बिंदुवार

गणित में, क्वालीफायर बिंदुवार उपयोग यह प्रदर्शित करने के लिए किया जाता है, कि प्रत्येक मान पर विचार करके निश्चित संपत्ति परिभाषित की जाती है $$f(x)$$ किसी फलन का $$f$$ होता है। बिंदुवार अवधारणाओं का महत्वपूर्ण वर्ग संचालन होता है, अर्थात्, परिभाषा के कार्य के डोमेन में प्रत्येक बिंदु के लिए भिन्न-भिन्न मानों को कार्य करने के लिए संचालन को प्रारम्भ करके कार्यों पर परिभाषित संचालन संबंधों के महत्वपूर्ण सिद्धांत को बिंदुवार भी परिभाषित किया जा सकता है।

औपचारिक परिभाषा
बाइनरी संचालन $o: Y × Y → Y$ उपसमुच्चय पर $Y$  किसी संचालन  $O: (X→Y) × (X→Y) → (X→Y)$ से सभी कार्यों के मंच  $X → Y$  के लिए बिंदुवार उठाया जा सकता है। $X$  से $Y$ इस प्रकार है। दो फलन  $f_{1}: X → Y$ एवं $f_{2}: X → Y$  दिए गए हैं। फलन  $O(f_{1}, f_{2}): X → Y$ द्वारा परिभाषित किया जा सकता है।

सामान्यतः o एवं O को प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है। समान परिभाषा का उपयोग यूनरी संचालन o के लिए एवं अन्य एरीटी के संचालन के लिए किया जाता है।

उदाहरण
$$\begin{align} (f+g)(x) & = f(x)+g(x) & \text{(pointwise addition)} \\ (f\cdot g)(x) & = f(x) \cdot g(x) & \text{(pointwise multiplication)} \\ (\lambda \cdot f)(x) & = \lambda \cdot f(x) & \text{(pointwise multiplication by a scalar)} \end{align}$$ जहाँ $$f, g : X \to R$$.

बिंदुवार गुणनफल एवं अदिश भी देखें।

कार्यों पर संचालन का उदाहरण जो बिंदुवार नहीं है, कनवल्शन है।

गुण
बिंदुवार संचालन को कोडोमेन पर संबंधित संचालन से संबद्धता, क्रमविनिमेयता एवं वितरण जैसे गुण मिलते हैं। यदि $$A$$ कुछ बीजगणितीय संरचना है, सभी कार्यों का उपसमुच्चय $$X$$ के वाहक उपसमुच्चय के लिए $$A$$ को समान प्रकार की बीजगणितीय संरचना के रूप में परिवर्तित किया जा सकता है।

घटकवार संचालन
घटकवार संचालन सामान्यतः सदिश पर परिभाषित होते हैं, जहां सदिश उपसमुच्चय के तत्व होते हैं, $$K^n$$ कुछ प्राकृतिक संख्या के लिए $$n$$ एवं कुछ क्षेत्र $$K$$ पर निरूपित करते हैं, किसी भी सदिश का $$i$$-वाँ घटक $$v$$ रूप में $$v_i$$, तो घटकवार जोड़ है।$$(u+v)_i = u_i+v_i$$

मेट्रिसेस पर घटकवार संचालन को परिभाषित किया जा सकता है। आव्यूह जोड़, जहां $$(A + B)_{ij} = A_{ij} + B_{ij}$$ घटकवार संचालन है जबकि आव्यूह गुणन नहीं है।

टपल को फलन के रूप में माना जा सकता है, एवं सदिश, टपल है। इसलिए, कोई भी सदिश $$v$$ फलन से युग्मित होता है। $$f:n\to K$$ ऐसा है कि $$f(i)=v_i$$, एवं सदिशों पर कोई भी घटकवार संक्रिया उन सदिशों के संगत फलनों पर बिंदुवार प्रचालन होता है।

बिंदुवार संबंध
आदेश सिद्धांत में कार्यों पर बिंदुवार आंशिक क्रम को परिभाषित करना सरल है। A, B आंशिक रूप से आदेशित उपसमुच्चय के साथ, कार्यों A → B का उपसमुच्चय f ≤ g द्वारा आदेश दिया जा सकता है, यदि केवल (∀x ∈ A) f(x) ≤ g(x) बिंदुवार आदेश भी अंतर्निहित पोसेट्स के कुछ गुण प्राप्त करते हैं। उदाहरण के लिए यदि A एवं B निरंतर जालक हैं, तो फलनों का समुच्चय A → B बिंदुवार क्रम में है। कार्यों पर बिंदुवार क्रम का उपयोग करके अन्य महत्वपूर्ण धारणाओं को संक्षिप्त रूप से परिभाषित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए:
 * पोसेट्स P पर क्लोजर ऑपरेटर c अतिरिक्त संपत्ति के साथ P (अर्थात प्रक्षेपण आदेश ) पर मोनोटोनिक एवं आदर्श आत्म-मानचित्र है, जो idA ≤ c, जहाँ id पहचान फलन है।
 * इसी प्रकार, प्रोजेक्शन ऑपरेटर k को कर्नेल ऑपरेटर कहा जाता है यदि एवं केवल यदि k ≤ idA होते है।

असीमित बिंदुवार संबंध का उदाहरण कार्यों का बिंदुवार अभिसरण है। कार्यों का अनुक्रम, $$(f_n)_{n=1}^\infty$$ साथ $$f_n:X \longrightarrow Y$$ फलन के लिए अनुक्रम बिंदुवार की सीमा $$f$$ यदि प्रत्येक के लिए $$x$$ में $$X$$ $$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x).$$

होता है।

संदर्भ
For order theory examples:
 * T. S. Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures, Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5.
 * G. Gierz, K. H. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislove, D. S. Scott: Continuous Lattices and Domains, Cambridge University Press, 2003.