कोण द्विभाजक प्रमेय

ज्यामिति में, कोण द्विभाजक प्रमेय का संबंध दो खंडों की सापेक्ष लंबाई से है जो त्रिभुज की भुजा को रेखा द्वारा विभाजित करता है जो विपरीत कोण को द्विभाजित करता है। यह उनकी सापेक्ष लंबाई को त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं की सापेक्ष लंबाई के बराबर करता है।

प्रमेय
त्रिभुज ABC पर विचार करें। B और C के बीच बिंदु D पर कोण A लाइन कटान बिंदु पर BC का द्विभाजक कोण द्विभाजक बना रही हैं। कोण द्विभाजक प्रमेय है जिसके अनुसार रेखा खंड BD की लंबाई का अनुपात खंड CD की लंबाई के बराबर है भुजा AB की लंबाई का भुजा AC की लंबाई से अनुपात:
 * $${\frac {|BD|} {|CD|}}={\frac {|AB|}{|AC|}}, $$

और इसके व्युत्क्रम यदि त्रिभुज ABC की भुजा BC पर स्थित बिंदु D, BC को भुजाओं AB और AC के समान अनुपात में विभाजित करता है, तो AD कोण ∠ A का कोण समद्विभाजक है।

सामान्यीकृत कोण द्विभाजक प्रमेय के अनुसार यदि D रेखा BC पर स्थित है, तो


 * $${\frac {|BD|} {|CD|}}={\frac {|AB| \sin \angle DAB}{|AC| \sin \angle DAC}}. $$

यदि AD, ∠ BAC का समद्विभाजक है, तो यह पिछले संस्करण तक कम हो जाता है। जब D खंड BC के बाहर है, तो गणना में निर्देशित रेखा खंडों और निर्देशित कोणों का उपयोग किया जाना चाहिए।

कोण द्विभाजक प्रमेय का उपयोग साधारणतयः तब किया जाता है जब कोण द्विभाजक और भुजाओं की लंबाई ज्ञात हो। इसका उपयोग गणना या प्रमाण में किया जा सकता है।

प्रमेय का तात्कालिक परिणाम यह है कि समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष कोण का कोण समद्विभाजक भी विपरीत दिशा को समद्विभाजित करेगा।

प्रमाण 1
उपरोक्त आरेख में, त्रिभुजों ABD और ACD पर ज्या के नियम का उपयोग करें:

कोण ∠ ADB और ∠ ADC रैखिक युग्म बनाते हैं, अर्थात, वे आसन्न संपूरक कोण हैं। चूँकि संपूरक कोणों की ज्या बराबर होती है,


 * $$ = {\sin \angle ADC}. $$

कोण ∠ DAB और ∠ DAC बराबर हैं। इसलिए, समीकरणों के दाहिने पक्ष ($$) और ($$) बराबर हैं, इसलिए उनके बाएँ हाथ की भुजाएँ भी बराबर होनी चाहिए।


 * $${\frac {|BD|} {|CD|}}={\frac {|AB|}{|AC|}}, $$

जो कोण द्विभाजक प्रमेय है।

यदि कोण ∠ DAB और ∠ DAC असमान हैं, तो समीकरण ($$) और ($$) के रूप में फिर से लिखा जा सकता है:


 * $$ {\frac {|AB|} {|BD|} \sin \angle\ DAB = \sin \angle ADB},$$
 * $$ {\frac {|AC|} {|CD|} \sin \angle\ DAC = \sin \angle ADC}.$$

कोण ∠ ADB और ∠ ADC अभी भी संपूरक हैं, इसलिए इन समीकरणों के दाहिने पक्ष अभी भी बराबर हैं, इसलिए हमें प्राप्त होता है:


 * $$ {\frac {|AB|} {|BD|} \sin \angle\ DAB = \frac {|AC|} {|CD|} \sin \angle\ DAC},$$

जो प्रमेय के सामान्यीकृत संस्करण को पुनर्व्यवस्थित करता है।

प्रमाण 2
मान लीजिए कि रेखा BC पर D एक बिंदु है, जो B या C के बराबर नहीं है और AD त्रिभुज ABC की ऊँचाई (त्रिकोण) नहीं है। B1 B से होकर त्रिभुज ABD में ऊँचाई का आधार (पैर) बनें और C1 दें C के माध्यम से त्रिभुज ACD में ऊंचाई का आधार बनें। फिर, यदि D से B और C के बीच है, B में से केवल A1 या C1 त्रिभुज ABC के अंदर स्थित है और व्यापकता की हानि के बिना यह माना जा सकता है कि B1 करता है। इस स्थिति को संलग्न आरेख में दर्शाया गया है। यदि D खंड BC के बाहर स्थित है, तो न तो B1 ना ही C1 त्रिकोण के अंदर स्थित है।

∠ DB1बी और ∠ DC1C समकोण हैं, जबकि कोण ∠ B1 हैं DB और ∠ C1DC सर्वांगसम हैं यदि D खंड BC पर स्थित है (अर्थात, B और C के बीच) और वे अन्य स्थितियों में समान हैं, इसलिए त्रिभुज DB1बी और DC1C समान (AAA) हैं, जिसका अर्थ है कि:


 * $${\frac {|BD|} {|CD|}}= {\frac {|BB_1|}{|CC_1|}}=\frac {|AB|\sin \angle BAD}{|AC|\sin \angle CAD}.$$

यदि D ऊँचाई का पाद है, तो,
 * $$\frac{|BD|}{|AB|} = \sin \angle \ BAD \text{ and } \frac{|CD|}{|AC|} = \sin \angle \ DAC,$$

और सामान्यीकृत रूप इस प्रकार है।

प्रमाण 3
दो त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के अनुपात को देखकर त्वरित उपपत्ति प्राप्त की जा सकती है $$\triangle BAD$$ और $$\triangle CAD$$, जो कोण द्विभाजक $$A$$ द्वारा बनाए गए हैं, त्रिभुज का उपयोग करके उन क्षेत्रों की दो बार गणना करना, अर्थात $$\tfrac{1}{2}gh$$ आधार के साथ $$g$$ और ऊंचाई $$h$$ और $$\tfrac{1}{2}ab\sin(\gamma)$$ पक्षों के साथ $$a$$, $$b$$ और उनका संलग्न कोण $$\gamma$$, अपने अनुसार इसका उचित मान देगा।

$$h$$ आधार पर त्रिभुजों की ऊँचाई को $$BC$$ और $$\alpha$$ कोण का आधा होने पर $$A$$ द्वारा निरूपित किया जाता है,

इस प्रकार

\frac{|\triangle ABD|}{|\triangle ACD|} = \frac{\frac{1}{2}|BD|h}{\frac{1}{2}|CD|h}= \frac{|BD|}{|CD|} $$ और

\frac{|\triangle ABD|}{|\triangle ACD|}=\frac{\frac{1}{2}|AB||AD|\sin(\alpha)}{\frac{1}{2}|AC||AD|\sin(\alpha)}=\frac{|AB|}{|AC|} $$ इस प्रकार

\frac{|BD|}{|CD|} = \frac{|AB|}{|AC|}. $$

बाहरी कोण समद्विभाजक
गैर-समबाहु त्रिभुज में बाहरी कोण द्विभाजक के लिए त्रिभुज भुजाओं की लंबाई के अनुपात के लिए समान समीकरण सम्मलित हैं। अधिक सटीक रूप से यदि बाहरी कोण द्विभाजक है $$A$$ विस्तारित पक्ष को $$BC$$ में $$E$$ काटता है, बाहरी कोण द्विभाजक में $$B$$ विस्तारित पक्ष को काटता है $$AC$$ में $$D$$ और बाहरी कोण द्विभाजक अंदर $$C$$ विस्तारित पक्ष को काटता है $$AB$$ में $$F$$, तो निम्नलिखित समीकरण धारण करते हैं:
 * $$\frac{|EB|}{|EC|}=\frac{|AB|}{|AC|}$$, $$\frac{|FB|}{|FA|}=\frac{|CB|}{|CA|}$$, $$\frac{|DA|}{|DC|}=\frac{|BA|}{|BC|}$$

बाह्य कोण समद्विभाजक और विस्तारित त्रिभुज भुजाओं के बीच प्रतिच्छेदन के तीन बिंदु $$D$$, $$E$$ और $$F$$ संरेखी हैं, अर्थात् वे एक उभयनिष्ठ रेखा पर स्थित हैं।

इतिहास
यूक्लिड के तत्वों में कोण द्विभाजक प्रमेय पुस्तक VI के प्रस्ताव 3 के रूप में प्रकट होता है।, के अनुसार बाहरी कोण द्विभाजक के लिए संबंधित कथन रॉबर्ट सिमसन द्वारा दिया गया था जिन्होंने नोट किया था कि अलेक्जेंड्रिया के पप्पस ने बिना प्रमाण के इस परिणाम को मान लिया था। हीथ के अनुसार ऑगस्टस डी मॉर्गन ने प्रस्ताव दिया कि दो निर्णयों को निम्नानुसार जोड़ा जाना चाहिए:
 * यदि किसी त्रिभुज के कोण को सीधी रेखा द्वारा आंतरिक या बाह्य रूप से समद्विभाजित किया जाता है जो विपरीत भुजा या विपरीत भुजा को काटता है, तो उस भुजा के खंडों का अनुपात त्रिभुज की अन्य भुजाओं के समान होगा; और यदि किसी त्रिभुज की भुजा को आंतरिक या बाह्य रूप से विभाजित किया जाए जिससे कि उसके खंडों का अनुपात त्रिभुज की अन्य भुजाओं के समान हो, तो खंड के बिंदु से कोणीय बिंदु तक खींची गई सीधी रेखा जो पहले उल्लेखित भुजा के विपरीत है उस कोणीय बिंदु पर आंतरिक या बाहरी कोण को समद्विभाजित करेगा।

अनुप्रयोग
इस प्रमेय का उपयोग निम्नलिखित प्रमेयों/परिणामों को सिद्ध करने के लिए किया गया है:


 * त्रिभुज के केंद्र के निर्देशांक
 * एपोलोनियस के मंडल

आगे की पढाई

 * G.W.I.S Amarasinghe: On the Standard Lengths of Angle Bisectors and the Angle Bisector Theorem, Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, Vol 01(01), pp. 15 – 27, 2012

बाहरी कड़ियाँ

 * A Property of Angle Bisectors at cut-the-knot
 * Intro to angle bisector theorem at Khan Academy