वर्णक्रमीय सूचकांक

खगोल विज्ञान में, एक स्रोत का वर्णक्रमीय सूचकांक आवृत्ति पर विकिरण प्रवाह घनत्व (यानी, आवृत्ति की प्रति इकाई विकिरण प्रवाह) की निर्भरता का एक उपाय है। दी गई आवृत्ति $$\nu$$ और विकिरण प्रवाह घनत्व $$S_\nu$$, वर्णक्रमीय सूचकांक $$\alpha$$ द्वारा परोक्ष रूप से दिया गया है
 * $$S_\nu\propto\nu^\alpha.$$

ध्यान दें कि यदि प्रवाह आवृत्ति में एक घात नियम का पालन नहीं करता है, तो वर्णक्रमीय सूचकांक ही आवृत्ति का एक कार्य है। उपरोक्त को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हम देखते हैं कि वर्णक्रमीय सूचकांक किसके द्वारा दिया गया है
 * $$\alpha \! \left( \nu \right) = \frac{\partial \log S_\nu \! \left( \nu \right)}{\partial \log \nu}.$$

स्पष्ट रूप से घात नियम केवल आवृत्ति की एक निश्चित सीमा पर ही लागू हो सकता है क्योंकि अन्यथा सभी आवृत्तियों पर अभिन्न अनंत होगा।

वर्णक्रमीय तालिका को कभी-कभी तरंग दैर्ध्य $$\lambda$$ के संदर्भ में भी परिभाषित किया जाता है। इस स्तिथि में, वर्णक्रमीय सूचकांक $$\alpha$$ द्वारा परोक्ष रूप से निम्नलिखित दिया गया है
 * $$S_\lambda\propto\lambda^\alpha,$$

और दी गई आवृत्ति पर, व्युत्पन्न लेकर वर्णक्रमीय सूचकांक की गणना की जा सकती है
 * $$\alpha \! \left( \lambda \right) =\frac{\partial \log S_\lambda \! \left( \lambda \right)}{\partial \log \lambda}.$$

$$S_\nu$$ का उपयोग करने वाला स्पेक्ट्रल तालिका, जिसे हम $$\alpha_\nu$$ कह सकते हैं, $$S_\lambda$$ द्वारा परिभाषित तालिका $$\alpha_\lambda$$ से अलग है।} दो आवृत्तियों या तरंग दैर्ध्य के बीच कुल प्रवाह निम्नलिखित है
 * $$S=C_1(\nu_2^{\alpha_\nu+1}-\nu_1^{\alpha_\nu+1})=C_2(\lambda_2^{\alpha_\lambda+1}-\lambda_1^{\alpha_\lambda+1})=c^{\alpha_\lambda+1}C_2(\nu_2^{-\alpha_\lambda-1}-\nu_1^{-\alpha_\lambda-1})$$

जिसका तात्पर्य है
 * $$\alpha_\lambda=-\alpha_\nu-2.$$

कभी-कभी विपरीत चिह्न परिपाटी का प्रयोग किया जाता है, जिसमें वर्णक्रमीय सूचकांक निम्नलिखित द्वारा दिया गया है
 * $$S_\nu\propto\nu^{-\alpha}.$$

किसी स्रोत का वर्णक्रमीय सूचकांक उसके गुणों का संकेत दे सकता है। उदाहरण के लिए, धनात्मक चिन्ह परिपाटी का उपयोग करते हुए, वैकल्पिक रूप से पतले तापीय प्लाज्मा से उत्सर्जन का वर्णक्रमीय सूचकांक -0.1 है, जबकि वैकल्पिक रूप से मोटे प्लाज्मा के लिए यह 2 है। इसलिए, विकिरण मापी आवृत्तियों पर -0.1 से 2 का वर्णक्रमीय सूचकांक प्रायः ऊष्मीय उत्सर्जन इंगित करता है, जबकि एक तीव्र नकारात्मक वर्णक्रमीय सूचकांक सामान्यतः सिंक्रोट्रॉन उत्सर्जन को इंगित करता है। यह ध्यान देने योग्य है कि देखा गया उत्सर्जन कई अवशोषण प्रक्रियाओं से प्रभावित हो सकता है जो निम्न-आवृत्ति उत्सर्जन को सबसे अधिक प्रभावित करते हैं; कम आवृत्तियों पर देखे गए उत्सर्जन में कमी के परिणामस्वरूप सकारात्मक वर्णक्रमीय सूचकांक हो सकता है, भले ही आंतरिक उत्सर्जन में नकारात्मक सूचकांक हो। इसलिए, सकारात्मक वर्णक्रमीय सूचकांकों को ऊष्मीय उत्सर्जन के साथ जोड़ना सीधा नहीं है।

तापीय उत्सर्जन का वर्णक्रमीय सूचकांक
विकिरण मापी आवृत्तियों पर (यानी कम आवृत्ति, लंबी तरंग दैर्ध्य सीमा में), जहां रेले-जीन्स नियम ऊष्मीय विकिरण के वर्णक्रम के लिए एक अच्छा सन्निकटन है, तीव्रता निम्नलिखित द्वारा दी गई है
 * $$B_\nu(T) \simeq \frac{2 \nu^2 k T}{c^2}.$$

प्रत्येक पक्ष का लघुगणक और इसके संबंध में आंशिक अवकलज $$\log \, \nu$$ निम्न है
 * $$\frac{\partial \log B_\nu(T)}{\partial \log \nu} \simeq 2.$$

धनात्मक चिह्न परिपाटी का उपयोग करते हुए, तापीय विकिरण का वर्णक्रमीय सूचकांक $$\alpha \simeq 2$$ रेले-जीन्स शासन में इस प्रकार है। वर्णक्रमीय सूचकांक कम तरंग दैर्ध्य पर इस मान से प्रस्थान करता है, जिसके लिए रेले-जीन्स नियम एक तीव्रता से गलत सन्निकटन बन जाता है, शून्य की ओर प्रवृत्त होता है क्योंकि तीव्रता वीन के विस्थापन नियम द्वारा दी गई आवृत्ति पर चरम पर पहुंच जाती है। रेले-जीन्स शासन में विकिरण प्रवाह की साधारण तापमान-निर्भरता के कारण, विकिरण मापी वर्णक्रमीय सूचकांक को निम्न द्वारा परिभाषित किया गया है।
 * $$S \propto \nu^{\alpha} T.$$