मैक्कार्थी 91 फ़ंक्शन

मैक्कार्थी 91 फ़ंक्शन एक रिकर्सन (कंप्यूटर विज्ञान) है, जिसे कंप्यूटर वैज्ञानिक जॉन मैक्कार्थी (कंप्यूटर वैज्ञानिक) रिकर्सन (कंप्यूटर विज्ञान) के भीतर औपचारिक सत्यापन के लिए एक परीक्षण घटना के रूप में परिभाषित किया है।

मैक्कार्थी 91 फ़ंक्शन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है


 * $$M(n)=\begin{cases}

n - 10, & \mbox{if }n > 100\mbox{ } \\ M(M(n+11)), & \mbox{if }n \le 100\mbox{ } \end{cases}$$ फ़ंक्शन के मूल्यांकन के परिणाम सभी पूर्णांक तर्कों n ≤ 100 के लिए M(n) = 91, और n > 100 के लिए M(n) = n − 10 द्वारा दिए गए हैं। वास्तव में, M(101) का परिणाम भी 91 (101 - 10 = 91) है। n = 101 के बाद M(n) के सभी परिणाम लगातार 1 से बढ़ रहे हैं, उदाहरण के लिए एम(102) = 92, एम(103) = 93।

इतिहास
91 फ़ंक्शन को 1970 में जोहार मन्ना, अमीर पनुएली और जॉन मैक्कार्थी (कंप्यूटर वैज्ञानिक) द्वारा प्रकाशित पत्रों में प्रस्तुत किया गया था। ये कागजात औपचारिक सत्यापन के लिए औपचारिक विधियों के आवेदन की दिशा में प्रारंभिक विकास का प्रतिनिधित्व करते थे। 91 फ़ंक्शन को नेस्टेड-रिकर्सिव (एकल प्रत्यावर्तन के विपरीत, जैसे कि परिभाषित करना) के लिए चुना गया था $$f(n)$$ के माध्यम से $$f(n-1)$$). यह उदाहरण मन्ना की पुस्तक, मैथमैटिकल थ्योरी ऑफ कंप्यूटेशन (1974) द्वारा लोकप्रिय हुआ। जैसे-जैसे औपचारिक विधियों का क्षेत्र आगे बढ़ा, यह उदाहरण शोध साहित्य में बार-बार सामने आया। विशेष रूप से, इसे स्वचालित प्रोग्राम सत्यापन के लिए एक चुनौती समस्या के रूप में देखा जाता है।

पूँछ प्रत्यावर्तन |टेल-रिकर्सिव नियंत्रण प्रवाह के बारे में तर्क करना आसान है, यह एक समतुल्य (विस्तारकता) परिभाषा है:
 * $$M_t(n)= M_t'(n,1)$$
 * $$M_t'(n, c)=\begin{cases}

n, & \mbox{if }c = 0\\ M_t'(n-10, c-1), & \mbox{if }n > 100\mbox{ and } c \ne 0 \\ M_t'(n+11, c+1), & \mbox{if }n \le 100\mbox{ and } c \ne 0 \end{cases} $$ इस तरह के तर्क को प्रदर्शित करने के लिए उपयोग किए गए उदाहरणों में से एक के रूप में, मन्ना की पुस्तक में नेस्टेड-रिकर्सिव 91 फ़ंक्शन के बराबर एक टेल-रिकर्सिव एल्गोरिदम सम्मिलित है। 91 फ़ंक्शन के स्वचालित सत्यापन (या समाप्ति प्रमाण) की रिपोर्ट करने वाले कई दस्तावेज़ केवल टेल-रिकर्सिव संस्करण को संभालते हैं।

यह एक समतुल्य पारस्परिक पुनरावर्तन पूँछ-पुनरावर्ती परिभाषा है:
 * $$M_{mt}(n)= M_{mt}'(n,0)$$
 * $$M_{mt}'(n,c)=\begin{cases}

M_{mt}''(n-10,c), & \mbox{if }n > 100\mbox{ } \\ M_{mt}'(n+11,c+1), & \mbox{if }n \le 100\mbox{ } \end{cases}$$
 * $$M_{mt}''(n,c)=\begin{cases}

n, & \mbox{if }c = 0\mbox{ } \\ M_{mt}'(n,c-1), & \mbox{if }c \ne 0\mbox{ } \end{cases}$$ नेस्टेड-रिकर्सिव से पारस्परिक रूप से टेल-रिकर्सिव संस्करण की औपचारिक व्युत्पत्ति 1980 के एक लेख में मिशेल वैंड द्वारा निरंतरता के उपयोग के आधार पर दी गई थी।

उदाहरण
उदाहरण ए:

एम(99) = एम(एम(110)) चूँकि 99 ≤ 100 = एम(100) चूँकि 110 > 100 = एम(एम(111)) चूँकि 100 ≤ 100 = एम(101) 111 > 100 से = 91 चूँकि 101 > 100

उदाहरण बी:

एम(87) = एम(एम(98)) = एम(एम(एम(109))) = एम(एम(99)) = एम(एम(एम(110))) = एम(एम(100)) = एम(एम(एम(111))) = एम(एम(101)) = एम(91) = एम(एम(102)) = एम(92) = एम(एम(103)) = एम(93) .... पैटर्न एम(99), एम(100) और एम(101) तक बढ़ता रहता है, बिल्कुल वैसा ही जैसा हमने उदाहरण ए में देखा था)      = एम(101) 111 > 100 से       = 91 चूँकि 101 > 100

कोड
यहां लिस्प (प्रोग्रामिंग भाषा) में नेस्टेड-रिकर्सिव एल्गोरिदम का कार्यान्वयन है:

हास्केल (प्रोग्रामिंग भाषा) में नेस्टेड-रिकर्सिव एल्गोरिदम का कार्यान्वयन यहां दिया गया है:

यहां ओकैमल (प्रोग्रामिंग भाषा) में नेस्टेड-रिकर्सिव एल्गोरिदम का कार्यान्वयन है:

यहां ओकैमल (प्रोग्रामिंग भाषा) में टेल-रिकर्सिव एल्गोरिदम का कार्यान्वयन है:

यहां पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा) में नेस्टेड-रिकर्सिव एल्गोरिदम का कार्यान्वयन है:

यहां सी (प्रोग्रामिंग भाषा) में नेस्टेड-रिकर्सिव एल्गोरिदम का कार्यान्वयन है:

यहां सी (प्रोग्रामिंग भाषा) में टेल-रिकर्सिव एल्गोरिदम का कार्यान्वयन दिया गया है:

प्रमाण
यहाँ इसका प्रमाण है
 * $$M(n)=\begin{cases}

n - 10, & \mbox{if }n > 100\mbox{ } \\ 91, & \mbox{if }n \le 100\mbox{ } \end{cases}$$ जो $$M$$ गणना करने के लिए एक समतुल्य गैर-पुनरावर्ती एल्गोरिदम प्रदान करता है.

n > 100 के लिए, समानता $$M$$ की परिभाषा से अनुसरण करती है। n ≤ 100 के लिए, 100 से नीचे की ओर एक मजबूत प्रेरण का उपयोग किया जा सकता है।

90 ≤ एन ≤ 100 के लिए,

एम(एन) = एम(एम(एन + 11)), परिभाषा के अनुसार = एम(एन + 11 - 10), चूँकि एन + 11 > 100 = एम(एन + 1)

तो M(n) = M(101) = 91 90 ≤ n ≤ 100 के लिए।इसे आधार मामले के तौर पर उपयोग किया जा सकता है.

प्रेरण चरण के लिए, मान लीजिए n ≤ 89 और सभी n < i ≤ 100 के लिए M(i) = 91 मान लें, तो

एम(एन) = एम(एम(एन + 11)), परिभाषा के अनुसार = एम(91), परिकल्पना के अनुसार, चूँकि n < n + 11 ≤ 100 = 91, आधार स्थिति के अनुसार।

यह नकारात्मक मानों सहित सभी n ≤ 100 के लिए M(n) = 91 साबित करता है।

नुथ का सामान्यीकरण
डोनाल्ड नुथ ने अतिरिक्त मापदंडों को सम्मिलित करने के लिए 91 फ़ंक्शन को सामान्यीकृत किया। जॉन काउल्स (गणितज्ञ) ने एसीएल2 प्रमेय कहावत का उपयोग करते हुए एक औपचारिक प्रमाण विकसित किया कि नुथ का सामान्यीकृत कार्य संपूर्ण था।