ब्राउनियन रव

विज्ञान में, ब्राउनियन रव, जिसे ब्राउन रव या रेड रव के रूप में भी जाना जाता है, ब्राउनियन गति द्वारा उत्पन्न संकेत रव का प्रकार है, इसलिए इसका वैकल्पिक नाम यादृच्छिक चाल रव है। शब्द "ब्राउन रव" रंग से नहीं आया है, बल्कि रॉबर्ट ब्राउन के नाम से आया है, जिन्होंने पानी में कई प्रकार के निर्जीव कणों की अनियमित गति का दस्तावेजीकरण किया था। शब्द "रेड रव" "श्वेत रव"/"श्वेत प्रकाश" सादृश्य से आया है दृश्य स्पेक्ट्रम के लाल सिरे के समान, लंबी तरंग दैर्ध्य में रेड रव दृढ़ होता है।

स्पष्टीकरण
ध्वनि संकेत का ग्राफिक प्रतिनिधित्व ब्राउनियन पैटर्न का अनुकरण करता है। इसका वर्णक्रमीय घनत्व f 2 के व्युत्क्रमानुपाती होता है, जिसका अर्थ है कि कम आवृत्तियों पर इसकी तीव्रता अधिक होती है, गुलाबी रव से भी अधिक होती है। इसकी तीव्रता 6 डीबी प्रति सप्तक (20 डीबी प्रति दशक) कम हो जाती है और, जब सुना जाता है, तो सफेद और गुलाबी रव की तुलना में इसकी गुणवत्ता "अवमंदित" या "मंद" होती है। ध्वनि एक मंद गर्जन है जो झरने या भारी वर्षा जैसी होती है।

दृढ़ता से, ब्राउनियन गति में गॉसियन संभाव्यता वितरण होता है, लेकिन "रेड रव" 1/f 2 आवृत्ति स्पेक्ट्रम के साथ किसी भी संकेत पर लागू हो सकता है।

शक्ति स्पेक्ट्रम
ब्राउनियन गति, जिसे वीनर प्रक्रिया भी कहा जाता है, को श्वेत रव संकेत के अभिन्न अंग के रूप में प्राप्त किया जाता है-


 * $$ W(t) = \int_0^t \frac{dW(\tau)}{d\tau} d\tau $$

जिसका अर्थ है कि ब्राउनियन गति श्वेत रव $$dW(t)$$ का अभिन्न अंग है, जिसका शक्ति स्पेक्ट्रमी घनत्व समतल है-
 * $$ S_0 = \left|\mathcal{F}\left[\frac{dW(t)}{dt}\right](\omega)\right|^2 = \text{const}. $$

ध्यान दें कि यहां $$\mathcal{F}$$ फूरियर रूपांतरण को दर्शाता है, और $$S_0$$ एक स्थिरांक है। इस रूपांतरण का महत्वपूर्ण गुण यह है कि किसी भी वितरण का व्युत्पन्न रूपांतरित होता है
 * $$ \mathcal{F}\left[\frac{dW(t)}{dt}\right](\omega) = i \omega \mathcal{F}[W(t)](\omega), $$

जिससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि ब्राउनियन रव का शक्ति स्पेक्ट्रम है


 * $$ S(\omega) = \big|\mathcal{F}[W(t)](\omega)\big|^2 = \frac{S_0}{\omega^2}. $$

विशिष्ट ब्राउनियन गति प्रक्षेपवक्र स्पेक्ट्रम $$S(\omega)=S_0/\omega^2$$ प्रस्तुत करता है, जहां आयाम $$S_0$$ अपरिमित लंबे प्रक्षेपवक्र की सीमा में भी एक यादृच्छिक चर है।

उत्पत्ति
श्वेत रव को एकीकृत करके भूरे रंग का रव उत्पन्न किया जा सकता है। अर्थात्, जबकि (डिजिटल) श्वेत रव को प्रत्येक प्रतिरूपों को स्वतंत्र रूप से यादृच्छिक रूप से चुनकर उत्पन्न किया जा सकता है, अगले प्रतिरूपों को प्राप्त करने के लिए प्रत्येक प्रतिरूपों में एक यादृच्छिक प्रतिसंतुलन जोड़कर ब्राउन रव का उत्पादन किया जा सकता है। चूंकि ब्राउनियन रव में कम आवृत्तियों पर अनंत स्पेक्ट्रमी शक्ति होती है, इसलिए संकेत मूल से अनंततः दूर चला जाता है। क्षरणी समाकलक का उपयोग ऑडियो या  विद्युत चुम्बकीय अनुप्रयोगों में किया जा सकता है ताकि यह सुनिश्चित किया जा सके कि संकेत "भटक न जाए", अर्थात प्रणाली के गतिशील क्षेत्र की सीमा से अधिक न हो। यह ब्राउनियन रव को ऑर्नस्टीन-उहलेनबेक रव में परिवर्तित कर देता है, जिसमें कम आवृत्तियों पर समतल स्पेक्ट्रम होता है, और केवल चयनित कटऑफ आवृत्ति के ऊपर "लाल" हो जाता है।

ब्राउनियन रव को पहले एक श्वेत रव संकेत उत्पन्न करके, फूरियर-रूपांतरित करके, फिर विभिन्न आवृत्ति घटकों के आयामों को आवृत्ति (एक आयाम में), या आवृत्ति वर्ग (दो आयामों में) आदि द्वारा विभाजित करके कंप्यूटर-जनित किया जा सकता है। एक या किसी भी संख्या में आयामों में ब्राउनियन और अन्य शक्ति-नियम रंगीन रव उत्पन्न करने के लिए मैटलैब प्रोग्राम उपलब्ध हैं।