विंडमिल ग्राफ

ग्राफ सिद्धांत के गणित क्षेत्र में, विंडमिल ग्राफ $Wd(5,4)$ के लिए निर्मित एक अप्रत्यक्ष ग्राफ है $n(k – 1) + 1$ और $nk(k − 1)⁄2$ में शामिल होने से $k$ पूरे ग्राफ की प्रतियां $n$ एक साझा सार्वभौमिक शीर्ष पर। अर्थात्, यह इन पूर्ण रेखांकन का एक गुट-योग|1-समूह-योग है।

गुण
यह है $k > 2$ शिखर और $n(k – 1)$ किनारों, परिधि 3 (यदि $Wd(k,n)$), त्रिज्या 1 और व्यास 2। इसका के-वर्टेक्स-कनेक्टेड ग्राफ 1 है क्योंकि इसका केंद्रीय शीर्ष एक आर्टिक्यूलेशन पॉइंट है; हालाँकि, पूर्ण रेखांकन की तरह जिससे यह बनता है, यह है $Wd(k,n)$-एज-कनेक्टेड। यह तुच्छ रूप से सही ग्राफ और एक ब्लॉक ग्राफ है।

विशेष मामले
निर्माण द्वारा, पवनचक्की ग्राफ $k ≥ 2$ दोस्ती का ग्राफ है $Kk$, पवनचक्की ग्राफ $n ≥ 2$ तारा है (ग्राफ सिद्धांत) $Fn$ और पवनचक्की ग्राफ $n(k – 1) + 1$ तितली ग्राफ है।

लेबलिंग और रंग
पवनचक्की ग्राफ में रंगीन संख्या होती है $Sn$ और रंगीन सूचकांक $nk(k − 1)/2$. इसका रंगीन बहुपद पूरे ग्राफ के रंगीन बहुपद से निकाला जा सकता है और इसके बराबर है
 * $$x\prod_{i=1}^{k-1}(x-i)^n.$$

पवनचक्की ग्राफ $k > 2$ अगर ग्रेसफुल लेबलिंग साबित नहीं हुई है $(k – 1)$. 1979 में, बरमोंड ने अनुमान लगाया है $Wd(3,n)$ सबके लिए कृपालु है $Wd(2,n)$. पूर्ण अंतर परिवारों के साथ एक तुल्यता के माध्यम से, यह साबित हो गया है $Wd(3,2)$. बरमोंड, एंटोन कोटज़िग और टर्जन ने यह साबित कर दिया $n(k – 1)$ कृपालु नहीं है जब $Wd(k,n)$ और $k > 5$ या $Wd(4,n)$, और जब $n ≥ 4$ और $n ≤ 1000$. पवनचक्की $Wd(k,n)$ कृपालु है अगर और केवल अगर $k = 4$ या $n = 2$.