क्रमगुणित

गणित में, गैर-ऋणात्मक पूर्णांक $n$, का भाज्य है तथा $n!$, द्वारा निरूपित $n$. से कम या उसके समान सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल है। अगले छोटे क्रमगुणित के साथ $n$ का भाज्य भी $$n$$ के गुणनफल के समान होता है ) $$ \begin{align} n! &= n \times  (n-1)  \times (n-2)  \times  (n-3) \times \cdots \times  3 \times  2 \times  1 \\   &= n\times(n-1)!\\ \end{align}$$ उदाहरण के लिए, $$5! = 5\times 4! = 5  \times  4  \times  3  \times  2  \times  1 = 120. $$ जहाँ 0 का मान खाली उत्पाद के लिए सम्मेलन के अनुसार 1 है।

क्रमगुणित की खोज कई वर्ष पहले प्राचीन संस्कृतियों में की गई है, जिसे विशेष रूप से भारतीय गणित में जैन साहित्य के विहित कार्यों में, और यहूदी रहस्यवादियों द्वारा तल्मूडिक पुस्तक सेफ़र यत्ज़िराह में उपयोग किया जाता है। क्रमगुणित ऑपरेशन गणित के कई क्षेत्रों में पाया जाता है, विशेष रूप से कॉम्बिनेटरिक्स में, जहां इसका सबसे मूलभूत उपयोग संभावित विशिष्ट अनुक्रमों की गणना करता है। - क्रमपरिवर्तन - $$n$$ अलग-अलग है जहाँ वस्तुओं के वहां $n!$. गणितीय विश्लेषण में, क्रमगुणित का उपयोग किया जाता है तथा घातीय फलन और अन्य कार्यों के लिए शक्ति श्रृंखला, और उनके पास बीजगणित, तथा संख्या सिद्धांत, संभाव्यता सिद्धांत और कंप्यूटर विज्ञान में भी अनुप्रयोग हैं।

18वीं सदी के अंत तक और 19वीं सदी की प्रारम्भ में क्रमगुणित फलन का अधिकांश गणित कार्य विकसित किया गया था। स्टर्लिंग का सन्निकटन बड़ी संख्या के भाज्य के लिए स्पष्ट सन्निकटन प्रदान करता है, यह दर्शाता है कि यह घातीय वृद्धि की तुलना में यह अधिक तेज़ी से बढ़ता है। लेजेंड्रे का सूत्र भाज्यों के अभाज्य गुणनखंडन में अभाज्य संख्याओं के घातांकों का वर्णन करता है, और इसका उपयोग भाज्यों के अनुगामी शून्यों को गिनने के लिए किया जा सकता है। डेनियल बर्नौली और लियोनहार्ड यूलर ने ऋणात्मक पूर्णांक, (ऑफ़सेट) गामा कार्य को छोड़कर, सम्मिश्र संख्याओं के निरंतर फलन के लिए क्रमगुणित फलन को किया गया ।

कई अन्य उल्लेखनीय कार्य और संख्या क्रम क्रमगुणित से निकटता से संबंधित हैं, जिनमें द्विपद गुणांक, डबल क्रमगुणित, क्रमगुणित गिर रहा है, मौलिक और सबक्रमगुणित सम्मिलित हैं। क्रमगुणित फलन के कार्यान्वयन सामान्यतः विभिन्न कंप्यूटर प्रोग्रामिंग शैलियों के उदाहरण के रूप में उपयोग किए जाते हैं, और वैज्ञानिक कैलकुलेटर और वैज्ञानिक कंप्यूटिंग सॉफ़्टवेयर लाइब्रेरी में सम्मिलित होते हैं। चूंकि उत्पाद सूत्र या पुनरावृत्ति का उपयोग करके सीधे बड़े क्रमगुणित की गणना करना कुशल नहीं है, जबकि तेज एल्गोरिदम ज्ञात हैं, समान संख्या वाले अंकों के लिए तेजी से गुणन एल्गोरिदम के लिए स्थिर कारक के अंदर मिलान करने का समय उपयोग किया जाता है

इतिहास
तथ्यात्मकता की अवधारणा कई संस्कृतियों में स्वतंत्र रूप से उत्पन्न हुई है: 15वीं शताब्दी के अंत से, क्रमगुणित पश्चिमी गणितज्ञों द्वारा अध्ययन का विषय बन गया। 1494 के ग्रंथ में, इतालवी गणितज्ञ लुका पैसिओली ने डाइनिंग टेबल व्यवस्था की समस्या के संबंध में 11 तक क्रमगुणित की गणना की। क्रिस्टोफर की ने जोहान्स डी सैक्रोबोस्को के काम पर 1603 की टिप्पणी में क्रमगुणित्स पर चर्चा की, और 1640 के दशक में, फ्रांसीसी पोलीमैथ समुद्री मर्सेन ने क्लैवियस के काम के आधार पर क्रमगुणित्स की बड़ी (किन्तुपूरी तरह से सही नहीं) तालिकाएँ प्रकाशित कीं। अपने गुणांकों के लिए क्रमगुणित के पारस्परिक के साथ घातीय कार्य के लिए शक्ति श्रृंखला, पहली बार 1676 में आइजैक न्यूटन द्वारा गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज को पत्र में तैयार की गई थी। क्रमगुणित्स पर प्रारंभिक यूरोपीय गणित के अन्य महत्वपूर्ण कार्यों में जॉन वालिस द्वारा 1685 के ग्रंथ में व्यापक कवरेज सम्मिलित है, बड़े मूल्यों के लिए उनके अनुमानित मूल्यों का अध्ययन 1721 में अब्राहम डी मोइवरे द्वारा $$n$$, जेम्स स्टर्लिंग (गणितज्ञ) से डी मोइवर को 1729 का पत्र जिसमें कहा गया था कि स्टर्लिंग के सन्निकटन के रूप में जाना जाता है, और यही समय में डैनियल बर्नौली और लियोनहार्ड यूलर द्वारा गामा के लिए क्रमगुणित फलन के निरंतर विस्तार को तैयार करने का कार्य किया एड्रियन मैरी लीजेंड्रे ने संख्या सिद्धांत पर 1808 के पाठ में, प्रमुख शक्तियों में क्रमगुणित के पूर्णांक गुणनखंडन में एक्सपोनेंट्स का वर्णन करते हुए लीजेंड्रे के सूत्र को सम्मिलित किया।
 * भारतीय गणित में, क्रमगुणों के सबसे पुराने ज्ञात विवरणों में से अनुयोगद्वार-सूत्र से आता है, जैन साहित्य के विहित कार्यों में से एक, जिसे 300 बीसीई से 400 सीई तक अलग-अलग तिथियां सौंपी गई हैं। तथा यह अन्य (मिश्रित) ऑर्डर से वस्तुओं के समुच्चय के सॉर्ट किए गए है और उलटे क्रम को अलग करता है, क्रमगुणित के लिए सामान्य उत्पाद सूत्र से दो घटाकर मिश्रित ऑर्डर की संख्या का मूल्यांकन करता है। क्रमचय के लिए गुणनफल नियम का वर्णन 6वीं शताब्दी के सीई जैन भिक्षु जिनभद्र ने भी किया था। जिसे हिंदू विद्वान कम से कम 1150 से तथ्यात्मक सूत्रों का उपयोग कर रहे हैं, जब भास्कर द्वितीय ने अपनी कृति लीलावती में तथ्यात्मक सूत्रों का उल्लेख किया था, तथा इस समस्या के संबंध में कि विष्णु अपनी चार विशिष्ट वस्तुओं ( रेखावृत्त, सुदर्शन चक्र, कौमोदकी और पवित्र कमल) को कितने तरीकों से धारण कर सकते हैं। धार्मिक कला में) अपने चार हाथों में, और दस हाथ वाले भगवान के लिए समान समस्या है ।
 * मध्य पूर्व के गणित में, तल्मूड (200 से 500 ईसवी) से सृजन की हिब्रू रहस्यवादी पुस्तक सेफ़र यतिज़िराह, 7 तक के क्रमगुणों को सूचीबद्ध करती है! हिब्रू वर्णमाला से बनने वाले शब्दों की संख्या की जांच के हिस्से के रूप में है । इसी तरह के कारणों के लिए 8वीं शताब्दी के अरब व्याकरणविद अल-खलील इब्न अहमद अल-फ़राहिदी द्वारा क्रमगुणित का भी अध्ययन किया गया था। अरब गणितज्ञ इब्न अल-हेथम (जिसे अल्हज़ेन के नाम से भी जाना जाता है, c.-965 - c.-1040) सबसे पहले विल्सन के प्रमेय को सूत्रबद्ध करने वाले थे, जो भाज्य संख्याओं को अभाज्य संख्याओं से जोड़ते थे।
 * यूरोप में, चूंकि ग्रीक गणित में कुछ कॉम्बिनेटरिक्स सम्मिलित थे, और प्लेटो ने आदर्श समुदाय की आबादी के रूप में प्रसिद्ध रूप से 5040 ( क्रमगुणित) का उपयोग किया था, आंशिक रूप से इसकी विभाज्यता के गुणों के कारण, क्रमगुणित के प्राचीन ग्रीक अध्ययन का कोई प्रत्यक्ष प्रमाण नहीं है। इसके बजाय, यूरोप में क्रमगुणित्स पर पहला काम यहूदी विद्वानों द्वारा किया गया था, जैसे कि शब्बीथाई डोनोलो, सेफ़र यतिज़िरह मार्ग की खोज की । 1677 में, ब्रिटिश लेखक फैबियन स्टेडमैन रिंगिंग बदलें को बदलने के लिए क्रमगुणित्स के अनुप्रयोग का वर्णन किया गया है, तथा संगीत कला जिसमें कई ट्यून्ड घंटियों की रिंगिंग सम्मिलित है।

अंकन $$n!$$ क्रमगुणित के लिए 1808 में फ्रांसीसी गणितज्ञ क्रिश्चियन क्रैम्प द्वारा प्रस्तुत किया गया था। कई अन्य संकेतन भी उपयोग किए गए हैं। और बाद का अंकन, जिसमें क्रमगुणित का तर्क बॉक्स के बाईं ओर और नीचे की ओर आधा-संलग्न था, जो ब्रिटेन और अमेरिका में कुछ समय के लिए लोकप्रिय था, किन्तु उपयोग से बाहर हो गया था, संभवतः इसलिए कि इसे टाइप करना कठिनाई है। जहाँ क्रमगुणित (मूल रूप से फ्रेंच: फैक्टोरिएल) शब्द का पहली बार उपयोग 1800 में लुइस फ्रांकोइस एंटोनी अर्बोगैस्ट द्वारा किया गया था, फा डि ब्रूनो के फार्मूले पर पहले काम में, किन्तु अंकगणितीय प्रगति के उत्पादों की अधिक सामान्य अवधारणा का जिक्र करते हुए। यह नाम जिन कारकों को संदर्भित करता है, वे क्रमगुणित के लिए उत्पाद सूत्र की शर्तें हैं।

परिभाषा
किसी धनात्मक पूर्णांक $$n$$ का क्रमगुणन फलन $$n$$ से अधिक नहीं सभी धनात्मक पूर्णांकों के उत्पाद द्वारा परिभाषित किया गया है $$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-2) \cdot (n-1) \cdot n.$$

इसे अधिक संक्षेप में गुणन या कैपिटल पाई नोटेशन के रूप में लिखा जा सकता है $$n! = \prod_{i = 1}^n i.$$ यदि यह उत्पाद सूत्र में अंतिम शब्द को छोड़कर सभी को रखने के लिए बदल दिया जाता है, तो यह उसी रूप के उत्पाद को परिभाषित करेगा,जिसे छोटे भाज्य के लिए। यह पुनरावृत्ति संबंध की ओर ले जाता है, जिसके अनुसार क्रमगुणित फलन के प्रत्येक मान को पिछले मान से उसको $n$: से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है $$ n! = n\cdot (n-1)!.$$ उदाहरण के लिए, $5! = 5\cdot 4!=5\cdot 24=120$.

शून्य का भाज्य
तथ्यात्मक $0$ is $1$, या प्रतीकों में, $0!=1$. इस परिभाषा के लिए कई प्रेरणाएँ हैं:
 * $n=0$,के लिए  $$n!$$ की परिभाषा $$n!$$ उत्पाद के रूप में बिना किसी संख्या के उत्पाद सम्मिलित है, और इसलिए व्यापक सम्मेलन का उदाहरण है कि खाली उत्पाद, बिना किसी कारक का उत्पाद गुणक पहचान के समान है।
 * शून्य वस्तुओं का वास्तव में क्रमचय है: कुछ भी नहीं करने के लिए,होता है इसमें केवल पुनर्व्यवस्था कुछ भी नहीं करना है।
 * यह कन्वेंशन कॉम्बिनेटरिक्स में कई पहचानों को उनके मापदंडों के सभी मान्य विकल्पों के लिए मान्य बनाता है। तथा उदाहरण के लिए, सभी को चुनने के विधियों की संख्या $$n$$ के समुच्चय से तत्व $$n$$ है $\tbinom{n}{n} = \tfrac{n!}{n!0!} = 1,$ एक द्विपद गुणांक पहचान है जो केवल इसके $0!=1$. साथ मान्य होगी |
 * 0 के साथ $0!=1$, क्रमगुणित के लिए पुनरावृत्ति संबंध $n=1$. पर वैध रहता है इसलिए, इस परिपाटी के साथ, क्रमगुणित की पुनरावर्ती संगणना में बेस केस (प्रत्यावर्तन) के रूप में शून्य के लिए केवल मान होना चाहिए, जिससे संगणना को सरल बनाना और अतिरिक्त विशेष स्थितियों की आवश्यकता से बचना।
 * स्थापना $$0!=1$$ कई सूत्रों की कॉम्पैक्ट अभिव्यक्ति की अनुमति देता है, जैसे घातीय कार्य, शक्ति श्रृंखला के रूप में: $ e^x = \sum_{n = 0}^\infty \frac{x^n}{n!}.$
 * यह विकल्प गामा फलन से मेल खाता है $0! = \Gamma(0+1) = 1$, और गामा फलन का सतत फलन होने के लिए यह मान होना चाहिए।

अनुप्रयोग
क्रमगुणित फलन के प्रारंभिक उपयोगों में गिनत:क्रमपरिवर्तन सम्मिलित हैं $$n$$ अलग-अलग वस्तुओं को एक(nन) क्रम में व्यवस्थित करने के $$n$$! विभिन्न तरीके हैं। कॉम्बिनेटरिक्स में कई फ़ार्मुलों में क्रमगुणित अधिक रूप से दिखाई देते हैं, जिनमे वस्तुओं के क्रमों के लिए खाते में होते है । उदाहरण के लिए द्विपद गुणांक $$\tbinom{n}{k}$$ गिनती करो| $k$-element संयोजन (के सबसेट $k$ elements) के साथ समुच्चय से $n$ elements, और सूत्र का उपयोग करके क्रमगुणित से गणना की जा सकती है

$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$

प्रथम प्रकार की स्टर्लिंग संख्याएँ भाज्यों का योग करती हैं, और चक्रों की समान संख्या वाले उपसमुच्चय में समूहीकृत $n$ के क्रमपरिवर्तनों की गिनती करती हैं अन्य संयोजी अनुप्रयोग अपंगताओं की गिनती में है, क्रमपरिवर्तन जो किसी भी तत्व को उसकी मूल स्थिति में नहीं छोड़ते हैं; $$n$$ की अव्यवस्थाओं की संख्या $n!/e$. आइटम गोलाई है|

बीजगणित में, क्रमगुणित्स द्विपद प्रमेय के माध्यम से उत्पन्न होते हैं, जो राशियों की शक्तियों का विस्तार करने के लिए द्विपद गुणांक का उपयोग करता है। वे बहुपदों के कुछ परिवारों को दूसरे से संबंधित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले गुणांकों में भी होते हैं, उदाहरण के लिए सममित बहुपद के लिए न्यूटन की पहचान में है । क्रमपरिवर्तन की गणना में उनका उपयोग बीजगणितीय रूप से भी बहाल किया जा सकता है:और भाज्य परिमित सममित समूह के समूह का क्रम है। तथा कलन में, उच्च डेरिवेटिव की श्रृंखला के लिए फै डी ब्रूनो के सूत्र में क्रमगुणित होते हैं। गणितीय विश्लेषण में, क्रमगुणित अधिकांशतः शक्ति श्रृंखला के denominators विशेष रूप से घातीय कार्य के लिए श्रृंखला में दिखाई देते हैं| $$e^x=1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^i}{i!},$$ और अन्य टेलर श्रृंखला के गुणांकों में (विशेष रूप से त्रिकोणमितीय कार्य और अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य के), जहां वे $$n!$$ कारकों को रद्द करते हैं $x^n$. के $n$ वें व्युत्पन्न से आ रहा है| पावर श्रृंखला में क्रमगुणित्स का यह उपयोग विफ़ंक्शनषणात्मक संयोजन को घातीय जनरेटिंग फलन के माध्यम से जोड़ता है, जो आकार $i$ के $$n_i$$ तत्वों के साथ एक कॉम्बिनेटर क्लास के लिए पावर श्रृंखला के रूप में परिभाषित किया गया है $$\sum_{i=0}^{\infty} \frac{x^i n_i}{i!}.$$ संख्या सिद्धांत में, क्रमगुणित की सबसे प्रमुख संपत्ति $$n!$$ की विभाज्यता है $n$,सभी धनात्मक पूर्णांकों द्वारा ऊपर लीजेंड्रे के सूत्र द्वारा प्रमुख कारकों के लिए अधिक स्पष्ट रूप से वर्णित होता है । यह इस प्रकार है कि इच्छानुसार से बड़ी अभाज्य संख्याएँ $$n!\pm 1$$ संख्याओं के प्रमुख गुणनखंडों के रूप में पाई जा सकती हैं, यूक्लिड के प्रमेय के प्रमाण के लिए अग्रणी है कि अभाज्य संख्याओं की संख्या अनंत है। जब $$n!\pm 1$$ स्वयं प्रधान है, इसे भाज्य अभाज्य कहा जाता है; संबंधित, ब्रोकार्ड की समस्या, जिसे श्रीनिवास रामानुजन ने भी प्रस्तुत किया है, प्रपत्र की वर्ग संख्याओं के अस्तित्व से संबंधित है $n!+1$. इसके विपरीत, इच्छानुसार से बड़े प्रमुख अंतर के अस्तित्व को सिद्ध करते हुए सभी संख्याएँ $$n!+2,n!+3,\dots n!+n$$ को समग्र होना चाहिए। $[n,2n]$, के किसी भी अंतराल में प्राइम के अस्तित्व पर बर्ट्रेंड के अभिधारणा का प्राथमिक प्रमाण, पॉल एर्डोस के पहले परिणामों में से एक, क्रमगुणित के विभाज्यता गुणों पर आधारित था। भाज्य संख्या प्रणाली संख्याओं के लिए मिश्रित मूलांक संकेतन है जिसमें प्रत्येक अंक के स्थान मान भाज्य होते हैं।

संभाव्यता सिद्धांत में क्रमगुणित का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए पॉसों वितरण में और यादृच्छिक क्रमपरिवर्तन की संभावनाओं में है । कंप्यूटर विज्ञान में, क्रमपरिवर्तन पर ब्रूट-फोर्स खोजों के विश्लेषण से परे है, $$\log_2 n!=n\log_2n-O(n)$$ की निचली सीमा में भाज्य उत्पन्न होते हैं तुलना के समुच्चय को सॉर्ट करने के लिए आवश्यक तुलनाओं की संख्या पर $$n$$ सामान, और श्रृंखलित हैश तालिकाओं के विश्लेषण में, जहां प्रति सेल चाबियों के वितरण को प्वासों वितरण द्वारा स्पष्ट रूप से अनुमानित किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, क्रमगुणित स्वाभाविक रूप से क्वांटम यांत्रिकी और सांख्यिकीय भौतिकी के सूत्रों में दिखाई देते हैं, जहां अधिकांशतः कणों के समुच्चय के सभी संभावित क्रमपरिवर्तनों पर विचार किया जाता है। सांख्यिकीय यांत्रिकी में, एन्ट्रापी की गणना जैसे कि बोल्ट्जमैन का एंट्रॉपी फॉर्मूला या सैकुर-टेट्रोड समीकरण को गिब्स विरोधाभास से बचने के लिए प्रत्येक प्रकार के समान कण की संख्या के भाज्य द्वारा विभाजित करके माइक्रोस्टेट (सांख्यिकीय यांत्रिकी) की गिनती को सही करना चाहिए। क्वांटम भौतिकी अंतर्निहित कारण प्रदान करती है कि ये सुधार क्यों आवश्यक हैं।

विकास और सन्निकटन


$n$, कार्य के रूप में क्रमगुणित में एक्सपोनेंशियल ग्रोथ की तुलना में तेज है, किन्तु दोहरा घातीय कार्य की तुलना में धीरे-धीरे बढ़ता है। इसकी विकास $n^n$, दर समान है किन्तु एक घातीय कारक द्वारा धीमा है। इस परिणाम तक पहुँचने का विधि क्रमगुणित का प्राकृतिक लघुगणक लेना है, जो इसके उत्पाद सूत्र को योग में बदल देता है, और फिर अभिन्न द्वारा योग का अनुमान लगाता है: $$\ln n! = \sum_{x=1}^n \ln x \approx \int_1^n\ln x\, dx=n\ln n-n+1.$$

परिणाम को एक्सपोनेंट करना (और नगण्य $$+1$$ को अनदेखा करना टर्म) $$n!$$ अनुमानित है जैसा $(n/e)^n$. ट्रैपेज़ॉइड नियम का उपयोग करते हुए, अधिक ध्यान से ऊपर और नीचे दोनों को इंटीग्रल से जोड़ना, यह दर्शाता है कि इस अनुमान $\sqrt n$. के लिए आनुपातिक सुधार कारक की आवश्यकता है $\sqrt n$. इस सुधार के लिए आनुपातिकता का स्थिरांक वालिस उत्पाद से पाया जा सकता है, जो $$\pi$$ क्रमगुणित और दो की शक्तियों के सीमित अनुपात के रूप में व्यक्त करता है । इन सुधारों का परिणाम स्टर्लिंग का सन्निकटन है: $$n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\,.$$

यहां ही $$\sim$$ प्रतीक का अर्थ है कि, जैसा $$n$$ अनंत तक जाता है, बाएँ और दाएँ पक्षों के बीच का अनुपात सीमा (गणित) में के करीब पहुँचता है। स्टर्लिंग का सूत्र स्पर्शोन्मुख श्रृंखला में पहला शब्द प्रदान करता है जो अधिक संख्या में पदों पर ले जाने पर और भी स्पष्ट हो जाता है: $$ n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 +\frac{1}{12n}+\frac{1}{288n^2} - \frac{139}{51840n^3} -\frac{571}{2488320n^4}+ \cdots \right).$$ वैकल्पिक संस्करण सुधार शर्तों में केवल विषम घातांक का उपयोग करता है: $$ n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \exp\left(\frac{1}{12n} - \frac{1}{360n^3} + \frac{1}{1260n^5} -\frac{1}{1680n^7}+ \cdots \right).$$ श्रीनिवास रामानुजन, बिल गोस्पर और अन्य लोगों द्वारा इन सूत्रों के कई अन्य रूपों को भी विकसित किया गया है।

तुलना छँटाई का विश्लेषण करने के लिए उपयोग किए जाने वाले क्रमगुणित के द्विआधारी लघुगणक का स्टर्लिंग के सन्निकटन का उपयोग करके बहुत स्पष्ट अनुमान लगाया जा सकता है। नीचे दिए गए सूत्र में $$O(1)$$ टर्म बिग ओ नोटेशन को आमंत्रित करता है।

$$\log_2 n! = n\log_2 n-(\log_2 e)n + \frac12\log_2 n + O(1).$$

विभाज्यता और अंक
क्रमगुणित के लिए उत्पाद सूत्र का तात्पर्य है $$n!$$ पर होने वाली सभी अभाज्य $n$,संख्याओं से विभाज्य है और कोई बड़ी अभाज्य संख्या नहीं। इसकी विभाज्यता के बारे में अधिक स्पष्ट जानकारी लीजेंड्रे के सूत्र द्वारा दी गई है, जो $$n!$$ के प्रधान गुणनखंड में प्रत्येक अभाज्य $$p$$ का प्रतिपादक देता है $$\sum_{i=1}^\infty \left \lfloor \frac n {p^i} \right \rfloor=\frac{n - s_p(n)}{p - 1}.$$

यहां $$s_p(n)$$, $n$, के आधार $p$ अंक योग को दर्शाता है और इस सूत्र द्वारा दिए गए प्रतिपादक की व्याख्या उन्नत गणित में $p$-adic वैल्यूएशन के रूप में भी की जा सकती है भाज्य का मूल्यांकन। द्विपद गुणांकों के उत्पाद सूत्र के लिए लीजेंड्रे के सूत्र को प्रयुक्त करने से कम्मर प्रमेय उत्पन्न होता है, द्विपद गुणांक के गुणनखंड में प्रत्येक अभाज्य के घातांक पर समान परिणाम। क्रमगुणित के प्रमुख कारकों को अलग-अलग तरीकों से प्रमुख शक्तियों में समूहीकृत करने से क्रमगुणित के गुणक विभाजन उत्पन्न होते हैं।

$$p=5$$ लीजेंड्रे के फार्मूले का विशेष स्थितिया भाज्य के दशमलव निरूपण में अनुगामी शून्य या क्रमगुणित की संख्या देता है। इस सूत्र के अनुसार के $$n$$ से $$n$$ आधार-5 अंकों को घटाकर शून्यों की संख्या प्राप्त की जा सकती है और परिणाम को चार से विभाजित करना। लीजेंड्रे के सूत्र का अर्थ है कि अभाज्य का प्रतिपादक $$p=2$$ के घातांक से $p=5$, सदैव बड़ा होता है $p=5$, इसलिए इन अनुगामी शून्यों में से इस का उत्पादन करने के लिए पांच के प्रत्येक कारक को दो के कारक के साथ जोड़ा जा सकता है। क्रमगुणित के प्रमुख अंक बेनफोर्ड के नियम के अनुसार वितरित किए जाते हैं। अंकों का प्रत्येक अनुक्रम, किसी भी आधार में, उस आधार में किसी भाज्य संख्या के आरंभिक अंकों का क्रम होता है।

क्रमगुणित्स की विभाज्यता पर और परिणाम, विल्सन के प्रमेय में कहा गया है कि $$(n-1)!+1$$, $$n$$ से विभाज्य है यदि और केवल यदि $$n$$ अभाज्य संख्या है। किसी दिए गए के लिए integer $x$, केम्पनर कार्य कार्य $$x$$ सबसे छोटा $$n$$ दिया जाता है $$n$$ जिसके लिए $$x$$ $n!$.विभाजित करता है तथा लगभग सभी संख्याओं के लिए (शून्य स्पर्शोन्मुख घनत्व वाले अपवादों के उपसमुच्चय को छोड़कर), यह सबसे बड़े अभाज्य गुणक $x$. के साथ मेल खाता है

दो क्रमगुणित का उत्पाद, $m!\cdot n!$, सदैव $(m+n)!$. समान रूप से विभाजित करता है असीम रूप से कई क्रमगुणित हैं जो अन्य क्रमगुणित के उत्पाद के समान हैं: यदि $$n$$ तब स्वयं क्रमगुणित का कोई उत्पाद है $$n!$$ उसी उत्पाद को और भाज्य से गुणा करने के समान है, $(n-1)!$. क्रमगुणित के एकमात्र ज्ञात उदाहरण जो अन्य क्रमगुणित के उत्पाद हैं किन्तु इस तुच्छ रूप के नहीं हैं $9!=7!\cdot 3!\cdot 3!\cdot 2!$, $10!=7!\cdot 6!=7!\cdot 5!\cdot 3!$, और $16!=14!\cdot 5!\cdot 2!$. यह एबीसी अनुमान से अनुसरण करेगा $5,040$ अनुमान है कि केवल बहुत से गैर-तुच्छ उदाहरण हैं।

आदिम भाग और डिग्री की सामग्री के मूल्यों का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक $$d$$ पूर्णांकों पर समान रूप से $d!$. विभाजित होता है The product of two factorials, $m!\cdot n!$, always evenly divides $(m+n)!$. There are infinitely many factorials that equal the product of other factorials: if $$n$$ is itself any product of factorials, then $$n!$$ equals that same product multiplied by one more factorial, $(n-1)!$. The only known examples of factorials that are products of other factorials but are not of this "trivial" form are $9!=7!\cdot 3!\cdot 3!\cdot 2!$, $10!=7!\cdot 6!=7!\cdot 5!\cdot 3!$, and $16!=14!\cdot 5!\cdot 2!$. It would follow from the $40,320$ conjecture that there are only finitely many nontrivial examples.

The greatest common divisor of the values of a primitive polynomial of degree $$d$$ over the integers evenly divides $d!$.

सतत इंटरपोलेशनफ़ंक्शनगैर-पूर्णांक सामान्यीकरण


क्रमगुणित को निरंतर कार्य करने के लिए असीमित रूप से कई तरीके हैं। इनमें से सबसे अधिक व्फ़ंक्शन रूप से उपयोग किया जाता है गामा फलन का उपयोग करता है, जिसे अभिन्न के रूप में धनात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए पफ़ंक्शनषित किया जा सकता है $$ \Gamma(z) = \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x}\,dx.$$ परिणामी फलन $$n$$ समीकरण द्वारा गैर-नकारात्मक पूर्णांक के भाज्य से संबंधित है $$ n!=\Gamma(n+1),$$ जिसका उपयोग गैर-पूर्णांक तर्कों के लिए भाज्य की परिभाषा के रूप में किया जा सकता है। हर कीमत पर $$x$$ जिसके लफ़ंक्शनोनों $$\Gamma(x)$$ और $$\Gamma(x-1)$$ परिभाषित हैं, गामा फलन कार्यात्मक समीकरण का पालन करता है $$ \Gamma(n)=(n-1)\Gamma(n-1),$$ क्रमगुणित के लिए पुनरावृत्ति संबंध को सामान्य बनाना।

समान समाकल किसी सम्मिश्र संख्या के लिए अधिक सामान्य रूप से अभिसरित होता है $$z$$ जिसका वास्तविक भाग धनात्मक होता है। इसे यूलर के परावर्तन सूत्र को हल करके बाकी सम्मिश्र तल में गैर-पूर्णांक बिंदुओं तक बढ़ाया जा सकता है $$\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin\pi z}.$$ चूँकि, इस सूत्र का उपयोग पूर्णांकों पर नहीं किया जा सकता है, क्योंकि उनके लिए, $$\sin\pi z$$ अवधि शून्य से विभाजन का उत्पादन करेगी। इस विस्तार प्रक्रिया का फ़ंक्शनाम विश्लेषणात्मक कार्य है, गामा फलन के अभिन्न सूत्र की विश्लेषणात्मक निरंतरता। गैर-धनात्मक पूर्णांकों को छोड़कर जहां इसमें शून्य और ध्रुव होते हैं, सभी सम्मिश्र संख्याओं में इसका शून्येतर मान होता है। इसलिए, यह ऋणात्मक पूर्णांकों के अतिरिक्त अन्य सभी सम्मिश्र संख्याओं पर क्रमगुणन की परिभाषा प्रदान करता है। गामा फलन की संपत्ति, इसे भाज्य के अन्य निरंतर प्रक्षेपों से अलग करती है, बोह्र-मोलेरुप प्रमेय द्वारा दी गई है, जिसमें कहा गया है कि गामा फलन     ( द्वारा ऑफसेट) धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर एकमात्र लॉग-उत्तल कार्य है जो क्रमगुणित्स को प्रक्षेपित करता है और समान कार्यात्मक समीकरण का पालन करता है। हेल्मुट विलैंड्ट के संबंधित अद्वितीयतफ़ंक्शनरमेय में कहा गया है कि सम्मिश्र गामा फलन और इसके स्केलर गुणक धनात्मक जटफ़ंक्शनर्ध-विमान पर एकमात्र होलोमॉर्फिक फलन हैं जो कार्यात्मक समीकरण का पालन करते हैं और 1 और 2 के बीच वास्तविक भाग के साथ सम्मिश्र संख्याओं के लिए बंधे रहते हैं।

अन्य सम्मिश्र कार्य जो तथ्यात्मक मूल्यों को प्रक्षेप फलन करते हैं, उनमें हैडमार्ड का गामा फलन सम्मिलित है, जो गैर-धनात्मक पूर्णांकों सहित सभी सम्मिश्र संख्याओं पर संपूर्ण कार्य है। पी-एडिफ़ंक्शनबर में $362,880$-ऐडिक नंबर, क्रमगुणित फलन को सीधे इंटरपोलेट करना संभव नहीं है, क्योंकि बड़े पूर्णांक के क्रमगुणित ( सघन उपसमुच्चय) $3,628,800$-adics) लीजेंड्रे के सूत्रों के अनुसार शून्य में परिवर्तित हो जाते हैं, किसी भी निरंतर कार्य को विवस कर देते हैं जो उनके मूल्यों के करीब हर स्थान शून्यफ़ंक्शनजाता है। इसके बफ़ंक्शन पी-एडिक गामा फलन $39,916,800$-एडिक गामा फलन क्रमगुणित के संशोधित रूप का निरंतर प्रक्षेप प्रदान करता है, जो क्रमगुणित में उन कारकों को छोड़ देता है जो $479,001,600$ फलन हैं.

डिगामा फलन गामा फलन का लघुगणकीय व्युत्पन्न है।जिस तरह गामा फलन क्रमगुणित्स का निरंतर प्रक्षेप प्रदान करता है, के फलन ऑफसेट होता है, उसी तरह डिगामा फलन हार्मोनिक संख्याओं का निरंतर प्रक्षेप प्रदान करता है, जो यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक द्वारा ऑफसेट होता है।

संगणना
क्रमगुणित फलन वैज्ञानिक कैलकुलेटर में सामान्य विशेषता है। यह वैज्ञानिक प्रोग्रामिंग पुस्तकालयों जैसे कि पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा) गणितीय कार्य मॉड्यूल में भी सम्मिलित है और बूस्ट (सी++ लाइब्रेरी)| यदि दक्षता चिंता का विषय नहीं है, तो क्रमगुणित की गणना तुच्छ है: बस $1$ से क्रमिक रूप से चर को $n$. आरंभिक रूप से गुणा करें ऊपर पूर्णांकों द्वारा इस संगणना की सरलता इसे विभिन्न कंप्यूटर प्रोग्रामिंग शैलियों और विधियों के उपयोग में सामान्य उदाहरण बनाती है।

जिसे $$n!$$ की गणना पुनरावृति का उपयोग करके स्यूडोकोड में व्यक्त किया जा सकता है क्रमगुणित परिभाषित करें (N): च:= 1 i := 1, 2, 3, ..., n के लिए: च�:= च × मैं वापसी च या पुनरावर्तन (कंप्यूटर विज्ञान) का उपयोग करना इसके पुनरावृत्ति संबंध के आधार पर क्रमगुणित परिभाषित करें (एन): यदि एन = 0 वापसी 1 वापसी n × भाज्य (n − 1) इसकी गणना के लिए उपयुक्त अन्य विधियों में मेमोइज़ेशन,, डायनेमिक प्रोग्रामिंग,, और कार्यात्मक प्रोग्रामिंग। इन एल्गोरिदम की कम्प्यूटेशनल सम्मिश्रता का विश्लेषण गणना के यूनिट-कॉस्ट रैंडम-एक्सेस मशीन मॉडल का उपयोग करके किया जा सकता है, जिसमें प्रत्येक अंकगणितीय ऑपरेशन में निरंतर समय लगता है और प्रत्येक संख्या स्टोरेज स्पेस की निरंतर मात्रा का उपयोग करती है। इस मॉडल में, ये विधियाँ $$n!$$ गणना कर सकती हैं जिससे समय $O(n)$, के अंदर और पुनरावृत्त संस्करण स्थान $O(1)$. का उपयोग करता है जब तक पूंछ पुनरावर्तन के लिए अनुकूलित नहीं किया जाता है, पुनरावर्ती संस्करण अपने कॉल स्टैक को संग्रहीत करने के लिए रैखिक स्थान लेता है। चूँकि, गणना का यह मॉडल तभी उपयुक्त है जब $$n$$ अनुमति देने के लिए अधिक छोटा है $$n!$$ मशीन शब्द में फिट होने के लिए। मान 12! और 20! सबसे बड़े क्रमगुणित हैं जिन्हें क्रमशः 32-बिट कंप्यूटिंग | 32-बिट में संग्रहीत किया जा सकता है and 64-bit integers. Floating point can represent larger factorials, but approximately rather than exactly, and will still overflow for factorials larger than $170!$. बड़े क्रमगुणित की स्पष्ट गणना में क्रमगुणित या ग्रोथ_एंड_प्रॉक्सिमेशन और पूर्णांक अतिप्रवाह के कारण इच्छानुसार से स्पष्ट अंकगणित सम्मिलित है। परिणाम में अंकों या बिट्स की संख्या के कार्य के रूप में गणना के समय का विश्लेषण किया जा सकता है। स्टर्लिंग के सूत्र से, $$n!$$ है $$b = O(n\log n)$$ बिट्स। शॉनहेज-स्ट्रैसन एल्गोरिथम उत्पादन कर सकता है $O(b\log b\log\log b)$, में $b$-bit उत्पादन कर सकता है  और $$O(b\log b)$$ समय तेज गुणन एल्गोरिदम में समय लगता है जाने जाते हैं। चूंकि, क्रमगुणित की गणना में एकल गुणन के अतिरिक्त बार-बार उत्पाद सम्मिलित होते हैं, इसलिए ये समय सीमाएं सीधे प्रयुक्त नहीं होती हैं। इस सेटिंग में, कंप्यूटिंग $$n!$$ 1 से $n$ संख्याओं का गुणा करके क्रम में अक्षम है, क्योंकि इसमें $$n$$ सम्मिलित है गुणन, जिसका निरंतर अंश $$O(n\log^2 n)$$ समय लेता है प्रत्येक, कुल समय $O(n^2\log^2 n)$. दे रहा है गुणा-और-जीत एल्गोरिदम के रूप में गुणा करने का नियमविधि है जो अनुक्रम को गुणा करता है $$i$$ संख्याओं को इसके दो क्रमों में विभाजित करके $$i/2$$ संख्याएँ, प्रत्येक अनुक्रम को गुणा करती हैं, और परिणामों को अंतिम गुणन के साथ जोड़ती हैं। क्रमगुणित के इस दृष्टिकोण में कुल समय लगता है $O(n\log^3 n)$: लघुगणक क्रमगुणित में बिट्स की संख्या से आता है, दूसरा गुणन एल्गोरिथ्म से आता है, और तीसरा फूट डालो और जीतो से आता है।

$S_{n}$ कंप्यूटिंग द्वारा और भी नियमदक्षता प्राप्त की जाती है $1·2·3· · · · ·(n−1)$ इसके प्रधान गुणनखंड से, इस सिद्धांत पर आधारित है कि वर्ग करके घातांक उत्पाद में घातांक का विस्तार करने की तुलना में तेज़ है। अर्नोल्ड शॉनहेज द्वारा इसके लिए एल्गोरिदम प्राइम अप की सूची ढूंढकर प्रारंभिक होता है उदाहरण के लिए एराटोस्थनीज की चालनित्र का उपयोग करके,$n$, और प्रत्येक अभाज्य के लिए प्रतिपादक की गणना करने के लिए लीजेंड्रे के सूत्र का उपयोग करता है। फिर यह पुनरावर्ती एल्गोरिथम का उपयोग करते हुए, इन घातांकों के साथ प्रमुख शक्तियों के उत्पाद की गणना करता है:: $$n$$ तक सभी अभाज्य संख्याओं का गुणनफल $$O(n)$$-बिट संख्या, अभाज्य संख्या प्रमेय द्वारा, तो पहले चरण के लिए समय $$O(n\log^2 n)$$ है, जिसमें लघुगणक विभाजित और अधीन करना आता है और दूसरा गुणा एल्गोरिथम से आता है। एल्गोरिथ्म के पुनरावर्ती कॉल में, प्रधान संख्या प्रमेय को फिर से यह सिद्ध करने के लिए प्रयुक्त किया जा सकता है कि संबंधित उत्पादों में बिट्स की संख्या पुनरावर्तन के प्रत्येक स्तर पर स्थिर कारक से घट जाती है, इसलिए पुनरावर्तन के सभी स्तरों पर इन चरणों के लिए कुल समय $O(n\log^2 n)$. ज्यामितीय श्रृंखला में जोड़ता है दूसरे चरण में वर्ग करने और तीसरे चरण में गुणा करने का समय फिर से है $O(n\log^2 n)$, क्योंकि प्रत्येक $$O(n\log n)$$ बिट्स। संख्या का एकल गुणन है । फिर से, पुनरावर्तन के प्रत्येक स्तर पर सम्मिलित संख्याओं में कई बिट्स के रूप में निरंतर अंश होता है (क्योंकि अन्यथा बार-बार उन्हें चुकता करने से अंतिम परिणाम बहुत बड़ा होगा) इसलिए फिर से पुनरावर्ती कॉल में इन चरणों के लिए समय की मात्रा ज्यामितीय श्रृंखला में जोड़ती है $O(n\log^2 n)$. परिणाम स्वरुप, पूरा एल्गोरिदम लेता है $O(n\log^2 n)$, इसके परिणाम में बिट्स की समान संख्या के साथ एकल गुणन के समानुपाती।
 * उन अभाज्य संख्याओं के गुणनफल की गणना करने के लिए विभाजित करें और जीतें जिनका घातांक विषम हैं
 * सभी घातांकों को दो से विभाजित करें ( पूर्णांक तक नीचे की ओर), इन छोटे घातांकों के साथ प्रमुख शक्तियों के उत्पाद की पुनरावर्ती गणना करें, और परिणाम का वर्ग करें
 * पिछले दो चरणों के परिणामों को साथ गुणा करें

संबंधित अनुक्रम और कार्य
कई अन्य पूर्णांक क्रम क्रमगुणित के समान या उससे संबंधित हैं:

वैकल्पिक योग क्रमगुणित
 * प्रत्यावर्ती भाज्य पहले $$n$$ के क्रमगुणित, $\sum_{i = 1}^n (-1)^{n - i}i!$. प्रत्यावर्ती योग का निरपेक्ष मान है इनका मुख्य रूप से उनकी आदिमता के संबंध में अध्ययन किया गया है; उनमें से बहुत से ही प्रधान हो सकते हैं, किन्तुइस रूप के अभाज्यों की पूरी सूची ज्ञात नहीं है।
 * भार्गव क्रमगुणित
 * भार्गव क्रमगुणित, मंजुल भार्गव द्वारा परिभाषित पूर्णांक अनुक्रमों का परिवार है, जिसमें क्रमगुणित्स के समान संख्या-सैद्धांतिक गुण हैं, जिसमें क्रमगुणित्स स्वयं विशेष स्थितियोंके रूप में सम्मिलित हैं। डबल क्रमगुणित
 * कुछ विषम धनात्मक तक सभी विषम $n$ पूर्णांकों का गुणनफल $n$, डबल क्रमगुणित कहा जाता है और $n!!$. द्वारा दर्शाया गया वह है,
 * $$(2k-1)!! = \prod_{i=1}^k (2i-1) = \frac{(2k)!}{2^k k!}.$$ उदाहरण के लिए, 9!! = 1 × 3 × 5 × 7 × 9 = 945. त्रिकोणमितीय कार्यों के इंटीग्रल की सूची में डबल क्रमगुणित का उपयोग कफ़ंक्शनजाता है, }} That is, $$(2k-1)!! = \prod_{i=1}^k (2i-1) = \frac{(2k)!}{2^k k!}.$$ For example, 9!! = 1 × 3 × 5 × 7 × 9 = 945. Double factorials are used in trigonometric integrals,
 * घातीय भाज्य
 * जिस प्रकार त्रिभुजाकार संख्याओं $$1$$ से $n$, संख्याओं का योग होता है $$1$$ $n$, और क्रमगुणित उनके उत्पाद को लेते हैं, घातीय भाज्य एक्सपोनेंटियेट्स। घातीय क्रमगुणन को पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया गया है as $a_0 = 1,\ a_n = n^{a_{n - 1}}$.|undefined उदाहरण के लिए, 4 का चरघातांकी भाज्य है
 * ये संख्याएँ नियमित क्रमगुणित्स की तुलना में बहुत अधिक तेज़ी से बढ़ती हैं।
 * ये संख्याएँ नियमित क्रमगुणित्स की तुलना में बहुत अधिक तेज़ी से बढ़ती हैं।

क्रमगुणित गिरना
 * अंकन $$(x)_{n}$$ या $$x^{\underline n}$$ का उपयोग कभी-कभी $x!/(x-n)!$. के समान और $x$,सहित $$n$$ पूर्णांकों की गिनती और उनके गुणनफल को दर्शाने के लिए किया जाता है। इसे फ़ॉलिंग फ़ैक्टोरियल या बैकवर्ड फ़ैक्टोरियल के रूप में भी जाना जाता है, और $$(x)_{n}$$ अंकन एक पोचहैमर प्रतीक है। [96] गिरते क्रमगुणित एन अलग-अलग वस्तुओं के विभिन्न अनुक्रमों की संख्या की गणना करते हैं जिन्हें एक्स वस्तुओं के ब्रह्मांड से खींचा जा सकता है। [97] वे बहुपदों के उच्च व्युत्पन्नों में गुणांक के रूप में होते हैं, [98] और यादृच्छिक चर के तथ्यात्मक क्षणों में। [99]

हाइपरएक्टोरियल
 * का हाइपरक्रमगुणित $$n$$ उत्पाद है $$1^1\cdot 2^2\cdots n^n$$. ये संख्याएँ हर्मिट बहुपद के विभेदक का निर्माण करती हैं। उन्हें K कार्य द्वारा निरंतर प्रक्षेपित किया जा सकता है, और स्टर्लिंग के सूत्र के अनुरूपों का पालन करें और विल्सन की प्रमेय।


 * जॉर्डन-पोल्या नंबर
 * जॉर्डन-पोल्या नंबर क्रमगुणित के उत्पाद हैं, जो दोहराव की अनुमति देते हैं। प्रत्येक ट्री (ग्राफ सिद्धांत) में समरूपता समूह होता है जिसकी समरूपता की संख्या जॉर्डन-पोल्या संख्या होती है, और प्रत्येक जॉर्डन-पोल्या संख्या किसी ट्री की समरूपता की गणना करती है।

प्राथमिक
 * आदिम $$n\#$$ $n$; कम या समान अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है यह निर्माण उन्हें क्रमगुणित्स के लिए कुछ समान विभाज्यता गुण देता है, किन्तु क्रमगुणित के विपरीत वर्गमुक्त हैं। क्रमगुणित प्राइम्स $n!\pm 1$, की तरह शोधकर्ताओं ने प्राथमिक अभाज्यताओं $n\#\pm 1$. का अध्ययन किया है

सबक्रमगुणित
 * सबक्रमगुणित $$n$$ समुच्चय के विचलन की संख्या उत्पन्न करता है वस्तुओं। इसे कभी-कभी $$!n$$ निरूपित किया जाता है $n!/e$. और निकटतम पूर्णांक के समान है

सुपरएक्टोरियल
 * $$n$$ का सुपरक्रमगुणित पहले $$n$$का उत्पाद है भाज्य। बार्न्स जी-कार्य द्वारा सुपरक्रमगुणित्स को निरंतर प्रक्षेपित किया जाता है।