बूलियन-मूल्यवान मॉडल

गणितीय तर्क में, बूलियन-मूल्यवान प्रारूप प्रारूप सिद्धांत से संरचना गणितीय तर्क की सामान्य अल्फ्रेड टार्स्की धारणा का सामान्यीकरण है। इसके द्वारा बूलियन-मूल्यवान प्रारूप में, विभिन्न प्रस्तावों के सत्य और असत्य मान तक सीमित नहीं किया गया हैं, बल्कि इसके अतिरिक्त कुछ निश्चित पूर्ण बूलियन बीजगणित में मान भी लिये जाते हैं।

1960 के दशक में स्कॉट, रॉबर्ट एम सोलोवे और पेट्र वोपेंका द्वारा बूलियन मानवान प्रारूप को प्रस्तुत किया गया था, जिससे कि पॉल कोहेन (गणितज्ञ) की फोर्सिंग (गणित) की विधि को समझने में सहायता मिल सके। वे अंतर्ज्ञानवादी तर्क में हेटिंग बीजगणित शब्दार्थ से भी संबंधित हैं।

परिभाषा
पूर्ण बूलियन बीजगणित B का मान ठीक करते हैं और इसके पहले क्रम की भाषा को L के गणितीय तर्क के अनुसार हस्ताक्षर में निरंतर प्रतीकों, फलनों, प्रतीकों और संबंधित प्रतीकों का संग्रह सम्मिलित होगा।

भाषा L के लिए बूलियन-मूल्यवान प्रारूप में युनिवर्सल गणित M होता है, जो प्रतीकों के लिए व्याख्याओं के साथ तत्वों या उसके 'नाम' का समुच्चय मान लेता है। विशेष रूप से प्रारूप को L के प्रत्येक स्थिर प्रतीक को M का तत्व, और L के प्रत्येक n-ary फलन प्रतीक f और प्रत्येक n-टपल को निर्दिष्ट करना चाहिए, इस प्रकार $⟨a_{0},...,a_{n-1}⟩$ M के तत्वों में से, प्रारूप को M के तत्व को F (a0,...,an-1) शब्द के लिए निर्दिष्ट करना चाहिए,

L के परमाणु सूत्रों की व्याख्या अधिक जटिल है। इस प्रकार M के तत्वों की प्रत्येक जोड़ी को A और B के लिए, प्रारूप को सत्य मान निर्दिष्ट करना चाहिए, इसके आधार पर $\|a = b\|$ अभिव्यक्ति के लिए $a = b$ को इसके सत्य मान के लिए बूलियन बीजगणित B से लिया जाता है। इसी प्रकार L के प्रत्येक N-X संबंध प्रतीक आर और प्रत्येक N-ट्यूपल के लिए $⟨a_{0},...,a_{n-1}⟩$ M के तत्वों में से, प्रारूप को सत्य मान होने के लिए B का तत्व $\|R(a_{0},...,a_{n-1})\|$ निर्दिष्ट करना चाहिए।

अन्य सूत्रों और वाक्यों की व्याख्या
बूलियन बीजगणित की संरचना का उपयोग करके, परमाणु सूत्रों के सत्य मानों का उपयोग अधिक जटिल सूत्रों के सत्य मानों के पुनर्निर्माण के लिए किया जा सकता है। इस प्रकार प्रस्तावात्मक संयोजकों के लिए, यह सरल है, जिसके आधार पर उप-सूत्रों के सत्य मानों के लिए संबंधित बूलियन ऑपरेटरों को बस लागू करता है। उदाहरण के लिए, यदि φ(x) और ψ(y,z) क्रमशः और दो मुक्त चर वाले सूत्र हैं, और यदि a, b, c प्रारूप के ब्रह्मांड के तत्व हैं, जिन्हें x, y, और z के लिए प्रतिस्थापित किया जाना है, फिर इसका सत्य मान
 * $$\phi(a)\land\psi(b,c)$$

इस प्रकार-
 * $$\|\phi(a)\land\psi(b,c)\|=\|\phi(a)\|\ \land\ \|\psi(b,c)\| $$

परिमाणित सूत्रों के लिए सत्य मानों को परिभाषित करने के लिए बूलियन बीजगणित की पूर्णता आवश्यक है। यदि φ(x) मुक्त चर x और संभवतः अन्य मुक्त चर के साथ उक्त सूत्र प्राप्त होता है, इस प्रकार
 * $$\|\exists x\phi(x)\|=\bigvee_{a\in M}\|\phi(a)\|,$$

जहां दाहिनी ओर को सभी सत्य मानों के समुच्चय B में सर्वोच्च के रूप में समझा जाना है ||φ(a)|| M से अधिक की श्रेणी के रूप में जाना जाता हैं।

सूत्र का सत्य मान पूर्ण बूलियन बीजगणित B का तत्व है।

समुच्चय सिद्धांत के बूलियन-मूल्यवान प्रारूप
एक पूर्ण बूलियन बीजगणित B दिया गया है, VB द्वारा निरूपित बूलियन-मूल्यवान प्रारूप है, जो वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड V का बूलियन-मूल्यवान एनालॉग है। इस प्रकार VB उचित वर्ग है, इसलिए हमें उचित रूप से प्रारूप सिद्धांत होने का क्या अर्थ है, इसकी पुनर्व्याख्या करने की आवश्यकता है। अनौपचारिक रूप से, VB के तत्व बूलियन-मूल्यवान समुच्चय हैं। सामान्य समुच्चय A दिया हुआ है, प्रत्येक समुच्चय या तो सदस्य है या नहीं है, अपितु बूलियन-मूल्यवान समुच्चय दिया गया है, प्रत्येक समुच्चय में A में निश्चित, निश्चित सदस्यता डिग्री है।

बूलियन-मूल्यवान समुच्चय के तत्व, बदले में, बूलियन-मूल्यवान समुच्चय भी होते हैं, जिनके तत्व भी बूलियन-मूल्यवान समुच्चय होते हैं, और इसी प्रकार बूलियन-मान समुच्चय की गैर-परिपत्र परिभाषा प्राप्त करने के लिए, उन्हें संचयी पदानुक्रम के समान पदानुक्रम में आगमनात्मक रूप से परिभाषित किया गया है। इसके आधार पर V के प्रत्येक क्रमिक α के लिए, समुच्चय V Bα निम्नानुसार परिभाषित किया गया है। इस प्रकार कक्षा V B को सभी समुच्चयों V Bα के संयोजन के रूप में परिभाषित किया गया है.
 * V B0 खाली समुच्चय है।
 * V Bα+1 V से सभी कार्यों का समुच्चय है, जिसे Bαसे मुख्य फलन V के उपसमुच्चय को निरूपित करता है, इसके आधार पर Bα में यदि f ऐसा फलन है, तो किसी के लिए भी $x ∈ V^{B}_{α}$, का मान f(x) समुच्चय में x की सदस्यता की डिग्री को प्रदर्शित करता है।
 * यदि α सीमा क्रमसूचक है, V Bα V. का संघ है, इसके आधार पर Bβके लिए $β &lt; α$ के समान होगा।

इस पूरे निर्माण को ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत (या कभी-कभी इसका भाग) के कुछ सकर्मक प्रारूप M से संबंधित करना भी संभव है। इसके आधार पर बूलियन-मूल्यवान प्रारूप MB M के अंदर उपरोक्त निर्माण को लागू करके प्राप्त किया जाता है। इस प्रकार सकर्मक प्रारूप के लिए प्रतिबंध गंभीर नहीं है, क्योंकि इस प्रकार मोस्टोव्स्की पतन का अर्थ है कि प्रत्येक उचित तरह से स्थापित करके इसके विस्तारित प्रारूप को सकर्मक स्थिति में प्राप्त करने के लिए आइसोमोर्फिक का उपयोग करते हैं। इस प्रकार यदि प्रारूप M सकर्मक नहीं है तो चीजों में त्रुटि हो जाती हैं, क्योंकि M की व्याख्या के रूप में यह कार्य या क्रमसूचक होने का अर्थ बाहरी व्याख्या से भिन्न हो सकता है।

एक बार VB के तत्व को ऊपर परिभाषित किया गया है, तो V पर समानता और सदस्यता के B-मूल्यवान संबंधों को परिभाषित करना आवश्यक है, इस प्रकार B यहाँ V B पर B-मूल्यवान संबंध है, जिसके लिए उक्त फलन $V^{B} × V^{B}$ से B है। सामान्य रूप से इस समानता और सदस्यता के साथ भ्रम से बचने के लिए, इन्हें इसके $\|x = y\|$ और $\|x ∈ y\|$ द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ V में x और y के लिए B उन्हें इस प्रकार परिभाषित किया गया है :
 * $\|x ∈ y\|$ परिभाषित किया गया है, $Σ_{t ∈ Dom(y)} \|1=x = t\| ∧ y(t)$   ( x y में है अगर यह y में किसी चीज़ के समान है)।
 * $\|1=x = y\|$ परिभाषित किया गया है, $\|x ⊆ y\|∧\|y ⊆ x\|$   ( x बराबर y अगर x और y दोनों दूसरे के उपसमुच्चय हैं),
 * जहां
 * $\|x ⊆ y\|$ परिभाषित किया गया है, $Π_{t ∈ Dom(x)} x(t) ⇒ \|1=t ∈ y\|$   ( x y का उपसमुच्चय है यदि x के सभी अवयव y में हैं)

इसके आधार पर विभिन्न प्रतीकों जैसे Σ और Π पूर्ण बूलियन बीजगणित B में क्रमशः कम से कम ऊपरी बाउंड और सबसे बड़ी निचली बाउंड प्रक्रिया को दर्शाते हैं। इसके सर्वप्रथम आधार पर उपरोक्त परिभाषाएं परिपत्र प्रतीत होती हैं: इस प्रकार $\|∈\|$ मुख्य रूप से $\|1==\|$ पर निर्भर करता है, $\|⊆\|$ पर निर्भर करता है, $\|∈\|$ पर निर्भर करता है, चूंकि, इसके समीपस्थ परीक्षा से पता चलता है कि इसकी परिभाषा $\|∈\|$ पर ही निर्भर करती है, इसके आधार पर $\|∈\|$ छोटी रैंक के तत्वों के लिए, इसलिए $\|∈\|$ और $\|1==\|$ V से अच्छी तरह से परिभाषित कार्य हैं, जो B×VB प्रकार प्रदर्शित होती हैं।

यह दिखाया जा सकता है कि B-मूल्यवान संबंध $\|∈\|$ और $\|1==\|$ वह अंदर है, इस प्रकार V समुच्चय सिद्धांत के बूलियन-मूल्यवान प्रारूप में B। प्रथम-क्रम समुच्चय सिद्धांत के प्रत्येक वाक्य में कोई मुक्त चर नहीं है, इसके आधार पर B में सत्य मान है, यह दिखाया जाना चाहिए कि समानता के सिद्धांतों और जेडएफ समुच्चय सिद्धांत के सभी सिद्धांतों के लिए मुक्त चर के बिना लिखे गए सत्य मान 1 को B का सबसे बड़ा तत्व माना जाता है। यह प्रमाण सीधा है, अपितु यह लंबा है क्योंकि कई अलग-अलग स्वयंसिद्ध हैं जिन्हें जाँचने की आवश्यकता है।

सिंटैक्टिक फोर्सिंग
समुच्चय सिद्धांतकार स्वतंत्रता (गणितीय तर्क) प्राप्त करने और अन्य उद्देश्यों के लिए समुच्चय सिद्धांत के प्रारूप बनाने के लिए फोर्सिंग (गणित) नामक तकनीक का उपयोग करते हैं। यह विधि मूल रूप से पॉल कोहेन (गणितज्ञ) द्वारा विकसित की गई थी, अपितु तब से इसका अत्यधिक विस्तार किया गया है। इस प्रकार फोर्सिंग ब्रह्मांड में पाॅसेट का सामान्य फिल्टर सबसमुच्चय जोड़ता है, इस प्रकार पॉसमुच्चय को नए जोड़े गए ऑब्जेक्ट पर इससे जुड़े गुणों का उपयोग करने के लिए डिज़ाइन किया जाता है। यहाँ पर सोचने वाली बात यह है कि पॉसमुच्चय्स के लिए यह साबित किया जा सकता है कि पोसमुच्चय का ऐसा कोई सामान्य उपसमुच्चय नहीं है। इससे निपटने के तीन सामान्य विधियाँ हैं, जो इस प्रकार हैं:
 * 'सिंटैक्टिक फोर्सिंग' को बलपूर्वक $$ p\Vdash\phi$$ से संबंधित कर दिया जाता हैं। जिसके आधार पर पोसमुच्चय के तत्वों P और इसकी भाषा के सूत्र φ के बीच परिभाषित किया गया है। इस संबंध को वाक्यात्मक रूप से परिभाषित किया गया है और इसका कोई शब्दार्थ नहीं है, अर्ताथ कभी कोई प्रारूप तैयार नहीं किया जाता है। बल्कि इस प्रकार इस धारणा से प्रारंभ करते हुए कि ZFC या समुच्चय सिद्धांत के कुछ अन्य स्वयंसिद्ध स्वतंत्र कथन को सिद्ध करते हैं, दिखाता है कि ZFC को भी विरोधाभास साबित करने में सक्षम होना चाहिए। चूंकि यहाँ पर बल V से अधिक है, अर्थात् इस प्रकार गणनीय सकर्मक प्रारूप के साथ प्रारंभ करना आवश्यक नहीं है। इस पद्धति की व्याख्या के लिए कुनेन (1980) देखें।
 * 'गणनीय सकर्मक प्रारूप' गणनीय समुच्चय सकर्मक समुच्चय प्रारूप M के साथ प्रारंभ होता है, जो वांछित उद्देश्य के लिए आवश्यक समुच्चय सिद्धांत के रूप में होता है, और जिसमें पॉसमुच्चय होता है। फिर M पर सामान्य होने वाले पॉकेट पर फ़िल्टर सम्मिलित हैं, अर्थात्, जो पोसमुच्चय के सभी सघन उपसमुच्चयों से मिलते हैं जो M के तत्व भी होते हैं।
 * 'काल्पनिक सामान्य वस्तुएं' सामान्यतः समुच्चय थिओरिस्ट केवल पोसमुच्चय का उपसमुच्चय है जो सभी V पर सामान्य है। यह सामान्य वस्तु, गैर-तुच्छ मामलों में, V का तत्व नहीं हो सकता है, और इसलिए वास्तव में सम्मिलित नहीं है। इस प्रकार यह दार्शनिक विवाद का बिंदु है कि क्या कोई समुच्चय वास्तव में सम्मिलित है, अपितु वह वर्तमान चर्चा की सीमा से बाहर है। संभवतः आश्चर्यजनक रूप से, थोड़े से अभ्यास के साथ यह विधि उपयोगी और विश्वसनीय है, अपितु यह दार्शनिक रूप से असंतोषजनक हो सकती है।

बूलियन-वैल्यू प्रारूप और सिंटैक्टिक फोर्सिंग
बूलियन-वैल्यू प्रारूप का उपयोग सिंटैक्टिक फोर्सिंग को शब्दार्थ देने के लिए किया जा सकता है, भुगतान की गई कीमत यह है कि शब्दार्थ 2-मूल्यवान (सही या गलत) नहीं है, अपितु कुछ पूर्ण बूलियन बीजगणित से सत्य मान प्रदान करता है। इस प्रकार फोर्सिंग पॉसमुच्चय P को देखते हुए, पूर्ण बूलियन बीजगणित B होता है, जिसे अधिकांशतः P के नियमित खुले समुच्चय के संग्रह के रूप में प्राप्त किया जाता है, जहां P पर टोपोलॉजी को सभी निचले समुच्चय खुले (और सभी ऊपरी समुच्चय बंद) घोषित करके परिभाषित किया जाता है। इस प्रकार इसके कारण B के निर्माण के अन्य तरीकों पर नीचे चर्चा की गई है।

अब B पर आदेश शून्य तत्व को हटाने के पश्चात इससे जड़े उद्देश्यों के लिए P को प्रतिस्थापित कर सकता है, और मजबूती के संबंध को यह कहकर अर्थपूर्ण रूप से व्याख्या किया जा सकता है कि, P के लिए B का तत्व और φ भाषा का सूत्र है,
 * $$p\Vdash\phi\iff p\leq||\phi||$$

जहां ||φ|| V बी में φ का सत्य मान है

यह दृष्टिकोण काल्पनिक सामान्य वस्तुओं का सहारा लिए बिना V पर बल देने के लिए शब्दार्थ निर्दिष्ट करने में सफल होता है। हानि यह है कि शब्दार्थ 2-मूल्यवान नहीं है, और यह कि B के कॉम्बिनेटरिक्स अधिकांशतः अंतर्निहित पॉसमुच्चय P की तुलना में अधिक जटिल होते हैं।

बूलियन-मूल्यवान प्रारूप और गणनीय सकर्मक प्रारूप पर सामान्य वस्तुएं
फोर्सिंग की व्याख्या ZF समुच्चय सिद्धांत के गणनीय सकर्मक प्रारूप M के साथ प्रारंभ होती है, आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय P, और P का सामान्य उपसमुच्चय G, और इन वस्तुओं से ZF समुच्चय सिद्धांत का नया प्रारूप बनाता है। इस प्रकार प्रतियोगिता के गणनीय और सकर्मक होने की शर्तें कुछ तकनीकी समस्याओं को सरल करती हैं, अपितु आवश्यक नहीं हैं। इस प्रकार कोहेन का निर्माण बूलियन-मूल्यवान प्रारूप का उपयोग करके किया जा सकता है।
 * पोसमुच्चय P द्वारा उत्पन्न पूर्ण बूलियन बीजगणित के रूप में पूर्ण बूलियन बीजगणित B का निर्माण करें।
 * P के जेनेरिक उपसमुच्चय जी से B पर अल्ट्राफिल्टर यू का निर्माण करें या इस प्रकार समतुल्य रूप से B से बूलियन बीजगणित {सही, गलत} के लिए समरूपता को प्रदर्शित करता हैं।
 * बूलियन-मूल्यवान प्रारूप M को चालू करने के लिए होमोमोर्फिज्म का उपयोग B से {सत्य, असत्य} तक करें ZF के साधारण प्रारूप में उपरोक्त अनुभाग का B हैं।

अब हम इन चरणों को और अधिक विस्तार से समझाते हैं।

किसी भी स्थिति P के लिए पूर्ण बूलियन बीजगणित B और P से B तक मानचित्र e+ है, इस प्रकार B के गैर-शून्य तत्व जैसे कि e(p)≤e(q) जब भी p≤q, और e(p)e(q)=0 जब भी p और q असंगत हैं। यह बूलियन बीजगणित समरूपता तक अद्वितीय है। इसे P के टोपोलॉजिकल स्पेस में नियमित समुच्चय के बीजगणित के रूप में बनाया जा सकता है, इस प्रकार अंतर्निहित समुच्चय P के साथ, और समुच्चय Up द्वारा दिए गए आधार तत्वों q के साथ q≤p को प्रदर्शित करता हैं।

पोसमुच्चय P से पूर्ण बूलियन बीजगणित B का नक्शा सामान्य रूप से इंजेक्शन नहीं है। इस प्रकार इसका क्षेत्र इंजेक्शन द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है यदि P में निम्नलिखित मान उपलब्ध होते हैं: इस प्रकार यदि प्रत्येक आरपी q के साथ संगत है, तो p≤q के समान होता हैं।

B पर अल्ट्राफिल्टर U को B के तत्वों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है जो G के कुछ तत्वों से अधिक होता है। इस प्रकार बूलियन बीजगणित पर अल्ट्राफिल्टर U दिया गया है, हमें {सत्य, असत्य} के लिए समरूपता मिलती है। इसके आधार पर U को सही और इसके पूरक को गलत पर मैप करके प्राप्त किया जाता हैं। इसके विपरीत, इस प्रकार के समरूपता को देखते हुए, सत्य की प्रतिलोम प्रतिबिंब को अल्ट्राफ़िल्टर करते हैं, इसलिए अल्ट्राफ़िल्टर अनिवार्य रूप से समरूपता के समान {सत्य, असत्य} के समान हैं। इस प्रकार बीजगणित अल्ट्राफिल्टर के अतिरिक्त अधिकतम आदर्शों का उपयोग करना पसंद कर सकते हैं: अल्ट्राफिल्टर का पूरक अधिकतम आदर्श है, और इसके विपरीत अधिकतम आदर्श का पूरक अल्ट्राफिल्टर है।

यदि G बूलियन बीजगणित B से बूलियन बीजगणित सी और MB तक समरूपता है, इसके आधार पर जेडएफ या इस स्थिति के लिए किसी अन्य सिद्धांत के B-मूल्यवान प्रारूप हम MB को परिवर्तित कर सकते हैं, इस कारण सभी सूत्रों के मान पर होमोमोर्फिज्म g को लागू करके C-मान वाले प्रारूप में। विशेष रूप से यदि C {सत्य, असत्य} है तो हमें {सत्य, असत्य}-मूल्यवान प्रारूप मिलता है। यह लगभग साधारण प्रारूप के समान है: वास्तव में हमें ||= || {सत्य, असत्य}-मूल्यवान प्रारूप के अनुसार समकक्ष वर्गों के समुच्चय पर सामान्य प्रारूप मिलता है। तो हम M से प्रारंभ करके जेडएफ समुच्चय सिद्धांत का सामान्य प्रारूप प्राप्त करते हैं, बूलियन बीजगणित B, और B पर अल्ट्राफिल्टर U का मान प्राप्त होता हैं। इस प्रकार निर्मित ZF का प्रारूप सकर्मक नहीं है। व्यवहार में इसे सकर्मक प्रारूप में परिवर्तित करने के लिए मोस्टोव्स्की पतन को लागू किया जाता है।

हमने देखा है कि बूलियन-मूल्यवान प्रारूप का उपयोग करके बल दिया जा सकता है, सामान्य उपसमुच्चय के साथ पोसमुच्चय से अल्ट्राफिल्टर के साथ बूलियन बीजगणित का निर्माण करके प्राप्त करते हैं। इस प्रकार इसके दूसरे तरीके से वापस जाना भी संभव है: बूलियन बीजगणित B दिया गया है, हम B के सभी गैर-शून्य तत्वों का पोसमुच्चय P बना सकते हैं, और इस प्रकार B पर सामान्य अल्ट्राफिल्टर P पर सामान्य समुच्चय तक सीमित है। इसलिए इसके मान को प्राप्त करने के लिए इसकी विभिन्न विधियों और बूलियन-मूल्यवान प्रारूप अनिवार्य रूप से समतुल्य रहते हैं।

संदर्भ

 * Bell, J. L. (1985) Boolean-Valued Models and Independence Proofs in Set Theory, Oxford. ISBN 0-19-853241-5
 * Contains an account of Boolean-valued models and applications to Riesz spaces, Banach spaces and algebras.
 * Contains an account of forcing and Boolean-valued models written for mathematicians who are not set theorists.
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 * Contains an account of forcing and Boolean-valued models written for mathematicians who are not set theorists.
 * Contains an account of forcing and Boolean-valued models written for mathematicians who are not set theorists.