सामान्यीकृत व्युत्क्रम गाऊसी वितरण

प्रायिकता सिद्धांत और सांख्यिकी में, सामान्यीकृत व्युत्क्रम गाऊसी वितरण (जीआईजी) प्रायिकता घनत्व फलन के साथ निरंतर प्रायिकता वितरण का तीन-मापदंड समूह है


 * $$f(x) = \frac{(a/b)^{p/2}}{2 K_p(\sqrt{ab})} x^{(p-1)} e^{-(ax + b/x)/2},\qquad x>0,$$

जहां kp दूसरे प्रकार का संशोधित बेसेल फलन है, a > 0, b > 0 और p वास्तविक मापदंड हैं। इसका उपयोग भू-सांख्यिकी, सांख्यिकीय भाषाविज्ञान, वित्त आदि में वृहद् स्तर पर किया जाता है। यह वितरण सबसे पहले एटियेन हाल्फेन द्वारा प्रस्तावित किया गया था।  इसे ओले बार्नडॉर्फ-नीलसन ने पुनः खोजा और लोकप्रिय बनाया, जिन्होंने इसे सामान्यीकृत व्युत्क्रम गाऊसी वितरण कहा था। बेंट जोर्जेंसन के व्याख्यान टिप्पणियों में इसके सांख्यिकीय गुणों का वर्णन किया गया हैं।

वैकल्पिक मानकीकरण
$$\theta = \sqrt{ab}$$ और $$\eta = \sqrt{b/a}$$ को व्यवस्थित कर के, हम वैकल्पिक रूप से जीआईजी वितरण को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं


 * $$f(x) = \frac{1}{2\eta K_p(\theta)} \left(\frac{x}{\eta}\right)^{p-1} e^{-\theta(x/\eta + \eta/x)/2}, $$

जहाँ $$\theta$$ जबकि निश्चित मापदंड है $$\eta$$ प्रवर्धन मापदंड हैं।

सारांश
बार्नडॉर्फ-नील्सन और हेलग्रीन ने सिद्ध किया कि जीआईजी वितरण अनंत विभाज्यता (संभावना) है।

एंट्रॉपी
सामान्यीकृत व्युत्क्रम गाऊसी वितरण की एन्ट्रापी इस प्रकार दी गई है



\begin{align} H = \frac{1}{2} \log \left( \frac b a \right) & {} +\log \left(2 K_p\left(\sqrt{ab} \right)\right) - (p-1) \frac{\left[\frac{d}{d\nu}K_\nu\left(\sqrt{ab}\right)\right]_{\nu=p}}{K_p\left(\sqrt{a b}\right)} \\ & {} + \frac{\sqrt{a b}}{2 K_p\left(\sqrt{a b}\right)}\left( K_{p+1}\left(\sqrt{ab}\right) + K_{p-1}\left(\sqrt{a b}\right)\right) \end{align} $$ जहाँ $$\left[\frac{d}{d\nu}K_\nu\left(\sqrt{a b}\right)\right]_{\nu=p}$$ क्रम के संबंध में दूसरे प्रकार के संशोधित बेसेल फलन का व्युत्पन्न $$\nu$$ है पर मूल्यांकन $$\nu=p$$ किया गया हैं।

विशेषता फलन
यादृच्छिक चर की विशेषता $$ X\sim GIG(p, a, b) $$ के रूप में दिया गया है (विशेषता फलन की व्युत्पत्ति के लिए, पूरक सामग्री देखा जाता हैं)।


 * $$ E(e^{itX}) = \left(\frac{a }{a-2it }\right)^{\frac{p}{2}} \frac{K_{p}\left( \sqrt{(a-2it)b} \right)}{ K_{p}\left( \sqrt{ab} \right) }  $$ के लिए $$ t \in \mathbb{R}$$ जहाँ $$ i $$ काल्पनिक संख्या को दर्शाता है।

विशेष मामले
व्युत्क्रम गाऊसी वितरण और गामा वितरण क्रमशः p = −1/2 और b = 0 के लिए सामान्यीकृत व्युत्क्रम गाऊसी वितरण की विशेष स्थिति हैं। विशेष रूप से, प्रपत्र का व्युत्क्रम गाऊसी वितरण


 * $$ f(x;\mu,\lambda) = \left[\frac{\lambda}{2 \pi x^3}\right]^{1/2} \exp{ \left( \frac{-\lambda (x-\mu)^2}{2 \mu^2 x} \right)}$$

के साथ GIG है $$a = \lambda/\mu^2$$, $$b = \lambda$$, और $$p=-1/2$$. प्रपत्र का गामा वितरण



g(x;\alpha,\beta) = \beta^\alpha \frac 1 {\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x} $$ के साथ GIG है $$a = 2 \beta$$, $$b = 0$$, और $$p = \alpha$$ है।

अन्य विशेष स्थिति में a = 0 के लिए व्युत्क्रम-गामा वितरण सम्मलित है।

गौसियन के लिए पूर्ववर्ती संयुग्म
सामान्य विचरण-माध्य मिश्रण में मिश्रण वितरण के रूप में कार्य करते समय जीआईजी वितरण सामान्य वितरण से पहले संयुग्मित होता है। कुछ अदृश्य चर के लिए पूर्ववर्ती वितरण माना $$z$$ हैं, जो जीआईजी बनाता हैं:

P(z\mid a,b,p) = \operatorname{GIG}(z\mid a,b,p) $$ और माना की $$T$$ अवलोकन किए गए डेटा बिंदु, $$X=x_1,\ldots,x_T$$, सामान्य संभावना फलन के साथ, $$z$$ पर स्थित किया जाता हैं:

P(X\mid z,\alpha,\beta) = \prod_{i=1}^T N(x_i\mid\alpha+\beta z,z) $$ जहाँ $$N(x\mid\mu,v)$$ माध्य के साथ सामान्य वितरण $$\mu$$ और विचरण $$v$$ है। फिर पीछे के लिए $$z$$, दिया गया डेटा भी जीआईजी है:

P(z\mid X,a,b,p,\alpha,\beta) = \text{GIG}\left(z\mid a+T\beta^2,b+S,p-\frac T 2 \right) $$ जहाँ $$\textstyle S = \sum_{i=1}^T (x_i-\alpha)^2$$ होता है।

सिचेल वितरण
सिचेल वितरण परिणाम तब आते हैं जब जीआईजी का उपयोग पॉइसन वितरण मापदंड $$\lambda$$ के लिए मिश्रण वितरण के रूप में किया जाता है।

यह भी देखें

 * उलटा गाऊसी वितरण
 * गामा वितरण