रेलेक्स टेट्राहेड्रॉन

Reuleaux टेट्राहेड्रॉन त्रिज्या s की चार बॉल (गणित) का प्रतिच्छेदन है, जो पार्श्व लंबाई s के साथ एक नियमित चतुर्पाश्वीय  के वर्टेक्स (ज्यामिति) पर केंद्रित है। प्रत्येक शीर्ष पर केन्द्रित गेंद की गोलाकार सतह अन्य तीन शीर्षों से होकर गुजरती है, जो रेलेक्स टेट्राहेड्रॉन के शीर्ष भी बनाते हैं। इस प्रकार प्रत्येक गेंद का केंद्र अन्य तीन गेंदों की सतहों पर होता है। रेलेक्स टेट्राहेड्रॉन में नियमित टेट्राहेड्रॉन के समान चेहरे की संरचना होती है, लेकिन घुमावदार चेहरों के साथ: चार कोने, और चार घुमावदार चेहरे, छह गोलाकार-चाप किनारों से जुड़े होते हैं।

इस आकार को परिभाषित किया गया है और Reuleaux त्रिकोण के अनुरूप नाम दिया गया है, जो निरंतर चौड़ाई का द्वि-आयामी वक्र है; दोनों आकृतियों का नाम 19वीं सदी के एक जर्मन इंजीनियर फ्रांज रेलॉक्स के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने मशीनों द्वारा एक प्रकार की गति को दूसरे में बदलने के तरीकों पर अग्रणी काम किया था। गणितीय साहित्य में बार-बार दावा किया जा सकता है कि रेलेक्स टेट्राहेड्रॉन समान रूप से निरंतर चौड़ाई की सतह है, लेकिन यह सच नहीं है: विपरीत किनारों के दो मध्य बिंदु एक बड़ी दूरी से अलग होते हैं,
 * $$\left(\sqrt3 - \frac{\sqrt2}2 \right) \cdot s\approx 1.0249s.$$

मात्रा और सतह क्षेत्र
रेलॉक्स टेट्राहेड्रॉन का आयतन है
 * $$\frac{s^3}{12}(3\sqrt2 - 49\pi + 162\tan^{-1}\sqrt{2}\;\!)=\frac{s^3}{12}\left(32\pi-81\cos^{-1}\left(\tfrac 1 3\right)+3\sqrt{2}\right)\approx 0.422s^3.$$

पृष्ठीय क्षेत्रफल है


 * $$\left[8\pi -18\cos^{-1}\left(\tfrac 1 3\right)\right] s^2 \approx 2.975s^2.$$

मीस्नर बॉडीज
अर्न्स्ट मीस्नर और फ्रेडरिक शिलिंग एक गोलाकार चाप के घूर्णन की सतहों के रूप में गठित घुमावदार पैच द्वारा इसके तीन किनारे वाले चापों को बदलकर, स्थिर चौड़ाई की सतह बनाने के लिए रेउलॉक्स टेट्राहेड्रॉन को संशोधित करने का तरीका दिखाया। जिसके अनुसार तीन किनारे चापों को प्रतिस्थापित किया जाता है (तीन जिनमें एक सामान्य शीर्ष या तीन जो त्रिभुज बनाते हैं) परिणामस्वरूप दो गैर-समरूप आकार होते हैं जिन्हें कभी-कभी मीस्नर बॉडी या मीस्नर टेट्राहेड्रा कहा जाता है।

बोनेसेन और फेनशेल अनुमान लगाया गया है कि मीस्नर टेट्राहेड्रा निरंतर चौड़ाई के न्यूनतम-आयतन वाले त्रि-आयामी आकार हैं, एक अनुमान जो अभी भी खुला है। इस समस्या के संबंध में कैंपी, कोलेसांति और ग्रोन्ची दिखाया गया है कि निरंतर चौड़ाई के साथ क्रांति की न्यूनतम आयतन सतह एक रेलेक्स त्रिकोण की अपनी समरूपता अक्षों में से एक के माध्यम से क्रांति की सतह है।

मैन रे की पेंटिंग्स में से एक, हेमलेट, मीस्नर टेट्राहेड्रॉन की ली गई तस्वीर पर आधारित थी, जिसे उन्होंने शेक्सपियर के छोटा गांव से योरिक की खोपड़ी और ओफेलिया के स्तन दोनों के समान माना।

बाहरी संबंध

 * There are also films and even interactive pictures of both Meissner bodies.
 * Includes 3D pictures and link to mathematical paper showing proof of constant width.
 * Includes 3D pictures and link to mathematical paper showing proof of constant width.