अनुनादी अल्ट्रासाउंड स्पेक्ट्रोस्कोपी

अनुनादी अल्ट्रासाउंड स्पेक्ट्रोस्कोपी (आरयूएस) एक प्रयोगशाला तकनीक है जिसका उपयोग लोच (भौतिकी) से जुड़े मौलिक भौतिक गुणों को मापने के लिए भूविज्ञान और भौतिक विज्ञान में किया जाता है। यह तकनीक इस तथ्य पर निर्भर करती है कि ठोस वस्तुओं में प्राकृतिक आवृत्तियाँ होती हैं जिस पर वे यांत्रिक रूप से उत्तेजित होने पर कंपन करती हैं। प्राकृतिक आवृत्ति वस्तु की लोच, आकार और बनावट पर निर्भर करती है - आरयूएस सामग्री की रैखिक लोच को निर्धारित करने के लिए ठोस पदार्थों की इस संपत्ति को शोषित करता है। इस तकनीक का सबसे बड़ा लाभ यह है कि संपूर्ण लोचदार टेन्सर (तानिका) एकल त्वरित माप में एकल क्रिस्टल नमूने से प्राप्त किया जाता है। कम या अधिक सामान्य आवृत्तियों पर इस विधि को ध्वनिक अनुनादी स्पेक्ट्रोस्कोपी के रूप में जाना जाता है।

इतिहास
17 वीं शताब्दी के दार्शनिकों का प्रवेश लोचदार गुणों में रुचि के साथ हुआ परन्तु लोच का वास्तविक सिद्धांत यह दर्शाता है कि सामग्री के लोचदार स्थिरांक को उस सामग्री में ध्वनि वेगों को मापकर प्राप्त किया जा सकता है यह दो सौ साल बाद केवल सारांशित किया गया था। सन 1964 में डी.बी. फ्रेज़ियर और आरसी लेक्रॉ ने आगे की समस्या को हल करने के लिए सन 1880 में जी. लामे और एच. लैम्ब द्वारा गणना किए गए समाधान का उपयोग किया, और फिर इसे ग्राफिकल रूप से उल्टा कर दिया, जो कि पहला आरयूएस माप हो सकता है। फिर भी हमें भूभौतिकी समुदाय की भागीदारी की प्रतीक्षा करनी पड़ी जो पृथ्वी की संरचना के निर्धारण करने में रुचि रखते थे। पृथ्वी की आंतरिक संरचना "व्युत्क्रम समस्या" को हल करने के लिए: 1970 में तीन भूभौतिकीविदों ने पूर्व पद्धति में सुधार किया और अनुनाद क्षेत्र तकनीक (आरएसटी) शब्द प्रस्तुत किया। चाँद की चट्टान के साथ प्राप्त उत्साहजनक परिणामों से उत्साहित होकर उनमें से एक ने अपने छात्रों में से एक को क्यूब के आकार के नमूनों के उपयोग के लिए विधि का विस्तार करने का कार्य दिया। यह विधि जिसे अब आयताकार समांतर चतुर्भुज प्रतिध्वनि (आरपीआर) विधि के रूप में जाना जाता है जिसे सन 1976 में ओहनो द्वारा आगे बढ़ाया गया। सन 1980 के दशक के अंत में ए. मिग्लियोरी और जे. लोडिंग और निम्न-स्तरीय इलेक्ट्रॉनिक मापन एवं डब्लू. विस्चर के साथ कंप्यूटर एल्गोरिदम को उनकी वर्तमान स्थिति में लाया गया तथा अंतिम शब्द अनुनादी अल्ट्रासाउंड स्पेक्ट्रोस्कोपी (आरयूएस) का परिचय दिया।

सिद्धांत
प्रथमतया नमूना आयामों, द्रव्यमान और काल्पनिक लोचदार स्थिरांक (आगे की समस्या) के सेट (समूह) के संदर्भ में प्राकृतिक आवृत्तियों की गणना करने की समस्या को हल करना चाहिए। फिर मापा प्राकृतिक आवृत्तियों (व्युत्क्रम समस्या) से लोचदार स्थिरांक खोजने के लिए गैर-रैखिक व्युत्क्रम एल्गोरिदम लागू करना चाहिए।

लाग्रंगियन न्यूनीकरण
सभी आरयूएस माप नमूनों पर किए जाते हैं जो मुक्त वाइब्रेटर (कांपने या थरथराने वाला) हैं। क्योंकि ठोस पदार्थों के मुक्त कंपन के लिए पूर्ण विश्लेषणात्मक समाधान उपलब्ध नहीं है किसी एक के सन्निकट को पर विश्वास रखना चाहिये। परिमित तत्व विधियाँ विभेदक आयतन तत्व पर लागू बलों को संतुलित करने पर आधारित होती हैं एवं इसके पश्चात उसकी प्रतिक्रिया की गणना करती हैं। इस प्रकार वस्तु के लिए संतुलन विन्यास दूसरी ओर ऊर्जा न्यूनीकरण के प्रकार न्यूनतम ऊर्जा निर्धारित करते हैं। ऊर्जा न्यूनीकरण तकनीकों के मध्य गति में इसके लाभ (परिमित-तत्व विधियों की तुलना में छोटे परिमाण का क्रम) के कारण आरयूएस विश्लेषण में लैग्रैन्जियन न्यूनीकरण का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है।

यह प्रक्रिया आयतन V की एक वस्तु से आरम्भ होती है जो इसकी मुक्त सतह S से बंधी होती है। लाग्रंगियन (क्षेत्र सिद्धांत) द्वारा दिया जाता है

$$L =\int_V ( KE - PE ) dV (1)$$

जहाँ KE गतिज ऊर्जा घनत्व है

$$KE =\frac{1}{2} \sum_{i} \rho \omega^2 u_i^2 (2)$$

और पीई संभावित ऊर्जा घनत्व है

$$PE =\frac{1}{2} \sum_{i,j,k,l} c_{i,j,k,l} \frac{du_i}{dx_j} \frac{du_k}{dx_l} (3)$$

यहाँ $$u_i$$ विस्थापन वेक्टर का i वां घटक, ω हार्मोनिक समय निर्भरता से कोणीय आवृत्ति, $$c_{i,j,k,l}$$ लोचदार कठोरता टेंसर का एक घटक और ρ घनत्व है। सबस्क्रिप्ट i, j, आदि, कार्टेशियन निर्देशांक दिशाओं को संदर्भित करते हैं।

लाग्रंगियन का न्यूनतम ज्ञात करने के लिए, L के फ़ंक्शन के अंतर को u के फ़ंक्शन के रूप में और V में S पर u की मनमाना भिन्नता परिकलित करें। यह देता है:

$$\delta L =\int_V \Bigl\{ \sum_i \Bigl[ \rho \omega^2 u_i - \sum_{j,k,l} c_{i,j,k,l} \frac{\delta^2 u_k}{\delta x_j \delta x_l} \Bigr] \delta u_i \Bigr\} dV - \int_S \Bigl\{ \sum_i \Bigl[ \sum_{j,k,l} \vec n c_{i,j,k,l} \frac{\delta u_k}{\delta x_l} \Bigr] du_i \Bigr\} dS (4)$$

वर्ग कोष्ठक में दोनों शब्द शून्य होने चाहिए क्योंकि $$u_i$$, V और S में एकपक्षता है। पहले पद को शून्य के बराबर सेट करने से प्रत्यास्थ तरंग समीकरण प्राप्त होता है। दूसरा वर्ग कोष्ठक पद मुक्त सतह सीमा स्थितियों की अभिव्यक्ति है और $$\vec n$$, S के लिए इकाई वेक्टर सामान्य है। मुक्त बॉडी के लिए (जैसा कि हम इसे मानते हैं) बाद की अवधि शून्य के बराबर होती है और इसे अनदेखा किया जा सकता है।

इस प्रकार का सेट $$u_i$$ जो पहले बताये गए नियमों को संतुष्ट करता है तथा वे विस्थापन हैं जो ω प्रणाली की सामान्य मोड आवृत्ति के अनुरूप हैं। इससे पता चलता है कि किसी वस्तु के सामान्य कंपन (चित्र 1) की गणना भिन्नता विधि (हमारे मामले में रेले-रिट्ज विधि (रेले-रिट्ज भिन्नता विधि), अगले पैराग्राफ में समझाया गया है) को लागू करके दोनों सामान्य मोड को निर्धारित करने के लिए की जा सकती है। आवृत्तियों और भौतिक दोलनों का विवरण। विशर को उद्धृत करने के लिए दोनों समीकरणों को मूल लैग्रेंजियन से प्राप्त करना गणितीय घटना है जो मर्फी के नियम में चूक (मर्फी की सतर्कता ) के समय हुआ हो सकता है।

रेले-रिट्ज परिवर्तनशील विधि
इस दृष्टिकोण की सक्रियता के विस्तार की आवश्यकता है जहां $$u_i$$ बॉडी की ज्यामिति के लिए उपयुक्त आधार कार्यों के सेट में उस अभिव्यक्ति को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करना और N×N मैट्रिक्स (आइगेनवैल्यू समस्या) को डायगोनलाइज़ करने की समस्या को कम करना है। समीकरण (4) से उत्पन्न आइगेनवैल्यू समस्या को हल करके लाग्रंगियन के स्थिर बिंदुओं को पाया जाता है। अर्थात्,

$$\omega^2 E a = \Gamma a (5)$$

जहाँ a पूर्ण आधार सेट में विस्तारित गति के सन्निकटन हैं, E गतिज ऊर्जा शब्द से आता है और Γ लोचदार ऊर्जा शब्द को निरूपित करता है। अच्छे सन्निकटन के लिए मेट्रिसेस का क्रम ~10^3 होता है।

समीकरण (5) लोचदार मापांक से अनुनाद आवृत्तियों को निर्धारित करता है।

व्युत्क्रम समस्या
यांत्रिक अनुनादों के मापा स्पेक्ट्रम से लोचदार स्थिरांक निकालने की व्युत्क्रम समस्या का कोई विश्लेषणात्मक समाधान नहीं है इसलिए इसे कम्प्यूटेशनल विधियों द्वारा हल करने की आवश्यकता है। अप्रत्यक्ष विधि के लिए प्रारंभिक अनुनादी आवृत्ति स्पेक्ट्रम $$f_n^{cal}$$ (n=1,2,...) लोचदार स्थिरांक और ज्ञात नमूना आयाम और घनत्व के लिए अनुमानित मानों का उपयोग करके गणना की जाती है। गणना की गई और मापी गई अनुनाद आवृत्ति स्पेक्ट्रम के बीच का अंतर, $$f_n^{mea}$$ (n=1,2,...) मेरिट फ़ंक्शन के निम्नलिखित आंकड़े द्वारा परिमाणित है,

$$F =\sum_n w_n (f_n^{cal} - f_n^{mea})^2 (6)$$

जहाँ $$w_n$$ (n=1,2,...) वजन गुणांक हैं जो अलग-अलग अनुनाद मापों पर विश्वास को दर्शाते हैं। फिर इस प्रक्रिया के लिए विकसित कंप्यूटर सॉफ्टवेयर का उपयोग करके सभी लोचदार स्थिरांक के मूल्यों को वापस करके फ़ंक्शन एफ का न्यूनतमकरण मांगा जाता है।

माप
यांत्रिक अनुनादी स्पेक्ट्रम का पता लगाने के लिए सबसे सामान्य तरीका चित्र 2 में दिखाया गया है जहां दो पीजोइलेक्ट्रिक ट्रांसड्यूसर के मध्य छोटे समानांतर आकार के नमूने को हल्के से रखा जाता है। ट्रांसड्यूसर का उपयोग निरंतर आयाम और अलग-अलग आवृत्ति की लोचदार तरंग उत्पन्न करने के लिए किया जाता है जबकि दूसरे का उपयोग नमूना के अनुनाद का पता लगाने के लिए किया जाता है। जैसे ही फ़्रीक्वेंसी रेंज बह जाती है जहाँ अनुनाद चोटियों का क्रम दर्ज किया जाता है। इन चोटियों की स्थिति प्राकृतिक आवृत्तियों $$f_n$$ पर होती है (जिससे लोचदार स्थिरांक निर्धारित किए जाते हैं) और गुणवत्ता कारक Q (अनुनाद कितना संकीर्ण है इसका एक उपाय) लोचदार ऊर्जा के अपव्यय के बारे में जानकारी प्रदान करता है।

पारंपरिक अल्ट्रासोनिक माप के विपरीत विधि में जो नमूने को प्रतिध्वनित करती है ट्रांसड्यूसर और नमूने के बीच मजबूत युग्मन की आवश्यकता नहीं होती है क्योंकि नमूना एक प्राकृतिक एम्पलीफायर के रूप में व्यवहार करता है। इसके अतिरिक्त उनके मध्य कम से कम जोड़े को रखते हुए आप मुक्त सतह सीमा स्थितियों के लिए एक अच्छा अनुमान प्राप्त करते हैं और Q को भी संरक्षित करते हैं।

चर-तापमान मापन के लिए नमूने को दो बफर छड़ों के सिरों के मध्य रखा जाता है जो नमूने को ट्रांसड्यूसर (चित्र 3) से जोड़ते हैं क्योंकि ट्रांसड्यूसर को कमरे के तापमान पर रखा जाना चाहिए। दबाव के मामले में, इसके विपरीत केवल कुछ सलाखों की सीमा होती है क्योंकि उच्च दबावों के आवेदन से नमूने के अनुनादों में कमी आती है।

नमूने
आरयूएस को न्यूनतम क्रम में या कुछ सौ माइक्रोमीटर के साथ नमूनों के आकार की एक बड़ी श्रृंखला पर लागू किया जा सकता है परन्तु खनिज लोच की माप के लिए इसका उपयोग सामान्य रूप से 1 मिमी और 1 सेमी आकार के मध्य के नमूनों पर किया जाता है।

नमूना या तो पूरी तरह से सघन पालीक्रिस्टलीन समुच्चय या एकल क्रिस्टल या तो एक नियमित आकार में मशीनीकृत होता है। सैद्धांतिक रूप से किसी भी नमूना आकार का उपयोग किया जा सकता है लेकिन आप आयताकार समांतर चतुर्भुज अनुनादक (आरपीआर), गोलाकार या बेलनाकार वाले (सिलेंडर के साथ कम समय की बचत) का उपयोग करके कम्प्यूटेशनल समय में पर्याप्त बचत प्राप्त करते हैं।

चूंकि माप की सटीकता नमूना तैयार करने में सटीकता पर सख्ती से निर्भर करती है इसलिए कई सावधानियां बरती जाती हैं तथा आरपीआर क्रिस्टलोग्राफिक दिशाओं के समानांतर किनारों के साथ तैयार किए जाते हैं एवं सिलेंडरों के लिए केवल अक्ष को नमूना समरूपता से मिलान किया जा सकता है। कम समरूपता के नमूनों के लिए आरयूएस का उपयोग कदाचित ही कभी किया जाता है और समदैशिक नमूनों के लिए संरेखण अप्रासंगिक है। उच्च समरूपता के लिए निरर्थक प्रतिध्वनि को रोकने के लिए अलग-अलग लंबाई के किनारों का होना सुविधाजनक है।

एकल क्रिस्टल पर मापन के लिए आरपीआर के किनारों के साथ नमूना क्रिस्टलोग्राफिक अक्षों के उन्मुखीकरण की आवश्यकता होती है ताकि अभिविन्यास गणना की उपेक्षा की जा सके और केवल लोचदार मापांक से निपटा जा सके।

पॉलीक्रिस्टलाइन के नमूने आदर्श रूप से पूरी तरह से घने दरारों से मुक्त और अनाज के अधिमान्य अभिविन्यास के बिना होने चाहिए। एकल क्रिस्टल नमूने क्रिस्टल ट्विनिंग जैसे आंतरिक क्रिस्टलोग्राफिक दोषों से मुक्त होने चाहिए। सभी नमूनों की सतहों को पॉलिश किया जाना चाहिए और विपरीत चेहरे समानांतर होने चाहिए। एक बार तैयार होने के बाद घनत्व को सटीक रूप से मापा जाना चाहिए क्योंकि यह लोचदार मोडुली के पूरे सेट को मापता है।

ट्रांसड्यूसर
अन्य सभी अल्ट्रासोनिक तकनीकों के विपरीत आरयूएस अल्ट्रासोनिक ट्रांसड्यूसर को नमूने के साथ शुष्क बिंदु संपर्क बनाने के लिए रूपित किया गया है। यह आवृत्तियों से लोचदार मापांक की गणना के लिए मुक्त सतह सीमा की स्थिति की आवश्यकता के कारण है। आरपीआर के लिए इसके लिए नमूने के कोनों और ट्रांसड्यूसर के बीच बहुत हल्के स्पर्श की आवश्यकता होती है। कोनों का उपयोग किया जाता है क्योंकि वे लोचदार रूप से कमजोर युग्मन प्रदान करते हैं एवं लोडिंग को कम करते हैं और वे कभी भी कंपन नोड बिंदु नहीं होते हैं। पर्याप्त रूप से कमजोर संपर्क सुनिश्चित करता है कि ट्रांसड्यूस्ड सुधार की आवश्यकता नहीं है।

अनुप्रयोग
ठोस सामग्री के लोचदार गुणों को चिह्नित करने के लिए बहुमुखी उपकरण के रूप में आरयूएस ने विभिन्न क्षेत्रों में आवेदन पाया है।

भूविज्ञान में सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों में से एक पृथ्वी की संरचना में भूकंपीय तरंग के निर्धारण से संबंधित है। उदाहरण के लिए हाल के एक काम में पृथ्वी के आंतरिक भाग जलीय forsterite के लोचदार स्थिरांक को परिवेश के तापमान पर 14.1 GPa तक मापा गया। इस अध्ययन से पता चला है कि हाइड्रस फोर्सटेराइट का कुल बल्क मापांक और कतरनी मापांक इसी निर्जल चरण की तुलना में अधिक दर से दबाव के साथ बढ़ता है। इसका तात्पर्य यह है कि परिवेशी परिस्थितियों में वीपी और वीएस हाइड्रस फोर्सटेराइट निर्जल की तुलना में धीमे होते हैं; इसके विपरीत बढ़ते दबाव और फलस्वरूप गहराई के साथ, VP और VS हाइड्रस फोर्सटेराइट निर्जल से अधिक है। इसके अलावा VP/VS फ़ॉर्स्टराइट का अनुपात अधिकतम संपीड़न तरंग अज़ीमुथल असमदिग्वर्ती होने की दशा और अधिकतम कतरनी तरंग विभाजन हाइड्रेशन को घटाता है। ये डेटा हमें पृथ्वी की मेंटल संरचना को बाधित करने और उच्च तापमान या आंशिक पिघल के क्षेत्रों से हाइड्रोजन संवर्धन के क्षेत्रों में अंतर करने में मदद करते हैं।