पंक्ति और स्तंभ समिष्ट



रैखिक बीजगणित में, मैट्रिक्स (गणित) A का कॉलम स्पेस (जिसे रेंज या इमेज (गणित) भी कहा जाता है) इसके कॉलम वेक्टर का रैखिक अवधि (सभी संभावित रैखिक संयोजनों का सेट) है। मैट्रिक्स का कॉलम स्पेस छवि (गणित) या संबंधित मैट्रिक्स परिवर्तन के फ़ंक्शन की श्रेणी है।

होने देना $$\mathbb{F}$$ क्षेत्र (गणित) हो।  का स्तंभ स्थान $m × n$ मैट्रिक्स से घटकों के साथ $$\mathbb{F}$$ सदिश समष्टियों के उदाहरणों की  रेखीय उपसमष्टि है #निर्देशांक स्थान|m-स्थान $$\mathbb{F}^m$$. कॉलम स्पेस के आयाम (रैखिक बीजगणित) को मैट्रिक्स का रैंक (रैखिक बीजगणित) कहा जाता है और यह अधिकतम होता है $min(m, n)$. रिंग के ऊपर मैट्रिसेस की परिभाषा (गणित) $$\mathbb{K}$$ # रिंग के ऊपर मैट्रिसेस के लिए।

पंक्ति स्थान इसी तरह परिभाषित किया गया है।

मैट्रिक्स का रो स्पेस और कॉलम स्पेस $A$ को कभी-कभी निरूपित किया जाता है $C(A^{T})$ और $C(A)$ क्रमश। यह लेख वास्तविक संख्याओं के आव्यूहों पर विचार करता है। पंक्ति और स्तंभ स्थान वास्तविक समन्वय स्थान के उप-स्थान हैं $$\R^n$$ और $$\R^m$$ क्रमश।

सिंहावलोकन
होने देना $A$ सेम $m$-द्वारा-$n$ आव्यूह। तब यदि कोई मैट्रिक्स को रैखिक परिवर्तन के रूप में मानता है $$\mathbb{R}^n$$ को $$\mathbb{R}^m$$, तब मैट्रिक्स का स्तंभ स्थान इस रैखिक परिवर्तन की छवि (गणित) के बराबर होता है।
 * 1) $rank(A) = dim(rowsp(A)) = dim(colsp(A))$ = के किसी सोपानक रूप में धुरी तत्व की संख्या $A$,
 * 2) $rank(A)$ = रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों या स्तंभों की अधिकतम संख्या $A$.
 * 1) $rank(A)$ = रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों या स्तंभों की अधिकतम संख्या $A$.

मैट्रिक्स का कॉलम स्पेस $A$ कॉलम के सभी रैखिक संयोजनों का सेट है $A$. अगर $A = [a_{1} ⋯ a_{n}]$, तब $colsp(A) = span(\{a_{1}, ..., a_{n}\})$.

रो स्पेस की अवधारणा मेट्रिसेस को सामान्य करती है $\C$, जटिल संख्याओं का क्षेत्र, या किसी भी क्षेत्र (गणित) पर।

सहज रूप से, मैट्रिक्स दिया $A$, मैट्रिक्स की क्रिया $A$ वेक्टर पर $x$ के स्तंभों का  रैखिक संयोजन लौटाएगा $A$ के निर्देशांक द्वारा भारित $x$ गुणांक के रूप में। इसे देखने का दूसरा तरीका यह है कि यह (1) पहला प्रोजेक्ट होगा $x$ की पंक्ति स्थान में $A$, (2)  व्युत्क्रमणीय रूपांतरण करते हैं, और (3) परिणामी सदिश को रखते हैं $y$ के कॉलम स्पेस में $A$. इस प्रकार परिणाम $y = Ax$ के कॉलम स्पेस में रहना चाहिए $J$. इस दूसरी व्याख्या पर अधिक विवरण के लिए एकवचन मूल्य अपघटन देखें।

उदाहरण
मैट्रिक्स दिया $J$:

J = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 & 3 & 2\\   -1 & -2 & 1 & 0 & 5\\    1 & 6 & 2 & 2 & 2\\    3 & 6 & 2 & 5 & 1  \end{bmatrix} $$ पंक्तियाँ हैं $$\mathbf{r}_1 = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 & 3 & 2 \end{bmatrix}$$, $$\mathbf{r}_2 = \begin{bmatrix} -1 & -2 & 1 & 0 & 5 \end{bmatrix}$$, $$\mathbf{r}_3 = \begin{bmatrix} 1 & 6 & 2 & 2 & 2 \end{bmatrix}$$, $$\mathbf{r}_4 = \begin{bmatrix} 3 & 6 & 2 & 5 & 1 \end{bmatrix}$$. नतीजतन, की पंक्ति स्थान $K$ की उपसमष्टि है $$\R^5$$ द्वारा रैखिक अवधि $\{ r_{1}, r_{2}, r_{3}, r_{4} \}$. चूँकि ये चार पंक्ति सदिश रैखिक स्वतंत्रता हैं, पंक्ति स्थान 4-आयामी है। इसके अलावा, इस मामले में यह देखा जा सकता है कि वे सभी वेक्टर के लिए ओर्थोगोनालिटी हैं $n = [6, −1, 4, −4, 0]$, तो यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि पंक्ति स्थान में सभी वैक्टर शामिल हैं $$\R^5$$ जो ऑर्थोगोनल हैं $n$.

परिभाषा
होने देना $A$ स्केलर (गणित) का क्षेत्र (गणित) हो। होने देना $A$ सेम $m × n$ मैट्रिक्स, कॉलम वैक्टर के साथ $v_{1}, v_{2}, ..., v_{n}$. इन सदिशों का रैखिक संयोजन किसी भी प्रकार का सदिश होता है
 * $$c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + c_n \mathbf{v}_n,$$

कहाँ $c_{1}, c_{2}, ..., c_{n}$ अदिश हैं। के सभी संभव रैखिक संयोजनों का सेट $v_{1}, ..., v_{n}$ का कॉलम स्पेस कहा जाता है $A$. यानी कॉलम स्पेस $A$ सदिशों की रैखिक अवधि है $v_{1}, ..., v_{n}$.

मैट्रिक्स के कॉलम वैक्टर का कोई रैखिक संयोजन $A$ को गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है $A$ कॉलम वेक्टर के साथ:
 * $$\begin{array} {rcl}

A \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix} & = & \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_1 a_{11} + \cdots + c_{n} a_{1n} \\ \vdots \\ c_{1} a_{m1} + \cdots + c_{n} a_{mn} \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} a_{11} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{bmatrix} + \cdots + c_n \begin{bmatrix} a_{1n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{bmatrix} \\ & = & c_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + c_n \mathbf{v}_n \end{array}$$ इसलिए, का स्तंभ स्थान $A$ में सभी संभावित उत्पाद शामिल हैं $Ax$, के लिए $x ∈ K^{n}$. यह संबंधित मैट्रिक्स परिवर्तन की छवि (गणित) (या किसी फ़ंक्शन की श्रेणी) के समान है।

उदाहरण
अगर $$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$$, तो कॉलम वैक्टर हैं $v_{1} = [1, 0, 2]^{T}$ और $v_{2} = [0, 1, 0]^{T}$. वी का रैखिक संयोजन1 और वी2 फॉर्म का कोई वेक्टर है $$c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ 2c_1 \end{bmatrix}$$ ऐसे सभी सदिशों का समुच्चय का स्तंभ स्थान है $A$. इस स्थिति में, स्तंभ स्थान ठीक सदिशों का समुच्चय है $(x, y, z) ∈ R^{3}$ समीकरण को संतुष्ट करना $z = 2x$ (कार्टेशियन निर्देशांक का उपयोग करते हुए, यह सेट त्रि-आयामी अंतरिक्ष में उत्पत्ति के माध्यम से विमान (गणित) है)।

आधार
के स्तंभ $A$ कॉलम स्पेस को फैलाते हैं, लेकिन यदि कॉलम वैक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र नहीं हैं तो वे आधार (रैखिक बीजगणित) नहीं बना सकते हैं। सौभाग्य से, प्राथमिक पंक्ति संचालन स्तंभ वैक्टर के बीच निर्भरता संबंधों को प्रभावित नहीं करते हैं। यह स्तंभ स्थान के लिए आधार (रैखिक बीजगणित) खोजने के लिए पंक्ति में कमी का उपयोग करना संभव बनाता है।

उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स पर विचार करें
 * $$A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & 4 \\ 2 & 7 & 3 & 9 \\ 1 & 5 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 8 \end{bmatrix}.$$

इस मैट्रिक्स के कॉलम कॉलम स्पेस को फैलाते हैं, लेकिन वे रैखिक रूप से स्वतंत्र नहीं हो सकते हैं, जिस स्थिति में उनमें से कुछ सबसेट आधार बनेंगे। इस आधार को खोजने के लिए, हम घटाते हैं $A$ पंक्ति सोपानक प्रपत्र कम करने के लिए:
 * $$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & 4 \\ 2 & 7 & 3 & 9 \\ 1 & 5 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 8 \end{bmatrix}

\sim \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & -3 \\ 0 & -1 & -1 & 4 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$ इस बिंदु पर, यह स्पष्ट है कि पहला, दूसरा और चौथा स्तंभ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, जबकि तीसरा स्तंभ पहले दो का रैखिक संयोजन है। (विशेष रूप से, $v_{3} = −2v_{1} + v_{2}$।) इसलिए, मूल मैट्रिक्स के पहले, दूसरे और चौथे कॉलम कॉलम स्पेस के लिए आधार हैं:
 * $$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix},\;\;

\begin{bmatrix} 3 \\ 7 \\ 5 \\ 2\end{bmatrix},\;\; \begin{bmatrix} 4 \\ 9 \\ 1 \\ 8\end{bmatrix}.$$ ध्यान दें कि कम पंक्ति सोपानक प्रपत्र के स्वतंत्र स्तंभ बिल्कुल धुरी तत्व वाले स्तंभ हैं। यह यह निर्धारित करना संभव बनाता है कि कौन से स्तंभ केवल पंक्ति सोपानक रूप को कम करके रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

उपरोक्त एल्गोरिथ्म का उपयोग सामान्य रूप से वैक्टर के किसी भी सेट के बीच निर्भरता संबंधों को खोजने और किसी भी फैले सेट से आधार चुनने के लिए किया जा सकता है। के कॉलम स्पेस के लिए आधार भी खोज रहा है $A$ खिसकाना मैट्रिक्स की पंक्ति स्थान के लिए आधार खोजने के बराबर है$A^{T}$.

व्यावहारिक सेटिंग में आधार खोजने के लिए (उदाहरण के लिए, बड़े आव्यूहों के लिए), एकवचन-मूल्य अपघटन आमतौर पर उपयोग किया जाता है।

आयाम
कॉलम स्पेस के आयाम (रैखिक बीजगणित) को मैट्रिक्स का रैंक (रैखिक बीजगणित) कहा जाता है। रैंक कम पंक्ति सोपानक रूप में पिवोट्स की संख्या के बराबर है, और मैट्रिक्स से चुने जा सकने वाले रैखिक रूप से स्वतंत्र स्तंभों की अधिकतम संख्या है। उदाहरण के लिए, ऊपर दिए गए उदाहरण में 4 × 4 मैट्रिक्स की रैंक तीन है।

क्योंकि स्तंभ स्थान संबंधित मैट्रिक्स परिवर्तन की छवि (गणित) है, मैट्रिक्स का रैंक छवि के आयाम के समान होता है। उदाहरण के लिए, परिवर्तन $$\R^4 \to \R^4$$ उपरोक्त मैट्रिक्स द्वारा वर्णित सभी मानचित्र $$\R^4$$ कुछ त्रि-आयामी यूक्लिडियन उप-स्थान के लिए।

गिरी (मैट्रिक्स) की अशक्तता कर्नेल (मैट्रिक्स) का आयाम है, और कम पंक्ति सोपानक रूप में स्तंभों की संख्या के बराबर होती है जिनमें पिवोट्स नहीं होते हैं। मैट्रिक्स की रैंक और शून्यता $n$ साथ $A$ स्तंभ समीकरण द्वारा संबंधित हैं:
 * $$\operatorname{rank}(A) + \operatorname{nullity}(A) = n.\,$$

इसे रैंक-शून्यता प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

बाएँ शून्य स्थान से संबंध
का बायाँ शून्य स्थान $A$ सभी सदिशों का समुच्चय है $x$ ऐसा है कि $x^{T}A = 0^{T}$. यह के स्थानांतरण के कर्नेल (मैट्रिक्स) के समान है $A$. मैट्रिक्स का उत्पाद $A^{T}$ और वेक्टर $x$ सदिशों के डॉट गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है:
 * $$A^\mathsf{T}\mathbf{x} = \begin{bmatrix} \mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{x} \\ \mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{x} \\ \vdots \\ \mathbf{v}_n \cdot \mathbf{x} \end{bmatrix},$$

क्योंकि की पंक्ति सदिश $A^{T}$ कॉलम वैक्टर के स्थानान्तरण हैं $v_{k}$ का $A$. इस प्रकार $A^{T}x = 0$ अगर और केवल अगर $x$ के प्रत्येक कॉलम वैक्टर के लिए ओर्थोगोनल  (लंबवत) है $A$.

यह इस प्रकार है कि बायां शून्य स्थान (शून्य स्थान का $A^{T}$) के स्तंभ स्थान का ओर्थोगोनल पूरक है $A$.

मैट्रिक्स के लिए $K$, स्तंभ स्थान, पंक्ति स्थान, शून्य स्थान और बायाँ शून्य स्थान कभी-कभी चार मूलभूत उप-स्थान के रूप में संदर्भित होते हैं।

रिंग के ऊपर मैट्रिसेस के लिए
इसी तरह कॉलम स्पेस (कभी-कभी सही कॉलम स्पेस के रूप में असंबद्ध) को रिंग (गणित) पर मैट्रिक्स के लिए परिभाषित किया जा सकता है। $m$ जैसा
 * $$\sum\limits_{k=1}^n \mathbf{v}_k c_k$$

किसी के लिए $c_{1}, ..., c_{n}$, वेक्टर के प्रतिस्थापन के साथ $K$- बाएँ और दाएँ (बीजगणित) मुक्त मॉड्यूल के साथ स्थान, जो सदिश के अदिश गुणन के क्रम को बदलता है $v_{k}$ अदिश को $c_{k}$ जैसे कि यह असामान्य क्रम सदिश-अदिश में लिखा गया है।

परिभाषा
होने देना $A$ स्केलर (गणित) का क्षेत्र (गणित) हो। होने देना $K$ सेम $Ac$ मैट्रिक्स, पंक्ति वैक्टर के साथ $c$. इन सदिशों का रैखिक संयोजन किसी भी प्रकार का सदिश होता है
 * $$c_1 \mathbf{r}_1 + c_2 \mathbf{r}_2 + \cdots + c_m \mathbf{r}_m,$$

कहाँ $K^{n}$ अदिश हैं। के सभी संभव रैखिक संयोजनों का सेट $m × n$ का रो स्पेस कहा जाता है $A$. यानी की पंक्ति स्थान $A$ सदिशों की रैखिक अवधि है $r_{1}, r_{2}, ..., r_{m}$.

उदाहरण के लिए, यदि
 * $$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix},$$

तो पंक्ति वैक्टर हैं $c_{1}, c_{2}, ..., c_{m}$ और $r_{1}, ..., r_{m}$. का रैखिक संयोजन $r_{1}, ..., r_{m}$ और $r_{1} = [1, 0, 2]$ फॉर्म का कोई वेक्टर है
 * $$c_1 \begin{bmatrix}1 & 0 & 2\end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix}0 & 1 & 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}c_1 & c_2 & 2c_1\end{bmatrix}.$$

ऐसे सभी सदिशों का समुच्चय का पंक्ति स्थान है $A$. इस स्थिति में, पंक्ति स्थान ठीक सदिशों का समुच्चय है $r_{2} = [0, 1, 0]$ समीकरण को संतुष्ट करना $r_{1}$ (कार्टेशियन निर्देशांक का उपयोग करते हुए, यह सेट त्रि-आयामी अंतरिक्ष में उत्पत्ति के माध्यम से विमान (गणित) है)।

मैट्रिक्स के लिए जो रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणाली का प्रतिनिधित्व करता है, पंक्ति स्थान में सभी रैखिक समीकरण होते हैं जो सिस्टम में उन लोगों से अनुसरण करते हैं।

का स्तंभ स्थान $A$ के पंक्ति स्थान के बराबर है $r_{2}$.

आधार
पंक्ति स्थान प्रारंभिक पंक्ति संचालन से प्रभावित नहीं होता है। यह पंक्ति स्थान के लिए आधार (रैखिक बीजगणित) खोजने के लिए पंक्ति में कमी का उपयोग करना संभव बनाता है।

उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स पर विचार करें
 * $$A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 7 & 4 \\ 1 & 5 & 2\end{bmatrix}.$$

इस मैट्रिक्स की पंक्तियाँ पंक्ति स्थान को फैलाती हैं, लेकिन वे रैखिक रूप से स्वतंत्र नहीं हो सकती हैं, इस स्थिति में पंक्तियाँ आधार नहीं होंगी। आधार खोजने के लिए, हम कम करते हैं $A$ पंक्ति सोपानक प्रपत्र करने के लिए:

$(x, y, z) ∈ K^{3}$, $z = 2x$, $A^{T}$ पंक्तियों का प्रतिनिधित्व करता है।

\begin{align} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 7 & 4 \\ 1 & 5 & 2\end{bmatrix} &\xrightarrow{\mathbf{r}_2-2\mathbf{r}_1 \to \mathbf{r}_2} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 5 & 2\end{bmatrix} \xrightarrow{\mathbf{r}_3-\,\,\mathbf{r}_1 \to \mathbf{r}_3} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0\end{bmatrix} \\ &\xrightarrow{\mathbf{r}_3-2\mathbf{r}_2 \to \mathbf{r}_3} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \xrightarrow{\mathbf{r}_1-3\mathbf{r}_2 \to \mathbf{r}_1} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}. \end{align} $$ बार जब मैट्रिक्स सोपानक रूप में होता है, तो गैर-शून्य पंक्तियाँ पंक्ति स्थान के लिए आधार होती हैं। इस मामले में आधार है $r_{1}$. अन्य संभावित आधार $r_{2}$ और कमी से आता है। इस एल्गोरिथ्म का उपयोग सामान्य रूप से वैक्टर के सेट की अवधि के लिए आधार खोजने के लिए किया जा सकता है। यदि मैट्रिक्स को पंक्ति सोपानक रूप को कम करने के लिए और सरल किया जाता है, तो परिणामी आधार विशिष्ट रूप से पंक्ति स्थान द्वारा निर्धारित किया जाता है।

इसके बजाय मूल मैट्रिक्स की पंक्तियों के बीच से पंक्ति स्थान के लिए आधार खोजना कभी-कभी सुविधाजनक होता है (उदाहरण के लिए, यह परिणाम प्राथमिक प्रमाण देने में उपयोगी होता है कि रैंक (रैखिक बीजगणित) # मैट्रिक्स की वैकल्पिक परिभाषाएँ बराबर होती हैं इसकी रैंक)। चूँकि पंक्ति संक्रियाएँ पंक्ति सदिशों के रैखिक निर्भरता संबंधों को प्रभावित कर सकती हैं, इसके बजाय इस तरह के आधार को अप्रत्यक्ष रूप से इस तथ्य का उपयोग करते हुए पाया जाता है कि पंक्ति सदिशों का स्तंभ स्थान $r_{3}$ के पंक्ति स्थान के बराबर है $A$. उदाहरण मैट्रिक्स का उपयोग करना $A$ ऊपर, ढूँढें $\{ [1, 3, 2], [2, 7, 4] \}$ और इसे पंक्ति सोपानक रूप में कम करें:



A^{\mathrm{T}} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 7 & 5 \\ 2 & 4 & 2\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}. $$ पिवोट्स इंगित करते हैं कि के पहले दो कॉलम $\{ [1, 0, 2], [0, 1, 0] \}$ के कॉलम स्पेस का आधार बनता है $A^{T}$. इसलिए, की पहली दो पंक्तियाँ $A$ (किसी भी पंक्ति में कमी से पहले) की पंक्ति स्थान का आधार भी बनता है $A$.

आयाम
पंक्ति स्थान के आयाम (रैखिक बीजगणित) को मैट्रिक्स का रैंक (रैखिक बीजगणित) कहा जाता है। यह रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों की अधिकतम संख्या के समान है जिसे मैट्रिक्स से चुना जा सकता है, या समान रूप से पिवोट्स की संख्या। उदाहरण के लिए, ऊपर के उदाहरण में 3 ×3 मैट्रिक्स की रैंक दो है।

मैट्रिक्स की रैंक भी खाली जगह के आयाम के बराबर होती है। स्तंभ स्थान के आयाम को मैट्रिक्स की शून्यता कहा जाता है, और निम्न समीकरण द्वारा रैंक से संबंधित है:
 * $$\operatorname{rank}(A) + \operatorname{nullity}(A) = n,$$

कहाँ $A$ मैट्रिक्स के स्तंभों की संख्या है $n$. उपरोक्त समीकरण को रैंक-शून्यता प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

शून्य स्थान से संबंध
मैट्रिक्स का शून्य स्थान $A$ सभी सदिशों का समुच्चय है $A^{T}$ जिसके लिए $A^{T}$. मैट्रिक्स का उत्पाद $A$ और वेक्टर $A^{T}$ सदिशों के डॉट गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है:
 * $$A\mathbf{x} = \begin{bmatrix} \mathbf{r}_1 \cdot \mathbf{x} \\ \mathbf{r}_2 \cdot \mathbf{x} \\ \vdots \\ \mathbf{r}_m \cdot \mathbf{x} \end{bmatrix},$$

कहाँ $x$ के पंक्ति सदिश हैं $A$. इस प्रकार $Ax = 0$ अगर और केवल अगर $x$ प्रत्येक पंक्ति वैक्टर के लिए ऑर्थोगोनल (लंबवत) है $A$.

यह इस प्रकार है कि अशक्त स्थान $A$ पंक्ति स्थान के लिए ओर्थोगोनल पूरक है। उदाहरण के लिए, यदि पंक्ति स्थान तीन आयामों में मूल के माध्यम से विमान है, तो रिक्त स्थान मूल के माध्यम से लंबवत रेखा होगी। यह रैंक-शून्यता प्रमेय का प्रमाण प्रदान करता है (ऊपर #आयाम देखें)।

पंक्ति स्थान और अशक्त स्थान मैट्रिक्स से जुड़े चार मूलभूत उप-स्थानों में से दो हैं $A$ (अन्य दो स्तंभ स्थान हैं और खाली स्थान छोड़ दिया गया है)।

कोइमेज से संबंध
अगर $A$ और $V$ सदिश स्थान हैं, फिर रेखीय परिवर्तन का कर्नेल (रैखिक बीजगणित)। $r_{1}, ..., r_{m}$ सदिशों का समुच्चय है $Ax = 0$ जिसके लिए $x$. रेखीय परिवर्तन का कर्नेल मैट्रिक्स के शून्य स्थान के अनुरूप होता है।

अगर $W$ आंतरिक उत्पाद स्थान है, तो कर्नेल के ऑर्थोगोनल पूरक को पंक्ति स्थान के सामान्यीकरण के रूप में माना जा सकता है। इसे कभी-कभी का  coimage  कहा जाता है $V$. रूपान्तरण $T$ अपने कोइमेज पर एक-से- है, और कोइमेज मैप्स समाकृतिकता  की छवि (गणित) पर $T$.

कब $T$ आंतरिक उत्पाद स्थान नहीं है, जिसकी सह-छवि है $V$ भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $T: V → W$.

यह भी देखें

 * यूक्लिडियन उपक्षेत्र

बाहरी संबंध

 * 🇦🇹, MIT Linear Algebra Lecture on the Four Fundamental Subspaces at Google Video, from MIT OpenCourseWare
 * Khan Academy video tutorial
 * Lecture on column space and nullspace by Gilbert Strang of MIT
 * Row Space and Column Space
 * Lecture on column space and nullspace by Gilbert Strang of MIT
 * Row Space and Column Space