हैडामर्ड उत्पाद (मैट्रिसेस)

गणित में, हैडामर्ड उत्पाद (तत्व-वार उत्पाद, प्रवेश-वार उत्पाद या शूर उत्पाद के रूप में भी जाना जाता है ) एक द्विआधारी संक्रिया है जो समान आयामों के दो आव्यूह (गणित) लेता है और गुणा किए गए संबंधित तत्वों का एक आव्यूह लौटाता है। इस संचालन को एक अनुभवहीन आव्यूह गुणन के रूप में सोचा जा सकता है और यह आव्यूह गुणन से भिन्न है। इसका श्रेय या तो फ्रांसीसी-यहूदी गणितज्ञ जैक्स हैडामर्ड या जर्मन-यहूदी गणितज्ञ इसाई स्कूर को दिया गया है और उनके नाम पर इसका नाम रखा गया है।

हैडामर्ड उत्पाद सहयोगी और वितरणात्मक संपत्ति है। आव्यूह उत्पाद के विपरीत, यह क्रमविनिमेय भी है।

परिभाषा
दो आव्यूह $A$ और $B$ के लिए समान आयाम $m × n$ के लिए, हैडामर्ड उत्पाद $$A \circ B$$ (या $$A \odot B$$  ) संकार्य के समान आयाम का एक आव्यूह है, जिसमें निम्न तत्व दिए गए हैं :$$(A \circ B)_{ij} = (A \odot B)_{ij} = (A)_{ij} (B)_{ij}.$$

विभिन्न आयामों के आव्यूहों के लिए ($m × n$ और $p × q$, जहाँ $m ≠ p$ या $n ≠ q$), हैडामर्ड उत्पाद अपरिभाषित है।

उदाहरण के लिए, दो स्वेच्छाचारी ढंग से 2 × 3 आव्यूह के लिए हैडामर्ड उत्पाद है:

\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\   0 & 8 & -2  \end{bmatrix} \circ \begin{bmatrix} 3 & 1 & 4 \\   7 & 9 & 5  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \times 3 & 3 \times 1 & 1 \times 4 \\ 0 \times 7 & 8 \times 9 & -2 \times 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 3 & 4 \\   0 & 72 & -10  \end{bmatrix} $$

गुण
A \circ B &= B \circ A, \\ A \circ (B \circ C) &= (A \circ B) \circ C, \\ A \circ (B + C) &= A \circ B + A \circ C, \\ \left(kA\right) \circ B &= A \circ \left(kB\right) = k\left(A \circ B\right), \\ A \circ 0 &= 0 \circ A = 0. \end{align}$$ D (A \circ B) E &= (D A E) \circ B   = (D A) \circ (B E) \\ &= (AE) \circ (D B) =    A \circ (D B E). \end{align}$$
 * हैडामर्ड उत्पाद क्रमविनिमेय (क्रम विनिमय वलय के साथ काम करते समय), जोड़ पर सहयोगी और वितरणात्मक गुण है। अर्थात्, यदि A, B, और C एक ही आकार के आव्यूह हैं, और k एक अदिश राशि है: $$\begin{align}
 * दो $m × n$ के हैडामर्ड गुणन के अंतर्गत तत्समक आव्यूह एक m × n आव्यूह है जहां सभी तत्व 1 के बराबर हैं। यह नियमित आव्यूह गुणन के अंतर्गत तत्समक आव्यूह से अलग है, जहां केवल मुख्य विकर्ण के तत्व 1 के बराबर हैं। इसके अतिरिक्त, एक आव्यूह में हैडामर्ड गुणन के अंतर्गत एक व्युत्क्रम होता है यदि और केवल यदि कोई नहीं तत्वों की संख्या शून्य के बराबर है।
 * सदिश $x$ और $y$ के लिए, और संगत विकर्ण आव्यूह $D_{x}$ और $D_{y}$ इन सदिशों को उनके मुख्य विकर्णों के रूप में रखते हुए, निम्नलिखित पहचान कायम रहती है: $$\mathbf{x}^* (A \circ B)\mathbf{y} = \operatorname{tr}\left({D}_\mathbf{x}^* A {D}_\mathbf{y} {B}^\mathsf{T}\right),$$ जहाँ $x^{*}$ के संयुग्म स्थानान्तरण $x$ को दर्शाता है। विशेष रूप से, लोगों के सदिश का उपयोग करते हुए,इससे पता चलता है कि हैडामर्ड उत्पाद में सभी तत्वों का योग $AB^{T}$ का निशान है जहां अधिलेख T आव्यूह पक्षांतर को दर्शाता है। $A$ और $B$ वर्ग के लिए एक संबंधित परिणाम यह है कि उनके हैडामर्ड उत्पाद की पंक्ति-योग के विकर्ण तत्व $AB^{T}$ है : $$\sum_i (A \circ B)_{ij} = \left(B^\mathsf{T} A\right)_{jj} = \left(AB^\mathsf{T}\right)_{ii}.$$ इसी प्रकार, $$\left(\mathbf{y}\mathbf{x}^*\right) \circ A = {D}_\mathbf{y} A {D}_\mathbf{x}^*$$ इसके अतिरिक्त, एक हैडामर्ड आव्यूह-सदिश उत्पाद को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: $$(A \circ B) \mathbf{y} = \operatorname{diag}\left( A D_\mathbf{y} B^\mathsf{T} \right)$$ जहाँ $$\operatorname{diag}(M)$$ आव्यूह के विकर्णों से बना सदिश $M$ है।
 * हैडामर्ड उत्पाद क्रोनकर उत्पाद का एक प्रमुख उपाव्यूह है।
 * हैडामर्ड उत्पाद श्रेणी असमानता को संतुष्ट करता है $$\operatorname{rank}(A \circ B) \leq \operatorname{rank}(A) \operatorname{rank}(B) $$
 * अगर $A$ और $B$ सकारात्मक-निश्चित आव्यूह हैं, तो हैडामर्ड उत्पाद से जुड़ी निम्नलिखित असमानता है: $$\prod_{i=k}^n \lambda_i(A \circ B) \ge \prod_{i=k}^n \lambda_i(A B),\quad k=1,\ldots,n,$$ जहाँ $λ_{i}(A)$ $i$ का सबसे बड़ा आइगेनवैल्यू $A$ है।
 * अगर $D$ और $E$ तो, विकर्ण आव्यूह हैं। $$\begin{align}
 * दो सदिशों का हैडामार्ड उत्पाद $$\mathbf a$$ और $$\mathbf b$$ एक सदिश के आव्यूह को दूसरे सदिश के संगत विकर्ण आव्यूह से गुणा करने के समान है: $$\mathbf a \circ \mathbf b = D _{\mathbf a} \mathbf b = D _{\mathbf b} \mathbf a$$
 * विकर्ण आव्यूह का सदिश विकर्ण आव्यूह $$\operatorname{diag}$$ संचालक को हैडामर्ड उत्पाद का उपयोग करके इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: $$\operatorname{diag}(\mathbf{a}) = (\mathbf{a} \mathbf{1}^T) \circ I$$ जहाँ $$\mathbf{1}$$ तत्वों के साथ एक स्थिर सदिश है $$1$$ और $$I$$ तत्समक आव्यूह है।

मिश्रित-उत्पाद संपत्ति
$$ (A \otimes B) \circ (C \otimes D) = (A \circ C) \otimes (B \circ D) ,$$ जहां $$\otimes$$ क्रोनकर उत्पाद है, यह मानते हुए कि A का आयाम C के समान है और B का D के साथ समान आयाम है।.

$$ (A \bull B) \circ (C \bull D) = (A \circ C) \bull (B \circ D) ,$$ जहाँ $$\bull$$ खत्री-राव उत्पाद को दर्शाता है।

$$(A \bull B)(C \ast D) = (A C) \circ (B D),$$ जहाँ $$\ast$$ पंक्ति-वार खत्री-राव उत्पाद है।

शूर उत्पाद प्रमेय
दो सकारात्मक-निश्चित आव्यूह का सकारात्मक-अर्ध-निश्चित आव्यूह सकारात्मक-अर्ध-निश्चित है। इसे रूसी गणितज्ञ इसाई शूर के नाम पर शूर उत्पाद प्रमेय के रूप में जाना जाता है। दो धनात्मक-अर्द्धनिश्चित आव्यूहों के लिए $A$ और $B$, यह भी ज्ञात है कि उनके हैडामर्ड उत्पाद का निर्धारक उनके संबंधित निर्धारकों के उत्पाद से अधिक या उसके बराबर है: $$\det({A} \circ {B}) \ge \det({A}) \det({B}).$$

प्रोग्रामिंग भाषाओं में
हैडामर्ड गुणन को विभिन्न नामों के अंतर्गत कुछ प्रोग्रामिंग भाषाओं में बनाया गया है। एमएटीएलएबी, जीएनयू ऑक्टेव, जीएयूएसएस (सॉफ़्टवेयर) और एचपी प्राइम में, इसे ऐरे गुणन के रूप में जाना जाता है, या जूलिया (प्रोग्रामिंग भाषा) में प्रसारण गुणन, प्रतीक के साथ है। फोरट्रान, आर (प्रोग्रामिंग भाषा) में, रेफरी> एपीएल (प्रोग्रामिंग भाषा), जे (प्रोग्रामिंग भाषा) और वोल्फ्राम भाषा (गणित), यह सरल गुणन संचालक   या   के माध्यम से किया जाता है, जबकि आव्यूह उत्पाद फलन ,  ,  ,   और यह   संचालक के माध्यम से किया जाता है।

पायथन में एनयूएमपीवाई संख्यात्मक लाइब्रेरी के साथ, सरणी वस्तुओं को  के रूप में गुणा करने से हैडामर्ड उत्पाद उत्पन्न होता है, और   के रूप में गुणा करने से आव्यूह उत्पाद उत्पन्न होता है। सिम्पी प्रतीकात्मक लाइब्रेरी के साथ, array का गुणन वस्तुएं दोनों   और   के रूप में आव्यूह उत्पाद का उत्पादन करेगा, हैडामर्ड उत्पाद के साथ  प्राप्त किया जा सकता है।

C++ में, आइगेन (C++ लाइब्रेरी) लाइब्रेरी एक प्रदान करती है  के लिए सदस्य फलन Matrix कक्षा, जबकि आर्मडिलो (C++ लाइब्रेरी) लाइब्रेरी संचालक   का उपयोग करती है। संक्षिप्त अभिव्यक्ति बनाने के लिए  ;   एक आव्यूह उत्पाद है। आर संवेष्टन मैट्रिक्सकैल्क संख्यात्मक आव्यूह या सदिश के हैडामर्ड उत्पाद के लिए फलन   प्रस्तुत करता है।

अनुप्रयोग
हैडामर्ड उत्पाद जेपीईजी जैसे हानिपूर्ण संपीड़न कलन विधि में दिखाई देता है। विकूटन चरण में एंट्री-फॉर-एंट्री उत्पाद सम्मिलित होता है, दूसरे शब्दों में हैडामर्ड उत्पाद है।

छवि प्रसंस्करण में, हैडामर्ड संचालक का उपयोग छवि क्षेत्रों को बढ़ाने, दबाने या छिपाने के लिए किया जा सकता है। एक आव्यूह मूल छवि का प्रतिनिधित्व करता है, दूसरा भार या संवरण आव्यूह के रूप में कार्य करता है।

इसका उपयोग यंत्र अधिगम साहित्य में किया जाता है, उदाहरण के लिए, गेटेड आवर्ती इकाई या दीर्घकालिक अल्पकालिक मेमोरी के रूप में आवर्तक तंत्रिका संजाल की वास्तुकला का वर्णन करने के लिए है।

इसका उपयोग यादृच्छिक सदिश और आव्यूह के सांख्यिकीय गुणों का अध्ययन करने के लिए भी किया जाता है।

समान संचालन
गणितीय साहित्य में अन्य हैडामर्ड संचालन भी देखे जाते हैं, अर्थात् और  (जो भिन्नात्मक सूचकांकों के कारण वास्तव में एक ही चीज़ हैं), एक आव्यूह के लिए परिभाषित किया गया है जैसे:

निम्न के लिए $$\begin{align} {B} &= {A}^{\circ 2} \\ B_{ij} &= {A_{ij}}^2 \end{align}$$ और निम्न के लिए $$\begin{align} {B} &= {A}^{\circ \frac12} \\ B_{ij} &= {A_{ij}}^\frac12 \end{align}$$

द निम्न पढ़ता है: $$\begin{align} {B} &= {A}^{\circ -1} \\ B_{ij} &= {A_{ij}}^{-1} \end{align}$$

ए परिभाषित किया जाता है:

$$\begin{align} {C} &= {A} \oslash {B} \\ C_{ij} &= \frac{A_{ij}}{B_{ij}} \end{align}$$

वेधक तल उत्पाद
वी. स्लीयूसर की परिभाषा के अनुसार पी×जी मैट्रिक्स {$${A}$$} और एन-आयामी आव्यूह $${B}$$ (n > 1) का मर्मज्ञ तल उत्पाद p×g ब्लॉक के साथ $${B} = [B_n] $$ प्रपत्र के आकार {$${B}$$ का एक मैट्रिक्स है: $$ {A} [\circ] {B} = \left[\begin{array} { c | c | c | c } {A} \circ {B}_1 & {A} \circ {B}_2 & \cdots & {A} \circ {B}_n \end{array}\right]. $$

उदाहरण
अगर $${A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\    4 & 5 & 6 \\    7 & 8 & 9  \end{bmatrix},\quad {B} = \left[\begin{array} { c | c | c } {B}_1 & {B}_2 & {B}_3 \end{array}\right] = \left[\begin{array} { c c c | c c c | c c c } 1 & 4 & 7 &  2 &  8 & 14 &  3 & 12 & 21 \\     8 & 20 & 5 & 10 & 25 & 40 & 12 & 30 &  6 \\    2 &  8 & 3 &  2 &  4 &  2 &  7 &  3 &  9  \end{array}\right] $$ तब

$${A} [\circ] {B} = \left[\begin{array} { c c c | c c c | c c c } 1 &  8 & 21 &  2 &  16 &  42 &  3 &  24 & 63 \\    32 & 100 & 30 & 40 & 125 & 240 & 48 & 150 & 36 \\    14 &  64 & 27 & 14 &  32 &  18 & 49 &  24 & 81  \end{array}\right]. $$

मुख्य गुण

 * $${A} [\circ] {B} = {B} [\circ] {A};$$ :$${M} \bull {M} = {M} [\circ] \left( {M} \otimes \mathbf {1}^\textsf{T}\right),$$

जहाँ $$ \bull $$ आव्यूह के फलक-विभाजन उत्पाद को दर्शाता है,
 * $$\mathbf{c} \bull {M} = \mathbf {c} [\circ] {M},$$ जहाँ $$\mathbf {c}$$ एक सदिश है

अनुप्रयोग
वेधक तल के उत्पाद का उपयोग अंकीय एंटीना सरणियों के प्रदिश -आव्यूह सिद्धांत में किया जाता है। इस संचालन का उपयोग कृत्रिम तंत्रिका संजाल प्रतिरूप, विशेष रूप से संकेंद्रित परतों में भी किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * फ्रोबेनियस आंतरिक उत्पाद
 * बिंदुवार उत्पाद
 * क्रोनकर उत्पाद
 * खत्री-राव उत्पाद