ऋणात्मक संभाव्यता

किसी प्रयोग के नतीजे की संभावना कभी भी नकारात्मक नहीं होती है, हालांकि अर्धसंभाव्यता वितरण कुछ घटनाओं के लिए नकारात्मक संभावना, या अर्धसंभाव्यता की अनुमति देता है। ये वितरण न देखी जा सकने वाली घटनाओं या सशर्त संभावनाओं पर लागू हो सकते हैं।

भौतिकी और गणित
1942 में, पॉल डिराक ने द फिजिकल इंटरप्रिटेशन ऑफ क्वांटम मैकेनिक्स नामक एक पेपर लिखा जहां उन्होंने नकारात्मक ऊर्जा और नकारात्मक संभावनाओं की अवधारणा पेश की:

"Negative energies and probabilities should not be considered as nonsense. They are well-defined concepts mathematically, like a negative of money."

नकारात्मक संभावनाओं के विचार पर बाद में भौतिकी और विशेष रूप से क्वांटम यांत्रिकी में अधिक ध्यान दिया गया। रिचर्ड फेनमैन ने तर्क दिया गणना में नकारात्मक संख्याओं का उपयोग करने पर किसी को आपत्ति नहीं है: हालांकि वास्तविक जीवन में शून्य से तीन सेब एक वैध अवधारणा नहीं है, नकारात्मक धन वैध है। इसी तरह उन्होंने तर्क दिया कि कैसे नकारात्मक संभावनाएं और साथ ही 1 (संख्या) से ऊपर की संभावनाएं संभवतः संभाव्यता गणना में उपयोगी हो सकती हैं।

बाद में कई समस्याओं और विरोधाभासों को हल करने के लिए नकारात्मक संभावनाओं का सुझाव दिया गया है। आधे सिक्के नकारात्मक संभावनाओं के लिए सरल उदाहरण प्रदान करते हैं। ये अजीब सिक्के 2005 में गैबोर जे. शेकली द्वारा पेश किए गए थे। आधे सिक्कों में अनंत रूप से कई पहलू होते हैं जिन पर 0,1,2,... अंकित होते हैं और सकारात्मक सम संख्याओं को नकारात्मक संभावनाओं के साथ लिया जाता है। दो आधे सिक्के इस अर्थ में एक पूर्ण सिक्का बनाते हैं कि यदि हम दो आधे सिक्कों को उछालते हैं तो परिणामों का योग 0 या 1 होता है जिसकी प्रायिकता 1/2 होती है जैसे कि हमने एक निष्पक्ष सिक्के को उछाला हो।

कनवल्शन भागफल गैर-नकारात्मक निश्चित कार्यों के भागफल और बीजगणितीय संभाव्यता सिद्धांत इमरे ज़ेड रुज़सा और गैबोर जे शेकेली ने साबित किया कि यदि एक यादृच्छिक चर ) वितरण इस प्रकार है कि X, Y स्वतंत्र हैं और वितरण में X + Y = Z है। इस प्रकार X की व्याख्या हमेशा दो सामान्य यादृच्छिक चर, Z और Y के अंतर के रूप में की जा सकती है। यदि Y की व्याख्या X की माप त्रुटि के रूप में की जाती है और देखा गया मान Z है, तो X के वितरण के नकारात्मक क्षेत्रों को इसके द्वारा छुपाया/परिरक्षित किया जाता है। त्रुटि Y.

चरण अंतरिक्ष सूत्रीकरण में विग्नर वितरण के रूप में जाना जाने वाला एक अन्य उदाहरण, क्वांटम सुधारों का अध्ययन करने के लिए 1932 में यूजीन विग्नर द्वारा पेश किया गया था, जो अक्सर नकारात्मक संभावनाओं की ओर ले जाता है। इस कारण से, इसे बाद में विग्नर क्वासिप्रोबेबिलिटी वितरण के रूप में जाना जाने लगा। 1945 में, एम. एस. बार्टलेट ने इस तरह के नकारात्मक मूल्य की गणितीय और तार्किक स्थिरता पर काम किया। विग्नर वितरण फ़ंक्शन आजकल भौतिकी में नियमित रूप से उपयोग किया जाता है, और वेइल परिमाणीकरण|चरण-अंतरिक्ष परिमाणीकरण की आधारशिला प्रदान करता है। इसकी नकारात्मक विशेषताएं औपचारिकता के लिए एक संपत्ति हैं, और अक्सर क्वांटम हस्तक्षेप का संकेत देती हैं। वितरण के नकारात्मक क्षेत्रों को क्वांटम अनिश्चितता सिद्धांत द्वारा प्रत्यक्ष अवलोकन से बचाया जाता है: आम तौर पर, ऐसे गैर-सकारात्मक-अर्ध-निश्चित क्वासिप्रोबेबिलिटी वितरण के क्षण अत्यधिक बाधित होते हैं, और वितरण के नकारात्मक क्षेत्रों की प्रत्यक्ष मापनीयता को रोकते हैं। फिर भी ये क्षेत्र ऐसे वितरणों के माध्यम से गणना की गई अवलोकन योग्य मात्राओं के अपेक्षित मूल्यों में नकारात्मक और महत्वपूर्ण योगदान देते हैं।

एक उदाहरण: डबल स्लिट प्रयोग
फोटॉन के साथ एक डबल स्लिट प्रयोग पर विचार करें। प्रत्येक झिरी से निकलने वाली दो तरंगों को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $$f_1(x) = \sqrt{\frac{dN/dt}{2\pi/d}}\frac{1}{\sqrt{d^2+(x+a/2)^2}}\exp\left[i(h/\lambda)\sqrt{d^2+(x+a/2)^2}\right],$$ और $$f_2(x) = \sqrt{\frac{dN/dt}{2\pi/d}}\frac{1}{\sqrt{d^2+(x-a/2)^2}}\exp\left[i(h/\lambda)\sqrt{d^2+(x-a/2)^2}\right],$$ जहां d डिटेक्शन स्क्रीन की दूरी है, a दो स्लिट्स के बीच का अलगाव है, x स्क्रीन के केंद्र की दूरी है, λ तरंग दैर्ध्य है और dN/dt स्रोत पर प्रति यूनिट समय में उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या है। स्क्रीन के केंद्र से दूरी x पर एक फोटॉन को मापने का आयाम प्रत्येक छेद से निकलने वाले इन दो आयामों का योग है, और इसलिए स्थिति x पर एक फोटॉन का पता चलने की संभावना इस योग के वर्ग द्वारा दी जाएगी: $$I(x) = \left\vert f_1(x)+f_2(x) \right\vert^2 = \left\vert f_1(x) \right\vert^2 + \left\vert f_2(x) \right\vert^2 + \left[f_1^*(x)f_2(x)+f_1(x)f_2^*(x)\right],$$ इसकी व्याख्या सुप्रसिद्ध संभाव्यता नियम के रूप में की जा सकती है:

$$\begin{align} P(\mathtt{photon\,\,reaches\,\,x\,\,going\,\,through\,\,either\,\,slit}) = \,&P(\mathtt{photon\,\,reaches\,\,x\,\,going\,\,through\,\,slit\,\,1}) \\ & + P(\mathtt{photon\,\,reaches\,\,x}\,\,\mathtt{going\,\,through\,\,slit\,\,2}) \\ & - P(\mathtt{photon\,\,reaches\,\,x}\,\,\mathtt{going\,\,through\,\,both\,\,slits}) \\ \\ =\,&P(\mathtt{photon\,\,reaches\,\,x}\,|\,\mathtt{went\,\,through\,\,slit\,\,1})\,P(\mathtt{going\,\,through\,\,slit\,\,1}) \\ & + P(\mathtt{photon\,\,reaches\,\,x}\,|\,\mathtt{went\,\,through\,\,slit\,\,2})\,P(\mathtt{going\,\,through\,\,slit\,\,2}) \\ & - P(\mathtt{photon\,\,reaches\,\,x}\,\,\mathtt{going\,\,through\,\,both\,\,slits}) \\ \\ =\,&P(\mathtt{photon\,\,reaches\,\,x}\,|\,\mathtt{went\,\,through\,\,slit\,\,1})\,\frac{1}{2} \\ & + P(\mathtt{photon\,\,reaches\,\,x}\,|\,\mathtt{went\,\,through\,\,slit\,\,2})\,\frac{1}{2} \\ & - P(\mathtt{photon\,\,reaches\,\,x}\,\,\mathtt{going\,\,through\,\,both\,\,slits}) \end{align}$$

अंतिम पद का जो भी अर्थ हो। वास्तव में, यदि कोई छेदों में से किसी एक को बंद कर देता है जिससे फोटॉन को दूसरे स्लिट से गुजरना पड़ता है, तो दो संगत तीव्रताएं होती हैं $$I_1(x) = \left\vert f_1(x) \right\vert^2 = \frac{1}{2}\frac{dN}{dt}\frac{d/\pi}{d^2+(x+a/2)^2}$$ और $$I_2(x) = \left\vert f_2(x) \right\vert^2 = \frac{1}{2}\frac{dN}{dt}\frac{d/\pi}{d^2+(x-a/2)^2}.$$ लेकिन अब, यदि कोई इनमें से प्रत्येक शब्द की इस तरह से व्याख्या करता है, तो संयुक्त संभावना लगभग हर नकारात्मक मान लेती है $$\lambda\frac{d}{a}$$: $$\begin{align} I_{12}(x) & = \left[f_1^*(x)f_2(x)+f_1(x)f_2^*(x)\right] \\ & = \frac{1}{2} \frac{dN}{dt} \frac{d/\pi}{\sqrt{d^2+(x-a/2)^2}\sqrt{d^2+(x+a/2)^2}}2\cos\left[(h/\lambda)(\sqrt{d^2+(x+a/2)^2}-\sqrt{d^2+(x-a/2)^2})\right] \\ \end{align}$$ हालाँकि, इन नकारात्मक संभावनाओं को कभी नहीं देखा जाता है क्योंकि कोई उन मामलों को अलग नहीं कर सकता है जिनमें फोटॉन दोनों स्लिटों से गुजरता है, लेकिन एंटी-कणों के अस्तित्व पर संकेत दे सकता है।

वित्त
नकारात्मक संभावनाओं को हाल ही में गणितीय वित्त पर लागू किया गया है। मात्रात्मक वित्त में अधिकांश संभावनाएँ वास्तविक संभावनाएँ नहीं बल्कि छद्म संभावनाएँ होती हैं, जिन्हें अक्सर जोखिम तटस्थ संभावनाओं के रूप में जाना जाता है। ये वास्तविक संभावनाएँ नहीं हैं, बल्कि मान्यताओं की एक श्रृंखला के तहत सैद्धांतिक संभावनाएँ हैं जो कुछ मामलों में ऐसी छद्म संभावनाओं को नकारात्मक होने की अनुमति देकर गणना को सरल बनाने में मदद करती हैं, जैसा कि पहली बार 2004 में एस्पेन गार्डर हॉग ने बताया था। नकारात्मक संभावनाओं और उनके गुणों की एक कठोर गणितीय परिभाषा हाल ही में मार्क बर्गिन और गुंटर मीस्नर (2011) द्वारा प्राप्त की गई थी। लेखक यह भी दिखाते हैं कि वित्तीय विकल्प मूल्य निर्धारण पर नकारात्मक संभावनाओं को कैसे लागू किया जा सकता है।

इंजीनियरिंग
विश्वसनीय सुविधा स्थान मॉडल के लिए नकारात्मक संभावनाओं की अवधारणा भी प्रस्तावित की गई है, जहां सुविधा स्थान, ग्राहक आवंटन और बैकअप सेवा योजनाएं एक साथ निर्धारित होने पर सुविधाएं नकारात्मक रूप से सहसंबद्ध व्यवधान जोखिमों के अधीन होती हैं। ली एट अल. एक वर्चुअल स्टेशन संरचना का प्रस्ताव रखा जो सकारात्मक रूप से सहसंबद्ध व्यवधानों वाले एक सुविधा नेटवर्क को अतिरिक्त वर्चुअल सपोर्टिंग स्टेशनों के साथ समकक्ष नेटवर्क में बदल देता है, और ये वर्चुअल स्टेशन स्वतंत्र व्यवधानों के अधीन थे। यह दृष्टिकोण किसी समस्या को सहसंबद्ध व्यवधानों से घटाकर बिना व्यवधान वाली समस्या में बदल देता है। झी एट अल. बाद में दिखाया गया कि कैसे नकारात्मक रूप से सहसंबद्ध व्यवधानों को भी उसी मॉडलिंग ढांचे द्वारा संबोधित किया जा सकता है, सिवाय इसके कि एक आभासी सहायक स्टेशन अब "विफलता प्रवृत्ति" के साथ बाधित हो सकता है जो

"... inherits all mathematical characteristics and properties of a failure probability except that we allow it to be larger than 1..."

यह खोज साइट-निर्भर और सकारात्मक/नकारात्मक/मिश्रित सुविधा व्यवधान सहसंबंधों के तहत सेवा सुविधाओं के विश्वसनीय स्थान को इष्टतम रूप से डिजाइन करने के लिए कॉम्पैक्ट मिश्रित-पूर्णांक गणितीय कार्यक्रमों का उपयोग करने का मार्ग प्रशस्त करती है। ज़ी एट अल में प्रस्तावित "प्रवृत्ति" अवधारणा। यह वही साबित हुआ जिसे फेनमैन और अन्य लोगों ने "अर्ध-संभावना" कहा था। ध्यान दें कि जब एक अर्ध-संभावना 1 से बड़ी होती है, तो 1 घटा यह मान एक नकारात्मक संभावना देता है। विश्वसनीय सुविधा स्थान संदर्भ में, वास्तव में भौतिक रूप से सत्यापन योग्य अवलोकन सुविधा व्यवधान स्थितियाँ हैं (जिनकी संभावनाएँ पारंपरिक सीमा [0,1] के भीतर सुनिश्चित की जाती हैं), लेकिन स्टेशन व्यवधान स्थितियों या उनकी संबंधित संभावनाओं पर कोई प्रत्यक्ष जानकारी नहीं है. इसलिए स्टेशनों की व्यवधान संभावनाएं, जिसे "कल्पित मध्यस्थ राज्यों की संभावनाओं" के रूप में समझा जाता है, एकता से अधिक हो सकती है, और इस प्रकार इसे अर्ध-संभावनाओं के रूप में जाना जाता है।

यह भी देखें

 * नकारात्मक मानक की अवस्थाओं का अस्तित्व (या गतिज शब्द के गलत संकेत वाले क्षेत्र, जैसे कि पाउली-विलर्स नियमितीकरण | पाउली-विलर्स भूत) संभावनाओं को नकारात्मक होने की अनुमति देता है। भूत (भौतिकी) देखें।
 * हस्ताक्षरित माप
 * विग्नर क्वासिप्रोबेबिलिटी वितरण