संवलन

गणित में (विशेष रूप से, कार्यात्मक विश्लेषण ) संवलन दो फलनों (f और g) पर एक गणितीय संक्रिया है जो एक तीसरा फलन ($$f*g$$) उत्पन्न करता है, जो व्यक्त करता है कि कैसे एक के आकार को दूसरे द्वारा संशोधित किया जाता है। संवलन शब्द परिणामी संक्रिया और इसकी गणना करने की प्रक्रिया दोनों को संदर्भित करता है। इसे दो कार्यों के उत्पाद के  समाकलन अंग के रूप में परिभाषित किया जाता है, जब एक y-अक्ष के बारे में परिलक्षित होता है और स्थानांतरित हो जाता है। समाकलन से पहले जिस फलन को परावर्तित और स्थानांतरित किया जाता है, यह समाकलन परिणाम को नहीं बदलता है (देखें #विशेषताएँ )। संवलन फलन का निर्माण करते हुए, विस्थापन के सभी गुणों के लिए समाकलन का मूल्यांकन किया जाता है।

संवलन की कुछ विशेषताएं क्रॉस-सहसंबंध के समान हैं:फलनों के लिए वास्तविक-मान, निरंतर या असतत चर के लिए, संवलन ($$f*g$$) क्रॉस-सहसंबंध ($$f \star g$$) से भिन्न होता है संवलन में केवल या तो $f(x)$ या $g(x)$ y-अक्ष के बारे में परिलक्षित होता है, इस प्रकार $g(-x)$ तथा $f(x)$ या $f(−x)$ तथा $g(x)$ एक क्रॉस-सहसंबंध है। सम्मिश्र मान वाले फलनों के लिए, क्रॉस-सहसंबंध ऑपरेटर संवलन ऑपरेटर का हर्मिटियन सहायक है।

संवलन में ऐसे अनुप्रयोग होते हैं जिनमें संभाव्यता, सांख्यिकी, ध्वनिकी, स्पेक्ट्रोमिकी,  संकेत का प्रक्रमण  और प्रतिबिंब प्रक्रण,  भूभौतिकी ,  अभियांत्रिकी , भौतिकी, कंप्यूटर दृष्टि और अंतर समीकरण शामिल हैं।

संवलन को यूक्लिडियन समष्टि और अन्य  समूह (गणित) (बीजगणितीय संरचना के रूप में) पर कार्यों के लिए परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए आवधिक कार्यों जैसे कि  असतत-समय फूरियर रूपांतरण, को एक  घेरा पर परिभाषित किया जा सकता है और आवधिक संवलन द्वारा संवलित किया जा सकता है। (पंक्ति 18 यहां देखें ।) पूर्णांक के सेट पर कार्यों के लिए एक असतत संवलन को परिभाषित किया जा सकता है।

संवलन के सामान्यीकरण में संख्यात्मक विश्लेषण और  संख्यात्मक रैखिक बीजगणित के क्षेत्र में और संकेत प्रक्रमन में परिमित आवेग प्रतिक्रिया फिल्टर के डिजाइन और कार्यान्वयन में अनुप्रयोग हैं।

संवलन ऑपरेशन के व्युत्क्रम फलन की गणना करना विघटन के रूप में जाना जाता है।

परिभाषा
$f$ तथा $f$ का संवलन $g(−x)$ लिखा जाता हैं, जो संचालक को प्रतीक $g(x)$ के द्वारा दर्शाया जाता है। इसे दो कार्यों के उत्पाद के अभिन्न अंग के रूप में परिभाषित किया जाता है, जब एक y-अक्ष के बारे में परिलक्षित होता है और स्थानांतरित हो जाता है। जैसे, यह एक विशेष प्रकार का  समाकल रूपांतरण है:


 * $$(f * g)(t) := \int_{-\infty}^\infty f(\tau) g(t - \tau) \, d\tau.$$

एक समान परिभाषा है (गुण देखें):


 * $$(f * g)(t) := \int_{-\infty}^\infty f(t - \tau) g(\tau)\, d\tau.$$

जबकि प्रतीक $f$ ऊपर उपयोग किया गया है, इसे समय डोमेन का प्रतिनिधित्व करने की आवश्यकता नहीं है। प्रत्येक t पर, संवलन सूत्र को फलन g(−τ) द्वारा भारित फलन $f∗g$ के तहत क्षेत्र के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जिसे राशि $f$ द्वारा स्थानांतरित किया जाता है। जैसे-जैसे $g$ बदलता है, भारांक फलन $∗$ निविष्ट फलन $f(τ)$ के विभिन्न भागों पर जोर देता है यदि $f$ एक धनात्मक मान है, तो $g(t − τ)$, $f(τ)$ के बराबर है जो खिसकता है या $$\tau$$-अक्ष के साथ दाईं ओर (की ओर $g(t − τ)$) $g$ की राशि से स्थानांतरित होता है, जबकि अगर $t$ ऋणात्मक मान है, तो $g(−τ)$, $+∞$ के बराबर है जो खिसकता है वह बाईं ओर (की ओर $g(t − τ)$) $t$की राशि से स्थानांतरित होता है।

फलन $t$, $t$ के लिए केवल $g(−τ)$ पर आधारित है (यानी, नकारात्मक तर्कों के लिए शून्य), एकीकरण सीमा को छोटा किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप:


 * $$(f * g )(t) = \int_{0}^{t} f(\tau) g(t - \tau)\, d\tau \quad \ \text{for } f, g : [0, \infty) \to \mathbb{R}.$$

संवलन के बहुआयामी सूत्रीकरण के लिए, परिभाषा का क्षेत्र (नीचे) देखें।

संकेतन
एक सामान्य इंजीनियरिंग संकेतन है:
 * $$ f(t) * g(t) \mathrel{:=} \underbrace{\int_{-\infty}^\infty f(\tau) g(t - \tau)\, d\tau}_{(f * g )(t)},$$

भ्रम से बचने के लिए सावधानीपूर्वक व्याख्या की जानी चाहिए। उदाहरण के लिए, $-∞$ के बराबर है $[0, ∞]$, लेकिन $f(t)∗g(t − t_{0})$ वास्तव में $(f∗g)(t − t_{0})$ के बराबर है।

अन्य परिवर्तनों के साथ संबंध
दो कार्यों को देखते हुए $$ f(t) $$ तथा $$ g(t) $$ द्विपक्षीय लाप्लास परिवर्तन के साथ (दो तरफा लाप्लास परिवर्तन)


 * $$ F(s) = \int_{-\infty}^\infty e^{-su} \ f(u) \ \text{d}u $$

तथा


 * $$ G(s) = \int_{-\infty}^\infty e^{-sv} \ g(v) \ \text{d}v $$

क्रमशः, संवलन संक्रिया $$ f(t) * g(t) $$ के उत्पाद के व्युत्क्रम क़ो लाप्लास परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$ F(s) $$ तथा $$ G(s) $$. ज्यादा ठीक,



\begin{align} F(s) \cdot G(s) &= \int_{-\infty}^\infty e^{-su} \ f(u) \ \text{d}u \cdot \int_{-\infty}^\infty e^{-sv} \ g(v) \ \text{d}v \\ &= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{-s(u + v)} \ f(u) \ g(v) \ \text{d}u \ \text{d}v \end{align} $$ होने देना $$ t = u + v $$ ऐसा है कि



\begin{align} F(s) \cdot G(s) &= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{-st} \ f(u) \ g(t - u) \ \text{d}u \ \text{d}t \\ &= \int_{-\infty}^\infty e^{-st} \underbrace{\int_{-\infty}^\infty f(u) \ g(t - u) \ \text{d}u}_{f(t) * g(t)} \ \text{d}t \\ &= \int_{-\infty}^\infty e^{-st} (f(t) * g(t)) \ \text{d}t \end{align} $$ ध्यान दें कि $$ F(s) \cdot G(s) $$ का द्विपक्षीय लाप्लास परिवर्तन है $$ f(t) * g(t) $$. इसी तरह की व्युत्पत्ति लाप्लास ट्रांसफॉर्म  (एकतरफा लाप्लास ट्रांसफॉर्म) का उपयोग करके की जा सकती है।

संवलन संक्रिया एक महत्वपूर्ण वर्ग के संचालन के निर्गत (निविष्ट के संदर्भ में) का भी वर्णन करता है जिसे रैखिक समय-अपरिवर्तनीय (एलटीआई) के रूप में जाना जाता है। एलटीआई बाधाओं के परिणाम के रूप में संवलन की व्युत्पत्ति के लिए एलटीआई प्रणाली सिद्धांत देखें। एलटीआई ऑपरेशन के निविष्ट और निर्गत के  फूरियर रूपांतरण  के संदर्भ में, कोई नया आवृत्ति घटक नहीं बनाया जाता है। मौजूदा वाले केवल संशोधित (आयाम और/या चरण) हैं। दूसरे शब्दों में, निर्गत रूपांतरण तीसरे रूपांतरण ( स्थानांतरण प्रकार्य  के रूप में जाना जाता है) के साथ निविष्ट रूपांतरण का बिंदुवार उत्पाद है। संवलन के उस गुण की व्युत्पत्ति के लिए  संवलन प्रमेय देखें। इसके विपरीत, संवलन को दो फूरियर रूपांतरणों के बिंदुवार उत्पाद के व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण के रूप में प्राप्त किया जा सकता है।

ऐतिहासिक घटनाक्रम
संवलन समकलन के शुरुआती उपयोगों में से एक जीन ले रोंड डी'अलेम्बर्ट | डी'अलेम्बर्ट की व्युत्पत्ति टेलर के प्रमेय में दुनिया के सिस्टम के विभिन्न महत्वपूर्ण बिंदुओं पर शोध में प्रकाशित हुई, जो 1754 में प्रकाशित हुई थी।

इसके अलावा, प्रकार की अभिव्यक्ति:


 * $$\int f(u)\cdot g(x - u) \, du$$

सिल्वेस्ट्रे फ्रांकोइस लैक्रोइक्स द्वारा अपनी पुस्तक के पृष्ठ 505 पर ट्रीटीज़ ऑन डिफरेंस एंड सीरीज़ नामक पुस्तक का उपयोग किया गया है, जो विश्वकोश श्रृंखला के 3 खंडों में से अंतिम है, ट्रैटे डू कैलकुलस डिफरेंशियल एट डू कैलकुल इंटीग्रल, चेज़ कौरसीर, पेरिस, 1797-1800। इसके तुरंत बाद, पियरे साइमन लाप्लास,  जीन-बैप्टिस्ट जोसेफ फूरियर , शिमोन डेनिस पॉइसन और अन्य के कार्यों में संवलन संक्रियाएं दिखाई देते हैं। 1950 या 60 के दशक तक यह शब्द व्यापक रूप से उपयोग में नहीं आया। इससे पहले इसे कभी-कभी फाल्टुंग (जिसका अर्थ  जर्मन भाषा में तह करना होता है), रचना उत्पाद, सुपरपोजिशन समाकलन और कार्सन समाकलन के रूप में जाना जाता था। फिर भी यह 1903 की शुरुआत में दिखाई देता है, हालांकि पुराने उपयोगों में परिभाषा अपरिचित है।

संक्रिया:


 * $$\int_0^t \varphi(s)\psi(t - s) \, ds,\quad 0 \le t < \infty,$$

1913 में इतालवी गणितज्ञ वीटो वोल्टेरा  द्वारा विचार किए गए रचना उत्पादों का एक विशेष मामला है।

चक्रीय संवलन
जब एक फलन $f(t − t_{0})∗g(t − t_{0})$, $t$ अवधि के साथ अवधिक है तब फलन $t$  के लिए,

ऐसा है कि $(f∗g)(t − 2t_{0})$ मौजूद है जिसमे संवलन भी आवधिक है और इसके समान है:


 * $$(f * g_T)(t) \equiv \int_{t_0}^{t_0+T} \left[\sum_{k=-\infty}^\infty f(\tau + kT)\right] g_T(t - \tau)\, d\tau,$$

जहाँ पर $+∞$ एक मनमाना विकल्प है। योग को फलन $|t|$ का आवर्त योग कहते हैं।

कब $-∞$ किसी अन्य फलन $f$ का आवधिक योग है फिर $−∞$ को $g$ तथा $t$ के वृत्ताकार या चक्रीय संवलन के रूप में जाना जाता है।

और यदि उपरोक्त आवधिक योग को $+∞$  द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है तो फलन को  $f(t)$ तथा $g(t)$  का आवर्त संवलन कहा जाता है।

असतत संवलन
सम्मिश्र-मान वाले फलनों के लिए $gT$ पूर्णांकों के सेट Z पर परिभाषित, का असतत संवलन $t$ तथा $t$ द्वारा दिया गया है:
 * $$(f * g)[n] = \sum_{m=-\infty}^\infty f[m] g[n - m],$$

या समकक्ष (#गुण देखें) द्वारा:


 * $$(f * g)[n] = \sum_{m=-\infty}^\infty f[n-m] g[m].$$

दो परिमित अनुक्रमों के संवलन को अनुक्रमों को पूर्णांकों के सेट पर अंतिम रूप से समर्थित कार्यों तक विस्तारित करके परिभाषित किया गया है। जब अनुक्रम दो बहुपद ों के गुणांक होते हैं, तो दो बहुपदों के साधारण गुणनफल के गुणांक मूल दो अनुक्रमों के संवलन होते हैं। इसे अनुक्रमों के गुणांकों के  कॉची उत्पाद  के रूप में जाना जाता है।

इस प्रकार जब $t$ सेट में सीमित समर्थन है $$\{-M,-M+1,\dots,M-1,M\}$$ (उदाहरण के लिए, एक सीमित आवेग प्रतिक्रिया का प्रतिनिधित्व करते हुए), एक सीमित योग का उपयोग किया जा सकता है।
 * $$(f* g)[n]=\sum_{m=-M}^M f[n-m]g[m].$$

वृत्ताकार असतत संवलन
जब एक फलन $f ∗ gT$, अवधि $t$ के साथ आवधिक है, तब फलन  $t$ तथा $t_{0}$ मौजूद है जिनका संवलन भी आवधिक है और इसके समान है:


 * $$(f * g_N)[n] \equiv \sum_{m=0}^{N-1} \left(\sum_{k=-\infty}^\infty {f}[m + kN]\right) g_N[n - m].$$

पर सारांश $t$ फलन $f$ का आवर्त योग कहलाता है।

यदि $gT$ किसी अन्य फलन $g$ का आवधिक योग है,  तो $f ∗ gT$ क़ो $T$ तथा $f$ के वृत्ताकार संवलन के रूप में जाना जाता है।

जब दोनों $f$ तथा $g$  की गैर-शून्य अवधि अंतराल $fT$ तक सीमित होती है तब $fT$ इन सामान्य रूपों में कम हो जाता है-

संकेतन ($gT$) चक्रीय संवलन के लिए पूर्णांक मॉड्यूलो N अंकगणित के  चक्रीय समूह  पर संवलन को दर्शाता है|

फास्ट फूरियर रूपांतरण (एफएफटी) एल्गोरिदम के साथ तेज संवलन के संदर्भ में परिपत्र संवलन सबसे अधिक बार उत्पन्न होता है।

फास्ट संवलन एल्गोरिदम
कई स्थितियों में, असतत संवलन को चक्रीय संवलन में बदला जा सकता है ताकि संवलन गुणों के साथ फास्ट का उपयोग गणना को लागू करने के लिए किया जा सके। उदाहरण के लिए,संख्या क्रम का संवलन एक से अधिक संख्या वाले नंबरों के गुणन में कर्नेल ऑपरेशन है, जिसे रूपांतरण तकनीकों के साथ कुशलता से लागू किया जा सकता है।

$f$ को प्रति निर्गत मान के लिए $g$ अंकगणितीय संचालन और $f, g$ के लिए संचालन $f$ निर्गत की आवश्यकता होती है। इसे कई फास्ट एल्गोरिदम में से किसी के साथ काफी कम किया जा सकता है। डिजिटल संकेत प्रक्रिया और अन्य अनुप्रयोग आमतौर पर O(N log N) जटिलता के लिए संवलन की लागत को कम करने के लिए तेजी से संवलन एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं।

सबसे आम फास्ट संवलन एल्गोरिदम चक्रिय संवलन प्रमेय के माध्यम से फास्ट फूरियर रूपांतरण (एफएफटी) एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं। विशेष रूप से, दो परिमित-लंबाई अनुक्रमों का वृत्ताकार संवलन प्रत्येक अनुक्रम का FFT लेकर, बिंदुवार गुणा करके, और फिर एक व्युत्क्रम FFT प्रदर्शन करके पाया जाता है। ऊपर परिभाषित प्रकार के संवलन को उस तकनीक का उपयोग करके शून्य-विस्तार और/या निर्गत परिणाम के भाग को त्यागने के संयोजन के साथ कुशलतापूर्वक कार्यान्वित किया जाता है। अन्य फास्ट संवलन एल्गोरिदम, जैसे शॉनहेज-स्ट्रैसन एल्गोरिथम या मेर्सन रूपांतरण, अन्य रिंग (गणित) में फास्ट फूरियर रूपांतरण का उपयोग करें।

यदि एक अनुक्रम दूसरे की तुलना में बहुत लंबा है, तो छोटे अनुक्रम का शून्य-विस्तार और फास्ट परिपत्र संवलन सबसे कम्प्यूटेशनल रूप से कुशल तरीका उपलब्ध नहीं है। इसके बजाय लंबे अनुक्रम को ब्लॉकों में विघटित करना और प्रत्येक ब्लॉक को हल करने से ओवरलैप-सेव विधि और ओवरलैप-ऐड विधि जैसे फास्ट एल्गोरिदम की अनुमति मिलती है। एक हाइब्रिड संवलन विधि जो ब्लॉक और परिमित आवेग प्रतिक्रिया एल्गोरिदम को जोड़ती है, एक शून्य निविष्ट -निर्गत विलंबता की अनुमति देती है जो वास्तविक समय के संवलन कंप्यूटेशंस के लिए उपयोगी है।

परिभाषा का क्षेत्र
दो सम्मिश्र मानो वाले फलन का संवलन $gN$ अपने आप में एक सम्मिश्र मान वाले फलन है $f∗gN$, जिसे द्वारा परिभाषित किया गया है -


 * $$(f * g )(x) = \int_{\mathbf{R}^d} f(y)g(x-y)\,dy = \int_{\mathbf{R}^d} f(x-y)g(y)\,dy,$$

और केवल तभी अच्छी तरह से परिभाषित है जब $g$ तथा $g$ अभिन्न अस्तित्व के लिए अनंत पर पर्याप्त रूप से तेजी से क्षय होते हैं ताकि समाकलन मौजूद रहे। संवलन के अस्तित्व के लिए स्थितियां मुश्किल हो सकती हैं, क्योंकि अनंत पर $N$ में एक झटका $f$ में पर्याप्त रूप से तेजी से क्षय द्वारा आसानी से प्रतिसंतुलित किया जा सकता है। इस प्रकार अस्तित्व के सवाल में $k$ तथा $f$ पर अलग-अलग स्थितियां शामिल हो सकती हैं।

कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित कार्य
यदि $g$ तथा $f$ को निरंतर कार्यों का कॉम्पैक्ट समर्थन किया जाता हैं, तो उनका संवलन मौजूद  है, और यह भी कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित और निरंतर है। सामान्यतः यदि कोई फलन ( $g$) कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित है और दूसरा  स्थानीय रूप से एकीकृत है, तो संवलन $gN$ अच्छी तरह से परिभाषित और निरंतर है।

$f$ तथा $g$ का संवलन भी अच्छी तरह से परिभाषित होता है जब दोनों फलन $f∗gN$ पर स्थानीय रूप से वर्गाकार समाकलनीय होते हैं और $[0, N − 1]$ (या दोनों समर्थित हैं $f∗gN$) प्रपत्र के अंतराल पर समर्थित होते है।

समाकलनीय फलन
$$ तथा $$ का संवलन मौजूद है यदि  $N$ तथा $N$ Lp दोनों $f ∗N g$($N^{2}$) में लेबेस्गए समकलनीय फलन है और इस मामले में $R^{d}$ समकलनीय भी है। टोनेली के प्रमेय का परिणाम है। यह  $R^{d}$ में फलन के लिए भी सत्य है, असतत संवलन के तहत, या अधिक सामान्यतः किसी भी समूह पर संवलन के लिए है।

इसी तरह, अगर $f∗g$($R$) तथा$[a, +∞)$($[−∞, a]$)  जहाँ  $L^{1}$,  फिर$R^{d}$($f∗g$),  तथा


 * $$\|{f}* g\|_p\le \|f\|_1\|g\|_p.$$

विशेष मामले में $L^{1}$, यह दर्शाता है कि $f ∈ L^{1}$ संवलन के तहत एक बनच बीजगणित  है (और दोनों पक्षों की समानता रखती है यदि $f$ तथा $g$ लगभग हर जगह गैर- ऋणात्मक हैं)। अधिक आम तौर पर, यंग की असमानता का तात्पर्य है कि संवलन उपयुक्त $R^{d}$ रिक्त स्थान के बीच एक सतत द्विरेखीय मानचित्र है। विशेष रूप से, यदि $g ∈ L^{p}$ संतुष्ट करते है -


 * $$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{r}+1,$$

फिर


 * $$\left\Vert f*g\right\Vert_r\le\left\Vert f\right\Vert_p\left\Vert g\right\Vert_q,\quad f\in\mathcal{L}^p,\ g\in\mathcal{L}^q,$$

ताकि संवलन $R^{d}$ प्रति $1 ≤ p ≤ ∞$एक सतत बिलिनियर मैपिंग हो।

संवलन के लिए यंग असमानता अन्य संदर्भों (सर्कल ग्रुप, कनवल्शन ऑन $f∗g ∈ L^{p}$)में भी सत्य है। पिछली असमानता वास्तविक रेखा पर तेज नहीं है, जब $R^{d}$, एक स्थिरांक मौजूद है $p = 1$ होता है जैसे कि:


 * $$\left\Vert f*g\right\Vert_r\le B_{p,q}\left\Vert f\right\Vert_p\left\Vert g\right\Vert_q,\quad f\in\mathcal{L}^p,\ g\in\mathcal{L}^q.$$

$L^{1}$ का इष्टतम मान 1975 में खोजा गया था और स्वतंत्र रूप से 1976 में, ब्रास्कैम्प-लाइब असमानता देखें।

एक दृढ़ अनुमान सही है बशर्ते $L^{p}$:
 * $$\|f* g\|_r\le C_{p,q}\|f\|_p\|g\|_{q,w}$$

जहाँ $$\|g\|_{q,w}$$ कमजोर $1 ≤ p, q, r ≤ ∞$आदर्श संवलन एक द्विरेखीय सतत मानचित्र को भी परिभाषित करता है $$L^{p,w}\times L^{q,w}\to L^{r,w}$$ के लिये $$1< p,q,r<\infty$$कमजोर यंग असमानता के कारण:
 * $$\|f* g\|_{r,w}\le C_{p,q}\|f\|_{p,w}\|g\|_{r,w}.$$

तीव्र क्षय के कार्य
कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित कार्यों और एकीकृत कार्यों के अलावा, अनंत पर पर्याप्त रूप से तेजी से क्षय वाले कार्यों को भी दोषी ठहराया जा सकता है। संवलन की एक महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि यदि f और g दोनों का तेजी से क्षय होता है, तो f∗g का भी तेजी से क्षय होता है। विशेष रूप से, यदि f और g तेजी से घटते फलन हैं, तो ऐसा ही संवलन f∗g है। इस तथ्य के साथ कि संवलन अवकल के साथ कम्यूट होता है (विशेषता देखें), यह इस प्रकार है कि श्वार्ट्ज फलनो की श्रेणी संवलन के तहत बंद है।.

वितरण
कुछ परिस्थितियों में, वितरण या दो वितरणों के साथ किसी फलन के संवलन को परिभाषित करना संभव है। अगर f एक कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित फलन और g एक वितरण है, तो f∗g एक सहज़ फलन है जिसे वितरण सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है जो इसके अनुरूप है-


 * $$\int_{\mathbf{R}^d} {f}(y)g(x-y)\,dy.$$

अधिक आम तौर पर, संवलन की परिभाषा को एक अनोखे तरीके से विस्तारित करना संभव है ताकि साहचर्य नियम-


 * $$f* (g* \varphi) = (f* g)* \varphi$$

उस मामले में मान्य रहता है जहां f एक वितरण है, और g एक कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित वितरण है।

पैमाने
किन्हीं दो बोरेल मापों का संवलन μ और v परिबद्ध भिन्नता कि माप है $$\mu*\nu$$ द्वारा परिभाषित
 * $$\int_{\mathbf{R}^d} f(x) \, d(\mu*\nu)(x) = \int_{\mathbf{R}^d}\int_{\mathbf{R}^d}f(x+y)\,d\mu(x)\,d\nu(y).$$

विशेष रूप से,
 * $$(\mu*\nu)(A) = \int_{\mathbf{R}^d\times\mathbf R^d}1_A(x+y)\, d(\mu\times\nu)(x,y),$$

जहाँ $$A\subset\mathbf R^d$$ एक मापने योग्य सेट है और $$1_A$$, $$A$$ का सूचक फलन है ।

यह ऊपर परिभाषित संवलन से सहमत है जब μ और v को वितरण के रूप में माना जाता है, साथ ही साथ तब कार्य करता है, L1 फलन का संवलन जब μ और Lebesgue माप के संबंध में पूरी तरह से निरंतर होते हैं।

पैमाने का संवलन यंग की असमानता के निम्नलिखित संस्करण को भी संतुष्ट करता है
 * $$\|\mu* \nu\|\le \|\mu\|\|\nu\| $$

जहां मानदंड एक माप की कुल भिन्नता  है। क्योंकि बाउंडेड वेरिएशन के उपायों का स्थान एक  बनच स्पेस  है, उपायों के संवलन को कार्यात्मक विश्लेषण के मानक तरीकों से माना जा सकता है जो वितरण के संवलन के लिए लागू नहीं हो सकते हैं।

बीजीय गुण
संवलन एक उत्पाद को समाकलनीय फलन के रैखिक स्थान  पर परिभाषित करता है। यह उत्पाद निम्नलिखित बीजीय गुणों को संतुष्ट करता है, जिसका औपचारिक रूप से मतलब है कि संवलन द्वारा दिए गए उत्पाद के साथ अभिन्न फलनो का स्थान  पहचान तत्व  के बिना एक क्रमविनिमेयता सहयोगी बीजगणित है।फलनो के अन्य रैखिक स्थान, जैसे कि कॉम्पैक्ट समर्थन के निरंतर कार्यों की जगह, संवलन के तहत  क्लोजर (गणित)  हैं, और इसी तरह क्रमविनिमेयता सहयोगी बीजगणित भी बनाते हैं।

(f * g)' & = \frac{d}{dt} \int^\infty_{-\infty} f(\tau) g(t - \tau) \, d\tau \\[4pt] & =\int^\infty_{-\infty} f(\tau) \frac{\partial}{\partial t} g(t - \tau) \, d\tau \\[4pt] & =\int^\infty_{-\infty} f(\tau) g'(t - \tau) \, d\tau = f* g'. \end{align}$$
 * क्रमविनिमेयता: $$f * g = g * f $$ प्रमाण, परिभाषा के अनुसार-$$(f * g)(t) = \int^\infty_{-\infty} f(\tau)g(t - \tau)\, d\tau$$ एकीकरण के चर को $$u = t - \tau$$ में बदलने का परिणाम यह है।
 * संबद्धता : $$f * (g * h) = (f * g) * h$$ प्रमाण, यह फ़ुबिनी के प्रमेय का उपयोग करने से होता है (यानी, दोहरे समाकलन का मूल्यांकन किसी भी क्रम में पुनरावृत्त समाकलन केरूप में किया जा सकता है)।
 * वितरण : $$f * (g + h) = (f * g) + (f * h)$$ उपपत्ति: यह समाकल की रैखिकता का अनुसरण करता है।
 * अदिश गुणन के साथ साहचर्य: $$a (f * g) = (a f) * g$$ किसी भी वास्तविक (या संमिश्र) संख्या के लिए $$a$$.
 * गुणनात्मक पहचान: कार्यों के किसी भी बीजगणित में संवलन की पहचान नहीं होती है। पहचान की कमी आम तौर पर एक बड़ी असुविधा नहीं है, क्योंकि अधिकांश फलनों का संग्रह जिस पर संवलन किया जाता है, उसे डिराक डेल्टा  (एक एकात्मक आवेग, शून्य पर केंद्रित) या कम से कम (जैसा कि मामला है) के साथ सजाया जा सकता है L1) कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित अवकलन का रैखिक स्थान, हालांकि संवलन के तहत एक पहचान स्वीकार करता है। विशेष रूप से, $$f * \delta = f$$ जहां डेल्टा अवकलन है।
 * प्रतिलोम अवयव: कुछ बंटन S में संवलन के लिए प्रतिलोम अवयव S−1 होता है, जिसे तब संतुष्ट करना होगा $$S^{-1} * S = \delta$$ जिसमें से S-1 के लिए एक स्पष्ट सूत्र प्राप्त किया जा सकता है। प्रतीप्य अवकलन का सेट संवलन के तहत एक एबेलियन समूह बनाता है।
 * सम्मिश्र संयुग्मन: $$\overline{f * g} = \overline{f} * \overline{g}$$
 * अवकलन के साथ संबंध: $$(f * g)' = f' * g = f * g'$$ प्रमाण -$$\begin{align}
 * एकीकरण के साथ संबंध: यदि $F(t) = \int^t_{-\infty} f(\tau) d\tau,$ तथा $G(t) = \int^t_{-\infty} g(\tau) \, d\tau,$  फिर $$(F * g)(t) = (f * G)(t) = \int^t_{-\infty}(f * g)(\tau)\,d\tau.$$

समाकलन
यदि f और g समाकलनीय फलन हैं, तो संपूर्ण स्थान पर उनके संवलन का समाकल उनके समाकलों के गुणनफल के रूप में प्राप्त होता है:
 * $$\int_{\mathbf{R}^d}(f * g)(x) \, dx=\left(\int_{\mathbf{R}^d}f(x) \, dx\right) \left(\int_{\mathbf{R}^d}g(x) \, dx\right).$$

यह फ़ुबिनी के प्रमेय का अनुसरण करता है। एक ही परिणाम धारण करता है यदि टोनेली कि प्रमेय द्वारा f और g को केवल गैर-ऋणात्मक मापन योग्य कार्य माना जाता है।

अवकलन
एक-चर मामले में,
 * $$\frac{d}{dx}(f * g) = \frac{df}{dx} * g = f * \frac{dg}{dx}$$

जहां डी/डीएक्स व्युत्पन्न है। अधिक आम तौर पर, कई चर के फलनो के मामले में, एक समान सूत्र आंशिक व्युत्पन्न  के साथ होता है:
 * $$\frac{\partial}{\partial x_i}(f * g) = \frac{\partial f}{\partial x_i} * g = f * \frac{\partial g}{\partial x_i}.$$

इसका एक विशेष परिणाम यह है कि संवलन को एक स्मूथिंग ऑपरेशन के रूप में देखा जा सकता है: f और g का संवलन कई बार अलग-अलग होता है क्योंकि f और g कुल होते हैं।

ये सर्वसमिकाएँ इस सटीक स्थिति में हैं कि f और g पूर्णत: समाकलनीय हैं और उनमें से कम से कम एक में यंग कि संवलन असमानता के परिणामस्वरूप पूर्णतया समाकलनीय (L1) कमजोर व्युत्पन्न है। उदाहरण के लिए, जब f कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ लगातार अलग-अलग होता है, और g एक मनमाना स्थानीय रूप से एकीकृत कार्य है,
 * $$\frac{d}{dx}(f* g) = \frac{df}{dx} * g.$$

यदि f या g में से कोई एक तेजी से घटता हुआ टेम्पर्ड अवकलन है, एक कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित टेम्पर्ड अवकलन या एक Schwartz फंक्शन है और दूसरा टेम्पर्ड अवकलन है, तो ये पहचानें टेम्पर्ड अवकलन के अर्थ में बहुत अधिक व्यापक रूप से धारण करती हैं। दूसरी ओर, दो सकारात्मक अभिन्न और असीम रूप से भिन्न फलनो में कहीं भी निरंतर संवलन नहीं हो सकता है।

असतत मामले में, अंतर ऑपरेटर D f(n) = f(n + 1) − f(n एक समान संबंध को संतुष्ट करता है:
 * $$D(f * g) = (Df) * g = f * (Dg).$$

संवलन प्रमेय
संवलन प्रमेय कहता है कि
 * $$ \mathcal{F}\{f * g\} = k\cdot \mathcal{F}\{f\}\cdot \mathcal{F}\{g\}$$

जहाँ $$ \mathcal{F}\{f\}$$, $$f$$ के फूरियर रूपांतरण को दर्शाता है तथा $$k$$ एक स्थिरांक है जो फूरियर रूपांतरण के विशिष्ट सामान्यीकरण पर निर्भर करता है। इस प्रमेय के संस्करण लाप्लास रूपान्तरण, दो तरफा लाप्लास परिवर्तन, जेड-रूपांतरण और मेलिन परिवर्तन के लिए भी मान्य हैं।

दूसरी ओर, यदि $$\mathcal W$$ DFT मैट्रिक्स है, तो
 * $$\mathcal W\left(C^{(1)}x \ast C^{(2)}y\right) = \left(\mathcal W C^{(1)} \bull \mathcal W C^{(2)}\right)(x \otimes y) = \mathcal W C^{(1)}x \circ \mathcal W C^{(2)}y$$,

जहाँ $$ \bull $$ फेस-विभाजन उत्पाद,    $$ \otimes $$  क्रोनकर उत्पाद को दर्शाता है, $$ \circ $$  हैडमर्ड उत्पाद (मैट्रिस) को दर्शाता है (यह परिणाम  गिनती स्केच गुणों का एक विकसित होना है ).

ट्रांसलेशनल इक्विविरिएंस
संवलन अनुवाद के साथ शुरू होता है, जिसका अर्थ है कि
 * $$\tau_x (f * g) = (\tau_x f) * g = f * (\tau_x g)$$

जहांxf फलन f का x द्वारा परिभाषित अनुवाद है
 * $$(\tau_x f)(y) = f(y - x).$$

यदि f एक श्वार्ट्ज फलन है, तोxf अनुवादित Dirac डेल्टा फलन τxf = f ∗ τx δ के साथ संवलन है तो श्वार्ट्ज फलन के संवलन का ट्रांसलेशन इनवेरिएंस संवलन की साहचर्यता का परिणाम है।

इसके अलावा, कुछ शर्तों के तहत, संवलन सबसे सामान्य अनुवाद अपरिवर्तनीय ऑपरेशन है। अनौपचारिक रूप से, निम्नलिखित धारण करता है
 * मान लीजिए कि S एक परिबद्ध रैखिक संचालिका है जो अनुवादों के साथ आने वाले कार्यों पर कार्य करता है: S(τxच) = टीx(एसएफ) सभी एक्स के लिए। तब S को एक फंक्शन (या वितरण) gS के साथ संवलन के रूप में दिया जाता है, वह Sf = gS*f

इस प्रकार कुछ अनुवाद अपरिवर्तनीय संचालन को संवलन के रूप में दर्शाया जा सकता है। समय-अपरिवर्तनीय प्रणालियों और विशेष रूप से एलटीआई प्रणाली सिद्धांत  के अध्ययन में संकल्प एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। प्रतिनिधित्व फंक्शन gS परिवर्तन S की  आवेग प्रतिक्रिया  है।

ऊपर उद्धृत प्रमेय के एक अधिक सटीक संस्करण के लिए कार्यों के वर्ग को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता होती है, जिस पर संवलन को परिभाषित किया जाता है, और इसके अलावा यह मानने की भी आवश्यकता होती है कि उपयुक्त टोपोलॉजी  के संबंध में S एक  निरंतर रैखिक ऑपरेटर  होना चाहिए। उदाहरण के लिए, यह ज्ञात है कि L1 पर प्रत्येक निरंतर अनुवाद अपरिवर्तनीय निरंतर रैखिक ऑपरेटर एक परिमित बोरेल माप के साथ संवलन है। अधिक आम तौर पर, एल पर प्रत्येक निरंतर अनुवाद अपरिवर्तनीय निरंतर रैखिक ऑपरेटर Lp के लिए 1 ≤p < $$\infty$$ के लिए एलपी पर प्रत्येक निरंतर अनुवाद अपरिवर्तनीय निरंतर रैखिक ऑपरेटर एक टेम्पर्ड वितरण के साथ दृढ़ संकल्प है जिसका फूरियर रूपांतरण बाध्य है। वे सभी बंधे हुए फूरियर गुणक द्वारा दिए गए हैं।

समूहों पर संकल्प
यदि G एक उपयुक्त समूह (गणित) है जो f माप (गणित) के साथ संपन्न है, और यदि f और g वास्तविक या जटिल मूल्यवान अभिन्न कार्य G पर हैं, तो हम उनके संवलन को परिभाषित कर सकते हैं


 * $$(f * g)(x) = \int_G f(y) g\left(y^{-1}x\right)\,d\lambda(y).$$

यह सामान्य रूप से कम्यूटेटिव नहीं है। विशिष्ट मामलों में जी स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट  हॉसडॉर्फ स्पेस टोपोलॉजिकल समूह है और λ एक (बाएं-) हार उपाय है। उस स्थिति में, जब तक कि G एकतरफा समूह नहीं है, इस तरह से परिभाषित संवलन एक समान नहीं है।

$\int f\left(xy^{-1}\right)g(y) \, d\lambda(y)$

एक को दूसरे पर वरीयता दी जाती है ताकि समूह में बाएं अनुवाद के साथ एक निश्चित फ़ंक्शन जी के साथ संवलन कम्यूट हो:


 * $$L_h(f* g) = (L_hf)* g.$$

इसके अलावा, नीचे दिए गए उपायों के संकल्प की परिभाषा के अनुरूप होने के लिए भी सम्मेलन की आवश्यकता है। हालांकि, हार के बाएं माप के बजाय दाएं के साथ, बाद वाले इंटीग्रल को पहले वाले की तुलना में प्राथमिकता दी जाती है।

स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट एबेलियन समूहों पर, संवलन प्रमेय का एक संस्करण रखता है, संवलन का फूरियर रूपांतरण फूरियर ट्रांसफॉर्म का बिंदुवार उत्पाद है। Lebesgue माप के साथ वृत्त समूह T इसका एक तात्कालिक उदाहरण है। एक निश्चित g के लिए L1(T), हमारे पास हिल्बर्ट स्पेस  L2 पर अभिनय करने वाला निम्नलिखित परिचित ऑपरेटर है:


 * $$T {f}(x) = \frac{1}{2 \pi} \int_{\mathbf{T}} {f}(y) g( x - y) \, dy.$$

ऑपरेटर टी हिल्बर्ट स्पेस पर कॉम्पैक्ट ऑपरेटर  है। प्रत्यक्ष गणना से पता चलता है कि इसका निकटवर्ती T* कनवल्शन है


 * $$\bar{g}(-y).$$

ऊपर उल्लिखित कम्यूटेटिविटी प्रॉपर्टी से, टी सामान्य ऑपरेटर  है: टी * टी = टीटी *। इसके अलावा, टी अनुवाद ऑपरेटरों के साथ यात्रा करता है। ऐसे सभी संवलन और ट्रांसलेशन ऑपरेटरों से युक्त ऑपरेटरों के परिवार S पर विचार करें। तब S सामान्य ऑपरेटरों का एक आने वाला परिवार है। हिल्बर्ट स्पेस पर कॉम्पैक्ट ऑपरेटर के अनुसार, एक ऑर्थोनॉर्मल आधार मौजूद है {hk} जो एक साथ एस को विकर्ण करता है। यह सर्कल पर संकल्पों की विशेषता है। विशेष रूप से, हमारे पास है


 * $$h_k (x) = e^{ikx}, \quad k \in \mathbb{Z},\;$$

जो ठीक T के अक्षर (गणित) हैं। प्रत्येक संवलन इस आधार पर एक कॉम्पैक्ट गुणन ऑपरेटर है। इसे ऊपर चर्चा किए गए संवलन प्रमेय के एक संस्करण के रूप में देखा जा सकता है।

एक असतत उदाहरण 'n' क्रम का एक परिमित चक्रीय समूह है। संवलन ऑपरेटरों को यहां परिसंचारी मैट्रिसेस  द्वारा दर्शाया गया है, और असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म द्वारा विकर्ण किया जा सकता है।

एक समान परिणाम कॉम्पैक्ट समूहों (जरूरी नहीं कि एबेलियन) के लिए होता है: परिमित-आयामी एकात्मक अभ्यावेदन के मैट्रिक्स गुणांक L में एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाते हैं।पीटर-वील प्रमेय द्वारा 2, और संवलन प्रमेय का एक एनालॉग जारी है, साथ ही हार्मोनिक विश्लेषण  के कई अन्य पहलुओं के साथ जो फूरियर रूपांतरण पर निर्भर करता है।

उपायों का संकल्प
माना G एक (गुणात्मक रूप से लिखा गया) टोपोलॉजिकल समूह है।

यदि μ और G पर परिमित बोरेल माप हैं, तो उनके संवलन μ∗ν को समूह क्रिया (गणित) के पुशफॉरवर्ड माप के रूप में परिभाषित किया जाता है और इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है
 * $$(\mu * \nu)(E) = \iint 1_E(x+y) \,d\mu(x) \,d\nu(y)$$

G के प्रत्येक मापने योग्य उपसमुच्चय E के लिए संवलन भी एक परिमित माप है, जिसकी कुल भिन्नता संतुष्ट करती है
 * $$\|\mu * \nu\| \le \left\|\mu\right\| \left\|\nu\right\|.$$

मामले में जब G स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है (बाएं-)हार माप λ, और μ और एक, रेडॉन-निकोडिम प्रमेय के संबंध में पूर्ण निरंतरता हैं, तो संवलन μ∗ν भी बिल्कुल निरंतर है, और इसका घनत्व कार्य केवल दो अलग-अलग घनत्व कार्यों का संवलन है।

यदि μ और टोपोलॉजिकल समूह पर संभाव्यता उपाय  हैं (R,+), तब संवलन μ∗ν दो  सांख्यिकीय स्वतंत्रता  यादृच्छिक चर X और Y के योग X + Y का  प्रायिकता वितरण  है, जिनके संबंधित वितरण μ और हैं।

बाय एलजेब्रास
मान लीजिए (X, Δ, ∇, ε, ) सहगुणन, गुणन ∇, इकाई η, और युग्म के साथ एक बाय एलजेब्रास है। संवलन एंडोमोर्फिज्म बीजगणित  एंड (एक्स) पर निम्नानुसार परिभाषित एक उत्पाद है। मान लीजिए , ψ End(X), यानी , : X → X ऐसे फलन हैं जो X की सभी बीजीय संरचना का सम्मान करते हैं, तो कनवल्शन φ∗ψ को रचना के रूप में परिभाषित किया जाता है


 * $$X \mathrel{\xrightarrow{\Delta}} X \otimes X \mathrel{\xrightarrow{\phi\otimes\psi}} X \otimes X \mathrel{\xrightarrow{\nabla}} X.$$

हॉप बीजगणित की परिभाषा में संकल्प विशेष रूप से प्रकट होता है. एक बायलजेब्रा एक हॉपफ बीजगणित है यदि और केवल अगर इसमें एक एंटीपोड है: एक एंडोमोर्फिज्म S जैसे कि
 * $$S * \operatorname{id}_X = \operatorname{id}_X * S = \eta\circ\varepsilon.$$

अनुप्रयोग
विज्ञान, इंजीनियरिंग और गणित में कई अनुप्रयोगों में संवलन और संबंधित ऑपरेशन पाए जाते हैं।

कर्नेल (छवि प्रसंस्करण) में
 * डिजिटल इमेज प्रोसेसिंग में कन्वेन्शनल फ़िल्टरिंग एज डिटेक्शन और संबंधित प्रक्रियाओं में कई महत्वपूर्ण एल्गोरिदम में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। कर्नेल देखें (छवि प्रसंस्करण)
 * डिजिटल इमेज प्रोसेसिंग में कन्वेन्शनल फ़िल्टरिंग  किनारे का पता लगाना  और संबंधित प्रक्रियाओं में कई महत्वपूर्ण  कलन विधि  में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। कर्नेल देखें (छवि प्रसंस्करण)
 * प्रकाशिकी में, एक आउट-ऑफ़-फ़ोकस फ़ोटोग्राफ़ एक लेंस फ़ंक्शन के साथ शार्प इमेज का संवलन होता है। इसके लिए फोटोग्राफिक शब्द  बोकेह  है।
 * छवि प्रसंस्करण अनुप्रयोगों में जैसे धुंधलापन जोड़ना।
 * डिजिटल डाटा प्रोसेसिंग में
 * विश्लेषणात्मक रसायन विज्ञान में, स्पेक्ट्रोस्कोपिक डेटा के विश्लेषण के लिए सावित्स्की-गोले स्मूथिंग फिल्टर का उपयोग किया जाता है। वे स्पेक्ट्रा के न्यूनतम विरूपण के साथ सिग्नल-टू-शोर अनुपात में सुधार कर सकते हैं
 * आंकड़ों में, भारित चलती औसत एक संवलन है।
 * ध्वनिकी में, ध्वनि स्रोत के आसपास की वस्तुओं से प्रतिध्वनि  (घटना) के साथ मूल ध्वनि का रूपांतरण है।
 * डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग में, डिजिटल ऑडियो सिग्नल पर वास्तविक कमरे की आवेग प्रतिक्रिया को मैप करने के लिए संवलन का उपयोग किया जाता है।
 * इलेक्ट्रॉनिक संगीत में संवलन एक ध्वनि पर एक  स्पेक्ट्रम  या लयबद्ध संरचना का आरोपण है। अक्सर यह  संरचना किसी अन्य ध्वनि से ली जाती है। दो संकेतों का संवलन एक को दूसरे के माध्यम से छानना है।
 * विद्युत अभियन्त्रण में, एक फ़ंक्शन ( सिग्नल (इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग) ) का दूसरे फ़ंक्शन (आवेग प्रतिक्रिया) के साथ एक  रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली  (LTI) का आउटपुट देता है। किसी भी समय, निर्गत निविष्ठ फ़ंक्शन के सभी पूर्व मूल्यों का एक संचित प्रभाव होता है, जिसमें सबसे तुरंत के मूल्यों में आमतौर पर सबसे अधिक प्रभाव होता है (एक गुणक कारक के रूप में व्यक्त)। आवेग प्रतिक्रिया फ़ंक्शन उस कारक को बीता हुआ समय के एक फ़ंक्शन के रूप में प्रदान करता है क्योंकि प्रत्येक निविष्ठ मूल्य हुआ है।
 * भौतिकी में, जहां कहीं भी एक सुपरपोजिशन सिद्धांत के साथ एक रेखीय प्रणाली होती है, एक संवलन ऑपरेशन एक उपस्थिति बनाता है। उदाहरण के लिए, स्पेक्ट्रोस्कोपी लाइन में डॉपलर प्रभाव के कारण चौड़ीकरण अपने आप में एक सामान्य वितरण  वर्णक्रमीय रेखा का आकार देता है और अकेले टकराव को चौड़ा करने से  कॉची वितरण  रेखा का आकार मिलता है। जब दोनों प्रभाव सक्रिय होते हैं, तो रेखा का आकार गॉसियन और लोरेंट्ज़ियन का एक संवलन होता है, जो एक वॉइगत फ़ंक्शन है।
 * समय-समाधान प्रतिदीप्ति स्पेक्ट्रोस्कोपी में, उत्तेजना संकेत को डेल्टा तरंग की एक श्रृंखला के रूप में माना जा सकता है, और मापा प्रतिदीप्ति प्रत्येक डेल्टा तरंग से घातीय क्षय का योग है।
 * कम्प्यूटेशनल तरल गतिकी में, बड़े एड़ी सिमुलेशन (एलईएस) अशांति मॉडल  गणना में आवश्यक लंबाई के पैमाने की सीमा को कम करने के लिए संवलन ऑपरेशन का उपयोग करता है जिससे कम्प्यूटेशनल लागत कम हो जाती है।
 * संभाव्यता सिद्धांत में, दो स्वतंत्र (प्रायिकता) यादृच्छिक चर के योग का संभाव्यता वितरण उनके व्यक्तिगत वितरण का संकल्प है।
 * कर्नेल घनत्व अनुमान में, एक वितरण का अनुमान एक कर्नेल के साथ संवलन द्वारा नमूना बिंदुओं से लगाया जाता है, जैसे कि एक आइसोट्रोपिक गाऊसी।
 * रेडियोथेरेपी उपचार योजना प्रणाली में, गणना के सभी आधुनिक कोडों का अधिकांश भाग एक संवलन-सुपरपोज़िशन एल्गोरिथम  लागू करता है।
 * संरचनात्मक विश्वसनीयता में, संवलन प्रमेय के आधार पर विश्वसनीयता सूचकांक को परिभाषित किया जा सकता है।
 * गैर-सामान्य वितरण के साथ सीमा राज्य कार्यों के लिए विश्वसनीयता सूचकांक की परिभाषा संयुक्त वितरण समारोह  के अनुरूप स्थापित की जा सकती है। वास्तव में, संयुक्त वितरण फ़ंक्शन को संवलन सिद्धांत का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।
 * संवलन न्यूरल नेटवर्क  मशीन दृष्टि  और  कृत्रिम होशियारी  में अनुप्रयोगों के साथ कई कैस्केड संवलन कर्नेल लागू करते हैं।  हालांकि ये ज्यादातर मामलों में संवलन के बजाय वास्तव में क्रॉस-सहसंबंध हैं।
 * चिकना-कण हाइड्रोडायनामिक्स में, द्रव गतिकी के सिमुलेशन की गणना कणों का उपयोग करके की जाती है, प्रत्येक में आसपास की गुठली होती है। किसी दिए गए कण के लिए $$i$$, कुछ भौतिक मात्रा $$A_i$$ के एक संकल्प के रूप में गणना की जाती है $$A_j$$ भारोत्तोलन समारोह के साथ, जहां $$j$$ कण के पड़ोसियों को दर्शाता है $$i$$: वे जो इसके कर्नेल के भीतर स्थित हैं। संवलन का अनुमान प्रत्येक पड़ोसी पर एक योग के रूप में लगाया जाता है।

यह भी देखें

 * एनालॉग सिग्नल प्रोसेसिंग
 * परिसंचारी मैट्रिक्स
 * बिखरने वाले मीडिया में ऑप्टिकल ब्रॉड-बीम प्रतिक्रियाओं के लिए संवलन
 * संवलन
 * विघटन
 * डिरिचलेट संवलन
 * सामान्यीकृत संकेत औसत
 * जान मिकुसिंस्की
 * संभाव्यता वितरण के संकल्पों की सूची
 * एलटीआई प्रणाली सिद्धांत#आवेग प्रतिक्रिया और संवलन
 * बहुआयामी असतत संवलन
 * स्केल किए गए सहसंबंध
 * तितचमार्श संवलन प्रमेय
 * तोएस्प्लिटज़ मैट्रिक्स (कनवल्शन को तोएस्प्लिटज़ मैट्रिक्स ऑपरेशन माना जा सकता है जहाँ प्रत्येक पंक्ति संवलन कर्नेल की एक स्थानांतरित प्रति है)

अग्रिम पठन

 * Dominguez-Torres, Alejandro (Nov 2, 2010). "Origin and history of convolution". 41 pgs. http://www.slideshare.net/Alexdfar/origin-adn-history-of-convolution. Cranfield, Bedford MK43 OAL, UK. Retrieved Mar 13, 2013.
 * Dominguez-Torres, Alejandro (Nov 2, 2010). "Origin and history of convolution". 41 pgs. http://www.slideshare.net/Alexdfar/origin-adn-history-of-convolution. Cranfield, Bedford MK43 OAL, UK. Retrieved Mar 13, 2013.
 * Dominguez-Torres, Alejandro (Nov 2, 2010). "Origin and history of convolution". 41 pgs. http://www.slideshare.net/Alexdfar/origin-adn-history-of-convolution. Cranfield, Bedford MK43 OAL, UK. Retrieved Mar 13, 2013.
 * Dominguez-Torres, Alejandro (Nov 2, 2010). "Origin and history of convolution". 41 pgs. http://www.slideshare.net/Alexdfar/origin-adn-history-of-convolution. Cranfield, Bedford MK43 OAL, UK. Retrieved Mar 13, 2013.

बाहरी संबंध

 * Earliest Uses: The entry on Convolution has some historical information.
 * Convolution, on The Data Analysis BriefBook
 * http://www.jhu.edu/~signals/convolve/index.html Visual convolution Java Applet
 * http://www.jhu.edu/~signals/discreteconv2/index.html Visual convolution Java Applet for discrete-time functions
 * https://get-the-solution.net/projects/discret-convolution discret-convolution online calculator
 * https://lpsa.swarthmore.edu/Convolution/CI.html Convolution demo and visualization in javascript
 * https://phiresky.github.io/convolution-demo/ Another convolution demo in javascript
 * Lectures on Image Processing: A collection of 18 lectures in pdf format from Vanderbilt University. Lecture 7 is on 2-D convolution., by Alan Peters
 * * https://archive.org/details/Lectures_on_Image_Processing
 * Convolution Kernel Mask Operation Interactive tutorial
 * Convolution at MathWorld
 * Freeverb3 Impulse Response Processor: Opensource zero latency impulse response processor with VST plugins
 * Stanford University CS 178 interactive Flash demo showing how spatial convolution works.
 * A video lecture on the subject of convolution given by Salman Khan
 * Example of FFT convolution for pattern-recognition (image processing)
 * Intuitive Guide to Convolution A blogpost about an intuitive interpretation of convolution.