बहुआयामी परिवर्तन

गणितीय विश्लेषण और अनुप्रयोगों में, दो या दो से अधिक आयामों के डोमेन में संकेतों की आवृत्ति पदार्थ का विश्लेषण करने के लिए बहुआयामी परिवर्तनों का उपयोग किया जाता है।

बहुआयामी फूरियर रूपांतरण
अधिक लोकप्रिय बहुआयामी परिवर्तनों में से एक फूरियर रूपांतरण है, जो एक सिग्नल को समय/स्थान डोमेन प्रतिनिधित्व से आवृत्ति डोमेन प्रतिनिधित्व में परिवर्तित करता है। असतत-डोमेन बहुआयामी फूरियर रूपांतरण (एफटी) की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:


 * $$ F(w_1,w_2,\dots,w_m) = \sum_{n_1=-\infty}^\infty \sum_{n_2=-\infty}^\infty \cdots \sum_{n_m=-\infty}^\infty f(n_1,n_2,\dots,n_m) e^{-i w_1 n_1 -i w_2 n_2 \cdots -i w_m n_m}$$

जहाँ F का अर्थ बहुआयामी फूरियर रूपांतरण है, जिसमे m का अर्थ बहुआयामी आयाम है। एफ को बहुआयामी असतत-डोमेन सिग्नल के रूप में परिभाषित करें। जो कि व्युत्क्रम बहुआयामी फूरियर रूपांतरण द्वारा दिया गया है


 * $$ f(n_1,n_2,\dots,n_m) = \left(\frac{1}{2 \pi}\right)^m \int_{- \pi}^{\pi} \cdots \int_{-\pi}^{\pi} F(w_1,w_2,\ldots,w_m) e^{i w_1 n_1 +i w_2 n_2 + \cdots+i w_m n_m} \, dw_1 \cdots \,dw_m $$

निरंतर-डोमेन संकेतों के लिए बहुआयामी फूरियर रूपांतरण को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: :$$F(\Omega_1,\Omega_2,\ldots,\Omega_m) = \int_{-\infty}^{\infty} \cdots \int_{-\infty}^{\infty} f(t_1,t_2,\ldots,t_m) e^{-i \Omega_1 t_1-i \Omega_2 t_2 \cdots -i \Omega_m t_m} \, dt_1 \cdots \,dt_m $$

फूरियर रूपांतरण के गुण
1-डी एफटी रूपांतरण के समान गुण प्रयुक्त होते हैं, कितु इनपुट पैरामीटर केवल एक प्रविष्टि होने के अतिरिक्त, यह एक बहु-आयामी (एमडी) सरणी या सदिश है। इसलिए, यह x(n) के अतिरिक्त x(n1,…,nM)  है।

रैखिकता
यदि $$x_1(n_1,\ldots,n_M) \overset{\underset{\mathrm{FT}}{}}{\longleftrightarrow} X_1(\omega_1,\ldots,\omega_M)$$, और $$x_2(n_1,\ldots,n_M) \overset{\underset{\mathrm{FT}}{}}{\longleftrightarrow} X_2(\omega_1,\ldots,\omega_M)$$ तब,


 * $$a x_1(n_1,\ldots,n_M) + b x_2(n_1,\ldots,n_M) \overset{\underset{\mathrm{FT}}{}}{\longleftrightarrow} a X_1(\omega_1,\ldots,\omega_M) + b X_2 (\omega_1, \ldots, \omega_M) $$

शिफ्ट
यदि $$x(n_1,...,n_M) \overset{\underset{\mathrm{FT}}{}}{\longleftrightarrow} X(\omega_1,...,\omega_M)$$, फिर

$$x(n_1 - a_1,...,n_M - a_M) \overset{\underset{\mathrm{FT}}{}}{\longleftrightarrow} e^{-j(\omega_1 a_1 +,...,+ \omega_M a_M)} X(\omega_1,...,\omega_M)$$

बहुआयामी मॉड्यूलेशन
यदि $$x(n_1,\ldots,n_M) \overset{\underset{\mathrm{FT}}{}}{\longleftrightarrow} X(\omega_1,\ldots,\omega_M)$$, तब


 * $$e^{j(\theta_1 n_1 +\cdots+ \theta_M n_M)} x(n_1 - a_1,\ldots,n_M - a_M) \overset{\underset{\mathrm{FT}}{}}{\longleftrightarrow} X(\omega_1 - \theta_1,\ldots,\omega_M - \theta_M)$$

गुणा
यदि $$x_1(n_1,\ldots,n_M) \overset{\underset{\mathrm{FT}}{}}{\longleftrightarrow} X_1(\omega_1,\ldots,\omega_M)$$, और $$x_2(n_1,\ldots,n_M) \overset{\underset{\mathrm{FT}}{}}{\longleftrightarrow} X_2 (\omega_1,\ldots,\omega_M)$$ तब,



या,

विभेदीकरण
यदि $$x(n_1,\ldots,n_M) \overset{\underset{\mathrm{FT}}{}}{\longleftrightarrow} X(\omega_1,\ldots,\omega_M)$$, तब


 * $$-jn_1x(n_1,\ldots,n_M) \overset{\underset{\mathrm{FT}}{}}{\longleftrightarrow} \frac{\partial}{(\partial\omega_1)} X(\omega_1,\ldots,\omega_M), $$
 * $$-jn_2x(n_1,\ldots,n_M) \overset{\underset{\mathrm{FT}}{}}{\longleftrightarrow} \frac{\partial}{(\partial\omega_2)} X(\omega_1,\ldots,\omega_M), $$
 * $$(-j)^M(n_1n_2\cdots n_M)x(n_1,\ldots,n_M) \overset{\underset{\mathrm{FT}}{}}{\longleftrightarrow} \frac{(\partial)^M}{(\partial\omega_1\partial\omega_2\cdots\partial\omega_M)} X(\omega_1,\ldots,\omega_M),$$

स्थानान्तरण
यदि $$x(n_1,\ldots,n_M) \overset{\underset{\mathrm{FT}}{}}{\longleftrightarrow} X(\omega_1,\ldots,\omega_M)$$, तब


 * $$x(n_M,\ldots,n_1) \overset{\underset{\mathrm{FT}}{}}{\longleftrightarrow} X (\omega_M,\ldots,\omega_1)$$

प्रतिबिंब
यदि $$x(n_1,\ldots,n_M) \overset{\underset{\mathrm{FT}}{}}{\longleftrightarrow} X (\omega_1,\ldots,\omega_M)$$, तब


 * $$x(\pm n_1,\ldots,\pm n_M) \overset{\underset{\mathrm{FT}}{}}{\longleftrightarrow} X(\pm \omega_1,\ldots,\pm \omega_M)$$

सम्मिश्र संयुग्मन
यदि $$x(n_1,\ldots,n_M) \overset{\underset{\mathrm{FT}}{}}{\longleftrightarrow} X(\omega_1,\ldots,\omega_M)$$, तब


 * $$x^{*}(\pm n_1,\ldots,\pm n_M) \overset{\underset{\mathrm{FT}}{}}{\longleftrightarrow} X^{*}(-\omega_1,\ldots,-\omega_M)$$

पारसेवल प्रमेय (एमडी)
यदि $$x_1(n_1,...,n_M) \overset{\underset{\mathrm{FT}}{}}{\longleftrightarrow} X_1(\omega_1,...,\omega_M)$$, और $$x_2(n_1,...,n_M) \overset{\underset{\mathrm{FT}}{}}{\longleftrightarrow} X_2(\omega_1,...,\omega_M)$$ तब,

$$\sum_{n_1=-\infty}^\infty ... \sum_{n_M =-\infty}^\infty x_1 (n_1,...,n_M) x_2^{*}(n_1,...,n_M) {=} \frac{1}{(2\pi)^M} \int\limits_{-\pi}^{\pi} ... \int\limits_{-\pi}^{\pi}X_1(\omega_1,...,\omega_M) X_2^{*}(\omega_1,...,\omega_M)d\omega_1...d\omega_M$$ यदि $$x_1(n_1,...,n_M) {=} x_2(n_1,...,n_M)$$, तब

$$\sum_{n_1=-\infty}^\infty ... \sum_{n_M =-\infty}^\infty |x_1 (n_1,...,n_M)|^2 {=} \frac{1}{(2\pi)^M} \int\limits_{-\pi}^{\pi} ... \int\limits_{-\pi}^{\pi}|X_1(\omega_1,...,\omega_M)|^2 d\omega_1...d\omega_M$$

पार्सेवल प्रमेय का एक विशेष स्थिति तब होता है जब दो बहु-आयामी संकेत समान होते हैं। इस स्थिति में, प्रमेय सिग्नल के ऊर्जा संरक्षण को चित्रित करता है और योग या अभिन्न अंग में शब्द सिग्नल की ऊर्जा-घनत्व है।

पृथक्करण
एक सिग्नल या सिस्टम को वियोज्य कहा जाता है यदि इसे विभिन्न स्वतंत्र वेरिएबल के साथ 1-डी कार्यों के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यह घटना बहु-आयामी एफटी के अतिरिक्त 1-डी एफटी के उत्पाद के रूप में एफटी परिवर्तन की गणना करने की अनुमति देती है।

यदि $$x(n_1,...,n_M) \overset{\underset{\mathrm{FT}}{}}{\longleftrightarrow} X(\omega_1,...,\omega_M)$$, $$a(n_1) \overset{\underset{\mathrm{FT}}{}}{\longleftrightarrow} A(\omega_1)$$, $$b(n_2) \overset{\underset{\mathrm{FT}}{}}{\longleftrightarrow} B(\omega_2)$$ ... $$y(n_M) \overset{\underset{\mathrm{FT}}{}}{\longleftrightarrow} Y(\omega_M)$$, और अगर $$x(n_1,...,n_M) {=} a(n_1)b(n_2)...y(n_M)$$, तब

$$X(\omega_1,...,\omega_M) \overset{\underset{\mathrm{FT}}{}}{\longleftrightarrow} x(n_1,...,n_M) {=} a(n_1)b(n_2)...y(n_M) \overset{\underset{\mathrm{FT}}{}}{\longleftrightarrow} A(\omega_1) B(\omega_2)...Y(\omega_M)$$, इसलिए

$$X(\omega_1,...,\omega_M) {=} A(\omega_1) B(\omega_2)...Y(\omega_M)$$

एमडी एफएफटी
फास्ट फूरियर रूपांतरण (एफएफटी) असतत फूरियर रूपांतरण (डीएफटी) और इसके व्युत्क्रम की गणना करने के लिए एक एल्गोरिदम है। एक एफएफटी डीएफटी की गणना करता है और सीधे डीएफटी परिभाषा का मूल्यांकन करने के समान परिणाम उत्पन्न करता है; जिसमे अन्तर केवल इतना है कि एफएफटी बहुत तेज है। (राउंड-ऑफ त्रुटि की उपस्थिति में, विभिन्न एफएफटी एल्गोरिदम सीधे डीएफटी परिभाषा का मूल्यांकन करने की तुलना में अधिक स्पष्ट हैं)। जो कि विभिन्न अलग-अलग एफएफटी एल्गोरिदम हैं जिनमें सरल सम्मिश्र -संख्या अंकगणित से लेकर समूह सिद्धांत और संख्या तक गणित की एक विस्तृत श्रृंखला सम्मिलित है। जो कि लिखित फास्ट फूरियर रूपांतरण में और देखें।

एमडी डीएफटी
बहुआयामी असतत फूरियर रूपांतरण (डीएफटी) असतत-डोमेन एफटी का एक नमूना संस्करण है, जो समान रूप से दूरी वाले नमूना आवृत्तियों पर इसका मूल्यांकन करता है। N1 × N2 × ... Nm डीएफटी द्वारा दिया गया है:


 * $$ Fx(K_1,K_2,\ldots,K_m)= \sum_{n_1=0}^{N_1-1} \cdots \sum_{n_m=0}^{N_m-1} fx(n_1,n_2,\ldots,n_m) e^{-i \frac{2 \pi}{N_1} n_1 K_1  -i \frac{2 \pi}{N_2} n_2 K_2 \cdots -i \frac{2 \pi}{N_m} n_m K_m}   $$

के लिए 0 ≤ Ki ≤ Ni &minus; 1,.

व्युत्क्रम बहुआयामी डीएफटी समीकरण है


 * $$ fx(n_1,n_2,\ldots,n_m)= \frac{1}{N_1 \cdots N_m} \sum_{K_1=0}^{N_1-1} \cdots \sum_{K_m=0}^{N_m-1} Fx(K_1,K_2, \ldots ,K_m) e^{i \frac{2 \pi}{N_1} n_1 K_1 +i \frac{2 \pi}{N_2} n_2 K_2\cdots+i \frac{2 \pi}{N_m} n_m K_m}    $$

के लिए 0 ≤ n1, n2, ..., nm ≤ N(1, 2, ..., m) – 1.

बहुआयामी असतत कोज्या परिवर्तन
असतत कोसाइन रूपांतरण (डीसीटी) का उपयोग डेटा संपीड़न, फ़ीचर निष्कर्षण, छवि पुनर्निर्माण, मल्टी-फ़्रेम डिटेक्शन इत्यादि जैसे अनुप्रयोगों की एक विस्तृत श्रृंखला में किया जाता है। बहुआयामी डीसीटी द्वारा दिया गया है:


 * $$ Fx(K_1,K_2,\ldots,K_r ) = \sum_{n_1=0}^{N_1-1} \sum_{n_2=0}^{N_2-1} \cdots \sum_{n_r=0}^{N_r-1} fx(n_1,n_2,\ldots,n_r) \cos { \frac{ \pi (2n_1+1) K_1}{2N_1}} \cdots \cos { \frac{ \pi (2n_r+1) K_r}{2N_r}}$$

के लिए, मैं = 1, 2, ..., r।

बहुआयामी लाप्लास परिवर्तन
बहुआयामी लाप्लास परिवर्तन सीमा मूल्य समस्याओं के समाधान के लिए उपयोगी है। आंशिक अंतर समीकरणों की विशेषता वाले दो या दो से अधिक वेरिएबल में सीमा मूल्य समस्याओं को लाप्लास परिवर्तन के प्रत्यक्ष उपयोग से हल किया जा सकता है। एम-आयामी स्थिति के लिए लाप्लास परिवर्तन परिभाषित किया गया है जैसा

$$ F(s_1,s_2,\ldots,s_n) = \int_{0}^{\infty} \cdots \int_{0}^{\infty} f(t_1,t_2,\ldots,t_n) e^{-s_nt_n -s_{n-1}t_{n-1} \cdots \cdots s_1t_1} \, dt_1 \cdots \,dt_n $$

जहां F सिग्नल f(t) के s-डोमेन प्रतिनिधित्व के लिए है।

फलन f(x,y) के बहुआयामी लाप्लास परिवर्तन का एक विशेष स्थिति (2 आयामों के साथ) परिभाषित किया गया है जैसा

$$F(s_1,s_2)= \int\limits_{0}^{\infty}\int\limits_{0}^{\infty}\ f(x,y) e^{-s_1x-s_2y}\, dxdy$$

$$ F(s_1,s_2) $$ को $$ f(x,y) $$ की छवि कहा जाता है और $$ f(x,y) $$ को $$ F(s_1,s_2) $$ का मूल कहा जाता है। इस विशेष स्थिति का उपयोग टेलीग्राफर के समीकरणों को हल करने के लिए किया जा सकता है।

बहुआयामी जेड परिवर्तन
बहुआयामी जेड रूपांतरण का उपयोग असतत समय डोमेन बहुआयामी सिग्नल को जेड डोमेन पर मैप करने के लिए किया जाता है। इसका उपयोग फिल्टर की स्थिरता की जांच के लिए किया जा सकता है। बहुआयामी जेड परिवर्तन का समीकरण इस प्रकार दिया गया है $$ F(z_1,z_2,\ldots,z_m)= \sum_{n_1=-\infty}^{\infty} \cdots \sum_{n_m=-\infty}^{\infty} f(n_1,n_2,\ldots,n_m) z_1^{-n_1} z_2^{-n_2} \ldots z_m^{-n_m} $$

जहां F सिग्नल f(n) के z-डोमेन प्रतिनिधित्व के लिए है।

बहुआयामी जेड परिवर्तन का एक विशेष स्थिति 2डी जेड परिवर्तन है जो इस प्रकार दिया गया है

$$ F(z_1,z_2)= \sum_{n_1=-\infty}^{\infty} \sum_{n_2=-\infty}^{\infty} f(n_1,n_2) z_1^{-n_1} z_2^{-n_2} $$

फूरियर रूपांतरण जेड रूपांतरण का एक विशेष स्थिति है जिसका मूल्यांकन यूनिट सर्कल (1डी में) और यूनिट बाई-सर्कल (2डी में) के साथ किया जाता है।

$ z=e^{jw} $ जहाँ z और w सदिश हैं।

अभिसरण का क्षेत्र
अंक (z1,z2) जिसके लिए $$F(z_1,z_2)=\sum_{n_1=-\infty}^\infty \sum_{n_2=-\infty}^\infty |f(n_1,n_2)| |z_1|^{-n_1} |z_2|^{-n_2}$$ $$<\infty$$ आरओसी में स्थित हैं.

एक उदाहरण:

यदि किसी अनुक्रम में चित्र 1.1a में दिखाए गए अनुसार समर्थन है, तो उसका ROC चित्र 1.1b में दिखाया गया है। यह इस प्रकार है कि |F(z1,साथ2)| < ∞.

$$(z_{01},z_{02})$$ आरओसी में निहित है, फिर सभी बिंदु$$(z_1,z_2)$$जो संतुष्ट करता है |z1|≥|z01| और |z2|≥|z02 ROC में स्थित हैं।

इसलिए, चित्र 1.1ए और 1.1बी के लिए, आरओसी होगा


 * $$ \ln|z_1| \ge \ln|z_{01}| \text{ and } \ln|z_2| \ge L \ln|z_1| + \{ \ln|z_{02}| - L\ln|z_{01}| \} $$

जहां L ढलान है.

2डी जेड-परिवर्तन, जेड-रूपांतरण के समान, बहुआयामी सिग्नल प्रोसेसिंग में दो-आयामी असतत-समय सिग्नल को सम्मिश्र आवृत्ति डोमेन से जोड़ने के लिए उपयोग किया जाता है जिसमें 4डी स्पेस में 2डी सतह जिस पर फूरियर रूपांतरण स्थित है, ज्ञात है इकाई सतह या इकाई बाइसिकल के रूप में।

अनुप्रयोग
डीसीटी और डीएफटी का उपयोग अक्सर सिग्नल प्रोसेसिंग में किया जाता है और छवि प्रसंस्करण, और इनका उपयोग वर्णक्रमीय विधियों द्वारा आंशिक अंतर समीकरणों को कुशलतापूर्वक हल करने के लिए भी किया जाता है। डीएफटी का उपयोग अन्य कार्यों जैसे कनवल्शन या बड़े पूर्णांकों को गुणा करने के लिए भी किया जा सकता है। डीएफटी और डीसीटी का बड़ी संख्या में क्षेत्रों में व्यापक उपयोग देखा गया है, हम नीचे केवल कुछ उदाहरण प्रस्तुत कर रहे हैं।

छवि प्रसंस्करण
डीसीटी का उपयोग JPEG छवि संपीड़न, MJPEG, MPEG, DV, Daala और Theora वीडियो संपीड़न में किया जाता है। वहां, NxN ब्लॉकों के द्वि-आयामी डीसीटी-II की गणना की जाती है और परिणाम क्वांटाइज़ेशन (सिग्नल प्रोसेसिंग) और एन्ट्रापी एन्कोडिंग होते हैं। इस स्थिति में, N आमतौर पर 8 है और डीसीटी-II फॉर्मूला ब्लॉक की प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ पर प्रयुक्त होता है। परिणाम एक 8x8 परिवर्तन गुणांक सरणी है जिसमें: (0,0) तत्व (ऊपर-बाएं) डीसी (शून्य-आवृत्ति) घटक है और बढ़ती लंबवत और क्षैतिज सूचकांक मान वाली प्रविष्टियां उच्च लंबवत और क्षैतिज स्थानिक आवृत्तियों का प्रतिनिधित्व करती हैं, जैसे दाईं ओर चित्र में दिखाया गया है।

इमेज प्रोसेसिंग में, 2डी इमेज प्लेन में गैर-दृश्यमान बाइनरी वॉटरमार्क डालने के लिए, 2डी डीसीटी पर आधारित अपरंपरागत क्रिप्टोग्राफ़िक तरीकों का विश्लेषण और वर्णन भी किया जा सकता है। और विभिन्न अभिविन्यासों के अनुसार, 2-डी दिशात्मक डीसीटी-डीडब्ल्यूटी हाइब्रिड रूपांतरण को अल्ट्रासाउंड छवियों को दर्शाने में प्रयुक्त किया जा सकता है। 3-डी डीसीटी का उपयोग रूपांतरण डोमेन में वॉटरमार्क एम्बेडिंग योजनाओं में वीडियो डेटा या 3-डी छवि डेटा को बदलने के लिए भी किया जा सकता है।

वर्णक्रमीय विश्लेषण
जब DFT का उपयोग फ़्रीक्वेंसी स्पेक्ट्रम#स्पेक्ट्रम विश्लेषण के लिए किया जाता है, तो {xn} अनुक्रम आमतौर पर कुछ सिग्नल x(t) के समान दूरी वाले समय-नमूनों के एक सीमित सेट का प्रतिनिधित्व करता है जहां t समय का प्रतिनिधित्व करता है। निरंतर समय से नमूनों (असतत-समय) में रूपांतरण x(t) के अंतर्निहित निरंतर फूरियर रूपांतरण को असतत-समय फूरियर रूपांतरण (डीटीएफटी) में बदल देता है, जिसमें आम तौर पर एक प्रकार की विकृति होती है जिसे अलियासिंग कहा जाता है। एक उपयुक्त नमूना दर का चयन (नाइक्विस्ट दर देखें) उस विकृति को कम करने की कुंजी है। इसी प्रकार, बहुत लंबे (या अनंत) अनुक्रम से प्रबंधनीय आकार में रूपांतरण में एक प्रकार की विकृति सम्मिलित होती है जिसे स्पेक्ट्रल रिसाव कहा जाता है, जो डीटीएफटी में विवरण (उर्फ रिज़ॉल्यूशन) के नुकसान के रूप में प्रकट होता है। उपयुक्त उप-अनुक्रम लंबाई का चुनाव उस प्रभाव को कम करने की प्राथमिक कुंजी है। जब उपलब्ध डेटा (और इसे संसाधित करने का समय) वांछित आवृत्ति रिज़ॉल्यूशन प्राप्त करने के लिए आवश्यक मात्रा से अधिक है, तो एक मानक तकनीक एकाधिक डीएफटी निष्पादित करना है, उदाहरण के लिए एक spectrogram  बनाना। यदि वांछित परिणाम एक पावर स्पेक्ट्रम है और डेटा में शोर या यादृच्छिकता मौजूद है, तो विभिन्न डीएफटी के परिमाण घटकों का औसत वर्णक्रमीय रिसाव विचरण को कम करने के लिए एक उपयोगी प्रक्रिया है (इस संदर्भ में इसे  periodogram  भी कहा जाता है); ऐसी तकनीकों के दो उदाहरण वेल्च विधि और बार्टलेट विधि हैं; शोर सिग्नल के पावर स्पेक्ट्रम का आकलन करने के सामान्य विषय को वर्णक्रमीय अनुमान कहा जाता है।

विरूपण (या शायद भ्रम) का अंतिम स्रोत डीएफटी ही है, क्योंकि यह डीएफटी का एक अलग नमूना मात्र है, जो निरंतर आवृत्ति डोमेन का एक कार्य है। डीएफटी के रिज़ॉल्यूशन को बढ़ाकर इसे कम किया जा सकता है। उस प्रक्रिया को यहां दर्शाया गया है.
 * प्रक्रिया को कभी-कभी शून्य-पैडिंग के रूप में संदर्भित किया जाता है, जो कि फास्ट फूरियर रूपांतरण (एफएफटी) एल्गोरिदम के संयोजन में उपयोग किया जाने वाला एक विशेष कार्यान्वयन है। शून्य-मूल्य वाले नमूनों के साथ गुणा और जोड़ करने की अक्षमता एफएफटी की अंतर्निहित दक्षता से ऑफसेट से अधिक है।
 * जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, रिसाव डीटीएफटी के अंतर्निहित समाधान पर एक सीमा लगाता है। इसलिए बारीक दाने वाले डीएफटी से प्राप्त होने वाले लाभ की एक व्यावहारिक सीमा है।

आंशिक अंतर समीकरण
असतत फूरियर परिवर्तनों का उपयोग अक्सर आंशिक अंतर समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है, जहां फिर से डीएफटी का उपयोग फूरियर श्रृंखला के लिए एक अनुमान के रूप में किया जाता है (जो अनंत एन की सीमा में पुनर्प्राप्त किया जाता है)। इस दृष्टिकोण का लाभ यह है कि यह सम्मिश्र घातांकों में सिग्नल का विस्तार करता हैinx, जो विभेदन के eigenfunctions हैं: d/dx einx = ई मेंinx. इस प्रकार, फूरियर प्रतिनिधित्व में, विभेदन सरल है - हम केवल i n से गुणा करते हैं। (ध्यान दें, हालांकि, एलियासिंग के कारण एन की पसंद अद्वितीय नहीं है; विधि को अभिसरण करने के लिए, उपरोक्त असतत फूरियर रूपांतरण # त्रिकोणमितीय इंटरपोलेशन बहुपद अनुभाग के समान विकल्प का उपयोग किया जाना चाहिए।) एक रैखिक अंतर समीकरण स्थिरांक गुणांक आसानी से हल करने योग्य बीजगणितीय समीकरण में बदल जाता है। फिर परिणाम को सामान्य स्थानिक प्रतिनिधित्व में बदलने के लिए व्युत्क्रम डीएफटी का उपयोग किया जाता है। इस तरह के दृष्टिकोण को वर्णक्रमीय विधि कहा जाता है।

डीसीटी को वर्णक्रमीय तरीकों से आंशिक अंतर समीकरणों को हल करने में भी व्यापक रूप से नियोजित किया जाता है, जहां डीसीटी के विभिन्न प्रकार सरणी के दो सिरों पर थोड़ी भिन्न सम/विषम सीमा स्थितियों के अनुरूप होते हैं।

लाप्लास रूपांतरण का उपयोग आंशिक अंतर समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है। इस तकनीक में समाधान प्राप्त करने का सामान्य सिद्धांत एन आयामों में लाप्लास परिवर्तन पर प्रमेयों द्वारा विकसित किया गया है।

बहुआयामी जेड परिवर्तन का उपयोग आंशिक अंतर समीकरणों को हल करने के लिए भी किया जा सकता है।

एफएफटी द्वारा कला सतह विश्लेषण के लिए छवि प्रसंस्करण
एक बहुत ही महत्वपूर्ण कारक यह है कि हमें कला के कार्यों और उन पर शून्य-क्षति के बारे में उन दुर्लभ मूल्यवान वस्तुओं की जानकारी (एचवीएस देखने के बिंदु से, संपूर्ण वर्णमिति और स्थानिक जानकारी में केंद्रित है) प्राप्त करने के लिए एक गैर-विनाशकारी विधि प्रयुक्त करनी चाहिए। हम रंग परिवर्तन को देखकर या सतह की एकरूपता में परिवर्तन को मापकर कला को समझ सकते हैं। चूँकि पूरी छवि बहुत बड़ी होगी, इसलिए हम छवि को छोटा करने के लिए एक दोहरी उभरी हुई कोसाइन विंडो का उपयोग करते हैं:
 * $$ w(x,y)=\frac{1}{4} \left(1 + \cos {\frac {x \pi} N }\right)\left(1 + \cos {\frac{y \pi} N }\right) $$

जहां N छवि आयाम है और x, y 0 से N/2 तक छवि के केंद्र से निर्देशांक हैं। लेखक स्थानिक आवृत्ति के लिए समान मान की गणना करना चाहता था जैसे:



\begin{align} A_m(f)^2= \left[ \sum_{i=-f}^f \right. & \operatorname{FFT}(-f,i)^2+ \sum_{i=-f}^f \operatorname{FFT}(f,i)^2 \\[5pt] & \left. {} + \sum_{i=-f+1}^{f-1} \operatorname{FFT}(i,-f)^2+ \sum_{i=-f+1}^{f-1} \operatorname{FFT}(i,f)^2 \right] \end{align} $$ जहां एफएफटी तेजी से फूरियर रूपांतरण को दर्शाता है, और एफ 0 से लेकर स्थानिक आवृत्ति तक फैली हुई है N/2 – 1. प्रस्तावित एफएफटी-आधारित इमेजिंग दृष्टिकोण लंबे जीवन और संस्कृति कलाओं की स्थिरता सुनिश्चित करने के लिए नैदानिक ​​तकनीक है। यह सरल, सस्ता है जिसका प्रयोग किया जा सकता है संग्रहालयों के दैनिक उपयोग को प्रभावित किए बिना। कितु यह विधि संक्षारण दर के मात्रात्मक माप की अनुमति नहीं देती है।

=== कमजोर नॉनलाइनियर सर्किट सिमुलेशन के लिए आवेदन === व्युत्क्रम बहुआयामी लाप्लास परिवर्तन को नॉनलाइनियर सर्किट अनुकरण करने के लिए प्रयुक्त किया जा सकता है। ऐसा एक सर्किट को स्टेट-स्पेस के रूप में तैयार करके और लैगुएरे फलन विस्तार के आधार पर व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण का विस्तार करके किया जाता है।

लैगुएरे विधि का उपयोग कमजोर नॉनलाइनियर सर्किट को अनुकरण करने के लिए किया जा सकता है और लैगुएरे विधि उच्च सटीकता के साथ कुशलतापूर्वक बहुआयामी लाप्लास परिवर्तन को उलटा कर सकती है।

यह देखा गया है कि बहुआयामी लाप्लास रूपांतरण का उपयोग करके बड़े नॉनलाइनियर सर्किट के अनुकरण के लिए उच्च सटीकता और महत्वपूर्ण गति प्राप्त की जा सकती है।

यह भी देखें

 * असतत कोसाइन परिवर्तन
 * फूरियर-संबंधित परिवर्तनों की सूची
 * फूरियर विश्लेषण विषयों की सूची
 * बहुआयामी असतत कनवल्शन
 * 2डी जेड-परिवर्तन
 * बहुआयामी अनुभवजन्य मोड अपघटन
 * बहुआयामी सिग्नल पुनर्निर्माण