फिबोनाची अनुक्रम

गणित में, फाइबोनैचि अनुक्रम एक पूर्णांक अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक संख्या पिछले दो का योग है। फाइबोनैचि अनुक्रम में अलग-अलग संख्याओं को फाइबोनैचि संख्या के रूप में जाना जाता है, जिसे सामान्यतः निरूपित किया जाता है $F_{n}$. अनुक्रम सामान्यतः 0 और 1 से प्रारम्भ होता है, हालांकि कुछ लेखक 1 और 1 से अनुक्रम प्रारम्भ करते हैं या कभी-कभी (जैसा कि फाइबोनैचि ने किया था) 1 और 2 से। 0 और 1 से प्रारम्भ करते हुए, अनुक्रम में पहले कुछ मान हैं:
 * 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144।

भारतीय गणित में पहली बार फिबोनैकी संख्या का वर्णन किया गया था,  दो लंबाई के शब्दांशों से निर्मित संस्कृत कविता के संभावित पैटर्न की गणना पर पिंगला द्वारा 200 ईसा पूर्व के कार्य में। उनका नाम पीसा के इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो के नाम पर रखा गया है, जिन्हें बाद में फाइबोनैचि के नाम से जाना जाता है, जिन्होंने अपनी 1202 पुस्तक अबेकस की किताब में पश्चिमी यूरोपीय गणित के अनुक्रम की प्रारम्भ की।

फाइबोनैचि संख्याएँ अक्सर गणित में अप्रत्याशित रूप से दिखाई देती हैं, इतना अधिक कि उनके अध्ययन के लिए समर्पित एक संपूर्ण पत्रिका, फाइबोनैचि त्रैमासिक है। फाइबोनैचि संख्याओं के अनुप्रयोगों में कंप्यूटर एल्गोरिदम सम्मिलित हैं जैसे फाइबोनैचि खोज तकनीक और फाइबोनैचि हीप डेटा संरचना, और ग्राफ (असतत गणित) जिसे फाइबोनैचि क्यूब्स कहा जाता है जो समानांतर और वितरित प्रणालियों को आपस में जोड़ने के लिए उपयोग किया जाता है। वे प्रकृति #सर्पिल में पैटर्न भी दिखाई देते हैं, जैसे कि पेड़ों में शाखाओं में बँटना, फ़ाइलोटैक्सिस, एक अनानास के फल के अंकुर, एक आटिचोक का फूलना, एक अघुलनशील फ़र्न, और एक पाइन शंकु के सहपत्रों की व्यवस्था।

फाइबोनैचि संख्याएं भी गोल्डन रेश्यो से दृढ़ता से संबंधित हैं: #बिनेट का सूत्र बिनेट का सूत्र व्यक्त करता है $n$वें फाइबोनैचि संख्या के संदर्भ में $n$ और गोल्डन रेश्यो, और इसका अर्थ है कि लगातार दो फाइबोनैचि संख्याओं का अनुपात गोल्डन रेश्यो की ओर जाता है $n$ बढ़ती है। फाइबोनैचि संख्याएँ भी लुकास संख्या से निकटता से संबंधित हैं, जो समान पुनरावृत्ति संबंध का पालन करती हैं और फाइबोनैचि संख्याओं के साथ लुकास अनुक्रम की एक पूरक जोड़ी बनाती हैं।

परिभाषा
फाइबोनैचि संख्याओं को पुनरावृत्ति संबंध द्वारा परिभाषित किया जा सकता है $$F_0=0,\quad F_1= 1,$$ और $$F_n=F_{n-1} + F_{n-2}$$ के लिए $n > 1$.

कुछ पुरानी परिभाषाओं के तहत, मान $$F_0 = 0$$ छोड़ दिया जाता है, ताकि क्रम से प्रारम्भ हो $$F_1=F_2=1,$$ और पुनरावृत्ति $$F_n=F_{n-1} + F_{n-2}$$ के लिए मान्य है $n > 2$. पहले 20 फाइबोनैचि संख्याएँ $F_{n}$ हैं: :{| class="wikitable" style="text-align:right"
 * F0
 * F1
 * F2
 * F3
 * F4
 * F5
 * F6
 * F7
 * F8
 * F9
 * F10
 * F11
 * F12
 * F13
 * F14
 * F15
 * F16
 * F17
 * F18
 * F19
 * 0
 * 1
 * 1
 * 2
 * 3
 * 5
 * 8
 * 13
 * 21
 * 34
 * 55
 * 89
 * 144
 * 233
 * 377
 * 610
 * 987
 * 1597
 * 2584
 * 4181
 * }
 * 4181
 * }

भारत
फाइबोनैचि अनुक्रम भारतीय गणित में संस्कृत छंद के संबंध में प्रकट होता है।  संस्कृत काव्य परंपरा में, 2 इकाई अवधि के लंबे (L) अक्षरों के सभी पैटर्नों की गणना करने में रुचि थी, जो 1 इकाई अवधि के लघु (S) अक्षरों के साथ जुड़ा हुआ था। दी गई कुल अवधि के साथ लगातार L और S के अलग-अलग पैटर्न की गणना करने पर फ़ाइबोनैचि संख्याएँ मिलती हैं: अवधि के पैटर्न की संख्या $m$ इकाइयां हैं $F_{m+1}$. फाइबोनैचि अनुक्रम का ज्ञान पिंगला के रूप में बहुत पहले व्यक्त किया गया था (c.  450 ईसा पूर्व–200 ईसा पूर्व)। सिंह पिंगला के गूढ़ सूत्र मिसरौ चा (दोनों मिश्रित हैं) का हवाला देते हैं और विद्वानों ने संदर्भ में इसकी व्याख्या करते हुए कहा है कि पैटर्न की संख्या $m$ धड़कता है ($F_{m+1}$) में एक [S] जोड़कर प्राप्त किया जाता है $F_{m}$ परिस्थितियों और एक [एल] को $F_{m−1}$ स्थिति। भरत मुनि भी नाट्य शास्त्र (सी। 100 ईसा पूर्व-सी। 350 ईस्वी) में अनुक्रम के ज्ञान को व्यक्त करते हैं। हालांकि, अनुक्रम की सबसे स्पष्ट व्याख्या विरहंका (सी. 700 ईस्वी) के काम में उत्पन्न होती है, जिसका अपना काम खो गया है, लेकिन गोपाल (सी. 1135) के एक उद्धरण में उपलब्ध है:

"पहले के दो मीटरों की विविधता [भिन्नता है]... उदाहरण के लिए, [लंबाई का एक मीटर] चार के लिए, दो [और] तीन के मीटरों की विविधताएं मिश्रित होने पर, पांच होता है। [उदाहरण 8, 13, 21 पर काम करता है]... इस तरह, सभी मात्रा-वृतों [प्रोसोडिक संयोजन] में प्रक्रिया का पालन किया जाना चाहिए।"

हेमचंद्र (सी। 1150) को अनुक्रम के ज्ञान के साथ-साथ श्रेय दिया जाता है, यह लिखते हुए कि अंतिम का योग और अंतिम से पहले का योग अगली मात्रा-वृत की संख्या है।

यूरोप
फाइबोनैचि अनुक्रम सबसे पहले फाइबोनैचि की पुस्तक लिबर एबाकी (द बुक ऑफ कैलकुलेशन, 1202) में दिखाई देता है जहां इसका उपयोग खरगोशों की आबादी के विकास की गणना करने के लिए किया जाता है। फाइबोनैचि एक आदर्श (जीव विज्ञान अवास्तविक) खरगोश की आबादी के विकास पर विचार करता है, यह मानते हुए कि: खरगोशों के एक नवजात प्रजनन जोड़े को एक क्षेत्र में रखा जाता है; प्रत्येक प्रजनन जोड़ी एक महीने की उम्र में संभोग करती है, और अपने दूसरे महीने के अंत में वे हमेशा खरगोशों की एक और जोड़ी पैदा करते हैं; और खरगोश कभी नहीं मरते, बल्कि हमेशा के लिए प्रजनन करते रहते हैं। फाइबोनैचि ने पहेली पेश की: एक वर्ष में कितने जोड़े होंगे?


 * पहले महीने के अंत में, वे संभोग करते हैं, लेकिन अभी भी केवल 1 जोड़ा है।
 * दूसरे महीने के अंत में वे एक नई जोड़ी पैदा करते हैं, इसलिए मैदान में 2 जोड़े हैं।
 * तीसरे महीने के अंत में, मूल जोड़ी एक दूसरी जोड़ी पैदा करती है, लेकिन दूसरी जोड़ी केवल एक महीने के लिए गर्भधारण करती है, इसलिए कुल मिलाकर 3 जोड़े होते हैं।
 * चौथे महीने के अंत में, मूल जोड़ी ने अभी तक एक और नई जोड़ी बनाई है, और दो महीने पहले पैदा हुई जोड़ी भी अपनी पहली जोड़ी पैदा करती है, जिससे 5 जोड़े बनते हैं।

के अंत में $n$वें महीने, खरगोशों के जोड़े की संख्या परिपक्व जोड़े की संख्या के बराबर है (यानी, महीने में जोड़े की संख्या $n – 2$) साथ ही पिछले महीने (माह) जीवित जोड़े की संख्या $n – 1$). संख्या में $n$वाँ महीना है $n$वें फाइबोनैचि संख्या। फाइबोनैचि अनुक्रम नाम का पहली बार उपयोग 19वीं सदी के संख्या सिद्धांतकार एडुआर्ड लुकास द्वारा किया गया था।



संवृत रूप अभिव्यक्ति
स्थिर गुणांकों के साथ एक रेखीय पुनरावृत्ति द्वारा परिभाषित प्रत्येक अनुक्रम की तरह, फाइबोनैचि संख्याओं में एक सवृत-रूप अभिव्यक्ति होती है। इसे फ्रांसीसी गणितज्ञ जैक्स फिलिप मैरी बिनेट के नाम पर बिनेट के सूत्र के रूप में जाना जाता है, हालांकि यह पहले से ही अब्राहम डी मोइवरे और डेनियल बर्नौली द्वारा जाना जाता था:

$$F_n = \frac{\varphi^n-\psi^n}{\varphi-\psi} = \frac{\varphi^n-\psi^n}{\sqrt 5},$$ जहाँ $$\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.61803\,39887\ldots$$ गोल्डन रेश्यो है, और $ψ$ इसका संयुग्म (वर्गमूल) है: $$\psi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = 1 - \varphi = - {1 \over \varphi} \approx -0.61803\,39887\ldots.$$ तब से $$\psi = -\varphi^{-1}$$, इस सूत्र को इस रूप में भी लिखा जा सकता है $$F_n = \frac{\varphi^n-(-\varphi)^{-n}}{\sqrt 5} = \frac{\varphi^n-(-\varphi)^{-n}}{2 \varphi - 1}.$$ अनुक्रम और इन स्थिरांकों के बीच संबंध देखने के लिए, ध्यान दें कि $φ$ और $ψ$ समीकरण के दोनों समाधान हैं $$x^2 = x + 1 \quad\text{and, thus,}\quad x^n = x^{n-1} + x^{n-2},$$ इसलिए की घात $φ$ और $ψ$ फाइबोनैचि पुनरावर्तन को संतुष्ट करें। दूसरे शब्दों में,
 * $$\varphi^n = \varphi^{n-1} + \varphi^{n-2}\ $$और$$\ \psi^n = \psi^{n-1} + \psi^{n-2}.$$

यह इस प्रकार है कि किसी भी मूल्य के लिए $a$ और $b$, द्वारा परिभाषित अनुक्रम $$U_n=a \varphi^n + b \psi^n$$ समान पुनरावृत्ति को संतुष्ट करता है। $$U_n = a\varphi^n + b\psi^n = a(\varphi^{n-1} + \varphi^{n-2}) +  b(\psi^{n-1} + \psi^{n-2}) = a\varphi^{n-1} + b\psi^{n-1} + a\varphi^{n-2} + b\psi^{n-2} = U_{n-1} + U_{n-2}$$ अगर $a$ और $b$ को चुना जाता है ताकि $U_{0} = 0$ और $U_{1} = 1$ फिर परिणामी अनुक्रम $U_{n}$ फाइबोनैचि अनुक्रम होना चाहिए। यह आवश्यकता के समान ही है $a$ और $b$ समीकरणों की प्रणाली को संतुष्ट करें: $$\left\{\begin{array}{l} a + b = 0\\ \varphi a + \psi b = 1\end{array}\right.$$ जिसका समाधान हो $$a = \frac{1}{\varphi-\psi} = \frac{1}{\sqrt 5},\quad b = -a,$$ आवश्यक सूत्र तैयार करना।

प्रारम्भी मान ले $U_{0}$ और $U_{1}$ स्वेच्छन्दता से स्थिरांक होने के लिए, एक अधिक सामान्य समाधान है: $$ U_n=a\varphi^n+b\psi^n $$ जहाँ $$ a=\frac{U_1-U_0\psi}{\sqrt 5}$$ $$ b=\frac{U_0\varphi-U_1}{\sqrt 5}.$$

पूर्णांकन द्वारा गणना
तब से $$\left|\frac{\psi^{n}}{\sqrt 5}\right| < \frac{1}{2}$$ सभी के लिए $n ≥ 0$, जो नंबर $F_{n}$ का निकटतम पूर्णांक है $$\frac{\varphi^n}{\sqrt 5}$$. इसलिए, इसे निकटतम पूर्णांक फलन का उपयोग करके गोल करके पाया जा सकता है: $$F_n=\left\lfloor\frac{\varphi^n}{\sqrt 5}\right\rceil,\ n \geq 0.$$ वास्तव में, राउंडिंग एरर बहुत छोटा है, 0.1 से कम होने के कारण $n ≥ 4$, और 0.01 से कम के लिए $n ≥ 8$.

फ्लोर फलन के संदर्भ में, फाइबोनैचि संख्याओं की गणना ट्रंकेशन द्वारा भी की जा सकती है: $$F_n=\left\lfloor\frac{\varphi^n}{\sqrt 5} + \frac{1}{2}\right\rfloor,\ n \geq 0.$$ जैसा कि फ्लोर फलन मोनोटोनिक है, इंडेक्स खोजने के लिए बाद वाला फॉर्मूला उलटा हो सकता है $n(F&hairsp;)$ सबसे छोटी फाइबोनैचि संख्या जो किसी धनात्मक पूर्णांक से कम नहीं है $F$: $$n(F) = \left\lceil \log_\varphi \left(F\cdot\sqrt{5} - \frac{1}{2}\right) \right\rceil,$$जहाँ $$\log_\varphi(x) = \ln(x)/\ln(\varphi) = \log_{10}(x)/\log_{10}(\varphi)$$, $$\ln(\varphi) = 0.481211\ldots$$, और $$\log_{10}(\varphi) = 0.208987\ldots$$.

परिमाण
चूंकि Fn स्पर्शोन्मुख विश्लेषण है $$\varphi^n/\sqrt5$$, Fn में अंकों की संख्या के लिए स्पर्शोन्मुख है $$n\log_{10}\varphi\approx 0.2090\, n$$. परिणामस्वरूप, प्रत्येक पूर्णांक d > 1 के लिए d दशमलव अंकों के साथ या तो 4 या 5 फाइबोनैचि संख्याएँ होती हैं।

अधिक सामान्यतः मूलांक बी प्रतिनिधित्व में, Fn में अंकों की संख्याके लिए स्पर्शोन्मुख है $$n\log_b\varphi.$$

लगातार भागफल की सीमा
जोहान्स केप्लर ने देखा कि क्रमागत फिबोनाची संख्याओं का अनुपात अभिसरण अनुक्रम है। उन्होंने लिखा है कि जैसे 5 से 8 है वैसे ही व्यवहारिक रूप से 8 से 13 है, और जैसे 8 से 13 है, वैसे ही लगभग 13 से 21 है, और निष्कर्ष निकाला कि ये अनुपात गोल्डन रेशियो तक पहुंचते हैं $$\varphi\colon $$ $$\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\varphi.$$ यह अभिसरण प्रारम्भी मूल्यों की परवाह किए बिना रहता है $$U_0$$ और $$U_1$$, जब तक $$U_1 = -U_0/\varphi$$. इसे #बिनेट के सूत्र|बिनेट के सूत्र का उपयोग करके सत्यापित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, प्रारंभिक मान 3 और 2 अनुक्रम 3, 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81, 131, 212, 343, 555, ... उत्पन्न करते हैं। इस क्रम में लगातार पदों का अनुपात गोल्डन रेश्यो की ओर समान अभिसरण दर्शाता है।

सामान्य रूप में, $$\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+m}}{F_n}=\varphi^m $$, क्योंकि क्रमागत फाइबोनैचि संख्याओं के बीच का अनुपात निकट आ रहा है $$\varphi$$.


 * Fibonacci tiling of the plane and approximation to Golden Ratio.gif

घात का विघटन
चूंकि गोल्डन रेश्यो समीकरण को संतुष्ट करता है $$\varphi^2 = \varphi + 1,$$ इस अभिव्यक्ति का उपयोग उच्च घात को विघटित करने के लिए किया जा सकता है $$\varphi^n$$ निचली घात के एक रैखिक कार्य के रूप में, जो बदले में एक रैखिक संयोजन के नीचे सभी तरह से विघटित हो सकता है $$\varphi$$ और 1. परिणामी पुनरावृत्ति संबंधों से रेखीय गुणांक के रूप में फाइबोनैचि संख्याएं प्राप्त होती हैं: $$\varphi^n = F_n\varphi + F_{n-1}.$$ गणितीय प्रेरण द्वारा यह समीकरण गणितीय प्रमाण हो सकता है n ≥ 1: $$\varphi^{n+1} = (F_n\varphi + F_{n-1})\varphi = F_n\varphi^2 + F_{n-1}\varphi = F_n(\varphi+1) + F_{n-1}\varphi = (F_n + F_{n-1})\varphi + F_n = F_{n+1}\varphi + F_n.$$ के लिए $$\psi = -1/\varphi$$, ऐसा भी होता है $$\psi^2 = \psi + 1$$ और ऐसा भी है $$\psi^n = F_n\psi + F_{n-1}.$$ ये भाव के लिए भी सत्य हैं n < 1 यदि फाइबोनैचि अनुक्रम Fn फाइबोनैचि संख्याओं का सामान्यीकरण है # फाइबोनैचि नियम का उपयोग करके ऋणात्मक पूर्णांकों का विस्तार $$F_n = F_{n+2} - F_{n+1}.$$

पहचान
बिनेट का सूत्र इस बात का प्रमाण देता है कि धनात्मक पूर्णांक x एक फाइबोनैचि संख्या है यदि और केवल यदि कम से कम एक $$5x^2+4$$ या $$5x^2-4$$ वर्ग संख्या है। ऐसा इसलिए है क्योंकि बिनेट का सूत्र, जिसे इस रूप में लिखा जा सकता है $$F_n = (\varphi^n - (-1)^n \varphi^{-n}) / \sqrt{5}$$ से गुणा किया जा सकता है $$\sqrt{5} \varphi^n$$ और द्विघात समीकरण के रूप में हल किया गया $$\varphi^n$$ द्विघात सूत्र द्वारा:

$$\varphi^n = \frac{F_n\sqrt{5} \pm \sqrt{5{F_n}^2 + 4(-1)^n}}{2}.$$ इसकी तुलना $$\varphi^n = F_n \varphi + F_{n-1} = (F_n\sqrt{5} + F_n + 2 F_{n-1})/2$$, यह इस प्रकार है कि
 * $$5{F_n}^2 + 4(-1)^n = (F_n + 2F_{n-1})^2\,.$$

विशेष रूप से, बाईं ओर एक पूर्ण वर्ग है।

आव्यूह फॉर्म
फाइबोनैचि अनुक्रम का वर्णन करने वाले रैखिक अंतर समीकरणों की एक द्वि-आयामी प्रणाली है

$$ {F_{k+2} \choose F_{k+1}} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} {F_{k+1} \choose F_{k}} $$ वैकल्पिक रूप से निरूपित $$ \vec F_{k+1} = \mathbf{A} \vec F_{k},$$ जो $$\vec F_n = \mathbf{A}^n \vec F_0$$. आव्यूह के ईजेनवैल्यू ​​(गणित) $A$ हैं $$\varphi=\frac12(1+\sqrt5)$$ और $$\psi=-\varphi^{-1}=\frac12(1-\sqrt5)$$ संबंधित ईजेनवेक्टर के अनुरूप $$\vec \mu={\varphi \choose 1}$$ और $$\vec\nu={-\varphi^{-1} \choose 1}.$$ जैसा कि प्रारंभिक मूल्य है $$\vec F_0={1 \choose 0}=\frac{1}{\sqrt{5}}\vec{\mu}-\frac{1}{\sqrt{5}}\vec{\nu},$$ यह इस प्रकार है कि $n$वाँ पद है $$\begin{align}\vec F_n &= \frac{1}{\sqrt{5}}A^n\vec\mu-\frac{1}{\sqrt{5}}A^n\vec\nu \\ &= \frac{1}{\sqrt{5}}\varphi^n\vec\mu-\frac{1}{\sqrt{5}}(-\varphi)^{-n}\vec\nu~\\ & =\cfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n{\varphi \choose 1}-\cfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\cfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n{-\varphi^{-1}\choose 1}, \end{align}$$ इससे, फिबोनैकी श्रृंखला में }वां तत्व संवृत रूप अभिव्यक्ति के रूप में सीधे पढ़ा जा सकता है: $$F_n = \cfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\cfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\cfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n.$$ समतुल्य रूप से, एक ही संगणना के आव्यूह विकर्णकरण द्वारा की जा सकती है $A$ इसके ईजेनडोम्पोसिशन के उपयोग के माध्यम से: $$\begin{align} A & = S\Lambda S^{-1} ,\\ A^n & = S\Lambda^n S^{-1}, \end{align}$$ जहाँ $$\Lambda=\begin{pmatrix} \varphi & 0 \\ 0 & -\varphi^{-1} \end{pmatrix}$$ और $$S=\begin{pmatrix} \varphi & -\varphi^{-1} \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$$ के लिए संवृत रूप अभिव्यक्ति फिबोनैकी श्रृंखला में }वाँ तत्व इसलिए द्वारा दिया गया है

$$\begin{align} {F_{n+1} \choose F_n} & = A^{n} {F_1 \choose F_0} \\ & = S \Lambda^n S^{-1} {F_1 \choose F_0} \\ & = S \begin{pmatrix} \varphi^n & 0 \\ 0 & (-\varphi)^{-n} \end{pmatrix} S^{-1} {F_1 \choose F_0} \\ & = \begin{pmatrix} \varphi & -\varphi^{-1} \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \varphi^n & 0 \\ 0 & (-\varphi)^{-n} \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 1 & \varphi^{-1} \\ -1 & \varphi \end{pmatrix} {1 \choose 0}, \end{align}$$ जो फिर से उपजता है $$F_n = \cfrac{\varphi^n-(-\varphi)^{-n}}{\sqrt{5}}.$$ गणित का सवाल $A$ का निर्धारक -1 है, और इस प्रकार यह एक 2 × 2 यूनिमॉड्यूलर आव्यूह है।

इस गुण को गोल्डन रेश्यो के लिए निरंतर भिन्न प्रतिनिधित्व के रूप में समझा जा सकता है:

$$\varphi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}.$$ फाइबोनैचि संख्याएं निरंतर अंश के क्रमिक अभिसरण (निरंतर अंश) के अनुपात के रूप में होती हैं $φ$, और किसी भी निरंतर अंश के लगातार अभिसरण से बने आव्यूह में +1 या -1 का निर्धारक होता है। आव्यूह प्रतिनिधित्व फाइबोनैचि संख्याओं के लिए निम्नलिखित सवृत-रूप अभिव्यक्ति देता है:

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1} \end{pmatrix}.$$ किसी प्रदत्त के लिए $n$, इस आव्यूह की गणना की जा सकती है $O(log(n))$ अंकगणितीय संचालन, वर्ग विधि द्वारा घातांक का उपयोग करना।

इस समीकरण के दोनों पक्षों का निर्धारक लेने पर कैसिनी की तत्समक प्राप्त होती है, $$(-1)^n = F_{n+1}F_{n-1} - {F_n}^2.$$ इसके अलावा, चूंकि $A^{n}A^{m} = A^{n+m}$ किसी भी स्क्वायर आव्यूह के लिए $A$, निम्नलिखित पहचान (गणित) प्राप्त की जा सकती है (वे आव्यूह उत्पाद के दो अलग-अलग गुणांक से प्राप्त की जाती हैं, और कोई आसानी से दूसरे को पहले वाले को बदलकर घटा सकता है $n$ में $n + 1$), $$\begin{align} {F_m}{F_n} + {F_{m-1}}{F_{n-1}} &= F_{m+n-1},\\ F_{m} F_{n+1} + F_{m-1} F_n &= F_{m+n}. \end{align}$$ विशेष रूप से, के साथ $m = n$, $$\begin{array}{ll} F_{2 n-1} &= {F_n}^2 + {F_{n-1}}^2\\ F_{2 n}  &= (F_{n-1}+F_{n+1})F_n\\ &= (2 F_{n-1}+F_n)F_n\\ &= (2 F_{n+1}-F_n)F_n. \end{array}$$ ये अंतिम दो पहचान फाइबोनैचि संख्या रिकर्सन (कंप्यूटर विज्ञान) की गणना करने का एक तरीका प्रदान करती हैं $O(log(n))$ अंकगणितीय संचालन और समय में $O(M(n)&thinsp;log(n))$, जहाँ $M(n)$ की दो संख्याओं के गुणन का समय है $n$ अंक। यह कंप्यूटिंग के लिए समय से मेल खाता है $n$वाँ फाइबोनैचि संख्या क्लोज-फॉर्म आव्यूह फॉर्मूला से, लेकिन कम अनावश्यक चरणों के साथ अगर कोई पहले से ही गणना की गई फाइबोनैचि संख्या (मेमोइजेशन के साथ पुनरावर्तन) से बचता है।

मिश्रित प्रमाण
फाइबोनैचि संख्याओं को सम्मिलित करने वाली अधिकांश सर्वसमिकाओं को इस तथ्य का उपयोग करते हुए संयोजी प्रमाण का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है $$F_n$$ 1s और 2s के अनुक्रमों की संख्या (संभवतः खाली) के रूप में व्याख्या की जा सकती है जिसका योग है $$n-1$$. इसे की परिभाषा के रूप में लिया जा सकता है $$F_n$$ सम्मेलनों के साथ $$F_0 = 0$$, जिसका अर्थ है कि ऐसा कोई अनुक्रम उपस्थित नहीं है जिसका योग -1 है, और $$F_1 = 1$$, जिसका अर्थ है कि खाली अनुक्रम 0. तक जोड़ता है। निम्नलिखित में, $$|{...}|$$ एक समुच्चय (गणित) की प्रमुखता है:


 * $$F_0 = 0 = |\{\}|$$
 * $$F_1 = 1 = |\{\{\}\}|$$
 * $$F_2 = 1 = |\{\{1\}\}|$$
 * $$F_3 = 2 = |\{\{1,1\},\{2\}\}|$$
 * $$F_4 = 3 = |\{\{1,1,1\},\{1,2\},\{2,1\}\}|$$
 * $$F_5 = 5 = |\{\{1,1,1,1\},\{1,1,2\},\{1,2,1\},\{2,1,1\},\{2,2\}\}|$$

इस प्रकार पुनरावृत्ति संबंध $$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$$ को विभाजित करके समझा जा सकता है $$F_n$$ अनुक्रमों को दो गैर-अतिव्यापी समुच्चय ों में जहां सभी अनुक्रम या तो 1 या 2 से प्रारम्भ होते हैं: $$F_n = |\{\{1,...\},\{1,...\},...\}| + |\{\{2,...\},\{2,...\},...\}|$$ पहले तत्व को छोड़कर, प्रत्येक क्रम में शेष पदों का योग है $$n-2$$ या $$n-3$$ और प्रत्येक समुच्चय की प्रमुखता है $$F_{n-1}$$ या $$F_{n-2}$$ कुल दे रहा है $$F_{n-1}+F_{n-2}$$ अनुक्रम, यह दिखा रहा है के बराबर है $$F_n$$.

इसी तरह से यह दिखाया जा सकता है कि एनवें तक की पहली फाइबोनैचि संख्याओं का योग (n + 2) दूसरी फाइबोनैचि संख्या माइनस 1 के बराबर है। प्रतीकों में: $$\sum_{i=1}^n F_i = F_{n+2} - 1$$ इसे योग के सभी अनुक्रमों को विभाजित करके देखा जा सकता है $$n+1$$ पहले 2 के स्थान के आधार पर। विशेष रूप से, प्रत्येक समुच्चय में वे क्रम होते हैं जो प्रारम्भ होते हैं $$\{2,...\}, \{1,2,...\}, ..., $$ अंतिम दो समुच्चय  तक $$\{\{1,1,...,1,2\}\}, \{\{1,1,...,1\}\}$$ कार्डिनैलिटी 1 के साथ प्रत्येक।

पहले की तरह ही तर्क का पालन करते हुए, प्रत्येक समुच्चय की कार्डिनैलिटी को जोड़कर हम देखते हैं
 * $$F_{n+2} = F_n + F_{n-1} + ... + |\{\{1,1,...,1,2\}\}| + |\{\{1,1,...,1\}\}|$$

... जहां अंतिम दो पदों का मूल्य है $$F_1 = 1$$. इससे यह अनुसरण करता है $$\sum_{i=1}^n F_i = F_{n+2}-1$$.

एक समान तर्क, योग को पहले 2 के बजाय पहले 1 की स्थिति के अनुसार समूहीकृत करने पर दो और सर्वसमिकाएं मिलती हैं: $$\sum_{i=0}^{n-1} F_{2 i+1} = F_{2 n}$$ और $$\sum_{i=1}^{n} F_{2 i} = F_{2 n+1}-1.$$ शब्दों में, समता (गणित) सूचकांक के साथ पहली फाइबोनैचि संख्याओं का योग $$F_{2 n-1}$$ (2n)वीं फाइबोनैचि संख्या है, और समता (गणित) सूचकांक के साथ पहली फाइबोनैचि संख्याओं का योग है $$F_{2 n}$$ (2n + 1) वां फाइबोनैचि नंबर माइनस 1 है।

साबित करने के लिए एक अलग तरीके (ट्रिक) का उपयोग किया जा सकता है $$\sum_{i=1}^n F_i^2 = F_n F_{n+1}$$ या शब्दों में, पहले फाइबोनैचि संख्याओं के वर्गों का योग तक $$F_n$$ nवें और (n + 1)st फाइबोनैचि संख्याओं का गुणनफल है। इसे देखने के लिए, आकार के एक फाइबोनैचि आयत से प्रारम्भ करें $$F_n \times F_{n+1}$$ और इसे आकार के चौकोर टुकड़ों में तोड़ लें $$F_n, F_{n-1}, ..., F_1$$; इससे क्षेत्रों की तुलना करके पहचान इस प्रकार है:



प्रतीकात्मक विधि
क्रम $$(F_n)_{n\in\mathbb N}$$ सांकेतिक विधि (कॉम्बिनेटरिक्स) का उपयोग करने पर भी विचार किया जाता है। अधिक सटीक रूप से, यह क्रम एक विशिष्ट संयोजक वर्ग से मेल खाता है। इस क्रम की विशिष्टता है $$\operatorname{Seq}(\mathcal{Z+Z^2})$$. दरअसल, जैसा कि ऊपर बताया गया है, $$n$$-वें फाइबोनैचि संख्या की संरचना (संयोजन) (आदेशित विभाजन (संख्या सिद्धांत)) की संख्या के बराबर है $$n-1$$ शर्तों 1 और 2 का उपयोग करना।

यह इस प्रकार है कि फाइबोनैचि अनुक्रम का सामान्य जनरेटिंग फलन, अर्थात। $$\sum_{i=0}^\infty F_iz^i$$, जटिल कार्य है $$\frac{z}{1-z-z^2}.$$

प्रेरण प्रमाण
फाइबोनैचि सर्वसमिकाओं को अक्सर गणितीय आगमन का उपयोग करके आसानी से सिद्ध किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, पुनर्विचार करें $$\sum_{i=1}^n F_i = F_{n+2} - 1.$$ जोड़ा जा रहा है $$F_{n+1}$$ दोनों पक्षों को देता है
 * $$\sum_{i=1}^n F_i + F_{n+1} = F_{n+1} + F_{n+2} - 1$$

और इसलिए हमारे पास इसका सूत्र है $$n+1$$ $$\sum_{i=1}^{n+1} F_i = F_{n+3} - 1$$ इसी तरह, जोड़ें $${F_{n+1}}^2$$ के दोनों ओर $$\sum_{i=1}^n F_i^2 = F_n F_{n+1}$$ दे देना $$\sum_{i=1}^n F_i^2 + {F_{n+1}}^2 = F_{n+1}\left(F_n + F_{n+1}\right)$$ $$\sum_{i=1}^{n+1} F_i^2 = F_{n+1}F_{n+2}$$

बिनेट सूत्र प्रमाण
बिनेट सूत्र है $$\sqrt5F_n = \varphi^n - \psi^n.$$ इसका उपयोग फाइबोनैचि पहचानों को साबित करने के लिए किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, यह साबित करने के लिए $\sum_{i=1}^n F_i = F_{n+2} - 1$ ध्यान दें कि बाएं हाथ की ओर से गुणा किया गया $$\sqrt5$$ बन जाता है $$ \begin{align} 1 +& \varphi + \varphi^2 + \dots + \varphi^n - \left(1 + \psi + \psi^2 + \dots + \psi^n \right)\\ &= \frac{\varphi^{n+1}-1}{\varphi-1} - \frac{\psi^{n+1}-1}{\psi-1}\\ &= \frac{\varphi^{n+1}-1}{-\psi} - \frac{\psi^{n+1}-1}{-\varphi}\\ &= \frac{-\varphi^{n+2}+\varphi + \psi^{n+2}-\psi}{\varphi\psi}\\ &= \varphi^{n+2}-\psi^{n+2}-(\varphi-\psi)\\ &= \sqrt5(F_{n+2}-1)\\ \end{align}$$ आवश्यकतानुसार, तथ्यों का उपयोग करते हुए $\varphi\psi =- 1$ और $\varphi-\psi=\sqrt5$  समीकरणों को सरल बनाने के लिए

अन्य पहचान
विभिन्न तरीकों का उपयोग करके कई अन्य पहचान प्राप्त की जा सकती हैं। उनमें से कुछ यहां हैं:

कैसिनी और कैटलन की पहचान
कैसिनी की पहचान बताती है कि $${F_n}^2 - F_{n+1}F_{n-1} = (-1)^{n-1}$$ कैटलन की पहचान एक सामान्यीकरण है: $${F_n}^2 - F_{n+r}F_{n-r} = (-1)^{n-r}{F_r}^2$$

d ओकैग्ने का की पहचान
$$F_m F_{n+1} - F_{m+1} F_n = (-1)^n F_{m-n}$$ $$F_{2 n} = {F_{n+1}}^2 - {F_{n-1}}^2 = F_n \left (F_{n+1}+F_{n-1} \right ) = F_nL_n$$ जहां Ln n-वाँ लुकास संख्या है। अंतिम n को दोगुना करने के लिए एक तत्समक है; इस प्रकार की अन्य पहचान हैं $$F_{3 n} = 2{F_n}^3 + 3 F_n F_{n+1} F_{n-1} = 5{F_n}^3 + 3 (-1)^n F_n$$ कैसिनी की पहचान से।

$$F_{3 n+1} = {F_{n+1}}^3 + 3 F_{n+1}{F_n}^2 - {F_n}^3$$ $$F_{3 n+2} = {F_{n+1}}^3 + 3 {F_{n+1}}^2 F_n + {F_n}^3$$ $$F_{4 n} = 4 F_n F_{n+1} \left ({F_{n+1}}^2 + 2{F_n}^2 \right ) - 3{F_n}^2 \left ({F_n}^2 + 2{F_{n+1}}^2 \right )$$ इन्हें लैटिस रिडक्शन का प्रयोग करके प्रयोगात्मक रूप से पाया जा सकता है, और एक फाइबोनैचि संख्या को गुणन करने के लिए विशेष संख्या फ़ील्ड छलनी स्थापित करने में उपयोगी होते हैं।

सामान्यतः अधिक,

$$F_{k n+c} = \sum_{i=0}^k {k\choose i} F_{c-i} {F_n}^i {F_{n+1}}^{k-i}.$$ या वैकल्पिक रूप से

$$F_{k n+c} = \sum_{i=0}^k {k\choose i} F_{c+i} {F_n}^i {F_{n-1}}^{k-i}.$$ लाना $k = 2$ इस सूत्र में, एक बार फिर से उपरोक्त खंड के अंत के सूत्र आव्यूह रूप में मिलते हैं।

फलन उत्पन्न करना
फाइबोनैचि अनुक्रम का जनरेटिंग फलन बिजली की श्रृंखला है $$s(x)=\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k = \sum_{k=1}^{\infty} F_k x^k = 0+x+x^2+2 x^3+3 x^4+\dots.$$ यह श्रृंखला के लिए अभिसरण है $$|x| < \frac{1}{\varphi},$$ और इसके योग का सरल संवृत रूप है: $$s(x)=\frac{x}{1-x-x^2}$$ अनंत योग में प्रत्येक गुणांक का विस्तार करने के लिए फाइबोनैचि पुनरावृत्ति का उपयोग करके यह साबित किया जा सकता है: $$\begin{align} s(x) &= \sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k \\ &= F_0 + F_1x + \sum_{k=2}^{\infty} F_k x^k \\ &= 0 + 1x + \sum_{k=2}^{\infty} F_k x^k \\ &= x + \sum_{k=2}^{\infty} \left( F_{k-1} + F_{k-2} \right) x^k \\ &= x + \sum_{k=2}^{\infty} F_{k-1} x^k + \sum_{k=2}^{\infty} F_{k-2} x^k \\ &= x + x\sum_{k=2}^{\infty} F_{k-1} x^{k-1} + x^2\sum_{k=2}^{\infty} F_{k-2} x^{k-2} \\ &= x + x\sum_{k=1}^{\infty} F_k x^k + x^2\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k \\ &= x + x s(x) + x^2 s(x). \end{align}$$ समीकरण को हल करना $$s(x)=x+xs(x)+x^2 s(x)$$ के लिए $$s(x)$$ संवृत रूप में परिणाम।

आंशिक अंश अपघटन द्वारा दिया जाता है $$s(x) = \frac{1}{\sqrt5}\left(\frac{1}{1 - \varphi x} - \frac{1}{1 - \psi x}\right)$$ जहाँ $$\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$$ गोल्डन रेश्यो है और $$\psi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$$ इसका संयुग्म (वर्गमूल) है।

$$-s\!\left(-\frac{1}{x}\right)$$ फाइबोनैचि संख्या # अनुक्रम गुण संख्याओं के लिए जनरेटिंग फलन देता है, और $$s(x)$$ कार्यात्मक समीकरण को संतुष्ट करता है $$s(x) = s\!\left(-\frac{1}{x}\right).$$

पारस्परिक रकम
गुणनात्मक व्युत्क्रम फाइबोनैचि संख्याओं पर अनंत राशियों का कभी-कभी थीटा कार्यों के संदर्भ में मूल्यांकन किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, प्रत्येक विषम-अनुक्रमित पारस्परिक फाइबोनैचि संख्या का योग इस रूप में लिखा जा सकता है

$$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{F_{2 k-1}} = \frac{\sqrt{5}}{4} \; \vartheta_2\!\left(0, \frac{3-\sqrt 5}{2}\right)^2 ,$$ और व्युत्क्रम फाइबोनैचि संख्याओं के वर्गों का योग इस प्रकार है $$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{{F_k}^2} = \frac{5}{24} \!\left(\vartheta_2\!\left(0, \frac{3-\sqrt 5}{2}\right)^4 - \vartheta_4\!\left(0, \frac{3-\sqrt 5}{2}\right)^4 + 1 \right).$$ यदि हम पहले योग में प्रत्येक फाइबोनैचि संख्या में 1 जोड़ते हैं, तो इसका संवृत रूप भी है $$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{1+F_{2 k-1}} = \frac{\sqrt{5}}{2},$$ और स्वर्णिम अनुपात का व्युत्क्रम देते हुए वर्गाकार फाइबोनैचि संख्याओं का नेस्टेड योग है, $$\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{\sum_{j=1}^k {F_{j}}^2} = \frac{\sqrt{5}-1}{2} .$$ सभी सम-अनुक्रमित पारस्परिक फाइबोनैचि संख्याओं का योग है $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{F_{2 k}} = \sqrt{5} \left(L(\psi^2) - L(\psi^4)\right) $$ लैम्बर्ट श्रृंखला के साथ $$\textstyle L(q) := \sum_{k=1}^{\infty} \frac{q^k}{1-q^k} ,$$ तब से $$\textstyle \frac{1}{F_{2 k}} = \sqrt{5} \left(\frac{\psi^{2 k}}{1-\psi^{2 k}} - \frac{\psi^{4 k}}{1-\psi^{4 k}} \right)\!.$$ तो पारस्परिक फाइबोनैचि स्थिरांक है $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{F_k} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{F_{2 k-1}} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac {1}{F_{2 k}} = 3.359885666243 \dots$$ इसके अलावा, रिचर्ड आंद्रे-जीनिन द्वारा इस संख्या को अपरिमेय संख्या सिद्ध किया गया है। मिलिन की सीरीज पहचान देती है $$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{F_{2^k}} = \frac{7 - \sqrt{5}}{2},$$ जो इसके आंशिक योगों के लिए संवृत रूप से अनुसरण करता है क्योंकि N अनंत की ओर जाता है: $$\sum_{k=0}^N \frac{1}{F_{2^k}} = 3 - \frac{F_{2^N-1}}{F_{2^N}}.$$

विभाज्यता गुण
अनुक्रम की प्रत्येक तीसरी संख्या सम है (का गुणक $$F_3=2$$) और, सामान्यतः, अनुक्रम की प्रत्येक kवीं संख्या Fk का गुणक होती है. इस प्रकार फाइबोनैचि अनुक्रम विभाज्यता अनुक्रम का एक उदाहरण है। वास्तव में, फाइबोनैचि अनुक्रम मजबूत विभाज्यता गुण को संतुष्ट करता है $$\gcd(F_a,F_b,F_c,\ldots) = F_{\gcd(a,b,c,\ldots)}\,$$ जहाँ $gcd$ महत्तम समापवर्तक फलन है।

विशेष रूप से, कोई भी तीन लगातार फाइबोनैचि संख्याएँ जोड़ीदार कोप्राइम पूर्णांक हैं क्योंकि दोनों $$F_1=1$$ और $$F_2 = 1$$. वह है,
 * $$\gcd(F_n, F_{n+1}) = \gcd(F_n, F_{n+2}) = \gcd(F_{n+1}, F_{n+2}) = 1$$

हर n के लिए

प्रत्येक अभाज्य संख्या p एक फाइबोनैचि संख्या को विभाजित करती है जिसे p मॉड्यूलर अंकगणित 5 के मान द्वारा निर्धारित किया जा सकता है। यदि p 1 या 4 मॉड्यूल 5 के सर्वांगसम है, तो p, Fp−1 को विभाजित करता है, और यदि p 2 या 3 सापेक्ष 5 के सर्वांगसम है, तो p, F को विभाजित करता हैp+1. शेष स्थिति यह है कि p = 5, और इस स्थिति में p, F को विभाजित करता हैp.

$$\begin{cases} p =5 & \Rightarrow p \mid F_{p}, \\ p \equiv \pm1 \pmod 5 & \Rightarrow p \mid F_{p-1}, \\ p \equiv \pm2 \pmod 5 & \Rightarrow p \mid F_{p+1}.\end{cases}$$ लीजेंड्रे प्रतीक का उपयोग करके इन परिस्थितियों को एकल, गैर-टुकड़ेवार सूत्र में जोड़ा जा सकता है: $$p \mid F_{p \;-\, \left(\frac{5}{p}\right)}.$$

प्राथमिक परीक्षण
उपरोक्त सूत्र का उपयोग इस अर्थ में एक प्राथमिक परीक्षण के रूप में किया जा सकता है कि यदि $$n \mid F_{n \;-\, \left(\frac{5}{n}\right)},$$ जहां लीजेंड्रे प्रतीक को जैकोबी प्रतीक द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है, तो यह प्रमाण है कि n एक अभाज्य संख्या है, और यदि यह धारण करने में विफल रहता है, तो n निश्चित रूप से अभाज्य नहीं है। यदि n समग्र संख्या है और सूत्र को संतुष्ट करता है, तो n एक फाइबोनैचि स्यूडोप्राइम है। जब m बड़ा होता है – 500- अंश संख्या बोलें –  तो हम Fm की गणना कर सकते हैं (मॉड n) आव्यूह फॉर्म का कुशलता से उपयोग करना। इस प्रकार

$$ \begin{pmatrix} F_{m+1} & F_m \\ F_m & F_{m-1} \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^m \pmod n.$$ यहां आव्यूह पावर एm की गणना मॉड्यूलर घातांक का उपयोग करके की जाती है, जो मॉड्यूलर घातांक मैट्रिसेस हो सकता है।

फाइबोनैचि अभाज्य
एक फाइबोनैचि अभाज्य एक फाइबोनैचि संख्या है जो कि अभाज्य संख्या है। पहले कुछ हैं:
 * 2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229, ...

हजारों अंकों के साथ फाइबोनैचि अभाज्य पाए गए हैं, लेकिन यह ज्ञात नहीं है कि असीम रूप से बहुत से हैं या नहीं। Fkn Fn से विभाज्य है, इसलिए, F4 = 3 के अलावा, किसी भी फाइबोनैचि प्राइम का एक प्राइम इंडेक्स होना चाहिए। चूंकि संमिश्र संख्याओं के स्वेच्छन्दता से बड़े रन होते हैं, इसलिए समग्र फाइबोनैचि संख्याओं के स्वेच्छन्दता से लंबे रन भी होते हैं।

F6 = 8 से बड़ी कोई फाइबोनैचि संख्या नहीं हैl

एक अभाज्य संख्या से एक बड़ी या एक कम है। एकमात्र गैर-तुच्छ वर्ग संख्या फाइबोनैचि संख्या 144 है। एटिला पेथो ने 2001 में सिद्ध किया कि पूर्ण शक्ति फाइबोनैचि संख्याओं की केवल एक सीमित संख्या होती है। 2006 में, वाई. बुगौड, एम. मिग्नोटे और एस. सिकसेक ने साबित किया कि 8 और 144 ही ऐसी गैर-तुच्छ पूर्ण घात हैं।

1, 3, 21, और 55 एकमात्र त्रिकोणीय संख्या फाइबोनैचि संख्याएं हैं, जो वर्नर एमिल हॉगट जूनियर द्वारा अनुमानित की गई थी और लुओ मिंग द्वारा सिद्ध की गई थी। कोई फिबोनाची संख्या पूर्ण संख्या नहीं हो सकती।

अधिक सामान्यतः, 1 के अलावा कोई भी फाइबोनैचि संख्या पूर्ण संख्या नहीं हो सकती है, और दो फाइबोनैचि संख्याओं का कोई भी अनुपात पूर्ण नहीं हो सकता है।

प्रधान विभाजक
1, 8 और 144 के अपवादों के साथ (F1 = F2, F6 और F12) प्रत्येक फाइबोनैचि संख्या का एक अभाज्य गुणनखंड होता है जो किसी भी छोटी फाइबोनैचि संख्या (कारमाइकल प्रमेय) का गुणनखंड नहीं होता है। नतीजतन, 8 और 144 (F6 और F12) केवल फाइबोनैचि संख्याएँ हैं जो अन्य फाइबोनैचि संख्याओं का गुणनफल हैं।

अभाज्य p द्वारा फाइबोनैचि संख्याओं की विभाज्यता लीजेंड्रे प्रतीक से संबंधित है $$\left(\tfrac{p}{5}\right)$$ जिसका मूल्यांकन इस प्रकार किया जाता है: $$\left(\frac{p}{5}\right) = \begin{cases} 0 & \text{if } p = 5\\ 1 & \text{if } p \equiv \pm 1 \pmod 5\\ -1 & \text{if } p \equiv \pm 2 \pmod 5.\end{cases}$$ यदि p एक अभाज्य संख्या है तो $$ F_p \equiv \left(\frac{p}{5}\right) \pmod p \quad \text{and}\quad F_{p-\left(\frac{p}{5}\right)} \equiv 0 \pmod p.$$

उदाहरण के लिए, $$\begin{align} (\tfrac{2}{5}) &= -1, &F_3 &= 2, &F_2&=1, \\ (\tfrac{3}{5}) &= -1, &F_4 &= 3,&F_3&=2, \\ (\tfrac{5}{5}) &= 0, &F_5 &= 5, \\ (\tfrac{7}{5}) &= -1, &F_8 &= 21,&F_7&=13, \\ (\tfrac{11}{5})& = +1, &F_{10}& = 55, &F_{11}&=89. \end{align}$$ यह ज्ञात नहीं है कि क्या कोई अभाज्य p उपस्थित है या नहीं

$$F_{p-\left(\frac{p}{5}\right)} \equiv 0 \pmod{p^2}.$$ ऐसे अभाज्य (यदि कोई हैं) को दीवार-सूर्य-सूर्य अभाज्य कहा जाएगा।

साथ ही, यदि p ≠ 5 एक विषम अभाज्य संख्या है, तो: $$5 {F_{\frac{p \pm 1}{2}}}^2 \equiv \begin{cases} \tfrac{1}{2} \left (5\left(\frac{p}{5}\right)\pm 5 \right ) \pmod p & \text{if } p \equiv 1 \pmod 4\\ \tfrac{1}{2} \left (5\left(\frac{p}{5}\right)\mp 3 \right ) \pmod p & \text{if } p \equiv 3 \pmod 4. \end{cases}$$ उदाहरण 1. p = 7, इस स्थिति में p ≡ 3 (mod 4) और हमारे पास: $$(\tfrac{7}{5}) = -1: \qquad \tfrac{1}{2}\left (5(\tfrac{7}{5})+3 \right ) =-1, \quad \tfrac{1}{2} \left (5(\tfrac{7}{5})-3 \right )=-4.$$ $$F_3=2 \text{ and } F_4=3.$$ $$5{F_3}^2=20\equiv -1 \pmod {7}\;\;\text{ and }\;\;5{F_4}^2=45\equiv -4 \pmod {7}$$ उदाहरण 2. p = 11, इस स्थिति में p ≡ 3 (mod 4) और हमारे पास: $$(\tfrac{11}{5}) = +1: \qquad \tfrac{1}{2}\left (5(\tfrac{11}{5})+3 \right )=4, \quad \tfrac{1}{2} \left (5(\tfrac{11}{5})- 3 \right )=1.$$ $$F_5=5 \text{ and } F_6=8.$$ $$5{F_5}^2=125\equiv 4 \pmod {11} \;\;\text{ and }\;\;5{F_6}^2=320\equiv 1 \pmod {11}$$ उदाहरण 3. p = 13, इस स्थिति में p ≡ 1 (mod 4) और हमारे पास: $$(\tfrac{13}{5}) = -1: \qquad \tfrac{1}{2}\left (5(\tfrac{13}{5})-5 \right ) =-5, \quad \tfrac{1}{2}\left (5(\tfrac{13}{5})+ 5 \right )=0.$$ $$F_6=8 \text{ and } F_7=13.$$ $$5{F_6}^2=320\equiv -5 \pmod {13} \;\;\text{ and }\;\;5{F_7}^2=845\equiv 0 \pmod {13}$$ उदाहरण 4. p = 29, इस स्थिति में p ≡ 1 (mod 4) और हमारे पास: $$(\tfrac{29}{5}) = +1: \qquad \tfrac{1}{2}\left (5(\tfrac{29}{5})-5 \right )=0, \quad \tfrac{1}{2}\left (5(\tfrac{29}{5})+5 \right )=5.$$ $$F_{14}=377 \text{ and } F_{15}=610.$$ $$5{F_{14}}^2=710645\equiv 0 \pmod {29} \;\;\text{ and }\;\;5{F_{15}}^2=1860500\equiv 5 \pmod {29}$$ विषम n के लिए, Fn के सभी विषम अभाज्य भाजक 1 सापेक्ष 4 के सर्वांगसम हैं, जिसका अर्थ है कि Fn के सभी विषम विभाजक (विषम अभाज्य भाजक के गुणनफल के रूप में) 1 मॉड्यूल 4 के सर्वांगसम हैं।

उदाहरण के लिए, $$F_1 = 1,\ F_3 = 2,\ F_5 = 5,\ F_7 = 13,\ F_9 = 34 = 2 \cdot 17,\ F_{11} = 89,\ F_{13} = 233,\ F_{15} = 610 = 2 \cdot 5 \cdot 61.$$ सभी i <50000 के लिए फाइबोनैचि संख्या F(i&hairsp;) के सभी ज्ञात कारकों को संबंधित रिपॉजिटरी में एकत्र किया जाता है।

आवधिकता मॉड्यूल n
यदि फाइबोनैचि अनुक्रम के सदस्यों को mod n लिया जाता है, तो परिणामी अनुक्रम अधिकतम 6n अवधि के साथ आवधिक अनुक्रम होता है। विभिन्न एन के लिए अवधियों की लंबाई तथाकथित पिसानो अवधि बनाती है। पिसानो अवधियों के लिए एक सामान्य सूत्र निर्धारित करना एक खुली समस्या है, जिसमें एक उप-समस्या के रूप में एक मॉड्यूलर अंकगणित या परिमित क्षेत्र में एक तत्व के गुणात्मक क्रम को खोजने की समस्या का एक विशेष उदाहरण सम्मिलित है। हालाँकि, किसी विशेष n के लिए, पिसानो अवधि को चक्र पहचान के एक उदाहरण के रूप में पाया जा सकता है।

सामान्यीकरण
फाइबोनैचि अनुक्रम पुनरावृत्ति संबंध द्वारा और विशेष रूप से एक रेखीय अंतर समीकरण द्वारा परिभाषित सबसे सरल और प्रारम्भी ज्ञात अनुक्रमों में से एक है। इन सभी अनुक्रमों को फाइबोनैचि अनुक्रम के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। विशेष रूप से, बिनेट के सूत्र को किसी भी अनुक्रम के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है जो निरंतर गुणांक वाले रैखिक पुनरावृत्ति का समाधान है।

कुछ विशिष्ट उदाहरण जो कुछ अर्थों में फाइबोनैचि अनुक्रम के करीब हैं, उनमें सम्मिलित हैं:
 * नेगाफाइबोनैचि संख्याओं का उत्पादन करने के लिए सूचकांक को ऋणात्मक पूर्णांकों में सामान्यीकृत करना।
 * बिनेट के सूत्र के संशोधन का उपयोग करके सूचकांक को वास्तविक संख्या में सामान्यीकृत करना। * अन्य पूर्णांकों से प्रारंभ करें। लुकास संख्या में L है1 = 1, L2 = 3, और Ln= Ln−1 + Ln−2. प्राइमफ्री सीक्वेंस फाइबोनैचि पुनरावर्तन का उपयोग अन्य प्रारम्भी बिंदुओं के साथ अनुक्रम उत्पन्न करने के लिए करते हैं जिसमें सभी संख्याएँ मिश्रित होती हैं।
 * किसी संख्या को दो पूर्ववर्ती संख्याओं का एक रैखिक फलन (योग के अलावा) होने देना। पेल नंबरों में Pn = 2Pn−1 + Pn−2 है. यदि पूर्ववर्ती मान के गुणांक को एक चर मान x निर्दिष्ट किया जाता है, तो परिणाम फाइबोनैचि बहुपदों का अनुक्रम होता है।
 * ठीक पहले वाली संख्याओं को न जोड़ना। पडोवन अनुक्रम और पेरिन संख्या में P(n) = P(n − 2) + P(n − 3) है।
 * 3 संख्याओं (ट्राइबोनैचि संख्याओं), 4 संख्याओं (टेट्रानैक्की संख्याओं), या अधिक को जोड़कर अगली संख्या उत्पन्न करना। परिणामी क्रम को n-चरण फाइबोनैचि संख्या के रूप में जाना जाता है।

गणित
फाइबोनैचि संख्या पास्कल के त्रिकोण में "उथले" (शेल्लोव) विकर्णों के जोड़ में होती है (द्विपद गुणांक देखें):

जनरेटिंग फलन में विस्तारित किया जा सकता है $$\frac{x}{1-x-x^2} = x + x^2(1+x) + x^3(1+x)^2 + \dots + x^{k+1}(1+x)^k + \dots = \sum\limits_{n=0}^\infty F_n x^n$$ और की शर्तों की तरह इकट्ठा करना $$x^n$$, हमारी पहचान है $$F_n = \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor} \binom{n-k-1}{k}.$$ यह देखने के लिए कि सूत्र का उपयोग कैसे किया जाता है, हम योगों को उपस्थित पदों की संख्या के अनुसार व्यवस्थित कर सकते हैं:

जो है $$\binom{5}{0}+\binom{4}{1}+\binom{3}{2}$$, जहां हम n−k−1 शर्तों से k दो की स्थिति चुन रहे हैं।
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ये संख्याएँ कुछ गणनात्मक समस्याओं का समाधान भी देती हैं, इनमें से सबसे आम है किसी दी गई संख्या को लिखने के तरीकों की संख्या गिनना $5$ 1s और 2s के क्रमित योग के रूप में (जिसे रचना (कॉम्बिनेटरिक्स)#रचनाओं की संख्या कहा जाता है); वहाँ हैं $= 1+1+1+1+1$ इसे करने के तरीके (समतुल्य रूप से, यह डोमिनोज़ टाइलिंग की संख्या भी है $$2\times n$$ आयत)। उदाहरण के लिए, हैं $= 2+1+1+1$ एक बार में एक या दो सीढ़ियाँ चढ़कर 5 सीढ़ियाँ चढ़ने के तरीके:

चित्र दिखाता है कि 8 को 5 में विभाजित किया जा सकता है (4 सीढ़ियां चढ़ने के तरीकों की संख्या, उसके बाद एक सिंगल स्टेप) प्लस 3 (3 सीढ़ियां चढ़ने के तरीकों की संख्या, उसके बाद एक डबल-स्टेप)। उसी तर्क को एक एकल चरण तक पुनरावर्तन लागू किया जाता है, जिसमें चढ़ने का केवल एक ही तरीका होता है।
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फाइबोनैचि संख्याएं बाइनरी अंक प्रणाली स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान) के समुच्चय के बीच अलग-अलग तरीकों से पाई जा सकती हैं, या समतुल्य रूप से, किसी दिए गए समुच्चय  के सबसमुच्चय  के बीच।
 * लंबाई के बाइनरी स्ट्रिंग्स की संख्या $= 1+2+1+1$ लगातार बिना 1}s फाइबोनैचि संख्या है $= 1+1+2+1$. उदाहरण के लिए, लंबाई 4 के 16 बाइनरी स्ट्रिंग्स में से हैं $= 1+1+1+2$ लगातार बिना $= 2+2+1$s – वे 0000, 0001, 0010, 0100, 0101, 1000, 1001, और 1010 हैं। इस तरह के तार फिबिनरी नंबरों के द्विआधारी प्रतिनिधित्व हैं। समान रूप से, $= 2+1+2$ सबसमुच्चय की संख्या है $= 1+2+2$ का $n$ लगातार पूर्णांकों के बिना, यानी वो $F_{n+1}$ जिसके लिए $F_{5+1} = F_{6} = 8$ हरएक के लिए $5$. n+1 के योग के साथ एक आक्षेप 1 को 0 से और 2 को 10 से बदलना है, और अंतिम शून्य को छोड़ देना है।
 * लंबाई के बाइनरी स्ट्रिंग्स की संख्या $= 1+1+1+1+1$ लगातार विषम संख्या के बिना फाइबोनैचि संख्या है $= 2+1+1+1$. उदाहरण के लिए, लंबाई 4 के 16 बाइनरी स्ट्रिंग्स में से हैं $= 1+2+1+1$ लगातार विषम संख्या के बिना $= 1+1+2+1$s – वे 0000, 0011, 0110, 1100, 1111 हैं। समान रूप से, उपसमुच्चयों की संख्या $= 2+2+1$ का $= 1+1+1+2$ लगातार पूर्णांकों की एक विषम संख्या के बिना है $= 2+1+2$. n के योग के साथ एक आपत्ति 1 को 0 से और 2 को 11 से प्रतिस्थापित करना है।
 * लंबाई के बाइनरी स्ट्रिंग्स की संख्या $= 1+2+2$ लगातार सम संख्या के बिना 0 (शून्य) या 1 है $n$. उदाहरण के लिए, लंबाई 4 के 16 बाइनरी स्ट्रिंग्स में से हैं $F_{n+2}$ लगातार सम संख्या के बिना 0}एस या $F_{6} = 8$s – वे 0001, 0111, 0101, 1000, 1010, 1110 हैं। उपसमुच्चय के बारे में एक समान कथन है।
 * यूरी मटियासेविच यह दिखाने में सक्षम थे कि फाइबोनैचि संख्याओं को एक डायोफैंटाइन समीकरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है, जिसके कारण मटियासेविच की प्रमेय हिल्बर्ट की दसवीं समस्या सामने आई।
 * फाइबोनैचि संख्याएँ भी पूर्ण अनुक्रम का एक उदाहरण हैं। इसका अर्थ है कि प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक को फाइबोनैचि संख्याओं के योग के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ किसी एक संख्या का अधिकतम एक बार उपयोग किया जाता है।
 * इसके अलावा, प्रत्येक घनात्मक पूर्णांक को एक या एक से अधिक अलग-अलग फाइबोनैचि संख्याओं के योग के रूप में एक अनोखे तरीके से लिखा जा सकता है, ताकि योग में लगातार दो फाइबोनैचि संख्याएँ सम्मिलित न हों। इसे ज़ेकेनडॉर्फ के प्रमेय के रूप में जाना जाता है, और इन शर्तों को पूरा करने वाली फाइबोनैचि संख्याओं के योग को ज़ेकेनडॉर्फ प्रतिनिधित्व कहा जाता है। किसी संख्या के ज़ेकेनडॉर्फ निरूपण का उपयोग उसके फाइबोनैचि कोडिंग  को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है।
 * 5 से प्रारम्भ होकर, प्रत्येक दूसरी फाइबोनैचि संख्या पूर्णांक भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज के कर्ण की लंबाई होती है, या दूसरे शब्दों में, पाइथागोरस के त्रिक में सबसे बड़ी संख्या, सूत्र से प्राप्त होती है $$(F_n F_{n+3})^2 + (2 F_{n+1}F_{n+2})^2 = {F_{2 n+3}}^2.$$ इस सूत्र से प्राप्त पाइथागोरस त्रिभुजों के अनुक्रम की लंबाई (3,4,5), (5,12,13), (16,30,34), (39,80,89), ...  है। इनमें से प्रत्येक त्रिभुज की मध्य भुजा पूर्ववर्ती त्रिभुज की तीनों भुजाओं का योग है।
 * फाइबोनैचि क्यूब एक अप्रत्यक्ष ग्राफ है जिसमें फाइबोनैचि नोड्स की संख्या होती है जिसे समानांतर कंप्यूटिंग के लिए नेटवर्क टोपोलॉजी के रूप में प्रस्तावित किया गया है।
 * फाइबोनैचि संख्याएं रिंग लेम्मा में दिखाई देती हैं, जिनका उपयोग सर्कल पैकिंग प्रमेय और अनुरूप मानचित्रों के बीच संबंध साबित करने के लिए किया जाता है।

कंप्यूटर विज्ञान



 * एल्गोरिदम के विश्लेषण में फाइबोनैचि संख्याएं महत्वपूर्ण हैं। यूक्लिडियन एल्गोरिदम का कम्प्यूटेशनल रन-टाइम विश्लेषण।


 * फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग मर्ज़ सॉर्ट एल्गोरिथम के एक पॉलीफ़ेज़ संस्करण में किया जाता है जिसमें एक अनसोर्टेड सूची को दो सूचियों में विभाजित किया जाता है जिनकी लंबाई अनुक्रमिक फाइबोनैचि संख्याओं के अनुरूप होती है - सूची को विभाजित करके ताकि दो भागों की लंबाई अनुमानित अनुपात φ में हो। द आर्ट ऑफ़ कंप्यूटर प्रोग्रामिंग में पॉलीफ़ेज़ मर्ज सॉर्ट के टेप-ड्राइव कार्यान्वयन का वर्णन किया गया था।
 * एक फाइबोनैचि ट्री एक बाइनरी ट्री है, जिसके चाइल्ड ट्री (रिकर्सिवली) ट्री की ऊंचाई में बिल्कुल 1 से भिन्न होते हैं। इसलिए यह एक एवीएल ट्री है, और दी गई ऊंचाई के लिए सबसे कम नोड्स वाला - सबसे पतला एवीएल ट्री। इन पेड़ों में कई कोने होते हैं जो एक फाइबोनैचि संख्या माइनस वन है, जो एवीएल पेड़ों के विश्लेषण में एक महत्वपूर्ण तथ्य है।
 * फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग कुछ छद्म यादृच्छिक संख्या जनरेटर द्वारा किया जाता है।
 * फाइबोनैचि संख्याएँ फाइबोनैचि हीप डेटा संरचना के विश्लेषण में उत्पन्न होती हैं।
 * एक आयामी अनुकूलन पद्धति, जिसे फाइबोनैचि खोज तकनीक कहा जाता है, फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग करती है।
 * फाइबोनैचि संख्या श्रृंखला का उपयोग अमिगा कंप्यूटरों पर उपयोग किए जाने वाले इंटरचेंज फ़ाइल स्वरूप 8एसवीएक्स ऑडियो फ़ाइल स्वरूप में वैकल्पिक हानिपूर्ण संपीड़न के लिए किया जाता है। लघुगणकीय विधियों जैसे μ-नियम के समान मूल ऑडियो तरंग का संयोजन करने वाली संख्या श्रृंखला।
 * कुछ फुर्तीली टीमें अनुमान लगाने के उपकरण के रूप में योजना पोकर  में मॉडिफाइड फिबोनाची सीरीज नामक एक संशोधित श्रृंखला का उपयोग करती हैं। प्लानिंग पोकर स्केल्ड फुर्तीली रूपरेखा का एक औपचारिक हिस्सा है।
 * फाइबोनैचि कोडिंग
 * नेगाफाइबोनैचि कोडिंग

प्रकृति
फिबोनैकी अनुक्रम जैविक समुच्चय िंग्स में दिखाई देते हैं, जैसे कि पेड़ों में शाखाओं में बंटना, फाइलोटैक्सिस, अनानास के फल, आटिचोक का फूलना, एक अनिश्चित फ़र्न और एक पाइन शंकु की व्यवस्था, और मधुमक्खियों का वंश वृक्ष।  केपलर  ने प्रकृति में फाइबोनैचि अनुक्रम की उपस्थिति को इंगित किया, इसका उपयोग कुछ फूलों के (गोल्डन रेश्यो से संबंधित) पंचकोणीय रूप को समझाने के लिए किया। फील्ड ल्यूकेंथेमम वल्गारे में अक्सर फाइबोनैचि संख्याओं की गिनती में पंखुड़ियां होती हैं। के.एफ. शिम्पर और ए. ब्रौन ने पता लगाया कि पौधों के पैरास्टीची (सर्पिल फाइलोटैक्सिस) को अक्सर फाइबोनैचि संख्याओं वाले अंशों के रूप में व्यक्त किया जाता था। प्रेज़ेमिस्लाव प्रुसिंक्यूविज़ ने इस विचार को आगे बढ़ाया कि वास्तविक उदाहरणों को आंशिक रूप से मुक्त समूहों पर कुछ बीजगणितीय बाधाओं की अभिव्यक्ति के रूप में समझा जा सकता है, विशेष रूप से कुछ ए एल प्रणाली के रूप में।

सूरजमुखी के सिर में खिलता ्स के पैटर्न के लिए एक मॉडल किसके द्वारा प्रस्तावित किया गया था? हेल्मुट वोगेल 1979 में। इसका रूप है

$$\theta = \frac{2\pi}{\varphi^2} n,\ r = c \sqrt{n}$$ जहाँ $1$ फ्लोरेट की इंडेक्स नंबर है और $F_{n+2}$ एक निरंतर स्केलिंग कारक है; फ्लोरेट्स इस प्रकार फ़र्मेट के सर्पिल पर स्थित हैं। विचलन कोण, लगभग 137.51°, स्वर्ण कोण है, जो वृत्त को स्वर्णिम अनुपात में विभाजित करता है। क्योंकि यह अनुपात अपरिमेय है, किसी भी फ्लोरेट का पड़ोसी केंद्र से ठीक उसी कोण पर नहीं है, इसलिए फ्लोरेट्स कुशलता से पैक होते हैं। क्योंकि गोल्डन रेश्यो के तर्कसंगत सन्निकटन रूप के हैं $S$, पुष्पक संख्या के निकटतम पड़ोसी $\{1, ..., n\}$ वे हैं $S$ कुछ सूचकांक के लिए $\{i, i + 1\} ⊈ S$, जिस पर निर्भर करता है $i$, केंद्र से दूरी। सूरजमुखी और इसी तरह के फूलों में सामान्यतः निकटवर्ती फाइबोनैचि संख्याओं की मात्रा में दक्षिणावर्त और वामावर्त दिशाओं में फ्लोरेट्स के सर्पिल होते हैं, सामान्यतः रेडी की सबसे बाहरी सीमा से गिना जाता है। निम्नलिखित नियमों के अनुसार, आदर्श मधुमक्खियों की वंशावली में फाइबोनैचि संख्याएं भी दिखाई देती हैं:
 * यदि एक अविवाहित मादा द्वारा अंडा दिया जाता है, तो वह एक नर या द्रोण (मधुमक्खी) को जन्म देती है।
 * हालांकि, अगर एक अंडे को नर द्वारा निषेचित किया गया था, तो वह मादा को जन्म देती है।

इस प्रकार, एक नर मधुमक्खी के हमेशा एक माता-पिता होते हैं, और एक मादा मधुमक्खी के दो होते हैं। यदि कोई किसी नर मधुमक्खी (1 मधुमक्खी) की वंशावली का पता लगाता है, तो उसके 1 माता-पिता (1 मधुमक्खी), 2 दादा-दादी, 3 परदादा, 5 परदादा-परदादा आदि हैं। माता-पिता की संख्या का यह क्रम फाइबोनैचि अनुक्रम है। प्रत्येक स्तर पर पूर्वजों की संख्या, $n$, महिला पूर्वजों की संख्या है, जो है $F_{n+1}$, प्लस पुरुष पूर्वजों की संख्या, जो है $F_{5} = 5$. यह अवास्तविक धारणा के तहत है कि प्रत्येक स्तर पर पूर्वज अन्यथा असंबंधित हैं।

यह देखा गया है कि किसी पूर्वज पीढ़ी में मानव X गुणसूत्र वंशानुक्रम रेखा पर संभावित पूर्वजों की संख्या भी फाइबोनैचि अनुक्रम का अनुसरण करती है। एक पुरुष व्यक्ति में एक X गुणसूत्र होता है, जो उसे अपनी माँ से प्राप्त होता है, और एक Y गुणसूत्र होता है, जो उसे अपने पिता से प्राप्त होता है। पुरुष अपने स्वयं के एक्स गुणसूत्र के मूल के रूप में गिना जाता है ($$F_1=1$$), और उसके माता-पिता की पीढ़ी में, उसका X गुणसूत्र एकल माता-पिता से आया था ($F_2=1$). पुरुष की मां को एक एक्स क्रोमोसोम अपनी मां (बेटे की नानी) से और एक अपने पिता (बेटे के नाना) से प्राप्त हुआ, इसलिए दो दादा-दादी ने पुरुष वंशज के एक्स क्रोमोसोम में योगदान दिया ($F_3=2$). नाना ने अपना X गुणसूत्र अपनी माँ से प्राप्त किया, और नानी ने अपने माता-पिता दोनों से X गुणसूत्र प्राप्त किए, इसलिए तीन परदादाओं ने पुरुष वंशज के X गुणसूत्र में योगदान दिया ($F_4=3$). पांच परदादाओं ने पुरुष वंश के X गुणसूत्र में योगदान दिया ($F_5=5$), आदि (यह मानता है कि किसी दिए गए वंश के सभी पूर्वज स्वतंत्र हैं, लेकिन यदि किसी वंशावली का काफी समय पहले पता लगाया जाता है, तो पूर्वज वंशावली की कई पंक्तियों पर दिखाई देने लगते हैं, जब तक कि सभी वंशों पर एक संस्थापक प्रभाव दिखाई नहीं देता वंशावली।)

अन्य

 * प्रकाशिकी में, जब प्रकाश की एक किरण विभिन्न अपवर्तक सूचकांकों की विभिन्न सामग्रियों की दो खड़ी पारदर्शी प्लेटों के माध्यम से एक कोण पर चमकती है, तो यह तीन सतहों से प्रतिबिंबित हो सकती है: दो प्लेटों की शीर्ष, मध्य और निचली सतहें। विभिन्न बीम पथों की संख्या जिनके पास है $k$ प्रतिबिंब, के लिए $1$, है $$k$$वें फाइबोनैचि संख्या। (हालांकि, जब $S$, तीन परावर्तन पथ हैं, दो नहीं, तीन सतहों में से प्रत्येक के लिए एक।)
 * फाइबोनैचि रिट्रेसमेंट स्तर वित्तीय बाजार व्यापार के लिए तकनीकी विश्लेषण में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।
 * चूंकि मील से किलोमीटर के लिए इकाइयों के कारक 1.609344 का रूपांतरण गोल्डन रेश्यो के करीब है, फिबोनाची संख्याओं के योग में मीलों में दूरी का अपघटन लगभग किलोमीटर योग बन जाता है जब फिबोनाची संख्याओं को उनके उत्तराधिकारियों द्वारा बदल दिया जाता है। यह विधि गोल्डन रेश्यो आधार φ में स्थानांतरित होने वाले रेडिक्स 2 नंबर प्रोसेसर रजिस्टर की मात्रा है। किलोमीटर से मील में बदलने के लिए, इसके बजाय रजिस्टर को फाइबोनैचि अनुक्रम में नीचे शिफ्ट करें।
 * अनंत प्रतिरोधक श्रृंखला सर्किट (जिसे प्रतिरोधक सीढ़ी या अनंत श्रृंखला-समानांतर सर्किट भी कहा जाता है) में वोल्टेज और धाराओं के मापा मूल्य फाइबोनैचि अनुक्रम का पालन करते हैं। वैकल्पिक श्रृंखला और समानांतर प्रतिरोधों को जोड़ने के मध्यवर्ती परिणाम लगातार फाइबोनैचि संख्याओं से बने अंशों का उत्पादन करते हैं। पूरे सर्किट का समतुल्य प्रतिरोध गोल्डन रेश्यो के बराबर होता है।
 * ब्रैश एट अल। 2012 दिखाता है कि कैसे एक सामान्यीकृत फाइबोनैचि अनुक्रम को भी अर्थशास्त्र के क्षेत्र से जोड़ा जा सकता है। विशेष रूप से, यह दिखाया गया है कि कैसे एक सामान्यीकृत फाइबोनैचि अनुक्रम एक राज्य और एक नियंत्रण चर के साथ परिमित-क्षितिज गतिशील अनुकूलन समस्याओं के नियंत्रण समारोह में प्रवेश करता है। प्रक्रिया को एक उदाहरण में दिखाया गया है जिसे अक्सर ब्रॉक-मिरमैन आर्थिक विकास मॉडल कहा जाता है।
 * मारियो मर्ज़ ने 1970 से प्रारम्भ होने वाली अपनी कुछ कलाकृतियों में फिबोनाची क्रम को सम्मिलित किया।
 * जोसेफ शिलिंगर (1895-1943) ने शिलिंगर प्रणाली  विकसित किया जो अपनी कुछ धुनों में फाइबोनैचि अंतराल का उपयोग करता है; उन्होंने इन्हें प्रकृति के भीतर स्पष्ट सामंजस्य के संगीत समकक्ष के रूप में देखा। यह सभी देखें.