अतिपरवलयिक कोण

ज्यामिति में, हाइपरबोलिक कोण एक वास्तविक संख्या है जो कार्तीय तल के चतुर्थांश I में xy = 1 के संबंधित हाइपरबोलिक सेक्टर के क्षेत्र द्वारा निर्धारित होती है। हाइपरबोलिक कोण इकाई हाइपरबोला को पैरामीटराइज़ करता है, जिसमें निर्देशांक के रूप में अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य होते हैं। गणित में, हाइपरबोलिक कोण एक अपरिवर्तनीय माप है क्योंकि इसे अतिपरवलयिक घूर्णन  के तहत संरक्षित किया जाता है।

हाइपरबोला xy = 1 अर्ध-प्रमुख अक्ष के साथ आयताकार हाइपरबोला है $$\sqrt 2$$, त्रिज्या वाले एक वृत्त में एक वृत्ताकार त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल के अनुरूप वृत्ताकार कोण के परिमाण के अनुरूप $$\sqrt 2$$.

हाइपरबोलिक कोण का उपयोग हाइपरबोलिक कार्यों सिंह, कोश और तन के लिए आश्रित और स्वतंत्र चर के रूप में किया जाता है, क्योंकि ये फ़ंक्शन हाइपरबोलिक क्षेत्र # हाइपरबोलिक त्रिकोण को परिभाषित करने के रूप में हाइपरबोलिक कोण के संबंध में संबंधित परिपत्र त्रिकोणमितीय कार्यों के हाइपरबोलिक उपमाओं पर आधारित हो सकते हैं। इस प्रकार यह पैरामीटर वास्तविक संख्या चरों की गणना में सबसे उपयोगी में से एक बन जाता है।

परिभाषा
आयताकार अतिपरवलय पर विचार करें $$\textstyle\{(x,\frac 1 x): x>0\}$$, और (परंपरा के अनुसार) शाखा पर विशेष ध्यान दें $$x > 1$$.

पहले परिभाषित करें:
 * मानक स्थिति में अतिपरवलयिक कोण पर कोण होता है $$(0, 0)$$ किरण के बीच $$(1, 1)$$ और किरण को $$\textstyle(x, \frac 1 x)$$, कहाँ $$x > 1$$.
 * इस कोण का परिमाण संगत अतिपरवलयिक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल है, जो प्राप्त होता है $$\operatorname{ln}x$$.

ध्यान दें, प्राकृतिक लघुगणक द्वारा निभाई गई भूमिका के कारण:
 * वृत्ताकार कोण के विपरीत, अतिपरवलयिक कोण असीमित होता है (क्योंकि $$\operatorname{ln}x$$ असीमित है); यह इस तथ्य से संबंधित है कि हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) असीमित है।
 * कोण के परिमाण का सूत्र बताता है कि, के लिए $$0 < x < 1$$, अतिपरवलयिक कोण ऋणात्मक होना चाहिए। यह इस तथ्य को दर्शाता है कि, जैसा परिभाषित किया गया है, कोण निर्देशित है।

अंत में, हाइपरबोला पर किसी भी अंतराल द्वारा अंतरित हाइपरबोलिक कोण की परिभाषा का विस्तार करें। कल्पना करना $$a, b, c, d$$ ऐसी सकारात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं $$ab = cd = 1$$ और $$c > a > 1$$, ताकि $$(a, b)$$ और $$(c, d)$$ अतिपरवलय पर बिंदु हैं $$xy=1$$ और उस पर एक अंतराल निर्धारित करें। फिर निचोड़ मानचित्रण $$\textstyle f:(x, y)\to(bx, ay)$$ कोण को मैप करता है $$\angle\!\left ((a, b), (0,0), (c, d)\right)$$ मानक स्थिति कोण पर $$\angle\!\left ((1, 1), (0,0), (bc, ad)\right)$$. सेंट विंसेंट के ग्रेगरी के परिणाम के अनुसार, इन कोणों द्वारा निर्धारित हाइपरबोलिक क्षेत्रों का क्षेत्रफल समान होता है, जिसे कोण का परिमाण माना जाता है। यह परिमाण है $$\operatorname{ln}{(bc)}=\operatorname{ln}(c/a) =\operatorname{ln}c-\operatorname{ln}a$$.

वृत्ताकार कोण से तुलना


एक इकाई वृत्त $$ x^2 + y^2 = 1 $$ इसमें एक वृत्ताकार त्रिज्यखंड है जिसका क्षेत्रफल रेडियन में वृत्ताकार कोण का आधा है। अनुरूप रूप से, एक इकाई अतिपरवलय $$ x^2 - y^2 = 1 $$ इसमें एक अतिपरवलयिक क्षेत्र है जिसका क्षेत्रफल अतिपरवलयिक कोण का आधा है।

वृत्ताकार और अतिशयोक्तिपूर्ण मामलों के बीच एक प्रक्षेप्य संकल्प भी है: दोनों वक्र शंकु खंड हैं, और इसलिए प्रक्षेप्य ज्यामिति में प्रक्षेप्य श्रेणियों के रूप में माना जाता है। इनमें से किसी एक श्रेणी पर एक मूल बिंदु दिए जाने पर, अन्य बिंदु कोणों के अनुरूप होते हैं। कोणों को जोड़ने का विचार, विज्ञान के लिए बुनियादी, इन श्रेणियों में से एक पर बिंदुओं को जोड़ने से मेल खाता है:

वृत्ताकार कोणों को ज्यामितीय रूप से इस गुण द्वारा चित्रित किया जा सकता है कि यदि दो जीवा (ज्यामिति) P0P1 और पी0P2 कोण L घटाएँ1 और मैं2 एक वृत्त के केंद्र में, उनका योग L1 + L2 जीवा PQ द्वारा बनाया गया कोण है, जहाँ PQ का P के समानांतर होना आवश्यक है1P2.

यही निर्माण हाइपरबोला पर भी लागू किया जा सकता है। यदि पी0 को मुद्दा मान लिया गया है (1, 1), पी1 बिंदु (x1, 1/x1), और पी2 बिंदु (x2, 1/x2), तो समानांतर स्थिति के लिए आवश्यक है कि Q बिंदु हो (x1x2, 1/x11/x2). इस प्रकार P से अतिशयोक्तिपूर्ण कोण को परिभाषित करना समझ में आता है0 बिंदु के x के मान के लघुगणकीय फलन के रूप में वक्र पर एक मनमाने बिंदु पर। जबकि यूक्लिडियन ज्यामिति में मूल बिंदु से एक किरण की ओर लगातार ऑर्थोगोनल दिशा में चलते हुए एक वृत्त का पता चलता है, एक छद्म-यूक्लिडियन अंतरिक्ष में | छद्म-यूक्लिडियन विमान लगातार ऑर्थोगोनल दिशा में मूल से एक किरण की ओर बढ़ते हुए एक हाइपरबोला का पता लगाता है। यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, किसी दिए गए कोण का गुणज एक वृत्त के चारों ओर समान दूरी का पता लगाता है जबकि यह हाइपरबोलिक रेखा पर घातांकीय दूरियों का पता लगाता है। वृत्ताकार और अतिपरवलयिक दोनों कोण एक अपरिवर्तनीय माप के उदाहरण प्रदान करते हैं। एक वृत्त पर कोणीय परिमाण वाले चाप वृत्त पर कुछ मापनीय सेटों पर एक माप (गणित) उत्पन्न करते हैं जिसका परिमाण वृत्त के घूमने या घूमने पर भिन्न नहीं होता है। हाइपरबोला के लिए मोड़ निचोड़ मैपिंग द्वारा होता है, और जब विमान को मैपिंग द्वारा निचोड़ा जाता है तो हाइपरबोलिक कोण परिमाण समान रहते हैं
 * (x, y) ↦ (rx, y / r), r > 0 के साथ।

मिन्कोवस्की रेखा तत्व से संबंध
हाइपरबोलिक कोण और मिन्कोव्स्की स्पेस पर परिभाषित मीट्रिक के बीच भी एक अजीब संबंध है। जिस प्रकार द्विआयामी यूक्लिडियन ज्यामिति अपने रेखा तत्व को इस प्रकार परिभाषित करती है
 * $$ds_{e}^2 = dx^2 + dy^2,$$

मिन्कोवस्की स्थान पर रेखा तत्व है
 * $$ds_{m}^2 = dx^2 - dy^2.$$

दो आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में अंतर्निहित एक वक्र पर विचार करें,
 * $$x = f(t), y=g(t).$$

पैरामीटर कहां है $$t$$ एक वास्तविक संख्या है जो बीच में चलती है $$ a $$ और $$ b $$ ($$ a\leqslant t<b $$). यूक्लिडियन अंतरिक्ष में इस वक्र की चाप लंबाई की गणना इस प्रकार की जाती है:
 * $$S = \int_{a}^{b}ds_{e} = \int_{a}^{b} \sqrt{\left (\frac{dx}{dt}\right )^2 + \left (\frac{dy}{dt}\right )^2 }dt.$$

अगर $$ x^2 + y^2 = 1 $$ एक इकाई वृत्त को परिभाषित करता है, इस समीकरण के लिए सेट एक एकल पैरामीटरयुक्त समाधान है $$ x = \cos t $$ और $$ y = \sin t $$. दे $$ 0\leqslant t < \theta $$, आर्कलेंथ की गणना $$ S $$ देता है $$ S = \theta $$. अब यूक्लिडियन तत्व को मिन्कोव्स्की लाइन तत्व से बदलने के अलावा, वही प्रक्रिया कर रहे हैं,
 * $$S = \int_{a}^{b}ds_{m} = \int_{a}^{b} \sqrt{\left (\frac{dx}{dt}\right )^2 - \left (\frac{dy}{dt}\right )^2 }dt,$$

और एक इकाई हाइपरबोला को इस प्रकार परिभाषित किया गया $$ y^2 - x^2 = 1 $$ इसके संगत पैरामीटरयुक्त समाधान सेट के साथ $$ y = \cosh t $$ और $$ x = \sinh t $$, और देकर $$ 0\leqslant t < \eta $$ (अतिशयोक्तिपूर्ण कोण), हम परिणाम पर पहुंचते हैं $$ S = \eta $$. दूसरे शब्दों में, इसका मतलब यह है कि जिस प्रकार वृत्ताकार कोण को यूक्लिडियन परिभाषित मीट्रिक का उपयोग करके उसी कोण द्वारा अंतरित इकाई वृत्त पर चाप की चाप की लंबाई के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, हाइपरबोलिक कोण इकाई हाइपरबोला पर अंतरित चाप की चाप की लंबाई है मिन्कोव्स्की परिभाषित मीट्रिक का उपयोग करके अतिपरवलयिक कोण द्वारा।

इतिहास
अतिपरवलय का चतुर्भुज (गणित) एक अतिपरवलयिक क्षेत्र के क्षेत्रफल का मूल्यांकन है। इसे एक अनंतस्पर्शी के विरुद्ध संगत क्षेत्र के बराबर दिखाया जा सकता है। चतुर्भुज को पहली बार ग्रेगोइरे डी सेंट-विंसेंट द्वारा 1647 में ओपस जियोमेट्रिकम क्वाडरेचर सर्कुली एट सेक्शनम कोनी में पूरा किया गया था। जैसा कि एक इतिहासकार ने व्यक्त किया है,
 * [उन्होंने अतिशयोक्ति  का चतुर्भुज उसके अनंतस्पर्शी बनाया, और दिखाया कि जैसे-जैसे अंकगणितीय श्रृंखला में क्षेत्र बढ़ता है, ज्यामितीय श्रृंखला में भुज भी बढ़ता है।

ए. ए. डी सरसा ने चतुर्भुज की व्याख्या एक लघुगणक के रूप में की और इस प्रकार ज्यामितीय रूप से परिभाषित प्राकृतिक लघुगणक (या अतिपरवलयिक लघुगणक) को इसके अंतर्गत आने वाले क्षेत्र के रूप में समझा जाता है। y = 1/x के अधिकार के लिए x = 1. एक पारलौकिक कार्य के उदाहरण के रूप में, लघुगणक इसके प्रेरक, अतिशयोक्तिपूर्ण कोण से अधिक परिचित है। फिर भी, जब सेंट-विंसेंट की स्क्वीज़ मैपिंग#ब्रिज टू ट्रान्सेंडैंटल्स|प्रमेय को स्क्वीज़ मैपिंग के साथ उन्नत किया जाता है, तो हाइपरबोलिक कोण एक भूमिका निभाता है।

सर्कुलर त्रिकोणमिति को ऑगस्टस डीमॉर्गन ने अपनी पाठ्यपुस्तक त्रिकोणमिति और डबल बीजगणित में हाइपरबोला तक विस्तारित किया था। 1878 में विलियम किंग्डन क्लिफ़ोर्ड|डब्ल्यू.के. क्लिफोर्ड ने पैरामीट्रिक समीकरण एक इकाई हाइपरबोला के लिए हाइपरबोलिक कोण का उपयोग किया, इसे लयबद्ध दोलक के रूप में वर्णित किया।

1894 में अलेक्जेंडर मैकफर्लेन ने अपनी पुस्तक पेपर्स ऑन स्पेस एनालिसिस में अपना निबंध द इमेजिनरी ऑफ अलजेब्रा प्रसारित किया, जिसमें वर्सोर#हाइपरबोलिक वर्सोर उत्पन्न करने के लिए हाइपरबोलिक कोणों का उपयोग किया गया था। अगले वर्ष अमेरिकन मैथमैटिकल सोसाइटी के बुलेटिन ने मेलेन डब्ल्यू हास्केल की अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों की रूपरेखा प्रकाशित की। जब लुडविग सिलबरस्टीन  ने सापेक्षता के नए सिद्धांत पर अपनी लोकप्रिय 1914 की पाठ्यपुस्तक लिखी, तो उन्होंने हाइपरबोलिक कोण ए पर आधारित  तेज़ी  अवधारणा का उपयोग किया, जहां tanh a = v/c, वेग v और प्रकाश की गति का अनुपात। उन्होंने लिखा है:


 * यह उल्लेख करने योग्य प्रतीत होता है कि इकाई तीव्रता एक विशाल वेग से मेल खाती है, जो प्रकाश के वेग का 3/4 है; हमारे पास अधिक सटीक है v = (.7616)c के लिए a = 1.
 * [...] तेजी a = 1, [...] परिणामस्वरूप वेग .76 c का प्रतिनिधित्व करेगा जो पानी में प्रकाश के वेग से थोड़ा ऊपर है।

सिल्बरस्टीन प्राप्त करने के लिए निकोलाई लोबचेव्स्की की समानता के कोण Π(a) की अवधारणा का भी उपयोग करता है cos Π(a) = v/c.

काल्पनिक वृत्ताकार कोण
अतिपरवलयिक कोण को अक्सर ऐसे प्रस्तुत किया जाता है मानो वह कोई काल्पनिक संख्या हो, $ \cos ix = \cosh x$ और $\sin ix = i \sinh x,$  ताकि अतिपरवलयिक फलनों कोश और सिंह को वृत्ताकार फलनों के माध्यम से प्रस्तुत किया जा सके। लेकिन यूक्लिडियन तल में हम वैकल्पिक रूप से वृत्ताकार कोण मापों को काल्पनिक और अतिपरवलयिक कोण मापों को वास्तविक अदिश मान सकते हैं, $ \cosh ix = \cos x$  और $\sinh ix = i \sin x.$ इन रिश्तों को घातीय फ़ंक्शन के संदर्भ में समझा जा सकता है, जो एक जटिल तर्क के लिए है $z$ सम और विषम कार्यों में विभाजित किया जा सकता है $\cosh z = \tfrac12(e^z + e^{-z})$  और $\sinh z = \tfrac12(e^z - e^{-z}),$  क्रमश। तब

$$e^z = \cosh z + \sinh z = \cos(iz) - i \sin(iz), $$ या यदि तर्क को वास्तविक और काल्पनिक भागों में विभाजित किया गया है $z = x + iy,$ घातांक को स्केलिंग के उत्पाद में विभाजित किया जा सकता है $e^{x}$  और घूर्णन $e^{iy},$

$$e^{x + iy} = e^{x}e^{iy} = (\cosh x + \sinh x)(\cos y + i \sin y).$$ अनंत श्रृंखला के रूप में,

$$\begin{alignat}{3} e^z     &= \,\,\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}  && = 1 + z + \tfrac{1}{2}z^2 + \tfrac16z^3 + \tfrac1{24}z^4 + \dots \\ \cosh z &= \sum_{k \text{ even} } \frac{z^k}{k!} && = 1 + \tfrac{1}{2}z^2 + \tfrac1{24}z^4 + \dots \\ \sinh z &= \,\sum_{k \text{ odd} } \frac{z^k}{k!} && = z + \tfrac{1}{6}z^3 + \tfrac1{120}z^5 + \dots \\ \cos z  &= \sum_{k \text{ even} } \frac{(iz)^k}{k!} && = 1 - \tfrac{1}{2}z^2 + \tfrac1{24}z^4 - \dots \\ i \sin z &= \,\sum_{k \text{ odd} } \frac{(iz)^k}{k!} && = i\left(z - \tfrac{1}{6}z^3 + \tfrac1{120}z^5 - \dots\right) \\ \end{alignat}$$ कोसाइन के लिए अनंत श्रृंखला को कोश से एक वैकल्पिक श्रृंखला में बदलकर प्राप्त की जाती है, और साइन के लिए श्रृंखला सिंह को एक वैकल्पिक श्रृंखला में बदलकर प्राप्त की जाती है।

यह भी देखें

 * उत्कृष्ट कोण

संदर्भ

 * Janet Heine Barnett (2004) "Enter, stage center: the early drama of the hyperbolic functions", available in (a) Mathematics Magazine 77(1):15–30 or (b) chapter 7 of Euler at 300, RE Bradley, LA D'Antonio, CE Sandifer editors, Mathematical Association of America ISBN 0-88385-565-8.
 * Arthur Kennelly (1912) Application of hyperbolic functions to electrical engineering problems
 * William Mueller, Exploring Precalculus, § The Number e, Hyperbolic Trigonometry.
 * John Stillwell (1998) Numbers and Geometry exercise 9.5.3, p. 298, Springer-Verlag ISBN 0-387-98289-2.