लैटिस क्यूसीडी

लैटिस क्यूसीडी क्वार्क और ग्लूऑन के क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स (क्यूसीडी) सिद्धांत को हल करने के लिए एक अच्छी तरह से स्थापित गैर-परटर्बेशन सिद्धांत (क्वांटम यांत्रिकी) दृष्टिकोण है। यह एक जाली गेज सिद्धांत है जो अंतरिक्ष और समय में बिंदुओं के ग्रिड या जाली (समूह) पर तैयार किया गया है। जब जाली का आकार असीम रूप से बड़ा लिया जाता है और इसकी साइटें एक-दूसरे के बेहद करीब होती हैं, तो सातत्य QCD पुनः प्राप्त हो जाता है। मजबूत बल की अत्यधिक गैर-रैखिक प्रकृति और बड़े युग्मन स्थिरांक #QCD और कम ऊर्जा पर स्पर्शोन्मुख स्वतंत्रता के कारण कम ऊर्जा वाले QCD में विश्लेषणात्मक या परेशान करने वाले समाधान प्राप्त करना कठिन या असंभव है। निरंतर स्पेसटाइम के बजाय असतत में क्यूसीडी का यह सूत्रीकरण स्वाभाविक रूप से ऑर्डर 1/ए पर एक गति कट-ऑफ पेश करता है, जहां ए जाली रिक्ति है, जो सिद्धांत को नियमित करता है। परिणामस्वरूप, जाली QCD गणितीय रूप से अच्छी तरह से परिभाषित है। सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि जाली क्यूसीडी रंग कारावास और क्वार्क-ग्लूऑन प्लाज्मा गठन जैसी गैर-विपरीत घटनाओं की जांच के लिए एक रूपरेखा प्रदान करती है, जो विश्लेषणात्मक क्षेत्र सिद्धांतों के माध्यम से कठिन हैं।

जाली क्यूसीडी में, क्वार्क का प्रतिनिधित्व करने वाले क्षेत्रों को जाली साइटों पर परिभाषित किया जाता है (जिससे फ़र्मियन दोहरीकरण होता है), जबकि ग्लूऑन फ़ील्ड को पड़ोसी साइटों को जोड़ने वाले लिंक पर परिभाषित किया जाता है। यह सन्निकटन सातत्य क्यूसीडी के करीब पहुंचता है क्योंकि जाली साइटों के बीच का अंतर शून्य हो जाता है। क्योंकि जाली रिक्ति कम होने पर संख्यात्मक सिमुलेशन की कम्प्यूटेशनल लागत नाटकीय रूप से बढ़ सकती है, परिणाम अक्सर अलग-अलग जाली रिक्तियों पर बार-बार गणना करके = 0 पर एक्सट्रपलेशन होते हैं जो कि ट्रैक करने योग्य होने के लिए काफी बड़े होते हैं।

मोंटे कार्लो विधियों का उपयोग करके संख्यात्मक जाली क्यूसीडी गणना बेहद कम्प्यूटेशनल रूप से गहन हो सकती है, जिसके लिए सबसे बड़े उपलब्ध सुपर कंप्यूटर के उपयोग की आवश्यकता होती है। कम्प्यूटेशनल बोझ को कम करने के लिए, तथाकथित बुझती सन्निकटन का उपयोग किया जा सकता है, जिसमें क्वार्क क्षेत्रों को गैर-गतिशील जमे हुए चर के रूप में माना जाता है। हालाँकि प्रारंभिक जाली QCD गणनाओं में यह सामान्य था, गतिशील फ़र्मियन अब मानक हैं। ये सिमुलेशन आम तौर पर आणविक गतिशीलता या माइक्रोकैनोनिकल पहनावा एल्गोरिदम पर आधारित एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं। वर्तमान में, जाली क्यूसीडी मुख्य रूप से कम घनत्व पर लागू होती है जहां संख्यात्मक संकेत समस्या गणना में हस्तक्षेप नहीं करती है। गेज समूह एसयू(2) (क्यूसी) के साथ क्यूसीडी के मामले में लागू होने पर मोंटे कार्लो विधियां साइन समस्या से मुक्त होती हैं2डी)।

लैटिस क्यूसीडी पहले ही कई प्रयोगों से सफलतापूर्वक सहमत हो चुका है। उदाहरण के लिए, प्रोटोन का द्रव्यमान सैद्धांतिक रूप से 2 प्रतिशत से कम की त्रुटि के साथ निर्धारित किया गया है। लैटिस क्यूसीडी भविष्यवाणी करता है कि सीमित क्वार्क से क्वार्क-ग्लूऑन प्लाज्मा में संक्रमण तापमान के आसपास होता है $150 MeV$ ($1,700,000,000,000 K$), प्रायोगिक माप की सीमा के भीतर। लैटिस क्यूसीडी का उपयोग उच्च-प्रदर्शन कंप्यूटिंग के लिए एक बेंचमार्क के रूप में भी किया गया है, यह दृष्टिकोण मूल रूप से आईबीएम ब्लू जीन सुपरकंप्यूटर के संदर्भ में विकसित किया गया है।

मोंटे-कार्लो सिमुलेशन
मोंटे कार्लो विधि|मोंटे-कार्लो चर के एक बड़े स्थान को छद्म-यादृच्छिक रूप से नमूना करने की एक विधि है। मोंटे-कार्लो सिमुलेशन में गेज कॉन्फ़िगरेशन का चयन करने के लिए उपयोग की जाने वाली महत्वपूर्ण नमूनाकरण तकनीक, अंतरिक्ष समय  के  बाती घुमाना  द्वारा  यूक्लिडियन स्थान  के उपयोग को लागू करती है।

जाली मोंटे-कार्लो सिमुलेशन में उद्देश्य सहसंबंध फ़ंक्शन (क्वांटम फ़ील्ड सिद्धांत) की गणना करना है। यह स्पष्ट रूप से क्रिया (भौतिकी) की गणना करके, फ़ील्ड कॉन्फ़िगरेशन का उपयोग करके किया जाता है, जिसे वितरण फ़ंक्शन (भौतिकी) के अनुसार चुना जाता है, जो क्रिया और फ़ील्ड पर निर्भर करता है। आमतौर पर कोई गेज कॉन्फ़िगरेशन की गणना करने के लिए कार्रवाई के गेज बोसॉन भाग और गेज-फर्मियन इंटरेक्शन भाग से शुरू करता है, और फिर हैड्रान प्रचारक ्स और सहसंबंध कार्यों की गणना करने के लिए सिम्युलेटेड गेज कॉन्फ़िगरेशन का उपयोग करता है।

जाली पर फर्मिअन
लैटिस क्यूसीडी सिद्धांत को पहले सिद्धांतों से, बिना किसी धारणा के, वांछित परिशुद्धता तक हल करने का एक तरीका है। हालाँकि, व्यवहार में गणना शक्ति सीमित है, जिसके लिए उपलब्ध संसाधनों के स्मार्ट उपयोग की आवश्यकता होती है। किसी को ऐसी कार्रवाई चुनने की ज़रूरत है जो उपलब्ध कम्प्यूटेशनल शक्ति का उपयोग करके न्यूनतम त्रुटियों के साथ सिस्टम का सर्वोत्तम भौतिक विवरण दे। सीमित कंप्यूटर संसाधन किसी को अनुमानित भौतिक स्थिरांक का उपयोग करने के लिए मजबूर करते हैं जो उनके वास्तविक भौतिक मूल्यों से भिन्न होते हैं:
 * जाली विवेकीकरण का अर्थ है एक परिमित जाली रिक्ति और आकार द्वारा निरंतर और अनंत अंतरिक्ष-समय का अनुमान लगाना। जाली जितनी छोटी होगी, और नोड्स के बीच जितना बड़ा अंतर होगा, त्रुटि उतनी ही बड़ी होगी। सीमित संसाधन आमतौर पर छोटी भौतिक जाली और आवश्यकता से अधिक बड़ी जाली रिक्ति के उपयोग को मजबूर करते हैं, जिससे आवश्यकता से अधिक बड़ी त्रुटियां होती हैं।
 * क्वार्क द्रव्यमान भी अनुमानित हैं। क्वार्क द्रव्यमान प्रयोगात्मक रूप से मापे गए द्रव्यमान से बड़ा है। ये लगातार अपने भौतिक मूल्यों के करीब पहुंच रहे हैं, और पिछले कुछ वर्षों के भीतर कुछ सहयोगों ने भौतिक मूल्यों को कम करने के लिए लगभग भौतिक मूल्यों का उपयोग किया है।

त्रुटियों की भरपाई करने के लिए, मुख्य रूप से परिमित रिक्ति त्रुटियों को कम करने के लिए, विभिन्न तरीकों से जाली कार्रवाई में सुधार किया जाता है।

जालक विक्षोभ सिद्धांत
जाली विक्षोभ सिद्धांत में प्रकीर्णन मैट्रिक्स जाली रिक्ति की शक्तियों में टेलर विस्तार है, ए। परिणाम मुख्य रूप से लैटिस क्यूसीडी मोंटे-कार्लो गणना के पुनर्सामान्यीकरण के लिए उपयोग किए जाते हैं। विक्षुब्ध गणनाओं में क्रिया के संचालक और प्रचारक दोनों की गणना जाली पर की जाती है और a की शक्तियों में विस्तार किया जाता है। किसी गणना को पुन: सामान्यीकृत करते समय, विस्तार के गुणांकों को एक सामान्य सातत्य योजना, जैसे एमएस-बार योजना, के साथ मिलान करने की आवश्यकता होती है, अन्यथा परिणामों की तुलना नहीं की जा सकती है। विस्तार को सातत्य योजना और जाली में एक ही क्रम में किया जाना है।

जाली नियमितीकरण को शुरुआत में केनेथ जी. विल्सन द्वारा दृढ़ता से युग्मित सिद्धांतों को गैर-परेशान करने वाले अध्ययन के लिए एक रूपरेखा के रूप में पेश किया गया था। हालाँकि, इसे अनियमित गणनाओं के लिए भी उपयुक्त नियमितीकरण पाया गया। गड़बड़ी सिद्धांत में युग्मन स्थिरांक में विस्तार शामिल है, और उच्च-ऊर्जा क्यूसीडी में अच्छी तरह से उचित है जहां युग्मन स्थिरांक छोटा है, जबकि युग्मन बड़ा होने पर यह पूरी तरह से विफल हो जाता है और गड़बड़ी श्रृंखला में निचले आदेशों की तुलना में उच्च क्रम सुधार बड़े होते हैं। इस क्षेत्र में गैर-परेशान करने वाली विधियाँ, जैसे सहसंबंध फ़ंक्शन का मोंटे-कार्लो नमूनाकरण, आवश्यक हैं।

जाली गड़बड़ी सिद्धांत संघनित पदार्थ सिद्धांत के लिए भी परिणाम प्रदान कर सकता है। वास्तविक परमाणु क्रिस्टल का प्रतिनिधित्व करने के लिए कोई जाली का उपयोग कर सकता है। इस मामले में जाली रिक्ति एक वास्तविक भौतिक मूल्य है, न कि गणना की एक कलाकृति जिसे हटाया जाना है (एक यूवी नियामक), और एक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत को भौतिक जाली पर तैयार और हल किया जा सकता है।

क्वांटम कंप्यूटिंग
यू(1), एसयू(2), और एसयू(3) जाली गेज सिद्धांतों को एक ऐसे रूप में पुन: तैयार किया जा सकता है जिसे सार्वभौमिक क्वांटम कंप्यूटर पर स्पिन क्वबिट जोड़तोड़ का उपयोग करके अनुकरण किया जा सकता है।

सीमाएँ
यह विधि कुछ सीमाओं से ग्रस्त है:
 * वर्तमान में जाली QCD का कोई सूत्रीकरण नहीं है जो हमें क्वार्क-ग्लूऑन प्लाज्मा जैसे क्वार्क-ग्लूऑन प्रणाली की वास्तविक समय की गतिशीलता का अनुकरण करने की अनुमति देता है।
 * यह कम्प्यूटेशनल रूप से गहन है, जिसमें बाधा फ्लॉप्स नहीं बल्कि मेमोरी एक्सेस की बैंडविड्थ है।
 * यह केवल भारी क्वार्क वाले हैड्रॉन के लिए विश्वसनीय भविष्यवाणियां प्रदान करता है, जैसे कि हाइपरॉन, जिसमें एक या अधिक अजीब क्वार्क होते हैं।

यह भी देखें

 * जाली मॉडल (भौतिकी)
 * जाली क्षेत्र सिद्धांत
 * जाली गेज सिद्धांत
 * क्यूसीडी मामला
 * एसयू(2) रंग अतिचालकता
 * क्यूसीडी योग नियम
 * विल्सन क्रिया

अग्रिम पठन

 * M. Creutz, Quarks, gluons and lattices, Cambridge University Press 1985.
 * I. Montvay and G. Münster, Quantum Fields on a Lattice, Cambridge University Press 1997.
 * J. Smit, Introduction to Quantum Fields on a Lattice, Cambridge University Press 2002.
 * H. Rothe, Lattice Gauge Theories, An Introduction, World Scientific 2005.
 * T. DeGrand and C. DeTar, Lattice Methods for Quantum Chromodynamics, World Scientific 2006.
 * C. Gattringer and C. B. Lang, Quantum Chromodynamics on the Lattice, Springer 2010.

बाहरी संबंध

 * Gupta - Introduction to Lattice QCD
 * Lombardo - Lattice QCD at Finite Temperature and Density
 * Chandrasekharan, Wiese - An Introduction to Chiral Symmetry on the Lattice
 * Kuti, Julius - Lattice QCD and String Theory
 * The FermiQCD Library for Lattice Field theory
 * Flavour Lattice Averaging Group