डिसेन्ट (गणित)

गणित में, वंश का विचार सांस्थिति में 'ग्लूइंग' के सहज ज्ञान युक्त विचार का विस्तार करता है। चूंकि प्ररुपविज्ञानी का गोंद सांस्थितिक स्पेस पर तुल्यता संबंधों का उपयोग है, इसलिए सिद्धांत पहचान पर कुछ विचारों से प्रारम्भ होता है।

सदिश बंडलों का अवतरण
टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के असंबद्ध संघ पर डेटा से वेक्टर बंडलों के निर्माण का स्तिथि प्रारम्भ करने के लिए एक स्पष्ट स्थान है।

मान लीजिए कि X एक टोपोलॉजिकल स्पेस है जो खुले सेट Xi द्वारा कवर किया गया है। मान लीजिए कि Y Xi का असंयुक्त संघ है, ताकि प्राकृतिक मानचित्रण हो


 * $$p: Y \rightarrow X.$$

हम Y को X से 'ऊपर' मानते हैं, Xi प्रक्षेपण के साथ X पर 'नीचे' है। उन बंडलों Vi को, X पर एकल बंडल V बनाने के लिए। हमारा मतलब यह है कि V को, जब Xi तक सीमित किया जाता है, तो बंडल समरूपता तक Vi को वापस देना चाहिए।

आवश्यक डेटा तब यह है: प्रत्येक अतिव्यापी पर


 * $$X_{ij},$$

Xi और Xj का प्रतिच्छेदन, हमें मैपिंग की आवश्यकता होगी


 * $$f_{ij}: V_i \rightarrow V_j$$

Vi और Vj की पहचान करने के लिए फाइबर द्वारा फाइबर का उपयोग करें। इसके अलावा, fij को तुल्यता संबंध (ग्लूइंग की स्थिति) के परावर्तक, सममित और संक्रमणीय गुणों के आधार पर शर्तों को पूरा करना होगा। उदाहरण के लिए, रचना


 * $$f_{jk} \circ f_{ij} = f_{ik}$$

परिवर्तनशीलता के लिए (और उपयुक्त संकेतन का चयन करना)। fii पहचान मानचित्र होना चाहिए और इसलिए समरूपता $$f_{ij}=f^{-1}_{ji}$$ बन जाती है (ताकि यह फाइबरवाइज आइसोमोर्फिज्म हो)।

फाइबर बंडल सिद्धांत में ये वास्तव में मानक स्थितियाँ हैं (संक्रमण मानचित्र देखें)। ध्यान देने योग्य एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग फाइबर का परिवर्तन है: यदि बंडल बनाने के लिए आपको केवल fij की आवश्यकता होती है, तो संबद्ध बंडल बनाने के कई विधियों हैं। अर्थात्, हम विभिन्न रेशों पर कार्य करते हुए मूलतः एक ही fij ले सकते हैं।

अन्य प्रमुख बिंदु श्रृंखला नियम के साथ संबंध है: टेंसर फ़ील्ड के निर्माण के विधियों की चर्चा को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है 'एक बार जब आप स्पर्शरेखा बंडल को अवतरित करना सीख जाते हैं, जिसके लिए परिवर्तनशीलता जैकोबियन श्रृंखला नियम है, बाकी सिर्फ 'टेंसर निर्माण की स्वाभाविकता' है।

अमूर्त सिद्धांत की ओर करीब बढ़ने के लिए हमें इसके असंयुक्त संघ की व्याख्या करने की आवश्यकता है।


 * $$X_{ij}$$

अब जैसे


 * $$Y \times_X Y,$$

प्रक्षेपण पी की दो प्रतियों का फाइबर गुणनफल (यहां एक तुल्यकारक) है। Xij पर जिन बंडलों को हमें नियंत्रित करना चाहिए वे V′ और V" हैं, दो अलग-अलग प्रक्षेपण मानचित्रों X के माध्यम से V के फाइबर में पश्चअपकर्ष है।

इसलिए, अधिक अमूर्त स्तर पर जाकर कोई संयोजन पक्ष को समाप्त कर सकता है (अर्थात, सूचकांकों को छोड़ सकता है) और कुछ ऐसा प्राप्त कर सकता है जो पी के लिए समझ में आता है न कि कवर के उस विशेष रूप के लिए जिसके साथ हमने शुरुआत की थी। इसके बाद यह एक श्रेणी सिद्धांत दृष्टिकोण की अनुमति देता है: जो करना बाकी है वह ग्लूइंग स्थितियों को फिर से व्यक्त करना है।

इतिहास
ये विचार 1955-1965 की अवधि में विकसित हुए थे (यह मोटे तौर पर वह समय था जब बीजगणितीय टोपोलॉजी की आवश्यकताएं पूरी हो गई थीं लेकिन बीजगणितीय ज्यामिति की नहीं)। अमूर्त श्रेणी सिद्धांत के दृष्टिकोण से बेक के कॉमोनैड का काम उन विचारों का सारांश था; बेक की मोनैडिसिटी प्रमेय देखें।

भागफल तक जाने के साथ बीजीय ज्यामिति की कठिनाइयाँ तीव्र हैं। जियोमीटर के लिए समस्या की तात्कालिकता (इसे इस तरह से रखने के लिए) 1959 के ग्रोथेंडिक सेमिनार टीडीटीई के वंश के प्रमेयों और अस्तित्व की तकनीकों (एफजीए देखें) के शीर्षक के कारण है, जो बीजगणितीय ज्यामिति में प्रतिनिधित्व योग्य फ़नकार प्रश्न के साथ वंश प्रश्न को जोड़ता है। सामान्य रूप से, और विशेष रूप से मॉड्यूलि समस्या है।

पूर्णतः यथार्थ अवतरण (वंश)
मान लीजिये $$p:X' \to X$$. X पर प्रत्येक शीफ F वंश डेटा उत्त्पन्न होता है:
 * $$(F' = p^* F, \alpha: p_0^* F' \simeq p_1^* F'), \, p_i: X'' = X' \times_X X' \to X'$$

जहाँ $$\alpha$$ सहचक्रीय स्थिति को संतुष्ट करता है:
 * $$p_{02}^* \alpha = p_{12}^* \alpha \circ p_{01}^* \alpha, \, p_{ij}: X' \times_{X} X' \times_{X} X' \to X' \times_{X} X'$$.

पूर्णतया यथार्थ वंश कहता है: $$F \mapsto (F', \alpha)$$ पूर्णतया यथार्थ है। वंश सिद्धांत उन स्थितियों को बताता है जिनके लिए पूर्णतः विश्वसनीय वंश होता है।

यह भी देखें

 * ग्रोथेंडिक कनेक्शन
 * स्टैक (गणित)
 * गैलोइस वंश
 * ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी
 * फाईबर्ड श्रेणी
 * बेक की अद्वैतता प्रमेय
 * कोहोमोलॉजिकल वंश

संदर्भ

 * SGA 1, Ch VIII – this is the main reference
 * A chapter on the descent theory is more accessible than SGA.

अग्रिम पठन
Other possible sources include:
 * Angelo Vistoli, Notes on Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory
 * Mattieu Romagny, A straight way to algebraic stacks

बाहरी संबंध

 * What is descent theory?