रोचक संख्या विरोधक्ति

दिलचस्प संख्या विरोधाभास एक हास्य विरोधाभास है जो प्रत्येक प्राकृतिक संख्या को दिलचस्प या अरुचिकर के रूप में वर्गीकृत करने के प्रयास से उत्पन्न होता है। विरोधाभास बताता है कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या दिलचस्प है। गणितीय प्रमाण विरोधाभास द्वारा प्रमाण है: यदि अरुचिकर प्राकृतिक संख्याओं का एक गैर-रिक्त सेट मौजूद है, तो सबसे छोटी अरुचिकर संख्या होगी - लेकिन सबसे छोटी अरुचिकर संख्या स्वयं दिलचस्प है क्योंकि यह सबसे छोटी अरुचिकर संख्या है, इस प्रकार एक विरोधाभास उत्पन्न करती है।

संख्याओं के संबंध में रोचकता सामान्य शब्दों में एक औपचारिक अवधारणा नहीं है, लेकिन कुछ संख्या सिद्धांतों के बीच रोचकता की एक सहज धारणा चलती हुई प्रतीत होती है। प्रसिद्ध रूप से, गणितज्ञ जी.एच. हार्डी और श्रीनिवास रामानुजन के बीच दिलचस्प और अरुचिकर संख्याओं के बारे में एक चर्चा में, हार्डी ने टिप्पणी की कि उन्होंने जिस टैक्सीकैब की सवारी की थी उसका नंबर 1729 (संख्या) काफी नीरस लग रहा था, और रामानुजन ने तुरंत उत्तर दिया कि यह दिलचस्प है, होने के नाते सबसे छोटी संख्या जो टैक्सीकैब संख्या है।

विरोधाभासी प्रकृति
इस तरह से सभी संख्याओं को वर्गीकृत करने का प्रयास एक विरोधाभास या विरोधाभास की ओर ले जाता है परिभाषा का. प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय का रोचक और अरुचिकर समुच्चयों में कोई भी काल्पनिक विभाजन विफल होता प्रतीत होता है। चूँकि दिलचस्प की परिभाषा आम तौर पर एक व्यक्तिपरक, सहज ज्ञान युक्त धारणा है, इसे विरोधाभास प्राप्त करने के लिए आत्म-संदर्भ के अर्ध-हास्यपूर्ण अनुप्रयोग के रूप में समझा जाना चाहिए।

यदि दिलचस्प को वस्तुनिष्ठ रूप से परिभाषित किया जाए तो विरोधाभास कम हो जाता है: उदाहरण के लिए, सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या जो पूर्णांक अनुक्रमों का ऑनलाइन विश्वकोश (ओईआईएस) की प्रविष्टि में दिखाई नहीं देती है, मूल रूप से 12 जून 2009 को 11630 पाई गई थी। इस परिभाषा में फिट होने वाली संख्या बाद में नवंबर 2009 से कम से कम नवंबर 2011 तक 12407 हो गई, फिर अप्रैल 2012 तक 13794 हो गई, जब तक कि यह अनुक्रम में प्रकट नहीं हुई 3 नवंबर 2012 तक। नवंबर 2013 से, यह संख्या 14228 थी, कम से कम 14 अप्रैल 2014 तक। मई 2021 में, संख्या 20067 थी। (अरुचिकर की यह परिभाषा केवल इसलिए संभव है क्योंकि ओईआईएस प्रत्येक प्रविष्टि के लिए केवल सीमित संख्या में शब्दों को सूचीबद्ध करता है। उदाहरण के लिए,  सभी प्राकृतिक संख्याओं का अनुक्रम है, और यदि इसे अनिश्चित काल तक जारी रखा जाए तो इसमें सभी सकारात्मक पूर्णांक शामिल होंगे। वैसे भी, अनुक्रम इसकी प्रविष्टि में केवल 77 तक दर्ज किया गया है।) दिलचस्प संख्याओं की सूची के लिए उपयोग किए जाने वाले स्रोतों के आधार पर, कई अन्य संख्याओं को उसी तरह से अरुचिकर के रूप में चित्रित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, गणितज्ञ और दार्शनिक एलेक्स बेलोस ने 2014 में सुझाव दिया था कि सबसे कम अरुचिकर संख्या के लिए एक उम्मीदवार 224 (संख्या) होगा क्योंकि उस समय, यह सबसे कम संख्या थी जिसका [अंग्रेजी-भाषा संस्करण पर अपना स्वयं का पृष्ठ नहीं था का] विकिपीडिया।

हालाँकि, चूंकि गणित में कई महत्वपूर्ण परिणाम हैं जो आत्म-संदर्भ का उपयोग करते हैं (जैसे कि गोडेल की अपूर्णता प्रमेय), विरोधाभास आत्म-संदर्भ की कुछ शक्ति को दर्शाता है, और इस प्रकार अध्ययन के कई क्षेत्रों में गंभीर मुद्दों को छूता है। विरोधाभास को सीधे गोडेल के अपूर्णता प्रमेयों से संबंधित किया जा सकता है यदि कोई एक दिलचस्प संख्या को एक ऐसी संख्या के रूप में परिभाषित करता है जिसकी गणना एक प्रोग्राम द्वारा की जा सकती है जिसमें संख्या की तुलना में कम बिट्स होते हैं। इसी तरह, रोचकता की व्यक्तिपरक भावना को मापने की कोशिश करने के बजाय, कोई संख्या निर्दिष्ट करने के लिए आवश्यक वाक्यांश की लंबाई पर विचार कर सकता है। उदाहरण के लिए, वाक्यांश सबसे छोटी संख्या जिसे ग्यारह शब्दों से कम में व्यक्त नहीं किया जा सकता, ऐसा लगता है कि इसे एक अद्वितीय संख्या की पहचान करनी चाहिए, लेकिन वाक्यांश में केवल दस शब्द हैं, और इसलिए वाक्यांश द्वारा पहचानी गई संख्या की अभिव्यक्ति ग्यारह शब्दों से कम में होगी आख़िरकार। इसे बेरी विरोधाभास के नाम से जाना जाता है।

इतिहास
1945 में, एडविन एफ. बेकनबैक ने अमेरिकी गणितीय मासिक में एक संक्षिप्त पत्र प्रकाशित किया था जिसमें सुझाव दिया गया था कि कोई यह अनुमान लगा सकता है कि प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक के संबंध में एक दिलचस्प तथ्य है। यहां प्रेरण द्वारा एक प्रमाण दिया गया है कि मामला ऐसा ही है। निश्चित रूप से, 1, जो प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक का एक गुणनखंड है, 2 की तरह, सबसे छोटा अभाज्य है; 3, सबसे छोटा विषम अभाज्य; 4, बीबरबैक का नंबर; आदि। मान लीजिए कि सकारात्मक पूर्णांकों का सेट S, जिसमें से प्रत्येक के संबंध में कोई दिलचस्प तथ्य नहीं है, रिक्त नहीं है, और k को S का सबसे छोटा सदस्य होने दें। लेकिन यह k के संबंध में सबसे दिलचस्प तथ्य है! अतः S का कोई सबसे छोटा सदस्य नहीं है और इसलिए यह रिक्त है। क्या प्रमाण वैध है? 

कॉन्स्टेंस रीड ने 1955 में अपनी लोकप्रिय गणित की पुस्तक शून्य से अनंत तक के पहले संस्करण में विरोधाभास को शामिल किया, लेकिन बाद के संस्करणों से इसे हटा दिया। मार्टिन गार्डनर ने 1958 में अपने अमेरिकी वैज्ञानिक  कॉलम में इस विरोधाभास को एक भ्रम के रूप में प्रस्तुत किया, जिसमें छह अन्य आश्चर्यजनक दावे भी शामिल थे जिनके कथित प्रमाण भी सूक्ष्म रूप से गलत थे। 1980 में गणित शिक्षक को लिखे एक पत्र में एक मज़ाकिया प्रमाण का उल्लेख किया गया है कि सभी प्राकृतिक संख्याएँ दिलचस्प हैं, जिन पर तीन दशक पहले चर्चा की गई थी। 1977 में, ग्रेग चैटिन ने विरोधाभास के बारे में गार्डनर के बयान का उल्लेख किया और सबसे छोटे अपरिभाषित क्रमसूचक संख्या के अस्तित्व पर बर्ट्रेंड रसेल के पहले के विरोधाभास से इसके संबंध की ओर इशारा किया (इस तथ्य के बावजूद कि क्रमवाचकों के सभी सेटों में एक सबसे छोटा तत्व होता है और वह सबसे छोटा होता है) अपरिभाषित क्रमसूचक एक परिभाषा प्रतीत होगी)। जिज्ञासु और दिलचस्प संख्याओं का पेंगुइन शब्दकोश (1987) में, डेविड वेल्स ने टिप्पणी की कि 39 (संख्या) पहली अरुचिकर संख्या प्रतीत होती है, एक तथ्य जिसने इसे विशेष रूप से दिलचस्प बना दिया है, और इस प्रकार 39 एक साथ दिलचस्प और नीरस होना चाहिए।

यह भी देखें

 * चर्च-ट्यूरिंग थीसिस
 * विरोधाभासों की सूची