बोरेल सबलजेब्रा

गणित में, विशेष रूप से प्रतिनिधित्व सिद्धांत में, लाइ बीजगणित $$\mathfrak{g}$$ का एक बोरेल उपबीजगणित एक अधिक से अधिक हल करने योग्य लाई बीजगणित उपबीजगणित है। धारणा का नाम आर्मंड बोरेल के नाम पर रखा गया है।

यदि लाइ बीजगणित $$\mathfrak{g}$$ एक जटिल लाइ समूह का लाई बीजगणित है, तो एक बोरेल उपबीजगणित बोरेल उपसमूह का लाई बीजगणित है।

ध्वज से संबंधित बोरेल उपबीजगणित
चलो $$\mathfrak g = \mathfrak{gl}(V)$$ सम्मिश्र संख्याओं पर परिमित-आयामी सदिश स्थान V के एंडोमोर्फिज्म का झूठा बीजगणित हो। फिर V के ध्वज को निर्दिष्ट करने के लिए $$\mathfrak g$$ राशियों का बोरेल उपबीजगणित निर्दिष्ट करने के लिए; एक फ़्लैग $$V = V_0 \supset V_1 \supset \cdots \supset V_n = 0$$, उप-स्थान$$\mathfrak b = \{ x \in \mathfrak g \mid x(V_i) \subset V_i, 1 \le i \le n \}$$ एक बोरेल उपबीजगणित है, और इसके विपरीत, प्रत्येक बोरेल उपबीजगणित उसी का है लाइ के प्रमेय द्वारा फार्म। इसलिए, बोरेल उपबीजगणित को V की ध्वज विविधता द्वारा वर्गीकृत किया जाता है।

जड़ प्रणाली के आधार के सापेक्ष बोरेल उपबीजगणित
होने देना $$\mathfrak g$$ एक जटिल अर्धसरल लाइ बीजगणित हो, $$\mathfrak h$$ a कार्टन उपबीजगणित और R उनसे जुड़ी जड़ प्रणाली है | R का आधार चुनने से सकारात्मक जड़ों की धारणा मिलती है। तब $$\mathfrak g$$ अपघटन है $$\mathfrak g = \mathfrak n^- \oplus \mathfrak h \oplus \mathfrak n^+$$ जहां $$\mathfrak n^{\pm} = \sum_{\alpha > 0} \mathfrak{g}_{\pm \alpha}$$.

तब $$\mathfrak b = \mathfrak h \oplus \mathfrak n^+$$ उपरोक्त सेटअप के सापेक्ष बोरेल उपबीजगणित है। (यह व्युत्पन्न बीजगणित के बाद से हल करने योग्य है $$[\mathfrak b, \mathfrak b]$$ शक्तिहीन है। यह हल करने योग्य उपबीजगणित की संयुग्मता पर बोरेल-मोरोज़ोव के एक प्रमेय द्वारा अधिकतम हल करने योग्य है। )

एक $$\mathfrak g$$-मॉड्यूल V को देखते हुए, V का एक आदिम तत्व एक (अशून्य) वेक्टर है जो (1) $$\mathfrak h$$ के लिए एक वजन वेक्टर है और वह (2) $$\mathfrak{n}^+$$। यह एक $$\mathfrak b$$-वजन सदिश के समान है (प्रमाण: यदि $$h \in \mathfrak h$$ और $$e \in \mathfrak{n}^+$$ साथ $$[h, e] = 2e$$ और यदि $$\mathfrak{b} \cdot v$$ एक रेखा है, तो $$0 = [h, e] \cdot v = 2 e \cdot v$$।

यह भी देखें

 * बोरेल उपसमूह
 * परवलयिक लाइ बीजगणित