होमोटोपी

बीजगणितीय टोपोलॉजी में, गणित का एक क्षेत्र, एक टोपोलॉजिकल स्पेस का एक होमोटोपी समूह उस स्थान के होमियोमोर्फिज्म|स्व-होमोमोर्फिज्म के समूह का एक होमोटोपी समूह है।

परिभाषा
होमोटॉपी समूह ऑपरेटर $$\pi_k$$ प्रत्येक पथ से जुड़े टोपोलॉजिकल स्पेस को असाइन करें $$X$$ समूह $$\pi_k(X)$$ सतत मानचित्रों के समरूप वर्ग $$S^k\to X.$$ किसी स्थान पर एक और निर्माण $$X$$ होमियोमोर्फिज्म समूह है|सभी स्व-होमियोमोर्फिज्म का समूह $$X \to X$$, निरूपित $${\rm Homeo}(X).$$ यदि एरेन्स ऐसा कहते हैं $${\rm Homeo}(X)$$ वास्तव में कॉम्पैक्ट-ओपन टोपोलॉजी के तहत एक टोपोलॉजिकल समूह होगा।

उपरोक्त धारणाओं के तहत, होमोटोपी समूह के लिए $$X$$ परिभाषित किया गया है:


 * $$HME_k(X)=\pi_k({\rm Homeo}(X)).$$

इस प्रकार $$HME_0(X)=\pi_0({\rm Homeo}(X))=MCG^*(X)$$ के लिए वर्ग समूह का मानचित्रण है $$X.$$ दूसरे शब्दों में, मैपिंग क्लास समूह जुड़े हुए घटकों का समूह है $${\rm Homeo}(X)$$ जैसा कि फ़ैक्टर द्वारा निर्दिष्ट किया गया है $$\pi_0.$$

उदाहरण
डेन-नील्सन प्रमेय के अनुसार, यदि $$X$$ तब यह एक बंद सतह है $$HME_0(X)={\rm Out}(\pi_1(X)),$$ यानी, किसी स्थान के ऑटोमोर्फिज्म का शून्यवाँ होमोटॉपी समूह उसके मौलिक समूह के बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह के समान है।