हॉफ फिब्रेशन

विभेदक टोपोलॉजी के गणितीय क्षेत्र में हॉपफ फिब्रेशन हलकों और एक साधारण क्षेत्र के संदर्भ में एक 3-गोले का वर्णन करता है जो 1931 में हेंज हॉपफ द्वारा खोजा गया और यह फाइबर बंडल का एक प्रभावशाली प्रारंभिक उदाहरण है

तकनीकी रूप से हॉपफ ने 3-गोले से 2-गोले तक निरंतर कार्य पाया जिससे कि प्रत्येक अलग- अलग बिंदु 2-गोले को 3-गोले तक एक बड़े वृत्त से प्रतिचित्रित किया गया है।

इस प्रकार यह 3-गोलाकार तंतुओं से बना है जहां प्रत्येक तंतु एक वृत्त है और प्रत्येक 2-गोले के लिए एक बिंदु एक निर्धारित है।

तथा यह फाइबर बंडल संरचना इस प्रकार निरूपित है


 * $$S^1 \hookrightarrow S^3 \xrightarrow{\ p \, } S^2, $$

जिसका अर्थ है कि फाइबर स्थान S1 स्थान $S^{3}$ में अंतर्निहित है और $R^{3}$ परियोजनाएं $R^{3}$ बेस स्थान पर $S^{2}$ में अंतर्निहित है और हॉपफ फिब्रेशन किसी भी फाइबर बंडल की तरह महत्वपूर्ण गुण रखता है कि यह स्थानीय रूप से एक उत्पाद स्थान है जबकि यह एक तुच्छ फाइबर बंडल नहीं है अर्थात $S^{3}$ विश्व स्तर का उत्पाद नहीं है जबकि $p : S^{3} → S^{2}$ और $S^{3}$ स्थानीय रूप से अप्रभेद्य हैं।

इसके बहुत निहितार्थ हैं उदाहरण के लिए इस बंडल के अस्तित्व से पता चलता है कि क्षेत्रों के उच्च होमोटोपी समूह सामान्य रूप से तुच्छ नहीं हैं। यह सर्कल समूह के साथ फाइबर की पहचान करके, एक प्रमुख बंडल का मूल उदाहरण भी प्रदान करता है।

हॉफ फिब्रेशन का त्रिविम प्रक्षेपण एक उल्लेखनीय संरचना को प्रेरित करता है $S^{2}$, जिसमें z-अक्ष को छोड़कर सभी 3-आयामी स्थान, विल्लारसेउ मंडलियों को जोड़ने से बने नेस्टेड टोरस्र्स  से भरे हुए हैं। यहाँ प्रत्येक तंतु अंतरिक्ष में एक वृत्त की ओर प्रक्षेपित होता है (जिनमें से एक रेखा है, जिसे अनंत से होते हुए एक वृत्त के रूप में माना जाता है)। प्रत्येक टोरस के अक्षांश के एक वृत्त की व्युत्क्रम छवि का त्रिविम प्रक्षेपण है $S^{3}$-वृत्त। (टोपोलॉजिकल रूप से, एक टोरस दो हलकों का उत्पाद है।) इन तोरी को छवियों में दाईं ओर चित्रित किया गया है। कब $S^{2}$ एक गेंद की सीमा तक संकुचित हो जाता है, कुछ ज्यामितीय संरचना खो जाती है, हालांकि टोपोलॉजिकल संरचना बरकरार रहती है (ज्यामिति # टोपोलॉजी देखें)। लूप हलकों के लिए होमियोमॉर्फिक हैं, हालांकि वे ज्यामितीय सर्कल नहीं हैं।

हॉफ फिब्रेशन के कई सामान्यीकरण हैं। जटिल समन्वय स्थान में इकाई क्षेत्र $S^{1}$ स्वाभाविक रूप से जटिल प्रक्षेप्य स्थान पर फाइबर $R^{3}$ तंतुओं के रूप में हलकों के साथ, और वास्तविक संख्या, चतुष्कोणीय भी हैं, और इन तंतुओं के अष्टकोणीय संस्करण। विशेष रूप से, हॉफ फिब्रेशन चार फाइबर बंडलों के परिवार से संबंधित है जिसमें कुल स्थान, आधार स्थान और फाइबर स्थान सभी क्षेत्र हैं:


 * $$S^0\hookrightarrow S^1 \to S^1,$$
 * $$S^1\hookrightarrow S^3 \to S^2,$$
 * $$S^3\hookrightarrow S^7 \to S^4,$$
 * $$S^7\hookrightarrow S^{15}\to S^8.$$

हॉफ इनवेरिएंट द्वारा#प्रॉपर्टीज| एडम्स के प्रमेय में ऐसे कंपन केवल इन्हीं आयामों में हो सकते हैं।

ट्विस्टर सिद्धांत में हॉफ फिब्रेशन महत्वपूर्ण है।

परिभाषा और निर्माण
किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए, एक n-आयामी क्षेत्र, या n-क्षेत्र, को बिंदुओं के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$(n+1)$$-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष जो एक केंद्रीय बिंदु (गणित) से एक निश्चित दूरी पर हैं। संक्षिप्तता के लिए, केंद्रीय बिंदु को उत्पत्ति (गणित) के रूप में लिया जा सकता है, और इस उत्पत्ति से गोले पर बिंदुओं की दूरी को एक इकाई लंबाई माना जा सकता है। इस परिपाटी के साथ, n-क्षेत्र, $$S^n$$, बिंदुओं से मिलकर बनता है $$(x_1, x_2,\ldots, x_{n+ 1})$$ में $$\R^{n+1}$$ एक्स के साथ12 + x22 + ⋯+ xn + 12 = 1. उदाहरण के लिए, द $2$-क्षेत्र में बिंदु होते हैं (x1, एक्स2, एक्स3, एक्स4) आर में4 x के साथ12 + x22 + x32 + x42 = 1.

द हॉफ फिब्रेशन $R^{3}$ की $C^{n+1}$-क्षेत्र के ऊपर $CP^{n}$-क्षेत्र को कई तरह से परिभाषित किया जा सकता है।

प्रत्यक्ष निर्माण
पहचान करना $3$ साथ $p: S^{3} → S^{2}$ और $3$ साथ $2$ (कहाँ $R^{4}$ जटिल संख्याओं को दर्शाता है) लिखकर:


 * $$(x_1, x_2, x_3, x_4) \leftrightarrow  (z_0, z_1) = (x_1 + ix_2, x_3+ix_4)$$

और


 * $$(x_1, x_2, x_3) \leftrightarrow (z, x) =  (x_1 + ix_2, x_3)$$.

इस प्रकार $C^{2}$ की पहचान सभी के सबसेट से की जाती है $R^{3}$ में $C × R$ ऐसा है कि $C$, और $S^{3}$ की पहचान सभी के सबसेट से की जाती है $(z_{0}, z_{1})$ में $C^{2}$ ऐसा है कि $|z_{0}|^{2} + |z_{1}|^{2} = 1$. (यहाँ, एक सम्मिश्र संख्या के लिए $S^{2}$, जहां तारा जटिल संयुग्म को दर्शाता है।) फिर हॉफ फिब्रेशन $(z, x)$ द्वारा परिभाषित किया गया है


 * $$p(z_0,z_1) = (2z_0z_1^{\ast}, \left|z_0 \right|^2-\left|z_1 \right|^2).$$

पहला घटक एक सम्मिश्र संख्या है, जबकि दूसरा घटक वास्तविक है। पर कोई बिंदु $C×R$-क्षेत्र में वह गुण होना चाहिए $|z|^{2} + x^{2} = 1$. अगर ऐसा है तो $z = x + iy, |z|^{2} = z z^{∗} = x^{2} + y^{2}$ इकाई पर स्थित है $p$-क्षेत्र में $3$, जैसा कि के जटिल और वास्तविक घटकों का वर्ग करके दिखाया जा सकता है $|z_{0}|^{2} + |z_{1}|^{2} = 1$


 * $$2 z_{0} z_{1}^{\ast} \cdot 2 z_{0}^{\ast} z_{1} +

\left( \left| z_{0} \right|^{2} - \left| z_{1} \right|^{2} \right)^{2} = 4 \left| z_{0} \right|^{2} \left| z_{1} \right|^{2} + \left| z_{0} \right|^{4} - 2 \left| z_{0} \right|^{2} \left| z_{1} \right|^{2} + \left| z_{1} \right|^{4} = \left( \left| z_{0} \right|^{2} + \left| z_{1} \right|^{2} \right)^{2} = 1$$ इसके अलावा, यदि 3-गोले के नक्शे पर दो बिंदु 2-गोले पर एक ही बिंदु पर हैं, अर्थात, यदि $p(z_{0}, z_{1})$, तब $2$ के बराबर होना चाहिए $C × R$ कुछ जटिल संख्या के लिए $p$ साथ $p(z_{0}, z_{1}) = p(w_{0}, w_{1})$. इसका उलटा भी सच है; पर कोई दो बिंदु $(w_{0}, w_{1})$-क्षेत्र जो एक सामान्य जटिल कारक से भिन्न होता है $(λ z_{0}, λ z_{1})$ उसी बिंदु पर मैप करें $λ$-वृत्त। ये निष्कर्ष अनुसरण करते हैं, क्योंकि जटिल कारक $|λ|^{2} = 1$ अपने जटिल संयुग्म के साथ रद्द करता है $3$ के दोनों भागों में $λ$: परिसर में $2$ घटक और वास्तविक घटक में $λ$.

जटिल संख्याओं के सेट के बाद से $λ^{∗}$ साथ $p$ कॉम्प्लेक्स प्लेन में यूनिट सर्कल बनाते हैं, यह प्रत्येक बिंदु के लिए इसका अनुसरण करता है $2z_{0}z_{1}^{∗}$ में $|z_{0}|^{2} − |z_{1}|^{2}$, उलटी छवि $λ$ एक वृत्त है, अर्थात, $|λ|^{2} = 1$. इस प्रकार $m$-क्षेत्र को इन वृत्ताकार तंतुओं के एक अलग संघ के रूप में महसूस किया जाता है।

का प्रत्यक्ष पैरामीट्रिजेशन $S^{2}$-क्षेत्र हॉफ मानचित्र का प्रयोग इस प्रकार है।
 * $$z_0 = e^{i\,\frac{\xi_1+\xi_2}{2}}\sin\eta $$
 * $$z_1 = e^{i\,\frac{\xi_2-\xi_1}{2}}\cos\eta. $$

या यूक्लिडियन में $p^{−1}(m)$


 * $$x_1 = \cos\left(\frac{\xi_1+\xi_2}{2}\right)\sin\eta$$
 * $$x_2 = \sin\left(\frac{\xi_1+\xi_2}{2}\right)\sin\eta $$
 * $$x_3 = \cos\left(\frac{\xi_2-\xi_1}{2}\right)\cos\eta $$
 * $$x_4 = \sin\left(\frac{\xi_2-\xi_1}{2}\right)\cos\eta $$

कहाँ $p^{−1}m ≅ S^{1}$ सीमा से अधिक चलता है $3$ को $3$, $R^{4}$ सीमा से अधिक चलता है $η$ और $0$ और $π/2$ के बीच कोई भी मान ले सकता है $ξ_{1}$ और $0$. का हर मूल्य $2π$, के अलावा $ξ_{2}$ और $0$ जो मंडलियों को निर्दिष्ट करता है, में एक अलग सपाट टोरस  निर्दिष्ट करता है $4π$-क्षेत्र, और एक चक्कर यात्रा ($η$ को $0$) दोनों में से एक का $π/2$ या $3$ आपको टोरस के दोनों अंगों का एक पूर्ण चक्र बनाने का कारण बनता है।

उपरोक्त पैरामीट्रिजेशन की मैपिंग $0$-क्षेत्र इस प्रकार है, जिसके द्वारा पैरामीट्रिज किए गए मंडलियों पर बिंदु हैं $4π$.


 * $$z = \cos(2\eta)$$
 * $$x = \sin(2\eta)\cos\xi_1$$
 * $$y = \sin(2\eta)\sin\xi_1$$

जटिल प्रक्षेपी रेखा का उपयोग करते हुए ===ज्यामितीय व्याख्या ====

जटिल प्रक्षेपी रेखा का उपयोग करके कंपन की एक ज्यामितीय व्याख्या प्राप्त की जा सकती है, $ξ_{1}$, जिसे सभी जटिल एक-आयामी सदिश उपसमष्टि के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है $ξ_{2}$. समान रूप से, $2$ का कोशेंट स्पेस (टोपोलॉजी) है $ξ_{2}$ तुल्यता संबंध द्वारा जो पहचान करता है $CP^{1}$ साथ $C^{2}$ किसी भी अशून्य सम्मिश्र संख्या λ के लिए। 'C' में किसी जटिल रेखा पर2 इकाई मानदंड का एक चक्र है, और इसलिए भागफल मानचित्र (टोपोलॉजी) को इकाई मानदंड के बिंदुओं तक सीमित करना एक कंपन है $CP^{1}$ ऊपर $C^{2}\{0}$.

$(z_{0}, z_{1})$ a के लिए भिन्न है $(λ z_{0}, λ z_{1})$-क्षेत्र: वास्तव में इसे रीमैन क्षेत्र से पहचाना जा सकता है $S^{3}$, जो कि एक बिंदु संघनन है $CP^{1}$ (अनंत पर एक बिंदु जोड़कर प्राप्त)। के लिए दिया गया सूत्र $CP^{1}$ ऊपर जटिल प्रक्षेपी रेखा और साधारण के बीच एक स्पष्ट भिन्नता को परिभाषित करता है $2$-क्षेत्र में $C_{∞} = C ∪ {∞}$-विमीय स्थान। वैकल्पिक रूप से, बिंदु $C$ अनुपात में मैप किया जा सकता है $p$ रीमैन क्षेत्र में $2$.

फाइबर बंडल संरचना
हॉफ फिब्रेशन बंडल प्रोजेक्शन के साथ एक फाइबर बंडल को परिभाषित करता है $3$. इसका मतलब यह है कि इसकी एक स्थानीय उत्पाद संरचना है, इस अर्थ में कि प्रत्येक बिंदु $(z_{0}, z_{1})$-क्षेत्र का कुछ पड़ोस है (टोपोलॉजी) $z_{1}/z_{0}$ जिसकी उलटी छवि में $C_{∞}$-क्षेत्र के उत्पाद स्थान के साथ होमियोमोर्फिज्म हो सकता है $p$ और एक वृत्त: $2$. इस तरह के कंपन को स्थानीय रूप से तुच्छ कहा जाता है।

हॉफ फिब्रेशन के लिए, यह एक बिंदु को हटाने के लिए पर्याप्त है $U$ से $3$ और संगत वृत्त $U$ से $p^{−1}(U) ≅ U × S^{1}$; इस प्रकार कोई भी ले सकता है $m$, और किसी भी बिंदु में $S^{2}$ के पास इस फॉर्म का एक पड़ोस है।

घूर्णन का उपयोग करते हुए ज्यामितीय व्याख्या
हॉफ फिब्रेशन की एक और ज्यामितीय व्याख्या के घूर्णन पर विचार करके प्राप्त की जा सकती है $p^{−1}(m)$-क्षेत्र सामान्य रूप में $S^{3}$-विमीय स्थान। घूर्णन समूह SO(3)(3) में डबल कवरिंग ग्रुप, स्पिन समूह  है $U = S^{2}\ { m }$, डिफियोमॉर्फिक टू द $S^{2}$-वृत्त। स्पिन समूह सकर्मक समूह क्रिया पर कार्य करता है $2$ घूर्णन द्वारा। समूह क्रिया (गणित)#किसी बिंदु की कक्षाएँ और स्थिरीकरण वृत्त समूह के लिए समरूपी होते हैं; इसके तत्व रोटेशन के कोण हैं जो दिए गए बिंदु को बिना हिलाए छोड़ते हैं, सभी उस बिंदु को गोले के केंद्र से जोड़ने वाले अक्ष को साझा करते हैं। यह आसानी से अनुसरण करता है कि $3$-sphere एक प्रिंसिपल सर्कल बंडल है $Spin(3)$-क्षेत्र, और यह हॉफ फिब्रेशन है।

इसे और अधिक स्पष्ट करने के लिए, दो दृष्टिकोण हैं: समूह $3$ को या तो समूह सहानुभूतिपूर्ण समूह#Sp(n)|Sp(1) इकाई चतुर्भुजों के साथ, या विशेष एकात्मक समूह SU(2) के साथ पहचाना जा सकता है।

पहले दृष्टिकोण में, एक वेक्टर $S^{2}$ में $3$ की व्याख्या चतुष्कोण के रूप में की जाती है $2$ लेखन से


 * $$ q = x_1+\mathbf{i}x_2+\mathbf{j}x_3+\mathbf{k}x_4.\,\!$$

$Spin(3)$-गोला तब छंदों के साथ पहचाना जाता है, इकाई मानदंड के चतुष्कोण, वे $(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})$ जिसके लिए $R^{4}$, कहाँ $q ∈ H$, जो बराबर है ${{math|3}|3}}$ के लिए $q ∈ H$ ऊपरोक्त अनुसार।

दूसरी ओर, एक वेक्टर $|q|^{2} = 1$ में $|q|^{2} = q q^{∗}$ की व्याख्या शुद्ध चतुर्भुज के रूप में की जा सकती है


 * $$ p = \mathbf{i}y_1+\mathbf{j}y_2+\mathbf{k}y_3. \,\!$$

फिर, जैसा कि सर्वविदित है, मैपिंग


 * $$ p \mapsto q p q^* \,\!$$

में घूर्णन है $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2}$: वास्तव में यह स्पष्ट रूप से एक आइसोमेट्री है, चूंकि $q$, और यह जांचना मुश्किल नहीं है कि यह अभिविन्यास को सुरक्षित रखता है।

वास्तव में, यह वर्सर्स के समूह को रोटेशन के समूह के साथ पहचानता है $(y_{1}, y_{2}, y_{3})$, इस तथ्य को स्पष्ट करें कि vers $R^{3}$ और $R^{3}$ एक ही घुमाव निर्धारित करें। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, घुमाव सकर्मक रूप से कार्य करते हैं $|q p q^{∗}|^{2} = q p q^{∗} q p^{∗} q^{∗} = q p p^{∗} q^{∗} = |p|^{2}$, और छंदों का सेट $R^{3}$ जो दिए गए सही छंद को ठीक करता है $q$ रूप है $−q$, कहाँ $S^{2}$ और $q$ के साथ वास्तविक संख्याएँ हैं $p$. यह एक वृत्त उपसमूह है। संक्षिप्तता के लिए, कोई ले सकता है $q = u + v p$, और फिर हॉफ फिब्रेशन को एक छंद भेजने वाले मानचित्र के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $u$. सभी चतुष्कोण $v$, कहाँ $u^{2} + v^{2} = 1$ ठीक करने वाले छंदों में से एक है $p = k$, उसी चीज़ पर मैप करें (जो कि दोनों में से एक है $ω to ω k ω^{∗}$ घूर्णन घूर्णन $ωq$ उसी स्थान पर $q$ करता है)।

इस कंपन को देखने का एक और तरीका यह है कि प्रत्येक छंद ω द्वारा फैलाए गए विमान को स्थानांतरित करता है $k$ द्वारा फैलाए गए एक नए विमान के लिए $180°$. कोई चतुष्कोण $k$, कहाँ $ω$ ठीक करने वाले छंदों में से एक है ${ 1, k }$, का समान प्रभाव होगा। हम इन सभी को एक फाइबर में डालते हैं, और फाइबर को एक-से-एक में मैप किया जा सकता है ${ ω, ωk }$-क्षेत्रफल $ωq$ घुमाव जो की सीमा है $q$.

यह दृष्टिकोण चतुर्धातुक की पहचान करके प्रत्यक्ष निर्माण से संबंधित है $k$ साथ $2$ आव्यूह:


 * $$\begin{bmatrix} x_1+\mathbf i x_2 & x_3+\mathbf i x_4 \\ -x_3+\mathbf i x_4 & x_1-\mathbf i x_2 \end{bmatrix}.\,\!$$

यह छंदों के समूह की पहचान करता है $180°$, और तिरछा-हर्मिटियन के साथ काल्पनिक चतुष्कोण $ωkω^{*}$ मेट्रिसेस (आइसोमॉर्फिक टू $q = x_{1} + i x_{2} + j x_{3} + k x_{4}$).

स्पष्ट सूत्र
एक इकाई चतुर्धातुक द्वारा प्रेरित घूर्णन $2×2$ ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स द्वारा स्पष्ट रूप से दिया गया है


 * $$\begin{bmatrix}

1-2(y^2+z^2) & 2(xy - wz) & 2(xz+wy)\\ 2(xy + wz) & 1-2(x^2+z^2) & 2(yz-wx)\\ 2(xz-wy) & 2(yz+wx) & 1-2(x^2+y^2) \end{bmatrix}. $$ यहाँ हम बंडल प्रोजेक्शन के लिए एक स्पष्ट वास्तविक सूत्र पाते हैं, यह देखते हुए कि निश्चित इकाई वेक्टर के साथ $SU(2)$ एक्सिस, $2×2$, अन्य इकाई सदिश में घुमाता है,


 * $$ \Big(2(xz+wy), 2(yz-wx) , 1-2(x^2+y^2)\Big) , \,\!$$

जो एक सतत कार्य है $C × R$. यानी की छवि $q = w + i x + j y + k z$ पर बिंदु है $z$-क्षेत्र जहां यह इकाई वेक्टर को साथ भेजता है $(0,0,1)$ एक्सिस। दिए गए बिंदु पर फाइबर $(w, x, y, z)$ उन सभी यूनिट चतुष्कोणों से मिलकर बनता है जो यूनिट वेक्टर को वहां भेजते हैं।

हम किसी बिंदु पर फाइबर के लिए एक स्पष्ट सूत्र भी लिख सकते हैं $q$ में $2$. इकाई चतुष्कोणों का गुणन घुमावों की संरचना का निर्माण करता है, और


 * $$q_{\theta} = \cos \theta + \mathbf{k} \sin \theta$$

द्वारा घूर्णन है $z$ चारों ओर $S^{2}$ एक्सिस। जैसा $(a, b, c)$ भिन्न होता है, यह एक बड़े वृत्त को मिटा देता है $S^{2}$, हमारा प्रोटोटाइपिक फाइबर। जब तक आधार बिंदु, $2θ$, एंटीपोड नहीं है, $z$, चतुर्धातुक


 * $$ q_{(a,b,c)} = \frac{1}{\sqrt{2(1+c)}}(1+c-\mathbf{i}b+\mathbf{j}a) $$

भेज देंगे $θ$ को $S^{3}$. इस प्रकार का फाइबर $(a, b, c)$ रूप के चतुष्कोणों द्वारा दिया गया है $(0, 0, −1)$, जो हैं $(0, 0, 1)$ अंक


 * $$ \frac{1}{\sqrt{2(1+c)}}

\Big((1+c) \cos (\theta ), a \sin (\theta )-b \cos (\theta ),  a \cos (\theta )+b \sin (\theta ),  (1+c) \sin (\theta )\Big). \,\!$$ चूंकि गुणा करके $(a, b, c)$ चतुष्कोणीय स्थान के रोटेशन के रूप में कार्य करता है, फाइबर केवल एक टोपोलॉजिकल सर्कल नहीं है, यह एक ज्यामितीय सर्कल है।

अंतिम फाइबर, के लिए $(a, b, c)$ परिभाषित करके दिया जा सकता है $q_{(a, b, c)}q_{θ}$ बराबर करने के लिए $S^{3}$, उत्पादन कर रहा है


 * $$ \Big(0,\cos (\theta ),-\sin (\theta ),0\Big),$$

जो बंडल पूरा करता है। लेकिन ध्यान दें कि यह एक-से-एक मैपिंग के बीच $q_{(a,b,c)}$ और $(0, 0, −1)$ इस वृत्त पर निरंतर नहीं है, इस तथ्य को दर्शाता है कि $q_{(0,0,−1)}$ स्थलाकृतिक रूप से समतुल्य नहीं है $i$.

इस प्रकार, हॉफ फिब्रेशन की कल्पना करने का एक सरल तरीका इस प्रकार है। पर कोई बिंदु $S^{3}$-क्षेत्र चतुष्कोण के बराबर है, जो बदले में तीन आयामों में कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के एक विशेष घुमाव के बराबर है। सभी संभावित चतुष्कोणों का सेट सभी संभावित घुमावों के सेट का उत्पादन करता है, जो इस तरह के एक समन्वय फ्रेम के एक इकाई वेक्टर की नोक को स्थानांतरित करता है (कहते हैं, $S^{2}×S^{1}$ वेक्टर) एक इकाई पर सभी संभावित बिंदुओं के लिए $S^{3}$-वृत्त। हालाँकि, की नोक को ठीक करना $S^{2}×S^{1}$ वेक्टर रोटेशन को पूरी तरह से निर्दिष्ट नहीं करता है; के बारे में एक और घुमाव संभव है $3$एक्सिस। इस प्रकार $z$-sphere पर मैप किया गया है $2$-क्षेत्र, साथ ही एक घूर्णन।

यूलर कोण θ, φ, और ψ का उपयोग करके रोटेशन का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। हॉफ मैपिंग रोटेशन को θ और φ द्वारा दिए गए 2-गोले पर बिंदु पर मैप करता है, और संबंधित सर्कल ψ द्वारा पैरामीट्रिज्ड है। ध्यान दें कि जब θ = π यूलर कोण φ और ψ व्यक्तिगत रूप से अच्छी तरह से परिभाषित नहीं होते हैं, तो हमारे पास (θ, φ के 3-टोरस के बीच एक-से-एक मैपिंग (या एक-से-दो मैपिंग) नहीं है, ψ) और एस 3।

द्रव यांत्रिकी
यदि हॉफ फ़िब्रेशन को 3 आयामी अंतरिक्ष में एक सदिश क्षेत्र के रूप में माना जाता है, तो द्रव गतिकी के नेवियर-स्टोक्स समीकरणों (संपीड़ित, गैर-चिपचिपा) का एक समाधान होता है जिसमें हॉफ़ फ़िब्रेशन के प्रक्षेपण के हलकों के साथ द्रव प्रवाहित होता है। 3 आयामी अंतरिक्ष में। समीकरणों को संतुष्ट करने के लिए प्रत्येक बिंदु पर वेग, घनत्व और दबाव का आकार चुना जा सकता है। केंद्र से दूर जाने पर ये सभी मात्राएँ शून्य हो जाती हैं। यदि आंतरिक रिंग की दूरी है, तो वेग, दबाव और घनत्व क्षेत्र निम्न द्वारा दिए गए हैं:


 * $$\mathbf{v}(x,y,z) = A \left(a^2+x^2+y^2+z^2\right)^{-2} \left( 2(-ay+xz), 2(ax+yz), a^2-x^2-y^2+z^2 \right)$$
 * $$p(x,y,z) = -A^2B \left(a^2+x^2+y^2+z^2\right)^{-3},$$
 * $$\rho(x,y,z) = 3B\left(a^2+x^2+y^2+z^2\right)^{-1}$$

मनमाने स्थिरांक के लिए $z$ और $z-$. magnetohydrodynamics के सॉलिटन समाधान के रूप में फ़ील्ड के समान पैटर्न पाए जाते हैं:

सामान्यीकरण
हॉपफ निर्माण, एक फाइबर बंडल पी के रूप में देखा गया: एस3 → सी.पी1, कई सामान्यीकरणों को स्वीकार करता है, जिन्हें अक्सर हॉफ फ़िब्रेशन के रूप में भी जाना जाता है। सबसे पहले, कोई प्रोजेक्टिव लाइन को एन-डायमेंशनल प्रक्षेपण स्थान  से बदल सकता है। दूसरा, जटिल संख्याओं को किसी भी (वास्तविक) विभाजन बीजगणित द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जिसमें (n = 1 के लिए) ऑक्टोनियन शामिल हैं।

रियल हॉफ फाइब्रेशंस
हॉफ फिब्रेशन का एक वास्तविक संस्करण सर्कल एस के संबंध में प्राप्त किया जाता है1 R के उपसमुच्चय के रूप में2 सामान्य तरीके से और द्वारा एंटीपोडल बिंदुओं की पहचान करना। यह एक फाइबर बंडल एस देता है1 → आरपी1 फाइबर एस के साथ वास्तविक प्रक्षेपी रेखा पर0 = {1, -1}। जैसे सी.पी1 एक गोले, RP के लिए भिन्न है1 एक वृत्त के लिए भिन्न है।

अधिक आम तौर पर, एन-क्षेत्र एसn वास्तविक प्रक्षेपी स्थान 'RP' पर फाइबरn फाइबर एस के साथ 0।

कॉम्प्लेक्स हॉफ फाइब्रेशंस
हॉफ रचना वृत्त बंडल p : S देती है2n+1 → 'सीपी'n जटिल प्रक्षेपी स्थान पर। यह वास्तव में 'सीपी' पर टॉटोलॉजिकल लाइन बंडल का प्रतिबंध हैn 'C' में इकाई क्षेत्र के लिएएन+1.

क्वाटरनियोनिक हॉफ फाइब्रेशंस
इसी तरह, कोई एस को मान सकता है4n+3 'H' के रूप मेंn+1 (quaternionic n-space) और यूनिट क्वाटरनियन (= S3) क्वाटरनियोनिक प्रोजेक्टिव स्पेस एचपी प्राप्त करने के लिए गुणनएन. विशेष रूप से, चूंकि एस4 = एच.पी1, एक बंडल S है7 → एस4 फाइबर एस के साथ 3।

ऑक्टियोनिक हॉफ फाइब्रेशंस
ऑक्टोनियंस के साथ एक समान निर्माण एक बंडल एस उत्पन्न करता है15 → एस8 फाइबर एस के साथ7। लेकिन गोला एस 31 S पर फाइबर नहीं करता है16 फाइबर एस के साथ15. कोई एस को मान सकता है8 ऑक्टोनिक प्रोजेक्टिव लाइन ओपी के रूप में1। हालांकि कोई केली विमान ओपी को भी परिभाषित कर सकता है 2, गोला S23 ओपी पर फाइबर नहीं करता है 2 फाइबर के साथ एस 7।

गोले के बीच कंपन
कभी-कभी हॉप फ़िब्रेशन शब्द ऊपर प्राप्त क्षेत्रों के बीच फ़िब्रेशन तक ही सीमित होता है, जो हैं हॉफ इनवेरिएंट#प्रॉपर्टीज| के परिणामस्वरूप एडम्स की प्रमेय, कुल स्थान, आधार स्थान और फाइबर के रूप में गोले के साथ फाइबर बंडल केवल इन आयामों में हो सकते हैं। समान गुणों वाले फाइबर बंडल, लेकिन हॉफ फ़िब्रेशन से अलग, जॉन मिल्नोर द्वारा विदेशी क्षेत्रों के निर्माण के लिए उपयोग किया गया था।
 * एस1 → एस1 फाइबर एस के साथ 0
 * एस3 → एस2 फाइबर एस के साथ 1
 * एस7 → एस4 फाइबर एस के साथ 3
 * एस15 → एस8 फाइबर एस के साथ 7

ज्यामिति और अनुप्रयोग
हॉफ फिब्रेशन के कई निहितार्थ हैं, कुछ विशुद्ध रूप से आकर्षक हैं, अन्य गहरे हैं। उदाहरण के लिए, स्टीरियोग्राफिक प्रोजेक्शन एस 3|undefined → आर3 R में एक उल्लेखनीय संरचना को प्रेरित करता है3, जो बदले में बंडल की टोपोलॉजी को प्रकाशित करता है. त्रिविम प्रक्षेपण मंडलियों को संरक्षित करता है और हॉप फाइबर को आर में ज्यामितीय रूप से सही मंडलियों में मैप करता है3 जो जगह भरते हैं। यहां एक अपवाद है: आर में एक सीधी रेखा के लिए प्रोजेक्शन पॉइंट मैप्स वाला हॉफ सर्कल3 — अनंत के माध्यम से एक चक्र।

एस पर अक्षांश के एक चक्र पर तंतु2 S में एक टोरस बनाता है3 (टोपोलॉजिकल रूप से, एक टोरस दो सर्किलों का उत्पाद है) और ये प्रोजेक्ट आर में नेस्टेड टोरस के लिए हैं3 जो स्पेस भी भरता है। प्रक्षेपण बिंदु के माध्यम से सर्कल के अपवाद के साथ और इसके एंटीपोडल बिंदु के माध्यम से सर्कल के अपवाद के साथ, अलग-अलग तंतुओं को इन टोरी पर विल्लारसेऊ हलकों को जोड़ने के लिए मैप किया जाता है: पूर्व मानचित्र एक सीधी रेखा के लिए, बाद में एक इकाई सर्कल के लंबवत, और पर केंद्रित, यह रेखा, जिसे एक पतित टोरस के रूप में देखा जा सकता है, जिसकी मामूली त्रिज्या शून्य हो गई है। प्रत्येक अन्य फाइबर छवि रेखा को भी घेरती है, और इसलिए, समरूपता द्वारा, प्रत्येक वृत्त को प्रत्येक वृत्त के माध्यम से जोड़ा जाता है, दोनों 'आर' में3 और एस में 3। दो ऐसे लिंकिंग सर्किल आर में एक हॉफ लिंक बनाते हैं 3

हॉफ ने साबित किया कि हॉफ मैप में हॉफ इनवेरिएंट 1 है, और इसलिए यह अशक्त होमोटोपिक नहीं है। वास्तव में यह समरूपता समूह π उत्पन्न करता है3(एस2) और इसका क्रम अनंत है।

क्वांटम यांत्रिकी में, रीमैन क्षेत्र को बलोच क्षेत्र के रूप में जाना जाता है, और हॉफ फ़िब्रेशन क्वांटम मैकेनिकल दो-स्तरीय प्रणाली या qubit  की सामयिक संरचना का वर्णन करता है। इसी तरह, उलझी हुई दो-स्तरीय प्रणालियों की एक जोड़ी की टोपोलॉजी हॉफ फिब्रेशन द्वारा दी गई है
 * $$S^3 \hookrightarrow S^7\to S^4.$$

. इसके अलावा, हॉफ फिब्रेशन चुंबकीय मोनोपोल के फाइबर बंडल संरचना के बराबर है। हॉफ फिब्रेशन ने रोबोटिक्स में भी आवेदन पाया, जहां इसका उपयोग मोशन प्लानिंग में संभाव्य रोडमैप  एल्गोरिदम के लिए रोटेशन ग्रुप SO(3)|SO(3) पर एकसमान नमूने उत्पन्न करने के लिए किया गया था। इसने  quadcopter  के स्वचालन में भी आवेदन पाया।

संदर्भ

 * ; reprinted as article 20 in

बाहरी संबंध

 * Dimensions Math Chapters 7 and 8 illustrate the Hopf fibration with animated computer graphics.
 * An Elementary Introduction to the Hopf Fibration by David W. Lyons (PDF)
 * YouTube animation showing dynamic mapping of points on the 2-sphere to circles in the 3-sphere, by Professor Niles Johnson.
 * YouTube animation of the construction of the 120-cell By Gian Marco Todesco shows the Hopf fibration of the 120-cell.
 * Video of one 30-cell ring of the 600-cell from http://page.math.tu-berlin.de/~gunn/.
 * Interactive visualization of the mapping of points on the 2-sphere to circles in the 3-sphere
 * Video of one 30-cell ring of the 600-cell from http://page.math.tu-berlin.de/~gunn/.
 * Interactive visualization of the mapping of points on the 2-sphere to circles in the 3-sphere