खंड अनुसार

गणित में, एक टुकड़े-टुकड़े-परिभाषित फ़ंक्शन (जिसे टुकड़े-टुकड़े फ़ंक्शन, एक हाइब्रिड फ़ंक्शन या मामलों द्वारा परिभाषा भी कहा जाता है) एक फ़ंक्शन (गणित) है जो कई उप-फ़ंक्शनों द्वारा परिभाषित होता है, जहां प्रत्येक उप-फ़ंक्शन डोमेन में एक अलग अंतराल पर लागू होता है. टुकड़ावार परिभाषा वास्तव में फ़ंक्शन की विशेषता के बजाय फ़ंक्शन को व्यक्त करने का एक तरीका है।

एक अलग, लेकिन संबंधित धारणा यह है कि किसी फ़ंक्शन के लिए संपत्ति को टुकड़ों में रखा जाता है, जिसका उपयोग तब किया जाता है जब डोमेन उस अंतराल का विभाजन हो सकता है जिस पर संपत्ति होती है। उपरोक्त धारणा के विपरीत, यह वास्तव में फ़ंक्शन का ही एक गुण है। एक टुकड़े-टुकड़े रैखिक फ़ंक्शन (जो निरंतर भी होता है) को एक उदाहरण के रूप में दर्शाया गया है।

संकेतन और व्याख्या
टुकड़े-टुकड़े फ़ंक्शंस को सामान्य कार्यात्मक नोटेशन का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है, जहां फ़ंक्शन का मुख्य भाग फ़ंक्शंस और संबंधित उपडोमेन की एक श्रृंखला है। इन उपडोमेन को एक साथ मिलकर किसी फ़ंक्शन के संपूर्ण डोमेन को कवर करना चाहिए; अक्सर यह भी आवश्यक होता है कि वे जोड़ीवार असंयुक्त हों, यानी डोमेन का एक विभाजन बनाएं। समग्र फ़ंक्शन को टुकड़े-टुकड़े कहा जाने के लिए, उपडोमेन को आमतौर पर अंतराल की आवश्यकता होती है (कुछ विकृत अंतराल हो सकते हैं, यानी एकल बिंदु या असीमित अंतराल)। परिबद्ध अंतरालों के लिए, उपडोमेन की संख्या सीमित होना आवश्यक है, असंबद्ध अंतरालों के लिए अक्सर केवल स्थानीय रूप से परिमित होना आवश्यक होता है। उदाहरण के लिए, निरपेक्ष मान फ़ंक्शन की टुकड़े-टुकड़े परिभाषा पर विचार करें: :$$|x| = \begin{cases} -x, & \text{if } x < 0 \\ +x, & \text{if } x \ge 0. \end{cases} $$ के सभी मूल्यों के लिए $$x$$ शून्य से कम, पहला उप-फ़ंक्शन ($$-x$$) का उपयोग किया जाता है, जो इनपुट मान के चिह्न को नकार देता है, जिससे ऋणात्मक संख्याएँ धनात्मक हो जाती हैं। के सभी मूल्यों के लिए $$x$$ शून्य से अधिक या उसके बराबर, दूसरा उप-फ़ंक्शन ($x$) का उपयोग किया जाता है, जो इनपुट मान का तुच्छ मूल्यांकन करता है।

निम्न तालिका कुछ मानों पर निरपेक्ष मान फ़ंक्शन का दस्तावेजीकरण करती है $$x$$: किसी दिए गए इनपुट मान पर टुकड़े-टुकड़े-परिभाषित फ़ंक्शन का मूल्यांकन करने के लिए, सही उप-फ़ंक्शन का चयन करने और सही आउटपुट मान उत्पन्न करने के लिए उपयुक्त उपडोमेन को चुनने की आवश्यकता होती है।

टुकड़े-टुकड़े-परिभाषित कार्यों की निरंतरता और भिन्नता
यदि निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं तो एक टुकड़े-टुकड़े-परिभाषित फ़ंक्शन अपने डोमेन में दिए गए अंतराल पर निरंतर फ़ंक्शन होता है:
 * इसके उप-कार्य संबंधित अंतरालों (उपडोमेन) पर निरंतर होते हैं,
 * उस अंतराल के भीतर किसी भी उपडोमेन के अंतिम बिंदु पर कोई असंतोष नहीं है।

उदाहरण के लिए, चित्रित फ़ंक्शन अपने उपडोमेन में टुकड़े-टुकड़े-निरंतर है, लेकिन पूरे डोमेन पर निरंतर नहीं है, क्योंकि इसमें जंप असंततता शामिल है $$x_0$$. भरा हुआ वृत्त इंगित करता है कि इस स्थिति में सही उप-फ़ंक्शन का मान उपयोग किया गया है।

अपने डोमेन में किसी दिए गए अंतराल पर टुकड़े-टुकड़े-परिभाषित फ़ंक्शन को अलग करने के लिए, उपरोक्त निरंतरता के अलावा निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा:
 * इसके उप-कार्य संगत खुले अंतरालों पर भिन्न होते हैं,
 * एकतरफ़ा व्युत्पन्न सभी अंतरालों के अंतिम बिंदुओं पर मौजूद होते हैं,
 * उन बिंदुओं पर जहां दो उपअंतराल स्पर्श करते हैं, दो पड़ोसी उपअंतराल के संबंधित एकतरफा व्युत्पन्न मेल खाते हैं।

अनुप्रयोग
व्यावहारिक गणितीय विश्लेषण में, टुकड़े-टुकड़े-नियमित कार्यों को कई दृश्य धारणा #संज्ञानात्मक और कम्प्यूटेशनल दृष्टिकोणों के अनुरूप पाया गया है, जहां छवियों को पहले चरण में किनारों से अलग किए गए चिकनी क्षेत्रों से युक्त माना जाता है। विशेष रूप से, 2डी और 3डी में इस मॉडल वर्ग के विरल सन्निकटन प्रदान करने के लिए शिरलेट्स का उपयोग एक प्रतिनिधित्व प्रणाली के रूप में किया गया है।

सामान्य उदाहरण
\exp\left( -\frac{1}{1 - x^2}\right), & x \in (-1,1) \\ 0,                                   & \text{otherwise} \end{cases}$$ और कुछ अन्य सामान्य बम्प फ़ंक्शन। ये असीम रूप से भिन्न हैं, लेकिन विश्लेषणात्मकता केवल टुकड़ों में ही कायम रहती है।
 * टुकड़े-टुकड़े रैखिक फ़ंक्शन, रेखा खंडों से बना एक फ़ंक्शन
 * समारोह की ओर कदम बढ़ाएं, निरंतर उप-फ़ंक्शन से बना एक फ़ंक्शन
 * बॉक्सकार फ़ंक्शन,
 * हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन *** साइन फ़ंक्शन
 * निरपेक्ष मूल्य ** त्रिकोणीय कार्य
 * टूटा हुआ शक्ति कानून, शक्ति-कानून उप-कार्यों से बना एक कार्य
 * बी-पट्टी (गणित), बहुपद उप-कार्यों से बना एक फ़ंक्शन, जिसमें उन स्थानों पर उच्च स्तर की चिकनाई होती है जहां बहुपद के टुकड़े जुड़ते हैं
 * बी-तख़्ता
 * पीडीआईएफएफ
 * $$f(x)= \begin{cases}
 * वास्तविकताओं में निरंतर कार्यों को सीमित या समान रूप से निरंतर होने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन वे हमेशा टुकड़े-टुकड़े में बंधे होते हैं और टुकड़े-टुकड़े समान रूप से निरंतर होते हैं।

यह भी देखें

 * टुकड़े-टुकड़े रैखिक निरंतरता