संवैधानिक समीकरण

भौतिकी और अभियांत्रिकी में, एक संवैधानिक समीकरण या संघटक संबंध दो भौतिक मात्राओं (विशेष रूप से गतिज मात्रा से संबंधित गतिज मात्रा) के बीच एक संबंध है। यह एक सामग्री या पदार्थ के लिए विशिष्ट है, और उस सामग्री की प्रतिक्रिया को बाहरी उत्तेजनाओं के लिए, आमतौर पर लागू क्षेत्रों या बलों के रूप में अनुमानित करता है। भौतिक समस्याओं को हल करने के लिए उन्हें भौतिक नियमों को शासित करने वाले अन्य समीकरणों के साथ जोड़ा जाता है; उदाहरण के लिए द्रव यांत्रिकी में एक पाइप में एक तरल पदार्थ का प्रवाह, ठोस अवस्था भौतिकी में एक विद्युत क्षेत्र के लिए एक क्रिस्टल की प्रतिक्रिया, या संरचनात्मक विश्लेषण में, लागू तनावों या तनावों या विकृतियों के बीच संबंध है।

कुछ संघटक समीकरण सामान्य रूप से परिघटना संबंधी होते हैं; दूसरों को पहले सिद्धांतों से लिया गया है। एक सामान्य अनुमानित संवैधानिक समीकरण को अक्सर सामग्री की संपत्ति, जैसे विद्युत चालकता या वसंत स्थिरांक के रूप में लिए गए एक पैरामीटर का उपयोग करके एक साधारण आनुपातिकता के रूप में व्यक्त किया जाता है। हालांकि, अक्सर सामग्री की दिशात्मक निर्भरता को ध्यान में रखना आवश्यक होता है, और स्केलर पैरामीटर को एक टेंसर के लिए सामान्यीकृत किया जाता है। सामग्रियों की प्रतिक्रिया की दर और उनके गैर-रेखीय व्यवहार को ध्यान में रखते हुए संवैधानिक संबंधों को भी संशोधित किया जाता है। आलेख रैखिक प्रतिक्रिया फंक्शन देखें।

पदार्थ के यांत्रिक गुण
पहला संवैधानिक समीकरण (संविधान कानून) रॉबर्ट हुक द्वारा विकसित किया गया था और इसे हुक के नियम के रूप में जाना जाता है। यह रैखिक लोचदार सामग्रियों के मामले से संबंधित है। इस खोज के बाद, इस प्रकार के समीकरण, जिसे इस उदाहरण में अक्सर "तनाव-तनाव संबंध" कहा जाता है, लेकिन इसे "संवैधानिक धारणा" या "राज्य का समीकरण" भी कहा जाता है। वाल्टर नोल ने संवैधानिक समीकरणों के उपयोग को उन्नत किया, उनके वर्गीकरण और "सामग्री", "आइसोट्रोपिक", "एओलोट्रोपिक", आदि जैसे शब्दों की अपरिवर्तनीय आवश्यकताओं, बाधाओं और परिभाषाओं को स्पष्ट किया। तनाव दर = f (वेग प्रवणता, तनाव, घनत्व) के "संवैधानिक संबंधों" का वर्ग 1954 में क्लिफोर्ड ट्रूसेडेल के तहत वाल्टर नोल के शोध प्रबंध का विषय था।

आधुनिक संघनित पदार्थ भौतिकी में, संघटक समीकरण एक प्रमुख भूमिका निभाता है। रेखीय संवैधानिक समीकरण और गैर रेखीय सहसंबंध कार्य देखें।

घर्षण
घर्षण एक जटिल घटना है, मैक्रोस्कोपिक रूप से, दो सामग्रियों के इंटरफ़ेस के बीच घर्षण बल F को घर्षण μf के आयाम रहित गुणांक के माध्यम से दो इंटरफेस के बीच संपर्क के बिंदु पर प्रतिक्रिया बल R के आनुपातिक रूप से तैयार किया जा सकता है, जो सामग्री की जोड़ी पर निर्भर करता है:


 * $$F = \mu_\text{f} R. $$

यह स्थैतिक घर्षण (दो स्थिर वस्तुओं को अपने आप फिसलने से रोकने वाला घर्षण) पर लागू किया जा सकता है, गतिज घर्षण (दो वस्तुओं के बीच घर्षण/एक दूसरे के पिछले फिसलने के बीच घर्षण), या लुढ़कना (घर्षण बल जो फिसलने से रोकता है लेकिन एक गोल वस्तु पर बलाघूर्ण उत्पन्न करता है)।

तनाव और तनाव
रैखिक सामग्रियों के लिए तनाव-विकृति संवैधानिक संबंध को आमतौर पर हुक के कानून के रूप में जाना जाता है। अपने सरलतम रूप में, कानून एक स्केलर समीकरण में वसंत स्थिरांक (या लोच स्थिरांक) k को परिभाषित करता है, तन्यता/संपीड़न बल को विस्तारित (या अनुबंधित) विस्थापन x के समानुपाती होता है:


 * $$F_i=-k x_i $$

जिसका अर्थ है कि सामग्री रैखिक रूप से प्रतिक्रिया करती है। समान रूप से, प्रतिबल σ, यंग मापांक E और विकृति ε (आयाम रहित) के संदर्भ में:


 * $$\sigma = E \, \varepsilon $$

सामान्य तौर पर, जो बल ठोस पदार्थों को विकृत करते हैं वे सामग्री की सतह के लिए सामान्य (सामान्य बल), या स्पर्शरेखा (अपरूपण बल) हो सकते हैं, इसे गणितीय रूप से तनाव टेंसर का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है:


 * $$\sigma_{ij} = C_{ijkl} \, \varepsilon_{kl} \, \rightleftharpoons \, \varepsilon_{ij} = S_{ijkl} \, \sigma_{kl} $$

जहाँ C इलास्टिसिटी टेन्सर है और S कंप्लायंस टेंसर है।

ठोस अवस्था की विकृति
लोचदार सामग्री में विकृति के कई वर्ग निम्नलिखित हैं:
 * प्लास्टिक विरूपण: लागू बल सामग्री में गैर-वसूली योग्य विकृतियों को प्रेरित करता है जब तनाव (या लोचदार तनाव) एक महत्वपूर्ण परिमाण तक पहुंचता है, जिसे उपज बिंदु कहा जाता है।
 * लोच (भौतिकी): सामग्री विरूपण के बाद अपने प्रारंभिक आकार को ठीक कर लेती है।
 * श्यानताप्रत्यस्थ
 * यदि समय-निर्भर प्रतिरोधक योगदान बड़ा है, और इसकी उपेक्षा नहीं की जा सकती है। रबड़ और प्लास्टिक में यह गुण होता है और निश्चित रूप से हुक के नियम को पूरा नहीं करते हैं। दरअसल, इलास्टिक हिस्टैरिसीस होता है।
 * विषमप्रत्यास्थता
 * यदि सामग्री लोचदार के करीब है, लेकिन लागू बल अतिरिक्त समय-निर्भर प्रतिरोधी बलों को प्रेरित करता है (यानी विस्तार/संपीड़न के अतिरिक्त, विस्तार/संपीड़न के परिवर्तन की दर पर निर्भर करता है)। धातु और मिट्टी के पात्र में यह विशेषता होती है, लेकिन यह आमतौर पर नगण्य होता है, हालांकि घर्षण के कारण गर्म होने पर इतना नहीं होता है (जैसे कंपन या मशीनों में कतरनी तनाव)।
 * अतिप्रत्यास्थ
 * लगाया गया बल तनाव ऊर्जा घनत्व फलन के बाद सामग्री में विस्थापन को प्रेरित करता है।

टकराव
किसी अन्य वस्तु B के साथ टक्कर के बाद किसी वस्तु A के Vपृथक्करण बनाम पृथक्करण की सापेक्ष गति, न्यूटन के प्रायोगिक प्रभाव कानून द्वारा परिभाषित, पुनर्स्थापना के गुणांक द्वारा दृष्टिकोण Vदृष्टिकोणकी सापेक्ष गति से संबंधित है:
 * $$ e = \frac{|\mathbf{v}|_\text{separation}}{| \mathbf{v}|_\text{approach}} $$

जो उन सामग्रियों पर निर्भर करता है जिनसे A और B बने हैं, क्योंकि टक्कर में A और B की सतहों पर परस्पर क्रिया शामिल है। आमतौर पर 0 ≤ e ≤ 10 जिसमें e = 1 पूरी तरह से लोचदार टक्करों के लिए, और e = 0 पूरी तरह से बेलोचदार टक्करों के लिए होता है। सुपररेलास्टिक (या विस्फोटक) टकराव के लिए e ≥ 1 होना संभव है।

तरल पदार्थों की विरूपण
ड्रैग समीकरण घनत्व ρ के तरल पदार्थ के माध्यम से वेग v (तरल के सापेक्ष) के साथ चलने वाले क्रॉस-सेक्शन एरिया A के ऑब्जेक्ट पर ड्रैग फोर्स D देता है।


 * $$D=\frac{1}{2}c_d \rho A v^2 $$

जहां ड्रैग गुणांक (आयाम रहित) cd वस्तु की ज्यामिति पर निर्भर करता है और द्रव और वस्तु के बीच इंटरफेस पर ड्रैग फोर्स करता है।

श्यानता μ के न्यूटोनियन द्रव के लिए, कतरनी तनाव τ रैखिक रूप से तनाव दर (अनुप्रस्थ प्रवाह वेग ढाल) ∂u/∂y (इकाइयों s−1) से संबंधित है। एकसमान अपरूपण प्रवाह में:


 * $$\tau = \mu \frac{\partial u}{\partial y},$$

U (y) के साथ क्रॉस-फ्लो (अनुप्रस्थ) दिशा y में प्रवाह वेग u की भिन्नता। सामान्य तौर पर, एक न्यूटोनियन तरल पदार्थ के लिए, कतरनी तनाव टेन्सर के तत्वों τij और तरल पदार्थ के विरूपण के बीच संबंध निम्न द्वारा दिया जाता है


 * $$\tau_{ij} = 2 \mu \left( e_{ij} - \frac13 \Delta \delta_{ij} \right)$$ साथ  $$e_{ij}=\frac12 \left( \frac {\partial v_i}{\partial x_j} + \frac {\partial v_j}{\partial x_i} \right)$$  तथा  $$\Delta = \sum_k e_{kk} = \text{div}\; \mathbf{v},$$

जहां vi संबंधित xi समन्वय दिशाओं में प्रवाह वेग सदिश के घटक हैं, eij विकृति दर टेंसर के घटक हैं, Δ आयतनात्मक विकृति दर (या तनुकरण दर) है और δij क्रोनकर डेल्टा है।

आदर्श गैस सिद्धांत इस अर्थ में एक संवैधानिक संबंध है कि दबाव p और आयतन V तापमान T से संबंधित हैं, गैस के मोल्स n की संख्या के माध्यम से:


 * $$pV = nRT$$

जहाँ R गैस स्थिरांक है (J⋅K−1⋅mol−1)

विद्युत चुंबकत्व और संबंधित क्षेत्रों में संवैधानिक समीकरण
चिरसम्मत और क्वांटम भौतिकी दोनों में, एक प्रणाली की सटीक गतिशीलता युग्मित विभेदक समीकरणों का एक सेट बनाती है, जो सांख्यिकीय यांत्रिकी के स्तर पर भी लगभग हमेशा बहुत जटिल होती है। विद्युतचुम्बकत्व के संदर्भ में, यह टिप्पणी न केवल मुक्त आवेशों और धाराओं की गतिशीलता पर लागू होती है (जो सीधे मैक्सवेल के समीकरणों में प्रवेश करती हैं), बल्कि बाध्य आवेशों और धाराओं की गतिशीलता (जो संवैधानिक संबंधों के माध्यम से मैक्सवेल के समीकरणों में प्रवेश करती हैं) पर भी लागू होती हैं। परिणामस्वरूप, विभिन्न सन्निकटन योजनाओं का आमतौर पर उपयोग किया जाता है।

उदाहरण के लिए, वास्तविक सामग्रियों में, आरोपों के समय और स्थानिक प्रतिक्रिया को निर्धारित करने के लिए जटिल परिवहन समीकरणों को हल किया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, बोल्ट्जमैन समीकरण या फोकर -प्लैंक समीकरण या नवियर -स्टोक्स समीकरण। उदाहरण के लिए, मैग्नेटोहाइड्रोडायनामिक्स, द्रव की गतिशीलता, इलेक्ट्रोहाइड्रोडायनामिक्स, सुपरकंडक्टिविटी, प्लाज्मा मॉडलिंग देखें। इन मामलों से निपटने के लिए एक संपूर्ण भौतिक तंत्र विकसित हुआ है। उदाहरण के लिए देखें, रैखिक प्रतिक्रिया फ़ंक्शन, ग्रीन-क्यूबो संबंध और ग्रीन का कार्य (कई-शरीर सिद्धांत)।

ये जटिल सिद्धांत विभिन्न सामग्रियों की विद्युत प्रतिक्रिया का वर्णन करने वाले संवैधानिक संबंधों के लिए विस्तृत सूत्र प्रदान करते हैं, जैसे कि पारगम्यता, पारगम्यता (विद्युतचुम्बकत्व), विद्युत चालकता और इसके आगे।

इलेक्ट्रिक विस्थापन क्षेत्र D और E, और चुंबकीय क्षेत्र Hऔर चुंबकीय सामग्री के बीच संबंधों को निर्दिष्ट करना आवश्यक है। विद्युतचुम्बकत्व में गणना करने से पहले चुंबकीय एच-फील्ड H और B, मैक्सवेल के मैक्रोस्कोपिक समीकरणों को लागू करने से पहले)। ये समीकरण लागू क्षेत्रों के लिए बाध्य चार्ज और वर्तमान की अचालकप्रतिक्रिया को निर्दिष्ट करते हैं और उन्हें संवैधानिक संबंध कहा जाता है।

सहायक क्षेत्रों के बीच संवैधानिक संबंध का निर्धारण D और H और E और B क्षेत्र स्वयं सहायक क्षेत्रों की परिभाषा के साथ शुरू होते हैं:
 * $$\begin{align}

\mathbf{D}(\mathbf{r}, t) &= \varepsilon_0 \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) + \mathbf{P}(\mathbf{r}, t) \\ \mathbf{H}(\mathbf{r}, t) &= \frac{1}{\mu_0} \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) - \mathbf{M}(\mathbf{r}, t), \end{align}$$ जहां P ध्रुवीकरण घनत्व क्षेत्र है और M मैग्नेटाइजेशन क्षेत्र है जो क्रमशः सूक्ष्म बाध्य शुल्क और बाध्य करंट के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। Mऔर P की गणना करने के तरीके को प्राप्त करने से पहले निम्नलिखित विशेष मामलों की जांच करना उपयोगी है।

चुंबकीय के बिना या अचालक सामग्री
चुंबकीय या अचालकसामग्री की अनुपस्थिति में, संवैधानिक संबंध सरल हैं:


 * $$\mathbf{D} = \varepsilon_0\mathbf{E} ,\quad \mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu_0$$

जहां ε0 और μ0 दो सार्वभौमिक स्थिरांक हैं, जिन्हें क्रमशः खाली स्थान के वैक्यूम और चुंबकीय स्थिरांक का विद्युत स्थिरांक कहा जाता है।

आइसोट्रोपिक रैखिक सामग्री
एक (आइसोट्रोपिक) ) रैखिक सामग्री, जहां P E के लिए आनुपातिक है, और M B के लिए आनुपातिक है, संवैधानिक संबंध भी सीधे हैं। ध्रुवीकरण P और मैग्नेटाइजेशन M के संदर्भ में वे हैं:


 * $$\mathbf{P} = \varepsilon_0\chi_e\mathbf{E} ,\quad \mathbf{M} = \chi_m\mathbf{H},$$

जहां χe और χm किसी दिए गए सामग्री की विद्युत संवेदनशीलता और चुंबकीय संवेदनशीलता की संवेदनशीलता क्रमशः है। D और  के संदर्भ में संवैधानिक संबंध हैं:


 * $$\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E} ,\quad \mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu,$$

जहां ε और μ स्थिरांक हैं (जो सामग्री पर निर्भर करते हैं), क्रमशः पारगम्यता और पारगम्यता (विद्युत चुम्बकीयता), जिसे सामग्री का कहा जाता है।ये द्वारा संवेदनशीलता से संबंधित हैं:


 * $$\varepsilon/\varepsilon_0 = \varepsilon_r = \chi_e + 1 ,\quad \mu / \mu_0 = \mu_r = \chi_m + 1$$

सामान्य कारक
वास्तविक दुनिया की सामग्रियों के लिए, संवैधानिक संबंध रैखिक नहीं हैं, लगभग छोड़कर। पहले सिद्धांतों से संवैधानिक संबंधों की गणना में यह निर्धारित करना शामिल है कि किसी दिए गए E और B से P और M कैसे बनाए जाते हैं।नि: शुल्क शुल्क और धाराएं लोरेंत्ज़ बल कानून के माध्यम से क्षेत्रों में प्रतिक्रिया करती हैं और इस प्रतिक्रिया की गणना यांत्रिकी का उपयोग करके एक मौलिक स्तर पर की जाती है।बाध्य शुल्क और धाराओं की प्रतिक्रिया को मैग्नेटाइजेशन और ध्रुवीकरण की धारणाओं के तहत उप -समूहों का उपयोग करने के साथ निपटा जाता है।समस्या के आधार पर, कोई भी मुफ्त शुल्क नहीं चुन सकता है।संघनित पदार्थ भौतिकी)।नियोजित विस्तार से कॉन्टिनम मैकेनिक्स या ग्रीन -क्यूबो संबंध हो सकते हैं, जो जांच के तहत समस्या के लिए आवश्यक स्तर पर निर्भर करता है।

सामान्य तौर पर, संवैधानिक संबंध आमतौर पर अभी भी लिखा जा सकता है:
 * $$\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E} ,\quad \mathbf{H} = \mu^{-1}\mathbf{B}$$

लेकिन ε और μ, सामान्य रूप से, सरल स्थिरांक नहीं हैं, बल्कि प्रकृति में 'ई', 'बी', स्थिति और समय और टेंसोरियल के कार्य करते हैं।उदाहरण हैं:

{{bulleted list | Dispersion and absorption where ε and μ are functions of frequency. (Causality does not permit materials to be nondispersive; see, for example, Kramers–Kronig relations.) Neither do the fields need to be in phase, which leads to ε and μ being complex. This also leads to absorption. $$D_i = \sum_j \varepsilon_{ij} E_j ,\quad B_i =  \sum_j \mu_{ij} H_j.$$ $$\begin{align} \mathbf{P}(\mathbf{r}, t) &= \varepsilon_0 \int {\rm d}^3 \mathbf{r}'{\rm d}t'\; \hat{\chi}_e \left(\mathbf{r}, \mathbf{r}', t, t'; \mathbf{E}\right)\, \mathbf{E}\left(\mathbf{r}', t'\right) \\ \mathbf{M}(\mathbf{r}, t) &= \frac{1}{\mu_0} \int {\rm d}^3 \mathbf{r}'{\rm d}t' \; \hat{\chi}_m \left(\mathbf{r}, \mathbf{r}', t, t'; \mathbf{B}\right)\, \mathbf{B}\left(\mathbf{r}', t'\right), \end{align}$$जिसमें पारगम्यता और पारगम्यता कार्यों को अधिक सामान्य विद्युत और चुंबकीय संवेदनशीलताओं पर समाकलन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। विषम सामग्री, अन्य स्थानों पर निर्भरता को स्थानिक फैलाव कहा जाता है। इन उदाहरणों की भिन्नता के रूप में, सामान्य तौर पर, सामग्री बाइएनिसोट्रोपिक हैं जहां D और B अतिरिक्त युग्मन स्थिरांक ξ और ζ के माध्यम से ई और H दोनों पर निर्भर करते हैं:
 * Nonlinearity where ε and μ are functions of E and B.
 * Anisotropy (such as birefringence or dichroism) which occurs when ε and μ are second-rank tensors,
 * Dependence of P and M on E and B at other locations and times. This could be due to spatial inhomogeneity; for example in a domained structure, heterostructure or a liquid crystal, or most commonly in the situation where there are simply multiple materials occupying different regions of space. Or it could be due to a time varying medium or due to hysteresis. In such cases P and M can be calculated as:
 * $$\mathbf{D}=\varepsilon \mathbf{E} + \xi \mathbf{H} \,,\quad \mathbf{B} = \mu \mathbf{H} + \zeta \mathbf{E}.$$

व्यवहार में, कुछ भौतिक गुणों का विशेष परिस्थितियों में नगण्य प्रभाव पड़ता है, जिससे छोटे प्रभावों की उपेक्षा होती है। उदाहरण के लिए, कम क्षेत्र की ताकत के लिए ऑप्टिकल गैर-रैखिकताओं को उपेक्षित किया जा सकता है; भौतिक फैलाव महत्वहीन है जब आवृत्ति एक संकीर्ण बैंडविड्थ तक सीमित है; तरंग दैर्ध्य के लिए सामग्री अवशोषण की उपेक्षा की जा सकती है जिसके लिए सामग्री पारदर्शी है; और परिमित चालकता वाली धातुओं को अक्सर माइक्रोवेव या लंबी तरंग दैर्ध्य पर अनंत चालकता के साथ परिपूर्ण धातुओं के रूप में अनुमानित किया जाता है (क्षेत्र प्रवेश की शून्य त्वचा की गहराई के साथ कठोर अवरोधों का निर्माण)।

कुछ मानव निर्मित सामग्री जैसे मेटामटेरियल्स और फोटोनिक क्रिस्टल को अनुकूलित परमिटिटिविटी और पारगम्यता के लिए डिज़ाइन किया गया है।

संवैधानिक संबंधों की गणना
एक सामग्री के संवैधानिक समीकरणों की सैद्धांतिक गणना सैद्धांतिक संघनित-भौतिकी और सामग्री विज्ञान में एक सामान्य, महत्वपूर्ण और कभी-कभी कठिन कार्य है। सामान्य तौर पर, संवैधानिक समीकरण सैद्धांतिक रूप से यह गणना करके निर्धारित किए जाते हैं कि एक अणु लोरेंट्ज़ बल के माध्यम से स्थानीय क्षेत्रों में कैसे प्रतिक्रिया करता है। अन्य बलों को क्रिस्टल या बॉन्ड बलों में जाली कंपन जैसे मॉडलिंग करने की आवश्यकता हो सकती है। सभी बलों सहित अणु में परिवर्तन की ओर जाता है जो स्थानीय क्षेत्रों के एक समारोह के रूप में पी और एम की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है।

स्थानीय क्षेत्र पास की सामग्री के ध्रुवीकरण और चुंबकत्व द्वारा उत्पादित क्षेत्रों के कारण लागू क्षेत्रों से भिन्न होते हैं; एक प्रभाव जिसे मॉडलिंग करने की भी आवश्यकता है। इसके अलावा, वास्तविक सामग्री निरंतर यांत्रिकी नहीं हैं; वास्तविक सामग्रियों के स्थानीय क्षेत्र परमाणु पैमाने पर बेतहाशा भिन्न होते हैं। एक निरंतरता सन्निकटन बनाने के लिए क्षेत्र को एक उपयुक्त मात्रा में औसत करने की आवश्यकता है।

इन सातत्य अनुमानों को अक्सर कुछ प्रकार के क्वांटम यांत्रिकी विश्लेषण की आवश्यकता होती है जैसे कि क्वांटम फील्ड थ्योरी जैसा कि संघनित पदार्थ भौतिकी पर लागू होता है। देखें, उदाहरण के लिए, घनत्व कार्यात्मक सिद्धांत, ग्रीन-क्यूबो संबंध और ग्रीन का कार्य (कई-शरीर सिद्धांत) | ग्रीन का कार्य।

 समरूपता विधियों  का एक अलग सेट (समूह (भूविज्ञान) और टुकड़े टुकड़े) जैसी सामग्रियों के इलाज में एक परंपरा से विकसित होना एक सजातीय 'प्रभावी मध्यम सन्निकटन'  'प्रभावी माध्यम' द्वारा एक अमानवीय सामग्री के सन्निकटन पर आधारित है। (तरंग दैर्ध्य के साथ संदीपन के लिए मान्य है, जो कि अमानवीयता के पैमाने से बहुत बड़ा है)।   

कई वास्तविक सामग्रियों के निरंतरता-अनुमोदन गुणों का सैद्धांतिक मॉडलिंग अक्सर प्रयोगात्मक माप पर भी निर्भर करती है। उदाहरण के लिए, कम आवृत्तियों पर एक इन्सुलेटर को एक समानांतर-प्लेट संधारित्र में बनाकर मापा जा सकता है, और ε ऑप्टिकल-लाइट आवृत्तियों पर अक्सर एलिप्सोमेट्री द्वारा मापा जाता है।

थर्मोइलेक्ट्रिक और पदार्थ के विद्युत चुम्बकीय गुण
इन संवैधानिक समीकरणों का उपयोग अक्सर क्रिस्टलोग्राफी में किया जाता है, जो ठोस-अवस्था भौतिकी का एक क्षेत्र है।
 * {| class="wikitable"

ठोस के विद्युत चुंबकीय गुण ! scope="col" width="150" | गुण/प्रभाव ! scope="col" width="225" | प्रणाली संदीपन/प्रतिक्रिया पैरामीटर ! scope="col" width="225" | प्रणाली का संवैधानिक टेंसर ! scope="col" width="100" | समीकरण
 * हॉल प्रभाव
 * E, विद्युत क्षेत्र शक्ति (N⋅C−1)
 * E, विद्युत क्षेत्र शक्ति (N⋅C−1)

J, विद्युत प्रवाह घनत्व (A⋅m−2)

H, चुंबकीय क्षेत्र तीव्रता (A⋅m−1)
 * ρ, विद्युत प्रतिरोधकता (Ω⋅m)
 * $$ E_k = \rho_{kij} J_i H_j $$
 * प्रत्यक्ष पीजोइलेक्ट्रिक प्रभाव
 * σ, तनाव (Pa)
 * P, (अचालक) ध्रुवीकरण (C⋅m−2)
 * σ, तनाव (Pa)
 * P, (अचालक) ध्रुवीकरण (C⋅m−2)
 * d, प्रत्यक्ष पीजोइलेक्ट्रिक गुणांक (C⋅N−1)
 * $$P_i = d_{ijk}\sigma_{jk} $$
 * विपरीत पीजोइलेक्ट्रिक प्रभाव
 * ε, तनाव (आयाम रहित)
 * E, विद्युत क्षेत्र की शक्ति (N⋅C−1)
 * ε, तनाव (आयाम रहित)
 * E, विद्युत क्षेत्र की शक्ति (N⋅C−1)
 * d, प्रत्यक्ष पीजोइलेक्ट्रिक गुणांक (C⋅N−1)
 * $$\varepsilon_{ij} = d_{ijk}E_k $$
 * पीजोमैग्नेटिक प्रभाव
 * σ, तनाव (Pa)
 * M, चुंबकीयकरण (A⋅m−1)
 * σ, तनाव (Pa)
 * M, चुंबकीयकरण (A⋅m−1)
 * q, पीजोइलेक्ट्रिक गुणांक (A⋅N−1⋅m)
 * $$M_i = q_{ijk}\sigma_{jk} $$
 * }
 * {| class="wikitable"
 * {| class="wikitable"

! scope="col" width="150" | Property/effect ! scope="col" width="225" | Stimuli/response parameters of system ! scope="col" width="225" | Constitutive tensor of system ! scope="col" width="100" | Equation
 * +Thermoelectric properties of solids
 * Pyroelectricity
 * P, (dielectric) polarization (C⋅m−2)
 * T, temperature (K)
 * P, (dielectric) polarization (C⋅m−2)
 * T, temperature (K)
 * p, pyroelectric coefficient (C⋅m−2⋅K−1)
 * $$ \Delta P_j = p_j \Delta T $$
 * Electrocaloric effect
 * S, entropy (J⋅K−1)
 * E, electric field strength (N⋅C−1)
 * S, entropy (J⋅K−1)
 * E, electric field strength (N⋅C−1)
 * p, pyroelectric coefficient (C⋅m−2⋅K−1)
 * $$ \Delta S = p_i \Delta E_i $$
 * Seebeck effect
 * E, electric field strength (N⋅C−1 = V⋅m−1)
 * T, temperature (K)
 * x, displacement (m)
 * T, temperature (K)
 * x, displacement (m)
 * β, thermopower (V⋅K−1)
 * $$ E_i = - \beta_{ij} \frac{\partial T}{\partial x_j} $$
 * Peltier effect
 * E, electric field strength (N⋅C−1)
 * J, electric current density (A⋅m−2)
 * q, heat flux (W⋅m−2)
 * J, electric current density (A⋅m−2)
 * q, heat flux (W⋅m−2)
 * Π, Peltier coefficient (W⋅A−1)
 * $$ q_j = \Pi_{ji} J_i $$
 * }

अपवर्तक सूचकांक
एक मध्यम n (आयाम रहित) का अपवर्तक सूचकांक ज्यामितीय प्रकाशिकी और भौतिक प्रकाशिकी की एक महत्वपूर्ण संपत्ति है, जिसे वैक्यूम सी में ल्यूमिनल गति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है0 मध्यम c में उस के लिए:


 * $$ n = \frac{c_0}{c} = \sqrt{\frac{\varepsilon \mu}{\varepsilon_0 \mu_0}} = \sqrt{\varepsilon_r \mu_r} $$

जहां ε परमिटिविटी और ε हैr माध्यम की सापेक्ष पारगम्यता, इसी तरह μ पारगम्यता और μ हैr माध्यम के सापेक्ष पारगम्यता हैं।वैक्यूम पारगम्यता ε है0 और वैक्यूम पारगम्यता μ है0।केवल मिडालल, अल (हमेशा।r) जटिल संख्याएं हैं।

सापेक्ष अपवर्तक सूचकांक को दो अपवर्तक सूचकांकों के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।निरपेक्ष सामग्री के लिए है, रिश्तेदार इंटरफेस की हर संभव जोड़ी पर लागू होता है;


 * $$ n_{AB} = \frac{n_A}{n_B} $$

पदार्थ में प्रकाश की गति
परिभाषा के परिणामस्वरूप, पदार्थ में प्रकाश की गति है


 * $$c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon \mu}}$$

वैक्यूम के विशेष मामले के लिए; ε = ε0 तथा μ = μ0,


 * $$c_0 = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}$$

Piezooptic प्रभाव
Piezooptic प्रभाव ठोस पदार्थों में तनावों को अचालकअभेद्यता ए से संबंधित करता है, जो कि एक चौथे-रैंक टेंसर द्वारा युग्मित होते हैं, जिसे Piezooptic गुणांक π कहा जाता है (यूनिट्स k (यूनिट्स k−1):


 * $$a_{ij} = \Pi_{ijpq}\sigma_{pq} $$

परिभाषाएँ

 * {| class="wikitable"

! scope="col" width="150" | Quantity (common name/s) ! scope="col" width="225" | (Common) symbol/s ! scope="col" width="200" | Defining equation ! scope="col" width="125" | SI units ! scope="col" width="100" | Dimension
 * + Definitions (thermal properties of matter)
 * General heat capacity
 * C, heat capacity of substance
 * $$q = C T$$
 * J⋅K−1
 * [M][L]2[T]−2[Θ]−1
 * Linear thermal expansion
 * L, length of material (m)
 * α, coefficient linear thermal expansion (dimensionless)
 * ε, strain tensor (dimensionless)
 * L, length of material (m)
 * α, coefficient linear thermal expansion (dimensionless)
 * ε, strain tensor (dimensionless)
 * $$\frac{\partial L}{\partial T} = \alpha L $$
 * $$\varepsilon_{ij} = \alpha_{ij}\Delta T $$
 * $$\varepsilon_{ij} = \alpha_{ij}\Delta T $$
 * K−1
 * [Θ]−1
 * Volumetric thermal expansion
 * β, γ
 * β, γ
 * V, volume of object (m3)
 * p, constant pressure of surroundings
 * $$ \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p = \gamma V$$
 * K−1
 * [Θ]−1
 * Thermal conductivity
 * κ, K, λ,
 * κ, K, λ,
 * A, surface cross section of material (m2)
 * P, thermal current/power through material (W)
 * ∇T, temperature gradient in material (K⋅m−1)
 * $$\lambda = - \frac{P}{\mathbf{A} \cdot \nabla T}$$
 * W⋅m−1⋅K−1
 * [M][L][T]−3[Θ]−1
 * Thermal conductance
 * U
 * $$ U = \frac{\lambda}{\delta x}$$
 * W⋅m−2⋅K−1
 * [M][T]−3[Θ]−1
 * Thermal resistance
 * R Δx, displacement of heat transfer (m)
 * $$R = \frac{1}{U} = \frac{\Delta x}{\lambda}$$
 * m2⋅K⋅W−1
 * [M]−1[L][T]3[Θ]
 * }
 * {| class="wikitable"
 * }
 * {| class="wikitable"
 * {| class="wikitable"

! scope="col" width="200" | Quantity (common name/s) ! scope="col" width="150" | (Common) symbol/s ! scope="col" width="200" | Defining equation ! scope="col" width="100" | SI units ! scope="col" width="100" | Dimension
 * + Definitions (electrical/magnetic properties of matter)
 * Electrical resistance
 * R
 * $$R = \frac{V}{I}$$
 * Ω, V⋅A−1 = J⋅s⋅C−2
 * [M][L]2[T]−3[I]−2
 * Resistivity
 * ρ
 * $$\rho = \frac{RA}{l}$$
 * Ω⋅m
 * [M]2[L]2[T]−3[I]−2
 * Resistivity temperature coefficient, linear temperature dependence
 * α
 * $$\rho - \rho_0 = \rho_0\alpha(T - T_0)$$
 * K−1
 * [Θ]−1
 * Electrical conductance
 * G
 * $$ G = \frac{1}{R} $$
 * S = Ω−1
 * [M]−1[L]−2[T]3[I]2
 * Electrical conductivity
 * σ
 * $$\sigma = \frac{1}{\rho}$$
 * Ω−1⋅m−1
 * [M]−2[L]−2[T]3[I]2
 * Magnetic reluctance
 * R, Rm, $$\mathcal{R}$$
 * $$R_\text{m} = \frac{\mathcal{M}}{\Phi_B}$$
 * A⋅Wb−1 = H−1
 * [M]−1[L]−2[T]2
 * Magnetic permeance
 * P, Pm, Λ, $$\mathcal{P} $$
 * $$\Lambda = \frac{1}{R_\text{m}}$$
 * Wb⋅A−1 = H
 * [M][L]2[T]−2
 * }
 * Magnetic permeance
 * P, Pm, Λ, $$\mathcal{P} $$
 * $$\Lambda = \frac{1}{R_\text{m}}$$
 * Wb⋅A−1 = H
 * [M][L]2[T]−2
 * }
 * }

निश्चित कानून
ऐसे कई कानून हैं जो लगभग समान तरीके से मामले के परिवहन, या इसके गुणों का वर्णन करते हैं।हर मामले में, शब्दों में वे पढ़ते हैं:


 *  फ्लक्स (घनत्व) एक ढाल के लिए आनुपातिक है, आनुपातिकता की निरंतरता सामग्री की विशेषता है। 

सामान्य तौर पर सामग्री के दिशात्मक निर्भरता के लिए खाते में स्थिरांक को 2 रैंक टेंसर द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए।


 * {| class="wikitable"

! scope="col" width="220" | Property/effect ! scope="col" width="300" | Nomenclature ! scope="col" width="250" | Equation Simplest form is: $$ V = IR $$
 * Fick's law of diffusion, defines diffusion coefficient D
 * D, mass diffusion coefficient (m2⋅s−1)
 * J, diffusion flux of substance (mol⋅m−2⋅s−1)
 * ∂C/∂x, (1d)concentration gradient of substance (mol⋅dm−4)
 * J, diffusion flux of substance (mol⋅m−2⋅s−1)
 * ∂C/∂x, (1d)concentration gradient of substance (mol⋅dm−4)
 * $$ J_i = - D_{ij} \frac{\partial C}{\partial x_j} $$
 * Darcy's law for fluid flow in porous media, defines permeability κ
 * κ, permeability of medium (m2)
 * μ, fluid viscosity (Pa⋅s)
 * q, discharge flux of substance (m⋅s−1)
 * ∂P/∂x, (1d) pressure gradient of system (Pa⋅m−1)
 * q, discharge flux of substance (m⋅s−1)
 * ∂P/∂x, (1d) pressure gradient of system (Pa⋅m−1)
 * $$ q_j = -\frac{\kappa}{\mu} \frac{\partial P}{\partial x_j} $$
 * Ohm's law of electric conduction, defines electric conductivity (and hence resistivity and resistance)
 * V, potential difference in material (V)
 * I, electric current through material (A)
 * R, resistance of material (Ω)
 * ∂V/∂x, potential gradient (electric field) through material (V⋅m−1)
 * J, electric current density through material (A⋅m−2)
 * σ, electric conductivity of material (Ω−1⋅m−1)
 * ρ, electrical resistivity of material (Ω⋅m)
 * σ, electric conductivity of material (Ω−1⋅m−1)
 * ρ, electrical resistivity of material (Ω⋅m)

More general forms are: $$\frac{\partial V}{\partial x_j} = \rho_{ji} J_i \, \rightleftharpoons \, J_i = \sigma_{ij} \frac{\partial V}{\partial x_j} $$ For a single radiator: $$I = \varepsilon \sigma T^4$$
 * Fourier's law of thermal conduction, defines thermal conductivity λ
 * λ, thermal conductivity of material (W⋅m−1⋅K−1 )
 * q, heat flux through material (W⋅m−2)
 * ∂T/∂x, temperature gradient in material (K⋅m−1)
 * q, heat flux through material (W⋅m−2)
 * ∂T/∂x, temperature gradient in material (K⋅m−1)
 * $$ q_i= - \lambda_{ij}\frac{\partial T}{\partial x_j} $$
 * Stefan–Boltzmann law of black-body radiation, defines emmisivity ε
 * I, radiant intensity (W⋅m−2)
 * σ, Stefan–Boltzmann constant (W⋅m−2⋅K−4)
 * Tsys, temperature of radiating system (K)
 * Text, temperature of external surroundings (K)
 * ε, emissivity (dimensionless)
 * Text, temperature of external surroundings (K)
 * ε, emissivity (dimensionless)

For a temperature difference:
 * }

यह भी देखें

 * भौतिक निष्पक्षता का सिद्धांत
 * रियोलॉजी

टिप्पणियाँ
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