यूक्लिडियन न्यूनतम प्रसारित ट्री

यूक्लिडियन विमान या उच्च-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में बिंदुओं के एक सीमित सेट का एक यूक्लिडियन न्यूनतम फैला हुआ पेड़ बिंदुओं को रेखा खंडों की एक प्रणाली द्वारा बिंदुओं के साथ अंत बिंदु के रूप में जोड़ता है, जिससे खंडों की कुल लंबाई कम हो जाती है। इसमें कोई भी दो बिंदु रेखा खंडों के माध्यम से एक पथ के साथ एक दूसरे तक पहुंच सकते हैं। इसे पूर्ण ग्राफ़ के न्यूनतम फैले हुए पेड़ के रूप में पाया जा सकता है जिसमें बिंदुओं को शीर्ष के रूप में और बिंदुओं के बीच यूक्लिडियन दूरी को किनारे के वजन के रूप में पाया जा सकता है।

न्यूनतम फैले हुए पेड़ के किनारे कम से कम 60° के कोण पर मिलते हैं, अधिकतम छह से एक शीर्ष तक। उच्च आयामों में, प्रति शीर्ष किनारों की संख्या स्पर्शरेखा इकाई क्षेत्रों की चुंबन संख्या से सीमित होती है। एक इकाई वर्ग में बिंदुओं के लिए किनारों की कुल लंबाई, बिंदुओं की संख्या के वर्गमूल के अधिकतम आनुपातिक होती है। प्रत्येक किनारा विमान के एक खाली क्षेत्र में स्थित है, और इन क्षेत्रों का उपयोग यह साबित करने के लिए किया जा सकता है कि यूक्लिडियन न्यूनतम फैले हुए पेड़ सापेक्ष पड़ोस ग्राफ और डेलाउने त्रिकोण सहित अन्य ज्यामितीय ग्राफ़ का एक उपग्राफ है। डेलाउने त्रिभुज का निर्माण करके और फिर एक ग्राफ़ न्यूनतम फैलाव वाला पेड़ एल्गोरिदम लागू करके, न्यूनतम स्पैनिंग ट्री $$n$$ दिए गए समतल बिंदु समय पर पाए जा सकते हैं $$O(n\log n)$$, जैसा कि बड़ा ओ अंकन में व्यक्त किया गया है। यह गणना के कुछ मॉडलों में इष्टतम है, हालांकि पूर्णांक निर्देशांक वाले बिंदुओं के लिए तेज़ यादृच्छिक एल्गोरिदम मौजूद हैं। उच्च आयामों वाले बिंदुओं के लिए, एक इष्टतम एल्गोरिदम ढूंढना एक खुली समस्या बनी हुई है।

परिभाषा और संबंधित समस्याएँ
एक यूक्लिडियन न्यूनतम फैले हुए पेड़, के एक सेट के लिए $$n$$ यूक्लिडियन विमान या यूक्लिडियन स्पेस में बिंदु, रेखा खंडों की एक प्रणाली है, जिसमें केवल दिए गए बिंदु उनके अंतिम बिंदु होते हैं, जिनके संघ में एक जुड़े हुए सेट के सभी बिंदु शामिल होते हैं, और जिसमें ऐसी किसी भी प्रणाली की न्यूनतम संभव कुल लंबाई होती है। ऐसे नेटवर्क में खंडों का बहुभुज वलय नहीं हो सकता; यदि कोई अस्तित्व में है, तो बहुभुज के एक किनारे को हटाकर नेटवर्क को छोटा किया जा सकता है। इसलिए, न्यूनतम लंबाई वाला नेटवर्क एक ट्री (ग्राफ़ सिद्धांत) बनाता है। यह अवलोकन समतुल्य परिभाषा की ओर ले जाता है कि यूक्लिडियन न्यूनतम फैले हुए पेड़, न्यूनतम कुल लंबाई के दिए गए बिंदुओं के जोड़े के बीच रेखा खंडों का एक पेड़ है। उसी पेड़ को भारित पूर्ण ग्राफ के न्यूनतम फैले हुए पेड़ के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है, जिसमें दिए गए बिंदु इसके शीर्ष के रूप में होते हैं और बिंदुओं के बीच की दूरी किनारे के वजन के रूप में होती है। समान बिंदुओं पर एक से अधिक न्यूनतम फैले हुए वृक्ष हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक नियमित बहुभुज के शीर्षों के लिए, बहुभुज के किसी भी किनारे को हटाने से न्यूनतम फैले हुए पेड़ का निर्माण होता है।

यूक्लिडियन मिनिमम स्पैनिंग ट्री पर प्रकाशन आमतौर पर इसे ईएमएसटी के रूप में संक्षिप्त करते हैं। इन्हें ज्यामितीय न्यूनतम फैले हुए पेड़ भी कहा जा सकता है, लेकिन उस शब्द का उपयोग आमतौर पर गैर-यूक्लिडियन दूरियों वाले ज्यामितीय स्थानों के लिए किया जा सकता है, जैसे कि एलपी स्पेस|$L^{p}$ रिक्त स्थान. जब यूक्लिडियन बिंदु सेटों का संदर्भ स्पष्ट हो, तो उन्हें केवल न्यूनतम फैले हुए पेड़ कहा जा सकता है।

कई अन्य मानक ज्यामितीय नेटवर्क यूक्लिडियन न्यूनतम फैले हुए पेड़ से निकटता से संबंधित हैं:
 * स्टाइनर ट्री समस्या फिर से सभी दिए गए बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखा खंडों की एक प्रणाली की तलाश करती है, लेकिन खंडों को केवल दिए गए बिंदुओं पर शुरू और समाप्त करने की आवश्यकता के बिना। इस समस्या में, अतिरिक्त बिंदुओं को खंड समापन बिंदु के रूप में जोड़ा जा सकता है, जिससे स्टीनर पेड़ न्यूनतम फैले हुए पेड़ से छोटा हो सकता है।
 * यूक्लिडियन ट्रैवलिंग सेल्समैन की समस्या में, कनेक्टिंग लाइन सेगमेंट को दिए गए बिंदुओं पर शुरू और समाप्त होना चाहिए, जैसे कि फैले हुए पेड़ और स्टीनर पेड़ के विपरीत; इसके अतिरिक्त, प्रत्येक बिंदु अधिकतम दो रेखा खंडों को छू सकता है, इसलिए परिणाम एक बहुभुज श्रृंखला बनाता है। इस प्रतिबंध के कारण, इष्टतम पथ यूक्लिडियन न्यूनतम फैले हुए पेड़ से अधिक लंबा हो सकता है, लेकिन अधिकतम दोगुना लंबा होता है।
 * ज्यामितीय स्पैनर कम वजन वाले नेटवर्क हैं, जो न्यूनतम स्पैनिंग पेड़ की तरह, सभी बिंदुओं को जोड़ते हैं। न्यूनतम फैले हुए पेड़ के विपरीत, इन सभी कनेक्टिंग पथों को छोटा होना आवश्यक है, जिनकी लंबाई उनके द्वारा कनेक्ट किए गए बिंदुओं के बीच की दूरी के समानुपाती होती है। इस संपत्ति को प्राप्त करने के लिए, इन नेटवर्कों में आम तौर पर चक्र होते हैं और इसलिए पेड़ नहीं होते हैं।

कोण और शीर्ष डिग्री
जब भी यूक्लिडियन न्यूनतम फैले हुए पेड़ के दो किनारे एक शीर्ष पर मिलते हैं, तो उन्हें 60° या अधिक का कोण बनाना चाहिए, समानता के साथ केवल तभी जब वे एक समबाहु त्रिभुज की दो भुजाएँ बनाते हैं। ऐसा इसलिए है, क्योंकि किसी भी तीव्र कोण बनाने वाले दो किनारों के लिए, दो किनारों में से एक को उनके द्वारा बनाए गए त्रिभुज के तीसरे, छोटे किनारे से बदला जा सकता है, जिससे छोटी कुल लंबाई वाला एक पेड़ बनता है। इसकी तुलना में, स्टीनर पेड़ की समस्या में एक मजबूत कोण सीमा होती है: एक इष्टतम स्टीनर पेड़ के सभी कोण कम से कम 120° होते हैं।

वही 60° कोण सीमा चुंबन संख्या समस्या में भी होती है, यूक्लिडियन अंतरिक्ष में इकाई क्षेत्रों की अधिकतम संख्या को खोजने के लिए जो किसी भी दो क्षेत्रों को प्रतिच्छेद किए बिना (स्पर्शरेखा के एक बिंदु से परे) एक केंद्रीय इकाई क्षेत्र के स्पर्शरेखा हो सकती है। इन क्षेत्रों के केंद्र बिंदुओं में एक तारे (ग्राफ सिद्धांत) के रूप में एक न्यूनतम फैला हुआ पेड़ होता है, जिसका केंद्रीय बिंदु अन्य सभी बिंदुओं के निकट होता है। इसके विपरीत, किसी भी शीर्ष के लिए $$v$$ किसी भी न्यूनतम फैले हुए पेड़ के केंद्र में गैर-अतिव्यापी इकाई गोले का निर्माण किया जा सकता है $$v$$ और इसके प्रत्येक किनारे के साथ बिंदुओं पर दो इकाइयां, प्रत्येक पड़ोसी के लिए स्पर्शरेखा के साथ $$v$$. इसलिए, में $$n$$-आयामी स्थान एक शीर्ष की अधिकतम संभव डिग्री (ग्राफ सिद्धांत) (इससे जुड़े फैले हुए पेड़ के किनारों की संख्या) में गोले की चुंबन संख्या के बराबर होती है $$n$$ आयाम. प्लेनर न्यूनतम फैले हुए पेड़ों की डिग्री अधिकतम छह होती है, और जब एक पेड़ की डिग्री छह होती है तो हमेशा अधिकतम डिग्री पांच वाला एक और न्यूनतम फैला हुआ पेड़ होता है। त्रि-आयामी न्यूनतम फैले हुए पेड़ों की डिग्री अधिकतम बारह होती है। एकमात्र उच्च आयाम जिसमें चुंबन संख्या का सटीक मान ज्ञात होता है, चार, आठ और 24 आयाम हैं।

किसी दिए गए निरंतर वितरण से यादृच्छिक रूप से उत्पन्न बिंदुओं के लिए, न्यूनतम स्पैनिंग ट्री लगभग निश्चित रूप से अद्वितीय है। किसी भी डिग्री के शीर्षों की संख्या, शीर्षों की बड़ी संख्या के लिए, शीर्षों की संख्या से लगातार गुना तक परिवर्तित हो जाती है। इन स्थिरांकों का मान डिग्री और वितरण पर निर्भर करता है। हालाँकि, साधारण मामलों के लिए भी - जैसे कि एक इकाई वर्ग में समान रूप से वितरित बिंदुओं के लिए पत्तों की संख्या - उनके सटीक मान ज्ञात नहीं हैं।

खाली क्षेत्र
किसी भी किनारे के लिए $$uv$$ किसी भी यूक्लिडियन न्यूनतम फैले हुए पेड़ का, लेंस (ज्यामिति) (या मछली का मूत्राशय) दो वृत्तों को आपस में काटने से बनता है $$uv$$ क्योंकि उनकी त्रिज्या में कोई अन्य दिया हुआ शीर्ष नहीं हो सकता $$w$$ इसके आंतरिक भाग में. यदि किसी पेड़ का किनारा है तो दूसरे तरीके से रखें $$uv$$ जिसके लेंस में तीसरा बिंदु होता है $$w$$, तो यह न्यूनतम लंबाई का नहीं है। क्योंकि, दो वृत्तों की ज्यामिति के अनुसार, $$w$$ दोनों के करीब होगा $$u$$ और $$v$$ जितना वे एक दूसरे के प्रति हैं। अगर किनारा $$uv$$ पेड़ से उतार दिए गए, $$w$$ में से किसी एक से जुड़ा रहेगा $$u$$ और $$v$$, लेकिन दूसरा नहीं. हटाए गए किनारे को बदलना $$uv$$ द्वारा $$uw$$ या $$vw$$ (इन दोनों किनारों में से जो भी पुनः जुड़ता है $$w$$ उस शीर्ष तक जहां से इसे अलग किया गया था) एक छोटा पेड़ उत्पन्न करेगा।

किसी भी किनारे के लिए $$uv$$ किसी भी यूक्लिडियन न्यूनतम फैले हुए पेड़ का, 60° और 120° के कोण वाला समचतुर्भुज, जिसमें $$uv$$ इसके लंबे विकर्ण के रूप में, यह अन्य सभी किनारों द्वारा समान रूप से निर्मित रम्बी से असंयुक्त है। एक समापन बिंदु को साझा करने वाले दो किनारों में ओवरलैपिंग रॉम्बी नहीं हो सकती है, क्योंकि इसका मतलब 60° से अधिक तेज किनारा कोण होगा, और दो असंयुक्त किनारों में ओवरलैपिंग रॉम्बी नहीं हो सकती है; यदि वे ऐसा करते, तो दोनों किनारों में से लंबे किनारे को उन्हीं चार शीर्षों के बीच एक छोटे किनारे से बदला जा सकता था।

सुपरग्राफ
कुछ ज्यामितीय ग्राफ़ों में बिंदु सेटों में खाली क्षेत्रों को शामिल करने वाली परिभाषाएँ होती हैं, जिससे यह पता चलता है कि उनमें हर किनारा शामिल है जो यूक्लिडियन न्यूनतम फैले हुए पेड़ का हिस्सा हो सकता है। इसमे शामिल है: चूँकि इन ग्राफ़ों के लिए खाली-क्षेत्र मानदंड उत्तरोत्तर कमज़ोर होते जा रहे हैं, ये ग्राफ़ सबग्राफ़ों का एक क्रमबद्ध अनुक्रम बनाते हैं। अर्थात्, उनके किनारों के बीच उपसमुच्चय संबंध को दर्शाने के लिए ⊆ का उपयोग करते हुए, इन ग्राफ़ों में संबंध हैं:
 * सापेक्ष पड़ोस ग्राफ, जिसमें किसी भी बिंदु के जोड़े के बीच एक किनारा होता है जब भी उनके द्वारा परिभाषित लेंस खाली होता है।
 * गेब्रियल ग्राफ, जिसमें किसी भी बिंदु के जोड़े के बीच एक किनारा होता है जब भी इस जोड़े का व्यास वाला वृत्त खाली होता है।
 * डेलाउने त्रिभुज, जिसमें किसी भी बिंदु के जोड़े के बीच एक किनारा होता है जब भी कोई खाली वृत्त मौजूद होता है जिसमें जोड़ी एक जीवा के रूप में होती है।
 * उर्कहार्ट ग्राफ़, प्रत्येक त्रिभुज के सबसे लंबे किनारे को हटाकर डेलाउने त्रिभुज से बनाया गया है। प्रत्येक शेष किनारे के लिए, उस किनारे का उपयोग करने वाले डेलाउने त्रिकोण के शीर्ष सापेक्ष पड़ोस ग्राफ के खाली ल्यून के भीतर नहीं हो सकते।

न्यूनतम स्पैनिंग ट्री को शामिल करने की गारंटी वाला एक अन्य ग्राफ याओ ग्राफ है, जो प्रत्येक बिंदु के चारों ओर के विमान को छह 60° वेजेज में विभाजित करके और प्रत्येक वेज में प्रत्येक बिंदु को निकटतम पड़ोसी से जोड़कर विमान में बिंदुओं के लिए निर्धारित किया जाता है। परिणामी ग्राफ़ में सापेक्ष पड़ोस ग्राफ़ शामिल है, क्योंकि खाली लेंस वाले दो कोने अपने वेजेज में एक दूसरे के निकटतम पड़ोसी होने चाहिए। उपरोक्त कई अन्य ज्यामितीय ग्राफों की तरह, इस परिभाषा को उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, और (डेलाउने त्रिकोण के विपरीत) इसके सामान्यीकरण में हमेशा किनारों की एक रैखिक संख्या शामिल होती है।

कुल लंबाई
के लिए $$n$$ इकाई वर्ग (या किसी अन्य निश्चित आकार) में बिंदु, न्यूनतम फैले हुए पेड़ के किनारों की कुल लंबाई है $$O(\sqrt n)$$. बिंदुओं के कुछ सेट, जैसे कि एक में समान दूरी पर स्थित बिंदु $$\sqrt n \times \sqrt n$$ ग्रिड, इस सीमा को प्राप्त करें। एक इकाई हाइपरक्यूब में अंकों के लिए $$d$$-आयामी स्थान, संगत सीमा है $$O(n^{(d-1)/d})$$. यही सीमा न्यूनतम फैले हुए पेड़ की अपेक्षित कुल लंबाई पर लागू होती है $$n$$ एक इकाई वर्ग या इकाई हाइपरक्यूब से समान रूप से और स्वतंत्र रूप से चुने गए बिंदु। इकाई वर्ग पर लौटने पर, न्यूनतम फैले हुए पेड़ के वर्ग किनारे की लंबाई का योग होता है $$O(1)$$. यह सीमा इस अवलोकन से मिलती है कि किनारों में असंयुक्त रम्बी है, जिसका क्षेत्रफल किनारे की लंबाई के वर्ग के समानुपाती है। $$O(\sqrt n)$$ h> कुल लंबाई पर बाध्य कॉची-श्वार्ज़ असमानता के अनुप्रयोग द्वारा अनुसरण किया जाता है।

इन परिणामों की एक और व्याख्या यह है कि एक इकाई वर्ग में बिंदुओं के किसी भी सेट के लिए औसत किनारे की लंबाई है $$O(1/\sqrt n)$$, नियमित ग्रिड में बिंदुओं के अंतर के अधिकतम आनुपातिक; और एक इकाई वर्ग में यादृच्छिक बिंदुओं के लिए औसत लंबाई आनुपातिक होती है $$1/\sqrt n$$. हालाँकि, यादृच्छिक मामले में, उच्च संभावना के साथ सबसे लंबे किनारे की लंबाई लगभग होती है $$\sqrt{\frac{\log n}{\pi n}},$$ एक गैर-स्थिर कारक द्वारा औसत से अधिक लंबा। उच्च संभावना के साथ, सबसे लंबा किनारा फैले हुए पेड़ का एक पत्ता बनाता है, और अन्य सभी बिंदुओं से दूर एक बिंदु को उसके निकटतम पड़ोसी से जोड़ता है। बड़ी संख्या में अंकों के लिए, इसके अपेक्षित मूल्य के आसपास सबसे लंबी किनारे की लंबाई का वितरण लाप्लास वितरण में परिवर्तित हो जाता है।

कोई भी ज्यामितीय स्पैनर, एक पूर्ण ज्यामितीय ग्राफ का एक उपग्राफ जिसकी सबसे छोटी पथ समस्या यूक्लिडियन दूरी का अनुमान लगाती है, उसकी कुल किनारे की लंबाई कम से कम न्यूनतम फैले हुए पेड़ जितनी बड़ी होनी चाहिए, और एक ज्यामितीय स्पैनर के लिए मानक गुणवत्ता उपायों में से एक के बीच का अनुपात है इसकी कुल लंबाई और समान बिंदुओं के लिए न्यूनतम फैले हुए पेड़ की। स्पैनर के निर्माण की कई विधियाँ, जैसे कि लालची ज्यामितीय स्पैनर, इस अनुपात के लिए एक स्थिर सीमा प्राप्त करती हैं। यह अनुमान लगाया गया है कि स्टीनर अनुपात, विमान में बिंदुओं के समान सेट के लिए न्यूनतम फैले हुए पेड़ और स्टीनर पेड़ की कुल लंबाई के बीच सबसे बड़ा संभव अनुपात है। $$2/\sqrt{3}\approx 1.1547$$, एक समबाहु त्रिभुज में तीन बिंदुओं का अनुपात।

उपखंड
यदि यूक्लिडियन न्यूनतम फैले हुए पेड़ के प्रत्येक किनारे को उसके मध्य बिंदु पर एक नया बिंदु जोड़कर उप-विभाजित किया जाता है, तो परिणामी पेड़ अभी भी संवर्धित बिंदु सेट का न्यूनतम फैला हुआ पेड़ है। इस उपविभाजन प्रक्रिया को दोहराने से यूक्लिडियन न्यूनतम फैले हुए पेड़ को मनमाने ढंग से सूक्ष्मता से उपविभाजित किया जा सकता है। हालाँकि, केवल कुछ किनारों को उप-विभाजित करना, या किनारों को मध्यबिंदु के अलावा अन्य बिंदुओं पर उप-विभाजित करना, एक बिंदु सेट उत्पन्न कर सकता है जिसके लिए उप-विभाजित पेड़ न्यूनतम फैले हुए पेड़ नहीं है।

कम्प्यूटेशनल जटिलता
किसी भी आयाम में बिंदुओं के लिए, समय में न्यूनतम फैले हुए पेड़ का निर्माण किया जा सकता है $$O(n^2)$$ बिंदुओं के प्रत्येक जोड़े के बीच एक किनारे के साथ एक पूर्ण ग्राफ़ का निर्माण करके, यूक्लिडियन दूरी के आधार पर, और फिर उस पर प्राइम के एल्गोरिदम जैसे ग्राफ़ न्यूनतम स्पैनिंग ट्री एल्गोरिदम को लागू करना। इन एल्गोरिदम को समय लेने के लिए बनाया जा सकता है $$O(n^2)$$ पूर्ण ग्राफ़ पर, एक अन्य सामान्य विकल्प के विपरीत, क्रुस्कल का एल्गोरिदम, जो धीमा है क्योंकि इसमें सभी दूरियों को क्रमबद्ध करना शामिल है। निम्न-आयामी स्थानों में बिंदुओं के लिए, समस्या को अधिक तेज़ी से हल किया जा सकता है, जैसा कि नीचे बताया गया है।

यूक्लिडियन दूरियों की गणना में वर्गमूल गणना शामिल है। किनारे के वजन की किसी भी तुलना में, दूरियों के बजाय यूक्लिडियन दूरियों के वर्गों की तुलना करने से समान क्रम प्राप्त होता है, और इसलिए पेड़ की बाकी गणना में कोई बदलाव नहीं होता है। यह शॉर्टकट गणना को गति देता है और केवल पूर्णांक अंकगणित का उपयोग करके पूर्णांक निर्देशांक वाले बिंदुओं के लिए न्यूनतम स्पैनिंग ट्री का निर्माण करने की अनुमति देता है।

दो आयाम
समतल बिंदुओं के न्यूनतम फैले हुए वृक्ष को खोजने के लिए एक तेज़ दृष्टिकोण इस संपत्ति का उपयोग करता है कि यह डेलाउने त्रिकोण का एक उपसमूह है: परिणाम एक एल्गोरिथ्म ले रहा है $$O(n\log n)$$ समय, गणना के कुछ मॉडलों में इष्टतम (#निचली सीमा देखें)।
 * 1) डेलाउने त्रिभुज की गणना करें, जिसे किया जा सकता है $$O(n\log n)$$ समय। क्योंकि डेलाउने त्रिभुज एक समतलीय ग्राफ है, इसमें अधिकतम होता है $$3n-6$$ किनारों.
 * 2) प्रत्येक किनारे को उसकी (वर्गीकृत) लंबाई के साथ लेबल करें।
 * 3) एक ग्राफ़ न्यूनतम स्पैनिंग ट्री एल्गोरिदम चलाएँ। क्योंकि वहां हैं $$O(n)$$ किनारों, इसकी आवश्यकता है $$O(n\log n)$$ किसी भी मानक न्यूनतम स्पैनिंग ट्री एल्गोरिदम का उपयोग करने का समय।

यदि इनपुट निर्देशांक पूर्णांक हैं और उन्हें सरणी सूचकांक के रूप में उपयोग किया जा सकता है, तो तेज़ एल्गोरिदम संभव हैं: डेलाउने त्रिकोण का निर्माण यादृच्छिक एल्गोरिदम द्वारा किया जा सकता है $$O(n\log\log n)$$ अपेक्षित समय। इसके अतिरिक्त, चूंकि डेलाउने त्रिकोण एक समतलीय ग्राफ है, इसलिए इसके न्यूनतम फैले हुए पेड़ को बोरोव्का के एल्गोरिदम के एक प्रकार द्वारा रैखिक समय में पाया जा सकता है जो एल्गोरिदम के प्रत्येक चरण के बाद घटकों की प्रत्येक जोड़ी के बीच सबसे सस्ते किनारे को छोड़कर सभी को हटा देता है। इसलिए, इस एल्गोरिथम के लिए कुल अपेक्षित समय है $$O(n\log\log n)$$. दूसरी दिशा में, डेलाउने त्रिकोण का निर्माण निकट-रेखीय समय सीमा में न्यूनतम फैले हुए पेड़ से किया जा सकता है $$O(n\log^* n)$$, कहाँ $$\log^*$$ पुनरावृत्त लघुगणक को दर्शाता है।

उच्च आयाम
समस्या का सामान्यीकरण भी किया जा सकता है $$n$$ में अंक $$d$$-आयामी स्थान $$\R^d$$. उच्च आयामों में, कनेक्टिविटी डेलाउने त्रिकोण द्वारा निर्धारित की जाती है (जो, इसी तरह, उत्तल पतवार को विभाजित करती है $$d$$-डायमेंशनल संकेतन) में न्यूनतम फैले हुए पेड़ शामिल हैं; हालाँकि, त्रिभुज में पूरा ग्राफ़ शामिल हो सकता है। इसलिए, यूक्लिडियन न्यूनतम फैले हुए पेड़ को पूर्ण ग्राफ़ के फैले हुए पेड़ के रूप में या डेलाउने त्रिकोण के फैले हुए पेड़ के रूप में खोजना दोनों लेते हैं $$O(dn^2)$$ समय। तीन आयामों के लिए न्यूनतम फैले हुए वृक्ष को समय में पाया जा सकता है $$O\bigl((n\log n)^{4/3}\bigr)$$, और किसी भी बड़े आयाम में, समय में $$O\left(n^{2-\frac{2}{\lceil d/2\rceil+1}+\varepsilon}\right)$$ किसी के लिए $$\varepsilon>0$$- संपूर्ण ग्राफ़ और डेलाउने त्रिभुज एल्गोरिदम के लिए द्विघात समय सीमा से अधिक तेज़।

उच्च-आयामी न्यूनतम फैले हुए पेड़ों के लिए इष्टतम समय जटिलता अज्ञात बनी हुई है, लेकिन यह द्विवर्णीय निकटतम युग्मों की गणना की जटिलता से निकटता से संबंधित है। द्विवर्णी निकटतम जोड़ी समस्या में, इनपुट बिंदुओं का एक सेट है, जिसे दो अलग-अलग रंग दिए गए हैं (जैसे, लाल और नीला)। आउटपुट न्यूनतम संभव दूरी के साथ एक लाल बिंदु और एक नीले बिंदु की एक जोड़ी है। यह जोड़ी हमेशा न्यूनतम फैले हुए पेड़ में किनारों में से एक बनाती है। इसलिए, बाइक्रोमैटिक निकटतम जोड़ी समस्या को न्यूनतम फैले हुए पेड़ के निर्माण और सबसे छोटे लाल-नीले किनारे के लिए इसके किनारों को स्कैन करने में लगने वाले समय में हल किया जा सकता है। इसके विपरीत, किसी दिए गए बिंदुओं के सेट के किसी भी उपसमूह के लाल-नीले रंग के लिए, बाइक्रोमैटिक निकटतम जोड़ी उपसमूह के न्यूनतम फैले हुए पेड़ के एक किनारे का उत्पादन करती है। उपसमुच्चय के रंगों के क्रम को सावधानीपूर्वक चुनकर, और प्रत्येक उपसमस्या के द्विवर्णीय निकटतम जोड़े को ढूंढकर, समान संख्या में बिंदुओं के लिए द्विवर्णीय निकटतम जोड़े खोजने के लिए इष्टतम समय के आनुपातिक समय में न्यूनतम फैले हुए पेड़ को पाया जा सकता है, चाहे वह इष्टतम समय कुछ भी हो यह बात निकलकर आना।

किसी भी सीमित आयाम में समान रूप से यादृच्छिक बिंदु सेट के लिए, याओ ग्राफ या डेलाउने त्रिकोण में किनारों की रैखिक अपेक्षित संख्या होती है, इसमें न्यूनतम फैले हुए पेड़ होने की गारंटी होती है, और रैखिक अपेक्षित समय में इसका निर्माण किया जा सकता है। इन ग्राफ़ों से, अपेक्षित रैखिक समय एमएसटी एल्गोरिदम का उपयोग करके, न्यूनतम स्पैनिंग ट्री का निर्माण रैखिक समय में किया जा सकता है। हालाँकि, क्लस्टर्ड डेटा से आने वाले इनपुट पर इन तरीकों के खराब प्रदर्शन ने एल्गोरिथम इंजीनियरिंग शोधकर्ताओं को कुछ हद तक धीमी गति से तरीके विकसित करने के लिए प्रेरित किया है $$O(n\log n)$$ यादृच्छिक इनपुट या इनपुट के लिए समयबद्ध, जिनकी दूरी और क्लस्टरिंग यादृच्छिक डेटा के समान होती है, जबकि वास्तविक दुनिया डेटा पर बेहतर प्रदर्शन प्रदर्शित करती है।

एक अच्छी तरह से अलग किया गया जोड़ी अपघटन दिए गए बिंदुओं के उपसमुच्चय के जोड़े का एक परिवार है, ताकि प्रत्येक जोड़ी अंक उपसमुच्चय के इन जोड़े में से एक से संबंधित हो, और ताकि उपसमुच्चय की एक ही जोड़ी से आने वाले बिंदुओं के सभी जोड़े लगभग हों एक ही लंबाई। समय में उपसमुच्चय की एक रैखिक संख्या और प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए बिंदुओं की एक प्रतिनिधि जोड़ी के साथ एक अच्छी तरह से अलग की गई जोड़ी का अपघटन खोजना संभव है। $$O(n\log n)$$. इन प्रतिनिधि जोड़ियों द्वारा बनाए गए ग्राफ़ का न्यूनतम स्पैनिंग ट्री न्यूनतम स्पैनिंग ट्री का एक अनुमान है। इन विचारों का उपयोग करते हुए, ए $$(1+\varepsilon)$$-न्यूनतम फैले हुए पेड़ का अनुमान पाया जा सकता है $$O(n\log n)$$ समय, निरंतर के लिए $$\varepsilon$$. अधिक सटीक रूप से, प्रत्येक प्रतिनिधि जोड़ी को उसके समकक्ष वर्ग में निकटतम जोड़ी का अनुमान लगाने के लिए चुनकर, और विभिन्न जोड़ियों के लिए इस सन्निकटन की गुणवत्ता को ध्यान से अलग करके, पर निर्भरता $$\varepsilon$$ समय सीमा में इस प्रकार दिया जा सकता है $$O(n \log n + (\varepsilon^{-2} \log ^2 \tfrac{1}{\varepsilon})n),$$ किसी भी निश्चित आयाम के लिए.

गतिशील और गतिशील
यूक्लिडियन न्यूनतम फैले हुए पेड़ को चलती या बदलते बिंदुओं की प्रणालियों के लिए कई अलग-अलग तरीकों से सामान्यीकृत किया गया है:
 * यदि बिंदुओं का एक सेट गतिशील सम्मिलन या बिंदुओं के विलोपन के अनुक्रम से गुजरता है, तो इनमें से प्रत्येक अद्यतन बिंदुओं के न्यूनतम फैले हुए पेड़ में परिवर्तन की एक सीमित मात्रा को प्रेरित करता है। जब अद्यतन अनुक्रम पहले से ज्ञात होता है, तो विमान में बिंदुओं के लिए, प्रत्येक प्रविष्टि या विलोपन के बाद परिवर्तन समय पर पाया जा सकता है $$O(\log^2 n)$$ प्रति प्रविष्टि या विलोपन. जब अद्यतनों को ऑनलाइन एल्गोरिदम  तरीके से प्रबंधित किया जाना चाहिए, तो धीमी (लेकिन फिर भी बहु-लघुगणकीय) $$O(\log^{10} n)$$ समयबद्धता ज्ञात होती है। समस्या के उच्च-आयामी संस्करणों के लिए प्रति अद्यतन समय धीमा है, लेकिन फिर भी सबलाइनर है।
 * के लिए $$n$$ स्थिर गति के साथ, या अधिक सामान्य बीजगणितीय गति के साथ रैखिक रूप से आगे बढ़ने वाले बिंदु, न्यूनतम फैले हुए पेड़ स्वैप के अनुक्रम से बदल जाएंगे, जिसमें एक किनारा हटा दिया जाता है और दूसरा इसे उस समय में बदल देता है जहां दोनों की लंबाई समान होती है। रैखिक गतियों के लिए, परिवर्तनों की संख्या अधिक से अधिक थोड़ी अधिक होती है $$n^{25/9}$$. अधिक सामान्य बीजगणितीय गतियों के लिए, डेवनपोर्ट-शिन्ज़ेल अनुक्रमों के सिद्धांत के आधार पर, स्वैप की संख्या पर एक निकट-घन ऊपरी सीमा होती है।
 * न्यूनतम गतिमान स्पैनिंग ट्री समस्या फिर से समय के अंतराल पर निरंतर गति के साथ रैखिक रूप से आगे बढ़ने वाले बिंदुओं से संबंधित है, और एक ऐसे पेड़ की तलाश करती है जो इस अंतराल के दौरान किसी भी क्षण होने वाले वजन के अधिकतम योग को कम कर दे। सटीक गणना करना एनपी-कठिन है, लेकिन बहुपद समय में दो के कारक के भीतर इसका अनुमान लगाया जा सकता है।
 * गतिज यूक्लिडियन न्यूनतम फैले हुए पेड़ समस्या एक गतिज डेटा संरचना की मांग करती है जो न्यूनतम स्पैनिंग ट्री को बनाए रख सके क्योंकि इसके बिंदु निरंतर गति और सम्मिलन और विलोपन दोनों से गुजरते हैं। कई पत्रों ने ऐसी संरचनाओं का अध्ययन किया है, और लगभग घन-घन कुल समय के साथ बीजगणितीय रूप से गतिशील बिंदुओं के लिए एक गतिज संरचना ज्ञात है, जो स्वैप की संख्या की सीमा से लगभग मेल खाती है।

निचली सीमा
की एक स्पर्शोन्मुख निचली सीमा $$\Omega(n\log n)$$ यूक्लिडियन न्यूनतम फैले हुए पेड़ की समस्या को गणना के प्रतिबंधित मॉडल में स्थापित किया जा सकता है। इनमें बीजगणितीय निर्णय वृक्ष और बीजगणितीय संगणना वृक्ष मॉडल शामिल हैं, जिसमें एल्गोरिदम को केवल कुछ प्रतिबंधित प्राइमेटिव्स के माध्यम से इनपुट बिंदुओं तक पहुंच होती है जो उनके निर्देशांक पर सरल बीजगणितीय गणना करते हैं। इन मॉडलों में, अंक समस्या की निकटतम जोड़ी की आवश्यकता होती है $$\Omega(n\log n)$$ समय, लेकिन निकटतम जोड़ी आवश्यक रूप से न्यूनतम फैले हुए पेड़ का एक किनारा है, इसलिए न्यूनतम फैले हुए पेड़ को भी इतने समय की आवश्यकता होती है। इसलिए, समय में समतल न्यूनतम फैले हुए वृक्ष के निर्माण के लिए एल्गोरिदम $$O(n\log n)$$ इस मॉडल के भीतर, उदाहरण के लिए डेलाउने त्रिभुज का उपयोग करके, इष्टतम हैं। हालाँकि, ये निचली सीमाएँ पूर्णांक बिंदु निर्देशांक के साथ गणना के मॉडल पर लागू नहीं होती हैं, जिसमें उन निर्देशांक पर बिटवाइज़ संचालन और रैंडम एक्सेस संचालन की अनुमति है। इन मॉडलों में, तेज़ एल्गोरिदम संभव हैं, जैसा कि ऊपर बताया गया है।

अनुप्रयोग
यूक्लिडियन न्यूनतम फैले पेड़ों का एक स्पष्ट अनुप्रयोग स्थानों के एक सेट को जोड़ने के लिए तारों या पाइपों का सबसे सस्ता नेटवर्क ढूंढना है, यह मानते हुए कि लिंक की प्रति यूनिट लंबाई एक निश्चित राशि खर्च होती है। न्यूनतम फैले पेड़ों पर पहला प्रकाशन आम तौर पर समस्या के भौगोलिक संस्करण से संबंधित था, जिसमें दक्षिण मोरावियन क्षेत्र के लिए विद्युत ग्रिड का डिज़ाइन शामिल था, और सर्किट में तार की लंबाई को कम करने के लिए एक एप्लिकेशन का वर्णन 1957 में लोबरमैन और वेनबर्गर द्वारा किया गया था।

न्यूनतम फैले हुए पेड़ एकल-लिंकेज क्लस्टरिंग से निकटता से संबंधित हैं, जो पदानुक्रमित क्लस्टरिंग के कई तरीकों में से एक है। न्यूनतम फैले हुए पेड़ के किनारे, उनकी लंबाई के अनुसार क्रमबद्ध, इस क्लस्टरिंग विधि में समूहों को बड़े समूहों में विलय करने का क्रम देते हैं। एक बार जब ये किनारे मिल जाते हैं, तो किसी भी एल्गोरिदम द्वारा, उनका उपयोग समय में सिंगल-लिंकेज क्लस्टरिंग के निर्माण के लिए किया जा सकता है $$O(n\log n)$$. हालांकि सिंगल-लिंकेज क्लस्टरिंग द्वारा निर्मित लंबे पतले क्लस्टर आकार कुछ प्रकार के डेटा, जैसे कि मिश्रण मॉडल, के लिए खराब फिट हो सकते हैं, यह उन अनुप्रयोगों में एक अच्छा विकल्प हो सकता है जहां क्लस्टर से खुद लंबे पतले आकार की उम्मीद की जाती है, जैसे जैसा कि आकाशगंगा के काले पदार्थ के प्रभामंडल के मॉडलिंग में होता है। भौगोलिक सूचना विज्ञान में, कई शोधकर्ता समूहों ने इमारतों के सार्थक समूहों की पहचान करने के लिए इमारतों के केंद्रक के न्यूनतम फैले हुए पेड़ों का उपयोग किया है, उदाहरण के लिए किसी अन्य तरीके से असंगत के रूप में पहचाने गए किनारों को हटाकर।

विमान में वक्रों के आकार का अनुमान लगाने के लिए न्यूनतम फैले हुए पेड़ों का भी उपयोग किया गया है, वक्र के साथ दिए गए बिंदु दिए गए हैं। एक चिकने वक्र के लिए, उसके स्थानीय फीचर आकार की तुलना में अधिक बारीकी से नमूना लिया गया, न्यूनतम फैला हुआ पेड़ वक्र के साथ लगातार बिंदुओं को जोड़ने वाला एक पथ बनाएगा। अधिक आम तौर पर, समान विधियां एकल कनेक्टेड सेट के बजाय बिंदीदार या धराशायी शैली में खींचे गए वक्रों को पहचान सकती हैं। इस वक्र-खोज तकनीक के अनुप्रयोगों में बुलबुला कक्ष में कणों द्वारा छोड़े गए ट्रैक की स्वचालित रूप से पहचान करने में कण भौतिकी शामिल है। इस विचार के अधिक परिष्कृत संस्करण शोर वाले नमूना बिंदुओं के एक बादल से वक्र पा सकते हैं जो मोटे तौर पर वक्र रूपरेखा का अनुसरण करते हैं, एक गतिशील न्यूनतम वर्ग विधि का मार्गदर्शन करने के लिए फैले हुए पेड़ की टोपोलॉजी का उपयोग करके।

न्यूनतम फैले हुए पेड़ों का एक अन्य अनुप्रयोग यूक्लिडियन ट्रैवलिंग सेल्समैन समस्या के लिए एक निरंतर-कारक सन्निकटन एल्गोरिदम है, जो एक बिंदु सेट के सबसे छोटे बहुभुजीकरण को खोजने की समस्या है। न्यूनतम फैले हुए पेड़ की सीमा के चारों ओर घूमना इष्टतम लंबाई के दो के कारक के भीतर इष्टतम ट्रैवलिंग सेल्समैन टूर का अनुमान लगा सकता है। हालाँकि, अधिक सटीक बहुपद समय सन्निकटन योजना|बहुपद-समय सन्निकटन योजनाएँ इस समस्या के लिए जानी जाती हैं। वायरलेस तदर्थ नेटवर्क में, न्यूनतम फैले हुए पेड़ में पथों के साथ प्रसारण (नेटवर्किंग) संदेश न्यूनतम-ऊर्जा प्रसारण रूटिंग का सटीक अनुमान हो सकता है, जिसकी सटीक गणना करना फिर से कठिन है।

अहसास
यूक्लिडियन न्यूनतम फैले हुए पेड़ों के लिए प्राप्ति की समस्या इनपुट के रूप में एक अमूर्त पेड़ (ग्राफ सिद्धांत) लेती है और पेड़ के प्रत्येक शीर्ष (कुछ निश्चित आयाम के स्थान में) के लिए एक ज्यामितीय स्थान की तलाश करती है, जैसे कि दिया गया पेड़ न्यूनतम फैले हुए पेड़ के बराबर होता है वे बिंदु. प्रत्येक अमूर्त वृक्ष को ऐसी अनुभूति नहीं होती; उदाहरण के लिए, पेड़ को प्रत्येक शीर्ष की डिग्री पर बंधी चुंबन संख्या का पालन करना होगा। अतिरिक्त प्रतिबंध मौजूद हैं; उदाहरण के लिए, एक समतल न्यूनतम फैले हुए पेड़ के लिए यह संभव नहीं है कि उसका डिग्री-छह का शीर्ष पांच या छह डिग्री के शीर्ष के निकट हो। यह निर्धारित करना कि क्या द्वि-आयामी अनुभूति मौजूद है, एनपी-कठिन है। हालाँकि, कठोरता का प्रमाण इस तथ्य पर निर्भर करता है कि एक पेड़ में डिग्री-छह शीर्षों में अहसासों का एक बहुत ही सीमित सेट होता है: ऐसे शीर्ष के पड़ोसियों को उस शीर्ष पर केंद्रित एक नियमित षट्भुज के शीर्ष पर रखा जाना चाहिए।दरअसल, अधिकतम डिग्री पांच के पेड़ों के लिए, एक समतलीय अहसास हमेशा मौजूद रहता है। इसी तरह, अधिकतम डिग्री दस के पेड़ों के लिए, एक त्रि-आयामी अनुभूति हमेशा मौजूद रहती है। इन अहसासों के लिए, कुछ पेड़ों को उनके सबसे छोटे किनारे की लंबाई के सापेक्ष घातीय लंबाई के किनारों और घातीय क्षेत्र के बाउंडिंग बॉक्स की आवश्यकता हो सकती है। अधिकतम डिग्री चार के पेड़ों में छोटे समतलीय अहसास होते हैं, जिनमें बहुपद रूप से बंधे किनारे की लंबाई और बाउंडिंग बॉक्स होते हैं।

यह भी देखें

 * सरलरेखीय न्यूनतम स्पैनिंग वृक्ष, टैक्सीकैब ज्यामिति का उपयोग करके मापी गई दूरियों वाला एक न्यूनतम स्पैनिंग वृक्ष

बाहरी संबंध

 * EMST tutorial, mlpack documentation