आर्किमिडीज़ समूह

संक्षिप्त बीजगणित में, गणित की एक शाखा, आर्किमिडीयन समूह से सम्बंधित रैखिक रूप से आदेशित समूह है जिसके लिए आर्किमिडीयन विशेषताओं का पालन करती है: प्रत्येक दो सकारात्मक समूह तत्व एक दूसरे के पूर्णांक गुणकों से बंधे होते हैं। जोड़ की संक्रिया (गणित) के साथ वास्तविक संख्याओं का समुच्चय और संख्याओं के युग्मों के बीच सामान्य क्रमबद्ध संबंध एक आर्किमिडीयन समूह है। ओटो होल्डर के परिणामस्वरूप, प्रत्येक आर्किमिडीयन समूह इस समूह के एक उपसमूह के लिए समूह समरूपता है। आर्किमिडीज नाम ओटो स्टोल्ज़ से आया है, जिन्होंने आर्किमिडीज़ के कार्यों में इसकी उपस्थिति के बाद आर्किमिडीज़ विशेषताओं का नामकरण किया।

परिभाषा
एक समूह (गणित) में तत्वों का समूह होता है, एक साहचर्य जोड़ संक्रिया जो तत्वों के जोड़े को संयुग्मित करता है और एक तत्व देता है, एक पहचान तत्व (या शून्य तत्व) जिसका योग किसी अन्य तत्व के साथ दूसरा अन्य तत्व है, और एक व्युत्क्रम तत्व संक्रिया जैसे कि किसी भी तत्व और उसके व्युत्क्रम का योग शून्य है। एक समूह रैखिक रूप से आदेशित समूह है, इसके अलावा, इसके तत्व इस तरह से रैखिक क्रम में हो सकते हैं जो समूह संचालन के अनुकूल हो: सभी तत्वों x, y, और z के लिए, यदि x ≤ y तो x + z ≤ y + z और z + x ≤ z + y.

अंकन n (जहाँ n एक प्राकृतिक संख्या है) a की n प्रतियों के समूह योग के लिए है। एक 'आर्किमिडीयन समूह' (g, +, ≤) निम्नलिखित अतिरिक्त शर्त, आर्किमिडीयन विशेषताओं के अधीन एक रैखिक रूप से क्रमबद्ध समूह है: g में प्रत्येक a और b के लिए जो 0 से अधिक हैं, एक प्राकृतिक संख्या n खोजना संभव है जिसके लिए असमानता b ≤ na रखती है। एक समतुल्य परिभाषा यह है कि एक आर्किमिडीयन समूह बिना किसी परिबद्ध चक्रीय समूह उपसमूह के एक रैखिक रूप से आदेशित समूह है: इसमें एक चक्रीय उपसमूह S और एक तत्व x सम्मिलित नहीं है जिसमें S में सभी तत्वों से अधिक x है। यह देखने में सीधा है कि यह दूसरी परिभाषा के समतुल्य है: तत्वों a और b की जोड़ी के लिए आर्किमिडीयन गुण केवल यह कथन है कि a द्वारा उत्पन्न चक्रीय उपसमूह b से घिरा नहीं है।

आर्किमिडीयन समूहों के उदाहरण
पूर्णांकों के समुच्चय, परिमेय संख्याएँ, और वास्तविक संख्याएँ, साथ में जोड़ की संक्रिया और सामान्य क्रम (≤), आर्किमिडीयन समूह हैं। एक आर्किमिडीज़ समूह का प्रत्येक उपसमूह स्वयं आर्किमिडीज़ है, इसलिए यह अनुसरण करता है कि इन समूहों का प्रत्येक उपसमूह, जैसे कि सम संख्याओं का योज्य समूह या डाइएडिक परिमेय भी, एक आर्किमिडीज़ समूह बनाता है।

सम्पर्क (तर्क), जैसा कि ओटो होल्डर ने दिखाया, प्रत्येक आर्किमिडीज़ समूह वास्तविक संख्याओं के एक उपसमूह के लिए समरूपी (एक आदेशित समूह के रूप में) है।  यह इस बात का अनुसरण करता है कि प्रत्येक आर्किमिडीज़ समूह आवश्यक रूप से एक एबेलियन समूह है: इसका जोड़ संचालन क्रमविनिमेय विशेषता होना चाहिए।

गैर-आर्किमिडीयन समूहों के उदाहरण
ऐसे समूह जिन्हें रैखिक रूप से क्रमबद्ध नहीं किया जा सकता है, जैसे परिमित समूह, आर्किमिडीज़ नहीं हैं। एक अन्य उदाहरण के लिए, p-एडिक संख्या देखें, संख्याओं की एक प्रणाली जो परिमेय संख्याओं को वास्तविक संख्याओं से भिन्न तरीके से सामान्यीकृत करती है।

गैर-आर्किमिडीयन आदेशित समूह भी सम्मिलित हैं; क्रमित समूह (G, +, ≤) को निम्नानुसंक्षिप्त परिभाषित किया गया है जो आर्किमिडीज़ नहीं है। जी के तत्वों को यूक्लिडियन विमान के बिंदु होने दें, जो उनके कार्टेशियन निर्देशांक द्वारा दिए गए हैं: वास्तविक संख्याओं के जोड़े (x, y)। समूह जोड़ने की कार्रवाई बिंदुवार (वेक्टर) जोड़ होने दें, और इन बिंदुओं को लेक्सिकोग्राफिक ऑर्डर में व्यवस्थित करें: यदि a = (u, v) और b = (x, y), तो a + b = (u + x, v + y) ), और a ≤ b बिल्कुल जब या तो v < y या v = y और u ≤ x। फिर यह एक आदेशित समूह देता है, लेकिन वह जो आर्किमिडीज़ नहीं है। इसे देखने के लिए, तत्वों (1, 0) और (0, 1) पर विचार करें, जो दोनों समूह के शून्य तत्व (मूल (गणित)) से अधिक हैं। प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए, यह इन परिभाषाओं से अनुसरण करता है कि n (1, 0) = (n, 0) < (0, 1), इसलिए ऐसा कोई n नहीं है जो आर्किमिडीज़ गुण को संतुष्ट करता हो। इस समूह को एक वास्तविक संख्या और एक अतिसूक्ष्म जोड़े के योगात्मक समूह के रूप में माना जा सकता है, $$(x, y) = x \epsilon + y,$$ कहाँ $$\epsilon$$ एक इकाई अपरिमेय है: $$\epsilon > 0$$ लेकिन $$\epsilon < y$$ किसी भी सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए $$y > 0$$. गैर-आर्किमिडीयन आदेशित क्षेत्रों को समान रूप से परिभाषित किया जा सकता है, और उनके योगात्मक समूह गैर-आर्किमिडीयन आदेशित समूह हैं। इनका उपयोग गैर-मानक विश्लेषण में किया जाता है, और इसमें अतिवास्तविक संख्याएँ और वास्तविक संख्याएँ शामिल होती हैं।

जबकि गैर-आर्किमिडीयन आदेशित समूहों को वास्तविक संख्याओं में अंतःस्थापित नहीं किया जा सकता है, वे हान अंतःस्थापन प्रमेय द्वारा, शाब्दिक क्रम के साथ, वास्तविक संख्याओं की शक्ति में सन्निहित हो सकते हैं; ऊपर दिया गया उदाहरण 2-आयामी मामला है।

अतिरिक्त गुण
प्रत्येक आर्किमिडीज़ समूह के पास वह गुण होता है, जो समूह के प्रत्येक डेडेकाइंड कट के लिए, और प्रत्येक समूह तत्व ε > 0 के लिए, कट के निचले भाग पर x के साथ और कट के ऊपरी भाग पर x + ε के साथ एक अन्य समूह तत्व x सम्मिलित होता है. हालांकि, समान विशेषताओं वाले गैर-आर्किमिडीयन आदेशित समूह सम्मिलित हैं। तथ्य यह है कि आर्किमिडीज़ समूह एबेलियन हैं सामान्यीकृत किया जा सकता है: इस विशेषताओं के साथ प्रत्येक आदेशित समूह एबेलियन है।

सामान्यीकरण
आर्किमिडीयन समूहों को आर्किमिडीयन मोनोइड्स के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, रैखिक क्रम मोनोइड्स जो आर्किमिडीज़ विशेषताओं का पालन करते हैं। उदाहरणों में सामान्य बाइनरी संक्रिया के साथ प्राकृतिक संख्याएं, गैर-ऋणात्मक परिमेय संख्याएं और गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याएं शामिल हैं $$+$$ और आदेश $$<$$. आर्किमिडीयन समूहों के समान गणितीय प्रमाण के माध्यम से, आर्किमिडीयन मोनोइड्स को क्रमविनिमेय मोनोइड दिखाया जा सकता है।

यह भी देखें

 * आर्किमिडीयन तुल्यता