यूक्लिडियन क्वांटम गुरुत्व

सैद्धांतिक भौतिकी में, यूक्लिडियन क्वांटम गुरुत्व क्वांटम गुरुत्व का एक संस्करण है। यह क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांतों के अनुसार गुरुत्वाकर्षण बल का वर्णन करने के लिए बाती घुमाना  का उपयोग करना चाहता है।

बाती घुमाव
भौतिकी में, जियान-कार्लो विक के नाम पर विक रोटेशन, गतिशीलता समस्याओं का समाधान खोजने की एक विधि है $$n$$ आयाम, उनके विवरण को स्थानांतरित करके $$n + 1$$ आयाम, समय के एक आयाम के लिए अंतरिक्ष के एक आयाम का व्यापार करके। अधिक सटीक रूप से, यह मिन्कोवस्की अंतरिक्ष में एक गणितीय समस्या को यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक संबंधित समस्या में एक परिवर्तन के माध्यम से प्रतिस्थापित करता है जो एक वास्तविक संख्या चर के लिए एक काल्पनिक संख्या | काल्पनिक-संख्या चर को प्रतिस्थापित करता है।

इसे घूर्णन कहा जाता है क्योंकि जब जटिल संख्याओं को एक समतल के रूप में दर्शाया जाता है, तो एक जटिल संख्या का गुणन होता है $$i$$ के कोण से उस संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले वेक्टर (गणित और भौतिकी) को घुमाने के बराबर है $$\pi/2$$ मूल के बारे में रेडियंस।

उदाहरण के लिए, विक रोटेशन का उपयोग मैक्रोस्कोपिक घटना तापमान प्रसार (जैसे स्नान में) को अणुओं के अंतर्निहित थर्मल आंदोलनों से जोड़ने के लिए किया जा सकता है। यदि हम तापमान के विभिन्न ग्रेडिएंट्स के साथ स्नान के आयतन को मॉडल करने का प्रयास करते हैं तो हमें इस आयतन को अनंत छोटे आयतनों में विभाजित करना होगा और देखना होगा कि वे कैसे परस्पर क्रिया करते हैं। हम जानते हैं कि ऐसे अनंत आयतन वास्तव में पानी के अणु हैं। यदि हम समस्या को सरल बनाने के प्रयास में स्नान में सभी अणुओं को केवल एक अणु द्वारा निरूपित करते हैं, तो इस अद्वितीय अणु को उन सभी संभावित रास्तों पर चलना चाहिए जिनका वास्तविक अणु अनुसरण कर सकते हैं। पथ अभिन्न सूत्रीकरण एक वैचारिक उपकरण है जिसका उपयोग इस अद्वितीय अणु की गतिविधियों का वर्णन करने के लिए किया जाता है, और विक रोटेशन गणितीय उपकरणों में से एक है जो पथ अभिन्न समस्या का विश्लेषण करने के लिए बहुत उपयोगी है।

क्वांटम यांत्रिकी में अनुप्रयोग
कुछ इसी तरह से, क्वांटम यांत्रिकी द्वारा वर्णित क्वांटम वस्तु की गति का तात्पर्य है कि यह विभिन्न स्थितियों में एक साथ मौजूद हो सकती है और इसकी गति अलग-अलग हो सकती है। यह किसी शास्त्रीय वस्तु (उदाहरण के लिए बिलियर्ड बॉल) की गति से स्पष्ट रूप से भिन्न है, क्योंकि इस मामले में सटीक स्थिति और गति के साथ एक ही पथ का वर्णन किया जा सकता है। एक क्वांटम वस्तु एक ही पथ से A से B की ओर नहीं जाती है, बल्कि एक ही समय में सभी संभावित तरीकों से A से B की ओर गति करती है। क्वांटम यांत्रिकी के फेनमैन पथ-अभिन्न सूत्रीकरण के अनुसार, क्वांटम वस्तु के पथ को गणितीय रूप से उन सभी संभावित पथों के भारित औसत के रूप में वर्णित किया गया है। 1966 में ब्राइस डेविट द्वारा एक स्पष्ट रूप से गेज अपरिवर्तनीय कार्यात्मक-अभिन्न एल्गोरिदम पाया गया, जिसने फेनमैन के नए नियमों को सभी आदेशों तक विस्तारित किया। इस नए दृष्टिकोण में जो आकर्षक बात है वह इसकी विलक्षणताओं की कमी है, जब वे सामान्य सापेक्षता में अपरिहार्य हैं।

उपयोग किए गए गणितीय उपकरणों की जटिलता के कारण, सामान्य सापेक्षता के साथ एक और परिचालन समस्या कम्प्यूटेशनल कठिनाई है। इसके विपरीत पथ इंटीग्रल्स का उपयोग उन्नीसवीं सदी के अंत से यांत्रिकी में किया जाता रहा है और यह सर्वविदित है। इसके अलावा, पथ-अभिन्न औपचारिकता का उपयोग शास्त्रीय और क्वांटम भौतिकी दोनों में किया जाता है, इसलिए यह सामान्य सापेक्षता और क्वांटम सिद्धांतों को एकीकृत करने के लिए एक अच्छा प्रारंभिक बिंदु हो सकता है। उदाहरण के लिए, क्वांटम-मैकेनिकल श्रोडिंगर समीकरण और शास्त्रीय ताप समीकरण विक रोटेशन से संबंधित हैं। इसलिए किसी शास्त्रीय घटना को क्वांटम घटना से जोड़ने के लिए विक संबंध एक अच्छा उपकरण है। यूक्लिडियन क्वांटम गुरुत्व की महत्वाकांक्षा एक स्थूल घटना, गुरुत्वाकर्षण और कुछ अधिक सूक्ष्म चीज़ों के बीच संबंध खोजने के लिए विक रोटेशन का उपयोग करना है।

अधिक कठोर उपचार
यूक्लिडियन क्वांटम गुरुत्व क्वांटम गुरुत्व के विक घुमाए गए संस्करण को संदर्भित करता है, जिसे क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के रूप में तैयार किया गया है। इस फॉर्मूलेशन में जिन कई गुना ्स का उपयोग किया गया है, वे छद्म रीमैनियन मैनिफोल्ड्स के बजाय 4-आयामी रीमैनियन मैनिफोल्ड्स हैं। यह भी माना जाता है कि मैनिफोल्ड्स  सघन स्थान,  जुड़ा हुआ स्थान  और  सीमा (टोपोलॉजी)  हैं (यानी कोई गुरुत्वाकर्षण विलक्षणता नहीं)। सामान्य क्वांटम क्षेत्र-सैद्धांतिक सूत्रीकरण के बाद, वैक्यूम से वैक्यूम आयाम को मीट्रिक टेंसर पर एक कार्यात्मक अभिन्न (क्यूएफटी) के रूप में लिखा जाता है, जो अब विचाराधीन क्वांटम क्षेत्र है।


 * $$\int \mathcal{D}\mathbf{g}\, \mathcal{D}\phi\, \exp\left(\int d^4x \sqrt{|\mathbf{g}|}(R+\mathcal{L}_\mathrm{matter})\right)$$

जहां φ सभी पदार्थ क्षेत्रों को दर्शाता है। आइंस्टीन-हिल्बर्ट कार्रवाई देखें।

एडीएम औपचारिकता से संबंध
यूक्लिडियन क्वांटम ग्रेविटी कैनोनिकल क्वांटम ग्रेविटी में प्रयुक्त एडीएम औपचारिकता से संबंधित है और विभिन्न परिस्थितियों में व्हीलर-डेविट समीकरण को पुनः प्राप्त करता है। यदि हमारे पास कोई पदार्थ क्षेत्र है $$\phi$$, फिर पथ अभिन्न पढ़ता है


 * $$Z = \int \mathcal{D}\mathbf{g}\, \mathcal{D}\phi\, \exp\left(\int d^4x \sqrt{|\mathbf{g}|}(R+\mathcal{L}_\mathrm{matter})\right)$$

जहां एकीकरण खत्म हो गया $$\mathcal{D}\mathbf{g}$$ इसमें तीन-मीट्रिक, लैप्स फ़ंक्शन पर एक एकीकरण शामिल है $$N$$, और शिफ्ट वेक्टर $$N^{a}$$. लेकिन हम इसकी मांग करते हैं $$Z$$ लैप्स फ़ंक्शन और सीमाओं पर शिफ्ट वेक्टर से स्वतंत्र रहें, इसलिए हम प्राप्त करते हैं


 * $$\frac{\delta Z}{\delta N}=0=\int \mathcal{D}\mathbf{g}\, \mathcal{D}\phi\, \left.\frac{\delta S}{\delta N}\right|_{\Sigma} \exp\left(\int d^4x \sqrt{|\mathbf{g}|}(R+\mathcal{L}_\mathrm{matter})\right)$$

कहाँ $$\Sigma$$ त्रि-आयामी सीमा है. गौर करें कि यह अभिव्यक्ति गायब हो जाती है, जिसका अर्थ है कार्यात्मक व्युत्पन्न गायब हो जाता है, जिससे हमें व्हीलर-डेविट समीकरण मिलता है। डिफोमोर्फिज्म बाधा के लिए एक समान बयान दिया जा सकता है (इसके बजाय शिफ्ट फ़ंक्शन के संबंध में कार्यात्मक व्युत्पन्न लें)।

संदर्भ

 * Richard P. Feynman, Lectures on Gravitation, Notes by F.B. Morinigo and W.G. Wagner, Caltech 1963 (Addison Wesley 1995).
 * Gary W. Gibbons and Stephen W. Hawking (eds.), Euclidean quantum gravity, World Scientific (1993).
 * Herbert W. Hamber, Quantum Gravitation - The Feynman Path Integral Approach, Springer Publishing 2009, ISBN 978-3-540-85293-3.
 * Stephen W. Hawking, The Path Integral Approach to Quantum Gravity, in General Relativity - An Einstein Centenary Survey, Cambridge U. Press, 1977.
 * Formally relates Euclidean quantum gravity to ADM formalism.
 * Claus Kiefer, Quantum Gravity (third ed.). Oxford University Press 2012.
 * Martin J.G. Veltman, Quantum Theory of Gravitation, in Methods in Field Theory, Les Houches Session XXVIII, North Holland 1976.
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