अंत (टोपोलॉजी)

टोपोलॉजी में, गणित की शाखा, टोपोलॉजिकल स्पेस के सिरे मुख्य रूप से स्पेस की आदर्श सीमा के जुड़े घटक को टोपोलॉजी के माध्यम से प्रदर्शित करते हैं। प्रत्येक छोर किसी समतल के भीतर अनंत तक जाने के लिए टोपोलॉजिकल रूप से अलग तरीके का प्रतिनिधित्व करते हैं। इस प्रकार प्रत्येक छोर पर बिंदु जोड़ने से मूल क्षेत्र का संकलन (गणित) प्राप्त होता है, जिसे एंड कॉम्पेक्टिफिकेशन के रूप में जाना जाता है।

टोपोलॉजिकल स्पेस के अंत होने की धारणा किसके द्वारा प्रस्तुत की गई थी?

द्वारा प्रस्तुत की गई थी।

परिभाषा
मान लीजिए कि X टोपोलॉजिकल स्पेस है, और इस प्रकार उक्त समीकरण के अनुसार-
 * $$K_1 \subseteq K_2 \subseteq K_3 \subseteq \cdots$$

एक्स के कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय का आरोही क्रम है, जिसका आंतरिक (टोपोलॉजी) कवर (टोपोलॉजी) x है। फिर x के पास प्रत्येक अनुक्रम के लिए 'अंत' है
 * $$U_1 \supseteq U_2 \supseteq U_3 \supseteq \cdots,$$

जहाँ प्रत्येक Un X \ Kn का जुड़ा हुआ घटक (टोपोलॉजी) है, जिसके सिरों की संख्या विशिष्ट अनुक्रम {Ki पर निर्भर नहीं करती} कॉम्पैक्ट समुच्चय के लिए ऐसे किन्हीं दो अनुक्रमों से जुड़े सिरों के समुच्चय के बीच प्राकृतिक परिवर्तन आक्षेप के समान होते है।

इस परिभाषा का उपयोग करते हुए इसके अंत होने के समीपस्थ {Ui} संवृत समुच्चय V के कारण प्राप्त होता हैं, इस प्रकार V⊇Un कुछ इस प्रकार हैं कि इनमें से कुछ n के लिए ऐसे समीपस्थ 'एंड कॉम्पेक्टिफिकेशन' में अनंत पर संबंधित बिंदु के समीपस्थ बिंदु का प्रतिनिधित्व करते हैं, इस प्रकार यह कॉम्पेक्टिफिकेशन सदैव कॉम्पैक्ट नहीं होता है, इस प्रकार टोपोलॉजिकल स्पेस x को संयोजित करना होगा और क्षेत्रीय रूप से संयोजित करना आवश्यक होगा।

इस प्रकार ऊपर दिए गए सिरों की परिभाषा केवल रिक्त क्षेत्र X पर लागू होती है, जिसमें इस प्रकार हेमीकॉम्पैक्ट क्षेत्र द्वारा इसमें कमी हो जाती है, अर्थात इसे निम्नानुसार सामान्यीकृत किया जा सकता है: मान लीजिए कि X कोई टोपोलॉजिकल स्पेस है, और X और समावेशन मानचित्रों के कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय की प्रत्यक्ष प्रणाली (गणित) {K} पर विचार करते हैं। इसके संगत व्युत्क्रम प्रणाली है {$\pi$0( X \ K ) } हैं, जहाँ π0(Y) समतल Y के जुड़े घटकों के समुच्चय को दर्शाता है, और प्रत्येक समावेशन मानचित्र Y → Z फलन को प्रेरित करता है π0(Y) →π0(Z) के कारण हैं। इस प्रकार पुनः X के 'सिरों के समुच्चय' को इस व्युत्क्रम प्रणाली की व्युत्क्रम सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है।

इस परिभाषा के अनुसार इसके सिरों को टोपोलॉजिकल रिक्त क्षेत्र की श्रेणी से ऑपरेटर की श्रेणी में रखा जाता है, जहाँ इस प्रकार यह संरचना केवल समुच्चय की श्रेणी के लिए उचित निरंतर मानचित्र हैं। स्पष्ट रूप से, यदि φ : X → Y उचित मानचित्र है और x = (x)K)K X का अंत है, अर्थात प्रत्येक तत्व xK परिवार में X ∖ K का जुड़ा हुआ घटक है, और इस प्रकार इसके समावेशन से प्रेरित मानचित्रों के साथ संगत हैं, इसके आधार पर φ(x) समूह $$\varphi_*(x_{\varphi^{-1}(K')})$$ है, जहाँ $$K'$$ Y और φ के सघन उपसमुच्चय पर आधारित है, जिससे प्रेरित मानचित्र $$\pi_0(X \smallsetminus \varphi^{-1}(K'))$$ को $$\pi_0(Y \smallsetminus K')$$ दर्शाता है, इस प्रकार φ की उचितता का उपयोग यह सुनिश्चित करने के लिए किया जाता है कि प्रत्येक φ−1(K) X में संहत है।

उपरोक्त मूल परिभाषा उस विशेष स्थिति का प्रतिनिधित्व करती है, जहाँ इस प्रकार कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय की प्रत्यक्ष प्रणाली में सह-अंतिम अनुक्रम होता है।

उदाहरण

 * किसी भी संहत क्षेत्र के सिरों का समुच्चय रिक्त समुच्चय होता है।
 * असली लाइन $$\mathbb{R}$$ दो सिरे हैं, उदाहरण के लिए यदि हम Kn विवृत अंतराल [−n, n] में इसे प्राप्त करते हैं, जो दोनों छोर पर संवृत समुच्चय Un= (n, ∞) और वीn= (−∞, −n) के अनुक्रम को प्रदर्शित करता हैं, इस प्रकार इन सिरों को सामान्यतः क्रमशः अनंत और ऋण अनंत के रूप में जाना जाता है।
 * यदि n > 1, तो यूक्लिडियन क्षेत्र $$\mathbb{R}^n $$ केवल ही छोर है, यह $$\mathbb{R}^n \smallsetminus K$$ है क्योंकि किसी भी कॉम्पैक्ट समुच्चय K के लिए केवल असीमित घटक होते हैं।
 * अधिकांशतः सामान्य रूप से यदि m सीमा के साथ कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड है, तो एम के इंटीरियर के सिरों की संख्या m की सीमा के जुड़े घटकों की संख्या के बराबर है।
 * मूल से निकलने वाली n विशिष्ट किरण (गणित) का संयोजन $$\mathbb{R}^2 $$ n सिरे पर होता हैं,
 * बाइनरी ट्री के प्रकारों में सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले कई सिरे होते हैं, जो इस प्रकार इसके मूलबिन्दु से प्रारंभ होकर अलग-अलग अवरोही पथों के अनुरूप होते हैं। इसे Kn द्वारा देखा जा सकता है, जिसकी गहराई का पूर्ण द्विआधारी वृक्ष n होता हैं, इन सिरों को अनंत वृक्ष की पत्तियों के रूप में माना जा सकता है। इस प्रकार अंत में संघनन में, सिरों के समुच्चय में कैंटर समुच्चय की टोपोलॉजी होती है।

ग्राफ़ और समूहों का अंत
अनंत ग्राफ ग्राफ सिद्धांत में, अंत को थोड़ा अलग तरीके से परिभाषित किया जाता है, इस ग्राफ में इसके आधे स्वरूप को अनंत पथों के समतुल्य वर्ग के रूप में या हेवन (ग्राफ सिद्धांत) के रूप में उपयोग किए जाने वाले फलन जो उनके पूरक के जुड़े घटकों के लिए कोने के परिमित समुच्चय को मैप करता है। चूंकि इस प्रकार इसके क्षेत्रीय रूप से परिमित ग्राफ़ के लिए ग्राफ़ जिसमें प्रत्येक शीर्ष की परिमित डिग्री होती है, जिसे ग्राफ़ सिद्धांत द्वारा उपयोग किया जाता हैं, इस प्रकार से परिभाषित सिरे ग्राफ़ से परिभाषित टोपोलॉजिकल रिक्त क्षेत्र के सिरों के साथ मेल खाते हैं।

इस प्रकार अंतिम रूप से उत्पन्न समूह के सिरों से संबंधित केली ग्राफ के सिरों के रूप में परिभाषित किया गया है, यह परिभाषा जनरेटिंग समुच्चय की पसंद के प्रति असंवेदनशील है। इस प्रकार प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न अनंत समूह में या तो 1, 2, या असीम रूप से कई छोर होते हैं, और समूहों के सिरों के बारे में स्टालिंग्स प्रमेय से अधिक छोर वाले समूहों के लिए अपघटन प्रदान करता है।

सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स का अंत
सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्स से जुड़े पथ के लिए, सिरों को उचित मानचित्रों के समरूप वर्गों के रूप में चित्रित किया जा सकता है, इस प्रकार $$\mathbb{R}^+\to X$$, जिसे x में लाइन कहा जाता है: अधिकांशतः यदि प्रतिबंध के बीच - उपसमुच्चय तक $$\mathbb{N}$$- इनमें से किन्हीं दो मानचित्रों में उचित समरूपता उपस्थिति रहती है, तो हम कह सकते हैं कि वे समतुल्य हैं और वे उचित किरणों के समतुल्य वर्ग को परिभाषित करते हैं। इस समुच्चय को X का एंड कहा जाता है।

संदर्भ

 * Ross Geoghegan, Topological methods in group theory, GTM-243 (2008), Springer ISBN 978-0-387-74611-1.
 * Ross Geoghegan, Topological methods in group theory, GTM-243 (2008), Springer ISBN 978-0-387-74611-1.
 * Ross Geoghegan, Topological methods in group theory, GTM-243 (2008), Springer ISBN 978-0-387-74611-1.