P-एडिक संख्या

गणित में,$p$-किसी भी अभाज्य संख्या के लिए आदिक संख्या प्रणाली$p$ परिमेय संख्याओं के सामान्य अंकगणित को परिमेय संख्या प्रणाली के विस्तार से भिन्न तरीके से वास्तविक संख्या और सम्मिश्र संख्या संख्या प्रणालियों तक विस्तारित करता है। विस्तार निकटता या पूर्ण मूल्य की अवधारणा की वैकल्पिक व्याख्या द्वारा प्राप्त किया जाता है। विशेष रूप से, दो $p$-आदिक संख्याओं को तब निकट माना जाता है जब उनका अंतर उच्च घातांक द्वारा विभाज्य होता है $p$: शक्ति जितनी अधिक होगी, वे उतने ही करीब होंगे। यह संपत्ति सक्षम बनाती है $p$-एडिक नंबर मॉड्यूलर अंकगणितीय जानकारी को इस तरह से एन्कोड करने के लिए कि संख्या सिद्धांत में शक्तिशाली अनुप्रयोग हो - उदाहरण के लिए, एंड्रयू विल्स द्वारा फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के विल्स के प्रमाण में। इन संख्याओं का वर्णन सबसे पहले 1897 में कर्ट हेन्सल द्वारा किया गया था, हालाँकि, पीछे से देखने पर, अर्न्स्ट कुमेर|अर्न्स्ट कुमेर के पहले के कुछ कार्यों की व्याख्या परोक्ष रूप से उपयोग करके की जा सकती है $p$-एडिक नंबर. $p}|पी$-एडिक संख्याएं मुख्य रूप से शक्ति श्रृंखला विधियों के विचारों और तकनीकों को संख्या सिद्धांत में लाने के प्रयास से प्रेरित थीं। उनका प्रभाव अब इससे भी कहीं आगे तक फैल गया है। उदाहरण के लिए, पी-एडिक विश्लेषण का क्षेत्र|$p$-एडिक विश्लेषण अनिवार्य रूप से गणना  का एक वैकल्पिक रूप प्रदान करता है।

अधिक औपचारिक रूप से, किसी दिए गए प्राइम के लिए$p$, क्षेत्र (गणित) $Q_{p}$ का $p$-आदिक संख्याएँ परिमेय संख्याओं का एक पूर्ण स्थान है। फील्ड $Q_{p}$ को मीट्रिक स्थान से प्राप्त एक टोपोलॉजिकल स्पेस भी दिया जाता है, जो स्वयं पी-एडिक ऑर्डर से प्राप्त होता है|$p$-आदिक क्रम, तर्कसंगत संख्याओं पर एक वैकल्पिक मूल्यांकन (बीजगणित)। यह मीट्रिक स्थान इस अर्थ में पूर्णता (टोपोलॉजी) है कि प्रत्येक कॉची अनुक्रम एक बिंदु पर अभिसरण अनुक्रम $Q_{p}$. यही वह है जो कैलकुलस के विकास की अनुमति देता है $Q_{p}$, और यह इस विश्लेषणात्मक और बीजगणितीय ज्यामिति संरचना की परस्पर क्रिया है जो देता है $p$-आदिक संख्या प्रणालियाँ उनकी शक्ति और उपयोगिता। वह $p$ में$p$-एडिक एक वेरिएबल (गणित) है और इसे एक अभाज्य (उदाहरण के लिए, 2-एडिक संख्याएँ उत्पन्न करने वाला) या एक अभाज्य संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले किसी अन्य अभिव्यक्ति (गणित) से बदला जा सकता है। का आदिक$p$-एडिक, डायडिक अंश या ट्रायडिक संबंध जैसे शब्दों में पाए जाने वाले अंत से आता है।

तर्कसंगत संख्याओं का पी-एडिक विस्तार
एक धनात्मक परिमेय संख्या का दशमलव विस्तार $$r$$ एक श्रृंखला के रूप में इसका प्रतिनिधित्व है (गणित)
 * $$r = \sum_{i=k}^\infty a_i 10^{-i},$$

कहाँ $$k$$ एक पूर्णांक है और प्रत्येक $$a_i$$ ऐसा भी एक पूर्णांक है $$0\le a_i <10.$$ इस विस्तार की गणना अंश को हर से लंबे विभाजन द्वारा की जा सकती है, जो स्वयं निम्नलिखित प्रमेय पर आधारित है: यदि $$r=\tfrac n d$$ ऐसी एक परिमेय संख्या है $$10^k\le r <10^{k+1},$$ एक पूर्णांक है $$a$$ ऐसा है कि $$0< a <10,$$ और $$r = a\,10^k +r',$$ साथ $$r'<10^k.$$ इस परिणाम को शेषफल पर बार-बार लागू करके दशमलव विस्तार प्राप्त किया जाता है $$r'$$ जो पुनरावृत्ति में मूल परिमेय संख्या की भूमिका ग्रहण करता है $$r$$. $p}|पी$-एक परिमेय संख्या का आदिक विस्तार समान रूप से परिभाषित किया गया है, लेकिन एक अलग विभाजन चरण के साथ। अधिक सटीक रूप से, एक निश्चित अभाज्य संख्या दी गई है $$p$$, प्रत्येक अशून्य परिमेय संख्या $$r$$ विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है $$r=p^k\tfrac n d,$$ कहाँ $$k$$ एक (संभवतः नकारात्मक) पूर्णांक है, $$n$$ और $$d$$ सहअभाज्य पूर्णांक हैं जिनके साथ दोनों सहअभाज्य हैं $$p$$, और $$d$$ सकारात्मक है। पूर्णांक $$k$$ है$p$-आदिक मूल्यांकन $$r$$, निरूपित $$v_p(r),$$ और $$p^{-k}$$ क्या ऐसी बात है$p$-आदिक निरपेक्ष मान, निरूपित $$|r|_p$$ (मूल्यांकन बड़ा होने पर पूर्ण मूल्य छोटा होता है)। विभाजन चरण में लिखना शामिल है
 * $$r = a\,p^k + r'$$

कहाँ $$a$$ ऐसा एक पूर्णांक है $$0\le a k$$). $$p$$वें>-आदिक विस्तार $$r$$ औपचारिक शक्ति श्रृंखला है
 * $$r = \sum_{i=k}^\infty a_i p^i$$

क्रमिक शेषफलों पर #विभाजन_चरण विभाजन चरण को अनिश्चित काल तक दोहराकर प्राप्त किया जाता है। में एक $p$-आदिक विस्तार, सभी $$a_i$$ ऐसे पूर्णांक हैं $$0\le a_i  0$$, प्रक्रिया अंततः शून्य शेष के साथ रुक जाती है; इस मामले में, श्रृंखला शून्य गुणांक वाले अनुवर्ती पदों द्वारा पूरी की जाती है, और इसका प्रतिनिधित्व है $$r$$ आधार-एन|आधार में-$p$.

का अस्तित्व एवं गणना $p$-एक परिमेय संख्या का विशेष विस्तार बेज़ाउट की पहचान से निम्नलिखित तरीके से होता है। यदि, जैसा कि ऊपर बताया गया है, $$r=p^k \tfrac n d,$$ और $$d$$ और $$p$$ सहअभाज्य हैं, पूर्णांक मौजूद हैं $$t$$ और $$u$$ ऐसा है कि $$t d+u p=1.$$ इसलिए
 * $$r=p^k \tfrac n d(t d+u p)=p^k n t + p^{k+1}\frac{u n}d.$$

फिर, यूक्लिडियन प्रभाग $$n t$$ द्वारा $$p$$ देता है
 * $$n t=q p+a,$$

साथ $$0\le a <p.$$ यह विभाजन चरण को इस प्रकार देता है
 * $$\begin{array}{lcl}

r & = & p^k(q p+a) + p^{k+1}\frac {u n}d \\ & = & a p^k +p^{k+1}\,\frac{q d+u n} d, \\ \end{array}$$ ताकि पुनरावृत्ति में
 * $$r' = p^{k+1}\,\frac{q d+u n} d$$

नई परिमेय संख्या है.

विभाजन चरण और संपूर्ण की विशिष्टता $p$-एडिक विस्तार आसान है: यदि $$p^k a_1 + p^{k+1}s_1=p^k a_2 + p^{k+1}s_2,$$ किसी के पास $$a_1-a_2=p(s_2-s_1).$$ इसका मतलब यह है $$p$$ विभाजित $$a_1-a_2.$$ तब से $$0\le a_1 <p$$ और $$0\le a_2 <p,$$ निम्नलिखित सत्य होना चाहिए: $$0\le a_1$$ और $$a_2<p.$$ इस प्रकार, एक मिलता है $$-p < a_1-a_2 < p,$$ और तबसे $$p$$ विभाजित $$a_1-a_2$$ यह तो होना ही चाहिए $$a_1=a_2.$$

$p}|p$-एक परिमेय संख्या का विशेष विस्तार एक श्रृंखला है जो परिमेय संख्या में परिवर्तित हो जाती है, यदि कोई अभिसरण श्रृंखला की परिभाषा को लागू करता है $p$-आदिक निरपेक्ष मान. मानक में $p$-एडिक नोटेशन, अंक उसी क्रम में लिखे जाते हैं जैसे पोजिशनल नोटेशन#अंक प्रणाली का आधार|मानक आधार-$p$ प्रणाली, अर्थात् आधार की शक्तियाँ बाईं ओर बढ़ने के साथ। इसका मतलब यह है कि अंकों का उत्पादन उलट जाता है और सीमा बाईं ओर होती है। वह $p$-किसी परिमेय संख्या का आदिक विस्तार अंततः आवर्ती फलन होता है। वार्तालाप (तर्क), एक शृंखला $\sum_{i=k}^\infty a_i p^i,$ साथ $$0\le a_i <p$$ अभिसरण (के लिए) $p$-एडिक निरपेक्ष मान) एक तर्कसंगत संख्या के लिए यदि और केवल यदि यह अंततः आवधिक है; इस मामले में, श्रृंखला है $p$-उस परिमेय संख्या का आदिक विस्तार। गणितीय प्रमाण दशमलव को दोहराने के समान परिणाम के समान है।

उदाहरण
आइए हम 5-एडिक विस्तार की गणना करें $$\frac 13.$$ 5 और हर 3 के लिए बेज़ाउट की पहचान है $$2\cdot 3 + (-1)\cdot 5 =1$$ (बड़े उदाहरणों के लिए, इसकी गणना विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिदम के साथ की जा सकती है)। इस प्रकार
 * $$\frac 13= 2-\frac 53.$$

अगले कदम के लिए बंटवारा करना होगा $$-1/3$$ (अंश के अंश में कारक 5 को अंकगणितीय बदलाव के रूप में देखा जाना चाहिए $p$-आदिक मूल्यांकन, और इस प्रकार यह विभाजन में शामिल नहीं है)। बेज़आउट की पहचान को इससे गुणा करना $$-1$$ देता है
 * $$-\frac 13=-2+\frac 53.$$

पूर्णांक भाग $$-2$$ सही अंतराल में नहीं है. तो, किसी को यूक्लिडियन डिवीजन का उपयोग करना होगा $$5$$ पाने के लिए $$-2= 3-1\cdot 5,$$ दे रही है
 * $$-\frac 13=3-5+\frac 53 = 3-\frac {10}3,$$

और
 * $$\frac 13= 2+3\cdot 5 + \frac {-2}3\cdot 5^2.$$

इसी प्रकार, एक के पास है
 * $$-\frac 23=1-\frac 53,$$

और
 * $$\frac 13=2+3\cdot 5 + 1\cdot 5^2 +\frac {-1}3\cdot 5^3.$$

शेष के रूप में $$-\tfrac 13$$ पहले ही पाया जा चुका है, गुणांक देकर प्रक्रिया को आसानी से जारी रखा जा सकता है $$3$$ पाँच की समता (गणित) शक्तियों के लिए, और $$1$$ समता (गणित) शक्तियों के लिए। या मानक 5-एडिक नोटेशन में
 * $$\frac 13= \ldots 1313132_5 $$

अंडाकार के साथ $$ \ldots $$ बाएं हाथ की ओर।

पी-एडिक श्रृंखला
इस लेख में एक अभाज्य संख्या दी गयी है $p$, ए$p$-एडिक श्रृंखला रूप की एक औपचारिक श्रृंखला है
 * $$\sum_{i=k}^\infty a_i p^i,$$

जहां हर शून्येतर $$a_i$$ एक परिमेय संख्या है $$a_i=\tfrac {n_i}{d_i},$$ ऐसा कि कोई भी नहीं $$n_i$$ और $$d_i$$ से विभाज्य है $p$.

प्रत्येक परिमेय संख्या को एक के रूप में देखा जा सकता है $p$-एकल पद के साथ एडिक श्रृंखला, जिसमें इसके रूप का गुणनखंडन शामिल है $$p^k\tfrac nd,$$ साथ $n$ और $d$ दोनों सहअभाज्य हैं $p$.

ए $p$-एडिक श्रृंखला सामान्यीकृत होती है यदि प्रत्येक $$a_i$$ अंतराल में एक पूर्णांक है (गणित) $$[0,p-1].$$ इतना $p$-किसी परिमेय संख्या का सामान्यीकृत विस्तार सामान्यीकृत होता है $p$-एडिक श्रृंखला।

पी-एडिक मूल्यांकन|$p$-एडिक मूल्यांकन, या $p$-अशून्य का आदिक क्रम $p$-एडीआईसी श्रृंखला सबसे कम पूर्णांक है $i$ ऐसा है कि $$a_i\ne 0.$$ शून्य श्रेणी का क्रम अनन्त है $$\infty.$$ दो $p$-एडिक श्रृंखला समतुल्य होती है यदि उनका क्रम समान हो $k$, और यदि प्रत्येक पूर्णांक के लिए $n ≥ k$ उनके आंशिक योग के बीच का अंतर
 * $$\sum_{i=k}^n a_ip^i-\sum_{i=k}^n b_ip^i=\sum_{i=k}^n (a_i-b_i)p^i$$

से बड़ा ऑर्डर है $n$ (अर्थात्, रूप की एक परिमेय संख्या है $$p^k\tfrac ab,$$ साथ $$k>n,$$ और $a$ और $b$ दोनों सहअभाज्य हैं $p$).

हरएक के लिए $p$-एडिक श्रृंखला $$S$$, एक अद्वितीय सामान्यीकृत श्रृंखला है $$N$$ ऐसा है कि $$S$$ और $$N$$ समतुल्य हैं. $$N$$ का सामान्यीकरण है $$S.$$ प्रमाण के अस्तित्व प्रमाण के समान है $p$-एक परिमेय संख्या का आदिक विस्तार। विशेष रूप से, प्रत्येक परिमेय संख्या को एक माना जा सकता है $p$-एक एकल गैर-शून्य पद के साथ एडीसी श्रृंखला, और इस श्रृंखला का सामान्यीकरण वास्तव में तर्कसंगत संख्या का तर्कसंगत प्रतिनिधित्व है।

दूसरे शब्दों में, की समतुल्यता $p$-एडिक श्रृंखला एक तुल्यता संबंध है, और प्रत्येक तुल्यता वर्ग में बिल्कुल एक सामान्यीकृत होता है $p$-एडिक श्रृंखला।

श्रृंखला (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) मानचित्र की सामान्य संक्रियाएँ $p$-एडिक सीरीज को $p$-एडिक श्रृंखला, और समतुल्यता के साथ संगत हैं $p$-एडिक श्रृंखला। अर्थात्, के साथ तुल्यता को निरूपित करना $~$, अगर $S$, $T$ और $U$ अशून्य हैं $p$-एडिक सीरीज ऐसी कि $$S\sim T,$$ किसी के पास
 * $$\begin{align}

S\pm U&\sim T\pm U,\\ SU&\sim TU,\\ 1/S&\sim 1/T. \end{align}$$ इसके अतिरिक्त, $S$ और $T$ का क्रम समान है, और प्रथम पद भी समान है।

स्थितीय संकेतन
मूलांक में संख्याओं को दर्शाने के लिए उपयोग किए जाने वाले स्थिति संकेतन के समान उपयोग करना संभव है $p$.

होने देना एक सामान्यीकृत हो $p$-एडिक श्रृंखला, यानी प्रत्येक $$a_i$$ अंतराल में एक पूर्णांक है $$[0,p-1].$$ ऐसा कोई भी मान सकता है $$k\le 0$$ व्यवस्थित करके $$a_i=0$$ के लिए $$0\le i 0$$), और परिणामी शून्य पदों को श्रृंखला में जोड़ना।

अगर $$k\ge 0,$$ स्थितीय संकेतन में लिखना शामिल है $$a_i$$ लगातार, के घटते मूल्यों द्वारा क्रमबद्ध $i$, अक्सर साथ $p$ एक सूचकांक के रूप में दाईं ओर दिखाई दे रहा है:
 * $$\ldots a_n \ldots a_1{a_0}_p$$

तो, #example की गणना यह दर्शाती है
 * $$\frac 13= \ldots 1313132_5,$$

और
 * $$\frac {25}3= \ldots 131313200_5.$$

कब $$k<0,$$ नकारात्मक सूचकांक वाले अंकों से पहले एक अलग बिंदु जोड़ा जाता है, और, यदि सूचकांक $p$ मौजूद है, यह अलग करने वाले बिंदु के ठीक बाद दिखाई देता है। उदाहरण के लिए,
 * $$\frac 1{15}= \ldots 3131313._52,$$

और
 * $$\frac 1{75}= \ldots 1313131._532.$$

यदि एक $p$-आदिक निरूपण बाईं ओर परिमित है (अर्थात्, $$a_i=0$$ के बड़े मूल्यों के लिए $i$), तो इसमें प्रपत्र की एक गैर-ऋणात्मक परिमेय संख्या का मान होता है $$n p^v,$$ साथ $$n,v$$ पूर्णांक ये परिमेय संख्याएँ बिल्कुल गैर-ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ हैं जिनका मूलांक में एक सीमित प्रतिनिधित्व होता है $p$. इन परिमेय संख्याओं के लिए, दोनों निरूपण समान हैं।

परिभाषा
की कई समतुल्य परिभाषाएँ हैं $p$-एडिक नंबर. जो यहां दिया गया है वह अपेक्षाकृत प्राथमिक है, क्योंकि इसमें पिछले अनुभागों में प्रस्तुत की गई गणितीय अवधारणाओं के अलावा कोई अन्य गणितीय अवधारणा शामिल नहीं है। अन्य समकक्ष परिभाषाएँ एक अलग मूल्यांकन रिंग की रिंग के पूरा होने का उपयोग करती हैं (देखें)। ), एक मीट्रिक स्थान का पूरा होना (देखें ), या व्युत्क्रम सीमाएँ (देखें ).

ए $p$-एडिक संख्या को सामान्यीकृत के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $p$-एडिक श्रृंखला। चूँकि अन्य समकक्ष परिभाषाएँ हैं जो आमतौर पर उपयोग की जाती हैं, कोई अक्सर कहता है कि सामान्यीकृत $p$-एडिक श्रृंखला एक का प्रतिनिधित्व करती है $p$-एडीआईसी संख्या, यह कहने के बजाय कि यह एक है $p$-एडिक नंबर.

यह भी कह सकते हैं कि कोई भी $p$-एडिक श्रृंखला एक का प्रतिनिधित्व करती है $p$-एडिक संख्या, प्रत्येक के बाद से $p$-एडिक श्रृंखला एक अद्वितीय सामान्यीकृत के बराबर है $p$-एडिक श्रृंखला। यह संक्रियाओं (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) को परिभाषित करने के लिए उपयोगी है $p$-एडिक संख्याएँ: ऐसे ऑपरेशन का परिणाम श्रृंखला पर संबंधित ऑपरेशन के परिणाम को सामान्य करके प्राप्त किया जाता है। यह अच्छी तरह से संचालन को परिभाषित करता है $p$-एडिक संख्याएं, चूंकि श्रृंखला संचालन समतुल्यता के साथ संगत हैं $p$-एडिक श्रृंखला।

इन ऑपरेशनों के साथ, $p$-आदिक संख्याएँ एक फ़ील्ड (गणित) बनाती हैं जिसे फ़ील्ड कहा जाता है $p$-आदिक संख्याएँ और निरूपित $$\Q_p$$ या $$\mathbf Q_p.$$ परिमेय संख्याओं से एक अद्वितीय क्षेत्र समरूपता है $p$-आदिक संख्याएं, जो एक परिमेय संख्या को मैप करती हैं $p$-आदिक विस्तार. इस समरूपता की छवि (गणित) को आमतौर पर तर्कसंगत संख्याओं के क्षेत्र से पहचाना जाता है। यह इस पर विचार करने की अनुमति देता है $p$-परिमेय संख्याओं के विस्तार क्षेत्र के रूप में आदिम संख्याएँ, और उपक्षेत्र (गणित) के रूप में परिमेय संख्याएँ $p$-एडिक नंबर.

एक शून्येतर का मूल्यांकन $p$-अर्थात संख्या $x$, आमतौर पर दर्शाया जाता है $$v_p(x),$$ का प्रतिपादक है $p$ प्रत्येक के पहले शून्येतर पद में $p$-एडिक श्रृंखला जो प्रतिनिधित्व करती है $x$. रिवाज के सन्दर्भ मे, $$v_p(0)=\infty;$$ यानी शून्य का मूल्यांकन है $$\infty.$$ यह मूल्यांकन एक पृथक मूल्यांकन है. इस मूल्यांकन का प्रतिबंध तर्कसंगत संख्याओं तक है $p$-आदिक मूल्यांकन $$\Q,$$ अर्थात् प्रतिपादक $v$ एक परिमेय संख्या के गुणनखंडन में दोनों के साथ $n$ और $d$ सहप्रधान $p$.

p-एडिक पूर्णांक
'$p$-आदिक पूर्णांक हैं $p$-एक गैर-नकारात्मक मूल्यांकन के साथ आदिक संख्याएँ।

ए $p$-एडीआईसी पूर्णांक को अनुक्रम के रूप में दर्शाया जा सकता है


 * $$ x = (x_1 \operatorname{mod} p, ~ x_2 \operatorname{mod} p^2, ~ x_3 \operatorname{mod} p^3, ~ \ldots)$$

अवशेषों का $x_{e}$ ख़िलाफ़ $p^{e}$ प्रत्येक पूर्णांक के लिए $e$, अनुकूलता संबंधों को संतुष्ट करना $$x_i \equiv x_j ~ (\operatorname{mod} p^i)$$ के लिए $i < j$.

प्रत्येक पूर्णांक एक है $p$-एडीआईसी पूर्णांक (शून्य सहित, चूंकि $$0<\infty$$). प्रपत्र की तर्कसंगत संख्याएँ $ \tfrac nd p^k$ साथ $d$ सहप्रधान $p$ और $$k\ge 0$$ भी हैं $p$-आदिक पूर्णांक (इस कारण से $d$ में एक उलटा मॉड है $p^{e}$ हरएक के लिए $e$). वह $p$-आदिक पूर्णांक एक क्रमविनिमेय वलय बनाते हैं, जिसे दर्शाया जाता है $$\Z_p$$ या $$\mathbf Z_p$$, जिसमें निम्नलिखित गुण हैं। अंतिम संपत्ति की परिभाषा प्रदान करती है $p$-एडीआईसी संख्याएं जो उपरोक्त के बराबर हैं: का क्षेत्र $p$-एडीआईसी संख्याएं, द्वारा उत्पन्न अभाज्य आदर्श पर पूर्णांकों के स्थानीयकरण के पूरा होने के अंशों का क्षेत्र है $p$.
 * यह एक अभिन्न डोमेन है, क्योंकि यह एक क्षेत्र का उपरिंग है, या श्रृंखला के पहले पद के बाद से दो गैर शून्य के उत्पाद का प्रतिनिधित्व करता है $p$-एडिक श्रृंखला उनके प्रथम पदों का गुणनफल है।
 * की इकाई (रिंग सिद्धांत) (उल्टे तत्व)। $$\Z_p$$ हैं $p$-मूल्यांकन की आदिक संख्या शून्य।
 * यह एक प्रमुख आदर्श डोमेन है, जैसे कि प्रत्येक आदर्श (रिंग सिद्धांत) की शक्ति से उत्पन्न होता है $p$.
 * यह क्रुल आयाम एक का एक स्थानीय वलय है, क्योंकि इसके एकमात्र प्रमुख आदर्श शून्य आदर्श और इससे उत्पन्न आदर्श हैं $p$, अद्वितीय अधिकतम आदर्श।
 * यह एक अलग मूल्यांकन रिंग है, क्योंकि यह पूर्ववर्ती गुणों से परिणामित होता है।
 * यह स्थानीय रिंग की एक रिंग का पूरा होना है $$\Z_{(p)} = \{\tfrac nd \mid n, d \in \Z,\, d \not\in p\Z \},$$ जो का स्थानीयकरण (कम्यूटेटिव बीजगणित) है $$\Z$$ प्रमुख आदर्श पर $$p\Z.$$

टोपोलॉजिकल गुण
$p}|p$-एडिक मूल्यांकन एक निरपेक्ष मान (बीजगणित) को परिभाषित करने की अनुमति देता है $p$-एडिक नंबर: द $p$-एक गैरशून्य का विशेष निरपेक्ष मान $p$-अर्थात संख्या $x$ है
 * $$|x|_p = p^{-v_p(x)},$$

कहाँ $$v_p(x)$$ है $p$-आदिक मूल्यांकन $x$. वह $p$-का निरपेक्ष मान $$0$$ है $$|0|_p = 0.$$ यह एक निरपेक्ष मान है जो प्रत्येक के लिए, मजबूत त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करता है $x$ और $y$ किसी के पास इसके अलावा, यदि $$|x|_p \ne |y|_p,$$ किसी के पास $$|x+y|_p = \max(|x|_p,|y|_p).$$ यह बनाता है $p$-एडिक नंबर एक मीट्रिक स्पेस, और यहां तक ​​कि एक अल्ट्रामेट्रिक स्पेस, के साथ $p$-आदिक दूरी द्वारा परिभाषित $$d_p(x,y)=|x-y|_p.$$ एक मीट्रिक स्थान के रूप में, $p$-एडीआईसी संख्याएं से सुसज्जित तर्कसंगत संख्याओं की पूर्णता (मीट्रिक स्थान) बनाती हैं $p$-आदिक निरपेक्ष मान. यह परिभाषित करने का एक और तरीका प्रदान करता है $p$-एडिक नंबर. हालाँकि, इस मामले में पूर्णता के सामान्य निर्माण को सरल बनाया जा सकता है, क्योंकि मीट्रिक को एक अलग मूल्यांकन द्वारा परिभाषित किया गया है (संक्षेप में, प्रत्येक कॉची अनुक्रम से एक परिणाम निकाला जा सकता है जैसे कि दो लगातार शब्दों के बीच के अंतर में निरपेक्ष मान सख्ती से घट रहे हैं ; ऐसा अनुवर्ती a के आंशिक योगों का क्रम है $p$-एडिक श्रृंखला, और इस प्रकार एक अद्वितीय सामान्यीकृत $p$-एडिक श्रृंखला को कॉची अनुक्रमों के प्रत्येक समतुल्य वर्ग से जोड़ा जा सकता है; इसलिए, पूर्णता के निर्माण के लिए, सामान्यीकृत पर विचार करना पर्याप्त है $p$-कॉची अनुक्रमों के समतुल्य वर्गों के बजाय एडिक श्रृंखला)।
 * $$|x|_p = 0$$ अगर और केवल अगर $$x=0;$$
 * $$|x|_p\cdot |y|_p = |xy|_p$$ *$$|x+y|_p\le \max(|x|_p,|y|_p) \le |x|_p + |y|_p.$$

चूँकि मीट्रिक को अलग-अलग मूल्यांकन से परिभाषित किया जाता है, प्रत्येक खुली गेंद भी बंद गेंद होती है। अधिक सटीक रूप से, खुली गेंद $$B_r(x) =\{y\mid d_p(x,y)r.$$ इसका तात्पर्य यह है कि $p$-एडिक संख्याएं स्थानीय रूप स्थानीय रूप से सघन स्थान बनाती हैं, और $p$-आदिक पूर्णांक-अर्थात, गेंद $$B_1[0]=B_p(0)$$-एक सघन स्थान बनाएँ।

मॉड्यूलर गुण
भागफल वलय $$\Z_p/p^n\Z_p$$ अंगूठी से पहचाना जा सकता है (गणित) $$\Z/p^n\Z$$ पूर्णांकों का मॉड्यूलर अंकगणित $$p^n.$$ इसे प्रत्येक टिप्पणी द्वारा दर्शाया जा सकता है $p$-एडीआईसी पूर्णांक, इसके सामान्यीकृत द्वारा दर्शाया गया $p$-अर्थात, श्रृंखला, यह मॉड्यूल से मेल खाती है $$p^n$$ इसके आंशिक योग के साथ जिसका मान अंतराल में एक पूर्णांक है $$[0,p^n-1].$$ एक सीधे सत्यापन से पता चलता है कि यह एक वलय समरूपता को परिभाषित करता है $$\Z_p/p^n\Z_p$$ को $$\Z/p^n\Z.$$ छल्लों की व्युत्क्रम सीमा $$\Z_p/p^n\Z_p$$ अनुक्रमों द्वारा निर्मित वलय के रूप में परिभाषित किया गया है $$a_0, a_1, \ldots$$ ऐसा है कि $$a_i \in \Z/p^i \Z$$ और हरएक के लिए $i$.

मैपिंग जो सामान्यीकृत मैप करती है $p$-इसके आंशिक योगों के अनुक्रम के लिए एडिक श्रृंखला एक वलय समरूपता है $$\Z_p$$ की व्युत्क्रम सीमा तक $$\Z_p/p^n\Z_p.$$ यह परिभाषित करने का एक और तरीका प्रदान करता है $p$-आदिक पूर्णांक (एक समरूपता तक)।

की यह परिभाषा $p$-एडीआईसी पूर्णांक भवन निर्माण की अनुमति के रूप में व्यावहारिक गणना के लिए विशेष रूप से उपयोगी है $p$-क्रमिक सन्निकटन द्वारा विशेष पूर्णांक।

उदाहरण के लिए, की गणना के लिए $p$-एक पूर्णांक का व्युत्क्रम (गुणात्मक), कोई न्यूटन की विधि का उपयोग कर सकता है, व्युत्क्रम मॉड्यूलो से शुरू करके $p$; फिर, प्रत्येक न्यूटन चरण व्युत्क्रम मॉड्यूलो की गणना करता है p^{n^2} व्युत्क्रम मॉड्यूलो से p^n. की गणना के लिए उसी विधि का उपयोग किया जा सकता है $p$-एक पूर्णांक का आदिक वर्गमूल जो एक द्विघात अवशेष मॉड्यूलो है $p$. यह परीक्षण करने के लिए सबसे तेज़ ज्ञात विधि प्रतीत होती है कि क्या एक बड़ा पूर्णांक एक वर्ग है: यह परीक्षण करने के लिए पर्याप्त है कि क्या दिया गया पूर्णांक इसमें पाए गए मान का वर्ग है $$\Z_p/p^n\Z_p$$. वर्गमूल ज्ञात करने के लिए न्यूटन की विधि को लागू करना आवश्यक है p^n दिए गए पूर्णांक के दोगुने से बड़ा होना, जो शीघ्र ही संतुष्ट हो जाता है।

हेंसल उठाना एक ऐसी ही विधि है जो फ़ैक्टराइज़ेशन मॉड्यूलो को उठाने की अनुमति देती है $p$ एक गुणनखंड मॉड्यूलो के लिए पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद का p^n के बड़े मूल्यों के लिए $n$. यह आमतौर पर बहुपद गुणनखंडन एल्गोरिदम द्वारा उपयोग किया जाता है।

नोटेशन
लेखन के लिए कई अलग-अलग परंपराएँ हैं $p$-एडिक विस्तार. अब तक इस लेख में एक संकेतन का उपयोग किया गया है $p$-आदिक विस्तार जिसमें का घातांक$p$ दाएँ से बाएँ की ओर वृद्धि। इस दाएं-से-बाएं संकेतन के साथ 3-एडिक विस्तार $1/5$, उदाहरण के लिए, इस प्रकार लिखा जाता है


 * $$\dfrac{1}{5}=\dots 121012102_3.$$

इस अंकन में अंकगणित करते समय, अंकों को बाईं ओर ले जाया जाता है (अंकगणित)। लिखना भी संभव है $p$-आदिक विस्तार ताकि की शक्तियां $p$ बाएँ से दाएँ बढ़ता है, और अंक दाएँ ओर ले जाए जाते हैं। इस बाएँ से दाएँ संकेतन के साथ 3-एडिक विस्तार $1/5$ है


 * $$\dfrac{1}{5}=2.01210121\dots_3\mbox{ or }\dfrac{1}{15}=20.1210121\dots_3.$$

$p$-एडिक विस्तारों को {0, 1, ... के बजाय हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व के साथ लिखा जा सकता है।$p − 1$}. उदाहरण के लिए, का 3-एडिक विस्तार 1/5 संतुलित टर्नरी अंक { 1 ,0,1} का उपयोग करके लिखा जा सकता है


 * $$\dfrac{1}{5}=\dots\underline{1}11\underline{11}11\underline{11}11\underline{1}_{\text{3}} .$$

वास्तव में कोई भी सेट $p$ पूर्णांक जो अलग-अलग अवशेष वर्ग मॉड्यूलो में हैं $p$ के रूप में उपयोग किया जा सकता है $p$-आदिक अंक. संख्या सिद्धांत में, विट वेक्टर#मोटिवेशन|टेइचमुलर प्रतिनिधियों को कभी-कभी अंकों के रूप में उपयोग किया जाता है।

Quote notation का एक प्रकार है $p$-तर्कसंगत संख्याओं का विशिष्ट प्रतिनिधित्व जिसे 1979 में एरिक हेहनर और निगेल हॉर्सपूल द्वारा कंप्यूटर पर इन संख्याओं के साथ (सटीक) अंकगणित लागू करने के लिए प्रस्तावित किया गया था।

कार्डिनैलिटी
दोनों $$\Z_p$$ और $$\Q_p$$ बेशुमार सेट हैं और सातत्य की प्रमुखता रखते हैं। के लिए $$\Z_p,$$ इसका परिणाम यह है $p$-एडिक प्रतिनिधित्व, जो एक आपत्ति को परिभाषित करता है $$\Z_p$$ सत्ता स्थापित  पर $$\{0,\ldots,p-1\}^\N.$$ के लिए $$\Q_p$$ यह इसकी प्रतियों की गिनती योग्य अनंत संघ (सेट सिद्धांत) के रूप में अभिव्यक्ति का परिणाम है $$\Z_p$$:
 * $$\Q_p=\bigcup_{i=0}^\infty \frac 1{p^i}\Z_p.$$

बीजगणितीय समापन
$Q_{p}$ रोकना $Q$ और विशेषता का एक क्षेत्र है (बीजगणित) $0$.

क्योंकि $0$ को वर्गों के योग के रूप में लिखा जा सकता है, $Q_{2}$ को ऑर्डर किए गए फ़ील्ड में नहीं बदला जा सकता#कौन से फ़ील्ड को ऑर्डर किया जा सकता है?

$−7$ में केवल एक ही उचित बीजगणितीय विस्तार है: $p > 2$; दूसरे शब्दों में, यह द्विघात विस्तार पहले से ही बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है। इसके विपरीत, बीजगणितीय समापन $Q_{p}$, निरूपित $$\overline{\mathbf{Q}_p},$$ अनंत डिग्री है, वह है, $1 − p$ में अपरिमित रूप से कई असमान बीजगणितीय विस्तार हैं। वास्तविक संख्याओं के मामले में भी विरोधाभास, हालांकि इसका एक अनूठा विस्तार है $p$-एडिक वैल्यूएशन $$\overline{\mathbf{Q}_p},$$ उत्तरार्द्ध (मीट्रिक रूप से) पूर्ण नहीं है। इसकी (मीट्रिक) पूर्णता कहलाती है $Q_{p}$ या $R$. यहाँ एक अंत आ गया है, जैसे $C$ बीजगणितीय रूप से बंद है। हालाँकि विपरीत $Q_{p}$ यह फ़ील्ड स्थानीय रूप से सघन नहीं है.

$Q_{p}$ और $C_{p}$ छल्ले के रूप में समरूपी हैं, इसलिए हम मान सकते हैं $Ω_{p}$ जैसा $C_{p}$ एक विदेशी मीट्रिक से संपन्न। ऐसे क्षेत्र समरूपता के अस्तित्व का प्रमाण पसंद के सिद्धांत पर निर्भर करता है, और इस तरह के समरूपता का एक स्पष्ट उदाहरण प्रदान नहीं करता है (अर्थात, यह रचनात्मक प्रमाण नहीं है)।

अगर $C$ का एक सीमित गैलोज़ विस्तार है $C_{p}$, गैलोज़ समूह $$\operatorname{Gal} \left(\mathbf{K}/ \mathbf{Q}_p \right)$$ हल करने योग्य समूह है. इस प्रकार, गैलोज़ समूह $$\operatorname{Gal} \left(\overline{\mathbf{Q}_p}/ \mathbf{Q}_p \right)$$ समाधानयोग्य है.

गुणक समूह
$C$ शामिल है $n$-वें साइक्लोटोमिक क्षेत्र ($C_{p}$) अगर और केवल अगर $C$. उदाहरण के लिए, $n$-वें साइक्लोटोमिक क्षेत्र का एक उपक्षेत्र है $K$ अगर और केवल अगर $Q_{p}$, या $Q_{p}$. विशेषकर, कोई गुणक नहीं है $p$-मरोड़ (बीजगणित) में $n > 2$, अगर $n&thinsp;| p − 1$. भी, $Q_{13}$ एकमात्र गैर-तुच्छ मरोड़ तत्व है $n = 1, 2, 3, 4, 6$.

एक प्राकृतिक संख्या दी गई है $k$, के गुणक समूह का सूचकांक (समूह सिद्धांत)। $k$-के गैर-शून्य तत्वों की शक्तियां $12$ में $$\mathbf{Q}_p^{\times}$$ परिमित है.

जो नंबर $e$, जिसे कारख़ाने का  के व्युत्क्रम (गणित) के योग के रूप में परिभाषित किया गया है, किसी का सदस्य नहीं है $p$-एडिक फ़ील्ड; लेकिन $Q_{p}$. के लिए $p > 2$ कम से कम चौथी शक्ति अवश्य लेनी चाहिए। (इस प्रकार समान गुणों वाली एक संख्या $e$ - अर्थात् ए $p$-की जड़ $−1$- का सदस्य है $$\overline{\mathbf{Q}_p}$$ सभी के लिए $p$.)

स्थानीय-वैश्विक सिद्धांत
हेल्मुट हस्से का हस्से सिद्धांत|स्थानीय-वैश्विक सिद्धांत एक समीकरण के लिए मान्य माना जाता है यदि इसे तर्कसंगत संख्याओं पर हल किया जा सकता है और केवल तभी जब इसे वास्तविक संख्याओं और परिमेय संख्याओं पर हल किया जा सकता है। $p$-प्रत्येक अभाज्य के लिए विशेष संख्याएँ$p$. यह सिद्धांत, उदाहरण के लिए, द्विघात रूपों द्वारा दिए गए समीकरणों के लिए लागू होता है, लेकिन कई अनिश्चितताओं में उच्च बहुपदों के लिए विफल रहता है।

सामान्यीकरण और संबंधित अवधारणाएँ
वास्तविक और $p$-आदिक संख्याएँ परिमेय की पूर्णताएँ हैं; अन्य क्षेत्रों, उदाहरण के लिए सामान्य बीजगणितीय संख्या फ़ील्ड, को समान तरीके से पूरा करना भी संभव है। इसका वर्णन अब किया जायेगा।

मान लीजिए कि D एक डेडेकाइंड डोमेन है और E इसके भिन्नों का क्षेत्र है। D का एक गैर-शून्य अभाज्य आदर्श P चुनें। यदि x, E का एक गैर-शून्य तत्व है, तो xD एक भिन्नात्मक आदर्श है और इसे D के गैर-शून्य अभाज्य आदर्शों की सकारात्मक और नकारात्मक शक्तियों के उत्पाद के रूप में विशिष्ट रूप से गुणनखंडित किया जा सकता है। हम ऑर्ड लिखते हैंP(x) इस गुणनखंडन में P के घातांक के लिए, और 1 से अधिक संख्या c के किसी भी विकल्प के लिए हम सेट कर सकते हैं
 * $$|x|_P = c^{-\!\operatorname{ord}_P(x)}.$$

इस निरपेक्ष मान के संबंध में पूर्ण करना |⋅|P एक फ़ील्ड ई उत्पन्न करता हैP, इस सेटिंग के लिए पी-एडिक संख्याओं के क्षेत्र का उचित सामान्यीकरण। सी का चुनाव पूर्णता को नहीं बदलता है (विभिन्न विकल्पों से कॉची अनुक्रम की समान अवधारणा उत्पन्न होती है, इसलिए पूर्णता भी समान होती है)। यह सुविधाजनक है, जब अवशेष फ़ील्ड डी/पी परिमित है, सी के लिए डी/पी का आकार लेना सुविधाजनक है।

उदाहरण के लिए, जब E एक संख्या क्षेत्र है, तो ओस्ट्रोव्स्की का प्रमेय कहता है कि E पर प्रत्येक गैर-तुच्छ निरपेक्ष मान (बीजगणित) | गैर-आर्किमिडीयन निरपेक्ष मान कुछ के रूप में उत्पन्न होता है |⋅|P. E पर शेष गैर-तुच्छ निरपेक्ष मान वास्तविक या जटिल संख्याओं में E के विभिन्न एम्बेडिंग से उत्पन्न होते हैं। (वास्तव में, गैर-आर्किमिडीयन निरपेक्ष मानों को फ़ील्ड 'सी' में ई के अलग-अलग एम्बेडिंग के रूप में माना जा सकता हैp, इस प्रकार सभी का विवरण डाल रहा हूँ एक सामान्य स्तर पर किसी संख्या क्षेत्र के गैर-तुच्छ निरपेक्ष मान।)

अक्सर, जब ई एक संख्या क्षेत्र (या अधिक सामान्यतः एक वैश्विक क्षेत्र) होता है, तो किसी को उपरोक्त सभी पूर्णताओं पर एक साथ नज़र रखने की आवश्यकता होती है, जिन्हें स्थानीय जानकारी को एन्कोडिंग के रूप में देखा जाता है। यह एडेल अंगूठी और आइडेल समूहों द्वारा पूरा किया जाता है।

पी-एडिक पूर्णांकों को सोलेनॉइड तक बढ़ाया जा सकता है (गणित)#पी-एडिक सोलेनोइड्स|पी-एडिक सोलेनोइड्स $$\mathbb{T}_p$$. से एक नक्शा है $$\mathbb{T}_p$$ वृत्त समूह के लिए जिसके तंतु पी-एडिक पूर्णांक हैं $$\mathbb{Z}_p$$, जैसा कि वहाँ से एक नक्शा है सादृश्य में $$\mathbb{R}$$ उस वृत्त को जिसके तंतु हैं $$\mathbb{Z}$$.

यह भी देखें

 * गैर गैर आर्किमिडीज़
 * पी-एडिक क्वांटम यांत्रिकी
 * पी-एडिक हॉज सिद्धांत
 * पी-एडिक टीचमुलर सिद्धांत
 * पी-एडिक विश्लेषण
 * 1 + 2 + 4 + 8 + ...
 * विशेषण अंकन|k-एडिक संकेतन
 * सी-न्यूनतम सिद्धांत
 * हेंसल की लेम्मा
 * स्थानीय रूप स्थानीय रूप से सघन क्षेत्र
 * महलर का प्रमेय
 * अनंत पूर्णांक
 * वोल्केनबॉर्न इंटीग्रल
 * दो का अनुपूरण

संदर्भ

 * . &mdash; Translation into English by John Stillwell of Theorie der algebraischen Functionen einer Veränderlichen (1882).
 * . &mdash; Translation into English by John Stillwell of Theorie der algebraischen Functionen einer Veränderlichen (1882).

बाहरी संबंध

 * p-adic number at Springer On-line Encyclopaedia of Mathematics
 * p-adic number at Springer On-line Encyclopaedia of Mathematics