वास्तविक संख्याओं की पूर्णता

पूर्णता वास्तविक संख्याओं की प्रोपर्टी है, जो सहज रूप से दर्शाती है कि वास्तविक रेखा में कोई अंतराल (डेडेकाइंड की शब्दावली में) या विलुप्त बिंदु नहीं हैं। यह परिमेय संख्याओं के विपरीत है, जिनकी संगत संख्या रेखा में प्रत्येक अपरिमेय संख्या मान पर अंतर होता है। दशमलव में, पूर्णता इस कथन के समतुल्य है कि दशमलव अंकों की कोई भी अनंत स्ट्रिंग वास्तव में किसी वास्तविक संख्या के लिए दशमलव प्रतिनिधित्व है।

उपयोग की गई वास्तविक संख्याओं के निर्माण के आधार पर, पूर्णता स्वयंसिद्ध (पूर्णता स्वयंसिद्ध) का रूप ले सकती है, या निर्माण से सिद्ध प्रमेय हो सकती है। पूर्णता के कई तार्किक तुल्यता रूप हैं, सबसे प्रमुख डेडेकिंड पूर्णता और कॉची पूर्णता (पूर्ण मीट्रिक समिष्ट) हैं।

पूर्णता के रूप
वास्तविक संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का निर्माण हो सकती हैं सिंथेटिक दृष्टिकोण क्रमबद्ध क्षेत्र के रूप में पूर्णता स्वयंसिद्ध के कुछ संस्करण को संतुष्ट करता है। इस स्वयंसिद्ध के विभिन्न संस्करण इस कथन में समान हैं कि कोई भी क्रमबद्ध क्षेत्र जो पूर्णता के रूप को संतुष्ट करता है, कॉची पूर्णता और नेस्टेड अंतराल प्रमेय के अतिरिक्त उन सभी को संतुष्ट करता है, जो कि गैर-आर्किमिडीयन क्रमबद्ध फ़ील्ड आर्किमिडीयन प्रोपर्टी में सख्ती से अशक्त हैं। जो क्रमबद्ध हैं और कॉची पूर्ण हैं। जब मॉडल का उपयोग करके वास्तविक संख्या का निर्माण किया जाता है, तो पूर्णता प्रमेय या प्रमेयों का संग्रह बन जाती है।

न्यूनतम ऊपरी सीमा वाली प्रोपर्टी
सबसे कम-ऊपरी-बाध्य प्रोपर्टी बताती है कि ऊपरी सीमा वाले वास्तविक संख्याओं के प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमुच्चय में वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में कम से कम ऊपरी सीमा (या सर्वोच्च) होनी चाहिए।

परिमेय संख्या Q में न्यूनतम उपरी परिबद्ध गुण नहीं है। उदाहरण परिमेय संख्याओं का उपसमुच्चय है
 * $$S = \{ x\in \Q \mid x^2 < 2\}.$$

इस समुच्चय की ऊपरी सीमा होती है। चूँकि, इस समुच्चय $Q$ में कम से कम ऊपरी सीमा नहीं है : वास्तविक के उपसमुच्चय के रूप में सबसे कम ऊपरी सीमा $√2$ होती है, किन्तु यह $Q$ अंदर उपस्थित नहीं है किसी ऊपरी सीमा $x ∈ Q$ के लिए , और ऊपरी सीमा $y ∈ Q$ है

उदाहरण के लिए, लो $x = 1.5$, तब $x$ निश्चित रूप से की ऊपरी सीमा $S$ है, जबसे $x$ धनात्मक है और $x2 = 2.25 ≥ 2$; अर्थात् कोई अवयव नहीं $S$ से बड़ा है $x$. चूँकि, हम छोटी ऊपरी सीमा चुन सकते हैं, कहते हैं $y = 1.45$; यह की ऊपरी सीमा $S$ भी है उन्हीं कारणों से, किन्तु यह इससे छोटा $x$ है, इसलिए $x$ की कम से कम ऊपरी सीमा $S$ नहीं है. हम की ऊपरी सीमा खोजने के लिए इसी तरह $S$ आगे बढ़ सकते हैं जो इससे $y$ छोटा है, जहाँ $z = 1.42$, आदि, जैसे कि हम कभी भी कम से कम ऊपरी सीमा $S$ में $Q$. नहीं पाते हैं

आंशिक रूप से क्रमबद्ध सेट की सेटिंग के लिए कम से कम ऊपरी बाध्य प्रोपर्टी को सामान्यीकृत किया जा सकता है। पूर्णता देखें (आदेश सिद्धांत)।

डेडेकिंड पूर्णता

 * इस नाम की अधिक सामान्य अवधारणाओं के लिए डेडेकिंड पूर्णता देखें।

डेडेकाइंड पूर्णता वह प्रोपर्टी है जो वास्तविक संख्याओं के प्रत्येक डेडेकाइंड कट को वास्तविक संख्या द्वारा उत्पन्न करती है। वास्तविक संख्याओं के सिंथेटिक दृष्टिकोण में, यह पूर्णता का संस्करण है जिसे अधिकांशतः स्वयंसिद्ध के रूप में सम्मिलित किया जाता है।

परिमेय संख्या 'Q' डेडेकाइंड पूर्ण नहीं है। उदाहरण डेडेकाइंड कट है
 * $$L = \{ x \in \Q \mid x^2 \le 2 \vee x < 0\}.$$
 * $$R = \{ x \in \Q \mid x^2 \ge 2 \wedge x > 0 \}.$$

L में अधिकतम नहीं है और आर में न्यूनतम नहीं है, इसलिए यह कटौती तर्कसंगत संख्या से उत्पन्न नहीं होती है।

वास्तविक संख्याओं का निर्माण है वास्तविक संख्याओं के नाम के लिए परिमेय संख्याओं के डेडेकिंड कट्स का उपयोग करने के विचार के आधार पर डेडेकाइंड कट्स द्वारा निर्माण; उदा. ऊपर वर्णित कट (L, R) $$\sqrt{2}$$ का नाम होता है. यदि कोई डेडेकाइंड कट्स के साथ वास्तविक संख्याओं के निर्माण को दोहराता है (अर्थात, सभी संभव डेडेकाइंड कट्स को जोड़कर वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को बंद करें), तो कोई अतिरिक्त संख्या प्राप्त नहीं होगी क्योंकि वास्तविक संख्याएं पहले से ही डेडेकाइंड पूर्ण हैं।

कॉची पूर्णता
कॉशी पूर्णता यह कथन है कि वास्तविक संख्याओं का प्रत्येक कॉची अनुक्रम वास्तविक संख्या में अनुक्रमों को अभिसरण करता है।

परिमेय संख्या Q कॉची पूर्ण नहीं है। उदाहरण परिमेय संख्याओं का निम्नलिखित क्रम है:
 * $$3,\quad 3.1,\quad 3.14,\quad 3.142,\quad 3.1416,\quad \ldots$$

यहाँ अनुक्रम में nवाँ पद पाई के लिए nवाँ दशमलव सन्निकटन है। चूँकि यह परिमेय संख्याओं का कौशी अनुक्रम है, यह किसी भी परिमेय संख्या में परिवर्तित नहीं होता है। (इस वास्तविक संख्या रेखा में, यह क्रम पाई में परिवर्तित हो जाता है।)

कॉची पूर्णता कॉची अनुक्रमों का उपयोग करके वास्तविक संख्याओं के निर्माण से संबंधित है। अनिवार्य रूप से, यह विधि वास्तविक संख्या को तर्कसंगत संख्याओं के कॉची अनुक्रम की सीमा के रूप में परिभाषित करती है।

गणितीय विश्लेषण में, कॉची पूर्णता को किसी भी मीट्रिक समिष्ट के लिए पूर्णता की धारणा के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। पूर्ण मीट्रिक समिष्ट देखें।

एक क्रमबद्ध क्षेत्र के लिए, कॉची पूर्णता इस पृष्ठ पर पूर्णता के अन्य रूपों की तुलना में अशक्त है। किन्तु कॉशी पूर्णता और आर्किमिडीयन प्रोपर्टी को साथ लिया जाना दूसरों के समान है।

नेस्टेड अंतराल प्रमेय
नेस्टेड अंतराल प्रमेय पूर्णता का दूसरा रूप है। मान लीजिए $I_{n} = [a_{n}, b_{n}]$ बंद अंतराल (गणित) का क्रम हो, और मान लीजिए कि ये अंतराल इस अर्थ में नेस्टेड हैं
 * $$ I_1 \;\supset\; I_2 \;\supset\; I_3 \;\supset\; \cdots $$

इसके अतिरिक्त, मान लीजिए $b_{n} − a_{n} → 0$ जैसा $n → +∞$. नेस्टेड अंतराल प्रमेय कहता है कि सभी अंतरालों का प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) $I_{n}$ ठीक बिंदु सम्मिलित है।

परिमेय संख्या नेस्टेड अंतराल प्रमेय को संतुष्ट नहीं करती है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम (जिसकी नियम सुझाए गए विधि से पाई के अंकों से ली गई हैं)
 * $$[3,4] \;\supset\; [3.1,3.2] \;\supset\; [3.14,3.15] \;\supset\; [3.141,3.142] \;\supset\; \cdots $$

परिमेय संख्याओं में बंद अंतरालों का नेस्टेड अनुक्रम है जिसका प्रतिच्छेदन रिक्त है। (वास्तविक संख्या में, इन अंतरालों के प्रतिच्छेदन में संख्या पाई होती है।)

नेस्टेड अंतराल प्रमेय पूर्णता के भावों के इस स्पेक्ट्रम में कॉची पूर्णता के समान तार्किक स्थिति साझा करता है। दूसरे शब्दों में, नेस्टेड अंतराल प्रमेय अपने आप में पूर्णता के अन्य रूपों की तुलना में अशक्त है, चूँकि आर्किमिडीयन प्रोपर्टी के साथ मिलकर, यह दूसरों के समान है।

खुला प्रेरण सिद्धांत
ओपन इंडक्शन सिद्धांत कहता है कि खुला उपसमुच्चय $$S$$ अंतराल का $$[a,b]$$ पूरे अंतराल के समान होना चाहिए, यदि कोई हो $$r \in [a,b]$$, हमारे पास वह $$[a,r) \subset S$$ तात्पर्य $$[a,r] \subset S$$ है.

ओपन इंडक्शन सिद्धांत को ऑर्डर टोपोलॉजी के अनुसार इच्छानुसार से ऑर्डर किए गए समुच्चय के लिए डेडेकिंड पूर्णता के समान दिखाया जा सकता है, विरोधाभास द्वारा प्रमाण का उपयोग करके अशक्त नींव में जैसे कि रचनात्मक विश्लेषण में जहां बहिष्कृत मध्य का नियम पकड़ में नहीं आता है, कम से कम ऊपरी बाध्य प्रोपर्टी का पूर्ण रूप डेडेकाइंड रियल के लिए विफल रहता है, जबकि विवृत प्रेरण प्रोपर्टी अधिकांश मॉडलों में सही रहती है (ब्राउवर के बार प्रमेय से निम्नलिखित) ) और प्रमुख प्रमेयों के संक्षिप्त प्रमाण देने के लिए पर्याप्त सशक्त है।

मोनोटोन अभिसरण प्रमेय
मोनोटोन अभिसरण प्रमेय वास्तविक संख्याओं के मोनोटोन अनुक्रम का अभिसरण (कोर्नर द्वारा विश्लेषण के मौलिक स्वयंसिद्ध के रूप में वर्णित) ) बताता है कि वास्तविक संख्याओं का प्रत्येक गैर-घटता हुआ, परिबद्ध क्रम अभिसरित होता है। इसे कम से कम ऊपरी बाध्य प्रोपर्टी के विशेष स्थिति के रूप में देखा जा सकता है, किन्तु वास्तविक संख्याओं की कॉची पूर्णता को सिद्ध करने के लिए इसका सामान्यतः उपयोग किया जा सकता है।

बोल्जानो–वीयरस्ट्रास प्रमेय
बोलजानो-विअरस्ट्रास प्रमेय कहता है कि वास्तविक संख्याओं के प्रत्येक परिबद्ध अनुक्रम का अभिसरण परिणाम होता है। इस प्रकार पुनः, यह प्रमेय ऊपर दी गई पूर्णता के अन्य रूपों के समतुल्य है।

मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय
मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय कहता है कि प्रत्येक निरंतर कार्य जो ऋणात्मक और धनात्मक दोनों मूल्यों को प्राप्त करता है, उसकी रूट होती है। यह कम से कम ऊपरी बाध्य प्रोपर्टी का परिणाम है, किन्तु इसका उपयोग कम से कम ऊपरी बाध्य प्रोपर्टी को सिद्ध करने के लिए भी किया जा सकता है, यदि इसे स्वयंसिद्ध के रूप में माना जाता है। (निरंतरता की परिभाषा पूर्णता के किसी भी रूप पर निर्भर नहीं करती है, इसलिए यह वृत्ताकार नहीं है।)

== यह भी देखें                                                                                                                                                                                                                                         ==
 * वास्तविक विश्लेषण विषयों की सूची