ऋणात्मक बहुपद वितरण

संभाव्यता सिद्धांत और आंकड़ों में, नकारात्मक बहुपद वितरण नकारात्मक द्विपद वितरण (एनबी(x) का एक सामान्यीकरण है0, p)) दो से अधिक परिणामों के लिए। अविभाज्य नकारात्मक द्विपद वितरण के साथ, यदि पैरामीटर $$x_0$$ एक सकारात्मक पूर्णांक है, नकारात्मक बहुपद वितरण में एक कलश मॉडल व्याख्या है। मान लीजिए कि हमारे पास एक प्रयोग है जो m+1≥2 संभावित परिणाम उत्पन्न करता है, {X0,...,एक्सm}, प्रत्येक गैर-नकारात्मक संभावनाओं के साथ घटित होता है {पी0,...,पीm} क्रमश। यदि नमूनाकरण n अवलोकन किए जाने तक जारी रहा, तो {X0,...,एक्सm} बहुपद वितरण होता। हालाँकि, यदि एक्स एक बार प्रयोग बंद कर दिया जाता है0 पूर्व निर्धारित मान x तक पहुँच जाता है0 (मानते हुए x0 एक धनात्मक पूर्णांक है), तो m-tuple {X का वितरण1,...,एक्सm} ऋणात्मक बहुपद है। ये चर बहुपद रूप से वितरित नहीं हैं क्योंकि उनका योग X है1+...+एक्सm ऋणात्मक द्विपद वितरण से उत्पन्न होने के कारण स्थिर नहीं है।

सीमांत वितरण
यदि m-आयामी 'x' को निम्नानुसार विभाजित किया गया है $$ \mathbf{X} = \begin{bmatrix} \mathbf{X}^{(1)} \\ \mathbf{X}^{(2)} \end{bmatrix}

\text{ with sizes }\begin{bmatrix} n \times 1 \\ (m-n) \times 1 \end{bmatrix}$$ और तदनुसार $$\boldsymbol{p}$$ $$ \boldsymbol p = \begin{bmatrix} \boldsymbol p^{(1)} \\ \boldsymbol p^{(2)} \end{bmatrix} \text{ with sizes }\begin{bmatrix} n \times 1 \\ (m-n) \times 1 \end{bmatrix}$$ और जाने $$q = 1-\sum_i p_i^{(2)} = p_0+\sum_i p_i^{(1)}$$ का सीमांत वितरण $$\boldsymbol X^{(1)}$$ है $$\mathrm{NM}(x_0,p_0/q, \boldsymbol p^{(1)}/q )$$. अर्थात् सीमांत वितरण के साथ ऋणात्मक बहुपद भी है $$\boldsymbol p^{(2)}$$ हटा दिया गया है और शेष पी को ठीक से स्केल किया गया है ताकि एक में जोड़ा जा सके।

अविभाज्य सीमांत $$m=1$$ ऐसा कहा जाता है कि इसका द्विपद वितरण ऋणात्मक है।

सशर्त वितरण
का सशर्त_संभावना_वितरण $$\mathbf{X}^{(1)}$$ दिया गया $$\mathbf{X}^{(2)}=\mathbf{x}^{(2)}$$ है $\mathrm{NM}(x_0+\sum{x_i^{(2)}},\mathbf{p}^{(1)}) $. वह है, $$ \Pr(\mathbf{x}^{(1)}\mid \mathbf{x}^{(2)}, x_0, \mathbf{p} )= \Gamma\!\left(\sum_{i=0}^m{x_i}\right)\frac{(1-\sum_{i=1}^n{p_i^{(1)}})^{x_0+\sum_{i=1}^{m-n}x_i^{(2)}}}{\Gamma(x_0+\sum_{i=1}^{m-n}x_i^{(2)})}\prod_{i=1}^n{\frac{(p_i^{(1)})^{x_i}}{(x_i^{(1)})!}}. $$

स्वतंत्र योग
अगर $$\mathbf{X}_1 \sim \mathrm{NM}(r_1, \mathbf{p})$$ और अगर $$\mathbf{X}_2 \sim \mathrm{NM}(r_2, \mathbf{p})$$ तो स्वतंत्रता (संभावना सिद्धांत) हैं $$\mathbf{X}_1+\mathbf{X}_2 \sim \mathrm{NM}(r_1+r_2, \mathbf{p})$$. इसी तरह और इसके विपरीत, विशेषता फ़ंक्शन से यह देखना आसान है कि नकारात्मक बहुपद अनंत विभाज्यता (संभावना) है।

एकत्रीकरण
अगर $$\mathbf{X} = (X_1, \ldots, X_m)\sim\operatorname{NM}(x_0, (p_1,\ldots,p_m))$$ फिर, यदि सबस्क्रिप्ट i और j वाले यादृच्छिक चर को वेक्टर से हटा दिया जाता है और उनके योग से प्रतिस्थापित कर दिया जाता है, $$\mathbf{X}' = (X_1, \ldots, X_i + X_j, \ldots, X_m)\sim\operatorname{NM} (x_0, (p_1, \ldots, p_i + p_j, \ldots, p_m)).$$ इस एकत्रीकरण संपत्ति का उपयोग सीमांत वितरण प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है $$X_i$$ उपर्युक्त।

सहसंबंध मैट्रिक्स
सहसंबंध मैट्रिक्स#सहसंबंध मैट्रिक्स की प्रविष्टियाँ हैं $$\rho(X_i,X_i) = 1.$$ $$\rho(X_i,X_j) = \frac{\operatorname{cov}(X_i,X_j)}{\sqrt{\operatorname{var}(X_i)\operatorname{var}(X_j)}} = \sqrt{\frac{p_i p_j}{(p_0+p_i)(p_0+p_j)}}.$$

क्षणों की विधि
यदि हम ऋणात्मक बहुपद का माध्य सदिश होने दें $$\boldsymbol{\mu}=\frac{x_0}{p_0}\mathbf{p}$$ और सहप्रसरण मैट्रिक्स $$\boldsymbol{\Sigma}=\tfrac{x_0}{p_0^2}\,\mathbf{p}\mathbf{p}' + \tfrac{x_0}{p_0}\,\operatorname{diag}(\mathbf{p}),$$ फिर निर्धारकों के गुणों के माध्यम से यह दिखाना आसान है $ |\boldsymbol{\Sigma}| = \frac{1}{p_0}\prod_{i=1}^m{\mu_i}$. इससे तो यही पता चलता है $$x_0=\frac{\sum{\mu_i}\prod{\mu_i}}{|\boldsymbol{\Sigma}|-\prod{\mu_i}}$$ और $$ \mathbf{p}= \frac{|\boldsymbol{\Sigma}|-\prod{\mu_i}}{|\boldsymbol{\Sigma}|\sum{\mu_i}}\boldsymbol{\mu}. $$ नमूना क्षणों को प्रतिस्थापित करने से क्षणों (सांख्यिकी) अनुमान की विधि प्राप्त होती है $$\hat{x}_0=\frac{(\sum_{i=1}^{m}{\bar{x_i})}\prod_{i=1}^{m}{\bar{x_i}}}{|\mathbf{S}|-\prod_{i=1}^{m}{\bar{x_i}}}$$ और $$ \hat{\mathbf{p}}=\left(\frac{|\boldsymbol{S}|-\prod_{i=1}^{m}{\bar{x}_i}}{|\boldsymbol{S}|\sum_{i=1}^{m}{\bar{x}_i}}\right)\boldsymbol{\bar{x}} $$

संबंधित वितरण

 * नकारात्मक द्विपद वितरण
 * बहुपद वितरण
 * उलटा डिरिक्लेट वितरण, नकारात्मक बहुपद के लिए एक संयुग्म पूर्व
 * डिरिचलेट नकारात्मक बहुपद वितरण

संदर्भ
Waller LA and Zelterman D. (1997). Log-linear modeling with the negative multi- nomial distribution. Biometrics 53: 971–82.