प्रश्न-गाऊसी वितरण

क्यू-गॉसियन एक संभाव्यता वितरण है जो उचित बाधाओं के तहत त्सालिस एन्ट्रापी के अधिकतमकरण से उत्पन्न होता है। यह त्सालिस वितरण का एक उदाहरण है। क्यू-गाऊसियन उसी तरह गाऊसी का सामान्यीकरण है जैसे त्सालिस एन्ट्रॉपी मानक एन्ट्रॉपी (सांख्यिकीय थर्मोडायनामिक्स) | बोल्ट्जमान-गिब्स एन्ट्रॉपी या एन्ट्रॉपी (सूचना सिद्धांत) का सामान्यीकरण है। सामान्य वितरण को q → 1 के रूप में पुनर्प्राप्त किया जाता है।

क्यू-गॉसियन को सांख्यिकीय यांत्रिकी, भूविज्ञान, शरीर रचना विज्ञान, खगोल विज्ञान, अर्थशास्त्र, वित्त और मशीन सीखने के क्षेत्र में समस्याओं पर लागू किया गया है। 1 < q < 3 के लिए गॉसियन की तुलना में वितरण को अक्सर इसकी भारी पूंछों के लिए पसंद किया जाता है। $$ q <1 $$ क्यू-गॉसियन वितरण एक बंधे हुए यादृच्छिक चर का पीडीएफ है। यह जीव विज्ञान और अन्य डोमेन में बनाता है बाहरी स्टोचैस्टिसिटी के प्रभाव को मॉडल करने के लिए क्यू-गॉसियन वितरण गाऊसी वितरण से अधिक उपयुक्त है। शास्त्रीय केंद्रीय सीमा प्रमेय का एक सामान्यीकृत q-एनालॉग|q-एनालॉग 2008 में प्रस्तावित किया गया था, जिसमें स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर के लिए स्वतंत्रता बाधा|i.i.d. चर को q पैरामीटर द्वारा परिभाषित एक सीमा तक शिथिल किया जाता है, स्वतंत्रता को q → 1 के रूप में पुनर्प्राप्त किया जाता है। हालाँकि, ऐसे प्रमेय का प्रमाण अभी भी अभाव है। भारी पूंछ वाले क्षेत्रों में, वितरण छात्र के टी-वितरण के बराबर है | क्यू और स्वतंत्रता की डिग्री (सांख्यिकी) के बीच सीधी मैपिंग के साथ छात्र का टी-वितरण। इसलिए इन वितरणों में से किसी एक का उपयोग करने वाला एक व्यवसायी एक ही वितरण को दो अलग-अलग तरीकों से पैरामीटराइज़ कर सकता है। यदि सिस्टम गैर व्यापक एन्ट्रापी|नॉन-एक्सटेंसिव है, या यदि छोटे नमूनों के आकार के साथ कनेक्शन की कमी है, तो क्यू-गॉसियन फॉर्म का विकल्प उत्पन्न हो सकता है।

संभावना घनत्व फ़ंक्शन
मानक q-गाऊसियन में संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन है



कहाँ


 * $$e_q(x) = [1+(1-q)x]_+^{1 \over 1-q}$$

Tsallis सांख्यिकी#q-घातांक|q-घातांक और सामान्यीकरण कारक है $$ C_q$$ द्वारा दिया गया है


 * $$C_q = {{2 \sqrt{\pi} \Gamma\left({1 \over 1-q}\right)} \over {(3-q) \sqrt{1-q} \Gamma\left({3-q \over 2(1-q)}\right)}} \text{ for } -\infty < q < 1 $$
 * $$ C_q = \sqrt{\pi} \text{ for } q = 1 \, $$
 * $$C_q = { {\sqrt{\pi} \Gamma\left({3-q \over 2(q-1)}\right)} \over {\sqrt{q-1} \Gamma\left({1 \over q-1}\right)}} \text{ for }1 < q < 3 .$$

ध्यान दें कि के लिए $$ q <1 $$ क्यू-गॉसियन वितरण एक बंधे हुए यादृच्छिक चर का पीडीएफ है।

एन्ट्रॉपी
जैसे सामान्य वितरण पहले क्षण के निश्चित मानों के लिए अधिकतम सूचना एन्ट्रापी वितरण है $$\operatorname{E}(X)$$ और दूसरा क्षण $$\operatorname{E}(X^2)$$ (निश्चित शून्य क्षण के साथ $$\operatorname{E}(X^0)=1$$ सामान्यीकरण की स्थिति के अनुरूप), क्यू-गॉसियन वितरण इन तीन क्षणों के निश्चित मूल्यों के लिए अधिकतम त्सालिस एन्ट्रापी वितरण है।

छात्र का टी-वितरण
हालांकि इसे एन्ट्रापी के एक दिलचस्प वैकल्पिक रूप द्वारा उचित ठहराया जा सकता है, सांख्यिकीय रूप से यह छात्र के टी-वितरण का एक स्केल किया गया पुनर्मूल्यांकन है। छोटे-नमूना आंकड़ों का वर्णन करने के लिए 1908 में डब्ल्यू गॉसेट द्वारा छात्र के टी-वितरण की शुरुआत की गई थी। गॉसेट की मूल प्रस्तुति में स्वतंत्रता पैरामीटर की डिग्री ν को नमूना आकार से संबंधित एक सकारात्मक पूर्णांक होने के लिए बाध्य किया गया था, लेकिन यह आसानी से देखा गया है कि गॉसेट का घनत्व फ़ंक्शन ν के सभी वास्तविक मूल्यों के लिए मान्य है। स्केल्ड रिपैरामेट्रिज़ेशन वैकल्पिक पैरामीटर q और β का परिचय देता है जो ν से संबंधित हैं।

स्वतंत्रता की ν डिग्री के साथ एक छात्र के टी-वितरण को देखते हुए, समतुल्य q-गॉसियन है
 * $$q = \frac{\nu+3}{\nu+1}\text{ with }\beta = \frac{1}{3-q}$$

व्युत्क्रम के साथ


 * $$\nu = \frac{3-q}{q-1},\text{ but only if }\beta = \frac{1}{3-q}.$$

जब कभी भी $$\beta \ne {1 \over {3-q}}$$, फ़ंक्शन केवल छात्र के टी-वितरण का एक स्केल किया गया संस्करण है।

कभी-कभी यह तर्क दिया जाता है कि वितरण छात्र की स्वतंत्रता की नकारात्मक और या गैर-पूर्णांक डिग्री के लिए टी-वितरण का एक सामान्यीकरण है। हालाँकि, छात्र के टी-वितरण का सिद्धांत स्वतंत्रता की सभी वास्तविक डिग्री तक तुच्छ रूप से फैला हुआ है, जहां वितरण का समर्थन अब ν <0 के मामले में अनंत के बजाय सघन स्थान  है।

तीन-पैरामीटर संस्करण
शून्य पर केंद्रित कई वितरणों की तरह, स्थान पैरामीटर μ को शामिल करने के लिए q-गॉसियन को तुच्छ रूप से बढ़ाया जा सकता है। तब घनत्व परिभाषित हो जाता है


 * $${\sqrt{\beta} \over C_q} e_q({-\beta (x-\mu)^2}) .$$

यादृच्छिक विचलन उत्पन्न करना
क्यू-गॉसियन से यादृच्छिक नमूने की अनुमति देने के लिए बॉक्स-मुलर परिवर्तन को सामान्यीकृत किया गया है। मानक बॉक्स-मुलर तकनीक निम्नलिखित रूप के समीकरणों से स्वतंत्र सामान्य रूप से वितरित चर के जोड़े उत्पन्न करती है।


 * $$Z_1 = \sqrt{-2 \ln(U_1)} \cos(2 \pi U_2) $$
 * $$Z_2 = \sqrt{-2 \ln(U_1)} \sin(2 \pi U_2) $$

सामान्यीकृत बॉक्स-मुलर तकनीक क्यू-गॉसियन विचलन के जोड़े उत्पन्न कर सकती है जो स्वतंत्र नहीं हैं। व्यवहार में, समान रूप से वितरित चर की एक जोड़ी से केवल एक विचलन उत्पन्न होगा। निम्नलिखित सूत्र निर्दिष्ट पैरामीटर q और के साथ q-गाऊसी से विचलन उत्पन्न करेगा $$ \beta = {1 \over {3-q}}$$
 * $$Z = \sqrt{-2 \text{ ln}_{q'}(U_1)} \text{ cos}(2 \pi U_2) $$

कहाँ $$\text{ ln}_q$$ Tsallis सांख्यिकी#q-लघुगणक|q-लघुगणक और है $$q' = { {1+q} \over {3-q}}$$ इन विचलनों को एक मनमाना q-गाऊसी से विचलन उत्पन्न करने के लिए रूपांतरित किया जा सकता है
 * $$ Z' = \mu + {Z \over \sqrt{\beta (3-q)}}$$

भौतिकी
यह दिखाया गया है कि विघटनकारी ऑप्टिकल लैटिस में ठंडे परमाणुओं का संवेग वितरण एक q-गाऊसी है। क्यू-गॉसियन वितरण को दो बलों के अधीन द्रव्यमान की एकआयामी गति की स्थिति के स्पर्शोन्मुख संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के रूप में भी प्राप्त किया जाता है: प्रकार का एक नियतात्मक बल $F_1(x) = - 2 x/(1-x^2)$ (एक अनंत संभावित कुएं का निर्धारण) और एक स्टोकेस्टिक सफेद शोर बल $F_2(t)= \sqrt{2(1-q)} \xi(t)$, कहाँ $$ \xi(t)$$ एक सफ़ेद शोर है. ध्यान दें कि ओवरडैम्प्ड/छोटे द्रव्यमान सन्निकटन में उपर्युक्त अभिसरण विफल रहता है $$q <0 $$, जैसा कि हाल ही में दिखाया गया है।

वित्त
न्यूयॉर्क स्टॉक एक्सचेंज, NASDAQ और अन्य जगहों पर वित्तीय रिटर्न वितरण की व्याख्या क्यू-गॉसियन के रूप में की गई है।

यह भी देखें

 * कॉन्स्टेंटिनो त्सालिस
 * त्सालिस आँकड़े
 * त्सालिस एन्ट्रापी
 * त्सालिस वितरण
 * q-घातीय वितरण|q-घातांकीय वितरण
 * प्र-गाऊसी प्रक्रिया

अग्रिम पठन

 * Juniper, J. (2007), Centre of Full Employment and Equity, The University of Newcastle, Australia

बाहरी संबंध

 * Tsallis Statistics, Statistical Mechanics for Non-extensive Systems and Long-Range Interactions