आंतरिक ऊर्जा

ऊष्मप्रवैगिकी प्रणाली की आंतरिक  ऊर्जा  उसके अंदर निहित ऊर्जा है। ऊष्मप्रवैगिकी प्रणाली में आंतरिक ऊर्जा स्थिर होती है। यह दी गई आंतरिक स्थिति में प्रणाली का निर्माण करने के लिए आवश्यक ऊर्जा है। इसमें पूर्ण प्रणाली की गति की  गतिज ऊर्जा  सम्मिलित नहीं है, परन्तु इसमें प्रणाली के आतंरिक कणों की गतिज ऊर्जा सम्मिलित है। यह प्रणाली की ऊर्जा के लाभ एवं हानि का हिसाब रखता है जो इसकी आंतरिक स्थिति में परिवर्तन के कारण होते हैं।  आंतरिक ऊर्जा का सरल रूप परिमाण प्राप्त नहीं जा सकता है। इसे संभावित अवस्था द्वारा परिभाषित संदर्भ शून्य से असमानता के रूप में मापा जाता है। असमानता को ऊष्मप्रवैगिकी प्रक्रियाओं द्वारा निर्धारित किया जाता है जो प्रणाली को संदर्भ स्थिति एवं ब्याज की दी गई स्थिति के मध्य ले जाते हैं।

आंतरिक ऊर्जा गहन एवं व्यापक गुण है। ऊष्मप्रवैगिकी प्रक्रियाएं, पदार्थ का स्थानांतरण, या ऊर्जा का ऊष्मा के रूप में, या  कार्य (ऊष्मप्रवैगिकी)  के रूप में आंतरिक ऊर्जा को परिभाषित करती हैं | इन प्रक्रियाओं को प्रणाली के व्यापक चर, जैसे एन्ट्रॉपी, वॉल्यूम एवं  रासायनिक संरचना  में परिवर्तन द्वारा परिमाण प्राप्त किया जाता है। प्रणाली की सभी आंतरिक ऊर्जाओं पर विचार करना प्रायः आवश्यक नहीं होता है, उदाहरण के लिए, इसके घटक पदार्थ की स्थिर विश्राम द्रव्यमान ऊर्जा  है। जब अभेद्य युक्त दीवारों द्वारा पदार्थ के स्थानांतरण को रोका जाता है, तो प्रणाली को  बंद प्रणाली  कहा जाता है एवं ऊष्मप्रवैगिकी्स का प्रथम नियम आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन को परिभाषित करता है क्योंकि प्रणाली में ऊष्मा के रूप में जोड़ा गया ऊर्जा एवं ऊष्मप्रवैगिकी कार्य के मध्य भिन्नता होती है। इसके समीप  की प्रणाली यदि युक्त दीवारें न तो पदार्थ एवं न ही ऊर्जा से निकलती हैं, तो प्रणाली को भिन्न-थलग कहा जाता है एवं इसकी आंतरिक ऊर्जा नहीं परिवर्तित हो सकती है।

इसके अन्य परिभाषित व्यापक अवस्था चर के साथ, आंतरिक ऊर्जा प्रणाली की संपूर्ण ऊष्मप्रवैगिकी ज्ञान को व्यक्त करती है, एवं एन्ट्रॉपी के समान प्रतिनिधित्व है । इस प्रकार, इसका मूल्य केवल प्रणाली की वर्तमान स्थिति पर निर्भर करता है, न कि कई संभावित प्रक्रियाओं में से विशेष विकल्प पर जिसके द्वारा ऊर्जा प्रणाली से निकल सकती है। यह ऊष्मप्रवैगिकी क्षमता है। सूक्ष्म रूप से, आंतरिक ऊर्जा का अनुवाद (भौतिकी), घूर्णन, एवं दोलन से प्रणाली के कणों की सूक्ष्म गति की गतिज ऊर्जा एवं रासायनिक बंधनों सहित सूक्ष्म बलों से जुड़ी संभावित ऊर्जा के संदर्भ में किया जा सकता है।

इकाइयों की असमानता्राष्ट्रीय प्रणाली (एसआई) में ऊर्जा की इकाई जूल (J) है। इकाई J/kg वाले द्रव्यमान  के सापेक्ष आंतरिक ऊर्जा विशिष्ट आंतरिक ऊर्जा है। इकाई J/मोल (इकाई) के साथ  पदार्थ की मात्रा  के सापेक्ष संबंधित मात्रा मोलर आंतरिक ऊर्जा है।

मुख्य कार्य
प्रणाली की आंतरिक ऊर्जा इसकी एन्ट्रॉपी S, इसकी मात्रा V एवं इसके बड़े कणों की संख्या $U(S,V,{N_{j}})$ पर निर्भर करती है |यह ऊर्जा प्रतिनिधित्व में प्रणाली के ऊष्मप्रवैगिकी को व्यक्त करता है। अवस्था फलन के रूप में, इसके तर्क अवस्था के विशेष रूप से व्यापक चर हैं। आंतरिक ऊर्जा के साथ, ऊष्मप्रवैगिकी प्रणाली की स्थिति का अन्य कार्डिनल कार्य इसकी एन्ट्रापी है, फलन के रूप में, $S(U,V,{N_{j}})$, अवस्था के व्यापक चर की सूची में, सिवाय एन्ट्रापी के, $S$, सूची में आंतरिक ऊर्जा द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, $U$. यह एन्ट्रापी प्रतिनिधित्व को व्यक्त करता है। प्रत्येक कार्डिनल फलन अपने प्रत्येक प्राकृतिक या विहित चर का मोनोटोनिक फलन होता है। प्रत्येक अपनी विशेषता या मौलिक समीकरण प्रदान करता है, उदाहरण के लिए $U = U(S,V,{N_{j}})$, जो अपने आप में प्रणाली के बारे में सभी ऊष्मप्रवैगिकी जानकारी समाहित करता है। दो कार्डिनल कार्यों के लिए मौलिक समीकरणों को सैद्धांतिक रूप से समाधान प्राप्त कर परिवर्तित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, $S$ के लिए $U = U(S,V,{N_{j}})$, एवं $S = S(U,V,{N_{j}})$ प्राप्त करने के लिए है।

इसके विपरीत, अन्य ऊष्मप्रवैगिकी क्षमता एवं मासीयू कार्यों के लिए मुख्य समीकरण प्राप्त करने के लिए लीजेंड्रे ट्रांसफॉर्म आवश्यक हैं। केवल व्यापक अवस्था चर के समारोह के रूप में एन्ट्रापी, मासीयू कार्यों के लिए अवस्था का मात्र कार्डिनल फलन है। यह स्वयं में ' मासीयू फलन ' के रूप में निर्दिष्ट नहीं है, चूँकि तर्कसंगत रूप से इसे 'ऊष्मप्रवैगिकी क्षमता' शब्द के अनुरूप माना जा सकता है, जिसमें आंतरिक ऊर्जा सम्मिलित है। वास्तविक एवं व्यावहारिक प्रणालियों के लिए, मुख्य समीकरणों की स्पष्ट अभिव्यक्ति हमेशा अनुपलब्ध होती है, परन्तु कार्यात्मक संबंध सिद्धांत रूप में सम्मिलित होते हैं। औपचारिक, सिद्धांत रूप में, ऊष्मप्रवैगिकी के ज्ञान के लिए उनमें से जोड़तोड़ मूल्यवान हैं।

विवरण एवं परिभाषा
आंतरिक ऊर्जा $$U$$ प्रणाली की दी गई स्थिति का निर्धारण प्रणाली की मानक स्थिति के सापेक्ष निर्धारित किया जाता है, ऊर्जा के मैक्रोस्कोपिक हस्तांतरण को जोड़कर जो संदर्भ अवस्था से दिए गए अवस्था में अवस्था के परिवर्तन के साथ होता है:
 * $$\Delta U = \sum_i E_i,$$

जहाँ पे $$\Delta U$$ दिए गए अवस्था की आंतरिक ऊर्जा एवं संदर्भ अवस्था की आंतरिक ऊर्जा के मध्य असमानता को दर्शाता है, एवं यह $$E_i$$ संदर्भ अवस्था से दिए गए अवस्था के चरणों में प्रणाली में स्थानांतरित विभिन्न ऊर्जाएं हैं। यह संदर्भ अवस्था से प्रणाली की दी गई स्थिति बनाने के लिए आवश्यक ऊर्जा है। अन्य-सापेक्ष सूक्ष्म दृष्टिकोण से, इसे सूक्ष्म संभावित ऊर्जा में विभाजित किया जा सकता है, $$U_\text{micro,pot}$$, एवं सूक्ष्म गतिज ऊर्जा, $$U_\text{micro,kin}$$, अवयव:
 * $$U = U_\text{micro,pot} + U_\text{micro,kin}.$$

प्रणाली की सूक्ष्म गतिज ऊर्जा केंद्र-द्रव्यमान फ्रेम के संबंध में प्रणाली के सभी कणों की गति के योग के रूप में उत्पन्न होती है, चाहे वह परमाणुओं, अणुओं, परमाणु नाभिक, इलेक्ट्रॉनों या अन्य कणों की गति हो। सूक्ष्म संभावित ऊर्जा बीजीय योगात्मक घटक रासायनिक ऊर्जा  एवं  परमाणु संभावित ऊर्जा  कण बंधन, एवं प्रणाली के अंदर भौतिक बल क्षेत्र हैं, जैसे कि आंतरिक  इलेक्ट्रोस्टैटिक प्रेरण  इलेक्ट्रिक या  चुंबकत्व  द्विध्रुवीय  क्षण (भौतिकी), साथ ही साथ ऊर्जा ठोस ( तनाव (भौतिकी)  -स्ट्रेन (सामग्री विज्ञान)) के  विरूपण (इंजीनियरिंग)  की है। सामान्यतः, सूक्ष्म गतिज एवं संभावित ऊर्जाओं में विभाजन मैक्रोस्कोपिक ऊष्मप्रवैगिकी्स के क्षेत्र से बाहर है।

आंतरिक ऊर्जा में गति या संपूर्ण रूप से प्रणाली की स्थिति के कारण ऊर्जा सम्मिलित नहीं होती है। दूसरे शब्दों में, यह बाहरी गुरुत्वाकर्षण, इलेक्ट्रोस्टाटिक्स, या  इलेक्ट्रोमैग्नेटिक्स क्षेत्र (भौतिकी) में गति या स्थान के कारण शरीर की किसी भी गतिज या संभावित ऊर्जा को बाहर कर देता है। चूँकि, इसमें क्षेत्र के साथ वस्तु की स्वतंत्रता की आंतरिक डिग्री के युग्मन के कारण ऊर्जा में ऐसे क्षेत्र का योगदान सम्मिलित है। ऐसे विषय में, क्षेत्र को अतिरिक्त बाहरी पैरामीटर के रूप में वस्तु के ऊष्मप्रवैगिकी विवरण में सम्मिलित किया जाता है।

ऊष्मप्रवैगिकी या इंजीनियरिंग में व्यावहारिक विचारों के लिए, मानक प्रणाली की सम्पूर्ण आंतरिक ऊर्जा से संबंधित सभी ऊर्जाओं पर विचार करना कदाचित ही कभी आवश्यक, सुविधाजनक, एवं न ही संभव है, जैसे कि द्रव्यमान की तुल्यता द्वारा दी गई ऊर्जा है। सामान्यतः, विवरण में केवल अध्ययन के तहत प्रणाली के लिए प्रासंगिक घटक सम्मिलित होते हैं। वास्तव में, विचाराधीन अधिकांश प्रणालियों में, विशेष रूप से ऊष्मागतिकी के माध्यम से, सम्पूर्ण आंतरिक ऊर्जा की गणना करना असंभव है। इसलिए, आंतरिक ऊर्जा के लिए सुविधाजनक शून्य संदर्भ बिंदु का चुनाव किया जा सकता है।

आंतरिक ऊर्जा व्यापक चर है, यह प्रणाली के आकार पर या इसमें सम्मिलित पदार्थ की मात्रा पर निर्भर करता है।

निरपेक्ष शून्य से अधिक किसी भी तापमान पर, सूक्ष्म स्थितिज ऊर्जा एवं गतिज ऊर्जा निरन्तर दूसरे में परिवर्तित हो जाती हैं, परन्तु पृथक प्रणाली (cf. तालिका) में योग स्थिर रहता है। ऊष्मप्रवैगिकी के शास्त्रीय चित्र में, गतिज ऊर्जा शून्य तापमान पर विलुप्त हो जाती है एवं आंतरिक ऊर्जा विशुद्ध रूप से संभावित ऊर्जा होती है। चूँकि, क्वांटम यांत्रिकी ने प्रदर्शित किया है कि शून्य तापमान पर भी कण गति की अवशिष्ट ऊर्जा, शून्य बिंदु ऊर्जा बनाए रखते हैं। निरपेक्ष शून्य पर प्रणाली केवल अपनी क्वांटम-मैकेनिकल ग्राउंड अवस्था में होती है, जो सबसे कम ऊर्जा अवस्था उपलब्ध होती है। निरपेक्ष शून्य पर दी गई रचना की प्रणाली ने अपनी न्यूनतम प्राप्य एन्ट्रापी प्राप्त कर ली है।

आंतरिक ऊर्जा का सूक्ष्म गतिज ऊर्जा भाग निकाय के तापमान को जन्म देता है। सांख्यिकीय यांत्रिकी  व्यक्तिगत कणों की छद्म-यादृच्छिक गतिज ऊर्जा को प्रणाली में सम्मिलित कणों के पूर्ण समूह की औसत गतिज ऊर्जा से संबंधित करता है। इसके अलावा, यह माध्य सूक्ष्म गतिज ऊर्जा को मैक्रोस्कोपिक रूप से देखे गए अनुभवजन्य संपत्ति से संबंधित करता है जिसे प्रणाली के तापमान के रूप में व्यक्त किया जाता है। तापमान गहन उपाय है, यह ऊर्जा प्रणाली की व्यापक संपत्ति के रूप में अवधारणा को व्यक्त करती है, जिसे प्रायः ऊष्म ऊर्जा के रूप में जाना जाता है, तापमान एवं तापीय ऊर्जा के मध्य स्केलिंग गुण प्रणाली का एन्ट्रापी परिवर्तन है। सांख्यिकीय यांत्रिकी किसी भी प्रणाली को के समूह में सांख्यिकीय रूप से वितरित करने के लिए $$N$$  माइक्रोस्टेट (सांख्यिकीय यांत्रिकी) मानता है । प्रणाली में जो ऊष्मा भंडार के साथ ऊष्मप्रवैगिकी संपर्क संतुलन में है, प्रत्येक माइक्रोस्टेट में $$E_i$$ ऊर्जा होती है एवं $$p_i$$ संभावना के साथ जुड़ा हुआ है, आंतरिक ऊर्जा प्रणाली की सम्पूर्ण ऊर्जा का औसत मूल्य है, अर्थात, सभी माइक्रोस्टेट ऊर्जाओं का योग, प्रत्येक की घटना की संभावना से भारित है।
 * $$U = \sum_{i=1}^N p_i \,E_i$$

यह ऊर्जा संरक्षण के नियम की सांख्यिकीय अभिव्यक्ति है।

आंतरिक ऊर्जा परिवर्तन
ऊष्मप्रवैगिकी मुख्य रूप से आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन से संबंधित$$\Delta U$$ है।

बंद प्रणाली के लिए, पदार्थ स्थानांतरण को छोड़कर, आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन ऊष्मा हस्तांतरण के कारण होते हैं $$Q$$ एवं कार्य के कारण (ऊष्मप्रवैगिकी) $$W$$ प्रणाली द्वारा अपने परिवेश में किया जाता है। तदनुसार, आंतरिक ऊर्जा परिवर्तन $$\Delta U$$   प्रक्रिया के लिए लिखा जा सकता है। $$ \Delta U = Q - W \quad \text{(closed system, no transfer of matter)}$$ जब बंद प्रणाली ऊष्मा के रूप में ऊर्जा प्राप्त करती है, तो यह ऊर्जा आंतरिक ऊर्जा को बढ़ाती है। यह सूक्ष्म गतिज एवं सूक्ष्म स्थितिज ऊर्जाओं के मध्य वितरित किया जाता है। सामान्यतः, ऊष्मप्रवैगिकी इस वितरण का पता नहीं लगाता है। आदर्श गैस में सभी अतिरिक्त ऊर्जा के परिणामस्वरूप तापमान में वृद्धि होती है, क्योंकि यह केवल सूक्ष्म गतिज ऊर्जा के रूप में संग्रहीत होती है; इस तरह के हीटिंग को समझदार ऊष्मा कहा जाता है।

बंद प्रणाली की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन का दूसरा तंत्र अपने परिवेश पर कार्य (ऊष्मप्रवैगिकी) करने में है। ऐसा कार्य केवल यांत्रिक हो सकता है, जैसे कि जब प्रणाली पिस्टन को चलाने के लिए फैलता है, या, उदाहरण के लिए, जब प्रणाली अपने विद्युत ध्रुवीकरण को परिवर्तित करता है ताकि समीप के विद्युत क्षेत्र में परिवर्तन हो सके।

यदि प्रणाली बंद नहीं होता है, तो तीसरा तंत्र प्रणाली में पदार्थ का स्थानांतरण है, जो आंतरिक ऊर्जा को बढ़ा सकता है । यह वृद्धि, $$\Delta U_\mathrm{matter}$$ ऊष्मा एवं कार्य के घटकों में विभाजित नहीं किया जा सकता है। यदि प्रणाली को भौतिक रूप से इस तरह से स्थापित किया गया है कि ऊष्मा हस्तांतरण एवं वह कार्य करता है जो पदार्थों के हस्तांतरण से भिन्न एवं स्वतंत्र है, तो ऊर्जा के हस्तांतरण आंतरिक ऊर्जा को परिवर्तन करने के लिए जोड़ते हैं: $$ \Delta U = Q - W + \Delta U_\text{matter} \quad \text{(matter transfer pathway separate from heat and work transfer pathways)}$$ यदि प्रणाली गर्म होने के समय कुछ चरण परिवर्तनों से निकलती है, जैसे पिघलने एवं वाष्पीकरण समय, यह देखा जा सकता है कि प्रणाली का तापमान तब तक नहीं परिवर्तित होता है जब तक कि पूर्ण मानक ने परिवर्तन पूर्ण न कर लिया हो। तापमान में परिवर्तन नहीं होने पर प्रणाली में पेश की गई ऊर्जा को अव्यक्त ऊर्जा या गुप्त ऊष्मा कहा जाता है, उत्तम ऊष्मा के विपरीत, जो तापमान परिवर्तन से जुड़ी होती है।

आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा
ऊष्मप्रवैगिकी प्रायः शिक्षण उद्देश्यों के लिए आदर्श गैस की अवधारणा का उपयोग करती है, एवं कार्य प्रणालियों के लिए सन्निकटन के रूप में आदर्श गैस में बिंदु वस्तु के रूप में माने जाने वाले कण होते हैं जो केवल लोचदार टकरावों से संपर्क करते हैं एवं मात्रा भरते हैं जैसे कि टकराव के मध्य उनका औसत मुक्त पथ उनके व्यास से बहुत बड़ा होता है। इस तरह की प्रणालियाँ हीलियम एवं अन्य महान गैसों जैसे एकपरमानुक  गैसों का अनुमान लगाती हैं। आदर्श गैस के लिए गतिज ऊर्जा में केवल व्यक्तिगत परमाणुओं की अनुवाद (भौतिकी) ऊर्जा होती है।  परमाणुक कणों में स्वतंत्रता की घूर्णी या कंपन डिग्री नहीं होती है, एवं अधिक उच्च तापमान को छोड़कर उच्च ऊर्जा के लिए  ऊर्जा स्तर नहीं होते हैं।

इसलिए, गैस की आंतरिक ऊर्जा पूर्ण रूप से उसके तापमान (एवं गैस कणों की संख्या) पर निर्भर करती है: $$U = U(n,T)$$, यह अन्य ऊष्मप्रवैगिकी मात्राओं जैसे दबाव या घनत्व पर निर्भर नहीं है।

आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा उसके द्रव्यमान (मोलों की संख्या) $$n$$ के समानुपाती होती है एवं इसके तापमान $$T$$ के लिए
 * $$ U = C_V n T, $$

जहाँ $$C_V$$ गैस की दाढ़ ताप क्षमता (स्थिर आयतन पर) है। $$C_V$$ आदर्श गैस के लिए स्थिर है। किसी भी गैस की आंतरिक ऊर्जा को तीन व्यापक गुणों $$S$$, $$V$$, $$n$$ (एन्ट्रापी, आयतन, द्रव्यमान) के फलन के रूप में  निम्नलिखित उपायों से लिखा जा सकता है
 * $$U(S,V,n) = \mathrm{const} \cdot  e^\frac{S}{C_V n}    V^\frac{-R}{C_V}  n^\frac{R+C_V}{C_V},$$

जहाँ $$\mathrm {const}$$  मनमाना सकारात्मक स्थिरांक है एवं जहां $$R$$  गैस स्थिरांक  है। यह आसानी से देखा जाता है कि $$U$$ तीन चरों का रैखिक रूप से  सजातीय कार्य  है (अर्थात, यह इन चरों में व्यापक है), एवं यह कि यह कमजोर रूप से  उत्तल कार्य  है। तापमान एवं दबाव को व्युत्पन्न होने के  विषय में ज्ञात करना है।

$$T = \frac{\partial U}{\partial S},$$ $$P = -\frac{\partial U}{\partial V},$$

आदर्श गैस नियम $$PV = nRT$$ तुरंत अनुसरण करता है।

बंद ऊष्मप्रवैगिकी प्रणाली की आंतरिक ऊर्जा
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के सभी घटकों का उपरोक्त योग मानता है कि सकारात्मक ऊर्जा प्रणाली में ऊष्मा या उसके समीप के प्रणाली द्वारा किए गए कार्य के नकारात्मक को दर्शाती है।

इस संबंध को प्रत्येक पद के असमानताों का उपयोग करके अपरिमित शब्दों में व्यक्त किया जा सकता है, चूँकि केवल आंतरिक ऊर्जा ही सटीक असमानता है। बंद प्रणाली के लिए, केवल ऊष्मा एवं कार्य के रूप में स्थानान्तरण के साथ, आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन होता है।
 * $$ \mathrm{d} U = \delta Q - \delta W, $$

ऊष्मप्रवैगिकी के पहले नियम को व्यक्त करता है। इसे अन्य ऊष्मप्रवैगिकी मापदंडों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। प्रत्येक पद गहन चर ( सामान्यीकृत बल) एवं इसके संयुग्म चर (ऊष्मप्रवैगिकी) अनंतिम व्यापक चर ( सामान्यीकृत विस्थापन) से बना है।

उदाहरण के लिए, प्रणाली द्वारा किया गया यांत्रिक कार्य दबाव P एवं आयतन (ऊष्मप्रवैगिकी) परिवर्तन $$\mathrm{d}V$$ संबंधित हो सकता है, दबाव गहन सामान्यीकृत बल है, अपितु मात्रा परिवर्तन व्यापक सामान्यीकृत विस्थापन है:
 * $$\delta W = P \, \mathrm{d}V.$$

यह कार्य की दिशा $$W$$ को परिभाषित करता है, सकारात्मक शब्द द्वारा इंगित कार्य प्रणाली से परिवेश में ऊर्जा हस्तांतरण होना। ऊष्मा हस्तांतरण की दिशा लेना $$Q$$ कार्य कर रहे तरल पदार्थ में होना एवं  प्रतिवर्ती प्रक्रिया (ऊष्मप्रवैगिकी)  मानते हुए, ऊष्मा है
 * $$\delta Q = T \mathrm{d}S,$$

कहाँ पे $$T$$ तापमान को दर्शाता है, एवं $$S$$ एन्ट्रापी को दर्शाता है।

आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन हो जाता है |
 * $$\mathrm{d}U = T \, \mathrm{d}S - P \, \mathrm{d}V.$$

तापमान एवं आयतन के कारण परिवर्तन
तापमान एवं आयतन में परिवर्तन के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन से संबंधित अभिव्यक्ति है |

यह उपयोगी है यदि अवस्था का समीकरण ज्ञात हो।

आदर्श गैस के विषय में, हम यह प्राप्त कर सकते हैं कि $$dU = C_V \, dT$$ अर्थात् आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा को फलन के रूप में लिखा जा सकता है जो केवल तापमान पर निर्भर करता है।

तापमान और आयतन में परिवर्तन के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन से संबंधित अभिव्यक्ति है


 * $$ \mathrm{d}U =C_{V} \, \mathrm{d}T +\left[T\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V} - P\right] \mathrm{d}V.$$

राज्य का समीकरण आदर्श गैस नियम है


 * $$P V = n R T.$$

दबाव के लिए हल करें:
 * $$P = \frac{n R T}{V}.$$

आंतरिक ऊर्जा अभिव्यक्ति में परिवर्तित करे:
 * $$dU =C_{V}\mathrm{d}T +\left[T\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V} - \frac{n R T}{V}\right]\mathrm{d}V.$$

तापमान के संबंध में दबाव का व्युत्पन्न लें:
 * $$\left( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_{V} = \frac{n R}{V}.$$

परिवर्तित करने के:


 * $$dU = C_{V} \, \mathrm{d}T + \left[ \frac{n R T}{V} - \frac{n R T}{V} \right] \mathrm{d}V.$$

और सरल करें:


 * $$\mathrm{d}U =C_{V} \, \mathrm{d}T.$$

व्यक्त करना $$\mathrm{d}U$$ के अनुसार $$\mathrm{d}T$$ तथा $$\mathrm{d}V$$, शब्द


 * $$\mathrm{d}S = \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{V}\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{T} \mathrm{d}V$$

मौलिक थर्मोडायनामिक संबंध में प्रतिस्थापित किया गया है


 * $$\mathrm{d}U = T \, \mathrm{d}S - P \, \mathrm{d}V.$$

यह देता है


 * $$dU = T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{V} \, dT +\left[T\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{T} - P\right] dV.$$

शब्द $$T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{V}$$ विशिष्ट ऊष्मा क्षमता है, संकुचित पिंडों की ऊष्मा क्षमता $$C_{V}.$$ का आंशिक व्युत्पन्न $$S$$ इसके संबंध में $$V$$ यदि राज्य का समीकरण ज्ञात हो तो मूल्यांकन किया जा सकता है। मौलिक थर्मोडायनामिक संबंध से, यह निम्नानुसार है कि हेल्महोल्ट्ज़ मुक्त ऊर्जा  का अंतर $$A$$ द्वारा दिया गया है


 * $$dA = -S \, dT - P \, dV.$$

दूसरे डेरिवेटिव की समरूपता $$A$$ इसके संबंध में $$T$$ तथा $$V$$  मैक्सवेल संबंध  उत्पन्न करता है:
 * $$\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{T} = \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}.$$

यह उपरोक्त अभिव्यक्ति देता है।

तापमान एवं दबाव के कारण परिवर्तन
तरल पदार्थ या ठोस पर विचार करते समय, तापमान एवं दबाव के संदर्भ में अभिव्यक्ति सामान्यतः अधिक उपयोगी होती है:


 * $$dU = \left(C_{P}-\alpha P V\right) \, dT +\left(\beta_{T}P-\alpha T\right)V \, dP,$$

जहां यह माना जाता है कि निरंतर दबाव पर ताप क्षमता विशिष्ट तापों के मध्य स्थिर मात्रा में ताप क्षमता के मध्य संबंध है


 * $$C_{P} = C_{V} + V T\frac{\alpha^{2}}{\beta_{T}}.$$

स्थिर आयतन पर तापमान के संबंध में दबाव का आंशिक व्युत्पन्न थर्मल विस्तार के गुणांक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
 * $$\alpha \equiv \frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}$$

और इज़ोटेर्मल संपीड्यता
 * $$\beta_{T} \equiv -\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{T}$$

लेखन से

और dV को शून्य के समान करना और dP/dT के अनुपात को समाधान निकालना । यह देता है

प्रतिस्थापन ($$) तथा ($$) में ($$) उपरोक्त अभिव्यक्ति देता है।

स्थिर तापमान पर आयतन के कारण परिवर्तन
आंतरिक दबाव को स्थिर तापमान पर आयतन के संबंध में आंतरिक ऊर्जा के  आंशिक व्युत्पन्न  के रूप में परिभाषित किया गया है:
 * $$ \pi _T = \left ( \frac{\partial U}{\partial V} \right )_T. $$

बहु-घटक प्रणालियों की आंतरिक ऊर्जा
एन्ट्रापी को सम्मिलित करने के अतिरिक्त$$S$$ और मात्रा $$V$$ आंतरिक ऊर्जा के संदर्भ में, प्रणाली को अक्सर कणों या रासायनिक प्रजातियों की संख्या के संदर्भ में भी वर्णित किया जाता है:


 * $$U = U(S,V,N_1,\ldots,N_n),$$

कहाँ पे $$N_j$$ प्रकार के घटकों की दाढ़ राशि हैं $$j$$ प्रणाली में, आंतरिक ऊर्जा व्यापक चरों का व्यापक परिवर्तनशील फलन है $$S$$, $$V$$, और मात्रा $$N_j$$, आंतरिक ऊर्जा को पहली डिग्री के रैखिक रूप से सजातीय कार्य के रूप में लिखा जा सकता है:
 * $$U(\alpha S,\alpha V,\alpha N_{1},\alpha N_{2},\ldots )

= \alpha U(S,V,N_{1},N_{2},\ldots),$$ कहाँ पे $$\alpha$$ प्रणाली के विकास का वर्णन करने का कारक है। असमानता आंतरिक ऊर्जा के रूप में लिखा जा सकता है
 * $$\mathrm{d} U = \frac{\partial U}{\partial S} \mathrm{d} S  + \frac{\partial U}{\partial V} \mathrm{d} V + \sum_i\ \frac{\partial U}{\partial N_i} \mathrm{d} N_i\ = T \,\mathrm{d} S - P \,\mathrm{d} V + \sum_i\mu_i \mathrm{d} N_i,$$

जो तापमान दिखाता है (या परिभाषित करता है) $$T$$ का आंशिक व्युत्पन्न होना $$U$$ एन्ट्रापी के संबंध में $$S$$ और दबाव $$P$$ आयतन के संबंध में समान व्युत्पन्न का ऋणात्मक होना $$V$$,
 * $$T = \frac{\partial U}{\partial S},$$
 * $$P = -\frac{\partial U}{\partial V},$$

और जहां प्रणाली में गुणांक $$\mu_{i}$$ प्रकार के घटकों के लिए रासायनिक क्षमता एं हैं $$i$$। रासायनिक क्षमता को संरचना में भिन्नता के संबंध में ऊर्जा के आंशिक व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है:
 * $$\mu_i = \left( \frac{\partial U}{\partial N_i} \right)_{S,V, N_{j \ne i}}.$$

रचना के संयुग्म चर के रूप में $$\lbrace N_{j} \rbrace$$, रासायनिक क्षमताएं गहन और व्यापक गुण हैं, आंतरिक रूप से प्रणाली की गुणात्मक प्रकृति की विशेषता है, और इसकी सीमा के समानुपाती नहीं है। स्थिर की शर्तों के तहत $$T$$ तथा $$P$$, की व्यापक प्रकृति के कारण $$U$$ और इसके स्वतंत्र चर, सजातीय फलन का उपयोग करते हुए | यूलर के समांगी फलन प्रमेय, असमानता $$\mathrm d U$$ एकीकृत किया जा सकता है और आंतरिक ऊर्जा के लिए अभिव्यक्ति उत्पन्न करता है:
 * $$U = T S - P V + \sum_i \mu_i N_i.$$

प्रणाली की संरचना का योग गिब्स मुक्त ऊर्जा  है:
 * $$G = \sum_i \mu_i N_i$$

जो स्थिर तापमान और दबाव पर प्रणाली की संरचना को परिवर्तित करने से उत्पन्न होता है। एकल घटक प्रणाली के लिए, रासायनिक क्षमता पदार्थ की प्रति मात्रा में गिब्स ऊर्जा के समान होती है, अर्थात कण या मोल के लिए इकाई की मूल परिभाषा के अनुसार $$\lbrace N_{j} \rbrace$$.

लोचदार माध्यम में आंतरिक ऊर्जा
लोच (भौतिकी) माध्यम के लिए आंतरिक ऊर्जा की यांत्रिक ऊर्जा अवधि को तनाव (भौतिकी) के रूप में व्यक्त किया जाता है $$\sigma_{ij}$$ और तनाव $$\varepsilon_{ij}$$ लोचदार प्रक्रियाओं में सम्मिलित है। टेंसर के लिए  आइंस्टीन संकेतन  में, दोहराए गए सूचकांकों पर योग के साथ, यूनिट परिमाण  के लिए, इनफिनिटिमल स्टेटमेंट है


 * $$\mathrm{d}U=T\mathrm{d}S+\sigma_{ij}\mathrm{d}\varepsilon_{ij}.$$

आंतरिक ऊर्जा के लिए यूलर की प्रमेय पैदावार:
 * $$U=TS+\frac{1}{2}\sigma_{ij}\varepsilon_{ij}.$$

रैखिक रूप से लोचदार सामग्री के लिए, तनाव तनाव से संबंधित है


 * $$\sigma_{ij}=C_{ijkl} \varepsilon_{kl},$$

जहां $$C_{ijkl}$$ माध्यम के चौथे क्रम के लोचदार निरंतर टेंसर के घटक हैं।

लोचदार विकृतियाँ, जैसे ध्वनि, किसी पिंड से होकर निकलना, या मैक्रोस्कोपिक आंतरिक आंदोलन या अशांत गति के अन्य रूप ऐसे अवस्था बनाते हैं जब प्रणाली थर्मोडायनामिक संतुलन में नहीं होता है। अपितु गति की ऐसी ऊर्जाएं निरन्तर रहती हैं, वे प्रणाली की कुल ऊर्जा में योगदान करती हैं; थर्मोडायनामिक आंतरिक ऊर्जा केवल तभी संबंधित होती है जब ऐसी गतियां समाप्त हो जाती हैं।

इतिहास
जेम्स प्रेस्कॉट जूल ने गर्मी, कार्य और तापमान के मध्य संबंधों का अध्ययन किया। उन्होंने देखा कि तरल में घर्षण, जैसे कि पैडल व्हील द्वारा काम के साथ इसके आंदोलन के कारण, इसके तापमान में वृद्धि हुई, जिसे उन्होंने गर्मी की मात्रा का उत्पादन करने के रूप में वर्णित किया। आधुनिक इकाइयों में व्यक्त, उन्होंने पाया कि c. किलोग्राम पानी का तापमान डिग्री सेल्सियस बढ़ाने के लिए 4186 जूल ऊर्जा की आवश्यकता थी।

यह भी देखें

 * उष्मामिति
 * तापीय धारिता
 * ऊर्जा
 * ऊष्मप्रवैगिकी समीकरण
 * ऊष्मप्रवैगिकी क्षमता
 * गिब्स फ्री ऊर्जा
 * हेल्महोल्ट्ज़ मुक्त ऊर्जा

उद्धृत संदर्भों की ग्रंथ सूची

 * एडकिंस, सी.जे. (1968/1975)। इक्विलिब्रियम थर्मोडायनामिक्स, दूसरा संस्करण, मैकग्रा-हिल, लंदन, ISBN 0-07-084057-1.
 * बैलिन, एम। (1994)। थर्मोडायनामिक्स का एक सर्वेक्षण, अमेरिकन इंस्टीट्यूट ऑफ फिजिक्स प्रेस, न्यूयॉर्क, ISBN 0-88318-797-3.
 * मैक्स बॉर्न | बॉर्न, एम। (1949)। नेचुरल फिलॉसफी ऑफ कॉज एंड चांस, ऑक्सफोर्ड यूनिवर्सिटी प्रेस, लंदन।
 * कॉलन, एच.बी. (1960/1985), थर्मोडायनामिक्स और थर्मोस्टैटिस्टिक्स का परिचय, (पहला संस्करण 1960), दूसरा संस्करण 1985, जॉन विले एंड संस, न्यूयॉर्क, ISBN 0-471-86256-8.
 * क्रॉफर्ड, एफ.एच. (1963)। हीट, थर्मोडायनामिक्स और स्टैटिस्टिकल फिजिक्स, रूपर्ट हार्ट-डेविस, लंदन, हरकोर्ट, ब्रेस एंड वर्ल्ड, इंक।
 * हासे, आर। (1971)। मौलिक कानूनों का सर्वेक्षण, ऊष्मागतिकी का अध्याय 1, खंड 1 के पृष्ठ 1-97, संस्करण। डब्ल्यू जोस्ट, भौतिक रसायन विज्ञान के। उन्नत ग्रंथ, एड। एच. आयरिंग, डी. हेंडरसन, डब्ल्यू. जोस्ट, अकादमिक प्रेस, न्यूयॉर्क, एलसीएन 73-117081।
 * मुंस्टर, ए। (1970), क्लासिकल थर्मोडायनामिक्स, ई.एस. हैल्बरस्टैड द्वारा अनुवादित, विले-इंटरसाइंस, लंदन, ISBN 0-471-62430-6.
 * मैक्स प्लैंक | प्लैंक, एम।, (1923/1927)। थर्मोडायनामिक्स पर ग्रंथ, ए ओग द्वारा अनुवादित, तीसरा अंग्रेजी संस्करण, लॉन्गमैन | लॉन्गमैन, ग्रीन एंड कंपनी, लंदन।
 * त्सोएगल, एन.डब्ल्यू. (2000)। संतुलन और स्थिर-राज्य थर्मोडायनामिक्स के मूल सिद्धांत, एल्सेवियर, एम्स्टर्डम, ISBN 0-444-50426-5.
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इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक कड़ियों की सूची

 * गर्मी
 * राज्य समारोह
 * ऊष्मप्रवैगिकी का पहला नियम
 * रासायनिक बन्ध
 * रोटेशन
 * कंपन
 * जौल
 * तिल (इकाई)
 * पल (भौतिकी)
 * आकर्षण-शक्ति
 * तनाव (सामग्री विज्ञान)
 * अलग निकाय
 * परम शुन्य
 * अर्थ
 * अव्यक्त गर्मी
 * मुक्त पथ मतलब
 * नोबल गैस
 * बहुत छोता
 * वॉल्यूम (ऊष्मप्रवैगिकी)
 * स्थिति के समीकरण
 * विशिष्ट ऊष्माओं के बीच संबंध
 * ताप विस्तार प्रसार गुणांक
 * दबाव
 * थर्मोडायनामिक समीकरण
 * थर्मोडायनामिक क्षमता