त्रिभुज

त्रिभुज तीन भुजाओं और तीन शीर्षों वाला एक बहुभुज है। यह ज्यामिति में मूल आकृतियों में से एक है। A, B, और C शीर्षों वाले त्रिभुज को $$\triangle ABC$$ दर्शाया गया है।

यूक्लिडियन ज्यामिति में, कोई भी तीन बिंदु, जब असंरेखित होते हैं, एक विशिष्ट त्रिभुज और साथ ही साथ, एक विशिष्ट तल (अर्थात एक द्वि-विमीय यूक्लिडियन स्थान) निर्धारित करते हैं। दूसरे शब्दों में, केवल एक ही तल है जिसमें वह त्रिभुज समाहित है, और प्रत्येक त्रिभुज किसी न किसी तल में समाहित है। यदि पूरी ज्यामिति केवल यूक्लिडियन तल है, तो केवल एक ही तल है और सभी त्रिभुज उसमें समाहित हैं; हालांकि, उच्च-विमीय यूक्लिडियन स्थानों में, यह अब सत्य नहीं है। यह लेख यूक्लिडियन ज्यामिति में त्रिभुजों के बारे में है, और विशेष रूप से, यूक्लिडियन विमान, जहां अन्यथा उल्लेख किया गया है।

त्रिभुज के प्रकार
Euler diagram of triangle types.svg त्रिकोणों को वर्गीकृत करने के लिए शब्दावली दो हजार साल से अधिक पुरानी है, जिसे यूक्लिड के तत्वों के पहले पृष्ठ पर परिभाषित किया गया है।आधुनिक वर्गीकरण के लिए उपयोग किए जाने वाले नाम या तो यूक्लिड के ग्रीक या उनके लैटिन अनुवादों का प्रत्यक्ष अनुवाद हैं।

पक्षों की लंबाई से
प्राचीन ग्रीक गणितज्ञ यूक्लिड ने अपने पक्षों की लंबाई के अनुसार तीन प्रकार के त्रिभुज को परिभाषित किया: ""

 Triangle.Equilateral.svg|समभुज त्रिकोण Triangle.Isosceles.svg|समद्विबाहु त्रिकोण Triangle.Scalene.svg|विषमबाहु त्रिकोण 
 * एक समबाहु त्रिभुज एक ही लंबाई के तीन पक्ष हैं।एक समबाहु त्रिभुज भी एक नियमित बहुभुज है जिसमें सभी कोण 60 ° मापने वाले हैं।
 * एक समस्थानिक त्रिभुज के बराबर लंबाई के दो पक्ष हैं। एक समद्विबाहु त्रिभुज में एक ही माप के दो कोण भी होते हैं, अर्थात् एक ही लंबाई के दो पक्षों के विपरीत कोण।यह तथ्य समस्थानिक त्रिभुज प्रमेय की सामग्री है, जिसे यूक्लिड द्वारा जाना जाता था।कुछ गणितज्ञ एक समद्विबाहु त्रिभुज को दो समान पक्षों के लिए परिभाषित करते हैं, जबकि अन्य एक समद्विबाहु त्रिभुज को कम से कम दो समान पक्षों के रूप में परिभाषित करते हैं। बाद की परिभाषा सभी समबाहु त्रिभुज समद्वियों में त्रिकोण बना देगी।45-45-90 दाहिने त्रिभुज, जो टेट्राकिस स्क्वायर टाइलिंग में दिखाई देता है, समद्विबाहु है।
 * एक स्केलिन त्रिभुज इसके सभी अलग -अलग लंबाई के पक्ष हैं। समान रूप से, इसमें अलग -अलग माप के सभी कोण हैं।

हैच मार्क्स, जिसे टिक मार्क भी कहा जाता है, का उपयोग समान लंबाई के पक्षों की पहचान करने के लिए त्रिकोण और अन्य ज्यामितीय आंकड़ों के आरेखों में किया जाता है।एक पक्ष को टली के रूप में टिक्स के पैटर्न, शॉर्ट लाइन सेगमेंट के साथ चिह्नित किया जा सकता है;दो पक्षों की लंबाई समान होती है यदि वे दोनों एक ही पैटर्न के साथ चिह्नित हैं।एक त्रिभुज में, पैटर्न आमतौर पर 3 टिक से अधिक नहीं होता है।एक समबाहु त्रिभुज का सभी 3 पक्षों पर एक ही पैटर्न होता है, एक समद्विबाहु त्रिभुज का सिर्फ 2 पक्षों पर एक ही पैटर्न होता है, और एक स्कैलेन त्रिभुज के सभी पक्षों पर अलग -अलग पैटर्न होते हैं क्योंकि कोई भी पक्ष समान नहीं होता है।

इसी तरह, कोणों के अंदर 1, 2, या 3 गाढ़ा आर्क्स के पैटर्न का उपयोग समान कोणों को इंगित करने के लिए किया जाता है: एक समबाहु त्रिभुज में सभी 3 कोणों पर एक ही पैटर्न होता है, एक समद्विबाहु त्रिभुज में सिर्फ 2 कोणों पर एक ही पैटर्न होता है, और एक स्केलिन त्रिभुज होता है।सभी कोणों पर अलग -अलग पैटर्न हैं, क्योंकि कोई भी कोण समान नहीं हैं।

आंतरिक कोणों द्वारा
त्रिकोण को उनके आंतरिक कोणों के अनुसार भी वर्गीकृत किया जा सकता है, यहां डिग्री में मापा जाता है।
 * एक दाएं त्रिभुज (या दाएं-कोण वाले त्रिभुज) में 90 ° (एक समकोण) को मापने वाले आंतरिक कोणों में से एक है।सही कोण के विपरीत पक्ष हाइपोटेनस है, त्रिभुज का सबसे लंबा पक्ष।अन्य दो पक्षों को पैर या कैथेटी कहा जाता है (एकवचन: विकट: कैथेटस | कैथेटस) त्रिभुज।सही त्रिकोण पाइथागोरस प्रमेय का पालन करते हैं: दो पैरों की लंबाई के वर्गों का योग हाइपोटेनस की लंबाई के वर्ग के बराबर है: a2 + b2 = c2, where a and b are the lengths of the legs and c is the length of the hypotenuse. Special right triangles are right triangles with additional properties that make calculations involving them easier. One of the two most famous is the 3–4–5 right triangle, where 32 + 42 = 52।3-4-5 त्रिभुज को मिस्र के त्रिकोण के रूप में भी जाना जाता है। इस स्थिति में, 3, 4, और 5 एक पाइथागोरियन ट्रिपल हैं।अन्य एक एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें 2 कोण हैं जो 45 डिग्री (45-45-90 त्रिकोण) को मापते हैं।
 * त्रिकोण जिसमें 90 ° मापने वाले कोण नहीं होते हैं, उन्हें तिरछे त्रिकोण कहा जाता है।
 * 90 ° से कम मापने वाले सभी आंतरिक कोणों के साथ एक त्रिभुज एक तीव्र त्रिकोण या तीव्र-कोण वाले त्रिकोण है। यदि C सबसे लंबे समय की लंबाई है, तो a2 + b2 > c2, जहां ए और बी अन्य पक्षों की लंबाई हैं।
 * 90 ° से अधिक एक आंतरिक कोण के साथ एक त्रिभुज एक obtuse त्रिभुज या obtuse-angled त्रिकोण है। यदि C सबसे लंबे समय की लंबाई है, तो a2 + b2 < c2, जहां ए और बी अन्य पक्षों की लंबाई हैं।
 * 180 ° (और विकट: Collinear | Collinear vertices) के आंतरिक कोण के साथ एक त्रिकोण पतनशील है।एक सही पतित त्रिभुज में कोलिनियर वर्टिस हैं, जिनमें से दो संयोग हैं।

एक त्रिभुज जिसमें एक ही उपाय के साथ दो कोण होते हैं, में भी एक ही लंबाई के साथ दो पक्ष होते हैं, और इसलिए यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है।यह इस प्रकार है कि एक त्रिभुज में जहां सभी कोणों में एक ही उपाय होता है, तीनों पक्षों की लंबाई समान होती है, और इसलिए यह समबाहु होता है।

बुनियादी तथ्य
त्रिकोणों को दो-विमीय विमान के आंकड़े माना जाता है, जब तक कि संदर्भ अन्यथा प्रदान नहीं करता है (देखें #गैर-प्लानर त्रिकोण | गैर-प्लानर त्रिकोण, नीचे)।कठोर उपचारों में, एक त्रिभुज को इसलिए 2-सिम्प्लेक्स कहा जाता है (पॉलीटोप भी देखें)।त्रिभुजों के बारे में प्राथमिक तथ्य यूक्लिड द्वारा प्रस्तुत किए गए थे, उनके यूक्लिड के तत्वों की पुस्तकों 1-4 में। तत्वों, 300 ईसा पूर्व के आसपास लिखा गया था।

यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक त्रिभुज के आंतरिक कोणों के उपायों का योग हमेशा 180 डिग्री होता है। <रेफ नाम =: 2 /> यह तथ्य यूक्लिड के समानांतर पोस्टुलेट के बराबर है।यह दो कोणों के माप को देखते हुए किसी भी त्रिभुज के तीसरे कोण के माप का निर्धारण करने की अनुमति देता है।एक त्रिभुज का एक बाहरी कोण एक कोण है जो एक आंतरिक कोण के लिए एक रैखिक जोड़ी (और इसलिए पूरक) है।एक त्रिभुज के बाहरी कोण का माप दो आंतरिक कोणों के उपायों के बराबर है जो इसके आस -पास नहीं हैं;यह बाहरी कोण प्रमेय है।किसी भी त्रिभुज के तीन बाहरी कोणों (प्रत्येक शीर्ष के लिए एक) के उपायों का योग 360 डिग्री है।

समानता और बधाई
दो त्रिभुजों को समान कहा जाता है, अगर एक त्रिभुज के प्रत्येक कोण में दूसरे त्रिभुज में संबंधित कोण के समान उपाय होता है। समान त्रिकोणों के संबंधित पक्षों की लंबाई होती है जो एक ही अनुपात में होती हैं, और यह संपत्ति समानता स्थापित करने के लिए भी पर्याप्त है।

समान त्रिकोण के बारे में कुछ बुनियादी प्रमेय हैं:
 * यदि और केवल अगर दो त्रिकोणों के आंतरिक कोणों की एक जोड़ी में एक दूसरे के समान उपाय होते हैं, और एक अन्य जोड़ी में एक दूसरे के समान माप भी होता है, तो त्रिकोण समान होते हैं।
 * यदि और केवल अगर दो त्रिकोणों के संबंधित पक्षों की एक जोड़ी एक ही अनुपात में होती है, जैसे कि इसी पक्षों की एक और जोड़ी होती है, और उनके शामिल कोणों में एक ही उपाय होता है, तो त्रिकोण समान होते हैं। (बहुभुज के किसी भी दो पक्षों के लिए शामिल कोण उन दो पक्षों के बीच आंतरिक कोण है।)
 * यदि और केवल अगर दो त्रिकोण के तीन जोड़े इसी अनुपात में हैं, तो त्रिकोण समान हैं।

WO त्रिकोण जो बधाई हैं, बिल्कुल समान आकार और आकार हैं: इसी आंतरिक कोणों के सभी जोड़े माप में समान हैं, और संबंधित पक्षों के सभी जोड़े की लंबाई समान है। (यह कुल छह समानता है, लेकिन तीन अक्सर बधाई साबित करने के लिए पर्याप्त होते हैं।)

त्रिकोणों की एक जोड़ी के लिए कुछ व्यक्तिगत रूप से आवश्यक और पर्याप्त शर्तें हैं:
 * एसएएस पोस्टुलेट: एक त्रिभुज में दो पक्षों की लंबाई एक ही लंबाई है, जो अन्य त्रिभुज में दो पक्षों के समान है, और शामिल कोणों में एक ही उपाय है।
 * एएसए: दो आंतरिक कोण और एक त्रिभुज में शामिल पक्ष में क्रमशः एक ही उपाय और लंबाई होती है, अन्य त्रिकोण में। (कोणों की एक जोड़ी के लिए शामिल पक्ष वह पक्ष है जो उनके लिए आम है।)
 * SSS: एक त्रिभुज के प्रत्येक पक्ष की लंबाई अन्य त्रिभुज के समान पक्ष के समान होती है।
 * एएएस: एक त्रिभुज में दो कोण और एक संबंधित (गैर-शामिल) पक्ष क्रमशः एक ही उपाय और लंबाई है, अन्य त्रिभुज में। (इसे कभी -कभी AACORRS के रूप में संदर्भित किया जाता है और फिर ऊपर ASA शामिल है।)

कुछ व्यक्तिगत रूप से पर्याप्त स्थितियां हैं: एक महत्वपूर्ण स्थिति है:
 * हाइपोटेनस-लेग (एचएल) प्रमेय: एक सही त्रिभुज में हाइपोटेनस और एक पैर की लंबाई एक और सही त्रिभुज में होती है। इसे आरएचएस (राइट-एंगल, हाइपोटेनस, साइड) भी कहा जाता है।
 * हाइपोटेनस-एंगल प्रमेय: एक सही त्रिभुज में हाइपोटेनस और एक तीव्र कोण क्रमशः एक ही लंबाई और माप होता है, अन्य सही त्रिभुज में। यह एएएस प्रमेय का सिर्फ एक विशेष मामला है।
 * साइड-साइड-एंगल (या एंगल-साइड-साइड) स्थिति: यदि दो पक्षों और एक त्रिभुज के एक गैर-गैर-शामिल कोण की लंबाई और माप क्रमशः, एक और त्रिभुज के रूप में, तो यह पर्याप्त नहीं है, तो यह पर्याप्त नहीं है बधाई साबित; लेकिन अगर दिया गया कोण दोनों पक्षों के लंबे पक्ष के विपरीत है, तो त्रिकोण बधाई हैं। हाइपोटेनस-लेग प्रमेय इस मानदंड का एक विशेष मामला है। साइड-साइड-एंगल की स्थिति स्वयं गारंटी नहीं देती है कि त्रिकोण बधाई हैं क्योंकि एक त्रिभुज obtuse-angled और दूसरा तीव्र-कोण हो सकता है।

सही त्रिकोण और समानता की अवधारणा का उपयोग करते हुए, त्रिकोणमितीय कार्यों साइन और कोसाइन को परिभाषित किया जा सकता है। ये एक कोण के कार्य हैं जिनकी त्रिकोणमिति में जांच की जाती है।

सही त्रिकोण
एक केंद्रीय प्रमेय पाइथागोरियन प्रमेय है, जो किसी भी सही त्रिभुज में बताता है, हाइपोटेन्यूज़ की लंबाई का वर्ग दो अन्य पक्षों की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर होता है।यदि हाइपोटेनस की लंबाई C है, और पैरों की लंबाई A और B है, तो प्रमेय बताता है कि
 * $$a^2 + b^2 = c^2.$$

यह सच है: यदि त्रिभुज के किनारों की लंबाई उपरोक्त समीकरण को संतुष्ट करती है, तो त्रिभुज में एक समकोण के विपरीत कोण होता है।

सही त्रिकोण के बारे में कुछ अन्य तथ्य:
 * एक सही त्रिभुज के तीव्र कोण पूरक हैं।
 * $$a + b + 90^\circ = 180^\circ \Rightarrow a + b = 90^\circ \Rightarrow a = 90^\circ - b.$$


 * यदि एक सही त्रिभुज के पैरों की लंबाई समान होती है, तो उन पैरों के विपरीत कोण एक ही उपाय होते हैं।चूंकि ये कोण पूरक हैं, यह इस प्रकार है कि प्रत्येक 45 डिग्री मापता है।पाइथागोरियन प्रमेय द्वारा, हाइपोटेन्यूज़ की लंबाई एक पैर की लंबाई है $\sqrt{2}$।
 * 30 और 60 डिग्री मापने वाले तीव्र कोणों के साथ एक दाहिने त्रिभुज में, हाइपोटेन्यूस छोटे पक्ष की लंबाई से दोगुना होता है, और लंबी पक्ष छोटी साइड टाइम्स की लंबाई के बराबर होता है $\sqrt{3}$:
 * $$c = 2a\,$$
 * $$b = a\times\sqrt{3}.$$

सभी त्रिभुजों के लिए, कोण और पक्ष कोसाइन्स और सिन के कानून के कानून से संबंधित हैं (जिसे कोसाइन नियम और साइन नियम भी कहा जाता है)।

पक्षों पर स्थिति
त्रिभुज असमानता में कहा गया है कि त्रिभुज के किसी भी दो पक्षों की लंबाई का योग तीसरे पक्ष की लंबाई से अधिक या बराबर होना चाहिए।यह योग केवल तीसरे पक्ष की लंबाई के बराबर हो सकता है, एक पतित त्रिभुज के मामले में, एक कोलिनियर वर्टिस के साथ।उस राशि के लिए तीसरे पक्ष की लंबाई से कम होना संभव नहीं है।तीन दिए गए सकारात्मक पक्ष लंबाई के साथ एक त्रिभुज मौजूद है यदि और केवल अगर उन पक्षों की लंबाई त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करती है।

कोणों पर शर्तें
तीन दिए गए कोण एक गैर-पतित त्रिभुज (और वास्तव में उनमें से एक अनंतता) बनाते हैं यदि और केवल अगर इन दोनों स्थितियों को पकड़ते हैं: (ए) प्रत्येक कोण सकारात्मक है, और (बी) कोण 180 ° तक योग करते हैं।यदि पतित त्रिकोणों की अनुमति है, तो 0 ° के कोण की अनुमति है।

त्रिकोणमितीय स्थिति
तीन सकारात्मक कोण α, β, और γ, उनमें से प्रत्येक 180 ° से कम, एक त्रिभुज के कोण हैं यदि और केवल यदि निम्नलिखित में से कोई भी स्थिति रखती है:
 * $$\tan{\frac{\alpha}{2}}\tan{\frac{\beta}{2}}+\tan{\frac{\beta}{2}}\tan{\frac{\gamma}{2}}+\tan{\frac{\gamma}{2}}\tan{\frac{\alpha}{2}}=1,$$

$$\sin^2{\frac{\alpha}{2}}+\sin^2{\frac{\beta}{2}}+\sin^2{\frac{\gamma}{2}}+2\sin{\frac{\alpha}{2}}\sin{\frac{\beta}{2}}\sin{\frac{\gamma}{2}}=1,$$


 * $$\sin(2\alpha) + \sin(2\beta) + \sin(2\gamma) = 4\sin(\alpha)\sin(\beta)\sin(\gamma),$$
 * $$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma+2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma)=1,$$


 * $$\tan(\alpha) + \tan(\beta) + \tan(\gamma) = \tan(\alpha)\tan(\beta)\tan(\gamma),$$

अंतिम समानता केवल तभी लागू होती है जब कोई भी कोण 90 ° नहीं है (इसलिए स्पर्शरेखा फ़ंक्शन का मान हमेशा परिमित होता है)।

अंक, लाइनें और एक त्रिभुज से जुड़े मंडलियां
हजारों अलग -अलग निर्माण हैं जो एक विशेष बिंदु (और अक्सर अंदर) एक त्रिभुज से जुड़े हैं, कुछ विशिष्ट संपत्ति को संतुष्ट करते हैं: उनमें से एक सूची के लिए त्रिभुज केंद्रों के लेख विश्वकोश देखें।अक्सर वे तीन पक्षों (या वर्टिस) के साथ एक सममित तरीके से जुड़ी तीन पंक्तियों को खोजकर निर्मित होते हैं और फिर यह साबित करते हैं कि तीन पंक्तियाँ एक ही बिंदु पर मिलती हैं: इन के अस्तित्व को साबित करने के लिए एक महत्वपूर्ण उपकरण Ceva का प्रमेय है, जो एक देता हैयह निर्धारित करने के लिए मानदंड जब तीन ऐसी पंक्तियाँ समवर्ती हैं।इसी तरह, एक त्रिभुज से जुड़ी लाइनें अक्सर यह साबित करके निर्मित की जाती हैं कि तीन सममित रूप से निर्मित बिंदु विक्ट हैं: Collinear | Collinear: यहाँ Menelaus 'प्रमेय एक उपयोगी सामान्य मानदंड देता है।इस खंड में सबसे अधिक आम तौर पर सामना किए गए निर्माणों में से कुछ को समझाया गया है।

एक त्रिभुज के एक पक्ष का एक लंबवत द्विभाजक एक सीधी रेखा है जो पक्ष के मध्य बिंदु से गुजरती है और इसके लंबवत हो रही है, अर्थात् इसके साथ एक समकोण का निर्माण।तीन लंबवत द्विभाजक एक ही बिंदु में मिलते हैं, त्रिभुज का परिधि, आमतौर पर ओ द्वारा निरूपित किया जाता है;यह बिंदु खतना का केंद्र है, सभी तीन कोने से गुजरने वाला सर्कल।इस सर्कल का व्यास, जिसे  परिधि  कहा जाता है, ऊपर बताए गए सिन के नियम से पाया जा सकता है।खतना के त्रिज्या को  सर्कराडियस  कहा जाता है।

थेल्स के प्रमेय का अर्थ है कि यदि परिधि त्रिभुज के एक तरफ स्थित है, तो विपरीत कोण एक सही है।यदि परिधि त्रिभुज के अंदर स्थित है, तो त्रिभुज तीव्र है;यदि परिधि त्रिभुज के बाहर स्थित है, तो त्रिभुज obtuse है।

एक त्रिभुज की ऊंचाई एक शीर्ष रेखा के माध्यम से एक सीधी रेखा है और लंबवत (यानी एक समकोण के साथ) के साथ विपरीत पक्ष के माध्यम से एक सीधी रेखा है।इस विपरीत पक्ष को ऊंचाई का आधार कहा जाता है, और वह बिंदु जहां ऊंचाई आधार (या उसके विस्तार) को प्रतिच्छेद करती है उसे ऊंचाई का पैर कहा जाता है।ऊंचाई की लंबाई आधार और शीर्ष के बीच की दूरी है।तीन ऊंचाई एक बिंदु में एक ही बिंदु में प्रतिच्छेद करते हैं, जिसे त्रिभुज का ऑर्थोकेटर कहा जाता है, आमतौर पर 'एच' द्वारा निरूपित किया जाता है।ऑर्थोकेटर त्रिभुज के अंदर स्थित है यदि और केवल अगर त्रिभुज तीव्र है।

एक त्रिभुज का एक कोण द्विभाजक एक शीर्ष रेखा के माध्यम से एक सीधी रेखा है जो आधे में संबंधित कोण को काटता है।तीन कोण बिस्टेक्टर्स एक ही बिंदु में, इंसेंटर, आमतौर पर I द्वारा निरूपित, त्रिभुज के केंद्र के केंद्र द्वारा प्रतिच्छेद करते हैं।Incircle वह सर्कल है जो त्रिभुज के अंदर स्थित है और तीनों पक्षों को छूता है।इसके त्रिज्या को  इन्रैडियस  कहा जाता है।तीन अन्य महत्वपूर्ण मंडलियां हैं, उत्तेजक;वे त्रिभुज के बाहर झूठ बोलते हैं और एक तरफ के साथ -साथ अन्य दो के विस्तार को भी छूते हैं।इन-इन-एक्सराइकल्स के केंद्र एक ऑर्थोकेन्ट्रिक सिस्टम बनाते हैं।

एक त्रिभुज का एक माध्य एक शीर्ष रेखा और विपरीत दिशा के मध्य बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा है, और त्रिभुज को दो समान क्षेत्रों में विभाजित करता है।एक ही बिंदु में तीन मध्यस्थों को प्रतिच्छेद करते हैं, त्रिभुज के सेंट्रोइड या ज्यामितीय बैरसेंटर, आमतौर पर जी द्वारा निरूपित किया जाता है। एक कठोर त्रिकोणीय वस्तु का केंद्र (समान घनत्व की एक पतली शीट से कट) भी इसका केंद्र है: वस्तु हो सकती हैएक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में अपने केंद्रक पर संतुलित।Centroid 2: 1 के अनुपात में प्रत्येक माध्यिका में कटौती करता है, अर्थात् एक शीर्ष और सेंट्रोइड के बीच की दूरी सेंट्रोइड और विपरीत पक्ष के मध्य बिंदु के बीच की दूरी से दोगुनी है।

Triangle.NinePointCircle.svg तीनों पक्षों के मध्य बिंदु और तीन ऊंचाई के पैर सभी एक ही सर्कल, त्रिभुज के नौ-बिंदु सर्कल पर स्थित हैं।शेष तीन बिंदु जिनके लिए इसका नाम दिया गया है, वे कोने और ऑर्थोकेटर के बीच ऊंचाई के हिस्से के मध्य बिंदु हैं।नौ-पॉइंट सर्कल का त्रिज्या खतना का आधा है।यह incircle को छूता है (नौ-बिंदु सर्कल पर | Feuerbach बिंदु) और तीन excircles।

Triangle.EulerLine.svg ऑर्थोकेटर (ब्लू पॉइंट), नौ-पॉइंट सर्कल (लाल), सेंट्रोइड (ऑरेंज) का केंद्र, और परिधि (हरा) सभी एक ही लाइन पर झूठ बोलते हैं, जिसे यूलर लाइन (लाल रेखा) के रूप में जाना जाता है।नौ-बिंदु सर्कल का केंद्र ऑर्थोकेटर और परिधि के बीच के मध्य बिंदु पर स्थित है, और सेंट्रोइड और परिधि के बीच की दूरी सेंट्रोइड और ऑर्थोकेटर के बीच आधा है।

Incircle का केंद्र सामान्य रूप से Euler की लाइन पर स्थित नहीं है।

यदि कोई कोण द्विभाजक में एक माध्यिका को दर्शाता है जो एक ही शीर्ष से गुजरता है, तो एक सिम्मेडियन प्राप्त करता है।तीन सिम्मेडियन एक ही बिंदु में, त्रिभुज के सिम्मेडियन बिंदु में अंतर करते हैं।

पक्षों और कोणों की गणना
एक पक्ष की लंबाई या कोण की माप की गणना के लिए विभिन्न मानक तरीके हैं।कुछ तरीके एक सही-कोण वाले त्रिभुज में मूल्यों की गणना करने के लिए अनुकूल हैं;अन्य स्थितियों में अधिक जटिल तरीकों की आवश्यकता हो सकती है।

त्रिकोणमितीय अनुपात सही त्रिकोणों में
सही त्रिकोणों में, साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा के त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग अज्ञात कोणों और अज्ञात पक्षों की लंबाई को खोजने के लिए किया जा सकता है।त्रिभुज के किनारों को निम्नानुसार जाना जाता है:
 * हाइपोटेनस सही कोण के विपरीत पक्ष है, या इस मामले में एच में एक दाएं-कोण त्रिभुज के सबसे लंबे समय तक परिभाषित किया गया है।
 * विपरीत पक्ष उस कोण के विपरीत है जिसमें हम रुचि रखते हैं, इस मामले में एक।
 * आसन्न पक्ष वह पक्ष है जो उस कोण के संपर्क में है जिसमें हम रुचि रखते हैं और सही कोण, इसलिए इसका नाम।इस मामले में आसन्न पक्ष बी है।

साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा
कोण की साइन हाइपोटेनस की लंबाई के विपरीत पक्ष की लंबाई का अनुपात है।हमारे मामले में
 * $$\sin A = \frac {\text{opposite side}}{\text{hypotenuse}} = \frac {a}{h}\,.$$

यह अनुपात चुने गए विशेष सही त्रिभुज पर निर्भर नहीं करता है, जब तक कि इसमें कोण ए होता है, क्योंकि वे सभी त्रिकोण समान हैं।

कोण का कोसाइन हाइपोटेनस की लंबाई के आसन्न पक्ष की लंबाई का अनुपात है।हमारे मामले में
 * $$\cos A = \frac {\text{adjacent side}}{\text{hypotenuse}} = \frac {b}{h}\,.$$

एक कोण का स्पर्शरेखा आसन्न पक्ष की लंबाई के विपरीत पक्ष की लंबाई का अनुपात है।हमारे मामले में
 * $$\tan A = \frac {\text{opposite side}}{\text{adjacent side}} = \frac {a}{b} =\frac {\sin A}{\cos A}\,.$$

इन अनुपातों के लिए SOH-CAH-TOA एक उपयोगी mnemonic है।

उलटा कार्य
उलटा त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग किसी भी दो पक्षों की लंबाई के साथ एक दाएं कोण वाले त्रिभुज के लिए आंतरिक कोणों की गणना करने के लिए किया जा सकता है।

आर्क्सिन का उपयोग विपरीत दिशा की लंबाई और हाइपोटेनस की लंबाई से एक कोण की गणना करने के लिए किया जा सकता है।
 * $$\theta = \arcsin \left( \frac{\text{opposite side}}{\text{hypotenuse}} \right)$$

Arccos का उपयोग आसन्न पक्ष की लंबाई और हाइपोटेनस की लंबाई से एक कोण की गणना करने के लिए किया जा सकता है।
 * $$\theta = \arccos \left( \frac{\text{adjacent side}}{\text{hypotenuse}} \right)$$

आर्क्टन का उपयोग विपरीत दिशा की लंबाई और आसन्न पक्ष की लंबाई से एक कोण की गणना करने के लिए किया जा सकता है।
 * $$\theta = \arctan \left( \frac{\text{opposite side}}{\text{adjacent side}} \right)$$

परिचयात्मक ज्यामिति और त्रिकोणमिति पाठ्यक्रम में, संकेतन पाप−1, cos−1 आदि, अक्सर आर्क्सिन, आर्कोस, आदि के स्थान पर उपयोग किए जाते हैं, हालांकि, आर्क्सिन, आर्कोस, आदि, उच्च गणित में नोटेशन मानक है जहां त्रिकोणमितीय कार्यों को आमतौर पर शक्तियों के लिए उठाया जाता है, क्योंकि यह गुणक व्युत्क्रम और रचनात्मक व्युत्क्रम के बीच भ्रम से बचता है।

साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा नियम
सिन का नियम, या साइन नियम, बताता है कि इसके विपरीत कोण के साइन के पक्ष की लंबाई का अनुपात स्थिर है, वह है
 * $$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}.$$

यह अनुपात दिए गए त्रिभुज के परिचालित सर्कल के व्यास के बराबर है।इस प्रमेय की एक और व्याख्या यह है कि एंगल्स α, γ और of के साथ प्रत्येक त्रिभुज एक त्रिभुज के समान है, जो कि पाप α, पाप β और पाप के बराबर साइड लंबाई के साथ है।इस त्रिभुज का निर्माण पहले व्यास 1 के एक सर्कल का निर्माण करके किया जा सकता है, और इसमें त्रिभुज के कोणों में से दो में प्रवेश किया जा सकता है।उस त्रिभुज के किनारों की लंबाई पाप α, पाप β और पाप γ होगी।वह पक्ष जिसकी लंबाई पाप α है, कोण के विपरीत है जिसका उपाय α, आदि है।

कोसाइन, या कोसाइन नियम का नियम, एक त्रिभुज के एक अज्ञात पक्ष की लंबाई को अन्य पक्षों की लंबाई और अज्ञात पक्ष के विपरीत कोण से जोड़ता है। As per the law:

For a triangle with length of sides a, b, c and angles of α, β, γ respectively, given two known lengths of a triangle a and b, and the angle between the two known sides γ (or the angle opposite to the unknown side c), to calculate the third side c, the following formula can be used:
 * $$c^2\ = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)$$
 * $$b^2\ = a^2 + c^2 - 2ac\cos(\beta)$$
 * $$a^2\ = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\alpha)$$

If the lengths of all three sides of any triangle are known the three angles can be calculated:
 * $$\alpha=\arccos\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)$$
 * $$\beta=\arccos\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)$$
 * $$\gamma=\arccos\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)$$

The law of tangents, or tangent rule, can be used to find a side or an angle when two sides and an angle or two angles and a side are known. It states that:
 * $$\frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{\tan[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]}.$$

त्रिकोणों का समाधान
त्रिकोणों का समाधान मुख्य त्रिकोणमितीय समस्या है: एक त्रिभुज की लापता विशेषताओं को खोजने के लिए (तीन कोण, तीन पक्षों की लंबाई आदि) जब इनमें से कम से कम तीन विशेषताओं को दिया जाता है।त्रिभुज एक विमान पर या एक गोले पर स्थित हो सकता है।यह समस्या अक्सर विभिन्न त्रिकोणमितीय अनुप्रयोगों में होती है, जैसे कि जियोडेसी, खगोल विज्ञान, निर्माण, नेविगेशन आदि।

एक त्रिभुज के क्षेत्र की गणना




एक त्रिभुज के क्षेत्र टी की गणना करना एक प्राथमिक समस्या है जो अक्सर कई अलग -अलग स्थितियों में सामना करती है।सबसे प्रसिद्ध और सरलतम सूत्र है:
 * $$T=\frac{1}{2}bh,$$

जहां बी त्रिभुज के आधार की लंबाई है, और एच त्रिभुज की ऊंचाई या ऊंचाई है।शब्द आधार किसी भी पक्ष को दर्शाता है, और ऊंचाई आधार से युक्त रेखा पर आधार के विपरीत शीर्ष से लंबवत की लंबाई को दर्शाती है।499 CE आर्यभत में, आर्यभती (धारा 2.6) में इस सचित्र विधि का उपयोग किया।

हालांकि सरल, यह सूत्र केवल तभी उपयोगी होता है जब ऊंचाई आसानी से मिल सकती है, जो हमेशा ऐसा नहीं होता है।उदाहरण के लिए, एक त्रिकोणीय क्षेत्र के सर्वेक्षणकर्ता को प्रत्येक पक्ष की लंबाई को मापना अपेक्षाकृत आसान हो सकता है, लेकिन 'ऊंचाई' का निर्माण करना अपेक्षाकृत कठिन है।त्रिभुज के बारे में जो कुछ भी जाना जाता है, उसके आधार पर विभिन्न तरीकों का उपयोग व्यवहार में किया जा सकता है।निम्नलिखित एक त्रिभुज के क्षेत्र के लिए अक्सर उपयोग किए जाने वाले सूत्रों का चयन है।

त्रिकोणमिति का उपयोग करना
त्रिकोणमिति के आवेदन के माध्यम से एक त्रिभुज की ऊंचाई पाई जा सकती है।

एसएएस को जानना: दाईं ओर छवि में लेबल का उपयोग करना, ऊंचाई है ।सूत्र में इसे प्रतिस्थापित करना $$T=\frac{1}{2}bh$$ ऊपर व्युत्पन्न, त्रिभुज के क्षेत्र को व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$T = \frac{1}{2}ab\sin \gamma = \frac{1}{2}bc\sin \alpha = \frac{1}{2}ca\sin \beta$$

(जहां α एक पर आंतरिक कोण है, b, B पर आंतरिक कोण है, $$\gamma$$ C पर आंतरिक कोण है और C लाइन 'AB' है)।

इसके अलावा, चूंकि पाप α = sin (α - α) = sin (( + (β +) $$\gamma$$), और इसी तरह अन्य दो कोणों के लिए:
 * $$T = \frac{1}{2}ab\sin (\alpha+\beta) = \frac{1}{2}bc\sin (\beta+\gamma) = \frac{1}{2}ca\sin (\gamma+\alpha).$$

एएएस को जानना:
 * $$T = \frac {b^{2}(\sin \alpha)(\sin (\alpha + \beta))}{2\sin \beta},$$

और एनालॉग रूप से यदि ज्ञात पक्ष ए या सी है।

एएसए को जानना:
 * $$T = \frac{a^{2}}{2(\cot \beta + \cot \gamma)} = \frac{a^{2} (\sin \beta)(\sin \gamma)}{2\sin(\beta + \gamma)},$$

और एनालॉग रूप से अगर ज्ञात पक्ष बी या सी है।

हेरॉन के सूत्र का उपयोग करना
त्रिभुज का आकार पक्षों की लंबाई से निर्धारित होता है।इसलिए, क्षेत्र को पक्षों की लंबाई से भी लिया जा सकता है।हेरॉन के सूत्र द्वारा:
 * $$T = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

कहाँ पे $$s= \tfrac{a+b+c}{2}$$ सेमीपेरिमेटर, या त्रिभुज परिधि का आधा हिस्सा है।

हेरॉन के फॉर्मूला लिखने के तीन अन्य समान तरीके हैं
 * $$T = \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}$$
 * $$T = \frac{1}{4} \sqrt{2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}$$
 * $$T = \frac{1}{4} \sqrt{(a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) (a+b+c)}.$$

वैक्टर का उपयोग करना
एक तीन विमीय यूक्लिडियन स्थान में एम्बेडेड एक समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र की गणना वैक्टर का उपयोग करके की जा सकती है।वैक्टर एबी और एसी बिंदु को क्रमशः                                   'दो' 'समांतर चतुर्भुज  ABDC  का क्षेत्र है
 * $$|\mathbf{AB}\times\mathbf{AC}|,$$

जो कि वैक्टर एबी और एसी के क्रॉस उत्पाद का परिमाण है।त्रिभुज एबीसी का क्षेत्र इसका आधा है,
 * $$\frac{1}{2}|\mathbf{AB}\times\mathbf{AC}|.$$

त्रिभुज एबीसी का क्षेत्र भी डॉट उत्पादों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$\frac{1}{2} \sqrt{(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AB})(\mathbf{AC} \cdot \mathbf{AC}) -(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC})^2} =\frac{1}{2} \sqrt{ |\mathbf{AB}|^2 |\mathbf{AC}|^2 -(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC})^2}.\,$$

दो-विमीय यूक्लिडियन स्थान में, वेक्टर एबी को कार्टेशियन स्पेस में एक मुक्त वेक्टर के रूप में व्यक्त करना ( x  के बराबर1,y1) and AC as (x2,y2), इसे फिर से लिखा जा सकता है:
 * $$\frac{1}{2}\,|x_1 y_2 - x_2 y_1|.\,$$

निर्देशांक का उपयोग करना
यदि वर्टेक्स ए एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के मूल (0, & nbsp; 0) पर स्थित है और अन्य दो कोने के निर्देशांक द्वारा दिए गए हैं and, तब क्षेत्र की गणना की जा सकती है $1/2$ निर्धारक के निरपेक्ष मूल्य का समय
 * $$T = \frac{1}{2}\left|\det\begin{pmatrix}x_B & x_C \\ y_B & y_C \end{pmatrix}\right| = \frac{1}{2}|x_B y_C - x_C y_B|.$$

तीन सामान्य कोने के लिए, समीकरण है:
 * $$T = \frac{1}{2} \left| \det\begin{pmatrix}x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \right| = \frac{1}{2} \big| x_A y_B - x_A y_C + x_B y_C - x_B y_A + x_C y_A - x_C y_B \big|,$$

जिसे के रूप में लिखा जा सकता है
 * $$T = \frac{1}{2} \big| (x_A - x_C) (y_B - y_A) - (x_A - x_B) (y_C - y_A) \big|.$$

यदि अंक को क्रमिक रूप से वामावर्त दिशा में लेबल किया जाता है, तो उपरोक्त निर्धारक अभिव्यक्तियाँ सकारात्मक हैं और निरपेक्ष मान संकेतों को छोड़ा जा सकता है। उपरोक्त सूत्र को शॉलेस फॉर्मूला या सर्वेयर के सूत्र के रूप में जाना जाता है।

यदि हम जटिल विमान में कोने का पता लगाते हैं और उन्हें वामावर्त अनुक्रम में निरूपित करते हैं, , and , और उनके जटिल संयुग्मों को निरूपित करें $$\bar a$$, $$\bar b$$, तथा $$\bar c$$, फिर सूत्र
 * $$T=\frac{i}{4}\begin{vmatrix}a & \bar a & 1 \\ b & \bar b & 1 \\ c & \bar c & 1 \end{vmatrix}$$

शॉलेस फॉर्मूला के बराबर है।

तीन आयामों में, एक सामान्य त्रिभुज का क्षेत्र, and ) तीन प्रमुख विमानों (यानी x = 0, y = 0 और z = 0) पर संबंधित अनुमानों के क्षेत्रों का पाइथागोरियन योग है:
 * $$T = \frac{1}{2} \sqrt{\begin{vmatrix} x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}^2 +

\begin{vmatrix} y_A & y_B & y_C \\ z_A & z_B & z_C \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} z_A & z_B & z_C \\ x_A & x_B & x_C \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}^2 }.$$

लाइन इंटीग्रल्स का उपयोग करना
किसी भी बंद वक्र के भीतर का क्षेत्र, जैसे कि एक त्रिभुज, बीजगणितीय के वक्र के चारों ओर अभिन्न रेखा द्वारा दिया जाता है या एक मनमाने ढंग से उन्मुख स्ट्रेट लाइन एल से वक्र पर एक बिंदु के हस्ताक्षरित दूरी को ओरिएंटेड के रूप में एल के दाईं ओर अंकित किया जाता है।एल से नकारात्मक दूरी पर लिया गया, जबकि इंटीग्रल के लिए वजन को आर्क लंबाई के बजाय आर्क लंबाई के समानांतर चाप लंबाई के घटक के रूप में लिया जाता है।

यह विधि एक मनमानी बहुभुज के क्षेत्र की गणना के लिए अच्छी तरह से अनुकूल है।एक्स-एक्सिस होने के लिए एल लेना, लगातार वर्टिस (एक्स) के बीच की रेखा अभिन्न अंगi,yi) and (x''i+1,y i+1) is given by the base times the mean height, namely (xi+1 − xi)(yi + yi+1)/2।क्षेत्र का संकेत ट्रैवर्सल की दिशा का एक समग्र संकेतक है, जिसमें नकारात्मक क्षेत्र वामावर्त ट्रैवर्सल का संकेत देता है।एक त्रिभुज का क्षेत्र फिर तीन पक्षों के साथ एक बहुभुज के मामले के रूप में बाहर गिर जाता है।

जबकि लाइन इंटीग्रल विधि अन्य समन्वय-आधारित तरीकों के साथ एक समन्वय प्रणाली की मनमानी विकल्प के साथ आम है, दूसरों के विपरीत यह त्रिभुज के शीर्ष या आधार के रूप में पक्ष के शीर्ष का कोई मनमाना विकल्प नहीं बनाता है।इसके अलावा, एल द्वारा परिभाषित समन्वय प्रणाली का विकल्प सामान्य तीन के बजाय केवल दो डिग्री स्वतंत्रता के लिए प्रतिबद्ध है, क्योंकि वजन एक स्थानीय दूरी है (जैसे। xi+1 − xi उपरोक्त में) जहां विधि को एल के लिए सामान्य अक्ष को चुनने की आवश्यकता नहीं है।

ध्रुवीय निर्देशांक में काम करते समय लाइन एकीकरण का उपयोग करने के लिए कार्टेशियन निर्देशांक में परिवर्तित करने के लिए आवश्यक नहीं है, क्योंकि लाइन लगातार वर्टिस के बीच अभिन्न अंग (आर (आर)i,θi) and (r''i+1,θ i+1) of a polygon is given directly by riri+1sin(θi+1 − θi)/2।यह θ के सभी मूल्यों के लिए मान्य है, संख्यात्मक सटीकता में कुछ कमी के साथ जब | θ |π से अधिक परिमाण के कई आदेश हैं।इस सूत्रीकरण के साथ नकारात्मक क्षेत्र दक्षिणावर्त ट्रैवर्सल को इंगित करता है, जिसे ध्रुवीय और कार्टेशियन निर्देशांक को मिलाकर ध्यान में रखा जाना चाहिए।बस y- अक्ष की पसंद के रूप में कार्टेशियन निर्देशांक में लाइन एकीकरण के लिए सारहीन है, इसलिए शून्य शीर्षक का विकल्प है  यहाँ सार।

सूत्र हेरोन के सूत्र से मिलता -जुलता है
तीन सूत्रों में हेरॉन के सूत्र के समान संरचना होती है, लेकिन विभिन्न चर के संदर्भ में व्यक्त की जाती है।सबसे पहले, पक्षों को ए, बी, और सी से क्रमशः एम के रूप में निरूपित करनाa, mb, and mc and their semi-sum (ma + mb + mc)/2 के रूप में, हमारे पास है
 * $$T = \frac{4}{3} \sqrt{\sigma (\sigma - m_a)(\sigma - m_b)(\sigma - m_c)}.$$

अगला, एच के रूप में क्रमशः ए, बी, और सी से ऊंचाई को दर्शाता हैa, hb, and hc, और ऊंचाई के पारस्परिकता के अर्ध-राशि को दर्शाते हुए $$H = (h_a^{-1} + h_b^{-1} + h_c^{-1})/2$$ अपने पास
 * $$T^{-1} = 4 \sqrt{H(H-h_a^{-1})(H-h_b^{-1})(H-h_c^{-1})}.$$

और कोणों के पापों के अर्ध-सम को दर्शाते हुए {{nowrap|S {{=}} [(पाप a) + (sin b) + (sin c)]/2}, हमारे पास है
 * $$T = D^{2} \sqrt{S(S-\sin \alpha)(S-\sin \beta)(S-\sin \gamma)}$$

जहां डी खतना का व्यास है: $$D=\tfrac{a}{\sin \alpha} = \tfrac{b}{\sin \beta} = \tfrac{c}{\sin \gamma}.$$

पिक के प्रमेय का उपयोग करना
किसी भी मनमाने ढंग से जाली बहुभुज के क्षेत्र को खोजने के लिए एक तकनीक के लिए पिक के प्रमेय को देखें (एक ग्रिड पर एक ग्रिड पर खींचा गया और समान दूरी पर क्षैतिज और क्षैतिज रूप से आसन्न जाली बिंदुओं के साथ, और जाली बिंदुओं पर वर्टिस के साथ)।

प्रमेय कहता है:
 * $$T = I + \frac{1}{2}B - 1$$

कहाँ पे$$I$$आंतरिक जाली बिंदुओं की संख्या है और बी बहुभुज की सीमा पर झूठ बोलने वाले जाली बिंदुओं की संख्या है।

अन्य क्षेत्र सूत्र
कई अन्य क्षेत्र के सूत्र मौजूद हैं, जैसे
 * $$T = r \cdot s,$$

जहां r inradius है, और S सेमीपेरिमेटर है (वास्तव में, यह सूत्र सभी स्पर्शरेखा बहुभुज के लिए रखता है), और


 * $$T=r_a(s-a)=r_b(s-b)=r_c(s-c)$$

कहाँ पे $$r_a, \, r_b,\, r_c$$ क्रमशः ए, बी, सी के लिए स्पर्शरेखाओं के उत्साही की रेडी हैं।

हमारे पास भी है


 * $$T = \frac{1}{2}D^{2}(\sin \alpha)(\sin \beta)(\sin \gamma)$$

तथा
 * $$T = \frac{abc}{2D} = \frac{abc}{4R}$$

circumdiameter d के लिए;तथा
 * $$T = \frac{\tan \alpha}{4}(b^{2}+c^{2}-a^{2})$$

कोण α ° 90 ° के लिए।

क्षेत्र को भी व्यक्त किया जा सकता है
 * $$T = \sqrt{rr_ar_br_c}.$$

1885 में, बेकर त्रिभुज के लिए सौ से अधिक अलग -अलग क्षेत्र के सूत्रों का संग्रह दिया।इसमे शामिल है:
 * $$T = \frac{1}{2}[abch_ah_bh_c]^{1/3},$$
 * $$T = \frac{1}{2} \sqrt{abh_ah_b},$$
 * $$T = \frac{a+b}{2(h_a^{-1} + h_b^{-1})},$$
 * $$T = \frac{Rh_bh_c}{a}$$

सर्कराडियस (खतना की त्रिज्या) आर के लिए, और
 * $$T = \frac{h_ah_b}{2 \sin \gamma}.$$

ऊपरी क्षेत्र पर बाउंड
परिधि पी के साथ किसी भी त्रिभुज का क्षेत्र टी संतुष्ट करता है


 * $$T\le \tfrac{p^2}{12\sqrt{3}},$$

समानता होल्डिंग के साथ अगर और केवल अगर त्रिभुज समबाहु है। <रेफ> रोसेनबर्ग, स्टीवन;स्पिलन, माइकल;और वुल्फ, डैनियल बी। क्षेत्र टी पर अन्य ऊपरी सीमाएं दी गई हैं


 * $$4\sqrt{3}T \leq a^2+b^2+c^2$$

तथा


 * $$4\sqrt{3}T \leq \frac{9abc}{a+b+c}, $$

दोनों फिर से पकड़े हुए हैं और केवल अगर त्रिकोण समबाहु है।

क्षेत्र को द्विभाजित करना
असीम रूप से कई लाइनें हैं जो एक त्रिभुज के क्षेत्र को काटती हैं। उनमें से तीन मूसियन हैं, जो एकमात्र क्षेत्र द्विभाजक हैं जो सेंट्रोइड से गुजरते हैं।तीन अन्य क्षेत्र द्विभाजक त्रिभुज पक्षों के समानांतर हैं।

एक त्रिभुज के माध्यम से कोई भी रेखा जो त्रिभुज के क्षेत्र और इसकी परिधि दोनों को आधे में विभाजित करती है, त्रिकोण के प्रोत्साहन के माध्यम से जाती है।किसी भी त्रिभुज के लिए इनमें से एक, दो या तीन हो सकते हैं।

सामान्य यूक्लिडियन त्रिकोण के लिए आगे के सूत्र
इस खंड में सूत्र सभी यूक्लिडियन त्रिकोणों के लिए सही हैं।

मेडियन, एंगल बिस्टेक्टर्स, लंबवत पक्ष द्विभाजक, और ऊंचाई
मध्यस्थों और पक्षों से संबंधित हैं
 * $$\frac{3}{4}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=m_a^{2}+m_b^{2}+m_c^{2}$$

and
 * $$m_a=\frac{1}{2} \sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}= \sqrt{\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})- \frac{3}{4}a^{2}}$$,

and equivalently for mb and mc.

For angle A opposite side a, the length of the internal angle bisector is given by
 * $$w_A = \frac{2 \sqrt{bcs(s-a)}}{b+c} = \sqrt{bc\left[1- \frac{a^{2}}{(b+c)^{2}}\right]} = \frac{2bc}{b+c}\cos \frac{A}{2}, $$

सेमीपेरिमेटर एस के लिए, जहां द्विभाजक लंबाई को वर्टेक्स से मापा जाता है, जहां यह विपरीत पक्ष से मिलता है।

आंतरिक लंबवत द्विभाजकों द्वारा दिया जाता है


 * $$p_a=\frac{2aT}{a^2+b^2-c^2},$$
 * $$p_b=\frac{2bT}{a^2+b^2-c^2},$$
 * $$p_c=\frac{2cT}{a^2-b^2+c^2},$$

जहां पक्ष हैं $$a \ge b \ge c$$ और क्षेत्र है $$T.$$

उदाहरण के लिए, ऊंचाई से, लंबाई का पक्ष है


 * $$h_a = \frac{2T}{a}.$$

सर्कराडियस और इन्रैडियस
निम्नलिखित सूत्रों में परिधि आर और इनराडियस आर शामिल हैं:
 * $$R = \sqrt{\frac{a^2b^2c^2}{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}};$$
 * $$r = \sqrt{\frac{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{4(a+b+c)}}; $$
 * $$\frac{1}{r} = \frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}$$

जहां एचaआदि सदस्यता वाले पक्षों के लिए ऊंचाई हैं;
 * $$\frac{r}{R} = \frac{4 T^{2}}{sabc} = \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma -1;$$

तथा
 * $$2Rr = \frac{abc}{a+b+c}$$।

एक त्रिभुज के दो पक्षों का उत्पाद तीसरी तरफ की ऊँचाई के बराबर होता है, जो कि खतना के व्यास डी के समय होता है: }


 * $$ab=h_cD, \quad \quad bc=h_aD, \quad ca=h_bD.$$

आसन्न त्रिकोण
मान लीजिए कि दो आसन्न लेकिन गैर-अतिव्यापी त्रिकोण लंबाई एफ के एक ही पक्ष को साझा करते हैं और एक ही खतना साझा करते हैं, ताकि लंबाई एफ का पक्ष खतना का एक कॉर्ड हो और त्रिकोणों की साइड लंबाई (ए, बी, एफ) और (सी (सी)।फिर
 * $$f^2 = \frac{(ac+bd)(ad+bc)}{(ab+cd)}. \,$$

सेंट्रोइड
चलो जी को वर्टिस ए, बी, और सी के साथ एक त्रिभुज का सेंट्रोइड होना चाहिए, और पी को किसी भी आंतरिक बिंदु पर होने दें।फिर बिंदुओं के बीच की दूरी से संबंधित हैं
 * $$(PA)^2 + (PB)^2 +(PC)^2 =(GA)^2 + (GB)^2 + (GC)^2 +3(PG)^2. \,$$

The sum of the squares of the triangle's sides equals three times the sum of the squared distances of the centroid from the vertices:


 * $$AB^2+BC^2+CA^2=3(GA^2+GB^2+GC^2).$$

और क्यूa, qb, and qcसेंट्रोइड से लंबाई ए, बी, और सी के किनारों तक की दूरी हो।फिर
 * $$ \frac{q_a}{q_b} = \frac{b}{a}, \quad \quad \frac{q_b}{q_c} = \frac{c}{b}, \quad \quad \frac{q_a}{q_c} = \frac{c}{a} \,$$

तथा
 * $$q_a \cdot a = q_b \cdot b = q_c \cdot c = \frac{2}{3} T \,$$

क्षेत्र के लिए टी।

परिधि, प्रोत्साहन, और ऑर्थोकेटर
कार्नोट के प्रमेय (इन्रैडियस, सर्कराडियस) | कार्नोट के प्रमेय में कहा गया है कि तीन पक्षों तक परिधि से दूरी का योग सर्कराडियस और इन्रैडियस के योग के बराबर होता है। यहाँ एक खंड की लंबाई को नकारात्मक माना जाता है यदि और केवल तभी जब खंड पूरी तरह से त्रिभुज के बाहर होता है।यह विधि विशेष रूप से त्रिकोणों के अधिक अमूर्त रूपों के गुणों को कम करने के लिए उपयोगी है, जैसे कि झूठ बीजगणितों से प्रेरित हैं, जो अन्यथा सामान्य त्रिकोण के समान गुण होते हैं।

ज्यामिति में यूलर का प्रमेय | यूलर के प्रमेय में कहा गया है कि परिधि और प्रोत्साहन के बीच की दूरी डी द्वारा दी गई है
 * $$\displaystyle d^2=R(R-2r)$$

या समकक्ष रूप से
 * $$\frac{1}{R-d} + \frac{1}{R+d} = \frac{1}{r},$$

जहां आर सर्कराडियस है और आर इनराडियस है।इस प्रकार सभी त्रिकोणों के लिए r or 2r, समबाहु त्रिकोण के लिए समानता के साथ।

यदि हम यह दर्शाते हैं कि ऑर्थोकेटर एक ऊंचाई को लंबाई यू और वी के खंडों में विभाजित करता है, तो खंड की लंबाई में एक और ऊंचाई डब्ल्यू और एक्स, और तीसरी ऊंचाई सेगमेंट की लंबाई y और z में, फिर uv = wx = yz। एक पक्ष से परिधि तक की दूरी विपरीत शीर्ष से ऑर्थोकेटर तक आधी दूरी के बराबर होती है। वर्टिस से ऑर्थोसेटर एच तक की दूरी के वर्गों का योग प्लस पक्षों के वर्गों का योग बारह गुना चौकोर के वर्ग के बराबर होता है:
 * $$AH^2+BH^2+CH^2+a^2+b^2+c^2=12R^2.$$

कोण
सिन के कानून के अलावा, किसी भी त्रिभुज के लिए, पहले दिए गए ट्राइजोनोमेट्रिक अस्तित्व की शर्तों के लिए कोसाइन्स, द लॉ ऑफ़ स्पर्शरेखा, और त्रिकोणमितीय अस्तित्व की स्थिति


 * $$a=b\cos C+c\cos B, \quad b=c\cos A+a\cos C, \quad c=a\cos B+b\cos A.$$

मॉर्ले का ट्रिसेक्टर प्रमेय
मॉर्ले के ट्रिसेक्टर प्रमेय में कहा गया है कि किसी भी त्रिभुज में, आसन्न कोण ट्रिसेक्टर्स के चौराहे के तीन बिंदु एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं, जिसे मॉर्ले त्रिकोण कहा जाता है।

शंकुधारी
जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, प्रत्येक त्रिभुज में एक विशिष्ट उत्कीर्ण सर्कल (incircle) होता है जो त्रिभुज के लिए इंटीरियर है और तीनों पक्षों के लिए स्पर्शरेखा है।

प्रत्येक त्रिभुज में एक विशिष्ट स्टीनर इनलिप्स होता है जो पक्षों के मध्य बिंदुओं पर त्रिभुज और स्पर्शरेखा के लिए इंटीरियर होता है।मार्डन के प्रमेय से पता चलता है कि इस दीर्घवृत्त के foci को कैसे ढूंढना है। इस दीर्घवृत्त के पास त्रिभुज के तीनों पक्षों के लिए किसी भी दीर्घवृत्त स्पर्शरेखा का सबसे बड़ा क्षेत्र है।

एक त्रिभुज का मंडलीय inellipse त्रिभुज स्पर्शरेखा के भीतर खुदा हुआ दीर्घवृत्त है, जो अपने उत्साह के संपर्क बिंदुओं पर है।

एक त्रिभुज एबीसी में अंकित किसी भी दीर्घवृत्त के लिए, foci को P और Q होने दें।

$$\frac{\overline{PA} \cdot \overline{QA}}{\overline{CA} \cdot \overline{AB}} + \frac{\overline{PB} \cdot \overline{QB}}{\overline{AB} \cdot \overline{BC}} + \frac{\overline{PC} \cdot \overline{QC}}{\overline{BC} \cdot \overline{CA}} = 1.$$

उत्तल बहुभुज
क्षेत्र टी के साथ प्रत्येक उत्तल बहुभुज को 2T के बराबर क्षेत्र के एक त्रिभुज में अंकित किया जा सकता है।समानता एक समांतर चतुर्भुज के लिए (विशेष रूप से) है।

हेक्सागोन
Lemoine Hexagon एक चक्रीय षट्भुज है, जिसमें तीन पंक्तियों के साथ एक त्रिभुज के पक्षों के छह चौराहों द्वारा दिए गए कोने के साथ वर्टिस है जो पक्षों के समानांतर हैं और जो इसके सिम्मेडियन बिंदु से गुजरते हैं।या तो इसके बहुभुज#उत्तलता और गैर-उत्तलता के प्रकारों में। सरल रूप या इसके आत्म-इनसेक्टिंग फॉर्म, लेमोइन हेक्सागोन त्रिभुज के प्रत्येक तरफ दो कोने के साथ त्रिभुज के लिए आंतरिक है।

वर्ग
प्रत्येक तीव्र त्रिभुज में तीन अंकित वर्ग होते हैं (इसके इंटीरियर में वर्ग ऐसे होते हैं जैसे कि एक वर्ग के सभी चार कोने त्रिकोण के एक तरफ होते हैं, इसलिए उनमें से दो एक ही तरफ झूठ बोलते हैं और इसलिए वर्ग का एक पक्ष एक पक्ष के हिस्से के साथ मेल खाता हैत्रिभुज की)।एक दाहिने त्रिभुज में दो वर्गों के मेल खाते हैं और त्रिभुज के सही कोण पर एक शीर्ष होता है, इसलिए एक सही त्रिभुज में केवल दो अलग -अलग अंकित वर्ग होते हैं।एक obtuse त्रिभुज में केवल एक अंकित वर्ग होता है, जिसमें त्रिभुज के सबसे लंबे पक्ष के हिस्से के साथ एक पक्ष होता है।किसी दिए गए त्रिभुज के भीतर, एक लंबा सामान्य पक्ष एक छोटे से अंकित वर्ग के साथ जुड़ा हुआ है।यदि एक अंकित वर्ग की लंबाई q हैa and the triangle has a side of length a, part of which side coincides with a side of the square, then qa, a, the altitude haसाइड ए से, और त्रिभुज क्षेत्र टी के अनुसार संबंधित हैं
 * $$q_a=\frac{2Ta}{a^2+2T}=\frac{ah_a}{a+h_a}.$$

त्रिभुज के क्षेत्र में अंकित वर्ग के क्षेत्र का सबसे बड़ा संभव अनुपात 1/2 है, जो तब होता है जब होता है, , और लंबाई A के आधार से त्रिभुज की ऊंचाई A के बराबर है।एक अंकित वर्ग के पक्ष का सबसे छोटा संभव अनुपात एक ही गैर-ऑब्यूज त्रिभुज में दूसरे के किनारे पर है $$2\sqrt{2}/3 = 0.94....$$ ये दोनों चरम मामले समस्थानिक सही त्रिभुज के लिए होते हैं।

त्रिकोण
एक संदर्भ त्रिभुज में एक आंतरिक बिंदु से, तीन पक्षों पर निकटतम बिंदु उस बिंदु के पेडल त्रिभुज के कोने के रूप में काम करते हैं।यदि आंतरिक बिंदु संदर्भ त्रिभुज का परिधि है, तो पेडल त्रिभुज के कोने संदर्भ त्रिभुज के पक्षों के मध्य बिंदु हैं, और इसलिए पेडल त्रिभुज को मिडपॉइंट त्रिकोण या औसत दर्जे का त्रिकोण कहा जाता है।मिडपॉइंट त्रिभुज संदर्भ त्रिभुज को चार बधाई वाले त्रिकोणों में विभाजित करता है जो संदर्भ त्रिकोण के समान हैं।

एक संदर्भ त्रिभुज के Gergonne त्रिभुज या Intouch त्रिभुज के संदर्भ त्रिभुज के पक्षों के तीन बिंदुओं पर इसके incircle के साथ अपने कोने हैं।एक संदर्भ त्रिभुज के एक्सटॉच त्रिभुज में अपने पक्षों के साथ संदर्भ त्रिभुज के उत्साह के टंगेंसी के बिंदुओं पर इसके वर्टिस हैं (विस्तारित नहीं)।

आंकड़े एक त्रिभुज के बारे में परिचालित
एक संदर्भ त्रिभुज का स्पर्शरेखा त्रिभुज (एक सही त्रिभुज के अलावा) त्रिभुज है, जिसके किनारे अपने वर्टिस पर संदर्भ त्रिभुज के खतना के स्पर्शरेखा रेखाओं पर हैं।

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, प्रत्येक त्रिभुज में एक विशिष्ट खतना होता है, जो तीनों कोने से गुजरता है, जिसका केंद्र त्रिभुज के पक्षों के लंबवत द्विभाजकों का चौराहा है।

इसके अलावा, प्रत्येक त्रिभुज में एक विशिष्ट स्टीनर सर्किलिप्स होता है, जो त्रिभुज के कोने से होकर गुजरता है और इसका केंद्र त्रिभुज के सेंट्रोइड में होता है।त्रिभुज के कोने से गुजरने वाले सभी दीर्घवृत्तों में से सबसे छोटा क्षेत्र है।

कीपर्ट हाइपरबोला विशिष्ट शंकु है जो त्रिभुज के तीन वर्टिस, इसके सेंट्रोइड और इसके परिधि से होकर गुजरता है।

किसी दिए गए उत्तल बहुभुज में निहित सभी त्रिकोणों में से, अधिकतम क्षेत्र के साथ एक त्रिकोण मौजूद है, जिसके कोने दिए गए बहुभुज के सभी कोने हैं।

एक त्रिभुज में एक बिंदु का स्थान निर्दिष्ट करना
एक त्रिभुज में (या बाहर) बिंदुओं के स्थानों की पहचान करने का एक तरीका यह है कि त्रिभुज को एक मनमाना स्थान और कार्टेशियन विमान में अभिविन्यास में रखा जाए, और कार्टेशियन निर्देशांक का उपयोग किया जाए।कई उद्देश्यों के लिए सुविधाजनक रहते हुए, इस दृष्टिकोण में सभी बिंदुओं के समन्वय मूल्यों का नुकसान है, जो विमान में मनमानी प्लेसमेंट पर निर्भर हैं।

दो सिस्टम उस सुविधा से बचते हैं, ताकि एक बिंदु के निर्देशांक त्रिभुज को स्थानांतरित करने, इसे घुमाने, या इसे दर्पण के रूप में प्रतिबिंबित करने से प्रभावित न हों, जिनमें से कोई भी एक बधाई त्रिभुज देता है, या यहां तक कि एक समान त्रिकोण देने के लिए इसे फिर से तैयार करके:
 * ट्रिलिनियर निर्देशांक पक्षों से एक बिंदु की सापेक्ष दूरी को निर्दिष्ट करता है, ताकि निर्देशांक हो $$x : y : z$$ इंगित करें कि पहली तरफ से बिंदु की दूरी का अनुपात दूसरी तरफ से उसकी दूरी तक है $$x : y $$, आदि।
 * फॉर्म के बेरिएंटिक निर्देशांक $$\alpha :\beta :\gamma$$ सापेक्ष वेट द्वारा बिंदु के स्थान को निर्दिष्ट करें जो दिए गए बिंदु पर अन्यथा भारहीन त्रिभुज को संतुलित करने के लिए तीन वर्टिस पर रखना होगा।

गैर-प्लानर त्रिकोण
एक गैर-प्लानर त्रिभुज एक त्रिभुज है जो एक (फ्लैट) विमान में निहित नहीं है।गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति में गैर-प्लानर त्रिकोण के कुछ उदाहरण गोलाकार ज्यामिति में गोलाकार त्रिकोण और हाइपरबोलिक ज्यामिति में हाइपरबोलिक त्रिकोण हैं।

जबकि प्लानर त्रिकोणों में आंतरिक कोणों के उपाय हमेशा 180 ° तक होते हैं, एक हाइपरबोलिक त्रिकोण में कोणों के उपाय होते हैं जो 180 ° से कम होते हैं, और एक गोलाकार त्रिकोण में कोणों के उपाय होते हैं जो 180 ° से अधिक होते हैं।एक हाइपरबोलिक त्रिभुज को नकारात्मक रूप से घुमावदार सतह पर ड्राइंग करके प्राप्त किया जा सकता है, जैसे कि एक काठी की सतह, और एक गोलाकार त्रिकोण को एक गोलाकार रूप से घुमावदार सतह पर ड्राइंग करके प्राप्त किया जा सकता है जैसे कि एक क्षेत्र।इस प्रकार, यदि कोई पृथ्वी की सतह पर एक विशाल त्रिभुज खींचता है, तो कोई पाएगा कि उसके कोणों के उपायों का योग 180 ° से अधिक है;वास्तव में यह 180 ° और 540 ° के बीच होगा। विशेष रूप से यह एक गोले पर एक त्रिभुज खींचना संभव है जैसे कि इसके प्रत्येक आंतरिक कोणों का माप 90 ° के बराबर है, कुल 270 ° तक जोड़ता है।

विशेष रूप से, एक क्षेत्र पर एक त्रिभुज के कोणों का योग है
 * 180 ° × (1 + 4f),

जहां f क्षेत्र के क्षेत्र का अंश है जो त्रिभुज द्वारा संलग्न है।उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हम उत्तरी ध्रुव पर वर्टिस के साथ पृथ्वी की सतह पर एक त्रिभुज खींचते हैं, भूमध्य रेखा पर 0 ° देशांतर पर एक बिंदु पर, और 90 वें मेरिडियन पश्चिम में भूमध्य रेखा पर एक बिंदु | 90 ° पश्चिम देशांतर।बाद के दो बिंदुओं के बीच ग्रेट सर्कल लाइन भूमध्य रेखा है, और उन बिंदुओं और उत्तरी ध्रुव के बीच ग्रेट सर्कल लाइन देशांतर की एक पंक्ति है;तो भूमध्य रेखा पर दो बिंदुओं पर समकोण हैं।इसके अलावा, उत्तरी ध्रुव पर का कोण भी 90 ° है क्योंकि अन्य दो कोने देशांतर के 90 ° से भिन्न होते हैं।तो इस त्रिभुज में कोणों का योग है 90° + 90° + 90° = 270 °।त्रिभुज उत्तरी गोलार्ध के 1/4 (90 °/360 ° उत्तरी ध्रुव से देखा गया) और इसलिए पृथ्वी की सतह के 1/8 को संलग्न करता है, इसलिए सूत्र में ;इस प्रकार सूत्र सही ढंग से 270 ° के रूप में त्रिभुज के कोणों का योग देता है।

उपरोक्त कोण योग सूत्र से हम यह भी देख सकते हैं कि पृथ्वी की सतह स्थानीय रूप से सपाट है: यदि हम पृथ्वी की सतह पर एक बिंदु के पड़ोस में एक मनमाने ढंग से छोटे त्रिभुज को आकर्षित करते हैं, तो पृथ्वी की सतह का अंश एफ जो त्रिभुज से घिरा हुआ हैमनमाने ढंग से शून्य के करीब रहें।इस मामले में कोण योग फॉर्मूला 180 ° तक सरल हो जाता है, जो हम जानते हैं कि यूक्लिडियन ज्यामिति हमें एक सपाट सतह पर त्रिकोण के लिए बताती है।

निर्माण में त्रिभुज
इमारतों के लिए आयताकार सबसे लोकप्रिय और सामान्य ज्यामितीय रूप रहा है क्योंकि आकार को भरना और व्यवस्थित करना आसान है; एक मानक के रूप में, आयताकार आकार की इमारतों के अंदर फिट होने के लिए फर्नीचर और स्थिर वस्तुओं का निर्माण करना आसान है। लेकिन त्रिकोण, जबकि अवधारणात्मक रूप से उपयोग करना अधिक कठिन होता है, बहुत अधिक शक्ति प्रदान करते हैं। चूंकि संगणक (कंप्यूटर) तकनीक शिल्पकार (आर्किटेक्ट्स) को रचनात्मक नई इमारतों को डिजाइन करने में मदद करती है, त्रिकोणीय आकार इमारतों के कुछ हिस्सों के रूप में और कुछ प्रकार के गगनचुंबी इमारतों के साथ-साथ निर्माण सामग्री के लिए प्राथमिक आकार के रूप में प्रचलित हो रहे हैं। 1989 में टोक्यो में, शिल्पकार (आर्किटेक्ट्स) ने सोचा कि क्या इस घनी आबादी वाले शहर के लिए किफायती कार्यालय स्थान प्रदान करने के लिए 500-मंजिला टॉवर का निर्माण करना संभव है, लेकिन भूकंप से इमारतों को होने वाले खतरे को देखते हुए, शिल्पकार (आर्किटेक्ट्स) का मानना था कि यदि ऐसी इमारत का निर्माण किया जाता है तो एक त्रिकोणीय आकार आवश्यक होगा।

न्यू यॉर्क शहर में, जब ब्रॉडवे प्रमुख रास्तों को पार करता है, तो परिणामी ब्लॉकों को त्रिकोण की तरह काटा जाता है, और इन आकृतियों पर इमारतों का निर्माण किया जाता है; ऐसी ही एक इमारत त्रिकोणीय आकार की फ्लैटिरॉन इमारत है, जिसे रियल एस्टेट के लोग मानते हैं कि इसमें "अजीब जगहों का एक वार्न है जो आसानी से आधुनिक कार्यालय फर्नीचर को समायोजित नहीं करता है" लेकिन इसने संरचना को एक ऐतिहासिक प्रतीक बनने से नहीं रोका है। डिजाइनरों ने नॉर्वे में त्रिकोणीय विषयों का उपयोग करके घर बनाए हैं। त्रिकोण आकार चर्चों के साथ-साथ कॉलेजों सहित सार्वजनिक भवनों में दिखाई दिए हैं और साथ ही नवीन घरेलू डिजाइनों के लिए समर्थन भी।

त्रिभुज मजबूत होते हैं; जबकि एक आयत दबाव से अपने किसी एक बिंदु तक समांतर चतुर्भुज में ढह सकता है, त्रिभुजों में एक प्राकृतिक ताकत होती है जो पार्श्व दबावों के खिलाफ संरचनाओं का समर्थन करती है। एक त्रिभुज का आकार तब तक नहीं बदलेगा जब तक कि उसकी भुजाएँ मुड़ी हुई या विस्तारित या टूटी न हों या यदि उसके जोड़ टूट न जाएँ; संक्षेप में, तीनों में से प्रत्येक पक्ष अन्य दो का समर्थन करता है। एक आयत, इसके विपरीत, संरचनात्मक अर्थों में अपने जोड़ों की मजबूती पर अधिक निर्भर है। कुछ नवोन्मेषी डिजाइनरों ने ईंटों को आयतों से नहीं, बल्कि त्रिकोणीय आकृतियों के साथ बनाने का प्रस्ताव दिया है जिसे तीन आयामों में जोड़ा जा सकता है। यह संभावना है कि जैसे-जैसे वास्तुकला जटिलता में वृद्धि होगी, त्रिभुजों का नए तरीकों से अधिकाधिक उपयोग किया जाएगा। यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि त्रिभुज कठोरता के मामले में मजबूत होते हैं, लेकिन एक टेसेलेटिंग व्यवस्था में पैक होने पर त्रिभुज संपीड़न के तहत हेक्सागोन के रूप में मजबूत नहीं होते हैं (इसलिए प्रकृति में हेक्सागोनल रूपों का प्रसार)। टेस्सेलेटेड त्रिकोण अभी भी कैंटिलीवरिंग के लिए बेहतर ताकत बनाए रखते हैं, और यह सबसे मजबूत मानव निर्मित संरचनाओं में से एक का आधार है, टेट्राहेड्रल ट्रस।

यह भी देखें

 * अपोलोनियस 'प्रमेय
 * बधाई (ज्यामिति)
 * Desargues 'प्रमेय
 * ड्रैगन की आंख (प्रतीक)
 * फ़र्मेट पॉइंट
 * हैडविगर -फिन्सलर असमानता
 * हेरोनियन त्रिभुज
 * पूर्णांक त्रिभुज
 * कोसाइन का नियम
 * सिन का नियम
 * स्पर्शरेखा का नियम
 * लेस्टर का प्रमेय
 * त्रिकोण असमानताओं की सूची
 * त्रिकोण विषयों की सूची
 * आधुनिक त्रिकोण ज्यामिति
 * ओनो की असमानता
 * पेडल ट्रायंगल
 * पेडो की असमानता
 * पाइथागोरस प्रमेय
 * विशेष सही त्रिकोण
 * त्रिभुज केंद्र
 * त्रिकोणीय संख्या
 * त्रिकोणीय श्रेणी
 * त्रिभुज (टोपोलॉजी)

बाहरी संबंध

 * Clark Kimberling: Encyclopedia of triangle centers. Lists some 5200 interesting points associated with any triangle.
 * Clark Kimberling: Encyclopedia of triangle centers. Lists some 5200 interesting points associated with any triangle.