विभाजन-चतुर्भुज

अमूर्त बीजगणित में, विभाजन-चतुर्भुज या सहचतुर्भुजआधुनिक नाम के अनुसार 1849 में जेम्स कॉकल द्वारा प्रारम्भ की गई बीजगणितीय संरचना बनाते हैं। वे वास्तविक संख्याओं पर चार आयामों का एक साहचर्य बीजगणित बनाते हैं।

20वीं शताब्दी में वलय (गणित) और बीजगणित की समन्वय-मुक्त परिभाषाओं की प्रारम्भ के पश्चात, यह सिद्ध हो गया कि विभाजन-चतुर्भुजों का बीजगणित वलय (गणित) $2×2$ वास्तविक आव्यूहों के लिए समरूप है। तब विभाजन-चतुर्भुजों का अध्ययन वास्तविक आव्यूहों के अध्ययन के लिए कम किया जा सकता है, और यह व्यक्त किया जा सकता है कि 20 वीं और 21 वीं शताब्दी के गणितीय साहित्य में विभाजन-चतुर्भुजों के कुछ उल्लेख क्यों हैं।

परिभाषा
विभाजन-चतुर्भुज चार आधार तत्वों $1, i, j, k$ के रैखिक संयोजन (वास्तविक गुणांक के साथ) हैं जो निम्नलिखित गुणन नियमों को पूर्ण करते हैं:

सहचरिता के द्वारा, इन संबंधों का तात्पर्य है

और $i^{2} = −1$.

भी होता हैं। तब, विभाजन-चतुर्भुज आधार के रूप में चार आयामों $j^{2} = 1$ के साथ एक वास्तविक सदिश स्थान बनाते हैं। वे उपरोक्त गुणन नियमों को सभी विभाजन-चतुर्भुजों के लिए वितरण द्वारा विस्तारित करके एक गैर-विनिमेय छल्ले भी निर्मित करते हैं।

वर्ग आव्यूहों पर विचार करें
 * $$\begin{align}

\boldsymbol{1} =\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\qquad&\boldsymbol{i} =\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},\\ \boldsymbol{j} =\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\qquad&\boldsymbol{k} =\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}. \end{align}$$ वे समान गुणन तालिका को संबंधित विभाजन-चतुर्भुजों के रूप में संतुष्ट करते हैं। चूंकि ये आव्यूह दो गुणा दो आव्यूह का आधार बनाते हैं, जो फलन $k^{2} = 1$ से $$\boldsymbol{1}, \boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$$ तक क्रमसः एक बीजगणित समरूपता को विभाजित-चतुर्भुजों से दो गुणा दो वास्तविक आव्यूहों तक लाती है।

उपरोक्त गुणन नियम का अर्थ है कि आठ अवयव $ij = k = −ji$ इस गुणन के अंतर्गत एक समूह (गणित) बनाते हैं, जो द्वितल समूह D4 के लिए समरूप है, जो कि वर्गों का एक समतुल्य समूह हैं। वास्तव में, यदि एक ऐसे वर्ग पर विचार किया जाये जिसके किनारे वे बिंदु हैं जिनके निर्देशांक $jk = −i = −kj$ या $ki = j = −ik$हैं, आव्यूह $$\boldsymbol{i}$$ एक चक्रण के चौथाई भाग का दक्षिणावर्त घूर्णन है, $$\boldsymbol{j}$$ पहले विकर्ण के चारो तरफ समरूप हैं, और $$\boldsymbol{k}$$ x-अक्ष के चारो तरफ सममित हैं।

गुण
1843 में विलियम रोवन हैमिल्टन द्वारा प्रस्तुत किए गए चतुष्कोणों की तरह, वे चार आयाम (वेक्टर स्पेस) वास्तविक साहचर्य बीजगणित बनाते हैं। परन्तु आव्यूह की तरह और चतुष्कोणों के विपरीत, विभाजन-चतुर्भुजों में अतुच्छ शून्य विभाजक, नीलपोटेंट तत्व और महत्वपूर्ण तत्व (छल्ला कथन) होते हैं। (उदाहरण के लिए, $1⁄2$(1 + j) एक उदासीन शून्य-भाजक है, और i − j नगण्य है।) एक क्षेत्र पर बीजगणित के रूप में, विभाजित-चतुर्भुजों का बीजगणित उपरोक्त परिभाषित समरूपता द्वारा 2×2 वास्तविक आव्यूहों के बीजगणित के लिए बीजगणित समरूपता है।

यह समरूपता प्रत्येक विभाजन-चतुर्भुज को 2×2 आव्यूह के साथ पहचानने की अनुमति देती है। तो विभाजन-चतुर्भुज की प्रत्येक गुणधर्म आव्यूह की एक समान गुणों से मिलती है, जिसे अधिकांशतः अलग नाम दिया जाता है।

विभाजित-चतुर्भुज का संयुग्म $ijk = 1$, है $\{1, i, j, k\}$. आव्यूह की अवधि में, संयुग्म विकर्ण प्रविष्टियों का आदान-प्रदान करके और दो अन्य प्रविष्टियों के चिन्ह को बदलकर प्राप्त किया गया कोफ़ेक्टर आव्यूह (सहखंड आव्यूह) है।

इसके संयुग्म के साथ विभाजित-चतुर्भुज का प्रोडक्ट समदैशिक द्विघात रूप है:
 * $$N(q) = q q^* = w^2 + x^2 - y^2 - z^2,$$

जिसे नॉर्म (गणित) विभक्त-चतुर्भुज या संबंधित आव्यूह के निर्धारक के रचना बीजगणित कहा जाता है।

विभाजन-चतुर्भुज का वास्तविक भाग $1, i, j, k$ और $1, i, j, k, −1, −i, −j, −k$ है। यह संबंधित आव्यूह के चिन्ह (रैखिक बीजगणित) के बराबर है।

दो विभाजन-चतुर्भुजों के प्रोडक्ट का मानदंड उनके मानदंडों का प्रोडक्ट है। समतुल्य रूप से, आव्यूह के प्रोडक्ट का निर्धारक उनके निर्धारकों का प्रोडक्ट है।

इसका अर्थ है कि विभाजन-चतुर्भुज और 2×2 आव्यूह रचना बीजगणित बनाते हैं। जैसा कि शून्य मानदंड वाले अविभाजन-चतुर्भुज हैं, विभाजित-चतुर्भुज एक विभाजित रचना बीजगणित बनाते हैं - इसलिए उनका नाम।

अशून्य मानदंड के साथ विभाजन-चतुर्भुज का गुणक व्युत्क्रम होता है, अर्थात् $0$ है। आव्यूह के संदर्भ में, यह क्रैमर नियम है जो बताता है कि आव्यूह व्युत्क्रमणीय आव्यूह है यदि और केवल इसका निर्धारक अशून्य है, और, इस कथन में, आव्यूह का व्युत्क्रम निर्धारक द्वारा सहखंड आव्यूह का भागफल है।

विभाजन-चतुर्भुजों और 2×2 आव्यूहों के बीच समरूपता दर्शाती है कि अशून्य मानदण्ड वाले विभाजन-चतुर्भुजों का गुणात्मक समूह समरूपी है $$\operatorname{GL}(2, \mathbb R),$$ और मानक के विभाजित चतुष्कोणों का समूह $1$ के साथ $$\operatorname{SL}(2, \mathbb R)$$समरूप है |

जटिल आव्यूह के रूप में प्रतिनिधित्व
एकात्मक साहचर्य बीजगणित के रूप में विभाजन-चतुर्भुजों का प्रतिनिधित्व है $q = w + xi + yj + zk$ जटिल संख्या प्रविष्टियों के साथ आव्यूह है। इस प्रतिनिधित्व को बीजगणित समरूपता द्वारा परिभाषित किया जा सकता है जो विभाजन-चतुर्भुज को मैप करता है $q^{∗} = w − xi − yj − zk$ आव्यूह के लिए
 * $$\begin{pmatrix}w+xi& y+zi\\y-zi&w-xi\end{pmatrix}.$$

यहाँ, $i$ (इटैलिक प्रकार) काल्पनिक इकाई है, जिसे मूल विभाजन चतुर्धातुक के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए $q = w + xi + yj + zk$ (रोमन प्रकार) होता है।

इस समरूपता की छवि प्रकार के आव्यूह द्वारा बनाई गई आव्यूह रिंग है
 * $$\begin{pmatrix}u & v \\ v^* & u^* \end{pmatrix},$$

जहां अभिलेख $$^*$$ एक जटिल संयुग्म को दर्शाता है।

यह समरूपता क्रमशः विभाजन-चतुर्भुजों का मानचित्रण $w = (q^{∗} + q)/2$ आव्यूह पर करती है |
 * $$\begin{pmatrix}i & 0 \\0 &-i \end{pmatrix}, \quad\begin{pmatrix}0 & 1 \\1 &0 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0 & i \\-i &0 \end{pmatrix}.$$

इसका प्रमाण है कि यह प्रतिनिधित्व बीजगणित समरूपता है सीधा है परन्तु कुछ उबाऊ संगणना की आवश्यकता होती है, जिसे विभाजित-चतुर्भुजों की अभिव्यक्ति से प्रारम्भ करके टाला जा सकता है $q^{∗}/N(q)$ वास्तविक आव्यूह, और आव्यूह समानता का उपयोग होने देना $S$ आव्यूह हो
 * $$S=\begin{pmatrix}1 & i \\i &1 \end{pmatrix}.$$

फिर, विभाजन-चतुर्भुजों के प्रतिनिधित्व के रूप में क्रियान्वित किया गया $1$ वास्तविक आव्यूह, उपरोक्त बीजगणित समरूपता आव्यूह समानता है।
 * $$M\mapsto S^{-1}MS.$$

यह लगभग तुरंत अनुसरण करता है कि जटिल आव्यूह के रूप में प्रतिनिधित्व किए गए विभाजित चतुष्कोण के लिए, संयुग्म सहखंड का आव्यूह है, और मानदंड निर्धारक है।

जटिल आव्यूह रूप में विभाजित चतुष्कोणों के प्रतिनिधित्व के साथ मानदंड के चतुष्कोणों के आव्यूह $2×2$ वास्तव में विशेष एकात्मक समूह SU(1,1) के तत्व हैं। इसका उपयोग अतिपरवलयिक ज्यामिति में अतिपरवलयिक गति पोइन्कारे डिस्क मॉडल के डिस्क मॉडल गतियों का वर्णन करने के लिए किया जाता है।

विभाजन-जटिल संख्या से समूह
विभाजन-चतुर्भुज संशोधित केली-डिक्सन निर्माण द्वारा उत्पन्न किए जा सकते हैं एल ई डिक्सन और एड्रियन अल्बर्ट की पद्धति के समान होता है। विभाजन बीजगणित सी, एच, और ओ के लिए गुणन नियम होता है | $$(a,b)(c,d)\ = \ (ac + d^* b, \ da + bc^* )$$ वास्तविक-विभाजित कथनों में दोगुने उत्पाद का उत्पादन करते समय उपयोग किया जाता है। द्विगुणित संयुग्मी $$(a,b)^* = (a^*, - b), $$ जिससे की $$N(a,b) \ = \ (a,b)(a,b)^* \ = \ (a a^* - b b^*, 0).$$ यदि ए और बी विभाजित-जटिल संख्याएं और विभाजित-चतुर्भुज हैं $$q = (a,b) = ((w + z j), (y + xj)), $$ तब $$N(q) = a a^* - b b^* = w^2 - z^2 - (y^2 - x^2) = w^2 + x^2 - y^2 - z^2 .$$

स्तरीकरण
इस खंड में, एकल विभाजन-चतुर्भुज द्वारा उत्पन्न सबलजेब्रस (उपबीजगणितीय) का अध्ययन और वर्गीकरण किया जाता है।

$w + xi + yj + zk$ एक विभाजन-चतुर्भुज है इसका वास्तविक भाग $i$ है | $i, j, k$ इसका अवास्तविक भाग बना है। किसी के पास $2×2$, और इसलिए $$p^2=w^2+2wq-N(q)$$ है| यह इस प्रकार है कि $$p^2$$ एक वास्तविक संख्या है यदि $p$ या तो एक वास्तविक संख्या है ($2×2$ और $1$) या विशुद्ध रूप से अवास्तविक विभाजन चतुर्धातुक ($p = w + xi + yj + zk$ और $w = 1⁄2(p + p*)$) है।

उपबीजगणित की संरचना $$\mathbb R[p]$$ द्वारा उत्पन्न $p$ सीधा अनुसरण करता है। किसी के पास
 * $$\mathbb R[p]=\mathbb R[q]=\{a+bq\mid a,b\in\mathbb R\},$$

और यह क्रमविनिमेय बीजगणित (संरचना) है। यदि $p$ को छोड़कर इसका वास्तविक आयाम (रैखिक बीजगणित) दो है (इस कथन में, $$\mathbb R$$ बस उपबीजगणित है)|

$$\mathbb R[p]$$ अवास्तविक तत्व जिसका वर्ग वास्तविक है उसका रूप $aq$ साथ $$a\in \mathbb R$$ है। तीन कथनों पर विचार किया जाना है, जिनका विवरण अगले उपखंडों में दिया गया है।

निलपोटेंट कथन
उपरोक्त संकेतन के साथ, यदि $$q^2=0,$$ (अर्थात, यदि $q$ शून्य है), फिर $q = p – w = 1⁄2(p – p*)$, वह $$x^2-y^2-z^2=0$$ है, इसका तात्पर्य है $w$ और $t$ में उपस्थित है, $$\mathbb R$$ ऐसा है कि $q* = –q$ और
 * $$p=w+a\mathrm i + a\cos(t)\mathrm j + a\sin(t)\mathrm k.$$

यह उन सभी विभाजित-चतुर्थों का पैरामीट्रिजेशन (परमितीकरण) है, जिनका अवास्तविक भाग शून्य है।

यह वृत्त के बिंदुओं द्वारा इन उपबीजगणित का एक परमितीकरण भी है: प्रपत्र के विभाजन-चतुर्भुज $$\mathrm i + \cos(t)\mathrm j + \sin(t)\mathrm k$$ एक गोला बनाएं; निलपोटेंट तत्व द्वारा उत्पन्न उपबीजगणितीय में वृत्त का ठीक एक बिंदु होता है; और वृत्त में कोई अन्य बिंदु नहीं है।

निलपोटेंट तत्व द्वारा उत्पन्न बीजगणित $$\mathbb R[X]/\langle X^2\rangle$$ के समरूप है और दोहरी संख्या के समतल के लिए है।

विघटित कथन
यह वह कथन है जहां $q = 0$. दे $n=\sqrt{N(q)},$ किसी के पास
 * $$q^2 =-q^*q=N(q)=n^2=x^2-y^2-z^2.$$

यह इस प्रकार है कि $p = w$ समीकरण की दो शीटों के अतिपरवलयज से संबंधित है $$x^2-y^2-z^2=1.$$ इसलिए, $w = 0$ वास्तविक संख्याएँ हैं, ऐसा है कि $p = q$ और

$$p=w+n\cosh(u)\mathrm i + n\sinh(u)\cos(t)\mathrm j + n\sinh(u)\sin(t)\mathrm k.$$

यह उन सभी विभाजन-चतुर्भुजों का परमितीकरण है जिनके अवास्तविक भाग का धनात्मक मानदंड है।

यह दो शीट्स के हाइपरबोलॉइड के विपरीत बिंदुओं के जोड़े द्वारा संबंधित सबलजेब्रस का एक पैरामीटर भी है: प्रपत्र के विभाजन-चतुर्भुज $$\cosh(u)\mathrm i + \sinh(u)\cos(t)\mathrm j + \sinh(u)\sin(t)\mathrm k$$ दो शीटों का एक अतिपरवलयज बनाएँ; धनात्मक मानक के अवास्तविक भाग के साथ विभाजन-चतुर्भुज द्वारा उत्पन्न उपबीजगणितीय में इस  अतिपरवलयिक पर दो विपरीत बिंदु होते हैं, प्रत्येक शीट पर एक; और अतिपरवलयज में कोई अन्य बिंदु नहीं होता है।

धनात्मक मानदंड के अवास्तविक भाग के साथ विभाजन-चतुर्भुज द्वारा उत्पन्न बीजगणित $$\mathbb R[X]/\langle X^2-1\rangle$$के समरूप है और विभाजित-जटिल संख्याओं के सतह है। यह $(1,0)\mapsto \frac{1+X}2, \quad (0,1)\mapsto \frac{1-X}2 $ द्वारा परिभाषित प्रतिचित्रण द्वारा $$\mathbb R^2$$ के लिए समरूपक भी है।

अविभाज्य कथन
यह वह कथन है जहां $N(q) = 0$. दे $n=\sqrt{-N(q)},$ किसी के पास
 * $$q^2 =-q^*q=N(q)=-n^2=x^2-y^2-z^2.$$

यह इस प्रकार है कि $0 ≤ t < 2\pi$ समीकरण की एक शीट के अतिपरवलयिक $$y^2+z^2-x^2=1$$ से संबंधित है, इसलिए, $N(q) > 0$ वास्तविक संख्याएँ हैं, ऐसा है कि $1⁄n q$ और
 * $$p=w+n\sinh(u)\mathrm i + n\cosh(u)\cos(t)\mathrm j + n\cosh(u)\sin(t)\mathrm k.$$

यह सभी विभाजन-चतुर्भुजों का परमितीकरण है, जिनके अवास्तविक भाग में ऋणात्मक मानदंड है।

यह एक शीट के अतिपरवलयिक के विपरीत बिंदुओं के जोड़े द्वारा संबंधित उपबीजगणित का एक पैरामीटर भी है: प्रपत्र के विभाजन-चतुर्भुज $$\sinh(u)\mathrm i + \cosh(u)\cos(t)\mathrm j + \cosh(u)\sin(t)\mathrm k$$ एक शीट का अतिपरवलयिक बनाएं; ऋणात्मक मानक के अवास्तविक भाग के साथ विभाजन-चतुर्भुज द्वारा उत्पन्न उपबीजगणित में इस  अतिपरवलयिक पर ठीक दो विपरीत बिंदु होते हैं; और अतिपरवलयज में कोई अन्य बिंदु नहीं होता है।

ऋणात्मक मानदंड के अवास्तविक भाग के साथ विभाजन-चतुर्भुज द्वारा उत्पन्न बीजगणित $$\mathbb R[X]/\langle X^2+1\rangle$$ है और क्षेत्र में $$\Complex$$ जटिल संख्याओं का समरूपी है।

आदर्श द्वारा स्तरीकरण
जैसा कि ऊपर देखा गया है, आदर्श के विशुद्ध रूप से अवास्तविक विभाजन-चतुर्भुज $n, t, u$ और $0 ≤ t < 2\pi$ अवास्तविक चतुष्कोणों के स्थान में क्रमशः शीट का अतिपरवलयज, दो शीट का अतिपरवलयज और एक गोलाकार शंकु बनाता है।

ये सतहें जोड़ीदार अनंतस्पर्शी हैं और प्रतिच्छेद नहीं करती हैं। उनके समूह पूरक में छह जुड़े हुए क्षेत्र सम्मिलित हैं: इस स्तरीकरण को निश्चित मानदंड के विभाजन-चतुर्भुजों पर विचार करके परिष्कृत किया जा सकता है: प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए $x$ आदर्श के विशुद्ध रूप से अवास्तविक विभाजन-चतुर्भुज $n ≠ 0$ अतिपरवलयज बनाता है। ये सभी अतिपरवलयज उपरोक्त शंकु के अनंतस्पर्शी हैं, और इनमें से कोई भी सतह किसी अन्य को नहीं काटती है। चूंकि पूरी तरह से अवास्तविक विभाजन-चतुर्भुजों का समूह इन सतहों का अलग संघ है, यह वांछित स्तरीकरण प्रदान करता है।
 * दो शीटों के अतिपरवलयज के अवतल पक्ष पर स्थित दो क्षेत्र, जहाँ $$N(q)>1$$
 * दो शीटों के अतिपरवलयज और शंकु के बीच के दो क्षेत्र, जहां $$0<N(q)<1$$
 * शंकु और शीट के अतिपरवलयज के बीच का क्षेत्र जहां $$-1<N(q)<0$$
 * एक शीट के अतिपरवलयज के बाहर का क्षेत्र, जहाँ $$N(q)<-1$$

ऐतिहासिक नोट्स
क्वाटरनियन प्रारम्भ में (उस नाम के तहत) 1849 में लंदन-एडिनबर्ग-डबलिन दार्शनिक पत्रिका में जेम्स कॉकल द्वारा प्रस्तुत किये गए थे | 1904 की ग्रंथ सूची में कॉकल द्वारा क्वाटरनियन सोसायटी के परिचयात्मक पत्रों को याद किया गया था 1900 में पेरिस में गणितज्ञों की अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस में बोल रहे अलेक्जेंडर मैकफर्लेन ने विभाजन-चतुर्भुज वैक्टर की संरचना को एक गोलाकार प्रणाली कहा था। इकाई क्षेत्र को 1910 में हैंस बेक द्वारा माना गया था। उदाहरण के लिए, डायहेड्रल समूह पृष्ठ 419 पर दिखाई देता है। विभाजन-चतुर्भुज संरचना का भी संक्षेप में गणित के इतिहास में उल्लेख किया गया है। 1995 में इयान पोर्टियस ने क्लिफोर्ड बीजगणित और हाइपरकॉम्प्लेक्स (अतिमिश्र) संख्याओं के संदर्भ में विभाजित-चतुर्थक रखे थे।

पर्यायवाची

 * पैरा-चतुष्कोण (लवानोव और जम्कोवॉय 2005, मोहाउप्त 2006)पैरा-चतुष्कोण संरचनाओं के साथ कई गुना अध्ययन अंतर ज्यामिति और स्ट्रिंग सिद्धांत में किया जाता है। पैरा-क्वाटरनियोनिक साहित्य में k को -k से बदल दिया गया है।
 * बाह्यगोलीय प्रणाली (मैकफर्लेन 1900)
 * स्प्लिट-चतुर्भुज (रोसेनफेल्ड 1988)
 * प्राचीन (रोसेनफेल्ड 1988)
 * छद्म चतुर्भुज (याग्लोम 1968 रोसेनफेल्ड 1988)

यह भी देखें

 * पॉल आव्यूह
 * विभाजन-द्विभाजित
 * स्प्लिट-ऑक्शन
 * दोहरी चतुष्कोण

अग्रिम पठन

 * Brody, Dorje C., and Eva-Maria Graefe. "On complexified mechanics and coquaternions." Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 44.7 (2011): 072001.
 * Ivanov, Stefan; Zamkovoy, Simeon (2005), "Parahermitian and paraquaternionic manifolds", Differential Geometry and its Applications 23, pp. 205–234,,.
 * Mohaupt, Thomas (2006), "New developments in special geometry",.
 * Özdemir, M. (2009) "The roots of a split quaternion", Applied Mathematics Letters 22:258–63.
 * Özdemir, M. & A.A. Ergin (2006) "Rotations with timelike quaternions in Minkowski 3-space", Journal of Geometry and Physics 56: 322–36.
 * Pogoruy, Anatoliy & Ramon M Rodrigues-Dagnino (2008) Some algebraic and analytical properties of coquaternion algebra, Advances in Applied Clifford Algebras.