टॉरॉयडल ग्राफ

ग्राफ सिद्धांत के गणितीय क्षेत्र में, एक टोरॉयडल ग्राफ एक ग्राफ (असतत गणित) है जो एक टोरस पर ग्राफ एम्बेडिंग हो सकता है। दूसरे शब्दों में, ग्राफ के शीर्ष (ग्राफ सिद्धांत)  को एक टोरस पर रखा जा सकता है जैसे कि कोई किनारा पार नहीं करता।

उदाहरण
कोई भी ग्राफ़ जिसे एक समतल में एम्बेड किया जा सकता है, एक टोरस में भी एम्बेड किया जा सकता है। जीनस (गणित) 1 का एक टॉरॉयडल ग्राफ एक टोरस में एम्बेड किया जा सकता है लेकिन एक विमान में नहीं। हीवुड ग्राफ, पूरा ग्राफ के7 (और इसलिए के5 और के6), पीटरसन ग्राफ (और इसलिए पूर्ण द्विदलीय ग्राफ K3,3, चूंकि पीटरसन ग्राफ में इसका एक उपखंड शामिल है), ब्लानुसा स्नार्क्स में से एक, और सभी मोबियस लैडर टॉरॉयडल हैं। अधिक आम तौर पर, पार संख्या (ग्राफ सिद्धांत)  1 वाला कोई भी ग्राफ टॉरॉयडल होता है। अधिक क्रॉसिंग नंबर वाले कुछ ग्राफ़ भी टोरॉयडल हैं: मोबियस-कैंटर ग्राफ़, उदाहरण के लिए, क्रॉसिंग नंबर 4 है और टोरॉयडल है।

गुण
किसी भी टोरॉयडल ग्राफ में अधिक से अधिक 7 रंगीन संख्या होती है। पूरा ग्राफ K7 रंगीन संख्या 7 के साथ टोरॉयडल ग्राफ का एक उदाहरण प्रदान करता है।

किसी भी त्रिभुज-मुक्त ग्राफ़|त्रिकोण-मुक्त टॉरॉयडल ग्राफ़ में अधिकतम 4 वर्णिक संख्या होती है।

फेरी के प्रमेय के अनुरूप परिणाम से, किसी भी टोरॉयडल ग्राफ को आवधिक सीमा शर्तों के साथ एक आयत में सीधे किनारों के साथ ग्राफ ड्राइंग हो सकता है। इसके अलावा, टुट्टे के वसंत प्रमेय का एनालॉग इस मामले में लागू होता है। टॉरॉयडल ग्राफ़ में अधिकतम 7 पृष्ठों के साथ पुस्तक एम्बेडिंग भी होती है।

रुकावटें
रॉबर्टसन-सीमोर प्रमेय के अनुसार, न्यूनतम गैर-टोरॉयडल ग्राफ का एक परिमित सेट एच मौजूद है, जैसे कि एक ग्राफ टॉरॉयडल है अगर और केवल अगर एच में कोई ग्राफ माइनर नहीं है। यही है, एच टोरॉयडल ग्राफ के लिए वर्जित ग्राफ लक्षण वर्णन का सेट बनाता है। पूरा सेट एच ज्ञात नहीं है, लेकिन इसमें कम से कम 17,523 ग्राफ हैं। वैकल्पिक रूप से, कम से कम 250,815 गैर-टोरॉयडल ग्राफ़ हैं जो टोपोलॉजिकल माइनर ऑर्डरिंग में न्यूनतम हैं। एक ग्राफ़ टोरॉयडल है अगर और केवल अगर इसमें इन ग्राफ़ों में से कोई भी टोपोलॉजिकल माइनर के रूप में नहीं है।

यह भी देखें

 * प्लेनर ग्राफ
 * सामयिक ग्राफ सिद्धांत
 * सम्राट पॉलीहेड्रॉन