चार्ज-पंप फेज-लॉक लूप

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चार्ज-पंप चरण बंद लूप (CP-PLL) फेज-लॉक लूप का एक संशोधन है फेज डिटेक्टर # फेज फ्रीक्वेंसी डिटेक्टर | फेज-फ्रीक्वेंसी डिटेक्टर और स्क्वायर वेवफॉर्म सिग्नल। सीपी-पीएलएल कम स्थिर स्थिति चरण त्रुटि प्राप्त करने, आने वाले सिग्नल के चरण के त्वरित लॉक की अनुमति देता है।

चरण-आवृत्ति डिटेक्टर (पीएफडी)
फाइल: फेज-फ्रीक्वेंसी-डिटेक्टर.पीडीएफ|थंब|राइट|500पीएक्स|फेज-फ्रीक्वेंसी डिटेक्टर डायनामिक्स

चरण-आवृत्ति डिटेक्टर (पीएफडी) संदर्भ (रेफरी) और नियंत्रित (वीसीओ) संकेतों के अनुगामी किनारों से शुरू होता है। पीएफडी का आउटपुट सिग्नल $$i(t)$$ केवल तीन अवस्थाएँ हो सकती हैं: 0, $$+I_p$$, और $$-I_p$$. संदर्भ सिग्नल का पिछला किनारा पीएफडी को उच्च स्थिति में स्विच करने के लिए मजबूर करता है, जब तक कि यह पहले से ही राज्य में न हो $$+I_p$$. वीसीओ सिग्नल का पिछला किनारा पीएफडी को निचले राज्य में स्विच करने के लिए मजबूर करता है, जब तक कि यह पहले से ही राज्य में न हो $$-I_p$$. यदि दोनों अनुगामी किनारे एक ही समय में होते हैं, तो पीएफडी शून्य हो जाता है।

सीपी-पीएलएल
के गणितीय मॉडल फ्लॉयड एम. गार्डनर|एफ द्वारा दूसरे क्रम के सीपी-पीएलएल के पहले रैखिक गणितीय मॉडल का सुझाव दिया गया था। 1980 में गार्डनर। 1994 में एम. वैन पैमेल द्वारा वीसीओ अधिभार के बिना एक अरैखिक मॉडल का सुझाव दिया गया था और फिर एन. कुज़नेत्सोव एट अल द्वारा परिष्कृत किया गया। 2019 में। वीसीओ अधिभार को ध्यान में रखते हुए सीपी-पीएलएल का बंद फॉर्म गणितीय मॉडल में व्युत्पन्न हुआ है। सीपी-पीएलएल के ये गणितीय मॉडल होल्ड-इन रेंज के विश्लेषणात्मक अनुमान प्राप्त करने की अनुमति देते हैं (इनपुट सिग्नल अवधि की अधिकतम सीमा जैसे कि वहाँ एक बंद स्थिति मौजूद है जिस पर VCO अतिभारित नहीं है) और पुल-इन रेंज (इनपुट सिग्नल अवधि की अधिकतम सीमा होल्ड-इन रेंज के भीतर जैसे कि किसी भी प्रारंभिक अवस्था के लिए CP-PLL लॉक स्थिति प्राप्त करता है)।

दूसरे क्रम के सीपी-पीएलएल का निरंतर समय रैखिक मॉडल और गार्डनर का अनुमान
गार्डनर का विश्लेषण निम्नलिखित सन्निकटन पर आधारित है: समय अंतराल जिस पर संदर्भ सिग्नल की प्रत्येक अवधि पर पीएफडी गैर-शून्य स्थिति है
 * $$t_p = |\theta_e|/\omega_{\rm ref},\ \theta_e = \theta_{\rm ref} - \theta_{\rm vco}.$$

चार्ज-पंप पीडीएफ का औसत आउटपुट है
 * $$i_d = I_p \theta_e/2\pi$$

इसी स्थानांतरण समारोह के साथ
 * $$I_d(s) = I_p\theta_e(s)/2\pi$$

फ़िल्टर ट्रांसफर फ़ंक्शन का उपयोग करना $$F(s) = R + \frac{1}{Cs}$$ और वीसीओ स्थानांतरण समारोह $$\theta_{\rm vco}(s) = K_{\rm vco}I_d(s)F(s)/s$$ एक को दूसरे क्रम के CP-PLL का गार्डनर का रैखिक अनुमानित औसत मॉडल मिलता है

\frac{\theta_e(s)}{\theta_{\rm ref}(s)} = \frac{2\pi s}{2\pi s + K_{\rm vco}I_p\left(R + \frac{1}{Cs}\right)}. $$ 1980 में, फ्लॉयड एम. गार्डनर|एफ. उपरोक्त तर्क के आधार पर गार्डनर ने अनुमान लगाया कि व्यावहारिक चार्ज-पंप पीएलएल की क्षणिक प्रतिक्रिया समकक्ष क्लासिकल पीएलएल की प्रतिक्रिया के लगभग समान होने की उम्मीद की जा सकती है। (फ्लोयड एम. गार्डनर#चार्ज-पंप फेज-लॉक लूप्स पर गार्नर का अनुमान| सीपी-पीएलएल पर गार्डनर का अनुमान ). गार्डनर के परिणामों के बाद, विलियम एफ. एगन (इलेक्ट्रिकल इंजीनियर) के साथ समानता से # टाइप II एपीएलएल की पुल-इन रेंज पर ईगन का अनुमान| टाइप 2 एपीएलएल की पुल-इन रेंज पर ईगन का अनुमान, अम्र एम. फहीम ने अपने में अनुमान लगाया किताब कि एक अनंत पुल-इन (कैप्चर) रेंज रखने के लिए, CP-PLL में लूप फ़िल्टर के लिए एक सक्रिय फ़िल्टर का उपयोग किया जाना चाहिए (फहीम-एगन का अनुमान II CP-PLL के पुल-इन रेंज पर)।

दूसरे क्रम के CP-PLL
का निरंतर समय अरैखिक मॉडल व्यापकता के नुकसान के बिना यह माना जाता है कि वीसीओ और रेफ संकेतों के अनुगामी किनारे होते हैं जब संबंधित चरण एक पूर्णांक संख्या तक पहुँचता है। बता दें कि रेफ सिग्नल के पहले अनुगामी किनारे का समय उदाहरण इस रूप में परिभाषित किया गया है $$t = 0$$. पीएफडी राज्य $$i(0)$$ पीएफडी प्रारंभिक अवस्था द्वारा निर्धारित किया जाता है $$i(0-)$$, VCO के प्रारंभिक चरण में बदलाव $$\theta_{vco}(0)$$ और रेफरी $$\theta_{ref}(0)$$ संकेत।

इनपुट करंट के बीच संबंध $$i(t)$$ और आउटपुट वोल्टेज $$v_F(t)$$ एक के लिए प्रतिरोधी और संधारित्र के आधार पर आनुपातिक रूप से एकीकृत (परिपूर्ण पीआई) फ़िल्टर निम्नानुसार है

\begin{align} v_F(t) = v_c(0) + Ri(t) + \frac{1}{C}\int\limits_0^t i(\tau)d\tau \end{align} $$ कहाँ $$R>0$$ एक प्रतिरोध है, $$C>0$$ एक समाई है, और $$v_c(t)$$ कैपेसिटर चार्ज है। नियंत्रण संकेत $$v_F(t)$$ VCO आवृत्ति समायोजित करता है:

\begin{align} \dot\theta_{vco}(t) = \omega_{vco}(t) = \omega_{vco}^{\text{free}} + K_{vco}v_F(t), \end{align} $$ कहाँ $$\omega_{vco}^{\text{free}}$$ VCO फ्री-रनिंग (मौन) आवृत्ति है (यानी के लिए $$v_F(t)\equiv 0$$), $$K_{vco}$$ VCO लाभ (संवेदनशीलता) है, और $$\theta_{vco}(t)$$ VCO चरण है। अंत में, सीपी-पीएलएल का निरंतर समय अरैखिक गणितीय मॉडल इस प्रकार है

\begin{align} \dot v_c(t) = \tfrac{1}{C}i(t), \quad \dot\theta_{vco}(t) = \omega_{vco}^{\text{free}} + K_{vco} (         Ri(t)          + v_c(t)        ) \end{align} $$ निम्नलिखित असंतुलित टुकड़ा-वार निरंतर अरैखिकता के साथ

i(t) = i\big(i(t-), \theta_{ref}(t), \theta_{vco}(t)\big) $$ और प्रारंभिक शर्तें $$\big(v_c(0), \theta_{vco}(0)\big)$$. यह मॉडल एक अरैखिक, गैर-स्वायत्त, असंतुलित, स्विचिंग सिस्टम है।

दूसरे क्रम के CP-PLL
का असतत समय अरैखिक मॉडल संदर्भ संकेत आवृत्ति को स्थिर माना जाता है: $$ \theta_{ref}(t) = \omega_{ref}t = \frac{t}{T_{ref}}, $$ कहाँ $$T_{ref}$$, $$\omega_{ref}$$ और $$\theta_{ref}(t)$$ एक अवधि, आवृत्ति और संदर्भ संकेत का एक चरण है। होने देना $$t_0 = 0$$. द्वारा निरूपित करें $$t_0^{\rm middle}$$ समय का पहला पल ऐसा कि पीएफडी आउटपुट शून्य हो जाता है (अगर $$i(0)=0$$, तब $$t_0^{\rm middle}=0$$) और तक $$t_1$$ VCO या Ref का पहला अनुगामी किनारा। आगे इसी बढ़ते क्रम $$\{t_k\}$$ और $$\{t_k^{\rm middle}\}$$ के लिए $$k=0,1,2...$$ परिभाषित किया गया हैं। होने देना $$t_k < t_k^{\rm middle}$$. फिर के लिए $$t \in [t_k,t_k^{\rm middle})$$ $$\text{sign}(i(t))$$ एक गैर-शून्य स्थिरांक है ($$\pm1$$). द्वारा निरूपित करें $$\tau_k$$ पीएफडी पल्स चौड़ाई (समय अंतराल की लंबाई, जहां पीएफडी आउटपुट गैर-शून्य स्थिर है), पीएफडी आउटपुट के संकेत से गुणा किया जाता है: अर्थात। $$ \tau_k = (t_k^{\rm middle} - t_k)\text{sign}(i(t)) $$ के लिए $$ t \in [t_k,t_k^{\rm middle}) $$ और $$ \tau_k = 0 $$ के लिए $$ t_k=t_k^{\rm middle} $$. यदि VCO ट्रेलिंग एज Ref ट्रेलिंग एज से पहले हिट करता है, तब $$\tau_k < 0$$ और विपरीत स्थिति में हमारे पास है $$\tau_k > 0$$, अर्थात। $$\tau_k$$ दिखाता है कि कैसे एक सिग्नल दूसरे से पिछड़ जाता है। पीएफडी का शून्य उत्पादन $$i(t) \equiv 0$$ अंतराल पर $$(t_k^{\rm middle},t_{k+1})$$: $$ v_F(t) \equiv v_k $$ के लिए $$ t \in [t_k^{\rm middle},t_{k+1}) $$. चर का परिवर्तन $$(\tau_k,v_k)$$ को $$   p_k = \frac{\tau_k}{T_{\rm ref}},     u_k=T_{\rm ref}      ( \omega_{\rm vco}^{\text{free}} + K_{\rm vco}v_k ) - 1, $$ पैरामीटर की संख्या को दो तक कम करने की अनुमति देता है: $$   \alpha = K_{\rm vco}I_pT_{\rm ref}R,     \beta = \frac{K_{\rm vco}I_pT_{\rm ref}^2}{2C}. $$ यहाँ $$p_k$$ एक सामान्यीकृत चरण बदलाव है और $$u_k+1$$ VCO आवृत्ति का अनुपात है $$\omega_{\rm vco}^{\text{free}} + K_{\rm vco}v_k$$ संदर्भ आवृत्ति के लिए $$\frac{1}{T_{\rm ref}}$$. अंत में, VCO अधिभार के बिना दूसरे क्रम CP-PLL का असतत-समय मॉडल

\begin{align} & u_{k+1} =  u_k +2\beta p_{k+1},\\ & p_{k+1} = \begin{cases} \frac{-(u_k + \alpha + 1) + \sqrt{(u_k + \alpha + 1)^2 - 4\beta c_k}}{2\beta}, \quad \text{ for } p_k \geq 0, \quad c_k \leq 0, \\     \frac{1}{ u_k + 1} -1 + ( p_k \text{ mod }1), \quad \text{ for } p_k \geq 0, \quad c_k > 0, \\     l_k-1, \quad \text{ for } p_k < 0, \quad l_k \leq 1, \\     \frac{-(u_k + \alpha + 1) + \sqrt{(u_k + \alpha + 1)^2 - 4\beta d_k}}{2\beta}, \quad \text{ for } p_k < 0, \quad l_k > 1, \end{cases} \end{align} $$ कहाँ

\begin{align} c_k = (1 - ( p_k \text{ mod }1))( u_k +1) - 1, S_{l_k} = -( u_k - \alpha + 1 ) p_k + \beta p_k^2, l_k = \frac{1 - (S_{l_k} \text{ mod }1)}{ u_k + 1}, d_k = (S_{l_k} \text{ mod }1) + u_k. \end{align} $$ इस असतत-समय के मॉडल में केवल एक ही स्थिर अवस्था है $$(u_k=0,p_k=0)$$ और होल्ड-इन और पुल-इन रेंज का अनुमान लगाने की अनुमति देता है।

यदि VCO अतिभारित है, अर्थात $$ \dot\theta_{\rm vco}(t)$$ शून्य है, या वही क्या है: $$ (p_k>0, u_k<2\beta p_k-1)$$ या $$(p_k<0, u_k<\alpha-1)$$, फिर CP-PLL गतिकी के अतिरिक्त मामले ध्यान में रखा जाना है। किसी भी पैरामीटर के लिए वीसीओ अधिभार वीसीओ और संदर्भ संकेतों के बीच पर्याप्त रूप से बड़े आवृत्ति अंतर के लिए हो सकता है। व्यवहार में VCO अधिभार से बचना चाहिए।

उच्च-क्रम सीपी-पीएलएल
के अरैखिक मॉडल उच्च-क्रम सीपी-पीएलएल के गैर-रैखिक गणितीय मॉडल की व्युत्पत्ति ट्रान्सेंडैंटल चरण समीकरणों की ओर ले जाती है जिन्हें विश्लेषणात्मक रूप से हल नहीं किया जा सकता है और शास्त्रीय निश्चित-बिंदु विधि या न्यूटन-रैफसन दृष्टिकोण जैसे संख्यात्मक दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है।