बीजगणित प्रतिनिधित्व

अमूर्त बीजगणित में, एक सहयोगी बीजगणित का प्रतिनिधित्व उस बीजगणित के लिए एक मॉड्यूल (गणित) है। यहां एक साहचर्य बीजगणित एक (जरूरी नहीं कि इकाई बीजगणित) वलय (गणित) है। यदि बीजगणित एकात्मक नहीं है, तो इसे मानक तरीके से बनाया जा सकता है (सहायक फ़ंक्शनल पृष्ठ देखें); परिणामी इकाई रिंग के लिए मॉड्यूल के बीच कोई आवश्यक अंतर नहीं है, जिसमें पहचान पहचान मानचित्रण और बीजगणित के प्रतिनिधित्व द्वारा कार्य करती है।

रेखीय जटिल संरचना
सबसे सरल गैर-तुच्छ उदाहरणों में से एक एक रैखिक जटिल संरचना है, जो जटिल संख्या सी का प्रतिनिधित्व करती है, जिसे वास्तविक संख्या आर पर एक सहयोगी बीजगणित के रूप में माना जाता है। इस बीजगणित को ठोस रूप से महसूस किया जाता है $$\mathbb{C} = \mathbb{R}[x]/(x^2+1),$$ जो मेल खाता है $i^{2} = −1$. फिर C का प्रतिनिधित्व एक वास्तविक सदिश समष्टि V है, साथ में V (एक मानचित्र) पर C की क्रिया भी है $$\mathbb{C} \to \mathrm{End}(V)$$). सीधे तौर पर, यह सिर्फ एक कार्रवाई है $i$, क्योंकि यह बीजगणित और प्रतिनिधित्व करने वाले ऑपरेटर को उत्पन्न करता है $i$ (छवि_(गणित)#छवि_की_एक_तत्व $i$ अंत में (V)) को पहचान मैट्रिक्स I के साथ भ्रम से बचने के लिए J दर्शाया गया है।

बहुपद बीजगणित
उदाहरणों का एक अन्य महत्वपूर्ण बुनियादी वर्ग बहुपद बीजगणित, मुक्त क्रमविनिमेय बीजगणित का प्रतिनिधित्व है - ये क्रमविनिमेय बीजगणित और इसके ज्यामितीय समकक्ष, बीजगणितीय ज्यामिति में अध्ययन का एक केंद्रीय उद्देश्य बनाते हैं। में एक बहुपद बीजगणित का प्रतिनिधित्व $k$ क्षेत्र पर चर (गणित) K ठोस रूप से एक K-वेक्टर स्थान है $k$ आने-जाने वाले ऑपरेटर, और इसे अक्सर दर्शाया जाता है $$K[T_1,\dots,T_k],$$ जिसका अर्थ अमूर्त बीजगणित का प्रतिनिधित्व है $$K[x_1,\dots,x_k]$$ कहाँ $$x_i \mapsto T_i.$$ ऐसे अभ्यावेदन के बारे में एक बुनियादी परिणाम यह है कि, बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर, प्रतिनिधित्व मैट्रिक्स (गणित) त्रिकोणीय मैट्रिक्स # एक साथ त्रिकोणीयता है।

यहां तक ​​कि एक ही चर में बहुपद बीजगणित के निरूपण का मामला भी दिलचस्प है - इसे इस प्रकार दर्शाया गया है $$K[T]$$ और इसका उपयोग एक आयाम (वेक्टर स्पेस) | परिमित-आयामी वेक्टर स्पेस पर एकल रैखिक ऑपरेटर की संरचना को समझने में किया जाता है। विशेष रूप से, इस बीजगणित के लिए एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर परिमित रूप से उत्पन्न मॉड्यूल के लिए संरचना प्रमेय को लागू करने से एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर परिमित रूप से उत्पन्न मॉड्यूल के लिए संरचना प्रमेय प्राप्त होता है#मैट्रिसेस के विभिन्न विहित रूपों का परिणाम, जैसे कि जॉर्डन विहित रूप।

गैर-अनुवांशिक ज्यामिति के कुछ दृष्टिकोणों में, मुक्त गैर-अनुवांशिक बीजगणित (गैर-कम्यूटेटिव चर में बहुपद) एक समान भूमिका निभाता है, लेकिन विश्लेषण बहुत अधिक कठिन है।

वजन
आइगेनवैल्यूज़ एवं आइगेनवेक्टर्स को बीजगणित अभ्यावेदन के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

बीजगणित निरूपण के eigenvalue का सामान्यीकरण, एकल अदिश के बजाय, एक आयामी प्रतिनिधित्व है $$\lambda\colon A \to R$$ (यानी, बीजगणित से उसके अंतर्निहित रिंग तक एक बीजगणित समरूपता: एक रैखिक कार्यात्मक जो गुणक भी है)। इसे वेट (प्रतिनिधित्व सिद्धांत) के रूप में जाना जाता है, और एक ईजेनवेक्टर और ईजेनस्पेस के एनालॉग को वेट वेक्टर और वेट स्पेस कहा जाता है।

एकल संचालिका के eigenvalue का मामला बीजगणित से मेल खाता है $$R[T],$$ और बीजगणित का एक नक्शा $$R[T] \to R$$ यह इस बात से निर्धारित होता है कि यह जनरेटर टी को किस स्केलर पर मैप करता है। बीजगणित प्रतिनिधित्व के लिए एक भार वेक्टर एक वेक्टर होता है जैसे कि बीजगणित का कोई भी तत्व इस वेक्टर को स्वयं के गुणक में मैप करता है - एक आयामी सबमॉड्यूल (उपप्रस्तुति)। जोड़ी के रूप में $$A \times M \to M$$ द्विरेखीय मानचित्र है, जिसका गुणक A (एक बीजगणित मानचित्र A → R) का A-रैखिक कार्यात्मक है, अर्थात् भार। प्रतीकों में, एक भार वेक्टर एक वेक्टर होता है $$m \in M$$ ऐसा है कि $$am = \lambda(a)m$$ सभी तत्वों के लिए $$a \in A,$$ कुछ रैखिक कार्यात्मकता के लिए $$\lambda$$ - ध्यान दें कि बाईं ओर, गुणन बीजगणित क्रिया है, जबकि दाईं ओर, गुणन अदिश गुणन है।

क्योंकि भार एक क्रमविनिमेय वलय का मानचित्र है, मानचित्र बीजगणित के एबेलियनाइजेशन के माध्यम से कारक बनता है $$\mathcal{A}$$ - समान रूप से, यह व्युत्पन्न बीजगणित पर गायब हो जाता है - मैट्रिक्स के संदर्भ में, यदि $$v$$ ऑपरेटरों का एक सामान्य eigenvector है $$T$$ और $$U$$, तब $$T U v = U T v$$ (क्योंकि दोनों ही मामलों में यह केवल अदिशों द्वारा गुणन है), इसलिए बीजगणित के सामान्य आइजनवेक्टर उस सेट में होने चाहिए जिस पर बीजगणित क्रमविनिमेय रूप से कार्य करता है (जो व्युत्पन्न बीजगणित द्वारा नष्ट हो जाता है)। इस प्रकार केंद्रीय रुचि मुक्त क्रमविनिमेय बीजगणित, अर्थात् बहुपद बीजगणित हैं। बहुपद बीजगणित के इस विशेष रूप से सरल और महत्वपूर्ण मामले में $$\mathbf{F}[T_1,\dots,T_k]$$ कम्यूटिंग मैट्रिक्स के एक सेट में, इस बीजगणित का एक वजन वेक्टर मैट्रिक्स का एक साथ eigenvector है, जबकि इस बीजगणित का वजन बस एक है $$k$$- अदिशों का समूह $$ \lambda = (\lambda_1,\dots,\lambda_k)$$ प्रत्येक मैट्रिक्स के eigenvalue के अनुरूप, और इसलिए ज्यामितीय रूप से एक बिंदु के अनुरूप $$k$$-अंतरिक्ष। ये भार - विशेष रूप से उनकी ज्यामिति - लाई बीजगणित के प्रतिनिधित्व सिद्धांत को समझने में केंद्रीय महत्व के हैं, विशेष रूप से लाई बीजगणित प्रतिनिधित्व#अर्धसरल लाई बीजगणित के परिमित-आयामी निरूपण|अर्धसरल लाई बीजगणित के परिमित-आयामी निरूपण।

इस ज्यामिति के अनुप्रयोग के रूप में, एक बीजगणित दिया गया है जो एक बहुपद बीजगणित का भागफल है $$k$$ जेनरेटर, यह ज्यामितीय रूप से बीजगणितीय विविधता से मेल खाता है $$k$$-आयामी स्थान, और भार विविधता पर पड़ना चाहिए - यानी, यह विविधता के लिए परिभाषित समीकरणों को संतुष्ट करता है। यह इस तथ्य को सामान्यीकृत करता है कि eigenvalues ​​​​एक चर में मैट्रिक्स के विशेषता बहुपद को संतुष्ट करते हैं।

यह भी देखें

 * प्रतिनिधित्व सिद्धांत
 * आपस में गुँथने वाला
 * हॉपफ बीजगणित का प्रतिनिधित्व सिद्धांत
 * झूठ बीजगणित प्रतिनिधित्व
 * शूर की लेम्मा
 * जैकबसन घनत्व प्रमेय
 * डबल कम्यूटेंट प्रमेय

संदर्भ

 * Richard S. Pierce. Associative algebras. Graduate texts in mathematics, Vol. 88, Springer-Verlag, 1982, ISBN 978-0-387-90693-5