बाह्य बीजगणित

गणित में, बाह्य बीजगणित, या ग्रासमैन बीजगणित, जिसका नाम हरमन ग्रासमैन के नाम पर रखा गया है, बाह्य गुणनफल या वेज गुणनफल को इसके गुणन के रूप में उपयोग करने वाली एक प्रकार की बीजगणित है। गणित में, सदिशों का बाह्य गुणनफल या वेज गुणनफल एक बीजगणितीय संरचना है जिसका उपयोग ज्यामिति में क्षेत्रफलों, आयतनों और उनके उच्च-विमीय अनुरूपों का अध्ययन करने के लिए किया जाता है। दो सदिशों $$ u $$ और $$ v $$ के बाह्य गुणनफल को $$ u \wedge v $$ से निरूपित किया जाता है जिसे द्विसदिश (बाइवेक्टर) कहा जाता है और समष्टि में रहता है जिसे बाह्य वर्ग कहा जाता है, सदिश समष्टि जो सदिश के मूल समष्टि से भिन्न होता है। $$ u \wedge v $$ के परिमाण की व्याख्या $$ u $$ और $$ v $$ भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के रूप में की जा सकती है, जिसकी गणना दो सदिशों के सदिश गुणनफल का उपयोग करके तीन विमाओं में भी की जा सकती है। अत्यधिक सामान्य रूप से, एक ही दिग्विन्यास (ओरिएंटेशन) और क्षेत्र के साथ सभी समांतर समतल सतहों में उनके उन्मुख क्षेत्र के माप के रूप में एक ही द्विसदिश होता है। सदिश गुणनफल की तरह, बाह्य गुणनफल प्रति-क्रमविनिमेय (एंटीकोम्यूटिव) है, जिसका अर्थ है कि $$ u \wedge v = -(v \wedge u) $$ सभी सदिश $$ u $$ और $$ v $$ के लिए है, लेकिन सदिश गुणनफल के विपरीत, बाह्य गुणनफल साहचर्य होता है।

जब इस प्रकार माना जाता है, तो दो सदिशों के बाहरी गुणनफल को 2-ब्लेड कहा जाता है। अत्यधिक सामान्य रूप से, सदिश के किसी भी संख्या k बाह्य गुणनफल को परिभाषित किया जा सकता है और कभी-कभी इसे k-ब्लेड कहा जाता है। यह kवीं बाह्य शक्ति के रूप में ज्ञात समष्टि में रहता है। परिणामी k-ब्लेड का परिमाण k-विमीय समांतरोटोप (पैरलैलोटोपे) का उन्मुख हाइपरवोल्यूम (अति-आयतन) है जिसके किनारे दिए गए सदिश हैं, ठीक उसी प्रकार जैसे तीन विमाओं में सदिश के अदिश त्रिक गुणनफल का परिमाण उन सदिश द्वारा उत्पन्न समानांतर चतुर्भुज का आयतन प्रदान करता है।

बाह्य बीजगणित एक बीजगणितीय विन्यास प्रदान करती है जिसमें ज्यामितीय प्रश्नों का उत्तर दिया जाता है। उदाहरण के लिए, ब्लेड की एक ठोस ज्यामितीय व्याख्या होती है, और बाह्य बीजगणित में वस्तुओं को स्पष्ट नियमों के एक समुच्चय के अनुसार प्रकलित किया जा सकता है। बाह्य बीजगणित में ऐसी वस्तुएँ होती हैं जो न केवल k-ब्लेड होती हैं, बल्कि k-ब्लेड का योग होती हैं; ऐसी राशि को k-सदिश कहा जाता है। k-ब्लेड, क्योंकि वे सदिशों के सरल गुणनफल होते हैं, बीजगणित के सरल घटक कहलाते हैं। किसी भी k-सदिश की रैंक को उन सरल घटकों की सबसे छोटी संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिनका यह योग है। बाह्य गुणनफल पूर्ण बाह्य बीजगणित तक विस्तारित है, जिससे बीजगणित के किसी भी दो घटकों का गुणा करना अर्थपूर्ण हो जाए। इस गुणनफल के साथ सुसज्जित, बाह्य बीजगणित साहचर्य बीजगणित होती है, जिसका अर्थ है कि किसी भी घटक $$ \alpha, \beta, \gamma $$ के लिए $$ \alpha \wedge (\beta \wedge \gamma) = (\alpha \wedge \beta) \wedge \gamma $$। k-सदिश की कोटि k होती है, जिसका अर्थ है कि वे k सदिश के गुणनफलों का योग हैं। जब भिन्न-भिन्न कोटि के घटकों को गुणा किया जाता है, तो कोटियां बहुपदों के गुणन की तरह जुड़ जाती हैं। इसका अर्थ यह है कि बाह्य बीजगणित एक श्रेणीबद्ध बीजगणित है।

बाह्य बीजगणित की परिभाषा समष्टियों के लिए अर्थपूर्ण है न कि केवल ज्यामितीय सदिशों की, बल्कि अन्य सदिश-जैसी वस्तुओं जैसे सदिश फ़ील्ड या फलन (फ़ंक्शंस) के लिए। पूर्ण सामान्यता में, बाह्य बीजगणित को किसी कम्यूटेटिव रिंग पर मॉड्यूल के लिए और अमूर्त बीजगणित में रुचि के अन्य संरचनाओं के लिए परिभाषित किया जा सकता है। यह इन अधिक सामान्य संरचनाओं में से एक है जहां बाह्य बीजगणित अपने सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों में से एक प्राप्त होता है, जहां यह अवकल रूपों के बीजगणित के रूप में प्रकट होता है जो कि उन क्षेत्रों में मौलिक होते है जो अवकल ज्यामिति का उपयोग करते हैं। बाह्य बीजगणित में कई बीजगणितीय गुण भी होते हैं जो इसे बीजगणित में ही एक सुविधाजनक साधन बनाते हैं। सदिश समष्टि के लिए बाह्य बीजगणित का साहचर्य सदिश समष्टियों पर एक प्रकार का फंक्टर होता है, जिसका अर्थ है कि यह एक निश्चित तरीके से सदिश समष्टियों के रैखिक रूपांतरणों के साथ संगत है। बाह्य बीजगणित बायलजेब्रा का एक उदाहरण है, जिसका अर्थ है कि इसकी द्वैत समष्टि में भी एक गुणनफल है, और यह द्वैत गुणनफल बाह्य गुणनफल के साथ संगत है। यह द्वैत बीजगणित वैकल्पिक रूप से बहु-रेखीय रूपों का बीजगणित है, और बाह्य बीजगणित और इसके द्वैत के बीच की जोड़ी आंतरिक गुणनफल द्वारा दी गई है।

प्रेरणात्मक उदाहरण
पहले दो उदाहरण एक मीट्रिक टेंसर फ़ील्ड और एक दिग्विन्यास मानते हैं; तीसरा उदाहरण या तो नहीं मानता।

समतल में क्षेत्रों
कार्तीय तल $$ \mathbb R^2 $$ एक वास्तविक सदिश समष्टि है जो इकाई सदिशों की एक जोड़ी से युक्त आधार से सुसज्जित है



{\mathbf e}_1 = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\quad {\mathbf e}_2 = \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}, $$ दिग्विन्यास के साथ $$ \mathbf e_1 \times \mathbf e_2 $$ और मीट्रिक के साथ $$\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}. $$ मान लीजिए


 * $$\mathbf{v} = \begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}

= a \mathbf{e}_1 + b \mathbf{e}_2, \quad \mathbf{w} = \begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix} = c \mathbf{e}_1 + d \mathbf{e}_2 $$ घटकों में लिखे $$\R^2,$$ में दिए गए सदिशों की एक जोड़ी है। एक अद्वितीय समांतर चतुर्भुज है जिसकी दो भुजाएँ v और w हैं। इस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल मानक निर्धारक सूत्र द्वारा दिया गया है:



\text{Area} = \Bigl| \det \begin{bmatrix} \mathbf{v} & \mathbf{w} \end{bmatrix} \Bigr| = \Biggl| \det \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} \Biggr| = \left| ad - bc \right|. $$ अब v और w के बाह्य गुणनफल पर विचार करें:


 * $$\begin{align}

\mathbf{v} \wedge \mathbf{w} &= (a\mathbf{e}_1 + b\mathbf{e}_2) \wedge (c\mathbf{e}_1 + d\mathbf{e}_2) \\ &= ac\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_1 + ad\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2 + bc\mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_1 + bd\mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_2 \\ &= \left( ad - bc \right)\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2 \end{align}$$ जहां पहला चरण बाह्य गुणनफल के लिए वितरण नियम का उपयोग करता है, और अंतिम चरण इस तथ्य का उपयोग करता है कि बाह्य गुणनफल वैकल्पिक है, और विशेष रूप से $$\mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_1 = -(\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2)$$। (तथ्य यह है कि बाह्य गुणनफल वैकल्पिक रूप से भी $$ \mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_1 = \mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_2 = 0$$ को बल देता है) ध्यान दें कि इस अंतिम अभिव्यक्ति में गुणांक वास्तव में मैट्रिक्स [v w] का निर्धारक है। तथ्य यह है कि यह सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है इसका सहज अर्थ है कि v और w एक वामावर्त या दक्षिणावर्त अर्थ में उन्मुख हो सकते हैं क्योंकि वे समानांतर चतुर्भुज के कोने को परिभाषित करते हैं। इस तरह के क्षेत्र को समांतर चतुर्भुज का हस्ताक्षरित क्षेत्र कहा जाता है: हस्ताक्षरित क्षेत्र का निरपेक्ष मान साधारण क्षेत्र है, और चिन्ह इसके दिग्विन्यास को निर्धारित करता है।

तथ्य यह है कि यह गुणांक हस्ताक्षरित क्षेत्र है, कोई दुर्घटना नहीं है। वास्तव में, यह देखना अपेक्षाकृत आसान है कि बाह्य गुणनफल को हस्ताक्षरित क्षेत्र से संबंधित होना चाहिए यदि कोई इस क्षेत्र को बीजगणितीय संरचना के रूप में स्वयंसिद्ध करने की कोशिश करता है। विस्तार से, यदि A(v, w) समांतर चतुर्भुज के हस्ताक्षरित क्षेत्र को दर्शाता है जिसमें सदिश v और w की जोड़ी दो आसन्न भुजाएँ बनाती है, तो A को निम्नलिखित गुणों को पूरा करना चाहिए: पिछले संपत्ति के अपवाद के साथ, दो सदिशों का बाह्य गुणनफल क्षेत्र के समान गुणों को पूरा करता है। एक निश्चित अर्थ में, बाह्य गुणनफल एक समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र की तुलना समानांतर समतल में किसी भी चुने हुए समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र की अनुमति देकर अंतिम संपत्ति को सामान्य करता है (यहाँ, भुजाओं वाला e1 और e2)। दूसरे शब्दों में, बाह्य गुणनफल क्षेत्र का एक आधार-स्वतंत्र सूत्रीकरण प्रदान करता है।
 * 1) A(rv, sw) = rsA(v, w) किसी भी वास्तविक संख्या r और s के लिए, क्योंकि दोनों पक्षों में से किसी एक को फिर से स्केल करने से क्षेत्रफल में समान मात्रा (और किसी एक पक्ष की दिशा उलटने से समांतर चतुर्भुज का दिग्विन्यास उलट जाता है) की वृद्धि होती है।
 * 2) A(v, v) = 0, क्योंकि v (अर्थात, एक रेखा खंड) द्वारा निर्धारित पतित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल शून्य है।
 * A(w, v) = −A(v, w), v और w की भूमिकाओं को परस्पर क्रिया करने के बाद से समांतर चतुर्भुज के दिग्विन्यास को उलट देता है।
 * 1) किसी भी वास्तविक संख्या r के लिए A(v + rw, w) = A(v, w), चूँकि v में w का एक गुणक जोड़ने से समांतर चतुर्भुज का न तो आधार और न ही ऊँचाई प्रभावित होती है और इसके परिणामस्वरूप इसका क्षेत्रफल सुरक्षित रहता है।
 * 2) A(e1, e2) = 1, चूंकि इकाई वर्ग का क्षेत्रफल एक है।

क्रॉस और ट्रिपल गुणनफल
एक बिलिनियर अदिश गुणनफल के साथ 3-विमीय उन्मुख सदिश समष्टि में सदिश के लिए, बाह्य बीजगणित सदिश गुणनफल और ट्रिपल गुणनफल से निकटता से संबंधित है। मानक आधार (e1, e2, e3) का उपयोग करके, सदिशों के एक युग्म का बाह्य गुणनफल



\mathbf{u} = u_1 \mathbf{e}_1 + u_2 \mathbf{e}_2 + u_3 \mathbf{e}_3 $$ और



\mathbf{v} = v_1 \mathbf{e}_1 + v_2 \mathbf{e}_2 + v_3 \mathbf{e}_3 $$ है



\mathbf{u} \wedge \mathbf{v} = (u_1 v_2 - u_2 v_1) (\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2) + (u_2 v_3 - u_3 v_2) (\mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_3) + (u_3 v_1 - u_1 v_3) (\mathbf{e}_3 \wedge \mathbf{e}_1) , $$ जहां (e1 ∧ e2, e2 ∧ e3, e3 ∧ e1) त्रि-विमीय समष्टि $ \bigwedge\nolimits^2\left(\mathbb R^3\right). $ के लिए आधार है। उपरोक्त गुणांक वही हैं जो किसी दिए गए दिग्विन्यास के साथ तीन विमाओं में सदिशों के सदिश गुणनफल की सामान्य परिभाषा में हैं, केवल अंतर यह है कि बाह्य गुणनफल एक सामान्य सदिश नहीं है, बल्कि इसके बजाय एक 2-सदिश है, और यह कि बाह्य गुणनफल दिग्विन्यास के विकल्प पर निर्भर नहीं करता है।

एक तीसरा सदिश लाना



\mathbf{w} = w_1 \mathbf{e}_1 + w_2 \mathbf{e}_2 + w_3 \mathbf{e}_3, $$ तीन सदिशों का बाह्य गुणनफल है



\mathbf{u} \wedge \mathbf{v} \wedge \mathbf{w} = (u_1 v_2 w_3 + u_2 v_3 w_1 + u_3 v_1 w_2 - u_1 v_3 w_2 - u_2 v_1 w_3 - u_3 v_2 w_1) (\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_3) $$ जहाँ e1 ∧ e2 ∧ e3 एक-विमीय समष्टि $ \bigwedge\nolimits^3\left(\mathbb R^3\right) $ के लिए आधार सदिश है। अदिश गुणांक तीन सदिशों का त्रिगुणात्मक गुणनफल है।

तीन विमीय यूक्लिडियन सदिश समष्टि में सदिश गुणनफल और ट्रिपल गुणनफल हॉज स्टार द्वंद्व के माध्यम से ज्यामितीय और बीजगणितीय दोनों व्याख्याओं को स्वीकार करते हैं। सदिश गुणनफल u × v को एक सदिश के रूप में व्याख्या किया जा सकता है जो यू और वी दोनों के लिए लंबवत है और जिसका परिमाण दो सदिशों द्वारा निर्धारित समांतरोग्राम के क्षेत्र के बराबर है। इसे सदिश के रूप में भी व्याख्या किया जा सकता है जिसमें कॉलम यू और वी के साथ मैट्रिक्स के नाबालिग शामिल हैं। यू, वी, और डब्ल्यू के ट्रिपल गुणनफल एक ज्यामितीय उन्मुख मात्रा का प्रतिनिधित्व करने वाला एक हस्ताक्षरित अदिश है। बीजगणितीय रूप से, यह कॉलम यू, वी, और डब्ल्यू के साथ मैट्रिक्स का निर्धारक है। तीन विमाओं में बाह्य गुणनफल समान व्याख्याओं की अनुमति देता है: यह भी, उन्मुख रेखाओं, क्षेत्रों, मात्राओं, आदि के साथ पहचाना जा सकता है, जो एक, दो या अधिक सदिशों द्वारा फैलाए जाते हैं। बाह्य गुणनफल इन ज्यामितीय धारणाओं को सभी सदिश रिक्त समष्टि और किसी भी विमा के लिए सामान्य करता है, यहां तक ​​कि अदिश गुणनफल की अनुपस्थिति में भी।

विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र
आइंस्टीन के सापेक्षता के सिद्धांतों में, विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र को सामान्यतः 4-समष्टि में अंतर 2-रूप $$ F = dA $$ के रूप में या समकक्ष वैकल्पिक टेंसर क्षेत्र $$ F_{ij} = A_{[i,j]} = A_{[i;j]}, $$ विद्युत चुम्बकीय टेंसर के रूप में दिया जाता है। फिर $$ dF = ddA = 0 $$ या समतुल्य बियांची पहचान $$ F_{[ij,k]} = F_{[ij;k]} = 0 $$। इसमें से किसी को भी मीट्रिक की आवश्यकता नहीं है।

लोरेंत्ज़ मीट्रिक और एक दिग्विन्यास जोड़ने से हॉज स्टार ऑपरेटर $$ \star $$ मिलता है और इस प्रकार $$ J = {\star}d{\star}F $$ या समकक्ष टेन्सर डाइवर्जेंस $$ J^i = F^{ij}_{,j} = F^{ij}_{;j} $$ को परिभाषित करना संभव हो जाता है जहाँ $$ F^{ij} = g^{ik}g^{jl}F_{kl} $$।

औपचारिक परिभाषाएँ और बीजगणितीय गुण
क्षेत्र $K$ पर सदिश समष्टि $V$ का बाह्य बीजगणित $ \bigwedge(V) $ को टेंसर बीजगणित $T(V)$ के भागफल बीजगणित के रूप में परिभाषित किया गया है, जो दो तरफा आदर्श $I$ द्वारा उत्पन्न $x ⊗ x$ के लिए $x ∈ V$ (यानी सभी टेंसर जिन्हें $V$ में सदिश के टेन्सर गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है) के सभी घटकों द्वारा उत्पन्न होता है। आदर्श I में फॉर्म $$ x \otimes y + y \otimes x = (x + y) \otimes (x + y) - x \otimes x - y \otimes y $$ के घटकों द्वारा उत्पन्न आदर्श जे शामिल है और यदि $$ \operatorname{char}(K) \ne 2 $$ (यदि $$ \operatorname{char}(K) = 2, $$ ये आदर्श शून्य सदिश समष्टि को छोड़कर भिन्न हैं) तो ये आदर्श मेल खाते हैं।

इसलिए,


 * $$ {\textstyle\bigwedge}(V) = T(V)/I $$

एक साहचर्य बीजगणित है। इसके गुणन को बाह्य गुणनफल कहा जाता है, और इसे $∧$ से दर्शाया जाता है। इसका अर्थ यह है कि $ \bigwedge(V) $ का गुणनफल $T(V)$ के टेन्सर गुणनफल $⊗$ से प्रेरित है।

$T^{0} = K$, $T^{1} = V$, और $$ \left(T^0(V) \oplus T^1(V)\right) \cap I = \{ 0 \}, $$ के रूप में, $T(V)$ में $K$ और $V$ का समावेश $K$ और $V$ के इंजेक्शन को $ \bigwedge(V) $  में प्रेरित करता है। इन इंजेक्शनों को सामान्यतः समावेशन के रूप में माना जाता है, और इन्हें प्राकृतिक अंतःस्थापन, प्राकृतिक इंजेक्शन या प्राकृतिक समावेशन कहा जाता है। प्राकृतिक के समष्टि पर सामान्यतः विहित शब्द का भी प्रयोग किया जाता है।

वैकल्पिक गुणनफल
बाह्य गुणनफल $$ V, $$ के घटकों पर बारी-बारी से संरचना द्वारा है, जिसका अर्थ है कि उपरोक्त संरचना द्वारा सभी $ x \wedge x = 0 $ के लिए $$ x \in V $$। यह इस प्रकार है कि यह गुणनफल $$ V, $$ के घटकों पर भी विरोधी है, यह मानने के लिए कि $$ x, y \in V, $$

0 = (x + y) \wedge (x + y) = x \wedge x + x \wedge y + y \wedge x + y \wedge y = x \wedge y + y \wedge x $$ इसलिए


 * $$ x \wedge y = -(y \wedge x). $$

अधिक व्यापक रूप से, यदि σ पूर्णांक [1, ..., k], और x1, x2, ..., xk, V के अवयव हैं, का एक क्रमचय है, तो यह अनुसरण करता है कि



x_{\sigma(1)} \wedge x_{\sigma(2)} \wedge \cdots \wedge x_{\sigma(k)} = \operatorname{sgn}(\sigma)x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_k, $$ जहां sgn(σ) क्रमचय σ का हस्ताक्षर है।

विशेष रूप से, यदि xi = xj कुछ i ≠ j के लिए, तो वैकल्पिक संपत्ति का निम्नलिखित सामान्यीकरण भी मान्य है:


 * $$ x_{1} \wedge x_{2} \wedge \cdots \wedge x_{k} = 0. $$

बाह्य गुणनफल की वितरणात्मक संपत्ति के साथ, एक और सामान्यीकरण यह है कि यदि और केवल यदि $$ \{ x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{k} \} $$ सदिशों का रैखिक रूप से निर्भर समुच्चय है, तो


 * $$ x_{1} \wedge x_{2} \wedge \cdots \wedge x_{k} = 0. $$

बाह्य शक्ति
V की k वीं बाह्य शक्ति, $ \bigwedge\nolimits^k(V), $ को निरूपित करती है, $ \bigwedge(V) $  की सदिश उप-समष्टि है जो प्रपत्र के घटकों द्वारा फैली हुई है



x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_k,\quad x_i \in V, i=1,2,\ldots, k. $$ यदि $ \alpha \in \bigwedge\nolimits^k(V), $ है, तो α को k-सदिश कहा जाता है। यदि, इसके अलावा, α को V के k घटकों के बाह्य गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तो α को डीकंपोज़ेबल कहा जाता है। हालांकि डीकंपोज़ेबल के-सदिश $ \bigwedge\nolimits^k(V), $  तक फैले हुए हैं, लेकिन $ \bigwedge\nolimits^k(V) $  का प्रत्येक घटक डीकंपोज़ेबल नहीं है। उदाहरण के लिए, $$ \mathbb R^4, $$ में निम्नलिखित 2-सदिश डीकंपोजेबल नहीं है:


 * $$ \alpha = e_1 \wedge e_2 + e_3 \wedge e_4. $$

(यह एक सहानुभूतिपूर्ण रूप है, क्योंकि α ∧ α ≠ 0 है। )

आधार और विमा
यदि $V$ की विमा $n$ है और ${ e_{1}, …, e_{n} }$ $V$ का बेसिस है, तो समुच्चय



\{\,e_{i_1} \wedge e_{i_2} \wedge \cdots \wedge e_{i_k} ~ \big| 1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n \,\} $$ $ \bigwedge\nolimits^k(V) $ के लिए बेसिस है। कारण निम्न है: प्रपत्र के किसी भी बाह्य गुणनफल को दिया गया


 * $$ v_1 \wedge \cdots \wedge v_k, $$

प्रत्येक सदिश $v_{j}$ को आधार सदिशों $e_{i}$ के एक रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है; बाह्य गुणनफल की बिलिनियरिटी का उपयोग करके, इसे उन आधार सदिशों के बाह्य गुणनफलों के रैखिक संयोजन तक विस्तारित किया जा सकता है। कोई भी बाह्य गुणनफल जिसमें एक ही आधार सदिश एक से अधिक बार प्रकट होता है, शून्य होता है; कोई भी बाह्य गुणनफल जिसमें आधार सदिश उचित क्रम में प्रकट नहीं होते हैं, को फिर से व्यवस्थित किया जा सकता है, जब भी दो आधार सदिश समष्टि बदलते हैं, तो चिन्ह बदल सकते हैं। सामान्य तौर पर, आधार $k$-सदिश के परिणामी गुणांक की गणना मैट्रिक्स के अवयस्क के रूप में की जा सकती है जो आधार $e_{i}$ के संदर्भ में सदिश $v_{j}$ का वर्णन करता है।

आधार घटकों की गणना करके, $ \bigwedge\nolimits^k(V) $ का विमा एक द्विपद गुणांक के बराबर है:


 * $$ \dim {\textstyle\bigwedge}^k(V) = \binom{n}{k}\,. $$

जहां $n$ सदिशों का विमा है और $k$ गुणनफल में सदिशों की संख्या है। असाधारण मामलों के लिए भी द्विपद गुणांक सही परिणाम उत्पन्न करता है; विशेष रूप से, $k > n$ के लिए $ \bigwedge\nolimits^k(V) = \{ 0 \} $ ।

बाह्य बीजगणित के किसी भी घटक को k-सदिशों के योग के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए, सदिश समष्टि के रूप में बाह्य बीजगणित एक सीधा योग है



{\textstyle\bigwedge}(V) = {\textstyle\bigwedge}^0(V) \oplus {\textstyle\bigwedge}^1(V) \oplus {\textstyle\bigwedge}^2(V) \oplus \cdots \oplus {\textstyle\bigwedge}^n(V) $$ (जहां सम्मेलन $ \bigwedge\nolimits^0(V) = K, $ $V$, और $ \bigwedge\nolimits^1(V) = V $  के नीचे का क्षेत्र), और इसलिए इसका विमा द्विपद गुणांक के योग के बराबर है, जो कि 2n है।

एक के-सदिश की रैंक
यदि $ \alpha \in \bigwedge\nolimits^k(V) $ है, तो α को अपघटन योग्य k-सदिश के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करना संभव है:


 * $$ \alpha = \alpha^{(1)} + \alpha^{(2)} + \cdots + \alpha^{(s)} $$

जहां प्रत्येक α(i) विघटित होता है, कहते हैं



\alpha^{(i)} = \alpha^{(i)}_1 \wedge \cdots \wedge \alpha^{(i)}_k,\quad i = 1,2,\ldots, s. $$ K-सदिश α का रैंक α के इस तरह के विस्तार में विघटन योग्य के-सदिश की न्यूनतम संख्या है। यह टेंसर रैंक की धारणा के समान ही है।

2-सदिशों के अध्ययन में रैंक विशेष रूप से महत्वपूर्ण है । 2-सदिश α की रैंक को एक आधार में α के गुणांकों के मैट्रिक्स के आधे रैंक के साथ पहचाना जा सकता है। इस प्रकार यदि ई वी के लिए एक आधार है, तो α को अद्वितीय रूप से व्यक्त किया जा सकता है


 * $$ \alpha = \sum_{i,j}a_{ij}e_i \wedge e_j $$

जहाँ aij = −aji (गुणांकों का आव्यूह तिरछा सममित है)। इसलिए आव्यूह aij की कोटि सम है, और α के रूप की कोटि से दोगुनी है।

विशेषता 0 में, 2-सदिश α का रैंक p है यदि और केवल यदि



\underset{p}{\underbrace{\alpha \wedge \cdots \wedge \alpha}} \neq 0 \ $$ और $$ \ \underset{p+1}{\underbrace{\alpha \wedge \cdots \wedge \alpha}} = 0. $$

ग्रेडेड संरचना
पी-सदिश के साथ के-सदिश का बाह्य गुणनफल एक (के + पी) -सदिश है, जो एक बार फिर बिलिनियरिटी का आह्वान करता है। एक परिणाम के रूप में, पिछले अनुभाग का प्रत्यक्ष योग अपघटन



{\textstyle\bigwedge}(V) = {\textstyle\bigwedge}^{\!0}(V) \oplus {\textstyle\bigwedge}^{\!1}(V) \oplus {\textstyle\bigwedge}^{\!2}(V) \oplus \cdots \oplus {\textstyle\bigwedge}^{\!n}(V) $$ बाह्य बीजगणित को एक वर्गीकृत बीजगणित की अतिरिक्त संरचना देता है, अर्थात



{\textstyle\bigwedge}^k(V) \wedge {\textstyle\bigwedge}^p(V) \sub {\textstyle\bigwedge}^{k+p}(V). $$ इसके अतिरिक्त, यदि $K$ आधार क्षेत्र है, तो हमारे पास है



{\textstyle\bigwedge}^{\!0}(V) = K $$ और $$ {\textstyle\bigwedge}^{\!1}(V) = V. $$ बाह्य गुणनफल को एंटीकोम्यूटेटिव श्रेणीबद्ध किया गया है, जिसका अर्थ है कि यदि $ \alpha \in \bigwedge\nolimits^k(V) $ और $ \beta \in \bigwedge\nolimits^p(V), $  हैं, तो


 * $$ \alpha \wedge \beta = (-1)^{kp}\beta \wedge \alpha. $$

बाह्य बीजगणित पर श्रेणीबद्ध संरचना का अध्ययन करने के अलावा, बाह्य बीजगणित पर अतिरिक्त वर्गीकृत संरचनाओं का अध्ययन करता है, जैसे कि एक वर्गीकृत मॉड्यूल के बाह्य बीजगणित पर (एक मॉड्यूल जो पहले से ही अपने स्वयं के उन्नयन को वहन करता है)।

सार्वभौमिक संपत्ति
मान लीजिए $V$ क्षेत्र $K$ पर एक सदिश समष्टि है। अनौपचारिक रूप से, $ \bigwedge(V) $ में गुणा प्रतीकों में हेरफेर करके और एक वितरण कानून, एक साहचर्य कानून लागू करके और $v ∈ V$ के लिए पहचान $$ v \wedge v = 0 $$ का उपयोग करके किया जाता है। औपचारिक रूप से, $ \bigwedge(V) $  "सबसे सामान्य" बीजगणित है जिसमें ये नियम गुणन के लिए धारण करते हैं, इस अर्थ में कि $V$ पर वैकल्पिक गुणन के साथ $V$ वाले किसी भी एकात्मक साहचर्य $K$-बीजगणित में $ \bigwedge(V) $  की एक समरूप छवि होनी चाहिए। दूसरे शब्दों में, बाह्य बीजगणित में निम्नलिखित सार्वभौमिक गुण होते हैं:  किसी भी यूनिटल साहचर्य के-बीजगणित $A$ और किसी भी $K$-रेखीय मानचित्र $$ j : V \to A $$ को देखते हुए $V$ में प्रत्येक $v$ के लिए $$ j(v)j(v) = 0 $$, तो ठीक एक इकाई बीजगणित समाकारिता $ f : \bigwedge(V)\to A $ मौजूद है जैसे कि $j(v) = f(i(v))$ $V$ में सभी $v$ के लिए (यहाँ $i$ $ \bigwedge(V), $  में $V$ का स्वाभाविक समावेश है, ऊपर देखें)।

सबसे सामान्य बीजगणित का संरचना करने के लिए जिसमें $V$ शामिल है और जिसका गुणन $V$ पर वैकल्पिक है, सबसे सामान्य साहचर्य बीजगणित के साथ शुरू करना स्वाभाविक है जिसमें $V$, टेंसर बीजगणित $T(V)$ शामिल है, और फिर एक उपयुक्त भागफल लेकर वैकल्पिक संपत्ति को लागू करें। इस प्रकार हम $V$ में $v$ के लिए $v ⊗ v$ के रूप के सभी घटकों द्वारा उत्पन्न $T(V)$ में दो-तरफा आदर्श $I$ लेते हैं, और $ \bigwedge(V) $ को भागफल के रूप में परिभाषित करते हैं।


 * $$ {\textstyle\bigwedge}(V) = T(V)/I\ $$

(और $∧$ को $ \bigwedge(V) $ में गुणन के प्रतीक के रूप में उपयोग करें)। इसके बाद यह दिखाना सीधा है कि $ \bigwedge(V) $  में $V$ है और उपरोक्त सार्वभौमिक संपत्ति को संतुष्ट करता है।

इस संरचना के परिणामस्वरूप, एक सदिश समष्टि $V$ को इसके बाह्य बीजगणित $ \bigwedge(V) $ को असाइन करने का संचालन सदिश रिक्त समष्टि की श्रेणी से बीजगणित की श्रेणी का एक फ़ंक्टर है।

पहले $ \bigwedge(V) $ को परिभाषित करने और फिर बाह्य शक्तियों $ \bigwedge\nolimits^k(V) $  को कुछ उप-समष्टियों के रूप में पहचानने के बजाय, वैकल्पिक रूप से पहले रिक्त समष्टि $ \bigwedge\nolimits^k(V) $  को परिभाषित किया जा सकता है और फिर बीजगणित $ \bigwedge(V) $  बनाने के लिए उन्हें जोड़ा जा सकता है। इस दृष्टिकोण का उपयोग अक्सर अवकल ज्यामिति में किया जाता है और अगले भाग में वर्णित किया जाता है।

सामान्यीकरण
एक क्रमविनिमेय वलय R और एक R-मॉड्यूल M को देखते हुए, हम बाह्य बीजगणित $ \bigwedge(M) $ को ठीक ऊपर की तरह परिभाषित कर सकते हैं, जैसा कि टेन्सर बीजगणित T(M) के उपयुक्त भागफल के रूप में है। यह समान सार्वभौमिक संपत्ति को संतुष्ट करेगा। $ \bigwedge(M) $  के कई गुणों के लिए यह भी आवश्यक है कि M एक प्रोजेक्टिव मॉड्यूल हो। जहां परिमित विमीयता का उपयोग किया जाता है, गुणों के लिए आगे की आवश्यकता होती है कि M सूक्ष्म रूप से उत्पन्न और प्रक्षेपी हो। सबसे आम स्थितियों के लिए सामान्यीकरण  में पाया जा सकता है।

ज्यामिति और टोपोलॉजी में सदिश बंडलों के बाह्य बीजगणित पर अक्सर विचार किया जाता है। सेरे-स्वान प्रमेय द्वारा परिमित-विमीय सदिश बंडलों के बाह्य बीजगणित के बीजगणितीय गुणों और सूक्ष्म रूप से उत्पन्न प्रोजेक्टिव मॉड्यूल के बाह्य बीजगणित के बीच कोई आवश्यक अंतर नहीं हैं। अधिक सामान्य बाह्य बीजगणित को मॉड्यूल के ढेरों के लिए परिभाषित किया जा सकता है।

बारी -बारी से टेंसर बीजगणित
यदि K विशेषता 0 का एक क्षेत्र है, तो K पर एक सदिश समष्टि V के बाह्य बीजगणित को एंटीसिमेट्रिक टेंसरों से युक्त T(V) के सदिश उपसमष्टि के साथ कैनोनिक रूप से पहचाना जा सकता है। याद रखें कि बाह्य बीजगणित, x ⊗ x के रूप के घटकों द्वारा उत्पन्न आदर्श I द्वारा T(V) का भागफल है।

मान लीजिए Tr(V) डिग्री r के सजातीय टेन्सरों का समष्टि है। यह डीकंपोज़ेबल टेंसरों द्वारा फैला हुआ है


 * $$ v_1 \otimes \cdots \otimes v_r,\quad v_i \in V. $$

एक डीकंपोज़ेबल टेन्सर के एंटीसिमेट्रिज़ेशन (या कभी-कभी तिरछा-सममितीकरण) द्वारा परिभाषित किया गया है



\operatorname{Alt}(v_1 \otimes \cdots \otimes v_r) = \frac{1}{r!}\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_r} \operatorname{sgn}(\sigma) v_{\sigma(1)} \otimes \cdots \otimes v_{\sigma(r)} $$ जहां प्रतीक {1, ..., r} पर क्रमपरिवर्तन के सममित समूह पर योग लिया जाता है। यह पूर्ण टेन्सर बीजगणित T(V) पर रैखिकता और एकरूपता द्वारा एक ऑपरेशन तक फैला हुआ है, जिसे Alt द्वारा भी निरूपित किया जाता है। छवि Alt(T(V)) वैकल्पिक टेन्सर बीजगणित है, जिसे A(V) के रूप में दर्शाया गया है। यह T(V) की एक सदिश उपसमष्टि है, और यह T(V) से एक श्रेणीबद्ध सदिश समष्टि की संरचना को इनहेरिट करती है। यह एक साहचर्य श्रेणीबद्ध गुणनफल $$ \widehat{\otimes} $$ द्वारा परिभाषित किया गया है


 * $$ t~\widehat{\otimes}~s = \operatorname{Alt}(t \otimes s). $$

यद्यपि यह गुणनफल टेंसर गुणनफल से भिन्न है, ऑल्ट का कर्नेल ठीक आदर्श I है (फिर से, यह मानते हुए कि K में विशेषता 0 है), और एक कैनोनिकल समरूपता है


 * $$ A(V)\cong {\textstyle\bigwedge}(V). $$

सूचकांक संकेतन
मान लीजिए कि V का परिमित विमा n है, और V का एक आधार e1, ..., en दिया गया है। तब किसी भी प्रत्यावर्ती टेंसर t ∈ Ar(V) ⊂ Tr(V) को इंडेक्स नोटेशन में इस प्रकार लिखा जा सकता है



t = t^{i_1i_2\cdots i_r}\, {\mathbf e}_{i_1} \otimes {\mathbf e}_{i_2} \otimes \cdots \otimes {\mathbf e}_{i_r}, $$ जहां ti1⋅⋅⋅ir अपने सूचकांकों में पूरी तरह से विरोधी सममित है।

रैंक r और p के दो वैकल्पिक टेंसरों t और s का बाह्य गुणनफल द्वारा दिया गया है



t~\widehat{\otimes}~s = \frac{1}{(r+p)!}\sum_{\sigma \in {\mathfrak S}_{r+p}}\operatorname{sgn}(\sigma)t^{i_{\sigma(1)} \cdots i_{\sigma(r)}} s^{i_{\sigma(r+1)} \cdots i_{\sigma(r+p)}} {\mathbf e}_{i_1} \otimes {\mathbf e}_{i_2} \otimes \cdots \otimes {\mathbf e}_{i_{r+p}}. $$ इस टेन्सर के घटक टेन्सर गुणनफल s ⊗ t के घटकों के ठीक तिरछे भाग हैं, जो सूचकांकों पर वर्ग कोष्ठक द्वारा निरूपित हैं:



(t~\widehat{\otimes}~s)^{i_1\cdots i_{r+p}} = t^{[i_1\cdots i_r}s^{i_{r+1}\cdots i_{r+p}]}. $$ इंटीरियर प्रोडक्ट को इंडेक्स नोटेशन में भी इस तरह से वर्णित किया जा सकता है। मान लीजिए कि $$ t = t^{i_0i_1\cdots i_{r-1}} $$कोटि r का एक असममित टेंसर है। फिर, α ∈ V∗ के लिए, iαt रैंक r − 1 का एक वैकल्पिक टेन्सर है, जो निम्नलिखित द्वारा दिया गया है:



(i_\alpha t)^{i_1\cdots i_{r-1}} = r\sum_{j=0}^n\alpha_j t^{ji_1\cdots i_{r-1}}. $$ जहाँ n, V का विमा है।

अल्टरनेटिंग ऑपरेटर
दो सदिश रिक्त समष्टि V और और एक प्राकृतिक संख्या के को देखते हुए, Vk  से X  तक एक वैकल्पिक ऑपरेटर एक बहु-रैखिक मानचित्र है


 * $$ f\colon V^k \to X $$

इस प्रकार कि जब भी v1, ..., vk V में रैखिक रूप से आश्रित सदिश हों, तब


 * $$ f(v_1,\ldots, v_k) = 0. $$

वो नक्शा


 * $$ w\colon V^k \to {\textstyle\bigwedge}^{\!k}(V) $$

जो $$ V $$ से $$ k $$ सदिशों से जुड़ा है, उनका बाह्य गुणनफल, यानी उनका संबंधित $$ k $$-सदिश भी वैकल्पिक है। वास्तव में, यह मानचित्र $$ V^k $$ पर परिभाषित "सबसे सामान्य" प्रत्यावर्ती संचालिका है; किसी भी अन्य वैकल्पिक ऑपरेटर $$ f : V^k \rightarrow X, $$ को देखते हुए, $$ f = \phi \circ w $$ के साथ एक अद्वितीय रैखिक नक्शा $$ \phi : \wedge^{k}(V) \rightarrow X $$ मौजूद है। यह सार्वभौमिक संपत्ति समष्टि $$ \wedge^{k}(V) $$ की विशेषता है और इसकी परिभाषा के रूप में काम कर सकती है।

अल्टरनेटिंग मल्टीलिनियर फॉर्म
उपरोक्त चर्चा मामले के लिए विशेषज्ञ है जब X = K, आधार क्षेत्र। इस मामले में एक वैकल्पिक मल्टीलाइनर फ़ंक्शन


 * $$ f : V^k \to K\ $$

एक वैकल्पिक बहुरेखीय रूप कहा जाता है। सभी वैकल्पिक बहुरेखीय रूपों का समुच्चय एक सदिश समष्टि है, क्योंकि ऐसे दो मानचित्रों का योग, या एक अदिश के साथ ऐसे मानचित्र का गुणनफल, फिर से वैकल्पिक है। बाह्य शक्ति की सार्वभौमिक संपत्ति द्वारा, V पर डिग्री k के वैकल्पिक रूपों का समष्टि स्वाभाविक रूप से द्वैत सदिश समष्टि $ \bigl(\bigwedge\nolimits^k(V)\bigr)^* $ के साथ आइसोमोर्फिक है। यदि V परिमित-विमीय है, तो बाद वाला स्वाभाविक रूप से आइसोमॉर्फिक है $ \bigwedge\nolimits^k\left(V^*\right) $  तक। विशेष रूप से, यदि वी एन-विमीय है, तो वीके से केके तक वैकल्पिक मानचित्रों के समष्टि का विमा द्विपद गुणांक $ \binom{n}{k} $  है।

इस तरह की पहचान के तहत, बाह्य गुणनफल एक ठोस रूप लेता है: यह दो दिए गए लोगों से एक नया विरोधी सममित नक्शा तैयार करता है। मान लीजिए ω : Vk → K और η : Vm → K दो विरोधी सममित मानचित्र हैं। बहुरेखीय नक्शों के टेंसर गुणनफलों की तरह, उनके बाह्य गुणनफल के चरों की संख्या उनके चरों की संख्याओं का योग होती है। बहुरेखीय रूपों के साथ बाह्य शक्ति के घटकों की पहचान के विकल्प के आधार पर, बाह्य गुणनफल को इस रूप में परिभाषित किया गया है
 * $$ \omega \wedge \eta = \operatorname{Alt}(\omega \otimes \eta) $$

या के रूप में



\omega \wedge \eta = \frac{(k+m)!}{k!\,m!}\operatorname{Alt}(\omega \otimes \eta), $$ जहां, यदि आधार फ़ील्ड K की विशेषता 0 है, तो एक बहु-मानचित्र के वैकल्पिक alt को इसके चर के सभी क्रमों पर हस्ताक्षर-समायोजित मूल्यों के औसत के रूप में परिभाषित किया गया है:



\operatorname{Alt}(\omega)(x_1,\ldots,x_k) = \frac{1}{k!}\sum_{\sigma \in S_k}\operatorname{sgn}(\sigma)\, \omega(x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(k)}). $$ जब क्षेत्र (गणित) k में एक क्षेत्र की विशेषता  होती है, तो किसी भी फैक्टरियल्स या किसी भी स्थिरांक के बिना दूसरी अभिव्यक्ति का एक समान संस्करण अच्छी तरह से परिभाषित होता है:



{\omega \wedge \eta(x_1,\ldots,x_{k+m})} = \sum_{\sigma \in \mathrm{Sh}_{k,m}} \operatorname{sgn}(\sigma)\, \omega(x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(k)})\, \eta(x_{\sigma(k+1)}, \ldots, x_{\sigma(k+m)}), $$ यहां कहां Shk,m ⊂ Sk+m (p, q) शफल का सबसमुच्चय है। {1, 2, ..., k + m} ऐसा है कि σ(1) < σ(2) < ⋯ < σ(k), और σ(k + 1) < σ(k + 2) < ⋯ < σ(k + m)।

आंतरिक गुणनफल
मान लीजिए कि वी परिमित-विमीय है। यदि V∗ सदिश समष्टि V के लिए द्वैत समष्टि को दर्शाता है, तो प्रत्येक α ∈ V∗ के लिए, बीजगणित $ \bigwedge(V) $ पर एक प्रतिपक्षी को परिभाषित करना संभव है,

i_\alpha:{\textstyle\bigwedge}^k V \rightarrow {\textstyle\bigwedge}^{k-1}V. $$ इस व्युत्पत्ति को α के साथ आंतरिक गुणनफल, या कभी-कभी सम्मिलन ऑपरेटर, या α द्वारा संकुचन कहा जाता है।

मान लीजिए कि $ w \in \bigwedge\nolimits^k V $ । फिर w, V∗ से K की एक बहुरेखीय मैपिंग है, इसलिए इसे k-गुना कार्टेसियन गुणनफल V∗ × V∗ × ... × V∗ पर इसके मानों द्वारा परिभाषित किया गया है। अगर u1, u2, ..., uk−1, V* के k − 1 अवयव हैं, तो परिभाषित करें



(i_\alpha {\mathbf w})(u_1,u_2,\ldots,u_{k-1}) = {\mathbf w}(\alpha,u_1,u_2,\ldots, u_{k-1}). $$ इसके अतिरिक्त, मान लीजिए iαf = 0 जब भी f एक शुद्ध अदिश है (अर्थात, $ \bigwedge\nolimits^0 V $ से संबंधित)।

स्वयंसिद्ध लक्षण वर्णन और गुण
आंतरिक गुणनफल निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है:

i_\alpha:{\textstyle\bigwedge}^k V\rightarrow {\textstyle\bigwedge}^{k-1}V. $$ (अधिवेशन द्वारा, $ \bigwedge\nolimits^{-1}V=\{0\}. $ ) i_\alpha (a \wedge b) = (i_\alpha a) \wedge b + (-1)^{\deg a}a \wedge (i_\alpha b). $$ ये तीन गुण आंतरिक गुणनफल को चित्रित करने के साथ-साथ इसे सामान्य अनंत-विमीय मामले में परिभाषित करने के लिए पर्याप्त हैं।
 * 1) प्रत्येक k और प्रत्येक α ∈ V∗ के लिए,$$
 * 1) यदि v V ($ = \bigwedge\nolimits^1 V $ ) का एक घटक है, तो iαv = α(v) V के घटकों और V∗ के घटकों के बीच द्वैत जोड़ी है।
 * 2) प्रत्येक α ∈ V∗ के लिए, iα डिग्री −1 की एक श्रेणीबद्ध व्युत्पत्ति है:$$

आंतरिक गुणनफल के आगे के गुणों में शामिल हैं:
 * $$ i_\alpha\circ i_\alpha = 0. $$
 * $$ i_\alpha\circ i_\beta = -i_\beta\circ i_\alpha. $$

हॉज द्वैत
मान लीजिए कि V का परिमित विमा n है। फिर आंतरिक गुणनफल सदिश रिक्त समष्टि के एक कैनोनिकल आइसोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है



{\textstyle\bigwedge}^k(V^*) \otimes {\textstyle\bigwedge}^n(V) \to {\textstyle\bigwedge}^{n-k}(V) $$ रिकर्सिव परिभाषा द्वारा


 * $$ i_{\alpha \wedge \beta} = i_\beta \circ i_\alpha. $$

ज्यामितीय विन्यास में, शीर्ष बाह्य शक्ति $ \bigwedge\nolimits^n(V) $ (जो एक विमीय सदिश समष्टि है) का एक गैर-शून्य घटक को कभी-कभी वॉल्यूम फॉर्म (या दिग्विन्यास फॉर्म कहा जाता है, हालांकि यह शब्द कभी-कभी अस्पष्टता का कारण बन सकता है)। नाम दिग्विन्यास फॉर्म इस तथ्य से आता है कि पसंदीदा शीर्ष घटक का एक विकल्प पूरे बाह्य बीजगणित का एक दिग्विन्यास निर्धारित करता है, क्योंकि यह सदिश स्पेस के ऑर्डर किए गए आधार को ठीक करने के लिए समान है। पसंदीदा वॉल्यूम फॉर्म σ के सापेक्ष, समरूपता स्पष्ट रूप से निम्नलिखित द्वारा दी गई है



{\textstyle\bigwedge}^k(V^*) \to {\textstyle\bigwedge}^{n-k}(V)
 * \alpha \mapsto i_\alpha\sigma.

$$ यदि, एक वॉल्यूम फॉर्म के अलावा, सदिश स्पेस V V के साथ V की पहचान करने वाले एक आंतरिक गुणनफल से सुसज्जित है, तो परिणामी समरूपता को हॉज स्टार ऑपरेटर कहा जाता है, जो अपने हॉज द्वैत के लिए एक घटक को मैप करता है:



\star : {\textstyle\bigwedge}^k(V) \rightarrow {\textstyle\bigwedge}^{n-k}(V). $$ $$ \star $$ का संघटन स्वयं $ \bigwedge\nolimits^k(V) $ → $ \bigwedge\nolimits^k(V) $ मानचित्रों के साथ है और हमेशा पहचान मानचित्र का एक अदिश गुणक होता है। अधिकांश अनुप्रयोगों में, वॉल्यूम फॉर्म आंतरिक गुणनफल के साथ इस अर्थ में संगत होता है कि यह V के ऑर्थोनॉर्मल आधार का एक बाह्य गुणनफल है। इस मामले में,
 * $$ \star \circ \star : {\textstyle\bigwedge}^k(V) \to {\textstyle\bigwedge}^k(V) = (-1)^{k(n-k) + q}\mathrm{id} $$

जहां आईडी पहचान मानचित्रण है, और आंतरिक गुणनफल में मीट्रिक हस्ताक्षर (p, q) - पी प्लसस और क्यू माइनस हैं।

आंतरिक गुणनफल
V के लिए एक परिमित-विमीय समष्टि, V पर एक आंतरिक गुणनफल (या एक छद्म-यूक्लिडियन आंतरिक गुणनफल) V के साथ V के एक समरूपता को परिभाषित करता है, और इसलिए $ \bigwedge\nolimits^k V $ के साथ $ \bigl(\bigwedge\nolimits^k V\bigr)^* $  का एक समरूपता भी है। इन दो समष्टियों के बीच की जोड़ी भी एक आंतरिक गुणनफल का रूप ले लेती है। डीकंपोज़ेबल के-सदिश पर,



\left\langle v_1 \wedge \cdots \wedge v_k, w_1 \wedge \cdots \wedge w_k\right\rangle = \det\bigl(\langle v_i,w_j\rangle\bigr), $$ आंतरिक गुणनफलों के मैट्रिक्स का निर्धारक। विशेष मामले में vi = wi, आंतरिक गुणनफल k-सदिश का वर्ग मानदंड है, जिसे ग्रामियन मैट्रिक्स (⟨vi, vj⟩) के निर्धारक द्वारा दिया गया है। इसके बाद $ \bigwedge\nolimits^k V $ पर गैर-पतित आंतरिक गुणनफल के लिए बिलिनियरली (या जटिल मामले में सेस्क्विलिनियरली) विस्तारित किया जाता है। यदि ei, i = 1, 2, ..., n, V का एक अलंकारिक आधार बनाते हैं, तो रूप के सदिश


 * $$ e_{i_1} \wedge \cdots \wedge e_{i_k},\quad i_1 < \cdots < i_k, $$

$ \bigwedge\nolimits^k(V) $ के लिए एक अलंकारिक आधार बनता है, कॉची-बिनेट सूत्र के समतुल्य एक कथन।

आंतरिक गुणनफल के संबंध में, बाह्य गुणा और आंतरिक गुणनफल पारस्परिक रूप से जुड़े हुए हैं। विशेष रूप से, $ v \in \bigwedge\nolimits^{k-1}(V), $ $ w \in \bigwedge\nolimits^{k}(V) $  और $ x \in V, $  के लिए,

\langle x \wedge \mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle = \langle \mathbf{v}, i_{x^\flat}\mathbf{w}\rangle $$ जहाँ x♭ ∈ V∗ संगीतमय समाकृतिकता है, जिसके द्वारा परिभाषित रेखीय प्रकार्यात्मक है


 * $$ x^\flat(y) = \langle x, y\rangle $$

सभी y ∈ V के लिए। यह संपत्ति बाह्य बीजगणित पर आंतरिक गुणनफल को पूरी तरह से चित्रित करती है।

वास्तव में, अत्यधिक सामान्य रूप से $ v \in \bigwedge\nolimits^{k-l}(V), $ $ w \in \bigwedge\nolimits^{k}(V), $  और $ x \in \bigwedge\nolimits^{l}(V) $  के लिए, उपरोक्त आसन्न गुणों का पुनरावृति देता है

\langle \mathbf{x} \wedge \mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle = \langle \mathbf{v}, i_{\mathbf{x}^\flat}\mathbf{w}\rangle $$ जहां अब $ x^\flat \in \bigwedge\nolimits^l\left(V^*\right) \simeq \bigl(\bigwedge\nolimits^l(V)\bigr)^* $ द्वैत एल-सदिश द्वारा परिभाषित किया गया है



\mathbf{x}^\flat(\mathbf{y}) = \langle \mathbf{x}, \mathbf{y}\rangle $$ सबके लिए $ y \in \bigwedge\nolimits^l(V) $ ।

Bialgebra संरचना
ग्रेडेड बीजगणित $ \bigwedge(V) $ के ग्रेडेड डुअल और वी पर बहुरेखीय रूपों के बीच एक पत्राचार है। बाह्य बीजगणित (साथ ही सममित बीजगणित) एक बायलजेब्रा संरचना प्राप्त करता है, और, वास्तव में, टेन्सर बीजगणित से एक हॉफ बीजगणित संरचना। विषय के विस्तृत उपचार के लिए टेंसर अल्जेब्रा पर लेख देखें।

ऊपर परिभाषित मल्टीलाइनर रूपों का बाह्य गुणनफल $ \bigwedge(V), $ पर परिभाषित एक सह-गुणनफल के लिए दोहरा है, जो कोलजेब्रा की संरचना देता है। सह-गुणनफल एक रैखिक फलन Δ : $ \bigwedge(V) $ → $ \bigwedge(V) $  ⊗ $ \bigwedge(V) $ है, जो इसके द्वारा दिया गया है
 * $$ \Delta(v) = 1 \otimes v + v \otimes 1 $$

घटकों पर v∈V। प्रतीक 1, क्षेत्र K के इकाई घटक के लिए खड़ा है। याद रखें कि K ⊂ $ \bigwedge(V) $, ताकि उपरोक्त वास्तव में $ \bigwedge(V) $ ⊗ $ \bigwedge(V) $ में निहित हो। सहगुणनफल की यह परिभाषा पूर्ण समष्टि $ \bigwedge(V) $ तक (रैखिक) समरूपता द्वारा उठाई जाती है। इस समरूपता का सही रूप वह नहीं है जिसे कोई भोलेपन से लिख सकता है, बल्कि कोलजेब्रा लेख में सावधानी से परिभाषित किया जाना चाहिए। इस मामले में, एक प्राप्त करता है

\Delta(v \wedge w) = 1 \otimes (v \wedge w) + v \otimes w - w \otimes v + (v \wedge w) \otimes 1. $$ इसे विस्तार से विस्तारित करते हुए, निम्नलिखित अभिव्यक्ति को विघटित घटकों पर प्राप्त किया जाता है:



\Delta(x_1 \wedge \cdots \wedge x_k) = \sum_{p=0}^k \; \sum_{\sigma \in Sh(p+1,k-p)} \; \operatorname{sgn}(\sigma) (x_{\sigma(0)} \wedge \cdots \wedge x_{\sigma(p)}) \otimes (x_{\sigma(p+1)} \wedge \cdots \wedge x_{\sigma(k)}). $$ जहां सभी (p+1, k−p)-फेरबदल पर दूसरा योग लिया जाता है। फ़ील्ड एलिमेंट 1 का ट्रैक रखने के लिए उपरोक्त को एक नोटेशनल ट्रिक के साथ लिखा गया है: ट्रिक $$ x_0 = 1, $$ लिखने के लिए है और योग के विस्तार के दौरान इसे विभिन्न समष्टियों में फेरबदल किया जाता है। फेरबदल सह-बीजगणित के पहले स्वयंसिद्ध से सीधे अनुसरण करता है: घटकों का सापेक्ष क्रम $$ x_k $$ राइफल फेरबदल में संरक्षित है: राइफल शफल केवल आदेशित अनुक्रम को दो क्रमित अनुक्रमों में विभाजित करता है, एक बाईं ओर और एक दाईं ओर।

निरीक्षण करें कि सह-गुणनफल बीजगणित की ग्रेडिंग को सुरक्षित रखता है। पूर्ण समष्टि $ \bigwedge(V), $ तक विस्तारित, एक के पास है



\Delta:{\textstyle\bigwedge}^k(V) \to \bigoplus_{p=0}^k {\textstyle\bigwedge}^p(V) \otimes {\textstyle\bigwedge}^{k-p}(V) $$ इस खंड में प्रयुक्त टेन्सर प्रतीक ⊗ को कुछ सावधानी के साथ समझा जाना चाहिए: यह वही टेन्सर प्रतीक नहीं है जैसा कि वैकल्पिक गुणनफल की परिभाषा में उपयोग किया जा रहा है। सहज रूप से, इसे सिर्फ एक और, लेकिन भिन्न, टेन्सर गुणनफल के रूप में सोचना सबसे आसान है: यह अभी भी (द्वि-) रैखिक है, जैसा कि टेन्सर गुणनफलों को होना चाहिए, लेकिन यह गुणनफल है जो एक बायलजेब्रा की परिभाषा के लिए उपयुक्त है, अर्थात वस्तु $ \bigwedge(V) $ ⊗ $ \bigwedge(V) $ बनाने के लिए। समानता (1 ⊗ v) ∧ (1 ⊗ w) = 1 ⊗ (v ∧ w) और (v ⊗ 1) ∧ (1 ⊗ w) = v ⊗ w पर विचार करके किसी भी लंबे समय तक संदेह को हिलाया जा सकता है, जो कोलजेब्रा की परिभाषा से अनुसरण करता है, जैसा कि टेंसर और वेज प्रतीकों से जुड़े भोले-भाले जोड़तोड़ के विपरीत है। टेंसर बीजगणित पर लेख में इस अंतर को अधिक विस्तार से विकसित किया गया है। यहाँ, एक समस्या बहुत कम है, जिसमें वैकल्पिक गुणनफल ∧ स्पष्ट रूप से बायलजेब्रा में गुणन के अनुरूप है, जिससे प्रतीक ⊗ बाइलजेब्रा की परिभाषा में उपयोग के लिए मुक्त हो जाता है। व्यवहार में, यह कोई विशेष समस्या प्रस्तुत नहीं करता है, जब तक कि कोई एक अपवाद के साथ, वेज प्रतीक द्वारा ⊗ के वैकल्पिक योगों को बदलने के घातक जाल से बचता है। कोई भी ⊗ से एक वैकल्पिक गुणनफल बना सकता है, इस समझ के साथ कि यह एक भिन्न समष्टि में काम करता है। ठीक नीचे, एक उदाहरण दिया गया है: द्वैत समष्टि के लिए वैकल्पिक गुणनफल को प्रतिगुणनफल के संदर्भ में दिया जा सकता है। बाह्य बीजगणित के लिए वैकल्पिक संकेतों को सही ढंग से ट्रैक करने की आवश्यकता को छोड़कर, यहां बायलजेब्रा का संरचना टेंसर बीजगणित लेख में संरचना को लगभग समान बनाता है।

सह-गुणनफल के संदर्भ में, द्वैत समष्टि पर बाह्य गुणनफल, सह-गुणनफल का केवल दो श्रेणीबद्ध है:



(\alpha \wedge \beta)(x_1 \wedge \cdots \wedge x_k) = (\alpha \otimes \beta)\left(\Delta(x_1 \wedge \cdots \wedge x_k)\right) $$ जहां दाईं ओर टेंसर गुणनफल बहुरेखीय रैखिक मानचित्रों का है (असंगत सजातीय डिग्री के घटकों पर शून्य द्वारा बढ़ाया गया है: अधिक सटीक रूप से, α ∧ β = ε ∘ (α ⊗ β) ∘ Δ, जहां ε कॉउंट है, जैसा कि वर्तमान में परिभाषित किया गया है)।

कॉउनिट समरूपता ε : $ \bigwedge(V) $ → K है जो अपने तर्क के 0-श्रेणी वाले घटक को वापस करता है। बाह्य गुणनफल के साथ-साथ सह-गुणनफल और देश, बाह्य बीजगणित पर एक बायल्जेब्रा की संरचना को परिभाषित करते हैं।

सजातीय घटकों पर $$ S(x) = (-1)^{\binom{\text{deg}\, x\, + 1}{2}}x, $$ द्वारा परिभाषित एक एंटीपोड के साथ बाह्य बीजगणित भी एक हॉप बीजगणित है।

फंक्शनलिटी
मान लीजिए कि V और W सदिश समष्टियों का एक युग्म हैं और f : V → W एक रैखिक मानचित्र है। फिर, सार्वभौमिक संपत्ति के द्वारा, वर्गीकृत बीजगणित का एक अद्वितीय समाकारिता मौजूद है



{\textstyle\bigwedge}(f)
 * {\textstyle\bigwedge}(V)\rightarrow {\textstyle\bigwedge}(W)

$$ ऐसा है कि



{\textstyle\bigwedge}(f)\left|_{{\textstyle\bigwedge}^1(V)}\right. = f : V={\textstyle\bigwedge}^1(V)\rightarrow W={\textstyle\bigwedge}^1(W). $$ विशेष रूप से, $ \bigwedge\left(f\right) $ सजातीय डिग्री को संरक्षित करता है। $ \bigwedge\left(f\right) $  के k-श्रेणी वाले घटकों को डीकंपोज़ेबल घटकों द्वारा दिया गया है



{\textstyle\bigwedge}(f)(x_1 \wedge \cdots \wedge x_k) = f(x_1) \wedge \cdots \wedge f(x_k). $$ माना



{\textstyle\bigwedge}^k(f) = {\textstyle\bigwedge} (f)\left|_{{\textstyle\bigwedge}^k(V)}\right.
 * {\textstyle\bigwedge}^k(V) \rightarrow {\textstyle\bigwedge}^k(W).

$$ V और W के आधार पर रूपांतरण $ \bigwedge\nolimits^k\left(f\right) $ के घटक, f के k × k अवयस्क का मैट्रिक्स है। विशेष रूप से, यदि V = W और V परिमित विमा n का है, तो $ \bigwedge\nolimits^n\left(f\right) $  स्वयं के लिए एक विमीय सदिश समष्टि $ \bigwedge\nolimits^n(V) $  का मानचित्रण है, और इसलिए इसे एक अदिश द्वारा दिया जाता है: f का निर्धारक।

सटीकता
यदि $$ 0 \to U \to V \to W \to 0 $$ सदिश समष्टियों का लघु सटीक अनुक्रम है, तब



0 \to {\textstyle\bigwedge}^1(U) \wedge {\textstyle\bigwedge}(V) \to {\textstyle\bigwedge}(V) \to {\textstyle\bigwedge}(W) \to 0 $$ ग्रेडेड सदिश स्पेस का एक सटीक अनुक्रम है, जैसा है



0 \to \bigwedge(U) \to \bigwedge(V). $

प्रत्यक्ष रकम
विशेष रूप से, प्रत्यक्ष राशि का बाह्य बीजगणित बाह्य बीजगणित के टेन्सर गुणनफल के लिए समरूप है:



{\textstyle\bigwedge}(V \oplus W) \cong {\textstyle\bigwedge}(V) \otimes {\textstyle\bigwedge}(W). $$ यह एक वर्गीकृत समरूपता है; अर्थात।,



{\textstyle\bigwedge}^k(V \oplus W) \cong \bigoplus_{p+q=k} {\textstyle\bigwedge}^p(V) \otimes {\textstyle\bigwedge}^q(W). $$ अधिक व्यापकता में, सदिश रिक्त समष्टि $ 0 \to U \mathrel{\overset{f}\to} V \mathrel{\overset{g}\to} W \to 0, $ के एक छोटे से सटीक अनुक्रम के लिए एक प्राकृतिक निस्पंदन होता है



0 = F^0 \subseteq F^1 \subseteq \cdots \subseteq F^k \subseteq F^{k+1} = {\textstyle\bigwedge}^k(V) $$ जहां $$ p \geq 1 $$ के लिए $$ F^p $$ को $$ u_i \in U $$ और $$ v_i \in V $$ के लिए $$ u_1 \wedge \ldots \wedge u_{k + 1-p} \wedge v_1 \wedge \ldots v_{p - 1} $$ के घटकों द्वारा फैलाया गया है। संबंधित उद्धरण एक प्राकृतिक समरूपता को स्वीकार करते हैं



F^{p+1}/F^p \cong {\textstyle\bigwedge}^{k-p}(U) \otimes {\textstyle\bigwedge}^p(W) $$ के द्वारा दिया गया $$ u_1 \wedge \ldots \wedge u_{k + 1 -p} \wedge v_1 \wedge \ldots \wedge v_{p - 1} \mapsto u_1 \wedge \ldots \wedge u_{k+1-p} \otimes g(v_1) \wedge \ldots \wedge g(v_{p - 1}) $$। विशेष रूप से, यदि U एक-विमीय है तो



0 \to U \otimes {\textstyle\bigwedge}^{k-1}(W) \to {\textstyle\bigwedge}^k(V) \to {\textstyle\bigwedge}^k(W) \to 0 $$ सटीक है, और यदि W 1-विम है तो



0 \to {\textstyle\bigwedge}^k(U) \to {\textstyle\bigwedge}^k(V) \to {\textstyle\bigwedge}^{k-1}(U) \otimes W \to 0 $$ सटीक है।

रैखिक बीजगणित
रैखिक बीजगणित के अनुप्रयोगों में, बाह्य गुणनफल एक मैट्रिक्स के निर्धारक और नाबालिगों का वर्णन करने के लिए एक अमूर्त बीजगणितीय तरीका प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, यह सर्वविदित है कि एक वर्ग मैट्रिक्स का निर्धारक समांतरोटोप के आयतन के बराबर होता है, जिसके किनारे मैट्रिक्स के स्तंभ होते हैं (दिग्विन्यास को ट्रैक करने के लिए चिह्न के साथ)। इससे पता चलता है कि निर्धारक को कॉलम सदिश के बाह्य गुणनफल के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। इसी तरह, एक मैट्रिक्स के k × k अवयस्क को एक समय में चुने गए k कॉलम सदिश के बाह्य गुणनफलों को देखकर परिभाषित किया जा सकता है। इन विचारों को न केवल मैट्रिसेस तक बढ़ाया जा सकता है, बल्कि रैखिक परिवर्तनों के लिए भी: एक रैखिक परिवर्तन का निर्धारक वह कारक है जिसके द्वारा यह किसी भी दिए गए संदर्भ समांतरोटोप के उन्मुख मात्रा को मापता है। तो एक रैखिक परिवर्तन के निर्धारक को इस रूप में परिभाषित किया जा सकता है कि परिवर्तन शीर्ष बाह्य शक्ति को क्या करता है। कम बाह्य शक्तियों पर एक परिवर्तन की क्रिया परिवर्तन के नाबालिगों के बारे में बात करने का एक आधार-स्वतंत्र तरीका देती है।

तकनीकी विवरण: परिभाषाएँ
माना $$ V $$ आधार $$ \{e_1, \ldots, e_n\} $$ के साथ क्षेत्र $$ K $$ पर एक एन-विमीय सदिश समष्टि बनें। {\textstyle\bigwedge}^k A(v_1 \wedge \cdots \wedge v_k) = Av_1 \wedge \cdots \wedge Av_k $$और सभी टेंसरों के लिए परिभाषा को रैखिक रूप से विस्तारित करें। अत्यधिक सामान्य रूप से, हम $ \bigwedge^p A^k \in \operatorname{End}\bigl(\bigwedge^p V\bigr), (p \geq k) $ को सरल टेंसरों पर परिभाषित कर सकते हैं $$\begin{align} &\left({\textstyle\bigwedge}^p A^k \right)(v_1 \wedge \cdots \wedge v_p) \\[10mu] &\qquad= \sum_{0 \leq i_1 < \cdots < i_k \leq p} v_1 \wedge \cdots \wedge Av_{i_1} \wedge \cdots \wedge Av_{i_k} \wedge \cdots \wedge v_p \end{align}$$यानी k घटकों का चयन करें जिन पर A कार्य करेगा, फिर विभिन्न विकल्पों से प्राप्त सभी परिणामों का योग करें। यदि $$ p < k, $$ $ \bigwedge^p A^k = 0 $ को परिभाषित करता है। चूंकि $ \bigwedge^n V $  आधार $$ e_1 \wedge \cdots \wedge e_n, $$ के साथ 1-विमीय है, हम अद्वितीय संख्या $$ \kappa \in K $$ संतोषजनक के साथ $ \bigwedge^n A^k $  की पहचान कर सकते हैं$$ {\textstyle\bigwedge}^n A^k (e_1 \wedge \cdots \wedge e_n) = \kappa (e_1 \wedge \cdots \wedge e_n). $$
 * $$ A \in \operatorname{End}(V), $$ के लिए $ \bigwedge^k A \in \operatorname{End}\bigl(\bigwedge^k V\bigr) $ को साधारण टेन्सर द्वारा परिभाषित करें$$
 * $$ \varphi \in \operatorname{End}\bigl({\textstyle\bigwedge}^p V\bigr), $$ के लिए, किसी भी $ \omega_p \in {\textstyle\bigwedge}^p V$ और $ \omega_{n-p} \in {\textstyle\bigwedge}^{n-p}V $  के लिए $ (\varphi^\mathrm{T}\omega_{n-p}) \wedge \omega_p = \omega_{n-p} \wedge (\varphi \omega_p) $  को संतुष्ट करने वाला अद्वितीय ऑपरेटर होने के लिए बाह्य ट्रांसपोज़ $ \varphi^\mathrm{T} \in \operatorname{End}\bigl(\bigwedge^{n-p} V\bigr) $  को परिभाषित करें।
 * $$ A \in \operatorname{End}(V), $$ के लिए $ \det A = \bigwedge^n A^n,$ $ \operatorname{Tr}(A) = \bigwedge^n A^1, $  $ \operatorname{adj} A = \bigl(\bigwedge^{n-1} A^{n-1}\bigr)^\mathrm{T} $  को परिभाषित करें ये पिछली परिभाषाओं के बराबर हैं।

मूल गुण
निर्धारक, ट्रेस और आसन्न की अन्य परिभाषाओं से प्राप्त सभी परिणाम इस परिभाषा से प्राप्त किए जा सकते हैं (चूंकि ये परिभाषाएं समकक्ष हैं)। यहाँ इन नई परिभाषाओं से संबंधित कुछ बुनियादी विशेषताएँ दी गई हैं:

\psi:\operatorname{End}\bigl({\textstyle\bigwedge}^k V\bigr) \cong \operatorname{End}\bigl({\textstyle\bigwedge}^{n-k} V\bigr) \\ A \mapsto A^\mathrm{T} \end{cases}$$हालांकि, $ \bigwedge^k V $ और $ \bigwedge^{n-k} V $  के बीच कोई विहित समरूपता नहीं है। k \leq n-1, p \leq k, A \in \operatorname{End}(V), $$ $$ \sum_{q=0}^p \bigl({\textstyle\bigwedge}^{n-k} A^{p-q} \bigr)^\mathrm{T} \bigl({\textstyle\bigwedge}^k A^q \bigr) = \bigl({\textstyle\bigwedge}^n A^p \bigr) \operatorname{Id} \in \operatorname{End}(V). $$ विशेष रूप से, $$ \bigl({\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^{p-1} \bigr)^\mathrm{T} A + \bigl({\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^p \bigr)^\mathrm{T} = \bigl({\textstyle\bigwedge}^n A^p \bigr) \operatorname{Id} $$ और इसलिए $$ (\operatorname{adj} A)A = \bigl({\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^{n-1} \bigr)^\mathrm{T} A = \bigl({\textstyle\bigwedge}^n A^n \bigr) \operatorname{Id} =(\det A)\operatorname{Id}. $$ \bigl({\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^p \bigr)^\mathrm{T} = \sum_{q=0}^p \bigl({\textstyle\bigwedge}^n A^{p-q} \bigr)(-A)^q = \sum_{q=0}^p \operatorname{Tr} \bigl({\textstyle\bigwedge}^{p-q} A \bigr)(-A)^q. $$विशेष रूप से, $$ \operatorname{adj} A = \sum_{q=0}^{n-1} \bigl({\textstyle\bigwedge}^n A^{n-q-1} \bigr)(-A)^q. $$ \operatorname{Tr} \bigl({\textstyle\bigwedge}^k \operatorname{adj} A \bigr) = {\textstyle\bigwedge}^n (\operatorname{adj} A)^k = (\det A)^{k-1} \bigl({\textstyle\bigwedge}^n A^{n-k} \bigr) = (\det A)^{k-1} \operatorname{Tr} \bigl({\textstyle\bigwedge}^{n-k} A \bigr). $$ \operatorname{Tr}\! \Bigl( \bigl({\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^k \bigr)^\mathrm{T} \Bigr) = (n-k) {\textstyle\bigwedge}^n A^p = (n-k) \operatorname{Tr}\left({\textstyle\bigwedge}^p A \right). $$ \operatorname{ch}_A(t) = \sum_{k=0}^n \operatorname{Tr} \bigl({\textstyle\bigwedge}^k A \bigr)(-t)^{n-k} = \sum_{k=0}^n \left({\textstyle\bigwedge}^n A^k \right)(-t)^{n-k}. $$ इसी तरह, $$ \operatorname{ch}_{\operatorname{adj} A}(t) = \sum_{k=0}^n \left({\textstyle\bigwedge}^n(\operatorname{adj} A)^k \right)(-t)^{n-k} = \sum_{k=0}^n (\det A)^{k-1} \left({\textstyle\bigwedge}^n A^{n-k} \right)(-t)^{n-k} $$
 * $$ (\cdot)^\mathrm{T} $$ है $$ K $$-लाइनर।
 * $$ (AB)^\mathrm{T} = B^\mathrm{T} A^\mathrm{T}. $$
 * हमारे पास एक कैनोनिकल आइसोमोर्फिज्म है$$\begin{cases}
 * $ \operatorname{Tr} \bigl(\bigwedge^k A \bigr) = \bigwedge^n A^k. $ की ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स की प्रविष्टियाँ $ \bigwedge^k A $  हैं $$ k \times k $$-मिनर्स $$ A. $$
 * सबके लिए $$
 * विशेषता बहुपद $$ \operatorname{ch}_A(t) $$ का $$ A \in \operatorname{End}(V) $$ द्वारा दिया जा सकता है $$

लीवरियर का एल्गोरिथ्म
$ \bigwedge^n A^k $ के गुणांक हैं $$ (-t)^{n-k} $$ विशेषता बहुपद में शब्द।वे भी के भावों में दिखाई देते हैं $ \bigl(\bigwedge^{n-1} A^p\bigr)^\mathrm{T} $  और $ \bigwedge^n (\operatorname{adj} A)^k. $ लीवरियर का एल्गोरिथ्म कंप्यूटिंग का एक किफायती तरीका है $ \bigwedge^n A^k $  और $ \bigwedge^{n-1} A^k \colon$
 * समुच्चय $ \bigwedge^{n-1} A^0 = 1; $
 * के लिए $$ k = n-1, n-2, \ldots, 1, 0, $$

{\textstyle\bigwedge}^n A^{n-k} = \frac{1}{n-k} \operatorname{Tr}(A \circ {\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^{n-k-1}); $$

{\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^{n-k} = {\textstyle\bigwedge}^n A^{n-k} \cdot \operatorname{Id} - A \circ {\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^{n-k-1}. $$

भौतिकी
भौतिकी में, कई मात्राएँ स्वाभाविक रूप से प्रत्यावर्ती संकारकों द्वारा प्रदर्शित की जाती हैं। उदाहरण के लिए, यदि किसी आवेशित कण की गति को चार-विमीय स्पेसटाइम में वेग और त्वरण सदिश द्वारा वर्णित किया जाता है, तो वेग सदिश के सामान्यीकरण के लिए आवश्यक है कि विद्युत चुम्बकीय बल वेग पर एक वैकल्पिक ऑपरेटर होना चाहिए। इसकी छह स्वतंत्रता की डिग्री विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र से पहचानी जाती है।

रैखिक ज्यामिति
डीकंपोज़ेबल के-सदिश की ज्यामितीय व्याख्याएं हैं: द्विसदिश $u ∧ v$ सदिश द्वारा फैलाए गए समतल का प्रतिनिधित्व करता है, "भारित" एक संख्या के साथ, ओरिएंटेड समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र द्वारा यू और वी के साथ दिया जाता है। अनुरूप रूप से, 3-सदिश $u ∧ v ∧ w$ किनारों यू, वी, और डब्ल्यू के साथ उन्मुख समांतर चतुर्भुज के आयतन द्वारा भारित फैले हुए 3-समष्टि का प्रतिनिधित्व करता है।

प्रोजेक्टिव ज्यामिति
$ \bigwedge\nolimits^k V $ में डीकंपोज़ेबल के-सदिश V के भारित के-विमीय रैखिक उप-समष्टियों के अनुरूप हैं। विशेष रूप से, V के के-विमीय उप-समष्टियों के ग्रासमैनियन, जीआरके (वी) को निरूपित किया जाता है, जिसे स्वाभाविक रूप से प्रोजेक्टिव स्पेस $ P\bigl(\bigwedge\nolimits^k V\bigr) $  की बीजगणितीय उप-विविधता के साथ पहचाना जा सकता है। इसे प्लकर एंबेडिंग कहा जाता है।

अंतर ज्यामिति
बाह्य बीजगणित में अवकल ज्यामिति में उल्लेखनीय अनुप्रयोग हैं, जहाँ इसका उपयोग विभेदक रूपों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। विभेदक रूप गणितीय वस्तुएं हैं जो सदिश की लंबाई, समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रों और उच्च-विमीय निकायों के संस्करणों का मूल्यांकन करती हैं, इसलिए उन्हें वक्र, सतहों और उच्च विमीय मैनिफोल्ड पर इस तरह से एकीकृत किया जा सकता है जो पथरी से लाइन इंटीग्रल और सतह इंटीग्रल को सामान्य करता है। भिन्न-भिन्न कई गुना के एक बिंदु पर एक विभेदक रूप बिंदु पर स्पर्शरेखा समष्टि पर एक वैकल्पिक मल्टीलाइनियर रूप है। समान रूप से, डिग्री k का एक विभेदक रूप स्पर्शरेखा समष्टि की k-वें बाह्य शक्ति पर एक रैखिक कार्यात्मक है। नतीजतन, बहु-रेखीय रूपों का बाह्य गुणनफल अंतर रूपों के लिए प्राकृतिक बाह्य गुणनफल को परिभाषित करता है। डिफरेंशियल फॉर्म डिफरेंशियल ज्योमेट्री के विविध क्षेत्रों में प्रमुख भूमिका निभाते हैं।

एक वैकल्पिक दृष्टिकोण कार्यों के कीटाणुओं के संदर्भ में विभेदक रूपों को परिभाषित करता है।

विशेष रूप से, बाह्य व्युत्पन्न अंतर ग्रेड बीजगणित की संरचना को कई गुना भिन्न-भिन्न रूपों का बाह्य बीजगणित देता है। कई गुना के बीच चिकनी मैपिंग के साथ पुलबैक के साथ बाह्य व्युत्पन्न यात्रा करता है, और इसलिए यह एक प्राकृतिक अंतर ऑपरेटर है। डिफरेंशियल फॉर्म का बाह्य बीजगणित, बाह्य डेरिवेटिव से लैस, एक कोचेन कॉम्प्लेक्स है, जिसके कोहोलॉजी को अंतर्निहित मैनिफोल्ड का डी रम कोहोलॉजी कहा जाता है और डिफरेंशियल मैनिफोल्ड के बीजगणितीय टोपोलॉजी में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

प्रतिनिधित्व सिद्धांत
प्रतिनिधित्व सिद्धांत में, बाह्य बीजगणित सदिश रिक्त समष्टि की श्रेणी पर दो मूलभूत शूर फ़ैक्टरों में से एक है, दूसरा सममित बीजगणित है। साथ में, इन संरचनाओं का उपयोग सामान्य रैखिक समूह के अलघुकरणीय निरूपण उत्पन्न करने के लिए किया जाता है; मौलिक प्रतिनिधित्व देखें।

सुपरस्पेस
जटिल संख्याओं पर बाह्य बीजगणित एक सुपरलेजेब्रा का मूल उदाहरण है, जो कि फर्मियन और सुपरसममिति से संबंधित भौतिक सिद्धांतों में एक मौलिक भूमिका निभाता है। बाह्य बीजगणित के एक घटक को सुपरनंबर या ग्रासमैन नंबर कहा जाता है। बाह्य बीजगणित स्वयं तब केवल एक विमीय सुपरस्पेस है: यह बाह्य बीजगणित के सभी बिंदुओं का समुच्चय है। इस समष्टि पर टोपोलॉजी अनिवार्य रूप से कमजोर टोपोलॉजी है, खुले समुच्चय सिलेंडर समुच्चय होते हैं। एक $n$-विमीय सुपरस्पेस बाह्य बीजगणित का सिर्फ $n$-गुना गुणनफल है।

झूठ बीजगणित होमोलॉजी
एल को क्षेत्र k पर झूठ बीजगणित होने दें, फिर एल के बाह्य बीजगणित पर एक श्रृंखला परिसर की संरचना को परिभाषित करना संभव है। यह एक के-रैखिक मानचित्रण है



\partial : {\textstyle\bigwedge}^{p+1}L \to {\textstyle\bigwedge}^p L $$ द्वारा विघटित घटकों पर परिभाषित किया गया



\partial (x_1 \wedge \cdots \wedge x_{p+1}) = \frac{1}{p+1}\sum_{j<\ell}(-1)^{j+\ell+1}[x_j,x_\ell] \wedge x_1 \wedge \cdots \wedge \hat{x}_j \wedge \cdots \wedge \hat{x}_\ell \wedge \cdots \wedge x_{p+1}. $$ जैकोबी पहचान रखती है अगर और केवल अगर ∂∂ = 0, और इसलिए यह एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति है जो एक एंटीकोम्यूटेटिव गैर-साहचर्य बीजगणित एल के लिए एक झूठ बीजगणित है। इसके अलावा, उस मामले में $ \bigwedge L $ सीमा ऑपरेटर ∂ के साथ एक चेन कॉम्प्लेक्स है। इस कॉम्प्लेक्स से जुड़ी होमोलॉजी लाइ बीजगणित होमोलॉजी है।

होमोलॉजिकल बीजगणित
बाह्य बीजगणित, कोज़ुल कॉम्प्लेक्स के संरचना में मुख्य घटक है, जो होमोलॉजिकल बीजगणित में एक मूलभूत वस्तु है।

इतिहास
बाह्य बीजगणित पहली बार 1844 में हरमन ग्रासमैन द्वारा ऑस्देहनुंगस्लेह्रे, या विस्तार के सिद्धांत के कंबल शब्द के तहत पेश किया गया था। यह सामान्यतः विस्तारित मात्राओं के एक बीजगणितीय (या स्वयंसिद्ध) सिद्धांत को संदर्भित करता है और एक सदिश समष्टि की आधुनिक धारणा के शुरुआती अग्रदूतों में से एक था। सेंट-वेनेंट ने भी बाह्य कैलकुलस के समान विचारों को प्रकाशित किया जिसके लिए उन्होंने ग्रासमैन पर प्राथमिकता का दावा किया।

बीजगणित स्वयं नियमों, या स्वयंसिद्धों के एक समुच्चय से बनाया गया था, जो केली और सिल्वेस्टर के बहुसंकेतकों के सिद्धांत के औपचारिक पहलुओं को कैप्चर करता है। ज्यामितीय दृष्टि से औपचारिक तर्क के कार्य पर विशेष रूप से ध्यान केंद्रित करने के अलावा, यह इस प्रकार एक कैलकुलस था, जो प्रस्तावात्मक कैलकुलस की तरह था। विशेष रूप से, इस नए विकास ने विमा के एक स्वयंसिद्ध लक्षण वर्णन की अनुमति दी, एक संपत्ति जिसे पहले केवल समन्वय बिंदु से जांचा गया था।

सदिश और मल्टीसदिश के इस नए सिद्धांत का आयात 19वीं शताब्दी के मध्य के गणितज्ञों द्वारा खो दिया गया था, जब तक कि 1888 में ग्यूसेप पीनो द्वारा इसकी पूरी तरह से जांच नहीं की गई। सदी के अंत तक पियानो का काम भी कुछ हद तक अस्पष्ट रहा, जब इस विषय को फ्रेंच ज्योमेट्री स्कूल (विशेष रूप से हेनरी पॉइनकेयर, एली कार्टन, और गैस्टन डारबॉक्स) के सदस्यों द्वारा एकीकृत किया गया था, जिन्होंने ग्रासमैन के विचारों को विभेदक रूपों की गणना के लिए लागू किया था।

थोड़ी देर बाद, अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड ने पियानो और ग्रासमैन के विचारों से उधार लेते हुए, अपने सार्वभौमिक बीजगणित की शुरुआत की। इसके बाद बीजगणितीय प्रणाली की स्वयंसिद्ध धारणा को दृढ़ तार्किक आधार पर रखकर सार बीजगणित के 20वीं शताब्दी के विकास का मार्ग प्रशस्त किया।

यह भी देखें

 * बारी -बारी से बीजगणित
 * बाह्य कैलकुलस पहचान
 * क्लिफोर्ड बीजगणित, एक नॉनज़ेरो द्विघात रूप  का उपयोग करके बाह्य बीजगणित का एक सामान्यीकरण
 * ज्यामितीय बीजगणित
 * कोसज़ुल कॉम्प्लेक्स
 * बहुस्तरीय बीजगणित
 * सममित बीजगणित, सममित एनालॉग
 * टेंसर बीजगणित
 * वेइल बीजगणित, एक सहानुभूतिपूर्ण रूप से सममित बीजगणित का एक क्वांटम समूह

गणितीय संदर्भ

 * बारी -बारी से टेंसर्स और वैकल्पिक रूपों का उपचार, साथ ही इस लेख में अपनाए गए परिप्रेक्ष्य से हॉज द्वैत की विस्तृत चर्चा शामिल है।
 * यह लेख के लिए मुख्य गणितीय संदर्भ है।यह एक कम्यूटेटिव रिंग पर एक मॉड्यूल के बाह्य बीजगणित का परिचय देता है (हालांकि यह लेख मुख्य रूप से उस मामले में माहिर है जब रिंग एक क्षेत्र है), जिसमें सार्वभौमिक संपत्ति, फंक्शनलिटी, द्वैत और बायलजबरा संरचना की चर्चा शामिल है।§Iii.7 और §iii.11 देखें।
 * इस पुस्तक में आंशिक अंतर समीकरण ों में समस्याओं के लिए बाह्य बीजगणित के अनुप्रयोग शामिल हैं।रैंक और संबंधित अवधारणाएं शुरुआती अध्यायों में विकसित की जाती हैं।
 * अध्याय XVI सेक्शन 6-10 बाह्य बीजगणित का अधिक प्राथमिक खाता देते हैं, जिसमें द्वंद्व, निर्धारक और नाबालिगों और वैकल्पिक रूप शामिल हैं।
 * बाह्य बीजगणित का एक शास्त्रीय उपचार बारी -बारी से टेनर्स के रूप में होता है, और अंतर ज्यामिति के लिए अनुप्रयोग।
 * इस पुस्तक में आंशिक अंतर समीकरण ों में समस्याओं के लिए बाह्य बीजगणित के अनुप्रयोग शामिल हैं।रैंक और संबंधित अवधारणाएं शुरुआती अध्यायों में विकसित की जाती हैं।
 * अध्याय XVI सेक्शन 6-10 बाह्य बीजगणित का अधिक प्राथमिक खाता देते हैं, जिसमें द्वंद्व, निर्धारक और नाबालिगों और वैकल्पिक रूप शामिल हैं।
 * बाह्य बीजगणित का एक शास्त्रीय उपचार बारी -बारी से टेनर्स के रूप में होता है, और अंतर ज्यामिति के लिए अनुप्रयोग।
 * बाह्य बीजगणित का एक शास्त्रीय उपचार बारी -बारी से टेनर्स के रूप में होता है, और अंतर ज्यामिति के लिए अनुप्रयोग।
 * बाह्य बीजगणित का एक शास्त्रीय उपचार बारी -बारी से टेनर्स के रूप में होता है, और अंतर ज्यामिति के लिए अनुप्रयोग।

ऐतिहासिक संदर्भ

 * (रैखिक एक्सटेंशन थ्योरी-गणित की एक नई शाखा) वैकल्पिक संदर्भ
 * (रैखिक एक्सटेंशन थ्योरी-गणित की एक नई शाखा) वैकल्पिक संदर्भ
 * (रैखिक एक्सटेंशन थ्योरी-गणित की एक नई शाखा) वैकल्पिक संदर्भ
 * (रैखिक एक्सटेंशन थ्योरी-गणित की एक नई शाखा) वैकल्पिक संदर्भ

अन्य संदर्भ और आगे पढ़ना

 * बाह्य बीजगणित, और ज्यामितीय बीजगणित का एक परिचय, अनुप्रयोगों पर ध्यान देने के साथ।एक इतिहास अनुभाग और ग्रंथ सूची भी शामिल है।
 * बाह्य बीजगणित के अनुप्रयोगों को अंतर रूपों में शामिल किया गया है, विशेष रूप से अभिन्न और स्टोक्स के प्रमेय पर केंद्रित है।अंकन $ \bigwedge\nolimits^k V $ इस पाठ में वी पर के-फॉर्म्स को वैकल्पिक करने के समष्टि का उपयोग करने के लिए उपयोग किया जाता है;यानी, स्पिवक के लिए $ \bigwedge\nolimits^k V $  यह लेख क्या होगा $ \bigwedge\nolimits^k V^*. $  स्पिवक ने एडेंडम 4 में इस पर चर्चा की।
 * हस्ताक्षरित क्षेत्रों, संस्करणों और उच्च-विमीय संस्करणों के रूप में निर्धारकों के स्वयंसिद्धता का एक प्राथमिक उपचार शामिल है।
 * बहुभिन्नरूपी पथरी में यह पाठ्यपुस्तक कॉलेजों के लिए कैलकुलस अनुक्रम में अंतर रूपों के बाह्य बीजगणित का परिचय देती है।
 * बाह्य गुणनफलों का उपयोग करके बुनियादी परिमित-विमीय रैखिक बीजगणित में समन्वय-मुक्त दृष्टिकोण का परिचय।
 * अध्याय 10: बाह्य गुणनफल और बाह्य बीजगणित
 * [http://neo-classical-physics.info/uploads/3/0/6/5/3065888/burali-forti_-_grassman_and_proj._geom..pdfबाह्य बीजगणित के आवेदन पर सेसरे ब्यूरली-फ़ॉर्टी द्वारा प्रोजेक्टिव ज्यामिति के लिए नोट्स
 * C. Burali-forti, अवकल ज्यामिति के बाद परिचय,एच। ग्रासमैन की विधि बाह्य बीजगणित के ज्यामितीय अनुप्रयोगों पर एक प्रारंभिक पुस्तक का एक अंग्रेजी अनुवाद
 * यांत्रिकी, विस्तार के सिद्धांत के सिद्धांतों के अनुसार एक ग्रासमैन के कागजों के एक अंग्रेजी अनुवादबाह्य बीजगणित के अनुप्रयोगों पर
 * बाह्य गुणनफलों का उपयोग करके बुनियादी परिमित-विमीय रैखिक बीजगणित में समन्वय-मुक्त दृष्टिकोण का परिचय।
 * अध्याय 10: बाह्य गुणनफल और बाह्य बीजगणित
 * [http://neo-classical-physics.info/uploads/3/0/6/5/3065888/burali-forti_-_grassman_and_proj._geom..pdfबाह्य बीजगणित के आवेदन पर सेसरे ब्यूरली-फ़ॉर्टी द्वारा प्रोजेक्टिव ज्यामिति के लिए नोट्स
 * C. Burali-forti, अवकल ज्यामिति के बाद परिचय,एच। ग्रासमैन की विधि बाह्य बीजगणित के ज्यामितीय अनुप्रयोगों पर एक प्रारंभिक पुस्तक का एक अंग्रेजी अनुवाद
 * यांत्रिकी, विस्तार के सिद्धांत के सिद्धांतों के अनुसार एक ग्रासमैन के कागजों के एक अंग्रेजी अनुवादबाह्य बीजगणित के अनुप्रयोगों पर
 * C. Burali-forti, अवकल ज्यामिति के बाद परिचय,एच। ग्रासमैन की विधि बाह्य बीजगणित के ज्यामितीय अनुप्रयोगों पर एक प्रारंभिक पुस्तक का एक अंग्रेजी अनुवाद
 * यांत्रिकी, विस्तार के सिद्धांत के सिद्धांतों के अनुसार एक ग्रासमैन के कागजों के एक अंग्रेजी अनुवादबाह्य बीजगणित के अनुप्रयोगों पर

श्रेणी: बीजगणित श्रेणी: बहुपक्षीय बीजगणित श्रेणी: विभेदक रूप