प्रतिस्पर्धी संतुलन

प्रतिस्पर्धी संतुलन (जिसे वालरासियन संतुलन भी कहा जाता है) आर्थिक संतुलन की एक अवधारणा है, जिसे 1951 में केनेथ एरो और जेरार्ड डेब्रू द्वारा पेश किया गया था। लचीली कीमतों और कई व्यापारियों के साथ कमोडिटी बाजारों के विश्लेषण के लिए उपयुक्त, और आर्थिक विश्लेषण में दक्षता के बेंचमार्क के रूप में कार्य करना। यह पूर्ण प्रतिस्पर्धा की धारणा पर महत्वपूर्ण रूप से निर्भर करता है जहां प्रत्येक व्यापारी एक ऐसी मात्रा पर निर्णय लेता है जो बाजार में कारोबार की गई कुल मात्रा की तुलना में इतनी छोटी होती है कि उनके व्यक्तिगत लेनदेन का कीमतों पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। प्रतिस्पर्धी बाज़ार एक आदर्श मानक हैं जिसके द्वारा अन्य बाज़ार संरचनाओं का मूल्यांकन किया जाता है।

परिभाषाएँ
प्रतिस्पर्धी संतुलन (सीई) में दो तत्व होते हैं:
 * एक मूल्य फ़ंक्शन $$P$$. यह तर्क के रूप में वस्तुओं के बंडल का प्रतिनिधित्व करने वाले एक वेक्टर को लेता है, और एक सकारात्मक वास्तविक संख्या देता है जो इसकी कीमत का प्रतिनिधित्व करता है। आमतौर पर मूल्य फ़ंक्शन रैखिक होता है - इसे कीमतों के वेक्टर के रूप में दर्शाया जाता है, प्रत्येक वस्तु प्रकार के लिए एक कीमत।
 * एक आवंटन मैट्रिक्स $$X$$. हरएक के लिए $$i\in 1,\dots,n$$, $$X_i$$ एजेंट को आवंटित वस्तुओं का वेक्टर है $$i$$.

इन तत्वों को निम्नलिखित आवश्यकता को पूरा करना चाहिए:
 * संतुष्टि (बाजार-ईर्ष्या-मुक्ति): प्रत्येक एजेंट किसी अन्य किफायती बंडल की तुलना में अपने बंडल को कमजोर रूप से पसंद करता है:
 * $$\forall i\in 1,\dots,n$$, अगर $$P(Y) \leq P(X_i)$$ तब $$Y \preceq_i X_i$$.

अक्सर, एक प्रारंभिक बंदोबस्ती मैट्रिक्स होता है $$E$$: हरएक के लिए $$i\in 1,\dots,n$$, $$E_i$$ एजेंट की प्रारंभिक बंदोबस्ती है $$i$$. फिर, एक सीई को कुछ अतिरिक्त आवश्यकताओं को पूरा करना चाहिए:
 * बाज़ार निकासी: मांग आपूर्ति के बराबर होती है, कोई वस्तु निर्मित या नष्ट नहीं होती:
 * $$\sum_{i=1}^n X_i = \sum_{i=1}^n E_i$$.


 * व्यक्तिगत तर्कसंगतता: व्यापार के बाद सभी एजेंट व्यापार से पहले की तुलना में बेहतर स्थिति में होते हैं:
 * $$\forall i\in 1,\dots,n: X_i \succeq_i E_i$$.


 * बजट शेष: सभी एजेंट अपनी बंदोबस्ती को देखते हुए अपना आवंटन वहन कर सकते हैं:
 * $$\forall i\in 1,\dots,n: P(X_i) \leq P(E_i)$$.

परिभाषा 2
यह परिभाषा स्पष्ट रूप से इस संभावना की अनुमति देती है कि कई कमोडिटी सरणियाँ हो सकती हैं जो समान रूप से आकर्षक हों। वो भी शून्य कीमतों पर. एक वैकल्पिक परिभाषा मांग-सेट की अवधारणा पर निर्भर करता है। मूल्य फलन P और उपयोगिता फलन U वाले एक एजेंट को देखते हुए, माल x का एक निश्चित बंडल एजेंट के मांग-सेट में है यदि: $$U(x)-P(x) \geq U(y) - P(y)$$ हर दूसरे बंडल के लिए y. एक प्रतिस्पर्धी संतुलन एक मूल्य फ़ंक्शन पी और एक आवंटन मैट्रिक्स एक्स है जैसे कि:
 * एक्स द्वारा प्रत्येक एजेंट को आवंटित बंडल मूल्य-वेक्टर पी के लिए उस एजेंट की मांग-सेट में है;
 * प्रत्येक वस्तु जिसकी सकारात्मक कीमत होती है, उसे पूर्ण रूप से आवंटित किया जाता है (अर्थात प्रत्येक अआवंटित वस्तु की कीमत 0 होती है)।

अनुमानित संतुलन
कुछ मामलों में एक संतुलन को परिभाषित करना उपयोगी होता है जिसमें तर्कसंगतता की स्थिति में ढील दी जाती है। एक सकारात्मक मान दिया गया है $$\epsilon$$ (मौद्रिक इकाइयों में मापा जाता है, उदाहरण के लिए, डॉलर), एक मूल्य वेक्टर $$P$$ और एक बंडल $$x$$, परिभाषित करना $$P^x_\epsilon$$ एक मूल्य वेक्टर के रूप में जिसमें x में सभी वस्तुओं की वही कीमत होती है जो P में होती है, और x में नहीं सभी वस्तुओं की कीमत होती है $$\epsilon$$ पी में उनकी कीमत से अधिक.

में एक$$\epsilon$$-प्रतिस्पर्धी-संतुलन, एक एजेंट को आवंटित बंडल x संशोधित मूल्य वेक्टर के लिए उस एजेंट की मांग-सेट में होना चाहिए, $$P^x_\epsilon$$.

जब खरीद/बिक्री कमीशन हो तो यह अनुमान यथार्थवादी होता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एक एजेंट को भुगतान करना है $$\epsilon$$ किसी वस्तु की एक इकाई खरीदने के लिए उस वस्तु की कीमत के अतिरिक्त डॉलर। वह एजेंट अपना वर्तमान बंडल तब तक रखेगा जब तक वह मूल्य वेक्टर के लिए मांग-सेट में है $$P^x_\epsilon$$. इससे संतुलन अधिक स्थिर हो जाता है।

उदाहरण
निम्नलिखित उदाहरणों में दो एजेंटों, जेन और केल्विन, दो अच्छे (अर्थशास्त्र) के साथ एक विनिमय अर्थव्यवस्था शामिल है। केले (x) और सेब (y), और कोई पैसा नहीं।

1. ग्राफिकल उदाहरण: मान लीजिए कि प्रारंभिक आवंटन बिंदु X पर है, जहां जेन के पास केल्विन की तुलना में अधिक सेब हैं और केल्विन के पास जेन की तुलना में अधिक केले हैं।

उनके उदासीनता वक्रों को देखकर $$J_1$$ जेन की और $$K_1$$ केल्विन के अनुसार, हम देख सकते हैं कि यह एक संतुलन नहीं है - दोनों एजेंट कीमतों पर एक दूसरे के साथ व्यापार करने को तैयार हैं $$P_x$$ और $$P_y$$. व्यापार के बाद, जेन और केल्विन दोनों उदासीनता वक्र पर चले जाते हैं जो उपयोगिता के उच्च स्तर को दर्शाता है, $$J_2$$ और $$K_2$$. नए अनधिमान वक्र बिंदु E पर प्रतिच्छेद करते हैं। दोनों वक्रों की स्पर्श रेखा का ढलान बराबर है -$$P_x / P_y$$.

और यह $$MRS_{Jane} = P_x / P_y$$; $$MRS_{Kelvin} = P_x / P_y$$. जेन की प्रतिस्थापन की सीमांत दर (एमआरएस) केल्विन के बराबर है। इसलिए, 2 व्यक्तियों का समाज पेरेटो दक्षता तक पहुंचता है, जहां जेन या केल्विन को दूसरे को बदतर बनाए बिना बेहतर बनाने का कोई रास्ता नहीं है।

2. अंकगणितीय उदाहरण: मान लीजिए कि दोनों एजेंटों के पास कॉब-डगलस उपयोगिताएँ हैं:
 * $$u_J(x,y) = x^a y^{1-a}$$
 * $$u_K(x,y) = x^b y^{1-b}$$

कहाँ $$a,b$$ स्थिरांक हैं.

मान लीजिए प्रारंभिक बंदोबस्ती है $$E=[(1,0), (0,1)]$$.

x के लिए जेन का मांग फलन है:
 * $$x_J(p_x,p_y,I_J) = \frac{a\cdot I_J}{p_x} = \frac{a\cdot (1\cdot p_x)}{p_x} = a$$

x के लिए केल्विन का माँग फलन है:
 * $$x_K(p_x,p_y,I_K) = \frac{b\cdot I_K}{p_x} = \frac{b\cdot p_y}{p_x}$$

x के लिए बाज़ार निकासी की स्थिति है:
 * $$x_J + x_K = E_{J,x} + E_{K,x} = 1$$

यह समीकरण संतुलन मूल्य अनुपात उत्पन्न करता है:
 * $$\frac{p_2}{p_1} = \frac{1-a}{b}$$

हम y के लिए समान गणना कर सकते हैं, लेकिन इसकी आवश्यकता नहीं है, क्योंकि वाल्रास का कानून गारंटी देता है कि परिणाम समान होंगे। ध्यान दें कि सीई में, केवल सापेक्ष कीमतें निर्धारित की जाती हैं; हम कीमतों को सामान्य कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, इसकी आवश्यकता के द्वारा $$p_1+p_2=1$$. फिर हमें मिलता है $$p_1=\frac{b}{1+b-a}, p_1=\frac{1-a}{1+b-a}$$. लेकिन कोई अन्य सामान्यीकरण भी काम करेगा।

3. गैर-अस्तित्व उदाहरण: मान लीजिए कि एजेंटों की उपयोगिताएँ हैं:
 * $$u_J(x,y)=u_K(x,y) = \max(x,y)$$

और प्रारंभिक बंदोबस्ती [(2,1),(2,1)] है। सीई में, प्रत्येक एजेंट के पास या तो केवल x या केवल y होना चाहिए (अन्य उत्पाद उपयोगिता में कुछ भी योगदान नहीं देता है इसलिए एजेंट इसे एक्सचेंज करना चाहेगा)। इसलिए, एकमात्र संभावित सीई आवंटन [(4,0),(0,2)] और [(0,2),(4,0)] हैं। चूँकि एजेंटों की आय आवश्यक रूप से समान होती है $$p_y = 2 p_x$$. लेकिन फिर, y की 2 इकाइयाँ रखने वाला एजेंट उन्हें x की 4 इकाइयों के बदले बदलना चाहेगा।

4. रैखिक उपयोगिताओं से जुड़े अस्तित्व और गैर-अस्तित्व के उदाहरणों के लिए, रैखिक उपयोगिता#उदाहरण देखें।

अविभाज्य वस्तुएँ
जब अर्थव्यवस्था में अविभाज्य वस्तुएं होती हैं, तो यह मान लेना आम बात है कि धन भी है, जो विभाज्य है। एजेंटों के पास क्वासिलिनियर उपयोगिता कार्य होते हैं: उनकी उपयोगिता उनके पास मौजूद धन की मात्रा और उनके पास मौजूद वस्तुओं के बंडल से उपयोगिता है।

A. एकल आइटम: ऐलिस के पास एक कार है जिसका मूल्य वह 10 मानती है। बॉब के पास कोई कार नहीं है, और वह ऐलिस की कार का मूल्य 20 मानता है। एक संभावित CE है: कार की कीमत 15 है, बॉब को कार मिलती है और वह ऐलिस को 15 का भुगतान करता है। यह एक संतुलन है क्योंकि बाज़ार साफ़ हो गया है और दोनों एजेंट अपने प्रारंभिक बंडल की तुलना में अपने अंतिम बंडल को प्राथमिकता देते हैं। वास्तव में, 10 और 20 के बीच की प्रत्येक कीमत समान आवंटन के साथ CE कीमत होगी। यही स्थिति तब होती है जब कार शुरू में ऐलिस के पास नहीं होती है, बल्कि एक नीलामी में होती है जिसमें ऐलिस और बॉब दोनों खरीदार होते हैं: कार बॉब के पास जाएगी और कीमत 10 और 20 के बीच कहीं भी होगी।

दूसरी ओर, 10 से नीचे की कोई भी कीमत संतुलन कीमत नहीं है क्योंकि अतिरिक्त मांग है (ऐलिस और बॉब दोनों उस कीमत पर कार चाहते हैं), और 20 से ऊपर की कोई भी कीमत संतुलन कीमत नहीं है क्योंकि अतिरिक्त आपूर्ति है (न तो ऐलिस और न ही बॉब उस कीमत पर कार चाहते हैं)।

यह उदाहरण दोहरी नीलामी का एक विशेष मामला है।

बी. विकल्प: एक कार और एक घोड़ा नीलामी में बेचे जाते हैं। ऐलिस केवल परिवहन की परवाह करती है, इसलिए उसके लिए ये सही विकल्प हैं: उसे घोड़े से उपयोगिता 8 मिलती है, कार से 9, और यदि उसके पास ये दोनों हैं तो वह केवल कार का उपयोग करती है, इसलिए उसकी उपयोगिता 9 है। बॉब को घोड़े से 5 और कार से 7 उपयोगिता मिलती है, लेकिन अगर उसके पास ये दोनों हैं तो उसकी उपयोगिता 11 है क्योंकि वह पालतू जानवर के रूप में घोड़े को भी पसंद करता है। इस मामले में संतुलन खोजना अधिक कठिन है (देखें #संतुलन ढूँढना)। एक संभावित संतुलन यह है कि ऐलिस 5 में घोड़ा खरीदती है और बॉब 7 में कार खरीदता है। यह एक संतुलन है क्योंकि बॉब घोड़े के लिए 5 का भुगतान नहीं करना चाहेगा जिससे उसे केवल 4 अतिरिक्त उपयोगिता मिलेगी, और ऐलिस कार के लिए 7 का भुगतान नहीं करना चाहेगी जिससे उसे केवल 1 अतिरिक्त उपयोगिता मिलेगी।

सी. पूरक: एक घोड़ा और एक गाड़ी नीलामी में बेची जाती है। दो संभावित खरीदार हैं: AND और XOR। तथा केवल घोड़ा और गाड़ी एक साथ चाहता है - उन्हें उपयोगिता प्राप्त होती है $$v_{and}$$ दोनों को धारण करने से, लेकिन उनमें से केवल एक को धारण करने के लिए 0 की उपयोगिता। एक्सओआर या तो घोड़ा या गाड़ी चाहता है लेकिन दोनों की आवश्यकता नहीं है - उन्हें उपयोगिता प्राप्त होती है $$v_{xor}$$ उनमें से एक को रखने से और दोनों को पकड़ने के लिए एक ही उपयोगिता। यहाँ, जब $$v_{and} < 2 v_{xor}$$, एक प्रतिस्पर्धी संतुलन मौजूद नहीं है, यानी, कोई भी कीमत बाजार को खाली नहीं करेगी। प्रमाण: कीमतों के योग के लिए निम्नलिखित विकल्पों पर विचार करें (घोड़े की कीमत + गाड़ी की कीमत):
 * योग इससे कम है $$v_{and}$$. फिर, AND दोनों आइटम चाहता है। चूँकि कम से कम एक वस्तु की कीमत इससे कम है $$v_{xor}$$, एक्सओआर वह वस्तु चाहता है, इसलिए मांग अधिक है।
 * योग बिल्कुल सही है $$v_{and}$$. फिर, AND दोनों वस्तुओं को खरीदने और किसी भी वस्तु को न खरीदने के बीच उदासीन है। लेकिन एक्सओआर अभी भी बिल्कुल एक आइटम चाहता है, इसलिए या तो अतिरिक्त मांग है या अतिरिक्त आपूर्ति है।
 * योग इससे भी अधिक है $$v_{and}$$. फिर, AND को कोई वस्तु नहीं चाहिए और XOR अभी भी अधिकतम एक ही वस्तु चाहता है, इसलिए आपूर्ति अधिक है।

डी. यूनिट-डिमांड उपभोक्ता: एन उपभोक्ता हैं। प्रत्येक उपभोक्ता का एक सूचकांक होता है $$i=1,...,n$$. अच्छाई का एक ही प्रकार होता है। प्रत्येक उपभोक्ता $$i$$ वह अच्छे की अधिक से अधिक एक इकाई चाहता है, जो उसे उपयोगिता प्रदान करती है $$u(i)$$. उपभोक्ताओं को ऐसा आदेश दिया जाता है $$u$$ का कमजोर रूप से बढ़ता हुआ कार्य है $$i$$. यदि आपूर्ति है $$k\leq n$$ इकाइयाँ, फिर कोई भी कीमत $$p$$ संतुष्टि देने वाला $$u(n-k)\leq p\leq u(n-k+1)$$ यह एक संतुलन कीमत है, क्योंकि ऐसे कई उपभोक्ता हैं जो या तो उत्पाद खरीदना चाहते हैं या खरीदने और न खरीदने के बीच उदासीन हैं। ध्यान दें कि आपूर्ति में वृद्धि से कीमत में कमी आती है।

विभाज्य संसाधन
एरो-डेब्रू मॉडल से पता चलता है कि प्रत्येक विनिमय अर्थव्यवस्था में एक सीई मौजूद है जिसमें विभाज्य सामान निम्नलिखित शर्तों को पूरा करते हैं:
 * सभी एजेंटों की प्राथमिकताएं सख्ती से उत्तल होती हैं;
 * सभी वस्तुएँ वांछनीय हैं। इसका मतलब यह है कि, यदि कोई अच्छा है $$j$$ निःशुल्क दिया जाता है ($$p_j=0$$), तो सभी एजेंट उस अच्छे से जितना संभव हो सके उतना चाहते हैं।

प्रमाण कई चरणों में आगे बढ़ता है।

A. ठोसता के लिए, मान लें कि हैं $$n$$ एजेंट और $$k$$ विभाज्य वस्तुएँ. सामान्यीकरण (सांख्यिकी) कीमतें इस प्रकार हैं कि उनका योग 1 है, अर्थात। $$\sum_{j=1}^k p_j = 1$$. तब सभी संभावित कीमतों का स्थान है $$k-1$$-आयामी इकाई सिम्प्लेक्स में $$\mathbb{R}^k$$. हम इस सिम्प्लेक्स को प्राइस सिम्प्लेक्स कहते हैं।

बी चलो $$z$$ अतिरिक्त मांग फलन हो। यह मूल्य वेक्टर का एक कार्य है $$p$$ जब प्रारंभिक बंदोबस्ती $$E$$ स्थिर रखा गया है:
 * $$z(p) = \sum_{i=1}^n {x_i(p, p\cdot E_i) - E_i}$$

यह ज्ञात है कि, जब एजेंटों के पास सख्ती से उत्तल प्राथमिकताएं होती हैं, तो मार्शलियन मांग फ़ंक्शन निरंतर होता है। इस तरह, $$z$$ का भी एक सतत कार्य है $$p$$.

C. निम्नलिखित फ़ंक्शन को मूल्य सिंप्लेक्स से स्वयं तक परिभाषित करें:
 * $$g_i(p) = \frac{p_i + \max(0, z_i(p))}{1 + \sum_{j=1}^k \max(0,z_j(p))}, \forall i\in 1,\dots,k$$

यह एक सतत कार्य है, इसलिए ब्रौवर निश्चित-बिंदु प्रमेय के अनुसार एक मूल्य वेक्टर है $$p^*$$ ऐसा है कि:
 * $$p^* = g(p^*)$$

इसलिए,
 * $$p^*_i = \frac{p_i + \max(0, z_i(p))}{1 + \sum_{j=1}^k \max(0,z_j(p))}, \forall i\in 1,\dots,k$$

डी. वाल्रास के नियम और कुछ बीजगणित का उपयोग करके, यह दिखाना संभव है कि इस मूल्य वेक्टर के लिए, किसी भी उत्पाद में कोई अतिरिक्त मांग नहीं है, अर्थात:
 * $$z_j(p^*) \leq 0, \forall j\in 1,\dots,k$$

ई. वांछनीयता धारणा का तात्पर्य है कि सभी उत्पादों की कीमतें सख्ती से सकारात्मक हैं:
 * $$p_j > 0, \forall j\in 1,\dots,k$$

वाल्रास के नियम के अनुसार, $$p^* \cdot z(p^*) = 0$$. लेकिन इसका तात्पर्य यह है कि उपरोक्त असमानता एक समानता होनी चाहिए:
 * $$z_j(p^*) = 0, \forall j\in 1,\dots,k$$

इस का मतलब है कि $$p^*$$ प्रतिस्पर्धी संतुलन का मूल्य वेक्टर है।

ध्यान दें कि रैखिक उपयोगिताएँ केवल कमजोर रूप से उत्तल होती हैं, इसलिए वे एरो-डेब्रू मॉडल के लिए योग्य नहीं हैं। हालाँकि, डेविड गेल ने साबित किया कि प्रत्येक रैखिक विनिमय अर्थव्यवस्था में कुछ शर्तों को पूरा करने वाला एक CE मौजूद होता है। विवरण के लिए रैखिक उपयोगिताएँ#प्रतिस्पर्धी संतुलन का अस्तित्व देखें।

बाज़ार संतुलन की गणना के लिए एल्गोरिदम बाज़ार संतुलन गणना में वर्णित हैं।

अविभाज्य वस्तुएँ

 * 1) उदाहरणों में, प्रतिस्पर्धी संतुलन तब मौजूद था जब वस्तुएं स्थानापन्न थीं लेकिन तब नहीं जब वस्तुएं पूरक थीं। यह एक संयोग नहीं है।

दो वस्तुओं इस का मतलब है कि $$\frac{\Delta \text{demand}(X)}{\Delta \text{price}(Y)}\geq 0$$. यानी, यदि Y की कीमत बढ़ती है, तो X की मांग या तो स्थिर रहती है या बढ़ती है, लेकिन घटती नहीं है। यदि Y की कीमत घटती है, तो X की मांग या तो स्थिर रहती है या घट जाती है।

एक उपयोगिता फ़ंक्शन को जीएस कहा जाता है, यदि इस उपयोगिता फ़ंक्शन के अनुसार, विभिन्न वस्तुओं के सभी जोड़े जीएस हैं। जीएस उपयोगिता फ़ंक्शन के साथ, यदि किसी एजेंट के पास किसी दिए गए मूल्य वेक्टर पर मांग निर्धारित है, और कुछ वस्तुओं की कीमतें बढ़ती हैं, तो एजेंट के पास एक मांग सेट होता है जिसमें वे सभी वस्तुएं शामिल होती हैं जिनकी कीमत स्थिर रहती है। वह यह तय कर सकता है कि उसे ऐसी वस्तु नहीं चाहिए जो अधिक महंगी हो गई है; वह यह भी निर्णय ले सकता है कि उसे इसके बदले कोई अन्य वस्तु चाहिए (एक विकल्प); लेकिन वह यह तय नहीं कर सकता कि उसे कोई तीसरी वस्तु नहीं चाहिए जिसकी कीमत में बदलाव नहीं हुआ है।

जब सभी एजेंटों के उपयोगिता कार्य जीएस होते हैं, तो एक प्रतिस्पर्धी संतुलन हमेशा मौजूद रहता है। इसके अलावा, जीएस वैल्यूएशन का सेट इकाई मांग  वैल्यूएशन वाला सबसे बड़ा सेट है, जिसके लिए प्रतिस्पर्धी संतुलन के अस्तित्व की गारंटी है: किसी भी गैर-जीएस वैल्यूएशन के लिए, यूनिट-डिमांड वैल्यूएशन मौजूद हैं, जैसे कि दिए गए गैर-जीएस वैल्यूएशन के साथ इन यूनिट-डिमांड वैल्यूएशन के लिए प्रतिस्पर्धी संतुलन मौजूद नहीं है। एक विशेष प्रकार के बाजार में प्रतिस्पर्धी संतुलन खोजने की कम्प्यूटेशनल समस्या के लिए, फिशर मार्केट#अविभाज्य देखें।

प्रतिस्पर्धी संतुलन और आवंटन दक्षता
कल्याणकारी अर्थशास्त्र के मौलिक प्रमेयों के अनुसार, कोई भी सीई आवंटन पेरेटो दक्षता है, और कोई भी कुशल आवंटन प्रतिस्पर्धी संतुलन द्वारा टिकाऊ हो सकता है। इसके अलावा, वेरियन के प्रमेय के अनुसार, एक सीई आवंटन जिसमें सभी एजेंटों की समान आय होती है, वह भी ईर्ष्या-मुक्त है।

प्रतिस्पर्धी संतुलन में, समाज किसी वस्तु पर जो मूल्य लगाता है, वह उसके उत्पादन के लिए दिए गए संसाधनों के मूल्य के बराबर होता है (सीमांत लाभ सीमांत लागत के बराबर होता है)। यह आवंटन दक्षता सुनिश्चित करता है: समाज किसी अन्य वस्तु की इकाई पर जो अतिरिक्त मूल्य लगाता है, वह उसके उत्पादन के लिए समाज को संसाधनों में दिए जाने वाले मूल्य के बराबर होता है। ध्यान दें कि सूक्ष्म आर्थिक विश्लेषण योगात्मक उपयोगिता को नहीं मानता है, न ही यह किसी पारस्परिक उपयोगिता व्यापार को मानता है। इसलिए, दक्षता का तात्पर्य पेरेटो सुधारों की अनुपस्थिति से है। यह किसी भी तरह से आवंटन की निष्पक्षता (वितरणात्मक न्याय या इक्विटी (अर्थशास्त्र) के अर्थ में) पर विचार नहीं करता है। एक कुशल संतुलन वह हो सकता है जहां एक खिलाड़ी के पास सभी चीजें हों और अन्य खिलाड़ियों के पास कुछ भी न हो (एक चरम उदाहरण में), जो इस अर्थ में कुशल है कि कोई पेरेटो सुधार ढूंढने में सक्षम नहीं हो सकता है - जो सभी खिलाड़ियों को बनाता है (जिसमें शामिल हैं) इस मामले में सब कुछ के साथ एक) बेहतर स्थिति में (सख्त पेरेटो सुधार के लिए), या बदतर स्थिति में नहीं।

अविभाज्य आइटम असाइनमेंट के लिए कल्याण प्रमेय
अविभाज्य वस्तुओं के मामले में, हमारे पास कल्याण अर्थशास्त्र के दो मौलिक प्रमेयों के निम्नलिखित मजबूत संस्करण हैं:
 * 1) कोई भी प्रतिस्पर्धी संतुलन सामाजिक कल्याण (उपयोगिताओं का योग) को अधिकतम करता है, न केवल वस्तुओं के सभी यथार्थवादी असाइनमेंट पर, बल्कि वस्तुओं के सभी आंशिक असाइनमेंट पर भी। यानी, भले ही हम किसी वस्तु के अंशों को अलग-अलग लोगों को सौंप सकते हैं, हम प्रतिस्पर्धी संतुलन से बेहतर कुछ नहीं कर सकते हैं जिसमें केवल संपूर्ण वस्तुओं को सौंपा जाता है।
 * 2) यदि कोई अभिन्न असाइनमेंट है (बिना किसी आंशिक असाइनमेंट के) जो सामाजिक कल्याण को अधिकतम करता है, तो उस असाइनमेंट के साथ एक प्रतिस्पर्धी संतुलन होता है।

एक संतुलन ढूँढना
अविभाज्य आइटम असाइनमेंट के मामले में, जब सभी एजेंटों के उपयोगिता कार्य जीएस (#संतुलन का अस्तित्व) होते हैं, तो आरोही नीलामी का उपयोग करके प्रतिस्पर्धी संतुलन खोजना संभव है। आरोही नीलामी में, नीलामीकर्ता एक मूल्य वेक्टर प्रकाशित करता है, शुरू में शून्य, और खरीदार इन कीमतों के तहत अपने पसंदीदा बंडल की घोषणा करते हैं। यदि प्रत्येक वस्तु अधिकतम एक ही बोली लगाने वाले द्वारा वांछित है, तो वस्तुओं को विभाजित कर दिया जाता है और नीलामी समाप्त हो जाती है। यदि एक या अधिक वस्तुओं पर अतिरिक्त मांग होती है, तो नीलामीकर्ता अधिक मांग वाली वस्तु की कीमत थोड़ी सी राशि (उदाहरण के लिए एक डॉलर) बढ़ा देता है, और खरीदार फिर से बोली लगाते हैं।

साहित्य में कई अलग-अलग आरोही-नीलामी तंत्र सुझाए गए हैं। ऐसे तंत्रों को अक्सर वालरासियन नीलामी, वालरासियन टैटनमेंट या अंग्रेजी नीलामी कहा जाता है।

यह भी देखें

 * ईर्ष्या-मुक्त मूल्य-निर्धारण - वालरासियन संतुलन की छूट जिसमें कुछ वस्तुएं असंबद्ध रह सकती हैं।
 * फिशर बाजार - एक सरलीकृत बाजार मॉडल, जिसमें एक विक्रेता और कई खरीदार होते हैं, जिसमें सीई की गणना कुशलतापूर्वक की जा सकती है।
 * आवंटन दक्षता
 * आर्थिक संतुलन
 * सामान्य संतुलन सिद्धांत
 * वालरासियन नीलामी

बाहरी संबंध

 * Competitive equilibrium, Walrasian equilibrium and Walrasian auction in Economics Stack Exchange.