वायरल प्रमेय

यांत्रिकी में, वायरल प्रमेय सामान्य समीकरण प्रदान करता है, जो समय के साथ विखंडित कणों की एक स्थिर प्रणाली की कुल गतिज ऊर्जा के औसत से संबंधित होता है, जो संभावित बलों (विशेष रूप से संभावित अंतर की विशेषता वाले बल) से बंधे होते हैं। सिस्टम की कुल संभावित ऊर्जा के साथ। गणितीय रूप से, प्रमेय बताता है। $$\left\langle T \right\rangle = -\frac12\,\sum_{k=1}^N \bigl\langle \mathbf{F}_k \cdot \mathbf{r}_k \bigr\rangle$$ कहाँ $T$ की कुल गतिज ऊर्जा है $N$ कण, $F_{k}$ पर बल का प्रतिनिधित्व करता है $k$वें कण, जो स्थिति पर स्थित है $r_{k}$, और कोण कोष्ठक संलग्न मात्रा के समय के औसत का प्रतिनिधित्व करते हैं। समीकरण के दायीं ओर के लिए वायरल शब्द विज़ से निकला है, जो बल या ऊर्जा के लिए लैटिन शब्द है, और 1870 में रुडोल्फ क्लॉसियस द्वारा इसकी तकनीकी परिभाषा दी गई थी। वायरल प्रमेय का महत्व यह है कि यह औसत कुल गतिज ऊर्जा को बहुत जटिल प्रणालियों के लिए भी गणना करने की अनुमति देता है जो एक सटीक समाधान की अवहेलना करते हैं, जैसे कि सांख्यिकीय यांत्रिकी में माना जाता है; यह औसत कुल गतिज ऊर्जा समविभाजन प्रमेय द्वारा प्रणाली के तापमान से संबंधित है। हालांकि, वायरल प्रमेय तापमान की धारणा पर निर्भर नहीं करता है और उन प्रणालियों के लिए भी लागू होता है जो थर्मल संतुलन में नहीं हैं। वायरल प्रमेय को विभिन्न तरीकों से सामान्यीकृत किया गया है, विशेष रूप से एक टेन्सर रूप में।

यदि सिस्टम के किन्हीं दो कणों के बीच बल एक संभावित ऊर्जा से उत्पन्न होता है $V(r) = αr^{n}$ यह किसी शक्ति के समानुपाती होता है $n$ औसत अंतर-कण दूरी $r$, वायरल प्रमेय सरल रूप लेता है $$2 \langle T \rangle = n \langle V_\text{TOT} \rangle.$$ इस प्रकार, औसत कुल गतिज ऊर्जा का दोगुना $⟨T⟩$ बराबर है $n$ औसत कुल संभावित ऊर्जा का गुना $⟨V_{TOT}⟩$. जबकि $V(r)$ दूरी के दो कणों के बीच संभावित ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करता है $r$, $V_{TOT}$ सिस्टम की कुल संभावित ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करता है, यानी संभावित ऊर्जा का योग $V(r)$ सिस्टम में कणों के सभी जोड़े पर। ऐसी प्रणाली का एक सामान्य उदाहरण एक तारा है जो अपने स्वयं के गुरुत्वाकर्षण द्वारा एक साथ जुड़ा हुआ है, जहाँ $n$ बराबर −1.

इतिहास
1870 में, रुडोल्फ क्लॉज़ियस ने थर्मोडायनामिक्स के 20 साल के अध्ययन के बाद एसोसिएशन फॉर नेचुरल एंड मेडिकल साइंसेज ऑफ़ द लोअर राइन को गर्मी के लिए लागू यांत्रिक प्रमेय पर व्याख्यान दिया। व्याख्यान में कहा गया है कि प्रणाली का माध्य विवा इसके वायरल के बराबर है, या औसत गतिज ऊर्जा बराबर है $1⁄2$ औसत संभावित ऊर्जा। विषाणु प्रमेय को लैग्रेंज की पहचान से सीधे प्राप्त किया जा सकता है जैसा कि शास्त्रीय गुरुत्वाकर्षण गतिकी में लागू किया गया था, जिसका मूल रूप 1772 में प्रकाशित लैग्रेंज के निबंध ऑन द प्रॉब्लम ऑफ थ्री बॉडीज में शामिल था। कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी | कार्ल जैकोबी का एन के लिए पहचान का सामान्यीकरण निकायों और लाप्लास की पहचान के वर्तमान रूप में शास्त्रीय वायरल प्रमेय के समान है। हालांकि, समीकरणों के विकास की ओर ले जाने वाली व्याख्याएं बहुत अलग थीं, क्योंकि विकास के समय, सांख्यिकीय गतिकी ने ऊष्मप्रवैगिकी और शास्त्रीय गतिकी के अलग-अलग अध्ययनों को अभी तक एकीकृत नहीं किया था। प्रमेय को बाद में जेम्स क्लर्क मैक्सवेल, जॉन स्ट्रट, तीसरे बैरन रेले, हेनरी पोंकारे, सुब्रह्मण्यन चंद्रशेखर, एनरिको फर्मी, पॉल लेडौक्स, रिचर्ड बैडर और यूजीन पार्कर द्वारा उपयोग, लोकप्रिय, सामान्यीकृत और आगे विकसित किया गया था। फ़्रिट्ज़ ज़्विकी पहले व्यक्ति थे जिन्होंने अदृश्य पदार्थ के अस्तित्व को कम करने के लिए वायरल प्रमेय का उपयोग किया था, जिसे अब गहरे द्रव्य कहा जाता है। रिचर्ड बेडर ने दिखाया कि कुल प्रणाली के चार्ज वितरण को इसकी गतिज और संभावित ऊर्जाओं में विभाजित किया जा सकता है जो वायरल प्रमेय का पालन करते हैं। इसके कई अनुप्रयोगों के एक अन्य उदाहरण के रूप में, सफेद बौने सितारों की स्थिरता के लिए चंद्रशेखर लिमिट को प्राप्त करने के लिए वायरल प्रमेय का उपयोग किया गया है।

निदर्शी विशेष मामला
विचार करना $N = 2$ समान द्रव्यमान वाले कण $m$, पारस्परिक रूप से आकर्षक बलों द्वारा कार्य किया। मान लीजिए कि कण त्रिज्या के साथ एक गोलाकार कक्षा के बिल्कुल विपरीत बिंदुओं पर हैं $r$. वेग हैं $v_{1}(t)$ और $v_{2}(t) = −v_{1}(t)$, जो बलों के लिए सामान्य हैं $F_{1}(t)$ और $F_{2}(t) = −F_{1}(t)$. संबंधित परिमाण पर तय किए गए हैं $v$ और $F$. सिस्टम की औसत गतिज ऊर्जा है

$$\langle T \rangle = \sum_{k=1}^N \frac12 m_k \left|\mathbf{v}_k \right|^2 = \frac12 m|\mathbf{v}_1|^2 + \frac12 m|\mathbf{v}_2|^2 = mv^2.$$ द्रव्यमान के केंद्र को उत्पत्ति के रूप में लेते हुए, कणों की स्थिति होती है $r_{1}(t)$ और $r_{2}(t) = −r_{1}(t)$ निश्चित परिमाण के साथ $r$. आकर्षक बल विपरीत दिशाओं में स्थिति के रूप में कार्य करते हैं, इसलिए $F_{1}(t) ⋅ r_{1}(t) = F_{2}(t) ⋅ r_{2}(t) = −Fr$. अभिकेन्द्री बल सूत्र को लागू करना $F = mv^{2}/r$ का परिणाम: $$-\frac12 \sum_{k=1}^N \bigl\langle \mathbf{F}_k \cdot \mathbf{r}_k \bigr\rangle = -\frac12(-Fr - Fr) = Fr = \frac{mv^2}{r} \cdot r = mv^2 = \langle T \rangle,$$ आवश्यकता अनुसार। नोट: यदि मूल बिन्दु को विस्थापित कर दिया जाए तो हमें समान परिणाम प्राप्त होंगे। ऐसा इसलिए है क्योंकि समान और विपरीत बलों के साथ विस्थापन का डॉट उत्पाद $F_{1}(t)$, $F_{2}(t)$ शुद्ध रद्दीकरण में परिणाम।

कथन और व्युत्पत्ति
हालांकि वायरल प्रमेय कुल गतिज और संभावित ऊर्जाओं के औसत पर निर्भर करता है, यहां प्रस्तुति औसत को अंतिम चरण तक स्थगित कर देती है।

के संग्रह के लिए $N$ बिंदु कण, अदिश (भौतिकी) जड़ता का क्षण $I$ मूल (गणित) के बारे में समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है $$I = \sum_{k=1}^N m_k \left|\mathbf{r}_k \right|^2 = \sum_{k=1}^N m_k r_k^2$$ कहाँ $m_{k}$ और $r_{k}$ के द्रव्यमान और स्थिति का प्रतिनिधित्व करते हैं $k$वें कण। $r_{k} = |r_{k}|$ स्थिति सदिश परिमाण है। अदिश $G$ समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है $$G = \sum_{k=1}^N \mathbf{p}_k \cdot \mathbf{r}_k$$ कहाँ $p_{k}$ का संवेग सदिश (ज्यामिति) है $k$वें कण। यह मानते हुए कि द्रव्यमान स्थिर हैं, $G$ जड़ता के इस क्षण का आधा समय व्युत्पन्न है $$\begin{align} \frac12 \frac{dI}{dt} &= \frac12 \frac{d}{dt} \sum_{k=1}^N m_k \mathbf{r}_k \cdot \mathbf{r}_k \\ &= \sum_{k=1}^N m_k \, \frac{d\mathbf{r}_k}{dt} \cdot \mathbf{r}_k \\ &= \sum_{k=1}^N \mathbf{p}_k \cdot \mathbf{r}_k = G\,. \end{align}$$ बदले में, समय व्युत्पन्न $G$ लिखा जा सकता है $$\begin{align} \frac{dG}{dt} & = \sum_{k=1}^N \mathbf{p}_k \cdot \frac{d\mathbf{r}_k}{dt} + \sum_{k=1}^N \frac{d\mathbf{p}_k}{dt} \cdot \mathbf{r}_k \\ & = \sum_{k=1}^N m_k \frac{d\mathbf{r}_k}{dt} \cdot \frac{d\mathbf{r}_k}{dt} + \sum_{k=1}^N \mathbf{F}_k \cdot \mathbf{r}_k \\ & = 2 T + \sum_{k=1}^N \mathbf{F}_k \cdot \mathbf{r}_k \end{align}$$ कहाँ $m_{k}$ का द्रव्यमान है $k$वें कण, $F_{k} = dp_{k}⁄dt$ उस कण पर शुद्ध बल है, और $T$ के अनुसार प्रणाली की कुल गतिज ऊर्जा है $v_{k} = dr_{k}⁄dt$ प्रत्येक कण का वेग $$ T = \frac12 \sum_{k=1}^N m_k v_k^2 = \frac12 \sum_{k=1}^N m_k \frac{d\mathbf{r}_k}{dt} \cdot \frac{d\mathbf{r}_k}{dt}. $$

कणों के बीच संभावित ऊर्जा के साथ संबंध
कुल बल $F_{k}$ कण पर $k$ अन्य कणों से सभी बलों का योग है $j$ प्रणाली में $$\mathbf{F}_k = \sum_{j=1}^N \mathbf{F}_{jk}$$ कहाँ $F_{jk}$ कण द्वारा लगाया गया बल है $j$ कण पर $k$. इसलिए, वायरल लिखा जा सकता है $$ -\frac12\,\sum_{k=1}^N \mathbf{F}_k \cdot \mathbf{r}_k = -\frac12\,\sum_{k=1}^N \sum_{j=1}^N \mathbf{F}_{jk} \cdot \mathbf{r}_k \,. $$ चूंकि कोई कण स्वयं पर कार्य नहीं करता है (अर्थात, $F_{jj} = 0$ के लिए $1 ≤ j ≤ N$), हम योग को इस विकर्ण के नीचे और ऊपर के पदों में विभाजित करते हैं और हम उन्हें जोड़े में एक साथ जोड़ते हैं: $$\begin{align} \sum_{k=1}^N \mathbf{F}_k \cdot \mathbf{r}_k & = \sum_{k=1}^N \sum_{j=1}^N \mathbf{F}_{jk} \cdot \mathbf{r}_k = \sum_{k=2}^N \sum_{j=1}^{k-1} \left( \mathbf{F}_{jk} \cdot \mathbf{r}_k + \mathbf{F}_{kj} \cdot \mathbf{r}_j \right) \\ & = \sum_{k=2}^N \sum_{j=1}^{k-1} \left( \mathbf{F}_{jk} \cdot \mathbf{r}_k - \mathbf{F}_{jk} \cdot \mathbf{r}_j \right) = \sum_{k=2}^N \sum_{j=1}^{k-1} \mathbf{F}_{jk} \cdot \left( \mathbf{r}_k - \mathbf{r}_j \right) \end{align}$$ जहाँ हमने मान लिया है कि न्यूटन के गति के नियम|न्यूटन के गति के तीसरे नियम लागू होते हैं, अर्थात, $F_{jk} = −F_{kj}$ (बराबर और विपरीत प्रतिक्रिया)।

अक्सर ऐसा होता है कि बलों को संभावित ऊर्जा से प्राप्त किया जा सकता है $V_{jk}$ यह केवल दूरी का कार्य है $r_{jk}$ बिंदु कणों के बीच $j$ और $k$. चूँकि बल स्थितिज ऊर्जा का ऋणात्मक प्रवणता है, इस मामले में हमारे पास है

$$ \mathbf{F}_{jk} = -\nabla_{\mathbf{r}_k} V_{jk} = - \frac{dV_{jk}}{dr_{jk}} \left( \frac{\mathbf{r}_k - \mathbf{r}_j}{r_{jk}} \right), $$ जो बराबर और विपरीत है $F_{kj} = −∇_{r_{j}}V_{kj} = −∇_{r_{j}}V_{jk}|undefined$, कण द्वारा लगाया गया बल $k$ कण पर $j$, जैसा कि स्पष्ट गणना द्वारा पुष्टि की जा सकती है। इस तरह,

$$\begin{align} \sum_{k=1}^N \mathbf{F}_k \cdot \mathbf{r}_k &=\sum_{k=2}^N \sum_{j=1}^{k-1} \mathbf{F}_{jk} \cdot \left( \mathbf{r}_k - \mathbf{r}_j \right) \\ &=-\sum_{k=2}^N \sum_{j=1}^{k-1} \frac{dV_{jk}}{dr_{jk}} \frac{| \mathbf{r}_k - \mathbf{r}_j |^2}{r_{jk}} \\ &=-\sum_{k=2}^N \sum_{j=1}^{k-1} \frac{dV_{jk}}{dr_{jk}} r_{jk}. \end{align}$$ इस प्रकार, हमारे पास है $$\frac{dG}{dt} = 2 T + \sum_{k=1}^N \mathbf{F}_k \cdot \mathbf{r}_k = 2 T - \sum_{k=2}^N \sum_{j=1}^{k-1} \frac{dV_{jk}}{dr_{jk}} r_{jk}.$$

शक्ति-कानून बलों का विशेष मामला
एक सामान्य विशेष मामले में, संभावित ऊर्जा $V$ दो कणों के बीच एक शक्ति के समानुपाती होता है $n$ उनकी दूरी का $r_{ij}$ $$V_{jk} = \alpha r_{jk}^n,$$ जहां गुणांक $α$ और प्रतिपादक $n$ स्थिरांक हैं। ऐसे मामलों में, वायरल समीकरण द्वारा दिया जाता है $$\begin{align} -\frac12\,\sum_{k=1}^N \mathbf{F}_k \cdot \mathbf{r}_k &=\frac12\,\sum_{k=1}^N \sum_{j<k} \frac{dV_{jk}}{dr_{jk}} r_{jk} \\ &=\frac12\,\sum_{k=1}^N \sum_{j<k} n \alpha r_{jk}^{n-1} r_{jk} \\ &=\frac12\,\sum_{k=1}^N \sum_{j<k} n V_{jk} = \frac{n}{2}\, V_\text{TOT} \end{align}$$ कहाँ $V_{TOT}$ सिस्टम की कुल संभावित ऊर्जा है $$V_\text{TOT} = \sum_{k=1}^N \sum_{j<k} V_{jk} \,.$$ इस प्रकार, हमारे पास है $$\frac{dG}{dt} = 2 T + \sum_{k=1}^N \mathbf{F}_k \cdot \mathbf{r}_k = 2 T - n V_\text{TOT} \,.$$ गुरुत्वाकर्षण प्रणालियों के लिए प्रतिपादक $n$ लैग्रेंज की तत्समक देते हुए -1 के बराबर है $$\frac{dG}{dt} = \frac12 \frac{d^2 I}{dt^2} = 2 T + V_\text{TOT}$$ जो जोसेफ-लुई लाग्रेंज द्वारा प्राप्त किया गया था और कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी द्वारा विस्तारित किया गया था।

औसत समय
समय की अवधि में इस व्युत्पन्न का औसत, $τ$, परिभाषित किया जाता है $$ \left\langle \frac{dG}{dt} \right\rangle_\tau = \frac{1}\tau \int_0^\tau \frac{dG}{dt}\,dt = \frac{1}{\tau} \int_{G(0)}^{G(\tau)} \, dG = \frac{G(\tau) - G(0)}{\tau}, $$ जिससे हमें सटीक समीकरण प्राप्त होता है $$ \left\langle \frac{dG}{dt} \right\rangle_\tau = 2 \left\langle T \right\rangle_\tau + \sum_{k=1}^N \left\langle \mathbf{F}_k \cdot \mathbf{r}_k \right\rangle_\tau. $$ वायरल प्रमेय कहता है कि अगर $⟨dG⁄dt⟩τ = 0$, फिर $$2 \left\langle T \right\rangle_\tau = -\sum_{k=1}^N \left\langle \mathbf{F}_k \cdot \mathbf{r}_k \right\rangle_\tau.$$ ऐसे कई कारण हैं जिनकी वजह से समय व्युत्पन्न का औसत लुप्त हो सकता है, $⟨dG⁄dt⟩τ = 0$। एक बार-उद्धृत कारण स्थिर-बद्ध प्रणालियों पर लागू होता है, अर्थात ऐसे सिस्टम जो हमेशा के लिए एक साथ लटके रहते हैं और जिनके पैरामीटर परिमित होते हैं। उस स्थिति में, सिस्टम के कणों के वेग और निर्देशांक की ऊपरी और निचली सीमाएँ होती हैं $G^{bound}$, दो चरम सीमाओं के बीच घिरा हुआ है, $G_{min}$ और $G_{max}$, और अनंत की सीमा में औसत शून्य हो जाता है $τ$:

$$ \lim_{\tau \to \infty} \left| \left\langle \frac{dG^{\mathrm{bound}}}{dt} \right\rangle_\tau \right| = \lim_{\tau \to \infty} \left| \frac{G(\tau) - G(0)}{\tau} \right| \le \lim_{\tau \to \infty} \frac{G_\max - G_\min}{\tau} = 0. $$ भले ही समय का औसत व्युत्पन्न हो $G$ केवल लगभग शून्य है, वायरल प्रमेय सन्निकटन की समान डिग्री रखता है।

एक प्रतिपादक के साथ शक्ति-कानून बलों के लिए $n$, सामान्य समीकरण धारण करता है:

$$ \langle T \rangle_\tau = -\frac12 \sum_{k=1}^N \langle \mathbf{F}_k \cdot \mathbf{r}_k \rangle_\tau = \frac{n}{2} \langle V_\text{TOT} \rangle_\tau. $$ गुरुत्वाकर्षण आकर्षण के लिए, $n$ -1 के बराबर है और औसत गतिज ऊर्जा औसत नकारात्मक स्थितिज ऊर्जा के आधे के बराबर है $$\langle T \rangle_\tau = -\frac12 \langle V_\text{TOT} \rangle_\tau.$$ यह सामान्य परिणाम ग्रहीय प्रणालियों या आकाशगंगा जैसे जटिल गुरुत्वाकर्षण प्रणालियों के लिए उपयोगी है।

वायरल प्रमेय का एक सरल अनुप्रयोग आकाशगंगा समूहों से संबंधित है। यदि अंतरिक्ष का एक क्षेत्र असामान्य रूप से आकाशगंगाओं से भरा है, तो यह मान लेना सुरक्षित है कि वे लंबे समय से एक साथ हैं, और वायरल प्रमेय लागू किया जा सकता है। डॉपलर प्रभाव माप उनके सापेक्ष वेगों के लिए कम सीमा देते हैं, और वायरल प्रमेय किसी भी डार्क मैटर सहित क्लस्टर के कुल द्रव्यमान के लिए एक निचली सीमा देता है।

यदि एर्गोडिसिटी विचाराधीन प्रणाली के लिए है, तो समय के साथ औसत लेने की आवश्यकता नहीं है; समतुल्य परिणामों के साथ एक पहनावा औसत भी लिया जा सकता है।

क्वांटम यांत्रिकी में
हालांकि मूल रूप से शास्त्रीय यांत्रिकी के लिए व्युत्पन्न, वायरल प्रमेय क्वांटम यांत्रिकी के लिए भी मान्य है, जैसा कि पहले फॉक द्वारा दिखाया गया था एरेनफेस्ट प्रमेय का उपयोग करना।

हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) के कम्यूटेटर का मूल्यांकन करें $$H=V\bigl(\{X_i\}\bigr)+\sum_n \frac{P_n^2}{2m}$$ स्थिति ऑपरेटर के साथ $X_{n}$ और गति ऑपरेटर $$P_n=-i\hbar \frac{d}{dX_n}$$ कण का $n$, $$[H,X_nP_n]=X_n[H,P_n]+[H,X_n]P_n=i\hbar X_n\frac{dV}{dX_n}-i\hbar\frac{P_n^2}{m}~.$$ सभी कणों पर योग करना, कोई खोजता है $$Q=\sum_n X_nP_n$$ कम्यूटेटर के बराबर है $$\frac{i}{\hbar}[H,Q]=2 T-\sum_n X_n\frac{dV}{dX_n}$$ कहाँ $T=\sum_n \frac{P_n^2}{2m} $ गतिज ऊर्जा है। इस समीकरण का बायाँ पक्ष न्यायसंगत है $dQ⁄dt$, गति के हाइजेनबर्ग समीकरण के अनुसार। अपेक्षा मूल्य $⟨dQ⁄dt⟩$ इस समय व्युत्पन्न एक स्थिर अवस्था में गायब हो जाता है, जिससे क्वांटम वायरल प्रमेय बन जाता है, $$2\langle T\rangle = \sum_n\left\langle X_n \frac{dV}{dX_n}\right\rangle ~.$$

समान पहचान
क्वांटम यांत्रिकी के क्षेत्र में, वायरल प्रमेय का एक और रूप मौजूद है, जो स्थिर नॉनलाइनियर श्रोडिंगर समीकरण या क्लेन-गॉर्डन समीकरण के स्थानीय समाधानों पर लागू होता है, पोखोज़ाहेव की पहचान है, जिसे डेरिक के प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है। होने देना $$g(s)$$ निरंतर और वास्तविक-मूल्यवान बनें, साथ $$g(0)=0$$.

निरूपित $G(s)=\int_0^s g(t)\,dt$. होने देना $$u\in L^\infty_{\mathrm{loc}}(\R^n), \qquad \nabla u\in L^2(\R^n), \qquad G(u(\cdot))\in L^1(\R^n), \qquad n\in\N, $$ समीकरण का हल हो $$-\nabla^2 u=g(u),$$ वितरण (गणित) के अर्थ में। तब $$u$$ संबंध को संतुष्ट करता है $$(n-2)\int_{\R^n}|\nabla u(x)|^2\,dx=n\int_{\R^n}G(u(x))\,dx.$$

विशेष सापेक्षता में
विशेष सापेक्षता में एक कण के लिए, ऐसा नहीं है $T = 1⁄2p · v$. इसके बजाय यह सच है $T = (γ − 1) mc^{2}$, कहाँ $γ$ लोरेंत्ज़ कारक है $$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} $$ और $β = v⁄c$. अपने पास, $$\begin{align} \frac 12 \mathbf{p} \cdot \mathbf{v} &= \frac 12 \boldsymbol{\beta} \gamma mc \cdot \boldsymbol{\beta} c \\[5pt] &= \frac 12 \gamma \beta^2 mc^2 \\[5pt] &= \left( \frac{\gamma \beta^2}{2(\gamma-1)}\right) T \,. \end{align}$$ अंतिम अभिव्यक्ति को सरल बनाया जा सकता है $$\left(\frac{1 + \sqrt{1-\beta^2}}{2}\right) T \qquad \text{or} \qquad \left(\frac{\gamma + 1}{2 \gamma}\right) T$$.

इस प्रकार, पिछले खंडों में वर्णित शर्तों के तहत (न्यूटन के गति के तीसरे नियम सहित, $F_{jk} = −F_{kj}$, सापेक्षता के बावजूद), के लिए औसत समय $N$ एक शक्ति कानून क्षमता वाले कण हैं $$\frac {n}{2} \left\langle V_\mathrm{TOT} \right\rangle_\tau = \left\langle \sum_{k=1}^N \left(\frac{1 + \sqrt{1-\beta_k^2}}{2}\right) T_k \right\rangle_\tau = \left\langle \sum_{k=1}^N \left(\frac{\gamma_k + 1}{2 \gamma_k}\right) T_k \right\rangle_\tau \,.$$ विशेष रूप से, गतिज ऊर्जा से संभावित ऊर्जा का अनुपात अब निश्चित नहीं है, लेकिन अनिवार्य रूप से एक अंतराल में आता है: $$\frac{2 \langle T_\mathrm{TOT} \rangle}{n \langle V_\mathrm{TOT} \rangle} \in \left[1, 2\right]\,,$$ जहाँ अधिक आपेक्षिक प्रणालियाँ बड़े अनुपात प्रदर्शित करती हैं।

सामान्यीकरण
लॉर्ड रेले ने 1903 में वायरल प्रमेय का एक सामान्यीकरण प्रकाशित किया। हेनरी पोंकारे ने 1911 में एक प्रोटो-स्टेलर क्लाउड (तब कॉस्मोगोनी के रूप में जाना जाता है) से सौर प्रणाली के गठन की समस्या के लिए वायरल प्रमेय के एक रूप को साबित किया और लागू किया। 1945 में लेडौक्स द्वारा वायरल प्रमेय का एक परिवर्तनशील रूप विकसित किया गया था। वायरल प्रमेय का एक टेन्सर रूप पार्कर द्वारा विकसित किया गया था, चंद्रशेखर और फर्मी। व्युत्क्रम वर्ग कानून के मामले में 1964 में पोलार्ड द्वारा वायरल प्रमेय का निम्नलिखित सामान्यीकरण स्थापित किया गया है: $$2\lim_{\tau\to+\infty}\langle T\rangle_\tau = \lim_{\tau\to+\infty}\langle U\rangle_\tau \qquad \text{if and only if} \quad \lim_{\tau\to+\infty}{\tau}^{-2}I(\tau)=0\,.$$ एक सीमा शब्द अन्यथा जोड़ा जाना चाहिए।

विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों का समावेश
वायरल प्रमेय को विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों को शामिल करने के लिए बढ़ाया जा सकता है। परिणाम है

$$ \frac12\frac{d^2I}{dt^2} + \int_Vx_k\frac{\partial G_k}{\partial t} \, d^3r = 2(T+U) + W^\mathrm{E} + W^\mathrm{M} - \int x_k(p_{ik}+T_{ik}) \, dS_i, $$ कहाँ $I$ जड़ता का क्षण है, $G$ पॉयंटिंग वेक्टर है, $T$ द्रव की गतिज ऊर्जा है, $U$ कणों की यादृच्छिक तापीय ऊर्जा है, $W$ और $W$ माने गए आयतन की विद्युत और चुंबकीय ऊर्जा सामग्री हैं। आखिरकार, $p_{ik}$ द्रव-दबाव टेन्सर है जिसे स्थानीय गतिमान समन्वय प्रणाली में व्यक्त किया जाता है

$$ p_{ik} = \Sigma n^\sigma m^\sigma \langle v_iv_k\rangle^\sigma - V_iV_k\Sigma m^\sigma n^\sigma, $$ और $T_{ik}$ मैक्सवेल तनाव टेन्सर है,

$$ T_{ik} = \left( \frac{\varepsilon_0E^2}{2} + \frac{B^2}{2\mu_0} \right) \delta_{ik} - \left( \varepsilon_0E_iE_k + \frac{B_iB_k}{\mu_0} \right). $$ एक प्लाज्मोइड चुंबकीय क्षेत्र और प्लाज्मा का एक परिमित विन्यास है। वायरल प्रमेय के साथ यह देखना आसान है कि ऐसा कोई भी विन्यास विस्तारित होगा यदि बाहरी ताकतों द्वारा निहित नहीं है। दबाव-असर वाली दीवारों या चुंबकीय कॉइल के बिना एक परिमित विन्यास में, सतह का अभिन्न अंग गायब हो जाएगा। चूँकि दाहिनी ओर के अन्य सभी पद धनात्मक हैं, जड़त्व आघूर्ण का त्वरण भी धनात्मक होगा। विस्तार के समय का अनुमान लगाना भी आसान है $τ$. यदि कुल द्रव्यमान $M$ के दायरे में सिमटा हुआ है $R$, तो जड़ता का क्षण मोटे तौर पर होता है $MR^{2}$, और वायरल प्रमेय का बायां हाथ है $MR^{2}⁄τ^{2}$. दायीं ओर के पदों का योग लगभग होता है $pR^{3}$, कहाँ $p$ प्लाज्मा दबाव या चुंबकीय दबाव का बड़ा है। इन दो पदों की बराबरी करना और के लिए हल करना $τ$, हम देखतें है

$$\tau\,\sim \frac{R}{c_\mathrm{s}},$$ कहाँ $c_{s}$ आयन ध्वनिक तरंग की गति है (या अल्फवेन तरंग, यदि चुंबकीय दबाव प्लाज्मा दबाव से अधिक है)। इस प्रकार एक प्लाज्मोइड का जीवनकाल ध्वनिक (या अल्फवेन) पारगमन समय के क्रम में होने की उम्मीद है।

सापेक्षवादी वर्दी प्रणाली
यदि भौतिक प्रणाली में दबाव क्षेत्र, विद्युत चुम्बकीय और गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र, साथ ही कणों के त्वरण के क्षेत्र को ध्यान में रखा जाता है, तो वायरल प्रमेय को सापेक्ष रूप में निम्नानुसार लिखा जाता है:

$$ \left\langle W_k \right\rangle \approx - 0.6 \sum_{k=1}^N\langle\mathbf{F}_k\cdot\mathbf{r}_k\rangle ,$$ जहां मूल्य $W_{k} ≈ γ_{c}T$ कणों की गतिज ऊर्जा से अधिक है $T$ लोरेंत्ज़ कारक के बराबर एक कारक द्वारा $γ_{c}$ प्रणाली के केंद्र में कणों की। सामान्य परिस्थितियों में हम यह मान सकते हैं $γ_{c} ≈ 1$, तब हम देख सकते हैं कि वायरल प्रमेय में गतिज ऊर्जा संभावित ऊर्जा से संबंधित है न कि गुणांक द्वारा $1⁄2$, बल्कि गुणांक द्वारा 0.6 के करीब। दबाव क्षेत्र और सिस्टम के अंदर कणों के त्वरण के क्षेत्र पर विचार करने के कारण शास्त्रीय मामले से अंतर उत्पन्न होता है, जबकि स्केलर का व्युत्पन्न $G$ शून्य के बराबर नहीं है और इसे सामग्री व्युत्पन्न माना जाना चाहिए।

सामान्यीकृत वायरल के अभिन्न प्रमेय का विश्लेषण, क्षेत्र सिद्धांत के आधार पर, तापमान की धारणा का उपयोग किए बिना एक प्रणाली के विशिष्ट कणों की जड़-माध्य-वर्ग गति के लिए एक सूत्र को खोजना संभव बनाता है:

$$ v_\mathrm{rms} = c \sqrt{1- \frac {4 \pi \eta \rho_0 r^2}{c^2 \gamma^2_c \sin^2 \left( \frac {r}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) } } ,$$ कहाँ $$~ c $$ प्रकाश की गति है, $$~ \eta $$ त्वरण क्षेत्र स्थिर है, $$~ \rho_0 $$ कणों का द्रव्यमान घनत्व है, $$~ r $$ वर्तमान त्रिज्या है।

कणों के वायरल प्रमेय के विपरीत, विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के लिए वायरल प्रमेय निम्नानुसार लिखा गया है: $$~ E_{kf} + 2 W_f =0, $$ जहां ऊर्जा $$~ E_{kf} = \int A_\alpha j^\alpha \sqrt {-g} \,dx^1 \,dx^2 \,dx^3 $$ चार-धारा से जुड़ी गतिज क्षेत्र ऊर्जा के रूप में माना जाता है $$~ j^\alpha $$, और $$~ W_f = \frac {1}{4 \mu_0 } \int F_{\alpha \beta} F^{\alpha \beta} \sqrt {-g} \,dx^1 \,dx^2 \,dx^3 $$ इलेक्ट्रोमैग्नेटिक टेंसर के घटकों के माध्यम से पाई जाने वाली संभावित क्षेत्र ऊर्जा को सेट करता है।

खगोल भौतिकी में
विषाणु प्रमेय अक्सर खगोल भौतिकी में लागू होता है, विशेष रूप से एक प्रणाली की गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा को इसकी गतिज ऊर्जा या तापीय ऊर्जा से संबंधित करता है। कुछ सामान्य वायरल संबंध हैं $$\frac35 \frac{GM}{R} = \frac32 \frac{k_\mathrm{B} T}{m_\mathrm{p}} = \frac12 v^2 $$ एक द्रव्यमान के लिए $M$, त्रिज्या $R$, वेग $v$, और तापमान $T$. स्थिरांक गुरुत्वीय स्थिरांक हैं|न्यूटन स्थिरांक $G$, बोल्ट्जमैन स्थिरांक $k_{B}$, और प्रोटॉन द्रव्यमान $m_{p}$. ध्यान दें कि ये संबंध केवल अनुमानित हैं, और अक्सर प्रमुख संख्यात्मक कारक (उदा। $3⁄5$ या $1⁄2$) पूरी तरह से उपेक्षित हैं।

आकाशगंगा और ब्रह्मांड विज्ञान (वायरल द्रव्यमान और त्रिज्या)
खगोल विज्ञान में, एक आकाशगंगा (या सामान्य अति घनत्व) का द्रव्यमान और आकार क्रमशः वायरल द्रव्यमान और वायरल त्रिज्या के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है। क्योंकि निरंतर तरल पदार्थों में आकाशगंगाओं और अति घनत्व को अत्यधिक विस्तारित किया जा सकता है (यहां तक ​​कि कुछ मॉडलों में अनंत तक, जैसे कि एक विलक्षण इज़ोटेर्मल क्षेत्र), उनके द्रव्यमान और आकार के विशिष्ट, परिमित उपायों को परिभाषित करना कठिन हो सकता है। वायरल प्रमेय, और संबंधित अवधारणाएं, इन गुणों को मापने के लिए अक्सर सुविधाजनक साधन प्रदान करती हैं।

आकाशगंगा की गतिकी में, एक आकाशगंगा के द्रव्यमान का अनुमान अक्सर उसकी गैस और तारों के घूर्णन वेग को मापने के द्वारा लगाया जाता है, एक वृत्ताकार कक्षा मानकर। वायरल प्रमेय का प्रयोग, वेग फैलाव $σ$ इसी तरह इस्तेमाल किया जा सकता है। निकाय की गतिज ऊर्जा (प्रति कण) को इस रूप में लेना $T = 1⁄2v^{2} ~ 3⁄2σ^{2}$, और संभावित ऊर्जा (प्रति कण) के रूप में $U ~ 3⁄5 GM⁄R$ हम लिख सकते हैं

$$ \frac{GM}{R} \approx \sigma^2. $$ यहाँ $$R$$ वह त्रिज्या है जिस पर वेग फैलाव को मापा जा रहा है, और $M$ उस त्रिज्या के भीतर द्रव्यमान है। वायरल द्रव्यमान और त्रिज्या को आम तौर पर उस त्रिज्या के लिए परिभाषित किया जाता है जिस पर वेग फैलाव अधिकतम होता है, अर्थात

$$ \frac{GM_\text{vir}}{R_\text{vir}} \approx \sigma_\max^2. $$ जैसा कि इन परिभाषाओं की अनुमानित प्रकृति के अलावा कई अनुमान लगाए गए हैं, क्रम-एकता आनुपातिकता स्थिरांक अक्सर छोड़े जाते हैं (जैसा कि उपरोक्त समीकरणों में है)। इस प्रकार ये संबंध केवल परिमाण के क्रम में सटीक होते हैं, या जब स्व-लगातार उपयोग किया जाता है।

विषाणुजनित द्रव्यमान और त्रिज्या की एक वैकल्पिक परिभाषा का प्रयोग अक्सर ब्रह्माण्ड विज्ञान में किया जाता है, जहाँ इसका उपयोग आकाशगंगा या आकाशगंगा समूह पर केन्द्रित एक गोले की त्रिज्या को संदर्भित करने के लिए किया जाता है, जिसके भीतर वायरल संतुलन होता है। चूंकि इस त्रिज्या को प्रेक्षणात्मक रूप से निर्धारित करना मुश्किल है, इसलिए इसे अक्सर उस त्रिज्या के रूप में अनुमानित किया जाता है जिसके भीतर औसत घनत्व महत्वपूर्ण घनत्व (ब्रह्माण्ड विज्ञान) की तुलना में एक निर्दिष्ट कारक से अधिक होता है। $$\rho_\text{crit}=\frac{3H^2}{8\pi G}$$ कहाँ $H$ हबल का नियम है और $G$ गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है। कारक के लिए एक सामान्य विकल्प 200 है, जो मोटे तौर पर गोलाकार शीर्ष-टोपी पतन (वायरियल द्रव्यमान देखें) में विशिष्ट अति-घनत्व से मेल खाता है, जिस स्थिति में वायरल त्रिज्या अनुमानित है $$r_\text{vir} \approx r_{200}= r, \qquad \rho = 200 \cdot \rho_\text{crit}.$$ वायरल द्रव्यमान को तब इस त्रिज्या के सापेक्ष परिभाषित किया जाता है $$M_\text{vir} \approx M_{200} = \frac43\pi r_{200}^3 \cdot 200 \rho_\text{crit} .$$

सितारे
गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा और तापीय गतिज ऊर्जा (यानी तापमान) के बीच संबंध स्थापित करके, वायरल प्रमेय सितारों के कोर पर लागू होता है। जैसे ही मुख्य अनुक्रम के सितारे अपने कोर में हाइड्रोजन को हीलियम में परिवर्तित करते हैं, कोर का औसत आणविक भार बढ़ता है और इसे अपने स्वयं के वजन का समर्थन करने के लिए पर्याप्त दबाव बनाए रखने के लिए अनुबंध करना चाहिए। यह संकुचन इसकी संभावित ऊर्जा को कम करता है और वायरल प्रमेय कहता है, इसकी तापीय ऊर्जा बढ़ जाती है। कोर तापमान बढ़ता है भले ही ऊर्जा खो जाती है, प्रभावी रूप से एक नकारात्मक विशिष्ट गर्मी। यह मुख्य अनुक्रम से परे जारी रहता है, जब तक कि कोर पतित न हो जाए क्योंकि इससे दबाव तापमान से स्वतंत्र हो जाता है और वायरल संबंध $n$ बराबर -1 अब मान्य नहीं है।

यह भी देखें

 * वायरल गुणांक
 * वायरल तनाव
 * वायरल मास
 * चंद्रशेखर संभावित ऊर्जा टेंसर
 * चंद्रशेखर वायरल समीकरण
 * डेरिक की प्रमेय
 * समविभाजन प्रमेय
 * एहरेनफेस्ट की प्रमेय
 * पोखोझाएव की पहचान

बाहरी संबंध

 * The Virial Theorem at MathPages
 * Gravitational Contraction and Star Formation, Georgia State University