पैनडिजिटल संख्या

गणित में, एक पंडिजिटल संख्या एक पूर्णांक है जो किसी दिए गए सूत्र  में इसके महत्वपूर्ण अंकों में से प्रत्येक अंक आधार में कम से कम एक बार उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 1234567890 (एक अरब दो सौ चौतीस मिलियन पांच सौ साठ सात हजार आठ सौ नब्बे) आधार 10 में एक पंडिजिटल संख्या है। पहले कुछ पंडिजिटल आधार 10 संख्याएँ इस प्रकार दी गई हैं :


 * 1023456789, 1023456798, 1023456879, 1023456897, 1023456978, 1023456987, 1023457689

किसी दिए गए आधार b में सबसे छोटी पंडिजिटल संख्या रूप का एक पूर्णांक है


 * $$b^{b - 1} + \sum_{d = 2}^{b - 1} db^{b - 1 - d} = \frac{b^b - b}{(b-1)^2} + (b-1) \times b^{b-2} - 1$$ निम्न तालिका कुछ चयनित आधारों की सबसे छोटी पंडिजिटल संख्याओं को सूचीबद्ध करती है।

पहले 18 आधारों के लिए आधार 10 मान देता है।

एक तुच्छ अर्थ में, सभी सकारात्मक पूर्णांक यूनरी अंक प्रणाली (या मिलान) में पंडिजिटल हैं। बाइनरी में, 0 और फॉर्म की संख्या को छोड़कर सभी पूर्णांक पंडिजिटल हैं $$2^n - 1$$ (मेर्सन प्रीमियम)। आधार जितना बड़ा होता है, उतनी ही विरल पंडिजिटल संख्याएँ बनती हैं, हालाँकि कोई हमेशा रन खोज सकता है $$b^x$$ आधार के सभी अंकों को एक साथ लिखकर (लेकिन पहले शून्य को सबसे महत्वपूर्ण अंक के रूप में नहीं) और अंत में x + 1 शून्य को कम से कम महत्वपूर्ण अंकों के रूप में जोड़कर निरर्थक अंकों के साथ लगातार पंडिजिटल संख्याएँ।

इसके विपरीत, आधार जितना छोटा होता है, अनावश्यक अंक के बिना कम पंडिजिटल संख्याएं होती हैं। आधार 2 में 2 ही एकमात्र ऐसी पंडिजिटल संख्या है, जबकि आधार 10 में इनकी संख्या अधिक है।

कभी-कभी, इस शब्द का उपयोग केवल पंडिजिटल संख्याओं को संदर्भित करने के लिए किया जाता है, जिसमें कोई अनावश्यक अंक नहीं होता है। कुछ मामलों में, एक संख्या को पंडिजिटल कहा जा सकता है, भले ही उसमें महत्वपूर्ण अंक के रूप में शून्य न हो, उदाहरण के लिए, 923456781 (इन्हें कभी-कभी शून्य रहित पैनडिजिटल संख्या कहा जाता है)।

कोई भी आधार 10 पंडिजिटल संख्या अभाज्य संख्या नहीं हो सकती यदि उसमें निरर्थक अंक न हों। 0 से 9 तक के अंकों का योग 45 है, जो 3 और 9 दोनों के लिए विभाज्यता नियम पारित करता है। पहला आधार 10 पंडिजिटल प्राइम 10123457689 है; अधिक सूचीबद्ध करता है।

अलग-अलग कारणों से, एक पंडिजिटल संख्या (यूनरी को छोड़कर किसी भी आधार में) के लिए अनावश्यक अंक भी उस आधार में एक मुरजबंधीय संख्या होने के लिए आवश्यक हैं। बेस 10 में सबसे छोटी पैंडिजिटल मुरजबंध संबंधी संख्या 1023456789876543201 है।

अनावश्यक अंकों के बिना सबसे बड़ी पंडिजिटल संख्या भी एक वर्ग संख्या है 9814072356 (संख्या) = 99066 2।

शून्य रहित पैनडिजिटल फ्रीडमैन संख्याओं में से दो हैं: 123456789 = ((86 + 2 × 7)5 − 91) / 34, और 987654321 = (8 × (97 + 6/2)5 + 1) / 3 4।

अनावश्यक अंकों के बिना एक पंडिजिटल फ्रीडमैन संख्या वर्ग है: 2170348569 = 465872 + (0 × 139)।

जबकि जो कुछ कहा गया है वह रोमन अंकों पर लागू नहीं होता है, फिर भी पंडिजिटल संख्याएँ हैं: MCDXLIV, MCDXLVI, MCDLXIV, MCDLXVI, MDCXLIV, MDCXLVI, MDCLXIV, MDCLXVI। ये, में सूचीबद्ध हैं, जबकि प्रत्येक अंक का केवल एक बार उपयोग करें में पुनरावृत्त के साथ पंडिजिटल रोमन अंक हैं।

पंडिजिटल नंबर कल्पना और विज्ञापन में उपयोगी होते हैं। सामाजिक सुरक्षा संख्या 987-65-4321 विज्ञापन में उपयोग के लिए आरक्षित शून्य रहित पंडिजिटल संख्या है। कुछ क्रेडिट कार्ड कंपनियां काल्पनिक क्रेडिट कार्ड नंबरों के रूप में अनावश्यक अंकों के साथ पंडिता संख्या का उपयोग करती हैं (जबकि अन्य शून्य के तार का उपयोग करते हैं)।

आधार 10 पंडिजिटल संख्याओं के उदाहरण

 * 123456789 = पहली शून्य रहित पंडिजिटल संख्या।
 * 381654729 = एकमात्र शून्य रहित पंडिजिटल संख्या जहां पहला है $n$ अंकों से विभाज्य हैं $n$.
 * 987654321 = अनावश्यक अंकों के बिना सबसे बड़ी शून्य रहित पंडिजिटल संख्या।
 * 1023456789 = पहला पंडिजिटल नंबर।
 * 1234567890 = क्रम में अंकों के साथ पहली पंडिजिटल संख्या।
 * 3816547290 = बहुविभाज्य संख्या, निरर्थक अंकों के बिना एकमात्र पंडिजिटल संख्या, जहां पहला $n$ अंकों से विभाज्य हैं $n$.
 * 9814072356 = बेमानी अंकों के बिना सबसे बड़ा पंडिजिटल वर्ग। यह 99066 का वर्ग (बीजगणित) है।
 * 9876543210 = निरर्थक अंकों के बिना सबसे बड़ी पंडिजिटल संख्या।
 * 12345678987654321 = एक पंडिजिटल संख्या जिसमें शून्य को छोड़कर सभी अंक आरोही और अवरोही दोनों क्रम में हों। यह 111111111 का वर्ग (बीजगणित) है; डेमलो नंबर देखें। यह एक मुरजबंध संबंधी संख्या भी है।

यह भी देखें

 * चम्पेरनोई स्थिरांक

संदर्भ

 * De Geest, P. The Nine Digits Page
 * De Geest, P. The Nine Digits Page