गतिशील माध्य-क्षेत्र सिद्धांत

डायनेमिकल मीन-फील्ड थ्योरी (DMFT) दृढ़ता से सहसंबद्ध सामग्रियों की इलेक्ट्रॉनिक संरचना को निर्धारित करने की एक विधि है। ऐसी सामग्रियों में, स्वतंत्र इलेक्ट्रॉनों का सन्निकटन, जिसका उपयोग घनत्व कार्यात्मक सिद्धांत और सामान्य बैंड संरचना गणनाओं में किया जाता है, टूट जाता है। डायनेमिक माध्य-क्षेत्र सिद्धांत, इलेक्ट्रॉनों के बीच स्थानीय अंतःक्रियाओं का एक गैर-परेशान उपचार, लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल गैस सीमा और संघनित-पदार्थ भौतिकी की परमाणु सीमा के बीच की खाई को पाटता है। DMFT में कई-शरीर की समस्या का मानचित्रण होता है | कई-शरीर की स्थानीय समस्या के लिए कई-शरीर की जाली समस्या होती है, जिसे अशुद्धता मॉडल कहा जाता है। जबकि जाली की समस्या सामान्य रूप से दुरूह है, अशुद्धता मॉडल आमतौर पर विभिन्न योजनाओं के माध्यम से हल करने योग्य है। मानचित्रण अपने आप में एक सन्निकटन नहीं है। साधारण डीएमएफटी योजनाओं में किया गया एकमात्र सन्निकटन जाली स्व-ऊर्जा को संवेग-स्वतंत्र (स्थानीय) मात्रा के रूप में मान लेना है। अनंत समन्वय संख्या के साथ जाली की सीमा में यह सन्निकटन सटीक हो जाता है। रेफरी नाम = मेट्ज़नर>

डीएमएफटी की मुख्य सफलताओं में से एक धातु और एक मोट इंसुलेटर के बीच चरण संक्रमण का वर्णन करना है जब इलेक्ट्रॉनिक सहसंबंधों की ताकत बढ़ जाती है। घनत्व कार्यात्मक सिद्धांत के स्थानीय घनत्व सन्निकटन के संयोजन में, इसे वास्तविक सामग्रियों पर सफलतापूर्वक लागू किया गया है।

माध्य-क्षेत्र सिद्धांत से संबंध
जाली क्वांटम मॉडल का डीएमएफटी उपचार आइसिंग मॉडल जैसे शास्त्रीय मॉडल के माध्य-क्षेत्र सिद्धांत (एमएफटी) उपचार के समान है। ईज़िंग मॉडल में, जाली समस्या को एक प्रभावी एकल साइट समस्या पर मैप किया जाता है, जिसका चुंबकीयकरण एक प्रभावी माध्य-क्षेत्र के माध्यम से जाली चुंबकीयकरण को पुन: उत्पन्न करना है। इस स्थिति को आत्म-संगति की स्थिति कहा जाता है। यह निर्धारित करता है कि एकल-साइट वेधशालाओं को एक प्रभावी क्षेत्र के माध्यम से जालीदार स्थानीय अवलोकनों को पुन: पेश करना चाहिए। जबकि एन-साइट इस्सिंग हैमिल्टनियन को विश्लेषणात्मक रूप से हल करना कठिन है (आज तक, विश्लेषणात्मक समाधान केवल 1डी और 2डी मामले के लिए मौजूद हैं), एकल-साइट समस्या आसानी से हल हो जाती है।

इसी तरह, डीएमएफटी एक एकल-साइट समस्या पर एक जाली समस्या (जैसे हबर्ड मॉडल) को मैप करता है। डीएमएफटी में, स्थानीय अवलोकन योग्य स्थानीय ग्रीन का कार्य (कई-निकाय सिद्धांत) | ग्रीन का कार्य है। इस प्रकार, DMFT के लिए आत्म-संगति की स्थिति अशुद्धता ग्रीन के कार्य के लिए एक प्रभावी माध्य-क्षेत्र के माध्यम से जाली स्थानीय ग्रीन के कार्य को पुन: उत्पन्न करने के लिए है, जो DMFT में संकरण कार्य है $$\Delta(\tau)$$ अशुद्धता मॉडल की। DMFT का नाम इस तथ्य के कारण है कि माध्य-क्षेत्र $$\Delta(\tau)$$ समय पर निर्भर है, या गतिशील है। यह ईज़िंग एमएफटी और डीएमएफटी के बीच प्रमुख अंतर की ओर भी इशारा करता है: ईज़िंग एमएफटी एन-स्पिन समस्या को एकल-साइट, सिंगल-स्पिन समस्या में मैप करता है। डीएमएफटी जाली समस्या को एकल-साइट समस्या पर मैप करता है, लेकिन बाद में मूल रूप से एक एन-बॉडी समस्या बनी हुई है जो इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन सहसंबंधों के कारण अस्थायी उतार-चढ़ाव को पकड़ती है।

हबर्ड मॉडल
के लिए DMFT का विवरण

सिंगल-ऑर्बिटल हबर्ड मॉडल
हबर्ड मॉडल एकल पैरामीटर द्वारा विपरीत स्पिन के इलेक्ट्रॉनों के बीच ऑनसाइट इंटरैक्शन का वर्णन करता है, $$U$$. हबर्ड हैमिल्टन निम्नलिखित रूप ले सकता है:
 * $$ H_{\text{Hubbard}}=t \sum_{\langle ij \rangle \sigma} c_{i\sigma}^{\dagger}c_{j\sigma} + U\sum_{i}n_{i \uparrow} n_{i\downarrow}$$

जहां, स्पिन 1/2 सूचकांकों को दबाने पर $$\sigma$$, $$c_i^{\dagger},c_i$$ साइट पर एक स्थानीय कक्षीय पर एक इलेक्ट्रॉन के निर्माण और विलोपन संचालकों को निरूपित करें $$i$$, और $$n_i=c_i^{\dagger}c_i$$.

निम्नलिखित धारणाएँ बनाई गई हैं:
 * इलेक्ट्रॉनिक गुणों में केवल एक कक्षीय योगदान देता है (जैसा कि सुपरकंडक्टिंग उच्च-तापमान सुपरकंडक्टिविटी #Cuprates में तांबे के परमाणुओं का मामला हो सकता है, जिसका $$d$$-बैंड गैर-पतित हैं),
 * ऑर्बिटल्स इतने स्थानीयकृत हैं कि केवल निकटतम-पड़ोसी hopping है $$t$$ ध्यान में रखा जाता है

सहायक समस्या: एंडरसन अशुद्धता मॉडल
हबर्ड मॉडल सामान्य गड़बड़ी विस्तार तकनीकों के तहत सामान्य रूप से अट्रैक्टिव है। DMFT इस जाली मॉडल को तथाकथित एंडरसन अशुद्धता मॉडल (AIM) पर मैप करता है। यह मॉडल इलेक्ट्रॉनिक स्तरों के स्नान के साथ एक साइट (अशुद्धता) की बातचीत का वर्णन करता है (विनाश और निर्माण ऑपरेटरों द्वारा वर्णित) $$a_{p\sigma}$$ और $$a_{p\sigma}^{\dagger}$$) एक संकरण समारोह के माध्यम से। हमारे एकल-साइट मॉडल के अनुरूप एंडरसन मॉडल एक एकल-कक्षीय एंडरसन अशुद्धता मॉडल है, जिसका हैमिल्टनियन सूत्रीकरण, कुछ स्पिन 1/2 सूचकांकों को दबाने पर $$\sigma$$, है:
 * $$H_{\text{AIM}}=\underbrace{\sum_{p}\epsilon_p a_p^{\dagger}a_p}_{H_{\text{bath}}} + \underbrace{\sum_{p\sigma}\left(V_{p}^{\sigma}c_{\sigma}^{\dagger}a_{p\sigma}+h.c.\right)}_{H_{\text{mix}}}+\underbrace{U n_{\uparrow} n_{\downarrow}-\mu \left(n_{\uparrow}+n_{\downarrow}\right)}_{H_{\text{loc}}}$$

कहाँ इस मॉडल का मत्सुबारा ग्रीन का कार्य, द्वारा परिभाषित किया गया है $$ G_{\text{imp}}(\tau) = - \langle T c(\tau) c^{\dagger}(0)\rangle $$, पूरी तरह से मापदंडों द्वारा निर्धारित किया जाता है $$U,\mu$$ और तथाकथित संकरण समारोह $$ \Delta_\sigma(i\omega_n) = \sum_{p}\frac{|V_p^\sigma|^2}{i\omega_n-\epsilon_p}$$, जो काल्पनिक-समय का फूरियर-रूपांतरण है $$\Delta_{\sigma}(\tau)$$.
 * $$H_{\text{bath}} $$ गैर-सहसंबंधित इलेक्ट्रॉनिक स्तरों का वर्णन करता है $$\epsilon_p$$ स्नान का
 * $$H_{\text{loc}}$$ अशुद्धता का वर्णन करता है, जहां दो इलेक्ट्रॉन ऊर्जावान लागत के साथ बातचीत करते हैं $$U$$
 * $$ H_{\text{mix}}$$ संकरण शर्तों के माध्यम से अशुद्धता और स्नान के बीच संकरण (या युग्मन) का वर्णन करता है $$V_p^{\sigma}$$

यह संकरण समारोह स्नान के अंदर और बाहर इलेक्ट्रॉनों की गतिशीलता का वर्णन करता है। इसे जाली की गतिशीलता को पुन: उत्पन्न करना चाहिए जैसे कि अशुद्धता ग्रीन का कार्य स्थानीय जाली ग्रीन के कार्य के समान होता है। यह संबंध द्वारा गैर-अंतःक्रियात्मक ग्रीन के कार्य से संबंधित है:
 * $$(\mathcal{G}_0)^{-1}(i\omega_n)=i\omega_n+\mu-\Delta(i\omega_n)$$ (1)

एंडरसन अशुद्धता मॉडल को हल करने में वेधशालाओं की गणना करना शामिल है जैसे कि परस्पर क्रिया करने वाला ग्रीन का कार्य $$G(i\omega_n)$$ किसी दिए गए संकरण समारोह के लिए $$\Delta(i\omega_n)$$ और $$ U,\mu$$. यह एक कठिन लेकिन दुरूह समस्या नहीं है। AIM को हल करने के कई तरीके मौजूद हैं, जैसे
 * संख्यात्मक पुनर्सामान्यीकरण समूह
 * सटीक विकर्णीकरण
 * पुनरावृत्त गड़बड़ी सिद्धांत
 * गैर-क्रॉसिंग सन्निकटन
 * निरंतर-समय क्वांटम मोंटे कार्लो एल्गोरिदम

स्व-संगति समीकरण
आत्म-संगति की स्थिति के लिए अशुद्धता ग्रीन के कार्य की आवश्यकता होती है $$G_\mathrm{imp}(\tau)$$ स्थानीय जाली ग्रीन के कार्य के साथ मेल खाना $$G_{ii}(\tau) = -\langle T c_i(\tau)c_i^{\dagger}(0)\rangle $$:
 * $$ G_\mathrm{imp}(i\omega_n) = G_{ii}(i\omega_n) = \sum_k \frac {1}{i\omega_n +\mu - \epsilon(k) - \Sigma(k,i\omega_n)}$$

कहाँ $$\Sigma(k,i\omega_n)$$ जाली आत्म-ऊर्जा को दर्शाता है।

DMFT सन्निकटन: जाली स्व-ऊर्जा
का इलाका केवल DMFT सन्निकटन (एंडरसन मॉडल को हल करने के लिए किए जा सकने वाले सन्निकटन के अलावा) जाली स्व-ऊर्जा के स्थानिक उतार-चढ़ाव की उपेक्षा करते हुए, इसे अशुद्धता आत्म-ऊर्जा के बराबर करके:
 * $$ \Sigma(k,i\omega_n) \approx \Sigma_{imp}(i\omega_n) $$

यह सन्निकटन अनंत समन्वय वाली जाली की सीमा में सटीक हो जाता है, यानी जब प्रत्येक साइट के पड़ोसियों की संख्या अनंत होती है। वास्तव में, कोई यह दिखा सकता है कि जाली स्व-ऊर्जा के आरेखीय विस्तार में, जब कोई अनंत समन्वय सीमा में जाता है तो केवल स्थानीय आरेख ही जीवित रहते हैं।

इस प्रकार, शास्त्रीय माध्य-क्षेत्र सिद्धांतों के रूप में, डीएमएफटी को अधिक सटीक माना जाता है क्योंकि आयामीता (और इस प्रकार पड़ोसियों की संख्या) बढ़ जाती है। अलग तरीके से कहें तो, कम आयामों के लिए, स्थानिक उतार-चढ़ाव DMFT सन्निकटन को कम विश्वसनीय बना देगा।

चरण संक्रमण के आसपास के क्षेत्र में स्थानिक उतार-चढ़ाव भी प्रासंगिक हो जाते हैं। यहां, डीएमएफटी और क्लासिकल मीन-फील्ड थ्योरी का परिणाम मीन-फील्ड महत्वपूर्ण प्रतिपादक  में होता है, चरण संक्रमण से पहले स्पष्ट परिवर्तन डीएमएफटी आत्म-ऊर्जा में परिलक्षित नहीं होते हैं।

DMFT लूप
स्थानीय जाली ग्रीन के कार्य को खोजने के लिए, किसी को संकरण समारोह का निर्धारण करना होगा जैसे कि संबंधित अशुद्धता ग्रीन का कार्य मांग के बाद स्थानीय जाली ग्रीन के कार्य के साथ मेल खाएगा। इस समस्या को हल करने का सबसे व्यापक तरीका आगे की पुनरावर्तन विधि का उपयोग करना है, अर्थात् किसी दिए गए के लिए $$ U$$, $$\mu$$ और तापमान $$T$$:
 * 1) के लिए एक अनुमान के साथ शुरू करें $$\Sigma(k,i\omega_n)$$ (आमतौर पर, $$\Sigma(k,i\omega_n)=0$$)
 * 2) DMFT सन्निकटन करें:  $$ \Sigma(k,i\omega_n) \approx \Sigma_\mathrm{imp}(i\omega_n) $$
 * 3) स्थानीय ग्रीन के कार्य की गणना करें $$G_\mathrm{loc}(i\omega_n)$$
 * 4) गतिशील माध्य क्षेत्र की गणना करें $$\Delta(i\omega) = i\omega_n + \mu - G^{-1}_\mathrm{loc}(i\omega_n) - \Sigma_\mathrm{imp}(i\omega_n) $$
 * 5) एक नई अशुद्धता ग्रीन के कार्य के लिए AIM को हल करें $$G_\mathrm{imp}(i\omega_n)$$, अपनी आत्म-ऊर्जा निकालें: $$\Sigma_\mathrm{imp}(i\omega_n) = (\mathcal{G}_0)^{-1}(i\omega_n) - (G_\mathrm{imp})^{-1}(i\omega_n)  $$
 * 6) अभिसरण तक चरण 2 पर वापस जाएं, अर्थात् कब $$G_\mathrm{imp}^n = G_\mathrm{imp}^{n+1}$$.

अनुप्रयोग
स्थानीय जाली ग्रीन का कार्य और अन्य अशुद्धता वेधशालाओं का उपयोग सहसंबंधों के कार्य के रूप में कई भौतिक मात्राओं की गणना के लिए किया जा सकता है $$U$$, बैंडविड्थ, भरना (रासायनिक क्षमता $$\mu$$), और तापमान $$T$$:
 * वर्णक्रमीय समारोह (जो बैंड संरचना देता है)
 * गतिज ऊर्जा
 * किसी साइट का दोहरा अधिभोग
 * रैखिक प्रतिक्रिया (दबाव, ऑप्टिकल चालकता, विशिष्ट गर्मी)

विशेष रूप से, डबल-अधिभोग की गिरावट के रूप में $$U$$ बढ़ता है Mott ट्रांज़िशन का एक हस्ताक्षर है।

डीएमएफटी
का विस्तार डीएमएफटी के कई विस्तार हैं, उपरोक्त औपचारिकता को बहु-कक्षीय, बहु-साइट समस्याओं, लंबी दूरी के सहसंबंधों और गैर-संतुलन तक विस्तारित करना।

बहु-कक्षीय विस्तार
DMFT को हबर्ड मॉडल में कई ऑर्बिटल्स के साथ बढ़ाया जा सकता है, अर्थात् फॉर्म के इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन इंटरैक्शन के साथ $$U_{\alpha \beta} n_{\alpha}n_{\beta}$$ कहाँ $$\alpha$$ और $$\beta$$ विभिन्न कक्षाओं को निरूपित करें। घनत्व कार्यात्मक सिद्धांत (डीएफटी + डीएमएफटी) के साथ संयोजन फिर सहसंबद्ध सामग्रियों की यथार्थवादी गणना की अनुमति देता है।

विस्तारित डीएमएफटी
विस्तारित DMFT गैर-स्थानीय इंटरैक्शन के लिए एक स्थानीय अशुद्धता आत्म ऊर्जा पैदा करता है और इसलिए हमें tJ मॉडल जैसे अधिक सामान्य मॉडल के लिए DMFT लागू करने की अनुमति देता है।

क्लस्टर डीएमएफटी
DMFT सन्निकटन में सुधार करने के लिए, हबर्ड मॉडल को एक बहु-साइट अशुद्धता (क्लस्टर) समस्या पर मैप किया जा सकता है, जो किसी को अशुद्धता आत्म-ऊर्जा में कुछ स्थानिक निर्भरता जोड़ने की अनुमति देता है। क्लस्टर में कम तापमान पर 4 से 8 स्थान और उच्च तापमान पर 100 स्थल तक होते हैं।

आरेखीय विस्तार
डीएमएफटी से परे आत्म ऊर्जा की स्थानिक निर्भरता, एक चरण संक्रमण के आसपास के क्षेत्र में लंबी दूरी के सहसंबंधों सहित, डीएमएफटी के आरेखीय विस्तार के माध्यम से भी प्राप्त की जा सकती है। विश्लेषणात्मक और संख्यात्मक तकनीकों के संयोजन का उपयोग करना। डायनेमिक वर्टेक्स सन्निकटन का शुरुआती बिंदु और दोहरे फ़र्मियन दृष्टिकोण का स्थानीय वर्टेक्स फ़ंक्शन | दो-कण वर्टेक्स है।

गैर-संतुलन
DMFT को गैर-संतुलन परिवहन और ऑप्टिकल उत्तेजनाओं का अध्ययन करने के लिए नियोजित किया गया है। यहां एआईएम की केल्डीश औपचारिकता की विश्वसनीय गणना एक बड़ी चुनौती बनी हुई है।

यह भी देखें

 * दृढ़ता से सहसंबद्ध सामग्री

बाहरी संबंध

 * Strongly Correlated Materials: Insights From Dynamical Mean-Field Theory G. Kotliar and D. Vollhardt
 * Lecture notes on the LDA+DMFT approach to strongly correlated materials Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt, and Alexander Lichtenstein (eds.)
 * Lecture notes DMFT at 25: Infinite Dimensions Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt, and Alexander Lichtenstein (eds.)
 * Lecture notes DMFT – From Infinite Dimensions to Real Materials Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt, and Alexander Lichtenstein (eds.)
 * Lecture notes Dynamical Mean-Field Theory of Correlated Electrons Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt, and Alexander Lichtenstein (eds.)
 * DMFT for two-site Hubbard dimer: in Dynamical Mean-Field Theory for Materials, Eva Pavarini
 * https://www.cond-mat.de/events/correl21/manuscripts/pavarini.pdf
 * DMFT for two-site Hubbard dimer: in Solving the strong-correlation problem in materials, Eva Pavarini
 * https://doi.org/10.1007/s40766-021-00025-8