साधारण सम्मिश्र

गणित में, सरल सम्मिश्र सेट (गणित) है जो बिंदु (ज्यामिति) से बना है, रेखा खंड, त्रिकोण, और उनके सिम्प्लेक्स |एन-आयामी समकक्ष (चित्रण देखें)। सरलीकृत परिसरों को आधुनिक सरल होमोटोपी सिद्धांत में प्रकट होने वाले सरल सेट की अधिक सारगर्भित धारणा के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। सरल सम्मिश्र के लिए विशुद्ध रूप से साहचर्य समकक्ष सार सरल सम्मिश्र है। सरल सरलीकृत परिसर को अमूर्त सरलीकृत परिसर से अलग करने के लिए, पूर्व को अक्सर ज्यामितीय सरलीकृत परिसर कहा जाता है।''

परिभाषाएँ
एक सरल परिसर $$\mathcal{K}$$ सिम्पलेक्स का सेट है जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:
 * 1. हर सिम्पलेक्स # सिंप्लेक्स के तत्व $$\mathcal{K}$$ में भी है $$\mathcal{K}$$.
 * 2. किसी भी दो सरलताओं का गैर-खाली सेट चौराहा $$\sigma_1, \sigma_2 \in \mathcal{K}$$ दोनों का चेहरा है $$\sigma_1$$ और $$\sigma_2$$.

एक सार सरल परिसर की परिभाषा भी देखें, जो ढीले ढंग से बोलना संबद्ध ज्यामिति के बिना सरल सम्मिश्र है।

एक सरल के-कॉम्प्लेक्स $$\mathcal{K}$$ सरल सम्मिश्र है जहां किसी भी सरल का सबसे बड़ा आयाम है $$\mathcal{K}$$ कश्मीर के बराबर उदाहरण के लिए, सरल 2-कॉम्प्लेक्स में कम से कम त्रिकोण होना चाहिए, और इसमें कोई टेट्राहेड्रा या उच्च-आयामी सरलता नहीं होनी चाहिए।

एक 'शुद्ध' या 'सजातीय' सरल के-कॉम्प्लेक्स $$\mathcal{K}$$ सरल परिसर है जहां k से कम आयाम का प्रत्येक सरल किसी सरल का चेहरा है $$\sigma \in \mathcal{K}$$ आयाम बिल्कुल k. अनौपचारिक रूप से, शुद्ध 1-कॉम्प्लेक्स ऐसा लगता है जैसे यह लाइनों के समूह से बना है, 2-कॉम्प्लेक्स ऐसा लगता है जैसे यह त्रिकोणों के समूह से बना है, आदि। इसके शीर्षों में से एक। शुद्ध सरल परिसरों को त्रिकोणासन (टोपोलॉजी) के रूप में माना जा सकता है और polytope ्स की परिभाषा प्रदान करता है।

एक 'पहलू' अधिकतम सिंप्लेक्स है, यानी, किसी कॉम्प्लेक्स में कोई सिम्प्लेक्स जो किसी बड़े सिंप्लेक्स का चेहरा नहीं है। (एक सिम्प्लेक्स के चेहरे से अंतर पर ध्यान दें। सिम्प्लेक्स का चेहरा)। शुद्ध सरल परिसर को सम्मिश्र के रूप में माना जा सकता है जहां सभी पहलुओं का ही आयाम होता है। सरल पॉलीटोप्स के (सीमा परिसरों) के लिए यह पॉलीहेड्रल कॉम्बिनेटरिक्स के अर्थ के साथ मेल खाता है।

कभी-कभी शब्द का चेहरा सम्मिश्र के सिंप्लेक्स को संदर्भित करने के लिए उपयोग किया जाता है, न कि सिम्प्लेक्स के चेहरे से भ्रमित होने के लिए।

के-डायमेंशनल स्पेस में सरल कॉम्प्लेक्स एम्बेडिंग के लिए, के-फेस को कभी-कभी इसके 'सेल' के रूप में संदर्भित किया जाता है। सेल शब्द का प्रयोग कभी-कभी व्यापक अर्थ में सेट होमोमोर्फिज्म को सिम्प्लेक्स में निरूपित करने के लिए किया जाता है, जिससे कोशिका परिसर  की परिभाषा हो जाती है।

'अंतर्निहित स्थान', जिसे कभी-कभी सरल परिसर का 'वाहक' कहा जाता है, इसके सरलताओं का संघ (सेट सिद्धांत) है। इसे आमतौर पर द्वारा दर्शाया जाता है $$|\mathcal{K}|$$ या $$||\mathcal{K}||$$.

समर्थन
सभी सरलताओं के सापेक्ष आंतरिक भाग $$\mathcal{K}$$ इसके अंतर्निहित स्थान का विभाजन बनाएं $$|\mathcal{K}|$$: प्रत्येक बिंदु के लिए $$x\in |\mathcal{K}|$$, इसमें बिल्कुल सिम्पलेक्स है $$\mathcal{K}$$ युक्त $$x$$ इसके सापेक्ष इंटीरियर में। इस सिम्प्लेक्स को 'x' का समर्थन कहा जाता है और निरूपित किया जाता है $$\operatorname{supp}(x)$$.

क्लोजर, स्टार और लिंक
K को सरल परिसर होने दें और S को K में सरलताओं का संग्रह होने दें।

एस का 'बंद' (निरूपित $$\mathrm{Cl}\ S$$) K का सबसे छोटा सरल उपसमुच्चय है जिसमें S में प्रत्येक सिंप्लेक्स होता है। $$\mathrm{Cl}\ S$$ एस में हर सिम्प्लेक्स के प्रत्येक चेहरे को बार-बार एस में जोड़कर प्राप्त किया जाता है।

S का 'तारा (सरल परिसर)' (निरूपित)। $$\mathrm{st}\ S$$) एस में प्रत्येक सिम्प्लेक्स के सितारों का मिलन है। एकल सिम्प्लेक्स एस के लिए, एस का तारा चेहरे के रूप में सरलता का सेट है. एस का सितारा आम तौर पर सरल परिसर नहीं है, इसलिए कुछ लेखक एस के 'बंद स्टार' को परिभाषित करते हैं (निरूपित) $$\mathrm{St}\ S$$) जैसा $$\mathrm{Cl}\ \mathrm{st}\ S$$ S के तारे का बंद होना

S का लिंक (ज्यामिति) (निरूपित $$\mathrm{Lk}\ S$$) बराबर है $$\mathrm{Cl}\big(\mathrm{st}(S)\big) \setminus \mathrm{st}\big(\mathrm{Cl}(S)\big)$$. यह S माइनस S का बंद तारा है जो S के सभी चेहरों का तारा है।

बीजगणितीय टोपोलॉजी
बीजगणितीय टोपोलॉजी में, सरल परिसर अक्सर ठोस गणनाओं के लिए उपयोगी होते हैं। सरल परिसर के होमोलॉजी समूहों की परिभाषा के लिए, कोई भी संबंधित श्रृंखला परिसर को सीधे पढ़ सकता है, बशर्ते कि सभी सरलताओं से सुसंगत अभिविन्यास बने हों। होमोटॉपी सिद्धांत की आवश्यकताएं अधिक सामान्य रिक्त स्थान, सीडब्ल्यू परिसरों के उपयोग की ओर ले जाती हैं। बीजगणितीय टोपोलॉजी में अनंत परिसर तकनीकी उपकरण बुनियादी हैं। उपसमुच्चयों से बने यूक्लिडियन अंतरिक्ष के उप-स्थानों के रूप में सरल परिसरों के पॉलीटॉप पर चर्चा भी देखें, जिनमें से प्रत्येक सरल है। पावेल सर्गेइविच अलेक्जेंड्रोव को कुछ और अधिक ठोस अवधारणा के लिए जिम्मेदार ठहराया गया है। यहाँ जिस अर्थ में बात की गई है, उसमें किसी भी परिमित सरल परिसर को कुछ बड़ी संख्या में आयामों में, उस अर्थ में पॉलीटॉप के रूप में एम्बेड किया जा सकता है। बीजगणितीय टोपोलॉजी में, कॉम्पैक्ट जगह  टोपोलॉजिकल स्पेस जो परिमित सरल परिसर के ज्यामितीय प्राप्ति के लिए होमोमोर्फिक है, आमतौर पर  बहुतल  कहा जाता है (देखें, , ).

कॉम्बिनेटरिक्स
कॉम्बिनेटरिक्स अक्सर 'एफ'-वेक्टर का सरल डी-कॉम्प्लेक्स Δ का अध्ययन करते हैं, जो पूर्णांक अनुक्रम है $$(f_0, f_1,  f_2,  \ldots,  f_{d+1})$$, जहां एफi Δ के (i−1)-विमीय चेहरों की संख्या है (सम्मेलन के अनुसार, f0= 1 जब तक कि Δ खाली परिसर न हो)। उदाहरण के लिए, यदि Δ अष्टफलक की सीमा है, तो इसका एफ-वेक्टर (1, 6, 12, 8) है, और यदि Δ ऊपर चित्रित पहला सरल सम्मिश्र है, तो इसका एफ-वेक्टर (1, 18, 23) है, 8, 1)। क्रुस्कल-काटोना प्रमेय द्वारा सरलीकृत परिसरों के संभावित एफ-वैक्टरों का पूर्ण लक्षण वर्णन दिया गया है।

सरल डी-कॉम्प्लेक्स Δ के एफ-वेक्टर को बहुपद के गुणांक के रूप में उपयोग करके (घातांकों के घटते क्रम में लिखा गया), हम Δ का 'एफ-बहुपद' प्राप्त करते हैं। ऊपर दिए गए हमारे दो उदाहरणों में, f-बहुपद होंगे $$x^3+6x^2+12x+8$$ और $$x^4+18x^3+23x^2+8x+1$$, क्रमश।

कॉम्बिनेटरिस्ट अक्सर सरल सम्मिश्र Δ के एच-वेक्टर में काफी रुचि रखते हैं, जो बहुपद के गुणांकों का अनुक्रम है जो x − 1 को Δ के f''-बहुपद में प्लग करने के परिणामस्वरूप होता है। औपचारिक रूप से, यदि हम 'F' लिखते हैंΔ(x) Δ के एफ-बहुपद का मतलब है, तो Δ का 'एच-बहुपद' है


 * $$F_\Delta(x-1)=h_0x^{d+1}+h_1x^d+h_2x^{d-1}+\cdots+h_dx+h_{d+1}$$

और Δ का एच-वेक्टर है


 * $$(h_0, h_1,  h_2, \cdots,  h_{d+1}).$$

हम ऑक्टाहेड्रोन सीमा (हमारा पहला उदाहरण) के एच-वेक्टर की गणना निम्नानुसार करते हैं:


 * $$F(x-1)=(x-1)^3+6(x-1)^2+12(x-1)+8=x^3+3x^2+3x+1.$$

तो ऑक्टाहेड्रॉन की सीमा का एच-वेक्टर (1, 3, 3, 1) है। यह कोई संयोग नहीं है कि यह एच-वेक्टर सममित है। वास्तव में, ऐसा तब होता है जब Δ सरल पॉलीटॉप की सीमा होती है (ये देह्न-सोमरविले समीकरण हैं)। सामान्य तौर पर, हालांकि, सरल परिसर का एच-वेक्टर भी आवश्यक रूप से सकारात्मक नहीं होता है। उदाहरण के लिए, यदि हम Δ को केवल उभयनिष्ठ शीर्ष पर प्रतिच्छेद करने वाले दो त्रिभुजों द्वारा दिए गए 2-कॉम्प्लेक्स के रूप में लेते हैं, तो परिणामी h-वेक्टर (1, 3, -2) है।

रिचर्ड पी. स्टैनली, बिलेरा और ली के प्रसिद्ध जी-प्रमेय द्वारा सभी सरल पॉलीटॉप एच-वैक्टर का पूर्ण लक्षण वर्णन दिया गया है।

सरल परिसरों को समान ज्यामितीय संरचना के रूप में देखा जा सकता है जैसे कि गोले की पैकिंग का संपर्क ग्राफ (एक ग्राफ जहां गोले के केंद्र होते हैं और किनारों का अस्तित्व होता है यदि संबंधित पैकिंग तत्व दूसरे को स्पर्श करते हैं) और इस तरह का निर्धारण करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है गोलाकार पैकिंग के कॉम्बिनेटरिक्स, जैसे कि स्फेयर पैकिंग में टचिंग जोड़े (1-सिंपलिस), टचिंग ट्रिपल (2-सिंपलिस), और टचिंग चौगुनी (3-सिंपलिस) की संख्या।

कम्प्यूटेशनल समस्याएं
सरल सम्मिश्र मान्यता समस्या है: परिमित सरलीकृत परिसर दिया गया है, यह तय करें कि यह किसी दिए गए ज्यामितीय वस्तु के लिए होमोमोर्फिक है या नहीं। यह समस्या डी ≥ 5 के लिए किसी भी डी-आयामी मैनिफोल्ड के लिए अनिर्णीत समस्या है।

यह भी देखें

 * सार सरल सम्मिश्र
 * बैरीसेंट्रिक उपखंड
 * कारण गतिशील त्रिकोणासन
 * डेल्टा सेट
 * बहुभुज श्रृंखला – 1 आयामी सादा सम्मिश्र
 * टकर की लेम्मा
 * सिम्पलेक्स ट्री

बाहरी संबंध

 * Norman J. Wildberger. "Simplices and simplicial complexes". A Youtube talk..
 * Norman J. Wildberger. "Simplices and simplicial complexes". A Youtube talk..