संभाव्यता से बिखरने में अनुनाद

क्वांटम यांत्रिकी में, अनुनाद क्रॉस सेक्शन क्वांटम बिखरने के सिद्धांत के संदर्भ में होता है, जो क्षमता से क्वांटम कणों के बिखरने का अध्ययन करता है। प्रकीर्णन समस्या विभव के फलन के रूप में बिखरे हुए कणों/तरंगों के फ्लक्स वितरण की गणना से संबंधित है, और आपतित कण की स्थिति (ऊर्जा-संवेग संबंध|संवेग/ऊर्जा के संरक्षण द्वारा विशेषता) की विशेषता है। क्षमता पर एक मुक्त क्वांटम कण घटना के लिए, समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण के लिए विमान तरंग समाधान | श्रोडिंगर तरंग समीकरण है:
 * $$ \psi(\vec{r}) = e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r})} $$

एक आयामी समस्याओं के लिए, संचरण गुणांक $$T$$ रुचि का है। इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:


 * $$T = \frac{|\vec J_\mathrm{trans}|}{|\vec J_\mathrm{inc}|} $$

कहाँ $$\vec J$$ संभावना वर्तमान घनत्व है। यह कणों की घटना बीम का अंश देता है जो इसे क्षमता के माध्यम से बनाता है। त्रि-आयामी समस्याओं के लिए, कोई बिखरने वाला क्रॉस-सेक्शन  की गणना करेगा $$\sigma$$, जो, मोटे तौर पर, बिखरी हुई घटना बीम का कुल क्षेत्र है। प्रासंगिकता की एक और मात्रा आंशिक क्रॉस-सेक्शन है, $$\sigma_\text{l}$$, जो एक निश्चित कोणीय संवेग eigenstate की आंशिक लहर के लिए बिखरने वाले क्रॉस सेक्शन को दर्शाता है। ये मात्राएँ स्वाभाविक रूप से निर्भर करती हैं $$\vec k$$, घटना तरंग का तरंग-वेक्टर, जो इसकी ऊर्जा से संबंधित है:
 * $$E=\frac{\hbar^2 |\vec{k}|^2}{2m}$$

ब्याज की इन मात्राओं का मान, संचरण गुणांक $$T$$ (एक आयामी क्षमता के मामले में), और आंशिक क्रॉस-सेक्शन $$\sigma_\text{l}$$ घटना ऊर्जा के साथ उनकी भिन्नता में चोटियों को दिखाएं $$E$$. इन घटनाओं को प्रतिध्वनि कहा जाता है।

गणितीय विवरण
एक आयामी परिमित संभावित अवरोध (QM) द्वारा दिया जाता है
 * $$V(x) =

\begin{cases} V_0, & 0 < x < L,\\ 0, & \text{otherwise,} \end{cases}, $$ का चिह्न $$V_0$$ निर्धारित करता है कि वर्ग क्षमता एक कुआँ है या एक अवरोध है। प्रतिध्वनि की घटना का अध्ययन करने के लिए, ऊर्जा के साथ एक विशाल कण की स्थिर स्थिति के लिए समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण $$E>V_0$$ हल किया गया:
 * $$-\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi}{d x^2} + V(x) \psi = E \psi$$

लहर समारोह तीन क्षेत्रों के लिए समाधान $$ x<0,0L $$ हैं
 * $$ \psi_1(x)=

\begin{cases} A_1 e^{ik_1 x} + B_1 e^{-ik_1 x}, & x<0, \\ A_2 e^{ik_2 x} + B_2 e^{-ik_2 x}, & 0L, \end{cases} $$ यहाँ, $$ k_1 $$ और $$k_2$$ संभावित मुक्त क्षेत्र में और क्षमता के भीतर क्रमशः तरंग संख्याएँ हैं:
 * $$k_1= \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar},$$
 * $$k_2 = \frac{\sqrt{2m(E-V_0)}}{\hbar},$$

की गणना करना $$T$$, तरंग फ़ंक्शन में एक गुणांक के रूप में सेट किया गया है $$B_3=0$$, जो इस तथ्य से मेल खाता है कि दाईं ओर से विभव पर कोई तरंग घटना नहीं है। शर्त लगाना कि तरंग कार्य करती है $$\psi(x)$$ और इसका व्युत्पन्न $$\frac{d\psi}{dx}$$ कुएँ/बाधा सीमाओं पर निरंतर होना चाहिए $$x=0$$ और $$x=L$$, गुणांकों के बीच संबंध पाए जाते हैं, जो अनुमति देता है $$T$$ के रूप में पाया जाना:
 * $$T=\frac{|A_3|^2}{|A_1|^2}=\frac{4E(E-V_0)}{4E(E-V_0)+V_0^2 \sin^2 \left[\sqrt{2m(E-V_0)}\frac{L}{\hbar}\right]} $$

यह इस प्रकार है कि संचरण गुणांक $$T$$ 1 के अपने अधिकतम मूल्य तक पहुँचता है जब:
 * $$\sin^2\left [\sqrt{2m(E-V_0)}\frac{L}{\hbar}\right]=0\text{, or }\sqrt{2m(E-V_0)}=\frac{n\pi\hbar}{L}$$

किसी भी पूर्णांक मान के लिए $$n$$. यह प्रतिध्वनि की स्थिति है, जो चरमोत्कर्ष की ओर ले जाती है $$T$$ इसकी अधिकतम सीमा, अनुनाद कहा जाता है।

भौतिक चित्र (स्टैंडिंग डी ब्रोगली वेव्स और फेब्री-पेरोट एटलॉन)
उपरोक्त अभिव्यक्ति से, अनुनाद तब होता है जब कण द्वारा अच्छी तरह से और वापस आने में तय की गई दूरी ($$2L$$) क्षमता के अंदर एक कण के डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य का एक अभिन्न गुणक है ($$\lambda=\frac{2\pi}{k}$$). के लिए $$E>V_0$$, संभावित विच्छिन्नता पर प्रतिबिंब किसी भी चरण परिवर्तन के साथ नहीं होते हैं। इसलिए, अनुनाद संभावित बाधा/कुएं के भीतर स्थायी तरंगों के गठन के अनुरूप हैं। अनुनाद पर, तरंगों की क्षमता पर घटना होती है $$x=0$$ और क्षमता की दीवारों के बीच परावर्तित तरंगें चरण में हैं, और एक दूसरे को सुदृढ़ करती हैं। अनुनादों से दूर, स्थायी तरंगें नहीं बनाई जा सकतीं। फिर, क्षमता की दोनों दीवारों के बीच परावर्तित होने वाली तरंगें (पर $$x=0$$ और $$x=L$$) और तरंग के माध्यम से प्रेषित होता है $$x=0$$ चरण से बाहर हैं, और हस्तक्षेप से एक दूसरे को नष्ट कर देते हैं। भौतिकी प्रकाशिकी में फेब्री-पेरोट इंटरफेरोमीटर में संचरण के समान है, जहां अनुनाद की स्थिति और संचरण गुणांक के कार्यात्मक रूप समान हैं।



अनुनाद वक्रों की प्रकृति
संचरण गुणांक इसके अधिकतम 1 और न्यूनतम के बीच झूलता है $$\left[1+\frac{V_0^2}{4E(E-V_0)}\right]^{-1}$$वर्ग कुएं की लंबाई के एक समारोह के रूप में ($$L$$) की अवधि के साथ $$\frac{\pi}{k_2}$$. संचरण की न्यूनतम प्रवृत्ति होती है $$1 $$ बड़ी ऊर्जा की सीमा में $$E>>V_0$$, जिसके परिणामस्वरूप अधिक उथले अनुनाद होते हैं, और इसके विपरीत होते हैं $$0$$ कम ऊर्जा की सीमा में $$E<<V_0$$, जिसके परिणामस्वरूप तेज प्रतिध्वनि होती है। यह आकार कारक के निश्चित मूल्यों के लिए घटना कण ऊर्जा के विरुद्ध संचरण गुणांक के भूखंडों में प्रदर्शित होता है, जिसे परिभाषित किया गया है $$\sqrt{\frac{2mV_0 L^{2}}{\hbar^{2}}}$$