पुनरावृत्त फ़ंक्शन

गणित में, एक पुनरावृत्त फलन एक फलन $F$ होता है (अर्थात, कुछ समुच्चय (गणित) से एक फलन $X$स्वयं के लिए) जो फलन संरचना द्वारा किसी अन्य फलन द्वारा प्राप्त किया जाता है $F$ अपने साथ एक निश्चित संख्या में बार। एक ही फलन को बार-बार अनुप्रयुक्त करने की प्रक्रिया को पुनरावृत्ति कहा जाता है। इस प्रक्रिया में, किसी प्रारंभिक वस्तु से प्रारंभ करके, किसी दिए गए फलन को अनुप्रयुक्त करने का परिणाम फिर से निविष्ट के रूप में फलन में सिंचित किया जाता है, और यह प्रक्रिया दोहराई जाती है। उदाहरण के लिए दाईं ओर की छवि पर: फलन संरचना के वृत्त-आकार के प्रतीक के साथ।
 * L = $\mathit{F}\,$( K ),   M = $\mathit{F}\,\circ \mathit{F}\,$( K ) = $\mathit{F}\;^{2}\,$( K ),

पुनरावृत्त कार्य अभिकलित्र विज्ञान, भग्न, गतिशील प्रणाली, गणित और पुनर्सामान्यीकरण समूह भौतिकी में अध्ययन की वस्तुएं हैं।

परिभाषा
एक समुच्चय (गणित) एक्स पर पुनरावृत्त फलन की औपचारिक परिभाषा इस प्रकार है।

मान लीजिए कि $X$ एक समुच्चय हो और $X → X$ एक फलन (गणित) बनें।

परिभाषित $f : X → X$ के n-वें पुनरावृत्त के रूप में $f$ (हंस हेनरिक बर्मन द्वारा प्रस्तुत एक संकेतन और जॉन फ्रेडरिक विलियम हर्शल    ), जहां n एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, द्वारा: $$f^0 ~  \stackrel{\mathrm{def}}{=}  ~ \operatorname{id}_X$$ और $$f^{n+1} ~ \stackrel{\mathrm{def}}{=} ~ f \circ f^{n},$$ कहाँ $f: X → X$ पहचान फलन चालू है $X$ और $f ^{n}$ फलन संरचना को दर्शाता है। वह है,

हमेशा सहयोगी.

क्योंकि संकेतन $id_{X}$ फलन के दोनों पुनरावृत्ति (संरचना) को संदर्भित कर सकता है $f$ या घातांक#पुनरावृत्त फलन $f$ (बाद वाला आमतौर पर त्रिकोणमितीय फलनों में उपयोग किया जाता है), कुछ गणितज्ञ उपयोग करना चुनें $f $\circ$ g$रचनात्मक अर्थ को निरूपित करने के लिए, लिखना $(f $\circ$ g)(x) = f (g(x))$ के लिए $n$-फलन का पुनरावृत्त $f ^{n}$, जैसे, उदाहरण के लिए, $∘$ अर्थ $f(x)$. इसी उद्देश्य से, $f(x)$ का प्रयोग बेंजामिन पियर्स  द्वारा किया गया था  जबकि अल्फ्रेड प्रिंग्सहेम और जूल्स मोल्क ने सुझाव दिया था $f(x)$ बजाय।

एबेलियन संपत्ति और पुनरावृत्ति अनुक्रम
सामान्यतः, निम्नलिखित पहचान सभी गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के लिए अनुप्रयुक्त होती है $m$ और $n$,


 * $$f^m \circ f^n =  f^n \circ f^m = f^{m+n}~.$$

यह संरचनात्मक रूप से घातांक की संपत्ति के समान है $f(f(f(x)))$, अर्थात विशेष स्थिति $f ^{[n]}(x)$.

सामान्यतः, मनमाने ढंग से सामान्य (ऋणात्मक, गैर-पूर्णांक, आदि) सूचकांकों के लिए $m$ और $n$, इस संबंध को अनुवाद कार्यात्मक समीकरण कहा जाता है, सीएफ। श्रोडर का समीकरण और एबेल समीकरण। लघुगणकीय पैमाने पर, यह चेबीशेव बहुपदों की नेस्टिंग संपत्ति को कम कर देता है, $f ^{(n)}$, तब से $n$.

रिश्ता $f(x)$ भी घातांक की संपत्ति के अनुरूप है  $a^{m}a^{n} = a^{m + n}$.

फलनों का क्रम $f(x) = ax$ को पिकार्ड अनुक्रम कहा जाता है,  चार्ल्स एमिल पिकार्ड के नाम पर रखा गया।

किसी प्रदत्त के लिए $x$ में $X$, मानों का क्रम $T_{m}(T_{n}(x)) = T_{m n}(x)$ की कक्षा (गतिकी) कहलाती है $x$.

यदि $T_{n}(x) = cos(n arccos(x))$ कुछ पूर्णांक के लिए $(f^{ m})^{n}(x) = (f^{ n})^{m}(x) = f^{ mn}(x)$, कक्षा को आवर्त कक्षा कहा जाता है। का ऐसा सबसे छोटा मान $m$ किसी प्रदत्त के लिए $x$ को कक्षा की अवधि कहा जाता है। बिंदु $x$ को ही आवर्त बिंदु कहते हैं। अभिकलित्र विज्ञान में चक्र का पता लगाने की समस्या एक कक्षा में पहले आवधिक बिंदु और कक्षा की अवधि को खोजने की  कलन विधि  समस्या है।

निश्चित अंक
यदि $(a^{m})^{n} = (a^{n})^{m} = a^{mn}$ कुछ के लिए $x$ में $X$ (अर्थात, की कक्षा की अवधि $x$ है $f ^{n}$), तब $x$पुनरावृत्त क्रम का एक निश्चित बिंदु (गणित) कहलाता है। निश्चित बिंदुओं के समुच्चय को प्रायः इस रूप में दर्शाया जाता है $f^{n}(x)$. ऐसे कई निश्चित-बिंदु प्रमेय मौजूद हैं जो विभिन्न स्थितियों में निश्चित बिंदुओं के अस्तित्व की गारंटी देते हैं, जिनमें बानाच निश्चित बिंदु प्रमेय और ब्रौवर निश्चित बिंदु प्रमेय सम्मिलित हैं।

निश्चित बिंदु पुनरावृत्ति द्वारा उत्पन्न अनुक्रमों के अभिसरण त्वरण के लिए कई तकनीकें हैं। उदाहरण के लिए, एक पुनरावृत्त निश्चित बिंदु पर अनुप्रयुक्त की गई ऐटकेन विधि को स्टीफ़ेंसन विधि के रूप में जाना जाता है, और यह द्विघात अभिसरण उत्पन्न करती है।

व्यवहार को सीमित करना
पुनरावृत्ति पर, कोई यह पा सकता है कि ऐसे समुच्चय हैं जो सिकुड़ते हैं और एक बिंदु की ओर एकत्रित होते हैं। ऐसे स्थिति में, जिस बिंदु पर अभिसरण होता है उसे आकर्षक निश्चित बिंदु के रूप में जाना जाता है। इसके विपरीत, पुनरावृत्ति एक ही बिंदु से दूर जाने वाले बिंदुओं का आभास दे सकती है; यह एक अस्थिर निश्चित बिंदु के स्थिति में होगा। जब कक्षा के बिंदु एक या अधिक सीमाओं में परिवर्तित होते हैं, तो कक्षा के संचय बिंदुओं के समुच्चय को सीमा समुच्चय या ω-सीमा समुच्चय के रूप में जाना जाता है।

आकर्षण और प्रतिकर्षण के विचार समान रूप से सामान्यीकृत होते हैं; पुनरावृत्ति के अंतर्गत छोटे पड़ोस (गणित) के व्यवहार के अनुसार, पुनरावृत्तियों को स्थिर बहुविध और अस्थिर समुच्चयों में वर्गीकृत किया जा सकता है। (विश्लेषणात्मक फलनों की अनंत रचनाएँ भी देखें।)

अन्य सीमित व्यवहार संभव हैं; उदाहरण के लिए, भटकने वाले बिंदु वे बिंदु होते हैं जो दूर चले जाते हैं, और जहां से उन्होंने प्रारंभ किया था उसके निकट भी कभी वापस नहीं आते हैं।

अपरिवर्तनीय माप
यदि कोई व्यक्तिगत बिंदु गतिशीलता के बजाय घनत्व वितरण के विकास पर विचार करता है, तो सीमित व्यवहार अपरिवर्तनीय माप द्वारा दिया जाता है। इसे बार-बार पुनरावृत्ति के अंतर्गत बिंदु-बादल या धूल-बादल के व्यवहार के रूप में देखा जा सकता है। अपरिवर्तनीय माप रुएल-फ्रोबेनियस-पेरोन संचालक या स्थानांतरण संचालक का एक आइजेनस्टेट है, जो 1 के आइगेनवैल्यू के अनुरूप है। छोटे आइगेनवैल्यू अस्थिर, क्षयकारी राज्यों के अनुरूप हैं।

सामान्यतः, क्योंकि दोहराया पुनरावृत्ति एक शिफ्ट, ट्रांसफर संचालक और उसके सहायक से मेल खाती है, व्यापारी संचालक  दोनों को  स्थान परिवर्तन  पर शिफ्ट संचालक की क्रिया के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। परिमित प्रकार के उप-शिफ्ट का सिद्धांत कई पुनरावृत्त फलनों में सामान्य अंतर्दृष्टि प्रदान करता है, विशेष रूप से अराजकता की ओर ले जाने वाले फलनों में।

आंशिक पुनरावृति और प्रवाह, और ऋणात्मक पुनरावृति
धारणा f}समीकरण बनाते समय } का उपयोग सावधानी से किया जाना चाहिए $f ^{n} (x) = f ^{n+m} (x)$ के कई समाधान हैं, जो आम तौर पर स्थिति है, जैसा कि कार्यात्मक वर्गमूल|बैबेज के पहचान मानचित्र की कार्यात्मक जड़ों के समीकरण में होता है। उदाहरण के लिए, के लिए $m>0$ और $f(x) = x$, दोनों $1$ और $Fix(f)$ समाधान हैं; तो अभिव्यक्ति $g^{n}(x) = f(x)$ किसी अद्वितीय फलन को इंगित नहीं करता है, जैसे संख्याओं में कई बीजगणितीय जड़ें होती हैं। यह मुद्दा अंकगणित में शून्य#बीजगणित|0/0 द्वारा अभिव्यक्ति विभाजन के समान है। यदि f हो तो f का एक तुच्छ मूल सदैव प्राप्त किया जा सकता है' के कार्यक्षेत्र को पर्याप्त रूप से बढ़ाया जा सकता है, cf. चित्र। चुनी गई जड़ें आम तौर पर अध्ययन के अंतर्गत कक्षा से संबंधित होती हैं।

किसी फलन के भिन्नात्मक पुनरावृत्ति को परिभाषित किया जा सकता है: उदाहरण के लिए, किसी फलन का कार्यात्मक वर्गमूल $π/6$ एक फलन है $1/2$ ऐसा है कि $n = 2$. यह फलन $f(x) = 4x − 6$ को इंडेक्स नोटेशन का उपयोग करके लिखा जा सकता है $g(x) = 6 − 2x$. इसी प्रकार, $g(x) = 2x − 2$ फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है $f^{ 1/2}(x)$, जबकि $g(g(x)) = f(x)$ को बराबर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $g(x)$, इत्यादि, यह सब पहले बताए गए सिद्धांत पर आधारित है $f^{ 1/2}(x)$. इस विचार को सामान्यीकृत किया जा सकता है ताकि पुनरावृत्ति गिनती हो $π/6$ एक सतत मापदण्ड बन जाता है, एक निरंतर कक्षा (गतिशीलता) का एक प्रकार का निरंतर समय। ऐसे स्थितियों में, कोई सिस्टम को प्रवाह (गणित) के रूप में संदर्भित करता है। (सीएफ. नीचे #संयुग्मता पर अनुभाग।)

यदि कोई फलन विशेषण है (और इसलिए उसका व्युत्क्रम फलन है), तो ऋणात्मक पुनरावृत्त फलन व्युत्क्रम और उनकी रचनाओं के अनुरूप होते हैं। उदाहरण के लिए, $f^{ 1/3}(x)$ का सामान्य व्युत्क्रम है $f$, जबकि $f^{1/3}(f^{1/3}(f^{1/3}(x))) = f(x)$ स्वयं से बना व्युत्क्रम है, अर्थात्। $f(x)$. भिन्नात्मक ऋणात्मक पुनरावृत्तियों को भिन्नात्मक सकारात्मक पुनरावृत्तियों के अनुरूप परिभाषित किया जाता है; उदाहरण के लिए, $f(f(x))$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है $f^{ m} ○ f^{ n} = f^{ m + n}$, या, समकक्ष, ऐसे कि $f^{ −1}(x)$.

भिन्नात्मक पुनरावृत्ति के लिए कुछ सूत्र
एक निश्चित बिंदु का उपयोग करके भिन्नात्मक पुनरावृत्ति के लिए श्रृंखला सूत्र खोजने की कई विधियों में से एक इस प्रकार है। f^n(x) = f^n(a) + (x-a)\left.\frac{d}{dx}f^n(x)\right|_{x=a} + \frac{(x-a)^2}2\left.\frac{d^2}{dx^2}f^n(x)\right|_{x=a} +\cdots $$ f^n(x) = f^n(a) + (x-a) f'(a)f'(f(a))f'(f^2(a))\cdots f'(f^{n-1}(a)) + \cdots $$ f^n(x) = a + (x-a) f'(a)^n + \frac{(x-a)^2}2(f''(a)f'(a)^{n-1})\left(1+f'(a)+\cdots+f'(a)^{n-1} \right)+\cdots $$ f^n(x) = a + (x-a) f'(a)^n + \frac{(x-a)^2}2(f''(a)f'(a)^{n-1})\frac{f'(a)^n-1}{f'(a)-1}+\cdots $$ एक विशेष स्थिति है जब $f^{ −2}(x)$, $$ f^n(x) = x + \frac{(x-a)^2}2(n f(a))+ \frac{(x-a)^3}6\left(\frac{3}{2}n(n-1) f(a)^2 + n f'''(a)\right)+\cdots $$ इसे अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है, हालांकि अप्रभावी रूप से, क्योंकि बाद की शर्तें तेजी से जटिल हो जाती हैं। संयुग्मन पर निम्नलिखित अनुभाग में एक अधिक व्यवस्थित प्रक्रिया की रूपरेखा दी गई है।
 * 1) सर्वप्रथम फलन के लिए एक निश्चित बिंदु निर्धारित करें जैसे कि $f^{ −2}(x) = f^{ −1}(f^{ −1}(x))$.
 * 2) परिभाषित करना $f^{ −1/2}(x)$ वास्तविक से संबंधित सभी n के लिए। यह, कुछ मायनों में, भिन्नात्मक पुनरावृत्तियों पर अनुप्रयुक्त होने वाली सबसे स्वाभाविक अतिरिक्त स्थिति है।
 * 3) बढ़ाना $f^{ −1/2}(f^{ −1/2}(x)) = f^{ −1}(x)$ टेलर श्रृंखला के रूप में निश्चित बिंदु a के आसपास, $$
 * 1) विस्तार करें $$
 * 1) के लिए स्थानापन्न $f^{ −1/2}(f^{ 1/2}(x)) = f^{ 0}(x) = x$, किसी भी k के लिए, $$
 * 1) शब्दों को सरल बनाने के लिए ज्यामितीय प्रगति का उपयोग करें, $$

उदाहरण 1
उदाहरण के लिए, समुच्चयन $f(a) = a$ निश्चित बिंदु देता है $f ^{n}(a) = a$, इसलिए उपरोक्त सूत्र बस पर समाप्त होता है $$ f^n(x)=\frac{D}{1-C} + \left(x-\frac{D}{1-C}\right)C^n=C^nx+\frac{1-C^n}{1-C}D ~, $$ जिसे जांचना साधारण बात है.

उदाहरण 2
का मान ज्ञात कीजिये $$\sqrt{2}^{ \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdots}} }$$ जहां यह n बार किया जाता है (और संभवतः प्रक्षेपित मान जब n एक पूर्णांक नहीं है)। अपने पास $f^{n}(x)$. एक निश्चित बिंदु है $f(a) = a$.

तो समुच्चय करें $f '(a) = 1$ और $f(x) = Cx + D$ 2 के निश्चित बिंदु मान के चारों ओर विस्तारित एक अनंत श्रृंखला है, $$ \sqrt{2}^{ \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdots}} } = f^n(1) = 2 - (\ln 2)^n + \frac{(\ln 2)^{n+1}((\ln 2)^n-1)}{4(\ln 2-1)} - \cdots $$ जो, केवल पहले तीन पदों को लेते हुए, पहले दशमलव स्थान तक सही है जब n धनात्मक-cf है। टेट्रेशन: $a = D/(1 − C)$. (अन्य निश्चित बिंदु का उपयोग करते हुए $f(x) = √2^{x}$श्रृंखला को अलग करने का कारण बनता है।)

के लिए $a = f(2) = 2$, श्रृंखला व्युत्क्रम फलन की गणना करती है $g$.

उदाहरण 3
समारोह के साथ $x = 1$, श्रृंखला प्राप्त करने के लिए निश्चित बिंदु 1 के चारों ओर विस्तार करें $$ f^n(x) = 1 + b^n(x-1) + \frac{1}2b^{n}(b^n-1)(x-1)^2 + \frac{1}{3!}b^n (b^n-1)(b^n-2)(x-1)^3 + \cdots ~, $$ जो कि केवल x की टेलर श्रृंखला है(बी n ) का विस्तार 1 के आसपास हुआ।

संयुग्मता
यदि $n$ और $f$ दो पुनरावृत्त कार्य हैं, और एक होमियोमोर्फिज्म मौजूद है $2 ln x⁄ln 2$ ऐसा है कि $f ^{n} (1)$,  तब $f$ और $g$ को सांस्थितिक संयुग्मता कहा जाता है।

स्पष्ट रूप से, सांस्थितिक संयुग्मता को पुनरावृत्ति के अंतर्गत संरक्षित किया जाता है $f ^{n}(1) = ^{n}√2$. इस प्रकार, यदि कोई एक पुनरावृत्त फलन प्रणाली को हल कर सकता है, तो उसके पास सभी सांस्थितिकी संयुग्मित प्रणालियों के लिए भी समाधान हैं। उदाहरण के लिए, तम्बू मानचित्र स्थलाकृतिक रूप से लॉजिस्टिक मानचित्र से संयुग्मित है। एक विशेष स्थिति के रूप में, ले रहा हूँ $1=a = f(4) = 4$, एक की पुनरावृत्ति होती है $n = −1$ जैसा
 * $f(x) = x^{b}$, किसी भी फलन के लिए $h$.

प्रतिस्थापन करना $g = h^{−1} ○ f ○ h$ पैदावार
 * $g^{n} = h^{−1} ○ f ^{n} ○ h$, एक रूप जिसे एबेल समीकरण के नाम से जाना जाता है।

यहां तक ​​कि सख्त होमियोमोर्फिज्म के अभाव में भी, एक निश्चित बिंदु के निकट, यहां पर माना जाता है $f$ = 0, $g$(0) = 0, कोई भी प्रायः हल कर सकता है किसी फलन Ψ के लिए श्रोडर का समीकरण, जो बनाता है $f(x) = x + 1$स्थानीय रूप से मात्र फैलाव से संयुग्मित, $g(x) = h^{&minus;1}(h(x) + 1)$, वह है

इस प्रकार, इसकी पुनरावृत्ति कक्षा, या प्रवाह, उपयुक्त प्रावधानों के अंतर्गत (उदाहरण के लिए, $g^{n}(x) = h^{&minus;1}(h(x) + n)$), एकपदी की कक्षा के संयुग्म की मात्रा,

कहाँ $h$ इस अभिव्यक्ति में एक सादे प्रतिपादक के रूप में कार्य करता है: कार्यात्मक पुनरावृत्ति को गुणन में घटा दिया गया है! हालाँकि, यहाँ प्रतिपादक है $x$ अब पूर्णांक या धनात्मक होने की आवश्यकता नहीं है, और पूर्ण कक्षा के लिए विकास का एक निरंतर समय है: पिकार्ड अनुक्रम (cf. परिवर्तन अर्धसमूह) के मोनोइड को एक पूर्ण सतत समूह में सामान्यीकृत किया गया है।

यह विधि (प्रमुख eigenfunction Ψ का विक्षुब्ध निर्धारण, सीएफ कार्लमैन मैट्रिक्स) पिछले अनुभाग के एल्गोरिदम के बराबर है, हालांकि, व्यवहार में, अधिक शक्तिशाली और व्यवस्थित है।

मार्कोव चेन
यदि फलन रैखिक है और इसे स्टोकेस्टिक मैट्रिक्स द्वारा वर्णित किया जा सकता है, अर्थात, एक मैट्रिक्स जिसकी पंक्तियों या स्तंभों का योग एक है, तो पुनरावृत्त प्रणाली को मार्कोव श्रृंखला के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण
अराजक मानचित्रों की सूची है। प्रसिद्ध पुनरावृत्त फ़ंक्शंस में मैंडेलब्रॉट समुच्चय और पुनरावृत्त फलन सिस्टम सम्मिलित हैं।

अर्न्स्ट श्रोडर (गणितज्ञ)|अर्नस्ट श्रोडर, 1870 में, लॉजिस्टिक मानचित्र के विशेष स्थितियों पर काम किया, जैसे कि अराजक स्थिति $x = h^{&minus;1}(y) = ϕ(y)$, ताकि $g(ϕ(y)) = ϕ(y+1)$, इस तरह $f(x)$.

श्रोडर ने एक गैर-अराजक स्थिति को भी अपनी पद्धति से चित्रित किया, $g(x) = f '(0) x$, उपज $f(x) = Ψ^{−1}(f '(0) Ψ(x))$, और इसलिए $f '(0) ≠ 1$.

यदि $f$ एक समुच्चय पर एक समूह तत्व की समूह क्रिया (गणित) है, तो पुनरावृत्त फलन एक मुक्त समूह से मेल खाता है।

अधिकांश फ़ंक्शंस में n-वें पुनरावृत्त के लिए स्पष्ट सामान्य बंद-फ़ॉर्म अभिव्यक्तियाँ नहीं होती हैं। नीचे दी गई तालिका में कुछ सूचीबद्ध हैं यह काम करता है। ध्यान दें कि ये सभी अभिव्यक्तियाँ गैर-पूर्णांक और ऋणात्मक n के साथ-साथ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n के लिए भी मान्य हैं।

ध्यान दें: ये दो विशेष स्थिति हैं $Ψ^{−1}(f '(0)^{n} Ψ(x))$ एकमात्र ऐसे स्थिति हैं जिनमें बंद-फ़ॉर्म समाधान होता है। क्रमशः बी = 2 = -ए और बी = 4 = -ए चुनना, उन्हें तालिका से पहले चर्चा किए गए गैर-अव्यवस्थित और अराजक लॉजिस्टिक स्थितियों में कम कर देता है।

इनमें से कुछ उदाहरण सरल संयुग्मन द्वारा आपस में संबंधित हैं। कुछ और उदाहरण, जो अनिवार्य रूप से श्रोडर के उदाहरणों के सरल संयुग्मन से संबंधित हैं, संदर्भ में पाए जा सकते हैं।

अध्ययन के साधन
पुनरावृत्त फलनों का अध्ययन आर्टिन-मज़ूर ज़ेटा फलन और ट्रांसफर संचालकों के साथ किया जा सकता है।

अभिकलित्र विज्ञान में
अभिकलित्र विज्ञान में, पुनरावृत्त कार्य रिकर्सन (अभिकलित्र विज्ञान) के एक विशेष स्थिति के रूप में होते हैं, जो बदले में लैम्ब्डा कैलकुलस जैसे व्यापक विषयों, या अभिकलित्र प्रोग्राम के सांकेतिक शब्दार्थ जैसे संकीर्ण विषयों के अध्ययन को आधार बनाते हैं।

पुनरावृत्त फलनों के संदर्भ में परिभाषाएँ
दो महत्वपूर्ण फलनों को पुनरावृत्त फलनों के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। ये हैं सारांश:



\left\{b+1,\sum_{i=a}^b g(i)\right\} \equiv \left( \{i,x\} \rightarrow \{ i+1 ,x+g(i) \}\right)^{b-a+1} \{a,0\} $$ और समतुल्य उत्पाद:



\left\{b+1,\prod_{i=a}^b g(i)\right\} \equiv \left( \{i,x\} \rightarrow \{ i+1 ,x g(i) \}\right)^{b-a+1} \{a,1\} $$

कार्यात्मक व्युत्पन्न
पुनरावृत्त फलन का कार्यात्मक व्युत्पन्न पुनरावर्ती सूत्र द्वारा दिया गया है:


 * $$\frac{ \delta f^N(x)}{\delta f(y)} = f'( f^{N-1}(x) ) \frac{ \delta f^{N-1}(x)}{\delta f(y)} + \delta( f^{N-1}(x) - y ) $$

झूठ का डेटा परिवहन समीकरण
पुनरावृत्त फलन संयुक्त फलन के श्रृंखला विस्तार में सामने आते हैं, जैसे कि $f ^{n}(x) = Ψ^{−1}((ln 2)^{n} Ψ(x))$

पुनरावृत्ति वेग, या बीटा फलन (भौतिकी) को देखते हुए,
 * $$v(x) = \left. \frac{\partial f^n(x)}{\partial n} \right|_{n=0}$$
 * फलन $n$ के nवें पुनरावृत्त के लिए, हमारे पास है

g(f(x)) = \exp\left[ v(x) \frac{\partial}{\partial x} \right] g(x) $$ उदाहरण के लिए, कठोर संवहन के लिए, यदि $Ψ(√2^{x}) = ln 2 Ψ(x)$, तब $(f ^{m}(x) − 2)/(ln 2)^{m}$ हैं। फलस्वरूप, $f(x) = 4x(1 − x)$, एक सहज शिफ्ट संचालक द्वारा क्रिया है।

इसके विपरीत, ऊपर चर्चा किए गए सामान्य एबेल समीकरण के माध्यम से कोई यादृच्छिक $Ψ(x) = arcsin^{2}(\sqrt{x})$ दिए गए $f ^{n}(x) = sin^{2}(2^{n} arcsin(\sqrt{x}))$ को निर्दिष्ट कर सकता है,

f(x) = h^{-1}(h(x)+1) $$ जहाँ

h(x) = \int \frac{1}{v(x)} \, dx $$ यह बात व्याख्या करने से स्पष्ट होती है;
 * $$f^n(x)=h^{-1}(h(x)+n)~$$

सतत पुनरावृत्ति सूचकांक $n$ के लिए, अब, एक उप-अवधारणा के रूप में लिखा गया है, यह एक सतत समूह के लिए ली की प्रसिद्ध घातीय प्रतिफलन के बराबर है,
 * $$e^{t~\frac{\partial }{\partial h(x)}} g(x)= g(h^{-1}(h(x )+t))= g(f_t(x))$$

प्रारंभिक प्रवाह वेग $f$ संपूर्ण प्रवाह को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है, इस घातीय प्रतिफलन को देखते हुए जो स्वचालित रूप से अनुवाद कार्यात्मक समीकरण का सामान्य हल प्रदान करता है, $$f_t(f_\tau (x))=f_{t+\tau} (x) ~$$

यह भी देखें

 * तर्कहीन आवर्तन
 * पुनरावृत्त कार्य प्रणाली
 * पुनरावृत्त विधि
 * आवर्तन संख्या
 * सरकोव्स्की की प्रमेय
 * भिन्नात्मक कलन
 * पुनरावृत्ति संबंध
 * श्रोडर का समीकरण
 * कार्यात्मक वर्गमूल
 * एबेल फलन
 * विश्लेषणात्मक फलनों की अनंत रचनाएँ
 * प्रवाह (गणित)
 * टेट्रेशन
 * कार्यात्मक समीकरण

बाहरी कड़ियाँ
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