इकोसिट्रिगोन

ज्यामिति में, एक इकोसिट्रिगोन (या इकोसिकाइट्रिगोन) या 23-गॉन एक 23-पक्षीय बहुभुज है। आईकोसिट्रिगोन को सबसे छोटा नियमित बहुभुज होने का गौरव प्राप्त है जो न्यूसिस निर्माण नहीं है।

नियमित icositrigon
एक नियमित बहुभुज icositrigon को श्लाफली प्रतीक {23} द्वारा दर्शाया गया है।

एक नियमित इकोसिट्रिगोन के आंतरिक कोण होते हैं $\frac{3780}{23}$ डिग्री, के एक क्षेत्र के साथ $A = \frac{23}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{23} = 23r^2 \tan \frac{\pi}{23} \simeq 41.8344\,a^2,$  कहाँ $$a$$ पक्ष की लंबाई है और $$r$$ अंतःत्रिज्या, या अंतःत्रिज्या है।

नियमित icositrigon एक सीधा किनारा और कम्पास निर्माण या कोण तिराहे के साथ निर्माण योग्य बहुभुज नहीं है, 23 (संख्या) के कारण न तो फर्मेट प्राइम और न ही पियरपोंट प्राइम # पॉलीगॉन निर्माण। इसके अलावा, नियमित आईकोसिट्रिगोन न्यूसिस कंस्ट्रक्शन#न्यूसिस का उपयोग है।

नियमित इकोसिट्रिगोन की गैर-संरचनात्मकता के संबंध में, ए। बारागर (2002) ने दिखाया कि केवल एक कम्पास और दो-नुकीली सीधीज का उपयोग करके एक नियमित 23-गॉन का निर्माण करना संभव नहीं है, यह प्रदर्शित करते हुए कि उक्त विधि से निर्मित प्रत्येक बिंदु फ़ील्ड के एक टॉवर में स्थित है। (गणित) खत्म $$\Q$$ ऐसा है कि $$\Q = K_0 \subset K_1 \subset \dots \subset K_n = K$$, नेस्टेड फ़ील्ड्स का अनुक्रम होना जिसमें प्रत्येक चरण पर विस्तार की डिग्री 2, 3, 5, या 6 है।

कल्पना करना $$\alpha$$ में $$\Complex$$ कम्पास और दो बार नोकदार का उपयोग करके निर्माण किया जा सकता है सीधे बढ़त। तब $$\alpha$$ एक मैदान के अंतर्गत आता है $$K$$ जो खेतों के एक टॉवर में स्थित है $$\Q = K_0 \subset K_1 \subset \dots \subset K_n = K$$ जिसके लिए सूचकांक $$[K_j: K_{j - 1}]$$ प्रत्येक चरण पर 2, 3, 5, या 6 है। विशेष रूप से, यदि $$N = [K : \Q]$$, फिर केवल अभाज्य विभाजन $$N$$ 2, 3 और 5 हैं। (प्रमेय 5.1)

यदि हम नियमित पी-गॉन का निर्माण कर सकते हैं, तो हम निर्माण कर सकते हैं $$\zeta_p = e^\frac{2\pi i}{p}$$, जो डिग्री के एक अलघुकरणीय बहुपद का मूल है $$p - 1$$. प्रमेय 5.1 द्वारा, $$\zeta_p$$ एक मैदान में पड़ा है $$K$$ डिग्री का $$N$$ ऊपर $$\Q$$, जहां विभाजित करने वाले एकमात्र अभाज्य हैं $$N$$ 2, 3 और 5 हैं। परंतु $$\Q[\zeta_p]$$ का उपक्षेत्र है $$K$$, इसलिए $$p - 1$$ विभाजित $$N$$. विशेष रूप से, के लिए $$p = 23$$, $$N$$ 11 से विभाज्य होना चाहिए, और के लिए $$p = 29$$, N को 7 से विभाज्य होना चाहिए। यह परिणाम 100-गॉन के नीचे प्रधान-शक्ति नियमित बहुभुजों पर विचार करते हुए स्थापित करता है, कि 23-, 29-, 43-, 47-, 49-, 53-, 59-, 67-, 71-, का निर्माण करना असंभव है। 79-, 83-, और 89-गोंन्स नेसिस के साथ। लेकिन यह इतना मजबूत नहीं है कि हेंडेकागन के मामलों को तय कर सके|11-, 25-, 31-, 41-, और 61-गोंन्स। इलियट बेंजामिन और चिप स्नाइडर ने 2014 में पता लगाया कि नियमित hedecagon  (11-गॉन) न्यूसिस रचनात्मक है; शेष मामले अभी भी खुले हैं। एक इकोसिट्रिगोन पेपर फोल्डिंग # कंस्ट्रक्शन का गणित नहीं है, क्योंकि 23 पियरपोंट प्राइम नहीं है, न ही दो की शक्ति या तीन की शक्ति। इसे हिप्पियास, आर्किमिडीयन सर्पिल, और अन्य कोण ट्राइसेक्शन # सहायक वक्र के साथ चतुर्भुज का उपयोग करके बनाया जा सकता है; फिर भी यह सभी नियमित बहुभुजों के लिए सत्य है।

संबंधित आंकड़े
नीचे दस नियमित आईकोसिट्रिग्राम, या स्टार बहुभुज 23-गोंन्स की एक तालिका है, जो उनके संबंधित श्लाफली प्रतीक {23/q}, 2 ≤ q ≤ 11 के साथ लेबल की गई है।

बाहरी संबंध

 * Automated Detection of Interesting Properties in Regular Polygons