स्पेक्ट्रम (कार्यात्मक विश्लेषण)

गणित में, विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण में, परिबद्ध रेखीय संचालिका (या, अधिक सामान्यतः, असीमित संचालक) का स्पेक्ट्रम आव्युह (गणित) के आइगेनवैल्यूज़ ​​​​के समुच्चय का सामान्यीकरण है। विशेष रूप से, सम्मिश्र संख्या $$\lambda$$ को परिबद्ध रैखिक संचालिका $$T$$ के स्पेक्ट्रम में कहा जाता है यदि $$T-\lambda I$$ यहाँ, $$I$$ पहचान संचालक है।
 * या तो कोई सेट-सैद्धांतिक प्रतिलोम फलन नहीं है;
 * या सेट-सैद्धांतिक व्युत्क्रम या तो असीमित है या गैर-सघन उपसमुच्चय पर परिभाषित है।

बंद ग्राफ प्रमेय द्वारा, $$\lambda$$ स्पेक्ट्रम में है यदि और केवल यदि बाध्य संचालक $$T - \lambda I: V\to V$$, $$V$$ पर गैर-विशेषण है।

स्पेक्ट्रा और संबंधित गुणों के अध्ययन को स्पेक्ट्रल सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, जिसमें कई अनुप्रयोग हैं, विशेष रूप से क्वांटम यांत्रिकी का गणितीय सूत्रीकरण हैं।

आयामी ( सदिश स्थल ) पर संचालक का स्पेक्ट्रमया आयाम (सदिश स्थान) ठीक आइगेनवैल्यू का समुच्चय है। चूंकि अनंत-आयामी अंतरिक्ष पर संचालक के स्पेक्ट्रम में अतिरिक्त तत्व हो सकते हैं, और हो सकता है कि कोई आइगेनवैल्यू न हो। उदाहरण के लिए, हिल्बर्ट अंतरिक्ष एलपी अंतरिक्ष या ℓ पर एकपक्षीय शिफ्ट संचालक R पर विचार करें
 * $$(x_1, x_2, \dots) \mapsto (0, x_1, x_2, \dots).$$

इसका कोई आइगेनवैल्यूज़ ​​नहीं है, क्योंकि यदि Rx=λx तो इस व्यंजक का विस्तार करके हम देखते हैं कि x1= 0, X2=0, आदि। दूसरी ओर, 0 स्पेक्ट्रम में है क्योंकि यद्यपि संचालक R − 0 (अर्थात स्वयं R) व्युत्क्रमणीय है, व्युत्क्रम को समुच्चय पर परिभाषित किया गया है जो ℓ2 स्थान में सघन नहीं है या वास्तव में सम्मिश्र संख्या बनच स्थान पर प्रत्येक परिबद्ध रैखिक संचालिका के पास गैर-खाली स्पेक्ट्रम होना चाहिए।

स्पेक्ट्रम की धारणा अनबाउंड (अर्थात् आवश्यक रूप से बाध्य नहीं) संचालकों तक फैली हुई है। एक सम्मिश्र संख्या λ डोमेन $$D(T)\subseteq X$$ पर परिभाषित एक असीमित ऑपरेटर $$T:\,X\to X$$ के स्पेक्ट्रम में कहा जाता है यदि पूरे $$X$$ पर कोई बाध्य व्युत्क्रम $$(T-\lambda I)^{-1}:\,X\to D(T)$$ परिभाषित नहीं है। यदि T बंद संचालक (जिसमें टी बाध्य होने पर स्थिति सम्मिलित है) है, $$(T-\lambda I)^{-1}$$ की बाध्यता अपने अस्तित्व से स्वचालित रूप से अनुसरण करती है।

बानाच स्पेस X पर परिबद्ध रैखिक संचालकों B(X) की स्थान यूनिटल बीजगणित बानाच बीजगणित का उदाहरण है। चूंकि स्पेक्ट्रम की परिभाषा में B(X) के किसी भी गुण का उल्लेख नहीं है, अतिरिक्त इसके कि ऐसे किसी भी बीजगणित में है, स्पेक्ट्रम की धारणा को इस संदर्भ में उसी परिभाषा शब्दशः का उपयोग करके सामान्यीकृत किया जा सकता है।

परिभाषा
मान लीजिए कि $$T$$ जटिल अदिश क्षेत्र गणित $$\mathbb{C}$$ पर बनच स्थान $$X$$ पर कार्य करने वाला एक परिबद्ध रैखिक संचालक  है, और $$I$$ $$X$$ पर पहचान संचालक है। $$T$$ का स्पेक्ट्रम सभी $$\lambda \in \mathbb{C}$$ का समुच्चय है जिसके लिए  संचालक  $$T-\lambda I$$ में एक व्युत्क्रम नहीं है जो एक परिबद्ध रैखिक  संचालक  है।

चूंकि $$T-\lambda I$$ एक रेखीय संचालिका है, यदि व्युत्क्रम उपस्थित है तो रेखीय है; और, परिबद्ध व्युत्क्रम प्रमेय द्वारा, यह परिबद्ध है। इसलिए, स्पेक्ट्रम में स्पष्ट रूप से वे अदिश $$\lambda$$ होते हैं जिसके लिए $$T-\lambda I$$ विशेषण नहीं है।

किसी दिए गए संचालक $$T$$ के स्पेक्ट्रम को अधिकांशतः $$\sigma(T)$$ द्वारा निरूपित किया जाता है, और इसके पूरक, रिज़ॉल्वेंट समुच्चय को $$\rho(T) = \mathbb{C} \setminus \sigma(T)$$ निरूपित किया जाता है। ($$\rho(T)$$ का उपयोग कभी-कभी $$T$$ के वर्णक्रमीय त्रिज्या को दर्शाने के लिए किया जाता है)

आइगेनवैल्यू से संबंध
यदि $$\lambda$$, $$T$$ का एक आइगेनवैल्यू है, तो संचालक $$T-\lambda I$$ एक-से-एक नहीं है, और इसलिए इसका व्युत्क्रम $$(T-\lambda I)^{-1}$$ परिभाषित नहीं है। चूंकि, विपरीत कथन सत्य नहीं है: संचालक $$T - \lambda I$$ व्युत्क्रम नहीं हो सकता है, तथापि $$\lambda$$ आइगेनवैल्यू नहीं है। इस प्रकार संचालक के स्पेक्ट्रम में सदैव उसके सभी आइगेनवेल्यू होते हैं, किन्तु यह उन तक सीमित नहीं है।

उदाहरण के लिए, हिल्बर्ट स्पेस $$\ell^2(\Z)$$ पर विचार करें, जिसमें वास्तविक संख्याओं के सभी अनुक्रम परिमित और अनंत या द्वि-अनंत अनुक्रम सम्मिलित हैं
 * $$v = (\ldots, v_{-2},v_{-1},v_0,v_1,v_2,\ldots)$$

जिनके पास वर्गों $\sum_{i=-\infty}^{+\infty} v_i^2$ का परिमित योग है। द्विपक्षीय शिफ्ट संचालक $$T$$ बस अनुक्रम के प्रत्येक तत्व को स्थिति से विस्थापित कर देता है; अर्थात् यदि $$u = T(v)$$ तब $$u_i = v_{i-1}$$ प्रत्येक पूर्णांक $$i$$ के लिए आइगेनवैल्यू समीकरण $$T(v) = \lambda v$$ इस स्थान में कोई अशून्य समाधान नहीं है, क्योंकि इसका तात्पर्य है कि सभी मान $$v_i$$ समान निरपेक्ष मूल्य (यदि $$ \vert \lambda \vert = 1$$) है या ज्यामितीय प्रगति (यदि $$ \vert \lambda \vert \neq 1$$) है; किसी भी प्रकार से, उनके वर्गों का योग परिमित नहीं होगा। चूंकि, संचालक $$T-\lambda I$$ व्युत्क्रम नहीं है यदि $$|\lambda| = 1$$ है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम $$u$$ ऐसा है कि $$u_i = 1/(|i|+1)$$ में है $$\ell^2(\Z)$$; किन्तु कोई क्रम $$v$$ में $$\ell^2(\Z)$$ नहीं है जैसे कि $$(T-I)v = u$$ (वह है, $$v_{i-1} = u_i + v_i$$ सभी के लिए $$i$$) है।

मूलभूत गुण
परिबद्ध संचालक  T का स्पेक्ट्रम हमेशा जटिल तल का एक बंद, परिबद्ध और गैर-रिक्त उपसमुच्चय होता है।

यदि स्पेक्ट्रम खाली था, तो रिज़ॉल्वेंट फलन


 * $$R(\lambda) = (T-\lambda I)^{-1}, \qquad \lambda\in\Complex,$$

जटिल स्पेस पर प्रत्येक स्थान परिभाषित किया जाएगा और घिरा होगा। किन्तु यह दिखाया जा सकता है कि रिज़ॉल्वेंट फ़ंक्शन R अपने डोमेन पर होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन है। लिउविल के प्रमेय (जटिल विश्लेषण)यालिउविल के प्रमेय के सदिश-मूल्यवान संस्करण द्वारा, यह फ़ंक्शन स्थिर है, इस प्रकार हर स्थान शून्य है क्योंकि यह अनंत पर शून्य है। यह विरोधाभास होगा।

स्पेक्ट्रम की सीमा λ में न्यूमैन श्रृंखला से आती है; स्पेक्ट्रम σ(T) ||T|| से घिरा है। समान परिणाम स्पेक्ट्रम की निकटता को दर्शाता है।

बाउंड ||T|| स्पेक्ट्रम पर कुछ सीमा तक परिष्कृत किया जा सकता है। T का वर्णक्रमीय त्रिज्या, r(T), जटिल तल में सबसे छोटे वृत्त की त्रिज्या है जो मूल पर केंद्रित है और इसके अंदर स्पेक्ट्रम σ(T) समाहित करता है, अर्थात


 * $$r(T) = \sup \{|\lambda| : \lambda \in \sigma(T)\}.$$

वर्णक्रमीय त्रिज्या सूत्र कहता है कि बनच बीजगणित के किसी भी तत्व $$T$$ के लिए,
 * $$r(T) = \lim_{n \to \infty} \left\|T^n\right\|^{1/n}.$$

एक असीमित संचालक का स्पेक्ट्रम
एक बनच स्पेस एक्स पर असीमित संचालकों के लिए स्पेक्ट्रम की परिभाषा का विस्तार कर सकते हैं। ये संचालक जो बनच बीजगणित B(X) में अब तत्व नहीं हैं।

परिभाषा
मान लें कि X एक बनच स्पेस है और $$T:\,D(T)\to X$$ डोमेन $$D(T) \subseteq X$$ पर परिभाषित रैखिक संचालिका है।

एक सम्मिश्र संख्या λ को $$T$$ के 'रिज़ॉल्वेंट सेट' (जिसे 'नियमित सेट' भी कहा जाता है) में कहा जाता है यदि संचालक


 * $$T-\lambda I:\,D(T) \to X$$

हर स्थान परिभाषित व्युत्क्रम है, अर्थात यदि कोई बाध्य संचालक उपस्थित है


 * $$S :\, X \rightarrow D(T)$$

ऐसा है कि


 * $$S (T - \lambda I) = I_{D(T)}, \, (T - \lambda I) S  = I_X.$$

एक सम्मिश्र संख्या λ तब 'स्पेक्ट्रम' में होती है यदि λ रिज़ॉल्वेंट समुच्चय में नहीं है।

λ के लिए रिज़ॉल्वेंट में होना (अर्थात स्पेक्ट्रम में नहीं), जैसे बंधे हुए स्थितियों में, $$T-\lambda I$$ वस्तुनिष्ठ होना चाहिए, क्योंकि इसमें दो तरफा व्युत्क्रम होना चाहिए। पहले की तरह, यदि कोई व्युत्क्रम उपस्थित है, तो इसकी रैखिकता तत्काल है, किन्तु सामान्यतः यह बाध्य नहीं हो सकता है, इसलिए इस स्थिति को अलग से जांचा जाना चाहिए।

बंद ग्राफ प्रमेय द्वारा, की सीमा $$(T-\lambda I)^{-1}$$ T बंद संचालिका होने पर अपने अस्तित्व से सीधे अनुसरण करता है। फिर, बंधे हुए स्थितियों की तरह, सम्मिश्र संख्या λ बंद संचालिका T के स्पेक्ट्रम में निहित है यदि और केवल यदि $$T-\lambda I$$ विशेषण नहीं है। ध्यान दें कि बंद संचालकों की श्रेणी में सभी बंधे हुए संचालक सम्मिलित हैं।

मूल गुण
एक असीमित संचालक का स्पेक्ट्रम सामान्य रूप से जटिल विमान का बंद, संभवतः खाली, सबसेट है।

यदि संचालिका T संवृत्त रैखिक संचालिका नहीं है, तब $$\sigma(T)=\Complex$$.

स्पेक्ट्रम में बिंदुओं का वर्गीकरण
बानाच स्थान पर बंधा हुआ संचालक टी व्युत्क्रम है, अर्थात बाध्य व्युत्क्रम है, यदि और केवल यदि टी नीचे घिरा हुआ है, अर्थात । $$\|Tx\| \geq c\|x\|,$$ कुछ के लिए $$c > 0,$$ और सघन सीमा है। तदनुसार, T के स्पेक्ट्रम को निम्नलिखित भागों में विभाजित किया जा सकता है:


 * 1) $$\lambda\in\sigma(T)$$ यदि $$T - \lambda I$$ नीचे बाध्य नहीं है। विशेष रूप से, यदि ऐसा होता है $$T - \lambda I$$ अंतःक्षेपी नहीं है, अर्थात λ आइगेनमान है। आइगेनवैल्यू के समुच्चय को T का 'पॉइंट स्पेक्ट्रम' कहा जाता है और इसे σp(T) द्वारा निरूपित किया जाता है। वैकल्पिक रूप से, $$T-\lambda I$$ एक-से-एक हो सकता है किन्तु अभी भी नीचे बाध्य नहीं है। इस प्रकार के λ आइगेनवैल्यू नहीं है, किन्तु फिर भी T का अनुमानित आइगेनवैल्यू है (स्वयं आइगेनवैल्यूज़ ​​भी अनुमानित आइगेनवैल्यूज़ ​​​​हैं)।अनुमानित आइगेनवैल्यूज़ ​​​​के समुच्चय (जिसमें बिंदु स्पेक्ट्रम सम्मिलित है) को T का अनुमानित बिंदु स्पेक्ट्रम कहा जाता है, जिसे σap(T) द्वारा निरूपित किया जाता है।
 * 2) $$\lambda\in\sigma(T)$$ यदि $$T-\lambda I$$ सघन सीमा नहीं है। ऐसे λ के समुच्चय को T का 'संपीड़न स्पेक्ट्रम' कहा जाता है, जिसे $$\sigma_{\mathrm{cp}}(T)$$ द्वारा निरूपित किया जाता हैं। यदि $$T-\lambda I$$ सघन सीमा नहीं है, किन्तु अंतःक्षेपी है है, λ को T के 'अवशिष्ट स्पेक्ट्रम' में कहा जाता है, जिसे $$\sigma_{\mathrm{res}}(T)$$ द्वारा निरूपित किया जाता हैं।

ध्यान दें कि अनुमानित बिंदु स्पेक्ट्रम और अवशिष्ट स्पेक्ट्रम अनिवार्य रूप से अलग ( चूंकि, बिंदु स्पेक्ट्रम और अवशिष्ट स्पेक्ट्रम हैं) नहीं हैं।

निम्नलिखित उपखंड ऊपर स्केच किए गए σ(T) के तीन भागों पर अधिक विवरण प्रदान करते हैं।

बिंदु स्पेक्ट्रम
यदि कोई ऑपरेटर अंतःक्षेपक नहीं है (इसलिए टी T(x) = 0 के साथ कुछ गैर शून्य x है), तो यह स्पष्ट रूप से व्युत्क्रम नहीं है। तो यदि λ T का  आइगेनवैल्यू है, तो जरूरी है कि λ ∈ σ(T) हो। T के आइगेनवैल्यूज़ ​​के समुच्चय को T का बिंदु स्पेक्ट्रम भी कहा जाता है, जिसे σp(T) द्वारा निरूपित किया जाता है।

अनुमानित बिंदु स्पेक्ट्रम
अधिक सामान्यतः, परिबद्ध व्युत्क्रम प्रमेय द्वारा, T व्युत्क्रम नहीं है यदि यह नीचे परिबद्ध नहीं है; अर्थात, यदि ऐसा कोई c > 0 नहीं है कि ||Tx|| ≥ c||x|| सभी x ∈ X के लिए. तो स्पेक्ट्रम में अनुमानित आइगेनवैल्यूज़ ​​​​का समुच्चय सम्मिलित है, जो कि λ जैसे हैं T - λI नीचे बाध्य नहीं है; समतुल्य रूप से, यह λ का समुच्चय है जिसके लिए इकाई सदिशों x1, x2, ... का एक क्रम है जिसके लिए


 * $$\lim_{n \to \infty} \|Tx_n - \lambda x_n\| = 0$$.

अनुमानित आइगेनवैल्यूज़ ​​​​के समुच्चय को अनुमानित बिंदु स्पेक्ट्रम के रूप में जाना जाता है, जिसे $$\sigma_{\mathrm{ap}}(T)$$ द्वारा निरूपित किया जाता है.

यह देखना आसान है कि आइगेनवैल्यूज़ ​​​​अनुमानित बिंदु स्पेक्ट्रम में हैं।

उदाहरण के लिए, $$l^2(\Z)$$ द्वारा परिभाषित सही शिफ्ट R पर विचार करें


 * $$R:\,e_j\mapsto e_{j+1},\quad j\in\Z,$$

जहाँ $$\big(e_j\big)_{j\in\N}$$ में मानक ऑर्थोनॉर्मल आधार है $$l^2(\Z)$$. प्रत्यक्ष गणना से पता चलता है कि R का कोई आइगेनमान नहीं है, किन्तु प्रत्येक λ |λ|= 1 के साथ है अनुमानित आइगेनवैल्यू है; Xn दे रहा है सदिश हो


 * $$\frac{1}{\sqrt{n}}(\dots, 0, 1, \lambda^{-1}, \lambda^{-2}, \dots, \lambda^{1 - n}, 0, \dots)$$

कोई देख सकता है कि ||xn|| = 1 सभी n के लिए, लेकिन


 * $$\|Rx_n - \lambda x_n\| = \sqrt{\frac{2}{n}} \to 0.$$

चूँकि R एकात्मक संचालिका है, इसका स्पेक्ट्रम इकाई वृत्त पर स्थित है। इसलिए, R का अनुमानित बिंदु स्पेक्ट्रम इसका संपूर्ण स्पेक्ट्रम है।

यह निष्कर्ष संचालकों के अधिक सामान्य वर्ग के लिए भी सही है।

एकात्मक संचालिका सामान्य संचालिका होता है। स्पेक्ट्रल प्रमेय द्वारा, हिल्बर्ट स्पेस H पर बाध्य संचालक सामान्य है यदि और केवल यदि यह (एच की पहचान के बाद $$L^2$$ स्पेस) गुणा संचालक के समतुल्य है। यह दिखाया जा सकता है कि परिबद्ध गुणन संचालिका का अनुमानित बिंदु स्पेक्ट्रम उसके स्पेक्ट्रम के बराबर होता है।

सतत स्पेक्ट्रम
जिसके लिए सभी λ का समुच्चय $$T-\lambda I$$ अंतःक्षेपक है और इसकी सघन सीमा है, किन्तु विशेषण नहीं है, इसे 'टी' का निरंतर स्पेक्ट्रम कहा जाता है, जिसे इसके द्वारा दर्शाया गया है $$\sigma_{\mathbb{c}}(T)$$. निरंतर स्पेक्ट्रम इसलिए उन अनुमानित आइगेनवैल्यूज़ ​​​​से बना होता है जो आइगेनवैल्यूज़ ​​​​नहीं होते हैं और अवशिष्ट स्पेक्ट्रम में नहीं होते हैं। वह है,


 * $$\sigma_{\mathrm{c}}(T) = \sigma_{\mathrm{ap}}(T) \setminus (\sigma_{\mathrm{r}}(T) \cup \sigma_{\mathrm{p}}(T)) $$.

उदाहरण के लिए, $$A:\,l^2(\N)\to l^2(\N)$$, $$e_j\mapsto e_j/j$$, $$j\in\N$$, अंतःक्षेपक है और इसकी सघन सीमा है, फिर भी $$\mathrm{Ran}(A)\subsetneq l^2(\N)$$ है।

दरअसल, यदि $x = \sum_{j\in\N} c_j e_j\in l^2(\N)$ साथ $$c_j \in \Complex$$ ऐसा है कि $\sum_{j\in\N} |c_j|^2 < \infty$, किसी के पास जरूरी नहीं है $\sum_{j\in\N} \left|j c_j\right|^2 < \infty$ , और फिर $\sum_{j\in\N} j c_j e_j \notin l^2(\N)$  है।

संपीड़न स्पेक्ट्रम
के समुच्चय $$\lambda\in\Complex$$ जिसके लिए $$T-\lambda I$$ सघन सीमा नहीं होता है जिसे T के संपीडन स्पेक्ट्रम के रूप में जाना जाता है और इसको $$\sigma_{\mathrm{cp}}(T)$$ द्वारा निरूपित किया जाता है.

अवशिष्ट स्पेक्ट्रम
के समुच्चय $$\lambda\in\Complex$$ जिसके लिए $$T-\lambda I$$ अंतःक्षेपक है किन्तु इसमें सघन सीमा नहीं है जिसे 'टी' के अवशिष्ट स्पेक्ट्रम के रूप में जाना जाता है और इसे $$\sigma_{\mathrm{r}}(T)$$ द्वारा निरूपित किया जाता है:
 * $$\sigma_{\mathrm{r}}(T) = \sigma_{\mathrm{cp}}(T) \setminus \sigma_{\mathrm{p}}(T).$$

एक संचालक अंतःक्षेपक हो सकता है, यहां तक ​​​​कि नीचे भी घिरा हुआ है, किन्तु अभी भी व्युत्क्रम नहीं है। दाहिनी ओर शिफ्ट $$l^2(\mathbb{N})$$, $$R:\,l^2(\mathbb{N})\to l^2(\mathbb{N})$$, $$R:\,e_j\mapsto e_{j+1},\,j\in\N$$, ऐसा ही उदाहरण है। यह शिफ्ट संचालक आइसोमेट्री है, इसलिए नीचे 1 से घिरा है। किन्तु यह व्युत्क्रमणीय नहीं है क्योंकि यह विशेषण नहीं है ($$e_1\not\in\mathrm{Ran}(R)$$), और इसके अतिरिक्त $$\mathrm{Ran}(R)$$ $$l^2(\mathbb{N})$$($$e_1\notin\overline{\mathrm{Ran}(R)}$$) में घना नहीं है

परिधीय स्पेक्ट्रम
एक संचालक के परिधीय स्पेक्ट्रम को उसके स्पेक्ट्रम में बिंदुओं के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसमें इसके वर्णक्रमीय त्रिज्या के बराबर मापांक होता है।

असतत स्पेक्ट्रम
असतत स्पेक्ट्रम (गणित) को सामान्य आइगेनवैल्यूज़ ​​​​के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है। समतुल्य रूप से, इसे स्पेक्ट्रम के पृथक बिंदुओं के समुच्चय के रूप में चित्रित किया जा सकता है, जैसे कि संबंधित रिज प्रोजेक्टर परिमित रैंक का है।

आवश्यक स्पेक्ट्रम
बंद घनी परिभाषित रैखिक संचालक के आवश्यक स्पेक्ट्रम की पांच समान परिभाषाएं हैं $$A : \,X \to X $$ जो संतुष्ट करता है



\sigma_{\mathrm{ess},1}(A) \subset \sigma_{\mathrm{ess},2}(A) \subset \sigma_{\mathrm{ess},3}(A) \subset \sigma_{\mathrm{ess},4}(A) \subset \sigma_{\mathrm{ess},5}(A) \subset \sigma(A). $$ ये सभी स्पेक्ट्रा $$\sigma_{\mathrm{ess},k}(A),\ 1\le k\le 5$$, स्व-आसन्न संकारकों के स्थितियों में संपाती है।


 * 1) आवश्यक स्पेक्ट्रम $$\sigma_{\mathrm{ess},1}(A)$$ को स्पेक्ट्रम के बिंदु $$\lambda$$ के समूह के रूप में परिभाषित किया गया है जैसे कि $$A-\lambda I$$ अर्द्ध फ्रेडहोम संचालिका नहीं है। (संचालक अर्ध-फ्रेडहोम है यदि इसकी सीमा बंद है और इसका  कृषक या कोकर्नेल (या दोनों) परिमित-आयामी है।) 'उदाहरण 1:' $$\lambda=0\in\sigma_{\mathrm{ess},1}(A)$$ संचालक के लिए $$A:\,l^2(\N)\to l^2(\N)$$, $$A:\,e_j\mapsto e_j/j,~ j\in\N$$ (क्योंकि इस संचालक की सीमा बंद नहीं है: श्रेणी में सभी सम्मिलित नहीं हैं $$l^2(\N)$$ चूंकि इसका समापन होता है)। उदाहरण 2: $$\lambda=0\in\sigma_{\mathrm{ess},1}(N)$$ के लिए $$N:\,l^2(\N)\to l^2(\N)$$, $$N:\,v\mapsto 0$$ किसी के लिए $$v\in l^2(\N)$$ (क्योंकि इस संचालक के  कृषक और कोकर्नेल दोनों अनंत-आयामी हैं)।
 * 2) आवश्यक स्पेक्ट्रम $$\sigma_{\mathrm{ess},2}(A)$$ बिंदुओं के समूह के रूप में परिभाषित किया गया है $$\lambda$$ स्पेक्ट्रम के ऐसे कि संचालक या तो $$A-\lambda I$$ अनंत-आयामी  कृषक है या सीमा है जो बंद नहीं है। इसे वेइल की कसौटी के संदर्भ में भी चित्रित किया जा सकता है: अनुक्रम उपस्थित है $$(x_j)_{j\in\N}$$ स्पेस X में ऐसा है $$\Vert x_j\Vert=1$$, $ \lim_{j\to\infty} \left\|(A-\lambda I)x_j \right\| = 0,$  और ऐसा है $$(x_j)_{j\in\N}$$ कोई अभिसरण अनुवर्ती नहीं है। इस तरह के अनुक्रम को एकवचन अनुक्रम (या विलक्षण वेइल अनुक्रम) कहा जाता है। 'उदाहरण:' $$\lambda=0\in\sigma_{\mathrm{ess},2}(B)$$ संचालक के लिए $$B:\,l^2(\N)\to l^2(\N)$$, $$B:\,e_j\mapsto e_{j/2}$$ यदि j सम है और $$e_j\mapsto 0$$ जब j विषम होता है ( कृषक अनंत-आयामी होता है; कोकर्नेल शून्य-आयामी होता है)। ध्यान दें कि $$\lambda=0\not\in\sigma_{\mathrm{ess},1}(B)$$.
 * 3) आवश्यक स्पेक्ट्रम $$\sigma_{\mathrm{ess},3}(A)$$ बिंदुओं के समूह के रूप में परिभाषित किया गया है $$\lambda$$ स्पेक्ट्रम का ऐसा है $$A-\lambda I$$ फ्रेडहोम संचालक नहीं है। (संचालक फ्रेडहोम है यदि इसकी सीमा बंद है और इसके  कृषक और कोकर्नेल दोनों परिमित-आयामी हैं।) 'उदाहरण:' $$\lambda=0\in\sigma_{\mathrm{ess},3}(J)$$ संचालक के लिए $$J:\,l^2(\N)\to l^2(\N)$$, $$J:\,e_j\mapsto e_{2j}$$ ( कृषक शून्य-आयामी है, कोकर्नेल अनंत-आयामी है)। ध्यान दें कि $$\lambda=0\not\in\sigma_{\mathrm{ess},2}(J)$$.
 * 4) आवश्यक स्पेक्ट्रम $$\sigma_{\mathrm{ess},4}(A)$$ बिंदुओं के समूह के रूप में परिभाषित किया गया है $$\lambda$$ स्पेक्ट्रम का ऐसा है $$A-\lambda I$$ इंडेक्स जीरो का फ्रेडहोम संचालक नहीं है। इसे ए के स्पेक्ट्रम के सबसे बड़े भाग के रूप में भी चित्रित किया जा सकता है जो  ठोस संचालक अस्तव्यस्तता द्वारा संरक्षित है। दूसरे शब्दों में, $\sigma_{\mathrm{ess},4}(A) = \bigcap_{K \in B_0(X)} \sigma(A+K)$ ; यहाँ $$B_0(X)$$ X पर सभी  ठोस संचालकों के समुच्चय को दर्शाता है। 'उदाहरण:' $$\lambda=0\in\sigma_{\mathrm{ess},4}(R)$$ जहाँ $$R:\,l^2(\N)\to l^2(\N)$$ सही शिफ्ट संचालक है, $$R:\,l^2(\N)\to l^2(\N)$$, $$R:\,e_j\mapsto e_{j+1}$$ के लिए $$j\in\N$$ (इसका  कृषक शून्य है, इसका कोकर्नेल आयामी है)। ध्यान दें कि $$\lambda=0\not\in\sigma_{\mathrm{ess},3}(R)$$.
 * 5) आवश्यक स्पेक्ट्रम $$\sigma_{\mathrm{ess},5}(A)$$ का संघ है $$\sigma_{\mathrm{ess},1}(A)$$ के सभी घटकों के साथ $$\Complex \setminus \sigma_{\mathrm{ess},1}(A)$$ जो रिज़ॉल्वेंट समुच्चय के साथ प्रतिच्छेद नहीं करता है $$\Complex \setminus \sigma(A)$$. इसकी विशेषता भी हो सकती है $$\sigma(A)\setminus\sigma_{\mathrm{d}}(A)$$. उदाहरण: संचालक पर विचार करें $$T:\,l^2(\Z)\to l^2(\Z)$$, $$T:\,e_j\mapsto e_{j-1}$$ के लिए $$j\ne 0$$, $$T:\,e_0\mapsto 0$$. तब से $$\Vert T\Vert=1$$, किसी के पास $$\sigma(T)\subset\overline{\mathbb{D}_1}$$. किसी के लिए $$z\in\Complex$$ साथ $$|z|=1$$, की सीमा $$T-z I$$ घना है किन्तु बंद नहीं है, इसलिए यूनिट डिस्क की सीमा पहले प्रकार के आवश्यक स्पेक्ट्रम में है: $$\partial\mathbb{D}_1\subset\sigma_{\mathrm{ess},1}(T)$$. किसी के लिए $$z\in\Complex$$ साथ $$|z|<1$$, $$T-z I$$ बंद रेंज, आयामी  कृषक और आयामी कोकर्नेल है, इसलिए $$z\in\sigma(T)$$ यद्यपि $$z\not\in\sigma_{\mathrm{ess},k}(T)$$ के लिए $$1\le k\le 4$$; इस प्रकार, $$\sigma_{\mathrm{ess},k}(T)=\partial\mathbb{D}_1$$ के लिए $$1\le k\le 4$$. के दो घटक होते हैं $$\Complex\setminus\sigma_{\mathrm{ess},1}(T)$$: $$\{z\in\Complex:\,|z|>1\}$$ और $$\{z\in\Complex:\,|z|<1\}$$. घटक $$\{|z|<1\}$$ रिज़ॉल्वेंट समुच्चय के साथ कोई प्रतिच्छेदन नहीं है; परिभाषा से, $$\sigma_{\mathrm{ess},5}(T)=\sigma_{\mathrm{ess},1}(T)\cup\{z\in\Complex:\,|z|<1\}=\{z\in\Complex:\,|z|\le 1\}$$.

उदाहरण: हाइड्रोजन परमाणु
हाइड्रोजन परमाणु विभिन्न प्रकार के स्पेक्ट्रा का उदाहरण प्रदान करता है। आणविक हैमिल्टन $$H=-\Delta-\frac{Z}{|x|}$$, $$Z > 0$$, डोमेन के साथ $$D(H) = H^1(\R^3)$$ आइगेनवैल्यूज़ ​​​​का असतत समुच्चय है (असतत स्पेक्ट्रम $$\sigma_{\mathrm{d}}(H)$$, जो इस स्थितियों में बिंदु स्पेक्ट्रम के साथ मेल खाता है $$\sigma_{\mathrm{p}}(H)$$ चूंकि निरंतर स्पेक्ट्रम में कोई ईजेनवेल्यूज सन्निहित नहीं है) जिसकी गणना रिडबर्ग सूत्र द्वारा की जा सकती है। उनके संबंधित एइगेन्फ़ुन्क्तिओन्स ईजेनस्टेट्स, या बाध्य राज्यों कहा जाता है। आयनीकरण प्रक्रिया का परिणाम स्पेक्ट्रम के निरंतर भाग द्वारा वर्णित है (टक्कर/आयनीकरण की ऊर्जा मात्राबद्ध नहीं है), $$\sigma_{\mathrm{cont}}(H)=[0,+\infty)$$ (यह आवश्यक स्पेक्ट्रम के साथ भी मेल खाता है, $$\sigma_{\mathrm{ess}}(H)=[0,+\infty)$$) द्वारा दर्शाया गया है

आसन्न संचालक का स्पेक्ट्रम
बता दें कि एक्स बनच स्पेस है और $$T:\,X\to X$$ असीमित संचालक घने डोमेन के साथ बंद रैखिक संचालक $$D(T)\subset X$$. यदि X * X की दोहरी स्थान है, और $$T^*:\, X^* \to X^*$$ तब T का हर्मिटियन सन्निकट है


 * $$\sigma(T^*) = \overline{\sigma(T)} := \{z\in\Complex : \bar{z}\in\sigma(T)\}.$$

$$

$$

हमें भी मिलता है $$\sigma_{\mathrm{p}}(T)\subset\overline{\sigma_{\mathrm{r}}(T^*)\cup \sigma_{\mathrm{p}}(T^*)}$$ निम्नलिखित तर्क द्वारा: X आइसोमेट्रिक रूप से X** में एम्बेड होता है।

इसलिए, के कृषक में प्रत्येक गैर-शून्य तत्व के लिए $$T-\lambda I$$ X** में गैर-शून्य तत्व उपस्थित है जो $$\mathrm{Ran}(T^* - \bar{\lambda}I)$$ पर लुप्त हो जाता है।

इस प्रकार $$\mathrm{Ran}(T^* -\bar{\lambda} I)$$ घना नहीं हो सकता है।

इसके अतिरिक्त, यदि X रिफ्लेक्सिव है, तो हमारे पास $$\overline{\sigma_{\mathrm{r}}(T^*)}\subset\sigma_{\mathrm{p}}(T)$$ है।

सघन संचालक
यदि टी ठोस संचालक है, या अधिक सामान्यतः, केवल एकवचन संचालक है, तो यह दिखाया जा सकता है कि स्पेक्ट्रम गणना योग्य है, शून्य ही एकमात्र संभावित संचय बिंदु है, और स्पेक्ट्रम में कोई भी गैर-शून्य λ आइगेनवैल्यू है।

क्वैसिनिलपोटेंट संचालक
एक बंधा हुआ संचालक $$A:\,X\to X$$ क्वैसिनिलपोटेंट है यदि $$\lVert A^n\rVert^{1/n} \to 0$$ जैसा $$n\to\infty$$ (दूसरे शब्दों में, यदि A का वर्णक्रमीय त्रिज्या शून्य के बराबर है)। ऐसे संचालकों को समान रूप से स्थिति की विशेषता हो सकती है


 * $$\sigma(A)=\{0\}.$$

ऐसे संचालक का उदाहरण है $$A:\,l^2(\N)\to l^2(\N)$$, $$e_j\mapsto e_{j+1}/2^j$$ के लिए $$j\in\N$$.

स्व-आसन्न संचालक
यदि X हिल्बर्ट स्थान है और T स्व-संबद्ध संचालिका है (या, अधिक सामान्यतः, सामान्य संचालिका), तो वर्णक्रमीय प्रमेय के रूप में जाना जाने वाला उल्लेखनीय परिणाम सामान्य परिमित-आयामी संचालकों के लिए विकर्ण प्रमेय का एनालॉग देता है (हर्मिटियन मैट्रिसेस), उदाहरण के लिए)।

स्व-आसन्न संचालकों के लिए, वर्णक्रमीय माप अपघटन (कार्यात्मक विश्लेषण) को पूरी तरह से निरंतर, शुद्ध बिंदु और एकवचन भागों में परिभाषित करने के लिए वर्णक्रमीय उपायों का उपयोग कर सकते हैं।

एक वास्तविक संचालक का स्पेक्ट्रम
रिज़ॉल्वेंट और स्पेक्ट्रम की परिभाषाओं को वास्तविक क्षेत्र $$\mathbb{R}$$ के ऊपर (जटिल क्षेत्र के अतिरिक्त $$\mathbb{C}$$) इसकी जटिलता $$T_\mathbb{C}$$ के माध्यम से बनच स्थान $$X$$ पर अभिनय करने वाले किसी भी निरंतर रैखिक ऑपरेटर $$T$$ क बढ़ाया जा सकता है। इस स्थितियों में हम रिज़ॉल्वेंट समुच्चय $$\rho(T)$$ को परिभाषित करते हैं सभी के समुच्चय के रूप में $$\lambda\in\mathbb{C}$$ ऐसा है कि $$T_\mathbb{C}-\lambda I$$ जटिल स्थान $$X_\mathbb{C}$$ पर कार्यरत संचालक के रूप में व्युत्क्रम है; फिर हम $$\sigma(T)=\mathbb{C}\setminus\rho(T)$$ को परिभाषित करते है।

वास्तविक स्पेक्ट्रम
एक वास्तविक बनच स्पेस $$X$$ पर अभिनय करने वाले निरंतर रैखिक ऑपरेटर $$T$$ का वास्तविक स्पेक्ट्रम, निरूपित $$\sigma_\mathbb{R}(T)$$ को सभी $$\lambda\in\mathbb{R}$$ के सेट के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसके लिए $$T-\lambda I$$ $$X$$ पर कार्यरत बाध्य रैखिक ऑपरेटरों के वास्तविक बीजगणित में व्युत्क्रम होने में विफल रहता है। इस स्थितियों में हमारे पास $$\sigma(T)\cap\mathbb{R}=\sigma_\mathbb{R}(T)$$ है। ध्यान दें कि वास्तविक स्पेक्ट्रम जटिल स्पेक्ट्रम के साथ मेल खा सकता है या नहीं भी हो सकता है। विशेष रूप से, वास्तविक स्पेक्ट्रम खाली हो सकता है।

एक इकाई बनच बीजगणित का स्पेक्ट्रम
B को इकाई (वलय सिद्धांत) e युक्त जटिल बनच बीजगणित मान लीजिये। फिर हम B के एक तत्व x के स्पेक्ट्रम σ(x) (या अधिक स्पष्ट रूप से σB(x)) को उन जटिल संख्याओं λ का सेट होने के लिए परिभाषित करते हैं जिनके लिए λe - x B में व्युत्क्रमणीय नहीं है। यह परिबद्ध के लिए परिभाषा का विस्तार करता है बनच स्पेस X पर रैखिक ऑपरेटर B(X), चूंकि B(X) एक इकाई बनच बीजगणित है।

यह भी देखें

 * आवश्यक स्पेक्ट्रम
 * असतत स्पेक्ट्रम (गणित)
 * स्वयं संलग्न संचालिका
 * स्यूडोस्पेक्ट्रम
 * समाधान सेट

संदर्भ

 * Dales et al., Introduction to Banach Algebras, Operators, and Harmonic Analysis, ISBN 0-521-53584-0