स्थिर k फ़िल्टर

कांस्टेंट k फ़िल्टर भी इलेक्ट्रॉनिक फ़िल्टर होता है, जिसे छवि विधि का उपयोग करके निर्मित किया गया है। वे इस पद्धति द्वारा उत्पादित मूल और सरल फ़िल्टर हैं और इसमें निष्क्रियता (इंजीनियरिंग) फ़िल्टर घटकों के समान वर्गों की इलेक्ट्रॉनिक फ़िल्टर लैडर सांस्थिति सम्मिलित है। ऐतिहासिक रूप से, वे पूर्व फ़िल्टर हैं जो पर्याप्त संख्या में अनुभागों को जोड़ने के साथ किसी भी निर्धारित सीमा के अंदर सिंक फिल्टर आवृत्ति प्रतिक्रिया तक पहुंच सकते हैं। उन्हें आधुनिक प्रारूप के लिए कभी माना जाता है, उनके पूर्व के सिद्धांतों को अन्य नेटवर्क संश्लेषण फ़िल्टर पद्धतियों द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है जो फ़िल्टर प्रतिक्रिया की भविष्यवाणी में अधिक त्रुटिहीन होती हैं।

इतिहास
कांस्टेंट k फिल्टर का आविष्कार जॉर्ज एशले कैंपबेल ने किया था। उन्होंने अपना कार्य 1922 में प्रकाशित किया, किन्तु स्पष्ट रूप से कुछ समय पूर्व ही फिल्टर का आविष्कार कर लिया था, अमेरिकन टेलीफोन एंड टेलीग्राफ कंपनी में उनके सहयोगी ओटो ज़ोबेल समय से पूर्व ही प्रारूप में सुधार कर रहे थे। कैंपबेल के फिल्टर पूर्व प्रयोग किए गए सरल इलेक्ट्रॉनिक फिल्टर एकल तत्व प्रकारों से उत्तम थे। कैंपबेल ने अपने फिल्टर को इलेक्ट्रिक वेव फिल्टर कहा, किन्तु पश्चात् में इस शब्द का अर्थ कोई भी फिल्टर हो गया जो कुछ आवृत्तियों की तरंगों को पारित करता है किन्तु अन्य को नहीं करता है। पश्चात् में तरंग फिल्टर के कई नए रूपों का आविष्कार किया गया; प्रारंभिक (और महत्वपूर्ण) भिन्नता ज़ोबेल द्वारा एम-व्युत्पन्न फ़िल्टर था जिसने उन्हें पृथक करने के लिए कैंपबेल फ़िल्टर के लिए निरंतर k शब्द विकसित किया था।

कैंपबेल के फिल्टर का आरएल परिपथ और उस समय के अन्य सरल फिल्टर की अपेक्षा में बड़ा लाभ यह था कि उन्हें बैंड-स्टॉप अस्वीकृति किया गया जो वांछित डिग्री या पासबैंड और स्टॉप बैंड के मध्य ट्रांजीशन के कांस्टेंट के लिए निर्मित किया जा सकता था। वांछित प्रतिक्रिया प्राप्त होने तक केवल अधिक फ़िल्टर अनुभाग जोड़ना आवश्यक था।

फिल्टर को कैंपबेल द्वारा ट्रांसमिशन लाइनों पर मल्टीप्लेक्स टेलीफोन चैनलों को भिन्न करने के उद्देश्य से निर्मित किया गया था, किन्तु उनका पश्चात् का उपयोग उससे कहीं अधिक व्यापक रहा है। कैंपबेल द्वारा उपयोग की गई प्रारूप प्रौद्योगिकी को कई सीमा तक विस्थापित कर दिया गया है। चूँकि, कैंपबेल द्वारा निरंतर k के साथ उपयोग किया जाने वाला लैडर नेटवर्क आज भी त्चेबीशेफ़ फ़िल्टर जैसे आधुनिक फ़िल्टर प्रारूप के कार्यान्वयन के साथ उपयोग में है। कैंपबेल ने निम्न उत्तीर्ण, उच्च मार्ग और बैंड-पास फिल्टर के लिए निरंतर k प्रारूप दिए है। बैंड-स्टॉप और मल्टीपल बैंड फिल्टर भी संभव हैं।

शब्दावली
इस आलेख में प्रयुक्त कुछ प्रतिक्रिया नियम और अनुभाग नियम नीचे दिए गए चित्र में चित्रित की गई हैं। छवि सिद्धांत दो-पोर्ट नेटवर्क, दो-पोर्ट अनुभागों के अनंत कैस्केड के संदर्भ में मात्राओं को परिभाषित करता है, और वर्णन किए जा रहे फिल्टर के विषय में, L-अनुभाग की अनंत लैडर सांस्थिति यहां L को इंडक्शन L के साथ अस्पष्ट नहीं किया जाना चाहिए I इलेक्ट्रॉनिक फ़िल्टर सांस्थिति में, L विशिष्ट फ़िल्टर आकार को संदर्भित करता है जो विपरीत अक्षर L जैसा दिखता है।

काल्पनिक अनंत फ़िल्टर के अनुभाग प्रतिक्रिया 2Z वाले श्रृंखला तत्वों और प्रवेश 2Y वाले शंट तत्वों से निर्मित होते हैं। दो का गुणनखंड गणितीय सुविधा के लिए प्रस्तुत किया गया है, क्योंकि अर्ध-खंडों के संदर्भ में कार्य करना सामान्य है, जहां यह विलुप्त हो जाता है। किसी अनुभाग के इनपुट और आउटपुट पोर्ट (परिपथ सिद्धांत) की छवि प्रतिक्रिया सामान्यतः समान नहीं होती है। चूँकि, मध्य-श्रृंखला अनुभाग के लिए (अर्थात, श्रृंखला तत्व के अर्ध मार्ग से अगले श्रृंखला तत्व के अर्ध मार्ग तक का अनुभाग) समरूपता के कारण दोनों पोर्ट पर समान छवि प्रतिक्रिया होती है। मध्य-श्रृंखला अनुभाग की " " सांस्थिति के कारण इस छवि प्रतिक्रिया को  निर्दिष्ट किया गया है I इसी प्रकार,  मध्य-शंट अनुभाग की छवि प्रतिक्रिया को  निर्दिष्ट किया गया है I ऐसे   या   खंड के अर्ध भाग को अर्ध-अनुभाग कहा जाता है, जो L-अनुभाग भी है किन्तु पूर्ण L-अनुभाग के अर्ध तत्व मानो के साथ अर्ध-खंड की छवि प्रतिक्रिया इनपुट और आउटपुट पोर्ट पर भिन्न है: श्रृंखला तत्व प्रस्तुत करने वाले पक्ष पर यह मध्य-श्रृंखला   के समान है, किन्तु शंट तत्व प्रस्तुत करने वाले पक्ष में यह मध्य-शंट  के समान है I इस प्रकार अर्ध-खंड का उपयोग करने के दो भिन्न उपाय होते हैं।

व्युत्पत्ति
कांस्टेंट k फ़िल्टर का बिल्डिंग ब्लॉक अर्ध खंड L नेटवर्क है, जो श्रृंखला विद्युत प्रतिक्रिया Z और शंट प्रवेश Y से बना है। कांस्टेंट k में k निम्न द्वारा दिया गया मान है,
 * $$k^2=\frac{Z}{Y}$$

इस प्रकार, k में प्रतिक्रिया की इकाइयाँ होंगी, अर्थात ओम से स्पष्ट है कि k के कांस्टेंट रहने के लिए, Y को Z की दोहरी प्रतिक्रिया होनी चाहिए। k की भौतिक व्याख्या यह देखकर दी जा सकती है कि k, Zi का सीमित मान है, जैसे-जैसे अनुभाग का आकार (इसके घटकों के मानो के संदर्भ में, जैसे प्रेरकत्व, कैपेसिटेंस इत्यादि) शून्य तक पहुंचता है, यद्यपि k को इसके प्रारंभिक मान पर रखा जाता है। इस प्रकार, k विशेषता प्रतिक्रिया, Z0 है, ट्रांसमिशन लाइन का जो इन अनंत छोटे खंडों द्वारा बनाई जाएगी। यह बैंड-पास फिल्टर के विषय में, विद्युत अनुनाद पर, या लो-पास फिल्टर के विषय में ω = 0 पर अनुभाग की छवि प्रतिक्रिया भी है। उदाहरण के लिए, चित्रित लो-पास अर्ध-खंड है


 * $$k = \sqrt{\frac{i\omega L}{i \omega C}} = \sqrt{\frac{L}{C}}$$.

K के समान मान को बनाए रखते हुए तत्व L और C को स्वेच्छानुसार रूप से छोटा किया जा सकता है। चूँकि, Z और Y दोनों शून्य के निकट पहुँच रहे हैं, और छवि प्रतिक्रिया के लिए सूत्रों (नीचे) से इस प्रकार है, 
 * $$\lim_{Z,Y \to 0}Z_\mathrm i=k$$.

छवि प्रतिक्रिया
अनुभाग की छवि प्रतिक्रियाएँ दी गई हैं
 * $${Z_\mathrm{iT}}^2=Z^2 + k^2$$

और


 * $$\frac{1}{{Z_\mathrm{i\Pi}}^2}={Y_\mathrm{i\Pi}}^2=Y^2 + \frac{1}{k^2}$$

यह देखते हुए कि फ़िल्टर में कोई प्रतिरोधी तत्व नहीं है, फ़िल्टर के पास बैंड में छवि प्रतिक्रिया पूर्ण रूप से वास्तविक संख्या है और स्टॉप बैंड में यह पूर्ण रूप से काल्पनिक संख्या है। उदाहरण के लिए, चित्रित लो-पास अर्ध-अनुभाग के लिए,
 * $${Z_\mathrm{iT}}^2=-(\omega L)^2 + \frac{L}{C}$$

ट्रांजीशन द्वारा दी गई कट-ऑफ आवृत्ति पर होता है,


 * $$\omega_c=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$

इस आवृत्ति के नीचे, छवि प्रतिक्रिया वास्तविक है,


 * $$Z_\mathrm{iT}=L\sqrt{\omega_c^2-\omega^2}$$

कट-ऑफ आवृत्ति के ऊपर छवि प्रतिक्रिया काल्पनिक है,


 * $$Z_\mathrm{iT}=iL\sqrt{\omega^2-\omega_c^2}$$

ट्रांसमिशन पैरामीटर

सामान्य कांस्टेंट k अर्ध-खंड के लिए ट्रांसमिशन पैरामीटर इसके द्वारा दिए गए हैं
 * $$\gamma=\sinh^{-1}\frac{Z}{k}$$

और n अर्ध-खंडों की श्रृंखला के लिए


 * $$\gamma_n=n\gamma\,\!$$

लो-पास L-आकार अनुभाग के लिए, कट-ऑफ आवृत्ति के नीचे, ट्रांसमिशन पैरामीटर दिए गए हैं


 * $$\gamma=\alpha+i\beta=0+i\sin^{-1}\frac{\omega}{\omega_c}$$

अर्थात्, पास-बैंड में ट्रांसमिशन दोषरहित होता है और केवल सिग्नल का चरण परिवर्तित होता है। कट-ऑफ आवृत्ति के ऊपर, ट्रांसमिशन पैरामीटर हैं:


 * $$\gamma=\alpha+i\beta=\cosh^{-1}\frac{\omega}{\omega_c}+i\frac{\pi}{2}$$

प्रोटोटाइप परिवर्तन

छवि प्रतिक्रिया, क्षीणन और चरण परिवर्तन के प्रस्तुत प्लॉट लो-पास प्रोटोटाइप फ़िल्टर अनुभाग के अनुरूप हैं। प्रोटोटाइप में ωc = 1 rad/s की कट-ऑफ आवृत्ति और नाममात्र प्रतिक्रिया k = 1 Ω है। यह इंडक्शन L = 1 हेनरी (इकाई) और कैपेसिटेंस C = 1 फैराड के साथ फिल्टर अर्ध-भाग द्वारा निर्मित होता है। यह प्रोटोटाइप वांछित मानों के लिए प्रोटोटाइप फ़िल्टर प्रतिक्रिया स्केलिंग और प्रोटोटाइप फ़िल्टर फ़्रीक्वेंसी स्केलिंग हो सकता है। लो-पास प्रोटोटाइप को उपयुक्त प्रोटोटाइप फिल्टर बैंडफॉर्म परिवर्तन के अनुप्रयोग द्वारा हाई-पास, बैंड-पास या बैंड-स्टॉप प्रकारों में भी परिवर्तन (ज्यामिति) किया जा सकता है।

कैस्केडिंग अनुभाग
मिश्रित फिल्टर बनाने के लिए कई L-आकार के अर्ध-खंडों को कैस्केड किया जा सकता है। इन संयोजनों में समान प्रतिक्रिया का सदैव सामना करना चाहिए। इसलिए दो परिपथ हैं, जिन्हें दो समान L-आकार के अर्ध-खंडों के साथ बनाया जा सकता है। जहां छवि प्रतिक्रिया Zundefined का पोर्ट है और दूसरे Zundefined की ओर है, अनुभाग को a कहा जाता है, जहाँ ZundefinedZundefined की ओर है I इस प्रकार बना अनुभाग T अनुभाग है। इनमें से किसी भी अनुभाग में अर्ध-अनुभागों को जोड़ने से लैडर नेटवर्क बनता है, जो श्रृंखला या शंट तत्वों के साथ प्रारम्भ और समाप्त हो सकता है। यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि छवि विधि द्वारा अनुमानित फ़िल्टर की विशेषताएं केवल तभी त्रुटिहीन होती हैं I जब अनुभाग को उसकी छवि प्रतिक्रिया के साथ समाप्त किया जाता है। यह सामान्यतः किसी भी शीर्ष पर अनुभागों के लिए सत्य नहीं है, जो सामान्यतः निश्चित प्रतिरोध के साथ समाप्त होते हैं। अनुभाग फ़िल्टर के अंत से जितना दूर होगा, भविष्यवाणी उतनी ही त्रुटिहीन होगी, क्योंकि समाप्ति बाधाओं के प्रभाव को हस्तक्षेप करने वाले अनुभागों द्वारा विलुप्त किया जाता है।

यह भी देखें

 * छवि प्रतिक्रिया
 * m-व्युत्पन्न फ़िल्टर
 * mm'-प्रकार फ़िल्टर
 * समग्र छवि फ़िल्टर

संदर्भ

 * Bray, J., Innovation and the Communications Revolution, Institute of Electrical Engineers, 2002.
 * Matthaei, G.; Young, L.; Jones, E. M. T., Microwave Filters, Impedance-Matching Networks, and Coupling Structures McGraw-Hill 1964.
 * Zobel, O. J.,Theory and Design of Uniform and Composite Electric Wave Filters, Bell System Technical Journal, Vol. 2 (1923), pp. 1–46.

अग्रिम पठन

 * For a simpler treatment of the analysis see,