अंकगणित कॉम्बिनेटरिक्स

गणित में, अंकगणितीय कॉम्बिनेटरिक्स संख्या सिद्धांत, कॉम्बिनेटरिक्स, एर्गोडिक सिद्धांत और हार्मोनिक विश्लेषण के प्रतिच्छेदन का एक क्षेत्र है।

विस्तार
अंकगणितीय कॉम्बिनेटरिक्स अंकगणितीय परिचालनों (जोड़, घटाव, गुणा और भाग) से जुड़े कॉम्बिनेटरियल अनुमानों के बारे में है। एडिटिव कॉम्बिनेटरिक्स एक विशेष मामला है जब केवल जोड़ और घटाव की संक्रियाएं शामिल होती हैं।

बेन ग्रीन ने ताओ और वु द्वारा लिखित "एडिटिव कॉम्बिनेटरिक्स" की समीक्षा में अंकगणितीय कॉम्बिनेटरिक्स की व्याख्या की है।

स्ज़ेमेरीडी का प्रमेय
स्ज़ेमेरीडी का प्रमेय पूर्णांकों के उपसमुच्चय में अंकगणितीय प्रगति से संबंधित अंकगणितीय संयोजन विज्ञान का परिणाम है। 1936 में, एर्दो और तुरान ने अनुमान लगाया कि धनात्मक प्राकृतिक घनत्व वाले पूर्णांक A के प्रत्येक सेट में प्रत्येक के के लिए एक k शब्द अंकगणितीय प्रगति होती है। यह अनुमान, जो ज़ेमेरेडी का प्रमेय बन गया, वैन डेर वेर्डन के प्रमेय के कथन को सामान्यीकृत करता है।

ग्रीन-ताओ प्रमेय और विस्तार
ग्रीन-ताओ प्रमेय, जिसे बेन ग्रीन और टेरेंस ताओ ने 2004 में सिद्ध किया था, में कहा गया है कि अभाज्य संख्याओं के अनुक्रम में अनैतिक ढंग से लंबी अंकगणितीय प्रगति होती है। दूसरे शब्दों में, k पदों के साथ अभाज्य संख्याओं की अंकगणितीय प्रगति मौजूद है, जहाँ k कोई भी प्राकृतिक संख्या हो सकती है। प्रमाण ज़ेमेरेडी के प्रमेय का विस्तार है।

2006 में, टेरेंस ताओ और टैमर ज़िगलर ने बहुपद प्रगति को कवर करने के लिए परिणाम को बढ़ाया। अधिक सटीक रूप से, किसी भी पूर्णांक-मूल्य वाले बहुपद P1,..., Pk को एक अज्ञात m में सभी स्थिर पद 0 के साथ दिए जाने पर, अनंत रूप से कई पूर्णांक x, m होते हैं जैसे कि x + P1(m), ..., x + Pk(m) एक साथ अभाज्य हैं। विशेष मामला जब बहुपद m, 2m, ..., km होते हैं तो पिछले परिणाम का तात्पर्य है कि अभाज्य संख्याओं की लंबाई k अंकगणितीय प्रगति है।

ब्रुइलार्ड-ग्रीन-ताओ प्रमेय
ब्रुइलार्ड-ग्रीन-ताओ प्रमेय, 2011 में इमैनुएल ब्रुइलार्ड, बेन जे. ग्रीन और टेरेंस ताओ द्वारा सिद्ध किया गया, अनुमानित समूहों का संपूर्ण वर्गीकरण देता है। इस परिणाम को फ्रीमैन के प्रमेय के नॉनबेलियन संस्करण और बहुपद वृद्धि के समूहों पर ग्रोमोव के प्रमेय के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है।

उदाहरण
यदि A, N पूर्णांकों का समुच्चय है, तो योगफल कितना बड़ा या छोटा हो सकता है
 * $$A+A := \{x+y: x,y \in A\},$$

अंतर सेट
 * $$A-A := \{x-y: x,y \in A\},$$

और उत्पाद सेट
 * $$A\cdot A := \{xy: x,y \in A\}$$

हो, और इन सेटों के आकार कैसे संबंधित हैं? (भ्रमित न हों: अंतर सेट और उत्पाद सेट शब्दों के अन्य अर्थ हो सकते हैं।)

एक्सटेंशन
अध्ययन किए जा रहे सेट पूर्णांकों के अलावा बीजगणितीय संरचनाओं के उपसमुच्चय भी हो सकते हैं, उदाहरण के लिए, समूह (गणित), रिंग (गणित) और फ़ील्ड (गणित)।

यह भी देखें

 * योगात्मक संख्या सिद्धांत
 * अनुमानित समूह
 * कोने प्रमेय
 * एर्गोडिक रैमसे सिद्धांत
 * अंकगणितीय प्रगति से जुड़ी समस्याएं


 * श्निरेलमन घनत्व
 * शेपली-फोकमैन लेम्मा
 * सिडोन सेट
 * राशि-मुक्त सेट
 * एर्डोस-सेमेरेडी प्रमेय|सम-उत्पाद समस्या

संदर्भ

 * Additive Combinatorics and Theoretical Computer Science, Luca Trevisan, SIGACT News, June 2009
 * Open problems in additive combinatorics, E Croot, V Lev
 * From Rotating Needles to Stability of Waves: Emerging Connections between Combinatorics, Analysis, and PDE, Terence Tao, AMS Notices March 2001
 * Open problems in additive combinatorics, E Croot, V Lev
 * From Rotating Needles to Stability of Waves: Emerging Connections between Combinatorics, Analysis, and PDE, Terence Tao, AMS Notices March 2001

अग्रिम पठन

 * Some Highlights of Arithmetic Combinatorics, resources by Terence Tao
 * Additive Combinatorics: Winter 2007, K Soundararajan
 * Earliest Connections of Additive Combinatorics and Computer Science, Luca Trevisan