सोफी जर्मेन की पहचान

गणित में, सोफी जर्मेन की पहचान एक बहुपद गुणनखंड है जिसका नाम सोफी जर्मेन के नाम पर रखा गया है, जिसमें कहा गया है $$ \begin{align} x^4 + 4y^4 &= \bigl((x + y)^2 + y^2\bigr)\cdot\bigl((x - y)^2 + y^2\bigr)\\ &= (x^2 + 2xy + 2y^2)\cdot(x^2 - 2xy + 2y^2). \end{align}$$

प्रारंभिक बीजगणित में इसके उपयोग के अतिरिक्त, इसका उपयोग विशेष रूप $$x^4+4y^4$$ के पूर्णांकों को गुणनखंडित करने के लिए संख्या सिद्धांत में भी किया जा सकता है, और यह अधिकांशतः गणित प्रतियोगिताओं में समस्याओं का आधार बनता है।

इतिहास
चूँकि इस पहचान का श्रेय सोफी जर्मेन को दिया गया है, किंतु यह उनके कार्यों में दिखाई नहीं देता है। इसके अतिरिक्त, उनके कार्यों में संबंधित पहचान पाई जा सकती है $$ \begin{align} x^4+y^4 &= (x^2-y^2)^2+2(xy)^2\\ &= (x^2+y^2)^2-2(xy)^2.\\ \end{align}$$ $$y$$ को $$\sqrt2$$ से गुणा करके इस समीकरण को संशोधित करने से प्राप्त होता है $$ x^4+4y^4 = (x^2+2y^2)^2-4(xy)^2, $$ दो वर्गों का अंतर, जिससे जर्मेन की पहचान होती है। जर्मेन को इस पहचान का गलत श्रेय लियोनार्ड यूजीन डिक्सन ने अपने संख्याओं के सिद्धांत का इतिहास में दिया था, जिसमें यह भी कहा गया था (समान रूप से गलत) कि यह लियोनहार्ड यूलर के क्रिश्चियन गोल्डबैक को लिखे एक पत्र में पाया जा सकता है।

पहचान को केवल गुणनखंडन के दो शब्दों को एक साथ गुणा करके और यह सत्यापित करके सिद्ध किया जा सकता है कि उनका उत्पाद समानता के दाहिने हाथ के समान है। पाइथागोरस प्रमेय के अनेक अनुप्रयोगों के आधार पर शब्दों के बिना भी प्रमाण संभव है।

पूर्णांक गुणनखंडन के लिए अनुप्रयोग
जर्मेन की पहचान का एक परिणाम यह है कि प्रपत्र की संख्याएँ $$n^4+4^n$$ $$n>1$$ के लिए अभाज्य नहीं हो सकता। ($$n=1$$ के लिए, परिणाम अभाज्य संख्या 5 है।) यदि $$n$$ सम है तो वे स्पष्ट रूप से अभाज्य नहीं हैं, और यदि $$n$$ विषम है तो उनके पास $$x=n$$ और $$y=2^{(n-1)/2}$$ के साथ पहचान द्वारा दिया गया एक गुणनखंड है।. ये संख्याएँ ($$n=0$$ से प्रारंभ होकर) पूर्णांक अनुक्रम बनाती हैं

गणित प्रतियोगिताओं में सोफी जर्मेन की कई पहचान इसी के परिणाम से सामने आती हैं।

$$x=1$$ और $$y=2^k$$ के साथ पहचान का एक और विशेष स्थिति गुणनखंड उत्पन्न करने के लिए उपयोग किया जा सकता है $$ \begin{align} \Phi_4(2^{2k+1})&=2^{4k+2}+1\\ &=(2^{2k+1}-2^{k+1}+1)\cdot (2^{2k+1}+2^{k+1}+1),\\ \end{align}$$

जहाँ $$\Phi_4(x)=x^2+1$$ चौथा साइक्लोटोमिक बहुपद है। सामान्यतः साइक्लोटोमिक बहुपदों की तरह,$$\Phi_4$$एक अघुलनशील बहुपद है, इसलिए इसके अनंत मानों के इस गुणनखंड को एक बहुपद के रूप में $$\Phi_4$$ के गुणनखंडन तक नहीं बढ़ाया जा सकता है, जिससे यह ऑरिफ्यूइलियन गुणनखंडन का एक उदाहरण बन जाता है।

सामान्यीकरण
जर्मेन की पहचान को कार्यात्मक समीकरण में सामान्यीकृत किया गया है $$ f(x)^2+4f(y)^2 = \bigl( f(x+y)+f(y) \bigr)\bigl(f(x-y)+f(y)\bigr), $$ जो सोफी जर्मेन की पहचान वर्ग फलन से संतुष्ट होती है।