अतिसूक्ष्म निस्यंदक समुच्चय

सेट सिद्धांत के गणितीय क्षेत्र में, सेट पर एक अल्ट्राफिल्टर (गणित) $$X$$ सेट पर एक अधिकतम फ़िल्टर है $$X.$$ दूसरे शब्दों में, यह के सबसेट का एक संग्रह है $$X$$ जो फ़िल्टर (सेट सिद्धांत) की परिभाषा को संतुष्ट करता है $$X$$ और यह समावेशन के संबंध में अधिकतम है, इस अर्थ में कि उपसमुच्चय का कड़ाई से बड़ा संग्रह मौजूद नहीं है $$X$$ वह भी एक फिल्टर है. (उपर्युक्त में, परिभाषा के अनुसार एक सेट पर एक फिल्टर में खाली सेट नहीं होता है।) समान रूप से, सेट पर एक अल्ट्राफिल्टर $$X$$ इसे एक फिल्टर के रूप में भी चित्रित किया जा सकता है $$X$$ उस संपत्ति के साथ जो प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए है $$A$$ का $$X$$ दोनों में से एक $$A$$ या उसका पूरक $$X\setminus A$$ अल्ट्राफ़िल्टर  के अंतर्गत आता है।

सेट पर अल्ट्राफिल्टर अल्ट्राफिल्टर का एक महत्वपूर्ण विशेष उदाहरण है, जहां आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट में सत्ता स्थापित  होता है $$\wp(X)$$ और आंशिक क्रम उपसमुच्चय समावेशन है $$\,\subseteq.$$ यह आलेख विशेष रूप से एक सेट पर अल्ट्राफिल्टर से संबंधित है और अधिक सामान्य धारणा को कवर नहीं करता है।

एक सेट पर दो प्रकार के अल्ट्राफिल्टर होते हैं। एक प्रमुख अल्ट्राफ़िल्टर चालू $$X$$ के सभी उपसमूहों का संग्रह है $$X$$ जिसमें एक निश्चित तत्व होता है $$x \in X$$. जो अल्ट्राफ़िल्टर प्रमुख नहीं हैं वे मुफ़्त अल्ट्राफ़िल्टर हैं। किसी भी अनंत सेट पर मुफ्त अल्ट्राफिल्टर का अस्तित्व #अल्ट्राफिल्टर लेम्मा द्वारा निहित है, जिसे ZFC में सिद्ध किया जा सकता है। दूसरी ओर, ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के मॉडल मौजूद हैं जहां सेट पर प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर प्रमुख है।

सेट थ्योरी, मॉडल सिद्धांत  और टोपोलॉजी में अल्ट्राफिल्टर के कई अनुप्रयोग हैं।  आमतौर पर, केवल मुफ़्त अल्ट्राफ़िल्टर ही गैर-तुच्छ निर्माणों की ओर ले जाते हैं। उदाहरण के लिए, एक अल्ट्राप्रोडक्ट मॉड्यूलो एक प्रमुख अल्ट्राफिल्टर हमेशा कारकों में से एक के लिए आइसोमोर्फिक होता है, जबकि एक अल्ट्राप्रोडक्ट मॉड्यूलो एक फ्री अल्ट्राफिल्टर में आमतौर पर अधिक जटिल संरचनाएं होती हैं।

परिभाषाएँ
एक मनमाना सेट दिया गया $$X,$$ एक अल्ट्राफिल्टर चालू $$X$$ सेटों का एक गैर-रिक्त परिवार है $$U$$ के उपसमुच्चय $$X$$ ऐसा है कि: गुण (1), (2), और (3) a के परिभाषित गुण हैं कुछ लेखक फ़िल्टर की अपनी परिभाषा में गैर-अपक्षय (जो उपरोक्त गुण (1) है) को शामिल नहीं करते हैं। हालाँकि, अल्ट्राफ़िल्टर (और प्रीफ़िल्टर और फ़िल्टर सबबेस की भी) की परिभाषा में हमेशा परिभाषित स्थिति के रूप में गैर-डीजनरेसी शामिल होती है। इस आलेख के लिए आवश्यक है कि सभी फ़िल्टर उचित हों, हालाँकि एक फ़िल्टर को जोर देने के लिए उचित बताया जा सकता है।
 * 1) या : खाली सेट का एक तत्व नहीं है $$U.$$
 * अगर $$A \in U$$ और अगर $$B \subseteq X$$ का कोई सुपरसेट है $$A$$ (अर्थात, यदि $$A \subseteq B \subseteq X$$) तब $$B \in U.$$
 * अगर $$A$$ और $$B$$ के तत्व हैं $$U$$ तो फिर उनका इंटरसेक्शन भी ऐसा ही है (सेट सिद्धांत) $$A \cap B.$$
 * 1) अगर $$A \subseteq X$$ तो कोई $$A$$ या उसका पूरक $$X \setminus A$$ का एक तत्व है $$U.$$

एक फ़िल्टर आधार सेटों का एक गैर-रिक्त परिवार है जिसमें परिमित प्रतिच्छेदन गुण होता है (अर्थात सभी परिमित प्रतिच्छेदन गैर-रिक्त होते हैं)। समान रूप से, एक फ़िल्टर सबबेस सेट का एक गैर-रिक्त परिवार है जो इसमें समाहित है (उचित) फ़िल्टर. सबसे छोटा (सापेक्ष) $$\subseteq$$) किसी दिए गए फ़िल्टर सबबेस वाले फ़िल्टर को फ़िल्टर सबबेस द्वारा उत्पन्न किया जाता है।

ऊपर की ओर बंद होना $$X$$ सेट के एक परिवार का $$P$$ सेट है
 * $$P^{\uparrow X} := \{S : A \subseteq S \subseteq X \text{ for some } A \in P\}.$$

ए या एक गैर-रिक्त और उचित है (अर्थात् $$\varnothing \not\in P$$) सेट का परिवार $$P$$ वह नीचे की ओर निर्देशित है, जिसका अर्थ है यदि $$B, C \in P$$ फिर वहाँ कुछ मौजूद है $$A \in P$$ ऐसा है कि $$A \subseteq B \cap C.$$ समान रूप से, एक प्रीफ़िल्टर सेट का कोई भी परिवार है $$P$$ जिसका ऊपर की ओर बंद होना $$P^{\uparrow X}$$ एक फ़िल्टर है, इस स्थिति में इस फ़िल्टर को उत्पन्न फ़िल्टर कहा जाता है $$P$$और $$P$$ फ़िल्टर बेस कहा जाता है $$P^{\uparrow X}.$$में द्वैत $$X$$ सेट के एक परिवार का $$P$$ सेट है $$X \setminus P := \{X \setminus B : B \in P\}.$$ उदाहरण के लिए, पावर सेट का दोहरा $$\wp(X)$$ स्वयं है: $$X \setminus \wp(X) = \wp(X).$$ सेटों का एक परिवार एक उचित फ़िल्टर है $$X$$ यदि और केवल यदि इसका दोहरा एक उचित आदर्श (सेट सिद्धांत) है $$X$$ ( का मतलब पावर सेट के बराबर नहीं है)।

अल्ट्रा प्रीफ़िल्टर का सामान्यीकरण
एक परिवार $$U \neq \varnothing$$ के उपसमुच्चय $$X$$ कहा जाता है अगर $$\varnothing \not\in U$$ और निम्नलिखित में से कोई भी समतुल्य शर्तें पूरी होती हैं:

 प्रत्येक सेट के लिए $$S \subseteq X$$ वहाँ कुछ सेट मौजूद है $$B \in U$$ ऐसा है कि $$B \subseteq S$$ या $$B \subseteq X \setminus S$$ (या समतुल्य, जैसे कि $$B \cap S$$ के बराबर होती है $$B$$ या $$\varnothing$$). प्रत्येक सेट के लिए $$S \subseteq {\textstyle\bigcup\limits_{B \in U}} B$$ वहाँ कुछ सेट मौजूद है $$B \in U$$ ऐसा है कि $$B \cap S$$ के बराबर होती है $$B$$ या $$\varnothing.$$ * यहाँ, $$ {\textstyle\bigcup\limits_{B \in U}} B$$ को सभी सेटों के मिलन के रूप में परिभाषित किया गया है $$U.$$ के लिए तय करना $$S$$ (जरूरी नहीं कि इसका एक उपसमूह भी हो $$X$$) कुछ सेट मौजूद है $$B \in U$$ ऐसा है कि $$B \cap S$$ के बराबर होती है $$B$$ या $$\varnothing.$$ * अगर $$U$$ इस शर्त को पूरा करता है तो वैसा ही करता है  सुपरसेट $$V \supseteq U.$$ विशेष रूप से, एक सेट $$V$$ अति है यदि और केवल यदि $$\varnothing \not\in V$$ और $$V$$ एक उपसमुच्चय के रूप में सेट के कुछ अल्ट्रा परिवार शामिल हैं। 
 * यह लक्षण वर्णन$$U$$ अल्ट्रा है सेट पर निर्भर नहीं करता $$X,$$ इसलिए सेट का उल्लेख कर रहा हूँ $$X$$ अल्ट्रा शब्द का उपयोग करते समय यह वैकल्पिक है। 

एक फ़िल्टर सबबेस जो अल्ट्रा है, आवश्यक रूप से एक प्रीफ़िल्टर है। अल्ट्रा प्रॉपर्टी का उपयोग अब अल्ट्राफिल्टर और अल्ट्रा प्रीफिल्टर दोनों को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है:


 * एक एक प्रीफ़िल्टर है जो अल्ट्रा है। समान रूप से, यह एक फिल्टर सबबेस है जो अल्ट्रा है।


 * एक पर $$X$$ एक (उचित) फ़िल्टर चालू है $$X$$ वह अति है. समान रूप से, यह कोई भी फ़िल्टर चालू है $$X$$ जो एक अल्ट्रा प्रीफ़िल्टर द्वारा उत्पन्न होता है।

अधिकतम प्रीफ़िल्टर के रूप में अल्ट्रा प्रीफ़िल्टर

अल्ट्रा प्रीफ़िल्टर को अधिकतमता के संदर्भ में चिह्नित करने के लिए, निम्नलिखित संबंध की आवश्यकता है।


 * सेट के दो परिवार दिए गए हैं $$M$$ और $$N,$$ परिवार $$M$$ मोटा कहा जाता है बजाय $$N,$$ और $$N$$ से बेहतर और अधीनस्थ है $$M,$$ लिखा हुआ $$M \leq N$$ या $N ⊢ M$, यदि प्रत्येक के लिए $$C \in M,$$ वहाँ कुछ $$F \in N$$ ऐसा है कि $$F \subseteq C.$$ परिवारों $$M$$ और $$N$$ समतुल्य कहलाते हैं यदि $$M \leq N$$ और $$N \leq M.$$ परिवारों $$M$$ और $$N$$ तुलनीय हैं यदि इनमें से एक सेट दूसरे की तुलना में बेहतर है।

अधीनता संबंध, यानी $$\,\geq,\,$$ एक पूर्व-आदेश है इसलिए समतुल्य की उपरोक्त परिभाषा एक समतुल्य संबंध बनाती है। अगर $$M \subseteq N$$ तब $$M \leq N$$ लेकिन यह बातचीत सामान्य रूप से लागू नहीं होती। हालांकि, यदि $$N$$ ऊपर की ओर बंद है, जैसे कि फ़िल्टर, तो $$M \leq N$$ अगर और केवल अगर $$M \subseteq N.$$ प्रत्येक प्रीफ़िल्टर उस फ़िल्टर के बराबर होता है जो वह उत्पन्न करता है। इससे पता चलता है कि फ़िल्टर का उन सेटों के समतुल्य होना संभव है जो फ़िल्टर नहीं हैं।

यदि सेट के दो परिवार $$M$$ और $$N$$ दोनों में से कोई एक बराबर है $$M$$ और $$N$$ अल्ट्रा (सम्मानित प्रीफ़िल्टर, फ़िल्टर सबबेस) हैं या अन्यथा उनमें से कोई भी अल्ट्रा (सम्मानित प्रीफ़िल्टर, फ़िल्टर सबबेस) नहीं है। विशेष रूप से, यदि फ़िल्टर सबबेस प्रीफ़िल्टर भी नहीं है, तो यह है उसके द्वारा उत्पन्न फ़िल्टर या प्रीफ़िल्टर के समतुल्य। अगर $$M$$ और $$N$$ दोनों फ़िल्टर चालू हैं $$X$$ तब $$M$$ और $$N$$ समतुल्य हैं यदि और केवल यदि $$M = N.$$ यदि एक उचित फ़िल्टर (सम्मानित अल्ट्राफ़िल्टर) सेट के एक परिवार के बराबर है $$M$$ तब $$M$$ आवश्यक रूप से एक प्रीफ़िल्टर (सम्मानित अल्ट्रा प्रीफ़िल्टर) है। निम्नलिखित लक्षण वर्णन का उपयोग करते हुए, केवल फिल्टर (सम्मान अल्ट्रा फिल्टर) और अधीनता की अवधारणा का उपयोग करके प्रीफ़िल्टर (सम्मान अल्ट्रा प्रीफ़िल्टर) को परिभाषित करना संभव है:


 * सेट का एक मनमाना परिवार एक प्रीफ़िल्टर है यदि और केवल यह एक (उचित) फ़िल्टर के बराबर है।
 * सेट का एक मनमाना परिवार एक अल्ट्रा प्रीफ़िल्टर है यदि और केवल यह एक अल्ट्राफ़िल्टर के बराबर है।


 * ए पर $$X$$ एक प्रीफ़िल्टर है $$U \subseteq \wp(X)$$ जो निम्नलिखित में से किसी भी समतुल्य शर्त को पूरा करता हो:

 <ली>$$U$$ अति है.

<वह>$$U$$ पर अधिकतम है $$\operatorname{Prefilters}(X)$$ इसके संबंध में $$\,\leq,$$ मतलब कि अगर $$P \in \operatorname{Prefilters}(X)$$ संतुष्ट $$U \leq P$$ तब $$P \leq U.$$ कोई प्रीफ़िल्टर उचित रूप से अधीनस्थ नहीं है $$U.$$ यदि एक (उचित) फ़िल्टर $$F$$ पर $$X$$ संतुष्ट $$U \leq F$$ तब $$F \leq U.$$ फ़िल्टर चालू $$X$$ द्वारा उत्पन्न $$U$$ अति है.</li> </ol>

विशेषताएँ
खाली सेट पर कोई अल्ट्राफिल्टर नहीं हैं, इसलिए अब से यह माना जाएगा $$X$$ गैर-रिक्त है.

एक फ़िल्टर आधार $$U$$ पर $$X$$ एक अल्ट्राफिल्टर चालू है $$X$$ यदि और केवल यदि निम्नलिखित समकक्ष शर्तों में से कोई भी लागू हो:  किसी के लिए $$S \subseteq X,$$ दोनों में से एक $$S \in U$$ या $$X \setminus S \in U.$$</li> <ली>$$U$$ पर एक अधिकतम फ़िल्टर उपआधार है $$X,$$ मतलब कि अगर $$F$$ क्या कोई फ़िल्टर सबबेस चालू है $$X$$ तब $$U \subseteq F$$ तात्पर्य $$U = F.$$</li> </ol>

ए (उचित) फ़िल्टर $$U$$ पर $$X$$ एक अल्ट्राफिल्टर चालू है $$X$$ यदि और केवल यदि निम्नलिखित समकक्ष शर्तों में से कोई भी लागू हो:  <ली>$$U$$ अति है;</li> <वह>$$U$$ एक अल्ट्रा प्रीफ़िल्टर द्वारा उत्पन्न होता है;</li> किसी भी उपसमुच्चय के लिए $$S \subseteq X,$$ $$S \in U$$ या $$X \setminus S \in U.$$ प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए $$A \subseteq X,$$ दोनों में से एक $$A$$ में है $$U$$ या ($$X \setminus A$$) है.</li> <ली>$$U \cup (X \setminus U) = \wp(X).$$ इस स्थिति को इस प्रकार दोहराया जा सकता है: $$\wp(X)$$ द्वारा विभाजित किया गया है $$U$$ और यह दोहरा है $$X \setminus U.$$ <ली>$$\wp(X) \setminus U = \left\{ S \in \wp(X) : S \not\in U \right\}$$ पर एक आदर्श है $$X.$$</li> किसी भी सीमित परिवार के लिए $$S_1, \ldots, S_n$$ के उपसमुच्चय $$X$$ (कहाँ $$n \geq 1$$), अगर $$S_1 \cup \cdots \cup S_n \in U$$ तब $$S_i \in U$$ कुछ सूचकांक के लिए $$i.$$ किसी के लिए $$R, S \subseteq X,$$ अगर $$R \cup S = X$$ तब $$R \in U$$ या $$S \in U.$$</li> किसी के लिए $$R, S \subseteq X,$$ अगर $$R \cup S \in U$$ तब $$R \in U$$ या $$S \in U$$ (इस गुण वाले फ़िल्टर को a कहा जाता है).</li> किसी के लिए $$R, S \subseteq X,$$ अगर $$R \cup S \in U$$ और $$R \cap S = \varnothing$$ तब $$R \in U$$ या $$S \in U.$$</li> <ली>$$U$$ एक अधिकतम फ़िल्टर है; वह है, यदि $$F$$ एक फ़िल्टर चालू है $$X$$ ऐसा है कि $$U \subseteq F$$ तब $$U = F.$$ समान रूप से, $$U$$ यदि कोई फ़िल्टर नहीं है तो यह एक अधिकतम फ़िल्टर है $$F$$ पर $$X$$ उसमें सम्मिलित है $$U$$ एक उचित उपसमुच्चय के रूप में (अर्थात, कोई भी फ़िल्टर कड़ाई से फ़िल्टर (गणित)#फ़िल्टर की तुलना में एक सेट पर नहीं होता है $$U$$).</li> </al>
 * तो एक अल्ट्राफिल्टर $$U$$ प्रत्येक के लिए निर्णय लेता है $$S \subseteq X$$ चाहे $$S$$ बड़ा है (अर्थात् $$S \in U$$) या छोटा (अर्थात्) $$X \setminus S \in U$$). </li>
 * सेट $$P$$ और $$X \setminus P$$ सभी प्रीफ़िल्टर के लिए असंयुक्त हैं $$P$$ पर $$X.$$</li>
 * शब्दों में, एक बड़ा समुच्चय समुच्चयों का एक सीमित संघ नहीं हो सकता, जिनमें से कोई भी बड़ा नहीं है। </li>

ग्रिल्स और फिल्टर-ग्रिल्स
अगर $$\mathcal{B} \subseteq \wp(X)$$ फिर यह परिवार है $$\mathcal{B}^{\# X} := \{S \subseteq X ~:~ S \cap B \neq \varnothing \text{ for all } B \in \mathcal{B}\}$$ कहाँ $$\mathcal{B}^{\#}$$ लिखा जा सकता है यदि $$X$$ सन्दर्भ से स्पष्ट है. उदाहरण के लिए, $$\varnothing^{\#} = \wp(X)$$ और अगर $$\varnothing \in \mathcal{B}$$ तब $$\mathcal{B}^{\#} = \varnothing.$$ अगर $$\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}$$ तब $$\mathcal{B}^{\#} \subseteq \mathcal{A}^{\#}$$ और इसके अलावा, यदि $$\mathcal{B}$$ तब एक फ़िल्टर सबबेस है $$\mathcal{B} \subseteq \mathcal{B}^{\#}.$$ ग्रिल $$\mathcal{B}^{\# X}$$ ऊपर की ओर बंद है $$X$$ अगर और केवल अगर $$\varnothing \not\in \mathcal{B},$$ जो अब से मान लिया जाएगा. इसके अतिरिक्त, $$\mathcal{B}^{\#\#} = \mathcal{B}^{\uparrow X}$$ ताकि $$\mathcal{B}$$ ऊपर की ओर बंद है $$X$$ अगर और केवल अगर $$\mathcal{B}^{\#\#} = \mathcal{B}.$$ एक फिल्टर की ग्रिल चालू $$X$$ ए कहा जाता है किसी के लिए $$\varnothing \neq \mathcal{B} \subseteq \wp(X),$$ $$\mathcal{B}$$ एक फिल्टर-ग्रिल चालू है $$X$$ यदि और केवल यदि (1) $$\mathcal{B}$$ ऊपर की ओर बंद है $$X$$ और (2) सभी सेटों के लिए $$R$$ और $$S,$$ अगर $$R \cup S \in \mathcal{B}$$ तब $$R \in \mathcal{B}$$ या $$S \in \mathcal{B}.$$ ग्रिल ऑपरेशन $$\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^{\# X}$$ आपत्ति उत्पन्न करता है
 * $${\bull}^{\# X} ~:~ \operatorname{Filters}(X) \to \operatorname{FilterGrills}(X)$$

जिसका व्युत्क्रम भी दिया गया है $$\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^{\# X}.$$ अगर $$\mathcal{F} \in \operatorname{Filters}(X)$$ तब $$\mathcal{F}$$ एक फिल्टर-ग्रिल चालू है $$X$$ अगर और केवल अगर $$\mathcal{F} = \mathcal{F}^{\# X},$$ या समकक्ष, यदि और केवल यदि $$\mathcal{F}$$ एक अल्ट्राफिल्टर चालू है $$X.$$ यानि कि एक फिल्टर ऑन $$X$$ एक फ़िल्टर-ग्रिल है यदि और केवल यदि यह अल्ट्रा है। किसी भी गैर-रिक्त के लिए $$\mathcal{F} \subseteq \wp(X),$$ $$\mathcal{F}$$ दोनों एक फिल्टर चालू है $$X$$ और एक फ़िल्टर-ग्रिल चालू $$X$$ यदि और केवल यदि (1) $$\varnothing \not\in \mathcal{F}$$ और (2) सभी के लिए $$R, S \subseteq X,$$ निम्नलिखित समतुल्यताएँ धारण करती हैं:
 * $$R \cup S \in \mathcal{F}$$ अगर और केवल अगर $$R, S \in \mathcal{F}$$ अगर और केवल अगर $$R \cap S \in \mathcal{F}.$$

निःशुल्क या मूलधन
अगर $$P$$ सेट का कोई भी गैर-रिक्त परिवार है तो कर्नेल (सेट सिद्धांत)। $$P$$सभी सेटों का प्रतिच्छेदन है $$P:$$ $$\operatorname{ker} P := \bigcap_{B \in P} B.$$ सेटों का एक गैर-रिक्त परिवार $$P$$ कहा जाता है:


 * अगर $$\operatorname{ker} P = \varnothing$$ और अन्यथा (अर्थात, यदि $$\operatorname{ker} P \neq \varnothing$$).
 * अगर $$\operatorname{ker} P \in P.$$
 * अगर $$\operatorname{ker} P \in P$$ और $$\operatorname{ker} P$$ एक सिंगलटन सेट है; इस मामले में, यदि $$\operatorname{ker} P = \{x\}$$ तब $$P$$ में प्रिंसिपल कहा जाता है $$x.$$यदि सेट का एक परिवार $$P$$ तो तय हो गया है $$P$$ अल्ट्रा है अगर और केवल अगर कुछ तत्व $$P$$ इस मामले में, एक सिंगलटन सेट है $$P$$ अनिवार्य रूप से एक प्रीफ़िल्टर होगा. प्रत्येक प्रमुख प्रीफ़िल्टर निश्चित है, इसलिए एक प्रमुख प्रीफ़िल्टर $$P$$ अति है यदि और केवल यदि $$\operatorname{ker} P$$ एक सिंगलटन सेट है. एक सिंगलटन सेट अल्ट्रा है यदि और केवल तभी जब इसका एकमात्र तत्व भी सिंगलटन सेट हो।

अगला प्रमेय दर्शाता है कि प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर दो श्रेणियों में से एक में आता है: या तो यह मुफ़्त है या फिर यह एक बिंदु द्वारा उत्पन्न एक प्रमुख फ़िल्टर है।

$$

हर फ़िल्टर चालू $$X$$ वह एक बिंदु पर प्रमुख है एक अल्ट्राफिल्टर है, और यदि इसके अतिरिक्त $$X$$ परिमित है, तो कोई अल्ट्राफ़िल्टर नहीं है $$X$$ इनके अलावा. विशेष रूप से, यदि एक सेट $$X$$ परिमित प्रमुखता है $$n < \infty,$$ तो फिर बिल्कुल हैं $$n$$ अल्ट्राफिल्टर चालू $$X$$ और वे प्रत्येक सिंगलटन उपसमुच्चय द्वारा उत्पन्न अल्ट्राफिल्टर हैं $$X.$$ नतीजतन, मुफ्त अल्ट्राफिल्टर केवल अनंत सेट पर ही मौजूद हो सकते हैं।

उदाहरण, गुण, और पर्याप्त शर्तें
अगर $$X$$ एक अनंत सेट है तो उतने ही अल्ट्राफ़िल्टर हैं $$X$$ जैसे कि उपसमूहों के परिवार हैं $$X;$$ स्पष्ट रूप से, यदि $$X$$ अनंत कार्डिनैलिटी है $$\kappa$$ फिर अल्ट्राफिल्टर का सेट खत्म हो गया $$X$$ के समान प्रमुखता है $$\wp(\wp(X));$$ वह प्रमुखता है $$2^{2^{\kappa}}.$$ अगर $$U$$ और $$S$$ ऐसे सेट के परिवार हैं $$U$$ अति है, $$\varnothing \not\in S,$$ और $$U \leq S,$$ तब $$S$$ आवश्यक रूप से अति है. एक सबबेस फ़िल्टर $$U$$ जो प्रीफ़िल्टर नहीं है वह अल्ट्रा नहीं हो सकता; लेकिन फिर भी प्रीफ़िल्टर और इसके द्वारा उत्पन्न फ़िल्टर के लिए यह अभी भी संभव है $$U$$ अति होना.

कल्पना करना $$U \subseteq \wp(X)$$ अति है और $$Y$$ एक सेट है. निशान $$U\vert_Y := \{B \cap Y : B \in U\}$$ अल्ट्रा है यदि और केवल तभी जब इसमें खाली सेट न हो। इसके अलावा, कम से कम एक सेट $$U\vert_Y \setminus \{\varnothing\}$$ और $$U\vert_{X \setminus Y} \setminus \{\varnothing\}$$ अल्ट्रा होगा (यह परिणाम किसी भी परिमित विभाजन तक फैला हुआ है $$X$$). अगर $$F_1, \ldots, F_n$$ फ़िल्टर चालू हैं $$X,$$ $$U$$ एक अल्ट्राफिल्टर चालू है $$X,$$ और $$F_1 \cap \cdots \cap F_n \leq U,$$ फिर कुछ है $$F_i$$ जो संतुष्ट करता है $$F_i \leq U.$$ यह परिणाम आवश्यक रूप से फ़िल्टर के अनंत परिवार के लिए सत्य नहीं है।

मानचित्र के अंतर्गत छवि $$f : X \to Y$$ एक अल्ट्रा सेट का $$U \subseteq \wp(X)$$ फिर से अति है और यदि $$U$$ एक अल्ट्रा प्रीफ़िल्टर है तो ऐसा है $$f(U).$$ अति होने का गुण आक्षेपों के अंतर्गत संरक्षित रहता है। हालाँकि, अल्ट्राफ़िल्टर की प्रीइमेज आवश्यक रूप से अल्ट्रा नहीं है, भले ही मानचित्र विशेषण हो। उदाहरण के लिए, यदि $$X$$ एक से अधिक बिंदु हैं और यदि की सीमा है $$f : X \to Y$$ एक बिंदु से मिलकर बनता है $$\{ y \}$$ तब $$\{ y \}$$ एक अल्ट्रा प्रीफ़िल्टर चालू है $$Y$$ लेकिन इसकी प्रीइमेज अल्ट्रा नहीं है. वैकल्पिक रूप से, यदि $$U$$ में एक बिंदु द्वारा उत्पन्न एक प्रमुख फ़िल्टर है $$Y \setminus f(X)$$ फिर की पूर्वछवि $$U$$ इसमें खाली सेट है और इसलिए यह अल्ट्रा नहीं है।

अनंत अनुक्रम से प्रेरित प्राथमिक फ़िल्टर, जिसके सभी बिंदु अलग-अलग हैं एक अल्ट्राफिल्टर। अगर $$n = 2,$$ तब $$U_n$$ के सभी उपसमुच्चयों से युक्त समुच्चय को दर्शाता है $$X$$ प्रमुखता होना $$n,$$ और अगर $$X$$ कम से कम शामिल है $$2 n - 1$$ ($$=3$$) तो अलग-अलग बिंदु $$U_n$$ अल्ट्रा है लेकिन यह किसी भी प्रीफिल्टर में शामिल नहीं है। यह उदाहरण किसी भी पूर्णांक का सामान्यीकरण करता है $$n > 1$$ और को भी $$n = 1$$ अगर $$X$$ इसमें एक से अधिक तत्व शामिल हैं। अल्ट्रा सेट जो प्रीफ़िल्टर भी नहीं हैं, उनका उपयोग शायद ही कभी किया जाता है।

हरएक के लिए $$S \subseteq X \times X$$ और हर $$a \in X,$$ होने देना $$S\big\vert_{\{a\} \times X} := \{y \in X ~:~ (a, y) \in S\}.$$ अगर $$\mathcal{U}$$ एक अल्ट्राफिल्टर चालू है $$X$$ फिर सभी का सेट $$S \subseteq X \times X$$ ऐसा है कि $$\left\{a \in X ~:~ S\big\vert_{\{a\} \times X} \in \mathcal{U}\right\} \in \mathcal{U}$$ एक अल्ट्राफिल्टर चालू है $$X \times X.$$

मोनाड संरचना
किसी भी सेट से जुड़ने वाला फ़नकार $$X$$ के समुच्चय $$U(X)$$ सभी अल्ट्राफ़िल्टर चालू हैं $$X$$ एक मोनाड (श्रेणी सिद्धांत) बनाता है जिसे कहा जाता है. इकाई मानचित्र $$X \to U(X)$$ कोई भी तत्व भेजता है $$x \in X$$ द्वारा दिए गए प्रमुख अल्ट्राफिल्टर को $$x.$$ यह अल्ट्राफिल्टर मोनाड फिनसेट को सेट की श्रेणी में शामिल करने का कोडेन्सिटी मोनाड है, जो इस सन्यासी की एक वैचारिक व्याख्या देता है।

इसी प्रकार, अल्ट्राप्रोडक्ट मोनैड सेट के सभी परिवारों की श्रेणी में सेट के परिमित परिवार की श्रेणी को शामिल करने का कोडेन्सिटी मोनड है। तो इस अर्थ में, अल्ट्राप्रोडक्ट्स स्पष्ट रूप से अपरिहार्य हैं।

अल्ट्राफ़िल्टर लेम्मा
अल्ट्राफिल्टर लेम्मा को पहली बार 1930 में अल्फ्रेड टार्स्की द्वारा सिद्ध किया गया था।

$$

अल्ट्राफिल्टर लेम्मा निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन के बराबर है:

अल्ट्राफिल्टर लेम्मा का एक परिणाम यह है कि प्रत्येक फिल्टर उसमें मौजूद सभी अल्ट्राफिल्टर के प्रतिच्छेदन के बराबर होता है। अल्ट्राफिल्टर लेम्मा का उपयोग करके निम्नलिखित परिणाम सिद्ध किए जा सकते हैं। एक सेट पर एक मुफ़्त अल्ट्राफ़िल्टर मौजूद है $$X$$ अगर और केवल अगर $$X$$ अनंत है. प्रत्येक उचित फिल्टर उसमें मौजूद सभी अल्ट्राफिल्टर के प्रतिच्छेदन के बराबर होता है। चूंकि ऐसे फिल्टर हैं जो अल्ट्रा नहीं हैं, इससे पता चलता है कि अल्ट्राफिल्टर के परिवार के प्रतिच्छेदन को अल्ट्रा होने की आवश्यकता नहीं है। सेट का एक परिवार $$\mathbb{F} \neq \varnothing$$ एक मुक्त अल्ट्राफिल्टर तक बढ़ाया जा सकता है यदि और केवल तभी जब तत्वों के किसी भी परिमित परिवार का प्रतिच्छेदन हो $$\mathbb{F}$$ अनंत है.
 * 1) सेट पर प्रत्येक प्रीफ़िल्टर के लिए $$X,$$ वहाँ पर एक अधिकतम प्रीफ़िल्टर मौजूद है $$X$$ इसके अधीन.
 * 2) सेट पर प्रत्येक उचित फ़िल्टर सबबेस $$X$$ कुछ अल्ट्राफिल्टर में निहित है $$X.$$

ZF के अंतर्गत अन्य कथनों से संबंध
इस पूरे खंड में, ZF ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत को संदर्भित करता है और ZFC, ZF को Axiom of Choice (AC) के साथ संदर्भित करता है। अल्ट्राफिल्टर लेम्मा ZF से स्वतंत्र है। अर्थात्, मॉडल सिद्धांत मौजूद है जिसमें ZF के अभिगृहीत मान्य हैं लेकिन अल्ट्राफिल्टर लेम्मा नहीं है। ZF के मॉडल भी मौजूद हैं जिनमें प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर आवश्यक रूप से प्रमुख है।

प्रत्येक फ़िल्टर जिसमें सिंगलटन सेट होता है, आवश्यक रूप से एक अल्ट्राफ़िल्टर होता है और दिया जाता है $$x \in X,$$ असतत अल्ट्राफिल्टर की परिभाषा $$\{S \subseteq X : x \in S\}$$ ZF से अधिक की आवश्यकता नहीं है. अगर $$X$$ परिमित है तो प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर एक बिंदु पर एक असतत फिल्टर है; परिणामस्वरूप, मुफ़्त अल्ट्राफ़िल्टर केवल अनंत सेटों पर ही मौजूद हो सकते हैं। विशेषकर, यदि $$X$$ परिमित है तो अल्ट्राफिल्टर लेम्मा को स्वयंसिद्ध ZF से सिद्ध किया जा सकता है। यदि पसंद का सिद्धांत मान लिया जाए तो अनंत सेटों पर मुफ्त अल्ट्राफिल्टर का अस्तित्व सिद्ध किया जा सकता है। अधिक सामान्यतः, अल्ट्राफिल्टर लेम्मा को पसंद के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है, जो संक्षेप में बताता है कि गैर-रिक्त सेटों का कोई भी कार्टेशियन उत्पाद गैर-रिक्त है। ZF के तहत, पसंद का सिद्धांत, विशेष रूप से, पसंद का सिद्धांत#समतुल्य है (ए) ज़ोर्न का लेम्मा, (बी) टाइकोनॉफ़ का प्रमेय, (सी) वेक्टर आधार प्रमेय का कमजोर रूप (जो बताता है कि प्रत्येक वेक्टर अंतरिक्ष में एक हैमल आधार है), (डी) वेक्टर आधार प्रमेय का मजबूत रूप, और अन्य कथन। हालाँकि, अल्ट्राफिल्टर लेम्मा पसंद के सिद्धांत की तुलना में सख्ती से कमजोर है। जबकि मुफ़्त अल्ट्राफ़िल्टर का अस्तित्व सिद्ध किया जा सकता है, यह मौजूद है एक मुक्त अल्ट्राफिल्टर का एक स्पष्ट उदाहरण बनाना संभव है (केवल जेडएफ और अल्ट्राफिल्टर लेम्मा का उपयोग करके); अर्थात्, मुफ़्त अल्ट्राफ़िल्टर अमूर्त हैं। अल्फ्रेड टार्स्की ने साबित किया कि ZFC के तहत, अनंत सेट पर सभी मुफ्त अल्ट्राफिल्टर के सेट की कार्डिनैलिटी $$X$$ की कार्डिनैलिटी के बराबर है $$\wp(\wp(X)),$$ कहाँ $$\wp(X)$$ के पावर सेट को दर्शाता है $$X.$$ अन्य लेखक इस खोज का श्रेय बेडरिच पोस्पिसिल को देते हैं (ग्रिगोरी स्प्रूस की लकड़ी और लियोनिद कांटोरोविच के संयोजन तर्क के बाद, फ़ेलिक्स हॉसडॉर्फ़ द्वारा सुधारित)।

जेडएफ के तहत, पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग अल्ट्राफिल्टर लेम्मा और क्रेइन-मिलमैन प्रमेय दोनों को साबित करने के लिए किया जा सकता है; इसके विपरीत, ZF के तहत, अल्ट्राफिल्टर लेम्मा क्रेइन-मिलमैन प्रमेय के साथ मिलकर पसंद के सिद्धांत को साबित कर सकता है।

ऐसे कथन जिनका निष्कर्ष नहीं निकाला जा सकता
अल्ट्राफिल्टर लेम्मा एक अपेक्षाकृत कमजोर स्वयंसिद्ध है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित सूची में प्रत्येक कथन हो सकता है ZF से एक साथ निष्कर्ष निकाला जाए  अल्ट्राफिल्टर लेम्मा:

 गणनीय समुच्चयों का गणनीय संघ एक गणनीय समुच्चय होता है।</li> गणनीय विकल्प का सिद्धांत (एसीसी)।</li> आश्रित विकल्प का सिद्धांत (एडीसी)।</li> </ol>

समतुल्य कथन
ZF के तहत, अल्ट्राफिल्टर लेम्मा निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन के बराबर है:

 बूलियन प्राइम आदर्श प्रमेय (बीपीआईटी)। बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन का प्रतिनिधित्व प्रमेय।</li> <li>बूलियन स्थान का कोई भी उत्पाद बूलियन स्पेस है।</li> <li>बूलियन प्राइम आदर्श अस्तित्व प्रमेय: प्रत्येक गैर-अपक्षयी बूलियन बीजगणित का एक प्रमुख आदर्श होता है।</li> <li>हॉसडॉर्फ़ स्थान के लिए टाइकोनॉफ़ का प्रमेय: सघन स्थान  हॉसडॉर्फ़ स्पेस का कोई भी उत्पाद टोपोलॉजी कॉम्पैक्ट है।</li> <li>यदि $$\{ 0, 1 \}$$ किसी भी सेट के लिए असतत टोपोलॉजी से संपन्न है $$I,$$ उत्पाद स्थान $$\{0, 1\}^I$$ कॉम्पैक्ट स्पेस है.</li> <li>बानाच-अलाओग्लू प्रमेय के निम्नलिखित संस्करणों में से प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर लेम्मा के बराबर है: <ol शैली= सूची-शैली-प्रकार: निचला-लैटिन; > <li>टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (टीवीएस) पर स्केलर-वैल्यू मानचित्रों का कोई भी समविराम सेट कमजोर-* टोपोलॉजी में अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट है (अर्थात, यह कुछ कमजोर-* कॉम्पैक्ट सेट में निहित है)।</li> <li>टीवीएस में मूल के किसी भी पड़ोस का ध्रुवीय सेट $$X$$ इसके सतत दोहरे स्थान का एक कमजोर-*संहत उपसमुच्चय है।</li> <li>किसी भी मानक स्थान के निरंतर दोहरे स्थान में बंद इकाई गेंद कमजोर-* सघन होती है। </ol> </li> <li>एक टोपोलॉजिकल स्पेस $$X$$ यदि प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर चालू है तो कॉम्पैक्ट है $$X$$ किसी सीमा तक एकत्रित हो जाता है।</li> <li>एक टोपोलॉजिकल स्पेस $$X$$ यदि कॉम्पैक्ट है प्रत्येक अल्ट्राफ़िल्टर चालू $$X$$ किसी सीमा तक एकत्रित हो जाता है। <li>अलेक्जेंडर सबबेस प्रमेय। </li> <li>अल्ट्रानेट लेम्मा: प्रत्येक नेट (गणित) में एक सार्वभौमिक सबनेट होता है। * परिभाषा के अनुसार, एक नेट (गणित) में $$X$$ एक कहा जाता है या एक  यदि प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए $$S \subseteq X,$$ अंततः नेट आ गया $$S$$ या में $$X \setminus S.$$</li> <li>एक टोपोलॉजिकल स्पेस $$X$$ कॉम्पैक्ट है यदि और केवल तभी जब प्रत्येक अल्ट्रानेट चालू हो $$X$$ किसी सीमा तक एकत्रित हो जाता है। <li>एक अभिसरण स्थान $$X$$ यदि प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर चालू है तो कॉम्पैक्ट है $$X$$ जुटता है.</li> <li>एक समान स्थान संहत होता है यदि वह पूर्ण स्थान हो और पूरी तरह से घिरा हो।</li> <li>स्टोन-चेच कॉम्पेक्टिफिकेशन प्रमेय।</li> <li>सघनता प्रमेय के निम्नलिखित संस्करणों में से प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर लेम्मा के बराबर है: <ol शैली= सूची-शैली-प्रकार: निचला-लैटिन; > <li>यदि $$\Sigma$$ प्रथम-क्रम विधेय कलन का एक सेट है | प्रथम-क्रम वाक्य (गणितीय तर्क) जैसे कि प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय $$\Sigma$$ फिर, एक मॉडल सिद्धांत है $$\Sigma$$ एक मॉडल है.</li> <li>यदि $$\Sigma$$ प्रस्तावात्मक कलन|शून्य-क्रम वाक्यों का एक सेट है जैसे कि प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय $$\Sigma$$ तो फिर, एक मॉडल है $$\Sigma$$ एक मॉडल है.</li> </ol> <li>पूर्णता प्रमेय: यदि $$\Sigma$$ प्रोपोज़िशनल कैलकुलस | शून्य-क्रम वाक्यों का एक सेट है जो वाक्यात्मक रूप से सुसंगत है, फिर इसका एक मॉडल है (अर्थात, यह शब्दार्थ रूप से सुसंगत है)।</li> <li></li> </ol>
 * यदि मानक स्थान अलग करने योग्य है तो अल्ट्राफिल्टर लेम्मा पर्याप्त है लेकिन इस कथन को साबित करने के लिए आवश्यक नहीं है।</li>
 * शब्दों का जोड़ और केवल यदि ही इस कथन और इसके ठीक ऊपर वाले कथन के बीच एकमात्र अंतर है।</li>
 * यदि शब्द और केवल यदि हटा दिए जाते हैं तो परिणामी कथन अल्ट्राफिल्टर लेम्मा के बराबर रहता है।</li>

कमजोर कथन
कोई भी कथन जिसे अल्ट्राफिल्टर लेम्मा (जेडएफ के साथ) से निकाला जा सकता है, कहा जाता है अल्ट्राफिल्टर लेम्मा की तुलना में। एक कमजोर बयान कहा जाता है यदि ZF के तहत, यह अल्ट्राफिल्टर लेम्मा के बराबर नहीं है। ZF के तहत, अल्ट्राफिल्टर लेम्मा निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन को दर्शाता है:

<ol> <li>परिमित समुच्चयों के लिए चयन का सिद्धांत (एसीएफ): दिया गया है $$I \neq \varnothing$$ और एक परिवार $$\left(X_i\right)_{i \in I}$$ गैर-खाली का सेट, उनका उत्पाद $${\textstyle\prod\limits_{i \in I}} X_i$$ खाली नहीं है। </li> <li>परिमित समुच्चयों का एक गणनीय समुच्चय संघ एक गणनीय समुच्चय है। <li>हैन-बानाच प्रमेय। * ZF में, हैन-बानाच प्रमेय अल्ट्राफिल्टर लेम्मा से बिल्कुल कमजोर है।</li> <li>बानाच-टार्स्की विरोधाभास। <li>प्रत्येक सेट रैखिक क्रम में हो सकता है।</li> <li>प्रत्येक क्षेत्र (गणित) में एक अद्वितीय बीजीय समापन होता है।</li> <li>गैर-तुच्छ Ultraproducts मौजूद हैं।</li> <li>कमज़ोर अल्ट्राफ़िल्टर प्रमेय: एक मुफ़्त अल्ट्राफ़िल्टर मौजूद है $$\N.$$ <li>प्रत्येक अनंत सेट पर एक निःशुल्क अल्ट्राफ़िल्टर मौजूद है; </li> </ol>
 * हालाँकि, अल्ट्राफिल्टर लेम्मा के साथ ZF यह साबित करने के लिए बहुत कमजोर है कि इसका एक गणनीय संघ है समुच्चय एक गणनीय समुच्चय है।</li>
 * वास्तव में, ZF के तहत, बानाच-टार्स्की विरोधाभास बानाच-टार्स्की विरोधाभास#बानाच-टार्स्की और हैन-बानाच हैन-बानाच प्रमेय से, जो अल्ट्राफिल्टर लेम्मा से बिल्कुल कमजोर है।</li>
 * जेडएफ के तहत, कमजोर अल्ट्राफिल्टर प्रमेय अल्ट्राफिल्टर लेम्मा का अर्थ नहीं देता है; यानी, यह अल्ट्राफिल्टर लेम्मा से बिल्कुल कमजोर है।</li>
 * यह कथन वास्तव में अल्ट्राफिल्टर लेम्मा से बिल्कुल कमजोर है।
 * अकेले ZF का मतलब यह भी नहीं है कि कोई गैर-प्रमुख अल्ट्राफिल्टर मौजूद है तय करना।

सम्पूर्णता
एक अल्ट्राफिल्टर की पूर्णता $$U$$ एक पावरसेट पर सबसे छोटी कार्डिनल संख्या κ होती है जैसे कि इसमें κ तत्व होते हैं $$U$$ जिसका चौराहा अंदर नहीं है $$U.$$ अल्ट्राफ़िल्टर की परिभाषा का तात्पर्य है कि किसी भी पावरसेट अल्ट्राफ़िल्टर की पूर्णता कम से कम एलेफ़-शून्य है|$$\aleph_0$$. एक अल्ट्राफ़िल्टर जिसकी पूर्णता है बजाय $$\aleph_0$$- अर्थात्, तत्वों के किसी भी गणनीय संग्रह का प्रतिच्छेदन $$U$$ अभी भी अंदर है $$U$$—गणनीय रूप से पूर्ण या σ-पूर्ण कहा जाता है।

गणनीय रूप से पूर्ण #प्रकारों की पूर्णता और एक पावरसेट पर अल्ट्राफिल्टर अल्ट्राफिल्टर का अस्तित्व हमेशा एक मापने योग्य कार्डिनल होता है।

Ordering on ultrafilters
(मैरी एलेन रुडिन द्वारा और हावर्ड जेरोम केसलर के नाम पर) पावरसेट अल्ट्राफिल्टर के वर्ग पर एक प्रीऑर्डर है जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: यदि $$U$$ एक अल्ट्राफिल्टर चालू है $$\wp(X),$$ और $$V$$ एक अल्ट्राफिल्टर चालू $$\wp(Y),$$ तब $$V \leq {}_{RK} U$$ यदि कोई फ़ंक्शन मौजूद है $$f : X \to Y$$ ऐसा है कि
 * $$C \in V$$ अगर और केवल अगर $$f^{-1}[C] \in U$$

प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए $$C \subseteq Y.$$ अल्ट्राफिल्टर $$U$$ और $$V$$ कहा जाता है, निरूपित $U ≡_{RK} V$, यदि सेट मौजूद हैं $$A \in U$$ और $$B \in V$$ और एक आपत्ति $$f : A \to B$$ जो उपरोक्त शर्त को पूरा करता है। (अगर $$X$$ और $$Y$$ समान प्रमुखता होने पर परिभाषा को ठीक करके सरल बनाया जा सकता है $$A = X,$$ $$B = Y.$$)

ज्ञातव्य है कि ≡RK ≤ का कर्नेल (सेट सिद्धांत) हैRK, अर्थात्, वह $U ≡_{RK} V$ अगर और केवल अगर $$U \leq {}_{RK} V$$ और $$V \leq {}_{RK} U.$$

℘(ω)
पर अल्ट्राफिल्टर

ऐसे कई विशेष गुण हैं जिन पर अल्ट्राफ़िल्टर काम करता है $$\wp(\omega),$$ कहाँ $$\omega$$ क्रमसूचक संख्या#ऑर्डिनल्स प्राकृतिक संख्याओं का विस्तार करते हैं, जो सेट सिद्धांत और टोपोलॉजी के विभिन्न क्षेत्रों में उपयोगी साबित हो सकते हैं। यह एक तुच्छ अवलोकन है कि सभी रैमसे अल्ट्राफिल्टर पी-पॉइंट हैं। वाल्टर रुडिन ने साबित किया कि सातत्य परिकल्पना रैमसे अल्ट्राफिल्टर के अस्तित्व को दर्शाती है। वास्तव में, कई परिकल्पनाएँ रैमसे अल्ट्राफिल्टर के अस्तित्व का संकेत देती हैं, जिसमें मार्टिन का स्वयंसिद्ध भी शामिल है। सहारों शेलाह ने बाद में दिखाया कि यह सुसंगत है कि कोई पी-पॉइंट अल्ट्राफिल्टर नहीं हैं। इसलिए, इस प्रकार के अल्ट्राफिल्टर का अस्तित्व ZFC की स्वतंत्रता (गणितीय तर्क) है।
 * एक गैर-प्रमुख अल्ट्राफिल्टर $$U$$ पी-प्वाइंट (या) कहा जाता है) यदि किसी सेट के प्रत्येक विभाजन के लिए $$\left\{ C_n : n < \omega \right\}$$ का $$\omega$$ ऐसा कि सभी के लिए $$n < \omega,$$ $$C_n \not\in U,$$ वहाँ कुछ मौजूद है $$A \in U$$ ऐसा है कि $$A \cap C_n$$ प्रत्येक के लिए एक सीमित सेट है $$n.$$ * एक गैर-प्रमुख अल्ट्राफिल्टर $$U$$ यदि प्रत्येक विभाजन के लिए इसे रैमसे (या चयनात्मक) कहा जाता है $$\left\{ C_n : n < \omega \right\}$$ का $$\omega$$ ऐसा कि सभी के लिए $$n < \omega,$$ $$C_n \not\in U,$$ वहाँ कुछ मौजूद है $$A \in U$$ ऐसा है कि $$A \cap C_n$$ प्रत्येक के लिए एक सिंगलटन सेट है $$n.$$

पी-बिंदु को इस तरह से कहा जाता है क्योंकि वे अंतरिक्ष स्टोन-सेच कॉम्पेक्टिफिकेशन की सामान्य टोपोलॉजी में टोपोलॉजिकल पी-पॉइंट्स हैं |βω \ ω गैर-प्रमुख अल्ट्राफिल्टर का। रैमसे नाम रैमसे प्रमेय से आया है। यह देखने के लिए कि, कोई यह साबित कर सकता है कि एक अल्ट्राफिल्टर रैमसे है यदि और केवल यदि प्रत्येक 2-रंग के लिए $$[\omega]^2$$ अल्ट्राफिल्टर का एक तत्व मौजूद है जिसका रंग एक समान है।

एक अल्ट्राफ़िल्टर चालू $$\wp(\omega)$$ रैमसे है यदि और केवल यदि यह गैर-प्रमुख पावरसेट अल्ट्राफिल्टर के रुडिन-कीस्लर ऑर्डरिंग में न्यूनतम तत्व है।

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Proofs