पुनरावृत्त फ़ंक्शन

गणित में, एक पुनरावृत्त फलन एक फलन होता है $F$ (अर्थात, कुछ सेट (गणित) से एक फ़ंक्शन $X$स्वयं के लिए) जो फ़ंक्शन संरचना द्वारा किसी अन्य फ़ंक्शन द्वारा प्राप्त किया जाता है $F$ अपने साथ एक निश्चित संख्या में बार। एक ही फ़ंक्शन को बार-बार लागू करने की प्रक्रिया को पुनरावृत्ति कहा जाता है। इस प्रक्रिया में, किसी प्रारंभिक ऑब्जेक्ट से शुरू करके, किसी दिए गए फ़ंक्शन को लागू करने का परिणाम फिर से इनपुट के रूप में फ़ंक्शन में फीड किया जाता है, और यह प्रक्रिया दोहराई जाती है। उदाहरण के लिए दाईं ओर की छवि पर: फ़ंक्शन संरचना के वृत्त-आकार के प्रतीक के साथ।
 * L = $\mathit{F}\,$( K ),   M = $\mathit{F}\,\circ \mathit{F}\,$( K ) = $\mathit{F}\;^{2}\,$( K ),

पुनरावृत्त कार्य कंप्यूटर विज्ञान, भग्न, गतिशील प्रणाली, गणित और पुनर्सामान्यीकरण समूह भौतिकी में अध्ययन की वस्तुएं हैं।

परिभाषा
एक सेट (गणित) एक्स पर पुनरावृत्त फ़ंक्शन की औपचारिक परिभाषा इस प्रकार है।

होने देना $X$ एक सेट हो और $F$ एक फ़ंक्शन (गणित) बनें।

परिभाषित $X → X$ के n-वें पुनरावृत्त के रूप में $f$ (हंस हेनरिक बर्मन द्वारा प्रस्तुत एक संकेतन और जॉन फ्रेडरिक विलियम हर्शल    ), जहां n एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है, द्वारा: $$f^0 ~  \stackrel{\mathrm{def}}{=}  ~ \operatorname{id}_X$$ और $$f^{n+1} ~ \stackrel{\mathrm{def}}{=} ~ f \circ f^{n},$$ कहाँ $f : X → X$ पहचान फ़ंक्शन चालू है $X$ और $f: X → X$ फ़ंक्शन संरचना को दर्शाता है। वह है,

हमेशा सहयोगी.

क्योंकि संकेतन $f ^{n}$ फ़ंक्शन के दोनों पुनरावृत्ति (संरचना) को संदर्भित कर सकता है $f$ या घातांक#पुनरावृत्त फ़ंक्शन $f$ (बाद वाला आमतौर पर त्रिकोणमितीय कार्यों में उपयोग किया जाता है), कुछ गणितज्ञ उपयोग करना चुनें $id_{X}$रचनात्मक अर्थ को निरूपित करने के लिए, लिखना $f $\circ$ g$ के लिए $n$-फ़ंक्शन का पुनरावृत्त $(f $\circ$ g)(x) = f (g(x))$, जैसे, उदाहरण के लिए, $f ^{n}$ अर्थ $∘$. इसी उद्देश्य से, $f(x)$ का प्रयोग बेंजामिन पियर्स  द्वारा किया गया था  जबकि अल्फ्रेड प्रिंग्सहेम और जूल्स मोल्क ने सुझाव दिया था $f(x)$ बजाय।

एबेलियन संपत्ति और पुनरावृत्ति अनुक्रम
सामान्य तौर पर, निम्नलिखित पहचान सभी गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के लिए लागू होती है $m$ और $n$,


 * $$f^m \circ f^n =  f^n \circ f^m = f^{m+n}~.$$

यह संरचनात्मक रूप से घातांक की संपत्ति के समान है $f(x)$, यानी विशेष मामला $f(f(f(x)))$.

सामान्य तौर पर, मनमाने ढंग से सामान्य (नकारात्मक, गैर-पूर्णांक, आदि) सूचकांकों के लिए $m$ और $n$, इस संबंध को अनुवाद कार्यात्मक समीकरण कहा जाता है, सीएफ। श्रोडर का समीकरण और एबेल समीकरण। लघुगणकीय पैमाने पर, यह चेबीशेव बहुपदों की नेस्टिंग संपत्ति को कम कर देता है, $f ^{[n]}(x)$, तब से $f ^{(n)}$.

रिश्ता $n$ भी घातांक की संपत्ति के अनुरूप है  $f(x)$.

कार्यों का क्रम $a^{m}a^{n} = a^{m + n}$ को पिकार्ड अनुक्रम कहा जाता है,  चार्ल्स एमिल पिकार्ड के नाम पर रखा गया।

किसी प्रदत्त के लिए $x$ में $X$, मानों का क्रम $f(x) = ax$ की कक्षा (गतिकी) कहलाती है $x$.

अगर $T_{m}(T_{n}(x)) = T_{m n}(x)$ कुछ पूर्णांक के लिए $T_{n}(x) = cos(n arccos(x))$, कक्षा को आवर्त कक्षा कहा जाता है। का ऐसा सबसे छोटा मान $m$ किसी प्रदत्त के लिए $x$ को कक्षा की अवधि कहा जाता है। बिंदु $x$ को ही आवर्त बिंदु कहते हैं। कंप्यूटर विज्ञान में चक्र का पता लगाने की समस्या एक कक्षा में पहले आवधिक बिंदु और कक्षा की अवधि को खोजने की  कलन विधि  समस्या है।

निश्चित अंक
अगर $(f^{ m})^{n}(x) = (f^{ n})^{m}(x) = f^{ mn}(x)$ कुछ के लिए $x$ में $X$ (अर्थात, की कक्षा की अवधि $x$ है $(a^{m})^{n} = (a^{n})^{m} = a^{mn}$), तब $x$पुनरावृत्त क्रम का एक निश्चित बिंदु (गणित) कहलाता है। निश्चित बिंदुओं के समुच्चय को अक्सर इस रूप में दर्शाया जाता है $f ^{n}$. ऐसे कई निश्चित-बिंदु प्रमेय मौजूद हैं जो विभिन्न स्थितियों में निश्चित बिंदुओं के अस्तित्व की गारंटी देते हैं, जिनमें बानाच निश्चित बिंदु प्रमेय और ब्रौवर निश्चित बिंदु प्रमेय शामिल हैं।

निश्चित बिंदु पुनरावृत्ति द्वारा उत्पन्न अनुक्रमों के अभिसरण त्वरण के लिए कई तकनीकें हैं। उदाहरण के लिए, एक पुनरावृत्त निश्चित बिंदु पर लागू की गई ऐटकेन विधि को स्टीफ़ेंसन विधि के रूप में जाना जाता है, और यह द्विघात अभिसरण उत्पन्न करती है।

व्यवहार को सीमित करना
पुनरावृत्ति पर, कोई यह पा सकता है कि ऐसे सेट हैं जो सिकुड़ते हैं और एक बिंदु की ओर एकत्रित होते हैं। ऐसे मामले में, जिस बिंदु पर अभिसरण होता है उसे आकर्षक निश्चित बिंदु के रूप में जाना जाता है। इसके विपरीत, पुनरावृत्ति एक ही बिंदु से दूर जाने वाले बिंदुओं का आभास दे सकती है; यह एक अस्थिर निश्चित बिंदु के मामले में होगा। जब कक्षा के बिंदु एक या अधिक सीमाओं में परिवर्तित होते हैं, तो कक्षा के संचय बिंदुओं के सेट को सीमा सेट या ω-सीमा सेट के रूप में जाना जाता है।

आकर्षण और प्रतिकर्षण के विचार समान रूप से सामान्यीकृत होते हैं; पुनरावृत्ति के तहत छोटे पड़ोस (गणित) के व्यवहार के अनुसार, पुनरावृत्तियों को स्थिर मैनिफोल्ड्स और अस्थिर सेटों में वर्गीकृत किया जा सकता है। (विश्लेषणात्मक कार्यों की अनंत रचनाएँ भी देखें।)

अन्य सीमित व्यवहार संभव हैं; उदाहरण के लिए, भटकने वाले बिंदु वे बिंदु होते हैं जो दूर चले जाते हैं, और जहां से उन्होंने शुरू किया था उसके करीब भी कभी वापस नहीं आते हैं।

अपरिवर्तनीय माप
यदि कोई व्यक्तिगत बिंदु गतिशीलता के बजाय घनत्व वितरण के विकास पर विचार करता है, तो सीमित व्यवहार अपरिवर्तनीय माप द्वारा दिया जाता है। इसे बार-बार पुनरावृत्ति के तहत बिंदु-बादल या धूल-बादल के व्यवहार के रूप में देखा जा सकता है। अपरिवर्तनीय माप रुएल-फ्रोबेनियस-पेरोन ऑपरेटर या स्थानांतरण ऑपरेटर  का एक आइजेनस्टेट है, जो 1 के आइगेनवैल्यू के अनुरूप है। छोटे आइगेनवैल्यू अस्थिर, क्षयकारी राज्यों के अनुरूप हैं।

सामान्य तौर पर, क्योंकि दोहराया पुनरावृत्ति एक शिफ्ट, ट्रांसफर ऑपरेटर और उसके सहायक से मेल खाती है, व्यापारी संचालक  दोनों को  स्थान परिवर्तन  पर शिफ्ट ऑपरेटर की कार्रवाई के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। परिमित प्रकार के उप-शिफ्ट का सिद्धांत कई पुनरावृत्त कार्यों में सामान्य अंतर्दृष्टि प्रदान करता है, विशेष रूप से अराजकता की ओर ले जाने वाले कार्यों में।

आंशिक पुनरावृति और प्रवाह, और नकारात्मक पुनरावृति
धारणा f}समीकरण बनाते समय } का उपयोग सावधानी से किया जाना चाहिए $f^{n}(x)$ के कई समाधान हैं, जो आम तौर पर मामला है, जैसा कि कार्यात्मक वर्गमूल|बैबेज के पहचान मानचित्र की कार्यात्मक जड़ों के समीकरण में होता है। उदाहरण के लिए, के लिए $f ^{n} (x) = f ^{n+m} (x)$ और $m>0$, दोनों $f(x) = x$ और $1$ समाधान हैं; तो अभिव्यक्ति $Fix(f)$ किसी अद्वितीय फ़ंक्शन को इंगित नहीं करता है, जैसे संख्याओं में कई बीजगणितीय जड़ें होती हैं। यह मुद्दा अंकगणित में शून्य#बीजगणित|0/0 द्वारा अभिव्यक्ति विभाजन के समान है। यदि f हो तो f का एक तुच्छ मूल सदैव प्राप्त किया जा सकता है' के डोमेन को पर्याप्त रूप से बढ़ाया जा सकता है, cf. चित्र। चुनी गई जड़ें आम तौर पर अध्ययन के तहत कक्षा से संबंधित होती हैं।

किसी फ़ंक्शन के भिन्नात्मक पुनरावृत्ति को परिभाषित किया जा सकता है: उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन का कार्यात्मक वर्गमूल $π/6$ एक फ़ंक्शन है $1/2$ ऐसा है कि $g^{n}(x) = f(x)$. यह फ़ंक्शन $n = 2$ को इंडेक्स नोटेशन का उपयोग करके लिखा जा सकता है $f(x) = 4x − 6$. इसी प्रकार, $g(x) = 6 − 2x$ फ़ंक्शन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है $g(x) = 2x − 2$, जबकि $f^{ 1/2}(x)$ को बराबर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $g(g(x)) = f(x)$, इत्यादि, यह सब पहले बताए गए सिद्धांत पर आधारित है $g(x)$. इस विचार को सामान्यीकृत किया जा सकता है ताकि पुनरावृत्ति गिनती हो $π/6$ एक सतत पैरामीटर बन जाता है, एक निरंतर कक्षा (गतिशीलता) का एक प्रकार का निरंतर समय। ऐसे मामलों में, कोई सिस्टम को प्रवाह (गणित) के रूप में संदर्भित करता है। (सीएफ. नीचे #संयुग्मता पर अनुभाग।)

यदि कोई फलन विशेषण है (और इसलिए उसका व्युत्क्रम फलन है), तो नकारात्मक पुनरावृत्त फलन व्युत्क्रम और उनकी रचनाओं के अनुरूप होते हैं। उदाहरण के लिए, $f^{ 1/2}(x)$ का सामान्य व्युत्क्रम है $f$, जबकि $f^{ 1/3}(x)$ स्वयं से बना व्युत्क्रम है, अर्थात्। $f^{1/3}(f^{1/3}(f^{1/3}(x))) = f(x)$. भिन्नात्मक नकारात्मक पुनरावृत्तियों को भिन्नात्मक सकारात्मक पुनरावृत्तियों के अनुरूप परिभाषित किया जाता है; उदाहरण के लिए, $f(x)$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है $f(f(x))$, या, समकक्ष, ऐसे कि $f^{ m} ○ f^{ n} = f^{ m + n}$.

भिन्नात्मक पुनरावृत्ति के लिए कुछ सूत्र
एक निश्चित बिंदु का उपयोग करके भिन्नात्मक पुनरावृत्ति के लिए श्रृंखला सूत्र खोजने की कई विधियों में से एक इस प्रकार है। f^n(x) = f^n(a) + (x-a)\left.\frac{d}{dx}f^n(x)\right|_{x=a} + \frac{(x-a)^2}2\left.\frac{d^2}{dx^2}f^n(x)\right|_{x=a} +\cdots $$ f^n(x) = f^n(a) + (x-a) f'(a)f'(f(a))f'(f^2(a))\cdots f'(f^{n-1}(a)) + \cdots $$ f^n(x) = a + (x-a) f'(a)^n + \frac{(x-a)^2}2(f''(a)f'(a)^{n-1})\left(1+f'(a)+\cdots+f'(a)^{n-1} \right)+\cdots $$ f^n(x) = a + (x-a) f'(a)^n + \frac{(x-a)^2}2(f''(a)f'(a)^{n-1})\frac{f'(a)^n-1}{f'(a)-1}+\cdots $$ एक विशेष मामला है जब $f^{ −1}(x)$, $$ f^n(x) = x + \frac{(x-a)^2}2(n f(a))+ \frac{(x-a)^3}6\left(\frac{3}{2}n(n-1) f(a)^2 + n f'''(a)\right)+\cdots $$ इसे अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है, हालांकि अप्रभावी रूप से, क्योंकि बाद की शर्तें तेजी से जटिल हो जाती हैं। संयुग्मन पर निम्नलिखित अनुभाग में एक अधिक व्यवस्थित प्रक्रिया की रूपरेखा दी गई है।
 * 1) सबसे पहले फ़ंक्शन के लिए एक निश्चित बिंदु निर्धारित करें जैसे कि $f^{ −2}(x)$.
 * 2) परिभाषित करना $f^{ −2}(x) = f^{ −1}(f^{ −1}(x))$ वास्तविक से संबंधित सभी n के लिए। यह, कुछ मायनों में, भिन्नात्मक पुनरावृत्तियों पर लागू होने वाली सबसे स्वाभाविक अतिरिक्त स्थिति है।
 * 3) बढ़ाना $f^{ −1/2}(x)$ टेलर श्रृंखला के रूप में निश्चित बिंदु a के आसपास, $$
 * 1) विस्तार करें $$
 * 1) के लिए स्थानापन्न $f^{ −1/2}(f^{ −1/2}(x)) = f^{ −1}(x)$, किसी भी k के लिए, $$
 * 1) शब्दों को सरल बनाने के लिए ज्यामितीय प्रगति का उपयोग करें, $$

उदाहरण 1
उदाहरण के लिए, सेटिंग $f^{ −1/2}(f^{ 1/2}(x)) = f^{ 0}(x) = x$ निश्चित बिंदु देता है $f(a) = a$, इसलिए उपरोक्त सूत्र बस पर समाप्त होता है $$ f^n(x)=\frac{D}{1-C} + \left(x-\frac{D}{1-C}\right)C^n=C^nx+\frac{1-C^n}{1-C}D ~, $$ जिसे जांचना मामूली बात है.

उदाहरण 2
का मान ज्ञात कीजिये $$\sqrt{2}^{ \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdots}} }$$ जहां यह n बार किया जाता है (और संभवतः प्रक्षेपित मान जब n एक पूर्णांक नहीं है)। अपने पास $f ^{n}(a) = a$. एक निश्चित बिंदु है $f^{n}(x)$.

तो सेट करें $f(a) = a$ और $f '(a) = 1$ 2 के निश्चित बिंदु मान के चारों ओर विस्तारित एक अनंत श्रृंखला है, $$ \sqrt{2}^{ \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdots}} } = f^n(1) = 2 - (\ln 2)^n + \frac{(\ln 2)^{n+1}((\ln 2)^n-1)}{4(\ln 2-1)} - \cdots $$ जो, केवल पहले तीन पदों को लेते हुए, पहले दशमलव स्थान तक सही है जब n धनात्मक-cf है। टेट्रेशन: $f(x) = Cx + D$. (अन्य निश्चित बिंदु का उपयोग करते हुए $a = D/(1 − C)$श्रृंखला को अलग करने का कारण बनता है।)

के लिए $f(x) = √2^{x}$, श्रृंखला व्युत्क्रम फलन की गणना करती है $g$.

उदाहरण 3
समारोह के साथ $a = f(2) = 2$, श्रृंखला प्राप्त करने के लिए निश्चित बिंदु 1 के चारों ओर विस्तार करें $$ f^n(x) = 1 + b^n(x-1) + \frac{1}2b^{n}(b^n-1)(x-1)^2 + \frac{1}{3!}b^n (b^n-1)(b^n-2)(x-1)^3 + \cdots ~, $$ जो कि केवल x की टेलर श्रृंखला है(बी n ) का विस्तार 1 के आसपास हुआ।

संयुग्मता
अगर $n$ और $f$ दो पुनरावृत्त कार्य हैं, और एक होमियोमोर्फिज्म मौजूद है $2 ln x⁄ln 2$ ऐसा है कि $x = 1$,  तब $f$ और $g$ को टोपोलॉजिकल संयुग्मता कहा जाता है।

स्पष्ट रूप से, टोपोलॉजिकल संयुग्मता को पुनरावृत्ति के तहत संरक्षित किया जाता है $f ^{n} (1)$. इस प्रकार, यदि कोई एक पुनरावृत्त फ़ंक्शन प्रणाली को हल कर सकता है, तो उसके पास सभी टोपोलॉजिकली संयुग्मित प्रणालियों के लिए भी समाधान हैं। उदाहरण के लिए, तम्बू मानचित्र स्थलाकृतिक रूप से लॉजिस्टिक मानचित्र से संयुग्मित है। एक विशेष मामले के रूप में, ले रहा हूँ $f ^{n}(1) = ^{n}√2$, एक की पुनरावृत्ति होती है $1=a = f(4) = 4$ जैसा
 * $n = −1$, किसी भी फ़ंक्शन के लिए $h$.

प्रतिस्थापन करना $f(x) = x^{b}$ पैदावार
 * $g = h^{−1} ○ f ○ h$, एक रूप जिसे एबेल समीकरण के नाम से जाना जाता है।

यहां तक ​​कि सख्त होमियोमोर्फिज्म के अभाव में भी, एक निश्चित बिंदु के करीब, यहां पर माना जाता है $f$ = 0, $g$(0) = 0, कोई भी अक्सर हल कर सकता है किसी फ़ंक्शन Ψ के लिए श्रोडर का समीकरण, जो बनाता है $g^{n} = h^{−1} ○ f ^{n} ○ h$स्थानीय रूप से मात्र फैलाव से संयुग्मित, $f(x) = x + 1$, वह है

इस प्रकार, इसकी पुनरावृत्ति कक्षा, या प्रवाह, उपयुक्त प्रावधानों के तहत (उदाहरण के लिए, $g(x) = h^{&minus;1}(h(x) + 1)$), एकपदी की कक्षा के संयुग्म की मात्रा,

कहाँ $h$ इस अभिव्यक्ति में एक सादे प्रतिपादक के रूप में कार्य करता है: कार्यात्मक पुनरावृत्ति को गुणन में घटा दिया गया है! हालाँकि, यहाँ प्रतिपादक है $x$ अब पूर्णांक या धनात्मक होने की आवश्यकता नहीं है, और पूर्ण कक्षा के लिए विकास का एक निरंतर समय है: पिकार्ड अनुक्रम (cf. परिवर्तन अर्धसमूह) के मोनोइड को एक पूर्ण सतत समूह में सामान्यीकृत किया गया है।

यह विधि (प्रमुख eigenfunction Ψ का विक्षुब्ध निर्धारण, सीएफ कार्लमैन मैट्रिक्स) पिछले अनुभाग के एल्गोरिदम के बराबर है, हालांकि, व्यवहार में, अधिक शक्तिशाली और व्यवस्थित है।

मार्कोव चेन
यदि फ़ंक्शन रैखिक है और इसे स्टोकेस्टिक मैट्रिक्स द्वारा वर्णित किया जा सकता है, अर्थात, एक मैट्रिक्स जिसकी पंक्तियों या स्तंभों का योग एक है, तो पुनरावृत्त प्रणाली को मार्कोव श्रृंखला के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण
अराजक मानचित्रों की सूची है। प्रसिद्ध पुनरावृत्त फ़ंक्शंस में मैंडेलब्रॉट सेट और पुनरावृत्त फ़ंक्शन सिस्टम शामिल हैं।

अर्न्स्ट श्रोडर (गणितज्ञ)|अर्नस्ट श्रोडर, 1870 में, लॉजिस्टिक मानचित्र के विशेष मामलों पर काम किया, जैसे कि अराजक मामला $g^{n}(x) = h^{&minus;1}(h(x) + n)$, ताकि $x = h^{&minus;1}(y) = ϕ(y)$, इस तरह $g(ϕ(y)) = ϕ(y+1)$.

श्रोडर ने एक गैर-अराजक मामले को भी अपनी पद्धति से चित्रित किया, $f(x)$, उपज $g(x) = f '(0) x$, और इसलिए $f(x) = Ψ^{−1}(f '(0) Ψ(x))$.

अगर $f$ एक सेट पर एक समूह तत्व की समूह क्रिया (गणित) है, तो पुनरावृत्त फ़ंक्शन एक मुक्त समूह से मेल खाता है।

अधिकांश फ़ंक्शंस में n-वें पुनरावृत्त के लिए स्पष्ट सामान्य बंद-फ़ॉर्म अभिव्यक्तियाँ नहीं होती हैं। नीचे दी गई तालिका में कुछ सूचीबद्ध हैं यह काम करता है। ध्यान दें कि ये सभी अभिव्यक्तियाँ गैर-पूर्णांक और ऋणात्मक n के साथ-साथ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n के लिए भी मान्य हैं।

ध्यान दें: ये दो विशेष मामले हैं $f '(0) ≠ 1$ एकमात्र ऐसे मामले हैं जिनमें बंद-फ़ॉर्म समाधान होता है। क्रमशः बी = 2 = -ए और बी = 4 = -ए चुनना, उन्हें तालिका से पहले चर्चा किए गए गैर-अव्यवस्थित और अराजक लॉजिस्टिक मामलों में कम कर देता है।

इनमें से कुछ उदाहरण सरल संयुग्मन द्वारा आपस में संबंधित हैं। कुछ और उदाहरण, जो अनिवार्य रूप से श्रोडर के उदाहरणों के सरल संयुग्मन से संबंधित हैं, संदर्भ में पाए जा सकते हैं।

अध्ययन के साधन
पुनरावृत्त कार्यों का अध्ययन आर्टिन-मज़ूर ज़ेटा फ़ंक्शन और ट्रांसफर ऑपरेटरों के साथ किया जा सकता है।

कंप्यूटर विज्ञान में
कंप्यूटर विज्ञान में, पुनरावृत्त कार्य रिकर्सन (कंप्यूटर विज्ञान) के एक विशेष मामले के रूप में होते हैं, जो बदले में लैम्ब्डा कैलकुलस जैसे व्यापक विषयों, या कंप्यूटर प्रोग्राम के सांकेतिक शब्दार्थ जैसे संकीर्ण विषयों के अध्ययन को आधार बनाते हैं।

पुनरावृत्त कार्यों के संदर्भ में परिभाषाएँ
दो महत्वपूर्ण कार्यात्मक (गणित) को पुनरावृत्त कार्यों के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। ये हैं सारांश:



\left\{b+1,\sum_{i=a}^b g(i)\right\} \equiv \left( \{i,x\} \rightarrow \{ i+1 ,x+g(i) \}\right)^{b-a+1} \{a,0\} $$ और समतुल्य उत्पाद:



\left\{b+1,\prod_{i=a}^b g(i)\right\} \equiv \left( \{i,x\} \rightarrow \{ i+1 ,x g(i) \}\right)^{b-a+1} \{a,1\} $$

कार्यात्मक व्युत्पन्न
पुनरावृत्त फ़ंक्शन का कार्यात्मक व्युत्पन्न पुनरावर्ती सूत्र द्वारा दिया गया है:


 * $$\frac{ \delta f^N(x)}{\delta f(y)} = f'( f^{N-1}(x) ) \frac{ \delta f^{N-1}(x)}{\delta f(y)} + \delta( f^{N-1}(x) - y ) $$

झूठ का डेटा परिवहन समीकरण
संयुक्त फ़ंक्शंस के श्रृंखला विस्तार में पुनरावृत्त फ़ंक्शंस सामने आते हैं, जैसे $Ψ^{−1}(f '(0)^{n} Ψ(x))$.

कोएनिग्स फ़ंक्शन#असमान अर्धसमूहों की संरचना, या बीटा फ़ंक्शन (भौतिकी) को देखते हुए,
 * $$v(x) = \left. \frac{\partial f^n(x)}{\partial n} \right|_{n=0}$$ के लिए $n$ फ़ंक्शन का पुनरावृत्तीकरण $n$, अपने पास

g(f(x)) = \exp\left[ v(x) \frac{\partial}{\partial x} \right] g(x). $$ उदाहरण के लिए, कठोर संवहन के लिए, यदि $f ^{n}(x) = Ψ^{−1}((ln 2)^{n} Ψ(x))$, तब $Ψ(√2^{x}) = ln 2 Ψ(x)$. फलस्वरूप, $(f ^{m}(x) − 2)/(ln 2)^{m}$, एक सादे शिफ्ट ऑपरेटर द्वारा कार्रवाई।

इसके विपरीत, कोई निर्दिष्ट कर सकता है $f(x) = 4x(1 − x)$ मनमाने ढंग से दिया गया $Ψ(x) = arcsin^{2}(\sqrt{x})$, ऊपर चर्चा किए गए सामान्य एबेल समीकरण के माध्यम से,

f(x) = h^{-1}(h(x)+1) , $$ कहाँ

h(x) = \int \frac{1}{v(x)} \, dx. $$ यह बात नोट करने से स्पष्ट होती है
 * $$f^n(x)=h^{-1}(h(x)+n)~.$$

सतत पुनरावृत्ति सूचकांक के लिए $f$, फिर, अब एक सबस्क्रिप्ट के रूप में लिखा गया है, यह एक निरंतर समूह के लिए ली की प्रसिद्ध घातीय प्राप्ति के बराबर है,
 * $$e^{t~\frac{\partial }{\partial h(x)}} g(x)= g(h^{-1}(h(x )+t))= g(f_t(x)).$$

प्रारंभिक प्रवाह वेग $n$ संपूर्ण प्रवाह को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है, इस घातीय अहसास को देखते हुए जो स्वचालित रूप से अनुवाद कार्यात्मक समीकरण का सामान्य समाधान प्रदान करता है, :$$f_t(f_\tau (x))=f_{t+\tau} (x) ~.$$

यह भी देखें

 * तर्कहीन घूर्णन
 * पुनरावृत्त कार्य प्रणाली
 * पुनरावृत्त विधि
 * रोटेशन संख्या
 * सरकोव्स्की का प्रमेय
 * भिन्नात्मक कलन
 * पुनरावृत्ति संबंध
 * श्रोडर का समीकरण
 * कार्यात्मक वर्गमूल
 * हाबिल समारोह
 * विश्लेषणात्मक कार्यों की अनंत रचनाएँ
 * प्रवाह (गणित)
 * टेट्रेशन
 * कार्यात्मक समीकरण

बाहरी कड़ियाँ
श्रेणी:गतिशील प्रणालियाँ श्रेणी:फ्रैक्टल्स श्रेणी:अनुक्रम और शृंखला श्रेणी:निश्चित अंक (गणित) श्रेणी:फ़ंक्शन और मैपिंग श्रेणी:कार्यात्मक समीकरण