आयाम में विषम यादृच्छिक चाल

गतिशीलता (यांत्रिकी), संभाव्यता, भौतिकी, रसायन विज्ञान और संबंधित क्षेत्रों में, एक आयाम में विषम यादृच्छिक चाल कूदने के नियमों के साथ आयामी अंतराल में यादृच्छिक चाल है जो अंतराल में यादृच्छिक चाल के स्थान पर निर्भर करता है।

उदाहरण के लिए: मान लीजिए कि समय और अंतराल भी अलग है। अर्थात्, यादृच्छिक चाल प्रत्येक समय बाएं या दाएं कदम पर कूदता है। संभावित विषम यादृच्छिक चाल प्रत्येक बार कदम में यादृच्छिक संख्या खींचती है जो स्थानीय कूद संभावनाओं को निर्धारित करती है और फिर एक यादृच्छिक संख्या जो वास्तविक छलांग दिशा निर्धारित करती है। विशेष रूप से, मान लें कि अंतराल में 9 स्थल हैं (1 से 9 तक लेबल की गई हैं), और स्थल (जिसे अवस्था भी कहा जाता है) दूसरे से रैखिक रूप से जुड़ी हुई हैं (जहां किनारों के स्थल उनके आसन्न स्थलो से और साथ जुड़ी हुई हैं)। प्रत्येक समय चरण में, सिक्का उछालते समय छलांग की संभावनाएं (वास्तविक स्थल से) निर्धारित की जाती हैं; सिर के लिए हम समुच्चय करते हैं: बाएं कूदने की संभावना = 1/3, जहां टेल के लिए हम समुच्चय करते हैं: बाएं कूदने की संभावना = 0.55 है। फिर, समान वितरण (निरंतर) से यादृच्छिक संख्या निकाली जाती है: जब यादृच्छिक संख्या बाईं ओर कूदने की संभावना से छोटी होती है, तो छलांग बाईं ओर होती है, अन्यथा, छलांग दाईं ओर होती है। सामान्यतः, ऐसी प्रणाली में, हम t छलांग के बाद विभिन्न स्थलो में से प्रत्येक में रहने की संभावना में रुचि रखते हैं, और इस संभावना की सीमा में जब t अधिक उच्च, $$t\rightarrow\infty $$ होती है.

सामान्यतः ऐसी प्रक्रियाओं में समय भी निरंतर रूप से भिन्न हो सकता है और अंतराल भी या तो अलग या निरंतर होता है। इसके अतिरिक्त, अंतराल या तो सीमित है या बिना सीमा के है। असतत प्रणाली में, सम्बन्ध आसन्न अवस्थाओ के बीच होते हैं। मॉडल के आधार पर मूलभूत गतिशीलता या तो मार्कोव प्रक्रिया, अर्ध-मार्कोव प्रक्रिया, या यहां तक ​​कि मार्कोवियन भी नहीं है। असतत प्रणालियों में, 1d में विषम यादृच्छिक वॉक में जंप संभावनाएं होती हैं जो प्रणाली में स्थान पर निर्भर करती हैं, और/या अलग-अलग उछाल समय (जेटी) संभाव्यता घनत्व फलन (पीडीएफ) जो प्रणाली में स्थान पर निर्भर करती हैं।

,,,,,,,,,,,,,,,1d में विषमांगी यादृच्छिक चालों के लिए सामान्य समाधान समीकरणों का पालन करते हैं ($$)-($$), निम्नलिखित में प्रस्तुत किया गया है।

अनुप्रयोगों में यादृच्छिक चाल
यादृच्छिक चाल          का उपयोग जीव विज्ञान में प्रक्रियाओं का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है, रेफरी नाम=डीआर>गोयल एन.डब्ल्यू. और नीरा डायन|रिक्टर-डायन एन., स्टोचैस्टिक मॉडल्स इन बायोलॉजी (अकादमिक प्रेस, न्यूयॉर्क) 1974; ISBN 978-0-12-287460-4. रसायन विज्ञान, और भौतिकी, रासायनिक गतिकी सहित और बहुलक गतिशीलता सम्मिलित है।  व्यक्तिगत अणुओं में, व्यक्तिगत अणुओं का अध्ययन करते समय यादृच्छिक चालें दिखाई देती हैं,          व्यक्तिगत चैनल,  व्यक्तिगत जैव अणु, व्यक्तिगत एंजाइम,     और क्वांटम डॉट्स. महत्वपूर्ण रूप से, पीडीएफ और विशेष सहसंबंध कार्य की गणना एकल अणु माप से आसानी से की जा सकती है, किन्तु सामूहिक माप से नहीं। इस अनूठी जानकारी का उपयोग कुछ गुणों को साझा करने वाले अलग-अलग यादृच्छिक वॉक मॉडल के बीच भेदभाव करने के लिए किया जा सकता है, जो कुछ गुणों को साझा करते हैं।,  और यह यादृच्छिक चाल मॉडल के विस्तृत सैद्धांतिक विश्लेषण की मांग करता है। इस संदर्भ में, एकल अणु डेटा में सूचना सामग्री का उपयोग चल रहे शोध का विषय है।

यादृच्छिक सैर का सूत्रीकरण
इस प्रकार से वास्तविक यादृच्छिक चाल प्रसंभाव्यता अंतर समीकरण का पालन करता है, किन्तु इसकी संभाव्यता घनत्व फलन (पीडीएफ) नियतात्मक समीकरण का पालन करता है। यादृच्छिक चाल के पीडीएफ (अवस्था में अलग) मुख्य समीकरण के संदर्भ में तैयार किए जा सकते हैं और मुख्य समीकरण मार्कोवियन गतिज योजनाओं का सामान्यीकरण या (अवस्था और समय में निरंतर) फोककर-प्लैंक समीकरण और इसके सामान्यीकरण के संदर्भ में तैयार किए जा सकते हैं। निरंतर समय यादृच्छिक चाल, नवीनीकरण सिद्धांत, और पथ प्रतिनिधित्व    भी यादृच्छिक चाल के उपयोगी सूत्र हैं। विभिन्न विवरणों के बीच संबंधों का नेटवर्क यादृच्छिक चालों के विश्लेषण में शक्तिशाली उपकरण प्रदान करता है।, विशेषकर उच्च आयामों में इच्छानुसार रूप से विषम वातावरण विश्लेषण को कठिन बनाते हैं।

सरल प्रणालियाँ
सरल प्रणालियों में ज्ञात महत्वपूर्ण परिणामों में सम्मिलित हैं:
 * एक सममित मार्कोवियन यादृच्छिक चाल में, अवस्था पर अधिकृत करने के लिए ग्रीन का फलन (जिसे चलना का पीडीएफ भी कहा जाता है) मैं स्थिति में गाऊसी है और इसमें भिन्नता है जो समय की तरह मापती है। यह अलग-अलग समय और स्थान वाली प्रणाली के लिए सही है, फिर भी निरंतर समय और स्थान वाली प्रणाली में भी सम्मिलित है। यह परिणाम बिना सीमा वाली प्रणालियों के लिए है।
 * जब प्रणाली में साधारण पूर्वाग्रह होता है (यानी प्रणाली पर विशेष दिशा में निरंतर बल लगाया जाता है), तो यादृच्छिक चाल की उसकी प्रारंभिक स्थिति से औसत दूरी समय के साथ रैखिक होती है।
 * जब लंबाई L के एक सीमित अंतराल में प्रारंभिक स्थिति से दूरी L तक पहुँचने का प्रयास किया जाता है, तो इस दूरी तक पहुँचने का समय $$\tau$$ लंबाई L के साथ घातांकीय $$\tau = e^L$$ होता है: यहाँ, प्रसार एक रैखिक क्षमता के विरुद्ध है।

विषम प्रणालियाँ
1D में इच्छानुसार रूप से विषम वातावरण में अर्ध-मार्कोवियन यादृच्छिक चलने के लिए ग्रीन के फलन $$G_{ij}(t;L)$$ का समाधान हाल ही में पथ प्रतिनिधित्व का उपयोग किया गया था।  ( फलन $$G_{ij}(t;L)$$ समय t पर स्थिति i पर कब्ज़ा करने के लिए पीडीएफ है, यह देखते हुए कि प्रक्रिया ठीक समय 0 पर स्थिति j पर प्रारंभ हुई।) 1D में अर्ध-मार्कोवियन यादृच्छिक चाल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: यादृच्छिक चाल जिसकी गतिशीलता (संभवतः) स्थिति द्वारा वर्णित है अवस्था- और दिशा-निर्भर जेटी-पीडीएफ, $$\psi_{ij}(t)$$, अवस्थाओ i और i ± 1 के बीच संक्रमण के लिए, जो असंबद्ध प्रतीक्षा समय के प्रसंभाव्यता प्रक्षेपवक्र उत्पन्न करता है जो कि घातीय रूप से वितरित $$\psi_{ij}(t)$$ नहीं होते हैं। और सामान्यीकरण नियमो का पालन करता है (चित्र 1 देखें)
 * $$\sum_j\int_0^\infty \psi_{ij}(t)=1 .$$

गतिशीलता में अवस्था- और दिशा-निर्भर अपरिवर्तनीय ट्रैपिंग जेटी-पीडीएफ, $$\psi_{iI}(t)$$ I=i+L के साथ भी सम्मिलित हो सकता है। जब $$\psi_{ij}(t)$$ i पर निर्भर करता है तो पर्यावरण विषम होता है। उपरोक्त प्रक्रिया भी एक सतत समय यादृच्छिक चाल है और इसमें ग्रीन फलन $$G_{ij}(t)$$ के लिए समकक्ष सामान्यीकृत मुख्य समीकरण प्रतिनिधित्व है।

1D में विषम यादृच्छिक सैर के लिए स्पष्ट अभिव्यक्तियाँ
अर्ध-मार्कोव प्रक्रिया में, L (> 1) अवस्थाओ की एक अलग प्रणाली में पूरी तरह से विषम अर्ध-मार्कोवियन यादृच्छिक चाल, ग्रीन का फलन लाप्लास स्थान में पाया गया था (फलन के लाप्लास परिवर्तन को $$\bar{f}(s)=\int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt$$ इसके साथ परिभाषित किया गया है, ). यहां, प्रणाली को उछाल समय (आईटी) पीडीएफ $$\psi_{ij}(t)$$ के माध्यम से परिभाषित किया गया है: अवस्था i को अवस्था j से जोड़ना (छलांग अवस्था i से है)। समाधान ग्रीन के फलन के पथ प्रतिनिधित्व पर आधारित है, जिसकी गणना सभी लंबाई के सभी पथ संभाव्यता घनत्व कार्यों को सम्मिलित करते समय की जाती है:

जहाँ,


 * $$\bar{\Psi}_{i}(s) =\sum_j \bar{\Psi}_{ij}(s)$$

और


 * $$\bar{\Psi}_{ij}(s)=\frac{1-\bar{\psi}_{ij}(s)}{s}.$$

इसके अतिरिक्त, समीकरण में. ($$),

और

साथ

और

L = 1 के लिए, $$\bar{\Phi}(s;L)=1$$. इस पेपर में, प्रतीक [L/2], जैसा कि समीकरण में योग की ऊपरी सीमा में दिखाई देता है। ($$) फ्लोर ऑपरेशन (शून्य की ओर गोल) है। अंत में, समीकरण कारक $$\Phi(s,\tilde{L})$$ ($$) का रूप समीकरणों में $$\bar{\Phi}(s;L)$$ जैसा ही है। ($$)-($$), फिर भी इसकी गणना जालक $$\tilde{L}$$ पर की जाती है. जालक $$\tilde{L}$$ इसका निर्माण मूल जालक से i और j और उनके बीच की स्थितियों को निकालकर और फिर प्राप्त दो टुकड़ों को जोड़कर किया जाता है। ऐसे स्तिथियों के लिए जिनमें टुकड़ा एकल अवस्था है, इस टुकड़े को बाहर रखा गया है; अर्थात्, जालक $$\tilde{L}$$ लंबा टुकड़ा है. जब प्रत्येक टुकड़ा एकल अवस्था ,$$\bar{\Phi}(s;\tilde{L})=1$$ है.

समीकरण ($$)-($$) L-अवस्था श्रृंखला में किसी भी 1D अर्ध-मार्कोवियन यादृच्छिक चालों के लिए पकड़ बनाते हैं, और 1d में यादृच्छिक चालों के लिए स्पष्ट रूप में सबसे सामान्य समाधान बनाते हैं।

विषम यादृच्छिक चालों का पथ प्रतिनिधित्व
स्पष्ट रूप से, $$\bar{G}_{ij}(s;L)$$ समीकरण में. ($$)-($$) संगत निरंतर समय यादृच्छिक चाल समस्या और समतुल्य सामान्यीकृत मुख्य समीकरण को हल करता है। समीकरण ($$)-($$) सक्षम

विभिन्न पहलुओं से 1डी श्रृंखलाओं में अर्ध-मार्कोवियन यादृच्छिक चालों का विश्लेषण करना में सक्षम बनाते हैं। समय डोमेन का व्युत्क्रमण ग्रीन का कार्य देता है, किन्तु क्षणों और सहसंबंध कार्यों की गणना समीकरण से भी की जा सकती है। ($$)-($$), और फिर समय डोमेन में विपरीत (प्रासंगिक मात्राओं के लिए) है। सामान्यीकृत मुख्य समीकरण का संख्यात्मक व्युत्क्रम अस्थिर होने पर बंद-रूप $$\bar{G}_{ij}(s;L)$$ भी इसकी उपयोगिता प्रकट होती है। इसके अतिरिक्त, सरल विश्लेषणात्मक जोड़-तोड़ में $$\bar{G}_{ij}(s;L)$$,का उपयोग करने से,  (i) पहला मार्ग समय पीडीएफ, (ii)-(iii) पहली घटना के लिए विशेष डब्ल्यूटी-पीडीएफ के साथ यादृच्छिक चलने के लिए ग्रीन के कार्य मिलते हैं। पहली घटना और एक वृत्ताकार L-अवस्था 1 डी श्रृंखला में यादृच्छिक चलने के लिए, और (iv) कई तर्कों के साथ अवस्था और समय में संयुक्त पीडीएफ का कार्य करते हैं।

फिर भी, इस लेख में प्रयुक्त औपचारिकता ग्रीन के फलन $$G_{ij}(t)$$ का पथ प्रतिनिधित्व है, और यह प्रक्रिया पर अधिक जानकारी प्रदान करता है। पथ प्रतिनिधित्व इस प्रकार है:

समीकरण में $$ W_{ij}(t;L)$$ के लिए अभिव्यक्ति ($$) अनुसरण करता है,

$$ W_{ij}(t;L)$$ ठीक समय 0 पर स्थिति j पर प्रारंभ होने पर ठीक समय t पर स्थिति i तक पहुंचने का पीडीएफ है। यह समय में पथ पीडीएफ है जो $$2n +\gamma_{ij}$$ संक्रमणों के साथ सभी पथों से बनाया गया है जो अवस्थाओ j को i से जोड़ता है। दो अलग-अलग पथ प्रकार समान अवस्थाओ से बने $$w_{ij}(\tau,2n+\gamma_{ij};L)$$ पथों में योगदान करते हैं जो अलग-अलग क्रम में दिखाई देते हैं और $$2n +\gamma_{ij}$$ संक्रमणों की समान लंबाई के विभिन्न पथ होते हैं। अनुवाद अपरिवर्तनीय श्रृंखलाओं के लिए पथ पीडीएफ मोनो-पीक हैं। अनुवाद के लिए पथ पीडीएफ अपरिवर्तनीय श्रृंखलाएं अधिकतर अपने चरम के समीप ग्रीन के कार्य में योगदान करती हैं, किन्तु माना जाता है कि यह व्यवहार विषम श्रृंखलाओं की भी विशेषता है।

हम यह भी ध्यान देते हैं कि निम्नलिखित संबंध धारण $$ \bar{W}_{ij}(s;L)= \bar{W}_{1L}(s;L)/ \bar{W}_{1\tilde{L}}(s;\tilde{L})$$, रखती है। इस संबंध का उपयोग करते हुए, हम $$ \bar{w}_{1L}(s;L)$$ हल करने पर ध्यान केंद्रित करते हैं।

पथ पीडीएफ
ग्रीन के फलन के साथ प्रदान की गई यादृच्छिक चाल पर पूरक जानकारी पथ पीडीएफ में निहित है। यह स्पष्ट है, जब ग्रीन के कार्यों के लिए सन्निकटन का निर्माण किया जाता है, तो किस पथ में पीडीएफ विश्लेषण में बिल्डिंग ब्लॉक होते हैं। इसके अतिरिक्त, ग्रीन के फलन के विश्लेषणात्मक गुण केवल पथ पीडीएफ विश्लेषण में स्पष्ट किया गया हैं। यहाँ, L के किसी निश्चित मान के लिए पथ पीडीएफ की लंबाई एन में $$ w_{ij}(\tau,2n+\gamma_{ij};L)$$ के लिए प्रत्यावर्तन संबंध प्रस्तुत किया गया है। पथ पीडीएफ में पुनरावर्ती समीकरण में $$\bar{h} (s,i;L)$$ एस के साथ रैखिक है। ($$) एन स्वतंत्र गुणांक के रूप में कार्य करता है, और क्रम का है [L / 2]:

समीकरण में गुणांकों के लिए सार्वभौमिक सूत्र को समझाने के लिए पुनरावर्तन संबंध का उपयोग किया जाता है। ($$).

प्रत्यावर्तन संबंध का समाधान az परिवर्तन प्रयुक्त करके प्राप्त किया जाता है:

स्थापना $$z=1$$ ($$). समीकरण का $$\bar{W}_{1L}(s;L)$$ टेलर विस्तार देता है । ($$) $$\bar{w}_{1L}(s,2n+\gamma_{1L};L)$$ देता है. परिणाम इस प्रकार है:

समीकरण में. ($$) $$\bar{c}_{k_0}(s;L)$$, $$L=2,3$$ के लिए एक है और अन्यथा,

जहाँ

आरंभिक संख्या $$a_{i,n}s$$ अनुसरण करना:

और,