चरघातांकी समाकल

फ़ाइल:घातांकीय अभिन्न फलन E n(z) का n= के साथ प्लॉट2 in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D.svg|alt=Plot of the exponential integral function E n(z) जटिल तल में n=2 के साथ -2-2i से 2+2i तक गणित 13.1 फ़ंक्शन कॉम्प्लेक्सप्लॉट3डी|थंब|के साथ बनाए गए रंगों के साथ जटिल तल में n=2 के साथ घातीय अभिन्न फ़ंक्शन E n(z) का प्लॉट गणित 13.1 फ़ंक्शन कॉम्प्लेक्सप्लॉट3डी के साथ बनाए गए रंगों के साथ -2-2i से 2+2i तक, गणित में, घातीय अभिन्न ईआई जटिल विमान पर एक विशेष फ़ंक्शन है। इसे एक घातीय फ़ंक्शन और किसी फ़ंक्शन के तर्क के बीच अनुपात के एक विशेष निश्चित अभिन्न अंग के रूप में परिभाषित किया गया है।

परिभाषाएँ
x के वास्तविक गैर-शून्य मानों के लिए, घातांकीय समाकलन Ei(x) को इस प्रकार परिभाषित किया गया है


 * $$ \operatorname{Ei}(x) = -\int_{-x}^\infty \frac{e^{-t}}t\,dt = \int_{-\infty}^x \frac{e^t}t\,dt.$$

जोखिम एल्गोरिथ्म से पता चलता है कि ईआई एक प्राथमिक कार्य नहीं है। उपरोक्त परिभाषा का उपयोग x के सकारात्मक मानों के लिए किया जा सकता है, लेकिन शून्य पर इंटीग्रैंड की विलक्षणता के कारण इंटीग्रल को कॉची प्रमुख मूल्य के संदर्भ में समझा जाना चाहिए।

तर्क के जटिल मूल्यों के लिए, 0 और पर शाखा बिंदुओं के कारण परिभाषा अस्पष्ट हो जाती है $\infty$. Ei के स्थान पर निम्नलिखित संकेतन का प्रयोग किया जाता है,
 * $$E_1(z) = \int_z^\infty \frac{e^{-t}}{t}\, dt,\qquad|{\rm Arg}(z)|<\pi$$[[File:Plot of the exponential integral function Ei(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D.svg|alt=Plot of the exponential integral function Ei(z) जटिल तल में -2-2i से 2+2i तक गणित 13.1 फ़ंक्शन कॉम्प्लेक्सप्लॉट3D|थंब|के साथ बनाए गए रंगों के साथ जटिल तल में -2-2i से 2+2i तक घातीय इंटीग्रल फ़ंक्शन Ei(z) का प्लॉट मैथमेटिका 13.1 फ़ंक्शन कॉम्प्लेक्सप्लॉट3डी के साथ बनाए गए रंगों के साथ]]x के सकारात्मक मानों के लिए, हमारे पास है $-E_1(x) = \operatorname{Ei}(-x)$.

सामान्य तौर पर, एक शाखा कट को नकारात्मक वास्तविक अक्ष और ई पर लिया जाता है1 जटिल स्तर पर कहीं और विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा परिभाषित किया जा सकता है।

के वास्तविक भाग के सकारात्मक मूल्यों के लिए $$z$$, ये लिखा जा सकता है
 * $$E_1(z) = \int_1^\infty \frac{e^{-tz}}{t}\, dt = \int_0^1 \frac{e^{-z/u}}{u}\, du ,\qquad \Re(z) \ge 0.$$

ई का व्यवहार1 शाखा के निकट कट को निम्नलिखित संबंध द्वारा देखा जा सकता है:
 * $$\lim_{\delta\to0+} E_1(-x \pm i\delta) = -\operatorname{Ei}(x) \mp i\pi,\qquad x>0.$$

गुण
नीचे दिए गए घातीय अभिन्न के कई गुण, कुछ मामलों में, ऊपर की परिभाषा के माध्यम से इसके स्पष्ट मूल्यांकन से बचने की अनुमति देते हैं।

अभिसारी श्रृंखला
नकारात्मक वास्तविक अक्ष से हटकर वास्तविक या जटिल तर्कों के लिए, $$E_1(z)$$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
 * $$E_1(z) = -\gamma - \ln z - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-z)^k}{k\; k!} \qquad (\left| \operatorname{Arg}(z) \right| < \pi)$$

कहाँ $$\gamma$$ यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है। योग सभी कॉम्प्लेक्स के लिए एकत्रित होता है $$z$$, और हम नकारात्मक वास्तविक अक्ष के साथ काटी गई शाखा वाले जटिल लघुगणक का सामान्य मान लेते हैं।

इस सूत्र का उपयोग गणना करने के लिए किया जा सकता है $$E_1(x)$$ वास्तव में फ़्लोटिंग पॉइंट ऑपरेशंस के साथ $$x$$ 0 और 2.5 के बीच. के लिए $$x > 2.5$$, विनाशकारी रद्दीकरण के कारण परिणाम गलत है।

रामानुजन द्वारा एक तीव्र अभिसरण श्रृंखला की खोज की गई:


 * $${\rm Ei} (x) = \gamma + \ln x + \exp{(x/2)} \sum_{n=1}^\infty \frac{ (-1)^{n-1} x^n} {n! \, 2^{n-1}} \sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor} \frac{1}{2k+1}$$

इन वैकल्पिक श्रृंखलाओं का उपयोग छोटे x के लिए अच्छी स्पर्शोन्मुख सीमाएँ देने के लिए भी किया जा सकता है, उदाहरण के लिए :


 * $$1-\frac{3 x}{4}\le{\rm Ei} (x) - \gamma - \ln x \le 1-\frac{3 x}{4}+\frac{11 x^2}{36}$$

के लिए $$x\ge 0$$.

स्पर्शोन्मुख (अपसारी) श्रृंखला
दुर्भाग्य से, बड़े मापांक के तर्कों के लिए उपरोक्त श्रृंखला का अभिसरण धीमा है। उदाहरण के लिए, तीन महत्वपूर्ण अंकों का सही उत्तर पाने के लिए 40 से अधिक शब्दों की आवश्यकता होती है $$E_1(10)$$. हालाँकि, x के सकारात्मक मानों के लिए, एक अपसारी श्रृंखला सन्निकटन है जिसे एकीकृत करके प्राप्त किया जा सकता है $$x e^x E_1(x)$$ भागों द्वारा:
 * $$E_1(x)=\frac{\exp(-x)} x \left(\sum_{n=0}^{N-1} \frac{n!}{(-x)^n} +O(N!x^{-N}) \right)$$

उपरोक्त सन्निकटन की सापेक्ष त्रुटि को विभिन्न मानों के लिए दाईं ओर के चित्र में अंकित किया गया है $$N$$, काटे गए योग में पदों की संख्या ($$N=1$$ लाल, $$N=5$$ गुलाबी रंग में)।

सभी आदेशों से परे स्पर्शोन्मुखता
भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके, हम एक स्पष्ट सूत्र प्राप्त कर सकते हैं $$\operatorname{Ei}(z) = \frac{e^{z}} {z} \left (\sum _{k=0}^{n} \frac{k!} {z^{k}} + e_{n}(z)\right), \quad e_{n}(z) \equiv (n + 1)!\ ze^{-z}\int _{ -\infty }^{z} \frac{e^{t}} {t^{n+2}}\,dt$$किसी भी निश्चित के लिए $$z$$, त्रुटि पद का पूर्ण मान $$|e_n(z)|$$ घटता है, फिर बढ़ता है। न्यूनतम पर होता है $$n\sim |z|$$, कब $$\vert e_{n}(z)\vert \leq \sqrt{\frac{2\pi } {\vert z\vert }}e^{-\vert z\vert }$$. इस बाउंड को सभी आदेशों से परे एसिम्प्टोटिक्स कहा जाता है।

घातांकीय और लघुगणकीय व्यवहार: ब्रैकेटिंग
पिछले उपखंडों में सुझाई गई दो श्रृंखलाओं से, यह इस प्रकार है $$E_1$$ तर्क के बड़े मानों के लिए ऋणात्मक घातांक की तरह और छोटे मानों के लिए लघुगणक की तरह व्यवहार करता है। तर्क के सकारात्मक वास्तविक मूल्यों के लिए, $$E_1$$ प्राथमिक कार्यों द्वारा निम्नानुसार कोष्ठक में रखा जा सकता है:

\frac 1 2 e^{-x}\,\ln\!\left( 1+\frac 2 x \right) < E_1(x) < e^{-x}\,\ln\!\left( 1+\frac 1 x \right) \qquad x>0 $$ इस असमानता का बायाँ भाग ग्राफ़ में बाईं ओर नीले रंग में दिखाया गया है; केंद्रीय भाग $$E_1(x)$$ काले रंग में दिखाया गया है और दाहिना भाग लाल रंग में दिखाया गया है।

ईइन
द्वारा परिभाषित

दोनों $$\operatorname{Ei}$$ और $$E_1$$ संपूर्ण फ़ंक्शन का उपयोग करके अधिक सरलता से लिखा जा सकता है $$\operatorname{Ein}$$ के रूप में परिभाषित

\operatorname{Ein}(z) = \int_0^z (1-e^{-t})\frac{dt}{t} = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}z^k}{k\; k!} $$ (ध्यान दें कि यह उपरोक्त परिभाषा में केवल एक वैकल्पिक श्रृंखला है $$\mathrm{E}_1$$). तो हमारे पास हैं

E_1(z) \,=\, -\gamma-\ln z + {\rm Ein}(z) \qquad \left| \operatorname{Arg}(z) \right| < \pi $$
 * $$\operatorname{Ei}(x) \,=\, \gamma+\ln{\left| x \right|} - \operatorname{Ein}(-x)

\qquad x \neq 0 $$

अन्य कार्यों के साथ संबंध
कुमेर का समीकरण
 * $$z\frac{d^2w}{dz^2} + (b-z)\frac{dw}{dz} - aw = 0$$

आमतौर पर संगम हाइपरज्यामितीय कार्य द्वारा हल किया जाता है $$M(a,b,z)$$ और $$U(a,b,z).$$ लेकिन जब $$a=0$$ और $$b=1,$$ वह है,
 * $$z\frac{d^2w}{dz^2} + (1-z)\frac{dw}{dz} = 0$$

अपने पास
 * $$M(0,1,z)=U(0,1,z)=1$$

सभी z के लिए. फिर ई द्वारा दूसरा समाधान दिया जाता है1(−z). वास्तव में,
 * $$E_1(-z)=-\gamma-i\pi+\frac{\partial[U(a,1,z)-M(a,1,z)]}{\partial a},\qquad 0<{\rm Arg}(z)<2\pi$$

व्युत्पन्न के साथ मूल्यांकन किया गया $$a=0.$$ संगम हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शंस के साथ एक और संबंध यह है कि ई1फ़ंक्शन U(1,1,z) का एक घातीय गुना है:
 * $$E_1(z)=e^{-z}U(1,1,z)$$

घातीय इंटीग्रल सूत्र द्वारा लॉगरिदमिक इंटीग्रल फ़ंक्शन li(x) से निकटता से संबंधित है
 * $$\operatorname{li}(e^x) = \operatorname{Ei}(x)$$

के गैर-शून्य वास्तविक मानों के लिए $$x $$.

सामान्यीकरण
घातीय अभिन्न को भी सामान्यीकृत किया जा सकता है


 * $$E_n(x) = \int_1^\infty \frac{e^{-xt}}{t^n}\, dt,$$

जिसे ऊपरी अपूर्ण गामा फ़ंक्शन के एक विशेष मामले के रूप में लिखा जा सकता है:
 * $$E_n(x) =x^{n-1}\Gamma(1-n,x).$$

सामान्यीकृत रूप को कभी-कभी मिश्रा फ़ंक्शन कहा जाता है $$\varphi_m(x)$$, के रूप में परिभाषित


 * $$\varphi_m(x)=E_{-m}(x).$$

इस सामान्यीकृत रूप के कई गुण NIST गणितीय कार्यों की डिजिटल लाइब्रेरी में पाए जा सकते हैं।

लघुगणक को शामिल करना सामान्यीकृत पूर्णांक-घातांकीय फ़ंक्शन को परिभाषित करता है
 * $$E_s^j(z)= \frac{1}{\Gamma(j+1)}\int_1^\infty \left(\log t\right)^j \frac{e^{-zt}}{t^s}\,dt.$$

अनिश्चितकालीन अभिन्न:
 * $$ \operatorname{Ei}(a \cdot b) = \iint e^{a b} \, da \, db$$

के लिए सामान्य जनरेटिंग फ़ंक्शन के समान है $$d(n)$$, के भाजक की संख्या $$n$$:
 * $$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} d(n)x^{n} = \sum\limits_{a=1}^{\infty} \sum\limits_{b=1}^{\infty} x^{a b}$$

व्युत्पन्न
सामान्यीकृत कार्यों के व्युत्पन्न $$E_n$$ सूत्र के माध्यम से गणना की जा सकती है

E_n '(z) = - E_{n-1}(z) \qquad (n=1,2,3,\ldots) $$ ध्यान दें कि फ़ंक्शन $$E_0$$ मूल्यांकन करना आसान है (इस पुनरावृत्ति को उपयोगी बनाना), क्योंकि यह उचित है $$e^{-z}/z$$.

काल्पनिक तर्क का घातीय अभिन्न अंग
अगर $$z$$ काल्पनिक है, इसका एक गैर-नकारात्मक वास्तविक भाग है, इसलिए हम सूत्र का उपयोग कर सकते हैं

E_1(z) = \int_1^\infty \frac{e^{-tz}} t \, dt $$ त्रिकोणमितीय अभिन्नों के साथ संबंध प्राप्त करने के लिए $$\operatorname{Si}$$ और $$\operatorname{Ci}$$:

E_1(ix) = i\left[ -\tfrac{1}{2}\pi + \operatorname{Si}(x)\right] - \operatorname{Ci}(x) \qquad (x > 0) $$ के वास्तविक और काल्पनिक भाग $$\mathrm{E}_1(ix)$$ चित्र में दाईं ओर काले और लाल वक्रों के साथ अंकित हैं।

अनुमान
घातांकीय अभिन्न फलन के लिए कई सन्निकटन दिए गए हैं। इसमे शामिल है:

A &= \ln\left [\left (\frac{0.56146}{x}+0.65\right)(1+x)\right] \\ B &= x^4e^{7.7x}(2+x)^{3.7} \end{align}$$ * एलन और हेस्टिंग्स सन्निकटन $$E_1(x) = \begin{cases} - \ln x +\textbf{a}^T\textbf{x}_5,&x\leq1 \\ \frac{e^{-x}} x \frac{\textbf{b}^T \textbf{x}_3}{\textbf{c}^T\textbf{x}_3},&x\geq1 \end{cases}$$ कहाँ $$\begin{align} \textbf{a} & \triangleq [-0.57722, 0.99999, -0.24991, 0.05519, -0.00976, 0.00108]^T \\ \textbf{b} & \triangleq[0.26777,8.63476, 18.05902, 8.57333]^T \\ \textbf{c} & \triangleq[3.95850, 21.09965, 25.63296, 9.57332]^T \\ \textbf{x}_k &\triangleq[x^0,x^1,\dots, x^k]^T \end{align}$$ h &= \frac{1}{1+x\sqrt{x}}+\frac{h_{\infty}q}{1+q} \\ q &=\frac{20}{47}x^{\sqrt{\frac{31}{26}}} \\ h_{\infty} &= \frac{(1-G)(G^2-6G+12)}{3G(2-G)^2b} \\ b &=\sqrt{\frac{2(1-G)}{G(2-G)}} \\ G &= e^{-\gamma} \end{align}$$ साथ $$\gamma$$ यूलर-माशेरोनी स्थिरांक होना।
 * स्वामी और ओहिजा सन्निकटन $$E_1(x) = \left (A^{-7.7}+B \right )^{-0.13},$$ कहाँ $$\begin{align}
 * निरंतर अंश विस्तार $$E_1(x) = \cfrac{e^{-x}}{x+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{x+\cfrac{2}{1+\cfrac{2}{x+\cfrac{3}{\ddots}}}}}}.$$
 * बैरी एट अल का अनुमान। $$E_1(x) = \frac{e^{-x}}{G+(1-G)e^{-\frac{x}{1-G}}}\ln\left[1+\frac G x -\frac{1-G}{(h+bx)^2}\right],$$ कहाँ: $$\begin{align}

अनुप्रयोग

 * समय-निर्भर गर्मी हस्तांतरण
 * जलभृत परीक्षण में कोई भी संतुलन भूजल प्रवाह#क्षणिक थिस समाधान (जिसे एक कुआं कार्य कहा जाता है)
 * तारकीय और ग्रहीय वातावरण में विकिरण स्थानांतरण
 * लाइन स्रोतों और सिंक के साथ क्षणिक या अस्थिर स्थिति प्रवाह के लिए रेडियल प्रसार समीकरण
 * सरलीकृत 1-डी ज्यामिति में न्यूट्रॉन परिवहन समीकरण का समाधान

यह भी देखें

 * गुडविन-स्टेटन इंटीग्रल
 * बिकले-नायलर कार्य

संदर्भ

 * , Chapter 5.

बाहरी संबंध

 * NIST documentation on the Generalized Exponential Integral
 * Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals in DLMF.
 * Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals in DLMF.
 * Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals in DLMF.
 * Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals in DLMF.
 * Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals in DLMF.