क्षेत्रफल

क्षेत्र वह मात्रा है जो समतल (ज्यामिति) या एक घुमावदार सतह (गणित) पर एक क्षेत्र (गणित) की सीमा को व्यक्त करता है। एक समतल क्षेत्र या समतल क्षेत्र का क्षेत्र एक आकृति या समतल पटल के क्षेत्र को संदर्भित करता है, जबकि सतह क्षेत्र एक खुली सतह के क्षेत्र या एक ठोस ज्यामिति की सीमा (गणित) को संदर्भित करता है| त्रि-आयामी वस्तु। क्षेत्र को दी गई मोटाई के साथ सामग्री की मात्रा के रूप में समझा जा सकता है जो आकार के एक मॉडल को बनाने के लिए आवश्यक होगा, या सतह को एक कोट के साथ कवर करने के लिए आवश्यक रंग की मात्रा। यह एक समतल वक्र (एक आयामी अवधारणा) की लंबाई या एक ठोस (एक त्रि-आयामी अवधारणा) की मात्रा का द्वि-आयामी एनालॉग है।

एक निश्चित आकार के वर्गों के आकार की तुलना करके किसी आकृति का क्षेत्रफल मापा जा सकता है। इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली (एसआई) में, क्षेत्र की मानक इकाई वर्ग मीटर है (एम के रूप में लिखा गया है2), जो एक वर्ग का क्षेत्रफल है जिसकी भुजाएँ एक मीटर लंबी हैं। तीन वर्ग मीटर के क्षेत्रफल वाली आकृति का क्षेत्रफल ऐसे तीन वर्गों के बराबर होगा। गणित में, इकाई वर्ग को क्षेत्रफल एक के रूप में परिभाषित किया गया है, और किसी अन्य आकार या सतह का क्षेत्रफल एक आयाम रहित मात्रा वास्तविक संख्या है। त्रिभुज, आयत और वृत्त जैसे सरल आकृतियों के क्षेत्रों के लिए कई प्रसिद्ध सूत्र हैं। इन सूत्रों का प्रयोग करके बहुभुज त्रिभुज द्वारा किसी भी बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात किया जा सकता है। घुमावदार सीमा वाली आकृतियों के लिए, क्षेत्र की गणना करने के लिए आमतौर पर कलन की आवश्यकता होती है। वास्तव में समतल आकृतियों का क्षेत्रफल निर्धारित करने की समस्या कलन के इतिहास की एक प्रमुख प्रेरणा थी। एक ठोस आकार जैसे कि एक गोले, शंकु या बेलन के लिए, इसकी सीमा सतह के क्षेत्रफल को पृष्ठीय क्षेत्रफल कहा जाता है। सरल आकार के सतह क्षेत्रों के सूत्रों की गणना ग्रीक गणित द्वारा की गई थी, लेकिन अधिक जटिल आकार के सतह क्षेत्र की गणना करने के लिए आमतौर पर बहुभिन्नरूपी कलन की आवश्यकता होती है।

क्षेत्र आधुनिक गणित में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। ज्यामिति और कलन में इसके स्पष्ट महत्व के अलावा, क्षेत्र रेखीय बीजगणित में निर्धारकों की परिभाषा से संबंधित है, और अंतर ज्यामिति में सतहों की एक बुनियादी संपत्ति है। विश्लेषण में, समतल के एक उपसमुच्चय का क्षेत्रफल लेबेस्गु माप का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, हालांकि हर सबसेट औसत दर्जे का नहीं है। सामान्य तौर पर, उच्च गणित में क्षेत्र को द्वि-आयामी क्षेत्रों के लिए आयतन के एक विशेष मामले के रूप में देखा जाता है।

क्षेत्र को स्वयंसिद्धों के उपयोग के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है, इसे वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के लिए कुछ समतल आकृतियों के संग्रह के फलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। यह सिद्ध किया जा सकता है कि ऐसा कार्य मौजूद है।

औपचारिक परिभाषा
क्षेत्रफल से क्या अभिप्राय है इसे परिभाषित करने का दृष्टिकोण स्वयंसिद्धों के माध्यम से है। क्षेत्रफल को एक विशेष प्रकार के समतल आकृतियों के संग्रह M से वास्तविक संख्याओं के सेट तक एक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है:
 * एम में सभी एस के लिए, ए (एस) ≥ 0।
 * यदि S और T, M में हैं तो S ∪ T और S ∩ T, और a(S∪T) = a(S) + a(T) − a(S∩T) भी हैं।
 * यदि एस और टी एम में एस ⊆ टी के साथ हैं तो टी - एस एम में है और ए (टी-एस) = ए (टी) - ए (एस)।
 * यदि समुच्चय S, M में है और S, T के सर्वांगसम है तो T भी M में है और a(S) = a(T).
 * प्रत्येक आयत R, M में है। यदि आयत की लंबाई h और चौड़ाई k है तो a(R) = hk।
 * मान लीजिए Q दो चरण क्षेत्रों S और T के बीच परिबद्ध एक समुच्चय है। एक सामान्य आधार पर स्थित निकटवर्ती आयतों के एक परिमित संघ से एक चरण क्षेत्र बनता है, अर्थात S ⊆ Q ⊆ T। यदि कोई अद्वितीय संख्या c है जैसे कि a (एस) ≤ सी ≤ ए (टी) ऐसे सभी चरण क्षेत्रों एस और टी के लिए, फिर ए (क्यू) = सी।

यह साबित किया जा सकता है कि ऐसा क्षेत्र कार्य वास्तव में मौजूद है।

इकाइयां
लंबाई की प्रत्येक इकाई में क्षेत्रफल की एक संगत इकाई होती है, अर्थात् दी गई भुजा लंबाई वाले वर्ग का क्षेत्रफल। इस प्रकार क्षेत्रों को वर्ग मीटर में मापा जा सकता है (एम2), वर्ग सेंटीमीटर (सेमी2), वर्ग मिलीमीटर (मिमी2), वर्ग किलोमीटर (किमी2), वर्ग फुट (फीट2), वर्ग गज (yd2), वर्ग मील (मी2), इत्यादि। बीजगणितीय रूप से, इन इकाइयों को संबंधित लंबाई इकाइयों के वर्ग (बीजगणित) के रूप में माना जा सकता है।

क्षेत्रफल की SI इकाई वर्ग मीटर है, जिसे SI व्युत्पन्न इकाई माना जाता है।

रूपांतरण
एक वर्ग जिसकी लंबाई और चौड़ाई 1 मीटर है, के क्षेत्रफल की गणना होगी:

1 मीटर × 1 मीटर = 1 मीटर 2

और इसलिए, अलग-अलग भुजाओं वाले एक आयत (जैसे 3 मीटर की लंबाई और 2 मीटर की चौड़ाई) का क्षेत्रफल वर्ग इकाइयों में होगा जिसकी गणना इस प्रकार की जा सकती है:

3 मीटर × 2 मीटर = 6 मीटर 2। यह 6 मिलियन वर्ग मिलीमीटर के बराबर है। अन्य उपयोगी रूपांतरण हैं:
 * 1 वर्ग किलोमीटर = मिलियन|1,000,000 वर्ग मीटर
 * 1 वर्ग मीटर = 10000 (संख्या)|10,000 वर्ग सेंटीमीटर = 1,000,000 वर्ग मिलीमीटर
 * 1 वर्ग सेंटीमीटर = 100 (संख्या) वर्ग मिलीमीटर।

गैर-मीट्रिक इकाइयां
गैर-मीट्रिक इकाइयों में, दो वर्ग इकाइयों के बीच का रूपांतरण लंबाई की संबंधित इकाइयों के बीच रूपांतरण का वर्ग (बीजगणित) होता है।
 * 1 फुट (इकाई) = 12 इंच,

वर्ग फुट और वर्ग इंच के बीच संबंध है
 * 1 वर्ग फुट = 144 वर्ग इंच,

जहां 144 = 122 = 12 × 12। इसी प्रकार: इसके अलावा, रूपांतरण कारकों में शामिल हैं:
 * 1 वर्ग गज = 9 (संख्या) वर्ग फुट
 * 1 वर्ग मील = 3,097,600 वर्ग गज = 27,878,400 वर्ग फुट
 * 1 वर्ग इंच = 6.4516 वर्ग सेंटीमीटर
 * 1 वर्ग फुट = 0.092 903  04 वर्ग मीटर
 * 1 वर्ग गज = 0.836 127  36 वर्ग मीटर
 * 1 वर्ग मील = 2.589 988  110  336 वर्ग किलोमीटर

ऐतिहासिक
सहित अन्य इकाइयां

क्षेत्र के लिए कई अन्य सामान्य इकाइयाँ हैं। अरे (इकाई) मीट्रिक प्रणाली में क्षेत्र की मूल इकाई थी, इसके साथ: हालांकि ये उपयोग से बाहर हो गए हैं, हैक्टर अभी भी आमतौर पर भूमि को मापने के लिए उपयोग किया जाता है: क्षेत्र की अन्य असामान्य मीट्रिक इकाइयों में टेट्राद (क्षेत्र की इकाई), हेक्टाड और असंख्य (क्षेत्र) शामिल हैं।
 * 1 = 100 वर्ग मीटर
 * 1 हेक्टेयर = 100 क्षेत्रफल = 10,000 वर्ग मीटर = 0.01 वर्ग किलोमीटर

एकड़ का उपयोग आमतौर पर भूमि क्षेत्रों को मापने के लिए भी किया जाता है, जहां एक एकड़ एक हेक्टेयर का लगभग 40% होता है।
 * 1 एकड़ = 4,840 वर्ग गज = 43,560 वर्ग फुट।

परमाणु पैमाने पर, क्षेत्र को खलिहान (इकाई) की इकाइयों में मापा जाता है, जैसे कि: * 1 खलिहान = 10−28 वर्ग मीटर। खलिहान का उपयोग आमतौर पर परमाणु भौतिकी में परस्पर क्रिया के क्रॉस-आंशिक क्षेत्र का वर्णन करने के लिए किया जाता है।

इन भारत,
 * 20 धुरकी = 1 धुर
 * 20 धुर = 1 खाता
 * 20 खता = 1 बीघा
 * 32 खता = 1 एकर

सर्किल क्षेत्र
5 वीं शताब्दी ईसा पूर्व में, चिओस के हिप्पोक्रेट्स ने पहली बार दिखाया था कि हिप्पोक्रेट्स के चतुर्भुज (गणित) के भाग के रूप में डिस्क का क्षेत्रफल (एक वृत्त से घिरा क्षेत्र) इसके व्यास के वर्ग के समानुपाती होता है।, लेकिन आनुपातिकता के स्थिरांक की पहचान नहीं की। कनिडस के यूडोक्सस, ने भी 5वीं शताब्दी ईसा पूर्व में, यह भी पाया कि एक डिस्क का क्षेत्रफल उसकी त्रिज्या के वर्ग के समानुपाती होता है।  इसके बाद, यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक I|यूक्लिड के तत्वों ने द्वि-आयामी आंकड़ों के बीच क्षेत्रों की समानता से निपटा। गणितज्ञ आर्किमिडीज़ ने यूक्लिडियन ज्यामिति के उपकरणों का उपयोग यह दिखाने के लिए किया कि एक वृत्त के अंदर का क्षेत्रफल एक समकोण त्रिभुज के बराबर होता है, जिसका आधार वृत्त की परिधि की लंबाई के बराबर होता है और जिसकी ऊँचाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है, अपनी पुस्तक मापन ऑफ़ ए सर्कल में। (परिधि 2 है$\pi$आर, और एक त्रिभुज का क्षेत्रफल आधा आधार गुणा ऊँचाई है, जो क्षेत्रफल प्रदान करता है πr2 डिस्क के लिए।) आर्किमिडीज़ ने डिस्क के क्षेत्रफल के साथ π (और इसलिए एक इकाई-त्रिज्या वृत्त का क्षेत्रफल) के मान का अनुमान लगाया #Archimedes' दोहरीकरण विधि, जिसमें उन्होंने एक वृत्त में एक नियमित त्रिकोण अंकित किया और इसके क्षेत्र को नोट किया, फिर एक नियमित षट्भुज देने के लिए भुजाओं की संख्या को दोगुना किया, फिर भुजाओं की संख्या को बार-बार दोगुना किया क्योंकि बहुभुज का क्षेत्रफल वृत्त के निकट और निकट होता गया (और परिवृत्त बहुभुजों के साथ भी ऐसा ही किया)।

स्विस वैज्ञानिक जोहान हेनरिक लैम्बर्ट ने 1761 में साबित किया कि π, एक वृत्त के क्षेत्रफल का वर्ग त्रिज्या से अनुपात, अपरिमेय संख्या है, जिसका अर्थ है कि यह किन्हीं दो पूर्ण संख्याओं के भागफल के बराबर नहीं है। 1794 में, फ्रांसीसी गणितज्ञ एड्रियन मैरी लीजेंड्रे ने साबित किया कि π2 तर्कहीन है; इससे यह भी सिद्ध होता है कि π अपरिमेय है। 1882 में, जर्मन गणितज्ञ फर्डिनेंड वॉन लिंडमैन ने साबित किया कि π अनुवांशिक संख्या है (तर्कसंगत गुणांक के साथ किसी भी बहुपद समीकरण का समाधान नहीं), एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे और यूलर दोनों द्वारा किए गए अनुमान की पुष्टि करता है।

त्रिभुज क्षेत्र
अलेक्जेंड्रिया के हीरो | अलेक्जेंड्रिया के हेरॉन (या हीरो) ने त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए उसकी भुजाओं के संदर्भ में हीरोन के सूत्र के रूप में जाना जाता है, और एक प्रमाण उसकी पुस्तक मेट्रिका में पाया जा सकता है, जो लगभग 60 सीई में लिखी गई थी। यह सुझाव दिया गया है कि आर्किमिडीज़ को दो सदियों पहले सूत्र पता था, और चूंकि मेट्रिका प्राचीन दुनिया में उपलब्ध गणितीय ज्ञान का एक संग्रह है, यह संभव है कि सूत्र उस कार्य में दिए गए संदर्भ से पहले का हो। 499 में, भारतीय गणित और भारतीय खगोल विज्ञान के शास्त्रीय युग के एक महान गणितज्ञ-खगोलविद आर्यभट ने आर्यभटीय (धारा 2.6) में त्रिकोण के क्षेत्रफल को ऊंचाई के आधार गुणा आधा के रूप में व्यक्त किया।

हेरोन के समतुल्य सूत्र की खोज चीनियों ने यूनानियों से स्वतंत्र रूप से की थी। यह 1247 में शुशु जिउझांग (नौ खंडों में गणितीय ग्रंथ) में प्रकाशित हुआ था, जिसे जे आईयू में क्यू कम ने लिखा था।

चतुर्भुज क्षेत्र
7वीं शताब्दी सीई में, ब्रह्मगुप्त ने एक सूत्र विकसित किया, जिसे अब ब्रह्मगुप्त के सूत्र के रूप में जाना जाता है, एक चक्रीय चतुर्भुज (एक वृत्त में एक चतुर्भुज खुदी हुई आकृति) के क्षेत्रफल के लिए इसकी भुजाओं के संदर्भ में। 1842 में, जर्मन गणितज्ञ कार्ल एंटोन Bretschneider और कार्ल जॉर्ज क्रिश्चियन वॉन स्टॉड्ट ने स्वतंत्र रूप से किसी भी चतुर्भुज के क्षेत्र के लिए एक सूत्र पाया, जिसे ब्रेट्सचाइनाइडर के सूत्र के रूप में जाना जाता है।

सामान्य बहुभुज क्षेत्र
17वीं शताब्दी में रेने डेसकार्टेस द्वारा कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के विकास ने 19वीं शताब्दी में गॉस द्वारा ज्ञात शीर्ष (ज्यामिति) स्थानों के साथ किसी भी बहुभुज के क्षेत्र के लिए शूलेस सूत्र|सर्वेक्षक के सूत्र के विकास की अनुमति दी।

कैलकुलस
का उपयोग करके निर्धारित क्षेत्र

17वीं शताब्दी के अंत में समाकलन गणित के विकास ने ऐसे उपकरण प्रदान किए जिनका उपयोग बाद में अधिक जटिल क्षेत्रों की गणना के लिए किया जा सकता था, जैसे कि दीर्घवृत्त # क्षेत्र का क्षेत्र और विभिन्न घुमावदार त्रि-आयामी वस्तुओं का सतह क्षेत्र।

बहुभुज सूत्र
एक गैर-स्व-प्रतिच्छेदी (सरल बहुभुज) बहुभुज के लिए, कार्टेशियन समन्वय प्रणाली $$(x_i, y_i)$$ (i=0, 1, ..., n-1) जिनके n शीर्ष (ज्यामिति) ज्ञात हैं, क्षेत्रफल शूलेस सूत्र द्वारा दिया गया है। सर्वेक्षणकर्ता का सूत्र:
 * $$A = \frac{1}{2} \Biggl\vert \sum_{i = 0}^{n - 1}( x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i) \Biggr\vert$$

जहां जब i=n-1, तो i+1 को मॉड्यूलर अंकगणित n के रूप में व्यक्त किया जाता है और इसलिए 0 को संदर्भित करता है।

आयताकार
सबसे बुनियादी क्षेत्र सूत्र एक आयत के क्षेत्रफल का सूत्र है। लंबाई के साथ एक आयत दिया $lw$ और चौड़ाई $l$क्षेत्र के लिए सूत्र है:
 * $w$ (आयत)।

अर्थात्, आयत का क्षेत्रफल चौड़ाई से गुणा की गई लंबाई है। एक विशेष मामले के रूप में, के रूप में $l = w$ एक वर्ग के मामले में, भुजा की लंबाई वाले वर्ग का क्षेत्रफल $$ सूत्र द्वारा दिया गया है: :$s$ (वर्ग)।

एक आयत के क्षेत्र के लिए सूत्र सीधे क्षेत्र के मूल गुणों से अनुसरण करता है, और कभी-कभी परिभाषा या स्वयंसिद्ध के रूप में लिया जाता है। दूसरी ओर, यदि अंकगणित से पहले ज्यामिति का विकास किया जाता है, तो इस सूत्र का उपयोग वास्तविक संख्याओं के गुणन को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है।

विच्छेदन, समांतर चतुर्भुज, और त्रिकोण
क्षेत्र के लिए अन्य सरल सूत्र विच्छेदन (ज्यामिति) की विधि से अनुसरण करते हैं। इसमें एक आकृति को टुकड़ों में काटना शामिल है, जिनके क्षेत्रों को मूल आकार के क्षेत्र में जोड़ा जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, किसी समांतर चतुर्भुज को समलंब और समकोण त्रिभुज में विभाजित किया जा सकता है, जैसा कि बाईं ओर की आकृति में दिखाया गया है। यदि त्रिभुज को समलंब के दूसरी ओर ले जाया जाता है, तो परिणामी आकृति एक आयत होती है। यह इस प्रकार है कि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आयत के क्षेत्रफल के समान है: :$$ (समांतर चतुर्भुज)। हालाँकि, समान समांतर चतुर्भुज को विकर्ण के साथ दो सर्वांगसम (ज्यामिति) त्रिभुजों में भी काटा जा सकता है, जैसा कि दाईं ओर की आकृति में दिखाया गया है। यह इस प्रकार है कि प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा है: :$$A = \frac{1}{2}bh$$ (त्रिकोण)। समलम्ब चतुर्भुज के लिए क्षेत्रफल सूत्रों को खोजने के लिए समान तर्कों का उपयोग किया जा सकता है साथ ही अधिक जटिल बहुभुज।

मंडलियां


एक वृत्त के क्षेत्र के लिए सूत्र (अधिक ठीक से एक वृत्त या एक डिस्क (गणित) के क्षेत्र से घिरा क्षेत्र कहा जाता है) एक समान विधि पर आधारित है। त्रिज्या के एक चक्र को देखते हुए $r$, सर्कल को सर्कुलर सेक्टर में विभाजित करना संभव है, जैसा कि चित्र में दाईं ओर दिखाया गया है। प्रत्येक क्षेत्र आकार में लगभग त्रिकोणीय है, और एक अनुमानित समांतर चतुर्भुज बनाने के लिए क्षेत्रों को पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। इस समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई है $r$, और चौड़ाई वृत्त की आधी परिधि है, या $πr$. इस प्रकार, वृत्त का कुल क्षेत्रफल है $πr^{2}$: :$$ (घेरा)। यद्यपि इस सूत्र में उपयोग किया गया विच्छेदन केवल अनुमानित है, त्रुटि छोटी और छोटी हो जाती है क्योंकि वृत्त को अधिक से अधिक क्षेत्रों में विभाजित किया जाता है। अनुमानित समांतर चतुर्भुजों के क्षेत्रों की सीमा (गणित) ठीक है $πr^{2}$, जो वृत्त का क्षेत्रफल है।

यह तर्क वास्तव में कलन के विचारों का एक सरल अनुप्रयोग है। प्राचीन काल में, वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए इसी तरह से थकावट की विधि का उपयोग किया जाता था, और इस पद्धति को अब अभिन्न कलन के अग्रदूत के रूप में पहचाना जाता है। आधुनिक विधियों का उपयोग करते हुए, एक वृत्त के क्षेत्रफल की गणना एक निश्चित समाकल का उपयोग करके की जा सकती है:
 * $$A \;=\;2\int_{-r}^r \sqrt{r^2 - x^2}\,dx \;=\; \pi r^2.$$

दीर्घवृत्त
एक दीर्घवृत्त द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल का सूत्र एक वृत्त के सूत्र से संबंधित है; सेमीमेजर एक्सिस|सेमी-मेजर और अर्ध-लघु अक्ष|सेमी-माइनर एक्सिस वाले दीर्घवृत्त के लिए $x$ तथा $y$ सूत्र है: :$$A = \pi xy .$$

गैर-तलीय सतह क्षेत्र
सतह क्षेत्र के लिए सबसे बुनियादी सूत्र सतहों को काटकर और उन्हें समतल करके प्राप्त किया जा सकता है (देखें: विकास योग्य सतहें)। उदाहरण के लिए, यदि किसी बेलन (ज्यामिति) (या किसी प्रिज्म (ज्यामिति)) की पार्श्व सतह को लंबाई में काटा जाता है, तो सतह को चपटा करके एक आयत बनाया जा सकता है। इसी तरह, यदि एक शंकु (ज्यामिति) के किनारे पर एक कट बनाया जाता है, तो पार्श्व सतह को एक वृत्त के एक खंड में चपटा किया जा सकता है, और परिणामी क्षेत्र की गणना की जा सकती है।

एक गोले के सतह क्षेत्र के लिए सूत्र प्राप्त करना अधिक कठिन है: क्योंकि एक गोले में गैर-गाऊसी वक्रता होती है, इसे चपटा नहीं किया जा सकता है। एक गोले के सतह क्षेत्र के लिए सूत्र सबसे पहले आर्किमिडीज़ ने अपने कार्य गोले और सिलेंडर पर में प्राप्त किया था। सूत्र है: :$A = 4πr^{2}$ (वृत्त), कहाँ पे $r$ गोले की त्रिज्या है। वृत्त के क्षेत्रफल के सूत्र की तरह, इस सूत्र की कोई भी व्युत्पत्ति स्वाभाविक रूप से कलन के समान विधियों का उपयोग करती है।

2-आयामी आंकड़ों के क्षेत्र
* एक त्रिभुज: $$\tfrac12Bh$$ (जहाँ B कोई भुजा है, और h उस रेखा से दूरी है जिस पर B त्रिभुज के दूसरे शीर्ष तक स्थित है)। यदि ऊँचाई h ज्ञात हो तो इस सूत्र का उपयोग किया जा सकता है। यदि तीनों भुजाओं की लंबाइयाँ ज्ञात हों तो हीरोन के सूत्र का उपयोग किया जा सकता है: $$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$ जहाँ a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और $$s = \tfrac12(a + b + c)$$ इसकी परिधि का आधा है। यदि एक कोण और उसकी दो सम्मिलित भुजाएँ दी गई हों, तो क्षेत्रफल है $$\tfrac12 a b \sin(C)$$ कहाँ पे $C$ दिया गया कोण है और $a$ तथा $b$ इसके सम्मिलित पक्ष हैं। यदि त्रिभुज को एक समन्वय तल पर रेखांकन किया जाता है, तो एक मैट्रिक्स का उपयोग किया जा सकता है और इसे निरपेक्ष मान के लिए सरल किया जाता है $$\tfrac12(x_1 y_2 + x_2 y_3 + x_3 y_1 - x_2 y_1 - x_3 y_2 - x_1 y_3)$$. इस सूत्र को जूते के फीते के सूत्र के रूप में भी जाना जाता है और यह 3 बिंदुओं (x1, वाई1), (एक्स2, वाई2), और (एक्स3, वाई3). जूते के फीते के सूत्र का उपयोग अन्य बहुभुजों के क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए भी किया जा सकता है, जब उनके शीर्ष ज्ञात हों। एक समन्वय त्रिकोण के लिए एक अन्य दृष्टिकोण क्षेत्र को खोजने के लिए कलन का उपयोग करना है।
 * समान-दूरी वाले बिंदुओं (यानी, पूर्णांक निर्देशांक वाले बिंदु) के ग्रिड पर निर्मित एक साधारण बहुभुज, जैसे कि सभी बहुभुज के कोने ग्रिड बिंदु हैं: $$i + \frac{b}{2} - 1$$, जहाँ i बहुभुज के अंदर ग्रिड बिंदुओं की संख्या है और b सीमा बिंदुओं की संख्या है। इस परिणाम को पिक प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

कैलकुलस में क्षेत्रफल
* एक सकारात्मक-मूल्यवान वक्र और क्षैतिज अक्ष के बीच का क्षेत्र, क्षैतिज अक्ष पर दो मानों a और b (b को दो मानों में से बड़े के रूप में परिभाषित किया गया है) के बीच मापा जाता है, जो फ़ंक्शन के a से b के अभिन्न अंग द्वारा दिया जाता है जो वक्र का प्रतिनिधित्व करता है: :$$ A = \int_a^{b} f(x) \, dx.$$
 * दो कार्यों के एक समारोह के ग्राफ के बीच का क्षेत्र समानता (गणित) एक समारोह (गणित) के अभिन्न अंग के लिए है, एफ (एक्स), दूसरे समारोह का अभिन्न घटाव, जी (एक्स):
 * $$ A = \int_a^{b} ( f(x) - g(x) ) \, dx, $$ कहाँ पे $$ f(x) $$ अधिक y- मान वाला वक्र है।


 * एक समारोह से घिरा क्षेत्र $$r = r(\theta)$$ ध्रुवीय निर्देशांक में व्यक्त है: :$$A = {1 \over 2} \int r^2 \, d\theta. $$
 * पैरामीट्रिक वक्र से घिरा क्षेत्र $$\vec u(t) = (x(t), y(t)) $$ समापन बिंदुओं के साथ $$ \vec u(t_0) = \vec u(t_1) $$ रेखा अभिन्न द्वारा दिया गया है:
 * $$ \oint_{t_0}^{t_1} x \dot y \, dt = - \oint_{t_0}^{t_1} y \dot x \, dt  =  {1 \over 2} \oint_{t_0}^{t_1} (x \dot y - y \dot x) \, dt $$
 * या का z-घटक
 * $${1 \over 2} \oint_{t_0}^{t_1} \vec u \times \dot{\vec u} \, dt.$$
 * (विवरण के लिए देखें ।) यह प्लैनीमीटर मैकेनिकल डिवाइस का सिद्धांत है।

दो द्विघात फलनों के बीच परिबद्ध क्षेत्र
दो द्विघात फलनों के बीच परिबद्ध क्षेत्र ज्ञात करने के लिए, हम अंतर को लिखने के लिए एक को दूसरे से घटाते हैं
 * $$f(x)-g(x)=ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)$$

जहाँ f(x) द्विघात ऊपरी सीमा है और g(x) द्विघात निचली सीमा है। f(x)-g(x) के विविक्तकर को परिभाषित कीजिए
 * $$\Delta=b^2-4ac.$$

दो कार्यों के ग्राफ के बीच अभिन्न सूत्र को सरल बनाकर (जैसा कि ऊपर दिए गए अनुभाग में दिया गया है) और वीटा के सूत्रों का उपयोग करके। वीटा का सूत्र, हम प्राप्त कर सकते हैं
 * $$A=\frac{\Delta\sqrt{\Delta}}{6a^2}=\frac{a}{6}(\beta-\alpha)^3,\qquad a\neq0.$$

उपरोक्त वैध रहता है यदि बाध्यकारी कार्यों में से एक द्विघात के बजाय रैखिक है।

3-आयामी आकृतियों का सतही क्षेत्रफल

 * शंकु: $$\pi r\left(r + \sqrt{r^2 + h^2}\right)$$, जहाँ r वृत्ताकार आधार की त्रिज्या है, और h ऊँचाई है। के रूप में भी फिर से लिखा जा सकता है $$\pi r^2 + \pi r l $$ या $$\pi r (r + l) \,\!$$ जहाँ r त्रिज्या है और l शंकु की तिरछी ऊँचाई है। $$\pi r^2 $$ जबकि आधार क्षेत्र है $$\pi r l $$ शंकु का पार्श्व सतह क्षेत्र है। * घनक्षेत्र: $$6s^2$$, जहाँ s किनारे की लंबाई है। * सिलेंडर: $$2\pi r(r + h)$$, जहाँ r आधार की त्रिज्या है और h ऊँचाई है। $$2\pi r$$ h> को फिर से लिखा जा सकता है $$\pi d$$, जहाँ d व्यास है।
 * प्रिज्म (ज्यामिति): $$2B + Ph$$, जहां B आधार का क्षेत्रफल है, P आधार का परिमाप है, और h प्रिज्म की ऊंचाई है।
 * पिरामिड (ज्यामिति): $$B + \frac{PL}{2}$$, जहां B आधार का क्षेत्रफल है, P आधार का परिमाप है, और L तिरछी लंबाई है।
 * आयताकार आयता: $$2 (\ell w + \ell h + w h)$$, कहाँ पे $$\ell$$ लंबाई है, डब्ल्यू चौड़ाई है, और एच ऊंचाई है।

सतह क्षेत्र के लिए सामान्य सूत्र
निरंतर अवकलनीय फलन के ग्राफ के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सामान्य सूत्र $$z=f(x,y),$$ कहाँ पे $$(x,y)\in D\subset\mathbb{R}^2$$ तथा $$D$$ चिकनी सीमा के साथ एक्स-प्लेन में एक क्षेत्र है:
 * $$ A=\iint_D\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2+1}\,dx\,dy. $$

सदिश रूप में पैरामीट्रिक सतह के ग्राफ के क्षेत्र के लिए एक और भी सामान्य सूत्र $$\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v),$$ कहाँ पे $$\mathbf{r}$$ का एक सतत अवकलनीय सदिश फलन है $$(u,v)\in D\subset\mathbb{R}^2$$ है: : $$ A=\iint_D \left|\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}\times\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v}\right|\,du\,dv. $$

सूत्रों की सूची
उपरोक्त गणना दर्शाती है कि कई सामान्य आकृतियों के क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें।

अनियमित (और इस प्रकार मनमाना) बहुभुजों के क्षेत्रों की गणना सर्वेयर के सूत्र (जूते के फीते के सूत्र) का उपयोग करके की जा सकती है।

परिधि से क्षेत्रफल का संबंध
आइसोपेरिमेट्रिक असमानता बताती है कि, लंबाई एल के एक बंद वक्र के लिए (इसलिए जिस क्षेत्र को घेरता है उसका परिमाप एल है) और उस क्षेत्र के क्षेत्र ए के लिए जो इसे घेरता है,


 * $$4\pi A \le L^2,$$

और समानता धारण करती है यदि और केवल यदि वक्र एक वृत्त है। इस प्रकार एक परिधि के साथ एक वृत्त में किसी भी बंद आकृति का सबसे बड़ा क्षेत्रफल होता है।

दूसरे चरम पर, दी गई परिधि L के साथ एक आकृति में एक मनमाने ढंग से छोटा क्षेत्र हो सकता है, जैसा कि एक समचतुर्भुज द्वारा दिखाया गया है जो मनमाने ढंग से दूर तक इत्तला दे दी जाती है ताकि इसके दो कोण मनमाने ढंग से 0° के करीब हों और अन्य दो मनमाने ढंग से 180 के करीब हों। °।

एक वृत्त के लिए, क्षेत्रफल और परिधि का अनुपात (वृत्त की परिधि के लिए शब्द) आधी त्रिज्या r के बराबर होता है। इसे क्षेत्रफल सूत्र πr से देखा जा सकता है2 और परिधि सूत्र 2πr।

एक नियमित बहुभुज का क्षेत्रफल इसके परिमाप के गुणा अंतःत्रिज्या का आधा होता है (जहां अंतःत्रिज्या केंद्र से किसी भी तरफ के निकटतम बिंदु की दूरी है)।

भग्न
किसी बहुभुज के किनारे की लंबाई को दोगुना करने से उसका क्षेत्रफल चार से गुणा हो जाता है, जो दो है (नई से पुरानी भुजा की लंबाई का अनुपात) दो की शक्ति तक बढ़ जाता है (बहुभुज जिस स्थान पर रहता है उसका आयाम)। लेकिन अगर दो आयामों में खींचे गए फ्रैक्टल की एक-आयामी लंबाई दोगुनी हो जाती है, तो फ्रैक्टल स्केल की स्थानिक सामग्री दो की शक्ति से होती है जो जरूरी नहीं कि एक पूर्णांक हो। इस शक्ति को भग्न का भग्न आयाम कहा जाता है।

क्षेत्र द्विभाजक
ऐसी अनंत रेखाएँ हैं जो त्रिभुज के क्षेत्रफल को समद्विभाजित करती हैं। उनमें से तीन त्रिभुज की माध्यिका (त्रिकोण) हैं (जो भुजाओं के मध्यबिंदुओं को विपरीत शीर्षों से जोड़ती हैं), और ये त्रिभुज के केन्द्रक पर समवर्ती रेखाएँ हैं; वास्तव में, वे ही एकमात्र क्षेत्र द्विभाजक हैं जो केन्द्रक से गुजरते हैं। त्रिकोण के माध्यम से कोई भी रेखा जो त्रिभुज के क्षेत्र और इसकी परिधि दोनों को आधे में विभाजित करती है, त्रिकोण के अंतःकेंद्र (इसके अंतःवृत्त का केंद्र) से होकर जाती है। किसी दिए गए त्रिकोण के लिए इनमें से एक, दो या तीन हैं।

समांतर चतुर्भुज के मध्यबिंदु से होकर जाने वाली कोई भी रेखा क्षेत्रफल को समद्विभाजित करती है।

एक वृत्त या अन्य दीर्घवृत्त के सभी क्षेत्र समद्विभाजक केंद्र से गुजरते हैं, और केंद्र के माध्यम से कोई भी राग (ज्यामिति) क्षेत्र को द्विभाजित करता है। एक वृत्त के मामले में वे वृत्त के व्यास हैं।

अनुकूलन
एक तार समोच्च को देखते हुए, कम से कम क्षेत्र की सतह (भरना) यह एक न्यूनतम सतह है। परिचित उदाहरणों में साबुन के बुलबुले शामिल हैं।

रिमानियन सर्कल के फिलिंग एरिया अनुमान का सवाल खुला रहता है। समान परिमाप वाली किसी भी द्वि-आयामी वस्तु में वृत्त का क्षेत्रफल सबसे बड़ा होता है।

एक चक्रीय बहुभुज (एक वृत्त में खुदा हुआ) में किसी भी बहुभुज का सबसे बड़ा क्षेत्रफल होता है जिसमें समान लंबाई की दी गई भुजाएँ होती हैं।

त्रिभुजों के लिए समपरिमितीय असमानता के एक संस्करण में कहा गया है कि दी गई परिधि वाले सभी के बीच सबसे बड़े क्षेत्र का त्रिभुज समबाहु है।

किसी दिए गए वृत्त में अंकित सभी के सबसे बड़े क्षेत्रफल का त्रिभुज समबाहु है; और किसी दिए गए वृत्त के चारों ओर परिचालित उन सभी के सबसे छोटे क्षेत्रफल का त्रिभुज समबाहु होता है। अंतर्वृत्त के क्षेत्रफल का एक समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल से अनुपात, $$\frac{\pi}{3\sqrt{3}}$$, किसी भी गैर-समबाहु त्रिभुज से बड़ा है। एक समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल और परिमाप के वर्ग का अनुपात, $$\frac{1}{12\sqrt{3}},$$ किसी अन्य त्रिभुज से बड़ा है।

यह भी देखें

 * ब्रह्मगुप्त चतुर्भुज, पूर्णांक पक्षों, पूर्णांक विकर्णों और पूर्णांक क्षेत्रफल वाला एक चक्रीय चतुर्भुज।
 * समरेखीय नक्शा
 * हेरोनियन त्रिभुज, पूर्णांक भुजाओं और पूर्णांक क्षेत्रफल वाला त्रिभुज।
 * त्रिभुज असमानताओं की सूची# क्षेत्रफल
 * एक-सातवां क्षेत्र त्रिकोण, एक आंतरिक त्रिकोण एक-सातवें संदर्भ त्रिकोण के क्षेत्र के साथ।
 * रूथ का प्रमेय, एक-सातवें क्षेत्र त्रिकोण का एक सामान्यीकरण।


 * परिमाण के आदेश (क्षेत्र) - आकार के अनुसार क्षेत्रों की सूची।
 * पेंटागन # क्षेत्र सूत्र की व्युत्पत्ति
 * प्लैनीमीटर, छोटे क्षेत्रों को मापने के लिए एक उपकरण, उदा। मानचित्रों पर।
 * चतुर्भुज#उत्तल चतुर्भुज का क्षेत्रफल
 * रॉबिन्स पेंटागन, एक चक्रीय पेंटागन जिसकी भुजाओं की लंबाई और क्षेत्रफल सभी परिमेय संख्याएँ हैं।

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