प्रारंभिक टोपोलॉजी

सामान्य सांस्थिति और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, प्रारंभिक सांस्थिति या प्रेरित सांस्थिति एक समुच्चय $$X,$$ के संबंध में प्रारंभिक सांस्थिति संबंधित फलनों के संग्रह के संदर्भ में उपयोग की जाती है, वह समुच्चय $$X,$$ के ऊपर सबसे बड़ी सांस्थिति है जो उन फलनों को निरंतर बनाती है।

उपसमष्‍टि सांस्थिति और उत्पाद सांस्थिति निर्माण दोनों प्रारंभिक सांस्थिति की विशेष स्थितिया हैं। वास्तव में, प्रारंभिक सांस्थिति निर्माण को इनके एक साधारणीकरण के रूप में देखा जा सकता है।

द्विपक्षीय अवधारणा है कि अंतिम सांस्थिति, किसी दिए गए समुच्चय $$X$$ पर मान उत्पन्न करने वाले फलनों के लिए सबसे उपयुक्त सांस्थिति है।

परिभाषा
एक समुच्चय $$X$$ और एक अनुक्रमित वर्ग $$\left(Y_i\right)_{i \in I}$$ के सांस्थितिकीय समष्‍टि फलनों के साथ दिया गया होता हैं$$f_i : X \to Y_i,$$प्रारंभिक सांस्थिति $$\tau$$ एक समुच्चय $$X$$ पर सबसे कोरस्ट सांस्थिति होती है जिसमें प्रत्येक$$f_i : (X, \tau) \to Y_i$$सतत होती है।

विवृत्त समुच्चय के संदर्भ में परिभाषा

यदि प्रत्येक $$i \in I$$ के लिए $$\sigma_i$$ $$Y_i$$ पर सांस्थिति को दर्शाता है, तो एक सांस्थिति है $$X$$ पर, और  $$I$$-इंडेक्स्ड वर्ग  $$f_i^{-1}\left(\sigma_i\right)$$ (जहां $$i \in I$$) की अधिकतम सांस्थिति होती है।

यदि प्रत्येक $$i \in I$$ के लिए $$\sigma_i$$ $$Y_i$$ पर सांस्थिति को दर्शाता है, तो  एक सांस्थिति है $$X$$ पर, और  $$I$$-इंडेक्स्ड वर्ग  $$f_i^{-1}\left(\sigma_i\right)$$ (जहां $$i \in I$$) की अधिकतम सांस्थिति होती है।

स्पष्ट रूप से, प्रारंभिक सांस्थिति होती है सभी समुच्चय $$f_i^{-1}(U)$$ के रूप में खुला समुच्चय हैं, जहां $$U$$ किसी $$i \in I$$ के लिए $$Y_i$$ में एक खुला समुच्चय होता है, जो सीमित संचय और यादृच्छिक संयोग के अंतर्गत उत्पन्न होता हैं।

प्रायः $$f_i^{-1}(V)$$ जैसे समुच्चय को कहा जाता है। यदि $$I$$ में केवल एक तत्व होता है, तो प्रारंभिक सांस्थिति $$(X, \tau)$$ के सभी खुला समुच्चय भी  होता हैं।

उदाप्रत्येक ण
कई सांस्थितिकीय निर्माणों को प्रारंभिक सांस्थिति के विशेष स्थितियों के रूप में माना जा सकता है।
 * उपसमष्‍टि सांस्थिति समावेशन मानचित्र के संबंध में उपसमष्‍टि पर प्रारंभिक सांस्थिति है।
 * उत्पाद सांस्थिति प्रक्षेपण मानचित्र के वर्ग के संबंध में प्रारंभिक सांस्थिति है।
 * रिक्त स्थान और निरंतर मानचित्रों की किसी भी व्युत्क्रम प्रणाली की व्युत्क्रम सीमा विहित आकारिकी द्वारा निर्धारित प्रारंभिक सांस्थिति के साथ समुच्चय -सैद्धांतिक व्युत्क्रम सीमा है।
 * स्थानीय रूप से उत्तल स्थान पर कमजोर सांस्थिति इसके दोप्रत्येक े स्थान के निरंतर रैखिक रूपो के संबंध में प्रारंभिक सांस्थिति है।
 * एक निश्चित सेट $$X.$$ पर सांस्थितियों के एक परिवार के संबंध में प्रारंभिक सांस्थिति $$X.$$ पर फलन  $$\operatorname{id}_i : X \to \left(X, \tau_i\right)$$ के साथ, सांस्थितियों $$\left\{\tau_i\right\}$$  का सांस्थिति के ग्रिड में सर्वोच्च (या युग्मन) है। अर्थात, प्रारंभिक सांस्थिति \tau वह सांस्थिति है जो सांस्थितियों के यूनियन से उत्पन्न होती है।
 * एक सांस्थितियों समष्टि पूरी तरह से नियमित है यदि और केवल तभी जब इसमें वास्तविक-मूल्यवान निरंतर कार्यों के अपने वर्ग के संबंध में प्रारंभिक सांस्थिति हो।
 * प्रत्येक सांस्थितियों समष्टि $$X$$ से निरंतर कार्यों के वर्ग के संबंध में प्रारंभिक सांस्थिति $$X$$ सिएरपिंस्की क्षेत्र के लिए है।

विशेष गुण
प्रारंभिक सांस्थिति $$X$$ पर निम्नलिखित विशिष्ट गुण द्वारा चित्रित किया जा सकता है: किसी स्थान $$Z$$ से  $$X$$ तक किसी फलन $$g$$ निरंतर है, तब और केवल तब जब प्रत्येक $$i \in I.$$ के लिए  $$f_i \circ g$$  निरंतर होता है।

ध्यान दें, यहाँ यह एक सामान्य गुणधर्म नहीं है, यहाँ एक श्रेणीय वर्णन दिया गया है।

यदि एक फ़िल्टर $$\mathcal{B}$$ एक बिन्दु $$x \in X$$ पर संगत होता है, तब और केवल तब जब प्रत्येक $$i \in I$$ के लिए संगत प्रीफ़िल्टर $$f_i(\mathcal{B})$$ $$f_i(x)$$ पर संगत होता है।

मूल्यांकन
उत्पाद सांस्थिति की सार्वभौमिक संपत्ति से, हम जानते हैं कि निरंतर मानचित्रों का कोई भी वर्ग  $$f_i : X \to Y_i$$ एक अद्वितीय सतत मानचित्र निर्धारित करता है $$\begin{alignat}{4} f :\;&& X &&\;\to   \;& \prod_i Y_i \\[0.3ex] && x &&\;\mapsto\;& \left(f_i(x)\right)_{i \in I} \\ \end{alignat}$$ इस मानचित्र को के नाम से जाना जाता है.

यदि एक मानचित्रों का परिवार $${f_i : X \to Y_i}$$ $$X$$ में बिंदुओं को अलग करता है तो सभी $$x \neq y$$ के लिए $$X$$ में कुछ ऐसा $$i$$ उपस्थित होता है जिसके लिए $$f_i(x) \neq f_i(y)$$ होता है। बिंदुओं को अलग करने वाले परिवार $${f_i}$$ बिंदुओं को अलग करता है यदि और केवल यदि संबंधित मानचित्र मानचित्रण $$f$$ प्रविष्टि है।

यदि मानचित्रण $$f$$ एक टोपोलॉजिक प्रतिष्ठान है, तो और केवल तब जब $$X$$ के लिए मानचित्रों $${f_i}$$ द्वारा निर्धारित प्रारंभिक संस्थिति होती है और यह मानचित्र परिवार बिंदुओं को अलग करता है।

हॉसडॉर्फनेस

यदि $$X$$ मानचित्रों द्वारा प्रेरित प्रारंभिक संस्थिति रखता है और प्रत्येक  $$Y_i$$ हौसडोरफ है, तो $$X$$ एक हौसडोरफ स्थान है यदि और केवल यदि ये मानचित्र बिंदुओं को अलग करते हैं।

प्रारंभिक सांस्थिति की परिवर्तनशीलता
यदि $$X$$ को $$I$$-सूचीकृत आरेखों $$\left\{f_i : X \to Y_i\right\}$$ द्वारा उत्पन्न प्रारंभिक संस्थिति है और प्रत्येक $$i \in I,$$ के लिए $$Y_i$$ पर संस्थिति किसी $$J_i$$- सूचीकृत आरेखों $$\left\{g_j : Y_i \to Z_j\right\}$$ द्वारा उत्पन्न प्रारंभिक संस्थिति है (जब $$j$$, $$J_i$$ पर चलता है), तो $$X$$ पर $$\left\{f_i : X \to Y_i\right\}$$ द्वारा उत्पन्न प्रारंभिक संस्थिति, $$I$$ पर चलते हुए $$J_i$$-सूचीकृत आरेखों $$\left\{g_j \circ f_i : X \to Z_j\right\}$$ द्वारा उत्पन्न $${\textstyle \bigcup\limits_{i \in I} J_i}$$-सूचीकृत आरेखों द्वारा उत्पन्न प्रारंभिक संस्थिति के बराबर होती है, जब $$i$$ $$I$$ पर चलता है और $$j$$ $$J_i$$ पर चलता है।

विशेषकर, यदि $$S \subseteq X$$ फिर उपसमष्‍टि सांस्थिति वह $$S$$ से विरासत में मिला है $$X$$ समावेशन मानचित्र द्वारा प्रेरित प्रारंभिक सांस्थिति  के बराबर है $$S \to X$$ (द्वारा परिभाषित $$s \mapsto s$$). फलस्वरूप, यदि $$X$$ प्रारंभिक सांस्थिति से प्रेरित है $$\left\{f_i : X \to Y_i\right\}$$ फिर उपसमष्‍टि सांस्थिति  वह $$S$$ से विरासत में मिला है $$X$$ पर प्रेरित प्रारंभिक सांस्थिति  के बराबर है $$S$$ प्रतिबंधों द्वारा $$\left\{\left.f_i\right|_S : S \to Y_i\right\}$$ की $$f_i$$ को $$S.$$

उत्पाद सांस्थिति चालू है $$\prod_i Y_i$$ विहित अनुमानों से प्रेरित प्रारंभिक सांस्थिति  के बराबर है $$\operatorname{pr}_i : \left(x_k\right)_{k \in I} \mapsto x_i$$ जैसा $$i$$ तक फैली हुई है $$I.$$ नतीजतन, प्रारंभिक सांस्थिति चालू है $$X$$ प्रेरक $$\left\{f_i : X \to Y_i\right\}$$ उत्पाद सांस्थिति  की व्युत्क्रम छवि के बराबर है $$\prod_i Y_i$$ #मूल्यांकन मानचित्र द्वारा $f : X \to \prod_i Y_i\,.$  इसके अलावा, यदि मानचित्र $$\left\{f_i\right\}_{i \in I}$$ #अलग-अलग बिंदु $$X$$ तब मूल्यांकन मानचित्र उपस्थान पर एक समरूपता है $$f(X)$$ उत्पाद स्थान का $$\prod_i Y_i.$$

बंदसमुच्चय ों से बिंदुओं को अलग करना
यदि कोई स्थान $$X$$ सांस्थिति से सुसज्जित होता है, यह जानना अक्सर उपयोगी होता है कि सांस्थिति  चालू है या नहीं $$X$$ मानचित्रों के कुछ वर्ग  द्वारा प्रेरित प्रारंभिक सांस्थिति  है $$X.$$ यह खंड पर्याप्त (लेकिन आवश्यक नहीं) शर्त देता है।

मानचित्रों का एक वर्ग $$\left\{f_i : X \to Y_i\right\}$$ बंदसमुच्चय ों से बिंदुओं को अलग करता है $$X$$ यदि सभी बंदसमुच्चय ों के लिए $$A$$ में $$X$$ और सभी $$x \not\in A,$$ वहाँ कुछ उपस्थित  है $$i$$ ऐसा है कि $$f_i(x) \notin \operatorname{cl}(f_i(A))$$ कहाँ $$\operatorname{cl}$$ समापन (सांस्थिति) को दर्शाता है।


 * प्रमेय. सतत मानचित्रों का एक वर्ग $$\left\{f_i : X \to Y_i\right\}$$ बंदसमुच्चय ों से बिंदुओं को अलग करता है यदि और केवल यदि सिलेंडरसमुच्चय  होता है $$f_i^{-1}(V),$$ के लिए $$V$$ में विवृत्त गा $$Y_i,$$ पर एक बेस (सांस्थिति) बनाएं $$X.$$

यह जब भी चलता है $$\left\{f_i\right\}$$ बंदसमुच्चय ों से बिंदुओं को अलग करता है, स्थान $$X$$ मानचित्रों से प्रेरित प्रारंभिक सांस्थिति है $$\left\{f_i\right\}.$$ उलटा विफल हो जाता है, क्योंकि आम तौर पर सिलेंडरसमुच्चय  प्रारंभिक सांस्थिति  के लिए केवल एक सबबेस (और आधार नहीं) बनाएंगे।

यदि स्थान $$X$$ एक T0 स्थान है|T0 स्थान, फिर मानचित्रों का कोई संग्रह $$\left\{f_i\right\}$$ जो बंदसमुच्चय ों से बिंदुओं को अलग करता है $$X$$ अंक भी अलग-अलग होने चाहिए। इस मामले में, मूल्यांकन मानचित्र एक एम्बेडिंग होगा।

प्रारंभिक समरूप संरचना
यदि $$\left(\mathcal{U}i\right){i \in I}$$ एक $$I \neq \varnothing$$ से सूचीकृत यूनिफ़ॉर्म संरचना परिवार है जो $$X$$ पर है, तो $$\left(\mathcal{U}i\right){i \in I}$$ की लघुतम सीमा यूनिफ़ॉर्म संरचना $$X$$ पर सभी $$\mathcal{U}i$$ से अधिक महत्वपूर्ण यूनिफ़ॉर्म संरचना होती है। यह यूनिफ़ॉर्म संरचना हमेशा मौजूद होती है और यह $$X \times X$$ पर उत्पन्न किए गए फ़िल्टर से समान होती है जिसकी उपाधि फ़िल्टर उपाधि $${\textstyle \bigcup\limits{i \in I} \mathcal{U}_i}$$ से उत्पन्न होती है।

इसके अलावा, यदि $$\tau_i$$ $$\mathcal{U}i$$ द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी है, तो सबसे ऊपरी सीमा यूनिफ़ॉर्म संरचना के साथ संबंधित $$X$$ पर टोपोलॉजी $$\left(\tau_i\right){i \in I}$$ सबसे ऊपरी सीमा टोपोलॉजी के समान होती है। सांस्थिति चालू है $$X$$ प्रेरक $$\mathcal{U}$$ सबसे मोटे सांस्थिति पर है $$X$$ ऐसा कि प्रत्येक  $$f_i : X \to Y_i$$ सतत है. प्रारंभिक समरूप संरचना $$\mathcal{U}$$ यह भी सबसे मोटे समान संरचना के बराबर है जैसे कि पहचान मानचित्रण $$\operatorname{id} : \left(X, \mathcal{U}\right) \to \left(X, f_i^{-1}\left(\mathcal{U}_i\right)\right)$$ समान रूप से निरंतर हैं.

अब मान लें कि $$\left\{f_i : X \to Y_i\right\}$$ एक आरेखण समूह है और हर $$i \in I,$$ के लिए, $$\mathcal{U}_i$$ $$Y_i.$$ पर एक यूनिफ़ॉर्म संरचना है। तब $$Y_i$$ के मानचित्रणों द्वारा $$\left{f_i\right}$$ की प्रारंभिक यूनिफ़ॉर्म संरचना, $$X$$ पर सभी $$f_i : \left(X, \mathcal{U}\right) \to \left(Y_i, \mathcal{U}_i\right)$$ को यूनिफ़ॉर्मता के साथ सत्यापित करने वाली सबसे लचीली यूनिफ़ॉर्म संरचना $$\mathcal{U}$$ है। यह सबसे ऊपरी सीमा यूनिफ़ॉर्म संरचना है और इसके साथ यह समान है $$I$$-सूचीकृत यूनिफ़ॉर्म संरचना परिवार $$f_i^{-1}\left(\mathcal{U}_i\right)$$ (for $$i \in I$$) की सबसे ऊपरी सीमा यूनिफ़ॉर्म संरचना।

$$\mathcal{U}$$ द्वारा प्रेरित $$X$$ पर टोपोलॉजी, हर $$f_i : X \to Y_i$$ को सत्यापित करने वाली सबसे लचीली टोपोलॉजी होती है।

प्रारंभिक यूनिफ़ॉर्म संरचना $$\mathcal{U}$$ भी सबसे लचीली यूनिफ़ॉर्म संरचना होती है, जिसमें पहचान मानचित्र $$\operatorname{id} : \left(X, \mathcal{U}\right) \to \left(X, f_i^{-1}\left(\mathcal{U}_i\right)\right)$$ यूनिफ़ॉर्मता के साथ सत्यापित होती है।

हौसदोरफ़ता: प्रारंभिक यूनिफ़ॉर्म संरचना $$\mathcal{U}$$ द्वारा प्रेरित $$X$$ पर टोपोलॉजी हौसदोर्फ़ होती है यदि और केवल यदि हर बार $$x, y \in X$$ अलग होते हैं ($$x \neq y$$), तब किसी भी $$i \in I$$ और किसी भी $$Y_i$$ की आस-पास की देखभाल $$V_i \in \mathcal{U}_i$$ ऐसा होता है कि $$\left(f_i(x), f_i(y)\right) \not\in V_i$$।

इसके अतिरिक्त, हर सूचकांक $$i \in I$$ के लिए $$\mathcal{U}_i$$ द्वारा प्रेरित $$Y_i$$ पर टोपोलॉजी हौसदोर्फ़ होती है तो प्रारंभिक यूनिफ़ॉर्म संरचना $$\mathcal{U}$$ द्वारा प्रेरित $$X$$ पर टोपोलॉजी हौसदोर्फ़ होती है यदि और केवल यदि मानचित्रण $$\left{f_i : X \to Y_i\right}$$ ने विभक्त बिंदुओं को $$X$$ पर विभक्त किया हो (या समतुल्यता से, यदि और केवल यदि मूल्यांकन मानचित्र $f : X \to \prod_i Y_i$ निष्पादन सूचकांक हो)।

यूनिफ़ॉर्म सततता: यदि $$\mathcal{U}$$ प्रारंभिक यूनिफ़ॉर्म संरचना है जिसे मानचित्रण $$\left{f_i : X \to Y_i\right}$$ ने उत्पन्न किया है, तो किसी भी यूनिफ़ॉर्म स्थान $$Z$$ से $$(X, \mathcal{U})$$ में एक फ़ंक्शन $$g$$ यूनिफ़ॉर्म सतत होता है यदि और केवल यदि प्रत्येक $$i \in I$$ के लिए $$f_i \circ g : Z \to Y_i$$ यूनिफ़ॉर्म सतत होता है।

कोशी फ़िल्टर: $$X$$ पर एक फ़िल्टर $$\mathcal{B}$$ $$(X, \mathcal{U})$$ पर एक कोशी फ़िल्टर होता है यदि और केवल यदि हर $$i \in I$$ के लिए $$f_i\left(\mathcal{B}\right)$$ एक कोशी पूर्व-फ़िल्टर होता है।

प्रारंभिक यूनिफ़ॉर्म संरचना की अटिशयता: यदि ऊपर दिए गए "प्रारंभिक टोपोलॉजी की अटिशयता" कथन में "टोपोलॉजी" शब्द को "यूनिफ़ॉर्म संरचना" से बदला जाए, तो प्राप्त होने वाला कथन भी सत्य होगा।

श्रेणीबद्ध विवरण
श्रेणी सिद्धांत की भाषा में, प्रारंभिक संस्थिति निर्माण को निम्नलिखित रूप में वर्णित किया जा सकता है। $$Y$$ को असतत संख्या $$J$$ से संस्थानिक समष्टियों के श्रेणी $$\mathrm{Top}$$ में फलन के रूप में वर्णित किया जाता है, जो $$j\mapsto Y_j$$ को मान देता है। $$U$$ को $$\mathrm{Top}$$ से $$\mathrm{Set}$$ के लिए सामान्य विस्मरणशील फलन कहा जाता है। यह मानचित्रण $$f_j : X \to Y_j$$ को $$X$$ से $$UY$$ तक के लिए एक शंकु के रूप में सोचा जा सकता है। अर्थात, $$(X,f)$$ $$\mathrm{Cone}(UY) := (\Delta\downarrow{UY})$$ के शंकु-तत्त्वों में एक वस्तु है। और अधिक निश्चित रूप से, यह शंकु $$(X,f)$$ $$\mathrm{Set}$$ में एक $$U$$-ढांचित cosink पर परिभाषित करता है। विस्मरणशील फलन $$U : \mathrm{Top} \to \mathrm{Set}$$ एक फलन $$\bar{U} : \mathrm{Cone}(Y) \to \mathrm{Cone}(UY)$$ को प्रेरित करता है। प्रारंभिक संस्थिति की विशेषता गुण प्रत्येक $$\bar{U}$$ से $$(X,f)$$ तक एक सर्वप्रथम संरेख का उपस्थित होने के समकक्ष होने के साथ समान है; अर्थात, एक वर्ग $$\left(\bar{U}\downarrow(X,f)\right)$$ में एक टर्मिनल वस्तु। स्पष्ट रूप से, इसमें $$\mathrm{Cone}(Y)$$ में एक वस्तु $$I(X,f)$$ और मोर्फिज़्म $$\varepsilon : \bar{U} I(X,f) \to (X,f)$$ का होना सम्मिलित है, जिसमें प्रत्येक वस्तु $$(Z,g)$$ के लिए $$\varphi : \bar{U}(Z,g) \to (X,f)$$ एक अद्वितीय मोर्फिज़्म $$\zeta : (Z,g) \to I(X,f)$$ उपस्थित है जिसके लिए निम्नलिखित यानचित्र संगठन होता है: $$(X,f) \mapsto I(X,f)$$ को $$X$$ पर प्रारंभिक संस्थिति निर्मित करने वाले संकेतक के रूप में एक फलन के रूप में विस्तारित किया जा सकता है: $$I : \mathrm{Cone}(UY) \to \mathrm{Cone}(Y)$$ जो $$\bar{U}$$ के सहायक के रूप में है। वास्तव में, $$I$$ $$\bar{U}$$ का एक दक्षिण प्रतिगामी फलन है; क्योंकि $$\bar{U}I$$ $$\mathrm{Cone}(UY)$$ पर वही फलन एकांत है।