विन्यास समष्टि (भौतिकी)

शास्त्रीय यांत्रिकी में, एक प्रणाली के विन्यास को परिभाषित करने वाले मापदंडों को सामान्यीकृत निर्देशांक कहा जाता है, और इन निर्देशांकों द्वारा परिभाषित स्थान को भौतिक प्रणाली का 'विन्यास स्थान' कहा जाता है। अक्सर ऐसा होता है कि ये पैरामीटर गणितीय बाधाओं को पूरा करते हैं, जैसे कि सिस्टम की वास्तविक कॉन्फ़िगरेशन का सेट सामान्यीकृत निर्देशांक के स्थान में कई गुना है। इस मैनिफोल्ड को सिस्टम का 'कॉन्फ़िगरेशन मैनिफोल्ड' कहा जाता है। ध्यान दें कि यह अप्रतिबंधित कॉन्फ़िगरेशन स्पेस की धारणा है, यानी जिसमें विभिन्न बिंदु कण एक ही स्थिति पर कब्जा कर सकते हैं। गणित में, विशेष रूप से टोपोलॉजी में, प्रतिबंधित विन्यास स्थान (गणित) की एक धारणा का अधिकतर उपयोग किया जाता है, जिसमें टकराने वाले कणों का प्रतिनिधित्व करने वाले विकर्णों को हटा दिया जाता है।

उदाहरण: 3डी अंतरिक्ष में एक कण
साधारण यूक्लिडियन अंतरिक्ष में गतिमान एकल कण की स्थिति|यूक्लिडियन 3-स्पेस को वेक्टर द्वारा परिभाषित किया गया है $$q=(x,y,z)$$, और इसलिए इसका विन्यास स्थान है $$Q=\mathbb{R}^3$$. प्रतीक का प्रयोग परम्परागत है $$q$$ विन्यास स्थान में एक बिंदु के लिए; यह हैमिल्टनियन यांत्रिकी और लग्रांगियन यांत्रिकी दोनों में परंपरा है। प्रतीक $$p$$ गति को निरूपित करने के लिए प्रयोग किया जाता है; प्रतीक $$\dot{q}=dq/dt$$ वेगों को संदर्भित करता है।

एक कण को ​​एक विशिष्ट कई गुना बढ़ने के लिए विवश किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि कण एक कठोर लिंकेज से जुड़ा हुआ है, जो उत्पत्ति के बारे में झूलने के लिए स्वतंत्र है, तो यह एक गोले पर झूठ बोलने के लिए प्रभावी रूप से विवश है। इसका विन्यास स्थान निर्देशांक का सबसेट है $$\mathbb{R}^3$$ जो गोले पर बिंदुओं को परिभाषित करता है $$S^2$$. इस मामले में कई का कहना है $$Q$$ गोला है, अर्थात् $$Q=S^2$$.

एन डिस्कनेक्ट किए गए, गैर-अंतःक्रियात्मक बिंदु कणों के लिए, कॉन्फ़िगरेशन स्थान है $$\mathbb{R}^{3n}$$. सामान्य तौर पर, हालांकि, उस मामले में रुचि होती है जहां कण परस्पर क्रिया करते हैं: उदाहरण के लिए, वे गियर, पुली, रोलिंग बॉल आदि की कुछ असेंबली में विशिष्ट स्थान होते हैं, जो अक्सर फिसलने के बिना चलने के लिए विवश होते हैं। इस स्थिति में, कॉन्फ़िगरेशन स्थान सभी नहीं है $$\mathbb{R}^{3n}$$, लेकिन स्वीकार्य पदों का उप-स्थान (सबमनीफोल्ड) जो अंक ले सकते हैं।

उदाहरण: 3डी अंतरिक्ष में कठोर शरीर
निर्देशांक का सेट जो संदर्भ बिंदु की स्थिति को परिभाषित करता है और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक कठोर शरीर से जुड़े समन्वय फ्रेम के अभिविन्यास को इसकी कॉन्फ़िगरेशन स्पेस बनाता है, जिसे अक्सर निरूपित किया जाता है $$\mathbb{R}^{3}\times\mathrm{SO}(3)$$ कहाँ $$\mathbb{R}^{3}$$ शरीर से जुड़े फ्रेम की उत्पत्ति के निर्देशांक का प्रतिनिधित्व करता है, और $$\mathrm{SO}(3)$$ रोटेशन मेट्रिसेस का प्रतिनिधित्व करता है जो ग्राउंड फ्रेम के सापेक्ष इस फ्रेम के ओरिएंटेशन को परिभाषित करता है। कठोर शरीर का एक विन्यास छह मापदंडों द्वारा परिभाषित किया गया है, तीन से $$\mathbb{R}^{3}$$ और तीन से $$\mathrm{SO}(3)$$, और कहा जाता है कि स्वतंत्रता की छह डिग्री (यांत्रिकी) हैं।

इस स्थिति में, कॉन्फ़िगरेशन स्थान $$Q=\mathbb{R}^{3}\times\mathrm{SO}(3)$$ छह आयामी है, और एक बिंदु है $$q\in Q$$ उस जगह में सिर्फ एक बिंदु है। के स्थान $$q$$ उस कॉन्फ़िगरेशन स्थान में सामान्यीकृत निर्देशांक का उपयोग करके वर्णित किया गया है; इस प्रकार, तीन निर्देशांक कठोर शरीर के द्रव्यमान के केंद्र के स्थान का वर्णन कर सकते हैं, जबकि तीन और इसके अभिविन्यास का वर्णन करने वाले यूलर कोण हो सकते हैं। निर्देशांकों का कोई प्रामाणिक विकल्प नहीं है; द्रव्यमान के केंद्र के बजाय कठोर शरीर के कुछ शीर्ष या अंत बिंदु को भी चुना जा सकता है; कोई यूलर कोणों के बजाय चतुष्कोणों का उपयोग करना चुन सकता है, और इसी तरह। हालांकि, पैरामीटराइजेशन सिस्टम की यांत्रिक विशेषताओं को नहीं बदलता है; सभी अलग-अलग पैरामीटर अंततः एक ही (छह-आयामी) कई गुना, संभावित पदों और अभिविन्यासों के समान सेट का वर्णन करते हैं।

कुछ पैरामीटरों के साथ काम करना दूसरों की तुलना में आसान होता है, और समन्वय-मुक्त फैशन में काम करके कई महत्वपूर्ण बयान दिए जा सकते हैं। समन्वय मुक्त कथनों के उदाहरण हैं कि स्पर्शरेखा स्थान $$TQ$$ बिंदुओं के वेग के अनुरूप है $$q\in Q$$, जबकि cotangent अंतरिक्ष $$T^*Q$$ संवेग से मेल खाता है। (वेग और संवेग को जोड़ा जा सकता है; सबसे सामान्य, अमूर्त मामले के लिए, यह तात्विक एक-रूप की बल्कि सारगर्भित धारणा के साथ किया जाता है।)

उदाहरण: रोबोटिक आर्म
कई कठोर लिंकेज से युक्त एक रोबोटिक भुजा के लिए, कॉन्फ़िगरेशन स्पेस में प्रत्येक लिंकेज का स्थान होता है (जैसा कि ऊपर दिए गए अनुभाग में एक कठोर शरीर के रूप में लिया गया है), लिंकेज एक दूसरे से कैसे जुड़े हैं, और इसकी बाधाओं के अधीन हैं। गति की उनकी अनुमत सीमा। इस प्रकार, के लिए $$n$$ लिंकेज, कोई कुल स्थान पर विचार कर सकता है $$\left[\mathbb{R}^3\times \mathrm{SO}(3)\right]^n$$ सिवाय इसके कि सभी विभिन्न अटैचमेंट्स और बाधाओं का मतलब है कि इस स्पेस में हर बिंदु पर पहुंचा नहीं जा सकता है। इस प्रकार, कॉन्फ़िगरेशन स्थान $$Q$$ अनिवार्य रूप से की एक उप-समष्टि है $$n$$-कठोर-शरीर विन्यास स्थान।

ध्यान दें, हालांकि, रोबोटिक्स में, कॉन्फ़िगरेशन स्पेस शब्द एक और कम किए गए सबसेट को भी संदर्भित कर सकता है: रोबोट के अंत-प्रभावक द्वारा पहुंच योग्य पदों का सेट। यह परिभाषा, हालांकि, holonomi  द्वारा वर्णित जटिलताओं की ओर ले जाती है: अर्थात, एक विशेष अंत-प्रभावक स्थान प्राप्त करने के लिए रोबोट आर्म को व्यवस्थित करने के कई अलग-अलग तरीके हो सकते हैं, और यह संभव है कि रोबोट आर्म को गतिमान रखते हुए स्थानांतरित किया जाए। अंत प्रभावक स्थिर। इस प्रकार, कीनेमेटीक्स में उपयोग के लिए उपयुक्त हाथ का एक पूर्ण विवरण, सभी संयुक्त पदों और कोणों के विनिर्देश की आवश्यकता होती है, न कि उनमें से कुछ की।

कॉन्फ़िगरेशन को परिभाषित करने के लिए रोबोट के संयुक्त मापदंडों को सामान्यीकृत निर्देशांक के रूप में उपयोग किया जाता है। संयुक्त पैरामीटर मानों के सेट को संयुक्त स्थान कहा जाता है। एक रोबोट के आगे कीनेमेटीक्स और व्युत्क्रम कीनेमेटीक्स समीकरण कॉन्फ़िगरेशन और अंत-प्रभावक स्थिति के बीच या संयुक्त स्थान और कॉन्फ़िगरेशन स्थान के बीच मैप (गणित) को परिभाषित करते हैं। रोबोट गति योजना  इस मैपिंग का उपयोग संयुक्त स्थान में एक पथ खोजने के लिए करता है जो अंत-प्रभावक के विन्यास स्थान में एक प्राप्त करने योग्य मार्ग प्रदान करता है।

औपचारिक परिभाषा
शास्त्रीय यांत्रिकी में, एक प्रणाली के विन्यास में कीनेमेटिकल बाधाओं के अधीन सभी घटकों की स्थिति होती है।

चरण स्थान
एक यांत्रिक प्रणाली का पूरी तरह से वर्णन करने के लिए विन्यास स्थान अपर्याप्त है: यह वेगों को ध्यान में रखने में विफल रहता है। सिस्टम के लिए उपलब्ध वेगों का सेट सिस्टम के कॉन्फ़िगरेशन मैनिफोल्ड के लिए एक विमान स्पर्शरेखा को परिभाषित करता है। एक बिंदु पर $$q\in Q$$, उस स्पर्शरेखा तल को निरूपित किया जाता है $$T_q Q$$. मोमेंटम वैक्टर स्पर्शरेखा विमान के रैखिक कार्य हैं, जिन्हें कॉटैंगेंट वैक्टर के रूप में जाना जाता है; एक बिंदु के लिए $$q\in Q$$, वह कोटिस्पर्श तल द्वारा निरूपित किया जाता है $$T^*_q Q$$. एक यांत्रिक प्रणाली की स्थिति और संवेग का समुच्चय कॉटैंगेंट बंडल बनाता है $$T^*Q$$ विन्यास के कई गुना $$Q$$. इस बड़े मैनिफोल्ड को सिस्टम का चरण स्थान  कहा जाता है।

राज्य स्थान
क्वांटम यांत्रिकी में, अनुरूप अवधारणा को स्टेट स्पेस (भौतिकी) | स्टेट स्पेस कहा जाता है। इस मामले में औपचारिकताओं और नोटेशन का एक अलग सेट उपयोग किया जाता है। एक बिंदु कण का एनालॉग एक एकल बिंदु बन जाता है $$\mathbb{CP}^1$$, जटिल प्रक्षेपी रेखा, जिसे बलोच क्षेत्र के रूप में भी जाना जाता है। यह जटिल है, क्योंकि क्वांटम-मैकेनिकल तरंग क्रिया का एक जटिल चरण होता है; यह प्रक्षेपी है क्योंकि तरंग-फ़ंक्शन को इकाई संभाव्यता के लिए सामान्यीकृत किया जाता है। यानी एक वेव-फंक्शन दिया गया है $$\psi$$ one कुल संभाव्यता से इसे सामान्य करने के लिए स्वतंत्र है $\int\psi^*\psi$, इस प्रकार यह प्रोजेक्टिव बना रहा है।

यह भी देखें

 * फ़ीचर स्पेस (पैटर्न पहचान में विषय)
 * पैरामीटर स्थान
 * विन्यास स्थान (गणित)

बाहरी संबंध

 * Intuitive Explanation of Classical Configuration Spaces.
 * Interactive Visualization of the C-space for a Robot Arm with Two Rotational Links from UC Berkeley.
 * Configuration Space Visualization from Free University of Berlin
 * Configuration Spaces, Braids, and Robotics from Robert Ghrist