द्वि-हार्मोनिक मानचित्र

अवकल ज्यामिति के गणितीय क्षेत्र में, द्वि-हार्मोनिक मानचित्र रीमैनियन या स्यूडो-रीमैनियन प्रसमष्टि के बीच का एक मानचित्र है जो एक निश्चित चतुर्थ क्रम के आंशिक अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है। द्वि-हार्मोनिक उप-प्रसमष्टि एक रिमेंनियन या छद्म-रीमैनियन प्रसमष्टि में एक एम्बेडिंग या संलयन को संदर्भित करता है जो द्वि-हार्मोनिक मानचित्र है जब डोमेन अपने प्रेरित आव्यूह से लैस होता है। 1983 में जेम्स एल्स और ल्यूक लेमाइरे द्वारा द्वि-हार्मोनिक मानचित्रों को समझने की समस्या प्रस्तुत की गई थी। हार्मोनिक मानचित्रों का अध्ययन, जिनमें से द्वि-हार्मोनिक मानचित्रों का अध्ययन एक परिणाम है कोई भी हार्मोनिक मानचित्र भी द्वि-हार्मोनिक मानचित्र है, पिछले बीस वर्षों से अध्ययन का (और बना हुआ है) सक्रिय क्षेत्र रहा है। द्वि-हार्मोनिक मानचित्रों की एक साधारण स्थिति द्वि-हार्मोनिक फलनों द्वारा दी गई है।

परिभाषा
रिमेंनियन या छद्म-रिमेंनियन प्रसमष्टि $(M, g)$ और $(N, h)$ को देखते हुए M से N तक एक मानचित्र F जो कम से कम चार गुना अवकलनीय होता है, उसे द्वि-हार्मोनिक मानचित्र कहा जाता है
 * $$\Delta\Delta f+\sum_{i=1}^m R^h\big(\Delta f,df(e_i),df(e_i)\big)=0;$$

M का कोई भी बिंदु p दिया गया है, इस समीकरण का प्रत्येक पक्ष f(p) पर N के स्पर्शरेखा स्थान का एक तत्व है। दूसरे शब्दों में, उपरोक्त समीकरण सदिश बंडल f *TN → M के वर्गों की समानता है। समीकरण में, e1, ..., em, M और Rh के स्पर्शरेखा समष्टि का एक यादृच्छिक g -प्रसामान्य लांबिक आधार है। रीमैन वक्रता प्रदिश, व्यवहार के अनुसार R(u, v, w) = ∇u∇vw − ∇v∇uw − ∇[u, v]w समान है। मात्रा ∆f f का "तनाव क्षेत्र" या "लाप्लासियन" है, जैसा कि हार्मोनिक मानचित्रों के अध्ययन में ईल्स और सैम्पसन द्वारा प्रस्तुत किया गया था।

अनुरेख (रैखिक बीजगणित), आंतरिक गुणनफल, और पुलबैक (अवकल ज्यामिति) संक्रिया के संदर्भ में, द्वि-हार्मोनिक मानचित्र समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है
 * $$\Delta\Delta f+\operatorname{tr}_g\Big(f^\ast\big(\iota_{\Delta f}R^h\big)\Big)=0.$$

स्थानीय निर्देशांक के संदर्भ में $x^{i}$ के लिए $M$ और स्थानीय निर्देशांक $y^{α}$ के लिए $N$, द्वि-हार्मोनिक मानचित्र समीकरण के रूप में लिखा गया है
 * $$g^{ij}\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\left(\frac{\partial(\Delta f)^\alpha}{\partial x^j}+\frac{\partial f^\beta}{\partial x^j}\Gamma_{\beta\gamma}^\alpha(\Delta f)^\gamma\right)-\Gamma_{ij}^k\left(\frac{\partial(\Delta f)^\alpha}{\partial x^k}+\frac{\partial f^\beta}{\partial x^k}\Gamma_{\beta\gamma}^\alpha(\Delta f)^\gamma\right)+\frac{\partial f^\delta}{\partial x^i}\Gamma_{\delta\epsilon}^\alpha\left(\frac{\partial(\Delta f)^\epsilon}{\partial x^j}+\frac{\partial f^\beta}{\partial x^j}\Gamma_{\beta\gamma}^\epsilon(\Delta f)^\gamma\right)\right)+g^{ij}R_{\beta\gamma\delta}^\alpha(\Delta f)^\beta\frac{\partial f^\gamma}{\partial x^i}\frac{\partial f^\delta}{\partial x^j}=0,$$

जिसमें क्रिस्टोफेल प्रतीकों, रीमैन वक्रता प्रदिश, और हार्मोनिक मानचित्र की निम्नलिखित परिभाषाओं के साथ आइंस्टीन संकलन संकेत का उपयोग किया गया है:
 * $$\begin{align}

\Gamma_{ij}^k&=\frac{1}{2}g^{kl}\Big(\frac{\partial g_{jl}}{\partial x^i}+\frac{\partial g_{il}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l}\Big)\\ \Gamma_{\beta\gamma}^\alpha&=\frac{1}{2}h^{\alpha\delta}\Big(\frac{\partial h_{\gamma\delta}}{\partial y^\beta}+\frac{\partial h_{\beta\delta}}{\partial y^\gamma}-\frac{\partial h_{\beta\gamma}}{\partial y^\delta}\Big)\\ R_{\beta\gamma\delta}^\alpha&=\frac{\partial\Gamma_{\gamma\delta}^\alpha}{\partial y^\beta}-\frac{\partial\Gamma_{\beta\delta}^\alpha}{\partial y^\gamma}+\Gamma_{\beta\rho}^\alpha\Gamma_{\gamma\delta}^\rho-\Gamma_{\gamma\rho}^\alpha\Gamma_{\beta\delta}^\rho\\ (\Delta f)^\alpha&=g^{ij}\Big(\frac{\partial^2f^\alpha}{\partial x^i\partial x^j}-\Gamma_{ij}^k\frac{\partial f^\alpha}{\partial x^k}+\frac{\partial f^\beta}{\partial x^i}\Gamma_{\beta\gamma}^\alpha\frac{\partial f^\gamma}{\partial x^j}\Big). \end{align}$$ समीकरण की इन प्रस्तुतियों में से किसी भी प्रस्तुति से यह स्पष्ट है कि कोई भी हार्मोनिक मानचित्र स्वचालित रूप से द्वि-हार्मोनिक है। इस कारण से, एक उपयुक्त द्वि-हार्मोनिक मानचित्र द्वि-हार्मोनिक मानचित्र को संदर्भित करता है जो हार्मोनिक नहीं है।

विशेष समुच्चयन में जहां $f$ एक (छद्म-) रीमैनियन संलयन है, जिसका अर्थ है कि यह एक संलयन (गणित) है और वह $g$ प्रेरित आव्यूह $f^{ *}h$ के बराबर है, इसका तात्पर्य है कि द्वि-हार्मोनिक मानचित्र के अतिरिक्त द्वि-हार्मोनिक उप-प्रसमष्टि है। चूँकि $f$ का औसत वक्रता सदिश $f : (M, f^{ *}h) → (N, h)$ के लाप्लासियन के बराबर है, इसलिए कोई जानता है कि एक संलयन न्यूनतम है और यदि और केवल यदि यह हार्मोनिक है। विशेष रूप से, कोई भी न्यूनतम संलयन स्वचालित रूप से द्वि-हार्मोनिक उप-प्रसमष्टि होता है। एक उपयुक्त द्वि-हार्मोनिक उप-प्रसमष्टि द्वि-हार्मोनिक उप-प्रसमष्टि को संदर्भित करता है जो न्यूनतम नहीं है।

द्वि-हार्मोनिक मानचित्र समीकरण के लिए प्रेरणा द्विऊर्जा कार्यात्मक से है
 * $$E_2(f) = \frac{1}{2}\,\int_M |\Delta f|_h^2\, dv_g,$$

समुच्चयन में जहां $M$ प्रसमष्टि संवृत है और $g$ और $h$ दोनों रीमैनियन हैं; $dv_{g}$ द्वारा प्रेरित $$M$$ पर आयतन माप (गणित) को दर्शाता है। 1983 में ईल्स एंड लेमेयर ने इस कार्यात्मकता के महत्वपूर्ण बिंदुओं (गणित) के अध्ययन का सुझाव दिया। गुओ यिंग जियांग ने 1986 में, इसके पहले अवकल सूत्र की गणना की, जिससे उपरोक्त द्वि-हार्मोनिक मानचित्र समीकरण को संबंधित यूलर-लैग्रेंज समीकरण के रूप में खोजा गया। हार्मोनिक मानचित्र उन महत्वपूर्ण बिंदुओं के अनुरूप होते हैं जिनके लिए जैव ऊर्जा कार्यात्मक शून्य के न्यूनतम संभव मान पर ले जाता है।

उदाहरण और वर्गीकरण
द्वि-हार्मोनिक मानचित्रों के कई उदाहरण, जैसे चार आयामों के विशेष स्थितियों में त्रिविम प्रक्षेप अनुमानों के व्युत्क्रम, और वेधित यूक्लिडियन समष्टि के व्युत्क्रम ज्ञात हैं। द्वि-हार्मोनिक उप-प्रसमष्टि के कई उदाहरण हैं, जैसे (किसी $k$ के लिए) सामान्यीकृत क्लिफर्ड टोरस
 * $$\Big\{x\in\mathbb{R}^{n+2}:x_1^2+\cdots+x_{k+1}^2=x_{k+2}^2+\cdots+x_{n+2}^2=\frac{1}{2}\Big\},$$

$(n + 1)$-क्षेत्र के उप-प्रसमष्टि के रूप में यह न्यूनतम है यदि और केवल यदि n सम है और 2k के बराबर है।

त्रि-आयामी समष्टि रूप में द्वि-हार्मोनिक वक्र का अध्ययन फ़्रेनेट समीकरण के माध्यम से किया जा सकता है। यह आसानी से अनुसरण करता है कि गैर-धनात्मक वक्रता के त्रि-आयामी समष्टि रूप में प्रत्येक स्थिर-गति द्वि-हार्मोनिक वक्र को अल्पांतरी होना चाहिए। गोल त्रि-आयामी क्षेत्र $S^{3}$ में कोई स्थिर-गति द्वि-हार्मोनिक वक्र में किसी भी स्थिर-गति वाले द्वि-हार्मोनिक वक्र को $ℝ^{4}$-मान फलन के लिए एक निश्चित स्थिर-गुणांक चौथे-क्रम रैखिक साधारण अवकल समीकरण के समाधान के रूप में देखा जा सकता है। इस तरह की स्थिति का पूरी तरह से विश्लेषण किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप ऐसा कोई भी वक्र गोले की एक समदूरीकता तक होता है:
 * द्वि-आयामी रैखिक उप-स्थान ℝ × ℝ × {0} × {0} के साथ S3 ⊂ ℝ4 के प्रतिच्छेदन का एक स्थिर-गति प्राचलीकरण
 * S3 ⊂ ℝ4 के प्रतिच्छेदन का एक स्थिर-गति प्राचलीकरण द्वि-आयामी एफीन उप-क्षेत्र ℝ × ℝ × {d1} × {d2} के साथ, (d1, d2) के किसी भी विकल्प के लिए जो त्रिज्या 2−1 /2 के चक्र पर मूल बिंदु के चारों ओर ℝ2 में$2^{−1/2}$ में मूल बिन्दु के आसपास $ℝ^{2}$ मे है।
 * की एक स्थिर-गति पुनः प्राचलीकरण
 * $$t\mapsto \Big(\frac{\cos at}{\sqrt{2}},\frac{\sin at}{\sqrt{2}},\frac{\cos bt}{\sqrt{2}},\frac{\sin bt}{\sqrt{2}}\Big)$$
 * किसी $(a, b)$ के लिए त्रिज्या के वृत्त पर $2^{1/2}$ में मूल बिन्दु के प्रतिवेश $ℝ^{2}$ मे होता है

विशेष रूप से, प्रत्येक स्थिर-गति द्वि-हार्मोनिक वक्र में $S^{3}$ में निरंतर अल्पांतरी वक्रता होती है।

गॉस-कोडैज़ी समीकरण और द्वि-हार्मोनिक मानचित्र समीकरण के विशुद्ध रूप से स्थानीय अध्ययन के परिणामस्वरूप, किसी भी जुड़े हुए द्वि-हार्मोनिक सतह में $S^{3}$ में निरंतर औसत वक्रता होनी चाहिए। यदि यह अशून्य है (ताकि सतह न्यूनतम न हो) तो दूसरे मौलिक रूप में निरंतर लंबाई $2^{1/2}$ के बराबर होना चाहिए, जैसा कि द्वि-हार्मोनिक मानचित्र समीकरण से प्राप्त होता है। ऐसी प्रबल ज्यामितीय स्थितियों वाली सतहों को पूरी तरह से वर्गीकृत किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप कोई भी जुड़ा हुआ द्वि-हार्मोनिक सतह $S^{3}$ अधिवृत्त का या तो स्थानीय रूप से (समदूरीकता तक) भाग होना चाहिए
 * $$\left\{\Big((w,x,y,\frac{1}{\sqrt{2}}\Big):w^2+x^2+y^2=\frac{1}{2}\right\},$$

या न्यूनतम होना चाहिए। इसी तरह, यूक्लिडियन समष्टि का कोई भी द्वि-हार्मोनिक ऊनविम सतह जिसमें निरंतर औसत वक्रता न्यूनतम होनी चाहिए।

गुओ यिंग जियांग ने दिखाया कि यदि $g$ और $h$ रीमैनियन हैं, और यदि $M$ संवृत है और $h$ में गैर-धनात्मक अनुभागीय वक्रता है, फिर एक मानचित्र $(M, g)$ को $(N, h)$ द्वि-हार्मोनिक है यदि और केवल यदि यह हार्मोनिक है। प्रमाण यह दिखाना है कि, अनुभागीय वक्रता धारणा के कारण, लाप्लासियन का $|∆f|^{2}$ गैर-ऋणात्मक है, जिस बिंदु पर अधिकतम सिद्धांत प्रयुक्त होता है। इस परिणाम और प्रमाण की तुलना एल्स और सैम्पसन के लुप्यमान प्रमेय से की जा सकती है, जो कहता है कि यदि अतिरिक्त रूप से रिची वक्रता $g$ गैर-ऋणात्मक है, फिर एक मानचित्र $(M, g)$ को $(N, h)$ हार्मोनिक है यदि और केवल यदि यह पूरी तरह से अल्पांतरी है। जियांग के परिणाम के एक विशेष स्थितियों के रूप में, गैर-धनात्मक अनुभागीय वक्रता के रिमेंनियन प्रसमष्टि का एक संवृत उप-प्रसमष्टि द्वि-हार्मोनिक है और केवल यदि यह न्यूनतम है। आंशिक रूप से इन परिणामों के आधार पर, यह अनुमान लगाया गया था कि गैर-धनात्मक अनुभागीय वक्रता के रिमेंनियन प्रसमष्टि के प्रत्येक द्वि-हार्मोनिक उप-प्रसमष्टि न्यूनतम होना चाहिए। तथापि, यह अब असत्य होने के लिए जाना जाता है। यूक्लिडियन समष्टि के उप-प्रसमष्टि का विशेष स्थिति बैंग-येन चेन का एक पुराना अनुमान है। चेन का अनुमान कई ज्यामितीय विशेष स्थितियों में सिद्ध हुआ है।

संदर्भ
Footnotes

Books and surveys Articles