विसरण





प्रसार आम तौर पर किसी भी चीज़ (उदाहरण के लिए, परमाणु, आयन, अणु, ऊर्जा) का शुद्ध संचलन है जो आमतौर पर उच्च सांद्रता वाले क्षेत्र से कम सांद्रता वाले क्षेत्र में होता है। प्रसार गिब्स मुक्त ऊर्जा या रासायनिक क्षमता में प्रवणता द्वारा संचालित होता है। स्पिनोडल अपघटन की तरह, कम सांद्रता वाले क्षेत्र से उच्च सांद्रता वाले क्षेत्र में "चढ़ाई" को फैलाना संभव है।

प्रसार की अवधारणा व्यापक रूप से कई क्षेत्रों में उपयोग की जाती है, जिसमें भौतिकी (कण प्रसार), रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान, समाजशास्त्र, अर्थशास्त्र और वित्त (लोगों, विचारों और मूल्य मूल्यों का प्रसार) शामिल हैं। प्रसार का केंद्रीय विचार, हालांकि, इन सभी के लिए सामान्य है: एक पदार्थ या संग्रह जो प्रसार से गुजर रहा है वह उस बिंदु या स्थान से फैलता है जहां उस पदार्थ या संग्रह की उच्च सांद्रता होती है।

प्रवणता एक मात्रा के मूल्य में परिवर्तन है, उदाहरण के लिए, एकाग्रता, दबाव, या तापमान दूसरे चर में परिवर्तन के साथ, आमतौर पर दूरी। किसी दूरी पर सान्द्रता में परिवर्तन को सान्द्रता प्रवणता कहते हैं, दूरी में दाब में परिवर्तन को दाब प्रवणता कहते हैं, और दूरी में तापमान में परिवर्तन को ताप प्रवणता कहते हैं।

प्रसार शब्द लैटिन शब्द से निकला है, जिसके अंतर्गत अंतर है, जिसका अर्थ है "फैलना"।

प्रसार की एक विशिष्ट विशेषता यह है कि यह कण यादृच्छिक चलने पर निर्भर करता है, और निर्देशित बल्क गति की आवश्यकता के बिना मिश्रण या बड़े पैमाने पर परिवहन में परिणाम होता है। बल्क मोशन, या बल्क फ्लो, संवहन की विशेषता है। संवहन शब्द का प्रयोग दोनों परिवहन परिघटनाओं के संयोजन का वर्णन करने के लिए किया जाता है।

यदि किसी प्रसार प्रक्रिया को फ़िक के नियमों द्वारा वर्णित किया जा सकता है, तो इसे सामान्य प्रसार (या फ़िकियन प्रसार) कहा जाता है; अन्यथा, इसे विषम प्रसार (या गैर-फ़िकियन प्रसार) कहा जाता है।

प्रसार की सीमा के बारे में बात करते समय, दो अलग-अलग परिदृश्यों में दो लंबाई के पैमाने का उपयोग किया जाता है:


 * 1) आवेगी बिंदु स्रोत की ब्राउनियन गति (उदाहरण के लिए, इत्र का एक एकल स्प्रे) - इस बिंदु से औसत वर्ग विस्थापन का वर्गमूल। फ़िकियन प्रसार में, यह $$\sqrt{2nDt}$$ है, जहाँ $$n$$ इस ब्राउनियन गति का आयाम है;
 * 2) आयाम में निरंतर एकाग्रता स्रोत-प्रसार की लंबाई। फिकियन विसरण में, यह $$2\sqrt{Dt}$$ है।

प्रसार बनाम बल्क (अधिकांश) प्रवाह
"बल्क फ्लो" एक दबाव प्रवणता (उदाहरण के लिए, नल से निकलने वाला पानी) के कारण पूरे शरीर की गति/प्रवाह है। "डिफ्यूजन" एक शरीर के भीतर एकाग्रता का क्रमिक संचलन/फैलाव है, एक सघनता प्रवणता के कारण, पदार्थ के शुद्ध संचलन के बिना। एक प्रक्रिया का एक उदाहरण जहां थोक गति और प्रसार दोनों होते हैं, वह मानव श्वास है। सबसे पहले, एक "बल्क फ्लो" प्रक्रिया है। फेफड़े वक्ष गुहा में स्थित होते हैं, जो बाहरी श्वसन के पहले चरण के रूप में फैलता है। यह विस्तार फेफड़ों में एल्वियोली की मात्रा में वृद्धि की ओर जाता है, जिससे एल्वियोली में दबाव में कमी होती है। यह अपेक्षाकृत उच्च दबाव पर शरीर के बाहर की हवा और अपेक्षाकृत कम दबाव पर एल्वियोली के बीच दबाव ढाल बनाता है। हवा फेफड़ों के वायुमार्गों के माध्यम से और एल्वियोली में तब तक दबाव प्रवणता को नीचे ले जाती है जब तक कि हवा का दबाव और एल्वियोली में बराबर न हो जाए, यानी बल्क फ्लो द्वारा हवा का संचलन बंद हो जाता है जब दबाव प्रवणता नहीं रह जाती है.

दूसरा, एक "प्रसार" प्रक्रिया होती है। एल्वियोली में पहुंचने वाली हवा में एल्वियोली में "बासी" हवा की तुलना में ऑक्सीजन की अधिक मात्रा होती है। ऑक्सीजन की सांद्रता में वृद्धि एल्वियोली में हवा और एल्वियोली को घेरने वाली केशिकाओं में रक्त के बीच ऑक्सीजन के लिए एक सांद्रता प्रवणता बनाती है। ऑक्सीजन तब विसरण द्वारा, सांद्रण प्रवणता के नीचे, रक्त में जाता है। एल्वियोली में आने वाली हवा का दूसरा परिणाम यह है कि एल्वियोली में कार्बन डाइआक्साइड की सांद्रता कम हो जाती है। यह रक्त से एल्वियोली में फैलने के लिए कार्बन डाइऑक्साइड के लिए एक सघनता ढाल बनाता है, क्योंकि शरीर में रक्त की तुलना में ताजी हवा में कार्बन डाइऑक्साइड की बहुत कम सांद्रता होती है।

तीसरा, एक और "बल्क फ्लो" प्रक्रिया है। हृदय की पंपिंग क्रिया तब रक्त को पूरे शरीर में पहुंचाती है। जैसे ही हृदय का बायां निलय सिकुड़ता है, आयतन घटता है, जिससे निलय में दबाव बढ़ जाता है। यह हृदय और केशिकाओं के बीच एक दबाव प्रवणता बनाता है, और रक्त रक्त वाहिकाओं के माध्यम से दबाव प्रवणता के बल्क प्रवाह से चलता है।

विभिन्न विषयों के संदर्भ में प्रसार
प्रसार की अवधारणा का व्यापक रूप से भौतिकी (कण प्रसार), रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान, समाजशास्त्र, अर्थशास्त्र और वित्त (लोगों, विचारों और मूल्य मूल्यों का प्रसार) में उपयोग किया जाता है। हालाँकि, प्रत्येक मामले में, प्रसार से गुजरने वाला पदार्थ या संग्रह उस बिंदु या स्थान से "फैल रहा है" जहाँ उस पदार्थ या संग्रह की उच्च सांद्रता होती है।

विसरण की धारणा को पेश करने के दो तरीके हैं: या तो फ़िक के विसरण के नियमों और उनके गणितीय परिणामों के साथ शुरू होने वाला एक घटनात्मक दृष्टिकोण या विसरित कणों के यादृच्छिक चलने पर विचार करके एक भौतिक और परमाणु दृष्टिकोण।

परिघटना संबंधी दृष्टिकोण में, विसरण एक पदार्थ का उच्च सांद्रता वाले क्षेत्र से बिना बल्क गति के कम सांद्रता वाले क्षेत्र की ओर गति है। फिक के नियमों के मुताबिक, प्रसार प्रवाह सांद्रता के नकारात्मक ढाल के समानुपाती होता है। यह उच्च सघनता वाले क्षेत्रों से निम्न सान्द्रता वाले क्षेत्रों की ओर जाता है। कुछ समय बाद, ऊष्मप्रवैगिकी और गैर-संतुलन थर्मोडायनामिक्स के ढांचे में फ़िक के नियमों के विभिन्न सामान्यीकरण विकसित किए गए।

परमाणु के दृष्टिकोण से, विसरण को विसरण करने वाले कणों के यादृच्छिक चलने का परिणाम माना जाता है। आणविक प्रसार में, गतिशील अणु तापीय ऊर्जा द्वारा स्व-चालित होते हैं। 1827 में रॉबर्ट ब्राउन द्वारा एक द्रव में निलंबन में छोटे कणों की एक यादृच्छिक चाल की खोज की गई, जिन्होंने पाया कि एक तरल माध्यम में निलंबित सूक्ष्म कण और एक ऑप्टिकल माइक्रोस्कोप के तहत दिखाई देने के लिए पर्याप्त रूप से ज्ञात कणों की एक तीव्र और निरंतर अनियमित गति, ब्राउनियन आंदोलन के रूप में प्रदर्शित करते हैं। ब्राउनियन गति का सिद्धांत और प्रसार की परमाणु पृष्ठभूमि अल्बर्ट आइंस्टीन द्वारा विकसित की गई थी। प्रसार की अवधारणा आम तौर पर किसी भी विषय वस्तु पर लागू होती है जिसमें व्यक्तियों के पहनावे में यादृच्छिक चलना शामिल होता है।

रसायन विज्ञान और सामग्री विज्ञान में, विसरण का अर्थ झरझरा ठोस पदार्थों में द्रव अणुओं की गति है। आणविक प्रसार तब होता है जब किसी अन्य अणु के साथ टकराने की संभावना छिद्र की दीवारों से टकराने की तुलना में अधिक होती है। ऐसी परिस्थितियों में, विसारकता एक गैर-सीमित स्थान के समान है और औसत मुक्त पथ के समानुपाती है। नुडसन प्रसार तब होता है जब छिद्र व्यास छिद्र के माध्यम से फैलाने वाले अणु के औसत मुक्त पथ से तुलनीय या उससे छोटा होता है। इस स्थिति में, छिद्रों की दीवारों से टकराने की संभावना धीरे-धीरे अधिक हो जाती है और प्रसार कम होता है। अंत में, विन्यासात्मक प्रसार होता है, जो तब होता है जब अणुओं का आकार छिद्र के आकार के बराबर होता है। इस स्थिति के तहत, आणविक प्रसार की तुलना में विसरण बहुत कम होता है और अणु के गतिज व्यास में छोटे अंतर के कारण विसरण में बड़े अंतर होते हैं।

प्रसार द्वारा आयनों या अणुओं की गति का वर्णन करने के लिए जीवविज्ञानी अक्सर "नेट मूवमेंट" या "नेट डिफ्यूज़न" शब्द का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, कोशिका झिल्लियों के माध्यम से ऑक्सीजन तब तक फैल सकती है जब तक कोशिका के बाहर ऑक्सीजन की उच्च सांद्रता होती है। हालाँकि, क्योंकि अणुओं की गति यादृच्छिक होती है, कभी-कभी ऑक्सीजन के अणु कोशिका से बाहर निकल जाते हैं (एकाग्रता प्रवणता के विरुद्ध)। चूंकि कोशिका के बाहर अधिक ऑक्सीजन अणु होते हैं, इसलिए ऑक्सीजन अणुओं के कोशिका में प्रवेश करने की संभावना इस संभावना से अधिक होती है कि ऑक्सीजन के अणु कोशिका को छोड़ देंगे। इसलिए, ऑक्सीजन अणुओं का "शुद्ध" आंदोलन (कोशिका में प्रवेश करने वाले या छोड़ने वाले अणुओं की संख्या के बीच का अंतर) कोशिका में होता है। दूसरे शब्दों में, सघनता प्रवणता के नीचे ऑक्सीजन अणुओं का एक शुद्ध संचलन होता है।

भौतिक विज्ञान में प्रसार का इतिहास
समय के दायरे में, प्रसार के सिद्धांत के निर्माण से बहुत पहले ठोस पदार्थों में प्रसार का उपयोग किया गया था। उदाहरण के लिए, प्लिनी द एल्डर  ने पहले सिमेंटेशन प्रक्रिया का वर्णन किया था, जो कार्बन प्रसार के माध्यम से लौह तत्व (Fe) से स्टील का उत्पादन करता है। एक और उदाहरण कई शताब्दियों के लिए अच्छी तरह से जाना जाता है, सना हुआ ग्लास या  मिट्टी के बरतन  और चीनी चीनी मिट्टी के बरतन के रंगों का प्रसार।

आधुनिक विज्ञान में विसरण का पहला व्यवस्थित प्रयोगात्मक अध्ययन थॉमस ग्राहम (रसायनशास्त्री) द्वारा किया गया था। उन्होंने गैसों में प्रसार का अध्ययन किया, और मुख्य घटना का वर्णन उनके द्वारा 1831-1833 में किया गया था: ...विभिन्न प्रकृति की गैसें, जब संपर्क में लाई जाती हैं, तो वे स्वयं को अपने घनत्व के अनुसार व्यवस्थित नहीं करतीं, सबसे भारी अधोतम और सबसे हल्की ऊपर की ओर, लेकिन वे अनायास, परस्पर और समान रूप से, एक दूसरे के माध्यम से फैलती हैं, और इसलिए बनी रहती हैं किसी भी लम्बाई के लिए मिश्रण की अंतरंग अवस्था में। 

ग्राहम की माप ने जेम्स क्लर्क मैक्सवेल  को 1867 में सीओ के प्रसार के गुणांक में योगदान दिया।2 हवा में। त्रुटि दर 5% से कम है।

1855 में, ज्यूरिख के 26 वर्षीय शरीर रचना प्रदर्शक एडॉल्फ फिक  ने फिक के प्रसार के नियमों को प्रस्तावित किया। उन्होंने अंतरिक्ष के एक तत्व में प्रसार के संचालन के लिए एक मौलिक कानून के विकास के रूप में अपने लक्ष्य को बताते हुए ग्राहम के शोध का उपयोग किया। उन्होंने गर्मी या बिजली के प्रसार और चालन के बीच एक गहरी सादृश्यता का दावा किया, थर्मल चालन के समान एक औपचारिकता का निर्माण किया। गर्मी चालन के लिए फूरियर का नियम (1822) और विद्युत प्रवाह के लिए ओम का नियम (1827)।

रॉबर्ट बॉयल ने 17वीं शताब्दी में ठोस पदार्थों में विसरण का प्रदर्शन किया तांबे के सिक्के में जस्ता के प्रवेश द्वारा। फिर भी, 19वीं शताब्दी के दूसरे भाग तक ठोस पदार्थों में प्रसार का व्यवस्थित अध्ययन नहीं किया गया था।  विलियम चांडलर रॉबर्ट्स-ऑस्टेन, प्रसिद्ध ब्रिटिश धातु विज्ञानी और थॉमस ग्राहम के पूर्व सहायक ने 1896 में सीसे में सोने के उदाहरण पर व्यवस्थित रूप से ठोस अवस्था प्रसार का अध्ययन किया।  ... ग्राहम के शोधों के साथ मेरे लंबे संबंध ने धातुओं के तरल प्रसार पर अपने काम का विस्तार करने का प्रयास करना लगभग एक कर्तव्य बना दिया। 

1858 में, रुडोल्फ क्लॉसियस  ने माध्य मुक्त पथ की अवधारणा पेश की। उसी वर्ष, जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने गैसों में परिवहन प्रक्रियाओं का पहला परमाणु सिद्धांत विकसित किया। प्रसार और ब्राउनियन गति का आधुनिक परमाणु सिद्धांत अल्बर्ट आइंस्टीन,  मैरियन स्मोलुचोव्स्की  और  जीन-बैप्टिस्ट पेरिन  द्वारा विकसित किया गया था।  लुडविग बोल्ट्जमैन  ने मैक्रोस्कोपिक परिवहन घटना की परमाणु पृष्ठभूमि के विकास में  बोल्ट्जमैन समीकरण  की शुरुआत की, जिसने 140 से अधिक वर्षों के लिए परिवहन प्रक्रिया के विचारों और चिंताओं के स्रोत के साथ गणित और भौतिकी की सेवा की है। 1920-1921 में, जॉर्ज डे हेवेसी  ने  रेडियो आइसोटोप  का उपयोग करके स्व-प्रसार को मापा। उन्होंने तरल और ठोस सीसे में सीसे के रेडियोधर्मी समस्थानिकों के स्व-प्रसार का अध्ययन किया।

याकोव फ्रेनकेल (कभी-कभी, जैकब / जैकब फ्रेनकेल) ने स्थानीय दोषों (रिक्तियों और  अंतरालीय दोष  परमाणुओं) के माध्यम से क्रिस्टल में प्रसार के विचार को 1926 में प्रस्तावित और विस्तृत किया। उन्होंने निष्कर्ष निकाला, संघनित पदार्थ में प्रसार प्रक्रिया प्राथमिक छलांग और कणों और दोषों के अर्ध-रासायनिक अंतःक्रियाओं का एक संयोजन है। उन्होंने प्रसार के कई तंत्र पेश किए और प्रायोगिक डेटा से दर स्थिरांक पाए।

कुछ समय बाद, कार्ल वैगनर  और वाल्टर एच. शोट्की ने विसरण की क्रियाविधि के बारे में फ्रेंकेल के विचारों को और विकसित किया। वर्तमान में, यह सार्वभौमिक रूप से मान्यता प्राप्त है कि क्रिस्टल में प्रसार के लिए परमाणु दोष आवश्यक हैं।

सह-लेखकों के साथ हेनरी आइरिंग (रसायनशास्त्री) ने अपने संक्रमण अवस्था सिद्धांत  के सिद्धांत को फ्रेनकेल के विसरण के अर्ध-रासायनिक मॉडल पर लागू किया। रासायनिक कैनेटीक्स और प्रसार के बीच सादृश्य फ़िक के कानून के विभिन्न अरैखिक संस्करणों की ओर जाता है।

प्रसार प्रवाह
प्रसार का प्रत्येक मॉडल सांद्रता, घनत्व और उनके डेरिवेटिव के उपयोग के साथ प्रसार प्रवाह को व्यक्त करता है। फ्लक्स एक वेक्टर है $$\mathbf{J}$$ स्थानांतरण की मात्रा और दिशा का प्रतिनिधित्व करता है। एक छोटा सा क्षेत्र  दिया $$\Delta S$$ सामान्य के साथ $$\boldsymbol{\nu}$$ भौतिक मात्रा  का स्थानांतरण $$N$$ क्षेत्र के माध्यम से $$\Delta S$$ समय के लिए $$\Delta t$$ है
 * $$\Delta N = (\mathbf{J},\boldsymbol{\nu}) \,\Delta S \,\Delta t +o(\Delta S \,\Delta t)\, ,$$

कहां $$(\mathbf{J},\boldsymbol{\nu})$$ आंतरिक उत्पाद है और $$o(\cdots)$$ थोड़ा-ओ अंकन  है। यदि हम  वेक्टर क्षेत्र  के अंकन का उपयोग करते हैं $$\Delta \mathbf{S}=\boldsymbol{\nu} \, \Delta S$$ तब
 * $$\Delta N = (\mathbf{J}, \Delta \mathbf{S}) \, \Delta t +o(\Delta \mathbf{S} \,\Delta t)\, . $$

प्रसार प्रवाह का आयामी विश्लेषण [प्रवाह] = [मात्रा]/([समय]·[क्षेत्र]) है। फैलाने वाली भौतिक मात्रा $$N$$ कणों की संख्या, द्रव्यमान, ऊर्जा, विद्युत आवेश या कोई अन्य अदिश व्यापक मात्रा  हो सकती है। इसके घनत्व के लिए, $$n$$, प्रसार समीकरण का रूप है
 * $$\frac{\partial n}{\partial t}= - \nabla \cdot \mathbf{J} +W \, ,$$

कहां $$W$$ इस मात्रा के किसी भी स्थानीय स्रोत की तीव्रता है (उदाहरण के लिए, रासायनिक प्रतिक्रिया की दर)। प्रसार समीकरण के लिए, नो-फ्लक्स सीमा की स्थिति के रूप में तैयार की जा सकती है $$(\mathbf{J}(x),\boldsymbol{\nu}(x))=0$$ सीमा पर, जहां $$\boldsymbol{\nu}$$ बिंदु पर सीमा के लिए सामान्य है $$x$$.

फ़िक का नियम और समीकरण
फ़िक का पहला नियम: प्रसार प्रवाह सांद्रण प्रवणता के ऋणात्मक के समानुपाती होता है:
 * $$\mathbf{J}=-D \,\nabla n \, \;\; J_i=-D \frac{\partial n}{\partial x_i} \ .$$

संबंधित प्रसार समीकरण (फिक का दूसरा नियम) है
 * $$\frac{\partial n(x,t)}{\partial t}=\nabla\cdot( D \,\nabla n(x,t))=D \, \Delta n(x,t)\, $$

कहां $$\Delta$$ लाप्लास ऑपरेटर  है,
 * $$\Delta n(x,t) = \sum_i \frac{\partial^2 n(x,t)}{\partial x_i^2} \ .$$

मल्टीकंपोनेंट डिफ्यूजन और थर्मोडिफ्यूजन
के लिए ऑनसेजर के समीकरण फिक का नियम एक माध्यम में मिश्रण के प्रसार का वर्णन करता है। इस मिश्रण की सघनता कम होनी चाहिए और इस सान्द्रता की प्रवणता भी छोटी होनी चाहिए। फिक के नियम में प्रसार की प्रेरणा शक्ति एकाग्रता का प्रतिगामी है, $$-\nabla n$$.

1931 में, लार्स ऑनसेगर  रैखिक गैर-संतुलन ऊष्मप्रवैगिकी के सामान्य संदर्भ में बहुघटक परिवहन प्रक्रियाओं को शामिल किया। के लिए बहु-घटक परिवहन,
 * $$\mathbf{J}_i=\sum_j L_{ij} X_j \, ,$$

कहां $$\mathbf{J}_i$$ iवें भौतिक मात्रा (घटक) का प्रवाह है और $$X_j$$ jवें संयुग्मी चर (थर्मोडायनामिक्स) है।

एन्ट्रापी घनत्व के डेरिवेटिव्स के स्पेस ग्रेडियेंट के रूप में परिवहन प्रक्रियाओं के लिए थर्मोडायनामिक बलों को ऑनसेजर द्वारा पेश किया गया था। $$s$$ (उन्होंने उद्धरण चिह्नों या ड्राइविंग बल में शब्द बल का प्रयोग किया):
 * $$X_i= \nabla \frac {\partial s(n)}{\partial n_i}\, ,$$

कहां $$n_i$$ थर्मोडायनामिक निर्देशांक हैं। गर्मी और बड़े पैमाने पर स्थानांतरण के लिए कोई भी ले सकता है $$n_0=u$$ (आंतरिक ऊर्जा का घनत्व) और $$n_i$$ की सांद्रता है $$i$$वें घटक। संबंधित ड्राइविंग बल अंतरिक्ष वैक्टर हैं
 * $$X_0= \nabla \frac{1}{T}\, \;\;\; X_i= - \nabla \frac{\mu_i}{T} \; (i >0) ,$$ चूंकि $$\mathrm{d}s = \frac{1}{T} \,\mathrm{d}u-\sum_{i \geq 1} \frac{\mu_i}{T} \, {\rm d} n_i$$

जहाँ T पूर्ण तापमान है और $$\mu_i$$ की रासायनिक क्षमता है $$i$$वें घटक। यह जोर दिया जाना चाहिए कि अलग-अलग प्रसार समीकरण थोक गति के बिना मिश्रण या बड़े पैमाने पर परिवहन का वर्णन करते हैं। इसलिए, कुल दबाव की भिन्नता वाली शर्तों की उपेक्षा की जाती है। छोटे मिश्रणों के प्रसार और छोटे ग्रेडियेंट के लिए यह संभव है।

रैखिक ऑनसेजर समीकरणों के लिए, हमें थर्मोडायनामिक बलों को संतुलन के निकट रैखिक सन्निकटन में लेना चाहिए:
 * $$X_i= \sum_{k \geq 0} \left.\frac{\partial^2 s(n)}{\partial n_i \, \partial n_k}\right|_{n=n^*} \nabla n_k \ ,$$

जहां के डेरिवेटिव $$s$$ संतुलन पर गणना की जाती है $$n^*$$. काइनेटिक गुणांक का मैट्रिक्स $$L_{ij}$$ सममित होना चाहिए (ऑनसेजर पारस्परिक संबंध) और सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स  ( ऊष्मप्रवैगिकी का दूसरा नियम )।

परिवहन समीकरण हैं
 * $$\frac{\partial n_i}{\partial t}= - \operatorname{div} \mathbf{J}_i =- \sum_{j\geq 0} L_{ij}\operatorname{div} X_j = \sum_{k\geq 0} \left[-\sum_{j\geq 0} L_{ij} \left.\frac{\partial^2 s(n)}{\partial n_j \, \partial n_k}\right|_{n=n^*}\right] \, \Delta n_k\ .$$

यहाँ, सभी index i, j, k = 0, 1, 2, ... आंतरिक ऊर्जा (0) और विभिन्न घटकों से संबंधित हैं। वर्ग कोष्ठक में अभिव्यक्ति मैट्रिक्स है $$D_{ik}$$ प्रसार (i,k > 0), थर्मोडिफ़्यूज़न (i > 0, k = 0 or k > 0, i = 0) और तापीय चालकता (i = k = 0) गुणांक।

इज़ोटेर्मल प्रक्रिया के तहत टी = स्थिर। प्रासंगिक थर्मोडायनामिक क्षमता मुक्त ऊर्जा (या  मुक्त एन्ट्रापी ) है। इज़ोटेर्मल डिफ्यूज़न के लिए थर्मोडायनामिक ड्राइविंग बल रासायनिक क्षमता के एंटीग्रेडिएंट हैं, $$-(1/T)\,\nabla\mu_j$$, और प्रसार गुणांक का मैट्रिक्स है
 * $$D_{ik}=\frac{1}{T}\sum_{j\geq 1} L_{ij} \left.\frac{\partial \mu_j(n,T)} { \partial n_k}\right|_{n=n^*}$$

(आई,के > 0)।

थर्मोडायनामिक बलों और गतिज गुणांक की परिभाषा में आंतरिक मनमानापन है क्योंकि वे अलग-अलग मापने योग्य नहीं हैं और केवल उनके संयोजन हैं $\sum_j L_{ij}X_j$ मापा जा सकता है। उदाहरण के लिए, ऑनसेगर के मूल कार्य में थर्मोडायनामिक बलों में अतिरिक्त गुणक टी शामिल है, जबकि सैद्धांतिक भौतिकी के पाठ्यक्रम में इस गुणक को छोड़ दिया जाता है लेकिन थर्मोडायनामिक बलों का चिह्न विपरीत होता है। ये सभी परिवर्तन गुणांकों में संबंधित परिवर्तनों के पूरक हैं और मापने योग्य मात्राओं को प्रभावित नहीं करते हैं।

नॉनडायगोनल डिफ्यूजन नॉनलाइनियर
होना चाहिए रैखिक अपरिवर्तनीय ऊष्मप्रवैगिकी (ऑनसेजर) की औपचारिकता के रूप में रैखिक प्रसार समीकरणों की प्रणाली उत्पन्न करती है
 * $$\frac{\partial c_i}{\partial t} = \sum_j D_{ij} \, \Delta c_j.$$

यदि प्रसार गुणांक का मैट्रिक्स विकर्ण है, तो समीकरणों की यह प्रणाली विभिन्न घटकों के लिए अलग-अलग फ़िक के समीकरणों का एक संग्रह है। मान लें कि प्रसार गैर-विकर्ण है, उदाहरण के लिए, $$D_{12} \neq 0$$, और राज्य के साथ विचार करें $$c_2 = \cdots = c_n = 0$$. इस अवस्था में, $$\partial c_2 / \partial t = D_{12} \, \Delta c_1$$. यदि $$D_{12} \, \Delta c_1(x) < 0$$ कुछ बिंदुओं पर, फिर $$c_2(x)$$ कम समय में इन बिंदुओं पर ऋणात्मक हो जाता है। इसलिए, रैखिक गैर-विकर्ण प्रसार सांद्रता की सकारात्मकता को संरक्षित नहीं करता है। बहुघटक प्रसार के गैर-विकर्ण समीकरण गैर-रैखिक होने चाहिए।

आइंस्टीन की गतिशीलता और टेरेल सूत्र
आइंस्टीन संबंध (गतिज सिद्धांत) प्रसार गुणांक और गतिशीलता को जोड़ता है (कण के टर्मिनल बहाव वेग का एक लागू बल का अनुपात)
 * $$ D = \frac{\mu \, k_\text{B} T}{q}, $$

जहां D प्रसार का Fick का नियम है, μ गतिशीलता है, kB बोल्ट्जमैन का स्थिरांक है, T परम तापमान है, और q प्राथमिक आवेश है, अर्थात एक इलेक्ट्रॉन का आवेश है।

नीचे, रासायनिक क्षमता μ और गतिशीलता को एक ही सूत्र में संयोजित करने के लिए, हम गतिशीलता के लिए अंकन का उपयोग करते हैं $$\mathfrak{m}$$.

गतिशीलता-आधारित दृष्टिकोण को आगे टी. टेओरेल द्वारा लागू किया गया था। 1935 में, उन्होंने झिल्ली के माध्यम से आयनों के प्रसार का अध्ययन किया। उन्होंने सूत्र में अपने दृष्टिकोण का सार तैयार किया:
 * प्रवाह गतिशीलता × एकाग्रता × बल प्रति ग्राम-आयन के बराबर है।

यह तथाकथित Teorell सूत्र है। शब्द ग्राम-आयन (ग्राम-कण) का उपयोग किसी पदार्थ की मात्रा के लिए किया जाता है जिसमें अवोगाद्रो स्थिरांक | अवोगाद्रो की आयनों की संख्या (कण) होती है। सामान्य आधुनिक शब्द तिल (इकाई)  है।

इज़ोटेर्मल स्थितियों के तहत बल में दो भाग होते हैं: यहाँ R गैस स्थिरांक है, T परम तापमान है, n सघनता है, संतुलन सघनता एक सुपरस्क्रिप्ट eq द्वारा चिह्नित है, q आवेश है और φ विद्युत क्षमता है।
 * 1) एकाग्रता प्रवणता के कारण प्रसार बल: $$-RT \frac{1}{n} \, \nabla n = -RT \, \nabla (\ln(n/n^\text{eq}))$$.
 * 2) विद्युत संभावित ढाल के कारण इलेक्ट्रोस्टैटिक बल: $$q \, \nabla \varphi$$.

फ्लक्स के लिए टेरेल एक्सप्रेशन में टोरेल फॉर्मूला और ऑनसेजर कानूनों के बीच सरल लेकिन महत्वपूर्ण अंतर एकाग्रता कारक है। आइंस्टीन-टेरेल दृष्टिकोण में, यदि परिमित बल के लिए एकाग्रता शून्य हो जाती है तो फ्लक्स भी शून्य हो जाता है, जबकि ऑनसेजर समीकरण इस सरल और भौतिक रूप से स्पष्ट नियम का उल्लंघन करते हैं।

इज़ोटेर्मल स्थितियों के तहत गैर-परिपूर्ण प्रणालियों के लिए टेरेल सूत्र का सामान्य सूत्रीकरण है :$$\mathbf{J} = \mathfrak{m} \exp\left(\frac{\mu - \mu_0}{RT}\right)(-\nabla \mu + (\text{external force per mole})),$$ जहां μ रासायनिक क्षमता है, μ0 रासायनिक क्षमता का मानक मूल्य है। भाव $$a = \exp\left(\frac{\mu - \mu_0}{RT}\right)$$ तथाकथित गतिविधि (रसायन विज्ञान)  है। यह एक गैर-आदर्श मिश्रण में प्रजातियों की प्रभावी एकाग्रता को मापता है। इस संकेतन में फ्लक्स के लिए टेरेल सूत्र का बहुत ही सरल रूप है :$$\mathbf{J} = \mathfrak{m} a (-\nabla \mu + (\text{external force per mole})).$$ गतिविधि के मानक व्युत्पत्ति में एक सामान्यीकरण कारक और छोटी सांद्रता शामिल है $$a = n/n^\ominus + o(n/n^\ominus)$$, कहां $$n^\ominus$$ मानक एकाग्रता है। इसलिए, प्रवाह के लिए यह सूत्र सामान्यीकृत आयाम रहित मात्रा के प्रवाह का वर्णन करता है $$n/n^\ominus$$:
 * $$\frac{\partial (n/n^\ominus)}{\partial t} = \nabla \cdot [\mathfrak{m} a (\nabla \mu - (\text{external force per mole}))].$$

उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय
लैंग्विन समीकरण पर आधारित उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय आइंस्टीन मॉडल को बैलिस्टिक समय के पैमाने तक विस्तारित करने के लिए विकसित किया गया है। लैंगविन के अनुसार, समीकरण न्यूटन के गति के दूसरे नियम पर आधारित है


 * $$m \frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{1}{\mu}\frac{dx}{dt} + F(t) $$

कहां
 * एक्स स्थिति है।
 * μ द्रव या गैस में कण की गतिशीलता है, जिसकी गणना आइंस्टीन संबंध (गतिज सिद्धांत) का उपयोग करके की जा सकती है।
 * m कण का द्रव्यमान है।
 * F कण पर लगाया गया यादृच्छिक बल है।
 * टी समय है।

इस समीकरण को हल करते हुए, किसी ने लंबे समय की सीमा में समय-निर्भर प्रसार स्थिरांक प्राप्त किया और जब कण आसपास के तरल पदार्थ की तुलना में काफी सघन होता है,


 * $$ D(t) = \mu \, k_{\rm B} T(1-e^{-t/(m\mu)}) $$

कहां
 * कB बोल्ट्जमैन स्थिरांक है;
 * टी पूर्ण तापमान है।
 * μ द्रव या गैस में कण की गतिशीलता है, जिसकी गणना आइंस्टीन संबंध (गतिज सिद्धांत) का उपयोग करके की जा सकती है।
 * m कण का द्रव्यमान है।
 * टी समय है।

मल्टीकंपोनेंट डिफ्यूजन के लिए टेओरेल फॉर्मूला
विसरण बल की ऑनसेजर परिभाषा के संयोजन के साथ टेरेल सूत्र देता है
 * $$\mathbf{J}_i = \mathfrak{m_i} a_i \sum_j L_{ij} X_j,$$

कहां $$\mathfrak{m_i}$$ I वें घटक की गतिशीलता है, $$a_i$$ इसकी गतिविधि है, $$L_{ij}$$ गुणांक का मैट्रिक्स है, $$X_j$$ थर्मोडायनामिक प्रसार बल है, $$X_j= -\nabla \frac{\mu_j}{T}$$. इज़ोटेर्मल परफेक्ट सिस्टम के लिए, $$X_j = - R \frac{\nabla n_j}{n_j}$$. इसलिए, आइंस्टीन-टेओरेल दृष्टिकोण बहुघटक प्रसार के लिए फ़िक के नियम के निम्नलिखित बहुघटक सामान्यीकरण देता है:
 * $$\frac{\partial n_i}{\partial t} = \sum_j \nabla \cdot \left(D_{ij}\frac{n_i}{n_j} \nabla n_j\right),$$

कहां $$D_{ij}$$ गुणांक का मैट्रिक्स है। प्रसार#बोल्ट्जमैन के समीकरण के आधार पर गैसों में प्रसार का सिद्धांत|गैसों में प्रसार के लिए चैपमैन-एनस्कॉग सूत्रों में बिल्कुल समान शब्द शामिल हैं। इससे पहले, ऐसे शब्दों को मैक्सवेल-स्टीफन प्रसार समीकरण में पेश किया गया था।

सतह पर और ठोस में कूदता है
एक उत्प्रेरक  का  भूतल प्रसार  विषम कटैलिसीस में महत्वपूर्ण भूमिका निभा सकता है। आदर्श मोनोलेयर में प्रसार का मॉडल निकटतम मुक्त स्थानों पर अभिकर्मकों की छलांग पर आधारित है। इस मॉडल का उपयोग कम गैस के दबाव में Pt ऑक्सीकरण पर CO के लिए किया गया था।

प्रणाली में कई अभिकर्मक शामिल हैं $$A_1,A_2,\ldots, A_m$$ सतह पर। उनकी सतह सांद्रता हैं $$c_1,c_2,\ldots, c_m.$$ सतह सोखना स्थानों की एक जाली है। प्रत्येक अभिकर्मक अणु सतह पर एक जगह भरता है। कुछ स्थान निःशुल्क हैं। मुक्त स्थानों की एकाग्रता है $$z=c_0$$. सभी का योग $$c_i$$ (मुक्त स्थानों सहित) स्थिर है, सोखना स्थानों का घनत्व ख।

जंप मॉडल के प्रसार प्रवाह के लिए देता है $$A_i$$ (मैं = 1, ..., एन):
 * $$\mathbf{J}_i=-D_i[z \, \nabla c_i - c_i \nabla z]\, . $$

संबंधित प्रसार समीकरण है: :$$\frac{\partial c_i}{\partial t}=- \operatorname{div}\mathbf{J}_i=D_i[z \, \Delta c_i - c_i \, \Delta z] \, .$$ संरक्षण कानून के कारण, $$z=b-\sum_{i=1}^n c_i \, ,$$ और हमें एम प्रसार समीकरणों की प्रणाली है। एक घटक के लिए हमें फ़िक का नियम और रेखीय समीकरण मिलते हैं क्योंकि $$(b-c) \,\nabla c- c\,\nabla(b-c) = b\,\nabla c$$. दो या दो से अधिक घटकों के लिए समीकरण अरैखिक होते हैं।

यदि सभी कण अपने निकटतम पड़ोसियों के साथ अपनी स्थिति का आदान-प्रदान कर सकते हैं तो एक साधारण सामान्यीकरण देता है
 * $$\mathbf{J}_i=-\sum_j D_{ij}[c_j \,\nabla c_i - c_i \,\nabla c_j]$$
 * $$\frac{\partial c_i}{\partial t}=\sum_j D_{ij}[c_j \, \Delta c_i - c_i \,\Delta c_j]$$

कहां $$D_{ij} = D_{ji} \geq 0$$ गुणांक का एक सममित मैट्रिक्स है जो कूद की तीव्रता को दर्शाता है। मुक्त स्थानों (रिक्तियों) को सघनता वाले विशेष कण मानना ​​चाहिए $$c_0$$.

इन जंप मॉडल के विभिन्न संस्करण ठोस पदार्थों में सरल प्रसार तंत्र के लिए भी उपयुक्त हैं।

झरझरा मीडिया में प्रसार
झरझरा मीडिया में प्रसार के लिए मूल समीकरण हैं (यदि Φ स्थिर है):
 * $$\mathbf{J}=- \phi D \,\nabla n^m$$
 * $$\frac{\partial n}{\partial t} = D \, \Delta n^m \, ,$$

जहां D प्रसार गुणांक है, Φ सरंध्रता है, n एकाग्रता है, m > 0 (आमतौर पर m > 1, मामला m = 1 फ़िक के नियम से मेल खाता है)।

फ्लक्स शर्तों और संचय शर्तों दोनों में झरझरा माध्यम के सरंध्रता (Φ) के लिए उचित रूप से ध्यान रखा जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, जैसे ही सरंध्रता शून्य हो जाती है, झरझरा माध्यम में दाढ़ का प्रवाह किसी दिए गए सघनता प्रवणता के लिए शून्य हो जाता है। फ्लक्स के विचलन को लागू करने पर, सरंध्रता की शर्तें रद्द हो जाती हैं और ऊपर दूसरा समीकरण बनता है।

झरझरा मीडिया में गैसों के प्रसार के लिए यह समीकरण डार्सी के नियम का औपचारिक रूप है: झरझरा मीडिया में गैस का बड़ा प्रवाह है


 * $$q=-\frac{k}{\mu}\,\nabla p$$

जहाँ k माध्यम का पारगमन है, μ चिपचिपापन है और p दबाव है।

विशेषण दाढ़ प्रवाह के रूप में दिया गया है

जे = एनक्यू

और के लिए $$p \sim n^\gamma$$ डार्सी का नियम झरझरा मीडिया में विसरण का समीकरण m = γ + 1 के साथ देता है।

झरझरा मीडिया में, औसत रेखीय वेग (ν), वॉल्यूमेट्रिक फ्लक्स से संबंधित है:

$$\upsilon= q/\phi$$ एडवेक्टिव मोलर फ्लक्स को डिफ्यूसिव फ्लक्स के साथ मिलाने से एडवेक्शन डिस्पर्सन इक्वेशन मिलता है

$$\frac{\partial n}{\partial t} = D \, \Delta n^m \ - \nu\cdot \nabla n^m,$$ भूमिगत जल घुसपैठ के लिए, Boussinesq सन्निकटन (उछाल)  m = 2 के साथ समान समीकरण देता है।

विकिरण के उच्च स्तर वाले प्लाज्मा के लिए, याकोव बोरिसोविच ज़ेल्डोविच-रेज़र समीकरण गर्मी हस्तांतरण के लिए m > 4 देता है।

गैसों के गतिज सिद्धांत में प्रसार गुणांक
प्रसार गुणांक $$D$$ फ़िक के विसरण के नियमों में गुणांक है | फ़िक का पहला नियम $$J=- D \, \partial n/\partial x $$, जहां J प्रसार प्रवाह ( पदार्थ की मात्रा ) प्रति इकाई क्षेत्र प्रति इकाई समय है, n (आदर्श मिश्रण के लिए) एकाग्रता है, x स्थिति [लंबाई] है।

समान व्यास d और द्रव्यमान m (स्व-प्रसार) के अणुओं वाली दो गैसों पर विचार करें। इस मामले में, प्रसार के प्राथमिक माध्य मुक्त पथ सिद्धांत प्रसार गुणांक के लिए देता है


 * $$D=\frac{1}{3} \ell v_T = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{k_{\rm B}^3}{\pi^3 m}} \frac{T^{3/2}}{Pd^2}\, ,$$

जहां केB बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है, T तापमान है, P दबाव है, $$\ell$$ माध्य मुक्त पथ है, और vTऔसत तापीय गति है:
 * $$\ell = \frac{k_{\rm B}T}{\sqrt 2 \pi d^2 P}\,, \;\;\; v_T=\sqrt{\frac{8k_{\rm B}T}{\pi m}}\, .$$

हम देख सकते हैं कि माध्य मुक्त पथ सन्निकटन में प्रसार गुणांक T के रूप में T के साथ बढ़ता है3/2 और P के साथ 1/P के रूप में घटता है। यदि हम P के लिए आदर्श गैस नियम P = RnT का उपयोग कुल सांद्रता n के साथ करते हैं, तो हम देख सकते हैं कि दी गई सांद्रता n के लिए प्रसार गुणांक T के रूप में T के साथ बढ़ता है1/2 और दिए गए तापमान के लिए यह 1/n के रूप में कुल एकाग्रता के साथ घट जाती है।

आणविक भार m के साथ दो अलग-अलग गैसों A और B के लिएA, एमB और आणविक व्यास डीA, डीB, ए में बी और बी में ए के प्रसार गुणांक का औसत मुक्त पथ अनुमान है:
 * $$D_{\rm AB}=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{k_{\rm B}^3}{\pi^3}}\sqrt{\frac{1}{2m_{\rm A}}+\frac{1}{2m_{\rm B}}}\frac{4T^{3/2}}{P(d_{\rm A}+d_{\rm B})^2}\, ,$$

बोल्ट्जमान के समीकरण
पर आधारित गैसों में विसरण का सिद्धांत गैसों के मिश्रण के बोल्ट्जमैन के कैनेटीक्स में, प्रत्येक गैस का अपना वितरण कार्य होता है, $$f_i(x,c,t)$$, जहाँ t समय क्षण है, x स्थिति है और c मिश्रण के iवें घटक के अणु का वेग है। प्रत्येक घटक का अपना औसत वेग होता है $C_i(x,t) = \frac{1}{n_i} \int_c c f(x,c,t) \, dc$. यदि वेग $$C_i(x,t)$$ मेल नहीं खाते तो प्रसार मौजूद है।

चैपमैन-एनस्कॉग सिद्धांत में | चैपमैन-एनस्कॉग सन्निकटन, सभी वितरण कार्यों को संरक्षित मात्राओं के घनत्व के माध्यम से व्यक्त किया जाता है: * कणों की व्यक्तिगत सांद्रता, $n_i(x,t)=\int_c f_i(x,c,t)\, dc$ (कण प्रति मात्रा), गतिज तापमान T और दबाव P को 3D अंतरिक्ष में परिभाषित किया गया है
 * गति का घनत्व $\sum_i m_i n_i C_i(x,t)$ (एमiiवां कण द्रव्यमान है),
 * गतिज ऊर्जा का घनत्व $$\sum_i \left( n_i\frac{m_i C^2_i(x,t)}{2} + \int_c \frac{m_i (c_i-C_i(x,t))^2}{2} f_i(x,c,t)\, dc \right).$$
 * $$\frac{3}{2}k_{\rm B} T=\frac{1}{n} \int_c \frac{m_i (c_i-C_i(x,t))^2}{2} f_i(x,c,t)\, dc; \quad P=k_{\rm B}nT,$$

कहां $n=\sum_i n_i$ कुल घनत्व है।

दो गैसों के लिए, वेगों के बीच का अंतर, $$C_1-C_2$$ अभिव्यक्ति द्वारा दिया गया है: : $$C_1-C_2=-\frac{n^2}{n_1n_2}D_{12}\left\{ \nabla \left(\frac{n_1}{n} \right)+ \frac{n_1n_2 (m_2-m_1)}{P n (m_1n_1+ m_2n_2)} \nabla P- \frac{m_1 n_1 m_2 n_2}{P(m_1n_1+ m_2n_2)}(F_1-F_2)+k_T \frac{1}{T}\nabla T\right\},$$ कहां $$F_i$$ i वें घटक के अणुओं पर लागू बल है और $$k_T$$ थर्मोडिफ्यूजन अनुपात है।

गुणांक डी12 सकारात्मक है। यह प्रसार गुणांक है। C के सूत्र में चार पद1-सी2 गैसों के प्रसार में चार मुख्य प्रभावों का वर्णन करें:
 * 1) $$\nabla \,\left(\frac{n_1}{n}\right)$$ उच्च अनुपात n वाले क्षेत्रों से पहले घटक के प्रवाह का वर्णन करता है1/n इस अनुपात के निम्न मान वाले क्षेत्रों के लिए (और, समान रूप से उच्च n से दूसरे घटक का प्रवाह2/n से निम्न n2/ एन क्योंकि एन2/n = 1 – n1/एन);
 * 2) $$\frac{n_1n_2 (m_2-m_1)}{n (m_1n_1+m_2n_2)}\nabla P$$ उच्च दबाव वाले क्षेत्रों में भारी अणुओं के प्रवाह और कम दबाव वाले क्षेत्रों में हल्के अणुओं का वर्णन करता है, यह  बैरोडिफ्यूजन  है;
 * 3) $$\frac{m_1 n_1 m_2 n_2}{P(m_1 n_1+ m_2 n_2)}(F_1-F_2)$$ विभिन्न प्रकार के अणुओं पर लागू बलों के अंतर के कारण होने वाले विसरण का वर्णन करता है। उदाहरण के लिए, पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में, भारी अणुओं को नीचे जाना चाहिए, या विद्युत क्षेत्र में आवेशित अणुओं को तब तक गति करनी चाहिए, जब तक कि यह प्रभाव अन्य शब्दों के योग से संतुलित न हो जाए। इस प्रभाव को दबाव प्रवणता के कारण होने वाले बैरोडिफ्यूजन के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए।
 * 4) $$k_T \frac{1}{T}\nabla T$$  थर्मोडिफ्यूजन  का वर्णन करता है, तापमान ढाल के कारण प्रसार प्रवाह।

इन सभी प्रभावों को प्रसार कहा जाता है क्योंकि वे मिश्रण में विभिन्न घटकों के वेगों के बीच अंतर का वर्णन करते हैं। इसलिए, इन प्रभावों को बल्क ट्रांसपोर्ट के रूप में वर्णित नहीं किया जा सकता है और संवहन या संवहन से भिन्न होता है।

पहले सन्निकटन में, * $$D_{12}=\frac{3}{2n(d_1+d_2)^2}\left[\frac{kT(m_1+m_2)}{2\pi m_1m_2} \right]^{1/2}$$ कठोर क्षेत्रों के लिए; जो नंबर $$A_1({\nu})$$ शास्त्रीय चैपमैन और काउलिंग पुस्तक के चतुष्कोण (सूत्र (3.7), (3.9), अध्याय 10) द्वारा परिभाषित किया गया है हम देख सकते हैं कि कठोर क्षेत्रों के लिए T पर निर्भरता सरल माध्य मुक्त पथ सिद्धांत के समान है, लेकिन शक्ति प्रतिकर्षण कानूनों के लिए प्रतिपादक अलग है। किसी दिए गए तापमान के लिए कुल सांद्रता n पर निर्भरता हमेशा समान वर्ण, 1/n होती है।
 * $$D_{12}=\frac{3}{8nA_1({\nu})\Gamma(3-\frac{2}{\nu-1})} \left[\frac{kT(m_1+m_2)}{2\pi m_1m_2}\right]^{1/2} \left(\frac{2kT}{\kappa_{12}} \right)^{\frac{2}{\nu-1}}$$ प्रतिकर्षण बल के लिए $$\kappa_{12}r^{-\nu}.$$

गैस गतिकी के अनुप्रयोगों में, प्रसार प्रवाह और बल्क प्रवाह को परिवहन समीकरणों की एक प्रणाली में शामिल किया जाना चाहिए। बल्क फ्लो मास ट्रांसफर का वर्णन करता है। इसका वेग V द्रव्यमान औसत वेग है। इसे गति घनत्व और द्रव्यमान सांद्रता के माध्यम से परिभाषित किया गया है:
 * $$V=\frac{\sum_i \rho_i C_i} \rho \, .$$

कहां $$\rho_i =m_i n_i$$ Ith प्रजाति का द्रव्यमान संकेंद्रण है, $\rho=\sum_i \rho_i$ द्रव्यमान घनत्व है।

परिभाषा के अनुसार, वें घटक का प्रसार वेग है $$v_i=C_i-V$$, $\sum_i \rho_i v_i=0$. Iवें घटक के द्रव्यमान स्थानांतरण को निरंतरता समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है
 * $$\frac{\partial \rho_i}{\partial t}+\nabla(\rho_i V) + \nabla (\rho_i v_i) = W_i \, ,$$

कहां $$W_i$$ रासायनिक प्रतिक्रियाओं में शुद्ध द्रव्यमान उत्पादन दर है, $\sum_i W_i= 0$.

इन समीकरणों में, शब्द $$\nabla(\rho_i V)$$ Iवें घटक और पद के संवहन का वर्णन करता है $$\nabla (\rho_i v_i)$$ इस घटक के प्रसार का प्रतिनिधित्व करता है।

1948 में, वेन्डेल एच. फेरी ने गतिज सिद्धांत में पाई जाने वाली प्रसार दरों के रूप को गैसों में प्रसार के लिए नई परिघटना संबंधी दृष्टिकोण के लिए एक रूपरेखा के रूप में उपयोग करने का प्रस्ताव दिया। इस दृष्टिकोण को आगे F.A. विलियम्स और S.H. द्वारा विकसित किया गया था। लैम। वे बहुघटक गैसों (एन घटकों) में प्रसार वेगों के लिए उपयोग करते थे
 * $$v_i=-\left(\sum_{j=1}^N D_{ij} \mathbf{d}_j + D_i^{(T)} \, \nabla (\ln T) \right)\, ;$$
 * $$\mathbf{d}_j=\nabla X_j + (X_j-Y_j)\,\nabla (\ln P) + \mathbf{g}_j\, ;$$
 * $$\mathbf{g}_j=\frac{\rho}{P} \left( Y_j \sum_{k=1}^N Y_k (f_k-f_j) \right)\, .$$

यहां, $$D_{ij}$$ प्रसार गुणांक मैट्रिक्स है, $$D_i^{(T)}$$ थर्मल प्रसार गुणांक है, $$f_i$$ ith प्रजाति पर कार्य करने वाला प्रति इकाई द्रव्यमान शरीर बल है, $$X_i=P_i/P$$ ith प्रजाति का आंशिक दबाव अंश है (और $$P_i$$ आंशिक दबाव है), $$Y_i=\rho_i/\rho$$ ith प्रजाति का द्रव्यमान अंश है, और $\sum_i X_i=\sum_i Y_i=1.$



ठोस में इलेक्ट्रॉनों का प्रसार
जब ठोस में इलेक्ट्रॉनों का घनत्व संतुलन में नहीं होता है, तो इलेक्ट्रॉनों का प्रसार होता है। उदाहरण के लिए, जब सेमीकंडक्टर के एक टुकड़े के दो सिरों पर एक बायस लगाया जाता है, या एक छोर पर प्रकाश चमकता है (सही चित्र देखें), इलेक्ट्रॉन उच्च घनत्व वाले क्षेत्रों (केंद्र) से कम घनत्व वाले क्षेत्रों (दो सिरों) तक फैलते हैं, जिससे एक इलेक्ट्रॉन घनत्व का ढाल। यह प्रक्रिया करंट उत्पन्न करती है, जिसे प्रसार वर्तमान  कहा जाता है।

डिफ्यूज़न करंट को फ़िक के प्रसार के नियमों द्वारा भी वर्णित किया जा सकता है। फ़िक का पहला नियम
 * $$J=- D \, \partial n/\partial x\, ,$$

जहाँ J प्रसार वर्तमान घनत्व (पदार्थ की मात्रा) प्रति इकाई क्षेत्र प्रति इकाई समय है, n (आदर्श मिश्रण के लिए) इलेक्ट्रॉन घनत्व है, x स्थिति [लंबाई] है।

भूभौतिकी में प्रसार
विश्लेषणात्मक और संख्यात्मक मॉडल जो विभिन्न प्रारंभिक और सीमा स्थितियों के लिए प्रसार समीकरण को हल करते हैं, पृथ्वी की सतह पर विभिन्न प्रकार के परिवर्तनों का अध्ययन करने के लिए लोकप्रिय रहे हैं। हिलस्लोप रिट्रीट, ब्लफ इरोजन, फॉल्ट स्कार्प डिग्रेडेशन, वेव-कट टैरेस/शोरलाइन रिट्रीट, जलोढ़ चैनल चीरा, तटीय शेल्फ रिट्रीट और डेल्टा प्रोग्रेशन के अपरदन अध्ययन में प्रसार का बड़े पैमाने पर उपयोग किया गया है। हालांकि इनमें से कई मामलों में पृथ्वी की सतह वस्तुतः विसरित नहीं है, विसरण की प्रक्रिया प्रभावी रूप से उन समग्र परिवर्तनों की नकल करती है जो दशकों से सहस्राब्दी तक होते हैं। डिफ्यूजन मॉडल का उपयोग व्युत्क्रम सीमा मूल्य समस्याओं को हल करने के लिए भी किया जा सकता है जिसमें पेलियोएन्वायरमेंटल पुनर्निर्माण से निक्षेपण पर्यावरण के बारे में कुछ जानकारी ज्ञात होती है और प्रसार समीकरण का उपयोग तलछट प्रवाह और लैंडफॉर्म परिवर्तनों की समय श्रृंखला का पता लगाने के लिए किया जाता है।

डायलिसिस
डायलिसिस एक अर्ध-पारगम्य झिल्ली में विलेय के प्रसार और द्रव के अल्ट्राफिल्ट्रेशन  के सिद्धांतों पर काम करता है। प्रसार पानी में पदार्थों की एक संपत्ति है; पानी में पदार्थ उच्च सांद्रता वाले क्षेत्र से कम सांद्रता वाले क्षेत्र में जाने की प्रवृत्ति रखते हैं। अर्ध-पारगम्य झिल्ली के एक तरफ से रक्त बहता है, और एक डायलीसेट, या विशेष डायलिसिस द्रव विपरीत दिशा से बहता है। एक अर्ध-पारगम्य झिल्ली सामग्री की एक पतली परत होती है जिसमें विभिन्न आकारों या छिद्रों के छिद्र होते हैं। छोटे विलेय और द्रव झिल्ली से होकर गुजरते हैं, लेकिन झिल्ली बड़े पदार्थों (उदाहरण के लिए, लाल रक्त कोशिकाओं और बड़े प्रोटीन) के मार्ग को अवरुद्ध कर देती है। यह फ़िल्टरिंग प्रक्रिया को दोहराता है जो गुर्दे में होती है जब रक्त गुर्दे में प्रवेश करता है और बड़े पदार्थ  ग्लोमेरुलस  में छोटे से अलग हो जाते हैं।

रैंडम वॉक (रैंडम मोशन)
एक आम ग़लतफ़हमी यह है कि व्यक्तिगत परमाणु, आयन या अणु बेतरतीब ढंग से गति करते हैं, जो वे नहीं करते हैं। दाईं ओर के एनीमेशन में, बाएं पैनल में आयन अन्य आयनों की अनुपस्थिति में यादृच्छिक गति करता हुआ प्रतीत होता है। जैसा कि दायां पैनल दिखाता है, हालांकि, यह गति यादृच्छिक नहीं है बल्कि अन्य आयनों के साथ टकराव का परिणाम है। जैसे, अलगाव में देखे जाने पर मिश्रण के भीतर एक एकल परमाणु, आयन या अणु की गति यादृच्छिक दिखाई देती है। किसी पदार्थ के मिश्रण के भीतर बेतरतीब चलने से गति प्रणाली के भीतर गतिज ऊर्जा द्वारा नियंत्रित होती है जो एकाग्रता, दबाव या तापमान में परिवर्तन से प्रभावित हो सकती है। (यह एक शास्त्रीय विवरण है। छोटे पैमानों पर, क्वांटम प्रभाव सामान्य रूप से गैर-नगण्य होंगे। इस प्रकार, एक परमाणु के संचलन का अध्ययन अधिक सूक्ष्म हो जाता है क्योंकि ऐसे छोटे पैमानों पर कणों को नियतात्मक के बजाय संभाव्यता आयाम द्वारा वर्णित किया जाता है। स्थिति और वेग के उपाय।)

गैसों में संवहन से विसरण का पृथक्करण
जबकि बहु-आणविक मेसोस्कोपिक कणों (ब्राउन द्वारा अध्ययन किए गए पराग कणों की तरह) की ब्राउनियन गति एक ऑप्टिकल माइक्रोस्कोप के तहत देखी जा सकती है, आणविक प्रसार को केवल सावधानीपूर्वक नियंत्रित प्रायोगिक स्थितियों में ही जांचा जा सकता है। ग्राहम प्रयोगों के बाद से, यह सर्वविदित है कि संवहन से बचना आवश्यक है और यह एक गैर-तुच्छ कार्य हो सकता है।

सामान्य परिस्थितियों में, नैनोमीटर-से-मिलीमीटर रेंज में आणविक प्रसार केवल लंबाई पर हावी होता है। बड़े लंबाई के पैमाने पर, तरल पदार्थ और गैसों में परिवहन सामान्य रूप से एक अन्य परिवहन घटना, संवहन के कारण होता है। इन मामलों में प्रसार को अलग करने के लिए विशेष प्रयासों की आवश्यकता होती है।

इसलिए, प्रसार के कुछ अक्सर उद्धृत उदाहरण गलत हैं: यदि एक स्थान पर कोलोन का छिड़काव किया जाता है, तो जल्द ही पूरे कमरे में इसकी गंध आ सकती है, लेकिन एक साधारण गणना से पता चलता है कि यह प्रसार के कारण नहीं हो सकता है। तापमान [असमानता] के कारण कमरे में संवहन गति बनी रहती है। यदि स्याही को पानी में गिराया जाता है, तो आमतौर पर स्थानिक वितरण का एक अमानवीय विकास देखा जाता है, जो स्पष्ट रूप से संवहन (विशेष रूप से, इस गिरावट के कारण) को इंगित करता है। इसके विपरीत, ठोस मीडिया के माध्यम से गर्मी चालन  एक दैनिक घटना है (उदाहरण के लिए, धातु का चम्मच आंशिक रूप से गर्म तरल में डूबा हुआ)। यह बताता है कि द्रव्यमान के प्रसार से पहले ऊष्मा के प्रसार को गणितीय रूप से क्यों समझाया गया था।

अन्य प्रकार के प्रसार

 * अनिसोट्रोपिक प्रसार, जिसे पेरोना-मलिक समीकरण के रूप में भी जाना जाता है, उच्च ग्रेडिएंट को बढ़ाता है
 * परमाणु प्रसार, ठोस पदार्थों में
 * बोह्म प्रसार, चुंबकीय क्षेत्रों में प्लाज्मा का प्रसार
 * एड़ी प्रसार, अशांत प्रवाह के मोटे दाने वाले विवरण में
 * छोटे छिद्रों से गैस का बहना
 * इलेक्ट्रानिक्स प्रसार, जिसके परिणामस्वरूप एक करंट (बिजली) होता है जिसे  बहाव  करंट कहा जाता है
 * सुगम प्रसार, कुछ जीवों में मौजूद
 * गैसीय प्रसार, आइसोटोप जुदाई  के लिए प्रयोग किया जाता है
 * ऊष्मा समीकरण, तापीय ऊर्जा का प्रसार
 * इटो प्रसार, ब्राउनियन गति का गणितीकरण, निरंतर स्टोकेस्टिक प्रक्रिया।
 * लगातार दीवार के टकराने के साथ लंबे छिद्रों में गैस का प्रसार
 * लेवी उड़ान
 * आणविक प्रसार, अधिक घने से कम घने क्षेत्रों में अणुओं का प्रसार
 * संवेग प्रसार पूर्व। हाइड्रोडाइनमिक  वेग क्षेत्र का प्रसार
 * फोटॉन प्रसार
 * प्लाज्मा प्रसार
 * यादृच्छिक चाल, प्रसार के लिए मॉडल
 * उलटा प्रसार, कंसंट्रेशन ग्रेडिएंट के खिलाफ, फेज सेपरेशन में
 * घूर्णी प्रसार, अणुओं का यादृच्छिक पुनर्संरचना
 * सतही विसरण, किसी सतह पर अतिरिक्त कणों का विसरण
 * टैक्सी एक उत्तेजना के जवाब में एक जानवर की दिशात्मक गति गतिविधि है
 * किनेसिस (जीव विज्ञान) एक उत्तेजना के जवाब में एक जानवर की गैर-दिशात्मक आंदोलन गतिविधि है
 * ट्रांस-सांस्कृतिक प्रसार, भौगोलिक क्षेत्र में सांस्कृतिक लक्षणों का प्रसार
 * अशांत तरल पदार्थ के भीतर अशांत प्रसार, द्रव्यमान, ऊष्मा या संवेग का परिवहन

यह भी देखें