स्थानीय सह-समरूपता

बीजगणितीय ज्यामिति में, स्थानीय सह-समरूपता सापेक्ष समरूपता का एक बीजगणितीय एनालॉग है। अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक ने 1961 में हार्वर्ड में सेमिनार में इसे प्रस्तुत किया, जिसे ने लिखा, और 1961-2 में IHES में इसे SGA2 -  के रूप में लिखा गया, जिसे  के रूप में पुनः प्रकाशित किया गया। एक बीजगणितीय विविधता (या विविधता) के विवृत उपसमुच्चय पर परिभाषित एक फलन (अधिक सामान्यतः, एक क्वासिकोहेरेंट शीफ का एक खंड) को देखते हुए, स्थानीय सह-समरूपता उस फलन को एक बड़े डोमेन तक विस्तारित करने में बाधा को मापती है।

उदाहरण के लिए, तर्कसंगत कार्य $$1/x$$ फ़ील्ड $$K$$ पर एफ़िन लाइन $$\mathbb{A}^1_K$$ पर केवल $$0$$ के पूरक पर परिभाषित किया गया है और इसे पूरे फलन पर विस्तारित नहीं किया जा सकता है। स्थानीय सह-समरूपता मॉड्यूल $$H^1_{(x)}(K[x])$$ (जहाँ $$K[x]$$ का समन्वय वलय है) सह-समरूपता वर्ग $$[1/x]$$ के लुप्त न होने पर इसका पता लगाता है। इसी तरह से $$1/xy$$ को एफ़िन प्लेन में $$x$$ और $$y$$ अक्षों से दूर परिभाषित किया गया है, लेकिन इसे x-अक्ष के पूरक या अकेले $$y$$-अक्ष के पूरक तक नहीं बढ़ाया जा सकता है (न ही इसे किया जा सकता है) ऐसे कार्यों के योग के रूप में व्यक्त) यह रुकावट स्थानीय सह-समरूपता मॉड्यूल $$H^2_{(x,y)}(K[x,y])$$ में एक गैर-शून्य वर्ग $$[1/xy]$$ से समुचित रूप से मेल खाती है।

बीजगणितीय ज्यामिति के अलावा, स्थानीय सह-समरूपता ने क्रमविनिमेय बीजगणित,  साहचर्य, और कुछ प्रकार के आंशिक अंतर समीकरणों में अनुप्रयोग पाया है।

परिभाषा
सिद्धांत के सबसे सामान्य ज्यामितीय रूप में, खंड $$\Gamma_Y$$ को एक बंद उपसमुच्चय $$Y$$ में समर्थन के साथ एक सांस्थितिक समष्टि $$X$$ पर, एबेलियन समूहों के एक शीफ $$F$$ का माना जाता है। $$\Gamma_Y$$ स्थानीय सह-समरूपता समूह बनाते हैं:


 * $$H_Y^i(X,F)$$

सिद्धांत के बीजगणितीय रूप में, अंतरिक्ष $$X$$ एक क्रमविनिमेय सह-समरूपता आर (इस लेख में नोथेरियन माना जाता है) का स्पेक्ट्रम स्पेक (आर) है और शीफ $$F$$ एक आर-मॉड्यूल एम से जुड़ा क्वासिकोहेरेंट शीफ है, जिसे $$\tilde M$$ द्वारा दर्शाया गया है। बंद उपविविधता Y को एक आदर्श I द्वारा परिभाषित किया गया है। इस स्थिति में, फ़ैक्टर ΓY(F) I-टोरसन फ़ैक्टर से मेल खाता है, जो विनाशकों का एक संघ है


 * $$\Gamma_I(M) := \bigcup_{n \ge 0} (0 :_M I^n),$$

यानी, एम के तत्व जो I की कुछ शक्ति से नष्ट हो जाते हैं। एक सही व्युत्पन्न फ़ंक्टर के रूप में I के संबंध में ith स्थानीय सह-समरूपता मॉड्यूल श्रृंखला परिसर $$\Gamma_I(E^\bullet)$$ का ith सह-समरूपता समूह $$H^i(\Gamma_I(E^\bullet))$$ है मॉड्यूल $$\tilde M$$ के एक इंजेक्शन रिज़ॉल्यूशन $$E^\bullet$$ के आई-टोरसन भाग $$E^\bullet$$ को लेने से प्राप्त किया गया। क्योंकि $$E^\bullet$$ में आर-मॉड्यूल और आर-मॉड्यूल समरूपताएं सम्मिलित हैं, स्थानीय सह-समरूपता समूहों में से प्रत्येक में आर-मॉड्यूल की प्राकृतिक संरचना होती है।

I-टोरसन भाग $$\Gamma_I(M)$$ को वैकल्पिक रूप से इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है:


 * $$\Gamma_I(M) := \varinjlim_{n \in N} \operatorname {Hom}_R(R/I^n, M),$$

और इस कारण से, आर-मॉड्यूल एम की स्थानीय सह-समरूपता Xट मॉड्यूल की प्रत्यक्ष सीमा से सहमत है


 * $$H_I^i(M) := \varinjlim_{n \in N} \operatorname {Ext}_R^i(R/I^n, M).$$

इनमें से किसी भी परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि $$H^i_I(M)$$ अपरिवर्तित रहेगा यदि $$I$$ को समान मूलांक वाले किसी अन्य आदर्श से प्रतिस्थापित कर दिया जाए। ] इससे यह भी पता चलता है कि स्थानीय सह-समरूपता I के लिए जनरेटर की किसी भी पसंद पर निर्भर नहीं करती है, एक तथ्य जो सेच कॉम्प्लेक्स से जुड़ी निम्नलिखित परिभाषा में प्रासंगिक हो जाता है।

कोसज़ुल और सेच कॉम्प्लेक्स का उपयोग करना
स्थानीय सह-समरूपता की व्युत्पन्न फ़ंक्टर परिभाषा के लिए मॉड्यूल $$\tilde M$$ के एक इंजेक्शन रिज़ॉल्यूशन की आवश्यकता होती है, जो इसे स्पष्ट गणनाओं में उपयोग के लिए दुर्गम बना सकता है। कुछ संदर्भों में सेच कॉम्प्लेक्स को अधिक व्यावहारिक माना जाता है। अयंगर एट अल. (2007), उदाहरण के लिए, बताते हैं कि वे स्थानीय सह-समरूपता की सेच जटिल परिभाषा प्रस्तुत करने से पहले "किसी दिए गए मॉड्यूल के लिए इन [इंजेक्टिव] प्रकार के प्रस्तावों में से किसी एक को वास्तव में उत्पन्न करने की समस्या" को "अनिवार्य रूप से अनदेखा" करते हैं, और ने सेच सह-समरूपता का वर्णन "एक विविधता पर अर्ध-सुसंगत शीव्स के सह-समरूपता की गणना करने के लिए एक व्यावहारिक विधि देने" के रूप में किया है। और "गणना के लिए उपयुक्त" के रूप में वर्णित किया गया है।

सेच कॉम्प्लेक्स को कोसज़ुल कॉम्प्लेक्स,$$K^\bullet(f_1,\ldots,f_m)$$ के कोलिमिट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जहां $$f_1,\ldots, f_n$$ $$I$$ उत्पन्न करता है। स्थानीय सह-समरूपता मॉड्यूल को इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है:


 * $$H_I^i(M) \cong \varinjlim_m H^i \left (\operatorname{Hom}_R \left (K^\bullet \left (f_1^m, \dots, f_n^m \right ), M \right ) \right )$$

कोस्ज़ुल कॉम्प्लेक्स में यह गुण होता है कि $$f_i$$ से गुणा एक श्रृंखला जटिल रूपवाद $$\cdot f_i : K^\bullet(f_1,\ldots, f_n) \to K^\bullet(f_1,\ldots, f_n)$$ को प्रेरित करता है जो शून्य के लिए समस्थानिक है, जिसका अर्थ है f_{n}))} को$$H^i(K^\bullet(f_1,\ldots, f_n))$$ द्वारा नष्ट कर दिया जाता है। $$\operatorname{Hom}$$ समुच्चय के कॉलिमिट में एक गैर-शून्य मानचित्र में सीमित रूप से कई कोस्ज़ुल परिसरों को छोड़कर सभी के मानचित्र सम्मिलित होते हैं, और जो आदर्श में कुछ तत्व द्वारा नष्ट नहीं होते हैं।

कोसज़ुल कॉम्प्लेक्स का यह कोलिमिट नीचे दिए गए सेच कॉम्प्लेक्स, जिसे $$\check{C}^\bullet(f_1,\ldots,f_n;M)$$ दर्शाया गया है, के लिए आइसोमोर्फिक है।

$$0\to M \to \bigoplus_{i_0} M_{f_i} \to \bigoplus_{i_0 < i_1} M_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \cdots \to M_{f_1\cdots f_n}\to 0$$

जहां $$I=(f_1,\ldots,f_n)$$ के संबंध में $$M$$ का $$I$$ स्थानीय सह-समरूपता मॉड्यूल उपरोक्त श्रृंखला परिसर के$$I$$ सह-समरूपता समूह के लिए आइसोमोर्फिक है,
 * $$H^i_I(M)\cong H^i(\check{C}^\bullet(f_1,\ldots,f_n;M)).$$

स्थानीय सह-समरूपता मॉड्यूल (विशेषता (बीजगणित) में) की गणना के व्यापक मुद्दे पर चर्चा की गई है और.

मूलभूत विशेषताएँ
चूंकि स्थानीय सह-समरूपता को व्युत्पन्न फ़ैक्टर के रूप में परिभाषित किया गया है, आर-मॉड्यूल $$0\to M_1\to M_2\to M_3\to 0$$ के किसी भी छोटे समुचित अनुक्रम के लिए, परिभाषा के अनुसार, स्थानीय सह-समरूपता में एक प्राकृतिक लंबा समुचित अनुक्रम है:


 * $$\cdots\to H^i_I(M_1)\to H^i_I(M_2)\to H^i_I(M_3)\to H^{i+1}_I(M_1)\to\cdots$$
 * स्थानीय सह-समरूपता मॉड्यूल के साथ X और विवृत समुच्चय यू = X \ वाई के सामान्य शीफ सह-समरूपता को जोड़ने वाले शीफ सह-समरूपता का एक लंबा समुचित अनुक्रम भी है। X पर परिभाषित क्वासिकोहेरेंट शीफ एफ के लिए, इसका रूप है
 * स्थानीय सह-समरूपता मॉड्यूल के साथ X और विवृत समुच्चय यू = X \ वाई के सामान्य शीफ सह-समरूपता को जोड़ने वाले शीफ सह-समरूपता का एक लंबा समुचित अनुक्रम भी है। X पर परिभाषित क्वासिकोहेरेंट शीफ एफ के लिए, इसका रूप है


 * $$\cdots\to H^i_Y(X,F)\to H^i(X,F)\to H^i(U,F)\to H^{i+1}_Y(X,F)\to\cdots$$

समुच्चयिंग में जहां X एक एफ़िन विविधता $$\text{Spec}(R)$$ है और Y एक आदर्श का लुप्त होने वाला समुच्चय है, सह-समरूपता समूह $$H^i(X,F)$$ के लिए गायब हो जाते हैं। यदि $$F=\tilde{M}$$ तो यह एक समुचित अनुक्रम $$i>0$$ की ओर ले जाता है:


 * $$0 \to H_I^0(M) \to M \stackrel {\text{res}} \to H^0(U, \tilde M) \to H^1_I(M) \to 0,$$

जहां मध्य मानचित्र खंडों का प्रतिबंध है। इस प्रतिबंध मानचित्र के लक्ष्य को आदर्श परिवर्तन भी कहा जाता है। n ≥ 1 के लिए, समरूपताएँ हैं


 * $$H^{n}(U, \tilde M) \stackrel \cong \to H^{n+1}_I(M).$$

शीफ़ सह-समरूपता के साथ उपरोक्त समरूपता के कारण, स्थानीय सह-समरूपता का उपयोग विविधता $$X=\operatorname{Spec}(R)$$ पर कई सार्थक बीजगणितीय टोपोलॉजी निर्माणों को विशुद्ध रूप से बीजगणितीय शब्दों में व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, X में विवृत समुच्चय यू और वी की एक जोड़ी के संबंध में मेयर-विएटोरिस अनुक्रम के स्थानीय सह-समरूपता में एक प्राकृतिक एनालॉग है, जो क्रमशः आदर्श आई और जे की जोड़ी के अनुरूप बंद उप-विविधताओं के पूरक द्वारा दिया गया है। इस क्रम का स्वरूप है:


 * $$\cdots H^i_{I+J}(M)\to H^i_I(M)\oplus H^i_J(M)\to H^i_{I\cap J}(M)\to H^{i+1}_{I+J}(M)\to\cdots$$

किसी के लिए $$R$$-मापांक $$M$$.

स्थानीय सह-समरूपता के लुप्त होने का उपयोग $$\operatorname{Spec}(R)$$ में बीजगणितीय समुच्चय $$V(I)$$ को परिभाषित करने के लिए (सैद्धांतिक रूप से समुच्चय) आवश्यक कम से कम समीकरणों (अंकगणितीय रैंक के रूप में संदर्भित) को बाध्य करने के लिए किया जा सकता है। यदि $$J$$ में $$I$$ के समान मूलांक है, और $$n$$ तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है, तो $$J$$ के जनरेटर पर Čech कॉम्प्लेक्स में घात $$i > n$$ में कोई पद नहीं है। सभी आदर्शों $$J$$ में जनरेटरों की न्यूनतम संख्या इस प्रकार है कि $$\sqrt{J}=\sqrt{I}$$ का अंकगणितीय रैंक है, जिसे $$\operatorname{ara}(I)$$ दर्शाया गया है। चूँकि $$I$$ के संबंध में स्थानीय सह-समरूपता की गणना ऐसे किसी भी आदर्श का उपयोग करके की जा सकती है, इसलिए यह इस प्रकार है कि $$i>\operatorname{ara}(I)$$ के लिए $$H^i_I(M)=0$$

श्रेणीबद्ध स्थानीय सहसंरचना और प्रक्षेप्य ज्यामिति
जब $$R$$ को $$\mathbb{N}$$ द्वारा ग्रेड किया जाता है, $$I$$ सजातीय तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है और $$M$$ एक ग्रेडेड मॉड्यूल है, तो स्थानीय सह-समरूपता मॉड्यूल $$H^i_I(M)$$ पर एक प्राकृतिक ग्रेडिंग होती है जो $$M$$ और $$R$$ की ग्रेडिंग के साथ संगत है। इस आलेख में व्यक्त स्थानीय सह-समरूपता के सभी बुनियादी गुण श्रेणीबद्ध संरचना के अनुकूल हैं। यदि $$M$$ परिमित रूप से उत्पन्न होता है और $$I=\mathfrak{m}$$ धनात्मक घात वाले $$R$$ के तत्वों द्वारा उत्पन्न आदर्श है, तो श्रेणीबद्ध घटक $$H^i_{\mathfrak{m}}(M)_n$$ $$R$$ पर परिमित रूप से उत्पन्न होते हैं और पर्याप्त रूप से बड़े $$n$$ के लिए गायब हो जाते हैं।

वह स्थिति जहां $$I=\mathfrak m$$ धनात्मक घात के सभी तत्वों द्वारा उत्पन्न आदर्श है (कभी-कभी अप्रासंगिक आदर्श कहा जाता है) प्रक्षेप्य ज्यामिति के साथ इसके संबंध के कारण विशेष रूप से विशेष है। इस स्थिति में, एक समरूपता है


 * $$H^{i+1}_{\mathfrak m}(M)\cong \bigoplus_{k \in \mathbf Z} H^i(\text{Proj}(R), \tilde M(k))$$

जहां $$\text{Proj}(R)$$ $$R$$ से जुड़ी प्रक्षेप्य विविधता है, और $$(k)$$ सेरे ट्विस्ट को दर्शाता है। इस समरूपता को वर्गीकृत करते हुए दिया गया है


 * $$H^{i+1}_{\mathfrak m}(M)_n \cong H^i(\text{Proj}(R), \tilde M(n))$$

सभी घात में $$n$$. :

यह समरूपता स्थानीय सह-समरूपता को प्रक्षेप्य विविधताओं की वैश्विक सह-समरूपता से जोड़ती है। उदाहरण के लिए, कैस्टेलनुवो-ममफोर्ड नियमितता को स्थानीय सह-समरूपता का उपयोग करके तैयार किया जा सकता है:


 * $$\text{reg}(M) = \text{sup}\{\text{end}(H^i_{\mathfrak{m}}(M))+i\,|\, 0\leq i\leq \text{dim}(M)\}$$

जहां $$\text{end}(N)$$ उच्चतम घात $$t$$ को दर्शाता है जैसे कि $$N_t\neq 0$$ नियमितता से संबंधित कुछ ऊपरी सीमा वाले परिणामों को साबित करने के लिए स्थानीय सह-समरूपता का उपयोग किया जा सकता है।

शीर्ष स्थानीय सहसंरचना
सेच कॉम्प्लेक्स का उपयोग करते हुए, यदि $$I=(f_1,\ldots,f_n)R$$ स्थानीय सह-समरूपता मॉड्यूल $$H^n_I(M)$$ औपचारिक अंशों की छवियों द्वारा $$R$$ पर उत्पन्न होता है:


 * $$\left[\frac{m}{f_1^{t_1}\cdots f_n^{t_n}}\right]$$

$$m\in M$$ और $$t_1,\ldots,t_n\geq 1$$ के लिए यह अंश $$H^n_I(M)$$ के एक गैर-शून्य तत्व से मेल खाता है  यदि और केवल यदि कोई $$k\geq 0$$ नहीं है जैसे कि $$(f_1\cdots f_t)^k m \in (f_1^{t_1+k},\ldots,f_t^{t_n+k})M$$ उदाहरण के लिए यदि $$t_i=1$$ तो
 * $$f_i\cdot \left[\frac{m}{f_1^{t_1}\cdots f_i\cdots f_n^{t_n}}\right]=0.$$


 * यदि $$K$$ एक फ़ील्ड है और $$R=K[x_1,\ldots,x_n]$$ वेरिएबल्स में $$K$$ के ऊपर एक बहुपद $$n$$ है, तो स्थानीय सह-समरूपता मॉड्यूल $$H^n_{(x_1,\ldots,x_n)}(K[x_1,\ldots,x_n])$$ को $$K$$ के ऊपर एक सदिश समष्टि के रूप में माना जा सकता है, जिसका आधार (Čech सह-समरूपता क्लासेस) द्वारा दिया गया है जो $$\left[x_1^{-t_1}\cdots x_n^{-t_n}\right]$$ के लिए व्युत्क्रम एकपदी बहुपद $$t_1,\ldots,t_n\geq 1$$ है। एक $$R$$-मॉड्यूल के रूप में $$x_i$$ से गुणा करने पर $$x_i\cdot \left[x_1^{-t_1}\cdots x_i^{-1}\cdots x_n^{-t_n}\right]=0.$$ स्थिति के अधीन $$t_i$$, 1 से कम हो जाता है क्योंकि शक्तियों $$t_i$$ को $$R$$ के तत्वों से गुणा करके नहीं बढ़ाया जा सकता है, मॉड्यूल $$H^n_{(x_1,\ldots,x_n)}(K[x_1,\ldots,x_n])$$ अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल नहीं होता है।

एच के उदाहरण1
यदि $$H^0(U,\tilde R)$$ ज्ञात है (जहाँ $$U=\operatorname{Spec}(R)-V(I)$$ तो मॉड्यूल $$H^1_I(R)$$ की गणना कभी-कभी अनुक्रम का उपयोग करके स्पष्ट रूप से की जा सकती है:


 * $$0 \to H_I^0(R) \to R \to H^0(U, \tilde R) \to H^1_I(R) \to 0.$$

निम्नलिखित उदाहरणों में $$K$$ कोई फ़ील्ड है।


 * यदि $$R=K[X,Y^2,XY,Y^3]$$ और $$I=(X,Y^2)R$$, तब $$H^0(U,\tilde R)=K[X,Y]$$ और $$K$$ के ऊपर एक सदिश समष्टि के रूप में, पहला स्थानीय सह-समरूपता मॉड्यूल ($$K[X,Y]/K[X,Y^2,XY,Y^3]$$ है, जो $$Y$$ द्वारा उत्पन्न $$H^1_I(R)$$ आयामी $$K$$ सदिश समष्टि $$Y$$ है।
 * यदि $$R=K[X,Y]/(X^2,XY)$$ और $$\mathfrak{m}=(X,Y)R$$, तब $$\Gamma_{\mathfrak{m}}(R)=xR$$ और $$H^0(U,\tilde R)=K[Y,Y^{-1}]$$, इसलिए $$H^1_{\mathfrak{m}}(R)=K[Y,Y^{-1}]/K[Y]$$ एक अनंत-आयामी $$K$$ सदिश समष्टि है जिसका आधार $$Y^{-1},Y^{-2},Y^{-3},\ldots$$ है।

मॉड्यूल के अपरिवर्तनीयों से संबंध
एक मॉड्यूल का आयाम dimR(M) (इसके समर्थन के क्रुल आयाम के रूप में परिभाषित) स्थानीय सह-समरूपता मॉड्यूल के लिए एक ऊपरी सीमा प्रदान करता है
 * $$H_I^n(M) = 0 \text{ for all }n>\dim_R(M).$$

यदि R स्थानीय सह-समरूपता है और M परिमित रूप से उत्पन्न होता है तो यह सीमा तीव्र है अर्थात $$H^n_\mathfrak{m}(M) \ne 0$$

गहराई (नियमित एम-अनुक्रम की अधिकतम लंबाई के रूप में परिभाषित; जिसे एम के ग्रेड के रूप में भी जाना जाता है) एक तीव्र निचली सीमा प्रदान करती है, अर्थात, यह सबसे छोटा पूर्णांक n है जैसे कि
 * $$H^n_I(M) \ne 0.$$

ये दो सीमाएँ मिलकर स्थानीय सह-समरूपता पर कोहेन-मैकाले मॉड्यूल का एक लक्षण वर्णन उत्पन्न करती हैं: वे समुचित रूप से वे मॉड्यूल हैं जहाँ $$H^n_\mathfrak{m}(M)$$ एक n को छोड़कर सभी के लिए गायब हो जाता है।

स्थानीय द्वंद्व
स्थानीय द्वैत प्रमेय सेरे द्वैत का एक स्थानीय एनालॉग है। आयाम $$d$$ के कोहेन-मैकाले स्थानीय सह-समरूपता $$R$$ के लिए, जो गोरेन्स्टीन स्थानीय सह-समरूपता की एक समरूप छवि है (उदाहरण के लिए यदि $$R$$ पूर्ण है तो यह बताता है कि प्राकृतिक युग्मन है।


 * $$H^n_\mathfrak m(M) \times \operatorname{Ext}_R^{d-n}(M, \omega_R) \to H^d_\mathfrak m(\omega_R)$$

एक आदर्श युग्मन है, जहां $$\omega_R$$ के लिए एक दोहरीकरण मॉड्यूल $$R$$ है। मैटलिस द्वैत फ़ैक्टर $$D(-)$$ के संदर्भ में, स्थानीय द्वैत प्रमेय को निम्नलिखित समरूपता के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
 * $$H^n_\mathfrak m(M) \cong D(\operatorname{Ext}_R^{d-n}(M,\omega_R))$$

कथन तब सरल होता है जब $$\omega_R \cong R$$, जो इस परिकल्पना के समतुल्य है कि $$R$$ गोरेन्स्टीन है। यह स्थिति है, उदाहरण के लिए यदि $$R$$ नियमित है।

अनुप्रयोग
प्रारंभिक अनुप्रयोग लेफ्शेट्ज़ हाइपरप्लेन प्रमेयों के एनालॉग्स के लिए थे। सामान्य तौर पर ऐसे प्रमेय बताते हैं कि कुछ 'नुकसान' को छोड़कर, जिसे नियंत्रित किया जा सकता है, बीजगणितीय विविधता के हाइपरप्लेन अनुभाग पर होमोलॉजी या सह-समरूपता का समर्थन किया जाता है। ये परिणाम बीजगणितीय मौलिक समूह और पिकार्ड समूह पर लागू होते हैं।

एक अन्य प्रकार के अनुप्रयोग कनेक्टिविटी प्रमेय हैं जैसे ग्रोथेंडिक की कनेक्टिविटी प्रमेय (बर्टिनी प्रमेय का एक स्थानीय एनालॉग) या और  के कारण फुल्टन-हैनसेन कनेक्टिविटी प्रमेय। उत्तरार्द्ध का दावा है कि बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर पीआर में दो प्रक्षेप्य किस्मों वी और डब्ल्यू के लिए, जेड = वी ∩ डब्ल्यू का कनेक्टिविटी आयाम (यानी, जेड के एक बंद उपसमुच्चय टी का न्यूनतम आयाम जिसे जेड से हटाया जाना है) पूरक Z\T विच्छेदित है) से बंधा हुआ है
 * c(Z) ≥ dim V + dim W - r - 1.

उदाहरण के लिए यदि dim V + dim W > r है तो Z जुड़ा हुआ है।

पॉलीहेड्रल ज्यामिति में, स्टैनली के 1975 के मैकमुलेन के ऊपरी बाउंड प्रमेय के सरल रूप के प्रमाण के एक प्रमुख घटक में यह दिखाना सम्मिलित है कि संबंधित सरल परिसर की स्टेनली-रीस्नर रिं कोहेन-मैकॉले है, और होचस्टर के सूत्र के माध्यम से इस गणना में स्थानीय सह-समरूपता एक महत्वपूर्ण उपकरण है।.

यह भी देखें

 * स्थानीय समरूपता - किसी स्थान के शंकु के सांस्थितिक एनालॉग और स्थानीय समरूपता की गणना देता है
 * फाल्टिंग्स का विनाशक प्रमेय

परिचयात्मक संदर्भ

 * हुनेके, क्रेग; टेलर, अमेलिया, स्थानीय सह-समरूपता पर व्याख्यान

संदर्भ

 * Book review by Hartshorne