रेखा अवयव

ज्यामिति में, रेखा तत्व या लंबाई तत्व को अनौपचारिक रूप से एक मीट्रिक अंतरिक्ष में एक असीम विस्थापन वेक्टर से जुड़े रेखा खंड के रूप में माना जा सकता है। रेखा तत्व की लंबाई, जिसे विभेदक चाप लंबाई के रूप में माना जा सकता है, मीट्रिक टेंसर का एक कार्य है और इसे '' द्वारा निरूपित किया जाता है।$$ds$$.

रेखा तत्वों का उपयोग भौतिकी में किया जाता है, विशेष रूप से गुरुत्वाकर्षण के सिद्धांतों में (सबसे विशेष रूप से सामान्य सापेक्षता) जहां अंतरिक्ष समय को एक उपयुक्त मीट्रिक टेन्सर (सामान्य सापेक्षता) के साथ एक घुमावदार छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड के रूप में तैयार किया जाता है।

रेखा तत्व की परिभाषा और चाप लंबाई
एक एन-डायमेंशनल रीमैनियन कई गुना या छद्म रीमैनियन कई गुना (भौतिकी में आमतौर पर एक स्पेसटाइम मैनिफोल्ड) में रेखा तत्व डीएस के वर्ग की समन्वय-स्वतंत्र परिभाषा एक अपरिमेय विस्थापन की लंबाई का वर्ग है। $$d\mathbf{q}$$ (स्यूडो रीमैनियन मैनिफोल्ड्स में संभवतः नकारात्मक) जिसका वर्गमूल वक्र लंबाई की गणना के लिए इस्तेमाल किया जाना चाहिए: $$ ds^2 = d\mathbf{q}\cdot d\mathbf{q} = g(d\mathbf{q},d\mathbf{q})$$ जहाँ g मेट्रिक टेन्सर है, '·' आंतरिक उत्पाद को दर्शाता है, और d'q' (छद्म) रीमैनियन मैनिफोल्ड पर एक अतिसूक्ष्म विस्थापन (वेक्टर) है। वक्र को पैरामीट्रिज करके $$q(\lambda)$$, हम बीच वक्र की वक्र लंबाई की चाप लंबाई को परिभाषित कर सकते हैं $$q(\lambda_1)$$, तथा $$q(\lambda_2)$$ अभिन्न के रूप में:
 * $$ s = \int_{\lambda_1}^{\lambda_2} d\lambda \sqrt{ \left|ds^2\right|} = \int_{\lambda_1}^{\lambda_2} d\lambda \sqrt{ \left|g\left(\frac{dq}{d\lambda},\frac{dq}{d\lambda}\right)\right|} = \int_{\lambda_1}^{\lambda_2} d\lambda \sqrt{ \left|g_{ij}\frac{dq^i}{d\lambda}\frac{dq^j}{d\lambda}\right|} $$

छद्म रीमैनियन मैनिफोल्ड्स में घटता की एक समझदार लंबाई की गणना करने के लिए, यह मान लेना सबसे अच्छा है कि असीम विस्थापन का हर जगह एक ही संकेत है। उदा. भौतिकी में एक समयरेखा वक्र के साथ एक रेखा तत्व का वर्ग (में $$-+++$$ सिग्नेचर कन्वेंशन) ऋणात्मक हो और वक्र के साथ रेखा तत्व के वर्ग का ऋणात्मक वर्गमूल वक्र के साथ चलने वाले पर्यवेक्षक के लिए उचित समय को मापेगा। इस दृष्टि से मैट्रिक रेखा तत्व के अतिरिक्त सतह (टोपोलॉजी) तथा आयतन तत्व आदि को भी परिभाषित करता है।

मीट्रिक टेंसर के साथ लाइन तत्व के वर्ग की पहचान
तब से $$d\mathbf{q}$$ चाप की लंबाई का मनमाना वर्ग है $$ds^2$$ पूरी तरह से मीट्रिक को परिभाषित करता है, इसलिए आमतौर पर इसके लिए अभिव्यक्ति पर विचार करना सबसे अच्छा होता है $$ds^2$$ मीट्रिक टेन्सर की परिभाषा के रूप में, एक विचारोत्तेजक लेकिन गैर-टेंसोरियल नोटेशन में लिखा गया है:
 * $$ds^2 = g$$ चाप लंबाई के वर्ग की यह पहचान $$ds^2$$ मीट्रिक के साथ एन-आयामी सामान्य घुमावदार निर्देशांक में देखना और भी आसान है q = (q1, q2, q3, ..., qn), जहां इसे सममित रैंक 2 टेंसर के रूप में लिखा गया है मीट्रिक टेंसर के साथ मेल खाता है:


 * $$ ds^2= g_{ij}dq^i dq^j = g $$.

यहाँ घुंघराले पथरी i और j मान 1, 2, 3, ..., n लेते हैं और आइंस्टीन योग सम्मेलन का उपयोग किया जाता है। (छद्म) रीमानियन रिक्त स्थान के सामान्य उदाहरणों में त्रि-आयामी स्थान (समय निर्देशांकों का कोई समावेश नहीं), और वास्तव में चार-आयामी अंतरिक्ष-समय शामिल हैं।

यूक्लिडियन अंतरिक्ष में रेखा तत्व
निम्नलिखित उदाहरण हैं कि मीट्रिक से रेखा तत्व कैसे पाए जाते हैं।

कार्तीय निर्देशांक
सबसे सरल रेखा तत्व कार्टेशियन निर्देशांक में है - इस मामले में मीट्रिक केवल क्रोनकर डेल्टा है:


 * $$g_{ij} = \delta_{ij}$$

(यहाँ i, j = 1, 2, 3 अंतरिक्ष के लिए) या मैट्रिक्स (गणित) रूप में (i पंक्ति को दर्शाता है, j स्तंभ को दर्शाता है):


 * $$[g_{ij}] = \begin{pmatrix}

1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ सामान्य घुमावदार निर्देशांक कार्टेशियन निर्देशांक को कम करते हैं:


 * $$(q^1,q^2,q^3) = (x, y, z)\,\Rightarrow\,d\mathbf{r}=(dx,dy,dz)$$

इसलिए


 * $$ ds^2 = g_{ij}dq^idq^j = dx^2 +dy^2 +dz^2 $$

लम्बवत वक्रीय निर्देशांक
सभी ओर्थोगोनल निर्देशांकों के लिए मीट्रिक द्वारा दिया जाता है:
 * $$[g_{ij}] = \begin{pmatrix}

h_1^2 & 0 & 0\\ 0 & h_2^2 & 0\\ 0 & 0 & h_3^2 \end{pmatrix}$$ कहाँ पे


 * $$h_i = \left|\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q^i}\right|$$

i = 1, 2, 3 वक्रीय निर्देशांक हैं#3ds में ऑर्थोगोनल वक्ररेखीय निर्देशांक हैं, इसलिए रेखा तत्व का वर्ग है:


 * $$ds^2 = h_1^2(dq^1)^2 + h_2^2(dq^2)^2 + h_3^2(dq^3)^2 $$

इन निर्देशांकों में रेखा तत्वों के कुछ उदाहरण नीचे हैं।
 * {| class="wikitable"

! Coordinate system ! (q1, q2, q3) ! Metric ! Line element 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$$ 1 & 0 \\ 0 & r^2 \\ \end{pmatrix}$$ 1 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & r^2\sin^2\theta \\ \end{pmatrix}$$ 1 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$$
 * Cartesian
 * (x, y, z)
 * $$[g_{ij}] = \begin{pmatrix}
 * $$[g_{ij}] = \begin{pmatrix}
 * $$ ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 $$
 * Plane polars
 * (r, θ)
 * $$[g_{ij}] = \begin{pmatrix}
 * $$[g_{ij}] = \begin{pmatrix}
 * $$ ds^2= dr^2 +r^2 d \theta\ ^2$$
 * Spherical polars
 * (r, θ, φ)
 * $$[g_{ij}] = \begin{pmatrix}
 * $$[g_{ij}] = \begin{pmatrix}
 * $$ ds^2=dr^2+r^2 d \theta\ ^2+ r^2 \sin^2 \theta\ d \phi\ ^2 $$
 * Cylindrical polars
 * (r, θ, z)
 * $$[g_{ij}] = \begin{pmatrix}
 * $$[g_{ij}] = \begin{pmatrix}
 * $$ ds^2=dr^2+ r^2 d \theta\ ^2 +dz^2 $$
 * }
 * }

सामान्य वक्रीय निर्देशांक
आयाम के एक स्थान के मनमाना आधार को देखते हुए $$ n, \{\hat{b}_{i}\}$$, मीट्रिक को आधार वैक्टर के आंतरिक उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है।

$$g_{ij}=\langle\hat{b}_{i},\hat{b}_{j}\rangle$$ कहाँ पे $$1\leq i,j\leq n$$ और आंतरिक उत्पाद परिवेश स्थान के संबंध में है (आमतौर पर इसका $$\delta_{ij}$$)

एक समन्वय के आधार पर $$\hat{b}_{i}=\frac{\partial}{\partial x^{i}}$$ समन्वय आधार एक विशेष प्रकार का आधार है जो अंतर ज्यामिति में नियमित रूप से उपयोग किया जाता है।

4d स्पेसटाइम
में रेखा तत्व

मिंकोव्स्की अंतरिक्ष-समय
मिन्कोव्स्की मीट्रिक है:
 * $$[g_{ij}] = \pm \begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{pmatrix}$$ जहां एक चिह्न या दूसरे को चुना जाता है, वहां दोनों परिपाटियों का उपयोग किया जाता है। यह केवल फ्लैट स्पेसटाइम के लिए लागू होता है। निर्देशांक 4-स्थिति द्वारा दिए गए हैं:


 * $$\mathbf{x} = (x^0,x^1,x^2,x^3) = (ct,\mathbf{r}) \,\Rightarrow\, d\mathbf{x} = (cdt,d\mathbf{r})$$

तो रेखा तत्व है:


 * $$ds^2 = \pm (c^2dt^2 - d\mathbf{r}\cdot d\mathbf{r}) .$$

श्वार्ज़चाइल्ड निर्देशांक
श्वार्ज़स्चिल्ड में निर्देशांक निर्देशांक हैं $$ \left(t, r, \theta, \phi \right)$$, फ़ॉर्म की सामान्य मीट्रिक होने के नाते:


 * $$[g_{ij}] = \begin{pmatrix}

-a(r)^2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b(r)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r^2 \sin^2\theta \\ \end{pmatrix}$$ (3डी गोलाकार ध्रुवीय निर्देशांक में मीट्रिक के साथ समानता पर ध्यान दें)।

तो रेखा तत्व है:


 * $$ds^2 = -a(r)^2 \, dt^2 + b(r)^2 \, dr^2 + r^2 \, d\theta^2 + r^2 \sin^2\theta \, d\phi^2 .$$

सामान्य स्पेसटाइम
स्पेसटाइम # स्पेसटाइम अंतराल में लाइन तत्व ds के वर्ग की समन्वय-स्वतंत्र परिभाषा है:
 * $$ ds^2 = d\mathbf{x}\cdot d\mathbf{x} = g(d\mathbf{x},d\mathbf{x}) $$ निर्देशांक के संदर्भ में:


 * $$ ds^2= g_{\alpha\beta}dx^\alpha dx^\beta $$

जहां इस मामले के लिए इंडेक्स α और β स्पेसटाइम के लिए 0, 1, 2, 3 पर चलते हैं।

यह स्पेसटाइम अंतराल है - स्पेसटाइम में दो मनमाने ढंग से करीबी घटना (सापेक्षता) के बीच अलगाव का माप। विशेष सापेक्षता में यह लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय है। सामान्य सापेक्षता में यह स्वेच्छिक प्रतिलोम फलन अवकलनीय फलन निर्देशांक रूपांतरणों के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है।

यह भी देखें

 * सहप्रसरण और सदिशों का प्रतिप्रसरण
 * पहला मौलिक रूप
 * एकीकरण की सूची और सिद्धांत विषयों को मापें
 * मीट्रिक टेंसर
 * रिक्की कैलकुलस
 * बढ़ते और घटते सूचकांक

संदर्भ
दा: लिनजीलेमेंट डी: लिनिएलेमेंट