आंशिक गणना

आंशिक कलन गणितीय विश्लेषण की एक शाखा है जो यौगिक संचालक (गणित) की वास्तविक संख्या शक्तियों $$D$$ या जटिल संख्या शक्तियों को परिभाषित करने की कई अलग-अलग संभावनाओं का अध्ययन करता है।



और अभिन्न संचालक की $$J$$
 * $$J f(x) = \int_0^x f(s) \,ds\,,$$

और मौलिक एक को सामान्य बनाने वाले ऐसे संचालक के लिए एक कलन विकसित करना है।

इस संदर्भ में, शब्द शक्तियां एक रैखिक संचालक $$D$$ के पुनरावर्तक अनुप्रयोग को एक कार्य $$f$$ में संदर्भित करती हैं, जो कि बार-बार $$D$$ को स्वयं के साथ बना रही है, जैसा कि

$$D^n(f) = (\underbrace{D\circ D\circ D\circ\cdots \circ D}_n)(f) = \underbrace{D(D(D(\cdots D}_n (f)\cdots)))$$.

उदाहरण के लिए, कोई अर्थपूर्ण व्याख्या के लिए कह सकता है
 * $$\sqrt{D} = D^\frac12$$

विभेदन संचालक के लिए कार्यात्मक वर्गमूल के एक एनालॉग के रूप में, अर्थात्, कुछ रैखिक संचालक के लिए एक अभिव्यक्ति, जो किसी भी कार्य पर दो बार प्रयुक्त होने पर, व्युत्पन्न के समान प्रभाव होगा। अधिक सामान्यतः, कोई रैखिक संचालक को परिभाषित करने के प्रश्न को देख सकता है
 * $$D^a$$

प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए $$a$$ इस प्रकार, जब एक पूर्णांक $$n\in\mathbb{Z}$$ मान लेता है, तो यह सामान्य $$n$$-गुना विभेदन $$D$$ के साथ मेल खाता है यदि $$n>0$$, और $$n$$-वीं शक्ति के साथ $$J$$ की जब $$n<0$$ है.

विभेदन संचालक $$D$$ के इस प्रकार के विस्तारों के परिचय और अध्ययन के पीछे एक प्रेरणा यह है कि संचालक शक्तियों के समूह $$\{D^a\mid a\in\R\}$$ परिभाषित इस तरह पैरामीटर $$a$$ के साथ निरंतर अर्ध समूह हैं, जिनमें से पूर्णांक $$n$$ के लिए$$\{D^n\mid n\in\Z\}$$ का मूल असतत अर्ध समूह एक उपसमूह है: चूंकि निरंतर अर्ध समूह के पास एक अच्छी तरह से विकसित गणितीय सिद्धांत है जिसे वे गणित की अन्य शाखाओं में प्रयुक्त कर सकते हैं।

भिन्नात्मक अवकल समीकरण, जिसे असाधारण अवकल समीकरण भी कहा जाता है, भिन्नात्मक कलन के अनुप्रयोग के माध्यम से अवकल समीकरणों का सामान्यीकरण है।

ऐतिहासिक नोट्स
अनुप्रयुक्त गणित और गणितीय विश्लेषण में, भिन्नात्मक अवकलज किसी भी स्वेच्छ क्रम, वास्तविक या जटिल का व्युत्पन्न है। इसकी पहली उपस्थिति 1695 में गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज द्वारा गिलाउम डे ल'होपिटल को लिखे गए एक पत्र में है। लगभग उसी समय, लीबनिज ने दो कार्यों के उत्पाद के भिन्नात्मक व्युत्पन्न के लिए द्विपद प्रमेय और लीबनिज़ नियम के बीच समानता का वर्णन करते हुए बर्नौली भाइयों में से एक को लिखा था । नील्स हेनरिक एबेल के प्रारंभिक पत्रों में से एक में भिन्नात्मक कलन का परिचय दिया गया था जहां सभी तत्व पाए जा सकते हैं: भिन्नात्मक-क्रम एकीकरण और विभेदन का विचार, उनके बीच पारस्परिक रूप से व्युत्क्रम संबंध, यह समझ कि भिन्नात्मक-क्रम विभेदीकरण और एकीकरण को एक ही सामान्यीकृत संचालन के रूप में माना जा सकता है, और विभेदन के लिए एकीकृत संकेतन भी और इच्छानुसार वास्तविक क्रम का एकीकरण। स्वतंत्र रूप से, इस विषय की नींव 1832 में लिउविल द्वारा एक पेपर में रखी गई थी।

ऑटोडीडक्ट ओलिवर हीविसाइड ने 1890 के लगभग विद्युत संचरण रेखा विश्लेषण में परिचालन कलन के व्यावहारिक उपयोग की प्रारंभ की थी । 19वीं और 20वीं शताब्दी में भिन्नात्मक कलन के सिद्धांत और अनुप्रयोगों का बहुत विस्तार हुआ, और कई योगदानकर्ताओं ने भिन्नात्मक व्युत्पन्न और अभिन्न के लिए अलग-अलग परिभाषाएं दी हैं।

भिन्नात्मक व्युत्पन्न की प्रकृति
किसी बिंदु $$x$$ पर फलन $$f$$ का $$a$$-th अवकलज तभी स्थानीय गुण होता है जब $$a$$ एक पूर्णांक होता है; यह गैर-पूर्णांक पावर व्युत्पन्न के स्थिति में नहीं है। दूसरे शब्दों में, $$x=a$$ पर $$f$$ का एक गैर-पूर्णांक भिन्नात्मक व्युत्पन्न, $$f$$ के सभी मानों पर निर्भर करता है, यहां तक कि वे जो $$a$$ से बहुत दूर हैं। इसलिए, यह उम्मीद की जाती है कि भिन्नात्मक व्युत्पन्न संचालन में कुछ प्रकार की सीमा नियम सम्मिलित होती हैं, जिसमें कार्य के बारे में जानकारी सम्मिलित होती है।

क्रम के एक कार्य का आंशिक व्युत्पन्न $$a$$ आजकल अधिकांशतः फूरियर रूपांतरण या मध्य परिवर्तन अविभाज्य रूपांतरण के माध्यम से परिभाषित किया जाता है।

ह्यूरिस्टिक्स
पूछने के लिए एक काफी स्वाभाविक सवाल यह है कि क्या कोई रैखिक संचालक $H$ उपस्थित है, या अर्ध-व्युत्पन्न, जैसे कि
 * $$H^2 f(x) = D f(x) = \dfrac{d}{dx} f(x) = f'(x) \,.$$

यह पता चला है कि ऐसा एक संचालक है, और वास्तव में किसी के लिए भी $a > 0$, एक संचालक $P$ उपस्थित है
 * $$\left(P ^ a f\right)(x) = f'(x),$$

या इसे दूसरे विधि से रखने के लिए, $d^{n}y⁄dx^{n}$ की परिभाषा को $n$ के सभी वास्तविक मानों तक बढ़ाया जा सकता है

मान लीजिए कि $f(x)$ $x > 0$ के लिए परिभाषित एक कार्य हो. 0 से $x$ निश्चित समाकल बनाइए इसे निर्देश करें


 * $$( J f ) ( x ) = \int_0^x f(t) \, dt \,.$$

इस प्रक्रिया को दोहराने से मिलता है
 * $$\left( J^2 f \right) (x) = \int_0^x (Jf)(t) \,dt = \int_0^x \left(\int_0^t f(s) \,ds \right) dt \,,$$

और इसे इच्छानुसार से बढ़ाया जा सकता है।

बार-बार समाकलन के लिए कॉची सूत्र, अर्थात्
 * $$\left(J^n f\right) ( x ) = \frac{1}{ (n-1) ! } \int_0^x \left(x-t\right)^{n-1} f(t) \, dt \,,$$

वास्तविक $n$ के लिए एक सामान्यीकरण के लिए एक सीधा विधि है.

फैक्टोरियल कार्य की असतत प्रकृति को हटाने के लिए गामा कार्य का उपयोग करना हमें अभिन्न संचालक के भिन्नात्मक अनुप्रयोगों के लिए एक स्वाभाविक प्रत्याशी देता है।


 * $$\left(J^\alpha f\right) ( x ) = \frac{1}{ \Gamma ( \alpha ) } \int_0^x \left(x-t\right)^{\alpha-1} f(t) \, dt \,.$$

यह वास्तव में एक अच्छी तरह से परिभाषित संचालक है।

यह दिखाना सीधा है कि $J$ संचालक संतुष्ट है
 * $$\left(J^\alpha\right) \left(J^\beta f\right)(x) = \left(J^\beta\right) \left(J^\alpha f\right)(x) = \left(J^{\alpha+\beta} f\right)(x) = \frac{1}{ \Gamma ( \alpha + \beta) } \int_0^x \left(x-t\right)^{\alpha+\beta-1} f(t) \, dt \,.$$

$$

इस संबंध को भिन्न भिन्न समाकल संकारकों का अर्धसमूह गुण कहा जाता है। दुर्भाग्य से, व्युत्पन्न संचालक $D$क े लिए तुलनीय प्रक्रिया काफी अधिक जटिल है, किंतु यह दिखाया जा सकता है $D$ सामान्य रूप से न तो क्रमविनिमेय और न ही योज्य मानचित्र है।

रीमैन-लिउविल आंशिक अभिन्न
भिन्नात्मक कलन का मौलिक रूप रीमैन-लिउविल अविभाज्य द्वारा दिया गया है, जो अनिवार्य रूप से ऊपर वर्णित किया गया है। आवधिक कार्यों के लिए भिन्नात्मक एकीकरण का सिद्धांत (इसलिए एक अवधि के बाद दोहराने की सीमा स्थिति सहित) वेइल अभिन्न द्वारा दिया गया है। इसे फूरियर श्रृंखला पर परिभाषित किया गया है, और विलुप्त होने के लिए निरंतर फूरियर गुणांक की आवश्यकता होती है (इस प्रकार, यह यूनिट सर्कल पर उन कार्यों पर प्रयुक्त होता है जिनके अविभाज्य शून्य का मूल्यांकन करते हैं)। रीमैन-लिउविल अविभाज्य दो रूपों में उपस्थित है, ऊपरी और निचला अंतराल को ध्यान में रखते हुए $[a,b]$, अभिन्न के रूप में परिभाषित किया गया है

$$_aD_t^{-\alpha} f(t)={}_aI_t^\alpha f(t)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_a^t \left(t-\tau\right)^{\alpha-1} f(\tau) \, d\tau $$
 * $$_tD_b^{-\alpha} f(t)={}_tI_b^\alpha f(t)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_t^b \left(\tau-t\right)^{\alpha-1} f(\tau) \, d\tau $$

जहां पूर्व $f(s)$ के लिए मान्य है और बाद वाला $t = s + (x − s)r$ मान्य है.

इसके विपरीत ग्रुन्वाल्ड-लेटनिकोव व्युत्पन्न अभिन्न के अतिरिक्त व्युत्पन्न के साथ प्रारंभ होता है।

हैडमार्ड भिन्नात्मक अभिन्न
हैडमार्ड भिन्नात्मक अविभाज्य जैक्स हैडमार्ड द्वारा प्रस्तुत किया गया था और निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है,
 * $$_a\mathbf{D}_t^{-\alpha} f(t) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_a^t \left(\log\frac{t}{\tau} \right)^{\alpha -1} f(\tau)\frac{d\tau}{\tau}, \qquad t > a\,.$$

अतांगना-बलेनु आंशिक अभिन्न
अटंगना-बालेनु एक सतत कार्य के भिन्नात्मक अभिन्न को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
 * $$^{AB}{}_aI_t^\alpha f(t)=\frac{1-\alpha}{AB(\alpha)}f(t)+\frac{\alpha}{AB(\alpha)\Gamma(\alpha)}\int_a^t \left(t-\tau\right)^{\alpha-1} f(\tau) \, d\tau $$

आंशिक व्युत्पन्न
मौलिक न्यूटोनियन व्युत्पन्न के विपरीत, भिन्नात्मक व्युत्पन्न को कई अलग-अलग विधि से परिभाषित किया जा सकता है, जो अधिकांशतः सभी समान कार्यों के लिए समान परिणाम नहीं देते हैं। इनमें से कुछ को भिन्नात्मक समाकलन द्वारा परिभाषित किया गया है। परिभाषाओं की असंगति के कारण, यह स्पष्ट होना अधिकांशतः आवश्यक होता है कि किस परिभाषा का उपयोग किया जाता है।



रीमैन-लिउविल आंशिक व्युत्पन्न
अवकल संकारकों के लिए लैग्रेंज के नियम का उपयोग करके संबंधित व्युत्पन्न की गणना की जाती है। क्रम के अविभाज्य पर $n$ वां क्रम व्युत्पन्न की गणना करने पर $α$ क्रम व्युत्पन्न प्राप्त होता है। यह टिप्पणी करना महत्वपूर्ण है $n$ $α$ से बड़ा सबसे छोटा पूर्णांक है (अर्थात, $t > a$). रीमैन-लिउविल अविभाज्य की परिभाषाओं के समान, व्युत्पन्न में ऊपरी और निचले प्रकार हैं।
 * $$_aD_t^\alpha f(t)=\frac{d^n}{dt^n} {}_aD_t^{-(n-\alpha)}f(t)=\frac{d^n}{dt^n} {}_aI_t^{n-\alpha} f(t)$$
 * $$_tD_b^\alpha f(t)=\frac{d^n}{dt^n} {}_tD_b^{-(n-\alpha)}f(t)=\frac{d^n}{dt^n} {}_tI_b^{n-\alpha} f(t)$$
 * $$_tD_b^\alpha f(t)=\frac{d^n}{dt^n} {}_tD_b^{-(n-\alpha)}f(t)=\frac{d^n}{dt^n} {}_tI_b^{n-\alpha} f(t)$$

कपुतो आंशिक व्युत्पन्न
भिन्नात्मक व्युत्पन्न की गणना के लिए एक अन्य विकल्प कपुतो भिन्नात्मक व्युत्पन्न है। इसे माइकल कैपुटो ने अपने 1967 के पेपर में प्रस्तुत किया था। रीमैन-लिउविल भिन्नात्मक व्युत्पन्न के विपरीत, कपुतो की परिभाषा का उपयोग करते हुए विभेदक समीकरणों को हल करते समय, भिन्नात्मक क्रम की प्रारंभिक स्थितियों को परिभाषित करना आवश्यक नहीं है। कपुतो की परिभाषा इस प्रकार सचित्र है, जहां फिर से $t < b$:
 * $${}^C D_t^\alpha f(t)=\frac{1}{\Gamma(n-\alpha)} \int_0^t \frac{f^{(n)}(\tau)}{\left(t-\tau\right)^{\alpha+1-n}}\, d\tau.$$

कपुतो भिन्नात्मक व्युत्पन्न को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
 * $${} D^\nu f(t)=\frac{1}{\Gamma(n-\nu)} \int_0^t (t-u)^{(n-\nu-1)}f^{(n)}(u)\, du \qquad (n-1)<\nu<n$$

जिसका लाभ शून्य है जब $n = ⌈α⌉$ स्थिर है और इसका लाप्लास रूपांतरण फलन के आरंभिक मानो और इसके व्युत्पन्न के माध्यम से व्यक्त किया जाता है। इसके अतिरिक्त, वितरित क्रम के कपुतो भिन्नात्मक व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है
 * $${}_a^b D^\nu f(t)=\int_a^b \phi(\nu)\left[D^{(\nu)}f(t)\right]\,d\nu=\int_a^b\left[\frac{\phi(\nu)}{\Gamma(1-\nu)}\int_0^t \left(t-u\right)^{-\nu}f'(u)\,du \right]\,d\nu $$

जहां $n = ⌈α⌉$ एक वज़न कार्य है और जिसका उपयोग गणितीय रूप से एकाधिक स्मृति औपचारिकताओं की उपस्थिति का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है।

कैपुटो-फैब्रीज़ियो आंशिक व्युत्पन्न
2015 के एक पेपर में, M. कपुतो और M. फैब्रिजियो ने $$C^1$$ एक कार्य $$f(t)$$ के लिए एक गैर विलक्षण कर्नेल के साथ भिन्नात्मक व्युत्पन्न की परिभाषा प्रस्तुत की है
 * $$_a^{CF} D_t^\alpha f(t)=\frac{1}{1-\alpha} \int_a^t f'(\tau) \ e^\left(-\alpha\frac{t-\tau}{1-\alpha}\right) \ d\tau,$$

जहाँ $$a < 0, \alpha \in (0,1] $$

अटंगाना-बलेनु आंशिक व्युत्पन्न
2016 में, अटंगाना और बालेनु ने सामान्यीकृत मित्तग-लेफ़लर कार्य के आधार पर विभेदक संचालक का सुझाव दिया। इसका उद्देश्य गैर-एकवचन गैर-स्थानीय कर्नेल के साथ भिन्नात्मक अंतर संचालक को प्रस्तुत करना था। उनके भिन्नात्मक विभेदक संचालिका क्रमशः रीमैन-लिउविल अर्थ और कैपुतो अर्थ में नीचे दिए गए हैं। एक $$C^1$$ कार्य के लिए $$f(t)$$ के द्वारा दिए गया है
 * $$_a^{ABC} D_t^\alpha f(t)=\frac{AB(\alpha)}{1-\alpha} \int_a^t f'(\tau)E_{\alpha}\left(-\alpha\frac{(t-\tau)^{\alpha}}{1-\alpha}\right)d\tau,$$
 * $$_a^{ABC} D_t^\alpha f(t)=\frac{AB(\alpha)}{1-\alpha} \int_a^t f'(\tau)E_{\alpha}\left(-\alpha\frac{(t-\tau)^{\alpha}}{1-\alpha}\right)d\tau,$$

यदि कार्य निरंतर है, तो रीमैन-लिउविल अर्थ में अटंगाना-बालेनु व्युत्पन्न निम्न द्वारा दिया गया है:
 * $$_a^{ABC} D_t^\alpha f(t)=\frac{AB(\alpha)}{1-\alpha} \frac{d}{dt}\int_a^t f(\tau)E_{\alpha}\left(-\alpha\frac{(t-\tau)^{\alpha}}{1-\alpha}\right)d\tau,$$

अटंगाना-बालेनु भिन्नात्मक व्युत्पन्न में प्रयुक्त कर्नेल में एक संचयी वितरण कार्य के कुछ गुण हैं। उदाहरण के लिए, सभी $$\alpha \in (0, 1]$$ के लिए, कार्यक्रम $$E_\alpha$$ वास्तविक रेखा पर बढ़ रहा है, $$0$$ में $$- \infty$$, और $$E_\alpha (0) = 1$$.अभिसरण करता है इसलिए, हमारे पास वह कार्य है $$x \mapsto 1-E_\alpha (-x^\alpha)$$ धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर प्रायिकता माप का संचयी वितरण कार्य है । वितरण इसलिए परिभाषित किया गया है, और इसके गुणकों में से किसी को क्रम $$\alpha$$ का मित्तग-लेफ़लर वितरण कहा जाता है . यह भी सर्वविदित है कि, ये सभी संभाव्यता वितरण पूर्ण निरंतरता हैं। विशेष रूप से,मित्तग-लेफ़लर कार्य का एक विशेष स्थिति $$E_1$$ है , जो चर घातांकी कार्य है , क्रम $$1$$ का मित्तग-लेफ़लर इसलिए एक घातीय वितरण है। चूँकि , $$\alpha \in (0, 1)$$ के लिए ,मित्तग-लेफ़लर वितरण हैवी टेल्ड होते हैं। उनके लाप्लास परिवर्तन द्वारा दिया गया है:
 * $$\mathbb{E} (e^{- \lambda X_\alpha}) = \frac{1}{1+\lambda^\alpha},$$

इसका सीधा अर्थ है कि, $$\alpha \in (0, 1)$$, के लिए अपेक्षा अनंत है। इसके अतिरिक्त, ये वितरण ज्यामितीय स्थिर वितरण हैं।

रिज व्युत्पन्न
रिज्ज़ व्युत्पन्न को इस रूप में परिभाषित किया गया है
 * $$ \mathcal{F} \left\{ \frac{\partial^\alpha u}{\partial \left|x\right|^\alpha} \right\}(k) = -\left|k\right|^{\alpha} \mathcal{F} \{u \}(k), $$

जहाँ $$\mathcal{F}$$ फूरियर रूपांतरण को दर्शाता है।

अन्य प्रकार
मौलिक आंशिक व्युत्पन्न में सम्मिलित हैं: नए भिन्नात्मक व्युत्पन्न में सम्मिलित हैं:
 * ग्रुनवल्ड-लेटनिकोव व्युत्पन्न
 * सोनिन-लेटनिकोव व्युत्पन्न
 * लिउविल व्युत्पन्न
 * डिफरेंटेरल
 * हैडमार्ड व्युत्पन्न
 * मार्चौड व्युत्पन्न
 * रिज व्युत्पन्न
 * मिलर-रॉस व्युत्पन्न
 * वेइल इंटीग्रल
 * एर्देली-केबर संचालक | एर्देली-केबर व्युत्पन्न
 * भग्न कलन|$$F^{\alpha}$$-व्युत्पन्न
 * कोइम्बरा व्युत्पन्न
 * कटुगमपोला भिन्नात्मक संचालक
 * सहायक व्युत्पन्न
 * डेविडसन व्युत्पन्न
 * चेन व्युत्पन्न
 * कैपुटो फैब्रीज़ियो व्युत्पन्न
 * अतांगना-बलेआनो व्युत्पन्न

ट्रांसिल्वेनिया-केबर ऑपरेटर
एर्डेली-केबर संचालक आर्थर एर्डेली (1940) द्वारा प्रस्तुत किया गया एक अभिन्न संचालक है। और हरमन केबर (1940) और द्वारा दिया गया है
 * $$\frac{x^{-\nu-\alpha+1}}{\Gamma(\alpha)}\int_0^x \left(t-x\right)^{\alpha-1}t^{-\alpha-\nu}f(t) \,dt\,, $$

जो या आंशिक अविभाज्य रीमैन-लिउविल आंशिक अविभाज्य और वेइल अविभाज्य का सामान्यीकरण करता है।

कार्यात्मक पथरी
कार्यात्मक विश्लेषण के संदर्भ में, वर्णक्रमीय प्रमेय के कार्यात्मक कलन में शक्तियों से अधिक सामान्य, कार्य $f(t)$अध्ययन किया जाता है। स्यूडो अन्तराल संचालक का सिद्धांत भी किसी को $D$ की शक्तियों पर विचार करने की अनुमति देता है | उत्पन्न होने वाले संकारक एकवचन समाकल संकारकों के उदाहरण हैं; और मौलिक सिद्धांत के उच्च आयामों के सामान्यीकरण को रिज क्षमता का सिद्धांत कहा जाता है। इसलिए कई समकालीन सिद्धांत उपलब्ध हैं, जिनके अंतर्गत भिन्नात्मक कलन पर चर्चा की जा सकती है। एर्डेली-केबर संचालक भी देखें, विशेष कार्य सिद्धांत में महत्वपूर्ण, है |.

द्रव्यमान का आंशिक संरक्षण
जैसा कि व्हीटक्राफ्ट और मीर्सचर्ट (2008) द्वारा वर्णित है, जब विषमता के मापदंड की तुलना में नियंत्रण मात्रा काफी बड़ी नहीं होती है और जब नियंत्रण मात्रा के अंदर प्रवाह गैर-रैखिक होता है, तो द्रव प्रवाह को मॉडल करने के लिए द्रव्यमान समीकरण के एक आंशिक संरक्षण की आवश्यकता होती है। संदर्भित कागज में, द्रव प्रवाह के लिए द्रव्यमान समीकरण का आंशिक संरक्षण है:
 * $$-\rho \left(\nabla^\alpha \cdot \vec{u} \right) = \Gamma(\alpha +1)\Delta x^{1-\alpha} \rho \left (\beta_s+\phi \beta_w \right ) \frac{\partial p}{\partial t} $$

विद्युत रासायनिक विश्लेषण
समाधान में एक सब्सट्रेट के रेडॉक्स व्यवहार का अध्ययन करते समय, इलेक्ट्रोड सतह पर इलेक्ट्रोड और सब्सट्रेट के बीच इलेक्ट्रॉन हस्तांतरण को विवश करने के लिए एक वोल्टेज प्रयुक्त किया जाता है। परिणामी इलेक्ट्रॉन स्थानांतरण को वर्तमान के रूप में मापा जाता है। वर्तमान इलेक्ट्रोड सतह पर सब्सट्रेट की एकाग्रता पर निर्भर करता है। जैसा कि सब्सट्रेट का सेवन किया जाता है, फ़िक के प्रसार के नियमों के अनुसार ताजा सब्सट्रेट इलेक्ट्रोड में फैलता है। फ़िक के दूसरे नियम के लाप्लास परिवर्तन को लेने से एक सामान्य द्वितीय-क्रम अंतर समीकरण प्राप्त होता है (यहाँ आयाम रहित रूप में):
 * $$\frac{d^2}{d x^2} C(x,s) = sC(x,s) $$

जिसका समाधान C(x,s) में s पर आधा शक्ति निर्भरता होती है। C(x,s) के व्युत्पन्न और फिर व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण से निम्न संबंध प्राप्त होता है:
 * $$\frac{d}{d x} C(x,t) = \frac{d^{\frac{1}{2}}}{d t^{\frac{1}{2}}}C(x,t) $$

जो इलेक्ट्रोड सतह पर सब्सट्रेट की एकाग्रता को वर्तमान से संबंधित करता है। यंत्रवत व्यवहार को स्पष्ट करने के लिए इस रिश्ते को विद्युत गतिज में प्रयुक्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग विद्युत कमी पर सबस्ट्रेट्स के मंदीकरण की दर का अध्ययन करने के लिए किया गया है।

भूजल प्रवाह की समस्या
2013-2014 में अतांगना एट अल भिन्नात्मक क्रम वाले व्युत्पन्न की अवधारणा का उपयोग करते हुए कुछ भूजल प्रवाह समस्याओं का वर्णन किया। इन कार्यों में, मौलिक डार्सी नियम को पीज़ोमेट्रिक हेड के गैर-पूर्णांक क्रम व्युत्पन्न के कार्य के रूप में जल प्रवाह के संबंध में सामान्यीकृत किया जाता है। इस सामान्यीकृत नियम और द्रव्यमान के संरक्षण के नियम का उपयोग भूजल प्रवाह के लिए एक नया समीकरण प्राप्त करने के लिए किया जाता है।

आंशिक संवहन फैलाव समीकरण
यह समीकरण विषम छिद्रयुक्त मीडिया में दूषित प्रवाह मॉडलिंग के लिए उपयोगी दिखाया गया है।

अतांगना और किलिकमैन ने भिन्नात्मक संवहन फैलाव समीकरण को एक चर क्रम समीकरण में विस्तारित किया। उनके काम में, हाइड्रोडायनेमिक फैलाव समीकरण को एक भिन्नता क्रम व्युत्पन्न की अवधारणा का उपयोग करके सामान्यीकृत किया गया था। क्रैंक-निकोलसन पद्धति के माध्यम से संशोधित समीकरण को संख्यात्मक रूप से हल किया गया था। संख्यात्मक अनुकरण में स्थिरता और अभिसरण से पता चला है कि संशोधित समीकरण निरंतर आंशिक और पूर्णांक व्युत्पन्न वाले समीकरणों की तुलना में विकृत जलभृतों में प्रदूषण की गति की पूर्वानुमान करने में अधिक विश्वसनीय है।

समय-स्थान भिन्नात्मक प्रसार समीकरण मॉडल
भिन्नात्मक-क्रम प्रसार समीकरण मॉडल का उपयोग करके जटिल मीडिया में विषम प्रसार प्रक्रियाओं को अच्छी तरह से चित्रित किया जा सकता है। समय व्युत्पन्न शब्द लंबे समय तक हैवी टेल क्षय और प्रसार गैर-स्थानीयता के लिए स्थानिक व्युत्पन्न से मेल खाता है। समय-स्थान आंशिक प्रसार गवर्निंग समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है
 * $$ \frac{\partial^\alpha u}{\partial t^\alpha}=-K (-\Delta)^\beta u.$$

भिन्नात्मक व्युत्पन्न का एक सरल विस्तार चर-क्रम भिन्नात्मक व्युत्पन्न है, $α$ और $β$ को $φ(ν)$ और $f(D)$. में बदल दिया जाता है विषम प्रसार मॉडलिंग में इसके अनुप्रयोग संदर्भ में पाए जा सकते हैं।

संरचनात्मक भिगोना मॉडल
आंशिक व्युत्पन्न का उपयोग कुछ प्रकार की पदार्थो जैसे पॉलिमर में विस्कोलेस्टिक डंपिंग के मॉडल के लिए किया जाता है।

पीआईडी ​​​​नियंत्रक
आंशिक क्रम ों का उपयोग करने के लिए पीआईडी ​​​​नियंत्रकों का सामान्यीकरण उनकी स्वतंत्रता की डिग्री बढ़ा सकता है। मापा त्रुटि मान $α(x, t)$ के संदर्भ में नियंत्रण चर $β(x, t)$ से संबंधित नया समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है
 * $$u(t) = K_\mathrm{p} e(t) + K_\mathrm{i} D_t^{-\alpha} e(t) + K_\mathrm{d} D_t^{\beta} e(t)$$

जहाँ $α$ और $e(t)$ सकारात्मक भिन्नात्मक क्रम हैं और $u(t)$, $β$, और $K_{p}$, सभी गैर-नकारात्मक, क्रमशः आनुपातिक नियंत्रण, अभिन्न और व्युत्पन्न शब्दों के गुणांकों को (कभी-कभी $P$, $I$, और $D$) को निरूपित करते हैं.

जटिल मीडिया के लिए ध्वनिक तरंग समीकरण
जटिल मीडिया में ध्वनिक तरंगों का प्रसार, जैसे कि जैविक ऊतक में,सामान्यतः एक आवृत्ति शक्ति-नियम का पालन करने वाले क्षीणन का तात्पर्य है। इस तरह की घटना को एक कारण तरंग समीकरण का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है जिसमें भिन्नात्मक समय व्युत्पन्न सम्मिलित हैं:
 * $$\nabla^2 u -\dfrac 1{c_0^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} + \tau_\sigma^\alpha \dfrac{\partial^\alpha}{\partial t^\alpha}\nabla^2 u - \dfrac {\tau_\epsilon^\beta}{c_0^2} \dfrac{\partial^{\beta+2} u}{\partial t^{\beta+2}} = 0\,.$$

होल्म एंड नैशोलम भी देखें (2011) और उसमें संदर्भ। इस तरह के मॉडलसामान्यतः मान्यता प्राप्त परिकल्पना से जुड़े होते हैं कि कई विश्राम घटनाएं जटिल मीडिया में मापी गई क्षीणन को जन्म देती हैं। इस कड़ी का आगे नैशोल्म एंड होल्म (2011b) और सर्वेक्षण पत्र में, साथ ही ध्वनिक क्षीणन लेख में वर्णन किया गया है। होल्म एंड नैशोलम देखें (2013) एक पेपर के लिए जो आंशिक तरंग समीकरण की तुलना करता है जो शक्ति-नियम क्षीणन को मॉडल करता है। शक्ति-कानून क्षीणन पर यह पुस्तक भी इस विषय को अधिक विस्तार से आवरण करती है।

पांडे और होल्म ने भिन्नात्मक अवकल समीकरणों को भौतिक सिद्धांतों से प्राप्त करके और ध्वनिक मीडिया के मापदंडों के संदर्भ में भिन्नात्मक-क्रम की व्याख्या करके एक भौतिक अर्थ दिया, उदाहरण के लिए द्रव-संतृप्त दानेदार असंपिंडित समुद्री तलछट में रोचक बात यह है कि पांडे और होल्म ने आंशिक कलन के फ्रेमवर्क का उपयोग करते हुए भूकंप विज्ञान में लोम्निट्ज़ का नियम और गैर-न्यूटोनियन तरल पदार्थ में न्यूटिंग का नियम नॉन-न्यूटोनियन रियोलॉजी को व्युत्पन्न किया। आंशिक व्युत्पन्न का उपयोग करके समुद्री तलछट में तरंग प्रसार को मॉडल करने के लिए न्यूटिंग के नियम का उपयोग किया गया था।

क्वांटम सिद्धांत में आंशिक श्रोडिंगर समीकरण
भिन्नात्मक श्रोडिंगर समीकरण, भिन्नात्मक क्वांटम यांत्रिकी का एक मौलिक समीकरण, के निम्न रूप हैं:
 * $$i\hbar \frac{\partial \psi (\mathbf{r},t)}{\partial t}=D_{\alpha } \left(-\hbar^2\Delta \right)^{\frac{\alpha}{2}}\psi (\mathbf{r},t)+V(\mathbf{r},t)\psi (\mathbf{r},t)\,.$$

जहां समीकरण का हल तरंग क्रिया $K_{i}$ है - कण के लिए क्वांटम यांत्रिक संभाव्यता आयाम दिये गये समय पर $t$,पर दिए गए स्थिति सदिश $K_{d}$ के लिए और $ħ$ घटा हुआ प्लैंक स्थिरांक है। संभावित ऊर्जा कार्य $ψ(r, t)$ तंत्र पर निर्भर करता है।।

आगे, $r$ लाप्लास संचालक है, और $D_{α}$ भौतिक आयामी विश्लेषण के साथ एक मापदंड स्थिरांक है $V(r, t)$, (पर $Δ = ∂^{2}⁄∂r^{2}$, $[D_{α}] = J^{1 − α}·m^{α}·s^{−α} = kg^{1 − α}·m^{2 − α}·s^{α − 2}$ द्रव्यमान के एक कण के लिए $m$), और संचालक $α = 2$ द्वारा परिभाषित 3-आयामी भिन्नात्मक क्वांटम रिज्ज़ व्युत्पन्न है
 * $$(-\hbar^2\Delta)^\frac{\alpha}{2}\psi (\mathbf{r},t) = \frac 1 {(2\pi \hbar)^3} \int d^3 p e^{\frac{i}{\hbar} \mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}|\mathbf{p}|^\alpha \varphi (\mathbf{p},t) \,.$$

अनुक्रमणिका भिन्नात्मक श्रोडिंगर समीकरण $α$ में लेवी सूचकांक $D_{2} = 1⁄2m$. है|

चर-क्रम भिन्नात्मक श्रोडिंगर समीकरण
भिन्नात्मक श्रोडिंगर समीकरण के एक प्राकृतिक सामान्यीकरण के रूप में, भिन्नात्मक क्वांटम घटना का अध्ययन करने के लिए चर-क्रम भिन्नात्मक श्रोडिंगर समीकरण का उपयोग किया गया है:
 * $$i\hbar \frac{\partial \psi^{\alpha(\mathbf{r})} (\mathbf{r},t)}{\partial t^{\alpha(\mathbf{r})} } = \left(-\hbar^2\Delta \right)^{\frac{\beta(t)}{2}}\psi (\mathbf{r},t)+V(\mathbf{r},t)\psi (\mathbf{r},t),$$

जहाँ $(−ħ^{2}Δ)^{α/2}$ लाप्लास संचालक है और संचालक है $1 < α ≤ 2$ चर-क्रम भिन्नात्मक क्वांटम रिज्ज़ व्युत्पन्न है।

यह भी देखें

 * ध्वनिक क्षीणन
 * ऑटोरेग्रेसिव आंशिक रूप से एकीकृत मूविंग एवरेज
 * प्रारंभिक भिन्नात्मक कलन
 * गैर-स्थानीय ऑपरेटर

अन्य आंशिक सिद्धांत

 * आंशिक-क्रम प्रणाली
 * आंशिक फूरियर रूपांतरण

बाहरी संबंध

 * From MathWorld:
 * Specialized journals
 * Fractional Calculus and Applied Analysis 1998–2014
 * Fractional Calculus and Applied Analysis 2015—
 * Fractional Differential Calculus (FDC) 2011–
 * Communications in Fractional Calculus
 * Journal of Fractional Calculus and Applications (JFCA) 2011—
 * collection of books, articles, preprints, etc.
 * Fractional Calculus Modelling
 * Introductory Notes on Fractional Calculus
 * Power Law & Fractional Dynamics
 * The CRONE Toolbox, a Matlab and Simulink Toolbox dedicated to fractional calculus, which is freely downloadable
 * collection of books, articles, preprints, etc.
 * Fractional Calculus Modelling
 * Introductory Notes on Fractional Calculus
 * Power Law & Fractional Dynamics
 * The CRONE Toolbox, a Matlab and Simulink Toolbox dedicated to fractional calculus, which is freely downloadable
 * Introductory Notes on Fractional Calculus
 * Power Law & Fractional Dynamics
 * The CRONE Toolbox, a Matlab and Simulink Toolbox dedicated to fractional calculus, which is freely downloadable