लोकस (गणित)

ज्यामिति में, लोकस (बहुवचन: लोकी) (स्थान के लिए लैटिन शब्द) सभी बिंदुओं (ज्यामिति) का समुच्चय (गणित) है (सामान्यतः, रेखा (ज्यामिति), रेखा खंड, वक्र (गणित) या सतह (टोपोलॉजी)), जिसका स्थान संतुष्ट करता है अथवा अधिक निर्दिष्ट स्थितियों द्वारा निर्धारित किया जाता है। कुछ संपत्ति को तुष्टि करने वाले बिंदुओं के समुच्चय को अधिकांशतः इस संपत्ति को तुष्टि करने वाले बिंदु का लोकस कहा जाता है। इस सूत्रीकरण में एकवचन का प्रयोग इस तथ्य का साक्षी है कि 19वीं शताब्दी के अंत में गणितज्ञ अनंत समुच्चयों पर विचार नहीं किया करते थे। रेखाओं और वक्रों को बिंदुओं के समुच्चय के रूप में अवलोकित करने के अतिरिक्त, उन्हें ऐसे स्थानों के रूप में अवलोकित किया जहाँ बिंदु स्थित हो सकता है या स्थानांतरित हो सकता है।

इतिहास और दर्शन
20वीं शताब्दी के प्रारम्भ में, ज्यामितीय आकृति (उदाहरण के लिए वक्र) को बिंदुओं के अनंत समुच्चय के रूप में स्वीकार नहीं किया जाता था, किंतु, इसे इकाई के रूप में स्वीकार किया जाता था, जिस पर बिंदु स्थित हो सकता है अथवा जिस पर वह गमन करता है। इस प्रकार यूक्लिडियन समतल में वृत्त (गणित) को बिंदु के स्थान के रूप में परिभाषित किया गया था जो निश्चित बिंदु, वृत्त के केंद्र की दूरी पर स्थित है। आधुनिक गणित में, आकृतियों को समुच्चय के रूप में वर्णित करके समान अवधारणाओं की अधिक पुनरावृत्ति की जाती है| उदाहरण के लिए, वृत्त उन बिंदुओं का समुच्चय है जो केंद्र से निश्चित दूरी पर स्थित हैं।

सेट-सैद्धांतिक दृष्टिकोण के विपरीत, पूर्व सूत्रीकरण अनंत संग्रहों पर विचार नहीं करता है, क्योंकि वास्तविक अनंत से प्रतिरक्षण पूर्व गणितज्ञों की महत्वपूर्ण दार्शनिक स्थिति थी।

स्थापित सिद्धांत सार्वभौमिक आधार है जिस पर गणित आधारित है, लोकस प्राचीन शब्द है। तथापि, यह शब्द वर्तमान में व्यापक रूप से मुख्यतः संक्षिप्त सूत्रीकरण के लिए उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए-
 * क्रिटिकल लोकस, अवकलनीय फलन के महत्वपूर्ण बिंदुओं (गणित) का समुच्चय है।
 * शून्य लोकस या लुप्त लोकस, उन बिंदुओं का समुच्चय जहाँ फलन लुप्त हो जाता है, जिसमें वह शून्य मान (गणित) स्वीकार करता है।
 * एकल लोकस, बीजगणितीय प्रकार के बिंदुओं का समुच्चय है।
 * कनेक्टेडनेस लोकस, परिमेय फलन के सदस्य का प्राचल समुच्चय जिसके लिए फलन का जूलिया समुच्चय युग्मित है।

योजना सिद्धांत (गणित) और गणित को आधार देने के लिए समुच्चय सिद्धांत के अतिरिक्त श्रेणी सिद्धांत का उपयोग, बिंदुओं के समुच्चय के अतिरिक्त ऑब्जेक्ट के रूप में लोकस की मूल परिभाषा के रूप में किया जाता है।

समतल ज्यामिति में उदाहरण
समतल ज्यामिति के उदाहरणों में सम्मिलित हैं-
 * दो बिंदुओं से समदूरस्थ बिंदुओं का समुच्चय दो बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड का लम्ब समद्विभाजक होता है।
 * दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से समदूरस्थ बिंदुओं का समुच्चय उनके दो कोण समद्विभाजकों का युग्मन होता है।
 * सभी शंकु-परिच्छेद लोकी हैं-
 * वृत्त- बिंदुओं का समुच्चय जिसके लिए बिंदु से दूरी स्थिर (त्रिज्या) है।
 * परवलय- निश्चित बिंदु (फोकस (ज्यामिति)) और रेखा (डायरेक्ट्रिक्स (शंक्वाकार खंड)) से समदूरस्थ बिंदुओं का समुच्चय है।
 * अतिशयोक्ति - बिंदुओं का वह समुच्चय जिनमें से प्रत्येक के लिए दो दिए गए नाभियों की दूरी के मध्य अंतर का निरपेक्ष मान स्थिरांक होता है।
 * दीर्घवृत्त- बिंदुओं का वह समुच्चय जिसमें से प्रत्येक के लिए दो दिए गए नाभियों की दूरी का योग स्थिरांक होता है।

लोकी के अन्य उदाहरण गणित के विभिन्न क्षेत्रों में प्राप्त होते हैं। उदाहरण के लिए, जटिल गतिकी में, मैंडलब्रॉट सेट जटिल तल का उपसमुच्चय है जिसे बहुपद मानचित्रों के सदस्य के कनेक्टेडनेस लोकस के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

लोकस का प्रमाण
सिद्ध करें कि दी गई स्थितियों के लिए ज्यामितीय आकृति उचित लोकस है,

सामान्यतः प्रमाण दो चरणों में विभाजित हैं- स्थितियों को संतुष्ट करने वाले सभी बिंदु आकृति पर हैं और आकृति पर सभी बिंदु स्थितियों को पूर्ण करते हैं।

प्रथम उदाहरण
उस बिंदु P का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए जिसकी दूरी k = d1/d2 दो दिए गए बिंदुओं का अनुपात है।

इस उदाहरण में k = 3, A(−1,0) और B(0,2) को निश्चित बिंदुओं के रूप में चयनित किया गया है।


 * बिंदुपथ का बिंदु P(x,y) है
 * $$\Leftrightarrow |PA| = 3 |PB| $$
 * $$\Leftrightarrow |PA|^2 = 9 |PB|^2 $$
 * $$\Leftrightarrow (x + 1)^2 + (y - 0)^2 = 9(x - 0)^2 + 9(y - 2)^2 $$
 * $$\Leftrightarrow 8(x^2 + y^2) - 2x - 36y + 35 = 0 $$
 * $$\Leftrightarrow \left(x - \frac18\right)^2 + \left(y - \frac94\right)^2 = \frac{45}{64}.$$

यह समीकरण वृत्त के केंद्र (1/8,9/4) और त्रिज्या $$\tfrac{3}{8}\sqrt{5}$$ का प्रतिनिधित्व करता है| यह k, A और B के इन मूल्यों द्वारा परिभाषित एपोलोनियस का वृत्त है।

द्वितीय उदाहरण
त्रिभुज ABC की लंबाई c के साथ निश्चित भुजा [AB] है। तृतीय वर्टेक्स (ज्यामिति) C का लोकस इस प्रकार निर्धारित करें कि A और C से मेडियन (ज्यामिति) ओर्थोगोनल हों।

असामान्य निर्देशांक प्रणाली चुनें जैसे कि A(−c/2,0), B(c/2,0)।

C(x,y) तृतीय शीर्ष है। [BC] का केंद्र M((2x+c)/4,y/2) है। C से माध्यिका का ढलान y/x है। माध्यिका AM का ढलान 2y/(2x+3c) है।

C(x,y) बिंदुपथ का बिंदु है|
 * $$\Leftrightarrow$$ A और C से माध्यिकाएँ ओर्थोगोनल हैं
 * $$\Leftrightarrow \frac{y}{x} \cdot \frac{2y}{2x + 3c} = -1 $$ :$$\Leftrightarrow 2 y^2 + 2x^2 + 3c x = 0 $$ :$$\Leftrightarrow x^2 + y^2 + (3c/2) x = 0 $$ :$$\Leftrightarrow (x + 3c/4)^2 + y^2 = 9c^2/16. $$

शीर्ष C का लोकस केंद्र (−3c/4,0) और त्रिज्या 3c/4 का वृत्त है।

तृतीय उदाहरण
सामान्य पैरामीटर के आधार पर लोकस को दो संबद्ध वक्रों द्वारा भी परिभाषित किया जा सकता है। यदि पैरामीटर भिन्न होता है, तो संबंधित वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु लोकस का वर्णन करते हैं।

आकृति में, बिंदु K और L दी गयी रेखा m पर स्थिर बिंदु हैं। रेखा k, K से होकर जाने वाली परिवर्तनशील रेखा है। L से होकर जाने वाली रेखा l, k के लंबवत है। कोण $$\alpha$$, k और m के मध्य का पैरामीटर है।

सामान्य पैरामीटर के आधार पर k और l संबंधित रेखाएँ हैं। k और l का प्रतिच्छेदन बिंदु S, वृत्त का वर्णन करता है। यह वृत्त दो संबंधित रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का लोकस है।

चतुर्थ उदाहरण
बिंदुओं का लोकस 1-आयामी (वृत्त, रेखा, आदि के रूप में) नहीं होना चाहिए। उदाहरण के लिए, असमता का लोकस $P$ समतल का वह भाग है जो समीकरण $l$ की रेखा के नीचे है|

यह भी देखें

 * बीजगणितीय प्रकार
 * वक्र
 * रेखा (ज्यामिति)
 * सेट-बिल्डर नोटेशन
 * आकृति (ज्यामिति)