चर-द्रव्यमान प्रणाली

यांत्रिकी में, चर-द्रव्यमान निकाय पदार्थ का एक संग्रह है जिसका द्रव्यमान समय के साथ परिवर्तित होता रहता है। न्यूटन के गति के दूसरे नियम को प्रत्यक्ष रूप से ऐसी प्रणाली पर प्रयुक्त करने की प्रयास करना भ्रमित करने वाला हो सकता है। इसके अतिरिक्त, द्रव्यमान m की समय निर्भरता की गणना न्यूटन के दूसरे नियम को पुनर्व्यवस्थित करके और प्रणाली में प्रविष्ट करने या निष्कर्षन वाले द्रव्यमान द्वारा किए गए संवेग के लिए एक शब्द को जोड़कर की जा सकती है। चर-द्रव्यमान गति के सामान्य समीकरण को इस रूप में लिखा जाता है


 * $$\mathbf{F}_{\mathrm{ext}} + \mathbf{v}_{\mathrm{rel}}\frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d}t} = m {\mathrm{d} \mathbf v \over \mathrm{d}t}$$

जहां Fext निकाय पर कुल बाहरी बल है, vrel निकाय के द्रव्यमान के केंद्र के संबंध में पलायन या आने वाले द्रव्यमान का सापेक्ष वेग है, और v निकाय का वेग है। खगोलगतिकी में, जो रॉकेट की यांत्रिकी से संबंधित है, शब्द vrel को प्रायः प्रभावी निकास वेग कहा जाता है और ve को निरूपित किया जाता है।

व्युत्पत्ति
चर-द्रव्यमान प्रणाली गति समीकरण के लिए अलग-अलग व्युत्पत्तियाँ हैं, यह इस बात पर निर्भर करता है कि द्रव्यमान निकाय में प्रवेश कर रहा है या छोड़ रहा है (दूसरे शब्दों में, फिर गतिमान निकाय का द्रव्यमान क्रमशः बढ़ रहा हो या घट रहा हो)। गणनाओं को सरल बनाने के लिए, सभी निकायों को कण माना जाता है। यह भी माना जाता है कि द्रव्यमान अभिवृद्धि/अपक्षरण की घटनाओं के बाहर निकाय पर बाहरी शक्तियों को प्रयुक्त करने में असमर्थ है।

द्रव्यमान अभिवृद्धि
निम्नलिखित व्युत्पत्ति एक पिंड के लिए है जो द्रव्यमान (अभिवृद्धि) प्राप्त कर रहा है। समय-भिन्न द्रव्यमान m का एक पिंड प्रारंभिक समय t पर वेग v से चलता है। उसी समय, dm द्रव्यमान का एक कण जमीन के सापेक्ष u वेग से चलता है। प्रारंभिक संवेग को लिखा जा सकता है
 * $$\mathbf{p}_{\mathrm{1}} = m\mathbf{v} + \mathbf{u}\mathrm{d}m$$

अब समय t + dt पर, मुख्य पिंड और कण दोनों को वेग 'v' + d'v' के पिंड में प्रविष्ट करने दें। अतः प्रणाली की नई गति को इस प्रकार लिखा जा सकता है


 * $$\mathbf{p}_{\mathrm{2}} = (m + \mathrm{d}m)(\mathbf{v} + \mathrm{d}\mathbf{v}) = m\mathbf{v} + m\mathrm{d}\mathbf{v} + \mathbf{v}\mathrm{d}m + \mathrm{d}m\mathrm{d}\mathbf{v}$$

चूँकि dmd'v' दो छोटे मानों का गुणनफल है, इसे अनदेखा किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि dt के समय प्रणाली का संवेग भिन्न होता है


 * $$\mathrm{d}\mathbf{p} = \mathbf{p}_{\mathrm{2}} - \mathbf{p}_{\mathrm{1}} = (m\mathbf{v} + m\mathrm{d}\mathbf{v} + \mathbf{v}\mathrm{d}m) - (m\mathbf{v} + \mathbf{u}\mathrm{d}m) = m\mathrm{d}\mathbf{v} - (\mathbf{u} - \mathbf{v})\mathrm{d}m$$

इसलिए, न्यूटन के दूसरे नियम द्वारा


 * $$\mathbf{F}_{\mathrm{ext}} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = \frac{m\mathrm{d}\mathbf{v} - (\mathbf{u} - \mathbf{v})\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t} = m\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t} - (\mathbf{u} - \mathbf{v})\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}$$

यह ध्यान में रखते हुए कि u - v, dm के सापेक्ष वेग m का वेग है, जिसे vrel के रूप में दर्शाया गया है, इस अंतिम समीकरण को इस रूप में व्यवस्थित किया जा सकता है
 * $$\mathbf{F}_{\mathrm{ext}} + \mathbf{v}_{\mathrm{rel}}\frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d}t} = m {\mathrm{d} \mathbf v \over \mathrm{d}t}$$

द्रव्यमान अपक्षरण /निष्कासन
ऐसी प्रणाली में जहां द्रव्यमान को मुख्य निकाय से निष्कासन किया जा रहा है या अपक्षरण किया जा रहा है, व्युत्पत्ति सामान्य रूप से भिन्न है। समय t पर, एक द्रव्यमान m को वेग 'v' से संचारण करने दें, जिसका अर्थ है कि प्रणाली का प्रारंभिक संवेग है


 * $$\mathbf{p}_{\mathrm{1}} = m\mathbf{v}$$

आधार के संबंध में u को पृथक द्रव्यमान dm का वेग मानते हुए, समय t + dt पर प्रणाली की गति बन जाती है


 * $$\mathbf{p}_{\mathrm{2}} = (m - \mathrm{d}m)(\mathbf{v} + \mathrm{d}\mathbf{v}) +\mathbf{u}\mathrm{d}m = m\mathbf{v} + m\mathrm{d}\mathbf{v} - \mathbf{v}\mathrm{d}m - \mathrm{d}m\mathrm{d}\mathbf{v} + \mathbf{u}\mathrm{d}m$$

जहां आधार के संबंध में u उत्सर्जित द्रव्यमान का वेग है, और ऋणात्मक है क्योंकि पृथक द्रव्यमान द्रव्यमान के विपरीत दिशा में चलता है। इस प्रकार dt के समय प्रणाली की गति भिन्न होती है


 * $$\mathrm{d}\mathbf{p} = \mathbf{p}_{\mathrm{2}} - \mathbf{p}_{\mathrm{1}} = (m\mathbf{v} + m\mathrm{d}\mathbf{v} -\mathrm{d}\mathbf{m}\mathrm{d}\mathbf{v} - \mathbf{v}\mathrm{d}m +\mathbf{u}\mathrm{d}m) - (m\mathbf{v}) = m\mathrm{d}\mathbf{v} +[\mathbf{u} - (\mathbf{v} +\mathrm{d}\mathbf{v})]\mathrm{d}m$$

सापेक्ष वेग vrel अपक्षरण द्रव्यमान का द्रव्यमान के संबंध में m के रूप में लिखा जाता है


 * $$\mathbf{v}_{\mathrm{rel}} = \mathbf{u} - (\mathbf{v} +\mathrm{d}\mathbf{v}) $$

अतः संवेग में परिवर्तन को इस प्रकार लिखा जा सकता है


 * $$\mathrm{d}\mathbf{p} = m\mathrm{d}\mathbf{v} +\mathbf{v}_{\mathrm{rel}}\mathrm{d}m$$

इसलिए, न्यूटन के दूसरे नियम द्वारा


 * $$\mathbf{F}_{\mathrm{ext}} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = \frac{m\mathrm{d}\mathbf{v} + \mathbf{v}_{\mathrm{rel}}\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t} = m\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t} + \mathbf{v}_{\mathrm{rel}}\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}$$

इसलिए, अंतिम समीकरण को इस रूप में व्यवस्थित किया जा सकता है


 * $$\mathbf{F}_{\mathrm{ext}}- \mathbf{v}_{\mathrm{rel}}\frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d}t} = m {\mathrm{d} \mathbf v \over \mathrm{d}t}$$

रूप
त्वरण की परिभाषा के अनुसार, a = dv/dt, इसलिए चर-द्रव्यमान प्रणाली गति समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है


 * $$\mathbf{F}_{\mathrm{ext}} + \mathbf{v}_{\mathrm{rel}}\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t} = m\mathbf{a}$$

जिन निकायों को कणों a के रूप में नहीं माना जाता है उन्हें acm द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, प्रणाली के द्रव्यमान के केंद्र का त्वरण, अर्थ


 * $$\mathbf{F}_{\mathrm{ext}} + \mathbf{v}_{\mathrm{rel}}\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t} = m\mathbf{a}_{\mathrm{cm}}$$

प्रायः अभिप्लवन के कारण बल को इस रूप में परिभाषित किया जाता है $$\mathbf{F}_{\mathrm{thrust}} = \mathbf{v}_{\mathrm{rel}}\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}$$ ताकि


 * $$\mathbf{F}_{\mathrm{ext}} + \mathbf{F}_{\mathrm{thrust}} = m\mathbf{a}_{\mathrm{cm}}$$

इस रूप से पता चलता है कि किसी पिंड में अभिप्लवन के कारण त्वरण हो सकता है, तथापि उस पर कोई बाहरी बल कार्य (Fext = 0) न करे। अंत में ध्यान दें कि यदि कोई Fnet को Fext और Fthrust का योग होने देता है तो समीकरण न्यूटन के दूसरे नियम के सामान्य रूप को पुनः प्राप्त करता है:


 * $$\mathbf{F}_{\mathrm{net}} = m\mathbf{a}_{\mathrm{cm}}$$

आदर्श रॉकेट समीकरण


आदर्श रॉकेट समीकरण, या कॉन्स्टेंटिन सियोलकोवस्की रॉकेट समीकरण, का उपयोग उन वाहनों की गति का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है जो रॉकेट की तरह व्यवहार करते हैं (जहां पिंड अपने द्रव्यमान के एक हिस्से, एक प्रणोदक, उच्च गति के साथ स्वयं को तीव्र करता है)। इसे चर-द्रव्यमान प्रणालियों के लिए गति के सामान्य समीकरण से निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है: जब कोई बाहरी बल किसी पिंड पर कार्य नहीं करता है (Fext = 0) चर-द्रव्यमान प्रणाली गति समीकरण कम हो जाता है


 * $$\mathbf{v}_{\mathrm{rel}}\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}= m \frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}$$

यदि उत्सर्जित प्रणोदक का वेग vrel माना जाता है कि रॉकेट के त्वरण के विपरीत दिशा है, dv/dt, इस समीकरण के अदिश (गणित) समतुल्य को इस रूप में लिखा जा सकता है
 * $$-v_{\mathrm{rel}}\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t} = m{\mathrm{d} v \over \mathrm{d}t}$$

जिससे देने के लिए dt को निरसित किया जा सकता है


 * $$-v_{\mathrm{rel}}\mathrm{d}m = m\mathrm{d}v \,$$

चरों के पृथक्करण द्वारा एकीकरण देता है


 * $$-v_\mathrm{rel}\int_{m_0}^{m_1} \frac{\mathrm{d}m}{m} = \int_{v_0}^{v_1} \mathrm{d}v$$
 * $$v_\mathrm{rel}\ln{\frac{m_0}{m_1}} = v_1 - v_0$$

पुनर्व्यवस्थित करने और Δv = v1 - v0 देने से, एक आदर्श रॉकेट समीकरण के मानक रूप में आता है:


 * $$\Delta v = v_\mathrm{rel} \ln \frac {m_0} {m_1}$$

जहां m0 प्रणोदक सहित प्रारंभिक कुल द्रव्यमान है, m1 अंतिम कुल द्रव्यमान है, vrel प्रभावी निकास वेग है (प्रायः ve के रूप में निरूपित किया जाता है), और Δv वाहन की गति का अधिकतम परिवर्तन है (जब कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा हो)।