सम्पूर्ण क्रम (टोटल आर्डर)

गणित में, सम्पूर्ण क्रम (टोटल आर्डर) या रैखिक क्रम (लीनियर आर्डर) एक प्रकार का आंशिक अनुक्रम (सीक्वेंस) होता है जिसमें किसी भी दो अंशों को तुलनीय माना जाता है। अर्थात, सम्पूर्ण क्रम एक द्विआधारी संबंध $$\leq$$ होता है जो किसी समुच्चय $$X$$ पर सभी $$a, b$$ और $$X$$ के लिए निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:


 * 1) $$a \leq a$$ (स्वतुल्य)।
 * 2) यदि $$a \leq b$$ और $$b \leq c$$ तब $$a \leq c$$ (संक्रमणीय (ट्रांज़िटिव))।
 * 3) यदि $$a \leq b$$ और $$b \leq a$$ तब $$a = b$$ (प्रतिसममित (एंटीसिमेट्रिक))।
 * 4) $$a \leq b$$ या $$b \leq a$$ (दृढ़ता से जुड़ा हुआ, पूर्व में कुल कहा जाता था)।

स्वतुल्यता (1.) पहले ही संबंधितता (4.) से प्राप्त होती है, लेकिन बहुत से लेखकों द्वारा इसे स्पष्ट रूप से आवश्यक माना जाता है, ताकि आंशिक क्रमों के साथ इसकी सम्बन्धिता को दर्शाया जा सके। सम्पूर्ण क्रमों को कभी-कभी सरल, कॉननेक्स, या सम्पूर्ण क्रम भी कहा जाता है।

सम्पूर्ण क्रम के साथ क्रमित एक समुच्चय को पूर्णतः क्रमित समुच्चय कहते हैं; सरलताः क्रमित समुच्चय, रैखिक रूप से क्रमित समुच्चय, और लोसेट भी उपयोग किए जाते हैं। शब्द श्रृंखला कभी-कभी पूर्णतः क्रमित समुच्चय के पर्यायी शब्द के रूप में परिभाषित किया जाता है, लेकिन सामान्यतः यह किसी दिए गए आंशिक क्रमित समुच्चय के पूर्णतः क्रमित उपसमुच्चयों के प्रति संकेत करता है।

किसी दिए गए आंशिक क्रम को सम्पूर्ण क्रम में विस्तारित करना उस आंशिक क्रम का रैखिक प्रसार कहलाता है।

स्ट्रिक्ट और नॉन-स्ट्रिक्ट सम्पूर्ण क्रम
समुच्चय $$X$$ पर स्ट्रिक्ट सम्पूर्ण क्रम $$X$$ पर स्ट्रिक्ट आंशिक क्रम होता है जिसमें किन्हीं दो भिन्न-भिन्न तत्वों की तुलना की जा सकती है। अर्थात्, एक स्ट्रिक्ट सम्पूर्ण क्रम कुछ समुच्चय $$X$$ पर द्विआधारी संबंध $$<$$ होता है, जो $$X$$ में सभी $$a, b$$ और $$c$$ के लिए निम्नलिखित को संतुष्ट करता है:


 * 1) $$a < a$$ नहीं (अस्वतुल्य)।
 * 2) यदि $$a < b$$ है तो $$ b < a $$ नहीं (असममित)।
 * 3) यदि $$a < b$$ और $$b < c$$ है तो $$a < c$$ (संक्रमणीय)।
 * 4) यदि $$a \neq b$$ है, अतः $$a < b$$ या $$b < a$$ (संसक्त)।

असममिता सकर्मकता और अस्वतुल्यता से परिणत होती है; इसके अतिरिक्त, अस्वतुल्यता भी असममिता से परिणत होता है।

परिसीमन उद्देश्यों के लिए, लीड में परिभाषित सम्पूर्ण क्रम को कभी-कभी गैर-स्ट्रिक्ट क्रम कहा जाता है। प्रत्येक (नॉन-स्ट्रिक्ट) सम्पूर्ण क्रम $$\leq$$ के लिए साहचर्य संबंध $$<$$ होता है, जिसे $$\leq$$ से जुड़ा स्ट्रिक्ट सम्पूर्ण क्रम कहा जाता है जिसे दो समकक्ष प्रकारों से परिभाषित किया जा सकता है:


 * $$a < b$$ यदि $$a \leq b$$ और $$a \neq b$$ (स्वतुल्य समानयन)।
 * यदि $$b \leq a$$ नहीं तो $$a < b$$ (अर्थात $$<$$, $$\leq$$ के व्युत्क्रम का कॉम्प्लीमेंट होता है)।

इसके विपरीत, स्ट्रिक्ट सम्पूर्ण क्रम $$<$$ का रिफ्लेक्टिव क्लोजर (नॉन-स्ट्रिक्ट) सम्पूर्ण क्रम होता है।

उदाहरण

 * किसी पूर्णतः क्रमित समुच्चय $X$ के किसी भी उपसमुच्चय के लिए, $X$ पर क्रम की प्रतिबंधितता के लिए भी वह पूर्णतः क्रमित होता है।
 * रिक्त समुच्चय, $∅$, पर विशिष्ट क्रम होना, एक सम्पूर्ण क्रम है।
 * किसी भी कार्डिनल संख्या या क्रम संख्या के समुच्चय (इससे अधिक दृढ़तापूर्वक, ये सुव्यवस्थित हैं)।
 * यदि $X$ कोई भी समुच्चय है और $f$ एकैकी फलन है जो $X$ से एक पूर्णतः क्रमित समुच्चय के लिए जाता है, तो $f$, $X$ पर सम्पूर्ण क्रम को उत्पन्न करता है, जब $f(x_{1}) ≤ f(x_{2})$ हो यदि और केवल यदि $x_{1} ≤ x_{2}$ निर्धारित होता है।


 * पूर्णतः क्रमित समुच्चयों के एक वर्ग के कार्तीय गुणनफल पर लेक्सिकोग्राफ़िक क्रम, एक सुव्यवस्थित समुच्चय द्वारा अनुक्रमित, स्वयं सम्पूर्ण क्रम होता है।
 * सामान्य "कम या बराबर" (≤) या "अधिक या बराबर" (≥) संबंधों द्वारा क्रमित वास्तविक संख्याओं का समुच्चय पूर्णतः क्रमित है। इसलिए वास्तविक संख्याओं का प्रत्येक उपसमुच्चय पूर्णतः क्रमबद्ध होता है, जैसे प्राकृतिक संख्याएँ, पूर्णांक और परिमेय संख्याएँ। इनमें से प्रत्येक को निश्चित गुणधर्म के साथ पूरी तरह से क्रमित समुच्चय के अद्वितीय (एक क्रम समरूपता तक) "प्रारंभिक उदाहरण" के रूप में दिखाया जा सकता है, (यहां, एक सम्पूर्ण क्रम $A$ गुणधर्म के लिए प्रारंभिक उदाहरण है, यदि $B$ में गुणधर्म है, तो $B$ के एक उपसमुच्चय के लिए $A$ से क्रम समानानुक्रमिकता होती है):
 * प्राकृतिक संख्याएँ बिना किसी उर्ध्व परिबंध के एक प्रारंभिक गैर-रिक्त पूर्ण रूप से क्रमित समुच्चय बनाती हैं।
 * पूर्णांक प्रारंभिक गैर-रिक्त पूर्णतः क्रमबद्ध समुच्चय बनाते हैं जिसमें न तो कोई ऊपरी और न ही निम्न परिबंध होती है।
 * परिमेय संख्याएँ एक आरंभिक पूर्णतया क्रमबद्ध समुच्चय बनाती हैं जो वास्तविक संख्याओं में सघन होता है। इसके अतिरिक्त, स्वतुल्य समानयन < परिमेय संख्याओं पर एक सघन क्रम है।
 * वास्तविक संख्याएँ प्रारंभिक असंबद्ध पूर्णतः क्रमबद्ध समुच्चय बनाती हैं जो क्रम टोपोलॉजी (नीचे परिभाषित) में संसक्त है।
 * क्रमित फ़ील्ड पूरी तरह से परिभाषा के अनुसार क्रमित हैं। इनमें परिमेय संख्याएँ और वास्तविक संख्याएँ सम्मिलित हैं। प्रत्येक क्रमित फ़ील्ड में एक क्रमबद्ध उपफ़ील्ड होती है जो तर्कसंगत संख्याओं के लिए समरूपी होता है। कोई भी डेडेकाइंड-पूर्ण क्रमित फ़ील्ड वास्तविक संख्याओं के समरूपी होता है।
 * डिक्शनरी क्रम के अनुसार क्रमबद्ध किया गया है, उदाहरण के लिए, $A < B < C$ इत्यादि, एक स्ट्रिक्ट सम्पूर्ण क्रम है।

श्रृंखलाएं (चेन)
शृंखला शब्द को कभी-कभी पूर्णतः क्रमित समुच्चय के पर्याय के रूप में परिभाषित किया जाता है, लेकिन इसका उपयोग सामान्यतः आंशिक रूप से क्रमित समुच्चय के उपसमुच्चय को संदर्भित करने के लिए किया जाता है जो प्रेरित क्रम के लिए पूर्णतः क्रमित किया जाता है। सामान्यतः, आंशिक रूप से क्रमित समुच्चय किसी दिए गए समुच्चय के उपसमुच्चय का एक समुच्चय होता है जिसे सम्मिलित करने का क्रम दिया जाता है, और इस शब्द का उपयोग श्रृंखलाओं के समुच्चय के गुणों को बताने के लिए किया जाता है। समुच्चय के नेस्टेड स्तरों की यह उच्च संख्या शब्द की उपयोगिता को स्पष्ट करती है।

पूर्णतः क्रमित उपसमुच्चयों के संदर्भ में श्रृंखला के उपयोग का एक सामान्य उदाहरण जोर्न का लेमा है, जो कहता है कि, यदि एक आंशिक क्रमित समुच्चय $X$ में प्रत्येक श्रृंखला का एक उर्ध्व परिबंध $X$ में होती है, तो $X$ में कम से कम एक अधिकतम तत्व होता है। जोर्न का लेमा सामान्यतः $X$ को उपसमुच्चयों का एक समुच्चय होने के साथ उपयोग किया जाता है; इस स्थिति में, उर्ध्व परिबंध को साबित करने के लिए समूह $X$ में श्रृंखला के तत्वों के यूनियन का उपयोग किया जाता है। यह वह तरीका है जिसे सामान्य रूप से उपयोग किया जाता है ताकि प्रमाणित किया जा सके कि एक सदिश समष्टि के पास हैमेल आधार होती है और एक रिंग के पास अधिकतम आदर्श होते हैं।

कुछ संदर्भों में, जिन शृंखलाओं पर विचार किया जाता है वे अपने सामान्य क्रम या उसके विपरीत क्रम के साथ प्राकृतिक संख्याओं के समरूपी क्रम वाली होती हैं। इस स्थिति में, एक श्रृंखला को एक मोनोटोन अनुक्रम से पहचाना जा सकता है, और इसे आरोही श्रृंखला या अवरोही श्रृंखला कहा जाता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि अनुक्रम बढ़ रहा है या घट रहा है।

यदि प्रत्येक अवरोही श्रृंखला अंततः स्थिर हो जाती है, तो आंशिक रूप से क्रमित समुच्चय में अवरोही श्रृंखला की स्थिति होती है। उदाहरण के लिए, एक क्रम अच्छी तरह से स्थापित होता है यदि उसमें अवरोही श्रृंखला की स्थिति हो। इसी तरह, आरोही श्रृंखला की स्थिति का अर्थ है कि प्रत्येक आरोही श्रृंखला अंततः स्थिर हो जाती है। उदाहरण के लिए, नोथेरियन रिंग एक ऐसी रिंग है जिसके आदर्श आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करते हैं।

अन्य संदर्भों में, केवल उन श्रृंखलाओं पर विचार किया जाता है जो परिमित समुच्चय हैं। इस स्थिति में, कोई एक परिमित श्रृंखला की बात करता है, जिसे अक्सर एक श्रृंखला के रूप में छोटा किया जाता है। इस स्थिति में, एक श्रृंखला की लंबाई श्रृंखला के लगातार तत्वों के बीच असमानताओं (या निर्धारित समावेशन) की संख्या है; अर्थात्, श्रृंखला में तत्वों में से एक को घटाकर संख्या। इस प्रकार एक सिंगलटन समुच्चय शून्य लंबाई की एक श्रृंखला है, और क्रमित युग्म लंबाई एक की श्रृंखला है। किसी स्थान के आयाम को अक्सर उपसमष्टि की श्रृंखलाओं की अधिकतम लंबाई के रूप में परिभाषित या वर्णित किया जाता है। उदाहरण के लिए, सदिश समष्टि का आयाम रैखिक उपसमष्टि की श्रृंखलाओं की अधिकतम लंबाई है, और एक क्रमविनिमेय वलय का क्रुल आयाम अभाज्य आदर्शों की श्रृंखलाओं की अधिकतम लंबाई है।

"श्रृंखला" का उपयोग संरचनाओं के कुछ पूर्णतः क्रमित उप-समुच्चय के लिए भी किया जा सकता है जो आंशिक रूप से क्रमित समुच्चय नहीं हैं। एक उदाहरण बहुपदों की नियमित श्रृंखला द्वारा दिया गया है। एक अन्य उदाहरण ग्राफ में वॉक के पर्याय के रूप में "श्रृंखला" का उपयोग है।

लैटिस सिद्धांत
कोई पूर्णतः क्रमित समुच्चय को एक विशेष प्रकार की लैटिस के रूप में परिभाषित कर सकता है, अर्थात् वह जिसमें हमें प्राप्त होता है
 * $$\{a\vee b, a\wedge b\} = \{a, b\}$$ सभी a, b के लिए।

हम तब a ≤ b लिखते हैं यदि और केवल यदि $$a = a\wedge b$$। इसलिए एक सुव्यवस्थित समुच्चय एक वितरणात्मक लैटिस है।

परिमित सम्पूर्ण क्रम
एक साधारण गणना तर्क यह सत्यापित करेगा कि किसी भी गैर-रिक्त परिमित पूर्ण रूप से क्रमित समुच्चय (और इसलिए उसके किसी भी गैर-रिक्त उपसमुच्चय) में कम से कम तत्व है। इस प्रकार प्रत्येक परिमित सम्पूर्ण क्रम वास्तव में एक सुव्यवस्थित क्रम होता है। या तो प्रत्यक्ष प्रमाण द्वारा या यह देखकर कि प्रत्येक सुव्यवस्थित क्रमसूचक के लिए क्रम आइसोमोर्फिक है, यह दिखा सकता है कि प्रत्येक परिमित सम्पूर्ण क्रम < द्वारा क्रमित प्राकृतिक संख्याओं के प्रारंभिक खंड के लिए क्रम आइसोमोर्फिक है। दूसरे शब्दों में, k तत्वों के साथ एक समुच्चय पर सम्पूर्ण क्रम पहले k प्राकृतिक संख्याओं के साथ एक आपत्ति उत्पन्न करता है। इसलिए क्रम प्रकार ω के साथ परिमित सम्पूर्ण क्रम या अच्छे क्रम को प्राकृतिक संख्याओं द्वारा इस तरह से अनुक्रमित करना आम बात है जो क्रम का सम्मान करता है (या तो शून्य से शुरू होता है या एक के साथ)।

श्रेणी सिद्धांत
पूर्णतः क्रमित समुच्चय पूर्णतः क्रमित समुच्चयों के श्रेणी की एक पूर्ण उपश्रेणी बनाते हैं, जहां मॉर्फिज़म क्रम का सम्मान करने वाले मानचित्र होते हैं, अर्थात ऐसे मानचित्र f जो ऐसे हों जब a ≤ b तो f(a) ≤ f(b)।

दो पूर्णतया क्रमित समुच्चयों के बीच एक विशेषण मानचित्र जो दोनों क्रमों का सम्मान करता है, इस श्रेणी में एक समरूपता है।

क्रम टोपोलॉजी
किसी भी पूर्णतः क्रमित समुच्चय $X$ के लिए हम विवृत अंतरालों को परिभाषित कर सकते हैं हम इन विवृत अंतरालों का उपयोग करके किसी भी क्रमित समुच्चय पर एक टोपोलॉजी, अर्थात क्रम टोपोलॉजी, की परिभाषा कर सकते हैं।
 * $a < x and x < b\}$, और
 * $x < b\}$, और
 * $a < x\}$, और

जब समुच्चय पर एक से अधिक क्रम का उपयोग किया जाता है, तो एक विशेष क्रम द्वारा उत्पन्न क्रम टोपोलॉजी के बारे में बात की जाती है। उदाहरण के लिए, यदि N प्राकृतिक संख्याएँ हैं, < कम और > अधिक हैं, तो हम < द्वारा उत्पन्न N पर क्रम टोपोलॉजी और > द्वारा उत्पन्न N पर क्रम टोपोलॉजी के बारे में बात कर सकते हैं (इस स्थिति में वे तो एक जैसी हैं, लेकिन सामान्यतः ऐसा नहीं होगा)।

सम्पूर्ण क्रम से प्रेरित क्रम टोपोलॉजी को आनुवंशिक रूप से सामान्य दिखाया जा सकता है।

सम्पूर्णता
पूर्णतः क्रमित समुच्चय को पूर्ण कहा जाता है यदि प्रत्येक ऐसा गैर-रिक्त उपसमुच्चय जिसका एक उर्ध्व परिबंध है, उसका न्यूनतम उर्ध्व परिबंध होता है। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R पूर्ण है, लेकिन रेशियों का समुच्चय Q पूर्ण नहीं है। दूसरे शब्दों में, पूर्णता के विभिन्न अवधारणाएं ("संपूर्ण" होने के साथ भ्रमित न हों) प्रतिबंधों पर लागू नहीं होतीं। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं पर संबंध ≤ का एक गुण यह है कि R के प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमुच्चय S, जिसकी उर्ध्व परिबंध R में है, की R में न्यूनतम उर्ध्व परिबंध (जिसे सुप्रीमम भी कहा जाता है) होती है। हालाँकि, परिमेय संख्याओं के लिए यह सर्वोच्च आवश्यक रूप से परिमेय नहीं है, इसलिए समान गुण परिमेय संख्याओं के संबंध ≤ के प्रतिबंध पर लागू नहीं होता है।

X की पूर्णता के लिए क्रम टोपोलॉजी की गुणधर्मयों से संबंधित कई परिणाम हैं:


 * यदि X पर क्रम टोपोलॉजी जुड़ी हुई है, तो X पूर्ण हो गया है।
 * X को क्रम टोपोलॉजी के तहत तभी जोड़ा जाता है जब यह पूर्ण हो और X में कोई गैप न हो (एक गैप X में दो बिंदुओं a और b के साथ a < b होता है, ताकि कोई भी c, a < c < b को संतुष्ट न कर सके।)
 * X पूर्ण है यदि और केवल यदि जब क्रम टोपोलॉजी में बंद प्रत्येक परिबद्ध समुच्चय कॉम्पैक्ट हो।

पूर्णतः क्रमित समुच्चय (उसकी क्रम टोपोलॉजी के साथ) जो पूर्ण लैटिस है, संकुचित होता है। उदाहरण हैं वास्तविक संख्याओं के बंद अंतराल, जैसे इकाई अंतराल [0,1], और संख्या पंक्ति को एफेलीनी संवर्धित किया गया वास्तविक संख्या प्रणाली (विस्तारित वास्तविक संख्या पंक्ति)। इन उदाहरणों के बीच क्रम-रक्षात्मक होमियोमोर्फिज्म होते हैं।

क्रमों का योग
दो भिन्न-भिन्न सम्पूर्ण क्रमों $$(A_1,\le_1)$$ और $$(A_2,\le_2)$$ के लिए, समूह $$A_1\cup A_2$$ पर प्राकृतिक क्रम $$\le_+$$ होता है, जिसे दो क्रमों का योग कहा जाता है या कभी-कभी केवल $$A_1+A_2$$ कहा जाता है।
 * $$x,y\in A_1\cup A_2$$, $$x\le_+ y$$ के लिए तभी मान्य होगा जब निम्नलिखित में से कोई एक मान्य होगा:
 * $$x,y\in A_1$$ और $$x\le_1 y$$
 * $$x,y\in A_2$$ और $$x\le_2 y$$
 * $$x\in A_1$$ और $$y\in A_2$$

सहज रूप से, इसका अर्थ यह है कि दूसरे समुच्चय के तत्व पहले समुच्चय के तत्वों के ऊपर जोड़े जाते हैं।

अधिक सामान्यतः, यदि $$(I,\le)$$ एक पूरी तरह से क्रमित सूचकांक समुच्चय है, और प्रत्येक $$i\in I$$ के लिए संरचना $$(A_i,\le_i)$$ एक रैखिक क्रम है, जहां समुच्चय $$A_i$$ जोड़ीदार असंयुक्त हैं, तो $$\bigcup_i A_i$$ पर प्राकृतिक सम्पूर्ण क्रम को परिभाषित किया गया है
 * $$x,y\in \bigcup_{i\in I} A_i$$ के लिए, $$x\le y$$ धारण करता है यदि:
 * या तो $$ x\le_i y $$ के साथ कोई $$i\in I$$ भी है
 * या $$I$$ में $$ x\in A_i$$, $$ y\in A_j$$ के साथ कुछ $$i<j$$ हैं

निर्णेयता
सम्पूर्ण क्रमों का प्रथम-क्रम सिद्धांत निर्णय लेने योग्य है, अर्थात यह तय करने के लिए एल्गोरिदम है कि सभी सम्पूर्ण क्रमों के लिए कौन सा प्रथम-क्रम विवरण मान्य है। एस2एस में व्याख्यात्मकता का उपयोग करते हुए, गणनीय सम्पूर्ण क्रमों का मोनैडिक दूसरे क्रम का सिद्धांत भी निर्णय लेने योग्य है।

पूर्णतः क्रमित समुच्चयों के कार्तीय गुणनफल पर क्रम
बढ़ती क्षमता के क्रम में, अर्थात, युग्मांकन उपसमुच्चयों के कम होने के क्रम में, दो पूर्णतः क्रमित समुच्चयों के कार्तीय गुणनफल पर संभव तीन क्रमों में से होते हैं:


 * लेक्सिकोग्राफ़िक क्रम: (a, b) ≤ (c, d) यदि और केवल यदि जब a < c हो या (a = c और b ≤ d हो)। यह एक सम्पूर्ण क्रम है।
 * उपयुक्तता के अनुसार (a, b) ≤ (c, d) तब और केवल यदि जब a ≤ c और b ≤ d हो (गुणन क्रम गुणधर्म योग)। यह एक आंशिक क्रम है।
 * उपयुक्तता के अनुसार (a, b) ≤ (c, d) यदि और केवल यदि जब (a < c और b < d) या (a = c और b = d) हो (संबंधित स्ट्रिक्ट सम्पूर्ण क्रमों के प्रत्यक्ष गुणधर्म की अपेक्षाकालीन बंदिश)। यह भी एक आंशिक क्रम है।

इन तीनों को समान रूप से दो से अधिक समुच्चयों के कार्तीय गुणनफल के लिए परिभाषित किया जा सकता है।

सदिश समष्टि Rn पर लागू, इनमें से प्रत्येक इसे क्रमबद्ध सदिश समष्टि बनाता है।

आंशिक रूप से क्रमबद्ध समुच्चयों के उदाहरण भी देखें।

Rn के एक उपसमुच्चय पर परिभाषित n वास्तविक चर का एक वास्तविक फलन स्ट्रिक्ट दुर्बल क्रम और उस उपसमुच्चय पर एक संबंधित कुल प्रीक्रम को परिभाषित करता है।

संबंधित संरचनाएं
द्विआधारी संबंध जो प्रतिसममित, सकर्मक और स्वतुल्य है (लेकिन जरूरी नहीं कि कुल हो) एक आंशिक क्रम है।

संगत सम्पूर्ण क्रम वाला समूह एक पूर्णतः क्रमबद्ध समूह होता है।

केवल कुछ गैर-ट्राईविअल संरचनाएं हैं जो सम्पूर्ण क्रम कम कर देता (अंतरपरिभाषित) हैं। ओरिएंटेशन को भूलने से आपसी संबंध बन जाता है। सिरों का स्थान भूलने से चक्रीय क्रम बनता है। दोनों डेटा को भूलने से संबंध भिन्न हो जाता है।

यह भी देखें

 * - रिंग जो क्रमों पर अवरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करता है
 * - गणित की शाखा
 * - क्रम परिवर्तन का गणितीय संस्करण
 * - स्ट्रिंग के उपसर्ग की धारणा का सामान्यीकरण, और एक ट्री की धारणा का - नीचे की ओर कुल आंशिक क्रम
 * - जेडएफसी से स्वतंत्र प्रस्ताव, कि गणनीय श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करने वाला एक गैर-रिक्त असंबद्ध पूर्ण सघन कुल क्रम वास्तविक के लिए समरूपी है
 * - गणितीय क्रमों का वर्ग
 * - गणितीय क्रमों का वर्ग

संदर्भ

 * George Grätzer (1971). Lattice theory: first concepts and distributive lattices. W. H. Freeman and Co. ISBN 0-7167-0442-0
 * John G. Hocking and Gail S. Young (1961). Topology. Corrected reprint, Dover, 1988. ISBN 0-486-65676-4
 * George Grätzer (1971). Lattice theory: first concepts and distributive lattices. W. H. Freeman and Co. ISBN 0-7167-0442-0
 * John G. Hocking and Gail S. Young (1961). Topology. Corrected reprint, Dover, 1988. ISBN 0-486-65676-4
 * John G. Hocking and Gail S. Young (1961). Topology. Corrected reprint, Dover, 1988. ISBN 0-486-65676-4
 * John G. Hocking and Gail S. Young (1961). Topology. Corrected reprint, Dover, 1988. ISBN 0-486-65676-4