कोटैंजेंट स्थान

विभेदक ज्यामिति में, कोटैंजेंट स्पेस एक बिंदु से जुड़ा एक सदिश स्थल  है $$x$$ एक चिकनी मैनिफोल्ड पर | चिकनी (या अलग-अलगचिकनी कई गुना $$\mathcal M$$; कोई भी व्यक्ति स्मूथ मैनिफोल्ड पर प्रत्येक बिंदु के लिए एक कोटैंजेंट स्थान को परिभाषित कर सकता है। आमतौर पर, कोटैंजेंट स्पेस, $$T^*_x\!\mathcal M$$ पर स्पर्शरेखा स्थान के दोहरे स्थान के रूप में परिभाषित किया गया है$$x$$, $$T_x\mathcal M$$, हालाँकि अधिक प्रत्यक्ष परिभाषाएँ हैं (नीचे देखें)। कोटैंजेंट स्पेस के तत्वों को कोटैंजेंट वैक्टर या टेंगेंट कोवेक्टर कहा जाता है।

गुण
कनेक्टेड मैनिफोल्ड पर बिंदुओं पर सभी कोटैंजेंट स्पेस में वेक्टर स्पेस का समान आयाम होता है, जो मैनिफोल्ड के आयाम के बराबर होता है। मैनिफोल्ड के सभी कोटैंजेंट स्थानों को एक साथ चिपकाया जा सकता है (अर्थात संघबद्ध और एक टोपोलॉजी के साथ संपन्न) ताकि दोगुने आयाम का एक नया विभेदक मैनिफोल्ड, मैनिफोल्ड का कोटैंजेंट बंडल बनाया जा सके।

एक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान और कोटैंजेंट स्थान दोनों एक ही आयाम के वास्तविक वेक्टर स्थान हैं और इसलिए कई संभावित समरूपता के माध्यम से एक दूसरे के लिए समरूपी  हैं। एक रीमैनियन मीट्रिक या एक सहानुभूतिपूर्ण रूप की शुरूआत एक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान और कोटैंजेंट स्थान के बीच एक प्राकृतिक समरूपता को जन्म देती है, जो किसी भी स्पर्शरेखा कोवेक्टर के साथ एक विहित स्पर्शरेखा वेक्टर को जोड़ती है।

रेखीय कार्यात्मकताओं के रूप में परिभाषा
होने देना $$\mathcal M$$ एक चिकनी कई गुना हो और चलो $$x$$ में एक बिंदु हो $$\mathcal M$$. होने देना $$T_x\mathcal M$$ पर स्पर्शरेखा स्थान बनें $$x$$. फिर x पर कोटैंजेंट स्पेस को दोहरे स्पेस के रूप में परिभाषित किया गया है $T_x\mathcal M$:


 * $$T^*_x\!\mathcal M = (T_x \mathcal M)^*$$

सीधे तौर पर, कोटैंजेंट स्पेस के तत्व रैखिक कार्यात्मक हैं $$T_x\mathcal M$$. यानि हर तत्व $$\alpha\in T^*_x\mathcal M$$ एक रेखीय मानचित्र है
 * $$\alpha:T_x\mathcal M \to F$$

कहाँ $$F$$ विचाराधीन सदिश समष्टि का अंतर्निहित क्षेत्र (गणित) है, उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र। के तत्व $$T^*_x\!\mathcal M$$ कोटैंजेंट सदिश कहलाते हैं।

वैकल्पिक परिभाषा
कुछ मामलों में, कोई व्यक्ति स्पर्शरेखा स्थान के संदर्भ के बिना कोटैंजेंट स्पेस की सीधी परिभाषा प्राप्त करना पसंद कर सकता है। ऐसी परिभाषा सुचारू कार्यों के तुल्यता वर्गों के संदर्भ में तैयार की जा सकती है $$\mathcal M$$. अनौपचारिक रूप से, हम कहेंगे कि दो सुचारु फलन f और g एक बिंदु पर समतुल्य हैं $$x$$ यदि उनके पास समान प्रथम-क्रम का व्यवहार है $$x$$, उनके रैखिक टेलर बहुपद के अनुरूप; दो फ़ंक्शन f और g का प्रथम क्रम व्यवहार समान है $$x$$ यदि और केवल यदि फ़ंक्शन f - g का व्युत्पन्न गायब हो जाता है $$x$$. कोटैंजेंट स्पेस में किसी फ़ंक्शन के सभी संभावित प्रथम-क्रम व्यवहार शामिल होंगे $$x$$.

होने देना $$\mathcal M$$ एक सहज मैनिफ़ोल्ड बनें और x को एक बिंदु होने दें $$\mathcal M$$. होने देना $$I_x$$में सभी कार्यों का आदर्श (रिंग सिद्धांत) बनें $$C^\infty\! (\mathcal M)$$ पर लुप्त हो रहा है $$x$$, और जाने $$I_x^2$$ फॉर्म के कार्यों का सेट बनें $\sum_i f_i g_i$, कहाँ $$f_i, g_i \in I_x$$. तब $$I_x$$ और $$I_x^2$$ दोनों वास्तविक सदिश समष्टि हैं और कोटैंजेंट समष्टि को भागफल समष्टि (रैखिक बीजगणित) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$T^*_x\!\mathcal M = I_x/I^2_x$$ यह दिखाकर कि दोनों स्थान एक-दूसरे के समरूप हैं।

यह सूत्रीकरण बीजगणितीय ज्यामिति में ज़ारिस्की स्पर्शरेखा स्थान को परिभाषित करने के लिए कोटैंजेंट स्पेस के निर्माण के अनुरूप है। निर्माण स्थानीय रूप से रिंगित स्थानों पर भी सामान्यीकृत होता है।

फ़ंक्शन का अंतर
होने देना $$M$$ एक चिकनी कई गुना हो और चलो $$f\in C^\infty(M)$$ एक सुचारु कार्य हो. का अंतर $$f$$ एक बिंदु पर $$x$$ नक्शा है
 * $$\mathrm d f_x(X_x) = X_x(f)$$

कहाँ $$X_x$$ पर वक्रों की विभेदक ज्यामिति है $$x$$, एक व्युत्पत्ति के रूप में सोचा। वह है $$X(f)=\mathcal{L}_Xf$$ का झूठ व्युत्पन्न है $$f$$ दिशा में $$X$$, और एक के पास है $$\mathrm df(X)=X(f)$$. समान रूप से, हम स्पर्शरेखा सदिशों को वक्रों की स्पर्शरेखा के रूप में सोच सकते हैं और लिख सकते हैं
 * $$\mathrm d f_x(\gamma'(0))=(f\circ\gamma)'(0)$$

किसी भी मामले में, $$\mathrm df_x$$ पर एक रेखीय मानचित्र है $$T_xM$$ और इसलिए यह एक स्पर्शरेखा कोवेक्टर है $$x$$.

फिर हम विभेदक मानचित्र को परिभाषित कर सकते हैं $$\mathrm d:C^\infty(M)\to T_x^*(M)$$ एक बिंदु पर $$x$$ जैसा कि मानचित्र भेजता है $$f$$ को $$\mathrm df_x$$. विभेदक मानचित्र के गुणों में शामिल हैं:

विभेदक मानचित्र ऊपर दिए गए कोटैंजेंट स्पेस की दो वैकल्पिक परिभाषाओं के बीच लिंक प्रदान करता है। एक फ़ंक्शन दिया गया $$f\in I_x$$ (एक सुचारु कार्य गायब हो रहा है $$x$$) हम रैखिक कार्यात्मक बना सकते हैं $$\mathrm df_x$$ ऊपरोक्त अनुसार। मानचित्र के बाद से $$\mathrm d$$ पर 0 तक सीमित है $$I_x^2$$ (पाठक को इसे सत्यापित करना चाहिए), $$\mathrm d$$ से एक मानचित्र पर उतरता है $$I_x/I_x^2$$ स्पर्शरेखा स्थान के दोहरे के लिए, $$(T_xM)^*$$. कोई यह दिखा सकता है कि यह मानचित्र एक समरूपता है, जो दो परिभाषाओं की समानता स्थापित करता है।
 * 1) $$\mathrm d$$ एक रेखीय मानचित्र है: $$\mathrm d(af+bg)=a\mathrm df + b\mathrm dg$$ स्थिरांक के लिए $$a$$ और $$b$$,
 * 2) $$\mathrm d(fg)_x=f(x)\mathrm dg_x+g(x)\mathrm df_x$$

एक सहज मानचित्र का प्रतिकर्षण
बिल्कुल हर अलग-अलग मानचित्र की तरह $$f:M\to N$$ मैनिफोल्ड्स के बीच स्पर्शरेखा स्थानों के बीच एक रेखीय मानचित्र (जिसे पुशफॉरवर्ड या व्युत्पन्न कहा जाता है) उत्पन्न होता है
 * $$f_{*}^{}\colon T_x M \to T_{f(x)} N$$

ऐसा प्रत्येक मानचित्र कोटैंजेंट स्थानों के बीच एक रेखीय मानचित्र (जिसे पुलबैक (विभेदक ज्यामिति) कहा जाता है) उत्पन्न करता है, केवल इस बार विपरीत दिशा में:
 * $$f^{*}\colon T_{f(x)}^{*} N \to T_{x}^{*} M .$$

पुलबैक को स्वाभाविक रूप से पुशफॉरवर्ड (डिफरेंशियल) के दोहरे (या ट्रांसपोज़) के रूप में परिभाषित किया गया है। परिभाषा को उजागर करते हुए, इसका अर्थ निम्नलिखित है:
 * $$(f^{*}\theta)(X_x) = \theta(f_{*}^{}X_x) ,$$

कहाँ $$\theta\in T_{f(x)}^*N$$ और $$X_x\in T_xM$$. ध्यान से नोट करें कि सब कुछ कहाँ रहता है।

यदि हम एक बिंदु पर लुप्त होने वाले चिकने मानचित्रों के तुल्यता वर्गों के संदर्भ में स्पर्शरेखा कोवेक्टर को परिभाषित करते हैं तो पुलबैक की परिभाषा और भी सरल है। होने देना $$g$$ पर एक सुचारू कार्य हो $$N$$ पर लुप्त हो रहा है $$f(x)$$. फिर कोवेक्टर का पुलबैक निर्धारित किया गया $$g$$ (संकेतित $$\mathrm d g$$) द्वारा दिया गया है
 * $$f^{*}\mathrm dg = \mathrm d(g \circ f).$$

अर्थात्, यह कार्यों का समतुल्य वर्ग है $$M$$ पर लुप्त हो रहा है $$x$$ द्वारा निर्धारित $$g\circ f$$.

बाहरी शक्तियां
$$k$$th>-कोटटेंजेंट स्पेस की बाहरी शक्ति, निरूपित $$\Lambda^k(T_x^*\mathcal{M})$$, विभेदक ज्यामिति में एक और महत्वपूर्ण वस्तु है। वेक्टर में $$k$$-वें बाहरी शक्ति, या अधिक सटीक रूप से के अनुभाग $$k$$कोटैंजेंट बंडल की -वीं बाहरी शक्ति को डिफरेंशियल फॉर्म|डिफरेंशियल कहा जाता है $$k$$-रूप। उन्हें वैकल्पिक, बहुरेखीय मानचित्रों के रूप में सोचा जा सकता है $$k$$ स्पर्शरेखा सदिश. इस कारण से, स्पर्शरेखा कोवेक्टरों को अक्सर एक-रूप कहा जाता है।