ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत

गणित में, ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत (या जीआईटी) बीजगणितीय ज्यामिति में समूह क्रियाओं (गणित) द्वारा भागफल के निर्माण की एक विधि है, जिसका उपयोग मॉड्यूलि रिक्त स्थान के निर्माण के लिए किया जाता है। इसे 1965 में डेविड मम्फोर्ड द्वारा उत्कृष्ट अपरिवर्तनीय सिद्धांत में पेपर के विचारों का उपयोग करके विकसित किया गया था।

ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत एक बीजगणितीय विविधता (या योजना (गणित)) $X$ पर समूह $G$ की कार्रवाई का अध्ययन करता है और उचित गुणों वाली एक योजना के रूप में $G$ द्वारा $X$ के 'भागफल' को बनाने के लिए तकनीक प्रदान करता है। एक प्रेरणा बीजगणितीय ज्यामिति में चिह्नित वस्तुओं को पैरामीट्रिज़ करने वाली योजनाओं के भागफल के रूप में मॉड्यूलि रिक्त स्थान का निर्माण करना था। 1970 और 1980 के दशक में सिद्धांत ने सिंपलेक्टिक ज्यामिति और समतुल्य टोपोलॉजी के साथ इंटरैक्शन विकसित किया, और इसका उपयोग एक पल (इंस्टेंटन) और मोनोपोल (गणित) जैसे अंतर ज्यामिति में वस्तुओं के मॉड्यूलि स्पेस के निर्माण के लिए किया गया था।

पृष्ठभूमि
अपरिवर्तनीय सिद्धांत एक बीजगणितीय विविधता (या एक योजना) $X$ पर समूह जी की समूह कार्रवाई से संबंधित है। शास्त्रीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत उस स्थिति को संबोधित करता है जब $X = V$ एक सदिश स्थान है और $G$ या तो एक परिमित समूह है, या शास्त्रीय झूठ समूहों में से एक है जो $V$ पर रैखिक रूप से कार्य करता है। यह क्रिया सूत्र द्वारा $V$ पर बहुपद फलनों $R(V)$  के स्थान पर $G$ की एक रैखिक क्रिया को प्रेरित करती है


 * $$ g\cdot f(v)=f(g^{-1}v), \quad g\in G, v\in V.$$

V पर G-क्रिया के बहुपद अपरिवर्तनीय (गणित), V पर वे बहुपद फलन f हैं जो समूह की कार्रवाई के कारण 'चरों के परिवर्तन' के तहत तय किए जाते हैं, ताकि जी में सभी G के लिए g · f = f हो। वे एक क्रमविनिमेय बीजगणित A = R(V)G बनाते हैं, और इस बीजगणित की व्याख्या 'अपरिवर्तनीय सिद्धांत 'जीआईटी भागफल' V // G पर कार्यों के बीजगणित के रूप में की जाती है क्योंकि इनमें से कोई भी कार्य समतुल्य सभी बिंदुओं के लिए समान मान देता है (अर्थात्, f (v) = f (gv) सभी के लिए g)। आधुनिक बीजगणितीय ज्यामिति की भाषा में,


 * $$ V/\!\!/G=\operatorname{Spec} A=\operatorname{Spec} R(V)^G.$$

इस विवरण से कई कठिनाइयाँ सामने आती हैं। सामान्य रैखिक समूह के मामले में हिल्बर्ट द्वारा सफलतापूर्वक निपटाया गया पहला प्रयास यह साबित करना है कि बीजगणित A अंतिम रूप से उत्पन्न होता है। यदि कोई चाहता है कि भागफल एक एफ़िन बीजगणितीय प्रकार हो तो यह आवश्यक है। क्या एक समान तथ्य मनमाने समूह जी के लिए लागू होता है, यह G हिल्बर्ट की चौदहवीं समस्या का विषय था, और जस्टिस नागाटा ने प्रदर्शित किया कि उत्तर सामान्य रूप से नकारात्मक था। दूसरी ओर, बीसवीं शताब्दी के पूर्वार्ध में प्रतिनिधित्व सिद्धांत के विकास के दौरान, समूहों के एक बड़े वर्ग की पहचान की गई जिसका उत्तर सकारात्मक है; इन्हें रिडक्टिव समूह कहा जाता है और इसमें सभी परिमित समूह और सभी शास्त्रीय समूह शामिल होते हैं।

बीजगणित $A$ की सीमित पीढ़ी $A$ के पूर्ण विवरण की दिशा में पहला कदम है, और इस अधिक नाजुक प्रश्न को हल करने में प्रगति मामूली थी। शास्त्रीय रूप से अपरिवर्तनीयों का वर्णन केवल स्थितियों की एक सीमित श्रेणी में किया गया था, और पहले कुछ मामलों से परे इस विवरण की जटिलता ने सामान्य रूप से अपरिवर्तनीयों के बीजगणित की पूरी समझ की बहुत कम उम्मीद की थी। इसके अलावा, ऐसा हो सकता है कि कोई भी बहुपद अपरिवर्तनीय $f$, $V$ में दिए गए बिंदु $u$ और $v$ के युग्म पर समान मान लेता है, फिर भी ये बिंदु G-क्रिया की विभिन्न कक्षाओं (समूह सिद्धांत) में हैं। एक सरल उदाहरण गैर-शून्य जटिल संख्याओं के गुणक समूह $C*$ द्वारा प्रदान किया जाता है जो अदिश गुणन द्वारा n-आयामी जटिल वेक्टर स्थान $Cn$ पर कार्य करता है। इस मामले में, प्रत्येक बहुपद अपरिवर्तनीय एक स्थिरांक है, लेकिन क्रिया की कई अलग-अलग कक्षाएँ हैं। शून्य वेक्टर स्वयं एक कक्षा बनाता है, और किसी भी गैर-शून्य वेक्टर के गैर-शून्य गुणक एक कक्षा बनाते हैं, ताकि गैर-शून्य कक्षाएँ जटिल प्रक्षेप्य स्थान $CPn–1$ के बिंदुओं द्वारा पैरामीट्रिज्ड हों। यदि ऐसा होता है (विभिन्न कक्षाओं में समान फ़ंक्शन मान होते हैं), तो कोई कहता है कि "अपरिवर्तनीय कक्षाओं को अलग नहीं करते हैं", और बीजगणित $A$ टोपोलॉजिकल भागफल स्थान $X / G$ को अपूर्ण रूप से प्रतिबिंबित करता है। दरअसल, बाद वाला स्थान, भागफल टोपोलॉजी के साथ, अक्सर गैर-पृथक (हॉसडॉर्फ़ स्थान) होता है। (यह हमारे उदाहरण में मामला है - शून्य कक्षा खुली नहीं है क्योंकि शून्य वेक्टर के किसी भी पड़ोस में अन्य सभी कक्षाओं में बिंदु होते हैं, इसलिए भागफल टोपोलॉजी में शून्य कक्षा के किसी भी पड़ोस में अन्य सभी कक्षाएँ होती हैं।) 1893 में हिल्बर्ट ने उन कक्षाओं को निर्धारित करने के लिए एक मानदंड तैयार किया और साबित किया जो अपरिवर्तनीय बहुपदों द्वारा शून्य कक्षा से अलग नहीं होते हैं। बल्कि उल्लेखनीय रूप से, अपरिवर्तनीय सिद्धांत में उनके पहले के काम के विपरीत, जिसके कारण अमूर्त बीजगणित का तेजी से विकास हुआ, हिल्बर्ट का यह परिणाम अगले 70 वर्षों तक बहुत कम ज्ञात रहा और बहुत कम उपयोग किया गया। बीसवीं शताब्दी के पूर्वार्ध में अपरिवर्तनीय सिद्धांत का अधिकांश विकास अपरिवर्तनीयों के साथ स्पष्ट गणनाओं से संबंधित था, और किसी भी दर पर, ज्यामिति के बजाय बीजगणित के तर्क का पालन किया गया था।

ममफोर्ड की किताब
ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत की स्थापना और विकास मम्फोर्ड द्वारा एक मोनोग्राफ में किया गया था, जो पहली बार 1965 में प्रकाशित हुआ था, जिसमें उन्नीसवीं सदी के अपरिवर्तनीय सिद्धांत के विचारों को लागू किया गया था, जिसमें डेविड हिल्बर्ट के कुछ परिणाम भी शामिल थे, आधुनिक बीजगणितीय ज्यामिति प्रश्नों के लिए। (फोगार्टी और ममफोर्ड द्वारा अतिरिक्त परिशिष्टों और किरवान द्वारा सिम्पलेक्टिक कोशिएंट्स पर एक अध्याय के साथ, पुस्तक को बाद के दो संस्करणों में काफी विस्तारित किया गया था।) पुस्तक उदाहरणों में उपलब्ध योजना सिद्धांत और कम्प्यूटेशनल तकनीकों दोनों का उपयोग करती है। उपयोग की गई अमूर्त सेटिंग एक योजना पर समूह कार्रवाई (गणित) की है $X$. एक कक्षा अंतरिक्ष का सरल-दिमाग वाला विचार


 * $$G \setminus X$$

यानी का भागफल स्थान (टोपोलॉजी)। $X$ समूह कार्रवाई से, बीजगणितीय ज्यामिति में कठिनाइयों का सामना करना पड़ता है, ऐसे कारणों से जो अमूर्त शब्दों में समझाने योग्य हैं। वास्तव में ऐसा कोई सामान्य कारण नहीं है कि तुल्यता संबंधों को (बल्कि कठोर) नियमित कार्यों (बहुपद कार्यों) के साथ अच्छी तरह से बातचीत करनी चाहिए, जो बीजगणितीय ज्यामिति के केंद्र में हैं। कक्षा स्थान पर कार्य $G \ X$ उन पर विचार किया जाना चाहिए $X$ जो कि क्रिया के अंतर्गत अपरिवर्तनीय (गणित) हैं $G$. विभिन्न प्रकार के बीजगणितीय प्रकार (अर्थात तर्कसंगत कार्यों) के कार्य क्षेत्र के माध्यम से प्रत्यक्ष दृष्टिकोण बनाया जा सकता है: भागफल विविधता के कार्य क्षेत्र के रूप में, उस पर जी-अपरिवर्तनीय | जी-अपरिवर्तनीय तर्कसंगत कार्यों को लें। दुर्भाग्य से यह - द्विवार्षिक ज्यामिति का दृष्टिकोण - केवल उत्तर का पहला अनुमान ही दे सकता है। जैसा कि ममफोर्ड ने पुस्तक की प्रस्तावना में कहा है: समस्या यह है कि परिणामी द्विवार्षिक वर्ग के सभी मॉडलों के सेट के भीतर, एक मॉडल होता है जिसके ज्यामितीय बिंदु किसी क्रिया में कक्षाओं के सेट को वर्गीकृत करते हैं, या सेट को वर्गीकृत करते हैं। कुछ मॉड्यूली समस्या में बीजगणितीय वस्तुएं।

अध्याय 5 में उन्होंने संबोधित विशिष्ट तकनीकी समस्या को काफी शास्त्रीय प्रकार की मॉड्यूली समस्या में अलग किया है - सभी बीजगणितीय किस्मों के बड़े 'सेट' को केवल बीजगणितीय वक्र # विलक्षणताएं | गैर-एकवचन (और ध्रुवीकरण पर एक अपेक्षित शर्त) के अधीन वर्गीकृत करें एक बीजगणितीय किस्म का)। मॉड्यूलि को पैरामीटर स्पेस का वर्णन करना चाहिए। उदाहरण के लिए, बीजगणितीय वक्रों के लिए रीमैन के समय से यह ज्ञात है कि आयामों के स्थान जुड़े होने चाहिए


 * $$0, 1, 3, 6, 9, \dots$$

जीनस के अनुसार (वक्र) $g = 0, 1, 2, 3, 4, …$, और मॉड्यूल प्रत्येक घटक पर कार्य हैं। मोटे मॉड्यूली समस्या में ममफोर्ड बाधाओं पर विचार करता है:


 * मोडुलि स्पेस पर गैर-पृथक टोपोलॉजी (यानी अच्छी स्थिति में पर्याप्त पैरामीटर नहीं)
 * असीम रूप से कई अघुलनशील घटक (जो टालने योग्य नहीं है, लेकिन स्थानीय परिमितता है पकड़ सकता है)
 * योजनाओं के रूप में प्रस्तुत करने योग्य होने में घटकों की विफलता, हालांकि टोपोलॉजिकल रूप से प्रतिनिधित्व करने योग्य।

यह तीसरा बिंदु है जिसने पूरे सिद्धांत को प्रेरित किया। जैसा कि ममफोर्ड कहते हैं, यदि पहली दो कठिनाइयों का समाधान हो जाता है <ब्लॉककोट>[तीसरा प्रश्न] अनिवार्य रूप से इस सवाल के बराबर हो जाता है कि क्या प्रोजेक्टिव समूह द्वारा हिल्बर्ट योजना या चाउ योजनाओं के कुछ स्थानीय रूप से बंद उपसमुच्चय का एक कक्षा स्थान मौजूद है।< /ब्लॉककोट>

इससे निपटने के लिए उन्होंने 'स्थिरता' की एक धारणा (वास्तव में तीन) पेश की। इसने उन्हें पहले के विश्वासघाती क्षेत्र को खोलने में सक्षम बनाया - विशेष रूप से फ्रांसिस सेवेरी द्वारा बहुत कुछ लिखा गया था, लेकिन साहित्य के तरीकों की सीमाएँ थीं। द्विवार्षिक दृष्टिकोण संहिताकरण  1 के सबसेट के बारे में लापरवाह हो सकता है। एक योजना के रूप में एक मॉड्यूलि स्पेस होना एक तरफ योजनाओं को प्रतिनिधित्व योग्य फ़ंक्शनल के रूप में चिह्नित करने के बारे में एक प्रश्न है (जैसा कि ग्रोथेंडिक स्कूल इसे देखेगा); लेकिन ज्यामितीय रूप से यह एक संघनन (गणित)गणित) प्रश्न की तरह है, जैसा कि स्थिरता मानदंड से पता चला है। गैर-एकवचन किस्मों पर प्रतिबंध किसी भी मायने में मॉड्यूलि स्पेस के रूप में एक सघन स्थान की ओर नहीं ले जाएगा: किस्में विलक्षणता वाले होने के लिए पतित हो सकती हैं। दूसरी ओर, जो बिंदु अत्यधिक एकवचन किस्मों के अनुरूप होंगे वे उत्तर में शामिल करने के लिए निश्चित रूप से बहुत 'खराब' हैं। स्वीकार किए जाने लायक स्थिर बिंदुओं का सही मध्य मार्ग, ममफोर्ड के काम से अलग कर दिया गया था। यह अवधारणा पूरी तरह से नई नहीं थी, क्योंकि इसके कुछ पहलू अन्य क्षेत्रों में जाने से पहले, अपरिवर्तनीय सिद्धांत पर डेविड हिल्बर्ट के अंतिम विचारों में पाए जाने थे।

पुस्तक की प्रस्तावना में हबौश प्रमेय का भी प्रतिपादन किया गया, जिसे बाद में विलियम हबौश ने सिद्ध किया।

स्थिरता
यदि एक रिडक्टिव ग्रुप $G$ एक वेक्टर स्पेस $V$ पर रैखिक रूप से कार्य करता है, तो $V$ का एक गैर-शून्य बिंदु कहा जाता है
 * अस्थिर यदि 0 अपनी कक्षा के समापन में है,
 * अर्ध-स्थिर यदि 0 अपनी कक्षा के समापन में नहीं है,
 * यदि इसकी कक्षा बंद है तो स्थिर है, और इसका स्टेबलाइजर परिमित है।

इन्हें बताने के समान तरीके हैं (इस मानदंड को हिल्बर्ट-ममफोर्ड मानदंड के रूप में जाना जाता है):
 * एक गैर-शून्य बिंदु $x$ अस्थिर है यदि और केवल यदि $G$ का 1-पैरामीटर उपसमूह है, जिसके $x$ के संबंध में सभी भार सकारात्मक हैं।
 * एक गैर-शून्य बिंदु $x$ अस्थिर है यदि और केवल तभी जब प्रत्येक अपरिवर्तनीय बहुपद का मान 0 और $x$ पर समान हो।
 * एक गैर-शून्य बिंदु $x$ अर्धस्थिर है यदि और केवल यदि $G$ का कोई 1-पैरामीटर उपसमूह नहीं है, जिसका $x$ के संबंध में सभी भार सकारात्मक है।
 * एक गैर-शून्य बिंदु $x$ अर्धस्थिर है यदि और केवल तभी जब कुछ अपरिवर्तनीय बहुपद में 0 और $x$ पर अलग-अलग मान हों।
 * एक गैर-शून्य बिंदु $x$ स्थिर है यदि और केवल तभी जब $G$ के प्रत्येक 1-पैरामीटर उपसमूह में $x$ के संबंध में सकारात्मक (और नकारात्मक) भार हो।
 * एक गैर-शून्य बिंदु $x$ तब स्थिर होता है जब और केवल तभी जब $x$ की कक्षा में नहीं होने वाले प्रत्येक $y$ के लिए कुछ अपरिवर्तनीय बहुपद होते हैं जिनके $y$ और $x$ पर अलग-अलग मान होते हैं, और अपरिवर्तनीय बहुपदों की वलय में पारगमन की डिग्री $dim(V) – dim(G)$ होती है।

$V$ के संगत प्रक्षेप्य स्थान के एक बिंदु को अस्थिर, अर्ध-स्थिर या स्थिर कहा जाता है यदि यह समान गुण वाले $V$ में एक बिंदु की छवि है।

"अस्थिर" "सेमीस्टेबल" ("स्थिर" नहीं) के विपरीत है। अस्थिर बिंदु प्रक्षेप्य स्थान का एक ज़ारिस्की बंद सेट बनाते हैं, जबकि सेमीस्टेबल और स्थिर बिंदु दोनों ज़ारिस्की खुले सेट (संभवतः खाली) बनाते हैं। ये परिभाषाएँ से हैं और ममफोर्ड की पुस्तक के पहले संस्करण के समकक्ष नहीं हैं।

कुछ समूह क्रिया द्वारा प्रक्षेप्य स्थान के कुछ उपसमूह के स्थिर बिंदुओं के स्थान के भागफल के रूप में कई मॉड्यूलि रिक्त स्थान का निर्माण किया जा सकता है। इन स्थानों को अक्सर अर्धस्थिर बिंदुओं के कुछ समतुल्य वर्गों को जोड़कर संकुचित किया जा सकता है। अलग-अलग स्थिर कक्षाएँ भागफल में अलग-अलग बिंदुओं के अनुरूप होती हैं, लेकिन दो अलग-अलग अर्धस्थिर कक्षाएँ भागफल में एक ही बिंदु के अनुरूप हो सकती हैं यदि उनके समापन एक दूसरे को काटते हैं। उदाहरण: एक स्थिर वक्र जीनस ≥2 का एक कम जुड़ा हुआ वक्र है, जैसे कि इसकी एकमात्र विलक्षणताएं सामान्य दोहरे बिंदु हैं और प्रत्येक गैर-एकवचन तर्कसंगत घटक कम से कम 3 बिंदुओं में अन्य घटकों से मिलता है। जीनस के स्थिर वक्रों का मॉड्यूलि स्थान $G$ वक्रों की हिल्बर्ट योजना के एक उपसमुच्चय का भागफल है $P5g–6$ हिल्बर्ट बहुपद के साथ $(6n – 1)(g – 1)$ समूह द्वारा $PGL5g–5$.

उदाहरण: एक वेक्टर बंडल $W$ एक बीजगणितीय वक्र पर (या रीमैन सतह पर) एक स्थिर वेक्टर बंडल है अगर और केवल अगर


 * $$\displaystyle\frac{\deg(V)}{\hbox{rank}(V)} < \frac{\deg(W)}{\hbox{rank}(W)}$$

सभी उचित गैर-शून्य उप-बंडलों के लिए $V$ का $W$ और अर्धस्थिर है यदि यह स्थिति < के साथ ≤ द्वारा प्रतिस्थापित हो जाती है।

के संगत प्रक्षेप्य स्थान का एक बिंदु $V$ यदि यह है तो इसे अस्थिर, अर्ध-स्थिर या स्थिर कहा जाता है में एक बिंदु की छवि $V$ समान संपत्ति के साथ। अस्थिर अर्धस्थिर (स्थिर नहीं) के विपरीत है। अस्थिर बिंदु प्रक्षेप्य स्थान का एक ज़ारिस्की बंद सेट बनाते हैं, जबकि सेमीस्टेबल और स्थिर बिंदु दोनों ज़ारिस्की खुले सेट (संभवतः खाली) बनाते हैं। ये परिभाषाएँ से हैं और ममफोर्ड की पुस्तक के पहले संस्करण के समकक्ष नहीं हैं।

कुछ समूह क्रिया द्वारा प्रक्षेप्य स्थान के कुछ उपसमूह के स्थिर बिंदुओं के स्थान के भागफल के रूप में कई मॉड्यूलि रिक्त स्थान का निर्माण किया जा सकता है। इन स्थानों को अक्सर अर्धस्थिर बिंदुओं के कुछ समतुल्य वर्गों को जोड़कर संकुचित किया जा सकता है। अलग-अलग स्थिर कक्षाएँ भागफल में अलग-अलग बिंदुओं के अनुरूप होती हैं, लेकिन दो अलग-अलग अर्धस्थिर कक्षाएँ भागफल में एक ही बिंदु के अनुरूप हो सकती हैं यदि उनके समापन एक दूसरे को काटते हैं। उदाहरण: एक स्थिर वक्र जीनस ≥2 का एक कम जुड़ा हुआ वक्र है, जैसे कि इसकी एकमात्र विलक्षणताएं सामान्य दोहरे बिंदु हैं और प्रत्येक गैर-एकवचन तर्कसंगत घटक कम से कम 3 बिंदुओं में अन्य घटकों से मिलता है। जीनस के स्थिर वक्रों का मॉड्यूलि स्थान $G$ वक्रों की हिल्बर्ट योजना के एक उपसमुच्चय का भागफल है $P5g–6$ हिल्बर्ट बहुपद के साथ $(6n – 1)(g – 1)$ समूह द्वारा $PGL5g–5$.

उदाहरण: एक वेक्टर बंडल $W$ एक बीजगणितीय वक्र पर (या रीमैन सतह पर) एक स्थिर वेक्टर बंडल है अगर और केवल अगर


 * $$\displaystyle\frac{\deg(V)}{\hbox{rank}(V)} < \frac{\deg(W)}{\hbox{rank}(W)}$$

सभी उचित गैर-शून्य उप-बंडलों के लिए $V$ का $W$ और अर्धस्थिर है यदि यह स्थिति < के साथ ≤ द्वारा प्रतिस्थापित हो जाती है।

यह भी देखें

 * जीआईटी भागफल
 * ज्यामितीय जटिलता सिद्धांत
 * ज्यामितीय भागफल
 * श्रेणीबद्ध भागफल
 * परिमाणीकरण कमी के साथ चलता है
 * K-स्थिरता
 * फ़ानो किस्मों की K-स्थिरता
 * ब्रिजलैंड स्थिरता की स्थिति
 * स्थिरता (बीजगणितीय ज्यामिति)

संदर्भ

 * किरवान, फ़्रांसिस, सिम्प्लेक्टिक और बीजगणितीय ज्यामिति में भागफल की सहसंरचना। गणितीय नोट्स, 31. प्रिंसटन यूनिवर्सिटी प्रेस, प्रिंसटन, एनजे, 1984. i+211 pp. ISBN 0-691-08370-3
 * क्राफ्ट, हैन्सपीटर, जियोमेट्रिशे मेथडेन इन डेर इनवेरियंटेंथियोरी। (जर्मन) (अपरिवर्तनीय सिद्धांत में ज्यामितीय विधियाँ) गणित के पहलू, डी1। फ्राइडर. व्यूएग और सोहन, ब्राउनश्वेग, 1984. x+308 pp. ISBN 3-528-08525-8
 * (1st ed 1965); (2nd ed)
 * वी. एल. पोपोव, ई. बी. विनबर्ग, बीजगणितीय ज्यामिति में अपरिवर्तनीय सिद्धांत। IV.गणितीय विज्ञान का विश्वकोश, 55 (1989 रूसी संस्करण से अनुवादित) स्प्रिंगर-वेरलाग, बर्लिन, 1994. vi+284 pp. ISBN 3-540-54682-0
 * (1st ed 1965); (2nd ed)
 * वी. एल. पोपोव, ई. बी. विनबर्ग, बीजगणितीय ज्यामिति में अपरिवर्तनीय सिद्धांत। IV.गणितीय विज्ञान का विश्वकोश, 55 (1989 रूसी संस्करण से अनुवादित) स्प्रिंगर-वेरलाग, बर्लिन, 1994. vi+284 pp. ISBN 3-540-54682-0
 * वी. एल. पोपोव, ई. बी. विनबर्ग, बीजगणितीय ज्यामिति में अपरिवर्तनीय सिद्धांत। IV.गणितीय विज्ञान का विश्वकोश, 55 (1989 रूसी संस्करण से अनुवादित) स्प्रिंगर-वेरलाग, बर्लिन, 1994. vi+284 pp. ISBN 3-540-54682-0