ओवरलैप सेव मेथड

संकेत संसाधन में, आच्छादन-रक्षा एक बहुत लंबे सिग्नल $$x[n]$$ और एक परिमित आवेगी प्रतिवेदन (एफआईआर) निस्यन्दक $$h[n]$$ के बीच असतत संवलन का मूल्यांकन करने के एक कुशल तरीके का पारंपरिक नाम है:

जहां क्षेत्र [1, M] के बाहर एम के लिए h[m] = 0 है।

यह आलेख सामान्य अमूर्त संकेतन का उपयोग करता है, जैसे $y(t) = x(t) * h(t),$ या $y(t) = \mathcal{H}\{x(t)\},$  जिसमें यह समझा जाता है कि कार्यों के बारे में विशिष्ट क्षणों के स्थान पर उनकी समग्रता $t$  (कन्वोल्यूशन देखें) में सोचा जाना चाहिए।

अवधारणा एक स्वेच्छाचारी लंबाई L के y[n] के छोटे खंडों की गणना करना और खंडों को एक साथ जोड़ना है। किसी भी पूर्णांक k के लिए n = kL + M से प्रारम्भ होने वाले खंड पर विचार करें और 'परिभाषित करें:'


 * $$x_k[n] \ \triangleq

\begin{cases} x[n+kL], & 1 \le n \le L+M-1\\ 0, & \textrm{otherwise}. \end{cases} $$
 * $$y_k[n] \ \triangleq \ x_k[n]*h[n] = \sum_{m=1}^{M} h[m] \cdot x_k[n-m].$$

फिर, $$kL+M+1 \le n \le kL+L+M$$, और समकक्ष $$M+1 \le n-kL \le L+M$$ के लिए, हम लिख सकते हैं:


 * $$y[n] = \sum_{m=1}^{M} h[m] \cdot x_k[n-kL-m] \ \ \triangleq \ \ y_k[n-kL].$$

प्रतिस्थापन के साथ $$j = n-kL$$, कार्य $$M+1 \le j \le L+M$$ के लिए कंप्यूटिंग $$y_k[j]$$ तक कम हो गया है। इन चरणों को चित्र 1 के पहले 3 अनुरेख में दर्शाया गया है, सिवाय इसके कि प्रक्षेपण का वांछित भाग (तीसरा ट्रेस) 1$$ ≤ L से मेल खाता है।

यदि हम समय-समय पर xk[n] का अवधि N ≥ L + M − 1 के साथ विस्तार करते हैं ,' निम्नलिखित के अनुसार:'


 * $$x_{k,N}[n] \ \triangleq \ \sum_{\ell=-\infty}^{\infty} x_k[n - \ell N],$$

संवलन $$(x_{k,N})*h\,$$और $$x_k*h\,$$$$ M+1 \le n \le L+M $$ क्षेत्र में समतुल्य हैं इसलिए यह क्षेत्र [1, n] में $$h[n]\,$$ के साथ $$x_k[n]\,$$ के एन-बिंदु परिपत्र (या चक्रीय) कनवल्शन की गणना करने के लिए पर्याप्त है। उपक्षेत्र [M + 1, L + M] को प्रक्षेपण स्ट्रीम में जोड़ा जाता है, और अन्य मान खारिज कर दिए जाते हैं । लाभ यह है कि डिस्क्रीट फूरियर वृत्तीय संवलन प्रमेय और संकरण-सहसंबंध प्रमेय के अनुसार, गोलाकार संवलन की गणना रैखिक संवलन की तुलना में अधिक कुशलता से की जा सकती है:'

जहाँ:
 * डीएफटीएन और आईडीएफटीएन असतत फूरियर रूपांतरण और इसके व्युत्क्रम का संदर्भ लें, जिसका मूल्यांकन एन असतत बिंदुओं पर किया गया है, और
 * $L$ को प्रथागत रूप से ऐसे चुना जाता है कि $N = L+M-1$ एक पूर्णांक शक्ति-2 है, और दक्षता के लिए परिवर्तनों को एफएफटी कलन विधि के साथ कार्यान्वित किया जाता है।
 * वृत्ताकार संवलन के अग्रणी और अनुगामी किनारे-प्रभावों को अतिछादित किया जाता है और जोड़ा जाता है, और बाद में त्याग दिया जाता है।

छद्मकोड
(Overlap-save algorithm for linear convolution) h = FIR_impulse_response M = length(h) overlap = M − 1 N = 8 × overlap   (see next section for a better choice) step_size = N − overlap H = DFT(h, N) position = 0 while position + N ≤ length(x) yt = IDFT(DFT(x(position+(1:N))) × H)    y(position+(1:step_size)) = yt(M : N)    (discard M−1 y-values) position = position + step_size end

दक्षता संबंधी विचार
जब डीएफटी और आईडीएफटी को एफएफटी कलन विधि द्वारा कार्यान्वित किया जाता है, तो उपरोक्त छद्मकोड को एफएफटी, सरणियों के उत्पाद और आईएफएफटी के लिए N (log2(N) + 1) जटिल गुणन की आवश्यकता होती है। प्रत्येक पुनरावृत्ति N-M+1 प्रक्षेपण प्रतिरूप उत्पन्न करती है, इसलिए प्रति प्रक्षेपण प्रतिरूप में जटिल गुणन की संख्या लगभग है:

उदाहरण के लिए, जब M=201 और N=1024, $j$ 13.67 के बराबर है, जबकि प्रत्यक्ष मूल्यांकन $$ प्रत्येक प्रक्षेपण प्रतिरूप के लिए 201 तक जटिल गुणन की आवश्यकता होगी, सबसे खराब स्थिति तब होगी जब x और h दोनों जटिल-मूल्यवान हों। यह भी ध्यान दें कि किसी दिए गए एम के लिए, $$ में N के संबंध में न्यूनतम है। चित्र 2 N के मानों का एक आरेख है जो $$ निस्यन्दक लंबाई (एम) को एक श्रृंखला के लिए न्यूनतम करता है।

के स्थान पर $$, हम आवेदन करने पर भी विचार कर सकते हैं $$ लंबाई के एक लंबे क्रम के लिए $$N_x$$ प्रतिरूप. जटिल गुणन की कुल संख्या होगी:


 * $$N_x\cdot (\log_2(N_x) + 1).$$

तुलनात्मक रूप से, स्यूडोकोड कलन विधि द्वारा आवश्यक जटिल गुणन की संख्या है:


 * $$N_x\cdot (\log_2(N) + 1)\cdot \frac{N}{N-M+1}.$$

इसलिए आच्छादन-रक्षा पद्धति की लागत लगभग $$O\left(N_x\log_2 N\right)$$ के समान है जबकि एक एकल, बड़े गोलाकार संवलन की लागत लगभग $$O\left(N_x\log_2 N_x \right)$$ है।

आच्छादन–पृथक्करण
आच्छादन-पृथक्करण और आच्छादन-उच्छिष्ट यहां वर्णित समान विधि के लिए सामान्यतः कम उपयोग किए जाने वाले लेबल हैं। हालाँकि, ये लेबल वास्तव में आच्छादन-जोड़ विधि से अलग करने के लिए बेहतर (आच्छादन-रक्षा से) हैं, क्योंकि दोनों विधियां सहेजती हैं, लेकिन केवल एक को हटा देती हैं। रक्षा केवल इस तथ्य को संदर्भित करता है कि खंड k से M - 1 इनपुट (या प्रक्षेपण) प्रतिरूप खंड k + 1 को संसाधित करने के लिए आवश्यक हैं।

आच्छादन का विस्तार-रक्षा
आच्छादन-रक्षा कलन विधि को प्रणाली के अन्य सामान्य संचालन को सम्मिलित करने के लिए बढ़ाया जा सकता है:


 * अतिरिक्त आईएफएफटी सरणि को प्रगल्भ एफएफटी का पुन: उपयोग करके पहले की तुलना में अधिक सस्ते में संसाधित किया जा सकता है
 * विभिन्न आकार के आगे और उलटे एफएफटी का उपयोग करके प्रतिरूप दरों को बदला जा सकता है
 * आवृत्ति स्थानांतरण (मिश्रण) आवृत्ति डिब्बे को पुनर्व्यवस्थित करके पूरा किया जा सकता है

यह भी देखें

 * आच्छादन-जोड़ने की विधि

संदर्भ

 * , also available at https://patentimages.storage.googleapis.com/4d/39/2a/cec2ae6f33c1e7/US6898235.pdf
 * , also available at https://patentimages.storage.googleapis.com/4d/39/2a/cec2ae6f33c1e7/US6898235.pdf

बाहरी संबंध

 * Dr. Deepa Kundur, Overlap Add and Overlap Save, University of Toronto