सैडलपॉइंट सन्निकटन विधि

हेनरी_डैनियल्स (1954) द्वारा शुरू में प्रस्तावित सैडलपॉइंट सन्निकटन विधि सांख्यिकी पर लागू गणितीय पद्धति_ऑफ_स्टीपेस्ट_डिसेंट तकनीक का एक विशिष्ट उदाहरण है। यह किसी वितरण के संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन या संभाव्यता द्रव्यमान फ़ंक्शन के लिए मोमेंट-जनरेटिंग_फ़ंक्शन के आधार पर एक अत्यधिक सटीक सन्निकटन सूत्र प्रदान करता है। वितरण के संचयी_वितरण_कार्य के लिए एक सूत्र भी है, जो लुगन्नानी और राइस (1980) द्वारा प्रस्तावित है।

परिभाषा
यदि किसी वितरण का आघूर्ण उत्पन्न करने वाला फलन इस प्रकार लिखा जाता है $$M(t)$$ और संचयी जनरेटिंग फ़ंक्शन के रूप में $$K(t) = \log(M(t))$$ तो वितरण के पीडीएफ के लिए सैडलपॉइंट सन्निकटन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
 * $$\hat{f}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi K''(\hat{s})}} \exp(K(\hat{s}) - \hat{s}x) $$ और सीडीएफ के लिए सैडलपॉइंट सन्निकटन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:


 * $$\hat{F}(x) = \begin{cases} \Phi(\hat{w}) + \phi(\hat{w})(\frac{1}{\hat{w}} - \frac{1}{\hat{u}}) & \text{for } x \neq \mu \\

\frac{1}{2} + \frac{K'(0)}{6 \sqrt{2\pi} K(0)^{3/2}} & \text{for } x = \mu \end{cases} $$ कहाँ $$\hat{s}$$ का समाधान है $$K'(\hat{s}) = x$$, $$\hat{w} = \sgn{\hat{s}}\sqrt{2(\hat{s}x - K(\hat{s}))}$$ और $$\hat{u} = \hat{s}\sqrt{K''(\hat{s})}$$.

जब वितरण एक नमूना माध्य का होता है, तो संचयी वितरण फ़ंक्शन के लिए लुगन्नानी और राइस का सैडलपॉइंट विस्तार होता है $$F(x)$$ संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के लिए डेनियल के सैडलपॉइंट विस्तार को प्राप्त करने के लिए विभेदित किया जा सकता है $$f(x)$$ (राउटलेज और त्साओ, 1997)। यह परिणाम घनत्व फ़ंक्शन के लिए एक वैकल्पिक स्पर्शोन्मुख सन्निकटन के रूप में एक काटे गए लुगन्नानी और चावल श्रृंखला के व्युत्पन्न को स्थापित करता है $$f(x)$$. के लिए मूल सैडलपॉइंट सन्निकटन के विपरीत $$f(x)$$, सामान्य तौर पर इस वैकल्पिक सन्निकटन को पुनर्सामान्यीकृत करने की आवश्यकता नहीं है।