हॉसडॉर्फ विरोधाभास

हॉउसडॉर्फ विरोधाभास गणित में एक विरोधाभास है जिसका नाम फेलिक्स हॉसडॉर्फ के नाम पर रखा गया है। इसमें गोला $${ S^2}$$ में एक 3-आयामी गोला $${ \R^3 }$$ सम्मिलित है। इसमें कहा गया है कि यदि एक निश्चित गणनीय उपसमुच्चय को $${ S^2 }$$से हटा दिया जाता है, तो शेष को तीन असंयुक्त उपसमुच्चयों $${ A,B }$$ और $${ C }$$ में विभाजित किया जा सकता है। जैसे कि $${ A, B, C }$$ और $${ B \cup C }$$ सभी सर्वांगसमता (ज्यामिति) हैं। विशेष रूप से यह इस प्रकार है कि $$S^2$$ पर सभी उपसमुच्चयों पर कोई परिमित योज्य माप परिभाषित नहीं है जैसे कि सर्वांगसम समुच्चयों का माप समतुल्य है क्योंकि इसका तात्पर्य यह होगा कि $${ B \cup C }$$ की माप एक साथ $$1/3$$, $$1/2$$ होती है, और पूरे क्षेत्र के गैर-शून्य माप का $$2/3$$ होता है।

विरोधाभास को 1914 में मैथमेटिसे एनालन में प्रकाशित किया गया था और उसी वर्ष हॉसडॉर्फ की पुस्तक, ग्रंडज़ुगे डेर मेंगेनलेह्रे में भी प्रकाशित किया गया था। बहुत अधिक प्रसिद्ध बानाच-तर्स्की विरोधाभास का प्रमाण हॉसडॉर्फ के विचारों का उपयोग करता है। इस विरोधाभास का प्रमाण वरण-अभिगृहीत पर निर्भर करता है।

यह विरोधाभास दर्शाता है कि सभी उपसमुच्चयों पर परिभाषित गोले पर कोई परिमित योगात्मक माप नहीं है जो सर्वांगसम भागों पर समतुल्य हो। हॉसडॉर्फ ने पहली बार समान पत्र में आसान परिणाम दिखाया था कि सभी उपसमुच्चय पर परिभाषित योगात्मक माप नहीं है। गोले पर घूर्णन के समुच्चय की संरचना एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है, यहाँ कथन तल या रेखा पर सही नहीं है। वास्तव में, जैसा कि बाद में स्टीफन बानाच द्वारा दिखाया गया था, यूक्लिडियन समतल (साथ ही वास्तविक रेखा पर "लंबाई") में सभी परिबद्ध उपसमुच्चय के लिए एक "क्षेत्र" को इस तरह से परिभाषित करना संभव है कि सर्वांगसम समुच्चय का "क्षेत्रफल" समतुल्य हो। यह बैनाच माप, हालांकि, केवल परिमित योगात्मक है, इसलिए यह पूर्ण अर्थों में एक माप (गणित) नहीं है, लेकिन यह समुच्चय पर लेबेसेग माप के समतुल्य है जिसके लिए उत्तरार्द्ध सम्मिलित है। इसका तात्पर्य है कि यदि तल के दो विवृत उपसमुच्चय (या वास्तविक रेखा) समान-विघटनकारी हैं तो उनका क्षेत्रफल समान है।

यह भी देखें

 * बनच-टार्स्की विरोधाभास - ज्यामितीय प्रमेय
 * समुच्चय सिद्धांत के विरोधाभास

अग्रिम पठन

 * (Original article; in German)

बाहरी संबंध

 * Hausdorff Paradox on ProofWiki