ट्रान्सेंडैंटल समीकरण

फ़ाइलजॉन हर्शल - निरीक्षण द्वारा हल करने के लिए एक मशीन का विवरण, ट्रान्सेंडैंटल समीकरणों के कुछ महत्वपूर्ण रूप, 1832 - 687143। झगड़ा | थंब, निरीक्षण द्वारा हल करने के लिए एक मशीन का विवरण, ट्रान्सेंडैंटल समीकरणों के कुछ महत्वपूर्ण रूप, 1832

अनुप्रयुक्त गणित में, एक 'अनुवांशिक समीकरण' वास्तविक संख्या (या जटिल संख्या) संख्याओं पर एक समीकरण है जो बीजगणितीय समीकरण नहीं है, अर्थात, यदि इसका कम से कम एक पक्ष एक पारलौकिक कार्य का वर्णन करता है। उदाहरणों में शामिल:


 * $$\begin{align}

x &= e^{-x} \\ x &= \cos x \\ 2^x &= x^2 \end{align}$$ एक पारलौकिक समीकरण को प्राथमिक कार्यों के बीच एक समीकरण होने की आवश्यकता नहीं है, हालांकि अधिकांश प्रकाशित उदाहरण हैं।

कुछ मामलों में, एक ट्रान्सेंडैंटल समीकरण को एक समतुल्य बीजगणितीय समीकरण में बदलकर हल किया जा सकता है। ऐसे ही कुछ रूपांतरणों को एक बीजगणितीय समीकरण में #रूपांतरण के रूप में चित्रित किया गया है; कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली अधिक विस्तृत परिवर्तन प्रदान कर सकती है। हालाँकि, सामान्य तौर पर, केवल अनुमानित समाधान ही खोजे जा सकते हैं।

एक बीजगणितीय समीकरण में परिवर्तन
एक चर में पारलौकिक समीकरणों के कुछ वर्गों के लिए उन्हें बीजगणितीय समीकरणों में बदलने के लिए तदर्थ विधियाँ मौजूद हैं जो तब हल हो सकती हैं।

घातीय समीकरण
यदि अज्ञात, मान लीजिए x, केवल घातांकों में होता है:
 * प्राकृतिक लघुगणक को दोनों पक्षों पर लागू करने से एक बीजगणितीय समीकरण प्राप्त हो सकता है, उदा.
 * $$4^x = 3^{x^2-1} \cdot 2^{5x}$$ में बदल जाता है $$x \ln 4 = (x^2-1) \ln 3 + 5x \ln 2$$, जो सरल करता है $$x^2 \ln 3 + x(5 \ln 2 - \ln 4) -\ln 3 = 0$$, जिसके समाधान हैं $$x = \frac{ -3 \ln 2 \pm \sqrt{9(\ln 2)^2 - 4 (\ln 3)^2} }{ 2 \ln 3 } .$$
 * यह कार्य नहीं करेगा यदि योग आधार रेखा पर होता है, जैसा कि में है $$4^x = 3^{x^2-1} + 2^{5x} .$$


 * यदि सभी आधार स्थिरांकों को किसी संख्या q के पूर्णांक या परिमेय घात के रूप में लिखा जा सकता है, तो y=q को प्रतिस्थापित करने परx सफल हो सकता है, उदा.
 * $$2^{x-1} + 4^{x-2} - 8^{x-2} = 0$$ y=2 का उपयोग करके रूपांतरित करता हैx, को $$\frac{1}{2} y + \frac{1}{16} y^2 - \frac{1}{64} y^3 = 0$$ जिसके समाधान हैं $$y \in \{ 0, -4, 8\}$$, इसलिए $$x= \log_2 8 = 3$$ ही वास्तविक समाधान है।
 * यह तब काम नहीं करेगा जब वर्ग या x की उच्च शक्ति एक घातांक में होती है, या यदि आधार स्थिरांक एक सामान्य q साझा नहीं करते हैं।


 * कभी-कभी, y=xe को प्रतिस्थापित करते हुएx एक बीजगणितीय समीकरण प्राप्त कर सकता है; y के समाधान ज्ञात होने के बाद, x के लिए लैम्बर्ट डब्ल्यू समारोह को लागू करके प्राप्त किया जा सकता है, जैसे:
 * $$x^2e^{2x} + 2 = 3x e^x$$ में बदल जाता है $$y^2 + 2 = 3y,$$ जिसके समाधान हैं $$y \in \{1,2\},$$ इसलिए $$x \in \{ W_0(1), W_0(2), W_{-1}(1), W_{-1}(2) \}$$, कहां $$W_0$$ और $$W_{-1}$$ बहु-मूल्यवान की वास्तविक-मूल्यवान शाखाओं को दर्शाता है $$W$$ समारोह।

लघुगणकीय समीकरण
यदि अज्ञात x केवल लघुगणक फ़ंक्शन के तर्कों में होता है:
 * दोनों पक्षों में घातांक लगाने से एक बीजगणितीय समीकरण प्राप्त हो सकता है, उदा.
 * $$2 \log_5 (3x-1) - \log_5 (12x+1) = 0$$ आधार के लिए घातांक का उपयोग करके रूपांतरित करता है $$5.$$ को $$\frac{ (3x-1)^2 }{ 12x+1 } = 1,$$ जिसके समाधान हैं $$x \in \{ 0, 2\} .$$ यदि केवल वास्तविक संख्याओं पर विचार किया जाए, $$x = 0$$ समाधान नहीं है, क्योंकि यह एक अवास्तविक उपपद की ओर ले जाता है $$\log_5(-1)$$ दिए गए समीकरण में।
 * इसके लिए आवश्यक है कि मूल समीकरण में लघुगणक के पूर्णांक-गुणांक रैखिक संयोजन शामिल हों। एक अद्वितीय आधार, और x में बहुपद होने के लिए लघुगणक तर्क।


 * यदि सभी लघुगणक कॉलों का एक अद्वितीय आधार है $$b$$ और एक अद्वितीय तर्क अभिव्यक्ति $$f(x),$$ फिर प्रतिस्थापन $$y = \log_b (f(x))$$ एक सरल समीकरण को जन्म दे सकता है, उदा.
 * $$5 \ln(\sin x^2) + 6 = 7 \sqrt{ \ln(\sin x^2) + 8 }$$ का उपयोग करते हुए रूपांतरित करता है $$y = \ln(\sin x^2) ,$$ को $$5 y + 6 = 7 \sqrt{ y + 8 },$$ जो बीजगणितीय समीकरण है और इसे हल किया जा सकता है। उसके बाद, प्रतिस्थापन समीकरण पैदावार में व्युत्क्रम संचालन लागू करना $$\sqrt{ \arcsin \exp y } = x.$$

त्रिकोणमितीय समीकरण
यदि अज्ञात x केवल त्रिकोणमितीय कार्यों के तर्क के रूप में होता है:
 * त्रिकोणमितीय पहचानों की सूची लागू करना#पाइथागोरस की पहचान और त्रिकोणमितीय त्रिकोणमितीय कार्य#योग और अंतर सूत्र और त्रिकोणमितीय पहचान की सूची#बहु-कोण और अर्ध-कोण सूत्र, रूपों के तर्क $$\sin(nx+a), \cos(mx+b), \tan(lx+c), ...$$ पूर्णांक के साथ $$n,m,l,...$$ सभी रूप के तर्कों में परिवर्तित हो सकते हैं, कहते हैं, $$\sin x$$. उसके बाद, प्रतिस्थापन $$y = \sin(x)$$ एक बीजगणितीय समीकरण देता है, उदा.
 * $$\sin(x+a) = (\cos^2 x) - 1$$ में बदल जाता है $$(\sin x)(\cos a) + \sqrt{ 1 - \sin^2 x }(\sin a) = 1 - (\sin^2 x) - 1$$, और, प्रतिस्थापन के बाद, करने के लिए $$y (\cos a) + \sqrt{ 1 - y^2 }(\sin a) = - y^2$$ जो बीजगणितीय है और सुलझाया जा सकता है। इसके बाद अप्लाई कर रहे हैं $$x = 2k\pi + \arcsin y$$ समाधान प्राप्त करता है।

अतिशयोक्तिपूर्ण समीकरण
यदि अज्ञात x अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के तर्कों के भीतर केवल रैखिक व्यंजकों में होता है,
 * उनके परिभाषित घातीय भावों और प्रतिस्थापन द्वारा उन्हें प्रकट करना $$y = exp(x)$$ एक बीजगणितीय समीकरण देता है, उदा.
 * $$3 \cosh x = 4 + \sinh (2x-6)$$ प्रकट होता है $$\frac{3}{2} (e^x + \frac{1}{e^x}) = 4 + \frac{1}{2} \left( \frac{(e^x)^2}{e^6} - \frac{e^6}{(e^x)^2} \right) ,$$ जो समीकरण में बदल जाता है $$\frac{3}{2} (y + \frac{1}{y}) = 4 + \frac{1}{2} \left( \frac{y^2}{e^6} - \frac{e^6}{y^2} \right) ,$$ जो बीजगणितीय है और सुलझाया जा सकता है। को लागू करने $$x = \ln y$$ मूल समीकरण का हल प्राप्त करता है।

अनुमानित समाधान
फ़ाइल: sin x = ln x svg.svg|thumb|250px|sin(x)=ln(x) का आलेखीय हल अनुवांशिक समीकरणों के अनुमानित संख्यात्मक समाधान संख्यात्मक समाधान, विश्लेषणात्मक अनुमानों, या ग्राफिकल विधियों का उपयोग करके पाया जा सकता है।

मनमाना समीकरणों को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीकों को रूट-खोज एल्गोरिदम कहा जाता है।

कुछ मामलों में, शून्य के पास टेलर श्रृंखला का उपयोग करके समीकरण को अच्छी तरह से अनुमानित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, के लिए $$k \approx 1$$, के समाधान $$\sin x = k x$$ के लगभग हैं $$(1-k) x - x^3/6=0$$, अर्थात् $$x=0$$ और $$x = \plusmn \sqrt{6} \sqrt{1-k}$$.

एक ग्राफिकल समाधान के लिए, एक विधि एक चर चर के प्रत्येक पक्ष को एक आश्रित चर के बराबर सेट करना है और समाधान खोजने के लिए उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं का उपयोग करके एक फ़ंक्शन के दो ग्राफ़ को प्लॉट करना है (चित्र देखें)।

अन्य समाधान

 * उच्च-क्रम के समीकरणों की कुछ पारलौकिक प्रणालियों को अज्ञातों के "पृथक्करण" द्वारा हल किया जा सकता है, उन्हें बीजगणितीय समीकरणों में घटाया जा सकता है।
 * अनुवांशिक समीकरणों/असमानताओं को हल करते समय निम्नलिखित का भी उपयोग किया जा सकता है: यदि $$x_0$$ समीकरण का हल है $$f(x)=g(x)$$ और $$f(x)\leq c\leq g(x)$$, तो यह समाधान संतुष्ट होना चाहिए $$f(x_0)=g(x_0)=c$$. उदाहरण के लिए, हम हल करना चाहते हैं $$\log_{2}\left(3+2x-x^{2}\right)=\tan^{2}\left(\frac{\pi x}{4}\right)+\cot^{2}\left(\frac{\pi x}{4}\right)$$. दिए गए समीकरण के लिए परिभाषित किया गया है $$-1<x<3$$. होने देना $$f(x)=\log_{2}\left(3+2x-x^{2}\right)$$ और $$g(x)=\tan^{2}\left(\frac{\pi x}{4}\right)+\cot^{2}\left(\frac{\pi x}{4}\right)$$. इसे दिखाना आसान है $$f(x)\leq 2$$ और $$g(x)\geq 2$$ इसलिए यदि समीकरण का कोई हल है, तो उसे संतुष्ट होना चाहिए $$f(x)=g(x)=2$$. से $$f(x)=2$$ हम पाते हैं $$x=1\in(-1,3)$$. वास्तव में, $$f(1)=g(1)=2$$ इसलिए $$x=1$$ समीकरण का एकमात्र वास्तविक समाधान है।

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