आंशिक आइसोमेट्री

फंक्शनल विश्लेषण में, आंशिक आइसोमेट्री किसी हिलबर्ट समष्टियों के बीच एक रैखिक चित्रण है, जिसके अंतर्गत यह अपने कर्नेल के ऑर्थोगोनल पूरक के विशेषता पर एक आइसोमेट्री बनता है।

इसके कर्नेल के उपरांतर्गीय पूरक को प्रारंभिक उपसमष्टि कहा जाता है और इसकी सीमा (रेंज) को अंतिम उपसमष्टि कहा जाता है।

आंशिक आइसोमेट्री ध्रुवीय वियोजन में प्रकट होती है।

सामान्य
आंशिक आइसोमेट्री का अवधारणा अन्य समतुल्य विधियों से परिभाषित किया जा सकता है। यदि U एक आइसोमेट्रिक मैप है जो हिलबर्ट समष्टि H के एक संवृत उपसमुच्चय H1 पर परिभाषित है, तो हम एक प्रसार W को U का संबंधित कर सकते हैं जो शर्त पूरी करता है कि W वहां पर शून्य हो जाए जहां H1 का उपरांतर्गीय पूरक हो। इस प्रकार, कभी-कभी आंशिक आइसोमेट्री को एक संवृत आंशिक आइसोमेट्रिक मैप के रूप में भी परिभाषित किया जाता है।

आंशिक आइसोमेट्री (और प्रक्षेपण) को और अधिक निष्कर्षण सेटिंग में भी परिभाषित किया जा सकता है, जिसमें प्रतिष्ठानुक्रम साथ में अभिलेख होती है। इस परिभाषा का संवाद यहां परिभाषित संवाद के साथ मेल खाता है।

परिमित-विमीय सदिश समष्टिों में, एक आव्यूह $$A$$ एक आंशिक आइसोमेट्री है यदि और केवल यदि $$ A^* A$$ इसके समर्थन पर प्रक्षेपण है। समान रूप से, किसी भी परिमित-विमीय आंशिक आइसोमेट्री को, आधार के कुछ विकल्प में, फॉर्म $$A=\begin{pmatrix}V & 0\end{pmatrix}$$ के आव्यूह के रूप में दर्शाया जा सकता है, अर्थात, एक आव्यूह के रूप में जिसका पहला $$\operatorname{rank}(A)$$ कॉलम एक आइसोमेट्री बनाता है, जबकि अन्य सभी कॉलम समान रूप से 0 हैं।

परिमित-विमीय आंशिक आइसोमेट्री को चिह्नित करने का एक और सामान्य तरीका यह देखना है कि आंशिक आइसोमेट्री आइसोमेट्री के हर्मिटियन संयुग्मों के साथ मेल खाती है, जिसका अर्थ है कि दिया गया $$P$$ आंशिक आइसोमेट्री है यदि और केवल यदि $$P^*$$ एक आइसोमेट्री है। अधिक सटीक रूप से, यदि $$P$$ एक आंशिक आइसोमेट्री है, तो $$P^*$$, $$P$$ की रेंज का समर्थन करने वाली एक आइसोमेट्री है, और यदि $$V$$ कुछ आइसोमेट्री है, तो $$V^*$$, $$V$$की रेंज का समर्थन करने वाला एक आंशिक आइसोमेट्री है।

संक्रियक बीजगणित
संक्रियक बीजगणित के लिए, प्रारंभिक और अंतिम उप-समष्टि प्रस्तुत किए जाते हैं।
 * $$\mathcal{I}W:=\mathcal{R}W^*W,\,\mathcal{F}W:=\mathcal{R}WW^*$$

C*-बीजगणित
C*-बीजगणित के लिए C*-प्रगुण के कारण समतुल्यता की श्रृंखला होती है:
 * $$(W^*W)^2=W^*W\iff WW^*W=W\iff W^*WW^*=W^*\iff(WW^*)^2=WW^*$$

हालांकि, पार्श्विक आइसोमेट्री को उपरोक्त विभिन्न परिभाषाओं में परिभाषित किया जाता है और प्रारंभिक और अंतिम प्रक्षेपण को प्रत्युत्तरीक रूप से W*W और WW* घोषित किया जाता है।

प्रक्षेपणों की एक जोड़ी को तुल्यता संबंध द्वारा विभाजित किया जाता है:
 * $$P=W^*W,\,Q=WW^*$$

यह C*-बीजगणित के लिए K-सिद्धांत और वॉन न्यूमैन बीजगणित में अनुमानों के मुर्रे-वॉन न्यूमैन सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

प्रक्षेपण
कोई भी ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण सामान्य प्रारंभिक और अंतिम उप-समष्टि वाला होता है:


 * $$P:\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}:\quad\mathcal{I}P=\mathcal{F}P$$

अंत: स्थापन (एंबेडिंग)
कोई भी आइसोमेट्रिक अंत: स्थापन पूर्ण प्रारंभिक उप-समष्टि के साथ एक है:


 * $$J:\mathcal{H}\hookrightarrow\mathcal{K}:\quad\mathcal{I}J=\mathcal{H}$$

यूनिटरीज़
कोई भी एकात्मक संक्रियक पूर्ण प्रारंभिक और अंतिम उप-समष्टि वाला होता है:


 * $$U:\mathcal{H}\leftrightarrow\mathcal{K}:\quad\mathcal{I}U=\mathcal{H},\,\mathcal{F}U=\mathcal{K}$$

(इनके अतिरिक्त कहीं अधिक आंशिक आइसोमेट्रीज़ हैं।)

निलपोटेंट्स
द्वि-विमीय सम्मिश्र हिल्बर्ट समष्टि पर आव्यूह


 * $$ \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$

प्रारंभिक उपसमष्टि के साथ एक आंशिक आइसोमेट्री है


 * $$ \{0\} \oplus \mathbb{C}$$

और अंतिम उपसमष्टि


 * $$ \mathbb{C} \oplus \{0\}. $$

सामान्य परिमित-विमीय उदाहरण
सीमित विमाओं में अन्य संभावित उदाहरण हैं$$A\equiv \begin{pmatrix}1&0&0\\0&\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt2}\\0&0&0\end{pmatrix}.$$यह स्पष्ट रूप से एक आइसोमेट्री नहीं है, क्योंकि कॉलम लम्बवत् सामान्य नहीं हैं। हालाँकि, इसका समर्थन $$\mathbf e_1\equiv (1,0,0)$$ और $$\mathbf e_2+\mathbf e_3\equiv (0,1,1)$$ का विस्तार है, और इस समष्टि पर $$A$$ की क्रिया को प्रतिबंधित करते हुए, यह एक आइसोमेट्री (और विशेष रूप से एकात्मक) बन जाता है। कोई इसी प्रकार यह सत्यापित कर सकता है कि $$A^* A= \Pi_{\operatorname{supp}(A)}$$, यानी $$A^* A$$ इसके समर्थन पर प्रक्षेपण है।

आंशिक आइसोमेट्री को वर्ग आव्यूह के अनुरूप होने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए विचार करें,$$A\equiv \begin{pmatrix}1&0&0\\0&\frac12&\frac12\\ 0 & 0 & 0 \\ 0& \frac12 & \frac12\end{pmatrix}.$$यह आव्यूह $$\mathbf e_1\equiv (1,0,0,0)$$ और $$\mathbf e_2+\mathbf e_4\equiv (0,1,0,1)$$ के स्पैन का समर्थन करता है, और इस समष्टि पर एक आइसोमेट्री (और विशेष रूप से, पहचान के रूप में) के रूप में कार्य करता है।

एक अन्य उदाहरण, जिसमें इस बार $$A$$ अपने समर्थन पर नॉन-ट्राईविअल आइसोमेट्री की तरह कार्य करता है$$A = \begin{pmatrix}0 & \frac1{\sqrt2} & \frac1{\sqrt2} \\ 1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}.$$कोई भी इसे आसानी से सत्यापित कर सकता है कि $$A\mathbf e_1=\mathbf e_2$$, और $$A \left(\frac{\mathbf e_2 + \mathbf e_3}{\sqrt2}\right) = \mathbf e_1$$, इसके समर्थन $$\operatorname{span}(\{\mathbf e_1, \mathbf e_2+\mathbf e_3\})$$ और इसकी सीमा $$\operatorname{span}(\{\mathbf e_1,\mathbf e_2\})$$ के बीच $$A$$ का सममितीय व्यवहार दिखा रहा है।

लेफ्टशिफ्ट और राइटशिफ्ट
वर्गाकार योगयोग्य अनुक्रमों पर संक्रियक
 * $$R:\ell^2(\mathbb{N})\to\ell^2(\mathbb{N}):(x_1,x_2,\ldots)\mapsto(0,x_1,x_2,\ldots)$$
 * $$L:\ell^2(\mathbb{N})\to\ell^2(\mathbb{N}):(x_1,x_2,\ldots)\mapsto(x_2,x_3,\ldots)$$

जो कि संबंधित हैं


 * $$R^*=L$$

प्रारंभिक उपसमष्टि के साथ आंशिक आइसोमेट्री हैं


 * $$LR(x_1,x_2,\ldots)=(x_1,x_2,\ldots)$$

और अंतिम उपसमष्टि:


 * $$RL(x_1,x_2,\ldots)=(0,x_2,\ldots)$$.

संदर्भ

 * John B. Conway (1999). "A course in operator theory", AMS Bookstore, ISBN 0-8218-2065-6
 * Alan L. T. Paterson (1999). "Groupoids, inverse semigroups, and their operator algebras", Springer, ISBN 0-8176-4051-7
 * Mark V. Lawson (1998). "Inverse semigroups: the theory of partial symmetries". World Scientific ISBN 981-02-3316-7
 * Mark V. Lawson (1998). "Inverse semigroups: the theory of partial symmetries". World Scientific ISBN 981-02-3316-7

बाहरी संबंध

 * Important properties and proofs
 * Alternative proofs