अपरिमेय संख्या

गणित में, अपरिमेय संख्याएँ (इन- उपसर्ग से लेकर आईआर- (नकारात्मक उपसर्ग, निजी) + परिमेय तक) वे सभी वास्तविक संख्याएँ हैं जो परिमेय संख्याएँ नहीं हैं। अर्थात्, अपरिमेय संख्याओं को दो पूर्णांको के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। जब दो रेखाखंडों की लंबाई का अनुपात एक अपरिमेय संख्या हो, तो रेखाखंडों को असम्मेय (गणित) के रूप में भी वर्णित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि वे कोई माप साझा नहीं करते हैं, अर्थात कोई लंबाई (माप ) नहीं है, चाहे वह कितना भी छोटा क्यों न हो, जिसका उपयोग दो दिए गए खंडों की लंबाई को स्वयं के पूर्णांक गुणकों के रूप में व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है।

अपरिमेय संख्याओं में एक वृत्त की परिधि का उसके व्यास से अनुपात π, यूलर की संख्या e, सुनहरा अनुपात φ, और दो का वर्गमूल।  वास्तविक में, वर्ग संख्याओं को छोड़कर, प्राकृतिक संख्याओं के सभी वर्गमूल अपरिमेय होते हैं।

सभी वास्तविक संख्याओं के समान, अपरिमेय संख्याओं को स्थितीय संकेतन में व्यक्त किया जा सकता है, विशेष रूप से दशमलव संख्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। अपरिमेय संख्याओं की स्थिति में, दशमलव प्रसार न तो समाप्त होता है और न ही दशमलव की पुनरावृत्ति होती है। उदाहरण के लिए, π का ​​दशमलव प्रतिनिधित्व 3.14159 से प्रारंभ होता है, लेकिन अंकों की कोई परिमित संख्या π को यथार्थ रूप से प्रदर्शित नहीं कर सकती है, न ही यह दोहराती है। इसके विपरीत, एक दशमलव विस्तार जो समाप्त हो या पुनरावृत्ति हो, एक परिमेय संख्या होनी चाहिए। ये परिमेय संख्याओं और स्थितीय संख्या प्रणालियों के सिद्ध गुण हैं, और गणित में परिभाषाओं के रूप में उपयोग नहीं किए जाते हैं।

अपरिमेय संख्याओं को गैर-समाप्ति वाले निरंतर अंशों और कई अन्य विधियों से भी व्यक्त किया जा सकता है।

कैंटर के प्रमाण के परिणामस्वरूप कि वास्तविक संख्याएँ अगणनीय हैं और परिमेय संख्याएँ गणनीय हैं, यह इस प्रकार है कि लगभग सभी वास्तविक संख्याएँ अपरिमेय हैं।

प्राचीन ग्रीस
अपरिमेय संख्याओं के अस्तित्व का पहला प्रमाण सामान्यतः पाइथागोरसवाद (संभवतः हिपपासस) को दिया जाता है, जिन्होंने पेंटाग्राम के पक्षों की पहचान करते हुए संभवतः उन्हें खोजा था।

तत्कालीन पाइथोगोरियन पद्धति ने दावा किया होगा कि कुछ पर्याप्त रूप से छोटी, अविभाज्य इकाई होनी चाहिए जो समान रूप से इनमें से एक लंबाई के साथ-साथ दूसरी में भी उपयुक्त हो सके। चूंकि, 5वीं शताब्दी ईसा पूर्व में हिप्पसस, यह निष्कर्ष निकालने में सक्षम था कि वास्तविक में माप की कोई सामान्य इकाई नहीं थी, और इस तरह के अस्तित्व का दावा वास्तविक में एक विरोधाभास था। उन्होंने यह प्रदर्शित करके ऐसा किया कि यदि एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का कर्ण वास्तविक में एक यथार्थ रूप से आनुपातिक (गणित) था, तो माप की उस इकाई में मापी गई लंबाई में से एक विषम और सम दोनों होनी चाहिए, जो असंभव है। उनका तर्क इस प्रकार है: यूनानी गणित ने अतुलनीय परिमाणों के इस अनुपात को एलोगोस या अवर्णनीय कहा है। चूंकि, हिप्पसस को उनके प्रयासों के लिए सराहना नहीं मिली: एक प्रसिद्ध व्यक्ति के अनुसार, उन्होंने समुद्र में रहते हुए अपनी खोज की, और बाद में अपने साथी पाइथागोरस द्वारा "... ब्रह्मांड में एक तत्व का निर्माण करने के लिए ... जिसने इस सिद्धांत का खंडन किया कि ब्रह्मांड में सभी घटनाएं हो सकती हैं, पानी में फेंक दिया गया था।" पूर्ण संख्या और उनके अनुपात में घटाया गया। एक अन्य प्रसिद्ध व्यक्ति ने कहा है कि इस रहस्योद्घाटन के लिए हिप्पसस को केवल निर्वासित किया गया था। खुद हिप्पसस के परिणाम चाहे जो भी हों, उसकी खोज ने पायथागॉरियन गणित के लिए एक बहुत ही गंभीर समस्या खड़ी कर दी, क्योंकि इसने इस धारणा को तोड़ दिया कि संख्या और ज्यामिति अविभाज्य हैं - उनके सिद्धांत की नींव।
 * एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज से प्रारंभ करें, जिसकी भुजाएँ पूर्णांक a, b, और c हों। एक भुजा के लिए कर्ण का अनुपात c:b द्वारा दर्शाया गया है।
 * मान लें कि a, b, और c सबसे छोटी संभव शर्तों में हैं (अर्थात् उनके पास कोई सामान्य कारक नहीं है)।
 * पाइथागोरस प्रमेय द्वारा: c2 = a2+b2 = b2+ b2 = 2b 2 ( चूँकि त्रिभुज समद्विबाहु है, a = b)
 * चूंकि c2 = 2b2, c2 2 से विभाज्य है, और इसलिए सम है।
 * चूंकि c2 सम है, c सम होना चाहिए।
 * चूँकि c सम है, c को 2 से विभाजित करने पर एक पूर्णांक प्राप्त होता है। मान लीजिए y यह पूर्णांक है (c = 2y)।
 * c = 2y के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर c2 = (2y)2, या c2 = 4y2.
 * पहले समीकरण (c2 = 2b2) में c2 के लिए 4y2 प्रतिस्थापित करने पर हमें 4y2= 2b2 मिलता है
 * 2 से भाग देने पर 2y2 =b2 प्राप्त होता है।
 * चूँकि y एक पूर्णांक है, और 2y2 = b2, b2 2 से विभाज्य है, और इसलिए सम है।
 * चूंकि b2 सम है, b अवश्य ही सम होना चाहिए।
 * हमने अभी दिखाया है कि b और c दोनों ही सम होने चाहिए। इसलिए उनके पास 2 का एक सामान्य कारक है। चूंकि यह इस धारणा का खंडन करता है कि उनके पास कोई सामान्य कारक नहीं है। यह विरोधाभास सिद्ध करता है कि c और b दोनों पूर्णांक नहीं हो सकते हैं, और इस प्रकार एक संख्या का अस्तित्व जिसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

अतुलनीय अनुपातों की खोज यूनानियों के सामने एक और समस्या का संकेत था: असतत का निरंतर से संबंध। यह एलिया के ज़ेनो द्वारा प्रकाश में लाया गया था, जिन्होंने इस धारणा पर प्रश्न उठाया था कि मात्राएँ असतत हैं और एक निश्चित आकार की इकाइयों की एक सीमित संख्या से बनी हैं। विगत ग्रीक अवधारणाओं ने तय किया कि वे आवश्यक रूप से होने चाहिए, क्योंकि "पूरी संख्या असतत वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करती है, और एक आनुपातिक अनुपात असतत वस्तुओं के दो संग्रहों के बीच संबंध का प्रतिनिधित्व करता है" लेकिन ज़ेनो ने पाया कि वास्तविक में [मात्रा] सामान्य रूप से इकाइयों का असतत संग्रह नहीं है; यही कारण है कि अतुलनीय [मात्रा] के अनुपात दिखाई देते हैं .... [क्यू] परिमाण, दूसरे शब्दों में, निरंतर हैं"। इसका अर्थ यह है कि, उस समय की लोकप्रिय अवधारणा के विपरीत, किसी भी मात्रा के लिए माप की एक अविभाज्य, सबसे छोटी इकाई नहीं हो सकती। वास्तविक में, मात्रा के ये विभाजन अनिवार्य रूप से अनंत होने चाहिए। उदाहरण के लिए, एक रेखा खंड पर विचार करें: इस खंड को आधे में विभाजित किया जा सकता है, आधे को आधे में विभाजित किया जा सकता है, आधे को आधे में विभाजित किया जा सकता है, और इसी तरह। यह प्रक्रिया अनंत काल तक जारी रह सकती है, क्योंकि विभाजित होने के लिए हमेशा एक और आधा होता है। जितनी बार खंड को आधा किया जाता है, माप की इकाई शून्य के करीब आती है, लेकिन यह कभी भी बिल्कुल शून्य तक नहीं पहुंचती है। ज़ेनो यही सिद्ध करना चाहता था। उन्होंने चार विरोधाभास तैयार करके इसे सिद्ध करने की कोशिश की, जिसने उस समय के गणितीय विचारों में निहित विरोधाभासों को प्रदर्शित किया। जबकि ज़ेनो के विरोधाभासों ने वर्तमान गणितीय अवधारणाओं की कमियों को सटीक रूप से प्रदर्शित किया, उन्हें विकल्प के प्रमाण के रूप में नहीं माना गया। यूनानियों के दिमाग में, एक दृष्टिकोण की वैधता को खारिज करना जरूरी नहीं कि दूसरे की वैधता सिद्ध हो, और इसलिए आगे की जांच होनी चाहिए।

अगला कदम कनिडस के यूडोक्सस द्वारा उठाया गया, जिसने अनुपात के एक नए सिद्धांत को औपचारिक रूप दिया, जिसमें आनुपातिक और साथ ही असंगत मात्राओं को ध्यान में रखा गया। उनके विचार का केंद्र परिमाण और संख्या के बीच का अंतर था। एक परिमाण "... एक संख्या नहीं थी, लेकिन रेखा खंड, कोण, क्षेत्र, आयतन और समय जैसी संस्थाओं के लिए खड़ा था, जो भिन्न हो सकता है, जैसा कि हम कहेंगे,निरंतर परिमाण संख्याओं के विपरीत थे, जो 4 से 5 के रूप में एक मान से दूसरे मान तक कूद गए थे। संख्याएँ कुछ सबसे छोटी, अविभाज्य इकाई से बनी होती हैं, जबकि परिमाण असीम रूप से कम करने योग्य होते हैं। क्योंकि परिमाण को कोई मात्रात्मक मान निर्दिष्ट नहीं किया गया था, यूडोक्सस तब परिमाण के संदर्भ में एक अनुपात को परिभाषित करके और अनुपात को दो अनुपातों के बीच समानता के रूप में परिभाषित करके आनुपातिक और असंगत दोनों अनुपातों के लिए खाता बनाने में सक्षम था। समीकरण से मात्रात्मक मानो (संख्याओं) को निकालकर, उन्होंने व्यक्त करने के जाल से बचा लिया एक संख्या के रूप में एक अपरिमेय संख्या। "यूडॉक्सस' सिद्धांत ने यूनानी गणितज्ञों को अतुलनीय अनुपातों के लिए आवश्यक तार्किक आधार प्रदान करके ज्यामिति में जबरदस्त प्रगति करने में सक्षम बनाया"। इस अतुलनीयता को यूक्लिड के तत्वों, पुस्तक X, प्रस्ताव 9 में निपटाया गया है। यह तब तक नहीं था जब तक कनिडस के यूडोक्सस ने अनुपात के एक सिद्धांत को विकसित नहीं किया था जो अपरिमेय के साथ-साथ  परिमेय अनुपातों को ध्यान में रखता था कि अपरिमेय संख्याओं का एक मजबूत गणितीय आधार तैयार किया गया था।

संख्या और परिमाण के बीच अंतर के परिणामस्वरूप, ज्यामिति ही एकमात्र ऐसी विधि बन गई जो अतुलनीय अनुपातों को ध्यान में रख सकती थी। क्योंकि पिछली संख्यात्मक नींव अभी भी अतुलनीयता की अवधारणा के साथ असंगत थी, ग्रीक फोकस उन संख्यात्मक अवधारणाओं जैसे कि बीजगणित से दूर हो गया और लगभग पूरी तरह से ज्यामिति पर केंद्रित था। वास्तविक में, कई स्थितियों में बीजगणितीय संकल्पनाओं को ज्यामितीय शब्दों में पुनर्रूपित किया गया था। यह यह इस बात का कारण हो सकता है कि हम अभी भी x2 और x3 को x वर्ग के रूप में मानते हैं और x के अतिरिक्त x को दूसरी घात और x को तीसरी घात के रूप में मानते हैं। अतुलनीय परिमाण के साथ ज़ेनो के काम के लिए भी महत्वपूर्ण निगमनात्‍मक तर्क पर मौलिक ध्यान था जो कि पहले के ग्रीक गणित के मूलभूत फैलाव से उत्पन्न हुआ था। यह अनुभव कि उपस्थित सिद्धांत के अन्दर कुछ मूलभूत अवधारणा वास्तविकता के विपरीत थी, उस सिद्धांत को रेखांकित करने वाले स्वयंसिद्धों और मान्यताओं की पूरी और गहन जांच की आवश्यकता थी। इस आवश्यकता के कारण, यूडोक्सस ने निष्कासन की अपनी विधि विकसित की, एक प्रकार का रिडक्टियो एड एब्सर्डम जिसने ... कि "...स्पष्ट सिद्धांतों के आधार पर निगमनात्मक संगठन की स्थापना की..." साथ ही साथ "...प्रमाण के लिए निगमनात्मक तर्क पर भरोसा करने के पहले के निर्णय को सुदृढ़ किया"। निष्कासन की यह विधि कलन के निर्माण में पहला कदम है।

सायरीन के थियोडोरस ने 17 तक की पूर्ण संख्याओं के Nवें मूल की अपरिमेयता को सिद्ध किया, लेकिन संभवतः वहीं रुक गया क्योंकि उसने जिस बीजगणित का प्रयोग किया वह 17 के वर्गमूल पर लागू नहीं किया जा सकता था।

भारत
भारत में वैदिक काल के दौरान वर्गमूल जैसी अपरिमेय संख्याओं से जुड़ी ज्यामितीय और गणितीय समस्याओं को बहुत पहले ही संबोधित कर लिया गया था। संहिताओं, ब्राह्मणों और शुल्ब सूत्र (800 ईसा पूर्व या उससे पहले) में ऐसी गणनाओं के संदर्भ हैं। (देखें बैग, इंडियन जर्नल ऑफ हिस्ट्री ऑफ साइंस, 25(1-4), 1990)।

यह सुझाव दिया जाता है कि अपरिमेयता की अवधारणा को भारतीय गणित द्वारा 7वीं शताब्दी ईसा पूर्व से स्पष्ट रूप से स्वीकार किया गया था, जब मानव (सी. 750 - 690 ईसा पूर्व) का मानना ​​था कि 2 और 61 जैसी संख्याओं का वर्गमूल यथार्थ रूप से निर्धारित नहीं किया जा सकता है। इतिहासकार कार्ल बेंजामिन बोयर, चूंकि, लिखते हैं कि इस तरह के दावे अच्छी तरह से प्रमाणित नहीं हैं और सच होने की संभावना नहीं है।

यह भी सुझाव दिया गया है कि आर्यभट्ट (5वीं शताब्दी ईस्वी) ने 5 महत्वपूर्ण अंकों के पाई के मान की गणना में आसन (निकट) शब्द का प्रयोग किया था, जिसका अर्थ यह था कि यह न केवल एक सन्निकटन है, बल्कि यह मान अतुलनीय (या अपरिमेय) है।

बाद में, अपने ग्रंथों में, भारतीय गणितज्ञों ने जोड़, घटाव, गुणा, युक्तिकरण, साथ ही वर्गमूल के पृथक्करण और निष्कर्षण सहित करणी के अंकगणित पर लिखा।

ब्रह्मगुप्त (628 ईस्वी में) और भास्कर प्रथम (629 ईस्वी में) जैसे गणितज्ञों ने इस क्षेत्र में योगदान दिया जैसा कि अन्य गणितज्ञों ने किया। 12वीं शताब्दी में भास्कर द्वितीय ने इनमें से कुछ सूत्रों का मूल्यांकन किया और उनकी सीमाओं की पहचान करते हुए उनकी आलोचना की।

14वीं से 16वीं शताब्दी के दौरान, संगमग्राम के माधव और केरल का खगोल विज्ञान और गणित विद्यालय ने कई अपरिमेय संख्याओं जैसे π और त्रिकोणमितीय कार्यों के कुछ अपरिमेय मानो के लिए अनंत श्रृंखला की खोज की। ज्येष्ठदेव ने युक्तिभाषा में इन अनंत श्रृंखलाओं के लिए प्रमाण प्रदान किए गये है।

मध्य युग
मध्य युग में, मुस्लिम गणितज्ञों द्वारा बीजगणित के विकास में अपरिमेय संख्याओं को बीजगणितीय वस्तुओं के रूप में व्यवहार करने की अनुमति दी।। मध्य पूर्वी गणितज्ञों ने संख्या और परिमाण (गणित) की अवधारणाओं को वास्तविक संख्याओं के एक अधिक सामान्य विचार में विलय कर दिया, यूक्लिड के अनुपात के विचार की आलोचना की, समग्र अनुपात के सिद्धांत को विकसित किया, और संख्या की अवधारणा को निरंतर परिमाण के अनुपात में विस्तारित किया। तत्वों की पुस्तक 10 पर अपनी टिप्पणी में, फारसी गणितज्ञ  अल-महानी (डी. 874/884) ने द्विघात अपरिमेय और घन अपरिमेय की जांच की और वर्गीकृत किया। उन्होंने परिमेय और अपरिमेय परिमाणों के लिए परिभाषाएँ प्रदान कीं, जिन्हें उन्होंने अपरिमेय संख्याओं के रूप में माना। वह उनके साथ स्वतंत्र रूप से व्यवहार करते थे, लेकिन ज्यामितीय शब्दों में उनकी व्याख्या इस प्रकार करते हैं:

""यह एक परिमेय (परिमाण) होगा, जब हम, उदाहरण के लिए, 10, 12, 3%, 6%, आदि कहते हैं, क्योंकि इसका मूल्य उच्चारित और मात्रात्मक रूप से व्यक्त किया जाता है। जो परिमेय नहीं है वह तर्कहीन है और इसका उच्चारण करना असंभव है। और मात्रात्मक रूप से इसके मूल्य का प्रतिनिधित्व करते हैं। उदाहरण के लिए: संख्याओं की जड़ें जैसे कि 10, 15, 20 जो वर्ग नहीं हैं, संख्याओं की भुजाएँ जो घन नहीं हैं आदि""

रेखाओं के रूप में परिमाण की यूक्लिड की अवधारणा के विपरीत, अल-महानी ने पूर्णांकों और भिन्नों को परिमेय परिमाण माना, और वर्गमूल और घनमूल को अपरिमेय परिमाण माना। उन्होंने अपरिमेयता की अवधारणा के लिए एक अंकगणितीय दृष्टिकोण भी पेश किया, क्योंकि वह अपरिमेय परिमाणों के लिए निम्नलिखित का श्रेय देते हैं:

""उनके योग या अंतर, या एक तर्कसंगत परिमाण में उनके जोड़ के परिणाम, या इस तरह के एक परिमाण को एक अपरिमेय से घटाने के परिणाम, या इससे एक तर्कसंगत परिमाण।""

मिस्र के गणितज्ञ अबू कामिल शुजा इब्न असलम (सी। 850 - 930) अपरिमेय संख्याओं को द्विघात [[समीकरण]]ों के समाधान के रूप में या एक समीकरण में गुणांक के रूप में, अधिकांश वर्गमूल, घनमूल और Nth मूल के रूप में स्वीकार करने वाले पहले व्यक्ति थे। 10वीं शताब्दी में, इराकी गणितज्ञ अल-हाशिमी ने अपरिमेय संख्याओं के लिए सामान्य प्रमाण (ज्यामितीय प्रदर्शनों के अतिरिक्त) प्रदान किए, क्योंकि उन्होंने गुणन, विभाजन और अन्य अंकगणितीय कार्यों पर विचार किया। ईरानी गणितज्ञ, अबू जाफर अल-खज़िन (900-971) परिमेय और अपरिमेय परिमाण की परिभाषा प्रदान करते हैं, जिसमें कहा गया है कि यदि एक निश्चित मात्रा है:

""एक निश्चित दिए गए परिमाण में एक बार या कई बार समाहित है, तो यह (दिया गया) परिमाण एक परिमेय संख्या के समान है। हर बार जब यह (बाद वाला) परिमाण दिए गए परिमाण का आधा, या एक तिहाई, या एक चौथाई होता है (इकाई का), या, (इकाई) की तुलना में, तीन, पाँच, या तीन पाँचवाँ शामिल है, यह एक परिमेय परिमाण है। और, सामान्यतः, प्रत्येक परिमाण जो इस परिमाण से मेल खाता है (अर्थात से इकाई), एक संख्या से दूसरी संख्या के रूप में, परिमेय है। यदि, चूंकि, एक परिमाण को एक बहु, एक भाग (1/n), या भागों (m/n') के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। ') दिए गए परिमाण में, यह अपरिमेय है, अर्थात्'' इसे जड़ों के माध्यम से अन्य के अतिरिक्त व्यक्त नहीं किया जा सकता है।"

इन अवधारणाओं में से कई अंततः यूरोपीय गणितज्ञों द्वारा 12वीं शताब्दी के लैटिन अनुवादों के कुछ समय बाद स्वीकार किए गए थे। 12वीं शताब्दी के दौरान इस्लामी विरासत न्यायशास्त्र में विशेषज्ञता वाले फ़ेज़ के एक मोरक्कन गणितज्ञ अल-हसर ने सबसे पहले एक भिन्नात्मक बार के उपयोग का उल्लेख किया, जहां अंश और हर को एक क्षैतिज पट्टी द्वारा अलग किया जाता है। अपनी चर्चा में वे लिखते हैं, ..., उदाहरण के लिए, यदि आपको तीन-पांचवें और पांचवें के तीसरे भाग को लिखने के लिए कहा जाए, तो इस प्रकार लिखें, $$\frac{3 \quad 1}{5 \quad 3}$$. 13वीं शताब्दी में लियोनार्डो फाइबोनैचि के कार्य के तुरंत बाद यही भिन्नात्मक संकेतन प्रकट होता है।

आधुनिक काल
17वीं शताब्दी में अब्राहम डी मोइवरे और विशेष रूप से लियोनहार्ड यूलर के हाथों में काल्पनिक संख्याएं एक शक्तिशाली उपकरण बन गईं। 19वीं शताब्दी में जटिल संख्याओं के सिद्धांत के पूरा होने से अपरिमेय का बीजगणितीय और पारलौकिक संख्याओं में विभेदन, अतिश्रेष्ट संख्याओं के अस्तित्व का प्रमाण, और अपरिमेय के सिद्धांत के वैज्ञानिक अध्ययन का पुनरुत्थान हुआ, जिसे यूक्लिड के बाद से बड़े पैमाने पर अनदेखा किया गया। वर्ष 1872 में कार्ल वीयरस्ट्रास (उनके शिष्य अर्नस्ट कोसाक द्वारा), एडवर्ड हेन (क्रेल के जर्नल, 74), जॉर्ज कैंटर (एनालेन, 5) और रिचर्ड डेडेकिंड के सिद्धांतों का प्रकाशन देखा गया। मेरे ने 1869 में हेइन के समान प्रस्थान बिंदु लिया था, लेकिन सिद्धांत को सामान्यतः वर्ष 1872 के रूप में संदर्भित किया जाता है। वेइरस्ट्रास की विधि पूरी तरह से 1880 में सल्वाटोर पिंचरले द्वारा निर्धारित की गई है, और डेडेकाइंड कट लेखक के बाद के काम (1888) और पॉल टेनरी (1894) द्वारा समर्थन के माध्यम से अतिरिक्त प्रमुखता मिली है। वेइरस्ट्रास, कैंटर, और हाइन अपने सिद्धांतों को अनंत श्रृंखला पर आधारित करते हैं, जबकि डेडेकिंड ने अपने सिद्धांतों को सभी परिमेय संख्याओं की प्रणाली में डेडेकिंड कट (श्निट) पर उन्हें पाया, उन्हें कुछ विशिष्ट गुणों वाले दो समूहों में अलग किया। इस विषय को बाद में वीयरस्ट्रास, लियोपोल्ड क्रोनकर (क्रेले, 101) और चार्ल्स मेरे द्वारा योगदान प्राप्त हुआ।

अपरिमेय संख्याओं (और कैटाल्डी, 1613 के कारण) से निकटता से संबंधित निरंतर अंशो ने यूलर के हाथों ध्यान आकर्षित किया, और 19वीं शताब्दी के प्रारंभ में जोसेफ-लुई लाग्रेंज के लेखन के माध्यम से प्रमुखता में लाया गया। डिरिचलेट ने सामान्य सिद्धांत में भी जोड़ा, क्योंकि विषय के अनुप्रयोगों में कई योगदानकर्ता हैं।

जोहान हेनरिक लैम्बर्ट ने (1761) सिद्ध किया कि π परिमेय नहीं हो सकता है, और वह en अपरिमेय है यदि n परिमेय है (जब तक कि n = 0 न हो)। जबकि लैम्बर्ट के प्रमाण को अधिकांश अधूरा कहा जाता है, आधुनिक आकलन इसे संतोषजनक मानते हैं, और वास्तविक में अपने समय के लिए यह असामान्य रूप से परिशुद्ध है। एड्रियन मैरी लीजेंड्रे (1794) ने बेसेल-क्लिफर्ड फलन की प्रारंभिक के बाद, यह दिखाने के लिए एक प्रमाण प्रदान किया कि π2 अपरिमेय है, जहाँ से यह तुरंत अनुसरण करता है कि π अपरिमेय भी है। अनुवांशिक संख्याओं का अस्तित्व सबसे पहले लिउविल (1844, 1851) द्वारा स्थापित किया गया था। बाद में, जॉर्ज कैंटर (1873) ने एक अलग विधि से अपने अस्तित्व को सिद्ध कर दिया, जिससे पता चला कि वास्तविक में हर अंतराल में अतिश्रेष्ट संख्याएँ होती हैं। चार्ल्स हर्मिट (1873) ने पहली बार e अतिश्रेष्ट सिद्ध किया, और हर्मिट के निष्कर्ष से शुरू करते हुए फर्डिनेंड वॉन लिंडमैन (1882) ने π के लिए वही दिखाया। लिंडमैन के प्रमाण को वेइरस्ट्रास (1885) द्वारा बहुत सरल किया गया था, डेविड हिल्बर्ट (1893) द्वारा और भी आगे, और अंत में एडॉल्फ हर्विट्ज़ और पॉल गॉर्डन द्वारा प्राथमिक बनाया गया था ।

वर्गमूल
2 का वर्गमूल पहली संख्या के अपरिमेय सिद्ध होने की संभावना थी। स्वर्णिम अनुपात एक अन्य प्रसिद्ध द्विघात अपरिमेय संख्या है। सभी प्राकृतिक संख्याओं के वर्गमूल जो पूर्ण वर्ग नहीं हैं, अपरिमेय हैं और द्विघात अपरिमेय में एक प्रमाण पाया जा सकता है।

सामान्य मूल
ऊपर का प्रमाण 2 के वर्गमूल के लिए अंकगणित के मौलिक प्रमेय का उपयोग करके सामान्यीकृत किया जा सकता है। यह विशेष रूप से प्रत्येक पूर्णांक का अभाज्य में एक अद्वितीय गुणनखंड होता है। इसका उपयोग करके हम दिखा सकते हैं कि यदि कोई परिमेय संख्या पूर्णांक नहीं है, तो उसकी कोई भी पूर्णांक घात पूर्णांक नहीं हो सकती है, क्योंकि निम्नतम शब्दों में भाजक में एक अभाज्य संख्या होनी चाहिए जो अंश में विभाजित न हो चाहे प्रत्येक घात कितनी भी बढ़ जाए प्रति। इसलिए, यदि एक पूर्णांक किसी अन्य पूर्णांक की यथार्थ kth घात नहीं है, तो उस पहले पूर्णांक का kth मूल अपरिमेय है।

लघुगणक
संभवतः सबसे आसान अपरिमेय सिद्ध करने के लिए कुछ निश्चित लघुगणक हैं। यहाँ विरोधाभास द्वारा एक प्रमाण दिया गया है कि log23 अपरिमेय है (log23 ≈ 1.58 > 0).

मान लीजिए log23 परिमेय है। कुछ धनात्मक पूर्णांकों m और n के लिए, हमारे पास है


 * $$\log_2 3 = \frac{m}{n}.$$

यह इस प्रकार है कि


 * $$2^{m/n}=3$$
 * $$(2^{m/n})^n = 3^n$$
 * $$2^m=3^n.$$

किसी भी धनात्मक पूर्णांक घात के लिए उठाया गया नंबर 2 सम होना चाहिए (क्योंकि यह 2 से विभाज्य है) और संख्या 3 किसी भी धनात्मक पूर्णांक घात के लिए विषम होना चाहिए (क्योंकि इसका कोई भी प्रमुख कारक 2 नहीं होगा)। स्पष्ट रूप से, एक पूर्णांक एक ही समय में विषम और सम दोनों नहीं हो सकता है: हमारे पास एक विरोधाभास है। हमने केवल यही अनुमान लगाया था कि log23 परिमेय है (और n ≠ 0 के साथ पूर्णांक m/n के भागफल के रूप में अभिव्यक्त होता है)। विरोधाभास का अर्थ है कि यह धारणा गलत होनी चाहिए, अर्थात log23 अपरिमेय है, और कभी भी n ≠ 0 के साथ पूर्णांक m/n के भागफल के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

log10 2 जैसे स्थितियों को समान रूप से व्यवहार किया जा सकता है।

प्रकार

 * संख्या सैद्धांतिक भेद: अतिश्रेष्ट/बीजगणितीय
 * सामान्य संख्या/असामान्य (गैर-सामान्य)

अतिश्रेष्ट/बीजगणितीय
लगभग सभी अपरिमेय संख्याएँ अतिश्रेष्ट संख्याएँ हैं और सभी वास्तविक अतिश्रेष्ट संख्याएँ अपरिमेय हैं (जटिल अतिश्रेष्ट संख्याएँ भी हैं): अतिश्रेष्ट अंको पर लेख कई उदाहरणों को सूचीबद्ध करता है। अतः e r और π r सभी अशून्य परिमेय r के लिए अपरिमेय हैं, और, उदा., eπ अपरिमेय भी है।

अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक बीजगणितीय संख्याओं के गणनीय सेट के अन्दर भी पाई जा सकती हैं (अनिवार्य रूप से पूर्णांक गुणांक वाले बहुपदों के कार्य के वास्तविक मूल के रूप में परिभाषित), अर्थात, बहुपद समीकरणों के वास्तविक समाधान के रूप में


 * $$p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 = 0\;, $$

जहां गुणांक $$a_i$$ पूर्णांक हैं और $$a_n \ne 0$$. इस बहुपद समीकरण का परिमेय मूल प्रमेय r/s के रूप में होना चाहिए, जहाँ r a0 का भाजक है और s, an का भाजक है. यदि एक बहुपद $$p$$ का एक वास्तविक मूल $$x_0$$ परिमित रूप से अनेक संभावनाओं में से नहीं है, तो यह एक अपरिमेय बीजगणितीय संख्या होनी चाहिए। ऐसे बीजगणितीय अपरिमेय के अस्तित्व के लिए एक अनुकरणीय प्रमाण यह दिखा कर है कि x0  = (21/2 + 1)1/3 पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद का अपरिमेय मूल है: यह संतुष्ट करता है (x3 − 1)2 = 2 और इसलिए x6 − 2x3 − 1 = 0, और इस बाद वाले बहुपद का कोई परिमेय मूल नहीं है (जाँच करने के लिए केवल उम्मीदवार हैं ±1, और x0, 1 से बड़ा होना इनमें से कोई भी नहीं है), इसलिए x0 एक अपरिमेय बीजगणितीय संख्या है।

क्योंकि बीजगणितीय संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का एक उपक्षेत्र (गणित) बनाती हैं, इसलिए अतिश्रेष्ट और बीजगणितीय संख्याओं को मिलाकर कई अपरिमेय वास्तविक संख्याओं का निर्माण किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 3$\pi$ + 2, π + $\sqrt{2}$ और ई$\sqrt{2}$ अपरिमेय हैं (और अतिश्रेष्ट भी)।

दशमलव विस्तार
एक अपरिमेय संख्या का दशमलव विस्तार किसी भी परिमेय संख्या के विपरीत कभी भी दोहराता या समाप्त नहीं होता है (बाद वाला दोहराए जाने वाले शून्य के बराबर होता है)। बाइनरी अंक प्रणाली, अष्टभुजाकार या हेक्साडेसिमल विस्तार के लिए भी यही सच है, और सामान्य रूप से प्राकृतिक संख्या आधारों के साथ प्रत्येक स्थितीय संकेतन अंक प्रणाली में विस्तार के लिए।

इसे दर्शाने के लिए, मान लीजिए कि हम पूर्णांक n को m से विभाजित करते हैं (जहाँ m अशून्य है)। जब m द्वारा n के भाग पर दीर्घ विभाजन लागू किया जाता है, तो कभी भी m से अधिक या उसके बराबर शेषफल नहीं हो सकता है। यदि 0 शेषफल के रूप में प्रकट होता है, तो दशमलव प्रसार समाप्त हो जाता है। यदि 0 कभी नहीं होता है, तो एल्गोरिथम एक से अधिक बार किसी भी शेष का उपयोग किए बिना अधिकतम m - 1 चरणों में चल सकता है। उसके बाद, एक शेष की पुनरावृत्ति होनी चाहिए, और फिर दशमलव विस्तार दोहराता है।

इसके विपरीत, मान लीजिए कि हमारे सामने एक आवर्ती दशमलव है, और हम यह सिद्ध कर सकते हैं कि यह दो पूर्णांकों का एक भिन्न है। उदाहरण के लिए, विचार करें:


 * $$A=0.7\,162\,162\,162\,\ldots$$

यहाँ 162 की पुनरावृत्ति हो रही है और पुनरावृत्ति की लंबाई 3 है। सबसे पहले, हम दशमलव बिंदु को दाईं ओर ले जाने के लिए 10 की एक उपयुक्त घात से गुणा करते हैं ताकि यह एक पुनरावृत्ति के ठीक सामने हो। इस उदाहरण में हम प्राप्त करने के लिए 10 से गुणा करेंगे:


 * $$10A = 7.162\,162\,162\,\ldots$$

अब हम इस समीकरण को 10r से गुणा करते हैं जहाँ r पुनरावृत्ति की लंबाई है। यह दशमलव बिंदु को "अगली" पुनरावृत्ति के सामने ले जाने का प्रभाव है। हमारे उदाहरण में, 103 से गुणा करें::


 * $$10,000A=7\,162.162\,162\,\ldots$$

दो गुणन का परिणाम बिल्कुल समान दशमलव भाग के साथ दो भिन्न व्यंजक देता है, अर्थात 10,000A का पिछला सिरा 10A के पिछले सिरे से यथार्थ रूप से समान है। यहां, 10,000A और 10A दोनों हैं .162 162  162  ... दशमलव बिंदु के बाद।

इसलिए, जब हम 10A समीकरण को 10,000A समीकरण से घटाते हैं, तो 10A का पिछला सिरा 10,000A के पिछले सिरे को रद्द कर देता है और हमारे पास रह जाता है:


 * $$9990A=7155.$$

फिर


 * $$A= \frac{7155}{9990} = \frac{53}{74}$$

पूर्णांकों का अनुपात है और इसलिए एक परिमेय संख्या है।

अपरिमेय घातें
डोव जार्डन ने एक साधारण गैर-रचनात्मक प्रमाण दिया कि दो अपरिमेय संख्याएँ a और b उपस्थित हैं, जैसे कि ab परिमेय है:

√2√2 पर विचार करें; यदि यह तर्कसंगत है, तो a = b = √2 लें। अन्यथा, a को अपरिमेय संख्या √2√2 और b = √2 लें। फिर ab = (√2√2)√2 = √2√2·√2 = √22 = 2, जो परिमेय है।

चूंकि उपरोक्त तर्क दो स्थितियों के बीच निर्णय नहीं करता है, गेलफॉन्ड-श्नाइडर प्रमेय यह दर्शाता है $\sqrt{3}$$\sqrt{2}$ भावातीत संख्या है, इसलिए अपरिमेय है। यह प्रमेय बताता है कि यदि a और b दोनों बीजगणितीय संख्याएँ हैं, और a 0 या 1 के बराबर नहीं है, और b एक परिमेय संख्या नहीं है, तो ab का कोई मान एक अतिश्रेष्ट संख्या है (यदि सम्मिश्र संख्या घातांक का उपयोग किया जाता है, तो एक से अधिक मान हो सकते हैं)।

एक उदाहरण जो एक सरल रचनात्मक प्रमाण प्रदान करता है
 * $$\left(\sqrt{2}\right)^{\log_{\sqrt{2}}3}=3.$$

बायीं ओर का आधार अपरिमेय है और दायीं ओर परिमेय है, इसलिए सिद्ध करना होगा कि बायीं ओर का घातांक, $$\log_{\sqrt{2}}3$$, अपरिमेय है। ऐसा इसलिए है, क्योंकि भिन्न-भिन्न आधारों वाले लघुगणकों को संबंधित सूत्र द्वारा,


 * $$\log_{\sqrt{2}}3=\frac{\log_2 3}{\log_2 \sqrt{2}}=\frac{\log_2 3}{1/2} = 2\log_2 3$$

जिसे हम मान सकते हैं, एक विरोधाभास स्थापित करने के लिए, धनात्मक पूर्णांकों के अनुपात m/n के बराबर है। फिर $$\log_2 3 = m/2n$$ इसलिये $$2^{\log_2 3}=2^{m/2n}$$ इसलिये $$3=2^{m/2n}$$ इसलिये $$3^{2n}=2^m$$, जो प्रमुख कारकों की एक विरोधाभासी जोड़ी है और इसलिए अंकगणित (अद्वितीय प्रधान कारक) के मौलिक प्रमेय का उल्लंघन करती है।

एक मजबूत परिणाम निम्नलिखित है: अंतराल में प्रत्येक परिमेय संख्या $$((1/e)^{1/e}, \infty)$$ को या तो किसी अपरिमेय संख्या a के लिए  aa के रूप में या किसी प्राकृतिक संख्या n के लिए nn के रूप में लिखा जा सकता है। इसी प्रकार, प्रत्येक धनात्मक परिमेय संख्या को या तो कुछ अपरिमेय संख्या a के लिये aaa के रूप में या कुछ प्राकृतिक संख्या n के लिए $$n^{n^n}$$के रूप में लिखा जा सकता है  ।

खुले प्रश्न
यह ज्ञात नहीं है कि क्या $$\pi+e$$ (या $$\pi-e$$) अपरिमेय है। वास्तविक में, शून्येतर पूर्णांकों $$m, n$$ का कोई युग्म नहीं हैजिसके लिए यह ज्ञात हो कि क्या  $$m\pi+ n e$$ अपरिमेय है। इसके अतिरिक्त, यह ज्ञात नहीं है कि सेट $$\{\pi, e\}$$  $$\Q$$ पर बीजगणितीय रूप स्वतंत्रता से  स्वतंत्र है या नहीं।

यदि यह ज्ञात नहीं है की क्या $$\pi e,\ \pi/e,\ 2^e,\ \pi^e,\ \pi^\sqrt{2},\ \ln\pi,$$ निरंतर, या यूलर-माशेरोनी स्थिरांक $$\gamma$$ अपरिमेय हैं।  यह ज्ञात नहीं है कि दोनों में से कोई भी टेट्राटेशन $$^n\pi$$ या $$^n e$$ परिमेय है किसी पूर्णांक के लिए  $$n > 1.$$

रचनात्मक गणित में
रचनात्मक गणित में, अपवर्जित मध्य मान्य नहीं है, इसलिए यह सत्य नहीं है कि प्रत्येक वास्तविक संख्या परिमेय या अपरिमेय है। इस प्रकार, एक अपरिमेय संख्या की धारणा कई अलग-अलग धारणाओं में विभाजित हो जाती है। एक अपरिमेय संख्या की पारंपरिक परिभाषा को वास्तविकिक संख्या के रूप में लिया जा सकता है जो परिमेय नहीं है। चूँकि, रचनात्मक गणित में उपयोग की जाने वाली एक अपरिमेय संख्या की दूसरी परिभाषा है, जो कि एक वास्तविकिक संख्या है $$r$$ एक अपरिमेय संख्या है यदि यह प्रत्येक परिमेय संख्या से अलग संबंध है, या समकक्ष, यदि दूरी है $$\vert r - q \vert$$ के बीच $$r$$ और हर  परिमेय संख्या $$q$$ धनात्मक है। यह परिभाषा अपरिमेय संख्या की पारंपरिक परिभाषा से अधिक प्रभावशाली है। इस दूसरी परिभाषा का उपयोग एरेट बिशप के प्रमाण में किया गया है कि 2 का वर्गमूल अपरिमेय है।

सभी अपरिमेय का सेट
चूंकि वास्तविक एक अनगिनत समुच्चय बनाते हैं

जिनमें से परिमेय एक गणनीय उपसमुच्चय हैं, अपरिमेय का पूरक समुच्चय अनगिनत है।।

सामान्य (यूक्लिडियन दूरी) दूरी समारोह के तहत $$d(x, y) = \vert x - y \vert$$, वास्तविकिक संख्याएं एक मीट्रिक स्थान हैं और इसलिए एक सांस्थितिक स्थान भी हैं। यूक्लिडियन दूरी समारोह को प्रतिबंधित करने से अपरिमेय को एक मीट्रिक स्थान की संरचना मिलती है। चूँकि अपरिमेय की उपसमष्टि बंद नहीं है,

प्रेरित मीट्रिक पूर्ण नहीं है (टोपोलॉजी)। एक जी-डेल्टा सेट होने के नाते - अर्थात्, खुले उपसमुच्चय का एक गणनीय चौराहा - एक पूर्ण मीट्रिक स्थान में, अपरिमेय का स्थान पूरी तरह से मेट्रिज़ेबल है: अर्थात, अपरिमेय पर एक मीट्रिक है जो समान टोपोलॉजी को यूक्लिडियन के प्रतिबंध के रूप में प्रेरित करता है। मीट्रिक, लेकिन जिसके संबंध में अपरिमेय पूर्ण हैं। जी-डेल्टा सेट के बारे में पूर्वोक्त तथ्य को जाने बिना कोई इसे देख सकता है: एक अपरिमेय संख्या का निरंतर अंश विस्तार अपरिमेय के स्थान से धनात्मक पूर्णांक के सभी अनुक्रमों के स्थान तक एक होमोमोर्फिज़्म को परिभाषित करता है, जिसे आसानी से पूरी तरह से मेट्रिज़ेबल देखा जा सकता है।

इसके अतिरिक्त, सभी अपरिमेय का सेट एक वियोजित मेट्रिजेबल स्पेस है। वास्तविक में, उप-स्थान टोपोलॉजिकल स्पेस लैस अपरिमेय के पास क्लोपेन सेट का आधार होता है, इसलिए अंतरिक्ष शून्य-आयामी स्पेस है।

यह भी देखें

 * ब्रजुनो संख्या
 * गणना योग्य संख्या
 * डायोफैंटाइन सन्निकटन
 * सबूत है कि ई अपरिमेय है | सबूत है कि $\sqrt{2}$ अपरिमेय है
 * सबूत है कि π अपरिमेय है | सबूत है कि $e$ अपरिमेय है
 * 3 का वर्गमूल
 * 5 का वर्गमूल
 * त्रिकोणमितीय संख्या

अग्रिम पठन

 * Adrien-Marie Legendre, Éléments de Géometrie, Note IV, (1802), Paris
 * Rolf Wallisser, "On Lambert's proof of the irrationality of π", in Algebraic Number Theory and Diophantine Analysis, Franz Halter-Koch and Robert F. Tichy, (2000), Walter de Gruyer

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 * परिमेय जड़ प्रमेय
 * लम्बा विभाजन
 * बाइनरी संख्या प्रणाली
 * टेट्रेशन
 * बहिष्कृत मध्य
 * पूरी तरह से मेट्रिजेबल
 * पूर्ण (टोपोलॉजी)
 * शून्य आयामी स्थान
 * गणनीय संख्या

बाहरी संबंध

 * Zeno's Paradoxes and Incommensurability (n.d.). Retrieved April 1, 2008