तापीय चालकता और प्रतिरोधकता

किसी पदार्थ की तापीय चालकता उसकी ताप संचालन क्षमता का माप है। इसे सामान्यतः द्वारा दर्शाया जाता है $$k$$, $$\lambda$$, या $$\kappa$$ और W·m में मापा जाता है−1·के−1.

उच्च तापीय चालकता वाली सामग्रियों की तुलना में कम तापीय चालकता वाली सामग्रियों में ऊष्मा स्थानांतरण कम दर पर होता है। उदाहरण के लिए, धातुओं में आमतौर पर उच्च तापीय चालकता होती है और वे गर्मी का संचालन करने में बहुत कुशल होती हैं, जबकि खनिज ऊन या स्टायरोफोम जैसी इन्सुलेशन सामग्री के लिए विपरीत सच है। तदनुसार, उच्च तापीय चालकता वाली सामग्रियों का व्यापक रूप से ताप सिंक  अनुप्रयोगों में उपयोग किया जाता है, और कम तापीय चालकता वाली सामग्रियों का उपयोग थर्मल इन्सुलेशन के रूप में किया जाता है। तापीय चालकता के व्युत्क्रम को तापीय प्रतिरोधकता कहा जाता है।

तापीय चालकता के लिए परिभाषित समीकरण है $$ \mathbf{q} = - k \nabla T$$, कहाँ $$\mathbf{q}$$ ऊष्मा का प्रवाह है, $$ k $$ तापीय चालकता है, और $$\nabla T $$ तापमान प्रवणता है. इसे ऊष्मा चालन#फूरियर नियम|ऊष्मा चालन के लिए फूरियर नियम के रूप में जाना जाता है। यद्यपि आमतौर पर स्केलर (भौतिकी) के रूप में व्यक्त किया जाता है, तापीय चालकता का सबसे सामान्य रूप एक दूसरे दर्जे का टेन्सर  है। हालाँकि, तन्य विवरण केवल उन सामग्रियों में आवश्यक हो जाता है जो एनिस्ट्रोपिक हैं।

सरल परिभाषा
विभिन्न तापमानों वाले दो वातावरणों के बीच रखे गए एक ठोस पदार्थ पर विचार करें। होने देना $$T_1$$ तापमान हो $$x=0$$ और $$T_2$$ तापमान हो $$x=L$$, और मान लीजिए $$T_2 > T_1$$. इस परिदृश्य का एक उदाहरण ठंडे सर्दियों के दिन में एक इमारत है: इस मामले में ठोस सामग्री इमारत की दीवार है, जो ठंडे बाहरी वातावरण को गर्म इनडोर वातावरण से अलग करती है।

ऊष्मागतिकी के दूसरे नियम के अनुसार, ऊष्मा गर्म वातावरण से ठंडे वातावरण की ओर प्रवाहित होगी क्योंकि तापमान का अंतर प्रसार द्वारा बराबर हो जाता है। इसे ऊष्मा प्रवाह के संदर्भ में परिमाणित किया जाता है $$q$$, जो प्रति इकाई क्षेत्र दर देता है, जिस पर गर्मी एक निश्चित दिशा में बहती है (इस मामले में शून्य से x-दिशा)। कई सामग्रियों में, $$q$$ तापमान अंतर के सीधे आनुपातिक और पृथक्करण दूरी के व्युत्क्रमानुपाती देखा गया है $$L$$:



q = -k \cdot \frac{T_2 - T_1}{L}. $$ आनुपातिकता का स्थिरांक $$k$$ तापीय चालकता है; यह सामग्री का एक भौतिक गुण है। वर्तमान परिदृश्य में, चूंकि $$T_2 > T_1$$ ताप ऋणात्मक x-दिशा में प्रवाहित होता है $$q$$ नकारात्मक है, जिसका अर्थ यह है $$k>0$$. सामान्य रूप में, $$k$$ हमेशा सकारात्मक होने के लिए परिभाषित किया गया है। की वही परिभाषा $$k$$ इसे गैसों और तरल पदार्थों तक भी बढ़ाया जा सकता है, बशर्ते ऊर्जा परिवहन के अन्य तरीके, जैसे संवहन और विकिरण हस्तांतरण, को समाप्त कर दिया जाए या उसका हिसाब दिया जाए।

पूर्ववर्ती व्युत्पत्ति मानती है कि $$k$$ तापमान में भिन्नता होने के कारण महत्वपूर्ण परिवर्तन नहीं होता है $$T_1$$ को $$T_2$$. ऐसे मामले जिनमें तापमान में भिन्नता होती है $$k$$ गैर-नगण्य है की अधिक सामान्य परिभाषा का उपयोग करके संबोधित किया जाना चाहिए $$k$$ नीचे वर्णित।

सामान्य परिभाषा
थर्मल चालन को तापमान प्रवणता में यादृच्छिक आणविक गति के कारण ऊर्जा के परिवहन के रूप में परिभाषित किया गया है। इसे संवहन और आणविक कार्य द्वारा ऊर्जा परिवहन से अलग किया जाता है क्योंकि इसमें स्थूल प्रवाह या कार्य-प्रदर्शन करने वाले आंतरिक तनाव शामिल नहीं होते हैं।

तापीय चालन के कारण ऊर्जा प्रवाह को ऊष्मा के रूप में वर्गीकृत किया जाता है और वेक्टर द्वारा इसकी मात्रा निर्धारित की जाती है $$\mathbf{q}(\mathbf{r}, t)$$, जो स्थिति पर ऊष्मा प्रवाह देता है $$\mathbf{r}$$ और समय $$t$$. ऊष्मागतिकी के दूसरे नियम के अनुसार ऊष्मा उच्च से निम्न तापमान की ओर प्रवाहित होती है। इसलिए, यह अनुमान लगाना उचित है $$\mathbf{q}(\mathbf{r}, t)$$ तापमान क्षेत्र की ढाल के समानुपाती होता है $$T(\mathbf{r}, t)$$, अर्थात।



\mathbf{q}(\mathbf{r}, t) = -k \nabla T(\mathbf{r}, t), $$ जहां आनुपातिकता का स्थिरांक, $$k > 0$$, तापीय चालकता है। इसे फूरियर का ऊष्मा चालन नियम कहा जाता है। अपने नाम के बावजूद, यह कोई कानून नहीं है बल्कि स्वतंत्र भौतिक मात्राओं के संदर्भ में तापीय चालकता की परिभाषा है $$\mathbf{q}(\mathbf{r}, t)$$ और $$T(\mathbf{r}, t)$$. वैसे तो इसकी उपयोगिता निर्धारण क्षमता पर निर्भर करती है $$k$$ दी गई शर्तों के तहत किसी दी गई सामग्री के लिए। अटल $$k$$ आमतौर पर स्वयं पर निर्भर करता है $$T(\mathbf{r}, t)$$ और इस प्रकार अंतरिक्ष और समय पर अंतर्निहित रूप से। यदि सामग्री अमानवीय है या समय के साथ बदल रही है तो एक स्पष्ट स्थान और समय निर्भरता भी हो सकती है। कुछ ठोस पदार्थों में, तापीय चालन अनिसोट्रोपिक होता है, अर्थात ताप प्रवाह हमेशा तापमान प्रवणता के समानांतर नहीं होता है। इस तरह के व्यवहार को ध्यान में रखने के लिए, फूरियर के नियम के एक तन्य रूप का उपयोग किया जाना चाहिए:



\mathbf{q}(\mathbf{r}, t) = -\boldsymbol{\kappa} \cdot \nabla T(\mathbf{r}, t) $$ कहाँ $$\boldsymbol{\kappa}$$ सममित, दूसरे दर्जे का टेंसर है जिसे तापीय चालकता टेंसर कहा जाता है।

उपरोक्त विवरण में एक अंतर्निहित धारणा स्थानीय थर्मोडायनामिक संतुलन की उपस्थिति है, जो किसी को तापमान क्षेत्र को परिभाषित करने की अनुमति देती है $$T(\mathbf{r}, t)$$. इस धारणा का उल्लंघन उन प्रणालियों में किया जा सकता है जो स्थानीय संतुलन प्राप्त करने में असमर्थ हैं, जैसा कि मजबूत गैर-संतुलन ड्राइविंग या लंबी दूरी की बातचीत की उपस्थिति में हो सकता है।

अन्य मात्राएँ
इंजीनियरिंग अभ्यास में, उन मात्राओं के संदर्भ में काम करना आम बात है जो तापीय चालकता से व्युत्पन्न होती हैं और अंतर्निहित रूप से घटक आयामों जैसे डिज़ाइन-विशिष्ट विशेषताओं को ध्यान में रखती हैं।

उदाहरण के लिए, तापीय चालकता को ऊष्मा की वह मात्रा के रूप में परिभाषित किया जाता है जो इकाई समय में विशेष क्षेत्र और मोटाई की प्लेट से होकर गुजरती है, जब इसके विपरीत सतहों के तापमान में एक केल्विन का अंतर होता है। तापीय चालकता की एक प्लेट के लिए $$k$$, क्षेत्र $$A$$ और मोटाई $$L$$, संचालन है $$kA/L$$, W⋅K में मापा जाता है−1. तापीय चालकता और चालकता के बीच का संबंध विद्युत चालकता और विद्युत चालकता के बीच के संबंध के अनुरूप है।

तापीय प्रतिरोध तापीय चालकता का व्युत्क्रम है। यह बहुघटक डिज़ाइन में उपयोग करने के लिए एक सुविधाजनक उपाय है क्योंकि श्रृंखला और समानांतर सर्किट में होने पर थर्मल प्रतिरोध योगात्मक होते हैं।

ऊष्मा स्थानांतरण गुणांक के रूप में जाना जाने वाला एक माप भी है: ऊष्मा की वह मात्रा जो किसी विशेष मोटाई की प्लेट के एक इकाई क्षेत्र से प्रति इकाई समय में गुजरती है जब इसके विपरीत सतहों के तापमान में एक केल्विन का अंतर होता है। एएसटीएम सी168-15 में, इस क्षेत्र-स्वतंत्र मात्रा को तापीय चालकता के रूप में जाना जाता है। ऊष्मा स्थानांतरण गुणांक का व्युत्क्रम थर्मल इनसोलेंस है। संक्षेप में, तापीय चालकता की एक प्लेट के लिए $$k$$, क्षेत्र $$A$$ और मोटाई $$L$$,


 * तापीय चालकता = $$kA/L$$, W⋅K में मापा जाता है−1.
 * थर्मल प्रतिरोध = $$L/(kA)$$, K⋅W में मापा जाता है−1.
 * गर्मी स्थानांतरण गुणांक = $$k/L$$, W⋅K में मापा जाता है−1⋅m−2.
 * थर्मल इंसुलेशन = $$L/k$$, K⋅m में मापा जाता है2⋅W−1.

ऊष्मा स्थानांतरण गुणांक को थर्मल प्रवेश के रूप में भी जाना जाता है, इस अर्थ में कि सामग्री को गर्मी को प्रवाह में स्वीकार करने के रूप में देखा जा सकता है। एक अतिरिक्त शब्द, तापीय संप्रेषण, संवहन और थर्मल विकिरण के कारण गर्मी हस्तांतरण के साथ-साथ एक संरचना के थर्मल संचालन की मात्रा निर्धारित करता है। इसे तापीय चालकता के समान इकाइयों में मापा जाता है और कभी-कभी इसे समग्र तापीय चालकता के रूप में भी जाना जाता है। यू-मूल्य शब्द का भी प्रयोग किया जाता है।

अंत में, तापीय प्रसारशीलता $$\alpha$$ तापीय चालकता को घनत्व और विशिष्ट ऊष्मा के साथ जोड़ता है:


 * $$\alpha = \frac{ k }{ \rho c_{p} }$$.

इस प्रकार, यह किसी सामग्री की थर्मल जड़ता को मापता है, यानी सीमा पर लागू ताप स्रोतों का उपयोग करके किसी सामग्री को किसी दिए गए तापमान पर गर्म करने में सापेक्ष कठिनाई।

इकाइयाँ
इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली (SI) में, तापीय चालकता को वाट प्रति मीटर-केल्विन (वाट/(मीटर⋅केल्विन)) में मापा जाता है। कुछ कागजात वाट प्रति सेंटीमीटर-केल्विन (W/(cm⋅K)) में रिपोर्ट करते हैं।

शाही इकाइयों में, तापीय चालकता को ब्रिटिश थर्मल यूनिट/(घंटा⋅फुट (यूनिट)⋅फ़ारेनहाइट|°F) में मापा जाता है। तापीय चालकता का आयामी विश्लेषण एम है1एल1टी−3थ−1, आयाम द्रव्यमान (एम), लंबाई (एल), समय (टी), और तापमान (Θ) के संदर्भ में व्यक्त किया गया।

अन्य इकाइयाँ जो तापीय चालकता से निकटता से संबंधित हैं, निर्माण और कपड़ा उद्योगों में आम उपयोग में हैं। निर्माण उद्योग आर-मूल्य (इन्सुलेशन) |आर-वैल्यू (प्रतिरोध) और आर-वैल्यू (इंसुलेशन)#यू-फैक्टर/यू-वैल्यू|यू-वैल्यू (संचारण या संचालन) जैसे उपायों का उपयोग करता है। यद्यपि इन्सुलेशन उत्पाद या असेंबली में उपयोग की जाने वाली सामग्री की तापीय चालकता से संबंधित, आर- और यू-मान प्रति इकाई क्षेत्र में मापा जाता है, और उत्पाद या असेंबली की निर्दिष्ट मोटाई पर निर्भर करता है। इसी तरह कपड़ा उद्योग में टॉग (इकाई) और कपड़ों के इन्सुलेशन # इकाइयां और माप सहित कई इकाइयां हैं जो निर्माण उद्योग में उपयोग किए जाने वाले आर-मूल्यों के अनुरूप एक तरह से सामग्री के थर्मल प्रतिरोध को व्यक्त करती हैं।

माप
तापीय चालकता को मापने के कई तरीके हैं; प्रत्येक सामग्री की सीमित श्रेणी के लिए उपयुक्त है। मोटे तौर पर, माप तकनीकों की दो श्रेणियां हैं: स्थिर-अवस्था और क्षणिक। स्थिर-अवस्था तकनीक एक स्थिर-अवस्था तापमान प्रोफ़ाइल तक पहुंचने के बाद सामग्री की स्थिति पर माप से तापीय चालकता का अनुमान लगाती है, जबकि क्षणिक तकनीक स्थिर स्थिति के दृष्टिकोण के दौरान एक प्रणाली की तात्कालिक स्थिति पर काम करती है। एक स्पष्ट समय घटक के अभाव में, स्थिर-अवस्था तकनीकों को जटिल सिग्नल विश्लेषण की आवश्यकता नहीं होती है (स्थिर स्थिति का तात्पर्य निरंतर संकेतों से है)। नुकसान यह है कि आमतौर पर एक अच्छी तरह से इंजीनियर किए गए प्रयोगात्मक सेटअप की आवश्यकता होती है, और स्थिर स्थिति तक पहुंचने के लिए आवश्यक समय तेजी से माप को रोकता है।

ठोस पदार्थों की तुलना में, तरल पदार्थों के तापीय गुणों का प्रयोगात्मक रूप से अध्ययन करना अधिक कठिन होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि थर्मल चालन के अलावा, संवहन और विकिरण ऊर्जा परिवहन आमतौर पर मौजूद होते हैं जब तक कि इन प्रक्रियाओं को सीमित करने के लिए उपाय नहीं किए जाते हैं। एक इन्सुलेटिंग सीमा परत के गठन से तापीय चालकता में स्पष्ट कमी भी हो सकती है।

प्रयोगात्मक मूल्य


सामान्य पदार्थों की तापीय चालकता परिमाण के कम से कम चार क्रमों तक फैली होती है। गैसों में आमतौर पर कम तापीय चालकता होती है, और शुद्ध धातुओं में उच्च तापीय चालकता होती है। उदाहरण के लिए, मानक परिस्थितियों में तांबे की तापीय चालकता समाप्त हो जाती है $κ$हवा से गुना.

सभी सामग्रियों में से, ग्रेफाइट और हीरे जैसे कार्बन के अपरूपों को आमतौर पर कमरे के तापमान पर उच्चतम तापीय चालकता का श्रेय दिया जाता है। कमरे के तापमान पर प्राकृतिक हीरे की तापीय चालकता तांबे जैसी अत्यधिक प्रवाहकीय धातु की तुलना में कई गुना अधिक होती है (हालांकि सटीक मूल्य हीरे के प्रकार के आधार पर भिन्न होता है)। चयनित पदार्थों की तापीय चालकता नीचे सारणीबद्ध है; एक विस्तारित सूची तापीय चालकता की सूची में पाई जा सकती है। ये मान केवल उदाहरणात्मक अनुमान हैं, क्योंकि वे सामग्री परिभाषाओं में माप अनिश्चितताओं या परिवर्तनशीलता के लिए जिम्मेदार नहीं हैं।

तापमान
तापीय चालकता पर तापमान का प्रभाव धातुओं और अधातुओं के लिए अलग-अलग होता है। धातुओं में ऊष्मा चालकता मुख्यतः मुक्त इलेक्ट्रॉनों के कारण होती है। विडेमैन-फ्रांज कानून के बाद, धातुओं की तापीय चालकता लगभग पूर्ण तापमान (केल्विन में) गुना विद्युत चालकता के समानुपाती होती है। शुद्ध धातुओं में बढ़ते तापमान के साथ विद्युत चालकता कम हो जाती है और इस प्रकार दोनों का उत्पाद, तापीय चालकता, लगभग स्थिर रहता है। हालाँकि, जैसे-जैसे तापमान पूर्ण शून्य के करीब पहुंचता है, तापीय चालकता तेजी से कम हो जाती है। मिश्रधातुओं में विद्युत चालकता में परिवर्तन आमतौर पर छोटा होता है और इस प्रकार तापीय चालकता तापमान के साथ बढ़ती है, अक्सर तापमान के अनुपात में। कई शुद्ध धातुओं की चरम तापीय चालकता 2 K और 10 K के बीच होती है।

दूसरी ओर, अधातुओं में ऊष्मा चालकता मुख्य रूप से जाली कंपन (फोनन) के कारण होती है। कम तापमान पर उच्च गुणवत्ता वाले क्रिस्टल को छोड़कर, फोनन माध्य मुक्त पथ उच्च तापमान पर महत्वपूर्ण रूप से कम नहीं होता है। इस प्रकार, उच्च तापमान पर अधातुओं की तापीय चालकता लगभग स्थिर रहती है। डेबी मॉडल#डेबी तापमान तालिका से काफी नीचे कम तापमान पर, दोषों से वाहक बिखराव के कारण तापीय चालकता कम हो जाती है, साथ ही ताप क्षमता भी कम हो जाती है।

रासायनिक चरण
जब कोई सामग्री चरण परिवर्तन से गुजरती है (उदाहरण के लिए ठोस से तरल में), तो तापीय चालकता अचानक बदल सकती है। उदाहरण के लिए, जब बर्फ 0°C पर पिघलकर तरल पानी बनाती है, तो तापीय चालकता 2.18 W/(m⋅K) से 0.56 W/(m⋅K) में बदल जाती है। इससे भी अधिक नाटकीय रूप से, किसी तरल पदार्थ की तापीय चालकता वाष्प-तरल महत्वपूर्ण घटना के आसपास के क्षेत्र में भिन्न हो जाती है।

थर्मल अनिसोट्रॉपी
कुछ पदार्थ, जैसे गैर-घन [[क्रिस्टल प्रणाली]] क्रिस्टल, विभिन्न क्रिस्टल अक्षों के साथ विभिन्न तापीय चालकता प्रदर्शित कर सकते हैं। नीलम अभिविन्यास और तापमान के आधार पर परिवर्तनीय तापीय चालकता का एक उल्लेखनीय उदाहरण है, जिसमें c अक्ष के साथ 35 W/(m⋅K) और a अक्ष के साथ 32 W/(m⋅K) होता है। लकड़ी आम तौर पर अनाज के आर-पार की तुलना में उसके साथ-साथ बेहतर संचालन करती है। सामग्रियों के अन्य उदाहरण जहां तापीय चालकता दिशा के साथ बदलती रहती है, वे धातुएं हैं जिनमें ठंड से बने स्टील, फाड़ना  सामग्री, केबल, स्पेस शटल थर्मल सुरक्षा प्रणाली के लिए उपयोग की जाने वाली सामग्री और फाइबर-प्रबलित समग्र संरचनाएं शामिल हैं। जब अनिसोट्रॉपी मौजूद होती है, तो ताप प्रवाह की दिशा तापीय प्रवणता की दिशा से भिन्न हो सकती है।

विद्युत चालकता
धातुओं में, थर्मल चालकता लगभग विडेमैन-फ्रांज कानून के अनुसार विद्युत चालकता के साथ सहसंबद्ध होती है, क्योंकि स्वतंत्र रूप से घूमने वाले रासायनिक संयोजन इलेक्ट्रॉन  न केवल विद्युत प्रवाह बल्कि गर्मी ऊर्जा भी स्थानांतरित करते हैं। हालाँकि, गैर-धातुओं में गर्मी के लिए फोनन वाहक के बढ़ते महत्व के कारण, विद्युत और तापीय चालकता के बीच सामान्य सहसंबंध अन्य सामग्रियों के लिए नहीं है। अत्यधिक विद्युत प्रवाहकीय चांदी हीरे की तुलना में कम तापीय प्रवाहकीय होती है, जो एक विद्युत इन्सुलेटर है लेकिन परमाणुओं की व्यवस्थित श्रृंखला के कारण फोनन के माध्यम से गर्मी का संचालन करती है।

चुंबकीय क्षेत्र
तापीय चालकता पर चुंबकीय क्षेत्र के प्रभाव को थर्मल हॉल प्रभाव या रिघी-लेडुक प्रभाव के रूप में जाना जाता है।

गैसीय चरण
संवहन की अनुपस्थिति में वायु एवं अन्य गैसें अच्छे कुचालक होते हैं। इसलिए, कई इन्सुलेशन सामग्री केवल बड़ी संख्या में गैस से भरी जेबों के कारण कार्य करती हैं जो गर्मी संचालन मार्गों को बाधित करती हैं। इनके उदाहरणों में विस्तारित और एक्सट्रूडेड POLYSTYRENE (लोकप्रिय रूप से स्टायरोफोम के रूप में जाना जाता है) और सिलिका airgel, साथ ही गर्म कपड़े शामिल हैं। फर और पंख जैसे प्राकृतिक, जैविक इंसुलेटर छिद्रों, जेबों या रिक्त स्थानों में हवा को फंसाकर समान प्रभाव प्राप्त करते हैं।

कम घनत्व वाली गैसें, जैसे हाइड्रोजन और हीलियम, में आमतौर पर उच्च तापीय चालकता होती है। क्सीनन और डाइक्लोरोडिफ्लोरोमेथेन जैसी सघन गैसों में कम तापीय चालकता होती है। एक अपवाद, सल्फर हेक्साफ्लोराइड, एक सघन गैस, इसकी उच्च ताप क्षमता के कारण अपेक्षाकृत उच्च तापीय चालकता है। आर्गन और क्रीप्टोण, हवा से सघन गैसें, अक्सर उनकी इन्सुलेशन विशेषताओं को बेहतर बनाने के लिए इंसुलेटेड ग्लेज़िंग (डबल पैन वाली खिड़कियां) में उपयोग की जाती हैं।

छिद्रपूर्ण या दानेदार रूप में थोक सामग्रियों के माध्यम से तापीय चालकता गैसीय चरण में गैस के प्रकार और उसके दबाव से नियंत्रित होती है। कम दबाव पर, गैसीय चरण की तापीय चालकता कम हो जाती है, इस व्यवहार को नुडसेन संख्या द्वारा नियंत्रित किया जाता है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है $$K_n=l/d$$, कहाँ $$l$$ गैस अणुओं का माध्य मुक्त पथ है और $$d$$ गैस द्वारा भरे गए स्थान का विशिष्ट अंतराल आकार है। एक दानेदार पदार्थ में $$d$$ छिद्रों या अंतरकणीय स्थानों में गैसीय चरण के विशिष्ट आकार से मेल खाता है।

समस्थानिक शुद्धता
क्रिस्टल की तापीय चालकता आइसोटोपिक शुद्धता पर दृढ़ता से निर्भर हो सकती है, यह मानते हुए कि अन्य जाली दोष नगण्य हैं। एक उल्लेखनीय उदाहरण हीरा है: लगभग 100 केल्विन के तापमान पर तापीय चालकता 10,000 वाट·मीटर से बढ़ जाती है।−1·केल्विन−1प्राकृतिक हीरे के प्रकार के लिए (98.9% कार्बन-12|12सी), 99.9% समृद्ध सिंथेटिक हीरे के लिए 41,000 तक। 99.999% कार्बन-12| के लिए 200,000 का मान अनुमानित है80 K पर 12C, एक अन्यथा शुद्ध क्रिस्टल मानते हुए। 99% समस्थानिक रूप से समृद्ध क्यूबिक बोरॉन नाइट्राइड की तापीय चालकता ~ 1400 वाट·मीटर है−1·केल्विन−1, जो प्राकृतिक बोरॉन नाइट्राइड से 90% अधिक है।

आणविक उत्पत्ति
थर्मल चालन के आणविक तंत्र विभिन्न सामग्रियों में भिन्न होते हैं, और सामान्य तौर पर सूक्ष्म संरचना और आणविक इंटरैक्शन के विवरण पर निर्भर करते हैं। इस प्रकार, प्रथम-सिद्धांतों से तापीय चालकता का अनुमान लगाना कठिन है। तापीय चालकता के लिए कोई भी अभिव्यक्ति जो सटीक और सामान्य हो, उदा. ग्रीन-कुबो संबंधों को व्यवहार में लागू करना कठिन है, आमतौर पर इसमें मल्टीपार्टिकल सहसंबंध फ़ंक्शन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) पर औसत शामिल होते हैं। एक उल्लेखनीय अपवाद एक मोनोएटोमिक तनु गैस है, जिसके लिए आणविक मापदंडों के संदर्भ में थर्मल चालकता को सटीक और स्पष्ट रूप से व्यक्त करने वाला एक अच्छी तरह से विकसित सिद्धांत मौजूद है।

एक गैस में, थर्मल चालन असतत आणविक टकरावों द्वारा मध्यस्थ होता है। एक ठोस की सरलीकृत तस्वीर में, थर्मल चालन दो तंत्रों द्वारा होता है: 1) मुक्त इलेक्ट्रॉनों का प्रवासन और 2) जाली कंपन (फोनन)। पहला तंत्र शुद्ध धातुओं पर हावी होता है और दूसरा गैर-धात्विक ठोस पदार्थों में। इसके विपरीत, तरल पदार्थों में, थर्मल चालन के सटीक सूक्ष्म तंत्र को कम समझा जाता है।

गैसें
तनु एकपरमाण्विक गैस के एक सरलीकृत मॉडल में, अणुओं को कठोर गोले के रूप में तैयार किया जाता है जो निरंतर गति में होते हैं, एक दूसरे के साथ और उनके कंटेनर की दीवारों के साथ लोचदार टकराव करते हैं। तापमान पर ऐसी गैस पर विचार करें $$T$$ और घनत्व के साथ $$\rho$$, विशिष्ट ऊष्मा $$c_v$$ और आणविक द्रव्यमान $$m$$. इन मान्यताओं के तहत, एक प्रारंभिक गणना से तापीय चालकता प्राप्त होती है



k = \beta \rho \lambda c_v \sqrt{\frac{2k_\text{B} T}{\pi m}}, $$ कहाँ $$\beta$$ क्रम का एक संख्यात्मक स्थिरांक है $$1$$, $$k_\text{B}$$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है, और $$\lambda$$ माध्य मुक्त पथ है, जो टकरावों के बीच एक अणु द्वारा तय की गई औसत दूरी को मापता है। तब से $$\lambda$$ घनत्व के व्युत्क्रमानुपाती होता है, यह समीकरण भविष्यवाणी करता है कि निश्चित तापमान के लिए तापीय चालकता घनत्व से स्वतंत्र है। स्पष्टीकरण यह है कि घनत्व बढ़ने से उन अणुओं की संख्या बढ़ जाती है जो ऊर्जा ले जाते हैं लेकिन औसत दूरी कम हो जाती है $$\lambda$$ एक अणु अपनी ऊर्जा को दूसरे अणु में स्थानांतरित करने से पहले यात्रा कर सकता है: ये दो प्रभाव रद्द हो जाते हैं। अधिकांश गैसों के लिए, यह भविष्यवाणी लगभग 10 वायुमंडल तक के दबाव पर प्रयोगों से अच्छी तरह मेल खाती है। उच्च घनत्व पर, यह सरल धारणा कि ऊर्जा का परिवहन केवल कणों की अनुवादात्मक गति द्वारा होता है, अब मान्य नहीं है, और कणों के बीच टकराव के क्षण में एक सीमित दूरी पर ऊर्जा के हस्तांतरण को ध्यान में रखते हुए सिद्धांत को संशोधित किया जाना चाहिए। स्थानीय रेडियल वितरण फ़ंक्शन के रूप में | उच्च घनत्व वाली गैस में गैर-समान घनत्व। यह संशोधन किया गया है, जिससे संशोधित एनस्कॉग सिद्धांत प्राप्त हुआ है, जो घने गैसों में तापीय चालकता की घनत्व निर्भरता की भविष्यवाणी करता है। आमतौर पर, प्रयोग तापमान के साथ अधिक तेजी से वृद्धि दिखाते हैं $$k \propto \sqrt{T}$$ (यहाँ, $$\lambda$$ से स्वतंत्र है $$T$$). प्राथमिक सिद्धांत की इस विफलता का पता अत्यधिक सरलीकृत लोचदार क्षेत्र मॉडल से लगाया जा सकता है, और विशेष रूप से इस तथ्य से कि सभी वास्तविक दुनिया की गैसों में मौजूद अंतरकण आकर्षण को नजरअंदाज कर दिया जाता है।

अधिक जटिल अंतरकणीय अंतःक्रियाओं को शामिल करने के लिए, एक व्यवस्थित दृष्टिकोण आवश्यक है। ऐसा एक दृष्टिकोण चैपमैन-एनस्कोग सिद्धांत द्वारा प्रदान किया गया है, जो बोल्ट्ज़मैन समीकरण से शुरू होने वाली तापीय चालकता के लिए स्पष्ट अभिव्यक्ति प्राप्त करता है। बोल्ट्ज़मैन समीकरण, बदले में, जेनेरिक इंटरपार्टिकल इंटरैक्शन के लिए एक पतला गैस का सांख्यिकीय विवरण प्रदान करता है। एक मोनोएटोमिक गैस के लिए, अभिव्यक्तियाँ $$k$$ इस प्रकार व्युत्पन्न रूप ले लेता है



k = \frac{25}{32} \frac{\sqrt{\pi m k_\text{B} T}}{\pi \sigma^2 \Omega(T)} c_v, $$ कहाँ $$\sigma$$ एक प्रभावी कण व्यास है और $$\Omega(T)$$ तापमान का एक कार्य है जिसका स्पष्ट रूप अंतरकण अंतःक्रिया नियम पर निर्भर करता है। कठोर लोचदार गोले के लिए, $$\Omega(T)$$ से स्वतंत्र है $$T$$ और बहुत करीब $$1$$. अधिक जटिल अंतःक्रिया कानून कमजोर तापमान निर्भरता का परिचय देते हैं। हालाँकि, निर्भरता की सटीक प्रकृति को समझना हमेशा आसान नहीं होता है $$\Omega(T)$$ इसे एक बहुआयामी अभिन्न अंग के रूप में परिभाषित किया गया है जो प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, लेकिन संख्यात्मक रूप से इसका मूल्यांकन किया जाना चाहिए। हालाँकि, Mie क्षमता (लेनार्ड-जोन्स क्षमता का एक सामान्यीकरण) के माध्यम से बातचीत करने वाले कणों के लिए अत्यधिक सटीक सहसंबंध $$\Omega(T)$$ लेनार्ड-जोन्स क्षमता के संदर्भ में#आयामहीन (कम इकाइयाँ) विकसित की गई हैं। परिणाम प्रस्तुत करने का एक वैकल्पिक, समतुल्य तरीका गैस की चिपचिपाहट के संदर्भ में है $$\mu$$, जिसकी गणना चैपमैन-एनस्कोग दृष्टिकोण में भी की जा सकती है:



k = f \mu c_v, $$ कहाँ $$f$$ एक संख्यात्मक कारक है जो सामान्यतः आणविक मॉडल पर निर्भर करता है। हालाँकि, चिकने गोलाकार सममित अणुओं के लिए, $$f$$ के बहुत करीब है $$2.5$$, से अधिक विचलन नहीं $$1%$$ विभिन्न प्रकार के अंतरकणीय बल कानूनों के लिए। तब से $$k$$, $$\mu$$, और $$c_v$$ प्रत्येक अच्छी तरह से परिभाषित भौतिक मात्राएँ हैं जिन्हें एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से मापा जा सकता है, यह अभिव्यक्ति सिद्धांत का एक सुविधाजनक परीक्षण प्रदान करती है। मोनोआटोमिक गैसों, जैसे उत्कृष्ट गैसों के लिए, प्रयोग के साथ समझौता काफी अच्छा है। उन गैसों के लिए जिनके अणु गोलाकार रूप से सममित नहीं हैं, अभिव्यक्ति $$k = f \mu c_v$$ अभी भी कायम है. हालाँकि, गोलाकार रूप से सममित अणुओं के विपरीत, $$f$$ इंटरपार्टिकल इंटरैक्शन के विशेष रूप के आधार पर महत्वपूर्ण रूप से भिन्न होता है: यह अणुओं की स्वतंत्रता की आंतरिक और अनुवादात्मक डिग्री (यांत्रिकी) के बीच ऊर्जा आदान-प्रदान का परिणाम है। चैपमैन-एनस्कोग दृष्टिकोण में इस प्रभाव का स्पष्ट उपचार कठिन है। वैकल्पिक रूप से, अनुमानित अभिव्यक्ति $$f = (1/4){(9 \gamma - 5)}$$ अर्नोल्ड एकेन द्वारा सुझाव दिया गया था, जहां $$\gamma$$ गैस का ताप क्षमता अनुपात है।

इस खंड की संपूर्णता माध्य मुक्त पथ मानती है $$\lambda$$ स्थूल (सिस्टम) आयामों की तुलना में छोटा है। अत्यंत तनु गैसों में यह धारणा विफल हो जाती है, और थर्मल चालन को एक स्पष्ट थर्मल चालकता द्वारा वर्णित किया जाता है जो घनत्व के साथ घट जाती है। अंततः, जैसे-जैसे घनत्व बढ़ता जाता है $$0$$ सिस्टम निर्वात के करीब पहुंचता है, और थर्मल चालन पूरी तरह से बंद हो जाता है।

तरल पदार्थ
तरल पदार्थों में थर्मल चालन के सटीक तंत्र को कम समझा जाता है: कोई आणविक चित्र नहीं है जो सरल और सटीक दोनों हो। एक सरल लेकिन बहुत मोटे सिद्धांत का एक उदाहरण पर्सी विलियम्स ब्रिजमैन का है, जिसमें एक तरल को एक ठोस के समान एक स्थानीय आणविक संरचना बताई गई है, यानी अणुओं के साथ लगभग एक जाली पर स्थित है। प्राथमिक गणनाएँ तब अभिव्यक्ति की ओर ले जाती हैं

k = 3(N_\text{A} / V)^{2/3} k_\text{B} v_\text{s}, $$ कहाँ $$N_\text{A}$$ अवोगाद्रो स्थिरांक है, $$V$$ द्रव के एक मोल (इकाई) का आयतन है, और $$v_\text{s}$$ द्रव में ध्वनि की गति है. इसे आमतौर पर ब्रिजमैन समीकरण कहा जाता है।

धातु
कम तापमान पर धातुओं के लिए ऊष्मा मुख्य रूप से मुक्त इलेक्ट्रॉनों द्वारा वहन की जाती है। इस मामले में माध्य वेग फर्मी वेग है जो तापमान से स्वतंत्र है। माध्य मुक्त पथ अशुद्धियों और क्रिस्टल की खामियों से निर्धारित होता है जो तापमान से भी स्वतंत्र होते हैं। तो एकमात्र तापमान-निर्भर मात्रा ताप क्षमता सी है, जो, इस मामले में, टी के समानुपाती है। इसलिए


 * $$k=k_0\,T \text{ (metal at low temperature)} $$

के के साथ0 निरंतर। शुद्ध धातुओं के लिए, k0 बड़ा है, इसलिए तापीय चालकता अधिक है। उच्च तापमान पर माध्य मुक्त पथ फोनन द्वारा सीमित होता है, इसलिए तापमान के साथ तापीय चालकता कम हो जाती है। मिश्रधातुओं में अशुद्धियों का घनत्व बहुत अधिक होता है, इसलिए l और, परिणामस्वरूप k, छोटे होते हैं। इसलिए, स्टेनलेस स्टील जैसे मिश्र धातुओं का उपयोग थर्मल इन्सुलेशन के लिए किया जा सकता है।

जालीदार तरंगें, फोनन, ढांकता हुआ ठोस में
अनाकार और क्रिस्टलीय ढांकता हुआ ठोस दोनों में गर्मी का परिवहन जाली के लोचदार कंपन (यानी, फोनन) के माध्यम से होता है। इस परिवहन तंत्र को जाली दोषों पर ध्वनिक फ़ोनों के लोचदार बिखरने से सीमित माना जाता है। वाणिज्यिक ग्लास और ग्लास सिरेमिक पर चांग और जोन्स के प्रयोगों से इसकी पुष्टि की गई है, जहां औसत मुक्त पथ आंतरिक सीमा बिखरने से 10 की लंबाई के पैमाने तक सीमित पाए गए थे।-2सेमी से 10-3सेमी. फ़ोनन माध्य मुक्त पथ को दिशात्मक सहसंबंध के बिना प्रक्रियाओं के लिए प्रभावी विश्राम लंबाई के साथ सीधे जोड़ा गया है। यदि वीg फ़ोनन तरंग पैकेट का समूह वेग है, फिर विश्राम लंबाई $$l\;$$ परिभाषित किया जाता है:
 * $$l\;=V_\text{g} t$$

जहाँ t विशिष्ट विश्राम का समय है। चूँकि अनुदैर्ध्य तरंगों का चरण वेग अनुप्रस्थ तरंगों की तुलना में बहुत अधिक होता है, Vlong V से बहुत बड़ा हैtrans, और अनुदैर्ध्य स्वरों की विश्राम लंबाई या माध्य मुक्त पथ बहुत अधिक होगा। इस प्रकार, तापीय चालकता काफी हद तक अनुदैर्ध्य फोनन की गति से निर्धारित होगी। तरंग दैर्ध्य या आवृत्ति (ध्वनिक फैलाव) पर तरंग वेग की निर्भरता के संबंध में, लंबी तरंग दैर्ध्य के कम आवृत्ति वाले फोनन लोचदार रेले बिखरने से विश्राम लंबाई में सीमित होंगे। छोटे कणों से इस प्रकार का प्रकाश प्रकीर्णन आवृत्ति की चौथी शक्ति के समानुपाती होता है। उच्च आवृत्तियों के लिए, आवृत्ति की शक्ति तब तक कम हो जाएगी जब तक कि उच्चतम आवृत्तियों पर प्रकीर्णन लगभग आवृत्ति से स्वतंत्र न हो जाए। इसी तरह के तर्कों को बाद में ब्रिलोइन बिखराव  का उपयोग करके कई ग्लास बनाने वाले पदार्थों के लिए सामान्यीकृत किया गया। ध्वनिक शाखा में फ़ोनन फ़ोनन ऊष्मा चालन पर हावी होते हैं क्योंकि उनमें ऊर्जा का फैलाव अधिक होता है और इसलिए फ़ोनन वेग का वितरण भी अधिक होता है। अतिरिक्त ऑप्टिकल मोड एक जाली बिंदु पर आंतरिक संरचना (यानी, चार्ज या द्रव्यमान) की उपस्थिति के कारण भी हो सकते हैं; यह निहित है कि इन मोडों का समूह वेग कम है और इसलिए जाली तापीय चालकता में उनका योगदान λ हैL ($$\kappa $$L) छोटा है। प्रत्येक फ़ोनन मोड को एक अनुदैर्ध्य और दो अनुप्रस्थ ध्रुवीकरण शाखाओं में विभाजित किया जा सकता है। इकाई कोशिकाओं के लिए जाली बिंदुओं की घटना विज्ञान को एक्सट्रपलेशन करने से यह देखा जाता है कि स्वतंत्रता की डिग्री की कुल संख्या 3pq है जब p, q परमाणुओं/इकाई सेल के साथ आदिम कोशिकाओं की संख्या है। इनमें से केवल 3p ध्वनिक मोड से जुड़े हैं, शेष 3p(q - 1) को ऑप्टिकल शाखाओं के माध्यम से समायोजित किया जाता है। इसका तात्पर्य यह है कि बड़े p और q वाली संरचनाओं में अधिक संख्या में ऑप्टिकल मोड और कम λ होते हैंL.

इन विचारों से, यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि बढ़ती क्रिस्टल जटिलता, जिसे एक जटिलता कारक CF (परमाणुओं/आदिम इकाई कोशिका की संख्या के रूप में परिभाषित) द्वारा वर्णित किया गया है, घट जाती है।L. यह मानकर किया गया था कि यूनिट सेल में परमाणुओं की बढ़ती संख्या के साथ विश्राम का समय घटता जाता है और फिर उच्च तापमान में तापीय चालकता के लिए अभिव्यक्ति के मापदंडों को तदनुसार स्केल किया जाता है।

एनार्मोनिक प्रभावों का वर्णन करना जटिल है क्योंकि हार्मोनिक मामले में सटीक उपचार संभव नहीं है, और फोनन अब गति के समीकरणों के लिए सटीक ईजेनसोल्यूशन नहीं हैं। भले ही क्रिस्टल की गति की स्थिति को किसी विशेष समय में समतल तरंग के साथ वर्णित किया जा सके, समय के साथ इसकी सटीकता उत्तरोत्तर खराब होती जाएगी। समय के विकास को अन्य फोनन के एक स्पेक्ट्रम को पेश करके वर्णित करना होगा, जिसे फोनन क्षय के रूप में जाना जाता है। दो सबसे महत्वपूर्ण एनार्मोनिक प्रभाव थर्मल विस्तार और फोनन थर्मल चालकता हैं।

केवल तभी जब फ़ोनन संख्या ‹n› संतुलन मान ‹n› से विचलित हो जाती है0, क्या तापीय धारा उत्पन्न हो सकती है जैसा कि निम्नलिखित अभिव्यक्ति में बताया गया है
 * $$Q_x=\frac{1}{V} \sum_{q,j} {\hslash \omega \left (\left \langle n \right \rangle-{ \left \langle n \right \rangle}^0 \right)v_x}\text{,}$$

जहां v फ़ोनों का ऊर्जा परिवहन वेग है। केवल दो तंत्र मौजूद हैं जो किसी विशेष क्षेत्र में ‹n› के समय में बदलाव का कारण बन सकते हैं। पड़ोसी क्षेत्रों से क्षेत्र में फैलने वाले फोनोन की संख्या बाहर फैलने वाले फोनन से भिन्न होती है, या फोनन उसी क्षेत्र के अंदर अन्य फोनन में क्षय हो जाते हैं। बोल्ट्ज़मैन समीकरण का एक विशेष रूप
 * $$\frac{d\left \langle n\right \rangle}{dt}={\left(\frac{\partial \left \langle n\right \rangle}{\partial t}\right)}_{\text{diff.}}+{\left(\frac{\partial \left \langle n\right \rangle}{\partial t}\right)}_\text{decay}$$

यह बताता है. जब स्थिर अवस्था की स्थिति मान ली जाती है तो फ़ोनन संख्या का कुल समय व्युत्पन्न शून्य होता है, क्योंकि समय में तापमान स्थिर होता है और इसलिए फ़ोनन संख्या भी स्थिर रहती है। फ़ोनन क्षय के कारण समय भिन्नता को विश्राम समय (τ) सन्निकटन के साथ वर्णित किया गया है
 * $${\left(\frac{\partial \left \langle n\right \rangle}{\partial t}\right)}_\text{decay}=-\text{ }\frac{\left \langle n\right \rangle-{\left \langle n\right \rangle}^{0}}{\tau},$$

जो बताता है कि फोनन संख्या जितना अधिक अपने संतुलन मूल्य से विचलित होती है, उतना ही अधिक इसका समय भिन्नता बढ़ जाती है। स्थिर अवस्था की स्थितियों और स्थानीय तापीय संतुलन को मानने पर हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है
 * $${\left(\frac{\partial \left(n\right)}{\partial t}\right)}_\text{diff.}=-{v}_{x}\frac{\partial {\left(n\right)}^{0}}{\partial T}\frac{\partial T}{\partial x}\text{.}$$

बोल्ट्ज़मैन समीकरण के लिए विश्राम समय सन्निकटन का उपयोग करना और स्थिर-अवस्था स्थितियों को मानते हुए, फोनन तापीय चालकता λL निर्धारित किया जा सकता है। λ के लिए तापमान निर्भरताL विभिन्न प्रक्रियाओं से उत्पन्न होता है, जिनका λ के लिए महत्व हैL रुचि की तापमान सीमा पर निर्भर करता है। माध्य मुक्त पथ एक कारक है जो λ के लिए तापमान निर्भरता निर्धारित करता हैL, जैसा कि निम्नलिखित समीकरण में बताया गया है
 * $${\lambda}_{L}=\frac{1}{3V}\sum _{q,j}v\left(q,j\right)\Lambda \left(q,j\right)\frac{\partial}{\partial T}\epsilon \left(\omega \left(q,j\right),T\right),$$

जहां Λ फोनन और के लिए माध्य मुक्त पथ है $$\frac{\partial}{\partial T}\epsilon$$ ताप क्षमता को दर्शाता है। यह समीकरण पिछले चार समीकरणों को एक दूसरे के साथ मिलाने और जानने का परिणाम है $$\left \langle v_x^2\right \rangle=\frac{1}{3}v^2$$ घनीय या आइसोट्रोपिक प्रणालियों के लिए और $$\Lambda =v\tau $$. कम तापमान (<10 K) पर एनार्मोनिक इंटरैक्शन माध्य मुक्त पथ को प्रभावित नहीं करता है और इसलिए, थर्मल प्रतिरोधकता केवल उन प्रक्रियाओं से निर्धारित होती है जिनके लिए q-संरक्षण लागू नहीं होता है। इन प्रक्रियाओं में क्रिस्टल दोषों द्वारा फोनन का बिखरना, या उच्च गुणवत्ता वाले एकल क्रिस्टल के मामले में क्रिस्टल की सतह से बिखरना शामिल है। इसलिए, तापीय चालकता क्रिस्टल के बाहरी आयामों और सतह की गुणवत्ता पर निर्भर करती है। इस प्रकार, λ की तापमान निर्भरताL विशिष्ट ऊष्मा द्वारा निर्धारित होता है और इसलिए T के समानुपाती होता है3.

फोनोन क्वासिमोमेंटम को ℏq के रूप में परिभाषित किया गया है और यह सामान्य गति से भिन्न है क्योंकि यह केवल एक मनमाना पारस्परिक जाली वेक्टर के भीतर परिभाषित किया गया है। उच्च तापमान (10 K < T < Θ) पर, ऊर्जा का संरक्षण $$\hslash {\omega}_{1}=\hslash {\omega}_{2}+\hslash {\omega}_{3}$$ और क्वासिमोमेंटम $$\mathbf{q}_{1}=\mathbf{q}_{2}+\mathbf{q}_{3}+\mathbf{G}$$, कहां क्यू1 घटना फ़ोनन और q का तरंग वेक्टर है2, क्यू3 परिणामी फोनन के तरंग वैक्टर हैं, इसमें ऊर्जा परिवहन प्रक्रिया को जटिल बनाने वाला एक पारस्परिक जाली वेक्टर जी भी शामिल हो सकता है। ये प्रक्रियाएँ ऊर्जा परिवहन की दिशा को उलट भी सकती हैं।

इसलिए, इन प्रक्रियाओं को तह बिखरना (यू) प्रक्रियाओं के रूप में भी जाना जाता है और यह केवल तब हो सकता है जब पर्याप्त रूप से बड़े क्यू-वेक्टर वाले फोनन उत्तेजित होते हैं, क्योंकि जब तक क्यू का योग नहीं होता2 और क्यू3 ब्रिलोइन क्षेत्र के बाहर के बिंदुओं पर गति संरक्षित रहती है और प्रक्रिया सामान्य प्रकीर्णन (एन-प्रक्रिया) होती है। किसी फ़ोनन में ऊर्जा E होने की संभावना बोल्ट्ज़मैन वितरण द्वारा दी गई है $$P\propto {e}^{-E/kT}$$. यू-प्रक्रिया के लिए क्षयकारी फोनन में एक तरंग वेक्टर क्यू होना चाहिए1 यह ब्रिलोइन ज़ोन के व्यास का लगभग आधा है, क्योंकि अन्यथा क्वासिमोमेंटम संरक्षित नहीं किया जाएगा।

इसलिए, इन फ़ोनों में ऊर्जा होनी चाहिए $$\sim k\Theta /2$$, जो डेबी ऊर्जा का एक महत्वपूर्ण अंश है जो नए फोनन उत्पन्न करने के लिए आवश्यक है। इसकी संभावना आनुपातिक है $${e}^{-\Theta /bT}$$, साथ $$b=2$$. माध्य मुक्त पथ की तापमान निर्भरता का एक घातांकीय रूप होता है $${e}^{\Theta /bT}$$. पारस्परिक जाली तरंग वेक्टर की उपस्थिति एक शुद्ध फोनन बैकस्कैटरिंग और फोनन और थर्मल परिवहन के प्रतिरोध को दर्शाती है जिसके परिणामस्वरूप परिमित λ होता हैL, क्योंकि इसका मतलब है कि संवेग संरक्षित नहीं है। केवल संवेग गैर-संरक्षण प्रक्रियाएं ही थर्मल प्रतिरोध का कारण बन सकती हैं।

उच्च तापमान (T > Θ) पर, माध्य मुक्त पथ और इसलिए λL तापमान पर निर्भरता टी है−1, जिस पर सूत्र से आगमन होता है $${e}^{\Theta /bT}$$ निम्नलिखित सन्निकटन बनाकर $${e}^{x}\propto x\text{ },\text{ }\left(x\right) < 1$$ और लेखन $$x=\Theta /bT$$. इस निर्भरता को अर्नोल्ड एकेन|एकेन के नियम के रूप में जाना जाता है और यह यू-प्रक्रिया के घटित होने की संभावना की तापमान निर्भरता से उत्पन्न होता है।

तापीय चालकता का वर्णन आमतौर पर विश्राम समय सन्निकटन के साथ बोल्ट्ज़मैन समीकरण द्वारा किया जाता है जिसमें फ़ोनन प्रकीर्णन एक सीमित कारक है। एक अन्य दृष्टिकोण ठोस पदार्थों में तापीय चालकता का वर्णन करने के लिए विश्लेषणात्मक मॉडल या आणविक गतिशीलता या मोंटे कार्लो आधारित तरीकों का उपयोग करना है।

यदि मिश्र धातु चरण मौजूद है तो लघु तरंग दैर्ध्य फोनन अशुद्धता परमाणुओं द्वारा दृढ़ता से बिखरे हुए हैं, लेकिन मध्य और लंबी तरंग दैर्ध्य फोनन कम प्रभावित होते हैं। मध्य और लंबी तरंग दैर्ध्य फोनन गर्मी का महत्वपूर्ण अंश ले जाते हैं, इसलिए जाली तापीय चालकता को और कम करने के लिए इन फोनन को बिखेरने के लिए संरचनाओं को पेश करना होगा। यह इंटरफ़ेस स्कैटरिंग तंत्र को शुरू करके प्राप्त किया जाता है, जिसके लिए ऐसी संरचनाओं की आवश्यकता होती है जिनकी विशेषता लंबाई अशुद्धता परमाणु की तुलना में अधिक लंबी होती है। इन इंटरफेस को साकार करने के कुछ संभावित तरीके नैनोकम्पोजिट और एम्बेडेड नैनोकण या संरचनाएं हैं।

भविष्यवाणी
चूँकि तापीय चालकता लगातार तापमान और सामग्री संरचना जैसी मात्राओं पर निर्भर करती है, इसलिए इसे प्रयोगात्मक मापों की एक सीमित संख्या द्वारा पूरी तरह से चित्रित नहीं किया जा सकता है। यदि रुचि की भौतिक स्थितियों के तहत प्रायोगिक मूल्य उपलब्ध नहीं हैं तो पूर्वानुमानित सूत्र आवश्यक हो जाते हैं। यह क्षमता थर्मोफिजिकल सिमुलेशन में महत्वपूर्ण है, जहां तापमान और दबाव जैसी मात्राएं स्थान और समय के साथ लगातार बदलती रहती हैं, और प्रत्यक्ष माप के लिए दुर्गम चरम स्थितियों को शामिल कर सकती हैं।

तरल पदार्थों में
सबसे सरल तरल पदार्थों के लिए, जैसे कि मोनोएटोमिक गैसें और कम से मध्यम घनत्व पर उनके मिश्रण, एब इनिटियो क्वांटम यांत्रिक गणना मौलिक परमाणु गुणों के संदर्भ में थर्मल चालकता का सटीक अनुमान लगा सकती है - यानी, थर्मल चालकता या अन्य परिवहन गुणों के मौजूदा माप के संदर्भ के बिना. यह विधि तापीय चालकता का मूल्यांकन करने के लिए चैपमैन-एनस्कोग सिद्धांत | चैपमैन-एनस्कोग सिद्धांत या संशोधित एनस्कोग सिद्धांत का उपयोग करती है, इनपुट के रूप में मौलिक अंतर-आणविक क्षमता लेती है, जिसकी गणना क्वांटम यांत्रिक विवरण से प्रारंभ में की जाती है।

अधिकांश तरल पदार्थों के लिए, ऐसी उच्च-सटीकता, प्रथम-सिद्धांत गणना संभव नहीं है। बल्कि, सैद्धांतिक या अनुभवजन्य अभिव्यक्तियाँ मौजूदा तापीय चालकता माप के लिए उपयुक्त होनी चाहिए। यदि ऐसी अभिव्यक्ति तापमान की एक बड़ी श्रृंखला पर उच्च-निष्ठा डेटा के लिए उपयुक्त है और दबाव डालता है, तो इसे उस सामग्री के लिए संदर्भ सहसंबंध कहा जाता है। कई शुद्ध सामग्रियों के लिए संदर्भ सहसंबंध प्रकाशित किए गए हैं; उदाहरण कार्बन डाईऑक्साइड, अमोनिया और बेंजीन हैं।   इनमें से कई तापमान और दबाव श्रेणियों को कवर करते हैं जिनमें गैस, तरल और सुपर तरल चरण शामिल होते हैं।

थर्मोफिजिकल मॉडलिंग सॉफ्टवेयर अक्सर उपयोगकर्ता-निर्दिष्ट तापमान और दबाव पर तापीय चालकता की भविष्यवाणी के लिए संदर्भ सहसंबंधों पर निर्भर करता है। ये सहसंबंध मालिकाना हो सकते हैं. उदाहरण REFPROP हैं (मालिकाना) और कूलप्रॉप (खुला स्त्रोत)।

थर्मल चालकता की गणना ग्रीन-क्यूबो संबंधों का उपयोग करके भी की जा सकती है, जो आणविक प्रक्षेपवक्र के आंकड़ों के संदर्भ में परिवहन गुणांक व्यक्त करते हैं। इन अभिव्यक्तियों का लाभ यह है कि वे सामान्य प्रणालियों के लिए औपचारिक रूप से सटीक और मान्य हैं। नुकसान यह है कि उन्हें कण प्रक्षेप पथ के विस्तृत ज्ञान की आवश्यकता होती है, जो केवल आणविक गतिशीलता जैसे कम्प्यूटेशनल रूप से महंगे सिमुलेशन में उपलब्ध है। इंटरपार्टिकल इंटरैक्शन के लिए एक सटीक मॉडल की भी आवश्यकता होती है, जिसे जटिल अणुओं के लिए प्राप्त करना मुश्किल हो सकता है।

यह भी देखें

 * हीट एक्सचेंजर्स में तांबा
 * गर्मी पंप
 * गर्मी का हस्तांतरण
 * हीट ट्रांसफर#मैकेनिज्म
 * इंसुलेटेड पाइप
 * इंटरफेशियल थर्मल प्रतिरोध
 * लेजर फ्लैश विश्लेषण
 * तापीय चालकता की सूची
 * चरण-परिवर्तन सामग्री
 * आर-वैल्यू (इन्सुलेशन)
 * विशिष्ट गर्मी की क्षमता
 * थर्मल ब्रिज
 * तापीय चालकता क्वांटम
 * थर्मल संपर्क संचालन
 * ऊष्मीय विसरणशीलता
 * थर्मल प्रवाहशीलता
 * थर्मल प्रवेश द्वार की लंबाई
 * थर्मल इंटरफ़ेस सामग्री
 * थर्मल डायोड
 * थर्मल रेज़िज़टेंस
 * thermistor
 * थर्मोकपल
 * ऊष्मप्रवैगिकी
 * तापीय चालकता माप
 * दुर्दम्य धातुएँ

स्नातक स्तर के पाठ (इंजीनियरिंग)

 * . एक मानक, आधुनिक संदर्भ.

स्नातक स्तर के पाठ (भौतिकी)

 * हॉलिडे, डेविड; रेसनिक, रॉबर्ट; और वॉकर, जेरल (1997)। भौतिकी के मूल तत्व (5वां संस्करण)। जॉन विली एण्ड सन्स, न्यूयॉर्क ISBN 0-471-10558-9. एक प्राथमिक उपचार.
 * . एक संक्षिप्त, मध्यवर्ती स्तर का उपचार।
 * . एक उन्नत उपचार.

स्नातक स्तर के पाठ

 * . गैसों में परिवहन प्रक्रियाओं के सिद्धांत पर एक बहुत ही उन्नत लेकिन क्लासिक पाठ।
 * रीड, सी.आर., प्रुस्निट्ज़, जे.एम., पोलिंग बी.ई., गैसों और तरल पदार्थों के गुण, IV संस्करण, मैक ग्रा-हिल, 1987
 * श्रीवास्तव जी. पी. (1990), द फिजिक्स ऑफ फ़ोनन्स। एडम हिल्गर, आईओपी पब्लिशिंग लिमिटेड, ब्रिस्टल
 * श्रीवास्तव जी. पी. (1990), द फिजिक्स ऑफ फ़ोनन्स। एडम हिल्गर, आईओपी पब्लिशिंग लिमिटेड, ब्रिस्टल

बाहरी संबंध

 * Thermopedia THERMAL CONDUCTIVITY
 * Contribution of Interionic Forces to the Thermal Conductivity of Dilute Electrolyte Solutions The Journal of Chemical Physics 41, 3924 (1964)
 * The importance of Soil Thermal Conductivity for power companies
 * Thermal Conductivity of Gas Mixtures in Chemical Equilibrium. II The Journal of Chemical Physics 32, 1005 (1960)