न्यूनतम-वर्ग समायोजन

न्यूनतम-वर्ग समायोजन, अवलोकन अवशेषों के न्यूनतम वर्ग, सिद्धांत पर आधारित, समीकरणों की अतिनिर्धारित प्रणाली के समाधान हेतु एक प्रारूप है। इसका उपयोग व्यापक रूप से सर्वेक्षण, भूगणित और फोटोग्राममिति में, सर्वसमावेशी रूप से किया जाता है।

सूत्रीकरण
न्यूनतम वर्ग समायोजन के तीन रूप हैं: प्राचलिक, औपबंधिक और संयुक्त: स्पष्ट रूप से, प्राचलिक और औपबंधिक समायोजन अधिक सामान्य संयुक्त परिप्रेक्ष्य के अनुरूप होते हैं जब क्रमशः f(X,Y)=h(X)-Y और f(X,Y)=g(Y)। फिर भी विशेष परिप्रेक्ष्य में सरल समाधान की आवश्यकता होती है, जैसा कि नीचे बताया गया है। प्रायः साहित्य में, Y को L से दर्शाया जा सकता है।
 * 'प्राचलिक समायोजन' में, कोई अवलोकन समीकरण h(X)=Y प्राप्त कर सकता है जो स्पष्ट रूप से मानदंड X के संदर्भ में अवलोकन Y से संबंधित है (जिससे A-मॉडल का निर्माण होता है)।
 * औपबंधिक समायोजन में, एक औपबंधिक समीकरण होता है जिसमें केवल अवलोकन Y संबंधित होते हैं और इसमें कोई पैरामीटर X नहीं होता है, जो इसे g(Y)=0 रूप में प्रकट करता है (जिससे B-मॉडल का निर्माण होता है)।
 * संयुक्त समायोजन में, न सिर्फ पैरामीटर X बल्कि अवलोकन Y भी मिश्रित मॉडल समीकरण f(X,Y)=0 में निहित रूप से सम्मिलित होते हैं। इस समीकरण के माध्यम से दोनों पैरामीटर और अवलोकनों के बीच संबंध का समाधान किया जाता है।

समाधान
उपरोक्त समानताएँ केवल अनुमानित मापदंडों $$\hat{X}$$ और अवलोकन $$\hat{Y}$$ के लिए मान्य हैं। इस प्रकार $$f\left(\hat{X},\hat{Y}\right)=0$$ है। इसके विपरीत, मापे गए अवलोकन $$\tilde{Y}$$ और अनुमानित पैरामीटर $$\tilde{X}$$ एक गैर-शून्य प्रकटीकरण उत्पन्न करता है:
 * $$\tilde{w} = f\left(\tilde{X},\tilde{Y}\right).$$

कोई समीकरणों के टेलर श्रृंखला विस्तार के लिए आगे बढ़ सकता है, जिसके परिणामस्वरूप जैकोबियन आव्यूह और निर्धारक या डिजाइन आव्यूह उत्पन्न होता है: पहला,
 * $$A=\partial{f}/\partial{X};$$

और दूसरा,
 * $$B=\partial{f}/\partial{Y}.$$

रेखीयकृत मॉडल तब:
 * $$\tilde{w} + A \hat{x} + B \hat{y} = 0,$$

जहाँ $$\hat{x}=\hat{X}-\tilde{X}$$ प्राथमिक मानों के लिए अनुमानित पैरामीटर सुधार हैं, और $$\hat{y}=\hat{Y}-\tilde{Y}$$ आँकड़ों में पोस्ट-फिट अवलोकन त्रुटियाँ और अवशेष हैं।

प्राचलिक समायोजन में, दूसरा डिज़ाइन आव्यूह एक इकाई है, और मिसक्लोजर सदिश को पूर्व-फिट अवशेषों $$\tilde{y}=\tilde{w}=h(\tilde{X})-\tilde{Y}$$ के रूप में व्याख्या किया जा सकता है, इसलिए तंत्र सरल हो जाता है:
 * $$A \hat{x} = \hat{y} - \tilde{y},$$

जो साधारण न्यूनतम वर्ग के रूप में है।

औपबंधिक समायोजन में, पहला डिज़ाइन आव्यूह, A=0 शून्य है।

अधिक सामान्य विषयों के लिए, लैग्रेंज गुणक को दो जैकोबियन आव्यूह से संबंधित करने के लिए प्रस्तुत किया गया है, और बाधा न्यूनतम वर्ग समस्या को एक अप्रतिबंधित समायोजन में परिवर्तित कर दिया गया है। किसी भी स्थिति में, $$\hat{X}$$ और $$\hat{Y}$$ वैक्टर के साथ-साथ संबंधित पैरामीटर और पोस्टीरियर सहप्रसरण आव्यूह का अवलोकन उनके यादृच्छिकता की ओर प्रवर्धित होता है।

गणना
उपरोक्त आव्यूहों और सदिशों को देखते हुए, उनका समाधान मानक न्यूनतम-वर्ग विधियों के माध्यम से प्राप्त किया जाता है; उदाहरण के लिए, सामान्य आव्यूह का निर्माण और चोलेस्की अपघटन को लागू करना, क्यूआर गुणन को सीधे जैकोबियन आव्यूह पर लागू करना, अत्यधिक दीर्घ प्रणालियों के लिए पुनरावृत्त विधियाँ आदि।

अनुप्रयोग

 * स्तरीकरण, चंक्रमण, और नियंत्रण नेटवर्क
 * बंडल समायोजन
 * त्रिकोणीकरण, त्रिपुंजीकरण, विकट:त्रिकोणीकरण
 * जीपीएस / जीएनएसएस स्थिति
 * हेल्मर्ट रूपांतरण

संबंधित अवधारणाएँ

 * प्राचलिक समायोजन अधिकांश प्रतिगमन विश्लेषण के समान है और गॉस-मार्कोव मॉडल के समान है
 * संयुक्त समायोजन, जिसे गॉस-हेल्मर्ट मॉडल के रूप में भी जाना जाता है चर-में-त्रुटि मॉडल और पूर्ण न्यूनतम वर्ग से संबंधित है।
 * प्राथमिक मानदंड सहप्रसरण आव्यूह का उपयोग तिखोनोव नियमितीकरण के समान है

विस्तार
यदि क्रम न्यूनता का सामना करना पड़ता है, तो इसे प्रायः अतिरिक्त समीकरणों को सम्मिलित करके मापदंडों और/या टिप्पणियों पर व्यवरोध डालकर ठीक किया जा सकता है, जिससे न्यूनतम वर्ग सीमित हो जाते हैं।

ग्रन्थसूची

 * Lecture notes and technical reports:
 * Nico Sneeuw and Friedhelm Krum, "Adjustment theory", Geodätisches Institut, Universität Stuttgart, 2014
 * Krakiwsky, "A synthesis of recent advances in the method of least squares", Lecture Notes #42, Department of Geodesy and Geomatics Engineering, University of New Brunswick, 1975
 * Cross, P.A. "Advanced least squares applied to position-fixing", University of East London, School of Surveying, Working Paper No. 6,, January 1994. First edition April 1983, Reprinted with corrections January 1990. (Original Working Papers, North East London Polytechnic, Dept. of Surveying, 205 pp., 1983.)
 * Snow, Kyle B., Applications of Parameter Estimation and Hypothesis Testing to GPS Network Adjustments, Division of Geodetic Science, Ohio State University, 2002


 * Books and chapters:
 * Friedrich Robert Helmert. Die Ausgleichsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate (Adjustment computation based on the method of least squares). Leipzig: Teubner, 1872. .
 * Reino Antero Hirvonen, "Adjustments by least squares in geodesy and photogrammetry", Ungar, New York. 261 p., ISBN 0804443971, ISBN 978-0804443975, 1971.
 * Edward M. Mikhail, Friedrich E. Ackermann, "Observations and least squares", University Press of America, 1982
 * Peter Vaníček and E.J. Krakiwsky, "Geodesy: The Concepts." Amsterdam: Elsevier. (third ed.): ISBN 0-444-87777-0, ISBN 978-0-444-87777-2; chap. 12, "Least-squares solution of overdetermined models", pp. 202–213, 1986.
 * Gilbert Strang and Kai Borre, "Linear Algebra, Geodesy, and GPS", SIAM, 624 pages, 1997.
 * Paul Wolf and Bon DeWitt, "Elements of Photogrammetry with Applications in GIS", McGraw-Hill, 2000
 * Karl-Rudolf Koch, "Parameter Estimation and Hypothesis Testing in Linear Models", 2a ed., Springer, 2000
 * P.J.G. Teunissen, "Adjustment theory, an introduction", Delft Academic Press, 2000
 * Edward M. Mikhail, James S. Bethel, J. Chris McGlone, "Introduction to Modern Photogrammetry", Wiley, 2001
 * Harvey, Bruce R., "Practical least squares and statistics for surveyors", Monograph 13, Third Edition, School of Surveying and Spatial Information Systems, University of New South Wales, 2006
 * Huaan Fan, "Theory of Errors and Least Squares Adjustment", Royal Institute of Technology (KTH), Division of Geodesy and Geoinformatics, Stockholm, Sweden, 2010, ISBN 91-7170-200-8.
 * Charles D. Ghilani, "Adjustment Computations: Spatial Data Analysis", John Wiley & Sons, 2011
 * Charles D. Ghilani and Paul R. Wolf, "Elementary Surveying: An Introduction to Geomatics", 13th Edition, Prentice Hall, 2011
 * Erik Grafarend and Joseph Awange, "Applications of Linear and Nonlinear Models: Fixed Effects, Random Effects, and Total Least Squares", Springer, 2012
 * Alfred Leick, Lev Rapoport, and Dmitry Tatarnikov, "GPS Satellite Surveying", 4th Edition, John Wiley & Sons, ISBN 9781119018612; Chapter 2, "Least-Squares Adjustments", pp. 11–79, doi:10.1002/9781119018612.ch2
 * A. Fotiou (2018) "A Discussion on Least Squares Adjustment with Worked Examples" In: Fotiou A., D. Rossikopoulos, eds. (2018): “Quod erat demonstrandum. In quest for the ultimate geodetic insight.” Special issue for Professor Emeritus Athanasios Dermanis. Publication of the School of Rural and Surveying Engineering, Aristotle University of Thessaloniki, 405 pages. ISBN 978-960-89704-4-1
 * John Olusegun Ogundare (2018), "Understanding Least Squares Estimation and Geomatics Data Analysis", John Wiley & Sons, 720 pages, ISBN 9781119501404.
 * A. Fotiou (2018) "A Discussion on Least Squares Adjustment with Worked Examples" In: Fotiou A., D. Rossikopoulos, eds. (2018): “Quod erat demonstrandum. In quest for the ultimate geodetic insight.” Special issue for Professor Emeritus Athanasios Dermanis. Publication of the School of Rural and Surveying Engineering, Aristotle University of Thessaloniki, 405 pages. ISBN 978-960-89704-4-1
 * John Olusegun Ogundare (2018), "Understanding Least Squares Estimation and Geomatics Data Analysis", John Wiley & Sons, 720 pages, ISBN 9781119501404.