क्षेत्र पर बीजगणित

गणित में, एक क्षेत्र पर एक बीजगणित (अक्सर बस एक बीजगणित कहा जाता है) एक सदिश स्थान होता है जो बिलिनियर मानचित्र उत्पाद (गणित) से सुसज्जित होता है। इस प्रकार, एक बीजगणित एक बीजगणितीय संरचना है जिसमें एक क्षेत्र (गणित) के तत्वों द्वारा गुणा और जोड़ और स्केलर गुणा के संचालन के साथ एक सेट (गणित) होता है और वेक्टर अंतरिक्ष और बिलिनियर द्वारा निहित स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है। एक बीजगणित में गुणन संक्रिया साहचर्य हो भी सकती है और नहीं भी हो सकती है, जो साहचर्य बीजगणित और गैर-सहयोगी बीजगणित की धारणाओं को जन्म देती है। एक पूर्णांक n को देखते हुए, क्रम n के वास्तविक मैट्रिक्स स्क्वायर मैट्रिक्स की अंगूठी (गणित) मैट्रिक्स जोड़ और मैट्रिक्स गुणन के तहत वास्तविक संख्या के क्षेत्र में एक साहचर्य बीजगणित का एक उदाहरण है क्योंकि मैट्रिक्स गुणन साहचर्य है। वेक्टर क्रॉस उत्पाद द्वारा दिए गए गुणन के साथ त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में एक गैर-सहयोगी बीजगणित का एक उदाहरण है क्योंकि वेक्टर क्रॉस उत्पाद गैर-सहयोगी है, इसके बजाय जैकोबी पहचान को संतुष्ट करता है।

एक बीजगणित 'एकात्मक' या 'एकात्मक' है यदि इसमें गुणन के संबंध में एक पहचान तत्व है। क्रम n के वास्तविक वर्ग आव्यूहों का वलय एक इकाई बीजगणित बनाता है क्योंकि क्रम n का पहचान मैट्रिक्स आव्यूह गुणन के संबंध में पहचान तत्व है। यह एक एकात्मक साहचर्य बीजगणित का एक उदाहरण है, एक एकात्मक वलय | (एकात्मक) वलय जो एक सदिश स्थान भी है।

कई लेखक बीजगणित शब्द का प्रयोग साहचर्य बीजगणित, या इकाई साहचर्य बीजगणित, या कुछ विषयों जैसे बीजगणितीय ज्यामिति, एकात्मक साहचर्य क्रमविनिमेय बीजगणित के लिए करते हैं।

अदिश क्षेत्र को क्रमविनिमेय वलय द्वारा प्रतिस्थापित करने से #सामान्यीकरण की अधिक सामान्य धारणा बनती है: एक वलय के ऊपर बीजगणित। बीजगणित को द्विरेखीय रूप से सुसज्जित वेक्टर रिक्त स्थान के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जैसे आंतरिक उत्पाद रिक्त स्थान, जैसे, ऐसे स्थान के लिए, उत्पाद का परिणाम स्थान में नहीं है, बल्कि गुणांक के क्षेत्र में है।

परिभाषा
होने देना $K$ एक क्षेत्र बनो, और रहने दो $A$ वेक्टर स्पेस ओवर बनें $K$ से एक अतिरिक्त बाइनरी ऑपरेशन से लैस है $A × A$ को $A$, द्वारा यहाँ दर्शाया गया है $·$ (यानी, अगर $x$ और $y$ के कोई दो तत्व हैं $A$, तब $x · y$ का एक तत्व है $A$ का उत्पाद कहलाता है $x$ और $y$). तब $A$ एक बीजगणित खत्म है $K$ यदि निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ सभी तत्वों के लिए लागू होती हैं $x, y, z$ में $A$, और सभी तत्व (अक्सर स्केलर (गणित) कहा जाता है) $a$ और $b$ में $K$:
 * सही वितरण: $(x + y) · z = x · z + y · z$
 * वाम वितरण: $z · (x + y) = z · x + z · y$
 * स्केलर्स के साथ संगतता: $(ax) · (by) = (ab) (x · y)$.

ये तीन स्वयंसिद्ध यह कहने का एक और तरीका है कि बाइनरी ऑपरेशन बिलिनियर ऑपरेटर है। एक बीजगणित खत्म $K$ कभी-कभी ए भी कहा जाता है$K$-बीजगणित, और $K$ का आधार क्षेत्र कहा जाता है $A$. बाइनरी ऑपरेशन को अक्सर गुणन के रूप में जाना जाता है $A$. इस लेख में अपनाया गया सम्मेलन यह है कि एक बीजगणित के तत्वों का गुणन अनिवार्य रूप से साहचर्य नहीं है, हालांकि कुछ लेखक एक साहचर्य बीजगणित को संदर्भित करने के लिए बीजगणित शब्द का उपयोग करते हैं।

जब सदिश स्थान पर एक द्विआधारी संक्रिया क्रमविनिमेय होती है, तो बायाँ वितरण और दायाँ वितरण समतुल्य होते हैं, और, इस मामले में, केवल एक वितरण के लिए एक प्रमाण की आवश्यकता होती है। सामान्य तौर पर, गैर-कम्यूटेटिव संचालन के लिए बाएं वितरण और सही वितरण समान नहीं होते हैं, और अलग-अलग सबूत की आवश्यकता होती है।

बीजगणित समरूपता
दिए गए K-बीजगणित A और B, एक K-बीजगणित समाकारिता एक K-रैखिक मानचित्र है f: A → B ऐसा कि f('xy') = f('x') f('y') सभी 'x' के लिए, ए में 'वाई'। ए और बी के बीच सभी के-बीजगणित समरूपता का स्थान अक्सर लिखा जाता है
 * $$\mathbf{Hom}_{K\text{-alg}} (A,B).$$

एक K-बीजगणित समरूपता एक विशेषण K-बीजगणित समरूपता है। सभी व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, समाकृतिकता बीजगणित केवल संकेतन से भिन्न होते हैं।

Subalgebras और आदर्शों
फ़ील्ड K पर एक बीजगणित का एक सबलजेब्रा एक रेखीय उप-स्थान है जिसमें संपत्ति होती है कि इसके दो तत्वों का उत्पाद फिर से उप-स्थान में होता है। दूसरे शब्दों में, बीजगणित का एक उपलजगणित तत्वों का एक गैर-खाली सबसेट है जो अतिरिक्त, गुणन और स्केलर गुणन के तहत बंद है। प्रतीकों में, हम कहते हैं कि K-बीजगणित A का एक उपसमुच्चय एक उपसमूह है यदि L में प्रत्येक x, y और K में c के लिए, हमारे पास x · y, x + y, और cx सभी L में हैं।

वास्तविक संख्याओं के ऊपर द्वि-आयामी बीजगणित के रूप में देखी जाने वाली जटिल संख्याओं के उपरोक्त उदाहरण में, एक-आयामी वास्तविक रेखा एक सबलजेब्रा है।

के-बीजगणित का एक बायां आदर्श एक रेखीय उप-स्थान है जिसमें गुण है कि उप-स्थान के किसी भी तत्व को बीजगणित के किसी भी तत्व द्वारा बाईं ओर गुणा करने से उप-स्थान का एक तत्व उत्पन्न होता है। प्रतीकों में, हम कहते हैं कि K-बीजगणित A का एक उपसमुच्चय एक बायाँ आदर्श है यदि L में प्रत्येक x और y के लिए, A में z और K में c, हमारे पास निम्नलिखित तीन कथन हैं।
 * 1) x + y L में है (L योग के तहत बंद है),
 * 2) सीएक्स एल में है (एल स्केलर गुणा के तहत बंद है),
 * 3) z · x एल में है (एल मनमाने तत्वों द्वारा बाएं गुणन के तहत बंद है)।

यदि (3) को x · z से प्रतिस्थापित किया जाता है जो L में है, तो यह एक सही गुणजावली को परिभाषित करेगा। एक दो तरफा आदर्श एक उपसमुच्चय है जो एक बाएँ और दाएँ आदर्श दोनों है। अपने आप में आदर्श शब्द का अर्थ आमतौर पर दो तरफा आदर्श के रूप में लिया जाता है। बेशक जब बीजगणित क्रमविनिमेय है, तो आदर्श की ये सभी धारणाएँ समतुल्य हैं। ध्यान दें कि स्थितियां (1) और (2) एक साथ एल के समकक्ष हैं जो ए के एक रैखिक उपसमूह हैं। यह स्थिति (3) से अनुसरण करता है कि प्रत्येक बाएं या दाएं आदर्श एक उप-बीजगणित है।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यह परिभाषा एक आदर्श (रिंग थ्योरी) की परिभाषा से अलग है, इसमें हमें शर्त (2) की आवश्यकता है। बेशक अगर बीजगणित एकात्मक है, तो स्थिति (3) का तात्पर्य स्थिति (2) से है।

अदिशों का विस्तार
यदि हमारे पास एक क्षेत्र विस्तार एफ/के है, जो कि एक बड़ा क्षेत्र एफ है जिसमें के शामिल है, तो के पर किसी भी बीजगणित से एफ पर बीजगणित बनाने का एक प्राकृतिक तरीका है। यह वही निर्माण है जिसका उपयोग एक बनाने के लिए किया जाता है। एक बड़े क्षेत्र पर सदिश स्थान, अर्थात् टेन्सर उत्पाद $$ V_F:=V \otimes_K F $$. इसलिए यदि A, K के ऊपर एक बीजगणित है, तब $$A_F$$ F पर एक बीजगणित है।

बीजगणित के प्रकार और उदाहरण
खेतों पर बीजगणित कई अलग-अलग प्रकारों में आते हैं। इन प्रकारों को कुछ और अभिगृहीतों पर जोर देकर निर्दिष्ट किया जाता है, जैसे कि गुणन संक्रिया की क्रमविनिमेयता या साहचर्यता, जो बीजगणित की व्यापक परिभाषा में आवश्यक नहीं हैं। विभिन्न प्रकार के बीजगणितों से संबंधित सिद्धांत अक्सर बहुत भिन्न होते हैं।

इकाई बीजगणित
एक बीजगणित इकाई या एकात्मक है यदि इसमें एक इकाई (बीजगणित) या पहचान तत्व I है जिसमें बीजगणित में सभी x के लिए Ix = x = xI है।

शून्य बीजगणित
एक बीजगणित को शून्य बीजगणित कहा जाता है यदि uv = 0 बीजगणित में सभी यू, वी के लिए, एक तत्व के साथ बीजगणित के साथ भ्रमित न हों। यह स्वाभाविक रूप से गैर-एकात्मक (केवल एक तत्व के मामले को छोड़कर), साहचर्य और क्रमविनिमेय है।

एक फ़ील्ड (या अधिक आम तौर पर एक रिंग) K और K-वेक्टर स्पेस (या मॉड्यूल) V के मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग लेकर एक इकाई शून्य बीजगणित को परिभाषित कर सकता है, और 'V' के तत्वों की प्रत्येक जोड़ी के उत्पाद को शून्य के रूप में परिभाषित करना। यानी अगर λ, μ ∈ K और u, v ∈ V, तब (λ + u) (μ + v) = λμ + (λv + μu). अगर e1, ... ed V का एक आधार है, इकाई शून्य बीजगणित बहुपद वलय का भागफल है K[E1, ..., En] ई द्वारा उत्पन्न आदर्श (रिंग थ्योरी) द्वाराiEj हर जोड़ी के लिए (i, j).

इकाई शून्य बीजगणित का एक उदाहरण दोहरी संख्याओं का बीजगणित है, एक आयामी वास्तविक सदिश स्थान से निर्मित इकाई शून्य आर-बीजगणित।

ये इकाई शून्य बीजगणित अधिक आम तौर पर उपयोगी हो सकते हैं, क्योंकि वे बीजगणित की किसी भी सामान्य संपत्ति को वेक्टर रिक्त स्थान या मॉड्यूल (गणित) के गुणों में अनुवाद करने की अनुमति देते हैं। उदाहरण के लिए, ग्रोबनेर आधार का सिद्धांत | ग्रोबनर आधारों को ब्रूनो बुचबर्गर द्वारा एक बहुपद वलय में आदर्श (रिंग सिद्धांत) के लिए पेश किया गया था। R = K[x1, ..., xn] एक मैदान के ऊपर। एक मुक्त आर-मॉड्यूल पर यूनिटल शून्य बीजगणित का निर्माण इस सिद्धांत को एक मुक्त मॉड्यूल के सबमॉड्यूल के लिए ग्रोबनेर आधार सिद्धांत के रूप में विस्तारित करने की अनुमति देता है। यह एक्सटेंशन किसी सबमॉड्यूल के ग्रोबनर आधार की गणना करने के लिए, बिना किसी संशोधन के, किसी एल्गोरिदम और आदर्शों के ग्रोबनर आधारों की गणना के लिए किसी भी सॉफ्टवेयर का उपयोग करने की अनुमति देता है।

साहचर्य बीजगणित
साहचर्य बीजगणित के उदाहरणों में शामिल हैं
 * एक क्षेत्र (या क्रमविनिमेय वलय) K पर सभी n-by-n मैट्रिक्स (गणित) का बीजगणित। यहाँ गुणन साधारण मैट्रिक्स गुणन है।
 * समूह वलय, जहाँ एक समूह (गणित) सदिश स्थान के आधार के रूप में कार्य करता है और बीजगणित गुणन समूह गुणन का विस्तार करता है।
 * K पर सभी बहुपदों का क्रमविनिमेय बीजगणित K[x] (बहुपद वलय देखें)।
 * फ़ंक्शन (गणित) के बीजगणित, जैसे अंतराल (गणित) [0,1] पर परिभाषित सभी वास्तविक-मूल्यवान निरंतर फ़ंक्शन फ़ंक्शंस का 'आर'-बीजगणित, या परिभाषित सभी होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन का 'सी'-बीजगणित जटिल तल में कुछ निश्चित खुले सेट पर। ये भी क्रमविनिमेय हैं।
 * घटना बीजगणित कुछ आंशिक रूप से आदेशित सेटों पर बनाए गए हैं।
 * रैखिक ऑपरेटरों के बीजगणित, उदाहरण के लिए हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर। यहां बीजगणित गुणा ऑपरेटरों की कार्यात्मक संरचना द्वारा दिया जाता है। इन बीजगणितों में सांस्थितिक स्थान भी होता है; उनमें से कई एक अंतर्निहित बनच स्थान पर परिभाषित हैं, जो उन्हें बनच बीजगणित में बदल देता है। यदि एक अंतर्वलन भी दिया जाता है, तो हमें B*बी * - बीजगणित और C*-एलजेब्रा प्राप्त होते हैं। कार्यात्मक विश्लेषण में इनका अध्ययन किया जाता है।

गैर-सहयोगी बीजगणित
एक गैर-सहयोगी बीजगणित (या वितरण बीजगणित) एक क्षेत्र के ऊपर K एक K-वेक्टर स्थान A है जो K- बिलिनियर मानचित्र से सुसज्जित है $$A \times A \rightarrow A$$. यहाँ गैर-सहयोगी का उपयोग यह बताने के लिए है कि सहचारिता को ग्रहण नहीं किया जाता है, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि यह निषिद्ध है - अर्थात, इसका अर्थ जरूरी नहीं है कि साहचर्य हो।

मुख्य लेख में विस्तृत उदाहरणों में शामिल हैं:
 * यूक्लिडियन स्पेस आर3 वेक्टर क्रॉस उत्पाद द्वारा दिए गए गुणन के साथ
 * ऑक्टोनियन
 * बीजगणित झूठ बोलो
 * जॉर्डन बीजगणित
 * वैकल्पिक बीजगणित
 * लचीला बीजगणित
 * शक्ति-सहयोगी बीजगणित

बीजगणित और अंगूठियां
इकाई के साथ एक साहचर्य K-बीजगणित की परिभाषा भी अक्सर एक वैकल्पिक तरीके से दी जाती है। इस मामले में, क्षेत्र K पर एक बीजगणित एक वलय (गणित) A है जिसमें एक वलय समरूपता है


 * $$\eta\colon K\to Z(A),$$

जहाँ Z(A) A का केंद्र (रिंग थ्योरी) है। चूँकि η एक वलय समरूपता है, तो किसी के पास या तो A शून्य वलय होना चाहिए, या कि η अंतःक्षेपी फलन है। यह परिभाषा उपरोक्त के समतुल्य है, अदिश गुणन के साथ
 * $$K\times A \to A$$

द्वारा दिए गए
 * $$(k,a) \mapsto \eta(k) a.$$

दो ऐसे साहचर्य एकात्मक K-बीजगणित A और B दिए गए हैं, एक इकाई K-बीजगणित समरूपता f: A → B एक वलय समरूपता है जो η द्वारा परिभाषित अदिश गुणन के साथ संचार करता है, जिसे कोई इस रूप में लिख सकता है
 * $$f(ka)=kf(a)$$

सभी के लिए $$k\in K$$ और $$a \in A$$. दूसरे शब्दों में, निम्न आरेख यात्रा करता है:
 * $$\begin{matrix}

&& K &&  \\ & \eta_A \swarrow & \, & \eta_B \searrow & \\ A && \begin{matrix} f \\ \longrightarrow \end{matrix}  && B \end{matrix}$$

संरचना गुणांक
एक क्षेत्र पर बीजगणित के लिए, ए × ए से ए तक बिलिनियर गुणन ए के आधार (रैखिक बीजगणित) तत्वों के गुणन द्वारा पूरी तरह से निर्धारित होता है। इसके विपरीत, एक बार ए के लिए आधार चुने जाने के बाद, आधार तत्वों के उत्पादों को मनमाने ढंग से सेट किया जा सकता है, और फिर ए पर बिलिनियर ऑपरेटर के लिए एक अद्वितीय तरीके से बढ़ाया जा सकता है, यानी, परिणामी गुणा बीजगणित कानूनों को संतुष्ट करता है।

इस प्रकार, क्षेत्र के दिया गया है, किसी भी परिमित-आयामी बीजगणित को इसके आयाम (रैखिक बीजगणित) (एन कहते हैं), और एन निर्दिष्ट करके समरूपता तक निर्दिष्ट किया जा सकता है3 संरचना गुणांक ci,j,k, जो अदिश (गणित) हैं। ये संरचना गुणांक निम्न नियम के माध्यम से A में गुणन का निर्धारण करते हैं:
 * $$\mathbf{e}_{i} \mathbf{e}_{j} = \sum_{k=1}^n c_{i,j,k} \mathbf{e}_{k}$$

जहां ई1,...,यह हैn ए. का आधार बनता है।

हालांकि ध्यान दें कि संरचना गुणांक के कई अलग-अलग सेट आइसोमोर्फिक बीजगणित को जन्म दे सकते हैं।

गणितीय भौतिकी में, संरचना गुणांक आमतौर पर ऊपरी और निचले सूचकांकों के साथ लिखे जाते हैं, ताकि उनके परिवर्तन गुणों को समन्वय परिवर्तनों के तहत अलग किया जा सके। विशेष रूप से, निचले सूचकांक सदिश सूचकांकों के सहप्रसरण और विपरीतप्रसरण हैं, और पुलबैक (अंतर ज्यामिति) के माध्यम से रूपांतरित होते हैं, जबकि ऊपरी सूचकांक सहप्रसरण और सदिशों के विपरीत होते हैं, जो पुशफॉरवर्ड (अंतर) के तहत रूपांतरित होते हैं। इस प्रकार, संरचना गुणांक अक्सर सी लिखा जाता हैi,jk, और उनके परिभाषित नियम को आइंस्टीन संकेतन के रूप में लिखा गया है
 * 'इ'iej = सीi,jकश्मीर'ई'k.

यदि आप इसे अनुक्रमणिका संकेतन में लिखे सदिशों पर लागू करते हैं, तो यह बन जाता है
 * (xy)के  = सीi,j कश्मीरx मैं  वाई जम्मू ।

यदि K केवल एक क्रमविनिमेय वलय है और एक क्षेत्र नहीं है, तो वही प्रक्रिया काम करती है यदि A, K के ऊपर एक मुक्त मॉड्यूल है। हालाँकि, इस मामले में संरचना स्थिरांक को मनमाने ढंग से निर्दिष्ट नहीं किया जा सकता है, और केवल संरचना स्थिरांक को जानने से समरूपता तक बीजगणित निर्दिष्ट नहीं होता है।

जटिल संख्याओं पर निम्न-आयामी एकात्मक साहचर्य बीजगणित का वर्गीकरण
एडवर्ड स्टडी द्वारा जटिल संख्याओं के क्षेत्र में द्वि-आयामी, त्रि-आयामी और चार-आयामी यूनिटल सहयोगी बीजगणित को पूरी तरह से आइसोमोर्फिज्म तक वर्गीकृत किया गया था। ऐसे दो द्वि-आयामी बीजगणित मौजूद हैं। प्रत्येक बीजगणित में दो आधार तत्वों, 1 (पहचान तत्व) और ए के रैखिक संयोजन (जटिल गुणांक के साथ) होते हैं। पहचान तत्व की परिभाषा के अनुसार,
 * $$\textstyle 1 \cdot 1 = 1 \,, \quad 1 \cdot a = a \, , \quad a \cdot 1 = a \, . $$

यह निर्दिष्ट करना बाकी है
 * $$\textstyle a a = 1 $$ पहले बीजगणित के लिए,
 * $$\textstyle a a = 0 $$ दूसरे बीजगणित के लिए।

ऐसे पांच त्रिविम बीजगणित मौजूद हैं। प्रत्येक बीजगणित में तीन आधार तत्वों, 1 (पहचान तत्व), ए और बी के रैखिक संयोजन होते हैं। पहचान तत्व की परिभाषा को ध्यान में रखते हुए, यह निर्दिष्ट करने के लिए पर्याप्त है
 * $$\textstyle a a = a \,, \quad b b = b \, , \quad a b = b a = 0 $$ पहले बीजगणित के लिए,
 * $$\textstyle a a = a \,, \quad b b = 0 \, , \quad a b = b a = 0 $$ दूसरे बीजगणित के लिए,
 * $$\textstyle a a = b \,, \quad b b = 0 \, , \quad a b = b a = 0 $$ तीसरे बीजगणित के लिए,
 * $$\textstyle a a = 1 \,, \quad b b = 0 \, , \quad a b = - b a = b $$ चौथे बीजगणित के लिए,
 * $$\textstyle a a = 0 \,, \quad b b = 0 \, , \quad a b = b a = 0 $$ पांचवें बीजगणित के लिए।

इन बीजगणितों में से चौथा गैर-क्रमविनिमेय है, और अन्य क्रमविनिमेय हैं।

सामान्यीकरण: एक अंगूठी पर बीजगणित
गणित के कुछ क्षेत्रों में, जैसे क्रमविनिमेय बीजगणित, एक वलय के ऊपर बीजगणित की अधिक सामान्य अवधारणा पर विचार करना आम है, जहां एक क्रमविनिमेय एकात्मक वलय R क्षेत्र K की जगह लेता है। परिभाषा का एकमात्र हिस्सा जो बदलता है वह यह है कि ए को मॉड्यूल (गणित) माना जाता है|आर-मॉड्यूल ('के'' पर वेक्टर स्पेस के बजाय)।

अंगूठियों पर साहचर्य बीजगणित
एक वलय (गणित) A हमेशा अपने केंद्र (अंगूठी सिद्धांत) और पूर्णांकों पर एक साहचर्य बीजगणित होता है। इसके केंद्र पर एक बीजगणित का एक शास्त्रीय उदाहरण है विभाजित-द्विभाजित |विभाजित-द्विभाजित बीजगणित, जो समरूपी $$\mathbb{H} \times \mathbb{H}$$, दो चतुष्कोणों का प्रत्यक्ष उत्पाद। उस वलय का केंद्र है $$\mathbb{R} \times \mathbb{R}$$, और इसलिए इसके केंद्र के ऊपर एक बीजगणित की संरचना है, जो एक क्षेत्र नहीं है। ध्यान दें कि विभाजन-द्विभाजित बीजगणित भी स्वाभाविक रूप से एक 8-आयामी है $$\mathbb{R}$$-बीजगणित।

क्रमविनिमेय बीजगणित में, यदि A क्रमविनिमेय वलय है, तो कोई इकाई वलय समाकारिता $$R \to A$$ ए पर एक आर-मॉड्यूल संरचना को परिभाषित करता है, और यही वह है जिसे आर-बीजगणित संरचना के रूप में जाना जाता है। तो एक अंगूठी प्राकृतिक के साथ आती है $$\mathbb{Z}$$-मॉड्यूल संरचना, चूंकि कोई अद्वितीय समरूपता ले सकता है $$\mathbb{Z} \to A$$. दूसरी ओर, सभी वलयों को एक क्षेत्र पर बीजगणित की संरचना नहीं दी जा सकती है (उदाहरण के लिए पूर्णांक)। प्रत्येक रिंग को एक संरचना देने के प्रयास के विवरण के लिए एक तत्व के साथ फ़ील्ड देखें जो एक फ़ील्ड पर बीजगणित की तरह व्यवहार करता है।

यह भी देखें

 * एक ओपेरा पर बीजगणित
 * वैकल्पिक बीजगणित
 * क्लिफर्ड बीजगणित
 * विभेदक बीजगणित
 * मुक्त बीजगणित
 * ज्यामितीय बीजगणित
 * मैक्स-प्लस बीजगणित
 * उत्परिवर्तन (बीजगणित)
 * संचालिका बीजगणित
 * जरिस्की की लेम्मा