सघन समूह

गणित में, सघन (टोपोलॉजिकल) समूह टोपोलॉजिकल समूह होता है जिसकी टोपोलॉजी इसे सघन समिष्ट के रूप में अनुभूत करती है (जब समूह का तत्व संचालित होता है, तो परिणाम भी समूह के अंदर होता है)। सघन समूह असतत टोपोलॉजी के साथ परिमित समूहों का प्राकृतिक सामान्यीकरण है और इसमें ऐसे गुण होते हैं जो महत्वपूर्ण प्रकार से आगे बढ़ते हैं। समूह क्रियाओं और प्रतिनिधित्व सिद्धांत के संबंध में, सघन समूहों के निकट उचित प्रकार से समझा जाने वाला सिद्धांत है।

निम्नलिखित में हम मान लेंगे कि सभी समूह हॉसडॉर्फ़ समिष्ट हैं।

सघन लाई समूह
लाई समूह टोपोलॉजिकल समूहों का वर्ग बनाते हैं, और सघन लाई समूहों में विशेष रूप से उचित प्रकार से विकसित सिद्धांत होता है। सघन लाई समूहों के मूलभूत उदाहरणों में सम्मिलित हैं: सघन लाई समूहों के वर्गीकरण प्रमेय में कहा गया है कि परिमित विस्तार और परिमित कवर तक यह उदाहरणों की सूची को समाप्त कर देता है (जिसमें पूर्व से ही कुछ अतिरेक सम्मिलित हैं)। इस वर्गीकरण को अगले उपधारा में अधिक विस्तार से वर्णित किया गया है।
 * वृत्त समूह T और टोरस समूह Tn,
 * लंबकोणीय समूह O(n), विशेष लंबकोणीय समूह SO(n) और इसका कवरिंग स्पिन समूह स्पिन(n),
 * एकात्मक समूह U(n) और विशेष एकात्मक समूह SU(n),
 * असाधारण लाई समूहों के संक्षिप्त रूप: G2, F4, E6, E7, और E8 हैं।

वर्गीकरण
किसी भी सघन लाई समूह G को देखते हुए कोई इसका आइडेंटिटी घटक G0 ले सकता है जो समिष्ट से जुड़ा हुआ है। भागफल समूह G/G0 घटकों π0(G) का समूह है जो परिमित होना चाहिए क्योंकि G सघन है। इसलिए हमारे पास सीमित विस्तार है:
 * $$1\to G_0 \to G \to \pi_0(G) \to 1.$$

इस मध्य, सम्बंधित सघन लाई समूहों के लिए, हमारे पास निम्नलिखित परिणाम हैं:
 * प्रमेय: प्रत्येक सम्बंधित सघन लाई समूह सरल रूप से सम्बंधित सघन लाई समूह और टोरस के उत्पाद के परिमित केंद्रीय उपसमूह का भागफल है।

इस प्रकार, सम्बंधित सघन लाई समूहों के वर्गीकरण को सैद्धांतिक रूप से उनके केंद्रों के विषय में सूचना के साथ-साथ सरल रूप से सम्बंधित सघन लाई समूहों के ज्ञान तक कम किया जा सकता है। (केंद्र के विषय में सूचना के लिए, मौलिक समूह और केंद्र पर नीचे दिया गया अनुभाग देखें।)

अंत में, प्रत्येक सघन, सम्बंधित, सरल रूप से-सम्बंधित लाई समूह K, सीमित रूप से कई सघन, सम्बंधित, सरल रूप से-सम्बंधित सरल लाई समूह Ki का उत्पाद है, जिनमें से प्रत्येक निम्नलिखित में से किसी एक के लिए समरूपी है: या पाँच असाधारण समूहों G2, F4, E6, E7, और E8 में से है। n पर प्रतिबंध n के छोटे मानों के लिए विभिन्न परिवारों के मध्य विशेष समरूपता से बचने के लिए हैं। इनमें से प्रत्येक समूह के लिए, केंद्र स्पष्ट रूप से जाना जाता है। वर्गीकरण संबंधित रूट प्रणाली ( निश्चित अधिकतम टोरस के लिए) के माध्यम से होता है, जिसे विपरीत में उनके डिनकिन आरेखों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है।
 * सघन सहानुभूति समूह $$\operatorname{Sp}(n),\,n\geq 1$$
 * विशेष एकात्मक समूह $$\operatorname{SU}(n),\,n\geq 3$$
 * स्पिन समूह $$\operatorname{Spin}(n),\,n\geq 7$$

सघन, सरलता से सम्बंधित लाई समूहों का वर्गीकरण जटिल अर्धसरल लाई बीजगणित के वर्गीकरण के समान है। वास्तव में, यदि K सरल रूप से सम्बंधित सघन लाई समूह है, तो K के लाई बीजगणित की जटिलता अर्धसरल है। इसके विपरीत, प्रत्येक जटिल अर्धसरल लाई बीजगणित में सघन, सरल रूप से सम्बंधि लाई समूह के लाई बीजगणित के लिए सघन वास्तविक रूप आइसोमोर्फिक होता है।

अधिकतम टोरी और मूल प्रक्रिया
सम्बंधित सघन लाई समूह K के अध्ययन में महत्वपूर्ण विचार अधिकतम टोरस की अवधारणा है, जो कि K का उपसमूह T है जो कि कई प्रतियों के उत्पाद के लिए आइसोमोर्फिक है। $$S^1$$ और वह इस प्रकार के किसी भी बड़े उपसमूह में सम्मिलित नहीं है। मूलभूत उदाहरण स्थिति $$K = \operatorname{SU}(n)$$ है, जिस स्थिति में हम ले सकते हैं $$T$$ में विकर्ण तत्वों का समूह $$K$$ होना चाहिए। मूल परिणाम टोरस प्रमेय है जो बताता है कि प्रत्येक तत्व $$K$$ अधिकतम टोरस से संबंधित है और सभी अधिकतम टोरी संयुग्मित हैं।

सघन समूह में अधिकतम टोरस जटिल अर्धसरल लाई बीजगणित में कार्टन उपबीजगणित के समान भूमिका निभाता है। विशेष रूप से, अधिकतम टोरस $$T\subset K$$ चयन किया गया है, कोई भी मूल प्रक्रिया और वेइल समूह को परिभाषित कर सकता है, जैसा कि अर्धसरल लाई बीजगणित के लिए होता है। ये संरचनाएं सम्बंधित सघन समूहों (ऊपर वर्णित) के वर्गीकरण और निश्चित ऐसे समूह (नीचे वर्णित) के प्रतिनिधित्व सिद्धांत दोनों में आवश्यक भूमिका निभाती हैं।

सरल रूप से सम्बंधित सघन समूहों के वर्गीकरण में दिखने वाले सरल सघन समूहों से जुड़ी मूल प्रक्रिया इस प्रकार हैं:
 * विशेष एकात्मक समूह $$\operatorname{SU}(n)$$ मूल प्रक्रिया $$A_{n-1}$$के अनुरूप है।
 * विषम स्पिन समूह $$\operatorname{Spin}(2n+1)$$ मूल प्रक्रिया $$B_{n}$$ के अनुरूप है।
 * सघन सहानुभूति समूह $$\operatorname{Sp}(n)$$ मूल प्रक्रिया $$C_{n}$$ के अनुरूप है।
 * सम स्पिन समूह $$\operatorname{Spin}(2n)$$ मूल प्रक्रिया $$D_{n}$$ के अनुरूप है।
 * असाधारण सघन लाई समूह पांच असाधारण मूल प्रक्रिया G2, F4, E6, E7, या E8 के अनुरूप हैं।

मौलिक समूह और केंद्र

यह जानना महत्वपूर्ण है कि क्या सम्बंधित सघन लाई समूह सरल रूप से सम्बंधित है, और यदि नहीं, तो इसके मौलिक समूह को निर्धारित करने के लिए होता है। सघन लाई समूहों के लिए, मौलिक समूह की गणना करने के लिए दो मूलभूत दृष्टिकोण हैं। प्रथम दृष्टिकोण शास्त्रीय सघन समूहों पर प्रारम्भ होता है $$\operatorname{SU}(n)$$, $$\operatorname{U}(n)$$, $$\operatorname{SO}(n)$$, और $$\operatorname{Sp}(n)$$ और प्रेरण $$n$$ द्वारा आगे बढ़ता है। दूसरा दृष्टिकोण मूल प्रक्रिया का उपयोग करता है और सभी सम्बंधित सघन लाई समूहों पर प्रारम्भ होता है।

सम्बंधित सघन लाई समूह के केंद्र को जानना भी महत्वपूर्ण है। शास्त्रीय समूह का केंद्र $$G$$ की गणना सरलता से "हाथ से" की जा सकती है, और अधिकतर स्थितियों में इसमें आइडेंटिटी की जो भी $$G$$ जड़ें हैं, वे सम्मिलित होती हैं। (समूह SO(2) अपवाद है - केंद्र पूर्ण समूह है, भले ही अधिकांश तत्व आइडेंटिटी की जड़ें नहीं हैं।) इस प्रकार, उदाहरण के लिए, का केंद्र $$\operatorname{SU}(n)$$ में एकता गुणा आइडेंटिटी की nवीं मूलों से मिलकर बनता है, क्रम का चक्रीय समूह $$n$$ होता है।

सामान्यतः, केंद्र को अधिकतम टोरस के लिए रूट जाली और घातीय मानचित्र के कर्नेल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सामान्य विधि से ज्ञात होता है कि असाधारण मूल प्रक्रिया के अनुरूप सरल रूप से सम्बंधित सघन समूह $$G_2$$ तुच्छ केंद्र है। इस प्रकार, सघन $$G_2$$ समूह अधिक अल्प सरल सघन समूहों में से है जो सरलता से जुड़े हुए हैं और केंद्र मुक्त हैं। (अन्य $$F_4$$और $$E_8$$हैं।)

उदाहरण
उन समूहों में से जो लाई समूह नहीं हैं, और इसलिए मैनिफोल्ड की संरचना नहीं रखते हैं, उदाहरण पी-एडिक पूर्णांकों के योगात्मक समूह Zp और उससे निर्माण हैं। वास्तव में कोई भी अनंत समूह सघन समूह होता है। इसका तात्पर्य यह है कि गैलोज़ समूह सघन समूह हैं, जो अनंत डिग्री की स्थिति में बीजगणितीय विस्तार के सिद्धांत के लिए मूलभूत तथ्य है।

पोंट्रीगिन ड्यूलिटी सघन कम्यूटेटिव समूहों के उदाहरणों की बड़ी आपूर्ति प्रदान करता है। ये एबेलियन असतत समूहों के साथ ड्यूलिटी में हैं।

हार माप
सभी सघन समूहों में हार माप होता है, जो बाएँ और दाएँ दोनों अनुवादों द्वारा अपरिवर्तनीय होगा (मापांक फलन सकारात्मक वास्तविकताओं (R+, ×), के लिए समरूपता होनी चाहिए और इसलिए 1 है।)। दूसरे शब्दों में, ये समूह एक-मॉड्यूलर हैं। वृत्त पर dθ/2π के अनुरूप, हार माप को संभाव्यता माप के रूप में सरलता से सामान्यीकृत किया जाता है।

ऐसे हार माप की गणना कई स्थितियों में सरल है; उदाहरण के लिए लंबकोणीय समूहों के लिए यह एडॉल्फ हर्विट्ज़ को ज्ञात था, और लाई समूह में स्थितियों को सदैव अपरिवर्तनीय अंतर रूप द्वारा दिया जा सकता है। अनंत स्थिति में परिमित सूचकांक के कई उपसमूह होते हैं, और सहसमुच्चय का हार माप सूचकांक का व्युत्क्रम होगा। इसलिए, अभिन्नों की गणना प्रायः सीधे तौर पर की जा सकती है, यह तथ्य संख्या सिद्धांत में निरंतर प्रस्तावित होता है।

यदि $$K$$ सघन समूह है और $$m$$ संबंधित हार माप है, पीटर-वेइल प्रमेय का अपघटन प्रदान करता है $$L^2(K,dm)$$ के अपरिवर्तनीय अभ्यावेदन के लिए मैट्रिक्स प्रविष्टियों के परिमित-आयामी उप-स्थानों के लंबकोणीय प्रत्यक्ष योग के रूप में $$K$$ है।

प्रतिनिधित्व सिद्धांत
सघन समूहों (आवश्यक नहीं कि लाई समूह हों और आवश्यक नहीं कि जुड़े हों) का प्रतिनिधित्व सिद्धांत पीटर-वेइल प्रमेय द्वारा स्थापित किया गया था। हरमन वेइल ने अधिकतम टोरस सिद्धांत के आधार पर सघन सम्बंधित लाई समूहों का विस्तृत वर्ण सिद्धांत दिया। परिणामी वेइल वर्ण सूत्र बीसवीं सदी के गणित के प्रभावशाली परिणामों में से था। पीटर-वेइल प्रमेय और वेइल वर्ण सूत्र के संयोजन ने वेइल को सम्बंधित सघन लाई समूह के अभ्यावेदन के पूर्ण वर्गीकरण के लिए प्रेरित किया; इस सिद्धांत का वर्णन अगले भाग में किया गया है।

वेइल के कार्य और कार्टन के प्रमेय का संयोजन सघन समूहों G के संपूर्ण प्रतिनिधित्व सिद्धांत का सर्वेक्षण देता है। अर्थात, पीटर-वेइल प्रमेय द्वारा G के अपरिवर्तनीय एकात्मक प्रतिनिधित्व ρ एकात्मक समूह (परिमित आयाम के) और छवि में हैं सघनता द्वारा एकात्मक समूह का विवृत उपसमूह होगा। कार्टन के प्रमेय में कहा गया है कि Im(ρ) को एकात्मक समूह में स्वयं लाई उपसमूह होना चाहिए। यदि G स्वयं लाई समूह नहीं है, तो ρ में कर्नेल होना चाहिए। इसके अतिरिक्त, परिमित-आयामी एकात्मक अभ्यावेदन के छोटे और छोटे ρ के कर्नेल के लिए व्युत्क्रम प्रणाली बनाई जा सकती है, जो G को सघन लाई समूहों की व्युत्क्रम सीमा के रूप में पहचानती है। यहां यह तथ्य है कि सीमा में G का विश्वसनीय प्रतिनिधित्व पाया जाता है, पीटर-वेइल प्रमेय का परिणाम है।

इस प्रकार, सघन समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत का अज्ञात भाग, सामान्यतः, परिमित समूहों के जटिल निरूपण पर वापस आ जाता है। यह सिद्धांत विस्तार में अधिक समृद्ध है, किन्तु गुणात्मक रूप से उचित प्रकार से समझा गया है।

सम्बंधित सघन लाई समूह का प्रतिनिधित्व सिद्धांत
सघन लाई समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के कुछ सरल उदाहरण हाथ से प्रस्तुत किए जा सकते हैं, जैसे कि रोटेशन समूह SO(3), विशेष एकात्मक समूह SU(2) का, और विशेष एकात्मक समूह SU(3) का प्रतिनिधित्व हैं। हम यहां सामान्य सिद्धांत पर ध्यान केंद्रित करते हैं। अर्धसरल लाई बीजगणित के निरूपण का समानांतर सिद्धांत भी देखें।

इस पूर्ण खंड में, हम सम्बंधित सघन लाई समूह K और K में अधिकतम टोरस T को ठीक करते हैं।

T का प्रतिनिधित्व सिद्धांत
चूँकि T क्रमविनिमेय है, शूर की लेम्मा हमें बताती है कि प्रत्येक अपरिवर्तनीय निरूपण $$\rho$$ T का एक-आयामी है:
 * $$\rho:T\rightarrow GL(1;\mathbb{C})=\mathbb{C}^* .$$

चूँकि, T भी सघन है, $$\rho$$ वास्तव में मैप करना चाहिए $$S^1\subset\mathbb{C}$$ है।

इन अभ्यावेदनों का ठोस रूप से वर्णन करने के लिए, आइए $$\mathfrak{t}$$ टी का लाई बीजगणित बनें और हम अंक लिखते हैं $$h\in T$$ जैसे कि;
 * $$h=e^{H},\quad H\in\mathfrak{t} .$$

ऐसे निर्देशांक में, $$\rho$$ फॉर्म होगा:
 * $$\rho(e^{H})=e^{i \lambda(H)}$$

कुछ रैखिक कार्यात्मकता के लिए $$\lambda$$ पर $$\mathfrak{t}$$ है।

अब, घातीय मानचित्र के पश्चात से $$H\mapsto e^{H}$$ इंजेक्टिव नहीं है, ऐसा हर रैखिक कार्यात्मक नहीं है $$\lambda$$ T के सुपरिभाषित मानचित्र $$S^1$$को उत्पन्न करता है अन्यथा, माना $$\Gamma$$ घातीय मानचित्र के कर्नेल को निरूपित करें:
 * $$\Gamma = \left\{ H\in\mathfrak{t} \mid e^{2\pi H}=\operatorname{Id} \right\},$$

जहां $$\operatorname{Id}$$ T का आइडेंटिटी तत्व है। (हम यहां घातीय मानचित्र को कारक के आधार पर मापते हैं $$2\pi$$ अन्यत्र ऐसे कारकों से बचने के लिए।) फिर $$\lambda$$ के लिए के लिए से परिभाषित मानचित्र देने के लिए $$\rho$$, $$\lambda$$ संतुष्ट होना चाहिए।
 * $$\lambda(H)\in\mathbb{Z},\quad H\in\Gamma,$$

जहां $$\mathbb{Z}$$ पूर्णांकों का समुच्चय है। रैखिक कार्यात्मक इस स्थिति को संतुष्ट करने वाले $$\lambda$$ को विश्लेषणात्मक रूप से अभिन्न तत्व कहा जाता है। यह अभिन्नता स्थिति अर्धसरल लाई बीजगणित की सेटिंग में अभिन्न तत्व की धारणा से संबंधित है, किन्तु इसके समान नहीं है।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए, T केवल $$S^1$$ सम्मिश्र संख्याओं का $$e^{i\theta}$$ निरपेक्ष मान 1 का समूह है। लाई बीजगणित पूर्णतः काल्पनिक संख्याओं $$H=i\theta,\,\theta\in\mathbb{R},$$ का समुच्चय है, और (स्केल्ड) घातीय मानचित्र का कर्नेल फॉर्म की संख्याओं $$in$$ का समुच्चय है जहां $$n$$ पूर्णांक है। रैखिक कार्यात्मक $$\lambda$$ ऐसी सभी संख्याओं पर पूर्णांक मान लेता है यदि और केवल यह फॉर्म $$\lambda(i\theta)= k\theta$$ का है तो कुछ पूर्णांक $$k$$ के लिए होता है। इस स्थिति में T के अपरिवर्तनीय निरूपण एक-आयामी और रूप के हैं:
 * $$\rho(e^{i\theta})=e^{ik\theta},\quad k \in \Z .$$

K का प्रतिनिधित्व सिद्धांत

अब हम जाने देते हैं $$\Sigma$$ K (ओवर) के परिमित-आयामी अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व $$\mathbb{C}$$) को दर्शाता है। फिर हम प्रतिबंध $$\Sigma$$ T पर विचार करते हैं। यह प्रतिबंध तब तक अपरिवर्तनीय नहीं है जब तक $$\Sigma$$ आयामी है। फिर भी, प्रतिबंध T के अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व के प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित होता है। (ध्यान दें कि T का दिया गया अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व एक से अधिक बार हो सकता है।) अब, T के प्रत्येक अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व को रैखिक कार्यात्मक द्वारा वर्णित किया गया है $$\lambda$$ जैसा कि पिछले उपधारा में है। यदि दिया गया $$\lambda$$ प्रतिबंध के विघटन में कम से कम एक बार होता है $$\Sigma$$ से T, हम कॉल करते हैं $$\lambda$$ का भार $$\Sigma$$ है। K के प्रतिनिधित्व सिद्धांत की रणनीति अपरिवर्तनीय अभ्यावेदन को उनके भार के संदर्भ में वर्गीकृत करना है।

अब हम प्रमेय प्रस्तुत करने के लिए आवश्यक संरचनाओं का संक्षेप में वर्णन करते हैं; अधिक विवरण प्रतिनिधित्व सिद्धांत में भार पर लेख में पाया जा सकता है। हमें K (किसी दिए गए अधिकतम टोरस T के सापेक्ष) के लिए 'मूल प्रक्रिया' की धारणा की आवश्यकता है। इस मूल प्रक्रिया का निर्माण $$R\subset \mathfrak{t}$$ जटिल अर्धसरल लाई बीजगणि के निर्माण के समान है। विशेष रूप से, भार K के जटिल लाई बीजगणित पर T की सहायक क्रिया के लिए गैर-शून्य भार हैं। मूल प्रक्रिया R में मूल प्रक्रिया के सभी सामान्य गुण होते हैं, इसके अतिरिक्त कि R के तत्व $$\mathfrak{t}$$विस्तारित नहीं हो सकते हैं। फिर हम आधार का चयन करते हैं $$\Delta$$ R के लिए और हम कहते हैं कि अभिन्न तत्व $$\lambda$$ यदि प्रभावी है $$\lambda(\alpha)\ge 0$$ सभी के लिए $$\alpha\in\Delta$$ है।अंत में, हम कहते हैं कि एक भार दूसरे से अधिक होता है यदि उनके अंतर को तत्वों के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$\Delta$$ गैर-नकारात्मक गुणांक के साथ है।

K के अपरिवर्तनीय परिमित-आयामी निरूपण को फिर 'उच्चतम भार के प्रमेय (प्रतिनिधित्व सिद्धांत)' द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जो लाई बीजगणित प्रतिनिधित्व को वर्गीकृत करने वाले अनुरूप प्रमेय से निकटता से संबंधित है#लाई बीजगणित के परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व को वर्गीकृत करना। परिणाम कहता है कि:
 * 1) प्रत्येक अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व का भार सबसे अधिक होता है।
 * 2) उच्चतम भार सदैव प्रमुख, विश्लेषणात्मक रूप से अभिन्न तत्व होता है।
 * 3) समान उच्चतम भार वाले दो अपरिवर्तनीय निरूपण आइसोमोर्फिक हैं, और
 * 4) प्रत्येक प्रमुख, विश्लेषणात्मक रूप से अभिन्न तत्व  अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व के उच्चतम भार के रूप में उत्पन्न होता है।

K के निरूपण के लिए उच्चतम भार का प्रमेय लगभग अर्धसरल लाई बीजगणित के समान ही है, उल्लेखनीय अपवाद के साथ: अभिन्न तत्व की अवधारणा भिन्न है। भार $$\lambda$$ प्रतिनिधित्व का $$\Sigma$$ पिछले उपधारा में वर्णित अर्थ में विश्लेषणात्मक रूप से अभिन्न हैं। प्रत्येक विश्लेषणात्मक रूप से अभिन्न तत्व लाई बीजगणित अर्थ में अभिन्न है, किन्तु इसके विपरीत नहीं है। (यह घटना दर्शाती है कि, सामान्यतः, लाई बीजगणित का प्रत्येक प्रतिनिधित्व नहीं होता है $$\mathfrak{k}$$ समूह K के प्रतिनिधित्व से आता है।) दूसरी ओर, यदि K सरल रूप से सम्बंधित है, तो समूह अर्थ में संभावित उच्चतम भार का समुच्चय, लाई बीजगणित अर्थ में संभावित उच्चतम भार के समुच्चय के समान है।

वेइल वर्ण सूत्र

यदि $$\Pi:K\to\operatorname{GL}(V)$$ K का प्रतिनिधित्व है, हम 'वर्ण' को परिभाषित करते हैं $$\Pi$$ फ़ंक्शन होगा $$\Chi : K \to \mathbb{C}$$ द्वारा दिए गए;
 * $$\Chi(x)=\operatorname{trace}(\Pi(x)),\quad x\in K$$.

यह फ़ंक्शन सरलता से क्लास फ़ंक्शन के रूप में देखा जाता है, अर्थात, $$\Chi(xyx^{-1})=\Chi(y)$$ सभी के लिए $$x$$ और $$y$$ में K है। इस प्रकार, $$\Chi$$ को T पर इसके प्रतिबंध द्वारा निर्धारित किया जाता है।

वर्णों का अध्ययन सघन समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत का महत्वपूर्ण भाग है। महत्वपूर्ण परिणाम, जो कि पीटर-वेइल प्रमेय का परिणाम है, यह है कि वर्ण K में वर्ग-अभिन्न वर्ग कार्यों के समुच्चय के लिए लंबकोणीय आधार बनाते हैं। दूसरा मुख्य परिणाम वेइल वर्ण सूत्र है, जो स्पष्ट सूत्र देता है वर्ण के लिए - या, अन्यथा, प्रतिनिधित्व के उच्चतम भार के संदर्भ में, वर्ण को T तक सीमित करना है।

अर्धसरल लाई बीजगणित के निकट से संबंधित प्रतिनिधित्व सिद्धांत में, वेइल वर्ण सूत्र प्रतिनिधित्व को वर्गीकृत करने के पश्चात स्थापित अतिरिक्त परिणाम है। चूँकि, सघन समूह स्थिति के वेइल के विश्लेषण में, वेइल वर्ण सूत्र वास्तव में वर्गीकरण का  महत्वपूर्ण भाग है। विशेष रूप से, K के अभ्यावेदन के वेइल के विश्लेषण में, प्रमेय का सबसे कठिन भाग - यह दर्शाता है कि प्रत्येक प्रमुख, विश्लेषणात्मक रूप से अभिन्न तत्व वास्तव में कुछ प्रतिनिधित्व का उच्चतम भार है - वर्मा का उपयोग करके सामान्य लाई बीजगणित निर्माण से पूर्ण रूप से मॉड्यूल भिन्न प्रकार से प्रमाणित होता है। वेइल के दृष्टिकोण में, निर्माण पीटर-वेइल प्रमेय और वेइल वर्ण सूत्र के विश्लेषणात्मक प्रमाण पर आधारित है। अंततः, K के अपरिवर्तनीय निरूपण को K पर निरंतर कार्यों के समिष्ट के अंदर अनुभूत किया जाता है।

SU(2) की स्थिति
अब हम सघन समूह SU(2) की स्थिति पर विचार करते हैं। अभ्यावेदन को प्रायः लाई बीजगणित के दृष्टिकोण से माना जाता है, किन्तु हम यहां उन्हें समूह के दृष्टिकोण से देखते हैं। हम अधिकतम टोरस को प्रपत्र के आव्यूहों का समुच्चय मानते हैं:
 * $$ \begin{pmatrix}

e^{i\theta} & 0\\ 0 & e^{-i\theta} \end{pmatrix}. $$ T के निरूपण अनुभाग में ऊपर वर्णन किए गए उदाहरण के अनुसार, विश्लेषणात्मक रूप से अभिन्न तत्वों को पूर्णांकों द्वारा लेबल किया जाता है, जिससे कि प्रमुख, विश्लेषणात्मक रूप से अभिन्न तत्व गैर-नकारात्मक पूर्णांक $$m$$ हों। सामान्य सिद्धांत तो हमें यह बताता है कि प्रत्येक के लिए $$m$$, उच्चतम भार के साथ SU(2) का अद्वितीय अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व $$m$$ है।

किसी दिए गए प्रतिनिधित्व के विषय में अधिक सूचना $$m$$ इसके वर्ण में कूटबद्ध है। अब, वेइल वर्ण सूत्र कहता है, इस स्थिति में, कि वर्ण किसके द्वारा दिया गया है:
 * $$\Chi\left(\begin{pmatrix}

e^{i\theta} & 0\\ 0 & e^{-i\theta} \end{pmatrix}\right)=\frac{\sin((m+1)\theta)}{\sin(\theta)}.$$ हम वर्ण को घातांक के योग के रूप में इस प्रकार भी लिख सकते हैं:
 * $$\Chi\left(\begin{pmatrix}

e^{i\theta} & 0\\ 0 & e^{-i\theta} \end{pmatrix}\right)=e^{im\theta}+e^{i(m-2)\theta}+\cdots e^{-i(m-2)\theta}+e^{-im\theta}.$$ (यदि हम उपरोक्त अभिव्यक्ति पर परिमित ज्यामितीय श्रृंखला के योग के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं और सरल बनाते हैं, तो हमें पिछली अभिव्यक्ति प्राप्त होती है।)

इस अंतिम अभिव्यक्ति और प्रतिनिधित्व के भार के संदर्भ में वर्ण के मानक सूत्र से, हम पढ़ सकते हैं कि प्रतिनिधित्व के भार हैं।
 * $$m,m-2,\ldots,-(m-2),-m,$$

प्रत्येक बहुलता के साथ है। (भार घातांक के घातांक में आने दिखने वाले पूर्णांक हैं और गुणन घातांक के गुणांक हैं।) चूँकि वहाँ हैं $$m+1$$ भार, प्रत्येक बहुलता 1 के साथ, प्रतिनिधित्व का आयाम $$m+1$$ है। इस प्रकार, हम अभ्यावेदन के विषय में अधिकांश सूचना प्राप्त करते हैं जो सामान्यतः लाई बीजगणित गणना से प्राप्त होती है।

प्रमाण की रूपरेखा
अब हम हरमन वेइल के मूल तर्क का अनुसरण करते हुए उच्चतम भार के प्रमेय के प्रमाण की रूपरेखा प्रस्तुत करते हैं। हम निरंतर रखते हैं $$K$$ सम्बंधित सघन लाई समूह बनें और $$T$$ में निश्चित अधिकतम टोरस $$K$$ है। हम प्रमेय के सबसे कठिन भाग पर ध्यान केंद्रित करते हैं, जो दर्शाता है कि प्रत्येक प्रमुख, विश्लेषणात्मक रूप से अभिन्न तत्व कुछ (परिमित-आयामी) अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व का उच्चतम भार है।

प्रमाण के लिए उपकरण निम्नलिखित हैं:
 * टोरस प्रमेय
 * वेइल इंटीग्रल सूत्र
 * वर्ग फ़ंक्शंस के लिए पीटर-वेइल प्रमेय, जिसमें कहा गया है कि अपरिवर्तनीय अभ्यावेदन के वर्ण वर्ग पूर्णांक वर्ग फ़ंक्शंस के समिष्ट के लिए ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाते $$K$$ हैं।

इन उपकरणों को हाथ में लेकर, हम प्रमाण के साथ आगे बढ़ते हैं। तर्क में प्रथम प्रमुख कदम वेइल वर्ण सूत्र को सिद्ध करना है। सूत्र बताता है कि यदि $$\Pi$$ उच्चतम भार वाला अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व $$\lambda$$ है, फिर वर्ण $$\Chi$$ का $$\Pi$$ संतुष्ट करता है:
 * $$\Chi(e^H)=\frac{\sum_{w\in W} \det(w) e^{i\langle w\cdot(\lambda+\rho),H\rangle}}{\sum_{w\in W} \det(w) e^{i\langle w\cdot\rho,H\rangle}}$$

सभी के लिए $$H$$ के लाई बीजगणित में $$T$$ है। यहाँ $$\rho$$ धनात्मक मूलों का योग आधा है। (नोटेशन वास्तविक भार की परिपाटी का उपयोग करता है; इस परिपाटी के लिए स्पष्ट कारक $$i$$ प्रतिपादक में आवश्यकता होती है।) वेइल के वर्ण सूत्र का प्रमाण प्रकृति में विश्लेषणात्मक है और इस तथ्य पर निर्भर करता है कि $$L^2$$ वर्ण का मानदण्ड 1 है। विशेष रूप से, यदि अंश में कोई अतिरिक्त पद हों, तो वेइल इंटीग्रल सूत्र वर्ण के मानदण्ड को 1 से अधिक होने के लिए बाध्य करेगा।

अगला, हमने जाने दिया $$\Phi_\lambda$$ वर्ण सूत्र के दाहिनी ओर फ़ंक्शन को निरूपित करें। हम वो भी दिखाते हैं $$\lambda$$ किसी प्रतिनिधित्व का उच्चतम महत्व नहीं माना जाता है, $$\Phi_\lambda$$ उचित प्रकार से परिभाषित, वेइल-अपरिवर्तनीय फ़ंक्शन $$T$$ है, जो इसलिए वर्ग फ़ंक्शन $$K$$ तक विस्तारित होता है। फिर वेइल इंटीग्रल सूत्र का उपयोग करके, कोई इसे इस प्रकार दिखा सकता है $$\lambda$$ प्रमुख, विश्लेषणात्मक रूप से अभिन्न तत्वों, कार्यों के सेट पर श्रेणियाँ $$\Phi_\lambda$$ वर्ग कार्यों का असामान्य परिवार बनाएं। हम इस विषय पर जोर देते हैं कि हम ऐसा कुछ नहीं जानते हैं $$\lambda$$ प्रतिनिधित्व का उच्चतम भार है; फिर भी, वर्ण सूत्र के दाहिनी ओर के भाव फ़ंक्शन $$\Phi_\lambda$$ का उचित प्रकार से परिभाषित समुच्चय देते हैं, और ये कार्य लम्बवत हैं।

अब निष्कर्ष आता है। सबका समुच्चय $$\Phi_\lambda$$-साथ $$\lambda$$ प्रमुख, विश्लेषणात्मक रूप से अभिन्न तत्वों पर आधारित - वर्ग पूर्णांक वर्ग कार्यों के स्थान में ऑर्थोनॉर्मल समुच्चय बनाता है। किन्तु वेइल वर्ण सूत्र के अनुसार, अपरिवर्तनीय अभ्यावेदन के वर्ण उपसमूह $$\Phi_\lambda$$'s बनाते हैं। और पीटर-वेइल प्रमेय के अनुसार, अपरिवर्तनीय अभ्यावेदन के वर्ण वर्ग पूर्णांक वर्ग कार्यों के स्थान के लिए ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाते हैं। यदि $$\lambda$$ यह किसी प्रतिनिधित्व का उच्चतम महत्व नहीं है, फिर संगत $$\Phi_\lambda$$ प्रतिनिधित्व का वर्ण नहीं होगा। इस प्रकार, वर्ण समुच्चय का उचित उपसमुच्चय $$\Phi_\lambda$$'s होंगे। किन्तु तब हमारे सामने असंभव स्थिति होती है:  ऑर्थोनॉर्मल आधार (इरेड्यूसेबल अभ्यावेदन के वर्णों का समुच्चय)  सख्ती से बड़े ऑर्थोनॉर्मल समुच्चय (समुच्चय) $$\Phi_\lambda$$'s में समाहित होगा)। इस प्रकार, प्रत्येक $$\lambda$$ वास्तव में प्रतिनिधित्व का उच्चतम भार होना चाहिए।

ड्यूलिटी
सघन समूह को उसके प्रतिनिधित्व सिद्धांत से पुनर्प्राप्त करने का विषय तन्नाका-क्रेन ड्यूलिटी का विषय है, जिसे अब प्रायः तन्नाकियन श्रेणी सिद्धांत के संदर्भ में पुनर्गठित किया जाता है।

सघन से गैर-संक्षिप्त समूहों तक
गैर-सघन समूहों पर सघन समूह सिद्धांत का प्रभाव वेइल ने अपनी यूनिटेरियन चाल में प्रस्तुत किया था। सामान्य अर्धसरल लाई समूह के अंदर अधिकतम सघन उपसमूह होता है, और ऐसे समूहों का प्रतिनिधित्व सिद्धांत, जो बड़े स्तर पर हरीश-चंद्र द्वारा विकसित किया गया है, ऐसे उपसमूह के प्रतिनिधित्व के प्रतिबंध का गहनता से उपयोग करता है, और वेइल के वर्ण सिद्धांत का प्रारूप भी है।

यह भी देखें

 * पीटर-वेइल प्रमेय
 * अधिकतम टोरस
 * मूल प्रक्रिया
 * स्थानीय रूप से सघन समूह
 * पी-सघन समूह
 * प्रोटोरस
 * लाई बीजगणित के परिमित-आयामी निरूपणों को वर्गीकृत करना।
 * अर्धसरल लाई बीजगणित के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में भार।