विलोम संबंध

गणित में, एक द्विआधारी संबंध का विलोम संबंध, या स्थानान्तरण, वह संबंध है जो संबंध में तत्वों के क्रम को बदलने पर होता है। उदाहरण के लिए, 'का बच्चा' संबंध का विलोम 'का जनक' संबंध है। औपचारिक शब्दों में, यदि $$X$$ और $$Y$$ समुच्चय हैं और $$L \subseteq X \times Y$$ $$X$$ से $$Y,$$ तक का संबंध है, तो $$L^{\operatorname{T}}$$ संबंध परिभाषित किया गया है ताकि $$yL^{\operatorname{T}}x$$ यदि और केवल यदि $$xLy$$ हो। सेट-बिल्डर नोटेशन में,
 * $$L^{\operatorname{T}} = \{ (y, x) \in Y \times X : (x, y) \in L \}.$$

एक व्युत्क्रम कार्य के लिए संकेतन इसके अनुरूप है। हालाँकि कई फलनों का प्रतिलोम नहीं होता है, फिर भी प्रत्येक संबंध का एक विशिष्ट विलोम होता है। यूनरी ऑपरेशन जो एक संबंध को बातचीत के संबंध में मैप करता है, एक इनवोल्यूशन है, इसलिए यह एक सेट पर बाइनरी रिलेशंस पर इनवोल्यूशन के साथ एक सेमीग्रुप की संरचना को प्रेरित करता है, या, अधिक आम तौर पर, नीचे दिए गए विवरण के अनुसार संबंधों की श्रेणी पर एक डैगर श्रेणी उत्पन्न करता है। एक यूनरी ऑपरेशन के रूप में, बातचीत (कभी-कभी रूपांतरण या ट्रांसपोज़िशन कहा जाता है) लेने से संबंधों के कैलकुस के ऑर्डर-संबंधित संचालन के साथ शुरू होता है, यानी यह संघ, चौराहे और पूरक के साथ कम्यूट करता है।

चूँकि एक संबंध एक तार्किक मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जा सकता है, और विलोम संबंध का तार्किक मैट्रिक्स मूल का स्थानान्तरण है, विलोम संबंध को भी पारगमन संबंध कहा जाता है। इसे मूल संबंध का विपरीत या दोहरा भी कहा गया है, या मूल संबंध का व्युत्क्रम, या संबंध $$L$$ का पारस्परिक $$L^{\circ}$$।

विलोम संबंध के लिए अन्य संकेतन में $$L^{\operatorname{C}}, L^{-1}, \breve{L}, L^{\circ},$$ या $$L^{\vee}$$ शामिल हैं।

उदाहरण
सामान्य (शायद सख्त या आंशिक) आदेश संबंधों के लिए, बातचीत भोले-भाले अपेक्षित "विपरीत" क्रम है, उदाहरण के लिए, $${\leq^\operatorname{T}} = {\geq},\quad {<^\operatorname{T}} = {>}$$। एक संबंध को एक तार्किक मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जा सकता है जैसे कि$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. $$तब विलोम संबंध को उसके स्थानान्तरण मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाता है:$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}. $$रिश्तेदारी संबंधों के विलोम का नाम दिया गया है: "$$A$$ $$B$$ की संतान है" का विलोम "$$B$$ $$A$$ के माता-पिता हैं"। "$$A$$, $$B$$ का भतीजा या भतीजी है" का विलोम है "$$B$$, $$A$$ के चाचा या चाची हैं"। संबंध "$$A$$ $$B$$ का सहोदर है" इसका स्वयं का विलोम है, क्योंकि यह एक सममित संबंध है।

गुण
एक सेट पर बाइनरी एंडोरेलेशन के मोनोइड में (संबंधों की संरचना होने वाले संबंधों पर बाइनरी ऑपरेशन के साथ), विपरीत संबंध समूह सिद्धांत से व्युत्क्रम की परिभाषा को संतुष्ट नहीं करता है, अर्थात्, यदि $$L$$ $$X,$$ पर एक मनमाना संबंध है, तो $$L \circ L^{\operatorname{T}}$$ सामान्य रूप से $$X$$ पर तत्समक संबंध के बराबर नहीं है। विलोम संबंध एक अर्धसमूह के (कमजोर) सिद्धांतों को अंतर्वलन से संतुष्ट करता है: $$\left(L^{\operatorname{T}}\right)^{\operatorname{T}} = L$$ और $$(L \circ R)^{\operatorname{T}} = R^{\operatorname{T}} \circ L^{\operatorname{T}}$$।

चूंकि आम तौर पर विभिन्न सेटों के बीच संबंधों पर विचार किया जा सकता है (जो एक मोनोइड के बजाय एक श्रेणी बनाते हैं, अर्थात् संबंधों की श्रेणी रिले), इस संदर्भ में विपर्यय संबंध एक डैगर श्रेणी (इनवोल्यूशन के साथ उर्फ ​​श्रेणी) के सिद्धांतों के अनुरूप है। इसके व्युत्क्रम के बराबर संबंध एक सममित संबंध है; खंजर श्रेणियों की भाषा में यह स्वतःसंबद्ध है।

इसके अलावा, एक सेट पर एंडोरेलेशन का सेमीग्रुप भी एक आंशिक रूप से क्रमबद्ध संरचना है (संबंधों को सेट के रूप में शामिल करने के साथ), और वास्तव में एक समावेशी क्वांटले है। इसी प्रकार, विषम संबंधों की श्रेणी, Rel भी एक क्रमबद्ध श्रेणी है।

संबंधों की कलन में, रूपांतरण (विपरीत संबंध लेने की एकात्मक संक्रिया) संघ और प्रतिच्छेदन की अन्य द्विआधारी संक्रियाओं के साथ संचलित होता है। रूपांतरण पूरकता के एकात्मक संचालन के साथ-साथ सुप्रीमा और इन्फिमा लेने के साथ भी शुरू होता है। रूपांतरण समावेशन द्वारा संबंधों के क्रम के साथ भी संगत है।

यदि कोई संबंध रिफ्लेक्सिव, इर्रेफ्लेक्सिव, सममित, एंटीसिमेट्रिक, असममित, सकर्मक, जुड़ा हुआ, त्रिकोटोमस, एक आंशिक क्रम, कुल आदेश, सख्त कमजोर आदेश, कुल पूर्व आदेश (कमजोर क्रम), या एक तुल्यता संबंध है, तो इसका विलोम भी है।

उलटा
यदि $$I$$ तत्समक संबंध को प्रदर्शित करता है, तो संबंध $$R$$ का प्रतिलोम इस प्रकार हो सकता है: $$R$$ कहलाता है


 * दाहिने प्रतीप्य
 * यदि कोई संबंध $$X$$ मौजूद है, जिसे $$R$$ का सही प्रतिलोम कहा जाता है, जो $$R \circ X = I$$ को संतुष्ट करता है।


 * बाँया प्रतीप्य
 * यदि कोई संबंध $$Y,$$ मौजूद है, जिसे $$R,$$ का बायां प्रतिलोम कहा जाता है, जो $$Y \circ R = I$$ को संतुष्ट करता है।


 * प्रतीप्य
 * यदि यह दायां-उलटा और बायां-उलटा दोनों है।

एक व्युत्क्रमणीय समरूप संबंध $$R,$$ के लिए, सभी दाएँ और बाएँ व्युत्क्रम संपाती हैं; इस अनूठे सेट को इसका व्युत्क्रम कहा जाता है और इसे $$R^{-1}$$ द्वारा दर्शाया जाता है, इस मामले में, $$R^{-1} = R^{\operatorname{T}}$$ होल्ड करता है।

किसी फलन का विलोम संबंध
एक फलन व्युत्क्रमणीय होता है यदि और केवल यदि इसका विलोम संबंध एक फलन हो, तो इस मामले में विलोम संबंध प्रतिलोम फलन होता है।

किसी फलन $$f : X \to Y$$ का विलोम संबंध $$\operatorname{graph}\, f^{-1} = \{ (y, x) \in Y \times X : y = f(x) \}$$ द्वारा परिभाषित संबंध $$f^{-1} \subseteq Y \times X$$ है।

यह आवश्यक रूप से एक कार्य नहीं है: एक आवश्यक शर्त यह है कि $$f$$ अंतःक्षेपी हो, क्योंकि $$f^{-1}$$ बहु-मूल्यवान है। यह स्थिति $$f^{-1}$$ के लिए एक आंशिक कार्य होने के लिए पर्याप्त है, और यह स्पष्ट है कि $$f^{-1}$$ तब एक (कुल) कार्य है यदि और केवल यदि $$f$$ विशेषण है। उस मामले में, यदि $$f$$ एक विशेषण है, तो $$f^{-1}$$ को $$f$$ का व्युत्क्रम कार्य कहा जा सकता है।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन $$f(x) = 2x + 2$$ में व्युत्क्रम फ़ंक्शन $$f^{-1}(x) = \frac{x}{2} - 1$$ है।

हालांकि, फलन $$g(x) = x^2$$ का व्युत्क्रम संबंध $$g^{-1}(x) = \pm \sqrt{x},$$ है जो कि बहु-मूल्यवान होने के कारण फलन नहीं है।

संबंध के साथ रचना
संबंधों के संघटन का प्रयोग करते हुए, विलोम को मूल संबंध से बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, इसके विलोम से बना उपसमुच्चय संबंध हमेशा सार्वभौमिक संबंध है:
 * ∀A ∀B ∅ ⊂ A ∩B ⇔ A ⊃ ∅ ⊂ B ⇔ A ⊃ ⊂ B. इसी प्रकार,
 * U = ब्रह्मांड के लिए, A ∪ B ⊂ U ⇔ A ⊂ U ⊃ B ⇔ A ⊂ ⊃ B.

अब सेट सदस्यता संबंध और इसके विलोम पर विचार करें।
 * $$A \ni z \in B \Leftrightarrow z \in A \cap B \Leftrightarrow A \cap B \ne \empty.$$

इस प्रकार $$A \ni \in B \Leftrightarrow A \cap B \ne \empty .$$ विपरीत रचना $$\in \ni$$ सार्वभौम संबंध है।

रचनाओं का उपयोग संबंधों को प्रकार के अनुसार वर्गीकृत करने के लिए किया जाता है: एक संबंध क्यू के लिए, जब क्यू की सीमा पर पहचान संबंध में क्यूटीक्यू होता है, तो क्यू को एकतरफा कहा जाता है। जब Q के डोमेन पर तत्समक संबंध Q QT में निहित होता है, तो Q को कुल कहा जाता है। जब Q एकसंयोजक और कुल दोनों हो तो यह एक फलन है। जब क्यूटी एकतरफा होता है, तो क्यू को इंजेक्शन कहा जाता है। जब QT कुल होता है, तो Q को विशेषण कहा जाता है।

यदि Q एकसंयोजक है, तो QQT, Q के प्रांत पर एक तुल्यता संबंध है, देखें सकर्मक संबंध#संबंधित गुण।