स्टैक (गणित)

गणित में एक ढेर या 2-शेफ मोटे तौर पर एक शीफ (गणित) है जो सेट के बजाय श्रेणियों में मान लेता है। स्टैक्स का उपयोग डिसेंट थ्योरी सिद्धांत के कुछ मुख्य निर्माणों को औपचारिक रूप देने के लिए किया जाता है, और जब  फाइन मोडुली स्पेस मौजूद नहीं होते हैं तो फाइन मोडुली स्टैक का निर्माण किया जाता है।

डिसेंट थ्योरी का संबंध उन स्थितियों के सामान्यीकरण से है जहां समरूपता, संगत ज्यामितीय वस्तुएं (जैसे टोपोलॉजिकल स्पेस पर वेक्टर बंडल) को टोपोलॉजिकल आधार के प्रतिबंध के भीतर एक साथ चिपकाया जा सकता है। अधिक सामान्य सेट-अप में प्रतिबंधों को पुलबैक (श्रेणी सिद्धांत) से बदल दिया जाता है; तंतुमय श्रेणी तब इस तरह के ग्लूइंग की संभावना पर चर्चा करने के लिए एक अच्छा ढांचा बनाती है। एक स्टैक का सहज अर्थ यह है कि यह एक रेशेदार श्रेणी है जैसे कि सभी संभावित ग्लूइंग काम करते हैं। ग्लूइंग्स के विनिर्देशन के लिए कवरिंग की परिभाषा की आवश्यकता होती है जिसके संबंध में ग्लूइंग्स पर विचार किया जा सकता है। यह पता चला है कि इन आवरणों का वर्णन करने के लिए सामान्य भाषा ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी है। इस प्रकार एक स्टैक को औपचारिक रूप से एक अन्य आधार श्रेणी पर एक फाइबर श्रेणी के रूप में दिया जाता है, जहां आधार में ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी होती है और जहां फाइबर श्रेणी कुछ स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करती है जो ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी के संबंध में कुछ ग्लूइंग के अस्तित्व और विशिष्टता को सुनिश्चित करती है।

सिंहावलोकन
स्टैक बीजगणितीय स्टैक्स (जिसे आर्टिन स्टैक्स भी कहा जाता है) और डेलिग्ने-ममफोर्ड स्टैक्स की अंतर्निहित संरचना है, जो योजना (गणित) और बीजगणितीय रिक्त स्थान को सामान्यीकृत करते हैं और जो मोडुली रिक्त स्थान का अध्ययन करने में विशेष रूप से उपयोगी होते हैं। इसमें समावेशन हैं:

योजनाएं ⊆ बीजगणितीय रिक्त स्थान ⊆ डेलिग्ने-ममफोर्ड स्टैक ⊆ बीजगणितीय स्टैक (आर्टिन स्टैक) ⊆ स्टैक।

और स्टैक का संक्षिप्त परिचयात्मक विवरण देते हैं,,  और  अधिक विस्तृत परिचय देते हैं, और  अधिक उन्नत सिद्धांत का वर्णन करते है।

प्रेरणा और इतिहास
स्टैक की अवधारणा का मूल में प्रभावी अन्वय डेटा की परिभाषा में है। 1959 में सेरे को लिखे एक पत्र में ग्रोथेंडिक ने देखा कि अच्छे मॉडुलि स्पेस के निर्माण में एक मूलभूत बाधा ऑटोमोर्फिज़्म का अस्तित्व है। स्टैक के लिए एक प्रमुख प्रेरणा यह है कि अगर ऑटोमोर्फिज्म के अस्तित्व के कारण किसी समस्या के लिए मॉडुलि स्पेस मौजूद नहीं है, तब भी मोडुली स्टैक का निर्माण संभव हो सकता है।

स्टैक परिभाषित किए जाने से पहले, ने गोल वक्रों के मोडुली स्टैक के पिकार्ड समूह का अध्ययन किया। स्टैक को सबसे पहले द्वारा परिभाषित किया गया था और स्टैक शब्द  द्वारा मूल फ्रांसीसी शब्द "चैंप" के लिए "फ़ील्ड" के रूप में पेश किया गया था। इस पेपर में उन्होंने डेलिग्ने-ममफोर्ड स्टैक भी पेश किए, जिसे उन्होंने बीजगणितीय स्टैक कहा, हालांकि बीजगणितीय स्टैक शब्द अब आम तौर पर   द्वारा प्रस्तुत किए गए अधिक सामान्य आर्टिन स्टैक को संदर्भित करता है।

समूह क्रियाओं द्वारा योजनाओं के भागफल को परिभाषित करते समय भागफल के लिए एक योजना होना और फिर भी भागफल के लिए वांछनीय गुणों को संतुष्ट करना अक्सर असंभव होता है। उदाहरण के लिए यदि कुछ बिंदुओं में गैर-तुच्छ स्टेबलाइजर्स हैं, तो योजनाओं के बीच श्रेणीबद्ध भागफल मौजूद नहीं होगा लेकिन यह ढेर के रूप में मौजूद रहेगा।

उसी तरह वक्र, सदिश बंडल या अन्य ज्यामितीय वस्तुओं के मॉडुलि रिक्त स्थान अक्सर योजनाओं के बजाय ढेर के रूप में परिभाषित किए जाते हैं। मॉडुलि स्पेस निर्माण अक्सर प्रश्न में वस्तुओं को पैरामीट्रिज़िंग करने के लिए पहले एक बड़े स्थान का निर्माण करके आगे बढ़ते हैं और उसके बाद ऑटोमोर्फिज्म वाली वस्तुओं के लिए समूह क्रिया द्वारा उद्धरण देते हैं, जिन्हें अधिक गिना जाता है।

सार ढेर
एक श्रेणी $$c$$ के फ़ंक्टर वाली श्रेणी $$C$$ को $$C$$ के ऊपर एक फाइबरयुक्त श्रेणी कहा जाता है यदि किसी आकारिकी के लिए $$F:X\to Y$$ में $$C$$ और कोई वस्तु $$y$$ का $$c$$ इमेज के साथ $$Y$$ (फ़ंक्टर के नीचे), एक पुलबैक है $$f:x\to y$$ का $$y$$ द्वारा $$F$$. इसका मतलब छवि के साथ एक आकृतिवाद है, $$F$$ जैसे कि कोई आकारिकी$$g:z\to y$$ छवि के साथ $$G=F\circ H$$ के रूप में गिना जा सकता है $$g=f\circ h$$ एक अद्वितीय आकारिकी द्वारा $$h:z\to x$$ में $$c$$ ऐसा है कि functor फ़ंक्टर $$h$$ को $$H$$.से मैप करता है। तत्व $$x = F^*y$$ का पुलबैक कहा जाता है $$y$$ साथ में $$F$$ और विहित समरूपता तक अद्वितीय है।

श्रेणी सी को ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी के साथ श्रेणी सी पर ' प्रीस्टैक ' कहा जाता है यदि इसे सी पर फाइबर किया जाता है और सी के किसी ऑब्जेक्ट यू के लिए और छवि यू के साथ सी के ऑब्जेक्ट एक्स, वाई, ओवर श्रेणी सी/यू से फ़ंक्टर सेट करने के लिए F:V→U से होम(F*x,F*y) एक शीफ है। यह शब्दावली ढेरों के लिए शब्दावली के अनुरूप नहीं है: प्रीस्टैक प्रीशेव्स के बजाय अलग किए गए प्रीशेव्स के अनुरूप हैं। कुछ लेखकों को इसे प्रीस्टैक की बजाय ढेर की संपत्ति के रूप में आवश्यकता होती है।

श्रेणी सी को ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी के साथ श्रेणी सी के ऊपर एक 'स्टैक' कहा जाता है यदि यह सी पर एक प्रीस्टैक है और प्रत्येक डिसेंट मूल डेटा प्रभावी है। एक 'डिसेंट डेटम' में मोटे तौर पर परिवार V द्वारा C की वस्तु V का आवरण होता हैi, पर फाइबर में तत्व xi, और xi और xj के प्रतिबंधों के बीच आकारिकी fji से Vij = Vi × VVj अनुकूलता की स्थिति को संतुष्ट करता है डिसेंट डेटम को 'प्रभावी' कहा जाता है यदि तत्व xi अनिवार्य रूप से छवि V के साथ तत्व x के पुलबैक हैं।

एक स्टैक को 'ग्रुपॉइड्स में स्टैक' या '(2,1)-शेफ' कहा जाता है, अगर यह ग्रुपोइड्स में भी फाइबर होता है, जिसका अर्थ है कि इसके फाइबर (सी की वस्तुओं की उलटी छवियां) ग्रुपोइड्स हैं। कुछ लेखक "स्टैक" शब्द का उपयोग ग्रुपोइड्स में स्टैक की अधिक प्रतिबंधात्मक धारणा को संदर्भित करने के लिए करते हैं।

बीजगणितीय ढेर
एक बीजगणितीय स्टैक या आर्टिन स्टैक एफपीपीएफ(fppf) साइट पर ग्रुपोइड्स X में एक स्टैक है, जैसे कि X का विकर्ण नक्शा प्रतिनिधित्व करने योग्य है और एक्स के लिए एक योजना (स्टैक से जुड़े) से एक चिकनी प्रक्षेपण मौजूद है. एक आकारिकी Y$$\rightarrow$$ ढेर का एक्स 'प्रतिनिधित्व योग्य' है यदि, प्रत्येक आकारिकी एस के लिए $$\rightarrow$$ एक्स से (स्टैक से जुड़े) ,एक्स तक, फाइबर उत्पाद वाई ×Xएस एक बीजगणितीय स्थान (से जुड़े ढेर) के लिए आइसोमोर्फिक है। स्टैक के 'फाइबर उत्पाद' को सामान्य सार्वभौमिक संपत्ति का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, और उस आवश्यकता को बदलते हुए जो आरेखों को 2-यात्रा की आवश्यकता के लिए परिवर्तित करती है। अधिक जानकारी के लिए बीजगणितीय स्टैक का आकारिकी भी देखें।

विकर्ण की प्रतिनिधित्व क्षमता के पीछे की प्रेरणा निम्नलिखित है: विकर्ण आकारिकी $$\Delta:\mathfrak{X} \to \mathfrak{X}\times\mathfrak{X}$$ प्रतिनिधित्व योग्य है अगर और केवल अगर बीजगणितीय रिक्त स्थान के किसी भी जोड़ी के लिए $$X,Y \to \mathfrak{X}$$, उनके फाइबर उत्पाद $$X\times_{\mathfrak{X}}Y$$ प्रतिनिधित्व योग्य है।

एक Deligne–Mumford स्टैक एक बीजगणितीय स्टैक X है, जैसे कि एक स्कीम से X तक एक ईटेल अनुमान है। मोटे तौर पर बोलते हुए, Deligne-Mumford स्टैक को बीजगणितीय स्टैक के रूप में माना जा सकता है, जिनकी वस्तुओं में कोई अतिसूक्ष्म ऑटोमोर्फिज़्म नहीं है।

बीजगणितीय ढेर की स्थानीय संरचना
बीजगणितीय स्टैक की स्थापना के बाद से यह उम्मीद की गई थी कि वे फॉर्म के स्थानीय भागफल स्टैक हैं $$[\text{Spec}(A)/G]$$ कहाँ $$G$$ एक रिडक्टिव बीजगणितीय समूह है। हाल ही में यह मामला साबित हुआ: एक अर्ध-पृथक बीजगणितीय ढेर दिया $$\mathfrak{X}$$ एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर स्थानीय रूप से परिमित प्रकार का $$k$$ जिनके स्टेबलाइजर्स एफ़िन हैं, और $$x \in \mathfrak{X}(k)$$ रैखिक रूप से रिडक्टिव स्टेबलाइजर समूह के साथ एक चिकना और बंद बिंदु $$G_x$$, GIT भागफल का एक Étale morphism उपस्थित है $$(U,u) \to (N_x//G_x, 0)$$, जहाँ $$N_x = (J_x/J_x^2)^\vee$$, जैसे कि आरेख $$\begin{matrix} ([W/G_x],w) & \to & ([N_x/G_x],0) \\ \downarrow & & \downarrow \\ (U,u) & \to & (N_x//G_x,0) \end{matrix}$$ कार्तीय है, और एक ईटेल आकारिकी "मौजूद है$f:([W/G_x], w) \to (\mathfrak{X},x)$"$$w$$ और $$x$$.पर स्टेबलाइज़र समूहों के एक समरूपता को प्रेरित करना।

प्राथमिक उदाहरण

 * हर शीफ़ $$\mathcal{F}:C^{op} \to Sets$$ एक श्रेणी से $$C$$ ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी के साथ कैनोनिक रूप से स्टैक में बदल दिया जा सकता है। किसी वस्तु के लिए $$X \in \text{Ob}(C)$$, एक सेट के बजाय $$\mathcal{F}(X)$$ एक समूह है जिसकी वस्तुएं $$\mathcal{F}(X)$$ के तत्व हैं और तीर पहचान रूपवाद हैं।
 * अधिक ठोस रूप से, मान लें कि $$h$$ एक प्रतिपरिवर्ती फ़ैक्टर है
 * $$h: (Sch/S)^{op} \to Sets$$
 * फिर, यह फ़ंक्टर ग्रोथेंडिक निम्नलिखित श्रेणी $$H$$ निर्धारित करता है
 * # एक वस्तु एक जोड़ी है $$(X\to S, x)$$ एक योजना से मिलकर $$X$$ में $$(Sch/S)^{op}$$ और एक तत्व $$x \in h(X)$$
 * # एक आकारिकी $$(X\to S, x) \to (Y\to S,y)$$ एक आकारिकी से मिलकर बनता है $$\phi:X \to Y$$ में $$(Sch/S)$$ जैसे कि $$h(\phi)(y) = x$$.
 * भुलक्कड़ कारक के माध्यम से $$p:H \to (Sch/S)$$, श्रेणी $$H$$ एक फाइबरयुक्त श्रेणी खत्म हो गई है $$(Sch/S)$$. उदाहरण के लिए, अगर $$X$$ में एक योजना है $$(Sch/S)$$, तो यह प्रतिपरिवर्ती फ़ैक्टर निर्धारित करता है $$h = \operatorname{Hom}(-, X)$$ और इसी फाइबरयुक्त श्रेणी हैstack associated to X. स्टैक (या प्रीस्टैक) इस निर्माण के एक प्रकार के रूप में बनाया जा सकता है। वास्तव में, अर्ध-कॉम्पैक्ट विकर्ण वाली कोई भी स्कीम $$X$$ क्वैसी-कॉम्पैक्ट विकर्ण योजना से जुड़ा एक बीजगणितीय स्टैक है $$X$$

वस्तुओं का ढेर

 * एक समूह ढेर ।
 * वेक्टर बंडलों का मोडुली स्टैक: वेक्टर बंडलों की श्रेणी V→S टोपोलॉजिकल स्पेस S की श्रेणी पर एक स्टैक है। V→S से W→T तक एक आकारिकी में S से T और V से W तक निरंतर मानचित्र होते हैं। (फाइबर पर रैखिक) ऐसा कि स्पष्ट वर्ग आवागमन करता है। शर्त यह है कि यह एक फाइबरयुक्त श्रेणी है क्योंकि कोई टोपोलॉजिकल स्पेस के निरंतर मानचित्रों पर वेक्टर बंडलों के पुलबैक ले सकता है, और एक डिसेंट डेटम प्रभावी होने की स्थिति का अनुसरण करता है क्योंकि कोई वेक्टर बंडलों को एक साथ जोड़कर एक स्पेस पर वेक्टर बंडल का निर्माण कर सकता है।
 * योजनाओं पर अर्ध-सुसंगत ढेरों का ढेर ( fpqc-टोपोलॉजी और कमजोर टोपोलॉजी के संबंध में)
 * एक आधार योजना पर एफ़िन योजनाओं का ढेर (फिर से fpqc टोपोलॉजी या एक कमजोर के संबंध में)

ढेर उद्धरण
यदि $$X$$ एक योजना है $$(Sch/S)$$ और $$G$$ पर कार्य करने वाली एक सहज समूह योजना है फिर $$X$$ एक भागफल बीजगणितीय  स्टैक है $$[X/G]$$, एक योजना $$Y \to S$$ के समूह के लिए $$G$$-टॉर्स ओवर $$S$$-योजना $$Y$$ साथ $$G$$-समतुल्य नक्शे $$X$$ के साथ स्पष्ट रूप से, एक स्थान दिया गया $$X$$ के साथ $$G$$-स्पेस दिया गया है, तो स्टैक $$[X/G]$$ जो पुलबैक आरेखों के समूह के लिए $$[X/G](Y) = \begin{Bmatrix} Z & \xrightarrow{\Phi} & X \\ \downarrow & & \downarrow \\ Y & \xrightarrow{\phi} & [X/G] \end{Bmatrix}$$जहाँ $$\Phi$$ एक $$G$$रिक्त स्थान के समतुल्य रूप है और $$Z \to Y$$एक  प्रिंसिपल $$G$$-बंडल हैं। इस श्रेणी में आकृतिवाद केवल रेखाचित्रों की रूपात्मकता है जहाँ दाहिनी ओर के तीर बराबर हैं और बाईं ओर के तीर प्रिंसिपल $$G$$-बंडल के आकारिकी हैं।

ढेर का वर्गीकरण
इसका एक विशेष मामला जब एक्स एक बिंदु होता है, तो एक स्मूथ एफाइन समूह योजना G का वर्गीकृत स्टैक BG देता है: $$\textbf{B}G := [pt/G].$$ इसका नाम श्रेणी के बाद से रखा गया है $$\mathbf{B}G(Y)$$जो फाइबर के ऊपर है Y से अधिक फाइबर श्रेणी है $$\operatorname{Bun}_G(Y)$$ प्रिंसिपल का $$G$$-बंडल खत्म $$Y$$. ध्यान दें कि $$\operatorname{Bun}_G(Y)$$ खुद को स्टैक के रूप में माना जा सकता है, प्रिंसिपल G बंडलों का मोडुली स्टैक Y पर।

इस निर्माण से एक महत्वपूर्ण उप उदाहरण है $$\mathbf{B}GL_n$$ जो प्रिंसिपल $$GL_n$$-बंडल का मोडुली स्टैक है, एक प्रिंसिपल के डेटा के बाद से $$GL_n$$-बंडल रैंक के डेटा के बराबर है $$n$$ वेक्टर बंडल, यह वेक्टर बंडलों के मोडुली स्टैक के लिए आइसोमॉर्फिक है,रैंक के मोडुली स्टैक $$n$$ वेक्टर बंडल $$Vect_n$$.

लाइन बंडलों का मोडुली ढेर
लाइन बंडलों का मोडुली स्टैक $$B\mathbb{G}_m$$ हैं चूंकि प्रत्येक पंक्ति बंडल कैनोनिक रूप से एक प्रिंसिपल के लिए आइसोमोर्फिक है $$\mathbb{G}_m$$-बंडल। वास्तव में, स्कीम, एक लाइन बंडल दिया $$L$$ एक योजना के ऊपर $$S$$, सापेक्ष विशिष्टता $$\underline{\text{Spec}}_S(\text{Sym}_S(L^\vee)) \to S$$एक ज्यामितीय रेखा बंडल देता है। शून्य खंड की छवि को हटाकर एक मूलधन $$\mathbb{G}_m$$-बंडल प्राप्त होता है। इसके विपरीत, प्रतिनिधित्व से $$id:\mathbb{G}_m \to \text{Aut}(\mathbb{A}^1)$$ संबंधित लाइन बंडल का पुनर्निर्माण किया जा सकता है।

गेर्ब्स
एक गेर्बे ग्रुपोइड्स में एक ढेर है जिसमें हमेशा एक गैर-खाली श्रेणी होती है। उदाहरण के लिए तुच्छ gerbe $$BG$$ जो प्रत्येक स्कीम को प्रिंसिपल का ग्रुपॉयड प्रदान करता है $$G$$-कुछ समूह के लिए योजना पर बंडल $$G$$.

रिलेटिव स्पेक और प्रॉज
यदि ए योजना एस पर एक बीजगणितीय स्टैक एक्स में बीजगणित का एक अर्ध-सुसंगत शीफ है, तो एक स्टैक स्पेक (ए) है जो एक कम्यूटेटिव रिंग ए के स्पेक्ट्रम स्पेक (ए) के निर्माण को सामान्य करता है। स्पेक का एक ऑब्जेक्ट ( ए) एक एस-स्कीम टी, एक्स (टी) के एक ऑब्जेक्ट एक्स, और एक्स * (ए) से टी के समन्वय अंगूठी ओ (टी) तक बीजगणित के शेवों का एक रूपवाद द्वारा दिया गया है।

यदि ए योजना एस पर बीजगणितीय स्टैक एक्स में ग्रेडेड बीजगणित का एक अर्ध-सुसंगत शीफ है, तो ग्रेडेड रिंग ए के प्रोजेक्टिव स्कीम प्रोज (ए) के निर्माण को सामान्यीकृत करने वाला एक स्टैक प्रोज (ए) है।

वक्रों का मोडुली

 * अण्डाकार वक्रों के मोडुली स्टैक का अध्ययन किया। मोडुली स्टैक एम1,1 दीर्घवृत्तीय वक्रों की, और दिखाया कि इसका पिकार्ड समूह क्रम 12 का चक्रीय है। जटिल संख्याओं पर दीर्घवृत्तीय वक्रों के लिए संबंधित स्टैक मॉड्यूलर समूह की क्रिया द्वारा ऊपरी आधे-विमान के भागफल के समान है।
 * बीजगणितीय वक्रों का मापांक स्थान $$\mathcal{M}_g$$ दिए गए जीनस (गणित) के चिकने वक्रों के एक सार्वभौमिक परिवार के रूप में परिभाषित $$g$$ एक बीजगणितीय विविधता के रूप में मौजूद नहीं है क्योंकि विशेष रूप से गैर-तुच्छ ऑटोमोर्फिज्म को स्वीकार करने वाले वक्र हैं। हालाँकि एक मोडुली स्टैक है $$\mathcal{M}_g$$ जो चिकने जीनस के गैर-मौजूद फाइन मोडुली स्पेस के लिए एक अच्छा विकल्प है $$g$$ वक्र। अधिक आम तौर पर एक मोडुली स्टैक होता है $$\mathcal{M}_{g,n}$$ जाति का $$g$$ के साथ घटता है $$n$$ चिह्नित अंक। सामान्य तौर पर यह एक बीजगणितीय स्टैक है, और इसके लिए Deligne-Mumford स्टैक है $$g \geq 2$$ या  $$g = 1, n \geq 1$$ या $$g = 0, n \geq 3$$ (दूसरे शब्दों में जब वक्रों के ऑटोमोर्फिज्म समूह परिमित होते हैं)। इस मोडुली स्टैक में एक पूर्णता है जिसमें स्थिर वक्रों के मोडुली स्टैक शामिल हैं (दिया गया है $$g$$ और $$n$$) जो स्पेक जेड पर उचित है। उदाहरण के लिए, $$\mathcal{M}_0$$ वर्गीकरण ढेर है $$B\text{PGL}(2)$$ प्रक्षेपी सामान्य रैखिक समूह की। (परिभाषित करने में एक सूक्ष्मता है $$\mathcal{M}_1$$, क्योंकि इसे बनाने के लिए योजनाओं के बजाय बीजगणितीय रिक्त स्थान का उपयोग करना पड़ता है।)

Kontsevich moduli रिक्त स्थान
मॉडुलि रिक्त स्थान का एक और व्यापक रूप से अध्ययन किया गया वर्ग Kontsevich अंतरिक्ष मॉड्यूल स्थान है जो एक निश्चित जीनस के घटता के बीच स्थिर मानचित्रों के स्थान को एक निश्चित स्थान पर मापता है। $$X$$ जिसकी छवि एक निश्चित कोहोलॉजी वर्ग का प्रतिनिधित्व करती है। ये मोडुली रिक्त स्थान निरूपित हैं $$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}(X,\beta)$$ और जंगली व्यवहार हो सकता है, जैसे कम करने योग्य ढेर जिसके घटक गैर-बराबर आयाम हैं। उदाहरण के लिए, मोडुली स्टैक $$\overline{\mathcal{M}}_{1,0}(\mathbb{P}^2,3[H])$$ में खुले उपसमुच्चय द्वारा पैरामीट्रिज्ड चिकने वक्र हैं $$U \subset \mathbb{P}^9 = \mathbb{P}(\Gamma(\mathbb{P}^2,\mathcal{O}(3)))$$. मॉडुलि स्पेस की सीमा पर, जहां घटता कम करने योग्य वक्रों के लिए पतित हो सकता है, वहां एक जीनस के साथ एक पैरामीट्रिज़िंग कम करने योग्य घटता है $$0$$ घटक और एक जीनस $$1$$ घटक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है, और नक्शा जीनस भेजता है $$1$$ एक बिंदु पर वक्र। चूंकि ऐसे सभी जीनस $$1$$ घटता द्वारा parametrized हैं $$U$$, और एक अतिरिक्त है $$1$$ आयामी विकल्प जहां ये वक्र जीनस पर प्रतिच्छेद करते हैं $$1$$ वक्र, सीमा घटक का आयाम है $$10$$.

अन्य मोडुली ढेर

 * एक पिकार्ड ढेर  एक पिकार्ड किस्म का सामान्यीकरण करता है।
 * औपचारिक समूह कानूनों का मोडुली स्टैक औपचारिक समूह कानूनों को वर्गीकृत करता है।
 * एक उद्योग-योजना जैसे कि एक अनंत प्रक्षेप्य स्थान और एक औपचारिक योजना एक ढेर है।
 * ज्यामितीय लैंगलैंड्स कार्यक्रम में चीज़ के मोडुली स्टैक का उपयोग किया जाता है। (श्टुकस भी देखें।)

भारित अनुमानित ढेर
भारित प्रक्षेपी रिक्त स्थान के निर्माण में कुछ का GIT भागफल लेना शामिल है $$\mathbb{A}^{n+1} - \{0\}$$ ए द्वारा $$\mathbb{G}_m$$-कार्य। विशेष रूप से, कार्रवाई एक tuple"भेजती है$g \cdot(x_0,\ldots, x_n) \mapsto (g^{a_0}x_0,\ldots,g^{a_n}x_n)$"और इस क्रिया का अंश भारित अनुमानित स्थान देता है $$\mathbb{WP}(a_0,\ldots, a_n)$$. चूँकि इसके बजाय इसे स्टैक भागफल, भारित प्रोजेक्टिव स्टैक के रूप में लिया जा सकता है पेज 30  है$$\textbf{WP}(a_0,\ldots, a_n) := [\mathbb {A}^{n}-\{0\} / \mathbb{G}_m]$$ एक लाइन बंडल में एक भारित बहुपद के लुप्त स्थान को लेना $$f \in \Gamma(\textbf{WP}(a_0,\ldots, a_n),\mathcal{O}(a))$$ एक स्टैकी वेटेड प्रोजेक्टिव वैरायटी देता है।

ढेर वक्र
स्टैकी कर्व्स, या ऑर्बिकर्व्स, सामान्य बिंदुओं पर कवर के मोनोड्रोमी समूह द्वारा कर्व्स के मोर्फिज्म के स्टैक भागफल को लेकर बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक प्रक्षेपी आकारिकी  लें$$\text{Proj}(\mathbb{C}[x,y,z]/(x^5 + y^5 + z^5)) \to \text{Proj}(\mathbb{C}[x,y])$$ जो सामान्य रूप से एटेल मोर्फिज्म है। द्वारा डोमेन का स्टैक भागफल $$\mu_5$$ एक ढेर देता है $$\mathbb{P}^1$$ स्टैकी पॉइंट्स के साथ जिसमें स्टेबलाइज़र समूह होता है $$\mathbb{Z}/5$$ एकता की पांचवीं जड़ों में $$x/y$$-चार्ट। ऐसा इसलिए है क्योंकि ये ऐसे बिंदु हैं जहां आवरण शाखा करता है।

नॉन-एफ़िन स्टैक
एक गैर-एफ़िन स्टैक का उदाहरण दो स्टैकी मूल के साथ अर्ध-रेखा द्वारा दिया गया है। इसे दो समावेशन के कोलिमिट के रूप में बनाया जा सकता है $$ [\mathbb{G}_m/ (\mathbb{Z}/2)] \to [\mathbb{A}^1/(\mathbb{Z}/2)]$$.

बीजगणितीय ढेर पर अर्ध-सुसंगत ढेर
एक बीजगणितीय ढेर पर एक योजना के ऊपर अर्ध-सुसंगत ढेरों की श्रेणी के समान अर्ध-सुसंगत ढेरों की एक श्रेणी का निर्माण कर सकते हैं।

एक अर्ध-सुसंगत शीफ मोटे तौर पर वह होता है जो स्थानीय रूप से रिंग के ऊपर एक मॉड्यूल के शीफ की तरह दिखता है। पहली समस्या यह तय करना है कि स्थानीय रूप से क्या मतलब है: इसमें ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी का चुनाव शामिल है, और इसके लिए कई संभावित विकल्प हैं, जिनमें से सभी में कुछ समस्याएं हैं और इनमें से कोई भी पूरी तरह से संतोषजनक नहीं लगता है। ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी पर्याप्त रूप से मजबूत होनी चाहिए ताकि स्टैक इस टोपोलॉजी में स्थानीय रूप से बंध जाए: योजनाएं स्थानीय रूप से ज़ारिस्की टोपोलॉजी में बंधी हैं, इसलिए यह योजनाओं के लिए एक अच्छा विकल्प है जैसा कि सेरे ने खोजा, बीजगणितीय रिक्त स्थान और डेलिग्ने-ममफोर्ड स्टैक स्थानीय रूप से ईटेल टोपोलॉजी इसलिए आमतौर पर इनके लिए ईटेल टोपोलॉजी का उपयोग किया जाता है, जबकि बीजगणितीय ढेर चिकनी टोपोलॉजी में स्थानीय रूप से परिशोधित होते हैं, इसलिए इस मामले में चिकनी टोपोलॉजी का उपयोग किया जा सकता है। सामान्य बीजगणितीय स्टैक के लिए ईटेल टोपोलॉजी में पर्याप्त खुले सेट नहीं होते हैं: उदाहरण के लिए, यदि जी एक सुचारू रूप से जुड़ा हुआ समूह है, तो वर्गीकरण स्टैक बीजी का एकमात्र ईटेल कवर बीजी की प्रतियों के संघ हैं, जो सही सिद्धांत देने के लिए पर्याप्त नहीं हैं। क्वासिकोहेरेंट शेव्स का।

बीजगणितीय ढेरों के लिए चिकनी टोपोलॉजी का उपयोग करने के बजाय अक्सर इसका एक संशोधन का उपयोग किया जाता है जिसे चिकना टोपोलॉजी  कहा जाता है। टोपोलॉजी लेकिन खुले कवर चिकने नक्शों के बजाय ईटेल द्वारा दिए गए हैं। यह आमतौर पर अर्ध-सुसंगत ढेरों के समकक्ष श्रेणी का नेतृत्व करता है, लेकिन इसका उपयोग करना आसान है: उदाहरण के लिए बीजगणितीय रिक्त स्थान पर ईटेल टोपोलॉजी के साथ तुलना करना आसान है। लिस-एट टोपोलॉजी में एक सूक्ष्म तकनीकी समस्या है: स्टैक के बीच आकारिकी सामान्य रूप से संबंधित टोपोई के बीच आकारिकी नहीं देती है। (समस्या यह है कि जब कोई निकटवर्ती फंक्शंस की एक जोड़ी का निर्माण कर सकता है*, f*, जैसा कि टोपोई के एक ज्यामितीय आकारिकी के लिए आवश्यक है, फ़ंक्टर f* सामान्य रूप से सटीक नहीं बचा है। यह समस्या प्रकाशित पत्रों और पुस्तकों में कुछ त्रुटियों के कारण कुख्यात है। ) इसका मतलब यह है कि स्टैक्स के आकारिकी के तहत क्वासिकोहेरेंट शीफ के पुलबैक का निर्माण करने के लिए कुछ अतिरिक्त प्रयास की आवश्यकता होती है।

महीन टोपोलॉजी का उपयोग करना भी संभव है। अधिकांश उचित पर्याप्त रूप से बड़े ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी अर्ध-सुसंगत ढेरों के समकक्ष श्रेणियों का नेतृत्व करते हैं, लेकिन एक टोपोलॉजी जितनी बड़ी होती है, उसे संभालना उतना ही कठिन होता है, इसलिए आम तौर पर छोटे टोपोलॉजी का उपयोग करना पसंद करते हैं, जब तक कि उनके पास पर्याप्त खुले सेट हों। उदाहरण के लिए, बड़ी एफपीपीएफ टोपोलॉजी लिस-एट टोपोलॉजी के रूप में अनिवार्य रूप से अर्ध-सुसंगत ढेरों की एक ही श्रेणी की ओर ले जाती है, लेकिन इसमें एक सूक्ष्म समस्या है: ओ में अर्ध-सुसंगत ढेरों का प्राकृतिक एम्बेडिंगX इस टोपोलॉजी में मॉड्यूल सटीक नहीं हैं (यह सामान्य रूप से गुठली को संरक्षित नहीं करता है)।

अन्य प्रकार के ढेर
अलग-अलग स्टैक और टोपोलॉजिकल स्टैक बीजगणितीय स्टैक के समान एक तरह से परिभाषित होते हैं, सिवाय इसके कि एफ़िन योजनाओं की अंतर्निहित श्रेणी को चिकनी मैनिफोल्ड्स या टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी से बदल दिया जाता है।

आम तौर पर कोई भी एन-शेफ या एन-1 स्टैक की धारणा को परिभाषित कर सकता है, जो मोटे तौर पर एन-1 श्रेणियों में मान लेने वाला एक प्रकार का शीफ ​​है। ऐसा करने के कई असमान तरीके हैं। 1-शेव ढेर के समान हैं, और 2-शेव ढेर के समान हैं। उन्हें उच्च ढेर कहा जाता है।

एक बहुत ही समान और समान विस्तार गैर-असतत वस्तुओं पर स्टैक सिद्धांत को विकसित करना है (यानी, बीजगणितीय टोपोलॉजी में एक स्थान वास्तव में एक स्पेक्ट्रम (टोपोलॉजी) है)। परिणामी ढेर वाली वस्तुओं को व्युत्पन्न ढेर (या वर्णक्रमीय ढेर) कहा जाता है। जैकब लुरी की निर्माणाधीन पुस्तक 'स्पेक्ट्रल बीजगणितीय ज्यामिति' एक सामान्यीकरण का अध्ययन करती है जिसे वह स्पेक्ट्रल डेलिग्ने-ममफोर्ड स्टैक कहते हैं। परिभाषा के अनुसार, यह एक चक्राकार ∞-टोपोस है जो ई-इन्फिनिटी रिंग का ईटेल-स्थानीय रूप से ईटेल स्पेक्ट्रम है।∞-रिंग (यह धारणा कम से कम विशेषता शून्य में एक व्युत्पन्न योजना की सदस्यता लेती है।)

सेट-सैद्धांतिक समस्याएं
ढेर के सिद्धांत की सामान्य नींव के साथ कुछ मामूली सेट सैद्धांतिक समस्याएं हैं, क्योंकि ढेर को अक्सर सेट की श्रेणी के लिए कुछ फ़ैक्टर के रूप में परिभाषित किया जाता है और इसलिए सेट नहीं होते हैं। इस समस्या से निपटने के कई तरीके हैं:


 * कोई ग्रोथेंडिक यूनिवर्स के साथ काम कर सकता है: एक स्टैक तब कुछ निश्चित ग्रोथेंडिक ब्रह्मांड की कक्षाओं के बीच एक फंक्टर होता है, इसलिए ये कक्षाएं और स्टैक एक बड़े ग्रोथेंडिक ब्रह्मांड में सेट होते हैं। इस दृष्टिकोण का दोष यह है कि किसी को पर्याप्त ग्रोथेंडिक ब्रह्मांडों के अस्तित्व को मान लेना चाहिए, जो अनिवार्य रूप से एक बड़ा कार्डिनल स्वयंसिद्ध है।
 * पर्याप्त रूप से बड़ी रैंक के सेट के सेट के लिए स्टैक को फ़ंक्टर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, और विभिन्न सेटों के रैंकों का सावधानीपूर्वक ट्रैक रख सकते हैं जो एक उपयोग करता है। इसके साथ समस्या यह है कि इसमें कुछ अतिरिक्त थकाऊ बहीखाता पद्धति शामिल है।
 * सेट थ्योरी से प्रतिबिंब सिद्धांतों का उपयोग यह कहते हुए किया जा सकता है कि ZFC के स्वयंसिद्धों के किसी भी परिमित टुकड़े के सेट मॉडल को यह दिखाने के लिए मिल सकता है कि कोई स्वचालित रूप से ऐसे सेट ढूंढ सकता है जो सभी सेटों के ब्रह्मांड के लिए पर्याप्त रूप से निकट सन्निकटन हैं।
 * समस्या को अनदेखा किया जा सकता है। यह दृष्टिकोण कई लेखकों द्वारा लिया गया है।

यह भी देखें

 * बीजगणितीय ढेर
 * एक ढेर का चाउ समूह
 * डेलिग्ने-ममफोर्ड स्टैक
 * बीजगणितीय ज्यामिति की शब्दावली
 * स्टैक का पीछा करना
 * बीजगणितीय ढेर का भागफल स्थान
 * मॉड्यूलर रूपों की अंगूठी
 * सिंपल प्रीशेफ
 * ढेर परियोजना
 * टोरिक ढेर

शैक्षणिक

 * एक व्याख्यात्मक लेख है जो उदाहरणों के साथ स्टैक की मूल बातों का वर्णन करता है।
 * एक व्याख्यात्मक लेख है जो उदाहरणों के साथ स्टैक की मूल बातों का वर्णन करता है।

साहित्य की मार्गदर्शिका

 * https://maths-people.anu.edu.au/~alperj/papers/stacks-guide.pdf
 * http://stacks.math.columbia.edu/tag/03B0

संदर्भ

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बाहरी संबंध

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