प्रिमिटिव रूट मॉड्यूलो n

मॉड्यूलर अंकगणित में, एक संख्या $n$ एक आदिम रूट मॉड्यूलो है$g$ अगर हर नंबर $n$ सह अभाज्य टू $a$ की शक्ति से सर्वांगसमता संबंध है $n$ मापांक $g$. वह है, $n$ एक आदिम रूट मॉड्यूलो है$g$ यदि प्रत्येक पूर्णांक के लिए $n$ कोप्राइम टू $a$, कुछ पूर्णांक है $n$ जिसके लिए $k$$g$ ≡ $k$ (ख़िलाफ़$a$). ऐसा मान $n$ का सूचकांक या असतत लघुगणक कहा जाता है $k$ आधार के लिए $a$ मापांक $g$. इसलिए $n$ एक आदिम रूट मॉड्यूलो है$g$ अगर और केवल अगर $n$ पूर्णांक मॉड्यूलो n|पूर्णांक मॉड्यूलो के गुणक समूह का जेनरेटिंग_सेट_ऑफ_ए_ग्रुप है $g$.

कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने आदिम जड़ों को अंकगणितीय शोध (1801) के अनुच्छेद 57 में परिभाषित किया, जहां उन्होंने इस शब्द को गढ़ने का श्रेय यूलर को दिया। अनुच्छेद 56 में उन्होंने कहा कि जोहान हेनरिक लैम्बर्ट और यूलर उनके बारे में जानते थे, लेकिन वह पहले व्यक्ति थे जिन्होंने कठोर रूप से प्रदर्शित किया कि अभाज्य संख्या  के लिए आदिम जड़ें मौजूद हैं। $n$. वास्तव में, विवादों में दो प्रमाण होते हैं: अनुच्छेद 54 में एक गैर-रचनात्मक अस्तित्व प्रमेय है, जबकि अनुच्छेद 55 में प्रमाण रचनात्मक प्रमाण है।

प्रारंभिक उदाहरण
नंबर 3 एक प्रिमिटिव रूट मोडुलो 7 है क्योंकि

\begin{array}{rcrcrcrcrcr} 3^1 &=& 3^0 \times 3 &\equiv& 1 \times 3 &=& 3 &\equiv& 3 \pmod 7 \\ 3^2 &=& 3^1 \times 3 &\equiv& 3 \times 3 &=& 9 &\equiv& 2 \pmod 7 \\ 3^3 &=& 3^2 \times 3 &\equiv& 2 \times 3 &=& 6 &\equiv& 6 \pmod 7 \\ 3^4 &=& 3^3 \times 3 &\equiv& 6 \times 3 &=& 18 &\equiv& 4 \pmod 7 \\ 3^5 &=& 3^4 \times 3 &\equiv& 4 \times 3 &=& 12 &\equiv& 5 \pmod 7 \\ 3^6 &=& 3^5 \times 3 &\equiv& 5 \times 3 &=& 15 &\equiv& 1 \pmod 7 \\ 3^7 &=& 3^6 \times 3 &\equiv& 1 \times 3 &=& 3 &\equiv& 3 \pmod 7 \\ \end{array} $$ यहाँ हम देखते हैं कि 3 का क्रम (समूह सिद्धांत)।$n$ modulo 7 6 है। अवधि में अवशेष, जो 3, 2, 6, 4, 5, 1 हैं, सभी nonzero अवशेषों modulo 7 की पुनर्व्यवस्था बनाते हैं, जिसका अर्थ है कि 3 वास्तव में एक आदिम रूट modulo 7 है यह इस तथ्य से निकला है कि एक अनुक्रम ($k$$g$ मोडुलो$k$) के कुछ मान के बाद हमेशा दोहराता है $n$, मॉड्यूल के बाद से$k$ मूल्यों की एक सीमित संख्या उत्पन्न करता है। अगर $n$ एक आदिम रूट मॉड्यूलो है$g$ और $n$ प्रधान है, तो पुनरावृत्ति की अवधि है $n$ − 1. इस तरह से बनाए गए क्रमपरिवर्तन (और उनके वृत्ताकार बदलाव) कोस्टास सरणी#वेल्च के रूप में दिखाए गए हैं।

परिभाषा
अगर $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है, 0 से पूर्णांक $n$ − 1 जो कि कोप्राइम हैं $n$ (या समतुल्य रूप से, सर्वांगसमता वर्ग सह अभाज्य हैं $n$) गुणन मॉड्यूलर अंकगणित के साथ एक समूह (गणित) बनाते हैं $n$ ऑपरेशन के रूप में; इसे पूर्णांकों के गुणक समूह n| द्वारा निरूपित किया जाता है$$\mathbb{Z}$$$n$, और इकाइयों का समूह कहा जाता है $× n$, या प्रिमिटिव क्लास मोडुलो का समूह $n$. जैसा कि लेख में बताया गया है कि पूर्णांकों का गुणक समूह मॉड्यूल n|पूर्णांक मॉड्यूलो का गुणक समूह $n$, यह गुणात्मक समूह ($$\mathbb{Z}$$$n$) चक्रीय समूह है अगर और केवल अगर $× n$ 2, 4 के बराबर है, $n$, या 2$pk$ कहाँ $pk$ एक विषम अभाज्य संख्या की शक्ति है। <रेफरी नाम = Vinogradov2003.pp=105–121 >. कब (और केवल कब) यह समूह $$\mathbb{Z}$$$pk$ चक्रीय है, इस चक्रीय समूह के समूह के एक जनरेटिंग सेट को आदिम रूट मॉड्यूल कहा जाता है $× n$ (या पूर्ण भाषा में एकता मॉड्यूलो की आदिम जड़ $n$, एकता मॉड्यूल एन बहुपद समीकरण एक्स की जड़ के मौलिक समाधान के रूप में अपनी भूमिका पर बल देते हुए$n$ − 1 रिंग में $$\mathbb{Z}$$$m$), या बस का एक आदिम तत्व $$\mathbb{Z}$$$n$.

कब $$\mathbb{Z}$$$× n$ गैर-चक्रीय है, ऐसे आदिम तत्व मॉड $× n$ मौजूद नहीं है। इसके बजाय, प्रत्येक प्रमुख घटक $n$ की अपनी उप-आदिम जड़ें हैं (देखें $15$ नीचे दिए गए उदाहरणों में)।

किसी के लिए $n$ (की भी होगी या नहीं $$\mathbb{Z}$$$n$ चक्रीय है), का क्रम $$\mathbb{Z}$$$× n$ यूलर के कुल फलन द्वारा दिया गया है $× n$($φ$). और फिर, यूलर प्रमेय यह कहता है $n$$a$($φ$) ≡ 1 (mod $n$) हरएक के लिए $n$ कोप्राइम टू $a$; की सबसे कम शक्ति $n$ जो 1 मॉड्यूलो के अनुरूप है $a$ का गुणन क्रम कहा जाता है $n$ मापांक $a$. विशेष रूप से, के लिए $n$ एक आदिम रूट मॉड्यूल होना $a$, $n$$a$($φ$) की सबसे छोटी शक्ति होनी चाहिए $n$ जो 1 मॉड्यूलो के अनुरूप है $a$.

उदाहरण
उदाहरण के लिए, यदि $n$ = 14 फिर के तत्व $$\mathbb{Z}$$$n$ सर्वांगसमता वर्ग {1, 3, 5, 9, 11, 13} हैं; वहाँ हैं $× n$(14) = 6 उनमें से। यहाँ उनकी शक्तियों की तालिका 14 मॉड्यूल है:

एक्स एक्स, एक्स2, एक्स 3, ... (मॉड 14) 11 3 : 3, 9, 13, 11, 5, 1  5 : 5, 11, 13, 9, 3, 1  9 : 9, 11, 1 11 : 11, 9, 1 13 : 13, 1

1 का क्रम 1 है, 3 और 5 का क्रम 6 है, 9 और 11 का क्रम 3 है, और 13 का क्रम 2 है। इस प्रकार, 3 और 5 आदिम जड़ें मॉड्यूलो 14 हैं।

दूसरे उदाहरण के लिए आइए $φ$ = 15. के तत्व $$\mathbb{Z}$$$n$ सर्वांगसमता वर्ग {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14} हैं; वहाँ हैं $× 15$(15) = 8 उनमें से।

एक्स एक्स, एक्स2, एक्स 3, ... (मॉड 15) 11 2 : 2, 4, 8, 1  4 : 4, 1  7 : 7, 4, 13, 1  8 : 8, 4, 2, 1 11 : 11, 1 13 : 13, 4, 7, 1 14 : 14, 1

चूँकि ऐसी कोई संख्या नहीं है जिसका क्रम 8 है, कोई आदिम जड़ मॉड्यूलो 15 नहीं है। वास्तव में, $φ$(15) = 4, कहाँ $λ$ कारमाइकल समारोह है।

आदिम जड़ों की तालिका
नंबर $$n$$ जिनकी मूल जड़ आकार की होती है
 * $$n \in \{1, 2, 4, p^k, 2 \cdot p^k \; \; | \; \; 2 < p \text{ prime}; \; k \in \mathbb{N}\} ,$$
 * = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 17, 18, 19, ...}

ये नंबर हैं $$n$$ साथ $$\varphi(n) = \lambda(n),$$ क्रम में भी रखा OEIS में।

निम्न तालिका आदिम जड़ों मॉड्यूलो को सूचीबद्ध करती है $λ$ तक $$n=31$$:

गुण
गॉस साबित हुआ कि किसी भी अभाज्य संख्या के लिए $n$ (एकमात्र अपवाद के साथ $n$ = 3), इसकी आदिम जड़ों का गुणनफल 1 मॉड्यूल के अनुरूप है $n$.

वह साबित भी हुआ कि किसी भी अभाज्य संख्या के लिए $p$, इसके आदिम मूलों का योग सर्वांगसम है $p$($p$ − 1) रूप $p$, कहाँ $μ$ मोबियस फ़ंक्शन है।

उदाहरण के लिए,

जैसे, बाद की आदिम जड़ों का उत्पाद है $$2^6\cdot 3^4\cdot 7\cdot 11^2\cdot 13\cdot 17 = 970377408 \equiv 1 \pmod{31}$$, और उनका योग है $$123 \equiv -1 \equiv \mu(31-1) \pmod{31}$$.
 * $p$ = 3, || $p$(2) = −1. || The primitive root is 2.
 * $μ$ = 5, || $p$(4) = 0. || The primitive roots are 2 and 3.
 * $μ$ = 7, || $p$(6) = 1. || The primitive roots are 3 and 5.
 * $μ$ = 31, ||$p$(30) = −1. || The primitive roots are 3, 11, 12, 13, 17, 21, 22 and 24.
 * }
 * $μ$ = 7, || $p$(6) = 1. || The primitive roots are 3 and 5.
 * $μ$ = 31, ||$a$(30) = −1. || The primitive roots are 3, 11, 12, 13, 17, 21, 22 and 24.
 * }
 * }

अगर $$a$$ एक आदिम रूट मॉड्यूलो प्राइम है $$p$$, तब $$a^\frac{p-1}{2}\equiv -1 \pmod p$$.

आदिम जड़ों पर आर्टिन का अनुमान बताता है कि एक दिया हुआ पूर्णांक $n$ जो कि न तो एक वर्ग संख्या है और न ही -1 एक आदिम रूट मॉडुलो अपरिमित रूप से अनेक अभाज्य संख्या है।

आदिम जड़ें ढूँढना
आदिम जड़ों के मॉड्यूलो की गणना करने के लिए कोई सामान्य सामान्य सूत्र नहीं है $m$ ज्ञात है। हालांकि, आदिम रूट का पता लगाने की विधियाँ हैं जो सभी उम्मीदवारों को आज़माने की तुलना में तेज़ हैं। यदि किसी संख्या का गुणन क्रम (इसका मरोड़ समूह)। $n$ मापांक $× n$ यूलर के फाई फंक्शन| के बराबर है$$\varphi(n)$$(के लिए $$\mathbb{Z}$$$m$), तो यह आदिम जड़ है। वास्तव में विलोम सत्य है: यदि $n$ एक आदिम रूट मॉड्यूलो है $m$, फिर का गुणक क्रम $m$ है $$\varphi(n) = \lambda(n)~.$$ हम इसका उपयोग उम्मीदवार का परीक्षण करने के लिए कर सकते हैं $p$ यह देखने के लिए कि क्या यह आदिम है।

के लिए $$n > 1$$ सबसे पहले, गणना करें $$\varphi(n)~.$$ फिर के विभिन्न प्रमुख कारकों का निर्धारण करें $$\varphi(n)$$, कहना $pk$1, ..., $g$. अंत में गणना करें
 * $$g^{\varphi(n)/p_i}\bmod n \qquad\mbox{ for } i=1,\ldots,k$$

मॉड्यूलर घातांक के लिए एक तेज़ एल्गोरिथम का उपयोग करना जैसे कि वर्ग बनाकर घातांक। एक संख्या $k$ जिसके लिए ये $n$ परिणाम सभी भिन्न हैं 1 से एक आदिम जड़ है।

आदिम जड़ों की संख्या मॉड्यूलो $r$, यदि कोई हो, के बराबर है
 * $$\varphi\left(\varphi(n)\right)$$

चूंकि, सामान्य तौर पर, एक चक्रीय समूह के साथ $r$ तत्व होते हैं $$\varphi(r)$$ जनरेटर, के साथ $n$ को अभाज्य पूर्णांक होने के नाते $n$, जो उत्पन्न करता है $n$.

प्रधान के लिए $n$, यह बराबर है $$\varphi(n-1)$$, और तबसे $$n / \varphi(n-1) \in O(\log\log n)$$ जेनरेटर {2, ..., के बीच बहुत आम हैं $g$&minus;1} और इस प्रकार इसे खोजना अपेक्षाकृत आसान है।

अगर $p$ एक आदिम रूट मॉड्यूलो है $g$, तब $pk$ भी एक आदिम रूट मॉड्यूलो सभी शक्तियां हैं $g$ जब तक $p$$p$−1 ≡ 1 (मॉड $g$2); उस मामले में, $p$ + $g$ है।

अगर $pk$ एक आदिम रूट मॉड्यूलो है $g$, तब $p$ भी सभी छोटी शक्तियों का एक आदिम रूट मोडुलो है $g$.

अगर $pk$ एक आदिम रूट मॉड्यूलो है $g$, तो कोई $g$ या $pk$ + $pk$ (जो भी विषम हो) एक आदिम रूट मॉड्यूल 2 है$p$.

आदिम जड़ों का पता लगाना $p$ की जड़ों को खोजने के बराबर भी है ($p$ − 1) सेंट साइक्लोटोमिक बहुपद मोडुलो $gp$.

आदिम जड़ों के परिमाण का क्रम
सबसे कम आदिम जड़ $p$ मापांक $p$ (श्रेणी 1, 2, ..., में $C$ − 1 ) आम तौर पर छोटा होता है।

ऊपरी सीमा
बर्गेस (1962) साबित हुआ कि प्रत्येक ε > 0 के लिए एक है $gp$ ऐसा है कि $$g_p \leq C\,p^{\frac{1}{4}+\varepsilon}~.$$ एमिल ग्रॉसवाल्ड (1981) ने साबित किया कि अगर $$p > e^{e^{24}} \approx 10^{11504079571}$$, तब $$g_p < p^{0.499}~.$$ विक्टर शौप (1990, 1992) ने साबित किया, सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना मानते हुए, कि $p$ = O(log6 $C$).

निचली सीमा
फ्रिडलैंडर (1949) और साली (1950) साबित हुए कि एक सकारात्मक स्थिरांक है $gp$ जैसे कि असीम रूप से कई अभाज्य संख्याओं के लिए $C$ > $p$ log $M$.

यह सिद्ध किया जा सकता है प्राथमिक तरीके से कि किसी भी सकारात्मक पूर्णांक के लिए $M$ ऐसे अपरिमित रूप से अनेक अभाज्य संख्याएँ हैं $gp$ < $p$ < $M$ − $n$.

अनुप्रयोग
एक आदिम रूट मॉड्यूलो $n$ अक्सर छद्म यादृच्छिक संख्या जनरेटर में प्रयोग किया जाता है और क्रिप्टोग्राफी, जिसमें डिफी-हेलमैन कुंजी विनिमय योजना शामिल है। प्रसार (ध्वनिकी) # आदिम-जड़ विसारक संख्या-सैद्धांतिक अवधारणाओं जैसे कि आदिम जड़ें और द्विघात अवशेष पर आधारित हैं।

यह भी देखें

 * डिरिचलेट चरित्र
 * पूर्ण पश्चाताप प्रधान
 * विल्सन की प्रमेय#Gauss.27s सामान्यीकरण|विल्सन की प्रमेय का गॉस का सामान्यीकरण
 * गुणक क्रम
 * द्विघात अवशेष
 * एकता मॉड्यूलो की जड़ n|एकता मॉड्यूलो की जड़ ⇭⇭⇭

स्रोत




डिक्विजिशन एरिथमेटिका का अनुवाद गॉस के सिसरोनियन लैटिन से अंग्रेजी और जर्मन में किया गया है। जर्मन संस्करण में संख्या सिद्धांत पर उनके सभी कागजात शामिल हैं: द्विघात पारस्परिकता के सभी प्रमाण, गॉस योग के चिह्न का निर्धारण, द्विवर्गीय पारस्परिकता की जांच, और अप्रकाशित नोट्स।