रेलटिव होमोलॉजी

बीजगणितीय सांस्थितिक में, गणित की शाखा, उप-समष्टि के सापेक्ष सांस्थितिक समष्टि की (व्युत्क्रमणीय) होमोलॉजी, सांस्थितिक युग्म के लिए व्युत्क्रमणीय होमोलॉजी में निर्माण है। रेलटिव होमोलॉजी (सापेक्ष सजातीय) कई मायनों में उपयोगी और महत्वपूर्ण है। सहज रूप से, यह यह निर्धारित करने में मदद करता है कि पूर्ण होमोलॉजी समूह का कौन सा भाग किस उप-समष्टि से आता है।

परिभाषा
उपसमष्‍टि $$A\subseteq X$$ दिया गया, कोई संक्षिप्त सटीक अनुक्रम बना सकता है


 * $$0\to C_\bullet(A) \to C_\bullet(X)\to

C_\bullet(X) /C_\bullet(A) \to 0 ,$$ जहाँ $$C_\bullet(X)$$ समष्‍टि X पर व्युत्क्रमणीय श्रृंखलाओं को दर्शाता है। $$C_\bullet(X)$$ पर सीमा मानचित्र $$C_\bullet(A)$$ तक अवरोह है और इसलिए भागफल पर सीमा मानचित्र $$\partial'_\bullet$$ उत्पन्न करता है। यदि हम इस भागफल को इससे निरूपित करें

$$C_n(X,A):=C_n(X)/C_n(A)$$, फिर हमारे पास सम्मिश्र है
 * $$\cdots\longrightarrow C_n(X,A) \xrightarrow{\partial'_n} C_{n-1}(X,A) \longrightarrow \cdots .$$

परिभाषा के अनुसार,रिक्त समष्टि $$(X,A)$$ के युग्म का nवाँ सापेक्ष होमोलॉजी समूह है


 * $$H_n(X,A) := \ker\partial'_n/\operatorname{im}\partial'_{n+1}.$$

एक का कहना है कि सापेक्ष होमोलॉजी सापेक्ष चक्रों द्वारा दी जाती है, श्रृंखलाएं जिनकी सीमाएं A पर श्रृंखलाएं होती हैं, सापेक्ष सीमाएं मॉड्यूलो (श्रृंखलाएं जो A पर श्रृंखला के अनुरूप होती हैं, अर्थात, श्रृंखलाएं जो सीमाएं होंगी, फिर से मॉड्यूलो A होगा)।

गुण
सापेक्ष श्रृंखला समूहों को निर्दिष्ट करने वाले उपरोक्त संक्षिप्त सटीक अनुक्रम छोटे सटीक अनुक्रमों के श्रृंखला परिसर को उत्पन्न करती हैं। स्नेक लेम्मा के अनुप्रयोग से सटीक अनुक्रम प्राप्त होता है


 * $$\cdots \to H_n(A) \stackrel{i_*}{\to} H_n(X) \stackrel{j_*}{\to} H_n (X,A) \stackrel{\partial}{\to} H_{n-1}(A) \to \cdots .$$

संयोजक मानचित्र $$\partial$$ सापेक्ष चक्र लेता है, जो होमोलॉजी वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है $$H_n(X,A)$$, इसकी सीमा तक (जो A में चक्र है)।

यह इस प्रकार है कि $$H_n(X,x_0)$$, जहाँ $$x_0$$, X में बिंदु है, X का n-वाँ लघुकृत होमोलॉजी समूह है। दूसरे शब्दों में, सभी $$i > 0$$ के लिए $$H_i(X,x_0) = H_i(X)$$, जब $$i = 0$$, जब $$H_0(X,x_0)$$, $$H_0(X)$$ से श्रेणी कम का फ्री मॉड्यूल है। $$x_0$$ जुड़े हुए घटक युक्त सापेक्ष होमोलॉजी में तुच्छ हो जाता है।

उच्छेदन प्रमेय कहता है कि पर्याप्त रूप से अच्छे उपसमुच्चय $$Z \subset A$$ को हटाना सापेक्ष होमोलॉजी समूहों $$H_n(X,A)$$ अपरिवर्तित को छोड़ देता है। युग्म के दीर्घ सटीक अनुक्रम और उच्छेदन प्रमेय का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है $$H_n(X,A)$$ भागफल समष्टि $$X/A$$ के n-वें कम किए गए होमोलॉजी समूहों के समान है।

सापेक्ष होमोलॉजी आसानी से त्रिगुण तक फैली हुई है $$(X,Y,Z)$$ के लिए $$Z \subset Y \subset X$$.

युग्म के लिए यूलर विशेषता को परिभाषित किया जा सकता है $$Y \subset X$$ द्वारा


 * $$\chi (X, Y) = \sum _{j=0} ^n (-1)^j \operatorname{rank} H_j (X, Y) . $$

अनुक्रम की सटीकता का तात्पर्य है कि यूलर विशेषता योगात्मक है, अर्थात, यदि $$Z \subset Y \subset X$$, किसी के पास



\chi (X, Z) = \chi (X, Y) + \chi (Y, Z) .$$

 सीमित होमोलॉजी 

किसी समष्टि का $$n$$-वां सीमित होमोलॉजी समूह $$X$$ बिंदु पर $$x_0$$, निरूपित
 * $$H_{n,\{x_0\}}(X)$$

सापेक्ष होमोलॉजी समूह $$H_n(X,X\setminus \{x_0\})$$ के रूप में परिभाषित किया गया है अनौपचारिक रूप से, यह सीमित होमोलॉजी है $$X$$ के करीब $$x_0$$है।

मूल बिंदु पर शंकु CX की सीमित होमोलॉजी
सीमित होमोलॉजी का आसान उदाहरण शंकु के मूल में समष्टि के शंकु (सांस्थितिक) की सीमित होमोलॉजी की गणना करना है। याद रखें कि शंकु को भागफल समष्टि के रूप में परिभाषित किया गया है
 * $$CX = (X\times I)/(X\times\{0\}) ,$$

जहाँ $$X \times \{0\}$$ उप-समष्टि सांस्थितिक है। फिर, उत्पत्ति $$x_0 = 0$$ बिंदु का समतुल्य वर्ग है $$[X\times 0]$$। अंतर्ज्ञान का उपयोग करते हुए कि सीमित होमोलॉजी समूह $$H_{*,\{x_0\}}(CX)$$ का $$CX$$ पर $$x_0$$ की होमोलॉजी को $$CX$$ अधिकृत है मूल के "निकट", हमें उम्मीद करनी चाहिए कि यह होमोलॉजी है $$H_*(X)$$ तब से $$CX \setminus \{x_0\}$$ इसमें होमोलॉजी तर्क $$X$$ है, सीमित होमोलॉजी की गणना होमोलॉजी में दीर्घ सटीक अनुक्रम का उपयोग करके की जा सकती है
 * $$\begin{align}

\to &H_n(CX\setminus \{x_0 \})\to H_n(CX) \to H_{n,\{x_{0}\}}(CX)\\ \to & H_{n-1}(CX\setminus \{x_0 \})\to H_{n-1}(CX) \to H_{n-1,\{x_{0}\}}(CX). \end{align}$$ क्योंकि किसी समष्टि का शंकु संकुचन योग्य समष्टि है, मध्य होमोलॉजी समूह सभी शून्य हैं, जो होमोलॉजी देते हैं
 * $$\begin{align}

H_{n,\{x_0\}}(CX) & \cong H_{n-1}(CX \setminus \{ x_0 \}) \\ & \cong H_{n-1}(X), \end{align}$$ तब से $$CX \setminus \{x_0\}$$, $$X$$ के लिए अनुबंधीय है।

बीजगणितीय ज्यामिति में
ध्यान दें कि पिछले निर्माण को प्रक्षेप्य किस्म के शंकु (बीजगणितीय ज्यामिति) का उपयोग करके बीजगणितीय ज्यामिति में सिद्ध किया जा सकता है $$X$$ सीमित होमोलॉजी का उपयोग करना है।

निर्बाध विविधता पर बिंदु की सीमित होमोलॉजी
सीमित होमोलॉजी के लिए अन्य गणना विविध $$M$$ एक बिंदु $$p$$ पर की जा सकती है। तो फिर $$K$$ का सघन निकटतम $$p$$ हो बंद डिस्क के लिए समरूपी $$\mathbb{D}^n = \{ x \in \R^n : |x| \leq 1 \}$$ और मान लीजिये $$U = M \setminus K$$ है। उच्छेदन प्रमेय का उपयोग करते हुए सापेक्ष होमोलॉजी समूहों का समरूप है
 * $$\begin{align}

H_n(M,M\setminus\{p\}) &\cong H_n(M\setminus U, M\setminus (U\cup \{p\})) \\ &= H_n(K, K\setminus\{p\}), \end{align}$$ इसलिए एक बिंदु की सीमित होमोलॉजी एक बंद गेंद $$\mathbb{D}^n$$ में बिंदु की सीमित होमोलॉजी में बदल जाती है। समरूप समतुल्यता के कारण
 * $$\mathbb{D}^n \setminus \{0\} \simeq S^{n-1}$$

और तथ्य
 * $$H_k(\mathbb{D}^n) \cong \begin{cases}

\Z & k = 0 \\ 0 & k \neq 0 , \end{cases}$$ युग्म के दीर्घ सटीक अनुक्रम का एकमात्र गैर-तुच्छ हिस्सा $$(\mathbb{D},\mathbb{D}\setminus\{0\})$$ है
 * $$0 \to H_{n,\{0\}}(\mathbb{D}^n) \to H_{n-1}(S^{n-1}) \to 0 ,$$

इसलिए एकमात्र गैर-शून्य सीमित होमोलॉजी समूह $$H_{n,\{0\}}(\mathbb{D}^n)$$ है।

कार्यात्मकता
पूर्ण होमोलॉजी की तरह, रिक्त समष्टि के बीच निरंतर मानचित्र सापेक्ष होमोलॉजी समूहों के बीच होमोलॉजी उत्पन्न करते हैं। वास्तव में, यह मानचित्र बिल्कुल होमोलॉजी समूहों पर प्रेरित मानचित्र है, लेकिन यह भागफल तक अवरोह है।

मान लीजिये $$(X,A)$$ और $$(Y,B)$$ ऐसे रिक्त समष्टि के युग्म बनें $$A\subseteq X$$ और $$B\subseteq Y$$, और मान लीजिये $$f\colon X\to Y$$ सतत मानचित्र है। फिर प्रेरित मानचित्र$$f_\#\colon C_n(X)\to C_n(Y)$$ (पूर्ण) श्रृंखला समूहों पर है। यदि $$f(A)\subseteq B$$, तब $$f_\#(C_n(A))\subseteq C_n(B)$$है। मान लीजिये

$$\begin{align} \pi_X&:C_n(X)\longrightarrow C_n(X)/C_n(A) \\ \pi_Y&:C_n(Y)\longrightarrow C_n(Y)/C_n(B) \\ \end{align}$$

भागफल समूह बनें जो तत्वों को भागफल समूहों में उनके समतुल्य वर्गों में ले जाते हैं। फिर मानचित्र $$\pi_Y\circ f_\#\colon C_n(X)\to C_n(Y)/C_n(B)$$ समूह होमोलॉजी है। तब से $$f_\#(C_n(A))\subseteq C_n(B)=\ker\pi_Y$$, यह मानचित्र भागफल तक अवरोह है, अच्छी तरह से परिभाषित मानचित्र को प्रेरित करता है $$\varphi\colon C_n(X)/C_n(A)\to C_n(Y)/C_n(B)$$ ऐसा कि निम्नलिखित आरेख आवागमन करता है:



श्रृंखला मानचित्र समरूप समूहों के बीच होमोलॉजी उत्पन्न करते हैं, इसलिए $$f$$ मानचित्र प्रेरित करता है $$f_*\colon H_n(X,A)\to H_n(Y,B)$$ सापेक्ष होमोलॉजी समूहों पर

उदाहरण
सापेक्ष होमोलॉजी का महत्वपूर्ण उपयोग भागफल समष्टि $$X/A$$ के होमोलॉजी समूहों की गणना है। $$A$$, $$X$$ का उपसमष्‍टि है जो मंद नियमितता की शर्त को पूरा करता है जो कि $$A$$ के निकटतम में सम्मिलित है $$A$$ विरूपण के रूप में पीछे हटता है, तो समूह $$\tilde H_n(X/A)$$, $$ H_n(X,A)$$ के समरूपी है। हम किसी गोले की होमोलॉजी की गणना करने के लिए इस तथ्य का तुरंत उपयोग कर सकते हैं। हम महसूस कर सकते हैं $$S^n$$ इसकी सीमा द्वारा n-डिस्क के भागफल के रूप में है, अर्थात $$S^n = D^n/S^{n-1}$$। सापेक्ष होमोलॉजी के सटीक अनुक्रम को लागू करने से निम्नलिखित मिलता है: $$\cdots\to \tilde H_n(D^n)\rightarrow H_n(D^n,S^{n-1})\rightarrow \tilde H_{n-1}(S^{n-1})\rightarrow \tilde H_{n-1}(D^n)\to \cdots.$$क्योंकि डिस्क संकुचन क्षम है, हम जानते हैं कि इसके कम किए गए होमोलॉजी समूह सभी आयामों में अवशिष्ट हो जाते हैं, इसलिए उपरोक्त अनुक्रम संक्षिप्त सटीक अनुक्रम में समाप्त हो जाता है:

$$0\rightarrow H_n(D^n,S^{n-1}) \rightarrow \tilde H_{n-1}(S^{n-1}) \rightarrow 0. $$

इसलिए, हमें होमोलॉजीएँ $$H_n(D^n,S^{n-1})\cong \tilde H_{n-1}(S^{n-1})$$ प्राप्त होती हैं अब हम इसे $$H_n(D^n,S^{n-1})\cong \Z$$ दिखाने के लिए प्रेरण द्वारा आगे बढ़ सकते हैं अब क्योंकि $$S^{n-1}$$ $$D^n$$अपने आप में उपयुक्त निकटतम का विरूपण प्रत्यावर्तन है, हमें $$H_n(D^n,S^{n-1})\cong \tilde H_n(S^n)\cong \Z$$ मिल गया है।

एक और व्यावहारिक ज्यामितीय उदाहरण सापेक्ष होमोलॉजी द्वारा दिया गया है $$(X=\Complex^*, D = \{1,\alpha\})$$ जहाँ $$\alpha \neq 0, 1$$। तब हम दीर्घ सटीक अनुक्रम का उपयोग कर सकते हैं

\begin{align} 0 &\to H_1(D)\to H_1(X) \to H_1(X,D) \\ & \to H_0(D)\to H_0(X) \to H_0(X,D) \end{align} = \begin{align} 0 & \to 0 \to \Z \to H_1(X,D) \\ & \to \Z^{\oplus 2} \to \Z \to 0 \end{align} $$ अनुक्रम की सटीकता का उपयोग करके हम इसे देख सकते हैं $$H_1(X,D)$$ में लूप $$\sigma$$ मूल के चारों ओर वामावर्त सम्मिलित है। कोकर्नेल के बाद से $$\phi\colon \Z \to H_1(X,D)$$ सटीक क्रम में फिट बैठता है
 * $$ 0 \to \operatorname{coker}(\phi) \to \Z^{\oplus 2} \to \Z \to 0$$

यह $$\Z$$ के समरूपी होना चाहिए, कोकर्नेल के लिए जनरेटर है $$1$$-चेन $$[1,\alpha]$$ चूँकि इसका $$\partial([1,\alpha]) = [\alpha] - [1]$$

सीमा मानचित्र है

यह भी देखें

 * उच्छेदन प्रमेय
 * मेयर-विएटोरिस अनुक्रम

टिप्पणियाँ
i.e., the boundary $$\partial\colon C_n(X)\to C_{n-1}(X)$$ maps $$C_n(A)$$ to $$C_{n-1}(A)$$

संदर्भ

 * Joseph J. Rotman, An Introduction to Algebraic Topology, Springer-Verlag, ISBN 0-387-96678-1
 * Joseph J. Rotman, An Introduction to Algebraic Topology, Springer-Verlag, ISBN 0-387-96678-1


 * Specific