असतत बाहरी कलन

गणित में, डिस्क्रीट एक्सटर्नल कैलकुलस (डीईसी) एक्सटर्नल बीजगणित का विस्तार है, जिसमें ग्राफ सिद्धांत, परिमित तत्व विधि, और वर्तमान में सामान्य पॉलीगोनल मेश (गैर-फ्लैट और गैर-उत्तल) भी सम्मिलित हैं। परिमित तत्व विधियों में सुधार और विश्लेषण करने में डीईसी विधियां बहुत शक्तिशाली सिद्ध हुई हैं: उदाहरण के लिए, डीईसी-आधारित विधियां स्पष्ट परिणाम प्राप्त करने के लिए अत्यधिक गैर-समान जालों के उपयोग की अनुमति देती हैं। गैर-समान मेश लाभदायक होते हैं क्योंकि वे बड़े तत्वों के उपयोग की अनुमति देते हैं जहां सिम्युलेटेड होने की प्रक्रिया अपेक्षाकृत सरल होती है, ठीक रिज़ॉल्यूशन के विपरीत जहां प्रक्रिया जटिल हो सकती है (जैसे, द्रव प्रवाह में बाधा के पास), कम कम्प्यूटेशनल शक्ति का उपयोग करते समय यदि समान रूप से महीन जाली का उपयोग किया जाता है।

असतत बाहरी व्युत्पन्न
स्टोक्स की प्रमेय एक अवकल (n - 1)-रूप ω के समाकल को एक n-विम बहुविध M की सीमा (टोपोलॉजी) ∂M पर dω के समाकल (ω के बाह्य अवकलज, और M पर अवकल n-रूप) से संबंधित करती है। एम पर ही:


 * $$\int_{M} \mathrm{d} \omega = \int_{\partial M} \omega.$$

एक अंतर के-रूपों को रैखिक ऑपरेटर के रूप में सोच सकता है जो अंतरिक्ष के k-आयामी बिट्स पर कार्य करते हैं, इस स्थिति में एक दोहरी जोड़ी के लिए ब्रा-केट नोटेशन का उपयोग करना पसंद कर सकते हैं। इस अंकन में, स्टोक्स प्रमेय को इस प्रकार पढ़ा जाता है


 * $$\langle \mathrm{d} \omega \mid M \rangle = \langle \omega \mid \partial M \rangle.$$

परिमित तत्व विश्लेषण में, पहला चरण अधिकांशतः एक त्रिकोणासन (टोपोलॉजी), T द्वारा ब्याज के डोमेन का अनुमान होता है। उदाहरण के लिए, एक वक्र को सीधी रेखा खंडों के संघ के रूप में अनुमानित किया जाएगा; एक सतह को त्रिभुजों के एक संघ द्वारा अनुमानित किया जाएगा, जिनके किनारे सीधी रेखा के खंड हैं, जो स्वयं बिंदुओं में समाप्त होते हैं। टोपोलॉजिस्ट इस तरह के निर्माण को एक साधारण परिसर के रूप में संदर्भित करेंगे। इस त्रिकोणासन/सरल परिसर T पर सीमा संचालक को सामान्य विधियों से परिभाषित किया गया है: उदाहरण के लिए, यदि L एक बिंदु, a, से दूसरे, b तक एक निर्देशित रेखा खंड है, तो L की सीमा ∂L औपचारिक अंतर b − a है।

T पर k-फॉर्म एक रैखिक ऑपरेटर है जो T के k-आयामी उप परिसरों पर अभिनय करता है; उदाहरण के लिए, 0-फ़ॉर्म बिंदुओं को मान प्रदान करता है, और बिंदुओं के रैखिक संयोजनों के लिए रैखिक रूप से विस्तारित होता है; 1-फॉर्म एक समान रैखिक विधियों से लाइन सेगमेंट को मान प्रदान करता है। यदि ω, T पर एक k-रूप है, तो ω का 'असतत बाह्य अवकलज' dω अद्वितीय (k + 1)-रूप परिभाषित है जिससे कि स्टोक्स प्रमेय धारण करता है:


 * $$\langle \mathrm{d} \omega \mid S \rangle = \langle \omega \mid \partial S \rangle.$$

प्रत्येक (k + 1) के लिए - T, S का आयामी उपसमुच्चय।

अन्य ऑपरेटरों और संचालन जैसे असतत वेज उत्पाद, हॉज स्टार, या लाई डेरिवेटिव को भी परिभाषित किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * असतत अंतर ज्यामिति
 * असतत मोर्स सिद्धांत
 * टोपोलॉजिकल कॉम्बिनेटरिक्स
 * असतत कलन

संदर्भ

 * A simple and complete discrete exterior calculus on general polygonal meshes, Ptackova, Lenka and Velho, Luiz, Computer Aided Geometric Design, 2021, DOI: 10.1016/j.cagd.2021.102002
 * Discrete Calculus, Grady, Leo J., Polimeni, Jonathan R., 2010
 * Hirani Thesis on Discrete Exterior Calculus
 * A Primal-to-Primal Discretization of Exterior Calculus on Polygonal Meshes, Ptackova, L. and Velho, L., Symposium on Geometry Processing 2017, DOI: 10.2312/SGP.20171204
 * Convergence of discrete exterior calculus approximations for Poisson problems, E. Schulz & G. Tsogtgerel, Disc. Comp. Geo. 63(2), 346 - 376, 2020
 * On geometric discretization of elasticity, Arash Yavari, J. Math. Phys. 49, 022901 (2008), DOI:10.1063/1.2830977
 * Discrete Differential Geometry: An Applied Introduction, Keenan Crane, 2018