SO(3) पर चार्ट

गणित में, तीन आयामों में विशेष ऑर्थोगोनल समूह, जिसे अन्यथा रोटेशन समूह SO(3) के रूप में जाना जाता है, कई गुना  का एक स्वाभाविक रूप से घटित होने वाला उदाहरण है। एसओ(3) पर विभिन्न चार्ट (टोपोलॉजी) प्रतिद्वंद्वी समन्वय प्रणाली स्थापित करते हैं: इस मामले में रोटेशन का वर्णन करने वाले मापदंडों का एक पसंदीदा सेट नहीं कहा जा सकता है। स्वतंत्रता की तीन डिग्री (भौतिकी और रसायन विज्ञान) हैं, ताकि SO(3) का आयाम तीन हो। कई अनुप्रयोगों में एक या अन्य समन्वय प्रणाली का उपयोग किया जाता है, और सवाल उठता है कि किसी दिए गए सिस्टम से दूसरे सिस्टम में कैसे परिवर्तित किया जाए।

घूर्णन का स्थान
ज्यामिति में घूर्णन समूह त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष आर की उत्पत्ति के बारे में सभी घुमावों का समूह (गणित) है3कार्यात्मक संरचना के संचालन के अंतर्गत। परिभाषा के अनुसार, मूल के चारों ओर घूमना एक रैखिक परिवर्तन है जो वेक्टर (ज्यामिति) की लंबाई को संरक्षित करता है (यह एक आइसोमेट्री है) और अंतरिक्ष के अभिविन्यास (गणित) (यानी हैंडनेस) को संरक्षित करता है। एक लंबाई-संरक्षण परिवर्तन जो अभिविन्यास को उलट देता है उसे अनुचित रोटेशन कहा जाता है। त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष का प्रत्येक अनुचित घूर्णन एक घूर्णन है जिसके बाद मूल के माध्यम से एक विमान में प्रतिबिंब (गणित) होता है।

दो घूर्णनों को संयोजित करने से दूसरा घूर्णन उत्पन्न होता है; प्रत्येक घूर्णन में एक अद्वितीय व्युत्क्रम घूर्णन होता है; और पहचान मानचित्र घूर्णन की परिभाषा को संतुष्ट करता है। उपरोक्त गुणों के कारण, सभी घुमावों का सेट संरचना के अंतर्गत एक समूह (गणित) है। इसके अलावा, रोटेशन समूह में एक प्राकृतिक कई गुना संरचना होती है जिसके लिए समूह संचालन सुचारू कार्य होता है; तो यह वास्तव में एक झूठ समूह है। #ऑर्थोगोनल_और_रोटेशन_मैट्रिसेस बताए गए कारणों से रोटेशन समूह को अक्सर SO(3) के रूप में दर्शाया जाता है।

रोटेशन का स्थान रोटेशन ऑपरेटर (वेक्टर स्पेस) के सेट और निर्धारक +1 के साथ ऑर्थोनॉर्मल मैट्रिक्स के सेट के साथ आइसोमोर्फिक है। यह उनके आंतरिक उत्पाद के साथ चतुर्भुज के सेट के साथ-साथ रोटेशन वैक्टर के सेट के साथ भी निकटता से संबंधित है (हालांकि यहां संबंध का वर्णन करना कठिन है, विवरण के लिए नीचे देखें), एक अलग आंतरिक संरचना ऑपरेशन के साथ उनके समकक्ष मैट्रिक्स के उत्पाद द्वारा दिया गया।

घूर्णन सदिश संकेतन यूलर के घूर्णन प्रमेय से उत्पन्न होता है जिसमें कहा गया है कि तीन आयामों में किसी भी घूर्णन को किसी अक्ष के चारों ओर किसी कोण द्वारा घूर्णन द्वारा वर्णित किया जा सकता है। इसे ध्यान में रखते हुए, हम इनमें से किसी एक घूर्णन की धुरी को दो कोणों द्वारा निर्दिष्ट कर सकते हैं, और हम घूर्णन के कोण को निर्दिष्ट करने के लिए वेक्टर की त्रिज्या का उपयोग कर सकते हैं। ये वेक्टर एक असामान्य टोपोलॉजी के साथ 3डी में एक गेंद (गणित) का प्रतिनिधित्व करते हैं।

यह 3डी ठोस गोला 4डी डिस्क की सतह के बराबर है, जो एक 3डी किस्म भी है। इस तुल्यता को करने के लिए, हमें यह परिभाषित करना होगा कि हम इस 4D-एम्बेडेड सतह के साथ घूर्णन का प्रतिनिधित्व कैसे करेंगे।

हाइपरस्फीयर की कल्पना करना
अंतरिक्ष को त्रि-आयामी क्षेत्र S के रूप में मानना ​​दिलचस्प है3, 4-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक डिस्क की सीमा। ऐसा करने के लिए, हमें यह परिभाषित करना होगा कि हम इस 4डी-एम्बेडेड सतह के साथ घूर्णन का प्रतिनिधित्व कैसे करते हैं।

घूर्णन के कोण को निर्दिष्ट करने के लिए त्रिज्या का उपयोग करने का तरीका सीधा नहीं है। इसे एक परिभाषित उत्तरी ध्रुव वाले क्षेत्र में अक्षांश के वृत्तों से संबंधित किया जा सकता है और इसे इस प्रकार समझाया गया है:

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक गोले के उत्तरी ध्रुव से शुरू करके, हम पहचान रोटेशन का प्रतिनिधित्व करने के लिए उत्तरी ध्रुव पर बिंदु निर्दिष्ट करते हैं। पहचान घूर्णन के मामले में, घूर्णन की कोई धुरी परिभाषित नहीं है, और घूर्णन का कोण (शून्य) अप्रासंगिक है। xy-तल में निहित अपनी धुरी और एक बहुत छोटे घूर्णन कोण के साथ एक घूर्णन को xy-तल के समानांतर और उत्तरी ध्रुव के बहुत निकट गोले के माध्यम से एक स्लाइस द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। इस स्लाइस द्वारा परिभाषित वृत्त घूर्णन के छोटे कोण के अनुरूप बहुत छोटा होगा। जैसे-जैसे घूर्णन कोण बड़े होते जाते हैं, टुकड़ा दक्षिण की ओर बढ़ता जाता है, और गोले के भूमध्य रेखा तक पहुंचने तक वृत्त बड़े होते जाते हैं, जो 180 डिग्री के घूर्णन कोण के अनुरूप होगा। दक्षिण की ओर बढ़ते हुए, वृत्तों की त्रिज्याएँ अब छोटी हो गई हैं (घूर्णन के कोण के निरपेक्ष मान के अनुरूप जिसे ऋणात्मक संख्या माना जाता है)। अंत में, जैसे ही दक्षिणी ध्रुव पर पहुँचते हैं, वृत्त एक बार फिर पहचान घुमाव में सिकुड़ जाते हैं, जिसे दक्षिणी ध्रुव पर बिंदु के रूप में भी निर्दिष्ट किया जाता है। ध्यान दें कि इस विज़ुअलाइज़ेशन द्वारा ऐसे घुमावों की कई विशेषताओं और उनके प्रतिनिधित्व को देखा जा सकता है।

घूर्णन का स्थान निरंतर होता है, प्रत्येक घूर्णन में घूर्णन का एक पड़ोस होता है जो लगभग समान होता है, और पड़ोस के सिकुड़ने पर यह पड़ोस समतल हो जाता है।

उपनाम
इसके अलावा, प्रत्येक घुमाव को वास्तव में गोले पर दो एंटीपोडल बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है, जो गोले के केंद्र के माध्यम से एक रेखा के विपरीत छोर पर होते हैं। यह इस तथ्य को दर्शाता है कि प्रत्येक घूर्णन को किसी अक्ष के चारों ओर घूर्णन के रूप में दर्शाया जा सकता है, या, समकक्ष, विपरीत दिशा में इंगित करने वाले अक्ष के बारे में एक नकारात्मक घूर्णन के रूप में (तथाकथित डबल कवरिंग समूह)। किसी विशेष घूर्णन कोण का प्रतिनिधित्व करने वाले वृत्त का अक्षांश उस घूर्णन द्वारा दर्शाए गए कोण का आधा होगा, क्योंकि जैसे ही बिंदु उत्तर से दक्षिण ध्रुव की ओर जाता है, अक्षांश शून्य से 180 डिग्री तक होता है, जबकि घूर्णन का कोण होता है 0 घुमाने के लिए (ज्यामिति)। (एक बिंदु का देशांतर तब घूर्णन की एक विशेष धुरी का प्रतिनिधित्व करता है।) हालांकि ध्यान दें कि घुमावों का यह सेट संरचना के तहत बंद नहीं है।

xy-तल में अक्षों के साथ दो क्रमिक घूर्णन आवश्यक रूप से ऐसा घूर्णन नहीं देंगे जिसकी धुरी xy-तल में स्थित हो, और इस प्रकार इसे गोले पर एक बिंदु के रूप में दर्शाया नहीं जा सकता है। 3-स्पेस में सामान्य रोटेशन के मामले में ऐसा नहीं होगा, जो संरचना के तहत एक बंद सेट बनाते हैं।

इस विज़ुअलाइज़ेशन को 3-आयामी अंतरिक्ष में सामान्य घुमाव तक बढ़ाया जा सकता है। पहचान घूर्णन एक बिंदु है, और कुछ अक्ष के बारे में घूर्णन के एक छोटे कोण को एक छोटे त्रिज्या वाले गोले पर एक बिंदु के रूप में दर्शाया जा सकता है। जैसे-जैसे घूर्णन का कोण बढ़ता है, गोला तब तक बढ़ता है, जब तक कि घूर्णन का कोण 180 डिग्री तक नहीं पहुंच जाता, जिस बिंदु पर गोला सिकुड़ना शुरू हो जाता है, और कोण 360 डिग्री (या नकारात्मक दिशा से शून्य डिग्री) तक पहुंचने पर एक बिंदु बन जाता है। फैलते और सिकुड़ते गोले का यह सेट चार-आयामी अंतरिक्ष (एक 3-गोला) में एक 3-गोले|हाइपरस्फीयर का प्रतिनिधित्व करता है।

जैसा कि ऊपर दिए गए सरल उदाहरण में है, हाइपरस्फेयर पर एक बिंदु के रूप में दर्शाया गया प्रत्येक घुमाव उस हाइपरस्फेयर पर उसके एंटीपोडल बिंदु से मेल खाता है। हाइपरस्फीयर पर अक्षांश घूर्णन के संबंधित कोण का आधा होगा, और पड़ोस सिकुड़ने पर किसी भी बिंदु का पड़ोस चापलूसी हो जाएगा (यानी बिंदुओं के 3 डी यूक्लिडियन स्थान द्वारा दर्शाया जाएगा)।

यह व्यवहार इकाई चतुर्भुज के सेट से मेल खाता है: एक सामान्य चतुर्भुज चार-आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है, लेकिन इसे इकाई परिमाण में सीमित करने से हाइपरस्फीयर की सतह के बराबर एक त्रि-आयामी स्थान प्राप्त होता है। इकाई चतुर्भुज का परिमाण इकाई त्रिज्या के हाइपरस्फेयर के अनुरूप इकाई होगा।

एक इकाई चतुर्भुज का सदिश भाग घूर्णन अक्ष के अनुरूप 2-गोले की त्रिज्या का प्रतिनिधित्व करता है, और इसका परिमाण घूर्णन के आधे कोण की ज्या है। प्रत्येक घूर्णन को विपरीत चिह्न के दो इकाई चतुर्भुजों द्वारा दर्शाया जाता है, और, जैसा कि तीन आयामों में घूर्णन के स्थान में होता है, दो इकाई चतुर्भुजों का चतुर्भुज उत्पाद एक इकाई चतुर्भुज का उत्पादन करेगा। साथ ही, किसी दिए गए इकाई चतुर्भुज के किसी भी अतिसूक्ष्म पड़ोस में इकाई चतुर्भुज का स्थान समतल होता है।

पैरामीट्रिज़ेशन
हम घूर्णन के स्थान को कई तरीकों से मानकीकृत कर सकते हैं, लेकिन अध:पतन हमेशा दिखाई देगा। उदाहरण के लिए, यदि हम तीन कोणों (यूलर कोण) का उपयोग करते हैं, तो हाइपरस्फीयर पर कुछ बिंदुओं पर इस तरह का पैरामीटर खराब हो जाता है, जिससे जिम्बल लॉक की समस्या पैदा हो जाती है। हम w के साथ चार यूक्लिडियन निर्देशांक w,x,y,z का उपयोग करके इससे बच सकते हैं2+x2+और2+के साथ2 = 1. बिंदु (w,x,y,z) एक कोण द्वारा वेक्टर (x,y,z) द्वारा निर्देशित अक्ष के चारों ओर एक घूर्णन का प्रतिनिधित्व करता है
 * $$\alpha = 2 \cos^{-1}(w) = 2 \sin^{-1} \left (\sqrt{1-(x^2+y^2+z^2)} \right ).$$

यह समस्या अक्षांश और देशांतर जैसे दो निर्देशांकों के साथ एक गोले की द्विआयामी सतह को पैरामीटराइज़ करने के समान है। उत्तरी और दक्षिणी ध्रुवों पर अक्षांश और देशांतर खराब व्यवहार (अपभ्रंश (गणित)) हैं, हालांकि ध्रुव गोले पर किसी भी अन्य बिंदु से आंतरिक रूप से भिन्न नहीं हैं। ध्रुवों (अक्षांश +90° और −90°) पर, देशांतर अर्थहीन हो जाता है। यह दिखाया जा सकता है कि कोई भी दो-पैरामीटर समन्वय प्रणाली ऐसी विकृति से बच नहीं सकती है।

संभावित पैरामीट्रिज़ेशन उम्मीदवारों में शामिल हैं:


 * यूलर कोण (θ,φ,ψ), x, y और z अक्षों के बारे में घूर्णन के उत्पाद का प्रतिनिधित्व करते हैं;
 * टाइट-ब्रायन कोण (θ,φ,ψ), x, y और z अक्षों के बारे में घूर्णन के उत्पाद का प्रतिनिधित्व करते हैं;
 * एक अक्ष का प्रतिनिधित्व करने वाले इकाई वेक्टर का अक्ष कोण युग्म ('n', θ), और इसके चारों ओर घूर्णन का एक कोण;
 * लंबाई 1 का एक चतुर्भुज 'q' (cf. मैं मुड़ा, चतुर्भुज और स्थानिक घूर्णन, 3-गोलाकार), जिसके घटकों को यूलर-रोड्रिग्स पैरामीटर भी कहा जाता है;
 * एक 3 × 3 तिरछा-सममित मैट्रिक्स, घातांक के माध्यम से; 3 × 3 तिरछा-सममित आव्यूह लाई बीजगणित SO(3) हैं, और यह लाई सिद्धांत में घातीय मानचित्र है;
 * केली तर्कसंगत पैरामीटर, केली परिवर्तन पर आधारित, सभी विशेषताओं में प्रयोग योग्य;
 * मोबियस परिवर्तन, $$w=\frac{az+b}{cz+d},$$ रीमैन क्षेत्र पर कार्य करना।

पैरामीट्रिज़ेशन की समस्याएँ
इनकी बहु-मूल्यवान प्रकृति और विलक्षणताओं के कारण इन्हें स्थानीय चार्ट से अधिक उपयोग करने में समस्याएँ हैं। अर्थात्, चार्ट (टोपोलॉजी) की परिभाषा में केवल भिन्नता के साथ काम करने के लिए सबसे ऊपर सावधान रहना चाहिए। इस प्रकार की समस्याएँ अपरिहार्य हैं, क्योंकि SO(3) वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान P से भिन्न है3(R), जो S का भागफल है3एंटीपोडल बिंदुओं की पहचान करके, और चार्ट आर का उपयोग करके कई गुना मॉडल बनाने का प्रयास करते हैं3.

यह बताता है कि, उदाहरण के लिए, यूलर कोण 3- टोरस्र्स में एक चर और 3-गोले में इकाई चतुर्भुज क्यों देते प्रतीत होते हैं। यूलर कोणों द्वारा प्रतिनिधित्व की विशिष्टता कुछ बिंदुओं पर टूट जाती है (सीएफ. जिम्बल लॉक), जबकि क्वाटरनियन प्रतिनिधित्व हमेशा एक डबल कवरिंग समूह होता है, जिसमें क्यू और -क्यू समान रोटेशन देते हैं।

यदि हम एक तिरछा-सममित मैट्रिक्स का उपयोग करते हैं, तो प्रत्येक 3 × 3 तिरछा-सममित मैट्रिक्स 3 मापदंडों द्वारा निर्धारित किया जाता है, और इसलिए पहली नज़र में, पैरामीटर स्थान 'आर' है3. मैट्रिक्स घातांक ऐसे मैट्रिक्स का परिणाम निर्धारक 1 के ऑर्थोगोनल 3 × 3 मैट्रिक्स में होता है - दूसरे शब्दों में, एक रोटेशन मैट्रिक्स, लेकिन यह एक कई-से-एक मानचित्र है। ध्यान दें कि यह एक  कवरिंग मानचित्र  नहीं है - जबकि यह मूल के निकट एक स्थानीय होमोमोर्फिज्म है, यह 180 डिग्री तक घूमने वाला कवरिंग मैप नहीं है। इन मैट्रिक्स को आर में मूल के चारों ओर एक गेंद तक सीमित करना संभव है3ताकि घूर्णन 180 डिग्री से अधिक न हो, और यह एक-से-एक होगा, 180 डिग्री के घूर्णन को छोड़कर, जो सीमा एस के अनुरूप है2, और ये एंटीपोडल बिंदुओं की पहचान करते हैं - यह कट लोकस (रीमैनियन मैनिफोल्ड) है। सीमा की इस पहचान के साथ 3-गेंद पी है3(आर). एक समान स्थिति तिरछा-सममित मैट्रिक्स में केली परिवर्तन को लागू करने के लिए लागू होती है।

अक्ष कोण एस में पैरामीटर देता है2× एस1; यदि हम इकाई वेक्टर को घूर्णन के वास्तविक अक्ष से प्रतिस्थापित करते हैं, ताकि n और −n एक ही अक्ष रेखा दें, तो अक्ष का सेट P बन जाता है2(आर), वास्तविक प्रक्षेप्य तल। लेकिन चूँकि n और −n के चारों ओर घूमने को θ के विपरीत मानों द्वारा मानकीकृत किया जाता है, परिणाम एक S होता है1P के ऊपर बंडल2(R), जो कि P निकला3(आर).

आंशिक रैखिक परिवर्तन चार जटिल मापदंडों का उपयोग करते हैं, ए, बी, सी, और डी, इस शर्त के साथ कि ad-bc गैर है -शून्य। चूँकि सभी चार मापदंडों को एक ही जटिल संख्या से गुणा करने पर पैरामीटर नहीं बदलता है, हम इस बात पर जोर दे सकते हैं कि ad−bc=1। यह (ए,बी,सी,डी) को निर्धारक 1 के 2 × 2 जटिल मैट्रिक्स के रूप में लिखने का सुझाव देता है, यानी विशेष रैखिक समूह के एक तत्व के रूप में एसएल(2,सी). लेकिन ऐसे सभी मैट्रिक्स घूर्णन उत्पन्न नहीं करते: एस पर अनुरूप मानचित्र2भी शामिल हैं. केवल घूर्णन प्राप्त करने के लिए हम इस बात पर जोर देते हैं कि d, a का सम्मिश्र संयुग्म है, और c, b के सम्मिश्र संयुग्म का ऋणात्मक है। फिर हमारे पास |a| के अधीन दो सम्मिश्र संख्याएँ, a और b हैं2+|बी|2=1. यदि हम a+bj लिखते हैं, तो यह इकाई लंबाई का एक चतुर्भुज है।

अंततः, 'आर' के बाद से3P नहीं है3(आर), इनमें से प्रत्येक दृष्टिकोण के साथ एक समस्या होगी। कुछ मामलों में, हमें यह याद रखने की आवश्यकता है कि कुछ पैरामीटर मानों का परिणाम समान घूर्णन होता है, और इस समस्या को दूर करने के लिए, सीमाएं स्थापित की जानी चाहिए, लेकिन फिर आर में इस क्षेत्र के माध्यम से एक पथ3जब वह एक सीमा पार कर जाए तो उसे अचानक एक अलग क्षेत्र में कूद जाना चाहिए। जिम्बल लॉक एक समस्या है जब मानचित्र का व्युत्पन्न पूर्ण रैंक नहीं होता है, जो यूलर कोण और टैट-ब्रायन कोण के साथ होता है, लेकिन अन्य विकल्पों के लिए नहीं। चतुर्भुज प्रतिनिधित्व में इनमें से कोई भी समस्या नहीं है (हर जगह दो-से-एक मैपिंग होने के नाते), लेकिन इसमें एक शर्त (इकाई लंबाई) के साथ 4 पैरामीटर हैं, जो कभी-कभी उपलब्ध स्वतंत्रता की तीन डिग्री को देखना कठिन बना देता है।

अनुप्रयोग
एक क्षेत्र जिसमें ये विचार, किसी न किसी रूप में, अपरिहार्य हो जाते हैं, एक कठोर शरीर की गतिकी है। पहचान (प्रारंभिक स्थिति) से शुरू करके, त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष के यूक्लिडियन समूह ई (3) में एक वक्र के विचार को परिभाषा के रूप में लिया जा सकता है। E(3) का अनुवाद उपसमूह T एक सामान्य उपसमूह है, भागफल SO(3) के साथ यदि हम उपसमूह यूक्लिडियन समूह#प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष आइसोमेट्रीज़|E को देखें+(3) यूक्लिडियन समूह#केवल प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष आइसोमेट्री (जो किनेमेटिक्स में उचित है)। द्रव्यमान के केंद्र की गति और द्रव्यमान के केंद्र के बारे में कठोर शरीर के घूर्णन पर विचार करके मानक न्यूटोनियन किनेमेटिक्स में अनुवादात्मक भाग को घूर्णन भाग से अलग किया जा सकता है। इसलिए, जब हम अनुवादात्मक भाग का कारक निकालते हैं, तो शरीर की कोई भी कठोर गति सीधे SO(3) की ओर ले जाती है।

ये पहचानें दर्शाती हैं कि SO(3) संयोजकता है लेकिन केवल संबद्ध नहीं है। उत्तरार्द्ध के संबंध में, पहचाने गए एंटीपोडल सतह बिंदुओं वाली गेंद में, उत्तरी ध्रुव से सीधे केंद्र के माध्यम से दक्षिणी ध्रुव तक चलने वाले पथ पर विचार करें। यह एक बंद लूप है, क्योंकि उत्तरी ध्रुव और दक्षिणी ध्रुव की पहचान की जाती है। इस लूप को एक बिंदु तक छोटा नहीं किया जा सकता है, क्योंकि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप लूप को कैसे विकृत करते हैं, प्रारंभ और अंत बिंदु को एंटीपोडल रहना होगा, अन्यथा लूप टूट कर खुल जाएगा। घूर्णन के संदर्भ में, यह लूप पहचान रोटेशन पर शुरू और समाप्त होने वाले z-अक्ष के बारे में घूर्णन के निरंतर अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करता है (यानी कोण φ के माध्यम से घूर्णन की एक श्रृंखला जहां 0 से 2π तक चलता है)।

आश्चर्य की बात है, यदि आप पथ पर दो बार दौड़ते हैं, यानी, उत्तरी ध्रुव से नीचे दक्षिणी ध्रुव तक और वापस उत्तरी ध्रुव तक ताकि φ 0 से 4π तक चलता है, तो आपको एक बंद लूप मिलता है जिसे एक बिंदु तक छोटा किया जा सकता है: पहला कदम गेंद की सतह तक जाने वाले पथ अभी भी उत्तरी ध्रुव को दक्षिणी ध्रुव से दो बार जोड़ते हैं। पथ के दूसरे भाग को पथ को बिल्कुल भी बदले बिना एंटीपोडल पक्ष पर प्रतिबिंबित किया जा सकता है। अब हमारे पास गेंद की सतह पर एक साधारण बंद लूप है, जो उत्तरी ध्रुव को एक बड़े वृत्त के साथ जोड़ता है। इस वृत्त को बिना किसी समस्या के उत्तरी ध्रुव तक छोटा किया जा सकता है। प्लेट चाल  और इसी तरह की ट्रिक्स इसे व्यावहारिक रूप से प्रदर्शित करती हैं।

समान तर्क सामान्य रूप से किया जा सकता है, और यह दर्शाता है कि SO(3) का मूल समूह क्रम 2 का चक्रीय समूह है। भौतिकी अनुप्रयोगों में, मूल समूह की गैर-तुच्छता स्पिनर्स के रूप में ज्ञात वस्तुओं के अस्तित्व की अनुमति देती है, और स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय के विकास में एक महत्वपूर्ण उपकरण है।

SO(3) का कवरिंग स्पेस#यूनिवर्सल कवरिंग एक झूठ समूह है जिसे स्पिनर समूह|स्पिन(3) कहा जाता है। समूह स्पिन(3) विशेष एकात्मक समूह एसयू(2) का समरूपी है; यह इकाई 3-गोले 'S' से भी भिन्न है3और इसे चतुर्भुज के समूह के रूप में समझा जा सकता है (अर्थात जिनका पूर्ण मान 1 है)। चतुर्भुज और घूर्णन के बीच संबंध, जो आमतौर पर कंप्यूटर चित्रलेख  में उपयोग किया जाता है, चतुर्भुज और स्थानिक घुमावों में समझाया गया है। एस से नक्शा3SO(3) पर जो S के एंटीपोडल बिंदुओं की पहचान करता है3 कर्नेल (बीजगणित) {±1} के साथ, लाई समूहों का एक विशेषण समरूपता है। स्थलाकृतिक दृष्टि से, यह मानचित्र दो-से-एक कवर करने वाला मानचित्र है।