बॉक्स में गैस

क्वांटम यांत्रिकी में, एक बॉक्स में क्वांटम कण के परिणामों का उपयोग एक बॉक्स में क्वांटम आदर्श गैस के लिए संतुलन समाधान को देखने के लिए किया जा सकता है, जो एक ऐसा बॉक्स होता है जिसमें बड़ी संख्या में अणु होते हैं जो तात्कालिक को छोड़कर एक दूसरे के साथ बातचीत नहीं करते हैं। थर्मलीकरण टकराव। इस सरल मॉडल का उपयोग शास्त्रीय आदर्श गैस के साथ-साथ विभिन्न क्वांटम आदर्श गैसों जैसे कि आदर्श विशाल फर्मी गैस, आदर्श विशाल बोस गैस और साथ ही काला शरीर  विकिरण (फोटॉन गैस) का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है, जिसे द्रव्यमान रहित माना जा सकता है। बोस गैस, जिसमें थर्मलाइजेशन को आमतौर पर एक संतुलित द्रव्यमान के साथ फोटॉन की बातचीत से सुविधाजनक माना जाता है।

मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़ों, बोस-आइंस्टीन आँकड़ों या फ़र्मी-डिराक आँकड़ों के परिणामों का उपयोग करते हुए, और एक बहुत बड़े बॉक्स की सीमा पर विचार करते हुए, थॉमस-फ़र्मी सन्निकटन (एनरिको फर्मी और लेवेलिन थॉमस के नाम पर) का उपयोग डीजेनरेट को व्यक्त करने के लिए किया जाता है। एक अंतर के रूप में ऊर्जा स्तर, और अभिन्न के रूप में राज्यों पर योग। यह गैस के थर्मोडायनामिक गुणों की गणना विभाजन फ़ंक्शन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) या भव्य विभाजन फ़ंक्शन के उपयोग से करने में सक्षम बनाता है। ये परिणाम बड़े और द्रव्यमान रहित दोनों कणों पर लागू होंगे। अधिक संपूर्ण गणनाएँ अलग-अलग लेखों पर छोड़ दी जाएंगी, लेकिन इस लेख में कुछ सरल उदाहरण दिए जाएंगे।

थॉमस-राज्यों की अधोगति के लिए फर्मी सन्निकटन
एक बॉक्स में भारी और द्रव्यमानहीन दोनों कणों के लिए, एक कण की अवस्थाएँ होती हैं क्वांटम संख्याओं के एक सेट द्वारा गणना की गई [nx, ny, nz]. संवेग का परिमाण किसके द्वारा दिया गया है?


 * $$p=\frac{h}{2L}\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2} \qquad \qquad n_x,n_y,n_z=1,2,3,\ldots $$

जहाँ h प्लैंक स्थिरांक है और L बॉक्स के एक किनारे की लंबाई है। किसी कण की प्रत्येक संभावित अवस्था को धनात्मक पूर्णांकों के त्रि-आयामी ग्रिड पर एक बिंदु के रूप में सोचा जा सकता है। उद्गम से किसी बिन्दु तक की दूरी होगी


 * $$n=\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}=\frac{2Lp}{h}$$

मान लीजिए कि क्वांटम संख्याओं का प्रत्येक सेट एफ बताता है जहां एफ कण की स्वतंत्रता की आंतरिक डिग्री की संख्या है जिसे टकराव द्वारा बदला जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक चक्कर $1/2$कण में f=2 होगा, प्रत्येक स्पिन अवस्था के लिए एक। n के बड़े मानों के लिए, उपरोक्त समीकरण से p से कम या उसके बराबर संवेग परिमाण वाले राज्यों की संख्या लगभग है



g = \left(\frac{f}{8}\right) \frac{4}{3}\pi n^3 = \frac{4\pi f}{3} \left(\frac{Lp}{h}\right)^3 $$ जो त्रिज्या n के एक गोले के आयतन का केवल f गुना है, जिसे आठ से विभाजित किया गया है क्योंकि यह केवल धनात्मक n वाला अष्टक हैiमाना जाता है। सातत्य सन्निकटन का उपयोग करते हुए, p और p+dp के बीच संवेग के परिमाण वाली अवस्थाओं की संख्या है


 * $$dg = \frac{\pi}{2}~f n^2\,dn = \frac{4\pi fV}{h^3}~ p^2\,dp$$

जहां वी=एल3बॉक्स का आयतन है। ध्यान दें कि इस सातत्य सन्निकटन का उपयोग करने में, जिसे थॉमस-फर्मी सन्निकटन के रूप में भी जाना जाता है, निम्न-ऊर्जा वाले राज्यों को चिह्नित करने की क्षमता खो जाती है, जिसमें जमीनी अवस्था भी शामिल है जहां एनi= 1. ज्यादातर मामलों में यह कोई समस्या नहीं होगी, लेकिन जब बोस-आइंस्टीन कंडेनसेट|बोस-आइंस्टीन कंडेनसेशन पर विचार किया जाता है, जिसमें गैस का एक बड़ा हिस्सा जमीनी अवस्था में या उसके करीब होता है, तो कम ऊर्जा वाले राज्यों से निपटने की क्षमता महत्वपूर्ण हो जाती है।

बिना किसी अनुमान के, ऊर्जा ε वाले कणों की संख्याi द्वारा दिया गया है


 * $$ N_i = \frac{g_i}{\Phi(\varepsilon_i)}$$

कहाँ $$ g_i$$ राज्य I और का पतित ऊर्जा स्तर है $$ \Phi(\varepsilon_i) = \begin{cases} e^{\beta(\varepsilon_i-\mu)}, & \text{for particles obeying Maxwell-Boltzmann statistics} \\ e^{\beta(\varepsilon_i-\mu)}-1, & \text{for particles obeying Bose-Einstein statistics}\\ e^{\beta(\varepsilon_i-\mu)}+1, & \text{for particles obeying Fermi-Dirac statistics}\\ \end{cases}$$ β = 1/k के साथBटी, बोल्ट्ज़मैन का स्थिरांक kB, तापमान टी, और रासायनिक क्षमता μ। (मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़े, बोस-आइंस्टीन आँकड़े और फर्मी-डिराक आँकड़े देखें।)

थॉमस-फर्मी सन्निकटन का उपयोग करते हुए, कणों की संख्या dNEE और E+dE के बीच ऊर्जा है:


 * $$dN_E= \frac{dg_E}{\Phi(E)} $$

कहाँ $$dg_E$$ E और E+dE के बीच ऊर्जा वाले राज्यों की संख्या है।

ऊर्जा वितरण
इस आलेख के पिछले अनुभागों से प्राप्त परिणामों का उपयोग करके, अब एक बॉक्स में गैस के लिए कुछ वितरण निर्धारित किए जा सकते हैं। कणों की एक प्रणाली के लिए, वितरण $$P_A$$ एक चर के लिए $$A$$ अभिव्यक्ति के माध्यम से परिभाषित किया गया है $$P_AdA$$ जो कणों का वह अंश है जिसका मान होता है $$A$$ बीच में $$A$$ और $$A+dA$$
 * $$P_A~dA = \frac{dN_A}{N} = \frac{dg_A}{N\Phi_A}$$

कहाँ
 * $$dN_A$$, कणों की संख्या जिनके लिए मान हैं $$A$$ बीच में $$A$$ और $$A+dA$$
 * $$dg_A$$, उन राज्यों की संख्या जिनके लिए मान हैं $$A$$ बीच में $$A$$ और $$A+dA$$
 * $$\Phi_A^{-1}$$, संभावना है कि एक राज्य जिसका मूल्य है $$A$$ एक कण द्वारा कब्जा कर लिया गया है
 * $$N$$, कणों की कुल संख्या।

यह इस प्रकार है कि:


 * $$\int_A P_A~dA = 1$$

संवेग वितरण के लिए $$P_p$$, बीच में गति के परिमाण के साथ कणों का अंश $$p$$ और $$p+dp$$ है:


 * $$P_p~dp = \frac{Vf}{N}~\frac{4\pi}{h^3\Phi_p}~p^2dp$$

और ऊर्जा वितरण के लिए $$P_E$$, बीच में ऊर्जा वाले कणों का अंश $$E$$ और $$E+dE$$ है:


 * $$P_E~dE = P_p\frac{dp}{dE}~dE$$

एक बॉक्स में एक कण के लिए (और एक मुक्त कण के लिए भी), ऊर्जा के बीच संबंध $$E$$ और गति $$p$$ विशाल और द्रव्यमानहीन कणों के लिए अलग है। बड़े कणों के लिए,


 * $$ E=\frac{p^2}{2m}$$

जबकि द्रव्यमान रहित कणों के लिए,


 * $$E = pc$$

कहाँ $$m$$ कण का द्रव्यमान है और $$c$$ प्रकाश की गति है. इन रिश्तों का उपयोग करते हुए,

dg_E & = \quad \ \left(\frac{Vf}{\Lambda^3}\right) \frac{2}{\sqrt{\pi}}~\beta^{3/2}E^{1/2}~dE \\ P_E~dE & = \frac{1}{N}\left(\frac{Vf}{\Lambda^3}\right) \frac{2}{\sqrt{\pi}}~\frac{\beta^{3/2}E^{1/2}}{\Phi(E)}~dE \\ \end{alignat}$$ कहाँ $Λ$ गैस की तापीय तरंग दैर्ध्य है। $$\Lambda =\sqrt{\frac{h^2 \beta }{2\pi m}}$$ यह कब से एक महत्वपूर्ण मात्रा है $Λ$ अंतर-कण दूरी के क्रम पर है $$(V/N)^{1/3}$$, क्वांटम प्रभाव हावी होने लगते हैं और गैस को मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन गैस नहीं माना जा सकता है। dg_E & = \quad \ \left(\frac{Vf}{\Lambda^3}\right) \frac{1}{2}~\beta^3E^2~dE \\ P_E~dE & = \frac{1}{N}\left(\frac{Vf}{\Lambda^3}\right) \frac{1}{2}~\frac{\beta^3E^2}{\Phi(E)}~dE \\ \end{alignat} $$ कहाँ $Λ$ अब द्रव्यमान रहित कणों के लिए थर्मल तरंग दैर्ध्य है। $$\Lambda = \frac{ch\beta}{2\, \pi^{1/3}}$$
 * बड़े कणों के लिए $$\begin{alignat}{2}
 * द्रव्यमान रहित कणों के लिए $$\begin{alignat}{2}

विशिष्ट उदाहरण
निम्नलिखित अनुभाग कुछ विशिष्ट मामलों के परिणामों का उदाहरण देते हैं।

विशाल मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन कण
इस मामले के लिए:


 * $$\Phi(E)=e^{\beta(E-\mu)}$$

ऊर्जा वितरण फ़ंक्शन को एकीकृत करना और एन के लिए समाधान देना


 * $$N = \left(\frac{Vf}{\Lambda^3}\right)\,\,e^{\beta\mu}$$

मूल ऊर्जा वितरण फलन में प्रतिस्थापित करने से प्राप्त होता है


 * $$P_E~dE = 2 \sqrt{\frac{\beta^3 E}{\pi}}~e^{-\beta E}~dE$$

जो मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण के लिए शास्त्रीय रूप से प्राप्त समान परिणाम हैं। आगे के परिणाम आदर्श गैस पर लेख के शास्त्रीय खंड में पाए जा सकते हैं।

विशाल बोस-आइंस्टीन कण
इस मामले के लिए:
 * $$\Phi(E)=\frac{e^{\beta E}}{z}-1$$

कहाँ $$ z=e^{\beta\mu}.$$ ऊर्जा वितरण फ़ंक्शन को एकीकृत करने और एन के लिए समाधान करने से कण संख्या मिलती है


 * $$N = \left(\frac{Vf}{\Lambda^3}\right)\textrm{Li}_{3/2}(z)$$

कहाँ लीs(z) बहु लघुगणक फलन है. पॉलीलॉगरिदम शब्द हमेशा सकारात्मक और वास्तविक होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि इसका मान 0 से ζ(3/2) तक जाएगा क्योंकि z 0 से 1 तक जाता है। जैसे-जैसे तापमान शून्य की ओर गिरता है, $Λ$ अंततः बड़ा और बड़ा होता जाएगा $Λ$ एक महत्वपूर्ण मूल्य तक पहुंच जाएगा $Λ_{c}$ जहां z=1 और


 * $$N = \left(\frac{Vf}{\Lambda_{\rm c}^3}\right)\zeta(3/2),$$

कहाँ $$\zeta(z)$$ रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन को दर्शाता है। जिस तापमान पर $Λ = Λ_{c}$क्रांतिक तापमान है. इस महत्वपूर्ण तापमान से नीचे के तापमान के लिए, कण संख्या के लिए उपरोक्त समीकरण का कोई समाधान नहीं है। क्रांतिक तापमान वह तापमान है जिस पर बोस-आइंस्टीन कंडेनसेट बनना शुरू होता है। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, समस्या यह है कि सातत्य सन्निकटन में जमीनी स्थिति को नजरअंदाज कर दिया गया है। हालाँकि, यह पता चला है कि कण संख्या के लिए उपरोक्त समीकरण उत्तेजित अवस्था में बोसॉन की संख्या को अच्छी तरह से व्यक्त करता है, और इस प्रकार:



N=\frac{g_0 z}{1-z}+\left(\frac{Vf}{\Lambda^3}\right)\operatorname{Li}_{3/2}(z) $$ जहां जोड़ा गया शब्द जमीनी अवस्था में कणों की संख्या है। जमीनी स्तर की ऊर्जा को नजरअंदाज कर दिया गया है। यह समीकरण शून्य तापमान तक कायम रहेगा। आगे के परिणाम आदर्श बोस गैस पर लेख में पाए जा सकते हैं।

द्रव्यमान रहित बोस-आइंस्टीन कण (उदाहरण के लिए ब्लैक बॉडी विकिरण)
द्रव्यमान रहित कणों के मामले में, द्रव्यमान रहित ऊर्जा वितरण फ़ंक्शन का उपयोग किया जाना चाहिए। इस फ़ंक्शन को आवृत्ति वितरण फ़ंक्शन में परिवर्तित करना सुविधाजनक है:



P_\nu~d\nu = \frac{h^3}{N}\left(\frac{Vf}{\Lambda^3}\right) \frac{1}{2}~\frac{\beta^3\nu^2}{e^{(h\nu-\mu)/k_{\rm B}T}-1}~d\nu $$ कहाँ $Λ$ द्रव्यमान रहित कणों के लिए तापीय तरंग दैर्ध्य है। तब वर्णक्रमीय ऊर्जा घनत्व (प्रति इकाई आयतन प्रति इकाई आवृत्ति ऊर्जा) है


 * $$U_\nu~d\nu = \left(\frac{N\,h\nu}{V}\right) P_\nu~d\nu = \frac{4\pi f h\nu^3 }{c^3}~\frac{1}{e^{(h\nu-\mu)/k_{\rm B}T}-1}~d\nu.$$

अन्य थर्मोडायनामिक मापदंडों को बड़े कणों के मामले में अनुरूप रूप से प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आवृत्ति वितरण फ़ंक्शन को एकीकृत करना और एन के लिए समाधान करना कणों की संख्या देता है:


 * $$N=\frac{16\,\pi V}{c^3h^3\beta^3}\,\mathrm{Li}_3\left(e^{\mu/k_{\rm B}T}\right).$$

सबसे आम द्रव्यमान रहित बोस गैस एक काले शरीर में एक फोटॉन गैस है। बॉक्स को ब्लैक बॉडी कैविटी मानते हुए, फोटॉन लगातार दीवारों द्वारा अवशोषित और पुन: उत्सर्जित होते रहते हैं। जब यह स्थिति होती है, तो फोटॉन की संख्या संरक्षित नहीं होती है। बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी की व्युत्पत्ति में, जब कणों की संख्या पर प्रतिबंध हटा दिया जाता है, तो यह प्रभावी रूप से रासायनिक क्षमता (μ) को शून्य पर सेट करने के समान होता है। इसके अलावा, चूँकि फोटॉन की दो स्पिन अवस्थाएँ होती हैं, f का मान 2 होता है। तब वर्णक्रमीय ऊर्जा घनत्व होता है


 * $$U_\nu~d\nu = \frac{8\pi h\nu^3 }{c^3}~\frac{1}{e^{h\nu/k_{\rm B}T}-1}~d\nu $$

जो प्लैंक के ब्लैक बॉडी विकिरण के नियम के लिए वर्णक्रमीय ऊर्जा घनत्व है। ध्यान दें कि यदि यह प्रक्रिया द्रव्यमान रहित मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन कणों के लिए की जाती है, तो वियन सन्निकटन पुनर्प्राप्त किया जाता है, जो उच्च तापमान या कम घनत्व के लिए प्लैंक के वितरण का अनुमान लगाता है।

कुछ स्थितियों में, फोटॉनों से जुड़ी प्रतिक्रियाओं के परिणामस्वरूप फोटॉनों की संख्या का संरक्षण होगा (जैसे प्रकाश उत्सर्जक डायोड, सफेद गुहाएं)। इन मामलों में, फोटॉन वितरण फ़ंक्शन में गैर-शून्य रासायनिक क्षमता शामिल होगी। (हरमन 2005)

ताप क्षमता के लिए डेबी मॉडल द्वारा एक और द्रव्यमान रहित बोस गैस दी गई है। यह मॉडल एक बॉक्स में फोनन की गैस पर विचार करता है और फोटॉन के विकास से अलग है क्योंकि फोनन की गति प्रकाश की गति से कम है, और बॉक्स के प्रत्येक अक्ष के लिए अधिकतम अनुमत तरंग दैर्ध्य है। इसका मतलब यह है कि चरण स्थान पर एकीकरण अनंत तक नहीं किया जा सकता है, और परिणामों को पॉलीलॉगरिदम में व्यक्त करने के बजाय, उन्हें संबंधित डिबाई समारोह में व्यक्त किया जाता है।

विशाल फर्मी-डिराक कण (जैसे किसी धातु में इलेक्ट्रॉन)
इस मामले के लिए:


 * $$\Phi(E)=e^{\beta(E-\mu)}+1.\,$$

ऊर्जा वितरण फ़ंक्शन को एकीकृत करना देता है


 * $$N=\left(\frac{Vf}{\Lambda^3}\right)\left[-\textrm{Li}_{3/2}(-z)\right]$$

फिर कहाँ, लीs(z) बहु लघुगणक फलन है और $Λ$ थर्मल डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य है। आगे के परिणाम आदर्श फर्मी गैस पर लेख में पाए जा सकते हैं। फर्मी गैस के अनुप्रयोग मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल, सफेद बौनों के सिद्धांत और सामान्य रूप से पतित पदार्थ में पाए जाते हैं।

यह भी देखें

 * एक हार्मोनिक जाल में गैस

संदर्भ

 * Vu-Quoc, L., Configuration integral (statistical mechanics), 2008. this wiki site is down; see this article in the web archive on 2012 April 28.
 * Vu-Quoc, L., Configuration integral (statistical mechanics), 2008. this wiki site is down; see this article in the web archive on 2012 April 28.
 * Vu-Quoc, L., Configuration integral (statistical mechanics), 2008. this wiki site is down; see this article in the web archive on 2012 April 28.
 * Vu-Quoc, L., Configuration integral (statistical mechanics), 2008. this wiki site is down; see this article in the web archive on 2012 April 28.
 * Vu-Quoc, L., Configuration integral (statistical mechanics), 2008. this wiki site is down; see this article in the web archive on 2012 April 28.
 * Vu-Quoc, L., Configuration integral (statistical mechanics), 2008. this wiki site is down; see this article in the web archive on 2012 April 28.