यांत्रिक प्रमेयों की विधि

यांत्रिक प्रमेयों की विधि (Περὶ μηχανικῶν θεωρημάτων πρὸς Ἐρατοσθένη ἔφοδος), जिसे द मेथड भी कहा जाता है, प्राचीन ग्रीस के बहुश्रुत आर्किमिडीज के प्रमुख जीवित कार्यों में से एक है। विधि आर्किमिडीज़ से एराटोस्थनीज़ को लिखे पत्र का रूप लेती है, अलेक्जेंड्रिया लाइब्रेरी में मुख्य लाइब्रेरियन, और इसमें अविभाज्य की विधि का पहला प्रमाणित स्पष्ट उपयोग सम्मिलित है (अविभाज्य अनंत के ज्यामितीय संस्करण हैं)। मूल रूप से सोचा गया था कि यह काम खो गया है, लेकिन 1906 में प्रसिद्ध आर्किमिडीज़ पालिम्प्सेस्ट में इसे फिर से खोजा गया। पलिम्प्सेस्ट में यांत्रिक विधि के बारे में आर्किमिडीज़ का विवरण सम्मिलित है, इसे तथाकथित इसलिए कहा जाता है क्योंकि यह आकृतियों के द्रव्यमान के केंद्र (केन्द्रक) और लीवर के लीवर#नियम पर निर्भर करता है, जिसे आर्किमिडीज़ ने विमानों के संतुलन पर में प्रदर्शित किया था।

आर्किमिडीज़ ने अविभाज्य की पद्धति को कठोर गणित के भाग के रूप में स्वीकार नहीं किया, और इसलिए उन्होंने अपनी पद्धति को उन औपचारिक ग्रंथों में प्रकाशित नहीं किया जिनमें परिणाम सम्मिलित हैं। इन ग्रंथों में, वह समान प्रमेयों को शिथिलता की विधि से सिद्ध करता है, कठोर ऊपरी और निचली सीमाएँ खोजता है जो दोनों आवश्यक उत्तर में परिवर्तित हो जाती हैं। फिर भी, संबंधों की खोज के लिए उन्होंने यांत्रिक विधि का उपयोग किया जिसके लिए उन्होंने बाद में कठोर प्रमाण दिए।

परवलय का क्षेत्रफल
आज आर्किमिडीज़ की पद्धति को समझाने के लिए, थोड़ा सा कार्टेशियन ज्यामिति का उपयोग करना सुविधाजनक है, चुकीं यह उस समय उपलब्ध नहीं था। उनका विचार अन्य आकृतियों के द्रव्यमान के ज्ञात केंद्र से आकृतियों का क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए लीवर के नियम का उपयोग करना है। आधुनिक भाषा में सबसे सरल उदाहरण परवलय का क्षेत्रफल है। आर्किमिडीज़ अधिक सुंदर विधि का उपयोग करता है, लेकिन कार्टेशियन भाषा में, उसकी विधि अभिन्न की गणना कर रही है

$$ \int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1}{3},$$ जिसे आजकल प्राथमिक अभिन्न कलन का उपयोग करके सरलता से जांचा जा सकता है।

विचार यांत्रिक रूप से परवलय (ऊपर एकीकृत किया जा रहा घुमावदार क्षेत्र) को निश्चित त्रिभुज के साथ संतुलित करना है जो एक ही सामग्री से बना है। परवलय वह क्षेत्र है $$(x,y)$$ के बीच तल $$x$$-अक्ष और वक्र $$y=x^2$$ जैसा $$x$$ 0 से 1 तक भिन्न होता है। त्रिभुज समान तल में बीच का क्षेत्र है $$x$$-अक्ष और रेखा $$y=x$$, के रूप में भी $$x$$ 0 से 1 तक भिन्न होता है।

परवलय और त्रिभुज को ऊर्ध्वाधर स्लाइस में काटें, प्रत्येक मान के लिए $$x$$ कल्पना कीजिए कि $$x$$-अक्ष लीवर है, जिसका आधार एक है $$x=0$$. लीवर के लीवर # नियम में कहा गया है कि आधार के विपरीत पक्षों पर दो वस्तुएं संतुलित होंगी यदि प्रत्येक में समान टोक़ है, जहां किसी वस्तु का टोक़ आधार से उसकी दूरी के वजन के बराबर होता है। के प्रत्येक मान के लिए $$x$$, स्थिति पर त्रिकोण का टुकड़ा $$x$$ इसका द्रव्यमान इसकी ऊंचाई के बराबर है $$x$$, और दूरी पर है $$x$$ आधार से; इसलिए यह ऊंचाई के परवलय के संबंधित टुकड़े को संतुलित करेगा $$x^2$$, यदि बाद वाले को स्थानांतरित कर दिया गया $$x=-1$$, आधार के दूसरी ओर 1 की दूरी पर है।

चूंकि स्लाइस का प्रत्येक जोड़ा संतुलन बनाता है, इसलिए पूरा परवलय आगे बढ़ता है $$x=-1$$ पूरे त्रिकोण को संतुलित करेगा. इसका अर्थ यह है कि यदि मूल बिना कटे परवलय को हुक से बिंदु से लटका दिया जाए तो $$x=-1$$ (जिससे परवलय का पूरा द्रव्यमान उस बिंदु से जुड़ा रहे), यह बीच में बैठे त्रिभुज को संतुलित $$x=0$$ और $$x=1$$. करेगा

त्रिभुज के द्रव्यमान का केंद्र निम्नलिखित विधि द्वारा सरलता से पाया जा सकता है, आर्किमिडीज़ के कारण भी। यदि किसी त्रिभुज के किसी शीर्ष से विपरीत किनारे तक माध्यिका (ज्यामिति) खींची जाती है $$E$$, त्रिभुज मध्यिका पर संतुलन बनाएगा, जिसे आधार माना जाता है। इसका कारण यह है कि यदि त्रिभुज को समानान्तर अतिसूक्ष्म रेखाखण्डों में विभाजित किया जाता है $$E$$, प्रत्येक खंड की माध्यिका के विपरीत पक्षों पर समान लंबाई होती है, इसलिए संतुलन समरूपता से चलता है। इस तर्क को अतिसूक्ष्म रेखाओं के अतिरिक्त छोटे आयतों का उपयोग करके थकावट की विधि द्वारा सरलता से कठोर बनाया जा सकता है, और आर्किमिडीज़ तलो के संतुलन पर में यही करता है।

अत: त्रिभुज का द्रव्यमान केंद्र माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु पर होना चाहिए। प्रश्नाधीन त्रिभुज के लिए माध्यिका रेखा है $$y=x/2$$, जबकि दूसरी माध्यिका रेखा है $$y=1-x$$. इन समीकरणों को हल करने पर, हम देखते हैं कि इन दोनों माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु से ऊपर है $$x=2/3$$, जिससे लीवर पर त्रिभुज का कुल प्रभाव ऐसा हो मानो त्रिभुज का कुल द्रव्यमान इस बिंदु पर नीचे की ओर धकेल रहा हो (या लटक रहा हो)। त्रिभुज द्वारा लगाया गया कुल बल आघूर्ण इसके क्षेत्रफल का 1/2 गुना है, जो आधार से इसके द्रव्यमान केंद्र की दूरी 2/3 का गुना है। $$x=0$$. 1/3 का यह बलाघूर्ण परवलय को संतुलित करता है, जो आधार से 1 की दूरी पर है। इसलिए, इसे विपरीत बलाघूर्ण देने के लिए परवलय का क्षेत्रफल 1/3 होना चाहिए।

इस प्रकार की विधि का उपयोग परवलय के मनमाने खंड के क्षेत्र को खोजने के लिए किया जा सकता है, और इसी तरह के तर्कों का उपयोग किसी भी शक्ति के अभिन्न अंग को खोजने के लिए किया जा सकता है $$x$$, चुकीं बीजगणित के बिना उच्च शक्तियाँ जटिल हो जाती हैं। आर्किमिडीज़ केवल अभिन्न अंग तक ही गए थे $$x^3$$, जिसका उपयोग उन्होंने गोलार्ध के द्रव्यमान का केंद्र खोजने के लिए किया था, और अन्य कार्य में, परवलय के द्रव्यमान का केंद्र खोजने के लिए किया था।

पालिम्प्सेस्ट में पहला प्रस्ताव
दाईं ओर के चित्र में परवलय पर विचार करें। परवलय पर दो बिंदु चुनें और उन्हें A और B नाम दें।

मान लीजिए रेखाखंड AC परवलय की सममिति अक्ष के समानांतर है। इसके अतिरिक्त मान लीजिए कि रेखाखंड BC ऐसी रेखा पर स्थित है जो परवलय B पर स्पर्शरेखा है। पहला प्रस्ताव कहता है:


 * त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल परवलय और छेदक रेखा AB से घिरे क्षेत्रफल का ठीक तीन गुना है।


 * सबूत:

मान लीजिए D, AC का मध्यबिंदु है। D से होकर रेखा खंड JB का निर्माण करें, जहां J से D की दूरी B से D की दूरी के बराबर है। हम खंड JB को लीवर के रूप में और D को इसके आधार के रूप में सोचेंगे। जैसा कि आर्किमिडीज़ ने पहले दिखाया था, त्रिभुज के द्रव्यमान का केंद्र लीवर पर बिंदु I पर है जहां DI :DB = 1:3 है। इसलिए, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि यदि त्रिभुज के आंतरिक भाग का पूरा भार I पर है, और परवलय के खंड का पूरा भार J पर है, तो लीवर संतुलन में है।

खंड HE द्वारा दिए गए त्रिभुज के असीम रूप से छोटे क्रॉस-सेक्शन पर विचार करें, जहां बिंदु H BC पर स्थित है, बिंदु E AB पर स्थित है, और HE परवलय की समरूपता के अक्ष के समानांतर है। HE और परवलय F के प्रतिच्छेदन और HE और लीवर G के प्रतिच्छेदन को कॉल करें। यदि ऐसे सभी खंडों का भार HE बिंदु G पर रहता है जहां वे लीवर को काटते हैं, तो वे लीवर पर समान बलाघूर्ण लगाते हैं। त्रिभुज का पूरा भार I पर रहता है। इस प्रकार, हम यह दिखाना चाहते हैं कि यदि क्रॉस-सेक्शन HE का भार G पर है और परवलय के अनुभाग के क्रॉस-सेक्शन EF का भार J पर है, तो लीवर संतुलन में है. दूसरे शब्दों में, यह दिखाना पर्याप्त है कि EF :GD = EH :JD. लेकिन यह परवलय के समीकरण का नियमित परिणाम है। क्यू.ई.डी.

गोले का आयतन
फिर, यांत्रिक विधि को प्रकाशित करने के लिए, थोड़ी सी समन्वय ज्यामिति का उपयोग करना सुविधाजनक है। यदि त्रिज्या 1 का गोला इसके केंद्र x = 1 पर रखा जाता है, तो ऊर्ध्वाधर क्रॉस अनुभागीय त्रिज्या $$\rho_S$$ 0 और 2 के बीच किसी भी x पर निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है: $$\rho_S(x) = \sqrt{x(2-x)}.$$ लीवर पर संतुलन के प्रयोजनों के लिए इस क्रॉस सेक्शन का द्रव्यमान, क्षेत्र के समानुपाती होता है:

$$ \pi \rho_S(x)^2 = 2\pi x - \pi x^2.$$ फिर आर्किमिडीज़ ने शंकु बनाने के लिए, x-अक्ष के चारों ओर x-y तल पर y = 0 और y = x और x = 2 के बीच त्रिकोणीय क्षेत्र को घुमाने पर विचार किया। इस शंकु का अनुप्रस्थ काट त्रिज्या का वृत्त है

$$\rho_C(x) = x $$ और इस अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है

$$\pi \rho_C^2 = \pi x^2. $$ इसलिए यदि शंकु और गोले दोनों के टुकड़ों को साथ तौला जाए, तो संयुक्त अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है:

$$ M(x) = 2\pi x. $$ यदि दो स्लाइस को आधार से 1 की दूरी पर साथ रखा जाता है, तो उनका कुल वजन क्षेत्र के चक्र द्वारा बिल्कुल संतुलित होगा $$2\pi$$ दूसरी ओर आधार से x दूरी पर। इसका अर्थ यह है कि शंकु और गोले को एक साथ, यदि उनकी सभी सामग्री को x = 1 पर ले जाया जाए, तो दूसरी तरफ आधार त्रिज्या 1 और लंबाई 2 के सिलेंडर को संतुलित किया जाएगा।

चूँकि x का मान 0 से 2 तक होता है, सिलेंडर का गुरुत्वाकर्षण केंद्र आधार से 1 की दूरी पर होगा, इसलिए सिलेंडर का सारा भार स्थिति 1 पर माना जा सकता है। संतुलन की स्थिति यह सुनिश्चित करती है कि शंकु का आयतन प्लस गोले का आयतन सिलेंडर के आयतन के बराबर है।

सिलेंडर का आयतन क्रॉस सेक्शन क्षेत्र है, $$2\pi$$ ऊंचाई का गुना, जो 2 है, या $$4\pi$$. आर्किमिडीज़ यांत्रिक विधि का उपयोग करके शंकु का आयतन भी ज्ञात कर सकते हैं, क्योंकि, आधुनिक शब्दों में, इसमें सम्मिलित अभिन्न अंग बिल्कुल परवलय के क्षेत्रफल के समान है। शंकु का आयतन उसके आधार क्षेत्रफल गुना ऊंचाई का 1/3 है। शंकु का आधार क्षेत्रफल सहित त्रिज्या 2 का वृत्त है $$4\pi$$, जबकि ऊंचाई 2 है, इसलिए क्षेत्रफल है $$8\pi/3$$. बेलन के आयतन से शंकु का आयतन घटाने पर गोले का आयतन प्राप्त होता है:

$$ V_S = 4\pi - {8\over 3}\pi = {4\over 3}\pi.$$ त्रिज्या पर गोले के आयतन की निर्भरता स्केलिंग से स्पष्ट है, चुकीं उस समय इसे कठोर बनाना भी कोई सामान्य बात नहीं थी। यह विधि तब गोले के आयतन के लिए परिचित सूत्र देती है। आयामों को रैखिक रूप से मापकर आर्किमिडीज़ ने आयतन परिणाम को गोलाकार तक सरलता से बढ़ाया।

आर्किमिडीज़ का तर्क उपरोक्त तर्क के लगभग समान है, लेकिन उसके सिलेंडर की त्रिज्या बड़ी थी, जिससे शंकु और सिलेंडर आधार से अधिक दूरी पर लटके हुए थे। उन्होंने इस तर्क को अपनी सबसे बड़ी उपलब्धि माना, अनुरोध किया कि संतुलित गोले, शंकु और सिलेंडर की संलग्न आकृति को उनकी समाधि पर निकाला जाए।

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल
गोले के सतह क्षेत्र को खोजने के लिए, आर्किमिडीज़ ने तर्क दिया कि जिस प्रकार वृत्त के क्षेत्रफल को परिधि के चारों ओर घूमने वाले अनंत रूप से कई अनंत समकोण त्रिभुजों के रूप में सोचा जा सकता है (वृत्त का माप देखें), गोले के आयतन के बारे में सोचा जा सकता है जैसा कि सतह पर त्रिज्या और आधार के बराबर ऊंचाई वाले कई शंकुओं में विभाजित है। सभी शंकुओं की ऊंचाई समान है, इसलिए उनका आयतन आधार क्षेत्रफल गुना ऊंचाई का 1/3 है।

आर्किमिडीज़ का कहना है कि गोले का कुल आयतन शंकु के आयतन के बराबर है जिसके आधार का सतह क्षेत्र गोले के समान है और जिसकी ऊँचाई त्रिज्या है। तर्क के लिए कोई विवरण नहीं दिया गया है, लेकिन स्पष्ट कारण यह है कि आधार क्षेत्र को विभाजित करके शंकु को अनंत शंकुओं में विभाजित किया जा सकता है, और प्रत्येक शंकु अपने आधार क्षेत्र के अनुसार योगदान देता है, ठीक उसी तरह जैसे गोले में होता है.

माना गोले की सतह S है। आधार क्षेत्रफल S और ऊँचाई r वाले शंकु का आयतन है $$Sr/3$$, जो गोले के आयतन के बराबर होना चाहिए: $$4\pi r^3/3$$. अतः गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल अवश्य होगा $$ 4\pi r^2$$, या उसके सबसे बड़े वृत्त का चार गुना। आर्किमिडीज़ ने गोले और सिलेंडर पर में इसे कठोरता से सिद्ध किया है।

तर्कसंगत आयतन के साथ वक्ररेखीय आकृतियाँ
विधि के बारे में उल्लेखनीय चीजों में से एक यह है कि आर्किमिडीज़ को सिलेंडरों के वर्गों द्वारा परिभाषित दो आकार मिलते हैं, जिनकी मात्रा में सम्मिलित नहीं होता है $$\pi$$, आकृतियों की घुमावदार सीमाएँ होने के अतिरिक्त। यह जांच का केंद्रीय बिंदु है - कुछ घुमावदार आकृतियों को रूलर और कम्पास द्वारा ठीक किया जा सकता है, ताकि ज्यामितीय ठोसों के प्रतिच्छेदन द्वारा परिभाषित मात्राओं के बीच गैर-तुच्छ तर्कसंगत संबंध हों।

आर्किमिडीज़ ने ग्रंथ की प्रारंभिक में इस पर जोर दिया है, और पाठक को किसी अन्य विधि द्वारा परिणामों को पुन: प्रस्तुत करने का प्रयास करने के लिए आमंत्रित किया है। अन्य उदाहरणों के विपरीत, उनके किसी भी अन्य कार्य में इन आकृतियों के आयतन की कठोरता से गणना नहीं की गई है। पलिम्प्सेस्ट के टुकड़ों से, ऐसा प्रतीत होता है कि आर्किमिडीज़ ने आयतन के लिए कठोर सीमा सिद्ध करने के लिए आकृतियों को अंकित और परिचालित किया था, चुकीं विवरण संरक्षित नहीं किए गए हैं।

वह जिन दो आकृतियों पर विचार करता है, वे समकोण पर दो सिलेंडरों का प्रतिच्छेदन (जुड़वां सिलेंडर) हैं, जो (x, y, z) का क्षेत्र है: $$ x^2 + y^2 <1, \quad y^2 + z^2 <1,$$ और गोलाकार प्रिज्म, जिसका पालन करने वाला क्षेत्र है: $$ x^2 + y^2<1, \quad 0<z<y.$$ दोनों समस्याओं में स्लाइसिंग है जो यांत्रिक विधि के लिए सरल अभिन्न अंग तैयार करती है। गोलाकार प्रिज्म के लिए, x-अक्ष को स्लाइस में काटें। y-z तल में किसी भी x पर का क्षेत्र भुजा की लंबाई वाले समकोण त्रिभुज का आंतरिक भाग है $$\sqrt{1-x^2}$$ जिसका क्षेत्रफल है $${1\over 2} (1-x^2)$$, ताकि कुल आयतन हो: $$\displaystyle\int_{-1}^1 {1\over 2} (1-x^2) \, dx $$ जिसे यांत्रिक विधि से सरलता से ठीक किया जा सकता है। प्रत्येक त्रिकोणीय खंड में क्षेत्रफल सहित त्रिकोणीय पिरामिड का खंड जोड़ना $$x^2/2$$ प्रिज्म को संतुलित करता है जिसका क्रॉस सेक्शन स्थिर होता है।

दो सिलेंडरों के प्रतिच्छेदन के लिए, स्लाइसिंग पांडुलिपि में खो गई है, लेकिन इसे दस्तावेज़ के बाकी भागों के समानांतर स्पष्ट विधियों से फिर से बनाया जा सकता है: यदि x-z विमान स्लाइस दिशा है, तो सिलेंडर के लिए समीकरण यह देते हैं $$x^2 < 1-y^2$$ जबकि $$z^2 < 1-y^2$$, जो ऐसे क्षेत्र को परिभाषित करता है जो भुजा की लंबाई के x-z तल में वर्ग है $$2\sqrt{1-y^2}$$, जिससे कुल आयतन हो: $$\displaystyle\int_{-1}^1 4(1-y^2) \, dy. $$ और यह पिछले उदाहरण के समान ही अभिन्न है। जॉन होगेनडिज्क का तर्क है कि, बाइसिलेंडर के आयतन के अतिरिक्त, आर्किमिडीज़ को इसका सतह क्षेत्र भी पता था, जो तर्कसंगत भी है।

पालिम्प्सेस्ट में अन्य प्रस्ताव
ज्यामिति के प्रस्तावों की श्रृंखला को समान तर्कों द्वारा पालिम्प्सेस्ट में सिद्ध किया गया है। प्रमेय यह है कि गोलार्ध के द्रव्यमान केंद्र का स्थान ध्रुव से गोले के केंद्र तक के रास्ते के 5/8 भाग पर स्थित होता है। यह समस्या उल्लेखनीय है, क्योंकि यह घनीय समाकलन का मूल्यांकन कर रही है।

यह भी देखें

 * आर्किमिडीज़ पालिम्प्सेस्ट
 * अविभाज्य की विधि
 * थकावट की विधि