अवकल संकारक

गणित में, एक डिफरेंशियल ऑपरेटर एक ऑपरेटर (गणित) है जिसे व्युत्पन्न ऑपरेटर के एक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया गया है। सबसे पहले, संकेतन के मामले में, विभेदीकरण को एक अमूर्त ऑपरेशन के रूप में मानना ​​सहायक होता है जो एक फ़ंक्शन (गणित) को स्वीकार करता है और एक अन्य फ़ंक्शन (कंप्यूटर विज्ञान में उच्च-क्रम फ़ंक्शन की शैली में) लौटाता है।

यह आलेख मुख्य रूप से रैखिक मानचित्र अंतर ऑपरेटरों पर विचार करता है, जो सबसे सामान्य प्रकार हैं। हालाँकि, गैर-रेखीय अंतर ऑपरेटर भी मौजूद हैं, जैसे कि श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न।

परिभाषा
एक अऋणात्मक पूर्णांक m दिया गया है, एक क्रम-$$m$$ लीनियर डिफरेंशियल ऑपरेटर एक मानचित्र है $$P$$ कार्य स्थान से $$\mathcal{F}_1$$ किसी अन्य फ़ंक्शन स्थान पर $$\mathcal{F}_2$$ जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$P = \sum_{|\alpha|\le m}a_\alpha(x) D^\alpha\ ,$$ कहाँ $$\alpha = (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का एक बहु-सूचकांक है, $$|\alpha| = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n$$, और प्रत्येक के लिए $$\alpha$$, $$a_\alpha(x)$$ एन-डायमेंशनल स्पेस में कुछ खुले डोमेन पर एक फ़ंक्शन है। परिचालक $$D^\alpha$$ के रूप में व्याख्या की गई है

$$D^\alpha = \frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_1^{\alpha_1}\partial x_2^{\alpha_2}\cdots\partial x_n^{\alpha_n}}$$ इस प्रकार एक समारोह के लिए $$f \in \mathcal{F}_1$$:

$$P f = \sum_{|\alpha|\le m}a_\alpha(x) \frac{\partial^{|\alpha|}f}{\partial x_1^{\alpha_1}\partial x_2^{\alpha_2}\cdots\partial x_n^{\alpha_n}}$$ संकेतन $$D^{\alpha}$$ दूसरे डेरिवेटिव की समरूपता के कारण उचित है (यानी, भेदभाव के क्रम से स्वतंत्र)।

D को चरों से प्रतिस्थापित करने पर बहुपद p प्राप्त होता है $$\xi$$ में P को P का 'कुल प्रतीक' कहा जाता है; यानी, उपरोक्त P का कुल प्रतीक है: $$p(x, \xi) = \sum_{|\alpha|\le m}a_\alpha(x) \xi^\alpha$$ कहाँ $$\xi^\alpha = \xi_1^{\alpha_1} \cdots \xi_n^{\alpha_n}.$$ प्रतीक का उच्चतम सजातीय घटक, अर्थात्,
 * $$\sigma(x, \xi) = \sum_{|\alpha|= m}a_\alpha(x) \xi^\alpha$$

P का प्रमुख प्रतीक कहा जाता है। जबकि कुल प्रतीक आंतरिक रूप से परिभाषित नहीं है, मुख्य प्रतीक आंतरिक रूप से परिभाषित है (यानी, यह कोटैंजेंट बंडल पर एक फ़ंक्शन है)। अधिक आम तौर पर, मान लीजिए कि E और F मैनिफोल्ड X पर वेक्टर बंडल हैं। फिर रैखिक ऑपरेटर


 * $$ P: C^\infty(E) \to C^\infty(F) $$

ऑर्डर का एक विभेदक ऑपरेटर है $$ k $$ यदि, X पर स्थानीय निर्देशांक में, हमारे पास है


 * $$ Pu(x) = \sum_{|\alpha| = k} P^\alpha(x) \frac {\partial^\alpha u} {\partial x^{\alpha}} + \text{lower-order terms}$$

जहां, प्रत्येक बहु-सूचकांक α के लिए, $$ P^\alpha(x):E \to F$$ एक बंडल मानचित्र है, जो सूचकांक α पर सममित है।

कश्मीर P के वें क्रम गुणांक एक सममित टेंसर के रूप में परिवर्तित हो जाते हैं


 * $$ \sigma_P: S^k (T^*X) \otimes E \to F $$

जिसका डोमेन k का टेंसर उत्पाद है ई के साथ एक्स के कोटैंजेंट बंडल की सममित शक्ति, और जिसका कोडोमेन एफ है। इस सममित टेंसर को पी के 'प्रमुख प्रतीक' (या सिर्फ 'प्रतीक') के रूप में जाना जाता है।

समन्वय प्रणाली xiनिर्देशांक अंतर dx द्वारा कोटैंजेंट बंडल के स्थानीय तुच्छीकरण की अनुमति देता हैi, जो फाइबर निर्देशांक निर्धारित करता है ξi. फ़्रेम के आधार के संदर्भ में ईμ, एफν क्रमशः E और F का, विभेदक संचालिका P घटकों में विघटित हो जाता है


 * $$(Pu)_\nu = \sum_\mu P_{\nu\mu}u_\mu$$

ई के प्रत्येक अनुभाग यू पर। यहां पीνμ द्वारा परिभाषित अदिश विभेदक संचालिका है


 * $$P_{\nu\mu} = \sum_{\alpha} P_{\nu\mu}^\alpha\frac{\partial}{\partial x^\alpha}.$$

इस तुच्छीकरण के साथ, मुख्य प्रतीक अब लिखा जा सकता है


 * $$(\sigma_P(\xi)u)_\nu = \sum_{|\alpha|=k} \sum_{\mu}P_{\nu\mu}^\alpha(x)\xi_\alpha u_\mu.$$

X के एक निश्चित बिंदु x पर कोटैंजेंट स्थान में, प्रतीक $$ \sigma_P $$ डिग्री k के एक सजातीय बहुपद को परिभाषित करता है $$ T^*_x X $$ मूल्यों के साथ $$ \operatorname{Hom}(E_x, F_x) $$.

फूरियर व्याख्या
एक डिफरेंशियल ऑपरेटर पी और उसका प्रतीक फूरियर ट्रांसफॉर्म के संबंध में स्वाभाविक रूप से निम्नानुसार दिखाई देते हैं। मान लीजिए कि यह एक श्वार्ट्ज फ़ंक्शन है। फिर व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण द्वारा,


 * $$Pf(x) = \frac{1}{(2\pi)^{\frac{d}{2}}} \int\limits_{\mathbf{R}^d} e^{ ix\cdot\xi} p(x,i\xi)\hat{f}(\xi)\, d\xi.$$

यह P को फूरियर गुणक के रूप में प्रदर्शित करता है। कार्यों का एक अधिक सामान्य वर्ग p(x,ξ) जो ξ में अधिकांश बहुपद वृद्धि स्थितियों को संतुष्ट करता है जिसके तहत यह अभिन्न अंग अच्छी तरह से व्यवहार किया जाता है, इसमें छद्म-अंतर ऑपरेटर शामिल होते हैं।

उदाहरण

 * विभेदक संचालिका $$ P $$ यदि इसका प्रतीक उलटा है तो यह अण्डाकार विभेदक संचालिका है; यह प्रत्येक अशून्य के लिए है $$ \theta \in T^*X $$ बंडल मानचित्र $$ \sigma_P (\theta, \dots, \theta)$$ उलटा है. कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड पर, यह अण्डाकार सिद्धांत से निम्नानुसार है कि पी एक फ्रेडहोम संचालक  है: इसमें परिमित-आयामी कर्नेल (बीजगणित) और कोकर्नेल है।
 * अतिशयोक्तिपूर्ण आंशिक अंतर समीकरण और परवलयिक आंशिक अंतर समीकरणों के अध्ययन में, मुख्य प्रतीक के शून्य आंशिक अंतर समीकरण की विशेषताओं की विधि के अनुरूप होते हैं।
 * भौतिक विज्ञान के अनुप्रयोगों में, लाप्लास ऑपरेटर जैसे ऑपरेटर आंशिक अंतर समीकरणों को स्थापित करने और हल करने में प्रमुख भूमिका निभाते हैं।
 * विभेदक टोपोलॉजी में, बाहरी व्युत्पन्न और लाई व्युत्पन्न ऑपरेटरों का आंतरिक अर्थ होता है।
 * अमूर्त बीजगणित में, व्युत्पत्ति (अमूर्त बीजगणित) की अवधारणा अंतर ऑपरेटरों के सामान्यीकरण की अनुमति देती है, जिसके लिए कैलकुलस के उपयोग की आवश्यकता नहीं होती है। अक्सर ऐसे सामान्यीकरण बीजगणितीय ज्यामिति और क्रमविनिमेय बीजगणित में नियोजित होते हैं। जेट (गणित) भी देखें।
 * एक जटिल चर z = x + i y के होलोमोर्फिक फ़ंक्शन के विकास में, कभी-कभी एक जटिल फ़ंक्शन को दो वास्तविक चर x और y का एक फ़ंक्शन माना जाता है। विर्टिंगर डेरिवेटिव का उपयोग किया जाता है, जो आंशिक अंतर ऑपरेटर हैं: $$ \frac{\partial}{\partial z} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x} - i \frac{\partial}{\partial y} \right) \ ,\quad \frac{\partial}{\partial\bar{z}}= \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y} \right) \ .$$ इस दृष्टिकोण का उपयोग कई जटिल चर के कार्यों और मोटर चर के कार्यों का अध्ययन करने के लिए भी किया जाता है।
 * डिफ़रेंशियल ऑपरेटर डेल, जिसे नाबला भी कहा जाता है, एक महत्वपूर्ण यूक्लिडियन वेक्टर डिफरेंशियल ऑपरेटर है। यह भौतिकी में मैक्सवेल के समीकरणों के विभेदक रूप जैसी जगहों पर अक्सर दिखाई देता है। त्रि-आयामी कार्टेशियन निर्देशांक में, डेल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 * $$\nabla = \mathbf{\hat{x}} {\partial \over \partial x} + \mathbf{\hat{y}} {\partial \over \partial y} + \mathbf{\hat{z}} {\partial \over \partial z}.$$
 * डेल ग्रेडियेंट  को परिभाषित करता है, और विभिन्न वस्तुओं के कर्ल (गणित), विचलन और लाप्लासियन की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है।

इतिहास
एक डिफरेंशियल ऑपरेटर को कुछ स्वतंत्र रूप से लिखने के वैचारिक कदम का श्रेय 1800 में लुई फ्रांकोइस एंटोनी अर्बोगैस्ट को दिया जाता है।

नोटेशन
सबसे आम अंतर ऑपरेटर व्युत्पन्न लेने की क्रिया है। एक चर x के संबंध में पहला व्युत्पन्न लेने के लिए विभेदन के लिए संकेतन में शामिल हैं:


 * $${d \over dx}$$, $$D$$, $$D_x,$$ और $$\partial_x$$.

उच्चतर, nवें क्रम के डेरिवेटिव लेते समय, ऑपरेटर को लिखा जा सकता है:


 * $${d^n \over dx^n}$$, $$D^n$$, $$D^n_x$$, या $$\partial_x^n$$.

किसी फ़ंक्शन x के तर्क के फ़ंक्शन f का व्युत्पन्न कभी-कभी निम्नलिखित में से किसी एक के रूप में दिया जाता है:


 * $$[f(x)]'$$
 * $$f'(x).$$

डी नोटेशन के उपयोग और निर्माण का श्रेय ओलिवर हेविसाइड को दिया जाता है, जिन्होंने फॉर्म के विभेदक ऑपरेटरों पर विचार किया था


 * $$\sum_{k=0}^n c_k D^k$$

विभेदक समीकरणों के अपने अध्ययन में।

सबसे अधिक बार देखे जाने वाले अंतर ऑपरेटरों में से एक लाप्लास ऑपरेटर है, जिसे परिभाषित किया गया है


 * $$\Delta = \nabla^2 = \sum_{k=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_k^2}.$$

एक अन्य विभेदक ऑपरेटर Θ ऑपरेटर, या थीटा ऑपरेटर है, जिसे परिभाषित किया गया है
 * $$\Theta = z {d \over dz}.$$

इसे कभी-कभी समरूपता संचालिका भी कहा जाता है, क्योंकि इसके eigenfunctions z में एकपदी हैं: $$\Theta (z^k) = k z^k,\quad k=0,1,2,\dots $$ n वेरिएबल्स में समरूपता ऑपरेटर दिया जाता है $$\Theta = \sum_{k=1}^n x_k \frac{\partial}{\partial x_k}.$$ जैसा कि एक चर में होता है, Θ के eigenspaces सजातीय कार्यों के स्थान हैं। (यूलर का सजातीय कार्य प्रमेय)

लिखित रूप में, सामान्य गणितीय परंपरा का पालन करते हुए, एक अंतर ऑपरेटर का तर्क आमतौर पर ऑपरेटर के दाईं ओर रखा जाता है। कभी-कभी एक वैकल्पिक नोटेशन का उपयोग किया जाता है: ऑपरेटर के बाईं ओर और ऑपरेटर के दाईं ओर फ़ंक्शन पर ऑपरेटर को लागू करने का परिणाम, और दोनों तरफ के फ़ंक्शन पर अंतर ऑपरेटर को लागू करने पर प्राप्त अंतर को दर्शाया जाता है। तीरों द्वारा इस प्रकार:
 * $$f \overleftarrow{\partial_x} g = g \cdot \partial_x f$$
 * $$f \overrightarrow{\partial_x} g = f \cdot \partial_x g$$
 * $$f \overleftrightarrow{\partial_x} g = f \cdot \partial_x g - g \cdot \partial_x f.$$

क्वांटम यांत्रिकी की संभाव्यता धारा का वर्णन करने के लिए इस तरह के द्विदिश-तीर संकेतन का अक्सर उपयोग किया जाता है।

एक ऑपरेटर का जोड़
एक रैखिक अंतर ऑपरेटर दिया गया है $$T$$ $$Tu = \sum_{k=0}^n a_k(x) D^k u$$ इस ऑपरेटर के हर्मिटियन सहायक को ऑपरेटर के रूप में परिभाषित किया गया है $$T^*$$ ऐसा है कि $$\langle Tu,v \rangle = \langle u, T^*v \rangle$$ जहां अंकन $$\langle\cdot,\cdot\rangle$$ अदिश उत्पाद या आंतरिक उत्पाद के लिए उपयोग किया जाता है। इसलिए यह परिभाषा अदिश उत्पाद (या आंतरिक उत्पाद) की परिभाषा पर निर्भर करती है।

एक चर में औपचारिक जोड़
वास्तविक संख्या अंतराल पर वर्ग-अभिन्न कार्यों के कार्यात्मक स्थान में (गणित) $(a, b)$, अदिश गुणनफल द्वारा परिभाषित किया गया है $$\langle f, g \rangle = \int_a^b \overline{f(x)} \,g(x) \,dx, $$ जहां f(x) के ऊपर की रेखा f(x) के जटिल संयुग्म को दर्शाती है। यदि कोई इसके अलावा यह शर्त जोड़ता है कि f या g गायब हो जाता है $$x \to a$$ और $$x \to b$$, कोई T के संलग्नक को इसके द्वारा भी परिभाषित कर सकता है $$T^*u = \sum_{k=0}^n (-1)^k D^k \left[ \overline{a_k(x)} u \right].$$ यह सूत्र स्पष्ट रूप से अदिश उत्पाद की परिभाषा पर निर्भर नहीं करता है। इसलिए इसे कभी-कभी सहायक ऑपरेटर की परिभाषा के रूप में चुना जाता है। कब $$T^*$$ इस सूत्र के अनुसार परिभाषित किया गया है, इसे टी का औपचारिक जोड़ कहा जाता है।

ए (औपचारिक रूप से) स्व-सहायक संचालिका |सेल्फ-एडजॉइंट ऑपरेटर अपने स्वयं के (औपचारिक) एडजॉइंट के बराबर एक ऑपरेटर है।

अनेक चर
यदि Ω R में एक डोमेन हैn, और P Ω पर एक विभेदक संचालिका है, तो P का जोड़ Lp space|L में परिभाषित किया गया है2(Ω) अनुरूप तरीके से द्वैत द्वारा:


 * $$\langle f, P^* g\rangle_{L^2(\Omega)} = \langle P f, g\rangle_{L^2(\Omega)}$$

सभी चिकनी एल के लिए2फ़ंक्शन f, g. चूंकि एल में सुचारु कार्य सघन हैं2, यह L के सघन उपसमुच्चय पर जोड़ को परिभाषित करता है2: पी* एक सघन रूप से परिभाषित ऑपरेटर है।

उदाहरण
स्टर्म-लिउविल सिद्धांत|स्टर्म-लिउविल ऑपरेटर औपचारिक स्व-सहायक ऑपरेटर का एक प्रसिद्ध उदाहरण है। इस दूसरे क्रम के रैखिक अंतर ऑपरेटर एल को फॉर्म में लिखा जा सकता है


 * $$Lu = -(pu')'+qu=-(pu+p'u')+qu=-pu-p'u'+qu=(-p) D^2 u +(-p') D u + (q)u.$$

इस संपत्ति को उपरोक्त औपचारिक सहायक परिभाषा का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है। यह ऑपरेटर स्टर्म-लिउविले सिद्धांत का केंद्र है जहां इस ऑपरेटर के eigenfunctions (eigenvectors के अनुरूप) पर विचार किया जाता है।

विभेदक ऑपरेटरों के गुण
विभेदन रैखिक मानचित्र है, अर्थात।


 * $$D(f+g) = (Df)+(Dg),$$
 * $$D(af) = a(Df),$$

जहाँ f और g फलन हैं, और a एक स्थिरांक है।

फ़ंक्शन गुणांक के साथ डी में कोई भी बहुपद भी एक अंतर ऑपरेटर है। हम नियम के अनुसार कंपोजीशन डिफरेंशियल ऑपरेटर्स भी कार्य कर सकते हैं


 * $$(D_1 \circ D_2)(f) = D_1(D_2(f)).$$

तब कुछ देखभाल की आवश्यकता होती है: सबसे पहले ऑपरेटर डी में कोई फ़ंक्शन गुणांक2 D के अनुप्रयोग जितनी बार हो उतनी बार अवकलनीय फलन होना चाहिए1 आवश्यकता है. ऐसे ऑपरेटरों की एक रिंग (गणित) प्राप्त करने के लिए हमें उपयोग किए गए गुणांक के सभी आदेशों के डेरिवेटिव को मानना ​​होगा। दूसरे, यह रिंग क्रमविनिमेय रिंग नहीं होगी: एक ऑपरेटर gD सामान्य तौर पर Dg के समान नहीं है। उदाहरण के लिए हमारे पास क्वांटम यांत्रिकी में बुनियादी संबंध है:
 * $$Dx - xD = 1.$$

इसके विपरीत, निरंतर गुणांक वाले डी में बहुपद वाले ऑपरेटरों का उप-रिंग क्रमविनिमेय है। इसे दूसरे तरीके से चित्रित किया जा सकता है: इसमें अनुवाद-अपरिवर्तनीय ऑपरेटर शामिल हैं।

विभेदक संचालक भी शिफ्ट प्रमेय का पालन करते हैं।

एकविभिन्न बहुपद अंतर ऑपरेटरों की अंगूठी
यदि R एक वलय है, तो मान लीजिए $$R\langle D,X \rangle$$ चर D और $$R\langle D,X\rangle/I$$. यह है एक non-commutative साधारण अंगूठी. प्रत्येक तत्व को फॉर्म के मोनोमियल के आर-रैखिक संयोजन के रूप में एक अनोखे तरीके से लिखा जा सकता है $$X^a D^b \text{ mod } I$$. यह बहुपदों के यूक्लिडियन विभाजन के एक एनालॉग का समर्थन करता है।

विभेदक मॉड्यूल ऊपर $$R[X]$$ (मानक व्युत्पत्ति के लिए) को मॉड्यूल (गणित) से पहचाना जा सकता है $$R\langle D,X\rangle/I$$.

बहुभिन्नरूपी बहुपद अवकल संचालकों का वलय
यदि R एक वलय है, तो मान लीजिए $$R\langle D_1,\ldots,D_n,X_1,\ldots,X_n\rangle$$ चरों में R के ऊपर गैर-क्रमविनिमेय बहुपद वलय बनें $$D_1,\ldots,D_n,X_1,\ldots,X_n$$, और मैं तत्वों द्वारा उत्पन्न दो-तरफा आदर्श
 * $$(D_i X_j-X_j D_i)-\delta_{i,j},\ \ \ D_i D_j -D_j D_i,\ \ \ X_i X_j - X_j X_i$$

सभी के लिए $$1 \le i,j \le n,$$ कहाँ $$\delta$$ क्रोनकर डेल्टा है. फिर R के ऊपर बहुभिन्नरूपी बहुपद अवकल संचालकों का वलय भागफल वलय है $R\langle D_1,\ldots,D_n,X_1,\ldots,X_n\rangle/I$.

यह है एक non-commutative साधारण अंगूठी. प्रत्येक तत्व को फॉर्म के मोनोमियल के आर-रैखिक संयोजन के रूप में एक अनोखे तरीके से लिखा जा सकता है $X_1^{a_1} \ldots X_n^{a_n} D_1^{b_1} \ldots D_n^{b_n}$.

समन्वय-स्वतंत्र वर्णन
अंतर ज्यामिति और बीजगणितीय ज्यामिति में दो वेक्टर बंडलों के बीच अंतर ऑपरेटरों का समन्वय-स्वतंत्र विवरण रखना अक्सर सुविधाजनक होता है। मान लीजिए E और F एक भिन्न मैनिफोल्ड M पर दो वेक्टर बंडल हैं। वेक्टर बंडल का एक 'R'-रैखिक मानचित्रण P : Γ(E) → Γ(F) को kवें-क्रम रैखिक अंतर ऑपरेटर कहा जाता है यदि यह जेट बंडल J के माध्यम से कारक होता हैक(ई). दूसरे शब्दों में, वेक्टर बंडलों का एक रैखिक मानचित्रण मौजूद है


 * $$i_P: J^k(E) \to F$$

ऐसा है कि


 * $$P = i_P\circ j^k$$

कहाँ jk: Γ(E) → Γ(Jk(E)) वह लम्बाई है जो E के किसी भी भाग से उसके जेट (गणित)|k-जेट से जुड़ती है।

इसका मतलब यह है कि E के दिए गए वेक्टर बंडल s के लिए, एक बिंदु x∈M पर P(s) का मान पूरी तरह से x में s के kth-ऑर्डर इनफिनिटसिमल व्यवहार द्वारा निर्धारित होता है। विशेष रूप से इसका तात्पर्य यह है कि P(s)(x) x में s के शीफ (गणित) द्वारा निर्धारित किया जाता है, जिसे यह कहकर व्यक्त किया जाता है कि अंतर ऑपरेटर स्थानीय हैं। एक मूलभूत परिणाम पीटर प्रमेय है जो दर्शाता है कि इसका विपरीत भी सत्य है: कोई भी (रैखिक) स्थानीय ऑपरेटर अंतर है।

क्रमविनिमेय बीजगणित से संबंध
रैखिक अंतर ऑपरेटरों का एक समतुल्य, लेकिन विशुद्ध रूप से बीजगणितीय विवरण इस प्रकार है: एक आर-रेखीय मानचित्र पी एक kवें-क्रम रैखिक अंतर ऑपरेटर है, यदि किसी भी k+ 1 के लिए चिकनी कार्य $$f_0,\ldots,f_k \in C^\infty(M)$$ अपने पास


 * $$[f_k,[f_{k-1},[\cdots[f_0,P]\cdots]]=0.$$

यहाँ ब्रैकेट $$[f,P]:\Gamma(E)\to \Gamma(F)$$ कम्यूटेटर के रूप में परिभाषित किया गया है


 * $$[f,P](s)=P(f\cdot s)-f\cdot P(s).$$

रैखिक अंतर ऑपरेटरों के इस लक्षण वर्णन से पता चलता है कि वे क्रमविनिमेय बीजगणित (संरचना) पर मॉड्यूल (गणित) के बीच विशेष मैपिंग हैं, जिससे अवधारणा को क्रमविनिमेय बीजगणित के एक भाग के रूप में देखा जा सकता है।

अनंत क्रम का एक विभेदक संचालिका
अनंत क्रम का एक विभेदक संचालिका (मोटे तौर पर) एक विभेदक संचालिका है जिसका कुल प्रतीक एक बहुपद के बजाय एक घात श्रृंखला है।

द्विविभेदक संचालिका
एक विभेदक ऑपरेटर दो कार्यों पर कार्य करता है $$D(g,f)$$ द्विविभेदक संचालिका कहलाती है। उदाहरण के लिए, यह धारणा पॉइसन बीजगणित के विरूपण परिमाणीकरण पर एक साहचर्य बीजगणित संरचना में प्रकट होती है।

माइक्रोडिफरेंशियल ऑपरेटर
एक माइक्रोडिफरेंशियल ऑपरेटर एक कोटैंजेंट बंडल के खुले उपसमुच्चय पर एक प्रकार का ऑपरेटर होता है, जो मैनिफोल्ड के खुले उपसमुच्चय के विपरीत होता है। यह एक डिफरेंशियल ऑपरेटर की धारणा को कोटैंजेंट बंडल तक विस्तारित करके प्राप्त किया जाता है।

यह भी देखें

 * अंतर ऑपरेटर
 * डेल्टा ऑपरेटर
 * अण्डाकार ऑपरेटर
 * कर्ल (गणित)
 * भिन्नात्मक कलन
 * अपरिवर्तनीय अंतर ऑपरेटर
 * क्रमविनिमेय बीजगणित पर विभेदक कलन
 * लैग्रेंजियन प्रणाली
 * वर्णक्रमीय सिद्धांत
 * ऊर्जा संचालक
 * पल संचालिका
 * डीबीएआर ऑपरेटर
 * छद्म-विभेदक संचालिका
 * मौलिक समाधान
 * अतियाह-सिंगर इंडेक्स प्रमेय (ऑपरेटर के प्रतीक पर अनुभाग)