वेइल समूह

गणित में, विशेष रूप से लाई बीजगणित का सिद्धांत, मूल प्रक्रिया  Φ का वेइल समूह (हरमन वेइल के नाम पर) उस रूट सिस्टम के आइसोमेट्री समूह का एक उपसमूह है। विशेष रूप से, यह उपसमूह है जो जड़ों के लिए  hyperplane   ओर्थोगोनल  के माध्यम से प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न होता है, और जैसे कि एक परिमित प्रतिबिंब समूह है। वास्तव में यह पता चला है कि 'अधिकांश' परिमित प्रतिबिंब समूह वेइल समूह हैं। संक्षेप में, वेइल समूह परिमित कॉक्सेटर समूह हैं, और इनके महत्वपूर्ण उदाहरण हैं।

अर्ध-सरल झूठ समूह का वेइल ग्रुप, सेमीसिम्पल लाई बीजगणित, सेमीसिंपल लीनियर बीजगणितीय ग्रुप आदि सेमी-सिंपल लाई बीजगणित के रूट सिस्टम का वेइल ग्रुप है।

परिभाषा और उदाहरण
होने देना $$\Phi$$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक रूट सिस्टम बनें $$V$$. प्रत्येक जड़ के लिए $$\alpha\in\Phi$$, होने देना $$s_\alpha$$ हाइपरप्लेन के लंब के बारे में प्रतिबिंब को निरूपित करें $$\alpha$$, जो स्पष्ट रूप से दिया गया है
 * $$s_\alpha(v)=v-2\frac{(v,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}\alpha$$,

कहाँ $$(\cdot,\cdot)$$ आंतरिक उत्पाद चालू है $$V$$. वेइल समूह $$W$$ का $$\Phi$$ ऑर्थोगोनल समूह का उपसमूह है $$O(V)$$ सभी द्वारा उत्पन्न $$s_\alpha$$'एस। रूट सिस्टम की परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक $$s_\alpha$$ बरकरार रखता है $$\Phi$$, जिससे यह अनुसरण करता है $$W$$ परिमित समूह है।

के मामले में $$A_2$$ जड़ प्रणाली, उदाहरण के लिए, जड़ों के लंबवत हाइपरप्लेन सिर्फ रेखाएं हैं, और वीइल समूह एक समबाहु त्रिभुज का समरूपता समूह है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। एक समूह के रूप में, $$W$$ तीन तत्वों पर क्रमचय समूह के लिए समरूपी है, जिसे हम त्रिभुज के शीर्ष के रूप में सोच सकते हैं। ध्यान दें कि इस मामले में, $$W$$ रूट सिस्टम का पूर्ण समरूपता समूह नहीं है; 60 डिग्री का रोटेशन संरक्षित करता है $$\Phi$$ लेकिन का हिस्सा नहीं है $$W$$.

हम भी विचार कर सकते हैं $$A_n$$ मूल प्रक्रिया। इस मामले में, $$V$$ में सभी सदिशों का स्थान है $$\mathbb R^{n+1}$$ जिनकी प्रविष्टियों का योग शून्य है। जड़ों में फॉर्म के वैक्टर होते हैं $$e_i-e_j,\,i\neq j$$, कहाँ $$e_i$$ है $$i$$वें मानक आधार तत्व के लिए $$\mathbb R^{n+1}$$. ऐसी जड़ से जुड़ा प्रतिबिंब का परिवर्तन है $$V$$ अदला-बदली करके प्राप्त किया $$i$$वें और $$j$$प्रत्येक सदिश की वें प्रविष्टियाँ। वेइल समूह के लिए $$A_n$$ तब क्रमचय समूह चालू है $$n+1$$ तत्व।

वीइल चेंबर्स
अगर $$\Phi\subset V$$ एक रूट सिस्टम है, तो हम हाइपरप्लेन को प्रत्येक रूट के लंबवत मान सकते हैं $$\alpha$$. याद करें कि $$s_\alpha$$ हाइपरप्लेन के बारे में प्रतिबिंब को दर्शाता है और वेइल समूह के परिवर्तनों का समूह है $$V$$ सभी द्वारा उत्पन्न $$s_\alpha$$'एस। हाइपरप्लेन के सेट का पूरक डिस्कनेक्ट हो गया है, और प्रत्येक जुड़े घटक को वेइल कक्ष कहा जाता है। यदि हमने सरल जड़ों का एक विशेष सेट Δ तय किया है, तो हम Δ से जुड़े मौलिक वेइल कक्ष को बिंदुओं के सेट के रूप में परिभाषित कर सकते हैं $$v\in V$$ ऐसा है कि $$(\alpha,v)>0$$ सभी के लिए $$\alpha\in\Delta$$.

प्रतिबिंब के बाद से $$s_\alpha,\,\alpha\in\Phi$$ संरक्षित करना $$\Phi$$, वे जड़ों के लंबवत हाइपरप्लेन के सेट को भी संरक्षित करते हैं। इस प्रकार, प्रत्येक वीइल समूह तत्व वीइल कक्षों को अनुमति देता है।

यह आंकड़ा A2 रूट सिस्टम के मामले को दिखाता है। जड़ों के लिए हाइपरप्लेन (इस मामले में, एक आयामी) ऑर्थोगोनल को धराशायी रेखाओं द्वारा इंगित किया जाता है। छह 60-डिग्री क्षेत्र वीइल कक्ष हैं और छायांकित क्षेत्र संकेतित आधार से जुड़ा मौलिक वीइल कक्ष है।

वेइल चेम्बर्स के बारे में एक बुनियादी सामान्य प्रमेय यह है:
 * प्रमेय: वीइल समूह वीइल कक्षों पर स्वतंत्र रूप से और सकर्मक रूप से कार्य करता है। इस प्रकार, वेइल समूह का क्रम वीइल कक्षों की संख्या के बराबर है।

एक संबंधित परिणाम यह है:
 * प्रमेय: एक वेइल कक्ष को ठीक करें $$C$$. फिर सभी के लिए $$v\in V$$, की वेइल-ऑर्बिट $$v$$ बंद होने में बिल्कुल एक बिंदु होता है $$\bar C$$ का $$C$$.

जनरेटिंग सेट
वेइल समूह के बारे में एक महत्वपूर्ण परिणाम यह है:
 * प्रमेय: यदि $$\Delta$$ के लिए आधार है $$\Phi$$, तब वेइल समूह प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न होता है $$s_\alpha$$ साथ $$\alpha$$ में $$\Delta$$.

अर्थात् प्रतिबिम्बों से उत्पन्न समूह $$s_\alpha,\,\alpha\in\Delta,$$ प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न समूह के समान है $$s_\alpha,\,\alpha\in\Phi$$.

संबंध
इस बीच अगर $$\alpha$$ और $$\beta$$ में हैं $$\Delta$$, फिर डायनकिन आरेख के लिए $$\Phi$$ आधार के सापेक्ष $$\Delta$$ कैसे जोड़ी के बारे में हमें कुछ बताता है $$\{s_\alpha,s_\beta\}$$ व्यवहार करता है। विशेष रूप से, मान लीजिए $$v$$ और $$v'$$ डायनकिन आरेख में संगत शीर्ष हैं। तब हमारे पास निम्नलिखित परिणाम होते हैं: पूर्ववर्ती दावे को सत्यापित करना मुश्किल नहीं है, अगर हम बस याद रखें कि डायनकिन आरेख हमें जड़ों की प्रत्येक जोड़ी के बीच के कोण के बारे में क्या बताता है। यदि, उदाहरण के लिए, दो शीर्षों के बीच कोई बंधन नहीं है, तब $$\alpha$$ और $$\beta$$ ऑर्थोगोनल हैं, जिससे यह आसानी से अनुसरण करता है कि संबंधित प्रतिबिंब कम्यूट करते हैं। अधिक सामान्यतः, बांड की संख्या कोण को निर्धारित करती है $$\theta$$ जड़ों के बीच। दो प्रतिबिंबों का उत्पाद तब कोण द्वारा घूर्णन होता है $$2\theta$$ द्वारा फैलाए गए विमान में $$\alpha$$ और $$\beta$$, जैसा कि पाठक सत्यापित कर सकते हैं, जिससे उपरोक्त दावा आसानी से हो जाता है।
 * अगर बीच में कोई बंधन नहीं है $$v$$ और $$v'$$, तब $$s_\alpha$$ और $$s_\beta$$ आना-जाना। तब से $$s_\alpha$$ और $$s_\beta$$ प्रत्येक के पास क्रम दो है, यह कहने के बराबर है $$(s_\alpha s_\beta)^2=1$$.
 * यदि बीच में एक बंधन है $$v$$ और $$v'$$, तब $$(s_\alpha s_\beta)^3=1$$.
 * यदि बीच में दो बंधन हैं $$v$$ और $$v'$$, तब $$(s_\alpha s_\beta)^4=1$$.
 * यदि बीच में तीन बंधन हैं $$v$$ और $$v'$$, तब $$(s_\alpha s_\beta)^6=1$$.

एक कॉक्सेटर समूह के रूप में
वेइल समूह परिमित प्रतिबिंब समूहों के उदाहरण हैं, क्योंकि वे प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न होते हैं; अमूर्त समूह (एक रेखीय समूह के उपसमूह के रूप में नहीं माना जाता है) क्रमशः कॉक्सेटर समूह हैं, जो उन्हें उनके कॉक्सेटर-डाइनकिन आरेख द्वारा वर्गीकृत करने की अनुमति देता है। एक कॉक्सेटर समूह होने का मतलब है कि एक वेइल समूह में समूह की एक विशेष प्रकार की प्रस्तुति होती है जिसमें प्रत्येक जनरेटर xiक्रम दो का है, और x के अलावा अन्य संबंधi2=1 रूप के हैं (xixj) mij=1। जनरेटर सरल जड़ों द्वारा दिए गए प्रतिबिंब हैं, और मीij2, 3, 4, या 6 है जो इस बात पर निर्भर करता है कि जड़ें i और j 90, 120, 135, या 150 डिग्री का कोण बनाती हैं, यानी, क्या डायनकिन आरेख में वे असंबद्ध हैं, एक साधारण किनारे से जुड़े हुए हैं, एक से जुड़े हुए हैं डबल एज, या ट्रिपल एज से जुड़ा हुआ। इन संबंधों को हम पहले ही ऊपर बुलेट बिंदुओं में नोट कर चुके हैं, लेकिन कहने के लिए $$W$$ एक कॉक्सेटर समूह है, हम कह रहे हैं कि वे ही एकमात्र संबंध हैं $$W$$.

इस प्रस्तुति के संदर्भ में वेइल समूहों में ब्रुहट ऑर्डर और लम्बाई फ़ंक्शन है: वेइल समूह तत्व के वेइल समूह तत्व की लंबाई इन मानक जेनरेटर के संदर्भ में उस तत्व का प्रतिनिधित्व करने वाले सबसे छोटे शब्द की लंबाई है। कॉक्सेटर समूह का एक अनूठा सबसे लंबा तत्व है, जो ब्रुहट क्रम में पहचान के विपरीत है।

बीजगणितीय, समूह-सैद्धांतिक, और ज्यामितीय सेटिंग्स में वेइल समूह
ऊपर, वेइल समूह को रूट सिस्टम के आइसोमेट्री समूह के उपसमूह के रूप में परिभाषित किया गया था। विभिन्न समूह-सैद्धांतिक और ज्यामितीय संदर्भों (ली बीजगणित, लाइ समूह, सममित स्थान, आदि) के लिए विशिष्ट वेइल समूहों की विभिन्न परिभाषाएँ भी हैं। Weyl समूहों को परिभाषित करने के इन तरीकों में से प्रत्येक के लिए, यह एक (आमतौर पर nontrivial) प्रमेय है कि यह इस आलेख के शीर्ष पर परिभाषा के अर्थ में एक Weyl समूह है, अर्थात् ऑब्जेक्ट से जुड़े कुछ रूट सिस्टम का Weyl समूह। ऐसे वेइल समूह का एक ठोस अहसास आमतौर पर एक विकल्प पर निर्भर करता है - उदा। लाई बीजगणित के लिए यह सबलजेब्रा परीक्षण का, लाई समूह के लिए अधिकतम टोरस का।

कनेक्टेड कॉम्पैक्ट लाइ ग्रुप
का वेइल समूह होने देना $$K$$ कनेक्टेड कॉम्पैक्ट लाइ ग्रुप बनें और दें $$T$$ में एक अधिकतम टोरस हो $$K$$. इसके बाद हम नॉर्मलाइज़र का परिचय देते हैं $$T$$ में $$K$$, निरूपित $$N(T)$$ और के रूप में परिभाषित किया गया है
 * $$N(T)=\{x\in K|xtx^{-1}\in T,\,\text{for all }t\in T\}$$.

हम के केंद्रक को भी परिभाषित करते हैं $$T$$ में $$K$$, निरूपित $$Z(T)$$ और के रूप में परिभाषित किया गया है
 * $$Z(T)=\{x\in K|xtx^{-1}=t\,\text{for all }t\in T\}$$.

वेइल समूह $$W$$ का $$K$$ (दिए गए अधिकतम टोरस के सापेक्ष $$T$$) तो प्रारंभ में परिभाषित किया गया है
 * $$W=N(T)/T$$.

आखिरकार, यह साबित होता है $$Z(T)=T$$, किस बिंदु पर वेइल समूह का एक वैकल्पिक विवरण है
 * $$W=N(T)/Z(T)$$.

अब, कोई रूट सिस्टम को परिभाषित कर सकता है $$\Phi$$ जोड़ी से जुड़ा हुआ है $$(K,T)$$; जड़ें गैर-शून्य वजन (प्रतिनिधित्व सिद्धांत) की आसन्न क्रिया हैं $$T$$ झूठ बीजगणित पर $$K$$. प्रत्येक के लिए $$\alpha\in\Phi$$, कोई एक तत्व बना सकता है $$x_\alpha$$ का $$N(T)$$ जिसकी कार्रवाई चल रही है $$T$$ प्रतिबिंब का रूप है। थोड़े और प्रयास से कोई यह दिखा सकता है कि ये प्रतिबिंब सभी को उत्पन्न करते हैं $$N(T)/Z(T)$$. इस प्रकार, अंत में, वेइल समूह के रूप में परिभाषित किया गया $$N(T)/T$$ या $$N(T)/Z(T)$$ रूट सिस्टम के वेइल समूह के लिए आइसोमोर्फिक है $$\Phi$$.

अन्य सेटिंग्स में
एक जटिल अर्ध-सरल लाई बीजगणित के लिए, वेइल समूह को केवल जड़ों में प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न प्रतिबिंब समूह के रूप में परिभाषित किया जाता है - मूल प्रणाली का विशिष्ट अहसास सेमीसिंपल लाई बीजगणित#कार्टन सबलजेब्रस और रूट सिस्टम की पसंद पर निर्भर करता है।

कुछ शर्तों को पूरा करने वाले झूठ समूह G के लिए, एक टोरस टी <जी (जो अधिकतम होने की आवश्यकता नहीं है), उस टोरस के संबंध में वेइल समूह को टोरस एन = एन (टी) = एन के नॉर्मलाइज़र के भागफल के रूप में परिभाषित किया गया हैG(टी) टोरस जेड = जेड (टी) = जेड के केंद्रीकरण द्वाराG(टी),


 * $$W(T,G) := N(T)/Z(T).\ $$

समूह W परिमित है - Z, N में एक उपसमूह के परिमित सूचकांक का है। यदि T = T है0 एक अधिकतम टोरस है (इसलिए यह अपने स्वयं के केंद्रक के बराबर है: $$Z(T_0) = T_0$$) तब परिणामी भागफल N/Z = N/T को G का मैक्सिमल टोरस्र्स #Weyl समूह कहा जाता है, और W(G) को निरूपित किया जाता है। ध्यान दें कि विशिष्ट भागफल सेट अधिकतम टोरस की पसंद पर निर्भर करता है, लेकिन परिणामी समूह सभी आइसोमोर्फिक (जी के एक आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म द्वारा) होते हैं, क्योंकि अधिकतम टोरी संयुग्मित होते हैं।

अगर जी कॉम्पैक्ट और जुड़ा हुआ है, और टी एक अधिकतम टोरस है, तो जी का वेइल समूह अपने लाइ बीजगणित के वेइल ग्रुप के लिए आइसोमॉर्फिक है, जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है।

उदाहरण के लिए, सामान्य रैखिक समूह जीएल के लिए, एक अधिकतम टोरस व्युत्क्रमणीय विकर्ण आव्यूहों का उपसमूह डी है, जिसका सामान्यकारक सामान्यीकृत क्रमपरिवर्तन आव्यूह है (क्रमपरिवर्तन आव्यूहों के रूप में आव्यूह, लेकिन 'के स्थान पर किसी भी गैर-शून्य संख्या के साथ) 1s), और जिसका वेइल समूह सममित समूह है। इस मामले में भागफल मानचित्र N → N/T विभाजित होता है (क्रमपरिवर्तन मेट्रिसेस के माध्यम से), इसलिए नॉर्मलाइज़र N टोरस और वेइल समूह का एक अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है, और वीइल समूह को G के उपसमूह के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। सामान्य तौर पर यह हमेशा मामला नहीं होता है - भागफल हमेशा विभाजित नहीं होता है, सामान्य एन हमेशा डब्ल्यू और जेड का अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद नहीं होता है, और वेइल समूह को हमेशा जी के उपसमूह के रूप में महसूस नहीं किया जा सकता है।

ब्रुहत अपघटन
यदि B, G का एक बोरेल उपसमूह है, यानी, एक अधिकतम जुड़ा हुआ स्थान हल करने योग्य समूह उपसमूह और एक अधिकतम टोरस T = T0 को B में स्थित होने के लिए चुना जाता है, तो हमें Bruhat अपघटन प्राप्त होता है


 * $$G = \bigcup_{w\in W} BwB$$

जो फ्लैग किस्म जी/बी के 'शुबर्ट कोशिकाओं' में अपघटन को जन्म देता है (ग्रासमानियन देखें)।

समूह के हस्से आरेख की संरचना ज्यामितीय रूप से कई गुना (बल्कि, समूह के वास्तविक और जटिल रूपों) के कोहोलॉजी से संबंधित है, जो पोंकारे द्वंद्व से विवश है। इस प्रकार वेइल समूह के बीजगणितीय गुण मैनिफोल्ड्स के सामान्य सामयिक गुणों के अनुरूप हैं। उदाहरण के लिए, पोंकारे द्वैत आयाम k और आयाम n-k में कोशिकाओं के बीच एक युग्मन देता है (जहाँ n कई गुना का आयाम है): निचला (0) आयामी सेल वेइल समूह के पहचान तत्व से मेल खाता है, और दोहरी शीर्ष-आयामी कोशिका कॉक्सेटर समूह के सबसे लंबे तत्व से मेल खाती है।

बीजगणितीय समूहों के साथ सादृश्य
बीजगणितीय समूहों और वेइल समूहों के बीच कई समानताएँ हैं - उदाहरण के लिए, सममित समूह के तत्वों की संख्या n! है, और एक परिमित क्षेत्र पर सामान्य रैखिक समूह के तत्वों की संख्या q-फैक्टोरियल से संबंधित है। क्यू-फैक्टोरियल $$[n]_q!$$; इस प्रकार सममित समूह व्यवहार करता है जैसे कि यह एक तत्व के साथ क्षेत्र पर एक रैखिक समूह था। यह क्षेत्र द्वारा एक तत्व के साथ औपचारिक रूप दिया गया है, जो वेइल समूहों को एक तत्व के साथ क्षेत्र पर सरल बीजगणितीय समूह मानता है।

कोहोलॉजी
एक गैर-अबेलियन कनेक्टेड कॉम्पैक्ट लाई ग्रुप जी के लिए, वेइल ग्रुप डब्ल्यू का पहला समूह कॉहोलॉजी अधिकतम टोरस टी में गुणांक के साथ इसे परिभाषित करता था, नॉर्मलाइज़र के बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म समूह से संबंधित है $$N = N_G(T),$$ जैसा:
 * $$\operatorname{Out}(N) \cong H^1(W; T) \rtimes \operatorname{Out}(G).$$

समूह आउट (जी) के बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म अनिवार्य रूप से डायनकिन आरेख के आरेख ऑटोमोर्फिज़्म हैं, जबकि समूह कोहोलॉजी की गणना की जाती है और एक परिमित प्राथमिक एबेलियन 2-समूह है ($$(\mathbf{Z}/2)^k$$); साधारण झूठ समूहों के लिए इसका क्रम 1, 2, या 4 है। 0वें और दूसरे समूह के कोहोलॉजी भी नॉर्मलाइज़र से निकटता से संबंधित हैं।

यह भी देखें

 * अफिन वेइल समूह
 * अर्धसरल झूठ बीजगणित#Cartan subalgebras और रूट सिस्टम
 * अधिकतम टोरस
 * एक अर्ध-सरल झूठ बीजगणित की जड़ प्रणाली
 * हस्से आरेख