अतिपरवलयिक क्षेत्र

एक अतिशयोक्तिपूर्ण क्षेत्र कार्टेशियन विमान का एक क्षेत्र (गणित) है जो एक अतिपरवलय से घिरा है और दो किरण (ज्यामिति) इसके मूल से है। उदाहरण के लिए, दो बिंदु $(a, 1/a)$ और $(b, 1/b)$ हाइपरबोला#आयताकार हाइपरबोला पर $xy = 1$, या संबंधित क्षेत्र जब इस हाइपरबोला को फिर से स्केल किया जाता है और इसकी ओरिएंटेशन (ज्यामिति) को एक रोटेशन (ज्यामिति) द्वारा बदल दिया जाता है, जो केंद्र को मूल पर छोड़ देता है, जैसा कि यूनिट हाइपरबोला # पैरामीट्रिजेशन के साथ होता है। मानक स्थिति में एक अतिशयोक्तिपूर्ण क्षेत्र है $a = 1$ और $b > 1$.

अतिशयोक्तिपूर्ण क्षेत्र अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के लिए आधार हैं।

क्षेत्र
मानक स्थिति में एक अतिशयोक्तिपूर्ण क्षेत्र का क्षेत्र b का प्राकृतिक लघुगणक है।

सबूत: 1/x के तहत 1 से b तक एकीकृत करें, त्रिकोण {(0, 0), (1, 0), (1, 1)} जोड़ें, और त्रिकोण घटाएं {(0, 0), (b, 0), (बी, 1/बी)}। जब मानक स्थिति में, एक अतिशयोक्तिपूर्ण क्षेत्र मूल पर एक सकारात्मक अतिशयोक्तिपूर्ण कोण से मेल खाता है, बाद के माप को पूर्व के क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया जाता है।

अतिशयोक्तिपूर्ण त्रिकोण
जब मानक स्थिति में, एक अतिपरवलयिक क्षेत्र एक अतिशयोक्तिपूर्ण त्रिभुज निर्धारित करता है, मूल पर एक शीर्ष (ज्यामिति) के साथ समकोण त्रिभुज, विकर्ण किरण y = x पर आधार, और अतिपरवलय पर तीसरा शीर्ष
 * $$xy=1,\,$$

हाइपरबोला पर कर्ण मूल से बिंदु (x, y) तक खंड होने के साथ। इस त्रिभुज के आधार की लम्बाई है
 * $$\sqrt 2 \cosh u,\,$$

और ऊंचाई (त्रिकोण) है
 * $$\sqrt 2 \sinh u,\,$$ जहाँ u उपयुक्त अतिपरवलयिक कोण है।

ऑगस्टस डी मॉर्गन ने अपनी त्रिकोणमिति और डबल बीजगणित (1849) में परिपत्र और अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के बीच समानता का वर्णन किया था। विलियम बर्नसाइड ने हाइपरबोला xy = 1 पर एक बिंदु से मुख्य विकर्ण पर प्रोजेक्ट करते हुए ऐसे त्रिकोणों का इस्तेमाल किया, अपने लेख में हाइपरबॉलिक फ़ंक्शंस के अतिरिक्त प्रमेय पर ध्यान दें।

अतिशयोक्तिपूर्ण लघुगणक


यह ज्ञात है कि f(x) = xp में हाइपरबोला के चतुर्भुज (गणित) के मामले p = -1 को छोड़कर एक बीजगणितीय प्रतिपक्षी है। अन्य मामले कैवलियरी के चतुर्भुज सूत्र द्वारा दिए गए हैं। जबकि परवलय का चतुर्भुज आर्किमिडीज द्वारा तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व (परबोला के चतुर्भुज में) द्वारा पूरा किया गया था, अतिशयोक्तिपूर्ण चतुर्भुज को 1647 में एक नए कार्य के आविष्कार की आवश्यकता थी: सेंट विंसेंट के ग्रेगरी ने घिरे क्षेत्रों की गणना की समस्या को संबोधित किया एक हाइपरबोला द्वारा। उनके निष्कर्षों ने प्राकृतिक लॉगरिदम फ़ंक्शन का नेतृत्व किया, जिसे एक बार 'हाइपरबॉलिक लॉगरिदम' कहा जाता है क्योंकि यह हाइपरबोला के तहत एकीकृत, या क्षेत्र को ढूंढकर प्राप्त किया जाता है। 1748 से पहले और अनंत के विश्लेषण का परिचय के प्रकाशन से पहले, प्राकृतिक लघुगणक एक अतिशयोक्तिपूर्ण क्षेत्र के क्षेत्र के रूप में जाना जाता था। लियोनहार्ड यूलर ने इसे बदल दिया जब उन्होंने 10 जैसे पारलौकिक कार्यों की शुरुआत की एक्स । यूलर ने ई (गणितीय स्थिरांक) की पहचान बी के मूल्य के रूप में क्षेत्र की एक इकाई (हाइपरबोला के तहत या मानक स्थिति में हाइपरबोलिक क्षेत्र में) के रूप में की है। तब प्राकृतिक लघुगणक को पारलौकिक कार्य ई के व्युत्क्रम कार्य के रूप में पहचाना जा सकता है एक्स ।

अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति
जब फेलिक्स क्लेन ने 1928 में गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति पर अपनी पुस्तक लिखी, तो उन्होंने प्रक्षेपी ज्यामिति के संदर्भ में इस विषय के लिए एक आधार प्रदान किया। एक रेखा पर अतिशयोक्तिपूर्ण उपाय स्थापित करने के लिए, उन्होंने कहा कि अतिशयोक्तिपूर्ण क्षेत्र का क्षेत्र अवधारणा का दृश्य चित्रण प्रदान करता है। हाइपरबोलिक सेक्टर भी हाइपरबोला के लिए तैयार किए जा सकते हैं $$y = \sqrt{1 + x^2}$$. ऐसे अतिशयोक्तिपूर्ण क्षेत्रों के क्षेत्र का उपयोग ज्यामिति पाठ्यपुस्तक में अतिशयोक्तिपूर्ण दूरी को परिभाषित करने के लिए किया गया है।

यह भी देखें

 * निचोड़ मानचित्रण

संदर्भ

 * Mellen W. Haskell (1895) On the introduction of the notion of hyperbolic functions Bulletin of the American Mathematical Society 1(6):155–9.