समकोण त्रिभुज

एक समकोण त्रिभुज (अमेरिकी अंग्रेजी) या समकोण त्रिभुज (ब्रिटिश अंग्रेजी), या अधिक औपचारिक रूप से एक ओर्थोगोनल त्रिभुज, जिसे पहले एक आयत त्रिभुज कहा जाता था (ὀρθόσγωνία), एक त्रिभुज है जिसमें एक कोण समकोण है (अर्थात, 90 डिग्री (कोण) कोण), यानी जिसमें दो बहुभुज भुजाएँ लंबवत हैं। समकोण त्रिभुज की भुजाओं और अन्य कोणों के बीच संबंध [[त्रिकोणमिति]] का आधार है।

समकोण की सम्मुख भुजा कर्ण कहलाती है (आकृति में भुजा c)। समकोण से सटे पक्षों को पैर (या कैथेटी, एकवचन: कैथेटस) कहा जाता है। साइड ए को कोण बी के आसन्न पक्ष के रूप में पहचाना जा सकता है और कोण ए के विपरीत (या विपरीत) पक्ष के रूप में पहचाना जा सकता है, जबकि साइड बी कोण ए के आसन्न पक्ष है और कोण बी के विरोध में है।

यदि एक समकोण त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाई पूर्णांक हैं, तो त्रिभुज को 'पाइथागोरस त्रिभुज' कहा जाता है और इसकी भुजाओं की लंबाई को सामूहिक रूप से पाइथागोरस के त्रिक के रूप में जाना जाता है।

क्षेत्र
जैसा कि किसी भी त्रिकोण के साथ होता है, क्षेत्रफल आधार के आधे गुणा के बराबर होता है। एक समकोण त्रिभुज में, यदि एक पैर को आधार के रूप में लिया जाता है तो दूसरा ऊँचाई है, इसलिए एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल दो पैरों के उत्पाद का आधा होता है। सूत्र के रूप में क्षेत्र T है
 * $$T=\tfrac{1}{2}ab$$

जहाँ a और b त्रिभुज की भुजाएँ हैं।

यदि किसी त्रिभुज के अंतःवृत्त और बहिर्वृत्त बिंदु P पर कर्ण AB को स्पर्श करते हैं, तो अर्ध-परिधि को निरूपित करते हैं (a + b + c) / 2 एस के रूप में, हमारे पास है  और, और क्षेत्र द्वारा दिया गया है
 * $$T=\text{PA} \cdot \text{PB} = (s-a)(s-b).$$

यह सूत्र केवल समकोण त्रिभुजों पर लागू होता है।

ऊंचाई
यदि शीर्ष से कर्ण के समकोण के साथ एक ऊँचाई (त्रिकोण) खींचा जाता है, तो त्रिभुज को दो छोटे त्रिभुजों में विभाजित किया जाता है, जो दोनों मूल के समानता (ज्यामिति) हैं और इसलिए एक दूसरे के समान हैं। इस से: समीकरणों में,
 * कर्ण की ऊँचाई कर्ण के दो खंडों का ज्यामितीय माध्य (अनुपात#यूक्लिड की परिभाषाएँ) है।
 * त्रिभुज का प्रत्येक पैर कर्ण का औसत आनुपातिक है और कर्ण का वह खंड जो पैर से सटा हुआ है।
 * $$\displaystyle f^2=de,$$ (इसे कभी-कभी समकोण त्रिभुज ऊँचाई प्रमेय के रूप में जाना जाता है)
 * $$\displaystyle b^2=ce,$$
 * $$\displaystyle a^2=cd$$

जहां ए, बी, सी, डी, ई, एफ आरेख में दिखाए गए हैं। इस प्रकार
 * $$f=\frac{ab}{c}.$$

इसके अलावा, कर्ण की ऊँचाई का सम्बन्ध समकोण त्रिभुज के पादों से होता है
 * $$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{f^2}.$$

ए, बी, एफ, और सी के पूर्णांक मानों में इस समीकरण के समाधान के लिए, देखें पूर्णांक त्रिकोण#पाइथागोरस त्रिकोण कर्ण से पूर्णांक ऊंचाई के साथ।

किसी भी पैर की ऊंचाई दूसरे पैर से मेल खाती है। चूँकि ये समकोण शीर्ष पर प्रतिच्छेद करते हैं, समकोण त्रिभुज का लंबकेन्द्र—इसकी तीन ऊँचाइयों का प्रतिच्छेदन—समकोण शीर्ष से मेल खाता है।

पायथागॉरियन प्रमेय


पाइथागोरस प्रमेय कहता है कि: "किसी भी समकोण त्रिभुज में, उस वर्ग (ज्यामिति) का क्षेत्रफल, जिसकी भुजा कर्ण (समकोण के विपरीत भुजा) है, उन वर्गों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है, जिनकी भुजाएँ दो पाद (दो भुजाएँ) हैं जो एक समकोण पर मिलते हैं)."

इसे समीकरण के रूप में कहा जा सकता है
 * $$\displaystyle a^2+b^2=c^2$$

जहाँ c कर्ण की लंबाई है, और a और b शेष दो भुजाओं की लंबाई हैं।

पायथागॉरियन ट्रिपल इस समीकरण को संतुष्ट करने वाले ए, बी, सी के पूर्णांक मान हैं

अंतर्त्रिज्या और परित्रिज्या
पैर a और b और कर्ण c वाले समकोण त्रिभुज के अंतःवृत्त की त्रिज्या है
 * $$r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{ab}{a+b+c}.$$

परिवृत्त की त्रिज्या कर्ण की आधी लंबाई है,
 * $$R = \frac{c}{2}.$$

इस प्रकार परिधि और अंतःत्रिज्या का योग पैरों के योग का आधा है:
 * $$R+r = \frac{a+b}{2}.$$

पैरों में से एक को अंतःत्रिज्या और दूसरे पैर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
 * $$\displaystyle a=\frac{2r(b-r)}{b-2r}.$$

लक्षण वर्णन
भुजाओं वाला एक त्रिभुज ABC $$a \le b < c$$, अर्धपरिधि s, क्षेत्रफल T, ऊँचाई (त्रिकोण) h सबसे लंबी भुजा के विपरीत, परिबद्ध वृत्त R, एक त्रिभुज का अंतःवृत्त और बहिर्वृत्त#त्रिभुज r के क्षेत्रफल से संबंध, त्रिभुज के अंतःवृत्त और बहिर्वृत्त#त्रिभुज r के क्षेत्रफल से संबंधa, आरb, आरc(क्रमशः ए, बी, सी के लिए स्पर्शरेखा), और मेडियन (ज्यामिति) एमa, एमb, एमcएक समकोण त्रिभुज है यदि और केवल यदि निम्नलिखित छह श्रेणियों में से कोई एक कथन सत्य है। वे सभी निश्चित रूप से एक समकोण त्रिभुज के गुण भी हैं, क्योंकि लक्षण वर्णन तुल्यताएँ हैं।

भुजाएँ और अर्धपरिधि

 * $$\displaystyle a^2+b^2=c^2\quad (\text{Pythagorean theorem})$$
 * $$\displaystyle (s-a)(s-b)=s(s-c)$$
 * $$\displaystyle s=2R+r.$$
 * $$\displaystyle a^2+b^2+c^2=8R^2.$$

कोण

 * A और B पूरक कोण हैं।
 * $$\displaystyle \cos{A}\cos{B}\cos{C}=0.$$
 * $$\displaystyle \sin^2{A}+\sin^2{B}+\sin^2{C}=2.$$ * $$\displaystyle \cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}=1.$$ * $$\displaystyle \sin{2A}=\sin{2B}=2\sin{A}\sin{B}.$$

क्षेत्र

 * $$\displaystyle T=\frac{ab}{2}$$
 * $$\displaystyle T=r_ar_b=rr_c$$
 * $$\displaystyle T=r(2R+r)$$
 * $$\displaystyle T=\frac{(2s-c)^2-c^2}{4}=s(s-c)$$
 * $$T=PA\cdot PB,$$ जहां P सबसे लंबी भुजा AB पर त्रिभुज के अंतःवृत्त और बाह्य वृत्तों का स्पर्श बिंदु है।

इनरेडियस और एक्सराडी

 * $$\displaystyle r=s-c=(a+b-c)/2$$
 * $$\displaystyle r_a=s-b=(a-b+c)/2$$
 * $$\displaystyle r_b=s-a=(-a+b+c)/2$$
 * $$\displaystyle r_c=s=(a+b+c)/2$$
 * $$\displaystyle r_a+r_b+r_c+r=a+b+c$$
 * $$\displaystyle r_a^2+r_b^2+r_c^2+r^2=a^2+b^2+c^2$$
 * $$\displaystyle r=\frac{r_ar_b}{r_c}.$$

ऊंचाई और मंझला

 * $$\displaystyle h=\frac{ab}{c}$$
 * $$\displaystyle m_a^2+m_b^2+m_c^2=6R^2.$$
 * एक माध्यिका (ज्यामिति) की लंबाई परिबद्ध वृत्त के बराबर होती है।
 * सबसे छोटा आल्टीट्यूड (त्रिकोण) (सबसे बड़े कोण वाले शीर्ष से एक) रेखा खंडों का ज्यामितीय माध्य है जो इसे विपरीत (सबसे लंबी) भुजा में विभाजित करता है। यह समकोण त्रिभुज ऊँचाई प्रमेय है।

परिक्रमा और अंतःवृत्त

 * त्रिकोण को एक अर्धवृत्त में अंकित किया जा सकता है, जिसमें एक तरफ व्यास (थेल्स प्रमेय) की संपूर्णता होती है।
 * परिबद्ध वृत्त सबसे लंबी भुजा का मध्यबिंदु है।
 * सबसे लंबी भुजा परिबद्ध वृत्त #त्रिकोणों के परिबद्ध वृत्तों का एक व्यास है $$\displaystyle (c=2R).$$
 * परिवृत्त नौ-बिंदु वाले वृत्त की स्पर्शरेखा है।
 * ऊंचाई (त्रिकोण)#ऑर्थोसेंटर परिवृत्त पर स्थित है। * त्रिभुज के अंतःवृत्त और बहिर्वृत्त और लम्बकेन्द्र के बीच की दूरी बराबर होती है $$\sqrt{2}r$$.

त्रिकोणमितीय अनुपात
तीव्र कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों को समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। किसी दिए गए कोण के लिए, इस कोण के साथ एक समकोण त्रिभुज का निर्माण किया जा सकता है, और उपरोक्त परिभाषाओं के अनुसार इस कोण के संदर्भ में भुजाओं को विपरीत, आसन्न और कर्ण के रूप में लेबल किया जा सकता है। भुजाओं के ये अनुपात चुने गए विशेष समकोण त्रिभुज पर निर्भर नहीं करते हैं, बल्कि केवल दिए गए कोण पर निर्भर करते हैं, क्योंकि इस तरह से निर्मित सभी त्रिभुज समरूप त्रिभुज हैं। यदि किसी दिए गए कोण α के लिए, विपरीत भुजा, आसन्न भुजा और कर्ण को क्रमशः O, A और H से लेबल किया जाता है, तो त्रिकोणमितीय फलन हैं
 * $$\sin\alpha =\frac {O}{H},\,\cos\alpha =\frac {A}{H},\,\tan\alpha =\frac {O}{A},\,\sec\alpha =\frac {H}{A},\,\cot\alpha =\frac {A}{O},\,\csc\alpha =\frac {H}{O}.$$

एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में अतिपरवलयिक कार्यों की अभिव्यक्ति के लिए, अतिपरवलयिक क्षेत्र#अतिशयोक्तिपूर्ण क्षेत्र का अतिपरवलयिक त्रिभुज देखें।

विशेष समकोण त्रिभुज
त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों का मूल्यांकन विशेष कोणों के साथ समकोण त्रिभुजों का उपयोग करके निश्चित कोणों के लिए किया जा सकता है। इनमें 30-60-90 त्रिभुज शामिल है जिसका उपयोग π/6 के किसी भी गुणक के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों का मूल्यांकन करने के लिए किया जा सकता है, और 45-45-90 त्रिभुज जिसका उपयोग π/4 के किसी भी गुणक के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों का मूल्यांकन करने के लिए किया जा सकता है।.

केप्लर त्रिभुज
एच, जी, और ए अनुकूल माध्य, ज्यामितीय माध्य, और दो सकारात्मक संख्याओं के अंकगणितीय माध्य a और b के साथ a> b होने दें। यदि एक समकोण त्रिभुज के पैर H और G हैं और कर्ण A है, तो
 * $$\frac{A}{H} = \frac{A^{2}}{G^{2}} = \frac{G^{2}}{H^{2}} = \phi \,$$

और
 * $$\frac{a}{b} = \phi^{3}, \, $$

कहाँ $$\phi$$ सुनहरा अनुपात है $$\tfrac{1+ \sqrt{5}}{2}. \,$$ चूँकि इस समकोण त्रिभुज की भुजाएँ ज्यामितीय प्रगति में हैं, यह केप्लर त्रिभुज है।

थेल्स प्रमेय
थेल्स के प्रमेय में कहा गया है कि यदि ए व्यास बीसी (स्वयं बी या सी को छोड़कर) वाले वृत्त का कोई बिंदु है तो एबीसी एक समकोण त्रिकोण है जहां ' 'ए' समकोण है। विलोम बताता है कि यदि एक समकोण त्रिभुज को एक वृत्त में अंकित किया जाता है तो कर्ण वृत्त का एक व्यास होगा। एक उपप्रमेय यह है कि कर्ण की लंबाई समकोण शीर्ष से कर्ण के मध्य बिंदु तक की दूरी से दोगुनी है। साथ ही, उस वृत्त का केंद्र जो एक समकोण त्रिभुज से परिबद्ध है, कर्ण का मध्य बिंदु है और इसकी त्रिज्या कर्ण की लंबाई का आधा है।

माध्य
निम्नलिखित सूत्र एक समकोण त्रिभुज की माध्यिका (ज्यामिति) के लिए मान्य हैं:
 * $$m_a^2 + m_b^2 = 5m_c^2 = \frac{5}{4}c^2.$$

समकोण त्रिभुज के कर्ण पर माध्यिका त्रिभुज को दो समद्विबाहु त्रिभुजों में विभाजित करती है, क्योंकि माध्यिका कर्ण के आधे के बराबर होती है।

माध्यिका एमa और एमb पैरों से संतुष्ट
 * $$4c^4+9a^2b^2=16m_a^2m_b^2.$$

यूलर लाइन
एक समकोण त्रिभुज में, यूलर रेखा में कर्ण पर माध्यिका होती है - अर्थात, यह समकोण वाले शीर्ष और उस शीर्ष के विपरीत भुजा के मध्य बिंदु दोनों से होकर जाती है। इसका कारण यह है कि समकोण त्रिभुज का लम्बकेन्द्र, इसकी ऊँचाइयों का प्रतिच्छेदन, समकोण शीर्ष पर पड़ता है, जबकि इसका परिकेन्द्र, इसके द्विभाजन#लम्ब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन, कर्ण के मध्यबिंदु पर पड़ता है।

असमानताएं
किसी भी समकोण त्रिभुज में अंतःवृत्त का व्यास कर्ण के आधे से कम होता है, और अधिक दृढ़ता से यह कर्ण के समय से कम या उसके बराबर होता है $$(\sqrt{2}-1).$$ पैर ए, बी और कर्ण सी के साथ एक समकोण त्रिभुज में,


 * $$c \geq \frac{\sqrt{2}}{2}(a+b)$$

केवल समद्विबाहु मामले में समानता के साथ। यदि कर्ण से ऊँचाई को h से निरूपित किया जाता हैc, तब


 * $$h_c \leq \frac{\sqrt {2}}{4}(a+b)$$

केवल समद्विबाहु मामले में समानता के साथ।

अन्य गुण
यदि शीर्ष C से निकलने वाली लंबाई p और q के खंड कर्ण को लंबाई c/3 के खंडों में विभाजित करते हैं, तो
 * $$p^2 + q^2 = 5\left(\frac{c}{3}\right)^2.$$

समकोण त्रिभुज एकमात्र त्रिभुज है जिसमें एक या तीन के बजाय दो अलग-अलग खुदे हुए वर्ग हैं। दिया हुआ h > k. मान लीजिए h और k कर्ण c वाले समकोण त्रिभुज में दो खुदे हुए वर्गों की भुजाएँ हैं। तब
 * $$\frac{1}{c^2} + \frac{1}{h^2} = \frac{1}{k^2}.$$

ये भुजाएँ और अंतःवृत्त त्रिज्या r एक समान सूत्र द्वारा संबंधित हैं:


 * $$\displaystyle \frac{1}{r}=-{\frac{1}{c}}+\frac{1}{h}+\frac{1}{k}.$$

समकोण त्रिभुज का परिमाप अंतःवृत्त की त्रिज्या के योग के बराबर होता है:


 * $$a+b+c=r+r_a+r_b+r_c.$$

यह भी देखें

 * तीव्र और अधिक त्रिकोण (तिरछा त्रिकोण)
 * थियोडोरस का सर्पिल

बाहरी कड़ियाँ

 * Calculator for right triangles
 * Advanced right triangle calculator