भिन्नात्मक ब्राउनियन गति

संभाव्यता सिद्धांत में, भिन्नात्मक ब्राउनियन गति (एफबीएम), जिसे भिन्नात्मक ब्राउनियन गति भी कहा जाता है, ब्राउनियन गति का एक सामान्यीकरण है। शास्त्रीय ब्राउनियन गति के विपरीत, fBm की वृद्धि को स्वतंत्र होने की आवश्यकता नहीं है। fBm [0, T] पर एक सतत-समय वाली गाऊसी प्रक्रिया BH(t) है, जो शून्य से आरंभ होती है, [0, T] में सभी t के लिए अपेक्षा (गणित) शून्य है, और निम्नलिखित सहप्रसरण फलन है:


 * $$E[B_H(t) B_H (s)]=\tfrac{1}{2} (|t|^{2H}+|s|^{2H}-|t-s|^{2H}),$$

जहाँ H (0, 1) में एक वास्तविक संख्या है, जिसे हर्स्ट सूचकांक या भिन्नात्मक ब्राउनियन गति से जुड़ा हर्स्ट पैरामीटर कहा जाता है। हर्स्ट प्रतिपादक परिणामी गति की उग्रता का वर्णन करता है, जिसमें उच्च मूल्य एक समतल गति की ओर जाता है। इसे मैंडेलब्रॉट और वैन नेस (1968) द्वारा प्रस्तावित किया गया था।

H का मान निर्धारित करता है कि fBm किस प्रकार की प्रक्रिया है:
 * यदि H = 1/2 तो प्रक्रिया वास्तव में ब्राउनियन गति या वीनर प्रक्रिया है;
 * यदि H > 1/2 तो प्रक्रिया की वृद्धि सकारात्मक रूप से सहसंबद्ध है;
 * यदि H < 1/2 तो प्रक्रिया की वृद्धि नकारात्मक रूप से सहसंबद्ध है।

वार्धिक प्रक्रिया, X(t) = BH(t+1) − BH(t), को भिन्नात्मक गाउसीय रव के रूप में जाना जाता है।

भिन्नात्मक ब्राउनियन गति का एक सामान्यीकरण भी है: n-वें क्रम की भिन्नात्मक ब्राउनियन गति, जिसे संक्षेप में n-fBm कहा जाता है। n-fBm एक गाऊसी, स्व-समान, गैर-स्थिर प्रक्रिया है जिसके क्रम n की वृद्धि स्थिर है। n = 1 के लिए, n-fBm शास्त्रीय fBm है।

ब्राउनियन गति की तरह, जिसका यह सामान्यीकरण करता है, भिन्नात्मक ब्राउनियन गति का नाम 19वीं शताब्दी के जीवविज्ञानी रॉबर्ट ब्राउन (वनस्पतिशास्त्री, जन्म 1773) के नाम पर रखा गया है; भिन्नात्मक गॉसियन रव का नाम गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस के नाम पर रखा गया है।

पृष्ठभूमि और परिभाषा
भिन्नात्मक ब्राउनियन गति के प्रारंभ से पहले, ने प्रक्रिया को परिभाषित करने के लिए रीमैन-लिउविल भिन्नात्मक अभिन्न भाग का उपयोग किया था।
 * $$B_H(t) = \frac{1}{\Gamma(H+1/2)}\int_0^t (t-s)^{H-1/2} \, dB(s)$$

जहां एकीकरण ष्वेत रव माप dB(s) के संबंध में है। मूल पर अत्यधिक जोर देने के कारण यह अभिन्न भाग समाकल भिन्नात्मक ब्राउनियन गति के अनुप्रयोगों के लिए अनुवित सिद्ध होता है।

इसके बदले प्रक्रिया को परिभाषित करने के लिए ष्वेत रव के एक अलग भिन्नात्मक अभिन्न भाग का उपयोग करने का विचार है: वेइल समाकल
 * $$B_H (t) = B_H (0) + \frac{1}{\Gamma(H+1/2)}\left\{\int_{-\infty}^0\left[(t-s)^{H-1/2}-(-s)^{H-1/2}\right]\,dB(s) + \int_0^t (t-s)^{H-1/2}\,dB(s)\right\}$$

t > 0 के लिए (और इसी प्रकार t < 0 के लिए)।

भिन्नात्मक ब्राउनियन गति और नियमित ब्राउनियन गति के मध्य मुख्य अंतर यह है कि जबकि ब्राउनियन गति में वृद्धि स्वतंत्र होती है, भिन्नात्मक ब्राउनियन गति के लिए वृद्धि स्वतंत्र नहीं होती है। यदि H > 1/2, सकारात्मक स्वसहसंबंध है: यदि पूर्व चरणों में एक बढ़ता हुआ प्रतिरूप है, तो यह संभावना है कि वर्तमान चरण भी बढ़ रहा होगा। यदि H < 1/2, स्वसहसंबंध नकारात्मक है।

स्व-समानता
प्रक्रिया स्व-समान है, क्योंकि संभाव्यता वितरण के संदर्भ में:


 * $$B_H (at) \sim |a|^{H}B_H (t)$$

यह गुण इस तथ्य के कारण है कि सहप्रसरण फलन क्रम 2H का सजातीय है और इसे भग्न गुण के रूप में माना जा सकता है। FBm को अद्वितीय माध्य-शून्य गॉसियन प्रक्रिया के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, जो स्थिर और स्व-समान वेतन वृद्धि के साथ मूल में शून्य है।

स्थिर वेतन वृद्धि
इसमें स्थिर वेतन वृद्धि है:


 * $$B_H (t) - B_H (s)\;  \sim \;   B_H (t-s) $$

दीर्घावधि की निर्भरता
H > ½ के लिए प्रक्रिया दीर्घावधि की निर्भरता प्रदर्शित करती है,


 * $$\sum_{n=1}^\infty E[B_H (1)(B_H (n+1)-B_H (n))] = \infty.$$

नियमितता
प्रतिदर्श-पथ लगभग कहीं भी भिन्न नहीं हैं। हालांकि, सभी प्रक्षेपवक्र स्थानीय रूप से H से पूर्णतः कम किसी भी क्रम के होल्डर निरंतर हैं: ऐसे प्रत्येक प्रक्षेपवक्र के लिए, प्रत्येक T > 0 और ε > 0 के लिए एक (यादृच्छिक) स्थिरांक c उपस्थित होता है जैसे कि


 * $$ |B_H (t)-B_H (s)| \le c |t-s|^{H-\varepsilon}$$

0 < s,t < T के लिए है।

आयाम
संभाव्यता 1 के साथ, BH(t) के आलेख में हॉसडॉर्फ आयाम और 2−H का बॉक्स आयाम दोनों हैं।

एकीकरण
नियमित ब्राउनियन गति के लिए, कोई व्यक्ति भिन्नात्मक ब्राउनियन गति के संबंध में प्रसंभाव्य समाकल को परिभाषित कर सकता है, जिसे प्रायः भिन्नात्मक प्रसंभाव्य समाकल कहा जाता है। हालांकि सामान्यतः, नियमित ब्राउनियन गति के संबंध में समाकल के विपरीत, भिन्नात्मक प्रसंभाव्य समाकल सेमीमार्टिंगेल्स नहीं हैं।

आवृत्ति प्रक्षेत्र व्याख्या
जिस तरह ब्राउनियन गति को $$\omega^{-1}$$ (अर्थात एकीकृत) द्वारा निस्यंदित किए ष्वेत रव के रूप में देखा जा सकता है, भिन्नात्मक ब्राउनियन गति $$\omega^{-H-1/2}$$ (भिन्नात्मक एकीकरण के अनुरूप) द्वारा निस्यंदित किया गया ष्वेत रव है।

प्रतिदर्श पथ
fBm की व्यावहारिक कंप्यूटर अनुभूतियां उत्पन्न की जा सकती हैं, हालांकि वे केवल एक सीमित अनुमान हैं। चयन किए गए प्रतिदर्श पथों को fBm प्रक्रिया पर असतत प्रतिदर्श बिंदु दिखाने के रूप में सोचा जा सकता है। तीन प्रतिफलन नीचे दिखाए गए हैं, प्रत्येक में हर्स्ट पैरामीटर 0.75 के साथ fBm के 1000 अंक हैं।

तीन अलग-अलग प्रकार के fBm की प्राप्ति नीचे दिखाई गई है, प्रत्येक 1000 अंक दिखाता है, पहला हर्स्ट पैरामीटर 0.15 के साथ, दूसरा हर्स्ट पैरामीटर 0.55 के साथ, और तीसरा हर्स्ट पैरामीटर 0.95 के साथ है। हर्स्ट पैरामीटर जितना अधिक होगा, वक्र उतना ही सुचारू होता है।

अनुकरण की विधि 1
ज्ञात सहप्रसरण फलन के साथ स्थिर गॉसियन प्रक्रियाओं को उत्पन्न करने के विधि का उपयोग करके कोई fBm के प्रतिदर्श-पथ अनुकरण कर सकता है। सबसे आसान विधि सहप्रसरण आव्यूह (नीचे समझाया गया है) के चोल्स्की अपघटन पर निर्भर करती है, जो आकार $$ n$$ के ग्रिड पर क्रम $$O(n^3) $$ की जटिलता होती है। एक अधिक जटिल, लेकिन अभिकलनीयतः रूप से तेज़ विधि डिट्रिच और न्यूज़म (1997) परिपत्र आधायक विधि है।

मान लीजिए कि हम चॉलेस्की अपघटन विधि का उपयोग करके समय $$t_1, \ldots, t_n$$ पर fBM के मानों का अनुकरण करना चाहते हैं।


 * आव्यूह बनाएं $$\Gamma=\bigl(R(t_i,\, t_j), i,j=1,\ldots,\, n\bigr)$$ जहाँ$$\,R(t,s)=(s^{2H}+t^{2H}-|t-s|^{2H})/2$$ हैं।
 * $$\,\Gamma$$ के वर्गमूल आव्यूह $$\,\Sigma$$ की गणना करें, अर्थात $$\,\Sigma^2 = \Gamma$$ की गणना करें। शिथिल रूप से कहें तो,$$\,\Sigma$$ विचरण-सहप्रसरण आव्यूह $$\,\Gamma$$ से जुड़ा मानक विचलन आव्यूह हैं।
 * मानक गॉसियन वितरण के अनुसार स्वतंत्र रूप से खींचे गए n संख्याओं का एक सदिश$$\,v$$ बनाएं,
 * यदि हम $$\,u=\Sigma v$$ को परिभाषित करते हैं तो $$\,u$$ एक fBm का प्रतिदर्श पथ प्राप्त करता है।

$$\,\Sigma$$ की गणना करने के लिए, हम उदाहरण के लिए चोल्स्की अपघटन विधि का उपयोग कर सकते हैं। एक वैकल्पिक विधि $$\,\Gamma$$ के आइगेन मान ​​​​का उपयोग करता है:

ध्यान दें कि परिणाम वास्तविक मूल्यवान है क्योंकि $$\lambda_i>0$$ हैं।
 * तब से $$\,\Gamma$$ सममित, धनात्मक-निश्चित आव्यूह है, इसलिए यह इस प्रकार है कि $$\,\Gamma$$ के सभी आइगेन मान $$\,\lambda_i$$, $$\,\lambda_i>0$$ ($$i=1,\dots,n$$) को संतुष्ट करते हैं।
 * मान लीजिए $$\,\Lambda$$ आइगेन मान ​​​​का विकर्ण आव्यूह है, अर्थात $$\Lambda_{ij} = \lambda_i\,\delta_{ij}$$ जहाँ $$\delta_{ij}$$ क्रोनकर डेल्टा है। हम $$\Lambda^{1/2} $$ को प्रविष्टियों $$\lambda_i^ {1/2}$$ अर्थात $$\Lambda_{ij}^{1/2} = \lambda_i^{1/2}\,\delta_{ij}$$ के साथ विकर्ण आव्यूह के रूप में परिभाषित करते हैं।

ध्यान दें कि आइगेन सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, इसलिए आव्यूह $$\,P$$ व्युत्क्रमणीय है।
 * मान लीजिए कि $$\,v_i$$ एक आइगेन सदिश है जो आइगेन मान$$\,\lambda_i$$ से जुड़ा हैं।$$\,P$$ को उस आव्यूह के रूप में परिभाषित करें जिसका $$i$$-वाँ स्तंभ आइगेन सदिश $$\,v_i$$ है।


 * इसके यह निष्कर्ष निकलता है कि $$\Sigma = P\,\Lambda^{1/2}\,P^{-1}$$ क्योंकि $$\Gamma= P\,\Lambda\,P^{-1}$$है।

अनुकरण की विधि 2
यह भी ज्ञात है
 * $$B_H (t)=\int_0^t K_H(t,s) \, dB(s)$$

जहाँ B एक मानक ब्राउनियन गति है और


 * $$K_H(t,s)=\frac{(t-s)^{H-\frac{1}{2}}}{\Gamma(H+\frac{1}{2})}\;_2F_1\left (H-\frac{1}{2};\, \frac{1}{2}-H;\; H+\frac{1}{2};\, 1-\frac{t}{s} \right).$$

जहां $$ _2F_1$$ यूलर हाइपरजियोमेट्रिक समाकल है।

मान लें कि हम बिंदु $$0=t_0< t_1< \cdots < t_n=T$$ पर एक fBm अनुकरण करना चाहते हैं।


 * मानक गॉसियन वितरण के अनुसार तैयार किए गए n संख्याओं का एक सदिश बनाएँ।
 * [0, T] पर ब्राउनियन गति की वृद्धि प्राप्त करने के लिए इसे घटक-विद्वान $\sqrt{T/n}$ से गुणा करें। इस सदिश को $$ (\delta B_1, \ldots, \delta B_n)$$ निरूपित करें।
 * प्रत्येक $$ t_j$$ के लिए, गणना करें
 * $$ B_H (t_j)=\frac{n}{T}\sum_{i=0}^{j-1} \int_{t_i}^{t_{i+1}} K_H(t_j,\, s)\, ds \ \delta B_i$$

समाकल की गणना गाऊसी चतुर्भुज द्वारा निपूणता से की जा सकती है।

यह भी देखें

 * ब्राउनियन सतह
 * स्वसमाश्रयी भिन्नात्मक समेकित गतिमान माध्य
 * बहुजातीय: भिन्नात्मक ब्राउनियन गतियों का सामान्यीकृत संरचना।
 * पिंक रव
 * ट्वीडी वितरण

संदर्भ

 * Craigmile P.F. (2003), "Simulating a class of stationary Gaussian processes using the Davies–Harte Algorithm, with application to long memory processes", Journal of Times Series Analysis, 24: 505–511.
 * Perrin E. et al. (2001), "nth-order fractional Brownian motion and fractional Gaussian noises", IEEE Transactions on Signal Processing, 49: 1049-1059.
 * Samorodnitsky G., Taqqu M.S. (1994), Stable Non-Gaussian Random Processes, Chapter 7: "Self-similar processes" (Chapman & Hall).
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