संभाव्यता स्थान

संभाव्यता सिद्धांत में, एक संभाव्यता स्थान या एक संभाव्यता त्रिक $$(\Omega, \mathcal{F}, P)$$ एक स्थान (गणित) है जो यादृच्छिकता प्रक्रिया या प्रयोग का एक औपचारिक मॉडल प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, कोई एक संभाव्यता स्थान को परिभाषित कर सकता है जो पासे को फेंकने का मॉडल बनाता है [sic].

संभाव्यता स्थान में तीन तत्व होते हैं:
 * 1) एक नमूना स्थान, $$\Omega$$, जो सभी संभावित परिणामों (संभावना) का समुच्चय है।
 * 2) एक इवेंट स्पेस, जो इवेंट (संभावना सिद्धांत) का एक सेट है, $$\mathcal{F}$$, एक घटना नमूना स्थान में परिणामों का एक सेट है।
 * 3) एक संभाव्यता माप, $$P$$, जो घटना स्थान में प्रत्येक घटना को एक संभावना निर्दिष्ट करता है, जो 0 और 1 के बीच की एक संख्या है।

संभाव्यता का एक समझदार मॉडल प्रदान करने के लिए, इन तत्वों को इस लेख में विस्तृत कई सिद्धांतों को पूरा करना होगा।

एक मानक पासे को फेंकने के उदाहरण में, हम नमूना स्थान लेंगे $$\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$. इवेंट स्पेस के लिए, हम बस सैंपल स्पेस के सत्ता स्थापित  का उपयोग कर सकते हैं, जिसमें तब साधारण इवेंट शामिल होंगे $$\{5\}$$ (पांसा 5 पर उतरता है), साथ ही साथ जटिल घटनाएँ भी $$\{2, 4, 6\}$$ (पासा सम संख्या पर गिरता है)। अंत में, संभाव्यता फ़ंक्शन के लिए, हम प्रत्येक घटना को उस घटना के परिणामों की संख्या को 6 से विभाजित करके मैप करेंगे - इसलिए उदाहरण के लिए, $$\{5\}$$ को मैप किया जाएगा $$1/6$$, और $$\{2, 4, 6\}$$ को मैप किया जाएगा $$3/6 = 1/2$$.

जब कोई प्रयोग किया जाता है, तो हम कल्पना करते हैं कि प्रकृति एक ही परिणाम चुनती है, $$\omega$$, नमूना स्थान से $$\Omega$$. इवेंट स्पेस में सभी इवेंट $$\mathcal{F}$$ जिसमें चयनित परिणाम शामिल हैं $$\omega$$ कहा जाता है कि घटित हुआ है। यह चयन इस तरह से होता है कि यदि प्रयोग कई बार दोहराया जाता है, तो प्रत्येक घटना की घटनाओं की संख्या, प्रयोगों की कुल संख्या के एक अंश के रूप में, संभाव्यता फ़ंक्शन द्वारा उस घटना को सौंपी गई संभाव्यता की ओर प्रवृत्त होगी। $$P$$.

सोवियत गणितज्ञ एंड्री कोलमोगोरोव ने 1930 के दशक में, संभाव्यता के अन्य सिद्धांतों के साथ, संभाव्यता स्थान की धारणा पेश की। आधुनिक संभाव्यता सिद्धांत में स्वयंसिद्धीकरण के लिए कई वैकल्पिक दृष्टिकोण हैं - उदाहरण के लिए, यादृच्छिक चर का बीजगणित।

परिचय
संभाव्यता स्थान एक गणितीय त्रिक है $$(\Omega, \mathcal{F}, P)$$ जो वास्तविक दुनिया की स्थितियों के एक विशेष वर्ग के लिए एक गणितीय मॉडल प्रस्तुत करता है। अन्य मॉडलों की तरह, इसका लेखक अंततः परिभाषित करता है कि कौन से तत्व हैं $$\Omega$$, $$\mathcal{F}$$, और $$P$$ शामिल है।
 * नमूना स्थान $$\Omega$$ सभी संभावित परिणामों का समुच्चय है। एक परिणाम (संभावना) मॉडल के एकल निष्पादन का परिणाम है। परिणाम प्रकृति की स्थितियाँ, संभावनाएँ, प्रयोगात्मक परिणाम आदि हो सकते हैं। वास्तविक दुनिया की स्थिति (या प्रयोग चलाने) के प्रत्येक उदाहरण को बिल्कुल एक परिणाम उत्पन्न करना चाहिए। यदि किसी प्रयोग के अलग-अलग दौर के परिणाम किसी भी मायने में भिन्न होते हैं, तो वे अलग-अलग परिणाम होते हैं। कौन सा अंतर मायने रखता है यह इस बात पर निर्भर करता है कि हम किस प्रकार का विश्लेषण करना चाहते हैं। इससे नमूना स्थान के विभिन्न विकल्प सामने आते हैं।
 * σ-बीजगणित $$\mathcal{F}$$ यह उन सभी घटनाओं (संभावना सिद्धांत) का एक संग्रह है जिन पर हम विचार करना चाहेंगे। इस संग्रह में प्रत्येक प्राथमिक कार्यक्रम शामिल हो भी सकता है और नहीं भी। यहां, एक घटना शून्य या अधिक परिणामों का एक समूह है; वह है, नमूना स्थान का एक उपसमुच्चय। किसी घटना को प्रयोग के दौरान घटित तब माना जाता है जब प्रयोग का परिणाम घटना का एक तत्व होता है। चूँकि एक ही परिणाम कई घटनाओं का सदस्य हो सकता है, इसलिए एक ही परिणाम के साथ कई घटनाओं का घटित होना संभव है। उदाहरण के लिए, जब परीक्षण में दो पासे फेंकने होते हैं, तो 7 पिप (गिनती) के योग के साथ सभी परिणामों का सबसेट एक घटना बन सकता है, जबकि विषम संख्या में पिप्स के साथ परिणाम एक और घटना बन सकते हैं। यदि परिणाम पहले पासे पर दो पिप्स और दूसरे पासे पर पांच पिप्स की प्राथमिक घटना का तत्व है, तो दोनों घटनाएं, 7 पिप्स और विषम संख्या में पिप्स, घटित मानी जाती हैं।
 * संभाव्यता माप $$P$$ एक फ़ंक्शन सेट करें है जो किसी घटना की संभावना लौटाता है। संभाव्यता शून्य (असंभव घटनाओं की संभाव्यता शून्य होती है, हालांकि संभाव्यता-शून्य घटनाएं आवश्यक रूप से असंभव नहीं होती हैं) और एक (घटना लगभग निश्चित रूप से, लगभग पूर्ण निश्चितता के साथ घटित होती है) के बीच की एक वास्तविक संख्या होती है। इस प्रकार $$P$$ एक फ़ंक्शन है $$P : \mathcal{F} \to [0,1].$$ संभाव्यता माप फ़ंक्शन को दो सरल आवश्यकताओं को पूरा करना चाहिए: पहला, परस्पर अनन्य घटनाओं के गणनीय सेट संघ की संभावना इनमें से प्रत्येक घटना की संभावनाओं के गणनीय योग के बराबर होनी चाहिए। उदाहरण के लिए, परस्पर अनन्य घटनाओं के मिलन की संभावना $$\text{Head}$$ और $$\text{Tail}$$ एक सिक्के को उछालने के यादृच्छिक प्रयोग में, $$P(\text{Head}\cup\text{Tail})$$, के लिए संभाव्यता का योग है $$\text{Head}$$ और इसकी संभावना $$\text{Tail}$$, $$P(\text{Head}) + P(\text{Tail})$$. दूसरा, नमूना स्थान की संभावना $$\Omega$$ 1 के बराबर होना चाहिए (जो इस तथ्य को दर्शाता है कि, मॉडल के निष्पादन को देखते हुए, कुछ परिणाम अवश्य घटित होने चाहिए)। पिछले उदाहरण में परिणामों के सेट की संभावना $$P(\{\text{Head},\text{Tail}\})$$ एक के बराबर होना चाहिए, क्योंकि यह पूरी तरह से निश्चित है कि परिणाम कोई एक ही होगा $$\text{Head}$$ या $$\text{Tail}$$ (मॉडल किसी अन्य संभावना की उपेक्षा करता है) एक ही सिक्के को उछालने में।

नमूना स्थान का प्रत्येक उपसमूह नहीं $$\Omega$$ आवश्यक रूप से एक घटना माना जाना चाहिए: कुछ उपसमुच्चय बिल्कुल रुचि के नहीं हैं, अन्य गैर-मापने योग्य सेट नहीं हो सकते हैं| मापा । सिक्का उछालने जैसे मामले में यह इतना स्पष्ट नहीं है। एक अलग उदाहरण में, कोई भाला फेंक की लंबाई पर विचार कर सकता है, जहां घटनाएं आम तौर पर 60 और 65 मीटर के बीच के अंतराल और ऐसे अंतराल के संघ होती हैं, लेकिन 60 और 65 मीटर के बीच अपरिमेय संख्याओं की तरह सेट नहीं होती हैं।

परिभाषा
संक्षेप में, संभाव्यता स्थान एक माप स्थान है जैसे कि संपूर्ण स्थान का माप एक के बराबर होता है।

विस्तारित परिभाषा निम्नलिखित है: एक संभाव्यता स्थान एक त्रिगुण है $$(\Omega,\mathcal{F},P)$$ को मिलाकर:
 * नमूना स्थान $$\Omega$$ - एक मनमाना गैर-रिक्त सेट,
 * σ-बीजगणित $$\mathcal{F} \subseteq 2^\Omega$$ (जिसे σ-फ़ील्ड भी कहा जाता है) - के सबसेट का एक सेट $$\Omega$$, जिसे घटना (संभावना सिद्धांत) कहा जाता है, जैसे कि:
 * $$\mathcal{F}$$ नमूना स्थान शामिल है: $$\Omega \in \mathcal{F}$$,
 * $$\mathcal{F}$$ पूरक (सेट सिद्धांत) के तहत बंद है: यदि $$A\in\mathcal{F}$$, तब भी $$(\Omega\setminus A)\in\mathcal{F}$$,
 * $$\mathcal{F}$$ गणनीय समुच्चय संघ (सेट सिद्धांत) के अंतर्गत बंद है: यदि $$A_i\in\mathcal{F}$$ के लिए $$i=1,2,\dots$$, तब भी $ (\bigcup_{i=1}^\infty A_i)\in\mathcal{F}$
 * पिछली दो संपत्तियों और डी मॉर्गन के नियम का परिणाम यही है $$\mathcal{F}$$ गणनीय प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) के अंतर्गत भी बंद है: यदि $$A_i\in\mathcal{F}$$ के लिए $$i = 1,2,\dots$$, तब भी $ (\bigcap_{i=1}^\infty A_i)\in\mathcal{F}$
 * संभाव्यता माप $$P:\mathcal{F}\to[0,1]$$ - पर एक समारोह $$\mathcal{F}$$ ऐसा है कि:
 * P गणनीय रूप से योगात्मक है (जिसे σ-योजक भी कहा जाता है): यदि $$\{A_i\}_{i=1}^\infty \subseteq \mathcal{F}$$ तो, जोड़ीवार असंयुक्त सेटों का एक गणनीय संग्रह है $ P(\bigcup_{i=1}^\infty A_i)=\sum_{i=1}^\infty P(A_i),$
 * संपूर्ण नमूना स्थान का माप एक के बराबर है: $$P(\Omega)=1$$.

असतत मामला
असतत संभाव्यता सिद्धांत को केवल गणनीय सेट नमूना स्थानों की आवश्यकता होती है $$\Omega$$. संभावनाओं को के बिंदुओं पर अंकित किया जा सकता है $$\Omega$$ संभाव्यता द्रव्यमान फलन द्वारा $$p:\Omega\to[0,1]$$ ऐसा है कि $\sum_{\omega\in\Omega} p(\omega)=1$. के सभी उपसमुच्चय $$\Omega$$ घटनाओं के रूप में माना जा सकता है (इस प्रकार, $$\mathcal{F}=2^\Omega$$ पावर सेट है)। संभाव्यता माप सरल रूप लेता है

सबसे बड़ा σ-बीजगणित $$\mathcal{F}=2^\Omega$$ पूरी जानकारी बताता है. सामान्य तौर पर, एक σ-बीजगणित $$\mathcal{F}\subseteq2^\Omega$$ किसी समुच्चय के परिमित या गणनीय विभाजन से मेल खाता है $$\Omega=B_1\cup B_2\cup\dots$$, किसी घटना का सामान्य रूप $$A\in\mathcal{F}$$ प्राणी $$A=B_{k_1}\cup B_{k_2}\cup\dots$$. उदाहरण भी देखें.

मामला $$p(\omega)=0$$ परिभाषा के अनुसार इसकी अनुमति है, लेकिन इसका उपयोग शायद ही कभी किया जाता है, क्योंकि ऐसा है $$\omega$$ नमूना स्थान से सुरक्षित रूप से बाहर रखा जा सकता है।

सामान्य मामला
अगर $Ω$ अगणनीय समुच्चय है, फिर भी ऐसा हो सकता है $p(ω) ≠ 0$ कुछ के लिए $ω$; ऐसा $ω$ को परमाणु (माप सिद्धांत) कहा जाता है। वे अधिक से अधिक गणनीय (शायद खाली सेट) सेट हैं, जिनकी संभावना सभी परमाणुओं की संभावनाओं का योग है। यदि यह योग 1 के बराबर है तो अन्य सभी बिंदुओं को नमूना स्थान से सुरक्षित रूप से बाहर रखा जा सकता है, और हमें असतत मामले में वापस लाया जा सकता है। अन्यथा, यदि सभी परमाणुओं की संभावनाओं का योग 0 और 1 के बीच है, तो संभाव्यता स्थान एक असतत (परमाणु) भाग (शायद खाली) और एक परमाणु (माप सिद्धांत) | गैर-परमाणु भाग में विघटित हो जाता है।

गैर-परमाणु मामला
अगर $p(ω) = 0$ सभी के लिए $ω ∈ Ω$ (इस मामले में, Ω बेशुमार होना चाहिए, क्योंकि अन्यथा $P(Ω) = 1$ संतुष्ट नहीं हो सका), तो समीकरण ($$) विफल रहता है: किसी सेट की संभावना आवश्यक रूप से उसके तत्वों की संभावनाओं का योग नहीं है, क्योंकि योग केवल तत्वों की गणनीय संख्या के लिए परिभाषित किया गया है। यह संभाव्यता अंतरिक्ष सिद्धांत को और अधिक तकनीकी बनाता है। योग से अधिक मजबूत सूत्रीकरण, माप सिद्धांत लागू होता है। प्रारंभ में संभावनाएं कुछ जेनरेटर सेटों पर आधारित होती हैं (उदाहरण देखें)। फिर एक सीमित प्रक्रिया उन सेटों को संभाव्यताएं निर्दिष्ट करने की अनुमति देती है जो जेनरेटर सेटों के अनुक्रमों की सीमाएं हैं, या सीमाओं की सीमाएं हैं, इत्यादि। ये सभी सेट σ-बीजगणित हैं $$ \mathcal{F}$$. तकनीकी विवरण के लिए कैराथोडोरी का विस्तार प्रमेय देखें। से संबंधित सेट $$ \mathcal{F}$$ मापने योग्य कहलाते हैं। सामान्य तौर पर वे जेनरेटर सेटों की तुलना में बहुत अधिक जटिल होते हैं, लेकिन गैर-मापने योग्य सेटों की तुलना में बहुत बेहतर होते हैं।

पूर्ण संभाव्यता स्थान
एक संभाव्यता स्थान $$(\Omega,\; \mathcal{F},\; P)$$ सभी के लिए पूर्ण संभाव्यता स्थान कहा जाता है $$B \in \mathcal{F}$$ साथ $$ P(B) = 0 $$ और सभी $$ A\; \subset \;B $$ किसी के पास $$A \in \mathcal{F}$$. अक्सर, संभाव्यता स्थानों का अध्ययन पूर्ण संभाव्यता स्थानों तक ही सीमित होता है।

उदाहरण 1
यदि प्रयोग में निष्पक्ष सिक्के को केवल एक उछालना शामिल है, तो परिणाम या तो चित या पट होगा: $$\Omega = \{\text{H}, \text{T}\}$$. σ-बीजगणित $$\mathcal{F} = 2^{\Omega}$$ रोकना $$2^2 = 4$$ घटनाएँ, अर्थात्: $$\{\text{H}\}$$ (सिर), $$\{\text{T}\}$$ (पूंछ), $$\{\}$$ (न तो सिर और न ही पूंछ), और $$\{\text{H}, \text{T}\}$$ (या तो हेड या टेल); दूसरे शब्दों में, $$\mathcal{F} = \{\{\}, \{\text{H}\}, \{\text{T}\}, \{\text{H}, \text{T}\}\}$$. चित उछालने की पचास प्रतिशत संभावना है और पट उछालने की पचास प्रतिशत संभावना है, इसलिए इस उदाहरण में संभाव्यता माप है $$P(\{\}) = 0$$, $$P(\{\text{H}\}) = 0.5$$, $$P(\{\text{T}\}) = 0.5$$, $$P(\{\text{H}, \text{T}\}) = 1$$.

उदाहरण 2
निष्पक्ष सिक्के को तीन बार उछाला जाता है। 8 संभावित परिणाम हैं: $Ω = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}$ (उदाहरण के लिए यहां एचटीएच का मतलब है कि पहली बार सिक्का हेड पर आया, दूसरी बार टेल पर, और आखिरी बार फिर हेड पर)। पूरी जानकारी σ-बीजगणित द्वारा वर्णित है $$\mathcal{F} = 2^\Omega$$ का $2^{8} = 256$ घटनाएँ, जहाँ प्रत्येक घटना Ω का उपसमूह है।

ऐलिस को केवल दूसरे टॉस का नतीजा पता है। इस प्रकार उसकी अधूरी जानकारी विभाजन द्वारा वर्णित है $Ω = A_{1} ⊔ A_{2} = {HHH, HHT, THH, THT} ⊔ {HTH, HTT, TTH, TTT}$, जहां ⊔ असंयुक्त संघ है, और संबंधित σ-बीजगणित है $$ \mathcal{F}_\text{Alice} = \{\{\}, A_1, A_2, \Omega\}$$. ब्रायन केवल पूँछों की कुल संख्या जानता है। उनके विभाजन में चार भाग हैं: $Ω = B_{0} ⊔ B_{1} ⊔ B_{2} ⊔ B_{3} = {HHH} ⊔ {HHT, HTH, THH} ⊔ {TTH, THT, HTT} ⊔ {TTT}$; तदनुसार, उसका σ-बीजगणित $$ \mathcal{F}_\text{Bryan}$$ 2 शामिल है4=16 घटनाएँ।

दो σ-बीजगणित तुलनीय हैं: न तो $$ \mathcal{F}_\text{Alice} \subseteq \mathcal{F}_\text{Bryan}$$ और न $$ \mathcal{F}_\text{Bryan} \subseteq \mathcal{F}_\text{Alice}$$; दोनों 2 के उप-σ-बीजगणित हैंओह

उदाहरण 3
यदि कैलिफ़ोर्निया के सभी मतदाताओं में से 100 मतदाताओं को यादृच्छिक रूप से निकाला जाए और पूछा जाए कि वे गवर्नर के लिए किसे वोट देंगे, तो 100 कैलिफ़ोर्नियाई मतदाताओं के सभी अनुक्रमों का सेट नमूना स्थान Ω होगा। हम मानते हैं कि सरल यादृच्छिक नमूने का उपयोग किया जाता है: केवल 100 विभिन्न मतदाताओं के अनुक्रम की अनुमति है। सरलता के लिए एक आदेशित नमूने पर विचार किया जाता है, अर्थात एक अनुक्रम {ऐलिस, ब्रायन} {ब्रायन, ऐलिस} से भिन्न है। हम यह भी मानते हैं कि प्रत्येक संभावित मतदाता को अपनी भविष्य की पसंद के बारे में ठीक-ठीक पता है, अर्थात वह बिना सोचे-समझे चुनाव नहीं करता है।

ऐलिस ही जानती है कि अर्नाल्ड श्वार्जनेगर को कम से कम 60 वोट मिले हैं या नहीं। उसकी अधूरी जानकारी σ-बीजगणित द्वारा वर्णित है $$ \mathcal{F}_\text{Alice}$$ इसमें शामिल हैं: (1) Ω में सभी अनुक्रमों का सेट जहां कम से कम 60 लोग श्वार्ज़नेगर के लिए वोट करते हैं; (2) सभी अनुक्रमों का सेट जहां 60 से कम लोग श्वार्ज़नेगर के लिए वोट करते हैं; (3) संपूर्ण नमूना स्थान Ω; और (4) खाली सेट ∅.

ब्रायन को उन मतदाताओं की सटीक संख्या पता है जो श्वार्ज़नेगर को वोट देने जा रहे हैं। उनकी अधूरी जानकारी संबंधित विभाजन द्वारा वर्णित है $Ω = B_{0} ⊔ B_{1} ⊔ ⋯ ⊔ B_{100}$ और σ-बीजगणित $$ \mathcal{F}_\text{Bryan}$$ 2 से मिलकर बनता है101इवेंट.

इस मामले में ऐलिस का σ-बीजगणित ब्रायन का एक उपसमुच्चय है: $$ \mathcal{F}_\text{Alice} \subset \mathcal{F}_\text{Bryan}$$. ब्रायन का σ-बीजगणित बदले में बहुत बड़ी संपूर्ण जानकारी σ-बीजगणित 2 का एक उपसमुच्चय हैΩ से मिलकर $2^{n(n−1)⋯(n−99)}$ घटनाएँ, जहाँ n कैलिफोर्निया में सभी संभावित मतदाताओं की संख्या है।

उदाहरण 4
0 और 1 के बीच की एक संख्या यादृच्छिक रूप से, समान रूप से चुनी जाती है। यहाँ Ω = [0,1], $$ \mathcal{F}$$ बोरेल का σ-बीजगणित Ω पर सेट है, और P [0,1] पर लेब्सेग माप है।

इस मामले में प्रपत्र के खुले अंतराल $$, कहाँ $0 < a < b < 1$, जनरेटर सेट के रूप में लिया जा सकता है। ऐसे प्रत्येक सेट की प्रायिकता बताई जा सकती है $P((a,b)) = (b − a)$, जो [0,1] पर लेबेस्ग माप और Ω पर बोरेल σ-बीजगणित उत्पन्न करता है।

उदाहरण 5
एक निष्पक्ष सिक्का लगातार उछाला जाता है। यहां कोई Ω = {0,1} ले सकता है∞, संख्या 0 और 1 के सभी अनंत अनुक्रमों का सेट। सिलेंडर सेट ${(x_{1}, x_{2}, ...) ∈ Ω : x_{1} = a_{1}, ..., x_{n} = a_{n}} |undefined$ जनरेटर सेट के रूप में उपयोग किया जा सकता है। ऐसा प्रत्येक सेट एक घटना का वर्णन करता है जिसमें पहले n टॉस के परिणामस्वरूप एक निश्चित अनुक्रम होता है $(a_{1}, ..., a_{n})$, और शेष अनुक्रम मनमाना हो सकता है। ऐसी प्रत्येक घटना को स्वाभाविक रूप से 2 की संभावना दी जा सकती है−n.

ये दो गैर-परमाणु उदाहरण निकट से संबंधित हैं: एक अनुक्रम $(x_{1}, x_{2}, ...) ∈ {0,1}^{∞}$ संख्या की ओर ले जाता है $2^{−1}x_{1} + 2^{−2}x_{2} + ⋯ ∈ [0,1]$. यह {0,1} के बीच एक-से-एक पत्राचार नहीं है∞ और [0,1] हालाँकि: यह एक मानक संभाव्यता स्थान है, जो दो संभाव्यता स्थानों को एक ही संभाव्यता स्थान के दो रूपों के रूप में मानने की अनुमति देता है। वास्तव में, इस अर्थ में सभी गैर-पैथोलॉजिकल गैर-परमाणु संभाव्यता स्थान समान हैं। वे तथाकथित मानक संभाव्यता स्थान हैं। संभाव्यता स्थानों के बुनियादी अनुप्रयोग मानकता के प्रति असंवेदनशील हैं। हालाँकि, मानक संभाव्यता स्थानों पर गैर-असतत कंडीशनिंग आसान और स्वाभाविक है, अन्यथा यह अस्पष्ट हो जाती है।

संभाव्यता वितरण
कोई भी संभाव्यता वितरण संभाव्यता माप को परिभाषित करता है।

यादृच्छिक चर
एक यादृच्छिक चर

यदि A ⊂ S, तो संकेतन Pr(X ∈ A) आमतौर पर इस्तेमाल किया जाने वाला शॉर्टहैंड है $$\Pr(\{\omega \in \Omega: X(\omega) \in A\})$$.

नमूना स्थान के संदर्भ में घटनाओं को परिभाषित करना
यदि Ω गणनीय है तो हम लगभग हमेशा परिभाषित करते हैं $$ \mathcal{F}$$ Ω के पावर सेट के रूप में, यानी $$ \mathcal{F} = 2^\Omega$$ जो कि तुच्छ रूप से एक σ-बीजगणित है और सबसे बड़ा बीजगणित जिसे हम Ω का उपयोग करके बना सकते हैं। इसलिए हम छोड़ सकते हैं $$ \mathcal{F}$$ और संभाव्यता स्थान को परिभाषित करने के लिए बस (Ω,P) लिखें।

दूसरी ओर, यदि Ω बेशुमार है और हम इसका उपयोग करते हैं $$ \mathcal{F} = 2^\Omega$$ हम अपनी संभाव्यता माप P को परिभाषित करने में परेशानी में पड़ जाते हैं क्योंकि $$ \mathcal{F}$$ बहुत बड़ा है, यानी अक्सर ऐसे सेट होंगे जिनके लिए एक अद्वितीय माप निर्दिष्ट करना असंभव होगा। इस मामले में, हमें एक छोटे σ-बीजगणित का उपयोग करना होगा $$ \mathcal{F}$$, उदाहरण के लिए Ω का बोरेल बीजगणित, जो सबसे छोटा σ-बीजगणित है जो सभी खुले सेटों को मापने योग्य बनाता है।

सशर्त संभाव्यता
कोलमोगोरोव की संभाव्यता स्थानों की परिभाषा सशर्त संभाव्यता की प्राकृतिक अवधारणा को जन्म देती है। हर सेट $(a,b)$ गैर-शून्य संभावना के साथ (अर्थात्, $P(A) > 0$) एक अन्य संभाव्यता माप को परिभाषित करता है $$ P(B \mid A) = {P(B \cap A) \over P(A)} $$ अंतरिक्ष पर. इसे आमतौर पर A दिए जाने पर B की संभावना के रूप में उच्चारित किया जाता है।

किसी भी आयोजन के लिए $A$ ऐसा है कि $P(A) > 0$, कार्यक्रम $Q$ द्वारा परिभाषित $Q(B) = P(B | A)$ सभी घटनाओं के लिए $A$ स्वयं एक संभाव्यता माप है।

स्वतंत्रता
दो घटनाओं, ए और बी को सांख्यिकीय स्वतंत्रता कहा जाता है यदि $P(A ∩ B) = P(A) P(B)$.

दो यादृच्छिक चर, $B$ और $X$, यदि किसी घटना को के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है तो उसे स्वतंत्र कहा जाता है $Y$ के संदर्भ में परिभाषित किसी भी घटना से स्वतंत्र है $X$. औपचारिक रूप से, वे स्वतंत्र σ-बीजगणित उत्पन्न करते हैं, जहां दो σ-बीजगणित होते हैं $Y$ और $G$, जो के उपसमुच्चय हैं $H$ का कोई भी तत्व स्वतंत्र कहा जाता है $F$ के किसी भी तत्व से स्वतंत्र है $G$.

पारस्परिक विशिष्टता
दो घटनाएँ, $A$ और $B$ को परस्पर अनन्य या असंयुक्त कहा जाता है यदि एक की घटना दूसरे की गैर-घटना को दर्शाती है, अर्थात, उनका प्रतिच्छेदन खाली है। यह उनके प्रतिच्छेदन की संभावना शून्य होने की तुलना में अधिक मजबूत स्थिति है।

अगर $A$ और $B$ तो फिर असंयुक्त घटनाएँ हैं $P(A ∪ B) = P(A) + P(B)$. यह घटनाओं के एक (सीमित या अनगिनत अनंत) अनुक्रम तक फैला हुआ है। हालाँकि, घटनाओं के बेशुमार समूह के मिलन की संभावना उनकी संभावनाओं का योग नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि $H$ तो फिर एक सामान्य वितरण यादृच्छिक चर है $P(Z = x)$ किसी के लिए 0 है $Z$, लेकिन $P(Z ∈ R) = 1$.

समारोह $A ∩ B$ को ए और बी और घटना के रूप में जाना जाता है $A ∪ B$ ए या बी के रूप में।

यह भी देखें

 * अंतरिक्ष (गणित)
 * जगह मापें
 * फ़ज़ी माप सिद्धांत
 * फ़िल्टर की गई संभाव्यता स्थान
 * टैलाग्रैंड की सांद्रता असमानता

ग्रन्थसूची

 * Pierre Simon de Laplace (1812) Analytical Theory of Probability
 * The first major treatise blending calculus with probability theory, originally in French: Théorie Analytique des Probabilités.


 * Andrei Nikolajevich Kolmogorov (1950) Foundations of the Theory of Probability
 * The modern measure-theoretic foundation of probability theory; the original German version (Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitrechnung) appeared in 1933.


 * Harold Jeffreys (1939) The Theory of Probability
 * An empiricist, Bayesian approach to the foundations of probability theory.


 * Edward Nelson (1987) Radically Elementary Probability Theory
 * Foundations of probability theory based on nonstandard analysis. Downloadable. http://www.math.princeton.edu/~nelson/books.html


 * Patrick Billingsley: Probability and Measure, John Wiley and Sons, New York, Toronto, London, 1979.
 * Henk Tijms (2004) Understanding Probability 
 * A lively introduction to probability theory for the beginner, Cambridge Univ. Press.


 * David Williams (1991) Probability with martingales
 * An undergraduate introduction to measure-theoretic probability, Cambridge Univ. Press.



बाहरी संबंध

 * Animation demonstrating probability space of dice
 * Virtual Laboratories in Probability and Statistics (principal author Kyle Siegrist), especially, Probability Spaces
 * Citizendium
 * Complete probability space
 * Complete probability space