अंकगणितीय ज्यामिति

गणित में, अंकगणितीय ज्यामिति, संख्या सिद्धांत की समस्याओं के लिए बीजगणितीय ज्यामिति के तकनीकों का उपयोग करने की एक विधि है। अंकगणितीय ज्यामिति डायोफैंटाइन ज्यामिति पर केंद्रित है, जो बीजगणितीय विविधता के तर्कसंगत बिंदुओं का अध्ययन है। अधिक अमूर्त शब्दों में, अंकगणितीय ज्यामिति को पूर्णांकों के वलय के स्पेक्ट्रम पर परिमित प्रकार की योजनाओं के अध्ययन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

संक्षिप्त विवरण
अंकगणित ज्यामिति में रुचि के पारंपरिक विषय प्रमुख रूप से निम्नलिखित हैː संख्या क्षेत्र, परिमित क्षेत्र, पी-एडिक क्षेत्र, या बीजगणितीय फलन क्षेत्रों पर बहुपद समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान समुच्चय, अर्थात वास्तविक संख्याओं के ऐसे क्षेत्र जो बीजगणितीय रूप से विवृत्त नहीं होते हैं। तर्कसंगत बिंदुओं को सीधे ऊंचाई फलनों द्वारा चित्रित किया जा सकता है इस प्रकार उनकी अंकगणितीय जटिलता को मापा जा सकता हैं।

गैर-बीजगणितीय रूप से विवृत्त क्षेत्रों पर परिभाषित बीजगणितीय रूपों की संरचना रुचि का एक केंद्रीय क्षेत्र बन गई है जो बीजगणितीय ज्यामिति के आधुनिक अमूर्त विकास के साथ उत्पन्न हुई है। परिमित क्षेत्रों में, ईटेल कोहोमोलॉजी बीजगणितीय रूपों से संबंधित सांस्थितिक गुण प्रदान करती है। पी-एडिक हॉज सिद्धांत यह जांचने के लिए उपकरण प्रदान करता है कि जटिल संख्याओं पर रूपों के कोहोमोलॉजिकल गुण पी-एडिक क्षेत्रों में विस्तारित होते हैं।

19वीं शताब्दी: प्रारंभिक अंकगणितीय ज्यामिति
19वीं शताब्दी के प्रारंभ में, कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने देखा कि यदि गैर-शून्य तर्कसंगत समाधान उपलब्ध हैं तो परिमेय संख्या गुणांक वाले सजातीय बहुपद समीकरणों के गैर-शून्य पूर्णांक समाधान भी उपलब्ध होंगे।

1850 के दशक में, लियोपोल्ड क्रोनकर ने क्रोनेकर-वेबर सिद्धांत का सूत्रबद्ध रूप तैयार किया, विभाजकता के सिद्धांत को प्रस्तुत किया, और संख्या सिद्धांत और बीजगणित के मध्य कई अन्य संबंधों को प्रदर्शित किया। इसके बाद उन्होंने अपने "लीबस्टर युगेन्दट्रौम" का अनुमान लगाया, यह एक सामान्यीकरण था जिसे बाद में हिल्बर्ट ने अपने अनुसार संशोधन करके हिल्बर्ट समस्याओं के रूप में प्रस्तुत किया, जो संख्या सिद्धांत को केवल उन चक्रों के साथ संचालित करने के लक्ष्य की रूपरेखा तैयार करता है जो बहुपद चक्रों के भागफल हैं।

20वीं सदी के प्रारंभ से मध्य तक: बीजगणितीय विकास और वेइल अनुमान
1920 के दशक के उत्तरार्ध में, आंद्रे वेइल ने अपने डॉक्टरेट कार्य के साथ बीजगणितीय ज्यामिति और संख्या सिद्धांत के मध्य गहरा संबंध प्रदर्शित किया, जिससे मोर्डेल-वेइल प्रमेय सामने आया, जो दर्शाता है कि एबेलियन रूप के तर्कसंगत बिंदुओं का समुच्चय एक परिमित रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह है।

बीजगणितीय ज्यामिति की आधुनिक आधारशिला समकालीन क्रमविनिमेय बीजगणित के आधार पर विकसित की गई थी, जिसमें 1930 और 1940 के दशक में ऑस्कर ज़ारिस्की और अन्य द्वारा मूल्यांकन सिद्धांत और आदर्श रिंग सिद्धांत सम्मिलित था।

1949 में, आंद्रे वेइल ने परिमित क्षेत्रों में बीजगणितीय रूपों के स्थानीय ज़ेटा-फलन के विषय में ऐतिहासिक वेइल अनुमान प्रस्तुत किए। इन अनुमानों ने बीजगणितीय ज्यामिति और संख्या सिद्धांत के बीच एक रूपरेखा प्रस्तुत की जिसने 1950 और 1960 के दशक में अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक को शीफ सिद्धांत और बाद में योजना सिद्धांत का उपयोग करके आधारशिला को पुनरनिर्मित करने के लिए प्रेरित किया। बर्नार्ड डवर्क ने 1960 में चार वेइल अनुमानों (स्थानीय ज़ेटा फलन की तर्कसंगतता) में से एक को सिद्ध किया। ग्रोथेंडिक ने 1965 तक दो वेइल अनुमानों (माइकल आर्टिन और जीन-लुई वर्डियर के साथ) को सिद्ध करने के लिए एटेल कोहोमोलॉजी सिद्धांत विकसित किया। वेइल अनुमानों में से अंतिम (रीमैन परिकल्पना का एक एनालॉग) अंततः 1974 में पियरे डेलिग्ने द्वारा सिद्ध किया गया था।

20वीं शताब्दी के मध्य से अंत तक: मॉड्यूलरिटी, पी-एडिक विधियों और उससे आगे का विकास
1956 और 1957 के मध्य, रिच तानियामा और ग्राउंडर शिमुरा  ने अण्डाकार वक्र को मॉड्यूलर रूपों से संबंधित तानियामा-शिमुरा अनुमान; जिसे अब मॉड्यूलरिटी प्रमेय के रूप में जाना जाता है, प्रस्तुत किया।  यह संबंध अंततः 1995 में एंड्रयू विल्स द्वारा विकसित मॉड्यूलरिटी लिफ्टिंग की बीजगणितीय ज्यामिति तकनीकों के माध्यम से संख्या सिद्धांत में फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के विल्स के प्रमाण के रूप मे प्रस्तुत हुआ।

1960 के दशक में, गोरो शिमुरा ने मॉड्यूलर वक्रों के सामान्यीकरण के रूप में शिमुरा विविधताओं को प्रस्तुत किया। 1979 के बाद से, शिमुरा विविधताओं ने अनुमानों के परीक्षण के लिए उदाहरणों के प्राकृतिक क्षेत्र के रूप में लैंगलैंड्स फलन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई है।

1977 और 1978 के लेखों में, बैरी मजूर ने तर्कसंगत संख्याओं पर अण्डाकार वक्रों के संभावित विकृत उपसमूहों की पूरी सूची देते हुए आघूर्ण अनुमान को सिद्ध किया। मज़ूर के इस प्रमेय का पहला प्रमाण, कुछ मॉड्यूलर वक्रों पर तर्कसंगत बिंदुओं के संपूर्ण विश्लेषण पर निर्भर था। 1996 में, लोइक मेरेल द्वारा आघूर्ण अनुमान का प्रमाण सभी संख्या क्षेत्रों तक प्रवर्धित किया गया था।

1983 में, गर्ड फाल्टिंग्स ने फाल्टिंग्स प्रमेय को यह प्रदर्शित करते हुए सिद्ध किया, कि 1 से अधिक जीनस के वक्र में केवल परिमित रूप से कई तर्कसंगत बिंदु होते हैं। वहीं जहां मोर्डेल-वेइल प्रमेय केवल परिमितता के विपरीत तर्कसंगत बिंदुओं के समुच्चय के परिमित रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह को प्रदर्शित करता है।

2001 में, GLn के लिए स्थानिक लांगलैंड्स के अनुमान का प्रमेय शिमुरा विविधताओं की कुछ ज्यामितियों पर आधारित था।

2010 के दशक में, पीटर स्कोल्ज़ ने गैलोज़ अभ्यावेदन और भार-मोनोड्रोमी अनुमान के कुछ विषयों के अनुप्रयोग के साथ पी-एडिक क्षेत्रों पर अंकगणितीय ज्यामिति में उत्तम समष्टि और नए कोहोमोलॉजी सिद्धांत का विकास किया।

यह भी देखें

 * अंकगणितीय गतिशीलता
 * एबेलियन रूपों का अंकगणित
 * बिर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान
 * बीजगणितीय वक्रों का मापांक
 * सीगल मॉड्यूलर किस्म
 * अभिन्न बिंदुओं पर सीगल का प्रमेय
 * श्रेणी सिद्धांत
 * फ्रोबेनियोइड