त्रिकोणमितीय अभिन्न







गणित में, त्रिकोणमितीय अभिन्न त्रिकोणमितीय कार्यों से जुड़े अभिन्नो का अनुक्रमित संबंधी है।

ज्या अभिन्न
विभिन्न ज्या अभिन्न परिभाषाएँ हैं। $$\operatorname{Si}(x) = \int_0^x\frac{\sin t}{t}\,dt$$$$\operatorname{si}(x) = -\int_x^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt~.$$ ध्यान दें कि समाकलित $$0 ≤ x ≤ 8 π$/$sin t$$ sin c फलन है और शून्य गोलाकार बेसेल फलन jn.2C yn भी है।

चूँकि $t$ सम संपूर्ण फलन है (संपूर्ण जटिल तल पर होलोमार्फिक), $sinc$ संपूर्ण विषम है, और इसकी परिभाषा में समाकल को अंतबिंदुओं को जोड़ने वाले किसी भी पथ के साथ लिया जा सकता है।

परिभाषा के अनुसार, $Si$ $Si(x)$ का प्रतिपक्षी है। जिसका मान $sin x / x$ शून्य है, और $x = 0$ प्रतिपक्षी है जिसका मान $si(x)$ शून्य पर है। उनका अंतर डिरिचलेट अभिन्न द्वारा दिया गया है। $$\operatorname{Si}(x) - \operatorname{si}(x) = \int_0^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt = \frac{\pi}{2} \quad \text{ or } \quad \operatorname{Si}(x) = \frac{\pi}{2} + \operatorname{si}(x) ~.$$ संकेत आगे बढ़ाने में, साइन अभिन्न के दोलनों के कारण sin c फिल्टर का उपयोग करते समय ओवरशूट (संकेत) और बजती हुई कलाकृतियाँ, और लो पास फिल्टर के रूप में ट्रंकेटेड sin c फिल्टर का उपयोग करने पर आवृत्ति डोमेन बजती है।

चूँकि संबंधित गिब्स घटना है। यदि साइन अभिन्न को भारी कदम समारोह के साथ sin c फ़ंक्शन के कनवल्शन के रूप में माना जाता है। तब यह फूरियर श्रृंखला को छोटा करने के अनुरूप है। जो गिब्स घटना का कारण है।

कोसाइन अभिन्न
विभिन्न कोज्या अभिन्न परिभाषाएँ हैं। $$\operatorname{Cin}(x) = \int_0^x \frac{1 - \cos t}{t}\,dt~,$$$$\operatorname{Ci}(x) = -\int_x^\infty \frac{\cos t}{t}\,dt = \gamma + \ln x - \int_0^x \frac{1 - \cos t}{t}\,dt \qquad ~\text{ for } ~\left|\operatorname{Arg}(x)\right| < \pi~,$$ जंहा $x = ∞$ यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक है। कुछ ग्रंथ $Ci(x)$ के अतिरिक्त $γ ≈ 0.57721566 ...$. उपयोग करते हैं।

दो परिभाषाओं से संबंधित हैं। $ci$ का प्रतिपक्षी है $Ci$ (जो विलुप्त हो जाता है $$x \to \infty$$)। $$\operatorname{Ci}(x) = \gamma + \ln x - \operatorname{Cin}(x)~.$$

$Ci(x)$ सम और विषम कार्य संपूर्ण कार्य है। इसी कारण से, कुछ ग्रंथ $cos x / x$ को प्राथमिक कार्य के रूप में मानते है, और $Cin$ को $Cin$ के संदर्भ में प्राप्त करते हैं।

अतिशयोक्तिपूर्ण साइन अभिन्न
अतिशयोक्तिपूर्ण साइन अभिन्न को इस रूप में परिभाषित किया गया है। $$\operatorname{Shi}(x) =\int_0^x \frac {\sinh (t)}{t}\,dt.$$ यह साधारण साइन अभिन्न से संबंधित है। $$\operatorname{Si}(ix) = i\operatorname{Shi}(x).$$

अतिशयोक्तिपूर्ण कोसाइन अभिन्न
अतिशयोक्तिपूर्ण कोसाइन अभिन्न है।

$$\operatorname{Chi}(x) = \gamma+\ln x + \int_0^x\frac{\cosh t-1}{t}\,dt \qquad ~ \text{ for } ~ \left| \operatorname{Arg}(x) \right| < \pi~,$$ जंहा $$\gamma$$ यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक है।

इसकी श्रृंखला विस्तार है। $$\operatorname{Chi}(x) = \gamma + \ln(x) + \frac {x^2}{4} + \frac {x^4}{96} + \frac {x^6}{4320} + \frac {x^8}{322560} + \frac{x^{10}}{36288000} + O(x^{12}).$$

सहायक कार्य
त्रिकोणमितीय अभिन्नो को तथाकथित सहायक फलनों के संदर्भ में समझा जा सकता है। $$ \begin{array}{rcl} f(x) &\equiv&\displaystyle \int_0^\infty \frac{\sin(t)}{t+x} \,dt &=&\displaystyle \int_0^\infty \frac{e^{-x t}}{t^2 + 1} \,dt &=& \quad \operatorname{Ci}(x) \sin(x) + \left[\frac{\pi}{2} - \operatorname{Si}(x) \right] \cos(x)~, \qquad \text{ and } \\ g(x) &\equiv&\displaystyle \int_0^\infty \frac{\cos(t)}{t+x} \,dt &=&\displaystyle \int_0^\infty \frac{t e^{-x t}}{t^2 + 1} \,dt &=& -\operatorname{Ci}(x) \cos(x) + \left[\frac{\pi}{2} - \operatorname{Si}(x) \right] \sin(x)~. \end{array} $$ इन कार्यों का उपयोग करके, त्रिकोणमितीय अभिन्न को फिर से व्यक्त किया जा सकता है।

(cf. अब्रामोविट्ज़ और स्टेगन, पृष्ठ 232) $$\begin{array}{rcl} \frac{\pi}{2} - \operatorname{Si}(x) = -\operatorname{si}(x) &=& f(x) \cos(x) + g(x) \sin(x)~, \qquad \text{ and } \\ \operatorname{Ci}(x) &=& f(x) \sin(x) - g(x) \cos(x)~. \\ \end{array}$$

नीलसन का सर्पिल
नीलसन के सर्पिल $Ci$ के पैरामीट्रिक प्लॉट द्वारा निर्मित सर्पिल को नीलसन के सर्पिल के रूप में जाना जाता है। $$x(t) = a \times \operatorname{ci}(t)$$$$y(t) = a \times \operatorname{si}(t)$$ सर्पिल फ्रेस्नेल अभिन्न और यूलर सर्पिल से निकटता से संबंधित है। नीलसन के सर्पिल में दृष्टि प्रसंस्करण, सड़क और ट्रैक निर्माण और अन्य क्षेत्रों में अनुप्रयोग हैं।

विस्तार
तर्क की सीमा के आधार पर त्रिकोणमितीय अभिन्नो के मूल्यांकन के लिए विभिन्न विस्तारों का उपयोग किया जा सकता है।

स्पर्शोन्मुख श्रृंखला (बड़े तर्क के लिए)
$$\operatorname{Si}(x) \sim \frac{\pi}{2} - \frac{\cos x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^2}+\frac{4!}{x^4}-\frac{6!}{x^6}\cdots\right) - \frac{\sin x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^3}+\frac{5!}{x^5}-\frac{7!}{x^7}\cdots\right)$$$$\operatorname{Ci}(x) \sim \frac{\sin x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^2}+\frac{4!}{x^4}-\frac{6!}{x^6}\cdots\right) - \frac{\cos x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+\frac{5!}{x^5}-\frac{7!}{x^7}\cdots\right) ~.$$ यह श्रृंखला स्पर्शोन्मुख श्रृंखला और भिन्न हैं। चूंकि अनुमानों और यहां तक ​​​​कि त्रुटिहीन मूल्यांकन के लिए भी उपयोग किया जा सकता है $Cin$.

अभिसरण श्रृंखला
$$\operatorname{Si}(x)= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!\cdot3}+\frac{x^5}{5!\cdot5}-\frac{x^7}{7! \cdot7}\pm\cdots$$$$\operatorname{Ci}(x)= \gamma+\ln x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}=\gamma+\ln x-\frac{x^2}{2!\cdot2} + \frac{x^4}{4! \cdot4}\mp\cdots$$ ये श्रृंखलाएँ किसी भी जटिल $x$ पर अभिसारी होती हैं $π$, चूंकि के लिए $si, ci$, श्रृंखला प्रारंभ में धीरे-धीरे अभिसरित होती है। जिसके लिए उच्च परिशुद्धता के लिए कई शब्दों की आवश्यकता होती है।

श्रृंखला विस्तार की व्युत्पत्ति
ज्या के मैक्लॉरिन श्रृंखला विस्तार से,$$\sin\,x = x - \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}- \frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\frac{x^{11}}{11!} + \cdots$$$$\frac{\sin\,x}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}- \frac{x^6}{7!}+\frac{x^8}{9!}-\frac{x^{10}}{11!}+\cdots$$$$\therefore\int \frac{\sin\,x}{x}dx = x - \frac{x^3}{3!\cdot3}+\frac{x^5}{5!\cdot5}- \frac{x^7}{7!\cdot7}+\frac{x^9}{9!\cdot9}-\frac{x^{11}}{11!\cdot11}+\cdots $$

काल्पनिक तर्क के घातीय अभिन्न के साथ संबंध
कार्यक्रम,$$\operatorname{E}_1(z) = \int_1^\infty \frac{\exp(-zt)}{t}\,dt \qquad~\text{ for }~ \Re(z) \ge 0 $$

इसे घातीय समाकलन कहा जाता है। यह $ℜ(x) ≫ 1$ और $|x| ≫ 1$, से घनिष्ठ रूप से संबंध है। $$ \operatorname{E}_1(i x) = i\left(-\frac{\pi}{2} + \operatorname{Si}(x)\right)-\operatorname{Ci}(x) = i \operatorname{si}(x) - \operatorname{ci}(x) \qquad ~\text{ for }~ x > 0 ~. $$ चूंकि तर्क के नकारात्मक मूल्यों में कटौती को छोड़कर प्रत्येक संबंधित कार्य विश्लेषणात्मक है। अतः संबंध की वैधता के क्षेत्र को विस्तारित किया जाता है। (इस सीमा के बाहर, अतिरिक्त शर्तें जो पूर्णांक कारक हैं) $Si$ अभिव्यक्ति में दिखाई देते हैं।)

सामान्यीकृत इंटीग्रो-एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन के काल्पनिक तर्क की स्थिति हैं। $$ \int_1^\infty \cos(ax)\frac{\ln x}{x} \, dx = -\frac{\pi^2}{24}+\gamma\left(\frac{\gamma}{2}+\ln a\right)+\frac{\ln^2a}{2} +\sum_{n\ge 1} \frac{(-a^2)^n}{(2n)!(2n)^2} ~, $$ जिसका वास्तविक भाग है। $$ \int_1^\infty e^{iax}\frac{\ln x}{x}\,dx = -\frac{\pi^2}{24} + \gamma\left(\frac{\gamma}{2}+\ln a\right)+\frac{\ln^2 a}{2} -\frac{\pi}{2}i\left(\gamma+\ln a\right) + \sum_{n\ge 1}\frac{(ia)^n}{n!n^2} ~. $$ उसी प्रकार, $$ \int_1^\infty e^{iax}\frac{\ln x}{x^2}\,dx = 1 + ia\left[ -\frac{\pi^2}{24} + \gamma \left( \frac{\gamma}{2} + \ln a - 1 \right) + \frac{\ln^2 a}{2} - \ln a + 1 \right] + \frac{\pi a}{2} \Bigl( \gamma+\ln a - 1 \Bigr) + \sum_{n\ge 1}\frac{(ia)^{n+1}}{(n+1)!n^2}~. $$

कुशल मूल्यांकन
अभिसरण टेलर श्रृंखला के पैड सन्निकटन छोटे तर्कों के लिए कार्यों का मूल्यांकन करने में कुशल विधि प्रदान करते हैं। रोवे एट अल द्वारा दिए गए निम्नलिखित सूत्र (2015), $Ci$ के लिए $π$ से उत्तम के लिए त्रुटिहीन हैं। $$\begin{array}{rcl} \operatorname{Si}(x) &\approx & x \cdot \left( \frac{ \begin{array}{l} 1 -4.54393409816329991\cdot 10^{-2} \cdot x^2 + 1.15457225751016682\cdot 10^{-3} \cdot x^4 - 1.41018536821330254\cdot 10^{-5} \cdot x^6 \\ + 9.43280809438713025 \cdot 10^{-8} \cdot x^8 - 3.53201978997168357 \cdot 10^{-10} \cdot x^{10} + 7.08240282274875911 \cdot 10^{-13} \cdot x^{12} \\ - 6.05338212010422477 \cdot 10^{-16} \cdot x^{14} \end{array} } { \begin{array}{l} 1 + 1.01162145739225565 \cdot 10^{-2} \cdot x^2 + 4.99175116169755106 \cdot 10^{-5} \cdot x^4 + 1.55654986308745614 \cdot 10^{-7} \cdot x^6 \\ + 3.28067571055789734 \cdot 10^{-10} \cdot x^8 + 4.5049097575386581 \cdot 10^{-13} \cdot x^{10} + 3.21107051193712168 \cdot 10^{-16} \cdot x^{12} \end{array} } \right)\\ &~&\\ \operatorname{Ci}(x) &\approx & \gamma + \ln(x) +\\ && x^2 \cdot \left( \frac{ \begin{array}{l} -0.25 + 7.51851524438898291 \cdot 10^{-3} \cdot x^2 - 1.27528342240267686 \cdot 10^{-4} \cdot x^4 + 1.05297363846239184 \cdot 10^{-6} \cdot x^6 \\ -4.68889508144848019 \cdot 10^{-9} \cdot x^8 + 1.06480802891189243 \cdot 10^{-11} \cdot x^{10} - 9.93728488857585407 \cdot 10^{-15} \cdot x^{12} \\ \end{array} } { \begin{array}{l} 1 + 1.1592605689110735 \cdot 10^{-2} \cdot x^2 + 6.72126800814254432 \cdot 10^{-5} \cdot x^4 + 2.55533277086129636 \cdot 10^{-7} \cdot x^6 \\ + 6.97071295760958946 \cdot 10^{-10} \cdot x^8 + 1.38536352772778619 \cdot 10^{-12} \cdot x^{10} + 1.89106054713059759 \cdot 10^{-15} \cdot x^{12} \\ + 1.39759616731376855 \cdot 10^{-18} \cdot x^{14} \\ \end{array} } \right) \end{array}$$ अभिन्न का मूल्यांकन अप्रत्यक्ष रूप से सहायक कार्यों के माध्यम से किया जा सकता है। जिसे $$f(x)$$ और $$g(x)$$द्वारा परिभाषित किया गया है।

$$f(x)$$ और $$g(x)$$ के लिए $$x \ge 4$$ Padé approximant|Padé तर्कसंगत फ़ंक्शन नीचे दिए गए 10−16 से कम त्रुटि के साथ अनुमानित हैं।

$$\begin{array}{rcl} f(x) &\approx & \dfrac{1}{x} \cdot \left(\frac{ \begin{array}{l} 1 + 7.44437068161936700618 \cdot 10^2 \cdot x^{-2} + 1.96396372895146869801 \cdot 10^5 \cdot x^{-4} + 2.37750310125431834034 \cdot 10^7 \cdot x^{-6} \\ + 1.43073403821274636888 \cdot 10^9 \cdot x^{-8} + 4.33736238870432522765 \cdot 10^{10} \cdot x^{-10} + 6.40533830574022022911 \cdot 10^{11} \cdot x^{-12} \\ + 4.20968180571076940208 \cdot 10^{12} \cdot x^{-14} + 1.00795182980368574617 \cdot 10^{13} \cdot x^{-16} + 4.94816688199951963482 \cdot 10^{12} \cdot x^{-18} \\ - 4.94701168645415959931 \cdot 10^{11} \cdot x^{-20} \end{array} }{ \begin{array}{l} 1 + 7.46437068161927678031 \cdot 10^2 \cdot x^{-2} + 1.97865247031583951450 \cdot 10^5 \cdot x^{-4} + 2.41535670165126845144 \cdot 10^7 \cdot x^{-6} \\ + 1.47478952192985464958 \cdot 10^9 \cdot x^{-8} + 4.58595115847765779830 \cdot 10^{10} \cdot x^{-10} + 7.08501308149515401563 \cdot 10^{11} \cdot x^{-12} \\ + 5.06084464593475076774 \cdot 10^{12} \cdot x^{-14} + 1.43468549171581016479 \cdot 10^{13} \cdot x^{-16} + 1.11535493509914254097 \cdot 10^{13} \cdot x^{-18} \end{array} } \right) \\ & &\\ g(x) &\approx & \dfrac{1}{x^2} \cdot \left(\frac{ \begin{array}{l} 1 + 8.1359520115168615 \cdot 10^2 \cdot x^{-2} + 2.35239181626478200 \cdot 10^5 \cdot x^{-4} +3.12557570795778731 \cdot 10^7 \cdot x^{-6} \\ + 2.06297595146763354 \cdot 10^9 \cdot x^{-8} + 6.83052205423625007 \cdot 10^{10} \cdot x^{-10} + 1.09049528450362786 \cdot 10^{12} \cdot x^{-12} \\ + 7.57664583257834349 \cdot 10^{12} \cdot x^{-14} + 1.81004487464664575 \cdot 10^{13} \cdot x^{-16} + 6.43291613143049485 \cdot 10^{12} \cdot x^{-18} \\ - 1.36517137670871689 \cdot 10^{12} \cdot x^{-20} \end{array} }{ \begin{array}{l} 1 + 8.19595201151451564 \cdot 10^2 \cdot x^{-2} + 2.40036752835578777 \cdot 10^5 \cdot x^{-4} + 3.26026661647090822 \cdot 10^7 \cdot x^{-6} \\ + 2.23355543278099360 \cdot 10^9 \cdot x^{-8} + 7.87465017341829930 \cdot 10^{10} \cdot x^{-10} + 1.39866710696414565 \cdot 10^{12} \cdot x^{-12} \\ + 1.17164723371736605 \cdot 10^{13} \cdot x^{-14} + 4.01839087307656620 \cdot 10^{13} \cdot x^{-16} + 3.99653257887490811 \cdot 10^{13} \cdot x^{-18} \end{array} } \right) \\ \end{array}$$

यह भी देखें

 * लॉगरिदमिक अभिन्न
 * टैंक समारोह
 * तनहक समारोह
 * सिंह समारोह
 * कोश फ़ंक्शन

बाहरी संबंध

 * http://mathworld.wolfram.com/SineIntegral.html