आइसिंग मॉडल

ईज़िंग मॉडल (या लेन्ज़-आइज़िंग मॉडल या ईज़िंग-लेन्ज़ मॉडल), जिसका नाम भौतिकविदों अर्नस्ट इसिंग और विलियम लेनज़ के नाम पर रखा गया है, सांख्यिकीय यांत्रिकी में लोह चुंबकत्व के भौतिकी में एक गणितीय मॉडल है। मॉडल में असतत चर होते हैं जो परमाणु चुंबकीय क्षण का प्रतिनिधित्व करते हैं। परमाणु स्पिन के चुंबकीय द्विध्रुवीय क्षण जो दो राज्यों (+1 या -1) में से एक में हो सकते हैं। स्पिन को एक ग्राफ में व्यवस्थित किया जाता है, आमतौर पर एक जाली (समूह) (जहां स्थानीय संरचना सभी दिशाओं में समय-समय पर दोहराती है), जिससे प्रत्येक स्पिन अपने पड़ोसियों के साथ बातचीत कर सके। पड़ोसी स्पिन जो सहमत हैं उनमें असहमत लोगों की तुलना में कम ऊर्जा होती है; सिस्टम सबसे कम ऊर्जा की ओर जाता है लेकिन गर्मी इस प्रवृत्ति को परेशान करती है, इस प्रकार विभिन्न संरचनात्मक चरणों की संभावना पैदा करती है। मॉडल वास्तविकता के सरलीकृत मॉडल के रूप में चरण संक्रमण की पहचान की अनुमति देता है। चरण संक्रमण दिखाने के लिए द्वि-आयामी वर्ग-जाली आइसिंग मॉडल सबसे सरल सांख्यिकीय मॉडल में से एक है। ईज़िंग मॉडल का आविष्कार भौतिक विज्ञानी ने किया था, जिन्होंने इसे अपने छात्र अर्न्स्ट इसिंग को एक समस्या के रूप में दिया। एक आयामी ईज़िंग मॉडल को किसके द्वारा हल किया गया था? अकेले अपने 1924 थीसिस में; इसका कोई चरण संक्रमण नहीं है। द्वि-आयामी वर्ग-जाली ईज़िंग मॉडल बहुत कठिन है और इसे बहुत बाद में एक विश्लेषणात्मक विवरण दिया गया था, द्वारा. यह आमतौर पर स्थानांतरण-मैट्रिक्स विधि द्वारा हल किया जाता है, हालांकि क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत से संबंधित विभिन्न दृष्टिकोण मौजूद हैं।

चार से अधिक आयामों में, ईज़िंग मॉडल के चरण संक्रमण को माध्य-क्षेत्र सिद्धांत द्वारा वर्णित किया गया है। 1970 के दशक के उत्तरार्ध में विभिन्न ट्री टोपोलॉजी के संबंध में अधिक आयामों के लिए ईज़िंग मॉडल का भी पता लगाया गया, जो शून्य-क्षेत्र, समय-स्वतंत्र के सटीक समाधान में परिणत हुआ। मनमाना शाखाओं के अनुपात के बंद केली पेड़ों के लिए मॉडल, और इस तरह, पेड़ की शाखाओं के भीतर मनमाने ढंग से बड़ी आयामीता। इस मॉडल के समाधान ने गैर-लुप्त होने वाली लंबी दूरी और निकटतम-पड़ोसी स्पिन-स्पिन सहसंबंधों के साथ एक नया, असामान्य चरण संक्रमण व्यवहार प्रदर्शित किया, जो कि बड़े तंत्रिका नेटवर्क के लिए प्रासंगिक माना जाता है।.

बाहरी क्षेत्र के बिना ईज़िंग समस्या को समतुल्य रूप से एक ग्राफ़ (असतत गणित) अधिकतम कट (मैक्स-कट) समस्या के रूप में तैयार किया जा सकता है जिसे संयोजी अनुकूलन के माध्यम से हल किया जा सकता है।

परिभाषा
एक सेट पर विचार करें $$\Lambda$$ जाली साइटों की, प्रत्येक आसन्न साइटों के एक सेट के साथ (जैसे एक ग्राफ (असतत गणित)) एक बनाने $$d$$-आयामी जाली। प्रत्येक जाली साइट के लिए $$k\in\Lambda$$ एक असतत चर है $$\sigma_k$$ ऐसा है कि $$\sigma_k\in\{-1, +1\}$$, साइट के घुमाव का प्रतिनिधित्व करता है। एक स्पिन विन्यास, $${\sigma} = \{\sigma_k\}_{k\in\Lambda}$$ प्रत्येक जाली साइट के लिए स्पिन वैल्यू का असाइनमेंट है।

किसी भी दो आसन्न साइटों के लिए $$i, j\in\Lambda$$ एक अंतःक्रिया होती है $$J_{ij}$$. एक साइट भी $$j\in\Lambda$$ एक बाहरी चुंबकीय क्षेत्र है $$h_j$$ इसके साथ बातचीत। एक विन्यास की ऊर्जा $${\sigma}$$ हैमिल्टन समारोह द्वारा दिया गया है


 * $$H(\sigma) = -\sum_{\langle ij\rangle} J_{ij} \sigma_i \sigma_j - \mu \sum_j h_j \sigma_j,$$

जहां पहला योग आसन्न स्पिन के जोड़े पर है (प्रत्येक जोड़ी को एक बार गिना जाता है)। अंकन $$\langle ij\rangle$$ साइटों को इंगित करता है $$i$$ और $$j$$ निकटतम पड़ोसी हैं। चुंबकीय क्षण किसके द्वारा दिया जाता है $$\mu$$. ध्यान दें कि उपरोक्त हैमिल्टनियन के दूसरे पद में संकेत वास्तव में सकारात्मक होना चाहिए क्योंकि इलेक्ट्रॉन का चुंबकीय क्षण इसके स्पिन के समानांतर है, लेकिन नकारात्मक शब्द पारंपरिक रूप से प्रयोग किया जाता है। कॉन्फ़िगरेशन की संभावना बोल्ट्जमैन वितरण द्वारा व्युत्क्रम तापमान के साथ दी गई है $$\beta\geq0$$:


 * $$P_\beta(\sigma) = \frac{e^{-\beta H(\sigma)}}{Z_\beta},$$

कहाँ $$\beta = (k_{\rm B} T)^{-1}$$, और सामान्यीकरण स्थिरांक


 * $$Z_\beta = \sum_\sigma e^{-\beta H(\sigma)}$$

विभाजन कार्य (सांख्यिकीय यांत्रिकी) है। एक समारोह के लिए $$f$$ घुमावों की संख्या (देखने योग्य), एक द्वारा इंगित करता है


 * $$\langle f \rangle_\beta = \sum_\sigma f(\sigma) P_\beta(\sigma)$$

की अपेक्षा (माध्य) मूल्य $$f$$.

कॉन्फ़िगरेशन संभावनाएं $$P_{\beta}(\sigma)$$ संभाव्यता का प्रतिनिधित्व करते हैं कि (संतुलन में) सिस्टम कॉन्फ़िगरेशन के साथ एक राज्य में है $$\sigma$$.

चर्चा
हैमिल्टनियन फ़ंक्शन के प्रत्येक पद पर ऋण चिह्न $$H(\sigma)$$ पारंपरिक है। इस चिह्न परिपाटी का उपयोग करते हुए, ईज़िंग मॉडल को अन्योन्यक्रिया के चिह्न के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है: यदि, किसी जोड़े के लिए i, j
 * $$J_{ij} > 0$$, इंटरैक्शन को लौह-चुंबकीय  कहा जाता है,
 * $$J_{ij} < 0$$, इंटरैक्शन को प्रति-लौहचुंबकीय  कहा जाता है,
 * $$J_{ij} = 0$$, स्पिन गैर-सहभागी हैं।

सिस्टम को फेरोमैग्नेटिक या एंटीफेरोमैग्नेटिक कहा जाता है यदि सभी इंटरैक्शन फेरोमैग्नेटिक हैं या सभी एंटीफेरोमैग्नेटिक हैं। मूल ईज़िंग मॉडल फेरोमैग्नेटिक थे, और यह अभी भी अक्सर माना जाता है कि ईज़िंग मॉडल का अर्थ फेरोमैग्नेटिक ईज़िंग मॉडल है।

फेरोमैग्नेटिक आइसिंग मॉडल में, स्पिन को संरेखित करने की इच्छा होती है: कॉन्फ़िगरेशन जिसमें आसन्न स्पिन एक ही संकेत के होते हैं, उच्च संभावना होती है। एक एंटीफेरोमैग्नेटिक मॉडल में, आसन्न स्पिनों में विपरीत संकेत होते हैं।

H(σ) की साइन कन्वेंशन यह भी बताती है कि स्पिन साइट j बाहरी क्षेत्र के साथ कैसे इंटरैक्ट करती है। अर्थात्, स्पिन साइट बाहरी क्षेत्र के साथ पंक्तिबद्ध करना चाहती है। अगर:
 * $$h_j > 0$$, स्पिन साइट j सकारात्मक दिशा में पंक्तिबद्ध करना चाहता है,
 * $$h_j < 0$$, स्पिन साइट j नकारात्मक दिशा में पंक्तिबद्ध करना चाहता है,
 * $$h_j = 0$$, स्पिन साइट पर कोई बाहरी प्रभाव नहीं पड़ता है।

सरलीकरण
आइसिंग मॉडल की अक्सर जाली के साथ परस्पर क्रिया करने वाले बाहरी क्षेत्र के बिना जांच की जाती है, यानी जाली Λ में सभी j के लिए h = 0। इस सरलीकरण का उपयोग करते हुए हैमिल्टनियन बन जाता है


 * $$H(\sigma) = -\sum_{\langle i~j\rangle} J_{ij} \sigma_i \sigma_j.$$

जब बाहरी क्षेत्र हर जगह शून्य होता है, h = 0, आइसिंग मॉडल सभी जाली साइटों में स्पिन के मान को स्विच करने के तहत सममित होता है; एक अशून्य क्षेत्र इस समरूपता को तोड़ता है।

एक और सामान्य सरलीकरण यह मान लेना है कि सभी निकटतम पड़ोसी ⟨ij⟩ की अंतःक्रिया शक्ति समान है। तब हम J सेट कर सकते हैंijΛ में सभी जोड़े i, j के लिए = J। इस मामले में हैमिल्टनियन को और सरल बनाया गया है


 * $$H(\sigma) = -J \sum_{\langle i~j\rangle} \sigma_i \sigma_j.$$

ग्राफ से कनेक्शन (असतत गणित) अधिकतम कट
वर्टेक्स (ग्राफ थ्योरी) का एक उपसमुच्चय S एक भारित अप्रत्यक्ष ग्राफ G का V(G) सेट करता है जो S में ग्राफ G का एक कट निर्धारित करता है और इसका पूरक ग्राफ सबसेट G\S है। कट का आकार S और G\S के बीच किनारों के वजन का योग है। एक अधिकतम कट आकार कम से कम किसी अन्य कट के आकार का होता है, जो अलग-अलग S होता है।

ग्राफ जी पर बाहरी क्षेत्र के बिना ईज़िंग मॉडल के लिए, हैमिल्टनियन ग्राफ किनारों ई (जी) पर निम्नलिखित योग बन जाता है।

$$H(\sigma) = -\sum_{ij\in E(G)} J_{ij}\sigma_i\sigma_j$$.

यहाँ ग्राफ का प्रत्येक शीर्ष i एक स्पिन साइट है जो एक स्पिन मान लेती है $$\sigma_i = \pm 1 $$. एक दिया गया स्पिन विन्यास $$\sigma$$ शीर्षों के समुच्चय को विभाजित करता है $$V(G)$$ में दो $$\sigma$$निर्भर उपसमुच्चय, स्पिन अप वाले $$V^+$$ और नीचे स्पिन वाले $$V^-$$. हम द्वारा निरूपित करते हैं $$\delta(V^+)$$ $$\sigma$$किनारों का निर्भर सेट जो दो पूरक वर्टेक्स सबसेट को जोड़ता है $$V^+$$ और $$V^-$$. आकार $$\left|\delta(V^+)\right|$$ कट का $$\delta(V^+)$$ द्विदलीय ग्राफ के लिए भारित अप्रत्यक्ष ग्राफ G को इस रूप में परिभाषित किया जा सकता है

$$\left|\delta(V^+)\right|=\frac12\sum_{ij\in \delta(V^+)} W_{ij}$$,

कहाँ $$W_{ij}$$ किनारे के वजन को दर्शाता है $$ij$$ और स्केलिंग 1/2 समान वज़न की दोहरी गणना के लिए क्षतिपूर्ति करने के लिए पेश किया गया है $$W_{ij}=W_{ji}$$.

पहचान

$$\begin{align} H(\sigma) &= -\sum_{ij\in E(V^+)} J_{ij} - \sum_{ij\in E(V^-)} J_{ij} + \sum_{ij\in \delta(V^+)} J_{ij} \\ &= - \sum_{ij \in E(G)} J_{ij} + 2 \sum_{ij\in \delta(V^+)} J_{ij}, \end{align}$$ जहां पहले कार्यकाल में कुल योग निर्भर नहीं करता है $$\sigma$$, इसका मतलब है कि कम करना $$H(\sigma)$$ में $$\sigma$$ कम करने के बराबर है $$\sum_{ij\in \delta(V^+)} J_{ij}$$. किनारे के वजन को परिभाषित करना $$W_{ij}=-J_{ij}$$ इस प्रकार किसी बाहरी क्षेत्र के बिना ईज़िंग समस्या को ग्राफ़ मैक्स-कट समस्या में बदल देता है कट आकार को अधिकतम करना $$\left|\delta(V^+)\right|$$, जो इस्सिंग हैमिल्टनियन से निम्नानुसार संबंधित है,

$$H(\sigma) = \sum_{ij \in E(G)} W_{ij} - 4 \left|\delta(V^+)\right|.$$

प्रश्न
इस मॉडल के बारे में पूछने के लिए महत्वपूर्ण संख्या में सांख्यिकीय प्रश्न बड़ी संख्या में घुमावों की सीमा में हैं:
 * एक विशिष्ट विन्यास में, अधिकांश स्पिन +1 या -1 हैं, या क्या वे समान रूप से विभाजित हैं?
 * यदि किसी दिए गए स्थान i पर स्पिन 1 है, तो क्या संभावना है कि स्थिति j पर स्पिन भी 1 है?
 * यदि β बदल दिया गया है, तो क्या कोई चरण संक्रमण है?
 * एक जाली Λ पर, +1 चक्रणों के एक बड़े समूह के आकार का भग्न आयाम क्या है?

मूल गुण और इतिहास
ईज़िंग मॉडल का सबसे अधिक अध्ययन किया गया मामला डी-डायमेंशनल जाली पर ट्रांसलेशन-इनवेरिएंट फेरोमैग्नेटिक ज़ीरो-फ़ील्ड मॉडल है, अर्थात्, Λ = 'Z'डी, जेij= 1, एच = 0।

एक आयाम में कोई चरण संक्रमण नहीं
अपने 1924 के पीएचडी थीसिस में, ईज़िंग ने डी = 1 मामले के लिए मॉडल को हल किया, जिसे एक रैखिक क्षैतिज जाली के रूप में माना जा सकता है जहां प्रत्येक साइट केवल अपने बाएं और दाएं पड़ोसी के साथ इंटरैक्ट करती है। एक आयाम में, समाधान चरण संक्रमण को स्वीकार नहीं करता है। अर्थात्, किसी भी सकारात्मक β के लिए, सहसंबंध ⟨σiσj⟩ |i − j| में चरघातांकी रूप से क्षय होता है:


 * $$\langle \sigma_i \sigma_j \rangle_\beta \leq C \exp\big(-c(\beta) |i - j|\big),$$

और व्यवस्था अव्यवस्थित है। इस परिणाम के आधार पर उन्होंने गलत निष्कर्ष निकाला कि यह मॉडल किसी भी आयाम में चरण व्यवहार प्रदर्शित नहीं करता है।

चरण संक्रमण और दो आयामों में सटीक समाधान
ईज़िंग मॉडल एक आदेशित चरण और एक अव्यवस्थित चरण के बीच 2 आयामों या अधिक में एक चरण संक्रमण से गुजरता है। अर्थात्, सिस्टम छोटे β के लिए अव्यवस्थित है, जबकि बड़े β के लिए सिस्टम फेरोमैग्नेटिक ऑर्डर प्रदर्शित करता है:


 * $$\langle \sigma_i \sigma_j \rangle_\beta \geq c(\beta) > 0.$$

यह पहली बार 1936 में रुडोल्फ पीयरल्स द्वारा सिद्ध किया गया था, जिसे अब Peierls तर्क कहा जाता है उसका उपयोग करना।

बिना चुंबकीय क्षेत्र वाले द्वि-आयामी वर्ग जाली पर ईज़िंग मॉडल को विश्लेषणात्मक रूप से हल किया गया था. ऑनसेगर ने दिखाया कि ईज़िंग मॉडल के सहसंबंध कार्य और थर्मोडायनामिक मुक्त ऊर्जा एक गैर-बाधित जाली फ़र्मियन द्वारा निर्धारित की जाती है। ऑनसेजर ने 1949 में 2-आयामी मॉडल के लिए सहज चुंबकीयकरण के सूत्र की घोषणा की, लेकिन कोई व्युत्पत्ति नहीं दी। ने इस फॉर्मूले का पहला प्रकाशित प्रमाण दिया, फ्रेडहोम निर्धारकों के लिए एक सेगो सीमा प्रमेय का उपयोग करते हुए, 1951 में गाबोर स्ज़ेगो द्वारा सिद्ध किया गया।

सहसंबंध असमानताएं
ईज़िंग स्पिन सहसंबंधों (सामान्य जाली संरचनाओं के लिए) के लिए कई सहसंबंध असमानताओं को सख्ती से प्राप्त किया गया है, जिसने गणितज्ञों को ईज़िंग मॉडल का अध्ययन करने के लिए और आलोचनात्मकता को बंद करने में सक्षम बनाया।

ग्रिफ़िथ असमानता
स्पिन के किसी भी सबसेट को देखते हुए $$\sigma_A$$ और $$\sigma_B$$ जाली पर, निम्नलिखित असमानता रखती है,

$$\langle \sigma_A \sigma_B \rangle \geq \langle \sigma_A \rangle \langle \sigma_B \rangle$$,

जिसका अर्थ है कि ईज़िंग फेरोमैग्नेट पर स्पिन सकारात्मक रूप से सहसंबद्ध हैं। इसका एक तात्कालिक अनुप्रयोग यह है कि स्पिन के किसी भी सेट का चुंबकीयकरण $$\langle \sigma_A \rangle$$ युग्मन स्थिरांक के किसी भी सेट के संबंध में बढ़ रहा है $$J_B$$.

साइमन-लिब असमानता
साइमन-लीब असमानता बताता है कि किसी भी सेट के लिए $$S$$ डिस्कनेक्ट कर रहा है $$x$$ से $$y$$ (उदाहरण के साथ एक बॉक्स की सीमा $$x$$ बॉक्स के अंदर होना और $$y$$ बाहरी होना),

$$\langle \sigma_x \sigma_y \rangle \leq \sum_{z\in S} \langle \sigma_x \sigma_z \rangle \langle \sigma_z \sigma_y \rangle$$.

इस असमानता का उपयोग ईज़िंग मॉडल के लिए चरण संक्रमण की तीव्रता को स्थापित करने के लिए किया जा सकता है।

एफकेजी असमानता
यह असमानता पहले एक प्रकार के यादृच्छिक क्लस्टर मॉडल के लिए सिद्ध होती है। इसका उपयोग परकोलेशन तर्कों (जिसमें एक विशेष मामले के रूप में ईज़िंग मॉडल शामिल है) का उपयोग करके प्लानर पॉट्स मॉडल के महत्वपूर्ण तापमान को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

ऐतिहासिक महत्व
परमाणुवाद के समर्थन में डेमोक्रिटस के तर्कों में से एक यह था कि परमाणु स्वाभाविक रूप से सामग्रियों में देखी गई तेज चरण सीमाओं की व्याख्या करते हैं, जैसे कि जब बर्फ पिघल कर पानी बन जाती है या पानी भाप बन जाता है। उनका विचार था कि परमाणु-पैमाने के गुणों में छोटे परिवर्तन से समग्र व्यवहार में बड़े परिवर्तन होंगे। दूसरों का मानना ​​था कि पदार्थ स्वाभाविक रूप से निरंतर है, परमाणु नहीं है, और यह कि पदार्थ के बड़े पैमाने के गुण बुनियादी परमाणु गुणों के लिए कम करने योग्य नहीं हैं।

जबकि रासायनिक बंधन के नियमों ने उन्नीसवीं शताब्दी के रसायनज्ञों को यह स्पष्ट कर दिया था कि परमाणु वास्तविक थे, भौतिकविदों के बीच बहस बीसवीं शताब्दी की शुरुआत में अच्छी तरह से जारी रही। एटमिस्ट्स, विशेष रूप से जेम्स क्लर्क मैक्सवेल और लुडविग बोल्ट्जमैन ने हैमिल्टन के न्यूटन के नियमों को बड़ी प्रणालियों पर लागू किया, और पाया कि परमाणुओं के सांख्यिकीय यांत्रिकी कमरे के तापमान गैसों का सही वर्णन करते हैं। लेकिन शास्त्रीय सांख्यिकीय यांत्रिकी ने तरल और ठोस के सभी गुणों का हिसाब नहीं दिया, न ही कम तापमान पर गैसों का।

एक बार आधुनिक क्वांटम यांत्रिकी तैयार हो जाने के बाद, परमाणुवाद प्रयोग के साथ संघर्ष में नहीं था, लेकिन इससे सांख्यिकीय यांत्रिकी की सार्वभौमिक स्वीकृति नहीं हुई, जो परमाणुवाद से आगे निकल गई। योशिय्याह विलार्ड गिब्स ने यांत्रिकी के नियमों से ऊष्मप्रवैगिकी के नियमों को पुन: उत्पन्न करने के लिए एक पूर्ण औपचारिकता प्रदान की थी। लेकिन 19वीं शताब्दी से कई दोषपूर्ण तर्क बच गए, जब सांख्यिकीय यांत्रिकी को संदिग्ध माना जाता था। अंतर्ज्ञान में चूक ज्यादातर इस तथ्य से उपजी है कि एक अनंत सांख्यिकीय प्रणाली की सीमा में कई शून्य-एक कानून (बहुविकल्पी) हैं। शून्य-एक कानून जो परिमित प्रणालियों में अनुपस्थित हैं: एक पैरामीटर में एक अतिसूक्ष्म परिवर्तन से बड़े अंतर हो सकते हैं डेमोक्रिटस की अपेक्षा के अनुसार समग्र, समग्र व्यवहार।

परिमित मात्रा में कोई चरण संक्रमण
नहीं बीसवीं शताब्दी के शुरुआती भाग में, कुछ लोगों का मानना ​​था कि निम्नलिखित तर्क के आधार पर विभाजन कार्य (सांख्यिकीय यांत्रिकी) कभी भी एक चरण संक्रमण का वर्णन नहीं कर सकता:


 * 1) विभाजन समारोह ई का योग है−βE सभी विन्यासों पर।
 * 2) चरघातांकी फलन हर जगह β के फलन के रूप में विश्लेषणात्मक फलन है।
 * 3) विश्लेषणात्मक कार्यों का योग एक विश्लेषणात्मक कार्य है।

यह तर्क घातांकों के परिमित योग के लिए काम करता है, और सही ढंग से स्थापित करता है कि परिमित आकार की प्रणाली की मुक्त ऊर्जा में कोई विलक्षणता नहीं है। उन प्रणालियों के लिए जो थर्मोडायनामिक सीमा में हैं (अर्थात, अनंत प्रणालियों के लिए) अनंत राशि विलक्षणता को जन्म दे सकती है। थर्मोडायनामिक सीमा का अभिसरण तेज है, ताकि चरण व्यवहार पहले से ही अपेक्षाकृत छोटी जाली पर स्पष्ट हो, भले ही सिस्टम के परिमित आकार से विलक्षणताओं को चिकना कर दिया गया हो।

इसे सबसे पहले रुडोल्फ पेयर्ल्स ने ईजिंग मॉडल में स्थापित किया था।

Peierls बूंदों
लेन्ज़ और ईज़िंग द्वारा ईज़िंग मॉडल का निर्माण करने के तुरंत बाद, पीयरल्स स्पष्ट रूप से यह दिखाने में सक्षम थे कि एक चरण संक्रमण दो आयामों में होता है।

ऐसा करने के लिए, उन्होंने उच्च-तापमान और निम्न-तापमान सीमा की तुलना की। अनंत तापमान (β = 0) पर सभी विन्यासों की समान संभावना होती है। प्रत्येक स्पिन किसी भी अन्य से पूरी तरह से स्वतंत्र है, और यदि अनंत तापमान पर सामान्य कॉन्फ़िगरेशन प्लॉट किए जाते हैं ताकि प्लस/माइनस को काले और सफेद द्वारा दर्शाया जा सके, तो वे शोर (वीडियो) की तरह दिखते हैं। उच्च, लेकिन अनंत तापमान के लिए नहीं, पड़ोसी स्थितियों के बीच छोटे-छोटे सहसंबंध होते हैं, बर्फ थोड़ी सी जम जाती है, लेकिन स्क्रीन बेतरतीब ढंग से दिखती रहती है, और काले या सफेद रंग की शुद्ध अधिकता नहीं होती है।

अधिकता का एक मात्रात्मक माप चुंबकीयकरण है, जो स्पिन का औसत मूल्य है:


 * $$M = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \sigma_i.$$

पिछले खंड में तर्क के अनुरूप एक फर्जी तर्क अब यह स्थापित करता है कि ईज़िंग मॉडल में चुंबकीयकरण हमेशा शून्य होता है।
 * 1) स्पिन के हर कॉन्फ़िगरेशन में कॉन्फ़िगरेशन के बराबर ऊर्जा होती है, जिसमें सभी स्पिन फ़्लिप होते हैं।
 * 2) इसलिए चुंबकत्व M के साथ प्रत्येक विन्यास के लिए समान संभाव्यता के साथ चुंबकत्व -M के साथ विन्यास होता है।
 * 3) इसलिए सिस्टम को चुंबकीयकरण एम के साथ कॉन्फ़िगरेशन में समान मात्रा में समय व्यतीत करना चाहिए जैसा कि चुंबकीयकरण -एम के साथ होता है।
 * 4) तो औसत चुंबकीयकरण (हर समय) शून्य है।

पहले की तरह, यह केवल यह साबित करता है कि औसत चुंबकीयकरण किसी भी सीमित मात्रा में शून्य है। एक अनंत प्रणाली के लिए, उतार-चढ़ाव एक गैर-शून्य संभाव्यता के साथ अधिकतर प्लस राज्य से अधिकतर शून्य से सिस्टम को धक्का देने में सक्षम नहीं हो सकता है।

बहुत अधिक तापमान के लिए, चुंबकीयकरण शून्य होता है, क्योंकि यह अनंत तापमान पर होता है। इसे देखने के लिए, ध्यान दें कि यदि स्पिन ए में स्पिन बी के साथ केवल एक छोटा सहसंबंध ε है, और बी केवल सी के साथ कमजोर सहसंबंधित है, लेकिन सी अन्यथा ए से स्वतंत्र है, ए और सी के सहसंबंध की मात्रा ε की तरह जाती है2। दूरी L द्वारा अलग किए गए दो चक्करों के लिए, सहसंबंध की मात्रा ε के रूप में जाती है एल, लेकिन यदि एक से अधिक पथ हैं जिनके द्वारा सहसंबंध यात्रा कर सकते हैं, तो यह राशि पथों की संख्या से बढ़ जाती है।

d विमाओं में एक वर्गाकार जालक पर लंबाई L के पथों की संख्या है
 * $$N(L) = (2d)^L,$$

चूंकि प्रत्येक चरण पर कहां जाना है इसके लिए 2d विकल्प हैं।

कुल सहसंबंध पर एक बाउंड को दो बिंदुओं को जोड़ने वाले सभी पथों के योग द्वारा सहसंबंध में योगदान द्वारा दिया जाता है, जो कि लंबाई L के सभी पथों के योग द्वारा ऊपर से विभाजित होता है
 * $$\sum_L (2d)^L \varepsilon^L,$$

जो ε छोटा होने पर शून्य हो जाता है।

कम तापमान (β ≫ 1) पर विन्यास निम्नतम-ऊर्जा विन्यास के पास होता है, वह जहां सभी स्पिन प्लस या सभी स्पिन माइनस होते हैं। पीयरल्स ने पूछा कि क्या यह कम तापमान पर सांख्यिकीय रूप से संभव है, सभी स्पिन माइनस से शुरू होकर, उस स्थिति में उतार-चढ़ाव करना जहां अधिकांश स्पिन प्लस हैं। ऐसा होने के लिए, प्लस स्पिन की बूंदों को प्लस स्थिति बनाने के लिए जमने में सक्षम होना चाहिए।

माइनस बैकग्राउंड में प्लस स्पिन की एक छोटी बूंद की ऊर्जा ड्रॉपलेट एल की परिधि के समानुपाती होती है, जहां प्लस स्पिन और माइनस स्पिन एक दूसरे के पड़ोसी होते हैं। परिमाप L वाली छोटी बूंद के लिए, क्षेत्रफल (L − 2)/2 (सीधी रेखा) और (L/4) के बीच कहीं है2 (वर्गाकार बॉक्स)। एक छोटी बूंद को पेश करने की संभाव्यता लागत का कारक ई है−βL, लेकिन यह परिधि L के साथ बूंदों की कुल संख्या से गुणा किए गए विभाजन फ़ंक्शन में योगदान देता है, जो लंबाई L के पथों की कुल संख्या से कम है:
 * $$N(L) < 4^{2L}.$$

ताकि बूंदों से कुल स्पिन योगदान, यहां तक ​​​​कि प्रत्येक साइट को एक अलग बूंद रखने की अनुमति देकर, ऊपर से घिरा हुआ है
 * $$\sum_L L^2 4^{2L} e^{-4\beta L},$$

जो बड़े β पर शून्य हो जाता है। पर्याप्त रूप से बड़े β के लिए, यह घातीय रूप से लंबे लूप को दबा देता है, ताकि वे उत्पन्न न हो सकें, और चुंबकीयकरण -1 से बहुत अधिक उतार-चढ़ाव नहीं करता है।

इसलिए Peierls ने स्थापित किया कि ईज़िंग मॉडल में चुंबकीयकरण अंततः सुपरसेलेक्शन सेक्टर को परिभाषित करता है, अलग किए गए डोमेन परिमित उतार-चढ़ाव से जुड़े नहीं होते हैं।

क्रेमर्स-वनियर द्वैत
क्रेमर्स और वेनियर यह दिखाने में सक्षम थे कि मॉडल का उच्च तापमान विस्तार और निम्न तापमान विस्तार मुक्त ऊर्जा के समग्र पुनर्विक्रय के बराबर है। इसने द्वि-आयामी मॉडल में चरण-संक्रमण बिंदु को सटीक रूप से निर्धारित करने की अनुमति दी (इस धारणा के तहत कि एक अद्वितीय महत्वपूर्ण बिंदु है)।

यांग-ली जीरो
ऑनसेजर के समाधान के बाद, यांग और ली ने उस तरीके की जांच की जिसमें तापमान महत्वपूर्ण तापमान तक पहुंचने पर विभाजन कार्य एकवचन हो जाता है।

परिभाषाएं
यदि सिस्टम में कई राज्य हैं तो ईज़िंग मॉडल अक्सर संख्यात्मक रूप से मूल्यांकन करना मुश्किल हो सकता है। के साथ एक ईज़िंग मॉडल पर विचार करें
 * L = |Λ|: जाली पर साइटों की कुल संख्या,
 * σj ∈ {−1, +1}: जाली पर एक व्यक्तिगत स्पिन साइट, जे = 1, ..., एल,
 * एस ∈ {−1, +1}एल: प्रणाली की स्थिति।

चूंकि प्रत्येक स्पिन साइट में ±1 स्पिन है, इसलिए 2 हैंएल विभिन्न राज्य जो संभव हैं। यह मोंटे कार्लो विधियों का उपयोग करके ईज़िंग मॉडल को सिम्युलेटेड करने के कारण को प्रेरित करता है।

मोंटे कार्लो विधियों का उपयोग करते समय आमतौर पर मॉडल की ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करने के लिए हैमिल्टनियन यांत्रिकी का उपयोग किया जाता है
 * $$H(\sigma) = -J \sum_{\langle i~j\rangle} \sigma_i \sigma_j - h \sum_j \sigma_j.$$

इसके अलावा, हैमिल्टनियन को शून्य बाहरी क्षेत्र एच मानकर और सरल किया जाता है, क्योंकि मॉडल का उपयोग करके हल किए जाने वाले कई प्रश्नों का उत्तर बाहरी क्षेत्र की अनुपस्थिति में दिया जा सकता है। यह हमें राज्य σ के लिए निम्नलिखित ऊर्जा समीकरण की ओर ले जाता है:
 * $$H(\sigma) = -J \sum_{\langle i~j\rangle} \sigma_i \sigma_j.$$

इस हैमिल्टनियन को देखते हुए, किसी दिए गए तापमान पर विशिष्ट ताप या चुंबक के चुंबकीयकरण जैसी ब्याज की मात्रा की गणना की जा सकती है।

सिंहावलोकन
मेट्रोपोलिस-हेस्टिंग्स एल्गोरिथ्म ईज़िंग मॉडल अनुमानों की गणना करने के लिए सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला मोंटे कार्लो एल्गोरिथम है। एल्गोरिथम पहले चयन संभावनाओं जी (μ, ν) को चुनता है, जो इस संभावना का प्रतिनिधित्व करता है कि राज्य ν को एल्गोरिथम द्वारा सभी राज्यों में से चुना गया है, यह देखते हुए कि एक राज्य μ में है। यह तब स्वीकृति संभावनाओं ए (μ, ν) का उपयोग करता है ताकि विस्तृत संतुलन संतुष्ट हो। यदि नई स्थिति ν को स्वीकार कर लिया जाता है, तो हम उस स्थिति में चले जाते हैं और एक नए राज्य का चयन करने और इसे स्वीकार करने का निर्णय लेने के साथ दोहराते हैं। यदि ν स्वीकार नहीं किया जाता है तो हम μ में रहते हैं। यह प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक कि कुछ रोक मानदंड पूरा नहीं हो जाता है, जो ईज़िंग मॉडल के लिए अक्सर होता है जब जाली फेरोमैग्नेटिक हो जाती है, जिसका अर्थ है कि सभी साइटें एक ही दिशा में इंगित करती हैं।

एल्गोरिथ्म को लागू करते समय, यह सुनिश्चित करना चाहिए कि जी (μ, ν) का चयन इस तरह किया जाता है कि ergodicity  पूरी हो जाती है। तापीय संतुलन में एक प्रणाली की ऊर्जा केवल एक छोटी सी सीमा के भीतर उतार-चढ़ाव करती है। यह सिंगल-स्पिन-फ्लिप डायनेमिक्स की अवधारणा के पीछे की प्रेरणा है, जिसमें कहा गया है कि प्रत्येक संक्रमण में, हम जाली पर केवल एक स्पिन साइट को बदल देंगे।  इसके अलावा, सिंगल-स्पिन-फ्लिप डायनेमिक्स का उपयोग करके, एक समय में दो राज्यों के बीच भिन्न होने वाली प्रत्येक साइट को फ़्लिप करके किसी भी राज्य से किसी भी अन्य राज्य में प्राप्त किया जा सकता है।

वर्तमान अवस्था की ऊर्जा के बीच परिवर्तन की अधिकतम मात्रा, Hμ और किसी भी संभावित नए राज्य की ऊर्जा एचν (सिंगल-स्पिन-फ्लिप डायनामिक्स का उपयोग करके) स्पिन के बीच 2J है जिसे हम नए राज्य में जाने के लिए फ्लिप करना चुनते हैं और वह स्पिन का पड़ोसी है। इस प्रकार, 1डी आइसिंग मॉडल में, जहां प्रत्येक साइट के दो पड़ोसी (बाएं और दाएं) हैं, ऊर्जा में अधिकतम अंतर 4J होगा।

चलो सी 'जाली समन्वय संख्या' का प्रतिनिधित्व करते हैं; किसी जाली स्थल के निकटतम पड़ोसियों की संख्या। हम मानते हैं कि आवधिक सीमा स्थितियों के कारण सभी साइटों के पड़ोसियों की संख्या समान है। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि मेट्रोपोलिस-हेस्टिंग्स एल्गोरिथम महत्वपूर्ण धीमा होने के कारण महत्वपूर्ण बिंदु के आसपास अच्छा प्रदर्शन नहीं करता है। अन्य तकनीकें जैसे कि मल्टीग्रिड विधियाँ, Niedermayer's एल्गोरिथम, स्वेंडसेन-वांग एल्गोरिथम, या वोल्फ एल्गोरिथम महत्वपूर्ण बिंदु के पास मॉडल को हल करने के लिए आवश्यक हैं; प्रणाली के महत्वपूर्ण घातांक निर्धारित करने के लिए एक आवश्यकता।

इन एल्गोरिदम को लागू करने वाले ओपन-सोर्स पैकेज उपलब्ध हैं।

विशिष्टता
विशेष रूप से ईज़िंग मॉडल के लिए और सिंगल-स्पिन-फ्लिप डायनेमिक्स का उपयोग करके, निम्नलिखित को स्थापित किया जा सकता है।

चूँकि जाली पर L कुल साइटें हैं, सिंगल-स्पिन-फ्लिप का उपयोग करके हम दूसरे राज्य में संक्रमण करते हैं, हम देख सकते हैं कि हमारे वर्तमान राज्य μ से कुल L नए राज्य ν हैं। एल्गोरिथ्म मानता है कि चयन संभावनाएं एल राज्यों के बराबर हैं: g(μ, ν) = 1/L। विस्तृत संतुलन हमें बताता है कि निम्नलिखित समीकरण धारण करना चाहिए:


 * $$\frac{P(\mu, \nu)}{P(\nu, \mu)} =

\frac{g(\mu, \nu) A(\mu, \nu)}{g(\nu, \mu) A(\nu, \mu)} = \frac{A(\mu, \nu)}{A(\nu, \mu)} = \frac{P_\beta(\nu)}{P_\beta(\mu)} = \frac{\frac{1}{Z} e^{-\beta(H_\nu)}}{\frac{1}{Z} e^{-\beta(H_\mu)}} = e^{-\beta(H_\nu - H_\mu)}.$$ इस प्रकार, हम अपने एल्गोरिथ्म को संतुष्ट करने के लिए स्वीकृति संभावना का चयन करना चाहते हैं


 * $$\frac{A(\mu, \nu)}{A(\nu, \mu)} = e^{-\beta(H_\nu - H_\mu)}.$$

अगर एचν > एचμ, फिर A(ν, μ) > A(μ, ν). महानगर A(μ, ν) या A(ν, μ) के बड़े को 1 पर सेट करता है। इस तर्क से स्वीकृति एल्गोरिथम है:


 * $$A(\mu, \nu) = \begin{cases}

e^{-\beta(H_\nu - H_\mu)}, & \text{if } H_\nu - H_\mu > 0, \\ 1 & \text{otherwise}. \end{cases}$$ एल्गोरिथ्म का मूल रूप इस प्रकार है:
 * 1) चयन प्रायिकता g(μ, ν) का उपयोग करके स्पिन साइट चुनें और इस स्पिन से जुड़ी ऊर्जा में योगदान की गणना करें।
 * 2) स्पिन के मूल्य को पलटें और नए योगदान की गणना करें।
 * 3) यदि नई ऊर्जा कम है, तो फ़्लिप मान रखें।
 * 4) नई ऊर्जा ज्यादा हो तो संभावना के साथ ही रखें $$e^{-\beta(H_\nu - H_\mu)}.$$
 * 5) दोहराना।

ऊर्जा में परिवर्तन Hν- एचμ केवल स्पिन और उसके निकटतम ग्राफ पड़ोसियों के मूल्य पर निर्भर करता है। इसलिए यदि ग्राफ़ बहुत अधिक जुड़ा हुआ नहीं है, तो एल्गोरिथम तेज़ है। यह प्रक्रिया अंततः वितरण से एक पिक का उत्पादन करेगी।

मार्कोव श्रृंखला के रूप में ईज़िंग मॉडल को देखना
ईज़िंग मॉडल को मार्कोव श्रृंखला के रूप में देखना संभव है, तत्काल संभावना पी के रूप मेंβ(ν) भविष्य की अवस्था में संक्रमण का ν केवल वर्तमान अवस्था μ पर निर्भर करता है। मेट्रोपोलिस एल्गोरिदम वास्तव में मार्कोव चेन मोंटे कार्लो सिमुलेशन का एक संस्करण है, और चूंकि हम मेट्रोपोलिस एल्गोरिदम में सिंगल-स्पिन-फ्लिप गतिशीलता का उपयोग करते हैं, इसलिए प्रत्येक राज्य को एल अन्य राज्यों के लिंक के रूप में देखा जा सकता है, जहां प्रत्येक संक्रमण फ़्लिपिंग से मेल खाता है विपरीत मान के लिए एकल स्पिन साइट। इसके अलावा, चूंकि ऊर्जा समीकरण एचσ परिवर्तन केवल निकटतम-पड़ोसी संपर्क शक्ति पर निर्भर करता है जे, ईज़िंग मॉडल और इसके वेरिएंट जैसे सजनाजद मॉडल को एक संपर्क प्रक्रिया (गणित) के एक रूप के रूप में देखा जा सकता है #मत गतिकी के लिए वोटर मॉडल।

एक आयाम
थर्मोडायनामिक सीमा तब तक मौजूद रहती है जब तक अंतःक्रियात्मक क्षय होता है $$J_{ij} \sim |i - j|^{-\alpha}$$ α> 1 के साथ।
 * फेरोमैग्नेटिक इंटरैक्शन के मामले में $$J_{ij} \sim |i - j|^{-\alpha} $$ 1 < α < 2 के साथ, डायसन ने पदानुक्रमित मामले के साथ तुलना करके साबित किया कि छोटे पर्याप्त तापमान पर चरण संक्रमण होता है।
 * फेरोमैग्नेटिक इंटरैक्शन के मामले में $$J_{ij} \sim |i - j|^{-2}$$, फ्रॉलीच और स्पेंसर ने साबित किया कि छोटे पर्याप्त तापमान पर (पदानुक्रमित मामले के विपरीत) चरण संक्रमण होता है।
 * बातचीत के मामले में $$J_{ij} \sim |i - j|^{-\alpha}$$ Α > 2 (जिसमें परिमित-श्रेणी की अंतःक्रियाओं का मामला शामिल है) के साथ, किसी भी सकारात्मक तापमान (यानी परिमित β) पर कोई चरण संक्रमण नहीं होता है, क्योंकि थर्मोडायनामिक मुक्त ऊर्जा थर्मोडायनामिक मापदंडों में विश्लेषणात्मक होती है। * निकटतम पड़ोसी की बातचीत के मामले में, ई. इसिंग ने मॉडल का एक सटीक समाधान प्रदान किया। किसी भी सकारात्मक तापमान (अर्थात परिमित β) पर मुक्त ऊर्जा ऊष्मप्रवैगिकी मापदंडों में विश्लेषणात्मक होती है, और छोटा दो-बिंदु स्पिन सहसंबंध तेजी से तेजी से घटता है। शून्य तापमान (यानी अनंत β) पर, एक दूसरे क्रम का चरण संक्रमण होता है: मुक्त ऊर्जा अनंत होती है, और दो-बिंदु स्पिन सहसंबंध को छोटा कर दिया जाता है (निरंतर रहता है)। इसलिए, T = 0 इस मामले का महत्वपूर्ण तापमान है। स्केलिंग सूत्र संतुष्ट हैं।

इसिंग का सटीक समाधान
निकटतम पड़ोसी मामले में (आवधिक या मुक्त सीमा शर्तों के साथ) एक सटीक समाधान उपलब्ध है। आवधिक सीमा शर्तों के साथ एल साइटों की एक जाली पर एक आयामी आइसिंग मॉडल का हैमिल्टनियन है
 * $$H(\sigma) = -J \sum_{i=1,\ldots,L-1} \sigma_i \sigma_{i+1} - h \sum_i \sigma_i,$$

जहाँ J और h कोई भी संख्या हो सकती है, क्योंकि इस सरलीकृत मामले में J निकटतम पड़ोसियों के बीच परस्पर क्रिया शक्ति का प्रतिनिधित्व करने वाला एक स्थिरांक है और h जाली स्थलों पर लागू होने वाला निरंतर बाहरी चुंबकीय क्षेत्र है। फिर थर्मोडायनामिक मुक्त ऊर्जा है
 * $$f(\beta, h) = -\lim_{L \to \infty} \frac{1}{\beta L} \ln Z(\beta) = -\frac{1}{\beta} \ln\left(e^{\beta J} \cosh \beta h + \sqrt{e^{2\beta J}(\sinh\beta h)^2 + e^{-2\beta J}}\right),

$$ और स्पिन-स्पिन सहसंबंध (यानी सहप्रसरण) है
 * $$\langle\sigma_i \sigma_j\rangle - \langle\sigma_i\rangle \langle\sigma_j\rangle = C(\beta) e^{-c(\beta)|i - j|},$$

जहां C(β) और c(β) T > 0 के लिए सकारात्मक कार्य हैं। T → 0 के लिए, हालांकि, व्युत्क्रम सहसंबंध लंबाई c(β) गायब हो जाती है।

प्रमाण
इस परिणाम का प्रमाण एक साधारण संगणना है।

यदि h = 0, मुक्त सीमा स्थिति के मामले में मुक्त ऊर्जा प्राप्त करना बहुत आसान है, अर्थात जब
 * $$H(\sigma) = -J(\sigma_1 \sigma_2 + \cdots + \sigma_{L-1} \sigma_L).$$

तब मॉडल चर के परिवर्तन के तहत गुणनखंड करता है
 * $$\sigma'_j = \sigma_j \sigma_{j-1}, \quad j \ge 2.$$

यह देता है
 * $$Z(\beta) = \sum_{\sigma_1,\ldots, \sigma_L} e^{\beta J \sigma_1 \sigma_2} e^{\beta J \sigma_2 \sigma_3} \cdots e^{\beta J \sigma_{L-1} \sigma_L} = 2 \prod_{j=2}^L \sum_{\sigma'_j} e^{\beta J\sigma'_j} = 2 \left[e^{\beta J} + e^{-\beta J}\right]^{L-1}. $$

इसलिए, मुक्त ऊर्जा है


 * $$f(\beta, 0) = -\frac{1}{\beta} \ln\left[e^{\beta J} + e^{-\beta J}\right].$$

चर के समान परिवर्तन के साथ


 * $$\langle\sigma_j\sigma_{j+N}\rangle = \left[\frac{e^{\beta J} - e^{-\beta J}}{e^{\beta J} + e^{-\beta J}}\right]^N,$$

इसलिए जैसे ही T ≠ 0 होता है, इसका चरघातांकी क्षय होता है; लेकिन T = 0 के लिए, यानी β → ∞ की सीमा में कोई क्षय नहीं है।

यदि h ≠ 0 हमें स्थानांतरण मैट्रिक्स विधि की आवश्यकता है। आवधिक सीमा स्थितियों के मामले में निम्नलिखित है। विभाजन कार्य है
 * $$Z(\beta) = \sum_{\sigma_1,\ldots,\sigma_L} e^{\beta h \sigma_1} e^{\beta J\sigma_1\sigma_2} e^{\beta h \sigma_2} e^{\beta J\sigma_2\sigma_3} \cdots e^{\beta h \sigma_L} e^{\beta J\sigma_L\sigma_1} = \sum_{\sigma_1,\ldots,\sigma_L} V_{\sigma_1,\sigma_2} V_{\sigma_2,\sigma_3} \cdots V_{\sigma_L,\sigma_1}.$$

गुणांक $$V_{\sigma, \sigma'}$$ एक मैट्रिक्स की प्रविष्टियों के रूप में देखा जा सकता है। अलग-अलग संभावित विकल्प हैं: एक सुविधाजनक (क्योंकि मैट्रिक्स सममित है) है
 * $$V_{\sigma, \sigma'} = e^{\frac{\beta h}{2} \sigma} e^{\beta J\sigma\sigma'} e^{\frac{\beta h}{2} \sigma'}$$

या
 * $$V = \begin{bmatrix}

e^{\beta(h+J)} & e^{-\beta J} \\ e^{-\beta J} & e^{-\beta(h-J)} \end{bmatrix}.$$ मैट्रिक्स औपचारिकता में
 * $$Z(\beta) = \operatorname{Tr} \left(V^L\right) = \lambda_1^L + \lambda_2^L = \lambda_1^L \left[1 + \left(\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^L\right],$$

जहां एल1 V का उच्चतम eigenvalue है, जबकि λ2 अन्य eigenvalue है:
 * $$\lambda_1 = e^{\beta J} \cosh \beta h + \sqrt{e^{2\beta J} (\sinh\beta h)^2 + e^{-2\beta J}},$$

और | λ2| < एल1. यह मुक्त ऊर्जा का सूत्र देता है।

टिप्पणियाँ
निम्नतम अवस्था की ऊर्जा -JL होती है, जब सभी चक्रण समान होते हैं। किसी भी अन्य कॉन्फ़िगरेशन के लिए, अतिरिक्त ऊर्जा 2J गुणा के बराबर होती है जो कॉन्फ़िगरेशन को बाएं से दाएं स्कैन करते समय सामने आने वाले साइन परिवर्तनों की संख्या होती है।

यदि हम किसी विन्यास में साइन परिवर्तन की संख्या को k के रूप में निर्दिष्ट करते हैं, तो निम्नतम ऊर्जा अवस्था से ऊर्जा में अंतर 2k है। चूँकि ऊर्जा फ़्लिप की संख्या में योज्य है, प्रत्येक स्थिति में स्पिन-फ़्लिप होने की प्रायिकता p स्वतंत्र है। एक नहीं मिलने की संभावना के लिए एक फ्लिप खोजने की संभावना का अनुपात बोल्ट्जमान कारक है:


 * $$\frac{p}{1 - p} = e^{-2\beta J}.$$

समस्या को स्वतंत्र पक्षपाती सिक्का उछालने के लिए कम किया गया है। यह अनिवार्य रूप से गणितीय विवरण को पूरा करता है।

स्वतंत्र टॉस के संदर्भ में विवरण से, लंबी लाइनों के मॉडल के आंकड़ों को समझा जा सकता है। रेखा डोमेन में विभाजित होती है। प्रत्येक डोमेन औसत लंबाई ऍक्स्प (2β) का है। एक डोमेन की लंबाई चरघातांकी रूप से वितरित की जाती है, क्योंकि किसी भी कदम पर एक फ्लिप का सामना करने की निरंतर संभावना होती है। डोमेन कभी भी अनंत नहीं बनते, इसलिए एक लंबी प्रणाली कभी चुम्बकित नहीं होती है। प्रत्येक चरण एक स्पिन और उसके पड़ोसी के बीच सहसंबंध को p के समानुपातिक रूप से कम करता है, इसलिए सहसंबंध तेजी से गिरते हैं।


 * $$\langle S_i S_j \rangle \propto e^{-p|i-j|}.$$

विभाजन समारोह (सांख्यिकीय यांत्रिकी) कॉन्फ़िगरेशन की मात्रा है, प्रत्येक कॉन्फ़िगरेशन को उसके बोल्टज़मान वजन से भारित किया जाता है। चूंकि प्रत्येक कॉन्फ़िगरेशन को साइन-चेंज द्वारा वर्णित किया गया है, इसलिए विभाजन फ़ंक्शन फ़ैक्टराइज़ करता है:


 * $$Z = \sum_{\text{configs}} e^{\sum_k S_k} = \prod_k (1 + p ) = (1 + p)^L.$$

L द्वारा विभाजित लघुगणक मुक्त ऊर्जा घनत्व है:


 * $$\beta f = \log(1 + p) = \log\left(1 + \frac{e^{-2\beta J}}{1 + e^{-2\beta J}}\right),$$

जो β = ∞ से दूर विश्लेषणात्मक कार्य है। एक चरण संक्रमण का संकेत एक गैर-विश्लेषणात्मक मुक्त ऊर्जा है, इसलिए एक-आयामी मॉडल में चरण संक्रमण नहीं होता है।

अनुप्रस्थ क्षेत्र के साथ एक आयामी समाधान
स्पिन के क्वांटम यांत्रिक विवरण का उपयोग करके इस्सिंग हैमिल्टनियन को व्यक्त करने के लिए, हम स्पिन चर को उनके संबंधित पाउली मेट्रिसेस से बदल देते हैं। हालांकि, चुंबकीय क्षेत्र की दिशा के आधार पर, हम अनुप्रस्थ-क्षेत्र या अनुदैर्ध्य-क्षेत्र हैमिल्टनियन बना सकते हैं। ट्रांसवर्स-फील्ड आइसिंग मॉडल | ट्रांसवर्स-फील्ड हैमिल्टनियन द्वारा दिया गया है


 * $$H(\sigma) = -J \sum_{i=1,\ldots,L} \sigma_i^z \sigma_{i+1}^z - h \sum_i \sigma_i^x.$$

अनुप्रस्थ-क्षेत्र मॉडल J ~ h पर एक आदेशित और अव्यवस्थित शासन के बीच एक चरण संक्रमण का अनुभव करता है। इसे पाउली मेट्रिसेस के मानचित्रण द्वारा दिखाया जा सकता है


 * $$\sigma_n^z = \prod_{i=1}^n T_i^x,$$
 * $$\sigma_n^x = T_n^z T_{n+1}^z.$$

इस परिवर्तन-के-आधार मैट्रिसेस के संदर्भ में हैमिल्टनियन को फिर से लिखने पर, हम प्राप्त करते हैं


 * $$H(\sigma) = -h \sum_{i=1,\ldots,L} T_i^z T_{i+1}^z - J \sum_i T_i^x.$$

चूँकि h और J की भूमिकाओं को बदल दिया जाता है, हैमिल्टनियन J = h पर एक संक्रमण से गुजरता है।

दो आयाम

 * फेरोमैग्नेटिक मामले में एक चरण संक्रमण होता है। कम तापमान पर, पीयरल्स तर्क निकटतम पड़ोसी मामले के लिए सकारात्मक चुंबकीयकरण साबित करता है और फिर ग्रिफ़िथ असमानता द्वारा, जब लंबी दूरी की बातचीत भी जोड़ दी जाती है। इस बीच, उच्च तापमान पर, क्लस्टर विस्तार थर्मोडायनामिक कार्यों की विश्लेषणात्मकता देता है।
 * निकटतम-पड़ोसी मामले में, जाली पर मुक्त fermions के साथ मॉडल के तुल्यता के माध्यम से, मुक्त ऊर्जा की गणना ऑनसेगर द्वारा की गई थी। स्पिन-स्पिन सहसंबंध कार्यों की गणना मैककॉय और वू द्वारा की गई थी।

ऑनसेजर का सटीक समाधान
चुंबकीय क्षेत्र के अनिसोट्रोपिक वर्ग जाली पर ईज़िंग मॉडल की मुक्त ऊर्जा के लिए निम्नलिखित विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति प्राप्त की $$h=0$$ थर्मोडायनामिक सीमा में तापमान और क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर संपर्क ऊर्जा के एक समारोह के रूप में $$J_1$$ और $$J_2$$, क्रमश


 * $$ -\beta f = \ln 2 + \frac{1}{8\pi^2}\int_0^{2\pi}d\theta_1\int_0^{2\pi}d\theta_2 \ln[\cosh(2\beta J_1)\cosh(2\beta J_2) -\sinh(2\beta J_1)\cos(\theta_1)-\sinh(2\beta J_2)\cos(\theta_2)]. $$

मुक्त ऊर्जा के लिए इस अभिव्यक्ति से, मॉडल के सभी ऊष्मप्रवैगिकी कार्यों की गणना उपयुक्त व्युत्पन्न का उपयोग करके की जा सकती है। 2डी ईज़िंग मॉडल एक सकारात्मक तापमान पर एक सतत चरण संक्रमण प्रदर्शित करने वाला पहला मॉडल था। यह तापमान पर होता है $$T_c$$ जो समीकरण को हल करता है


 * $$ \sinh\left(\frac{2J_1}{kT_c}\right)\sinh\left(\frac{2J_2}{kT_c}\right) = 1. $$

आइसोट्रोपिक मामले में जब क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर संपर्क ऊर्जा बराबर होती है $$J_1=J_2=J$$, महत्वपूर्ण तापमान $$T_c$$ निम्न बिन्दु पर होता है


 * $$ T_c = \frac{2J}{k\ln(1+\sqrt{2})} $$

जब अंतःक्रिया ऊर्जा $$J_1$$, $$J_2$$ दोनों नकारात्मक हैं, ईज़िंग मॉडल एक एंटीफेरोमैग्नेट बन जाता है। चूँकि चौकोर जाली द्विदलीय है, यह चुंबकीय क्षेत्र में इस परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है $$h=0$$, इसलिए मुक्त ऊर्जा और महत्वपूर्ण तापमान एंटीफेरोमैग्नेटिक मामले के लिए समान हैं। त्रिकोणीय जाली के लिए, जो द्वि-पक्षीय नहीं है, फेरोमैग्नेटिक और एंटीफेरोमैग्नेटिक आइसिंग मॉडल विशेष रूप से अलग व्यवहार करते हैं।

स्थानांतरण मैट्रिक्स
क्वांटम यांत्रिकी के साथ समानता से प्रारंभ करें। दीर्घ आवधिक जालक पर ईज़िंग मॉडल में एक विभाजन कार्य होता है


 * $$\sum_{\{S\}} \exp\biggl(\sum_{ij} S_{i,j} \left( S_{i,j+1} + S_{i+1,j} \right)\biggr).$$

i दिशा को स्थान के रूप में और j दिशा को समय के रूप में सोचें। यह उन सभी मूल्यों पर एक स्वतंत्र योग है जो स्पिन हर बार स्लाइस में ले सकते हैं। यह एक प्रकार का पथ अभिन्न सूत्रीकरण है, यह सभी स्पिन इतिहासों का योग है।

एक पाथ इंटीग्रल को हैमिल्टन के विकास के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। समय टी और समय टी + Δt के बीच एकात्मक घूर्णन करके समय के माध्यम से हैमिल्टनियन कदम:
 * $$ U = e^{i H \Delta t}$$

यू मैट्रिसेस का उत्पाद, एक के बाद एक, कुल समय विकास ऑपरेटर है, जो कि पथ अभिन्न है जिसके साथ हमने शुरुआत की थी।


 * $$ U^N = (e^{i H \Delta t})^N = \int DX e^{iL}$$

जहां N टाइम स्लाइस की संख्या है। सभी रास्तों का योग मैट्रिसेस के उत्पाद द्वारा दिया जाता है, प्रत्येक मैट्रिक्स तत्व एक स्लाइस से दूसरे में संक्रमण की संभावना है।

इसी तरह, कोई भी सभी विभाजन फ़ंक्शन कॉन्फ़िगरेशन के योग को स्लाइस में विभाजित कर सकता है, जहां प्रत्येक स्लाइस समय 1 पर एक-आयामी कॉन्फ़िगरेशन है। यह ट्रांसफर-मैट्रिक्स विधि को परिभाषित करता है:
 * $$T_{C_1 C_2}.$$

प्रत्येक स्लाइस में कॉन्फ़िगरेशन स्पिन का एक आयामी संग्रह है। प्रत्येक समय स्लाइस में, टी में स्पिन के दो विन्यासों के बीच मैट्रिक्स तत्व होते हैं, एक तत्काल भविष्य में और एक तत्काल अतीत में। ये दो विन्यास हैं सी1 और सी2, और वे सभी एक आयामी स्पिन विन्यास हैं। हम सदिश स्थान के बारे में सोच सकते हैं कि T इनमें से सभी जटिल रैखिक संयोजनों के रूप में कार्य करता है। क्वांटम मैकेनिकल नोटेशन का उपयोग करना:
 * $$|A\rangle = \sum_S A(S) |S\rangle$$

जहां प्रत्येक आधार वेक्टर $$|S\rangle$$ एक आयामी ईज़िंग मॉडल का स्पिन कॉन्फ़िगरेशन है।

हैमिल्टनियन की तरह, स्थानांतरण मैट्रिक्स राज्यों के सभी रैखिक संयोजनों पर कार्य करता है। विभाजन फ़ंक्शन T का एक मैट्रिक्स फ़ंक्शन है, जिसे सभी इतिहासों पर ट्रेस (रैखिक बीजगणित) द्वारा परिभाषित किया गया है जो N चरणों के बाद मूल कॉन्फ़िगरेशन पर वापस आते हैं:
 * $$Z= \mathrm{tr}(T^N).$$

चूंकि यह एक मैट्रिक्स समीकरण है, इसका मूल्यांकन किसी भी आधार पर किया जा सकता है। इसलिए यदि हम मैट्रिक्स T को विकर्ण कर सकते हैं, तो हम Z पा सकते हैं।

पाउली मैट्रिसेस के संदर्भ में
एक स्लाइस पर कॉन्फ़िगरेशन के प्रत्येक पिछले/भविष्य के जोड़े के लिए विभाजन फ़ंक्शन में योगदान दो शब्दों का योग है। पिछले स्लाइस में स्पिन फ़्लिप की संख्या है और अतीत और भविष्य के स्लाइस के बीच स्पिन फ़्लिप की संख्या है। कॉन्फ़िगरेशन पर एक ऑपरेटर को परिभाषित करें जो स्पिन को साइट i पर फ़्लिप करता है:


 * $$\sigma^x_i.$$

सामान्य ईज़िंग आधार में, पिछले विन्यासों के किसी भी रैखिक संयोजन पर कार्य करते हुए, यह समान रैखिक संयोजन का उत्पादन करता है, लेकिन प्रत्येक आधार वेक्टर फ़्लिप की स्थिति i पर स्पिन के साथ।

एक दूसरे ऑपरेटर को परिभाषित करें जो स्थिति i पर स्पिन के अनुसार आधार वेक्टर को +1 और -1 से गुणा करता है:


 * $$\sigma^z_i.$$

T को इनके संदर्भ में लिखा जा सकता है:


 * $$\sum_i A \sigma^x_i + B \sigma^z_i \sigma^z_{i+1}$$

जहां ए और बी स्थिरांक हैं जिन्हें विभाजन समारोह को पुन: उत्पन्न करने के लिए निर्धारित किया जाना है। व्याख्या यह है कि इस स्लाइस पर सांख्यिकीय कॉन्फ़िगरेशन स्लाइस में स्पिन फ़्लिप की संख्या के अनुसार योगदान देता है, और क्या स्थिति में स्पिन फ़्लिप किया गया है या नहीं।

स्पिन फ्लिप क्रिएशन एंड एनिहिलेशन ऑपरेटर्स
जैसे एक आयामी मामले में, हम स्पिन से स्पिन-फ्लिप पर ध्यान देंगे। दz टी में शब्द स्पिन फ्लिप की संख्या की गणना करता है, जिसे हम स्पिन-फ्लिप निर्माण और विलोपन ऑपरेटरों के संदर्भ में लिख सकते हैं:


 * $$ \sum C \psi^\dagger_i \psi_i. \,$$

पहला शब्द एक चक्कर लगाता है, इसलिए आधार के आधार पर इसे या तो बताएं:
 * 1) स्पिन-फ्लिप को एक यूनिट दाईं ओर ले जाता है
 * 2) स्पिन-फ्लिप को एक यूनिट बाईं ओर ले जाता है
 * 3) पड़ोसी साइटों पर दो स्पिन-फ्लिप बनाता है
 * 4) पड़ोसी साइटों पर दो स्पिन-फ्लिप को नष्ट करता है।

निर्माण और विनाश ऑपरेटरों के संदर्भ में इसे लिखना:
 * $$ \sigma^x_i = D {\psi^\dagger}_i \psi_{i+1} + D^* {\psi^\dagger}_i \psi_{i-1} + C\psi_i \psi_{i+1} + C^* {\psi^\dagger}_i {\psi^\dagger}_{i+1}.$$

निरंतर गुणांकों पर ध्यान न दें, और फ़ॉर्म पर ध्यान केंद्रित करें। वे सभी द्विघात हैं। चूंकि गुणांक स्थिर हैं, इसका मतलब है कि टी मैट्रिक्स को फूरियर रूपांतरण द्वारा विकर्ण किया जा सकता है।

विकर्णीकरण करने से ऑनसेजर मुक्त ऊर्जा उत्पन्न होती है।

स्वतःस्फूर्त चुम्बकत्व के लिए ऑनसेजर का सूत्र
ऑनसेजर ने 1948 में दो अलग-अलग सम्मेलनों में स्क्वायर लैटिस पर द्वि-आयामी आइसिंग फेरोमैग्नेट के सहज चुंबकीयकरण एम के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति की घोषणा की, हालांकि सबूत के बिना :$$M = \left(1 - \left[\sinh 2\beta J_1 \sinh 2\beta J_2\right]^{-2}\right)^{\frac{1}{8}}$$ कहाँ $$J_1$$ और $$J_2$$ क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर अंतःक्रियात्मक ऊर्जा हैं।

एक पूर्ण व्युत्पत्ति केवल 1951 में किसके द्वारा दी गई थी ट्रांसफर मैट्रिक्स ईजेनवेल्यूज की एक सीमित प्रक्रिया का उपयोग करना। बाद में 1963 में मॉन्ट्रोल, पॉट्स और वार्ड द्वारा प्रमाण को बहुत सरल बना दिया गया सहसंबंध कार्यों की सीमा के रूप में चुंबकत्व का इलाज करके टोप्लिट्ज निर्धारकों के लिए गैबोर स्ज़ेगो|ज़ेगो के स्ज़ेगो सीमा प्रमेय का उपयोग करना।

न्यूनतम मॉडल
महत्वपूर्ण बिंदु पर, द्वि-आयामी आइसिंग मॉडल एक द्वि-आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत है। स्पिन और ऊर्जा सहसंबंध कार्यों को न्यूनतम मॉडल (भौतिकी) द्वारा वर्णित किया गया है, जिसे बिल्कुल हल किया गया है।

तीन आयाम
तीन के रूप में दो आयामों में, ईज़िंग मॉडल का सबसे अधिक अध्ययन किया गया मामला शून्य चुंबकीय क्षेत्र में निकटतम-पड़ोसी युग्मन के साथ क्यूबिक जाली पर अनुवाद-अपरिवर्तनीय मॉडल है। कई सिद्धांतकारों ने कई दशकों तक एक विश्लेषणात्मक त्रि-आयामी समाधान की खोज की, जो द्वि-आयामी मामले में ऑनसेजर के समाधान के अनुरूप होगा। ऐसा कोई समाधान अब तक नहीं मिला है, हालांकि इस बात का कोई प्रमाण नहीं है कि यह मौजूद नहीं हो सकता है।

तीन आयामों में, ईज़िंग मॉडल को अलेक्जेंडर मार्कोविच पॉलाकोव और व्लादिमीर डॉट्सेंको द्वारा गैर-अंतःक्रियात्मक फ़र्मोनिक स्ट्रिंग्स के संदर्भ में एक प्रतिनिधित्व दिखाया गया था। यह निर्माण जाली पर किया गया है, और सातत्य सीमा, विशेष रूप से महत्वपूर्ण बिंदु का वर्णन अज्ञात है।

चरण संक्रमण
तीन में दो आयामों में, पियरल का तर्क दर्शाता है कि एक चरण संक्रमण है। इस चरण संक्रमण को कठोर रूप से निरंतर जाना जाता है (इस अर्थ में कि सहसंबंध की लंबाई अलग हो जाती है और चुंबकीयकरण शून्य हो जाता है), और इसे महत्वपूर्ण बिंदु (थर्मोडायनामिक्स)  कहा जाता है। यह माना जाता है कि महत्वपूर्ण बिंदु को विल्सन-कडानॉफ़ पुनर्सामान्यीकरण समूह परिवर्तन के एक पुनर्सामान्यीकरण समूह निश्चित बिंदु द्वारा वर्णित किया जा सकता है। यह भी माना जाता है कि चरण संक्रमण को त्रि-आयामी एकात्मक अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जैसा कि मेट्रोपोलिस-हेस्टिंग्स एल्गोरिथम सिमुलेशन द्वारा प्रमाणित है,  क्वांटम मॉडल में सटीक विकर्णीकरण परिणाम, और क्वांटम क्षेत्र सैद्धांतिक तर्क। यद्यपि पुनर्सामान्यीकरण समूह चित्र या अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत चित्र को कठोर रूप से स्थापित करना एक खुली समस्या है, सैद्धांतिक भौतिकविदों ने चरण संक्रमण के महत्वपूर्ण घातांकों की गणना करने के लिए इन दो विधियों का उपयोग किया है, जो प्रयोगों और मोंटे कार्लो सिमुलेशन से सहमत हैं।

त्रि-आयामी आइसिंग महत्वपूर्ण बिंदु का वर्णन करने वाला यह अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत, अनुरूप बूटस्ट्रैप की विधि का उपयोग करके सक्रिय जांच के अधीन है।  यह विधि वर्तमान में महत्वपूर्ण सिद्धांत की संरचना के बारे में सबसे सटीक जानकारी देती है (देखें महत्वपूर्ण घातांक ईज़िंग)।

सामान्य स्पिन ग्लास मॉडल
के लिए इस्त्राइल का एनपी-पूर्णता परिणाम सन् 2000 में, सांडिया राष्ट्रीय प्रयोगशालाएँ के सोरिन इज़राइल ने साबित किया कि गैर-nonplanar जालक पर स्पिन ग्लास आइसिंग मॉडल एनपी-पूर्णता|एनपी-पूर्ण है। यही है, पी ≠ एनपी मानते हुए, सामान्य स्पिन ग्लास आइसिंग मॉडल केवल प्लेनर ग्राफ मामलों में ही हल करने योग्य है, इसलिए आयामों के लिए समाधान जो दो भी अधिक जटिल हैं। इस्त्राइल का नतीजा केवल स्पिन ग्लास मॉडल को स्थानिक रूप से अलग-अलग कपलिंग के साथ चिंतित करता है, और ईज़िंग के मूल फेरोमैग्नेटिक मॉडल के बारे में समान कपलिंग के बारे में कुछ नहीं बताता है।

चार आयाम और ऊपर
किसी भी आयाम में, ईज़िंग मॉडल को स्थानीय रूप से भिन्न माध्य क्षेत्र द्वारा उत्पादक रूप से वर्णित किया जा सकता है। क्षेत्र को एक बड़े क्षेत्र में औसत स्पिन मूल्य के रूप में परिभाषित किया गया है, लेकिन इतना बड़ा नहीं है कि पूरे सिस्टम को शामिल किया जा सके। क्षेत्र में अभी भी बिंदु से बिंदु तक धीमी भिन्नताएं हैं, क्योंकि औसत मात्रा चलती है। क्षेत्र में ये उतार-चढ़ाव अनंत प्रणाली सीमा में एक सतत क्षेत्र सिद्धांत द्वारा वर्णित हैं।

स्थानीय क्षेत्र
फ़ील्ड एच को स्पिन वेरिएबल के लंबे तरंग दैर्ध्य फूरियर घटकों के रूप में परिभाषित किया गया है, इस सीमा में कि तरंग दैर्ध्य लंबे हैं। लंबी तरंगदैर्घ्य का औसत निकालने के कई तरीके हैं, यह इस बात पर निर्भर करता है कि उच्च तरंगदैर्घ्य को कैसे काटा जाता है। विवरण बहुत महत्वपूर्ण नहीं हैं, क्योंकि लक्ष्य एच के आंकड़े खोजना है न कि स्पिन। एक बार एच में सहसंबंध ज्ञात हो जाने के बाद, स्पिन के बीच लंबी दूरी के संबंध एच में लंबी दूरी के सहसंबंध के समानुपाती होंगे।

धीरे-धीरे बदलते क्षेत्र एच के किसी भी मूल्य के लिए, मुक्त ऊर्जा (लॉग-प्रायिकता) एच और उसके ग्रेडियेंट का एक स्थानीय विश्लेषणात्मक कार्य है। मुक्त ऊर्जा F(H) को सभी आइसिंग विन्यासों के योग के रूप में परिभाषित किया गया है जो लंबी तरंग दैर्ध्य क्षेत्र के अनुरूप हैं। चूँकि H एक स्थूल विवरण है, H के प्रत्येक मान के अनुरूप कई Ising विन्यास हैं, जब तक कि मैच के लिए बहुत अधिक सटीकता की आवश्यकता नहीं है।

चूँकि किसी भी क्षेत्र में स्पिन के मूल्यों की अनुमत सीमा केवल उस क्षेत्र से एक औसत आयतन के भीतर H के मूल्यों पर निर्भर करती है, प्रत्येक क्षेत्र से मुक्त ऊर्जा योगदान केवल वहाँ और पड़ोसी क्षेत्रों में H के मान पर निर्भर करता है। तो एफ स्थानीय योगदान के सभी क्षेत्रों पर एक योग है, जो केवल एच और उसके डेरिवेटिव पर निर्भर करता है।

H में समरूपता के द्वारा, केवल शक्तियाँ भी योगदान करती हैं। एक वर्ग जाली पर प्रतिबिंब समरूपता से, केवल ढाल की शक्तियां भी योगदान करती हैं। मुक्त ऊर्जा में पहले कुछ शब्द लिखना:


 * $$\beta F =  \int d^dx \left[ A H^2 + \sum_{i=1}^d Z_i (\partial_i H)^2 + \lambda H^4 +\cdots \right].$$

एक चौकोर जाली पर, समरूपता गारंटी देती है कि गुणांक Ziव्युत्पन्न शर्तों के सभी बराबर हैं। लेकिन एक अनिसोट्रोपिक आइसिंग मॉडल के लिए भी, जहां Zi{{'}अलग-अलग दिशाओं में अलग-अलग हैं, एच में उतार-चढ़ाव एक समन्वय प्रणाली में आइसोट्रोपिक हैं जहां अंतरिक्ष की अलग-अलग दिशाओं को फिर से बढ़ाया जाता है।

किसी भी जाली पर, व्युत्पन्न शब्द
 * $$Z_{ij} \, \partial_i H \, \partial_j H $$

एक सकारात्मक निश्चित द्विघात रूप है, और अंतरिक्ष के लिए मीट्रिक को परिभाषित करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है। तो कोई भी ट्रांसलेशनली इनवेरिएंट ईज़िंग मॉडल Z बनाने वाले निर्देशांक में लंबी दूरी पर घूर्णी रूप से अपरिवर्तनीय हैij= घij. घूर्णी समरूपता अनायास ही बड़ी दूरी पर उभर आती है क्योंकि बहुत कम क्रम की शर्तें नहीं हैं। उच्च क्रम के बहु-महत्वपूर्ण बिंदुओं पर, यह आकस्मिक समरूपता खो जाती है।

चूंकि βF धीरे-धीरे स्थानिक रूप से भिन्न क्षेत्र का एक कार्य है, किसी भी क्षेत्र विन्यास की संभावना है:


 * $$P(H) \propto e^{ - \int d^dx \left[ AH^2 + Z |\nabla H|^2 + \lambda H^4 \right]}.$$

एच शर्तों के किसी भी उत्पाद का सांख्यिकीय औसत बराबर है:


 * $$\langle H(x_1) H(x_2)\cdots H(x_n) \rangle = { \int DH \, P(H) H(x_1) H(x_2) \cdots H(x_n) \over \int DH \, P(H) }.$$

इस अभिव्यक्ति में भाजक को विभाजन समारोह कहा जाता है, और एच के सभी संभावित मूल्यों पर अभिन्न एक सांख्यिकीय पथ अभिन्न है। यह स्पिन के सभी लंबे तरंग दैर्ध्य फूरियर घटकों पर एच के सभी मूल्यों पर ऍक्स्प (βF) को एकीकृत करता है। F क्षेत्र H के लिए एक यूक्लिडियन लैग्रेंजियन है, इस और स्केलर क्षेत्र के क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के बीच एकमात्र अंतर यह है कि सभी व्युत्पन्न शब्द एक सकारात्मक संकेत के साथ प्रवेश करते हैं, और i का कोई समग्र कारक नहीं है।


 * $$Z = \int DH \, e^{ - \int d^dx \left[ A H^2 + Z |\nabla H|^2 + \lambda H^4 \right]}$$

आयामी विश्लेषण
F के रूप का उपयोग यह अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है कि आयामी विश्लेषण द्वारा कौन से शब्द सबसे महत्वपूर्ण हैं। आयामी विश्लेषण पूरी तरह से सीधा नहीं है, क्योंकि एच के स्केलिंग को निर्धारित करने की आवश्यकता है।

सामान्य मामले में, एच के लिए स्केलिंग कानून चुनना आसान है, क्योंकि योगदान देने वाला एकमात्र शब्द पहला है,


 * $$F = \int d^dx \, A H^2.$$

यह शब्द सबसे महत्वपूर्ण है, लेकिन यह तुच्छ व्यवहार देता है। मुक्त ऊर्जा का यह रूप अल्ट्रालोकल है, जिसका अर्थ है कि यह प्रत्येक बिंदु से एक स्वतंत्र योगदान का योग है। यह एक आयामी आइसिंग मॉडल में स्पिन-फ्लिप की तरह है। किसी भी बिंदु पर एच का प्रत्येक मान किसी अन्य बिंदु पर मूल्य से पूरी तरह स्वतंत्र रूप से उतार-चढ़ाव करता है।

गुणांक ए को अवशोषित करने के लिए क्षेत्र के पैमाने को फिर से परिभाषित किया जा सकता है, और फिर यह स्पष्ट है कि ए केवल उतार-चढ़ाव के समग्र पैमाने को निर्धारित करता है। अल्ट्रालोकल मॉडल ईज़िंग मॉडल के लंबे तरंग दैर्ध्य उच्च तापमान व्यवहार का वर्णन करता है, क्योंकि इस सीमा में उतार-चढ़ाव औसत बिंदु से बिंदु तक स्वतंत्र होते हैं।

महत्वपूर्ण बिंदु खोजने के लिए, तापमान कम करें। जैसे-जैसे तापमान नीचे जाता है, H में उतार-चढ़ाव बढ़ता जाता है क्योंकि उतार-चढ़ाव अधिक सहसंबद्ध होते हैं। इसका मतलब यह है कि बड़ी संख्या में घुमावों का औसत इतनी जल्दी छोटा नहीं हो जाता है जैसे कि वे असंबद्ध हों, क्योंकि वे समान होते हैं। यह इकाइयों की प्रणाली में ए को कम करने के अनुरूप है जहां एच ए को अवशोषित नहीं करता है। चरण संक्रमण केवल तभी हो सकता है जब एफ में सबलीडिंग शर्तों में योगदान हो सकता है, लेकिन चूंकि पहली अवधि लंबी दूरी पर हावी होती है, इसलिए गुणांक ए को शून्य पर ट्यून किया जाना चाहिए. यह महत्वपूर्ण बिंदु का स्थान है:


 * $$F= \int d^dx \left[ t H^2 + \lambda H^4  + Z (\nabla H)^2 \right],$$

जहाँ t एक प्राचल है जो संक्रमण के समय शून्य से होकर जाता है।

चूंकि टी गायब हो रहा है, इस शब्द का उपयोग करके क्षेत्र के पैमाने को ठीक करने से अन्य शर्तों को उड़ा दिया जाता है। एक बार टी छोटा हो जाने पर, एच के गुणांक को ठीक करने के लिए क्षेत्र के पैमाने को या तो सेट किया जा सकता है4 पद या (∇H)2 टर्म टू 1।

चुंबकीयकरण
चुंबकीयकरण खोजने के लिए, एच के स्केलिंग को ठीक करें ताकि λ एक हो। अब क्षेत्र H का आयाम -d/4 है, ताकि H4डीdx आयाम रहित है, और Z का आयाम 2 − d/2 है। इस स्केलिंग में, ढाल शब्द केवल डी ≤ 4 के लिए लंबी दूरी पर महत्वपूर्ण है। चार आयामों से ऊपर, लंबी तरंग दैर्ध्य पर, समग्र चुंबकीयकरण केवल अल्ट्रालोकल शर्तों से प्रभावित होता है।

एक सूक्ष्म बिंदु है। क्षेत्र एच सांख्यिकीय रूप से उतार-चढ़ाव कर रहा है, और उतार-चढ़ाव टी के शून्य बिंदु को स्थानांतरित कर सकता है। यह देखने के लिए कि कैसे, एच ​​पर विचार करें4 निम्न तरीके से विभाजित करें:


 * $$H(x)^4 = -\langle H(x)^2\rangle^2 + 2\langle H(x)^2\rangle H(x)^2 + \left(H(x)^2 - \langle H(x)^2\rangle\right)^2$$

पहला कार्यकाल मुक्त ऊर्जा के लिए एक निरंतर योगदान है, और इसे अनदेखा किया जा सकता है। दूसरा कार्यकाल टी में एक परिमित बदलाव है। तीसरी अवधि एक मात्रा है जो लंबी दूरी पर शून्य हो जाती है। इसका मतलब यह है कि आयामी विश्लेषण द्वारा टी के स्केलिंग का विश्लेषण करते समय, यह स्थानांतरित टी है जो महत्वपूर्ण है। यह ऐतिहासिक रूप से बहुत भ्रमित करने वाला था, क्योंकि किसी परिमित λ पर t में बदलाव परिमित है, लेकिन संक्रमण t के पास बहुत छोटा है। टी में आंशिक परिवर्तन बहुत बड़ा है, और इकाइयों में जहां टी निश्चित है, बदलाव अनंत दिखता है।

चुम्बकीयकरण मुक्त ऊर्जा के न्यूनतम पर है, और यह एक विश्लेषणात्मक समीकरण है। स्थानांतरित टी के संदर्भ में,


 * $${\partial \over \partial H } \left( t H^2 + \lambda H^4 \right ) = 2t H + 4\lambda H^3 = 0$$

टी <0 के लिए, न्यूनतम टी के वर्गमूल के आनुपातिक एच पर हैं। तो लन्दौ का तबाही सिद्धांत तर्क 5 से बड़े आयामों में सही है। 5 से अधिक आयामों में चुंबकीयकरण प्रतिपादक माध्य-क्षेत्र मान के बराबर है।

जब टी ऋणात्मक होता है, तो नए न्यूनतम के उतार-चढ़ाव को एक नए सकारात्मक द्विघात गुणांक द्वारा वर्णित किया जाता है। चूंकि यह शब्द हमेशा हावी रहता है, संक्रमण के नीचे के तापमान पर उतार-चढ़ाव फिर से लंबी दूरी पर अल्ट्रालोकल हो जाता है।

उतार-चढ़ाव
उतार-चढ़ाव के व्यवहार का पता लगाने के लिए, ग्रेडिएंट टर्म को ठीक करने के लिए फ़ील्ड को फिर से स्केल करें। फिर फ़ील्ड का लंबाई स्केलिंग आयाम 1 − d/2 है। अब क्षेत्र में सभी तापमानों पर निरंतर द्विघात स्थानिक उतार-चढ़ाव होता है। H का पैमाना आयाम2 पद 2 है, जबकि H का पैमाना आयाम4 पद 4 − d है। डी <4 के लिए, एच4 पद का सकारात्मक पैमाना आयाम है। 4 से अधिक आयामों में इसका ऋणात्मक पैमाना आयाम है।

यह एक आवश्यक अंतर है। 4 से अधिक आयामों में, ग्रेडिएंट टर्म के पैमाने को ठीक करने का अर्थ है कि H का गुणांक4 शब्द लंबी और लंबी तरंग दैर्ध्य में कम और कम महत्वपूर्ण होता है। जिस आयाम पर गैर-चतुर्भुज योगदान योगदान करना शुरू करते हैं उसे महत्वपूर्ण आयाम के रूप में जाना जाता है। ईज़िंग मॉडल में, महत्वपूर्ण आयाम 4 है।

4 से ऊपर के आयामों में, महत्वपूर्ण उतार-चढ़ाव लंबी तरंग दैर्ध्य पर विशुद्ध रूप से द्विघात मुक्त ऊर्जा द्वारा वर्णित हैं। इसका मतलब यह है कि सहसंबंध कार्य गॉसियन वितरण औसत के रूप में सभी गणना योग्य हैं:


 * $$\langle S(x)S(y)\rangle \propto \langle H(x)H(y)\rangle = G(x-y) = \int {dk \over (2\pi)^d} { e^{ik(x-y)}\over k^2 + t }$$

मान्य जब x−y बड़ा हो। फलन G(x− y) प्रसारक के काल्पनिक समय के लिए विश्लेषणात्मक निरंतरता है, क्योंकि मुक्त ऊर्जा मुक्त अदिश क्षेत्र के लिए क्वांटम क्षेत्र क्रिया की विश्लेषणात्मक निरंतरता है। आयाम 5 और उच्चतर के लिए, लंबी दूरी पर अन्य सभी सहसंबंध कार्य एस-मैट्रिक्स#विक के प्रमेय द्वारा निर्धारित किए जाते हैं|विक के प्रमेय। ± सममिति द्वारा सभी विषम क्षण शून्य हैं। सम क्षण प्रत्येक जोड़ी के लिए G(x− y) के उत्पाद के जोड़े में सभी विभाजनों का योग है।


 * $$\langle S(x_1) S(x_2) \cdots S(x_{2n})\rangle = C^n \sum G(x_{i1},x_{j1}) G(x_{i2},x_{j2}) \ldots G(x_{in},x_{jn})$$

जहाँ C आनुपातिकता स्थिरांक है। इसलिए G को जानना ही काफी है। यह क्षेत्र के सभी बहुबिंदु सहसंबंधों को निर्धारित करता है।

महत्वपूर्ण दो-बिंदु फ़ंक्शन
जी के रूप को निर्धारित करने के लिए, विचार करें कि पथ अभिन्न में क्षेत्र मुक्त ऊर्जा को अलग करके गति के शास्त्रीय समीकरणों का पालन करते हैं:


 * $$\begin{align}

&&\left(-\nabla_x^2 + t\right) \langle H(x)H(y) \rangle &= 0 \\ \rightarrow {} &&                               \nabla^2 G(x) + tG(x) &= 0 \end{align}$$ यह केवल गैर-संयोगी बिंदुओं पर मान्य है, क्योंकि जब बिंदु टकराते हैं तो H के सहसंबंध एकवचन होते हैं। एच गति के शास्त्रीय समीकरणों का उसी कारण से पालन करता है जिस कारण से क्वांटम मैकेनिकल ऑपरेटर उनका पालन करते हैं - इसके उतार-चढ़ाव को एक पथ अभिन्न द्वारा परिभाषित किया जाता है।

महत्वपूर्ण बिंदु t = 0 पर, यह लाप्लास का समीकरण है, जिसे गॉसियन सतह | इलेक्ट्रोस्टैटिक्स से गॉस की विधि द्वारा हल किया जा सकता है। विद्युत क्षेत्र के अनुरूप को परिभाषित कीजिए


 * $$E = \nabla G$$

उत्पत्ति से दूर:


 * $$\nabla \cdot E = 0$$

चूँकि G d आयामों में गोलाकार रूप से सममित है, और E, G का रेडियल ग्रेडिएंट है। एक बड़े d − 1 आयामी क्षेत्र पर एकीकरण,


 * $$\int d^{d-1}S E_r = \mathrm{constant}$$

यह देता है:


 * $$E = {C \over r^{d-1} }$$

और जी को आर के संबंध में एकीकृत करके पाया जा सकता है।


 * $$G(r) = {C \over r^{d-2} }$$

निरंतर सी क्षेत्र के समग्र सामान्यीकरण को ठीक करता है।

जी (आर) महत्वपूर्ण बिंदु से दूर
जब टी शून्य के बराबर नहीं होता है, ताकि एच महत्वपूर्ण से थोड़ा दूर तापमान पर उतार-चढ़ाव कर रहा हो, दो बिंदु समारोह लंबी दूरी पर घटता है। यह जिस समीकरण का पालन करता है वह बदल जाता है:


 * $$\nabla^2 G + t G = 0 \to {1 \over r^{d - 1}} {d \over dr} \left( r^{d-1} {dG \over dr} \right) + t G(r) = 0$$

आर के साथ तुलना में छोटा है $$\sqrt{t}$$, समाधान ठीक उसी तरह से विचलन करता है जैसे महत्वपूर्ण मामले में होता है, लेकिन लंबी दूरी के व्यवहार को संशोधित किया जाता है।

यह देखने के लिए कि कैसे, क्वांटम फील्ड थ्योरी के संदर्भ में श्विंगर द्वारा पेश किए गए इंटीग्रल के रूप में दो बिंदु फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करना सुविधाजनक है:


 * $$G(x) = \int d\tau {1 \over \left(\sqrt{2\pi\tau}\right)^d} e^{-{x^2 \over 4\tau} - t\tau}$$

यह जी है, क्योंकि इस इंटीग्रल का फूरियर रूपांतरण आसान है। प्रत्येक निश्चित τ योगदान x में एक गॉसियन है, जिसका फूरियर रूपांतरण k में पारस्परिक चौड़ाई का एक और गॉसियन है।


 * $$G(k) = \int d\tau e^{-(k^2 - t)\tau} = {1 \over k^2 - t}$$

यह संकारक ∇ का व्युत्क्रम है2 − t k-स्पेस में, k-स्पेस में यूनिट फ़ंक्शन पर कार्य करता है, जो मूल में स्थानीयकृत डेल्टा फ़ंक्शन स्रोत का फूरियर रूपांतरण है। तो यह जी के समान समीकरण को उसी सीमा शर्तों के साथ संतुष्ट करता है जो 0 पर विचलन की ताकत निर्धारित करता है।

उचित समय τ पर अभिन्न प्रतिनिधित्व की व्याख्या यह है कि दो बिंदु फ़ंक्शन सभी यादृच्छिक चलने वाले पथों का योग है जो समय τ के साथ स्थिति 0 को स्थिति x से जोड़ता है। स्थिति x पर समय τ पर इन रास्तों का घनत्व गॉसियन है, लेकिन यादृच्छिक वॉकर टी के समानुपाती स्थिर दर पर गायब हो जाते हैं ताकि समय पर गॉसियन एक कारक द्वारा ऊंचाई में कम हो जाए जो लगातार तेजी से घटता है। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में, ये एक औपचारिकता में सापेक्षिक रूप से स्थानीयकृत क्वांटा के मार्ग हैं जो व्यक्तिगत कणों के पथ का अनुसरण करते हैं। शुद्ध सांख्यिकीय संदर्भ में, ये पथ अभी भी गणितीय पत्राचार द्वारा क्वांटम क्षेत्रों के साथ दिखाई देते हैं, लेकिन उनकी व्याख्या सीधे कम भौतिक है।

अभिन्न प्रतिनिधित्व तुरंत दिखाता है कि जी (आर) सकारात्मक है, क्योंकि यह सकारात्मक गॉसियन के भारित योग के रूप में दर्शाया गया है। यह बड़े आर पर क्षय की दर भी देता है, क्योंकि यादृच्छिक चलने के लिए स्थिति τ तक पहुंचने का उचित समय आर है2 और इस समय में, गॉसियन ऊंचाई का क्षय हो गया है $$e^{-t\tau} = e^{-tr^2}$$. इसलिए स्थिति r के लिए उपयुक्त क्षय कारक है $$e^{-\sqrt t r}$$.

G(r) के लिए अनुमानी सन्निकटन है:


 * $$G(r) \approx { e^{-\sqrt t r} \over r^{d-2}}$$

यह एक सटीक रूप नहीं है, सिवाय तीन आयामों के, जहां पथों के बीच अंतःक्रिया महत्वपूर्ण हो जाती है। उच्च आयामों में सटीक रूप बेसेल कार्यों के प्रकार हैं।

सिमांजिक बहुलक व्याख्या
रैंडम वॉक के साथ यात्रा करने वाले निश्चित आकार के क्वांटा के रूप में सहसंबंधों की व्याख्या यह समझने का एक तरीका देती है कि एच का महत्वपूर्ण आयाम क्यों है4 इंटरेक्शन 4 है। H शब्द4 को किसी भी बिंदु पर यादृच्छिक वॉकर के घनत्व के वर्ग के रूप में माना जा सकता है। इस तरह के एक शब्द के लिए परिमित क्रम सहसंबंध कार्यों को बदलने के लिए, जो उतार-चढ़ाव वाले वातावरण में केवल कुछ नए यादृच्छिक चलने का परिचय देते हैं, नए पथों को प्रतिच्छेद करना चाहिए। अन्यथा, घनत्व का वर्ग घनत्व के समानुपाती होता है और केवल H को स्थानांतरित करता है2 एक स्थिरांक द्वारा गुणांक। लेकिन यादृच्छिक चलने की प्रतिच्छेदन संभावना आयाम पर निर्भर करती है, और 4 से अधिक आयाम में यादृच्छिक चलना प्रतिच्छेद नहीं करता है।

एक साधारण रैंडम वॉक का भग्न आयाम 2 है। पथ को कवर करने के लिए आवश्यक ε आकार की गेंदों की संख्या ε के रूप में बढ़ती है -2. भग्न आयाम 2 की दो वस्तुएं केवल आयाम 4 या उससे कम के स्थान में उचित संभावना के साथ प्रतिच्छेद करेंगी, वही स्थिति जो विमानों की एक सामान्य जोड़ी के लिए होती है। कर्ट सिमांजिक ने तर्क दिया कि इसका तात्पर्य है कि 4 से अधिक आयामों में महत्वपूर्ण ईज़िंग उतार-चढ़ाव को एक मुक्त क्षेत्र द्वारा वर्णित किया जाना चाहिए। यह तर्क अंततः एक गणितीय प्रमाण बन गया।

4 − ε आयाम – पुनर्सामान्यीकरण समूह
चार आयामों में ईज़िंग मॉडल को उतार-चढ़ाव वाले क्षेत्र द्वारा वर्णित किया गया है, लेकिन अब उतार-चढ़ाव परस्पर क्रिया कर रहे हैं। बहुलक प्रतिनिधित्व में, यादृच्छिक चालों के चौराहे मामूली रूप से संभव हैं। क्वांटम क्षेत्र की निरंतरता में, क्वांटा परस्पर क्रिया करता है।

किसी भी क्षेत्र विन्यास H की प्रायिकता का ऋणात्मक लघुगणक ऊष्मागतिकी मुक्त ऊर्जा फलन है


 * $$F= \int d^4 x \left[ {Z \over 2} |\nabla H|^2 + {t\over 2} H^2  + {\lambda \over 4!} H^4 \right] \,$$

गति के समीकरणों को सरल बनाने के लिए संख्यात्मक कारक हैं। लक्ष्य सांख्यिकीय उतार-चढ़ाव को समझना है। किसी भी अन्य गैर-द्विघात पथ अभिन्न की तरह, सहसंबंध कार्यों में एक फेनमैन आरेख होता है, जैसे कण यादृच्छिक चाल के साथ यात्रा करते हैं, विभाजित होते हैं और शिखर पर फिर से जुड़ते हैं। परस्पर क्रिया शक्ति को शास्त्रीय रूप से आयाम रहित मात्रा λ द्वारा पैरामीट्रिज किया जाता है।

हालांकि आयामी विश्लेषण से पता चलता है कि λ और Z दोनों ही आयाम रहित हैं, यह भ्रामक है। लंबी तरंग दैर्ध्य सांख्यिकीय उतार-चढ़ाव बिल्कुल पैमाने पर अपरिवर्तनीय नहीं होते हैं, और जब अंतःक्रिया शक्ति गायब हो जाती है तो केवल स्केल अपरिवर्तनीय हो जाती है।

इसका कारण यह है कि H को परिभाषित करने के लिए कटऑफ का उपयोग किया जाता है, और कटऑफ सबसे कम तरंग दैर्ध्य को परिभाषित करता है। कटऑफ के पास तरंग दैर्ध्य में एच का उतार-चढ़ाव लंबी-तरंग दैर्ध्य में उतार-चढ़ाव को प्रभावित कर सकता है। यदि सिस्टम को कटऑफ के साथ स्केल किया जाता है, तो पैरामीटर आयामी विश्लेषण द्वारा स्केल किए जाएंगे, लेकिन फिर पैरामीटर की तुलना व्यवहार की तुलना नहीं करती है क्योंकि रीस्केल किए गए सिस्टम में अधिक मोड होते हैं। यदि सिस्टम को इस तरह से बदला जाता है कि शॉर्ट वेवलेंथ कटऑफ स्थिर रहता है, तो लॉन्ग-वेवलेंथ के उतार-चढ़ाव को संशोधित किया जाता है।

विल्सन पुनर्सामान्यीकरण
स्केलिंग का अध्ययन करने का एक त्वरित अनुमानी तरीका एक बिंदु λ पर H तरंगों को काटना है। λ से बड़े wavenumbers वाले H के फूरियर मोड में उतार-चढ़ाव की अनुमति नहीं है। लंबाई का पुनर्विक्रय जो पूरे सिस्टम को छोटा बनाता है, सभी तरंगों को बढ़ाता है, और कुछ उतार-चढ़ाव को कटऑफ से ऊपर ले जाता है।

पुराने कटऑफ़ को पुनर्स्थापित करने के लिए, उन सभी तरंगों पर आंशिक एकीकरण करें जो वर्जित हुआ करते थे, लेकिन अब उतार-चढ़ाव कर रहे हैं। फेनमैन आरेखों में, वेवनंबर k पर एक उतार-चढ़ाव मोड पर एकीकरण, व्युत्क्रम प्रसारक के एक कारक के साथ जोड़े में एक सहसंबंध समारोह में संवेग k ले जाने वाली रेखाओं को जोड़ता है।

रीस्केलिंग के तहत, जब सिस्टम (1+b) के एक कारक से सिकुड़ जाता है, तो t गुणांक एक कारक (1+b) से बढ़ जाता है।2 विमीय विश्लेषण द्वारा। अत्यल्प b के लिए t में परिवर्तन 2bt है। अन्य दो गुणांक विमाहीन हैं और बिल्कुल नहीं बदलते हैं।

एकीकरण के निम्नतम क्रम के प्रभाव की गणना गति के समीकरणों से की जा सकती है:


 * $$\nabla^2 H + t H = - {\lambda \over 6} H^3.$$

यह समीकरण अन्य सम्मिलन से दूर किसी भी सहसंबंध समारोह के भीतर एक पहचान है। मोड को Λ <k <(1+b)Λ के साथ एकीकृत करने के बाद, यह थोड़ी अलग पहचान होगी।

चूंकि समीकरण के रूप को संरक्षित किया जाएगा, गुणांक में परिवर्तन का पता लगाने के लिए एच में परिवर्तन का विश्लेषण करना पर्याप्त है3 अवधि। फेनमैन आरेख विस्तार में, एच3 एक सहसंबंध समारोह में एक सहसंबंध के अंदर तीन लटकती हुई रेखाएं हैं। बड़ी तरंग संख्या k पर उनमें से दो को मिलाने से H में परिवर्तन होता है3 एक लटकती हुई रेखा के साथ, H के समानुपाती:


 * $$\delta H^3 = 3H \int_{\Lambda<|k|<(1 + b)\Lambda} {d^4k \over (2\pi)^4} {1\over (k^2 + t)}$$

3 का कारक इस तथ्य से आता है कि लूप को तीन अलग-अलग तरीकों से बंद किया जा सकता है।

अभिन्न को दो भागों में विभाजित किया जाना चाहिए:


 * $$\int dk {1 \over k^2} - t \int dk { 1\over k^2(k^2 + t)} = A\Lambda^2 b + B b t$$

पहला भाग टी के समानुपाती नहीं है, और गति के समीकरण में इसे टी में निरंतर बदलाव से अवशोषित किया जा सकता है। यह इस तथ्य के कारण होता है कि एच3 पद का एक रेखीय भाग है। केवल दूसरा शब्द, जो टी से टी तक भिन्न होता है, महत्वपूर्ण स्केलिंग में योगदान देता है।

यह नया रेखीय शब्द बाईं ओर के पहले पद में जोड़ता है, t को t के समानुपातिक राशि से बदलता है। टी में कुल परिवर्तन आयामी विश्लेषण से शब्द का योग है और ऑपरेटर उत्पाद विस्तार से यह दूसरा शब्द है:


 * $$\delta t = \left(2 - {B\lambda \over 2} \right)b t$$

इसलिए t को पुनर्विक्रय किया जाता है, लेकिन इसका आयाम विषम आयाम है, इसे λ के मान के आनुपातिक राशि से बदल दिया जाता है।

लेकिन λ भी बदलता है। λ में बदलाव के लिए लाइनों को विभाजित करने और फिर जल्दी से जुड़ने पर विचार करने की आवश्यकता है। सबसे कम ऑर्डर प्रक्रिया वह है जहां एच से तीन पंक्तियों में से एक है3 तीन में विभाजित हो जाता है, जो एक ही शीर्ष से अन्य पंक्तियों में से एक के साथ शीघ्रता से जुड़ जाता है। शीर्ष पर सुधार है


 * $$\delta \lambda = - {3 \lambda^2 \over 2} \int_k dk {1 \over (k^2 + t)^2} = -{3\lambda^2 \over 2} b$$

संख्यात्मक कारक तीन गुना बड़ा है क्योंकि अनुबंध करने के लिए तीन नई लाइनों में से किसे चुनने में तीन का एक अतिरिक्त कारक है। इसलिए


 * $$\delta \lambda = - 3 B \lambda^2 b$$

ये दो समीकरण मिलकर पुनर्सामान्यीकरण समूह समीकरणों को चार आयामों में परिभाषित करते हैं:


 * $$\begin{align}

{dt \over t} &= \left(2 - {B\lambda \over 2}\right) b \\ {d\lambda \over \lambda} &= {-3 B \lambda \over 2} b \end{align}$$ गुणांक बी सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है
 * $$B b = \int_{\Lambda<|k|<(1+b)\Lambda} {d^4k\over (2\pi)^4} {1 \over k^4}$$

और त्रिज्या λ के त्रि-आयामी क्षेत्र के क्षेत्र के आनुपातिक है, एकीकरण क्षेत्र की चौड़ाई bΛ Λ द्वारा विभाजित4:
 * $$B= (2 \pi^2 \Lambda^3) {1\over (2\pi)^4} { b \Lambda} {1 \over b\Lambda^4} = {1\over 8\pi^2} $$

अन्य आयामों में, निरंतर बी बदलता है, लेकिन वही स्थिरांक टी प्रवाह और युग्मन प्रवाह दोनों में दिखाई देता है। इसका कारण यह है कि एकल शीर्ष के साथ बंद लूप के t के संबंध में व्युत्पन्न दो शीर्षों वाला एक बंद लूप है। इसका मतलब यह है कि युग्मन और टी के स्केलिंग के बीच एकमात्र अंतर जुड़ने और बंटने से संयोजन कारक है।

विल्सन-फिशर निश्चित बिंदु
चार-आयामी सिद्धांत से शुरू होने वाले तीन आयामों की जांच करना संभव होना चाहिए, क्योंकि यादृच्छिक चलने की प्रतिच्छेदन संभावनाएं अंतरिक्ष की आयामता पर लगातार निर्भर करती हैं। फेनमैन ग्राफ की भाषा में, आयाम बदलने पर युग्मन बहुत अधिक नहीं बदलता है।

आयाम 4 से दूर रहने की प्रक्रिया पूरी तरह से परिभाषित नहीं है कि यह कैसे करना है। प्रिस्क्रिप्शन केवल आरेखों पर अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है। यह आयाम 4 में श्विंगर प्रतिनिधित्व को आयाम 4 में श्विंगर प्रतिनिधित्व के साथ प्रतिस्थापित करता है − ε द्वारा परिभाषित:
 * $$ G(x-y) = \int d\tau {1 \over t^{d\over 2}} e^{{x^2 \over 2\tau} + t \tau} $$

आयाम 4 − ε में, युग्मन λ का सकारात्मक पैमाना आयाम ε है, और इसे प्रवाह में जोड़ा जाना चाहिए।


 * $$\begin{align}

{d\lambda \over \lambda} &= \varepsilon - 3 B \lambda \\ {dt \over t} &= 2 - \lambda B \end{align}$$ गुणांक बी आयाम पर निर्भर है, लेकिन यह रद्द हो जाएगा। λ के लिए निश्चित बिंदु अब शून्य नहीं है, लेकिन पर:
 * $$\lambda = {\varepsilon \over 3B} $$

जहां टी के स्केल आयाम को λB = ε/3 राशि से बदल दिया जाता है।

चुंबकीयकरण एक्सपोनेंट को आनुपातिक रूप से बदल दिया जाता है:
 * $$\tfrac{1}{2} \left( 1 - {\varepsilon \over 3}\right)$$

जो .333 3 आयामों (ε = 1) और .166 2 आयामों (ε = 2) में है। यह मापी गई घातांक .308 और ऑनसेजर दो आयामी घातांक .125 से बहुत दूर नहीं है।

अनंत आयाम - औसत क्षेत्र
पूरी तरह से जुड़े हुए ग्राफ पर ईज़िंग मॉडल के व्यवहार को माध्य-क्षेत्र सिद्धांत द्वारा पूरी तरह से समझा जा सकता है। इस प्रकार का विवरण अति-उच्च-आयामी वर्गाकार जालियों के लिए उपयुक्त है, क्योंकि तब प्रत्येक स्थल के पास बहुत बड़ी संख्या में पड़ोसी होते हैं।

विचार यह है कि यदि प्रत्येक स्पिन बड़ी संख्या में स्पिन से जुड़ा है, तो केवल + स्पिन से - स्पिन का औसत अनुपात महत्वपूर्ण है, क्योंकि इस माध्य के बारे में उतार-चढ़ाव छोटा होगा। मीन फील्ड एच स्पिन का औसत अंश है जो + माइनस स्पिन का औसत अंश है जो − है। औसत क्षेत्र H में एक स्पिन को फ़्लिप करने की ऊर्जा लागत ± 2JNH है। कारक N को अवशोषित करने के लिए J को फिर से परिभाषित करना सुविधाजनक है, ताकि सीमा N → ∞ सुचारू हो। नए J के संदर्भ में, स्पिन को फ़्लिप करने की ऊर्जा लागत ±2JH है।

यह ऊर्जा लागत स्पिन के + होने की प्रायिकता p और स्पिन के 1−p होने की संभावना − का अनुपात देती है। यह अनुपात Boltzmann कारक है:
 * $${p\over 1-p} = e^{2\beta JH}$$

ताकि
 * $$p = {1 \over 1 + e^{-2\beta JH} }$$

स्पिन का औसत मान 1 और -1 के औसत से p और 1− p वजन के साथ दिया जाता है, इसलिए औसत मान 2p − 1 है। लेकिन यह औसत सभी स्पिन के लिए समान है, और इसलिए H के बराबर है।
 * $$ H = 2p - 1 = { 1 - e^{-2\beta JH} \over 1 + e^{-2\beta JH}} = \tanh (\beta JH)$$

इस समीकरण के समाधान संभावित सुसंगत माध्य क्षेत्र हैं। βJ < 1 के लिए H = 0 पर केवल एक ही समाधान है। β के बड़े मूल्यों के लिए तीन समाधान हैं, और H = 0 पर समाधान अस्थिर है।

अस्थिरता का अर्थ है कि माध्य क्षेत्र को शून्य से थोड़ा ऊपर बढ़ाना स्पिन के एक सांख्यिकीय अंश का उत्पादन करता है जो + है जो माध्य क्षेत्र के मान से बड़ा है। तो एक माध्य क्षेत्र जो शून्य से ऊपर उतार-चढ़ाव करता है, एक और भी अधिक माध्य क्षेत्र उत्पन्न करेगा, और अंततः स्थिर समाधान पर स्थिर हो जाएगा। इसका मतलब यह है कि महत्वपूर्ण मान βJ = 1 से नीचे के तापमान के लिए मीन-फील्ड आइसिंग मॉडल बड़े एन की सीमा में एक चरण संक्रमण से गुजरता है।

महत्वपूर्ण तापमान से ऊपर, एच में उतार-चढ़ाव कम हो जाता है क्योंकि माध्य क्षेत्र उतार-चढ़ाव को शून्य क्षेत्र में पुनर्स्थापित करता है। महत्वपूर्ण तापमान के नीचे, माध्य क्षेत्र को एक नए संतुलन मूल्य पर ले जाया जाता है, जो समीकरण के लिए सकारात्मक एच या नकारात्मक एच समाधान है।

βJ = 1 + ε के लिए, महत्वपूर्ण तापमान के ठीक नीचे, H के मान की गणना अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शरेखा के टेलर विस्तार से की जा सकती है:
 * $$H = \tanh(\beta J H) \approx (1+\varepsilon)H - {(1+\varepsilon)^3H^3\over 3}$$

एच = 0 पर अस्थिर समाधान को छोड़ने के लिए एच द्वारा विभाजित, स्थिर समाधान हैं:
 * $$H = \sqrt{3\varepsilon}$$

तापमान में परिवर्तन के वर्गमूल के रूप में सहज चुंबकीयकरण एच महत्वपूर्ण बिंदु के पास बढ़ता है। यह सच है जब भी एच की गणना एक विश्लेषणात्मक समीकरण के समाधान से की जा सकती है जो सकारात्मक और नकारात्मक मूल्यों के बीच सममित है, जिससे लेव लैंडौ को संदेह हुआ कि सभी आयामों में सभी प्रकार के चरण संक्रमणों को इस कानून का पालन करना चाहिए।

माध्य-क्षेत्र प्रतिपादक सार्वभौमिकता (गतिशील प्रणाली) है क्योंकि विश्लेषणात्मक समीकरणों के समाधान के चरित्र में परिवर्तन हमेशा टेलर श्रृंखला में आपदा सिद्धांत द्वारा वर्णित किया जाता है, जो एक बहुपद समीकरण है। समरूपता के अनुसार, H के समीकरण में दाहिनी ओर केवल H की विषम शक्तियाँ होनी चाहिए। β को बदलने से केवल गुणांकों में आसानी से परिवर्तन होना चाहिए। संक्रमण तब होता है जब दाहिनी ओर H का गुणांक 1 होता है। संक्रमण के पास:
 * $$H = {\partial (\beta F) \over \partial h} = (1+A\varepsilon) H + B H^3 + \cdots$$

जो कुछ भी ए और बी हैं, जब तक उनमें से कोई भी शून्य पर ट्यून नहीं किया जाता है, सहज चुंबकीयकरण ε के वर्गमूल के रूप में बढ़ेगा। यह तर्क केवल तभी विफल हो सकता है जब मुक्त ऊर्जा βF या तो गैर-विश्लेषणात्मक या गैर-जेनेरिक हो, जहां संक्रमण होता है।

लेकिन चुंबकीय प्रणालियों में सहज चुंबकीयकरण और महत्वपूर्ण बिंदु के पास गैसों में घनत्व बहुत सटीक रूप से मापा जाता है। तीन आयामों में घनत्व और चुंबकीयकरण में महत्वपूर्ण बिंदु के निकट तापमान पर समान शक्ति-नियम निर्भरता होती है, लेकिन प्रयोगों से व्यवहार है:
 * $$H \propto \varepsilon^{0.308}$$

एक्सपोनेंट भी सार्वभौमिक है, क्योंकि यह ईज़िंग मॉडल में प्रायोगिक चुंबक और गैस के समान है, लेकिन यह माध्य-क्षेत्र मान के बराबर नहीं है। यह बड़ा आश्चर्य था।

यह दो आयामों में भी सत्य है, जहाँ
 * $$H \propto \varepsilon^{0.125}$$

लेकिन वहाँ यह कोई आश्चर्य की बात नहीं थी, क्योंकि इसकी भविष्यवाणी लार्स ऑनसेगर ने की थी।

निम्न आयाम – ब्लॉक स्पिन
तीन आयामों में, क्षेत्र सिद्धांत से अनुगामी श्रृंखला एक युग्मन स्थिरांक λ में एक विस्तार है जो विशेष रूप से छोटा नहीं है। निश्चित बिंदु पर युग्मन का प्रभावी आकार कण पथों के शाखाकरण कारक से एक है, इसलिए विस्तार पैरामीटर लगभग 1/3 है। दो आयामों में, पर्टुरबेटिव एक्सपेंशन पैरामीटर 2/3 है।

लेकिन एक औसत क्षेत्र में जाने के बिना, रीनॉर्मलाइजेशन को सीधे स्पिन्स पर उत्पादक रूप से लागू किया जा सकता है। ऐतिहासिक रूप से, यह दृष्टिकोण लियो कडनॉफ़ के कारण है और पर्टुरेटिव ε विस्तार से पहले का है।

कपलिंग में एक प्रवाह उत्पन्न करते हुए, जाली स्पिन को पुनरावृत्त रूप से एकीकृत करने का विचार है। लेकिन अब कपलिंग जाली ऊर्जा गुणांक हैं। तथ्य यह है कि एक निरंतर विवरण मौजूद है, यह गारंटी देता है कि यह पुनरावृत्ति एक निश्चित बिंदु पर अभिसरण करेगी जब तापमान को गंभीरता से ट्यून किया जाएगा।

मिग्दल-कडानॉफ़ पुनर्सामान्यीकरण
संभावित उच्च क्रम की अंतःक्रियाओं की अनंत संख्या के साथ द्वि-आयामी आइसिंग मॉडल लिखें। स्पिन प्रतिबिंब समरूपता रखने के लिए, केवल शक्तियां भी योगदान देती हैं:
 * $$E = \sum_{ij} J_{ij} S_i S_j + \sum J_{ijkl} S_i S_j S_k S_l \ldots.$$

अनुवाद निश्चरता से, जेijकेवल आई-जे का एक कार्य है। आकस्मिक घूर्णी समरूपता के द्वारा, बड़े पैमाने पर i और j इसका आकार केवल द्वि-आयामी वेक्टर i − j के परिमाण पर निर्भर करता है। उच्च क्रम गुणांक भी समान रूप से प्रतिबंधित हैं।

पुनर्सामान्यीकरण पुनरावृत्ति जाली को दो भागों में विभाजित करता है - सम चक्रण और विषम चक्रण। विषम स्पिन विषम-चेकरबोर्ड जाली पदों पर रहते हैं, और सम-चेकरबोर्ड पर भी। जब घुमावों को स्थिति (i,j) द्वारा अनुक्रमित किया जाता है, तो विषम साइटें i+j विषम वाली होती हैं और सम साइटें i+j सम वाली होती हैं, और सम साइटें केवल विषम साइटों से जुड़ी होती हैं।

विषम घुमावों के दो संभावित मानों को दोनों संभावित मानों के योग द्वारा एकीकृत किया जाएगा। यह नए समायोजित कपलिंग के साथ, शेष समान घुमावों के लिए एक नया मुक्त ऊर्जा कार्य उत्पन्न करेगा। यहां तक ​​​​कि घुमाव फिर से एक जाली में हैं, कुल्हाड़ियों को पुराने के लिए 45 डिग्री पर झुकाया गया है। सिस्टम को अनरोटेट करना पुराने कॉन्फ़िगरेशन को पुनर्स्थापित करता है, लेकिन नए पैरामीटर के साथ। ये पैरामीटर दूरी पर स्पिन के बीच की बातचीत का वर्णन करते हैं $$\scriptstyle \sqrt{2}$$ बड़ा।

ईज़िंग मॉडल से शुरू होकर और इस पुनरावृत्ति को दोहराते हुए अंततः सभी कपलिंग बदल जाते हैं। जब तापमान महत्वपूर्ण तापमान से अधिक होता है, तो युग्मन शून्य हो जाएगा, क्योंकि बड़ी दूरी पर स्पिन असंबद्ध होते हैं। लेकिन जब तापमान महत्वपूर्ण होता है, तो सभी आदेशों पर स्पिन को जोड़ने वाले अशून्य गुणांक होंगे। केवल पहले कुछ शब्दों पर विचार करके प्रवाह का अनुमान लगाया जा सकता है। जब अधिक शब्द शामिल किए जाते हैं तो यह छोटा प्रवाह महत्वपूर्ण घातांकों के लिए बेहतर और बेहतर सन्निकटन उत्पन्न करेगा।

सबसे सरल सन्निकटन केवल सामान्य J शब्द रखना है, और बाकी सब कुछ त्याग देना है। यह ε विस्तार में λ के निश्चित बिंदु पर टी में प्रवाह के समान जे में एक प्रवाह उत्पन्न करेगा।

J में परिवर्तन ज्ञात करने के लिए, एक विषम स्थल के चार पड़ोसियों पर विचार करें। ये एकमात्र स्पिन हैं जो इसके साथ इंटरैक्ट करते हैं। विषम स्थान पर स्पिन के दो मानों के योग से विभाजन समारोह में गुणात्मक योगदान है:
 * $$ e^{J (N_+ - N_-)} + e^{J (N_- - N_+)} = 2 \cosh(J[N_+ - N_-])$$

जहां एन± पड़ोसियों की संख्या है जो ± हैं। 2 के कारक को अनदेखा करते हुए, इस विषम स्थान से मुक्त ऊर्जा योगदान है:
 * $$ F = \log(\cosh[J(N_+ - N_-)]).$$

इसमें अपेक्षित रूप से निकटतम पड़ोसी और अगले-निकटतम पड़ोसी इंटरैक्शन शामिल हैं, लेकिन एक चार-स्पिन इंटरैक्शन भी शामिल है जिसे छोड़ दिया जाना है। निकटतम पड़ोसी इंटरैक्शन को कम करने के लिए, विचार करें कि सभी स्पिनों के बीच समान और समान संख्या + और - के बीच ऊर्जा का अंतर है:
 * $$ \Delta F = \ln(\cosh[4J]).$$

निकटतम पड़ोसी कपलिंग से, सभी स्पिनों के बराबर और कंपित स्पिनों के बीच ऊर्जा का अंतर 8J है। सभी चक्रणों के बीच ऊर्जा का अंतर बराबर और स्थिर लेकिन शुद्ध शून्य चक्रण 4J है। चार-स्पिन अंतःक्रियाओं को अनदेखा करते हुए, इन दो ऊर्जाओं का औसत या 6J एक उचित ट्रंकेशन है। चूंकि प्रत्येक लिंक दो विषम चक्करों में योगदान देगा, पिछले एक के साथ तुलना करने का सही मूल्य आधा है:
 * $$3J' = \ln(\cosh[4J]).$$

छोटे जे के लिए, यह जल्दी से शून्य युग्मन में प्रवाहित होता है। बड़े कपलिंग के लिए बड़े जे का प्रवाह। चुंबकीयकरण एक्सपोनेंट निश्चित बिंदु पर समीकरण की ढलान से निर्धारित होता है।

जब दो और तीन आयामों में कई शब्द शामिल किए जाते हैं, तो इस पद्धति के वेरिएंट महत्वपूर्ण घातांक के लिए अच्छे संख्यात्मक अनुमान उत्पन्न करते हैं।

चुंबकत्व
मॉडल के लिए मूल प्रेरणा फेरोमैग्नेटिज़्म की घटना थी। लोहा चुंबकीय है; एक बार चुम्बकित होने के बाद यह किसी भी परमाणु समय की तुलना में लंबे समय तक चुम्बकित रहता है।

19वीं शताब्दी में, यह सोचा गया था कि चुंबकीय क्षेत्र पदार्थ में धाराओं के कारण होते हैं, और आंद्रे-मैरी एम्पीयर | एम्पीयर ने माना कि स्थायी चुम्बक स्थायी परमाणु धाराओं के कारण होते हैं। शास्त्रीय आवेशित कणों की गति हालांकि स्थायी धाराओं की व्याख्या नहीं कर सकती, जैसा कि जोसेफ लारमोर द्वारा दिखाया गया है। फेरोमैग्नेटिज़्म होने के लिए, परमाणुओं में स्थायी चुंबकीय क्षण होने चाहिए जो शास्त्रीय आवेशों की गति के कारण नहीं होते हैं।

एक बार इलेक्ट्रॉन के चक्रण की खोज हो जाने के बाद, यह स्पष्ट हो गया था कि चुम्बकत्व एक ही दिशा में उन्मुख सभी इलेक्ट्रॉन प्रचक्रणों की एक बड़ी संख्या के कारण होना चाहिए। यह पूछना स्वाभाविक था कि इलेक्ट्रॉनों के स्पिन कैसे होते हैं, सभी जानते हैं कि किस दिशा में इंगित करना है, क्योंकि चुंबक के एक तरफ के इलेक्ट्रॉन दूसरी तरफ के इलेक्ट्रॉनों के साथ सीधे संपर्क नहीं करते हैं। वे केवल अपने पड़ोसियों को प्रभावित कर सकते हैं। ईज़िंग मॉडल को यह जांचने के लिए डिज़ाइन किया गया था कि क्या इलेक्ट्रॉन स्पिन का एक बड़ा अंश केवल स्थानीय बलों का उपयोग करके उसी दिशा में उन्मुख हो सकता है।

जाली गैस
ईज़िंग मॉडल को परमाणुओं की गति के लिए एक सांख्यिकीय मॉडल के रूप में पुनर्व्याख्या की जा सकती है। चूँकि गतिज ऊर्जा केवल संवेग पर निर्भर करती है न कि स्थिति पर, जबकि स्थितियों के आँकड़े केवल स्थितिज ऊर्जा पर निर्भर करते हैं, गैस का ऊष्मप्रवैगिकी केवल परमाणुओं के प्रत्येक विन्यास के लिए संभावित ऊर्जा पर निर्भर करता है।

एक मोटे मॉडल के लिए अंतरिक्ष-समय को एक जाली बनाना है और कल्पना करना है कि प्रत्येक स्थिति में या तो एक परमाणु होता है या नहीं। कॉन्फ़िगरेशन का स्थान स्वतंत्र बिट्स बी का हैi, जहां स्थिति के आधार पर प्रत्येक बिट या तो 0 या 1 है या नहीं। एक आकर्षक अन्योन्यक्रिया पास के दो परमाणुओं की ऊर्जा को कम कर देती है। यदि आकर्षण केवल निकटतम पड़ोसियों के बीच है, तो ऊर्जा -4JB से कम हो जाती हैiBj प्रत्येक कब्जे वाले पड़ोसी जोड़े के लिए।

रासायनिक क्षमता को जोड़कर परमाणुओं के घनत्व को नियंत्रित किया जा सकता है, जो कि एक और परमाणु जोड़ने के लिए गुणक संभाव्यता लागत है। संभाव्यता में एक गुणक कारक को लघुगणक - ऊर्जा में एक योगात्मक शब्द के रूप में पुनर्व्याख्या की जा सकती है। एन परमाणुओं के साथ एक विन्यास की अतिरिक्त ऊर्जा μN द्वारा बदल दी जाती है। एक और परमाणु की प्रायिकता लागत exp(−βμ) का गुणनखंड है।

तो जाली गैस की ऊर्जा है:
 * $$E = - \frac{1}{2} \sum_{\langle i,j \rangle} 4 J B_i B_j + \sum_i \mu B_i$$

स्पिन के मामले में बिट्स को दोबारा लिखना, $$B_i = (S_i + 1)/2. $$
 * $$E = - \frac{1}{2} \sum_{\langle i,j \rangle} J S_i S_j - \frac{1}{2} \sum_i (4 J - \mu) S_i$$

जाली के लिए जहां प्रत्येक साइट में पड़ोसियों की समान संख्या होती है, यह चुंबकीय क्षेत्र h = (zJ − μ)/2 के साथ आइसिंग मॉडल है, जहां z पड़ोसियों की संख्या है।

जैविक प्रणालियों में, बाध्यकारी व्यवहारों की एक श्रृंखला को समझने के लिए जाली गैस मॉडल के संशोधित संस्करणों का उपयोग किया गया है। इनमें कोशिका की सतह में रिसेप्टर्स के लिए लिगैंड्स का बंधन शामिल है, फ्लैगेलर मोटर के लिए केमोटैक्सिस प्रोटीन का बंधन, और डीएनए का संघनन।

तंत्रिका विज्ञान
मस्तिष्क में न्यूरॉन्स की गतिविधि को सांख्यिकीय रूप से प्रतिरूपित किया जा सकता है। प्रत्येक न्यूरॉन किसी भी समय या तो सक्रिय + या निष्क्रिय - होता है। सक्रिय न्यूरॉन वे होते हैं जो किसी निश्चित समयावधि में अक्षतंतु के नीचे एक संभावित कार्रवाई भेजते हैं, और निष्क्रिय वे होते हैं जो ऐसा नहीं करते। क्योंकि किसी भी समय तंत्रिका गतिविधि को स्वतंत्र बिट्स द्वारा प्रतिरूपित किया जाता है, जे जे होपफील्ड ने सुझाव दिया कि एक गतिशील आइसिंग मॉडल एक तंत्रिका नेटवर्क को एक हॉपफील्ड नेट प्रदान करेगा जो सीखने में सक्षम है। Jaynes के सामान्य दृष्टिकोण के बाद, श्नाइडमैन, बेरी, सेगेव और बेलेक की हालिया व्याख्या, यह है कि ईज़िंग मॉडल तंत्रिका कार्य के किसी भी मॉडल के लिए उपयोगी है, क्योंकि तंत्रिका गतिविधि के लिए एक सांख्यिकीय मॉडल को अधिकतम एन्ट्रापी के सिद्धांत का उपयोग करके चुना जाना चाहिए। न्यूरॉन्स के संग्रह को देखते हुए, एक सांख्यिकीय मॉडल जो प्रत्येक न्यूरॉन के लिए औसत फायरिंग दर को पुन: उत्पन्न कर सकता है, प्रत्येक न्यूरॉन के लिए लैग्रेंज गुणक पेश करता है:
 * $$E = - \sum_i h_i S_i$$

लेकिन इस मॉडल में प्रत्येक न्यूरॉन की गतिविधि सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र है। जोड़ी सहसंबंधों की अनुमति देने के लिए, जब एक न्यूरॉन दूसरे के साथ आग लगाने (या आग नहीं लगाने) के लिए जाता है, तो जोड़ी-वार लैग्रेंज मल्टीप्लायर पेश करें:
 * $$E= - \tfrac{1}{2} \sum_{ij} J_{ij} S_i S_j - \sum_i h_i S_i$$

कहाँ $$J_{ij}$$ पड़ोसियों तक ही सीमित नहीं हैं। ध्यान दें कि ईज़िंग मॉडल के इस सामान्यीकरण को कभी-कभी सांख्यिकी में द्विघात घातीय बाइनरी वितरण कहा जाता है। यह ऊर्जा कार्य केवल एक मूल्य वाले स्पिन के लिए और समान मूल्य वाले स्पिन की एक जोड़ी के लिए संभाव्यता पूर्वाग्रहों का परिचय देता है। उच्च क्रम के सहसंबंध गुणकों द्वारा अप्रतिबंधित हैं। इस वितरण से नमूना किए गए एक गतिविधि पैटर्न को कंप्यूटर में स्टोर करने के लिए बिट्स की सबसे बड़ी संख्या की आवश्यकता होती है, सबसे कुशल कोडिंग योजना में, समान औसत गतिविधि और जोड़ीदार सहसंबंधों के साथ किसी अन्य वितरण की तुलना में। इसका मतलब यह है कि ईज़िंग मॉडल किसी भी प्रणाली के लिए प्रासंगिक हैं जो बिट्स द्वारा वर्णित हैं जो यथासंभव यादृच्छिक हैं, जोड़ीदार सहसंबंधों पर बाधाओं और 1s की औसत संख्या के साथ, जो अक्सर भौतिक और सामाजिक विज्ञान दोनों में होता है।

स्पिन चश्मा
आइसिंग मॉडल के साथ तथाकथित स्पिन ग्लास का भी सामान्य हैमिल्टनियन द्वारा वर्णन किया जा सकता है $$\hat H=-\frac{1}{2}\,\sum J_{i,k}\,S_i\,S_k,$$ जहां एस-वैरिएबल्स ईज़िंग स्पिन का वर्णन करते हैं, जबकि जेi,kएक यादृच्छिक वितरण से लिया जाता है। स्पिन ग्लास के लिए एक विशिष्ट वितरण संभाव्यता पी के साथ एंटीफेरोमैग्नेटिक बॉन्ड और प्रायिकता 1 − पी के साथ फेरोमैग्नेटिक बॉन्ड चुनता है। तापीय उतार-चढ़ाव की उपस्थिति में भी ये बंधन स्थिर रहते हैं या बुझ जाते हैं। जब p = 0 हमारे पास मूल आइसिंग मॉडल होता है। यह प्रणाली अपने आप में रुचि की पात्र है; विशेष रूप से एक में गैर-एर्गोडिक गुण होते हैं जो अजीब विश्राम व्यवहार की ओर ले जाते हैं। संबंधित बॉन्ड और साइट डाइल्यूट ईज़िंग मॉडल द्वारा भी बहुत ध्यान आकर्षित किया गया है, विशेष रूप से दो आयामों में, जो पेचीदा महत्वपूर्ण व्यवहार की ओर ले जाता है।

समुद्री बर्फ
आइसिंग मॉडल का उपयोग करके 2डी पिघला हुआ तालाब  सन्निकटन बनाए जा सकते हैं; समुद्री बर्फ स्थलाकृति डेटा परिणामों पर भारी पड़ता है। राज्य चर एक साधारण 2D सन्निकटन के लिए द्विआधारी है, या तो पानी या बर्फ।

केली ट्री टोपोलॉजी और बड़े तंत्रिका नेटवर्क
फाइल: केली ट्री ब्रांच विद ब्रांचिंग रेशियो = 2.jpg|thumb|एक ओपन केली ट्री या ब्रांच ब्रांचिंग रेश्यो = 2 और k जनरेशन के साथ

बड़े के लिए संभावित प्रासंगिकता वाले एक ईज़िंग मॉडल की जांच करने के लिए (उदाहरण के लिए $$10^4$$ या $$10^5$$ परस्पर क्रिया प्रति नोड) तंत्रिका जाल, 1979 में क्रिज़न के सुझाव पर, शून्य-बाहरी चुंबकीय क्षेत्र (थर्मोडायनामिक सीमा में) के तरीकों को लागू करके बंद केली ट्री (मनमाने ढंग से बड़े ब्रांचिंग अनुपात के साथ) पर ईज़िंग मॉडल की मुक्त ऊर्जा के लिए सटीक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति प्राप्त की।  और

$$-\beta f = \ln 2  + \frac{2\gamma}{(\gamma+1)}\ln (\cosh J) + \frac{\gamma(\gamma-1)}{(\gamma+1)}\sum_{i=2}^z\frac{1}{\gamma^i}\ln J_i (\tau) $$ फाइल: क्लोज्ड केली ट्री विथ ब्रांचिंग रेश्यो = 4.jpg |thumb| ब्रांचिंग अनुपात के साथ बंद केली ट्री = 4. (केवल पीढ़ियों के लिए साइट k, k-1, और k = 1 (एक पंक्ति के रूप में ओवरलैपिंग) शामिल पेड़ों के लिए दिखाए जाते हैं) जहां $$\gamma$$ एक मनमाना शाखाकरण अनुपात (2 से अधिक या उसके बराबर), टी ≡ है $$tanh J$$, $$\tau$$ ≡ $$t^2$$, जे ≡ $$\beta\epsilon$$ (साथ $$\epsilon$$ निकटतम-पड़ोसी अंतःक्रियात्मक ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करते हैं) और प्रत्येक पेड़ की शाखाओं में k (→ ∞ थर्मोडायनामिक सीमा में) पीढ़ियाँ हैं (बंद पेड़ की वास्तुकला को दिए गए बंद केली ट्री आरेख में दिखाया गया है।) अंतिम शब्द में योग। समान रूप से और तेजी से अभिसरण करने के लिए दिखाया जा सकता है (यानी z → ∞ के लिए, यह परिमित रहता है) एक सतत और नीरस कार्य उत्पन्न करता है, जो कि स्थापित करता है $$\gamma$$ 2 से अधिक या उसके बराबर, मुक्त ऊर्जा तापमान T का एक सतत कार्य है। मुक्त ऊर्जा के आगे के विश्लेषण से संकेत मिलता है कि यह महत्वपूर्ण तापमान पर एक असामान्य असंतत पहला व्युत्पन्न प्रदर्शित करता है (, .)

पेड़ पर साइटों (सामान्य रूप से, एम और एन) के बीच स्पिन-स्पिन सहसंबंध को कोने (जैसे ए और ए, इसका प्रतिबिंब), उनके संबंधित पड़ोसी साइटों (जैसे बी और इसके) पर विचार करने पर एक संक्रमण बिंदु पाया गया। परावर्तन), और दो वृक्षों (जैसे A और B) के शीर्ष और निचले चरम शीर्षों से सटे स्थलों के बीच, जैसा कि इससे निर्धारित किया जा सकता है

$$\langle s_m s_n \rangle = {Z_N}^{-1}(0,T)[cosh J]^{N_b}2^N\sum_{l=1}^z g_{mn}(l)t^l$$ कहाँ $$N_b$$ बांड की संख्या के बराबर है, $$g_{mn}(l)t^l$$ मध्यवर्ती साइटों के साथ विषम शीर्षों के लिए गिने जाने वाले ग्राफ़ की संख्या है (विस्तृत गणना के लिए उद्धृत कार्यप्रणाली और संदर्भ देखें), $$2^N$$ द्वि-मूल्यवान स्पिन संभावनाओं और विभाजन फ़ंक्शन से उत्पन्न बहुलता है $${Z_N}$$ से लिया गया है $$\sum_{\{s\}}e^{-\beta H}$$. (टिप्पणी: $$s_i $$ इस खंड में संदर्भित साहित्य के अनुरूप है और इसके समकक्ष है $$S_i$$ या $$\sigma_i$$ ऊपर और पिछले अनुभागों में उपयोग किया गया; इसका मूल्य है $$\pm 1 $$।) महत्वपूर्ण तापमान $$T_C$$ द्वारा दिया गया है

$$T_C = \frac{2\epsilon}{k_B[ln(\sqrt \gamma+1) - ln(\sqrt \gamma-1)]}$$.

इस मॉडल के लिए महत्वपूर्ण तापमान केवल शाखाओं के अनुपात से निर्धारित होता है $$\gamma$$ और साइट-टू-साइट इंटरैक्शन एनर्जी $$\epsilon$$, एक ऐसा तथ्य जिसका तंत्रिका संरचना बनाम इसके कार्य से जुड़ा प्रत्यक्ष प्रभाव हो सकता है (इसमें यह बातचीत की ऊर्जा और इसके संक्रमणकालीन व्यवहार को शाखाओं में बांटने के अनुपात से संबंधित है।) उदाहरण के लिए, नींद के बीच तंत्रिका नेटवर्क की गतिविधियों के संक्रमण व्यवहार के बीच संबंध और जाग्रत अवस्थाएँ (जो स्पिन-स्पिन प्रकार के चरण संक्रमण के साथ सहसंबद्ध हो सकती हैं) तंत्रिका अंतर्संबंध में परिवर्तन के संदर्भ में ($$\gamma$$) और/या पड़ोसी-से-पड़ोसी इंटरैक्शन ($$\epsilon$$), समय के साथ, इस तरह की घटना में आगे की प्रायोगिक जांच के लिए सुझाया गया एक संभावित तरीका है। किसी भी मामले में, इस ईज़िंग मॉडल के लिए यह स्थापित किया गया था कि "लंबी दूरी के सहसंबंध की स्थिरता बढ़ने के साथ बढ़ती है $$\gamma$$ या बढ़ रहा है $$\epsilon$$।”

इस टोपोलॉजी के लिए, स्पिन-स्पिन सहसंबंध चरम शीर्षों और केंद्रीय स्थलों के बीच शून्य पाया गया, जहां दो पेड़ (या शाखाएं) जुड़े हुए हैं (अर्थात ए और व्यक्तिगत रूप से सी, डी, या ई के बीच)। यह व्यवहार है इस तथ्य के कारण समझाया गया है कि, जैसे-जैसे k बढ़ता है, लिंक की संख्या तेजी से बढ़ती है (चरम कोने के बीच) और इसलिए भले ही स्पिन सहसंबंधों में योगदान तेजी से घटता है, चरम शीर्ष (ए) जैसी साइटों के बीच सहसंबंध जुड़े हुए पेड़ में एक पेड़ और चरम शीर्ष (ए) परिमित (महत्वपूर्ण तापमान से ऊपर) रहता है। (ए स्तर के साथ), "क्लस्टर" माना जाता है जो फायरिंग के सिंक्रनाइज़ेशन को प्रदर्शित करता है।

तुलना के रूप में अन्य शास्त्रीय नेटवर्क मॉडल की समीक्षा के आधार पर, एक बंद केली ट्री पर ईज़िंग मॉडल को गैर-लुप्त होने वाले स्पिन-स्पिन सहसंबंधों के साथ स्थानीय और लंबी दूरी की साइटों को प्रदर्शित करने वाला पहला शास्त्रीय सांख्यिकीय यांत्रिक मॉडल होना निर्धारित किया गया था, जबकि एक ही समय में मध्यवर्ती साइटों को शून्य सहसंबंध के साथ प्रदर्शित करना, जो वास्तव में इसके विचार के समय बड़े तंत्रिका नेटवर्क के लिए एक प्रासंगिक मामला था। मॉडल का व्यवहार किसी अन्य अपसारी-अभिसरण वृक्ष भौतिक (या जैविक) प्रणाली के लिए भी प्रासंगिक है, जो ईज़िंग-प्रकार की बातचीत के साथ एक बंद केली ट्री टोपोलॉजी प्रदर्शित करता है। इस टोपोलॉजी को नजरअंदाज नहीं किया जाना चाहिए क्योंकि ईज़िंग मॉडल के लिए इसका व्यवहार सटीक रूप से हल किया गया है, और संभवतः प्रकृति ने अपने डिजाइनों के कई स्तरों पर ऐसी सरल समरूपता का लाभ उठाने का एक तरीका खोज लिया होगा।

प्रारंभिक तौर पर (1) शास्त्रीय बड़े तंत्रिका नेटवर्क मॉडल (समान युग्मित डाइवर्जेंट-अभिसरण टोपोलॉजी के साथ) (2) एक अंतर्निहित सांख्यिकीय क्वांटम मैकेनिकल मॉडल (टोपोलॉजी से स्वतंत्र और मौलिक क्वांटम राज्यों में दृढ़ता के साथ) के बीच अंतर्संबंधों की संभावना पर ध्यान दिया गया:

"The most significant result obtained from the closed Cayley tree model involves the occurrence of long-range correlation in the absence of intermediate-range correlation. This result has not been demonstrated by other classical models. The failure of the classical view of impulse transmission to account for this phenomenon has been cited by numerous investigators (Ricciiardi and Umezawa, 1967, Hokkyo 1972, Stuart, Takahashi and Umezawa 1978, 1979) as significant enough to warrant radically new assumptions on a very fundamental level and have suggested the existence of quantum cooperative modes within the brain…In addition, it is interesting to note that the (modeling) of…Goldstone particles or bosons (as per Umezawa, et al)…within the brain, demonstrates the long-range correlation of quantum numbers preserved in the ground state…In the closed Cayley tree model ground states of pairs of sites, as well as the state variable of individual sites, (can) exhibit long-range correlation."

शुरुआती न्यूरोफिज़िसिस्ट (जैसे उमेज़ावा, क्रिज़न, बार्थ, आदि) के बीच यह एक स्वाभाविक और आम धारणा थी कि शास्त्रीय तंत्रिका मॉडल (सांख्यिकीय यांत्रिक पहलुओं वाले लोगों सहित) को एक दिन क्वांटम भौतिकी (क्वांटम सांख्यिकीय पहलुओं के साथ) के साथ एकीकृत करना होगा। इसी तरह शायद रसायन विज्ञान के डोमेन ने ऐतिहासिक रूप से खुद को क्वांटम रसायन विज्ञान के माध्यम से क्वांटम भौतिकी में एकीकृत किया है।

समय-निर्भर मामले और बाहरी क्षेत्र की स्थिति के साथ-साथ अंतर्निहित क्वांटम घटकों और उनके भौतिकी के साथ अंतर्संबंधों को समझने के उद्देश्य से सैद्धांतिक प्रयासों सहित, बंद केली के पेड़ के लिए ब्याज की कई अतिरिक्त सांख्यिकीय यांत्रिक समस्याओं का समाधान किया जाना बाकी है।

यह भी देखें

 * अन्नानी मॉडल
 * बाइंडर पैरामीटर
 * बोल्ट्जमैन मशीन
 * अनुरूप बूटस्ट्रैप
 * ज्यामितीय रूप से कुंठित चुंबक
 * हाइजेनबर्ग मॉडल (शास्त्रीय)
 * हाइजेनबर्ग मॉडल (क्वांटम)
 * होपफील्ड नेट
 * महत्वपूर्ण घातांक
 * जॉन क्लाइव वार्ड|जे. सी वार्ड
 * कुरामोटो मोड एल
 * अधिकतम समता
 * आदेश संचालिका
 * पॉट्स मॉडल (अश्किन-टेलर मॉडल के साथ सामान्य)
 * स्पिन मॉडल
 * स्क्वायर-जाली आइसिंग मॉडल
 * स्वेंडसेन-वांग एल्गोरिथम
 * टी-जे मॉडल
 * द्वि-आयामी महत्वपूर्ण आइसिंग मॉडल
 * वोल्फ एल्गोरिथम
 * एक्सवाई मॉडल
 * जेड एन मॉडल

संदर्भ

 * Ross Kindermann and J. Laurie Snell (1980), Markov Random Fields and Their Applications. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3381-2.
 * Kleinert, H (1989), Gauge Fields in Condensed Matter, Vol. I, "Superflow and Vortex Lines", pp. 1–742, Vol. II,  "Stresses and Defects", pp. 743–1456,  World Scientific (Singapore);  Paperback ISBN 9971-5-0210-0  (also available online: Vol. I and Vol. II)
 * Kleinert, H and Schulte-Frohlinde, V (2001), Critical Properties of φ4-Theories, World Scientific (Singapore); Paperback ISBN 981-02-4658-7 (also available online)
 * Barry M. McCoy and Tai Tsun Wu (1973), The Two-Dimensional Ising Model. Harvard University Press, Cambridge Massachusetts, ISBN 0-674-91440-6
 * John Palmer (2007), Planar Ising Correlations. Birkhäuser, Boston, ISBN 978-0-8176-4248-8.
 * Ross Kindermann and J. Laurie Snell (1980), Markov Random Fields and Their Applications. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3381-2.
 * Kleinert, H (1989), Gauge Fields in Condensed Matter, Vol. I, "Superflow and Vortex Lines", pp. 1–742, Vol. II,  "Stresses and Defects", pp. 743–1456,  World Scientific (Singapore);  Paperback ISBN 9971-5-0210-0  (also available online: Vol. I and Vol. II)
 * Kleinert, H and Schulte-Frohlinde, V (2001), Critical Properties of φ4-Theories, World Scientific (Singapore); Paperback ISBN 981-02-4658-7 (also available online)
 * Barry M. McCoy and Tai Tsun Wu (1973), The Two-Dimensional Ising Model. Harvard University Press, Cambridge Massachusetts, ISBN 0-674-91440-6
 * John Palmer (2007), Planar Ising Correlations. Birkhäuser, Boston, ISBN 978-0-8176-4248-8.
 * Ross Kindermann and J. Laurie Snell (1980), Markov Random Fields and Their Applications. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3381-2.
 * Kleinert, H (1989), Gauge Fields in Condensed Matter, Vol. I, "Superflow and Vortex Lines", pp. 1–742, Vol. II,  "Stresses and Defects", pp. 743–1456,  World Scientific (Singapore);  Paperback ISBN 9971-5-0210-0  (also available online: Vol. I and Vol. II)
 * Kleinert, H and Schulte-Frohlinde, V (2001), Critical Properties of φ4-Theories, World Scientific (Singapore); Paperback ISBN 981-02-4658-7 (also available online)
 * Barry M. McCoy and Tai Tsun Wu (1973), The Two-Dimensional Ising Model. Harvard University Press, Cambridge Massachusetts, ISBN 0-674-91440-6
 * John Palmer (2007), Planar Ising Correlations. Birkhäuser, Boston, ISBN 978-0-8176-4248-8.
 * John Palmer (2007), Planar Ising Correlations. Birkhäuser, Boston, ISBN 978-0-8176-4248-8.
 * John Palmer (2007), Planar Ising Correlations. Birkhäuser, Boston, ISBN 978-0-8176-4248-8.
 * John Palmer (2007), Planar Ising Correlations. Birkhäuser, Boston, ISBN 978-0-8176-4248-8.
 * John Palmer (2007), Planar Ising Correlations. Birkhäuser, Boston, ISBN 978-0-8176-4248-8.



बाहरी संबंध

 * Ising model at The Net Advance of Physics
 * Barry Arthur Cipra, "The Ising model is NP-complete", SIAM News, Vol. 33, No. 6; online edition (.pdf)
 * Science World article on the Ising Model
 * A dynamical 2D Ising java applet by UCSC
 * A dynamical 2D Ising java applet
 * A larger/more complicated 2D Ising java applet
 * Ising Model simulation by Enrique Zeleny, the Wolfram Demonstrations Project
 * Phase transitions on lattices
 * Three-dimensional proof for Ising Model impossible, Sandia researcher claims
 * Interactive Monte Carlo simulation of the Ising, XY and Heisenberg models with 3D graphics(requires WebGL compatible browser)
 * Ising Model code, image denoising example with Ising Model
 * David Tong's Lecture Notes provide a good introduction
 * The Cartoon Picture of Magnets That Has Transformed Science - Quanta Magazine article about Ising model
 * Simulation of the 2-dimensional Ising model in Julia: https://github.com/cossio/SquareIsingModel.jl