ठोस कोण

ज्यामिति में, एक ठोस कोण (प्रतीक: $Ω$) किसी दिए गए ऑब्जेक्ट को कवर करने वाले किसी विशेष बिंदु से  देखने के क्षेत्र  की मात्रा का एक उपाय है। अर्थात्, यह एक उपाय है कि उस बिंदु से देखने वाले पर्यवेक्षक को वस्तु कितनी बड़ी दिखाई देती है। जिस बिंदु से वस्तु को देखा जाता है उसे ठोस कोण का शीर्ष कहा जाता है, और वस्तु को उस बिंदु पर उसके ठोस कोण को अंतरित कोण कहा जाता है।

इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली (एसआई) में, एक ठोस कोण माप की एक आयामहीन मात्रा इकाई में व्यक्त किया जाता है जिसे  steradian  (प्रतीक: sr) कहा जाता है। एक स्टेरेडियन शीर्ष के आसपास के  इकाई क्षेत्र  पर क्षेत्र की एक इकाई से मेल खाता है, इसलिए एक वस्तु जो शीर्ष से सभी किरणों को अवरुद्ध करती है, वह इकाई क्षेत्र के कुल सतह क्षेत्र के बराबर कई स्टेरेडियन को कवर करेगी, $$4\pi$$. ठोस कोणों को कोणीय उपायों जैसे वर्ग डिग्री, मिनट और सेकंड के वर्गों में भी मापा जा सकता है।

पास की एक छोटी वस्तु दूर की बड़ी वस्तु के समान ठोस कोण अंतरित कर सकती है। उदाहरण के लिए, हालाँकि चंद्रमा सूर्य से बहुत छोटा है, यह पृथ्वी के बहुत करीब भी है। दरअसल, जैसा कि पृथ्वी पर किसी भी बिंदु से देखा जाता है, दोनों वस्तुओं में लगभग समान ठोस कोण और स्पष्ट आकार होता है। यह सूर्य ग्रहण के दौरान स्पष्ट होता है।

परिभाषा और गुण
स्टेरेडियन में एक वस्तु का ठोस कोण एक इकाई क्षेत्र के खंड के क्षेत्रफल (ज्यामिति) के बराबर होता है, जो शीर्ष पर केंद्रित होता है, जो कि वस्तु को कवर करता है। स्टेरेडियन में एक इकाई क्षेत्र के एक खंड का क्षेत्रफल देना रेडियन में एक इकाई वृत्त के एक चाप की लंबाई देने के समान है। जिस प्रकार रेडियन में एक समतलीय कोण एक चाप की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात होता है, उसी तरह स्टेरेडियन में एक ठोस कोण किसी वस्तु द्वारा किसी गोले पर आच्छादित क्षेत्र का अनुपात उस क्षेत्र की त्रिज्या के वर्ग द्वारा दिए गए क्षेत्र से होता है। वृत्त। सूत्र है

$$\Omega=\frac{A}{r^2},$$ जहाँ A गोलाकार सतह क्षेत्र है और r विचारित गोले की त्रिज्या है।

ठोस कोण अक्सर खगोल  विज्ञान, भौतिकी और विशेष रूप से  खगोल भौतिकी  में उपयोग किए जाते हैं। किसी वस्तु का ठोस कोण जो बहुत दूर है, क्षेत्रफल से वर्ग दूरी के अनुपात के अनुपात में होता है। यहाँ क्षेत्र का अर्थ वस्तु का वह क्षेत्र है जब उसे देखने की दिशा में प्रक्षेपित किया जाता है।

एक गोले का ठोस कोण इसके आंतरिक भाग में किसी भी बिंदु से मापा जाता है 4Pi|$\pi$sr, और एक घन के केंद्र पर उसके एक फलक द्वारा अंतरित ठोस कोण उसका एक-छठा है, या $2\pi⁄3$सीनियर ठोस कोणों को वर्ग डिग्री में भी मापा जा सकता है (1 sr = $(180⁄\pi)$2 वर्ग डिग्री), वर्ग मिनट और वर्ग सेकंड में, या गोले के अंशों में (1 sr = $1⁄4\pi$ आंशिक क्षेत्र), जिसे विवाद (इकाई)  के रूप में भी जाना जाता है (1 एसपी = 4πएसआर)।

गोलाकार निर्देशांक में#एकीकरण_और_विभिन्नता_में_गोलाकार_निर्देशांक एक फ़ंक्शन के अंतर के लिए एक सूत्र है,

$$d\Omega = \sin\theta\,d\theta\,d\varphi,$$ कहां $θ$ अक्षांश (उत्तरी ध्रुव से कोण) है और $φ$ देशांतर है।

एक मनमाना उन्मुख सतह  के लिए ठोस कोण $S$ एक बिंदु पर घटाया गया $P$ सतह के प्रक्षेपण के ठोस कोण के बराबर है $S$ केंद्र के साथ इकाई क्षेत्र में $P$, जिसकी गणना  सतह अभिन्न  के रूप में की जा सकती है:

$$\Omega = \iint_S \frac{ \hat{r} \cdot \hat{n}}{r^2}\,dS \ = \iint_S \sin\theta\,d\theta\,d\varphi,$$ कहां $$\hat{r} = \vec{r} / r$$ के अनुरूप इकाई सदिश है $$ \vec{r} $$, सतह के एक अतिसूक्ष्म क्षेत्र का स्थिति वेक्टर  $dS$ बिंदु के संबंध में $P$, और कहाँ $$ \hat{n} $$ इकाई  सामान्य वेक्टर  का प्रतिनिधित्व करता है $dS$. भले ही इकाई पर प्रक्षेपण सतह पर हो $S$ समरूपी  नहीं है, स्केलर उत्पाद के संकेत द्वारा वर्णित सतह अभिविन्यास के अनुसार कई गुना सही ढंग से माना जाता है $$\hat{r} \cdot \hat{n}$$.

इस प्रकार एक सपाट सतह क्षेत्र वाले एक छोटे से पहलू  द्वारा अंतरित ठोस कोण का अनुमान लगाया जा सकता है $dS$, अभिविन्यास $$\hat{n}$$, और दूरी $r$ दर्शक के रूप में:

$$d\Omega = 4 \pi \left(\frac{dS}{A}\right) \, (\hat{r} \cdot \hat{n}),$$ जहां एक गोले का सतह क्षेत्र  है $A = 4\pir^{2}$.

व्यावहारिक अनुप्रयोग

 * [[ [[ चमक ]]दार तीव्रता ]] और चमक को परिभाषित करना, और संबंधित रेडियोमेट्रिक मात्राएं उज्ज्वल तीव्रता और चमक
 * गोलाकार त्रिकोणमिति की गणना#क्षेत्रफल और गोलीय आधिक्य $E$ एक गोलाकार त्रिभुज  का
 * सीमा तत्व विधि (बीईएम) का उपयोग करके क्षमता की गणना
 * धातु परिसरों में लिगेंड ्स के आकार का मूल्यांकन, लिगैंड शंकु कोण देखें
 * चार्ज वितरण के आसपास विद्युत क्षेत्र  और  चुंबकीय क्षेत्र  की ताकत की गणना करना
 * गॉस के नियम की व्युत्पत्ति
 * गर्मी हस्तांतरण में उत्सर्जक शक्ति और विकिरण की गणना
 * रदरफोर्ड बिखराव में क्रॉस सेक्शन की गणना करना
 * रमन बिखरना में क्रॉस सेक्शन की गणना करना
 * प्रकाशित तंतु के  स्वीकृति शंकु  का ठोस कोण

शंकु, गोलाकार टोपी, गोलार्ध
ठोस कोण के शीर्ष पर एक शंकु (ज्यामिति)  का ठोस कोण, और  शीर्ष (ज्यामिति)  कोण 2 के साथ$θ = A/2$, एक इकाई गोले पर एक  गोलाकार टोपी  का क्षेत्रफल है

$$\Omega = 2\pi \left (1 - \cos\theta \right)\ = 4\pi \sin^2 \frac{\theta}{2}.$$ छोटे के लिए $r = 1$ ऐसा है कि $θ$ यह कम हो जाता है $θ$, एक वृत्त का क्षेत्र।

यूनिट स्फेरिकल कोऑर्डिनेट सिस्टम#इंटीग्रेशन और डिफरेंशियल इन गोलाकार कोऑर्डिनेट का उपयोग करके निम्नलिखित दोहरा अभिन्न  की गणना करके उपरोक्त पाया जाता है:

$$\begin{align} \int_0^{2\pi} \int_0^\theta \sin\theta' \, d \theta' \, d \phi &= \int_0^{2\pi} d \phi\int_0^\theta \sin\theta' \, d \theta' \\ &= 2\pi\int_0^\theta \sin\theta' \, d \theta' \\ &= 2\pi\left[ -\cos\theta' \right]_0^{\theta} \\ &= 2\pi\left(1 - \cos\theta \right). \end{align}$$ यह सूत्र बिना कलन के भी निकाला जा सकता है। 2200 साल पहले आर्किमिडीज  ने साबित किया कि एक गोलाकार टोपी का सतह क्षेत्र हमेशा एक वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर होता है, जिसकी त्रिज्या गोलाकार टोपी के रिम से उस बिंदु तक की दूरी के बराबर होती है, जहां टोपी की समरूपता की धुरी टोपी को काटती है। आरेख में इस त्रिज्या के रूप में दिया गया है

$$ 2r \sin \frac{\theta}{2}. $$ अतः एक इकाई गोले के लिए गोलाकार टोपी का ठोस कोण इस प्रकार दिया जाता है

$$ \Omega = 4\pi \sin^2 \frac{\theta}{2} = 2\pi \left (1 - \cos\theta \right). $$

कब $cos θ ≈ 1 − θ^{2}/2$ = $\pi⁄2$, गोलाकार टोपी एक ठोस कोण 2 वाला गोला बन जाता हैπ.

शंकु के पूरक का ठोस कोण है $$4\pi - \Omega = 2\pi \left(1 + \cos\theta \right) = 4\pi\cos^2 \frac{\theta}{2}.$$ यह खगोलीय क्षेत्र के उस भाग का ठोस कोण भी है जिसे एक खगोलीय प्रेक्षक अक्षांश पर स्थित करता है $πθ^{2}$ पृथ्वी के घूमते हुए देख सकते हैं। भूमध्य रेखा पर सभी आकाशीय गोले दिखाई देते हैं; किसी भी ध्रुव पर, केवल आधा।

कोण पर समतल द्वारा काटे गए गोलाकार टोपी के एक खंड द्वारा अंतरित ठोस कोण $γ$ शंकु के अक्ष से और शंकु के शीर्ष से गुजरने की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है

$$ \Omega = 2 \left[ \arccos \left(\frac{\sin\gamma}{\sin\theta}\right) - \cos\theta \arccos\left(\frac{\tan\gamma}{\tan\theta}\right) \right]. $$ उदाहरण के लिए, अगर $θ$, तो सूत्र उपरोक्त गोलाकार टोपी सूत्र में कम हो जाता है: पहला शब्द बन जाता है π, और दूसरा $θ$.

चतुर्पाश्वीय
माना कि OABC एक चतुष्फलक का शीर्ष है जिसका मूल O है और जो त्रिभुजाकार फलक ABC द्वारा अंतरित है। $$\vec a\ ,\, \vec b\ ,\, \vec c $$ शीर्षों A, B और C की सदिश स्थितियाँ हैं। शीर्ष कोण  को परिभाषित करें $θ_{a}$ कोण BOC होना और परिभाषित करना $θ_{b}$, $θ_{c}$ तदनुसार। होने देना $$\phi_{ab}$$ चतुष्फलकीय फलक OAC और OBC वाले तलों के बीच  द्वितल कोण  हो और परिभाषित करें $$\phi_{ac}$$, $$\phi_{bc}$$ तदनुसार। ठोस कोण $γ = −θ$ त्रिकोणीय सतह एबीसी द्वारा घटाया गया है

$$ \Omega = \left(\phi_{ab} + \phi_{bc} + \phi_{ac}\right)\ - \pi.$$ यह गोलाकार अधिकता  के सिद्धांत से अनुसरण करता है और यह इस तथ्य की ओर जाता है कि प्रमेय के अनुरूप एक प्रमेय है कि एक तलीय त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग बराबर होता है π, टेट्राहेड्रॉन के चार आंतरिक ठोस कोणों के योग के लिए निम्नानुसार है:

$$ \sum_{i=1}^4 \Omega_i = 2 \sum_{i=1}^6 \phi_i\ - 4 \pi,$$ कहां $$\phi_i$$ चतुष्फलकीय फलक OAB, OAC, OBC और ABC वाले किन्हीं भी दो तलों के बीच के सभी छह द्वितल कोणों की श्रेणी। मूल O पर चतुष्फलक के ठोस कोण की गणना के लिए एक उपयोगी सूत्र जो विशुद्ध रूप से शीर्ष कोणों का एक फलन है $θ_{a}$, $θ_{b}$, $θ_{c}$ साइमन एंटोनी जीन ल'हुइलियर|ल'हुइलियर के प्रमेय द्वारा दिया गया है जैसा

$$ \tan \left( \frac{1}{4} \Omega \right) = \sqrt{ \tan \left( \frac{\theta_s}{2}\right) \tan \left( \frac{\theta_s - \theta_a}{2}\right) \tan \left( \frac{\theta_s - \theta_b}{2}\right) \tan \left(\frac{\theta_s - \theta_c}{2}\right)}, $$ कहां $$ \theta_s = \frac {\theta_a + \theta_b + \theta_c}{2}. $$ एक और दिलचस्प सूत्र में 3 आयामी अंतरिक्ष में शिखरों को वैक्टर के रूप में व्यक्त करना शामिल है। होने देना $$\vec a\ ,\, \vec b\ ,\, \vec c $$ शीर्षों A, B और C की सदिश स्थितियाँ बनें, और मान लें $a$, $b$, और $c$ प्रत्येक वेक्टर (मूल-बिंदु दूरी) का परिमाण हो। ठोस कोण $\pi cos θ$ त्रिकोणीय सतह एबीसी द्वारा घटाया गया है:

$$\tan \left( \frac{1}{2} \Omega \right) = \frac{\left|\vec a\ \vec b\ \vec c\right|}{abc + \left(\vec a \cdot \vec b\right)c + \left(\vec a \cdot \vec c\right)b + \left(\vec b \cdot \vec c\right)a}, $$ कहां $$\left|\vec a\ \vec b\ \vec c\right|=\vec a \cdot (\vec b \times \vec c)$$ तीन वैक्टरों के ट्रिपल उत्पाद  को दर्शाता है और $$\vec a \cdot \vec b$$ स्केलर उत्पाद को दर्शाता है।

नकारात्मक या गलत ठोस कोणों से बचने के लिए यहां सावधानी बरतनी चाहिए। संभावित त्रुटियों का एक स्रोत यह है कि स्केलर ट्रिपल उत्पाद नकारात्मक हो सकता है यदि $a$, $b$, $c$ गलत निर्धारक है। कम्प्यूटिंग एक पर्याप्त समाधान है क्योंकि समीकरण का कोई अन्य भाग वाइंडिंग पर निर्भर नहीं करता है। दूसरा नुकसान तब होता है जब स्केलर ट्रिपल उत्पाद धनात्मक होता है लेकिन विभाजक ऋणात्मक होता है। इस मामले में एक नकारात्मक मान देता है जिसे बढ़ाना चाहिए π.

पिरामिड
शीर्ष (ज्यामिति) कोणों के साथ चार भुजाओं वाले सम आयताकार पिरामिड (ज्यामिति)  का ठोस कोण $a$ और $b$ (पिरामिड के विपरीत दिशा के चेहरों को मापा जाने वाला डायहेड्रल कोण) है $$\Omega = 4 \arcsin \left( \sin \left({a \over 2}\right) \sin \left({b \over 2}\right) \right). $$ यदि दोनों पक्षों की लंबाई ($Ω$ और $Ω$) पिरामिड के आधार और दूरी ($α$) आधार आयत के केंद्र से पिरामिड के शीर्ष तक (गोले का केंद्र) जाना जाता है, तो उपरोक्त समीकरण को देने के लिए हेरफेर किया जा सकता है

$$\Omega = 4 \arctan \frac {\alpha\beta} {2d\sqrt{4d^2 + \alpha^2 + \beta^2}}. $$ दाएं का ठोस कोण $n$-गोनल पिरामिड, जहां पिरामिड का आधार नियमित होता है $n$परित्रिज्या का -भुजा बहुभुज $r$, के साथ पिरामिड ऊंचाई $h$ है

$$\Omega = 2\pi - 2n \arctan\left(\frac {\tan \left({\pi\over n}\right)}{\sqrt{1 + {r^2 \over h^2}}} \right). $$ एक के साथ एक मनमाना पिरामिड का ठोस कोण $β$किनारों का प्रतिनिधित्व करने वाले इकाई वैक्टर के अनुक्रम द्वारा परिभाषित -पक्षीय आधार $d$ कुशलता से गणना की जा सकती है:

$$ \Omega = 2\pi - \arg \prod_{j=1}^{n} \left(   \left( s_{j-1} s_j \right)\left( s_{j} s_{j+1} \right) -    \left( s_{j-1} s_{j+1} \right) +    i\left[ s_{j-1} s_j s_{j+1} \right]  \right). $$ जहाँ कोष्ठक (* *) एक अदिश गुणनफल है और वर्ग कोष्ठक [* * *] एक अदिश गुणनफल है, और $i$ एक काल्पनिक इकाई  है। सूचकांक चक्रित हैं: $n$ और ${s_{1}, s_{2}}, ... s_{n}|undefined$. जटिल उत्पाद बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष कोण से जुड़े चरण को जोड़ते हैं। हालाँकि, का एक गुणक $$2\pi$$ की शाखा कटने में खो जाता है $$\arg$$ और अलग से ट्रैक किया जाना चाहिए। इसके अलावा, जटिल चरणों के चलने वाले उत्पाद को लगभग समांतर खंडों की सीमा में अंडरफ्लो से बचने के लिए कभी-कभी बढ़ाया जाना चाहिए।

अक्षांश-देशांतर आयत
ग्लोब पर एक अक्षांश-देशांतर आयत का ठोस कोण होता है $$\left ( \sin \phi_\mathrm{N} - \sin \phi_\mathrm{S} \right ) \left ( \theta_\mathrm{E} - \theta_\mathrm{W} \,\! \right)\;\mathrm{sr},$$ कहां $s_{0} = s_{n}$ और $s_{1} = s_{n + 1}$ अक्षांश  की उत्तर और दक्षिण रेखाएँ हैं (उत्तर की ओर बढ़ते कोण के साथ  कांति  में  भूमध्य रेखा  से मापा जाता है), और $φ_{N}$ और $φ_{S}$ देशांतर की पूर्व और पश्चिम रेखाएँ हैं (जहाँ रेडियन में कोण पूर्व की ओर बढ़ता है)। गणितीय रूप से, यह कोण के चाप का प्रतिनिधित्व करता है $θ_{E}$ द्वारा एक गोले के चारों ओर घुमाया गया $θ_{W}$ रेडियन। जब देशांतर फैलता है 2π रेडियन और अक्षांश विस्तार π रेडियन, ठोस कोण एक गोले का है।

अक्षांश-देशांतर आयत को आयताकार पिरामिड के ठोस कोण से भ्रमित नहीं होना चाहिए। एक आयताकार पिरामिड के सभी चार पक्ष बड़े वृत्त चाप में गोले की सतह को काटते हैं। अक्षांश-देशांतर आयत के साथ, देशांतर की केवल रेखाएँ ही वृहत वृत्त चाप होती हैं; अक्षांश रेखाएँ नहीं हैं।

आकाशीय पिंड
कोणीय व्यास की परिभाषा का उपयोग करके, आकाशीय वस्तु के ठोस कोण के सूत्र को वस्तु की त्रिज्या के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है, $R$, और प्रेक्षक से वस्तु की दूरी, $$d$$:

$$\Omega = 2 \pi \left (1 - \frac{\sqrt{d^2 - R^2}}{d} \right ) : d \geq R.$$ सूर्य और चंद्रमा (पृथ्वी के संबंध में) के लिए उपयुक्त औसत मान डालने पर, सूर्य का औसत ठोस कोण होता है $6.794$ स्टेरेडियन और चंद्रमा का औसत ठोस कोण है $6.418$ steradians. कुल खगोलीय क्षेत्र के संदर्भ में, सूर्य और चंद्रमा औसत भिन्नात्मक क्षेत्रों को घटाते हैं $0.001$% ($5.406 ppm$) और $0.001$% ($5.107 ppm$), क्रमश। चूंकि ये ठोस कोण लगभग समान आकार के होते हैं, ग्रहण के दौरान पृथ्वी और चंद्रमा के बीच की दूरी के आधार पर चंद्रमा पूर्ण और कुंडलाकार सूर्य ग्रहण दोनों का कारण बन सकता है।

मनमाने आयामों में ठोस कोण
पूर्ण द्वारा अंतरित ठोस कोण ($d − 1$)-यूक्लिडियन अंतरिक्ष में इकाई क्षेत्र की आयामी गोलाकार सतह |$ϕ_{N} − ϕ_{S}$-आयामी यूक्लिडियन स्थान को किसी भी संख्या में आयामों में परिभाषित किया जा सकता है $θ_{E} − θ_{W}$. गोलाकार समरूपता के साथ गणना में अक्सर इस ठोस कोण कारक की आवश्यकता होती है। यह सूत्र द्वारा दिया गया है $$\Omega_{d} = \frac{2\pi^\frac{d}{2}}{\Gamma\left(\frac{d}{2}\right)}, $$ कहां $d$ गामा समारोह  है। कब $d$ एक पूर्णांक है, गामा फ़ंक्शन की स्पष्ट रूप से गणना की जा सकती है। यह इस प्रकार है कि $$ \Omega_{d} = \begin{cases} \frac{1}{ \left(\frac{d}{2} - 1 \right)!} 2\pi^\frac{d}{2}\ & d\text{ even} \\ \frac{\left(\frac{1}{2}\left(d - 1\right)\right)!}{(d - 1)!} 2^d \pi^{\frac{1}{2}(d - 1)}\ & d\text{ odd}. \end{cases} $$ यह 4 के अपेक्षित परिणाम देता हैπ क्षेत्रफल की सतह से घिरे 3D गोले के लिए स्टेरेडियन $Γ$ और 2π लंबाई की परिधि से घिरे 2D वृत्त के लिए रेडियन $d$. यह 1डी मामले के लिए थोड़ा कम स्पष्ट 2 भी देता है, जिसमें मूल-केंद्रित 1डी क्षेत्र अंतराल है $[−r, r]$ और यह दो सीमित बिंदुओं से घिरा है।

मनमाना आयाम में सदिश सूत्र का समकक्ष एओमोटो द्वारा प्राप्त किया गया था और स्वतंत्र रूप से रिबांडो द्वारा। यह उन्हें अनंत बहुभिन्नरूपी टेलर श्रृंखला के रूप में व्यक्त करता है: $$\Omega = \Omega_d \frac{\left|\det(V)\right|}{(4\pi)^{d/2}} \sum_{\vec a\in \N_0^{\binom {d}{2}}} \left [ \frac{(-2)^{\sum_{i<j} a_{ij}}}{\prod_{i<j} a_{ij}!}\prod_i \Gamma \left (\frac{1+\sum_{m\neq i} a_{im}}{2} \right ) \right ] \vec \alpha^{\vec a}. $$ दिया गया $d$ यूनिट वैक्टर $$\vec{v}_i$$ कोण को परिभाषित करना, चलो $V$ उनके संयोजन से गठित मैट्रिक्स को निरूपित करें $i$वां स्तंभ है $$\vec{v}_i$$, और $$\alpha_{ij} = \vec{v}_i\cdot\vec{v}_j = \alpha_{ji}, \alpha_{ii}=1$$. चर $$\alpha_{ij},1 \le i < j \le d$$ एक बहुभिन्नरूपी बनाओ $$\vec \alpha = (\alpha_{12},\dotsc, \alpha_{1d}, \alpha_{23}, \dotsc, \alpha_{d-1,d}) \in \R^{\binom{d}{2}}$$. एक सर्वांगसम पूर्णांक मल्टीएक्सपोनेंट के लिए $$\vec a=(a_{12}, \dotsc, a_{1d}, a_{23}, \dotsc, a_{d-1,d}) \in \N_0^{\binom{d}{2}}, $$ परिभाषित करना $\vec \alpha^{\vec a}=\prod \alpha_{ij}^{a_{ij}}$. ध्यान दें कि यहाँ $$\N_0$$ = गैर-ऋणात्मक पूर्णांक, या 0 से शुरू होने वाली प्राकृतिक संख्याएँ। अंकन $$\alpha_{ji}$$ के लिए $$j > i$$ चर का अर्थ है $$\alpha_{ij}$$, इसी तरह एक्सपोनेंट्स के लिए $$a_{ji}$$. इसलिए, शब्द $\sum_{m \ne l} a_{lm}$ का अर्थ है सभी पदों का योग $$\vec a$$ जिसमें l या तो पहली या दूसरी अनुक्रमणिका के रूप में प्रकट होता है। जहाँ यह श्रृंखला अभिसरण करती है, यह सदिशों द्वारा परिभाषित ठोस कोण में परिवर्तित हो जाती है।

आगे की पढाई

 * Erratum ibid. vol 50 (2011) page 059801.
 * Erratum ibid. vol 50 (2011) page 059801.
 * Erratum ibid. vol 50 (2011) page 059801.
 * Erratum ibid. vol 50 (2011) page 059801.
 * Erratum ibid. vol 50 (2011) page 059801.
 * Erratum ibid. vol 50 (2011) page 059801.
 * Erratum ibid. vol 50 (2011) page 059801.
 * Erratum ibid. vol 50 (2011) page 059801.
 * Erratum ibid. vol 50 (2011) page 059801.
 * Erratum ibid. vol 50 (2011) page 059801.

बाहरी कड़ियाँ

 * HCR's Theory of Polygon(solid angle subtended by any polygon) from Academia.edu
 * Arthur P. Norton, A Star Atlas, Gall and Inglis, Edinburgh, 1969.
 * M. G. Kendall, A Course in the Geometry of N Dimensions, No. 8 of Griffin's Statistical Monographs & Courses, ed. M. G. Kendall, Charles Griffin & Co. Ltd, London, 1961