फूरियर श्रृंखला का अभिसरण

गणित में, इस सवाल पर कि क्या आवधिक फ़ंक्शन की फूरियर श्रृंखला किसी दिए गए फ़ंक्शन (गणित) के लिए अभिसरण श्रृंखला है, का शोध शास्त्रीय हार्मोनिक विश्लेषण, शुद्ध गणित की शाखा के रूप में जाना जाता है। सामान्य मामले में अभिसरण आवश्यक रूप से नहीं दिया जाता है, और अभिसरण होने के लिए कुछ मानदंडों को पूरा किया जाना चाहिए।

अभिसरण के निर्धारण के लिए बिंदुवार अभिसरण, एकसमान अभिसरण, पूर्ण अभिसरण, एलपी स्पेस की समझ की आवश्यकता होती है|एलपीरिक्त स्थान, योग्‍यता विधियां और सेसरो माध्य।

प्रारंभिक
अंतराल पर लेबेस्ग एकीकरण फ़ंक्शन पर विचार करें $[0, 2π]$. ऐसे f के लिए 'फूरियर गुणांक' $$\widehat{f}(n)$$ सूत्र द्वारा परिभाषित किये गये हैं


 * $$\widehat{f}(n)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)e^{-int}\,\mathrm{d}t, \quad n \in \Z.$$

एफ और इसकी फूरियर श्रृंखला के बीच संबंध का वर्णन करना आम बात है


 * $$f \sim \sum_n \widehat{f}(n) e^{int}.$$

यहाँ संकेतन ~ का अर्थ है कि योग कुछ अर्थों में फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करता है। इसकी अधिक सावधानी से जांच करने के लिए, आंशिक रकम को परिभाषित किया जाना चाहिए:


 * $$S_N(f;t) = \sum_{n=-N}^N \widehat{f}(n) e^{int}.$$

सवाल यह है कि क्या फूरियर श्रृंखला अभिसरण करती है: कार्य करें $$S_N(f)$$ (वेरिएबल t के कौन से फ़ंक्शन हैं जिन्हें हमने नोटेशन में छोड़ दिया है) f में परिवर्तित होते हैं और किस अर्थ में? क्या इस या उस प्रकार के अभिसरण को सुनिश्चित करने के लिए कोई शर्तें हैं?

जारी रखने से पहले, डिरिचलेट कर्नेल को पेश किया जाना चाहिए। के लिए सूत्र ले रहे हैं $$\widehat{f}(n)$$, इसे सूत्र में सम्मिलित कर रहा हूँ $$S_N$$ और कुछ बीजगणित करने से वह मिलता है


 * $$S_N(f)=f * D_N$$

जहां ∗ आवधिक कनवल्शन के लिए है और $$D_N$$ डिरिचलेट कर्नेल है, जिसका स्पष्ट सूत्र है,


 * $$D_n(t)=\frac{\sin((n+\frac{1}{2})t)}{\sin(t/2)}.$$

डिरिचलेट कर्नेल सकारात्मक कर्नेल नहीं है, और वास्तव में, इसका मानदंड भिन्न होता है


 * $$\int |D_n(t)|\,\mathrm{d}t \to \infty $$

एक तथ्य जो चर्चा में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। डी का मानदंडn एल में1(T) D के साथ कनवल्शन ऑपरेटर के मानदंड से मेल खाता हैn, आवधिक निरंतर कार्यों के स्थान C('T') पर कार्य करना, या रैखिक कार्यात्मक f → (S) के मानदंड के साथ कार्य करनाnf)(0) C('T') पर। इसलिए, C('T') पर रैखिक कार्यात्मकताओं का यह परिवार असीमित है, जब n → ∞।

फूरियर गुणांक का परिमाण
अनुप्रयोगों में, फूरियर गुणांक का आकार जानना अक्सर उपयोगी होता है।

अगर $$f$$ बिल्कुल सतत कार्य है,
 * $$\left|\widehat f(n)\right|\le {K \over |n|}$$

के लिए $$K$$ स्थिरांक जो केवल निर्भर करता है $$f$$.

अगर $$f$$ परिबद्ध भिन्नता फलन है,
 * $$\left|\widehat f(n)\right|\le {{\rm var}(f)\over 2\pi|n|}.$$

अगर $$f\in C^p$$
 * $$\left|\widehat{f}(n)\right|\le {\| f^{(p)}\|_{L_1}\over |n|^p}.$$

अगर $$f\in C^p$$ और $$f^{(p)}$$ निरंतरता का मापांक है $$\omega_p$$,
 * $$\left|\widehat{f}(n)\right|\le {\omega(2\pi/n)\over |n|^p} $$

और इसलिए, यदि $$f$$ α-होल्डर वर्ग में है
 * $$\left|\widehat{f}(n)\right|\le {K\over |n|^\alpha}.$$

बिंदुवार अभिसरण
किसी फ़ंक्शन की फूरियर श्रृंखला को किसी दिए गए बिंदु x पर अभिसरण करने के लिए कई ज्ञात पर्याप्त स्थितियाँ हैं, उदाहरण के लिए यदि फ़ंक्शन x पर अवकलनीय फ़ंक्शन है। यहां तक ​​कि जंप असंततता भी कोई समस्या पैदा नहीं करती है: यदि फ़ंक्शन में x पर बाएँ और दाएँ डेरिवेटिव हैं, तो फूरियर श्रृंखला बाएँ और दाएँ सीमा के औसत में परिवर्तित हो जाती है (लेकिन गिब्स घटना देखें)।

'डिरिचलेट-डिनी मानदंड' बताता है कि: यदि ˒ 2 है$\pi$-आवधिक, स्थानीय रूप से एकीकृत और संतुष्ट करता है


 * $$\int_0^{\pi} \left| \frac{f(x_0 + t) + f(x_0 - t)}2 - \ell \right| \frac{\mathrm{d}t }{t} < \infty,$$

फिर (एसnच)(x0) ℓ में परिवर्तित हो जाता है। इसका तात्पर्य यह है कि किसी भी होल्डर कंडीशन|होल्डर क्लास α> 0 के किसी भी फ़ंक्शन f के लिए, फूरियर श्रृंखला हर जगह f(x) में परिवर्तित हो जाती है।

यह भी ज्ञात है कि सीमित भिन्नता के किसी भी आवधिक कार्य के लिए, फूरियर श्रृंखला हर जगह अभिसरण करती है। दीनी परीक्षण भी देखें। सामान्य तौर पर, किसी आवधिक फलन f के बिंदुवार अभिसरण के लिए सबसे सामान्य मानदंड इस प्रकार हैं:


 * यदि एफ धारक की शर्त को पूरा करता है, तो इसकी फूरियर श्रृंखला समान रूप से अभिसरण करती है।
 * यदि f परिबद्ध भिन्नता का है, तो इसकी फूरियर श्रृंखला हर जगह अभिसरित होती है।
 * यदि f सतत है और इसके फूरियर गुणांक बिल्कुल योग योग्य हैं, तो फूरियर श्रृंखला समान रूप से अभिसरण करती है।

ऐसे निरंतर कार्य मौजूद हैं जिनकी फूरियर श्रृंखला बिंदुवार रूप से परिवर्तित होती है लेकिन समान रूप से नहीं; एंटोनी ज़िगमंड, त्रिकोणमिति श्रृंखला, खंड देखें। 1, अध्याय 8, प्रमेय 1.13, पृ. 300.

हालाँकि, सतत फलन की फूरियर श्रृंखला को बिंदुवार अभिसरित करने की आवश्यकता नहीं है। शायद सबसे आसान प्रमाण एल में डिरिक्लेट के कर्नेल की गैर-सीमा का उपयोग करता है1(टी) और बानाच-स्टाइनहॉस एकसमान सीमा सिद्धांत। बेयर श्रेणी प्रमेय का आह्वान करने वाले अस्तित्व संबंधी तर्कों के लिए विशिष्ट, यह प्रमाण गैर-रचनात्मक है। यह दर्शाता है कि निरंतर कार्यों का परिवार जिसकी फूरियर श्रृंखला किसी दिए गए x पर अभिसरण करती है, सर्कल पर निरंतर कार्यों के बानाच स्थान में बाहर जगह का है।

तो कुछ अर्थों में बिंदुवार अभिसरण असामान्य है, और अधिकांश निरंतर कार्यों के लिए फूरियर श्रृंखला किसी दिए गए बिंदु पर अभिसरण नहीं करती है। हालाँकि कार्लसन के प्रमेय से पता चलता है कि किसी दिए गए निरंतर कार्य के लिए फूरियर श्रृंखला लगभग हर जगह एकत्रित होती है।

एक सतत फ़ंक्शन का स्पष्ट उदाहरण देना भी संभव है जिसकी फूरियर श्रृंखला 0 पर विचलन करती है: उदाहरण के लिए, सम और 2π-आवधिक फ़ंक्शन f को [0,π] में सभी x के लिए परिभाषित किया गया है।
 * $$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \sin\left[ \left( 2^{n^3} +1 \right) \frac{x}{2}\right].$$

समान अभिसरण
कल्पना करना $$f\in C^p$$, और $$f^{(p)}$$ निरंतरता का मापांक है $$\omega$$; तब फूरियर श्रृंखला के आंशिक योग गति के साथ फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाते हैं
 * $$|f(x)-(S_Nf)(x)|\le K {\ln N \over N^p}\omega(2\pi/N)$$

एक स्थिरांक के लिए $$K$$ उस पर निर्भर नहीं है $$f $$, और न $$p$$, और न $$N$$.

यह प्रमेय, जिसे सबसे पहले डी जैक्सन ने सिद्ध किया था, उदाहरण के लिए, बताता है कि यदि $$f$$ को संतुष्ट करता है $$\alpha$$-धारक की स्थिति, फिर


 * $$|f(x)-(S_Nf)(x)|\le K {\ln N\over N^\alpha}.$$

अगर $$f$$ है $$2\pi$$ आवधिक और बिल्कुल निरंतर $$[0,2\pi]$$, फिर फूरियर श्रृंखला $$f$$ समान रूप से अभिसरण होता है, लेकिन जरूरी नहीं कि पूरी तरह से $$f$$.

पूर्ण अभिसरण
एक फ़ंक्शन में निरपेक्ष अभिसरण फूरियर श्रृंखला होती है यदि


 * $$\|f\|_A:=\sum_{n=-\infty}^\infty |\widehat{f}(n)|<\infty.$$

जाहिर है, अगर यही स्थिति रही तो $$(S_N f)(t)$$ प्रत्येक टी के लिए बिल्कुल अभिसरण होता है और दूसरी ओर, यह पर्याप्त है $$(S_N f)(t)$$ यहां तक ​​कि टी के लिए भी पूरी तरह से अभिसरण होता है, तो यह शर्त रखती है. दूसरे शब्दों में, पूर्ण अभिसरण के लिए कोई मुद्दा नहीं है कि योग कहाँ पूर्ण रूप से अभिसरण करता है - यदि यह बिंदु पर पूर्ण रूप से अभिसरण करता है तो यह हर जगह ऐसा करता है।

पूरी तरह से अभिसरण फूरियर श्रृंखला के साथ सभी कार्यों का परिवार बानाच बीजगणित है (बीजगणित में गुणन का संचालन कार्यों का सरल गुणन है)। नॉर्बर्ट वीनर के नाम पर इसे वीनर बीजगणित कहा जाता है, जिन्होंने साबित किया कि यदि फू पूरी तरह से फूरियर में परिवर्तित हो गया है श्रृंखला और कभी भी शून्य नहीं होती है, तो 1/˒ में पूर्णतया अभिसरण फूरियर श्रृंखला होती है। वीनर के प्रमेय का मूल प्रमाण कठिन था; बानाच बीजगणित के सिद्धांत का उपयोग करके सरलीकरण इज़राइल गेलफैंड द्वारा दिया गया था। अंततः, 1975 में डोनाल्ड जे. न्यूमैन द्वारा संक्षिप्त प्रारंभिक प्रमाण दिया गया।

अगर $$f$$ α> 1/2 के लिए α-धारक वर्ग से संबंधित है


 * $$\|f\|_A\le c_\alpha \|f\|_{{\rm Lip}_\alpha},\qquad

\|f\|_K:=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |n| |\widehat{f}(n)|^2\le c_\alpha \|f\|^2_{{\rm Lip}_\alpha}$$ के लिए $$\|f\|_{{\rm Lip}_\alpha}$$ में स्थिरांक धारक की स्थिति, $$c_\alpha$$ स्थिरांक केवल पर निर्भर है $$\alpha$$; $$\|f\|_K$$ केरिन बीजगणित का आदर्श है। ध्यान दें कि यहां 1/2 आवश्यक है - 1/2-होल्डर फ़ंक्शन हैं, जो वीनर बीजगणित से संबंधित नहीं हैं। इसके अलावा, यह प्रमेय α-होल्डर फ़ंक्शन के फूरियर गुणांक के आकार पर सबसे अच्छी ज्ञात सीमा में सुधार नहीं कर सकता है - जो कि केवल है $$O(1/n^\alpha)$$ और फिर सारांशित नहीं किया जा सकता।

यदि ƒ सीमित भिन्नता का है और कुछ α > 0 के लिए α-धारक वर्ग से संबंधित है, तो यह वीनर बीजगणित से संबंधित है।

मानक अभिसरण
सबसे सरल मामला एलपी स्पेस|एल का है2, जो सामान्य हिल्बर्ट अंतरिक्ष परिणामों का प्रत्यक्ष प्रतिलेखन है। रिज़-फिशर प्रमेय के अनुसार, यदि ˒ वर्ग-अभिन्न है तो


 * $$\lim_{N\rightarrow\infty}\int_0^{2\pi}\left|f(x)-S_N(f) (x)

\right|^2\,\mathrm{d}x=0$$ अर्थात।, $$S_N f$$ L के मानदण्ड में ƒ में परिवर्तित हो जाता है2. यह देखना आसान है कि इसका उलटा भी सत्य है: यदि उपरोक्त सीमा शून्य है, तो L में होना चाहिए2. तो यह यदि और केवल यदि शर्त है।

यदि उपरोक्त घातांक में 2 को कुछ p से बदल दिया जाए, तो प्रश्न अधिक कठिन हो जाता है। इससे पता चलता है कि अभिसरण अभी भी कायम है यदि 1 <पी<∞। दूसरे शब्दों में, Lp space|L में ƒ के लिएप, $$S_N(f)$$ L में ƒ में परिवर्तित हो जाता हैपीमानदंड. मूल प्रमाण होलोमोर्फिक फ़ंक्शन और हार्डी स्पेस के गुणों का उपयोग करता है, और सॉलोमन बोचनर के कारण अन्य प्रमाण, रिज़्ज़-थोरिन प्रमेय | रिज़्ज़-थोरिन इंटरपोलेशन प्रमेय पर निर्भर करता है। p = 1 और अनंत के लिए, परिणाम सत्य नहीं है। एल में विचलन के उदाहरण का निर्माण1पहली बार एंड्री कोलमोगोरोव द्वारा किया गया था (नीचे देखें)। अनंत के लिए, परिणाम एकसमान सीमा सिद्धांत का परिणाम है।

यदि आंशिक योग संचालिका एसNएक उपयुक्त योगनीयता कर्नेल द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है (उदाहरण के लिए फेजर कर्नेल के साथ कनवल्शन द्वारा प्राप्त फेजर योग), बुनियादी कार्यात्मक विश्लेषणात्मक तकनीकों को यह दिखाने के लिए लागू किया जा सकता है कि मानक अभिसरण 1 ≤ पी <∞ के लिए है।

लगभग हर जगह अभिसरण
यह समस्या कि क्या फूरियर श्रृंखला के किसी भी निरंतर कार्य का अभिसरण लगभग हर जगह होता है, 1920 के दशक में निकोलाई लुसिन द्वारा प्रस्तुत किया गया था। इसे 1966 में लेनार्ट कार्लसन द्वारा सकारात्मक रूप से हल किया गया था। उनका परिणाम, जिसे अब कार्लसन के प्रमेय के रूप में जाना जाता है, एल में किसी भी फ़ंक्शन के फूरियर विस्तार को बताता है2लगभग हर जगह मिलती है। बाद में, रिचर्ड हंट (गणितज्ञ) ने इसे एल के रूप में सामान्यीकृत कियाpकिसी भी p> 1 के लिए।

इसके विपरीत, एंड्री कोलमोगोरोव ने, 19 वर्ष की आयु में छात्र के रूप में, अपने पहले वैज्ञानिक कार्य में, एल में फ़ंक्शन का उदाहरण बनाया1 जिसकी फूरियर श्रृंखला लगभग हर जगह अलग हो जाती है (बाद में हर जगह अलग होने के लिए इसमें सुधार हुआ)।

जीन-पिअर कहने और यित्ज़ाक काट्ज़नेल्सन (गणितज्ञ) ने साबित किया कि माप (गणित) शून्य के किसी भी दिए गए सेट ई के लिए, सतत फ़ंक्शन मौजूद है जैसे कि फूरियर श्रृंखला किसी भी बिंदु पर अभिसरण करने में विफल रहती है ई का.

सारांश
क्या अनुक्रम 0,1,0,1,0,1,... (ग्रांडी की श्रृंखला का आंशिक योग) ½ में परिवर्तित होता है? यह अभिसरण की धारणा का बहुत अनुचित सामान्यीकरण नहीं लगता है। इसलिए हम कहते हैं कि कोई भी क्रम $$(a_n)_{n=1}^\infty$$ क्या सिजेरो का मतलब है| सिजेरो का योग कुछ a if से है


 * $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n s_k=a.$$

कहाँ से $$s_k$$ हम निरूपित करते हैं $k$वां आंशिक योग:


 * $$s_k = a_1 + \cdots + a_k= \sum_{n=1}^k a_n$$

यह देखना कठिन नहीं है कि यदि कोई अनुक्रम किसी a में परिवर्तित हो जाता है तो यह भी Cesàro माध्य है|Cesàro भी इसका योग है।

फूरियर श्रृंखला की संक्षेपणता पर चर्चा करने के लिए, हमें प्रतिस्थापित करना होगा $$S_N$$ उचित विचार के साथ. इसलिए हम परिभाषित करते हैं


 * $$K_N(f;t)=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} S_n(f;t), \quad N \ge 1,$$

और पूछें: करता है $$K_N(f)$$ एफ में अभिसरण? $$K_N $$ अब भी नहीं डिरिचलेट के कर्नेल के साथ जुड़ा हुआ है, लेकिन फेजर के कर्नेल के साथ, अर्थात्


 * $$K_N(f)=f*F_N\,$$

कहाँ $$F_N$$ फेजर की गिरी भी,


 * $$F_N=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} D_n.$$

मुख्य अंतर यह है कि फेजर का कर्नेल सकारात्मक कर्नेल है। फेजर के प्रमेय में कहा गया है कि आंशिक योगों का उपरोक्त क्रम समान रूप से ƒ में परिवर्तित होता है। इसका तात्पर्य बेहतर अभिसरण गुणों से है


 * यदि ɪt पर निरंतर है तो ə की फूरियर श्रृंखला t से ə(t) पर योग योग्य है। यदि ƒ निरंतर है, तो इसकी फूरियर श्रृंखला समान रूप से योग योग्य है (अर्थात् $$K_N(f)$$ समान रूप से ƒ) में परिवर्तित हो जाता है।
 * किसी भी पूर्णांक के लिए, $$K_N(f)$$ में ˒ में परिवर्तित हो जाता है $$L^1$$ आदर्श.
 * कोई गिब्स घटना नहीं है.

सारांश के बारे में परिणाम नियमित अभिसरण के बारे में भी परिणाम दे सकते हैं। उदाहरण के लिए, हम सीखते हैं कि यदि ɪt पर निरंतर है, तो ə की फूरियर श्रृंखला ə(t) से भिन्न मान में परिवर्तित नहीं हो सकती है। यह या तो ƒ(t) में परिवर्तित हो सकता है या अलग हो सकता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि, यदि $$S_N(f;t)$$ कुछ मान x में अभिसरण होता है, यह भी इसके लिए योग योग्य है, इसलिए ऊपर दिए गए पहले योग गुण से, x = ƒ(t)।

वृद्धि का क्रम
डिरिक्लेट के कर्नेल की वृद्धि का क्रम लघुगणकीय है, अर्थात।


 * $$\int |D_N(t)|\,\mathrm{d}t = \frac{4}{\pi^2}\log N+O(1).$$

नोटेशन O(1) के लिए बिग ओ अंकन देखें। वास्तविक मूल्य $$4/\pi^2$$ गणना करना कठिन है (ज़िगमंड 8.3 देखें) और लगभग कोई उपयोग नहीं है। तथ्य यह है कि हमारे पास कुछ स्थिरांक c है


 * $$\int |D_N(t)|\,\mathrm{d}t > c\log N+O(1)$$

जब कोई डिरिचलेट के कर्नेल के ग्राफ़ की जांच करता है तो यह बिल्कुल स्पष्ट है। एन-वें शिखर पर अभिन्न अंग सी/एन से बड़ा है और इसलिए हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) के लिए अनुमान लघुगणक अनुमान देता है।

इस अनुमान में पिछले कुछ परिणामों के मात्रात्मक संस्करण शामिल हैं। किसी भी सतत फलन f और किसी t के लिए


 * $$\lim_{N\to\infty} \frac{S_N(f;t)}{\log N}=0.$$

हालाँकि, लॉग से छोटे विकास के किसी भी क्रम ω(n) के लिए, यह अब मान्य नहीं है और निरंतर फ़ंक्शन f ढूंढना संभव है जैसे कि कुछ t के लिए,


 * $$\varlimsup_{N\to\infty} \frac{S_N(f;t)}{\omega(N)}=\infty.$$

सर्वत्र विचलन की समतुल्य समस्या खुली हुई है। सर्गेई कोन्यागिन एकीकृत फ़ंक्शन का निर्माण करने में कामयाब रहे जैसे कि हर किसी के पास होता है


 * $$\varlimsup_{N\to\infty} \frac{S_N(f;t)}{\sqrt{\log N}}=\infty.$$

यह ज्ञात नहीं है कि यह उदाहरण सर्वोत्तम संभव है या नहीं। ज्ञात अन्य दिशा से एकमात्र बाउंड लॉग एन है।

एकाधिक आयाम
एक से अधिक आयामों में समतुल्य समस्या की जांच करने पर, उपयोग किए जाने वाले योग के सटीक क्रम को निर्दिष्ट करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, दो आयामों में, कोई परिभाषित कर सकता है


 * $$S_N(f;t_1,t_2)=\sum_{|n_1|\leq N,|n_2|\leq N}\widehat{f}(n_1,n_2)e^{i(n_1 t_1+n_2 t_2)}$$

जिन्हें वर्ग आंशिक योग के रूप में जाना जाता है। उपरोक्त योग को से प्रतिस्थापित करना


 * $$\sum_{n_1^2+n_2^2\leq N^2}$$

वृत्ताकार आंशिक योगों की ओर ले जाएँ। इन दोनों परिभाषाओं के बीच अंतर काफी उल्लेखनीय है। उदाहरण के लिए, वर्ग आंशिक योगों के लिए संगत डिरिचलेट कर्नेल का मान इस क्रम का है $$\log^2 N$$ जबकि परिपत्र आंशिक रकम के लिए यह के क्रम का है $$\sqrt{N}$$.

एक आयाम के लिए सही कई परिणाम कई आयामों में गलत या अज्ञात हैं। विशेष रूप से, कार्लसन के प्रमेय का समतुल्य वृत्ताकार आंशिक योगों के लिए अभी भी खुला है। लगभग हर जगह कई आयामों में वर्ग आंशिक योगों (साथ ही अधिक सामान्य बहुभुज आंशिक योगों) का अभिसरण 1970 के आसपास चार्ल्स फ़ेफ़रमैन द्वारा स्थापित किया गया था।

पाठ्यपुस्तकें

 * Dunham Jackson The theory of Approximation, AMS Colloquium Publication Volume XI, New York 1930.
 * Nina K. Bary, A treatise on trigonometric series, Vols. I, II. Authorized translation by Margaret F. Mullins. A Pergamon Press Book. The Macmillan Co., New York 1964.
 * Antoni Zygmund, Trigonometric series, Vol. I, II. Third edition. With a foreword by Robert A. Fefferman. Cambridge Mathematical Library. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN 0-521-89053-5
 * Yitzhak Katznelson, An introduction to harmonic analysis, Third edition. Cambridge University Press, Cambridge, 2004. ISBN 0-521-54359-2
 * Karl R. Stromberg, Introduction to classical analysis, Wadsworth International Group, 1981. ISBN 0-534-98012-0
 * The Katznelson book is the one using the most modern terminology and style of the three. The original publishing dates are: Zygmund in 1935, Bari in 1961 and Katznelson in 1968. Zygmund's book was greatly expanded in its second publishing in 1959, however.

पाठ में संदर्भित लेख

 * पॉल डू बोइस-रेमंड, उएबर डाई फ़ोरियर्सचेन रेहेन, नाचर। कोन. जीस. विस. गोटिंगेन '21' (1873), 571-582।
 * यह पहला प्रमाण है कि किसी सतत फलन की फूरियर श्रृंखला भिन्न हो सकती है। जर्मन में


 * एंड्री निकोलाइविच कोलमोगोरोव, उने सेरी डे फूरियर-लेबेस्ग डाइवर्जेंट प्रीस्क पार्टआउट, गणित के मूल सिद्धांत 4 (1923), 324-328।
 * एंड्री कोलमोगोरोव, उने सेरी डे फूरियर-लेबेस्ग डाइवर्जेंट पार्टआउट, सी. आर. एकेड। विज्ञान. पेरिस '183' (1926), 1327-1328
 * पहला पूर्णांक फ़ंक्शन का निर्माण है जिसकी फूरियर श्रृंखला लगभग हर जगह भिन्न होती है। दूसरा हर जगह विचलन को मजबूत करना है। फ्रेंच में।


 * लेनार्ट कार्लसन, फूरियर श्रृंखला के आंशिक योगों के अभिसरण और विकास पर, एक्टा मैथ। '116' (1966) 135-157.
 * रिचर्ड हंट (गणितज्ञ)|रिचर्ड ए. हंट, फूरियर श्रृंखला के अभिसरण पर, ऑर्थोगोनल विस्तार और उनके सतत एनालॉग्स (प्रो. कॉन्फ., एडवर्ड्सविले, इल., 1967), 235-255। दक्षिणी इलिनोइस विश्वविद्यालय। प्रेस, कार्बोंडेल, आईएल।
 * चार्ल्स लुई फ़ेफ़रमैन, फूरियर श्रृंखला का बिंदुवार अभिसरण, एन। गणित का. '98' (1973), 551-571।
 * माइकल लेसी (गणितज्ञ) और क्रिस्टोफर थीले, कार्लसन ऑपरेटर की बाध्यता का प्रमाण, गणित। रेस. लेट. '7:4' (2000), 361-370।
 * ओले जी. जोर्सबो और लीफ मेजल्ब्रो, फूरियर श्रृंखला पर कार्लसन-हंट प्रमेय। गणित में व्याख्यान नोट्स 911, स्प्रिंगर-वेरलाग, बर्लिन-न्यूयॉर्क, 1982। ISBN 3-540-11198-0
 * यह कार्लसन का मूल पेपर है, जहां वह साबित करता है कि किसी भी निरंतर फ़ंक्शन का फूरियर विस्तार लगभग हर जगह परिवर्तित होता है; हंट का पेपर जहां वह इसका सामान्यीकरण करता है $$L^p$$ रिक्त स्थान; प्रमाण को सरल बनाने के दो प्रयास; और किताब जो इसका स्वयं निहित विवरण देती है।


 * डनहम जैक्सन, फूरियर सीरीज़ और ऑर्थोगोनल पॉलीनोमिअल्स, 1963
 * डी. जे. न्यूमैन, वीनर के 1/एफ प्रमेय का सरल प्रमाण, प्रोक। आमेर. गणित। समाज. '48' (1975), 264-265।
 * जीन-पियरे कहाने और यित्ज़ाक काट्ज़नेल्सन, सुर लेस एन्सेम्बल्स डे डाइवर्जेंस डेस सीरीज़ ट्राइगोनोमेट्रिक्स, स्टूडियो मैथ। '26' (1966), 305-306
 * इस पेपर में लेखक बताते हैं कि शून्य माप के किसी भी सेट के लिए सर्कल पर निरंतर फ़ंक्शन मौजूद होता है जिसकी फूरियर श्रृंखला उस सेट पर भिन्न होती है। फ्रेंच में।


 * सर्गेई व्लादिमीरोविच कोन्यागिन, हर जगह त्रिकोणमितीय फूरियर श्रृंखला के विचलन पर, सी. आर. एकेड। विज्ञान. पेरिस '329' (1999), 693-697।
 * जीन-पियरे कहाने, कार्यों की कुछ यादृच्छिक श्रृंखला, दूसरा संस्करण। कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, 1993। ISBN 0-521-45602-9
 * कोन्यागिन पेपर यह साबित करता है $$\sqrt{\log n}$$ विचलन परिणाम ऊपर चर्चा की गई। सरल प्रमाण जो केवल लॉग लॉग एन देता है, काहेन की पुस्तक में पाया जा सकता है।

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