रीमैन वक्रता टेन्सर

अंतर ज्यामिति के गणितीय क्षेत्र में, रीमैन कर्वेचर  टेन्सर  या रीमैन-क्रिस्टोफेल टेंसर (बर्नहार्ड रीमैन और  एल्विन ब्रूनो क्रिस्टोफर  के बाद) [[ रीमैनियन कई गुना ्स की वक्रता]] को व्यक्त करने का सबसे आम तरीका है। यह रिमेंनियन मैनिफोल्ड (अर्थात, यह एक  टेंसर क्षेत्र  है) के प्रत्येक बिंदु को एक टेंसर प्रदान करता है। यह रिमेंनियन मेट्रिक्स का एक स्थानीय अपरिवर्तनीय है जो यात्रा करने के लिए दूसरे सहसंयोजक व्युत्पन्न की विफलता को मापता है। एक रिमेंनियन मैनिफोल्ड में शून्य वक्रता होती है यदि और केवल यदि यह सपाट है, अर्थात यूक्लिडियन अंतरिक्ष के लिए स्थानीय रूप से आइसोमेट्री। वक्रता टेंसर को किसी भी स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है, या वास्तव में किसी भी मैनिफोल्ड को एक affine कनेक्शन से लैस किया जा सकता है।

यह सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत, गुरुत्वाकर्षण के आधुनिक सिद्धांत में एक केंद्रीय गणितीय उपकरण है, और अंतरिक्ष समय  की वक्रता सैद्धांतिक रूप से [[ geodesic  विचलन समीकरण]] के माध्यम से देखी जा सकती है। वक्रता टेन्सर जैकोबी क्षेत्र द्वारा सटीक रूप से बनाए गए एक अर्थ में जियोडेसिक के साथ चलने वाले कठोर शरीर द्वारा अनुभव किए गए ज्वारीय बल का प्रतिनिधित्व करता है।

परिभाषा
चलो (एम, जी) एक रिमेंनियन मैनिफोल्ड या स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड हो, और $$\mathfrak{X}(M)$$ एम पर सभी वेक्टर क्षेत्र का स्थान हो। हम रीमैन वक्रता टेन्सर को मानचित्र के रूप में परिभाषित करते हैं $$R\colon\mathfrak{X}(M)\times\mathfrak{X}(M)\times\mathfrak{X}(M)\rightarrow\mathfrak{X}(M)$$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा कहाँ $$\nabla$$ एक एफ़िन कनेक्शन है:


 * $$R(X, Y)Z = \nabla_X\nabla_Y Z - \nabla_Y \nabla_X Z - \nabla_{[X, Y]} Z$$

या समकक्ष


 * $$R(X, Y) = [\nabla_X,\nabla_Y] - \nabla_{[X, Y]} $$

जहां [X, Y] सदिश क्षेत्रों का लाइ ब्रैकेट है और $$[\nabla_X,\nabla_Y] $$ अंतर ऑपरेटरों का एक कम्यूटेटर है। स्पर्शरेखा सदिशों की प्रत्येक जोड़ी के लिए यू, वी, आर(यू, वी) कई गुना के स्पर्शरेखा स्थान का एक रैखिक परिवर्तन है। यह यू और वी में रैखिक है, और इसलिए एक टेंसर को परिभाषित करता है। कभी-कभी, वक्रता टेंसर को विपरीत चिन्ह के साथ परिभाषित किया जाता है।

यदि $$X = \partial/\partial x^i$$ और $$Y = \partial/\partial x^j$$ वेक्टर क्षेत्रों का समन्वय कर रहे हैं $$[X, Y] = 0$$ और इसलिए सूत्र को सरल करता है
 * $$R(X, Y)Z = \nabla_X\nabla_Y Z - \nabla_Y\nabla_X Z .$$

वक्रता टेंसर सहसंयोजक व्युत्पन्न की गैर-अनुक्रमिकता को मापता है, और इस तरह यूक्लिडियन अंतरिक्ष के साथ एक आइसोमेट्री के अस्तित्व के लिए अभिन्नता की स्थिति है (इस संदर्भ में, फ्लैट स्पेस कहा जाता है)। रैखिक परिवर्तन $$w \mapsto R(u, v)w$$ वक्रता परिवर्तन या एंडोमोर्फिज्म भी कहा जाता है।

वक्रता सूत्र को दूसरे सहसंयोजक व्युत्पन्न के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है:
 * $$\nabla^2_{u,v} w = \nabla_u\nabla_v w - \nabla_{\nabla_u v} w $$

जो यू और वी में रैखिक है। फिर:


 * $$R(u, v) = \nabla^2_{u,v} - \nabla^2_{v,u} $$

इस प्रकार गैर-समन्वित वैक्टर यू और वी के सामान्य स्थितियोंमें, वक्रता टेंसर दूसरे सहसंयोजक व्युत्पन्न की गैर-अनुक्रमणीयता को मापता है।

अनौपचारिक रूप से
एक टेनिस कोर्ट और पृथ्वी की तुलना करके घुमावदार स्थान के प्रभाव को देख सकते हैं। टेनिस कोर्ट के निचले दाएं कोने से प्रारंभ करें, एक रैकेट को उत्तर की ओर फैलाकर रखें। फिर कोर्ट की रूपरेखा के चारों ओर घूमते हुए, प्रत्येक चरण पर सुनिश्चित करें कि टेनिस रैकेट उसी ओरिएंटेशन में बनाए रखा जाता है, इसके पिछले पदों के समानांतर। एक बार लूप पूरा हो जाने के बाद टेनिस रैकेट अपनी आरंभिक स्थिति के समानांतर हो जाएगा। ऐसा इसलिए है क्योंकि टेनिस कोर्ट बने होते हैं इसलिए सतह समतल होती है। दूसरी ओर, पृथ्वी की सतह घुमावदार है: हम पृथ्वी की सतह पर एक लूप पूरा कर सकते हैं। भूमध्य रेखा से शुरू होकर, पृथ्वी की सतह के साथ एक टेनिस रैकेट उत्तर की ओर इंगित करें। संदर्भ के रूप में क्षितिज के स्थानीय तल का उपयोग करते हुए एक बार फिर टेनिस रैकेट हमेशा अपनी पिछली स्थिति के समानांतर रहना चाहिए। इस रास्ते के लिए पहले उत्तरी ध्रुव पर चलें, फिर 90 डिग्री मुड़ें और भूमध्य रेखा की ओर चलें, और अंत में 90 डिग्री मुड़ें और शुरुआत में वापस चलें। हालाँकि अब टेनिस रैकेट पीछे की ओर (पूर्व की ओर) इशारा करेगा। यह प्रक्रिया पथ के साथ एक वेक्टर के समानांतर परिवहन के समान है और अंतर यह पहचानता है कि कैसे सीधी दिखाई देने वाली रेखाएं केवल स्थानीय रूप से सीधी होती हैं। हर बार एक लूप पूरा होने पर टेनिस रैकेट अपनी प्रारंभिक स्थिति से दूरी और सतह की वक्रता के आधार पर आगे की ओर विक्षेपित हो जाएगा। एक घुमावदार सतह के साथ पथों की पहचान करना संभव है जहां समांतर परिवहन कार्य करता है जैसा कि यह समतल स्थान पर करता है। ये अंतरिक्ष के जियोडेसिक हैं, उदाहरण के लिए किसी गोले के बड़े वृत्त का कोई खंड।

गणित में घुमावदार स्थान की अवधारणा संवादात्मक उपयोग से भिन्न है। उदाहरण के लिए, यदि उपरोक्त प्रक्रिया को एक सिलेंडर पर पूरा किया गया था, तो यह पाया जाएगा कि यह समग्र रूप से घुमावदार नहीं है क्योंकि सिलेंडर के चारों ओर की वक्रता सिलेंडर के साथ समतलता के साथ रद्द हो जाती है, यह गॉसियन वक्रता और गॉस के प्रमेय एग्रेगियम का परिणाम है। इसका एक परिचित उदाहरण एक फ़्लॉपी पिज़्ज़ा स्लाइस है जो अपनी चौड़ाई के साथ घुमावदार होने पर अपनी लंबाई के साथ कठोर रहेगा।

रीमैन कर्वेचर टेंसर आंतरिक वक्रता के माप को कैप्चर करने का एक तरीका है। जब आप इसे इसके घटकों के संदर्भ में लिखते हैं (जैसे एक सदिश के घटकों को लिखना), तो इसमें आंशिक डेरिवेटिव के योगों और उत्पादों की एक बहु-आयामी सरणी होती है (उनमें से कुछ आंशिक डेरिवेटिव को कैप्चरिंग के समान माना जा सकता है। घुमावदार सतह पर सीधी रेखाओं में चलने वाले व्यक्ति पर लगाई गई वक्रता)।

औपचारिक रूप से
जब एक यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक वेक्टर एक पाश के चारों ओर समानांतर ले जाया जाता है, तो यह अपनी मूल स्थिति में लौटने के बाद फिर से प्रारंभिक दिशा में इंगित करेगा। चूंकि, यह संपत्ति सामान्य स्थितियोंमें नहीं होती है। रीमैन कर्वेचर टेन्सर सीधे तौर पर एक सामान्य रीमैनियन मैनिफोल्ड में इसकी विफलता को मापता है। इस विफलता को कई गुना गैर-पवित्रता के रूप में जाना जाता है।

होने देना $$x_t$$ एक Riemannian कई गुना में एक वक्र बनें $$M$$. द्वारा निरूपित करें $$\tau_{x_t}:T_{x_0}M \to T_{x_t}M$$ साथ में समानांतर परिवहन मानचित्र $$x_t$$. समांतर परिवहन मानचित्र सहसंयोजक व्युत्पन्न से संबंधित हैं

\nabla_{\dot{x}_0} Y = \lim_{h\to 0} \frac{1}{h}\left(Y_{x_0} - \tau^{-1}_{x_h}\left(Y_{x_h}\right)\right) = \left.\frac{d}{dt}\left(\tau_{x_t}Y\right)\right|_{t=0} $$ प्रत्येक वेक्टर क्षेत्र के लिए $$Y$$ वक्र के साथ परिभाषित।

लगता है कि $$X$$ और $$Y$$ सदिश क्षेत्रों की एक जोड़ी है। इन क्षेत्रों में से प्रत्येक के पड़ोस में डिफियोमोर्फिज्म का एक-पैरामीटर समूह उत्पन्न करता है $$x_0$$. द्वारा निरूपित करें $$\tau_{tX}$$ और $$\tau_{tY}$$, क्रमशः, के प्रवाह के साथ समानांतर परिवहन $$X$$ और $$Y$$ समय के लिए $$t$$. एक वेक्टर का समानांतर परिवहन $$Z \in T_{x_0}M$$ पक्षों के साथ चतुर्भुज के चारों ओर $$tY$$, $$sX$$, $$-tY$$, $$-sX$$ द्वारा दिया गया है
 * $$\tau_{sX}^{-1}\tau_{tY}^{-1}\tau_{sX}\tau_{tY}Z.$$

यह वापसी के लिए समानांतर परिवहन की विफलता को मापता है $$Z$$ स्पर्शरेखा स्थान में अपनी मूल स्थिति में $$T_{x_0}M$$. भेजकर पाश सिकोड़ना $$s, t \to 0$$ इस विचलन का अतिसूक्ष्म विवरण देता है:
 * $$\left.\frac{d}{ds}\frac{d}{dt}\tau_{sX}^{-1}\tau_{tY}^{-1}\tau_{sX}\tau_{tY}Z\right|_{s=t=0} = \left(\nabla_X\nabla_Y - \nabla_Y\nabla_X - \nabla_{[X,Y]}\right)Z = R(X, Y)Z$$

कहाँ $$R$$ रीमैन वक्रता टेन्सर है।

समन्वय अभिव्यक्ति
टेंसर इंडेक्स नोटेशन में परिवर्तित होने पर, रीमैन वक्रता टेन्सर द्वारा दिया जाता है
 * $$R^{\rho}{}_{\sigma\mu\nu} = dx^{\rho}\left(R\left(\partial_{\mu}, \partial_{\nu}\right)\partial_{\sigma}\right)$$

कहाँ $$\partial_{\mu} = \partial/\partial x^{\mu}$$ समन्वय वेक्टर क्षेत्र हैं। उपरोक्त अभिव्यक्ति क्रिस्टोफेल प्रतीकों का उपयोग करके लिखी जा सकती है:

R^{\rho}{}_{\sigma\mu\nu} = \partial_{\mu}\Gamma^{\rho}{}_{\nu\sigma} - \partial_{\nu}\Gamma^{\rho}{}_{\mu\sigma} + \Gamma^{\rho}{}_{\mu\lambda}\Gamma^{\lambda}{}_{\nu\sigma} - \Gamma^{\rho}{}_{\nu\lambda}\Gamma^{\lambda}{}_{\mu\sigma} $$ (रिमानियन ज्यामिति में सूत्रों की सूची भी देखें)।

रीमैन वक्रता टेन्सर भी एक मनमाना कोवेक्टर के सहसंयोजक व्युत्पन्न का कम्यूटेटर है $$A_{\nu}$$ खुद के साथ:
 * $$A_{\nu;\rho\sigma} - A_{\nu;\sigma\rho} = A_{\beta} R^{\beta}{}_{\nu\rho\sigma},$$

कनेक्शन के बाद से (गणित) $$\Gamma^\alpha{}_{\beta\mu}$$ मरोड़ रहित है, जिसका अर्थ है कि मरोड़ टेंसर $$\Gamma^\lambda{}_{\mu\nu} - \Gamma^\lambda{}_{\nu\mu}$$ गायब हो जाता है।

इस सूत्र को अधिकांशतःरिक्की पहचान कहा जाता है। यह रीमैन वक्रता टेन्सर के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए ग्रेगोरियो रिक्की-कर्बस्त्रो और टुल्लियो लेवी-सिविता | लेवी-सिविता द्वारा उपयोग की जाने वाली शास्त्रीय विधि है। इस प्रकार, मात्राओं के समुच्चय का टेन्सर वर्ण $$R^{\beta}{}_{\nu\rho\sigma}$$ सिद्ध होता है।

इस पहचान को मनमाना टेंसरों के दो सहसंयोजक डेरिवेटिव के लिए कम्यूटेटर प्राप्त करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है
 * $$\begin{align}

&\nabla_\delta \nabla_\gamma T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}{}_{\beta_1 \cdots \beta_s} - \nabla_\gamma \nabla_\delta T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}{}_{\beta_1 \cdots \beta_s} \\[3pt] ={} &R^{\alpha_1}{}_{\rho\delta\gamma} T^{\rho\alpha_2 \cdots \alpha_r}{}_{\beta_1 \cdots \beta_s} + \ldots + R^{\alpha_r}{}_{\rho\delta\gamma} T^{\alpha_1 \cdots \alpha_{r-1}\rho}{}_{\beta_1 \cdots \beta_s} - R^{\sigma}{}_{\beta_1\delta\gamma} T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}{}_{\sigma\beta_2 \cdots \beta_s} - \ldots - R^{\sigma}{}_{\beta_s\delta\gamma} T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}{}_{\beta_1 \cdots \beta_{s-1}\sigma} \end{align}$$ यह सूत्र बिना परिवर्तन के टेन्सर घनत्व पर भी लागू होता है, क्योंकि Levi-Civita (जेनेरिक नहीं) कनेक्शन के लिए एक मिलता है:


 * $$\nabla_{\mu}\left(\sqrt{g}\right) \equiv \left(\sqrt{g}\right)_{;\mu} = 0,$$ कहाँ
 * $$g = \left|\det\left(g_{\mu\nu}\right)\right|.$$

कभी-कभी विशुद्ध रूप से सहसंयोजक संस्करण को परिभाषित करना भी सुविधाजनक होता है
 * $$R_{\rho\sigma\mu\nu} = g_{\rho\zeta} R^{\zeta}{}_{\sigma\mu\nu}.$$

समरूपता और पहचान
रीमैन वक्रता टेन्सर में निम्नलिखित समरूपताएँ और सर्वसमिकाएँ हैं: जहां कोष्ठक $$\langle,\rangle$$ मीट्रिक टेंसर द्वारा प्रेरित स्पर्शरेखा स्थान पर आंतरिक उत्पाद को संदर्भित करता है और सूचकांकों पर कोष्ठक और कोष्ठक क्रमशः एंटीसिमेट्रिक टेंसर और सममित टेंसर  ऑपरेटर्स को दर्शाते हैं। यदि गैर-शून्य मरोड़ वाला टेंसर है, तो बियांची की पहचान में मरोड़ वाला टेंसर सम्मिलित है।

पहली (बीजगणितीय) बियांची पहचान ग्रेगोरियो रिक्की-कर्बस्त्रो द्वारा खोजी गई थी, लेकिन इसे अधिकांशतःपहली बियांची पहचान या बीजगणितीय बियांची पहचान कहा जाता है, क्योंकि यह अंतर लुइगी बियांची पहचान के समान दिखता है।

पहली तीन सर्वसमिकाएं वक्रता टेन्सर की सममितियों की एक पूरी सूची बनाती हैं, अर्थात किसी भी टेन्सर को दिया गया है जो उपरोक्त सर्वसमिकाओं को संतुष्ट करता है, किसी बिंदु पर इस तरह के वक्रता टेन्सर के साथ एक रीमैनियन मैनिफोल्ड पाया जा सकता है। सरल गणना दर्शाती है कि ऐसा टेंसर है $$n^2\left(n^2 - 1\right)/12$$ स्वतंत्र घटक। इन्हीं से इंटरचेंज समरूपता का अनुसरण होता है। बीजगणितीय समरूपता भी कहने के बराबर है कि R विभाजन 2 + 2 के अनुरूप युवा समरूपता की छवि से संबंधित है।

एक रिमेंनियन मैनिफोल्ड पर सहसंयोजक व्युत्पन्न होता है $$ \nabla_u R $$ और Bianchi पहचान (अधिकांशतःदूसरी Bianchi पहचान या अंतर Bianchi पहचान कहा जाता है) तालिका में अंतिम पहचान का रूप लेती है।

रिक्की वक्रता
रिक्की वक्रता टेन्सर रीमैन टेन्सर के पहले और तीसरे सूचकांकों का टेन्सर_संकुचन है।

\underbrace{R_{ab}}_{\text{Ricci}} \equiv \underbrace{R^c{}_{acb}}_{\text{Riemann}} = g^{cd} \underbrace{R_{cadb}}_{\text{Riemann}} $$

सतहें
द्वि-आयामी सतह (टोपोलॉजी) के लिए, बियांची पहचान का अर्थ है कि रीमैन टेंसर में केवल एक स्वतंत्र घटक है, जिसका अर्थ है कि रिक्की अदिश रीमैन टेंसर को पूरी तरह से निर्धारित करता है। रीमैन टेंसर के लिए केवल एक मान्य अभिव्यक्ति है जो आवश्यक समरूपता में फिट बैठती है:


 * $$R_{abcd} = f(R) \left(g_{ac}g_{db} - g_{ad}g_{cb}\right)$$

और मीट्रिक के साथ दो बार अनुबंध करके हम स्पष्ट रूप पाते हैं:


 * $$R_{abcd} = K\left(g_{ac}g_{db} - g_{ad}g_{cb}\right) ,$$

कहाँ $$g_{ab}$$ मीट्रिक टेंसर है और $$K = R/2$$ गॉसियन वक्रता नामक एक फ़ंक्शन है और ए, बी, सी और डी मान 1 या 2 लेते हैं। रीमैन टेन्सर में केवल एक कार्यात्मक रूप से स्वतंत्र घटक है। गॉसियन वक्रता सतह के अनुभागीय वक्रता के साथ मेल खाती है। यह 2-मेनिफोल्ड की स्केलर वक्रता का ठीक आधा है, जबकि सतह का रिक्की वक्रता टेन्सर सरल रूप से दिया गया है


 * $$R_{ab} = Kg_{ab}.$$

अंतरिक्ष रूप
एक रीमैनियन मैनिफोल्ड एक अंतरिक्ष रूप है यदि इसका अनुभागीय वक्रता एक स्थिर K के बराबर है। एक अंतरिक्ष रूप का रीमैन टेंसर द्वारा दिया गया है


 * $$R_{abcd} = K\left(g_{ac}g_{db} - g_{ad}g_{cb}\right).$$

इसके विपरीत, आयाम 2 को छोड़कर, यदि किसी रिमेंनियन मैनिफोल्ड की वक्रता में कुछ फ़ंक्शन K के लिए यह रूप है, तो बियांची की पहचान का अर्थ है कि K स्थिर है और इस प्रकार कई गुना (स्थानीय रूप से) एक अंतरिक्ष रूप है।

यह भी देखें

 * सामान्य सापेक्षता के गणित का परिचय
 * रिक्की अपघटन
 * रीमानियन मैनिफोल्ड्स की वक्रता
 * रिक्की वक्रता