प्रतीकात्मक गतिशीलता

गणित में, प्रतीकात्मक गतिशीलता असतत स्थान द्वारा टोपोलॉजिकल या चिकनी गतिशील प्रणाली को मॉडलिंग करने का अभ्यास है जिसमें अमूर्त प्रतीकों के अनंत अनुक्रम होते हैं, जिनमें से प्रत्येक शिफ्ट ऑपरेटर द्वारा दी गई गतिशीलता (विकास) के साथ पद्धति की स्थिति से मेल खाता है। इस प्रकार औपचारिक रूप से, मार्कोव विभाजन का उपयोग सुचारू प्रणाली के लिए सीमित आवरण प्रदान करने के लिए किया जाता है; कवर का प्रत्येक समूह एकल प्रतीक के साथ जुड़ा हुआ है, और प्रतीकों के अनुक्रम के परिणामस्वरूप पद्धति का प्रक्षेपवक्र कवरिंग समूह से दूसरे तक चलता है।

इतिहास
यह विचार नकारात्मक वक्रता की सतहों पर भू-भौतिकी पर जैक्स हैडामर्ड के सत्र 1898 के पेपर पर आधारित है। इस प्रकार इसे सत्र 1921 में मार्स्टन मोर्स द्वारा गैर-आवधिक आवर्ती जियोडेसिक के निर्माण के लिए प्रयुक्त किया गया था। संबंधित कार्य सत्र 1924 में एमिल आर्टिन द्वारा किया गया था (पद्धति के लिए जिसे वर्तमान आर्टिन बिलियर्ड्स कहा जाता है), पेक्का मायरबर्ग, पॉल कोबे, जैकब नीलसन (गणितज्ञ), जी ए हेडलंड।

पहला औपचारिक उपचार मोर्स और हेडलंड ने अपने सत्र 1938 के पेपर में विकसित किया था। इस प्रकार जॉर्ज बिरखॉफ़, नॉर्मन लेविंसन और जोड़ी मैरी कार्टराईट और जे. ई. लिटिलवुड ने गैर-स्वायत्त दूसरे क्रम के अंतर समीकरणों के गुणात्मक विश्लेषण के लिए समान तरीकों को प्रयुक्त किया है।

क्लाउड शैनन ने अपने सत्र 1948 के पेपर संचार के गणितीय सिद्धांत में प्रतीकात्मक अनुक्रमों और परिमित प्रकार के बदलाव का उपयोग किया जिसने सूचना सिद्धांत को जन्म दिया।

सत्र 1960 के दशक के उत्तरार्ध के समय रॉय एडलर और बेंजामिन वीस द्वारा हाइपरबोलिक टोरल ऑटोमोर्फिज्म के लिए प्रतीकात्मक गतिशीलता की पद्धति विकसित की गई थी, और याकोव सिनाई द्वारा एनोसोव भिन्नता के लिए जिन्होंने गिब्स उपायों के निर्माण के लिए प्रतीकात्मक मॉडल का उपयोग किया था। इस प्रकार 1970 के दशक की शुरुआत में इस सिद्धांत को मरीना रैटनर द्वारा एनोसोव प्रवाह तक और रूफस बोवेन द्वारा एक्सिओम ए डिफियोमोर्फिज्म और प्रवाह तक विस्तारित किया गया था।

प्रतीकात्मक गतिशीलता के तरीकों का शानदार अनुप्रयोग अंतराल के निरंतर मानचित्र की आवधिक कक्षाओं के बारे में शारकोव्स्की (1964) का प्रमेय है।

उदाहरण
हेटरोक्लिनिक कक्षाएँ और होमोक्लिनिक कक्षाएँ जैसी अवधारणाओं का प्रतीकात्मक गतिशीलता में विशेष रूप से सरल प्रतिनिधित्व है।

यात्रा कार्यक्रम
विभाजन के संबंध में बिंदु का यात्रा कार्यक्रम प्रतीकों का क्रम है। यह बिंदु की गतिशीलता का वर्णन करता है।

अनुप्रयोग
प्रतीकात्मक गतिशीलता की उत्पत्ति सामान्य गतिशील प्रणालियों का अध्ययन करने की विधि के रूप में हुई; वर्तमान इसकी विधियों और विचारों को डेटा भंडारण उपकरण और डेटा ट्रांसमिशन, रैखिक बीजगणित, ग्रहों की गति और अनेक अन्य क्षेत्रों में महत्वपूर्ण अनुप्रयोग मिल गए हैं। इस प्रकार प्रतीकात्मक गतिशीलता में विशिष्ट विशेषता यह है कि समय को भिन्न-भिन्न समय अंतरालों में मापा जाता है। इसलिए प्रत्येक समय अंतराल पर पद्धति एक विशेष स्थिति में होता है। प्रत्येक राज्य प्रतीक के साथ जुड़ा हुआ है और पद्धतिके विकास को प्रतीकों के अनंत अनुक्रम द्वारा वर्णित किया गया है - जिसे स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान) के रूप में प्रभावी ढंग से दर्शाया गया है। इस प्रकार यदि पद्धति की स्थिति स्वाभाविक रूप से भिन्न नहीं है, तो पद्धति का मोटे तौर पर विवरण प्राप्त करने के लिए राज्य वेक्टर को अलग किया जाना चाहिए।

यह भी देखें

 * उपाय-संरक्षण गतिशील प्रणाली
 * कॉम्बिनेटरिक्स और डायनेमिक सिस्टम
 * स्थान बदलें
 * परिमित प्रकार का बदलाव
 * समष्टि गतिशीलता
 * अंकगणितीय गतिशीलता

अग्रिम पठन

 * ब्रूस किचन, प्रतीकात्मक गतिशीलता। एक तरफा, दो तरफा और गणनीय राज्य मार्कोव बदलाव। यूनिवर्सिटेक्ट, स्प्रिंगर-वेरलाग, बर्लिन, 1998. x+252 pp. ISBN 3-540-62738-3
 * जी. ए. हेडलंड, शिफ्ट डायनामिकल पद्धतिकी एंडोमोर्फिज्म और ऑटोमोर्फिज्म. गणित। पद्धतिसिद्धांत, Vol. 3, No. 4 (1969) 320–3751
 * जी. ए. हेडलंड, शिफ्ट डायनामिकल पद्धतिकी एंडोमोर्फिज्म और ऑटोमोर्फिज्म. गणित। पद्धतिसिद्धांत, Vol. 3, No. 4 (1969) 320–3751
 * जी. ए. हेडलंड, शिफ्ट डायनामिकल पद्धतिकी एंडोमोर्फिज्म और ऑटोमोर्फिज्म. गणित। पद्धतिसिद्धांत, Vol. 3, No. 4 (1969) 320–3751

बाहरी संबंध

 * ChaosBook.org अध्याय "संक्रमण ग्राफ़"
 * कैओस वी: ड्यूहेम्स बुल से तीन-बम्पर बिलियर्ड प्रणाली और इसकी प्रतीकात्मक गतिशीलता का अनुकरण