एर्गोडिक सिद्धांत

अभ्यतिप्राय सिद्धांत (यूनानी- ἔργον अर्ग "कार्य", ὁδός हॉडोस "वे") गणित की एक शाखा है जो नियतात्मक गतिशील प्रणालियों के सांख्यिकीय गुणों का अध्ययन करती है यह अभ्यतिप्रायता का अध्ययन है। इस संदर्भ में, सांख्यिकीय गुणों का अर्थ उन गुणों से है जो गतिशील प्रणालियों के प्रक्षेप पथों के साथ विभिन्न फलनों के समय औसत के व्यवहार के माध्यम से व्यक्त किए जाते हैं। नियतात्मक गतिशील प्रणालियों की धारणा यह मानती है कि गतिकी का निर्धारण करने वाले समीकरणों में कोई यादृच्छिक गड़बड़ी, ध्वनि आदि नहीं होती है। इस प्रकार, जिन आँकड़ों से हमारा संबंध है, वे गतिकी के गुण हैं।

अभ्यतिप्राय सिद्धांत, संभाव्यता सिद्धांत की तरह, माप सिद्धांत की सामान्य धारणाओं पर आधारित है। इसका आरंभिक विकास सांख्यिकीय भौतिकी की समस्याओं से प्रेरित था।

अभ्यतिप्राय सिद्धांत की एक केंद्रीय चिंता गतिशील प्रणाली का व्यवहार है जब इसे लंबे समय तक चलने की अनुमति दी जाती है। इस दिशा में पहला परिणाम पोंकारे पुनरावृत्ति प्रमेय है, जो दावा करती है कि चरण स्थान के किसी भी उपसमुच्चय में लगभग सभी बिंदु अंततः समुच्चय पर फिर से आते हैं। वे प्रणालियाँ जिनके लिए पोंकारे पुनरावर्तन प्रमेय धारण करता है, संरक्षी प्रणालियाँ हैं इस प्रकार सभी अभ्यतिप्राय प्रणालियाँ संरक्षी हैं।

अधिक सटीक जानकारी विभिन्न 'एर्गोडिक प्रमेय' द्वारा प्रदान की जाती है जो दावा करती है कि, कुछ शर्तों के तहत, ट्रैजेक्टोरियों के साथ एक फ़ंक्शन का समय औसत लगभग हर जगह मौजूद होता है और अंतरिक्ष औसत से संबंधित होता है। जॉर्ज डेविड बिरखॉफ (1931) और जॉन वॉन न्यूमैन के दो सबसे महत्वपूर्ण प्रमेय हैं जो प्रत्येक प्रक्षेपवक्र के साथ एक समय औसत के अस्तित्व पर जोर देते हैं। 'एर्गोडिक सिस्टम्स' के विशेष वर्ग के लिए, इस बार औसत लगभग सभी शुरुआती बिंदुओं के लिए समान है: सांख्यिकीय रूप से कहा जाए तो जो सिस्टम लंबे समय तक विकसित होता है, वह अपनी प्रारंभिक स्थिति को भूल जाता है। मिश्रण (गणित) और समवितरण जैसे मजबूत गुणों का भी बड़े पैमाने पर अध्ययन किया गया है।

प्रणालियों के मीट्रिक वर्गीकरण की समस्या अमूर्त एर्गोडिक सिद्धांत का एक और महत्वपूर्ण हिस्सा है। गतिशील प्रणालियों के लिए माप-सैद्धांतिक एंट्रॉपी के विभिन्न विचारों द्वारा एर्गोडिक सिद्धांत और स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं के लिए इसके अनुप्रयोगों में एक उत्कृष्ट भूमिका निभाई जाती है।

एर्गोडिसिटी और एर्गोडिक परिकल्पना की अवधारणाएं एर्गोडिक सिद्धांत के अनुप्रयोगों के लिए केंद्रीय हैं। अंतर्निहित विचार यह है कि कुछ प्रणालियों के लिए उनके गुणों का समय औसत पूरे स्थान पर औसत के बराबर होता है। गणित के अन्य भागों में एर्गोडिक सिद्धांत के अनुप्रयोग में आमतौर पर विशेष प्रकार की प्रणालियों के लिए एर्गोडिसिटी गुण स्थापित करना शामिल होता है। ज्यामिति में, एर्गोडिक सिद्धांत के तरीकों का उपयोग रीमैनियन कई गुना पर जियोडेसिक प्रवाह का अध्ययन करने के लिए किया गया है, जो नकारात्मक वक्रता के रीमैन सतहों के लिए एबरहार्ड हॉफ के परिणामों से शुरू होता है। संभाव्यता सिद्धांत में अनुप्रयोगों के लिए मार्कोव श्रृंखला एक सामान्य संदर्भ बनाती है। एर्गोडिक सिद्धांत में हार्मोनिक विश्लेषण, झूठ सिद्धांत (प्रतिनिधित्व सिद्धांत, बीजगणितीय समूहों में जाली (असतत उपसमूह)), और संख्या सिद्धांत (डायोफैंटिन सन्निकटन का सिद्धांत, एल कार्यों) के साथ उपयोगी संबंध हैं।

एर्गोडिक परिवर्तन
एर्गोडिक सिद्धांत अक्सर एर्गोडिक परिवर्तनों से संबंधित होता है। ऐसे परिवर्तनों के पीछे अंतर्ज्ञान, जो किसी दिए गए सेट पर कार्य करते हैं, यह है कि वे उस सेट के तत्वों को हिलाकर पूरी तरह से काम करते हैं। उदा. यदि सेट एक कटोरी में गर्म दलिया की मात्रा है, और यदि एक चम्मच सिरप कटोरे में गिरा दिया जाता है, तो दलिया के एक एर्गोडिक परिवर्तन के व्युत्क्रम की पुनरावृत्ति सिरप को स्थानीय उप-क्षेत्र में रहने की अनुमति नहीं देगी। दलिया, लेकिन चाशनी को समान रूप से वितरित करेगा। साथ ही, ये पुनरावृत्तियां दलिया के किसी भी हिस्से को संकुचित या विस्तारित नहीं करेंगी: वे उस माप को संरक्षित करते हैं जो घनत्व है।

औपचारिक परिभाषा इस प्रकार है:

होने देना $T : X &rarr; X$ माप स्थान पर माप-संरक्षण परिवर्तन हो $(X, Σ, μ)$, साथ $μ(X) = 1$. तब $T$ एर्गोडिक है अगर हर के लिए $E$ में $Σ$ साथ $μ(T^{−1}(E) Δ E) = 0$, दोनों में से एक $μ(E) = 0$ या $μ(E) = 1$.

ऑपरेटर Δ यहां सेट का सममित अंतर है, अनन्य के बराबर-या सेट सदस्यता के संबंध में ऑपरेशन। शर्त यह है कि सममित अंतर माप शून्य हो, अनिवार्य रूप से अपरिवर्तनीय कहा जाता है।

उदाहरण
* वृत्त समूह R/Z, T: x → x + θ, जहां θ अपरिमेय संख्या है, का अपरिमेय घूर्णन एर्गोडिक है। इस परिवर्तन में अद्वितीय ergodicity, न्यूनतम गतिशील प्रणाली और समान वितरण के और भी मजबूत गुण हैं। इसके विपरीत, यदि θ = p/q तर्कसंगत है (न्यूनतम शब्दों में) तो T आवधिक है, अवधि 'q'' के साथ, और इस प्रकार एर्गोडिक नहीं हो सकता है: लंबाई ए, 0 <ए <1/क्यू के किसी भी अंतराल के लिए, टी के तहत इसकी कक्षा (यानी, आई, टी (आई), ..., टी का संघq−1(I), जिसमें T के किसी भी संख्या में अनुप्रयोगों के तहत I की छवि शामिल है) एक T-इनवेरिएंट मॉड 0 सेट है जो लंबाई a के q अंतराल का एक संघ है, इसलिए इसमें qa को सख्ती से मापता है 0 और 1 के बीच।
 * जी को एक कॉम्पैक्ट समूह एबेलियन समूह होने दें, μ सामान्यीकृत हार माप, और टी जी का समूह ऑटोमोर्फिज्म। जी को पोंट्रीगिन दोहरी समूह होने दें, जिसमें जी के निरंतर चरित्र (गणित) शामिल हैं, और टी * संबंधित हो G* का संलग्न स्वचलन। ऑटोमोर्फिज्म टी एर्गोडिक है अगर और केवल अगर समानता (टी *)n(χ) = χ केवल तभी संभव है जब n = 0 या χ G का तुच्छ चरित्र है। विशेष रूप से, यदि G n-आयामी टोरस समूह है और ऑटोमोर्फिज्म T को एक यूनिमॉड्यूलर मैट्रिक्स A द्वारा दर्शाया गया है तो टी एर्गोडिक है अगर और केवल अगर ए का कोई eigenvalue एकता की जड़ नहीं है।
 * एक बरनौली पारी एर्गोडिक है। अधिक आम तौर पर, i.i.d के अनुक्रम से जुड़े बदलाव परिवर्तन की ergodicity। यादृच्छिक चर और कुछ और सामान्य स्थिर प्रक्रियाएँ कोलमोगोरोव के शून्य-एक नियम का अनुसरण करती हैं।
 * एक निरंतर गतिशील प्रणाली की एर्गोडिसिटी का अर्थ है कि इसके प्रक्षेपवक्र चरण स्थान के चारों ओर फैलते हैं। कॉम्पैक्ट फेज स्पेस वाली एक प्रणाली जिसमें एक गैर-निरंतर पहला इंटीग्रल है, वह एर्गोडिक नहीं हो सकता है। यह विशेष रूप से, हैमिल्टनियन प्रणाली पर लागू होता है, जिसमें पहला अभिन्न I कार्यात्मक रूप से हैमिल्टन फ़ंक्शन H से स्वतंत्र होता है और निरंतर ऊर्जा का एक कॉम्पैक्ट स्तर सेट X = {(p, q): H (p, q) = E} होता है। लिउविल की प्रमेय (हैमिल्टनियन) | लिउविल की प्रमेय का तात्पर्य एक्स पर एक परिमित अपरिवर्तनीय माप के अस्तित्व से है, लेकिन सिस्टम की गतिशीलता एक्स पर I के स्तर सेट तक ही सीमित है, इसलिए सिस्टम में सकारात्मक लेकिन पूर्ण माप से कम के अपरिवर्तनीय सेट होते हैं। निरंतर गतिशील प्रणालियों की एक संपत्ति जो एर्गोडिसिटी के विपरीत है, एकीकृत प्रणाली है।

एर्गोडिक प्रमेय
चलो टी: एक्स → एक्स माप स्थान (एक्स, Σ, μ) पर माप-संरक्षण परिवर्तन हो और मान लें कि ƒ एक μ-पूर्णांक समारोह है, यानी ƒ ∈ एल1(μ). फिर हम निम्नलिखित औसत परिभाषित करते हैं:

'समय औसत:' इसे कुछ शुरुआती बिंदु x से शुरू होने वाले टी के पुनरावृत्तियों पर औसत (यदि यह मौजूद है) के रूप में परिभाषित किया गया है:


 * $$ \hat f(x) = \lim_{n\rightarrow\infty}\;  \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f(T^k x).$$

अंतरिक्ष औसत: यदि μ(X) परिमित और गैर-शून्य है, तो हम ƒ के अंतरिक्ष या चरण औसत पर विचार कर सकते हैं:


 * $$ \bar f =\frac 1{\mu(X)} \int f\,d\mu.\quad\text{ (For a probability space, } \mu(X)=1.) $$

सामान्य तौर पर समय औसत और अंतरिक्ष औसत भिन्न हो सकते हैं। लेकिन अगर परिवर्तन ergodic है, और माप अपरिवर्तनीय है, तो समय औसत लगभग हर जगह अंतरिक्ष औसत के बराबर होता है। जॉर्ज डेविड बिरखॉफ के कारण अमूर्त रूप में यह प्रसिद्ध एर्गोडिक प्रमेय है। (दरअसल, बिरखॉफ का शोधपत्र अमूर्त सामान्य मामले पर विचार नहीं करता है, बल्कि केवल एक चिकनी कई गुना अंतर समीकरणों से उत्पन्न होने वाली गतिशील प्रणालियों का मामला है।) समवितरण प्रमेय एर्गोडिक प्रमेय का एक विशेष मामला है, जो विशेष रूप से इकाई पर संभावनाओं के वितरण से निपटता है। मध्यान्तर।

अधिक सटीक रूप से, बिंदुवार या मजबूत एर्गोडिक प्रमेय बताता है कि ƒ के औसत समय की परिभाषा में सीमा लगभग हर 'एक्स' के लिए मौजूद है और यह कि (लगभग हर जगह परिभाषित) सीमा समारोह $$\hat f $$ पूर्णांक है:


 * $$\hat f \in L^1(\mu). \, $$

आगे, $$\hat f$$ टी-इनवेरिएंट है, ऐसा कहना है


 * $$\hat f \circ T= \hat f \, $$

लगभग हर जगह धारण करता है, और यदि μ(X) परिमित है, तो सामान्यीकरण समान है:


 * $$\int \hat f\, d\mu = \int f\, d\mu.$$

विशेष रूप से, यदि टी एर्गोडिक है, तो $$\hat f $$ एक स्थिर होना चाहिए (लगभग हर जगह), और इसलिए किसी के पास वह है


 * $$\bar f = \hat f \, $$

लगभग हर जगह। पहले से अंतिम दावे में शामिल होना और यह मानते हुए कि μ(X) परिमित और अशून्य है, एक के पास वह है


 * $$\lim_{n\rightarrow\infty}\; \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f(T^k x) = \frac 1 {\mu(X)} \int f\,d\mu $$

लगभग सभी x के लिए, यानी, Lebesgue माप शून्य के एक सेट को छोड़कर सभी x के लिए।

एक एर्गोडिक परिवर्तन के लिए, समय औसत लगभग निश्चित रूप से अंतरिक्ष औसत के बराबर होता है।

एक उदाहरण के रूप में, मान लीजिए कि माप स्थान (एक्स, Σ, μ) उपरोक्त के रूप में गैस के कणों को मॉडल करता है, और ƒ(x) स्थिति x पर कण के वेग को दर्शाता है। फिर बिंदुवार एर्गोडिक प्रमेय कहता है कि किसी निश्चित समय पर सभी कणों का औसत वेग समय के साथ एक कण के औसत वेग के बराबर होता है।

बिरखॉफ के प्रमेय का एक सामान्यीकरण किंगमैन का सबएडिटिव एर्गोडिक प्रमेय है।

संभाव्य सूत्रीकरण: बिरशॉफ-खिनचिन प्रमेय
बिरखॉफ-खिनचिन प्रमेय। ƒ को मापने योग्य होने दें, E(|ƒ|) < ∞, और T एक माप-संरक्षण मानचित्र बनें। तब लगभग निश्चित रूप से:


 * $$\lim_{n\rightarrow\infty}\; \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f(T^k x)=E(f \mid \mathcal{C})(x),$$

कहाँ $$E(f|\mathcal{C})$$ सशर्त अपेक्षा है जिसे σ-बीजगणित दिया गया है $$\mathcal{C}$$ T के अपरिवर्तनीय सेटों की।

'परिणाम' ('प्वाइंटवाइज एर्गोडिक प्रमेय'): विशेष रूप से, यदि टी भी एर्गोडिक है, तो $$\mathcal{C}$$ तुच्छ σ-बीजगणित है, और इस प्रकार प्रायिकता 1 के साथ:


 * $$\lim_{n\rightarrow\infty}\; \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f(T^k x)=E(f).$$

मीन एर्गोडिक प्रमेय
वॉन न्यूमैन का मीन एर्गोडिक प्रमेय, हिल्बर्ट स्पेस में है। U को हिल्बर्ट अंतरिक्ष H पर एक एकात्मक संचालिका होने दें; अधिक आम तौर पर, एक आइसोमेट्रिक लीनियर ऑपरेटर (अर्थात, एच में सभी एक्स के लिए ‖Ux‖ = ‖x‖ को संतुष्ट करने वाला आवश्यक रूप से विशेषण रैखिक ऑपरेटर नहीं है, या समकक्ष, U*U = I को संतुष्ट करता है, लेकिन जरूरी नहीं कि UU* = I)। P को {ψ ∈ H | पर ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण होने दें यूψ = ψ} = केर (आई - यू)।

फिर, एच में किसी भी एक्स के लिए, हमारे पास है:


 * $$ \lim_{N \to \infty} {1 \over N} \sum_{n=0}^{N-1} U^{n} x = P x,$$

जहां सीमा एच पर मानदंड के संबंध में है। दूसरे शब्दों में, औसत का क्रम


 * $$\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} U^n$$

मजबूत ऑपरेटर टोपोलॉजी में पी में परिवर्तित हो जाता है।

दरअसल, यह देखना मुश्किल नहीं है कि इस मामले में कोई भी $$x\in H$$ से भागों में एक ऑर्थोगोनल अपघटन स्वीकार करता है $$\ker(I-U)$$ और $$\overline{\operatorname{ran}(I-U)}$$ क्रमश। पूर्व भाग के रूप में सभी आंशिक रकम में अपरिवर्तनीय है $$N$$ बढ़ता है, जबकि बाद के भाग के लिए, टेलिस्कोपिंग श्रृंखला से किसी के पास होगा:


 * $$\lim_{N \to \infty} {1 \over N} \sum_{n=0}^{N-1} U^n (I-U)=\lim_{N \to \infty} {1 \over N} (I-U^N)=0$$

यह प्रमेय उस मामले में माहिर है जिसमें हिल्बर्ट स्पेस एच में एल शामिल है2 एक माप स्थान पर कार्य करता है और U प्रपत्र का एक संचालिका है


 * $$Uf(x) = f(Tx) \, $$

जहाँ T, X का एक माप-संरक्षण एंडोमोर्फिज़्म है, जिसे अनुप्रयोगों में असतत गतिशील प्रणाली के समय-चरण का प्रतिनिधित्व करने के रूप में माना जाता है। एर्गोडिक प्रमेय तब दावा करता है कि एक फ़ंक्शन का औसत व्यवहार ƒ पर्याप्त रूप से बड़े समय-मानों पर ƒ के ऑर्थोगोनल घटक द्वारा अनुमानित किया जाता है जो समय-अपरिवर्तनीय है।

मीन एर्गोडिक प्रमेय के एक अन्य रूप में, आइए यूtएच पर एकात्मक ऑपरेटरों का एक दृढ़ता से निरंतर एक-पैरामीटर समूह हो। फिर ऑपरेटर


 * $$\frac{1}{T}\int_0^T U_t\,dt$$

मजबूत ऑपरेटर टोपोलॉजी में टी → ∞ के रूप में अभिसरण करता है। वास्तव में, यह परिणाम एक प्रतिवर्त स्थान पर संविदात्मक ऑपरेटरों के दृढ़ता से निरंतर एक-पैरामीटर सेमीग्रुप के मामले तक भी फैला हुआ है।

टिप्पणी: मीन एर्गोडिक प्रमेय के लिए कुछ अंतर्ज्ञान उस मामले पर विचार करके विकसित किया जा सकता है जहां इकाई लंबाई की जटिल संख्या को जटिल विमान (बाएं गुणन द्वारा) पर एकात्मक परिवर्तन के रूप में माना जाता है। यदि हम इकाई लंबाई (जिसे हम यू के रूप में सोचते हैं) की एक जटिल संख्या चुनते हैं, तो यह सहज है कि इसकी शक्तियां चक्र को भर देंगी। चूँकि वृत्त 0 के आसपास सममित है, यह समझ में आता है कि U की शक्तियों का औसत 0 में परिवर्तित हो जाएगा। साथ ही, 0 ही U का एकमात्र निश्चित बिंदु है, और इसलिए निश्चित बिंदुओं के स्थान पर प्रक्षेपण शून्य ऑपरेटर होना चाहिए (जो अभी वर्णित सीमा से सहमत है)।

एल में एर्गोडिक साधनों का अभिसरण पी  मानदंड
चलो (एक्स, Σ, μ) रूपांतरण टी को संरक्षित करने वाले माप के साथ संभावना स्थान से ऊपर हो, और 1 ≤ पी ≤ ∞ दें। उप-σ-बीजगणित Σ के संबंध में सशर्त अपेक्षाT टी-इनवेरिएंट सेट का एक रैखिक प्रोजेक्टर ई हैTबनच स्पेस एल के मानक 1 काp(X, Σ, μ) अपनी बंद उपसमष्टि L परपी(एक्स, एसT, μ) उत्तरार्द्ध को सभी टी-इनवेरिएंट एल के स्थान के रूप में भी चित्रित किया जा सकता हैp- X पर कार्य करता है। ergodic का अर्थ है, L पर रैखिक संचालिका के रूप मेंp(X, Σ, μ) में यूनिट ऑपरेटर मानदंड भी है; और, बिरखॉफ-खिनचिन प्रमेय के एक साधारण परिणाम के रूप में, प्रोजेक्टर ई में अभिसरण करते हैंTएल के मजबूत ऑपरेटर टोपोलॉजी मेंp यदि 1 ≤ p ≤ ∞, और कमजोर ऑपरेटर टोपोलॉजी में यदि p = ∞ है। अधिक सत्य है यदि 1 . अंत में, यदि ƒ को ज़िग्मुंड वर्ग में माना जाता है, वह है(|ƒ|) पूर्णांक है, तो एल में एर्गोडिक साधनों का भी प्रभुत्व है 1।

प्रवास का समय
चलो (एक्स, Σ, μ) एक माप स्थान हो जैसे μ(एक्स) परिमित और गैर-शून्य है। मापने योग्य सेट ए में बिताए गए समय को 'विराम समय' कहा जाता है। एर्गोडिक प्रमेय का एक तात्कालिक परिणाम यह है कि, एक एर्गोडिक प्रणाली में, ए का सापेक्ष माप माध्य प्रवास समय के बराबर होता है:


 * $$ \frac{\mu(A)}{\mu(X)} = \frac 1{\mu(X)}\int \chi_A\, d\mu = \lim_{n\rightarrow\infty}\; \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \chi_A(T^k x) $$

Lebesgue माप शून्य के एक सेट को छोड़कर सभी x के लिए, जहां χA A का सूचक कार्य है।

मापने योग्य सेट A के 'घटना समय' को सेट k के रूप में परिभाषित किया गया है1, क2, क3, ..., कई बार k ऐसा होता है कि Tk(x) A में है, बढ़ते क्रम में क्रमबद्ध है। क्रमिक घटना समय के बीच अंतर आरi= केi- केi&minus;1 ए का पुनरावर्ती काल कहा जाता है। एर्गोडिक प्रमेय का एक अन्य परिणाम यह है कि 'ए' का औसत पुनरावृत्ति समय 'ए' के ​​माप के व्युत्क्रमानुपाती होता है, यह मानते हुए प्रारंभिक बिंदु x A में है, ताकि k0 = 0.


 * $$ \frac{R_1 + \cdots + R_n}{n} \rightarrow \frac{\mu(X)}{\mu(A)} \quad\text{(almost surely)}$$

(लगभग निश्चित रूप से देखें।) यानी, ए जितना छोटा होता है, उसमें लौटने में उतना ही अधिक समय लगता है।

कई गुना पर एर्गोडिक प्रवाह
1939 में एबरहार्ड हॉफ द्वारा कॉम्पैक्ट जगह रीमैन सतहों पर परिवर्ती नकारात्मक गॉसियन वक्रता और किसी भी आयाम के कॉम्पैक्ट अतिशयोक्तिपूर्ण कई गुना पर जियोडेसिक प्रवाह की एर्गोडिसिटी साबित हुई थी, हालांकि विशेष मामलों का अध्ययन पहले किया गया था: उदाहरण के लिए देखें, हैडमार्ड बिलियर्ड्स (1898) और बिलियर्ड्स की कला (1924)। 1952 में एस.वी. फोमिन और आई.एम. गेलफैंड द्वारा रीमैन सतहों पर जियोडेसिक प्रवाह और एसएल2(आर)|एसएल(2, आर) पर एक-पैरामीटर उपसमूहों के बीच संबंध का वर्णन किया गया था। एनोसोव प्रवाह पर लेख एसएल (2, आर) और नकारात्मक वक्रता के रीमैन सतहों पर एर्गोडिक प्रवाह का एक उदाहरण प्रदान करता है। वहाँ वर्णित अधिकांश विकास हाइपरबोलिक मैनिफोल्ड्स के लिए सामान्यीकृत होते हैं, क्योंकि उन्हें अर्ध-सरल [[झूठ समूह]] SO(n,1) में एक जाली (असतत उपसमूह) के समूह क्रिया (गणित) द्वारा अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान के भागफल के रूप में देखा जा सकता है। रिमेंनियन सममित स्थान पर जियोडेसिक प्रवाह की एर्गोडिसिटी का प्रदर्शन फ्रेडरिक इग्नाज़ मौटनर|एफ द्वारा किया गया था। I. 1957 में मौटनर। 1967 में D. V. Anosov और Ya. जी। सिनाई ने चर नकारात्मक अनुभागीय वक्रता के कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड पर जियोडेसिक प्रवाह की ergodicity साबित की। 1966 में केल्विन सी. मूर द्वारा एक अर्ध-सरल लाइ समूह के एक सजातीय स्थान पर एक सजातीय प्रवाह की क्षरणता के लिए एक सरल मानदंड दिया गया था। अध्ययन के इस क्षेत्र से कई प्रमेय और परिणाम कठोरता (गणित) के विशिष्ट हैं।

1930 के दशक में G. A. Hedlund ने साबित किया कि कॉम्पैक्ट हाइपरबोलिक सतह पर कुंडली प्रवाह न्यूनतम और ergodic है। 1972 में हिलेल फुरस्टेनबर्ग द्वारा प्रवाह की अद्वितीय ergodicity स्थापित की गई थी। रैटनर के प्रमेय Γ \ G के सजातीय स्थानों पर असमान प्रवाह के लिए ergodicity का एक प्रमुख सामान्यीकरण प्रदान करते हैं, जहां G एक झूठ समूह है और Γ जी में एक जाली है।

पिछले 20 वर्षों में, मरीना रैटनर के प्रमेय के समान एक माप-वर्गीकरण प्रमेय खोजने की कोशिश करने वाले कई काम हुए हैं, लेकिन फुरस्टेनबर्ग और ग्रिगोरी मार्गुलिस के अनुमानों से प्रेरित विकर्ण क्रियाओं के लिए। एक महत्वपूर्ण आंशिक परिणाम (सकारात्मक एन्ट्रापी की एक अतिरिक्त धारणा के साथ उन अनुमानों को हल करना) एलोन लिंडेनस्ट्रॉस द्वारा सिद्ध किया गया था, और उन्हें इस परिणाम के लिए 2010 में फील्ड मेडल से सम्मानित किया गया था।

यह भी देखें

 * अराजकता सिद्धांत
 * एर्गोडिक परिकल्पना
 * एर्गोडिक प्रक्रिया
 * लायपुनोव समय - प्रणाली की भविष्यवाणी की समय सीमा
 * अधिकतम एर्गोडिक प्रमेय
 * ओर्स्टीन समरूपता प्रमेय
 * सांख्यिकीय यांत्रिकी
 * प्रतीकात्मक गतिशीलता
 * लिंडी प्रभाव

आधुनिक संदर्भ

 * व्लादिमीर इगोरविच अर्नोल्ड और आंद्रे एवेज़, शास्त्रीय यांत्रिकी की एर्गोडिक समस्याएं। न्यूयॉर्क: डब्ल्यू ए बेंजामिन। 1968.
 * लियो ब्रिमन, संभावना। एडिसन-वेस्ले द्वारा प्रकाशित मूल संस्करण, 1968; सोसाइटी फॉर इंडस्ट्रियल एंड एप्लाइड मैथमेटिक्स, 1992 द्वारा पुनर्मुद्रित। ISBN 0-89871-296-3. (अध्याय 6 देखें।)
 * * (व्यायाम के साथ एर्गोडिक सिद्धांत में विषयों का सर्वेक्षण।)
 * कार्ल पीटरसन। एर्गोडिक थ्योरी (उन्नत गणित में कैम्ब्रिज अध्ययन)। कैम्ब्रिज: कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस। 1990.
 * जोसेफ एम. रोसेनब्लैट और मेट वेर्डल, पॉइंटवाइज एर्गोडिक थ्योरम्स वाया हार्मोनिक एनालिसिस, (1993) एर्गोडिक थ्योरी एंड इट्स कनेक्शन्स विद हार्मोनिक एनालिसिस, प्रोसीडिंग्स ऑफ द 1993 अलेक्जेंड्रिया कॉन्फ्रेंस, (1995) कार्ल ई. पीटरसन और इब्राहिम ए. सलामा, एड।, कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, कैम्ब्रिज, ISBN 0-521-45999-0. (इकाई अंतराल पर शिफ्ट नक्शा्स के इक्विडिस्ट्रीब्यूशन प्रमेय के सामान्यीकरण के एर्गोडिक गुणों का एक व्यापक सर्वेक्षण। बोर्गेन द्वारा विकसित विधियों पर ध्यान केंद्रित करता है।)
 * अल्बर्ट शिरैव|ए। एन. शिरयाएव, प्रायिकता, दूसरा संस्करण, स्प्रिंगर 1996, सेक। वि.3. ISBN 0-387-94549-0.
 * (बिरखॉफ और वॉन न्यूमैन द्वारा एर्गोडिक प्रमेयों की खोज और प्रकाशन की प्राथमिकता के बारे में एक विस्तृत चर्चा, उनके मित्र हॉवर्ड पर्सी रॉबर्टसन को लिखे पत्र के आधार पर।)
 * आंद्रेज लसोटा, माइकल सी. मैके, कैओस, फ्रैक्टल्स, एंड नॉइज़: स्टोचैस्टिक एस्पेक्ट्स ऑफ़ डायनामिक्स। दूसरा संस्करण, स्प्रिंगर, 1994।
 * मैनफ्रेड आइंसिडलर और थॉमस वार्ड (गणितज्ञ), संख्या सिद्धांत की ओर एक दृष्टिकोण के साथ एर्गोडिक सिद्धांत। स्प्रिंगर, 2011।
 * जेन एम. हॉकिन्स, एर्गोडिक डायनामिक्स: फ्रॉम बेसिक थ्योरी टू एप्लीकेशन, स्प्रिंगर, 2021। ISBN 978-3-030-59242-4
 * मैनफ्रेड आइंसिडलर और थॉमस वार्ड (गणितज्ञ), संख्या सिद्धांत की ओर एक दृष्टिकोण के साथ एर्गोडिक सिद्धांत। स्प्रिंगर, 2011।
 * जेन एम. हॉकिन्स, एर्गोडिक डायनामिक्स: फ्रॉम बेसिक थ्योरी टू एप्लीकेशन, स्प्रिंगर, 2021। ISBN 978-3-030-59242-4

बाहरी संबंध

 * Ergodic Theory (16 June 2015) Notes by Cosma Rohilla Shalizi
 * Ergodic theorem passes the test From Physics World