इंटरटेम्पोरल सीएपीएम

गणितीय वित्त के अंतर्गत इंटरटेम्पोरल कैपिटल एसेट प्राइसिंग मॉडल या आईसीएपीएम रॉबर्ट सी. मर्टन द्वारा प्रदान किए गए सीएपीएम का विकल्प है। यह गुणधर्म के साथ एक रेखीय कारक मॉडल के रूप में है, जो भविष्य के रिटर्न लाभ या आय के वितरण में परिवर्तन का पूर्वानुमान करता है।

आईसीएपीएम में निवेशक एक से अधिक अनिश्चितताओं का सामना करने पर आजीवन उपभोग निर्णयों को हल कर रहे हैं। आईसीएपीएम और मानक सीएपीएम. के बीच मुख्य अंतर एक अतिरिक्तक स्थिति के रूप में है, जो इस तथ्य को स्वीकार करते हैं कि निवेशक खपत में कमी या भविष्य के निवेश के अवसरों में होने वाले परिवर्तनों के विरूद्ध बचाव करते हैं।

निरंतर समय संस्करण
रॉबर्ट सी मर्टन संतुलन में एक सतत समय बाजार के रूप में मानता है। स्टेट चर (X) एक वीनर प्रक्रिया का अनुसरण करता है।
 * $$ dX = \mu dt + s dZ $$

निवेशक अपने वॉन न्यूमैन-मॉर्गनस्टर्न उपयोगिता प्रमेय को अधिकतम रूप में करता है।
 * $$E_o \left\{\int_o^T U[C(t),t]dt + B[W(T),T] \right\} $$

जहां T समय क्षितिज के रूप में है और B[W(T),T] वेल्थ की उपयोगिता W से है।

वेल्थ (W) पर निवेशक की निम्नलिखित बाधाएँ होती है। माना $$ w_i $$ वेल्थ i में निवेश किया भार के रूप में है तब,
 * $$ W(t+dt) = [W(t) -C(t) dt]\sum_{i=0}^n w_i[1+ r_i(t+ dt)] $$

जहाँ $$ r_i $$ वेल्थ पर वापसी i के रूप में वेल्थ में परिवर्तन है।
 * $$ dW=-C(t)dt +[W(t)-C(t)dt]\sum w_i(t)r_i(t+dt) $$

हम समस्या को हल करने के लिए गतिशील प्रोग्रामिंग का उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि हम असतत समय की समस्याओं की एक श्रृंखला पर विचार करते हैं।
 * $$\max E_0 \left\{\sum_{t=0}^{T-dt}\int_t^{t+dt} U[C(s),s]ds + B[W(T),T] \right\} $$

यहाँ, एक टेलर श्रृंखला इस रूप में है,
 * $$ \int_t^{t+dt}U[C(s),s]ds= U[C(t),t]dt + \frac{1}{2} U_t [C(t^*),t^*]dt^2 \approx U[C(t),t]dt $$

जहाँ $$t^*$$ t और t+dt के बीच का मान है।

यह मानते हुए कि रिटर्न एक वीनर प्रक्रिया का पालन करता है।
 * $$ r_i(t+dt) = \alpha_i dt + \sigma_i dz_i$$

साथ में,
 * $$ E(r_i) = \alpha_i dt \quad ;\quad E(r_i^2)=var(r_i)=\sigma_i^2dt \quad ;\quad cov(r_i,r_j) = \sigma_{ij}dt $$

फिर दूसरे और उच्च क्रम की शर्तों को अस्वीकृत करता है।
 * $$ dW \approx [W(t) \sum w_i \alpha_i - C(t)]dt+W(t) \sum w_i \sigma_i dz_i$$

इष्टतम नियंत्रण का उपयोग करके, हम समस्या को पुन: स्थापित कर सकते है।
 * $$ J(W,X,t) = max \; E_t\left\{\int_t^{t+dt} U[C(s),s]ds + J[W(t+dt),X(t+dt),t+dt]\right\}$$

वेल्थ बाधा के अधीन पहले कहा गया हैं।

इटो लेम्मा का उपयोग करके हम फिर से लिख सकते हैं।
 * $$ dJ = J[W(t+dt),X(t+dt),t+dt]-J[W(t),X(t),t+dt]= J_t dt + J_W dW + J_X dX + \frac{1}{2}J_{XX} dX^2 + \frac{1}{2}J_{WW} dW^2 + J_{WX} dX dW$$

और अपेक्षित मूल्य के रूप में होते है
 * $$ E_t J[W(t+dt),X(t+dt),t+dt]=J[W(t),X(t),t]+J_t dt + J_W E[dW]+ J_X E(dX) + \frac{1}{2} J_{XX} var(dX)+\frac{1}{2} J_{WW} var[dW] + J_{WX} cov(dX,dW)$$

कुछ बीजगणित के बाद हमारे पास निम्नलिखित उद्देश्य फलन के रूप में है,
 * $$ max \left\{ U(C,t) + J_t + J_W W [\sum_{i=1}^n w_i(\alpha_i-r_f)+r_f] - J_WC + \frac{W^2}{2} J_{WW}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n w_i w_j \sigma_{ij} + J_X \mu + \frac{1}{2}J_{XX} s^2 + J_{WX} W \sum_{i=1}^n w_i \sigma_{iX} \right\} $$

जहाँ $$r_f$$ जोखिम मुक्त पुनरावृत्ति है। पहले क्रमबद्ध शर्त के रूप में हैं,
 * $$ J_W(\alpha_i-r_f)+J_{WW}W \sum_{j=1}^n w^*_j \sigma_{ij} + J_{WX} \sigma_{iX}=0 \quad i=1,2,\ldots,n$$

मैट्रिक्स रूप में, हमारे पास है
 * $$ (\alpha - r_f {\mathbf 1}) = \frac{-J_{WW}}{J_W} \Omega w^* W + \frac{-J_{WX}}{J_W} cov_{rX} $$

जहाँ $$\alpha$$ अपेक्षित रिटर्न का सदिश होता है, तो $$ \Omega $$ रिटर्न का कोवेरीअन्स, $$ {\mathbf 1}$$ एकता सदिश $$ cov_{rX} $$ रिटर्न और स्टेट चर के बीच कोवेरीअन्स इष्टतम भार के रूप में हैं:


 * $$ {\mathbf w^*} = \frac{-J_W}{J_{WW} W}\Omega^{-1}(\alpha - r_f {\mathbf 1}) - \frac{J_{WX}}{J_{WW}W}\Omega^{-1} cov_{rX}$$

ध्यान दें कि इंटरटेम्पोरल मॉडल पूंजी परिवेल्थ मूल्य निर्धारण मॉडल सीएपीएम के समान भार प्रदान करता है और इस प्रकार अपेक्षित रिटर्न को निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है
 * $$ \alpha_i = r_f + \beta_{im} (\alpha_m - r_f) + \beta_{ih}(\alpha_h - r_f)$$

जहां m मार्केट पोर्टफोलियो के रूप में है और h स्टेट वेरिएबल को हेज करने के लिए पोर्टफोलियो है।

यह भी देखें

 * इंटरटेम्पोरल पोर्टफोलियो विकल्प के रूप में होते है

संदर्भ

 * Merton, R.C., (1973), An Intertemporal Capital Asset Pricing Model. Econometrica 41, Vol. 41, No. 5. (Sep., 1973), pp. 867–887
 * "Multifactor Portfolio Efficiency and Multifactor Asset Pricing" by Eugene F. Fama, (The Journal of Financial and Quantitative Analysis), Vol. 31, No. 4, Dec., 1996