अतिपरवलयकार ज्यामिति



गणित में, अतिपरवलयिक ज्यामिति (जिसे लोबचेवस्कियन ज्यामिति या जानोस बोल्याई-निकोलाई लोबचेव्स्की ज्यामिति भी कहा जाता है) गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति है। यूक्लिडियन ज्यामिति के समानांतर सिद्धांत को इसके साथ बदल दिया गया है:

किसी भी दी गयी रेखा R और बिंदु P के लिए,जो R पर नहीं है, रेखा R और बिंदु P दोनों वाले समतल में Pसे होकर जाने वाली कम से कम दो अलग-अलग रेखाएं हैं जो R  को नहीं काटती है।

(उपरोक्त की तुलना प्लेफेयर की स्वयंसिद्ध से करें, जो यूक्लिड की समानांतर अभिधारणा का आधुनिक संस्करण है।)

अतिपरवलयकार समतल ज्यामिति भी छद्ममंडल सतहों की ज्यामिति है, निरंतर नकारात्मक गॉसियन वक्रता वाली सतहें। सैडल सतहों में कम से कम कुछ क्षेत्रों में नकारात्मक गॉसियन वक्रता होती है, जहां वे स्थानीय रूप से अतिपरवलय समतल के समान होती है।

अतिपरवलयकार ज्यामिति का आधुनिक उपयोग विशेष सापेक्षता के सिद्धांत में है, विशेष रूप से मिन्कोव्स्की मॉडल में है।

जब जियोमीटर को पहली बार एहसास हुआ कि वे मानक यूक्लिडियन ज्यामिति के अतिरिक्त किसी अन्य चीज़ के साथ काम कर रहे हैं, तो उन्होंने अपनी ज्यामिति को कई अलग-अलग नामों से वर्णित किया; फेलिक्स क्लेन ने अंततः इस विषय को अतिपरवलयिक ज्यामिति नाम दिया जिससे अब शायद ही इसे कभी इस्तेमाल किए जाने वाले अनुक्रम अण्डाकार ज्यामिति (गोलाकार ज्यामिति), परवलयिक ज्यामिति (यूक्लिडियन ज्यामिति), और अतिपरवलयकार ज्यामिति में सम्मिलित किया जा सके।

सोवियत संघ में, इसे सामान्य तौर पर लोबाचेवस्कियन ज्यामिति कहा जाता है, जिसका नाम इसके एक खोजकर्ता,रूसी भूगर्भशास्त्री निकोलाई लोबचेव्स्की के नाम पर रखा गया है।

यह पृष्ठ मुख्य रूप से द्वि-आयामी (तलीय) अतिपरवलयिक ज्यामिति और यूक्लिडियन और अतिपरवलयिक ज्यामिति के बीच अंतर और समानता के बारे में है।अतिपरवलयकार ज्यामिति के बारे में अत्यधिक जानकारी के लिए अतिपरवलयिक स्पेस को तीन या अधिक आयामों तक विस्तारित रूप से देखते हैं।

यूक्लिडियन ज्यामिति से संबंध
अतिपरवलयकार ज्यामिति यूक्लिडियन ज्यामिति से अत्यधिक निकटता से संबंधित है जितना लगता है: केवल स्वयंसिद्ध अंतर समानांतर सिद्धांत है। जब यूक्लिडियन ज्यामिति से समानांतर अभिधारणा को हटा दिया जाता है तो परिणामी ज्यामिति पूर्ण ज्यामिति होती है। पूर्ण ज्यामिति दो प्रकार की होती है, यूक्लिडियन और अतिपरवलय। यूक्लिड के तत्वों में से एक पुस्तक के पहले 28 प्रस्तावों सहित पूर्ण ज्यामिति के सभी प्रमेय, यूक्लिडियन और अतिपरवलयकार ज्यामिति में मान्य हैं।

यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक के प्रस्ताव 27 और 28 समानांतर/गैर-प्रतिच्छेदी रेखाओं के अस्तित्व को सिद्ध करते हैं।

इस अंतर के कई परिणाम हैं: अवधारणाएं जो यूक्लिडियन ज्यामिति में समतुल्य हैं, ज्यामिति में समतुल्य नहीं हैं; नई अवधारणाओं को उपस्थित करने की जरूरत है।

इसके अतिरिक्त, समांतरता के कोण के कारण, ज्यामिति का एक निरपेक्ष पैमाना होता है,जो दूरी और कोण माप के बीच का संबंध होता है।

रेखाएँ
अतिपरवलयिक ज्यामिति में एकल रेखाओं के ठीक वही गुण होते हैं जो यूक्लिडियन ज्यामिति में एकल सीधी रेखाओं के होते हैं। उदाहरण के लिए, दो बिंदु विशिष्ट रूप से एक रेखा को परिभाषित करते हैं, और रेखा खंडों को अनंत रूप से बढ़ाया जा सकता है।

यूक्लिडियन ज्यामिति में दो अन्तर्विभाजक रेखाओं के समान गुण होते हैं। उदाहरण के लिए, दो अलग-अलग रेखाएँ एक बिंदु से अत्यधिक प्रतिच्छेद नहीं कर सकती हैं, प्रतिच्छेद करने वाली रेखाएँ समान विपरीत कोण बनाती हैं, और प्रतिच्छेदी रेखाओं के आसन्न कोण पूरक होते हैं।

जब तीसरी रेखा प्रस्तुत की जाती है, तब प्रतिच्छेदी रेखाओं के गुण यूक्लिडियन ज्यामिति में प्रतिच्छेदी रेखाओं से भिन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, दी हुई दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ अपरिमित रूप से अनेक रेखाएँ हैं जो दी गई किसी भी रेखा को नहीं काटती हैं।

ये गुण उपयोग किए गए तल के नमूना से स्वतंत्र हैं, भले ही रेखाएँ मौलिक रूप से भिन्न दिखते हैं।

गैर-प्रतिच्छेदी/समानांतर रेखाएँ
ज्यामिति में गैर-अंतर्विभाजक रेखाओं में भी ऐसे गुण होते हैं जो यूक्लिडियन ज्यामिति में गैर-प्रतिच्छेदी रेखाओं से भिन्न होते हैं:


 * किसी भी रेखा R और किसी भी बिंदु P के लिए, जो R पर स्थित नहीं है, रेखा R और बिंदु P वाले समतल में, P से होकर जाने वाली दो अलग-अलग रेखाएँ हैं जो R को नहीं काटती हैं।

इसका तात्पर्य यह है कि P से होकर अनंत संख्या में समतलीय रेखाएँ हैं जो R को नहीं काटती हैं।

इन गैर-प्रतिच्छेदी रेखाओं को दो वर्गों में बांटा गया है: सीमांत समांतर PB के साथ θ कोण बनाते हैं; यह कोण केवल समतल की गॉसियन वक्रता और दूरी PB पर निर्भर करता है इसे समांतरता का कोण कहा जाता है।
 * दो रेखाएँ (आरेख में x और y) सीमांत समानांतर हैं (गंभीर रूप से समानांतर, होरोपैरेलल या सिर्फ समानांतर कहा जाता है): R के सिरों पर आदर्श बिंदु की दिशा में है, असम्बद्ध रूप से R के निकट आ रहा है, लेकिन कभी नहीं मिल रहा है।
 * अन्य सभी गैर-प्रतिच्छेदी रेखाओं में न्यूनतम दूरी का बिंदु होता है और उस बिंदु के दोनों ओर से विचलन होता है, इसे अतिसमानांतर कहा जाता है,जो समानांतर या गैर-प्रतिच्छेदन कहा जाता है।
 * जियोमीटर केवल समानांतर रेखाओं को सीमित करने के लिए वाक्यांश समानांतर रेखाओं का उपयोग करते हैं,अति समानांतर रेखाओं का अर्थ केवल गैर-अन्तर्विभाजक होता है।

अति सामानांतर रेखाओं के लिए, अतिसमानान्तर प्रमेय बताता है कि अतिपरवलय समतल में एक रेखा होती है जो अतिसमानान्तर रेखाओं के प्रत्येक जोड़े के लिए लंबवत होती है।

मंडलियां और डिस्क
ज्यामिति में, त्रिज्या r के एक वृत्त की परिधि से ज्यादा होती है $$ 2 \pi r $$.

$$ R = \frac{1}{\sqrt{-K}}  $$, जहाँ  $$ K $$ समतल  की गॉसियन वक्रता है। ज्यामिति में, $$K$$ ऋणात्मक है, इसलिए वर्गमूल धनात्मक संख्या का है।

त्रिज्या r के एक वृत्त की परिधि इसके बराबर है:


 * $$2\pi R \sinh \frac{r}{R} \,.$$
 * संलग्न डिस्क का क्षेत्रफल है:


 * $$4\pi R^2 \sinh^2 \frac{r}{2R} = 2\pi R^2 \left(\cosh \frac{r}{R} - 1\right) \,.$$

इसलिए, अतिपरवलयिक ज्यामिति में किसी वृत्त की परिधि का उसकी त्रिज्या से अनुपात हमेशा अधिक होता है $$ 2\pi $$, चूंकि इस वृत्त का चयन करके इच्छानुकूल तरीके से बंद किया जा सकता है।

यदि समतल की गॉसियन वक्रता -1 है तो त्रिज्या r के वृत्त की भूगणितीय वक्रता है: $$ \frac{1}{\tanh(r)} $$

हाइपरसाइकिल और हॉरोसाइकल


ज्यामिति में, ऐसी कोई रेखा नहीं होती जिसके सभी बिंदु दूसरी रेखा से समदूरस्थ हों। इसके विपरीत, वे बिंदु जिनके पास दी गई रेखा से समान ऑर्थोगोनल दूरी होती है, हाइपरचक्र (अतिपरवलयिक ज्यामिति ) नामक वक्र पर स्थित होते हैं।

विशेष वक्र कुंडली है, वक्र जिसकी सामान्य (ज्यामिति) त्रिज्या (लम्बवत् रेखाएँ) एक दूसरे के समानांतर सीमित होती हैं (सभी असम्बद्ध रूप से एक ही आदर्श बिंदु, कुंडली के केंद्र के दिशा में अभिसरित होती हैं)।

प्रत्येक जोड़ी बिंदुओं के माध्यम से दो कुंडली होती है। कुंडली के केंद्र उनके बीच रेखा-खंड के लंबवत द्विभाजक के आदर्श बिंदु हैं।

किसी भी तीन अलग-अलग बिंदुओं को देखते हुए, वे सभी रेखा, हाइपरचक्र (अतिपरवलयिक ज्यामिति), कुंडली या वृत्त पर स्थित होते हैं।

रेखाखंड की लंबाई दो बिंदुओं के बीच की सबसे छोटी लंबाई है। दो बिंदुओं को जोड़ने वाले हाइपरचक्र की चाप-लंबाई रेखा खंड की तुलना में लंबी होती है और समान दो बिंदुओं को जोड़ने वाली कुंडली की तुलना में छोटी होती है। दो बिंदुओं को जोड़ने वाली दोनों कुंडली की चाप की लम्बाई बराबर होती है। दो बिंदुओं के बीच वृत्त की चाप-लंबाई दो बिंदुओं को जोड़ने वाली कुंडली की चाप-लंबाई से बड़ी होती है।

यदि समतल की गॉसियन वक्रता -1 है तो कुंडली की भूगणितीय वक्रता 1 होती है और अतिचक्र की वक्रता 0 और 1 के बीच होती है।

त्रिकोण
यूक्लिडियन त्रिभुजों के विपरीत, जहां कोण हमेशा π कांति (180°, एक सीधा कोण) तक जुड़ते हैं, अतिपरवलयिक ज्यामिति में अतिपरवलयिक त्रिभुज के कोणों का योग हमेशा π रेडियन (180°, एक सीधा कोण) से कम होता है। अंतर को कोणीय दोष कहा जाता है।

अतिपरवलयिक त्रिभुज का क्षेत्रफल रेडियन गुणकों में R2 द्वारा दिया जाता है। परिणामस्वरूप,अतिपरवलयिक त्रिभुजों का क्षेत्रफल R2π से कम या बराबर होता है। अतिपरवलयिक आदर्श त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसमे तीनों कोण 0०के बराबर है।  

यूक्लिडियन ज्यामिति के प्रत्येक अतिपरवलयिक त्रिभुज में एक अंतःवृत्त होता है। अतिपरवलयिक ज्यामिति में, यदि सभी तीन कोने एक कुंडली या हाइपरचक्र (अतिपरवलयिक ज्यामिति) पर स्थित होते हैं, तो त्रिभुज में कोई परिबद्ध वृत्त नहीं होता है।

गोलाकार ज्यामिति और अण्डाकार ज्यामिति की तरह, अतिपरवलयिक ज्यामिति में यदि दो त्रिभुज समान हैं, तो उन्हें सर्वांगसम होना चाहिए।

नियमित एपिरोगोन


ज्यामिति में एक विशेष बहुभुज नियमित एपिरोगोन है, एक समान बहुभुज जिसमें अनंत संख्या में भुजाएँ होती हैं।

यूक्लिडियन ज्यामिति में, इस तरह के बहुभुज के निर्माण का एकमात्र तरीका यह है कि भुजाओं की लंबाई शून्य हो जाए और एपिरोगोन एक वृत्त से अप्रभेद्य हो, या आंतरिक कोणों को 180 डिग्री तक बढ़ा दिया जाता है और एपिरोगोन एक सीधी रेखा तक पहुंच जाता है।

चूंकि, ज्यामिति में नियमित एपिरोगोन किसी भी लम्बाई के पक्ष होते हैं (यानी, यह एक बहुभुज बना रहता है)।

भुजा और कोण का द्विभाजन, भुजा की लंबाई और भुजाओं के बीच के कोण के आधार पर, समानांतर को सीमित या अलग करना होगा (रेखाएं देखें )। यदि समद्विभाजक समानांतर को सीमित कर रहे हैं तो एपिरोगोन को संकेंद्रित होरोसाइकल द्वारा अंकित और परिचालित किया जा सकता है।

यदि समद्विभाजक समानांतर विचलन कर रहे हैं तो स्यूडोगोन (एपिरोगोन से स्पष्ट रूप से भिन्न) को हाइपरचक्र (ज्यामिति) में अंकित किया जा सकता है (सभी कोने एक रेखा की दूरी, अक्ष, पार्श्व खंडों के मध्य बिंदु सभी एक ही अक्ष के समतुल्य हैं। )

टेसेलेशन्स
यूक्लिडियन समतल की तरह पृष्ट (ज्यामिति) के रूप में नियमित बहुभुजों के साथ अतिपरवलयकार समतल को टेसलेट करना संभव है।

श्वार्ज़ त्रिभुजों (p q r) पर आधारित अनंत संख्या में एक समान टाइलें हैं जहाँ 1/p + 1/q + 1/r <1, ​​जहाँ p,-q,-r तीन बिंदुओं पर परावर्तन सममिति के प्रत्येक क्रम हैं। मूल संबंधी डोमेन त्रिकोण, समरूपता समूह एक त्रिभुज समूह है। अनंत रूप से कई समान झुकाव हैं जो श्वार्ज़ त्रिकोणों से उत्पन्न नहीं हो सकते हैं, उदाहरण के लिए चतुर्भुजों को मूल संबंधी डोमेन के रूप में आवश्यक है।

मानकीकृत गाऊसी वक्र
ज्यामिति किसी भी सतह के लिए निरंतर गॉसियन वक्रता के लागू होती है,यह सामान्य स्टार पर एक पैमाने पर मान लिया जाता है,जिसमें वक्रता K -1है।

इससे कुछ सूत्र सरल हो जाते हैं। कुछ उदाहरण निम्न हैं:
 * किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल रेडियन में उसके कोण दोष के बराबर होता है।
 * किसी चक्रीय त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल उसके चक्रीय चाप की लंबाई के बराबर होता है।
 * कुंडली का चाप, रेखा जो अंत बिंदु पर स्पर्शरेखा है, दूसरे अंत बिंदु के माध्यम से त्रिज्या के समानांतर सीमित है ,जिसकी लंबाई 1 है।
 * दो संकेंद्रित कुंडलियों की दो त्रिज्याओं के बीच चाप की लंबाई का अनुपात जहां कुंडली एक दूसरे से 1 दूरी पर हैं, e (गणितीय स्थिरांक) है :1.

कार्टेशियन-जैसी समन्वय प्रणाली
अतिपरवलयकार ज्यामिति में, चतुर्भुज के कोणों का योग हमेशा 360 डिग्री से कम होता है,अतिपरवलयकार आयतें यूक्लिडियन आयतों से बहुत भिन्न होती हैं क्योंकि कोई समदूरस्थ रेखाएँ नहीं होती हैं, इसलिए यूक्लिडियन आयत को दो रेखाओं और दो हाइपरचक्रों से घिरा होना चाहिए। ये सभी जटिल समन्वय प्रणाली हैं।

समतल ज्यामिति के लिए अलग-अलग समन्वय प्रणालियाँ हैं। सभी चुनी हुई निर्देशित रेखा (एक्स-अक्ष) पर एक बिंदु (मूल) चुनने पर आधारित हैं और उसके बाद कई विकल्प सम्मिलित हैं।

लोबाचेव्स्की निर्देशांक x और y को x-अक्ष पर लंब गिराकर पाया जाता है। x लंब के पाद का स्तर होगा। y उसके पाद से दिए गए बिंदु के लंब के साथ दूरी होगी (एक तरफ सकारात्मक और दूसरी तरफ नकारात्मक)। समन्वय प्रणाली बिंदु से कुंडली तक की दूरी को चारों ओर केंद्रित मूल के माध्यम से मापती है $$ (0, + \infty )$$।

समन्वय प्रणालियाँ नीचे वर्णित क्लेन मॉडल या पॉइंकेयर डिस्क मॉडल का उपयोग करती हैं, और यूक्लिडियन निर्देशांक को के रूप में लेती हैं।

दूरी
कार्टेशियन जैसा समन्वय प्रणाली (x, y) उन्मुख अतिपरवलयिक तल पर निम्नानुसार निर्मित है। रेखा पर एक अभिविन्यास और मूल O के साथ अतिपरवलयकार समतल में एक रेखा चुनें। फिर:
 * किसी बिंदु का x-निर्देशांक रेखा पर उसके प्रक्षेपण की हस्ताक्षरित दूरी (उस बिंदु से रेखा के लंबवत खंड का पाद) मूल तक है;
 * y-निर्देशांक बिंदु से रेखा तक हस्ताक्षरित दूरी है, संकेत के अनुसार बिंदु उन्मुख रेखा के सकारात्मक या नकारात्मक पक्ष पर है या नहीं।

इस समन्वय प्रणाली में (x_i, y_i), i=1,2 द्वारा दर्शाए गए दो बिंदुओं के बीच की दूरी है $$\operatorname{dist} (\langle x_1, y_1 \rangle, \langle x_2, y_2 \rangle) = \operatorname{arcosh} \left( \cosh y_1 \cosh (x_2 - x_1) \cosh y_2 - \sinh y_1 \sinh y_2 \right) \,.$$ यह सूत्र त्रिभुजों के सूत्रों से प्राप्त किया जा सकता है।

संबंधित मीट्रिक टेंसर फ़ील्ड है: $$ (\mathrm{d} s)^2 = \cosh^2 y \, (\mathrm{d} x)^2 + (\mathrm{d} y)^2 $$.

इस समन्वय प्रणाली में, सीधी रेखाएँ इनमें से एक रूप लेती हैं ((x, y) रेखा पर एक बिंदु है; x0, वाई0, ए, और α पैरामीटर हैं):

x-अक्ष के समानांतर
 * $$ \tanh (y) = \tanh (y_0) \cosh (x - x_0) $$

विषम रूप से नकारात्मक पक्ष पर समानांतर
 * $$ \tanh (y) = A \exp (x) $$

विषम रूप से सकारात्मक पक्ष पर समानांतर
 * $$ \tanh (y) = A \exp (- x) $$

लंबवत रूप से प्रतिच्छेद करना
 * $$ x = x_0 $$

एक कोण α पर प्रतिच्छेद करना
 * $$ \tanh (y) = \tan (\alpha) \sinh (x - x_0) $$

सामान्यतः, ये समीकरण केवल एक बंधे हुए डोमेन (x मानों के) में ही होंगे। उस डोमेन के किनारे पर, y का मान ± अनंत तक बढ़ता है। समतल ध्रुवीय निर्देशांक प्रणाली के लिए निर्देशांक प्रणालियाँ भी देखें।

इतिहास
यूक्लिड के तत्वों के लगभग 300 ईसा पूर्व के प्रकाशन के बाद से, कई ज्यामिति ने समानांतर अवधारणा को साबित करने का प्रयास किया। कुछ ने इसे विरोधाभास उपपत्ति द्वारा सिद्ध करने का प्रयास किया। इनमें सबसे प्रमुख थे प्रोक्लस, इब्न अल-हेथम (अलहसेन), उमर खय्याम, नासिर अल-दीन अल-तुसी, विटेलो, गर्सोनाइडेस, बर्गोस का अब्नेर, और बाद में जियोवन्नी गेरोलामो साचेरी, जॉन वालिस, जोहान हेनरिक लैम्बर्ट और एड्रियन मैरी लीजेंड्रे

उनके प्रयास विफल होने के लिए अभिशप्त थे (जैसा कि अब हम जानते हैं, समानांतर अभिधारणा अन्य अभिधारणाओं से सिद्ध करने योग्य नहीं है), लेकिन उनके प्रयासों से ज्यामिति की खोज हुई।

इब्न अल-हयथम-लैंबर्ट चतुर्भुज और खय्याम-सचेरी चतुर्भुज सहित चतुष्कोणों पर अल्हसेन, खय्याम और अल-तुसी के प्रमेय, ज्यामिति पर पहला प्रमेय था। ज्यामिति पर उनके कार्यों के विकास के बाद यूरोपीय ज्यामितियों में काफी प्रभाव पड़ा, जिनमें विटेलो, गेर्सोनाइड्स, अल्फोंसो, जॉन वालिस और सैचेरी शामिल हैं।

18वीं शताब्दी में, जोहान हेनरिक लैम्बर्ट ने किया। कार्यों को प्रारम्भ किया। और त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना की।

उन्नीसवीं सदी के विकास
19वीं सदी में, निकोलाई इवानोविच लोबाचेव्स्की, जानोस बोल्याई, कार्ल फ्रेडरिक गॉस और फ्रांज टॉरिनस द्वारा अतिपरवलयकार ज्यामिति का बड़े पैमाने पर पता लगाया गया था। अपने पूर्ववर्तियों के विपरीत, केवल यूक्लिडियन ज्यामिति के स्वयंसिद्धों से समानांतर सिद्धांत को खत्म करना चाहते थे, इन लेखकों ने महसूस किया कि उन्होंने एक नई ज्यामिति की खोज की है।

गॉस ने फ्रांज टॉरिनस को 1824 के एक पत्र में लिखा था कि उन्होंने इसका निर्माण किया था, लेकिन गॉस ने अपने काम को प्रकाशित नहीं किया। गॉस ने इसे गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति कहा कई आधुनिक लेखकों को गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति और अतिपरवलयकार ज्यामिति को पर्यायवाची मानने के लिए जारी रखने के कारण। टॉरिनस ने 1826 में अतिपरवलयकार त्रिकोणमिति पर परिणाम प्रकाशित किए, तर्क दिया कि अतिपरवलयकार ज्यामिति स्व-संगत है, लेकिन अभी भी यूक्लिडियन ज्यामिति की विशेष भूमिका में विश्वास किया जाता है। ज्यामिति की पूरी प्रणाली 1829/1830 में लोबचेव्स्की द्वारा प्रकाशित की गई थी, बोल्याई ने इसे स्वतंत्र रूप से खोजा और 1832 में प्रकाशित किया।

1868 में, यूजेनियो बेल्ट्रामी ने अतिपरवालिक ज्यामिति के अतिपरवालिक नमूना (नीचे देखें) प्रदान किए, और इसका उपयोग यह साबित करने के लिए किया कि अतिपरवलिक ज्यामिति सुसंगत थी और केवल यूक्लिडियन ज्यामिति थी।

1871 में फेलिक्स क्लेन द्वारा अतिपरवलिक ज्यामिति शब्द प्रस्तुत किया गया था। क्लेन ने आइसोमेट्री का उत्पादन करने के लिए प्रक्षेपीय ज्यामिति के परिवर्तनों का उपयोग करने के लिए आर्थर केली की एक पहल का पालन किया। क्षेत्र को परिभाषित करने के लिए एक शंकु खंड या द्विघात का उपयोग किया, और एक मीट्रिक (गणित) को परिभाषित करने के लिए क्रॉस अनुपात का उपयोग किया। प्रक्षेप्य परिवर्तन जो शंकु खंड या चतुर्भुज अपरिवर्तनीय (गणित) समूह छोड़ते हैं, आइसोमेट्री हैं। क्लेन ने दिखाया कि यदि केली निरपेक्ष एक वास्तविक वक्र है, तो इसके आंतरिक भाग में प्रक्षेपी समतल का हिस्सा अतिपरवलयकार समतल के लिए आइसोमेट्रिक है ...

अत्यधिक इतिहास के लिए, गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति पर लेख संदर्भ कॉक्सेटर और मिलनोर देखें।

दार्शनिक परिणाम
अतिपरवलिक ज्यामिति की खोज के महत्वपूर्ण दर्शन के परिणाम थे। इसकी खोज से पहले कई दार्शनिकों (उदाहरण के लिए होब्स और स्पिनोजा) ने ज्यामितीय पद्धति के संदर्भ में दार्शनिक कठोरता को देखा, यूक्लिड के तत्वों में प्रयुक्त तर्क की विधि का जिक्र किया।

सही कारण अंतरिक्ष और समय की आलोचना में कांत इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि अंतरिक्ष (यूक्लिडियन ज्यामिति में) और समय मनुष्यों द्वारा दुनिया की वस्तुगत विशेषताओं के रूप में नहीं खोजा गया है, लेकिन हमारे अनुभवों को व्यवस्थित करने के लिए एक अपरिहार्य व्यवस्थित ढांचे का हिस्सा हैं।

ऐसा कहा जाता है कि गॉस ने "बोईओटियंस के हंगामे" के डर से अतिपरवलिक ज्यामिति के बारे में कुछ भी प्रकाशित नहीं किया।, जो प्रिंसेप्स मैथेमेटिकोरम (लैटिन, गणितज्ञों के राजकुमार) के रूप में उनकी स्थिति को बर्बाद कर देगा।

गणितीय कठोरता, विश्लेषणात्मक दर्शन और तर्क में महान सुधारों को प्रोत्साहन दिया। अतिपरवलयिक ज्यामिति अंतत: सुसंगत सिद्ध हुई और इसलिए यह एक अन्य वैध ज्यामिति है।

ब्रह्मांड की ज्यामिति (केवल स्थानिक आयाम)
यूक्लिडियन, अतिपरवलिक और दीर्घवृत्तीय ज्यामिति सभी सुसंगत हैं, प्रश्न उठता है: अंतरिक्ष की वास्तविक ज्यामिति कौन सी है, और यदि यह अतिपरवलयकार या अण्डाकार है, तो इसकी वक्रता क्या है?

लोबचेव्स्की ने पहले ही सीरियस के लंबन को मापकर और सीरियस को समांतरता के कोण के आदर्श बिंदु के रूप में मानकर ब्रह्मांड की वक्रता को मापने की कोशिश की थी। उन्होंने महसूस किया कि की उनका मापएक सही उत्तर देने के लिए प्रयाप्त नहीं है, लेकिन वह इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि यदि ब्रह्मांड की ज्यामिति अतिपरवलयिक है, तो पूर्ण लंबाई पृथ्वी की कक्षा के व्यास का कम से कम दस लाख गुना है ($2,000,000 AU$, 10 पारसेक)। कुछ लोगों का तर्क है कि उनके माप पद्धतिगत रूप से त्रुटिपूर्ण थे।

हेनरी पोंकारे,अपने क्षेत्र-विश्व विचार प्रयोग के साथ, इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि दैनिक अनुभव आवश्यक रूप से ज्यामिति को बाहर नहीं करता है।

ज्यामितिकरण अनुमान हमारे अंतरिक्ष की मौलिक ज्यामिति के लिए आठ संभावनाओं की पूरी सूची देता है। कौन सा लागू होता है यह निर्धारित करने में समस्या यह है कि, एक निश्चित उत्तर तक पहुंचने के लिए, हमें बहुत बड़ी आकृतियों को देखने में सक्षम होना चाहिए - पृथ्वी पर या शायद हमारी आकाशगंगा में भी किसी भी चीज़ से बहुत बड़ा।

ब्रह्मांड की ज्यामिति (विशेष सापेक्षता)
विशेष सापेक्षता अंतरिक्ष और समय को समान स्तर पर रखती है, जिससे व्यक्ति अंतरिक्ष और समय पर अलग-अलग विचार करने के बजाय एकीकृत दिक्-काल की ज्यामिति पर विचार करे।  मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष गैलिलियन ज्यामिति की जगह लेता है (जो गैलीलियन सापेक्षता के समय के साथ त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष है)। सापेक्षता में, यूक्लिडियन, अण्डाकार और अतिपरवलयिक ज्यामिति पर विचार करने के बदले में, ज्यामिति पर विचार करने के लिए मिंकोवस्की अंतरिक्ष, डी सिटर अंतरिक्ष और एंटी-डी सिटर स्थान, क्रमशः शून्य, सकारात्मक और नकारात्मक वक्रता के अनुरूप है।

अतिपरवलयिक ज्यामिति विशेष आपेक्षिकता में तेज़ी के माध्यम से प्रवेश करती है, जो वेग के लिए खड़ा होता है, और एक है। अतिपरवलयकार कोण द्वारा व्यक्त किया जाता है। इस वेग ज्यामिति के अध्ययन को गतिज ज्यामिति कहा गया है । सापेक्षतावादी वेगों के स्थान में त्रि-आयामी अतिपरवलयकार ज्यामिति है, जहाँ दूरी का कार्य निकट बिंदुओं (वेग) के सापेक्ष वेगों से निर्धारित होता है।

अतिपरवलयकार तल की भौतिक प्रतीति
अतिपरवलयिक समतल एक ऐसा समतल है जहाँ सभी बिंदु सैडल बिंदु है। यूक्लिडियन अंतरिक्ष में विभिन्न छद्ममंडल उपस्थित हैं जिनमें निरंतर नकारात्मक गॉसियन वक्रता का परिमित क्षेत्र है।

हिल्बर्ट के प्रमेय (विभेदक ज्यामिति)| हिल्बर्ट के प्रमेय द्वारा, एक त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में पूर्ण अतिपरवलयिक समतल (निरंतर नकारात्मक गॉसियन वक्रता की एक पूर्ण नियमित सतह) को सममित रूप से विसर्जन (गणित) करना संभव नहीं है।

अतिपरवलयिक ज्यामिति के अतिपरवलयिक समतल के अन्य उपयोगी मॉडल यूक्लिडियन स्पेस में उपस्थित हैं, जिसमें मीट्रिक संरक्षित नहीं है। स्यूडोस्फीयर पर आधारित एक विशेष रूप से प्रसिद्ध पेपर मॉडल विलियम थर्स्टन के कारण है।

क्रोचेट की कला का उपयोग किया गया है (देखें मैथमेटिक्स और फाइबर कला और क्रोचेट) अतिपरवलयिक समतलों को प्रदर्शित करने के लिए, इस तरह का पहला प्रदर्शन डायना तैमिना द्वारा किया गया है। 2000 में, कीथ हेंडरसन ने अतिपरवलयकार सॉकरबॉल (अधिक सही रूप से, एक छोटा क्रम -7 त्रिकोणीय टाइलिंग) नामक एक त्वरित-टू-बनाने वाले पेपर मॉडल का प्रदर्शन किया। हिलामन फर्ग्यूसन द्वारा बनाई गई अतिपरवलयिक बनाने के निर्देश, जेफरी वीक्स (गणितज्ञ) द्वारा उपलब्ध कराया गया है।

अतिपरवलयकार तल के मॉडल
विभिन्न छद्ममंडल - नकारात्मक गॉसियन वक्रता वाली सतहें - मानक यूक्लिडियन मीट्रिक के तहत 3-आयामी अंतरिक्ष में पहुंचाई जा सकती है,और इसे मूर्त भौतिक मॉडल में बनाया जा सकता है। इनमें से ट्रेकटॉइड (स्यूडोस्फीयर कहा जाता है) सबसे प्रसिद्ध है; अतिपरवलयिक तल के मॉडल के रूप में ट्रैक्टॉइड का उपयोग यूक्लिडियन तल के मॉडल के रूप में शंकु या बेलन का उपयोग करने के समान है।अतिपरवलयिक समतल को यूक्लिडियन अंतरिक्ष में इस तरह से पहुँचाया नहीं किया जा सकता है,अतिपरवलयिक ज्यामिति की अमूर्त खोज के लिए अन्य मॉडल अत्यधिक सुविधाजनक हैं।

सामान्य स्तर पर अतिपरवलयिक ज्यामिति के लिए उपयोग किए जाने वाले चार गणितीय मॉडल हैं: छोटा मॉडल, पॉइंकेयर डिस्क मॉडल, पॉइंकेयर हाफ-प्लेन मॉडल और लोरेंत्ज़ या हाइपरबोलाइड मॉडल ये मॉडल अतिपरवलयिक तल को परिभाषित करते हैं जो अतिपरवलयकार ज्यामिति के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है। उनके नामों के अतिरिक्त, ऊपर बताए गए पहले तीन को यूजेनियो बेल्ट्रामी द्वारा अतिपरवलयिक स्पेस के मॉडल के रूप में प्रस्तुत किया गया था, न कि पॉइनकेयर या क्लेन द्वारा। ये सभी मॉडल अत्यधिक आयामों के लिए विस्तार योग्य हैं।

बेल्ट्रामी-क्लेन मॉडल
बेल्ट्रामी-क्लेन मॉडल, जिसे प्रोजेक्टिव डिस्क मॉडल, क्लेन डिस्क मॉडल और क्लेन मॉडल के रूप में भी जाना जाता है, का नाम यूजेनियो बेल्ट्रामी और फेलिक्स क्लेन के नाम पर रखा गया है।

दो आयामों के लिए यह मॉडल पूर्ण अतिपरवलयिक तल (गणित) के लिए इकाई वृत्त के आंतरिक भाग का उपयोग करता है, और इस वृत्त की जीवा (ज्यामिति) अतिपरवलयिक रेखाएं हैं।

उच्च आयामों के लिए यह मॉडल यूनिट बॉल के आंतरिक भाग का उपयोग करता है, और इस एन-बॉल की कॉर्ड (ज्यामिति) अतिपरवलयिक रेखाएँ हैं।
 * इस मॉडल का लाभ यह है कि रेखाएँ सीधी होती हैं, लेकिन नुकसान यह है कि कोण विकृत होते हैं (मानचित्रण अनुरूप मानचित्र नहीं है), और वृत्तों को भी वृत्तों के रूप में नहीं दर्शाया जाता है।
 * इस मॉडल में दूरी क्रॉस-अनुपात का आधा लघुगणक है, जिसे आर्थर केली ने प्रक्षेपी ज्यामिति में पेश किया था।

पोइन्काइरे डिस्क  मॉडल


पॉइंकेयर डिस्क मॉडल, जिसे कंफर्मल डिस्क मॉडल के रूप में भी जाना जाता है, वृत्त इकाई के आतंरिक भाग को नियोजित करता है, परन्तु रेखाओं को वृत्त के आर्क्स(वृत्त-चाप) द्वारा दर्शाया जाता है जो सीमा वृत्त के लिए ओर्थोगोनल(समकोण ) हैं, साथ ही सीमा वृत्त के व्यास भी हैं।
 * यह मॉडल कोणों को संरक्षित करता है, इस प्रकार अनुरूप मानचित्र है। इस मॉडल के भीतर सभी आइसोमेट्री इसलिए मोबियस ट्रांसफॉर्मेशन हैं।
 * डिस्क के भीतर मंडल बने रहते हैं, चूँकि वृत्त का यूक्लिडियन केंद्र वृत्त के अतिपरवलयकार केंद्र की तुलना में डिस्क के केंद्र के करीब है।
 * होरोसाइकल डिस्क के भीतर के वृत्त होते हैं जो सीमा वृत्त के स्पर्शरेखा होते हैं, संपर्क बिंदु को घटाते हैं।
 * हाइपरचक्र (अतिपरवलयिक ज्यामिति) डिस्क के भीतर ओपन-एंडेड कॉर्ड्स और वृत्तीय आर्क्स हैं जो गैर-ऑर्थोगोनल कोणों पर सीमा चक्र पर समाप्त होते हैं।

पोइन्काइरे अर्ध -समतलीय मॉडल
पॉइंकेयर हाफ-प्लेन मॉडल यूक्लिडियन समतल का आधा हिस्सा लेता है, जो समतल की रेखा B से घिरा होता है, जो अतिपरवलयिक समतल का नमूना होता है। रेखा B मॉडल में शामिल नहीं है।

यूक्लिडियन तल को कार्तीय निर्देशांक प्रणाली वाला तल माना जा सकता है और x-अक्ष को रेखा B के रूप में लिया जाता है और आधा तल इस तल का ऊपरी आधा (y > 0) है।
 * अतिपरवलयिक रेखाएँ तब या तो B के लिए अर्ध-वृत्त ऑर्थोगोनल होती हैं या किरणें B के लंबवत होती हैं।
 * किरण पर एक अंतराल की लंबाई लघुगुणक माप द्वारा दी जाती है, इसलिए यह समरूप परिवर्तन के अनुसार अपरिवर्तनीय है $$(x, y) \mapsto (\lambda x, \lambda y),\quad \lambda > 0 .$$
 * पॉइनकेयर डिस्क मॉडल की तरह, यह मॉडल कोणों को संरक्षित करता है, और इस प्रकार अनुरूप मानचित्र है। इसलिए इस मॉडल के भीतर सभी आइसोमेट्रीज़ विमान के मोबियस परिवर्तन हैं।
 * अर्ध समतल मॉडल पॉइंकेयर डिस्क मॉडल की सीमा है जिसकी सीमा एक ही बिंदु पर B से स्पर्शरेखा है जबकि डिस्क मॉडल की त्रिज्या अनंत तक जाती है।

हाइपरबोलाइड मॉडल
हाइपरबोलॉइड मॉडल या लोरेंत्ज़ मॉडल 3-आयामी मिंकोव्स्की अंतरिक्ष में अन्तर्निहित क्रांति के 2-आयामी हाइपरबोलॉइड (दो पृष्ठ का, लेकिन एक का उपयोग करके) को नियोजित करता है। इस मॉडल का श्रेय आम तौर पर पोइन्कारे को दिया जाता है, लेकिन रेनॉल्ड्स कहते हैं कि विल्हेम किलिंग ने 1885 में इस मॉडल का प्रयोग किया था।
 * इस मॉडल की विशेसता सापेक्षता पर सीधा अनुप्रयोग है, क्योंकि मिंकोव्स्की 3-स्पेस स्पेसटाइम के लिए एक मॉडल है, जो एक स्थानिक आयाम को दर्शाता है। घटनाओं (अंतरिक्ष-समय में स्थितियों) का प्रतिनिधित्व करने के लिए हाइपरबोलॉइड प्रयोग कर सकते हैं, जिससे की एक सामान्य घटना से शुरू होने वाले संदर्भ पर्यवेक्षकों के विभिन्न जड़त्वीय फ्रेम, एक निश्चित उचित समय में पहुंचेंगे।
 * हाइपरबोलॉइड पर दो बिंदुओं के बीच की अतिपरवलयकार दूरी को तब दो संबंधित पर्यवेक्षकों के बीच सापेक्ष तेज़ी से पहचाना जा सकता है।
 * मॉडल सीधे एक अतिरिक्त आयाम के लिए सामान्यीकरण करता है: एक अतिपरवलयकार 3-स्थान त्रि-आयामी अतिपरवलयिक ज्यामिति मिन्कोवस्की 4-अंतरिक्ष से संबंधित है।

गोलार्द्ध मॉडल
गोलार्ध मॉडल को प्रायः एक मॉडल के रूप में उपयोग नहीं किया जाता है, लेकिन यह अन्य मॉडलों के बीच परिवर्तनों को देखने के लिए एक उपयोगी उपकरण के रूप में कार्य करता है।

गोलार्द्ध मॉडल इकाई क्षेत्र के ऊपरी आधे हिस्से का उपयोग करता है: $$ x^2 + y^2 +z^2 = 1, z > 0. $$ अतिपरवलयकृत रेखाएँ गोलार्ध की सीमा के लिए अर्ध-वृत्त समकोण हैं।

गोलार्द्ध मॉडल एक रीमान क्षेत्र का हिस्सा है, और विभिन्न अनुमान अतिपरवलयकार समतल के विभिन्न मॉडल देते हैं:
 * त्रिविम प्रक्षेपण से $$ (0,0, -1) $$ समतल पर $$ z = 0 $$  पोइन्काइरे डिस्क मॉडल पर संबंधित बिंदुओं को प्रच्छेपित करता है
 * त्रिविम प्रक्षेपण से $$ (0,0, -1) $$ सतह पर $$ x^2 + y^2 - z^2 = -1, z > 0  $$ हाइपरबोलॉइड मॉडल पर संबंधित बिंदुओं को प्रच्छेपित करता है
 * त्रिविम प्रक्षेपण से $$ (-1,0,0) $$ समतल पर $$ x=1 $$ पोइन्काइरे हाफ-प्लेन मॉडल पर संबंधित बिंदुओं को प्रच्छेपित करता है
 * एक समतल पर लिखने का प्रक्षेपण $$ z = C $$ बेल्ट्रामी-क्लेन मॉडल पर संबंधित बिंदुओं को प्रच्छेपित करता है।
 * गोले के केंद्र से समतल पर केंद्रीय प्रक्षेपण $$ z = 1 $$ गन्स मॉडल पर संबंधित बिंदुओं को प्रच्छेपित करता है

आगे देखें:मॉडलों के बीच संबंध(नीचे)।

गन्स मॉडल
1966 में डेविड गन्स ने अमेरिकी गणितीय मासिक जर्नल में चपटा हाइपरबोलाइड मॉडल प्रस्तावित किया। यह एक्स-समतल पर हाइपरबोलॉइड मॉडल का एक समकोणीय प्रक्षेपण है। यह मॉडल अन्य मॉडलों के जैसे व्यापक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है, लेकिन फिर भी अतिपरवलयकृत ज्यामिति को समझने में बहुत उपयोगी है।
 * क्लेन या पॉइनकेयर मॉडल के विपरीत, यह मॉडल यूक्लिडियन समतल का उपयोग करता है।
 * इस मॉडल में रेखाओं को एक अतिपरवलय की शाखाओं के रूप में दर्शाया गया है।

बैंड मॉडल
बैंड मॉडल यूक्लिडियन समतल के एक हिस्से को दो समानांतर रेखाओं के बीच नियोजित करता है। पट्टी के मध्य से होकर एक रेखा के साथ बनायीं रखी जाती है। माना दी गयी पट्टी $$\{z \in \mathbb C:|\operatorname {Im} z| < \pi / 2\}$$, दिया गया मीट्रिक $$|dz| \sec (\operatorname{Im} z)$$।

मॉडलों के बीच संबंध
सभी मॉडल अनिवार्य रूप से एक ही संरचना का वर्णन करते हैं। उनके बीच का अंतर यह है कि वे एक ही मीट्रिक स्थान पर रखे गए विभिन्न एटलस (टोपोलॉजी) का प्रतिनिधित्व करते हैं, जिन्हे अतिपरवलयिक तल के नाम से जानते  हैं। अतिपरवलयिक तल की विशेषता यह है कि इसमें एक निरंतर नकारात्मक गाऊसी वक्रता है, जो उपयोग किए गए समन्वय चार्ट के प्रति उदासीन है। gजियोडेसिक्स समान रूप से अपरिवर्तनीय हैं: अर्थात, जियोडेसिक्स समन्वय परिवर्तन के तहत जियोडेसिक्स के लिए माप करता है। अतिपरवलयिक ज्यामिति को साधारणतया पर अतिपरवलयिक तल पर भूगर्भ विज्ञान और उनके प्रकारो के संदर्भ में बताया गया हैं। एक बार जब हम एक समन्वय चार्ट (मॉडल में) चुनते हैं, तो हम इसे हमेशा समान आयाम के यूक्लिडियन स्थान में विसर्जित (गणित) कर सकते हैं, लेकिन अन्तर्निहित स्पष्ट रूप से सममितीय नहीं है (चूंकि यूक्लिडियन अंतरिक्ष की वक्रता 0 है)। अतिपरवलयकार स्थान को असीम रूप से कई अलग-अलग चार्टों द्वारा दर्शाया जा सकता है; लेकिन इन चार विशिष्ट चार्टों के कारण यूक्लिडियन अंतरिक्ष में अन्तर्निहित प्रक्रियाएँ कुछ विशेषताएं दिखाती हैं।

चूंकि चार मॉडल एक ही मीट्रिक स्थान का वर्णन करते हैं, प्रत्येक को दूसरे में रूपांतरित किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए देखें: अतिपरवलयिक समतल की ज्यामिति
 * बेल्ट्रामी-क्लेन मॉडल,का हाइपरबोलॉइड मॉडल से संबंध|
 * बेल्ट्रामी - क्लेन मॉडल का पोइन्कारे डिस्क मॉडल से संबंध|
 * और पॉइंकेयर डिस्क मॉडल का हाइपरबोलॉइड मॉडल से संबंध

अतिपरवलयकार समतल के प्रत्येक सममितीय (ज्यामितीय परिवर्तन या गति (ज्यामिति)) को अधिकतम तीन परिवर्तन (गणित) की संरचना के रूप में पाया जाता हैं। n-आयाम वाले अतिपरवलयिक स्पेस में, n+1 प्रतिबिंब की आवश्यकता होती है। (ये यूक्लिडियन और गोलाकार ज्यामिति के लिए भी सही हैं, लेकिन नीचे दिया गया वर्गीकरण अलग है।)

अतिपरवलयकार तल के सभी समस्थानिकों को इन वर्गों में वर्गीकृत किया जा सकता है: र
 * अभिविन्यास संरक्षण
 * पहचान कार्य - गतिमान नहीं होता ; शून्य प्रतिबिंब; शून्य स्वतंत्रता।
 * बिंदु प्रतिबिंब बिंदु के माध्यम से विपरीत (आधा मुड़ा हुआ) - दिए गए बिंदु से गुजरने वाली परस्पर लंबवत रेखाओं के माध्यम से दो प्रतिबिंब, अर्थात बिंदु के चारों ओर 180 डिग्री का घुमाव; दो अंश की स्वतंत्रता।
 * एक सामान्य बिंदु के चारों ओर प्रतिबिंब (गणित) - दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के माध्यम से दो प्रतिबिंब (एक विशेष कारण से विपरीत होता हैं ); बिंदु केंद्र के चारों ओर मंडलियों पर चलते हैं; तीन अंश की स्वतंत्रता।
 * आदर्श बिंदु के चारों ओर घूमना (होरोलेशन) - आदर्श बिंदु की ओर जाने वाली रेखाओं के माध्यम से दो प्रतिबिंब; आदर्श बिंदु पर केंद्रित होरोसाइकल के साथ चलते हैं; दो अंश की स्वतंत्रता।
 * सीधी रेखा के साथ अनुवाद - दी गई रेखा के लंबवत रेखाओं के माध्यम से दो हाइपर चक्र के साथ दी गई रेखा से दूर जाने वाले बिंदु; तीन अंश की स्वतंत्रता।
 * विपरीत अभिविन्यास
 * एक रेखा के माध्यम से प्रतिबिंब - एक प्रतिबिंब; दो अंश की स्वतंत्रता ।
 * एक पंक्ति के माध्यम से संयुक्त प्रतिबिंब और एक ही पंक्ति के साथ अनुवाद - प्रतिबिंब तथा अनुवाद; तीन प्रतिबिंब आवश्यक; तीन अंश की स्वतंत्रता

कला में ज्यामिति
एम सी एस्चेर के प्रसिद्ध प्रिंट वृत्त की सीमा III और वृत्त की सीमा IV के अनुरूप डिस्क मॉडल (पोंकारे डिस्क मॉडल) को अच्छी तरह से चित्रित किया गया है। III में सफेद रेखाएं पूरी तरह से जियोडेसिक नहीं हैं (वे हाइपरचक्र हैं), लेकिन उनके करीब हैं। त्रिकोणों और वर्गों में कोणों के योग पर इसके प्रभाव के माध्यम से तल की नकारात्मक वक्रता को स्पष्ट रूप से देखना संभव है।

उदाहरण के लिए, वृत्त सीमा III में प्रत्येक शीर्ष तीन त्रिभुजों और तीन वर्गों से संबंधित है। यूक्लिडियन तल में, उनके कोणों का योग 450° होगा; अर्थात,वृत्त और चौथाई। इससे, हम देखते हैं कि अतिपरवलयिक तल में त्रिभुज के कोणों का योग 180° से छोटा होता है। दुसरी दृश्यमान गुण घातीय वृद्धि है। वृत्तीय सीमा III में, उदाहरण के लिए, कोई देख सकता है कि केंद्र से n की दूरी के भीतर मछलियों की संख्या तेजी से बढ़ती है। मछलियों का एक समान क्षेत्र होता है, इसलिए त्रिज्या n की एक गेंद का क्षेत्रफल n में तेजी से बढ़ना चाहिए।

क्रॉचेट(कशीदा काटने) की कला में गणित और फाइबर कलाएं हैं, जैसे की बुनाई और क्रॉचेट अतिपरवलयकार समतल (ऊपर चित्रित) को प्रदर्शित करने के लिए पहली बार डायना तैमिना द्वारा बनाई गई हैं, जिनकी किताब अतिपरवलयकार समतलों के साथ क्रॉचिंग एडवेंचर्स ने 2009 बुकसेलर/डायग्राम प्राइज फॉर ऑडेस्ट टाइटल ऑफ द ईयर जीता।

हाइपररोग अतिपरवलयकार समतलों के विभिन्न झुकावों पर समूह एक रॉगुलाइक गेम है।

उच्च आयाम
ज्यामिति 2 आयामों तक सीमित नहीं है; प्रत्येक उच्च संख्या के आयामों के लिए एक अतिपरवलयिक ज्यामिति मौजूद है।

सजातीय संरचना
आयाम n का अतिपरवलयिक स्थान गैर-सुगठित प्रकार के रिमेंनियन सममित स्थान का एक विशेष अवस्था है, क्योंकि यह भागफल के लिए समरूप है
 * $$\mathrm{O}(1,n)/(\mathrm{O}(1) \times \mathrm{O}(n)).$$

समकोणीय समूह O(1, n) मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष R पर मानक-संरक्षण परिवर्तनों द्वारा समूह क्रिया (गणित)।1,n, और यह समूह क्रिया (गणित) मानदंड 1 सदिशों के दो-शीट हाइपरबोलाइड पर क्रियाओं के प्रकार कार्य करता है। टाइमलाइक रेखाएं (अर्थात ,सकारात्मक-मानक स्पर्शरेखा वाले) मूल के माध्यम से हाइपरबोलॉइड में प्रतिलोम सम्बन्धी बिंदुओं से गुजरती हैं, इसलिए ऐसी रेखाओं का स्थान हाइपरबॉलिक एन-स्पेस का एक मॉडल उत्पन्न करता है। किसी विशेष रेखा का स्टेबलाइज़र उपसमूह समकोणीय समूहों O(n) और O(1) के समूहों के प्रत्यक्ष उत्पाद के लिए समरूप है, जहाँ O(n) हाइपरबोलाइड में एक बिंदु के स्पर्शरेखा स्थान पर कार्य करता है, और O(1) ) मूल बिंदु के माध्यम से रेखा को दर्शाता है। अतिपरवलयकृत ज्यामिति में कई प्रारंभिक अवधारणाओं को रैखिक बीजगणितीय शब्दों में वर्णित किया जा सकता है: जियोडेसिक पथों को उत्पत्ति के माध्यम से समतलो के साथ उसके प्रकारो द्वारा वर्णित किया जाता है, हाइपर समतलो के बीच डायहेड्रल कोणों को सामान्य आंतरिक उत्पादों द्वारा वर्णित किया जा सकता है, और अतिपरवलयकार प्रतिबिंब समूहों को स्पष्ट रूप से मीट्रिक रूप देते है सकता है।

छोटे आयामों में, लाइ समूहों के असाधारण समरूपताएं हैं जो अतिपरवलयिक रिक्त स्थान के समरूपता पर विचार करने के लिए अतिरिक्त प्रकार उत्पन्न करते हैं। उदाहरण के लिए, आयाम 2 में, समरूपता SO+(1, 2) ≅ PSL(2, R) ≅ PSU(1, 1) भागफल के रूप में ऊपरी आधे समतल मॉडल की व्याख्या करने की अनुमति दें SL(2, R)/SO(2) और भागफल के रूप में पोइन्कारे डिस्क मॉडल SU(1, 1)/U(1). दोनों ही प्रकारो में, समरूपता समूह आंशिक रैखिक परिवर्तनों द्वारा कार्य करते हैं, क्योंकि दोनों समूह अभिविन्यास-संरक्षण स्टेबलाइजर्स हैं PGL(2, C) रीमैन क्षेत्र के संबंधित उप-स्थानों की। केली परिवर्तन न केवल अतिपरवलयकृत  तल के एक मॉडल को दूसरे तक ले जाता है, बल्कि एक बड़े समूह में संयुग्मन के रूप में समरूपता समूहों के समरूप करता है। आयाम 3 में, आंशिक रैखिक क्रिया PGL(2, C) की रीमैन क्षेत्र पर आइसोमोर्फिज्म द्वारा प्रेरित अतिपरवलयिक 3-स्पेस की अनुरूप सीमा के साथ पहचाना जाता है O+(1, 3) ≅ PGL(2, C). यह प्रतिनिधि जटिल मैट्रिसेस के वर्णक्रमीय गुणों पर विचार करके हाइपरबोलिक 3-स्पेस के आइसोमेट्री का अध्ययन करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, परवलयिक परिवर्तन ऊपरी आधे-अंतरिक्ष मॉडल में कठोर अनुवादों के साथ संयुग्मित होते हैं, और वे वास्तव में वे परिवर्तन हैं जिन्हें एक ही तरह के त्रिकोणीय मैट्रिक्स मैट्रिसेस द्वारा दर्शाया जा सकता है।

यह भी देखें

 * बैंड मॉडल
 * अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति में निर्माण
 * जेल्मस्लेव परिवर्तन
 * अतिशयोक्तिपूर्ण 3-कई गुना
 * अतिशयोक्तिपूर्ण कई गुना
 * अतिशयोक्तिपूर्ण सेट
 * अतिशयोक्तिपूर्ण पेड़
 * क्लेनियन समूह
 * लैम्बर्ट चतुर्भुज
 * खुला ब्रह्मांड
 * पॉइनकेयर मीट्रिक
 * सैचेरी चतुर्भुज
 * सिस्टोलिक ज्यामिति
 * हाइपरबोलिक प्लेन में समान टाइलिंग
 * δ-हाइपरबॉलिक स्पेस

संदर्भ

 * A'Campo, Norbert and Papadopoulos, Athanase, (2012) Notes on hyperbolic geometry, in: Strasbourg Master class on Geometry, pp. 1–182, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics,  Vol. 18,  Zürich: European Mathematical Society (EMS), 461 pages, SBN ISBN 978-3-03719-105-7, DOI 10.4171–105.
 * Coxeter, H. S. M., (1942) Non-Euclidean geometry, University of Toronto Press, Toronto
 * Lobachevsky, Nikolai I., (2010) Pangeometry, Edited and translated by Athanase Papadopoulos, Heritage of European Mathematics, Vol. 4. Zürich: European Mathematical Society (EMS). xii, 310~p, ISBN 978-3-03719-087-6/hbk
 * Milnor, John W., (1982) Hyperbolic geometry: The first 150 years, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 6, Number 1, pp. 9–24.
 * Reynolds, William F., (1993) Hyperbolic Geometry on a Hyperboloid, American Mathematical Monthly 100:442–455.
 * Samuels, David, (March 2006) Knit Theory Discover Magazine, volume 27, Number 3.
 * James W. Anderson, Hyperbolic Geometry, Springer 2005, ISBN 1-85233-934-9
 * James W. Cannon, William J. Floyd, Richard Kenyon, and Walter R. Parry (1997) Hyperbolic Geometry, MSRI Publications, volume 31.
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बाहरी संबंध

 * Javascript freeware for creating sketches in the Poincaré Disk Model of Hyperbolic Geometry University of New Mexico
 * "The Hyperbolic Geometry Song" A short music video about the basics of Hyperbolic Geometry available at YouTube.
 * More on hyperbolic geometry, including movies and equations for conversion between the different models University of Illinois at Urbana-Champaign
 * Hyperbolic Voronoi diagrams made easy, Frank Nielsen
 * , interactive instructional website.
 * Hyperbolic Planar Tesselations
 * Models of the Hyperbolic Plane
 * , interactive instructional website.
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 * Models of the Hyperbolic Plane