पेंटोमिनो

 5  और "डॉमिनो" के लिए ग्रीक शब्द से व्युत्पन्न पेंटोमिनो (या 5-ओमिनो) क्रम 5 का पॉलीओमिनो है, जो कि बिंदु से बिंदु तक योजित 5 समान आकार के वर्ग से बने समतल (ज्यामिति) में बहुभुज है। जब क्रमावर्तन और प्रतिबिंब समरूपता को विभिन्न आकार नहीं माना जाता है, तो 12 विभिन्न स्वतंत्र पॉलीओमिनो पेंटोमिनो होते हैं। जब प्रतिबिंबों को विशिष्ट माना जाता है, तो 18 एकपक्षीय पॉलीओमिनो पेंटोमिनो होते हैं। जब क्रमावर्तन को भी प्रथक माना जाता है, तो 63 निश्चित पॉलीओमिनो पेंटोमिनो होते हैं।

मनोरंजक गणित में पेंटोमिनो टाइलिंग वर्ग प्रहेलिका और खेल लोकप्रिय हैं। सामान्यतः टेट्रिस अनुकरण और रैम्पर्ट जैसे वीडियो खेल दर्पण प्रतिबिंबों को विशिष्ट मानते हैं और इस प्रकार 18 एकपक्षीय पेंटोमिनो के संपूर्ण समुच्चय का उपयोग करते हैं।

12 पेंटोमिनो में से प्रत्येक कॉनवे मानदंड को संपूर्ण करता है, इसलिए प्रत्येक पेंटोमिनो सतह को टाइलिंग करने में सक्षम है। प्रत्येक चिराल पेंटोमिनो बिना परावर्तित हुए सतह को आवरण कर सकता है।

विशेष रूप से ओ पेंटोमिनो के लिए अक्षरों की समानता अधिक तनावपूर्ण है, किन्तु इस योजना में वर्णमाला के निरन्तर 12 अक्षरों का उपयोग करने का लाभ है।

इतिहास
1907 में प्रकाशित हेनरी डुडेनी की पुस्तक कैंटरबरी वर्ग-पहेलियाँ में पेंटोमिनोज़ के पूर्ण समुच्चय वाली प्रथम प्रहेलिका प्रदर्शित हुई है। 1935 समस्यावादी फेयरी शतरंज अनुपूरक में पेंटोमिनो के संपूर्ण समुच्चय के साथ आयतों की प्रारंभिक टाइलिंग प्रदर्शित की थी, पीआरसीएस और इसके उत्तराधिकारी ने फेयरी शतरंज समीक्षा में आगामी की टाइलिंग समस्याओं का पता लगाया गया था। पेंटोमिनो को औपचारिक रूप से अमेरिकी प्रोफेसर सोलोमन डब्ल्यू गोलोम्ब के माध्यम से 1953 में और पश्चात् में उनकी 1965 की पुस्तक पॉलीओमिनोज़: वर्ग-पहेलियाँ, प्रतिरूप, समस्याएं और संकुलन में परिभाषित किया गया था। मार्टिन गार्डनर के माध्यम से अक्टूबर 1965 में अमेरिकन वैज्ञानिक ने अपने गणितीय खेलों के स्तंभ में उन्हें सर्वसाधारण से परिचित कराया गया था। गोलोम्ब ने प्राचीन ग्रीक πέντε / पेंटे "फाइव" से "पेंटोमिनो" शब्द गढ़ा और डोमिनो के -ओमिनो ने "डोमिनो" के "डी-" की काल्पनिक व्याख्या की जैसे कि यह ग्रीक उपसर्ग "डी-" (दो) का रूप था। लैटिन वर्णमाला के अक्षरों के पश्चात् गोलोम्ब ने 12 मुक्त पॉलीओमिनो पेंटोमिनो का नाम दिया था, जो कि वे समरूप थे।

जॉन हॉर्टन कॉनवे ने पेन्टोमिनो के लिए वैकल्पिक चिन्हक योजना प्रस्तावित की, जिसमें आई के अतिरिक्त ओ, एल के अतिरिक्त क्यू, एफ के अतिरिक्त आर, और एन के अतिरिक्त एस का उपयोग किया गया था। विशेष रूप से ओ पेंटोमिनो के लिए अक्षरों की समानता अधिक तनावपूर्ण है, किन्तु इस योजना में वर्णमाला के निरन्तर 12 अक्षरों का उपयोग करने का लाभ है। कॉनवे के खेल ऑफ लाइफ पर चर्चा करने के लिए सम्मेलन के माध्यम से इसका उपयोग किया जाता है, उदाहरण के रूप मे, जब एफ-पेंटोमिनो के अतिरिक्त आर-पेंटोमिनो की बात की जाती है।

समरूपता

 * एफ, एल, एन, पी, और वाई को 8 विधियों से उन्मुख किया जा सकता है: 4 क्रमावर्तन के माध्यम से और 4 दर्पण छवि के लिए है। समरूपता समूह में मात्र समानता मानचित्रण सम्मिलित है।
 * टी, और यू को क्रमावर्तन के माध्यम से 4 विधियों से उन्मुख किया जा सकता है। उनके पास मार्गदर्शनों के साथ संरेखित प्रतिबिंब समरूपता का अक्ष है। उनके समरूपता समूह में वर्गों के सिरों के समानांतर रेखा में दो तत्व समानता और प्रतिबिंब होते हैं।
 * वी और डब्लू को भी क्रमावर्तन के माध्यम से 4 विधियों से उन्मुख किया जा सकता है। उनके पास मार्गदर्शनों के 45 डिग्री पर परावर्तन समरूपता का अक्ष है। उनके समरूपता समूह में दो तत्व समानता और विकर्ण प्रतिबिंब होते हैं।
 * जेड को 4 विधियों से उन्मुख किया जा सकता है: 2 क्रमावर्तन के माध्यम से, और 2 और दर्पण छवि के लिए है। इसमें बिंदु समरूपता है, जिसे क्रम 2 की आवर्तनशील समरूपता के रूप में भी जाना जाता है। इसके समरूपता समूह में दो तत्व समानता और 180° क्रमावर्तन होते हैं।
 * क्रमावर्तन के माध्यम से मुझे 2 प्रकार से उन्मुख किया जा सकता है। इसमें प्रतिबिंब समरूपता के दो अक्ष हैं, जो दोनों मार्गदर्शनों के साथ संरेखित हैं। इसके समरूपता समूह में चार तत्व समानता, दो प्रतिबिंब और 180 डिग्री क्रमावर्तन हैं। यह क्रम 2 का डायहेड्रल समूह है, जिसे क्लेन चार-समूह के रूप में भी ज्ञात है।
 * एक्स को मात्र एक ही विधियों से उन्मुख किया जा सकता है। इसमें परावर्तन समरूपता के चार अक्ष हैं, जो मार्गदर्शनों और विकर्णों के साथ संरेखित हैं, और क्रम 4 की आवर्तनशील समरूपता है। इसके समरूपता समूह क्रम 4 के डायहेड्रल समूह में आठ तत्व हैं।

एफ, एल, एन, पी, वाई, और जेड पेंटोमिनोइज चिरल (गणित) हैं; उनके प्रतिबिंबों (एफ, जे, एन, क्यू, वाई, एस) को संचय से एकपक्षीय पेन्टोमिनो की संख्या 18 हो जाती है। यदि क्रमावर्तन को भी प्रथक माना जाता है, तो प्रथम श्रेणी के पेंटोमिनो की संख्या आठ गुना होती है, आगामी तीन श्रेणियों (टी, यू, वी, डब्ल्यू, जेड) की संख्या चार गुना होती है। आई की गणना दो बार होती है, और एक्स की गणना मात्र एक बार होती है। इसका परिणाम 5×8 + 5×4 + 2 + 1 = 63 निश्चित पेंटोमिनो होता है।

उदाहरण के रूप मे, एल, एफ, एन, पी और वाई पेंटोमिनो के आठ संभावित अभिविन्यास इस प्रकार हैं:

सामान्यतः 2डी आंकड़ों के लिए दो और श्रेणियां हैं:
 * परावर्तन समरूपता के दो अक्षों के साथ 90° के क्रमावर्तन के माध्यम से दो विधियों से उन्मुख होना ही दोनों विकर्णों के साथ संरेखित हैं। इस प्रकार की समरूपता के लिए कम से कम एक हेप्टोमिनो की आवश्यकता होती है।
 * दो प्रकार से उन्मुख होना जो एक दूसरे की दर्पण छवि हैं, उदाहरण के रूप मे स्वस्तिक है। इस प्रकार की समरूपता के लिए कम से कम एक ऑक्टोमिनो की आवश्यकता होती है।

आयताकार आयामों का निर्माण
एक मानक पेंटोमिनो प्रहेलिका आयताकार वर्ग को पेंटोमिनो से टाइल करना है, अर्थात इसे बिना अधिव्यापन और बिना अंतराल के समाविष्ट कर देना है। 12 पेंटोमिनो में से प्रत्येक का क्षेत्रफल 5 इकाई वर्ग है, इसलिए वर्ग में 60 इकाई का क्षेत्रफल होना चाहिए। संभावित आकार 6×10, 5×12, 4×15 और 3×20 हैं।

6×10 का स्थितियों पहली बार 1960 में सी. ब्रायन हैसेलग्रोव और जेनिफर हैसलग्रोव के माध्यम से हल किया गया था। संपूर्ण आयत के क्रमावर्तन और प्रतिबिंब के माध्यम से प्राप्त महत्त्वहीन विविधताओं के अतिरिक्त यथोचित समाधान 2339 हैं, किन्तु इसमें पेंटोमिनोइज़ के उप-समुच्चय का घूर्णन और प्रतिबिंब सम्मिलित है (जो कभी-कभी सरल विधियों से अतिरिक्त समाधान प्रदान करता है)। 5×12 वर्ग में 1010 समाधान हैं, 4×15 वर्ग में 368 समाधान हैं, और 3×20 वर्ग में मात्र 2 समाधान हैं (एक को चित्र में चित्रित गया है, और दूसरा क्रमावर्तन के माध्यम से समाधान से प्राप्त किया जा सकता है। एक संपूर्ण के रूप में, एल, एन, एफ, टी, डब्ल्यू, वाई, और जेड पेंटोमिनोइज़ से युक्त वर्ग है)। कुछ सीमा तक आसान (अधिक सममित) प्रहेलिका, केंद्र में 2×2 छेद वाला 8×8 आयत, 1958 में डाना स्कॉट के माध्यम से हल किया गया था।[8]

कुछ सीमा तक आसान (अधिक सममित) प्रहेलिका, केंद्र में 2×2 रिक्त स्थान के साथ 8×8 समकोण एवं 65 समाधान हैं एवं डाना स्कॉट के माध्यम से 1958 तक हल की गई थी। स्कॉट का एल्गोरिदम बैक ट्रैकिंग कंप्यूटर कार्यक्रम के पहले अनुप्रयोगों में से एक था। इस प्रहेलिका की विविधताएं चार रिक्त स्थान को किसी भी स्थिति में रखने की अनुमति देती हैं। बाह्य संसर्ग में से इस नियम का उपयोग करता है। ऐसे अधिकांश प्रतिरूप हल करने योग्य होते हैं, पटल के दो वर्गों के पास प्रत्येक जोड़ी रिक्त स्थान को इस प्रकार से रखने के अपवाद के साथ कि दोनों वर्गों को मात्र पी-पेंटोमिनो के माध्यम से अनुरूप किया जा सकता है, या टी-पेंटोमिनो या यू-पेंटोमिनो को बाध्य किया जा सकता है। पटल पर वर्ग को इस प्रकार रखें कि एक और रिक्त स्थान बन जाए।



उदाहरण के रूप मे डोनाल्ड नुथ के माध्यम से ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए कुशल एल्गोरिदम का वर्णन किया गया है। आधुनिक हार्डवेयर पर चलने वाली ये पेंटोमिनो पहेलियां को अब मात्र कुछ पल में ही हल किया जा सकता हैं।

पेंटोमिनो समुच्चय एकमात्र निःशुल्क पॉलीओमिनो समुच्चय है जिसे साधारण मोनोमिनो और डोमिनो (गणित) समुच्चयों के अपवाद के साथ आयत में परिपूर्ण किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक में मात्र एक ही आयत होता है।

वर्ग भरे
एक पेंटाक्यूब पांच घनों का पॉलीक्यूब है। 29 पेंटाक्यूब में से, यथोचित बारह पेंटाक्यूब समतल (1-परत) हैं वर्ग की मध्यमार्ग तक निकाले गए 12 पेंटोमिनो के अनुरूप हैं।

एक पेंटाक्यूब प्रहेलिका या 3डी पेंटोमिनो प्रहेलिका 3-आयामी वर्ग को 12 समतल पेंटाक्यूब से पूरण के समरूप होती है अर्थात इसे बिना अधिव्यापन और बिना अंतराल के समाविष्ट कर देती है। चूँकि प्रत्येक पेंटाक्यूब का आयतन 5 इकाई घन है, इसलिए वर्ग का आयतन 60 इकाई की मात्रा होना चाहिए। संभावित आकार 2×3×10 (12 समाधान), 2×5×6 (264 समाधान) और 3×4×5 (3940 समाधान) हैं। निम्नलिखित

प्रत्येक स्थितियों का समाधान निम्नलिखित है।

वैकल्पिक रूप से पांच घनों के संयोजन पर भी विचार किया जा सकता है, जो स्वयं 3डी हैं, अर्थात घनों की परत का भाग नहीं हैं। चूँकि, 12 बहिर्वेधित पेंटोमिनो के अतिरिक्त, चिरल जोड़े के 6 समुच्चय और 5 भाग कुल 29 भाग बनाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप 145 घन होते हैं, जो 3डी वर्ग नहीं बनाएंगे (क्योंकि 145 मात्र 29×5×1 हो सकते हैं, जो अ-समतल पेंटोमिनोइज़ उपयुक्त नहीं हो सकते है)।

विशेष प्रकार के पटल खेल जैसे शतरंज, साँप-सीढ़ी आदि
कौशल जो पटल खेल हैं जो संपूर्ण रूप से पेंटोमिनोइज़ पर आधारित हैं। ऐसे खेलों को अधिकांशतः "पेंटोमिनोज़" कहा जाता है।

खेलों में से 8x8 ग्रिड पर दो या तीन खिलाड़ियों के माध्यम से खेला जाता है। खिलाड़ी एकांतर से पेंटोमिनो को पटल पर रखते हैं, जिससे वे वर्तमान टाइलों के साथ अधिव्यापन न हों और किसी भी टाइल का एक से अधिक बार उपयोग न किया जाए। इसका उद्देश्य पटल पर टाइल लगाने वाला अंतिम खिलाड़ी बनना है। पेंटोमिनोज़ के इस संस्करण को "गोलोम्ब्स खेल" कहा जाता है।।

दो-खिलाड़ियों वाले संस्करण को 1996 में हिलारी ऑरमैन के माध्यम से हल किया गया है। लगभग 22 बिलियन पटल पदों की जांच करके इसे प्रथम-खिलाड़ी को विजयता करा गया था।

पेंटोमिनोइज़ और इसी प्रकार की आकृतियाँ, अनेक अन्य टाइलिंग खेल, प्रतिरूप और पहेलियों का भी आधार भी हैं। उदाहरण के लिए, फ्रांसीसी पटल खेल खंडो को पॉलीओमिनो के 4 रंगीन समूहों के साथ खेला जाता है, जिनमें से प्रत्येक में प्रत्येक पेंटोमिनो (12), टेट्रोमिनो (5), ट्रायोमिनो (2) डोमिनो (1) और मोनोमिनो (1) सम्मिलित होते हैं। खेल पेंटोमिनोइज़ के प्रकार आपका लक्ष्य आपकी समस्त टाइलों का उपयोग करना है, और यदि अंतिम चाल पर मोनोमिनो खेला जाता है. तो अधिलाभ दिया जाता है। सबसे कम खंडो को शेष रखने वाला खिलाड़ी ही विजेता होता है।

कैथेड्रल (पटल खेल) का खेल भी पॉलीओमिनो पर आधारित है।

पार्कर ब्रदर्स ने 1966 में यूनिवर्स नामक बहु-खिलाड़ी पेंटोमिनो पटल खेल प्रकाशित किया। इसका विषय 1968 की फिल्म 2001: ए स्पेस ओडिसी के हटाए गए दृश्य पर आधारित है जिसमें अंतरिक्ष यात्री पूल बनाम एचएएल 9000 कंप्यूटर के विरुद्ध दो-खिलाड़ियों वाला पेंटोमिनो खेल खेल रहा है (शतरंज खेलने वाले प्रथक अंतरिक्ष यात्री के साथ दृश्य निरंतर रखा गया था)। पटल खेल वर्ग के सामने फिल्म के दृश्यों के साथ-साथ इसे भविष्य के खेल के रूप में वर्णित करने वाला शीर्षक भी है। खेल लाल, पीले, नीले और सफेद रंग में पेंटोमिनो के चार समुच्चय के साथ आता है। पटल में दो खेलने योग्य क्षेत्र हैं: दो खिलाड़ियों के लिए एक आधार 10x10 क्षेत्र है, जिसमें दो से अधिक खिलाड़ियों के लिए प्रत्येक पक्ष मे अतिरिक्त 25 वर्ग (10 की दो पंक्तियाँ और पाँच की एक लक्ष्यांतर पंक्ति) हैं।

खेल निर्माता लोनपोस के पास अनेक खेल हैं, किन्तु विभिन्न खेल योजना पर जो समान पेंटोमिनोज़ का उपयोग करते हैं। उनके 101 खेल में 5 x 11 योजना है। योजना के आकार को परिवर्तित करके हजारों पहेलियाँ खेली जा सकती हैं, चूंकि इन पहेलियों का मात्र लघु चयन ही मुद्राँकन में उपलब्ध है।

साहित्य
पेंटोमिनो को आर्थर सी. क्लार्क के 1975 के उपन्यास इंपीरियल अर्थ के प्रमुख उप कथानक में चित्रित किया गया था। क्लार्क ने एक निबंध भी लिखा था जिसमें उन्होंने इस खेल का वर्णन किया था और बताया था कि कैसे वह इसके प्रति आकर्षित हो गयेे थे।

उन्हें ब्लू बैलिट के वर्मीर अनुसरण में भी चित्रित किया गया था, जो 2003 में प्रकाशित हुआ था और यह ब्रेट हेलक्विस्ट के माध्यम से चित्रित किया गया था, साथ ही इसके आगामी भाग द राइट 3 और द काल्डर गेम में भी चित्रित गया था।

27 जून 2012 की न्यूयॉर्क टाइम्स क्रॉसवर्ड प्रहेलिका में 37 के आगे 11-अक्षर वाले शब्द का हल इस पहेली के काले वर्गों के माध्यम से गठित 12 आकृतियों का संपूर्ण समुच्चय था।

वीडियो खेल

 * टेट्रिस पेंटोमिनो प्रहेलिका से प्रेरित था, चूंकि यह चार-खंड टेट्रोमिनो का उपयोग करता है। कुछ टेट्रिस प्रतिरूप और प्रकार, जैसे बेल लैब्स प्लान 9 के साथ सम्मिलित खेल 5s, और मैजिकल टेट्रिस चैलेंज, पेंटोमिनो का उपयोग करते हैं।
 * डेडलियन ओपस संपूर्ण खेल में पेंटोमिनो प्रहेलिका का उपयोग करता है।

पूर्व और आगामी आदेश

 * टेट्रोमिनो
 * हेक्सोमिनो

अन्य

 * टाइलिंग प्रहेलिका
 * कैथेड्रल पटल खेल
 * सोलोमन डब्ल्यू गोलोम्ब

संदर्भ

 * Chasing Vermeer, with information about the book Chasing Vermeer and a click-and-drag pentomino board.

बाह्य संबंध

 * Pentomino configurations and solutions An exhaustive listing of solutions to many of the classic problems showing how each solution relates to the others.