परिणाम (संभावना)

संभाव्यता सिद्धांत में, एक परिणाम एक प्रयोग (संभावना सिद्धांत) या परीक्षण का संभावित परिणाम होता है। किसी विशेष प्रयोग का प्रत्येक संभावित परिणाम अद्वितीय होता है, और विभिन्न परिणाम परस्पर अनन्य घटनाएँ होते हैं (प्रयोग के प्रत्येक परीक्षण पर केवल एक ही परिणाम घटित होगा)। किसी प्रयोग के सभी संभावित परिणाम एक नमूना स्थान के तत्वों का निर्माण करते हैं। प्रयोग के लिए जहां हम एक सिक्के को दो बार उछालते हैं, हमारे नमूना स्थान को बनाने वाले चार संभावित परिणाम हैं (एच, टी), (टी, एच), (टी, टी) और (एच, एच), जहां एच एक हेड का प्रतिनिधित्व करता है, और T एक पूँछ को दर्शाता है। परिणामों को घटना (संभावना सिद्धांत) के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, जो हैं (या अनौपचारिक रूप से, समूह) परिणामों का। तुलना के लिए, हम उस घटना को परिभाषित कर सकते हैं जो तब घटित होती है जब प्रयोग में कम से कम एक 'चित' को फ़्लिप किया जाता है - अर्थात, जब परिणाम में कम से कम एक 'चित' होता है। इस घटना में नमूना स्थान में तत्व (टी, टी) को छोड़कर सभी परिणाम शामिल होंगे।

परिणामों का समूह: घटनाएँ
चूँकि व्यक्तिगत परिणाम कम व्यावहारिक रुचि के हो सकते हैं, या क्योंकि उनमें से निषेधात्मक रूप से (यहां तक ​​कि असीम रूप से भी) कई हो सकते हैं, परिणामों को परिणामों के सेट (गणित) में समूहीकृत किया जाता है जो कुछ शर्तों को पूरा करते हैं, जिन्हें घटना (संभावना सिद्धांत) कहा जाता है। ऐसी सभी घटनाओं का संग्रह एक सिग्मा-बीजगणित है। जिस घटना का बिल्कुल एक ही परिणाम हो उसे प्राथमिक घटना कहा जाता है। वह घटना जिसमें किसी प्रयोग के सभी संभावित परिणाम शामिल हैं, उसका नमूना स्थान है। एक ही परिणाम कई अलग-अलग घटनाओं का हिस्सा हो सकता है। आमतौर पर, जब नमूना स्थान परिमित होता है, तो नमूना स्थान का कोई भी उपसमुच्चय एक घटना होता है (अर्थात, नमूना स्थान के सत्ता स्थापित  के सभी तत्वों को घटनाओं के रूप में परिभाषित किया जाता है)। हालाँकि, यह दृष्टिकोण उन मामलों में अच्छी तरह से काम नहीं करता है जहां नमूना स्थान बेशुमार अनंत है (विशेष रूप से जब परिणाम कुछ वास्तविक संख्याएं होनी चाहिए)। इसलिए, संभाव्यता स्थान को परिभाषित करते समय नमूना स्थान के कुछ सबसेट को घटनाओं से बाहर करना संभव है, और अक्सर आवश्यक होता है।

परिणाम की संभावना
परिणाम ऐसी संभावनाओं के साथ आ सकते हैं जो शून्य और एक (समावेशी) के बीच हों। एक असतत यादृच्छिक परिवर्तनीय संभाव्यता वितरण में जिसका नमूना स्थान परिमित है, प्रत्येक परिणाम को एक विशेष संभावना दी गई है। इसके विपरीत, एक सतत यादृच्छिक परिवर्तनीय वितरण में, सभी व्यक्तिगत परिणामों में शून्य संभावना होती है, और गैर-शून्य संभावनाओं को केवल परिणामों की श्रेणियों को सौंपा जा सकता है।

कुछ मिश्रित वितरणों में निरंतर परिणाम और कुछ असतत परिणाम दोनों शामिल होते हैं; ऐसे वितरणों में अलग-अलग परिणामों को परमाणु कहा जा सकता है और उनकी गैर-शून्य संभावनाएं हो सकती हैं। संभाव्यता स्थान की माप सिद्धांत|माप-सैद्धांतिक परिभाषा के तहत, किसी परिणाम की संभावना को परिभाषित करने की भी आवश्यकता नहीं है। विशेष रूप से, घटनाओं का समूह जिस पर संभाव्यता परिभाषित की गई है वह कुछ सिग्मा-बीजगणित|σ-बीजगणित हो सकता है $$S$$ और जरूरी नहीं कि पूर्ण पावर सेट हो।

समान रूप से संभावित परिणाम
कुछ नमूना स्थानों में, यह अनुमान लगाना या मान लेना उचित है कि अंतरिक्ष में सभी परिणाम समान संभावना वाले हैं (कि वे समान संभावना के साथ घटित होते हैं)। उदाहरण के लिए, एक साधारण सिक्के को उछालते समय, आमतौर पर यह मान लिया जाता है कि परिणाम हेड और टेल आने की समान संभावना है। एक अंतर्निहित धारणा कि सभी परिणाम समान रूप से संभावित हैं, संयोग के सामान्य खेलों में उपयोग किए जाने वाले अधिकांश यादृच्छिकीकरण उपकरण को रेखांकित करते हैं (उदाहरण के लिए पासा घुमाना, ताश के पत्तों को फेरना, शीर्ष या पहियों को घुमाना, लॉटरी निकालना, आदि)। बेशक, ऐसे खेलों में खिलाड़ी समान संभावना से व्यवस्थित विचलन को सूक्ष्मता से पेश करके धोखा देने की कोशिश कर सकते हैं (उदाहरण के लिए, कार्ड अंकन, डाइस#लोडेड डाइस या शेव्ड डाइस और अन्य तरीकों से)।

संभाव्यता के कुछ उपचार यह मानते हैं कि किसी प्रयोग के विभिन्न परिणामों को हमेशा इस प्रकार परिभाषित किया जाता है कि वे समान रूप से संभावित हों। हालाँकि, ऐसे प्रयोग हैं जिन्हें समान रूप से संभावित परिणामों के सेट द्वारा आसानी से वर्णित नहीं किया जा सकता है - उदाहरण के लिए, यदि कोई अंगूठे की कील को कई बार उछालता है और देखता है कि यह अपने बिंदु के साथ ऊपर या नीचे की ओर उतरा है, तो यह सुझाव देने के लिए कोई समरूपता नहीं है कि दोनों परिणाम समान रूप से संभावित होने चाहिए।