बिल्डिंग (गणित)

गणित में, बिल्डिंग (टिट्स बिल्डिंग भी, जिसका नाम जैक्स टिट्स के नाम पर रखा गया है) संयुक्त और ज्यामितीय संरचना है जो साथ ध्वज विविध, परिमित प्रक्षेप्य विमानों और रीमैनियन सममित स्थानों के कुछ विषयों को सामान्यीकृत करती है। बिल्डिंग को प्रारम्भ करने में जैक्स टिट्स द्वारा लाई प्रकार के समूह की संरचना को समझने के साधन के रूप में प्रस्तुत किया गया था। ब्रुहट-टिट्स बिल्डिंग का अधिक विशिष्ट सिद्धांत (जिसका नाम फ्रांकोइस ब्रुहट के नाम पर भी रखा गया है) p-एडिक लाई समूह के अध्ययन में भूमिका निभाता है| $p$-एडिक लाई समूह, लाई समूहों के सिद्धांत में सममित स्थानों के सिद्धांत के अनुरूप है।

अवलोकन
बिल्डिंग की अवधारणा का आविष्कार जैक्स टिट्स द्वारा स्वेच्छानुसार क्षेत्र (गणित) पर लाई प्रकार के समूह का वर्णन करने के साधन के रूप में किया गया था। टिट्स ने प्रदर्शित किया कि कैसे ऐसे प्रत्येक समूह $G$ के लिए कोई सरल समष्टि $SL(2,Q_{2})$ को $G$ की समूह क्रिया (गणित) के साथ जोड़ सकता है, जिसे $G$ की गोलाकार बिल्डिंग कहा जाता है I समूह $G$ समष्टि $Δ = Δ(G)$ पर बहुत दृढ़ संयोजन नियमितता की स्थिति प्रस्तावित करता है, जो इस प्रकार उत्पन्न हो सकता है। सरलीकृत परिसरों के वर्ग के लिए इन स्थितियों को स्वयंसिद्ध मानकर, टिट्स बिल्डिंग की अपनी प्रथम परिभाषा पर पहुंचे है। किसी बिल्डिंग को परिभाषित करने वाले डेटा का भाग $Δ$ कॉक्सेटर समूह $W$ है, जो अत्यधिक सममितीय सरलीकृत समष्टि $Δ$ को निर्धारित करता है, जिसे कॉक्सेटर कॉम्प्लेक्स कहा जाता है। बिल्डिंग $Σ = Σ(W,S)$ की अनेक $Δ$ प्रतियों को साथ एकत्रित कर दिया गया है, निश्चित नियमित फलन में, इसके अपार्टमेंट कहलाते हैं। जब $W$ परिमित कॉक्सेटर समूह है, कॉक्सेटर समष्टि टोपोलॉजिकल क्षेत्र है, और संबंधित बिल्डिंग को गोलाकार प्रकार का कहा जाता है। जब $W$ एफ़िन वेइल समूह है, कॉक्सेटर समष्टि एफ़िन विमान का उपखंड है और एफ़िन, या यूक्लिडियन, बिल्डिंग की चर्चा करता है। इस प्रकार की एफ़िन बिल्डिंग $Σ$ टर्मिनल शीर्षों के अतिरिक्त अनंत ट्री (ग्राफ़ सिद्धांत) के समान है।

यद्यपि अर्धसरल बीजगणितीय समूहों के सिद्धांत ने बिल्डिंग की धारणा के लिए प्रारंभिक प्रेरणा प्रदान की, किन्तु सभी बिल्डिंग समूह से उत्पन्न नहीं होती हैं। विशेष रूप से, प्रक्षेप्य तल और सामान्यीकृत चतुर्भुज घटना ज्यामिति में अध्ययन किए गए ग्राफ़ के दो वर्ग बनाते हैं जो किसी बिल्डिंग के सिद्धांतों को संतुष्ट करते हैं, किन्तु किसी भी समूह से जुड़े नहीं हो सकते हैं। यह घटना संबंधित कॉक्सेटर प्रणाली (अर्थात्, दो) के निम्न रैंक से संबंधित है। टिट्स ने उल्लेखनीय प्रमेय सिद्ध किया हैं I कम से कम तीन रैंक की सभी गोलाकार बिल्डिंग समूह से जुड़ी हुई हैं, इसके अतिरिक्त, यदि कम से कम दो रैंक की बिल्डिंग किसी समूह से जुड़ी हुई है तो समूह अनिवार्य रूप से बिल्डिंग द्वारा निर्धारित होता है।

इवाहोरी-मात्सुमोतो, बोरेल-टिट्स और ब्रुहट-टिट्स ने प्रदर्शित किया कि टिट्स के गोलाकार बिल्डिंगों के निर्माण के अनुरूप, स्थानीय गैर-आर्किमिडीयन क्षेत्र पर कुछ समूहों, अर्थात् रिडक्टिव बीजगणितीय समूहों से भी एफ़िन बिल्डिंग का निर्माण किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, यदि समूह की विभाजित रैंक कम से कम तीन है, तो यह अनिवार्य रूप से इसकी बिल्डिंग द्वारा निर्धारित की जाती है। टिट्स ने पश्चात् में चैम्बर प्रणाली की धारणा का उपयोग करके बिल्डिंग के सिद्धांत के मूलभूत विषयों पर पुनः कार्य किया, बिल्डिंग को केवल अधिकतम आयाम की सरलता के आसन्न गुणों के संदर्भ में एन्कोड किया गया; इससे गोलाकार और एफ़िन दोनों विषयों में सरलीकरण होता है। उन्होंने सिद्ध किया कि, गोलाकार विषय के अनुरूप, एफ़िन प्रकार और कम से कम चार रैंक की प्रत्येक बिल्डिंग समूह से उत्पन्न होती है।

परिभाषा
$n$-आयामी बिल्डिंग $X$ अमूर्त सरल संकुल है जो उप संकुलों का संघ है, $A$ अपार्टमेंट को ऐसे कहा जाता है I


 * प्रत्येक $k$-का सरलीकरण $X$ कम से कम तीन $n$-सिंप्लेक्स के अंदर है, यदि $Ã_{1}$ है I
 * कोई $k < n$- अपार्टमेंट में सिंप्लेक्स $A$ बिल्कुल दो आसन्न में स्थित है, $n$-का सरलीकरण $A$ और आसन्न का ग्राफ सिद्धांत $n$-सरल जुड़ा हुआ है I
 * $X$ में कोई भी दो सिंप्लेक्स किसी सामान्य अपार्टमेंट $A$ में स्थित हैं I
 * यदि दो सिंपलिस दोनों अपार्टमेंट $A$ और $(n – 1)$ में स्थित हैं, तो $A$ पर $A′$ का सरल समरूपता है, जो दो सिंपलिस के शीर्षों को त्रुटिहीन करता है।

$A$ में $n$-सिम्पलेक्स को कक्ष कहा जाता है (मूल रूप सेचैम्ब्रे, यानी फ्रेंच भाषा में कमरा)।

बिल्डिंग की श्रेणी को $A′$ परिभाषित किया गया है I

प्राथमिक गुण
बिल्डिंग में प्रत्येक अपार्टमेंट $A$ कॉक्सेटर समष्टि है। वास्तव में, $n + 1$-सिम्प्लेक्स या पैनल में प्रतिच्छेद करने वाले प्रत्येक दो $n$-सिंप्लेक्स के लिए, $A$ की दो सरल स्वप्रतिरूपता की अद्वितीय अवधि होती है, जिसे प्रतिबिंब कहा जाता है, जो एक $n$-सिंप्लेक्स को दूसरे पर ले जाता है और उनके सामान्य बिंदुओं को त्रुटिहीन करता है। ये प्रतिबिंब कॉक्सेटर समूह $W$ उत्पन्न करते हैं, जिसे $A$ का वेइल समूह कहा जाता है, और सरल परिसर $A$, $W$ के मानक ज्यामितीय से मेल खाता है। कॉक्सेटर समूह के मानक जनरेटर $A$ में निश्चित कक्ष की दीवारों में प्रतिबिंबों द्वारा दिए जाते हैं। चूँकि अपार्टमेंट $A$ को बिल्डिंग द्वारा समरूपता तक निर्धारित किया जाता है, कुछ सामान्य अपार्टमेंट $A$ में पड़े $X$ में किन्हीं दो सरलताओं के लिए भी यही सत्य है। जब $W$ परिमित होता है, तो बिल्डिंग को गोलाकार कहा जाता है। जब यह एफ़िन वेइल समूह होता है, तो बिल्डिंग को एफ़िन या यूक्लिडियन कहा जाता है।

कक्ष प्रणाली कक्षों द्वारा गठित आसन्नता ग्राफ है; आसन्न कक्षों के प्रत्येक जोड़े को किसी मानक द्वारा लेबल किया जा सकता है I कॉक्सेटर समूह के जनरेटर (देखें ) I

प्रत्येक बिल्डिंग में विहित आंतरिक मीट्रिक होती है, जो हिल्बर्ट स्थान के ऑर्थोनॉर्मल आधार के साथ शीर्षों की पहचान करके प्राप्त ज्यामितीय प्राप्ति से इनहेरिटेड में मिली है। संबद्ध बिल्डिंगों के लिए, यह मीट्रिक कैट(k) स्थान को संतुष्ट करता है I $(n – 1)$ अलेक्जेंडर डेनिलोविच अलेक्जेंड्रोव की तुलनात्मक असमानता, जिसे इस सेटिंग में जियोडेसिक त्रिकोण के लिए ब्रुहट-टिट्स अन्य-सकारात्मक वक्रता स्थिति के रूप में जाना जाता है: शीर्ष से विपरीत दिशा के मध्य बिंदु तक की दूरी समान भुजाओं की लंबाई वाले संबंधित यूक्लिडियन त्रिकोण में दूरी से अधिक नहीं है (देखें) ).

$कैट(0)$ जोड़े के साथ संबंध
यदि कोई समूह $G$ किसी बिल्डिंग $X$ पर सरलता से कार्य करता है, जोड़ों पर सकर्मक रूप से $(B, N)$ कक्षों का $C$ और अपार्टमेंट $A$ उनसे युक्त, तो ऐसी जोड़ी के स्टेबलाइजर्स $(C,A)$ जोड़ी को परिभाषित करते हैं I टिट्स प्रणाली वास्तव में उपसमूहों की जोड़ी हैं I


 * $(B, N)$ और $N = G_{A}$

$B = G_{C}$ जोड़ी के सिद्धांतों को संतुष्ट करता है और वेइल समूह को $(B, N)$ के साथ पहचाना जा सकता है।

इसके विपरीत बिल्डिंग को $N / N ∩ B$ जोड़ी से पुनः प्राप्त किया जा सकता है, जिससे प्रत्येक $(B, N)$ जोड़ी प्रामाणिक रूप से बिल्डिंग को परिभाषित करती है। वास्तव में, $(B, N)$ जोड़े की शब्दावली का उपयोग करना और $B$ के किसी भी संयुग्म को बोरेल उपसमूह और बोरेल उपसमूह वाला कोई भी समूह, परवलयिक उपसमूह, कहना आदि I


 * बिल्डिंग X के शीर्ष अधिकतम परवलयिक उपसमूहों के अनुरूप हैं I
 * जब भी संबंधित अधिकतम परवलयिक उपसमूहों का प्रतिच्छेदन भी परवलयिक होता है, तो $(B, N)$ शीर्ष $k$-सिम्प्लेक्स बनाते हैं I
 * अपार्टमेंट सरल उप-परिसर के $G$ के अंतर्गत संयुग्मित होते हैं, जिसमें $B$ युक्त अधिकतम परवलयिक के $N$ के अंतर्गत संयुग्मों द्वारा दिए गए शीर्ष होते हैं।

बिल्डिंग को प्रायः भिन्न-भिन्न $k + 1$ जोड़े द्वारा वर्णित किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, प्रत्येक बिल्डिंग $(B, N)$ जोड़ी से नहीं आती है: यह वर्गीकरण की विफलता के अनुरूप है जिसके परिणामस्वरूप निम्न रैंक और आयाम होते हैं (नीचे देखें)।

गोलाकार और गोलाकार बिल्डिंग के लिए $(B, N)$
$SL_{n}$ से जुड़ी एफ़िन और गोलाकार बिल्डिंग की सरल संरचना, साथ ही उनके अंतर्संबंध, केवल प्राथमिक बीजगणित और ज्यामिति की अवधारणाओं का उपयोग करके सीधे समझाना सरल है ( देखें)। इस विषय में तीन भिन्न-भिन्न बिल्डिंग हैं, दो गोलाकार और एक गोलाकार। प्रत्येक अपार्टमेंट का संघ है, जो स्वयं सरल परिसर हैं। एफ़िन बिल्डिंग के लिए, अपार्टमेंट सरल जटिल टेसेलेटिंग यूक्लिडियन स्पेस $SL_{n}(Q_{p})$ है I $E^{n−1}$-आयामी सरलता द्वारा; जबकि गोलाकार बिल्डिंग के लिए यह सभी $(n − 1)$ द्वारा निर्मित सीमित सरल परिसर है I $(n − 1)!$ में अनुरूप टेस्सेलेशन में दिए गए सामान्य शीर्ष के साथ सरलीकरण इस प्रकार है:-

प्रत्येक बिल्डिंग साधारण परिसर $X$ है, जिसे निम्नलिखित सिद्धांतों को संतुष्ट करना होगा:


 * $X$ अपार्टमेंट का संघ है I
 * $X$ की कोई भी दो सरलताएँ सामान्य अपार्टमेंट में समाहित हैं।
 * यदि सिम्प्लेक्स दो अपार्टमेंटों में समाहित है, तो सभी सामान्य बिंदुओं को त्रुटिहीन करते हुए एक से दूसरे की सरल समरूपता होती है।

गोलाकार बिल्डिंग
मान लीजिए कि $F$ क्षेत्र है और $X$ सरल सम्मिश्र है जिसके शीर्ष $E^{n−2}$ के अन्य-तुच्छ सदिश उप-स्थान हैं। दो उपस्थान $V = F^{n}$ और $U_{1}$ जुड़े हुए हैं यदि उनमें से एक दूसरे का उपसमूह है। $X$ के $k$-सरलीकरण $U_{2}$ परस्पर जुड़े उप-स्थानों के समुच्चय से बनते हैं। अधिकतम कनेक्टिविटी $k + 1$ उचित गैर-तुच्छ उप-स्थान लेकर प्राप्त की जाती है और संबंधित $n − 1$-सिंप्लेक्स पूर्ण ध्वज से युग्मित होता है I



कम आयामी सरलताएं कम मध्यस्थ उपस्थान $(n − 1)$ के साथ आंशिक चिन्ह के अनुरूप होती हैं।

$X$ में अपार्टमेंट को परिभाषित करने के लिए, $V$ में फ्रेम को आधार के रूप में परिभाषित करना सुविधाजनक है, ($(0) ⊂ U_{1} ⊂ ··· ⊂ U_{n – 1 } ⊂ V$) जो इसके प्रत्येक सदिश के अदिश गुणन तक निर्धारित होता है; दूसरे शब्दों में फ़्रेम एक-आयामी उप-स्थान $U_{i}$ का समुच्चय है, जैसे कि उनमें से कोई भी $k$, $k$-आयामी उप-स्थान उत्पन्न करता है। अब ऑर्डर किया गया फ्रेम $v_{i}$ पूर्ण ध्वज को परिभाषित करता है



चूंकि विभिन्न $L_{i} = F·v_{i}$ का पुनर्क्रमण भी फ्रेम प्रदान करता है, इसलिए यह देखना सरल है कि $L_{1}, ..., L_{n}$ के योग के रूप में प्राप्त उप-स्थान, गोलाकार बिल्डिंग केअपार्टमेंट के लिए आवश्यक प्रकार का सरल परिसर बनाते हैं। जॉर्डन-होल्डर अपघटन की विशिष्टता को सिद्ध करने के लिए उपयोग किए जाने वाले शास्त्रीय श्रेयर शोधन तर्क का उपयोग करके किसी बिल्डिंग के लिए सिद्धांतों को सरलता से सत्यापित किया जा सकता है।

एफ़िन बिल्डिंग
मान लीजिए कि कुछ अभाज्य $p$ के लिए $U_{i} = L_{1} ⊕ ··· ⊕ L_{i}$ पर सामान्य अन्य-आर्किमिडीयन p-एडिक मानदंड $L_{i}$ के संबंध में $K$, $L_{i}$ और उसके p-एडिक पूर्णता $Q$ के मध्य स्थित क्षेत्र है। माना कि $R$, $K$ द्वारा परिभाषित K का उपवलय है I



जब $\|x\|_{p}$, $R$, $p$ पर $Q$ का स्थानीयकरण है और, जब $Q_{p}$, $R = { x : \|x\|_{p} ≤ 1 }$, $p$-एडिक पूर्णांक, यदि $K = Q$ में $Z$ का समापन है।

बिल्डिंग के शिखर $X$ हैं, $R$-में जाली $K = Q_{p}$, अर्थात। $R$-फॉर्म के उपमॉड्यूल इस प्रकार है:-



जहां $R = Z_{p}$ $K$ के ऊपर $V$ का आधार है I यदि $K$ के गुणक समूह $Q_{p}$ के तत्व द्वारा एक दूसरे का अदिश गुणक है तो दो जालक समतुल्य कहे जाते हैं (वास्तव में केवल $p$ पूर्णांक घातें उपयोग करने की आवश्यकता है)। दो जाली $Z$ और $V = K^{n}$ को आसन्न कहा जाता है यदि $L = R·v_{1} ⊕ ··· ⊕ R·v_{n}$ के समान कुछ जाली $(v_{i})$ और उसके उप-जाल $K*$ के मध्य स्थित है: यह संबंध सममित है I $X$  की $k$-सरलताएं $L_{1}$ परस्पर आसन्न जाली के समतुल्य वर्ग हैं, $L_{2}$-सरलताएं, पुन: लेबल करने के पश्चात्, श्रृंखलाओं से युग्मित होती हैं I



जहां प्रत्येक क्रमिक भागफल का क्रम $p$ होता है, अपार्टमेंट को आधार $L_{2}$ तय करके परिभाषित किया जाता है, $V$ और सभी जालकों को आधार के साथ लेना $L_{1}$ जहां $p·L_{1}$ में निहित है, $k + 1$ और प्रत्येक प्रविष्टि में समान पूर्णांक जोड़ने तक विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है।

परिभाषा के अनुसार प्रत्येक अपार्टमेंट का आवश्यक रूप $X$ होता है और उनका संघ संपूर्ण होता है, दूसरा स्वयंसिद्ध श्रेयर शोधन तर्क के प्रकार का अनुसरण करता है। अंतिम स्वयंसिद्ध रूप के परिमित एबेलियन समूहों के आदेशों के आधार पर सरल गिनती तर्क का पालन किया जाता है I



मानक कॉम्पैक्टनेस तर्क ज्ञात होता है कि $X$ वास्तव में $K$ के चयन से स्वतंत्र है, विशेष रूप से $(n − 1)$, यह इस प्रकार है कि $X$ गणनीय है I दूसरी ओर, $p·L_{n} ⊂ L_{1} ⊂ L_{2} ⊂ ··· ⊂ L_{n – 1 } ⊂ L_{n}$, लेने पर परिभाषा ज्ञात होता है कि $(v_{i})$ बिल्डिंग पर स्वाभाविक सरल कार्रवाई को स्वीकार करता है।

बिल्डिंग $(p^{a_{i}} v_{i})|undefined$ में मानों के साथ इसके शीर्षों की लेबलिंग से सुसज्जित है। दरअसल, संदर्भ जाली $L$ को ठीक करते हुए, $M$ का लेबल दिया जाता है I



या $k$ पर्याप्त रूप से बड़ा किसी का शीर्ष $(a_{i})$-सिम्पलेक्स इन $X$ के भिन्न-भिन्न लेबल हैं, जो संपूर्ण $Z^{n}$ रूप से चल रहे हैं, $X$ का कोई भी सरल स्वप्रतिरूपता $φ$ $L + p^{k} ·L_{i} / p^{k} ·L_{i}$ के क्रमपरिवर्तन को परिभाषित करता है जैसे कि लेबल $K = Q$ $π$ I विशेष रूप से $K = Q_{p}$ में $g$ के लिए इस प्रकार है:-



इस प्रकार यदि $g$, $GL_{n}(Q_{p})$ में है तो $g$ लेबल सुरक्षित रखता है I

स्वप्रतिरूपण
टिट्स ने सिद्ध कर दिया कि एफ़िन बिल्डिंग का कोई भी लेबल-संरक्षण स्वप्रतिरूपता $Z / nZ$ के तत्व से उत्पन्न होता है I चूंकि बिल्डिंग की स्वप्रतिरूपता लेबल को क्रमबद्ध करती है, इसलिए प्राकृतिक होमोमोर्फिज्म होता है



$label(M) = log_{p} |M / p^{k} L| modulo n$ की क्रिया $n$-चक्र$τ$ क्रमपरिवर्तन को जन्म देता है I बिल्डिंग की डाइनकिन आरेख के स्वप्रतिरूपता से जुड़े $(n – 1)$ बाह्य स्वचालितता से उत्पन्न होती हैं। ऑर्थोनॉर्मल आधार $Z / nZ$ के साथ मानक सममित द्विरेखीय रूप प्राप्त करते हुए इसकी दोहरी जाली में जाली भेजने वाला चित्र स्वप्रतिरूपता प्रदान करता है, जिसका वर्ग पहचान है, जो क्रमपरिवर्तन $σ$ प्रदान करता है I जो प्रत्येक लेबल को उसके नकारात्मक मॉड्यूलो $n$ पर भेजता है I उपरोक्त समरूपता की छवि $σ$ और $τ$ द्वारा उत्पन्न होती है और क्रम $Z / nZ$ के डायहेड्रल समूह $label(φ(M)) = π(label(M))$ के लिए समरूपी है, जब $GL_{n}(Q_{p})$, यह संपूर्ण $label(g·M) = label(M) + log_{p} \|det g\|_{p} modulo n$ प्रदान करता है I

यदि $E$, $SL_{n}(Q_{p})$ का सीमित गैलोज़ विस्तार है, एवं बिल्डिंग का निर्माण $SL_{n}(Q_{p})$ के अतिरिक्त $Aut X → S_{n}$ से किया गया है तो गैलोज़ समूह $GL_{n}(Q_{p})$ बिल्डिंगपर स्वप्रतिरूपता द्वारा भी कार्य करेगा।

ज्यामितीय संबंध
$SL_{n}(Q_{p})$ के लिए एफ़िन बिल्डिंग $X$ के संबंध में गोलाकार बिल्डिंग दो भिन्न-भिन्न प्रकारो से उत्पन्न होती हैं:-


 * एफ़िन बिल्डिंग में प्रत्येक शीर्ष $L$ का लिंक (ज्यामिति) परिमित क्षेत्र $v_{i}$ के अंतर्गत $2n$ सबमॉड्यूल से मेल खाता है I यह $D_{n}$ के लिए गोलाकार बिल्डिंग है I
 * बिल्डिंग $X$ को "अनंत पर" सीमा के रूप में $n = 3$ के लिए गोलाकार बिल्डिंग जोड़कर सघन (गणित) किया जा सकता है I (देखें  या ).

ब्रुहट-जटिल गुणन वाले टिट्स ट्री
जब $L$ समूह के लिए बिल्डिंग पर आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र है, तो समूह $S_{3}$ जटिल गुणन के साथ बिल्डिंग की अतिरिक्त संरचना लगाई जा सकती है। इन्हें सर्वप्रथम मार्टिन एल. ब्राउन द्वारा प्रस्तुत किया गया था I ये बिल्डिंग तब उत्पन्न होती हैं जब $L$ का द्विघात विस्तार सदिश समष्टि $Q_{p}$ पर कार्य करता है I जटिल गुणन वाली इन बिल्डिंग को किसी भी वैश्विक क्षेत्र तक बढ़ाया जा सकता है। वे हेगनर पर हेके ऑपरेटरों की कार्रवाई का वर्णन करते हैं I

शास्त्रीय मॉड्यूलर वक्र $SL_{n}(Q_{p})$ के साथ-साथ ड्रिनफेल्ड मॉड्यूलर वक्र $SL_{n}(E)$ पर बिंदु जटिल गुणन वाली ये बिल्डिंग को में $Gal(E / Q_{p})$ के विषय में पूर्ण रूप से वर्गीकृत किया गया है I

वर्गीकरण
टिट्स ने सिद्ध किया कि 2 से अधिक रैंक की सभी अपरिवर्तनीय गोलाकार बिल्डिंग (जैसे परिमित वेइल समूह के साथ) सरल बीजगणितीय या शास्त्रीय समूहों से जुड़ी हैं।

समान परिणाम 2 से अधिक आयाम की इरेड्यूसिबल एफ़िन बिल्डिंग के लिए होता है (अनंत पर उनकी बिल्डिंग दो से अधिक रैंक के गोलाकार होती हैं)। निचली श्रेणी या आयाम में, ऐसा कोई वर्गीकरण नहीं है। चूँकि, प्रत्येक घटना संरचना रैंक 2 की गोलाकार बिल्डिंग देती है, (देखें)। ) और बॉलमैन और ब्रिन ने सिद्ध किया कि प्रत्येक 2-आयामी सरल परिसर जिसमें शीर्षों के लिंक परिमित प्रक्षेप्य मान के ध्वज परिसर के समरूपी होते हैं, बिल्डिंग की संरचना होती है, जरूरी नहीं कि शास्त्रीय हो। अनेक 2-आयामी एफ़िन बिल्डिंग का निर्माण हाइपरबोलिक प्रतिबिंब समूहों या कक्षीय ऑर्बिफोल्ड्स से जुड़े अन्य अधिक विदेशी निर्माणों का उपयोग करके किया गया है।

टिट्स ने यह भी सिद्ध किया कि प्रत्येक बार किसी बिल्डिंग का वर्णन $SL_{n}(Q_{p})$ जोड़ी द्वारा किया जाता है, तो लगभग सभी विषयों में बिल्डिंग की स्वप्रतिरूपता समूह की स्वप्रतिरूपता के अनुरूप होती है I (देखें) )

अनुप्रयोग
बिल्डिंग के सिद्धांत का अनेक भिन्न-भिन्न क्षेत्रों में महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है। सामान्य और स्थानीय क्षेत्रों में रिडक्टिव बीजगणितीय समूहों की संरचना के साथ पूर्व से उल्लिखित कनेक्शन के अतिरिक्त, बिल्डिंग का उपयोग उनके समूह प्रतिनिधित्व का अध्ययन करने के लिए किया जाता है। किसी समूह के निर्माण द्वारा उसके निर्धारण पर टिट्स के परिणामों का जॉर्ज मोस्टो और ग्रिगोरी मार्गुलिस के मोस्टो कठोरता प्रमेय और मार्गुलिस अंकगणित के साथ घनिष्ट संबंध है।

असतत गणित में विशेष प्रकार की बिल्डिंग का अध्ययन किया जाता है, और सरल समूहों को चिह्नित करने के लिए ज्यामितीय दृष्टिकोण का विचार परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण में बहुत उपयोगी सिद्ध हुआ है। गोलाकार या एफ़िन से अधिक सामान्य प्रकार की बिल्डिंग का सिद्धांत अभी भी अपेक्षाकृत अविकसित है, किन्तु इन सामान्यीकृत बिल्डिंग को पूर्व से ही बीजगणित में केएसी-मूडी बीजगणित समूहों के निर्माण, टोपोलॉजी और ज्यामितीय समूह सिद्धांत में अन्य-सकारात्मक रूप से घुमावदार विविध और हाइपरबोलिक समूहों के निर्माण के लिए आवेदन प्राप्त हो चुके हैं।

यह भी देखें

 * ब्यूकेनहौट ज्यामिति
 * कॉक्सेटर समूह
 * (B, N) जोड़ी $F = R / p·R = Z / (p)$
 * एफ़िन हेके बीजगणित
 * ब्रुहट अपघटन
 * सामान्यीकृत बहुभुज
 * मोस्टो कठोरता
 * कॉक्सेटर कॉम्प्लेक्स
 * वेइल दूरी फलन

बाप्रत्येकी संबंध

 * Rousseau: Euclidean Buildings