इकोसिडोडेकाहेड्रॉन

ज्यामिति में, एक इकोसिडोडेकाहेड्रॉन बीस (आईसीओसी) त्रिकोणीय चेहरों और बारह (डोडेका) पेंटागोनल चेहरों वाला एक बहुफलक है। एक इकोसिडोडेकेड्रॉन में 30 समान वर्टेक्स (ज्यामिति) होते हैं, जिनमें दो त्रिकोण और दो पंचकोण प्रत्येक पर मिलते हैं, और 60 समान किनारे होते हैं, प्रत्येक एक त्रिकोण को एक पेंटागन से अलग करते हैं। जैसे कि यह आर्किमिडीयन ठोस में से एक है और अधिक विशेष रूप से, एक क्वासिरेगुलर बहुतल।

ज्यामिति
एक इकोसिद्वादशफ़लक में आईकोसाहेड्रल समरूपता है, और इसका पहला तारामंडल डोडकाहेड्रॉन और डोडकाहेड्रॉन के विंशतिफलक और इसके दोहरे आईकोसाहेड्रॉन का यौगिक है, जिसमें दोनों के किनारों के मध्य बिंदुओं पर स्थित आईकोसिडोडेकहेड्रॉन के कोने हैं।

इसका दोहरा बहुफलक समचतुर्भुज त्रिकोणाफलक है। एक इकोसिडोडेकाहेड्रॉन को पेंटागोनल रोटुंडे की एक जोड़ी बनाने के लिए छह विमानों में से किसी के साथ विभाजित किया जा सकता है, जो जॉनसन ठोस पदार्थों में से हैं।

इकोसिडोडेकहेड्रॉन को दो पंचकोना रोटुंडा (पंचकोणीय ऑर्थोबिरोटुंडा की तुलना करें, जॉनसन ठोस में से एक) के संयोजन के रूप में एक पेंटागोनल जाइरोबिरोटुंडा माना जा सकता है। इस रूप में इसकी सममिति द्वितल सममिति है|D5d, [10,2+], (2*5), क्रम 20।

आइकोसिडोडेकेड्रोन के तार-फ्रेम आंकड़ा में छह दसभुज होते हैं, जो प्रत्येक 30 कोने में जोड़े में मिलते हैं।

इकोसिडोडेकेड्रॉन में 6 केंद्रीय डेकागन होते हैं। एक गोले में प्रक्षेपित, वे 6 बड़े वृत्तों को परिभाषित करते हैं। बकमिंस्टर फुलर ने गोलाकार आईकोसाहेड्रॉन के अपने 31 बड़े मंडलों को परिभाषित करने के लिए दो अन्य पॉलीहेड्रा में 15 और 10 अन्य के साथ इन 6 महान मंडलियों का उपयोग किया।

कार्तीय निर्देशांक
यूनिट किनारों के साथ एक आईकोसिडोडेकहेड्रोन के शिखर के लिए सुविधाजनक कार्टेशियन निर्देशांक भी क्रमपरिवर्तन द्वारा दिए गए हैं: जहां φ सुनहरा अनुपात है, $1⁄2$.
 * (0, 0, ±φ)

इकोसिडोडेकाहेड्रॉन का लंबा त्रिज्या (केंद्र से शीर्ष तक) इसके किनारे की लंबाई के सुनहरे अनुपात में है; इस प्रकार इसकी त्रिज्या φ है यदि इसके किनारे की लंबाई 1 है, और इसके किनारे की लंबाई है $φ⁄2$ यदि इसकी त्रिज्या 1 है। केवल कुछ समान बहुशीर्षों में यह गुण होता है, जिसमें चार-आयामी 600-कोशिका, त्रि-आयामी इकोसिडोडेकेड्रॉन, और द्वि-आयामी दसकोण#दशकोण में सुनहरा अनुपात शामिल है। (आइकोसिडोडेकाहेड्रॉन 600-सेल का इक्वेटोरियल क्रॉस सेक्शन है, और डेकागन इकोसिडोडेकहेड्रोन का इक्वेटोरियल क्रॉस सेक्शन है।) इन रेडियल गोल्डन पॉलीटोप्स का निर्माण गोल्डन ट्राइएंगल (गणित) से किया जा सकता है, जो गोल्डन ट्रायंगल (गणित) से मिलते हैं। केंद्र, प्रत्येक दो त्रिज्या और एक किनारे का योगदान देता है।

ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण आईकोसिडोडेकेड्रोन में चार विशेष ऑर्थोगोनल अनुमान हैं, जो एक शीर्ष, एक किनारे, एक त्रिकोणीय चेहरे और एक पंचकोणीय चेहरे पर केंद्रित हैं। अंतिम दो ए के अनुरूप हैं2 और वह2 कॉक्सेटर विमान।

सतह क्षेत्र और आयतन
सतह क्षेत्र ए और किनारे की लंबाई के आईओसीडोडेकाहेड्रॉन की मात्रा वी हैं:
 * $$\begin{align}

A &= \left(5\sqrt{3}+3\sqrt{5}\sqrt{3 + 4\varphi}\right) a^2 &&= \left(5\sqrt{3}+3\sqrt{25+10\sqrt{5}}\right) a^2 &&\approx 29.3059828a^2 \\ V &= \frac{14+17\varphi}{3} a^3 &&= \frac{45+17\sqrt{5}}{6} a^3 &&\approx 13.8355259a^3. \end{align}$$

गोलाकार टाइलिंग
आईकोसिडोडेकेड्रोन को एक गोलाकार खपरैल के रूप में भी प्रदर्शित किया जा सकता है, और एक त्रिविम प्रक्षेपण के माध्यम से विमान पर प्रक्षेपित किया जा सकता है। यह प्रक्षेपण अनुरूप नक्शा है, कोणों को संरक्षित करता है लेकिन क्षेत्र या लंबाई नहीं। गोले पर सीधी रेखाएँ समतल पर वृत्ताकार चापों के रूप में प्रक्षेपित की जाती हैं।

संबंधित पॉलीटोप्स
इकोसिडोडेकेड्रॉन एक रेक्टिफिकेशन (ज्यामिति) डोडेकाहेड्रॉन है और एक रेक्टिफाइड आईकोसाहेड्रॉन भी है, जो इन नियमित ठोस पदार्थों के बीच फुल-एज ट्रंकेशन के रूप में विद्यमान है।

आईकोसिडोडेकेड्रोन में द्वादशफलक के 12 पेंटागन और आईकोसैहेड्रोन के 20 त्रिकोण होते हैं:

आइकोसिडोडेकेड्रोन शीर्ष विन्यास (3.n) के साथ अर्ध-नियमित पॉलीहेड्रा और टाइलिंग के समरूपता के अनुक्रम में मौजूद है।2, गोले के झुकाव से यूक्लिडियन तल तक और अतिशयोक्तिपूर्ण तल में प्रगति करता है। *n32 की ऑर्बिफोल्ड नोटेशन समरूपता के साथ, ये सभी झुकाव डोमेन के समकोण कोने पर जनरेटर बिंदुओं के साथ समरूपता के एक मौलिक डोमेन के भीतर निर्माण के साथ हैं।

विच्छेदन
आइकोसिडोडेकाहेड्रॉन जॉनसन सॉलिड से संबंधित है जिसे एक पेंटागोनल ऑर्थोबिरोटुंडा कहा जाता है जिसे मिरर इमेज के रूप में जुड़े दो पेंटागोनल रोटुंडे द्वारा बनाया गया है। इसलिए आइकोसिडोडेकाहेड्रॉन को शीर्ष और निचले हिस्सों के बीच परिभ्रमण के साथ एक पेंटागोनल जाइरोबिरोटुंडा कहा जा सकता है।

संबंधित पॉलीहेड्रा
काटे गए घन को अष्टकोणों को दो पंचकोणों और दो त्रिभुजों में विभाजित करके छोटा इकोसीहेमिडोडेकाहेड्रॉन में बदला जा सकता है। इसमें पाइरिटोहेड्रल समरूपता है।

आठ समान सितारा पॉलीहेड्रॉन समान शीर्ष व्यवस्था साझा करते हैं। इनमें से, दो भी एक ही किनारे की व्यवस्था साझा करते हैं: छोटा इकोसिहेमिडोडेकेड्रोन (त्रिकोणीय चेहरों को आम तौर पर), और छोटे छोटा डोडेकाहेमिडोडेकाहेड्रॉनआम में पंचकोणीय चेहरे वाले)। वर्टेक्स व्यवस्था को पांच ऑक्टाहेड्रा के यौगिक और पांच टेट्राहेमीहेक्सहेड्रा के यौगिक के समान पॉलीहेड्रॉन यौगिक के साथ भी साझा किया जाता है।

संबंधित पॉलीचोरा
चार-आयामी ज्यामिति में इकोसिडोडेकेड्रॉन नियमित पॉलीटोप्स 600-सेल में विषुवतीय टुकड़ा के रूप में प्रकट होता है जो 3 डी अंतरिक्ष के माध्यम से 600-सेल के शीर्ष-प्रथम मार्ग से संबंधित होता है। दूसरे शब्दों में: 600-कोशिकाओं के 30 कोने जो इसके परिबद्ध अति क्षेत्र पर 90 डिग्री की चाप दूरी पर विपरीत शीर्षों की एक जोड़ी से स्थित होते हैं, एक आइकोसिडोडेकेड्रोन के शीर्ष होते हैं। 600-सेल के वायर फ्रेम फिगर में 72 फ्लैट रेगुलर डेकागन होते हैं। इनमें से छह विपरीत शिखरों की एक जोड़ी के लिए विषुवतीय दसभुज हैं। वे ठीक छह डेकागोन हैं जो आईकोसिडोडेकहेड्रोन के वायर फ्रेम आकृति बनाते हैं।

इकोसिडोडेकाहेड्रॉन ग्राफ
ग्राफ सिद्धांत के गणित क्षेत्र में, एक आईकोसिडोडेकाहेड्रल ग्राफ आईकोसिडोडेकेड्रोन का 1-कंकाल है, जो आर्किमिडीयन ठोस पदार्थों में से एक है। इसमें 30 वर्टेक्स (ग्राफ थ्योरी) और 60 किनारे हैं, और यह एक चतुर्थक ग्राफ आर्किमिडीज़ ग्राफ है।

ट्रिविया
स्टार ट्रेक यूनिवर्स में, वालकैन गेम ऑफ़ लॉजिक List_of_games_in_Star_Trek#Kal-toh|Kal-Toh का लक्ष्य एक होलोग्राफिक आईकोसिडोडेकहेड्रॉन बनाने का है।

द रॉंग स्टार्स में, टिम प्रैट की स्वयंसिद्ध श्रृंखला में से एक पुस्तक, ऐलेना के पास उसके दोनों ओर एक आईकोसिडोडेकहेड्रॉन मशीन है। [पेपरबैक पृष्ठ 336]

होबरमैन क्षेत्र एक आईकोसाइडोडेकेड्रॉन है।

Icosidodecahedra मानव कोशिकाओं सहित सभी यूकेरियोटिक कोशिकाओं में पाया जा सकता है, जैसे कि Sec13/31 COPII कोट-प्रोटीन संरचनाएं।

यह भी देखें

 * क्यूबोक्टाहेड्रोन
 * ग्रेट काटे गए आईकोसाइडोडेकाहेड्रॉन
 * आइकोसैहेड्रोन
 * रोम्बिकोसिडोडेकाहेड्रॉन
 * काटे गए आईकोसिडोडेकाहेड्रॉन

संदर्भ

 * (Section 3-9)

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * आर्किमिडीज़ ठोस
 * क्वासिरेगुलर पॉलीहेड्रॉन
 * डोडेकाहेड्रॉन और आईकोसैहेड्रोन का यौगिक
 * दोहरी पॉलीहेड्रॉन
 * रोम्बिक ट्राईकॉन्टाहेड्रोन
 * तारकीय
 * महान घेरा
 * गोलाकार आइकोसैहेड्रॉन के 31 बड़े घेरे
 * यहां तक ​​कि क्रमपरिवर्तन
 * स्वर्ण त्रिभुज (गणित)
 * गोलाकार टाइलिंग
 * सुधार (ज्यामिति)
 * पांच ऑक्टाहेड्रा का यौगिक
 * एकसमान तारा बहुफलक
 * पाँच टेट्राहेमीहेक्सहेड्रा का यौगिक
 * कटा हुआ घन
 * अंक शास्त्र
 * शीर्ष (ग्राफ सिद्धांत)
 * हॉबरमैन क्षेत्र
 * ग्रेट ट्रंकेटेड आईकोसिडोडेकाहेड्रॉन

बाहरी संबंध

 * Editable printable net of an icosidodecahedron with interactive 3D view
 * The Uniform Polyhedra
 * Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra
 * The Uniform Polyhedra
 * Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra