बलोच का प्रमेय

संघनित पदार्थ भौतिकी में, बलोच के प्रमेय में कहा गया है कि आवधिक क्षमता में श्रोडिंगर समीकरण#समय-स्वतंत्र समीकरण|श्रोडिंगर समीकरण के समाधान एक आवधिक फ़ंक्शन द्वारा संशोधित समतल तरंग का रूप लेते हैं। प्रमेय का नाम भौतिक विज्ञानी फ़ेलिक्स बलोच के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1929 में प्रमेय की खोज की थी। गणितीय रूप से, वे लिखे गए हैं

कहाँ $$\mathbf{r}$$ स्थिति है, $$\psi$$ तरंग फ़ंक्शन है, $$u$$ क्रिस्टल, तरंग वेक्टर के समान आवधिकता वाला एक आवधिक कार्य है $$\mathbf{k}$$ क्रिस्टल गति है, $$e$$ ई (गणितीय स्थिरांक) है|यूलर की संख्या, और $$i$$ काल्पनिक इकाई है.

इस रूप के कार्यों को बलोच कार्यों या बलोच राज्यों के रूप में जाना जाता है, और क्रिस्टल में इलेक्ट्रॉनों के तरंग कार्यों या क्वांटम राज्यों के लिए उपयुक्त आधार फ़ंक्शन के रूप में कार्य करता है।

स्विस भौतिक विज्ञानी फेलिक्स बलोच के नाम पर, बलोच कार्यों के संदर्भ में इलेक्ट्रॉनों का वर्णन, जिसे बलोच इलेक्ट्रॉन (या कम अक्सर बलोच तरंगें) कहा जाता है, इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचनाओं की अवधारणा को रेखांकित करता है।

ये आइजनस्टेट्स सबस्क्रिप्ट के साथ लिखे गए हैं $$\psi_{n\mathbf{k}}$$, कहाँ $$n$$ एक अलग सूचकांक है, जिसे ऊर्जा बैंड कहा जाता है, जो मौजूद है क्योंकि इसके साथ कई अलग-अलग तरंग कार्य होते हैं $$\mathbf{k}$$ (प्रत्येक का एक अलग आवधिक घटक होता है $$u$$). एक बैंड के भीतर (यानी, निश्चित के लिए $$n$$), $$\psi_{n\mathbf{k}}$$ के साथ लगातार बदलता रहता है $$\mathbf{k}$$, जैसा कि इसकी ऊर्जा है। भी, $$\psi_{n\mathbf{k}}$$ केवल स्थिर व्युत्क्रम जालक सदिश तक ही अद्वितीय है $$\mathbf{K}$$, या, $$\psi_{n\mathbf{k}}=\psi_{n(\mathbf{k+K})}$$. इसलिए, तरंग वेक्टर $$\mathbf{k}$$ व्यापकता के नुकसान के बिना पारस्परिक जाली के पहले ब्रिलोइन क्षेत्र तक सीमित किया जा सकता है।

प्रयोज्यता
बलोच के प्रमेय का सबसे आम उदाहरण क्रिस्टल में इलेक्ट्रॉनों का वर्णन करना है, विशेष रूप से क्रिस्टल के इलेक्ट्रॉनिक गुणों, जैसे इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना को चिह्नित करने में। हालाँकि, बलोच-वेव विवरण आम तौर पर किसी आवधिक माध्यम में किसी भी तरंग जैसी घटना पर लागू होता है। उदाहरण के लिए, विद्युत चुंबकत्व में एक आवधिक ढांकता हुआ संरचना फोटोनिक क्रिस्टल की ओर ले जाती है, और एक आवधिक ध्वनिक माध्यम ध्वन्यात्मक क्रिस्टल की ओर ले जाती है। इसका व्यवहार आम तौर पर विवर्तन के गतिशील सिद्धांत के विभिन्न रूपों में किया जाता है।

तरंग सदिश
मान लीजिए कि एक इलेक्ट्रॉन बलोच अवस्था में है $$\psi ( \mathbf{r} ) = e^{ i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} } u ( \mathbf{r} ) ,$$ कहाँ $e^{ik·r}$ क्रिस्टल जाली के समान आवधिकता के साथ आवर्त है। इलेक्ट्रॉन की वास्तविक क्वांटम स्थिति पूरी तरह से निर्धारित होती है $$\psi$$, नहीं $k_{1}$ या $k_{2}$ सीधे. यह इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि $k_{1} − k_{2}$ और $u$ अद्वितीय नहीं हैं. विशेष रूप से, यदि $$\psi$$ का उपयोग करके ऊपर लिखे अनुसार लिखा जा सकता है $k$, इसका उपयोग करके भी लिखा जा सकता है $u$, कहाँ $k$ कोई व्युत्क्रम जाली है (दाईं ओर चित्र देखें)। इसलिए, तरंग वेक्टर जो पारस्परिक जाली वेक्टर से भिन्न होते हैं, समतुल्य होते हैं, इस अर्थ में कि वे बलोच राज्यों के समान सेट की विशेषता रखते हैं।

पहला ब्रिलोइन ज़ोन मूल्यों का एक प्रतिबंधित समूह है $u$ इस संपत्ति के साथ कि उनमें से कोई भी दो बराबर नहीं हैं, फिर भी हर संभव है $k$ पहले ब्रिलोइन ज़ोन में एक (और केवल एक) वेक्टर के बराबर है। इसलिए, यदि हम प्रतिबंधित करते हैं $(k + K)$ पहले ब्रिलोइन ज़ोन तक, फिर प्रत्येक बलोच राज्य में एक अद्वितीय होता है $K$. इसलिए, पहले ब्रिलोइन ज़ोन का उपयोग अक्सर सभी बलोच राज्यों को बिना अतिरेक के चित्रित करने के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना में, और इसका उपयोग कई गणनाओं में उसी कारण से किया जाता है।

कब $k$ को कम किए गए प्लैंक स्थिरांक से गुणा किया जाता है, यह इलेक्ट्रॉन के क्रिस्टल गति के बराबर होता है। इससे संबंधित, एक इलेक्ट्रॉन के समूह वेग की गणना इस आधार पर की जा सकती है कि बलोच अवस्था की ऊर्जा किस प्रकार बदलती है $k$; अधिक जानकारी के लिए क्रिस्टल मोमेंटम देखें।

विस्तृत उदाहरण
एक विस्तृत उदाहरण के लिए जिसमें बलोच के प्रमेय के परिणामों पर एक विशिष्ट स्थिति में काम किया जाता है, लेख एक-आयामी जाली (आवधिक क्षमता) में कण देखें।

प्रमेय
बलोच का प्रमेय इस प्रकार है:

एक आदर्श क्रिस्टल में इलेक्ट्रॉनों के लिए, निम्नलिखित दो गुणों के साथ तरंग कार्यों का एक आधार (रैखिक बीजगणित) होता है:
 * इनमें से प्रत्येक तरंग फ़ंक्शन एक ऊर्जा आइजेनस्टेट है,
 * इनमें से प्रत्येक तरंग कार्य एक बलोच अवस्था है, जिसका अर्थ है कि यह तरंग कार्य करती है $$\psi$$ फॉर्म में लिखा जा सकता है $$\psi(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} u(\mathbf{r}),$$ कहाँ $k$ में क्रिस्टल की परमाणु संरचना के समान ही आवधिकता होती है, जैसे कि $$u_{\mathbf{k}}(\mathbf{x}) = u_{\mathbf{k}}(\mathbf{x} + \mathbf{n} \cdot \mathbf{a}).$$

प्रारंभिक: क्रिस्टल समरूपता, जाली, और पारस्परिक जाली
क्रिस्टल की परिभाषित संपत्ति ट्रांसलेशनल समरूपता है, जिसका अर्थ है कि यदि क्रिस्टल को उचित मात्रा में स्थानांतरित किया जाता है, तो यह अपने सभी परमाणुओं के साथ एक ही स्थान पर समाप्त हो जाता है। (एक परिमित आकार के क्रिस्टल में पूर्ण अनुवादात्मक समरूपता नहीं हो सकती है, लेकिन यह एक उपयोगी सन्निकटन है।)

त्रि-आयामी क्रिस्टल में तीन आदिम जाली वेक्टर होते हैं $k$. यदि क्रिस्टल को इन तीन वैक्टरों में से किसी एक, या उनके रूप के संयोजन द्वारा स्थानांतरित किया जाता है $$n_1 \mathbf{a}_1 + n_2 \mathbf{a}_2 + n_3 \mathbf{a}_3,$$ कहाँ $n_{i}$ तीन पूर्णांक हैं, तो परमाणु उन्हीं स्थानों के समूह में समाप्त हो जाते हैं जहां से वे शुरू हुए थे।

प्रमाण में एक अन्य सहायक घटक पारस्परिक जाली वैक्टर है। ये तीन वेक्टर हैं $k$ (व्युत्क्रम लंबाई की इकाइयों के साथ), उस गुण के साथ $k$, लेकिन $u(r)$ कब $a_{1}, a_{2}, a_{3}$. (सूत्र के लिए $b_{1}, b_{2}, b_{3}$, व्युत्क्रम जाली वेक्टर देखें।)

अनुवाद ऑपरेटरों के बारे में लेम्मा
होने देना $$ \hat{T}_{n_1,n_2,n_3} $$ एक ट्रांसलेशन ऑपरेटर (क्वांटम यांत्रिकी) को निरूपित करें जो प्रत्येक तरंग फ़ंक्शन को मात्रा के अनुसार बदलता है $a_{i} · b_{i} = 2π$ (ऊपरोक्त अनुसार, $n_{j}$ पूर्णांक हैं)। निम्नलिखित तथ्य बलोच प्रमेय के प्रमाण के लिए सहायक है: $$ $$ अंततः, हम बलोच प्रमेय के मुख्य प्रमाण के लिए तैयार हैं जो इस प्रकार है।

जैसा ऊपर बताया गया है, चलो $$ \hat{T}_{n_1,n_2,n_3} $$ एक अनुवाद ऑपरेटर को निरूपित करें जो प्रत्येक तरंग फ़ंक्शन को राशि से बदलता है $a_{i} · b_{j} = 0$, कहाँ $n_{i}$ पूर्णांक हैं. क्योंकि क्रिस्टल में ट्रांसलेशनल समरूपता होती है, यह ऑपरेटर हैमिल्टनियन ऑपरेटर के साथ आवागमन करता है। इसके अलावा, ऐसा प्रत्येक अनुवाद ऑपरेटर एक दूसरे के साथ आवागमन करता है। इसलिए, हैमिल्टनियन ऑपरेटर का एक आवागमन मैट्रिसेस  है और हर संभव है $$ \hat{T}_{n_1,n_2,n_3} \!$$ ऑपरेटर। यही वह आधार है जिसकी हम तलाश कर रहे हैं। इस आधार पर तरंग कार्य ऊर्जा ईजेनस्टेट्स हैं (क्योंकि वे हैमिल्टनियन के ईजेनस्टेट्स हैं), और वे बलोच राज्य भी हैं (क्योंकि वे अनुवाद ऑपरेटरों के ईजेनस्टेट्स हैं; ऊपर लेम्मा देखें)।

ऑपरेटरों का उपयोग करना
हम अनुवाद ऑपरेटर को परिभाषित करते हैं $$\begin{align} \hat{\mathbf{T}}_{\mathbf{n}}\psi(\mathbf{r})&= \psi(\mathbf{r}+\mathbf{T}_{\mathbf{n}}) \\ &= \psi(\mathbf{r}+n_1\mathbf{a}_1+n_2\mathbf{a}_2+n_3\mathbf{a}_3) \\ &= \psi(\mathbf{r}+\mathbf{A}\mathbf{n}) \end{align}$$ साथ $$ \mathbf{A} = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 & \mathbf{a}_3 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} $$ हम माध्य आवधिक क्षमता की परिकल्पना का उपयोग करते हैं $$U(\mathbf{x}+\mathbf{T}_{\mathbf{n}})= U(\mathbf{x})$$ और हैमिल्टनियन के साथ स्वतंत्र इलेक्ट्रॉन सन्निकटन $$\hat{H}=\frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m}+U(\mathbf{x})$$ यह देखते हुए कि हैमिल्टनियन अनुवाद के लिए अपरिवर्तनीय है, इसे अनुवाद ऑपरेटर के साथ स्थानांतरित किया जाएगा $$[\hat{H},\hat{\mathbf{T}}_{\mathbf{n}}] = 0$$ और दोनों ऑपरेटरों के पास eigenfunctions का एक सामान्य सेट होगा। इसलिए हम अनुवाद ऑपरेटर के eigen-फ़ंक्शंस को देखना शुरू करते हैं: $$\hat{\mathbf{T}}_{\mathbf{n}}\psi(\mathbf{x})=\lambda_{\mathbf{n}}\psi(\mathbf{x})$$ दिया गया $$\hat{\mathbf{T}}_{\mathbf{n}}$$ एक एडिटिव ऑपरेटर है $$ \hat{\mathbf{T}}_{\mathbf{n}_1} \hat{\mathbf{T}}_{\mathbf{n}_2}\psi(\mathbf{x}) = \psi(\mathbf{x} + \mathbf{A} \mathbf{n}_1 + \mathbf{A} \mathbf{n}_2) = \hat{\mathbf{T}}_{\mathbf{n}_1 + \mathbf{n}_2} \psi(\mathbf{x}) $$ यदि हम यहां eigenvalue समीकरण को प्रतिस्थापित करते हैं और दोनों पक्षों को विभाजित करते हैं $$\psi(\mathbf{x})$$ अपने पास $$ \lambda_{\mathbf{n}_1} \lambda_{\mathbf{n}_2} = \lambda_{\mathbf{n}_1 + \mathbf{n}_2} $$ के लिए यह सच है $$\lambda_{\mathbf{n}} = e^{s \mathbf{n} \cdot \mathbf{a} } $$ कहाँ $$s \in \Complex $$ यदि हम आयतन V की एकल आदिम कोशिका पर सामान्यीकरण की स्थिति का उपयोग करते हैं $$ 1 = \int_V |\psi(\mathbf{x})|^2 d \mathbf{x} = \int_V \left|\hat\mathbf{T}_\mathbf{n} \psi(\mathbf{x})\right|^2 d \mathbf{x} = $$ और इसलिए $$1 = |\lambda_{\mathbf{n}}|^2$$ और $$s = i k $$ कहाँ $$k \in \mathbb{R}$$. आखिरकार, $$ \mathbf{\hat{T}_n}\psi(\mathbf{x})= \psi(\mathbf{x} + \mathbf{n} \cdot \mathbf{a} ) = e^{i k \mathbf{n} \cdot \mathbf{a} }\psi(\mathbf{x}) $$ जो कि बलोच तरंग के लिए सत्य है अर्थात $$\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{x}) = e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{x} } u_{\mathbf{k}}(\mathbf{x})$$ साथ $$u_{\mathbf{k}}(\mathbf{x}) = u_{\mathbf{k}}(\mathbf{x} + \mathbf{A}\mathbf{n})$$
 * \lambda_{\mathbf{n}}|^2 \int_V |\psi(\mathbf{x})|^2 d \mathbf{x}

समूह सिद्धांत का उपयोग करना
समूह सिद्धांत तकनीकीताओं के अलावा यह प्रमाण दिलचस्प है क्योंकि यह स्पष्ट हो जाता है कि उन समूहों के लिए बलोच प्रमेय को कैसे सामान्यीकृत किया जाए जो केवल अनुवाद नहीं हैं।

यह आम तौर पर अंतरिक्ष समूहों के लिए किया जाता है जो एक अनुवाद और एक बिंदु समूह का संयोजन होते हैं और इसका उपयोग एफसीसी या बीसीसी जैसी विशिष्ट क्रिस्टल समूह समरूपता और अंततः एक अतिरिक्त ब्राविस जाली को देखते हुए बैंड संरचना, स्पेक्ट्रम और क्रिस्टल की विशिष्ट गर्मी की गणना के लिए किया जाता है।. इस प्रमाण में यह देखना भी संभव है कि यह कैसे महत्वपूर्ण है कि अतिरिक्त बिंदु समूह प्रभावी क्षमता में समरूपता द्वारा संचालित होता है लेकिन यह हैमिल्टन के साथ परिवर्तित होगा।

बलोच प्रमेय के सामान्यीकृत संस्करण में, फूरियर ट्रांसफॉर्म, यानी तरंग फ़ंक्शन विस्तार, एक अलग फूरियर ट्रांसफॉर्म से सामान्यीकृत हो जाता है जो केवल चक्रीय समूहों के लिए लागू होता है और इसलिए तरंग फ़ंक्शन के परिमित समूहों असतत फूरियर रूपांतरण में अनुवाद होता है जहां चरित्र सिद्धांत विशिष्ट परिमित बिंदु समूह से दिए गए हैं।

यहां यह भी देखना संभव है कि कैसे चरित्र सिद्धांत (अघुलनशील अभ्यावेदन के अपरिवर्तनीय के रूप में) को स्वयं अघुलनशील अभ्यावेदन के बजाय मौलिक निर्माण खंड के रूप में माना जा सकता है।

वेग और प्रभावी द्रव्यमान
यदि हम समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण को बलोच तरंग फ़ंक्शन पर लागू करते हैं तो हमें प्राप्त होता है $$\hat{H}_\mathbf{k} u_\mathbf{k}(\mathbf{r}) = \left[ \frac{\hbar^2}{2m} \left( -i \nabla + \mathbf{k} \right)^2 + U(\mathbf{r}) \right] u_\mathbf{k}(\mathbf{r}) = \varepsilon_\mathbf{k} u_\mathbf{k}(\mathbf{r}) $$ सीमा शर्तों के साथ $$u_\mathbf{k}(\mathbf{r}) = u_\mathbf{k}(\mathbf{r} + \mathbf{R})$$ यह देखते हुए कि इसे एक सीमित मात्रा में परिभाषित किया गया है, हम eigenvalues ​​​​के एक अनंत परिवार की अपेक्षा करते हैं; यहाँ $${\mathbf{k}}$$ हैमिल्टनियन का एक पैरामीटर है और इसलिए हम eigenvalues ​​​​के एक सतत परिवार पर पहुंचते हैं $$\varepsilon_n(\mathbf{k})$$ निरंतर पैरामीटर पर निर्भर $${\mathbf{k}}$$ और इस प्रकार इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना की मूल अवधारणा पर।

इससे पता चलता है कि प्रभावी गति को दो भागों से मिलकर कैसे देखा जा सकता है, $$\hat{\mathbf{p}}_\text{eff} = -i \hbar \nabla + \hbar \mathbf{k} ,$$ एक मानक गति $$-i \hbar \nabla$$ और एक क्रिस्टल गति $$\hbar \mathbf{k}$$. अधिक सटीक रूप से क्रिस्टल संवेग एक संवेग नहीं है, लेकिन यह संवेग को उसी तरह प्रदर्शित करता है जैसे न्यूनतम युग्मन में विद्युत चुम्बकीय संवेग, और संवेग के विहित परिवर्तन के भाग के रूप में।

प्रभावी वेग के लिए हम प्राप्त कर सकते हैं

प्रभावी द्रव्यमान के लिए (ठोस अवस्था भौतिकी)

दाईं ओर की मात्रा को एक कारक से गुणा किया जाता है$$\frac{1}{\hbar^2}$$ प्रभावी द्रव्यमान टेंसर कहलाता है $$\mathbf{M}(\mathbf{k})$$ और हम इसका उपयोग एक बैंड में चार्ज वाहक के लिए अर्ध-शास्त्रीय समीकरण लिखने के लिए कर सकते हैं

कहाँ $$\mathbf{a}$$ एक त्वरण है. यह समीकरण पदार्थ तरंग प्रकार के सन्निकटन के अनुरूप है

एक सहज व्याख्या के रूप में, पिछले दोनों समीकरण औपचारिक रूप से मिलते-जुलते हैं और न्यूटन के गति के नियमों के साथ एक अर्ध-शास्त्रीय सादृश्य में हैं#बाहरी लोरेंत्ज़ बल में न्यूटन का दूसरा नियम।

इतिहास और संबंधित समीकरण
बलोच राज्य की अवधारणा 1928 में फेलिक्स बलोच द्वारा विकसित की गई थी क्रिस्टलीय ठोस पदार्थों में इलेक्ट्रॉनों के संचालन का वर्णन करने के लिए। हालाँकि, वही अंतर्निहित गणित कई बार स्वतंत्र रूप से भी खोजा गया था: जॉर्ज विलियम हिल (1877) द्वारा, गैस्टन फ़्लोक्वेट (1883), और अलेक्जेंडर ल्यपुनोव (1892)। परिणामस्वरूप, विभिन्न प्रकार के नामकरण आम हैं: सामान्य अंतर समीकरणों पर लागू होने पर, इसे फ़्लोक्वेट सिद्धांत (या कभी-कभी लायपुनोव-फ्लोक्वेट प्रमेय) कहा जाता है। एक-आयामी आवधिक संभावित समीकरण का सामान्य रूप हिल अंतर समीकरण है|हिल का समीकरण: $$\frac {d^2y}{dt^2}+f(t) y=0, $$ कहाँ $i ≠ j$ एक आवधिक क्षमता है. विशिष्ट आवधिक एक-आयामी समीकरणों में क्रोनिग-पेनी मॉडल और मैथ्यू फ़ंक्शन|मैथ्यू का समीकरण शामिल हैं।

गणितीय रूप से बलोच के प्रमेय की व्याख्या एक जाली समूह के एकात्मक वर्णों के संदर्भ में की जाती है, और इसे वर्णक्रमीय ज्यामिति पर लागू किया जाता है।

यह भी देखें

 * बलोच दोलन
 * बलोच वेव - MoM विधि
 * इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना
 * लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल
 * आवधिक सीमा शर्तें
 * क्वांटम यांत्रिकी में समरूपता
 * टाइट-बाइंडिंग मॉडल
 * वानियर फ़ंक्शन