अद्वितीय गुणनखंड डोमेन

गणित में, अद्वितीय गुणनखंड कार्यक्षेत्र (यूएफडी) (जिसे कभी-कभी निकोलस बोरबाकी की शब्दावली के बाद एक क्रमगुणित वलय भी कहा जाता है) वलय (गणित) में अंकगणित के मौलिक प्रमेय के अनुरूप एक वर्णन होता है। विशेष रूप से, UFD एक अभिन्न कार्यक्षेत्र है (एक शून्य क्रमविनिमेय वलय जिसमें किन्हीं दो गैर-शून्य तत्वों का उत्पाद गैर-शून्य होता है) जिसमें प्रमुख तत्वों (या अलघुकरणीय तत्वों) की, विशिष्ट रूप से आदेश और इकाइयों तक प्रत्येक गैर-शून्य गैर-इकाई (वलय सिद्धांत) तत्व को उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है। ।

UFDs के महत्वपूर्ण उदाहरण एक या एक से अधिक चर में पूर्णांक और बहुपद के वलय हैं, जो पूर्णांक से या एक क्षेत्र (गणित) से आते हैं।

उपवर्ग (सम्मुच्चय सिद्धांत) की निम्नलिखित श्रृंखला में अद्वितीय गुणनखंडन कार्यक्षेत्र दिखाई देते हैं:

परिभाषा
औपचारिक रूप से, अद्वितीय गुणनखंड कार्यक्षेत्र को एक अभिन्न कार्यक्षेत्र R के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें R के प्रत्येक गैर-शून्य तत्व x को R और एक ईकाई u के अप्रासंगिक तत्व pi के उत्पाद (एक खाली उत्पाद यदि x एक इकाई है) के रूप में लिखा जा सकता है। :


 * x = u p1 p2 ⋅⋅⋅ pn n ≥ 0 के साथ

और यह प्रतिनिधित्व निम्नलिखित अर्थों में अद्वितीय है: यदि q1, ..., qm R के अलघुकरणीय तत्व हैं और w एक ऐसी इकाई है जैसे कि


 * x = w q1 q2 ⋅⋅⋅ qm m ≥ 0 के साथ,

तब m = n, और एक विशेषण φ : {1, ..., n} → {1, ..., m} का अस्तित्व होता है जैसे कि i ∈ {1, ..., n} के लिए pi q&phi;(i) से संबद्ध तत्व है।

विशिष्टता भाग सामान्यतः सत्यापित करना कठिन होता है, यही कारण है कि निम्नलिखित समकक्ष परिभाषा उपयोगी है:
 * एक अद्वितीय कारक कार्यक्षेत्र एक अभिन्न कार्यक्षेत्र R है जिसमें प्रत्येक गैर-शून्य तत्व को इकाई के उत्पाद और R के प्रमुख तत्वों के रूप में लिखा जा सकता है।

उदाहरण
प्रारंभिक गणित से परिचित अधिकांश वलय UFD हैं:


 * सभी प्रमुख आदर्श कार्यक्षेत्र, अतः सभी यूक्लिडियन कार्यक्षेत्र, यूएफडी हैं। विशेष रूप से, पूर्णांक (अंकगणित के मौलिक प्रमेय को भी देखें), गॉसियन पूर्णांक और ईसेनस्टीन पूर्णांक यूएफडी हैं।
 * यदि R एक UFD है, तो R[X] भी है, R में गुणांकों के साथ बहुपद वलय है। जब तक R एक क्षेत्र नहीं है, R[X] एक प्रमुख आदर्श कार्यक्षेत्र नहीं है। प्रेरण द्वारा, किसी भी यूएफडी (और विशेष रूप से एक क्षेत्र या पूर्णांक पर) पर किसी भी संख्या में चर में बहुपद वलय एक यूएफडी है।
 * औपचारिक शक्ति श्रृंखला वलय KX 1,...,xn क्ष  ेत्र K पर (या अधिक सामान्यतः एक नियमित UFD जैसे कि PID पर) एक UFD है। दूसरी ओर, UFD के ऊपर औपचारिक शक्ति श्रृंखला की वलय को UFD होने की आवश्यकता नहीं है, भले ही UFD स्थानीय हो। उदाहरण के लिए, यदि R k[x,y,z]/(x2 + y3 + z7) मुख्य अभीष्ट (x,y,z) पर तब R एक स्थानीय वलय है जो UFD है, लेकिन औपचारिक शक्ति श्रृंखला वलय RX बाह्य R UFD नहीं    है।
 * ऑस्लैंडर-बक्सबौम प्रमेय कहता है कि प्रत्येक नियमित स्थानीय वलय एक यूएफडी है।
 * $$\mathbb{Z}\left[e^{\frac{2 \pi i}{n}}\right]$$ सभी पूर्णांकों 1 ≤ n ≤ 22 के लिए एक UFD है, लेकिन n = 23 के लिए नहीं है।
 * मोरी ने दिखाया कि यदि जरिस्की वलय का पूरा होना, जैसे नोथेरियन वलय, एक UFD है, तो वलय UFD है। इसका विलोम सत्य नहीं है: नोथेरियन स्थानीय वलय हैं जो यूएफडी हैं लेकिन जिनकी पूर्णता नहीं है। ऐसा कब होता है इसका प्रश्न बल्कि सूक्ष्म है: उदाहरण के लिए, k[x,y,z]/(x2 + y3 + z5) की वलय के स्थानीयकरण के लिए प्रमुख आदर्श (x,y,z) पर, स्थानीय वलय और इसकी पूर्णता दोनों ही UFDs हैं, लेकिन k[x,y,z]/(x2 + y3 + z5) के स्थानीयकरण के स्पष्ट रूप से समान उदाहरण में प्रमुख आदर्श (x, y, z) पर स्थानीय वलय UFD है, लेकिन इसकी पूर्णता नहीं है।
 * मान लीजिये $$R$$ 2 के अलावा किसी भी विशेषता का एक क्षेत्र है। क्लेन और नागाटा ने दिखाया कि वलय R [x1,...,xn]/Q एक UFD है जब भी Q, X में एक गैर-एकवचन द्विघात रूप है और n कम से कम 5 है। जब n = 4 है, तब वलय को UFD नहीं होना चाहिए। उदाहरण के लिए, $$R[X,Y,Z,W]/(XY-ZW)$$ यूएफडी नहीं है, क्योंकि तत्व $$XY$$ तत्व $$ZW$$ के बराबर है ताकि $$XY$$ और $$ZW$$ एक ही तत्व के दो अलग-अलग गुणनखंड हैं जो अलघुकरणीय हैं।
 * वलय Q[x,y]/(x2 + 2y2 + 1) एक UFD है, लेकिन वलय Q(i)[x,y]/(x2 + 2y2 + 1) नहीं है। दूसरी ओर, वलय Q[x,y]/(x2 + y2 – 1) एक UFD नहीं है, लेकिन वलय Q(i)[x,y]/(x2 + y2 – 1) है (सैमुअल 1964), पृ.35). इसी प्रकार 2-आयामी वास्तविक गोले का निर्देशांक वलय R[X,Y,Z]/(X2 + Y2 + Z2 − 1) UFD है, लेकिन निर्देशांक वलय C[X,Y,Z]/(X2 + Y2) + Z2 − 1) जटिल गोले का नहीं है।
 * मान लीजिए कि चर Xi भार wi, दिया जाता है और F (x1,...,xn) भार w का एक सजातीय बहुपद है। तब यदि c, w के लिए सह अभाज्य है और R एक UFD है और या तो R पर प्रत्येक परिमित रूप से उत्पन्न प्रक्षेपी अनुखंड मुक्त है या c 1 मोड w है, तो वलय R[X1,...,Xn,Z]/(Zc − F(X1,...,Xn)) यूएफडी है।.

गैर-उदाहरण

 * द्विघात पूर्णांक वलय $$\mathbb Z[\sqrt{-5}]$$ $$a+b\sqrt{-5}$$ स्वरुप की सभी जटिल संख्याओं में, जहाँ a और b पूर्णांक हैं, एक UFD नहीं है क्योंकि 6 कारक दोनों 2×3 और $$\left(1+\sqrt{-5}\right)\left(1-\sqrt{-5}\right)$$ जैसे हैं। ये वास्तव में अलग-अलग गुणनखंड हैं, क्योंकि इस वलय में केवल 1 और -1 इकाइयाँ हैं; अत: 2, 3, $$1+\sqrt{-5}$$, और $$1-\sqrt{-5}$$ में से कोई सम्बंद्ध नहीं हैं। यह दिखाना कठिन नहीं है कि सभी चार कारक भी अप्रासंगिक हैं, हालांकि यह स्पष्ट नहीं हो सकता है। बीजगणितीय पूर्णांक भी देखें।
 * वर्ग-मुक्त धनात्मक पूर्णांक d के लिए, $$ \mathbb Q[\sqrt{-d}]$$ के पूर्णांकों का वलय जब तक d एक हीगनर संख्या नहीं है, तब तक वह UFD नहीं बन पाएगा।
 * जटिल संख्याओं पर औपचारिक शक्ति श्रृंखला का वलय एक UFD है, लेकिन उन लोगों का उपसमूह जो हर जगह अभिसरण करते हैं, दूसरे शब्दों में एक एकल जटिल चर में संपूर्ण कार्यों की वलय, एक UFD नहीं है, चूंकि शून्य की अनंतता के साथ संपूर्ण कार्य उपस्थित हैं, और इस प्रकार अप्रासंगिक कारकों की अनंतता है, जबकि एक UFD गुणनखंड परिमित होना चाहिए उदा .:
 * $$\sin \pi z = \pi z \prod_{n=1}^{\infty} \left(1-{{z^2}\over{n^2}}\right).$$

गुण
पूर्णांकों के लिए परिभाषित कुछ अवधारणाओं को UFDs के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है:


 * UFDs में, प्रत्येक अखंडनीय अवयव प्रमुख तत्व है। (किसी भी अभिन्न कार्यक्षेत्र में, प्रत्येक अभाज्य तत्व अप्रासंगिक है, लेकिन इसका विलोम हमेशा सही नहीं होता है। उदाहरण के लिए, तत्व $$z\in K[x,y,z]/(z^2-xy)$$ अखंडनीय है, लेकिन मुख्य नहीं है।) ध्यान दें कि इसका एक आंशिक विलोम है: एसीसीपी को संतुष्ट करने वाला एक डोमेन एक यूएफडी है यदि और केवल यदि हर अलघुकरणीय तत्व प्रमुख है।
 * UFD के किसी भी दो तत्वों में सबसे बड़ा सामान्य विभाजक और सबसे कम सामान्य गुणक होता है। यहाँ, a और b का सबसे बड़ा सामान्य भाजक एक तत्व d है जो a और b दोनों को विभाजित करता है, और ऐसा है कि a और b का हर दूसरा सामान्य भाजक d को विभाजित करता है। a और b के सभी महानतम सामान्य विभाजक संबंधित तत्व हैं।
 * कोई भी UFD अभिन्न रूप से संकुचित है। दूसरे शब्दों में, यदि R भागफल क्षेत्र K के साथ एक UFD है, और यदि K में एक तत्व k, R में गुणांक वाले एक मोनिक बहुपद का मूल है, तो k, R का एक तत्व है।
 * मान लीजिए कि S, UFD A का गुणनात्मक रूप से बंद उपसमुच्चय है। फिर एक वलय का स्थानीयकरण $$S^{-1}A$$ एक यूएफडी है। इसका एक आंशिक विलोम भी मान्य है; नीचे देखें।

एक वलय के यूएफडी होने के लिए समतुल्य स्थिति
एक नोथेरियन वलय अन्तर्निहित कार्यक्षेत्र एक यूएफडी है यदि और केवल यदि हर ऊंचाई (वलय सिद्धांत) 1 मुख्य अभीष्ट सिद्धांत है (एक प्रमाण अंत में दिया गया है)। इसके अलावा, एक डेडेकिंड कार्यक्षेत्र एक UFD है यदि और केवल यदि इसका आदर्श वर्ग समूह तुच्छ है। इस स्तिथि में, यह वास्तव में एक प्रमुख आदर्श कार्यक्षेत्र है।

सामान्यतः, एक अभिन्न कार्यक्षेत्र a के लिए, निम्नलिखित शर्तें समतुल्य हैं:

व्यवहार में, (2) और (3) जाँच के लिए सबसे उपयोगी स्थितियाँ हैं। उदाहरण के लिए, यह (2) से तुरंत अनुसरण करता है कि पीआईडी ​​एक यूएफडी है, क्योंकि पीआईडी ​​​​में एक प्रमुख तत्व द्वारा प्रत्येक प्रमुख आदर्श उत्पन्न होता है।
 * 1) A एक यूएफडी है।
 * 2) A के प्रत्येक अशून्य अभाज्य गुणज में एक अभाज्य अवयव होता है। (इरविंग कपलान्स्की)
 * 3) A प्रमुख आदर्शों (ACCP) पर आरोही श्रृंखला की स्थिति और एक वलय S−1A के स्थानीयकरण को संतुष्ट करता है वह एक UFD है, जहां S अभाज्य तत्वों द्वारा उत्पन्न किया गया A का गुणात्मक रूप से बंद उपसमुच्चय है। (नागाटा कसौटी)
 * 4) A प्रमुख आदर्शों पर आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करता है और प्रत्येक अलघुकरणीय तत्व प्रमुख तत्व है।
 * 5) A परमाणु कार्यक्षेत्र है और हर अलघुकरणीय तत्व प्रमुख तत्व है।
 * 6) A एक GCD कार्यक्षेत्र है जो प्रमुख आदर्शों पर आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करता है।
 * 7) A एक श्रेयर कार्यक्षेत्र, और परमाणु कार्यक्षेत्र है।
 * 8) A पूर्व-श्रेयर कार्यक्षेत्र और परमाण्विक कार्यक्षेत्र है।
 * 9) A का एक विभाजक सिद्धांत है जिसमें प्रत्येक भाजक प्रधान है।
 * 10) A एक क्रुल कार्यक्षेत्र है जिसमें प्रत्येक विभाजक आदर्श प्रमुख है (वास्तव में, यह बॉरबाकी में यूएफडी की परिभाषा है।)
 * 11) A एक क्रुल कार्यक्षेत्र है और ऊँचाई 1 का प्रत्येक अभाज्य गुणज प्रधान है।

अन्य उदाहरण के लिए, नोथेरियन अन्तर्निहित कार्यक्षेत्र पर विचार करें जिसमें प्रत्येक ऊँचाई एक प्रमुख आदर्श है। चूँकि प्रत्येक प्रमुख आदर्श की परिमित ऊँचाई होती है, इसमें ऊँचाई एक प्रधान आदर्श (ऊँचाई पर प्रेरण) होती है जो कि प्रमुख है। (2) द्वारा, वलय एक UFD है।

यह भी देखें

 * पैराक्रमगुणित संकुचित वलय
 * गैर-अनुवर्ती अद्वितीय गुणनखंड कार्यक्षेत्र

संदर्भ

 * Chap. 4.
 * Chapter II.5 of
 * Chapter II.5 of