चन्द्रशेखर सीमा

चंद्रशेखर सीमा एक स्थिर श्वेत वामन (व्हाइट ड्वार्फ) तारा की अधिकतम भार है। चंद्रशेखर सीमा का वर्तमान स्वीकृत मूल्य लगभग  ($2,765,000,000,000,000,000,000,000,000,000 kg$) है।

मुख्य अनुक्रम तारों की तुलना में, श्वेत वामन मुख्य रूप से इलेक्ट्रॉन अपकर्ष दाब के माध्यम से गुरुत्वाकर्षण पतन का विरोध करते हैं, जो उष्मीय दाब के माध्यम से पतन का विरोध करते हैं। चंद्रशेखर सीमा वह भार है जिससे अधिक होने पर तारे के केंद्र में इलेक्ट्रॉन अपकर्ष दाब तारे के स्वयं की गुरुत्वाकर्षण स्वयंसंतुलन के लिए पर्याप्त नहीं होती है। इसके परिणामस्वरूप, चंद्रशेखर सीमा से अधिक भार वाला एक श्वेत वामन और भी गुरुत्वाकर्षणीय संकुचन का क्षेत्र में पड़ता है, जिससे वह एक विभिन्न प्रकार के सघन तारा, जैसे कि न्यूट्रॉन स्टार या ब्लैक होल, में परिवर्तित होता है। जो भी इस सीमा तक का भार रखते हैं, वे श्वेत वामन के रूप में स्थिर रहते हैं। टॉल्मन-ओपेनहाइमर-वोल्कॉफ़ सीमा सैद्धांतिक रूप से एक न्यूट्रॉन तारे को ब्लैक होल जैसे सघन रूप में परिवर्तित होने के लिए एक अग्रिम स्तर है।

इस सीमा का नाम सुब्रह्मण्यन चंद्रशेखर के नाम पर रखा गया था। चन्द्रशेखर ने 1930 में हाइड्रोस्टेटिक संतुलन में एक तारे के पॉलीट्रोप मॉडल की सीमा की गणना करके और एक समान घनत्व वाले तारे के लिए ई. सी. स्टोनर द्वारा पाई गई पिछली सीमा से अपनी सीमा की तुलना करके गणना की यथार्थता में सुधार किया। महत्वपूर्ण रूप से, एक सीमा के अस्तित्व का आधार, सांदर्भिक अद्वितीयता को फर्मी डिजेनरेसी के साथ मेल करने के आविष्कार के आधार पर, विल्हेम एंडरसन और ई. सी. स्टोनर द्वारा 1929 में प्रकाशित अलग-अलग पेपर्स में पहली बार स्थापित किया गया था। इस सीमा को पहले वैज्ञानिक समुदाय द्वारा उदाहरण के रूप में इसकी उपेक्षा की गई थी क्योंकि ऐसी एक सीमा लॉजिकली रूप से ब्लैक होल की अस्तित्व की आवश्यकता को मानती थी, जो उस समय एक वैज्ञानिक असंभावना के रूप में विचार की जाती थी। यह तथ्य कि स्टोनर और एंडरसन की भूमिकाओं को प्रायः खगोल यूनिटी में अनदेखा किया जाता है, इसे सम्मिलित किया गया है।

वर्जीनिया ट्रिम्बल द्वारा प्राथमिकता विवाद पर वितारा से चर्चा की गई है: "चंद्रशेखर ने प्रसिद्ध रूप से, शायद यहां तक ​​कि कुख्यात रूप से 1930 में जहाज पर अपनी महत्वपूर्ण गणना की थी, और ... उस समय स्टोनर या एंडरसन के काम के बारे में उन्हें जानकारी नहीं थी। इसलिए उनका काम स्वतंत्र था, लेकिन, अधिक महत्वपूर्ण बात यह है कि, उन्होंने अपने मॉडलों के लिए एडिंगटन के पॉलीट्रोप्स को अपनाया, जो कि, हाइड्रोस्टैटिक संतुलन में हो सकता है, जो निरंतर घनत्व वाले तारे नहीं कर सकते हैं, और वास्तविक लोगों को होना चाहिए।'

भौतिकी
इलेक्ट्रॉन अपकर्ष दाब पाउली अपवर्जन सिद्धांत से उत्पन्न एक क्वांटम यांत्रिक प्रभाव है। क्योंकि इलेक्ट्रॉन फरमिओन्स हैं, इसलिए कोई दो इलेक्ट्रॉन एक ही स्थिति में नहीं हो सकते, इसलिए सभी इलेक्ट्रॉन मिनिमम-एनर्जी स्तर में नहीं हो सकते हैं। बल्कि, इलेक्ट्रॉनों को ऊर्जा स्तरों के एक बैंड को ग्रहण करना होगा। इलेक्ट्रॉन गैस के संपीड़न से किसी दिए गए आयतन में इलेक्ट्रॉनों की संख्या बढ़ जाती है और अधिगृहीत बैंड में अधिकतम ऊर्जा स्तर बढ़ जाता है। इसलिए, संपीड़न पर इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा बढ़ जाती है, इसलिए इलेक्ट्रॉन गैस को संपीड़ित करने के लिए उस पर दाब डाला जाना चाहिए, जिससे इलेक्ट्रॉन अपकर्ष दाब उत्पन्न होता है। पर्याप्त संपीड़न के साथ, इलेक्ट्रॉनों को इलेक्ट्रॉन कैप्चर की प्रक्रिया में नाभिक में विवश किया जाता है, जिससे दाब से राहत प्राप्त होती है।

गैर-सापेक्षतावादी स्थिति में, इलेक्ट्रॉन अध: पतन दाब $P = K_{1}ρ^{5/3}$ के रूप की स्थिति के समीकरण को जन्म देता है, जहां $P$ दाब है, $ρ$ द्रव्यमान घनत्व है, और $K_{1}$ एक स्थिरांक है। हाइड्रोस्टैटिक समीकरण को हल करने से एक मॉडल श्वेत वामन प्राप्त होता है जो सूचकांक $3⁄2$ - का एक बहुरूप है और इसलिए इसकी त्रिज्या इसके द्रव्यमान के घनमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है, और आयतन इसके द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

जैसे-जैसे एक मॉडल श्वेत वामन का द्रव्यमान बढ़ता है, विशिष्ट ऊर्जाएं जिसके लिए अपकर्ष दाब इलेक्ट्रॉनों को विवश करता है, अब उनके बाकी द्रव्यमानों के सापेक्ष नगण्य नहीं रह जाती हैं। इलेक्ट्रॉनों की गति प्रकाश की गति के निकट होती है, और विशेष सापेक्षता को ध्यान में रखा जाना चाहिए। दृढ़तापूर्वक सापेक्षतावादी सीमा में, अवस्था का समीकरण $P = K_{2}ρ^{4/3}$ का रूप लेता है। इससे सूचकांक 3 का एक पॉलीट्रोप प्राप्त होता है, जिसका कुल द्रव्यमान $M_{limit}$ है, जो केवल $K_{2}$ पर निर्भर करता है।

पूरी तरह से सापेक्षतावादी उपचार के लिए, प्रयुक्त अवस्था का समीकरण छोटे $ρ$ के लिए समीकरण $P = K_{1}ρ^{5/3}$ और बड़े $ρ$ के लिए $P = K_{2}ρ^{4/3}$ के बीच अंतरित होता है। जब ऐसा किया जाता है, तब भी मॉडल त्रिज्या द्रव्यमान के साथ कम हो जाती है, लेकिन $M_{limit}$ पर शून्य हो जाती है। यह चन्द्रशेखर की सीमा है। गैर-सापेक्षतावादी और सापेक्षतावादी मॉडल के लिए द्रव्यमान के विरुद्ध त्रिज्या के वक्र ग्राफ़ में दिखाए गए हैं। इनका रंग क्रमशः नीला और हरा है। $μ_{e}$ को 2 के बराबर निर्धारित किया गया है। त्रिज्या को मानक सौर त्रिज्या या किलोमीटर में मापा जाता है, और द्रव्यमान को मानक सौर द्रव्यमान में मापा जाता है।

सीमा के लिए परिकलित मान द्रव्यमान की परमाणु संरचना के आधार पर भिन्न होते हैं। चंद्रशेखर   एक आदर्श फ़र्मी गैस की स्थिति के समीकरण के आधार पर निम्नलिखित अभिव्यक्ति देता है: $$ M_\text{limit} = \frac{\omega_3^0 \sqrt{3\pi}}{2} \left ( \frac{\hbar c}{G}\right )^\frac{3}{2} \frac{1}{(\mu_\text{e} m_\text{H})^2}$$ जहाँ: जैसा $μ_{e}$ प्लैंक द्रव्यमान है, सीमा के क्रम की है $$\frac{M_\text{Pl}^3}{m_\text{H}^2}$$ बड़े केंद्रीय घनत्व की सीमा लेकर सीमित द्रव्यमान को औपचारिक रूप से चंद्रशेखर के श्वेत वामन समीकरण से प्राप्त किया जा सकता है।
 * $ħ$ न्यूनीकृत प्लैंक स्थिरांक है
 * $c$ प्रकाश की गति है
 * $G$ गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है
 * $m_{H}$ प्रति इलेक्ट्रॉन औसत आणविक भार है, जो तारे की रासायनिक संरचना पर निर्भर करता है
 * $ω0 3 ≈ 2.018236$ हाइड्रोजन परमाणु का द्रव्यमान है
 * $√ħc/G$ लेन-एम्डेन समीकरण के समाधान से जुड़ा एक स्थिरांक है

इस सरल मॉडल द्वारा दी गई सीमा के अधिक सटीक मान के लिए विभिन्न कारकों के समायोजन की आवश्यकता होती है, जिसमें इलेक्ट्रॉनों और नाभिक के बीच इलेक्ट्रोस्टैटिक इंटरैक्शन और गैर-शून्य तापमान के कारण होने वाले प्रभाव सम्मिलित हैं। लिब और याउ ने सापेक्षवादी कई-कण श्रोडिंगर समीकरण से सीमा की एक कठोर व्युत्पत्ति दी है।

इतिहास
1926 में, ब्रिटिश भौतिक विज्ञानी राल्फ एच. फाउलर ने पाया कि सफेद बौनों के घनत्व, ऊर्जा और तापमान के बीच संबंध को गैर-सापेक्षवादी, गैर-अंतःक्रियात्मक इलेक्ट्रॉनों और नाभिक की गैस के रूप में देखकर समझाया जा सकता है जो फर्मी-डिराक आंकड़ों का पालन करते हैं। इस फर्मी गैस मॉडल का उपयोग 1929 में ब्रिटिश भौतिक विज्ञानी एडमंड क्लिफ्टन स्टोनर द्वारा सफेद बौनों के द्रव्यमान, त्रिज्या और घनत्व के बीच संबंधों की गणना करने के लिए किया गया था, यह मानते हुए कि वे सजातीय गोले थे। विल्हेम एंडरसन ने इस मॉडल में एक सापेक्षतावादी सुधार लागू किया, जिससे लगभग $1,370,000,000,000,000,000,000,000,000,000 kg$ का अधिकतम संभव द्रव्यमान प्राप्त हुआ। 1930 में, स्टोनर ने एक फेर्मी गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा-घनत्व समीकरण प्रमाण स्थापित किया, और फिर संपूर्ण सांदर्भिक तरीके से भर मान-रेडियस संबंध को व्यापक रूप से सांदर्भिक रूप से देखने में सक्षम थे, जिससे एक सीमा भार को लगभग $2,190,000,000,000,000,000,000,000,000,000 kg$ (बराबर $μ_{e} = 2.5$ के लिए) मिला। स्टोनर ने तब चाली जारी की अन्य स्थिति-घनत्व समीकरण भी, जिसे उन्होंने 1932 में प्रकाशित किया। ये स्थिति-घनत्व समीकरण भूतपूर्व में सोवियत भौतिकशास्त्री याकोव फ्रेंकेल द्वारा 1928 में पहले से ही प्रकाशित किए गए थे, जो संकुचित पदार्थ की भौतिकी पर कुछ अन्य टिप्पणियों के साथ थे। हालांकि, फ्रेंकेल का काम खगोल और खगोलशास्त्रीय समुदाय द्वारा अनदेखा किया गया था।

1931 और 1935 के बीच प्रकाशित पत्रों की एक श्रृंखला की शुरुआत 1930 में भारत से इंग्लैंड की यात्रा पर हुई थी, जहां भारतीय भौतिक विज्ञानी सुब्रमण्यम चंद्रशेखर ने एक विकृत फर्मी गैस के आंकड़ों की गणना पर काम किया था। इन पत्रों में, चंद्रशेखर ने राज्य के गैर-सापेक्षवादी फर्मी गैस समीकरण के साथ हाइड्रोस्टेटिक समीकरण को हल किया, और एक सापेक्षवादी फर्मी गैस के स्थिति का भी इलाज किया, जिससे ऊपर दिखाई गई सीमा का मूल्य बढ़ गया।  चन्द्रशेखर अपने नोबेल पुरस्कार व्याख्यान में इस कार्य की समीक्षा करते हैं। इस मान की गणना 1932 में सोवियत भौतिक विज्ञानी लेव लैंडौ द्वारा भी की गई थी, जिन्होंने, हालांकि, इसे सफेद बौनों पर लागू नहीं किया और निष्कर्ष निकाला कि 1.5 सौर द्रव्यमान से भारी तारों के लिए क्वांटम नियम अमान्य हो सकते हैं।

चन्द्रशेखर-एडिंगटन विवाद
ब्रिटिश खगोलशास्त्री आर्थर एडिंगटन के विरोध के कारण, सीमा पर चन्द्रशेखर के काम पर विवाद पैदा हो गया। एडिंगटन को पता था कि ब्लैक होल का अस्तित्व सैद्धांतिक रूप से संभव है, और उन्हें यह भी एहसास था कि सीमा के अस्तित्व ने उनके गठन को संभव बना दिया है। हालाँकि, वह यह मानने को तैयार नहीं था कि ऐसा हो सकता है। 1935 में सीमा पर चन्द्रशेखर की बातचीत के बाद उन्होंने उत्तर दियाः

"तारे को तब तक विकिरण और विकिरण और संकुचन और संकुचन करते रहना पड़ता है, जब तक कि, मेरा मानना है, यह कुछ किमी के दायरे तक नीचे नहीं आ जाता है, जब गुरुत्वाकर्षण विकिरण को धारण करने के लिए पर्याप्त दृण नहीं हो जाता है, और तारा अंततः शांति प्राप्त कर सकता है। ...मुझे लगता है कि किसी तारे को इस तरह का निरर्थक क्रिया करने से रोकने के लिए प्रकृति का एक नियम होना चाहिए!"

अनुमानित समस्या के लिए एडिंगटन का प्रस्तावित समाधान सापेक्षतावादी यांत्रिकी को संशोधित करना था ताकि नियम $P = K_{1}ρ^{5/3}$ को सार्वभौमिक रूप से लागू किया जा सके, यहां तक कि बड़े $ρ$ के लिए भी। हालाँकि नील्स बोह्र, फाउलर, वोल्फगैंग पाउली और अन्य भौतिक विज्ञानी चन्द्रशेखर के विश्लेषण से सहमत थे, लेकिन उस समय, एडिंगटन की स्थिति के कारण, वे सार्वजनिक रूप से चन्द्रशेखर का समर्थन करने को तैयार नहीं थे। अपने शेष जीवन में, एडिंगटन ने अपने लेखन में अपना स्थान बनाए रखा,    जिसमें उनके मौलिक सिद्धांत पर उनका काम भी सम्मिलित था। इस असहमति से जुड़ा नाटक एम्पायर ऑफ द स्टार्स, आर्थर आई. मिलर की चन्द्रशेखर की जीवनी के मुख्य विषयों में से एक है। मिलर के विचार में:

"चंद्रा की खोज ने 1930 के दशक में भौतिकी और खगोल भौतिकी दोनों में विकास को बदल दिया और गति प्रदान की। इसके बजाय, एडिंगटन के भारी-भरकम हस्तक्षेप ने रूढ़िवादी समुदाय के खगोल भौतिकीविदों को भारी समर्थन दिया, जिन्होंने इस विचार पर भी विचार करने से दृढ़ता से अस्वीकार कर दिया कि तारे टूटकर नष्ट हो सकते हैं। परिणाम यह हुआ कि चंद्रा का काम लगभग भुला दिया गया।"

हालाँकि, 1983 में अपने काम को मान्यता देने के लिए, चन्द्रशेखर ने विलियम अल्फ्रेड फाउलर के साथ "तारों की संरचना और विकास के लिए महत्वपूर्ण भौतिक प्रक्रियाओं के सैद्धांतिक अध्ययन के लिए" नोबेल पुरस्कार साझा किया।

अनुप्रयोग
किसी तारे का कोर हल्के तत्वों के नाभिकों के भारी तत्वों में संलयन से उत्पन्न ऊष्मा के कारण टूटने से बच जाता है। तारकीय विकास के विभिन्न चरणों में, इस प्रक्रिया के लिए आवश्यक नाभिक समाप्त हो जाते हैं, और कोर नष्ट हो जाता है, जिससे यह सघन और गर्म हो जाता है। जब कोर में लोहा जमा हो जाता है तो एक गंभीर स्थिति उत्पन्न हो जाती है, क्योंकि लोहे के नाभिक संलयन के माध्यम से और अधिक ऊर्जा उत्पन्न करने में असमर्थ होते हैं। यदि कोर पर्याप्त रूप से सघन हो जाता है, तो इलेक्ट्रॉन अपकर्ष दाब गुरुत्वाकर्षण पतन के विरुद्ध इसे स्थिर करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाएगा।

यदि कोई मुख्य-अनुक्रम तारा बहुत विशाल (लगभग 8 सौर द्रव्यमान से कम) नहीं है, तो यह अंततः इतना द्रव्यमान त्याग देता है कि एक सफेद बौना बन जाता है जिसका द्रव्यमान चन्द्रशेखर सीमा से कम होता है, जिसमें तारे का पूर्व कोर सम्मिलित होता है। अधिक विशाल तारों के लिए, इलेक्ट्रॉन अध:पतन दाब लोहे के कोर को बहुत अधिक घनत्व तक ढहने से नहीं रोकता है, जिससे न्यूट्रॉन स्टार, ब्लैक होल या, अनुमानतः, क्वार्क तारा का निर्माण होता है। (बहुत बड़ी, कम-धातु तारों के लिए, यह भी संभव है कि अस्थिरताएँ सितारे को पूरी तरह से नष्ट कर दें।)  संकुचन के दौरान, इलेक्ट्रॉन कैप्चर की प्रक्रिया में प्रोटोन द्वारा इलेक्ट्रॉनों के शिकार होने से न्यूट्रॉन बनते हैं, जिससे न्युट्रीनो की उत्सर्जन होती है।  संकुचित कोर की गुरुत्वाकर्षण संघटन में गुरुत्व-क्षमता ऊर्जा की कमी में एक बड़ी मात्रा की ऊर्जा को मुक्त करती है जो $J$ (100 फोज) के क्रम में होती है। इस ऊर्जा का अधिकांश उत्सर्जित न्यूट्रीनों और बढ़ती हुई गैस की छिद्र की किनेटिक ऊर्जा द्वारा ले जाया जाता है; केवल लगभग 1% ऑप्टिकल प्रकाश के रूप में उत्सर्जित होता है। इस प्रक्रिया का विश्वास है कि यह सुपरनोवा प्रकार Ib, Ic, और II के लिए जिम्मेदार है।

टाइप Ia सुपरनोवा एक श्वेत वामन के आंतरिक भाग में नाभिक के तेजी से संलयन से अपनी ऊर्जा प्राप्त करते हैं। यह भाग्य कार्बन-ऑक्सीजन सफेद बौनों का हो सकता है जो एक साथी विशाल तारे से पदार्थ एकत्रित करते हैं, जिससे द्रव्यमान लगातार बढ़ता है। जैसे-जैसे सफ़ेद बौने का द्रव्यमान चन्द्रशेखर सीमा के निकट पहुंचता है, इसका केंद्रीय घनत्व बढ़ता है, और संपीड़न तापन के परिणामस्वरूप, इसका तापमान भी बढ़ता है। यह अंततः परमाणु संलयन प्रतिक्रियाओं को प्रज्वलित करता है, जिससे तत्काल कार्बन विस्फोट होता है, जो तारे को बाधित करता है और सुपरनोवा का कारण बनता है।

चन्द्रशेखर के फार्मूले की विश्वसनीयता का एक मजबूत संकेत यह है कि टाइप Ia के सुपरनोवा के पूर्ण परिमाण लगभग समान हैं; अधिकतम चमक पर, $M_{V}$ लगभग −19.3 है, जिसका मानक विचलन 0.3 से अधिक नहीं है।   इसलिए 1-सिग्मा अंतराल चमक में 2 से कम के कारक को दर्शाता है। इससे यह संकेत मिलता है कि सभी प्रकार के Ia सुपरनोवा लगभग समान मात्रा में द्रव्यमान को ऊर्जा में परिवर्तित करते हैं।

सुपर-चंद्रशेखर मास सुपरनोवा
अप्रैल 2003 में, सुपरनोवा लिगेसी सर्वे ने लगभग 4 बिलियन प्रकाश वर्ष दूर एक आकाशगंगा में एक प्रकार Ia सुपरनोवा, जिसे SNLS-03D3bb नामित किया गया, देखा। टोरंटो विश्वविद्यालय और अन्य जगहों के खगोलविदों के एक समूह के अनुसार, इस सुपरनोवा के अवलोकन को सबसे अच्छी तरह से यह मानकर समझाया गया है कि यह एक श्वेत वामन से उत्पन्न हुआ था जो विस्फोट से पहले सूर्य के द्रव्यमान से दोगुना हो गया था। उनका मानना है कि तारा, जिसे "शैंपेन सुपरनोवा" कहा जाता है, शायद इतनी तेजी से घूम रहा होगा कि एक केन्द्रापसारक प्रवृत्ति ने इसे सीमा से अधिक घूमने की अनुमति दी। वैकल्पिक रूप से, सुपरनोवा दो सफेद बौनों के विलय के परिणामस्वरूप उत्पन्न हुआ होगा, इसलिए सीमा का केवल क्षणिक उल्लंघन हुआ था। फिर भी, वे बताते हैं कि यह अवलोकन मानक मोमबत्तियों के रूप में Ia प्रकार के सुपरनोवा के उपयोग के लिए एक चुनौती पेश करता है।

2003 में शैम्पेन सुपरनोवा के अवलोकन के बाद से, कई और प्रकार के Ia सुपरनोवा देखे गए हैं जो बहुत चमकीले हैं, और माना जाता है कि उनकी उत्पत्ति सफेद बौनों से हुई है जिनका द्रव्यमान चन्द्रशेखर सीमा से अधिक था। इनमें SN 2006gz, SN 2007if और SN 2009dc सम्मिलित हैं। माना जाता है कि जिन सुपर-चंद्रशेखर द्रव्यमान वाले सफेद बौनों ने इन सुपरनोवा को जन्म दिया, उनका द्रव्यमान 2.4-2.8 सौर द्रव्यमान तक था। शैम्पेन सुपरनोवा की समस्या को संभावित रूप से समझाने का एक तरीका यह मानना था कि यह एक श्वेत वामन के गोलाकार विस्फोट का परिणाम था। हालाँकि, SN 2009dc के स्पेक्ट्रोपोलिमेट्रिक अवलोकनों से पता चला कि इसका ध्रुवीकरण 0.3 से छोटा था, जिससे बड़ी एस्फेरिसिटी सिद्धांत असंभव हो गया।

टोलमैन-ओपेनहाइमर-वोल्कॉफ़ सीमा
सुपरनोवा विस्फोट के बाद, एक न्यूट्रॉन तारा पीछे छोड़ा जा सकता है (आईए प्रकार के सुपरनोवा विस्फोट को छोड़कर, जो कभी भी कोई अवशेष नहीं छोड़ता)। ये वस्तुएं सफेद बौनों की तुलना में और भी अधिक सघन हैं और आंशिक रूप से अपकर्ष दाब द्वारा समर्थित भी हैं। हालांकि, एक न्यूट्रॉन स्टार इतना भारी और संपीड़ित है कि इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन मिलकर न्यूट्रॉन बना देते हैं, और इसलिए सितारा इलेक्ट्रॉन अपकर्ष दाब (साथ ही मजबूत बल द्वारा संचालित न्यूट्रॉन-न्यूट्रॉन प्रतिक्रियाओं द्वारा संचालित अल्प-सीमा प्रतिक्रिया) के बजाय न्यूट्रॉन अपकर्ष दाब द्वारा समर्थित है। न्यूट्रॉन स्टार के भार का सीमांत मूल्य, चंद्रशेखर सीमा के समान, टोलमन–ऑपेनहाइमर–वोल्कॉफ सीमा के रूप में जाना जाता है।

यह भी देखें

 * बेकेंस्टीन बाध्य
 * चन्द्रशेखर का श्वेत वामन समीकरण
 * शॉनबर्ग-चंद्रशेखर सीमा

अग्रिम पठन

 * On Stars, Their Evolution and Their Stability, Nobel Prize lecture, Subrahmanyan Chandrasekhar, December 8, 1983.
 * White dwarf stars and the Chandrasekhar limit, Masters' thesis, Dave Gentile, DePaul University, 1995.
 * Estimating Stellar Parameters from Energy Equipartition, sciencebits.com. Discusses how to find mass-radius relations and mass limits for white dwarfs using simple energy arguments.