आकार सिद्धांत

गणित में, आकार सिद्धांत इन फलनों के परिवर्तन के संबंध में $$\mathbb{R}^k$$ मूल्यवान संपन्न टोपोलॉजिकल स्पेस स्थान के गुणों का अध्ययन करता है| फलन (गणित), अधिक औपचारिक रूप से, आकार सिद्धांत का विषय आकार जोड़े के बीच प्राकृतिक छद्म दूरी का अध्ययन है। आकार सिद्धांत का सर्वेक्षण इसमें पाया जा सकता है.

इतिहास और अनुप्रयोग
आकार सिद्धांत की प्रारंभ फ्रोसिनी द्वारा प्रस्तुत आकार फलन की अवधारणा में निहित है। कंप्यूटर दृष्टि और पैटर्न पहचान में आकार की तुलना के लिए प्रारंभ में आकार फलन के उपयोग में गणितीय उपकरण के रूप में किया गया है।

आकार फलन की अवधारणा का बीजगणितीय टोपोलॉजी के लिए विस्तार 1999 फ्रोसिनी और मुलाज़ानी पेपर में किया गया था जहां आकार के समरूप समूहों को $$\mathbb{R}^k$$ मूल्यवान फलनो के लिए  प्राकृतिक छद्म दूरी के साथ प्रस्तुत किया गया था|  होमोलॉजी सिद्धांत (आकार फ़ैक्टर) का विस्तार 2001 में प्रस्तुत किया गया था। आकार होमोटॉपी समूह और आकार फ़ंक्टर दृढ़ता से लगातार होमोलॉजी समूह की अवधारणा से संबंधित हैं

लगातार होमोलॉजी में अध्ययन किया गया है। यह इंगित करना उचित है कि आकार फ़ंक्शन {2}-वें लगातार होमोलॉजी समूह की रैंक है, जबकि लगातार होमोलॉजी समूह और आकार होमोटॉपी समूह के बीच का संबंध होमोलॉजी समूहों और होमोटॉपी समूहों के बीच मौजूदा संबंध के अनुरूप है।

लगातार होमोलॉजी में अध्ययन किया गया हैं। यह इंगित करना उचित है कि आकार फलन $$0$$ वें लगातार होमोलॉजी समूह की रैंक है,, जबकि लगातार होमोलॉजी समूह और आकार होमोटॉपी समूह के बीच का संबंध होमोलॉजी समूहों और होमोटॉपी समूहों के बीच मौजूदा संबंध के अनुरूप है।

आकार सिद्धांत में, आकार फलनों और आकार समरूप समूहो को प्राकृतिक छद्म दूरी के लिए निचली सीमा की गणना करने के उपकरण के रूप में देखा जाता है।दरअसल,निम्नलिखित लिंक आकार फलन $$\ell_{(N,\psi)}(\bar x,\bar y)$$,$$\ell_{(M,\varphi)}(\tilde x,\tilde y)$$, $$d((M,\varphi),(N,\psi))$$ द्वारा आकार जोड़े $$(M,\varphi),\  (N,\psi)$$ के बीच लिए गए मानों के बीच  मौजूद है |

,$$\text{If }\ell_{(N,\psi)}(\bar x,\bar y)>\ell_{(M,\varphi)}(\tilde x,\tilde y)\text{ then }d((M,\varphi),(N,\psi))\ge \min\{\tilde x-\bar x,\bar y-\tilde y\}.$$

एक समान परिणाम आकार होमोटॉपी समूह के लिए होता है।

आकार सिद्धांत और सर्वोच्च मानदंड से भिन्न मानदंडों के लिए प्राकृतिक छद्म दूरी की अवधारणा को सामान्य बनाने के प्रयास ने अन्य पुनर्मूल्यांकन अपरिवर्तनीय मानदंडों के अध्ययन को जन्म दिया है।

यह भी देखें

 * आकार फलन
 * प्राकृतिक छद्म दूरी
 * आकार फ़ैक्टर
 * आकार समरूप समूह
 * आकार जोड़ी
 * मिलान दूरी