वास्तविक चर का फलन

गणितीय विश्लेषण में, और ज्यामिति में अनुप्रयोग, अनुप्रयुक्त गणित, अभियांत्रिकी  और प्राकृतिक विज्ञान, एक वास्तविक चर का एक फलन एक फलन (गणित) होता है जिसका फलन का क्षेत्र वास्तविक संख्याएँ होती हैं। $$\mathbb{R}$$, या का एक उपसमूह $$\mathbb{R}$$ जिसमें सकारात्मक लंबाई का अंतराल (गणित) होता है। अधिकांश वास्तविक फलन जिन पर विचार किया जाता है और जिनका अध्ययन किया जाता है, वे कुछ अंतराल में अवकलनीय फलन होते हैं। सबसे व्यापक रूप से माने जाने वाले ऐसे कार्य वास्तविक कार्य हैं, जो वास्तविक चर के वास्तविक-मूल्यवान कार्य हैं, अर्थात, एक वास्तविक चर के कार्य जिसका कोडोमेन वास्तविक संख्याओं का समूह है।

फिर भी, एक वास्तविक चर के फलन का कोडोमेन कोई भी समुच्चय हो सकता है। हालांकि, अक्सर यह माना जाता है कि इसकी एक संरचना है $$\mathbb{R}$$-सदिश स्थान वास्तविक से अधिक। अर्थात, कोडोमेन एक यूक्लिडियन अंतरिक्ष, एक समन्वय वेक्टर, दिए गए आकार की वास्तविक संख्याओं के मैट्रिक्स (गणित) का सेट या एक हो सकता है। $$\mathbb{R}$$एक क्षेत्र पर बीजगणित, जैसे जटिल संख्याएं या चतुष्कोण। ढांचा $$\mathbb{R}$$कोडोमेन का -वेक्टर स्थान एक संरचना को प्रेरित करता है $$\mathbb{R}$$कार्यों पर वेक्टर स्थान। यदि कोडोमेन की संरचना है $$\mathbb{R}$$-बीजगणित, कार्यों के लिए भी यही सच है।

एक वास्तविक चर के एक समारोह की छवि (गणित) कोडोमेन में एक वक्र (गणित) है। इस संदर्भ में, एक फलन जो वक्र को परिभाषित करता है, वक्र का पैरामीट्रिक समीकरण कहलाता है।

जब किसी वास्तविक चर के फलन का कोडोमेन परिमित-आयामी सदिश स्थान होता है, तो फलन को वास्तविक फलनों के अनुक्रम के रूप में देखा जा सकता है। यह अक्सर अनुप्रयोगों में प्रयोग किया जाता है।

वास्तविक कार्य
एक वास्तविक कार्य एक उपसमुच्चय से एक कार्य (गणित) है $$\mathbb R$$ को $$\mathbb R,$$ कहाँ $$\mathbb R$$ हमेशा की तरह वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को दर्शाता है। अर्थात्, वास्तविक फलन के फलन का प्रांत उपसमुच्चय होता है $$\mathbb R$$, और इसका कोडोमेन है $$\mathbb R.$$ आम तौर पर यह माना जाता है कि डोमेन में सकारात्मक लंबाई का अंतराल (गणित) होता है।

बुनियादी उदाहरण
कई सामान्य रूप से उपयोग किए जाने वाले वास्तविक उसकार्यों के लिए, डोमेन वास्तविक संख्याओं का पूरा सेट है, और डोमेन के प्रत्येक बिंदु पर कार्य [[निरंतर कार्य]] और भिन्न कार्य है। एक का कहना है कि ये कार्य हर जगह परिभाषित, निरंतर और अलग-अलग होते हैं। यह मामला है:
 * निरंतर कार्यों और रैखिक कार्यों (पथरी) सहित सभी बहुपद कार्य
 * ज्या और कोज्या  कार्य करता है
 * घातांक प्रकार्य

कुछ फ़ंक्शन हर जगह परिभाषित होते हैं, लेकिन कुछ बिंदुओं पर निरंतर नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए
 * हैवीसाइड स्टेप फंक्शन को हर जगह परिभाषित किया गया है, लेकिन शून्य पर निरंतर नहीं।

कुछ कार्य हर जगह परिभाषित और निरंतर होते हैं, लेकिन हर जगह अलग-अलग नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए
 * निरपेक्ष मान हर जगह परिभाषित और निरंतर है, और शून्य को छोड़कर हर जगह अलग-अलग है।
 * घनमूल हर जगह परिभाषित और निरंतर है, और शून्य को छोड़कर हर जगह अलग-अलग है।

कई सामान्य कार्यों को हर जगह परिभाषित नहीं किया जाता है, लेकिन वे हर जगह निरंतर और अलग-अलग होते हैं जहां उन्हें परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए:
 * एक परिमेय फलन दो बहुपद फलनों का भागफल होता है, और हर के किसी फलन के शून्य पर परिभाषित नहीं होता है।
 * स्पर्शरेखा समारोह के लिए परिभाषित नहीं है $$\frac\pi 2 + k\pi,$$ कहाँ $k$ कोई पूर्णांक है।
 * लघुगणक फलन केवल चर के धनात्मक मानों के लिए परिभाषित किया गया है।

कुछ कार्य अपने पूरे डोमेन में निरंतर होते हैं, और कुछ बिंदुओं पर अलग-अलग नहीं होते हैं। यह मामला है:
 * वर्गमूल को केवल चर के गैर-नकारात्मक मानों के लिए परिभाषित किया गया है, और 0 पर अवकलनीय नहीं है (यह चर के सभी धनात्मक मानों के लिए अवकलनीय है)।

सामान्य परिभाषा
एक वास्तविक चर का एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन एक फ़ंक्शन (गणित) है जो इनपुट के रूप में एक वास्तविक संख्या लेता है, जिसे आमतौर पर चर (गणित) x द्वारा दर्शाया जाता है, एक और वास्तविक संख्या उत्पन्न करने के लिए, जिसका मूल्य फ़ंक्शन, जिसे आमतौर पर f(x) के रूप में दर्शाया जाता है। सादगी के लिए, इस लेख में एक वास्तविक चर के वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन को केवल एक फ़ंक्शन कहा जाएगा। किसी भी अस्पष्टता से बचने के लिए, होने वाले अन्य प्रकार के कार्यों को स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट किया जाएगा।

कुछ कार्यों को चर के सभी वास्तविक मूल्यों के लिए परिभाषित किया गया है (एक कहता है कि वे हर जगह परिभाषित हैं), लेकिन कुछ अन्य कार्यों को केवल तभी परिभाषित किया जाता है जब चर का मान ℝ के उपसमुच्चय X में लिया जाता है, का डोमेन फ़ंक्शन का एक फ़ंक्शन, जिसमें हमेशा सकारात्मक लंबाई का अंतराल (गणित) होता है। दूसरे शब्दों में, वास्तविक चर का वास्तविक-मूल्यवान फलन फलन होता है


 * $$f: X \to \R $$

जैसे कि इसका डोमेन X ℝ का एक उपसमुच्चय है जिसमें सकारात्मक लंबाई का अंतराल होता है।

एक चर में एक फ़ंक्शन का एक सरल उदाहरण हो सकता है:


 * $$ f : X \to \R $$
 * $$ X = \{ x \in \R \,:\, x \geq 0\} $$
 * $$ f(x) = \sqrt{x}$$

जो x का वर्गमूल है।

छवि
किसी फ़ंक्शन की छवि (गणित)। $$f(x)$$ के सभी मानों का समुच्चय है $f$ जब चर x के पूरे डोमेन में चलता है $f$. एक जुड़े हुए डोमेन के साथ एक निरंतर (परिभाषा के लिए नीचे देखें) वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन के लिए, छवि या तो एक अंतराल (गणित) या एक मान है। बाद के मामले में, फ़ंक्शन एक स्थिर फ़ंक्शन है।

दी गई वास्तविक संख्या y की पूर्वछवि समीकरण के समाधान का समुच्चय है y = f(x).

डोमेन
कई वास्तविक चर के फ़ंक्शन के फ़ंक्शन का डोमेन ℝ का एक सबसेट है जिसे कभी-कभी स्पष्ट रूप से परिभाषित किया जाता है। वास्तव में, यदि कोई फ़ंक्शन f के डोमेन X को एक उपसमुच्चय Y ⊂ X तक सीमित करता है, तो औपचारिक रूप से एक भिन्न फ़ंक्शन प्राप्त होता है, f से Y तक प्रतिबंध, जिसे f से दर्शाया जाता हैundefined. व्यवहार में, अक्सर f और f की पहचान करना हानिकारक नहीं होता हैundefined, और सबस्क्रिप्ट को छोड़ने के लिए undefined.

इसके विपरीत, कभी-कभी किसी दिए गए फ़ंक्शन के डोमेन को स्वाभाविक रूप से बढ़ाना संभव होता है, उदाहरण के लिए निरंतर कार्य या विश्लेषणात्मक निरंतरता से। इसका मतलब यह है कि यह वास्तविक चर के कार्य के डोमेन को स्पष्ट रूप से परिभाषित करने के योग्य नहीं है।

बीजगणितीय संरचना
अंकगणितीय संक्रियाओं को निम्नलिखित तरीके से कार्यों पर लागू किया जा सकता है:
 * प्रत्येक वास्तविक संख्या r के लिए, अचर फलन $$(x)\mapsto r$$, हर जगह परिभाषित है।
 * प्रत्येक वास्तविक संख्या r और प्रत्येक फलन f के लिए, फलन $$rf:(x)\mapsto rf(x)$$ का डोमेन f के समान ही है (या यदि r = 0 है तो हर जगह परिभाषित है)।
 * यदि f और g संबंधित डोमेन X और Y के दो कार्य हैं जैसे कि X∩Y में ℝ का एक खुला उपसमुच्चय है, फिर $$f+g:(x)\mapsto f(x)+g(x)$$ और $$f\,g:(x)\mapsto f(x)\,g(x)$$ ऐसे कार्य हैं जिनमें डोमेन युक्त है X∩Y.

यह निम्नानुसार है कि n चर के कार्य जो हर जगह परिभाषित हैं और n चर के कार्य जो किसी दिए गए बिंदु के कुछ पड़ोस (गणित) में परिभाषित हैं, दोनों वास्तविक (ℝ-बीजगणित) पर कम्यूटेटिव बीजगणित (संरचना) बनाते हैं।

कोई इसी तरह परिभाषित कर सकता है $$1/f:(x)\mapsto 1/f(x),$$ जो केवल एक कार्य है यदि अंक का सेट (x) f के डोमेन में ऐसा है कि f(x) ≠ 0 में ℝ का खुला उपसमुच्चय होता है। इस बाधा का तात्पर्य है कि उपरोक्त दो बीजगणित क्षेत्र (गणित) नहीं हैं।

निरंतरता और सीमा
19वीं शताब्दी के दूसरे भाग तक, गणितज्ञों द्वारा केवल निरंतर कार्यों पर विचार किया जाता था। उस समय, एक टोपोलॉजिकल स्पेस की औपचारिक परिभाषा और टोपोलॉजिकल स्पेस के बीच एक सतत मानचित्र से काफी पहले एक या कई वास्तविक चर के कार्यों के लिए निरंतरता की धारणा को विस्तृत किया गया था। चूंकि एक वास्तविक चर के निरंतर कार्य गणित में सर्वव्यापी हैं, यह इस धारणा को टोपोलॉजिकल स्पेस के बीच निरंतर मानचित्रों की सामान्य धारणा के संदर्भ के बिना परिभाषित करने के लायक है।

निरंतरता को परिभाषित करने के लिए, ℝ के दूरी समारोह पर विचार करना उपयोगी होता है, जो कि 2 वास्तविक चरों का हर जगह परिभाषित कार्य है: $$d(x,y)=|x-y|$$ एक फलन f एक बिंदु पर 'सतत' है $$a$$ जो अपने डोमेन के लिए आंतरिक (टोपोलॉजी) है, यदि, प्रत्येक सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए $ε$, एक धनात्मक वास्तविक संख्या है $φ$ ऐसा है कि $$|f(x)-f(a)| < \varepsilon $$ सभी के लिए $$x$$ ऐसा है कि $$d(x,a)<\varphi.$$ दूसरे शब्दों में, $φ$ को इतना छोटा चुना जा सकता है कि त्रिज्या के अंतराल की छवि f द्वारा प्राप्त की जा सके $φ$ पर केंद्रित है $$a$$ लंबाई के अंतराल में निहित $2ε$ पर केंद्रित है $$f(a).$$ कोई फलन संतत होता है यदि वह अपने प्रांत के प्रत्येक बिंदु पर संतत हो।

एक वास्तविक चर के वास्तविक-मूल्यवान फलन की सीमा (गणित) इस प्रकार है। मान लीजिए कि फ़ंक्शन f के डोमेन X का क्लोजर (टोपोलॉजी) में एक बिंदु है। फलन, f की एक सीमा L होती है जब x, a की ओर प्रवृत्त होता है, निरूपित होता है
 * $$L = \lim_{x \to a} f(x), $$

यदि निम्न स्थिति संतुष्ट है: प्रत्येक धनात्मक वास्तविक संख्या ε > 0 के लिए, एक धनात्मक वास्तविक संख्या δ > 0 ऐसी होती है कि
 * $$|f(x) - L| < \varepsilon $$

डोमेन में सभी एक्स के लिए ऐसा है कि
 * $$d(x, a)< \delta.$$

यदि सीमा मौजूद है, तो यह अद्वितीय है। यदि a डोमेन के आंतरिक भाग में है, तो सीमा मौजूद है यदि और केवल यदि फलन a पर सतत है। इस मामले में, हमारे पास है
 * $$f(a) = \lim_{x \to a} f(x). $$

जब a, f के डोमेन की सीमा (टोपोलॉजी) में होता है, और यदि f की सीमा a पर होती है, तो बाद वाला सूत्र f के डोमेन को निरंतरता द्वारा विस्तारित करने की अनुमति देता है।

कलन
एक वास्तविक चर के प्रत्येक में कई कार्य एकत्र कर सकते हैं, कहते हैं


 * $$y_1 = f_1(x)\,,\quad y_2 = f_2(x)\,,\ldots, y_n = f_n(x) $$

एक्स द्वारा पैरामीट्रिज्ड वेक्टर में:


 * $$\mathbf{y} = (y_1, y_2, \ldots, y_n) = [f_1(x), f_2(x) ,\ldots, f_n(x)]  $$

सदिश y का व्युत्पन्न 'f' का सदिश व्युत्पन्न हैi(x) i = 1, 2, ..., n के लिए:


 * $$\frac{d\mathbf{y}}{dx} = \left(\frac{dy_1}{dx}, \frac{dy_2}{dx}, \ldots, \frac{dy_n}{dx}\right) $$

चर x के संबंध में एकीकृत करके स्थिति सदिश 'r' = 'r' (x) के साथ x द्वारा पैरामीट्रिज्ड अंतरिक्ष वक्र  के साथ  रेखा अभिन्न  भी कर सकते हैं:


 * $$\int_a^b \mathbf{y}(x) \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{y}(x) \cdot \frac{d\mathbf{r}(x)}{dx} dx $$

जहाँ · बिंदु उत्पाद है, और x = a और x = b वक्र के प्रारंभ और अंत बिंदु हैं।

प्रमेय
एकीकरण और डेरिवेटिव्स की परिभाषाओं के साथ, प्रमुख प्रमेयों को तैयार किया जा सकता है, जिसमें कैलकुस के मौलिक प्रमेय, भागों द्वारा एकीकरण, और टेलर के प्रमेय शामिल हैं। इंटीग्रल साइन के तहत प्रमेय भिन्नता का उपयोग करके इंटीग्रल और डेरिवेटिव के मिश्रण का मूल्यांकन किया जा सकता है।

अंतर्निहित कार्य
एक वास्तविक चर का वास्तविक-मूल्यवान अंतर्निहित कार्य y = f(x) के रूप में नहीं लिखा गया है। इसके बजाय, मैपिंग अंतरिक्ष ℝ से हैℝ में शून्य तत्व के लिए 2 (सिर्फ साधारण शून्य 0):


 * $$\phi: \R^2 \to \{0\} $$

और


 * $$\phi(x,y) = 0 $$

चरों में एक समीकरण है। अंतर्निहित कार्य कार्यों का प्रतिनिधित्व करने का एक अधिक सामान्य तरीका है, क्योंकि यदि:


 * $$y=f(x) $$

तो हम हमेशा परिभाषित कर सकते हैं:


 * $$ \phi(x, y) = y - f(x) = 0 $$

लेकिन इसका विलोम हमेशा संभव नहीं होता है, अर्थात सभी निहित कार्यों में इस समीकरण का रूप नहीं होता है।

सूत्रीकरण
कार्यों को देखते हुए, , ..., सभी एक सामान्य चर टी, ताकि:


 * $$\begin{align}

r_1 : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} & \quad r_2 : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} & \cdots & \quad r_n : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ r_1 = r_1(t) & \quad r_2 = r_2(t) & \cdots &  \quad r_n = r_n(t) \\ \end{align}$$ या एक साथ लिया:


 * $$\mathbf{r} : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n \,,\quad \mathbf{r} = \mathbf{r}(t) $$

फिर parametrized n-tuple,


 * $$\mathbf{r}(t) = [r_1(t), r_2(t), \ldots, r_n(t)] $$

एक आयामी अंतरिक्ष वक्र का वर्णन करता है।

वक्र के लिए स्पर्श रेखा
एक बिंदु पर किसी नियतांक t = c के लिए, उस बिंदु पर वक्र की एक-विमीय स्पर्श रेखा के समीकरण r के साधारण अवकलज के रूप में दिए गए हैं।1(टी), आर2(टी), ..., आरn(टी), और आर टी के संबंध में:


 * $$\frac{r_1(t) - a_1}{dr_1(t)/dt} = \frac{r_2(t) - a_2}{dr_2(t)/dt} = \cdots = \frac{r_n(t) - a_n}{dr_n(t)/dt} $$

वक्र के लिए सामान्य विमान
'आर' = 'ए' पर स्पर्श रेखा के सामान्य एन-आयामी हाइपरप्लेन का समीकरण है:


 * $$(p_1 - a_1)\frac{dr_1(t)}{dt} + (p_2 - a_2)\frac{dr_2(t)}{dt} + \cdots + (p_n - a_n)\frac{dr_n(t)}{dt} = 0$$

या डॉट उत्पाद के संदर्भ में:


 * $$(\mathbf{p} - \mathbf{a})\cdot \frac{d\mathbf{r}(t)}{dt} = 0$$

कहाँ समतल में बिंदु हैं, अंतरिक्ष वक्र पर नहीं।

कीनेमेटीक्स से संबंध
d'r'(t)/dt की भौतिक और ज्यामितीय व्याख्या पथ 'r'(t) के साथ चलने वाले बिंदु-जैसे कण का वेग है, जो 'r' को स्थानिक स्थिति वेक्टर के रूप में मानते हुए समय t द्वारा पैरामीट्रिज्ड निर्देशांक करता है। और गति की तात्कालिक दिशा में सभी टी के लिए अंतरिक्ष वक्र के लिए एक सदिश स्पर्शरेखा है। टी = सी पर, अंतरिक्ष वक्र में एक स्पर्शरेखा वेक्टर होता है dr(t)/dt, और t = c पर अंतरिक्ष वक्र के लिए सामान्य हाइपरप्लेन भी t = c पर स्पर्शरेखा के लिए सामान्य है। इस तल में कोई भी सदिश ('p' − 'a') के लिए सामान्य होना चाहिए dr(t)/dt.

इसी प्रकार, डी2आर(टी)/डीटी2 कण का त्वरण है, और वक्रता (गणित) के त्रिज्या के साथ निर्देशित वक्र के लिए सामान्य वेक्टर है।

मैट्रिक्स मूल्यवान कार्य
एक मैट्रिक्स (गणित) एकल चर का एक कार्य भी हो सकता है। उदाहरण के लिए, 2d में रोटेशन मैट्रिक्स:



R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{bmatrix}$$ उत्पत्ति के बारे में घूर्णन कोण का एक मैट्रिक्स मान फलन है। इसी तरह, विशेष आपेक्षिकता में, शुद्ध बूस्ट के लिए लोरेंत्ज़ रूपांतरण मैट्रिक्स (घूर्णन के बिना):



\Lambda(\beta) = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{1-\beta ^2}} & -\frac{\beta }{\sqrt{1-\beta ^2}} & 0 & 0 \\ -\frac{\beta }{\sqrt{1-\beta ^2}} & \frac{1}{\sqrt{1-\beta ^2}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$ बूस्ट पैरामीटर β = v/c का एक कार्य है, जिसमें v संदर्भ के फ्रेम (एक सतत चर) के बीच सापेक्ष वेग है, और c प्रकाश की गति है, एक स्थिर है।

बनच और हिल्बर्ट रिक्त स्थान और क्वांटम यांत्रिकी
पिछले खंड का सामान्यीकरण करते हुए, एक वास्तविक चर के एक फ़ंक्शन का आउटपुट बनच स्थान या हिल्बर्ट स्थान में भी हो सकता है। इन स्थानों में, विभाजन और गुणन और सीमाएँ सभी परिभाषित हैं, इसलिए व्युत्पन्न और अभिन्न जैसी धारणाएँ अभी भी लागू होती हैं। यह विशेष रूप से अक्सर क्वांटम यांत्रिकी में होता है, जहां कोई ब्रा-केट नोटेशन या ऑपरेटर (भौतिकी) का व्युत्पन्न लेता है। यह होता है, उदाहरण के लिए, सामान्य समय-निर्भर श्रोडिंगर समीकरण में:


 * $$i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi = \hat H \Psi$$

जहां कोई तरंग फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लेता है, जो कई अलग-अलग हिल्बर्ट रिक्त स्थान का तत्व हो सकता है।

एक वास्तविक चर
का जटिल-मूल्यवान कार्य

वास्तविक चर के एक जटिल-मूल्यवान कार्य को वास्तविक-मूल्यवान कार्यों की परिभाषा में, कोडोमेन को वास्तविक संख्याओं तक सीमित करने और जटिल संख्या मानों की अनुमति देकर परिभाषित किया जा सकता है।

अगर $f(x)$ इतना जटिल मूल्यवान कार्य है, इसे विघटित किया जा सकता है

कहाँ $f(x)$ और $g(x)$ वास्तविक-मूल्यवान कार्य हैं। दूसरे शब्दों में, जटिल मूल्यवान कार्यों का अध्ययन वास्तविक मूल्यवान कार्यों के जोड़े के अध्ययन के लिए आसानी से कम हो जाता है।

एक वास्तविक चर के कार्यों के सेट की प्रमुखता
एक वास्तविक चर के वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के सेट की प्रमुखता, $$\mathbb{R}^\mathbb{R}=\{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\}$$, है $$\beth_2=2^\mathfrak{c}$$, जो कॉन्टिनम (सेट थ्योरी) (यानी, सभी वास्तविक संख्याओं का सेट) की कार्डिनैलिटी से सख्ती से बड़ा है। इस तथ्य को कार्डिनल अंकगणित द्वारा आसानी से सत्यापित किया जाता है:

$$\mathrm{card}(\R^\R)=\mathrm{card}(\R)^{\mathrm{card}(\R)}= \mathfrak{c}^\mathfrak{c}=(2^{\aleph_0})^\mathfrak{c}=2^{\aleph_0\cdot\mathfrak{c}}=2^\mathfrak{c}. $$ इसके अलावा, अगर $$X$$ ऐसा सेट है $$2\leq\mathrm{card}(X)\leq\mathfrak{c}$$, फिर सेट की प्रमुखता $$X^\mathbb{R}=\{f:\mathbb{R}\to X\}$$ ई आल्सो $$2^\mathfrak{c}$$, तब से

$$2^\mathfrak{c}=\mathrm{card}(2^\R)\leq\mathrm{card}(X^\R)\leq\mathrm{card}(\R^ \R)=2^\mathfrak{c}.$$ हालांकि, निरंतर कार्यों का सेट $$C^0(\mathbb{R})=\{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}:f\ \mathrm{continuous}\}$$ सख्ती से छोटी कार्डिनैलिटी है, सातत्य की कार्डिनैलिटी, $$\mathfrak{c}$$. यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि एक निरंतर कार्य पूरी तरह से अपने डोमेन के घने उपसमुच्चय पर इसके मूल्य से निर्धारित होता है। इस प्रकार, वास्तविक पर निरंतर वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के सेट की कार्डिनैलिटी एक तर्कसंगत चर के वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के सेट की कार्डिनैलिटी से अधिक नहीं है। कार्डिनल अंकगणित द्वारा:

$$\mathrm{card}(C^0(\R))\leq\mathrm{card}(\R^\Q)=(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0\cdot\aleph_0}= 2^{\aleph_0}=\mathfrak{c}.$$ दूसरी ओर, चूंकि बीच में स्पष्ट आपत्ति है $$\R$$ और निरंतर कार्यों का सेट $$\{f:\R\to\R: f(x)\equiv x_0\}$$, जो का एक उपसमूह बनाता है $$C^0(\R)$$, $$\mathrm{card}(C^0(\R)) \geq \mathfrak{c}$$ भी धारण करना चाहिए। इस तरह, $$\mathrm{card}(C^0(\R)) = \mathfrak{c}$$.

यह भी देखें

 * सच्चा विश्लेषण
 * कई वास्तविक चर का कार्य
 * जटिल विश्लेषण
 * कई जटिल चर का कार्य

बाहरी संबंध

 * Multivariable Calculus
 * L. A. Talman (2007) Differentiability for Multivariable Functions