स्थिर अक्ष में घूर्णन

निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमना घूर्णी गति की विशेष स्थिति है। फिक्स्ड-एक्सिस परिकल्पना धुरी के अपने अभिविन्यास को परिवर्तित करने की संभावना को बाहर करती है और इस तरह की घटनाओं को पुरस्सरण के रूप में वर्णित नहीं कर सकती है। यूलर के घुमाव प्रमेय के अनुसार, एक समय में कई स्थिर अक्षों के साथ-साथ घुमाव असंभव है; यदि एक ही समय में दो घुमावों को मजबूर किया जाता है, तो घुमाव की नई धुरी दिखाई देगी।

यह लेख मानता है कि रोटेशन भी स्थिर है, जैसे कि इसे जारी रखने के लिए किसी भी टोक़ की आवश्यकता नहीं है।एक कठोर शरीर के एक निश्चित अक्ष के चारों ओर रोटेशन के गतिकी  और डायनामिक्स (यांत्रिकी) कठोर शरीर की गतिशीलता#कठोर-शरीर कोणीय गति के लिए गणितीय रूप से बहुत सरल हैं;वे पूरी तरह से एक निश्चित दिशा के साथ रैखिक गति के अनुरूप हैं, जो '' एक कठोर शरीर के मुक्त रोटेशन 'के लिए सच नहीं है।ऑब्जेक्ट की  गतिज ऊर्जा  के लिए अभिव्यक्ति, और वस्तु के भागों पर बलों के लिए, सामान्य घूर्णी गति की तुलना में एक निश्चित अक्ष के आसपास रोटेशन के लिए भी सरल हैं।इन कारणों के लिए, एक निश्चित अक्ष के चारों ओर रोटेशन आमतौर पर छात्रों को रैखिक गति में महारत हासिल करने के बाद परिचयात्मक भौतिकी पाठ्यक्रमों में पढ़ाया जाता है;घूर्णी गति की पूर्ण व्यापकता आमतौर पर परिचयात्मक भौतिकी कक्षाओं में नहीं सिखाई जाती है।

अनुवाद और रोटेशन
एक कठोर शरीर परिमित हद तक एक वस्तु है जिसमें घटक कणों के बीच सभी दूरी स्थिर होती है।वास्तव में कठोर शरीर मौजूद नहीं है;बाहरी बल किसी भी ठोस को विकृत कर सकते हैं।हमारे उद्देश्यों के लिए, एक कठोर शरीर एक ठोस है जिसे बड़े बलों को सराहनीय रूप से विकृत करने की आवश्यकता होती है।

त्रि-आयामी स्थान में एक कण की स्थिति में परिवर्तन को तीन निर्देशांक द्वारा पूरी तरह से निर्दिष्ट किया जा सकता है।एक कठोर शरीर की स्थिति में बदलाव का वर्णन करने के लिए अधिक जटिल है।इसे दो अलग -अलग प्रकार के गति के संयोजन के रूप में माना जा सकता है: अनुवाद ात्मक गति और परिपत्र गति।

विशुद्ध रूप से अनुवाद (ज्यामिति) तब होता है जब शरीर के प्रत्येक कण में हर दूसरे कण के समान तात्कालिक वेग होता है;फिर किसी भी कण द्वारा पता लगाया गया पथ शरीर के हर दूसरे कण द्वारा पता लगाए गए पथ के बिल्कुल समानांतर होता है।ट्रांसलेशनल गति के तहत, एक कठोर शरीर की स्थिति में परिवर्तन पूरी तरह से तीन निर्देशांक जैसे कि एक्स, वाई, और जेड द्वारा किसी भी बिंदु के विस्थापन  (वेक्टर) को देने के लिए निर्दिष्ट किया गया है, जैसे कि द्रव्यमान का केंद्र, कठोर शरीर के लिए तय किया गया है।

विशुद्ध रूप से घूर्णी गति तब होती है जब शरीर का प्रत्येक कण एक ही लाइन के बारे में एक सर्कल में चलता है।इस लाइन को रोटेशन का अक्ष कहा जाता है।तब रेडियस वेक्टर (ज्यामिति)  अक्ष से सभी कणों तक एक ही समय में एक ही कोणीय विस्थापन से गुजरता है।रोटेशन की धुरी को शरीर के माध्यम से नहीं जाना चाहिए।सामान्य तौर पर, किसी भी रोटेशन को आयताकार-समन्वित अक्ष एक्स, वाई और जेड के संबंध में तीन कोणीय विस्थापन द्वारा पूरी तरह से निर्दिष्ट किया जा सकता है।कठोर शरीर की स्थिति में कोई भी परिवर्तन इस प्रकार पूरी तरह से तीन अनुवाद और तीन घूर्णी निर्देशांक द्वारा वर्णित है।

एक कठोर शरीर के किसी भी विस्थापन को पहले शरीर को एक विस्थापन के लिए एक रोटेशन के बाद, या इसके विपरीत, एक विस्थापन के बाद एक रोटेशन के लिए आ सकता है।हम पहले से ही जानते हैं कि कणों के किसी भी संग्रह के लिए - चाहे एक दूसरे के संबंध में आराम करें, जैसा कि एक कठोर शरीर में, या सापेक्ष गति में, एक शेल के विस्फोट टुकड़े की तरह, द्रव्यमान के केंद्र का त्वरण द्वारा दिया जाता है
 * $$F_{\mathrm{net}} = M a_{\mathrm{cm}}\;\!$$

जहां एम सिस्टम का कुल द्रव्यमान है और एcm द्रव्यमान के केंद्र का त्वरण है।द्रव्यमान के केंद्र के बारे में शरीर के रोटेशन का वर्णन करने और शरीर पर काम करने वाली बाहरी ताकतों से संबंधित होने की बात बनी हुई है।एक ही अक्ष के चारों ओर घूर्णी गति की किनेमेटीक्स और गतिशीलता अनुवादात्मक गति के किनेमेटीक्स और गतिशीलता से मिलती जुलती है;एक ही अक्ष के चारों ओर घूर्णी गति भी कण गतिशीलता के अनुरूप एक कार्य-ऊर्जा प्रमेय होती है।

कोणीय विस्थापन
एक कण को देखते हुए जो त्रिज्या के एक चक्र की परिधि के साथ चलता है $$r$$, एक चाप की लंबाई ले जाने के बाद $$s$$, इसकी कोणीय स्थिति है $$\theta$$ इसकी प्रारंभिक स्थिति के सापेक्ष, जहां $$\theta=\frac{s}{r}$$।

गणित और भौतिकी में, यह कांति, विमान कोण की एक इकाई के इलाज के लिए पारंपरिक है, 1 के रूप में, अक्सर इसे छोड़ देता है।इकाइयों को निम्नानुसार परिवर्तित किया जाता है:


 * $$\begin{align}

360^\circ &= 2\pi \text{ rad} \\ 1 \text{ rad} &= \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57.27^\circ. \end{align}$$ एक कोणीय विस्थापन कोणीय स्थिति में एक परिवर्तन है:
 * $$ \Delta \theta = \theta_{2} - \theta_{1} ,$$

कहाँ पे $$\Delta \theta$$ कोणीय विस्थापन है, $$\theta_1$$ प्रारंभिक कोणीय स्थिति है और $$\theta_2$$ अंतिम कोणीय स्थिति है।

कोणीय वेग
प्रति यूनिट समय में कोणीय विस्थापन में परिवर्तन को रोटेशन की धुरी के साथ दिशा के साथ कोणीय वेग कहा जाता है।कोणीय वेग के लिए प्रतीक है $$\omega$$ और इकाइयाँ आमतौर पर रेड एस होती हैं−1।कोणीय गति कोणीय वेग का परिमाण है।



तात्कालिक कोणीय वेग द्वारा दिया जाता है



कोणीय स्थिति और देने के लिए सूत्र का उपयोग करना $$v = \frac{ds}{dt}$$, हमारे पास यह भी है



कहाँ पे $$v$$ कण की अनुवादात्मक गति है।

कोणीय वेग और आवृत्ति  से संबंधित हैं



कोणीय त्वरण
एक बदलते कोणीय वेग कठोर शरीर में एक कोणीय त्वरण की उपस्थिति को इंगित करता है, आमतौर पर रेड एस में मापा जाता है−2।औसत कोणीय त्वरण $$\overline{\alpha}$$ एक समय के अंतराल से अधिक Δt द्वारा दिया जाता है

तात्कालिक त्वरण α (t) द्वारा दिया गया है

इस प्रकार, कोणीय त्वरण कोणीय वेग के परिवर्तन की दर है, जैसे कि त्वरण वेग के परिवर्तन की दर है।

ऑब्जेक्ट रोटेटिंग पर एक बिंदु का अनुवादात्मक त्वरण द्वारा दिया गया है
 * $$a = r\alpha,\!$$

जहां R रोटेशन की धुरी से त्रिज्या या दूरी है।यह भी त्वरण का स्पर्शरेखा घटक  है: यह बिंदु की गति की दिशा के लिए स्पर्शरेखा है।यदि यह घटक 0 है, तो गति समान परिपत्र गति है, और वेग केवल दिशा में बदलता है।

रेडियल त्वरण (गति की दिशा के लंबवत) द्वारा दिया गया है
 * $$a_{\mathrm{R}} = \frac{v^2}{r} = \omega^2r\!$$।

इसे घूर्णी गति के केंद्र की ओर निर्देशित किया जाता है, और इसे अक्सर सेंट्रिपेटल त्वरण कहा जाता है।

कोणीय त्वरण टोक़ के कारण होता है, जो सकारात्मक और नकारात्मक कोणीय आवृत्ति के सम्मेलन के अनुसार एक सकारात्मक या नकारात्मक मूल्य हो सकता है।टोक़ और कोणीय त्वरण के बीच संबंध (इसे शुरू करना, रोकना, या अन्यथा रोटेशन बदलना कितना मुश्किल है) जड़ता के क्षण द्वारा दिया गया है: $$T = I\alpha$$।

किनेमेटिक्स के समीकरण
जब कोणीय त्वरण स्थिर होता है, तो पांच मात्रा में कोणीय विस्थापन $$\theta$$, प्रारंभिक कोणीय वेग $$\omega_1$$, अंतिम कोणीय वेग $$\omega_2$$, कोणीय त्वरण $$\alpha$$, और समय $$t$$ चार कीनेमेटीक्स#घूर्णी गति से संबंधित हो सकते हैं:


 * $$\begin{align}

\omega_2 &= \omega_1 + \alpha t \\ \theta &= \omega_1 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 \\ \omega_2^2 &= \omega_1^2 + 2 \alpha\theta \\ \theta &= \frac{1}{2} \left(\omega_2 + \omega_1\right) t \end{align}$$

जड़ता का क्षण
किसी वस्तु की जड़ता का क्षण, जिसका प्रतीक है $$I$$, इसके रोटेशन में परिवर्तन के लिए वस्तु के प्रतिरोध का एक उपाय है।जड़ता के क्षण को किलोग्राम मीटर (किलो एम) में मापा जाता है2)।यह वस्तु के द्रव्यमान पर निर्भर करता है: किसी वस्तु के द्रव्यमान को बढ़ाने से जड़ता का क्षण बढ़ जाता है।यह द्रव्यमान के वितरण पर भी निर्भर करता है: रोटेशन के केंद्र से द्रव्यमान को आगे वितरित करने से जड़ता के क्षण को अधिक हद तक बढ़ जाता है।द्रव्यमान के एक ही कण के लिए $$m$$ एक दूरी $$r$$ रोटेशन की धुरी से, जड़ता का क्षण द्वारा दिया जाता है


 * I = mr^2.

टॉर्क
टॉर्कः $$\boldsymbol{\tau}$$ एक घूर्णन ऑब्जेक्ट पर लागू एक बल एफ का घुमा प्रभाव है जो रोटेशन की अक्ष से स्थिति आर पर है।गणितीय रूप से,

जहां × क्रॉस उत्पाद को दर्शाता है।किसी वस्तु पर अभिनय करने वाला एक शुद्ध टोक़ वस्तु के एक कोणीय त्वरण का उत्पादन करेगा

जैसा कि f =  ma रैखिक गतिशीलता में।

किसी वस्तु पर अभिनय करने वाले टोक़ द्वारा किया गया कार्य टोक़ के समय के परिमाण के बराबर होता है, जिसके माध्यम से टोक़ लागू होता है:
 * $$W = \tau\theta. \!$$

एक टोक़ की शक्ति प्रति यूनिट समय टोक़ द्वारा किए गए कार्य के बराबर है, इसलिए:
 * $$P = \tau\omega. \!$$

कोणीय गति
कोणीय गति $$\mathbf{L}$$ आराम करने के लिए एक घूर्णन वस्तु लाने की कठिनाई का एक उपाय है।यह द्वारा दिया गया है
 * ऑब्जेक्ट में सभी कणों के लिए।

कोणीय गति जड़ता और कोणीय वेग के क्षण का उत्पाद है:

जैसा कि p =  mv रैखिक गतिशीलता में।

घूर्णी गति में रैखिक गति का एनालॉग कोणीय गति है।कताई ऑब्जेक्ट की कोणीय गति जैसे कि एक शीर्ष के रूप में, स्पिन करने के लिए जारी रखने के लिए इसकी प्रवृत्ति उतनी ही अधिक होती है।

एक घूर्णन शरीर की कोणीय गति इसके द्रव्यमान के लिए आनुपातिक है और यह कितनी तेजी से बदल रही है।इसके अलावा, कोणीय गति इस बात पर निर्भर करती है कि कैसे द्रव्यमान को रोटेशन की धुरी के सापेक्ष वितरित किया जाता है: आगे द्रव्यमान रोटेशन की धुरी से स्थित होता है, कोणीय गति से अधिक।एक फ्लैट डिस्क जैसे कि रिकॉर्ड टर्नटेबल में एक ही द्रव्यमान के खोखले सिलेंडर और रोटेशन के वेग की तुलना में कम कोणीय गति होती है।

रैखिक गति की तरह, कोणीय गति वेक्टर मात्रा है, और इसके संरक्षण का अर्थ है कि स्पिन अक्ष की दिशा अपरिवर्तित रहती है।इस कारण से, कताई शीर्ष सीधा रहता है जबकि एक स्थिर व्यक्ति तुरंत गिर जाता है।

कोणीय गति समीकरण का उपयोग एक अक्ष के बारे में एक शरीर पर परिणामी बल के क्षण से संबंधित करने के लिए किया जा सकता है (कभी -कभी टॉर्क कहा जाता है), और उस अक्ष के बारे में रोटेशन की दर।

टॉर्क और कोणीय गति के अनुसार संबंधित हैं

जिस तरह f =  d 'p/' 'dt' 'रैखिक गतिशीलता में।एक बाहरी टोक़ की अनुपस्थिति में, एक शरीर की कोणीय गति स्थिर रहती है।कोणीय गति के संरक्षण को फिगर स्केटिंग  में विशेष रूप से प्रदर्शित किया जाता है: जब एक स्पिन के दौरान शरीर के करीब हथियारों को खींचते हैं, तो जड़ता का क्षण कम हो जाता है, और इसलिए कोणीय वेग बढ़ जाता है।

काइनेटिक ऊर्जा
काइनेटिक ऊर्जा $$K_\text{rot}$$ शरीर के रोटेशन के कारण द्वारा दिया जाता है
 * $$K_\text{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2,$$

बस के रूप में $$K_\text{trans} = \tfrac{1}{2}mv^2$$ रैखिक गतिशीलता में।

गतिज ऊर्जा गति की ऊर्जा है।दो चर में पाई जाने वाली अनुवादात्मक गतिज ऊर्जा की मात्रा: वस्तु का द्रव्यमान ($$m$$) और वस्तु की गति ($$v$$) जैसा कि ऊपर के समीकरण में दिखाया गया है।काइनेटिक ऊर्जा हमेशा या तो शून्य या सकारात्मक मूल्य होनी चाहिए।जबकि वेग में या तो एक सकारात्मक या नकारात्मक मूल्य हो सकता है, वेग वर्ग हमेशा सकारात्मक होगा।

वेक्टर अभिव्यक्ति
उपरोक्त विकास सामान्य घूर्णी गति का एक विशेष मामला है।सामान्य मामले में, कोणीय विस्थापन, कोणीय वेग, कोणीय त्वरण और टोक़ को वैक्टर माना जाता है।

एक कोणीय विस्थापन को एक वेक्टर माना जाता है, अक्ष के साथ, परिमाण के बराबर होता है $$\Delta \theta$$।एक दाहिने हाथ के नियम का उपयोग यह पता लगाने के लिए किया जाता है कि यह अक्ष  के साथ किस तरह से इंगित करता है;यदि दाहिने हाथ की उंगलियों को उस तरह से इंगित करने के लिए कर्ल किया जाता है जिस तरह से वस्तु घुमा दी गई है, तो दाहिने हाथ का अंगूठा वेक्टर की दिशा में इंगित करता है।

कोणीय वेग वेक्टर भी रोटेशन की धुरी के साथ उसी तरह से इंगित करता है जैसे कि कोणीय विस्थापन का कारण बनता है।यदि एक डिस्क ऊपर से देखा गया वामावर्त घूमता है, तो इसका कोणीय वेग वेक्टर ऊपर की ओर इशारा करता है।इसी तरह,  कोणीय त्वरण  वेक्टर एक ही दिशा में रोटेशन की धुरी के साथ इंगित करता है कि कोणीय वेग को इंगित करेगा यदि कोणीय त्वरण लंबे समय तक बनाए रखा गया था।

टोक़ वेक्टर अक्ष के साथ इंगित करता है जिसके चारों ओर टोक़ रोटेशन का कारण बनता है।एक निश्चित अक्ष के चारों ओर रोटेशन बनाए रखने के लिए, कुल टोक़ वेक्टर को अक्ष के साथ होना चाहिए, ताकि यह केवल परिमाण को बदलता है न कि कोणीय वेग वेक्टर की दिशा।एक काज के मामले में, अक्ष के साथ टॉर्क वेक्टर के केवल घटक का रोटेशन पर प्रभाव पड़ता है, अन्य बलों और टोरियों को संरचना द्वारा मुआवजा दिया जाता है।

निरंतर कोणीय गति
एक निश्चित अक्ष के चारों ओर रोटेशन का सबसे सरल मामला निरंतर कोणीय गति का है।फिर कुल टोक़ शून्य है।पृथ्वी के उदाहरण के लिए इसकी धुरी के चारों ओर घूमती है, बहुत कम घर्षण है।एक प्रशंसक (यांत्रिक)  के लिए, मोटर घर्षण की भरपाई के लिए एक टॉर्क लागू करता है।प्रशंसक के समान, बड़े पैमाने पर उत्पादन निर्माण उद्योग में पाए जाने वाले उपकरण प्रभावी रूप से एक निश्चित अक्ष के आसपास रोटेशन प्रदर्शित करते हैं।उदाहरण के लिए, एक मल्टी-स्पिंडल खराद का उपयोग अपनी अक्ष पर सामग्री को घुमाने के लिए किया जाता है ताकि कटिंग, विरूपण और मोड़ संचालन की उत्पादकता को प्रभावी ढंग से बढ़ाया जा सके। रोटेशन का कोण समय का एक रैखिक कार्य है, जिसे मॉडुलो 360 ° एक आवधिक कार्य है।

इसका एक उदाहरण गोलाकार कक्षा ओं के साथ दो-शरीर की समस्या है।

सेंट्रिपेटल बल
आंतरिक तन्यता तनाव   केन्द्राभिमुख शक्ति  प्रदान करता है जो एक कताई वस्तु को एक साथ रखता है।एक कठोर बॉडी मॉडल के साथ  तनाव (सामग्री विज्ञान)  की उपेक्षा करता है।यदि शरीर कठोर नहीं है तो यह तनाव इसे आकार बदलने का कारण होगा।यह केन्द्रापसारक बल के कारण ऑब्जेक्ट चेंजिंग शेप के रूप में व्यक्त किया जाता है।

एक दूसरे के बारे में घूमने वाले आकाशीय शरीर में अक्सर अण्डाकार कक्षा एं होती हैं।गोलाकार कक्षाओं का विशेष मामला एक निश्चित अक्ष के चारों ओर एक रोटेशन का एक उदाहरण है: यह अक्ष गति के विमान के लिए द्रव्यमान लंबवत केंद्र के माध्यम से रेखा है।सेंट्रिपेटल बल  गुरुत्वाकर्षण  द्वारा प्रदान किया जाता है, दो-शरीर की समस्या भी देखें।यह आमतौर पर एक कताई आकाशीय शरीर के लिए भी लागू होता है, इसलिए इसे एक साथ रखने के लिए ठोस होने की आवश्यकता नहीं है जब तक कि कोणीय गति इसके घनत्व के संबंध में बहुत अधिक न हो।(यह, हालांकि,  चपटा अंडाकार आकृति  बन जाएगा।) उदाहरण के लिए, पानी के एक कताई सेलेस्टियल बॉडी को कम से कम 3 घंटे और 18 मिनट का समय लेना चाहिए, जो कि आकार की परवाह किए बिना, या पानी अलग हो जाएगा।यदि द्रव का घनत्व अधिक है तो समय कम हो सकता है।कक्षीय अवधि देखें।

यह भी देखें

 * गति की शारीरिक शर्तें
 * कृत्रिम गुरुत्व#रोटेशन
 * धुरा
 * अक्षीय पूर्ववर्ती
 * अक्षीय झुकाव
 * अक्ष -कोण प्रतिनिधित्व
 * हिंडोला, बड़ा चक्का
 * रेल ट्रक भागों की सूची#केंद्र पिन
 * अपकेन्द्रीय बल
 * अपकेंद्रित्र
 * केन्द्राभिमुख शक्ति
 * परिपत्र गति
 * कॉरिओलिस प्रभाव
 * काल्पनिक बल
 * चक्का
 * Gyration
 * रोटेशन का तत्काल केंद्र
 * रैखिक-घूर्णी एनालॉग्स
 * प्रति मिनट घूर्णन
 * ऑप्टिकल अक्ष
 * परिक्रामी दरवाजा
 * कठोर शरीर की गतिशीलता#कठोर-शरीर कोणीय गति
 * रोटेशन मैट्रिक्स
 * घूर्णन गति
 * घूर्णी समरूपता
 * रन आउट
 * स्पिन (भौतिकी)

संदर्भ

 * Fundamentals of Physics Extended 7th Edition by Halliday, Resnick and Walker. ISBN 0-471-23231-9
 * Concepts of Physics Volume 1, by H. C. Verma, 1st edition, ISBN 81-7709-187-5