बीजगणितीय फ़ंक्शन फ़ील्ड

गणित में, एक फ़ील्ड k पर n वेरिएबल्स का एक बीजगणितीय फ़ंक्शन फ़ील्ड (प्रायः फ़ंक्शन फ़ील्ड के रूप में संक्षिप्त) एक परिमित रूप से उत्पन्न फ़ील्ड विस्तार K/k होता है,  जिसमें k के ऊपर ट्रान्सेंडेंस डिग्री n होती है। समान रूप से, k के ऊपर n चरों के एक बीजगणितीय फ़ंक्शन फ़ील्ड को फ़ील्ड K = k(x) के एक परिमित फ़ील्ड विस्तार के रूप में परिभाषित किया जा सकता है1,...,एक्सn) k पर n चरों में तर्कसंगत कार्यों का।

उदाहरण
उदाहरण के तौर पर, बहुपद वलय k में[एक्स,वाई] इरेड्यूसिबल बहुपद वाई द्वारा उत्पन्न आदर्श (रिंग सिद्धांत) पर विचार करें2 − X3और भागफल वलय k के भिन्नों का क्षेत्र बनाएं[एक्स,वाई]/(वाई2 − X3). यह k पर एक वेरिएबल का फ़ंक्शन फ़ील्ड है; इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है $$k(X)(\sqrt{X^3})$$ (डिग्री 2 से अधिक के साथ $$k(X)$$) या जैसे $$k(Y)(\sqrt[3]{Y^2})$$ (डिग्री 3 से अधिक के साथ $$k(Y)$$). हम देखते हैं कि बीजगणितीय फ़ंक्शन फ़ील्ड की डिग्री एक अच्छी तरह से परिभाषित धारणा नहीं है।

श्रेणी संरचना
k के ऊपर बीजगणितीय फ़ंक्शन फ़ील्ड एक श्रेणी (गणित) बनाते हैं; फ़ंक्शन फ़ील्ड K से L तक मोर्फिज्म (श्रेणी सिद्धांत) वलय समरूपता f : K → L है जिसमें k में सभी a के लिए f(a) = a है। ये सभी रूपवाद इंजेक्शन क्रिया हैं। यदि K, n वेरिएबल्स के k के ऊपर एक फ़ंक्शन फ़ील्ड है, और L, m वेरिएबल्स में एक फ़ंक्शन फ़ील्ड है, और n > m, तो K से L तक कोई रूपवाद नहीं है।

किस्मों, वक्रों और रीमैन सतहों से उत्पन्न होने वाले कार्य क्षेत्र
k के ऊपर आयाम n की एक बीजगणितीय विविधता का फ़ंक्शन फ़ील्ड, k के ऊपर n चर का एक बीजगणितीय फ़ंक्शन फ़ील्ड है। दो किस्में द्विवार्षिक ज्यामिति हैं यदि और केवल यदि उनके कार्य क्षेत्र समरूपी हैं। (लेकिन ध्यान दें कि किस्मों की गैर-आकृतिवाद किस्मों में एक ही कार्य क्षेत्र हो सकता है!) प्रत्येक किस्म को उसके कार्य क्षेत्र को निर्दिष्ट करने से k (रूपवाद के रूप में तर्कसंगत मानचित्रण के साथ) से अधिक किस्मों की श्रेणी के बीच श्रेणियों (कॉन्ट्रावेरिएंट तुल्यता) की एक तुल्यता प्राप्त होती है। k से अधिक बीजगणितीय फ़ंक्शन फ़ील्ड की श्रेणी। (यहां मानी गई किस्मों को योजना (गणित) अर्थ में लिया जाना है; उन्हें वक्र की तरह किसी भी के-तर्कसंगत बिंदु की आवश्यकता नहीं है $X^{2} + Y^{2} + 1 = 0$ वास्तविक संख्या पर परिभाषित किया गया है, जो कि साथ है $k = R$.)

मामला n = 1 (स्कीम (गणित) अर्थ में इरेड्यूसिबल बीजगणितीय वक्र) विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, क्योंकि k के ऊपर एक चर का प्रत्येक फ़ंक्शन फ़ील्ड एक विशिष्ट रूप से परिभाषित नियमित योजना (यानी गैर-एकवचन) प्रोजेक्टिव इरेड्यूसिबल बीजीय के फ़ंक्शन फ़ील्ड के रूप में उत्पन्न होता है। K के ऊपर वक्र। वास्तव में, फ़ंक्शन फ़ील्ड नियमित प्रक्षेप्य इरेड्यूसेबल बीजगणितीय वक्रों की श्रेणी (योजना सिद्धांत # प्रमुख नियमित मानचित्र (बीजगणितीय ज्यामिति) की आकृति विज्ञान के रूप में शब्दावली के साथ) और k पर एक चर के फ़ंक्शन फ़ील्ड की श्रेणी के बीच एक द्वंद्व उत्पन्न करता है।

कनेक्टेड रीमैन सतह X पर परिभाषित मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन का फ़ील्ड M(X) जटिल संख्या 'C' पर एक चर का फ़ंक्शन फ़ील्ड है। वास्तव में, एम कॉम्पैक्ट कनेक्टेड रीमैन सतहों की श्रेणी (रूपवाद के रूप में गैर-स्थिर होलोमार्फिक  मानचित्रों के साथ) और 'सी' पर एक चर के फ़ंक्शन फ़ील्ड के बीच एक द्वंद्व (कॉन्ट्रावेरिएंट तुल्यता) उत्पन्न करता है। 'आर' पर एक चर में कॉम्पैक्ट कनेक्टेड क्लेन सतहों और फ़ंक्शन फ़ील्ड के बीच एक समान पत्राचार मौजूद है।

संख्या फ़ील्ड और परिमित फ़ील्ड
फ़ंक्शन फ़ील्ड सादृश्य बताता है कि संख्या फ़ील्ड पर लगभग सभी प्रमेयों में एक परिमित फ़ील्ड पर एक चर के फ़ंक्शन फ़ील्ड पर एक समकक्ष होता है, और इन समकक्षों को साबित करना प्रायः आसान होता है। (उदाहरण के लिए, परिमित क्षेत्र पर अघुलनशील बहुपदों के लिए अभाज्य संख्या प्रमेय#एनालॉग देखें।) इस सादृश्य के संदर्भ में, परिमित क्षेत्रों पर संख्या क्षेत्र और फ़ंक्शन फ़ील्ड दोनों को आमतौर पर वैश्विक क्षेत्र कहा जाता है।

एक परिमित क्षेत्र पर फ़ंक्शन फ़ील्ड के अध्ययन में क्रिप्टोग्राफी और त्रुटि सुधार कोड में अनुप्रयोग होते हैं। उदाहरण के लिए, एक परिमित क्षेत्र (सार्वजनिक कुंजी क्रिप्टोग्राफी के लिए एक महत्वपूर्ण गणितीय उपकरण) पर एक अण्डाकार वक्र का फ़ंक्शन फ़ील्ड एक बीजगणितीय फ़ंक्शन फ़ील्ड है।

परिमेय संख्याओं के क्षेत्र में फ़ंक्शन फ़ील्ड व्युत्क्रम गैलोज़ समस्याओं को हल करने में भी महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

स्थिरांकों का क्षेत्र
k के ऊपर किसी भी बीजगणितीय फ़ंक्शन फ़ील्ड K को देखते हुए, हम K के तत्वों के सेट (गणित) पर विचार कर सकते हैं जो k के ऊपर बीजगणितीय तत्व हैं। ये तत्व एक क्षेत्र बनाते हैं, जिसे बीजगणितीय फ़ंक्शन फ़ील्ड के स्थिरांक के क्षेत्र के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण के लिए, 'C'(x) 'R' पर एक वेरिएबल का फ़ंक्शन फ़ील्ड है; इसके स्थिरांक का क्षेत्र 'C' है।

मूल्यांकन और स्थान
बीजगणितीय फ़ंक्शन फ़ील्ड का अध्ययन करने के लिए मुख्य उपकरण हैं निरपेक्ष मान (बीजगणित) | निरपेक्ष मान, मूल्यांकन, स्थान और उनकी पूर्णताएँ।

एक चर के बीजगणितीय फ़ंक्शन फ़ील्ड K/k को देखते हुए, हम K/k के मूल्यांकन रिंग की धारणा को परिभाषित करते हैं: यह K का एक सबरिंग O है जिसमें k शामिल है और k और K से अलग है, और ऐसा है कि किसी भी x के लिए K हमारे पास x ∈ O या x है-1 ∈ O. ऐसी प्रत्येक मूल्यांकन रिंग एक अलग मूल्यांकन रिंग है और इसके अधिकतम आदर्श को K/k का स्थान कहा जाता है।

K/k का असतत मूल्यांकन एक विशेषण फलन है v : K → 'Z'∪{∞} ऐसा कि v(x) = ∞ iff x = 0, v(xy) = v(x) + v(y) और v(x + y) ≥ min(v(x),v(y)) सभी x, y ∈ K के लिए, और v(a) = 0 सभी a ∈ k \ {0} के लिए।

K/k के मूल्यांकन वलय के सेट, K/k के स्थानों के सेट और K/k के अलग-अलग मूल्यांकन के सेट के बीच प्राकृतिक विशेषण पत्राचार हैं। इन सेटों को एक प्राकृतिक टोपोलॉजी संरचना दी जा सकती है: के/के का ज़ारिस्की-रीमैन स्थान।

यह भी देखें

 * बीजगणितीय किस्म का कार्य क्षेत्र
 * फ़ंक्शन फ़ील्ड (योजना सिद्धांत)
 * बीजीय फलन
 * ड्रिनफेल्ड मॉड्यूल