शक्तिहीन व्युत्पन्न

गणित में, एक कमजोर व्युत्पन्न एक फ़ंक्शन (गणित) (मजबूत व्युत्पन्न) के व्युत्पन्न की अवधारणा का सामान्यीकरण है, ऐसे कार्यों के लिए जो अलग-अलग फ़ंक्शन नहीं हैं, लेकिन केवल इंटीग्रेबल फंक्शन, यानी, एलपी स्पेस में झूठ बोलना। एल पी  स्थान $$L^1([a,b])$$.

भागों द्वारा एकीकरण की विधि अलग-अलग कार्यों के लिए रखती है $$u$$ और $$\varphi$$ अपने पास


 * $$\begin{align}

\int_a^b u(x) \varphi'(x) \, dx   & = \Big[u(x) \varphi(x)\Big]_a^b - \int_a^b u'(x) \varphi(x) \, dx. \\[6pt] \end{align}$$ एक फ़ंक्शन u ' u का कमजोर डेरिवेटिव होने के नाते अनिवार्य रूप से इस आवश्यकता से परिभाषित किया गया है कि यह समीकरण सीमा बिंदुओं पर गायब होने वाले सभी असीम रूप से अलग-अलग कार्यों के लिए होना चाहिए ($$\varphi(a)=\varphi(b)=0$$).

परिभाषा
होने देना $$u$$ एलपी स्पेस में एक फंक्शन बनें $$L^1([a,b])$$. हम कहते हैं $$v$$ में $$L^1([a,b])$$ का कमजोर व्युत्पन्न है $$u$$ अगर


 * $$\int_a^b u(t)\varphi'(t) \, dt=-\int_a^b v(t)\varphi(t) \, dt$$

सभी असीम रूप से अलग-अलग कार्यों के लिए $$ \varphi $$ साथ $$\varphi(a)=\varphi(b)=0$$.

सामान्यीकरण करना $$n$$ आयाम, अगर $$u$$ और $$v$$ अंतरिक्ष में हैं $$L_\text{loc}^1(U)$$ कुछ खुले सेट के लिए स्थानीय रूप से अभिन्न कार्य $$U \subset \mathbb{R}^n$$, और अगर $$\alpha$$ एक बहु-सूचकांक है, हम कहते हैं कि $$v$$ है $$\alpha^\text{th}$$-कमजोर व्युत्पन्न $$u$$ अगर


 * $$\int_U u D^\alpha \varphi=(-1)^{|\alpha|} \int_U v\varphi,$$

सभी के लिए $$\varphi \in C^\infty_c (U)$$, अर्थात्, सभी असीम रूप से अलग-अलग कार्यों के लिए $$\varphi$$ में कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ $$U$$. यहाँ $$ D^{\alpha}\varphi$$ परिभाषित किया जाता है $$ D^{\alpha}\varphi = \frac{\partial^{| \alpha |} \varphi }{\partial x_1^{\alpha_1} \cdots \partial x_n^{\alpha_n}}.$$ अगर $$u$$ एक कमजोर व्युत्पन्न है, यह अक्सर लिखा जाता है $$D^{\alpha}u$$ चूंकि कमजोर डेरिवेटिव अद्वितीय हैं (कम से कम, माप शून्य के एक सेट तक, नीचे देखें)।

उदाहरण
v(t) = \begin{cases} 1 & \text{if } t > 0; \\[6pt] 0 & \text{if } t = 0; \\[6pt] -1 & \text{if } t < 0. \end{cases}$$ यह यू के लिए एकमात्र कमजोर डेरिवेटिव नहीं है: कोई भी डब्ल्यू जो लगभग हर जगह वी के बराबर है, वह भी यू के लिए एक कमजोर डेरिवेटिव है। (विशेष रूप से, उपरोक्त v(0) की परिभाषा अतिश्योक्तिपूर्ण है और इसे किसी वांछित वास्तविक संख्या r से बदला जा सकता है।) आमतौर पर, यह कोई समस्या नहीं है, क्योंकि Lp space|L के सिद्धांत मेंp स्पेस और सोबोलेव स्पेस, फंक्शन जो लगभग हर जगह समान हैं, की पहचान की जाती है।
 * निरपेक्ष मूल्य समारोह $$u : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_+, u(t) = |t|$$, जो पर अवकलनीय नहीं है $$t = 0$$ एक कमजोर व्युत्पन्न है $$v: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ साइन समारोह के रूप में जाना जाता है, और इसके द्वारा दिया जाता है $$
 * परिमेय संख्याओं का संकेतक कार्य $$ 1_{\mathbb{Q}} $$ कहीं भी अलग-अलग नहीं है, फिर भी एक कमजोर व्युत्पन्न है। चूँकि परिमेय संख्याओं का Lebesgue माप शून्य है, $$ \int 1_{\mathbb{Q}}(t) \varphi(t) \, dt = 0.$$ इस प्रकार $$ v(t)=0 $$ का कमजोर व्युत्पन्न है $$ 1_{\mathbb{Q}} $$. ध्यान दें कि यह हमारे अंतर्ज्ञान से सहमत है क्योंकि जब एलपी स्पेस के सदस्य के रूप में माना जाता है, $$ 1_{\mathbb{Q}} $$ शून्य कार्य के साथ पहचाना जाता है।
 * लगभग हर जगह अलग-अलग होने के बावजूद कैंटर समारोह सी में कमजोर डेरिवेटिव नहीं है। ऐसा इसलिए है क्योंकि सी के किसी भी कमजोर व्युत्पन्न को लगभग हर जगह सी के शास्त्रीय व्युत्पन्न के बराबर होना चाहिए, जो लगभग हर जगह शून्य है। लेकिन शून्य फ़ंक्शन सी का कमजोर डेरिवेटिव नहीं है, जैसा कि उचित परीक्षण फ़ंक्शन के साथ तुलना करके देखा जा सकता है $$\varphi$$. अधिक सैद्धांतिक रूप से, c का कोई कमजोर व्युत्पन्न नहीं है क्योंकि इसका वितरण व्युत्पन्न, अर्थात् कैंटर वितरण, एक विलक्षण माप है और इसलिए इसे किसी फ़ंक्शन द्वारा प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है।

गुण
यदि दो फ़ंक्शन एक ही फ़ंक्शन के कमजोर डेरिवेटिव हैं, तो लेबेस्गु माप शून्य के साथ सेट को छोड़कर वे बराबर हैं, यानी, वे लगभग हर जगह बराबर हैं। यदि हम कार्यों के तुल्यता वर्गों पर विचार करते हैं जैसे कि दो कार्य समकक्ष हैं यदि वे लगभग हर जगह समान हैं, तो कमजोर व्युत्पन्न अद्वितीय है।

इसके अलावा, यदि आप पारंपरिक अर्थों में अलग-अलग हैं तो इसका कमजोर व्युत्पन्न इसके पारंपरिक (मजबूत) व्युत्पन्न के समान (ऊपर दिए गए अर्थ में) है। इस प्रकार कमजोर व्युत्पन्न मजबूत का एक सामान्यीकरण है। इसके अलावा, कार्यों के योगों और उत्पादों के डेरिवेटिव के लिए शास्त्रीय नियम भी कमजोर डेरिवेटिव के लिए लागू होते हैं।

एक्सटेंशन
यह अवधारणा सोबोलिव रिक्त स्थान में कमजोर समाधान की परिभाषा को जन्म देती है, जो अंतर समीकरणों की समस्याओं और कार्यात्मक विश्लेषण में उपयोगी होती है।

यह भी देखें

 * सबडेरिवेटिव
 * वेइल की लेम्मा (लाप्लास समीकरण)