प्रत्यवस्थान गुणांक

प्रत्यवस्थान गुणांक (COR, जिसे e द्वारा भी दर्शाया गया है), संघट्टन के बाद दो वस्तुओं के बीच प्रारंभिक सापेक्ष वेग का अनुपात है। यह सामान्यतः 0 से 1 तक होता है जहां 1 प्रत्यास्थ संघट्ट है। पूर्ण अप्रत्यास्थ संघट्ट में 0 का गुणांक होता है, लेकिन 0 मान का पूर्ण अप्रत्यास्थ संघट्ट होना जरूरी नहीं है। इसे लीब रिबाउंड कठोरता परीक्षण में मापा जाता है, जिसे COR के 1000 गुना के रूप में व्यक्त किया जाता है, लेकिन यह परीक्षण के लिए केवल वैध COR है, न कि परीक्षण की जा रही सामग्री के लिए सार्वभौमिक COR के रूप में है।

घूर्णी गतिज ऊर्जा, प्लास्टिक विरूपण, और गर्मी के लिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा लुप्त के कारण मान लगभग हमेशा 1 से कम होता है। यह 1 से अधिक हो सकता है यदि रासायनिक प्रतिक्रिया से संघट्ट के दौरान ऊर्जा लाभ होता है, घूर्णी ऊर्जा में कमी होती है, या अन्य आंतरिक ऊर्जा में कमी होती है जो संघट्टन के बाद के वेग में योगदान करती है।

$$\text{Coefficient of  restitution } (e) = \frac{\left | \text{Relative  velocity  after  collision} \right |}{\left | \text{Relative  velocity  before  collision}\right |}$$ गणित का विकास सर आइजैक न्यूटन ने 1687 में किया था। इसे न्यूटन का प्रायोगिक नियम भी कहते हैं।

अधिक विवरण
प्रभाव की रेखा - यह वह रेखा है जिसके साथ e परिभाषित किया गया है या संघट्ट वाली सतहों के बीच स्पर्शरेखा प्रतिक्रिया बल की अनुपस्थिति में, इस रेखा के साथ पिंडों के बीच प्रभाव के बल को साझा किया जाता है। प्रभाव के दौरान निकायों के बीच भौतिक संपर्क के दौरान संघट्ट वाले पिंडों के संपर्क में सतहों की जोड़ी के सामान्य के साथ इसकी रेखा है। इसलिए e को आयाम रहित आयामी पैरामीटर के रूप में परिभाषित किया गया है।

 e के लिए मान की श्रेणी - एक स्थिर के रूप में माना जाता है 

e सामान्यतः 0 और 1 के बीच घनात्मक, वास्तविक संख्या होती है:


 * e = 0: यह पूरी तरह से अप्रत्यस्थ संघट्टन है।
 * 0 <e <1: यह वास्तविक दुनिया की अप्रत्यास्थ संघट्टन है, जिसमें कुछ गतिज ऊर्जा नष्ट हो जाती है।
 * e = 1: यह पूरी तरह से प्रत्यास्थ संघट्ट है, जिसमें कोई गतिज ऊर्जा नष्ट नहीं होती है, और वस्तुएं एक दूसरे से उसी सापेक्ष वेग से प्रतिक्षेप हैं जिसके साथ वे संपर्क करते हैं।
 * e < 0: शून्य से कम COR संघट्ट का प्रतिनिधित्व करेगा जिसमें वस्तुओं के पृथक्करण वेग की दिशा (संकेत) समापन वेग के समान होती है, जिसका अर्थ है कि वस्तुएं पूरी तरह से उलझे बिना एक दूसरे से गुजरती हैं। इसे संवेग का अपूर्ण स्थानांतरण भी माना जा सकता है। इसका एक उदाहरण छोटी, सघन वस्तु हो सकती है जो किसी बड़े, कम सघन वस्तु से होकर गुजरती है - जैसे, लक्ष्य से गुजरने वाली गोली।
 * e> 1: यह संघट्टन का प्रतिनिधित्व करेगा जिसमें ऊर्जा जारी होती है, उदाहरण के लिए, नाइट्रोसेलूलोज बिलियर्ड बॉल्स प्रभाव के बिंदु पर सचमुच प्रस्फोटन कर सकते हैं। साथ ही, हाल के कुछ लेखों में अतिप्रत्यास्थ संघट्ट का वर्णन किया गया है जिसमें यह तर्क दिया गया है कि तिर्यक संघट्टन के विशेष मामले में COR एक से अधिक मान ले सकता है।   ये घटनाएँ घर्षण के कारण पलटाव प्रक्षेपवक्र के परिवर्तन के कारण होती हैं। ऐसे संघट्टों में किसी प्रकार के प्रस्फोटन में गतिज ऊर्जा मुक्त होती है। यह संभव है कि $$e = \infty$$ कठोर प्रणाली के पूर्ण प्रस्फोटन के लिए है।

जोड़ी गई वस्तुएं
COR संघट्ट में वस्तुओं की जोड़ी का गुण है, एक वस्तु नहीं है। यदि कोई दी गई वस्तु दो अलग-अलग वस्तुओं से संघट्टन है, तो प्रत्येक संघट्टन का अपना COR होता है। जब किसी वस्तु को प्रत्यवस्थान गुणांक के रूप में वर्णित किया जाता है, जैसे कि यह किसी दूसरी वस्तु के संदर्भ के बिना आंतरिक गुण थी, तो इसे समान क्षेत्रों के बीच या पूरी तरह से कठोर दीवार के बीच माना जाता है।

एक पूरी तरह से कठोर दीवार संभव नहीं है, लेकिन प्रत्यास्थता के बहुत छोटे मापांक के साथ गोले के COR की जांच करने पर स्टील ब्लॉक द्वारा अनुमान लगाया जा सकता है। अन्यथा, COR अधिक जटिल तरीके से संघट्ट के वेग के आधार पर बढ़ेगा और फिर गिरेगा।

ऊर्जा और संवेग के संरक्षण के साथ संबंध
आयामी संघट्ट में, दो प्रमुख सिद्धांत हैं: ऊर्जा का संरक्षण (यदि संघट्टन पूरी तरह से प्रत्यास्थ है तो गतिज ऊर्जा का संरक्षण) और (रैखिक) संवेग का संरक्षण। तीसरा समीकरण निकाला जा सकता है इन दोनों में से, जो ऊपर बताए अनुसार पुनर्स्थापन समीकरण है। समस्याओं को हल करते समय, तीन में से किन्हीं दो समीकरणों का उपयोग किया जा सकता है। पुनर्स्थापन समीकरण का उपयोग करने का लाभ यह है कि यह कभी-कभी समस्या को हल करने का अधिक सुविधाजनक तरीका प्रदान करता है।

मान लीजिये $$m_1$$, $$m_2$$ वस्तु 1 और वस्तु 2 का द्रव्यमान क्रमशः है। मान लीजिये $$u_1$$, $$u_2$$ वस्तु 1 और वस्तु 2 का क्रमशः प्रारंभिक वेग है। मान लीजिये $$v_1$$, $$v_2$$ वस्तु 1 और वस्तु 2 का क्रमशः अंतिम वेग है। $$\begin{cases} \frac{1}{2}m_1 u_1^2 + \frac{1}{2}m_2 u_2^2 = \frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2^2 \\ m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2 \end{cases}$$ पहले समीकरण से, $$m_1 \left(u_1^2 - v_1^2\right) = m_2 \left(v_2^2 - u_2^2\right)$$ $$m_1 \left(u_1 + v_1\right) \left(u_1 - v_1\right) = m_2 \left(v_2 + u_2\right) \left(v_2 - u_2\right)$$ दूसरे समीकरण से, $$m_1 \left(u_1 - v_1\right) = m_2 \left(v_2 - u_2\right)$$ विभाजन के बाद, $$u_1+v_1=v_2+u_2$$ $$u_1-u_2 = -(v_1-v_2)$$ $$\frac{\left | v_1-v_2 \right |}{\left | u_1-u_2 \right |} = 1$$ उपरोक्त समीकरण पुनर्स्थापन समीकरण है, और पुनर्स्थापन का गुणांक 1 है, जो पूरी तरह से प्रत्यास्थ संघट्ट है।

खेल उपकरण
पतले चेहरे वाले गोल्फ क्लब ड्राइवर "ट्रैम्पोलिन प्रभाव" का उपयोग करते हैं जो नम्य और संग्रहीत ऊर्जा के बाद के रिलीज के परिणामस्वरूप अधिक दूरी की ड्राइव बनाता है जो गेंद को अधिक आवेग प्रदान करता है। यूएसजीए (अमेरिका की गवर्निंग गोल्फिंग बॉडी) परीक्षण करती है COR के लिए ड्राइवर और ऊपरी सीमा को 0.83 पर रखा है। COR क्लबहेड गति की दरों का कार्य है और क्लबहेड गति में वृद्धि के रूप में कम हो जाता है। रिपोर्ट में COR की श्रेणी 0.845 से 90 मील प्रति घंटे से कम से कम 0.797 से 130 मील प्रति घंटे तक है। उपर्युक्त ट्रैम्पोलिन प्रभाव यह दर्शाता है क्योंकि यह संघट्टन के समय को बढ़ाकर संघट्टन के तनाव की दर को कम करता है। एक लेख के अनुसार (टेनिस टेनिस का बल्ला  में COR को संबोधित करते हुए), [f] या बेंचमार्क शर्तें, सभी रैकेट के लिए उपयोग किए जाने वाले पुनर्स्थापन का गुणांक 0.85 है, जो स्ट्रिंग तनाव और फ्रेम की कठोरता के चर को समाप्त करता है जो पुनर्स्थापना के गुणांक से जोड़ या घटा सकता है।

अंतर्राष्ट्रीय टेबल टेनिस महासंघ निर्दिष्ट करता है कि गेंद को 30.5 सेमी की ऊंचाई से मानक स्टील ब्लॉक पर गिराए जाने पर 24-26 सेमी उछलेगा, जिससे 0.887 से 0.923 का COR होगा।

बास्केटबॉल के COR को यह कहते हुए निर्दिष्ट किया जाता है कि गेंद 1800 मिमी की ऊंचाई से गिराए जाने पर 960 और 1160 मिमी के बीच की ऊंचाई तक उछलेगी, जिसके परिणामस्वरूप 0.73–0.80 के बीच एक COR होगा।

समीकरण
दो वस्तुओं, वस्तु A और वस्तु B को सम्मिलित करने वाली आयामी संघट्टन के मामले में, पुनर्स्थापना का गुणांक इस प्रकार दिया जाता है:

$$C_R = \frac{\left | v_\text{b} - v_\text{a} \right |}{\left | u_\text{a} - u_\text{b} \right |},$$ जहाँ:
 * $$v_\text{a}$$ प्रभाव के बाद वस्तु A की अंतिम गति है
 * $$v_\text{b}$$ प्रभाव के बाद वस्तु B की अंतिम गति है
 * $$u_\text{a}$$ प्रभाव से पहले वस्तु A की प्रारंभिक गति है
 * $$u_\text{b}$$ प्रभाव से पहले वस्तु B की प्रारंभिक गति है

यद्यपि $$C_R$$ वस्तुओं के द्रव्यमान पर स्पष्ट रूप से निर्भर नहीं करता है, यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि अंतिम वेग द्रव्यमान-निर्भर हैं। कठोर पिंडों के दो- और तीन-आयामी संघट्ट के लिए, उपयोग किए जाने वाले वेग संपर्क के बिंदु पर स्पर्शरेखा रेखा/तल के लंबवत घटक अर्थात प्रभाव की रेखा के साथ होते हैं।

किसी स्थिर लक्ष्य से प्रतिक्षेप हुई वस्तु के लिए, $$C_R$$ प्रभाव के बाद वस्तु की गति और प्रभाव से पहले की गति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है:

$$C_R = \frac{v}{u},$$ जहाँ
 * $$v$$ प्रभाव के बाद वस्तु की गति है
 * $$u$$ प्रभाव से पहले वस्तु की गति है

ऐसे मामले में जहां घर्षण बल की उपेक्षा की जा सकती है और वस्तु को क्षैतिज सतह पर गतिहीन से गिरा दिया जाता है, यह इसके बराबर है:

$$C_R = \sqrt{\frac{h}{H}},$$ जहाँ
 * $$h$$ बाउंस ऊंचाई है
 * $$H$$ ड्रॉप ऊंचाई है

प्रत्यवस्थान गुणांक को माप के रूप में माना जा सकता है कि जब कोई वस्तु किसी सतह से प्रतिक्षेप है तो यांत्रिक ऊर्जा किस हद तक संरक्षित होती है। किसी वस्तु के स्थिर लक्ष्य से उछलने की स्थिति में, गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा में परिवर्तन, Ep, प्रभाव के दौरान अनिवार्य रूप से शून्य है; इस प्रकार, $$C_R$$ गतिज ऊर्जा, Ek के बीच तुलना है प्रभाव से ठीक पहले वस्तु का प्रभाव के तुरंत बाद वस्तु का:

$$C_R = \sqrt{\frac{E_\text{k, (after impact)}}{E_\text{k, (before impact)}}} =\sqrt{\frac{\frac{1}{2}mv^2}{\frac{1}{2}mu^2}} =\sqrt{\frac{v^2}{u^2}} = \frac{v}{u}$$ ऐसे स्थितियों में जहां घर्षण बलों की उपेक्षा की जा सकती है (इस विषय पर लगभग हर छात्र प्रयोगशाला ), और वस्तु को क्षैतिज सतह पर गतिहीन से गिरा दिया जाता है, उपरोक्त ड्रॉप पर वस्तु के Ep के बीच तुलना के बराबर है बाउंस ऊंचाई पर उसके साथ ऊंचाई। इस मामले में, Ek में परिवर्तन शून्य है (प्रभाव के दौरान वस्तु अनिवार्य रूप से गतिहीन है और बाउंस के शीर्ष पर भी गतिहीन है); इस प्रकार: $$C_R = \sqrt{\frac{E_\text{p, (at bounce height)}}{E_\text{p, (at drop height)}}} = \sqrt{\frac{mgh}{mgH}} = \sqrt{\frac{h}{H}}$$

प्रभाव के बाद गति
प्रत्यास्थ कणों के बीच संघट्ट के समीकरणों को COR का उपयोग करने के लिए संशोधित किया जा सकता है, इस प्रकार अप्रत्यस्थ संघट्ट पर भी लागू होता है, और बीच में हर संभावना होती है।

$$v_\text{a} = \frac{m_\text{a} u_\text{a} + m_\text{b} u_\text{b} + m_\text{b} C_R(u_\text{b}-u_\text{a})}{m_\text{a}+m_\text{b}}$$ और $$v_\text{b} = \frac{m_\text{a} u_\text{a} + m_\text{b} u_\text{b} + m_\text{a} C_R(u_\text{a}-u_\text{b})}{m_\text{a}+m_\text{b}}$$ जहाँ
 * $$v_\text{a}$$ प्रभाव के बाद पहली वस्तु का अंतिम वेग है
 * $$v_\text{b}$$ प्रभाव के बाद दूसरी वस्तु का अंतिम वेग है
 * $$u_\text{a}$$ प्रभाव से पहले पहली वस्तु का प्रारंभिक वेग है
 * $$u_\text{b}$$ प्रभाव से पहले दूसरी वस्तु का प्रारंभिक वेग है
 * $$m_\text{a}$$ पहली वस्तु का द्रव्यमान है
 * $$m_\text{b}$$ दूसरी वस्तु का द्रव्यमान है

व्युत्पत्ति
उपरोक्त समीकरणों को COR की परिभाषा और गति के संरक्षण के नियम (जो सभी संघट्ट के लिए है) द्वारा गठित समीकरणों की प्रणाली के विश्लेषणात्मक समाधान से प्राप्त किया जा सकता है। ऊपर से संकेतन का उपयोग करना $$u$$ संघट्टन से पहले वेग का प्रतिनिधित्व करता है और $$v$$ के बाद:

$$\begin{align} & m_\text{a} u_\text{a} + m_\text{b} u_\text{b} = m_\text{a} v_\text{a} + m_\text{b} v_\text{b} \\ & C_R = \frac{\left | v_\text{b} - v_\text{a} \right |}{\left | u_\text{a} - u_\text{b} \right |} \\ \end{align}$$ संवेग संरक्षण समीकरण को हल करना $$v_\text{a}$$ और $$v_\text{b}$$ के लिए प्रत्यवस्थान गुणांक की परिभाषा :

$$\begin{align} & \frac{m_\text{a} u_\text{a} + m_\text{b} u_\text{b} - m_\text{b} v_\text{b}}{m_\text{a}} = v_\text{a} \\ & v_\text{b} = C_R(u_\text{a} - u_\text{b}) + v_\text{a} \\ \end{align}$$ अगला, $$v_\text{b}$$ के लिए पहले समीकरण में प्रतिस्थापन और फिर के लिए हल करना $$v_\text{a}$$ देता है:

$$\begin{align} & \frac{m_\text{a} u_\text{a} + m_\text{b} u_\text{b} - m_\text{b} C_R(u_\text{a} - u_\text{b}) - m_\text{b} v_\text{a}}{m_\text{a}} = v_\text{a} \\ & \\ & \frac{m_\text{a} u_\text{a} + m_\text{b} u_\text{b} + m_\text{b} C_R(u_\text{b} - u_\text{a})}{m_\text{a}} = v_\text{a} \left[ 1 + \frac{m_\text{b}}{m_\text{a}} \right] \\ & \\ & \frac{m_\text{a} u_\text{a} + m_\text{b} u_\text{b} + m_\text{b} C_R(u_\text{b} - u_\text{a})}{m_\text{a} + m_\text{b}} = v_\text{a} \\ \end{align}$$ समान व्युत्पत्ति के लिए सूत्र प्राप्त होता है $$v_\text{b}$$.

 ऑब्जेक्ट आकार और ऑफ-सेंटर संघट्ट के कारण COR भिन्नता 

जब संघट्ट वाली वस्तुओं में गति की दिशा नहीं होती है जो उनके गुरुत्वाकर्षण के केंद्र और प्रभाव के बिंदु के अनुरूप होती है, या यदि उस बिंदु पर उनकी संपर्क सतहें उस रेखा के लंबवत नहीं होती हैं, तो कुछ ऊर्जा जो पोस्ट के लिए उपलब्ध होती -संघट्ट वेग अंतर घर्षण और घर्षण के लिए खो जाएगा। कंपन और परिणामी ध्वनि के लिए ऊर्जा हानि सामान्यतः नगण्य होती है।

विभिन्न पदार्थ को टकराना और व्यावहारिक माप
जब एक नरम वस्तु सक्त वस्तु से संघट्टन है, तो संघट्टन के बाद के वेग के लिए उपलब्ध अधिकांश ऊर्जा नरम वस्तु में जमा हो जाएगी। COR इस बात पर निर्भर करेगा कि गर्मी और प्लास्टिक विरूपण को खोए बिना संपीड़न में ऊर्जा को संग्रहित करने में नरम वस्तु कितनी कुशल है। एक रबर की गेंद कांच की गेंद की तुलना में कंक्रीट से बेहतर बाउंस देगी, लेकिन ग्लास-ऑन-ग्लास का COR रबर-ऑन-रबर की तुलना में बहुत अधिक है क्योंकि रबड़ में कुछ ऊर्जा संपीड़ित होने पर गर्मी में खो जाती है। जब रबर की गेंद कांच की गेंद से संघट्टन है, तो COR पूरी तरह से रबर पर निर्भर करेगा। इस कारण से, संघट्टन के लिए समान सामग्री नहीं होने पर सामग्री के COR का निर्धारण करना अधिक कठिन सामग्री का उपयोग करके किया जाता है।

चूंकि कोई पूरी तरह से सक्त सामग्री नहीं है, धातु और चीनी मिट्टी की चीज़ें जैसे सक्त पदार्थ में समान क्षेत्रों के बीच संघट्ट पर विचार करके सैद्धांतिक रूप से निर्धारित किया गया है। व्यवहार में, 2-बॉल न्यूटन उद्गम को नियोजित किया जा सकता है लेकिन इस तरह की व्यवस्था जल्दी से नमूनों का परीक्षण करने के लिए अनुकूल नहीं है।

लीब रिबाउंड हार्डनेस टेस्ट COR के निर्धारण से संबंधित एकमात्र सामान्य रूप से उपलब्ध परीक्षण है। यह टंगस्टन कार्बाइड की नोक का उपयोग करता है, जो उपलब्ध सबसे कठिन पदार्थों में से एक है, जिसे विशिष्ट ऊंचाई से परीक्षण के नमूनों पर गिराया जाता है। लेकिन टिप का आकार, प्रभाव का वेग, और टंगस्टन कार्बाइड सभी चर हैं जो 1000 * COR के संदर्भ में व्यक्त किए गए परिणाम को प्रभावित करते हैं। यह उस सामग्री के लिए वस्तुनिष्ठ COR नहीं देता है जो परीक्षण से स्वतंत्र है।

भौतिक गुणों (प्रत्यास्थ मोडुली, रियोलॉजी), प्रभाव की दिशा, घर्षण के गुणांक और प्रभावकारी निकायों के चिपकने वाले गुणों पर निर्भरता में प्रत्यवस्थान गुणांक का व्यापक अध्ययन विलर्ट (2020) में पाया जा सकता है।

भौतिक गुणों से पूर्वानुमान करना
COR एक भौतिक गुण नहीं है क्योंकि यह सामग्री के आकार और संघट्ट की बारीकियों के साथ बदलती है, लेकिन भौतिक गुणों और प्रभाव के वेग से इसकी पूर्वानुमान की जा सकती है जब संघट्टन की बारीकियों को सरल बनाया जाता है। घूर्णी और घर्षण नुकसान की जटिलताओं से बचने के लिए, हम गोलाकार वस्तुओं की समान जोड़ी के आदर्श मामले पर विचार कर सकते हैं, जिससे कि उनके द्रव्यमान और सापेक्ष वेग के केंद्र सभी एक पंक्ति में हों।

धातु और मिट्टी के पात्र (लेकिन रबर और प्लास्टिक नहीं) जैसी कई पदार्थ को पूरी तरह से प्रत्यास्थ माना जाता है जब प्रभाव के दौरान उनकी पराभव सामर्थ्य तक नहीं पहुंचती है। प्रभाव ऊर्जा सैद्धांतिक रूप से केवल प्रत्यास्थ संपीड़न के वसंत-प्रभाव में संग्रहीत होती है और इसका परिणाम e = 1 होता है। लेकिन यह केवल 0.1 मीटर प्रति सेकंड से 1 मीटर प्रति सेकंड से कम वेग पर लागू होता है। प्रत्यास्थ श्रेणी को उच्च वेगों से पार किया जा सकता है क्योंकि सभी गतिज ऊर्जा प्रभाव के बिंदु पर केंद्रित होती है। विशेष रूप से, पराभव सामर्थ्य सामान्यतः संपर्क क्षेत्र के हिस्से में पार हो जाती है, प्रत्यास्थ क्षेत्र में नहीं रहने से प्लास्टिक विरूपण के लिए ऊर्जा खो जाती है। इसे ध्यान में रखते हुए, निम्नलिखित प्रारंभिक प्रभाव ऊर्जा के प्रतिशत का अनुमान लगाकर COR का अनुमान लगाता है जो प्लास्टिक विरूपण में नहीं खोया है। लगभग, यह विभाजित करता है कि सामग्री का आयतन कितनी आसानी से संपीड़न में ऊर्जा को संग्रहीत कर सकता है ($$1/{\text{elastic modulus}}$$) यह प्रत्यास्थ श्रेणी में कितनी अच्छी तरह रह सकता है ($$1/{\text{yield strength}}$$):

$$\% \text{impact energy available for restitution} \propto \frac{\text{yield strength}}{\text{elastic modulus}} $$ किसी दिए गए भौतिक घनत्व और वेग के लिए इसका परिणाम होता है: $$\text{coefficient of restitution} \propto \sqrt{\frac{\text{yield strength}}{\text{elastic modulus}} }$$ उच्च पराभव सामर्थ्य सामग्री के अधिक संपर्क मात्रा को उच्च ऊर्जा पर प्रत्यास्थ क्षेत्र में रहने की अनुमति देती है। एक कम प्रत्यास्थ मॉड्यूलस प्रभाव के दौरान बड़े संपर्क क्षेत्र को विकसित करने की अनुमति देता है जिससे कि संपर्क बिंदु पर सतह के नीचे ऊर्जा को बड़ी मात्रा में वितरित किया जा सके। यह पराभव सामर्थ्य को पार होने से रोकने में मदद करता है।

अधिक सटीक सैद्धांतिक विकास प्रत्यास्थ संघट्ट(धातुओं के लिए 0.1 मीटर प्रति सेकंड से अधिक) और बड़े स्थायी प्लास्टिक विरूपण (100 मीटर प्रति सेकंड से कम) की तुलना में धीमी गति से मध्यम वेग पर COR की पूर्वानुमान करते समय सामग्री का वेग और घनत्व भी महत्वपूर्ण होता है। अवशोषित होने के लिए कम ऊर्जा की आवश्यकता के कारण कम वेग गुणांक को बढ़ाता है। कम घनत्व का अर्थ यह भी है कि कम प्रारंभिक ऊर्जा को अवशोषित करने की आवश्यकता होती है। द्रव्यमान के अतिरिक्त घनत्व का उपयोग किया जाता है क्योंकि संपर्क क्षेत्र पर प्रभावित मात्रा के आयतन के साथ गोले का आयतन रद्द हो जाता है। इस प्रकार, गोले की त्रिज्या गुणांक को प्रभावित नहीं करती है। विभिन्न आकारों के लेकिन एक ही सामग्री के संघट्ट वाले गोले की जोड़ी का गुणांक नीचे जैसा ही होता है, इससे $\left(\frac{R_1}{R_2}\right)^{{3}/{8}}$ गुणा किया जाता है

इन चार चरों को मिलाकर, गेंद को उसी सामग्री की सतह पर गिराए जाने पर पुनर्स्थापना के गुणांक का सैद्धांतिक अनुमान लगाया जा सकता है।
 * e = प्रत्यवस्थान गुणांक
 * Sy= गतिशील पराभव सामर्थ्य (गतिशील प्रत्यास्थ सीमा)
 * E′ = प्रभावी प्रत्यास्थ मापांक
 * ρ = घनत्व
 * v = प्रभाव पर वेग
 * μ = प्वासों का अनुपात

$$e = 3.1 \left(\frac{S_\text{y}}{1}\right)^{5/8} \left(\frac{1}{E'}\right)^{1/2}  \left(\frac{1}{v}\right)^{1/4} \left(\frac{1}{\rho}\right)^{1/8} $$ $$E' = \frac{E}{1-\mu^2}$$ यह समीकरण वास्तविक COR को अधिक अनुमानित करता है। धातुओं के लिए, यह तब लागू होता है जब v लगभग 0.1 मीटर प्रति सेकंड और 100 मीटर प्रति सेकंड के बीच होता है और सामान्य तौर पर जब: $$0.001 < \frac{\rho v^2}{S_\text{y}} < 0.1$$ धीमे वेग पर COR उपरोक्त समीकरण से अधिक है, सैद्धांतिक रूप से e = 1 तक पहुँचता है जब उपरोक्त अंश कम होता है $$10^{-6}$$ मीटर प्रति सेकंड। यह 1 मीटर (v = 4.5 मीटर प्रति सेकंड) गिराए गए ठोस क्षेत्रों के लिए पुनर्स्थापना का निम्नलिखित सैद्धांतिक गुणांक देता है। 1 से अधिक मान इंगित करते हैं कि समीकरण में त्रुटियाँ हैं। गतिशील पराभव सामर्थ्य के अतिरिक्त पराभव सामर्थ्य का उपयोग किया गया हैं।

प्लास्टिक और रबड़ के लिए COR उनके वास्तविक मान से अधिक है क्योंकि वे संपीड़न के दौरान गर्म होने के कारण धातु, कांच और सिरेमिक के रूप में आदर्श रूप से प्रत्यास्थ व्यवहार नहीं करते हैं। तो निम्नलिखित केवल बहुलक की वरिष्ठतम के लिए गाइड है।

बहुलक (धातुओं और सिरेमिक की तुलना में कम करके आंका गया):


 * पॉलीब्यूटाडाइन (गोल्फ बॉल शेल)
 * ब्यूटाइल रबर
 * ईवा
 * सिलिकॉन इलास्टोमर्स
 * पॉली कार्बोनेट
 * नायलॉन
 * पॉलीथीन
 * टेफ्लान
 * पॉलीप्रोपाइलीन
 * एबीएस
 * ऐक्रेलिक
 * पीईटी
 * पॉलीस्टाइनिन
 * पीवीसी

धातुओं के लिए गति की सीमा जिस पर यह सिद्धांत लागू हो सकता है वह लगभग 0.1 से 5 मीटर/सेकंड है जो 0.5 मिमी से 1.25 मीटर की गिरावट है (पृष्ठ 366 ).

यह भी देखें

 * प्रतिक्षेप गेंद
 * संघट्टन
 * भिगोना क्षमता
 * लचीलापन (सामग्री विज्ञान)

संदर्भ
Works cited



बाहरी संबंध

 * Wolfram Article on COR
 * Chris Hecker's physics introduction
 * "Getting an extra bounce" by Chelsea Wald
 * FIFA Quality Concepts for Footballs – Uniform Rebound
 * FIFA Quality Concepts for Footballs – Uniform Rebound

Stoß (Physik)