औसत चलन

आंकड़ों में, एक गतिमान माध्य (दोलन माध्य या धावी माध्य) पूर्ण आँकड़ा समुच्चय के विभिन्न उपसमूहों की औसत की एक श्रृंखला बनाकर आंकड़े बिंदुओं का विश्लेषण करने के लिए एक गणना है। इसे गतिमान औसत (एमएम) भी कहा जाता है या दोलन माध्य और परिमित आवेग प्रतिक्रिया निस्यंदक का एक प्रकार है। विविधताओं में निम्न सम्मिलित हैं: सरल गतिमान माध्य, संचयी गतिमान माध्य, या भारित गतिमान माध्य रूप (नीचे वर्णित)।

संख्याओं की एक श्रृंखला और एक निश्चित उपसमुच्चय आकार को देखते हुए, गतिमान औसत का पहला तत्व संख्या श्रृंखला के प्रारंभिक निश्चित उपसमुच्चय का औसत लेकर प्राप्त किया जाता है। फिर उपसमुच्चय को आगे स्थानांतरित करके संशोधित किया जाता है; अर्थात्, श्रृंखला की पहली संख्या को छोड़कर और उपसमुच्चय में अगले मान को सम्मिलित किया जाता है।

गतिमान औसत का उपयोग सामान्यतः समय श्रृंखला आंकड़ों के साथ अल्पकालिक उतार-चढ़ाव को सुचारू करने और लंबी अवधि के रुझानों या चक्रों को उजागर करने के लिए किया जाता है। अल्पावधि और दीर्घकालिक के बीच की सीमा आवेदन पर निर्भर करती है, और गतिमान माध्य के मापदण्ड तदनुसार समुच्चय किए जाएंगे। इसका उपयोग अर्थशास्त्र में सकल घरेलू उत्पाद, रोजगार या अन्य व्यापक आर्थिक समय श्रृंखला की जांच के लिए भी किया जाता है। गणितीय रूप से, गतिमान माध्य एक प्रकार का संवलन है और इसलिए इसे संकेत संसाधन में उपयोग किए जाने वाले निम्नपारक निस्यंदक के उदाहरण के रूप में देखा जा सकता है। जब गैर-समय श्रृंखला आंकड़ों के साथ प्रयोग किया जाता है, तो गतिमान औसत समय के किसी विशिष्ट संयोजन के बिना उच्च आवृत्ति घटकों को निस्यंदक करती है, हालांकि सामान्यतः किसी प्रकार का क्रमीकरण निहित होता है। सरलता से देखा जाए तो इसे आंकड़ों को समरेखण करने के रूप में माना जा सकता है।

साधारण गतिमान माध्य
वित्तीय अनुप्रयोगों में एक साधारण गतिमान माध्य (SMA) पिछले का अनभारित अंकगणितीय माध्य $$k$$ आँकड़ा अंक है। हालांकि, विज्ञान और इंजीनियरिंग में, औसत सामान्यतः एक केंद्रीय मूल्य के दोनों ओर आंकड़ों की समान संख्या से लिया जाता है। यह सुनिश्चित करता है कि समय में बदलाव के स्थान पर माध्य में भिन्नता आंकड़ों में भिन्नता के साथ संरेखित हो। सरल समान रूप से भारित चलने वाले माध्य का एक उदाहरण अंतिम से अधिक माध्य $$k$$ युक्त आँकड़ा-समुच्चय की प्रविष्टियाँ $$n$$ प्रविष्टियाँ है। उन आंकड़े-बिंदुओं को $$p_1, p_2, \dots, p_n$$ रहने दें। यह किसी शेयर की क्लोजिंग कीमत हो सकती है। पिछले k आंकड़े-बिंदुओं (इस उदाहरण में दिन) के माध्य को SMA के रूप में दर्शाया गया है और इसकी गणना निम्नानुसार की जाती है: $$\begin{align} \textit{SMA}_{k} &= \frac{p_{n-k+1} + p_{n-k+2} + \cdots + p_{n}}{k} \\ &= \frac{1}{k} \sum_{i=n-k+1}^{n} p_{i} \end{align}$$ अगले माध्य $$\textit{SMA}_{k,next}$$ की गणना करते समय समान प्रतिदर्शकरण चौड़ाई $$k$$ के साथ सीमा $$ n - k + 2 $$ से $$ n+1 $$ को माना जाता है। एक नया मूल्य $$p_{n+1}$$ योग मान में आता है और$$p_{n-k+1}$$ बाहर निकल जाता है। यह पिछले माध्य $$\textit{SMA}_{k,\text{prev}}$$ का पुन: उपयोग करके गणना को सरल करता है। $$ \begin{align} \textit{SMA}_{k, \text{next}} &= \frac{1}{k} \sum_{i=n-k+2}^{n+1} p_{i} \\ &= \frac{1}{k} \Big( \underbrace{ p_{n-k+2} + p_{n-k+3} + \dots + p_{n} + p_{n+1} }_{ \sum_{i=n-k+2}^{n+1} p_{i} } + \underbrace{ p_{n-k+1} - p_{n-k+1} }_{= 0} \Big) \\ &= \underbrace{ \frac{1}{k} \Big( p_{n-k+1} + p_{n-k+2} + \dots + p_{n} \Big) }_{= \textit{SMA}_{k, \text{prev}}} - \frac{p_{n-k+1}}{k} + \frac{p_{n+1}}{k} \\ &= \textit{SMA}_{k, \text{prev}} + \frac{1}{k} \Big( p_{n+1} - p_{n-k+1} \Big) \end{align} $$ इसका अर्थ यह है कि गतिमान माध्य निस्यंदक को वास्तविक समय आंकड़ों पर फीफो/सर्कुलर बफर और केवल 3 अंकगणितीय चरणों के साथ काफी सस्ते में गणना की जा सकती है।

FIFO / सर्कुलर बफर के प्रारम्भिक भराई के दौरान प्रतिदर्श गवाक्ष आंकड़े-समुच्चय आकार $$ k = n $$ के बराबर होती है और औसत गणना संचयमान गतिमान माध्य के रूप में की जाती है।

चयनित अवधि ($$k$$) रुचि के उतार-चढ़ाव के प्रकार पर निर्भर करता है, जैसे लघु, मध्यम या दीर्घावधि। वित्तीय दृष्टि से, गतिमान -माध्य स्तरों की व्याख्या गिरते बाजार में आलंब (तकनीकी विश्लेषण) या बढ़ते बाजार में प्रतिरोधक (तकनीकी विश्लेषण) के रूप में की जा सकती है।

यदि उपयोग किया गया आँकड़ा माध्य के आसपास केंद्रित नहीं है, तो एक साधारण गतिमान माध्य नवीनतम सिद्धांत, से आधा प्रतिदर्श चौड़ाई से पीछे है। एक SMA भी पुराने आंकड़े के बाहर होने या नए आंकड़े के आने से असमान रूप से प्रभावित हो सकता है। SMA की एक विशेषता यह है कि यदि डेटा में आवधिक उतार-चढ़ाव होता है, तो उस अवधि का SMA लागू करने से वह भिन्नता समाप्त हो जाएगी (औसत में हमेशा एक होता है) पूरा चक्र)। लेकिन पूरी तरह से नियमित चक्र बहुत कम देखने को मिलता है।

कई अनुप्रयोगों के लिए, केवल पिछले डेटा का उपयोग करके प्रेरित स्थानांतरण से बचना लाभप्रद है। इसलिए एक केंद्रीय गतिमान माध्य की गणना की जा सकती है, जहां श्रृंखला में माध्य की गणना की जाती है, उस बिंदु के दोनों ओर समान दूरी पर डेटा का उपयोग किया जाता है। इसके लिए प्रतिदर्श गवाक्ष में विषम संख्या में बिंदुओं का उपयोग करने की आवश्यकता होती है।

एसएमए की एक बड़ी कमी यह है कि यह खिड़की की लंबाई से कम सिग्नल की एक महत्वपूर्ण मात्रा के माध्यम से जाने देता है। इससे भी बदतर, यह वास्तव में इसे उलट देता है। इससे अनपेक्षित कलाकृतियाँ हो सकती हैं, जैसे कि समकृत परिणाम में चोटी दिखाई देती हैं जहाँ सम्मुच्चय में गर्त थे। यह परिणाम अपेक्षा से कम सुचारू होने की ओर भी ले जाता है क्योंकि कुछ उच्च आवृत्तियों को ठीक से हटाया नहीं जाता है।

संचयी औसत
एक संचयी औसत (CA) में, आँकड़ा एक क्रमित निर्दिष्ट वर्ग में आता है, और उपयोगकर्ता वर्तमान आंकड़े तक सभी आंकड़ों का औसत प्राप्त करना चाहेगा। उदाहरण के लिए, एक निवेशक मौजूदा समय तक किसी विशेष स्टॉक के लिए सभी स्टॉक लेनदेन की वर्ग कीमत चाहता है। जैसा कि प्रत्येक नया लेन-देन होता है, लेन-देन के समय औसत मूल्य की गणना संचयी औसत का उपयोग करके उस बिंदु तक के सभी लेन-देन के लिए की जा सकती है, सामान्यतः n मानों के अनुक्रम का समान रूप से भारित औसत $$x_1. \ldots, x_n$$ वर्तमान समय तक: $$\textit{CA}_n = {{x_1 + \cdots + x_n} \over n}\,.$$ इसकी गणना करने के लिए क्रूर-बल विधि सभी आंकड़ों को संग्रह करना और योग की गणना और हर बार एक नया डेटा आने पर अंकों की संख्या से विभाजित करना होगा। हालाँकि, एक नए मान के रूप में केवल संचयी औसत को अद्यतन करना संभव है, $$x_{n+1}$$ निम्न सूत्र के प्रयोग से उपलब्ध हो जाता है $$\textit{CA}_{n+1} = {{x_{n+1} + n \cdot \textit{CA}_n} \over {n+1}}.$$ इस प्रकार एक नए निर्दिष्ट सिद्धांत के लिए वर्तमान संचयी औसत पिछले संचयी औसत के बराबर है, गुणा एन, साथ ही नवीनतम निर्दिष्ट सिद्धांत, सभी को अब तक प्राप्त अंकों की संख्या n+1 से विभाजित किया गया है। जब सभी आंकड़े आ जाए ($n = N$), तो संचयी औसत अंतिम औसत के बराबर होगा। प्रत्येक बार एक नया डेटा आने पर CA प्राप्त करने के लिए कुल आंकड़ों के साथ-साथ अंकों की संख्या को संग्रह करना और अंकों की संख्या से कुल को विभाजित करना भी संभव है।

संचयी औसत सूत्र की व्युत्पत्ति सीधी है। निम्न का उपयोग करते हुए $$x_1 + \cdots + x_n = n \cdot \textit{CA}_n$$ और इसी तरह $n + 1$ के लिए, ऐसा देखा गया है $$x_{n+1} = (x_1 + \cdots + x_{n+1}) - (x_1 + \cdots + x_n)$$ $$\textit{CA}_{n+1}$$ के लिए इस समीकरण को हल करने का परिणाम निम्न है $$\begin{align} \textit{CA}_{n+1} & = {x_{n+1} + n \cdot \textit{CA}_n \over {n+1}} \\[6pt] & = {x_{n+1} + (n + 1 - 1) \cdot \textit{CA}_n \over {n+1}} \\[6pt] & = {(n + 1) \cdot \textit{CA}_n + x_{n+1} - \textit{CA}_n \over {n+1}} \\[6pt] & = {\textit{CA}_n} + {{x_{n+1} - \textit{CA}_n} \over {n+1}} \end{align}$$

भारित गतिमान औसत
भारित औसत एक औसत है जिसमें प्रतिदर्श गवाक्ष में विभिन्न स्थितियों पर आंकड़ों को अलग-अलग भार देने के लिए गुणा करने वाले कारक होते हैं। गणितीय रूप से, भारित गतिमान माध्य एक निश्चित भारण फलन के साथ आंकड़ों का संवलन है। एक एप्लिकेशन अंकीय आलेखिकी छवि से चित्र अवयवीकरण निकाल रहा है।

वित्तीय क्षेत्र में, और अधिक विशेष रूप से वित्तीय आंकड़ों के विश्लेषण में, एक भारित गतिमान औसत (डब्ल्यूएमए) का वजन का विशिष्ट अर्थ है जो अंकगणितीय प्रगति में कमी करता है। एक n-दिन WMA में नवीनतम दिन का भार n होता है, दूसरा नवीनतम $$n-1$$, आदि, एक के नीचे।

$$\text{WMA}_{M} = { n p_{M} + (n-1) p_{M-1} + \cdots + 2 p_{((M-n)+2)} + p_{((M-n)+1)} \over n + (n-1) + \cdots + 2 + 1}$$

भाजक एक त्रिभुज संख्या $\frac{n(n + 1)}{2}$ के बराबर है। अधिक सामान्य स्थिति में भाजक हमेशा अलग-अलग भारों का योग होगा।

क्रमिक मानों में WMA की गणना करते समय, $$\text{WMA}_{M+1}$$ और $$\text{WMA}_{M}$$ के अंशों के बीच का अंतर $$np_{M+1} - p_{M} - \dots - p_{M-n+1}$$ है। यदि हम योग $$p_{M} + \dots + p_{M-n+1}$$को $$\text{Total}_{M}$$ द्वारा निरूपित करते हैं, तब

$$\begin{align} \text{Total}_{M+1} &= \text{Total}_M + p_{M+1} - p_{M-n+1} \\[3pt] \text{Numerator}_{M+1} &= \text{Numerator}_M + n p_{M+1} - \text{Total}_M \\[3pt] \text{WMA}_{M+1} &= { \text{Numerator}_{M+1} \over n + (n-1) + \cdots + 2 + 1} \end{align}$$ दाईं ओर का लेखाचित्र दिखाता है कि भार कैसे घटता है, सबसे हाल के आंकड़ों के उच्चतम भार से, शून्य तक। इसकी तुलना घातांकी गतिमान माध्य में आंकड़ों से की जा सकती है जो निम्नानुसार है।

घातीय गतिमान माध्य
एक घातांकी गतिमान माध्य (EMA), जिसे घातांकी भारित गतिमान माध्य (EWMA) के रूप में भी जाना जाता है। एक प्रथम-क्रम अनंत आवेग प्रतिक्रिया निस्यंदक है जो भारोत्तोलन कारकों को लागू करता है जो घातीय क्षय को कम करता है। प्रत्येक पुराने आंकड़े का भार चरघातांकी रूप से घटता है, कभी शून्य तक नहीं पहुंचता। यह सूत्रीकरण हंटर (1986) के अनुसार है।

अन्य भार
कभी-कभी अन्य भारांकन प्रणाली का उपयोग किया जाता है - उदाहरण के लिए, शेयर व्यापार में आयतन भारांकन प्रत्येक समय अवधि को उसके व्यापार आयतन के अनुपात में भारित करेगा।

रजिस्ट्री द्वारा उपयोग किया जाने वाला एक और भार, स्पेंसर का 15-अंक गतिमान माध्य है (एक केंद्रीय गतिमान औसत)। इसके सममित वजन गुणांक [−3, −6, −5, 3, 21, 46, 67, 74, 67, 46, 21, 3, −5, −6, −3] हैं, जो $[1, 1, 1, 1]×[1, 1, 1, 1]×[1, 1, 1, 1, 1]×[−3, 3, 4, 3, −3]⁄320$ इस प्रकार कारक हैं और किसी घन बहुपद के प्रतिदर्श को अपरिवर्तित छोड़ देता है।

वित्त की दुनिया के बाहर, भारित धावी के कई रूप और अनुप्रयोग हैं। प्रत्येक भारण फलन या कर्नेल की अपनी विशेषताएं होती हैं। इंजीनियरिंग और विज्ञान में निस्यंदक की आवृत्ति और चरण प्रतिक्रिया वांछित और अवांछित विकृतियों को समझने में प्रायः प्राथमिक महत्व होती है जो एक विशेष निस्यंदक आंकड़ों पर लागू होगा।

माध्य केवल आंकड़ों को सुचारू नहीं करता है। माध्य निम्न-पास निस्यंदक का एक रूप है। उपयुक्त विकल्प बनाने के लिए उपयोग किए गए विशेष निस्यंदक के प्रभावों को समझा जाना चाहिए। इस बिंदु पर, इस आलेख का फ्रांसीसी संस्करण 3 प्रकार के साधनों (संचयी, घातीय, गॉसियन) के वर्णक्रमीय प्रभावों पर चर्चा करता है।

गतिमान माध्यिका
एक सांख्यिकीय दृष्टिकोण से, गतिमान माध्य, जब एक समय श्रृंखला में अंतर्निहित प्रवृत्ति का अनुमान लगाने के लिए उपयोग किया जाता है, दुर्लभ घटनाओं जैसे कि तेजी से झटके या अन्य विसंगतियों के लिए अतिसंवेदनशील होता है। प्रवृत्ति का एक अधिक शक्तिशालि अनुमान 'एन' समय बिंदुओं पर सरल गतिमान औसत है: $$\widetilde{p}_\text{SM} = \text{Median}( p_M, p_{M-1}, \ldots, p_{M-n+1} )$$ जहां माध्यिका, उदाहरण के लिए, कोष्ठकों के भीतर मानों को छाँटकर और मध्य में मान ज्ञात करके पाया जाता है। n के बड़े मानों के लिए, इंडेक्सेबल स्किपलिस्ट को अद्यतन करके माध्यिका की कुशलता से गणना की जा सकती है।

सांख्यिकीय रूप से, गतिमान औसत समय श्रृंखला की अंतर्निहित प्रवृत्ति को पुनर्प्राप्त करने के लिए इष्टतम है जब प्रवृत्ति के उतार-चढ़ाव सामान्य वितरण होते हैं। हालांकि, सामान्य वितरण प्रवृत्ति से बहुत बड़े विचलन पर उच्च संभावना नहीं रखता है जो बताता है कि इस तरह के विचलन का प्रवृत्ति अनुमान पर बहुत अधिक प्रभाव क्यों पड़ेगा। यह दिखाया जा सकता है कि अगर उतार-चढ़ाव को लेपलेस वितरण माना जाता है, तो गतिमान औसत सांख्यिकीय रूप से इष्टतम है। किसी दिए गए विचरण के लिए, लाप्लास वितरण सामान्य की तुलना में दुर्लभ घटनाओं पर उच्च संभावना रखता है, जो बताता है कि गतिमान माध्य गतिमान माध्य की तुलना में झटकों को बेहतर क्यों सहन करता है।

जब ऊपर सरल गतिमान मध्यस्थ केंद्रीय होता है, तो समरेखण मध्य निस्यंदक के समान होता है, जिसमें एप्लिकेशन होते हैं, उदाहरण के लिए, छवि संकेत प्रसंस्करण। गतिमान मध्यरेखा गतिमान माध्य का एक अधिक शक्तिशालि विकल्प है जब यह एक समय श्रृंखला में अंतर्निहित प्रवृत्ति का अनुमान लगाने की बात आती है। जबकि गतिमान माध्य प्रवृत्ति को ठीक करने के लिए इष्टतम है यदि प्रवृत्ति के आसपास उतार-चढ़ाव सामान्य रूप से वितरित किए जाते हैं, यह दुर्लभ घटनाओं जैसे कि तेजी से झटके या विसंगतियों के प्रभाव के लिए अतिसंवेदनशील है। इसके विपरीत, गतिमान मध्यरेखा, जो काल गवाक्ष के अंदर परिमाण को श्रेणीबद्ध करके और बीच में परिमाण को ढूंढकर पाया जाता है, ऐसी दुर्लभ घटनाओं के प्रभाव के लिए अधिक प्रतिरोधी है। ऐसा इसलिए है, क्योंकि किसी दिए गए विचरण के लिए, लाप्लास वितरण, जिसे गतिमान मध्यरेखा मानता है, सामान्य वितरण की तुलना में दुर्लभ घटनाओं पर उच्च संभावना रखता है, जो गतिमान माध्य मानता है। नतीजतन, गतिमान मध्यरेखा अंतर्निहित प्रवृत्ति का अधिक विश्वसनीय और स्थिर अनुमान प्रदान करता है, भले ही समय श्रृंखला प्रवृत्ति से बड़े विचलन से प्रभावित हो। इसके अतिरिक्त, गतिमान मध्यरेखा समरेखण मध्यरेखा निस्यंदक के समान है, जिसमें छवि संकेत प्रसंस्करण में विभिन्न अनुप्रयोग हैं।

गतिमान औसत प्रतिगमन प्रतिरूप
गतिमान-औसत प्रतिरूप में, ब्याज के एक परिवर्ती को अनदेखे स्वतंत्र त्रुटि शब्दों का भारित गतिमान माध्य माना जाता है; गतिमान माध्य में भार का अनुमान लगाया जाना है।

उन दो अवधारणाओं को प्रायः उनके नाम के कारण भ्रमित किया जाता है, लेकिन जब वे कई समानताएं साझा करते हैं, तो वे अलग-अलग तरीकों का प्रतिनिधित्व करते हैं और बहुत अलग संदर्भों में उपयोग किए जाते हैं।

यह भी देखें
गतिमान औसत पारगमन
 * चरधातांकी समकारी
 * गतिमान माध्य अभिसरण / विचलन संकेतक
 * गवाक्ष फलन
 * बढ़ता गतिमान माध्य
 * दोलन हैश
 * चालू जोड़
 * स्थानीय प्रतिगमन (LOESS और LOWESS)
 * कर्नेल समरेखण
 * सविट्ज़की-गोले निस्यंदक
 * जीरो लैग घातांकी गतिमान माध्य

बाहरी संबंध

 * Tuned, Using Moving Average Crossovers Programmatically