डेडेकाइंड-मैकनील समापन

गणित में, विशेष रूप से ऑर्डर सिद्धांत में, आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट का डेडेकाइंड-मैकनील समापन सबसे छोटा पूर्ण जाली है जिसमें यह शामिल है। इसका नाम होलब्रुक मान मैकनील के नाम पर रखा गया है, जिनके 1937 के पेपर ने पहली बार इसे परिभाषित और निर्मित किया था, और रिचर्ड डेडेकाइंड के नाम पर क्योंकि इसका निर्माण तर्कसंगत संख्याओं से वास्तविक संख्याओं के निर्माण के लिए डेडेकाइंड द्वारा उपयोग किए गए डेडेकाइंड कटौती को सामान्यीकृत करता है। इसे कटौती द्वारा पूर्णता या सामान्य पूर्णता भी कहा जाता है।

ऑर्डर एम्बेडिंग और जाली पूर्णता
आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट (पोसेट) में बाइनरी संबंध के साथ तत्वों का एक सेट (गणित) होता है $x ≤ y$तत्वों के युग्मों पर जो कि प्रतिवर्ती संबंध है ($x ≤ x$ प्रत्येक x के लिए), सकर्मक संबंध (यदि $x ≤ y$ और $y ≤ z$ तब $x ≤ z$), और एंटीसिमेट्रिक संबंध (यदि दोनों $x ≤ y$ और $y ≤ x$ फिर पकड़ो $x = y$). पूर्णांकों या वास्तविक संख्याओं पर सामान्य संख्यात्मक क्रम इन गुणों को संतुष्ट करते हैं; हालाँकि, संख्याओं पर क्रम के विपरीत, आंशिक क्रम में दो तत्व हो सकते हैं जो अतुलनीय हैं: कोई भी नहीं $x ≤ y$ और न $y ≤ x$ धारण करता है। आंशिक क्रम का एक और परिचित उदाहरण सेट के जोड़े पर सबसेट ऑर्डरिंग ⊆ है।

अगर $S$ आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट है, पूर्णता $S$ का अर्थ है पूर्ण जाली $L$ के ऑर्डर-एम्बेडिंग के साथ $S$ में $L$. पूर्ण जालक की धारणा का अर्थ है कि तत्वों का प्रत्येक उपसमुच्चय $L$ में एक अनंत और सर्वोच्च है; यह वास्तविक संख्याओं के अनुरूप गुणों का सामान्यीकरण करता है। ऑर्डर-एम्बेडिंग की धारणा उन आवश्यकताओं को लागू करती है जो इसके अलग-अलग तत्वों को लागू करती हैं $S$ को अलग-अलग तत्वों में मैप किया जाना चाहिए $L$, और वह तत्वों की प्रत्येक जोड़ी $S$ में समान क्रम है $L$ जैसा कि वे करते हैं $S$. विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा (+∞ और −∞ के साथ वास्तविक संख्याएं) तर्कसंगत संख्याओं के इस अर्थ में एक पूर्णता है: तर्कसंगत संख्याओं का सेट {3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, ...} करता है इसकी कोई तर्कसंगत न्यूनतम ऊपरी सीमा नहीं है, लेकिन वास्तविक संख्याओं में इसकी सबसे कम ऊपरी सीमा है $\pi$.

किसी दिए गए आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट में कई अलग-अलग पूर्णताएँ हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, किसी आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट का एक पूरा होना $S$ उपसमुच्चय द्वारा क्रमित इसके निचले समुच्चय का समुच्चय है। $S$ प्रत्येक तत्व को मैप करके इस (पूर्ण) जाली में एम्बेडेड है $x$तत्वों के निचले समूह के लिए जो इससे कम या इसके बराबर हैं $x$. परिणाम एक वितरणात्मक जाली है और इसका उपयोग बिरखॉफ के प्रतिनिधित्व प्रमेय में किया जाता है। हालाँकि, इसमें पूर्णता के लिए आवश्यकता से कहीं अधिक तत्व हो सकते हैं $S$. सभी संभावित जाली पूर्णताओं में से, डेडेकाइंड-मैकनील पूर्णता सबसे छोटी पूर्ण जाली है $S$ इसमें सन्निहित है।

परिभाषा
प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए $A$ आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट का $S$, होने देना $A^{u}$ की ऊपरी सीमाओं के समुच्चय को निरूपित करें $A$; वह है, एक तत्व $x$ का $S$ से संबंधित $A^{u}$ जब कभी भी $x$ प्रत्येक तत्व से बड़ा या उसके बराबर है $A$. सममित रूप से, चलो $A^{l}$ की निचली सीमाओं के समुच्चय को निरूपित करें $A$, वे तत्व जो प्रत्येक तत्व से कम या उसके बराबर हैं $A$. फिर डेडेकाइंड-मैकनील का समापन $S$ में सभी उपसमुच्चय शामिल हैं $A$ जिसके लिए

इसे शामिल करके आदेश दिया गया है: $(A^{u})^{l} = A$ पूर्णता में यदि और केवल यदि $A ≤ B$ संपत्तियां।

तत्व $x$ का $S$ अपने आदर्श (आदेश सिद्धांत), सेट के रूप में पूर्णता में एम्बेड करता है $A ⊆ B$से कम या उसके बराबर तत्वों का $x$. तब $↓_{x}$ से बड़े या उसके बराबर तत्वों का समूह है $x$, और $(↓_{x})^{u}$, वह दिखा रहा हूँ $((↓_{x})^{u})^{l} = ↓_{x}$ वास्तव में पूर्णता का सदस्य है। से मैपिंग $x$ को $↓_{x}$ एक ऑर्डर-एम्बेडिंग है। डेडेकाइंड-मैकनेइल पूर्णता की एक वैकल्पिक परिभाषा जो डेडेकाइंड कट की परिभाषा से अधिक मिलती-जुलती है, कभी-कभी उपयोग की जाती है। आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट में $S$, सेट की एक जोड़ी के रूप में कट को परिभाषित करें $↓_{x}$ जिसके लिए $(A,B)$ और $A^{u} = B$. अगर $A = B^{l}$ एक कट है तो A समीकरण को संतुष्ट करता है $(A,B)$, और इसके विपरीत यदि $(A^{u})^{l} = A$ तब $(A^{u})^{l} = A$ एक कट है. इसलिए, कट का सेट, आंशिक रूप से कट के निचले सेट (या ऊपरी सेट पर समावेशन संबंध के विपरीत) पर शामिल किए जाने के द्वारा आदेश दिया गया है, डेडेकाइंड-मैकनील पूर्णता की एक समतुल्य परिभाषा देता है।

वैकल्पिक परिभाषा के साथ, पूर्ण जाली के जुड़ने और मिलने के संचालन दोनों में सममित विवरण हैं: यदि $(A,A^{u})$ कट्स के किसी भी परिवार में कट्स हैं, तो इन कट्स का मिलन कट है $(A_{i},B_{i})$ कहाँ $(L,L^{u})$, और जुड़ना ही कट है $L = ∩_{i}A_{i}$ कहाँ $(U^{l},U)$.

उदाहरण
अगर $$\Q$$ तर्कसंगत संख्याओं का सेट है, जिसे सामान्य संख्यात्मक क्रम के साथ पूरी तरह से व्यवस्थित सेट के रूप में देखा जाता है, फिर डेडेकाइंड-मैकनील के प्रत्येक तत्व को पूरा किया जाता है $$\Q$$ इसे डेडेकाइंड कट और डेडेकाइंड-मैकनील के पूरा होने के रूप में देखा जा सकता है $$\Q$$ दो अतिरिक्त मानों के साथ वास्तविक संख्याओं पर कुल क्रम है $$\pm\infty$$. अगर $S$ एक एंटीचेन है (तत्वों का एक सेट जिनमें से कोई भी दो तुलनीय नहीं हैं) तो डेडेकाइंड-मैकनील का समापन $S$ के होते हैं $S$ स्वयं दो अतिरिक्त तत्वों के साथ, एक निचला तत्व जो प्रत्येक तत्व के नीचे है $S$ और एक शीर्ष तत्व जो प्रत्येक तत्व के ऊपर है $S$. अगर $O$ वस्तुओं का कोई भी सीमित सेट है, और $A$ वस्तुओं के लिए एकात्मक विशेषताओं का कोई सीमित सेट है $O$, तो कोई ऊंचाई दो का आंशिक क्रम बना सकता है जिसमें आंशिक क्रम के तत्व वस्तुएं और विशेषताएं हैं, और जिसमें $U = ∩_{i}B_{i}$ कब $x$ एक वस्तु है जिसमें विशेषता है$y$. इस तरह से परिभाषित आंशिक आदेश के लिए, डेडेकाइंड-मैकनील का समापन $S$ को एक अवधारणा जालक के रूप में जाना जाता है, और यह औपचारिक अवधारणा विश्लेषण के क्षेत्र में एक केंद्रीय भूमिका निभाता है।

गुण
डेडेकाइंड-मैकनील आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट को पूरा करता है $S$ सबसे छोटी पूर्ण जाली है $S$ इसमें सन्निहित है, इस अर्थ में कि, यदि $L$ किसी भी जाली का पूरा होना है $S$, तो डेडेकाइंड-मैकनील पूर्णता आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया उपसमुच्चय है $L$. कब $S$ परिमित है, इसकी पूर्णता भी परिमित है, और सभी परिमित पूर्ण जालकों में तत्वों की संख्या सबसे कम है $S$.

आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट $S$ डेडेकाइंड-मैकनेइल पूर्णता में जॉइन-डेंस और मीट-डेंस है; अर्थात्, पूर्णता का प्रत्येक तत्व कुछ तत्वों के समूह का जोड़ है $S$, और इसमें तत्वों के कुछ सेट का मिलन भी है $S$. डेडेकाइंड-मैकनील पूर्णता को पूर्णताओं में से एक माना जाता है $S$ इस संपत्ति द्वारा.

बूलियन बीजगणित (संरचना) का डेडेकाइंड-मैकनील समापन एक पूर्ण बूलियन बीजगणित है; इस परिणाम को वालेरी इवानोविच ग्लिवेंको  और मार्शल स्टोन के बाद ग्लिवेंको-स्टोन प्रमेय के रूप में जाना जाता है। इसी प्रकार, एक अवशिष्ट जाली का डेडेकाइंड-मैकनील पूरा होना एक पूर्ण अवशिष्ट जाली है। हालाँकि, एक वितरणात्मक जाली का पूरा होना स्वयं वितरणात्मक नहीं होना चाहिए, और एक मॉड्यूलर जाली का पूरा होना मॉड्यूलर नहीं रह सकता है। डेडेकाइंड-मैकनील पूर्णता स्व-दोहरी है: आंशिक क्रम के द्वैत (आदेश सिद्धांत) का पूरा होना पूर्णता के दोहरे के समान है।

डेडेकाइंड-मैकनील का समापन $S$ का क्रम आयाम भी वैसा ही है $S$ अपने आप। आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेटों और आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेटों के बीच मोनोटोनिक कार्यों की श्रेणी (गणित) में, पूर्ण जाली ऑर्डर-एम्बेडिंग के लिए इंजेक्शन वस्तु बनाती है, और डेडेकाइंड-मैकनील पूरा करती है $S$ का इंजेक्शन पतवार है$S$.

एल्गोरिदम
कई शोधकर्ताओं ने एक सीमित आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट को पूरा करने वाले डेडेकाइंड-मैकनील के निर्माण के लिए एल्गोरिदम की जांच की है। डेडेकाइंड-मैकनील पूर्णता उस आंशिक क्रम से तेजी से बड़ी हो सकती है, जिससे यह आता है, और ऐसे एल्गोरिदम के लिए समय सीमा आम तौर पर आउटपुट-संवेदनशील एल्गोरिदम में बताई जाती है|आउटपुट-संवेदनशील तरीके से, संख्या पर निर्भर करता है $n$ इनपुट के तत्वों का आंशिक क्रम, और संख्या पर $c$ इसके पूर्ण होने के तत्वों का.

कटौती के सेट का निर्माण
एक वृद्धिशील एल्गोरिदम का वर्णन करें, जिसमें एक समय में एक तत्व जोड़कर इनपुट आंशिक क्रम बनाया जाता है; प्रत्येक चरण में, छोटे आंशिक क्रम की पूर्णता को बड़े आंशिक क्रम की पूर्णता के रूप में विस्तारित किया जाता है। उनकी पद्धति में, पूर्णता को कटौती की एक स्पष्ट सूची द्वारा दर्शाया जाता है। संवर्धित आंशिक क्रम का प्रत्येक कट, उस कट को छोड़कर जिसके दो सेट नए तत्व में प्रतिच्छेद करते हैं, या तो पिछले आंशिक क्रम से एक कट है या पिछले से कट के एक या दूसरे पक्ष में नया तत्व जोड़कर बनता है। आंशिक क्रम, इसलिए उनके एल्गोरिदम को यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से कट हैं, केवल इस फॉर्म के सेट के जोड़े का परीक्षण करने की आवश्यकता है। आंशिक क्रम को पूरा करने के लिए एक तत्व जोड़ने के लिए उनकी विधि का उपयोग करने का समय है $x ≤ y$ कहाँ $w$ आंशिक क्रम की चौड़ाई है, यानी, इसके सबसे बड़े एंटीचेन का आकार। इसलिए, किसी दिए गए आंशिक आदेश के पूरा होने की गणना करने का समय है $O(cnw)$.

जैसा ध्यान दें, आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट में सभी कटों को सूचीबद्ध करने की समस्या को एक सरल समस्या के विशेष मामले के रूप में तैयार किया जा सकता है, सभी अधिकतम एंटीचेन को एक अलग आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट में सूचीबद्ध करने की। अगर $P$ कोई आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट है, मान लीजिए $Q$ एक आंशिक क्रम हो जिसके तत्वों की दो प्रतियां हों $P$: प्रत्येक तत्व के लिए $x$ का $P$, $Q$ में दो तत्व शामिल हैं $O(cn^{2}w) = O(cn^{3})$ और $x_{0}$, साथ $x_{1}$ अगर और केवल अगर $x_{i} < y_{j}$ और $x < y$. फिर कटौती होती है $P$ अधिकतम एंटीचेन के साथ एक-के-लिए-एक से मेल खाता है $Q$: कट के निचले सेट के तत्व एक एंटीचेन में सबस्क्रिप्ट 0 वाले तत्वों के अनुरूप होते हैं, और कट के ऊपरी सेट के तत्व एक एंटीचेन में सबस्क्रिप्ट 1 वाले तत्वों के अनुरूप होते हैं। जॉर्डन एट अल. अधिकतम एंटीचेन खोजने के लिए एक एल्गोरिदम का वर्णन करें, जिसे सभी कटों को सूचीबद्ध करने की समस्या पर लागू किया जाए $P$, समय लेता है $i < j$, के एल्गोरिदम में सुधार जब चौड़ाई $w$ छोटा है। वैकल्पिक रूप से, एक अधिकतम एंटीचेन $Q$ तुलनीयता ग्राफ़ में अधिकतम स्वतंत्र सेट के समान है $Q$, या तुलनीयता ग्राफ के पूरक में एक अधिकतम क्लिक, इसलिए क्लिक समस्या या स्वतंत्र सेट समस्या के लिए एल्गोरिदम को डेडेकाइंड-मैकनेइल पूर्णता समस्या के इस संस्करण पर भी लागू किया जा सकता है।

कवरिंग ग्राफ़ का निर्माण
डेडेकाइंड-मैकनील पूर्णता का संक्रमणीय कमी या कवरिंग ग्राफ इसके तत्वों के बीच क्रम संबंध का संक्षिप्त तरीके से वर्णन करता है: कट के प्रत्येक पड़ोस (ग्राफ सिद्धांत) को कट के ऊपरी या निचले सेट से मूल आंशिक क्रम के एक तत्व को हटाना होगा, इसलिए प्रत्येक शीर्ष पर अधिकतम $n$ पड़ोसियों। इस प्रकार, कवरिंग ग्राफ़ है $c$ शीर्ष और अधिक से अधिक $cn/2$ पड़ोसियों, एक संख्या जो की तुलना में बहुत छोटी हो सकती है $c^{2}$ एक मैट्रिक्स में प्रविष्टियाँ जो तत्वों के बीच सभी जोड़ीवार तुलनाओं को निर्दिष्ट करती हैं। दिखाएं कि इस कवरिंग ग्राफ़ की कुशलतापूर्वक गणना कैसे करें; अधिक सामान्यतः, यदि $B$ सेट का कोई भी परिवार है, वे दिखाते हैं कि उपसमुच्चय के संघों की जाली के कवरिंग ग्राफ की गणना कैसे करें $B$. डेडेकाइंड-मैकनील जाली के मामले में, $B$ को प्रमुख आदर्शों के पूरक सेटों के परिवार और के उपसमूहों के संघ के रूप में लिया जा सकता है $B$ कट्स के निचले सेट के पूरक हैं। उनके एल्गोरिदम का मुख्य विचार उपसमुच्चय के संघ उत्पन्न करना है $B$ वृद्धिशील रूप से (प्रत्येक सेट के लिए $B$, पहले से उत्पन्न सभी यूनियनों के साथ अपना संघ बनाते हुए), एक त्रि में सेट के परिणामी परिवार का प्रतिनिधित्व करते हैं, और कवरिंग संबंध में आसन्नता के लिए सेट के कुछ उम्मीदवार जोड़े का परीक्षण करने के लिए त्रि प्रतिनिधित्व का उपयोग करते हैं; समय लगता है $O(c(nw + w^{3}))$. बाद के काम में, उन्हीं लेखकों ने दिखाया कि एल्गोरिदम को समान कुल समय सीमा के साथ पूरी तरह से वृद्धिशील (एक समय में आंशिक क्रम में तत्वों को जोड़ने में सक्षम) बनाया जा सकता है।

बाहरी संबंध

 * MacNeille completion in PlanetMath