द्विघात अवकल

गणित में, रीमैन समष्टि पर द्विघात अवकल होलोमार्फिक कोटैंजेंट बंडल के सममित वर्ग का खंड है। यदि अनुभाग होलोमोर्फिक है, इस प्रकार द्विघात अवकल को होलोमोर्फिक कहा जाता है। रीमैन समष्टि पर होलोमोर्फिक द्विघात अवकलों के सदिश समिष्ट की रीमैन मॉड्यूलि स्पेस, या टेइचमुलर स्पेस के कोटैंजेंट स्पेस के रूप में प्राकृतिक व्याख्या है।

स्थानीय रूप
एक डोमेन पर प्रत्येक द्विघात अवकल $$U$$ सम्मिश्र तल में इस प्रकार $$f(z) \,dz \otimes dz$$ लिखा जा सकता है, जहाँ $$z$$ सम्मिश्र चर है, और इस प्रकार $$f$$ पर सम्मिश्र-मूल्यवान फलन $$U$$ है ऐसा स्थानीय द्विघात अवकल होलोमोर्फिक है यदि और केवल यदि $$f$$ होलोमोर्फिक फलन है। इस प्रकार चार्ट $$\mu$$ दिया गया है जिसमे $$R$$ सामान्य रीमैन समष्टि के लिए और द्विघात अवकल $$q$$ पर $$R$$, पुल बैक $$(\mu^{-1})^*(q)$$ सम्मिश्र तल में किसी डोमेन पर द्विघात अवकल को परिभाषित करता है।

एबेलियन अवकल से संबंध
यदि $$\omega$$ रीमैन समष्टि पर एबेलियन अवकल है इस प्रकार $$\omega \otimes \omega$$ द्विघात अवकल है.

एकवचन यूक्लिडियन संरचना
होलोमोर्फिक द्विघात अवकल $$q$$ रीमैनियन मीट्रिक $$|q|$$ निर्धारित करता है इसके शून्यों के पूरक पर. इस प्रकार यदि $$q$$ सम्मिश्र तल में डोमेन पर परिभाषित किया गया है, और $$q = f(z) \,dz \otimes dz$$, इस प्रकार संबंधित रीमैनियन मीट्रिक $$|f(z)|(dx^2 + dy^2)$$ है, जहाँ $$z = x + iy$$. तब से $$f$$ होलोमोर्फिक है, इस मीट्रिक की वक्रता शून्य है। इस प्रकार, होलोमोर्फिक द्विघात अवकल समुच्चय के पूरक पर फ्लैट मीट्रिक $$z$$ को परिभाषित करता है ऐसा है कि $$f(z) = 0$$.

संदर्भ

 * Kurt Strebel, Quadratic differentials. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), 5. Springer-Verlag, Berlin, 1984. xii + 184 pp. ISBN 3-540-13035-7.
 * Y. Imayoshi and M. Taniguchi, M. An introduction to Teichmüller spaces. Translated and revised from the Japanese version by the authors. Springer-Verlag, Tokyo, 1992. xiv + 279 pp. ISBN 4-431-70088-9.
 * Frederick P. Gardiner, Teichmüller Theory and Quadratic Differentials. Wiley-Interscience, New York, 1987. xvii + 236 pp. ISBN 0-471-84539-6.