लैटिस मॉडल (भौतिकी)

गणितीय भौतिकी में जालक आदर्श भौतिक प्रणाली का एक गणितीय आदर्श है, जिसे अंतराल या अंतराल अवधि की निरंतरता जैसे कॉन्टिन्यूम (सिद्धांत) के विपरीत जालक (समूह) पर परिभाषित किया जाता है। जालक आदर्श मूल रूप से संघनित पदार्थ भौतिकी के संदर्भ में उत्पन्न हुए, जिस स्थान पर क्रिस्टल के परमाणु स्वचालित रूप से एक जालक बनाते हैं। वर्तमान में, अनेक कारणों से जालक आदर्श सैद्धांतिक भौतिकी में अत्याधिक लोकप्रिय हैं। कुछ आदर्श वास्तविकता मे समाधेय हैं, और इस प्रकार अस्तव्यस्तता सिद्धांत से जो व्यक्त किया जा सकता है, उससे प्रथक भौतिकी में अंतर्दृष्टि प्रदान करते हैं। जालक आदर्श संगणनात्मक भौतिकी के विधियों से अध्ययन के लिए भी आदर्श हैं, क्योंकि किसी भी कॉन्टिन्यूम आदर्श का विवेकीकरण स्वचालित रूप से इसे जालक आदर्श में परिवर्तन कर देता है। इनमें से अनेक आदर्शों के स्पष्ट समाधान (जब वे व्याख्या करने योग्य होते हैं) में सॉलिटन की उपस्थिति सम्मिलित होती है। इन्हें व्याख्या करने की विधियों में व्युत्क्रम प्रकीर्णन रूपांतरण और लैक्स पेयर की विधि, यांग-बैक्सटर समीकरण और क्वांटम समूह सम्मिलित हैं। इन आदर्शों के समाधान ने चरण परिवर्तन, चुंबकीयकरण और प्रवर्धन गतिविधि की प्रकृति के साथ-साथ क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत की प्रकृति में अंतर्दृष्टि प्रदान की है।

भौतिक जालक आदर्श अधिकांशतः निरंतरता सिद्धांत के अनुमान के रूप में या तो विचलन को प्रतिबंध या संख्यात्मक विश्लेषण करने के लिए सिद्धांत को पराबैंगनी विच्छेदन देने के लिए होते हैं। कॉन्टिन्यूम सिद्धांत का एक उदाहरण, क्यूसीडी जालक आदर्श है जो क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स की विचारशीलता है। जिसका व्यापक रूप से जालक आदर्श के माध्यम से अध्ययन किया जाता है। चूंकि, अंकीय भौतिकी प्रकृति को मौलिक रूप से प्लांक नियम पर असतत मानती है, जो सूचना के घनत्व एवं होलोग्राफिक (स्वलिखित) सिद्धांत की उच्च सीमांत स्थापित करती है। सामान्यतः जालक मापक सिद्धांत और जालक क्षेत्र सिद्धांत अध्ययन के क्षेत्र हैं। जालक आदर्श का उपयोग बहुलक की संरचना और गतिशीलता का अनुकरण करने के लिए भी किया जाता है।

गणितीय विवरण
निम्नलिखित आँकड़े के माध्यम से अनेक जालक आदर्श का वर्णन किया जा सकता है:-

एक जालक (समूह) $$\Lambda$$ को अधिकांशतः $$d$$-आयामी यूक्लिडियन अंतराल $$\mathbb{R}^d$$ या $$d$$- आयामी स्थूलक में जाली माना जाता है, यदि जालक आवधिक है। वस्तुतः $$\Lambda$$ अधिकांशतः पूर्णांक जालक होती है। यदि जालक पर दो बिंदुओं को 'निकटतम' माना जाता है, तो उन्हें एक सीमा से सम्बद्ध किया जा सकता है, जिससे जालक एक जालक लेखाचित्र में परिवर्तित हो जाती है। $$\Lambda$$ के शीर्षों को कभी-कभी स्थल भी कहा जाता है।

एक चक्र-परिवर्तनीय अंतराल $$S$$ है। संभावित प्रणाली स्थितियों का विन्यास स्थान $$\mathcal{C}$$ है, तब फलन का स्थान $$\sigma: \Lambda \rightarrow S$$ होता है। कुछ आदर्शों के लिए हम फलन $$\sigma: E \rightarrow S$$ के स्थान पर विचार कर सकते हैं जिस स्थान पर $$E$$ उपरोक्त परिभाषित आरेखीय का सीमा समुच्चय है।

एक ऊर्जा कार्यात्मक $$E:\mathcal{C}\rightarrow\mathbb{R}$$ है, जो अतिरिक्त मापदंडों या 'युग्मन स्थिरांक' $$\{g_i\}$$ के एक समुच्चय पर निर्भर हो सकता है।

उदाहरण

आइसिंग आदर्श सामान्य घन जाली आरेखीय $$G = (\Lambda, E)$$ के माध्यम से दिया गया है, जिस स्थान पर $$\Lambda$$ और $$\mathbb{R}^d$$ में अनंत घन जाली है या $$T^d$$ में एक अवधि $$n$$ घन जाली है, और $$E$$ निकटतम सीमा का समुच्चय है (उसी अक्षर का उपयोग ऊर्जा कार्यात्मक के लिए किया जाता है किन्तु संदर्भ के आधार पर विभिन्न उपयोगों को अलग-अलग विशेषणीय किया जा सकता है)। चक्र परिवर्तनीय अंतराल $$S = \{+1,-1\} = \mathbb{Z}_2$$ है।

ऊर्जा कार्यात्मक है

$$E(\sigma) = -H\sum_{v\in\Lambda}\sigma(v) - J\sum_{\{v_1,v_2\}\in E}\sigma(v_1)\sigma(v_2).$$ चक्र-परिवर्तनीय अंतराल को अधिकांशतः सह समुच्चय के रूप में वर्णित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, पॉट्स आदर्श के लिए हमारे पास $$S = \mathbb{Z}_n$$ है। सीमा $$n\rightarrow \infty$$ में हमें एक्सवाई आदर्श प्राप्त होता है जिसमें $$S = SO(2)$$ होता है। एक्सवाई आदर्श को उच्च आयामों में सामान्यीकृत करने से $$n$$ संवाहक आदर्श प्राप्त होता है, जिसमें $$S = S^n = SO(n+1)/SO(n)$$ होता है।

व्याख्या करने योग्य आदर्श
हम अंकों की सीमित संख्या और एक परिमित चक्र -परिवर्तनीय अंतराल के साथ जालक के विशेषज्ञ हैं। इसे $$d$$ आयामों में आवर्त $$n$$ के साथ जालक को आवर्त बनाकर प्राप्त किया जा सकता है। तब विन्यास अंतराल स्थान $$\mathcal{C}$$ भी परिमित है। हम विभाजन कार्य (सांख्यिकीय यांत्रिकी) को परिभाषित कर सकते हैं
 * $$Z = \sum_{\sigma \in \mathcal{C}}\exp(-\beta E(\sigma))$$

और अभिसरण के कोई उद्देश्य नहीं हैं (जैसे वे जो क्षेत्र सिद्धांत में प्रकट होते हैं) क्योंकि योग परिमित है। सिद्धांत रूप में, इस मान की गणना अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए की जा सकती है, जो मात्र मापदंडों $$\{g_i\}$$ और $$\beta$$ पर निर्भर है। व्यवहार में, स्थानों के मध्य अ-रेखीय अंतःक्रियाओं के कारण यह अधिकांशतः कठिन होता है। विभाजन फलन के लिए संवृत-रूप अभिव्यक्ति वाले आदर्श को सम्पूर्ण रूप में व्याख्या करने योग्य के रूप में जाना जाता है।

सम्पूर्ण रूप में हल करने योग्य आदर्श के उदाहरण आवधिक 1डी आइसिंग आदर्श और लुप्त हो रहे बाहरी चुंबकीय क्षेत्र $$H = 0,$$ के साथ आवधिक 2डी आइसिंग आदर्श हैं, किन्तु आयाम $$d>2$$, के लिए आइसिंग आदर्श समाधान के अयोग्य रहता है।

माध्य क्षेत्र सिद्धांत
स्पष्ट समाधान प्राप्त करने में कठिनाई के कारण, विश्लेषणात्मक परिणाम प्राप्त करने के लिए हमें अधिकांशतः माध्य क्षेत्र सिद्धांत का समर्थन प्राप्त करना पड़ता है। यह माध्य क्षेत्र स्थानिक रूप से भिन्न या वैश्विक हो सकता है।

वैश्विक माध्य क्षेत्र
फलन $$\sigma$$ के विन्यास स्थान $$\mathcal{C}$$ को चक्र अंतराल $$S$$ के मध्योन्नत समावरक के माध्यम से प्रतिस्थापित किया जाता है तब $$S$$ को $$\mathbb{R}^m$$ के उपसमुच्चय के संदर्भ में प्राप्ति होती है। इसे हम $$\langle\mathcal{C}\rangle$$ से निरूपित करेंगे। यह तब उत्पन्न होता है, जब क्षेत्र के माध्य मान पर जाने पर, हमारे पास $$\sigma \mapsto \langle \sigma \rangle := \frac{1}{|\Lambda|}\sum_{v\in\Lambda}\sigma(v)$$. होता है।

जालक स्थानों की संख्या $$N = |\Lambda|\rightarrow \infty$$, के रूप में $$\langle \sigma \rangle$$के संभावित मान $$S$$ के मध्योन्नत समावरक को पूर्ण करते हैं। एक उपयुक्त अनुमान लगाने से, ऊर्जा कार्यात्मकता माध्य क्षेत्र का फलन बन जाती है जो $$E(\sigma)\mapsto E(\langle \sigma \rangle).$$ होता है। तब विभाजन फलन बन जाता है
 * $$Z = \int_{\langle\mathcal{C}\rangle}d\langle\sigma\rangle e^{-\beta E(\langle\sigma\rangle)}\Omega(\langle\sigma\rangle) =: \int_{\langle\mathcal{C}\rangle}d\langle\sigma\rangle e^{-N\beta f(\langle\sigma\rangle)}.$$

जैसे कि $$N\rightarrow \infty$$ थर्मोडायनामिक सीमा में, आसन बिंदु अनुमान हमें बताता है कि अभिन्न असम्बद्ध रूप से उस मान पर प्रभावी है जिस पर $$f(\langle\sigma\rangle)$$ को न्यूनतम किया गया है:
 * $$Z \sim e^{-N\beta f(\langle\sigma\rangle_0)}$$

जिस स्थान पर $$\langle\sigma\rangle_0$$ और $$f$$. को न्यूनतम करने वाला तर्क है।

एक सरल, किन्तु गणितीय रूप से परिशुद्ध दृष्टिकोण, जो प्रासंगिक रूप से सही परिणाम देता है, माध्य क्षेत्र $$\langle\sigma\rangle$$ के बारे में सिद्धांत को रैखिक बनाने से आता है। विन्यास को $$\sigma(v)=\langle\sigma\rangle + \Delta\sigma(v)$$ के रूप में अंकित करना, $$\mathcal{O}(\Delta\sigma^2)$$ को संक्षेप करना, तत्पश्चात विन्यास का योग विभाजन फलन की गणना की अनुमति देता है।

$$d$$ आयामों में आवधिक आइसिंग आदर्श के लिए ऐसा दृष्टिकोण आयाम चरण परिवर्तन में अंतर्दृष्टि प्रदान करता है।

स्थानिक रूप से भिन्न माध्य क्षेत्र
मान लीजिए कि जालक $$\Lambda$$ की कॉन्टिन्यूम सीमा $$\mathbb{R}^d$$ है। संपूर्ण $$\Lambda$$ का औसत निकालने के अतिरिक्त, हम $$\mathbf{x}\in\mathbb{R}^d$$ के निकटतम का औसत निकालते हैं। यह स्थानिक रूप से भिन्न माध्य क्षेत्र $$\langle\sigma\rangle:\mathbb{R}^d\rightarrow \langle\mathcal{C}\rangle$$ देता है। हम संकेत चिन्ह को क्षेत्र सिद्धांत के निकट लाने के लिए $$\langle\sigma\rangle$$ को $$\phi$$ के साथ पुन: वर्गीकरण करते हैं। इससे विभाजन फलन को पथ अभिन्न सूत्रीकरण के रूप में अंकित किया जा सकता है
 * $$Z = \int \mathcal{D}\phi e^{-\beta F[\phi]}$$

जिस स्थान पर मुक्त ऊर्जा $$F[\phi]$$ क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में क्रिया का वर्तिका क्रमावर्तित संस्करण है।

संघनित पदार्थ भौतिकी
 आइज़िंग आदर्श

पॉट्स आदर्श पॉट्स आदर्श चिरल पॉट्स आदर्श

एक्सवाए आदर्श

मौलिक हाइजेनबर्ग आदर्श

एन-संवाहक आदर्श

शीर्ष आदर्श

टोडा जालक 

पॉलिमर भौतिकी


अनुबंध अस्थिरता आदर्श

द्वितीय आदर्श उच्च ऊर्जा भौतिकी 

क्यूसीडी जालक आदर्श



यह भी देखें

 * क्रिस्टल की संरचना
 * प्रवर्धन सीमा
 * क्यूसीडी स्थिति
 * जालक गैस

संदर्भ


जाली आदर्श