बीजगणितीय समापन

गणित में, अमूर्त बीजगणित, क्षेत्र K का समापन K का बीजगणितीय विस्तार है, जो बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है। यह गणित में कई समापन में से है।

ज़ोर्न के लेम्मा या अल्ट्राफिल्टर लेम्मा,  का उपयोग करते हुए, यह दिखाया जा सकता है कि बीजगणितीय समापन और विखंडन क्षेत्रों का अस्तित्व, और क्षेत्र K का बीजगणितीय समापन समरूपता तक अद्वितीय है, जो K के प्रत्येक सदस्य का निश्चित बिंदु होता है। इस आवश्यक विशिष्टता के कारण, हम प्रायः K के बीजगणितीय समापन के अतिरिक्त K के बीजगणितीय समापन की चर्चा करते हैं।

क्षेत्र K के बीजगणितीय समापन को K के सबसे बड़े बीजगणितीय विस्तार के रूप में माना जा सकता है। इसे देखने के लिए, ध्यान दें कि यदि L, K का कोई बीजगणितीय विस्तार है, तो L का बीजगणितीय संवरण भी K का बीजगणितीय संवरण है, और इसलिए L, K के बीजगणितीय संवरण में समाहित होता है। K का बीजगणितीय समापन भी छोटे बीजगणितीय रूप से समापन क्षेत्र है, जिसमें K है, क्योंकि यदि M कोई बीजगणितीय रूप से समापन क्षेत्र है, जिसमें K है, तो M के तत्व जो बीजगणितीय विस्तार K हैं, K का बीजगणितीय समापन बनाते हैं।

क्षेत्र K के बीजगणितीय समापन में K के समान ही कार्डिनल संख्या होती है I यदि K अनंत और परिमित है तो गणनात्मक रूप से अनंत है।

उदाहरण

 * बीजगणित का मौलिक प्रमेय बताता है कि वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र का बीजगणितीय समापन जटिल संख्याओं का क्षेत्र है।
 * परिमेय संख्याओं के क्षेत्र का बीजगणितीय समापन बीजगणितीय संख्याओं का क्षेत्र है।
 * संमिश्र संख्याओं के अंदर कई गणनीय बीजगणितीय रूप से समापन क्षेत्र हैं, और बीजगणितीय संख्याओं के क्षेत्र को कठोरता से समाहित करते हैं; ये परिमेय संख्याओं के अनुवांशिक विस्तार के बीजगणितीय समापन हैं, उदा:- Q(π) का बीजगणितीय समापन हैं I
 * अभाज्य संख्या शक्ति क्रम q के परिमित क्षेत्र के लिए, बीजगणितीय समापन गणनीय रूप से अनंत क्षेत्र है, जिसमें क्रम qn के क्षेत्र की प्रति होती है I प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक n के लिए इन प्रतियों का मिलन है।

बीजगणितीय समापन और विभाजन क्षेत्रों का अस्तित्व
$$S = \{ f_{\lambda} | \lambda \in \Lambda\}$$ K[x] में सभी मोनिक इरेड्यूसिबल बहुपदों का समुच्चय है। प्रत्येक के लिए $$f_{\lambda} \in S$$, नए चर प्रस्तुत $$u_{\lambda,1},\ldots,u_{\lambda,d}$$ करें, जहाँ $$d = {\rm degree}(f_{\lambda})$$ I R द्वारा उत्पन्न K के ऊपर बहुपद वलय $$u_{\lambda,i}$$ है I सभी के लिए $$\lambda \in \Lambda$$ और सभी $$i \leq {\rm degree}(f_{\lambda})$$ है I
 * $$f_{\lambda} - \prod_{i=1}^d (x-u_{\lambda,i}) = \sum_{j=0}^{d-1} r_{\lambda,j} \cdot x^j \in R[x]$$

$$r_{\lambda,j} \in R$$ द्वारा उत्पन्न R में आदर्श $$r_{\lambda,j}$$ हो, चूँकि I, R से पूर्ण रूप से छोटा है I ज़ोर्न लेम्मा का तात्पर्य है, कि R में अधिकतम आदर्श M उपस्तिथ है, जिसमें I सम्मलित होता है। फील्ड K1=R/M में वह गुण है जो प्रत्येक बहुपद $$f_{\lambda}$$ में गुणांक के साथ के उत्पाद के रूप में विभाजित होता है I $$x-(u_{\lambda,i} + M),$$ और इसलिए K1में सभी मूल हैं I K1 का विस्तार K2 निर्मित किया जा सकता है। इन सभी विस्तारों का मिलन K का बीजगणितीय समापन है, क्योंकि इस नए क्षेत्र में गुणांक वाले किसी भी बहुपद के कुछ गुणांक Kn और पर्याप्त रूप से n के साथ में होते हैं। इसके मूल Kn+1 में हैं, और इसलिए संघ में ही हैं।

यह रेखा के साथ प्रदर्शित किया जा सकता है, कि K[x] के किसी भी उपसमुच्चय S के लिए, K पर S के विभाजन क्षेत्र उपस्तिथ होते हैं।

वियोज्य समापन
बीजगणितीय समापन Kalg में अद्वितीय वियोज्य विस्तार K होता है I Ksep  जिसमें K के अंदर K के सभी वियोज्य विस्तार सम्मलित हैं I इस उप-विस्तार को K का 'वियोज्य समापन' कहा जाता है। चूंकि वियोज्य विस्तार का वियोज्य विस्तार वियोजय है, K का कोई परिमित वियोज्य विस्तार नहीं है I डिग्री> 1 इसे दूसरे प्रकार से कहते हुए, K भिन्न-भिन्न समापन बीजगणितीय विस्तार क्षेत्र में समाहित है। यह अद्वितीय है, वियोज्य समापन पूर्ण बीजगणितीय समापन है, यदि K पूर्ण क्षेत्र है। उदाहरण के लिए, यदि K अभिलाक्षणिक p का क्षेत्र है और यदि X, K पर पारलौकिक है, $$K(X)(\sqrt[p]{X}) \supset K(X)$$ अन्य-वियोज्य बीजगणितीय क्षेत्र विस्तार है।

सामान्यतः, K का पूर्ण गैलोज़ समूह Ksep के ऊपर K का गैलोज़ समूह है।

यह भी देखें

 * बीजगणितीय रूप से समापन क्षेत्र
 * बीजगणितीय विस्तार
 * प्यूसेक्स विस्तार
 * पूर्ण क्षेत्र