता, या अधिक सामान्यतः, सदिश बंडल के वर्गों के विभेदन के लिए एक सामान्य धारणा प्रदान करते हैं: संबंधन सदिश बंडल देखें। यह अंततः एक संबंधन की सामान्य अवधारणा की ओर ले जाता है।

अन्य अर्थ
अनुरूपता बीजगणित और बीजगणितीय सांस्थिति में विभेदक शब्द को भी स्वीकृत किया गया है, क्योंकि डे रम कोहोलॉजी में बाहरी व्युत्पन्न भूमिका निभाता है: एक कोचेन कॉम्प्लेक्स $$(C_\bullet, d_\bullet)$$ में, मानचित्र (या सह-सीमा संचालक) di को प्रायः विभेदक कहा जाता है। दोहरे रूप से, एक श्रृंखला परिसर में सीमा संचालकों को कभी-कभी सहविभेदक कहा जाता है।

विभेदक के गुण एक व्युत्पत्ति और एक विभेदक बीजगणित की बीजगणितीय विचारों को भी प्रेरित करते हैं।

यह भी देखें

 * विभेदक समीकरण
 * विभेदक रूप
 * एक फलन का विभेदक