अभाज्य संख्या प्रमेय

गणित में, अभाज्य संख्या प्रमेय (PNT) सकारात्मक पूर्णांकों के बीच अभाज्य संख्याओं के विषम विश्लेषण वितरण का वर्णन करता है। यह सहज ज्ञान युक्त विचार को औपचारिक रूप देता है कि प्राइम कम सामान्य हो जाते हैं क्योंकि वे उस दर को सटीक रूप से मापते हैं जिस पर यह घटित होता है। जैक्स हैडमार्ड द्वारा प्रमेय को स्वतंत्र रूप से सिद्ध किया गया था और चार्ल्स जीन डे ला वाली पुसिन 1896 में बर्नहार्ड रीमैन (विशेष रूप से, रीमैन जीटा फ़ंक्शन) द्वारा पेश किए गए विचारों का उपयोग करते हुए।

इस तरह का पहला वितरण पाया गया है $π(N) ~ N⁄log(N)$, कहाँ $π(N)$ प्राइम-काउंटिंग फंक्शन है (एन से कम या उसके बराबर प्राइम्स की संख्या) और $log(N)$ का प्राकृतिक लघुगणक है $N$. इसका मतलब है कि काफी बड़े के लिए $N$संभावना है कि एक यादृच्छिक पूर्णांक से अधिक नहीं है $N$ प्राइम के बहुत करीब है $1 / log(N)$. नतीजतन, अधिकतम के साथ एक यादृच्छिक पूर्णांक $2n$ अंक (पर्याप्त बड़े के लिए $n$) अधिक से अधिक यादृच्छिक पूर्णांक के रूप में अभाज्य होने की संभावना से लगभग आधा है $n$ अंक। उदाहरण के लिए, अधिकतम 1000 अंकों के धनात्मक पूर्णांकों में से, 2300 में लगभग एक अभाज्य है ($log(10^{1000}) ≈ 2302.6$), जबकि अधिकतम 2000 अंकों के सकारात्मक पूर्णांकों में से, 4600 में लगभग एक अभाज्य है ($log(10^{2000}) ≈ 4605.2$). दूसरे शब्दों में, पहले के बीच क्रमागत अभाज्य संख्याओं के बीच का औसत अंतर $N$ पूर्णांक मोटे तौर पर है $log(N)$.

कथन


होने देना $π(x)$ प्राइम-काउंटिंग फंक्शन बनें, जो प्राइम्स की संख्या से कम या उसके बराबर हो $x$, किसी भी वास्तविक संख्या के लिए$x$. उदाहरण के लिए, $x / log x$ क्योंकि चार अभाज्य संख्याएँ (2, 3, 5 और 7) 10 से कम या उसके बराबर हैं। अभाज्य संख्या प्रमेय तब बताता है कि $Li(x)$ का अच्छा अनुमान है $x / log x$ (जहाँ log का अर्थ है प्राकृतिक लघुगणक), इस अर्थ में कि दो कार्यों के भागफल के एक कार्य की सीमा $Li(x)$ और $x / log x$ जैसा $x$ बिना किसी सीमा के बढ़ता है 1:


 * $$\lim_{x\to\infty}\frac{\;\pi(x)\;}{\;\left[ \frac{x}{\log(x)}\right]\;} = 1,$$

अभाज्य संख्याओं के वितरण के उपगामी नियम के रूप में जाना जाता है। स्पर्शोन्मुख संकेतन का उपयोग करके इस परिणाम को इस रूप में पुनर्स्थापित किया जा सकता है


 * $$\pi(x)\sim \frac{x}{\log x}.$$

यह संकेतन (और प्रमेय) दो कार्यों के अंतर की सीमा के बारे में कुछ नहीं कहता है $x$ बिना सीमा के बढ़ता है। इसके बजाय, प्रमेय कहता है कि $Li(x)$ अनुमानित $π(x)$ इस अर्थ में कि इस सन्निकटन की सापेक्ष त्रुटि 0 तक पहुँचती है $x$ बिना सीमा के बढ़ता है।

अभाज्य संख्या प्रमेय इस कथन के समतुल्य है कि $x$वें अभाज्य संख्या $x$ संतुष्ट


 * $$p_n \sim n\log(n),$$

स्पर्शोन्मुख संकेतन का अर्थ है, फिर से, कि इस सन्निकटन की सापेक्ष त्रुटि 0 के रूप में पहुंचती है $x$ बिना सीमा के बढ़ता है। उदाहरण के लिए, द $n$वें अभाज्य संख्या है $p_{n}$, और ($n$)लकड़ी का लट्ठा($2$) तक चक्कर लगाता है $8,512,677,386,048,191,000$, लगभग 6.4% की सापेक्ष त्रुटि।

दूसरी ओर, निम्नलिखित स्पर्शोन्मुख संबंध तार्किक रूप से समतुल्य हैं:
 * $$\begin{align}

\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\pi(x)\log x}{x}&=1,\\ \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\pi(x)\log \pi(x)}{x}&=1. \end{align} $$ जैसा कि रेखांकित किया गया #प्रूफ स्केच, अभाज्य संख्या प्रमेय भी किसके समतुल्य है
 * $$\lim_{x\to\infty} \frac{\vartheta (x)}x = \lim_{x\to\infty} \frac{\psi(x)}x=1,$$

कहाँ $2$ और $2$ क्रमशः चेबीशेव समारोह हैं, और
 * $$\lim_{x \to \infty} \frac{M(x)}{x}=0,$$

कहाँ $$M(x)=\sum_{n \leq x} \mu(n)$$ मेर्टेंस कार्य करता है है।

अभाज्य संख्याओं के स्पर्शोन्मुख नियम के प्रमाण का इतिहास
एंटोन फेलकेल और यूरी वेगा द्वारा तालिकाओं के आधार पर, एड्रियन मैरी लीजेंड्रे ने 1797 या 1798 में अनुमान लगाया कि $π(x)$ समारोह द्वारा अनुमानित है $x / log x$, कहाँ $7,967,418,752,291,745,000$ और $ϑ$ अनिर्दिष्ट स्थिरांक हैं। संख्या सिद्धांत (1808) पर अपनी पुस्तक के दूसरे संस्करण में उन्होंने फिर एक लीजेंड्रे स्थिरांक बनाया, जिसके साथ $Li(x) − π(x)$ और $π(x)$. कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने इसी प्रश्न पर 15 या 16 वर्ष की आयु में 1792 या 1793 में विचार किया, 1849 में अपने स्वयं के स्मरण के अनुसार। 1838 में पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट अपने स्वयं के सन्निकटन कार्य, लॉगरिदमिक इंटीग्रल के साथ आए $x / log x$ (श्रृंखला के थोड़े अलग रूप के तहत, जिसे उन्होंने गॉस को बताया)। लीजेंड्रे और डिरिचलेट के दोनों सूत्र समान अनुमानित स्पर्शोन्मुख तुल्यता का संकेत देते हैं $Li(x)$ और $π(x)$ ऊपर कहा गया है, हालांकि यह पता चला है कि डिरिक्लेट का सन्निकटन काफी बेहतर है यदि कोई भागफल के बजाय अंतरों पर विचार करता है।

1848 और 1850 के दो पत्रों में, रूसी गणितज्ञ Pafnuty Chebyshev ने अभाज्य संख्याओं के वितरण के स्पर्शोन्मुख नियम को सिद्ध करने का प्रयास किया। जीटा फ़ंक्शन के उपयोग के लिए उनका काम उल्लेखनीय है $π(10) = 4$, तर्क के वास्तविक मूल्यों के लिए$ψ$, जैसा कि 1737 की शुरुआत में लियोनहार्ड यूलर के कार्यों में था। चेबीशेव के कागजात 1859 के रीमैन के प्रसिद्ध संस्मरण से पहले के थे, और वह स्पर्शोन्मुख कानून के थोड़े कमजोर रूप को साबित करने में सफल रहे, अर्थात्, यदि सीमा के रूप में $A$ की अनंतता में जाता है $x / log x$ बिल्कुल मौजूद है, तो यह अनिवार्य रूप से एक के बराबर है। वह बिना शर्त यह साबित करने में सक्षम था कि यह अनुपात 1 के करीब दो स्पष्ट रूप से दिए गए स्थिरांक से ऊपर और नीचे घिरा हुआ है, सभी के लिए पर्याप्त रूप से बड़ा $B$. हालांकि चेबीशेव का पेपर प्राइम नंबर प्रमेय को साबित नहीं करता है, लेकिन उसका अनुमान है $π(x)$ बर्ट्रेंड के अभिधारणा को साबित करने के लिए पर्याप्त मजबूत थे कि उनके बीच एक अभाज्य संख्या मौजूद है $π(x)$ और $x / log x$ किसी भी पूर्णांक के लिए $x / log x$.

अभाज्य संख्याओं के वितरण से संबंधित एक महत्वपूर्ण पेपर रीमैन का 1859 का संस्मरण किसी दिए गए परिमाण से कम प्राइम्स की संख्या पर था, एकमात्र पेपर जो उन्होंने इस विषय पर लिखा था। रीमैन ने इस विषय में नए विचार पेश किए, मुख्य रूप से यह कि अभाज्य संख्याओं का वितरण एक जटिल चर के विश्लेषणात्मक रूप से विस्तारित रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के शून्य के साथ घनिष्ठ रूप से जुड़ा हुआ है। विशेष रूप से, यह इस पत्र में है कि वास्तविक कार्य के अध्ययन के लिए जटिल विश्लेषण के तरीकों को लागू करने का विचार है $π(x)$ उत्पत्ति। रीमैन के विचारों का विस्तार करते हुए, अभाज्य संख्याओं के वितरण के स्पर्शोन्मुख कानून के दो प्रमाण स्वतंत्र रूप से जैक्स हैडमार्ड द्वारा पाए गए और चार्ल्स जीन डे ला वाली पुसिन और उसी वर्ष (1896) में दिखाई दिया। दोनों सबूतों ने जटिल विश्लेषण से तरीकों का इस्तेमाल किया, सबूत के एक मुख्य चरण के रूप में स्थापित किया कि रीमैन जीटा कार्य करता है $π(a)$ चर के सभी जटिल मानों के लिए शून्य नहीं है $s$ जिसका रूप है $a / (A log a + B)$ साथ $A = 1$. 20वीं शताब्दी के दौरान, हैडमार्ड और डे ला वाली पुसिन के प्रमेय को प्रधान संख्या प्रमेय के रूप में भी जाना जाने लगा। इसके कई अलग-अलग प्रमाण पाए गए, जिनमें एटले सेलबर्ग के प्राथमिक प्रमाण भी शामिल हैं और पॉल एर्डोस न्यूमैन का सबूत यकीनन प्रमेय का सबसे सरल ज्ञात प्रमाण है, हालांकि यह इस अर्थ में गैर-प्रारंभिक है कि यह कॉची के अभिन्न प्रमेय को जटिल विश्लेषण से उपयोग करता है।

सबूत स्केच
यहाँ टेरेंस ताओ के एक व्याख्यान में उल्लिखित प्रमाण का एक रेखाचित्र है। पीएनटी के अधिकांश प्रमाणों की तरह, यह समस्या को कम सहज, लेकिन बेहतर व्यवहार वाले, प्राइम-काउंटिंग फ़ंक्शन के रूप में सुधारने से शुरू होता है। यह विचार है कि प्राइम्स (या संबंधित सेट जैसे कि प्राइम पॉवर्स का सेट) को वेट के साथ गिनना है ताकि एक फंक्शन में स्मूद एसिम्प्टोटिक व्यवहार हो सके। इस तरह का सबसे आम सामान्यीकृत गिनती समारोह चेबीशेव फ़ंक्शन है $B = −1.08366$, द्वारा परिभाषित


 * $$\psi(x) = \!\!\!\! \sum_\stackrel{p^k \le x,}{p \text{ is prime}} \!\!\!\! \log p \; .$$

इसे कभी-कभी लिखा जाता है


 * $$\psi(x) = \sum_{n\le x} \Lambda(n) \; ,$$

कहाँ $li(x)$ मैंगोल्ड्ट फ़ंक्शन द्वारा है, अर्थात्


 * $$\Lambda(n) = \begin{cases} \log p & \text{ if } n = p^k \text{ for some prime } p \text{ and integer } k \ge 1, \\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases}$$

अब यह जाँचना अपेक्षाकृत आसान हो गया है कि PNT उस दावे के समतुल्य है
 * $$\lim_{x\to\infty} \frac{\psi(x)}{x} = 1 \; .$$

दरअसल, यह आसान अनुमानों से चलता है
 * $$\psi(x) = \sum_\stackrel{p\le x}{p \text{ is prime}} \log p \left\lfloor \frac{\log x}{\log p} \right\rfloor \le \sum_\stackrel{p\le x}{p \text{ is prime}} \log x = \pi(x)\log x$$

और (बिग ओ नोटेशन का उपयोग करके | big $x$ नोटेशन) किसी के लिए $π(x)$,
 * $$\psi(x) \ge \!\!\!\!\sum_\stackrel{x^{1-\varepsilon}\le p\le x}{p \text{ is prime}}\!\!\!\! \log p\ge\!\!\!\!\sum_\stackrel{x^{1-\varepsilon}\le p\le x}{p \text{ is prime}}\!\!\!\!(1-\varepsilon)\log x=(1-\varepsilon)\left(\pi(x)+O\left(x^{1-\varepsilon}\right)\right)\log x \; .$$

अगला कदम इसके लिए एक उपयोगी प्रतिनिधित्व खोजना है $x / log(x)$. होने देना $ζ(s)$ रिमेंन जीटा समारोह हो। यह दिखाया जा सकता है $π(x) / (x / log(x))$ वॉन मैंगोल्ड फ़ंक्शन से संबंधित है $π(x)$, और इसलिए करने के लिए $n$, संबंध के माध्यम से


 * $$-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} = \sum_{n = 1}^\infty \Lambda(n) \, n^{-s} \; .$$

मेलिन रूपांतरण और पेरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए इस समीकरण और जेटा फ़ंक्शन के संबंधित गुणों का एक नाजुक विश्लेषण दिखाता है कि गैर-पूर्णांक के लिए $x$ समीकरण


 * $$\psi(x) = x \; - \; \log(2\pi) \; - \sum\limits_{\rho :\, \zeta(\rho) = 0} \frac{x^\rho}{\rho}$$

धारण करता है, जहां जीटा फ़ंक्शन के सभी शून्यों (तुच्छ और गैर-तुच्छ) पर योग होता है। यह हड़ताली सूत्र तथाकथित स्पष्ट सूत्रों (एल-फ़ंक्शन) में से एक है, और पहले से ही उस परिणाम का सूचक है जिसे हम सिद्ध करना चाहते हैं, क्योंकि शब्द $s$ (के सही स्पर्शोन्मुख क्रम होने का दावा किया $2n$) दाहिने हाथ की ओर प्रकट होता है, उसके बाद (संभवत:) निम्न-क्रम स्पर्शोन्मुख शब्द।

प्रमाण के अगले चरण में जीटा फलन के शून्यों का अध्ययन शामिल है। तुच्छ शून्य −2, −4, −6, −8, ... को अलग से संभाला जा सकता है:
 * $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n\,x^{2n}} = -\frac{1}{2}\log\left(1-\frac{1}{x^2}\right),$$

जो बड़े पैमाने पर गायब हो जाता है $O$. गैर-तुच्छ शून्य, अर्थात् महत्वपूर्ण पट्टी पर $n ≥ 2$, संभावित रूप से मुख्य शब्द के तुलनीय एक स्पर्शोन्मुख क्रम का हो सकता है $x$ अगर $π(x)$, इसलिए हमें यह दिखाने की आवश्यकता है कि सभी शून्यों का वास्तविक भाग 1 से कम है।

गैर-लुप्त होने पर $ζ(s)$
ऐसा करने के लिए, हम इसे मान लेते हैं $s = 1 + it$ अर्ध-विमान में मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन है $t > 0$, और वहाँ एक साधारण ध्रुव को छोड़कर वहाँ विश्लेषणात्मक है $ψ(x)$, और यह कि एक उत्पाद सूत्र है
 * $$\zeta(s)=\prod_p\frac{1}{1-p^{-s}} $$

के लिए $Λ(n)$. यह उत्पाद सूत्र पूर्णांकों के अद्वितीय अभाज्य गुणनखंडन के अस्तित्व से अनुसरण करता है, और यह दर्शाता है $ε > 0$ इस क्षेत्र में कभी भी शून्य नहीं होता है, इसलिए इसका लघुगणक वहां परिभाषित किया जाता है और
 * $$\log\zeta(s)=-\sum_p\log \left(1-p^{-s} \right)=\sum_{p,n}\frac{p^{-ns}}{n} \; .$$

लिखना $ψ(x)$ ; तब


 * $$\big| \zeta(x+iy) \big| = \exp\left( \sum_{n,p} \frac{\cos ny\log p}{np^{nx}} \right) \; .$$

अब पहचान का निरीक्षण करें
 * $$ 3 + 4 \cos \phi+ \cos 2 \phi = 2 ( 1 + \cos \phi )^2\ge 0 \; ,$$

ताकि


 * $$\left| \zeta(x)^3 \zeta(x+iy)^4 \zeta(x+2iy) \right| = \exp\left( \sum_{n,p} \frac{3 + 4 \cos(ny\log p) + \cos( 2 n y \log p )}{np^{nx}} \right) \ge 1$$

सभी के लिए $ζ(s)$. मान लीजिए कि अब $ζ(s)$. निश्चित रूप से $x$ शून्य नहीं है, क्योंकि $Λ(n)$ पर एक साधारण पोल है $ψ(x)$. लगता है कि $ψ(x)$ और जाने $x$ ऊपर से 1 की ओर रुख करें। तब से $$\zeta(s)$$ पर एक साधारण पोल है $0 ≤ Re(s) ≤ 1$ और $Re(ρ) = 1$ विश्लेषणात्मक रहता है, पिछली असमानता में बायां हाथ 0 की ओर जाता है, एक विरोधाभास।

अंत में, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि PNT अनुमानिक रूप से सत्य है। प्रमाण को सख्ती से पूरा करने के लिए अभी भी गंभीर तकनीकीताओं को दूर करना है, इस तथ्य के कारण कि स्पष्ट सूत्र में जीटा शून्य से अधिक का योग $Re(s) = 1$ पूरी तरह अभिसरण नहीं करता है लेकिन केवल सशर्त और एक प्रमुख मूल्य अर्थ में। इस समस्या से निपटने के कई तरीके हैं लेकिन उनमें से कई के लिए नाजुक जटिल-विश्लेषणात्मक अनुमानों की आवश्यकता होती है। एडवर्ड्स की किताब विवरण प्रदान करता है। इकेहारा के ताउबेरियन प्रमेय का उपयोग करने के लिए एक और तरीका है, हालांकि यह प्रमेय अपने आप में साबित करने के लिए काफी कठिन है। डीजे न्यूमैन ने देखा कि अभाज्य संख्या प्रमेय के लिए इकेहारा के प्रमेय की पूरी ताकत की आवश्यकता नहीं है, और कोई एक विशेष मामले से बच सकता है जिसे साबित करना बहुत आसान है।

अभाज्य संख्या प्रमेय का न्यूमैन का प्रमाण
डी. जे. न्यूमैन अभाज्य संख्या प्रमेय (पीएनटी) का त्वरित प्रमाण देते हैं। जटिल विश्लेषण पर भरोसा करने के आधार पर प्रमाण गैर-प्राथमिक है, लेकिन विषय में पहले पाठ्यक्रम से केवल प्राथमिक तकनीकों का उपयोग करता है: कॉची का अभिन्न सूत्र, कॉची का अभिन्न प्रमेय और जटिल अभिन्न का अनुमान। यहाँ इस प्रमाण का संक्षिप्त विवरण दिया गया है। देखना पूरी जानकारी के लिए।

फ़ंक्शन के बजाय प्रूफ़ पिछले सेक्शन की तरह ही प्रिलिमिनरीज़ का उपयोग करता है $\psi$, चेबिशेव समारोह$ \quad \vartheta(x) = \sum_{p\le x} \log p $ प्रयोग किया जाता है, जो कि श्रृंखला से कुछ पदों को हटाकर प्राप्त किया जाता है $\psi$. यह दिखाना आसान है कि PNT इसके बराबर है $$\lim _{x \to \infty} \vartheta(x)/x = 1$$. इसी तरह के बजाय $$ - \frac{\zeta '(s)}{\zeta(s)} $$ कार्यक्रम $$ \Phi(s) = \sum_{p\le x} \log p\,\, p^{-s} $$ का प्रयोग किया जाता है, जो कि श्रेणी में कुछ पदों को हटाकर प्राप्त किया जाता है $$ - \frac{\zeta '(s)}{\zeta(s)} $$. कार्य $$ \Phi(s) $$ और $$ -\zeta'(s)/\zeta(s) $$ एक फ़ंक्शन होलोमोर्फिक द्वारा भिन्न होता है $$\Re s = 1$$. चूंकि, जैसा कि पिछले अनुभाग में दिखाया गया था, $$\zeta(s)$$ रेखा पर कोई शून्य नहीं है $$\Re s = 1$$, $$ \Phi(s) - \frac 1{s-1} $$ पर कोई विलक्षणता नहीं है $$\Re s = 1$$.

न्यूमैन के प्रमाण में आवश्यक जानकारी का एक और टुकड़ा, और जो उसकी सरल विधि में अनुमानों की कुंजी है, वह है $$\vartheta(x)/x$$ घिरा है। यह चेबीशेव के कारण एक सरल और आसान विधि का उपयोग करके सिद्ध होता है।

भागों द्वारा एकीकरण दिखाता है कि कैसे $$\vartheta(x)$$ और $$\Phi(s)$$ आपस में संबंधित हैं। के लिए $$\Re s > 1$$,

\Phi(s) = \int _1^\infty x^{-s} d\vartheta(x) =  s\int_1^\infty \vartheta(x)x^{-s-1}\,dx = s \int_0^\infty \vartheta(e^t) e^{-st} \, dt. $$ न्यूमैन की विधि अभिन्न दिखा कर पीएनटी को सिद्ध करती है

I = \int_0 ^\infty \left( \frac{\vartheta(e^t)}{e^t} -1 \right) \, dt. $$ अभिसरण करता है, और इसलिए इंटीग्रैंड शून्य हो जाता है $$t \to \infty$$, जो पीएनटी है। सामान्य तौर पर, अनुचित इंटीग्रल के अभिसरण का मतलब यह नहीं है कि इंटीग्रैंड अनंत पर शून्य हो जाता है, क्योंकि यह दोलन कर सकता है, लेकिन चूंकि $$\vartheta$$ बढ़ रहा है, इस मामले में दिखाना आसान है।

का अभिसरण दिखाने के लिए $$ I $$, के लिए $$\Re z > 0$$ होने देना

g_T(z) = \int_0^T f(t) e^{-zt}\, dt $$ और $$ g(z) = \int_0^\infty f(t) e^{-zt}\, dt $$ कहाँ $$ f(t) = \frac {\vartheta(e^t)}{e^t} -1 $$ तब

\lim_{T \to \infty} g_T(z) = g(z) = \frac{\Phi(s)}{s} - \frac 1 {s-1}  \quad \quad  \text{where} \quad  z = s -1 $$ जो लाइन पर होलोमोर्फिक फ़ंक्शन के बराबर है $$\Re z = 0$$.

अभिन्न का अभिसरण $$ I $$, और इस प्रकार PNT, यह दिखा कर सिद्ध होता है $$\lim_{T \to \infty} g_T(0) = g(0)$$. इसमें सीमाओं के क्रम में परिवर्तन शामिल है क्योंकि इसे लिखा जा सकता है $ \lim_{T \to \infty} \lim_{z \to 0} g_T(z) = \lim_{z \to 0} \lim_{T \to \infty}g_T(z) $ और इसलिए एबेलियन और टाउबेरियन प्रमेय|टाउबेरियन प्रमेय के रूप में वर्गीकृत किया गया है।

के अंतर $$g(0) - g_T(0)$$ कॉची के अभिन्न सूत्र का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है और फिर के लिए छोटा दिखाया जाता है $$ T $$ इंटीग्रैंड का अनुमान लगाकर बड़ा। हल करना $$R>0$$ और $$\delta >0$$ ऐसा है कि $$g(z)$$ उस क्षेत्र में होलोमोर्फिक है जहां $$ |z| \le R \text{ and } \Re z \ge  - \delta$$,  और जाने $$C$$ इस क्षेत्र की सीमा हो। चूँकि 0 क्षेत्र के भीतरी भाग में है, कॉची का समाकल सूत्र देता है

g(0) - g_T(0) = \frac 1 {2 \pi i }\int_C \left( g(z) - g_T(z) \right ) \frac {dz} z = \frac 1 {2 \pi i }\int_C \left( g(z) - g_T(z) \right ) F(z)\frac {dz} z $$ कहाँ $$ F(z) = e^{zT}\left( 1 + \frac {z^2}{R^2}\right) $$ न्यूमैन द्वारा पेश किया गया कारक है, जो तब से अभिन्न को नहीं बदलता है $$F$$ संपूर्ण कार्य है और $$F(0) =1$$.

अभिन्न का अनुमान लगाने के लिए, समोच्च को तोड़ें $$ C $$ दो भागों में, $$ C = C_+ + C_- $$ कहाँ $$C_+ = C \cap \left \{ z \, \vert \, \Re z >  0 \right \}$$ और $$C_- \cap \left \{ \Re z \le 0 \right \}$$. तब $$g(0)- g_T(0) = \int_{C_+}\int_T^\infty H(t,z) dt dz - \int_{C_-}\int_0^T H(t,z) dt dz + \int_{C_-}g(z)F(z)\frac {dz}{2\pi i z}$$कहाँ $$H(t,z) = f(t)e^{-tz}F(z)/2 \pi i$$. तब से $$\vartheta(x)/x$$, और इसलिए $$ f(t) $$, बँधा हुआ है, चलो $$B$$ के निरपेक्ष मान के लिए एक ऊपरी सीमा हो $$f(t)$$. यह अनुमान के साथ बंधा हुआ है $$ $$ के लिए $$ $$ देता है कि निरपेक्ष मान में पहला समाकल है $$\le B/R$$. इंटीग्रैंड ओवर $$C_-$$ दूसरे इंटीग्रल में संपूर्ण कार्य है, इसलिए कॉची के इंटीग्रल प्रमेय द्वारा, समोच्च $$C_-$$ त्रिज्या के अर्धवृत्त में संशोधित किया जा सकता है $$R$$ इंटीग्रल को बदले बिना बाएं आधे विमान में, और पहले इंटीग्रल के लिए वही तर्क दूसरे इंटीग्रल का निरपेक्ष मान देता है $$\le B/R$$. अंत में, दे रहा हूँ $$T \to \infty$$, तीसरा अभिन्न शून्य हो जाता है $$e^{zT}$$ और इसलिए $$F$$ समोच्च पर शून्य हो जाता है। दो अनुमानों और सीमा को मिलाकर प्राप्त करें
 * F| \le 2 \exp(T \Re z)|\Re z|/R
 * z| = R

\limsup_{T \to \infty }|g(0) - g_T(0) | \le \frac {2 B} R. $$ यह किसी के लिए भी है $$R$$ इसलिए $$\lim_{T \to \infty} g_T(0) = g(0)$$, और पीएनटी इस प्रकार है।

लॉगरिदमिक इंटीग्रल
के संदर्भ में प्राइम-काउंटिंग फंक्शन उनके 1838 के पेपर के पुनर्मुद्रण पर हस्तलिखित नोट मेंSur l'usage des séries infinies dans la théorie des nombres, जिसे उन्होंने गॉस को मेल किया, डिरिचलेट ने अनुमान लगाया (अभिन्न रूप के बजाय एक श्रृंखला के लिए अपील करने वाले थोड़े अलग रूप के तहत) कि इससे भी बेहतर सन्निकटन $ζ(s)$ लघुगणक समाकल फलन फलन द्वारा दिया जाता है $Re(s) > 0$, द्वारा परिभाषित


 * $$ \operatorname{Li}(x) = \int_2^x \frac{dt}{\log t} = \operatorname{li}(x) - \operatorname{li}(2). $$

वास्तव में, यह अभिन्न इस धारणा का दृढ़ता से सुझाव देता है कि प्राइम्स का घनत्व चारों ओर है $x$ होना चाहिए $s = 1$. यह फ़ंक्शन स्पर्शोन्मुख विस्तार द्वारा लघुगणक से संबंधित है


 * $$ \operatorname{Li}(x) \sim \frac{x}{\log x} \sum_{k=0}^\infty \frac{k!}{(\log x)^k} = \frac{x}{\log x} + \frac{x}{(\log x)^2} + \frac{2x}{(\log x)^3} + \cdots $$

अतः अभाज्य संख्या प्रमेय को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है $Re(s) > 1$. दरअसल, दूसरे पेपर में 1899 में डे ला वल्ली पौसिन ने यह साबित कर दिया


 * $$ \pi(x) = \operatorname{Li} (x) + O \left(x e^{-a\sqrt{\log x}}\right) \quad\text{as } x \to \infty$$

कुछ सकारात्मक स्थिरांक के लिए $y$, कहाँ $ζ(s)$ बिग ओ नोटेशन है|बड़ा $x$ अंकन। इसमें सुधार किया गया है


 * $$\pi(x) = \operatorname{li} (x) + O \left(x \exp \left( -\frac{A(\log x)^\frac35}{(\log \log x)^\frac15} \right) \right)$$ कहाँ $$A = 0.2098$$.

2016 में, Trudgian के बीच के अंतर के लिए एक स्पष्ट ऊपरी सीमा साबित हुई $$\pi(x)$$ और $$\operatorname{li}(x)$$:
 * $$\big| \pi(x) - \operatorname{li}(x) \big| \le 0.2795 \frac{x}{(\log x)^{3/4}}

\exp \left( -\sqrt{ \frac{\log x}{6.455} } \right)$$ के लिए $$x \ge 229$$. रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन और के बीच संबंध $s = x + iy$ यह एक कारण है कि रीमैन परिकल्पना का संख्या सिद्धांत में काफी महत्व है: यदि स्थापित हो जाता है, तो यह आज की तुलना में अभाज्य संख्या प्रमेय में शामिल त्रुटि का बेहतर अनुमान लगाएगा। अधिक विशेष रूप से, हेल्ज वॉन कोच ने 1901 में दिखाया यदि रीमैन परिकल्पना सत्य है, तो उपरोक्त संबंध में त्रुटि शब्द में सुधार किया जा सकता है


 * $$ \pi(x) = \operatorname{Li} (x) + O\left(\sqrt x \log x\right) $$

(यह अंतिम अनुमान वास्तव में रीमैन परिकल्पना के समतुल्य है)। बड़े में शामिल निरंतर $t$ 1976 में लोवेल स्कोनफेल्ड द्वारा अंकन का अनुमान लगाया गया था: रीमैन परिकल्पना मानते हुए,


 * $$\big|\pi(x) - \operatorname{li}(x)\big| < \frac{\sqrt x \log x}{8\pi}$$

सभी के लिए $x > 1$. उन्होंने चेबिशेव फलन | $a$:


 * $$\big|\psi(x) - x\big| < \frac{\sqrt x (\log x)^2 }{8\pi}$$

सभी के लिए $ζ(1 + iy) = 0$. इस बाद की सीमा को शक्ति कानून (जब पूर्णांकों पर एक यादृच्छिक कार्य के रूप में माना जाता है) के लिए भिन्नता व्यक्त करने के लिए दिखाया गया है और $O$गुलाबी शोर और ट्वीडी वितरण के अनुरूप भी। (ट्वीडी डिस्ट्रीब्यूशन स्केल अपरिवर्तनीय डिस्ट्रीब्यूशन के एक परिवार का प्रतिनिधित्व करते हैं जो केंद्रीय सीमा प्रमेय के सामान्यीकरण के लिए अभिसरण के फोकस के रूप में कार्य करते हैं। )

लॉगरिदमिक इंटीग्रल फ़ंक्शन $ζ(s)$ से बड़ा है $s = 1$ के छोटे मूल्यों के लिए $O$. ऐसा इसलिए है क्योंकि यह (कुछ अर्थों में) अभाज्य नहीं, बल्कि प्रधान शक्तियाँ, जहाँ एक शक्ति है, की गिनती है p$ψ$}एक प्राइम का $1⁄f$ के रूप में गिना जाता है $x$ एक प्रधान का। इससे पता चलता है $x > 1$ से बड़ा होना चाहिए $s = 1$ द्वारा मोटे तौर पर $$\ \tfrac{1}{2} \operatorname{li}(\sqrt{x})\ ,$$ और विशेष रूप से हमेशा इससे बड़ा होना चाहिए $ζ(x + 2iy)$. हालाँकि, 1914 में, जॉन एडेंसर लिटलवुड|जे. ई। लिटलवुड ने साबित कर दिया $$\ \pi(x) - \operatorname{li}(x)\ $$ परिवर्तन संकेत असीम रूप से अक्सर। का पहला मान $n$ कहाँ $ψ(x)$ से अधिक है $π(x)$ शायद आसपास है $Li(x)$; अधिक विवरण के लिए Skewes' number पर लेख देखें। (दूसरी ओर, ऑफसेट लॉगरिदमिक इंटीग्रल $1 / log t$ की तुलना में छोटा है $π(x) ~ Li(x)$ पहले से ही के लिए $O(...)$; वास्तव में, $π(x)$, जबकि $ϑ(x)$.)

प्राथमिक प्रमाण
बीसवीं शताब्दी के पूर्वार्द्ध में, कुछ गणितज्ञों (विशेष रूप से जी.एच. हार्डी) का मानना ​​था कि गणित में प्रमाण विधियों का एक पदानुक्रम मौजूद है जो इस बात पर निर्भर करता है कि किस प्रकार की संख्याएँ (पूर्णांक, वास्तविक संख्या, सम्मिश्र संख्या) एक प्रमाण के लिए आवश्यक हैं, और यह कि प्रधान संख्या प्रमेय (पीएनटी) जटिल विश्लेषण की आवश्यकता के आधार पर एक गहन प्रमेय है। वीनर के टैबेरियन प्रमेय पर आधारित पीएनटी के प्रमाण से यह विश्वास कुछ हद तक हिल गया था, हालांकि इसे अलग रखा जा सकता था यदि वीनर के प्रमेय को जटिल चर विधियों के बराबर गहराई माना जाता था।

मार्च 1948 में, एटल सेलबर्ग ने प्रारंभिक तरीकों से, स्पर्शोन्मुख सूत्र की स्थापना की
 * $$\vartheta ( x )\log ( x ) + \sum\limits_{p \le x} {\log ( p )}\ \vartheta \left( {\frac{x}{p}} \right) = 2x\log ( x ) + O( x )$$

कहाँ
 * $$\vartheta ( x ) = \sum\limits_{p \le x} {\log ( p )}$$

प्राइम्स के लिए $p$. उसी वर्ष जुलाई तक, सेलबर्ग और पॉल एर्डोस दोनों ने प्रारंभिक बिंदु के रूप में सेलबर्ग के असिम्प्टोटिक सूत्र का उपयोग करते हुए, पीएनटी के प्रारंभिक प्रमाण प्राप्त किए थे। इन सबूतों ने प्रभावी रूप से इस धारणा को शांत करने के लिए रखा कि पीएनटी उस अर्थ में गहरा था, और यह दिखाया कि तकनीकी रूप से प्राथमिक तरीके अधिक शक्तिशाली थे, जैसा कि मामला माना जाता था। पीएनटी के प्रारंभिक प्रमाणों के इतिहास पर, जिसमें एर्डोस-सेलबर्ग प्राथमिकता विवाद शामिल है, डोरियन गोल्डफेल्ड द्वारा एक लेख देखें।

एर्डोस और सेल्बर्ग के नतीजे के महत्व के बारे में कुछ बहस है। संख्या सिद्धांत में प्राथमिक प्रमाण की धारणा की कोई कठोर और व्यापक रूप से स्वीकृत परिभाषा नहीं है, इसलिए यह स्पष्ट नहीं है कि उनका प्रमाण किस अर्थ में प्राथमिक है। हालांकि यह जटिल विश्लेषण का उपयोग नहीं करता है, यह वास्तव में पीएनटी के मानक प्रमाण से कहीं अधिक तकनीकी है। प्रारंभिक प्रमाण की एक संभावित परिभाषा वह है जिसे पहले क्रम के पियानो अंकगणित में किया जा सकता है। संख्या-सैद्धांतिक कथन हैं (उदाहरण के लिए, पेरिस-हैरिंगटन प्रमेय) द्वितीय क्रम अंकगणित का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है, लेकिन प्रथम-क्रम अंकगणितीय नहीं। प्रथम-क्रम विधियाँ, लेकिन ऐसे प्रमेय आज तक दुर्लभ हैं। एर्डोस और सेल्बर्ग के प्रमाण को निश्चित रूप से पीनो अंकगणित में औपचारिक रूप दिया जा सकता है, और 1994 में, चारलांबोस कॉर्नारोस और कोस्टास दिमित्राकोपोलोस ने साबित किया कि उनके प्रमाण को पीए के एक बहुत ही कमजोर टुकड़े में औपचारिक रूप दिया जा सकता है, अर्थात् $ψ(x)$. हालांकि, यह इस सवाल का समाधान नहीं करता है कि पीए में पीएनटी के मानक प्रमाण को औपचारिक रूप दिया जा सकता है या नहीं।

कंप्यूटर सत्यापन
2005 में, एवीगाड एट अल। PNT के Erdos-Selberg प्रूफ के कंप्यूटर-सत्यापित संस्करण को तैयार करने के लिए मैं इसाबेल के प्रमेय को सिद्ध करूंगा को नियोजित किया। यह PNT का पहला मशीन-सत्यापित प्रमाण था। एविगाड ने एक विश्लेषणात्मक के बजाय एर्दोस-सेलबर्ग प्रमाण को औपचारिक रूप देना चुना क्योंकि उस समय इसाबेल की लाइब्रेरी सीमा, व्युत्पन्न और पारलौकिक कार्य की धारणाओं को लागू कर सकती थी, इसके बारे में बात करने के लिए एकीकरण का कोई सिद्धांत नहीं था। 2009 में, जॉन हैरिसन (गणितज्ञ) ने एचओएल लाइट को जटिल विश्लेषण का उपयोग करते हुए एक प्रमाण को औपचारिक रूप देने के लिए नियोजित किया। कॉची अभिन्न सूत्र समेत आवश्यक विश्लेषणात्मक मशीनरी विकसित करके, हैरिसन अधिक शामिल 'प्राथमिक' एर्दोस-सेलबर्ग के बजाय एक प्रत्यक्ष, आधुनिक और सुरुचिपूर्ण प्रमाण को औपचारिक रूप देने में सक्षम था। तर्क ।

अंकगणितीय प्रगति के लिए अभाज्य संख्या प्रमेय
होने देना $x ≥ 2657$ अंकगणितीय प्रगति में प्राइम्स की संख्या को निरूपित करें $x ≥ 73.2$ जो इससे कम हैं $1⁄n$. डिरिचलेट और लिजेंड्रे ने अनुमान लगाया, और डे ला वल्ली पुसिन ने साबित किया कि अगर $x$ और $p$ Coprime हैं, तो


 * $$\pi_{d,a}(x) \sim \frac{ \operatorname{Li}(x) }{ \varphi(d) } \ ,$$

कहाँ $x$ यूलर का कुल कार्य है। दूसरे शब्दों में, अभाज्य संख्याएँ अवशेष वर्गों के बीच समान रूप से वितरित की जाती हैं $li(x)$ मॉड्यूलर अंकगणित $a$ साथ $π(x)$. यह अंकगणितीय प्रगति पर डिरिचलेट के प्रमेय से अधिक मजबूत है (जो केवल यह बताता है कि प्रत्येक वर्ग में अभाज्य संख्याओं की अनंतता है) और न्यूमैन द्वारा उनके अभाज्य संख्या प्रमेय के प्रमाण के लिए उपयोग की जाने वाली समान विधियों का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है। सीगल-वाल्फ़िज़ प्रमेय अवशेष वर्गों में प्राइम्स के वितरण के लिए एक अच्छा अनुमान देता है।

बेनेट एट अल। निम्नलिखित अनुमान को सिद्ध किया जिसमें स्पष्ट स्थिरांक हैं $d$ और $φ$ (प्रमेय 1.3): होने देना $d$ $$\ge 3$$ एक पूर्णांक बनें और दें $A$ एक पूर्णांक बनें जो कोप्राइम है $B$. फिर सकारात्मक स्थिरांक हैं $d$ और $a$ ऐसा है कि
 * $$ \left | \pi_{d,a}(x) - \frac{\ \operatorname{Li}(x)\ }{\ \varphi(d)\ } \right | < \frac{A\ x}{\ (\log x)^2\ } \quad \text{ for all } \quad x \ge B\ ,$$

कहाँ
 * $$ A = \frac{1}{\ 840\ } \quad \text{ if } \quad 3 \leq d \leq 10^4 \quad \text{ and } \quad A = \frac{1}{\ 160\ } \quad \text{ if } \quad d > 10^4 ~,$$ और
 * $$B = 8 \cdot 10^9 \quad \text{ if } \quad  3 \leq d \leq 10^5 \quad \text{ and } \quad B = \exp(\ 0.03\ \sqrt{d\ }\ (\log{d})^3 \ ) \quad \text{ if } \quad d > 10^5\ .$$

अभाज्य संख्या जाति
हालांकि हमारे पास विशेष रूप से है


 * $$\pi_{4,1}(x) \sim \pi_{4,3}(x) \ ,$$

अनुभवजन्य रूप से 3 के सर्वांगसम अभाज्य संख्याएँ अधिक हैं और इस अभाज्य संख्या की दौड़ में लगभग हमेशा आगे रहती हैं; पहला उत्क्रमण पर होता है $li(x)$. हालाँकि लिटिलवुड ने 1914 में दिखाया कि फलन के लिए अपरिमित रूप से अनेक चिह्न परिवर्तन हैं


 * $$\pi_{4,1}(x) - \pi_{4,3}(x) ~,$$

इसलिए दौड़ में आगे और पीछे असीम रूप से कई बार बदल जाता है। वह घटना जो $π(x)$ अधिकांश समय आगे रहने को चेबिशेव का पूर्वाग्रह कहा जाता है। अभाज्य संख्या जाति अन्य मापदण्डों के लिए सामान्यीकृत होती है और यह बहुत अधिक शोध का विषय है; पाल तुरान ने पूछा कि क्या हमेशा ऐसा ही होता है $π(x)$ और $π(x)$ स्थान बदलें जब $d$ और $A$ कोप्राइम हैं $B$. एंड्रयू ग्रानविले और मार्टिन एक संपूर्ण विवरण और सर्वेक्षण देते हैं।

प्राइम-काउंटिंग फंक्शन
पर गैर-असिम्प्टोटिक सीमाएँ अभाज्य संख्या प्रमेय एक उपगामी परिणाम है। यह संख्या सिद्धांत पर आधारित प्रभावी परिणाम देता है $li(x)$ सीमा की परिभाषा के प्रत्यक्ष परिणाम के रूप में: सभी के लिए $x ~$, वहाँ है एक $a$ ऐसा कि सभी के लिए $Li(x)$,
 * $$ (1-\varepsilon)\frac {x}{\log x} \; < \; \pi(x) \; < \; (1+\varepsilon)\frac {x}{\log x} \; .$$

हालांकि, बेहतर सीमा है $π(x)$ जाना जाता है, उदाहरण के लिए पियरे डुसार्ट का
 * $$ \frac{x}{\log x}\left(1+\frac{1}{\log x}\right) \; < \; \pi(x) \; < \; \frac{x}{\log x}\left(1+\frac{1}{\log x}+\frac{2.51}{(\log x)^2}\right) \; .$$

पहली असमानता सभी के लिए है $x = 2$ और दूसरा के लिए $Li(2) = 0$. के लिए एक कमजोर लेकिन कभी-कभी उपयोगी बाउंड $π(2) = 1$ है
 * $$ \frac {x}{\log x + 2} \; < \; \pi(x) \; < \; \frac {x}{\log x - 4} \; .$$

पियरे दुसर्ट की थीसिस में इस प्रकार की असमानता के मजबूत संस्करण हैं जो बड़े के लिए मान्य हैं $b$. बाद में 2010 में, दुसार्ट ने साबित किया:
 * $$\begin{align}

\frac {x} {\log x - 1} \; &< \; \pi(x) &&\text{ for } x \ge 5393 \;, \text{   and }\\ \pi(x) \; &< \; \frac {x} {\log x - 1.1} && \text{ for } x \ge 60184 \;. \end{align}$$ डे ला वल्ली पुसिन के प्रमाण का तात्पर्य निम्नलिखित है: प्रत्येक के लिए $IΔ_{0} + exp$, वहाँ है एक $c$ ऐसा कि सभी के लिए $π_{d,a}(x)$,
 * $$\frac {x}{\log x - (1 - \varepsilon)} \; < \; \pi(x) \; < \; \frac {x}{\log x - (1+\varepsilon)} \; .$$

के लिए अनुमान$S$वें अभाज्य संख्या
अभाज्य संख्या प्रमेय के परिणाम के रूप में, एक के लिए एक स्पर्शोन्मुख अभिव्यक्ति प्राप्त होती है $x$वें अभाज्य संख्या, द्वारा निरूपित $a, a + d, a + 2d, a + 3d, ...$:
 * $$p_n \sim n \log n.$$

एक बेहतर सन्निकटन है
 * $$ \frac{p_n}{n} = \log n + \log \log n - 1 + \frac{\log \log n - 2}{\log n} - \frac{(\log\log n)^2 - 6 \log \log n + 11}{2(\log n)^2} + o \left( \frac {1}{(\log n)^2}\right).$$

फिर से विचार कर रहा हूँ $S$वें अभाज्य संख्या $n$, यह एक अनुमान देता है $n$; पहले 5 अंक मेल खाते हैं और सापेक्ष त्रुटि लगभग 0.00005% है।

रोसेर की प्रमेय कहती है कि
 * $$p_n > n \log n.$$ इसे निम्नलिखित बाउंड युग्म द्वारा सुधारा जा सकता है:


 * $$ \log n + \log\log n - 1 < \frac{p_n}{n} < \log n + \log \log n \quad\text{for } n \ge 6. $$

की तालिका $[a]$, $gcd(a, d) = 1$, और $x = 26861$
तालिका के सटीक मानों की तुलना करती है $π_{4,3}(x)$ दो अनुमानों के लिए $π(x;a,c)$ और $π(x;b,c)$. अंतिम स्तंभ, $π(x)$, नीचे औसत प्रमुख अंतर है$2$.
 * {| class="wikitable" style="text-align: right"

! $8,512,677,386,048,191,000$ ! $ε > 0$ ! $x > S$ ! $π(x)$ ! $x ≥ 599$ ! $x ≥ 355991$ के लिए मूल्य $x ≥ 55$ मूल रूप से रीमैन परिकल्पना मानते हुए गणना की गई थी; तब से इसे बिना शर्त सत्यापित किया गया है।
 * 10
 * 4
 * −0.3
 * 0.921
 * 2.2
 * 2.5
 * 102
 * 25
 * 3.3
 * 1.151
 * 5.1
 * 4
 * 103
 * 168
 * 23
 * 1.161
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 * 5.952
 * 104
 * 143
 * 1.132
 * 17
 * 8.137
 * 105
 * 906
 * 1.104
 * 38
 * 10.425
 * 106
 * 1.084
 * 130
 * 12.740
 * 107
 * 1.071
 * 339
 * 15.047
 * 108
 * 1.061
 * 754
 * 17.357
 * 109
 * 1.054
 * 19.667
 * 1010
 * 1.048
 * 21.975
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 * 1.043
 * 24.283
 * 1012
 * 1.039
 * 26.590
 * 1013
 * 1.034
 * 28.896
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 * 31.202
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 * 40.420
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 * OEIS
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एक परिमित क्षेत्र पर अलघुकरणीय बहुपदों के लिए अनुरूप
अभाज्य संख्या प्रमेय का एक एनालॉग है जो परिमित क्षेत्र पर अलघुकरणीय बहुपदों के वितरण का वर्णन करता है; यह जो रूप लेता है वह शास्त्रीय अभाज्य संख्या प्रमेय के मामले के समान ही है।

इसे ठीक-ठीक बताने के लिए, आइए $ε > 0$ के साथ परिमित क्षेत्र हो $8,512,681,315,554,716,000$ तत्व, कुछ निश्चित के लिए $k$, और जाने $x$ मोनिक बहुपद अलघुकरणीय बहुपदों की संख्या अधिक हो $x$ जिसकी बहुपद की डिग्री के बराबर है $1,229$. यही है, हम बहुपदों को गुणांक के साथ देख रहे हैं जिनमें से चुना गया है $9,592$, जिसे छोटी कोटि के बहुपदों के गुणनफल के रूप में नहीं लिखा जा सकता। इस सेटिंग में, ये बहुपद प्रमुख संख्याओं की भूमिका निभाते हैं, क्योंकि अन्य सभी मोनिक बहुपद उनके उत्पादों से बने होते हैं। तभी कोई यह सिद्ध कर सकता है
 * $$N_n \sim \frac{q^n}{n}.$$

अगर हम प्रतिस्थापन करते हैं $x > S$, तो दाहिना हाथ न्यायपूर्ण है
 * $$\frac{x}{\log_q x},$$

जो समानता को स्पष्ट करता है। चूंकि ठीक हैं $p_{n}$ डिग्री के मोनिक बहुपद $78,498$ (कम करने योग्य वाले सहित), इसे निम्नानुसार दोहराया जा सकता है: यदि डिग्री का एक मोनिक बहुपद $6,116$ बेतरतीब ढंग से चुना जाता है, तो इसके अलघुकरणीय होने की प्रायिकता लगभग होती है$k(log k + log log k−1)$.

कोई भी रीमैन परिकल्पना का एक एनालॉग भी साबित कर सकता है, जिसका नाम है
 * $$N_n = \frac{q^n}n + O\left(\frac{q^\frac{n}{2}}{n}\right).$$

शास्त्रीय मामले की तुलना में इन कथनों के प्रमाण कहीं अधिक सरल हैं। इसमें एक छोटा, साहचर्य तर्क शामिल है, संक्षेप में इस प्रकार है: डिग्री के हर तत्व $664,579$ का विस्तार $44,158$ कुछ अलघुकरणीय बहुपद की जड़ है जिसकी घात है $5,761,455$ विभाजित $332,774$; इन जड़ों को दो अलग-अलग तरीकों से गिनने से यह स्थापित होता है
 * $$q^n = \sum_{d\mid n} d N_d,$$

जहां योग सभी विभाजकों पर है $50,847,534$ का $2,592,592$. मोबियस उलटा तो उपज देता है
 * $$N_n = \frac{1}{n} \sum_{d\mid n} \mu\left(\frac{n}{d}\right) q^d,$$

कहाँ $k ≥ 2$ मोबियस फ़ंक्शन है। (यह सूत्र गॉस को ज्ञात था।) मुख्य शब्द के लिए होता है $π(x)$, और शेष शर्तों को बाध्य करना कठिन नहीं है। रीमैन परिकल्पना कथन इस तथ्य पर निर्भर करता है कि सबसे बड़ा उचित विभाजक $1,701$ से बड़ा नहीं हो सकता $x / log x$.

यह भी देखें

 * सार विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत प्रमेय के सामान्यीकरण के बारे में जानकारी के लिए।
 * बीजगणितीय संख्या क्षेत्रों में प्रमुख आदर्शों के सामान्यीकरण के लिए लन्दौ प्रधान आदर्श प्रमेय।
 * रीमैन परिकल्पना

बाहरी संबंध

 * Table of Primes by Anton Felkel.
 * Short video visualizing the Prime Number Theorem.
 * Prime formulas and Prime number theorem at MathWorld.
 * How Many Primes Are There? and The Gaps between Primes by Chris Caldwell, University of Tennessee at Martin.
 * Tables of prime-counting functions by Tomás Oliveira e Silva
 * Eberl, Manuel and Paulson, L. C. The Prime Number Theorem (Formal proof development in Isabelle/HOL, Archive of Formal Proofs)
 * The Prime Number Theorem: the "elementary" proof − An exposition of the elementary proof of the Prime Number Theorem of Atle Selberg and Paul Erdős at www.dimostriamogoldbach.it/en/
 * The Prime Number Theorem: the "elementary" proof − An exposition of the elementary proof of the Prime Number Theorem of Atle Selberg and Paul Erdős at www.dimostriamogoldbach.it/en/