P-एडिक संख्या

गणित में, किसी भी अभाज्य संख्या $p$ के लिए $p$-एडिक संख्या प्रणाली परिमेय संख्याओं के सामान्य अंकगणित को वास्तविक संख्या और सम्मिश्र संख्या प्रणालियों तक विस्तारित करता है। विस्तार निकटता या पूर्ण मान के अवधारणा की वैकल्पिक व्याख्या द्वारा प्राप्त किया जाता है। विशेष रूप से, दो $p$-एडिक संख्याओं को तब संवृत माना जाता है जब उनका अंतर $p$ के उच्च घातांक द्वारा विभाज्य होता है: घातांक जितना अधिक होगा, $p$-एडिक संख्या उतनी ही संवृत्त होगी। यह संपत्ति पी-एडिक संख्याओं के एकरूपता जानकारी को इस तरह से कूटबद्ध करने में सक्षम बनाती है जिससे संख्या सिद्धांत में शक्तिशाली अनुप्रयोग हो सकते है। उदाहरण के लिए, एंड्रयू विल्स द्वारा फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के विल्स के प्रमाण में इसका प्रयोग किया जा सकता है। इन संख्याओं का वर्णन, सबसे पहले 1897 में कर्ट हेन्सल द्वारा किया गया था, यद्यपि, पीछे से देखने पर, अर्न्स्ट कुमेर के पहले के कुछ प्रयोगों की व्याख्या पी-एडिक संख्याओं का उपयोग करके की जा सकती है।

पी-एडिक संख्याएँ मुख्य रूप से घातांक श्रृंखला विधियों के विचारों और तकनीकों को संख्या सिद्धांत में लाने के प्रयास से प्रेरित थीं। उनका प्रभाव अब इससे भी कहीं आगे तक प्रसारित हो गया है। उदाहरण के लिए, पी-एडिक विश्लेषण का क्षेत्र अनिवार्य रूप से गणना के लिए एक वैकल्पिक रूप प्रदान करता है। अधिक औपचारिक रूप से, किसी दिए गए अभाज्य संख्या $p$ के लिए, $p$-एडिक संख्याओ का क्षेत्र $Q_{p}$, परिमेय संख्याओं का एक पूर्ण स्थान है। क्षेत्र $Q_{p}$ को मीट्रिक स्थान से प्राप्त एक संस्थानिक समष्टि भी दी जाती है, जो स्वयं $p$-एडिक क्रम से प्राप्त होता है। यह संस्थानिक समष्टि परिमेय संख्याओं का एक वैकल्पिक मूल्यांकन है। यह मीट्रिक समष्टि इस अर्थ में पूर्ण है कि प्रत्येक कॉची अनुक्रम $Q_{p}$ में एक बिंदु पर अभिसरित होता है। यही वह है जो $Q_{p}$ पर गणना सिद्धांत के विकास की अनुमति देता है, तथा यह इस विश्लेषणात्मक और बीजगणितीय ज्यामिति संरचना की परस्पर क्रिया है जो देता है जो पी-एडिक संख्या प्रणालियों को उनकी शक्ति और उपयोगिता प्रदान करती है। $p$-एडिक में $p$ एक चर है और इसे अभाज्य (उदाहरण के लिए, 2-एडिक संख्याएँ उत्पन्न करने वाला) या अभाज्य संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले किसी अन्य व्यंजकों से प्रतिस्थापित किया जा सकता है। $p$-एडिक का एडिक डायडिक या ट्रायडिक जैसे शब्दों में पाए जाने वाले एडिक अंत से प्राप्त होता है।

परिमेय संख्याओं का पी-एडिक विस्तार
किसी धनात्मक परिमेय संख्या $$r$$ का दशमलव विस्तार को निम्नलिखित श्रृंखला के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है
 * $$r = \sum_{i=k}^\infty a_i 10^{-i},$$

जहाँ $$k$$ एक पूर्णांक है और प्रत्येक $$a_i$$ भी एक पूर्णांक इस प्रकार है की $$0\le a_i <10$$ है। इस विस्तार की गणना अंश को हर से लंबे विभाजन द्वारा की जा सकती है, जो स्वयं निम्नलिखित प्रमेय पर आधारित है: यदि $$r=\tfrac n d$$ एक परिमेय संख्या है जहाँ $$10^k\le r <10^{k+1},$$ एक अन्य पूर्णांक $$a$$ है ऐसा है कि $$0< a <10,$$ और $$r = a\,10^k +r',$$ साथ $$r'<10^k.$$ इस परिणाम को शेषफल पर बार-बार लागू करके दशमलव विस्तार प्राप्त किया जाता है जो पुनरावृत्ति में मूल परिमेय संख्या की भूमिका ग्रहण करता है। किसी परिमेय संख्या का एडिक विस्तार समान रूप से परंतु एक अलग विभाजन चरण के साथ परिभाषित किया जाता है। अधिक सटीक रूप से, एक परिमित अभाज्य संख्या $$p$$ दी गई है, प्रत्येक अशून्य परिमेय संख्या $$r$$ विशिष्ट रूप $$r=p^k\tfrac n d,$$ से लिखा जा सकता है  जहाँ $$k$$ एक (संभवतः नकारात्मक) पूर्णांक है, $$n$$ और $$d$$ सहअभाज्य पूर्णांक हैं जिनके साथ दोनों सहअभाज्य $$p$$, और $$d$$ सकारात्मक है। पूर्णांक $$k$$, $$r$$ का $p$-एडिक मूल्यांकन है, जिसे $$v_p(r),$$ द्वारा निरूपित किया जाता है तथा  $$p^{-k}$$ इसका $p$-एडिक निरपेक्ष मान है जिसे $$|r|_p$$ द्वारा निरूपित किया जाता है। विभाजन चरण में
 * $$r = a\,p^k + r'$$ लिखना सम्मिलित है

जहाँ $$a$$ एक पूर्णांक है $$0\le a k$$) है।

$$r$$ का $$p$$-एडिक विस्तार औपचारिक घातांक श्रृंखला है
 * $$r = \sum_{i=k}^\infty a_i p^i$$

क्रमिक शेषफलों पर विभाजन चरण को अनिश्चित काल तक पुनरावर्तित कर प्राप्त किया जाता है। $p$-एडिक विस्तार में सभी $$a_i$$ ऐसे पूर्णांक हैं जहाँ $$0\le a_i  0$$, प्रक्रिया अंततः शून्य शेष के साथ रुक जाती है; इस विषय में, श्रृंखला शून्य गुणांक वाले अनुवर्ती पदों द्वारा पूरी की जाती है, और इसका प्रतिनिधित्व $$r$$ आधार-एन द्वारा किया जाता है।

पी-एडिक संख्या का अस्तित्व एवं गणना का विशेष विस्तार बेज़ाउट की पहचान से निम्नलिखित तरीके से होता है। यदि, जैसा कि ऊपर बताया गया है, $$r=p^k \tfrac n d,$$ और $$d$$ और $$p$$ सहअभाज्य हैं, $$t$$ और $$u$$ ऐसा है कि $$t d+u p=1.$$ इसलिए
 * $$r=p^k \tfrac n d(t d+u p)=p^k n t + p^{k+1}\frac{u n}d.$$

पुनः, यूक्लिडियन प्रभाग $$n t$$ द्वारा $$p$$ उत्पन्न करता है
 * $$n t=q p+a,$$

साथ ही $$0\le a <p.$$ है।

इस विभाजन चरण को इस प्रकार प्रदर्शित किया जाता है
 * $$\begin{array}{lcl}

r & = & p^k(q p+a) + p^{k+1}\frac {u n}d \\ & = & a p^k +p^{k+1}\,\frac{q d+u n} d, \\ \end{array}$$ जिससे पुनरावृत्ति में नई परिमेय संख्या $$r' = p^{k+1}\,\frac{q d+u n} d$$ प्राप्त होती है।

भाग और पूर्ण पदांक निर्धारण के अद्वितीयता को सिद्ध करना सरल है: यदि $$p^k a_1 + p^{k+1}s_1=p^k a_2 + p^{k+1}s_2,$$ तो $$a_1-a_2=p(s_2-s_1)$$ होता है। इसका अर्थ है कि $$p$$ $$a_1-a_2$$ से विभाजित होता है। क्योंकि $$0\le a_1 <p$$ और $$0\le a_2 <p$$ है, इसलिए निम्नलिखित सत्य होगा: $$0\le a_1$$ और $$a_2<p$$। इस प्रकार, $$-p < a_1-a_2 < p$$ मिलता है, और क्योंकि $$p$$ $$a_1-a_2$$ से विभाजित होता है, इसलिए यह निश्चित है कि $$a_1=a_2$$।

किसी परिमित संख्या का p-ऐडिक विस्तार वह श्रृंखला होती है जो p-ऐडिक अवशेष मान के साथ एक संघात श्रृंखला की परिभाषा को लागू करने पर उस परिमित संख्या से संबंधित होती है।

सामान्य $p$-ऐडिक टिपण्णी में, अंकों को एक सामान्य आधार-$p$ प्रणाली के समान क्रम अर्थात आधार के घातों को बाएं ओर बढ़ाते हुए लिखा जाता है। इसका तात्पर्य है कि अंकों का उत्पादन उल्टा होता है और सीमा बाएं हाथ की ओर होती है। एक परिमेय संख्या का $p$-ऐडिक विस्तार अंततः आवृत्ति-समीकरण होता है। प्रतिरोधता रूप में, एक श्रृंखला $\sum_{i=k}^\infty a_i p^i,$ जहां $$0\le a_i <p$$ है, ($p$-ऐडिक वास्तविक मान के लिए) एक परिमेय संख्या पर संपर्क करती है अगर और केवल अगर इसके अंत में आवृत्ति होती है; इस परिप्रेक्ष्य में, श्रृंखला उस परिमेय संख्या का $p$-ऐडिक विस्तार होती है। इसका सिद्धांत दोहराने दशमलवों के लिए समान परिणाम के लिए विशेष रूप से है।

उदाहरण
हम $$\frac 13$$ का 5-ऐडिक विस्तार निर्णय करते हैं। 5 और नामकारक 3 के लिए बेजूट विशिष्टता है $$2\cdot 3 + (-1)\cdot 5 =1$$ है। (अधिक बड़े उदाहरणों के लिए, इसे विस्तृत यूक्लिडीय अल्गोरिदम के साथ निर्णय किया जा सकता है)। इस प्रकार
 * $$\frac 13= 2-\frac 53.$$

अगले चरण में हमे $$-1/3$$ को "विभाजित" करना है (गुणन $$\frac{5}{3}$$ को भिन्नता के रूप में देखा जाना चाहिए और इसलिए इसे "विभाजन" में सम्मिलित नहीं किया जाता है)। बेज़आउट समीकरण को इससे गुणा करने पर $$-1$$ प्राप्त होता है
 * $$-\frac 13=-2+\frac 53.$$

पूर्णांक भाग $$-2$$ सही अंतराल में नहीं है. तो, हमे $$5$$ प्राप्त करने के लिए यूक्लिडियन विभाजन का उपयोग करना होगा $$-2= 3-1\cdot 5,$$
 * $$-\frac 13=3-5+\frac 53 = 3-\frac {10}3,$$

और
 * $$\frac 13= 2+3\cdot 5 + \frac {-2}3\cdot 5^2.$$

इसी प्रकार, हमारे पास है
 * $$-\frac 23=1-\frac 53,$$

और
 * $$\frac 13=2+3\cdot 5 + 1\cdot 5^2 +\frac {-1}3\cdot 5^3.$$

शेष के रूप में $$-\tfrac 13$$ पहले ही प्राप्त किया जा चुका है, गुणांक देकर प्रक्रिया $$3$$ पाँच की समता घातांकों के लिए, और $$1$$ समता घातांकों के लिए समीकरण को सरलता से जारी रखा जा सकता है।

या मानक 5-एडिक लेखन में
 * $$\frac 13= \ldots 1313132_5 $$

पदन्यूनता के साथ $$ \ldots $$ बाई ओर प्रदर्शित किया गया है।

पी-एडिक श्रृंखला
इस लेख में एक अभाज्य संख्या $p$ दी गयी है, $p$-एडिक श्रृंखला रूप की एक औपचारिक श्रृंखला है
 * $$\sum_{i=k}^\infty a_i p^i,$$

जहां हर शून्येतर $$a_i$$ एक परिमेय संख्या है $$a_i=\tfrac {n_i}{d_i},$$ ऐसा कि कोई भी नहीं $$n_i$$ और $$d_i$$ से विभाज्य है $p$

प्रत्येक परिमेय संख्या को एक के रूप में देखा जा सकता है $p$-एकल पद के साथ एडिक श्रृंखला, जिसमें इसके रूप का गुणनखंडन सम्मिलित है $$p^k\tfrac nd,$$ साथ $n$ और $d$ दोनों सहअभाज्य हैं $p$.

ए $p$-एडिक श्रृंखला सामान्यीकृत होती है यदि प्रत्येक $$a_i$$ अंतराल में एक पूर्णांक है $$[0,p-1].$$ इतना $p$-किसी परिमेय संख्या का सामान्यीकृत विस्तार सामान्यीकृत होता है $p$-एडिक श्रृंखला।

पी-एडिक मूल्यांकन|$p$-एडिक मूल्यांकन, या $p$-अशून्य का एडिक क्रम $p$-एडीआईसी श्रृंखला सबसे कम पूर्णांक है $i$ ऐसा है कि $$a_i\ne 0.$$ शून्य श्रेणी का क्रम अनन्त है $$\infty.$$ दो $p$-एडिक श्रृंखला समतुल्य होती है यदि उनका क्रम समान हो $k$, और यदि प्रत्येक पूर्णांक के लिए $n ≥ k$ उनके आंशिक योग के बीच का अंतर
 * $$\sum_{i=k}^n a_ip^i-\sum_{i=k}^n b_ip^i=\sum_{i=k}^n (a_i-b_i)p^i$$

से बड़ा ऑर्डर है $n$ (अर्थात्, रूप की एक परिमेय संख्या है $$p^k\tfrac ab,$$ साथ $$k>n,$$ और $a$ और $b$ दोनों सहअभाज्य हैं $p$

हरएक के लिए $p$-एडिक श्रृंखला $$S$$, एक अद्वितीय सामान्यीकृत श्रृंखला है $$N$$ ऐसा है कि $$S$$ और $$N$$ समतुल्य हैं. $$N$$ का सामान्यीकरण है $$S.$$ प्रमाण के अस्तित्व प्रमाण के समान है $p$-एक परिमेय संख्या का एडिक विस्तार। विशेष रूप से, प्रत्येक परिमेय संख्या को एक माना जा सकता है $p$-एक एकल गैर-शून्य पद के साथ एडीसी श्रृंखला, और इस श्रृंखला का सामान्यीकरण वास्तव में परिमेय संख्या का परिमेय प्रतिनिधित्व है।

दूसरे शब्दों में, की समतुल्यता $p$-एडिक श्रृंखला एक तुल्यता संबंध है, और प्रत्येक तुल्यता वर्ग में बिल्कुल एक सामान्यीकृत होता है $p$-एडिक श्रृंखला।

श्रृंखला (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) मानचित्र की सामान्य संक्रियाएँ $p$-एडिक सीरीज को $p$-एडिक श्रृंखला, और समतुल्यता के साथ संगत हैं $p$-एडिक श्रृंखला। अर्थात्, के साथ तुल्यता को निरूपित करना $~$, यदि $S$, $T$ और $U$ अशून्य हैं $p$-एडिक सीरीज ऐसी कि $$S\sim T,$$ किसी के पास
 * $$\begin{align}

S\pm U&\sim T\pm U,\\ SU&\sim TU,\\ 1/S&\sim 1/T. \end{align}$$ इसके अतिरिक्त, $S$ और $T$ का क्रम समान है, और प्रथम पद भी समान है।

स्थितीय संकेतन
मूलांक में संख्याओं को दर्शाने के लिए उपयोग किए जाने वाले स्थिति संकेतन के समान उपयोग करना संभव है $p$

होने देना एक सामान्यीकृत हो $p$-एडिक श्रृंखला, यानी प्रत्येक $$a_i$$ अंतराल में एक पूर्णांक है $$[0,p-1].$$ ऐसा कोई भी मान सकता है $$k\le 0$$ व्यवस्थित करके $$a_i=0$$ के लिए $$0\le i 0$$), और परिणामी शून्य पदों को श्रृंखला में जोड़ना।

यदि $$k\ge 0,$$ स्थितीय संकेतन में लिखना सम्मिलित है $$a_i$$ लगातार, के घटते मूल्यों द्वारा क्रमबद्ध $i$, अक्सर साथ $p$ एक सूचकांक के रूप में दाईं ओर दिखाई दे रहा है:
 * $$\ldots a_n \ldots a_1{a_0}_p$$

तो, की गणना यह दर्शाती है
 * $$\frac 13= \ldots 1313132_5,$$

और
 * $$\frac {25}3= \ldots 131313200_5.$$

कब $$k<0,$$ नकारात्मक सूचकांक वाले अंकों से पहले एक अलग बिंदु जोड़ा जाता है, और, यदि सूचकांक $p$ मौजूद है, यह अलग करने वाले बिंदु के ठीक बाद दिखाई देता है। उदाहरण के लिए,
 * $$\frac 1{15}= \ldots 3131313._52,$$

और
 * $$\frac 1{75}= \ldots 1313131._532.$$

यदि एक $p$-एडिक निरूपण बाईं ओर परिमित है (अर्थात्, $$a_i=0$$ के बड़े मूल्यों के लिए $i$), तो इसमें प्रपत्र की एक गैर-ऋणात्मक परिमेय संख्या का मान होता है $$n p^v,$$ साथ $$n,v$$ पूर्णांक ये परिमेय संख्याएँ बिल्कुल गैर-ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ हैं जिनका मूलांक में एक सीमित प्रतिनिधित्व होता है $p$. इन परिमेय संख्याओं के लिए, दोनों निरूपण समान हैं।

परिभाषा
की कई समतुल्य परिभाषाएँ हैं $p$-एडिक नंबर. जो यहां दिया गया है वह अपेक्षाकृत प्राथमिक है, क्योंकि इसमें पिछले अनुभागों में प्रस्तुत की गई गणितीय अवधारणाओं के अलावा कोई अन्य गणितीय अवधारणा सम्मिलित नहीं है। अन्य समकक्ष परिभाषाएँ एक अलग मूल्यांकन रिंग की रिंग के पूरा होने का उपयोग करती हैं। एक मीट्रिक स्थान का पूरा होना, या व्युत्क्रम सीमाएँ भी इसकी अभिन्न अंग हैं।

$p$-एडिक संख्या को सामान्यीकृत के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $p$-एडिक श्रृंखला। चूँकि अन्य समकक्ष परिभाषाएँ हैं जो सामान्यतः उपयोग की जाती हैं, कोई प्रायः कहता है कि सामान्यीकृत $p$-एडिक श्रृंखला एक का प्रतिनिधित्व करती है $p$-एडीआईसी संख्या, यह कहने के बजाय कि यह एक है $p$-एडिक संख्या है।

यह भी कह सकते हैं कि कोई भी $p$-एडिक श्रृंखला एक का प्रतिनिधित्व करती है $p$-एडिक संख्या, प्रत्येक के बाद से $p$-एडिक श्रृंखला एक अद्वितीय सामान्यीकृत के बराबर है $p$-एडिक श्रृंखला। यह संक्रियाओं (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) को परिभाषित करने के लिए उपयोगी है $p$-एडिक संख्याएँ: ऐसे ऑपरेशन का परिणाम श्रृंखला पर संबंधित ऑपरेशन के परिणाम को सामान्य करके प्राप्त किया जाता है। यह अच्छी तरह से संचालन को परिभाषित करता है $p$-एडिक संख्याएं, चूंकि श्रृंखला संचालन समतुल्यता के साथ संगत हैं $p$-एडिक श्रृंखला।

इन ऑपरेशनों के साथ, $p$-एडिक संख्याएँ एक क्षेत्र बनाती हैं जिसे क्षेत्र कहा जाता है $p$-एडिक संख्याएँ और निरूपित $$\Q_p$$ या $$\mathbf Q_p.$$ परिमेय संख्याओं से एक अद्वितीय क्षेत्र समरूपता है $p$-एडिक संख्याएं, जो एक परिमेय संख्या को मैप करती हैं $p$-एडिक विस्तार. इस समरूपता की छवि को सामान्यतः परिमेय संख्याओं के क्षेत्र से पहचाना जाता है। यह इस पर विचार करने की अनुमति देता है $p$-परिमेय संख्याओं के विस्तार क्षेत्र के रूप में आदिम संख्याएँ, और उपक्षेत्र के रूप में परिमेय संख्याएँ $p$-एडिक नंबर.

एक शून्येतर का मूल्यांकन $p$-अर्थात संख्या $x$, सामान्यतः दर्शाया जाता है $$v_p(x),$$ का प्रतिपादक है $p$ प्रत्येक के पहले शून्येतर पद में $p$-एडिक श्रृंखला जो प्रतिनिधित्व करती है $x$. रिवाज के सन्दर्भ मे, $$v_p(0)=\infty;$$ यानी शून्य का मूल्यांकन है $$\infty.$$ यह मूल्यांकन एक पृथक मूल्यांकन है. इस मूल्यांकन का प्रतिबंध परिमेय संख्याओं तक है $p$-एडिक मूल्यांकन $$\Q,$$ अर्थात् प्रतिपादक $v$ एक परिमेय संख्या के गुणनखंडन में दोनों के साथ $n$ और $d$ सहप्रधान $p$.

p-एडिक पूर्णांक
'$p$-एडिक पूर्णांक हैं $p$-एक गैर-नकारात्मक मूल्यांकन के साथ एडिक संख्याएँ।

ए $p$-एडीआईसी पूर्णांक को अनुक्रम के रूप में दर्शाया जा सकता है


 * $$ x = (x_1 \operatorname{mod} p, ~ x_2 \operatorname{mod} p^2, ~ x_3 \operatorname{mod} p^3, ~ \ldots)$$

अवशेषों का $x_{e}$ ख़िलाफ़ $p^{e}$ प्रत्येक पूर्णांक के लिए $e$, अनुकूलता संबंधों को संतुष्ट करना $$x_i \equiv x_j ~ (\operatorname{mod} p^i)$$ के लिए $i < j$.

प्रत्येक पूर्णांक एक है $p$-एडीआईसी पूर्णांक (शून्य सहित, चूंकि $$0<\infty$$). प्रपत्र की परिमेय संख्याएँ $ \tfrac nd p^k$ साथ $d$ सहप्रधान $p$ और $$k\ge 0$$ भी हैं $p$-एडिक पूर्णांक (इस कारण से $d$ में एक उलटा मॉड है $p^{e}$ हरएक के लिए $e$). वह $p$-एडिक पूर्णांक एक क्रमविनिमेय वलय बनाते हैं, जिसे दर्शाया जाता है $$\Z_p$$ या $$\mathbf Z_p$$, जिसमें निम्नलिखित गुण हैं। अंतिम संपत्ति की परिभाषा प्रदान करती है $p$-एडीआईसी संख्याएं जो उपरोक्त के बराबर हैं: का क्षेत्र $p$-एडीआईसी संख्याएं, द्वारा उत्पन्न अभाज्य आदर्श पर पूर्णांकों के स्थानीयकरण के पूरा होने के अंशों का क्षेत्र है $p$.
 * यह एक अभिन्न डोमेन है, क्योंकि यह एक क्षेत्र का उपरिंग है, या श्रृंखला के पहले पद के बाद से दो गैर शून्य के उत्पाद का प्रतिनिधित्व करता है $p$-एडिक श्रृंखला उनके प्रथम पदों का गुणनफल है।
 * $p$-मूल्यांकन की एडिक संख्या शून्य की इकाई $$\Z_p$$ हैं ।
 * यह एक प्रमुख आदर्श क्षेत्र है, जैसे कि प्रत्येक आदर्श की शक्ति से उत्पन्न होता है $p$.
 * यह क्रुल आयाम एक का एक स्थानीय वलय है, क्योंकि इसके एकमात्र प्रमुख आदर्श शून्य आदर्श और इससे उत्पन्न आदर्श हैं $p$, अद्वितीय अधिकतम आदर्श।
 * यह एक अलग मूल्यांकन रिंग है, क्योंकि यह पूर्ववर्ती गुणों से परिणामित होता है।
 * यह स्थानीय रिंग की एक रिंग का पूरा होना है $$\Z_{(p)} = \{\tfrac nd \mid n, d \in \Z,\, d \not\in p\Z \},$$ जो का स्थानीयकरण (कम्यूटेटिव बीजगणित) है $$\Z$$ प्रमुख आदर्श पर $$p\Z.$$

संस्थानिक गुण
$p}|p$-एडिक मूल्यांकन एक निरपेक्ष मान को परिभाषित करने की अनुमति देता है $p$-एडिक नंबर: द $p$-एक गैरशून्य का विशेष निरपेक्ष मान $p$-अर्थात संख्या $x$ है
 * $$|x|_p = p^{-v_p(x)},$$

जहाँ $$v_p(x)$$ है $p$-एडिक मूल्यांकन $x$. वह $p$-का निरपेक्ष मान $$0$$ है $$|0|_p = 0.$$ यह एक निरपेक्ष मान है जो प्रत्येक के लिए, मजबूत त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करता है $x$ और $y$ हमारे पास इसके अलावा, यदि $$|x|_p \ne |y|_p,$$ किसी के पास $$|x+y|_p = \max(|x|_p,|y|_p).$$ यह बनाता है $p$-एडिक नंबर एक मीट्रिक स्पेस, और यहां तक ​​कि एक अल्ट्रामेट्रिक स्पेस, के साथ $p$-एडिक दूरी द्वारा परिभाषित $$d_p(x,y)=|x-y|_p.$$ एक मीट्रिक स्थान के रूप में, $p$-एडीआईसी संख्याएं से सुसज्जित परिमेय संख्याओं की पूर्णता (मीट्रिक स्थान) बनाती हैं $p$-एडिक निरपेक्ष मान. यह परिभाषित करने का एक और तरीका प्रदान करता है $p$-एडिक नंबर. यद्यपि, इस मामले में पूर्णता के सामान्य निर्माण को सरल बनाया जा सकता है, क्योंकि मीट्रिक को एक अलग मूल्यांकन द्वारा परिभाषित किया गया है (संक्षेप में, प्रत्येक कॉची अनुक्रम से एक परिणाम निकाला जा सकता है जैसे कि दो लगातार शब्दों के बीच के अंतर में निरपेक्ष मान सख्ती से घट रहे हैं ; ऐसा अनुवर्ती a के आंशिक योगों का क्रम है $p$-एडिक श्रृंखला, और इस प्रकार एक अद्वितीय सामान्यीकृत $p$-एडिक श्रृंखला को कॉची अनुक्रमों के प्रत्येक समतुल्य वर्ग से जोड़ा जा सकता है; इसलिए, पूर्णता के निर्माण के लिए, सामान्यीकृत पर विचार करना पर्याप्त है $p$-कॉची अनुक्रमों के समतुल्य वर्गों के बजाय एडिक श्रृंखला को संदर्भित करती है।
 * $$|x|_p = 0$$ यदि और केवल यदि $$x=0;$$
 * $$|x|_p\cdot |y|_p = |xy|_p$$ *$$|x+y|_p\le \max(|x|_p,|y|_p) \le |x|_p + |y|_p.$$

चूँकि मीट्रिक को अलग-अलग मूल्यांकन से परिभाषित किया जाता है, प्रत्येक खुली गेंद भी बंद गेंद होती है। अधिक सटीक रूप से, खुली गेंद $$B_r(x) =\{y\mid d_p(x,y)r.$$ इसका तात्पर्य यह है कि $p$-एडिक संख्याएं स्थानीय रूप स्थानीय रूप से सघन स्थान बनाती हैं, और $p$-एडिक पूर्णांक-अर्थात, गेंद $$B_1[0]=B_p(0)$$-एक सघन स्थान बनाएँ।

मॉड्यूलर गुण
भागफल वलय $$\Z_p/p^n\Z_p$$ चक्र से पहचाना जा सकता है $$\Z/p^n\Z$$ पूर्णांकों का मॉड्यूलर अंकगणित $$p^n.$$ इसे प्रत्येक टिप्पणी द्वारा दर्शाया जा सकता है $p$-एडीआईसी पूर्णांक, इसके सामान्यीकृत द्वारा दर्शाया गया $p$-अर्थात, श्रृंखला, यह मॉड्यूल से मेल खाती है $$p^n$$ इसके आंशिक योग के साथ  जिसका मान अंतराल में एक पूर्णांक है $$[0,p^n-1].$$ एक सीधे सत्यापन से पता चलता है कि यह एक वलय समरूपता को परिभाषित करता है $$\Z_p/p^n\Z_p$$ को $$\Z/p^n\Z.$$ छल्लों की व्युत्क्रम सीमा $$\Z_p/p^n\Z_p$$ अनुक्रमों द्वारा निर्मित वलय के रूप में परिभाषित किया गया है $$a_0, a_1, \ldots$$ ऐसा है कि $$a_i \in \Z/p^i \Z$$ और हरएक के लिए $i$.

मैपिंग जो सामान्यीकृत मैप करती है $p$-इसके आंशिक योगों के अनुक्रम के लिए एडिक श्रृंखला एक वलय समरूपता है $$\Z_p$$ की व्युत्क्रम सीमा तक $$\Z_p/p^n\Z_p.$$ यह परिभाषित करने का एक और तरीका प्रदान करता है $p$-एडिक पूर्णांक (एक समरूपता तक)।

की यह परिभाषा $p$-एडीआईसी पूर्णांक भवन निर्माण की अनुमति के रूप में व्यावहारिक गणना के लिए विशेष रूप से उपयोगी है $p$-क्रमिक सन्निकटन द्वारा विशेष पूर्णांक।

उदाहरण के लिए, की गणना के लिए $p$-एक पूर्णांक का व्युत्क्रम (गुणात्मक), कोई न्यूटन की विधि का उपयोग कर सकता है, व्युत्क्रम मॉड्यूलो से शुरू करके $p$; फिर, प्रत्येक न्यूटन चरण व्युत्क्रम मॉड्यूलो की गणना करता है p^{n^2} व्युत्क्रम मॉड्यूलो से p^n. की गणना के लिए उसी विधि का उपयोग किया जा सकता है $p$-एक पूर्णांक का एडिक वर्गमूल जो एक द्विघात अवशेष मॉड्यूलो है $p$. यह परीक्षण करने के लिए सबसे तेज़ ज्ञात विधि प्रतीत होती है कि क्या एक बड़ा पूर्णांक एक वर्ग है: यह परीक्षण करने के लिए पर्याप्त है कि क्या दिया गया पूर्णांक इसमें पाए गए मान का वर्ग है $$\Z_p/p^n\Z_p$$. वर्गमूल ज्ञात करने के लिए न्यूटन की विधि को लागू करना आवश्यक है p^n दिए गए पूर्णांक के दोगुने से बड़ा होना, जो शीघ्र ही संतुष्ट हो जाता है।

हेंसल उत्थान एक ऐसी ही विधि है जो फ़ैक्टराइज़ेशन मॉड्यूलो को उठाने की अनुमति देती है $p$ एक गुणनखंड मॉड्यूलो के लिए पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद का p^n के बड़े मूल्यों के लिए $n$. यह सामान्यतः बहुपद गुणनखंडन एल्गोरिदम द्वारा उपयोग किया जाता है।

संकेतन पद्धति
लेखन के लिए कई अलग-अलग परंपराएँ हैं $p$-एडिक विस्तार. अब तक इस लेख में एक संकेतन का उपयोग किया गया है $p$-एडिक विस्तार जिसमें का घातांक$p$ दाएँ से बाएँ की ओर वृद्धि करता है। इस दाएं-से-बाएं संकेतन के साथ 3-एडिक विस्तार $1/5$, उदाहरण के लिए, इस प्रकार लिखा जाता है


 * $$\dfrac{1}{5}=\dots 121012102_3.$$

इस अंकन में अंकगणित करते समय, अंकों को बाईं ओर ले जाया जाता है (अंकगणित)। लिखना भी संभव है $p$-एडिक विस्तार ताकि की शक्तियां $p$ बाएँ से दाएँ बढ़ता है, और अंक दाएँ ओर ले जाए जाते हैं। इस बाएँ से दाएँ संकेतन के साथ 3-एडिक विस्तार $1/5$ है


 * $$\dfrac{1}{5}=2.01210121\dots_3\mbox{ or }\dfrac{1}{15}=20.1210121\dots_3.$$

$p$-एडिक विस्तारों को {0, 1, ... के बजाय हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व के साथ लिखा जा सकता है।$p − 1$}. उदाहरण के लिए, का 3-एडिक विस्तार 1/5 संतुलित टर्नरी अंक { 1 ,0,1} का उपयोग करके लिखा जा सकता है


 * $$\dfrac{1}{5}=\dots\underline{1}11\underline{11}11\underline{11}11\underline{1}_{\text{3}} .$$

वास्तव में कोई भी सेट $p$ पूर्णांक जो अलग-अलग अवशेष वर्ग मॉड्यूलो में हैं $p$ के रूप में उपयोग किया जा सकता है $p$-एडिक अंक. संख्या सिद्धांत में, टेइचमुलर प्रतिनिधियों को कभी-कभी अंकों के रूप में उपयोग किया जाता है।

Quote notation का एक प्रकार है $p$-परिमेय संख्याओं का विशिष्ट प्रतिनिधित्व जिसे 1979 में एरिक हेहनर और निगेल हॉर्सपूल द्वारा कंप्यूटर पर इन संख्याओं के साथ अंकगणित लागू करने के लिए प्रस्तावित किया गया था।

गणनांक
दोनों $$\Z_p$$ और $$\Q_p$$ अपरिमित समुच्चय हैं और सातत्य की प्रमुखता रखते हैं। के लिए $$\Z_p,$$ इसका परिणाम यह है $p$-एडिक प्रतिनिधित्व, जो एक आपत्ति को परिभाषित करता है $$\Z_p$$ सत्ता स्थापित  पर $$\{0,\ldots,p-1\}^\N.$$ के लिए $$\Q_p$$ यह इसकी प्रतियों की गिनती योग्य अनंत संघ  के रूप में अभिव्यक्ति का परिणाम $$\Z_p$$ है :
 * $$\Q_p=\bigcup_{i=0}^\infty \frac 1{p^i}\Z_p.$$

बीजगणितीय समापन
$Q_{p}$ $Q$ के बीजगणितीय विशेषता का एक क्षेत्र है।

क्योंकि $0$ को वर्गों के योग के रूप में लिखा जा सकता है, $Q_{2}$ को क्रमित किए गए क्षेत्र में नहीं बदला जा सकता है?

$−7$ में केवल एक ही उचित बीजगणितीय विस्तार है: $p > 2$; दूसरे शब्दों में, यह द्विघात विस्तार पहले से ही बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है। इसके विपरीत, बीजगणितीय समापन $Q_{p}$, निरूपित $$\overline{\mathbf{Q}_p},$$ अनंत क्रम है, वह है, $1 − p$ में अपरिमित रूप से कई असमान बीजगणितीय विस्तार हैं। वास्तविक संख्याओं के मामले में भी विरोधाभास, यद्यपि इसका एक अनूठा विस्तार है $p$-एडिक वैल्यूएशन $$\overline{\mathbf{Q}_p},$$ उत्तरार्द्ध (मीट्रिक रूप से) पूर्ण नहीं है। इसकी पूर्णता कहलाती है $Q_{p}$ या $R$. यहाँ एक अंत आ गया है, जैसे $C$ बीजगणितीय रूप से बंद है। यद्यपि विपरीत $Q_{p}$ यह क्षेत्र स्थानीय रूप से सघन नहीं है.

$Q_{p}$ और $C_{p}$ छल्ले के रूप में समरूपी हैं, इसलिए हम मान सकते हैं $Ω_{p}$ जैसा $C_{p}$ एक विदेशी मीट्रिक से संपन्न। ऐसे क्षेत्र समरूपता के अस्तित्व का प्रमाण पसंद के सिद्धांत पर निर्भर करता है, और इस तरह के समरूपता का एक स्पष्ट उदाहरण प्रदान नहीं करता है (अर्थात, यह रचनात्मक प्रमाण नहीं है)।

यदि $C$ का एक सीमित गैलोज़ विस्तार है $C_{p}$, गैलोज़ समूह $$\operatorname{Gal} \left(\mathbf{K}/ \mathbf{Q}_p \right)$$ हल करने योग्य समूह है. इस प्रकार, गैलोज़ समूह $$\operatorname{Gal} \left(\overline{\mathbf{Q}_p}/ \mathbf{Q}_p \right)$$ समाधानयोग्य है।

गुणक समूह
$C$ $n$-वें साइक्लोटोमिक क्षेत्र ($C_{p}$) मे तभी सम्मिलित है यदि और केवल यदि $C$. उदाहरण के लिए, $n$-वें साइक्लोटोमिक क्षेत्र का एक उपक्षेत्र है $K$ यदि और केवल यदि $Q_{p}$, या $Q_{p}$. विशेषकर, कोई गुणक नहीं है $p$-मरोड़ (बीजगणित) में $n > 2$, यदि $n&thinsp;| p − 1$. भी, $Q_{13}$ एकमात्र गैर-तुच्छ घूर्णन तत्व $n = 1, 2, 3, 4, 6$ है।

एक प्राकृतिक संख्या दी गई है $k$, के गुणक समूह का सूचकांक $k$-के गैर-शून्य तत्वों की शक्तियां $12$ में $$\mathbf{Q}_p^{\times}$$ परिमित है.

जो संख्या $e$, जिसे कारख़ाने का  के व्युत्क्रम  के योग के रूप में परिभाषित किया गया है, किसी का सदस्य नहीं है $p$-एडिक क्षेत्र; परंतु $Q_{p}$. के लिए $p > 2$ कम से कम चौथी शक्ति अवश्य लेनी चाहिए।

स्थानीय-वैश्विक सिद्धांत
हेल्मुट हस्से का स्थानीय-वैश्विक सिद्धांत एक समीकरण के लिए मान्य माना जाता है यदि इसे परिमेय संख्याओं पर हल किया जा सकता है और केवल तभी जब इसे वास्तविक संख्याओं और परिमेय संख्याओं पर हल किया जा सकता है। $p$-प्रत्येक अभाज्य के लिए विशेष संख्याएँ$p$. यह सिद्धांत, उदाहरण के लिए, द्विघात रूप द्वारा दिए गए समीकरणों के लिए लागू होता है, परंतु कई अनिश्चितताओं में उच्च बहुपदों के लिए विफल रहता है।

सामान्यीकरण और संबंधित अवधारणाएँ
वास्तविक और $p$-एडिक संख्याएँ परिमेय की पूर्णताएँ हैं; अन्य क्षेत्रों, उदाहरण के लिए सामान्य बीजगणितीय संख्या क्षेत्र, को समान तरीके से पूरा करना भी संभव है। इसका वर्णन अब किया जायेगा।

मान लीजिए कि D एक डेडेकाइंड डोमेन है और E इसके भिन्नों का क्षेत्र है। D का एक गैर-शून्य अभाज्य आदर्श P चुनें। यदि x, E का एक गैर-शून्य तत्व है, तो xD एक भिन्नात्मक आदर्श है और इसे D के गैर-शून्य अभाज्य आदर्शों की सकारात्मक और नकारात्मक शक्तियों के उत्पाद के रूप में विशिष्ट रूप से गुणनखंडित किया जा सकता है। हम इस गुणांकन की संख्या विधि में P के घात को ordP(x) लिखते हैं, और किसी भी ऐसे संख्या c के लिए जो 1 से अधिक हो, हम उसे समायोजित कर सकते हैं।
 * $$|x|_P = c^{-\!\operatorname{ord}_P(x)}.$$

इस निरपेक्ष मान |⋅|P के संबंध में पूर्णता करने से EP एक क्षेत्र प्राप्त होता है, जो इस परिस्थिति में p-ऐडिक संख्याओं के क्षेत्र का समानुपातिक विस्तार है। c का चयन पूर्णता को प्रभावित नहीं करता है (भिन्न चयनों से समान Cauchy अनुक्रम की संभावना होती है, इसलिए समान पूर्णता मिलती है)। यह सुविधाजनक होता है, जब बची हुआ क्षेत्र D/P परिमित हो, तो c को D/P का आकार लेने में सुविधा होती है।

उदाहरण के रूप में, जब E एक अंक क्षेत्र होता है, तो ओस्ट्रोवस्की का सिद्धांत कहता है कि E पर हर एक गैर-फ़ीरक गैर-आर्किमीडीयन निरपेक्ष मान को किसी |⋅|P के रूप में प्राप्त होता है। E पर शेष गैर-फ़ीरक निरपेक्ष मान E के भिन्न-भिन्न प्रवेशों से वास्तविक या जटिल संख्याओं में से उत्पन्न होते हैं। वास्तव में, गैर-आर्किमीडीयन निरपेक्ष मान को सामान्यतः सदिश Cp में E के अलग-अलग प्रवेशों के रूप में माना जा सकता है, इस प्रकार एक अंक क्षेत्र के सभी गैर-फ़ीरक निरपेक्ष मानों की विवरणिका को एक सामान्य मूल्यांकन में रखता है।

प्रायः, जब E एक अंक क्षेत्र (या अधिक सामान्यतः एक वैश्विक क्षेत्र) होता है, तो सभी उपरोक्त पूर्णताओं को एक साथ एकत्रित रखने की आवश्यकता होती है, जिन्हें "स्थानिक" जानकारी को कूटबद्ध करने के रूप में देखा जाता है। इसके द्वारा आदेल चक्र और आईडेल समूह के द्वारा यह कार्य पूरा किया जाता है।

p-ऐडिक पूर्णांकों को p-ऐडिक सोलेनोइड $$\mathbb{T}_p$$ तक विस्तारित किया जा सकता है। $$\mathbb{T}_p$$ से वृत्त समूह तक एक अवलोकन के साथ एक मानचित्रण होता है, जिसके मूल p-ऐडिक पूर्णांक $$\mathbb{Z}_p$$ होते हैं, उसी तरह जैसे वृत्त से एक मानचित्रण होता है जिसके मूल $$\mathbb{Z}$$ होते हैं।

यह भी देखें

 * गैर गैर आर्किमिडीज़
 * पी-एडिक क्वांटम यांत्रिकी
 * पी-एडिक हॉज सिद्धांत
 * पी-एडिक टीचमुलर सिद्धांत
 * पी-एडिक विश्लेषण
 * 1 + 2 + 4 + 8 + ...
 * विशेषण अंकन|k-एडिक संकेतन
 * सी-न्यूनतम सिद्धांत
 * हेंसल की लेम्मा
 * स्थानीय रूप स्थानीय रूप से सघन क्षेत्र
 * महलर का प्रमेय
 * अनंत पूर्णांक
 * वोल्केनबॉर्न इंटीग्रल
 * दो का अनुपूरण

संदर्भ

 * . &mdash; Translation into English by John Stillwell of Theorie der algebraischen Functionen einer Veränderlichen (1882).
 * . &mdash; Translation into English by John Stillwell of Theorie der algebraischen Functionen einer Veränderlichen (1882).

बाहरी संबंध

 * p-adic number at Springer On-line Encyclopaedia of Mathematics
 * p-adic number at Springer On-line Encyclopaedia of Mathematics