हॉसडॉर्फ अधिकतम सिद्धांत

गणित में, हॉसडॉर्फ मैक्सिमल सिद्धांत 1914 में फेलिक्स हॉसडॉर्फ द्वारा सिद्ध किए गए ज़ोर्न के लेम्मा का एक वैकल्पिक और पहले का सूत्रीकरण है (मूर 1982: 168)। यह बताता है कि किसी भी आंशिक क्रम में, प्रत्येक कुल ऑर्डर सबसेट अधिकतम पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सबसेट में समाहित है।

हॉसडॉर्फ अधिकतम सिद्धांत ZF (ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी विथ द च्वाइस के स्वयंसिद्ध) पर पसंद के स्वयंसिद्ध के बराबर कई बयानों में से एक है। इस सिद्धांत को हॉसडॉर्फ अधिकतमता प्रमेय या कुराटोस्की लेम्मा (केली 1955:33) भी कहा जाता है।

कथन
हॉसडॉर्फ मैक्सिमल सिद्धांत कहता है कि, किसी भी आंशिक क्रम में, प्रत्येक कुल ऑर्डर सबसेट एक अधिकतम पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सबसेट में समाहित है (एक पूरी तरह से ऑर्डर किया गया सबसेट, अगर किसी भी तरह से बढ़ाया जाता है, तो पूरी तरह से ऑर्डर नहीं रहता है)। सामान्य तौर पर, दिए गए पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सबसेट वाले कई अधिक से अधिक पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सबसेट हो सकते हैं।

हॉसडॉर्फ अधिकतम सिद्धांत का एक समकक्ष रूप यह है कि प्रत्येक आंशिक रूप से आदेशित सेट में अधिकतम पूरी तरह से आदेशित उपसमुच्चय मौजूद होता है। यह सिद्ध करने के लिए कि यह कथन मूल रूप का अनुसरण करता है, मान लीजिए कि A आंशिक रूप से क्रमबद्ध समुच्चय है। तब $$\varnothing$$ ए का पूरी तरह से आदेश दिया गया उपसमुच्चय है, इसलिए अधिकतम पूरी तरह से आदेशित उपसमुच्चय मौजूद है $$\varnothing$$, इसलिए विशेष रूप से ए में अधिकतम पूरी तरह से आदेशित सबसेट होता है। उलटी दिशा के लिए, A को आंशिक रूप से क्रमबद्ध सेट और T को A का पूर्ण रूप से क्रमबद्ध उपसमुच्चय होने दें। फिर
 * $$\{S\mid T\subseteq S\subseteq A\mbox{ and S totally ordered}\}$$

आंशिक रूप से सेट समावेशन द्वारा आदेश दिया गया है $$\subseteq$$, इसलिए इसमें अधिकतम पूरी तरह से आदेशित उपसमुच्चय P है। फिर समुच्चय $$P$$ वांछित गुणों को संतुष्ट करता है।

सबूत है कि हौसडॉर्फ अधिकतम सिद्धांत ज़ोर्न के लेम्मा के बराबर है, इस सबूत के समान ही है।

उदाहरण
यदि A सेट का कोई संग्रह है, तो संबंध A पर एक सख्त आंशिक क्रम का एक उचित उपसमुच्चय है। मान लीजिए कि A विमान में सभी गोलाकार क्षेत्रों (वृत्तों के आंतरिक भाग) का संग्रह है। ए के एक अधिकतम पूरी तरह से आदेशित उप-संग्रह में मूल रूप से केंद्रों के साथ सभी गोलाकार क्षेत्र होते हैं। एक और अधिक से अधिक पूरी तरह से आदेशित उप-संग्रह में सभी वृत्ताकार क्षेत्र होते हैं जो मूल में दाईं ओर से y-अक्ष तक स्पर्शरेखा से घिरे होते हैं।

अगर (एक्स0, और0) और (एक्स1, और1) समतल ℝ के दो बिंदु हैं2, परिभाषित करें (x0, और0) <(एक्स1, और1) अगर वाई0 = और1 और एक्स0 < एक्स1. यह ℝ का आंशिक क्रम है2 जिसके तहत दो बिंदुओं की तुलना तभी की जा सकती है जब वे एक ही क्षैतिज रेखा पर स्थित हों। अधिकतम पूरी तरह से आदेशित सेट ℝ में क्षैतिज रेखाएँ हैं 2।

संदर्भ

 * John Kelley (1955), General topology, Von Nostrand.
 * Gregory Moore (1982), Zermelo's axiom of choice, Springer.
 * James Munkres (2000), Topology, Pearson.