फूरियर श्रृंखला का अभिसरण

गणित में, क्या आवधिक फलन की फूरियर श्रृंखला किसी दिए गए फलन (गणित) के लिए अभिसरण श्रृंखला का रूप है, जिसका शोध मौलिक हार्मोनिक विश्लेषण, शुद्ध गणित की शाखा के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार सामान्य स्थिति में अभिसरण आवश्यक रूप से नहीं दिया जाता है, और इसके अभिसरण होने के लिए कुछ मानदंडों को पूरा किया जाना चाहिए।

अभिसरण के निर्धारण के लिए बिंदुवार अभिसरण, एकसमान अभिसरण, पूर्ण अभिसरण, एलपी क्षेत्र की समझ की आवश्यकता होती है। इस प्रकार Lp रिक्त स्थान, योग्‍यता विधियां और सेसरो माध्य के समान होती हैं।

प्रारंभिक
अंतराल पर लेबेस्ग एकीकरण फलन $[0, 2π]$ पर विचार करें, ऐसे f के लिए 'फूरियर गुणांक' $$\widehat{f}(n)$$ सूत्र द्वारा परिभाषित किये गये हैं-


 * $$\widehat{f}(n)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)e^{-int}\,\mathrm{d}t, \quad n \in \Z.$$

f और इसकी फूरियर श्रृंखला के बीच संबंध का वर्णन करना साधारण बात है।


 * $$f \sim \sum_n \widehat{f}(n) e^{int}.$$

यहाँ संकेतन ~ का अर्थ है कि योग कुछ अर्थों में फलन का प्रतिनिधित्व करता है। इसकी अधिक सावधानी से जांच करने के लिए, इस प्रकार आंशिक रकम को परिभाषित किया जाना चाहिए:


 * $$S_N(f;t) = \sum_{n=-N}^N \widehat{f}(n) e^{int}.$$

इस प्रकार यहाँ पर प्रश्न यह है कि क्या फूरियर श्रृंखला अभिसरण करती है: इस प्रकार $$S_N(f)$$ फलन का उपयोग करते हैं। इस प्रकार वेरिएबल t के कौन से फलन होते हैं, जिन्हें इस प्रकार हमने नोटेशन में छोड़ दिया है, इसके आधार पर f में परिवर्तित होते हैं और किस अर्थ में होते हैं? क्या इस या उस प्रकार के अभिसरण को सुनिश्चित करने के लिए कोई शर्तें हैं?

इसे प्रस्तुत रखने से पहले, डिरिचलेट कर्नेल को प्रस्तुत किया जाना चाहिए। जिसके लिए $$\widehat{f}(n)$$ सूत्र का उपयोग करते हैं, इसे सूत्र में सम्मिलित किया जाता हैं, इस प्रकार $$S_N$$ और कुछ बीजगणित करने से वह मिलता है


 * $$S_N(f)=f * D_N$$

जहां ∗ आवधिक कनवल्शन के लिए है और $$D_N$$ डिरिचलेट कर्नेल है, जिसका स्पष्ट सूत्र इस प्रकार है,


 * $$D_n(t)=\frac{\sin((n+\frac{1}{2})t)}{\sin(t/2)}.$$

डिरिचलेट कर्नेल धनात्मक कर्नेल नहीं है, और वास्तव में, इसका मानदंड भिन्न होता है।


 * $$\int |D_n(t)|\,\mathrm{d}t \to \infty $$

इस प्रकार उक्त तथ्य के अनुसार जो चर्चा में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। इस प्रकार Dn का मानदंड L i1(T) Dn के साथ कनवल्शन ऑपरेटर के मानदंड से मेल खाता है, आवधिक निरंतर कार्यों के स्थान C('T') पर कार्य करना, या रैखिक कार्यात्मक f → (S)nf)(0) C('T') के मानदंड के साथ कार्य करता हैं। इसलिए इस प्रकार C('T') पर जब n → ∞ रैखिक कार्यात्मकताओं का यह समूह असीमित है।

फूरियर गुणांक का परिमाण
अनुप्रयोगों में, फूरियर गुणांक का आकार जानना अधिकांशतः उपयोगी होता है।

यदि $$f$$ बिल्कुल सतत कार्य है,
 * $$\left|\widehat f(n)\right|\le {K \over |n|}$$

जिसके लिए $$K$$ स्थिरांक जो केवल $$f$$ पर निर्भर करता है।

यदि $$f$$ परिबद्ध भिन्नता फलन है,
 * $$\left|\widehat f(n)\right|\le {{\rm var}(f)\over 2\pi|n|}.$$

यदि $$f\in C^p$$
 * $$\left|\widehat{f}(n)\right|\le {\| f^{(p)}\|_{L_1}\over |n|^p}.$$

यदि $$f\in C^p$$ और $$f^{(p)}$$ निरंतरता का मापांक $$\omega_p$$ है,
 * $$\left|\widehat{f}(n)\right|\le {\omega(2\pi/n)\over |n|^p} $$

और इसलिए, यदि $$f$$ α-होल्डर वर्ग में है
 * $$\left|\widehat{f}(n)\right|\le {K\over |n|^\alpha}.$$

बिंदु अभिसरण
किसी फलन की फूरियर श्रृंखला को किसी दिए गए बिंदु x पर अभिसरण करने के लिए कई ज्ञात पर्याप्त स्थितियाँ हैं, इस प्रकार उदाहरण के लिए यदि फलन x पर अवकलनीय फलन है। यहां तक ​​कि जंप असंततता भी कोई समस्या उत्पन्न नहीं करती है: यदि फलन में x पर बाएँ और दाएँ डेरिवेटिव हैं, तो इस प्रकार फूरियर श्रृंखला बाएँ और दाएँ सीमा के औसत में परिवर्तित हो जाती है, अपितु गिब्स घटना देखें।

'डिरिचलेट-डिनी मानदंड' बताता है कि: यदि ˒ 2$\pi$-आवधिक है, इस प्रकार स्थानीय रूप से एकीकृत और संतुष्ट करता है-


 * $$\int_0^{\pi} \left| \frac{f(x_0 + t) + f(x_0 - t)}2 - \ell \right| \frac{\mathrm{d}t }{t} < \infty,$$

फिर (SnH)(x0) ℓ में परिवर्तित हो जाता है। इसका तात्पर्य यह है कि किसी भी होल्डर स्थिति या होल्डर क्लास α> 0 के किसी भी फलन f के लिए, फूरियर श्रृंखला हर क्षेत्र f(x) में परिवर्तित हो जाती है।

यह भी ज्ञात है कि सीमित भिन्नता के किसी भी आवधिक कार्य के लिए, फूरियर श्रृंखला के सभी स्थानों पर अभिसरण करती है। इसके लिए दीनी परीक्षण भी देखें।

सामान्यतः किसी आवधिक फलन f के बिंदुवार अभिसरण के लिए सबसे सामान्य मानदंड इस प्रकार हैं:


 * यदि एफ धारक की शर्त को पूरा करता है, तो इसकी फूरियर श्रृंखला समान रूप से अभिसरण करती है।
 * यदि f परिबद्ध भिन्नता का है, तो इसकी फूरियर श्रृंखला हर स्थान पर अभिसरित होती है।
 * यदि f सतत है और इसके फूरियर गुणांक बिल्कुल योग योग्य हैं, तो फूरियर श्रृंखला समान रूप से अभिसरण करती है।

ऐसे निरंतर कार्य सम्मिलित होते हैं, इस प्रकार जिनकी फूरियर श्रृंखला बिंदुवार रूप से परिवर्तित होती है, अपितु समान रूप से नहीं होती हैं, इस प्रकार एंटोनी ज़िगमंड, त्रिकोणमिति श्रृंखला, खंड देखें। इस प्रकार जिसके लिए 1, अध्याय 8, प्रमेय 1.13, पृ. 300 को देख सकते हैं।

चूंकि, सतत फलन की फूरियर श्रृंखला को बिंदुवार अभिसरित करने की आवश्यकता नहीं है। संभवतः सबसे सरल प्रमाण L1(T) में डिरिक्लेट के कर्नेल की गैर-सीमा का उपयोग करता है, और बानाच-स्टाइनहॉस एकसमान सीमा सिद्धांत पर आधारित हैं। इस प्रकार बेयर श्रेणी प्रमेय का आह्वान करने वाले अस्तित्व संबंधी तर्कों के लिए विशिष्ट, यह प्रमाण गैर-रचनात्मक है। यह दर्शाता है कि निरंतर कार्यों का समूह जिसकी फूरियर श्रृंखला किसी दिए गए x पर अभिसरण करती है, इस प्रकार इस सर्कल पर निरंतर कार्यों के बानाच स्थान में बाह्य स्थान का है।

तो कुछ अर्थों में बिंदुवार अभिसरण असामान्य है, और अधिकांश निरंतर कार्यों के लिए फूरियर श्रृंखला किसी दिए गए बिंदु पर अभिसरण नहीं करती है। चूंकि इस प्रकार कार्लसन के प्रमेय से पता चलता है कि किसी दिए गए निरंतर कार्य के लिए फूरियर श्रृंखला लगभग हर स्थान पर एकत्रित होती है।

एक सतत फलन का स्पष्ट उदाहरण देना भी संभव है, जिसकी फूरियर श्रृंखला 0 पर विचलन करती है: इस प्रकार इसके उदाहरण के लिए, सम और 2π-आवधिक फलन f को [0,π] में सभी x के लिए परिभाषित किया गया है।
 * $$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \sin\left[ \left( 2^{n^3} +1 \right) \frac{x}{2}\right].$$

समान अभिसरण
इसकी कल्पना करना $$f\in C^p$$, और $$f^{(p)}$$ निरंतरता का मापांक $$\omega$$ है, इस प्रकार इसके अनुसार तब फूरियर श्रृंखला के आंशिक योग गति के साथ फलन में परिवर्तित हो जाते हैं
 * $$|f(x)-(S_Nf)(x)|\le K {\ln N \over N^p}\omega(2\pi/N)$$

एक स्थिरांक के लिए $$K$$ उस पर निर्भर नहीं है, इसके आधार पर $$f $$, और N $$p$$, और $$N$$ हैं।

यह प्रमेय, जिसे सबसे पहले डी जैक्सन ने सिद्ध किया था, उदाहरण के लिए, बताता है कि यदि इस प्रकार यह$$f$$ को संतुष्ट करता है $$\alpha$$-धारक की स्थिति, फिर


 * $$|f(x)-(S_Nf)(x)|\le K {\ln N\over N^\alpha}.$$

यदि $$f$$ $$2\pi$$ आवधिक है और बिल्कुल निरंतर $$[0,2\pi]$$, फिर फूरियर श्रृंखला $$f$$ समान रूप से अभिसरण होता है, अपितु इस प्रकार इसकी आवश्यक नहीं हैं कि पूर्ण रूप से $$f$$ के समान हो।

पूर्ण अभिसरण
एक फलन में निरपेक्ष अभिसरण फूरियर श्रृंखला होती है यदि


 * $$\|f\|_A:=\sum_{n=-\infty}^\infty |\widehat{f}(n)|<\infty.$$

यह बात प्रमाणित है कि यदि यही स्थिति रही तो $$(S_N f)(t)$$ प्रत्येक t के लिए बिल्कुल अभिसरण होता है और दूसरी ओर, यह पर्याप्त है $$(S_N f)(t)$$ यहां तक ​​कि टी के लिए भी पूर्ण रूप से अभिसरण होता है, तो यह शर्त रखती है, जो दूसरे शब्दों में, पूर्ण अभिसरण के लिए कोई विवाद नहीं है कि योग कहाँ पूर्ण रूप से अभिसरण करता है- इस प्रकार यदि यह बिंदु पर पूर्ण रूप से अभिसरण करता है तो यह हर स्थान पर ऐसा करता है।

इस प्रकार पूर्ण रूप से अभिसरण फूरियर श्रृंखला के साथ सभी कार्यों का समूह बानाच बीजगणित के समान है, इस प्रकार बीजगणित में गुणन का संचालन कार्यों का सरल गुणन है। इस प्रकार इसके आधार पर नॉर्बर्ट वीनर के नाम पर इसे वीनर बीजगणित कहा जाता है, जिन्होंने प्रमाणित किया हैं कि यदि फू पूर्ण रूप से फूरियर में परिवर्तित हो गया है, इस प्रकार श्रृंखला और कभी भी शून्य नहीं होती है, तो इस प्रकार 1/˒ में पूर्णतया अभिसरण फूरियर श्रृंखला होती है। इस प्रकार वीनर के प्रमेय का मूल प्रमाण कठिन था; बानाच बीजगणित के सिद्धांत का उपयोग करके सरलीकरण इज़राइल गेलफैंड द्वारा दिया गया था। अंततः, 1975 में डोनाल्ड जे. न्यूमैन द्वारा संक्षिप्त प्रारंभिक प्रमाण दिया गया हैं।

यदि $$f$$ α> 1/2 के लिए α-धारक वर्ग से संबंधित है


 * $$\|f\|_A\le c_\alpha \|f\|_{{\rm Lip}_\alpha},\qquad

\|f\|_K:=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |n| |\widehat{f}(n)|^2\le c_\alpha \|f\|^2_{{\rm Lip}_\alpha}$$ जिसके लिए $$\|f\|_{{\rm Lip}_\alpha}$$ में स्थिरांक को धारक की स्थिति, $$c_\alpha$$ स्थिरांक केवल पर निर्भर है, यहाँ पर $$\alpha$$; $$\|f\|_K$$ केरिन बीजगणित का आदर्श है। इस प्रकार यहाँ पर ध्यान दें कि यहां 1/2 आवश्यक है - 1/2-होल्डर फलन हैं, जो वीनर बीजगणित से संबंधित नहीं हैं। इसके अतिरिक्त यह प्रमेय α-होल्डर फलन के फूरियर गुणांक के आकार पर सबसे अच्छी ज्ञात सीमा में सुधार नहीं कर सकता है - जो कि इस प्रकार केवल $$O(1/n^\alpha)$$ है और फिर सारांशित नहीं किया जा सकता हैं।

यदि ƒ सीमित भिन्नता का है और इस प्रकार कुछ α > 0 के लिए α-धारक वर्ग से संबंधित है, तो यह वीनर बीजगणित से संबंधित है।

मानक अभिसरण
सबसे साधारण स्थिति lp क्षेत्र या lp2 का है, जो सामान्य हिल्बर्ट क्षेत्र परिणामों का प्रत्यक्ष प्रतिलेखन है। इस प्रकार रिज़-फिशर प्रमेय के अनुसार यदि वर्ग-अभिन्न है तो


 * $$\lim_{N\rightarrow\infty}\int_0^{2\pi}\left|f(x)-S_N(f) (x)

\right|^2\,\mathrm{d}x=0$$ अर्थात $$S_N f$$ L के मानदण्ड में ƒ2 में परिवर्तित हो जाता है, यह देखना साधारण बात है कि इसका व्युत्क्रम भी सत्य है: यदि उपरोक्त सीमा शून्य है, तो L2 में होना चाहिए, तो यह यदि और केवल यदि शर्त है।

यदि उपरोक्त घातांक में 2 को कुछ p से परिवर्तित कर दिया जाता हैं, तो प्रश्न अधिक कठिन हो जाता है। इस प्रकार इससे पता चलता है कि अभिसरण अभी भी कायम है यदि 1 <p<∞ के समान होता हैं। यहाँ पर दूसरे शब्दों में, Lp क्षेत्र या L में ƒp के लिए, $$S_N(f)$$ L में ƒp में परिवर्तित हो जाता है, इस प्रकार मानदंड के अनुसार उक्त मूल के प्रमाण होलोमोर्फिक फलन और हार्डी क्षेत्र के गुणों का उपयोग करता है, और सॉलोमन बोचनर के कारण अन्य प्रमाण, रिज़्ज़-थोरिन प्रमेय या रिज़्ज़-थोरिन इंटरपोलेशन प्रमेय पर निर्भर करता है। इस प्रकार p = 1 और अनंत के लिए, परिणाम सत्य नहीं है। L1 में विचलन के उदाहरण का निर्माण पहली बार एंड्री कोलमोगोरोव द्वारा किया गया था। इसके अनंत मान के लिए, परिणाम एकसमान सीमा सिद्धांत का परिणाम है।

यदि आंशिक योग संचालिका SN एक उपयुक्त योगनीयता कर्नेल द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, उदाहरण के लिए फेजर कर्नेल के साथ कनवल्शन द्वारा प्राप्त फेजर योग, मौलिक रूप से कार्यात्मक विश्लेषणात्मक तकनीकों को यह दिखाने के लिए लागू किया जा सकता है कि मानक अभिसरण 1 ≤ P <∞ के लिए है।

लगभग हर क्षेत्र पर अभिसरण
यह समस्या कि क्या फूरियर श्रृंखला के किसी भी निरंतर कार्य का अभिसरण लगभग हर क्षेत्र में होता है, इस प्रकार 1920 के दशक में निकोलाई लुसिन द्वारा प्रस्तुत किया गया था।

इसे 1966 में लेनार्ट कार्लसन द्वारा धनात्मक रूप से हल किया गया था। उनका परिणाम, जिसे अब कार्लसन के प्रमेय के रूप में जाना जाता है, इस प्रकार L2 में किसी भी फलन के फूरियर विस्तार को बताता है, लगभग हर क्षेत्र मिलती है। बाद में, रिचर्ड हंट (गणितज्ञ) ने इसे एल के रूप में सामान्यीकृत कियाpकिसी भी p> 1 के लिए।

इसके विपरीत, एंड्री कोलमोगोरोव ने, 19 वर्ष की आयु में छात्र के रूप में, अपने पहले वैज्ञानिक कार्य में, इस प्रकार L1 में फलन का उदाहरण बनाया जिसकी फूरियर श्रृंखला लगभग हर क्षेत्र अलग हो जाती है, जिसके पश्चात इसमें हर क्षेत्र के अलग होने के लिए इसमें सुधार हुआ हैं।

जीन-पिअर कहने और यित्ज़ाक काट्ज़नेल्सन (गणितज्ञ) ने प्रमाणित किया हैं कि माप (गणित) शून्य के किसी भी दिए गए सेट ई के लिए, सतत फलन सम्मिलित होते है, जैसे कि फूरियर श्रृंखला किसी भी बिंदु e पर अभिसरण करने में विफल रहती है।

सारांश
क्या अनुक्रम 0,1,0,1,0,1,... (ग्रांडी की श्रृंखला का आंशिक योग) ½ में परिवर्तित होता है? यह अभिसरण की धारणा का बहुत अनुचित सामान्यीकरण नहीं लगता है। इसलिए हम कहते हैं कि कोई भी क्रम $$(a_n)_{n=1}^\infty$$ क्या सिजेरो का अर्थ है। इस प्रकार सिजेरो का योग a if से है।


 * $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n s_k=a.$$

जहाँ $$s_k$$ हम $k$वां आंशिक योग निरूपित करते हैं:


 * $$s_k = a_1 + \cdots + a_k= \sum_{n=1}^k a_n$$

यह देखना कठिन नहीं है कि यदि कोई अनुक्रम किसी a में परिवर्तित हो जाता है, तो यह भी सिजारो माध्य है। इस प्रकार सिजारो भी इसका योग है।

फूरियर श्रृंखला की संक्षेपणता पर चर्चा करने के लिए, हमें प्रतिस्थापित करना होगा $$S_N$$ उचित विचार के साथ इसलिए हम परिभाषित करते हैं


 * $$K_N(f;t)=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} S_n(f;t), \quad N \ge 1,$$

और $$K_N(f)$$ f में अभिसरण करते हैं? $$K_N $$ अब भी नहीं डिरिचलेट के कर्नेल के साथ संयोजित हुआ है, अपितु इस प्रकार फेजर के कर्नेल के साथ संयोजित होता, अर्थात्


 * $$K_N(f)=f*F_N\,$$

जहाँ $$F_N$$ फेजर की गिरी भी,


 * $$F_N=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} D_n.$$

मुख्य अंतर यह है कि फेजर का कर्नेल धनात्मक कर्नेल है। फेजर के प्रमेय में कहा गया है कि आंशिक योगों का उपरोक्त क्रम समान रूप से ƒ में परिवर्तित होता है। इसका तात्पर्य उत्तम अभिसरण गुणों से है।


 * यदि ɪt पर निरंतर है तो ə की फूरियर श्रृंखला t से ə(t) पर योग योग्य है। यदि ƒ निरंतर है, तो इसकी फूरियर श्रृंखला समान रूप से योग योग्य है (अर्थात् $$K_N(f)$$ समान रूप से ƒ) में परिवर्तित हो जाता है।
 * किसी भी पूर्णांक के लिए, $$K_N(f)$$ में $$L^1$$इस प्रकार आदर्श रूप से परिवर्तित हो जाता है।
 * यह कोई गिब्स घटना नहीं है।

इस सारांश के बारे में परिणाम नियमित अभिसरण के बारे में भी परिणाम दे सकते हैं। इस प्रकार उदाहरण के लिए, हम सीखते हैं कि यदि ɪt पर निरंतर है, तो ə की फूरियर श्रृंखला ə(t) से भिन्न मान में परिवर्तित नहीं हो सकती है। यह या तो ƒ(t) में परिवर्तित हो सकता है या अलग हो सकता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि इस प्रकार यदि $$S_N(f;t)$$ कुछ मान x में अभिसरण होता है, यह भी इसके लिए योग योग्य है, इसलिए ऊपर दिए गए पहले योग गुण से, x = ƒ(t) हैं।

वृद्धि का क्रम
डिरिक्लेट के कर्नेल की वृद्धि का क्रम लघुगणकीय है, अर्थात


 * $$\int |D_N(t)|\,\mathrm{d}t = \frac{4}{\pi^2}\log N+O(1).$$

नोटेशन O(1) के लिए बिग ओ अंकन देखें। वास्तविक मूल्य $$4/\pi^2$$ गणना करना कठिन है, (ज़िगमंड 8.3 देखें) और इस प्रकार इसका लगभग कोई उपयोग नहीं है। इसा तथ्य यह है कि हमारे पास कुछ स्थिरांक c है


 * $$\int |D_N(t)|\,\mathrm{d}t > c\log N+O(1)$$

जब कोई डिरिचलेट के कर्नेल के ग्राफ़ की जांच करता है तो यह बिल्कुल स्पष्ट है। एन-वें उच्च मान पर अभिन्न अंग c/n से बड़ा है और इसलिए हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) के लिए अनुमान लघुगणक अनुमान देता है।

इस अनुमान में पिछले कुछ परिणामों के मात्रात्मक संस्करण सम्मिलित हैं। इस प्रकार किसी भी सतत फलन f और किसी t के लिए


 * $$\lim_{N\to\infty} \frac{S_N(f;t)}{\log N}=0.$$

चूंकि, लॉग से छोटे विकास के किसी भी क्रम ω(n) के लिए, यह अब मान्य नहीं है और निरंतर फलन f ढूंढना संभव है, जैसे कि कुछ t के लिए,


 * $$\varlimsup_{N\to\infty} \frac{S_N(f;t)}{\omega(N)}=\infty.$$

इस प्रकार सर्वत्र विचलन की समतुल्य समस्या विवृत हुई है। सर्गेई कोन्यागिन एकीकृत फलन का निर्माण करने में सफल रहे जैसे कि हर किसी के पास होता है-


 * $$\varlimsup_{N\to\infty} \frac{S_N(f;t)}{\sqrt{\log N}}=\infty.$$

यह ज्ञात नहीं है कि यह उदाहरण सर्वोत्तम संभव है या नहीं हैं। इसे ज्ञात करके अन्य दिशाओं से एकमात्र बाउंड लॉग एन है।

एकाधिक आयाम
एक से अधिक आयामों में समतुल्य समस्या की जांच करने पर, उपयोग किए जाने वाले योग के सटीक क्रम को निर्दिष्ट करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, दो आयामों में, कोई परिभाषित कर सकता है


 * $$S_N(f;t_1,t_2)=\sum_{|n_1|\leq N,|n_2|\leq N}\widehat{f}(n_1,n_2)e^{i(n_1 t_1+n_2 t_2)}$$

जिन्हें वर्ग आंशिक योग के रूप में जाना जाता है। उपरोक्त योग को से प्रतिस्थापित किया जाता हैं।


 * $$\sum_{n_1^2+n_2^2\leq N^2}$$

वृत्ताकार आंशिक योगों की ओर ले जाएँ। इन दोनों परिभाषाओं के बीच अंतर अत्यधिक उल्लेखनीय है। इस प्रकार उदाहरण के लिए वर्ग आंशिक योगों के लिए संगत डिरिचलेट कर्नेल का मान इस क्रम का है, इस प्रकार $$\log^2 N$$ जबकि परिपत्र आंशिक रकम के लिए यह $$\sqrt{N}$$ के क्रम का है।

एक आयाम के लिए सही कई परिणाम कई आयामों में गलत या अज्ञात हैं। विशेष रूप से, कार्लसन के प्रमेय का समतुल्य वृत्ताकार आंशिक योगों के लिए अभी भी संवृत्त है। इस प्रकार यह लगभग सभी क्षेत्रों के कई आयामों में वर्ग आंशिक योगों को इसके साथ ही इस प्रकार अधिक सामान्य बहुभुज वाले आंशिक योगों का अभिसरण 1970 के आसपास चार्ल्स फ़ेफ़रमैन द्वारा स्थापित किया गया था।

पाठ्यपुस्तकें

 * Dunham Jackson The theory of Approximation, AMS Colloquium Publication Volume XI, New York 1930.
 * Nina K. Bary, A treatise on trigonometric series, Vols. I, II. Authorized translation by Margaret F. Mullins. A Pergamon Press Book. The Macmillan Co., New York 1964.
 * Antoni Zygmund, Trigonometric series, Vol. I, II. Third edition. With a foreword by Robert A. Fefferman. Cambridge Mathematical Library. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN 0-521-89053-5
 * Yitzhak Katznelson, An introduction to harmonic analysis, Third edition. Cambridge University Press, Cambridge, 2004. ISBN 0-521-54359-2
 * Karl R. Stromberg, Introduction to classical analysis, Wadsworth International Group, 1981. ISBN 0-534-98012-0
 * The Katznelson book is the one using the most modern terminology and style of the three. The original publishing dates are: Zygmund in 1935, Bari in 1961 and Katznelson in 1968. Zygmund's book was greatly expanded in its second publishing in 1959, however.

पाठ में संदर्भित लेख

 * पॉल डू बोइस-रेमंड, उएबर डाई फ़ोरियर्सचेन रेहेन, नाचर। कोन. जीस. विस. गोटिंगेन '21' (1873), 571-582।
 * यह पहला प्रमाण है कि किसी सतत फलन की फूरियर श्रृंखला भिन्न हो सकती है। जर्मन में


 * एंड्री निकोलाइविच कोलमोगोरोव, उने सेरी डे फूरियर-लेबेस्ग डाइवर्जेंट प्रीस्क पार्टआउट, गणित के मूल सिद्धांत 4 (1923), 324-328।
 * एंड्री कोलमोगोरोव, उने सेरी डे फूरियर-लेबेस्ग डाइवर्जेंट पार्टआउट, सी. आर. एकेड। विज्ञान. पेरिस '183' (1926), 1327-1328
 * पहला पूर्णांक फलन का निर्माण है जिसकी फूरियर श्रृंखला लगभग हर क्षेत्र भिन्न होती है। दूसरा हर क्षेत्र विचलन को मजबूत करना है। फ्रेंच में।


 * लेनार्ट कार्लसन, फूरियर श्रृंखला के आंशिक योगों के अभिसरण और विकास पर, एक्टा मैथ। '116' (1966) 135-157.
 * रिचर्ड हंट (गणितज्ञ)|रिचर्ड ए. हंट, फूरियर श्रृंखला के अभिसरण पर, ऑर्थोगोनल विस्तार और उनके सतत एनालॉग्स (प्रो. कॉन्फ., एडवर्ड्सविले, इल., 1967), 235-255। दक्षिणी इलिनोइस विश्वविद्यालय। प्रेस, कार्बोंडेल, आईएल।
 * चार्ल्स लुई फ़ेफ़रमैन, फूरियर श्रृंखला का बिंदुवार अभिसरण, एन। गणित का. '98' (1973), 551-571।
 * माइकल लेसी (गणितज्ञ) और क्रिस्टोफर थीले, कार्लसन ऑपरेटर की बाध्यता का प्रमाण, गणित। रेस. लेट. '7:4' (2000), 361-370।
 * ओले जी. जोर्सबो और लीफ मेजल्ब्रो, फूरियर श्रृंखला पर कार्लसन-हंट प्रमेय। गणित में व्याख्यान नोट्स 911, स्प्रिंगर-वेरलाग, बर्लिन-न्यूयॉर्क, 1982। ISBN 3-540-11198-0
 * यह कार्लसन का मूल पेपर है, जहां वह साबित करता है कि किसी भी निरंतर फलन का फूरियर विस्तार लगभग हर क्षेत्र परिवर्तित होता है; हंट का पेपर जहां वह इसका सामान्यीकरण करता है $$L^p$$ रिक्त स्थान; प्रमाण को सरल बनाने के दो प्रयास; और किताब जो इसका स्वयं निहित विवरण देती है।


 * डनहम जैक्सन, फूरियर सीरीज़ और ऑर्थोगोनल पॉलीनोमिअल्स, 1963
 * डी. जे. न्यूमैन, वीनर के 1/एफ प्रमेय का सरल प्रमाण, प्रोक। आमेर. गणित। समाज. '48' (1975), 264-265।
 * जीन-पियरे कहाने और यित्ज़ाक काट्ज़नेल्सन, सुर लेस एन्सेम्बल्स डे डाइवर्जेंस डेस सीरीज़ ट्राइगोनोमेट्रिक्स, स्टूडियो मैथ। '26' (1966), 305-306
 * इस पेपर में लेखक बताते हैं कि शून्य माप के किसी भी सेट के लिए सर्कल पर निरंतर फलन मौजूद होता है जिसकी फूरियर श्रृंखला उस सेट पर भिन्न होती है। फ्रेंच में।


 * सर्गेई व्लादिमीरोविच कोन्यागिन, हर क्षेत्र त्रिकोणमितीय फूरियर श्रृंखला के विचलन पर, सी. आर. एकेड। विज्ञान. पेरिस '329' (1999), 693-697।
 * जीन-पियरे कहाने, कार्यों की कुछ यादृच्छिक श्रृंखला, दूसरा संस्करण। कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, 1993। ISBN 0-521-45602-9
 * कोन्यागिन पेपर यह साबित करता है $$\sqrt{\log n}$$ विचलन परिणाम ऊपर चर्चा की गई। सरल प्रमाण जो केवल लॉग लॉग एन देता है, काहेन की पुस्तक में पाया जा सकता है।

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