हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन

भौतिकी और गणित में, सदिश कलन के क्षेत्र में, हेल्महोल्ट्ज़ प्रमेय, जिसे वेक्टर कैलकुलस के मौलिक प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है,       बताता है कि तीन आयामों में किसी भी पर्याप्त रूप से चिकनी, सड़ने वाले वेक्टर क्षेत्र को एक अघूर्णन सदिश क्षेत्र (कर्ल  -फ्री) वेक्टर क्षेत्र और परिनालिकीय क्षेत्र ( विचलन -फ्री) वेक्टर क्षेत्र के योग में हल किया जा सकता है; इसे हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन या हेल्महोल्ट्ज़ प्रतिनिधित्व के रूप में जाना जाता है। इसका नाम हरमन वॉन हेल्महोल्ट्ज़ के नाम पर रखा गया है।

जैसा कि एक अघूर्णी सदिश क्षेत्र में एक अदिश क्षमता होती है और एक सोलनॉइडल सदिश क्षेत्र में एक सदिश क्षमता होती है, हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन बताता है कि एक सदिश क्षेत्र (उचित चिकनाई और क्षय की स्थिति को संतुष्ट करते हुए) को रूप के योग के रूप में विघटित किया जा सकता है $$-\nabla \phi + \nabla \times \mathbf{A}$$, कहाँ $$\phi$$ एक अदिश क्षेत्र है जिसे अदिश विभव कहा जाता है, और $A$ एक सदिश क्षेत्र है, जिसे सदिश विभव कहा जाता है।

प्रमेय का कथन
होने देना $$\mathbf{F}$$ एक बंधे हुए डोमेन पर एक वेक्टर फ़ील्ड बनें $$V\subseteq\mathbb{R}^3$$, जो अंदर से दो बार लगातार भिन्न होता है $$V$$, और जाने $$S$$ वह सतह हो जो डोमेन को घेरती है $$V$$. तब $$\mathbf{F}$$ कर्ल-मुक्त घटक और विचलन-मुक्त घटक में विघटित किया जा सकता है:

$$\mathbf{F}=-\nabla \Phi+\nabla\times\mathbf{A},$$ कहाँ $$ \begin{align} \Phi(\mathbf{r}) & =\frac 1 {4\pi} \int_V \frac{\nabla'\cdot\mathbf{F} (\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} -\mathbf{r}'|} \, \mathrm{d}V' -\frac 1 {4\pi} \oint_S \mathbf{\hat{n}}' \cdot \frac{\mathbf{F} (\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} \, \mathrm{d}S' \\[8pt] \mathbf{A}(\mathbf{r}) & =\frac 1 {4\pi} \int_V \frac{\nabla' \times \mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} \, \mathrm{d}V' -\frac 1 {4\pi} \oint_S \mathbf{\hat{n}}'\times\frac{\mathbf{F} (\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} \, \mathrm{d}S' \end{align} $$ और $$\nabla'$$ के संबंध में नाबला संचालिका है $$\mathbf{r'}$$, नहीं $$ \mathbf{r} $$.

अगर $$V = \R^3$$ और इसलिए असीमित है, और $$\mathbf{F}$$ कम से कम उतनी ही तेजी से गायब हो जाता है $$1/r$$ जैसा $$r \to \infty$$, तो एक है

$$\begin{align} \Phi(\mathbf{r}) & =\frac{1}{4\pi}\int_{\R^3} \frac{\nabla' \cdot \mathbf{F} (\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} \, \mathrm{d}V' \\[8pt] \mathbf{A} (\mathbf{r}) & =\frac{1}{4\pi}\int_{\R^3} \frac{\nabla'\times\mathbf{F} (\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} \, \mathrm{d}V' \end{align}$$ यह विशेष रूप से अगर है $$\mathbf F$$ में दो बार लगातार अवकलनीय है $$\mathbb R^3$$ और सीमित समर्थन का।

व्युत्पत्ति
मान लीजिए हमारे पास एक वेक्टर फ़ंक्शन है $$\mathbf{F}(\mathbf{r})$$ जिनमें से हम कर्ल जानते हैं, $$\nabla\times\mathbf{F}$$, और विचलन, $$\nabla\cdot\mathbf{F}$$, सीमा पर डोमेन और फ़ील्ड में। प्रपत्र में डेल्टा समारोह का उपयोग करके फ़ंक्शन लिखना $$\delta^3(\mathbf{r}-\mathbf{r}')=-\frac 1 {4\pi} \nabla^2 \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\, ,$$ कहाँ $$\nabla^2:=\nabla\cdot\nabla$$ लाप्लास ऑपरेटर है, हमारे पास है

$$\begin{align} \mathbf{F}(\mathbf{r}) &= \int_V \mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)\delta^3 (\mathbf{r}-\mathbf{r}') \mathrm{d}V' \\ &=\int_V\mathbf{F}(\mathbf{r}')\left(-\frac{1}{4\pi}\nabla^2\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\right)\mathrm{d}V' \\ &=-\frac{1}{4\pi}\nabla^2 \int_V \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r}')}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V' \\ &=-\frac{1}{4\pi}\left[\nabla\left(\nabla\cdot\int_V\frac{\mathbf{F}(\mathbf{r}')}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)-\nabla\times\left(\nabla\times\int_V\frac{\mathbf{F}(\mathbf{r}')}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)\right] \\ &= -\frac{1}{4\pi} \left[\nabla\left(\int_V\mathbf{F}(\mathbf{r}')\cdot\nabla\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)+\nabla\times\left(\int_V\mathbf{F}(\mathbf{r}')\times\nabla\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)\right] \\ &=-\frac{1}{4\pi}\left[-\nabla\left(\int_V\mathbf{F}(\mathbf{r}')\cdot\nabla'\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)-\nabla\times\left(\int_V\mathbf{F} (\mathbf{r}')\times\nabla'\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)\right] \end{align}$$ जहाँ हमने सदिश लाप्लासियन की परिभाषा का उपयोग किया है: $$\nabla^{2}\mathbf{a}=\nabla (\nabla\cdot\mathbf{a})-\nabla\times (\nabla\times\mathbf{a}) \ ,$$ भेदभाव/एकीकरण के संबंध में $$\mathbf r'$$द्वारा $$\nabla'/\mathrm dV',$$ और अंतिम पंक्ति में, फ़ंक्शन तर्कों की रैखिकता: $$ \nabla\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}=-\nabla'\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\ .$$ फिर सदिश पहचान का उपयोग करना

$$\begin{align} \mathbf{a}\cdot\nabla\psi &=-\psi(\nabla\cdot\mathbf{a})+\nabla\cdot (\psi\mathbf{a}) \\ \mathbf{a}\times\nabla\psi &=\psi(\nabla\times\mathbf{a})-\nabla \times (\psi\mathbf{a}) \end{align}$$ हम पाते हैं $$\begin{align} \mathbf{F}(\mathbf{r})=-\frac{1}{4\pi}\bigg[ &-\nabla\left(-\int_{V}\frac{\nabla'\cdot\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'+\int_{V}\nabla'\cdot\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right) \\& -\nabla\times\left(\int_{V}\frac{\nabla'\times\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V' - \int_{V}\nabla'\times\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)\bigg]. \end{align}$$ विचलन प्रमेय के लिए धन्यवाद समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है

$$\begin{align} \mathbf{F} (\mathbf{r}) &= -\frac{1}{4\pi} \bigg[ -\nabla\left(       -\int_{V}        \frac{            \nabla'\cdot\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)        }{            \left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|        } \mathrm{d}V'        +        \oint_{S}\mathbf{\hat{n}}'\cdot        \frac{            \mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)        }{            \left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|        }\mathrm{d}S'    \right) \\ &\qquad\qquad -\nabla\times\left(\int_{V}\frac{\nabla'\times\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V' -\oint_{S}\mathbf{\hat{n}}'\times\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}S'\right) \bigg] \\ &= -\nabla\left[ \frac{1}{4\pi}\int_{V} \frac{ \nabla'\cdot\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right) }{\left| \mathbf{r}-\mathbf{r}' \right|} \mathrm{d}V' -  \frac{1}{4\pi} \oint_{S}\mathbf{\hat{n}}' \cdot \frac{ \mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right) }{    \left| \mathbf{r}-\mathbf{r}' \right| } \mathrm{d}S' \right] \\ &\quad + \nabla\times \left[ \frac{1}{4\pi}\int_{V} \frac{ \nabla '\times\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right) }{    \left| \mathbf{r}-\mathbf{r}' \right| } \mathrm{d}V' - \frac{1}{4\pi}\oint_{S} \mathbf{\hat{n}}' \times \frac{ \mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right) }{   \left| \mathbf{r}-\mathbf{r}' \right| } \mathrm{d}S' \right] \end{align}$$ बाहरी सतह सामान्य के साथ $$ \mathbf{\hat{n}}' $$.

परिभाषित
== $$\Phi(\mathbf{r})\equiv\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\nabla'\cdot\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'-\frac{1}{4\pi}\oint_{S}\mathbf{\hat{n}}'\cdot\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}S'$$ $$\mathbf{A}(\mathbf{r})\equiv\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\nabla'\times\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'-\frac{1}{4\pi}\oint_{S}\mathbf{\hat{n}}'\times\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}S'$$ == हम अंत में प्राप्त करते हैं $$\mathbf{F}=-\nabla\Phi+\nabla\times\mathbf{A}.$$

उच्च आयामों के लिए सामान्यीकरण
में एक $$d$$-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष के साथ $$d\neq 3$$, $-\frac{1}{4\pi\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}$ उचित ग्रीन के कार्य द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए # लाप्लासियन के लिए ग्रीन के कार्य $$ \nabla^2 G(\mathbf{r},\mathbf{r}') = \frac{\partial}{\partial r_\mu}\frac{\partial}{\partial r_\mu}G(\mathbf{r},\mathbf{r}') = \delta^d(\mathbf{r}-\mathbf{r}') $$ जहां इंडेक्स के लिए आइंस्टीन संकेतन का उपयोग किया जाता है $$\mu$$. उदाहरण के लिए, $G(\mathbf{r},\mathbf{r}')=\frac{1}{2\pi}\ln\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|$ 2डी में।

ऊपर दिए गए चरणों का पालन करके हम लिख सकते हैं $$ F_\mu(\mathbf{r}) = \int_V F_\mu(\mathbf{r}') \frac{\partial}{\partial r_\mu}\frac{\partial}{\partial r_\mu}G(\mathbf{r},\mathbf{r}') \,\mathrm{d}^d \mathbf{r}' = \delta_{\mu\nu}\delta_{\rho\sigma}\int_V F_\nu(\mathbf{r}') \frac{\partial}{\partial r_\rho}\frac{\partial}{\partial r_\sigma}G(\mathbf{r},\mathbf{r}') \,\mathrm{d}^d \mathbf{r}' $$ कहाँ $$\delta_{\mu\nu}$$ क्रोनकर डेल्टा है (और योग सम्मेलन फिर से उपयोग किया जाता है)। ऊपर प्रयुक्त वेक्टर लाप्लासियन की परिभाषा के स्थान पर, अब हम लेवी-सिविता प्रतीक के लिए एक पहचान का उपयोग करते हैं $$\varepsilon$$, $$ \varepsilon_{\alpha\mu\rho}\varepsilon_{\alpha\nu\sigma} = (d-2)!(\delta_{\mu\nu}\delta_{\rho\sigma} - \delta_{\mu\sigma}\delta_{\nu\rho}) $$ जो में मान्य है $$d\ge 2$$ आयाम, कहाँ $$\alpha$$ एक है $$(d-2)$$-कंपोनेंट मल्टी-इंडेक्स नोटेशन | मल्टी-इंडेक्स। यह देता है $$ F_\mu(\mathbf{r}) = \delta_{\mu\sigma}\delta_{\nu\rho}\int_V F_\nu(\mathbf{r}') \frac{\partial}{\partial r_\rho}\frac{\partial}{\partial r_\sigma}G(\mathbf{r},\mathbf{r}') \,\mathrm{d}^d \mathbf{r}' + \frac{1}{(d-2)!}\varepsilon_{\alpha\mu\rho}\varepsilon_{\alpha\nu\sigma} \int_V F_\nu(\mathbf{r}') \frac{\partial}{\partial r_\rho}\frac{\partial}{\partial r_\sigma}G(\mathbf{r},\mathbf{r}') \,\mathrm{d}^d \mathbf{r}' $$ इसलिए हम लिख सकते हैं $$ F_\mu(\mathbf{r}) = -\frac{\partial}{\partial r_\mu} \Phi(\mathbf{r}) + \varepsilon_{\mu\rho\alpha}\frac{\partial}{\partial r_\rho} A_{\alpha}(\mathbf{r}) $$ कहाँ $$ \begin{aligned} \Phi(\mathbf{r}) &= -\int_V F_\nu(\mathbf{r}') \frac{\partial}{\partial r_\nu}G(\mathbf{r},\mathbf{r}') \,\mathrm{d}^d \mathbf{r}'\\ A_{\alpha} &= \frac{1}{(d-2)!}\varepsilon_{\alpha\nu\sigma} \int_V F_\nu(\mathbf{r}') \frac{\partial}{\partial r_\sigma}G(\mathbf{r},\mathbf{r}') \,\mathrm{d}^d \mathbf{r}' \end{aligned} $$ ध्यान दें कि वेक्टर क्षमता को रैंक से बदल दिया जाता है-$$(d-2)$$ टेंसर इन $$d$$ आयाम।

कई गुना अधिक सामान्यीकरण के लिए, हॉज अपघटन हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन#विभेदक रूपों की चर्चा देखें।

फूरियर रूपांतरण से एक अन्य व्युत्पत्ति
ध्यान दें कि यहां बताए गए प्रमेय में हमने यह शर्त लगाई है कि यदि $$\mathbf{F}$$ एक बाध्य डोमेन पर परिभाषित नहीं है, तब $$\mathbf{F}$$ से भी तेज क्षय होगा $$1/r$$. इस प्रकार, का फूरियर रूपांतरण $$\mathbf{F}$$, इस रूप में घोषित किया गया $$\mathbf{G}$$, होने की गारंटी है। हम सम्मेलन लागू करते हैं $$\mathbf{F}(\mathbf{r}) = \iiint \mathbf{G}(\mathbf{k}) e^{i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} dV_k $$ एक अदिश क्षेत्र का फूरियर रूपांतरण एक अदिश क्षेत्र है, और सदिश क्षेत्र का फूरियर रूपांतरण समान आयाम का एक सदिश क्षेत्र है।

अब निम्नलिखित अदिश और सदिश क्षेत्रों पर विचार करें: $$\begin{align} G_\Phi(\mathbf{k}) &= i \frac{\mathbf{k} \cdot \mathbf{G}(\mathbf{k})}{\|\mathbf{k}\|^2} \\ \mathbf{G}_\mathbf{A}(\mathbf{k}) &= i \frac{\mathbf{k} \times \mathbf{G}(\mathbf{k})}{\|\mathbf{k}\|^2} \\ [8pt] \Phi(\mathbf{r}) &= \iiint G_\Phi(\mathbf{k}) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} dV_k \\ \mathbf{A}(\mathbf{r}) &= \iiint \mathbf{G}_\mathbf{A}(\mathbf{k}) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} dV_k \end{align} $$ इस तरह

$$\begin{align} \mathbf{G}(\mathbf{k}) &= - i \mathbf{k} G_\Phi(\mathbf{k}) + i \mathbf{k} \times \mathbf{G}_\mathbf{A}(\mathbf{k}) \\ [6pt] \mathbf{F}(\mathbf{r}) &= -\iiint i \mathbf{k} G_\Phi(\mathbf{k}) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} dV_k + \iiint i \mathbf{k} \times \mathbf{G}_\mathbf{A}(\mathbf{k}) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} dV_k \\ &= - \nabla \Phi(\mathbf{r}) + \nabla \times \mathbf{A}(\mathbf{r}) \end{align}$$

निर्धारित विचलन और कर्ल
के साथ फ़ील्ड हेल्महोल्ट्ज़ प्रमेय शब्द निम्नलिखित का भी उल्लेख कर सकता है। होने देना $C$ एक परिनालिका सदिश क्षेत्र हो और d एक अदिश क्षेत्र हो $R^{3}$ जो पर्याप्त रूप से चिकने होते हैं और जो तेजी से गायब हो जाते हैं $1/r^{2}$ अनंत पर। फिर एक सदिश क्षेत्र मौजूद है $F$ ऐसा है कि

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = d \quad \text{ and } \quad \nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{C};$$ यदि अतिरिक्त वेक्टर क्षेत्र $F$ के रूप में गायब हो जाता है $r → ∞$, तब $F$ निराला है।

दूसरे शब्दों में, एक वेक्टर फ़ील्ड निर्दिष्ट विचलन और निर्दिष्ट कर्ल दोनों के साथ बनाया जा सकता है, और यदि यह अनंत पर भी गायब हो जाता है, तो यह विशिष्ट रूप से इसके विचलन और कर्ल द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है। इलेक्ट्रोस्टाटिक्स में इस प्रमेय का बहुत महत्व है, क्योंकि स्थिर मामले में विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र के लिए मैक्सवेल के समीकरण ठीक इसी प्रकार के हैं। सबूत एक निर्माण द्वारा ऊपर दिए गए एक को सामान्य करता है: हम सेट करते हैं

$$\mathbf{F} = - \nabla(\mathcal{G} (d)) + \nabla \times (\mathcal{G}(\mathbf{C})),$$ कहाँ $$\mathcal{G}$$ न्यूटोनियन संभावित ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करता है। (जब सदिश क्षेत्र पर अभिनय करते हैं, जैसे $∇ × F$, इसे प्रत्येक घटक पर कार्य करने के लिए परिभाषित किया गया है।)

समाधान स्थान
दो हेल्महोल्ट्ज़ अपघटनों के लिए $$(\Phi_1, {\mathbf A_1})$$ $$(\Phi_2, {\mathbf A_2})$$ का $$\mathbf F$$, वहाँ रखती है
 * $$\Phi_1-\Phi_2 = \lambda,\quad {\mathbf{A}_1 - \mathbf{A}_2} ={\mathbf A}_\lambda + \nabla \varphi,$$
 * कहाँ
 * $$ \lambda$$ एक हार्मोनिक फ़ंक्शन है,
 * $$ {\mathbf A}_\lambda $$ द्वारा निर्धारित एक सदिश क्षेत्र है $$\lambda$$,
 * $$ \varphi $$ कोई अदिश क्षेत्र है।

सबूत: सेटिंग $$\lambda = \Phi_2 - \Phi_1$$ और $${\mathbf B = A_2 - A_1}$$, एक के अनुसार है हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन की परिभाषा,
 * $$ -\nabla \lambda + \nabla \times \mathbf B = 0 $$.

इस समीकरण के प्रत्येक सदस्य का विचलन प्राप्त करने पर प्राप्त होता है $$\nabla^2 \lambda = 0$$, इस तरह $$\lambda$$ हार्मोनिक है।

इसके विपरीत, कोई हार्मोनिक फ़ंक्शन दिया गया है $$\lambda$$, $$\nabla \lambda $$ के बाद से solenoidal है
 * $$\nabla\cdot (\nabla \lambda) = \nabla^2 \lambda = 0.$$

इस प्रकार, उपरोक्त खंड के अनुसार, एक सदिश क्षेत्र मौजूद है $${\mathbf A}_\lambda$$ ऐसा है कि $$\nabla \lambda = \nabla\times {\mathbf A}_\lambda$$. अगर $${\mathbf A'}_\lambda$$ एक और ऐसा सदिश क्षेत्र है, तब $$\mathbf C = {\mathbf A}_\lambda - {\mathbf A'}_\lambda$$ पूरा $$\nabla \times {\mathbf C} = 0$$, इस तरह $$C = \nabla \varphi$$ कुछ अदिश क्षेत्र के लिए $$\varphi$$ (और इसके विपरीत)।

विभेदक रूप
हॉज अपघटन हॉज अपघटन हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन से निकटता से संबंधित है, आर पर वेक्टर क्षेत्रों से सामान्यीकरण3 रीमैनियन कई गुना एम पर विभेदक रूपों के लिए। हॉज अपघटन के अधिकांश योगों के लिए एम को कॉम्पैक्ट जगह  होना आवश्यक है। चूँकि यह R के लिए सत्य नहीं है3, हॉज अपघटन प्रमेय सख्ती से हेल्महोल्ट्ज़ प्रमेय का सामान्यीकरण नहीं है। हालांकि, हॉज अपघटन के सामान्य निर्माण में कॉम्पैक्टनेस प्रतिबंध को हेल्महोल्ट्ज़ प्रमेय का उचित सामान्यीकरण देते हुए, अंतर रूपों पर अनंत में उपयुक्त क्षय धारणाओं द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

कमजोर सूत्रीकरण
हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन को भी नियमितता मान्यताओं (मजबूत डेरिवेटिव के अस्तित्व की आवश्यकता) को कम करके सामान्यीकृत किया जा सकता है। कल्पना करना $Ω$ एक सीमित, आसानी से जुड़ा हुआ, लिपशिट्ज डोमेन है। प्रत्येक वर्ग-पूर्णांक सदिश क्षेत्र $u ∈ (L^{2}(Ω))^{3}$ में ओर्थोगोनालिटी अपघटन है:

$$\mathbf{u}=\nabla\varphi+\nabla \times \mathbf{A}$$ कहाँ $φ$ सोबोलेव अंतरिक्ष में है $H^{1}(Ω)$ स्क्वायर-इंटीग्रेबल फ़ंक्शंस पर $Ω$ जिसका आंशिक डेरिवेटिव वितरण (गणित) अर्थ में परिभाषित वर्ग पूर्णांक हैं, और $A ∈ H(curl, Ω)$, वर्ग समाकलनीय कर्ल के साथ वर्ग समाकलनीय सदिश क्षेत्रों से युक्त सदिश क्षेत्रों का सोबोलेव स्थान।

थोड़े चिकने सदिश क्षेत्र के लिए $u ∈ H(curl, Ω)$, एक समान अपघटन धारण करता है:

$$\mathbf{u}=\nabla\varphi+\mathbf{v}$$ कहाँ $φ ∈ H^{1}(Ω), v ∈ (H^{1}(Ω))^{d}$.

अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ क्षेत्र
भौतिकी में अक्सर इस्तेमाल की जाने वाली शब्दावली सदिश क्षेत्र के कर्ल-मुक्त घटक को अनुदैर्ध्य घटक के रूप में और अनुप्रस्थ घटक के रूप में विचलन-मुक्त घटक को संदर्भित करती है। यह शब्दावली निम्नलिखित निर्माण से आती है: त्रि-आयामी फूरियर रूपांतरण की गणना करें $$\hat\mathbf{F}$$ वेक्टर क्षेत्र का $$\mathbf{F}$$. फिर इस क्षेत्र को प्रत्येक बिंदु k पर दो घटकों में विघटित करें, जिनमें से एक अनुदैर्ध्य रूप से बिंदु है, अर्थात k के समानांतर, दूसरा अनुप्रस्थ दिशा में इंगित करता है, अर्थात k के लंबवत। अब तक, हमारे पास है

$$\hat\mathbf{F} (\mathbf{k}) = \hat\mathbf{F}_t (\mathbf{k}) + \hat\mathbf{F}_l (\mathbf{k})$$ $$\mathbf{k} \cdot \hat\mathbf{F}_t(\mathbf{k}) = 0.$$ $$\mathbf{k} \times \hat\mathbf{F}_l(\mathbf{k}) = \mathbf{0}.$$ अब हम इनमें से प्रत्येक घटक के लिए एक व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण लागू करते हैं। फूरियर रूपांतरण के गुणों का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

$$\mathbf{F}(\mathbf{r}) = \mathbf{F}_t(\mathbf{r})+\mathbf{F}_l(\mathbf{r})$$ $$\nabla \cdot \mathbf{F}_t (\mathbf{r}) = 0$$ $$\nabla \times \mathbf{F}_l (\mathbf{r}) = \mathbf{0}$$ तब से $$\nabla\times(\nabla\Phi)=0$$ और $$\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0$$,

हम प्राप्त कर सकते हैं

$$\mathbf{F}_t=\nabla\times\mathbf{A}=\frac{1}{4\pi}\nabla\times\int_V\frac{\nabla'\times\mathbf{F}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'$$ $$\mathbf{F}_l=-\nabla\Phi=-\frac{1}{4\pi}\nabla\int_V\frac{\nabla'\cdot\mathbf{F}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'$$ तो यह वास्तव में हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन है।

यह भी देखें

 * सदिश क्षेत्रों के संबंधित अपघटन के लिए क्लेबश प्रतिनिधित्व
 * डार्विन Lagrangian एक आवेदन के लिए
 * विचलन मुक्त घटक के एक और अपघटन के लिए पोलायडल-टोरॉयडल अपघटन $$ \nabla \times \mathbf{A} $$.
 * अदिश-वेक्टर-टेंसर अपघटन
 * हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन को सामान्य करने वाला हॉज सिद्धांत
 * ध्रुवीय गुणनखंड प्रमेय
 * लेरे प्रक्षेपण को परिभाषित करने के लिए हेल्महोल्ट्ज़-लेरे अपघटन का उपयोग किया गया

सामान्य संदर्भ

 * जॉर्ज बी. अरफकेन और हंस जे. वेबर, भौतिकविदों के लिए गणितीय तरीके, चौथा संस्करण, शैक्षणिक प्रेस: ​​सैन डिएगो (1995) पीपी। 92-93
 * जॉर्ज बी. अरफकेन और हंस जे. वेबर, भौतिकविदों के लिए गणितीय तरीके - अंतर्राष्ट्रीय संस्करण, 6वां संस्करण, अकादमिक प्रेस: ​​सैन डिएगो (2005) पीपी। 95-101
 * रदरफोर्ड एरिस, वैक्टर, टेन्सर, और द्रव यांत्रिकी के मूल समीकरण, प्रेंटिस-हॉल (1962),, पीपी. 70–72

कमजोर सूत्रीकरण के लिए संदर्भ

 * आर. डौत्रे और जे.-एल. शेर। वर्णक्रमीय सिद्धांत और अनुप्रयोग, गणितीय विश्लेषण का खंड 3 और विज्ञान और प्रौद्योगिकी के लिए संख्यात्मक तरीके। स्प्रिंगर-वेरलाग, 1990।
 * विवेट जिरॉल्ट | वी। जिराउल्ट और पी.ए. रैवार्ट। नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के लिए परिमित तत्व विधियाँ: सिद्धांत और एल्गोरिदम। कम्प्यूटेशनल गणित में स्प्रिंगर सीरीज। स्प्रिंगर-वेरलाग, 1986।
 * विवेट जिरॉल्ट | वी। जिराउल्ट और पी.ए. रैवार्ट। नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के लिए परिमित तत्व विधियाँ: सिद्धांत और एल्गोरिदम। कम्प्यूटेशनल गणित में स्प्रिंगर सीरीज। स्प्रिंगर-वेरलाग, 1986।

बाहरी संबंध

 * Helmholtz theorem on MathWorld