सुनहरा रोम्बस

ज्यामिति में, एक स्वर्ण समचतुर्भुज एक समचतुर्भुज होता है जिसके विकर्ण सुनहरे अनुपात में होते हैं:
 * $${D\over d} = \varphi = {{1+\sqrt5}\over2} \approx 1.618~034$$

समतुल्य रूप से, यह एक स्वर्ण आयत के किनारे के मध्यबिंदुओं से बना वैरिग्नन समांतर चतुर्भुज है। इस आकृति के साथ रम्बी कई उल्लेखनीय पॉलीहेड्रा के फलक बनाते हैं। गोल्डन रोम्बस को पेनरोज़ टाइलिंग के दो रॉम्बी से अलग किया जाना चाहिए, जो दोनों अन्य तरीकों से गोल्डन रेशियो से संबंधित हैं, लेकिन गोल्डन रोम्बस की तुलना में अलग-अलग आकार हैं।

कोण
(कोण गुणों के लिए समचतुर्भुज और सामान्य समचतुर्भुज का समचतुर्भुज देखें।)

स्वर्ण समचतुर्भुज के आंतरिक संपूरक कोण हैं:
 * तीव्र कोण: $$\alpha=2\arctan{1\over\varphi}$$ ;
 * प्रतिलोम त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करके (प्रतिलोम त्रिकोणमितीय कार्यों को देखें):
 * $$\alpha=\arctan{{2\over\varphi}\over{1-({1\over\varphi})^2}}=\arctan{{2\over\varphi}\over{1\over\varphi}}=\arctan2\approx63.43495^\circ.$$
 * अधिक कोण: $$\beta=2\arctan\varphi=\pi-\arctan2\approx116.56505^\circ,$$
 * जो नियमित द्वादशफलक का द्वितल कोण भी है।
 * नोट: एक वास्तविक समानता: $$\pi-
 * नोट: एक वास्तविक समानता: $$\pi-

\arctan2=\arctan1+ \arctan3~.$$

किनारा और विकर्ण
समांतर चतुर्भुज कानून का उपयोग करके (सामान्य समचतुर्भुज का समचतुर्भुज देखें): विकर्ण लंबाई के संदर्भ में स्वर्ण समचतुर्भुज के किनारे की लंबाई $$d$$ है: स्वर्ण समचतुर्भुज की विकर्ण लंबाई किनारे की लंबाई के संदर्भ में $$a$$ हैं: *$$d={2a\over\sqrt{2+\varphi}}=2\sqrt{{3-\varphi}\over5}~a=\sqrt{2-{2\over\sqrt5}}~a\approx1.05146~a~.$$
 * $$a={1\over2}\sqrt{d^2+(\varphi d)^2}={1\over2}\sqrt{1+\varphi^2}~d={{\sqrt{2+\varphi}}\over2}~d={1\over4}\sqrt{10+2\sqrt5}~d\approx0.95106~d~.~$$ इस तरह:
 * $$D={2\varphi a\over\sqrt{2+\varphi}}=2\sqrt{{2+\varphi}\over5}~a=\sqrt{2+{2\over\sqrt5}}~a\approx1.70130~a~.$$
 * $$D={2\varphi a\over\sqrt{2+\varphi}}=2\sqrt{{2+\varphi}\over5}~a=\sqrt{2+{2\over\sqrt5}}~a\approx1.70130~a~.$$

क्षेत्र

 * सामान्य समचतुर्भुज के समचतुर्भुज सूत्र का उपयोग करके इसकी विकर्ण लंबाई के संदर्भ में $$D$$ और $$d$$ :
 * इसकी विकर्ण लंबाई के संदर्भ में स्वर्ण समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $$d$$ है: :$$A = {{(\varphi d)\cdot d}\over2} = {{\varphi}\over2}~d^2 = {{1+\sqrt5}\over4}~d^2 \approx 0.80902~d^2~.$$
 * इसकी विकर्ण लंबाई के संदर्भ में स्वर्ण समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $$d$$ है: :$$A = {{(\varphi d)\cdot d}\over2} = {{\varphi}\over2}~d^2 = {{1+\sqrt5}\over4}~d^2 \approx 0.80902~d^2~.$$


 * इसके किनारे की लंबाई के संदर्भ में सामान्य समचतुर्भुज के रोम्बस सूत्र का उपयोग करके $$a$$ :
 * इसके किनारे की लंबाई के मामले में स्वर्ण समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $$a$$ है:
 * $$A = (\sin(\arctan2))~a^2 = {2\over\sqrt5}~a^2 \approx 0.89443~a^2~.$$
 * $$A = (\sin(\arctan2))~a^2 = {2\over\sqrt5}~a^2 \approx 0.89443~a^2~.$$

टिप्पणी: $$\alpha+\beta = \pi$$, इस तरह: $$\sin\alpha = \sin\beta~.$$

पॉलीहेड्रा के फलकों के रूप में
कई उल्लेखनीय पॉलीहेड्रा में उनके फलक के रूप में सुनहरे रंबी होते हैं। इनमें दो स्वर्ण रंबोहेड्रा (प्रत्येक छह फलकों के साथ), हर्बल डोडेकाहेड्रॉन (12 फलकों के साथ) सम्मिलित हैं। रोम्बिक आइकोसैहेड्रोन (20 फलकों के साथ), रोम्बिक ट्राईकॉन्टाहेड्रोन (30 फलकों के साथ), और गैर-उत्तल विषमकोण हेक्साकोंटाहेड्रोन (60 फलकों के साथ)। इनमें से पहले पांच केवल उत्तल पॉलीहेड्रा हैं जिनके सुनहरे समकोण फलक हैं, लेकिन उनके सभी फलकों के लिए इस आकार के असीमित रूप से कई गैर-उत्तल पॉलीहेड्रा सम्मिलित हैं।

यह भी देखें

 * स्वर्ण त्रिभुज (गणित)