नॉनफर्स्टऑर्डरिज़ेबिलिटी

औपचारिक तर्क में, नॉनफर्स्टऑर्डरिज़ेबिलिटी प्राकृतिक भाषा के कथन को प्रथम-क्रम तर्क के सूत्र द्वारा पर्याप्त रूप से पकड़ने में असमर्थता है। विशेष रूप से, यदि कोई प्रथम-क्रम तर्क का कोई सूत्र नहीं है, जो एक मॉडल सिद्धांत में सत्य है, तो एक कथन गैर-प्रथम-आदेश योग्य है, यदि और केवल तभी जब कथन उस मॉडल में लागू होता है। गैर-प्रथम-आदेश योग्य कथनों को कभी-कभी साक्ष्य के रूप में प्रस्तुत किया जाता है कि प्राकृतिक भाषा में अर्थ की बारीकियों को पकड़ने के लिए प्रथम-क्रम तर्क पर्याप्त नहीं है।

यह शब्द जॉर्ज बूलोस ने अपने पेपर टू बी इज टू बी ए वैल्यू ऑफ ए वेरिएबल (या टू बी सम वैल्यूज ऑफ सम वेरिएबल्स) में गढ़ा था। क्विन ने तर्क दिया कि ऐसे वाक्यों में दूसरे क्रम के तर्क|दूसरे क्रम के प्रतीकीकरण की आवश्यकता होती है, जिसे पहले क्रम के क्वांटिफायर के उपयोग के समान डोमेन पर बहुवचन परिमाणीकरण के रूप में व्याख्या किया जा सकता है, अलग दूसरे क्रम की वस्तुओं (संपत्ति (गणित), सेट) के अनुमान के बिना, वगैरह।)।

गीच-कपलान वाक्य
एक मानक उदाहरण पीटर गीच-डेविड कपलान (दार्शनिक) वाक्य है: कुछ आलोचक केवल एक दूसरे की प्रशंसा करते हैं। यदि Axy का मतलब यह समझा जाता है कि x, y की प्रशंसा करता है, और प्रवचन का ब्रह्मांड सभी आलोचकों का समूह है, तो वाक्य का दूसरे क्रम के तर्क में एक उचित अनुवाद है: $$\exists X ( \exists x,y (Xx \land Xy \land Axy) \land \exists x \neg Xx \land \forall x\, \forall y (Xx \land Axy \rightarrow Xy))$$ इस सूत्र का कोई प्रथम-क्रम समकक्ष नहीं है, इसे अंकगणित की भाषा में सूत्र में बदलकर देखा जा सकता है। Axy के लिए सूत्र (y = x + 1 v x = y + 1) रखें। परिणाम, $$\exists X ( \exists x,y (Xx \land Xy \land (y = x + 1 \lor x = y + 1)) \land \exists x \neg Xx \land \forall x\, \forall y (Xx \land (y = x + 1 \lor x = y + 1) \rightarrow Xy))$$ बताता है कि एक सेट है $X$ इन गुणों के साथ: अंकगणित के औपचारिक सिद्धांत का एक मॉडल, जैसे कि पीनो एक्सिओम्स#पीनो अंकगणित प्रथम-क्रम सिद्धांत के रूप में|प्रथम-क्रम पीनो अंकगणित, को मानक कहा जाता है यदि इसमें केवल परिचित प्राकृतिक संख्याएँ शामिल हों $x + 1$तत्वों के रूप में। मॉडल को अंकगणित का गैर-मानक मॉडल कहा जाता है|अन्यथा गैर-मानक। इसलिए, ऊपर दिया गया सूत्र केवल गैर-मानक मॉडल में सत्य है, क्योंकि, मानक मॉडल में, सेट $X$ में सभी उपलब्ध नंबर होने चाहिए $x - 1$. इसके अलावा एक सेट भी है $X$ प्रत्येक गैर-मानक मॉडल में सूत्र को संतुष्ट करना।
 * इसमें कम से कम दो संख्याएँ हैं $X$
 * एक संख्या है जो संबंधित नहीं है $x$, अर्थात। $X$ में सभी संख्याएँ शामिल नहीं हैं.
 * यदि कोई संख्या $y$ से संबंधित $y$ और $X$ है $0, 1, 2, ...$ या $0, 1, 2, ...$, $X$ का भी है $X$.

आइए मान लें कि उपरोक्त सूत्र का प्रथम-क्रम प्रतिपादन कहा जाता है $E$. अगर $$\neg E$$ पीनो स्वयंसिद्धों में जोड़े गए थे, इसका मतलब यह होगा कि संवर्धित स्वयंसिद्धों के कोई गैर-मानक मॉडल नहीं थे। हालाँकि, अंकगणित के गैर-मानक मॉडल के लिए सामान्य तर्क#कॉम्पैक्टनेस प्रमेय से|गैर-मानक मॉडलों का अस्तित्व अभी भी जारी रहेगा, जिससे साबित होता है कि आखिरकार गैर-मानक मॉडल हैं। यह एक विरोधाभास है, इसलिए हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि ऐसा कोई फॉर्मूला नहीं है $E$ प्रथम-क्रम तर्क में मौजूद है।

डोमेन की परिमितता
कोई फार्मूला नहीं है $A$ प्रथम-क्रम तर्क में#समानता और उसके सिद्धांत|समानता के साथ प्रथम-क्रम तर्क जो सभी और केवल परिमित डोमेन वाले मॉडलों के लिए सत्य है। दूसरे शब्दों में, ऐसा कोई प्रथम-क्रम सूत्र नहीं है जो व्यक्त कर सके कि चीजों की केवल एक सीमित संख्या है।

यह सघनता प्रमेय द्वारा इस प्रकार निहित है। मान लीजिये एक फार्मूला है $A$ जो सभी और केवल परिमित डोमेन वाले मॉडलों में सत्य है। हम किसी भी धनात्मक पूर्णांक को व्यक्त कर सकते हैं $n$, वहाँ वाक्य कम से कम हैं $n$डोमेन में तत्व। किसी प्रदत्त के लिए $n$, यह व्यक्त करने वाले सूत्र को कॉल करें कि कम से कम हैं $n$तत्व $B_{n}$. उदाहरण के लिए, सूत्र $B_{3}$ है: $$\exists x \exists y \exists z (x \neq y \wedge x \neq z \wedge y \neq z)$$ जो व्यक्त करता है कि डोमेन में कम से कम तीन अलग-अलग तत्व हैं। सूत्रों के अनंत सेट पर विचार करें $$A, B_2, B_3, B_4, \ldots$$ इन सूत्रों के प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय का एक मॉडल होता है: एक उपसमुच्चय दिया गया हो, तो सबसे बड़ा ज्ञात कीजिए $n$ जिसके लिए सूत्र $B_{n}$ उपसमुच्चय में है. फिर एक डोमेन युक्त एक मॉडल $n$ तत्व संतुष्ट होंगे $A$ (क्योंकि डोमेन परिमित है) और सभी $B$ उपसमुच्चय में सूत्र। सघनता प्रमेय को लागू करते हुए, संपूर्ण अनंत सेट में एक मॉडल भी होना चाहिए। हमने जिसके बारे में अनुमान लगाया था उसके कारण $A$, मॉडल परिमित होना चाहिए। हालाँकि, यह मॉडल सीमित नहीं हो सकता, क्योंकि यदि मॉडल केवल है $m$ तत्व, यह सूत्र को संतुष्ट नहीं करता है $B_{m+1}$. यह विरोधाभास दिखाता है कि कोई फॉर्मूला नहीं हो सकता $A$ हमारे द्वारा ग्रहण की गई संपत्ति के साथ।

अन्य उदाहरण

 * पहचान (दर्शन) की अवधारणा को प्रथम-क्रम की भाषाओं में परिभाषित नहीं किया जा सकता है, यह केवल अविवेक है।
 * आर्किमिडीज़ संपत्ति जिसका उपयोग वास्तविक बंद फ़ील्ड के बीच वास्तविक संख्याओं की पहचान करने के लिए किया जा सकता है।
 * कॉम्पैक्टनेस प्रमेय का तात्पर्य है कि ग्राफ कनेक्टिविटी को प्रथम-क्रम तर्क में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * परिभाषित सेट
 * शाखा परिमाणक
 * सामान्यीकृत परिमाणक
 * बहुवचन परिमाणीकरण
 * संशोधन (भाषाविज्ञान)

बाहरी संबंध

 * Printer-friendly CSS, and nonfirstorderisability by Terence Tao