विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत

गणित में, विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत संख्या सिद्धांत की एक शाखा है जो गणितीय विश्लेषण से विधियों का उपयोग करते हुए  पूर्णांकों की समस्याओं को हल करती है। यह अक्सर कहा जाता है कि पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट के 1837 में, समान्तर श्रेणी पर डिरिचलेट के प्रमेय का पहला प्रमाण देने के लिए, डिरिचलेट एल-फलन की प्रस्तावना के साथ शुरू हुआ था। यह अभाज्य संख्याओं (अभाज्य संख्या प्रमेय और रीमैन ज़ीटा फलन को शामिल करते हुए) और योगात्मक संख्या सिद्धांत (जैसे गोल्डबैक अनुमान और वारिंग की समस्या) पर अपने परिणामों के लिए जाना जाता है।

विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत की शाखाएँ
विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत को दो प्रमुख भागों में विभाजित किया जा सकता है, तकनीक में मूलभूत अंतर की तुलना में वे जिस प्रकार की समस्याओं को हल करने का प्रयास करते हैं, उससे अधिक विभाजित होते हैं।
 * गुणात्मक संख्या सिद्धांत अभाज्य संख्याओं के वितरण से संबंधित है, जैसे कि एक अंतराल में अभाज्य संख्याओं की संख्या का अनुमान लगाना, और इसमें अभाज्य संख्या प्रमेय और समान्तर श्रेणी में अभाज्य संख्याओं पर डिरिचलेट प्रमेय शामिल है।
 * योगात्मक संख्या सिद्धांत का संबंध पूर्णांकों की योगात्मक संरचना से होता है, जैसे कि गोल्डबैक का अनुमान है कि 2 से अधिक प्रत्येक सम संख्या दो अभाज्य संख्याओं का योग होती है। वारिंग की समस्या का हल योगात्मक संख्या सिद्धांत के  मुख्य परिणामों में से एक है।

अग्रदूत
विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत का अधिकांश भाग अभाज्य संख्या प्रमेय से प्रेरित होता है। मान लीजिए (x) अभाज्य-गणना फलन है जो किसी भी वास्तविक संख्या x के लिए, x से कम या उसके बराबर अभाज्य संख्याओं की संख्या प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, π(10) = 4 क्योंकि चार अभाज्य संख्याएँ (2, 3, 5 और 7) 10 से कम या उसके बराबर हैं। अतः अभाज्य संख्या प्रमेय के अनुसार x / ln(x), π(x) के लिए एक अच्छा सन्निकटन है, इस अर्थ में कि दो फलनों (x) और x / ln(x) के भागफल की सीमा जैसे ही x अनंत की ओर बढ़ने पर 1 होती है:


 * $$\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)}{x/\ln(x)}=1,$$

अभाज्य संख्याओं के वितरण का स्पर्शोन्मुख नियम कहलाता है।

एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे ने 1797 या 1798 में अनुमान लगाया कि π(a) फलन a/(A ln(a) + B) द्वारा अनुमानित है, जहां A और B अनिर्दिष्ट स्थिरांक हैं। संख्या सिद्धांत (1808) पर अपनी पुस्तक के दूसरे संस्करण में उन्होंने A = 1 और B -1.08366 के साथ एक अधिक सटीक अनुमान लगाया। कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने एक ही प्रश्न पर विचार किया: "आईएम ज़ैर 1792 या 1793", अपने स्वयं के स्मरण के अनुसार लगभग साठ साल बाद एन्के (1849) को उन्होंने एक पत्र में अपनी लघुगणक तालिका में (वह उस समय 15 या 16 वर्ष के थे) "प्रिमज़ाहलेन अनटर $$a(=\infty) \frac a{\ln a}$$" संक्षिप्त नोट लिखा। लेकिन गॉस ने कभी भी इस अनुमान को प्रकाशित नहीं किया। 1838 में पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट अपने स्वयं के अनुमानित कार्य, लघुगणकीय अभिन्न li (x) (श्रृंखला के थोड़े अलग रूप के तहत, जिसे उन्होंने गॉस को बताया) के साथ आए। लीजेंड्रे और डिरिचलेट के दोनों सूत्र ऊपर बताए गए π(x) और x / ln(x) के समान अनुमानित अनंतस्पर्शी तुल्यता का संकेत देते हैं, हालांकि यह पता चला है कि डिरिचलेट का सन्निकटन काफी बेहतर है यदि कोई भागफल के बजाय अंतरों पर विचार करता है।

डिरिचलेट
जोहान पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट को विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत के निर्माण का श्रेय दिया जाता है, एक ऐसा क्षेत्र जिसमें उन्होंने कई गहरे परिणाम पाए और उन्हें साबित करने में कुछ मौलिक उपकरण पेश किए, जिनमें से कई को बाद में उनके नाम पर रखा गया।1837 में उन्होंने एक बीजीय समस्या से निपटने के लिए गणितीय विश्लेषण अवधारणाओं का उपयोग करते हुए, अंकगणित प्रगति पर डिरिचलेट के प्रमेय को प्रकाशित किया और इस प्रकार विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत की शाखा का निर्माण किया।प्रमेय को साबित करने में, उन्होंने Dirichlet वर्णों और Dirichlet L-Function | L- फंक्शन्स पेश किए। 1841 में उन्होंने अपनी अंकगणितीय प्रगति प्रमेय को पूर्णांक से गॉसियन पूर्णांक की अंगूठी तक सामान्य किया $$\mathbb{Z}[i]$$.

Chebyshev
1848 और 1850 से दो पत्रों में, रूसी गणितज्ञ Pafnuty L'vovich Chebyshev ने प्राइम नंबरों के वितरण के स्पर्शोन्मुख कानून को साबित करने का प्रयास किया।उनका काम ज़ेटा फ़ंक्शन ζ (एस) के उपयोग के लिए उल्लेखनीय है (तर्क के वास्तविक मूल्यों के लिए, जैसा कि लियोनहार्ड यूलर के काम हैं, जैसे कि 1737 के रूप में) रिमैन के 1859 के प्रसिद्ध संस्मरण से पहले, और उन्होंने थोड़ा साबित करने में सफल रहे।एसिम्प्टोटिक कानून का कमजोर रूप, अर्थात्, कि यदि x (x)/(x/ln (x)) की सीमा के रूप में X अनंत में जाता है, तो यह सभी में मौजूद है, तो यह आवश्यक रूप से एक के बराबर है। वह बिना शर्त यह साबित करने में सक्षम था कि यह अनुपात सभी एक्स के लिए 1 के पास दो स्पष्ट रूप से दिए गए स्थिरांक से ऊपर और नीचे है। यद्यपि Chebyshev के पेपर ने प्राइम नंबर प्रमेय को साबित नहीं किया था, लेकिन π (x) के लिए उनका अनुमान उनके लिए पर्याप्त मजबूत था कि वे बर्ट्रेंड के पोस्ट को साबित कर सकें कि किसी भी पूर्णांक n & nbsp; & nbsp; 2 के लिए n और 2n के बीच एक प्रमुख संख्या मौजूद है।

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बर्नहार्ड रिमैन ने आधुनिक विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में कुछ प्रसिद्ध योगदान दिया।एक एकल शॉर्ट पेपर में (केवल एक ही उन्होंने नंबर थ्योरी के विषय पर प्रकाशित किया), उन्होंने रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन की जांच की और प्रमुख संख्याओं के वितरण को समझने के लिए इसके महत्व को स्थापित किया।उन्होंने ज़ेटा फ़ंक्शन के गुणों के बारे में अनुमानों की एक श्रृंखला बनाई, जिनमें से एक प्रसिद्ध रीमैन परिकल्पना है।

हैडमार्ड और डी ला वली-प्यूसिन
Riemann के विचारों का विस्तार करते हुए, प्राइम नंबर प्रमेय के दो प्रमाण जैक हदामार्ड और चार्ल्स जीन डे ला वले-प्यूसिन द्वारा स्वतंत्र रूप से प्राप्त किए गए और उसी वर्ष (1896) में दिखाई दिए।दोनों प्रमाणों ने जटिल विश्लेषण से तरीकों का उपयोग किया, प्रमाण के एक मुख्य चरण के रूप में स्थापित किया गया कि Riemann Zeta फ़ंक्शन ζ (s) चर के सभी जटिल मूल्यों के लिए गैर-शून्य है, जिसमें फॉर्म s & nbsp; = & nbsp; 1 & nbsp;+& nbsp;; यह t & nbsp;> & nbsp; 0 के साथ।

आधुनिक समय
1950 के बाद सबसे बड़ा तकनीकी परिवर्तन छलनी के तरीकों का विकास रहा है, विशेष रूप से गुणक समस्याओं में।ये प्रकृति में कॉम्बीनेटरियल हैं, और काफी विविध हैं।कॉम्बिनेटरियल सिद्धांत की चरम शाखा बदले में मात्रात्मक ऊपरी और निचले सीमा पर विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में रखे गए मूल्य से बहुत प्रभावित हुई है।एक और हालिया विकास संभाव्य संख्या सिद्धांत है, जो संख्या सिद्धांत कार्यों के वितरण का अनुमान लगाने के लिए संभाव्यता सिद्धांत से तरीकों का उपयोग करता है, जैसे कि कितने प्राइम डिवीर्स ए नंबर है।

विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत के भीतर विकास अक्सर पहले की तकनीकों के शोधन होते हैं, जो त्रुटि की शर्तों को कम करते हैं और उनकी प्रयोज्यता को चौड़ा करते हैं।उदाहरण के लिए, हार्डी -लिटिलवुड सर्कल विधि | जी। एच। हार्डी की सर्कल विधि | हार्डी और लिटिलवुड को जटिल विमान में यूनिट सर्कल के पास पावर सीरीज़ के लिए आवेदन करने के रूप में कल्पना की गई थी;अब यह परिमित घातीय रकम (यानी यूनिट सर्कल पर, लेकिन पावर सीरीज़ के साथ छंटनी के साथ) के संदर्भ में सोचा जाता है।डायोफेंटाइन सन्निकटन की आवश्यकताएं सहायक कार्यों के लिए हैं जो कार्यों को उत्पन्न नहीं कर रहे हैं - उनके गुणांक का निर्माण एक कबूतर सिद्धांत के उपयोग से किया जाता है - और कई जटिल चर शामिल होते हैं।डायोफेंटाइन सन्निकटन और पारगमन सिद्धांत के क्षेत्रों का विस्तार किया गया है, इस बिंदु पर कि तकनीकों को मोर्डेल अनुमान के लिए लागू किया गया है।

समस्याएं और परिणाम
विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत के भीतर प्रमेय और परिणाम पूर्णांक के बारे में सटीक संरचनात्मक परिणाम नहीं हैं, जिसके लिए बीजगणितीय और ज्यामितीय उपकरण अधिक उपयुक्त हैं।इसके बजाय, वे विभिन्न संख्या सैद्धांतिक कार्यों के लिए अनुमानित सीमा और अनुमान देते हैं, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण बताते हैं।

गुणक संख्या सिद्धांत
यूक्लिड ने दिखाया कि असीम रूप से कई प्रमुख संख्याएं हैं।एक महत्वपूर्ण प्रश्न प्रमुख संख्याओं के स्पर्शोन्मुख वितरण को निर्धारित करना है;यही है, किसी दिए गए नंबर से कितने प्राइम छोटे हैं, इसका एक मोटा विवरण।गॉस, दूसरों के बीच, प्राइम्स की एक बड़ी सूची की गणना करने के बाद, अनुमान लगाया गया कि बड़ी संख्या n के बराबर या बराबर प्राइम की संख्या अभिन्न के मूल्य के करीब है


 * $$\int^N_2 \frac{1}{\log t} \, dt.$$

1859 में बर्नहार्ड रिमैन ने जटिल विश्लेषण और एक विशेष मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन का उपयोग किया, जिसे अब रिमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है, जो वास्तविक संख्या & nbsp; x से कम या उससे कम प्राइम की संख्या के लिए एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए।उल्लेखनीय रूप से, रीमैन के सूत्र में मुख्य शब्द ठीक उपरोक्त अभिन्न था, गॉस के अनुमान के लिए पर्याप्त वजन उधार देता था।रीमैन ने पाया कि इस अभिव्यक्ति में त्रुटि की शर्तें, और इसलिए जिस तरह से प्राइम्स वितरित किए जाते हैं, वह ज़ेटा फ़ंक्शन के जटिल शून्य से निकटता से संबंधित हैं।रिमैन के विचारों का उपयोग करते हुए और ज़ेटा फ़ंक्शन के शून्य पर अधिक जानकारी प्राप्त करके, जैक्स हडामार्ड और चार्ल्स जीन डी ला वले-प्यूसिन ने गॉस के अनुमान के प्रमाण को पूरा करने में कामयाबी हासिल की।विशेष रूप से, उन्होंने साबित किया कि अगर
 * $$\pi(x) = (\text{number of primes }\leq x),$$

फिर


 * $$\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x/\log x} = 1.$$

यह उल्लेखनीय परिणाम है जिसे अब प्राइम नंबर प्रमेय के रूप में जाना जाता है।यह विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में एक केंद्रीय परिणाम है।शिथिल रूप से, यह बताता है कि एक बड़ी संख्या n को देखते हुए, n से कम या बराबर प्राइम की संख्या n/लॉग (n) के बारे में है।

अधिक आम तौर पर, किसी भी अंकगणितीय प्रगति ए+एनक्यू में किसी भी पूर्णांक n के लिए PRIMES की संख्या के बारे में एक ही प्रश्न पूछा जा सकता है।संख्या सिद्धांत के लिए विश्लेषणात्मक तकनीकों के पहले अनुप्रयोगों में से एक में, Dirichlet ने साबित किया कि A और Q Coprime के साथ किसी भी अंकगणितीय प्रगति में असीम रूप से कई primes होते हैं।प्राइम नंबर प्रमेय को इस समस्या के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है;दे
 * $$\pi(x, a, q) = (\text {number of primes } \leq x \text{ such that } p \text{ is in the arithmetic progression } a + nq, n \in \mathbf Z), $$

फिर अगर ए और क्यू कॉपरीम हैं,


 * $$\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x,a,q)\phi(q)}{x/\log x} = 1.$$

संख्या सिद्धांत में कई गहरे और व्यापक अनुमान हैं, जिनके प्रमाण वर्तमान तकनीकों के लिए बहुत मुश्किल लगते हैं, जैसे कि ट्विन प्राइम कॉन्फिनेचर जो पूछता है कि क्या असीम रूप से कई प्राइम पी जैसे कि पी एंड एनबीएसपी;+& एनबीएसपी; 2 प्राइम है।इलियट -हैलबर्स्टम अनुमान की धारणा पर यह हाल ही में साबित हुआ है कि असीम रूप से कई primes p हैं जैसे कि p & nbsp;+& nbsp; k कुछ सकारात्मक के लिए प्राइम है, यहां तक कि सबसे अधिक & nbsp; 12 पर।इसके अलावा, यह बिना शर्त साबित किया गया है (यानी अप्रमाणित अनुमानों के आधार पर नहीं) कि असीम रूप से कई primes p हैं जैसे कि p & nbsp;+& nbsp; k कुछ सकारात्मक के लिए प्राइम है, यहां तक कि k पर भी & nbsp; 246।

एडिटिव नंबर थ्योरी
Additive संख्या सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण समस्याओं में से एक वारिंग की समस्या है, जो पूछती है कि क्या यह संभव है, किसी भी k & nbsp के लिए; and & nbsp; 2, किसी भी सकारात्मक पूर्णांक को kth शक्तियों की एक बंधी संख्या के योग के रूप में लिखने के लिए,


 * $$n=x_1^k+\cdots+x_\ell^k.$$

वर्गों के लिए मामला, k & nbsp; = & nbsp; 2, Lagrange का चार-वर्ग प्रमेय था। 1770 में Lagrange द्वारा उत्तर दिया गया, जिसने साबित किया कि प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक अधिकांश चार वर्गों का योग है।1909 में हिल्बर्ट द्वारा सामान्य मामला साबित किया गया था, बीजगणितीय तकनीकों का उपयोग करते हुए जिसने कोई स्पष्ट सीमा नहीं दी।एक महत्वपूर्ण सफलता जी। एच। हार्डी | हार्डी और लिटिलवुड द्वारा समस्या के लिए विश्लेषणात्मक उपकरणों का अनुप्रयोग था।इन तकनीकों को सर्कल विधि के रूप में जाना जाता है, और फ़ंक्शन G (k) के लिए स्पष्ट ऊपरी सीमाएं देते हैं, KTH शक्तियों की सबसे छोटी संख्या, जैसे कि विनोग्रादोव की बाउंड


 * $$G(k)\leq k(3\log k+11).$$

डायोफेंटाइन समस्याएं
डायोफेंटाइन की समस्याएं बहुपद समीकरणों के पूर्णांक समाधान से संबंधित हैं: कोई समाधान के वितरण का अध्ययन कर सकता है, अर्थात् आकार या ऊंचाई के कुछ माप के अनुसार समाधानों की गिनती करना।

एक महत्वपूर्ण उदाहरण गॉस सर्कल समस्या है, जो पूर्णांक बिंदुओं (x & nbsp; y) के लिए पूछती है जो संतुष्ट करती है
 * $$x^2+y^2\leq r^2.$$

ज्यामितीय शब्दों में, त्रिज्या आर के साथ विमान में उत्पत्ति के बारे में केंद्रित एक सर्कल को देखते हुए, समस्या पूछती है कि कितने पूर्णांक जाली बिंदु सर्कल के अंदर या अंदर झूठ बोलते हैं।यह साबित करना मुश्किल नहीं है कि उत्तर है $$\pi r^2 + E(r)$$, कहाँ पे $$E(r)/r^2 \to 0$$ जैसा $$r \to \infty$$।फिर से, कठिन हिस्सा और विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत की एक महान उपलब्धि त्रुटि शब्द & nbsp; ई (आर) पर विशिष्ट ऊपरी सीमा प्राप्त कर रही है।

यह गॉस द्वारा दिखाया गया था कि $$ E(r) = O(r)$$।सामान्य तौर पर, एक ओ (आर) त्रुटि शब्द यूनिट सर्कल (या, अधिक ठीक से, बंद यूनिट डिस्क) के साथ संभव होगा, जिसे किसी भी बंधे हुए प्लानर क्षेत्र के टुकड़े को टुकड़े -टुकड़े चिकनी सीमा के साथ बदल दिया जाता है।इसके अलावा, यूनिट स्क्वायर द्वारा यूनिट सर्कल की जगह, सामान्य समस्या के लिए त्रुटि शब्द & nbsp; r के रैखिक कार्य के रूप में बड़ा हो सकता है।इसलिए, फॉर्म की एक त्रुटि को प्राप्त करना $$O(r^{\delta})$$ कुछ के लिए $$\delta < 1$$ सर्कल के मामले में एक महत्वपूर्ण सुधार है।इसे प्राप्त करने के लिए पहला था 1906 में waclaw sierpiński | Sierpiński, जिसने दिखाया $$ E(r) = O(r^{2/3})$$।1915 में, हार्डी और लैंडौ प्रत्येक ने दिखाया कि एक नहीं है $$E(r) = O(r^{1/2})$$।तब से लक्ष्य यह दिखाने के लिए है कि प्रत्येक निश्चित के लिए $$\epsilon > 0$$ एक वास्तविक संख्या मौजूद है $$C(\epsilon)$$ ऐसा है कि $$E(r) \leq C(\epsilon) r^{1/2 + \epsilon}$$।

2000 में हक्सले ने दिखाया वह $$E(r) = O(r^{131/208})$$, जो सबसे अच्छा प्रकाशित परिणाम है।

डिरिचलेट श्रृंखला
गुणक संख्या सिद्धांत में सबसे उपयोगी उपकरणों में से एक डिरिचलेट श्रृंखला है, जो एक अनंत श्रृंखला द्वारा परिभाषित एक जटिल चर के कार्य हैं।


 * $$f(s)=\sum_{n=1}^\infty a_nn^{-s}.$$

गुणांक की पसंद पर निर्भर करता है $$a_n$$, यह श्रृंखला हर जगह, कहीं नहीं, या कुछ आधे विमान पर अभिसरण कर सकती है।कई मामलों में, यहां तक कि जहां श्रृंखला हर जगह परिवर्तित नहीं होती है, होलोमोर्फिक फ़ंक्शन इसे परिभाषित करता है, पूरे जटिल विमान पर एक मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन के लिए विश्लेषणात्मक रूप से जारी रखा जा सकता है।औपचारिक समस्याओं में इस तरह के कार्यों की उपयोगिता को औपचारिक पहचान में देखा जा सकता है


 * $$\left(\sum_{n=1}^\infty a_nn^{-s}\right)\left(\sum_{n=1}^\infty b_nn^{-s}\right)=\sum_{n=1}^\infty\left(\sum_{k\ell=n}a_kb_\ell\right)n^{-s};$$

इसलिए दो Dirichlet श्रृंखला के उत्पाद के गुणांक मूल गुणांक के गुणक संकल्प हैं।इसके अलावा, आंशिक सारांश और टाउबेरियन प्रमेय जैसी तकनीकों का उपयोग डिरिचलेट श्रृंखला के बारे में विश्लेषणात्मक जानकारी से गुणांक के बारे में जानकारी प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है।इस प्रकार एक गुणात्मक फ़ंक्शन का अनुमान लगाने के लिए एक सामान्य विधि इसे एक डिरिचलेट श्रृंखला (या कन्व्यूशन पहचान का उपयोग करके सरल डिरिचलेट श्रृंखला का एक उत्पाद) के रूप में व्यक्त करना है, इस श्रृंखला को एक जटिल फ़ंक्शन के रूप में जांचें और फिर इस विश्लेषणात्मक जानकारी को मूल फ़ंक्शन के बारे में जानकारी में वापस बदलें।

Riemann Zeta फ़ंक्शन
यूलर ने दिखाया कि अंकगणित के मौलिक प्रमेय का अर्थ है (कम से कम औपचारिक रूप से) यूलर उत्पाद
 * $$ \sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n^s} = \prod_p^\infty \frac {1}{1-p^{-s}}\text{ for }s > 1$$

जहां उत्पाद को सभी प्राइम नंबरों पर ले लिया जाता है।

प्राइम नंबरों की अनंतता का यूलर का प्रमाण S = 1 (तथाकथित हार्मोनिक श्रृंखला) के लिए बाएं हाथ की ओर शब्द के विचलन का उपयोग करता है, जो विशुद्ध रूप से विश्लेषणात्मक परिणाम है।यूलर भी पूर्णांक के गुणों का अध्ययन करने के उद्देश्य से विश्लेषणात्मक तर्कों का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे, विशेष रूप से उत्पन्न बिजली श्रृंखला का निर्माण करके।यह विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत की शुरुआत थी। बाद में, रीमैन ने एस के जटिल मूल्यों के लिए इस फ़ंक्शन पर विचार किया और दिखाया कि इस फ़ंक्शन को पूरे विमान पर एक साधारण पोल के साथ एक मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन तक बढ़ाया जा सकता है, जो कि & nbsp; = & nbsp; 1 पर एक साधारण ध्रुव के साथ है।इस फ़ंक्शन को अब Riemann Zeta फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है और इसे ζ (s) द्वारा निरूपित किया जाता है।इस फ़ंक्शन पर साहित्य का ढेर है और फ़ंक्शन अधिक सामान्य Dirichlet L-Functions का एक विशेष मामला है।

विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांतकार अक्सर प्राइम नंबर प्रमेय जैसे अनुमानों की त्रुटि में रुचि रखते हैं।इस मामले में, त्रुटि x/लॉग & nbsp; x से छोटी है।Π (x) के लिए Riemann के सूत्र से पता चलता है कि इस सन्निकटन में त्रुटि शब्द ज़ेटा फ़ंक्शन के शून्य के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है।अपने 1859 के पेपर में, रीमैन ने अनुमान लगाया कि लाइन पर ζ के सभी गैर-तुच्छ शून्य हैं $$ \Re(s) = 1/2 $$ लेकिन कभी भी इस कथन का प्रमाण नहीं दिया।यह प्रसिद्ध और लंबे समय से चली आ रही अनुमान को रीमैन परिकल्पना के रूप में जाना जाता है और संख्या सिद्धांत में कई गहरे निहितार्थ हैं;वास्तव में, कई महत्वपूर्ण प्रमेय इस धारणा के तहत साबित हुए हैं कि परिकल्पना सच है।उदाहरण के लिए, रीमैन परिकल्पना की धारणा के तहत, प्राइम नंबर प्रमेय में त्रुटि शब्द है $ O(x^{1/2+\varepsilon})$. 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में जी। एच। हार्डी और लिटिलवुड ने रीमैन परिकल्पना को साबित करने के प्रयास में ज़ेटा फ़ंक्शन के बारे में कई परिणाम साबित किए।वास्तव में, 1914 में, हार्डी ने साबित कर दिया कि महत्वपूर्ण रेखा पर ज़ेटा फ़ंक्शन के कई शून्य थे
 * $$ \Re(z) = 1/2. $$

इसके कारण कई प्रमेय महत्वपूर्ण रेखा पर शून्य के घनत्व का वर्णन करते हैं।

यह भी देखें

 * ऑटोमोर्फिक एल-फंक्शन
 * ऑटोमोर्फिक फॉर्म
 * लैंगलैंड्स कार्यक्रम
 * मैयर की मैट्रिक्स विधि

अग्रिम पठन

 * Ayoub, Introduction to the Analytic Theory of Numbers
 * H. L. Montgomery and R. C. Vaughan, Multiplicative Number Theory I : Classical Theory
 * H. Iwaniec and E. Kowalski, Analytic Number Theory.
 * D. J. Newman, Analytic number theory, Springer, 1998

On specialized aspects the following books have become especially well-known:


 * H. Halberstam and H. E. Richert, Sieve Methods
 * R. C. Vaughan, The Hardy–Littlewood method, 2nd. edn.
 * R. C. Vaughan, The Hardy–Littlewood method, 2nd. edn.

Certain topics have not yet reached book form in any depth. Some examples are (i) Montgomery's pair correlation conjecture and the work that initiated from it, (ii) the new results of Goldston, Pintz and Yilidrim on small gaps between primes, and (iii) the Green–Tao theorem showing that arbitrarily long arithmetic progressions of primes exist.