परिधि (तर्क)

परिसीमा एक गैर-एकदिष्ट तर्क है जो जॉन मैक्कार्थी द्वारा सामान्य ज्ञान धारणा को औपचारिक रूप देने के लिए बनाई गई है कि जब तक अन्यथा निर्दिष्ट नहीं किया जाता है तब तक चीजें अपेक्षित होती हैं। प्रधार समस्या को हल करने के प्रयास में बाद में मैक्कार्थी द्वारा परिसीमा का उपयोग किया गया था। अपने प्रारंभिक सूत्रीकरण में परिसीमा को अनुप्रयुक्त करने के लिए, मैककार्थी ने कुछ विधेय के विस्तार को कम करने की अनुमति देने के लिए प्रथम-क्रम तर्क को बढ़ाया, जहां विधेय का विस्तार मानों के टपल का समुच्चय है, जिस पर विधेय सत्य है। यह न्यूनीकरण संवृत्त-विश्व धारणा के समान है कि जो सत्य नहीं है वह असत्य है।

मैक्कार्थी द्वारा मानी गई मूल समस्या मिशनरियों और नरभक्षी की थी: एक नदी के एक किनारे पर तीन मिशनरी और तीन नरभक्षी हैं; उन्हें एक नौका का उपयोग करके नदी पार करनी होती है जो केवल दो लोगों को ले जा सकती है, इस अतिरिक्त बाधा के साथ कि नरभक्षी को किसी भी किनारे पर मिशनरियों से अधिक नहीं होना चाहिए (अन्यथा मिशनरियों को मार दिया जाएगा और संभवतः खाया जाएगा)। मैक्कार्थी द्वारा विचार की गई समस्या लक्ष्य तक पहुँचने के लिए कदमों के अनुक्रम को खोजने की नहीं थी (मिशनरियों और नरभक्षी समस्या पर लेख में ऐसा एक समाधान सम्मिलित है), बल्कि उन स्थितियों को बाहर करने की है जो स्पष्ट रूप से नहीं बताई गई हैं। उदाहरण के लिए, समाधान"आधा मील दक्षिण में जाएं और सेतु पर नदी पार करें" सहज रूप से मान्य नहीं है क्योंकि समस्या के विवरण में ऐसे सेतु का उल्लेख नहीं है। दूसरी ओर, इस सेतु के अस्तित्व को भी समस्या के विवरण से बाहर नहीं किया गया है। कि सेतु उपस्थित नहीं है, निहित धारणा का परिणाम है कि समस्या के विवरण में वह सब कुछ है जो इसके समाधान के लिए प्रासंगिक है। स्पष्ट रूप से यह कहना कि एक सेतु उपस्थित नहीं है, इस समस्या का समाधान नहीं है, क्योंकि कई अन्य असाधारण स्थितियां हैं जिन्हें बाहर रखा जाना चाहिए (जैसे कि नरभक्षी को बन्धन के लिए रज्‍जु की उपस्थिति, पास में एक बड़ी नौका की उपस्थिति, आदि)।

जड़ता की अंतर्निहित धारणा को औपचारिक रूप देने के लिए बाद में मैक्कार्थी द्वारा परिसीमा का उपयोग किया गया था: जब तक अन्यथा निर्दिष्ट नहीं किया जाता तब तक चीजें परिवर्तित होती नहीं हैं। परिसीमन यह निर्दिष्ट करने से बचने के लिए उपयोगी प्रतीत होता है कि प्रतिबंधों को परिवर्तित करने के लिए स्पष्ट रूप से ज्ञात को छोड़कर सभी क्रियाओं द्वारा स्थिति नहीं परिवर्तित की जाती है; इसे प्रधार समस्या के रूप में जाना जाता है। हालांकि, बाद में मैक्कार्थी द्वारा प्रस्तावित समाधान को कुछ स्थितियों में असत्य परिणामों के लिए अग्रणी दर्शाया गया, जैसे येल प्रक्षेपण समस्या परिदृश्य में है। प्रधार समस्या के अन्य समाधान जो येल प्रक्षेपण समस्या को सही ढंग से औपचारिक रूप प्रदान करते हैं, जो उपस्थित हैं; कुछ परिसीमा का उपयोग एक अलग तरीके से करते हैं।

प्रस्तावात्मक स्थिति
जबकि परिसीमा को प्रारंभ में प्रथम-क्रम तर्क स्थिति में परिभाषित किया गया था, प्रस्तावात्मक स्थिति की विशिष्टता को परिभाषित करना सरल है। एक प्रस्तावक सूत्र $$T$$ दिया गया है, इसकी परिसीमा केवल $$T$$ संरचना वाले सूत्र है, जब तक आवश्यक न हो, एक चर को सत्य पर निर्दिष्ट न करें।

औपचारिक रूप से, प्रस्तावात्मक प्रतिरूप को प्रस्तावात्मक चर के समुच्चय द्वारा दर्शाया जा सकता है; अर्थात्, प्रत्येक प्रतिरूप को प्रस्तावक चर के समुच्चय द्वारा दर्शाया जाता है जो इसे सत्य को निर्दिष्ट करता है। उदाहरण के लिए, सही निर्दिष्ट करने वाला प्रतिरूप $$a$$, असत्य $$b$$, और सत्य $$c$$ को समुच्चय $$\{a, c\}$$ द्वारा दर्शाया गया है, क्योंकि $$a$$ और $$c$$ वास्तव में वे चर हैं जो इस प्रतिरूप द्वारा सत्य को सौंपे गए हैं।

दिए गए दो प्रतिरूपों $$M$$ और $$N$$ ने इस तरह से स्थिति का प्रतिनिधित्व किया कि $$N \subseteq M$$ के समान है। $$M$$ प्रत्येक चर को सत्य पर समायोजन करता है, $$N$$ सत्य पर व्यवस्थित होता है। दूसरे शब्दों में, $$\subseteq$$ "सत्य न्यून चरो के समायोजन" के संबंध को प्रतिरूप करता है। $$N \subset M$$ का अर्थ है कि $$N \subseteq M$$ परन्तु ये दोनों प्रतिरूप मेल नहीं खाते हैं।

यह हमें उन प्रतिरूपों को परिभाषित करने देता है जो आवश्यक होने तक सत्य को चर निर्दिष्ट नहीं करते हैं। एक प्रतिरूप $$M$$ को सिद्धांत $$T$$ का न्यूनतम कहा जाता है, यदि और केवल यदि कोई प्रतिरूप $$N$$ के $$T$$,$$N \subset M$$ के लिए नहीं है।

परिसीमा केवल न्यूनतम प्रतिरूपों का चयन करके व्यक्त की जाती है। इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:


 * $$CIRC(T) = \{ M ~|~ M \mbox{ is a minimal model of } T \}$$

वैकल्पिक रूप से, कोई $$CIRC(T)$$ प्रतिरूप के बिल्कुल उपरोक्त समुच्चय वाले सूत्र के रूप में परिभाषित कर सकता है; इसके अतिरिक्त, कोई $$CIRC$$ की परिभाषा देने से भी बच सकता है और केवल न्यूनतम अनुमान $$T \models_M Q$$ को परिभाषित करता यदि है और केवल यदि प्रत्येक न्यूनतम प्रतिरूप $$T$$ भी एक प्रतिरूप $$Q$$ है।

उदाहरण: सूत्र $$T=a \land (b \lor c)$$ तीन प्रतिरूप हैं:


 * 1) $$a$$, $$b$$, $$c$$ सत्य, अर्थात् $$\{a,b,c\}$$ हैं;
 * 2) $$a$$ और $$b$$ सत्य, $$c$$ असत्य है, अर्थात् $$\{a,b\}$$ हैं;
 * 3) $$a$$ और $$c$$ सत्य, $$b$$ असत्य है, अर्थात् $$\{a,c\}$$ हैं;

पहला प्रतिरूप चर के समुच्चय में न्यूनतम नहीं है जो इसे सत्य करता है। वास्तव में, दूसरा प्रतिरूप समान कार्य $$c$$ को छोड़कर करता है, जिसे असत्य को सौंपा गया है न कि सत्य को। इसलिए, पहला प्रतिरूप न्यूनतम नहीं है। दूसरा और तीसरा प्रतिरूप अतुलनीय हैं: जबकि दूसरा $$b$$ सत्य है, तीसरा $$c$$ के बजाय सत्य निर्दिष्ट करता है। इसलिए, सीमाबद्ध प्रतिरूप $$T$$ सूची के दूसरे और तीसरे प्रतिरूप हैं। वास्तव में इन दो प्रतिरूपों वाले एक प्रस्तावनात्मक सूत्र निम्नलिखित में से एक है:


 * $$a \land \neg (b \leftrightarrow c)$$

सहजता से, परिसीमा में एक चर को केवल तभी निर्दिष्ट किया जाता है जब यह आवश्यक हो। दोहरी रूप से, यदि कोई चर असत्य हो सकता है, तो यह असत्य होना चाहिए। उदाहरण के लिए, कम से कम एक $$b$$ और $$c$$, $$T$$ के अनुसार सत्य को समुनदेशित किया जाना चाहिए; परिसीमा में दो चरों में से एक सत्य होना चाहिए। चर $$a$$ के किसी भी प्रतिरूप में $$T$$ और न ही सीमा असत्य नहीं हो सकता।

निश्चित और परिवर्तनीय विधेय
निश्चित और परिवर्तनीय विधेय के साथ परिसीमा का विस्तारण व्लादिमीर लाइफशिट्ज के कारण है। विचार यह है कि कुछ प्रतिबंधों को कम नहीं किया जाना चाहिए। प्रस्तावपरक तर्क के संदर्भ में, यदि संभव हो तो कुछ चर गलत नहीं होने चाहिए। विशेष रूप से, दो प्रकार के चरों पर विचार किया जा सकता है:


 * परिवर्तनीय: ये वे चर हैं जिन्हें न्यूनीकरण के पर्यन्त तनिक भी ध्यान में नहीं रखा जाना चाहिए;


 * निश्चित: ये वे चर हैं जिन्हें न्यूनीकरण करते समय निश्चित माना जाता है; दूसरे शब्दों में, इन चरों के समान मानों वाले प्रतिरूपों की तुलना करके ही न्यूनीकरण किया जा सकता है।

अंतर यह है कि अलग-अलग स्थितियों का मान केवल मान लिया जाता है कि कोई फर्क नहीं पड़ता। इसके बजाय निश्चित स्थितियाँ एक संभावित स्थिति की विशेषता बताती हैं, इसलिए दो स्थितियों की तुलना करना जहाँ इन स्थितियों के अलग-अलग मान हैं, कोई अर्थ नहीं है।

औपचारिक रूप से, सीमा का विस्तारण जिसमें भिन्न और निश्चित चर सम्मिलित होते हैं, वह इस प्रकार है, जहां $$P$$ न्यूनतम करने के लिए चर का समुच्चय है, $$Z$$ निश्चित चर हैं और भिन्न चर वे हैं जो $$P \cup Z$$ में नहीं हैं:


 * $$\text{CIRC}(T;P,Z) = \{ M ~|~ M \models T \text{ and }

\not\exists N \text{ such that } N \models T ,~ N \cap P  \subset M \cap P \text{ and } N \cap Z = M \cap Z \}$$ शब्दों में, सत्य को सौंपे गए चरों का न्यूनीकरण केवल चरों $$P$$ के लिए किया जाता है; इसके अतिरिक्त, प्रतिरूप की तुलना केवल तभी की जाती है जब वे चर $$Z$$ के लिए समान मान निर्दिष्ट करते हैं। प्रतिरूपों की तुलना करते समय अन्य सभी चरों को ध्यान में नहीं रखा जाता है।

मैक्कार्थी द्वारा प्रस्तावित प्रधार समस्या का समाधान सीमा पर आधारित है जिसमें कोई निश्चित स्थिति नहीं है। प्रस्तावात्मक स्थिति में, इस समाधान को निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है: ज्ञात सूत्रों को सीधे विकोडन करने के अतिरिक्त, प्रतिबंधों के मानों में परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करने वाले नए चर भी परिभाषित करते हैं; इन नए चरों को फिर कम किया जाता है।

उदाहरण के लिए, उस कार्यक्षेत्र का जिसमें एक द्वार है जो समय 0 पर संवृत्त होता है और जिसमें समय 2 पर द्वार विवृति की क्रिया निष्पादित होती है, जिसे स्पष्ट रूप से जाना जाता है वह दो सूत्रों द्वारा दर्शाया जाता है:


 * $$\neg \text{open}_0$$
 * $$\text{true} \rightarrow \text{open}_2$$

प्रधार समस्या इस उदाहरण में समस्या $$\neg open_1$$के रूप में दिखाई देती है। उपरोक्त सूत्रों का परिणाम नहीं है, जबकि द्वार को तब तक संवृत्त रहना चाहिए जब तक कि उसे विवृति की क्रिया न हो जाए। नए चर को परिभाषित करके प्रतिबंध का उपयोग इस उद्देश्य के लिए $$change\_open_t$$ परिवर्तनों को प्रतिरूप करने और फिर उन्हें कम करने के लिए किया जा सकता है :


 * $$\text{change open}_0 \equiv (\text{open}_0 \not\equiv \text{open}_1)$$
 * $$\text{change open}_1 \equiv (\text{open}_1 \not\equiv \text{open}_2)$$

जैसा कि येल प्रक्षेपण समस्या द्वारा दर्शाया गया है, इस प्रकार का समाधान कार्य नहीं करता है। उदाहरण के लिए, $$\neg \text{open}_1$$अभी तक उपरोक्त सूत्रों की परिसीमा में सम्मिलित नहीं है: वह प्रतिरूप जिसमें $$\text{change open}_0$$सत्य और $$\text{change open}_1$$असत्य है, विपरीत मानों वाले प्रतिरूप के साथ अतुलनीय है। इसलिए, जिस स्थिति में द्वार 1 समय पर विवृत हो जाता है और फिर क्रिया के परिणामस्वरूप विवृत रहता है, उसे परिसीमन द्वारा बाहर नहीं किया जाता है।

ऐसी समस्याओं से ग्रसित नहीं गतिशील कार्यक्षेत्र के कई अन्य औपचारिकताओं को विकसित किया गया है (एक संक्षिप्त विवरण के लिए प्रधार समस्या देखें)। कई लोग सीमा का उपयोग करते हैं परन्तु एक अलग तरीके से।

विधेय परिसीमा
मैककार्थी द्वारा प्रस्तावित परिचलन की मूल परिभाषा प्रथम-क्रम तर्क के विषय में है। प्रस्तावपरक तर्क (कुछ ऐसा जो सत्य या असत्य हो सकता है) में चर की भूमिका पहले क्रम के तर्क में विधेय द्वारा निभाई जाती है। अर्थात्, एक तर्कवाक्य सूत्र को पहले क्रम के तर्क में व्यक्त किया जा सकता है, जिसमें प्रत्येक प्रस्तावक चर को शून्य योग्यता के विधेय के साथ प्रतिस्थापित (अर्थात, बिना किसी तर्क के विधेय) किया जा सकता है। इसलिए, परिसीमा के पहले क्रम के तर्क संस्करण में विधेय पर न्यूनीकरण किया जाता है: जब भी संभव हो, विधेय को असत्य होने के लिए विवश किया जाता है।

प्रथम-क्रम तर्क सूत्र दिया गया है, $$T$$ जिसमें एक विधेय $$P$$ है, इस विधेय का परिसीमन करने के लिए केवल प्रतिरूपों का चयन करना है। जिसमें $$T$$, $$P$$ को मानों के टपल के न्यूनतम समुच्चय पर सत्य करने के लिए निर्दिष्ट किया गया है।

औपचारिक रूप से, प्रथम-क्रम प्रतिरूप में एक विधेय का विस्तारण मानों के टपल का समुच्चय है जो प्रतिरूप में सत्य को निर्दिष्ट करता है। प्रथम-क्रम के प्रतिरूप में वास्तव में प्रत्येक विधेय प्रतीक का मूल्यांकन सम्मिलित है; ऐसा मूल्यांकन बताता है कि विधेय अपने तर्कों के किसी भी संभावित मान के लिए सत्य है या असत्य है। चूंकि विधेय का प्रत्येक तर्क एक पद होना चाहिए और प्रत्येक पद एक मान का मूल्यांकन करता है, प्रतिरूप बताता है कि क्या $$P(v_1,\ldots,v_n)$$ मानों के किसी भी संभावित टपल $$\langle v_1,\ldots,v_n \rangle$$के लिए सत्य है। $$P$$ का विस्तारण एक प्रतिरूप में पदों के टपल का समुच्चय होता है जैसे कि $$P(v_1,\ldots,v_n)$$ प्रतिरूप में सत्य है।

एक विधेय की परिसीमा $$P$$ सूत्र में $$T$$ के केवल प्रतिरूपों का चयन करके प्राप्त किया जाता है, $$T$$ के न्यूनतम विस्तारण के साथ $$P$$ है। उदाहरण के लिए, यदि किसी सूत्र में केवल दो प्रतिरूप हैं, केवल इसलिए भिन्न हैं $$P(v_1,\ldots,v_n)$$ एक में सत्य और दूसरे में असत्य है, तभी दूसरा प्रतिरूप चुना जाता है। यह है क्योंकि $$\langle v_1,\ldots,v_n \rangle$$ के विस्तारण में है, $$P$$ पहले प्रतिरूप में परन्तु दूसरे में नहीं है।

मैककार्थी द्वारा मूल परिभाषा शब्दार्थ के बजाय वाक्य-विन्यास थी। एक सूत्र $$T$$ और एक विधेय $$P$$ दिया, परिसीमा $$P$$ में $$T$$ निम्नलिखित द्वितीय क्रम सूत्र है:


 * $$T(P) \wedge \forall p \neg (T(p) \wedge p<P)$$

इस सूत्र में, $$p$$ उसी योग्यता का एक विधेय $$P$$ है। यह एक दूसरे क्रम का सूत्र है क्योंकि इसमें एक विधेय पर परिमाणीकरण होता है। उपसूत्र $$p<P$$ निम्न के लिए एक आशुलिपि है:


 * $$\forall x (p(x) \rightarrow P(x)) \wedge

\neg \forall x (P(x) \rightarrow p(x))$$ इस सूत्र में, $$x$$ शब्दों का एक n-टपल है, जहाँ n का योग $$P$$ है। यह सूत्र बताता है कि विस्तार न्यूनीकरण किया जाना है: पर सत्य मूल्यांकन के लिए एक प्रतिरूप $$P$$ पर विचार किया जा रहा है, यह स्थिति होनी चाहिए कि कोई अन्य विधेय नहीं है, $$p$$ प्रत्येक टपल को असत्य को निर्दिष्ट कर सकता है। $$P$$ असत्य को निर्दिष्ट करता है और फिर भी $$P$$ से भिन्न होता है।

यह परिभाषा केवल एक विधेय को सीमित करने की अनुमति प्रदान करती है। जबकि एक से अधिक विधेय का विस्तार तुच्छ है, एक विधेय के विस्तारण को कम करने का एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है: इस विचार को पकड़ना कि चीजें सामान्यतः अपेक्षित होती हैं। स्थितियों की असामान्यता को व्यक्त करने वाले एकल विधेय को कम करके इस विचार को औपचारिक रूप दिया जा सकता है। विशेष रूप से, प्रत्येक ज्ञात तथ्य को एक शाब्दिक जोड़ $$\neg Abnormal(...)$$ के साथ तर्क में व्यक्त किया जाता है, यह बताते हुए कि तथ्य केवल सामान्य स्थितियों में ही होता है। इस विधेय के विस्तारण को कम करने से अंतर्निहित धारणा के अंतर्गत तर्क करने की अनुमति मिलती है कि चीजें अपेक्षित हैं (अर्थात, वे असामान्य नहीं हैं) और यह धारणा केवल तभी बनाई जाती है जब संभव हो (असामान्यता को तभी गलत माना जा सकता है जब यह संगत तथ्य हो)।

बिंदुवार परिसीमन
बिंदुवार परिसीमन, प्रथम अनुक्रम प्रतिबंध का एक प्रकार है जिसे व्लादिमीर लाइफशिट्ज द्वारा प्रस्तुत किया गया है। प्रस्तावात्मक स्थिति में, बिंदुवार और विधेय परिसीमा मेल खाते हैं। बिंदुवार परिसीमा का तर्क यह है कि यह विधेय के विस्तारण को कम करने के बजाय अलग-अलग मानों के प्रत्येक टपल के लिए एक विधेय के मान को कम करता है। उदाहरण के लिए, $$P(a) \equiv P(b)$$ के दो प्रतिरूप हैं, कार्यक्षेत्र $$\{a,b\}$$ के साथ, एक समायोजन $$P(a)=P(b)=false$$ और दूसरी समायोजन $$P(a)=P(b)=true$$ के विस्तारण के बाद से $$P$$ पहले प्रतिरूप में $$\emptyset$$ है जबकि दूसरे का विस्तारणण $$\{a,b\}$$ है, परिसीमा केवल पहले प्रतिरूप का चयन करती है।

बिंदुवार परिसीमन में, मानों के प्रत्येक टपल को भिन्न माना जाता है। उदाहरण के लिए, सूत्र $$P(a) \equiv P(b)$$ में, कोई $$P(a)$$ से भिन्न $$P(b)$$ के मान पर विचार करेगा। एक प्रतिरूप न्यूनतम तभी होता है जब सूत्र को संतुष्ट करते हुए ऐसे किसी भी मान को सत्य से असत्य में परिवर्तित करना संभव न हो। परिणामस्वरूप, जिस प्रतिरूप $$P(a)=P(b)=true$$ में, केवल वर्तन के कारण बिंदुवार परिसीमा द्वारा चुना जाता है, $$P(a)$$ असत्य में सूत्र को संतुष्ट नहीं करता है और $$P(b)$$ के लिए भी ऐसा ही होता है।

कार्यक्षेत्र और सूत्र परिवर्णन
मैककार्थी द्वारा परिसीमा का एक पूर्व सूत्रीकरण विधेय के विस्तारण के बजाय प्रथम-क्रम प्रतिरूप के कार्यक्षेत्र को कम करने पर आधारित है। अर्थात्, एक प्रतिरूप को दूसरे से कम माना जाता है यदि इसका एक छोटा कार्यक्षेत्र है और दो प्रतिरूप मानों के सामान्य टपल के मूल्यांकन पर मेल खाते हैं। परिसीमा के इस संस्करण को विधेय परिसीमा में घटाया जा सकता है।

सूत्र परिसीमा मैक्कार्थी द्वारा प्रारंभ की गई बाद की औपचारिकता थी। यह परिसीमा का एक सामान्यीकरण है जिसमें एक विधेय के विस्तारण के बजाय सूत्र के विस्तारण को कम किया जाता है। दूसरे शब्दों में, एक सूत्र निर्दिष्ट किया जा सकता है ताकि सूत्र को संतुष्ट करने वाले कार्यक्षेत्रों के मानों के टपल का समुच्चय जितना संभव हो उतना छोटा हो।

सिद्धांत पर अंकुश
परिसीमा सदैव वियोगात्मक सूचना को सही ढंग से नियंत्रित नहीं करता है। रे रेइटर ने निम्नलिखित उदाहरण प्रदान किया: एक चेकबोर्ड पर एक सिक्का उछाला जाता है और परिणाम यह होता है कि सिक्का या तो एक काले क्षेत्र पर, या एक सफेद क्षेत्र पर, या दोनों पर होता है। हालाँकि, बड़ी संख्या में अन्य संभावित स्थान हैं जहाँ सिक्का नहीं होना चाहिए; उदाहरण के लिए, यह निहित है कि सिक्का भूतल पर, या प्रशीतित्र पर, या चंद्रमा की सतह पर नहीं है। इसलिए परिसीमा $$On$$ विधेय का उपयोग विस्तारण को कम करने के लिए किया जा सकता है, ताकि $$On(\text{coin},\text{moon})$$ असत्य है भले ही यह स्पष्ट रूप से नहीं कहा गया हो।

दूसरी ओर, $$On$$ का न्यूनतमकरण विधेय पर गलत परिणाम होता है कि सिक्का या तो काले क्षेत्र पर या सफेद क्षेत्र पर है, परन्तु दोनों पर नहीं है। ऐसा इसलिए है क्योंकि जिन प्रतिरूपों में $$On$$ पर ही सत्य है, $$(\text{coin},\text{white area})$$ और केवल $$On$$ पर $$(\text{coin},\text{black area})$$ का न्यूनतम विस्तारण है, जबकि प्रतिरूप जिसमें $$On$$ का विस्तारण दोनों युग्मों से बना है, न्यूनतम नहीं है।

सिद्धान्त अंकुश थॉमस ईटर, जॉर्ज गोटलोब और यूरी गुरेविच द्वारा प्रस्तावित एक समाधान है। विचार यह है कि जिस प्रतिरूप में परिसीमा का चयन करने में विफल रहता है, वह एक जिसमें दोनों$$On(\text{coin},\text{white area})$$ और $$On(\text{coin},\text{black area})$$ सत्य हैं, सूत्र का एक प्रतिरूप है जो (डब्ल्यू .आर. टी का विस्तारण $$On$$) चुने गए दोनों प्रतिरूपों की तुलना में अधिक है। अधिक विशेष रूप से, सूत्र के प्रतिरूपों में, बहिष्कृत प्रतिरूप दो चयनित प्रतिरूपों की सबसे कम ऊपरी सीमा है। सिद्धान्त अंकुश इस तरह के कम-से-कम ऊपरी सीमा प्रतिरूप का चयन करता है, इसके अतिरिक्त परिसीमा द्वारा चुना जाता है। यह समावेशन तब तक किया जाता है जब तक प्रतिरूप का समुच्चय संवृत्त नहीं हो जाता है, इस अर्थ में कि इसमें प्रतिरूप के सभी समुच्चयों की कम से कम ऊपरी सीमाएं सम्मिलित हैं।

बाहरी संबंध

 * Circumscription – a form of nonmonotonic reasoning, a paper by McCarthy.
 * An explanation in the Stanford encyclopedia on philosophy