प्रसंवादी फलन



गणित, गणितीय भौतिकी  और स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के सिद्धांत में, एक हार्मोनिक फ़ंक्शन एक दो बार लगातार भिन्न होने वाला फ़ंक्शन (गणित) है। $$f: U \to \mathbb R,$$ कहां $U$ का  खुला सेट  है $\mathbb R^n,$ जो लाप्लास के समीकरण को संतुष्ट करता है, अर्थात,


 * $$ \frac{\partial^2f}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2f}{\partial x_2^2} + \cdots + \frac{\partial^2f}{\partial x_n^2} = 0$$

हर जगह पर $U$. यह आमतौर पर लिखा जाता है


 * $$ \nabla^2 f = 0 $$

या


 * $$\Delta f = 0$$

हार्मोनिक शब्द की व्युत्पत्ति
हार्मोनिक फ़ंक्शन नाम में डिस्क्रिप्टर हार्मोनिक एक तंग स्ट्रिंग पर एक बिंदु से उत्पन्न होता है जो सरल हार्मोनिक गति से गुजर रहा है। इस प्रकार की गति के लिए अवकल समीकरण का हल ज्या और कोज्या के रूप में लिखा जा सकता है, ऐसे फलन जिन्हें हार्मोनिक्स कहा जाता है। फूरियर विश्लेषण  में इन हार्मोनिक्स की एक श्रृंखला के संदर्भ में यूनिट सर्कल पर कार्यों का विस्तार करना शामिल है। इकाई n-sphere|n-sphere पर हार्मोनिक्स के उच्च आयामी एनालॉग्स को ध्यान में रखते हुए, एक  गोलाकार हार्मोनिक्स  पर आता है। ये फलन लाप्लास के समीकरण को संतुष्ट करते हैं और समय के साथ हार्मोनिक फलन लाप्लास के समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

उदाहरण
दो चरों के हार्मोनिक कार्यों के उदाहरण हैं:
 * किसी भी होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन  के वास्तविक और काल्पनिक भाग।
 * कार्यक्रम $$\,\! f(x, y) = e^{x} \sin y;$$ यह उपरोक्त उदाहरण का एक विशेष मामला है, जैसे $$f(x, y) = \operatorname{Im}\left(e^{x+iy}\right) ,$$ और $$e^{x+iy}$$ एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन है।
 * कार्यक्रम $$\,\! f(x, y) = \ln \left(x^2 + y^2\right)$$ पर परिभाषित $$\mathbb{R}^2 \setminus \lbrace 0 \rbrace .$$ यह एक लाइन चार्ज या लंबे बेलनाकार द्रव्यमान के कारण गुरुत्वाकर्षण क्षमता के कारण विद्युत क्षमता का वर्णन कर सकता है।

नीचे दी गई तालिका में तीन चर के हार्मोनिक कार्यों के उदाहरण दिए गए हैं $$r^2=x^2+y^2+z^2:$$
 * {| class="wikitable"

! Function !! Singularity भौतिकी में उत्पन्न होने वाले सुरीले फलन उनकी गणितीय विलक्षणता  और सीमा स्थितियों (जैसे डिरिचलेट सीमा स्थिति या न्यूमैन सीमा स्थिति) द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। सीमाओं के बिना क्षेत्रों पर, किसी भी संपूर्ण कार्य के वास्तविक या काल्पनिक भाग को जोड़ने से समान विलक्षणता के साथ एक हार्मोनिक फ़ंक्शन उत्पन्न होगा, इसलिए इस मामले में हार्मोनिक फ़ंक्शन इसकी विलक्षणता से निर्धारित नहीं होता है; हालाँकि, हम भौतिक स्थितियों में समाधान को अद्वितीय बना सकते हैं, यह आवश्यक है कि समाधान 0 तक पहुँचता है क्योंकि r अनंत तक पहुँचता है। इस मामले में, विशिष्टता लिउविल के प्रमेय (जटिल विश्लेषण) | लिउविल के प्रमेय द्वारा अनुसरण करती है।
 * align=center|$$\frac{1}{r}$$
 * Unit point charge at origin
 * align=center|$$\frac{x}{r^3}$$
 * x-directed dipole at origin
 * align=center|$$-\ln\left(r^2 - z^2\right)\,$$
 * Line of unit charge density on entire z-axis
 * align=center|$$-\ln(r + z)\,$$
 * Line of unit charge density on negative z-axis
 * align=center|$$\frac{x}{r^2 - z^2}\,$$
 * Line of x-directed dipoles on entire z axis
 * align=center|$$\frac{x}{r(r + z)}\,$$
 * Line of x-directed dipoles on negative z axis
 * }
 * align=center|$$\frac{x}{r^2 - z^2}\,$$
 * Line of x-directed dipoles on entire z axis
 * align=center|$$\frac{x}{r(r + z)}\,$$
 * Line of x-directed dipoles on negative z axis
 * }
 * }

उपरोक्त हार्मोनिक कार्यों के एकवचन बिंदुओं को इलेक्ट्रोस्टाटिक्स  की शब्दावली का उपयोग करके  चार्ज (भौतिकी)  और चार्ज घनत्व के रूप में व्यक्त किया जाता है, और इसलिए संबंधित हार्मोनिक फ़ंक्शन इन चार्ज वितरणों के कारण विद्युत क्षमता के समानुपाती होगा। उपरोक्त प्रत्येक फ़ंक्शन एक स्थिर, घुमाए गए, और/या निरंतर जोड़े जाने पर गुणा किए जाने पर एक और हार्मोनिक फ़ंक्शन उत्पन्न करेगा। प्रत्येक फ़ंक्शन के व्युत्क्रम की विधि से एक और हार्मोनिक फ़ंक्शन निकलेगा जिसमें विलक्षणताएं हैं जो एक गोलाकार दर्पण में मूल विलक्षणताओं की छवियां हैं। साथ ही, किसी भी दो हार्मोनिक कार्यों का योग एक और हार्मोनिक फ़ंक्शन उत्पन्न करेगा।

अंत में, के हार्मोनिक कार्यों के उदाहरण $n$ चर हैं:


 * सभी पर स्थिर, रेखीय और एफ़ाइन कार्य करता है $\mathbb R^n$ (उदाहरण के लिए, संधारित्र  की प्लेटों के बीच विद्युत क्षमता और स्लैब की  गुरुत्वाकर्षण क्षमता )
 * कार्यक्रम $$\,\! f(x_1, \dots, x_n) = \left({x_1}^2 + \cdots + {x_n}^2\right)^{1-n/2}$$ पर $$\mathbb{R}^n \setminus \lbrace 0 \rbrace$$ के लिए $n > 2$.

गुण
किसी दिए गए खुले सेट पर हार्मोनिक फ़ंक्शंस का सेट $U$ लाप्लास ऑपरेटर  के  कर्नेल (रैखिक ऑपरेटर)  के रूप में देखा जा सकता है $Δ$ और इसलिए एक  सदिश स्थल  ओवर है $\mathbb R\! :$ हार्मोनिक कार्यों के रैखिक संयोजन फिर से हार्मोनिक होते हैं।

यदि $f$ पर एक हार्मोनिक फ़ंक्शन है $U$, तो के सभी आंशिक डेरिवेटिव $f$ पर भी हार्मोनिक कार्य हैं $U$. लाप्लास ऑपरेटर $Δ$ और आंशिक डेरिवेटिव ऑपरेटर इस वर्ग के कार्यों पर काम करेगा।

कई मायनों में, हार्मोनिक फ़ंक्शन होलोमोर्फिक फ़ंक्शंस के वास्तविक अनुरूप हैं। सभी हार्मोनिक कार्य विश्लेषणात्मक कार्य  हैं, अर्थात, उन्हें स्थानीय रूप से शक्ति श्रृंखला के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यह  अण्डाकार ऑपरेटर ों के बारे में एक सामान्य तथ्य है, जिनमें से लाप्लासियन एक प्रमुख उदाहरण है।

हार्मोनिक कार्यों के अभिसरण अनुक्रम की समान सीमा अभी भी हार्मोनिक है। यह सच है क्योंकि औसत मूल्य संपत्ति को संतुष्ट करने वाला प्रत्येक निरंतर कार्य हार्मोनिक है। क्रम पर विचार करें $(-\infty,0) \times \mathbb R$ द्वारा परिभाषित $f_n(x,y) = \frac 1 n \exp(nx)\cos(ny);$ यह अनुक्रम हार्मोनिक है और समान रूप से शून्य फ़ंक्शन में परिवर्तित होता है; हालांकि ध्यान दें कि आंशिक डेरिवेटिव समान रूप से शून्य फ़ंक्शन (शून्य फ़ंक्शन के व्युत्पन्न) के अभिसरण नहीं होते हैं। यह उदाहरण औसत मूल्य संपत्ति पर भरोसा करने और यह तर्क देने के लिए निरंतरता दिखाता है कि सीमा हार्मोनिक है।

जटिल कार्य सिद्धांत के साथ संबंध
किसी भी होलोमोर्फिक फ़ंक्शन का वास्तविक और काल्पनिक हिस्सा हार्मोनिक फ़ंक्शंस उत्पन्न करता है $\mathbb R^2$ (इन्हें हार्मोनिक संयुग्म  कार्यों की एक जोड़ी कहा जाता है)। इसके विपरीत, कोई हार्मोनिक फ़ंक्शन $u$ एक खुले उपसमुच्चय पर $Ω$ का $\mathbb R^2$ स्थानीय रूप से एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन का वास्तविक हिस्सा है। यह देखते हुए तुरंत देखा जाता है कि, लिख रहा हूँ $$z = x + iy,$$ जटिल कार्य $$g(z) := u_x - i u_y$$ में होलोमॉर्फिक है $Ω$ क्योंकि यह कॉची-रीमैन समीकरणों को संतुष्ट करता है। इसलिए, $g$ स्थानीय रूप से एक आदिम है $f$, और $u$ का वास्तविक भाग है $f$ एक स्थिरांक तक, जैसा $ux$ का वास्तविक भाग है $$f' = g.$$ यद्यपि होलोमोर्फिक कार्यों के साथ उपरोक्त पत्राचार केवल दो वास्तविक चर, हार्मोनिक कार्यों के कार्यों के लिए है $n$ चर अभी भी होलोमोर्फिक कार्यों के विशिष्ट गुणों का आनंद लेते हैं। वे (वास्तविक) विश्लेषणात्मक हैं; उनके पास अधिकतम सिद्धांत और औसत मूल्य सिद्धांत है; विलक्षणताओं को हटाने का एक प्रमेय और साथ ही एक लिउविल प्रमेय उनके लिए जटिल कार्य सिद्धांत में संबंधित प्रमेयों के अनुरूप है।

हार्मोनिक कार्यों के गुण
लाप्लास के समीकरण से हार्मोनिक कार्यों के कुछ महत्वपूर्ण गुण निकाले जा सकते हैं।

हार्मोनिक कार्यों के लिए नियमितता प्रमेय
खुले सेट में हार्मोनिक फ़ंक्शन असीम रूप से भिन्न होते हैं। वास्तव में, हार्मोनिक कार्य विश्लेषणात्मक कार्य हैं।

अधिकतम सिद्धांत
सुरीले फलन निम्नलिखित अधिकतम मापांक सिद्धांत  को संतुष्ट करते हैं: यदि $K$ का एक गैर-खाली  कॉम्पैक्ट जगह  है $U$, तब $f$ के लिए प्रतिबंधित $K$ की  सीमा (टोपोलॉजी)  पर अपनी अधिकतम और निम्नतम प्राप्त करता है $K$. यदि $U$ जुड़ा हुआ स्थान  है, इसका मतलब है कि $f$ असाधारण मामले के अलावा स्थानीय मैक्सिमा या मिनिमा नहीं हो सकता है $f$  निरंतर कार्य  है। सबहारमोनिक कार्यों के लिए समान गुण दिखाए जा सकते हैं।

औसत मूल्य संपत्ति
यदि $B(x, r)$ केंद्र वाली एक गेंद (गणित)  है $x$ और त्रिज्या $r$ जो पूरी तरह से खुले सेट में समाहित है $$\Omega \subset \R^n,$$ फिर मूल्य $u(x)$ एक हार्मोनिक फ़ंक्शन का $$u: \Omega \to \R$$ गेंद के केंद्र में के औसत मूल्य द्वारा दिया जाता है $u$ गेंद की सतह पर; यह औसत मान भी के औसत मान के बराबर है $u$ गेंद के भीतरी भाग में। दूसरे शब्दों में,


 * $$u(x) = \frac{1}{n\omega_n r^{n-1}}\int_{\partial B(x,r)} u\, d\sigma = \frac{1}{\omega_n r^n}\int_{B(x,r)} u\, dV$$

कहां $ωn$ यूनिट बॉल का आयतन है $n$ आयाम और $σ$ है $(n − 1)$-आयामी सतह माप।

इसके विपरीत, सभी स्थानीय रूप से पूर्णांकित कार्य (मात्रा) माध्य-मूल्य संपत्ति को संतुष्ट करते हैं, दोनों असीम रूप से भिन्न और हार्मोनिक हैं।

संकल्पों के संदर्भ में, यदि


 * $$\chi_r := \frac{1}{|B(0, r)|}\chi_{B(0, r)} = \frac{n}{\omega_n r^n}\chi_{B(0, r)}$$

त्रिज्या के साथ गेंद के सूचक कार्य को दर्शाता है $r$ उत्पत्ति के बारे में, सामान्यीकृत ताकि $\int_{\R^n}\chi_r\, dx = 1,$ कार्यक्रम $u$ हार्मोनिक चालू है $Ω$ अगर और केवल अगर


 * $$u(x) = u*\chi_r(x)\;$$

जैसे ही $$B(x,r) \subset \Omega.$$ सबूत का स्केच। हार्मोनिक कार्यों की औसत-मूल्य संपत्ति का प्रमाण और इसका विलोम तुरंत किसी के लिए गैर-सजातीय समीकरण को देखते हुए अनुसरण करता है $0 < s < r$
 * $$\Delta w = \chi_r - \chi_s\;$$

एक आसान स्पष्ट समाधान स्वीकार करता है $wr,s$ वर्ग का $C^{1,1}$ में कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ $B(0, r)$. इस प्रकार, यदि $u$ में हार्मोनिक है $Ω$
 * $$0=\Delta u * w_{r,s} = u*\Delta w_{r,s}= u*\chi_r - u*\chi_s\;$$

सेट में रखता है $Ωr$ सभी बिंदुओं में से $x$ में $Ω$ साथ $$\operatorname{dist}(x,\partial\Omega) > r.$$ तब से $u$ में निरंतर है $Ω$, $$u * \chi_r$$ में विलीन हो जाता है $u$ जैसा $s → 0$ के लिए औसत मूल्य संपत्ति दिखा रहा है $u$ में $Ω$. इसके विपरीत यदि $u$ क्या किसी $$L^1_{\mathrm{loc}}\;$$ में माध्य-मूल्य गुण को संतुष्ट करने वाला फलन $Ω$, वह है,


 * $$u*\chi_r = u*\chi_s\;$$

में रखता है $Ωr$ सबके लिए $0 < s < r$ फिर, पुनरावृति $m$ के साथ कनवल्शन का गुना $χr$ किसी के पास:


 * $$u = u*\chi_r = u*\chi_r*\cdots*\chi_r\,,\qquad x\in\Omega_{mr},$$

ताकि $u$ है $$C^{m-1}(\Omega_{mr})\;$$ क्यों कि $m$-गुना पुनरावृत्त कनवल्शन $χr$ श्रेणी का है $$C^{m-1}\;$$ समर्थन के साथ $B(0, mr)$. तब से $r$ और $m$ मनमाना हैं, $u$ है $$C^{\infty}(\Omega)\;$$ भी। इसके अतिरिक्त,


 * $$\Delta u * w_{r,s} = u*\Delta w_{r,s} = u*\chi_r - u*\chi_s = 0\;$$

सबके लिए $0 < s < r$ ताकि $Δu = 0$ में $Ω$ भिन्नताओं की कलन के मौलिक प्रमेय द्वारा, सामंजस्य और माध्य-मूल्य संपत्ति के बीच समानता को साबित करना।

औसत मूल्य संपत्ति के इस बयान को निम्नानुसार सामान्यीकृत किया जा सकता है: यदि $h$ कोई भी गोलाकार रूप से सममित कार्य समर्थन (गणित)  है $B(x, r)$ ऐसा है कि $\int h = 1,$  तब $$u(x) = h * u(x).$$ दूसरे शब्दों में, हम का भारित औसत ले सकते हैं $u$ एक बिंदु के बारे में और ठीक हो जाओ $u(x)$. विशेष रूप से, लेने से $h$ बनने के लिए $C^{∞}$ समारोह, हम के मूल्य को पुनर्प्राप्त कर सकते हैं $u$ किसी भी बिंदु पर भले ही हम केवल यह जानते हों कि कैसे $u$ एक वितरण (गणित)  के रूप में कार्य करता है। वेइल की लेम्मा (लाप्लास समीकरण) देखें | वेइल की लेम्मा।

हार्नैक की असमानता
होने देना $u$ एक बंधे हुए डोमेन में एक गैर-नकारात्मक हार्मोनिक फ़ंक्शन बनें $Ω$. फिर हर जुड़े सेट के लिए
 * $$V \subset \overline{V} \subset \Omega,$$

हार्नैक की असमानता
 * $$\sup_V u \le C \inf_V u$$

कुछ स्थिर के लिए रखता है $C$ पर ही निर्भर करता है $V$ और $Ω$.

विलक्षणताओं को हटाना
विलक्षणताओं को हटाने का निम्नलिखित सिद्धांत हार्मोनिक कार्यों के लिए है। यदि $f$ बिंदीदार खुले उपसमुच्चय पर परिभाषित एक हार्मोनिक फ़ंक्शन है $$\Omega\,\setminus\,\{x_0\}$$ का $\R^n,$, जो कम विलक्षण है $x0$ मौलिक समाधान की तुलना में (के लिए $n > 2$), वह है


 * $$f(x)=o\left( \vert x-x_0 \vert^{2-n}\right),\qquad\text{as }x\to x_0,$$

तब $f$ एक हार्मोनिक फ़ंक्शन पर विस्तारित होता है $Ω$ (रिमूवेबल सिंगुलैरिटी की तुलना करें # रीमैन की प्रमेय | एक जटिल चर के कार्यों के लिए रीमैन की प्रमेय)।

लिउविल का प्रमेय
प्रमेय: यदि $f$ सभी पर परिभाषित एक हार्मोनिक फ़ंक्शन है $\R^n$ जो ऊपर से घिरा हुआ है या नीचे घिरा हुआ है $f$ स्थिर है।

(लिउविले के प्रमेय (जटिल विश्लेषण) की तुलना करें। एक जटिल चर के कार्यों के लिए लिउविल के प्रमेय)।

एडवर्ड नेल्सन ने परिबद्ध फलनों के मामले में इस प्रमेय का विशेष रूप से संक्षिप्त प्रमाण दिया, ऊपर वर्णित औसत मूल्य संपत्ति का उपयोग करना: दो बिंदुओं को देखते हुए, दिए गए बिंदुओं को केंद्र के रूप में और समान त्रिज्या वाली दो गेंदों का चयन करें। यदि त्रिज्या काफी बड़ी है, तो दो गेंदें एक साथ आ जाएंगी, सिवाय उनके आयतन के मनमाने ढंग से छोटे अनुपात के। तब से $f$ घिरा हुआ है, दो गेंदों पर इसका औसत मनमाने ढंग से करीब है, और इसी तरह $f$ किसी भी दो बिंदुओं पर समान मान लेता है।  सबूत को उस मामले में अनुकूलित किया जा सकता है जहां हार्मोनिक फ़ंक्शन $f$ केवल ऊपर या नीचे बँधा हुआ है। एक स्थिरांक जोड़कर और संभवतः -1 से गुणा करके, हम यह मान सकते हैं $f$ गैर-नकारात्मक है। फिर किन्हीं दो बिंदुओं के लिए $x$ और $y$, और कोई सकारात्मक संख्या $R$, हम जाने $$r=R+d(x,y).$$ फिर हम गेंदों पर विचार करते हैं $BR(x)$ और $BR(y)$ जहां त्रिभुज असमानता से, पहली गेंद दूसरे में समाहित है।

औसत संपत्ति और अभिन्न की एकरसता से, हमारे पास है
 * $$f(x)=\frac{1}{\operatorname{vol}(B_R)}\int_{B_R(x)}f(z)\, dz\leq \frac{1}{\operatorname{vol}(B_R)} \int_{B_r(y)}f(z)\, dz.$$

(ध्यान दें कि चूंकि $vol BR(x)$ से स्वतंत्र है $x$, हम इसे केवल के रूप में निरूपित करते हैं $vol BR$.) अंतिम व्यंजक में, हम गुणा और भाग कर सकते हैं $vol Br$ और प्राप्त करने के लिए फिर से औसत संपत्ति का उपयोग करें
 * $$f(x)\leq \frac{\operatorname{vol}(B_r)}{\operatorname{vol}(B_R)}f(y).$$

लेकिन जैसे $$R\rightarrow\infty ,$$ मात्रा
 * $$\frac{\operatorname{vol}(B_r)}{\operatorname{vol}(B_R)}=\frac{(R+d(x,y))^n}{R^n}$$ 1 की ओर जाता है। इस प्रकार, $$f(x)\leq f(y).$$ की भूमिकाओं के साथ एक ही तर्क $x$ और $y$ उल्टा दिखाता है $$f(y)\leq f(x)$$, ताकि $$f(x) = f(y).$$

एक अन्य प्रमाण इस तथ्य का उपयोग करता है कि वीनर प्रक्रिया  दी गई है $Bt$ में $\R^n,$ ऐसा है कि $$B_0 = x_0,$$ अपने पास $$E[f(B_t)] = f(x_0)$$ सबके लिए $t ≥ 0$. शब्दों में, यह कहता है कि एक हार्मोनिक फ़ंक्शन ब्राउनियन गति के लिए मार्टिंगेल (संभाव्यता सिद्धांत)  को परिभाषित करता है। तब एक युग्मन (संभाव्यता) तर्क प्रमाण को समाप्त करता है।

कमजोर हार्मोनिक फ़ंक्शन
एक समारोह (या, अधिक आम तौर पर, एक वितरण (गणित)) कमजोर रूप से हार्मोनिक होता है यदि यह लाप्लास के समीकरण को संतुष्ट करता है
 * $$\Delta f = 0\,$$

एक कमजोर व्युत्पन्न  अर्थ में (या, समतुल्य, वितरण के अर्थ में)। एक कमजोर हार्मोनिक फ़ंक्शन लगभग हर जगह दृढ़ता से हार्मोनिक फ़ंक्शन के साथ मेल खाता है, और विशेष रूप से चिकनी है। एक कमजोर हार्मोनिक वितरण ठीक एक मजबूत हार्मोनिक फ़ंक्शन से जुड़ा वितरण है, और इसलिए यह भी चिकना है। यह वेइल की लेम्मा (लाप्लास समीकरण) है | वेइल की लेम्मा।

लाप्लास के समीकरण के अन्य कमजोर योग हैं जो अक्सर उपयोगी होते हैं। इनमें से एक डिरिचलेट का सिद्धांत है, जो सोबोलेव अंतरिक्ष में हार्मोनिक कार्यों का प्रतिनिधित्व करता है $H^{1}(Ω)$ डिरिचलेट ऊर्जा  इंटीग्रल के मिनिमाइज़र के रूप में
 * $$J(u):=\int_\Omega |\nabla u|^2\, dx$$

स्थानीय विविधताओं के संबंध में, यानी सभी कार्य $$u\in H^1(\Omega)$$ ऐसा है कि $$J(u) \leq J(u+v)$$ सभी के लिए रखता है $$v\in C^\infty_c(\Omega),$$ या समकक्ष, सभी के लिए $$v\in H^1_0(\Omega).$$

कई गुना पर हार्मोनिक कार्य
लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर का उपयोग करके हार्मोनिक कार्यों को मनमाने ढंग से रीमैनियन कई गुना  पर परिभाषित किया जा सकता है $Δ$. इस संदर्भ में, एक समारोह को हार्मोनिक अगर कहा जाता है
 * $$\ \Delta f = 0.$$

यूक्लिडियन अंतरिक्ष में डोमेन पर हार्मोनिक फ़ंक्शंस के कई गुण इस अधिक सामान्य सेटिंग पर ले जाते हैं, जिसमें माध्य मान प्रमेय ( geodesic गेंदों पर), अधिकतम सिद्धांत और हार्नैक असमानता शामिल है। औसत मूल्य प्रमेय के अपवाद के साथ, ये दूसरे क्रम के सामान्य रैखिक  अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरण ों के संगत परिणामों के आसान परिणाम हैं।

Subharmonic कार्य
ए $C^{2}$ समारोह जो संतुष्ट करता है $Δf ≥ 0$ सबहार्मोनिक कहा जाता है। यह शर्त गारंटी देती है कि अधिकतम सिद्धांत कायम रहेगा, हालांकि हार्मोनिक कार्यों के अन्य गुण विफल हो सकते हैं। अधिक आम तौर पर, एक फ़ंक्शन सबहार्मोनिक होता है, अगर और केवल अगर, इसके डोमेन में किसी भी गेंद के इंटीरियर में, इसका ग्राफ उस हार्मोनिक फ़ंक्शन के नीचे स्थित होता है जो गेंद पर अपने सीमा मूल्यों को प्रक्षेपित करता है।

हार्मोनिक रूप
हार्मोनिक कार्यों के अध्ययन का एक सामान्यीकरण रीमैनियन मैनिफोल्ड्स पर हार्मोनिक रूपों का अध्ययन है, और यह सह-समरूपता  के अध्ययन से संबंधित है। इसके अलावा, हार्मोनिक वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शंस, या दो रिमेंनियन मैनिफोल्ड्स के हार्मोनिक मैप्स को परिभाषित करना संभव है, जो एक सामान्यीकृत डिरिचलेट एनर्जी फंक्शनल के महत्वपूर्ण बिंदु हैं (इसमें एक विशेष मामले के रूप में हार्मोनिक फ़ंक्शन शामिल हैं, जिसके परिणामस्वरूप  डिरिचलेट सिद्धांत  के रूप में जाना जाता है)। इस प्रकार का हार्मोनिक नक्शा न्यूनतम सतहों के सिद्धांत में प्रकट होता है। उदाहरण के लिए, एक वक्र, जो कि एक अंतराल से एक नक्शा है $\R$ रिमेंनियन मैनिफोल्ड के लिए, एक हार्मोनिक नक्शा है अगर और केवल अगर यह एक जियोडेसिक है।

कई गुना के बीच हार्मोनिक मानचित्र
यदि $M$ और $N$ दो रीमैनियन मैनिफोल्ड हैं, फिर एक हार्मोनिक मैप $$u: M \to N$$ डिरिचलेट ऊर्जा के एक महत्वपूर्ण बिंदु के रूप में परिभाषित किया गया है
 * $$D[u] = \frac{1}{2}\int_M \|du\|^2\,d\operatorname{Vol}$$

जिसमें $$du: TM \to TN $$ का अंतर है $u$, और मानदंड वह है जो मीट्रिक द्वारा प्रेरित है $M$ और उस पर $N$ टेंसर उत्पाद बंडल पर $$T^\ast M \otimes u^{-1} TN.$$ मैनिफोल्ड्स के बीच हार्मोनिक मानचित्रों के महत्वपूर्ण विशेष मामलों में न्यूनतम सतह ें शामिल हैं, जो सतह के त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में सटीक रूप से हार्मोनिक विसर्जन हैं। अधिक आम तौर पर, न्यूनतम सबमनिफोल्ड्स एक मैनिफोल्ड के दूसरे में हार्मोनिक विसर्जन होते हैं।  हार्मोनिक निर्देशांक  एक ही आयाम के एक यूक्लिडियन अंतरिक्ष के कई गुना से एक खुले उपसमुच्चय से एक हार्मोनिक भिन्नता है।

यह भी देखें
बिहारमोनिक नक्शा मानचित्र
 * बलायज
 * डिरिचलेट समस्या
 * हार्मोनिक रूपवाद
 * हार्मोनिक बहुपद
 * ताप समीकरण
 * इरोटेशनल फ्लो के लिए लाप्लास समीकरण
 * पोइसन का समीकरण
 * चतुर्भुज डोमेन

संदर्भ




बाहरी कड़ियाँ

 * Harmonic Function Theory by S.Axler, Paul Bourdon, and Wade Ramey
 * Harmonic Function Theory by S.Axler, Paul Bourdon, and Wade Ramey
 * Harmonic Function Theory by S.Axler, Paul Bourdon, and Wade Ramey