पायथागॉरियन प्राइम

पाइथागोरियन संख्या यहाँ देखें। वर्गों के योग से संबंधित क्षेत्र अपरिवर्तनीय के लिए, पाइथागोरस संख्या अनिवार्य है। पाइथागोरस अभाज्य की अभाज्य संख्या 4n+1 है पाइथागोरस अभाज्य ठीक विषम अभाज्य संख्याएँ हैं जो दो वर्गों का योग हैं; यह गुण दो वर्गों के योग पर फर्मेट का प्रमेय है।

समान प्रकार से, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, वे $$p$$ विषम अभाज्य संख्याएँ हैं जिसके लिए $$\sqrt p$$ पूर्णांक लेग्स वाले समकोण त्रिभुज के कर्ण की लंबाई है, और वे अभाज्य संख्याएँ $$p$$ हैं जिसके लिए $$p$$ स्वयं प्राथमिक पाइथागोरस त्रिभुज का कर्ण है। उदाहरण के लिए, संख्या 5 पायथागॉरियन अभाज्य है; $$\sqrt5$$ आधार 1 और 2 वाले समकोण त्रिभुज का कर्ण है, और 5 स्वयं आधार 3 और 4 वाले समकोण त्रिभुज का कर्ण है।

मान और घनत्व
पहले कुछ पायथागॉरियन अभाज्य हैं

डिरिचलेट के प्रमेय द्वारा अंकगणितीय प्रगति पर, यह क्रम अनंत है। अत्यधिक दृढ़ता से, प्रत्येक $$n$$ के लिए, पायथागॉरियन और गैर-पाइथागोरियन अभाज्य संख्या $$n$$ लगभग बराबर हैं। चूँकि, पाइथागोरस की संख्या $$n$$ तक होती है अधिकांशतः गैर-पाइथागोरस अभाज्य की संख्या से कुछ छोटा होता है; इस कथन को चैबीसेव बायस के रूप में जाना जाता है उदाहरण के लिए, के केवल मान $$n$$ 600000 तक जिसके लिए गैर-पाइथागोरस की तुलना में अत्यधिक पायथागॉरियन हैं, n से कम या उसके बराबर विषम अभाज्य 26861और 26862 हैं।

दो वर्गों के योग के रूप में प्रतिनिधित्व
एक विषम वर्ग और एक सम वर्ग का योग 1 मॉड 4 के बराबर है, परन्तु मिश्रित संख्याएं उपस्थित हैं जैसे कि 21 जो हैं 1 मॉड 4 और अभी तक दो वर्गों के योग के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। दो वर्गों के योग पर फ़र्मेट की प्रमेय बताती है कि दो वर्गों के योग के रूप में दर्शाई जा सकने वाली अभाज्य संख्याएँ वास्तव में 2 हैं और विषम 1 मॉड 4 अभाज्य समरूप हैं ऐसी प्रत्येक संख्या का प्रतिनिधित्व अद्वितीय है, दो वर्गों के क्रम तक है।

पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करके, इस प्रतिनिधित्व की ज्यामितीय रूप से व्याख्या की जा सकती है: पायथागॉरियन अभाज्य $$p$$ विषम अभाज्य संख्याएँ हैं जैसे कि पूर्णांक लेग्स के साथ समकोण त्रिभुज उपस्थित है, जिसका लम्बाई $\sqrt p$ कर्ण है वे भी लगभग $$p$$ अभाज्य संख्याएँ हैं जैसे कि पूर्णांक भुजाओं वाला समकोण त्रिभुज उपस्थित है जिसके कर्ण की लम्बाई  p है, यदि लेग्स के साथ $$x$$ और y त्रिकोण और $$\sqrt p$$ (साथ $$x>y$$) कर्ण की लंबाई है, फिर लेग्स $$x^2-y^2$$और $$2xy$$ वाले त्रिभुज में कर्ण की लम्बाई p है। length $p$.

इस प्रतिनिधित्व को दो वर्गों के योग के रूप में समझने का एक अन्य रूप गॉसियन पूर्णांक सम्मिलित है, सम्मिश्र संख्याएँ जिनका वास्तविक भाग और काल्पनिक भाग दोनों पूर्णांक हैं। गॉसियन पूर्णांक का मानदंड $$x+iy$$ है और संख्या $x^2+y^2$ है। इस प्रकार, पायथागॉरियन अभाज्य (और 2) गॉसियन पूर्णांकों के मानदंडों के रूप में होते हैं, जबकि अन्य अभाज्य नहीं होते हैं। गॉसियन पूर्णांकों के भीतर, पायथागॉरियन अभाज्य संख्याओं को अभाज्य संख्याएँ नहीं माना जाता है, क्योंकि उन्हें इस प्रकार गुणनखंडित किया जा सकता है $$p=(x+iy)(x-iy).$$ इसी प्रकार, उनके वर्गों को उनके पूर्णांक गुणनखंडन की तुलना में भिन्न प्रकार से गुणनखंडित किया जा सकता है, जैसे $$ \begin{align} p^2&=(x+iy)^2(x-iy)^2\\ &=(x^2-y^2+2ixy)(x^2-y^2-2ixy).\\ \end{align}$$ इन गुणनखंडों में कारकों के वास्तविक और काल्पनिक भाग दिए गए कर्ण वाले समकोण त्रिभुजों की लेग्स की लंबाई हैं।

द्विघात अवशेष
द्विघात पारस्परिकता का नियम कहता है कि यदि $$p$$ और $$q$$ विशिष्ट विषम अभाज्य हैं, जिनमें से कम से कम एक पायथागॉरियन है, तब $$p$$ द्विघात अवशेष मॉड q हैl

यदि $$q$$ द्विघात अवशेष मॉड p है; इसके विपरीत, यदि न तो $$p$$ और न ही $$q$$ पायथागॉरियन है, तो $$p$$ द्विघात अवशेष मॉड q है यदि $$q$$ द्विघात अवशेष मॉड p नहीं है।$$

परिमित क्षेत्र में $$\Z/p$$ साथ $$p$$ पायथागॉरियन अभाज्य, बहुपद समीकरण $$x^2=-1$$ दो उपाय हैं। यह कहकर व्यक्त किया जा सकता है $$-1$$ द्विघात अवशेष मॉड p है इसके विपरीत, परिमित क्षेत्रों में इस समीकरण का कोई हल नहीं है $$\Z/p$$ जहाँ $$p$$ विषम अभाज्य है परन्तु पाइथागोरियन नहीं है

प्रत्येक पायथागॉरियन अभाज्य $$p$$ के लिए, p शीर्षों के साथ पाले ग्राफ उपस्थित है, संख्याओं का प्रतिनिधित्व सापेक्ष p करते हैं ग्राफ में आसन्न दो संख्याओं के साथ यदि और सिर्फ उनका अंतर द्विघात अवशेष है। यह परिभाषा पाइथागोरियन अभाज्य की गुण के कारण समान आसन्नता संबंध उत्पन्न करती है, भले उनके अंतर की गणना करने के लिए जिस क्रम में घटाई जाती है, क्योंकि $$-1$$ द्विघात अवशेष है।