वॉन मिसेस उपज मानदंड

अधिकतम विरूपण मानदंड (वॉन मिज़ उपज मानदंड भी) बताता है कि तन्य पदार्थ की उपज (इंजीनियरिंग) तब प्रारंभिक होती है जब कॉची तनाव टेन्सर तनाव विचलन टेंसर $$J_2$$ महत्वपूर्ण मान तक पहुँचता है। यह नमनीयता सिद्धांत का भाग है जो अधिकतर तन्य पदार्थो पर प्रयुक्त होता है, जैसे कि कुछ धातुएँ। उपज से पहले, भौतिक प्रतिक्रिया को गैर-रैखिक लोचदार, विस्कोलेस्टिक, या रैखिक लोचदार व्यवहार माना जा सकता है।

पदार्थ विज्ञान और अभियांत्रिकी वॉन मिज़ उपज मानदंड भी वॉन मिज़ तनाव या समकक्ष तन्यता तनाव के संदर्भ में तैयार किया गया है, $$\sigma_\text{v}$$. यह प्रतिबल का अदिश मान है जिसकी गणना कौची प्रतिबल टेन्सर से की जा सकती है। इस स्थितियों में, कहा जाता है कि जब वॉन मिसेज स्ट्रेस नम्य होने की क्षमता के रूप में जाने जाने वाले मान तक पहुंच जाता है, तो पदार्थ उपज देना प्रारंभिक कर देती है। $$\sigma_\text{y}$$. वॉन मिज़ तनाव का उपयोग यूनिएक्सियल तन्यता परीक्षणों के परिणामों से जटिल लोडिंग के अनुसार पदार्थो की उपज की भविष्यवाणी करने के लिए किया जाता है। वॉन मिज़ तनाव उस संपत्ति को संतुष्ट करता है जहां समान विरूपण ऊर्जा वाले दो तनाव राज्यों में समान वॉन मिज़ तनाव होता है।

क्योंकि वॉन मिसेस पराभव (इंजीनियरिंग) कॉची तनाव टेन्सर प्रिंसिपल प्रतिबल और प्रतिबल इनवेरिएंट से स्वतंत्र है, $$I_1$$, यह तन्य पदार्थो जैसे धातुओं के लिए प्लास्टिक विरूपण के विश्लेषण के लिए प्रयुक्त है, क्योंकि इन पदार्थो के लिए उपज की प्रारंभिक कॉची तनाव टेंसर तनाव विचलनकर्ता टेंसर पर निर्भर नहीं करती है।

चूंकि यह माना जाता है कि इसे 1865 में जेम्स क्लर्क मैक्सवेल द्वारा तैयार किया गया था, मैक्सवेल ने केवल विलियम थॉमसन (लॉर्ड केल्विन) को लिखे पत्र में सामान्य स्थितियों का वर्णन किया था। रिचर्ड वॉन मिसेस ने 1913 में इसे सख्ती से तैयार किया। टाइटस मैक्सिमिलियन ह्यूबर (1904), पोलिश में लिखे गए पेपर में, ह्यूबर के समीकरण को कुछ सीमा तक विरूपण तनाव ऊर्जा पर ठीक से निर्भर करते हुए, अपने पूर्ववर्तियों के रूप में कुल तनाव ऊर्जा पर नहीं। हेनरिक हेंकी ने 1924 में स्वतंत्र रूप से वॉन मिज़ के रूप में ही मानदंड तैयार किया। उपरोक्त कारणों से इस मानदंड को मैक्सवेल-ह्यूबर-हेनकी-वॉन मिसेस सिद्धांत भी कहा जाता है।

गणितीय सूत्रीकरण
गणितीय रूप से वॉन मिसेस पराभव (इंजीनियरिंग) मानदंड को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
 * $$J_2 = k^2\,\!$$

यहाँ $$k$$ शुद्ध कतरनी में पदार्थ का उपज (इंजीनियरिंग) तनाव है। जैसा कि इस लेख में बाद में दिखाया गया है, उपज की प्रारंभिक में, शुद्ध कतरनी में कतरनी उपज तनाव का परिमाण साधारण तनाव के स्थितियों में तन्य उपज तनाव से √3 गुना कम होता है। इस प्रकार, हमारे पास है:
 * $$k = \frac{\sigma_y}{\sqrt{3}}$$

जहाँ $$\sigma_y$$ पदार्थ की तन्यता पराभव सामर्थ्य है। यदि हम वॉन मिज़ तनाव को  पराभव सामर्थ्य के बराबर समुच्चय करते हैं और उपरोक्त समीकरणों को जोड़ते हैं, तो वॉन मिज़ पराभव मानदंड को इस प्रकार लिखा जाता है:
 * $$\sigma_v = \sigma_y = \sqrt{3J_2} $$

या
 * $$\sigma_v^2 = 3J_2 = 3k^2$$

स्थानापन्न $$J_2$$ कॉची स्ट्रेस टेन्सर घटकों के साथ, हम प्राप्त करते हैं
 * $$\sigma_\text{v}^2 = \frac{1}{2}\left[(\sigma_{11} - \sigma_{22})^2 + (\sigma_{22} - \sigma_{33})^2 + (\sigma_{33} - \sigma_{11})^2 + 6\left(\sigma_{23}^2 + \sigma_{31}^2 + \sigma_{12}^2\right)\right] = \frac{3}{2}s_{ij}s_{ij}$$,

जहाँ $$s$$ विचलित तनाव कहा जाता है। यह समीकरण उपज सतह को गोलाकार सिलेंडर (चित्र देखें) के रूप में परिभाषित करता है जिसका उपज वक्र, या विचलित विमान के साथ प्रतिच्छेदन, त्रिज्या वाला चक्र है $$\sqrt{2}k$$, या $\sqrt{\frac{2}{3}} \sigma_y$. इसका तात्पर्य है कि उपज की स्थिति हाइड्रोस्टेटिक तनावों से स्वतंत्र है।

एक अक्षीय (1डी) तनाव
एक अक्षीय तनाव या साधारण तनाव के स्थितियों में, $$\sigma_1 \neq 0, \sigma_3 = \sigma_2 = 0$$, वॉन मिज़ मानदंड बस कम हो जाती है
 * $$\sigma_1 = \sigma_\text{y}\,\!$$,

जिसका अर्थ है कि पदार्थ कब उपजने लगती है $$\sigma_1$$ पदार्थ की पराभव सामर्थ्य तक पहुँचता है $$\sigma_\text{y}$$, तन्यता (या कंप्रेसिव)  पराभव सामर्थ्य की परिभाषा के अनुरूप है।

बहु-अक्षीय (2डी या 3डी) तनाव
समतुल्य तनन तनाव या समतुल्य वॉन-मिस तनाव, $$\sigma_\text{v}$$ बहुअक्षीय लदान की स्थिति में पदार्थ के उत्पादन की भविष्यवाणी करने के लिए सरल एकअक्षीय तनन परीक्षणों के परिणामों का उपयोग किया जाता है। इस प्रकार, हम परिभाषित करते हैं


 * $$\begin{align}

\sigma_\text{v} &= \sqrt{3J_2} \\ &= \sqrt{\frac{(\sigma_{11} - \sigma_{22})^2 + (\sigma_{22} - \sigma_{33})^2 + \left(\sigma_{33} - \sigma_{11})^2 + 6(\sigma_{12}^2 + \sigma_{23}^2 + \sigma_{31}^2\right)}{2}} \\ &= \sqrt{\frac{(\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2} {2}} \\ &= \sqrt{\frac{3}{2} s_{ij}s_{ij}} \end{align} \,\!$$ जहां $$s_{ij}$$ तनाव विचलन टेंसर ($$\boldsymbol{\sigma}^\text{dev}$$) के घटक हैं।


 * $$\boldsymbol{\sigma}^\text{dev} = \boldsymbol{\sigma} - \frac{\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{\sigma}\right)}{3} \mathbf{I}\,\!$$.

इस स्थितियों में, उपज तब होती है जब समतुल्य तनाव, $$\sigma_\text{v}$$, साधारण तनाव में पदार्थ की पराभव सामर्थ्य तक पहुँचता है, $$\sigma_\text{y}$$. उदाहरण के रूप में, संपीड़न में स्टील बीम की तनाव स्थिति मरोड़ के अनुसार स्टील एक्सल की तनाव स्थिति से भिन्न होती है, तथापि दोनों नमूने ही पदार्थ के हों।तनाव टेन्सर को ध्यान में रखते हुए, जो स्ट्रेस स्टेट का पूरी तरह से वर्णन करता है, यह अंतर स्वतंत्रता की छह डिग्री (यांत्रिकी) में प्रकट होता है, क्योंकि स्ट्रेस टेन्सर में छह स्वतंत्र घटक होते हैं। इसलिए, यह बताना कठिनाई है कि दोनों में से कौन सा नमूना उपज बिंदु के करीब है या यहां तक ​​पहुंच गया है। चूंकि, वॉन मिज़ उपज मानदंड के माध्यम से, जो पूरी तरह से स्केलर वॉन मिज़ तनाव के मान पर निर्भर करता है, अर्थात , स्वतंत्रता की डिग्री, यह तुलना सीधी है: बड़ा वॉन मिसेज मान का अर्थ है कि पदार्थ उपज के करीब है बिंदु।

शुद्ध कतरनी तनाव के स्थितियों में, $$\sigma_{12} = \sigma_{21}\neq0$$, जबकि अन्य सभी $$\sigma_{ij} = 0$$, वॉन मिसेस मानदंड बन जाती है:


 * $$\sigma_{12} = k = \frac{\sigma_y}{\sqrt{3}}\,\!$$.

इसका कारण है कि, उपज की प्रारंभिक में, शुद्ध कतरनी में कतरनी तनाव का परिमाण है $$\sqrt{3}$$ साधारण तनाव के स्थितियों में उपज तनाव से कई गुना कम। मुख्य प्रतिबलों में अभिव्यक्त शुद्ध अपरूपण प्रतिबल के लिए वॉन मिज़ उपज मानदंड है


 * $$(\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_1 - \sigma_3)^2 = 2\sigma_y^2\,\!$$

प्रिंसिपल प्लेन स्ट्रेस के स्थितियों में, $$\sigma_3 = 0$$ और $$\sigma_{12} = \sigma_{23} = \sigma_{31} = 0$$, वॉन मिसेस मानदंड बन जाती है:


 * $$\sigma_1^2 - \sigma_1\sigma_2 + \sigma_2^2 = 3k^2 = \sigma_y^2\,\!$$

यह समीकरण विमान में दीर्घवृत्त का प्रतिनिधित्व करता है $$\sigma_1 - \sigma_2$$.

वॉन मिसेस पराभव मानदंड की भौतिक व्याख्या
हेनरिक हेनकी (1924) ने वॉन मिज़ मानदंड की भौतिक व्याख्या की प्रस्तुति की जिसमें सुझाव दिया गया कि उपज तब प्रारंभिक होती है जब विरूपण की लोचदार ऊर्जा महत्वपूर्ण मान तक पहुंच जाती है। इस कारण से, वॉन मिज़ मानदंड को अधिकतम विरूपण तनाव ऊर्जा मानदंड के रूप में भी जाना जाता है। यह बीच के संबंध से आता है $$J_2$$ और विरूपण की लोचदार तनाव ऊर्जा $$W_\text{D}$$:


 * $$W_\text{D} = \frac{J_2}{2G}\,\!$$ लोचदार कतरनी मापांक के साथ $$G = \frac{E}{2(1 + \nu)}\,\!$$.

1937 में अर्पाद एल. नादई ने सुझाव दिया कि उपज तब प्रारंभिक होती है जब कॉची तनाव टेन्सर ऑक्टाहेड्रल तनाव महत्वपूर्ण मान तक पहुंच जाता है, अर्थात साधारण तनाव में उपज पर पदार्थ का ऑक्टाहेड्रल कतरनी तनाव। इस स्थितियों में, वॉन मिज़ उपज मानदंड को प्रत्यक्ष आनुपातिकता के मद्देनजर अधिकतम ऑक्टाहेड्रल कतरनी तनाव मानदंड के रूप में भी जाना जाता है जो बीच में उपस्थित है $$J_2$$ और अष्टफलकीय कतरनी तनाव, $$\tau_\text{oct}$$, जो परिभाषा के अनुसार है


 * $$\tau_\text{oct} = \sqrt{\frac{2}{3}J_2}\,\!$$

इस प्रकार हमारे पास है


 * $$\tau_\text{oct} = \frac{\sqrt{2}}{3} \sigma_\text{y}\,\!$$
 * तनाव ऊर्जा घनत्व में दो घटक होते हैं - वॉल्यूमेट्रिक या डायलेशनल और डिस्टॉर्शल। आयतन घटक आकार में बिना किसी परिवर्तन के आयतन में परिवर्तन के लिए उत्तरदायी होता है। विरूपण घटक कतरनी विरूपण या आकार में परिवर्तन के लिए उत्तरदाई है।

वॉन मिसेज पराभव मानदंड का व्यावहारिक इंजीनियरिंग उपयोग
जैसा कि ऊपर दिए गए समीकरणों में दिखाया गया है (कौन से समीकरण?), उपज मानदंड के रूप में वॉन मिज़ मानदंड का उपयोग केवल तभी प्रयुक्त होता है जब निम्नलिखित भौतिक गुण सजातीय हों और इनका अनुपात हो:


 * $$\frac{F_{sy}}{F_{ty}} = \frac{\sigma_\text{shear.yielding}}{\sigma_\text{tensile.yielding}} = \frac{1}{\sqrt 3} \approx 0.577\!$$

चूंकि किसी भी पदार्थ में यह अनुपात ठीक नहीं होगा, व्यवहार में यह तय करने के लिए इंजीनियरिंग निर्णय का उपयोग करना आवश्यक है कि किसी दिए गए पदार्थ के लिए विफलता सिद्धांत क्या उपयुक्त है। वैकल्पिक रूप से, ट्रेस्का सिद्धांत के उपयोग के लिए, उसी अनुपात को 1/2 के रूप में परिभाषित किया गया है।

सुरक्षा की उपज मार्जिन के रूप में लिखा गया है


 * $$MS_\text{yld} = \frac{F_y}{\sigma_\text{v}} - 1$$

यद्यपि दिया गया मानदंड उपज घटना पर आधारित है, व्यापक परीक्षण से पता चला है कि वॉन मिज़ तनाव का उपयोग अंतिम लोडिंग पर प्रयुक्त होता है
 * $$MS_\text{ult} = \frac{F_u}{\sigma_\text{v}} - 1$$

यह भी देखें

 * उपज सतह
 * ह्यूबर का समीकरण
 * हेनरी ट्रेस्का
 * स्टीफन टिमोचेंको
 * मोहर-कूलम्ब सिद्धांत
 * होक-ब्राउन विफलता मानदंड
 * उपज (इंजीनियरिंग)
 * तनाव (भौतिकी)
 * तनाव (सामग्री विज्ञान)
 * 3-डी लोच