गैर-ऋणात्मक आव्यूह गुणनखंडन

गैर-नकारात्मक मैट्रिक्स गुणनखंडन (एनएमएफ या एनएनएमएफ), गैर-नकारात्मक मैट्रिक्स सन्निकटन भी बहुभिन्नरूपी विश्लेषण और रैखिक बीजगणित में कलन विधि का एक समूह है जहां एक मैट्रिक्स (गणित) $V$ मैट्रिक्स का (आमतौर पर) दो मैट्रिक्स में अपघटन है $W$ और $H$, इस गुण के साथ कि तीनों आव्यूहों में कोई ऋणात्मक तत्व नहीं है। यह गैर-नकारात्मकता परिणामी मैट्रिक्स का निरीक्षण करना आसान बनाती है। इसके अलावा, ऑडियो स्पेक्ट्रोग्राम या मांसपेशियों की गतिविधि के प्रसंस्करण जैसे अनुप्रयोगों में, विचार किए जा रहे डेटा में गैर-नकारात्मकता अंतर्निहित है। चूँकि समस्या सामान्य रूप से बिल्कुल हल करने योग्य नहीं है, इसलिए इसे आमतौर पर संख्यात्मक रूप से अनुमानित किया जाता है।

एनएमएफ खगोल विज्ञान जैसे क्षेत्रों में अनुप्रयोग ढूंढता है, कंप्यूटर दृष्टि, दस्तावेज़ क्लस्टरिंग, प्रतिरूपण (सांख्यिकी),  रसायन विज्ञान, ऑडियो सिग्नल प्रोसेसिंग, अनुशंसा प्रणाली, और जैव सूचना विज्ञान।

इतिहास
केमोमेट्रिक्स में गैर-नकारात्मक मैट्रिक्स गुणनखंडन का स्व मॉडलिंग वक्र रिज़ॉल्यूशन नाम के तहत एक लंबा इतिहास है। इस ढांचे में सही मैट्रिक्स में वेक्टर अलग-अलग वैक्टर के बजाय निरंतर वक्र होते हैं। इसके अलावा गैर-नकारात्मक मैट्रिक्स फ़ैक्टराइज़ेशन पर प्रारंभिक कार्य 1990 के दशक में शोधकर्ताओं के एक फिनिश समूह द्वारा सकारात्मक मैट्रिक्स फ़ैक्टराइज़ेशन नाम के तहत किया गया था। ली और सेबस्टियन सेउंग द्वारा एल्गोरिदम के गुणों की जांच करने और कुछ सरल और उपयोगी प्रकाशित करने के बाद इसे गैर-नकारात्मक मैट्रिक्स फैक्टराइजेशन के रूप में अधिक व्यापक रूप से जाना जाने लगा। दो प्रकार के गुणनखंडों के लिए एल्गोरिदम।

पृष्ठभूमि
चलो मैट्रिक्स $V$ आव्यूहों का गुणनफल बनें $V$ और $W$,
 * $$\mathbf{V} = \mathbf{W} \mathbf{H} \,.$$

मैट्रिक्स गुणन को कॉलम वैक्टर की गणना के रूप में कार्यान्वित किया जा सकता है $H$ कॉलम वैक्टर के रैखिक संयोजन के रूप में $V$ के स्तंभों द्वारा आपूर्ति किए गए गुणांकों का उपयोग करना $W$. यानि कि प्रत्येक कॉलम $H$ की गणना इस प्रकार की जा सकती है:
 * $$\mathbf{v}_i = \mathbf{W} \mathbf{h}_{i} \,,$$

कहाँ $V$ है $W$-उत्पाद मैट्रिक्स का वां कॉलम वेक्टर $H$ और $V$ है $v_{i}$-मैट्रिक्स का कॉलम वेक्टर $i$.

मैट्रिक्स को गुणा करते समय, कारक मैट्रिक्स के आयाम उत्पाद मैट्रिक्स की तुलना में काफी कम हो सकते हैं और यह वह संपत्ति है जो एनएमएफ का आधार बनाती है। एनएमएफ मूल मैट्रिक्स की तुलना में काफी कम आयाम वाले कारक उत्पन्न करता है। उदाहरण के लिए, यदि $V$ एक $h_{i}$ आव्यूह, $i$ एक $H$ मैट्रिक्स, और $V$ एक है $m × n$ फिर मैट्रिक्स $W$ दोनों से काफी कम हो सकता है $m × p$ और $H$.

यहां टेक्स्ट-माइनिंग एप्लिकेशन पर आधारित एक उदाहरण दिया गया है:
 * इनपुट मैट्रिक्स (फैक्टर किया जाने वाला मैट्रिक्स) होने दें $p × n$10000 पंक्तियों और 500 स्तंभों के साथ जहां शब्द पंक्तियों में हैं और दस्तावेज़ स्तंभों में हैं। अर्थात्, हमारे पास 10000 शब्दों द्वारा अनुक्रमित 500 दस्तावेज़ हैं। यह एक कॉलम वेक्टर का अनुसरण करता है $p$ में $m$ एक दस्तावेज़ का प्रतिनिधित्व करता है।
 * मान लें कि फीचर मैट्रिक्स तैयार करने के लिए हम एल्गोरिदम से 10 फीचर ढूंढने के लिए कहते हैं $n$10000 पंक्तियों और 10 स्तंभों और एक गुणांक मैट्रिक्स के साथ $V$ 10 पंक्तियों और 500 स्तंभों के साथ।
 * का उत्पाद $v$ और $V$ 10000 पंक्तियों और 500 स्तंभों वाला एक मैट्रिक्स है, जिसका आकार इनपुट मैट्रिक्स के समान है $W$ और, यदि गुणनखंडन काम करता है, तो यह इनपुट मैट्रिक्स के लिए एक उचित अनुमान है $H$.
 * उपरोक्त मैट्रिक्स गुणन के उपचार से यह पता चलता है कि उत्पाद मैट्रिक्स में प्रत्येक कॉलम $W$ फीचर मैट्रिक्स में 10 कॉलम वैक्टर का एक रैखिक संयोजन है $H$ गुणांक मैट्रिक्स द्वारा आपूर्ति किए गए गुणांक के साथ $V$.

यह अंतिम बिंदु एनएमएफ का आधार है क्योंकि हम अपने उदाहरण में प्रत्येक मूल दस्तावेज़ को छिपी हुई विशेषताओं के एक छोटे सेट से निर्मित मान सकते हैं। एनएमएफ इन सुविधाओं को उत्पन्न करता है।

फीचर मैट्रिक्स में प्रत्येक फीचर (कॉलम वेक्टर) के बारे में सोचना उपयोगी है $V$ एक दस्तावेज़ मूलरूप के रूप में जिसमें शब्दों का एक सेट शामिल होता है जहां प्रत्येक शब्द का सेल मान फीचर में शब्द की रैंक को परिभाषित करता है: किसी शब्द का सेल मान जितना अधिक होगा फीचर में शब्द की रैंक उतनी ही अधिक होगी। गुणांक मैट्रिक्स में एक स्तंभ $WH$ किसी विशेषता के लिए दस्तावेज़ की रैंक को परिभाषित करने वाले सेल मान के साथ एक मूल दस्तावेज़ का प्रतिनिधित्व करता है। अब हम अपनी विशेषताओं (कॉलम वेक्टर) के रैखिक संयोजन द्वारा अपने इनपुट मैट्रिक्स से एक दस्तावेज़ (कॉलम वेक्टर) का पुनर्निर्माण कर सकते हैं $W$) जहां प्रत्येक फीचर को दस्तावेज़ के कॉलम से फीचर के सेल मान द्वारा भारित किया जाता है $H$.

क्लस्टरिंग संपत्ति
एनएमएफ में अंतर्निहित क्लस्टरिंग संपत्ति है, यानी, यह स्वचालित रूप से इनपुट डेटा के कॉलम को क्लस्टर करता है $$\mathbf{V} = (v_1, \dots, v_n) $$.

अधिक विशेष रूप से, का सन्निकटन $$\mathbf{V}$$ द्वारा $$\mathbf{V} \simeq \mathbf{W}\mathbf{H}$$ खोजने से प्राप्त होता है $$W$$ और $$H$$ जो त्रुटि फ़ंक्शन को कम करता है (मैट्रिक्स मानदंड#फ्रोबेनियस मानदंड का उपयोग करके)

$$ \left\| V - WH \right\|_F,$$ का विषय है $$W \geq 0, H \geq 0.$$,

यदि हम इसके अलावा रूढ़िवादिता की बाधा भी थोपते हैं $$ \mathbf{H} $$, अर्थात। $$ \mathbf{H}\mathbf{H}^T = I $$, तो उपरोक्त न्यूनतमकरण गणितीय रूप से K-साधन क्लस्टरिंग के न्यूनतमकरण के बराबर है।

इसके अलावा, गणना की गई $$H$$ क्लस्टर सदस्यता देता है, अर्थात, यदि $$\mathbf{H}_{kj} > \mathbf{H}_{ij} $$ सभी i ≠ k के लिए, यह सुझाव देता है कि इनपुट डेटा $$ v_j $$ से संबंधित $$k$$-वां क्लस्टर. गणना की गई $$W$$ क्लस्टर सेंट्रोइड्स देता है, अर्थात $$k$$-वां कॉलम क्लस्टर सेंट्रोइड देता है $$k$$-वां क्लस्टर. इस केन्द्रक का प्रतिनिधित्व उत्तल एनएमएफ द्वारा महत्वपूर्ण रूप से बढ़ाया जा सकता है।

जब रूढ़िवादिता बाधा $$ \mathbf{H}\mathbf{H}^T = I $$ स्पष्ट रूप से थोपा नहीं गया है, रूढ़िवादिता काफी हद तक कायम है, और क्लस्टरिंग संपत्ति भी कायम है। एनएमएफ के अधिकांश डेटा खनन अनुप्रयोगों का मुख्य उद्देश्य क्लस्टरिंग है।

जब उपयोग किया जाने वाला त्रुटि फ़ंक्शन कुल्बैक-लीबलर विचलन है, तो एनएमएफ संभाव्य अव्यक्त सिमेंटिक विश्लेषण (पीएलएसए) के समान है, जो एक लोकप्रिय दस्तावेज़ क्लस्टरिंग विधि है।

अनुमानित गैर-नकारात्मक मैट्रिक्स गुणनखंड
आमतौर पर स्तंभों की संख्या $W$ और पंक्तियों की संख्या $H$एनएमएफ में उत्पाद का चयन किया जाता है $W$ का एक अनुमान बन जाएगा $H$. का पूर्ण विघटन $W$ तो यह दो गैर-नकारात्मक आव्यूहों के बराबर है $H$ और $WH$साथ ही एक अवशेष भी $V$, ऐसा है कि: $V$. अवशिष्ट मैट्रिक्स के तत्व या तो नकारात्मक या सकारात्मक हो सकते हैं।

कब $W$ और $H$ से छोटे हैं $U$ उन्हें संग्रहीत करना और हेरफेर करना आसान हो जाता है। गुणनखंडन का दूसरा कारण $V = WH + U$ छोटे आव्यूहों में $W$ और $H$, यह है कि यदि कोई लगभग तत्वों का प्रतिनिधित्व करने में सक्षम है $V$ काफी कम डेटा से, किसी को डेटा में कुछ गुप्त संरचना का अनुमान लगाना होगा।

उत्तल गैर-नकारात्मक मैट्रिक्स गुणनखंडन
मानक एनएमएफ में, मैट्रिक्स कारक $V$, अर्थात।, $W$ उस स्थान में कुछ भी हो सकता है। उत्तल एनएमएफ के कॉलम को प्रतिबंधित करता है $H$ इनपुट डेटा वैक्टर के उत्तल संयोजनों के लिए $$ (v_1, \dots, v_n) $$. इससे डेटा प्रतिनिधित्व की गुणवत्ता में काफी सुधार होता है $V$. इसके अलावा, परिणामी मैट्रिक्स कारक $W ∈ R_{+}^{m × k}$ अधिक विरल और ओर्थोगोनल हो जाता है।

अऋणात्मक रैंक गुणनखंडन
मामले में गैर-नकारात्मक रैंक (रैखिक बीजगणित)। $W$ इसकी वास्तविक रैंक के बराबर है, $W$ को गैर-ऋणात्मक रैंक गुणनखंड (एनआरएफ) कहा जाता है।  का एनआरएफ खोजने की समस्या $W$, यदि यह मौजूद है, तो एनपी-हार्ड के रूप में जाना जाता है।

विभिन्न लागत कार्य और नियमितीकरण
विभिन्न प्रकार के गैर-नकारात्मक मैट्रिक्स गुणनखंड हैं। बीच के अंतर को मापने के लिए विभिन्न हानि कार्यों का उपयोग करने से विभिन्न प्रकार उत्पन्न होते हैं $H$ और $V$ और संभवतः नियमितीकरण (गणित) द्वारा $V = WH$ और/या $V$ मैट्रिक्स. ली और सेउंग द्वारा अध्ययन किए गए दो सरल विचलन कार्य हैं वर्ग त्रुटि (या फ्रोबेनियस मानदंड) और कुल्बैक-लीब्लर विचलन का सकारात्मक मैट्रिक्स तक विस्तार (मूल कुल्बैक-लीब्लर विचलन संभाव्यता वितरण पर परिभाषित किया गया है)। प्रत्येक विचलन एक अलग एनएमएफ एल्गोरिदम की ओर ले जाता है, जो आमतौर पर पुनरावृत्त अद्यतन नियमों का उपयोग करके विचलन को कम करता है।

एनएमएफ के वर्ग त्रुटि संस्करण में गुणनखंडन समस्या को इस प्रकार बताया जा सकता है: एक मैट्रिक्स दिया गया $$\mathbf{V}$$ फ़ंक्शन को न्यूनतम करने वाले गैर-ऋणात्मक आव्यूह W और H खोजें
 * $$F(\mathbf{W},\mathbf{H}) = \left\|\mathbf{V} - \mathbf{WH} \right\|^2_F$$

छवियों के लिए एक अन्य प्रकार का एनएमएफ कुल भिन्नता मानदंड पर आधारित है। जब तिखनोव नियमितीकरण (लासो (सांख्यिकी) के समान) को माध्य वर्ग त्रुटि लागत फ़ंक्शन के साथ एनएमएफ में जोड़ा जाता है, तो परिणामी समस्या को विरल कोडिंग समस्या की समानता के कारण गैर-नकारात्मक विरल कोडिंग कहा जा सकता है, हालाँकि इसे अभी भी एनएमएफ के रूप में संदर्भित किया जा सकता है। रेफरी>

ऑनलाइन एनएमएफ
कई मानक एनएमएफ एल्गोरिदम सभी डेटा का एक साथ विश्लेषण करते हैं; यानी, संपूर्ण मैट्रिक्स प्रारंभ से ही उपलब्ध है। यह उन अनुप्रयोगों में असंतोषजनक हो सकता है जहां मेमोरी में फिट होने के लिए बहुत अधिक डेटा है या जहां डेटा आकड़ों का प्रवाह फैशन में प्रदान किया जाता है। ऐसा ही एक उपयोग अनुशंसा प्रणाली में सहयोगी फ़िल्टरिंग के लिए है, जहां अनुशंसा करने के लिए कई उपयोगकर्ता और कई आइटम हो सकते हैं, और जब सिस्टम में एक उपयोगकर्ता या एक आइटम जोड़ा जाता है तो सब कुछ पुनर्गणना करना अक्षम होगा। इन मामलों में अनुकूलन के लिए लागत फ़ंक्शन मानक एनएमएफ के समान हो भी सकता है और नहीं भी, लेकिन एल्गोरिदम को अलग होने की आवश्यकता है।

संवादात्मक एनएमएफ
यदि के कॉलम $V$ स्थानिक या लौकिक आयामों पर नमूना किए गए डेटा का प्रतिनिधित्व करते हैं, उदाहरण के लिए समय संकेत, छवियाँ, या वीडियो, विशेषताएँ जो समतुल्य हैं w.r.t. इन आयामों में बदलाव को कन्वेन्शनल एनएमएफ द्वारा सीखा जा सकता है। इस मामले में, $WH$ स्थानीय गैर-शून्य भार वाली खिड़कियों वाले स्तंभों के साथ विरल है जो स्थानिक-अस्थायी आयामों के साथ बदलावों में साझा किए जाते हैं $W$, कर्नेल (छवि प्रसंस्करण) का प्रतिनिधित्व करता है। के स्थानिक-अस्थायी पूलिंग द्वारा $H$ और बार-बार परिणामी प्रतिनिधित्व को कन्वेन्शनल एनएमएफ के इनपुट के रूप में उपयोग करके, गहरी सुविधा पदानुक्रम सीखा जा सकता है।

एल्गोरिदम
ऐसे कई तरीके हैं जिनसे $V$ और $W$ पाया जा सकता है: ली और सेउंग की गुणक वजन अद्यतन विधि कार्यान्वयन की सरलता के कारण यह एक लोकप्रिय तरीका रहा है। यह एल्गोरिथम है:
 * प्रारंभ करें: $V$ और $H$ गैर नकारात्मक.
 * फिर इसमें मानों को अद्यतन करें $W$ और $H$ निम्नलिखित की गणना करके, साथ $$n$$ पुनरावृत्ति के सूचकांक के रूप में।
 * $$ \mathbf{H}_{[i,j]}^{n+1} \leftarrow \mathbf{H}_{[i,j]}^n \frac{((\mathbf{W}^n)^T\mathbf{V})_{[i,j]}}{((\mathbf{W}^n)^T\mathbf{W}^n\mathbf{H}^n)_{[i,j]}}$$
 * और
 * $$ \mathbf{W}_{[i,j]}^{n+1} \leftarrow \mathbf{W}_{[i,j]}^n \frac{(\mathbf{V}(\mathbf{H}^{n+1})^T)_{[i,j]}}{(\mathbf{W}^n\mathbf{H}^{n+1}(\mathbf{H}^{n+1})^T)_{[i,j]}}$$
 * जब तक $W$ और $H$ स्थिर हैं.

ध्यान दें कि अद्यतन तत्व दर तत्व के आधार पर किए जाते हैं, मैट्रिक्स गुणन के आधार पर नहीं।

हम ध्यान दें कि गुणक कारक $W$ और $H$, यानी $\frac{\mathbf{W}^\mathsf{T} \mathbf{V}}{\mathbf{W}^\mathsf{T} \mathbf{W} \mathbf{H}}$ और ${\textstyle {\frac {\mathbf {V} \mathbf {H} ^{\mathsf {T}} }{\mathbf {W} \mathbf {H} \mathbf {H} ^{\mathsf {T}}}}}$  पद, कब के मैट्रिक्स हैं $$\mathbf{V} = \mathbf{W} \mathbf{H}$$.

हाल ही में अन्य एल्गोरिदम विकसित किए गए हैं। कुछ दृष्टिकोण वैकल्पिक गैर-नकारात्मक न्यूनतम वर्गों पर आधारित होते हैं: ऐसे एल्गोरिदम के प्रत्येक चरण में, पहले $W$ निश्चित है और $H$ फिर एक गैर-नकारात्मक न्यूनतम वर्ग सॉल्वर द्वारा पाया गया $W$ निश्चित है और $H$ अनुरूप रूप से पाया जाता है। समाधान के लिए उपयोग की जाने वाली प्रक्रियाएँ $H$ और $W$ वही हो सकता है या भिन्न, क्योंकि कुछ एनएमएफ वेरिएंट इनमें से किसी एक को नियमित करते हैं $W$ और $H$. विशिष्ट दृष्टिकोणों में अनुमानित ढतला हुआ वंश  विधियाँ शामिल हैं, सक्रिय सेट विधि, इष्टतम ढाल विधि, और ब्लॉक प्रिंसिपल पिवोटिंग विधि कई अन्य लोगों के बीच। वर्तमान एल्गोरिदम इस मायने में उप-इष्टतम हैं कि वे लागत फ़ंक्शन के वैश्विक न्यूनतम के बजाय केवल स्थानीय न्यूनतम खोजने की गारंटी देते हैं। निकट भविष्य में एक सिद्ध इष्टतम एल्गोरिदम की संभावना नहीं है क्योंकि समस्या को के-मीन्स क्लस्टरिंग समस्या को सामान्यीकृत करने के लिए दिखाया गया है जिसे एनपी-पूर्ण माना जाता है। हालाँकि, कई अन्य डेटा माइनिंग अनुप्रयोगों की तरह, एक स्थानीय न्यूनतम अभी भी उपयोगी साबित हो सकता है।

फ़ाइल:Fractional_Residual_Variances_comparison,_PCA_and_NMF.pdf|thumb|500px|PCA और अनुक्रमिक NMF के लिए भिन्नात्मक अवशिष्ट विचरण (FRV) प्लॉट; पीसीए के लिए, सैद्धांतिक मूल्य अवशिष्ट eigenvalues ​​​​से योगदान हैं। इसकी तुलना में, पीसीए के लिए एफआरवी वक्र एक समतल पठार तक पहुंचता है जहां कोई भी सिग्नल प्रभावी ढंग से कैप्चर नहीं किया जाता है; जबकि एनएमएफ एफआरवी वक्र लगातार घट रहे हैं, जो सिग्नल पकड़ने की बेहतर क्षमता का संकेत देता है। एनएमएफ के लिए एफआरवी वक्र भी पीसीए की तुलना में उच्च स्तर पर परिवर्तित होते हैं, जो एनएमएफ की कम-ओवरफिटिंग संपत्ति को दर्शाता है।

अनुक्रमिक एनएमएफ
एनएमएफ घटकों का अनुक्रमिक निर्माण ($W$ और $H$) का उपयोग सबसे पहले खगोल विज्ञान में एनएमएफ को प्रमुख कंपोनेंट विश्लेषण  (पीसीए) से जोड़ने के लिए किया गया था। पीसीए घटकों के योगदान को उनके संबंधित स्वदेशी मूल्यों के परिमाण के आधार पर क्रमबद्ध किया जाता है; एनएमएफ के लिए, इसके घटकों को अनुभवजन्य रूप से रैंक किया जा सकता है जब उनका निर्माण एक-एक करके (क्रमिक रूप से) किया जाता है, यानी, जानें $$ (n+1)$$-पहले के साथ घटक $$n$$ घटकों का निर्माण किया गया।

अनुक्रमिक एनएमएफ घटकों के योगदान की तुलना करहुनेन-लोवे प्रमेय, पीसीए के एक अनुप्रयोग, आइजेनवैल्यू के प्लॉट का उपयोग करके की जा सकती है। पीसीए के साथ घटकों की संख्या का एक विशिष्ट विकल्प कोहनी बिंदु पर आधारित होता है, फिर सपाट पठार का अस्तित्व यह संकेत दे रहा है कि पीसीए डेटा को कुशलता से कैप्चर नहीं कर रहा है, और अंत में यादृच्छिक शोर के कैप्चर को दर्शाते हुए अचानक गिरावट आती है और ओवरफिटिंग के शासन में आ जाती है। अनुक्रमिक एनएमएफ के लिए, आइगेनवैल्यू का प्लॉट आंशिक अवशिष्ट विचरण वक्रों के प्लॉट द्वारा अनुमानित किया जाता है, जहां वक्र लगातार घटते हैं, और पीसीए की तुलना में उच्च स्तर पर परिवर्तित होते हैं, जो अनुक्रमिक एनएमएफ की कम ओवर-फिटिंग का संकेत है।

सटीक एनएमएफ
जब मैट्रिक्स के लिए अतिरिक्त बाधाएं होती हैं तो एनएमएफ के वेरिएंट के लिए सटीक समाधान की उम्मीद की जा सकती है (बहुपद समय में) $W$. गैर-नकारात्मक रैंक गुणनखंडन को हल करने के लिए एक बहुपद समय एल्गोरिदम $H$ में 1981 में कैंपबेल और पूले द्वारा दी गई रैंक के बराबर रैंक का एकपदी उप मैट्रिक्स शामिल है। कलोफोलियास और गैलोपोलोस (2012) इस समस्या के सममित समकक्ष को हल किया, जहां $W$ सममित है और इसमें रैंक r का एक विकर्ण प्रधान उप मैट्रिक्स शामिल है। उनका एल्गोरिदम चलता है $H$ सघन मामले में समय. अरोरा, जीई, हेल्पर, मिम्नो, मोइत्रा, सोंटेग, वू, और झू (2013) सटीक एनएमएफ के लिए एक बहुपद समय एल्गोरिदम देते हैं जो उस मामले के लिए काम करता है जहां कारकों में से एक डब्ल्यू एक पृथक्करण स्थिति को संतुष्ट करता है।

अन्य तकनीकों से संबंध
गैर-नकारात्मक मैट्रिक्स गुणनखंडन द्वारा वस्तुओं के हिस्सों को सीखने में ली और सेउंग प्रस्तावित एनएमएफ मुख्य रूप से छवियों के भागों-आधारित अपघटन के लिए है। यह एनएमएफ की तुलना वेक्टर परिमाणीकरण और प्रमुख घटक विश्लेषण से करता है, और दिखाता है कि यद्यपि तीन तकनीकों को कारक के रूप में लिखा जा सकता है, वे विभिन्न बाधाओं को लागू करते हैं और इसलिए अलग-अलग परिणाम उत्पन्न करते हैं।

बाद में यह दिखाया गया कि कुछ प्रकार के एनएमएफ एक अधिक सामान्य संभाव्य मॉडल का उदाहरण हैं जिसे मल्टीनोमियल पीसीए कहा जाता है। जब एनएमएफ कुल्बैक-लीबलर विचलन को कम करके प्राप्त किया जाता है, तो यह वास्तव में बहुपद पीसीए, संभाव्य अव्यक्त अर्थ विश्लेषण के एक अन्य उदाहरण के बराबर है, अधिकतम संभावना अनुमान द्वारा प्रशिक्षित। उस पद्धति का उपयोग आमतौर पर पाठ्य डेटा का विश्लेषण और क्लस्टरिंग करने के लिए किया जाता है और यह अव्यक्त वर्ग मॉडल से भी संबंधित है।

न्यूनतम-वर्ग उद्देश्य वाला एनएमएफ K-साधन क्लस्टरिंग के एक आरामदायक रूप के बराबर है: मैट्रिक्स कारक $V$क्लस्टर सेंट्रोइड्स और शामिल हैं $V$ में क्लस्टर सदस्यता संकेतक शामिल हैं। यह डेटा क्लस्टरिंग के लिए एनएमएफ का उपयोग करने के लिए एक सैद्धांतिक आधार प्रदान करता है। हालाँकि, k-मीन्स अपने सेंट्रोइड्स पर गैर-नकारात्मकता को लागू नहीं करता है, इसलिए निकटतम सादृश्य वास्तव में सेमी-एनएमएफ के साथ है।

एनएमएफ को दो-परत बायेसियन नेटवर्क मॉडल के रूप में देखा जा सकता है जिसमें प्रेक्षित यादृच्छिक चर की एक परत और छिपे हुए यादृच्छिक चर की एक परत होती है। एनएमएफ मैट्रिक्स से आगे मनमाने क्रम के टेंसर तक फैला हुआ है।  इस एक्सटेंशन को, उदाहरण के लिए, PARAFAC मॉडल के गैर-नकारात्मक समकक्ष के रूप में देखा जा सकता है।

एनएमएफ के अन्य विस्तारों में कई डेटा मैट्रिक्स और टेंसर का संयुक्त गुणनखंडन शामिल है जहां कुछ कारक साझा किए जाते हैं। ऐसे मॉडल सेंसर फ़्यूज़न और रिलेशनल लर्निंग के लिए उपयोगी हैं। एनएमएफ समर्थन वेक्टर यंत्र  (एसवीएम) की तरह ही नॉननेगेटिव द्विघात प्रोग्रामिंग (एनक्यूपी) का एक उदाहरण है। हालाँकि, एसवीएम और एनएमएफ एनक्यूपी की तुलना में अधिक घनिष्ठ स्तर पर संबंधित हैं, जो दोनों डोमेन में समस्याओं के लिए दोनों तरीकों में से किसी एक के लिए विकसित समाधान एल्गोरिदम के सीधे अनुप्रयोग की अनुमति देता है।

विशिष्टता
गुणनखंडन अद्वितीय नहीं है: एक मैट्रिक्स और उसके व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग दो गुणनखंडन मैट्रिक्स को बदलने के लिए किया जा सकता है, उदाहरण के लिए,
 * $$\mathbf{WH} = \mathbf{WBB}^{-1}\mathbf{H}$$

यदि दो नए मैट्रिक्स $$\mathbf{\tilde{W} = WB}$$ और $$\mathbf{\tilde{H}}=\mathbf{B}^{-1}\mathbf{H}$$ गैर-नकारात्मक मैट्रिक्स हैं|गैर-नकारात्मक वे गुणनखंडन का एक और पैरामीट्रिजेशन बनाते हैं।

की गैर-नकारात्मकता $$\mathbf{\tilde{W}}$$ और $$\mathbf{\tilde{H}}$$ कम से कम लागू होता है यदि $V$ एक गैर-नकारात्मक एकपदी मैट्रिक्स  है। इस साधारण मामले में यह केवल स्केलिंग और क्रमपरिवर्तन के अनुरूप होगा।

एनएमएफ की गैर-विशिष्टता पर अधिक नियंत्रण विरल बाधाओं के साथ प्राप्त किया जाता है।

खगोल विज्ञान
खगोल विज्ञान में, एनएमएफ इस अर्थ में आयाम में कमी के लिए एक आशाजनक तरीका है कि खगोलभौतिकीय संकेत गैर-नकारात्मक हैं। एनएमएफ को स्पेक्ट्रोस्कोपिक अवलोकनों पर लागू किया गया है और प्रत्यक्ष इमेजिंग अवलोकन खगोलीय पिंडों के सामान्य गुणों का अध्ययन करने और खगोलीय अवलोकनों को पोस्ट-प्रोसेस करने की एक विधि के रूप में। ब्लैंटन और रोविस द्वारा स्पेक्ट्रोस्कोपिक अवलोकनों में प्रगति (2007) खगोलीय प्रेक्षणों की अनिश्चितताओं को ध्यान में रखता है, जिसे बाद में झू (2016) द्वारा सुधारा गया है। जहां गायब डेटा पर भी विचार किया जाता है और समानांतर कंप्यूटिंग सक्षम की जाती है। उनकी पद्धति को फिर रेन एट अल ने अपनाया। (2018) एक्सोप्लैनेट का पता लगाने के तरीकों में से एक के रूप में प्रत्यक्ष इमेजिंग क्षेत्र में, विशेष रूप से परिस्थितिजन्य डिस्क की प्रत्यक्ष इमेजिंग के लिए।

रेन एट अल. (2018) एनएमएफ घटकों की स्थिरता को साबित करने में सक्षम हैं जब उनका निर्माण क्रमिक रूप से किया जाता है (यानी, एक-एक करके), जो एनएमएफ मॉडलिंग प्रक्रिया की रैखिकता को सक्षम बनाता है; रैखिकता गुण का उपयोग तारकीय प्रकाश और exoplanets और परिस्थितिजन्य डिस्क से बिखरे हुए प्रकाश को अलग करने के लिए किया जाता है।

प्रत्यक्ष इमेजिंग में, आस-पास की चमकदार तारकीय रोशनी से फीके एक्सोप्लैनेट और परिस्थितिजन्य डिस्क को प्रकट करने के लिए, जिसमें 10⁵ से 10¹⁰ तक एक विशिष्ट कंट्रास्ट होता है, विभिन्न सांख्यिकीय तरीकों को अपनाया गया है, हालाँकि एक्सोप्लैनेट या परिस्थितिजन्य डिस्क से प्रकाश आमतौर पर ओवर-फिटेड होता है, जहां वास्तविक प्रवाह को पुनर्प्राप्त करने के लिए फॉरवर्ड मॉडलिंग को अपनाना पड़ता है। फॉरवर्ड मॉडलिंग वर्तमान में बिंदु स्रोतों के लिए अनुकूलित है, हालाँकि विस्तारित स्रोतों के लिए नहीं, विशेष रूप से अनियमित आकार की संरचनाओं जैसे कि परिस्थितिजन्य डिस्क के लिए। इस स्थिति में, एनएमएफ एक उत्कृष्ट विधि रही है, जो एनएमएफ मॉडलिंग गुणांकों की गैर-नकारात्मकता और विरलता के अर्थ में कम ओवर-फिटिंग है, इसलिए फॉरवर्ड मॉडलिंग को कुछ स्केलिंग कारकों के साथ किया जा सकता है, उत्पन्न मॉडलों पर कम्प्यूटेशनल रूप से गहन डेटा पुनः कटौती के बजाय।

डेटा प्रतिरूपण
आँकड़ों में गुम डेटा को आरोपित करने के लिए, एनएमएफ इन गुम हुए डेटा को शून्य के रूप में मानने के बजाय, अपने लागत फ़ंक्शन को कम करते हुए लापता डेटा ले सकता है। यह इसे सांख्यिकी में प्रतिरूपण (सांख्यिकी) के लिए गणितीय रूप से सिद्ध विधि बनाता है। पहले यह साबित करके कि लापता डेटा को लागत फ़ंक्शन में नजरअंदाज कर दिया गया है, फिर यह साबित करके कि लापता डेटा का प्रभाव दूसरे क्रम के प्रभाव जितना छोटा हो सकता है, रेन एट अल। (2020) खगोल विज्ञान के क्षेत्र के लिए इस तरह के दृष्टिकोण का अध्ययन किया और लागू किया। उनका काम द्वि-आयामी मैट्रिक्स पर केंद्रित है, विशेष रूप से, इसमें गणितीय व्युत्पत्ति, सिम्युलेटेड डेटा प्रतिरूपण और ऑन-स्काई डेटा का अनुप्रयोग शामिल है।

एनएमएफ के साथ डेटा प्रतिरूपण प्रक्रिया दो चरणों से बनी हो सकती है। सबसे पहले, जब एनएमएफ घटक ज्ञात होते हैं, रेन एट अल। (2020) ने साबित कर दिया कि डेटा प्रतिरूपण (उनके अध्ययन में लक्ष्य मॉडलिंग) के दौरान लापता डेटा का प्रभाव दूसरे क्रम का प्रभाव है। दूसरा, जब एनएमएफ घटक अज्ञात होते हैं, तो लेखकों ने साबित कर दिया कि घटक निर्माण के दौरान लापता डेटा का प्रभाव पहले से दूसरे क्रम का प्रभाव है।

एनएमएफ घटकों को प्राप्त करने के तरीके के आधार पर, उपरोक्त पहला चरण या तो स्वतंत्र हो सकता है या बाद वाले से निर्भर हो सकता है। इसके अलावा, जब अधिक एनएमएफ घटकों का उपयोग किया जाता है तो प्रतिरूपण गुणवत्ता बढ़ाई जा सकती है, रेन एट अल का चित्र 4 देखें। (2020) उनके चित्रण के लिए।

टेक्स्ट खनन
एनएमएफ का उपयोग टेक्स्ट माइनिंग अनुप्रयोगों के लिए किया जा सकता है। इस प्रक्रिया में, दस्तावेजों के एक सेट से विभिन्न शब्दों (आमतौर पर भारित शब्द आवृत्ति जानकारी) के भार के साथ एक दस्तावेज़-शब्द मैट्रिक्स | दस्तावेज़-शब्द मैट्रिक्स का निर्माण किया जाता है। इस मैट्रिक्स को टर्म-फ़ीचर और फ़ीचर-डॉक्यूमेंट मैट्रिक्स में विभाजित किया गया है। सुविधाएँ दस्तावेज़ों की सामग्री से ली गई हैं, और फ़ीचर-दस्तावेज़ मैट्रिक्स संबंधित दस्तावेज़ों के डेटा क्लस्टर का वर्णन करता है।

एक विशिष्ट एप्लिकेशन ने PubMed के वैज्ञानिक सार के एक छोटे उपसमूह पर पदानुक्रमित NMF का उपयोग किया। एक अन्य शोध समूह ने एनरॉन ईमेल डेटासेट के कुछ हिस्सों को क्लस्टर किया 50 समूहों में 65,033 संदेशों और 91,133 शब्दों के साथ। एनएमएफ को उद्धरण डेटा पर भी लागू किया गया है, एक उदाहरण में अंग्रेजी विकिपीडिया में आउटबाउंड वैज्ञानिक उद्धरणों के आधार पर अंग्रेजी विकिपीडिया लेखों और वैज्ञानिक पत्रिकाओं को क्लस्टर किया गया है। अरोरा, जीई, हेल्पर, मिमनो, मोइत्रा, सोंटेग, वू, और झू (2013) ने एनएमएफ का उपयोग करके विषय मॉडल सीखने के लिए बहुपद-समय एल्गोरिदम दिए हैं। एल्गोरिथ्म मानता है कि विषय मैट्रिक्स एक पृथक्करणीयता की स्थिति को संतुष्ट करता है जो अक्सर इन सेटिंग्स में पाया जाता है।

हसनी, इरानमनेश और मंसूरी (2019) ने टर्म-डॉक्यूमेंट मैट्रिसेस के लिए एक फीचर एग्लोमरेशन विधि का प्रस्ताव दिया जो एनएमएफ का उपयोग करके संचालित होता है। एल्गोरिदम शब्द-दस्तावेज़ मैट्रिक्स को टेक्स्ट क्लस्टरिंग के लिए अधिक उपयुक्त छोटे मैट्रिक्स में कम कर देता है।

वर्णक्रमीय डेटा विश्लेषण
एनएमएफ का उपयोग वर्णक्रमीय डेटा का विश्लेषण करने के लिए भी किया जाता है; ऐसा ही एक उपयोग अंतरिक्ष वस्तुओं और मलबे के वर्गीकरण में है।

स्केलेबल इंटरनेट दूरी भविष्यवाणी
एनएमएफ को स्केलेबल इंटरनेट दूरी (राउंड-ट्रिप टाइम) भविष्यवाणी में लागू किया जाता है। एक नेटवर्क के लिए $$N$$ मेजबान, एनएमएफ की मदद से, सभी की दूरियां $$N^2$$ संचालन के बाद ही एंड-टू-एंड लिंक की भविष्यवाणी की जा सकती है $$O(N)$$ माप. इस तरह का तरीका सबसे पहले इंटरनेट में पेश किया गया था दूरी अनुमान सेवा (आईडीईएस)। बाद में, पूरी तरह से विकेंद्रीकृत दृष्टिकोण के रूप में, फीनिक्स नेटवर्क समन्वय प्रणाली प्रस्ताव है। यह वजन की अवधारणा को पेश करके बेहतर समग्र भविष्यवाणी सटीकता प्राप्त करता है।

गैर-स्थिर भाषण निरूपण
ऑडियो सिग्नल प्रोसेसिंग में वाक् निंदा एक लंबे समय से चली आ रही समस्या रही है। यदि शोर स्थिर है तो डीनोइज़िंग के लिए कई एल्गोरिदम हैं। उदाहरण के लिए, विनीज़ फ़िल्टर एडिटिव गाऊसी शोर के लिए उपयुक्त है। हालाँकि, यदि शोर गैर-स्थिर है, तो शास्त्रीय डीनोइज़िंग एल्गोरिदम का प्रदर्शन आमतौर पर खराब होता है क्योंकि गैर-स्थिर शोर की सांख्यिकीय जानकारी का अनुमान लगाना मुश्किल होता है। श्मिट एट अल. गैर-स्थिर शोर के तहत भाषण को निरूपित करने के लिए एनएमएफ का उपयोग करें, जो शास्त्रीय सांख्यिकीय दृष्टिकोण से पूरी तरह से अलग है। मुख्य विचार यह है कि स्वच्छ भाषण संकेत को भाषण शब्दकोश द्वारा बहुत कम दर्शाया जा सकता है, लेकिन गैर-स्थिर शोर नहीं। इसी तरह, गैर-स्थिर शोर को भी शोर शब्दकोश द्वारा बहुत कम दर्शाया जा सकता है, लेकिन भाषण को नहीं।

एनएमएफ डीनोइज़िंग के लिए एल्गोरिदम इस प्रकार है। दो शब्दकोशों, एक भाषण के लिए और एक शोर के लिए, को ऑफ़लाइन प्रशिक्षित करने की आवश्यकता है। एक बार जब शोर-शराबा वाला भाषण दिया जाता है, तो हम सबसे पहले शॉर्ट-टाइम-फूरियर-ट्रांसफॉर्म की भयावहता की गणना करते हैं। दूसरा, इसे एनएमएफ के माध्यम से दो भागों में अलग करें, एक को भाषण शब्दकोश द्वारा विरल रूप से दर्शाया जा सकता है, और दूसरे भाग को शोर शब्दकोश द्वारा विरल रूप से दर्शाया जा सकता है। तीसरा, भाषण शब्दकोश द्वारा दर्शाया गया भाग अनुमानित स्वच्छ भाषण होगा।

जनसंख्या आनुवंशिकी
विरल एनएमएफ का उपयोग जनसंख्या आनुवंशिकी में व्यक्तिगत मिश्रण गुणांक का अनुमान लगाने, जनसंख्या नमूने में व्यक्तियों के आनुवंशिक समूहों का पता लगाने या नमूना जीनोम में आनुवंशिक मिश्रण का मूल्यांकन करने के लिए किया जाता है। मानव आनुवंशिक क्लस्टरिंग में, एनएमएफ एल्गोरिदम कंप्यूटर प्रोग्राम संरचना के समान अनुमान प्रदान करते हैं, लेकिन एल्गोरिदम कम्प्यूटेशनल रूप से अधिक कुशल हैं और बड़ी जनसंख्या जीनोमिक डेटा सेट के विश्लेषण की अनुमति देते हैं।

जैव सूचना विज्ञान
जीन अभिव्यक्ति और डीएनए मिथाइलेशन डेटा को क्लस्टर करने और क्लस्टर के सबसे अधिक प्रतिनिधि जीन को खोजने के लिए एनएमएफ को जैव सूचना विज्ञान में सफलतापूर्वक लागू किया गया है। कैंसर उत्परिवर्तन के विश्लेषण में इसका उपयोग उत्परिवर्तन के सामान्य पैटर्न की पहचान करने के लिए किया गया है जो कई कैंसर में होते हैं और जिनके संभवतः अलग-अलग कारण होते हैं। एनएमएफ तकनीकें कोशिका प्रकार, रोग उपप्रकार, जनसंख्या स्तरीकरण, ऊतक संरचना और ट्यूमर क्लोनलिटी जैसे भिन्नता के स्रोतों की पहचान कर सकती हैं। एनएमएफ का एक विशेष प्रकार, अर्थात् गैर-नकारात्मक मैट्रिक्स त्रि-फैक्टराइजेशन (एनएमटीएफ), अनुमोदित दवाओं के लिए नवीन प्रोटीन लक्ष्य और चिकित्सीय संकेतों की भविष्यवाणी करने के लिए दवा पुनर्स्थापन कार्यों के लिए इसका उपयोग किया गया है और सहक्रियात्मक कैंसर रोधी दवाओं की जोड़ी का अनुमान लगाना।

परमाणु इमेजिंग
एनएमएफ, जिसे इस क्षेत्र में कारक विश्लेषण भी कहा जाता है, का उपयोग 1980 के दशक से किया जा रहा है SPECT और पोजीट्रान एमिशन टोमोग्राफी डायनेमिक मेडिकल इमेजिंग में छवियों के अनुक्रम का विश्लेषण करने के लिए। एनएमएफ की गैर-विशिष्टता को विरलता बाधाओं का उपयोग करके संबोधित किया गया था।

वर्तमान शोध
गैर-नकारात्मक मैट्रिक्स गुणनखंडन में वर्तमान शोध (2010 से) में शामिल है, लेकिन यह इन्हीं तक सीमित नहीं है,


 * 1) एल्गोरिथम: कारकों और कारक आरंभीकरण के वैश्विक न्यूनतम की खोज।
 * 2) स्केलेबिलिटी: मिलियन-बाय-बिलियन मैट्रिक्स को कैसे गुणनखंडित किया जाए, जो वेब-स्केल डेटा माइनिंग में आम है, उदाहरण के लिए, डिस्ट्रीब्यूटेड नॉननेगेटिव मैट्रिक्स फैक्टराइजेशन (डीएनएमएफ) देखें, स्केलेबल नॉननेगेटिव मैट्रिक्स फैक्टराइजेशन (स्केलेबलएनएमएफ), वितरित स्टोकेस्टिक एकवचन मूल्य अपघटन।
 * 3) ऑनलाइन: स्क्रैच से पुन: गणना किए बिना नया डेटा आने पर फ़ैक्टराइज़ेशन को कैसे अपडेट किया जाए, उदाहरण के लिए, ऑनलाइन सीएनएससी देखें
 * 4) सामूहिक (संयुक्त) गुणनखंडन: बहु-दृश्य सीखने के लिए कई परस्पर संबंधित मैट्रिक्स का गुणनखंडन, उदाहरण के लिए मल्टी-व्यू क्लस्टरिंग, CoNMF देखें और मल्टीएनएमएफ
 * 5) कोहेन और रोथब्लम 1993 समस्या: क्या एक तर्कसंगत मैट्रिक्स में हमेशा न्यूनतम आंतरिक आयाम का एनएमएफ होता है जिसके कारक भी तर्कसंगत होते हैं। हाल ही में, इस समस्या का नकारात्मक उत्तर दिया गया है।

यह भी देखें

 * बहुरेखीय बीजगणित
 * मल्टीलिनियर सबस्पेस लर्निंग
 * टेन्सर
 * टेन्सर अपघटन
 * टेंसर सॉफ्टवेयर

अन्य

 * आंद्रेज सिचोकी, मोर्टन मृप, और अन्य: नॉननेगेटिव मैट्रिक्स और टेन्सर फैक्टराइजेशन में प्रगति, हिंदवी प्रकाशन निगम, ISBN 978-9774540455 (2008)।
 * आंद्रेज सिचोकी, रफाल ज़डुनेक, अन्ह हुई फान और शुन-इची अमारी: नॉननेगेटिव मैट्रिक्स और टेन्सर फैक्टराइजेशन: एक्सप्लोरेटरी मल्टी-वे डेटा एनालिसिस और ब्लाइंड सोर्स सेपरेशन के लिए अनुप्रयोग, विले, ISBN 978-0470746660 (2009)।
 * एंड्री मिर्जाल: क्लस्टरिंग और एलएसआई के लिए गैर-नकारात्मक मैट्रिक्स फैक्टराइजेशन: सिद्धांत और प्रोग्रामिंग, एलएपी लैम्बर्ट अकादमिक प्रकाशन, ISBN 978-3844324891 (2011)।
 * योंग जियांग: ब्लाइंड सोर्स पृथक्करण: आश्रित घटक विश्लेषण, स्प्रिंगर, ISBN 978-9812872265 (2014)।
 * गणेश आर. नाइक (एड.): गैर-नकारात्मक मैट्रिक्स फैक्टराइजेशन तकनीक: सिद्धांत और अनुप्रयोगों में प्रगति, स्प्रिंगर, ISBN 978-3662517000 (2016)।
 * जूलियन बेकर: मोनोरल ऑडियो स्रोत पृथक्करण के लिए अनुकूली तत्वों के साथ गैर-नकारात्मक मैट्रिक्स फैक्टराइजेशन: 1, शेकर वेरलाग जीएमबीएच, जर्मनी, ISBN 978-3844048148 (2016)।
 * जेन-त्ज़ुंग चिएन: स्रोत पृथक्करण और मशीन लर्निंग, अकादमिक प्रेस, ISBN 978-0128177969 (2018)।
 * शोजी माकिनो (एड.): ऑडियो सोर्स सेपरेशन, स्प्रिंगर, ISBN 978-3030103033 (2019)।
 * निकोलस गिलिस: नॉननेगेटिव मैट्रिक्स फैक्टराइजेशन, सियाम, आईएसबीएन 978-1-611976-40-3 (2020)।
 * आंद्रेज सिचोकी, रफाल ज़डुनेक, अन्ह हुई फान और शुन-इची अमारी: नॉननेगेटिव मैट्रिक्स और टेन्सर फैक्टराइजेशन: एक्सप्लोरेटरी मल्टी-वे डेटा एनालिसिस और ब्लाइंड सोर्स सेपरेशन के लिए अनुप्रयोग, विले, ISBN 978-0470746660 (2009)।
 * एंड्री मिर्जाल: क्लस्टरिंग और एलएसआई के लिए गैर-नकारात्मक मैट्रिक्स फैक्टराइजेशन: सिद्धांत और प्रोग्रामिंग, एलएपी लैम्बर्ट अकादमिक प्रकाशन, ISBN 978-3844324891 (2011)।
 * योंग जियांग: ब्लाइंड सोर्स पृथक्करण: आश्रित घटक विश्लेषण, स्प्रिंगर, ISBN 978-9812872265 (2014)।
 * गणेश आर. नाइक (एड.): गैर-नकारात्मक मैट्रिक्स फैक्टराइजेशन तकनीक: सिद्धांत और अनुप्रयोगों में प्रगति, स्प्रिंगर, ISBN 978-3662517000 (2016)।
 * जूलियन बेकर: मोनोरल ऑडियो स्रोत पृथक्करण के लिए अनुकूली तत्वों के साथ गैर-नकारात्मक मैट्रिक्स फैक्टराइजेशन: 1, शेकर वेरलाग जीएमबीएच, जर्मनी, ISBN 978-3844048148 (2016)।
 * जेन-त्ज़ुंग चिएन: स्रोत पृथक्करण और मशीन लर्निंग, अकादमिक प्रेस, ISBN 978-0128177969 (2018)।
 * शोजी माकिनो (एड.): ऑडियो सोर्स सेपरेशन, स्प्रिंगर, ISBN 978-3030103033 (2019)।
 * निकोलस गिलिस: नॉननेगेटिव मैट्रिक्स फैक्टराइजेशन, सियाम, आईएसबीएन 978-1-611976-40-3 (2020)।

श्रेणी:रैखिक बीजगणित श्रेणी:मैट्रिक्स सिद्धांत श्रेणी:मशीन लर्निंग एल्गोरिदम श्रेणी:गुणनखंडन