सामान्य उपसमूह

सार बीजगणित में, एक सामान्य उपसमूह (जिसे एक अपरिवर्तनीय उपसमूह या स्व-संयुग्मित उपसमूह के रूप में भी जाना जाता है) एक उपसमूह है जो समूह (गणित) के सदस्यों द्वारा आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म के तहत अपरिवर्तनीय है, जिसका यह एक हिस्सा है। दूसरे शब्दों में, एक उपसमूह $$N$$ समूह का $$G$$ में सामान्य है $$G$$ अगर और केवल अगर $$gng^{-1} \in N$$ सभी के लिए $$g \in G$$ और $$n \in N.$$ इस संबंध के लिए सामान्य संकेतन है $$N \triangleleft G.$$ सामान्य उपसमूह महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वे (और केवल वे) दिए गए समूह के भागफल समूहों के निर्माण के लिए उपयोग किए जा सकते हैं। इसके अलावा, के सामान्य उपसमूह $$G$$ एक समारोह के डोमेन के साथ समूह समरूपता के एक समरूपता के कर्नेल हैं $$G,$$ जिसका अर्थ है कि उनका उपयोग उन समरूपताओं को आंतरिक रूप से वर्गीकृत करने के लिए किया जा सकता है।

एवरिस्ट गैलोइस सामान्य उपसमूहों के अस्तित्व के महत्व को समझने वाले पहले व्यक्ति थे।

परिभाषाएँ
एक उपसमूह $$N$$ एक समूह का $$G$$ का सामान्य उपसमूह कहलाता है $$G$$ अगर यह आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म के तहत अपरिवर्तनीय है; वह है, के एक तत्व का संयुग्मन $$N$$ के एक तत्व द्वारा $$G$$ हमेशा अंदर होता है $$N.$$ इस संबंध के लिए सामान्य अंकन है $$N \triangleleft G.$$

समतुल्य शर्तें
किसी भी उपसमूह के लिए $$N$$ का $$G,$$ निम्न स्थितियाँ तार्किक तुल्यता हैं $$N$$ का एक सामान्य उपसमूह होना $$G.$$ इसलिए, उनमें से किसी एक को परिभाषा के रूप में लिया जा सकता है:


 * के संयुग्मन की छवि $$N$$ के किसी भी तत्व द्वारा $$G$$ का उपसमुच्चय है $$N.$$
 * के संयुग्मन की छवि $$N$$ के किसी भी तत्व द्वारा $$G$$ के बराबर है $$N.$$
 * सभी के लिए $$g \in G,$$ बाएँ और दाएँ कोसेट $$gN$$ और $$Ng$$ बराबर हैं।
 * के बाएँ और दाएँ सह समुच्चय  के सेट $$N$$ में $$G$$ संयोग।
 * के बाएँ सहसमुच्चय के एक तत्व का गुणनफल $$N$$ इसके संबंध में $$g$$ और के बाएं कोसेट का एक तत्व $$N$$ इसके संबंध में $$h$$ के बाएं सहसमुच्चय का एक तत्व है $$N$$ इसके संबंध में $$g h$$: सभी के लिए $$x, y, g, h \in G,$$ अगर $$x \in g N$$और $$y \in h N$$ तब $$x y \in (g h) N.$$
 * $$N$$ के संयुग्मन वर्गों का एक संघ (सेट सिद्धांत) है $$G.$$
 * $$N$$ के आंतरिक automorphisms द्वारा संरक्षित है $$G.$$
 * कुछ समूह समरूपता है $$G \to H$$ जिसका कर्नेल (बीजगणित) है $$N.$$
 * पर कुछ सर्वांगसम संबंध है $$G$$ जिसके लिए तत्समक तत्व का तुल्यता वर्ग है $$N$$.
 * सभी के लिए $$n\in N$$ और $$g\in G,$$ कम्यूटेटर $$[n,g] = n^{-1} g^{-1} n g$$ में है $$N.$$
 * कोई भी दो तत्व सामान्य उपसमूह सदस्यता संबंध के बारे में बताते हैं। यानी सभी के लिए $$g, h \in G,$$ $$g h \in N$$ अगर और केवल अगर $$h g \in N.$$

उदाहरण
किसी भी समूह के लिए $$G,$$ तुच्छ उपसमूह $$\{ e \}$$ के सिर्फ पहचान तत्व से मिलकर $$G$$ का हमेशा एक सामान्य उपसमूह होता है $$G.$$ वैसे ही, $$G$$ स्वयं हमेशा का एक सामान्य उपसमूह होता है $$G.$$ (यदि ये केवल सामान्य उपसमूह हैं, तो $$G$$ सरल समूह कहा जाता है।) एक स्वैच्छिक समूह के अन्य नामित सामान्य उपसमूहों में केंद्र (समूह सिद्धांत) (तत्वों का समूह जो अन्य सभी तत्वों के साथ संचार करता है) और कम्यूटेटर उपसमूह शामिल हैं $$[G,G].$$ अधिक आम तौर पर, चूंकि संयुग्मन एक समरूपता है, कोई भी विशेषता उपसमूह एक सामान्य उपसमूह है।

अगर $$G$$ प्रत्येक उपसमूह की तुलना में एक एबेलियन समूह है $$N$$ का $$G$$ सामान्य है, क्योंकि $$gN = \{gn\}_{n\in N} = \{ng\}_{n\in N} = Ng.$$ एक समूह जो एबेलियन नहीं है, लेकिन जिसके लिए प्रत्येक उपसमूह सामान्य है, हैमिल्टनियन समूह कहलाता है।

सामान्य उपसमूह का एक ठोस उदाहरण उपसमूह है $$N = \{(1), (123), (132)\}$$ सममित समूह का $$S_3,$$ पहचान और दोनों तीन चक्रों से मिलकर। विशेष रूप से, कोई यह जांच सकता है कि प्रत्येक सहसमुच्चय $$N$$ या तो के बराबर है $$N$$ स्वयं या उसके बराबर है $$(12)N = \{ (12), (23), (13)\}.$$ दूसरी ओर, उपसमूह $$H = \{(1), (12)\}$$ में सामान्य नहीं है $$S_3$$ तब से $$(123)H = \{(123), (13) \} \neq \{(123), (23) \} = H(123).$$ यह सामान्य तथ्य को दर्शाता है कि कोई भी उपसमूह $$H \leq G$$ सूचकांक दो का सामान्य है।

रुबिक के क्यूब समूह में, संचालन वाले उपसमूह जो केवल कोने के टुकड़े या किनारे के टुकड़े के उन्मुखीकरण को प्रभावित करते हैं, सामान्य होते हैं।

अनुवाद समूह किसी भी आयाम में यूक्लिडियन समूह का एक सामान्य उपसमूह है। इसका अर्थ है: एक कठोर परिवर्तन लागू करना, उसके बाद एक अनुवाद और फिर व्युत्क्रम कठोर परिवर्तन, एकल अनुवाद के समान प्रभाव डालता है। इसके विपरीत, उत्पत्ति के बारे में सभी ROTATION  का उपसमूह यूक्लिडियन समूह का एक सामान्य उपसमूह नहीं है, जब तक आयाम कम से कम 2 है: पहले अनुवाद करना, फिर उत्पत्ति के बारे में घूमना, और फिर वापस अनुवाद करना आमतौर पर मूल को ठीक नहीं करेगा और इसलिए उत्पत्ति के बारे में एक चक्कर के समान प्रभाव नहीं होगा।

गुण

 * अगर $$H$$ का सामान्य उपसमूह है $$G,$$ और $$K$$ का एक उपसमूह है $$G$$ युक्त $$H,$$ तब $$H$$ का सामान्य उपसमूह है $$K.$$
 * किसी समूह के सामान्य उपसमूह के सामान्य उपसमूह का समूह में सामान्य होना आवश्यक नहीं है। अर्थात्, सामान्यता सकर्मक संबंध नहीं है। इस घटना को प्रदर्शित करने वाला सबसे छोटा समूह क्रम 8 का डायहेड्रल समूह है। हालांकि, सामान्य उपसमूह का एक विशेषता उपसमूह सामान्य है। एक समूह जिसमें सामान्यता सकर्मक होती है उसे T-समूह (गणित)|T-समूह कहा जाता है।
 * दो समूह $$G$$ और $$H$$ उनके समूहों के प्रत्यक्ष उत्पाद के सामान्य उपसमूह हैं $$G \times H.$$
 * यदि समूह $$G$$ एक अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है $$G = N \rtimes H,$$ तब $$N$$ में सामान्य है $$G,$$ यद्यपि $$H$$ में सामान्य नहीं होना चाहिए $$G.$$
 * अगर $$M$$ और $$N$$ योगात्मक समूह के सामान्य उपसमूह हैं $$G$$ ऐसा है कि $$G = M + N$$ और $$M \cap N = \{0\}$$, तब $$G = M \oplus N.$$
 * प्रक्षेप्य समरूपता के तहत सामान्यता संरक्षित है; यानी अगर $$G \to H$$ एक विशेषण समूह समरूपता है और $$N$$ में सामान्य है $$G,$$ फिर छवि $$f(N)$$ में सामान्य है $$H.$$
 * प्रतिलोम छवि लेकर सामान्यता को बनाए रखा जाता है; यानी अगर $$G \to H$$ एक समूह समरूपता है और $$N$$ में सामान्य है $$H,$$ फिर उलटा चित्र $$f^{-1}(N)$$ में सामान्य है $$G.$$
 * समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद लेने पर सामान्यता बनी रहती है; यानी अगर $$N_1 \triangleleft G_1$$ और $$N_2 \triangleleft G_2,$$ तब $$N_1 \times N_2\; \triangleleft \;G_1 \times G_2.$$
 * इंडेक्स (समूह सिद्धांत) 2 का प्रत्येक उपसमूह सामान्य है। अधिक सामान्यतः, एक उपसमूह, $$H,$$ परिमित सूचकांक का, $$n,$$ में $$G$$ एक उपसमूह शामिल है, $$K,$$ में सामान्य $$G$$ और सूचकांक विभाजन की $$n!$$ सामान्य कोर कहा जाता है। विशेष रूप से, अगर $$p$$ के क्रम को विभाजित करने वाला सबसे छोटा अभाज्य है $$G,$$ फिर index $$p$$ यह सामान्य है।
 * तथ्य यह है कि के सामान्य उपसमूह $$G$$ निश्चित रूप से परिभाषित समूह समरूपता के मूल हैं $$G$$ सामान्य उपसमूहों के कुछ महत्व के लिए खाते; वे एक समूह पर परिभाषित सभी समरूपताओं को आंतरिक रूप से वर्गीकृत करने का एक तरीका हैं। उदाहरण के लिए, एक गैर-पहचान परिमित समूह सरल समूह है यदि और केवल अगर यह अपनी सभी गैर-पहचान समरूप छवियों के लिए आइसोमोर्फिक है, एक परिमित समूह पूर्ण समूह है यदि और केवल यदि उसके उपसमूह के प्रधान सूचकांक का कोई सामान्य उपसमूह नहीं है, और एक समूह अपूर्ण समूह है यदि और केवल यदि व्युत्पन्न उपसमूह किसी उचित सामान्य उपसमूह द्वारा पूरक नहीं है।

सामान्य उपसमूहों की जाली
दो सामान्य उपसमूहों को देखते हुए, $$N$$ और $$M,$$ का $$G,$$ उनका चौराहा $$N\cap M$$और उनका उत्पाद $$N M = \{n m : n \in N\; \text{ and }\; m \in M \}$$ के सामान्य उपसमूह भी हैं $$G.$$ के सामान्य उपसमूह $$G$$ कम से कम तत्व के साथ सबसेट समावेशन के तहत एक जाली (आदेश) बनाएं, $$\{ e \},$$ और सबसे बड़ा तत्व, $$G.$$ दो सामान्य उपसमूहों का मिलन (जाली सिद्धांत), $$N$$ और $$M,$$ इस जाली में उनका चौराहा है और जुड़ना (जाली सिद्धांत) उनका उत्पाद है।

जाली पूर्ण जाली और मॉड्यूलर जाली है।

सामान्य उपसमूह, भागफल समूह और समरूपता
अगर $$N$$ एक सामान्य उपसमूह है, हम सहसमुच्चय पर गुणन को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं: $$\left(a_1 N\right) \left(a_2 N\right) := \left(a_1 a_2\right) N.$$ यह संबंध मानचित्रण को परिभाषित करता है $$G/N\times G/N \to G/N.$$ यह दिखाने के लिए कि यह मैपिंग अच्छी तरह से परिभाषित है, किसी को प्रतिनिधि तत्वों की पसंद को साबित करने की जरूरत है $$a_1, a_2$$ परिणाम को प्रभावित नहीं करता। इसके लिए, कुछ अन्य प्रतिनिधि तत्वों पर विचार करें $$a_1'\in a_1 N, a_2' \in a_2 N.$$ फिर हैं $$n_1, n_2\in N$$ ऐसा है कि $$a_1' = a_1 n_1, a_2' = a_2 n_2.$$ यह इस प्रकार है कि $$a_1' a_2' N = a_1 n_1 a_2 n_2 N =a_1 a_2 n_1' n_2 N=a_1 a_2 N,$$जहां हमने इस तथ्य का भी उपयोग किया $$N$$ एक है उपसमूह, और इसलिए वहाँ है $$n_1'\in N$$ ऐसा है कि $$n_1 a_2 = a_2 n_1'.$$ यह साबित करता है कि यह उत्पाद कोसेट्स के बीच एक अच्छी तरह से परिभाषित मैपिंग है।

इस संक्रिया के साथ, सहसमुच्चयों का समुच्चय अपने आप में एक समूह होता है, जिसे भागफल समूह कहा जाता है और इसे से निरूपित किया जाता है $$G/N.$$ एक प्राकृतिक समूह समरूपता है, $$f : G \to G/N,$$ द्वारा दिए गए $$f(a) = a N.$$ यह समरूपता मानचित्र $$N$$ के पहचान तत्व में $$G/N,$$ जो कि कोसेट है $$e N = N,$$ वह है, $$\ker(f) = N.$$ सामान्य तौर पर, एक समूह समरूपता, $$f : G \to H$$ के उपसमूह भेजता है $$G$$ उपसमूहों के लिए $$H.$$ इसके अलावा, के किसी भी उपसमूह की पूर्वछवि $$H$$ का एक उपसमूह है $$G.$$ हम तुच्छ समूह की प्रीइमेज कहते हैं $$\{ e \}$$ में $$H$$ समरूपता का कर्नेल (बीजगणित) और इसे निरूपित करें $$\ker f.$$ जैसा कि यह पता चला है, कर्नेल हमेशा सामान्य होता है और इसकी छवि $$G, f(G),$$ के लिए हमेशा समरूप  होता है $$G / \ker f$$ (पहला समरूपता प्रमेय)। वास्तव में, यह पत्राचार सभी भागफल समूहों के समुच्चय के बीच एक आक्षेप है $$G, G / N,$$ और सभी समरूप छवियों का सेट $$G$$ (समरूपता तक)। यह देखना भी आसान है कि भागफल मानचित्र का कर्नेल, $$f : G \to G/N,$$ है $$N$$ स्वयं, इसलिए सामान्य उपसमूह एक फ़ंक्शन के डोमेन के साथ समरूपता के गुठली हैं $$G.$$

सामान्य उपसमूह और साइलो प्रमेय
दूसरा साइलो प्रमेय कहता है: यदि $$P$$ और $$K$$ एक समूह के साइलो पी-उपसमूह हैं $$G$$, तो वहाँ मौजूद है $$x \in G$$ ऐसा है कि $$P = x^{-1}Kx.$$ उपरोक्त प्रमेय का सीधा परिणाम है: होने देना $$G$$ एक परिमित समूह हो और $$K$$ कुछ प्राइम के लिए एक साइलो पी-सबग्रुप $$p$$. तब $$K$$ में सामान्य है $$G$$ अगर और केवल अगर $$K$$ में एकमात्र साइलो पी-उपसमूह है $$G$$.

उपसमूहों को उपसमूहों में ले जाने वाली संक्रियाएं

 * नॉर्मलाइज़र
 * संयुग्म बंद
 * सामान्य कोर

सामान्यता के पूरक (या विपरीत) उपसमूह गुण

 * [[असामान्य उपसमूह]]
 * विषम उपसमूह
 * असामान्य उपसमूह
 * स्व-सामान्यीकरण उपसमूह

उपसमूह गुण सामान्य से अधिक मजबूत

 * विशेषता उपसमूह
 * पूरी तरह से विशिष्ट उपसमूह

सामान्य से कमजोर उपसमूह गुण

 * उपसामान्य उपसमूह
 * आरोही उपसमूह
 * वंशज उपसमूह
 * अर्धसामान्य उपसमूह
 * सेमिनोर्मल उपसमूह
 * संयुग्मी क्रमपरिवर्तनीय उपसमूह
 * मॉड्यूलर उपसमूह
 * सार्वनामिक उपसमूह
 * [[असामान्य उपसमूह]]
 * बहुसामान्य उपसमूह
 * सी-सामान्य उपसमूह

बीजगणित में संबंधित धारणाएं

 * आदर्श (अंगूठी सिद्धांत)

अग्रिम पठन

 * I. N. Herstein, Topics in algebra. Second edition. Xerox College Publishing, Lexington, Mass.-Toronto, Ont., 1975. xi+388 pp.

बाहरी संबंध

 * Normal subgroup in Springer's Encyclopedia of Mathematics
 * Robert Ash: Group Fundamentals in Abstract Algebra. The Basic Graduate Year
 * Timothy Gowers, Normal subgroups and quotient groups
 * John Baez, What's a Normal Subgroup?
 * John Baez, What's a Normal Subgroup?