चल चुंबक और सुचालक निर्मेय

चल चुंबक और सुचालक निर्मेय एक प्रसिद्ध विचार प्रयोग है, जो 19वीं शताब्दी में चिरसम्मत विद्युत चुंबकत्व और विशेष सापेक्षता के प्रतिच्छेदन से संबंधित है। इसमें एक स्थिर वेग से गतिमान विद्युत चालक में चुंबक के संबंध में v की धारा की गणना चुंबक के जड़त्वीय फ्रेम और सुचालक के संदर्भित फ्रेम में की जाती है। प्रयोग में देखने योग्य विद्युत धारा की मात्रा, किसी भी सन्दर्भ में समान है, मूल 'सापेक्षता के सिद्धांत' के अनुसार, जो कि बताता है: केवल 'सापेक्ष' गति अवलोकनीय है; और विराम का कोई पूर्ण मानक नहीं है। हालांकि, मैक्सवेल के समीकरणों के अनुसार, सुचालक में आवेश चुंबक के फ्रेम में एक चुंबकीय बल और सुचालक के फ्रेम में एक विद्युत बल का अनुभव करते हैं। पर्यवेक्षक के संदर्भ के फ्रेम के आधार पर एक ही घटना के दो अलग-अलग विवरण होंगे।

यह निर्मेय, फ़िज़ो प्रयोग के साथ, प्रकाश का विपथन, और अधिक अप्रत्यक्ष रूप से माइकलसन-मॉर्ले प्रयोग जैसे विशेष सापेक्षता के परीक्षण ने आइंस्टीन के सापेक्षता के सिद्धांत के विकास को आधार बनाया।

परिचय
अल्बर्ट आइंस्टीन का 1905 का पेपर जिसने दुनिया को सापेक्षता से परिचित कराया, जो कि चुंबक/सुचालक निर्मेय के विवरण के साथ प्रारम्भ होता है।

विभिन्न रूपरेखाओं में विवरणों पर एक प्रमुख आवश्यकता यह है कि वे सुसंगत हों। सुसंगत होना एक प्रकरण है क्योंकि न्यूटन के गति के नियम उन बलों के लिए एक परिवर्तन (तथाकथित गैलीलियन अपरिवर्तनीयता) की भविष्यवाणी करते हैं जो आवेशों को चलाते हैं और विधुत धारा का कारण बनते हैं, जबकि मैक्सवेल के समीकरणों द्वारा व्यक्त ऊष्मागतिक भविष्यवाणी करता है कि इन बलों को उत्पन्न करने वाले वैद्युत क्षेत्र अलग-अलग रूप से बदलते हैं। (लोरेंट्ज़ इनवेरिएंस के अनुसार), माइकलसन-मॉर्ले प्रयोग में उत्कीर्ण प्रकाश के विपथन की टिप्पणियों ने लोरेंत्ज़ के व्युत्क्रम की वैधता की स्थापना की, और विशेष सापेक्षता के विकास ने न्यूटोनियन यांत्रिकी के साथ परिणामी असहमति को हल किया। विशेष आपेक्षिकता ने गतिमान संदर्भ फ़्रेमों में बलों के परिवर्तन को संशोधित किया जिससे कि लोरेंत्ज़ इनवेरियन के अनुरूप हो। इन परिवर्तनों के विवरण पर नीचे चर्चा की गई है।

सुसंगत के अलावा, विवरणों को समेकित करना बेहतर होगा जिससे कि वे फ्रेम-स्वतंत्र प्रतीत हों। एक रूपरेखा-स्वतंत्र विवरण के लिए एक प्रमाणित रूप से यह अवलोकन है कि एक संदर्भ फ्रेम में चुंबकीय वैद्युत क्षेत्र दूसरे फ्रेम में विद्युत वैद्युत क्षेत्र बन जाते हैं। इसी तरह, विद्युत वैद्युत क्षेत्रों का सोलेनोइडल वैद्युत क्षेत्र भाग (वह भाग जो विद्युत आवेशों से उत्पन्न नहीं होता है) एक अन्य फ्रेम में एक चुंबकीय वैद्युत क्षेत्र बन जाता है: अर्थात, सोलेनोइडल विद्युत वैद्युत क्षेत्र और चुंबकीय वैद्युत क्षेत्र एक ही निकाय के पहलू हैं। इसका अर्थ है कि विभिन्न विवरणों का विरोधाभास केवल अर्थगत कमी हो सकता है। एक विवरण जो B और E के अतिरिक्त अदिश और सदिश क्षमता φ और A का उपयोग करता है, जो कि सिमेंटिकल ट्रैप से बचता है। एक लोरेंत्ज़-इनवेरिएंट चार सदिश एα = (φ / c, 'A' ) 'E' और 'B' की जगह लेता है और एक फ्रेम-स्वतंत्र विवरण प्रदान करता है (यद्यपि E-B-विवरण से कम आंत)। विवरण का एक वैकल्पिक एकीकरण भौतिक इकाई को विद्युत चुम्बकीय वैद्युत क्षेत्र टेंसर के रूप में सोचना है, जैसा कि बाद में वर्णित किया गया है। इस टेंसर में घटक के रूप में E और B दोनों वैद्युत क्षेत्र सम्मिलित हैं, और संदर्भ के सभी फ्रेमों में एक ही रूप है।

पृष्ठभूमि
विद्युत चुम्बकीय वैद्युत क्षेत्र प्रत्यक्ष रूप से देखने योग्य नहीं हैं। चिरसम्मत भौतिकी के विद्युत चुम्बकीय वैद्युत क्षेत्रों के अस्तित्व का अनुमान आवेशित कणों की गति से लगाया जा सकता है, जिनके प्रक्षेपवक्र देखे जा सकते हैं। विद्युत चुम्बकीय वैद्युत क्षेत्र चिरसम्मत आवेशित कणों की प्रेक्षित गतियों की व्याख्या करते हैं।

भौतिकी में एक महत्वपूर्ण आवश्यकता यह है कि कण की गति के सभी पर्यवेक्षक कण के प्रक्षेपवक्र पर सहमत हों। उदाहरण के लिए, यदि एक पर्यवेक्षक यह नोट करता है कि एक कण बुल्सआई के केंद्र से टकराता है, तो सभी पर्यवेक्षकों को एक ही निष्कर्ष पर पहुंचना चाहिए। यह आवश्यकता विद्युत चुम्बकीय वैद्युत क्षेत्रों की प्रकृति और उनके एक संदर्भ फ्रेम से दूसरे में परिवर्तन पर बाधा डालती है। यह उस तरीके पर भी प्रतिबंध लगाता है जिससे वैद्युत क्षेत्र त्वरण को प्रभावित करते हैं और इसलिए आवेशित कणों के प्रक्षेपवक्र वैद्युत क्षेत्र त्वरण को प्रभावित करते हैं।

अनुमानतः सबसे सरल उदाहरण, और एक जिसे आइंस्टीन ने अपने 1905 के पेपर में विशेष सापेक्षता का परिचय देते हुए संदर्भित किया था, वह एक चुंबक के वैद्युत क्षेत्र में गतिमान सुचालक की निर्मेय है। चुंबक के फ्रेम में, सुचालक एक चुंबकीय बल का अनुभव करता है। चुंबक के सापेक्ष गतिमान चालक के फ्रेम में, चालक विद्युत वैद्युत क्षेत्र के कारण एक बल का अनुभव करता है। सुचालक फ्रेम में चुंबक फ्रेम में चुंबकीय वैद्युत क्षेत्र और विद्युत वैद्युत क्षेत्र सुचालक में निरंतर परिणाम उत्पन्न करना चाहिए। 1905 में आइंस्टीन के समय, मैक्सवेल के समीकरणों द्वारा दर्शाए गए वैद्युत क्षेत्र समीकरण उचित रूप से सुसंगत थे। न्यूटन के गति के नियम को, हालांकि, सुसंगत कण प्रक्षेपवक्र प्रदान करने के लिए संशोधित किया जाना था।

वैद्युत क्षेत्रों का परिवर्तन, गैलीलियन परिवर्तन को मानते हुए
यह मानते हुए कि चुंबक फ्रेम और सुचालक फ्रेम गैलीलियन परिवर्तन से संबंधित हैं, दोनों फ्रेमों में वैद्युत क्षेत्रों और बलों की गणना करना सरल है। यह प्रदर्शित करेगा कि प्रेरित धारा वास्तव में दोनों फ़्रेमों में समान है। उप-उत्पाद के रूप में, यह तर्क एक फ्रेम में विद्युत और चुंबकीय वैद्युत क्षेत्रों के लिए दूसरे फ्रेम में वैद्युत क्षेत्रों के संदर्भ में एक सामान्य सूत्र भी निर्गत करेगा।

वास्तव में, फ्रेम गैलीलियन परिवर्तन से संबंधित नहीं हैं, बल्कि लोरेंत्ज़ परिवर्तन से संबंधित हैं। फिर भी, यह प्रकाश की गति से बहुत कम वेग पर एक बहुत उचित सन्निकटन के लिए एक गैलिलियन परिवर्तन होगा।

अप्रकाशित मात्राएँ चुंबक के बाकी फ्रेम के अनुरूप होती हैं, जबकि औपचारिक मात्राएँ सुचालक के बाकी फ्रेम के अनुरूप होती हैं। मान लीजिए 'v' सुचालक का वेग है, जैसा कि चुंबक फ्रेम से देखा गया है।

चुंबक फ्रेम
चुंबक के बाकी फ्रेम में, चुंबकीय वैद्युत क्षेत्र कुछ निश्चित वैद्युत क्षेत्र B (R) है, जो चुंबक की संरचना और आकार से निर्धारित होता है। वह वैद्युत क्षेत्र शून्य है।

सामान्यतः, वैद्युत क्षेत्र और चुंबकीय वैद्युत क्षेत्र द्वारा चालक में आवेश q के एक कण पर लगाया गया बल (एसआई इकाइयों) द्वारा दिया जाता है:


 * $$\mathbf{F} = q (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}),$$

जहाँ $$q$$ कण पर आवेश है, $$\mathbf{v}$$ कण वेग है और F लोरेंत्ज़ बल है। यहाँ, हालाँकि, वैद्युत क्षेत्र शून्य है, इसलिए कण पर बल है


 * $$\mathbf{F} = q \mathbf{v} \times \mathbf{B}.$$

सुचालक फ्रेम
सुचालक फ्रेम में, चुंबक फ्रेम में चुंबकीय वैद्युत क्षेत्र B से संबंधित एक समय-भिन्न चुंबकीय वैद्युत क्षेत्र B 'है:
 * $$\mathbf{B}'(\mathbf{r'},t') = \mathbf{B}(\mathbf{r_{t'}})$$ जहाँ $$\mathbf{r_{t'}} = \mathbf{r'}+\mathbf{v}t'$$

इस फ्रेम में, एक वैद्युत क्षेत्र है, और इसका कर्ल फैराडे के आगमन के नियम द्वारा दिया गया है, मैक्सवेल-फैराडे समीकरण:


 * $$\mathbf{\nabla \times E}' = -\frac{\partial \mathbf{B}'}{\partial t'}.$$

इसका विशिष्ट परिणाम होता है:


 * $$\mathbf{E}' = \mathbf{v}\times \mathbf{B}.$$

इसे समझने योग्य बनाने के लिए: यदि एक चालक B- वैद्युत क्षेत्र के माध्यम से एक प्रवणता के साथ चलता है $$\partial B_z/\partial z$$, स्थिर वेग के साथ z- अक्ष के साथ $$v_z=\partial z/\partial t$$, यह इस प्रकार है कि चालक के फ्रेम में $$\partial B'_z/\partial t = v_z \partial B_z/ \partial z=-(\nabla \times \mathbf{E'})_z=\partial E'_x/ \partial y-\partial E'_y/ \partial x $$. यह देखा जा सकता है कि यह समीकरण संगत है $$\mathbf{E'}=\mathbf{v}\times \mathbf{B}=v_z B_x \hat{y} - v_z B_y \hat{x}$$, निर्धारित करके $$\partial E'_x/\partial y $$ और $$\partial E_y'/\partial x $$ इस अभिव्यक्ति से और इसका उपयोग करते समय इसे पहली अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करना $$\nabla \cdot \mathbf{B}=\partial B_x/\partial x + \partial B_y/\partial y +\partial B_z/\partial z=0$$. यहां तक ​​कि इनफिनिटिमल छोटे ग्रेडियेंट की सीमा में भी $$\partial B_z/\partial z$$ ये संबंध कायम हैं, और इसलिए लोरेंत्ज़ बल समीकरण भी मान्य है यदि चालक फ्रेम में चुंबकीय क्षेत्र समय में भिन्न नहीं है। सापेक्षतावादी वेगों पर एक सुधार कारक की आवश्यकता होती है, चिरसम्मत विद्युत चुंबकत्व और विशेष सापेक्षता और लोरेंत्ज़ परिवर्तन नीचे देखें।

सुचालक में एक आवेश q सुचालक फ्रेम में विराम में होगा। इसलिए, लोरेंत्ज़ बल के चुंबकीय बल शब्द का कोई प्रभाव नहीं पड़ता है, और आवेश पर बल द्वारा दिया जाता है


 * $$\mathbf{F}' = q\mathbf{E}' = q\mathbf{v} \times \mathbf{B}.$$

यह दर्शाता है कि बल दोनों फ़्रेमों में समान है (जैसा कि अपेक्षित होगा), और इसलिए इस बल के किसी भी अवलोकनीय परिणाम, जैसे कि प्रेरित धारा, दोनों फ़्रेमों में भी समान होंगे। यह इस तथ्य के बावजूद है कि बल को चालक फ्रेम में एक विद्युत बल के रूप में देखा जाता है, लेकिन चुंबक के फ्रेम में एक चुंबकीय बल के रूप में देखा जाता है।

वैद्युत क्षेत्रों के लिए गैलीलियन परिवर्तन सूत्र
इसी तरह का तर्क दिया जा सकता है अगर चुंबक के फ्रेम में भी विद्युत वैद्युत क्षेत्र हों। (एम्पीयर-मैक्सवेल समीकरण भी चलन में आता है, यह समझाते हुए कि कैसे, सुचालक के फ्रेम में, यह गतिमान विद्युत वैद्युत क्षेत्र चुंबकीय वैद्युत क्षेत्र में योगदान देगा।) अंतिम परिणाम यह है कि, सामान्यतः,


 * $$\mathbf{E}' = \mathbf{E} + \mathbf{v}\times \mathbf{B}$$
 * $$\mathbf{B}' = \mathbf{B} - \frac{1}{c^2} \mathbf{v} \times \mathbf{E},$$

मुक्त स्थान में प्रकाश की गति C के साथ,

इन परिवर्तन नियमों को पूर्ण मैक्सवेल के समीकरणों में प्लग करके, यह देखा जा सकता है कि यदि मैक्सवेल के समीकरण एक फ्रेम में सत्य हैं, तो वे दूसरे फ्रेम में लगभग सत्य हैं, लेकिन लोरेंत्ज़ परिवर्तन द्वारा गलत पद सम्मिलित हैं, और वैद्युत क्षेत्र परिवर्तन समीकरण भी नीचे दिए गए भावों के अनुसार बदला जाना चाहिए।

मैक्सवेल के समीकरणों द्वारा भविष्यवाणी के अनुसार वैद्युत क्षेत्रों का परिवर्तन
गति v पर चलने वाले एक फ्रेम में, गतिमान फ्रेम में ई-फील्ड जब स्थिर चुंबक फ्रेम में कोई ई-फील्ड नहीं होता है तो सापेक्षतावादी विद्युत चुंबकत्व अधिक कठोर विश्लेषण मैक्सवेल के समीकरण इस प्रकार बदलते हैं:
 * $$\mathbf{E}' = \gamma \mathbf{v} \times \mathbf{B}$$

जहाँ


 * $$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - {(v/c)}^2}}$$

लोरेंत्ज़ कारक कहा जाता है और c मुक्त स्थान में प्रकाश की गति है। यह परिणाम मैक्सवेल के समीकरणों के लिए सभी जड़त्वीय फ्रेम में पर्यवेक्षकों के एक ही रूप में पहुंचने की आवश्यकता का परिणाम है। विशेष रूप से, सभी पर्यवेक्षकों को प्रकाश की समान गति c देखनी चाहिए। यह आवश्यकता समतल और समय के लिए लोरेंत्ज़ परिवर्तन की ओर ले जाती है। एक लोरेन्ट्ज़ रूपांतरण मानते हुए, मैक्सवेल के समीकरणों का व्युत्क्रम इस उदाहरण के लिए वैद्युत क्षेत्रों के उपरोक्त परिवर्तन की ओर जाता है।

परिणामतः, आवेश पर बल है
 * $$\mathbf{F}' = q \mathbf{E}' = q \gamma \mathbf{v} \times  \mathbf{B}.$$

यह व्यंजक गैर-सापेक्षवादी न्यूटन के गति के नियम से प्राप्त व्यंजक लोरेंत्ज़ गुणक के गुणक से भिन्न है। $$\gamma $$ विशेष सापेक्षता समतल और समय को इस तरह संशोधित करती है कि बल और वैद्युत क्षेत्र निरंतर रूपांतरित होते हैं।

मैक्सवेल के समीकरणों के साथ सुसंगत के लिए गतिकी में संशोधन
लोरेंत्ज़ बल का दोनों फ़्रेमों में समान रूप है, हालाँकि वैद्युत क्षेत्र भिन्न हैं, अर्थात्:


 * $$\mathbf{F} = q \left[\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right].$$

चित्रा 1 देखें। सरल बनाने के लिए, चुंबकीय वैद्युत क्षेत्र को जेड-दिशा में इंगित करें और स्थान X के साथ भिन्न करें, और सुचालक को सकारात्मक X-दिशा में वेग V के साथ अनुवाद करने दें। परिणामतः, चुंबक फ्रेम में जहां सुचालक चल रहा है, लोरेंत्ज़ बल ऋणात्मक y-दिशा में इंगित करता है, वेग और B-वैद्युत क्षेत्र दोनों के लंबवत किसी आवेश पर बल, यहाँ केवल B-वैद्युत क्षेत्र के कारण है


 * $$F_y = -qvB,$$

जबकि सुचालक फ्रेम में जहां चुंबक चल रहा है, बल नकारात्मक Y-दिशा में भी है, और अब केवल 'ई'-फ़ील्ड के मान के कारण:


 * $${F_y}' = qE' = -q\gamma vB.$$

दो बल लोरेंत्ज़ कारक γ से भिन्न होते हैं। एक सापेक्षवादी सिद्धांत में इस अंतर की अपेक्षा की जाती है, हालांकि, फ्रेम के बीच समतल-समय में परिवर्तन के कारण, जैसा कि आगे चर्चा की गई है।

सापेक्षता मैक्सवेल के समीकरणों के निश्चरता द्वारा सुझाए गए स्थान-समय के लोरेंत्ज़ परिवर्तन को लेती है और इसे गतिकी (भौतिकी) पर भी लागू करती है (न्यूटन के गति के नियमों का संशोधन)। इस उदाहरण में, लोरेंत्ज़ परिवर्तन केवल X-दिशा को प्रभावित करता है (दो फ़्रेमों की सापेक्ष गति X-दिशा के साथ है)। समय और स्थान को जोड़ने वाले संबंध हैं (प्राइम्स मूविंग सुचालक फ्रेम को दर्शाते हैं):
 * $$x' = \gamma \left(x - vt\right), \quad x = \gamma\left(x' + vt'\right),$$
 * $$t' = \gamma \left(t - \frac{vx}{c^2}\right), \quad t = \gamma\left(t' + \frac{vx'}{c^2}\right).$$

इन परिवर्तनों से विशेष सापेक्षता बल के y-घटक में परिवर्तन होता है:


 * $${F_y}' = \gamma F_y.$$

अर्थात्, लोरेंत्ज़ के अपरिवर्तनीयता के भीतर, गैलीलियन अपरिवर्तनीयता के विपरीत, संदर्भ के सभी फ़्रेमों में बल नहीं समान है। लेकिन, लोरेंत्ज़ बल नियम पर आधारित पहले के विश्लेषण से:


 * $$\gamma F_y = -q\gamma vB, \quad {F_y}' = -q\gamma v B,$$

जो पूरी तरह से प्रमाणित है। आवेश पर बल दोनों फ्रेम में समान नहीं है, लेकिन यह सापेक्षता के अनुसार अपेक्षित रूप से रूपांतरित होता है।

यह भी देखें

 * एनस मिराबिलिस पेपर्स
 * डार्विन Lagrangian
 * एड़ी प्रवाह
 * विद्युत मोटर
 * आइंस्टीन के विचार प्रयोग
 * फैराडे का नियम
 * फैराडे विरोधाभास
 * गैलिलियन आक्रमण
 * जड़त्वीय फ्रेम
 * लेन्ज का नियम
 * लोरेंत्ज़ परिवर्तन
 * सापेक्षता का सिद्धांत
 * सापेक्षता का विशेष सिद्धांत

अग्रिम पठन

 * (The relativity of magnetic and electric fields)
 * (The relativity of magnetic and electric fields)



बाहरी संबंध

 * Magnets and conductors in special relativity