अतिसूक्ष्म निस्यंदक समुच्चय

समुच्चय सिद्धांत के गणितीय क्षेत्र में, समुच्चय $$X$$ पर अतिसूक्ष्म निस्यंदक (गणित) समुच्चय $$X$$ पर अधिकतम निस्यंदक है। दूसरे शब्दों में, यह $$X$$ के उपसमुच्चय का संग्रह है जो $$X$$ पर निस्यंदक (समुच्चय सिद्धांत) की परिभाषा को संतुष्ट करता है और यह समावेशन के संबंध में अधिकतम है, इस अर्थ में कि $$X$$ के उपसमुच्चय का दृढ़ता से बड़ा संग्रह स्थित नहीं है है जो कि निस्यंदक भी है। (उपर्युक्त में, परिभाषा के अनुसार किसी समुच्चय पर निस्यंदक में रिक्त समुच्चय नहीं होता है।) समान रूप से, समुच्चय $$X$$ पर एक अतिसूक्ष्म निस्यंदक को 𝑋 पर एक निस्यंदक के रूप में भी चित्रित किया जा सकता है, इस गुण के साथ कि 𝑋 के प्रत्येक उपसमुच्चय 𝐴 के लिए या तो 𝐴 या उसके पूरक $$X\setminus A$$ अतिसूक्ष्म निस्यंदक से संबंधित है।

समुच्चय पर आंशिक रूप से क्रमित किए गए रूप से क्रमित किए गए समुच्चय पर अल्ट्रा निस्यन्दक का एक महत्वपूर्ण विशेष उदाहरण है, जहां आंशिक रूप से क्रमित किए गए समुच्चय में घात समुच्चय $$\wp(X)$$ होता है और आंशिक क्रम उपसमुच्चय समावेशन $$\,\subseteq$$ होता है। यह आलेख विशेष रूप से समुच्चय पर अतिसूक्ष्म निस्यंदक से संबंधित है और अधिक सामान्य धारणा को कवर नहीं करता है।

समुच्चय पर दो प्रकार के अतिसूक्ष्म निस्यंदक होते हैं। $$X$$ पर प्रमुख अतिसूक्ष्म निस्यंदक $$X$$ के सभी उपसमुच्चय का संग्रह है जिसमें निश्चित अवयव $$x \in X$$ होता है। जो अतिसूक्ष्म निस्यंदक प्रमुख नहीं हैं वह मुक्त अतिसूक्ष्म निस्यंदक हैं। किसी भी अनंत समुच्चय पर मुक्त अतिसूक्ष्म निस्यंदक का अस्तित्व अतिसूक्ष्म निस्यंदक लेम्मा द्वारा निहित है, जिसे जेडएफसी में सिद्ध किया जा सकता है। दूसरी ओर, ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत के मॉडल स्थित हैं जहां समुच्चय पर प्रत्येक अतिसूक्ष्म निस्यंदक प्रमुख है।

समुच्चय सिद्धांत, मॉडल सिद्धांत और टोपोलॉजी में अतिसूक्ष्म निस्यंदक के अनेक अनुप्रयोग हैं। सामान्यतः, एक मात्र मुक्त अतिसूक्ष्म निस्यंदक ही गैर-तुच्छ निर्माणों की ओर ले जाते हैं। उदाहरण के लिए, अल्ट्रा गुणन मॉड्यूलो सापेक्ष प्रमुख अतिसूक्ष्म निस्यंदक सदैव कारकों में से के लिए समरूपी होता है, जबकि अल्ट्रा गुणन मॉड्यूलो सापेक्ष मुक्त अतिसूक्ष्म निस्यंदक में सामान्यतः अधिक जटिल संरचनाएं होती हैं।

परिभाषाएँ
एक यादृच्छिक समुच्चय $$X$$ को देखते हुए, $$X$$ पर अतिसूक्ष्म निस्यंदक $$X$$ के उपसमुच्चयों का गैर-रिक्त समुच्चय $$U$$ है $$X$$ जैसे कि: गुण (1), (2), और (3)$$X$$ पर निस्यंदक के परिभाषित गुण हैं। कुछ लेखक निस्यंदक की अपनी परिभाषा में गैर-अपक्षय (जो उपरोक्त गुण (1) है) को सम्मिलित नहीं करते हैं। चूंकि, अतिसूक्ष्म निस्यंदक (और पूर्व निस्यंदक और निस्यंदक उप आधार की भी) की परिभाषा में सदैव परिभाषित स्थिति के रूप में गैर-अपभ्रष्टता सम्मिलित होती है। इस आलेख के लिए आवश्यक है कि सभी निस्यंदक उचित हों, चूंकि निस्यंदक को बल देने के लिए उचित बताया जा सकता है।
 * 1) या : रिक्त समुच्चय $$U$$ का एक अवयव नहीं है।
 * 2) में ऊपर की ओर संवृत: यदि $$A \in U$$ और यदि $$B \subseteq X$$ के उपसमुच्चयों में से $$A$$ का कोई अधिसमुच्चय है (अर्थात्, यदि $$A \subseteq B \subseteq X$$) तो $$B \in U$$।
 * यदि $$A$$ और $$B$$, $$U$$ के अवयव हैं तो उनका प्रतिच्छेदन$$A \cap B$$ भी है।
 * 1) यदि $$A \subseteq X$$ है तो $$A$$ या उसका पूरक $$X \setminus A$$, $$U$$ का एक अवयव है।

निस्यंदक आधार समुच्चयों का गैर-रिक्त समुच्चय है जिसमें परिमित प्रतिच्छेदन गुण होता है (अर्थात सभी परिमित प्रतिच्छेदन गैर-रिक्त होते हैं)। समान रूप से, एक निस्यंदक सबआधार समुच्चय का एक गैर-रिक्त वर्ग है जो कुछ (उचित) निस्यंदक में समाहित होता है। कहा जाता है कि किसी दिए गए निस्यंदक सबआधार वाला सबसे छोटा (⊆ के सापेक्ष) निस्यंदक निस्यंदक सबआधार द्वारा उत्पन्न होता है।

समुच्चय $$P$$ के एक वर्ग के X में ऊपर की ओर संवृत होना समुच्चय
 * $$P^{\uparrow X} := \{S : A \subseteq S \subseteq X \text{ for some } A \in P\}$$ है।

एक या गैर-रिक्त और उचित है (अर्थात् $$\varnothing \not\in P$$) समुच्चय $$P$$ वर्ग का समुच्चय नीचे की ओर निर्देशित है, जिसका अर्थ $$B, C \in P$$ है यदि फिर जहाँ कुछ $$A \in P$$ है जैसे कि $$A \subseteq B \cap C$$। समान रूप से, पूर्व निस्यंदक समुच्चय $$P$$ का कोई भी वर्ग होता है जिसका ऊपर की ओर संवृत होने वाला $$P^{\uparrow X}$$एक निस्यंदक होता है, इस स्थिति में इस निस्यंदक को P द्वारा उत्पन्न निस्यंदक कहा जाता है और P को $$P^{\uparrow X}$$ के लिए निस्यंदक आधार कहा जाता है।

समुच्चय $$P$$ के समुच्चय का $$X \setminus P := \{X \setminus B : B \in P\}$$ समुच्चय है। उदाहरण के लिए, घात समुच्चय $$\wp(X)$$ का द्वैत स्वयं है: $$X \setminus \wp(X) = \wp(X).$$ समुच्चयों का एक वर्ग $$X$$ पर एक उचित निस्यंदक है यदि और मात्र यदि इसका द्वैत $$X$$ पर एक उचित आदर्श (समुच्चय सिद्धांत) है ("उचित" का अर्थ घात समुच्चय के बराबर नहीं है)।

अल्ट्रा पूर्व निस्यंदक का सामान्यीकरण
$$X$$ के उपसमुच्चय के एक वर्ग $$U \neq \varnothing$$ को अल्ट्रा कहा जाता है यदि $$\varnothing \not\in U$$ और निम्नलिखित समकक्ष प्रतिबन्धों में से कोई भी संतुष्ट हो:

 प्रत्येक समुच्चय $$S \subseteq X$$ के लिए जहाँ कुछ समुच्चय $$B \in U$$ स्थित है जैसे कि $$B \subseteq S$$ या $$B \subseteq X \setminus S$$ (या समतुल्य, जैसे कि $$B \cap S$$ $$B$$ या $$\varnothing$$ के सामान्तर होती है)। प्रत्येक समुच्चय $$S \subseteq {\textstyle\bigcup\limits_{B \in U}} B$$ के लिए जहाँ कुछ समुच्चय $$B \in U$$ स्थित है जैसे कि $$B \cap S$$ $$B$$ या $$\varnothing.$$ के सामान्तर होती है।  


 * यहाँ, $$ {\textstyle\bigcup\limits_{B \in U}} B$$ को सभी समुच्चयों $$U$$ के मिलन के रूप में परिभाषित किया गया है ।

3. प्रत्येक समुच्चय $$S$$ के लिए ( आवश्यक नहीं कि इसका उपसमुच्चय $$X$$ भी हो ) कुछ समुच्चय $$B \in U$$ स्थित है जैसे कि $$B \cap S$$, $$B$$ या $$\varnothing$$ के सामान्तर होती है।
 * $$U$$ अल्ट्रा है का यह लक्षण वर्णन समुच्चय $$X$$ पर निर्भर नहीं करता है, इसलिए "अति" शब्द का उपयोग करते समय समुच्चय $$X$$ का उल्लेख करना वैकल्पिक है।


 * यदि $$U$$ इस प्रतिबन्ध को पूर्ण करता है तो प्रत्येक सुपरसेट $$V \supseteq U$$ भी ऐसा ही करता है। विशेष रूप से, समुच्चय $$V$$ अल्ट्रा है यदि और मात्र यदि $$\varnothing \not\in V$$ और $$V$$ उपसमुच्चय के रूप में समुच्चय के कुछ अल्ट्रा समुच्चय सम्मिलित हैं।

एक निस्यंदक उप आधार जो अल्ट्रा है, आवश्यक रूप से एक पूर्व निस्यंदक है।

अल्ट्रा गुण का उपयोग अब अतिसूक्ष्म निस्यंदक और अल्ट्रा पूर्व निस्यंदक दोनों को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है:


 * एक पूर्व निस्यंदक है जो अल्ट्रा है। समान रूप से, यह निस्यंदक उप आधार है जो अल्ट्रा है।


 * पर $$X$$(उचित) निस्यंदक $$X$$ पर है जो अल्ट्रा है। समान रूप से, यह कोई भी निस्यंदक $$X$$ पर है जो अल्ट्रा पूर्व निस्यंदक द्वारा उत्पन्न होता है।

अधिकतम पूर्व निस्यंदक के रूप में अल्ट्रा पूर्व निस्यंदक
अल्ट्रा पूर्व निस्यंदक को अधिकतमता के संदर्भ में चिह्नित करने के लिए, निम्नलिखित संबंध की आवश्यकता है।


 * समुच्चय $$M$$ और $$N,$$ के दो परिवारों को देखते हुए, परिवार $$M$$ को $$N,$$ की तुलना में मोटा कहा जाता है, और $$N$$, $$M$$ से उत्तम और अधीनस्थ है, जिसे $$M \leq N$$ या $N ⊢ M$ लिखा जाता है, यदि प्रत्येक $$C \in M,$$ के लिए कुछ $$F \in N$$ ऐसा है जैसे कि $$F \subseteq C$$ । समुच्चय $$M$$ और $$N$$ समतुल्य कहलाते हैं यदि $$M \leq N$$ और $$N \leq M$$। समुच्चय $$M$$ और $$N$$ तुलनीय हैं यदि इनमें से समुच्चय दूसरे की तुलना में उत्तम है।

अधीनता संबंध, अर्थात $$\,\geq,\,$$पूर्व-क्रम है इसलिए समतुल्य की उपरोक्त परिभाषा समतुल्य संबंध बनाती है।

यदि $$M \subseteq N$$ है तो $$M \leq N$$ किन्तु इसका विपरीत सामान्य रूप से मान्य नहीं है।

चूंकि, यदि $$N$$ ऊपर की ओर संवृत है, जैसे कि निस्यंदक, तो $$M \leq N$$ यदि और मात्र यदि $$M \subseteq N$$। प्रत्येक पूर्व निस्यंदक उस निस्यंदक के सामान्तर होता है जो वह उत्पन्न करता है। इससे पता चलता है कि निस्यंदक का उन समुच्चयों के समतुल्य होना संभव है जो निस्यंदक नहीं हैं।

यदि समुच्चय के दो समुच्चय $$M$$ और $$N$$ दोनों में से कोई सामान्तर है $$M$$ और $$N$$ अल्ट्रा (सम्मानित पूर्व निस्यंदक, निस्यंदक उप आधार) हैं या अन्यथा उनमें से कोई भी अल्ट्रा (सम्मानित पूर्व निस्यंदक, निस्यंदक उप आधार) नहीं है। विशेष रूप से, यदि निस्यंदक उप आधार पूर्व निस्यंदक भी नहीं है, तो यह है उसके द्वारा उत्पन्न निस्यंदक या पूर्व निस्यंदक के समतुल्य। यदि $$M$$ और $$N$$ दोनों निस्यंदक $$X$$ पर हैं तो $$M$$ और $$N$$ समतुल्य हैं यदि और मात्र यदि $$M = N$$। यदि उचित निस्यंदक (सम्मानित अतिसूक्ष्म निस्यंदक) समुच्चय के समुच्चय $$M$$ के सामान्तर है तो $$M$$ आवश्यक रूप से पूर्व निस्यंदक (सम्मानित अल्ट्रा पूर्व निस्यंदक) है।

निम्नलिखित लक्षण वर्णन का उपयोग करते हुए, मात्र निस्यंदक (सम्मान अति निस्यंदक) और अधीनता की अवधारणा का उपयोग करके पूर्व निस्यंदक (सम्मान अल्ट्रा पूर्व निस्यंदक) को परिभाषित करना संभव है:


 * समुच्चय का एक यादृच्छिका समुच्चय पूर्व निस्यंदक है यदि और मात्र यह (उचित) निस्यंदक के सामान्तर है।
 * समुच्चय का एक यादृच्छिका समुच्चय अल्ट्रा पूर्व निस्यंदक है यदि और मात्र यह अतिसूक्ष्म निस्यंदक के सामान्तर है।


 * एक $$X$$ पर पूर्व निस्यंदक $$U \subseteq \wp(X)$$ है, जो निम्नलिखित में से किसी भी समतुल्य प्रतिबन्ध को पूर्ण करता हो:

$$U$$ के ठीक से अधीनस्थ कोई पूर्व निस्यंदक नहीं है। यदि $$X$$ पर (उचित) निस्यंदक $$F$$, $$U \leq F$$ को संतुष्ट करता है तो $$F \leq U$$। $$U$$ द्वारा उत्पन्न $$X$$ पर निस्यंदक अल्ट्रा है। 

विशेषताएँ
रिक्त समुच्चय पर कोई अतिसूक्ष्म निस्यंदक नहीं हैं, इसलिए अब से यह माना जाएगा कि $$X$$ गैर-रिक्त है।

निस्यंदक उपआधार $$U$$, $$X$$ पर अतिसूक्ष्म निस्यंदक $$X$$ है यदि और मात्र यदि निम्नलिखित समकक्ष प्रतिबंधों में से कोई भी क्रियान्वित हो:  किसी $$S \subseteq X$$ के लिए, $$S \in U$$ या $$X \setminus S \in U$$ दोनों में से।</li> $$U$$, $$X$$ पर एक अधिकतम निस्यंदक उपआधार है, जिसका अर्थ है कि यदि F, X पर कोई निस्यंदक उपआधार है तो $$U \subseteq F$$ का तात्पर्य $$U = FX$$ है। </li> </ol>

$$X$$ पर (उचित) निस्यंदक $$U$$, $$X$$ पर अतिसूक्ष्म निस्यंदक है यदि और मात्र यदि निम्नलिखित समकक्ष प्रतिबंधों में से कोई भी क्रियान्वित हो:  1. $$U$$ अल्ट्रा है; किसी भी उपसमुच्चय $$S \subseteq X,$$ $$S \in U$$ या $$X \setminus S \in U$$ के लिए। प्रत्येक उपसमुच्चय $$A \subseteq X$$ के लिए, $$U$$ या ($$X \setminus A$$) दोनों में $$A$$ है।</li> $$U \cup (X \setminus U) = \wp(X).$$ इस स्थिति को इस प्रकार दोहराया जा सकता है: $$\wp(X)$$, $$U$$ द्वारा विभाजित किया गया है और यह $$X \setminus XU$$ के द्वैत है । $$\wp(X) \setminus U = \left\{ S \in \wp(X) : S \not\in U \right\}$$ पर $$FX$$ आदर्श है X (जहाँ $$n \geq 1$$) के उपसमुच्चय के किसी परिमित परिवार $$S_1, \ldots, S_n$$ के लिए, यदि $$S_1 \cup \cdots \cup S_n \in U$$ है तो कुछ सूचकांक i के लिए $$S_i \in U$$ है। किसी $$R, S \subseteq X$$ के लिए, यदि $$R \cup S = X$$ तो $$R \in U$$ या $$S \in U.$$</li> किसी $$R, S \subseteq X$$ के लिए, यदि $$R \cup S \in U$$ तो $$R \in U$$ या $$S \in U$$ (इस गुण वाले निस्यंदक को कहा जाता है)।</li> किसी के लिए $$R, S \subseteq X,$$ यदि $$R \cup S \in U$$ और $$R \cap S = \varnothing$$ तो $$R \in U$$ या $$S \in U$$।</li> $$U$$ अधिकतम निस्यंदक है; अर्थात, यदि $$F$$ निस्यंदक $$X$$ पर है, जैसे कि $$U \subseteq F$$ तो $$U = FX$$। समान रूप से, U एक अधिकतम निस्यंदक है यदि X पर कोई निस्यंदक F नहीं है जिसमें U एक उचित उपसमुच्चय के रूप में सम्मिलित है (अर्थात, कोई भी निस्यंदक U से निश्चित ठीक नहीं है)।
 * तब अतिसूक्ष्म निस्यंदक $$U$$ प्रत्येक $$S \subseteq X$$ के लिए निर्णय लेता है चाहे $$S$$ बड़ा है (अर्थात् $$S \in U$$) या छोटा (अर्थात्) $$X \setminus S \in U$$) है। </li>
 * समुच्चय $$P$$ और $$X \setminus P$$ सभी पूर्व निस्यंदक $$P$$ के लिए $$X$$ पर असंयुक्त हैं ।
 * शब्दों में, बड़ा समुच्चय समुच्चयों का सीमित संघ नहीं हो सकता, जिनमें से कोई भी बड़ा नहीं है। </li>

ग्रिल्स और निस्यंदक-ग्रिल्स
यदि $$\mathcal{B} \subseteq \wp(X)$$ है तो X पर इसकी ग्रिल वर्ग $$\mathcal{B}^{\# X} := \{S \subseteq X ~:~ S \cap B \neq \varnothing \text{ for all } B \in \mathcal{B}\}$$ है, जहाँ $$\mathcal{B}^{\#}$$ लिखा जा सकता है यदि $$X$$ सन्दर्भ से स्पष्ट है। उदाहरण के लिए, $$\varnothing^{\#} = \wp(X)$$ और यदि $$\varnothing \in \mathcal{B}$$ तो $$\mathcal{B}^{\#} = \varnothing.$$ यदि $$\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}$$ तो $$\mathcal{B}^{\#} \subseteq \mathcal{A}^{\#}$$ और इसके अतिरिक्त, यदि $$\mathcal{B}$$ तो निस्यंदक उप आधार है $$\mathcal{B} \subseteq \mathcal{B}^{\#}.$$ग्रिल $$\mathcal{B}^{\# X}$$ ऊपर की ओर संवृत है $$X$$ यदि और मात्र यदि $$\varnothing \not\in \mathcal{B},$$ जो अब से मान लिया जाएगा। इसके अतिरिक्त, $$\mathcal{B}^{\#\#} = \mathcal{B}^{\uparrow X}$$ जिससे $$\mathcal{B}$$ ऊपर की ओर संवृत है $$X$$ यदि और मात्र यदि $$\mathcal{B}^{\#\#} = \mathcal{B}.$$ निस्यंदक की ग्रिल पर $$X$$ 𝐴 कहा जाता है किसी के लिए $$\varnothing \neq \mathcal{B} \subseteq \wp(X),$$ $$\mathcal{B}$$ निस्यंदक-ग्रिल पर है $$X$$ यदि और मात्र यदि (1) $$\mathcal{B}$$ ऊपर की ओर संवृत है $$X$$ और (2) सभी समुच्चयों के लिए $$R$$ और $$S,$$ यदि $$R \cup S \in \mathcal{B}$$ तो $$R \in \mathcal{B}$$ या $$S \in \mathcal{B}.$$ ग्रिल ऑपरेशन $$\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^{\# X}$$ आपत्ति उत्पन्न करता है
 * $${\bull}^{\# X} ~:~ \operatorname{Filters}(X) \to \operatorname{FilterGrills}(X)$$

जिसका व्युत्क्रम भी दिया गया है $$\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^{\# X}.$$ यदि $$\mathcal{F} \in \operatorname{Filters}(X)$$ तो $$\mathcal{F}$$ निस्यंदक-ग्रिल पर है $$X$$ यदि और मात्र यदि $$\mathcal{F} = \mathcal{F}^{\# X},$$ या समकक्ष, यदि और मात्र यदि $$\mathcal{F}$$अतिसूक्ष्म निस्यंदक पर है $$X.$$ यानि कि निस्यंदक ऑन $$X$$ निस्यंदक-ग्रिल है यदि और मात्र यदि यह अल्ट्रा है। किसी भी गैर-रिक्त के लिए $$\mathcal{F} \subseteq \wp(X),$$ $$\mathcal{F}$$ दोनों निस्यंदक पर है $$X$$ और निस्यंदक-ग्रिल पर $$X$$ यदि और मात्र यदि (1) $$\varnothing \not\in \mathcal{F}$$ और (2) सभी के लिए $$R, S \subseteq X,$$ निम्नलिखित समतुल्यताएँ धारण करती हैं:
 * $$R \cup S \in \mathcal{F}$$ यदि और मात्र यदि $$R, S \in \mathcal{F}$$ यदि और मात्र यदि $$R \cap S \in \mathcal{F}.$$

निःशुल्क या मूलधन
यदि $$P$$ समुच्चय का कोई भी गैर-रिक्त समुच्चय है तो कर्नेल (समुच्चय सिद्धांत)। $$P$$सभी समुच्चयों का प्रतिच्छेदन है $$P:$$ $$\operatorname{ker} P := \bigcap_{B \in P} B.$$ समुच्चयों कागैर-रिक्त समुच्चय $$P$$ कहा जाता है:


 * यदि $$\operatorname{ker} P = \varnothing$$ और अन्यथा (अर्थात, यदि $$\operatorname{ker} P \neq \varnothing$$)।
 * यदि $$\operatorname{ker} P \in P.$$
 * यदि $$\operatorname{ker} P \in P$$ और $$\operatorname{ker} P$$सिंगलटन समुच्चय है; इस स्थितियों में, यदि $$\operatorname{ker} P = \{x\}$$ तो $$P$$ में प्रिंसिपल कहा जाता है $$x.$$यदि समुच्चय कासमुच्चय $$P$$ तो तय हो गया है $$P$$ अल्ट्रा है यदि और मात्र यदि कुछ अवयव $$P$$ इस स्थितियों में, सिंगलटन समुच्चय है $$P$$ अनिवार्य रूप सेपूर्व निस्यंदक होगा। प्रत्येक प्रमुख पूर्व निस्यंदक निश्चित है, इसलिएप्रमुख पूर्व निस्यंदक $$P$$ अल्ट्रा है यदि और मात्र यदि $$\operatorname{ker} P$$सिंगलटन समुच्चय है।सिंगलटन समुच्चय अल्ट्रा है यदि और मात्र तभी जब इसका मात्र अवयव भी सिंगलटन समुच्चय हो।

अगला प्रमेय दर्शाता है कि प्रत्येक अतिसूक्ष्म निस्यंदक दो श्रेणियों में सेमें आता है: या तो यह मुक्त है या फिर यहबिंदु द्वारा उत्पन्नप्रमुख निस्यंदक है।

$$

हर निस्यंदक पर $$X$$ वहबिंदु पर प्रमुख हैअतिसूक्ष्म निस्यंदक है, और यदि इसके अतिरिक्त $$X$$ परिमित है, तो कोई अतिसूक्ष्म निस्यंदक नहीं है $$X$$ इनके अतिरिक्त। विशेष रूप से, यदिसमुच्चय $$X$$ परिमित प्रमुखता है $$n < \infty,$$ तो फिर निश्चित हैं $$n$$ अतिसूक्ष्म निस्यंदक पर $$X$$ और वह प्रत्येक सिंगलटन उपसमुच्चय द्वारा उत्पन्न अतिसूक्ष्म निस्यंदक हैं $$X.$$ परिणाम स्वरुप, मुक्त अतिसूक्ष्म निस्यंदक मात्र अनंत समुच्चय पर ही स्थित हो सकते हैं।

उदाहरण, गुण, और पर्याप्त प्रतिबन्धें
यदि $$X$$अनंत समुच्चय है तो उतने ही अतिसूक्ष्म निस्यंदक हैं $$X$$ जैसे कि उपसमुच्चय के समुच्चय हैं $$X;$$ स्पष्ट रूप से, यदि $$X$$ अनंत कार्डिनैलिटी है $$\kappa$$ फिर अतिसूक्ष्म निस्यंदक का समुच्चय खत्म हो गया $$X$$ के समान प्रमुखता है $$\wp(\wp(X));$$ वह प्रमुखता है $$2^{2^{\kappa}}.$$ यदि $$U$$ और $$S$$ ऐसे समुच्चय के समुच्चय हैं $$U$$ अल्ट्रा है, $$\varnothing \not\in S,$$ और $$U \leq S,$$ तो $$S$$ आवश्यक रूप से अल्ट्रा है। उप आधार निस्यंदक $$U$$ जो पूर्व निस्यंदक नहीं है वह अल्ट्रा नहीं हो सकता; किन्तु फिर भी पूर्व निस्यंदक और इसके द्वारा उत्पन्न निस्यंदक के लिए यह अभी भी संभव है $$U$$ अल्ट्रा होना।

कल्पना करना $$U \subseteq \wp(X)$$ अल्ट्रा है और $$Y$$समुच्चय है। निशान $$U\vert_Y := \{B \cap Y : B \in U\}$$ अल्ट्रा है यदि और मात्र तभी जब इसमें रिक्त समुच्चय न हो। इसके अतिरिक्त, कम से कमसमुच्चय $$U\vert_Y \setminus \{\varnothing\}$$ और $$U\vert_{X \setminus Y} \setminus \{\varnothing\}$$ अल्ट्रा होगा (यह परिणाम किसी भी परिमित विभाजन तक फैला हुआ है $$X$$)। यदि $$F_1, \ldots, F_n$$ निस्यंदक पर हैं $$X,$$ $$U$$अतिसूक्ष्म निस्यंदक पर है $$X,$$ और $$F_1 \cap \cdots \cap F_n \leq U,$$ फिर कुछ है $$F_i$$ जो संतुष्ट करता है $$F_i \leq U.$$ यह परिणाम आवश्यक रूप से निस्यंदक के अनंत समुच्चय के लिए सत्य नहीं है।

मानचित्र के अंतर्गत छवि $$f : X \to Y$$अल्ट्रा समुच्चय का $$U \subseteq \wp(X)$$ फिर से अल्ट्रा है और यदि $$U$$अल्ट्रा पूर्व निस्यंदक है तो ऐसा है $$f(U).$$ अल्ट्रा होने का गुण आक्षेपों के अंतर्गत संरक्षित रहता है। चूंकि, अतिसूक्ष्म निस्यंदक की प्रीइमेज आवश्यक रूप से अल्ट्रा नहीं है, तथापि मानचित्र विशेषण हो। उदाहरण के लिए, यदि $$X$$से अधिक बिंदु हैं और यदि की सीमा है $$f : X \to Y$$बिंदु से मिलकर बनता है $$\{ y \}$$ तो $$\{ y \}$$अल्ट्रा पूर्व निस्यंदक पर है $$Y$$ किन्तु इसकी प्रीइमेज अल्ट्रा नहीं है। वैकल्पिक रूप से, यदि $$U$$ मेंबिंदु द्वारा उत्पन्नप्रमुख निस्यंदक है $$Y \setminus f(X)$$ फिर की पूर्वछवि $$U$$ इसमें रिक्त समुच्चय है और इसलिए यह अल्ट्रा नहीं है।

अनंत अनुक्रम से प्रेरित प्राथमिक निस्यंदक, जिसके सभी बिंदु भिन्न-भिन्न हैं अतिसूक्ष्म निस्यंदक। यदि $$n = 2,$$ तो $$U_n$$ के सभी उपसमुच्चयों से युक्त समुच्चय को दर्शाता है $$X$$ प्रमुखता होना $$n,$$ और यदि $$X$$ कम से कम सम्मिलित है $$2 n - 1$$ ($$=3$$) तो भिन्न-भिन्न बिंदु $$U_n$$ अल्ट्रा है किन्तु यह किसी भी पूर्व निस्यंदक में सम्मिलित नहीं है। यह उदाहरण किसी भी पूर्णांक का सामान्यीकरण करता है $$n > 1$$ और को भी $$n = 1$$ यदि $$X$$ इसमेंसे अधिक अवयव सम्मिलित हैं। अल्ट्रा समुच्चय जो पूर्व निस्यंदक भी नहीं हैं, उनका उपयोग संभवतः ही कभी किया जाता है।

हर के लिए $$S \subseteq X \times X$$ और हर $$a \in X,$$ होने देना $$S\big\vert_{\{a\} \times X} := \{y \in X ~:~ (a, y) \in S\}.$$ यदि $$\mathcal{U}$$अतिसूक्ष्म निस्यंदक पर है $$X$$ फिर सभी का समुच्चय $$S \subseteq X \times X$$ जैसे कि $$\left\{a \in X ~:~ S\big\vert_{\{a\} \times X} \in \mathcal{U}\right\} \in \mathcal{U}$$अतिसूक्ष्म निस्यंदक पर है $$X \times X.$$

मोनाड संरचना
किसी भी समुच्चय से जुड़ने वाला फ़नकार $$X$$ के समुच्चय $$U(X)$$ सभी अतिसूक्ष्म निस्यंदक पर हैं $$X$$मोनाड (श्रेणी सिद्धांत) बनाता है जिसे कहा जाता है । इकाई मानचित्र $$X \to U(X)$$ कोई भी अवयव भेजता है $$x \in X$$ द्वारा दिए गए प्रमुख अतिसूक्ष्म निस्यंदक को $$x.$$ यह अतिसूक्ष्म निस्यंदक मोनाड फिनसमुच्चय को समुच्चय की श्रेणी में सम्मिलित करने का कोडेन्सिटी मोनाड है, जो इस सन्यासी कीवैचारिक व्याख्या देता है।

इसी प्रकार, अल्ट्रा गुणन मॉड्यूलो मोनैड समुच्चय के सभी समुच्चय की श्रेणी में समुच्चय के परिमित समुच्चय की श्रेणी को सम्मिलित करने का कोडेन्सिटी मोनड है। तो इस अर्थ में, अल्ट्रा गुणन मॉड्यूलो स्पष्ट रूप से अपरिहार्य हैं।

अतिसूक्ष्म निस्यंदक लेम्मा
अतिसूक्ष्म निस्यंदक लेम्मा को पहली बार 1930 में अल्फ्रेड टार्स्की द्वारा सिद्ध किया गया था।

$$

अतिसूक्ष्म निस्यंदक लेम्मा निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन के सामान्तर है:

अतिसूक्ष्म निस्यंदक लेम्मा कापरिणाम यह है कि प्रत्येक निस्यंदक उसमें स्थित सभी अतिसूक्ष्म निस्यंदक के प्रतिच्छेदन के सामान्तर होता है। अतिसूक्ष्म निस्यंदक लेम्मा का उपयोग करके निम्नलिखित परिणाम सिद्ध किए जा सकते हैं। समुच्चय परमुक्त अतिसूक्ष्म निस्यंदक स्थित है $$X$$ यदि और मात्र यदि $$X$$ अनंत है। प्रत्येक उचित निस्यंदक उसमें स्थित सभी अतिसूक्ष्म निस्यंदक के प्रतिच्छेदन के सामान्तर होता है। चूंकि ऐसे निस्यंदक हैं जो अल्ट्रा नहीं हैं, इससे पता चलता है कि अतिसूक्ष्म निस्यंदक के समुच्चय के प्रतिच्छेदन को अल्ट्रा होने की आवश्यकता नहीं है। समुच्चय कासमुच्चय $$\mathbb{F} \neq \varnothing$$मुक्त अतिसूक्ष्म निस्यंदक तक बढ़ाया जा सकता है यदि और मात्र तभी जब अवयवों के किसी भी परिमित समुच्चय का प्रतिच्छेदन हो $$\mathbb{F}$$ अनंत है।
 * 1) समुच्चय पर प्रत्येक पूर्व निस्यंदक के लिए $$X,$$ जहाँ परअधिकतम पूर्व निस्यंदक स्थित है $$X$$ इसके अधीन।
 * 2) समुच्चय पर प्रत्येक उचित निस्यंदक उप आधार $$X$$ कुछ अतिसूक्ष्म निस्यंदक में निहित है $$X.$$

ZF के अंतर्गत अन्य कथनों से संबंध
इस पूरे खंड में, ZF ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत को संदर्भित करता है और जेडएफसी, ZF को Axiom of Choice (AC) के साथ संदर्भित करता है। अतिसूक्ष्म निस्यंदक लेम्मा ZF से स्वतंत्र है। अर्थात्, मॉडल सिद्धांत स्थित है जिसमें ZF के अभिगृहीत मान्य हैं किन्तु अतिसूक्ष्म निस्यंदक लेम्मा नहीं है। ZF के मॉडल भी स्थित हैं जिनमें प्रत्येक अतिसूक्ष्म निस्यंदक आवश्यक रूप से प्रमुख है।

प्रत्येक निस्यंदक जिसमें सिंगलटन समुच्चय होता है, आवश्यक रूप सेअतिसूक्ष्म निस्यंदक होता है और दिया जाता है $$x \in X,$$ असतत अतिसूक्ष्म निस्यंदक की परिभाषा $$\{S \subseteq X : x \in S\}$$ ZF से अधिक की आवश्यकता नहीं है। यदि $$X$$ परिमित है तो प्रत्येक अतिसूक्ष्म निस्यंदकबिंदु परअसतत निस्यंदक है; परिणामस्वरूप, मुक्त अतिसूक्ष्म निस्यंदक मात्र अनंत समुच्चयों पर ही स्थित हो सकते हैं। विशेषकर, यदि $$X$$ परिमित है तो अतिसूक्ष्म निस्यंदक लेम्मा को स्वयंसिद्ध ZF से सिद्ध किया जा सकता है। यदि पसंद का सिद्धांत मान लिया जाए तो अनंत समुच्चयों पर मुक्त अतिसूक्ष्म निस्यंदक का अस्तित्व सिद्ध किया जा सकता है। अधिक सामान्यतः, अतिसूक्ष्म निस्यंदक लेम्मा को पसंद के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है, जो संक्षेप में बताता है कि गैर-रिक्त समुच्चयों का कोई भी कार्टेशियन उत्पाद गैर-रिक्त है। ZF के अनुसार, पसंद का सिद्धांत, विशेष रूप से, पसंद का सिद्धांत#समतुल्य है (ए) ज़ोर्न का लेम्मा, (बी) टाइकोनॉफ़ का प्रमेय, (सी) सदिश आधार प्रमेय का अशक्त रूप (जो बताता है कि प्रत्येक सदिश अंतरिक्ष मेंहैमल आधार है), (डी) सदिश आधार प्रमेय का शक्तिशाली रूप, और अन्य कथन। चूंकि, अतिसूक्ष्म निस्यंदक लेम्मा पसंद के सिद्धांत की तुलना में सख्ती से अशक्त है। जबकि मुक्त अतिसूक्ष्म निस्यंदक का अस्तित्व सिद्ध किया जा सकता है, यह स्थित है मुक्त अतिसूक्ष्म निस्यंदक कास्पष्ट उदाहरण बनाना संभव है (केवल जेडएफ और अतिसूक्ष्म निस्यंदक लेम्मा का उपयोग करके); अर्थात्, मुक्त अतिसूक्ष्म निस्यंदक अमूर्त हैं। अल्फ्रेड टार्स्की ने सिद्ध किया कि जेडएफसी के अनुसार, अनंत समुच्चय पर सभी मुक्त अतिसूक्ष्म निस्यंदक के समुच्चय की कार्डिनैलिटी $$X$$ की कार्डिनैलिटी के सामान्तर है $$\wp(\wp(X)),$$ जहाँ $$\wp(X)$$ के घात समुच्चय को दर्शाता है $$X.$$ अन्य लेखक इस खोज का श्रेय बेडरिच पोस्पिसिल को देते हैं (ग्रिगोरी स्प्रूस की लकड़ी और लियोनिद कांटोरोविच के संयोजन तर्क के पश्चात्, फ़ेलिक्स हॉसडॉर्फ़ द्वारा सुधारित)।

जेडएफ के अनुसार, पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग अतिसूक्ष्म निस्यंदक लेम्मा और क्रेइन-मिलमैन प्रमेय दोनों को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है; इसके विपरीत, ZF के अनुसार, अतिसूक्ष्म निस्यंदक लेम्मा क्रेइन-मिलमैन प्रमेय के साथ मिलकर पसंद के सिद्धांत को सिद्ध कर सकता है।

ऐसे कथन जिनका निष्कर्ष नहीं निकाला जा सकता
अतिसूक्ष्म निस्यंदक लेम्माअपेक्षाकृत अशक्त स्वयंसिद्ध है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित सूची में प्रत्येक कथन हो सकता है ZF सेसाथ निष्कर्ष निकाला जाए  अतिसूक्ष्म निस्यंदक लेम्मा:

 गणनीय समुच्चयों का गणनीय संघगणनीय समुच्चय होता है।</li> गणनीय विकल्प का सिद्धांत (एसीसी)।</li> आश्रित विकल्प का सिद्धांत (एडीसी)।</li> </ol>

समतुल्य कथन
ZF के अनुसार, अतिसूक्ष्म निस्यंदक लेम्मा निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन के सामान्तर है:

 बूलियन प्राइम आदर्श प्रमेय (बीपीआईटी)। बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन का प्रतिनिधित्व प्रमेय।</li> बूलियन स्थान का कोई भी उत्पाद बूलियन स्पेस है।</li> <li>बूलियन प्राइम आदर्श अस्तित्व प्रमेय: प्रत्येक गैर-अपक्षयी बूलियन बीजगणित काप्रमुख आदर्श होता है।</li> <li>हॉसडॉर्फ़ स्थान के लिए टाइकोनॉफ़ का प्रमेय: सघन स्थान हॉसडॉर्फ़ स्पेस का कोई भी उत्पाद टोपोलॉजी कॉम्पैक्ट है।</li> <li>यदि $$\{ 0, 1 \}$$ किसी भी समुच्चय के लिए असतत टोपोलॉजी से संपन्न है $$I,$$ उत्पाद स्थान $$\{0, 1\}^I$$ कॉम्पैक्ट स्पेस है।</li> <li>बानाच-अलाओग्लू प्रमेय के निम्नलिखित संस्करणों में से प्रत्येक अतिसूक्ष्म निस्यंदक लेम्मा के सामान्तर है: <ol शैली="सूची-शैली-प्रकार:" निचला-लैटिन;> <li>टोपोलॉजिकल सदिश स्पेस (टीवीएस) पर अदिश-वैल्यू मानचित्रों का कोई भी समविराम समुच्चय अशक्त-* टोपोलॉजी में अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट है (अर्थात, यह कुछ अशक्त-* कॉम्पैक्ट समुच्चय में निहित है)।</li> <li>टीवीएस में मूल के किसी भी पड़ोस का ध्रुवीय समुच्चय $$X$$ इसके सतत दोहरे स्थान काअशक्त-*संहत उपसमुच्चय है।</li> <li>किसी भी मानक स्थान के निरंतर दोहरे स्थान में संवृत इकाई गेंद अशक्त-* सघन होती है। </ol> </li> <li>टोपोलॉजिकल स्पेस $$X$$ यदि प्रत्येक अतिसूक्ष्म निस्यंदक पर है तो कॉम्पैक्ट है $$X$$ किसी सीमा तक त्रित हो जाता है।</li> <li>टोपोलॉजिकल स्पेस $$X$$ यदि कॉम्पैक्ट है प्रत्येक अतिसूक्ष्म निस्यंदक पर $$X$$ किसी सीमा तक त्रित हो जाता है। <li>अलेक्जेंडर उप आधार प्रमेय। </li> <li>अतिनेट लेम्मा: प्रत्येक नेट (गणित) मेंसार्वभौमिक सबनेट होता है। * परिभाषा के अनुसार, नेट (गणित) में $$X$$कहा जाता है या यदि प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए $$S \subseteq X,$$ अंततः नेट आ गया $$S$$ या में $$X \setminus S.$$</li> <li>टोपोलॉजिकल स्पेस $$X$$ कॉम्पैक्ट है यदि और मात्र तभी जब प्रत्येक अतिनेट पर हो $$X$$ किसी सीमा तक त्रित हो जाता है। <li>अभिसरण स्थान $$X$$ यदि प्रत्येक अतिसूक्ष्म निस्यंदक पर है तो कॉम्पैक्ट है $$X$$ जुटता है।</li> <li>समान स्थान संहत होता है यदि वह पूर्ण स्थान हो और पूरी तरह से घिरा हो।</li> <li>स्टोन-चेच कॉम्पेक्टिफिकेशन प्रमेय।</li> <li>सघनता प्रमेय के निम्नलिखित संस्करणों में से प्रत्येक अतिसूक्ष्म निस्यंदक लेम्मा के सामान्तर है: <ol शैली="सूची-शैली-प्रकार:" निचला-लैटिन;> <li>यदि $$\Sigma$$ प्रथम-क्रम विधेय कलन कासमुच्चय है | प्रथम-क्रम वाक्य (गणितीय तर्क) जैसे कि प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय $$\Sigma$$ फिर, मॉडल सिद्धांत है $$\Sigma$$मॉडल है।</li> <li>यदि $$\Sigma$$ प्रस्तावात्मक कलन|शून्य-क्रम वाक्यों कासमुच्चय है जैसे कि प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय $$\Sigma$$ तो फिर, मॉडल है $$\Sigma$$मॉडल है।</li> </ol> <li>पूर्णता प्रमेय: यदि $$\Sigma$$ प्रोपोज़िशनल कैलकुलस | शून्य-क्रम वाक्यों कासमुच्चय है जो वाक्यात्मक रूप से सुसंगत है, फिर इसकामॉडल है (अर्थात, यह शब्दार्थ रूप से सुसंगत है)।</li> <li></li> </ol>
 * यदि मानक स्थान भिन्न करने योग्य है तो अतिसूक्ष्म निस्यंदक लेम्मा पर्याप्त है किन्तु इस कथन को सिद्ध करने के लिए आवश्यक नहीं है।</li>
 * शब्दों का जोड़ और मात्र यदि ही इस कथन और इसके ठीक ऊपर वाले कथन के मध्य मात्र अंतर है।</li>
 * यदि शब्द और मात्र यदि हटा दिए जाते हैं तो परिणामी कथन अतिसूक्ष्म निस्यंदक लेम्मा के सामान्तर रहता है।</li>

अशक्त कथन
कोई भी कथन जिसे अतिसूक्ष्म निस्यंदक लेम्मा (जेडएफ के साथ) से निकाला जा सकता है, कहा जाता है अतिसूक्ष्म निस्यंदक लेम्मा की तुलना में। अशक्त कथन कहा जाता है यदि ZF के अनुसार, यह अतिसूक्ष्म निस्यंदक लेम्मा के सामान्तर नहीं है। ZF के अनुसार, अतिसूक्ष्म निस्यंदक लेम्मा निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन को दर्शाता है:

<ol> <li>परिमित समुच्चयों के लिए चयन का सिद्धांत (एसीएफ): दिया गया है $$I \neq \varnothing$$ औरसमुच्चय $$\left(X_i\right)_{i \in I}$$ गैर-रिक्त का समुच्चय, उनका उत्पाद $${\textstyle\prod\limits_{i \in I}} X_i$$ रिक्त नहीं है। </li> <li>परिमित समुच्चयों कागणनीय समुच्चय संघगणनीय समुच्चय है। <li>हैन-बानाच प्रमेय। * ZF में, हैन-बानाच प्रमेय अतिसूक्ष्म निस्यंदक लेम्मा से निश्चित अशक्त है।</li> <li>बानाच-टार्स्की विरोधाभास। <li>प्रत्येक समुच्चय रैखिक क्रम में हो सकता है।</li> <li>प्रत्येक क्षेत्र (गणित) मेंअद्वितीय बीजीय समापन होता है।</li> <li>गैर-तुच्छ Ultraproducts स्थित हैं।</li> <li>कमज़ोर अतिसूक्ष्म निस्यंदक प्रमेय:मुक्त अतिसूक्ष्म निस्यंदक स्थित है $$\N.$$ <li>प्रत्येक अनंत समुच्चय परनिःशुल्क अतिसूक्ष्म निस्यंदक स्थित है; </li> </ol>
 * चूंकि, अतिसूक्ष्म निस्यंदक लेम्मा के साथ ZF यह सिद्ध करने के लिए बहुत अशक्त है कि इसकागणनीय संघ है समुच्चयगणनीय समुच्चय है।</li>
 * वास्तव में, ZF के अनुसार, बानाच-टार्स्की विरोधाभास बानाच-टार्स्की विरोधाभास#बानाच-टार्स्की और हैन-बानाच हैन-बानाच प्रमेय से, जो अतिसूक्ष्म निस्यंदक लेम्मा से निश्चित अशक्त है।</li>
 * जेडएफ के अनुसार, अशक्त अतिसूक्ष्म निस्यंदक प्रमेय अतिसूक्ष्म निस्यंदक लेम्मा का अर्थ नहीं देता है; अर्थात, यह अतिसूक्ष्म निस्यंदक लेम्मा से निश्चित अशक्त है।</li>
 * यह कथन वास्तव में अतिसूक्ष्म निस्यंदक लेम्मा से निश्चित अशक्त है।
 * अकेले ZF का कारण यह भी नहीं है कि कोई गैर-प्रमुख अतिसूक्ष्म निस्यंदक स्थित है तय करना।

सम्पूर्णता
अतिसूक्ष्म निस्यंदक की पूर्णता $$U$$घातसमुच्चय पर सबसे छोटी कार्डिनल संख्या κ होती है जैसे कि इसमें κ अवयव होते हैं $$U$$ जिसका चौराहा अंदर नहीं है $$U.$$ अतिसूक्ष्म निस्यंदक की परिभाषा का तात्पर्य है कि किसी भी घातसमुच्चय अतिसूक्ष्म निस्यंदक की पूर्णता कम से कम एलेफ़-शून्य है|$$\aleph_0$$।अतिसूक्ष्म निस्यंदक जिसकी पूर्णता है बजाय $$\aleph_0$$- अर्थात्, अवयवों के किसी भी गणनीय संग्रह का प्रतिच्छेदन $$U$$ अभी भी अंदर है $$U$$—गणनीय रूप से पूर्ण या σ-पूर्ण कहा जाता है।

गणनीय रूप से पूर्ण #प्रकारों की पूर्णता औरघातसमुच्चय पर अतिसूक्ष्म निस्यंदक अतिसूक्ष्म निस्यंदक का अस्तित्व सदैवमापने योग्य कार्डिनल होता है।

Ordering on ultrafilters
(मैरी एलेन रुडिन द्वारा और हावर्ड जेरोम केसलर के नाम पर) घातसमुच्चय अतिसूक्ष्म निस्यंदक के वर्ग परप्रीतर्कसंगत है जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: यदि $$U$$अतिसूक्ष्म निस्यंदक पर है $$\wp(X),$$ और $$V$$अतिसूक्ष्म निस्यंदक पर $$\wp(Y),$$ तो $$V \leq {}_{RK} U$$ यदि कोई फलन स्थित है $$f : X \to Y$$ जैसे कि
 * $$C \in V$$ यदि और मात्र यदि $$f^{-1}[C] \in U$$

प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए $$C \subseteq Y.$$ अतिसूक्ष्म निस्यंदक $$U$$ और $$V$$ कहा जाता है, निरूपित $U ≡_{RK} V$, यदि समुच्चय स्थित हैं $$A \in U$$ और $$B \in V$$ औरआपत्ति $$f : A \to B$$ जो उपरोक्त प्रतिबन्ध को पूर्ण करता है। (यदि $$X$$ और $$Y$$ समान प्रमुखता होने पर परिभाषा को ठीक करके सरल बनाया जा सकता है $$A = X,$$ $$B = Y.$$)

ज्ञातव्य है कि ≡RK ≤ का कर्नेल (समुच्चय सिद्धांत) हैRK, अर्थात्, वह $U ≡_{RK} V$ यदि और मात्र यदि $$U \leq {}_{RK} V$$ और $$V \leq {}_{RK} U.$$

℘(ω)
पर अतिसूक्ष्म निस्यंदक

ऐसे अनेक विशेष गुण हैं जिन पर अतिसूक्ष्म निस्यंदक काम करता है $$\wp(\omega),$$ जहाँ $$\omega$$ क्रमसूचक संख्या#ऑर्डिनल्स प्राकृतिक संख्याओं का विस्तार करते हैं, जो समुच्चय सिद्धांत और टोपोलॉजी के विभिन्न क्षेत्रों में उपयोगी सिद्ध हो सकते हैं। यहतुच्छ अवलोकन है कि सभी रैमसे अतिसूक्ष्म निस्यंदक पी-पॉइंट हैं। वाल्टर रुडिन ने सिद्ध किया कि सातत्य परिकल्पना रैमसे अतिसूक्ष्म निस्यंदक के अस्तित्व को दर्शाती है। वास्तव में, अनेक परिकल्पनाएँ रैमसे अतिसूक्ष्म निस्यंदक के अस्तित्व का संकेत देती हैं, जिसमें मार्टिन का स्वयंसिद्ध भी सम्मिलित है। सहारों शेलाह ने पश्चात् में दिखाया कि यह सुसंगत है कि कोई पी-पॉइंट अतिसूक्ष्म निस्यंदक नहीं हैं। इसलिए, इस प्रकार के अतिसूक्ष्म निस्यंदक का अस्तित्व जेडएफसी की स्वतंत्रता (गणितीय तर्क) है।
 * गैर-प्रमुख अतिसूक्ष्म निस्यंदक $$U$$ पी-प्वाइंट (या) कहा जाता है) यदि किसी समुच्चय के प्रत्येक विभाजन के लिए $$\left\{ C_n : n < \omega \right\}$$ का $$\omega$$ ऐसा कि सभी के लिए $$n < \omega,$$ $$C_n \not\in U,$$ जहाँ कुछ स्थित है $$A \in U$$ जैसे कि $$A \cap C_n$$ प्रत्येक के लिएसीमित समुच्चय है $$n.$$ *गैर-प्रमुख अतिसूक्ष्म निस्यंदक $$U$$ यदि प्रत्येक विभाजन के लिए इसे रैमसे (या चयनात्मक) कहा जाता है $$\left\{ C_n : n < \omega \right\}$$ का $$\omega$$ ऐसा कि सभी के लिए $$n < \omega,$$ $$C_n \not\in U,$$ जहाँ कुछ स्थित है $$A \in U$$ जैसे कि $$A \cap C_n$$ प्रत्येक के लिएसिंगलटन समुच्चय है $$n.$$

पी-बिंदु को इस तरह से कहा जाता है क्योंकि वह अंतरिक्ष स्टोन-सेच कॉम्पेक्टिफिकेशन की सामान्य टोपोलॉजी में टोपोलॉजिकल पी-पॉइंट्स हैं |βω \ ω गैर-प्रमुख अतिसूक्ष्म निस्यंदक का। रैमसे नाम रैमसे प्रमेय से आया है। यह देखने के लिए कि, कोई यह सिद्ध कर सकता है किअतिसूक्ष्म निस्यंदक रैमसे है यदि और मात्र यदि प्रत्येक 2-रंग के लिए $$[\omega]^2$$ अतिसूक्ष्म निस्यंदक काअवयव स्थित है जिसका रंगसमान है।

अतिसूक्ष्म निस्यंदक पर $$\wp(\omega)$$ रैमसे है यदि और मात्र यदि यह गैर-प्रमुख घातसमुच्चय अतिसूक्ष्म निस्यंदक के रुडिन-कीस्लर तर्कसंगतिंग में न्यूनतम अवयव है।

टिप्पणियाँ
Proofs