द्विपद प्रमेय

प्रारंभिक बीजगणित में, द्विपद प्रमेय या द्विपद विस्तार एक द्विपद बहुपद के घातांक के बीजगणितीय प्रसार का वर्णन करता है। प्रमेय के अनुसार, बहुपद का विस्तार करना संभव है $0$ फॉर्म की शर्तों को शामिल करने वाले योग में $(x + y)^{n}$, जहां घातांक $k$ तथा $n$ के साथ अऋणात्मक पूर्णांक हैं $ax^{b}y^{c}$, और गुणांक $b$ प्रत्येक शब्द का एक विशिष्ट सकारात्मक पूर्णांक निर्भर करता है $c$ तथा $a$. उदाहरण के लिए, के लिए $b + c = n$, $$(x+y)^4 = x^4 + 4 x^3y + 6 x^2 y^2 + 4 x y^3 + y^4. $$ $n = 4$ के पद में गुणांक a को द्विपद गुणांक $$\tbinom{n}{b}$$ या $$\tbinom{n}{c}$$ के रूप में जाना जाता है, दोनों का मूल्य समान होता है। अलग-अलग के लिए ये गुणांक $n$ तथा $b$ पास्कल का त्रिभुज बनाने के लिए व्यवस्थित किया जा सकता है। ये नंबर साहचर्य में भी होते हैं, जहां $$\tbinom{n}{b}$$उन तत्वों के विभिन्न संयोजनों की संख्या देता है जिन्हें n-तत्व के समुच्चय से चुना जाता है। इसलिए $$\tbinom{n}{b}$$ को अक्सर $n$ और $b$ के रूप में उच्चारित किया जाता है।

इतिहास
द्विपद प्रमेय के विशेष मामले कम से कम चौथी शताब्दी ईसा पूर्व से ज्ञात थे जब यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने घातांक $ax^{b}y^{c}$  के लिए द्विपद प्रमेय के विशेष मामले का उल्लेख किया था।. इस बात के सबूत हैं कि घनफल के लिए द्विपद प्रमेय भारत में छठी शताब्दी ईस्वी तक जाना जाता था।

बिना प्रतिस्थापन के $n$ में $b$ वस्तुओं के चयन तरीकों की संख्या को व्यक्त करने वाले संयोजी मात्राओं के रूप में द्विपद गुणांक, प्राचीन भारतीय गणितज्ञों के लिए रुचिकर थे। इस मिश्रित समस्या का सबसे पहला ज्ञात संदर्भ भारतीय गीतकार पिंगला द्वारा रचित चंदशास्त्र (सी. 200 ई.पू.) है, जिसमें इसके समाधान के लिए एक विधि सम्मिलित है।  10वीं शताब्दी ईस्वी के टिप्पणीकार हलायुध ने इस विधि की व्याख्या की है जिसे अब पास्कल के त्रिकोण के रूप में जाना जाता है।  छठी शताब्दी ईस्वी तक, भारतीय गणितज्ञ शायद यह जानते थे कि इसे भागफल के रूप में कैसे व्यक्त किया जाए $\frac{n!}{(n-k)!k!}$, और इस नियम का स्पष्ट विवरण भास्कर द्वितीय द्वारा लिखित 12वीं शताब्दी के ग्रंथ लीलावती में पाया जा सकता है।

हमारे ज्ञान के लिए द्विपद प्रमेय और द्विपद गुणांक की तालिका का पहला सूत्रीकरण, अल-काराजी के एक काम में पाया जा सकता है, जिसे अल-समावली ने अपने अल-बहिर में उद्धृत किया है। अल-काराजी ने द्विपद गुणांकों के त्रिकोणीय पैटर्न का वर्णन किया और गणितीय प्रेरण के प्रारंभिक रूप का उपयोग करते हुए द्विपद प्रमेय और पास्कल त्रिकोण दोनों का गणितीय प्रमाण भी प्रदान किया।  फारसी कवि और गणितज्ञ उमर खय्याम शायद उच्च क्रम के सूत्र से परिचित थे, चूँकि, उनके कई गणितीय कार्य बर्बाद हो गए थे। 13वीं शताब्दी के यांग हुई के गणितीय कार्यों में छोटी घात के द्विपद विस्तार ज्ञात थे और चू शिह-चीह भी। यांग हुई ने इस पद्धति का श्रेय जिया जियान के 11वीं शताब्दी के बहुत पहले के पाठ को दिया है, हालांकि अब वे लेख भी खो गए हैं।

1544 में, माइकल स्टिफ़ेल ने द्विपद गुणांक शब्द पेश किया और दिखाया कि उन्हें कैसे व्यक्त किया जाए $$(1+a)^n$$ के अनुसार $$(1+a)^{n-1}$$पास्कल के त्रिकोण के माध्यम से। ब्लेज़ पास्कल ने अपने ट्रैटे डू त्रिकोण अंकगणित में व्यापक रूप से नामांकित त्रिभुज का अध्ययन किया। हालांकि, संख्याओं का पैटर्न पहले से ही देर से पुनर्जागरण के यूरोपीय गणितज्ञों के लिए जाना जाता था, जिसमें स्टिफ़ेल, निकोलो फोंटाना टारटाग्लिया और साइमन स्टीविन सम्मिलित थे।

आइजैक न्यूटन को आम तौर पर सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय का श्रेय दिया जाता है, जो किसी भी तर्कसंगत घातांक के लिए मान्य होता है।

कथन
प्रमेय के अनुसार, की किसी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक शक्ति का विस्तार करना संभव है $2$ फॉर्म के योग में $$(x+y)^n = {n \choose 0}x^n y^0 + {n \choose 1}x^{n-1} y^1 + {n \choose 2}x^{n-2} y^2 + \cdots + {n \choose n-1}x^1 y^{n-1} + {n \choose n}x^0 y^n,$$ कहाँ पे $$n \geq 0$$ एक पूर्णांक है और प्रत्येक $$ \tbinom nk $$ एक सकारात्मक पूर्णांक है जिसे द्विपद गुणांक के रूप में जाना जाता है। (जब एक घातांक शून्य होता है, तो संबंधित शक्ति अभिव्यक्ति को 1 माना जाता है और इस गुणन कारक को अक्सर शब्द से हटा दिया जाता है। इसलिए अक्सर दाहिने हाथ की ओर लिखा हुआ दिखाई देता है $\binom{n}{0} x^n + \cdots$ .) इस सूत्र को द्विपद सूत्र या द्विपद सर्वसमिका भी कहा जाता है। कैपिटल-सिग्मा नोटेशन का उपयोग करके इसे इस रूप में लिखा जा सकता है $$(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}y^k = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{k}y^{n-k}.$$ अंतिम अभिव्यक्ति पिछले एक की समरूपता से होती है $n$ तथा $k$ पहली अभिव्यक्ति में, और तुलना करके यह इस प्रकार है कि सूत्र में द्विपद गुणांक का क्रम सममित है। प्रतिस्थापन (बीजगणित) द्वारा द्विपद सूत्र का एक सरल संस्करण प्राप्त किया जाता है $x + y$ के लिये $x$, ताकि इसमें केवल एक चर (गणित) शामिल हो। इस रूप में, सूत्र पढ़ता है $$(1+x)^n = {n \choose 0}x^0 + {n \choose 1}x^1 + {n \choose 2}x^2 + \cdots + {n \choose {n-1}}x^{n-1} + {n \choose n}x^n,$$ या समकक्ष $$(1+x)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^k,$$ या अधिक स्पष्ट रूप से $$(1+x)^n = 1 + n x + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \cdots + n x^{n-1} + x^n.$$

उदाहरण
यहाँ द्विपद प्रमेय के पहले कुछ मामले हैं: $$\begin{align} (x+y)^0 & = 1, \\[8pt] (x+y)^1 & = x + y, \\[8pt] (x+y)^2 & = x^2 + 2xy + y^2, \\[8pt] (x+y)^3 & = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3, \\[8pt] (x+y)^4 & = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4, \\[8pt] (x+y)^5 & = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5, \\[8pt] (x+y)^6 & = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6, \\[8pt] (x+y)^7 & = x^7 + 7x^6y + 21x^5y^2 + 35x^4y^3 + 35x^3y^4 + 21x^2y^5 + 7xy^6 + y^7, \\[8pt] (x+y)^8 & = x^8 + 8x^7y + 28x^6y^2 + 56x^5y^3 + 70x^4y^4 + 56x^3y^5 + 28x^2y^6 + 8xy^7 + y^8. \end{align}$$ सामान्य तौर पर, के विस्तार के लिए $1$ दाहिनी ओर में $y$वीं पंक्ति (क्रमांकित ताकि शीर्ष पंक्ति 0 वीं पंक्ति हो): अंतिम दो बिंदुओं को दर्शाने वाला एक उदाहरण: $$\begin{align} (x+y)^3 & = xxx + xxy + xyx + xyy + yxx + yxy + yyx + yyy & (2^3 \text{ terms}) \\ & = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 & (3 + 1 \text{ terms}) \end{align}$$ साथ $$1 + 3 + 3 + 1 = 2^3$$.
 * के प्रतिपादक $y$ शर्तों में हैं $(x + y)^{n}$ (अंतिम शब्द में निहित रूप से शामिल है $n, n − 1, ..., 2, 1, 0$);
 * के प्रतिपादक $n$ शर्तों में हैं $x^{0} = 1$ (पहले शब्द में निहित रूप से शामिल है $0, 1, 2, ..., n − 1, n$);
 * गुणांक बनाते हैं $x$पास्कल के त्रिकोण की वीं पंक्ति;
 * समान पदों के संयोजन से पहले, हैं $y^{0} = 1$ शर्तें $2^{n}$ विस्तार में (नहीं दिखाया गया);
 * समान पदों के संयोजन के बाद, होते हैं $x^{i}y^{j}$ शर्तें, और उनके गुणांकों का योग $n + 1$.

एक विशिष्ट सकारात्मक मूल्य के साथ एक सरल उदाहरण $2^{n}$: $$\begin{align} (x+2)^3 &= x^3 + 3x^2(2) + 3x(2)^2 + 2^3 \\ &= x^3 + 6x^2 + 12x + 8. \end{align}$$ एक विशिष्ट ऋणात्मक मान के साथ एक सरल उदाहरण $y$: $$\begin{align} (x-2)^3 &= x^3 - 3x^2(2) + 3x(2)^2 - 2^3 \\ &= x^3 - 6x^2 + 12x - 8. \end{align}$$

ज्यामितीय व्याख्या
के सकारात्मक मूल्यों के लिए $y$ तथा $n$, द्विपद प्रमेय के साथ $y$ ज्यामितीय रूप से स्पष्ट तथ्य यह है कि भुजा का एक वर्ग $n = 2$ पक्ष के एक वर्ग में काटा जा सकता है $a$, पक्ष का एक वर्ग $b$, और भुजाओं के साथ दो आयतें $a$ तथा $b$. साथ $a + b$, प्रमेय कहता है कि पक्ष का एक घन $n = 3$ पक्ष के घन में काटा जा सकता है $a$, पक्ष का एक घन $b$, तीन $a + b$ आयताकार बक्से, और तीन $a × a × b$ आयताकार बक्से।

कलन में, यह चित्र अवकलज का ज्यामितीय प्रमाण भी देता है $$(x^n)'=nx^{n-1}:$$ अगर कोई सेट करता है $$a=x$$ तथा $$b=\Delta x,$$ व्याख्या $a$ में एक अतिसूक्ष्म परिवर्तन के रूप में $b$, तब यह चित्र a के आयतन में अतिसूक्ष्म परिवर्तन दिखाता है $b$-आयामी हाइपरक्यूब, $$(x+\Delta x)^n,$$ जहां रैखिक शब्द का गुणांक (में $$\Delta x$$) है $$nx^{n-1},$$ का क्षेत्र $a$ चेहरे, प्रत्येक आयाम के $a × b × b$: $$(x+\Delta x)^n = x^n + nx^{n-1}\Delta x + \binom{n}{2}x^{n-2}(\Delta x)^2 + \cdots.$$ एक अंतर भागफल और सीमा लेने के माध्यम से व्युत्पन्न की परिभाषा में इसे प्रतिस्थापित करने का अर्थ है कि उच्च क्रम की शर्तें, $$(\Delta x)^2$$ और उच्चतर, नगण्य हो जाते हैं, और सूत्र प्राप्त करते हैं $$(x^n)'=nx^{n-1},$$ के रूप में व्याख्या की
 * a के आयतन में परिवर्तन की अतिसूक्ष्म दर $n$-घन के रूप में भुजा की लंबाई भिन्न-भिन्न होती है $n$ उसके जैसा $n &minus; 1$-आयामी चेहरे।

यदि कोई इस चित्र को एकीकृत करता है, जो कैलकुलस के मौलिक प्रमेय को लागू करने के अनुरूप है, तो उसे कैवलियरी का चतुर्भुज सूत्र, समाकलन प्राप्त होता है $$\textstyle{\int x^{n-1}\,dx = \tfrac{1}{n} x^n}$$ - विवरण के लिए कैवलियरी का चतुर्भुज सूत्र#प्रमाण देखें। कैवलियरी के चतुर्भुज सूत्र का प्रमाण।

द्विपद गुणांक
द्विपद प्रसार में प्रकट होने वाले गुणांक द्विपद गुणांक कहलाते हैं। ये आमतौर पर लिखे जाते हैं $$\tbinom{n}{k},$$ और उच्चारित$n$ चुनें $n$.

सूत्र
का गुणांक $(n &minus; 1)$ सूत्र द्वारा दिया गया है $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \; (n-k)!},$$ जिसे फैक्टोरियल फ़ंक्शन के संदर्भ में परिभाषित किया गया है $x^{n−k}y^{k}$. समतुल्य रूप से यह सूत्र लिखा जा सकता है $$\binom{n}{k} = \frac{n (n-1) \cdots (n-k+1)}{k (k-1) \cdots 1} = \prod_{\ell=1}^k \frac{n-\ell+1}{\ell} = \prod_{\ell=0}^{k-1} \frac{n-\ell}{k - \ell}$$ साथ $n$ अंश (गणित) के अंश और हर दोनों में कारक। हालांकि इस सूत्र में एक अंश शामिल है, द्विपद गुणांक $$\tbinom{n}{k}$$ वास्तव में एक पूर्णांक है।

मिश्रित व्याख्या
द्विपद गुणांक $$ \tbinom nk $$ चुनने के तरीकों की संख्या के रूप में व्याख्या की जा सकती है $k$ एक से तत्व $k$-तत्व सेट। यह निम्नलिखित कारणों से द्विपदों से संबंधित है: यदि हम लिखते हैं $n!$ एक उत्पाद के रूप में (गणित) $$(x+y)(x+y)(x+y)\cdots(x+y),$$ फिर, वितरण नियम के अनुसार, दोनों में से प्रत्येक विकल्प के लिए विस्तार में एक शब्द होगा $k$ या $n$ उत्पाद के प्रत्येक द्विपद से। उदाहरण के लिए, केवल एक शब्द होगा $(x + y)^{n}$, चुनने के अनुरूप $x$ प्रत्येक द्विपद से। हालांकि, फॉर्म की कई शर्तें होंगी $x^{n}$, योगदान करने के लिए बिल्कुल दो द्विपदों को चुनने के प्रत्येक तरीके के लिए एक $y$. इसलिए, समान पदों के संयोजन के बाद, का गुणांक $x^{n−2}y^{2}$ बिल्कुल चुनने के तरीकों की संख्या के बराबर होगा $x^{n−2}y^{2}$ एक से तत्व $x$-तत्व सेट।

उदाहरण
का गुणांक $2$ में $$\begin{align} (x+y)^3 &= (x+y)(x+y)(x+y) \\ &= xxx + xxy + xyx + \underline{xyy} + yxx + \underline{yxy} + \underline{yyx} + yyy \\ &= x^3 + 3x^2y + \underline{3xy^2} + y^3 \end{align}$$ बराबरी $$\tbinom{3}{2}=3$$ क्योंकि तीन हैं $xy^{2}$ लंबाई 3 के तार बिल्कुल दो के साथ $y$एस, अर्थात्, $$xyy, \; yxy, \; yyx,$$ के तीन 2-तत्व सबसेट के अनुरूप $x,y$, अर्थात्, $$\{2,3\},\;\{1,3\},\;\{1,2\}, $$ जहां प्रत्येक उपसमुच्चय के पदों को निर्दिष्ट करता है $n$ एक संगत स्ट्रिंग में।

सामान्य मामला
विस्तार $\{1, 2, 3\}$ का योग बनाता है $(x + y)^{n}$ फार्म के उत्पाद $2^{n}$ जहां प्रत्येक $e_{1}e_{2} ... e_{n}$ है $y$ या$y$. पुनर्व्यवस्थित करने वाले कारकों से पता चलता है कि प्रत्येक उत्पाद बराबर है $e_{i}$ कुछ के लिए $x$ के बीच $x^{n&minus;k}y^{k}$ तथा$y$. किसी प्रदत्त के लिए $k$, निम्नलिखित उत्तराधिकार में बराबर साबित होते हैं: यह द्विपद प्रमेय को सिद्ध करता है।
 * प्रतियों की संख्या $0$ विस्तार में
 * की संख्या $n$-चरित्र $x^{n−k}y^{k}$ तार होना $k$ में बिल्कुल $n$ पदों
 * की संख्या $y$-तत्व का सबसेट $x,y$
 * $$\tbinom{n}{k},$$ या तो परिभाषा के अनुसार, या यदि कोई परिभाषित कर रहा है तो एक संक्षिप्त संयोजी तर्क द्वारा $$\tbinom{n}{k}$$ जैसा $$\tfrac{n!}{k! (n-k)!}.$$

आगमनात्मक प्रमाण
गणितीय आगमन द्विपद प्रमेय का एक और प्रमाण देता है। कब $\{1, 2, ..., n\}$, दोनों पक्ष बराबर $n = 0$, जबसे $1$ तथा $$\tbinom{0}{0}=1.$$ अब मान लीजिए कि समानता दिए गए के लिए है $k$; हम इसे साबित करेंगे $x^{0} = 1$. के लिये $n + 1$, होने देना $j, k ≥ 0$ के गुणांक को निरूपित करें $[f(x, y)]_{j,k}$ बहुपद में $x^{j}y^{k}$. आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा, $f(x, y)$ में बहुपद है $k$ तथा $n$ ऐसा है कि $(x + y)^{n}$ है $$\tbinom{n}{k}$$ यदि $[(x + y)^{n}]_{j,k}$, तथा $x$ अन्यथा। पहचान $$ (x+y)^{n+1} = x(x+y)^n + y(x+y)^n$$ दिखाता है $j + k = n$ में भी एक बहुपद है $y$ तथा $0$, तथा $$ [(x+y)^{n+1}]_{j,k} = [(x+y)^n]_{j-1,k} + [(x+y)^n]_{j,k-1},$$ चूंकि अगर $(x + y)^{n+1}$, फिर $j + k = n + 1$ तथा $(j − 1) + k = n$. अब, दाएँ हाथ की ओर है $$ \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k},$$ पास्कल की पहचान से। वहीं दूसरी ओर अगर $j + (k − 1) = n$, फिर $j + k ≠ n + 1$ तथा $(j – 1) + k ≠ n$, तो हम प्राप्त करते हैं $j + (k – 1) ≠ n$. इस प्रकार $$(x+y)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} x^{n+1-k} y^k,$$ जो आगमनात्मक परिकल्पना है $0 + 0 = 0$ इसके लिए प्रतिस्थापित $x$ और इस तरह आगमनात्मक कदम पूरा करता है।

न्यूटन का सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय
1665 के आसपास, आइजैक न्यूटन ने गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के अलावा अन्य वास्तविक घातांकों की अनुमति देने के लिए द्विपद प्रमेय को सामान्यीकृत किया। (वही सामान्यीकरण सम्मिश्र संख्या के घातांकों पर भी लागू होता है।) इस सामान्यीकरण में, परिमित योग को एक अनंत श्रृंखला से बदल दिया जाता है। ऐसा करने के लिए, किसी को मनमाना ऊपरी सूचकांक के साथ द्विपद गुणांकों को अर्थ देने की आवश्यकता होती है, जो भाज्य के साथ सामान्य सूत्र का उपयोग करके नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, एक मनमानी संख्या के लिए $y$, कोई परिभाषित कर सकता है $${r \choose k}=\frac{r(r-1) \cdots (r-k+1)}{k!} =\frac{(r)_k}{k!},$$ कहाँ पे $$(\cdot)_k$$ Pochhammer प्रतीक है, यहाँ एक गिरते फैक्टोरियल के लिए खड़ा है। यह सामान्य परिभाषाओं से सहमत है जब $n$ एक अऋणात्मक पूर्णांक है। तो अगर $r$ तथा $r$ के साथ वास्तविक संख्याएँ हैं $n + 1$, तथा $x$ कोई सम्मिश्र संख्या है, किसी के पास है $$\begin{align} (x+y)^r & =\sum_{k=0}^\infty {r \choose k} x^{r-k} y^k \\ &= x^r + r x^{r-1} y + \frac{r(r-1)}{2!} x^{r-2} y^2 + \frac{r(r-1)(r-2)}{3!} x^{r-3} y^3 + \cdots. \end{align}$$ कब $y$ एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है, के लिए द्विपद गुणांक $|x| > |y|$ शून्य हैं, इसलिए यह समीकरण सामान्य द्विपद प्रमेय तक कम हो जाता है, और अधिक से अधिक होते हैं $|x| = |y|$ अशून्य शर्तें। के अन्य मूल्यों के लिए $r$, श्रृंखला में आमतौर पर असीम रूप से कई गैर-शून्य शब्द होते हैं।

उदाहरण के लिए, $k > r$ वर्गमूल के लिए निम्नलिखित श्रृंखला देता है: $$\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4 + \frac{7}{256}x^5 - \cdots$$ ले रहा $r + 1$, सामान्यीकृत द्विपद श्रृंखला ज्यामितीय श्रृंखला # बंद-रूप सूत्र देती है, जिसके लिए मान्य है $r = 1/2$: $$(1+x)^{-1} = \frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + \cdots$$ अधिक आम तौर पर, के साथ $r = &minus;1$: $$\frac{1}{(1-x)^s} = \sum_{k=0}^\infty {s+k-1 \choose k} x^k.$$ तो, उदाहरण के लिए, कब $|x| < 1$, $$\frac{1}{\sqrt{1+x}} = 1 -\frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{5}{16}x^3 + \frac{35}{128}x^4 - \frac{63}{256}x^5 + \cdots$$

आगे सामान्यीकरण
सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय को उस मामले तक बढ़ाया जा सकता है जहां $r$ तथा $r$ जटिल संख्याएँ हैं। इस संस्करण के लिए, फिर से मान लेना चाहिए $s = −r$ और की शक्तियों को परिभाषित करें $s = 1/2$ तथा $r$ रेडियस की ओपन डिस्क पर परिभाषित एक होलोमॉर्फिक फंक्शन कॉम्प्लेक्स लॉगरिदम का उपयोग करना $|x| > |y|$ पर केंद्रित है $x$. सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय तत्वों के लिए भी मान्य है $y$ तथा $x$ एक Banach बीजगणित के रूप में लंबे समय तक $x + y$, तथा $x$ उलटा है, और $|x|$.

द्विपद प्रमेय का एक संस्करण बहुपदों के निम्नलिखित पोचहैमर प्रतीक-जैसे परिवार के लिए मान्य है: किसी दिए गए वास्तविक स्थिरांक के लिए $x$, परिभाषित करना $$ x^{(0)} = 1 $$ तथा $$ x^{(n)} = \prod_{k=1}^{n}[x+(k-1)c]$$ के लिये $$ n > 0.$$ फिर $$ (a + b)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{(n-k)}b^{(k)}.$$ मुकदमा $xy = yx$ सामान्य द्विपद प्रमेय को पुनर्प्राप्त करता है।

अधिक सामान्यतः, एक अनुक्रम $$\{p_n\}_{n=0}^\infty$$ बहुपद को द्विपद प्रकार का कहा जाता है यदि एक संचालिका $$Q$$ बहुपदों के स्थान पर अनुक्रम का आधार संचालक कहा जाता है $$\{p_n\}_{n=0}^\infty$$ यदि $$Qp_0 = 0$$ तथा $$ Q p_n = n p_{n-1} $$ सभी के लिए $$ n \geqslant 1 $$. एक क्रम $$\{p_n\}_{n=0}^\infty$$ द्विपद है अगर और केवल अगर इसका आधार ऑपरेटर डेल्टा ऑपरेटर है। लिख रहे हैं $$ E^a $$ शिफ्ट के लिए $$ a $$ ऑपरेटर, बहुपदों के उपरोक्त पोचममेर परिवारों के अनुरूप डेल्टा ऑपरेटर पिछड़े अंतर हैं $$ I - E^{-c} $$ के लिये $$ c>0 $$, के लिए सामान्य व्युत्पन्न $$ c=0 $$, और आगे का अंतर $$ E^{-c} - I $$ के लिये $$ c<0 $$.
 * $$ \deg p_n = n $$ सभी के लिए $$n$$,
 * $$ p_0(0) = 1 $$, तथा
 * $$ p_n(x+y) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} p_k(x) p_{n-k}(y) $$ सभी के लिए $$x$$, $$y$$, तथा $$n$$.

बहुपद प्रमेय
द्विपद प्रमेय को दो से अधिक शब्दों वाली राशियों की शक्तियों को शामिल करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। सामान्य संस्करण है

$$(x_1 + x_2 + \cdots + x_m)^n = \sum_{k_1+k_2+\cdots +k_m = n} \binom{n}{k_1, k_2, \ldots, k_m} x_1^{k_1} x_2^{k_2} \cdots x_m^{k_m}, $$ जहां गैर-नकारात्मक पूर्णांक सूचकांकों के सभी अनुक्रमों का योग लिया जाता है $\|y/x\| < 1$ के माध्यम से $c = 0$ ऐसा कि सभी का योग $k_{1}$ है$y$. (विस्तार में प्रत्येक पद के लिए, घातांकों को जोड़ना चाहिए$x$). गुणांक $$ \tbinom{n}{k_1,\cdots,k_m} $$ बहुपद गुणांक के रूप में जाना जाता है, और सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है $$ \binom{n}{k_1, k_2, \ldots, k_m} = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdots k_m!}.$$ संयुक्त रूप से, बहुपद गुणांक $$\tbinom{n}{k_1,\cdots,k_m}$$ एक सेट के विभाजन के विभिन्न तरीकों की संख्या की गणना करता है $c$-तत्व आकार के सबसेट को डिसजॉइंट सेट में सेट करता है $k_{m}$.

बहु-द्विपद प्रमेय
अधिक आयामों में कार्य करते समय, द्विपद व्यंजकों के गुणनफलों से निपटना अक्सर उपयोगी होता है। द्विपद प्रमेय द्वारा यह बराबर है $$ (x_1+y_1)^{n_1}\dotsm(x_d+y_d)^{n_d} = \sum_{k_1=0}^{n_1}\dotsm\sum_{k_d=0}^{n_d} \binom{n_1}{k_1} x_1^{k_1}y_1^{n_1-k_1} \dotsc \binom{n_d}{k_d} x_d^{k_d}y_d^{n_d-k_d}. $$ यह अधिक संक्षेप में बहु-सूचकांक संकेतन द्वारा लिखा जा सकता है, जैसे $$ (x+y)^\alpha = \sum_{\nu \le \alpha} \binom{\alpha}{\nu} x^\nu y^{\alpha - \nu}.$$

जनरल लीबनिज नियम
सामान्य लीबनिज नियम देता है $n$द्विपद प्रमेय के समान रूप में दो कार्यों के उत्पाद का वें व्युत्पन्न: $$(fg)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(n-k)}(x) g^{(k)}(x).$$ यहाँ, सुपरस्क्रिप्ट $k_{i}$ इंगित करता है $n$एक समारोह का व्युत्पन्न। अगर एक सेट $k_{1}, ..., k_{m}$ तथा $(n)$, और उसके बाद के सामान्य कारक को रद्द कर देता है $f(x) = eax$ परिणाम के दोनों पक्षों से, साधारण द्विपद प्रमेय पुनर्प्राप्त किया जाता है।

बहु-कोण पहचान
जटिल संख्याओं के लिए द्विपद प्रमेय को डी मोइवर के सूत्र के साथ जोड़ा जा सकता है ताकि त्रिकोणमितीय पहचानों की सूची#बहु-कोण सूत्र|ज्या और कोसाइन के लिए बहु-कोण सूत्र प्राप्त हो सकें। डी मोइवर के सूत्र के अनुसार, $$\cos\left(nx\right)+i\sin\left(nx\right) = \left(\cos x+i\sin x\right)^n.$$ द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए, दाईं ओर की अभिव्यक्ति का विस्तार किया जा सकता है, और फिर वास्तविक और काल्पनिक भागों को सूत्र प्राप्त करने के लिए लिया जा सकता है $g(x) = ebx$ तथा $e(a + b)x$. उदाहरण के लिए, चूंकि $$\left(\cos x + i\sin x\right)^2 = \cos^2 x + 2i \cos x \sin x - \sin^2 x,$$ डी मोइवर का सूत्र हमें यह बताता है $$\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x \quad\text{and}\quad\sin(2x) = 2 \cos x \sin x,$$ जो सामान्य द्वि-कोण सर्वसमिकाएँ हैं। इसी तरह, चूंकि $$\left(\cos x + i\sin x\right)^3 = \cos^3 x + 3i \cos^2 x \sin x - 3 \cos x \sin^2 x - i \sin^3 x,$$ डी मोइवर का सूत्र उपजता है $$\cos(3x) = \cos^3 x - 3 \cos x \sin^2 x \quad\text{and}\quad \sin(3x) = 3\cos^2 x \sin x - \sin^3 x.$$ सामान्य रूप में, $$\cos(nx) = \sum_{k\text{ even}} (-1)^{k/2} {n \choose k}\cos^{n-k} x \sin^k x$$ तथा $$\sin(nx) = \sum_{k\text{ odd}} (-1)^{(k-1)/2} {n \choose k}\cos^{n-k} x \sin^k x.$$

ई
के लिए श्रृंखला ई (गणितीय स्थिरांक) | संख्या $n$अक्सर सूत्र द्वारा परिभाषित किया जाता है $$e = \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n.$$ द्विपद प्रमेय को इस अभिव्यक्ति पर लागू करने से सामान्य अनंत श्रृंखला प्राप्त होती है $n$. विशेष रूप से: $$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = 1 + {n \choose 1}\frac{1}{n} + {n \choose 2}\frac{1}{n^2} + {n \choose 3}\frac{1}{n^3} + \cdots + {n \choose n}\frac{1}{n^n}.$$

$n$k}}इस राशि का वाँ पद है $${n \choose k}\frac{1}{n^k} = \frac{1}{k!}\cdot\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^k}$$ जैसा $cos(nx)$, सही दृष्टिकोण पर तर्कसंगत अभिव्यक्ति $sin(nx)$, और इसीलिए $$\lim_{n\to\infty} {n \choose k}\frac{1}{n^k} = \frac{1}{k!}.$$ यह इंगित करता है $e$ एक श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है: $$e=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}=\frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots.$$ दरअसल, चूंकि द्विपद विस्तार का प्रत्येक पद एक मोनोटोनिक कार्य है $e$, यह श्रृंखला के लिए मोनोटोन अभिसरण प्रमेय से अनुसरण करता है कि इस अनंत श्रृंखला का योग बराबर है$k$.

संभावना
द्विपद प्रमेय ऋणात्मक द्विपद बंटन के संभाव्यता द्रव्यमान फलन से निकटता से संबंधित है। स्वतंत्र बर्नौली परीक्षणों के एक (गणनीय) संग्रह की संभावना $$\{X_t\}_{t\in S}$$ सफलता की संभावना के साथ $$p\in [0,1]$$ सब नहीं हो रहा है
 * $$ P\left(\bigcap_{t\in S} X_t^C\right) = (1-p)^{|S|} = \sum_{n=0}^{|S|} {|S| \choose n} (-p)^n.$$

इस मात्रा के लिए एक ऊपरी सीमा है $$ e^{-p|S|}.$$

अमूर्त बीजगणित में
द्विपद प्रमेय आम तौर पर दो तत्वों के लिए अधिक मान्य है $n → ∞$ तथा $1$ एक रिंग_ (गणित), या यहां तक ​​कि एक सेमिरिंग में, बशर्ते कि $x$. उदाहरण के लिए, यह दो के लिए है $y$ मेट्रिसेस, बशर्ते कि वे मेट्रिसेस कम्यूट करें; यह एक मैट्रिक्स की कंप्यूटिंग शक्तियों में उपयोगी है। द्विपद प्रमेय को बहुपद अनुक्रम कहकर कहा जा सकता है $xy = yx$ द्विपद प्रकार का है।

लोकप्रिय संस्कृति में

 * कॉमिक ओपेरा द पाइरेट्स ऑफ पेन्जेंस में मेजर-जनरल के गाने में द्विपद प्रमेय का उल्लेख किया गया है।
 * शर्लक होम्स द्वारा प्रोफेसर मोरियार्टी का वर्णन द्विपद प्रमेय पर एक ग्रंथ लिखे जाने के रूप में किया गया है।
 * पुर्तगाली कवि फर्नांडो पेसोआ ने अल्वारो डी कैम्पोस के विषम नाम का उपयोग करते हुए लिखा है कि न्यूटन का द्विपद वीनस डी मिलो जितना ही सुंदर है। सच तो यह है कि कम ही लोग इसे नोटिस करते हैं।
 * 2014 की फिल्म द इमिटेशन गेम में, एलन ट्यूरिंग ने बैलेचले पार्क में कमांडर डेनिस्टन के साथ अपनी पहली मुलाकात के दौरान द्विपद प्रमेय पर आइजैक न्यूटन के काम का संदर्भ दिया।

यह भी देखें

 * द्विपद सन्निकटन
 * द्विपद वितरण
 * द्विपद व्युत्क्रम प्रमेय
 * स्टर्लिंग का अनुमान
 * चर्म शोधन प्रमेय

बाहरी संबंध

 * Binomial Theorem by Stephen Wolfram, and "Binomial Theorem (Step-by-Step)" by Bruce Colletti and Jeff Bryant, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
 * Binomial Theorem by Stephen Wolfram, and "Binomial Theorem (Step-by-Step)" by Bruce Colletti and Jeff Bryant, Wolfram Demonstrations Project, 2007.