प्रथम-क्रम सिद्धांतों की सूची

प्रथम-क्रम तर्क में, प्रथम-क्रम सिद्धांत कुछ सिद्धांत के समुच्चय (गणित) द्वारा दिया जाता है भाषा। यह प्रविष्टि मॉडल सिद्धांत में प्रयुक्त कुछ अधिक सामान्य उदाहरणों और उनके कुछ गुणों को सूचीबद्ध करती है।

प्रारंभिक
प्रत्येक प्राकृतिक गणितीय संरचना के लिए हस्ताक्षर (तर्क) σ होता है | जिसमे यह सिद्धांत के स्थिरांक, कार्यों और संबंधों को उनकी विशेषताओं के साथ सूचीबद्ध करता है | और जिसमें वस्तु स्वाभाविक रूप से σ-संरचना होती हैं। और हस्ताक्षर σ को देखते हुए अद्वितीय प्रथम-क्रम भाषा Lσ है जिसका उपयोग σ-संरचना के बारे में प्रथम-क्रम अभिव्यंजक तथ्यों को पकड़ने के लिए किया जा सकता है।

सिद्धांत को निर्दिष्ट करने के दो सामान्य विधि हैं |
 * 1) Lσ भाषा में वाक्य (गणितीय तर्क) समुच्चय की सूची बनाएं या उसका वर्णन करें, जिसे सिद्धांत के अभिगृहीत कहा जाता है।
 * 2) σ-संरचनाओं का समुच्चय दें, और इन सभी मॉडलों में Lσ धारण करने वाले वाक्यों के समुच्चय के रूप में सिद्धांत को परिभाषित करें। उदाहरण के लिए, "परिमित क्षेत्रों का सिद्धांत" में क्षेत्रों की भाषा में सभी वाक्य सम्मिलित हैं जो सभी परिमित क्षेत्रों में सत्य हैं।

यह Lσ सिद्धांत हो सकता है |
 * सुसंगत रहें: विरोधाभास का कोई सबूत उपस्तिथ नहीं है |
 * संतुष्ट रहें: σ-संरचना उपस्तिथ है जिसके लिए सिद्धांत के सभी वाक्य सत्य हैं (पूर्णता प्रमेय के अनुसार, संतुष्टि स्थिरता के सामान्य है) |
 * पूर्ण हो: किसी भी कथन के लिए, या तब वह या उसका निषेध सिद्ध किया जा सकता है |
 * परिमाणक उन्मूलन है |
 * कल्पनाओं का उन्मूलन |
 * परिमित रूप से स्वयंसिद्ध होना |
 * निर्णय लेने योग्य बनें: यह तय करने के लिए एल्गोरिदम है कि कौन से कथन सिद्ध करने योग्य हैं |
 * पुनरावर्ती रूप से स्वयंसिद्ध होना |
 * मॉडल पूर्ण या उप-मॉडल पूर्ण हो |
 * κ-श्रेणीबद्ध हो:प्रमुखता कार्डिनैलिटी κ के सभी मॉडल समरूपी हैं |
 * स्थिर सिद्धांत या अस्थिर होना |
 * ω-स्थिर हो (गणनीय समुच्चय सिद्धांत के लिए पूर्ण तरह से पारलौकिक के समान) |
 * अतिस्थिर बनें |
 * परमाणु मॉडल (गणितीय तर्क) है |
 * प्रमुख मॉडल है |
 * संतृप्त मॉडल है |

शुद्ध समानता सिद्धांत
शुद्ध समानता सिद्धांत का हस्ताक्षर रिक्त है, जिसमें कोई फलन, स्थिरांक या संबंध नहीं है।

शुद्ध समानता सिद्धांत में कोई (गैर-तार्किक) सिद्धांत नहीं है। यह निर्णय लेने योग्य है.

शुद्ध समानता सिद्धांत की भाषा में बताए जा सकने वाले कुछ रोचक गुणों में से अनंत होना है। यह सिद्धांत के अनंत समुच्चय द्वारा दिया गया है जिसमें कहा गया है कि कम से कम 2 अवयव हैं, या कम से कम 3 अवयव  हैं, और इसी तरह |


 * ∃x1 ∃x2 ¬x1 = x2, ∃x1 ∃x2 ∃x3 ¬x1 = x2 ∧ ¬x1 = x3 ∧ ¬x2 = x3,...

ये स्वयंसिद्ध अनंत समुच्चय के सिद्धांत को परिभाषित करते हैं।

परिमित होने की विपरीत गुण को किसी भी सिद्धांत के लिए प्रथम-क्रम तर्क में नहीं बताया जा सकता है जिसमें अनेैतिक रूप से विशाल परिमित मॉडल होते हैं: वास्तव में ऐसे किसी भी सिद्धांत में सघनता प्रमेय द्वारा अनंत मॉडल होते हैं। सामान्यतः यदि किसी गुण को प्रथम-क्रम तर्क के वाक्यों की सीमित संख्या द्वारा बताया जा सकता है तब विपरीत गुण को भी प्रथम-क्रम तर्क में बताया जा सकता है, किन्तु यदि किसी गुण को अनंत संख्या में वाक्यों के सिद्धांत की आवश्यकता होती है तब उसके विपरीत गुण को प्रथम-क्रम तर्क में नहीं बताया जा सकता है।

शुद्ध पहचान सिद्धांत का कोई भी कथन गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के कुछ परिमित उपसमुच्चय N के लिए या तब σ(N) या ¬σ(N) के सामान्य है, जहां σ(N) यह कथन है कि अवयवों की संख्या N में है। इस भाषा में सभी संभावित सिद्धांत का वर्णन निम्नानुसार करना भी संभव है। कोई भी सिद्धांत या तब गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के कुछ परिमित उपसमुच्चय N के लिए N में कार्डिनैलिटी के सभी सबसमुच्चयों का सिद्धांत है, या गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के कुछ परिमित या अनंत उपसमुच्चय N के लिए उन सभी समुच्चयों का सिद्धांत है जिनकी कार्डिनैलिटी N में नहीं है। (ऐसे कोई सिद्धांत नहीं हैं जिनके मॉडल सम्पूर्ण रूप में कार्डिनैलिटी N के समुच्चय हैं यदि N पूर्णांकों का अनंत उपसमुच्चय है।) संपूर्ण सिद्धांत कुछ परिमित n के लिए कार्डिनैलिटी n के समुच्चय के सिद्धांत और अनंत समुच्चय के सिद्धांत हैं।

इसका विशेष स्थिति स्वयंसिद्ध ∃x ¬x = x द्वारा परिभाषित असंगत सिद्धांत है। यह अनेक अच्छे गुणों के साथ पूर्ण तरह से अच्छा सिद्धांत है: यह पूर्ण है,और निर्णय लेने योग्य है, अंतिम रूप से स्वयंसिद्ध है, इत्यादि। एकमात्र समस्या यह है कि इसका कोई मॉडल ही नहीं है। गोडेल की पूर्णता प्रमेय के अनुसार, यह (किसी भी भाषा के लिए) एकमात्र सिद्धांत है जिसमें कोई मॉडल नहीं है। यह रिक्त समुच्चय के सिद्धांत के समान नहीं है (प्रथम-क्रम तर्क के संस्करणों में जो मॉडल को रिक्त होने की अनुमति देता है): रिक्त समुच्चय के सिद्धांत में सम्पूर्ण रूप में मॉडल होता है, जिसमें कोई अवयव नहीं होता है।

एकात्मक संबंध
कुछ समुच्चय में I के लिए एकात्मक संबंधों Pi के समुच्चय को स्वतंत्र कहा जाता है यदि I के प्रत्येक दो असंयुक्त परिमित उपसमुच्चय A और B के लिए कुछ अवयव x है जैसे कि Pi(x) A में i के लिए सत्य है और B में i के लिए असत्य है। स्वतंत्रता को प्रथम-क्रम कथनों के समुच्चय द्वारा व्यक्त किया जा सकता है।

'स्वतंत्र एकात्मक संबंधों की गणनीय संख्या का सिद्धांत' पूर्ण है, किन्तु इसका कोई परमाणु मॉडल (गणितीय तर्क) नहीं है। यह ऐसे सिद्धांत का उदाहरण भी है जो अतिस्थिर है किन्तु पूर्ण तरह से पारलौकिक नहीं है।

समतुल्यता संबंध
तुल्यता संबंधों के हस्ताक्षर में द्विआधारी इन्फ़िक्स संबंध प्रतीक ~, कोई स्थिरांक नहीं, और कोई कार्य नहीं है। तुल्यता संबंध स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करते हैं |
 * प्रतिवर्ती संबंध ∀x x~x;
 * सममित संबंध ∀x ∀y x~y → y~x;
 * सकर्मक संबंध: ∀x ∀y ∀z (x~y ∧ y~z) → x~z.

तुल्यता संबंधों के कुछ प्रथम क्रम गुण हैं:
 * ~ समतुल्य वर्ग वर्गों की अनंत संख्या होते है|
 * ~ में सम्पूर्ण रूप में n तुल्यता वर्ग हैं (किसी भी निश्चित धनात्मक पूर्णांक n के लिए होता हैं) |
 * इसमें सभी समतुल्य वर्ग अनंत होते हैं |
 * इसमें सभी समतुल्य वर्गों का आकार सम्पूर्ण रूप में n होता है और यह (किसी भी निश्चित धनात्मक पूर्णांक n के लिए होता हैं)।

सम्पूर्ण रूप में यह 2 अनंत समतुल्य वर्गों के साथ समतुल्य संबंध का सिद्धांत होता हैं | और यह सिद्धांत का सरल उदाहरण है जो ω-श्रेणीबद्ध है किन्तु यह किसी भी विशाल कार्डिनल संख्या के लिए श्रेणीबद्ध नहीं होता है।

तुल्यता संबंध ~ को समानता (दर्शन) प्रतीक '=' के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए | यदि x=y तब x~y हैं, किन्तु इसका विपरीत आवश्यक रूप से सत्य नहीं है। तुल्यता संबंधों के सिद्धांत उतने कठिन या रोचक नहीं होते हैं, किन्तु यह अधिकांशतः विभिन्न कथनों के लिए सरल उदाहरण या प्रति-उदाहरण देते हैं।

निम्नलिखित निर्माणों का उपयोग कभी-कभी कुछ स्पेक्ट्रा वाले सिद्धांत के उदाहरण तैयार करने के लिए किया जाता है; वास्तव में उन्हें स्पष्ट सिद्धांत की छोटी संख्या पर प्रयुक्त करने से सभी संभावित असंख्य स्पेक्ट्रा के साथ पूर्ण गणनीय सिद्धांत के उदाहरण मिलते हैं। यदि T किसी भाषा में सिद्धांत है, तब हम भाषा में नया द्विआधारी संबंध जोड़कर नया सिद्धांत 2T परिभाषित करते हैं, और यह बताते हुए स्वयंसिद्ध कथन जोड़ते हैं कि यह तुल्यता संबंध है, जैसे कि अनंत संख्या में समतुल्य वर्ग हैं जो सभी T के मॉडल हैं। इस निर्माण को अनंत प्रेरण से पुनरावृत्त करना संभव होता है | क्रमिक α दिया गया है, प्रत्येक β<α के लिए तुल्यता संबंध Eβ जोड़कर नया सिद्धांत परिभाषित करें | और इसके साथ ही यह बताते हुए कि जब भी β<γ हैं तब प्रत्येक Eγ समतुल्य वर्ग अनंत रूप से अनेक Eβ समतुल्य वर्गों का संघ है | और प्रत्येक E0 समतुल्य वर्ग T का मॉडल होता है। अनौपचारिक रूप से, कोई इस सिद्धांत के मॉडल को ऊंचाई α के अनंत ब्रंच्रिंग वाले ट्री के रूप में देख सकता है, जिसमें सभी लिव्स से जुड़े T के मॉडल होते हैं।

आदेश
गणित में क्रम संरचनाओं की सूची के हस्ताक्षर में कोई स्थिरांक या कार्य नहीं है, और द्विआधारी संबंध प्रतीक ≤ है। (निःसंदेह, मूल संबंध के रूप में ≥, < या > का उपयोग करना संभव है, स्वयंसिद्धों में स्पष्ट साधारण परिवर्तनों के साथ।) हम x ≥ y, x < y, x > y को y ≤ x, x ≤ y ∧¬y ≤ x, y < x, के संक्षिप्त रूप के रूप में परिभाषित करते हैं।

ऑर्डर के कुछ प्रथम-क्रम गुण: अंतिम बिंदुओं के बिना सघन रैखिक आदेशों का सिद्धांत डीएलओ (यानी कोई सबसे लघु या सबसे दीर्घ अवयव नहीं) हैं | पूर्ण, ω-श्रेणीबद्ध है, किन्तु किसी भी असंख्य कार्डिनल के लिए श्रेणीबद्ध नहीं है। तीन अन्य समान सिद्धांत हैं: सघन रैखिक आदेशों का सिद्धांत होता हैं |
 * 'सकर्मक': ∀x ∀y ∀z x ≤ y∧y ≤ z → x ≤ z
 * 'रिफ्लेक्टिव': ∀x x ≤ x
 * 'एंटीसिमेट्रिक संबंध': ∀x ∀y x ≤ y ∧ y ≤ x → x = y
 * 'आंशिक क्रम': सकर्मक ∧ प्रतिवर्ती ∧ एंटीसिमेट्रिक |
 * 'रैखिक क्रम' (या 'कुल'): आंशिक ∧ ∀x ∀y x ≤ y ∨ y ≤ x
 * 'सघन क्रम': ∀x ∀z x < z → ∃y x < y ∧ y < z (किन्हीं दो अलग-अलग अवयवों के मध्य और अवयव  होता है)
 * एक सबसे लघु अवयव है: ∃x ∀y x ≤ y
 * एक सबसे दीर्घ अवयव है: ∃x ∀y y ≤ x
 * प्रत्येक अवयव का तत्काल उत्तराधिकारी होता है: ∀x ∃y ∀z x < z ↔ y ≤ z
 * सबसे लघु किन्तु कोई सबसे दीर्घ अवयव नहीं हैं
 * सबसे दीर्घ किन्तु कोई सबसे लघु अवयव नहीं हैं
 * सबसे दीर्घ और सबसे लघु अवयव हैं

'सुव्यवस्थित समुच्चय' होना (किसी भी गैर-रिक्त उपसमुच्चय में न्यूनतम अवयव होता है) यह प्रथम-क्रम की गुण नहीं होती है | इसमें सामान्य परिभाषा में सभी उपसमूहों की मात्रा निर्धारित करना सम्मिलित है।

जालक
लैटिस (ऑर्डर) को या तब विशेष प्रकार के आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए समुच्चय के रूप में माना जा सकता है, जिसमें बाइनरी संबंध प्रतीक ≤ से युक्त हस्ताक्षर होता है, या दो बाइनरी ऑपरेशन ∧ और ∨ से युक्त हस्ताक्षर के साथबीजगणितीय संरचनाओं के रूप में माना जा सकता है। दोनों दृष्टिकोणों को a ≤ b को a∧b = a के अर्थ में परिभाषित करके संबंधित किया जा सकता है।

दो द्विआधारी संक्रियाओं के लिए लैटिस के लिए अभिगृहीत हैं | एक संबंध के लिए ≤ अभिगृहीत हैं |
 * ऊपर बताए अनुसार ≤ बताने वाले अभिगृहीत आंशिक क्रम है।
 * $$\forall a \forall b \exist c\; c \le a \wedge c \le b \wedge \forall d\;d \le a \wedge d \le b \rightarrow d \le c$$ (c = a∧b का अस्तित्व)
 * $$\forall a \forall b \exist c\; a \le c \wedge b \le c \wedge \forall d\;a \le d \wedge b \le d \rightarrow c \le d$$ (c = a∨b का अस्तित्व)

प्रथम क्रम की गुणों में सम्मिलित हैं |
 * $$\forall x \forall y\forall z\;x \vee (y \wedge z) = (x \vee y) \wedge (x \vee z)$$ (वितरणात्मक लैटिस)
 * $$\forall x \forall y\forall z\;x \vee (y \wedge (x \vee z)) = (x \vee y) \wedge (x \vee z)$$ (मॉड्यूलर लैटिस)

हेटिंग बीजगणित को कुछ अतिरिक्त प्रथम-क्रम गुणों के साथ लैटिस के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

पूर्ण लैटिस लैटिस का प्रथम क्रम का गुण नहीं है।

ग्राफ़
ग्राफ़ (असतत गणित) के हस्ताक्षर में कोई स्थिरांक या फलन नहीं है, और द्विआधारी संबंध प्रतीक R है, जिसका R(x,y) को "x से y"अंत तक होता है" इस प्रकार से यह रूप में पढ़ा जाता है।

यह 'ग्राफ़ के सिद्धांत' के लिए अभिगृहीत हैं
 * 'सममित': ∀x ∀y R(x,y)→ R(y,x)
 * एंटी-रिफ्लेक्टिव: ∀x ¬R(x,x) ("कोई लूप नहीं")

यादृच्छिक ग्राफ के सिद्धांत में प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक n के लिए निम्नलिखित के अतिरिक्त सिद्धांत होते हैं |
 * आकार n के किन्हीं दो असंयुक्त परिमित समुच्चयों के लिए, पहले समुच्चय के सभी बिंदुओं से बिंदु जुड़ा होता है और दूसरे समुच्चय के किसी भी बिंदु से नहीं जुड़ा होता है। (प्रत्येक निश्चित n के लिए इस कथन को ग्राफ़ की भाषा में लिखना सरल होता है।)

यादृच्छिक ग्राफ़ का सिद्धांत ω श्रेणीबद्ध, पूर्ण और निर्णय लेने योग्य है, और इसके गणनीय मॉडल को राडो ग्राफ कहा जाता है। ग्राफ़ की भाषा में कथन इस सिद्धांत में सत्य है यदि केवल यही संभावना है कि n -वर्टेक्स यादृच्छिक ग्राफ़ मॉडल कथन को सीमा में 1 तक ले जाता है क्योंकि n अनंत तक जाता है।

बूलियन बीजगणित
बूलियन बीजगणित के लिए अनेक अलग-अलग हस्ताक्षर और परंपराएं उपयोग की जाती हैं |
 * 1) हस्ताक्षर में दो स्थिरांक हैं, 0 और 1, और दो बाइनरी फलन ∧ और ∨ ("और" और "या"), और यूनरी फलन ¬ ("नहीं") हैं। यह भ्रमित करने वाला हो सकता है क्योंकि फलन प्रथम-क्रम तर्क के प्रस्तावात्मक फलन के समान प्रतीकों का उपयोग करते हैं।
 * 2) समुच्चय सिद्धांत में, सामान्य परंपरा यह है कि भाषा में दो स्थिरांक होते हैं, 0 और 1, और दो बाइनरी फलन हैं | और +, और यूनरी फलन -। तीनों कार्यों की व्याख्या पहले सम्मेलन के कार्यों के समान ही है। दुर्भाग्य से, यह सम्मेलन आगामी सम्मेलन से असफ़लतापूर्वक तरह से संघर्ष करता है |
 * 3) बीजगणित में, सामान्य परंपरा यह है कि भाषा में दो स्थिरांक होते हैं, 0 और 1, और दो बाइनरी फलन · और +। फलन · का अर्थ ∧ के समान है, किन्तु a+b का अर्थ है a∨b∧¬(a∧b) हैं । इसका कारण यह है कि बूलियन बीजगणित के लिए अभिगृहीत केवल 1 प्लस ∀x x2 = x वाली रिंग के लिए अभिगृहीत हैं | दुर्भाग्य से यह ऊपर दिए गए समुच्चय सिद्धांत में मानक सम्मेलन से संघर्ष करता है।

यह अभिगृहीत हैं |
 * वितरणात्मक लैटिस के लिए अभिगृहीत (ऊपर देखें)
 * ∀a a∧¬a = 0, ∀a a∨¬a = 1 (निषेध के गुण)
 * कुछ लेखक अवयव के साथ सामान्य बीजगणित को बाहर करने के लिए अतिरिक्त स्वयंसिद्ध ¬0 = 1 जोड़ते हैं।

टार्स्की ने प्रमाणित किया कि बूलियन बीजगणित का सिद्धांत निर्णायक है।

हम x ≤ y को x∧y = x के लिए संक्षिप्त नाम के रूप में लिखते हैं, और परमाणु (x) को ¬x = 0 ∧ ∀y y ≤ x → y = 0 ∨ y = x के लिए संक्षिप्त नाम के रूप में लिखते हैं, x के रूप में पढ़ें परमाणु है, दूसरे शब्दों में इसके मध्य कुछ भी नहीं है और 0. यहाँ कुछ पहले-क्रम गुण हैं: 'परमाणु रहित बूलियन बीजगणित' का सिद्धांत ω-श्रेणीबद्ध और पूर्ण है।
 * 'परमाणु': ∀x x = 0 ∨ ∃y y ≤ x ∧ परमाणु(y)
 * 'परमाणु रहित': ∀x ¬ परमाणु (x)

किसी भी बूलियन बीजगणित बी के लिए, निम्नानुसार अनेक अपरिवर्तनीय परिभाषित हैं।
 * आदर्श I(B) में ऐसे अवयव सम्मिलित हैं जो परमाणु और परमाणु रहित अवयव  (एक ऐसा अवयव  जिसके नीचे कोई परमाणु नहीं है) का योग है।
 * B के भागफल बीजगणित Bi को B0=B, Bk+1 = Bk/I(Bk) द्वारा आगमनात्मक रूप से परिभाषित किया गया है।
 * अपरिवर्तनीय m(B) सबसे लघु पूर्णांक है जैसे कि Bm+1 सामान्य है, या ∞ यदि ऐसा कोई पूर्णांक उपस्तिथ नहीं है।
 * यदि m(B) परिमित है, तब अपरिवर्तनीय n(B) Bm(B) के परमाणुओं की संख्या है, यदि यह संख्या सीमित है, या ∞ यदि यह संख्या अनंत है।
 * यदि Bm(B) परमाणु है या यदि m(B) ∞ है, तब अपरिवर्तनीय l(B) 0 है, और अन्यथा 1 है।

फिर दो बूलियन बीजगणित प्राथमिक तुल्यता हैं यदि और केवल यदि उनके अपरिवर्तनीय l, m, और n समान हैं। दूसरे शब्दों में, इन अपरिवर्तनीयों के मान बूलियन बीजगणित के सिद्धांत की संभावित पूर्णता को वर्गीकृत करते हैं। तब संभावित पूर्ण सिद्धांत हैं |
 * सामान्य बीजगणित (यदि इसकी अनुमति है; कभी-कभी 0≠1 को स्वयंसिद्ध के रूप में सम्मिलित किया जाता है।)
 * m = ∞ के साथ सिद्धांत
 * m प्राकृतिक संख्या, n प्राकृतिक संख्या या ∞, और l = 0 या 1 वाले सिद्धांत (यदि n = 0 है तब l = 0 के साथ)।

समूह
समूह सिद्धांत के हस्ताक्षर में स्थिरांक 1 (समानता), एरीटी 1 का कार्य (विपरीत) होता है जिसका t पर मान t−1 द्वारा दर्शाया जाता है, और एरीटी 2 का कार्य होता है, जिसे सामान्यतः शब्दों से हटा दिया जाता है। किसी भी पूर्णांक n के लिए, tn, t की nवीं घात के लिए स्पष्ट शब्द का संक्षिप्त रूप है।

'समूह (गणित)' को स्वयंसिद्धों द्वारा परिभाषित किया गया है |
 * समानता: ∀x 1x = x ∧ x1 = x
 * विपरीत: ∀x x−1x = 1 ∧ xx−1=1
 * सहयोगिता: ∀x∀y∀z (xy)z = x(yz)

समूहों के कुछ गुण जिन्हें समूहों की प्रथम-क्रम भाषा में परिभाषित किया जा सकता है |
 * 'एबेलियन समूह': ∀x ∀y xy = yx.
 * 'टोरसन-मुक्त समूह': ∀x x2 = 1→x = 1, ∀x x3 = 1 → x = 1, ∀x x4 = 1 → x = 1, ...
 * 'विभाज्य समूह': ∀x ∃y y2 = x, ∀x ∃y y3 = x, ∀x ∃y y4=x,...
 * 'अनंत' (समानता सिद्धांत के अनुसार)
 * 'टोरसन समूह' n (किसी निश्चित धनात्मक पूर्णांक n के लिए): ∀x xn = 1
 * वर्ग n का निलपोटेंट समूह (किसी निश्चित धनात्मक पूर्णांक n के लिए)
 * वर्ग n का हल करने योग्य समूह (किसी निश्चित धनात्मक पूर्णांक n के लिए)

'एबेलियन समूहों' का सिद्धांत निर्णायक है। अनंत विभाज्य टोरसन-मुक्त एबेलियन समूहों का सिद्धांत पूर्ण है, जैसा कि घातांक p (p अभाज्य संख्या के लिए) के अनंत एबेलियन समूहों का सिद्धांत है।

परिमित समूहों का सिद्धांत समूहों की भाषा में प्रथम-क्रम कथनों का समूह है जो सभी परिमित समूहों में सत्य हैं (इस सिद्धांत के बहुत सारे अनंत मॉडल हैं)। ऐसे किसी भी कथन को ढूंढना पूर्ण तरह से साधारण बात नहीं है जो सभी समूहों के लिए सत्य नहीं है: उदाहरण है "क्रम 2 के दो अवयव दिए गए हैं, या तब वह संयुग्मित हैं या उन दोनों के साथ आने वाला गैर-साधारणअवयव  है"। क्रम 2 के दो अवयव दिए गए हैं, या तब वह संयुग्मी हैं या उन दोनों के साथ कोई गैर-सामान्य अवयव  आ रहा है।

परिमित, या मुक्त समूह, या सरल समूह, या टोरसन होने के गुण प्रथम-क्रम के नहीं हैं। अधिक स्पष्ट रूप से, इन गुणों में से किसी गुण वाले सभी समूहों के प्रथम-क्रम सिद्धांत में ऐसे मॉडल होते हैं जिनमें यह गुण नहीं होता है।

वलय और क्षेत्र
(यूनिटल) वलय (गणित) के हस्ताक्षर में दो स्थिरांक 0 और 1, दो बाइनरी फलन + और ×, और, वैकल्पिक रूप से, यूनरी नेगेशन फलन - होता है।

वलय

अभिगृहीत: जोड़ वलय को एबेलियन समूह में बनाता है, यह गुणन साहचर है और इसकी समानता 1 होती है, और इसकी गुणन बाएँ और दाएँ वितरणात्मक होती है।

क्रमविनिमेय वलय

वलय के लिए अभिगृहीत प्लस ∀x ∀y xy = yx होते हैं।

क्षेत्र

क्रमविनिमेय वलय प्लस ∀x (¬ x = 0 → ∃y xy = 1) और ¬ 1 = 0 के लिए अभिगृहीत होता हैं। यहां दिए गए अनेक उदाहरणों में केवल सार्वभौमिक, या बीजगणितीय अभिगृहीत हैं। इस प्रकार के सिद्धांत को संतुष्ट करने वाली संरचनाओं के वर्ग (समुच्चय सिद्धांत) में उप-संरचना के अंतर्गत संवृत होने के गुण होते है। उदाहरण के लिए, गुणन और व्युत्क्रम की समूह क्रियाओं के अंतर्गत संवृत  समूह के उपसमुच्चय में फिर से समूह है। चूँकि क्षेत्र के हस्ताक्षर में सामान्यतः गुणक और योगात्मक व्युत्क्रम सम्मिलित नहीं होते हैं | यह व्युत्क्रम के लिए अभिगृहीत सार्वभौमिक नहीं होते हैं, और इसलिए जोड़ और गुणन के अंतर्गत संवृत क्षेत्र का उपसंरचना सदैव क्षेत्र नहीं होता है। इस प्रकार भाषा में एकात्मक व्युत्क्रम फलन जोड़कर इसका समाधान किया जा सकता है।

किसी भी धनात्मक पूर्णांक n के लिए यह गुण कि डिग्री n के सभी समीकरणों का मूल होता है | यह प्रथम-क्रम वाक्य द्वारा व्यक्त किया जा सकता है |
 * ∀ a1 ∀ a2... ∀ an ∃x (...((x+a1)x +a2)x+...)x+an = 0

उत्तम क्षेत्र

उत्तम क्षेत्र के लिए स्वयंसिद्ध, साथ ही प्रत्येक अभाज्य संख्या p के लिए स्वयंसिद्ध यह बताते हुए कि यदि p 1 = 0 (अर्थात क्षेत्र में विशेषता p है), तब प्रत्येक क्षेत्र अवयव का p वां मूल होता है।

विशेषता p के बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र होते हैं |

क्षेत्र के लिए स्वयंसिद्ध, साथ ही प्रत्येक धनात्मक n के लिए यह स्वयंसिद्ध कि डिग्री n के सभी बहुपदों का मूल होता है | इसके साथ ही विशेषता को सही करने वाले स्वयंसिद्ध होते हैं। संपूर्ण सिद्धांत के मौलिक उदाहरण. सभी असंख्य कार्डिनल्स में श्रेणी सिद्धांत होते हैं। यह सिद्धांत ACFp में सार्वभौमिक डोमेन गुण होते है | इस अर्थ में कि ACFp के सार्वभौमिक सिद्धांत को संतुष्ट करने वाली प्रत्येक संरचना N, पर्याप्त रूप से विशाल बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र $$ M \models ACF_0 $$ की उपसंरचना है। और इसके अतिरिक्त कोई भी दो ऐसे एम्बेडिंग N → M M के स्वचालितता को प्रेरित करते हैं।

'परिमित क्षेत्र'

परिमित क्षेत्रों का सिद्धांत सभी प्रथम-क्रम कथनों का समूह होता है जो सभी परिमित क्षेत्रों में सत्य हैं। उदाहरण के लिए, ऐसे कथनों के महत्वपूर्ण उदाहरण प्रमुख क्षेत्रों पर शेवेल्ली-संकेत प्रमेय को प्रयुक्त करके दिए जा सकते हैं। इसका नाम अल्प भ्रान्तिजनक है चूंकि सिद्धांत में बहुत सारे अनंत मॉडल होते हैं। X ने प्रमाणित कर दिया कि वह सिद्धांत निर्णायक होता है।

'औपचारिक रूप से वास्तविक क्षेत्र'

इस क्षेत्र के लिए स्वयंसिद्ध प्लस, प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक n के लिए, स्वयंसिद्ध हैं | अर्थात्, 0 वर्गों का गैर-सामान्य योग नहीं होता है।
 * ∀ a1 ∀ a2... ∀ an a1a1+a2a2+ ...+anan=0 → a1=0∧a2=0∧ ... ∧an=0.

वास्तविक क्लोज़ क्षेत्र हैं

औपचारिक रूप से वास्तविक क्षेत्रों के लिए स्वयंसिद्ध कथन और स्वयंसिद्ध कथन होते हैं |
 * ∀x ∃y (x=yy ∨ x+yy= 0)
 * प्रत्येक विषम धनात्मक पूर्णांक n के लिए, यह अभिगृहीत बताता है कि घात n के प्रत्येक बहुपद का मूल होता है।

वास्तविक संवृत क्षेत्रों का सिद्धांत प्रभावी और पूर्ण है और इसलिए यह निर्णय लेने योग्य (टार्स्की-सीडेनबर्ग प्रमेय) हैं। इसके अतिरिक्त इसके फलन प्रतीकों (उदाहरण के लिए, घातीय फलन, साइन फलन) को जोड़ना वास्तविक संख्याओं के प्रथम-क्रम सिद्धांत की निर्णायकता में परिवर्तित हो सकती हैं।

p-एडिक क्षेत्र

दिखाया कि पी-एडिक क्षेत्र का सिद्धांत निर्णायक है और इसके लिए सिद्धांत का समुच्चय दिया हैं।

ज्यामिति
ज्यामिति की विभिन्न प्रणालियों के लिए अभिगृहीत सामान्यतः टाइप की गई भाषा का उपयोग करते हैं, जिसमें विभिन्न ज्यामितीय वस्तुओं जैसे बिंदु, रेखाएं, वृत्त, समतल इत्यादि के अनुरूप विभिन्न प्रकार के होते हैं। हस्ताक्षर में अधिकांशतः विभिन्न प्रकार की वस्तुओं के मध्य द्विआधारी घटना संबंध सम्मिलित होंते हैं | उदाहरण के लिए, यह संबंध कि बिंदु रेखा पर स्थित है। यह हस्ताक्षर में अधिक समष्टि संबंध हो सकते हैं | उदाहरण के लिए आदेशित ज्यामिति में 3 बिंदुओं के लिए त्रिगुट "मध्यता" संबंध हो सकता है, जो यह बताता है कि क्या दो अन्य के मध्य स्थित होते है या 2 जोड़े बिंदुओं के मध्य "सर्वांगसमता" संबंध होता है।

ज्यामिति की स्वयंसिद्ध प्रणालियों के कुछ उदाहरणों में क्रमबद्ध ज्यामिति, निरपेक्ष ज्यामिति, एफ़िन ज्यामिति, यूक्लिडियन ज्यामिति, प्रक्षेप्य ज्यामिति और हाइपरबोलिक ज्यामिति सम्मिलित हैं। इनमें से प्रत्येक ज्यामिति के लिए विभिन्न आयामों के लिए स्वयंसिद्धों की अनेक अलग-अलग और असमान प्रणालियाँ होती हैं। इनमें से कुछ स्वयंसिद्ध प्रणालियों में पूर्णता स्वयंसिद्ध सम्मिलित हैं जो प्रथम क्रम के नहीं हैं।

विशिष्ट उदाहरण के रूप में, प्रक्षेप्य ज्यामिति के लिए स्वयंसिद्ध 2 प्रकार, बिंदुओं और रेखाओं के मध्य द्विआधारी घटना संबंध का उपयोग करते हैं। यदि बिंदु और रेखा वेरिएबल को लघु और विशाल अक्षर से दर्शाया जाता है |

और A की घटना को aA के रूप में लिखा जाता है, तब यह स्वयंसिद्धों का समुच्चय होता है |
 * $$\forall a\forall b\;\lnot a=b\rightarrow \exists C\; aC\land bC $$ (किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं a,b से होकर रेखा गुजरती है...)
 * $$\forall a\forall b\forall C\forall D\; \lnot a=b\land aC\land bC \land aD\land bD\rightarrow C=D$$ (...जो अद्वितीय है)
 * $$\forall a\forall b\forall c\forall d\forall e\forall G\forall H \;aH\land bH\land eH\land cG\land dG\land eG\rightarrow\exists f\exists I\exists J\; aI\land cI\land fI\land bJ\land dJ\land fJ$$ (वेब्लेन का अभिगृहीत: यदि ab और cd प्रतिच्छेदी रेखाओं पर हैं, तब एसी और bd भी हैं।)
 * $$\forall A\exists b\exists c\exists d\; bA\land cA\land dA\land \lnot b=c\land \lnot b=d\land \lnot c=d $$ (प्रत्येक पंक्ति में कम से कम 3 बिंदु होते हैं)

यूक्लिड ने यूक्लिडियन ज्यामिति के लिए सभी स्वयंसिद्धों को स्पष्ट रूप से नहीं बताया हैं, और पहली पूर्ण सूची हिल्बर्ट द्वारा हिल्बर्ट के स्वयंसिद्धों के द्वारा दी गई थी। यह प्रथम क्रम का स्वयंसिद्धीकरण नहीं है क्योंकि हिल्बर्ट के स्वयंसिद्धों में से दूसरे क्रम की पूर्णता का स्वयंसिद्ध होता है। टार्स्की के अभिगृहीत यूक्लिडियन ज्यामिति का प्रथम क्रम का स्वयंसिद्धीकरण हैं। टार्स्की ने इसे वास्तविक संवृत क्षेत्रों के पूर्ण और निर्णायक सिद्धांत से जोड़कर दिखाया कि यह स्वयंसिद्ध प्रणाली पूर्ण और निर्णायक होती है।

विभेदक बीजगणित
हस्ताक्षर यूनिरी फ़ंक्शन ∂, व्युत्पत्ति के साथ क्षेत्र (0, 1, +, -, ×) का है। अभिगृहीत वह हैं जो इसके लिए साथ हैं |
 * विभेदक क्षेत्रों का सिद्धांत डीएफ हैं।
 * $$\forall u\forall v\,\partial(uv) = u \,\partial v + v\, \partial u$$
 * $$\forall u\forall v\,\partial (u + v) = \partial u + \partial v\ .$$

इस सिद्धांत के लिए कोई यह स्थिति जोड़ सकता है कि विशेषता p, अभाज्य या शून्य होता है | इस प्रकार विशेषता p के विभेदक क्षेत्रों के सिद्धांत DFp को प्राप्त करने के लिए (और इसी तरह यह नीचे दिए गए अन्य सिद्धांत के साथ) होता हैं।

यदि K विभेदक क्षेत्र है तब स्थिरांक का क्षेत्र $$ k = \{u \in K : \partial(u) = 0\}.$$ होता हैं | विभेदक रूप से परिपूर्ण क्षेत्रों का सिद्धांत इस स्थिति के साथ विभेदक क्षेत्रों का सिद्धांत है कि स्थिरांक का क्षेत्र एकदम सही है और दूसरे शब्दों में, यह प्रत्येक अभाज्य p के लिए इसका स्वयंसिद्ध कथन है |
 * $$\forall u \,\partial(u)=0 \land p 1 = 0\rightarrow \exists v\, v^p=u$$

(यह इच्छा प्रकट करने का कोई अर्थ नहीं है कि पूर्ण क्षेत्र आदर्श क्षेत्र होना चाहिए, क्योंकि गैर-शून्य विशेषता में इसका अर्थ है कि यह अंतर 0 है।) परिमाणक उन्मूलन से संबंधित तकनीकी कारणों से, कभी-कभी सिद्धांत के साथ हस्ताक्षर में नया प्रतीक r जोड़कर निरंतर क्षेत्र को सही होने के लिए विवश करना अधिक सुविधाजनक होता है।
 * $$\forall u \,\partial(u)=0 \land p 1 = 0 \rightarrow r(u)^p=u$$
 * $$\forall u \,\lnot \partial(u)=0\rightarrow r(u)=0.$$


 * विभेदक रूप से संवृत क्षेत्रों का सिद्धांत (DCF) सिद्धांत के साथ विभेदित रूप से पूर्ण क्षेत्रों का सिद्धांत है जो कहता है कि यदि f और g विभेदक बहुपद हैं और f का विभाजक गैर-शून्य होता है और g≠0 है और f का क्रम g से अधिक है, तब क्षेत्र में f(x) =0 और g(x)≠0 के साथ कुछ x है।

जोड़
उत्तराधिकारी फलन के साथ प्राकृतिक संख्याओं के सिद्धांत में स्थिरांक 0 और एकल फलन S ("उत्तराधिकारी": S(x) की व्याख्या x+1 के रूप में की जाती है) इससे युक्त हस्ताक्षर होते हैं, और इसमें स्वयंसिद्ध बातें होती हैं |
 * 1) ∀x ¬ Sx = 0
 * 2) ∀x∀y Sx = Sy → x = y
 * 3) मान लीजिए P(x) सुगठित सूत्र है| एकल मुक्त वेरिएबल x के साथ प्रथम-क्रम सूत्र होता हैं। फिर निम्नलिखित सूत्र स्वयंसिद्ध होते है |
 * (P(0) ∧ ∀x(P(x)→P(Sx))) → ∀y P(y).

अंतिम स्वयंसिद्ध (प्रेरण) को स्वयंसिद्धों द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है
 * प्रत्येक पूर्णांक n>0 के लिए, अभिगृहीत ∀x SSS...Sx ≠ x (S की n प्रतियों के साथ) हैं |
 * ∀x ¬ x = 0 → ∃y Sy = x

उत्तराधिकारी फलन के साथ प्राकृतिक संख्याओं का सिद्धांत पूर्ण और निर्णायक होते है, और असंख्य κ के लिए κ-श्रेणीबद्ध है, किन्तु यह गणनीय κ के लिए नहीं होती हैं।

प्रेस्बर्गर अंकगणित जोड़ के अंतर्गत प्राकृतिक संख्याओं का सिद्धांत है, जिसमें हस्ताक्षर में स्थिरांक 0, यूनरी फलन S और बाइनरी फलन + सम्मिलित होता है। यह पूर्ण एवं निर्णय योग्य होता है। जो स्वयंसिद्ध होता हैं
 * 1) ∀x ¬ Sx = 0
 * 2) ∀x∀y Sx = Sy → x = y
 * 3) ∀x x + 0 = x
 * 4) ∀x∀y x + Sy = S(x + y)
 * 5) मान लीजिए P(x) एकल मुक्त वेरिएबल x के साथ प्रथम-क्रम सूत्र है। फिर निम्नलिखित सूत्र स्वयंसिद्ध होता है |
 * (P(0) ∧ ∀x(P(x)→P(Sx))) → ∀y P(y).

अंकगणित
ऊपर वर्णित प्रथम क्रम के अनेक सिद्धांत को पुनरावर्ती रूप से गणना योग्य सुसंगत सिद्धांत को पूर्ण करने के लिए बढ़ाया जा सकता है। यह अब निम्नलिखित अधिकांश सिद्धांत के लिए सत्य नहीं है | वह सामान्यतः प्राकृतिक संख्याओं के गुणन और जोड़ दोनों को एनकोड कर सकते हैं, और इससे उन्हें स्वयं को एनकोड करने के लिए पर्याप्त शक्ति मिलती है, जिसका अर्थ है कि गोडेल की अपूर्णता प्रमेय प्रयुक्त होती है और सिद्धांत अब पूर्ण और पुनरावर्ती रूप से गणना योग्य नहीं हो सकते हैं (जब तक कि वह असंगत न हों)।

अंकगणित के सिद्धांत के हस्ताक्षर होते हैं | कुछ लेखक फलन S के अतिरिक्त स्थिरांक 1 को सम्मिलित करने के लिए हस्ताक्षर लेते हैं, फिर S को स्पष्ट विधि से St = 1 + t.के रूप में परिभाषित करते हैं।
 * स्थिरांक 0 हैं |
 * एकात्मक कार्य, उत्तराधिकारी फलन, यहां उपसर्ग S द्वारा, या अन्यत्र उपसर्ग σ या पोस्टफिक्स ′ द्वारा दर्शाया गया है |
 * इनफ़िक्स + और × द्वारा निरूपित दो द्विआधारी फलन हैं, जिन्हें "जोड़" और "गुणा" कहा जाता है।

'रॉबिन्सन अंकगणित' (जिसे 'Q ' भी कहा जाता है)। अभिगृहीत (1) और (2) विशिष्ट अवयव 0 को नियंत्रित करते हैं। (3) आश्वासन देता है कि S इंजेक्शन का कार्य है। अभिगृहीत (4) और (5) जोड़ की मानक पुनरावर्ती परिभाषा हैं | जिसके गुणन के लिए (6) और (7) भी ऐसा ही करते हैं। रॉबिन्सन अंकगणित को प्रेरण के बिना पीनो अंकगणित के रूप में सोचा जा सकता है। और 'Q ' कमजोर सिद्धांत है जिसके लिए गोडेल की अपूर्णता प्रमेय मान्य है। और अभिगृहीत हैं |
 * 1) ∀x ¬ Sx = 0
 * 2) ∀x ¬ x = 0 → ∃y Sy = x
 * 3) ∀x∀y Sx = Sy → x = y
 * 4) ∀x x + 0 = x
 * 5) ∀x∀y x + Sy = S(x + y)
 * 6) ∀x x × 0 = 0
 * 7) ∀x∀y x × Sy = (x × y) + x.

IΣn पहले क्रम का पीनो अंकगणित है जिसमें प्रेरण Σn सूत्रों तक सीमित है यह (n = 0, 1, 2, ... के लिए) हैं। सिद्धांत IΣ0 को अधिकांशतः IΔ0 द्वारा दर्शाया जाता है। यह पीनो अंकगणित के अधिक से अधिक शक्तिशाली अंशों की श्रृंखला है। जिसमे केस n = 1 में 'प्राचीन पुनरावर्ती अंकगणित' (पीआरए) के समान ही शक्तिशाली होती है। इसमें ' घातांकीय फलन अंकगणित ' (ईएफए) IΣ0 है जिसमें स्वयंसिद्ध कथन है कि xy सभी x और y (सामान्य गुणों के साथ) के लिए उपस्तिथ होता है।

'प्रथम क्रम पीनो अंकगणित', 'पीए' अंकगणित का मानक सिद्धांत होता हैं | जो स्वयंसिद्ध उपरोक्त रॉबिन्सन अंकगणित से स्वयंसिद्ध होता हैं | और यह प्रेरण की स्वयंसिद्ध योजना के साथ होता हैं | कर्ट गोडेल के 1931 के पेपर में प्रमाणित कर दिया कि पीए अपूर्ण है, और इसमें निरन्तर पुनरावर्ती गणना योग्य पूर्णताएं नहीं होती हैं।पूर्ण अंकगणित (जिसे वास्तविक अंकगणित के रूप में भी जाना जाता है) | यह अंकगणित के मानक मॉडल, प्राकृतिक संख्या N का सिद्धांत है। यह पूर्ण है किन्तु इसमें स्वयंसिद्धों का पुनरावर्ती रूप से गणना योग्य समुच्चय नहीं है।
 * $$\phi(0) \wedge (\forall x \phi(x) \rightarrow \phi(Sx)) \rightarrow (\forall x \phi(x))$$ पीए की भाषा में किसी भी सूत्र φ के लिए हैं। इसमें φ में x के अतिरिक्त अन्य मुक्त वेरिएबल हो सकते हैं।

वास्तविक संख्याओं के लिए, स्थिति थोड़ी अलग है | वह स्थिति जिसमें केवल जोड़ और गुणा सम्मिलित होता है | वह पूर्णांकों को एन्कोड नहीं कर सकता है, और इसलिए गोडेल की अपूर्णता प्रमेय टार्स्की-सीडेनबर्ग प्रमेय है। यह वास्तविक संख्याओं के प्रथम-क्रम सिद्धांत की निर्णायकता आगे फलन प्रतीकों (जैसे, घातांक) को जोड़ने पर उत्पन्न होती है।

द्वितीय क्रम अंकगणित
दूसरे क्रम का अंकगणित दो प्रकार के वेरिएबल के साथ पहले क्रम के सिद्धांत (नाम के अतिरिक्त) को संदर्भित कर सकता है | जिसे पूर्णांकों और पूर्णांकों के उपसमुच्चय में भिन्न माना जाता है। और (दूसरे क्रम के तर्क में यह अंकगणित का सिद्धांत भी होता है जिसे दूसरे क्रम में अंकगणित कहा जाता है। इसमें पहले क्रम के तर्क से संबंधित सिद्धांत के विपरीत केवल मॉडल है, जो अपूर्ण होता है।) और इसमें हस्ताक्षर सामान्यतः अंकगणित के हस्ताक्षर 0, S, +, × होंते हैं | इसके साथ में पूर्णांक और उपसमुच्चय के मध्य सदस्यता संबंध ∈ होगा (चूंकि अनेक लघु परिवर्तन हैं)। स्वयंसिद्ध सिद्धांत रॉबिन्सन अंकगणित के होते हैं | इसके साथ में ही इसमें गणितीय प्रेरण और समझ की स्वयंसिद्ध योजनाएं भी होती हैं।

दूसरे क्रम के अंकगणित के अनेक अलग-अलग उप-सिद्धांत होते हैं जो इस बात में भिन्न हैं कि प्रेरण और समझ योजनाओं में किन सूत्रों की अनुमति होती है। इसमें बढ़ती शक्ति के क्रम में, पांच सबसे सामान्य प्रणालियाँ होती हैं | इन्हें दूसरे क्रम के अंकगणित और विपरीत गणित पर लेखों में विस्तार से परिभाषित किया गया है।
 * $$\mathsf{RCA}_0$$, पुनरावर्ती समझ
 * $$\mathsf{WKL}_0$$, कमजोर कोनिग की लेम्मा
 * $$\mathsf{ACA}_0$$, अंकगणितीय समझ
 * $$\mathsf{ATR}_0$$, अंकगणितीय ट्रांसफ़िनिट रिकर्सन
 * $$\Pi^1_1\mbox{-}\mathsf{CA}_0$$, $$\Pi^1_1$$ समझ

सिद्धांत समुच्चय करें
समुच्चय सिद्धांत के सामान्य हस्ताक्षर में द्विआधारी संबंध ∈ होता है | इसमें कोई स्थिरांक नहीं होता है | और कोई कार्य भी नहीं होता है। नीचे दिए गए कुछ सिद्धांत "वर्ग सिद्धांत" होते हैं | जिनमें दो प्रकार की वस्तुएँ, समुच्चय और वर्ग होते हैं। और प्रथम-क्रम तर्क में इसे संभालने की तीन सामान्य विधि होती हैं |
 * 1) दो प्रकार के साथ प्रथम-क्रम तर्क का उपयोग करें।
 * 2) सामान्य प्रथम-क्रम तर्क का उपयोग करें, किन्तु नया यूनरी विधेय समुच्चय जोड़ें, जहां समुच्चय (t ) का अर्थ अनौपचारिक रूप से t समुच्चय होता है।
 * 3) सामान्य प्रथम-क्रम तर्क का उपयोग करें, और भाषा में नया विधेय जोड़ने के अतिरिक्त, समुच्चय (t) को "∃y t∈y" के संक्षिप्त नाम के रूप में मानें जाते हैं |

इसमें कुछ प्रथम क्रम समुच्चय सिद्धांत में सम्मिलित हैं |
 * कमजोर सिद्धांत में शक्तियों का अभाव
 * एस' (टार्स्की, मोस्टोव्स्की, और रॉबिन्सन, 1953); (अंततः स्वयंसिद्ध)
 * क्रिपके-प्लेटक समुच्चय सिद्धांत; केपी;
 * पॉकेट समुच्चय सिद्धांत
 * सामान्य समुच्चय सिद्धांत, जीएसटी
 * रचनात्मक समुच्चय सिद्धांत, सीजेडएफ
 * मैक लेन समुच्चय सिद्धांत और प्राथमिक टोपोस सिद्धांत
 * ज़र्मेलो समुच्चय सिद्धांत; जेड
 * जर्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत; जेडएफ, जेडएफसी;
 * वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल समुच्चय सिद्धांत; एनबीजी; (अंततः स्वयंसिद्ध)
 * एकरमैन समुच्चय सिद्धांत;
 * स्कॉट-पॉटर समुच्चय सिद्धांत
 * नई नींव; एनएफ (अंततः स्वयंसिद्ध)
 * धनात्मक समुच्चय सिद्धांत
 * मोर्स-केली समुच्चय सिद्धांत; एमके;
 * टार्स्की-ग्रोथेंडिक समुच्चय सिद्धांत; टीजी;

कुछ अतिरिक्त प्रथम क्रम के सिद्धांत जिन्हें इनमें से किसी (सामान्यतः ZF) में जोड़ा जा सकता है, उनमें सम्मिलित हैं |
 * पसंद का सिद्धांत, आश्रित विकल्प का सिद्धांत
 * सामान्यीकृत सातत्य परिकल्पना
 * मार्टिन का स्वयंसिद्ध (सामान्यतः सातत्य परिकल्पना के निषेध के साथ), मार्टिन का अधिकतम
 * डायमंडसूट|◊ और क्लबसूट|♣
 * रचनात्मकता का अभिगृहीत (V=L)
 * उचित बल सिद्धांत
 * विश्लेषणात्मक निर्धारण, प्रक्षेप्य निर्धारण, निर्धारण का सिद्धांत
 * अनेक विशाल कार्डिनल स्वयंसिद्ध