समतल आलेख

आलेख सिद्धांत में, एक समतल आलेख एक असतत आलेख होता है जिसे समतल (ज्यामिति) में आलेख अंतर्निहित किया जा सकता है, अर्थात, इसे समतल पर इस तरह से खींचा जा सकता है कि इसके किनारे केवल अपने अंतिम बिंदुओं पर ही प्रतिच्छेद करते है। दूसरे शब्दों में, इसे इस तरह से खींचा जा सकता है कि कोई भी किनारा एक-दूसरे को पार न कर सके। इस तरह के आलेख को समतल आलेख अंतर्निहित कहा जाता है। एक समतल आलेख को एक समतल आलेख अंतर्निहित के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसमें एक समतल पर प्रत्येक नोड से एक बिंदु तक और प्रत्येक किनारे से उस समतल पर एक समतल वक्र तक मैपिंग की जाती है, जैसे कि प्रत्येक वक्र के उच्चतम बिंदु उसके अंत से मैप किए गए बिंदु होते है। नोड्स, और सभी वक्र अपने उच्चतम बिंदुओं को छोड़कर असंयुक्त होते है।

प्रत्येक आलेख जो एक समतल पर खींचा जा सकता है, उसे त्रिविम प्रक्षेपण के माध्यम से गोले पर भी खींचा जा सकता है।

समतल आलेख संयोजक मानचित्र मानचित्रों या घुमाव प्रणाली द्वारा एन्कोड किया जा सकता है।

गोले पर संस्थानिक रूप से समतुल्य आलेखों का एक समतुल्य वर्ग, सामान्यतः पुल (आलेख सिद्धांत) की अनुपस्थिति जैसी अतिरिक्त मान्यताओं के साथ, एक समतल मानचित्र कहलाता है। चूँकि समतल आलेख का एक बाहरी या असीमित फलक होता है (आलेख सिद्धांत), समतल मानचित्र के किसी भी फलक की कोई विशेष स्थिति नहीं होती है।

समतलीय आलेख किसी दिए गए जीनस (गणित) की सतह पर खींचे जाने योग्य आलेख के लिए सामान्यीकृत होते है। इस वाक्यांश में, समतलीय आलेख में आलेख जीनस 0 होता है, क्योंकि समतल (और गोला) जीनस 0 की सतहें होती है। अन्य संबंधित विषयों के लिए आलेख अंतर्निहित देखें।

कुराटोव्स्की और वैगनर के प्रमेय
पोलैंड के गणितज्ञ काज़िमिर्ज़ कुराटोव्स्की ने निषिद्ध आलेख लक्षण वर्णन के संदर्भ में समतल आलेख का एक लक्षण वर्णन प्रदान किया, जिसे अब कुराटोव्स्की के प्रमेय के रूप में जाना जाता है:


 * एक आलेख (असतत गणित)#परिमित और अनंत आलेख समतल है यदि और केवल यदि इसमें आलेख सिद्धांत की वाक्यांश सम्मलित नहीं होता है आलेख जो संपूर्ण आलेख का एक उपवर्ग (आलेख सिद्धांत) है $K5$ या संपूर्ण द्विदलीय आलेख $K3,3$ (उपयोगिता आलेख)।

आलेख का एक उपवर्ग (आलेख सिद्धांत) किनारों में शीर्ष डालने से उत्पन्न होता है (उदाहरण के लिए, एक किनारे को बदलना)। • —— • to • — • — • ) शून्य या अधिक होता है उपवर्गों पर विचार करने के अतिरिक्त, वैगनर का प्रमेय लघु (आलेख सिद्धांत) से संबंधित है:


 * एक परिमित आलेख समतलीय होता है यदि और केवल तभी जब उसमें ऐसा न हो $K5$ या $K3,3$ एक लघु (आलेख सिद्धांत) होता है।

आलेख का एक लघु (आलेख सिद्धांत) एक सबआलेख लेने और एक किनारे को बार-बार एक शीर्ष में अनुबंधित करने से उत्पन्न होता है, जिसमें मूल अंत-शीर्ष का प्रत्येक पड़ोसी नए शीर्ष का पड़ोसी बन जाता है।

क्लॉस वैगनर (गणितज्ञ) ने अधिक सामान्यतः पूछा कि क्या आलेख का कोई लघु-बंद वर्ग निषिद्ध लघु के एक सीमित समूह द्वारा निर्धारित किया जाता है। यह अब रॉबर्टसन-सेमुर प्रमेय है, जो कागजात की एक लंबी श्रृंखला में सिद्ध हुआ है। इस प्रमेय की भाषा में, $K3,3$ और $K5$परिमित समतलीय आलेख के वर्ग के लिए निषिद्ध अवयस्क है।

अन्य मानदंड
व्यवहार में, यह तय करने के लिए कि कोई दिया गया आलेख समतल है या नहीं, कुराटोस्की की कसौटी का उपयोग करना कठिन होता है। चूँकि, इस समस्या के लिए तेज़ कलन विधि उपस्थित है: एक आलेख के लिए $n$ शीर्ष, समय पर निर्धारित करना संभव है $K3,3$ (रैखिक समय) आलेख समतलीय हो सकता है या नहीं (तलीयता परीक्षण देखें)।

एक सरल, संपर्क, समतलीय आलेख के लिए $v$ शीर्ष और $e$किनारे और $f$ चेहरों के लिए निम्नलिखित सरल स्थितियाँ लागू होती है $K3,3$:


 * प्रमेय 1. $K5$,
 * प्रमेय 2. यदि लंबाई 3 का कोई चक्र नहीं है, तो $K3,3$.
 * प्रमेय 3. $O(n)$.

इस अर्थ में, समतलीय आलेख विरल आलेख होते है, इसमें केवल यही होता है $v ≥ 3$ किनारे, अधिकतम से बिल्कुल छोटे $e ≤ 3v – 6$. लेखाचित्र K$3,3$}उदाहरण के लिए, } में 6 शीर्ष, 9 किनारे और लंबाई 3 का कोई चक्र नहीं है। इसलिए, प्रमेय 2 के अनुसार, यह समतल नहीं हो सकता। ये प्रमेय समतलता के लिए आवश्यक स्थितिें प्रदान करते है जो पर्याप्त स्थितियाँ नहीं है, और इसलिए इसका उपयोग केवल यह सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है कि आलेख समतल नहीं है, न कि यह समतल है। यदि प्रमेय 1 और 2 दोनों विफल हो जाते है, तो अन्य विधियों का उपयोग किया जा सकता है।


 * व्हिटनी का समतलीय मानदंड एक बीजगणितीय दोहरे के अस्तित्व के आधार पर एक लक्षण वर्णन देता है,
 * मैक लेन का समतलीय मानदंड, उनके चक्र स्थानों के माध्यम से, परिमित समतलीय आलेख का बीजगणितीय लक्षण वर्णन देता है,
 * फ्रैसेसिक्स-रोसेनस्टीहल प्लैनरिटी मानदंड गहराई-प्रथम खोज ट्री के कोट्री किनारों के द्विविभाजन के अस्तित्व के आधार पर एक लक्षण वर्णन देता है। यह बाएँ-दाएँ समतलता परीक्षण कलन विधि का केंद्र होता है,
 * श्नाइडर का प्रमेय क्रम आयाम के संदर्भ में समतलता का लक्षण वर्णन देता है,
 * कॉलिन डी वेरडीयर आलेख इनवेरिएंट कॉलिन डी वेरडीयर का प्लानेरिटी मानदंड आलेख द्वारा परिभाषित कुछ श्रोडिंगर परिचलनों के दूसरे आइगेनवैल्यू की अधिकतम बहुलता के आधार पर एक लक्षण वर्णन देता है।
 * हनानी-टुट्टे प्रमेय में कहा गया है कि एक आलेख समतल होता है यदि और केवल तभी जब इसमें एक आलेख हो जिसमें किनारों का प्रत्येक स्वतंत्र जोड़ा सम संख्या में बार पार करता हो, इसका उपयोग समीकरण मॉड्यूलो 2 की प्रणाली के माध्यम से समतलीय आलेख को चित्रित करने के लिए किया जा सकता है।

यूलर का सूत्र
यूलर के सूत्र में कहा गया है कि यदि एक परिमित, कनेक्टिविटी (आलेख सिद्धांत), समतलीय आलेख बिना किसी किनारे के चौराहे के समतल में खींचा जाता है, और $v$ शीर्ष की संख्या है, $e$ किनारों की संख्या है और $f$ तो फलकों की संख्या है (किनारों से घिरा क्षेत्र, जिसमें बाहरी, असीम रूप से बड़ा क्षेत्र भी सम्मलित है)।


 * $$v-e+f=2.$$

उदाहरण के रूप में, ऊपर दिए गए तितली आलेख में, $e ≤ 2v – 4$, $f ≤ 2v – 4$ और $O(v)$.

सामान्यतः, यदि गुण सभी समतलीय आलेखों के लिए मान्य है $f$ चेहरे, आलेख में कोई भी परिवर्तन जो आलेख को समतल रखते हुए एक अतिरिक्त चेहरा बनाता है, रखा जाएगा $O(v2)$ एक अपरिवर्तनीय. चूंकि गुण सभी आलेख के लिए मान्य है $v = 5$, गणितीय प्रेरण द्वारा यह सभी स्थितियों के लिए लागू होता है। यूलर के सूत्र को इस प्रकार भी सिद्ध किया जा सकता है: यदि आलेख एक पेड़ नहीं है (आलेख सिद्धांत), तो एक किनारे को हटा दें जो एक चक्र (आलेख सिद्धांत) को पूरा करता है। इससे दोनों कम हो जाते है $e$ और $f$ एक करके, जा रहा हूँ $e = 6$ नियत। तब तक दोहराएँ जब तक शेष आलेख एक पेड़ न बन जाए, पेड़ों के पास है $f = 3$ और $v – e + f$, उपज $f = 2$, मैं। ई., यूलर विशेषता 2 है।

एक परिमित में, कनेक्टिविटी (आलेख सिद्धांत), सरल आलेख, समतल आलेख, कोई भी चेहरा (संभवतः बाहरी को छोड़कर) कम से कम तीन किनारों से घिरा होता है और प्रत्येक किनारा अधिकतम दो चेहरों को छूता है, यूलर के सूत्र का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि ये आलेख इस अर्थ में विरल है कि यदि $v – e + f$:


 * $$e\leq 3v-6.$$

यूलर का सूत्र उत्तल बहुफलक के लिए भी मान्य है। यह कोई संयोग नहीं है: प्रत्येक उत्तल पॉलीहेड्रॉन को पॉलीहेड्रॉन के श्लेगल आरेख का उपयोग करके एक संपर्क, सरल, प्लेनर आलेख में बदल दिया जा सकता है, एक विमान पर पॉलीहेड्रॉन का एक परिप्रेक्ष्य प्रक्षेपण जिसमें से किसी एक के केंद्र के पास चुने गए परिप्रेक्ष्य का केंद्र होता है बहुफलक के फलक. प्रत्येक समतलीय आलेख इस तरह से उत्तल बहुफलक से मेल नहीं खाता: उदाहरण के लिए, पेड़ ऐसा नहीं करते। स्टीनिट्ज़ के प्रमेय का कहना है कि उत्तल पॉलीहेड्रा से बने बहुफलकीय आलेख त्रुटिहीन रूप से परिमित संपर्क (आलेख सिद्धांत) 3-जुड़े हुए सरल प्लानर आलेख होते है। अधिक सामान्यतः, यूलर का सूत्र किसी भी बहुफलक पर लागू होता है जिसके चेहरे सरल बहुभुज होते है जो एक गोले की सतह समरूपता बनाते है।

औसत डिग्री
एक से अधिक किनारों वाले जुड़े समतलीय आलेख असमानता का पालन करते है $v = e + 1$, क्योंकि प्रत्येक चेहरे में कम से कम तीन चेहरे-किनारे की घटनाएं होती है और प्रत्येक किनारे ठीक दो घटनाओं में योगदान देता है। यह यूलर के सूत्र के साथ इस असमानता के बीजगणितीय परिवर्तनों का अनुसरण करता है $f = 1$कि परिमित समतलीय आलेख के लिए औसत डिग्री 6 से बिल्कुल कम होती है। उच्चतर औसत डिग्री वाले आलेख समतलीय नहीं हो सकते है।

सिक्का आलेख
हम कहते है कि समतल में खींचे गए दो वृत्त जब भी बिल्कुल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते है तो चुंबन (या ऑस्कुलेटिंग वृत्त) करते है। एक सिक्का आलेख एक ऐसा आलेख है जो वृत्तों के एक समूह द्वारा बनाया जाता है, जिनमें से किसी भी दो में ओवरलैपिंग भीतरी भाग नहीं होते है, प्रत्येक सर्कल के लिए एक शीर्ष बनाते है और सर्कल की प्रत्येक जोड़ी के लिए एक किनारा बनाते है जो चुंबन करते है। सर्कल पैकिंग प्रमेय, जिसे पहली बार 1936 में पॉल कोबे द्वारा सिद्ध किया गया था, बताता है कि एक आलेख समतल है यदि और केवल यदि यह एक सिक्का आलेख है।

यह परिणाम फ़ेरी के प्रमेय का एक आसान प्रमाण प्रदान करता है, कि प्रत्येक सरल समतलीय आलेख को समतल में इस तरह से अंतर्निहित किया जा सकता है कि उसके किनारे सीधी रेखा वर्ग हों जो एक दूसरे को पार न करें। यदि कोई सिक्का आलेख प्रतिनिधित्व में आलेख के प्रत्येक शीर्ष को संबंधित सर्कल के केंद्र में रखता है, तो चुंबन सर्कल के केंद्रों के बीच की रेखा वर्ग किसी भी अन्य किनारों को पार नहीं करती है।

समतलीय आलेख घनत्व
जालीपन गुणांक या घनत्व $D$ एक समतलीय आलेख या संजाल का, संख्या का अनुपात है $v – e + f = 2$ इसके अधिकतम संभव मानों द्वारा परिबद्ध फलकों का (मैक लेन के समतलीय मानदंड के अनुसार, आलेख के परिपथ रैंक के समान) $v ≥ 3$ के साथ एक आलेख के लिए $v$ शीर्ष:
 * $$D = \frac{f-1}{2v-5}$$

घनत्व पालन करता है $2e ≥ 3f$, साथ $v – e + f = 2$ के लिए एक पूरी तरह से विरल समतलीय आलेख (एक पेड़), और $K−5$ पूरी तरह से सघन (अधिकतम) समतलीय आलेख के लिए है।

दोहरा आलेख
एक अंतर्निहित दिया गया $G$ किनारों के प्रतिच्छेदन के बिना समतल में (आवश्यक रूप से सरल नहीं) जुड़े हुए आलेख का, हम दोहरे आलेख का निर्माण करते है $G*$ इस प्रकार है: हम प्रत्येक फलक में एक शीर्ष चुनते है $G$ (बाहरी चेहरे सहित) और प्रत्येक किनारे के लिए $e$ में $G$ हम एक नई बढ़त का परिचय देते है $G*$ दो शीर्ष को अंदर जोड़ना $G*$ दो चेहरों के अनुरूप $G$ जो यहां मिलते है $e$. इसके अतिरिक्त, यह किनारा खींचा जाता है जिससे कि यह पार हो जाए $e$ बिल्कुल एक बार और उसका कोई दूसरा किनारा नहीं $G$ या $G*$ प्रतिच्छेदित है. तब $G*$ फिर से एक (आवश्यक नहीं कि सरल) समतलीय आलेख का अंतर्निहित है, इसके उतने ही किनारे है $G$, जितने शीर्ष $G$ के चेहरे और उतने ही चेहरे है $G$ शीर्ष है. द्वैत शब्द इस तथ्य से उचित है $f – 1$, यहां समानता गोले पर अंतर्निहित की तुल्यता है। यदि $G$ तो उत्तल बहुफलक के अनुरूप समतलीय आलेख है $G*$ दोहरे बहुफलक के अनुरूप समतलीय आलेख है।

दोहरे उपयोगी होते है क्योंकि दोहरे आलेख के कई गुण मूल आलेख के गुणों से सरल विधियों से संबंधित होते है, जिससे उनके दोहरे आलेख की जांच करके आलेख के बारे में परिणामों को सिद्ध किया जा सकता है।

जबकि किसी विशेष अंतर्निहित के लिए निर्मित दोहरा अद्वितीय है (समाकृतिकता तक), आलेख में अलग-अलग (अर्थात गैर-समरूपी) दोहरे हो सकते है, जो अलग-अलग (अर्थात समरूपी) अंतर्निहित से प्राप्त होते है।

अधिकतम समतलीय आलेख
एक साधारण आलेख को अधिकतम तलीय कहा जाता है यदि यह समतल है, लेकिन कोई भी किनारा जोड़ने (दिए गए शीर्ष समूह पर) उस गुण को नष्ट कर देता है। फिर सभी फलकों (बाहरी फलक सहित) को तीन किनारों से घेर दिया जाता है, जो वैकल्पिक शब्द समतल त्रिभुज की व्याख्या करता है। वैकल्पिक नाम त्रिकोणीय आलेख या त्रिकोणीय आलेख का भी उपयोग किया गया है, लेकिन वे अस्पष्ट है, क्योंकि वे सामान्यतः क्रमशः पूर्ण आलेख के रेखा आलेख और कॉर्डल आलेख को संदर्भित करते है। प्रत्येक अधिकतम तलीय आलेख कम से कम 3-जुड़ा हुआ होता है।

यदि एक अधिकतम समतलीय आलेख है $v$ शीर्ष के साथ $2v – 5$, तो यह बिल्कुल ठीक है $0 ≤ D ≤ 1$किनारे और $D = 0$ चेहरे के।

अपोलोनियन संजाल त्रिकोणीय चेहरों को बार-बार छोटे त्रिकोणों के त्रिगुणों में विभाजित करके बनाए गए अधिकतम समतलीय आलेख है। समान रूप से, वे समतलीय k-ट्री है।

स्ट्रेंग्युलेटेड आलेख वे आलेख होते है जिनमें प्रत्येक परिधीय चक्र एक त्रिभुज होता है। अधिकतम समतलीय आलेख (या अधिक सामान्यतः एक बहुफलकीय आलेख) में परिधीय चक्र फलक होते है, इसलिए अधिकतम समतलीय आलेख का गला घोंट दिया जाता है। गला घोंट दिया गया आलेख में कॉर्डल आलेख भी सम्मलित है, और ये बिल्कुल ऐसे आलेख है जो पूर्ण आलेख और अधिकतम प्लानर आलेख के क्लिक-योग (किनारों को हटाए बिना) द्वारा बनाए जा सकते है।

आउटरप्लानर आलेख
आउटरप्लानर आलेख समतल में अंतर्निहित वाले आलेख होते है, जैसे कि सभी कोने अंतर्निहित के असीमित चेहरे से संबंधित होते है। प्रत्येक बाहरी तलीय आलेख समतलीय होता है, लेकिन इसका विपरीत सत्य नहीं है: $D = 1$ समतलीय है लेकिन बाह्यतलीय नहीं है। कुराटोस्की के समान एक प्रमेय में कहा गया है कि एक परिमित आलेख बाहरी तलीय होता है यदि और केवल तभी जब इसमें उपविभाजन न हो $G** = G$ या का $v > 2$. उपरोक्त इस तथ्य का प्रत्यक्ष परिणाम है कि एक आलेख G}यदि आलेख से बना है तो } आउटरप्लानर है $G$ एक नया शीर्ष जोड़कर, किनारों के साथ इसे अन्य सभी शीर्ष से जोड़कर, एक समतल आलेख बनता है।

आलेख का 1-आउटरप्लानर अंतर्निहित आउटरप्लानर अंतर्निहित के समान है। के लिए $3v – 6$ एक समतल अंतर्निहित है $k$-आउटरप्लानर यदि बाहरी फलक पर शीर्ष को हटाने पर परिणाम मिलता है $2v – 4$-आउटरप्लानर अंतर्निहित। एक आलेख है $k$-आउटरप्लानर यदि इसमें एक है $k$-आउटरप्लानर अंतर्निहित।

हैलिन आलेख
हालीन आलेख एक अप्रत्यक्ष समतल ट्री (बिना डिग्री-दो नोड्स के) से बना एक आलेख है, जो पेड़ के समतल अंतर्निहित द्वारा दिए गए क्रम में, इसकी पत्तियों को एक चक्र में जोड़ता है। समान रूप से, यह एक बहुफलकीय आलेख है जिसमें एक फलक अन्य सभी फलकों से सटा हुआ होता है। प्रत्येक हेलिन आलेख समतलीय है। आउटरप्लानर आलेख की तरह, हेलिन आलेख में कम ट्री चौड़ाई होती है, जिससे उन पर कई एल्गोरिथम समस्याएं अप्रतिबंधित प्लेनर आलेख की तुलना में अधिक आसानी से हल हो जाती है।

समतलीय आलेख
एक उर्ध्व तलीय आलेख एक निर्देशित चक्रीय आलेख है जिसे समतल में इसके किनारों के साथ गैर-क्रॉसिंग वक्र के रूप में खींचा जा सकता है जो लगातार ऊपर की दिशा में उन्मुख होते है। प्रत्येक तलीय निर्देशित अचक्रीय आलेख उर्ध्व तलीय नहीं है, और यह परीक्षण करने के लिए एनपी-पूर्ण है कि कोई दिया गया आलेख उर्ध्व तलीय है या नहीं है।

उत्तल तलीय आलेख
एक समतल आलेख को उत्तल कहा जाता है यदि उसके सभी फलक उत्तल बहुभुज होते है। सभी समतलीय आलेख में उत्तल अंतर्निहित नहीं होती है। $K_{4}$). एक पर्याप्त स्थिति यह है कि एक आलेख को उत्तल रूप से खींचा जा सकता है कि यह एक 3-शीर्ष-संपर्क प्लेनर आलेख का एक उपवर्ग (आलेख सिद्धांत) है। टुट्टे अंतर्निहित प्रमेय ​​कहता है कि सरल 3-शीर्ष-संपर्क प्लेनर आलेख के लिए आंतरिक शीर्ष की स्थिति को उसके वर्गों के औसत के रूप में चुना जा सकता है।

शब्द-प्रतिनिधित्व योग्य समतलीय आलेख
शब्द-प्रतिनिधित्व योग्य समतलीय आलेख में त्रिभुज-मुक्त समतलीय आलेख और, अधिक सामान्यतः, 3-रंगीय समतलीय आलेख सम्मलित है।

समतलीय आलेख की गणना
समतल आलेख की संख्या के लिए स्पर्शोन्मुख विश्लेषण $$n$$ शीर्ष है $$g\cdot n^{-7/2}\cdot \gamma^n\cdot n!$$, जहाँ $$\gamma\approx 27.22687$$ और $$g\approx 0.43\times 10^{-5}$$.

लगभग सभी समतलीय आलेखों में ऑटोमोर्फिज्म की घातीय संख्या होती है।

गैर-समरूपी समतल आलेख की संख्या $$n$$ शीर्ष के बीच है $$27.2^n$$ और $$30.06^n$$.

अन्य परिणाम
चार रंग प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक समतलीय आलेख आलेख रंग (अर्थात, 4-पार्टाइट) है।

फ़ेरी के प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक सरल समतलीय आलेख एक समतलीय सीधी-रेखा आलेख के रूप में प्रतिनिधित्व स्वीकार करता है। एक सार्वभौमिक बिंदु समूह बिंदुओं का एक समूह है जैसे कि एन कोने वाले प्रत्येक समतल आलेख में बिंदु समूह में सभी शीर्ष के साथ ऐसा अंतर्निहित होता है, द्विघात आकार के सार्वभौमिक बिंदु समूह उपस्थित है, जो पूर्णांक जाली के आयताकार उपसमुच्चय को लेकर बनते है। प्रत्येक सरल आउटरप्लानर आलेख समतल में एक अंतर्निहित को स्वीकार करता है जैसे कि सभी शीर्ष एक निश्चित वृत्त पर स्थित होते है और सभी किनारे सीधी रेखा वर्ग होते है जो डिस्क के अंदर स्थित होते है और प्रतिच्छेद नहीं करते है, इसलिए एन-शीर्ष नियमित बहुभुज आउटरप्लानर आलेख के लिए सार्वभौमिक होते है।

शीनरमैन का अनुमान (अब एक प्रमेय) बताता है कि प्रत्येक समतल आलेख को समतल में रेखा वर्गों के प्रतिच्छेदन आलेख के रूप में दर्शाया जा सकता है।

समतल विभाजक प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक एन-शीर्ष समतल आलेख को आलेख सिद्धांत की दो वाक्यांश में विभाजित किया जा सकता है O को हटाकर अधिकतम 2n/3 आकार के सबआलेख$\sqrt{n}$) शीर्ष. परिणामस्वरूप, समतलीय आलेख में ट्री-चौड़ाई और शाखा-चौड़ाई O($\sqrt{n}$).

समतलीय उत्पाद संरचना प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक समतलीय आलेख अधिकतम 8 और एक पथ पर ट्री चौड़ाई वाले आलेख के मजबूत आलेख उत्पाद का एक उपआलेख है।

इस परिणाम का उपयोग यह दिखाने के लिए किया गया है कि समतल आलेख में परिबद्ध कतार संख्या, परिबद्ध थू संख्या|गैर-दोहरावीय रंगीन संख्या और निकट-रेखीय आकार के सार्वभौमिक आलेख होते है। इसमें शीर्ष रैंकिंग के लिए भी एप्लिकेशन है पी-केंद्रित रंग समतलीय रेखांकन का V शीर्ष वाले दो समतलीय आलेखों के लिए, समय O(v) में यह निर्धारित करना संभव है कि वे आलेख सिद्धांत है या नहीं है(आलेख समरूपता समस्या भी देखें)।

सामान्यीकरण
शीर्ष आलेख एक ऐसा आलेख है जिसे एक शीर्ष को हटाकर समतल बनाया जा सकता है, और के-एपेक्स आलेख एक ऐसा आलेख है जिसे अधिकतम k शीर्ष को हटाकर समतल बनाया जा सकता है।

1-तलीय आलेख एक ऐसा आलेख है जिसे प्रति किनारे अधिकतम एक साधारण क्रॉसिंग के साथ समतल में खींचा जा सकता है, और के-प्लानर आलेख एक ऐसा आलेख है जिसे प्रति किनारे अधिकतम एक साधारण क्रॉसिंग के साथ खींचा जा सकता है।

मानचित्र आलेख एक ऐसा आलेख होता है जो दो क्षेत्रों को जोड़कर समतल में बहुत सारे सरलता से जुड़े हुए आंतरिक-विच्छेदित क्षेत्रों के एक समूह से बनता है, जब वे कम से कम एक सीमा बिंदु साझा करते है। जब अधिकतम तीन क्षेत्र एक बिंदु पर मिलते है, तो परिणाम एक समतलीय आलेख होता है, लेकिन जब चार या अधिक क्षेत्र एक बिंदु पर मिलते है, तो परिणाम गैर-तलीय हो सकता है।

टॉरॉइडल आलेख एक ऐसा आलेख है जिसे टोरस्र्स पर क्रॉसिंग के बिना अंतर्निहित किया जा सकता है। अधिक सामान्यतः, आलेख का जीनस (गणित) एक द्वि-आयामी सतह का न्यूनतम जीनस होता है जिसमें आलेख को अंतर्निहित किया जा सकता है, समतलीय आलेख में जीनस शून्य होता है और नॉनप्लानर टोरॉयडल आलेख में जीनस एक होता है। प्रत्येक आलेख को किसी (ओरिएंटेबल, संपर्क) ​​बंद द्वि-आयामी सतह (हैडल के साथ क्षेत्र) में क्रॉस किए बिना अंतर्निहित किया जा सकता है और इस प्रकार आलेख का जीनस अच्छी तरह से परिभाषित होता है। यदि आलेख को जीनस जी के साथ एक (ओरिएंटेबल, संपर्क, बंद) सतह में क्रॉसिंग के बिना अंतर्निहित किया जा सकता है, तो इसे अधिक या समान जीनस के साथ सभी (ओरिएंटेबल, संपर्क, बंद) सतहों में क्रॉसिंग के बिना अंतर्निहित किया जा सकता है। आलेख सिद्धांत में अन्य अवधारणाएँ भी है जिन्हें एक्स कुछ क्वालीफायर के साथ एक्स जीनस कहा जाता है, सामान्यतः ये बिना किसी योग्यता के जीनस की उपरोक्त परिभाषित अवधारणा से भिन्न होते है। विशेष रूप से एक आलेख का गैर-उन्मुखी जीनस (इसकी परिभाषा में गैर-उन्मुखी सतहों का उपयोग करके) उस आलेख के जीनस (इसकी परिभाषा में उन्मुखी सतहों का उपयोग करके) से एक सामान्य आलेख के लिए भिन्न होता है।

किसी भी आलेख को बिना क्रॉसिंग के त्रि-आयामी अंतरिक्ष में अंतर्निहित किया जा सकता है। वास्तव में, किसी भी आलेख को दो समतल समूहअप में क्रॉसिंग के बिना खींचा जा सकता है, जहां दो विमानों को एक दूसरे के ऊपर रखा जाता है और किनारों को किसी भी स्थान पर एक विमान से दूसरे तक कूदने और नीचे गिरने की अनुमति होती है (सिर्फ नहीं) आलेख शीर्ष) जिससे कि किनारे अन्य किनारों के साथ प्रतिच्छेदन से बच सकें। इसकी व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है कि किसी भी विद्युत संकलक संजाल को दो-तरफा परिपथ बोर्ड के साथ बनाना संभव होता है जहां बोर्ड के किनारों के बीच विद्युत संपर्क बनाया जा सकता है (जैसा कि सामान्य वास्तविक जीवन परिपथ बोर्डों के साथ संभव है, विद्युत संपर्क के साथ) बोर्ड के ऊपरी हिस्से में तार के टुकड़ों के माध्यम से और नीचे की तरफ बोर्ड पर बने तांबे के ट्रैक के माध्यम से प्राप्त किया गया और बोर्ड के किनारों के बीच ड्रिलिंग छेद के माध्यम से विद्युत संपर्क प्राप्त किया गया, तारों को छेद के माध्यम से पारित किया गया और उन्हें टांका लगाया गया। पटरियों में), इसकी व्याख्या इस तरह भी की जा सकती है कि किसी भी सड़क संजाल को बनाने के लिए केवल पुलों या सिर्फ सुरंगों की जरूरत होती है, दोनों की नहीं (2 स्तर पर्याप्त है, 3 की जरूरत नहीं है)। साथ ही, तीन आयामों में क्रॉसिंग के बिना आलेख खींचने का प्रश्न तुच्छ है। चूँकि, प्लेनर आलेख का एक त्रि-आयामी एनालॉग लिंक रहित अंतर्निहित द्वारा प्रदान किया जाता है, आलेख जिन्हें त्रि-आयामी अंतरिक्ष में इस तरह से अंतर्निहित किया जा सकता है कि कोई भी दो चक्र एक दूसरे के साथ संख्या को नहीं जोड़ रहे है। कुराटोस्की और वैगनर के समतलीय आलेख के लक्षण वर्णन के अनुरूप, ऐसे आलेख जिनमें K5 सम्मलित नहीं है या K3 एक नाबालिग के रूप में, लिंकलेस एंबेडेबल आलेख को उन आलेख के रूप में चित्रित किया जा सकता है जिनमें पीटरसन वर्ग के सात आलेखों में से कोई भी नाबालिग के रूप में सम्मलित नहीं है। आउटरप्लेनर और प्लेनर आलेख के लक्षण वर्णन के अनुरूप, कॉलिन डी वेरडीयर आलेख अधिकतम दो या तीन में अपरिवर्तनीय होते है, लिंकलेस एंबेडेबल आलेख वे आलेख होते है जिनमें कॉलिन डी वेरडीयर अधिकतम चार में अपरिवर्तनीय होते है।

यह भी देखें

 * कॉम्बिनेटरियल मैप एक कॉम्बिनेटरियल ऑब्जेक्ट है जो प्लेन आलेख को एनकोड कर सकता है
 * समतलीकरण, प्रत्येक क्रॉसिंग बिंदु को एक नए शीर्ष द्वारा प्रतिस्थापित करके क्रॉसिंग के साथ एक आलेख से बनाया गया एक समतल आलेख
 * मोटाई (आलेख सिद्धांत), समतलीय आलेख की सबसे छोटी संख्या जिसमें किसी दिए गए आलेख के किनारों को विभाजित किया जा सकता है
 * समतलता, एक पहेली कंप्यूटर गेम जिसमें उद्देश्य एक समतल आलेख को एक समतल पर अंतर्निहित करना है
 * अंकुर (खेल), एक पेंसिल-और-पेपर गेम जहां गेम खेलने के हिस्से के रूप में कुछ बाधाओं के अधीन एक प्लानर आलेख का निर्माण किया जाता है
 * तीन उपयोगिताएँ समस्या, एक लोकप्रिय पहेली

संदर्भ

 * . Special Issue on Graph Drawing.
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 * . Special Issue on Graph Drawing.
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 * . Special Issue on Graph Drawing.

बाहरी संबंध

 * Edge Addition Planarity Algorithm Source Code, version 1.0 &mdash; Free C source code for reference implementation of Boyer–Myrvold planarity algorithm, which provides both a combinatorial planar embedder and Kuratowski subgraph isolator. An open source project with free licensing provides the Edge Addition Planarity Algorithms, current version.
 * Public Implementation of a Graph Algorithm Library and Editor &mdash; GPL graph algorithm library including planarity testing, planarity embedder and Kuratowski subgraph exhibition in linear time.
 * Boost Graph Library tools for planar graphs, including linear time planarity testing, embedding, Kuratowski subgraph isolation, and straight-line drawing.
 * 3 Utilities Puzzle and Planar Graphs
 * NetLogo Planarity model &mdash; NetLogo version of John Tantalo's game