थियोडोरस का सर्पिल

ज्यामिति में, थिओडोरस का सर्पिल (जिसे वर्गमूल सर्पिल, आइंस्टीन सर्पिल, पाइथोगोरियन सर्पिल, या पाइथागोरस का घोंघा भी कहा जाता है) समकोण त्रिभुजों से बना एक सर्पिल है, जिसे किनारे-से-किनारे रखा गया है। इसका नाम साइरेन के थियोडोरस के नाम पर रखा गया था।

निर्माण
सर्पिल एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज से शुरू होता है, जिसमें प्रत्येक कैथेटस की इकाई लंबाई होती है। एक और समकोण त्रिभुज बनता है, एक ऑटोमेडियन त्रिभुज जिसका एक पैर पिछले त्रिकोण का कर्ण होता है (लंबाई 2 के वर्गमूल के साथ) और दूसरे पैर की लंबाई 1 होती है; इस दूसरे त्रिभुज के कर्ण की लंबाई 3 का वर्गमूल है। प्रक्रिया फिर दोहराती है; $$n$$क्रम में वां त्रिभुज भुजाओं की लंबाई के साथ एक समकोण त्रिभुज है $$\sqrt{n}$$ और 1, और कर्ण के साथ $$\sqrt{n+1}$$. उदाहरण के लिए, 16वें त्रिभुज की भुजाएँ मापी जाती हैं $$4=\sqrt{16}$$, 1 और का कर्ण $$\sqrt{17}$$.

इतिहास और उपयोग
यद्यपि थियोडोरस का सारा काम खो गया है, प्लेटो ने थियोडोरस को अपने संवाद थेएटेटस (संवाद) में रखा, जो उनके काम के बारे में बताता है। यह माना जाता है कि थियोडोरस ने थिओडोरस के सर्पिल के माध्यम से यह साबित कर दिया था कि 3 से 17 तक के गैर-वर्ग पूर्णांकों के सभी वर्गमूल अपरिमेय संख्या हैं।

प्लेटो 2 के वर्गमूल की अपरिमेयता का श्रेय थिओडोरस को नहीं देता, क्योंकि यह उससे पहले अच्छी तरह से जाना जाता था। थियोडोरस और थेएटेटस ने परिमेय संख्याओं और अपरिमेय संख्याओं को विभिन्न श्रेणियों में विभाजित किया।

कर्ण
प्रत्येक त्रिभुज का कर्ण $$h_n$$ संगत प्राकृत संख्या का वर्गमूल देता है, साथ में $$h_1=\sqrt{2}$$.

थियोडोरस द्वारा पढ़ाए गए प्लेटो ने सवाल किया कि थियोडोरस क्यों रुक गया $$\sqrt{17}$$. आमतौर पर इसका कारण यह माना जाता है कि $$\sqrt{17}$$ कर्ण अंतिम त्रिकोण से संबंधित है जो आकृति को ओवरलैप नहीं करता है।

ओवरलैपिंग
1958 में, कालेब विलियम्स ने साबित किया कि कोई भी दो कर्ण कभी भी मेल नहीं खाएंगे, भले ही सर्पिल कितनी दूर तक जारी रहे। साथ ही, यदि इकाई लंबाई की भुजाओं को एक रेखा (ज्यामिति) में विस्तारित किया जाता है, तो वे कभी भी कुल आकृति के किसी अन्य शीर्ष से होकर नहीं गुजरेंगी।

एक्सटेंशन
थिओडोरस ने अपने सर्पिल को त्रिकोण में एक कर्ण के साथ रोक दिया $$\sqrt{17}$$. यदि सर्पिल को अनंत रूप से कई त्रिभुजों तक जारी रखा जाए, तो कई और दिलचस्प विशेषताएँ पाई जाती हैं।

कोण
अगर $$\varphi_n$$ का कोण है $$n$$वें त्रिभुज (या सर्पिल खंड), फिर: $$\tan\left(\varphi_n\right)=\frac{1}{\sqrt{n}}.$$ इसलिए, कोण की वृद्धि $$\varphi_n$$ अगले त्रिकोण का $$n$$ है: $$\varphi_n=\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right).$$ पहले के कोणों का योग $$k$$ त्रिभुज को कुल कोण कहा जाता है $$\varphi(k)$$ के लिए $$k$$वें त्रिकोण। के वर्गमूल के अनुपात में बढ़ता है $$k$$, परिबद्ध समारोह करेक्शन टर्म के साथ $$c_2$$: $$\varphi\left (k\right)=\sum_{n=1}^k\varphi_n = 2\sqrt{k}+c_2(k)$$ कहाँ $$\lim_{k \to \infty} c_2(k)= - 2.157782996659\ldots$$ .



त्रिज्या
एक निश्चित त्रिभुज पर सर्पिल की त्रिज्या का विकास $$n$$ है $$\Delta r=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}.$$

आर्किमिडीयन सर्पिल
थिओडोरस का सर्पिल आर्किमिडीयन सर्पिल का अनुमान लगाता है। जैसे आर्किमिडीयन सर्पिल की दो वाइंडिंग के बीच की दूरी गणितीय स्थिरांक के बराबर होती है $$\pi$$, जैसे ही थियोडोरस के सर्पिल के घुमावों की संख्या अनंत तक पहुंचती है, दो क्रमागत वाइंडिंग्स के बीच की दूरी तेजी से निकट आती है $$\pi$$.

निम्नलिखित एक तालिका है जो पाई के पास आने वाले सर्पिल के दो घुमावों को दिखाती है:

जैसा कि दिखाया गया है, केवल पाँचवीं वाइंडिंग के बाद, दूरी 99.97% सटीक सन्निकटन है $$\pi$$.

सतत वक्र
एक चिकनी वक्र द्वारा थियोडोरस के सर्पिल के असतत बिंदुओं को प्रक्षेपित करने का प्रश्न प्रस्तावित किया गया था और इसका उत्तर दिया गया था  कारख़ाने का  फ़ंक्शन के लिए इंटरपोलेशन के रूप में गामा समारोह के लिए यूलर के सूत्र के अनुरूप। फिलिप जे. डेविस ने समारोह पाया $$T(x) = \prod_{k=1}^\infty \frac{1 + i/\sqrt{k}}{1 + i/\sqrt{x+k}} \qquad ( -1 < x < \infty )$$ जिसका आगे अध्ययन उनके छात्र जेफ़री जे. लीडर ने किया और Arieh Iserles द्वारा (परिशिष्ट में ). इस फ़ंक्शन का एक स्वयंसिद्ध लक्षण वर्णन में दिया गया है अद्वितीय कार्य के रूप में जो कार्यात्मक समीकरण को संतुष्ट करता है $$f(x+1) = \left( 1 + \frac{i}{\sqrt{x+1} }\right) \cdot f(x),$$ प्रारंभिक स्थिति $$f(0) = 1,$$ और तर्क (जटिल विश्लेषण) और निरपेक्ष मूल्य दोनों में मोनोटोनिक फ़ंक्शन; इसमें वैकल्पिक स्थितियों और कमजोरियों का भी अध्ययन किया गया है। में एक वैकल्पिक व्युत्पत्ति दी गई है.

डेविस के थिओडोरस के सर्पिल के निरंतर रूप की एक विश्लेषणात्मक निरंतरता जो मूल से विपरीत दिशा में फैली हुई है, में दी गई है.

चित्र में मूल (असतत) थियोडोरस सर्पिल के नोड्स को छोटे हरे घेरे के रूप में दिखाया गया है। नीले वे हैं, जो सर्पिल के विपरीत दिशा में जोड़े गए हैं। केवल नोड्स $$n$$ ध्रुवीय त्रिज्या के पूर्णांक मान के साथ $$r_n=\pm\sqrt{|n|}$$ चित्र में क्रमांकित हैं। निर्देशांक मूल में धराशायी वृत्त $$O$$ पर वक्रता का वृत्त है $$O$$.

यह भी देखें

 * फर्मेट का सर्पिल
 * सर्पिलों की सूची