स्थानीय रैखिककरण विधि

संख्यात्मक विश्लेषण में, स्थानीय रैखिककरण (एलएल) विधि लगातार समय अंतराल पर दिए गए समीकरण के स्थानीय (टुकड़ों के अनुसार) रैखिककरण के आधार पर अंतर समीकरणों के लिए संख्यात्मक एकीकरण को डिजाइन करने के लिए एक सामान्य रणनीति है। संख्यात्मक इंटीग्रेटर्स को फिर प्रत्येक लगातार अंतराल के अंत में परिणामस्वरूप टुकड़ों के अनुसार रैखिक समीकरण के समाधान के रूप में पुनरावृत्त रूप से परिभाषित किया जाता है। एलएल पद्धति को विभिन्न प्रकार के समीकरणों जैसे साधारण, विलंब, यादृच्छिक और स्टोचैस्टिक अवकल समीकरणों के लिए विकसित किया गया है। एलएल इंटीग्रेटर्स अज्ञात मापदंडों के आकलन के लिए अनुमान विधियों के कार्यान्वयन में महत्वपूर्ण घटक हैं और अवकल समीकरणों के अप्रतिबंधित चर (संभावित रूप से शोर) अवलोकनों की समय श्रृंखला दी गई है। एलएल योजनाएं विभिन्न प्रकार के क्षेत्रों जैसे तंत्रिका विज्ञान, वित्त, वानिकी प्रबंधन, कंट्रोल इंजीनियरिंग, गणितीय सांख्यिकी आदि में जटिल मॉडल से निपटने के लिए आदर्श हैं।

पृष्ठभूमि
अवकल समीकरण कई परिघटनाओं के समय विकास का वर्णन करने के लिए एक महत्वपूर्ण गणितीय उपकरण बन गए हैं, जैसे, सूर्य के चारों ओर ग्रहों का घूमना, मार्केट में संपत्ति की कीमतों की गतिशीलता, न्यूरॉन्स की आग, महामारी का प्रसार, आदि। हालांकि, चूंकि इन समीकरणों के सटीक समाधान प्रायः अज्ञात होते हैं, संख्यात्मक इंटीग्रेटर्स द्वारा प्राप्त संख्यात्मक सन्निकटन आवश्यक होते हैं। वर्तमान में, गतिशील अध्ययन में केंद्रित इंजीनियरिंग और अनुप्रयुक्त विज्ञान में कई अनुप्रयोग कुशल संख्यात्मक इंटीग्रेटर्स के विकास की मांग करते हैं जो इन समीकरणों की गतिशीलता को यथासंभव संरक्षित करते हैं। इस मुख्य प्रेरणा के साथ, स्थानीय रैखिककरण इंटीग्रेटर्स विकसित किए गए हैं।

उच्च-क्रम स्थानीय रैखिककरण विधि
हाई-ऑर्डर लोकल लीनियराइज़ेशन (एचओएलएल) विधि, स्थानीय रैखिककरण विधि का एक सामान्यीकरण है जो अवकल समीकरणों के लिए उच्च-क्रम इंटीग्रेटर्स प्राप्त करने के लिए उन्मुख है जो रैखिक समीकरणों की स्थिरता और गतिशीलता को बनाए रखता है। समाकलक मूल समीकरण के समाधान x को लगातार समय अंतरालों पर विभाजित करके दो भागों में प्राप्त किए जाते हैं: स्थानीय रूप से रैखिकीकृत समीकरण का समाधान z और अवशिष्ट $$\mathbf{r}= \mathbf{x}-\mathbf{z}$$ का एक उच्च-क्रम सन्निकटन।

स्थानीय रैखिककरण योजना
एक स्थानीय रेखाकरण (एलएल) योजना अंतिम पुनरावर्ती एल्गोरिथ्म है जो अवकल समीकरणों के एक वर्ग के लिए एलएल या एचओएलएल विधि से प्राप्त असंततकरण के संख्यात्मक कार्यान्वयन की अनुमति देता है।

ओडीई के लिए एलएल विधियां
d-विम साधारण अवकल समीकरण (ओडीई) पर विचार करें

 $$ \frac{d\mathbf{x}\left( t\right) }{dt}=\mathbf{f}\left( t,\mathbf{x}\left( t\right) \right) ,\qquad t\in \left[ t_{0},T\right], \qquad \qquad \qquad \qquad (4.1) $$

प्रारंभिक स्थिति के साथ $$\mathbf{x}(t_{0})=\mathbf{x}_{0}$$, जहाँ $$\mathbf{f}$$ एक अवकलनीय फलन है।

माना $$\left( t\right) _{h}=\{t_{n}:n=0,..,N\}$$ समय अंतराल $$[t_{0},T]$$ का अधिकतम चरणबद्ध h के साथ एक समय विघटन हो जैसे कि  $$t_{n} $$\mathbf{x}(t_n+h)=\mathbf{x}(t_n)+\mathbf{\phi }(t_n,\mathbf{x}(t_n);h)+\mathbf{r}(t_n,\mathbf{x}(t_n);h), $$

जहाँ

 $$\mathbf{\phi }(t_n,\mathbf{z}_n;h)=\int\limits_0^h e^{\mathbf{f}_{\mathbf{x}}(t_n,\mathbf{z}_n) (h-s)}(\mathbf{f} (t_n, \mathbf{z}_n) + \mathbf{f}_t(t_n,\mathbf{z}_n) s) \, ds \qquad$$

रैखिक सन्निकटन से परिणाम, और

 $$\mathbf{r}(t_n,\mathbf{z}_n;h)=\int\limits_0^h e^{\mathbf{f}_{\mathbf{x}} (t_n,\mathbf{z}_n) (h-s)}\mathbf{g}_n(s,\mathbf{x}(t_n+s)) \, ds, \qquad \qquad \qquad (4.2)$$

रैखिक सन्निकटन का अवशिष्ट है। यहाँ, $$\mathbf{f}_{\mathbf{x}}$$ और $$\mathbf{f}_{t}$$ क्रमशः चर x और t के संबंध में f के आंशिक डेरिवेटिव को दर्शाता है, और $$\mathbf{g}_n(s,\mathbf{u})=\mathbf{f}(s,\mathbf{u})-\mathbf{f}_{\mathbf{x}}(t_n,\mathbf{z}_n) \mathbf{u}-\mathbf{f}_t (t_n,\mathbf{z}_n) (s-t_n)-\mathbf{f}(t_n,\mathbf{z}_n) +\mathbf{f}_{\mathbf{x}}(t_n,\mathbf{z}_n)\mathbf{z}_n. $$

स्थानीय रेखीय असंततकरण
एक समय असंततकरण के लिए $$\left( t\right) _{h}$$, प्रत्येक बिंदु $$t_{n+1}\in \left( t\right) _{h}$$ पर ओडीई (4.1) का स्थानीय रेखीय असंततकरण पुनरावर्ती अभिव्यक्ति द्वारा परिभाषित किया गया है

 $$\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\mathbf{\phi}(t_n,\mathbf{z}_n;h_n), \qquad \text{ with } \quad \mathbf{z}_0=\mathbf{x}_0. \qquad \qquad \qquad \qquad (4.3)$$

स्थानीय रेखीय विवेचन (4.3) अरैखिक ओडीई के समाधान के क्रम 2 के साथ अभिसरण करता है, लेकिन यह रैखिक ओडीई के समाधान से मेल खाता है। पुनरावर्तन (4.3) को घातीय यूलर असंततकरणीकरण के रूप में भी जाना जाता है।

उच्च-क्रम स्थानीय रैखिक असंततकरण
एक समय असंततकरण के लिए $$(t)_h,$$ प्रत्येक बिंदु $$t_{n+1} \in (t)_h$$ पर ओडीई (4.1) का एक उच्च-क्रम स्थानीय रैखिक (एचओएलएल) असंततकरणीकरण पुनरावर्ती अभिव्यक्ति द्वारा परिभाषित किया गया है

 $$\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\mathbf{\phi}(t_n,\mathbf{z}_n;h_n) + \widetilde{\mathbf{r}}(t_n,\mathbf{z}_n;h_n),\qquad \text{ with } \quad \mathbf{z}_0=\mathbf{x}_0, \qquad \qquad \qquad(4.4)$$

जहाँ $$\tilde{r}$$ एक क्रम $$\alpha $$ (> 2) अवशिष्ट आर का$$(i.e., \left\vert \mathbf{r}(t_n, \mathbf{z}_n;h)-\widetilde{\mathbf{r}}(t_n,\mathbf{z}_n;h)\right\vert \propto h^{\alpha+1 })$$सन्निकटन है। एचओएलएल असंततकरण (4.4) क्रम $$\alpha$$ के साथ अरेखीय ओडीई के समाधान में अभिसरित होता है, लेकिन यह रैखिक ओडीई के समाधान से मेल खाता है।

एचओएलएल के असंततकरण को दो तरीकों से प्राप्त किया जा सकता है:   1) (चतुर्भुज-आधारित) आर के अभिन्न प्रतिनिधित्व (4.2) का अनुमान लगाकर; और 2) (इंटीग्रेटर-आधारित) द्वारा परिभाषित आर के अंतर प्रतिनिधित्व के लिए एक संख्यात्मक इंटीग्रेटर का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है

 $$\frac{d\mathbf{r}(t) }{dt} = \mathbf{q}(t_n,\mathbf{z}_n;t \mathbf{,\mathbf{r}}(t) \mathbf), \qquad \text{ with } \qquad \mathbf{r}(t_n) =\mathbf{0,} \qquad \qquad \qquad (4.5)$$

सभी के लिए $$t\in \lbrack t_k,t_{k+1}]$$, जहाँ

 $$\mathbf{q}(t_{n},\mathbf{z}_{n};s\mathbf{,\xi })=\mathbf{f}(s,\mathbf{z}_{n}+ \mathbf{\phi }\left( t_{n},\mathbf{z}_{n};s-t_{n}\right) +\mathbf{\xi })- \mathbf{f}_{\mathbf{x}}(t_{n},\mathbf{z}_{n})\mathbf{\phi } ( t_n, \mathbf{z}_n;s-t_n) -\mathbf{f}_t( t_n,\mathbf{z}_n) (s-t_n)-\mathbf{f}( t_n,\mathbf{z}_n).$$ एचओएलएल असंततकरण, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित है: $$\qquad \mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\mathbf{\phi }(t_n,\mathbf{z}_n;h_n)+h_n \sum_{j=1}^s b_j \mathbf{k}_j,\quad \text{ with } \quad \mathbf{k}_i = \mathbf{q}(t_n,\mathbf{z}_n;\text{ }t_n + c_i h_n \mathbf{,} \mathbf{} h_n \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij}\mathbf{k}_j), $$
 * स्थानीय रूप से रेखीय रुंगा कुटा असंततकरण

जो गुणकों के साथ एक एस-स्टेज स्पष्ट रुंगा-कुटा (आरके) विधियों के माध्यम से (4.5) को हल करके प्राप्त किया जाता है

$$\mathbf{c}=\left[ c_{i}\right], \mathbf{A}=\left[ a_{ij}\right] \quad and \quad \mathbf{b}=\left[ b_{j}\right]$$. $$\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\mathbf{\phi}(t_n,\mathbf{z}_n;h_n)+\int_0^{h_n}e^{(h_n-s) \mathbf{f}_{\mathbf{x}} \left( t_n,\mathbf{z}_n\right) } \sum_{j=2}^p\frac{\mathbf{c}_{n,j}}{j!} s^j \, ds,\text{ with } \mathbf{c}_{n,j}=\left( \frac{d^{j+1}\mathbf{x}(t)}{dt^{j+1}}-\mathbf{f}_{\mathbf{x}} (t_n,\mathbf{z}_n) \frac{d^{j}\mathbf{x}(t) }{dt^j}\right) \mid _{t=\mathbf{z}_n}, $$
 * स्थानीय रेखीय टेलर असंततकरण 

जो इसके क्रम-पी ट्रंकेटेड टेलर एक्सपेंशन द्वारा (4.2) में $$\mathbf{g}_{n}$$ के सन्निकटन के परिणामस्वरूप होता है।


 * मल्टीस्टेप-टाइप एक्सपोनेंशियल प्रोपेगेशन डिस्क्रिटाइजेशन

 $\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\mathbf{\phi}(t_n,\mathbf{z}_n;h)+h\sum_{j=0}^{p-1}\gamma_j\nabla^j\mathbf{g}_n(t_n,\mathbf{z }_{n}), \quad with \quad \gamma_j =(-1)^j \int\limits_0^1 e^{(1-\theta) h\mathbf{f}_{\mathbf{x}} (t_n,\mathbf{z}_n) } \left( \begin{array}{c} -\theta \\ j \end{array} \right) d\theta, $

जो $$t_{n},\ldots, t_{n-p+1}$$ पर डिग्री p के एक बहुपद द्वारा (4.2) में $$\mathbf{g}_{n}$$ के अंतर्वेशन से उत्पन्न होता है, जहां $$\nabla ^{j}\mathbf{g}_{n}(t_{m},\mathbf{z}_{m})$$ $$\mathbf{g}_{n}(t_{m},\mathbf{z}_{m})$$ के जे-वें पिछड़े अंतर को दर्शाता है।

 $\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\mathbf{\phi}(t_n,\mathbf{z}_n ;h) + h\sum_{j=0}^{p-1} \gamma _{j,p}\nabla^j \mathbf{g}_n (t_n,\mathbf{z}_n),\quad \text{ with } \quad \gamma_{j,p} = \int\limits_0^1 e^{(1-\theta )h\mathbf{f}_{\mathbf{x}} (t_n,\mathbf{z}_n) } \left( \begin{array}{c} \theta p\\ j \end{array} \right) d\theta, $
 * रुंगा-कुटा प्रकार घातीय प्रसार असंततकरण

जो $$t_{n},\ldots, t_{n}+(p-1)h/p$$ पर डिग्री p के एक बहुपद द्वारा (4.2) में $$\mathbf{g}_{n}$$के अंतर्वेशन का परिणाम है,

 $\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\mathbf{\phi }(t_n,\mathbf{z}_n;h)+h\sum_{j=1}^{p-1}\sum_{l=1}^j\frac{\gamma _{j+1}}{l} \nabla^l\mathbf{g}_n(t_n,\mathbf{z}_{n}),\quad \text{ with } \quad \gamma_{j+1}=(-1)^{j+1} \int\limits_0^1e^{(1-\theta )h\mathbf{f}_{\mathbf{x}} \left( t_n,\mathbf{z}_n\right) }\theta \left( \begin{array}{c} -\theta \\ j \end{array} \right) d\theta, $
 * रैखिक घातांक एडम्स असंततकरण

जो $$t_{n},\ldots, t_{n-p+1}$$पर डिग्री पी के एक हर्मिट बहुपद द्वारा (4.2) में $$\mathbf{g}_{n}$$के प्रक्षेप का परिणाम है।

स्थानीय रैखिककरण योजनाएं
एलएल (या एक एचओएलएल) $$\mathbf{z}_{n}$$ के सभी संख्यात्मक कार्यान्वयन $$\mathbf{y}_{n}$$में फॉर्म के इंटीग्रल सभी संख्यात्मक कार्यान्वयन $$\widetilde{\phi}_j$$ के लिए सन्निकटन $$\phi_j$$ सम्मिलित हैं

 $$\phi_j(\mathbf{A},h)=\int\limits_0^h e^{(h-s)\mathbf{A}} s^{j-1} \, ds,\qquad j=1,2\ldots, $$

जहां A d × d मैट्रिक्स है। किसी भी क्रम के एलएल (या एक एचओएलएल) $$\mathbf{z}_{n}$$ के प्रत्येक संख्यात्मक कार्यान्वयन $$\mathbf{y}_n$$को सामान्य रूप से स्थानीय रेखाकरण योजना कहा जाता है।

कम्प्यूटिंग इंटीग्रल मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल सहित

इंटीग्रल $$\phi _{j}$$ की गणना करने के लिए कई एल्गोरिदम के बीच, तर्कसंगत पैडे और क्रायलोव उप-स्थान पर आधारित एक्सपोनेंशियल मैट्रिक्स के अनुमानों को प्राथमिकता दी जाती है। इसके लिए अभिव्यक्ति द्वारा एक केंद्रीय भूमिका निभाई जा रही है  $$\sum\nolimits_{i=1}^l \phi_i(\mathbf{A},h)\mathbf{a}_i = \mathbf{L}e^{h\mathbf{H}}\mathbf{r}, $$

जहाँ $$\mathbf{a}_i$$ डी-आयामी वैक्टर हैं,

 $$\mathbf{H}= \begin{bmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{v}_{l} & \mathbf{v}_{l-1} & \cdots & \mathbf{v}_{1} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & 1 & \cdots & 0 \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & 0 & \ddots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 1 \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{(d+l)\times (d+l)},

$$

$$\mathbf{L}=[\mathbf{I} \quad \mathbf{0}_{d\times l}]$$, $$\mathbf{r}=[\mathbf{0}_{1\times (d+l-1)}\quad1]^{\intercal},$$ $$\mathbf{v}_{i}=\mathbf{a}_{i}(i-1)! $$, डी-आयामी पहचान मैट्रिक्स $$\mathbf{I}$$ होने के नाते।

अगर '''$$\mathbf{P}_{p,q}(2^{-k}\mathbf{H}h) $$ (p; q)-'''पैडे सन्निकटन को दर्शाता है $$e^{2^{-k}\mathbf{H}h} $$ का पद सन्निकटन और k सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है जैसे कि $$|2^{-k}\mathbf{H}h|\leq \frac{1}{2}, then$$  $$\left\vert \sum\nolimits_{i=1}^l \phi_i (\mathbf{A},h)\mathbf{a}_{i}- \mathbf{L}\left( \mathbf{\mathbf{P}}_{p,q}(2^{-k}\mathbf{H}h)\right)^{2^k} \mathbf{r}\right\vert \varpropto h^{p+q+1}.$$

अगर $$\mathbf{\mathbf{k}}_{m,k}^{p,q}(h,\mathbf{H},\mathbf{r})$$ (m; p; q; k) क्रायलोव-पैडे $$e^{h\mathbf{H}}\mathbf{r}$$ का सन्निकटन दर्शाता है, तब

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\left\vert \sum\nolimits_{i=1}^{l}\phi _{i}(\mathbf{A},h)\mathbf{a}_i - \mathbf{L\mathbf{k}}_{m,k}^{p,q}(h,\mathbf{H},\mathbf{r})\right\vert \varpropto h^{\min ({m,p+q+1})},$$

जहाँ $$m \leq d$$ क्रायलोव उपक्षेत्र का आयाम है।

क्रम-2 एलएल योजनाएँ
<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{y}_{n+1}=\mathbf{y}_{n}+\mathbf{L}(\mathbf{P}_{p,q}(2^{-k_{n}} \mathbf{M}_{n}h_{n}))^{2^{k_{n}}}\mathbf{r,} $$ $$\qquad \qquad (4.6)$$

जहां मैट्रिसेस $$\mathbf{M}_n$$, एल और आर के रूप में परिभाषित किया गया है

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{M}_n = \begin{bmatrix} \mathbf{f}_{\mathbf{x}}(t_n,\mathbf{y}_n) & \mathbf{f}_t(t_n,\mathbf{y}_n) & \mathbf{f}(t_n,\mathbf{y}_n) \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{(d+2)\times (d+2)},$$

$$\mathbf{L}=\left[ \begin{array}{ll} \mathbf{I} & \mathbf{0}_{d\times 2} \end{array} \right]$$ और $$\mathbf{r}^{\intercal }=\left[ \begin{array}{ll} \mathbf{0}_{1\times (d+1)} & 1 \end{array} \right] $$ साथ $$p+q>1$$। ओडीई की बड़ी प्रणालियों के लिए

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{y}_{n+1}=\mathbf{y}_{n}+\mathbf{L\mathbf{k}} _{m_{n},k_{n}}^{p,q}(h_{n},\mathbf{M}_{n},\mathbf{r})\mathbf{,}\qquad \text{ with } \qquad m_{n}>2. $$

क्रम-3 एलएल-टेलर योजनाएँ
<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{y}_{n+1}=\mathbf{y}_n+\mathbf{L}_{1}(\mathbf{P}_{p,q}(2^{-k_n} \mathbf{T}_n h_n))^{2^{k_n}}\mathbf{r}_1 \mathbf{,}$$ $$ \qquad \qquad (4.7)$$

जहां स्वायत्त प्रणाली (गणित) के लिए मैट्रिसेस ओडीईs $$\mathbf{T}_{n}, \mathbf{L}_{1}$$ और $$\mathbf{r}_{1}$$ के रूप में परिभाषित किया गया है

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{T}_{n}=\left[ \begin{array}{cccc} \mathbf{f}_{\mathbf{x}}(\mathbf{y}_{n}) & (\mathbf{I}\otimes \mathbf{f} ^{\intercal }(\mathbf{y}_{n}))\mathbf{f}_{\mathbf{xx}}(\mathbf{y}_{n}) \mathbf{f}(\mathbf{y}_{n}) & \mathbf{0} & \mathbf{f}(\mathbf{y}_{n}) \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \in \mathbb{R}^{(d+3)\times (d+3)}, $$

$$\mathbf{L}_{1}=\left[ \begin{array}{ll} \mathbf{I} & \mathbf{0}_{d\times 3} \end{array} \right] \quad and \quad \mathbf{r}_{1}^{\intercal }=\left[ \begin{array}{ll} \mathbf{0}_{1\times (d+2)} & 1 \end{array} \right]$$. यहाँ, $$\mathbf{f}_{\mathbf{xx}}$$ x, और p + q > 2 के संबंध में f के दूसरे व्युत्पन्न को दर्शाता है। ओडीई की बड़ी प्रणालियों के लिए

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{y}_{n+1}=\mathbf{y}_{n}+\mathbf{L\mathbf{k}} _{m_{n},k_{n}}^{p,q}(h_{n},\mathbf{T}_{n},\mathbf{r})\mathbf{,}\qquad \text{ with } \qquad m_{n}>3. $$

क्रम-4 एलएल-आरके योजनाएं
<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{y}_{n+1}=\mathbf{y}_{n}+\mathbf{u}_{4}+\frac{h_{n}}{6}(2\mathbf{k} _{2}+2\mathbf{k}_{3}+\mathbf{k}_{4}),\quad$$  $$\qquad \qquad (4.8)$$

जहाँ

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{u}_{j}=\mathbf{L}(\mathbf{P}_{p,q}(2^{-\kappa _{j}}\mathbf{M} _{n}c_{j}h_{n}))^{2^{\kappa _{j}}}\mathbf{r} $$

और

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{k}_{j}=\mathbf{f}\left( t_{n}+c_{j}h_{n},\mathbf{y}_{n}+\mathbf{u} _{j}+c_{j}h_{n}\mathbf{k}_{j-1}\right) -\mathbf{f}\left( t_{n},\mathbf{y} _{n}\right) -\mathbf{f}_{\mathbf{x}}\left( t_{n},\mathbf{y}_{n}\right) \mathbf{u}_{j}\ -\mathbf{f}_{t}\left( t_{n},\mathbf{y}_{n}\right) c_{j}h_{n}, $$

साथ $$\mathbf{k}_{1}\equiv \mathbf{0}, c=\left[ \begin{array}{cccc} 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \end{array} \right], $$ और p + q > 3. ओडीई की बड़ी प्रणालियों के लिए, वेक्टर $$\mathbf{u}_{j} $$ उपरोक्त योजना में $$\mathbf{u}_{j}=\mathbf{L\mathbf{k} }_{m_{j},k_{j}}^{p,q}(c_{j}h_{n},\mathbf{M}_{n},\mathbf{r})$$ साथ $$ m_j > 4$$ द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है।

डोरमैंड और प्रिंस की स्थानीय रूप से रेखीयकृत रुंगा-कुटा योजना$$\mathbf{y}_{n+1}=\mathbf{y}_n+\mathbf{u}_s+h_n\sum_{j=1}^s b_j \mathbf{k}_j \qquad \text{ and } \qquad \widehat{\mathbf{y}}_{n+1}=\mathbf{y}_n+\mathbf{u}_s+h_n\sum_{j=1}^s \widehat{b}_j \mathbf{k}_j,\quad $$ $$\qquad \qquad (4.9)$$

जहाँ s = 7 चरणों की संख्या है,

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{k}_j=\mathbf{f(}t_n+c_j h_n,\mathbf{y}_n+\mathbf{u}_j + h_n \sum_{i=1}^{s-1} a_{j,i} \mathbf{k}_i)-\mathbf{f}\left( t_n, \mathbf{y}_n\right) -\mathbf{f}_{\mathbf{x}}\left( t_n,\mathbf{y}_n\right) \mathbf{u}_j\ -\mathbf{f}_t\left( t_n,\mathbf{y}_n \right) c_j h_n, $$

साथ $$\mathbf{k}_{1}\equiv \mathbf{0}$$, और $$a_{j,i}, b_{j}, \widehat{b}_j \quad and \quad c_j$$ और p + q > 4 डोरमैंड और प्रिंस के रुंगा-कुटा गुणांक हैं। उपरोक्त योजना वेक्टर $$\mathbf{u}_j$$ गणना क्रमशः ओडीई की छोटी या बड़ी प्रणालियों के लिए पैडे या क्रिलर-पैड सन्निकटन द्वारा की जाती है।

स्थिरता और गतिशीलता
निर्माण के द्वारा, LL और एचओएलएल असंततकरणाधिकार रैखिक ओडीई की स्थिरता और गतिशीलता को विरासत में प्राप्त करते हैं, लेकिन यह सामान्य रूप से LL योजनाओं की वस्तुस्थिति नहीं है। $$p\leq q\leq p+2$$ के साथ,, एलएल योजनाएं (4.6)-(4.9) कड़ी समीकरण ए-स्थिर हैं। क्यू = पी + 1 या क्यू = पी + 2 के साथ, एलएल योजनाएँ (4.6) - (4.9) भी एल-स्थिर हैं। रैखिक ओडीई के लिए, LL योजनाएँ (4.6)-(4.9) क्रम p + q के साथ अभिसरित होती हैं।  इसके अलावा, पी = क्यू = 6 और के साथ $$m_{n}$$ = डी, ऊपर वर्णित सभी एलएल योजनाएं वर्तमान व्यक्तिगत कंप्यूटरों पर रैखिक ओडीई के "सटीक संगणना" (फ्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित की सटीकता तक) के लिए उपज देती हैं।  इसमें कठोर समीकरण और अत्यधिक दोलनशील रैखिक समीकरण सम्मिलित हैं। इसके अलावा, एलएल योजनाएँ (4.6) - (4.9) रैखिक ओडीई के लिए नियमित हैं और हैमिल्टनियन यांत्रिकी लयबद्ध दोलक के सिंपलेक्टिक ज्यामिति को विरासत में मिलाती हैं।  ये एलएल योजनाएँ भी रैखिककरण को संरक्षित कर रही हैं, और हाइपरबोलिक संतुलन बिंदुओं के आसपास स्थिर कई गुना का बेहतर प्रजनन प्रदर्शित करती हैं और चक्र को सीमित करती हैं जो समान चरण के साथ साधारण अवकल समीकरणों के लिए संख्यात्मक तरीके हैं।  उदाहरण के लिए, चित्र 1 ओडीई का चरण चित्र दिखाता है



\begin{align} & \frac{dx_1}{dt} =-2x_1+x_2+1-\mu f(x_1,\lambda) \qquad \qquad (4.10) \\[6pt] & \frac{dx_{2}}{dt} = x_1-2x_2+1-\mu f(x_2,\lambda) \qquad \qquad \quad (4.11) \end{align} $$ साथ $$f(u,\lambda) =u(1+u+\lambda u^2)^{-1}$$, $$\mu =15$$ और $$\lambda =57$$, और विभिन्न योजनाओं द्वारा इसका अनुमान। इस प्रणाली के क्षेत्र $$0\leq x_1,x_2\leq 1$$ में दो स्थिर स्थिर बिंदु और एक अस्थिर स्थिर बिंदु हैं।

डीडीई के लिए एलएल विधियां
डी-डायमेंशनल डिले डिफरेंशियल इक्वेशन (डीडीई) पर विचार करें

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\frac{d\mathbf{x}(t) }{dt} = \mathbf{f}(t,\mathbf{x}(t) ,\mathbf{x}_t(-\tau_1),\ldots ,\mathbf{x}_t(-\tau_m)),\qquad t\in[t_0,T], \qquad\qquad (5.1) $$

एम निरंतर देरी के साथ $$\tau_i>0$$ और प्रारंभिक अवस्था $$\mathbf{x}_{t_0}(s)=\mathbf{\varphi}(s)$$ सभी $$s\in[-\tau,0] $$ के लिए, जहाँ f एक अवकलनीय फलन है, $$\mathbf{x}_t:[-\tau,0] \longrightarrow \mathbb{R}^d$$ खंड फलन के रूप में परिभाषित किया गया है

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{x}_t(s):=\mathbf{x}(t+s),\text{ } s\in[-\tau,0], $$

सभी के लिए $$t\in[t_0,T], \mathbf{\varphi }:[-\tau,0] \longrightarrow \mathbb{R}^d$$ एक दिया गया फलन है, और $$\tau = \max \left\{ \tau_1,\ldots,\tau_m\right\} $$ ।

स्थानीय रेखीय असंततकरण
एक समय असंततकरण $$(t)_h$$ के लिए, प्रत्येक बिंदु पर डीडीई (5.1) का स्थानीय रेखीय असंततकरण $$t_{n+1} \in (t)_h$$ पुनरावर्ती अभिव्यक्ति द्वारा परिभाषित किया गया है

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\Phi (t_n,\mathbf{z}_n,h_n;\widetilde{\mathbf{z}}_{t_n}^1, \ldots,\widetilde{\mathbf{z}}_{t_n}^m), \qquad \qquad (5.2) $$

जहाँ

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\Phi (t_n,\mathbf{z}_n,h_n;\widetilde{\mathbf{z}}_{t_n}^1, \ldots, \widetilde{\mathbf{z}}_{t_{n}}^{m}) = \int\limits_0^{h_n}e^{\mathbf{A}_n(h_n-u)} \left[\sum\limits_{i=1}^m \mathbf{B}_n^i (\widetilde{\mathbf{z}}_{t_n}^i (u-\tau_i) -\widetilde{\mathbf{z}}_{t_n}^i (-\tau_i) )+\mathbf{d}_n\right] \, du + \int \limits_0^{h_n}\int\limits_0^u e^{\mathbf{A}_n(h_n-u)}\mathbf{c}_n \, dr \, du $$

$$\widetilde{\mathbf{z}}_{t_n}^i:\left[ -\tau_i,0\right] \longrightarrow \mathbb{R}^d$$ खंड फलन के रूप में परिभाषित किया गया है

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\widetilde{\mathbf{z}}_{t_n}^i(s):=\widetilde{\mathbf{z}}^i(t_n+s), \text{ } s\in [-\tau_i,0] ,$$

और $$\widetilde{\mathbf{z}}^i:\left[ t_n-\tau_i,t_n\right] \longrightarrow \mathbb{R}^d$$का उपयुक्त अनुमान है $$\mathbf{x}(t)$$ सभी के लिए $$t\in \lbrack t_n-\tau_i,t_n]$$ ऐसा है कि $$\widetilde{\mathbf{z}}^i(t_n)=\mathbf{z}_n.$$ यहाँ, <div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{A}_n=\mathbf{f}_x(t_n,\mathbf{z}_n,\widetilde{\mathbf{z}}_{t_n}^1(-\tau_1),\ldots,\widetilde{\mathbf{z}}_{t_n}^m(-\tau_d)), \text{ }\mathbf{B}_n^i=\mathbf{f}_{x_t(-\tau_i)}(t_n,\mathbf{z}_n,\widetilde{\mathbf{z}}_{t_n}^1(-\tau_1),\ldots,\widetilde{\mathbf{z}}_{t_n}^m(-\tau_d)) $$

निरंतर मैट्रिसेस हैं और

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{c}_n=\mathbf{f}_t(t_n,\mathbf{z}_n,\widetilde{\mathbf{z}}_{t_n}^1 (-\tau_1),\ldots,\widetilde{\mathbf{z}}_{t_n}^m(-\tau_d)) \text{ and }\mathbf{d}_n=\mathbf{f(}t_n,\mathbf{z}_n,\widetilde{\mathbf{z}}_{t_n}^1(-\tau_1),\ldots,\widetilde{\mathbf{z}}_{t_n}^m(-\tau_d)) $$

निरंतर वैक्टर हैं। $$\mathbf{f}_{t}, \mathbf{f}_{x} \quad and \quad \mathbf{f} _{x_{t}(-\tau _{i})}$$ क्रमशः चर t और x, और $$\mathbf{x}_{t}(-\tau _{i})$$ के संबंध में f का आंशिक डेरिवेटिव को दर्शाते हैं। स्थानीय रैखिक असंततकरण (5.2) क्रम $$\alpha =\min \{2,r\}$$ के साथ (5.1) के समाधान में अभिसरित होता है, अगर $$u\in \lbrack 0,h_{n}])$$  के लिए क्रम $$r \quad (i.e., \left\vert \mathbf{z}_{t_{n}}^{i}\mathbf{(}u-\tau _{i} \mathbf{)}-\widetilde{\mathbf{z}}_{t_{n}}^{i}\mathbf{(}u-\tau _{i}\mathbf{)} \right\vert \propto h_{n}^{r}$$ के साथ $$\widetilde{\mathbf{z}}_{t_{n}}^{i}$$ का अनुमान लगाता है।

स्थानीय रैखिककरण योजनाएं
अनुमानों के आधार पर $$\widetilde{\mathbf{z}}_{t_{n}}^{i}$$ और एल्गोरिदम पर $$\mathbf{\phi }$$ की गणना करने के लिए विभिन्न स्थानीय रैखिककरण योजनाओं को परिभाषित किया जा सकता है। एक स्थानीय रैखिक असंततकरण का $$\mathbf{z}_{n}$$ के प्रत्येक संख्यात्मक कार्यान्वयन $$\mathbf{y}_{n}$$को सामान्य रूप से स्थानीय रैखिककरण योजना कहा जाता है।

क्रम-2 बहुपद एलएल योजनाएं
<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{y}_{n+1}=\mathbf{y}_{n}+\mathbf{L}(\mathbf{P}_{p,q}(2^{-k_{n}} \mathbf{M}_{n}h_{n}))^{2^{k_{n}}}\mathbf{r,} \quad$$ $$ \qquad (5.3) $$

जहां मैट्रिसेस $$\mathbf{M}_{n}, \mathbf{L}$$ और $$\mathbf{r}$$ के रूप में परिभाषित किया गया है

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{M}_{n}= \begin{bmatrix} \mathbf{A}_{n} & \mathbf{c}_{n}+\sum\limits_{i=1}^{m}\mathbf{B}_{n}^{i} \mathbf{\alpha }_{n}^{i} & \mathbf{d}_{n} \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{(d+2)\times (d+2)},$$

$$\mathbf{L}=\left[ \begin{array}{ll} \mathbf{I} & \mathbf{0}_{d\times 2} \end{array} \right]$$ और $$\mathbf{r}^{\intercal }=\left[ \begin{array}{ll} \mathbf{0}_{1\times (d+1)} & 1 \end{array} \right], h_{n}\leq \tau$$, और $$p+q>1$$ । यहाँ, मेट्रिसेस $$\mathbf{A}_{n}$$, $$\mathbf{B}_{n}^{i}$$, $$\mathbf{c}_{n}$$ और $$\mathbf{d}_{n}$$ (5.2) के रूप में परिभाषित किया गया है, लेकिन $$\mathbf{z}$$ द्वारा $$\mathbf{y}$$ और $$\mathbf{\alpha }_{n}^{i}=(\mathbf{y}(t_{n+1}-\tau _{i})-\mathbf{y} (t_{n}-\tau _{i}))/h_{n}$$ प्रतिस्थापित कर रहा है, जहाँ

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{y}\left( t\right) =\mathbf{y}_{n_{t}}+\mathbf{L}(\mathbf{P}_{p,q}(2^{-k_{n}} \mathbf{M}_{n_{t}}(t-t_{n_{t}})))^{2^{k_{n}}}\mathbf{r},$$

साथ $$n_{t}=\max \{n=0,1,2,...,:t_{n}\leq t\text{ and }t_{n}\in \left( t\right) _{h}\}$$, सभी के लिए एलएल योजना (5.3) के माध्यम से परिभाषित (5.1) के समाधान के लिए स्थानीय रैखिक अनुमान है $$t\in \lbrack t_{0},t_{n}]$$ और इसके द्वारा $$\mathbf{y}\left( t\right) =\mathbf{\varphi }\left( t\right)$$ के लिए $$t\in \left[ t_{0}-\tau ,t_{0}\right]$$. डीडीई की बड़ी प्रणालियों के लिए

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{y}_{n+1}=\mathbf{y}_{n}+\mathbf{L\mathbf{k}} _{m_{n},k_{n}}^{p,q}(h_{n},\mathbf{M}_{n},\mathbf{r})\quad and \quad \mathbf{y}\left( t\right) =\mathbf{y}_{n_{t}}+\mathbf{L\mathbf{k}} _{m_{n_{t}},k_{n_{t}}}^{p,q}(t-t_{n_{t}},\mathbf{M}_{n_{t}},\mathbf{r}),$$

साथ $$p+q>1$$ और $$m_{n}>2$$. चित्र 2 एलएल योजना (5.3) की स्थिरता और डीडीई की एक कठोर प्रणाली के एकीकरण में समान क्रम की एक स्पष्ट योजना को दर्शाता है।

आरडीई के लिए एलएल विधियां
डी-डायमेंशनल रैंडम डिफरेंशियल इक्वेशन (आरडीई) पर विचार करें

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; >$$\frac{d\mathbf{x}\left( t\right) }{dt}=\mathbf{f}(\mathbf{x}(t),\mathbf{\xi } (t)),\quad t\in \left[ t_{0},T\right] ,\qquad \qquad \qquad (6.1) $$

प्रारंभिक स्थिति के साथ $$\mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0,$$ जहाँ $$\mathbf{ \xi }$$ एक के-आयामी स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है, और 'एफ' एक अवकलनीय फलन है। मान लीजिए कि एक बोध (पथ) $$\mathbf{\xi }$$ का दिया हुआ है।

स्थानीय रैखिक असंततकरण
एक समय असंततकरण $$\left( t\right) _{h}$$ के लिए, प्रत्येक बिंदु पर आरडीई (6.1) का स्थानीय रेखीय असंततकरण $$t_{n+1}\in \left( t\right) _{h}$$ पुनरावर्ती अभिव्यक्ति द्वारा परिभाषित किया गया है

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_{n}+\mathbf{\phi }(t_{n},\mathbf{z}_{n};h_{n}), \qquad \text{ with } \qquad \mathbf{z}_{0}=\mathbf{x}_{0},$$

जहाँ

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{\phi }(t_n,\mathbf{z}_n;h_n)=\int\limits_0^{h_n} e^{\mathbf{f}_{\mathbf{x}} (\mathbf{z}_n,\mathbf{\xi}(t_n)) (h_n-u)}(\mathbf{f(z}_{n},\mathbf{\xi }(t_{n}))+\mathbf{f}_{\mathbf{\xi}}(\mathbf{z}_n,\mathbf{\xi }(t_{n}))(\widetilde{\mathbf{\xi }}(t_{n}+u)-\widetilde{\mathbf{\xi }}(t_n))) \, du $$

और $$\widetilde{\mathbf{\xi }}$$ प्रक्रिया का एक अनुमान है $$\mathbf{ \xi }$$ सभी के लिए $$t\in \left[ t_{0},T\right] $$ है। यहाँ, $$\mathbf{f}_{x}$$ और $$\mathbf{f}_{\xi }$$ क्रमशः $$\mathbf{x}$$ और $$\xi $$ के संबंध में $$\mathbf{f}$$ के आंशिक अवकलजों को निरूपित करते हैं।

स्थानीय रैखिककरण योजनाएं
प्रक्रिया $$\mathbf{\xi}$$ के सन्निकटन $$\widetilde{\mathbf{\xi }}$$ और $$\mathbf{\phi}$$ की गणना करने के लिए एल्गोरिथम के आधार पर, विभिन्न स्थानीय रेखाकरण योजनाओं को परिभाषित किया जा सकता है। स्थानीय रैखिक असंततकरण $$\mathbf{y}_n$$ के प्रत्येक संख्यात्मक कार्यान्वयन $$\mathbf{z}_n$$ को सामान्य रूप से स्थानीय रेखीयकरण योजना कहा जाता है।

एलएल योजनाएं
<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; >

$$\mathbf{y}_{n+1}=\mathbf{y}_n+\mathbf{L}(\mathbf{P}_{p,q}(2^{-k_n} \mathbf{M}_n h_{n}))^{2^{k_n}}\mathbf{r,} \quad $$ जहां मैट्रिसेस $$\mathbf{M}_{n}, \quad \mathbf{L} \quad and \quad \mathbf{r}$$ के रूप में परिभाषित किया गया है

$$\mathbf{M}_{n}=\left[ \begin{array}{ccc} \mathbf{f}_{\mathbf{x}}\left( \mathbf{y}_{n},\mathbf{\xi }(t_{n})\right) & \mathbf{f}_{\mathbf{\xi }}(\mathbf{y}_{n},\mathbf{\xi }(t_{n})(\mathbf{\xi } (t_{n+1})-\mathbf{\xi }(t_{n}))/h_{n} & \mathbf{f}\left( \mathbf{y}_{n}, \mathbf{\xi }(t_{n})\right) \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]$$

$$\mathbf{L}=\left[ \begin{array}{ll} \mathbf{I} & \mathbf{0}_{d\times 2} \end{array} \right] $$, $$\mathbf{r}^{\intercal }=\left[ \begin{array}{ll} \mathbf{0}_{1\times (d+1)} & 1 \end{array} \right]$$, और पी+ क्यू> 1। आरडीई की बड़ी प्रणालियों के लिए,

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{y}_{n+1}=\mathbf{y}_{n}+\mathbf{L\mathbf{k}} _{m_{n},k_{n}}^{p,q}(h_{n},\mathbf{M}_{n},\mathbf{r}),\quad p+q>1 \quad and \quad m_{n}>2.$$

दोनों योजनाओं की अभिसरण दर $$min\{2,2\gamma \}$$ है, जहाँ $$\gamma$$ धारक की स्थिति का प्रतिपादक $$\mathbf{\xi }$$ है।

चित्र 3 आरडीई का चरण चित्र प्रस्तुत करता है

$$\frac{dx_{1}}{dt} =-x_{2}+\left( 1-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\right) x_{1}\sin (w^{H}(t))^{2}, \quad \qquad x_{1}(0)=0.8 \qquad (6.2)

$$

$$\frac{dx_{2}}{dt} =x_{1}+(1-x_{1}^{2}-x_{2}^{2})x_{2}\sin (w^{H}(t))^{2}, \qquad \qquad x_{2}(0)=0.1, \qquad (6.3)

$$और दो संख्यात्मक योजनाओं द्वारा इसका सन्निकटन, जहाँ $$w^{H}$$ हर्स्ट एक्सपोनेंट एच = 0.45 के साथ एक आंशिक ब्राउनियन प्रक्रिया को दर्शाता है।

एसडीई के लिए मजबूत एलएल विधियाँ
डी-डायमेंशनल स्टोचैस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन (एसडीई) पर विचार करें

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$d\mathbf{x}(t)=\mathbf{f}(t,\mathbf{x}(t))dt+\sum\limits_{i=1}^{m}\mathbf{g} _{i}(t)d\mathbf{w}^{i}(t),\quad t\in \left[ t_{0},T\right], \qquad \qquad \qquad (7.1)$$

प्रारंभिक स्थिति के साथ $$\mathbf{x}(t_{0})=\mathbf{x}_{0}$$, जहां बहाव गुणांक $$\mathbf{f}$$ और प्रसार गुणांक $$\mathbf{g}_{i}$$ अलग-अलग फलन हैं, और $$\mathbf{w=(\mathbf{w}}^{1},\ldots ,\mathbf{w} ^{m}\mathbf{)}$$ एक एम-आयामी मानक वीनर प्रक्रिया है।

स्थानीय रेखीय असंततकरण
एक समय असंततकरण $$\left( t\right) _{h}$$के लिए, क्रम-$$\mathbb{\gamma }$$ (=1,1.5) एसडीई (7.1) के समाधान के मजबूत स्थानीय रैखिक असंततकरण को पुनरावर्ती संबंध द्वारा परिभाषित किया गया है <div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_{n}+\mathbf{\phi }_{\mathbb{\gamma }}(t_{n}, \mathbf{z}_{n};h_{n})+\mathbf{\xi }(t_{n},\mathbf{z}_{n};h_{n}),\quad with \quad \mathbf{z}_{0}=\mathbf{x}_{0},$$

जहाँ

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{\phi }_{\mathbb{\gamma }}(t_{n},\mathbf{z}_{n};\delta )=\int_{0}^{\delta }e^{\mathbf{f}_{\mathbf{x}}(t_{n},\mathbf{y}_{n})(\delta -u)}(\mathbf{f(}t_{n},\mathbf{z}_{n})+\mathbf{a}^{\mathbb{\gamma }}(t_{n}, \mathbf{z}_{n})u)du $$

और

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{\xi} \left( t_n,\mathbf{z}_n;\delta \right) = \sum\limits_{i=1}^m \int\nolimits_{t_n}^{t_n+\delta} e^{\mathbf{f}_{\mathbf{x}} (t_n,\mathbf{z}_n)(t_n+\delta -u)}\mathbf{g}_i(u) \, d\mathbf{w}^i(u). $$

यहाँ,

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$ \mathbf{a}^{\mathbb{\gamma}}(t_n,\mathbf{z}_n)= \left\{ \begin{array}{cl} \mathbf{f}_t(t_n,\mathbf{z}_n) & \text{for } \qquad \mathbb{\gamma }=1 \\ \mathbf{f}_t(t_n,\mathbf{z}_n) +\frac{1}{2} \sum\limits_{j=1}^m ( \mathbf{I}\otimes \mathbf{g}_j^\intercal (t_n)) \mathbf{f}_{\mathbf{xx}}(t_n, \mathbf{z}_n)\mathbf{g}_j (t_n) & \text{for } \quad \mathbb{\gamma}=1.5, \end{array} \right. $$

$$\mathbf{f}_{\mathbf{x}}, \mathbf{f}_t$$ क्रमशः चर $$\mathbf{x}$$ और टी  के संबंध में $$\mathbf{f}$$  के आंशिक डेरिवेटिव को दर्शाता है, और $$\mathbf{f}_{\mathbf{xx}}$$ $$\mathbf{x}$$ के संबंध में $$\mathbf{f}$$ का हेस्सियन मैट्रिक्स है। मजबूत स्थानीय रैखिक असंततकरण $$\mathbf{z}_{n+1}$$ क्रम $$\mathbb{\gamma }$$ (= 1, 1.5) के साथ (7.1) के समाधान के लिए अभिसरण करता है।

उच्च-क्रम स्थानीय रैखिक असंततकरण
$$(t_n, \mathbf{z}_n)$$ पर (7.1) के बहाव शब्द के स्थानीय रैखिकरण के बाद, अवशिष्ट $$\mathbf{r}$$ के लिए समीकरण द्वारा दिया गया है

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$d\mathbf{r}(t) =\mathbf{q}_\gamma (t_n,\mathbf{z}_n;t \mathbf{,\mathbf{r}}(t)) \, dt + \sum\limits_{i=1}^m \mathbf{g}_i(t) \, d\mathbf{w}^i(t)\mathbf{,}\qquad \mathbf{r}(t_n) = \mathbf{0} $$

सभी के लिए $$t\in \lbrack t_n,t_{n+1}]$$, जहाँ

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{q}_\gamma (t_n,\mathbf{z}_n;s\mathbf{,\xi })=\mathbf{f}(s,\mathbf{z}_n+\mathbf{\phi}_\gamma (t_n,\mathbf{z}_n;s-t_n) +\mathbf{\xi })-\mathbf{f}_{\mathbf{x}}(t_n,\mathbf{z}_n)\mathbf{\phi}_\gamma(t_n,\mathbf{z}_n;s-t_n) - \mathbf{a}^\gamma (t_n,\mathbf{z}_n) (s-t_n)-\mathbf{f}(t_n,\mathbf{z}_n). $$

प्रत्येक बिंदु $$t_{n+1}\in(t)_h $$ पर एसडीई (7.1) का एक उच्च-क्रम स्थानीय रैखिक विवेचन फिर पुनरावर्ती अभिव्यक्ति द्वारा परिभाषित किया गया है <div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\mathbf{\phi}_\gamma (t_n,\mathbf{z}_n;h_n)+\widetilde{\mathbf{r}}(t_n,\mathbf{z}_n;h_n),\qquad \text{ with } \qquad \mathbf{z}_0=\mathbf{x}_0, $$

जहाँ $$\widetilde{\mathbf{r}} $$ 1.5 से अधिक ऑर्डर $$\alpha $$ के अवशिष्ट $$\mathbf{r} $$ के लिए एक मजबूत सन्निकटन है। मजबूत एचओएलएल असंततकरण $$\mathbf{z}_{n+1} $$ ऑर्डर $$\alpha $$ के साथ (7.1) के समाधान में अभिसरित होता है।

स्थानीय रैखिककरण योजनाएं
कंप्यूटिंग के तरीके के आधार पर $$\mathbf{\phi }_{\mathbb{\gamma }}$$, $$\mathbf{\xi }$$ और $$\widetilde{\mathbf{r}}$$ विभिन्न संख्यात्मक योजनाएँ प्राप्त की जा सकती हैं। $$\mathbf{y}_{n}$$ किसी भी क्रम के एक मजबूत रैखिक असंततकरण $$\mathbf{z}_{n}$$के प्रत्येक संख्यात्मक कार्यान्वयन को सामान्य रूप से मजबूत स्थानीय रेखाकरण (एसएलएल) योजना कहा जाता है।

क्रम 1 SLL योजनाएँ
<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{y}_{n+1}=\mathbf{y}_n+\mathbf{L}(\mathbf{P}_{p,q}(2^{-k_n} \mathbf{M}_{n}h_{n}))^{2^{k_{n}}}\mathbf{r+}\sum\limits_{i=1}^m \mathbf{g}_i(t_n)\Delta \mathbf{w}_n^i,\quad $$ $$\qquad \qquad (7.2)$$

जहां मैट्रिसेस $$\mathbf{M}_{n}$$, $$\mathbf{L}$$ और $$\mathbf{r}$$ को (4.6) में परिभाषित किया गया है, $$\Delta \mathbf{w}_{n}^{i}$$ एक आई.आई.डी. शून्य माध्य गॉसियन यादृच्छिक चर है जिसमें विचरण $$h_{n}$$, और p+q > 1 है। एसडीई की बड़ी प्रणालियों के लिए, उपरोक्त योजना में $$(\mathbf{P}_{p,q}(2^{-k_n}\mathbf{M}_{n}h_{n}))^{2^{k_n}}\mathbf{r}$$ को$$\mathbf{\mathbf{k}}_{m_{n}, k_n}^{p,q}(h_n,\mathbf{M}_n,\mathbf{r})$$ के द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

क्रम 1.5 SLL योजनाएँ
<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{y}_{n+1} =\mathbf{y}_n+\mathbf{L}(\mathbf{P}_{p,q}(2^{-k_n} \mathbf{M}_n h_n))^{2^{k_n}}\mathbf{r}+\sum\limits_{i=1}^m\left( \mathbf{g}_i(t_n)\Delta \mathbf{w}_n^i \mathbf{f}_{\mathbf{x}}(t_n,\widetilde{\mathbf{y}}_n)\mathbf{g}_i(t_n)\Delta \mathbf{z}_n^i+\frac{d\mathbf{g}_i(t_n)}{dt} (\Delta \mathbf{w}_{n}^{i}h_{n}-\Delta \mathbf{z}_{n}^{i})\right),  \qquad \qquad (7.3)$$

जहां मैट्रिसेस $$\mathbf{M}_{n}$$, $$\mathbf{L}$$ और $$\mathbf{r}$$ के रूप में परिभाषित किया गया है

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{M}_n= \begin{bmatrix} \mathbf{f}_{\mathbf{x}}(t_n,\mathbf{y}_n) & \mathbf{f}_{t}(t_n,\mathbf{y}_n)+\frac{1}{2}\sum\limits_{j=1}^{m}\left( \mathbf{I}\otimes \mathbf{g}_j^\intercal (t_n) \right) \mathbf{f}_{ \mathbf{xx}}(t_n,\mathbf{y}_n)\mathbf{g}_j(t_n) & \mathbf{f}(t_{n},\mathbf{y}_n) \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{(d+2)\times (d+2)}, $$

$$\mathbf{L}=\left[ \begin{array}{ll} \mathbf{I} & \mathbf{0}_{d\times 2} \end{array} \right], \mathbf{r}^{\intercal }=\left[ \begin{array}{ll} \mathbf{0}_{1\times (d+1)} & 1 \end{array} \right]$$, $$\Delta \mathbf{z}_{n}^{i}$$ एक आई.आई.डी. है। शून्य माध्य गाऊसी यादृच्छिक चर विचरण $$E\left( (\Delta \mathbf{z}_{n}^{i})^{2}\right) = \frac{1}{3}h_{n}^{3}$$ और सहप्रसरण $$E(\Delta \mathbf{w}_{n}^{i}\Delta \mathbf{z}_{n}^{i})=\frac{1}{2}h_{n}^{2}$$ और पी+ क्यू> 1 के साथ है। एसडीई की बड़ी प्रणालियों के लिए, उपरोक्त योजना में $$(\mathbf{P}_{p,q}(2^{-k_{n}}\mathbf{M}_{n}h_{n}))^{2^{k_{n}}}\mathbf{r}$$ को $$\mathbf{\mathbf{k}} _{m_{n},k_{n}}^{p,q}(h_{n},\mathbf{M}_{n},\mathbf{r})$$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

क्रम 2 एसएलएल-टेलर योजनाएँ
<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{y}_{t_{n+1}} =\mathbf{y}_{n}+\mathbf{L}(\mathbf{P}_{p,q}(2^{-k_{n}} \mathbf{M}_{n}h_{n}))^{2^{k_{n}}}\mathbf{r}+\sum\limits_{j=1}^{m}\mathbf{g} _{j}\left( t_{n}\right) \Delta \mathbf{w}_{n}^{j}+\sum\limits_{j=1}^{m} \mathbf{f}_{\mathbf{x}}(t_{n},\mathbf{y}_{n})\mathbf{g}_{j}\left( t_{n}\right) \widetilde{J}_{\left( j,0\right) } +\sum\limits_{j=1}^{m}\frac{d\mathbf{g}_{_{j}}}{dt}\left( t_{n}\right) \widetilde{J}_{\left( 0,j\right) }$$

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\qquad \qquad +\sum\limits_{j_{1},j_{2}=1}^{m}\left( \mathbf{I}\otimes \mathbf{g}_{j_{2}}^{\intercal }\left( t_{n}\right) \right) \mathbf{f}_{\mathbf{xx}}(t_{n},\mathbf{y}_{n})\mathbf{g} _{j_{1}}\left( t_{n}\right) \widetilde{J}_{\left( j_{1},j_{2},0\right), }\qquad \qquad (7.4)$$

जहाँ $$\mathbf{M}_{n}$$, $$\mathbf{L}$$, $$\mathbf{r}$$ और $$\Delta \mathbf{w}_{n}^{i}$$ क्रम-1 एसएलएल योजनाओं के रूप में परिभाषित किया गया है, और $$\widetilde{J}_{\alpha } $$ मल्टीपल स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल $$J_{\alpha }$$ का क्रम 2 सन्निकटन है।

क्रम 2 एसएलएल-आरके योजनाएं
एकल वीनर शोर वाले एसडीई के लिए (m=1)

$$\mathbf{y}_{t_{n+1}}=\mathbf{y}_{n}+\widetilde{\mathbf{\phi }}(t_{n},\mathbf{ y}_{n};h_{n})+\frac{h_{n}}{2}\left( \mathbf{k}_{1}+\mathbf{k}_{2}\right) + \mathbf{g}\left( t_{n}\right) \Delta w_{n}+\frac{\left( \mathbf{g}\left( t_{n+1}\right) -\mathbf{g}\left( t_{n}\right) \right) }{h_{n}}J_{\left( 0,1\right) } \quad (7.5) $$

$$\quad \quad \quad $$जहाँ


 * $$\mathbf{k}_{1} =\mathbf{f}(t_{n}+\frac{h_{n}}{2},\mathbf{y}_{n}+\widetilde{

\mathbf{\phi }}(t_{n},\mathbf{y}_{n};\frac{h_{n}}{2})+\gamma _{+})-\mathbf{f} _{\mathbf{x}}(t_{n},\mathbf{y}_{n})\widetilde{\mathbf{\phi }}(t_{n},\mathbf{y }_{n};\frac{h_{n}}{2})-\mathbf{f}\left( t_{n},\mathbf{y}_{n}\right) -\mathbf{ f}_{t}\left( t_{n},\mathbf{y}_{n}\right) \frac{h_{n}}{2}, $$
 * $$\mathbf{k}_{2} =\mathbf{f}(t_{n}+\frac{h_{n}}{2},\mathbf{y}_{n}+\widetilde{

\mathbf{\phi }}(t_{n},\mathbf{y}_{n};\frac{h_{n}}{2})+\gamma _{-}) -\mathbf{f} _{\mathbf{x}}(t_{n},\mathbf{y}_{n})\widetilde{\mathbf{\phi }}(t_{n},\mathbf{y }_{n};\frac{h_{n}}{2}) -\mathbf{f}\left( t_{n},\mathbf{y}_{n}\right) -\mathbf{f}_{t}\left( t_{n},\mathbf{y}_{n}\right) \frac{h_{n}}{2},$$ साथ $$\gamma _{\pm }=\frac{1}{h_{n}}\mathbf{g}\left( t_{n}\right) \Bigl( \widetilde{J}_{\left( 1,0\right) }\pm \sqrt{2\widetilde{J}_{\left(1,1,0\right) }h_{n}- \widetilde{J}_{\left( 1,0\right) }^{2}} \Bigr) $$.

यहाँ, निम्न आयामी एसडीई के लिए $$\widetilde{\mathbf{\phi }}(t_{n},\mathbf{y}_{n};h_{n})=\mathbf{L}(\mathbf{P}_{p,q}(2^{-k_{n}}\mathbf{M}_{n}h_{n}))^{2^{k_{n}}}\mathbf{r} $$, और एसडीई की बड़ी प्रणालियों के लिए  $$\widetilde{\mathbf{\phi }}(t_{n},\mathbf{y}_{n};h_{n})=\mathbf{L\mathbf{k}}_{m_{n},k_{n}}^{p,q}(h_{n},\mathbf{M}_{n}, \mathbf{r}) $$, जहां $$\mathbf{M}_{n} $$, $$\mathbf{L} $$, $$\mathbf{r} $$, $$\Delta \mathbf{w}_{n}^{i} $$ और $$\widetilde{J}_{\alpha }  $$ क्रम-2 एसएलएल-टेलर योजनाओं, p+q>1 और $$m_{n}>2 $$ के रूप में परिभाषित किया गया है।

स्थिरता और गतिशीलता
निर्माण के द्वारा, मजबूत एलएल और एचओएलएल असंततकरण रैखिक एसडीई की स्थिरता और यादृच्छिक गतिशील प्रणाली को विरासत में मिलाते हैं, लेकिन यह सामान्य रूप से मजबूत एलएल योजनाओं की वस्तुस्थिति नहीं है। एलएल योजनाएं (7.2)-(7.5) $$p\leq q\leq p+2 $$ के साथ A-स्थिर हैं जिसमें कठोर और अत्यधिक दोलनशील रैखिक समीकरण सम्मिलित हैं। इसके अलावा, यादृच्छिक आकर्षित करने वाले रेखीय एसडीई के लिए, इन योजनाओं में एक यादृच्छिक आकर्षण भी होता है जो संभाव्यता में सटीक एक के रूप में अभिसरण करता है क्योंकि कदम आकार घटता है और किसी भी चरण आकार के लिए इन समीकरणों की क्षुद्रता को संरक्षित करता है।। ये योजनाएँ सरल और युग्मित हार्मोनिक ऑसिलेटर्स के आवश्यक गतिशील गुणों को भी पुन: प्रस्तुत करती हैं जैसे कि पथों के साथ ऊर्जा की रैखिक वृद्धि, 0 के आस-पास ऑसिलेटरी व्यवहार, हैमिल्टनियन ऑसिलेटर्स की सहानुभूतिपूर्ण संरचना और पथों का माध्य प्रस्तुत करती हैं। छोटे शोर वाले गैर-रैखिक एसडीई के लिए (यानी, (7.1) $$\mathbf{g}_{i}(t)\approx 0 $$) के साथ, इन एसएलएल योजनाओं के पथ मूल रूप से ओडीई के लिए एलएल योजना (4.6) के गैर-यादृच्छिक पथ हैं और छोटे शोर से संबंधित एक छोटी गड़बड़ी है। इस स्थिति में, उस नियतात्मक योजना के गतिशील गुण, जैसे कि रेखीयकरण संरक्षण और अतिशयोक्तिपूर्ण संतुलन बिंदुओं और आवधिक कक्षाओं के आसपास सटीक समाधान गतिकी का संरक्षण, एसएलएल योजना के पथों के लिए प्रासंगिक हो जाते हैं। उदाहरण के लिए, चित्र 4 चरण तल में डोमेन के विकास और स्टोचैस्टिक ऑसिलेटर की ऊर्जा को दर्शाता है

$$\begin{array}{ll} dx(t)=y(t)dt, & x_{1}(0)=0.01 \\ dy(t)=-(\omega ^{2}x(t)+\epsilon x^{4}(t))dt+\sigma dw_{t}, & x_{1}(0)=0.1, \end{array} \qquad \qquad (7.6)$$और दो संख्यात्मक योजनाओं द्वारा उनका अनुमान दर्शाता है।

एसडीई के लिए कमजोर एलएल विधियाँ
डी-डायमेंशनल स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन पर विचार करें

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$d\mathbf{x}(t)=\mathbf{f}(t,\mathbf{x}(t))dt+\sum\limits_{i=1}^{m}\mathbf{g} _{i}(t)d\mathbf{w}^{i}(t),\qquad t\in \left[ t_{0},T\right], \qquad \qquad (8.1)$$

प्रारंभिक स्थिति $$\mathbf{x}(t_{0})=\mathbf{x}_{0}$$ के साथ, जहां बहाव गुणांक $$\mathbf{f}$$ और प्रसार गुणांक $$\mathbf{g}_{i}$$ अलग-अलग फलन हैं, और $$\mathbf{w=(\mathbf{w}}^{1},\ldots ,\mathbf{w}^{m}\mathbf{)}$$ एक एम-आयामी मानक वीनर प्रक्रिया है।

स्थानीय रैखिक असंततकरण
एक समय असंततकरण $$\left( t\right) _{h}$$के लिए, एसडीई (8.1) के समाधान के क्रम-$$\mathbb{\beta }$$ $$(=1,2)$$ कमजोर स्थानीय रैखिक असंततकरण को पुनरावर्ती संबंध द्वारा परिभाषित किया गया है

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_{n}+\mathbf{\phi }_{\mathbb{\beta }}(t_{n}, \mathbf{z}_{n};h_{n})+\mathbf{\eta }(t_{n},\mathbf{z}_{n};h_{n}),\quad with \quad \mathbf{z}_{0}=\mathbf{x}_{0}, $$

जहाँ

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{\phi }_{\mathbb{\beta }}(t_{n},\mathbf{z}_{n};\delta )=\int_{0}^{\delta }e^{\mathbf{f}_{\mathbf{x}}(t_{n},\mathbf{z}_{n})(\delta -u)}(\mathbf{f(}t_{n},\mathbf{z}_{n})+\mathbf{b}^{\mathbb{\beta }}(t_{n}, \mathbf{z}_{n})u)du $$

साथ

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{b}^{\mathbb{\beta }}(t_{n},\mathbf{z}_{n})= \begin{cases} \mathbf{f}_{t}(t_{n},\mathbf{z}_{n}) & \text{for }\mathbb{\beta }=1 \\ \mathbf{f}_{t}(t_{n},\mathbf{z}_{n})+\frac{1}{2}\sum \limits_{j=1}^{m}\left( \mathbf{I}\otimes \mathbf{g} _{j}^{\intercal }\left( t_{n}\right) \right) \mathbf{f}_{\mathbf{xx}}(t_{n}, \mathbf{z}_{n})\mathbf{g}_{j}\left( t_{n}\right) & \text{for }\mathbb{\beta } =2, \end{cases} $$

और $$\mathbf{\eta }(t_{n},\mathbf{z}_{n};\delta )$$ विचरण मैट्रिक्स के साथ एक शून्य माध्य स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{\Sigma }(t_{n},\mathbf{z}_{n};\delta )=\int\limits_{0}^{\delta }e^{ \mathbf{f}_{\mathbf{x}}(t_{n},\mathbf{z}_{n})(\delta -s)}\mathbf{G}(t_{n}+s) \mathbf{G}^{\intercal }(t_{n}+s)e^{\mathbf{f}_{\mathbf{x}}^{\intercal }(t_{n},\mathbf{z}_{n})(\delta -s)}ds. $$

यहाँ, $$\mathbf{f}_{\mathbf{x}}$$, $$\mathbf{f}_{t}$$ चर $$\mathbf{x}$$ और टी के संबंध में $$\mathbf{f}$$ के आंशिक डेरिवेटिव को निरूपित करते हैं, क्रमशः, $$\mathbf{x}$$, और $$\mathbf{G}(t)=[\mathbf{g}_{1}(t),\ldots, \mathbf{g}_{m}(t)]$$ के संबंध में $$\mathbf{f}$$ का हेसियन मैट्रिक्स  $$\mathbf{f}_{\mathbf{xx}}$$  कमजोर स्थानीय रैखिक असंततकरण $$\mathbf{z}_{n+1}$$ क्रम के साथ $$\mathbb{\beta }$$ (=1,2) (8.1) के समाधान के लिए अभिसरित होता है।

स्थानीय रैखिककरण योजनाएं
$$\mathbf{\phi }_{\mathbb{\beta }}$$ और $$\mathbf{\Sigma }$$ की गणना के तरीके के आधार पर विभिन्न संख्यात्मक योजनाएँ प्राप्त की जा सकती हैं। कमजोर स्थानीय रैखिक विवेचन $$\mathbf{z}_{n}$$ के प्रत्येक संख्यात्मक कार्यान्वयन $$\mathbf{y}_{n}$$ को सामान्य रूप से कमजोर स्थानीय रेखाकरण (डब्ल्यूएलएल) योजना कहा जाता है।है।

क्रम 1 WLL योजना
<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{y}_{n+1}=\mathbf{y}_{n}+\mathbf{B}_{14}+(\mathbf{B}_{12}\mathbf{B} _{11}^{\intercal })^{1/2}\mathbf{\xi }_{n} $$

जहां, स्वायत्त प्रसार गुणांक वाले एसडीई के लिए, $$\mathbf{B}_{11}$$, $$\mathbf{B}_{12}$$ और $$\mathbf{B}_{14}$$ विभाजित ब्लॉक मैट्रिक्स $$\mathbf{B}=\mathbf{P}_{p,q}(2^{-k_{n}}\mathcal{M}_{n}h_{n}))^{2^{k_{n}}}$$द्वारा परिभाषित सबमैट्रिसेस हैं, साथ में

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathcal{M}_{n}=\left[ \begin{array}{cccc} \mathbf{f}_{\mathbf{x}}(t_{n},\mathbf{y}_{n}) & \mathbf{GG}^{\intercal } & \mathbf{f}_{t}(t_{n},\mathbf{y}_{n}) & \mathbf{f}(t_{n},\mathbf{y}_{n}) \\ \mathbf{0} & -\mathbf{f}_{\mathbf{x}}^{\intercal }(t_{n},\mathbf{y}_{n}) & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & 0 & 1 \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & 0 & 0 \end{array} \right] \in \mathbb{R}^{(2d+2)\times (2d+2)}, $$

और $$\{\mathbf{\xi }_{n}\}$$ डी-आयामी स्वतंत्र दो-बिंदुओं का एक क्रम है, जो $$P(\xi _{n}^{k}=\pm 1)=\frac{1}{2} $$ को संतुष्ट करने वाले यादृच्छिक वैक्टर वितरित करता है।

क्रम 2 WLL योजना
<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{y}_{n+1}=\mathbf{y}_{n}+\mathbf{B}_{16}+(\mathbf{B}_{14}\mathbf{B} _{11}^{\intercal })^{1/2}\mathbf{\xi }_{n}, $$

जहाँ $$\mathbf{B}_{11}$$, $$\mathbf{B}_{14}$$ और $$\mathbf{B}_{16}$$ विभाजित मैट्रिक्स द्वारा परिभाषित सबमैट्रिसेस हैं $$\mathbf{B}=\mathbf{P} _{p,q}(2^{-k_{n}}\mathcal{M}_{n}h_{n}))^{2^{k_{n}}}$$ साथ

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathcal{M}_{n}=\left[ \begin{array}{cccccc} \mathbf{J} & \mathbf{H}_{2} & \mathbf{H}_{1} & \mathbf{H}_{0} & \mathbf{a} _{2} & \mathbf{a}_{1} \\ \mathbf{0} & -\mathbf{J}^{\intercal } & \mathbf{I} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & -\mathbf{J}^{\intercal } & \mathbf{I} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & -\mathbf{J}^{\intercal } & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & 0 & 1 \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & 0 & 0 \end{array} \right] \in \mathbb{R}^{(4d+2)\times (4d+2)}, $$

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{J}=\mathbf{f}_{\mathbf{x}}(t_{n},\mathbf{y}_{n})\qquad \mathbf{a}_{1}=\mathbf{f}(t_{n},\mathbf{y}_{n})\qquad \mathbf{a} _{2}=\mathbf{f}_{t}(t_{n},\mathbf{y}_{n})+\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{m}( \mathbf{I}\otimes (\mathbf{g}^{i}(t_{n}))^{\intercal })\mathbf{f}_{\mathbf{xx }}(t_{n},\mathbf{y}_{n})\mathbf{g}^{i}(t_{n}) $$

और

<div शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; > $$\mathbf{H}_{0}=\mathbf{G}(t_{n})\mathbf{G}^{\intercal }(t_{n})\qquad \mathbf{H}_{1}=\mathbf{G}(t_{n})\frac{d\mathbf{G}^{\intercal }(t_{n})}{dt} +\frac{d\mathbf{G}(t_{n})}{dt}\mathbf{G}^{\intercal }(t_{n})\qquad \mathbf{H}_{2}=\frac{d\mathbf{G}(t_{n})}{dt}\frac{d\mathbf{G}^{\intercal }(t_{n})}{dt}\text{.} $$

स्थिरता और गतिशीलता
निर्माण के द्वारा, कमजोर एलएल असंततकरणाधिकार रैखिक एसडीई की स्थिरता और यादृच्छिक गतिशील प्रणाली को विरासत में मिला है, लेकिन यह सामान्य रूप से कमजोर एलएल योजनाओं की वस्तुस्थिति नहीं है। डब्ल्यूएलएल योजनाएं $$p\leq q\leq p+2$$ के साथ, रैखिक एसडीई के पहले दो पलों को संरक्षित करती हैं, और माध्य-स्क्वायर स्थिरता या अस्थिरता को इनहेरिट करें जो इस तरह के समाधान में हो सकती है। इसमें सम्मिलित हैं, उदाहरण के लिए, यादृच्छिक बल द्वारा संचालित युग्मित हार्मोनिक ऑसिलेटर्स के समीकरण, और कठोर रैखिक एसडीई की बड़ी प्रणालियाँ जो रैखिक स्टोकेस्टिक आंशिक अवकल समीकरणों के लिए लाइनों की विधि से उत्पन्न होती हैं। इसके अलावा, ये डब्लूएलएल योजनाएं रैखिक समीकरणों की क्षुद्रता को संरक्षित करती हैं, और गैर-रैखिक एसडीई के कुछ वर्गों के लिए ज्यामितीय रूप से एर्गोडिक हैं। छोटे शोर वाले गैर-रैखिक एसडीई के लिए (यानी, (8.1) $$\mathbf{g}_{i}(t)\approx 0$$) के साथ, इन डब्लूएलएल योजनाओं के समाधान मूल रूप से ओडीई के लिए एलएल योजना (4.6) के गैर-यादृच्छिक पथ हैं और छोटे शोर से संबंधित एक छोटी गड़बड़ी है। इस स्थिति में, उस नियतात्मक योजना के गतिशील गुण, जैसे कि रेखीयकरण संरक्षण और अतिशयोक्तिपूर्ण संतुलन बिंदुओं और आवधिक कक्षाओं के आसपास सटीक समाधान गतिकी का संरक्षण, डब्लूएलएल योजना के माध्यम के लिए प्रासंगिक हो जाते हैं। उदाहरण के लिए, चित्र 5 एसडीई का अनुमानित माध्य

$$dx=-t^{2}x\text{ }dt+\frac{3}{2(t+1)}e^{-t^{3}/3}\text{ }dw_{t},\qquad \qquad x(0)=1, \qquad \quad(8.2)$$विभिन्न योजनाओं द्वारा गणना दिखाता है।

ऐतिहासिक नोट
नीचे स्थानीय रेखाकरण (एलएल) पद्धति के मुख्य विकास की एक समय रेखा है।


 * पोप डी.ए. (1963) टेलर विस्तार के आधार पर ओडीई और LL योजना के लिए LL असंततकरण का परिचय देता है।
 * ओजाकी टी. (1985) ने एसडीई के एकीकरण और आकलन के लिए एलएल पद्धति का परिचय दिया। स्थानीय रैखिककरण शब्द का प्रयोग पहली बार किया गया है।
 * बिस्के आर. एट अल. (1996) एसडीई के लिए मजबूत एलएल पद्धति का पुनर्निरूपण करते हैं।।
 * शोजी आई. और ओजाकी टी. (1997) ने एसडीई के लिए कमजोर एलएल पद्धति का सुधार किया।
 * होचब्रुक एम. एट अल. (1998) क्रायलोव सबस्पेस सन्निकटन के आधार पर ओडीई के लिए एलएल स्कीम प्रस्तुत करते हैं।
 * जिमेनेज जे.सी. (2002) ओडीई और एसडीई के लिए तर्कसंगत पेड सन्निकटन के आधार पर एलएल योजना प्रस्तुत करता है।
 * कार्बनेल एफ.एम. और अन्य (2005) आरडीई के लिए एलएल पद्धति का परिचय देते हैं।
 * जिमेनेज जे.सी. एट अल. (2006) डीडीई के लिए एलएल पद्धति का परिचय देते हैं। * डे ला क्रूज़ एच. एट अल. (2006,2007) और टोकमैन एम. (2006) ने ओडीई के लिए एचओएलएल इंटीग्रेटर्स के दो वर्गों का परिचय दिया: इंटीग्रेटर-आधारित और चतुर्भुज आधारित। * डे ला क्रूज़ एच। एट अल। (2010) एसडीई के लिए मजबूत एचओएलएल पद्धति का परिचय देता है।