लायपुनोव आयाम

गतिशील प्रणालियों के गणित में, लायपुनोव आयाम की अवधारणा कापलान-यॉर्क अनुमान द्वारा सुझाई गई थी आकर्षित करने वालों के हॉसडॉर्फ आयाम का अनुमान लगाने के लिए। इसके अलावा इस अवधारणा को विकसित किया गया है और कई पत्रों में कड़ाई से उचित ठहराया गया है, और आजकल लाइपुनोव आयाम की परिभाषा के लिए विभिन्न दृष्टिकोणों का उपयोग किया जाता है। टिप्पणी करें कि गैर-पूर्णांक हौसडॉर्फ आयाम वाले आकर्षणकर्ताओं को आकर्षणकर्ता#अजीब आकर्षणक कहा जाता है। चूंकि आकर्षित करने वालों के हॉसडॉर्फ आयाम का प्रत्यक्ष संख्यात्मक विश्लेषण अक्सर उच्च संख्यात्मक जटिलता की समस्या है, लायपुनोव आयाम के माध्यम से अनुमान व्यापक रूप से फैल गए। लायपुनोव आयाम का नाम दिया गया था लायपुनोव के प्रतिपादक साथ घनिष्ठ संबंध के कारण रूसी गणितज्ञ अलेक्जेंडर लायपुनोव  के बाद।

परिभाषाएँ
एक गतिशील प्रणाली पर विचार करें $$ \big(\{\varphi^t\}_{t\geq0}, (U\subseteq \mathbb{R}^n, \|\cdot\|)\big) $$, कहाँ $$\varphi^t$$ समाधान के साथ शिफ्ट ऑपरेटर है: $$ \varphi^t(u_0) = u(t,u_0)$$, साधारण अंतर समीकरण का $$\dot{u} = f({u})$$, $$ t \leq 0$$, या अंतर समीकरण $${u}(t+1) = f({u}(t))$$, $$ t=0,1,...$$, लगातार अलग-अलग वेक्टर-फ़ंक्शन के साथ $$f$$. तब $$D\varphi^t(u)$$ रेखीयकृत प्रणाली का मौलिक मैट्रिक्स (रैखिक अंतर समीकरण) है और द्वारा निरूपित करें $$\sigma_i(t,u) = \sigma_i(D\varphi^t(u)), \ i = 1...n$$, उनके आइगेनवैल्यू और ईजेनवेक्टर#बीजगणितीय बहुलता के संबंध में एकवचन मूल्य, किसी के लिए घटाकर आदेश दिया $$u$$ और $$t$$.

परिमित-समय लायपुनोव आयाम के माध्यम से परिभाषा
निकोले_वी._कुज़नेत्सोव|एन. द्वारा कार्यों में विकसित परिमित-समय लायपुनोव आयाम की अवधारणा और ल्यापुनोव आयाम की संबंधित परिभाषा। कुज़नेत्सोव, संख्यात्मक प्रयोगों के लिए सुविधाजनक है जहां केवल परिमित समय देखा जा सकता है। कापलान-यॉर्क अनुमान के एक एनालॉग पर विचार करें। कापलान-यॉर्क सूत्र परिमित-समय ल्यपुनोव प्रतिपादकों के लिए:

d_{\rm KY}(\{ {\rm LE}_i(t,u)\}_{i=1}^n)=j(t,u) + \frac{ {\rm LE}_1(t,u) + \cdots + {\rm LE}_{j(t,u)}(t,u)}{| {\rm LE}_{j(t,u)+1}(t,u)|}, $$

j(t,u) = \max\{m: \sum_{i=1}^m {\rm LE}_i(t,u) \geq 0\}, $$ परिमित समय Lyapunov घातांक के आदेशित सेट के संबंध में $$\{{\rm LE}_i(t,u)\}_{i=1}^n = \{\frac{1}{t}\ln\sigma_i(t,u)\}_{i=1}^n$$ बिंदु पर $$u$$. सम्मान के साथ डायनेमिक सिस्टम का परिमित-समय लायपुनोव आयाम अपरिवर्तनीय कई गुना $$K$$ निम्नानुसार परिभाषित किया गया है

\dim_{\rm L}(t, K) = \sup\limits_{u \in K} d_{\rm KY}(\{{\rm LE}_i(t,u)\}_{i=1}^n). $$ इस दृष्टिकोण में कापलान-यॉर्क सूत्र के अनुरूप का उपयोग डौडी-ओस्टरले प्रमेय द्वारा कड़ाई से उचित है, जो साबित करता है कि किसी भी निश्चित के लिए $$t > 0$$ एक बंद परिबद्ध अपरिवर्तनीय सेट के लिए परिमित-समय लापुनोव आयाम $$K$$ हौसडॉर्फ आयाम का ऊपरी अनुमान है:

\dim_{\rm H} K \leq \dim_{\rm L}(t, K). $$ इस तरह के सर्वश्रेष्ठ अनुमान की तलाश है $$ \inf_{t>0} \dim_{\rm L} (t, K) = \liminf_{t \to +\infty}\sup\limits_{u \in K} \dim_{\rm L}(t,u) $$Lyapunov आयाम को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: :$$ \dim_{\rm L} K = \liminf_{t \to +\infty}\sup\limits_{u \in K} \dim_{\rm L}(t,u). $$ समय सीमा के क्रम और सेट पर सर्वोच्चता को बदलने की संभावनाओं पर चर्चा की जाती है, उदाहरण के लिए, में। ध्यान दें कि ऊपर परिभाषित लायपुनोव आयाम लिप्सचिट्ज़ डिफियोमॉर्फिज्म के तहत अपरिवर्तनीय है।

सटीक लायपुनोव आयाम
जैकोबियन मैट्रिक्स दें $$Df(u_\text{eq})$$ संतुलन में से एक में सरल वास्तविक eigenvalues ​​​​होते हैं: $$\{\lambda_i(u_\text{eq})\}_{i=1}^n, \lambda_{i}(u_\text{eq}) \geq \lambda_{i+1}(u_\text{eq})$$, तब

\dim_{\rm L}u_\text{eq} = d_{\rm KY}(\{\lambda_i(u_\text{eq})\}_{i=1}^n). $$ यदि वैश्विक आकर्षणकर्ता पर स्थानीय ल्यपुनोव आयामों का सर्वोच्च, जिसमें सभी संतुलन शामिल हैं, एक संतुलन बिंदु पर प्राप्त किया जाता है, तो यह वैश्विक आकर्षणकर्ता के सटीक ल्यापुनोव आयाम का विश्लेषणात्मक सूत्र प्राप्त करने की अनुमति देता है (इसी ईडन के अनुमान को देखें)।

सांख्यिकीय भौतिकी दृष्टिकोण और ergodicity
के माध्यम से परिभाषा सांख्यिकीय भौतिकी दृष्टिकोण का पालन करना और क्षरण को मानना आकर्षित करने वाले के ल्यपुनोव आयाम का अनुमान लगाया गया है द्वारा स्थानीय लायपुनोव आयाम का सीमा मूल्य $$\lim_{t\to+\infty}\dim_{\rm L} (t, u_0)$$ एक विशिष्ट प्रक्षेपवक्र का, जो आकर्षित करने वाले का है। इस मामले में $$\{\lim\limits_{t\to+\infty}{\rm LE}_i(t,u_0)\}_{i}^n = \{ {\rm LE}_i(u_0)\}_1^n$$ और $$\dim_{\rm L}u_0= d_{\rm KY}(\{ {\rm LE}_i(u_0)\}_{i=1}^n)=j(u_0) + \frac{ {\rm LE}_1(u_0) + \cdots + {\rm LE}_{j(u_0)}(u_0)}{| {\rm LE}_{j(u_0)+1}(u_0)|} $$. व्यावहारिक दृष्टिकोण से, ओसेलेडेक प्रमेय का कठोर उपयोग, सत्यापन कि माना प्रक्षेपवक्र $$u(t,u_0)$$ एक सामान्य प्रक्षेपवक्र है, और इसी कापलान-यॉर्क अनुमान का उपयोग | कापलान-यॉर्क सूत्र एक चुनौतीपूर्ण कार्य है (देखें, उदाहरण के लिए चर्चाएँ ). परिमित समय Lyapunov घातांक के सटीक सीमा मान, यदि वे मौजूद हैं और सभी के लिए समान हैं $$u_0 \in U$$, निरपेक्ष कहलाते हैं $$\{\lim\limits_{t\to+\infty}{\rm LE}_i(t,u_0)\}_{i}^n = \{ {\rm LE}_i(u_0)\}_1^n \equiv \{ {\rm LE}_i \}_1^n$$ और कापलान-यॉर्क अनुमान में प्रयोग किया जाता है। कापलान-यॉर्क सूत्र। Lyapunov घातांक और आयाम की गणना के लिए एर्गोडिक सिद्धांत के कठोर उपयोग के उदाहरण में पाया जा सकता है।