आयताकार संभावित अवरोध

क्वांटम यांत्रिकी में, आयताकार (या, कभी-कभी, वर्गाकार) संभावित अवरोध एक मानक एक-आयामी समस्या है जो क्वांटम टनलिंग | वेव-मैकेनिकल टनलिंग (जिसे क्वांटम टनलिंग भी कहा जाता है) और तरंग-मैकेनिकल प्रतिबिंब की घटना को प्रदर्शित करता है। समस्या में एक आयताकार संभावित ऊर्जा अवरोध का सामना करने वाले कण के लिए एक-आयामी समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण को हल करना शामिल है। जैसा कि यहां है, आमतौर पर यह माना जाता है कि एक मुक्त कण बाईं ओर से अवरोध से टकराता है।

हालाँकि शास्त्रीय रूप से एक बिंदु द्रव्यमान के रूप में व्यवहार करने वाला कण परावर्तित होगा यदि उसकी ऊर्जा इससे कम है $V_0$, वास्तव में पदार्थ की तरंग के रूप में व्यवहार करने वाले एक कण की बाधा को भेदने और दूसरी ओर तरंग के रूप में अपनी यात्रा जारी रखने की गैर-शून्य संभावना होती है। शास्त्रीय तरंग-भौतिकी में, इस प्रभाव को अपवर्तक तरंग युग्मन के रूप में जाना जाता है। कण के अवरोध से गुजरने की संभावना संचरण गुणांक द्वारा दी जाती है, जबकि इसके परावर्तित होने की संभावना परावर्तन गुणांक द्वारा दी जाती है। श्रोडिंगर समीकरण|श्रोडिंगर का तरंग-समीकरण इन गुणांकों की गणना करने की अनुमति देता है।

गणना
तरंग फलन के लिए समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण $$\psi(x)$$ पढ़ता $$\hat H\psi(x)=\left[-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2}+V(x)\right]\psi(x)=E\psi(x)$$ कहाँ $$\hat H$$ हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) है, $$\hbar$$ (कम) है प्लैंक स्थिरांक, $$m$$ द्रव्यमान है, $$E$$ कण की ऊर्जा और $$V(x) = V_0[\Theta(x)-\Theta(x-a)]$$ ऊँचाई के साथ अवरोध क्षमता है $$V_0 > 0$$ और चौड़ाई $$a$$. $$\Theta(x)=0,\; x < 0;\; \Theta(x)=1,\; x > 0$$ हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन है, यानी, $$V(x)= \begin{cases} 0 &\text{if } x < 0 \\ V_0 &\text{if } 0 < x < a \\ 0 &\text{if } a < x \end{cases}$$ अवरोध बीच में स्थित है $$x=0$$ और $$x=a$$. बैरियर को किसी पर भी स्थानांतरित किया जा सकता है $$x$$ परिणाम बदले बिना स्थिति. हैमिल्टनियन में पहला शब्द, $-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2}\psi$ गतिज ऊर्जा है.

बैरियर अंतरिक्ष को तीन भागों में विभाजित करता है ($$x<0, 0a$$). इनमें से किसी भी भाग में, क्षमता स्थिर है, जिसका अर्थ है कि कण अर्ध-मुक्त है, और श्रोडिंगर समीकरण का समाधान बाएं और दाएं चलती तरंगों के क्वांटम सुपरइम्पोज़िशन  के रूप में लिखा जा सकता है (मुक्त कण देखें)। अगर $$E > V_0$$ $$\begin{cases} \psi_L(x) = A_r e^{i k_0 x} + A_l e^{-i k_0x} & x<0 \\ \psi_C(x) = B_r e^{i k_1 x} + B_l e^{-i k_1x} & 0a \end{cases}$$ जहां तरंग संख्याएं ऊर्जा से संबंधित होती हैं $$\begin{cases} k_0 = \sqrt{2m E/\hbar^2} & x<0 \quad \text{or}\quad x>a \\ k_1 = \sqrt{2m (E-V_0)/\hbar^2} & 0<x<a. \end{cases}$$ अनुक्रमणिका $$r/l$$ गुणांकों पर $$A$$ और $$B$$ वेग वेक्टर की दिशा को दर्शाता है। ध्यान दें, यदि कण की ऊर्जा अवरोध ऊंचाई से नीचे है, $$k_1$$ काल्पनिक हो जाता है और तरंग फ़ंक्शन बाधा के भीतर तेजी से क्षय हो रहा है। फिर भी, हम नोटेशन रखते हैं $$r/l$$ भले ही इस मामले में लहरें अब फैल नहीं रही हैं। यहां हमने मान लिया $$E\neq V_0$$. मामला $$E = V_0$$ नीचे इलाज किया गया है.

गुणांक $$A, B, C$$ तरंग फ़ंक्शन की सीमा स्थितियों से पाया जाना है $$x=0$$ और $$x=a$$. तरंग फ़ंक्शन और उसके व्युत्पन्न को हर जगह निरंतर कार्य करना पड़ता है, इसलिए $$\begin{align} \psi_L(0) &= \psi_C(0) \\ \left.\frac{d\psi_L}{dx}\right|_{x = 0} &= \left.\frac{d\psi_C}{dx}\right|_{x = 0} \\ \psi_C(a) &= \psi_R(a) \\ \left.\frac{d\psi_C}{dx}\right|_{x = a} &= \left.\frac{d\psi_R}{dx}\right|_{x = a}. \end{align}$$ तरंग कार्यों को सम्मिलित करते हुए, सीमा स्थितियाँ गुणांकों पर निम्नलिखित प्रतिबंध देती हैं

$$A_r+A_l=B_r+B_l$$ $$ik_0(A_r-A_l)=ik_1(B_r-B_l)$$ $$B_re^{iak_1}+B_le^{-iak_1} = C_re^{iak_0}+C_le^{-iak_0}$$ $$ik_1 \left(B_re^{iak_1}-B_le^{-iak_1}\right) = ik_0 \left(C_re^{iak_0}-C_le^{-iak_0}\right).$$

ई = सी0
यदि ऊर्जा बाधा ऊंचाई के बराबर है, तो बाधा क्षेत्र के अंदर तरंग फ़ंक्शन का दूसरा अंतर 0 है, और इसलिए श्रोडिंगर समीकरण के समाधान अब घातीय नहीं हैं बल्कि अंतरिक्ष समन्वय के रैखिक कार्य हैं

$$\psi_C(x)= B_1 + B_2 x \quad 0<x<a. $$ श्रोडिंगर समीकरण का पूरा समाधान ऊपर की तरह ही तरंग कार्यों और उनके डेरिवेटिव के मिलान से पाया जाता है $$x=0$$ और $$x=a$$. इसके परिणामस्वरूप गुणांकों पर निम्नलिखित प्रतिबंध लगते हैं:

$$A_r + A_l = B_1$$ $$i k_0(A_r-A_l) = B_2$$ $$B_1 + B_2a = C_r e^{iak_0}+C_l e^{-iak_0}$$ $$B_2 = i k_0 \left(C_r e^{iak_0}-C_l e^{-iak_0} \right).$$

संचरण और प्रतिबिंब
इस बिंदु पर, स्थिति की तुलना शास्त्रीय मामले से करना शिक्षाप्रद है। दोनों ही मामलों में, कण अवरोध क्षेत्र के बाहर एक मुक्त कण के रूप में व्यवहार करता है। ऊर्जा वाला एक शास्त्रीय कण $$E$$ बैरियर की ऊंचाई से बड़ा $$V_0$$ हमेशा बाधा पार करेगा, और एक शास्त्रीय कण के साथ $$E < V_0$$ बैरियर पर घटना हमेशा प्रतिबिंबित होती रहेगी।

क्वांटम मामले का अध्ययन करने के लिए, निम्नलिखित स्थिति पर विचार करें: बाईं ओर से बाधा पर एक कण घटना ($A_r$). यह प्रतिबिंबित हो सकता है ($A_l$) या प्रसारित ($C_r$).

बाईं ओर से आपतन के लिए परावर्तन और संचरण के आयाम खोजने के लिए, हम उपरोक्त समीकरण डालते हैं $$A_r = 1$$ (आने वाला कण), $$A_l = r$$ (प्रतिबिंब), $$C_l = 0$$ (दाहिनी ओर से कोई आने वाला कण नहीं), और $$C_r = t$$ (ट्रांसमिशन)। फिर हम गुणांकों को हटा देते हैं $$B_l, B_r$$ समीकरण से और हल करें $$r$$ और $t$.

परिणाम है:

$$t=\frac{4 k_0k_1 e^{-i a(k_0-k_1)}}{(k_0+k_1)^2-e^{2ia k_1}(k_0-k_1)^2}$$ $$r=\frac{(k_0^2-k_1^2)\sin(ak_1)}{2 i k_0k_1 \cos(ak_1)+(k_0^2+k_1^2)\sin(ak_1)}.$$ मॉडल की दर्पण समरूपता के कारण, दाईं ओर से आपतन के आयाम बाईं ओर से समान हैं। ध्यान दें कि ये अभिव्यक्तियाँ किसी भी ऊर्जा के लिए मान्य हैं $E > 0$, $E \neq V_0$. अगर $E = V_0$, तब $k_1 = 0$, अत: इन दोनों भावों में एक विलक्षणता है।

ई <सी0
आश्चर्यजनक परिणाम यह है कि अवरोध ऊंचाई से कम ऊर्जा के लिए, $$E < V_0$$ एक गैर-शून्य संभावना है $$T=|t|^2= \frac{1}{1+\frac{V_0^2\sinh^2(k_1 a)}{4E(V_0-E)}}$$ कण को ​​अवरोध के माध्यम से प्रसारित करने के लिए, साथ $k_1=\sqrt{2m (V_0-E)/\hbar^{2}}$ .|undefined यह प्रभाव, जो शास्त्रीय मामले से भिन्न है, क्वांटम टनलिंग कहलाता है। संचरण को बाधा चौड़ाई के साथ तेजी से दबाया जाता है, जिसे तरंग फ़ंक्शन के कार्यात्मक रूप से समझा जा सकता है: बाधा के बाहर यह तरंग वेक्टर के साथ दोलन करता है $k_0$, जबकि बैरियर के भीतर यह कुछ दूरी पर तेजी से नम हो जाता है $1/k_1$. यदि अवरोध इस क्षय लंबाई से अधिक चौड़ा है, तो बाएँ और दाएँ भाग वस्तुतः स्वतंत्र होते हैं और परिणामस्वरूप सुरंग बनाना दब जाता है।

ई > सी0
इस मामले में $$T=|t|^2= \frac{1}{1+\frac{V_0^2\sin^2(k_1 a)}{4E(E-V_0)}},$$ कहाँ $k_1=\sqrt{2m (E-V_0)/\hbar^2}$.

उतना ही आश्चर्य की बात यह है कि अवरोध की ऊँचाई से बड़ी ऊर्जाओं के लिए, $$E > V_0$$, कण गैर-शून्य संभावना के साथ अवरोध से प्रतिबिंबित हो सकता है $$R=|r|^2=1-T.$$ संचरण और परावर्तन संभावनाएँ वास्तव में दोलन कर रही हैं $$k_1 a$$. बिना किसी प्रतिबिंब के पूर्ण संचरण का शास्त्रीय परिणाम ($$T = 1$$, $$R = 0$$) न केवल उच्च ऊर्जा की सीमा में पुनरुत्पादित होता है $$E \gg V_0$$ लेकिन तब भी जब ऊर्जा और अवरोध की चौड़ाई संतुष्ट हो $$k_1 a = n \pi$$, कहाँ $$n = 1, 2, \dots$$ (निकट चोटियाँ देखें $$E / V_0 = 1.2 $$ और उपरोक्त चित्र में 1.8)। ध्यान दें कि लिखी गई संभावनाएं और आयाम किसी भी ऊर्जा (ऊपर/नीचे) बाधा ऊंचाई के लिए हैं।

ई = सी0
पर संचरण संभावना $$E=V_0$$ है $$T=\frac{1}{1+ma^2V_0/2\hbar^2}.$$ यह अभिव्यक्ति अन्य मामलों के लिए बताए गए स्थिरांक Rectangular_potential_barrier#E_=_V0 से संचरण गुणांक की गणना करके या की सीमा लेकर प्राप्त की जा सकती है $$T$$ जैसा $$E$$ दृष्टिकोण $$V_0$$. इस प्रयोजन के लिए अनुपात

$$x = \frac{E}{V_0}$$ परिभाषित किया गया है, जिसका उपयोग फ़ंक्शन में किया जाता है $$f(x)$$:

$$f(x) = \frac{sinh(v_0\sqrt{1-x})}{\sqrt{1-x}}$$ आखिरी समीकरण में $$v_0$$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$v_0 = \sqrt{\frac{2mV_0a^2}{\hbar^2}}$$ इन परिभाषाओं को अभिव्यक्ति में डाला जा सकता है $$T$$ जो केस के लिए प्राप्त किया गया था $$E<V_0$$.

$$T(x) = \frac{1}{1+\frac{f(x)^2}{4x}}$$ अब, किसी फ़ंक्शन की सीमा की गणना करते समय $$f(x)$$ जैसे-जैसे x 1 की ओर बढ़ता है (L'Hôpital के नियम का उपयोग करते हुए),

$$\lim_{x \to 1} f(x)= \lim_{x \to 1} \frac{sinh(v_0\sqrt{1-x})}{(1-x)} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{dx}sinh(v_0\sqrt{1-x})}{\frac{d}{dx}\sqrt{1-x}} = v_0cosh(0) = v_0$$ की सीमा भी $$T(x)$$ जैसा $$x$$ दृष्टिकोण 1 प्राप्त किया जा सकता है:

$$\lim_{x \to 1} T(x)=\lim_{x \to 1} \frac{1}{1+\frac{f(x)^2}{4x}} = \frac{1}{1+\frac{v_0^2}{4}} $$ उपरोक्त अभिव्यक्ति को प्लग इन करके $$v_0$$ सीमा के लिए मूल्यांकित मूल्य में, टी के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति सफलतापूर्वक पुन: प्रस्तुत की गई है।

टिप्पणियाँ और आवेदन
ऊपर प्रस्तुत गणना पहली बार में अवास्तविक और शायद ही उपयोगी लग सकती है। हालाँकि यह विभिन्न वास्तविक जीवन प्रणालियों के लिए एक उपयुक्त मॉडल साबित हुआ है। ऐसा एक उदाहरण दो विद्युत चालकता सामग्रियों के बीच इंटरफेस है। अधिकांश सामग्रियों में, इलेक्ट्रॉनों की गति अर्ध-मुक्त होती है और इसे प्रभावी द्रव्यमान (ठोस-अवस्था भौतिकी) के साथ उपरोक्त हैमिल्टनियन में गतिज शब्द द्वारा वर्णित किया जा सकता है। $$m$$. अक्सर ऐसी सामग्रियों की सतहें ऑक्साइड परतों से ढकी होती हैं या अन्य कारणों से आदर्श नहीं होती हैं। इस पतली, गैर-संवाहक परत को ऊपर बताए अनुसार अवरोध क्षमता द्वारा मॉडल किया जा सकता है। फिर इलेक्ट्रॉन एक पदार्थ से दूसरे पदार्थ तक सुरंग बना सकते हैं, जिससे करंट उत्पन्न होता है।

स्कैनिंग टनलिंग माइक्रोस्कोप (एसटीएम) का संचालन इस टनलिंग प्रभाव पर निर्भर करता है। उस स्थिति में, बाधा एसटीएम की नोक और अंतर्निहित वस्तु के बीच के अंतर के कारण होती है। चूंकि सुरंग का प्रवाह बाधा की चौड़ाई पर तेजी से निर्भर करता है, इसलिए यह उपकरण जांचे गए नमूने पर ऊंचाई भिन्नता के प्रति बेहद संवेदनशील है।

उपरोक्त मॉडल एक-आयामी है, जबकि अंतरिक्ष त्रि-आयामी है। श्रोडिंगर समीकरण को तीन आयामों में हल करना चाहिए। दूसरी ओर, कई प्रणालियाँ केवल एक समन्वय दिशा में बदलती हैं और दूसरों के साथ अनुवादात्मक रूप से अपरिवर्तनीय होती हैं; वे चरों का पृथक्करण हैं। श्रोडिंगर समीकरण को इस प्रकार के तरंग फ़ंक्शन के लिए एक एन्सैट्ज़ द्वारा यहां विचार किए गए मामले में कम किया जा सकता है: $$\Psi(x,y,z)=\psi(x)\phi(y,z)$$.

बाधा के दूसरे संबंधित मॉडल के लिए, डेल्टा संभावित बाधा (क्यूएम) देखें, जिसे परिमित संभावित बाधा का एक विशेष मामला माना जा सकता है। इस आलेख के सभी परिणाम तुरंत सीमाएं लेकर डेल्टा संभावित बाधा पर लागू होते हैं $$V_0\to\infty,\; a\to 0$$ रखते समय $$V_0 a = \lambda$$ नियत।

यह भी देखें

 * मोर्स/लंबी दूरी की क्षमता
 * कदम क्षमता
 * सीमित क्षमता अच्छी तरह से
 * पाउली अपवर्जन सिद्धांत