टॉरशन समूह

समूह सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, टॉरशन (विमोटल) समूह या आवधिक समूह एक समूह है जिसमें प्रत्येक अवयव का एक सीमित क्रम होता है। ऐसे किसी समूह का प्रतिपादक, यदि उपस्थित है, तो अवयवों के क्रम का सबसे छोटा सामान्य गुणक है।

उदाहरण के लिए, लैग्रेंज के प्रमेय से यह पता चलता है कि प्रत्येक परिमित समूह आवर्त है और इसके क्रम को विभाजित करने वाला घातांक है।

अनंत उदाहरण
अनंत आवधिक समूहों के उदाहरणों में एक परिमित क्षेत्र पर बहुपद की वलय  का योगात्मक समूह, और पूर्णांकों द्वारा परिमेय के भागफल समूह, साथ ही उनके प्रत्यक्ष योग, प्रुफ़र समूह सम्मिलित हैं। एक अन्य उदाहरण सभी डायहेड्रल समूहों का प्रत्यक्ष योग है। इनमें से किसी भी उदाहरण का कोई सीमित जनक समुच्चय नहीं है। अंतिम रूप से उत्पन्न अनंत आवधिक समूहों के स्पष्ट उदाहरण गोलोड द्वारा निर्मित किए गए थे, शफारेविच के साथ संयुक्त कार्य के आधार पर, गोलोड-शफारेविच प्रमेय देखें, और अलेशिन और ग्रिगोरचुक द्वारा ऑटोमेटा का उपयोग करके। इन समूहों के घातांक अनंत हैं; उदाहरण के लिए, ओल्शांस्की द्वारा निर्मित टार्स्की मॉन्स्टर समूहों द्वारा परिमित घातांक वाले उदाहरण दिए गए हैं।

बर्नसाइड की समस्या
बर्नसाइड की समस्या एक चिरसम्मत प्रश्न है जो आवधिक समूहों और परिमित समूहों के बीच संबंधों से संबंधित है, जब केवल परिमित रूप से उत्पन्न समूहों पर विचार किया जाता है: क्या एक घातांक को निर्दिष्ट करने से परिमितता पर बल पड़ता है? पिछले पैराग्राफ की तरह अनंत, परिमित रूप से उत्पन्न आवधिक समूहों का अस्तित्व दर्शाता है कि एक मनमाना घातांक के लिए उत्तर "नहीं" है। यद्यपि इस बारे में बहुत कुछ ज्ञात है कि कौन से घातांक अनंत रूप से उत्पन्न समूहों के लिए हो सकते हैं, फिर भी कुछ ऐसे हैं जिनके लिए समस्या विवृत है।

समूहों के कुछ वर्गों के लिए, उदाहरण के लिए, रैखिक समूहों के लिए, वर्ग तक ही सीमित बर्नसाइड की समस्या का उत्तर धनात्मक है।

गणितीय तर्क
आवधिक समूहों का एक रोचक गुण यह है कि परिभाषा को प्रथम-क्रम तर्क के संदर्भ में औपचारिक रूप नहीं दिया जा सकता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि ऐसा करने के लिए फॉर्म के एक स्वयंसिद्ध की आवश्यकता होगी।
 * $$\forall x,\big((x = e) \lor (x\circ x=e) \lor ((x\circ x)\circ x=e) \lor \cdots\big)$$

जिसमें एक अनंत विच्छेदन होता है और इसलिए यह अस्वीकार्य है: प्रथम-क्रम तर्क एक प्रकार से अधिक परिमाणक की अनुमति देता है और उस प्रकार के गुणों या उपसमुच्चय को कैप्चर नहीं कर सकता है। स्वयंसिद्धों के अनंत समुच्चय का उपयोग करके इस अनंत विच्छेदन से निपटना भी संभव नहीं है: कॉम्पैक्टनेस प्रमेय का तात्पर्य है कि प्रथम-क्रम सूत्रों का कोई भी समुच्चय आवधिक समूहों की विशेषता नहीं बता सकता है।

संबंधित धारणाएँ
एबेलियन समूह A का विमोटल उपसमूह A का उपसमूह है जिसमें सभी अवयव सम्मिलित होते हैं जिनका क्रम सीमित होता है। टॉर्सियन एबेलियन समूह एक एबेलियन समूह है जिसमें प्रत्येक अवयव का सीमित क्रम होता है। टॉरशन-रहित एबेलियन समूह एक एबेलियन समूह है जिसमें पहचान अवयव परिमित क्रम वाला एकमात्र अवयव है।

यह भी देखें

 * टॉरशन (बीजगणित)
 * जॉर्डन-शूर प्रमेय

संदर्भ

 * R. I. Grigorchuk, Degrees of growth of finitely generated groups and the theory of invariant means., Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 48:5 (1984), 939–985 (Russian).