रिहंद गणितीय पपीरस

रिहंद गणितीय पपीरस (आरएमपी; जिसे पपीरस ब्रिटिश संग्रहालय 10057 और पीबीएम 10058 के रूप में भी नामित किया गया है) प्राचीन मिस्र के गणित के सबसे प्रसिद्ध उदाहरणों में से एक है। इसका नाम स्कॉटलैंड के पुरातत्ववेत्ता अलेक्जेंडर हेनरी रिहिंद के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1858 में मिस्र के लक्सर में पपीरस खरीदा था; यह स्पष्ट रूप से रामेसियम में या उसके निकट अवैध उत्खनन के समय पाया गया था। यह लगभग 1550 ईसा पूर्व का है। ब्रिटिश संग्रहालय, जहां अधिकांश पपीरस अब रखा गया है, ने 1865 में मिस्र के गणितीय लेदर रोल के साथ इसे प्राप्त कर लिया, जिसका स्वामित्व भी हेनरी रिहंड के पास था। न्यूयॉर्क शहर के ब्रुकलिन संग्रहालय में कुछ छोटे टुकड़े रखे हुए हैं और एक 18 cm केंद्रीय भाग गायब है. यह मॉस्को गणितीय पपीरस के साथ-साथ दो प्रसिद्ध गणितीय पेपिरस में से एक है। रिहंद पेपिरस मॉस्को गणितीय पेपिरस से बड़ा है, जबकि बाद वाला पुराना है।

रिहंद गणितीय पपीरस प्राचीन मिस्र के इतिहास के दूसरे मध्यवर्ती काल का है। इसे फिरौन अमेनेमहाट III (मिस्र के बारहवें राजवंश) के शासनकाल के अब लुप्त हो चुके पाठ से, लेखक फुसफुसाना (यानी, अहमोस; अहम्स एक पुराना प्रतिलेखन (भाषाविज्ञान) है जो गणित के इतिहासकारों द्वारा समर्थित है) द्वारा कॉपी किया गया था। यह मिस्र की पांडुलिपि पदानुक्रम लिपि में लिखी गई लम्बाई 33 cm है और इसमें कई भाग होते हैं, जो कुल मिलाकर इसे  5 m लंबा बनाते हैं। 19वीं सदी के अंत में पपीरस का लिप्यंतरण और गणितीय अनुवाद किया जाने लगा। गणितीय अनुवाद पहलू कई मायनों में अधूरा है। दस्तावेज़ हिक्सोस राजा अपेपी प्रथम के वर्ष 33 का है और इसमें उनके उत्तराधिकारी खमुदी की अवधि (वर्ष 11) से इसकी संभावित डेटिंग पर एक अलग बाद का ऐतिहासिक नोट भी सम्मिलित है।

पेपिरस के प्रारंभिक पैराग्राफों में, अहम्स पेपिरस को चीजों की जांच करने के लिए सटीक गणना और सभी चीजों, रहस्यों... सभी रहस्यों का ज्ञान देने के रूप में प्रस्तुत करता है। वह आगे कहता है:

<ब्लॉकउद्धरण>इस पुस्तक को ऊपरी और निचले मिस्र के राजा अवसेरे की महिमा के अंतर्गत बाढ़ के मौसम के महीने 4 के शासनकाल में, ऊपरी राजा के समय में बनाई गई एक प्राचीन प्रतिलिपि से कॉपी किया गया था। और निचला मिस्र निमात्रे। यह प्रति लेखक अहमोस ने लिखी है। 

रिहंद गणितीय पपीरस के बारे में कई किताबें और लेख प्रकाशित हुए हैं, और इनमें से कुछ प्रमुख हैं। रिहंड पेपिरस को 1923 में पीट द्वारा प्रकाशित किया गया था और इसमें ग्रिफ़िथ की पुस्तक I, II और III की रूपरेखा के बाद के पाठ की चर्चा सम्मिलित है। चेस ने 1927-29 में एक सार-संग्रह प्रकाशित किया जिसमें पाठ की तस्वीरें सम्मिलित थीं। रिहंद पपीरस का एक और हालिया अवलोकन 1987 में रॉबिन्स और शुट द्वारा प्रकाशित किया गया था।

पुस्तक I - अंकगणित और बीजगणित
रिहंद पेपिरस के पहले भाग में संदर्भ तालिकाएँ और 21 अंकगणित और 20 बीजगणितीय समस्याओं का संग्रह सम्मिलित है। समस्याएं सरल भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों से प्रारंभ होती हैं, उसके बाद पूर्णता (सेकेम) समस्याएं और अधिक सम्मिलित रैखिक समीकरण (मॉस्को गणितीय पेपिरस#अहा समस्याएं) आती हैं।

पपीरस का पहला भाग रिहंद गणितीय पपीरस 2/n तालिका द्वारा लिया गया है। 3 से 101 तक के विषम n के लिए भिन्न 2/n को मिस्री भिन्न के योग के रूप में व्यक्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, $$2/15 = 1/10 + 1/30 $$. उदाहरण के लिए, इकाई भिन्नों में 2/n का अपघटन कभी भी 4 पदों से अधिक $$2/101 = 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606$$ नहीं होता है।

इस तालिका के बाद 1 से 9 तक की संख्याओं को 10 से विभाजित करने के लिए भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों की एक बहुत छोटी, छोटी तालिका दी गई है। उदाहरण के लिए 7 से 10 का विभाजन इस प्रकार दर्ज किया गया है:
 * 7 को 10 से विभाजित करने पर 2/3 + 1/30 प्राप्त होता है

इन दो तालिकाओं के बाद, पेपिरस कुल मिलाकर 91 समस्याओं को दर्ज करता है, जिन्हें आधुनिक लोगों ने समस्या (या संख्या) 1-87 के रूप में नामित किया है, जिसमें चार अन्य आइटम भी सम्मिलित हैं जिन्हें समस्या 7b, 59b, 61b और 82b के रूप में नामित किया गया है। समस्याएँ 1-7, 7b और 8-40 अंकगणित और प्रारंभिक बीजगणित से संबंधित हैं।

समस्या 1-6 10 आदमियों द्वारा एक निश्चित संख्या में रोटियों के विभाजन की गणना करें और परिणाम को इकाई अंशों में रिकॉर्ड करें। समस्याएँ 7-20 दिखाती हैं कि भाव 1 + 1/2 + 1/4 = 7/4, और 1 + 2/3 + 1/3 = 2 को विभिन्न भिन्नों से कैसे गुणा किया जाए।

समस्याएँ 21-23 पूर्णता की समस्याएँ हैं, जो आधुनिक संकेतन में केवल घटाव की समस्याएँ हैं। समस्याएँ 24-34 अहा समस्याएँ हैं; ये रैखिक समीकरण हैं. उदाहरण के लिए, समस्या 32 (आधुनिक संकेतन में) x के लिए x + 1/3 x + 1/4 x = 2 को हल करने से मेल खाती है। समस्या 35-38 में हेकाट के विभाजन सम्मिलित हैं, जो आयतन की माप की एक प्राचीन मिस्र इकाई है। इस बिंदु से प्रारंभ होकर, पेपिरस के शेष भाग में माप की मिश्रित इकाइयाँ बहुत अधिक महत्वपूर्ण हो जाती हैं, और वास्तव में शेष पेपिरस में एक प्रमुख विचार आयामी विश्लेषण है। समस्या 39 और 40 रोटियों के विभाजन की गणना करते हैं और अंकगणितीय प्रगति का उपयोग करते हैं।

पुस्तक II - ज्यामिति
राइंड पपीरस का दूसरा भाग, समस्याएँ 41-59, 59बी और 60 होने के कारण, इसमें ज्यामिति की समस्याएँ सम्मिलित हैं। पीट ने इन समस्याओं को मासिक धर्म संबंधी समस्याएं कहा।

वॉल्यूम
समस्याएँ 41-46 दर्शाती हैं कि बेलनाकार और आयताकार दोनों प्रकार के अन्न भंडारों का आयतन कैसे ज्ञात किया जाए। समस्या 41 में अहम्स एक बेलनाकार अन्न भंडार की मात्रा की गणना करता है। व्यास d और ऊँचाई h को देखते हुए, आयतन V इस प्रकार दिया गया है:
 * $$ V = \left[\right(1-1/9\left) d\right]^2 h$$

आधुनिक गणितीय संकेतन में (और d = 2r का उपयोग करके) यह $$ V = (8/9)^2 d^2 h = (256/81) r^2 h$$ प्राप्त होता है। भिन्नात्मक पद 256/81 π के मान को 3.1605... के रूप में अनुमानित करता है, जो एक प्रतिशत से कम की त्रुटि है।

समस्या 47 भिन्नात्मक समानताओं वाली एक तालिका है जो उन दस स्थितियों का प्रतिनिधित्व करती है जहां 100 चौगुनी हेकाट की भौतिक मात्रा मात्रा को दस से एक सौ तक, दस के प्रत्येक गुणज से विभाजित किया जाता है। भागफल को होरस की आँख के अंशों के रूप में व्यक्त किया जाता है, कभी-कभी आयतन की एक बहुत छोटी इकाई का उपयोग भी किया जाता है जिसे चौगुनी आरओ के रूप में जाना जाता है। चौगुनी हेकाट और चौगुनी आरओ सरल हेकाट और आरओ से प्राप्त आयतन की इकाइयाँ हैं, जैसे कि आयतन की ये चार इकाइयाँ निम्नलिखित संबंधों को संतुष्ट करती हैं: 1 चौगुनी हेकाट = 4 हेकाट = 1280 आरओ = 320 चौगुनी ro। इस प्रकार,


 * 100/10 चौगुना हेकाट = 10 चौगुना हेकाट
 * 100/20 चौगुना हेकाट = 5 चौगुना हेकाट
 * 100/30 चौगुना हेकाट = (3 + 1/4 + 1/16 + 1/64) चौगुना हेकाट + (1 + 2/3) चौगुना ro
 * 100/40 चौगुना हेकाट = (2 + 1/2) चौगुना हेकाट
 * 100/50 चौगुना हेकाट = 2 चौगुना हेकाट
 * 100/60 चौगुना हेकाट = (1 + 1/2 + 1/8 + 1/32) चौगुना हेकाट + (3 + 1/3) चौगुना आरओ
 * 100/70 चौगुना हेकाट = (1 + 1/4 + 1/8 + 1/32 + 1/64) चौगुना हेकाट + (2 + 1/14 + 1/21 + 1/42) चौगुना आरओ
 * 100/80 चौगुना हेकाट = (1 + 1/4) चौगुना हेकाट
 * 100/90 चौगुना हेकाट = (1 + 1/16 + 1/32 + 1/64) चौगुना हेकाट + (1/2 + 1/18) चौगुना आरओ
 * 100/100 चौगुना हेकाट = 1 चौगुना हेकाट

क्षेत्र
समस्याएँ 48-55 दिखाती हैं कि क्षेत्रों के वर्गीकरण की गणना कैसे करें। समस्या 48 इस मायने में उल्लेखनीय है कि यह Pi|π का अनुमान लगाकर डिस्क के क्षेत्रफल की संक्षेप में गणना करती है। विशेष रूप से, समस्या 48 स्पष्ट रूप से इस परंपरा को पुष्ट करती है (ज्यामिति अनुभाग में प्रयुक्त) कि एक वृत्त का क्षेत्रफल 64/81 के अनुपात में उसके परिबद्ध वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर होता है। समान रूप से, पपीरस π को 256/81 के रूप में अनुमानित करता है, जैसा कि समस्या 41 के स्पष्टीकरण में पहले ही ऊपर उल्लेख किया गया था।

अन्य समस्याएं दिखाती हैं कि आयतों, त्रिभुजों और समलम्ब चतुर्भुजों का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए।

पिरामिड
अंतिम छह समस्याएं पिरामिडों की ढलानों से संबंधित हैं। दूसरी समस्या इस प्रकार बताई गई है: : यदि एक पिरामिड 250 हाथ ऊंचा है और उसके आधार की भुजा 360 हाथ लंबी है, तो उसका रहस्य क्या है?

समस्या का समाधान पिरामिड के आधार के आधे भाग और उसकी ऊंचाई के अनुपात या उसके चेहरे के रन-टू-राइज़ अनुपात के रूप में दिया गया है। दूसरे शब्दों में, सेकेड के लिए पाई गई मात्रा पिरामिड के आधार और उसके चेहरे के कोण का कोटैंजेंट है।

पुस्तक III - विविध
रिहंद पपीरस के तीसरे भाग में शेष 91 समस्याएं सम्मिलित हैं, जो 61, 61बी, 62-82, 82बी, 83-84, और संख्या 85-87 हैं, जो ऐसी वस्तुएं हैं जो प्रकृति में गणितीय नहीं हैं। इस अंतिम खंड में डेटा की अधिक जटिल तालिकाएँ सम्मिलित हैं (जिसमें अधिकांशतः होरस नेत्र अंश सम्मिलित होते हैं), कई पेफ़्सू समस्याएं जो भोजन की तैयारी से संबंधित प्राथमिक बीजगणितीय समस्याएं हैं, और यहां तक ​​​​कि एक मनोरंजक समस्या (79) जो ज्यामितीय प्रगति, ज्यामितीय श्रृंखला और निश्चित का संकेत देती है इतिहास में बाद की समस्याएँ और पहेलियाँ। समस्या 79 स्पष्ट रूप से उद्धृत करती है, सात घर, 49 बिल्लियाँ, 343 चूहे, 2401 वर्तनी के कान, 16807 हेकाट। विशेष रूप से समस्या 79 एक ऐसी स्थिति से संबंधित है जिसमें 7 घरों में से प्रत्येक में सात बिल्लियाँ हैं, जो सभी सात चूहे खाती हैं, जिनमें से प्रत्येक ने सात बाल अनाज खाया होगा, जिनमें से प्रत्येक ने सात माप अनाज उत्पन किया होगा। रिहंद पपीरस का तीसरा भाग इसलिए एक प्रकार का विविध है, जो पहले ही प्रस्तुत किया जा चुका है।

समस्या 61 भिन्नों के गुणन से संबंधित है। इस बीच, समस्या 61बी, 1/एन के 2/3 की गणना के लिए एक सामान्य अभिव्यक्ति देती है, जहां एन विषम है। आधुनिक संकेतन में सूत्र दिया गया है
 * $$ \frac{2}{3n} = \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n} $$

61b में दी गई तकनीक 2/n तालिका की व्युत्पत्ति से निकटता से संबंधित है।

समस्याएँ 62-68 बीजगणितीय प्रकृति की सामान्य समस्याएँ हैं। समस्याएँ 69-78 किसी न किसी रूप में सभी पेफ़सू समस्याएँ हैं। इनमें ब्रेड और बीयर की ताकत के साथ-साथ उनके उत्पादन में उपयोग किए जाने वाले कुछ कच्चे माल के संबंध में गणना सम्मिलित है।

समस्या 79 में ज्यामितीय अनुक्रम में पाँच पदों का योग है। इसकी भाषा दृढ़ता से अधिक आधुनिक पहेली और नर्सरी कविता का संकेत देती है क्योंकि मैं सेंट इवेस जा रहा था। समस्याएँ 80 और 81 हिनू (या हेकैट्स) के होरस नेत्र अंशों की गणना करती हैं। अंतिम चार गणितीय आइटम, समस्या 82, 82b और 83-84, मुर्गी और बैल जैसे विभिन्न जानवरों के लिए आवश्यक फ़ीड की मात्रा की गणना करते हैं। चुकीं, ये समस्याएँ, विशेष रूप से 84, व्यापक अस्पष्टता, भ्रम और सरल अशुद्धि से ग्रस्त हैं।

राइंड पपीरस पर अंतिम तीन वस्तुओं को समस्याओं के विपरीत संख्या 85-87 के रूप में निर्दिष्ट किया गया है, और वे पपीरस के पीछे की ओर, या इसके विपरीत, व्यापक रूप से बिखरे हुए हैं। वे, क्रमशः, एक छोटा वाक्यांश हैं जो दस्तावेज़ को समाप्त करता है (और अनुवाद के लिए कुछ संभावनाएं हैं, नीचे दी गई हैं), दस्तावेज़ के मुख्य भाग से असंबंधित स्क्रैप पेपर का एक टुकड़ा, जिसका उपयोग इसे एक साथ रखने के लिए किया जाता है (फिर भी इसमें शब्द और मिस्र के अंश सम्मिलित हैं) जो अब तक दस्तावेज़ के पाठक से परिचित हैं), और एक छोटा ऐतिहासिक नोट जिसके बारे में माना जाता है कि इसे पपीरस के लेखन के पूरा होने के कुछ समय बाद लिखा गया था। ऐसा माना जाता है कि यह नोट हिक्सोस वर्चस्व के समय की घटनाओं का वर्णन करता है, जो प्राचीन मिस्र के समाज में बाहरी रुकावट की अवधि थी जो इसके दूसरे मध्यस्थ काल से निकटता से संबंधित है। इन गैर-गणितीय लेकिन ऐतिहासिक और भाषाशास्त्रीय रूप से दिलचस्प इरेटा के साथ, पेपिरस का लेखन समाप्त हो जाता है।

इकाई अनुरूपता
रिहंद पपीरस की अधिकांश सामग्री माप की प्राचीन मिस्र इकाइयों और विशेष रूप से उनके बीच रूपांतरण के लिए उपयोग किए जाने वाले आयामी विश्लेषण से संबंधित है। पेपिरस में उपयोग की जाने वाली माप की इकाइयों का एक संयोजन छवि में दिया गया है।



सामग्री
यह तालिका एक संक्षिप्त आधुनिक व्याख्या के माध्यम से रिहंद पपीरस की सामग्री का सारांश प्रस्तुत करती है। यह पपीरस की दो-खंड प्रदर्शनी पर आधारित है जिसे 1927 में अर्नोल्ड बफम चेस और 1929 में प्रकाशित किया गया था। सामान्य तौर पर, पपीरस में चार खंड होते हैं: एक शीर्षक पृष्ठ, 2/n तालिका, एक छोटी 1-9/10 तालिका, और 91 समस्याएं, या संख्याएं। उत्तरार्द्ध को 1 से 87 तक क्रमांकित किया गया है और इसमें चार गणितीय आइटम सम्मिलित हैं जिन्हें आधुनिक लोगों द्वारा समस्या 7b, 59b, 61b और 82b के रूप में नामित किया गया है। इस बीच, संख्या 85-87, दस्तावेज़ के मुख्य भाग का भाग बनने वाली गणितीय वस्तुएं नहीं हैं, बल्कि इसके अतिरिक्त क्रमशः हैं: दस्तावेज़ को समाप्त करने वाला एक छोटा वाक्यांश, दस्तावेज़ को एक साथ रखने के लिए प्रयोग किया जाने वाला स्क्रैप-पेपर का एक टुकड़ा (जिसमें पहले से ही असंबंधित लेखन सम्मिलित है) ), और एक ऐतिहासिक नोट जो पपीरस के शरीर के पूरा होने के तुरंत बाद की समय अवधि का वर्णन करता है। ये तीन उत्तरार्द्ध आइटम पपीरस के सही या गलत (पीछे की ओर) के असमान क्षेत्रों पर लिखे गए हैं, जो गणितीय सामग्री से बहुत दूर हैं। इसलिए चेस अन्य 88 क्रमांकित वस्तुओं की तरह, उन्हें समस्याओं के विपरीत संख्याओं के रूप में स्टाइल करके अलग करता है।

यह भी देखें

 * प्राचीन मिस्र के पपीरी की सूची
 * अखमीम लकड़ी की गोली
 * प्राचीन मिस्र की माप की इकाइयाँ
 * चूँकि मैं सेंट इवेस जा रहा था
 * बर्लिन पेपिरस 6619
 * गणित का इतिहास
 * लहुन गणितीय पपीरी