अनंत बंदर प्रमेय

अनंत बंदर प्रमेय में कहा गया है कि अनंत समय के लिए टाइपराइटर कीबोर्ड पर यादृच्छिकता पर चाबियों को मारने वाला बंदर लगभग निश्चित रूप से किसी दिए गए पाठ को टाइप करेगा, जैसे कि विलियम शेक्सपियर के पूर्ण कार्य। वास्तव में, बंदर निश्चित रूप से हर संभव परिमित पाठ को अनंत बार टाइप करेगा। चूँकि, इस बात की संभावना है कि पूरे अवलोकनीय ब्रह्मांड को भरने वाले बंदर ही पूरा काम टाइप करेंगे, जैसे कि शेक्सपियर का 'छोटा गांव', इतना छोटा है कि समय की अवधि के समय इसके होने की संभावना सैकड़ों-हजारों परिमाण के आदेश (संख्या) ) ब्रह्मांड की आयु से अधिक अधिक कम है (किन्तु तकनीकी रूप से शून्य नहीं है)। प्रमेय को यह बताने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है कि घटनाओं का कोई भी क्रम जिसके घटित होने की गैर-शून्य संभावना है, पर्याप्त समय दिए जाने पर लगभग निश्चित रूप से अंततः घटित होगा।

इस संदर्भ में, लगभग निश्चित रूप से गणितीय शब्द है जिसका अर्थ है कि घटना प्रायिकता 1 के साथ होती है, और बंदर वास्तविक बंदर नहीं है, किन्तु सार और ठोस उपकरण के लिए रूपक है जो अक्षरों और प्रतीकों का अंतहीन यादृच्छिक अनुक्रम उत्पन्न करता है। बंदर रूपक के उपयोग के प्रारंभी उदाहरणों में से 1913 में फ्रांसीसी गणितज्ञ एमिल बोरेल का है, किन्तु पहला उदाहरण इससे भी पहले का हो सकता है।

प्रमेय के रूपों में कई और यहां तक ​​कि असीम रूप से कई टाइपिस्ट सम्मिलित हैं, और लक्ष्य पाठ संपूर्ण पुस्तकालय और वाक्य के बीच भिन्न होता है। जॉर्ज लुइस बोर्गेस ने इस विचार के इतिहास को अरस्तू की पीढ़ी और भ्रष्टाचार पर और सिसरौ के डी नेचुरा देवरम (ऑन द नेचर ऑफ द गॉड्स) से, ब्लेस पास्कल और जोनाथन स्विफ़्ट के माध्यम से, अपने प्रतिष्ठित सिमियन और टाइपराइटर के साथ आधुनिक बयानों तक खोजा। 20वीं सदी की प्रारंभ में, बोरेल और आर्थर एडिंगटन ने सांख्यिकीय यांत्रिकी की नींव में निहित समयमानों को स्पष्ट करने के लिए प्रमेय का उपयोग किया।

प्रत्यक्ष प्रमाण
इस प्रमेय का सीधा प्रमाण है। परिचय के रूप में, याद रखें कि यदि दो घटनाएँ सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र हैं, तो दोनों के घटित होने की प्रायिकता प्रत्येक के स्वतंत्र रूप से घटित होने की प्रायिकताओं के गुणनफल के बराबर होती है। उदाहरण के लिए, यदि भविष्य में किसी विशेष दिन मास्को में बारिश की संभावना 0.4 है और किसी विशेष दिन सैन फ्रांसिस्को में भूकंप आने की संभावना 0.00003 है, तो दोनों के ही दिन होने की संभावना है 0.4 × 0.00003 = 0.000012, यह मानते हुए कि वे वास्तव में स्वतंत्र हैं।

50 चाबियों वाले टाइपराइटर पर केला शब्द टाइप करने की प्रायिकता पर विचार करें। मान लीजिए कि चाबियों को बेतरतीब रूप से और स्वतंत्र रूप से दबाया जाता है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक कुंजी को दबाए जाने की समान संभावना होती है, चाहे पहले कितनी चाबियां दबाई गई हों। टाइप किए गए पहले अक्षर के 'b' होने की संभावना 1/50 है, और टाइप किए गए दूसरे अक्षर 'a' के टाइप होने की संभावना भी 1/50 है, और इसी प्रकार। इसलिए, केले की वर्तनी के पहले छह अक्षरों की प्रायिकता है
 * (1/50) × (1/50) × (1/50) × (1/50) × (1/50) × (1/50) = (1/50)6 = 1/15,625,000,000।

15 बिलियन में से कम, किन्तु शून्य नहीं।

ऊपर से, 6 अक्षरों के दिए गए ब्लॉक में केला टाइप न करने की संभावना 1 − (1/50) है 6। क्योंकि प्रत्येक ब्लॉक स्वतंत्र रूप से टाइप किया जाता है, मौका Xn 6 अक्षरों के पहले n ब्लॉक में से किसी में केला टाइप नहीं करने का है


 * $$X_n=\left(1-\frac{1}{50^6}\right)^n.$$

जैसे n बढ़ता है, Xn छोटा हो जाता है। एन = 1 मिलियन के लिए, एक्सn मोटे तौर पर 0.9999 है, किन्तु n = 10 बिलियन X के लिएn मोटे तौर पर 0.53 है और n = 100 बिलियन के लिए यह मोटे तौर पर 0.0017 है। जैसे ही n अनंत तक पहुंचता है, प्रायिकता Xn फ़ंक्शन शून्य की सीमा; अर्थात्, n को अधिक बड़ा करके, Xn इच्छानुसार छोटा बनाया जा सकता है, और केला टाइप करने की संभावना 100% तक पहुँच जाती है। इस प्रकार, कीस्ट्रोक्स के अनंत अनुक्रम में किसी बिंदु पर बनाना शब्द की संभावना के बराबर होती है।

एक ही तर्क प्रायुक्त होता है यदि हम बंदर टाइपिंग n पाठ के लगातार ब्लॉक को n बंदरों के साथ बदलते हैं, प्रत्येक टाइपिंग ब्लॉक (एक साथ और स्वतंत्र रूप से)। इस स्थिति में एक्सn = (1 − (1/50)6)n की प्रायिकता है कि पहले n बंदरों में से कोई भी अपनी पहली कोशिश में केले को सही रूप से टाइप नहीं करता है। इसलिए, असीम रूप से कई बंदरों में से कम से कम (एक के बराबर प्रायिकता के साथ) पाठ को उतनी ही तेजी से प्रस्तुत करेगा, जितना कि पूरी तरह से त्रुटिहीन मानव टाइपिस्ट द्वारा इसे मूल से कॉपी करके तैयार किया जाएगा।

अनंत तार
यह स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान) के संदर्भ में अधिक सामान्यतः और कॉम्पैक्ट रूप से कहा जा सकता है, जो कि कुछ परिमित वर्णमाला से चुने गए वर्णों के अनुक्रम हैं:
 * एक अनंत स्ट्रिंग को देखते हुए जहां प्रत्येक वर्ण को समान वितरण (असतत) चुना जाता है, कोई भी परिमित स्ट्रिंग लगभग निश्चित रूप से किसी स्थान पर सबस्ट्रिंग के रूप में होती है।
 * अनंत स्ट्रिंग्स के अनंत अनुक्रम को देखते हुए, जहां प्रत्येक स्ट्रिंग के प्रत्येक वर्ण को यादृच्छिक रूप से समान रूप से चुना जाता है, कोई भी परिमित स्ट्रिंग लगभग निश्चित रूप से इन स्ट्रिंग्स में से के उपसर्ग के रूप में होती है।

दोनों दूसरे बोरेल-कैंटेली लेम्मा से आसानी से अनुसरण करते हैं। दूसरे प्रमेय के लिए, ईk घटना (संभाव्यता सिद्धांत) हो कि kth स्ट्रिंग दिए गए पाठ से प्रारंभ होती है। क्योंकि इसमें घटित होने की कुछ निश्चित अशून्य प्रायिकता p है, Ek स्वतंत्र हैं, और निम्न योग विचलन करता है,
 * $$\sum_{k=1}^\infty P(E_k) = \sum_{k=1}^\infty p = \infty,$$

संभावना है कि असीम रूप से कई ईk घटित होता है 1। पहला प्रमेय इसी प्रकार दिखाया गया है; कोई यादृच्छिक स्ट्रिंग को वांछित पाठ के आकार से मेल खाने वाले गैर-अतिव्यापी ब्लॉकों में विभाजित कर सकता है, और ई बना सकता हैk वह घटना जहाँ kth ब्लॉक वांछित स्ट्रिंग के बराबर है।

संभावनाएं
चूंकि, शारीरिक रूप से सार्थक लंबाई के लिए टाइप करने वाले बंदरों की शारीरिक रूप से सार्थक संख्या के लिए परिणाम उलटे होते हैं। यदि देखने योग्य ब्रह्मांड में जितने भी परमाणु हैं, उतने ही बंदर ब्रह्मांड के जीवन के खरबों गुना तेजी से टाइपिंग कर रहे हैं, बंदरों द्वारा शेक्सपियर के पृष्ठ की भी नकल करने की संभावना अथाह रूप से छोटी है।

विराम चिह्न, रिक्ति और पूंजीकरण को अनदेखा करते हुए, बंदर यादृच्छिक रूप से अक्षरों को समान रूप से टाइप करता है, हेमलेट के पहले अक्षर को सही रूप से टाइप करने के 26 में से का मौका होता है। इसके पास पहले दो अक्षरों को टाइप करने का 676 (26 × 26) में से का मौका है। चूंकि प्रायिकता घातीय वृद्धि को कम कर देती है, इसलिए 20 अक्षरों में इसके पास पहले से ही 26 में केवल का अवसर है20 = 19,928,148,895,209,409,152,340,197,376 (लगभग 2 × 1028). हेमलेट के पूरे पाठ के स्थिति में, संभावनाएँ इतनी कम हैं कि उनकी कल्पना भी नहीं की जा सकती। हेमलेट के पाठ में लगभग 130,000 अक्षर हैं। इस प्रकार 3.4 × 10 में होने की संभावना है183,946 पहले परीक्षण में सही पाठ प्राप्त करने के लिए। टेक्स्ट दिखाई देने तक टाइप किए जाने वाले अक्षरों की औसत संख्या भी 3.4 × 10 है183,946, या विराम चिह्न सहित, 4.4 × 10360,783। चाहे देखने योग्य ब्रह्मांड में प्रत्येक प्रोटॉन (जो लगभग 10 पर एडिंगटन संख्या है80) टाइपराइटर वाला बंदर था, जो महा विस्फोट से ब्रह्मांड के अंत तक टाइप करता है (जब प्रोटॉन प्रोटॉन क्षय होता है), उन्हें अभी भी बहुत अधिक समय की आवश्यकता होगी - तीन लाख साठ हजार से अधिक आदेश लंबे समय तक - 10 में 1 भी होने के लिए500 सफलता का मौका। इसे दूसरे विधि से रखने के लिए, खरब में सफलता के अवसर के लिए, 10 होने की आवश्यकता होगीप्रोटोनिक बंदरों से बने 360,641 देखने योग्य ब्रह्मांड। जैसा कि चार्ल्स किट्टल और हर्बर्ट क्रॉमर ने ऊष्मप्रवैगिकी पर अपनी पाठ्यपुस्तक में रखा था, वह क्षेत्र जिसकी सांख्यिकीय नींव ने टाइपिंग बंदरों के पहले ज्ञात प्रदर्शन को प्रेरित किया, हैमलेट की संभावना इसलिए किसी घटना के किसी भी परिचालन अर्थ में शून्य है ... और यह कथन कि बंदरों को अंततः सफल होना चाहिए, बहुत, बहुत बड़ी संख्या के बारे में भ्रामक निष्कर्ष देता है।

वास्तव में सफलता की खरब में से भी कम संभावना है कि बंदरों से बना ऐसा ब्रह्मांड किसी विशेष दस्तावेज़ को मात्र 79 वर्णों में टाइप कर सकता है।

लगभग निश्चित रूप से
संभावना है कि पाठ की अनंत बेतरतीब रूप से उत्पन्न स्ट्रिंग में विशेष परिमित सबस्ट्रिंग होगा। चूंकि, इसका अर्थ यह नहीं है कि सबस्ट्रिंग की अनुपस्थिति 0 की पूर्व संभावना होने के अतिरिक्त सबस्ट्रिंग की अनुपस्थिति असंभव है। उदाहरण के लिए, अमर बंदर यादृच्छिक रूप से टाइप कर सकता है G इसके पहले अक्षर के रूप में, G इसके दूसरे अक्षर के रूप में, और G इसके बाद हर अक्षर के रूप में, Gs की अनंत स्ट्रिंग का उत्पादन करता है; बंदर को किसी भी समय कुछ और टाइप करने के लिए विवश नहीं किया जाना चाहिए। (अन्यथा मान लेना जुआरी के भ्रम को दर्शाता है।) चूंकि बेतरतीब रूप से उत्पन्न परिमित स्ट्रिंग है, छोटा किन्तु गैर-शून्य मौका है कि यह ही चरित्र को बार-बार दोहराए जाने के लिए निकलेगा; यह मौका शून्य के निकट पहुंच जाता है क्योंकि स्ट्रिंग की लंबाई अनंत तक पहुंच जाती है। इस प्रकार के नीरस अनुक्रम के बारे में कुछ खास नहीं है सिवाय इसके कि इसका वर्णन करना आसान है; यही तथ्य किसी भी नाम योग्य विशिष्ट अनुक्रम पर प्रायुक्त होता है, जैसे कि RGRGRG बार-बार हमेशा के लिए, या a-b-aa-bb-aaa-bbb-... , या तीन, छह, नौ, बारह…।

यदि काल्पनिक बंदर के पास टाइपराइटर है जिसमें 90 समान रूप से संभावित कुंजियाँ हैं जिनमें अंक और विराम चिह्न सम्मिलित हैं, तो पहली टाइप की गई कुंजियाँ 3.14 (पाई के पहले तीन अंक) हो सकती हैं (1/90) की संभावना के साथ4, जो 1/65,610,000 है। टाइपराइटर द्वारा अनुमत चार वर्णों की कोई अन्य स्ट्रिंग समान रूप से संभावित है, जैसे GGGG, mAth , या q%8e । संभावना है कि 100 यादृच्छिक रूप से टाइप की गई चाबियों में पीआई के पहले 99 अंक (विभाजक कुंजी सहित), या उस लंबाई के किसी अन्य विशेष अनुक्रम सम्मिलित होंगे, बहुत कम है: (1/90)100. यदि बंदर द्वारा आवंटित पाठ की लंबाई अनंत है, तो पाई के केवल अंकों को टाइप करने की संभावना 0 है, जो कि जितना संभव हो उतना संभव है (गणितीय रूप से संभावित) Gs के अतिरिक्त कुछ भी नहीं टाइप करना (प्रायिकता 0 भी)।

हेमलेट के विशेष संस्करण को टाइप करने की घटना पर भी प्रायुक्त होता है, जिसके बाद स्वयं की अंतहीन प्रतियां होती हैं; या हेमलेट के तुरंत बाद पाई के सभी अंक; ये विशिष्ट तार लंबाई में अनंत सेट हैं, वे विचार समस्या की शर्तों से निषिद्ध नहीं हैं, और उनमें से प्रत्येक की 0 की पूर्व संभावना है। वास्तव में, अमर बंदर प्रकार के किसी भी विशेष अनंत अनुक्रम में 0 की पूर्व संभावना होगी चाहे बंदर को कुछ टाइप करना चाहिए।

यह सिद्धांत का विस्तार है कि यादृच्छिक पाठ की परिमित स्ट्रिंग में विशेष स्ट्रिंग होने की संभावना कम और कम होती है (चूंकि सभी विशिष्ट स्ट्रिंग्स समान रूप से असंभव हैं)। यह प्रायिकता 0 तक पहुँचती है क्योंकि स्ट्रिंग अनंत तक पहुँचती है। इस प्रकार, 90-कुंजी कीबोर्ड पर, बंदर की अंतहीन लंबी स्ट्रिंग टाइप करने की संभावना, जैसे कि पीआई के सभी अंक क्रम में हैं (1/90)∞ जो बराबर (1/∞) के बराबर है जो अनिवार्य रूप से 0 है। साथ ही, संभावना है कि अनुक्रम में विशेष अनुक्रम सम्मिलित है (जैसे कि बंदर शब्द, या 12 वीं से लेकर 999 तक पाई, या संस्करण किंग जेम्स बाइबिल का) कुल स्ट्रिंग बढ़ने के साथ बढ़ता है। यह संभावना 1 तक पहुंचती है क्योंकि कुल स्ट्रिंग अनंत तक पहुंचती है, और इस प्रकार मूल प्रमेय सही है।

तार और संख्या के बीच पत्राचार
सोचा प्रयोग के सरलीकरण में, बंदर के पास केवल दो चाबियों के साथ टाइपराइटर हो सकता है: 1 और 0. इस प्रकार उत्पन्न असीमित लंबी स्ट्रिंग 0 और 1 के बीच विशेष वास्तविक संख्या के बाइनरी अंक प्रणाली अंकों के अनुरूप होगी। संभावित स्ट्रिंग्स का सेट अनंत दोहराव में समाप्त होता है, जिसका अर्थ है कि संबंधित वास्तविक संख्या परिमेय संख्या है। उदाहरणों में एक-तिहाई (010101...), पांच-छठे (11010101...) और पांच-आठवें (1010000...) से संबंधित तार सम्मिलित हैं। इस प्रकार के वास्तविक संख्या स्ट्रिंग्स के केवल उपसमुच्चय (यद्यपि अनगिनत अनंत उपसमुच्चय) में हैमलेट की संपूर्णता सम्मिलित है (यह मानते हुए कि पाठ संख्यात्मक एन्कोडिंग के अधीन है, जैसे कि ASCII)।

इस बीच, स्ट्रिंग्स का बेशुमार अनंत सेट है जो इस प्रकार की पुनरावृत्ति में समाप्त नहीं होता है; ये अपरिमेय संख्याओं के अनुरूप हैं। इन्हें दो बेशुमार अनंत उपसमुच्चय में क्रमबद्ध किया जा सकता है: जिनमें हेमलेट सम्मिलित हैं और जो नहीं हैं। चूंकि, सभी वास्तविक संख्याओं का सबसे बड़ा उपसमुच्चय वे हैं जिनमें न केवल हैमलेट सम्मिलित है, किन्तु जिसमें किसी भी लम्बाई के हर दूसरे संभावित तार सम्मिलित हैं, और ऐसे तारों के समान वितरण के साथ। इन अपरिमेय संख्याओं को सामान्य संख्या कहते हैं। क्योंकि लगभग सभी संख्याएँ सामान्य हैं, लगभग सभी संभावित स्ट्रिंग्स में सभी संभव परिमित सबस्ट्रिंग होते हैं। इसलिए, बंदर द्वारा सामान्य संख्या टाइप करने की प्रायिकता 1 है। वही सिद्धांत उन चाबियों की संख्या पर ध्यान दिए बिना प्रायुक्त होते हैं जिनमें से बंदर चुन सकता है; 90-कुंजी कीबोर्ड को आधार 90 में लिखी गई संख्याओं के जनरेटर के रूप में देखा जा सकता है।

सांख्यिकीय यांत्रिकी
एक रूप में जिसमें संभाव्यतावादी अब इस प्रमेय को जानते हैं, इसके डैक्टाइलोग्राफिक [अर्थात्, टाइपराइटिंग] बंदरों के साथ (singes dactylographes; फ्रांसीसी शब्द सिंग में बंदर और वानर दोनों सम्मिलित हैं), एमिल बोरेल के 1913 के लेख मेकानिक स्टेटिस्टिक एट इरेवर्सिबिलिटे (सांख्यिकीय यांत्रिकी और अपरिवर्तनीयता) में दिखाई दिया, और 1914 में उनकी पुस्तक ले हसर्ड में। उसके बंदर असली बंदर नहीं हैं; किन्तु, वे अक्षरों के बड़े, यादृच्छिक क्रम को उत्पन्न करने के काल्पनिक विधि के लिए रूपक हैं। बोरेल ने कहा कि यदि दस लाख बंदर दिन में दस घंटे टाइप करते हैं, तो यह बहुत कम संभावना है कि उनका उत्पादन संसार के सबसे अमीर पुस्तकालयों की सभी पुस्तकों के बराबर होगा; और फिर भी, इसकी तुलना में, यह और भी अधिक संभावना नहीं थी कि सांख्यिकीय यांत्रिकी के नियमों का कभी भी उल्लंघन किया जाएगा, यहां तक ​​कि संक्षेप में भी।

भौतिक विज्ञानी आर्थर एडिंगटन ने द नेचर ऑफ द फिजिकल वर्ल्ड (1928) में बोरेल की छवि को और आगे बढ़ाया, लिखते हुए:

"यदि मैं अपनी उँगलियों को टाइपराइटर की चाबियों पर आलस्य से भटकने देता हूँ तो हो सकता है कि मेरे पेंच ने एक समझदार वाक्य बना दिया हो। यदि बंदरों की सेना टाइपराइटरों पर झपट रही होती तो वे ब्रिटिश संग्रहालय की सभी पुस्तकें लिख सकते थे। उनके ऐसा करने की संभावना निश्चित रूप से आधे बर्तन में अणुओं के लौटने की संभावना से अधिक अनुकूल है।" ये छवियां पाठक को बड़ी किन्तु परिमित संख्या में बंदरों की अविश्वसनीय असंभवता पर विचार करने के लिए आमंत्रित करती हैं, जो महत्वपूर्ण काम का उत्पादन करने के लिए बड़ी किन्तु सीमित समय के लिए काम करती हैं, और इसकी तुलना कुछ भौतिक घटनाओं की और भी अधिक असंभवता से करती हैं। कोई भी भौतिक प्रक्रिया जिसकी संभावना ऐसे बंदरों की सफलता से भी कम है प्रभावी रूप से असंभव है, और सुरक्षित रूप से यह कहा जा सकता है कि ऐसी प्रक्रिया कभी नहीं होगी। इस संदर्भ से यह स्पष्ट है कि एडिंगटन यह सुझाव नहीं दे रहे हैं कि ऐसा होने की संभावना गंभीर विचार के योग्य है। इसके विपरीत, यह इस तथ्य का आलंकारिक चित्रण था कि संभाव्यता के कुछ स्तरों के नीचे, असंभव शब्द कार्यात्मक रूप से असंभव के बराबर है।

मूल और कुल पुस्तकालय
1939 में द टोटल लाइब्रेरी नामक निबंध में, अर्जेंटीना के लेखक जॉर्ज लुइस बोर्गेस ने अनंत-बंदर अवधारणा को अरस्तू के तत्वमीमांसा में वापस खोज लिया। ल्यूसिपस के विचारों की व्याख्या करते हुए, जिन्होंने माना कि संसार परमाणुओं के यादृच्छिक संयोजन के माध्यम से उत्पन्न हुई, अरस्तू ने नोट किया कि परमाणु स्वयं सजातीय हैं और उनकी संभावित व्यवस्था केवल आकार, स्थिति और क्रम में भिन्न होती है। ऑन जेनरेशन एंड करप्शन में, ग्रीक दार्शनिक इसकी तुलना इस तरह से करते हैं कि त्रासदी और कॉमेडी में ही परमाणु होते हैं, अर्थात, अक्षर वर्ण। तीन शताब्दियों के बाद, सिसरो के डे नेचुरा डोरम (देवताओं की प्रकृति पर) ने परमाणुवादी विश्वदृष्टि के विरुद्ध तर्क दिया:

"जो इस पर विश्वास करता है वह यह भी मान सकता है कि यदि सोने या किसी अन्य पदार्थ से बने एक-बीस अक्षरों की एक बड़ी मात्रा को जमीन पर फेंका जाता है, तो वे इस तरह के क्रम में पड़ जाएंगे कि सुपाठ्य रूप से एनाल्स ऑफ एननियस। मुझे संदेह है कि क्या भाग्य उनमें से एक भी कविता बना सकता है। सिसरो के टस्कुलन विवाद से अनुवाद; इसके अलावा, द नेचर ऑफ द गॉड्स, एंड ऑन द कॉमनवेल्थ  पर ग्रंथ, सीडी योंग, प्रमुख अनुवादक, न्यूयॉर्क, हार्पर एंड ब्रदर्स पब्लिशर्स, फ्रैंकलिन स्क्वायर। (1877)। डाउनलोड करने योग्य टेक्स्ट।" बोर्गेस ब्लेज़ पास्कल और जोनाथन स्विफ्ट के माध्यम से इस तर्क के इतिहास का अनुसरण करते हैं, फिर देखता है कि अपने समय में, शब्दावली बदल गई थी। 1939 तक, मुहावरा यह था कि आधा दर्जन बंदरों को टाइपराइटर प्रदान किए जाते थे, कुछ अनंत काल में, ब्रिटिश संग्रहालय में सभी पुस्तकों का उत्पादन करते थे। (जिस पर बोर्गेस कहते हैं, सख्ती से बोलते हुए, अमर बंदर पर्याप्त होगा।) बोर्गेस तब कुल पुस्तकालय की सामग्री की कल्पना करता है, जिसे यह उद्यम अपने पूर्ण चरम पर ले जाने पर उत्पन्न करेगा:

"सब कुछ अपने अंधी मात्रा में होगा। सब कुछ: भविष्य का विस्तृत इतिहास, एशेकिलस' द इजिप्शियन्स, सटीक संख्या में कि गंगा के पानी ने कितनी बार बाज़ की उड़ान को प्रतिबिंबित किया है, रोम का गुप्त और वास्तविक स्वरूप, एनसाइक्लोपीडिया नोवेलिस ने 14 अगस्त, 1934 को भोर में मेरे सपनों और आधे सपनों का निर्माण किया होगा, पियरे फर्मेट के प्रमेय का प्रमाण, एडविन] के अलिखित अध्याय ड्रूड, उन्हीं अध्यायों का अनुवाद गैरामांटेस द्वारा बोली जाने वाली भाषा में किया गया, विरोधाभासों बर्कले ने समय के संबंध में आविष्कार किया लेकिन प्रकाशित नहीं किया, उरीज़ेन की लोहे की किताबें, स्टीफन डेडालस की समय से पहले की बातें, जो एक हजार साल के चक्र से पहले अर्थहीन होगा, ग्नोस्टिक बेसिलाइड्स का सुसमाचार, सायरन द्वारा गाया जाने वाला गीत, पुस्तकालय की पूरी सूची, उस सूची की अशुद्धि का प्रमाण। सब कुछ: लेकिन हर समझदार पंक्ति या सटीक तथ्य के लिए लाखों अर्थहीन कोलाहल, मौखिक फर्रागो और बड़बड़ाहट होगी। सब कुछ: लेकिन मानव जाति की सभी पीढ़ियां चक्करदार अलमारियों से पहले गुजर सकती हैं - अलमारियों जो दिन को मिटा देती हैं और जिस पर अराजकता होती है - कभी भी उन्हें एक सहनीय पृष्ठ के साथ पुरस्कृत करें।" बोर्गेस की कुल पुस्तकालय अवधारणा उनकी व्यापक रूप से पढ़ी गई 1941 की लघु कहानी बाबेल की लाइब्रेरी का मुख्य विषय थी, जिसमें अकल्पनीय रूप से विशाल पुस्तकालय का वर्णन किया गया है जिसमें इंटरलॉकिंग हेक्सागोनल कक्ष सम्मिलित हैं, जिसमें साथ हर संभव मात्रा सम्मिलित है जिसे वर्णमाला के अक्षरों से बनाया जा सकता है और कुछ विराम चिह्न वर्ण।

वास्तविक बंदर
2002 में, प्लायमाउथ विश्वविद्यालय मीडियालैब आर्ट्स कोर्स के व्याख्याताओं और छात्रों ने वास्तविक बंदरों के साहित्यिक उत्पादन का अध्ययन करने के लिए कला परिषद इंग्लैंड से £2,000 अनुदान का उपयोग किया। उन्होंने महीने के लिए इंग्लैंड के डेवोन में पैग्नटन चिड़ियाघर में छह सेलेब्स क्रेस्टेड मकाक के बाड़े में कंप्यूटर कीबोर्ड छोड़ दिया, जिसमें वेबसाइट पर परिणामों को प्रसारित करने के लिए रेडियो लिंक था। न केवल बंदरों ने कुल पांच पृष्ठों के अतिरिक्त कुछ नहीं निकाला मोटे तौर पर एस अक्षर से मिलकर, प्रमुख पुरुष ने कीबोर्ड को पत्थर से मारना प्रारंभ कर दिया, और अन्य बंदरों ने इसे गंदा कर दिया। यूनिवर्सिटी के इंस्टीट्यूट ऑफ डिजिटल आर्ट्स एंड टेक्नोलॉजी (i-DAT) के निदेशक माइक फिलिप्स ने कहा कि कलाकार-वित्त पोषित परियोजना मुख्य रूप से प्रदर्शन कला थी, और उन्होंने इससे बहुत कुछ सीखा है। उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि बंदर यादृच्छिक जनरेटर नहीं हैं। वे उससे कहीं अधिक जटिल हैं। ... उन्हें स्क्रीन अधिक पसंद थी, और उन्होंने देखा कि जब उन्होंने पत्र टाइप किया, तो कुछ हुआ। वहां इरादे का स्तर था।

विकास
अपनी 1931 की पुस्तक द मिस्टीरियस यूनिवर्स में, एडिंगटन के प्रतिद्वंद्वी जेम्स हॉपवुड जीन्स ने बंदर के दृष्टांत को हक्सले के लिए जिम्मेदार ठहराया, जिसका अर्थ संभवतः थॉमस हेनरी हक्सले था। यह श्रेय गलत है। आज, कभी-कभी आगे यह रिपोर्ट दी जाती है कि हक्सले ने 1860 के ऑक्सफोर्ड विकास बहस में उदाहरण प्रायुक्त किया था। चार्ल्स डार्विन की ऑन द ओरिजिन ऑफ स्पीशीज़ पर अब-पौराणिक बहस, ऑक्सफोर्ड के एंग्लिकन बिशप, सैमुअल विल्बरफोर्स के साथ, ब्रिटिश एसोसिएशन फॉर फॉर की बैठक में हुई। 30 जून 1860 को ऑक्सफोर्ड में विज्ञान की उन्नति। यह कहानी न केवल प्रमाण की कमी से ग्रस्त है, किन्तु यह तथ्य भी है कि 1860 में स्वयं टाइपराइटर का उदय होना बाकी था। मूल मिश्रण-अप के अतिरिक्त, बंदर और टाइपराइटर के तर्क अब विकासवाद के तर्कों में आम हैं। ईसाई क्षमाप्रार्थी के उदाहरण के रूप में डौग पॉवेल ने तर्क दिया कि चाहे बंदर गलती से हैमलेट के अक्षरों को टाइप कर दे, किन्तु वह हेमलेट का उत्पादन करने में विफल रहा है क्योंकि इसमें संवाद करने का विचार नहीं था। उनका समानांतर निहितार्थ यह है कि प्राकृतिक नियम डीएनए में सूचना सामग्री का उत्पादन नहीं कर सके। रेवरेंड जॉन एफ. मैकआर्थर द्वारा अधिक सामान्य तर्क का प्रतिनिधित्व किया जाता है, जिन्होंने प्रमाणित किया कि अमीबा से टेपवर्म उत्पन्न करने के लिए आवश्यक आनुवंशिक परिवर्तन उतना ही असंभव है जितना कि बंदर टाइपिंग हैमलेट की सोलिलॉकी, और इसलिए सभी जीवन के विकास के विरुद्ध बाधाएं असंभव हैं नियंत्रण पाना। विकासवादी जीव विज्ञान रिचर्ड डॉकिन्स ने यादृच्छिक उत्परिवर्तन से जैविक जटिलता उत्पन्न करने के लिए प्राकृतिक चयन की क्षमता का प्रदर्शन करने के लिए अपनी पुस्तक द ब्लाइंड वॉचमेकर में टाइपिंग बंदर अवधारणा को नियोजित किया है। अनुकार प्रयोग में डॉकिन्स ने अपना नेवला कार्यक्रम हैमलेट वाक्यांश METHINKS IT IS LIKE A WEASEL का निर्माण किया है, जो यादृच्छिक रूप से टाइप किए गए माता-पिता से प्रारंभ होता है, बाद की पीढ़ियों का प्रजनन करके और हमेशा यादृच्छिक उत्परिवर्तन के साथ माता-पिता की प्रतियों से निकटतम मैच का चयन करता है। लक्ष्य वाक्यांश के ही चरण में प्रकट होने की संभावना बहुत कम है, फिर भी डॉकिन्स ने दिखाया कि वाक्यांशों के संचयी चयन का उपयोग करके इसे तेजी से (लगभग 40 पीढ़ियों में) बनाया जा सकता है। यादृच्छिक विकल्प कच्चा माल प्रस्तुत करते हैं, चूंकि संचयी चयन सूचना प्रदान करता है। जैसा कि डॉकिंस स्वीकार करते हैं, चूंकि, नेवला कार्यक्रम विकास के लिए अपूर्ण सादृश्य है, क्योंकि वंश वाक्यांशों को दूर के आदर्श लक्ष्य के समानता के मानदंड के अनुसार चुना गया था। इसके विपरीत, डॉकिंस पुष्टि करते हैं, विकास की कोई दीर्घकालिक योजना नहीं है और यह किसी दूर के लक्ष्य (जैसे मनुष्य) की ओर नहीं बढ़ता है। नेवला कार्यक्रम इसके अतिरिक्त गैर-यादृच्छिक संचयी चयन और यादृच्छिक एकल-चरण चयन के बीच अंतर को स्पष्ट करने के लिए है। टाइपिंग बंदर सादृश्य के संदर्भ में, इसका अर्थ है कि रोमियो और जूलियट को अपेक्षाकृत तेज़ी से उत्पादित किया जा सकता है यदि गैर-यादृच्छिक, डार्विनियन-प्रकार के चयन की बाधाओं के अनुसार रखा जाता है क्योंकि फिटनेस कार्य लक्ष्य से मेल खाने वाले किसी भी अक्षर को संरक्षित करने की प्रवृत्ति रखता है। टेक्स्ट, टाइपिंग बंदरों की प्रत्येक क्रमिक पीढ़ी में सुधार।

विकास और अनियंत्रित बंदर के बीच समानता की खोज के लिए अलग अवसर समस्या में निहित है कि बंदर समय में केवल अक्षर टाइप करता है, अन्य अक्षरों से स्वतंत्र। ह्यूग पेट्री का तर्क है कि जैविक विकास के लिए नहीं किन्तु विचारों के विकास के लिए अधिक परिष्कृत सेटअप की आवश्यकता है:

"In order to get the proper analogy, we would have to equip the monkey with a more complex typewriter. It would have to include whole Elizabethan sentences and thoughts. It would have to include Elizabethan beliefs about human action patterns and the causes, Elizabethan morality and science, and linguistic patterns for expressing these. It would probably even have to include an account of the sorts of experiences which shaped Shakespeare's belief structure as a particular example of an Elizabethan. Then, perhaps, we might allow the monkey to play with such a typewriter and produce variants, but the impossibility of obtaining a Shakespearean play is no longer obvious. What is varied really does encapsulate a great deal of already-achieved knowledge." जेम्स डब्ल्यू वेलेंटाइन, यह स्वीकार करते हुए कि क्लासिक बंदर का कार्य असंभव है, पाता है कि लिखित अंग्रेजी और मेटाज़ोआ जीनोम के बीच इस अन्य अर्थ में सार्थक सादृश्य है: दोनों में संयोजी, पदानुक्रमित संरचनाएं हैं जो संयोजनों की विशाल संख्या को बहुत सीमित करती हैं वर्णमाला स्तर।

साहित्यिक सिद्धांत
आरजी कॉलिंगवुड ने 1938 में तर्क दिया कि कला दुर्घटना से उत्पन्न नहीं हो सकती है, और अपने आलोचकों के लिए व्यंग्यात्मक के रूप में लिखा,

"... some ... have denied this proposition, pointing out that if a monkey played with a typewriter ... he would produce ... the complete text of Shakespeare. Any reader who has nothing to do can amuse himself by calculating how long it would take for the probability to be worth betting on. But the interest of the suggestion lies in the revelation of the mental state of a person who can identify the 'works' of Shakespeare with the series of letters printed on the pages of a book ..." नेल्सन गुडमैन ने विपरीत स्थिति ली, बोर्गेस के पियरे मेनार्ड, क्विक्सोट के लेखक, कैथरीन एल्गिन के साथ अपनी बात को चित्रित करते हुए,

"What Menard wrote is simply another inscription of the text. Any of us can do the same, as can printing presses and photocopiers. Indeed, we are told, if infinitely many monkeys ... one would eventually produce a replica of the text. That replica, we maintain, would be as much an instance of the work, Don Quixote, as Cervantes' manuscript, Menard's manuscript, and each copy of the book that ever has been or will be printed." एक अन्य लेखन में, गुडमैन विस्तार से बताते हैं, कि हो सकता है कि बंदर ने अपनी प्रति बेतरतीब रूप से बनाई हो, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। यह ही पाठ है, और यह सभी समान व्याख्याओं के लिए खुला है। ... जेरार्ड जेनेट ने गुडमैन के तर्क को भीख मांगते हुए खारिज कर दिया। जॉर्ज जेई ग्रासिया के लिए, ग्रंथों की पहचान का प्रश्न लेखक के अलग प्रश्न की ओर ले जाता है। यदि बंदर हेमलेट टाइप करने में सक्षम है, अर्थ का कोई विचार न होने के अतिरिक्त और इसलिए खुद को लेखक के रूप में अयोग्य घोषित कर रहा है, तो ऐसा प्रतीत होता है कि ग्रंथों को लेखकों की आवश्यकता नहीं है। संभावित समाधानों में यह कहना सम्मिलित है कि जो कोई भी पाठ को ढूंढता है और उसे हेमलेट के रूप में पहचानता है वह लेखक है; या कि शेक्सपियर लेखक है, बंदर उसका एजेंट है, और खोजकर्ता केवल पाठ का उपयोगकर्ता है। इन समाधानों की अपनी कठिनाइयाँ हैं, जिसमें पाठ का अर्थ अन्य एजेंटों से अलग प्रतीत होता है: क्या होगा यदि शेक्सपियर के जन्म से पहले बंदर संचालित होता है, या यदि शेक्सपियर कभी उत्पन्न नहीं होता है, या यदि कोई बंदर का टाइपस्क्रिप्ट कभी नहीं पाता है?

रैंडम दस्तावेज़ जनरेशन
प्रमेय विचार प्रयोग से संबंधित है जो व्यवहार में पूरी तरह से नहीं किया जा सकता है, क्योंकि यह भविष्यवाणी की जाती है कि निषेधात्मक मात्रा में समय और संसाधनों की आवश्यकता होती है। किन्तु, इसने सीमित यादृच्छिक पाठ निर्माण के प्रयासों को प्रेरित किया है।

न्यू यॉर्क वाला में लेख के अनुसार, एरिज़ोना के स्कॉट्सडेल के डैन ओलिवर द्वारा चलाया गया कंप्यूटर प्रोग्राम, 4 अगस्त 2004 को परिणाम के साथ आया: समूह द्वारा 42,162,500,000 अरब बंदर-वर्षों तक काम करने के बाद, बंदरों में से ने टाइप किया, <सैंप>वेलेंटाइन। Ceas toIdor:eFLP0FRjWK78aXzVowm)-';8.t इस क्रम के पहले 19 अक्षर The Two Gentlemen of Verona में पाए जा सकते हैं। अन्य टीमों ने एथेंस के टिमोन से 18, ट्रॉयलस और क्रेसिडा से 17 और रिचर्ड II से 16 वर्णों को पुन: प्रस्तुत किया है। 1 जुलाई 2003 को प्रारंभ की गई द मंकी शेक्सपियर सिम्युलेटर नाम की वेबसाइट में जावा एप्लेट सम्मिलित था, जो बेतरतीब रूप से टाइप करने वाले बंदरों की बड़ी आबादी का अनुकरण करता था, यह देखने के कथित इरादे के साथ कि वर्चुअल बंदरों को प्रारंभ से लेकर शेक्सपियर का पूरा नाटक तैयार करने में कितना समय लगता है। अंत। उदाहरण के लिए, इसने हेनरी IV, भाग 2 से यह आंशिक रेखा तैयार की, जिसमें बताया गया कि 24 मेल खाने वाले वर्णों तक पहुँचने में 2,737,850 मिलियन बिलियन बिलियन मंकी-वर्ष लगे:
 * अफवाह। कान खोल लो; 9r 5j5&?OWTY Z0d

प्रसंस्करण शक्ति सीमाओं के कारण, कार्यक्रम ने वास्तव में यादृच्छिक पाठ उत्पन्न करने और शेक्सपियर से इसकी तुलना करने के अतिरिक्त संभाव्य मॉडल (एक यादृच्छिक संख्या जनरेटर या आरएनजी का उपयोग करके) का उपयोग किया। जब सिम्युलेटर ने मैच का पता लगाया (अर्थात, RNG ने निश्चित मान या निश्चित सीमा के अन्दर मान उत्पन्न किया), तो सिम्युलेटर ने मिलान किए गए पाठ को उत्पन्न करके मैच का अनुकरण किया। प्राकृतिक भाषा पीढ़ी के अभ्यास में अधिक परिष्कृत विधियों का उपयोग किया जाता है। यदि केवल यादृच्छिक वर्णों को उत्पन्न करने के अतिरिक्त कोई जनरेटर को अर्थपूर्ण शब्दावली और रूढ़िवादी रूप से व्याकरण के नियमों का पालन करने के लिए प्रतिबंधित करता है, जैसे संदर्भ-मुक्त व्याकरण का उपयोग करना, तो इस प्रकार से उत्पन्न यादृच्छिक दस्तावेज़ कुछ मनुष्यों को भी मूर्ख बना सकता है (कम से कम सरसरी तौर पर पढ़ने पर) SCIgen, snarXiv, और उत्तर-आधुनिकतावाद जेनरेटर के साथ किए गए प्रयोगों में दिखाया गया है।

फरवरी 2019 में, OpenAI समूह ने GitHub को जनरेटिव प्री-ट्रेन ट्रांसफॉर्मर 2 (GPT-2) कृत्रिम होशियारी प्रकाशित किया, जो मानव हाथ से दो वाक्य इनपुट दिए जाने पर पूरी तरह से विश्वसनीय समाचार लेख तैयार करने में सक्षम है। एआई इतना प्रभावी था कि पूरे कोड को प्रकाशित करने के अतिरिक्त, समूह ने स्केल-बैक संस्करण प्रकाशित करना चुना और बड़े पैमाने पर भ्रामक, पक्षपाती, या अपमानजनक भाषा उत्पन्न करने के लिए उपयोग किए जा रहे बड़े भाषा मॉडल के बारे में चिंताओं के बारे में बयान जारी किया।

यादृच्छिक-संख्या जनरेटर का परीक्षण
आँकड़ों के बारे में प्रश्न यह वर्णन करते हैं कि आदर्श बंदर को कितनी बार कुछ तार टाइप करने के लिए अपेक्षित मूल्य यादृच्छिकता परीक्षणों में अनुवादित होता है। यादृच्छिक-संख्या जनरेटर के लिए व्यावहारिक परीक्षण; ये सरल से लेकर अधिक परिष्कृत तक हैं। कंप्यूटर-विज्ञान के प्रोफेसर जॉर्ज मार्सग्लिया और आरिफ ज़मान की रिपोर्ट है कि वे व्याख्यान में एम-टपल परीक्षणों को ओवरलैप करने वाले परीक्षणों की ऐसी श्रेणी का उपयोग करते थे, क्योंकि वे यादृच्छिक क्रम में क्रमिक तत्वों के एम-टुपल्स को ओवरलैप करने की चिंता करते हैं। किन्तु उन्होंने पाया कि उन्हें मंकी टेस्ट कहने से छात्रों में इस विचार को प्रेरित करने में सहायता मिली। उन्होंने 1993 में विभिन्न आरएनजी के लिए परीक्षणों की श्रेणी और उनके परिणामों पर रिपोर्ट प्रकाशित की।

लोकप्रिय संस्कृति में
अनंत बंदर प्रमेय और उससे जुड़ी कल्पना को संभाव्यता के गणित का लोकप्रिय और लौकिक उदाहरण माना जाता है, जो औपचारिक शिक्षा के अतिरिक्त लोकप्रिय संस्कृति के माध्यम से इसके प्रसारण के कारण आम जनता के लिए व्यापक रूप से जाना जाता है। टाइपराइटर के सेट पर शाब्दिक बंदरों की खड़खड़ाहट की छवि से उपजी जन्मजात हास्य से इसकी सहायता मिलती है, और यह लोकप्रिय दृश्य गैग है।

एक उद्धरण जिम्मेदार ठहराया  1996 में रॉबर्ट विलेंस्की के भाषण में कहा गया था, हमने सुना है कि लाख कीबोर्ड पर लाख बंदर शेक्सपियर के संपूर्ण कार्यों का निर्माण कर सकते हैं; अब, इंटरनेट के लिए धन्यवाद, हम जानते हैं कि यह सच नहीं है।

प्रमेय की स्थायी, व्यापक लोकप्रियता को 2001 के पेपर, मंकीज, टाइपराइटर एंड नेटवर्क्स: द इंटरनेट इन द लाइट ऑफ द थ्योरी ऑफ एक्सीडेंटल एक्सीलेंस के परिचय में नोट किया गया था। 2002 में, द वाशिंगटन पोस्ट के लेख में कहा गया था, बहुत से लोगों ने इस प्रसिद्ध धारणा का मज़ा लिया है कि असीमित संख्या में टाइपराइटर और अनंत समय के साथ बंदरों की अनंत संख्या अंततः शेक्सपियर के कार्यों को लिख सकती है। 2003 में, पहले उल्लिखित कला परिषद इंग्लैंड ने वास्तविक बंदरों और कंप्यूटर कीबोर्ड से जुड़े प्रयोग को व्यापक प्रेस कवरेज प्राप्त किया। 2007 में, प्रमेय को आठ क्लासिक विचार प्रयोगों की सूची में वायर्ड (पत्रिका) पत्रिका द्वारा सूचीबद्ध किया गया था। अमेरिकी नाटककार डेविड इवेस का लघु एक-अभिनय नाटक शब्द, शब्द, शब्द संग्रह से सभी समय में, अनंत बंदर प्रमेय की अवधारणा का मज़ाक उड़ाते हैं।

2015 में बैलेंस्ड सॉफ्टवेयर ने माइक्रोसॉफ्ट स्टोर पर मंकी टाइपराइटर जारी किया। सॉफ्टवेयर अनंत बंदर प्रमेय स्ट्रिंग सूत्र का उपयोग करके यादृच्छिक पाठ उत्पन्न करता है। सॉफ्टवेयर उपयोगकर्ता द्वारा इनपुट किए गए वाक्यांशों के लिए उत्पन्न पाठ को पूछता है। चूंकि सॉफ्टवेयर को सिद्धांत के जीवन प्रतिनिधित्व के लिए सही नहीं माना जाना चाहिए। यह बेतरतीब रूप से पाठ कैसे उत्पन्न किया जाए, इस पर वैज्ञानिक मॉडल के अतिरिक्त सिद्धांत की व्यावहारिक प्रस्तुति है।

यह भी देखें

 * , अन्य विचार प्रयोग जिसमें अनंतता सम्मिलित है
 * , मल्टीवर्स की व्याख्या करता है जिसमें हर संभव घटना कई बार असीम रूप से घटित होगी
 * , अन्य विचार प्रयोग जिसमें अनंतता सम्मिलित है
 * , मल्टीवर्स की व्याख्या करता है जिसमें हर संभव घटना कई बार असीम रूप से घटित होगी
 * , मल्टीवर्स की व्याख्या करता है जिसमें हर संभव घटना कई बार असीम रूप से घटित होगी
 * , मल्टीवर्स की व्याख्या करता है जिसमें हर संभव घटना कई बार असीम रूप से घटित होगी
 * , मल्टीवर्स की व्याख्या करता है जिसमें हर संभव घटना कई बार असीम रूप से घटित होगी

बाहरी कड़ियाँ

 * – a bibliography with quotations
 * – on populating the cosmos with monkey particles
 * – Matt Kane's application of the Infinite Monkey Theorem on pixels to create images.
 * – April Fools' Day RFC on the implementation of the Infinite Monkey Theorem.
 * – April Fools' Day RFC on the implementation of the Infinite Monkey Theorem.