आंतरिक मीट्रिक

मीट्रिक रिक्त स्थान के गणित के अध्ययन में, अंतरिक्ष में पथ (टोपोलॉजी) की वक्राकार लंबाई पर विचार किया जा सकता है। यदि दो बिंदु एक-दूसरे से दी गई दूरी पर हैं, तो यह उम्मीद करना स्वाभाविक है कि एक पथ के साथ पहले बिंदु से दूसरे बिंदु तक पहुंचने में सक्षम होना चाहिए, जिसकी चाप की लम्बाई उस दूरी के बराबर (या बहुत करीब) है। आंतरिक मीट्रिक के सापेक्ष एक मीट्रिक स्थान के दो बिंदुओं के बीच की दूरी को पहले बिंदु से दूसरे तक सभी पथों की न्यूनतम लंबाई के रूप में परिभाषित किया गया है। एक मीट्रिक स्थान एक लंबाई मीट्रिक स्थान है यदि आंतरिक मीट्रिक अंतरिक्ष के मूल मीट्रिक से सहमत है।

यदि अंतरिक्ष में मजबूत संपत्ति है कि वहां हमेशा एक रास्ता मौजूद होता है जो लंबाई (एक geodesic ) की अनंतता को प्राप्त करता है तो इसे जियोडेसिक मेट्रिक स्पेस या जियोडेसिक स्पेस कहा जाता है। उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन प्लेन एक जियोडेसिक स्पेस है, जिसके जियोडेसिक्स के रूप में  रेखा खंड  हैं। उत्पत्ति (गणित) के साथ यूक्लिडियन विमान जियोडेसिक नहीं है, लेकिन अभी भी एक लंबाई मीट्रिक स्थान है।

परिभाषाएँ
होने देना $$(M, d)$$ एक मीट्रिक स्थान हो, यानी, $$M$$ बिंदुओं का एक संग्रह है (जैसे कि समतल के सभी बिंदु, या वृत्त के सभी बिंदु) और $$d(x,y)$$ एक ऐसा कार्य है जो हमें बिंदुओं के बीच की दूरी प्रदान करता है $$x,y\in M$$. हम एक नया मीट्रिक परिभाषित करते हैं $$d_\text{I}$$ पर $$M$$, इस प्रकार प्रेरित आंतरिक मीट्रिक के रूप में जाना जाता है: $$d_\text{I}(x,y)$$ से सभी पथों की लंबाई का निम्नतम है $$x$$ को $$y$$.

यहाँ से एक रास्ता $$x$$ को $$y$$ एक सतत नक्शा है
 * $$\gamma \colon [0,1] \rightarrow M$$

साथ $$\gamma(0) = x$$ और $$\gamma(1) = y$$. इस तरह के पथ की लंबाई को संशोधित वक्रों के लिए समझाया गया परिभाषित किया गया है। हमलोग तैयार हैं $$d_\text{I}(x,y) =\infty$$ यदि परिमित लंबाई का कोई मार्ग नहीं है $$x$$ को $$y$$. अगर
 * $$d_\text{I}(x,y)=d(x,y)$$

सभी बिंदुओं के लिए $$x$$ और $$y$$ में $$M$$, हम कहते हैं $$(M, d)$$ लंबाई स्थान या पथ मीट्रिक स्थान और मीट्रिक है $$d$$ आंतरिक है।

हम कहते हैं कि मीट्रिक $$d$$ किसी के लिए अनुमानित मध्यबिंदु है $$\varepsilon>0$$ और अंक की कोई भी जोड़ी $$x$$ और $$y$$ में $$M$$ वहां मौजूद $$c$$ में $$M$$ ऐसा है कि $$d(x,c)$$ और $$d(c,y)$$ दोनों से छोटे हैं
 * $${{d(x,y) \over 2} + {\varepsilon}}$$.

उदाहरण

 * यूक्लिडियन अंतरिक्ष $$\R^n$$ साधारण यूक्लिडियन मीट्रिक के साथ एक पथ मीट्रिक स्थान है। $$\R^n - \{0\}$$ साथ ही है।
 * यूनिट सर्कल $$S^1$$ के यूक्लिडियन मीट्रिक से विरासत में मिली मीट्रिक के साथ $$\R^2$$ (कॉर्डल मीट्रिक) पथ मीट्रिक स्थान नहीं है। प्रेरित आंतरिक मीट्रिक चालू $$S^1$$ कांति  में कोणों के रूप में दूरियों को मापता है, और परिणामी लंबाई मीट्रिक स्थान को रिमानियन सर्कल कहा जाता है। दो आयामों में, गोले पर तारकीय मीट्रिक आंतरिक नहीं है, और प्रेरित आंतरिक मीट्रिक महान-सर्कल दूरी द्वारा दी गई है।
 * प्रत्येक जुड़े हुए रीमैनियन कई गुना को दो बिंदुओं की दूरी को परिभाषित करके एक पथ मीट्रिक स्थान में बदल दिया जा सकता है, जो दो बिंदुओं को जोड़ने वाले लगातार अलग-अलग वक्रों की लंबाई के न्यूनतम के रूप में होता है। (रीमैनियन संरचना ऐसे वक्रों की लंबाई को परिभाषित करने की अनुमति देती है।) समान रूप से, अन्य कई गुना जिसमें एक लंबाई को परिभाषित किया गया है, में फिन्सलर कई गुना और सब-रीमैनियन मैनिफोल्ड्स शामिल हैं।
 * कोई भी पूर्ण मीट्रिक स्थान और उत्तल मीट्रिक स्थान एक लंबाई मीट्रिक स्थान है, कार्ल मेन्जर का परिणाम। हालांकि, बातचीत पकड़ में नहीं आती है, यानी लंबाई मीट्रिक रिक्त स्थान मौजूद हैं जो उत्तल नहीं हैं।

गुण

 * सामान्य तौर पर, हमारे पास है $$d \le d_\text{I}$$ और टोपोलॉजिकल स्पेस द्वारा परिभाषित $$d_\text{I}$$ इसलिए हमेशा परिभाषित टोपोलॉजी की तुलना में या उसके बराबर महीन होता है $$d$$.
 * अंतरिक्ष $$(M, d_\text{I})$$ हमेशा एक पथ मीट्रिक स्थान होता है (चेतावनी के साथ, जैसा ऊपर बताया गया है, कि $$d_\text{I}$$ अनंत हो सकता है)।
 * लंबाई के मेट्रिक में अनुमानित मध्य बिंदु होते हैं। इसके विपरीत, प्रत्येक पूर्ण स्थान मीट्रिक स्थान अनुमानित मध्यबिंदुओं के साथ एक लंबाई स्थान है।
 * हॉफ-रिनो प्रमेय कहता है कि यदि एक लम्बाई स्थान $$(M,d)$$ पूर्ण और स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है तो किन्हीं दो बिंदुओं में $$M$$ एक जियोडेसिक और सभी बंधे हुए बंद सेटों से जोड़ा जा सकता है $$M$$ कॉम्पैक्ट सेट हैं।

संदर्भ

 * Herbert Busemann, Selected Works, (Athanase Papadopoulos, ed.) Volume I, 908 p., Springer International Publishing, 2018.


 * Herbert Busemann, Selected Works, (Athanase Papadopoulos, ed.) Volume II, 842 p., Springer International Publishing, 2018.