K-फ़ंक्शन

गणित में,$k$-फ़ंक्शन, जिसे आमतौर पर K(z) कहा जाता है, हाइपर[[ कारख़ाने का ]] से जटिल संख्याओं का एक सामान्यीकरण है, जो गामा फ़ंक्शन के लिए फ़ैक्टोरियल के सामान्यीकरण के समान है।

परिभाषा
औपचारिक रूप से, $K$-फ़ंक्शन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है


 * $$K(z)=(2\pi)^{-\frac{z-1}2} \exp\left[\binom{z}{2}+\int_0^{z-1} \ln \Gamma(t + 1)\,dt\right].$$

इसे बंद रूप में भी दिया जा सकता है


 * $$K(z)=\exp\bigl[\zeta'(-1,z)-\zeta'(-1)\bigr]$$

कहाँ $&zeta;′(z)$ रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को दर्शाता है, $&zeta;(a,z)$ हर्विट्ज़ ज़ेटा फ़ंक्शन को दर्शाता है और


 * $$\zeta'(a,z)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \left.\frac{\partial\zeta(s,z)}{\partial s}\right|_{s=a}.$$

बहुविवाह फ़ंक्शन का उपयोग करने वाली एक और अभिव्यक्ति है
 * $$K(z)=\exp\left[\psi^{(-2)}(z)+\frac{z^2-z}{2}-\frac {z}{2} \ln 2\pi \right]$$

या सामान्यीकृत बहुविवाह फ़ंक्शन का उपयोग करना:
 * $$K(z)=A \exp\left[\psi(-2,z)+\frac{z^2-z}{2}\right]$$

कहाँ $K$ ग्लैशर स्थिरांक है।

गामा फ़ंक्शन के लिए बोहर-मोलेरुप प्रमेय | बोहर-मोलेरुप प्रमेय के समान, लॉग के-फ़ंक्शन अद्वितीय (एक योगात्मक स्थिरांक तक) अंततः समीकरण का 2-उत्तल समाधान है $$\Delta f(x)=x\ln(x)$$ कहाँ $$\Delta$$ फॉरवर्ड डिफरेंस ऑपरेटर है।

गुण
इसके लिए यह दिखाया जा सकता है $α > 0$:


 * $$\int_\alpha^{\alpha+1}\ln K(x)\,dx-\int_0^1\ln K(x)\,dx=\tfrac{1}{2}\alpha^2\left(\ln\alpha-\tfrac{1}{2}\right)$$

इसे किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करके दिखाया जा सकता है $A$ ऐसा है कि:


 * $$f(\alpha)=\int_\alpha^{\alpha+1}\ln K(x)\,dx$$

इस पहचान को अब सम्मान के साथ अलग किया जा रहा है $f$ पैदावार:


 * $$f'(\alpha)=\ln K(\alpha+1)-\ln K(\alpha)$$

लघुगणक नियम लागू करने पर हमें प्राप्त होता है


 * $$f'(\alpha)=\ln\frac{K(\alpha+1)}{K(\alpha)}$$

की परिभाषा के अनुसार $α$-फ़ंक्शन हम लिखते हैं


 * $$f'(\alpha)=\alpha\ln\alpha$$

इसलिए


 * $$f(\alpha)=\tfrac12\alpha^2\left(\ln\alpha-\tfrac12\right)+C$$

सेटिंग $α = 0$ अपने पास


 * $$\int_0^1 \ln K(x)\,dx=\lim_{t\rightarrow0}\left[\tfrac12 t^2\left(\ln t-\tfrac12\right)\right]+C \ =C$$

अब कोई उपरोक्त पहचान का अनुमान लगा सकता है। $K$-फ़ंक्शन गामा फ़ंक्शन और बार्न्स जी-फ़ंक्शन|बार्न्स से निकटता से संबंधित है $K}|K$-समारोह; प्राकृतिक संख्याओं के लिए $G$, अपने पास


 * $$K(n)=\frac{\bigl(\Gamma(n)\bigr)^{n-1}}{G(n)}.$$

अधिक व्यावहारिक रूप से, कोई लिख सकता है


 * $$K(n+1)=1^1 \cdot 2^2 \cdot 3^3 \cdots n^n.$$

प्रथम मान हैं
 * 1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000, ....