प्रवाह प्लास्टिसिटी सिद्धांत

प्रवाह प्लास्टिसिटी ठोस यांत्रिकी सिद्धांत है जिसका उपयोग सामग्री के प्लास्टिसिटी (भौतिकी) व्यवहार का वर्णन करने के लिए किया जाता है। प्रवाह प्लास्टिसिटी सिद्धांतों को इस धारणा की विशेषता है कि प्रवाह नियम (प्लास्टिसिटी) उपस्थित है जिसका उपयोग सामग्री में प्लास्टिक विरूपण की मात्रा निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है।

प्रवाह प्लास्टिसिटी सिद्धांतों में यह माना जाता है कि किसी पिंड में कुल विरूपण (यांत्रिकी) को लोचदार भाग और प्लास्टिक भाग में योगात्मक रूप से (या गुणात्मक रूप से) विघटित किया जा सकता है। तनाव के लोचदार भाग की गणना रैखिक लोच या हाइपरलास्टिक सामग्री संवैधानिक मॉडल से की जा सकती है। चूंकि, तनाव के प्लास्टिक भाग के निर्धारण के लिए प्रवाह नियम (प्लास्टिसिटी) और सख्त मॉडल (प्लास्टिसिटी) की आवश्यकता होती है।

लघु विरूपण सिद्धांत
दिशाहीन लोडिंग के लिए विशिष्ट प्रवाह प्लास्टिसिटी सिद्धांत (छोटे विरूपण पूर्ण प्लास्टिसिटी या सख्त प्लास्टिसिटी के लिए) निम्नलिखित आवश्यकताओं के आधार पर विकसित किए गए हैं:
 * 1) सामग्री में रैखिक लोचदार सीमा होती है।
 * 2) सामग्री की लोचदार सीमा होती है जिसे उस तनाव के रूप में परिभाषित किया जाता है जिस पर पहले प्लास्टिक विरूपण होता है, अर्थात, $$\sigma = \sigma_0$$.
 * 3) लोचदार सीमा से परे तनाव की स्थिति हमेशा उपज सतह पर रहती है, अर्थात, $$\sigma = \sigma_y$$.
 * 4) लोडिंग को उस स्थिति के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके तहत तनाव की वृद्धि शून्य से अधिक होती है, अर्थात, $$d\sigma > 0$$. यदि लोडिंग तनाव की स्थिति को प्लास्टिक डोमेन में ले जाती है तो प्लास्टिक के तनाव की वृद्धि हमेशा शून्य से अधिक होती है, अर्थात $$d\varepsilon_p > 0$$.
 * 5) अनलोडिंग को उस स्थिति के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके तहत तनाव की वृद्धि शून्य से कम होती है, अर्थात, $$d\sigma < 0$$. उतराई के दौरान सामग्री लोचदार होती है और कोई अतिरिक्त प्लास्टिक तनाव जमा नहीं होता है।
 * 6) कुल तनाव लोचदार और प्लास्टिक भागों का रैखिक संयोजन है, अर्थात, $$d\varepsilon = d\varepsilon_e + d\varepsilon_p$$. लोचदार भाग पूरी तरह से पुनर्प्राप्त करने योग्य होने पर प्लास्टिक का हिस्सा पुनर्प्राप्त नहीं किया जा सकता है।
 * 7) लोडिंग-अनलोडिंग चक्र का कार्य सकारात्मक या शून्य है, अर्थात, $$d\sigma\,d\varepsilon = d\sigma\,(d\varepsilon_e + d\varepsilon_p) \ge 0$$. इसे ड्रकर स्थिरता पोस्टुलेट भी कहा जाता है और तनाव को कम करने वाले व्यवहार की संभावना को समाप्त करता है।

उपरोक्त आवश्यकताओं को तनाव और बहु-दिशात्मक लोडिंग के तीन आयामी स्थितियों में निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है।
 * लोच (हुक का नियम)। रैखिक लोचदार शासन में सामग्री में तनाव और तनाव से संबंधित हैं

\boldsymbol{\sigma} = \mathsf{D}:\boldsymbol{\varepsilon} $$
 * जहां कठोरता मैट्रिक्स $$\mathsf{D}$$ स्थिर है।


 * लोचदार सीमा (उपज सतह)। लोचदार सीमा को उपज सतह द्वारा परिभाषित किया जाता है जो प्लास्टिक के तनाव पर निर्भर नहीं होता है और इसका रूप होता है

f(\boldsymbol{\sigma}) = 0 \,. $$
 * लोचदार सीमा से परे। तनाव सख्त करने वाली सामग्री के लिए, उपज की सतह बढ़ती प्लास्टिक के तनाव के साथ विकसित होती है और लोचदार सीमा में परिवर्तन होता है। विकसित उपज सतह का रूप है

f(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}_p) = 0 \,. $$
 * लोड हो रहा है। तनाव की सामान्य अवस्थाओं के लिए, प्लास्टिक लोडिंग का संकेत दिया जाता है यदि तनाव की स्थिति उपज सतह पर है और तनाव वृद्धि उपज सतह के बाहर की ओर निर्देशित है; यह तब होता है जब तनाव वृद्धि का आंतरिक उत्पाद और उपज सतह का बाहरी सामान्य सकारात्मक होता है, अर्थात,

d\boldsymbol{\sigma}:\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\sigma}} \ge 0 \,. $$
 * उपरोक्त समीकरण, जब यह शून्य के सामान्य है, तटस्थ लोडिंग की स्थिति को इंगित करता है जहां तनाव की स्थिति उपज सतह के साथ चलती है।


 * अनलोडिंग: इसी तरह का तर्क किस स्थिति के लिए अनलोडिंग के लिए दिया जाता है $$ f < 0 $$, सामग्री लोचदार डोमेन में है, और

d\boldsymbol{\sigma}:\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\sigma}} < 0 \,. $$
 * तनाव अपघटन: लोचदार और प्लास्टिक भागों में तनाव के योगात्मक अपघटन को इस रूप में लिखा जा सकता है

d\boldsymbol{\varepsilon} = d\boldsymbol{\varepsilon}_e + d\boldsymbol{\varepsilon}_p \,. $$
 * स्थिरता अभिधारणा: स्थिरता अभिधारणा के रूप में व्यक्त की जाती है

d\boldsymbol{\sigma}:d\boldsymbol{\varepsilon} \ge 0 \,. $$

प्रवाह नियम
मेटल प्लास्टिसिटी में, यह माना जाता है कि प्लास्टिक तनाव वृद्धि और विचलित तनाव टेंसर की ही प्रमुख दिशाएं होती हैं, जो प्रवाह नियम नामक संबंध में समझाया जाता है। चट्टान प्लास्टिसिटी सिद्धांत भी इसी तरह की अवधारणा का उपयोग करते हैं, सिवाय इसके कि उपज सतह के दबाव-निर्भरता की आवश्यकता के लिए उपरोक्त धारणा में छूट की आवश्यकता होती है। इसके अतिरिक्त, यह सामान्यतः माना जाता है कि प्लास्टिक तनाव वृद्धि और सामान्य से दबाव पर निर्भर उपज सतह की ही दिशा है, अर्थात,



d\boldsymbol{\varepsilon}_p = d\lambda\,\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\sigma}} $$ जहाँ $$d\lambda > 0$$ सख्त पैरामीटर है। प्रवाह नियम के इस रूप को संबद्ध प्रवाह नियम कहा जाता है और सह-दिशात्मकता की धारणा को सामान्य स्थिति (प्लास्टिसिटी) कहा जाता है। कार्यक्रम $$f$$ इसे प्लास्टिक क्षमता भी कहा जाता है।

उपरोक्त प्रवाह नियम पूरी तरह से प्लास्टिक विकृतियों के लिए आसानी से उचित है, जिसके लिए $$d\boldsymbol{\sigma} = 0 $$ जब $$d\boldsymbol{\varepsilon}_p > 0$$, 0 जिससे बढ़ते प्लास्टिक विरूपण के तहत उपज की सतह स्थिर रहती है। इसका तात्पर्य है कि हूक के नियम के कारण लोचदार तनाव की वृद्धि भी शून्य $$d\boldsymbol{\varepsilon}_e = 0$$, है। इसलिए,

d\boldsymbol{\sigma}:\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\sigma}} = 0 \quad \text{and} \quad d\boldsymbol{\sigma}:d\boldsymbol{\varepsilon}_p = 0 \,. $$ इसलिए, उपज सतह के लिए सामान्य और प्लास्टिक तनाव टेंसर दोनों तनाव टेंसर के लंबवत हैं और उनकी ही दिशा होनी चाहिए।

एक तनाव सख्त सामग्री के लिए, उपज की सतह बढ़ते तनाव के साथ फैल सकती है। हम मानते हैं कि ड्रकर की दूसरी स्थिरता अभिधारणा है जिसमें कहा गया है कि अतिसूक्ष्म तनाव चक्र के लिए यह प्लास्टिक कार्य सकारात्मक है, अर्थात,

d\boldsymbol{\sigma}: d\boldsymbol{\varepsilon}_p \ge 0 \,. $$ उपरोक्त मात्रा विशुद्ध रूप से लोचदार चक्रों के लिए शून्य के सामान्य है। प्लास्टिक लोडिंग-अनलोडिंग के चक्र पर किए गए कार्य की जांच का उपयोग संबंधित प्रवाह नियम की वैधता को सही ठहराने के लिए किया जा सकता है।

संगति की स्थिति
संवैधानिक समीकरणों के समूह को बंद करने और समीकरणों की प्रणाली से अज्ञात पैरामीटर $$d\lambda$$ को खत्म करने के लिए प्रेगर संगति की स्थिति की आवश्यकता है। संगति की स्थिति बताती है कि $$df = 0 $$ उपज पर क्योंकि $$ f(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{\varepsilon}_p) = 0 $$, और इसलिए

df = \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\sigma}}:d\boldsymbol{\sigma} + \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\varepsilon}_p}:d\boldsymbol{\varepsilon}_p = 0 \,. $$

बड़े विरूपण सिद्धांत
प्लास्टिसिटी के बड़े विरूपण प्रवाह सिद्धांत सामान्यतः निम्नलिखित मान्यताओं में से के साथ प्रारंभ होते हैं:
 * विरूपण टेन्सर की दर को एक लोचदार भाग और एक प्लास्टिक भाग या में जोड़ कर विघटित किया जा सकता है
 * विरूपण ढाल टेंसर को लोचदार भाग और प्लास्टिक के हिस्से में गुणात्मक रूप से विघटित किया जा सकता है।

पहली धारणा व्यापक रूप से धातुओं के संख्यात्मक अनुकरण के लिए उपयोग की गई थी, किन्तु धीरे-धीरे गुणक सिद्धांत द्वारा इसे हटा दिया गया है।

गुणात्मक प्लास्टिसिटी की कीनेमेटीक्स
लोचदार और प्लास्टिक भागों में विरूपण प्रवणता के गुणक अपघटन की अवधारणा को पहले स्वतंत्र रूप से B. A.बिल्बी, ई. क्रोनर, द्वारा क्रिस्टल प्लास्टिसिटी के संदर्भ में प्रस्तावित किया गया था और इरास्मस ली द्वारा कॉन्टिनम प्लास्टिसिटी तक विस्तारित किया गया था। अपघटन मानता है कि कुल विरूपण ढाल (F) को इस प्रकार विघटित किया जा सकता है:

\boldsymbol{F} = \boldsymbol{F}^e\cdot\boldsymbol{F}^p $$ जहां Fe लोचदार (पुनर्प्राप्ति योग्य) भाग है और Fp विरूपण का प्लास्टिक (पुनर्प्राप्ति योग्य) भाग है। परिमित तनाव सिद्धांत या विरूपण प्रवणता का समय-व्युत्पन्न द्वारा दिया गया है

\begin{align} \boldsymbol{l} & = \dot{\boldsymbol{F}}\cdot\boldsymbol{F}^{-1} = \left(\dot{\boldsymbol{F}}^e\cdot\boldsymbol{F}^p + \boldsymbol{F}^e\cdot\dot{\boldsymbol{F}}^p\right)\cdot \left[(\boldsymbol{F}^p)^{-1}\cdot(\boldsymbol{F}^e)^{-1}\right] \\ & = \dot{\boldsymbol{F}}^e\cdot(\boldsymbol{F}^e)^{-1} + \boldsymbol{F}^e\cdot[\dot{\boldsymbol{F}}^p\cdot (\boldsymbol{F}^p)^{-1}]\cdot(\boldsymbol{F}^e)^{-1} \,. \end{align} $$ जहां अध्यारोपित डॉट समय व्युत्पन्न इंगित करता है। उपरोक्त को हम इस प्रकार लिख सकते हैं

\boldsymbol{l} = \boldsymbol{l}^e + \boldsymbol{F}^e\cdot\boldsymbol{L}^p\cdot(\boldsymbol{F}^e)^{-1} \,. $$ मात्रा

\boldsymbol{L}^p := \dot{\boldsymbol{F}}^p\cdot (\boldsymbol{F}^p)^{-1} $$ एक प्लास्टिक वेग प्रवणता कहा जाता है और मध्यवर्ती (संगतता (यांत्रिकी)) तनाव मुक्त विन्यास में परिभाषित किया जाता है। Lp के सममित भाग (Dp) को विरूपण की प्लास्टिक दर कहा जाता है जबकि तिरछा-सममित भाग (Wp) को प्लास्टिक स्पिन कहा जाता है:

\boldsymbol{D}^p = \tfrac{1}{2}[\boldsymbol{L}^p +(\boldsymbol{L}^p)^T] ~, \boldsymbol{W}^p = \tfrac{1}{2}[\boldsymbol{L}^p -(\boldsymbol{L}^p)^T] \,. $$ सामान्यतः, परिमित प्लास्टिसिटी के अधिकांश विवरणों में प्लास्टिक स्पिन को नजरअंदाज कर दिया जाता है।

लोचदार व्यवस्था
परिमित तनाव व्यवस्था में लोचदार व्यवहार सामान्यतः हाइपरलास्टिक सामग्री मॉडल द्वारा वर्णित किया जाता है। लोचदार तनाव को लोचदार दाएं कॉची-ग्रीन विरूपण टेन्सर का उपयोग करके मापा जा सकता है:

\boldsymbol{C}^e := (\boldsymbol{F}^e)^T\cdot\boldsymbol{F}^e \,. $$ लघुगणक तनाव टेंसर को तब परिभाषित किया जा सकता है

\boldsymbol{E}^e := \tfrac{1}{2}\ln\boldsymbol{C}^e \,. $$ सममित मंडेल तनाव टेंसर परिमित प्लास्टिसिटी के लिए सुविधाजनक तनाव उपाय है और इसे परिभाषित किया गया है

\boldsymbol{M} := \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}^e\cdot\boldsymbol{S} + \boldsymbol{S}\cdot\boldsymbol{C}^e) $$ जहाँ S तनाव मापक है| दूसरा पिओला-किरचॉफ तनाव। लघुगणक तनाव के संदर्भ में संभावित हाइपरलास्टिक मॉडल है

\boldsymbol{M} = \frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{E}^e} = J\,\frac{dU}{dJ} + 2\mu\,\text{dev}(\boldsymbol{E}^e) $$ जहाँ W विकृति ऊर्जा घनत्व फलन है, J = det('F'), μ मापांक है, और देव टेंसर के विचलित भाग को इंगित करता है।

प्रवाह नियम
क्लॉसियस-ड्यूहेम असमानता का प्रयोग, से परिमित तनाव प्रवाह नियम के लिए प्लास्टिक स्पिन की अनुपस्थिति होती है

\boldsymbol{D}^p = \dot{\lambda}\,\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{M}} \,. $$

लोडिंग-अनलोडिंग की स्थिति
लोडिंग-अनलोडिंग की स्थिति को करुश-कुह्न-टकर स्थितियों के सामान्य दिखाया जा सकता है



\dot{\lambda} \ge 0 ~, f \le 0~, \dot{\lambda}\,f = 0 \,. $$

स्थिरता की संगति
स्थिरता की स्थिति छोटे तनाव के स्थिति के समान है,

\dot{\lambda}\,\dot{f} = 0 \,. $$

यह भी देखें

 * प्लास्टिसिटी (भौतिकी)

श्रेणी:सातत्य यांत्रिकी श्रेणी:ठोस यांत्रिकी