टपल

गणित में, एक टपल तत्व (गणित)  की एक परिमित क्रमबद्ध सूची (अनुक्रम) है। एक$n$-tuple एक अनु क्रम  (या आदेशित सूची) है $n$ तत्व, जहां $n$ एक गैर-ऋणात्मक  पूर्णांक  है। केवल एक 0-टुपल है, जिसे खाली टपल कहा जाता है। एक $n$-ट्यूपल एक आदेशित जोड़ी के निर्माण का उपयोग करके  पुनरावर्ती परिभाषा  है।

गणितज्ञ आमतौर पर तत्वों को कोष्ठक के भीतर सूचीबद्ध करके टुपल्स लिखते हैं$$और अल्पविराम से अलग; उदाहरण के लिए, $(2, 7, 4, 1, 7)$ 5-ट्यूपल को दर्शाता है। कभी-कभी अन्य प्रतीकों का उपयोग तत्वों को घेरने के लिए किया जाता है, जैसे वर्ग कोष्ठक [ ] या कोण कोष्ठक ⟨ ⟩ । ब्रेसेस { } का उपयोग कुछ प्रोग्रामिंग भाषाओं में ऐरे डेटा प्रकारों को निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता है, लेकिन गणितीय अभिव्यक्तियों में नहीं, क्योंकि वे सेट (गणित)  के लिए मानक संकेतन हैं। टपल शब्द अक्सर अन्य गणितीय वस्तुओं, जैसे  वेक्टर (गणित और भौतिकी)  पर चर्चा करते समय हो सकता है।

कंप्यूटर विज्ञान में, टुपल्स कई रूपों में आते हैं। अधिकांश टाइप की गई  कार्यात्मक प्रोग्रामिंग  भाषाएं टुपल्स को सीधे  उत्पाद प्रकार  के रूप में लागू करती हैं, बीजगणितीय डेटा प्रकार,  पैटर्न मिलान, और असाइनमेंट (कंप्यूटर विज्ञान) # समानांतर असाइनमेंट के साथ कसकर जुड़ा हुआ है। कई प्रोग्रामिंग भाषाएं टुपल्स के विकल्प की पेशकश करती हैं, जिन्हें  रिकॉर्ड (कंप्यूटर विज्ञान)  के रूप में जाना जाता है, जिसमें लेबल द्वारा एक्सेस किए गए अनियंत्रित तत्व होते हैं। कुछ प्रोग्रामिंग भाषाएं ऑर्डर किए गए टुपल उत्पाद प्रकारों और अनियंत्रित रिकॉर्ड प्रकारों को एक ही निर्माण में जोड़ती हैं, जैसे कि स्ट्रक्चर (सी प्रोग्रामिंग भाषा) और हास्केल रिकॉर्ड। संबंधपरक डेटाबेस औपचारिक रूप से अपनी  पंक्ति (डेटाबेस)  (रिकॉर्ड) को टुपल्स के रूप में पहचान सकते हैं।

संबंधपरक बीजगणित में भी टुपल्स होते हैं;  संसाधन विवरण ढांचा  (RDF) के साथ  सेमांटिक वेब  की प्रोग्रामिंग करते समय; भाषाविज्ञान में; और  दर्शन  में।

व्युत्पत्ति
यह शब्द अनुक्रम के एक अमूर्त के रूप में उत्पन्न हुआ: सिंगल, युगल / डबल, ट्रिपल, चौगुनी, क्विंटुपल, सेक्स्टुपल, सेप्टुपल, ऑक्टुपल, ..., $n$tuple, ..., जहां उपसर्ग अंकों के लैटिन  नामों से लिए गए हैं। अद्वितीय 0-टुपल को नल टपल या खाली टपल कहा जाता है। 1-टुपल को सिंगल (या सिंगलटन) कहा जाता है, 2-टुपल को ऑर्डर किया गया जोड़ा या जोड़ा कहा जाता है, और 3-टुपल को ट्रिपल (या ट्रिपलेट) कहा जाता है। जो नंबर $n$ कोई भी अऋणात्मक पूर्णांक हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक सम्मिश्र संख्या को वास्तविक के 2-टुपल के रूप में दर्शाया जा सकता है, एक चतुष्कोण को 4-ट्यूपल के रूप में दर्शाया जा सकता है, एक  ऑक्टोनियन  को 8-ट्यूपल के रूप में दर्शाया जा सकता है, और एक  sedenion  को 16-ट्यूपल के रूप में दर्शाया जा सकता है.

हालांकि ये प्रत्यय के रूप में ‑uple का उपयोग करते हैं, मूल प्रत्यय −ple था जैसा कि ट्रिपल (तीन-गुना) या decuple (दस-गुना) में होता है। यह ग्रीक भाषा  ‑πλοῦς से संबंधित मध्यकालीन लैटिन प्लस (जिसका अर्थ है अधिक) से उत्पन्न हुआ है, जिसने क्लासिकल और लेट एंटीक प्लेक्स (अर्थात् मुड़ा हुआ) को डुप्लेक्स के रूप में बदल दिया।

विशिष्ट लंबाई के टुपल्स के नाम
ध्यान दें कि $$n \geq 3$$, ऊपर दी गई तालिका में टपल नाम एक क्रिया के रूप में भी कार्य कर सकता है जिसका अर्थ [प्रत्यक्ष वस्तु] से गुणा करना है $$n$$; उदाहरण के लिए, क्विंटुपल का अर्थ है 5 से गुणा करना। यदि $$n = 2$$, तो संबंधित क्रिया दोहराना है। एक क्रिया sesquiple भी है, जिसका अर्थ है 3/2 से गुणा करना। सैद्धांतिक रूप से, मोनूपल का उपयोग इस तरह भी किया जा सकता है।

गुण
दो की पहचान के लिए सामान्य नियम $n$-टुपल्स is
 * $$(a_1, a_2, \ldots, a_n) = (b_1, b_2, \ldots, b_n)$$ अगर और केवल अगर  $$a_1=b_1,\text{ }a_2=b_2,\text{ }\ldots,\text{ }a_n=b_n$$.

इस प्रकार एक टपल में ऐसे गुण होते हैं जो इसे सेट (गणित) से अलग करते हैं:
 * 1) एक टपल में एक ही तत्व के कई उदाहरण हो सकते हैं, इसलिए tuple $$(1,2,2,3) \neq (1,2,3)$$; लेकिन सेट $$\{1,2,2,3\} = \{1,2,3\}$$.
 * 2) टपल तत्वों का आदेश दिया गया है: टपल $$(1,2,3) \neq (3,2,1)$$, लेकिन सेट $$\{1,2,3\} = \{3,2,1\}$$.
 * 3) एक टपल में तत्वों की एक सीमित संख्या होती है, जबकि एक सेट या  multiset  में अनंत संख्या में तत्व हो सकते हैं।

परिभाषाएँ
टुपल्स की कई परिभाषाएँ हैं जो उन्हें पिछले अनुभाग में वर्णित गुण प्रदान करती हैं।

कार्यों के रूप में टुपल्स
$$0$$th>-tuple को फंक्शन (गणित)#सामान्य गुणों के रूप में पहचाना जा सकता है। के लिये $$n \geq 1,$$ $$n$$-टुपल $$\left(a_1, \ldots, a_n\right)$$ ( विशेषण समारोह ) फंक्शन (गणित) से पहचाना जा सकता है#परिभाषा
 * $$F ~:~ \left\{ 1, \ldots, n \right\} ~\to~ \left\{ a_1, \ldots, a_n \right\}$$

फ़ंक्शन के डोमेन के साथ
 * $$\operatorname{domain} F = \left\{ 1, \ldots, n \right\} = \left\{ i \in \N : 1 \leq i \leq n\right\}$$

और कोडोमेन  के साथ
 * $$\operatorname{codomain} F = \left\{ a_1, \ldots, a_n \right\},$$

जिसे परिभाषित किया गया है $$i \in \operatorname{domain} F = \left\{ 1, \ldots, n \right\}$$ द्वारा
 * $$F(i) := a_i.$$

वह है, $$F$$ फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$\begin{alignat}{3}

1 \;&\mapsto&&\;  a_1 \\ \;&\;\;\vdots&&\;     \\ n \;&\mapsto&&\;  a_n \\ \end{alignat}$$ किस मामले में समानता


 * $$\left(a_1, a_2, \dots, a_n\right) = \left(F(1), F(2), \dots, F(n)\right)$$

अनिवार्य रूप से रखता है।

आदेशित जोड़े के सेट के रूप में टुपल्स

फ़ंक्शंस को आमतौर पर उनके फ़ंक्शन के ग्राफ़ के साथ पहचाना जाता है, जो ऑर्डर किए गए जोड़े का एक निश्चित सेट है। दरअसल, कई लेखक ग्राफ़ को फ़ंक्शन की परिभाषा के रूप में उपयोग करते हैं। फ़ंक्शन की इस परिभाषा का उपयोग करते हुए, उपरोक्त फ़ंक्शन $$F$$ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:


 * $$F ~:=~ \left\{ \left(1, a_1\right), \ldots, \left(n, a_n\right) \right\}.$$

नेस्टेड ऑर्डर किए गए जोड़े
के रूप में ट्यूपल्स सेट थ्योरी में टुपल्स को मॉडलिंग करने का एक और तरीका नेस्टेड ऑर्डर किए गए जोड़े के रूप में है। यह दृष्टिकोण मानता है कि आदेशित जोड़ी की धारणा पहले ही परिभाषित की जा चुकी है। इस परिभाषा को पुनरावर्ती रूप से लागू किया जा सकता है $n$-टुपल:
 * 1) 0-टपल (यानी खाली टपल) को खाली सेट द्वारा दर्शाया जाता है $$\emptyset$$.
 * 2) एक $n > 0$-टुपल, साथ $(n − 1)$, को इसकी पहली प्रविष्टि के क्रमित युग्म के रूप में परिभाषित किया जा सकता है और a $n > 1)$-tuple (जिसमें शेष प्रविष्टियाँ होती हैं जब $(n − 1)$:
 * $$(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n) = (a_1, (a_2, a_3, \ldots, a_n))$$
 * $$(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n) = (a_1, (a_2, (a_3, (\ldots, (a_n, \emptyset)\ldots))))$$

इस प्रकार, उदाहरण के लिए:

\begin{align} (1, 2, 3) & = (1, (2, (3, \emptyset)))     \\ (1, 2, 3, 4) & = (1, (2, (3, (4, \emptyset)))) \\ \end{align} $$ इस परिभाषा का एक प्रकार दूसरे छोर से तत्वों को छीलने लगता है: इस परिभाषा को पुनरावर्ती रूप से लागू किया जा सकता है:
 * 1) 0-टपल खाली सेट है $$\emptyset$$.
 * 2) के लिये $n > 0$:
 * $$(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n) = ((a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{n-1}), a_n)$$
 * $$(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n) = ((\ldots(((\emptyset, a_1), a_2), a_3), \ldots), a_n)$$

इस प्रकार, उदाहरण के लिए:

\begin{align} (1, 2, 3) & = (((\emptyset, 1), 2), 3)     \\ (1, 2, 3, 4) & = ((((\emptyset, 1), 2), 3), 4) \\ \end{align} $$

नेस्टेड सेट
के रूप में ट्यूपल्स क्रमित युग्म#कुराटोस्की की परिभाषा|कुराटोस्की की एक क्रमित जोड़ी के लिए प्रतिनिधित्व का उपयोग करते हुए, ऊपर दी गई दूसरी परिभाषा को शुद्ध समुच्चय सिद्धांत के संदर्भ में सुधारा जा सकता है:
 * 1) 0-टपल (यानी खाली टपल) को खाली सेट द्वारा दर्शाया जाता है $$\emptyset$$;
 * 2) होने देना $$x$$ सेम $n$-टुपल $$(a_1, a_2, \ldots, a_n)$$, और जाने $$x \rightarrow b \equiv (a_1, a_2, \ldots, a_n, b)$$. फिर, $$x \rightarrow b \equiv \{\{x\}, \{x, b\}\}$$. (दाहिना तीर, $$\rightarrow$$, के साथ संलग्न के रूप में पढ़ा जा सकता है।)

इस सूत्रीकरण में:

\begin{array}{lclcl} & &                    &=& \emptyset                                    \\ & &                    & &                                              \\     (1)     &=&     \rightarrow 1 &=& \{\{\},\{,1\}\}                          \\ & &                    &=& \{\{\emptyset\},\{\emptyset,1\}\}            \\ & &                    & &                                              \\     (1,2)   &=& (1)   \rightarrow 2 &=& \{\{(1)\},\{(1),2\}\}                        \\ & &                    &=& \{\{\{\{\emptyset\},\{\emptyset,1\}\}\},     \\ & &                    & & \{\{\{\emptyset\},\{\emptyset,1\}\},2\}\}    \\ & &                    & &                                              \\     (1,2,3) &=& (1,2) \rightarrow 3 &=& \{\{(1,2)\},\{(1,2),3\}\}                    \\ & &                    &=& \{\{\{\{\{\{\emptyset\},\{\emptyset,1\}\}\}, \\ & &                    & & \{\{\{\emptyset\},\{\emptyset,1\}\},2\}\}\}, \\ & &                    & & \{\{\{\{\{\emptyset\},\{\emptyset,1\}\}\},   \\ & &                    & & \{\{\{\emptyset\},\{\emptyset,1\}\},2\}\},3\}\}                                       \\ \end{array} $$

$n$-के टुपल्स $m$-सेट
असतत गणित में, विशेष रूप से संयोजन और परिमित संभाव्यता सिद्धांत, $n$-टुपल्स विभिन्न गणना समस्याओं के संदर्भ में उत्पन्न होते हैं और लंबाई की क्रमबद्ध सूचियों के रूप में अधिक अनौपचारिक रूप से व्यवहार किए जाते हैं $n$. $n$-tuples जिनकी प्रविष्टियाँ एक सेट से आती हैं $m$ तत्वों को पुनरावृत्ति के साथ व्यवस्था, क्रमचय # बहु सेट के क्रमपरिवर्तन और, कुछ गैर-अंग्रेजी साहित्य में पुनरावृत्ति के साथ भिन्नता भी कहा जाता है। की संख्या $n$-एक के tuples $m$-सेट है $m^{n}$. यह उत्पाद के संयोजन नियम से चलता है। यदि $S$ प्रमुखता  का एक सीमित सेट है $m$, यह संख्या की प्रमुखता है $n$-गुना कार्टेशियन उत्पाद # एन-आरी कार्टेशियन पावर $S × S × ⋯ × S$. टुपल्स इस उत्पाद सेट के तत्व हैं।

प्रकार सिद्धांत
प्रकार सिद्धांत में, आमतौर पर  प्रोग्रामिंग भाषा ओं में उपयोग किया जाता है, एक टपल में एक उत्पाद प्रकार होता है; यह न केवल लंबाई, बल्कि प्रत्येक घटक के अंतर्निहित प्रकारों को भी ठीक करता है। औपचारिक रूप से:
 * $$(x_1, x_2, \ldots, x_n) : \mathsf{T}_1 \times \mathsf{T}_2 \times \ldots \times \mathsf{T}_n$$

और प्रोजेक्शन (गणित) टर्म कंस्ट्रक्टर हैं:
 * $$\pi_1(x) : \mathsf{T}_1,~\pi_2(x) : \mathsf{T}_2,~\ldots,~\pi_n(x) : \mathsf{T}_n$$

संबंधपरक मॉडल में प्रयुक्त लेबल वाले तत्वों वाले टपल में एक रिकॉर्ड (कंप्यूटर विज्ञान) है। इन दोनों प्रकारों को सामान्य रूप से टाइप किए गए लैम्ब्डा कैलकुलस के सरल विस्तार के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। टाइप थ्योरी में टपल की धारणा और सेट थ्योरी में निम्नलिखित तरीके से संबंधित हैं: यदि हम एक प्रकार के सिद्धांत के प्राकृतिक मॉडल सिद्धांत  पर विचार करते हैं, और शब्दार्थ व्याख्या को इंगित करने के लिए स्कॉट कोष्ठक का उपयोग करते हैं, तो मॉडल में कुछ सेट होते हैं $$S_1, S_2, \ldots, S_n$$ (नोट: यहां इटैलिक का उपयोग जो सेट को प्रकारों से अलग करता है) जैसे कि:
 * $$[\![\mathsf{T}_1]\!] = S_1,~[\![\mathsf{T}_2]\!] = S_2,~\ldots,~[\![\mathsf{T}_n]\!] = S_n$$

और मूल शब्दों की व्याख्या है:
 * $$[\![x_1]\!] \in [\![\mathsf{T}_1]\!],~[\![x_2]\!] \in [\![\mathsf{T}_2]\!],~\ldots,~[\![x_n]\!] \in [\![\mathsf{T}_n]\!]$$. $n$'}}-टपल ऑफ टाइप थ्योरी की प्राकृतिक व्याख्या एक के रूप में होती है $n$सेट सिद्धांत का टुपल:
 * $$[\![(x_1, x_2, \ldots, x_n)]\!] = (\,[\![x_1]\!], [\![x_2]\!], \ldots, [\![x_n]\!]\,)$$

इकाई प्रकार की सिमेंटिक व्याख्या 0-ट्यूपल है।

यह भी देखें

 * एरिटी
 * समन्वय वेक्टर
 * घातीय वस्तु
 * औपचारिक भाषा
 * बहुआयामी अभिव्यक्तियाँ #MDX डेटा प्रकार | OLAP: बहुआयामी अभिव्यक्तियाँ
 * प्राइम के-टुपल | प्राइम के-टुपल
 * संबंध (गणित)
 * क्रम
 * ट्यूपलस्पेस

स्रोत

 * कीथ डिवालिन, द जॉय ऑफ सेट्स। स्प्रिंगर वर्लाग, दूसरा संस्करण, 1993, ISBN 0-387-94094-4, पीपी। 7-8
 * अब्राहम एडोल्फ फ्रेंकेल, येहोशुआ बार-हिलली , एज़रील लेवी, स्कूल सेट थ्योरी की नींव, लॉजिक वॉल्यूम में एल्सेवियर स्टडीज। 67, दूसरा संस्करण, संशोधित, 1973, ISBN 0-7204-2270-1, पी। 33
 * गेसी टेकुती, डब्ल्यू. एम. जारिंग, एक्सियोमैटिक सेट थ्योरी का परिचय, गणित 1 में स्प्रिंगर ग्रेजुएट टेक्स्ट, 1971, ISBN 978-0-387-90024-7, पी। 14
 * जॉर्ज जे टूरलाकिस, लेक्चर नोट्स इन लॉजिक एंड सेट थ्योरी। वॉल्यूम 2: सेट थ्योरी, कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, 2003, ISBN 978-0-521-75374-6, पीपी. 182-193
 * जॉर्ज जे टूरलाकिस, लेक्चर नोट्स इन लॉजिक एंड सेट थ्योरी। वॉल्यूम 2: सेट थ्योरी, कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, 2003, ISBN 978-0-521-75374-6, पीपी. 182-193