द्वयाधारी फलन

गणित में, एक द्विचर फलन (जिसे द्विचर फलन या दो चरों का फलन भी कहा जाता है) एक फलन (गणित) है जो दो निवेश लेता है।

सटीक रूप से कहा गया है, एक समारोह $$f$$ यदि सेट (गणित) मौजूद है तो बाइनरी है $$X, Y, Z$$ ऐसा है कि
 * $$\,f \colon X \times Y \rightarrow Z$$

कहाँ $$X \times Y$$ का कार्टेशियन उत्पाद है $$X$$ और $$Y.$$

वैकल्पिक परिभाषाएँ
Naive set theory|सेट-सैद्धांतिक रूप से, एक बाइनरी फ़ंक्शन को कार्टेशियन उत्पाद के सबसेट के रूप में दर्शाया जा सकता है $$X \times Y \times Z$$, कहाँ $$(x,y,z)$$ सबसेट के अंतर्गत आता है अगर और केवल अगर $$f(x,y) = z$$. इसके विपरीत, एक उपसमुच्चय $$R$$ एक बाइनरी फ़ंक्शन को परिभाषित करता है यदि और केवल यदि सार्वभौमिक परिमाणीकरण $$x \in X$$ और $$y \in Y$$, अस्तित्वगत मात्रा का ठहराव एक विशिष्टता मात्रा का ठहराव $$z \in Z$$ ऐसा है कि $$(x,y,z)$$ से संबंधित $$R$$. $$f(x,y)$$ तब इसे परिभाषित किया जाता है $$z$$.

वैकल्पिक रूप से, एक बाइनरी फ़ंक्शन की व्याख्या केवल एक फ़ंक्शन (गणित) के रूप में की जा सकती है $$X \times Y$$ को $$Z$$. जब भी इस तरह से सोचा जाता है, हालांकि, आमतौर पर लिखा जाता है $$f(x,y)$$ के बजाय $$f((x,y))$$. (अर्थात्, कोष्ठकों की एक ही जोड़ी का उपयोग फ़ंक्शन अनुप्रयोग और आदेशित जोड़ी के गठन दोनों को इंगित करने के लिए किया जाता है।)

उदाहरण
पूर्णांक के विभाजन को एक कार्य के रूप में माना जा सकता है। अगर $$\Z$$ पूर्णांकों का समुच्चय है, $$\N^+$$ प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है (शून्य को छोड़कर), और $$\Q$$ परिमेय संख्याओं का समुच्चय है, तो विभाजन (गणित) एक द्विआधारी फलन है $$f:\Z \times \N^+ \to \Q$$.

एक अन्य उदाहरण आंतरिक उत्पादों का है, या अधिक सामान्य रूप से प्रपत्र के कार्यों का है $$(x,y)\mapsto x^\mathrm{T}My$$, कहाँ $x$, $y$ उचित आकार के वास्तविक-मूल्यवान वैक्टर हैं और $M$ एक मैट्रिक्स है। अगर $M$ एक सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स है, इससे एक आंतरिक उत्पाद प्राप्त होता है।

दो वास्तविक चरों के कार्य
ऐसे कार्य जिनका डोमेन एक उपसमुच्चय है $$\mathbb{R}^2$$ अक्सर दो चरों के फलन भी कहलाते हैं, भले ही उनका डोमेन आयत न बनाता हो और इस प्रकार दो समुच्चयों का कार्तीय गुणनफल हो।

साधारण कार्यों के लिए प्रतिबंध
बदले में, एक बाइनरी फ़ंक्शन से एक चर के सामान्य कार्यों को भी प्राप्त किया जा सकता है। किसी तत्व को दिया $$x \in X$$, एक समारोह है $$f^x$$, या $$f(x,\cdot)$$, से $$Y$$ को $$Z$$, द्वारा दिए गए $$f^x(y) = f(x,y)$$. इसी प्रकार, किसी भी तत्व को दिया $$y \in Y$$, एक समारोह है $$f_y$$, या $$f(\cdot,y)$$, से $$X$$ को $$Z$$, द्वारा दिए गए $$f_y(x) = f(x,y)$$. कंप्यूटर विज्ञान में, एक फ़ंक्शन के बीच यह पहचान $$X \times Y$$ को $$Z$$ और से एक समारोह $$X$$ को $$Z^Y$$, कहाँ $$Z^Y$$ से सभी कार्यों का सेट है $$Y$$ को $$Z$$, करी कहा जाता है।

सामान्यीकरण
कार्यों से संबंधित विभिन्न अवधारणाओं को बाइनरी कार्यों के लिए भी सामान्यीकृत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त विभाजन उदाहरण विशेषण फलन (या पर) है क्योंकि प्रत्येक परिमेय संख्या को एक पूर्णांक और एक प्राकृतिक संख्या के भागफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यह उदाहरण प्रत्येक इनपुट में अलग-अलग इंजेक्शन समारोह है, क्योंकि फ़ंक्शन f एक्स  और एफ y हमेशा इंजेक्शन होते हैं। हालाँकि, यह दोनों चरों में एक साथ इंजेक्शन नहीं है, क्योंकि (उदाहरण के लिए) f (2,4) = f (1,2)।

आंशिक बाइनरी फ़ंक्शंस पर भी विचार किया जा सकता है, जिसे केवल इनपुट के कुछ मानों के लिए परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त विभाजन उदाहरण को 'Z' और 'N' से 'Q' तक आंशिक बाइनरी फ़ंक्शन के रूप में भी समझा जा सकता है, जहां 'N' शून्य सहित सभी प्राकृतिक संख्याओं का समूह है। लेकिन जब दूसरा इनपुट शून्य होता है तो यह फ़ंक्शन अपरिभाषित होता है।

एक बाइनरी ऑपरेशन एक बाइनरी फ़ंक्शन है जहां सेट X, Y और Z सभी समान हैं; बीजगणितीय संरचनाओं को परिभाषित करने के लिए अक्सर द्विआधारी संक्रियाओं का उपयोग किया जाता है।

रैखिक बीजगणित में, एक बिलिनियर ऑपरेटर एक बाइनरी फ़ंक्शन होता है जहां सेट X, Y और Z सभी वेक्टर रिक्त स्थान होते हैं और व्युत्पन्न फ़ंक्शन f एक्स  और एफy सभी रैखिक परिवर्तन हैं। किसी भी बाइनरी फ़ंक्शन की तरह एक बिलिनियर ट्रांसफ़ॉर्मेशन को X × Y से Z तक के फ़ंक्शन के रूप में व्याख्या किया जा सकता है, लेकिन सामान्य रूप से यह फ़ंक्शन रैखिक नहीं होगा। हालाँकि, बिलिनियर ट्रांसफ़ॉर्मेशन की व्याख्या टेन्सर उत्पाद से सिंगल लीनियर ट्रांसफ़ॉर्मेशन के रूप में भी की जा सकती है $$X \otimes Y$$ यह से है।

त्रिगुट और अन्य कार्यों के लिए सामान्यीकरण
बाइनरी फ़ंक्शन की अवधारणा टर्नरी (या 3-एरी) फ़ंक्शन, चतुर्धातुक (या 4-एरी) फ़ंक्शन, या आमतौर पर किसी भी प्राकृतिक संख्या एन के लिए एन-आरी फ़ंक्शन के लिए सामान्यीकृत होती है। Z को एक 0-एरी फ़ंक्शन केवल Z के एक तत्व द्वारा दिया जाता है। कोई ए-एरी फ़ंक्शन को भी परिभाषित कर सकता है जहां ए कोई सेट (गणित) है; ए के प्रत्येक तत्व के लिए एक इनपुट है।

श्रेणी सिद्धांत
श्रेणी सिद्धांत में, एन-आरी फ़ंक्शन एक बहुश्रेणी में एन-आरी आकारिकी के लिए सामान्यीकरण करते हैं। एक एन-आरी मोर्फिज्म की व्याख्या एक साधारण मोर्फिज्म के रूप में जिसका डोमेन मूल एन-आरी मॉर्फिज्म के डोमेन के कुछ प्रकार का उत्पाद है, एक मोनोइडल श्रेणी में काम करेगा। एक चर के व्युत्पन्न morphisms का निर्माण एक बंद monoidal श्रेणी में काम करेगा। सेट की श्रेणी मोनोइडल बंद है, लेकिन वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी भी है, ऊपर बिलिनियर परिवर्तन की धारणा दे रही है।

यह भी देखें

 * एरीटी