केप्लर कक्षा

खगोलीय यांत्रिकी में, एक केपलर कक्ष या केप्लरियन कक्ष (जर्मन खगोलशास्त्री जोहान्स केप्लर के नाम पर) एक पिंड की दूसरे के सापेक्ष एक दीर्घवृत्त, परवलय या अतिपरवलय के रूप में गति है, जो तीन में द्वि-आयामी कक्षीय तल मे आयामी समष्टि बनाता है केपलर कक्ष भी एक प्रत्यक्ष रेखा बना सकता है। यह केवल दो निकायों के बिंदु-जैसे गुरुत्वाकर्षण आकर्षण पर विचार करता है अन्य वस्तुओं के साथ गुरुत्वाकर्षण संबंधी क्रिया वायुमंडलीय ड्रैग, सौर विकिरण दाब, एक गैर-वृत्ताकार केंद्रीय निकाय और इसी प्रकार की विकृत (खगोल विज्ञान) की उपेक्षा करता है। इस प्रकार इसे दो-शरीर की समस्या के एक विशेष स्थिति का समाधान कहा जाता है जिसे केपलर समस्या के रूप में जाना जाता है। शास्त्रीय यांत्रिकी में एक सिद्धांत के रूप में, यह सामान्य सापेक्षता के प्रभावों को भी ध्यान में नहीं रखता है। केप्लरियन कक्षाओं को छह कक्षीय तत्वों में विभिन्न तरीकों से पैरामीट्रिजेशन (ज्यामिति) किया जा सकता है।

अधिकांश अनुप्रयोगों में, एक बड़ा केंद्रीय निकाय होता है, जिसका द्रव्यमान केंद्र संपूर्ण प्रणाली के द्रव्यमान का केंद्र माना जाता है। अपघटन द्वारा, समान द्रव्यमान की दो वस्तुओं की कक्षाओं को केप्लर कक्षाओं के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जो उनके द्रव्यमान के सामान्य केंद्र, उनके बैरीसेंट्रिक निर्देशांक के आसपास होती हैं।

परिचय
प्राचीन काल से 16वीं और 17वीं शताब्दी तक, माना जाता था कि ग्रहों की गति पूरी तरह से गोलाकार भू-केंद्रित पथ का अनुसरण करती है जैसा कि प्राचीन यूनानी दार्शनिक अरस्तू और टॉलेमी ने सिखाया था। ग्रहों की गति में भिन्नता को बड़े पथ पर आच्छादित छोटे वृत्ताकार पथों द्वारा समझाया गया था (एपिसाइकिल देखें)। जैसे-जैसे ग्रहों की माप को तीव्रता से शुद्ध किया गया था सिद्धांत में संशोधन प्रस्तावित किए गए। 1543 में, निकोलस कोपरनिकस ने सौर मंडल का एक सूर्यकेंद्रित मॉडल प्रकाशित किया, हालांकि उनका अभी भी मानना ​​था कि ग्रह सूर्य पर केंद्रित पूरी तरह से गोलाकार पथ में यात्रा करते हैं।

विकास
1601 में, जोहान्स केपलर ने टाइको ब्राहे द्वारा बनाए गए ग्रहों के व्यापक, सावधानीपूर्वक अवलोकन किए। केपलर अगले पांच साल मंगल ग्रह के अवलोकन को विभिन्न वक्रों में प्रयुक्त करने की कोशिश में बिताएगा। 1609 में, केपलर ने ग्रहों की गति के अपने तीन नियमों में से पहले दो को प्रकाशित किया पहला नियम कहता है कि प्रत्येक ग्रह की कक्षा एक दीर्घवृत्त है जिसमें सूर्य फोकस (ज्यामिति) पर है।

अधिक सामान्यतः केप्लरियन गति से गुजरने वाली वस्तु का मार्ग भी एक परवलय या अतिपरवलय का अनुसरण कर सकता है, जो दीर्घवृत्त के साथ, वक्रों के एक समूह से संबंधित होता है जिसे शंकु वर्गों के रूप में जाना जाता है। गणितीय रूप से, एक केंद्रीय पिंड और एक कक्षीय पिंड के बीच की दूरी को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:$$ r(\theta) = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos(\theta)} $$जहाँ: वैकल्पिक रूप से, समीकरण को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$r$$ दूरी है
 * $$a$$ अर्ध-प्रमुख अक्ष है, जो कक्षा के आकार को परिभाषित करता है।
 * $$e$$ कक्षीय विलक्षणता है, जो कक्षा के आकार को परिभाषित करती है॥
 * $$\theta$$ सही विसंगति है, जो परिक्रमा करने वाली वस्तु की वर्तमान स्थिति और कक्षा में उस स्थान के बीच का कोण है जिस पर यह केंद्रीय निकाय ( पेरीपसिस कहा जाता है) के सबसे निकट है।

$$ r(\theta) = \frac{p}{1+e\cos(\theta)} $$ जहाँ $$p$$ को वक्र का अर्ध-अक्षांश मलाशय कहा जाता है। परवलयिक प्रक्षेपवक्र से निपटने के समय समीकरण का यह रूप विशेष रूप से उपयोगी होता है, जिसके लिए अर्ध-प्रमुख अक्ष अनंत है। प्रेक्षणों से इन नियमों को विकसित करने के अतिरिक्त केप्लर कभी भी इन गतियों की व्याख्या करने के लिए एक सिद्धांत विकसित करने में सक्षम नहीं था।

आइजैक न्यूटन
1665 और 1666 के बीच, आइजैक न्यूटन ने गति, गुरुत्वाकर्षण और अवकल कलन से संबंधित कई अवधारणाएँ विकसित कीं। हालांकि, इन अवधारणाओं को 1687 तक प्रिंसिपिया में प्रकाशित नहीं किया गया था, जिसमें उन्होंने गति के अपने नियमों और सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के कानून को रेखांकित किया था। उनके गति के तीन कानूनों में से दूसरा कहता है:

शरीर का त्वरण समानांतर है और शरीर पर अभिनय करने वाले शुद्ध बल के सीधे आनुपातिक है, शुद्ध बल की दिशा में है, और शरीर के द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती है:

$$ \mathbf{F} = m\mathbf{a} = m\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}$$ जहाँ: सामान्यतः समीकरण का यह रूप केवल स्थिर द्रव्यमान की वस्तु पर प्रयुक्त होता है, जो नीचे दी गई सरल धारणाओं के आधार पर सत्य है।
 * $$\mathbf{F}$$ बल सदिश है
 * $$m$$ शरीर का द्रव्यमान है जिस पर बल कार्य कर रहा है
 * $$\mathbf{a}$$ त्वरण सदिश है, दूसरी बार स्थिति सदिश का व्युत्पन्न $$\mathbf{r}$$

न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण का नियम कहता है:

प्रत्येक बिंदु द्रव्यमान प्रत्येक बिंदु द्रव्यमान को एक बल द्वारा आकर्षित करता है जो दोनों बिंदुओं को प्रतिच्छेद करने वाली रेखा के साथ इंगित करता है। बल दो द्रव्यमानों के उत्पाद के लिए आनुपातिकता (गणित) है और बिंदु द्रव्यमानों के बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है:$$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$$ जहाँ:

गति के नियमों और सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम से न्यूटन केप्लर के नियमों को प्राप्त करने में सक्षम थे, जो खगोल विज्ञान में कक्षीय गति के लिए विशिष्ट हैं। चूंकि केप्लर के नियम अवलोकन डेटा द्वारा अच्छी तरह से समर्थित थे, इस स्थिरता ने न्यूटन के सामान्यीकृत सिद्धांत और एकीकृत आकाशीय और सामान्य यांत्रिकी की वैधता का मजबूत समर्थन प्रदान किया। गति के इन नियमों ने आधुनिक खगोलीय यांत्रिकी का आधार बनाया जब तक कि अल्बर्ट आइंस्टीन ने 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में विशेष सापेक्षता और सामान्य सापेक्षता की अवधारणाओं को पेश नहीं किया। अधिकांश अनुप्रयोगों के लिए, केप्लरियन गति ग्रहों और उपग्रहों की गति को सटीकता के अपेक्षाकृत उच्च स्तर तक अनुमानित करती है और खगोल विज्ञान और खगोल विज्ञान में व्यापक रूप से उपयोग की जाती है।
 * $$F$$ दो बिंदु द्रव्यमानों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल का परिमाण है
 * $$G$$ गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है
 * $$m_1$$ पहले बिंदु द्रव्यमान का द्रव्यमान है
 * $$m_2$$ दूसरे बिंदु द्रव्यमान का द्रव्यमान है
 * $$r$$ दो बिंदु द्रव्यमान के बीच की दूरी है

सरलीकृत दो शरीर समस्या
दो-निकाय समस्या में किसी वस्तु की गति को हल करने के लिए, दो सरल धारणाएँ बनाई जा सकती हैं:
 * 1) निकाय गोलाकार रूप से सममित हैं और इन्हें बिंदु द्रव्यमान के रूप में माना जा सकता है।
 * 2) उनके पारस्परिक गुरुत्वाकर्षण के अलावा अन्य पिंडों पर कोई बाहरी या आंतरिक बल कार्य नहीं कर रहे हैं।

बड़े आकाशीय पिंडों की आकृति गोलों के करीब होती है। समरूपता से, एक सजातीय क्षेत्र की ओर द्रव्यमान बिंदु को आकर्षित करने वाला शुद्ध गुरुत्वाकर्षण बल इसके केंद्र की ओर निर्देशित होना चाहिए। खोल प्रमेय (इसहाक न्यूटन द्वारा भी सिद्ध) में कहा गया है कि इस बल का परिमाण समान है जैसे कि सभी द्रव्यमान गोले के बीच में केंद्रित थे, भले ही गोले का घनत्व गहराई के साथ बदलता रहता हो (जैसा कि यह अधिकांश खगोलीय के लिए होता है) निकाय)। इससे तुरंत यह पता चलता है कि दो सजातीय क्षेत्रों के बीच का आकर्षण ऐसा है मानो दोनों का द्रव्यमान इसके केंद्र में केंद्रित हो।

छोटी वस्तुओं, जैसे क्षुद्रग्रह या अंतरिक्ष यान में अक्सर एक गोले से दृढ़ता से विचलित होने वाली आकृति होती है। लेकिन इन अनियमितताओं द्वारा उत्पन्न गुरुत्वाकर्षण बल केंद्रीय निकाय के गुरुत्वाकर्षण की तुलना में सामान्यतः छोटे होते हैं। एक अनियमित आकार और एक पूर्ण क्षेत्र के बीच का अंतर भी दूरियों के साथ कम हो जाता है, और एक छोटे कक्षीय पिंड के व्यास की तुलना में अधिकांश कक्षीय दूरियां बहुत बड़ी होती हैं। इस प्रकार कुछ अनुप्रयोगों के लिए, आकार की अनियमितता को सटीकता पर महत्वपूर्ण प्रभाव के बिना उपेक्षित किया जा सकता है। यह प्रभाव कृत्रिम पृथ्वी उपग्रहों के लिए काफी ध्यान देने योग्य है, विशेष रूप से कम कक्षाओं में ग्रह अलग-अलग दरों पर घूमते हैं और इस प्रकार केन्द्रापसारक बल के कारण थोड़ा चपटा आकार ले सकते हैं। इस प्रकार के चपटे आकार के साथ, गुरुत्वाकर्षण आकर्षण एक सजातीय क्षेत्र से कुछ हद तक विचलित हो जाएगा। अधिक दूरी पर इस तिरछेपन का प्रभाव नगण्य हो जाता है। सौर मंडल में ग्रहों की गति की गणना पर्याप्त सटीकता के साथ की जा सकती है यदि उन्हें बिंदु द्रव्यमान के रूप में माना जाता है तब द्रव्यमान वाली दो बिंदु द्रव्यमान वस्तुएँ $$m_1$$ और $$m_2$$ और स्थिति सदिश $$\mathbf{r}_1$$ और $$\mathbf{r}_2$$ गुरुत्वाकर्षण बल के संदर्भ अनुभव के कुछ जड़त्वीय फ्रेम के सापेक्ष है:$$ m_1 \ddot{\mathbf{r}}_1 = \frac{-G m_1 m_2}{r^2} \mathbf{\hat{r}}$$$$ m_2 \ddot{\mathbf{r}}_2 = \frac{ G m_1 m_2}{r^2} \mathbf{\hat{r}}$$

जहाँ $$\mathbf{r}$$ द्रव्यमान 2 के संबंध में द्रव्यमान 1 की सापेक्ष स्थिति सदिश है, जिसे इस प्रकार व्यक्त किया गया है:$$ \mathbf{r} = \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2 $$और $$\mathbf{\hat{r}}$$ उस दिशा में इकाई सदिश है और r उस सदिश की लंबाई है। उनके संबंधित द्रव्यमानों से विभाजित करने और पहले से दूसरे समीकरण को घटाने से दूसरे के संबंध में पहली वस्तु के त्वरण के लिए गति का समीकरण प्राप्त होता है:

जहाँ $$\alpha$$ गुरुत्वाकर्षण पैरामीटर है और के बराबर है

$$ \alpha = G(m_1 + m_2)$$ कई अनुप्रयोगों में, तीसरी सरलीकृत धारणा बनाई जा सकती है:

केंद्रीय पिंड की तुलना में, परिक्रमा करने वाले पिंड का द्रव्यमान नगण्य है। गणितीय रूप से, एम1 >> म2, इसलिए $α = G (m_{1} + m_{2}) &asymp; Gm_{1}$. इस प्रकार के मानक गुरुत्वाकर्षण पैरामीटर, जिन्हें अक्सर निरूपित किया जाता है $$\mu = G\,M$$, सूर्य, प्रमुख ग्रहों और चंद्रमा के लिए व्यापक रूप से उपलब्ध हैं, जिनका द्रव्यमान बहुत अधिक है $$M$$ उनके परिक्रमा करने वाले उपग्रहों की तुलना में सरलीकृत दो पिंड समस्या को हल करने के लिए यह धारणा आवश्यक नहीं है, लेकिन यह गणना को सरल करता है, विशेष रूप से पृथ्वी की परिक्रमा करने वाले उपग्रहों और सूर्य की परिक्रमा करने वाले ग्रहों के साथ। यहां तक ​​कि बृहस्पति का द्रव्यमान भी सूर्य के द्रव्यमान से 1047 गुना कम है जो α के मान में 0.096% की त्रुटि का गठन करेगा। उल्लेखनीय अपवादों में पृथ्वी-चंद्रमा प्रणाली (81.3 का द्रव्यमान अनुपात), प्लूटो-चारोन प्रणाली (8.9 का द्रव्यमान अनुपात) और बाइनरी स्टार प्रणाली सम्मिलित हैं।

इन धारणाओं के तहत दो पिंड के स्थिति के लिए अंतर समीकरण को पूरी तरह से गणितीय रूप से हल किया जा सकता है और परिणामी कक्षा जो केप्लर के ग्रहों की गति के नियमों का पालन करती है, उसे "केप्लर कक्षा" कहा जाता है। सभी ग्रहों की कक्षाएँ सूर्य के चारों ओर उच्च सटीकता केप्लर कक्षाएँ हैं। छोटे विचलन ग्रहों के बीच बहुत कमजोर गुरुत्वाकर्षण आकर्षण और बुध के स्थिति में सामान्य सापेक्षता के कारण होते हैं। पृथ्वी के चारों ओर कृत्रिम उपग्रहों की कक्षाएँ उचित सन्निकटन के साथ, सूर्य, चंद्रमा के गुरुत्वाकर्षण आकर्षण और पृथ्वी की चपटीता के कारण केप्लर की कक्षाएँ छोटे क्षोभ के साथ हैं। उच्च सटीकता वाले अनुप्रयोगों में जिसके लिए गति के समीकरण को सभी गुरुत्वाकर्षण और गैर-गुरुत्वाकर्षण बलों (जैसे सौर विकिरण दबाव और वायुमंडलीय ड्रैग) के साथ संख्यात्मक रूप से एकीकृत किया जाना चाहिए, केपलर कक्षा की अवधारणा सर्वोपरि है और इसका अत्यधिक उपयोग किया जाता है।

केप्लरियन तत्व


किसी भी केप्लरियन प्रक्षेपवक्र को छह मापदंडों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। त्रि-आयामी अंतरिक्ष में चलने वाली किसी वस्तु की गति को एक स्थिति सदिश और एक वेग सदिश द्वारा दर्शाया जाता है। प्रत्येक सदिश में तीन घटक होते हैं, इसलिए अंतरिक्ष के माध्यम से एक प्रक्षेपवक्र को परिभाषित करने के लिए आवश्यक मानों की कुल संख्या छह है। एक कक्षा को सामान्यतः छह तत्वों (केप्लरियन तत्वों के रूप में जाना जाता है) द्वारा परिभाषित किया जाता है जिसे स्थिति और वेग से गणना की जा सकती है, जिनमें से तीन पर पहले ही चर्चा की जा चुकी है। ये तत्व छह में सुविधाजनक हैं, पांच एक अपरिवर्तित कक्षा के लिए अपरिवर्तित हैं (दो लगातार बदलते सदिशों के विपरीत)। किसी वस्तु की उसकी कक्षा के भीतर भविष्य की स्थिति की भविष्यवाणी की जा सकती है और उसकी नई स्थिति और वेग को कक्षीय तत्वों से आसानी से प्राप्त किया जा सकता है।

दो प्रक्षेपवक्र के आकार और आकार को परिभाषित करते हैं:
 * सेमीमेजर एक्सिस ($$a$$)
 * सनकीपन (कक्षा) ($$e$$)

तीन कक्षीय विमान (खगोल विज्ञान) के उन्मुखीकरण को परिभाषित करते हैं:
 * झुकाव ($$i$$) कक्षीय तल और संदर्भ तल के बीच के कोण को परिभाषित करता है।
 * आरोही नोड का देशांतर ($$\Omega$$) संदर्भ दिशा और संदर्भ तल (आरोही नोड) पर कक्षा के ऊपर की ओर क्रॉसिंग के बीच के कोण को परिभाषित करता है।
 * पेरीपसिस का तर्क ($$\omega$$) आरोही नोड और पेरीएप्सिस के बीच के कोण को परिभाषित करता है।

और अंत में:
 * सही विसंगति ($$\nu$$) प्रक्षेपवक्र के साथ परिक्रमा करने वाले पिंड की स्थिति को परिभाषित करता है, जिसे पेरीपसिस से मापा जाता है। सच्ची विसंगति के बजाय कई वैकल्पिक मूल्यों का उपयोग किया जा सकता है, जो कि सबसे सामान्य $$M$$ है औसत विसंगति और $$T$$, पेरियाप्सिस के बाद का समय है।

क्योंकि $$i$$, $$\Omega$$ और $$\omega$$ संदर्भ फ्रेम में प्रक्षेपवक्र के अभिविन्यास को परिभाषित करने वाले केवल कोणीय माप हैं, कक्षीय विमान के भीतर वस्तु की गति पर चर्चा करते समय वे सख्ती से जरूरी नहीं हैं। पूर्णता के लिए उनका उल्लेख यहां किया गया है, लेकिन नीचे दिए गए प्रमाणों के लिए इनकी आवश्यकता नहीं होती है।

अंतर समीकरण का गणितीय समाधान ($$) ऊपर
किसी केंद्रीय बल के तहत आंदोलन के लिए, यानी आर के समानांतर एक बल, विशिष्ट सापेक्ष कोणीय गति $$ \mathbf{H} = \mathbf{r} \times {\dot{\mathbf{r}}} $$ स्थिर रहता है: $$ \dot {\mathbf{H}} = \frac{d}{dt}\left(\mathbf{r} \times {\dot{\mathbf{r}}}\right) = \dot{\mathbf{r}} \times {\dot{\mathbf{r}}} + \mathbf{r} \times {\ddot{\mathbf{r}}} =\mathbf{0} + \mathbf{0} = \mathbf{0}$$ चूंकि स्थिति सदिश का अनुप्रस्थ उत्पाद और इसका वेग स्थिर रहता है, इसलिए उन्हें एक ही तल में होना चाहिए, ओर्थोगोनल $$ \mathbf{H} $$. इसका अर्थ है कि सदिश फलन एक समतल वक्र है।

क्योंकि समीकरण के मूल के आसपास समरूपता है, ध्रुवीय निर्देशांक में हल करना आसान है। हालांकि, यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि समीकरण ($$) रैखिक त्वरण $$\left (\ddot{\mathbf{r}} \right ),$$ को संदर्भित करता है कोणीय के विपरीत $$\left (\ddot{\theta} \right )$$ या रेडियल $$\left (\ddot{r} \right )$$ त्वरण। इसलिए, समीकरण को बदलते समय सतर्क रहना चाहिए। एक कार्तीय समन्वय प्रणाली का परिचय $$(\hat{\mathbf{x}}, \hat{\mathbf{y}})$$ और इकाई सदिश बेलनाकार निर्देशांक $$(\hat{\mathbf{r}}, \hat{\mathbf{q}})$$ समतल में ओर्थोगोनल करने के लिए $$ \mathbf{H} $$ है:

$$ \begin{align} \hat{\mathbf{r}}&= \cos{\theta}\hat{\mathbf{x}} + \sin{\theta}\hat{\mathbf{y}} \\ \hat{\mathbf{q}}&=-\sin{\theta}\hat{\mathbf{x}} + \cos{\theta}\hat{\mathbf{y}} \end{align} $$ अब हम सदिश फलन को फिर से लिख सकते हैं $$\mathbf{r}$$ और इसके अवकल के रूप में:

$$ \begin{align} \mathbf{r} &= r \left( \cos\theta \hat{\mathbf{x}} + \sin \theta \hat{\mathbf{y}}\right) = r\hat{\mathbf{r}} \\ \dot{\mathbf{r}} &= \dot r \hat {\mathbf r} + r \dot \theta \hat{\mathbf{q}} \\ \ddot{\mathbf{r}} &= \left(\ddot r - r\dot\theta^2\right) \hat{\mathbf{r}} + \left(r \ddot\theta + 2 \dot r \dot\theta\right) \hat{\mathbf{q}} \end{align} $$ (ध्रुवीय निर्देशांक सदिश कलन देखें)। इन्हें प्रतिस्थापित करना ($$), हम देखतें है: $$\left(\ddot r - r\dot\theta^2\right)\hat{\mathbf{r}} + \left(r \ddot\theta + 2 \dot r \dot\theta\right) \hat{\mathbf{q}} = \left (-\frac{\alpha}{r^2}\right )\hat{\mathbf{r}} + (0)\hat{\mathbf{q}}$$ यह असामान्य ध्रुवीय अंतर समीकरण देता है:

इस समीकरण को हल करने के लिए, सभी समय व्युत्क्रम को समाप्त किया जाना चाहिए: $$H = |\mathbf{r} \times {\dot{\mathbf{r}}}| = \left|\begin{pmatrix} r\cos(\theta) \\ r\sin(\theta) \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \dot{r}\cos(\theta)-r\sin(\theta)\dot{\theta} \\ \dot{r}\sin(\theta)+r\cos(\theta)\dot{\theta} \\ 0 \end{pmatrix}\right| = \left|\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ r^2\dot\theta \end{pmatrix}\right| = r^2\dot\theta$$

व्युत्पन्न समय लेना ($$) मिलता है

समीकरण ($$) और ($$) हमें $$\theta$$ के समय अवकलज को समाप्त करने की अनुमति देते हैं। के समय डेरिवेटिव को खत्म करने के लिए $$r$$ श्रृंखला नियम उपयुक्त प्रतिस्थापन खोजने के लिए प्रयोग किया जाता है:

इन चार प्रतिस्थापनों का उपयोग करते हुए, ($$) में सभी समय के डेरिवेटिव्स को समाप्त किया जा सकता है, $$\theta.$$ के कार्य के रूप में $$r$$ के लिए एक साधारण अंतर समीकरण उत्पन्न करता है। $$\ddot{r} - r {\dot{\theta}}^2 = - \frac {\alpha} {r^2}$$ $$\frac{d^2r}{d\theta^2} \cdot {\dot {\theta}}^2 + \frac {dr} {d\theta} \cdot \ddot {\theta} - r {\dot{\theta}}^2 = - \frac {\alpha} {r^2}$$ $$\frac{d^2r}{d\theta^2} \cdot \left (\frac{H}{r^2} \right )^2 + \frac{dr}{d\theta} \cdot \left (- \frac{2 \cdot H \cdot \dot{r}}{r^3} \right ) - r \left (\frac{H}{r^2} \right )^2 = - \frac {\alpha} {r^2}$$

अंतर समीकरण ($$) चर प्रतिस्थापन द्वारा विश्लेषणात्मक रूप से हल किया जा सकता है

विभेदीकरण के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग करने से प्राप्त होता है:

भावों का उपयोग करना ($$) और ($$) के लिए $$\frac {d^2r} {d\theta^2}$$ और $$\frac {dr} {d\theta}$$ जाता

सामान्य समाधान के साथ

जहां ई और $$\theta_0$$ एस और के प्रारंभिक मूल्यों के आधार पर एकीकरण के स्थिरांक हैं $$\tfrac{ds}{d\theta}.$$एकीकरण की निरंतरता का उपयोग करने के बजाय $$\theta_0$$ स्पष्ट रूप से एक सम्मेलन का परिचय देता है कि इकाई सदिश $$\hat{x}, \hat{y}$$ कक्षीय तल में समन्वय प्रणाली को परिभाषित करने वाले ऐसे चुने जाते हैं $$\theta_0$$ मान शून्य लेता है और e धनात्मक है। इसका मतलब यह है $$\theta$$ जहां पर शून्य है $$s$$ अधिकतम है और इसलिए $$r=\tfrac{1}{s}$$ न्यूनतम है। पैरामीटर पी को परिभाषित करना $$\tfrac{H^2}{\alpha}$$ एक के पास है:

$$r = \frac{1}{s} = \frac {p}{1 + e \cdot \cos \theta}$$

वैकल्पिक व्युत्पत्ति
ध्रुवीय अंतर समीकरणों के उपयोग के बिना इस समीकरण को हल करने का दूसरा तरीका इस प्रकार है:

एक इकाई सदिश को परिभाषित करें $$\mathbf{u}$$, $$\mathbf{u} = \frac{\mathbf{r}}{r}$$, ऐसा है कि $$\mathbf{r} = r\mathbf{u}$$ और $$ \ddot{\mathbf{r}} = -\tfrac{\alpha}{r^2}\mathbf{u}$$. यह इस प्रकार है कि$$\mathbf{H} = \mathbf{r} \times \dot{\mathbf{r}} = r\mathbf{u} \times \frac{d}{dt}(r\mathbf{u}) = r\mathbf{u} \times (r\dot{\mathbf{u}}+\dot{r}\mathbf{u}) = r^2(\mathbf{u} \times \dot{\mathbf{u}}) + r\dot{r}(\mathbf{u} \times \mathbf{u}) = r^2\mathbf{u} \times \dot{\mathbf{u}}$$अब विचार करें$$\ddot{\mathbf{r}} \times \mathbf{H} = -\frac{\alpha}{r^2} \mathbf{u} \times (r^2\mathbf{u} \times \dot{\mathbf{u}}) = -\alpha\mathbf{u} \times (\mathbf{u} \times \dot{\mathbf{u}}) = -\alpha[(\mathbf{u}\cdot\dot{\mathbf{u}})\mathbf{u}-(\mathbf{u}\cdot\mathbf{u})\dot{\mathbf{u}}]$$(सदिश ट्रिपल उत्पाद देखें)। नोटिस जो$$\mathbf{u}\cdot\mathbf{u} = |\mathbf{u}|^2 = 1$$$$\mathbf{u}\cdot\dot{\mathbf{u}} = \frac{1}{2}(\mathbf{u}\cdot\dot{\mathbf{u}} + \dot{\mathbf{u}}\cdot\mathbf{u}) = \frac{1}{2}\frac{d}{dt}(\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}) = 0 $$ इन मानों को पिछले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $$\ddot{\mathbf{r}}\times\mathbf{H}=\alpha\dot{\mathbf{u}}$$ दोनों पक्षों का एकीकरण: $$\dot{\mathbf{r}}\times\mathbf{H}=\alpha\mathbf{u} + \mathbf{c}$$ जहाँ c एक स्थिर सदिश है। इसे r के साथ डॉट करने से एक दिलचस्प परिणाम मिलता है: $$\mathbf{r}\cdot(\dot{\mathbf{r}}\times\mathbf{H})=\mathbf{r}\cdot(\alpha\mathbf{u} + \mathbf{c}) = \alpha\mathbf{r}\cdot\mathbf{u} + \mathbf{r}\cdot\mathbf{c} = \alpha r(\mathbf{u}\cdot\mathbf{u})+rc\cos(\theta)=r(\alpha + c\cos(\theta))$$ जहाँ $$\theta$$ के बीच का कोण है $$\mathbf{r}$$ और $$\mathbf{c}$$. r के लिए हल करना: $$ r = \frac{\mathbf{r}\cdot(\dot{\mathbf{r}}\times\mathbf{H})}{\alpha + c\cos(\theta)} = \frac{(\mathbf{r}\times\dot{\mathbf{r}})\cdot\mathbf{H}}{\alpha + c\cos(\theta)} = \frac{|\mathbf{H}|^2}{\alpha + c\cos(\theta)} = \frac{|\mathbf{H}|^2/\alpha}{1 + (c/\alpha) \cos(\theta)}.$$ नोटिस जो $$(r,\theta)$$ सदिश फलन के प्रभावी रूप से ध्रुवीय निर्देशांक हैं। प्रतिस्थापन बनाना $$p=\tfrac{|\mathbf{H}|^2}{\alpha}$$ और $$e=\tfrac{c}{\alpha}$$, हम फिर से समीकरण पर पहुंचते हैं

यह फोकल बिंदु में मूल के साथ एक शंक्वाकार खंड के लिए ध्रुवीय निर्देशांक में समीकरण है। तर्क $$\theta $$ सच्ची विसंगति कहलाती है।

सनकीपन सदिश
यह भी ध्यान दें कि, चूंकि $$\theta$$ स्थिति सदिश के बीच का कोण है $$\mathbf{r}$$ और एकीकरण स्थिरांक $$\mathbf{c}$$, सदिश $$\mathbf{c}$$ कक्षा के पेरीपसिस की दिशा में इशारा करना चाहिए। फिर हम कक्षा से जुड़े विलक्षणता सदिश को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं: $$\mathbf{e} \triangleq \frac{\mathbf{c}}{\alpha} = \frac{\dot{\mathbf{r}}\times\mathbf{H}}{\alpha} - \mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}\times\mathbf{H}}{\alpha} - \frac{\mathbf{r}}{r} = \frac{\mathbf{v}\times(\mathbf{r} \times \mathbf{v})}{\alpha} - \frac{\mathbf{r}}{r}$$ जहाँ $$\mathbf{H} = \mathbf{r} \times \dot{\mathbf{r}} = \mathbf{r} \times \mathbf{v}$$ कक्षा का स्थिर कोणीय संवेग सदिश है, और $$\mathbf{v}$$ स्थिति सदिश से जुड़ा वेग सदिश है $$\mathbf{r}$$.

जाहिर है, सनकीपन सदिश, एकीकरण स्थिरांक के समान दिशा रखता है $$\mathbf{c}$$, कक्षा के पेरीएप्सिस की दिशा को भी इंगित करता है, और इसमें कक्षीय उत्केन्द्रता का परिमाण है। यह कक्षा के कक्षीय तत्वों के लिए कक्षा निर्धारण (ओडी) में बहुत उपयोगी बनाता है जब एक राज्य सदिश [$$\mathbf{r}, \mathbf{\dot r}$$] या [$$\mathbf{r}, \mathbf{v}$$] ज्ञात है।

प्रक्षेपवक्र समीकरण के गुण
के लिए $$e=0$$ यह त्रिज्या p वाला एक वृत्त है।

के लिए $$0 1 $$ यह एक हाइपरबोला है

निम्न चित्र एक वृत्त (धूसर), एक दीर्घवृत्त (लाल), एक परवलय (हरा) और एक अतिपरवलय (नीला) दिखाता है

[[File:OrbitalEccentricityDemo.svg|thumb|300px|केपलर कक्षा के विभिन्न रूपों और उनकी विलक्षणताओं का आरेख। नीला एक अतिपरवलीय प्रक्षेपवक्र (e > 1) है। हरा एक परवलयिक प्रक्षेपवक्र (e = 1) है। लाल एक अतिपरवलयिक कक्षा है (0 <e <1)। ग्रे एक गोलाकार कक्षा है (e = 0)।

]]केंद्र बिंदु से दाईं ओर जाने वाली क्षैतिज रेखा पर स्थित बिंदु वह बिंदु है जिसके साथ $$\theta = 0 $$ जिसके लिए फोकस की दूरी न्यूनतम मान लेती है $$\tfrac{p}{1+e},$$ परिकेन्द्र दीर्घवृत्त के लिए एक अभिकेंद्र भी होता है जिसके लिए फ़ोकस की दूरी अधिकतम मान लेती है $$\tfrac{p}{1-e}.$$ हाइपरबोला के लिए सीमा $$\theta$$ है$$ -\cos^{-1}\left(-\frac{1}{e}\right) < \theta < \cos^{-1}\left(-\frac{1}{e}\right)$$ और एक परबोला के लिए सीमा है $$ -\pi < \theta < \pi $$ विभेदन के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग करना ($$), समीकरण ($$) और पी की परिभाषा के रूप में $$\frac {H^2}{\alpha}$$ कोई यह प्राप्त करता है कि रेडियल वेग घटक है

और वह स्पर्शरेखा घटक (वेग घटक लंबवत $$V_r$$) है

ध्रुवीय तर्क के बीच संबंध $$\theta$$ और समय t अतिपरवलयिक और अतिपरवलीय कक्षाओं के लिए थोड़ा अलग है।

एक दीर्घवृत्तीय कक्षा के लिए व्यक्ति सनकी विसंगति ई पर स्विच करता है जिसके लिए

और इसके परिणामस्वरूप

और कोणीय संवेग H है

समय t के संबंध में समाकलित करने पर प्राप्त होता है

उस समय की धारणा के तहत $$t=0$$ इस प्रकार चुना जाता है कि एकीकरण स्थिरांक शून्य है।

जैसा कि P की परिभाषा के अनुसार है

यह लिखा जा सकता है

हाइपरबोलिक कक्ष के लिए पैरामीटराइजेशन के लिए अतिपरवलीय कार्य का उपयोग किया जाता है

जिसके लिए किसी के पास है

और कोणीय संवेग H है

समय t के संबंध में समाकलन करने पर प्राप्त होता है

अर्थात।

यह पता लगाने के लिए कि कौन सा समय टी एक निश्चित वास्तविक विसंगति से मेल खाता है $$\theta $$ एक संबंध के साथ समय से जुड़े संबंधित पैरामीटर E की गणना करता है ($$) दीर्घवृत्त के लिए और संबंध के साथ ($$) अतिपरवलीय कक्षा के लिए।

ध्यान दें कि संबंध ($$) और ($$) श्रेणियों के बीच मैपिंग परिभाषित करें: $$\left [ -\infin < t < \infin\right ] \longleftrightarrow \left [-\infin < E < \infin \right ] $$

कुछ अतिरिक्त सूत्र
एक अतिपरवलयिक कक्षा के लिए एक प्राप्त होता है ($$) और ($$) वह

और इसलिए वह

से ($$) उसके बाद उसका अनुसरण करता है $$\tan^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}= \frac{1-\frac{\cos E-e}{1 - e \cos E}}{1+\frac{\cos E-e}{1 - e \cos E}}= \frac{1 - e \cos E - \cos E + e}{1 - e \cos E + \cos E - e}= \frac{1+e}{1-e} \cdot \frac{1-\cos E}{1+\cos E}= \frac{1+e}{1-e} \cdot \tan^2 \frac{E}{2} $$ सनकी विसंगति को परिभाषित करने वाले ज्यामितीय निर्माण से यह स्पष्ट है कि सदिश $$(\cos E, \sin E)$$ और $$(\cos \theta, \sin \theta)$$ x-अक्ष के एक ही ओर हैं। इसके बाद सदिशों का अनुसरण होता है $$\left( \cos\tfrac{E}{2}, \sin\tfrac{E}{2} \right)$$ और $$\left(\cos\tfrac{\theta}{2}, \sin\tfrac{\theta}{2} \right)$$ एक ही चतुर्थांश में हैं। इसलिए एक के पास वह है

ओर वो

जहाँ $$\arg(x, y)$$ सदिश $$(x,y)$$ का ध्रुवीय तर्क है और n को इस प्रकार चुना गया है कि $$|E-\theta | < \pi $$ की संख्यात्मक गणना के लिए $$\arg(x,y)$$ मानक फलन या डबल सटीक 2(y,x)) में उपलब्ध उदाहरण के लिए प्रोग्रामिंग भाषा फोरट्रान का उपयोग किया जा सकता है। ध्यान दें कि यह श्रेणियों के बीच चित्रण है$$\left [ -\infin < \theta < \infin\right ] \longleftrightarrow \left [-\infin < E < \infin \right ] $$ एक अतिपरवलीय कक्षा के लिए एक से मिलता है ($$) और ($$) वह

और इसलिए वह

जैसा $$\tan^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos\theta}{1+\cos \theta}= \frac{1-\frac{e-\cosh E}{e \cdot \cosh E-1}}{1+\frac{e-\cosh E}{e \cdot \cosh E-1}} = \frac{e \cdot \cosh E - e +\cosh E}{e \cdot \cosh E + e -\cosh E}= \frac{e+1}{e-1} \cdot \frac{\cosh E-1}{\cosh E+1} = \frac{e+1}{e-1} \cdot \tanh^2 \frac{E}{2}$$ और के रूप में $$ \tan \frac{\theta}{2}$$ और $$\tanh \frac{E}{2}$$ उसके बाद वही चिन्ह है

यह संबंध सही विसंगति और पैरामीटर ई के बीच से गुजरने के लिए सुविधाजनक है, बाद वाला संबंध के माध्यम से समय से जुड़ा हुआ है ($$). ध्यान दें कि यह श्रेणियों के बीच मैपिंग है $$\left [ -\cos^{-1}\left(-\frac{1}{e}\right) < \theta < \cos^{-1}\left(-\frac{1}{e}\right)\right ] \longleftrightarrow \left [-\infin < E < \infin \right ] $$ ओर वो $$\tfrac{E}{2}$$ संबंध का उपयोग करके गणना की जा सकती है $$\tanh ^{-1} x = \frac{1}{2}\ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right)$$ संबंध से ($$) इस प्रकार है कि दीर्घवृत्तीय कक्षा के लिए कक्षीय अवधि P है

संबंध के बल क्षेत्र के अनुरूप संभावित ऊर्जा के रूप में ($$) है $$ -\frac {\alpha} {r}$$ यह अनुसरण करता है ($$), ($$), ($$) और ($$) कि गतिज और संभावित ऊर्जा का योग $$\frac{{V_r}^2+{V_t}^2}{2} - \frac {\alpha} {r}$$ एक अतिपरवलयिक कक्षा के लिए है

और से ($$), ($$), ($$) और ($$) कि एक अतिपरवलीय कक्षा के लिए गतिज और संभावित ऊर्जा का योग है

जड़त्वीय समन्वय प्रणाली के सापेक्ष $$ \hat{x}, \hat{y}$$ के साथ कक्षीय तल में $$ \hat{x}$$ परिकेन्द्र की ओर से प्राप्त होता है ($$) और ($$) कि वेग घटक हैं

केंद्र का समीकरण औसत विसंगति को अतिपरवलयिक कक्षाओं के लिए वास्तविक विसंगति से संबंधित करता है, छोटी संख्यात्मक विलक्षणता के लिए।

केपलर कक्षा का निर्धारण जो दी गई आरंभिक अवस्था से संबंधित है
यह अंतर समीकरण के लिए प्रारंभिक मूल्य समस्या है ($$) जो 6-आयामी अवस्था सदिश के लिए प्रथम क्रम समीकरण है $$( \mathbf{r} ,\mathbf{v} )$$ जब के रूप में लिखा गया है

प्रारंभिक राज्य सदिश के लिए किसी भी मान के लिए $$( \mathbf{r}_0 ,\mathbf{v}_0 )$$ केप्लर कक्षा के अनुरूप इस प्रारंभिक मूल्य समस्या के समाधान के लिए निम्न एल्गोरिथम पाया जा सकता है:

ऑर्थोगोनल यूनिट सदिश को परिभाषित करें $$(\hat{\mathbf{r}}, \hat{\mathbf{t}})$$ द्वारा

साथ $$r > 0$$ और $$V_t > 0$$ से ($$), ($$) और ($$) सेट करके उसका अनुसरण करता है

और परिभाषित करके $$e \ge 0$$ और $$\theta$$ ऐसा है कि

जहाँ

एक केपलर कक्षा प्राप्त करता है जो वास्तविक विसंगति के लिए है $$\theta$$ समान है $$, $$V_r$$ और $$V_t$$ मूल्यों के रूप में परिभाषित ($$) और ($$).

यदि यह केप्लर कक्षा में भी है तो वही है $$(\hat{\mathbf{r}}, \hat{\mathbf{t}})$$ इस वास्तविक विसंगति के लिए सदिश $$\theta$$ जैसा कि द्वारा परिभाषित किया गया है ($$) और ($$) राज्य सदिश $$(\mathbf{r}, \mathbf{v})$$ केप्लर कक्षा का वांछित मान लेता है $$( \mathbf{r}_0, \mathbf{v}_0 )$$ सच्ची विसंगति के लिए $$\theta$$.

मानक जड़त्वीय स्थिर समन्वय प्रणाली $$(\hat{\mathbf{x}}, \hat{\mathbf{y}})$$ कक्षीय विमान में (के साथ $$\hat{\mathbf{x}}$$ सजातीय क्षेत्र के केंद्र से परिधि तक निर्देशित) शंक्वाकार खंड (दीर्घवृत्त, परवलय या अतिपरवलय) के अभिविन्यास को परिभाषित करते हुए तब संबंध के साथ निर्धारित किया जा सकता है

ध्यान दें कि संबंध ($$) और ($$) एक विलक्षणता है जब $$V_r = 0$$ और $$V_t = V_0 = \sqrt{\frac{\alpha}{p}}=\sqrt{\frac{\alpha}{\frac{{(r \cdot V_t)}^2}{\alpha }}}$$ अर्थात

जो स्थिति है कि यह एक गोलाकार कक्षा है जो प्रारंभिक अवस्था $$( \mathbf{r}_0, \mathbf{v}_0 )$$ में प्रयुक्त हो रही है

आश्लेषी केपलर कक्षा
किसी भी स्थित सदिश के लिए $$(\mathbf{r}, \mathbf{v})$$ इस स्थिति से संबंधित केपलर कक्षा की गणना ऊपर परिभाषित एल्गोरिथम के साथ की जा सकती है।

पहले पैरामीटर $$p, e, \theta$$ से निर्धारित होते हैं $$r, V_r, V_t$$ और फिर कक्षीय तल में ऑर्थोगोनल यूनिट सदिश $$\hat{x}, \hat{y}$$ संबंधों का उपयोग करना ($$) और ($$).

यदि अब गति का समीकरण है

जहाँ $$\mathbf{F}(\mathbf{r},\dot {\mathbf{r}},t)$$ इसके अतिरिक्त एक फलन है$$-\alpha \frac {\mathbf{r}} {r^2}$$

परिणामी पैरामीटर $$p$$, $$e$$, $$\theta$$, $$\hat{\mathbf{x}}$$, $$\hat{\mathbf{y}}$$ द्वारा परिभाषित $$\mathbf{r}, \dot{\mathbf{r}}$$ सभी केप्लर कक्षा के स्थिति के विपरीत समय के साथ अलग-अलग होंगे, जिसके लिए केवल पैरामीटर $$\theta$$ अलग अलग होंगे। केप्लर कक्षा की गणना इस प्रकार से की गई है कि गति के समीकरण के समाधान के रूप में एक ही स्थिति सदिश है ($$) समय पर $$ के विषय में कहा जाता है कि वह इस समय दोलन कर रहा होता है।

यह अवधारणा उदाहरण के स्थिति में उपयोगी है $$\mathbf{F}(\mathbf{r},\dot {\mathbf{r}},t) = -\alpha \frac {\hat{\mathbf{r}}} {r^2} + \mathbf{f}(\mathbf{r},\dot {\mathbf{r}},t)$$ जहाँ $$\mathbf{f}(\mathbf{r},\dot {\mathbf{r}},t)$$ उदाहरण के लिए अन्य आकाशीय पिंडों से एक हल्का गुरुत्वाकर्षण खिंचाव के कारण एक छोटा परेशान करने वाला बल है। आश्लेषी केप्लर कक्ष के पैरामीटर तब केवल धीरे-धीरे परिवर्तित होंगे और आश्लेषी केपलर कक्ष आश्लेषी के समय से पहले और बाद में अपेक्षाकृत समय अवधि के लिए वास्तविक कक्ष के लिए एक अच्छा सन्निकटन है।

यह अवधारणा संचालित उड़ान के समय एक रॉकेट के लिए भी उपयोगी हो सकती है क्योंकि यह तब बताता है कि जोर बंद होने की स्थिति में रॉकेट किस केप्लर कक्षा में प्रारम्भ रहेगा। वृत्ताकार कक्षा के करीब के लिए अवधारणा सनकी सदिश के रूप में परिभाषित की गई है $$\mathbf{e} = e \hat{\mathbf{x}}$$ उपयोगी है। से ($$), ($$) और ($$) उसका अनुसरण करता है

अर्थात $$\mathbf{e}$$ स्थैतिक सदिश $$( \mathbf{r} ,\mathbf{v} )$$ का एक स्मूथ अवकल फलन है यदि यह स्थैतिक एक वृत्तीय कक्ष के अनुरूप है।

यह भी देखें

 * द्वि पिंड समस्याएँ
 * केप्लर नियम
 * केपलर के ग्रहों की गति के नियम
 * दीर्घवृत्तीय कक्षा
 * अतिपरवलीय प्रक्षेप वक्र
 * परवलयिक प्रक्षेप वक्र
 * त्रिज्यीय प्रक्षेप वक्र
 * कक्षा मॉडलिंग

संदर्भ

 * El'Yasberg "Theory of flight of artificial earth satellites", Israel program for Scientific Translations (1967)

बाहरी संबंध

 * JAVA applet animating the orbit of a satellite in an elliptic Kepler orbit around the Earth with any value for semi-major axis and eccentricity.