अंतर्वेशन

संख्यात्मक विश्लेषण के गणित क्षेत्र में, प्रक्षेप एक प्रकार का  अनुमान  है, ज्ञात डेटा बिंदुओं के  असतत सेट  की सीमा के आधार पर नए डेटा बिंदुओं के निर्माण (खोज) की एक विधि है। अभियांत्रिकी और  विज्ञान  में, अक्सर कई डेटा बिंदु होते हैं, जो  नमूनाकरण (सांख्यिकी)  या  प्रयोग  द्वारा प्राप्त किए जाते हैं, जो  आश्रित और स्वतंत्र चर  के सीमित मूल्यों के लिए एक फ़ंक्शन के मूल्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं। इसे अक्सर प्रक्षेपित करने की आवश्यकता होती है; अर्थात्, स्वतंत्र चर के मध्यवर्ती मान के लिए उस फ़ंक्शन के मान का अनुमान लगाएं।

एक करीबी से संबंधित समस्या एक साधारण फ़ंक्शन द्वारा एक जटिल फ़ंक्शन का फ़ंक्शन सन्निकटन है। मान लीजिए कि किसी दिए गए फ़ंक्शन का सूत्र ज्ञात है, लेकिन कुशलता से मूल्यांकन करने के लिए बहुत जटिल है। मूल फ़ंक्शन से कुछ डेटा बिंदुओं को एक सरल फ़ंक्शन बनाने के लिए प्रक्षेपित किया जा सकता है जो अभी भी मूल के काफी करीब है। सादगी में परिणामी लाभ इंटरपोलेशन त्रुटि से होने वाले नुकसान से अधिक हो सकता है और गणना प्रक्रिया में बेहतर प्रदर्शन दे सकता है।



उदाहरण
यह तालिका अज्ञात फ़ंक्शन के कुछ मान देती है $$f(x)$$. इंटरपोलेशन मध्यवर्ती बिंदुओं पर फ़ंक्शन का अनुमान लगाने का एक साधन प्रदान करता है, जैसे कि $$x=2.5.$$ हम प्रक्षेप के कुछ कलन विधि  का वर्णन करते हैं, जो इस तरह के गुणों में भिन्न हैं: सटीकता, लागत, आवश्यक डेटा बिंदुओं की संख्या, और परिणामी  इंटरपोलेंट  फ़ंक्शन का  सुचारू कार्य ।

टुकड़ावार निरंतर प्रक्षेप


सबसे सरल इंटरपोलेशन विधि निकटतम डेटा मान का पता लगाना है, और उसी मान को असाइन करना है। साधारण समस्याओं में, इस पद्धति का उपयोग करने की संभावना नहीं है, क्योंकि रैखिक  प्रक्षेप (नीचे देखें) लगभग उतना ही आसान है, लेकिन उच्च-आयामी  बहुभिन्नरूपी प्रक्षेप  में, यह इसकी गति और सादगी के लिए एक अनुकूल विकल्प हो सकता है।

रैखिक प्रक्षेप


सबसे सरल तरीकों में से एक रैखिक प्रक्षेप है (कभी-कभी lerp के रूप में जाना जाता है)। f(2.5) के आकलन के उपरोक्त उदाहरण पर विचार करें। चूँकि 2.5 2 और 3 के बीच में है, f(2.5) को f(2) = 0.9093 और f(3) = 0.1411 के बीच में लेना उचित है, जो 0.5252 प्राप्त करता है।

आम तौर पर, रैखिक प्रक्षेप में दो डेटा बिंदु होते हैं, मान लीजिए (x .)a,यूa) और (एक्सb,यूb), और इंटरपोलेंट द्वारा दिया जाता है:
 * $$ y = y_a + \left( y_b-y_a \right) \frac{x-x_a}{x_b-x_a} \text{ at the point } \left( x,y \right) $$
 * $$ \frac{y-y_a}{y_b-y_a} = \frac{x-x_a}{x_b-x_a} $$
 * $$ \frac{y-y_a}{x-x_a} = \frac{y_b-y_a}{x_b-x_a} $$

यह पिछला समीकरण बताता है कि. के बीच नई रेखा का ढलान $$ (x_a,y_a) $$ तथा $$ (x,y) $$ के बीच की रेखा के ढलान के समान है $$ (x_a,y_a) $$ तथा $$ (x_b,y_b) $$ रैखिक प्रक्षेप त्वरित और आसान है, लेकिन यह बहुत सटीक नहीं है। एक और नुकसान यह है कि इंटरपोलेंट बिंदु x. पर व्युत्पन्न नहीं हैk.

निम्नलिखित त्रुटि अनुमान से पता चलता है कि रैखिक प्रक्षेप बहुत सटीक नहीं है। उस फलन को निरूपित करें जिसे हम g द्वारा प्रक्षेपित करना चाहते हैं, और मान लें कि x x. के बीच स्थित हैa और xb और वह g दो बार लगातार अवकलनीय है। तब रैखिक प्रक्षेप त्रुटि है


 * $$ |f(x)-g(x)| \le C(x_b-x_a)^2 \quad\text{where}\quad C = \frac18 \max_{r\in[x_a,x_b]} |g''(r)|. $$

शब्दों में, त्रुटि डेटा बिंदुओं के बीच की दूरी के वर्ग के समानुपाती होती है। बहुपद प्रक्षेप  और तख़्ता प्रक्षेप (नीचे वर्णित) सहित कुछ अन्य विधियों में त्रुटि डेटा बिंदुओं के बीच की दूरी की उच्च शक्तियों के समानुपाती होती है। ये विधियां चिकनी इंटरपोलेंट भी उत्पन्न करती हैं।

बहुपद प्रक्षेप


बहुपद प्रक्षेप रैखिक प्रक्षेप का एक सामान्यीकरण है। ध्यान दें कि रैखिक इंटरपोलेंट एक रैखिक कार्य है। अब हम इस अंतरपोषक को एक बहुपद के उच्च घात वाले बहुपद से प्रतिस्थापित करते हैं।

ऊपर दी गई समस्या पर फिर से विचार करें। निम्नलिखित छठी डिग्री बहुपद सभी सात बिंदुओं से होकर गुजरता है:
 * $$ f(x) = -0.0001521 x^6 - 0.003130 x^5 + 0.07321 x^4 - 0.3577 x^3 + 0.2255 x^2 + 0.9038 x. $$

x = 2.5 को प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि f(2.5) = ~0.59678।

आम तौर पर, यदि हमारे पास n डेटा बिंदु हैं, तो सभी डेटा बिंदुओं के माध्यम से जाने वाले अधिकांश n−1 पर डिग्री का एक बहुपद है। इंटरपोलेशन त्रुटि डेटा बिंदुओं के बीच की दूरी n के बीच की दूरी के समानुपाती होती है। इसके अलावा, इंटरपोलेंट एक बहुपद है और इस प्रकार असीम रूप से भिन्न है। इसलिए, हम देखते हैं कि बहुपद प्रक्षेप रैखिक प्रक्षेप की अधिकांश समस्याओं पर विजय प्राप्त करता है।

हालाँकि, बहुपद प्रक्षेप के कुछ नुकसान भी हैं। रैखिक इंटरपोलेशन की तुलना में इंटरपोलिंग बहुपद की गणना कम्प्यूटेशनल रूप से महंगी है ( कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत देखें)। इसके अलावा, बहुपद प्रक्षेप दोलन कलाकृतियों को प्रदर्शित कर सकता है, विशेष रूप से अंत बिंदुओं पर (देखें रनगे की घटना)।

बहुपद प्रक्षेप रैखिक प्रक्षेप के विपरीत, नमूनों की सीमा से बाहर स्थानीय मैक्सिमा और मिनिमा का अनुमान लगा सकता है। उदाहरण के लिए, ऊपर दिए गए इंटरपोलेंट का स्थानीय अधिकतम x 1.566, f(x) 1.003 और स्थानीय न्यूनतम x ≈ 4.708, f(x) −1.003 है। हालांकि, ये मैक्सिमा और मिनिमा फ़ंक्शन की सैद्धांतिक सीमा से अधिक हो सकते हैं; उदाहरण के लिए, एक फ़ंक्शन जो हमेशा सकारात्मक होता है, उसमें नकारात्मक मानों वाला एक इंटरपोलेंट हो सकता है, और जिसके व्युत्क्रम में शून्य से गलत विभाजन होता है।

अधिक सामान्यतः, परिणामी वक्र का आकार, विशेष रूप से स्वतंत्र चर के बहुत उच्च या निम्न मानों के लिए, सामान्य ज्ञान के विपरीत हो सकता है; वह है, जो उस प्रायोगिक प्रणाली के बारे में जाना जाता है जिसने डेटा बिंदु उत्पन्न किए हैं। इन नुकसानों को तख़्ता प्रक्षेप का उपयोग करके या चेबीशेव बहुपद ों पर ध्यान सीमित करके कम किया जा सकता है।

तख़्ता प्रक्षेप


याद रखें कि रैखिक प्रक्षेप प्रत्येक अंतराल के लिए एक रैखिक फलन का उपयोग करता है [xk,एक्सk+1]. स्पलाइन इंटरपोलेशन प्रत्येक अंतराल में निम्न-डिग्री बहुपद का उपयोग करता है, और बहुपद टुकड़ों को इस तरह चुनता है कि वे एक साथ आसानी से फिट हो जाएं। परिणामी फ़ंक्शन को स्पलाइन कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, प्राकृतिक घन पट्टी  टुकड़े-टुकड़े घन है और दो बार लगातार भिन्न हो सकती है। इसके अलावा, इसका दूसरा व्युत्पन्न अंतिम बिंदुओं पर शून्य है। ऊपर दी गई तालिका में बिंदुओं को प्रक्षेपित करने वाली प्राकृतिक घन रेखा किसके द्वारा दी गई है


 * $$ f(x) = \begin{cases}

-0.1522 x^3 + 0.9937 x, & \text{if } x \in [0,1], \\ -0.01258 x^3 - 0.4189 x^2 + 1.4126 x - 0.1396, & \text{if } x \in [1,2], \\ 0.1403 x^3 - 1.3359 x^2 + 3.2467 x - 1.3623, & \text{if } x \in [2,3], \\ 0.1579 x^3 - 1.4945 x^2 + 3.7225 x - 1.8381, & \text{if } x \in [3,4], \\ 0.05375 x^3 -0.2450 x^2 - 1.2756 x + 4.8259, & \text{if } x \in [4,5], \\ -0.1871 x^3 + 3.3673 x^2 - 19.3370 x + 34.9282, & \text{if } x \in [5,6]. \end{cases} $$ इस मामले में हमें f(2.5) = 0.5972 मिलता है।

बहुपद प्रक्षेप की तरह, तख़्ता प्रक्षेप में रैखिक प्रक्षेप की तुलना में एक छोटी त्रुटि होती है, जबकि बहुपद प्रक्षेप में उपयोग किए जाने वाले उच्च-डिग्री बहुपदों की तुलना में इंटरपोलेंट का मूल्यांकन करना आसान और आसान होता है। हालांकि, आधार कार्यों की वैश्विक प्रकृति खराब कंडीशनिंग की ओर ले जाती है। यह पूरी तरह से कॉम्पैक्ट सपोर्ट के स्प्लिन का उपयोग करके कम किया जाता है, जैसे कि Boost.Math में लागू किया गया है और Kress में चर्चा की गई है।

मिमिक प्रक्षेप
क्षेत्रों के अंतर्निहित विवेक के आधार पर, विभिन्न इंटरपोलेंट की आवश्यकता हो सकती है। अन्य इंटरपोलेशन विधियों के विपरीत, जो लक्ष्य बिंदुओं पर कार्यों का अनुमान लगाते हैं, मिमिक इंटरपोलेशन फ़ील्ड के प्रकार (स्केलर, वेक्टर, छद्म-वेक्टर या छद्म-स्केलर) के आधार पर लक्ष्य रेखाओं, क्षेत्रों या वॉल्यूम पर फ़ील्ड के अभिन्न का मूल्यांकन करता है।

मिमिक इंटरपोलेशन की एक प्रमुख विशेषता यह है कि वेक्टर कैलकुलस पहचान संतुष्ट हैं, जिसमें स्टोक्स की प्रमेय और विचलन प्रमेय  शामिल हैं। नतीजतन, मिमिक इंटरपोलेशन लाइन, एरिया और वॉल्यूम इंटीग्रल को संरक्षित करता है। उदाहरण के लिए,  विद्युत क्षेत्र  को प्रक्षेपित करते समय लाइन इंटीग्रल का संरक्षण वांछनीय हो सकता है, क्योंकि लाइन इंटीग्रल एकीकरण पथ के समापन बिंदुओं पर विद्युत संभावित अंतर देता है। मिमिक इंटरपोलेशन यह सुनिश्चित करता है कि विद्युत क्षेत्र के लाइन इंटीग्रल का अनुमान लगाने की त्रुटि एकीकरण पथ की लंबाई की परवाह किए बिना, एकीकरण पथ के अंतिम बिंदुओं पर क्षमता को प्रक्षेपित करके प्राप्त त्रुटि के समान है।

लीनियर इंटरपोलेशन, बि[[ रेखिक आंतरिक  ]] और  त्रिरेखीय प्रक्षेप  को भी मिमिकल माना जाता है, भले ही यह फील्ड वैल्यू ही हो जो संरक्षित हैं (फील्ड का इंटीग्रल नहीं)। रैखिक प्रक्षेप के अलावा, क्षेत्र भारित प्रक्षेप को विकसित किए जाने वाले पहले अनुकरणीय प्रक्षेप पद्धति में से एक माना जा सकता है।

फंक्शन सन्निकटन
अनुमानित कार्यों के लिए इंटरपोलेशन एक सामान्य तरीका है। एक समारोह दिया $$f:[a,b] \to \mathbb{R}$$ अंकों के एक सेट के साथ $$x_1, x_2, \dots, x_n \in [a, b]$$ कोई एक फ़ंक्शन बना सकता है $$s: [a,b] \to \mathbb{R}$$ ऐसा है कि $$f(x_i)=s(x_i)$$ के लिये $$i=1, 2, \dots, n$$ (वह है वह $$s$$ प्रक्षेपित करना $$f$$ इन बिंदुओं पर)। सामान्य तौर पर, एक इंटरपोलेंट को एक अच्छा सन्निकटन नहीं होना चाहिए, लेकिन वहां अच्छी तरह से ज्ञात और अक्सर उचित स्थितियां होती हैं जहां यह होगा। उदाहरण के लिए, यदि $$f\in C^4([a,b])$$ (चार बार लगातार अवकलनीय) तो तख़्ता प्रक्षेप  में त्रुटि बाउंड द्वारा दी गई है $$\|f-s\|_\infty \leq C \|f^{(4)}\|_\infty h^4$$ कहाँ पे $$h \max_{i=1,2, \dots, n-1} |x_{i+1}-x_i|$$ तथा $$C$$ एक स्थिरांक है।

गाऊसी प्रक्रिया ओं के माध्यम से
गाऊसी प्रक्रिया एक शक्तिशाली गैर-रेखीय प्रक्षेप उपकरण है। कई लोकप्रिय प्रक्षेप उपकरण वास्तव में विशेष गाऊसी प्रक्रियाओं के बराबर हैं। गाऊसी प्रक्रियाओं का उपयोग न केवल एक इंटरपोलेंट को फिट करने के लिए किया जा सकता है जो कि दिए गए डेटा बिंदुओं से बिल्कुल गुजरता है बल्कि प्रतिगमन के लिए भी; वह है, शोर डेटा के माध्यम से एक वक्र फिट करने के लिए। भू-सांख्यिकी समुदाय में गाऊसी प्रक्रिया प्रतिगमन को युद्ध  के रूप में भी जाना जाता है।

अन्य रूप
इंटरपोलेंट के एक अलग वर्ग को चुनकर इंटरपोलेशन के अन्य रूपों का निर्माण किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, परिमेय प्रक्षेप पाद सन्निकटन का उपयोग करते हुए परिमेय कार्यों द्वारा प्रक्षेप है, और त्रिकोणमितीय प्रक्षेप  फूरियर श्रृंखला का उपयोग करके  त्रिकोणमितीय बहुपद ों द्वारा प्रक्षेप है। तरंगों का उपयोग करने की एक और संभावना है।

व्हिटेकर-शैनन प्रक्षेप सूत्र का उपयोग किया जा सकता है यदि डेटा बिंदुओं की संख्या अनंत है या यदि फ़ंक्शन को प्रक्षेपित करने के लिए कॉम्पैक्ट समर्थन है।

कभी-कभी, हम न केवल उस फ़ंक्शन का मान जानते हैं जिसे हम कुछ बिंदुओं पर प्रक्षेपित करना चाहते हैं, बल्कि इसके व्युत्पन्न भी हैं। इससे साधु ट्वीन  समस्याएं होती हैं।

जब प्रत्येक डेटा बिंदु स्वयं एक फ़ंक्शन होता है, तो इंटरपोलेशन समस्या को प्रत्येक डेटा बिंदु के बीच आंशिक संवहन  समस्या के रूप में देखना उपयोगी हो सकता है। यह विचार  परिवहन सिद्धांत (गणित)  में प्रयुक्त  विस्थापन प्रक्षेप  समस्या की ओर ले जाता है।

उच्च आयामों में
बहुभिन्नरूपी प्रक्षेप एक से अधिक चर के कार्यों का प्रक्षेप है। विधियों में दो आयामों में बिलिनियर इंटरपोलेशन और बाइक्यूबिक इंटरपोलेशन  और तीन आयामों में ट्रिलिनियर इंटरपोलेशन शामिल हैं। उन्हें ग्रिड या बिखरे हुए डेटा पर लागू किया जा सकता है। मिमिक इंटरपोलेशन को सामान्यीकृत करता है $$n$$ आयामी रिक्त स्थान जहां $$n > 3$$.

डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग में
डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग के क्षेत्र में, इंटरपोलेशन शब्द विभिन्न डिजिटल फ़िल्टरिंग तकनीकों का उपयोग करके एक नमूना डिजिटल सिग्नल (जैसे एक नमूना ऑडियो सिग्नल) को एक उच्च नमूना दर ( अपसैंपलिंग ) में परिवर्तित करने की प्रक्रिया को संदर्भित करता है (उदाहरण के लिए, कनवल्शन के साथ एक आवृत्ति-सीमित आवेग संकेत)। इस एप्लिकेशन में एक विशिष्ट आवश्यकता है कि मूल सिग्नल की हार्मोनिक सामग्री को सिग्नल की मूल Nyquist आवृत्ति  (यानी, मूल सिग्नल नमूना दर के fs / 2 से ऊपर) के ऊपर मूल सिग्नल की अलियास्ड हार्मोनिक सामग्री बनाए बिना संरक्षित किया जाए।. इस विषय पर एक प्रारंभिक और काफी प्रारंभिक चर्चा राबिनर और क्रोचियर की पुस्तक मल्टीरेट डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग में पाई जा सकती है।

संबंधित अवधारणाएं
एक्सट्रपलेशन शब्द का उपयोग ज्ञात डेटा बिंदुओं की सीमा के बाहर डेटा बिंदुओं को खोजने के लिए किया जाता है।

वक्र फिटिंग की समस्याओं में, इंटरपोलेंट को डेटा बिंदुओं के माध्यम से ठीक से जाने की बाधा में ढील दी जाती है। केवल डेटा बिंदुओं तक जितना संभव हो सके (कुछ अन्य बाधाओं के भीतर) पहुंचने की आवश्यकता है। इसके लिए संभावित इंटरपोलेंट को पैरामीटर करने और त्रुटि को मापने का कोई तरीका होना आवश्यक है। सबसे सरल मामले में यह कम से कम वर्ग सन्निकटन की ओर जाता है।

सन्निकटन सिद्धांत अध्ययन करता है कि किसी पूर्व निर्धारित वर्ग से किसी अन्य फ़ंक्शन द्वारा दिए गए फ़ंक्शन के लिए सर्वोत्तम सन्निकटन कैसे प्राप्त किया जाए, और यह सन्निकटन कितना अच्छा है। यह स्पष्ट रूप से एक बाध्यता पैदा करता है कि इंटरपोलेंट अज्ञात फ़ंक्शन को कितनी अच्छी तरह अनुमानित कर सकता है।

सामान्यीकरण
अगर हम विचार करें $$x$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस  में एक चर के रूप में, और फ़ंक्शन $$f(x)$$ एक  बनच स्पेस  में मैपिंग, फिर समस्या को ऑपरेटरों के इंटरपोलेशन के रूप में माना जाता है। ऑपरेटरों के प्रक्षेप के बारे में शास्त्रीय परिणाम रिज़-थोरिन प्रमेय और मार्सिंक्यूविज़ प्रमेय हैं। इसके बाद के कई अन्य परिणाम भी हैं।

यह भी देखें

 * बैरीसेंट्रिक कोऑर्डिनेट सिस्टम (गणित) | बैरीसेंट्रिक कोऑर्डिनेट - एक त्रिभुज या टेट्राहेड्रोन पर इंटरपोलिंग के लिए
 * ब्रह्मगुप्त का प्रक्षेप सूत्र
 * फ्रैक्टल कम्प्रेशन#फ्रैक्टल इंटरपोलेशन
 * आरोप (आंकड़े)
 * लैग्रेंज बहुपद
 * लापता आँकड़े
 * न्यूटन-कोट्स सूत्र
 * रेडियल आधार फ़ंक्शन इंटरपोलेशन
 * सरल तर्कसंगत सन्निकटन

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक लिंक की सूची

 * डेटा अंक
 * अंक शास्त्र
 * समारोह सन्निकटन
 * यौगिक
 * एक बहुपद की डिग्री
 * रैखिक प्रकार्य
 * शून्य से विभाजन
 * खंड अनुसार
 * वेक्टर कलन पहचान
 * विद्युतीय संभाव्यता
 * तर्कसंगत कार्य
 * फोरियर श्रेणी
 * छोटा लहर
 * कम से कम वर्गों
 * मार्सिंक्यूविक्ज़ प्रमेय
 * आरोपण (सांख्यिकी)

बाहरी संबंध

 * Online tools for linear, quadratic, cubic spline, and polynomial interpolation with visualisation and JavaScript source code.
 * Sol Tutorials - Interpolation Tricks
 * Compactly Supported Cubic B-Spline interpolation in Boost.Math
 * Barycentric rational interpolation in Boost.Math
 * Interpolation via the Chebyshev transform in Boost.Math