श्वार्जस्चिल्ड मीट्रिक

अल्बर्ट आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत में, श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक (श्वार्ज़स्चिल्ड समाधान के रूप में भी जाना जाता है) आइंस्टीन फ़ील्ड समीकरणों का स्पष्ट समाधान है जो गोलाकार द्रव्यमान के बाहर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र का वर्णन करता है, इस धारणा पर कि द्रव्यमान का विद्युत आवेश, द्रव्यमान का कोणीय संवेग, और सार्वभौमिक ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक सभी शून्य हैं। समाधान धीरे-धीरे घूमने वाली खगोलीय वस्तुओं जैसे पृथ्वी और सूर्य सहित कई तारों और ग्रहों का वर्णन करने के लिए एक उपयोगी सन्निकटन है। यह 1916 में कार्ल श्वार्जचाइल्ड द्वारा पाया गया था, और लगभग उसी समय स्वतंत्र रूप से जॉन ड्रॉस्ट द्वारा खोजा गया था, जिन्होंने श्वार्ज़स्चाइल्ड के चार महीने बाद अपनी अधिक पूर्ण और आधुनिक दिखने वाली चर्चा प्रकाशित की थी।

बिरखॉफ के प्रमेय के अनुसार, श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों का सबसे सामान्य घूर्णी समरूपता निर्वात समाधान (सामान्य सापेक्षता) है। श्वार्ज़स्चिल्ड ब्लैक होल या स्टैटिक ब्लैक होल एक ब्लैक होल है जिसमें न तो विद्युत आवेश होता है और न ही कोणीय गति होती है। श्वार्जस्चिल्ड ब्लैक होल का वर्णन स्च्वार्जस्चिल्ड मीट्रिक द्वारा किया जाता है, और इसके द्रव्यमान के अतिरिक्त किसी भी अन्य श्वार्जस्चिल्ड ब्लैक होल से अलग नहीं किया जा सकता है।

श्वार्ज़स्चिल्ड ब्लैक होल की विशेषता एक आसपास की गोलाकार सीमा होती है, जिसे घटना क्षितिज कहा जाता है, जो श्वार्ज़स्चिल्ड त्रिज्या में स्थित है, जिसे अधिकांश ब्लैक होल की त्रिज्या कहा जाता है। सीमा एक भौतिक सतह नहीं है, और एक व्यक्ति जो घटना क्षितिज के माध्यम से गिर गया (ज्वारीय बलों द्वारा अलग होने से पहले), उस स्थिति में कोई भौतिक सतह नहीं देखेगा; यह एक गणितीय सतह है जो ब्लैक होल के गुणों को निर्धारित करने में महत्वपूर्ण है। कोई भी गैर-घूर्णन और गैर-आवेशित द्रव्यमान जो अपने श्वार्जस्चिल्ड त्रिज्या से छोटा होता है, जो एक ब्लैक होल बनाता है। आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों का समाधान किसी भी द्रव्यमान $M$ के लिए मान्य है, इसलिए सिद्धांत रूप में (सामान्य सापेक्षता सिद्धांत के अनुसार) किसी भी द्रव्यमान का एक श्वार्जस्चिल्ड ब्लैक होल उपस्थित हो सकता है यदि इसके गठन की अनुमति देने के लिए परिस्थितियाँ पर्याप्त रूप से अनुकूल हों।

श्वार्सचाइल्ड ब्लैक होल के आसपास, अंतरिक्ष इतना अधिक झुकता है कि प्रकाश किरणें भी विक्षेपित हो जाती हैं, और बहुत पास के प्रकाश को इतना विक्षेपित किया जा सकता है कि यह ब्लैक होल के चारों ओर कई बार यात्रा करता है।

सूत्रीकरण
श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक एक गोलाकार सममित लोरेंत्ज़ियन मीट्रिक है (यहां, हस्ताक्षर सम्मेलन के साथ $(−, +, +, +)$,) परिभाषित (का एक उपसमुच्चय) किया गया है $$\mathbb{R}\times \left(E^3 - O\right) \cong \mathbb{R} \times (0,\infty) \times S^2$$ जहाँ $$E^3$$ 3 आयामी यूक्लिडियन स्थान है, और $$S^2 \subset E^3$$ दो क्षेत्र है। घूर्णन समूह $$SO(3) = SO(E^3)$$ पहले $$\mathbb{R}$$ कारक को अपरिवर्तित छोड़ते हुए केंद्र $$O$$ के चारों ओर घूर्णन के रूप में $$E^3 - O$$ या $$S^2$$ कारक पर कार्य करता है। श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक रिक्त स्थान में आइंस्टीन के क्षेत्र समीकरणों का एक समाधान है, जिसका अर्थ है कि यह गुरुत्वाकर्षण निकाय के बाहर ही मान्य है। अर्थात् त्रिज्या $$R$$ के एक गोलाकार पिंड के लिए समाधान $$r > R$$ के लिए मान्य है। गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के अंदर और बाहर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र का वर्णन करने के लिए श्वार्जस्चिल्ड समाधान $$r = R$$ को कुछ उपयुक्त आंतरिक समाधान के साथ मिलान किया जाना चाहिए, जैसे इंटीरियर श्वार्जस्चिल्ड मीट्रिक

श्वार्जस्चिल्ड में निर्देशांक $$(t, r, \theta, \phi)$$ श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक (या समतुल्य रूप से, उचित समय के लिए रेखा तत्व) का रूप है $$g = -c^2 \,{d \tau}^{2} = -\left(1 - \frac{r_\mathrm{s}}{r} \right) c^2 \,dt^2 + \left(1-\frac{r_\mathrm{s}}{r}\right)^{-1} \,dr^2 + r^2 g_\Omega,$$ जहाँ $$ g_\Omega$$ दो क्षेत्रों, अर्थात $$g_\Omega = \left(d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2\right)$$ पर मीट्रिक है। आगे,
 * $$d\tau^2$$ टाइमलाइक कर्व्स के लिए धनात्मक है, इस स्थिति में $$\tau$$ उचित समय (परीक्षण कण के साथ समान विश्व रेखा के साथ चलने वाली घड़ी द्वारा मापा गया समय) है,
 * $$c$$ प्रकाश की गति है,
 * $$t$$ के लिए है $$r > r_s$$, समय समन्वय (बड़े पैमाने पर पिंड और उसके संबंध में स्थिर से असीम रूप से दूर स्थित एक घड़ी द्वारा मापा जाता है),
 * $$r$$ के लिए है $$r > r_s$$, रेडियल निर्देशांक (परिधि के रूप में मापा जाता है, 2$\pi$ से विभाजित किया जाता है, विशाल पिंड के चारों ओर केंद्रित गोले का),
 * $$\Omega$$ दो गोले $$S^2$$ पर एक बिंदु है,
 * $$\theta$$ का colatitude है $$\Omega$$ (उत्तर से कोण, कांति की इकाइयों में) स्वैच्छिक विधि से एक जेड-अक्ष चुनने के बाद परिभाषित किया गया है,
 * $$\phi$$ का देशांतर है $$\Omega$$ (रेडियन में भी) चुने हुए z-अक्ष के आसपास, और
 * $$r_s$$ विशाल पिंड का श्वार्जस्चिल्ड त्रिज्या है, एक पैमाना कारक जो इसके द्रव्यमान से संबंधित है $$M$$ द्वारा $$r_s = \frac{2GM}{c^2}$$, जहाँ $$G$$ गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है।.

श्वार्जस्चिल्ड मीट्रिक के लिए एक विलक्षणता है $$r = 0$$ जो एक आंतरिक वक्रता विलक्षणता है। यह घटना क्षितिज पर एक विलक्षणता भी प्रतीत होती है $$r = r_s$$. दृष्टिकोण के आधार पर, मीट्रिक को केवल बाहरी क्षेत्र पर ही परिभाषित किया जाता है $$r > r_s$$, केवल आंतरिक क्षेत्र पर $$r < r_s$$ या उनका असंबद्ध संघ। हालांकि, घटना क्षितिज के पार मीट्रिक वास्तव में गैर-एकवचन है, जैसा कि कोई उपयुक्त निर्देशांक में देखता है (नीचे देखें)। के लिए $$r \gg r_s $$, Schwarzschild मीट्रिक Minkowski स्थान पर मानक लोरेंत्ज़ मीट्रिक के लिए स्पर्शोन्मुख है। लगभग सभी खगोलीय वस्तुओं के लिए, अनुपात $$\frac{r_s}{R}$$ अत्यंत छोटा है। उदाहरण के लिए, श्वार्जस्चिल्ड त्रिज्या $$r_s^{(\mathrm{Earth})}$$ पृथ्वी का मोटे तौर पर है $8.9 mm$, जबकि सूर्य, जो है $3.3$ गुना भारी श्वार्ज़स्चिल्ड त्रिज्या $$r_s^{(\mathrm{Sun})}$$ है लगभग 3.0 कि.मी. अनुपात केवल ब्लैक होल और अन्य अति-सघन वस्तुओं जैसे न्यूट्रॉन स्टार के निकट निकटता में बड़ा हो जाता है।

रेडियल निर्देशांक दो घटनाओं के बीच उचित दूरी के रूप में भौतिक महत्व के रूप में सामने आता है जो रेडियल मूविंग जियोडेसिक घड़ियों के सापेक्ष एक ही रेडियल निर्देशांक लाइन पर पड़ी दो घटनाओं को देखता है।

श्वार्ज़स्चिल्ड समाधान गुरुत्वाकर्षण के शास्त्रीय न्यूटोनियन सिद्धांत के अनुरूप है जो एक बिंदु कण के आसपास गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से मेल खाता है।

पृथ्वी की सतह पर भी, न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण में सुधार एक अरब में केवल एक भाग है।

इतिहास
श्वार्ज़स्चिल्ड समाधान का नाम कार्ल श्वार्ज़स्चिल्ड के सम्मान में रखा गया है, जिन्होंने 1915 में सटीक समाधान खोजा और आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत के प्रकाशन के एक महीने से थोड़ा अधिक समय बाद जनवरी 1916 में इसे प्रकाशित किया था। आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत के प्रकाशन के एक महीने से थोड़ा अधिक समय बाद। यह सामान्य मिन्कोव्स्की स्पेसटाइम के अतिरिक्त आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों की सामान्य सापेक्षता में यह पहला स्पष्ट समाधान था। श्वार्ज़चाइल्ड का पेपर प्रकाशित होने के कुछ समय बाद ही मृत्यु हो गई, एक बीमारी के परिणामस्वरूप जो उन्होंने प्रथम विश्व युद्ध के दौरान रैशवेर में सेवा करते हुए विकसित की थी।

1916 में जोहान्स ड्रॉस्ट ने स्वतंत्र रूप से एक सरल और अधिक प्रत्यक्ष व्युत्पत्ति का उपयोग करते हुए श्वार्जस्चिल्ड के समान समाधान का उत्पादन किया।

सामान्य सापेक्षता के प्रारंभिक वर्षों में श्वार्जस्चिल्ड और आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के अन्य समाधानों में पाई जाने वाली विलक्षणताओं की प्रकृति के बारे में बहुत भ्रम था। श्वार्ज़चाइल्ड के मूल पेपर में, उन्होंने वह रखा जिसे अब हम घटना क्षितिज कहते हैं जो उनके समन्वय प्रणाली के मूल में है। इस पत्र में उन्होंने वह भी प्रस्तुत किया जिसे अब श्वार्जस्चिल्ड रेडियल निर्देशांक के रूप में जाना जाता है ($r$ उपरोक्त समीकरणों में), एक सहायक चर के रूप में। अपने समीकरणों में, श्वार्ज़स्चिल्ड एक अलग रेडियल समन्वय का उपयोग कर रहा था जो श्वार्ज़स्चिल्ड त्रिज्या पर शून्य था।

अगले वर्ष डेविड हिल्बर्ट द्वारा विलक्षणता संरचना का अधिक संपूर्ण विश्लेषण दिया गया था जिसमें $r = 0$ और $r = r_{s}$ दोनों पर विलक्षणता की पहचान की गई थी। चूंकि आम सहमति थी कि $r = 0$ पर विलक्षणता एक वास्तविक भौतिक विलक्षणता थी, $r = r_{s}$ पर विलक्षणता की प्रकृति अस्पष्ट रही।

1921 में पॉल पेनलेव और 1922 में अलवर गुलस्ट्रैंड ने स्वतंत्र रूप से आइंस्टीन के समीकरणों का एक गोलाकार रूप से सममित समाधान एक मीट्रिक का उत्पादन किया, जिसे अब हम जानते हैं कि श्वार्ज़चाइल्ड मेट्रिक, गुलस्ट्रैंड-पेनलेव निर्देशांक का समन्वय परिवर्तन है, जिसमें $r = r_{s}$ पर कोई विलक्षणता नहीं थी। चूंकि, उन्होंने यह नहीं पहचाना कि उनके समाधान केवल समन्वय रूपांतरण थे, और वास्तव में अपने समाधान का उपयोग यह तर्क देने के लिए किया कि आइंस्टीन का सिद्धांत गलत था। 1924 में आर्थर एडिंगटन ने पहला समन्वय परिवर्तन (एडिंगटन-फिंकेलस्टीन निर्देशांक) प्रस्तुत किया जिसने दिखाया कि $r = r_{s}$ पर विलक्षणता एक समन्वय विरूपण साक्ष्य थी, चूंकि ऐसा लगता है कि वह इस खोज के महत्व से अनजान थे। बाद में, 1932 में, जार्ज लेमैत्रे ने एक ही प्रभाव के लिए एक अलग समन्वय परिवर्तन (लेमेट्रे निर्देशांक) दिया और यह पहचानने वाले पहले व्यक्ति थे कि यह निहित है कि $r = r_{s}$ पर विलक्षणता भौतिक नहीं थी। 1939 में हावर्ड पर्सी रॉबर्टसन ने दिखाया कि श्वार्ज़स्चाइल्ड मीट्रिक में उतरने वाला एक मुक्त गिरने वाला पर्यवेक्षक उचित समय की परिमित मात्रा में $r = r_{s}$ विलक्षणता को पार करेगा, तथापि समन्वय समय $t$ के संदर्भ में यह अनंत समय लेगा।

1950 में, जॉन लाइटन गाओ ने एक पेपर तैयार किया जिसने श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक की अधिकतम विश्लेषणात्मक निरंतरता को दिखाया, फिर से दिखा रहा है कि विलक्षणता $r = r_{s}$ एक समन्वित कलाकृति थी और यह दो क्षितिजों का प्रतिनिधित्व करती थी। इसी तरह के परिणाम को बाद में जॉर्ज स्जेकेरेस, और स्वतंत्र रूप से मार्टिन क्रुस्कल द्वारा फिर से खोजा गया। नए निर्देशांक जिन्हें आजकल क्रस्कल-शेकेरेस निर्देशांक के रूप में जाना जाता है, सिंज की तुलना में बहुत सरल थे, लेकिन दोनों ने निर्देशांक का एक समुच्चय प्रदान किया जो पूरे स्पेसटाइम को कवर करता था। चूंकि, शायद उन पत्रिकाओं की अस्पष्टता के कारण जिनमें लेमेत्रे और सिंज के पेपर प्रकाशित हुए थे, उनके निष्कर्षों पर किसी का ध्यान नहीं गया, आइंस्टीन सहित क्षेत्र के कई प्रमुख खिलाड़ियों का मानना ​​था कि श्वार्ज़स्चिल्ड त्रिज्या में विलक्षणता भौतिक थी। सिंज की बाद में ज़ेकेरेस-क्रुस्कल मीट्रिक समाधान की व्युत्पत्ति, जो 'अच्छे' [स्ज़ेकेरेस-क्रुस्कल] निर्देशांक प्राप्त करने के लिए 'खराब' [श्वार्जस्चिल्ड] निर्देशांक का उपयोग करने से बचने की इच्छा से प्रेरित था, साहित्य में आम तौर पर इसकी सराहना की गई है, लेकिन चंद्रशेखर ने अपने ब्लैक होल मोनोग्राफ में इसे अपनाया था।

1960 के दशक में वास्तविक प्रगति हुई जब डिफरेंशियल ज्योमेट्री के अधिक स्पष्ट उपकरण सामान्य सापेक्षता के क्षेत्र में प्रवेश कर गए, जिससे लोरेंट्ज़ियन कई गुना के लिए एकवचन होने का क्या अर्थ है, इसकी अधिक स्पष्ट परिभाषाएँ दी गईं। इससे श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक में $r = r_{s}$ विलक्षणता की एक घटना क्षितिज के रूप में निश्चित पहचान हुई (स्पेसटाइम में एक हाइपरसफेस जिसे केवल एक दिशा में पार किया जा सकता है)।

विलक्षणताएं और ब्लैक होल
श्वार्ज़स्चिल्ड समाधान में $r = 0$ और $r = r_{s}$ पर गणितीय विलक्षणता प्रतीत होती है; इन रेडी पर कुछ मीट्रिक घटक "ब्लो अप" (शून्य से विभाजन या अनंत से गुणा) करते हैं। चूंकि श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक केवल गुरुत्वाकर्षण निकाय के त्रिज्या $R$ से बड़े त्रिज्या के लिए मान्य होने की उम्मीद है, इसलिए $R > r_{s}$ तक कोई समस्या नहीं है। साधारण तारों और ग्रहों के लिए सदैव ऐसा ही होता है। उदाहरण के लिए, सूर्य की त्रिज्या लगभग है $700,000 km$ है, जबकि इसकी श्वार्जस्चिल्ड त्रिज्या केवल $3 km$ है।

विलक्षणता पर $r = r_{s}$ श्वार्ज़स्चिल्ड निर्देशांकों को दो संयोजकता निर्देशांक पैच में विभाजित करता है। बाहरी श्वार्जस्चिल्ड समाधान के साथ $r > r_{s}$ वह है जो तारों और ग्रहों के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से संबंधित है। आंतरिक श्वार्जस्चिल्ड समाधान के साथ $0 ≤ r < r_{s}$, जिसमें $r = 0$ पर विलक्षणता सम्मिलित है, $r = r_{s}$ पर विलक्षणता द्वारा बाहरी पैच से पूरी तरह से अलग है। स्च्वार्जस्चिल्ड निर्देशांक इसलिए दो पैच के बीच कोई भौतिक संबंध नहीं देते हैं, जिसे अलग समाधान के रूप में देखा जा सकता है। विलक्षणता पर $r = r_{s}$ चूंकि एक भ्रम है; यह एक उदाहरण है जिसे एक समन्वय विलक्षणता कहा जाता है। जैसा कि नाम से पता चलता है, विलक्षणता निर्देशांक या समन्वय स्थितियों के खराब विकल्प से उत्पन्न होती है। एक अलग समन्वय प्रणाली में बदलते समय (उदाहरण के लिए लेमैत्रे निर्देशांक, एडिंगटन-फिंकेलस्टीन निर्देशांक, क्रुस्कल-शेकेरेस निर्देशांक, नोविकोव निर्देशांक, या गुलस्ट्रैंड-पेनलेव निर्देशांक) मीट्रिक $r = r_{s}$ पर नियमित हो जाता है और बाहरी पैच को $r$ के मान तक बढ़ा सकते हैं $r_{s}$ से छोटा एक अलग समन्वय परिवर्तन का उपयोग करके कोई भी विस्तारित बाहरी पैच को आंतरिक पैच से जोड़ सकता है।

स्थिति $r = 0$ चूंकि अलग है। अगर कोई पूछता है कि समाधान सभी के लिए मान्य है $r$ मूल में एक वास्तविक भौतिक विलक्षणता, या गुरुत्वीय विलक्षणता में चलता है। यह देखने के लिए कि यह एक सच्ची विलक्षणता है, किसी को उन राशियों को देखना चाहिए जो निर्देशांक की पसंद से स्वतंत्र हैं। ऐसी ही एक महत्वपूर्ण मात्रा क्रिस्चमैन इनवेरिएंट है, जो इसके द्वारा दी गई है
 * $$R^{\alpha\beta\gamma\delta} R_{\alpha\beta\gamma\delta} = \frac{12 r_\mathrm{s}^2}{r^6} = \frac{48 G^2 M^2}{c^4 r^6} \,.$$

पर $r = 0$ वक्रता अनंत हो जाती है, जो एक विलक्षणता की उपस्थिति का संकेत देती है। इस बिंदु पर मीट्रिक को सहज विधि से विस्तारित नहीं किया जा सकता है (क्रिश्चमैन इनवेरिएंट में मीट्रिक के दूसरे डेरिवेटिव सम्मिलित हैं), स्पेसटाइम स्वयं तब अच्छी तरह से परिभाषित नहीं होता है। इसके अतिरिक्त, सर्बर्सकी ने दिखाया कि मीट्रिक को निरंतर विधि से भी बढ़ाया नहीं जा सकता है। लंबे समय तक यह सोचा गया था कि ऐसा समाधान अभौतिक है। चूंकि, सामान्य सापेक्षता की एक बड़ी समझ ने इस बोध को जन्म दिया कि इस प्रकार की विलक्षणता सिद्धांत की एक सामान्य विशेषता थी, न कि केवल एक विदेशी विशेष स्थिति थी।

स्च्वार्जस्चिल्ड समाधान, जिसे सभी $r > 0$ के लिए मान्य माना जाता है, को श्वार्जस्चिल्ड ब्लैक होल कहा जाता है। यह आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों का एक पूरी तरह से वैध समाधान है, चूंकि (अन्य ब्लैक होल की तरह) इसमें विचित्र गुण हैं। $r < r_{s}$ के लिए श्वार्जस्चिल्ड रेडियल निर्देशांक $r$ टाइमलाइक हो जाता है और टाइम कोऑर्डिनेट $t$ स्पेसलाइक हो जाता है। निरंतर $r$ अब किसी कण या प्रेक्षक की संभावित विश्व रेखा नहीं है, तथापि इसे वहां रखने की कोशिश करने के लिए बल लगाया गया हो; ऐसा इसलिए होता है क्योंकि दिक्-काल को इतना वक्रित किया गया है कि कारण और प्रभाव की दिशा (कण का भविष्य प्रकाश शंकु) विलक्षणता की ओर इंगित करता है। सतह $r = r_{s}$ उस चीज़ का सीमांकन करता है जिसे ब्लैक होल का घटना क्षितिज कहा जाता है। यह उस बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है जिसके बाद प्रकाश अब गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर नहीं निकल सकता है। कोई भौतिक वस्तु जिसका त्रिज्या $R$ श्वार्ज़स्चिल्ड त्रिज्या से कम या बराबर हो जाता है और गुरुत्वाकर्षण के पतन से गुज़रता है और एक ब्लैक होल बन जाता है।

वैकल्पिक निर्देशांक
श्वार्ज़स्चिल्ड समाधान को ऊपर उपयोग किए गए श्वार्ज़स्चिल्ड निर्देशांक के अतिरिक्त निर्देशांक के विभिन्न विकल्पों की एक श्रृंखला में व्यक्त किया जा सकता है। विभिन्न विकल्प समाधान की विभिन्न विशेषताओं को प्रकाशित करते हैं। नीचे दी गई तालिका कुछ लोकप्रिय विकल्पों को दिखाती है। उपरोक्त तालिका में संक्षिप्तता के लिए कुछ आशुलिपि का परिचय दिया गया है। प्रकाश की गति $c$ को एक पर समुच्चय किया गया है। अंकन
 * $$ g_\Omega= d\theta^2+\sin^2\theta \,d\varphi^2$$

एक इकाई त्रिज्या 2-आयामी क्षेत्र के मीट्रिक के लिए उपयोग किया जाता है। इसके अतिरिक्त, प्रत्येक प्रविष्टि में $$R$$ और $$T$$ विशेष निर्देशांक के लिए रेडियल और समय समन्वय के वैकल्पिक विकल्पों को निरूपित करें। ध्यान दें $$R$$ और/या $$T$$ प्रवेश से प्रवेश में भिन्न हो सकते हैं।

क्रुस्कल-शेकेरेस निर्देशांक का वह रूप है जिस पर बेलिंस्की-ज़खारोव रूपांतरण लागू किया जा सकता है। इसका तात्पर्य है कि श्वार्ज़स्चिल्ड ब्लैक होल गुरुत्वाकर्षण सॉलिटॉन का एक रूप है।

फ्लेम का पैराबोलॉइड
$r > r_{s}$ के लिए श्वार्ज़स्चिल्ड समाधान की स्थानिक वक्रता को ग्राफिक शो के रूप में देखा जा सकता है। श्वार्ज़स्चिल्ड समाधान ($θ = π/2$, $t$ = स्थिर) के माध्यम से निरंतर समय भूमध्यरेखीय टुकड़ा पर विचार करें और इस विमान में गतिमान कण की स्थिति को शेष श्वार्जस्चिल्ड निर्देशांक $(r, φ)$ के साथ वर्णित किया जाना चाहिए। अब कल्पना कीजिए कि एक अतिरिक्त यूक्लिडियन आयाम $w$ है, जिसकी कोई भौतिक वास्तविकता (यह स्पेसटाइम का हिस्सा नहीं है) नहीं है। फिर $(r, φ)$ समतल को समीकरण के अनुसार $w$ दिशा में डिम्पल वाली सतह से बदलें (फ्लैम्स पैराबोलॉइड)
 * $$w = 2 \sqrt{r_\mathrm{s} \left( r - r_\mathrm{s} \right)}.$$

इस सतह के पास यह गुण है कि इसके भीतर मापी गई दूरी श्वार्जस्चिल्ड मीट्रिक में दूरियों से मेल खाती है, क्योंकि उपरोक्त w की परिभाषा के साथ,
 * $$dw^2 + dr^2 + r^2\, d\varphi^2 = -c^2 \,d\tau^2 = \frac{dr^2}{1 - \frac{r_\mathrm{s}}{r}} + r^2\, d\varphi^2$$

इस प्रकार, फ्लेम का पैराबोलॉइड श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक के स्थानिक वक्रता को देखने के लिए उपयोगी है। चूंकि, इसे गुरुत्वाकर्षण कुएं के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। किसी भी सामान्य (विशाल या द्रव्यमान रहित) कण के पास पैराबोलॉइड पर स्थित विश्व रेखा नहीं हो सकती है, क्योंकि उस पर सभी दूरियां अंतरिक्ष की तरह होती हैं (यह समय के एक क्षण में एक क्रॉस-सेक्शन है, इसलिए इस पर चलने वाले किसी भी कण का अनंत वेग होगा)। एक टैचियन में एक स्पेसलाइक वर्ल्डलाइन हो सकती है जो पूरी तरह से एक पैराबोलॉइड पर स्थित है। चूंकि, उस स्थिति में भी इसका जियोडेसिक पथ वह प्रक्षेपवक्र नहीं है जो गुरुत्वाकर्षण के कुएँ की रबर शीट सादृश्य के माध्यम से प्राप्त होता है: विशेष रूप से, यदि डिंपल को नीचे की बजाय ऊपर की ओर इंगित करते हुए खींचा जाता है, तो टैचियन का जियोडेसिक पथ अभी भी केंद्रीय द्रव्यमान की ओर झुकता है, न की दूर झुकेगा। अधिक जानकारी के लिए ग्रेविटी वेल लेख देखें।

फ्लैम का पैराबोलॉइड निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है। बेलनाकार निर्देशांक में यूक्लिडियन मीट्रिक $(r, φ, w)$ लिखा है
 * $$ds^2 = dw^2 + dr^2 + r^2 \,d\varphi^2 \,.$$

फ़ंक्शन $w = w(r)$ द्वारा सतह का वर्णन करने देना, यूक्लिडियन मीट्रिक को इस रूप में लिखा जा सकता है
 * $$ds^2 = \left( 1 + \left(\frac{dw}{dr}\right)^2 \right) \,dr^2 + r^2\,d\varphi^2 \,,$$

भूमध्यरेखीय तल में स्च्वार्जस्चिल्ड मीट्रिक के साथ इसकी तुलना ($θ = π⁄2$) एक निश्चित समय पर ($t$ = स्थिर, $dt = 0$)
 * $$ds^2 = \left(1-\frac{r_\mathrm{s}}{r} \right)^{-1} \,dr^2 + r^2\,d\varphi^2 \,,$$

के लिए एक अभिन्न अभिव्यक्ति देता है $w(r)$:
 * $$w(r) = \int \frac{dr}{\sqrt{\frac{r}{r_\mathrm{s}}-1}} = 2 r_\mathrm{s} \sqrt{\frac{r}{r_\mathrm{s}}- 1} + \mbox{constant}$$

जिसका विलयन फ्लेम का परवलयज है।

कक्षीय गति


श्वार्ज़स्चिल्ड मेट्रिक में परिक्रमा करने वाले कण की $r > 3r_{s}$ के साथ एक स्थिर गोलाकार कक्षा हो सकती है। $1.5r_{s}$ और $3r_{s}$ और 3rs के बीच $r$ वाली वृत्ताकार कक्षाएँ अस्थिर हैं, और $r < 1.5r_{s}$ के लिए कोई वृत्ताकार कक्षाएँ उपस्थित नहीं हैं। न्यूनतम त्रिज्या $1.5r_{s}$ की गोलाकार कक्षा प्रकाश की गति के निकट आने वाले कक्षीय वेग से मेल खाती है। किसी कण के लिए $r_{s}$ और $1.5r_{s}$ के बीच $r$ का स्थिर मान होना संभव है, लेकिन केवल तभी जब कोई बल इसे वहां बनाए रखने के लिए कार्य करता है।

गैर-वृत्ताकार कक्षाएँ, जैसे कि बुध (ग्रह), न्यूटन के सार्वभौम गुरुत्वाकर्षण के नियम में अपेक्षित अपेक्षा से अधिक समय तक छोटी त्रिज्या पर रहती हैं। इसे अधिक नाटकीय स्थिति के एक कम चरम संस्करण के रूप में देखा जा सकता है जिसमें एक कण घटना क्षितिज के माध्यम से गुजरता है और इसके अंदर सदैव के लिए रहता है। बुध के स्थिति और किसी वस्तु के घटना क्षितिज के पार गिरने के स्थिति के बीच में, चाकू की धार वाली कक्षाओं जैसी विदेशी संभावनाएं हैं, जिसमें उपग्रह को स्वैच्छिक विधि से बड़ी संख्या में लगभग गोलाकार कक्षाओं को निष्पादित करने के लिए बनाया जा सकता है, जिसके बाद यह वापस बाहर की ओर उड़ता है।

समरूपता
श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक के आइसोमेट्रिज़ का समूह दस-आयामी पॉइनकेयर समूह का उपसमूह है जो समय अक्ष (तारे के प्रक्षेपवक्र) को स्वयं तक ले जाता है। यह स्थानिक अनुवाद (तीन आयाम) और बूस्ट (तीन आयाम) को छोड़ देता है। यह समय अनुवाद (एक आयाम) और घुमाव (तीन आयाम) को बरकरार रखता है। इस प्रकार इसके चार आयाम हैं। पोंकारे समूह की तरह, इसके चार जुड़े हुए घटक हैं: पहचान का घटक; समय उलट घटक; स्थानिक उलटा घटक; और वह घटक जो समय उलटा और स्थानिक रूप से उलटा दोनों है।

वक्रता
रिक्की वक्रता अदिश और रिक्की वक्रता टेंसर दोनों शून्य हैं। रिक्की वक्रता टेंसर के गैर-शून्य घटक हैं
 * $$R^{t}{}_{rrt}=2R^{\theta}{}_{r\theta r}=2R^{\phi}{}_{r\phi r}=\frac{r_s}{r^2(r_s-r)}, $$
 * $$2R^{t}{}_{\theta\theta t}=2R^{r}{}_{\theta\theta r}=R^{\phi}{}_{\theta\phi\theta}=\frac{r_s}{r},$$
 * $$2R^{t}{}_{\phi\phi t}=2R^{r}{}_{\phi\phi r}=-R^{\theta}{}_{\phi\phi\theta}=\frac{r_s \sin^2(\theta)}{r},$$
 * $$R^{r}{}_{trt}=-2R^{\theta}{}_{t\theta t}=-2R^{\phi}{}_{t\phi t}= c^2 \frac{r_s (r_s - r)}{r^4}

$$ रीमैन टेन्सर की समरूपता द्वारा प्राप्य घटकों को प्रदर्शित नहीं किया जाता है।

इन राशियों के भौतिक अर्थ को समझने के लिए वक्रता टेंसर को ऑर्थोनॉर्मल आधार पर व्यक्त करना उपयोगी होता है। एक पर्यवेक्षक के एक अलौकिक आधार में ज्यामितीय इकाइयों में गैर-शून्य घटक होते हैं :$$R^{\hat{r}}{}_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}}= -R^{\hat{\theta}}{}_{\hat{\phi}\hat{\theta}\hat{\phi}} = -\frac{r_s}{r^3}, $$
 * $$R^{\hat{\theta}}{}_{\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}}= R^{\hat{\phi}}{}_{\hat{t}\hat{\phi}\hat{t}} = -R^{\hat{r}}{}_{\hat{\theta}\hat{r}\hat{\theta}} = -R^{\hat{r}}{}_{\hat{\phi}\hat{r}\hat{\phi}} = \frac{r_s}{2r^3}. $$

फिर से, रीमैन टेन्सर की समरूपता द्वारा प्राप्य घटकों को प्रदर्शित नहीं किया जाता है। ये परिणाम किसी भी लोरेंत्ज़ बूस्ट के लिए अपरिवर्तनीय हैं, इस प्रकार घटक गैर-स्थैतिक पर्यवेक्षकों के लिए नहीं बदलते हैं। जियोडेसिक विचलन समीकरण से पता चलता है कि दो पर्यवेक्षकों के बीच ज्वारीय त्वरण $$\xi^{\hat{j}}$$ द्वारा $$D^2 \xi^{\hat{j}}/D\tau^2 = -R^{\hat{j}}{}_{\hat{t}\hat{k}\hat{t}} \xi^{\hat{k}}$$ अलग किया गया है, तो लंबाई का एक पिंड $$L$$ एक स्पष्ट त्वरण $$(r_s/r^3)c^2 L$$ द्वारा रेडियल दिशा में फैला हुआ है और लंबवत दिशाओं $$-(r_s/(2r^3)) c^2 L$$ में निचोड़ा हुआ है।

यह भी देखें

 * श्वार्जस्चिल्ड समाधान की व्युत्पत्ति
 * रीस्नर-नॉर्डस्ट्रॉम मीट्रिक (आवेशित, गैर-घूर्णन समाधान)
 * केर मीट्रिक (अपरिवर्तित, घूर्णन समाधान)
 * केर-न्यूमैन मीट्रिक (आवेशित, घूर्णन समाधान)
 * ब्लैक होल, एक सामान्य समीक्षा
 * श्वार्जस्चिल्ड निर्देशांक
 * क्रुस्कल–सजेकेरेस निर्देशांक करता है
 * एडिंगटन-फिंकेलस्टीन निर्देशांक
 * गुलस्ट्रैंड-पेनलेव निर्देशांक
 * लेमैत्रे निर्देशांक (सिंक्रोनस निर्देशांक में श्वार्ज़स्चिल्ड समाधान)
 * सामान्य सापेक्षता में फ़्रेम फ़ील्ड्स (श्वार्ज़स्चिल्ड वैक्यूम में लेमेट्रे पर्यवेक्षक)
 * टोलमैन-ओपेनहाइमर-वोल्कॉफ़ समीकरण (आइसोट्रोपिक सामग्री के स्थिर और गोलाकार रूप से सममित पिंड के मीट्रिक और दबाव समीकरण)
 * प्लैंक लंबाई

संदर्भ

 * Text of the original paper, in Wikisource
 * Translation:
 * A commentary on the paper, giving a simpler derivation:
 * A commentary on the paper, giving a simpler derivation:


 * Text of the original paper, in Wikisource
 * Translation: