असतत मूल्यांकन

गणित में, असतत मूल्यांकन क्षेत्र (गणित) K पर पूर्णांक मूल्यांकन (बीजगणित) होता है। वह है, कार्य (गणित):


 * $$\nu:K\to\mathbb Z\cup\{\infty\}$$

कथनो को सम्पूर्ण करना:


 * $$\nu(x\cdot y)=\nu(x)+\nu(y)$$
 * $$\nu(x+y)\geq\min\big\{\nu(x),\nu(y)\big\}$$
 * $$\nu(x)=\infty\iff x=0$$

सभी के लिए $$x,y\in K$$.

ध्यान दें कि प्रायः तुच्छ मूल्यांकन जो केवल मूल्यों पर होता है $$0,\infty$$ स्पष्ट रूप से बहिष्कृत है।

गैर-तुच्छ असतत मूल्यांकन वाले क्षेत्र को असतत मूल्यांकन क्षेत्र कहा जाता है।

असतत मूल्यांकन के रिंग्स एवं क्षेत्रों पर मूल्यांकन
प्रत्येक क्षेत्र को $$K$$ असतत मूल्यांकन के साथ $$\nu$$ हम सबरिंग को युग्मित कर सकते हैं।


 * $$\mathcal{O}_K := \left\{ x \in K \mid \nu(x) \geq 0 \right\}$$

$$K$$ का जो असतत मूल्यांकन रिंग है। इसके विपरीत, मूल्यांकन $$\nu: A \rightarrow \Z\cup\{\infty\}$$ असतत मूल्यांकन रिंग पर भागफल क्षेत्र पर असतत मूल्यांकन के लिए $$A$$ को दृढ प्रविधि से बढ़ाया जा सकता है।

उदाहरण $$K=\text{Quot}(A)$$; संबद्ध असतत मूल्यांकन रिंग $$\mathcal{O}_K$$ $$A$$ है।

उदाहरण

 * निश्चित अभाज्य संख्या के लिए $$p$$ एवं किसी भी तत्व के लिए $$x \in \mathbb{Q}$$ शून्य लेखन से भिन्न $$x = p^j\frac{a}{b}$$ साथ $$j, a,b \in \Z$$ ऐसा है कि $$p$$ विभाजित नहीं करता $$a,b$$. तब $$\nu(x) = j$$ असतत मूल्यांकन है $$\Q$$, जिसे पी-एडिक मूल्यांकन कहा जाता है।
 * रीमैन सतह को देखते हुए $$X$$, हम क्षेत्र पर विचार कर सकते हैं मेरोमॉर्फिक कार्यों की $$K=M(X)$$ $$X\to\Complex\cup\{\infin\}$$ निश्चित बिंदु के लिए $$p\in X$$, हम असतत मूल्यांकन को परिभाषित करते हैं, $$K$$ निम्नलिखित नुसार: $$\nu(f)=j$$ यदि केवल $$j$$ सबसे बड़ा पूर्णांक है जैसे कि फंक्शन $$f(z)/(z-p)^j$$ पर होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन तक बढ़ाया जा सकता है, $$p$$. इसका अर्थ है: यदि $$\nu(f)=j>0$$ तब $$f$$ के पास आदेश की जड़ है, $$j$$ बिंदु पर $$p$$; अगर $$\nu(f)=j<0$$ तब $$f$$ के पास आदेश का ध्रुव (जटिल विश्लेषण) $$-j$$ पर $$p$$ है, इसी प्रकार, प्रत्येक नियमित बिंदु के लिए बीजगणितीय वक्र के बीजगणितीय विविधता के कार्य क्षेत्र पर असतत मूल्यांकन को भी परिभाषित करता है।

$$p$$ वक्र के असतत मूल्यांकन के रिंग पर लेख में अधिक उदाहरण मिल सकते हैं।