कॉम्ब फ़िल्टर

सिग्नल प्रक्रमण में, कॉम्ब निस्यंदक एक ऐसा निस्यंदक होता है, जो सिग्नल के डिले संस्करण को स्वयं में जोड़कर कार्यान्वित करता है, जिससे संपोषी और विनाशी व्यतिकरण होता है। कॉम्ब निस्यंदक की आवृत्ति प्रतिक्रिया में नियमित रूप से दूरी वाली चोटियों (जिन्हे कभी-कभी दांत कहा जाता है) के बीच नियमित रूप से अंतराल की एक श्रृंखला होती है जी एक कॉम्ब की तरह प्रतीत होती है।

अनुप्रयोग
कॉम्ब निस्यंदक विभिन्न प्रकार के सिग्नल प्रक्रमण अनुप्रयोगों में कार्यरत हैं, जिनमें निम्न सम्मिलित हैं:


 * प्रपाती समाकलित्र कॉम्ब (सीआईसी) निस्यंदक, सामान्यतः अंतःक्षेप और विनाश संक्रिया के दौरान प्रति-एलियासिंग के लिए उपयोग किया जाता है जो एक असतत-काल प्रणाली की प्रतिरूप दर को बदलते हैं।
 * पीएएल और एनटीएससी समधर्मी (एनालॉग) दूरदर्शन विसंकेतक में हार्डवेयर (और कभी-कभी सॉफ़्टवेयर) में लागू किए गए 2डी और 3डी कॉम्ब निस्यंदक, डॉट क्रॉल जैसे छविदोष को कम करते हैं।
 * श्रव्य सिग्नल प्रक्रमण, जिसमें डिले, स्फारण, भौतिक प्रतिमान संकलन और डिजिटल तरंग निर्देशित्र संकलन सम्मिलित हैं। यदि विलंब को कुछ मिलीसेकंड पर निर्धारित किया जाता है, अतः कॉम्ब निस्यंदक एक बेलनाकार कोष्ठ में या कंपन स्ट्रिंग में ध्वनिक स्थायी तरंगों के प्रभाव को मॉडल कर सकता है।
 * खगोलशास्त्र में एस्ट्रो-कॉम्ब प्रचलित वर्ण क्रमलेखन (स्पेक्ट्रोग्राफ) की यथार्तता को लगभग सौ गुना बढ़ाने की प्रत्याशा करता है।

ध्वनिकी में, कॉम्ब निस्यंदन एक अवांछित छविदोष के रूप में उत्पन्न हो सकती है। उदाहरण के लिए, दो लाउडस्पीकर श्रोता से अलग-अलग दूरी पर एक ही सिग्नल वादित करते हैं, श्रव्य पर कॉम्ब निस्यंदन प्रभाव उत्पन्न करते हैं। किसी भी संलग्न स्थान में, श्रोता सीधी ध्वनि और परावर्तित ध्वनि का मिश्रण सुनते हैं। परावर्तित ध्वनि प्रत्यक्ष ध्वनि की तुलना में एक लंबा, डिले पथ लेती है, और एक कॉम्ब निस्यंदक बनाया जाता है जहां श्रोता पर दोनों का मिश्रण होता है।

परिपालन
कॉम्ब निस्यंदक दो रूपों में विद्यमान होते हैं, अग्रभरण (फ़ीडफ़ॉर्वर्ड) और पुनर्निवेशन, जो उस दिशा को संदर्भित करता है जिसमें सिग्नल विलम्बित होने से पहले निविष्ट से जोड़े जाते है।

कॉम्ब निस्यंदक असतत काल या सतत काल रूपों में लागू किए जा सकते हैं जो बहुत साधारण हैं।

अग्रभरण संरचना
अग्रभरण कॉम्ब निस्यंदक की सामान्य संरचना अवकल समीकरण द्वारा वर्णित है:
 * $$y[n] = x[n] + \alpha x[n-K] $$

जहां $$K$$ डिले की लंबाई (प्रतिरूप में मापी गई) है, और $α$ डिले सिग्नल पर लागू होने वाला मापन कारक है। समीकरण के दोनों पक्षों के $z$ रूपांतरण (ट्रांसफॉर्म) से प्राप्त होता है:
 * $$Y(z) = \left(1 + \alpha z^{-K}\right) X(z) $$

अंतरण फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
 * $$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = 1 + \alpha z^{-K} = \frac{z^K + \alpha}{z^K} $$

आवृत्ति प्रतिक्रिया
$α$-डोमेन में व्यक्त एक असतत-काल प्रणाली की आवृत्ति प्रतिक्रिया, प्रतिस्थापन $K = 1$ द्वारा प्राप्त की जाती है। इसलिए, अग्रभरण कॉम्ब निस्यंदक के लिए:
 * $$H\left(e^{j \Omega}\right) = 1 + \alpha e^{-j \Omega K} $$

यूलर के सूत्र का उपयोग करके, आवृत्ति प्रतिक्रिया भी निम्न द्वारा दी जाती है
 * $$H\left(e^{j \Omega}\right) = \bigl[1 + \alpha \cos(\Omega K)\bigr] - j \alpha \sin(\Omega K) $$

प्रायः दिलचस्पी की परिमाण प्रतिक्रिया होती है, जो चरण की उपेक्षा करती है। इसे इस तरह परिभाषित किया गया है:
 * $$\left| H\left(e^{j \Omega}\right) \right| = \sqrt{\Re\left\{H\left(e^{j \Omega}\right)\right\}^2 + \Im\left\{H\left(e^{j \Omega}\right)\right\}^2}

$$ अग्रभरण कॉम्ब निस्यंदक की स्थिति में:
 * $$\left| H\left(e^{j \Omega}\right) \right| = \sqrt{\left(1 + \alpha^2\right) + 2 \alpha \cos(\Omega K)} $$

$α$ पद नियत है, जबकि $K = 1$ पद समय-समय पर बदलता रहता है। इसलिए कॉम्ब निस्यंदक की परिमाण प्रतिक्रिया नियतकालिक होती है।

रेखांकन इस नियतकालिकता को प्रदर्शित करते हुए α के विभिन्न मनो के लिए परिमाण प्रतिक्रिया दिखाते हैं। कुछ महत्वपूर्ण गुण:
 * प्रतिक्रिया समय-समय पर एक स्थानीय न्यूनतम (जिन्हे कभी-कभी नॉच कहा जाता है) तक गिर जाती है, और समय-समय पर एक स्थानीय अधिकतम (जिन्हे कभी-कभी शिखर मान या दन्त कहा जाता है) तक बढ़ जाती है।
 * $z$ के धनात्मक मनो के लिए, पहला निम्निष्ठ डिले अवधि के आधे पर होता है और उसके बाद डिले आवृत्ति के गुणकों पर भी पुनराव्रत्ति करता है:
 * $$f = \frac{1}{2 K}, \frac{3}{2 K}, \frac{5}{2 K} \cdots$$.


 * उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ का स्तर हमेशा 1 से समान दुरी का होता है।
 * जब $z = e$, निम्निष्ठ आयाम शून्य होता है। इस स्थिति में, कभी-कभी निम्निष्ठ को अक्षम (नल) के रूप में जाना जाता है।
 * $(1 + α^{2})$ के धनात्मक मनो धनात्मक के लिए उच्चिष्ठ ऋणात्मक मनो के लिए निम्निष्ठ के सामान होता है

आवेग प्रतिक्रिया
अग्रभरण कॉम्ब निस्यंदक सबसे सरल परिमित आवेग प्रतिक्रिया निस्यंदक में से एक है। इसकी प्रतिक्रिया डिले के बाद दूसरे आवेग के साथ केवल प्रारंभिक आवेग है।

ध्रुव-शून्य स्पष्टीकरण
अग्रभरण कॉम्ब निस्यंदक के $2α cos(ΩK)$-डोमेन अंतरण फलन को फिर से देखें:
 * $$H(z) = \frac{z^K + \alpha}{z^K} $$

जब भी $α$ हो तो अंश शून्य के बराबर होता है। इसमें $α = ±1$ के समाधान हैं, जो समान रूप से जटिल तल में एक वृत्त के चारों ओर स्थित हैं; ये अंतरण फलन के शून्य हैं। $α$ पर हर शून्य है, $z$ ध्रुवों को $z^{K} = −α$ पर दे रहा है। यह दिखाए गए लोगों की तरह एक ध्रुव-शून्य प्लॉट की ओर अग्रसित होता है।

पुनर्निवेशन संरचना
इसी तरह, एक पुनर्निवेशन कॉम्ब निस्यंदक की सामान्य संरचना को अवकल समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है:
 * $$y[n] = x[n] + \alpha y[n-K] $$

इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि $$y$$ में सभी शब्द बाईं ओर हों, और फिर $K$ रूपांतरण लें:
 * $$\left(1 - \alpha z^{-K}\right) Y(z) = X(z) $$

अतः अंतरण फलन:
 * $$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{1}{1 - \alpha z^{-K}} = \frac{z^K}{z^K - \alpha} $$

आवृत्ति प्रतिक्रिया
प्रतिक्रिया कॉम्ब निस्यंदक के लिए $z^{K} = 0$ को $K$-डोमेन व्यंजक में बदलना:
 * $$H\left(e^{j \Omega}\right) = \frac{1}{1 - \alpha e^{-j \Omega K}} $$

परिमाण प्रतिक्रिया इस प्रकार है:
 * $$\left| H\left(e^{j \Omega}\right) \right| = \frac{1}{\sqrt{\left(1 + \alpha^2\right) - 2 \alpha \cos(\Omega K)}} $$

फिर से, प्रतिक्रिया समय-समय पर होती है, जैसा कि ग्राफ़ प्रदर्शित करते हैं। पुनर्निवेशन कॉम्ब निस्यंदक में अग्रभरण फ़ॉर्म के साथ कुछ गुण समान हैं:
 * प्रतिक्रिया समय-समय पर स्थानीय न्यूनतम तक कम हो जाती है और स्थानीय अधिकतम तक बढ़ जाती है।
 * $z = 0$ के धनात्मक मनो के लिए उच्चिष्ठ $$\alpha$$ के ऋणात्मक मनो के लिए न्यूनतम के साथ मेल खाता है, और इसके विपरीत।
 * $K = 8$ के धनात्मक मनो के लिए, पहली अधिकतम 0 पर होती है और उसके बाद डिले आवृत्ति के गुणकों पर भी दोहराती है:
 * $$f = 0, \frac{1}{K}, \frac{2}{K}, \frac{3}{K} \cdots$$.

हालांकि, कुछ महत्वपूर्ण अंतर भी हैं क्योंकि परिमाण प्रतिक्रिया में हर में एक शब्द है:
 * उच्चिष्ठ और मिनिमा का स्तर अब 1 से समान दूरी पर नहीं है। उच्चिष्ठ का आयाम $α = 0.5$ है।
 * निस्यंदक केवल तभी स्थिर होता है जब $K = 8$ सख्ती से 1 से कम हो। जैसा कि ग्राफ़ से देखा जा सकता है, जैसे-जैसे $α = −0.5$ बढ़ता है, उच्चिष्ठ का आयाम तेजी से बढ़ता है।

आवेग प्रतिक्रिया
पुनर्निवेशन कॉम्ब निस्यंदक एक साधारण प्रकार का अनंत आवेग प्रतिक्रिया निस्यंदक है। यदि स्थिर है, तो प्रतिक्रिया में समय के साथ आयाम में घटते आवेगों की दोहराव श्रृंखला होती है।

ध्रुव-शून्य स्पष्टीकरण
पुनर्निवेशन कॉम्ब निस्यंदक के $z$- डोमेन अंतरण फलन को फिर से देखना:
 * $$H(z) = \frac{z^K}{z^K - \alpha} $$

इस बार, $α$ पर अंश शून्य है, $K = 2$ पर $α$ शून्य देता है। जब भी $K = 2$ हर शून्य के बराबर होता है। इसमें $z = e$ के समाधान हैं, जो समान रूप से जटिल तल में एक वृत्त के चारों ओर स्थित हैं; ये अंतरण फलन के ध्रुव हैं। यह नीचे दिखाए गए लोगों की तरह एक ध्रुव-शून्य प्लॉट की अग्रसित होता है।

सतत-काल कॉम्ब निस्यंदक
कॉम्ब निस्यंदक को सतत-काल में भी लागू किया जा सकता है। अग्रभरण संरचना का वर्णन निम्न समीकरण द्वारा किया जा सकता है:


 * $$y(t) = x(t) + \alpha x(t - \tau) $$

जहां $z$ डिले (सेकंड में मापा जाता है) है। इसमें निम्नलिखित अंतरण फलन हैं:


 * $$H(s) = 1 + \alpha e^{-s \tau} $$

अग्रभरण संरचना में अनंत संख्या में शून्य होते हैं जो कि jω अक्ष के साथ होते हैं।

पुनर्निवेशन संरचना में समीकरण है:


 * $$y(t) = x(t) + \alpha y(t - \tau) $$

और निम्नलिखित अंतरण फलन:


 * $$H(s) = \frac{1}{1 - \alpha e^{-s \tau}} $$

पुनर्निवेशन संरचना में अनंत संख्या में ध्रुव होते हैं जो jω अक्ष के साथ होते हैं।

सतत-काल कार्यान्वयन संबंधित असतत-काल कार्यान्वयन के सभी गुणों को साझा करते हैं।

यह भी देखें

 * डिराक कॉम्ब
 * फैब्री-पेरोट व्यतिकरणमापी

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