अपारदर्शिता का गणितीय विवरण

जब एक विद्युत चुम्बकीय तरंग एक ऐसे माध्यम से यात्रा करती है जिसमें यह क्षीण हो जाती है (इसे अपारदर्शिता (ऑप्टिक्स) या क्षीणन स्थिर माध्यम कहा जाता है), यह बीयर-लैंबर्ट कानून द्वारा वर्णित घातीय क्षय से गुजरती है। हालाँकि, लहर को चिह्नित करने के कई संभावित तरीके हैं और यह कितनी जल्दी क्षीण हो जाता है। यह आलेख निम्नलिखित के बीच गणितीय संबंधों का वर्णन करता है: ध्यान दें कि इनमें से कई मामलों में सामान्य उपयोग में कई, परस्पर विरोधी परिभाषाएं और परंपराएं हैं। यह लेख आवश्यक रूप से व्यापक या सार्वभौमिक नहीं है।
 * क्षीणन गुणांक;
 * प्रवेश गहराई और त्वचा की गहराई;
 * तरंग संख्या और प्रसार स्थिरांक;
 * जटिल अपवर्तक सूचकांक;
 * जटिल पारगम्यता;
 * प्रत्यावर्ती धारा विद्युत चालकता (संवेदनशीलता)।

विवरण
+z-दिशा में प्रसार करने वाली एक विद्युत चुम्बकीय तरंग पारंपरिक रूप से समीकरण द्वारा वर्णित है: $$\mathbf{E}(z, t) = \operatorname{Re} \left[\mathbf{E}_0 e^{i(kz - \omega t)}\right]\! ,$$ कहाँ
 * इ0 एक्स-वाई विमान में एक वेक्टर है, एक विद्युत क्षेत्र की इकाइयों के साथ (वेक्टर सामान्य रूप से एक जटिल वेक्टर है, सभी संभावित ध्रुवीकरण और चरणों की अनुमति देने के लिए);
 * ω तरंग की कोणीय आवृत्ति है;
 * k तरंग की कोणीय तरंग संख्या है;
 * Re वास्तविक भाग को इंगित करता है;
 * ई ई है (गणितीय स्थिरांक)|यूलर की संख्या।

तरंग दैर्ध्य है, परिभाषा के अनुसार, $$\lambda = \frac{2\pi}{k}.$$ किसी दी गई आवृत्ति के लिए, एक विद्युत चुम्बकीय तरंग की तरंग दैर्ध्य उस सामग्री से प्रभावित होती है जिसमें यह प्रचार कर रही है। निर्वात तरंगदैर्घ्य (वेवलेंथ जो इस आवृत्ति की एक तरंग होगी यदि यह निर्वात में प्रचार कर रही हो) है $$\lambda_0 = \frac{2\pi \mathrm{c}}{\omega},$$ जहाँ c निर्वात में प्रकाश की गति है।

क्षीणन की अनुपस्थिति में, अपवर्तन सूचकांक (जिसे अपवर्तक सूचकांक भी कहा जाता है) इन दो तरंग दैर्ध्य का अनुपात है, अर्थात, $$n = \frac{\lambda_0}{\lambda} = \frac{\mathrm{c}k}{\omega}.$$ तरंग की तीव्रता (भौतिकी) तरंग के कई दोलनों पर समय-औसत, आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है, जिसकी मात्रा: $$I(z) \propto \left|\mathbf{E}_0 e^{i(kz - \omega t)}\right|^2 = |\mathbf{E}_0|^2.$$ ध्यान दें कि यह तीव्रता स्थिति z से स्वतंत्र है, यह एक संकेत है कि यह तरंग दूरी के साथ क्षीण नहीं हो रही है। हम I को परिभाषित करते हैं0 इस निरंतर तीव्रता के बराबर करने के लिए: $$I(z) = I_0 \propto |\mathbf{E}_0|^2.$$

जटिल संयुग्म अस्पष्टता
क्योंकि $$\operatorname{Re}\left[\mathbf{E}_0 e^{i(kz - \omega t)}\right] = \operatorname{Re}\left[\mathbf{E}_0^* e^{-i(kz - \omega t)}\right]\! ,$$ किसी भी अभिव्यक्ति का परस्पर उपयोग किया जा सकता है। आम तौर पर, भौतिक विज्ञानी और रसायनज्ञ बाईं ओर के सम्मेलन का उपयोग करते हैं (ई−iωt), जबकि इलेक्ट्रिकल इंजीनियर दाईं ओर कन्वेंशन का उपयोग करते हैं (e+iωt, उदाहरण के लिए विद्युत प्रतिबाधा देखें)। एक अप्रशिक्षित लहर के लिए भेद अप्रासंगिक है, लेकिन नीचे कुछ मामलों में प्रासंगिक हो जाता है। उदाहरण के लिए, अपवर्तक सूचकांक की दो परिभाषाएँ हैं, एक सकारात्मक काल्पनिक भाग के साथ और एक नकारात्मक काल्पनिक भाग के साथ, जो दो अलग-अलग सम्मेलनों से प्राप्त हुआ है। दो परिभाषाएँ एक दूसरे की जटिल संयुग्म हैं।

क्षीणन गुणांक
लहर के गणितीय विवरण में क्षीणन को शामिल करने का एक तरीका क्षीणन गुणांक के माध्यम से होता है: $$\mathbf{E}(z, t) = e^{-\alpha z/2} \operatorname{Re}\! \left[\mathbf{E}_0 e^{i(kz - \omega t)}\right]\! ,$$ जहां α क्षीणन गुणांक है।

तब तरंग की तीव्रता संतुष्ट करती है: $$I(z) \propto \left|e^{-\alpha z/2}\mathbf{E}_0 e^{i(kz - \omega t)}\right|^2 = |\mathbf{E}_0|^2 e^{-\alpha z},$$ अर्थात। $$I(z) = I_0 e^{-\alpha z}.$$ क्षीणन गुणांक, बदले में, बस कई अन्य मात्राओं से संबंधित है:
 * अवशोषण गुणांक अनिवार्य रूप से (लेकिन हमेशा नहीं) क्षीणन गुणांक का पर्याय है; विवरण के लिए क्षीणन गुणांक देखें;
 * मोलर अवशोषण गुणांक या मोलर विलुप्त होने का गुणांक, जिसे मोलर अवशोषण भी कहा जाता है, वह क्षीणन गुणांक है जिसे मोलरिटी से विभाजित किया जाता है (और आमतौर पर ln (10) से गुणा किया जाता है, अर्थात, डेकाडिक); विवरण के लिए बीयर-लैंबर्ट कानून और मोलर अवशोषकता देखें;
 * द्रव्यमान क्षीणन गुणांक, जिसे द्रव्यमान विलुप्त होने का गुणांक भी कहा जाता है, घनत्व द्वारा विभाजित क्षीणन गुणांक है; विवरण के लिए द्रव्यमान क्षीणन गुणांक देखें;
 * अवशोषण क्रॉस सेक्शन और बिखरने वाला क्रॉस सेक्शन  दोनों मात्रात्मक रूप से क्षीणन गुणांक से संबंधित हैं; विवरण के लिए अवशोषण क्रॉस सेक्शन और स्कैटरिंग क्रॉस सेक्शन देखें;
 * क्षीणन गुणांक को कभी-कभी अपारदर्शिता भी कहा जाता है; अस्पष्टता (प्रकाशिकी) देखें।

प्रवेश गहराई
एक समान दृष्टिकोण प्रवेश गहराई का उपयोग करता है: $$\begin{align} \mathbf{E}(z, t) &= e^{-z/(2\delta_\mathrm{pen})} \operatorname{Re}\! \left[\mathbf{E}_0 e^{i(kz - \omega t)}\right]\! , \\ I(z) &= I_0 e^{-z/\delta_\mathrm{pen}}, \end{align}$$ जहां δpen पैठ की गहराई है।

त्वचा की गहराई
त्वचा की गहराई को परिभाषित किया गया है ताकि लहर संतुष्ट हो: $$\begin{align} \mathbf{E}(z, t) &= e^{-z/\delta_\mathrm{skin}} \operatorname{Re}\! \left[\mathbf{E}_0 e^{i(kz - \omega t)}\right]\! , \\ I(z) &= I_0 e^{-2z/\delta_\mathrm{skin}}, \end{align}$$ जहां δskin त्वचा की गहराई है।

भौतिक रूप से, वेधन की गहराई वह दूरी है जो लहर अपनी तीव्रता के एक कारक से कम होने से पहले यात्रा कर सकती है $1/e ≈ 0.37$. त्वचा की गहराई वह दूरी है जो लहर यात्रा कर सकती है इससे पहले कि उसका आयाम उसी कारक से कम हो जाए।

अवशोषण गुणांक पैठ की गहराई और त्वचा की गहराई से संबंधित है $$\alpha = 1/\delta_\mathrm{pen} = 2/\delta_\mathrm{skin}.$$

जटिल कोणीय तरंग संख्या
क्षीणन को शामिल करने का दूसरा तरीका वेवनंबर का उपयोग करना है: $$\mathbf{E}(z, t) = \operatorname{Re}\! \left[\mathbf{E}_0 e^{i(\underline{k}z - \omega t)}\right]\! ,$$ जहाँ k जटिल कोणीय तरंग संख्या है।

तब तरंग की तीव्रता संतुष्ट करती है: $$I(z) \propto \left|\mathbf{E}_0 e^{i(\underline{k}z - \omega t)}\right|^2 = |\mathbf{E}_0|^2 e^{-2 \operatorname{Im}(\underline{k})z},$$ अर्थात। $$I(z) = I_0 e^{-2 \operatorname{Im}(\underline{k})z}.$$ इसलिए, इसकी तुलना अवशोषण गुणांक दृष्टिकोण से करते हुए, $$\begin{align} \operatorname{Re}(\underline{k}) &= k, \\ \operatorname{Im}(\underline{k}) &= \alpha/2. \end{align}$$ जटिल संयुग्म अस्पष्टता के अनुसार, कुछ लेखक जटिल संयुग्म परिभाषा का उपयोग करते हैं: $$\begin{align} \operatorname{Re}(\underline{k}) &= k, \\ \operatorname{Im}(\underline{k}) &= -\alpha/2. \end{align}$$

प्रसार स्थिरांक
एक निकट से संबंधित दृष्टिकोण, विशेष रूप से संचरण लाइनों के सिद्धांत में आम है, प्रसार स्थिरांक का उपयोग करता है: $$\mathbf{E}(z, t) = \operatorname{Re}\! \left[\mathbf{E}_0 e^{-\gamma z + i\omega t}\right]\! ,$$ जहां γ प्रसार स्थिरांक है।

तब तरंग की तीव्रता संतुष्ट करती है: $$I(z) \propto \left|\mathbf{E}_0 e^{-\gamma z + i\omega t}\right|^2 = |\mathbf{E}_0|^2 e^{-2 \operatorname{Re}(\gamma)z},$$ अर्थात। $$I(z) = I_0 e^{-2 \operatorname{Re}(\gamma)z}.$$ दो समीकरणों की तुलना में, प्रसार स्थिरांक और जटिल कोणीय वेवंबर निम्न द्वारा संबंधित हैं: $$\gamma = i\underline{k}^*,$$ जहाँ * जटिल संयुग्मन को दर्शाता है। $$\operatorname{Re}(\gamma) = \operatorname{Im}(\underline{k}) = \alpha/2.$$ इस मात्रा को क्षीणन स्थिरांक भी कहा जाता है, कभी-कभी निरूपित α। $$\operatorname{Im}(\gamma) = \operatorname{Re}(\underline{k}) = k.$$ इस मात्रा को चरण स्थिरांक भी कहा जाता है, जिसे कभी-कभी β के रूप में निरूपित किया जाता है। दुर्भाग्य से, संकेतन हमेशा सुसंगत नहीं होता है। उदाहरण के लिए, $$\underline{k}$$ कभी-कभी γ के बजाय प्रसार स्थिरांक कहा जाता है, जो वास्तविक और काल्पनिक भागों की अदला-बदली करता है।

जटिल अपवर्तक सूचकांक
याद रखें कि गैर क्षीण माध्यम में, अपवर्तक सूचकांक और कोणीय तरंग संख्या निम्न से संबंधित हैं: $$n = \frac{\mathrm{c}}{v} = \frac{\mathrm{c}k}{\omega},$$ कहाँ
 * n माध्यम का अपवर्तनांक है;
 * c निर्वात में प्रकाश की गति है;
 * v माध्यम में प्रकाश की गति है।

एक 'जटिल अपवर्तक सूचकांक' इसलिए ऊपर परिभाषित जटिल कोणीय तरंग संख्या के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है: $$\underline{n} = \frac{\mathrm{c}\underline{k}}{\omega}.$$ जहाँ n माध्यम का अपवर्तनांक है।

दूसरे शब्दों में, संतुष्ट करने के लिए तरंग की आवश्यकता होती है $$\mathbf{E}(z, t) = \operatorname{Re}\! \left[\mathbf{E}_0 e^{i\omega(\underline{n}z/\mathrm{c} - t)}\right]\! .$$ तब तरंग की तीव्रता संतुष्ट करती है: $$I(z) \propto \left|\mathbf{E}_0 e^{i\omega(\underline{n}z/\mathrm{c} - t)}\right|^2 = |\mathbf{E}_0|^2 e^{-2\omega \operatorname{Im}(\underline n)z/\mathrm{c}},$$ अर्थात। $$I(z) = I_0 e^{-2\omega \operatorname{Im}(\underline n)z/\mathrm{c}}.$$ पिछले अनुभाग की तुलना में, हमारे पास है $$\operatorname{Re}(\underline{n}) = \frac{\mathrm{c}k}{\omega}.$$ यह मात्रा अक्सर (संदिग्ध रूप से) केवल अपवर्तक सूचकांक कहलाती है। $$\operatorname{Im}(\underline{n}) = \frac{\mathrm{c}\alpha}{2\omega}=\frac{\lambda_0 \alpha}{4\pi}.$$ इस मात्रा को ऑप्टिकल विलोपन गुणांक कहा जाता है और इसे κ से निरूपित किया जाता है।


 * 1) जटिल संयुग्म अस्पष्टता के अनुसार, कुछ लेखक जटिल संयुग्म परिभाषा का उपयोग करते हैं, जहां (अभी भी सकारात्मक) विलुप्त होने का गुणांक 'ऋण' का काल्पनिक हिस्सा है $$\underline{n}$$.

जटिल विद्युत पारगम्यता
गैर-क्षीण मीडिया में, विद्युत पारगम्यता और अपवर्तक सूचकांक निम्न से संबंधित हैं: $$n = \mathrm{c}\sqrt{\mu \varepsilon}\quad \text{(SI)},\qquad n = \sqrt{\mu \varepsilon}\quad \text{(cgs)},$$ कहाँ
 * μ माध्यम की चुंबकीय पारगम्यता है;
 * ε माध्यम की विद्युत पारगम्यता है।
 * एसआई एसआई इकाइयों को संदर्भित करता है, जबकि सीजीएस गॉसियन इकाइयों को संदर्भित करता है|गाऊसी-सीजीएस इकाइयां।

क्षीण मीडिया में, एक ही संबंध का उपयोग किया जाता है, लेकिन पारगम्यता को एक जटिल संख्या होने की अनुमति दी जाती है, जिसे 'जटिल पारगम्यता' कहा जाता है: $$\underline{n} = \mathrm{c}\sqrt{\mu \underline{\varepsilon}}\quad \text{(SI)},\qquad \underline{n} = \sqrt{\mu \underline{\varepsilon}}\quad \text{(cgs)},$$ जहां ε माध्यम की जटिल विद्युत पारगम्यता है।

दोनों पक्षों का वर्ग करना और पिछले अनुभाग के परिणामों का उपयोग करना: $$\begin{align} \operatorname{Re}(\underline{\varepsilon}) &= \frac{\mathrm{c}^2 \varepsilon_0}{\omega^2 \mu/\mu_0}\! \left(k^2 - \frac{\alpha^2}{4}\right)\quad \text{(SI)}, \quad & \operatorname{Re}(\underline{\varepsilon}) &= \frac{\mathrm{c}^2}{\omega^2 \mu}\! \left(k^2 - \frac{\alpha^2}{4}\right)\quad \text{(cgs)}, \\ \operatorname{Im}(\underline{\varepsilon}) &= \frac{\mathrm{c}^2 \varepsilon_0}{\omega^2 \mu/\mu_0}k\alpha\quad \text{(SI)}, & \operatorname{Im}(\underline{\varepsilon}) &= \frac{\mathrm{c}^2}{\omega^2 \mu}k\alpha\quad \text{(cgs)}. \end{align}$$

एसी चालकता
विद्युत चालकता के माध्यम से क्षीणन को शामिल करने का एक अन्य तरीका निम्नानुसार है। विद्युत चुम्बकीय तरंग प्रसार को नियंत्रित करने वाले समीकरणों में से एक है एम्पीयर का नियम | मैक्सवेल-एम्पीयर का नियम: $$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J_f} + \frac{\mathrm{d}\mathbf{D}}{\mathrm{d}t}\quad \text{(SI)},\qquad \nabla \times \mathbf{H} = \frac{4\pi}{\mathrm{c}} \mathbf{J_f} + \frac{1}{\mathrm{c}}\frac{\mathrm{d}\mathbf{D}}{\mathrm{d}t}\quad \text{(cgs)},$$ कहाँ $$\mathbf{D}$$ विद्युत विस्थापन क्षेत्र है।

ओम के नियम में प्लगिंग और (वास्तविक) पारगम्यता की परिभाषा $$\nabla \times \mathbf{H} = \sigma \mathbf{E} + \varepsilon \frac{\mathrm{d}\mathbf{E}}{\mathrm{d}t}\quad \text{(SI)},\qquad \nabla \times \mathbf{H} = \frac{4\pi \sigma}{\mathrm{c}} \mathbf{E} + \frac{\varepsilon}{\mathrm{c}}\frac{\mathrm{d}\mathbf{E}}{\mathrm{d}t}\quad \text{(cgs)},$$ जहां σ (वास्तविक, लेकिन आवृत्ति-निर्भर) विद्युत चालकता है, जिसे 'वैकल्पिक वर्तमान विद्युत चालकता' कहा जाता है।

साइनसोइडल समय के साथ सभी मात्राओं पर निर्भरता, अर्थात। $$\begin{align} \mathbf{H} &= \operatorname{Re}\! \left[\mathbf{H}_0 e^{-i\omega t}\right]\! ,\\ \mathbf{E} &= \operatorname{Re}\! \left[\mathbf{E}_0 e^{-i\omega t}\right]\! , \end{align}$$ परिणाम है $$\nabla \times \mathbf{H}_0 = -i\omega\mathbf{E}_0 \! \left(\varepsilon + i\frac{\sigma}{\omega}\right)\quad \text{(SI)},\qquad \nabla \times \mathbf{H}_0 = \frac{-i\omega}{\mathrm{c}} \mathbf{E}_0 \! \left(\varepsilon + i\frac{4\pi \sigma}{\omega}\right)\quad \text{(cgs)}.$$ यदि वर्तमान $$\mathbf{J_f}$$ स्पष्ट रूप से (ओम के नियम के माध्यम से) शामिल नहीं थे, लेकिन केवल निहित रूप से (एक जटिल पारगम्यता के माध्यम से), कोष्ठक में मात्रा केवल जटिल विद्युत पारगम्यता होगी। इसलिए, $$\underline{\varepsilon} = \varepsilon + i\frac{\sigma}{\omega}\quad \text{(SI)},\qquad \underline{\varepsilon} = \varepsilon + i\frac{4\pi \sigma}{\omega}\quad \text{(cgs)}.$$ पिछले खंड की तुलना में, एसी चालकता संतुष्ट करती है $$\sigma = \frac{k\alpha}{\omega \mu}\quad \text{(SI)},\qquad \sigma = \frac{k\alpha \mathrm{c}^2}{4\pi \omega \mu}\quad \text{(cgs)}.$$