आंतरिक मॉडल

समुच्चय सिद्धान्त में गणितीय तर्क की एक शाखा या सिद्धांत T के लिए आंतरिक मॉडल समुच्चय सिद्धांत के एक मॉडल M का एक ढांचा है जो T के लिए एक मॉडल है और इसमें M के सभी अनुक्रम सम्मिलित हैं।

परिभाषा
मान लीजिए $$L = \langle \in \rangle$$ समुच्चय सिद्धांत की भाषा है। मान लीजिए कि S एक विशेष समुच्चय सिद्धांत है, उदाहरण के लिए जेडएफसी अभिगृहीत और मान लीजिए T (संभवतः S के समान) भी $$L$$ में एक सिद्धांत है।

यदि M एस के लिए एक मॉडल है, और एन एक $$L$$ संरचना है जैसे कि


 * N, M की एक उपसंरचना है, अर्थात $$\in_N$$ में $$\in_N$$ की व्याख्या (मॉडल सिद्धांत) $${\in_M} \cap N^2$$ है।
 * N, T के लिए एक मॉडल है
 * 1) N का डोमेन M का सकर्मक वर्ग है
 * 2) N में M की सभी क्रमिक संख्याएँ सम्मिलित हैं

तब हम कहते हैं कि N, T (M में) का एक आंतरिक मॉडल है। सामान्यतः T, S के बराबर (या सम्मिलित) होगा ताकि N, S के मॉडल M के 'अंदर' S के लिए एक मॉडल हो।

यदि केवल शर्तें 1 और 2 प्रयुक्त होती हैं, तो N को T का एक मानक मॉडल (M में) कहा जाता है, T का एक मानक उपमॉडल (यदि S = T और) N, M में एक समुच्चय है। M में T का एक मॉडल N सकर्मक कहलाता है जब यह मानक और स्थिति 3 है। यदि नींव के स्वयंसिद्ध को नहीं माना जाता है (अर्थात, एस में नहीं है) तो इन तीनों अवधारणाओं को अतिरिक्त शर्त दी जाती है कि एन अच्छी तरह से स्थापित हो। इसलिए आंतरिक मॉडल सकर्मक हैं, सकर्मक मॉडल मानक हैं, और मानक मॉडल अच्छी तरह से स्थापित हैं।

यह धारणा कि जेडएफसी (किसी दिए गए ब्रह्मांड में) का एक मानक उपमॉडल सम्मिलित है, इस धारणा से अधिक मजबूत है कि एक मॉडल सम्मिलित है। वास्तव में, यदि कोई मानक उपमॉडल है, तो एक सबसे छोटा मानक उपमॉडल है, जिसे सभी मानक उपमॉडल में निहित 'न्यूनतम मॉडल (समुच्चय सिद्धांत)' कहा जाता है। न्यूनतम उपमॉडल में कोई मानक उपमॉडल नहीं है (क्योंकि यह न्यूनतम है) लेकिन (जेडएफसी की निरंतरता को मानते हुए) इसमें Gödel पूर्णता प्रमेय द्वारा जेडएफसी का कुछ मॉडल सम्मिलित है। यह मॉडल आवश्यक रूप से अच्छी तरह से स्थापित नहीं है अन्यथा इसका मोस्टोव्स्की पतन एक मानक उपमॉडल होगा। (यह ब्रह्मांड में एक संबंध के रूप में अच्छी तरह से स्थापित नहीं है, हालांकि यह नींव के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करता है, इसलिए "आंतरिक रूप से" अच्छी तरह से स्थापित है। अच्छी तरह से स्थापित होना एक पूर्ण विशेषता नहीं है। विशेष रूप से न्यूनतम उपमॉडल में जेडएफसी का एक मॉडल है लेकिन जेडएफसी का कोई मानक उपमॉडल नहीं है।

प्रयोग करें
सामान्यतः जब कोई सिद्धांत के आंतरिक मॉडल के बारे में बात करता है, तो जिस सिद्धांत पर चर्चा की जा रही है वह जेडएफसी या जेडएफसी का कुछ विस्तार है (जैसे ZFC+$$\exists$$ एक औसत दर्जे का कार्डिनल सम्मिलित है)। जब किसी सिद्धांत का उल्लेख नहीं किया जाता है, तो सामान्यतः यह माना जाता है कि चर्चा के तहत मॉडल जेडएफसी का एक आंतरिक मॉडल है। हालाँकि, जेडएफसी (जैसे ZF या KP) के आंतरिक मॉडलों के आंतरिक मॉडल के बारे में बात करना असामान्य नहीं है।

संबंधित विचार
कर्ट गोडेल द्वारा यह साबित किया गया था कि जेडएफ के किसी भी मॉडल में जेडएफ का कम से कम आंतरिक मॉडल है जो कि ZFC + GCH का एक आंतरिक मॉडल भी है जिसे रचनात्मक ब्रह्मांड या एल कहा जाता है।

समुच्चय सिद्धांत की एक शाखा है जिसे इनर मॉडल सिद्धान्त कहा जाता है जो ZF को विस्तारित करने वाले सिद्धांतों के कम से कम आंतरिक मॉडल के निर्माण के तरीकों का अध्ययन करता है। आंतरिक मॉडल सिद्धांत ने कई महत्वपूर्ण समुच्चय सैद्धांतिक गुणों की सटीक स्थिरता शक्ति की खोज की है।

यह भी देखें

 * गणनीय सकर्मक मॉडल और सामान्य फ़िल्टर