ज्यामितीय प्रकाशिकी

ज्यामितीय प्रकाशिकी, या रे प्रकाशिकी,  प्रकाशिकी  का एक मॉडल है जो   प्रकाश     प्रसार  को    किरण  के संदर्भ में वर्णित करता है। ज्यामितीय प्रकाशिकी में किरण एक    अमूर्त  उन पथों का अनुमान लगाने के लिए उपयोगी है जिनके साथ कुछ परिस्थितियों में प्रकाश फैलता है।

ज्यामितीय प्रकाशिकी की सरल धारणाओं में प्रकाश किरणें शामिल हैं:
 * सजातीय माध्यम में यात्रा करते हुए सीधी-रेखा वाले रास्तों में प्रचार करें
 * मोड़, और विशेष परिस्थितियों में दो अलग-अलग   मीडिया  के बीच    इंटरफेस  पर दो में विभाजित हो सकता है
 * एक माध्यम में घुमावदार रास्तों का अनुसरण करें जिसमें  अपवर्तनांक  बदलता है
 * अवशोषित या परिलक्षित हो सकता है।

ज्यामितीय प्रकाशिकी  विवर्तन  और    हस्तक्षेप  जैसे कुछ ऑप्टिकल प्रभावों के लिए जिम्मेदार नहीं है। यह सरलीकरण व्यवहार में उपयोगी है; यह एक उत्कृष्ट सन्निकटन है जब संरचनाओं के आकार की तुलना में तरंग दैर्ध्य छोटा होता है जिसके साथ प्रकाश संपर्क करता है। तकनीक    इमेजिंग  के ज्यामितीय पहलुओं का वर्णन करने में विशेष रूप से उपयोगी हैं, जिसमें   ऑप्टिकल विपथन  एस शामिल हैं।

स्पष्टीकरण


एक प्रकाश किरण एक   लाइन  या   वक्र  है जो कि   वेवफ्रंट  सेकेंड के लिए   लंबवत  है (और इसलिए   विक्षनरी है:  [[ वेव वेक्टर  के साथ कोलिनियर |  कॉललाइनर ]])। प्रकाश किरण की थोड़ी अधिक कठोर परिभाषा  फ़र्मेट के सिद्धांत  से अनुसरण करती है, जिसमें कहा गया है कि प्रकाश की किरण द्वारा दो बिंदुओं के बीच लिया गया मार्ग वह मार्ग है जिसे कम से कम समय में पार किया जा सकता है

ज्यामितीय प्रकाशिकी को अक्सर  पैराएक्सियल सन्निकटन, या छोटे कोण सन्निकटन बनाकर सरल बनाया जाता है। गणितीय व्यवहार तब    रैखिक  बन जाता है, जिससे ऑप्टिकल घटकों और प्रणालियों को सरल मैट्रिक्स द्वारा वर्णित किया जा सकता है। यह   गॉसियन ऑप्टिक्स  और पैराक्सियल    रे ट्रेसिंग  की तकनीकों की ओर ले जाता है, जिनका उपयोग ऑप्टिकल सिस्टम के बुनियादी गुणों को खोजने के लिए किया जाता है, जैसे लगभग   इमेज  और ऑब्जेक्ट पोजीशन और   आवर्धन  सेकंड

प्रतिबिंब
मिरर एस जैसी चमकदार सतहें एक सरल, पूर्वानुमेय तरीके से प्रकाश को दर्शाती हैं। यह परावर्तित छवियों के उत्पादन की अनुमति देता है जो अंतरिक्ष में एक वास्तविक (   वास्तविक  ) या एक्सट्रपलेटेड (   आभासी  ) स्थान से संबद्ध हो सकते हैं।

ऐसी सतहों के साथ, परावर्तित किरण की दिशा उस कोण से निर्धारित होती है, जिस पर आपतित किरण  सतह को सामान्य  के साथ बनाती है, उस बिंदु पर सतह के लंबवत रेखा जहां किरण टकराती है। आपतित और परावर्तित किरणें एक ही तल में होती हैं, और परावर्तित किरण और सतह अभिलंब के बीच का कोण वही होता है जो आपतित किरण और अभिलंब के बीच होता है। इसे   परावर्तन के नियम  के रूप में जाना जाता है।

समतल दर्पण के लिए, परावर्तन के नियम का तात्पर्य है कि वस्तुओं की छवियां सीधे हैं और दर्पण के पीछे उतनी ही दूरी पर हैं जितनी वस्तुएं दर्पण के सामने हैं। छवि का आकार वस्तु के आकार के समान है। (एक समतल दर्पण का   आवर्धन  एक के बराबर है।) कानून यह भी बताता है कि   दर्पण छवि  s    समता उलटा  है, जिसे बाएं-दाएं उलटा माना जाता है।

घुमावदार सतहों वाले दर्पण को    रे ट्रेसिंग  और सतह पर प्रत्येक बिंदु पर प्रतिबिंब के नियम का उपयोग करके मॉडल किया जा सकता है।    परवलयिक सतहों के साथ दर्पण, दर्पण पर समानांतर किरणें परावर्तित किरणें उत्पन्न करती हैं जो एक सामान्य    फोकस  पर अभिसरण करती हैं। अन्य घुमावदार सतहें भी प्रकाश पर ध्यान केंद्रित कर सकती हैं, लेकिन विचलन के साथ आकार के विचलन के कारण अंतरिक्ष में फोकस को धुंधला कर दिया जाता है। विशेष रूप से, गोलाकार दर्पण   गोलाकार विपथन  प्रदर्शित करते हैं। घुमावदार दर्पण एक से अधिक या कम आवर्धन वाली छवियां बना सकते हैं, और छवि सीधी या उलटी हो सकती है। दर्पण में परावर्तन से बनने वाला सीधा प्रतिबिम्ब हमेशा आभासी होता है, जबकि उल्टा प्रतिबिम्ब वास्तविक होता है और इसे पर्दे पर प्रक्षेपित किया जा सकता है।

अपवर्तन
का चित्रण अपवर्तन तब होता है जब प्रकाश अंतरिक्ष के एक ऐसे क्षेत्र से होकर गुजरता है जिसमें अपवर्तन का परिवर्तनशील सूचकांक होता है। अपवर्तन का सबसे सरल मामला तब होता है जब अपवर्तन सूचकांक के साथ एक समान माध्यम के बीच एक इंटरफेस होता है $$n_1$$ and another medium with index of refraction $$n_2$$. ऐसी स्थितियों में,  स्नेल का नियम  प्रकाश किरण के परिणामी विक्षेपण का वर्णन करता है:$$n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2\ $$

कहाँ पे $$\theta_1$$ and $$\theta_2$$ क्रमशः सामान्य (इंटरफ़ेस के लिए) और आपतित और अपवर्तित तरंगों के बीच के कोण हैं। यह घटना प्रकाश की बदलती गति से भी जुड़ी है जैसा कि ऊपर दिए गए अपवर्तन सूचकांक की परिभाषा से देखा गया है जिसका अर्थ है:$$v_1\sin\theta_2\ = v_2\sin\theta_1$$

कहाँ पे $$v_1$$ and $$v_2$$ संबंधित मीडिया के माध्यम से तरंग वेग हैं

स्नेल के नियम के विभिन्न परिणामों में यह तथ्य शामिल है कि उच्च अपवर्तन सूचकांक वाली सामग्री से कम अपवर्तन सूचकांक वाली सामग्री तक जाने वाली प्रकाश किरणों के लिए, इंटरफ़ेस के साथ बातचीत के परिणामस्वरूप शून्य संचरण संभव है। इस घटना को  कुल आंतरिक प्रतिबिंब  कहा जाता है और   फाइबर ऑप्टिक्स  प्रौद्योगिकी के लिए अनुमति देता है। जैसे ही प्रकाश संकेत एक फाइबर ऑप्टिक केबल के नीचे जाते हैं, वे कुल आंतरिक प्रतिबिंब से गुजरते हैं जिससे अनिवार्य रूप से केबल की लंबाई में कोई प्रकाश नहीं खोता है। परावर्तन और अपवर्तन के संयोजन का उपयोग करके    ध्रुवीकृत प्रकाश किरणें  का उत्पादन करना भी संभव है: जब एक अपवर्तित किरण और परावर्तित किरण   समकोण  बनाती है, तो परावर्तित किरण में समतल ध्रुवीकरण का गुण होता है। ऐसे परिदृश्य के लिए आवश्यक आपतन कोण को   ब्रूस्टर कोण. के रूप में जाना जाता है

स्नेल के नियम का उपयोग प्रकाश किरणों के विक्षेपण की भविष्यवाणी करने के लिए किया जा सकता है क्योंकि वे रैखिक मीडिया से गुजरते हैं जब तक कि अपवर्तन के सूचकांक और मीडिया की ज्यामिति ज्ञात हो। उदाहरण के लिए,   प्रिज्म  के माध्यम से प्रकाश के प्रसार के परिणामस्वरूप प्रकाश की किरण प्रिज्म के आकार और अभिविन्यास के आधार पर विक्षेपित हो जाती है। इसके अतिरिक्त, चूंकि प्रकाश की विभिन्न आवृत्तियों में अधिकांश सामग्रियों में अपवर्तन के थोड़ा अलग सूचकांक होते हैं, अपवर्तन का उपयोग    फैलाव     स्पेक्ट्रा  उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है जो इंद्रधनुष के रूप में दिखाई देते हैं। प्रिज्म से प्रकाश गुजरते समय इस घटना की खोज का श्रेय   आइजैक न्यूटन. को जाता है

कुछ मीडिया में अपवर्तन का एक सूचकांक होता है जो धीरे-धीरे स्थिति के साथ बदलता रहता है और इस प्रकार, प्रकाश किरणें सीधी रेखाओं में यात्रा करने के बजाय माध्यम से वक्र होती हैं। यह प्रभाव गर्म दिनों में देखे जाने वाले  मिराज  के लिए जिम्मेदार है, जहां हवा के अपवर्तन के बदलते सूचकांक के कारण प्रकाश किरणें झुक जाती हैं, जिससे दूरी में स्पेक्युलर परावर्तन दिखाई देते हैं (जैसे कि पानी के एक पूल की सतह पर) ) सामग्री जिसमें अपवर्तन का एक अलग सूचकांक होता है उसे ग्रेडिएंट-इंडेक्स (GRIN) सामग्री कहा जाता है और इसमें आधुनिक ऑप्टिकल स्कैनिंग तकनीकों में उपयोग किए जाने वाले कई उपयोगी गुण होते हैं जिनमें   फोटोकॉपीर्स  और    स्कैनर  शामिल हैं। घटना का अध्ययन   ग्रेडिएंट-इंडेक्स ऑप्टिक्स  . के क्षेत्र में किया गया है



एक उपकरण जो अपवर्तन के कारण प्रकाश किरणों को अभिसारी या अपसारी करता है,   लेंस  के रूप में जाना जाता है। पतले लेंस दोनों तरफ फोकल पॉइंट उत्पन्न करते हैं जिन्हें   लेंसमेकर के समीकरण. का उपयोग करके मॉडल किया जा सकता है जीन मेंeral, दो प्रकार के लेंस मौजूद हैं:  उत्तल लेंस  es, जो समानांतर प्रकाश किरणों के अभिसरण का कारण बनते हैं, और   अवतल लेंस  es, जो समानांतर प्रकाश किरणों का विचलन करते हैं। घुमावदार दर्पणों के समान किरण-अनुरेखण का उपयोग करके इन लेंसों द्वारा छवियों का निर्माण कैसे किया जा सकता है, इसकी विस्तृत भविष्यवाणी की जा सकती है। इसी तरह घुमावदार दर्पणों के लिए, पतले लेंस एक साधारण समीकरण का पालन करते हैं जो एक विशेष फोकल लंबाई दी गई छवियों के स्थान को निर्धारित करता है$$f$$) and object distance ($$S_1$$):$$\frac{1}{S_1} + \frac{1}{S_2} = \frac{1}{f}  $$

कहाँ पे $$S_2$$ छवि से जुड़ी दूरी है और परंपरा द्वारा इसे ऋणात्मक माना जाता है यदि लेंस के एक ही तरफ वस्तु के रूप में और सकारात्मक अगर लेंस के विपरीत तरफ है अवतल लेंस के लिए फोकस दूरी f को ऋणात्मक माना जाता है।

Incoming parallel rays are focused by a convex lens into an inverted real image one focal length from the lens, on the far side of the lens. [[File:2015-05-25 0820Incoming parallel rays are focused by a convex lens into an inverted real image one focal length from the lens, on the far side of the.png|thumb|आने वाली समानांतर किरणें उत्तल लेंस द्वारा लेंस के दूर की ओर एक उल्टे वास्तविक छवि में लेंस से एक फोकल लंबाई पर केंद्रित होती हैं। किसी वस्तु से परिमित दूरी पर किरणें फोकल दूरी की तुलना में लेंस से अधिक केंद्रित होती हैं the closer the object is to the lens, the further the image is from the lens. With concave lenses, incoming parallel rays diverge after going through the lens, in such a way that they seem to have originated at an upright virtual image one focal length from the lens, on the same side of the lens that the parallel rays are approaching on. [[File:2015-05-25 0836With concave lenses, incoming parallel rays diverge after going through the lens, in such a way that they seem to have originated at an.png|thumb|अवतल लेंस के साथ, आने वाली समानांतर किरणें लेंस के माध्यम से जाने के बाद अलग हो जाती हैं, इस तरह से वे लेंस से एक फोकल लंबाई की एक सीधी आभासी छवि से उत्पन्न होती हैं, लेंस के उसी तरफ जहां समानांतर किरणें आ रही हैं . ]] Rays from an object at finite distance are associated with a virtual image that is closer to the lens than the focal length, and on the same side of the lens as the object. The closer the object is to the lens, the closer the virtual image is to the lens. Virtualimageframerate1.gif

इसी तरह, लेंस का आवर्धन किसके द्वारा दिया जाता है$$ M = - \frac{S_2}{S_1} = \frac{f}{f - S_1} $$

जहां ऋणात्मक चिह्न दिया जाता है, परंपरा द्वारा, सकारात्मक मूल्यों के लिए एक सीधी वस्तु और नकारात्मक मूल्यों के लिए एक उलटी वस्तु को इंगित करने के लिए। दर्पणों के समान, एकल लेंस द्वारा निर्मित अपराइट प्रतिबिम्ब आभासी होते हैं जबकि उल्टे प्रतिबिम्ब वास्तविक होते हैं

लेंस   विपथन  से ग्रस्त हैं जो छवियों और फोकल बिंदुओं को विकृत करते हैं। ये दोनों ज्यामितीय अपूर्णताओं के कारण हैं और प्रकाश की विभिन्न तरंग दैर्ध्य (  रंगीन विपथन ) के लिए अपवर्तन के बदलते सूचकांक के कारण हैं।

अंतर्निहित गणित
एक गणितीय अध्ययन के रूप में, ज्यामितीय प्रकाशिकी  अतिपरवलयिक आंशिक विभेदक समीकरण  s (सोमरफेल्ड-रुंज विधि) के समाधान के लिए लघु-  तरंग दैर्ध्य  सीमा के रूप में उभरती है या मैक्सवेल के समीकरणों (लूनबर्ग विधि) के अनुसार क्षेत्र असंतुलन के प्रसार की संपत्ति के रूप में उभरती है। इस लघु-तरंग दैर्ध्य सीमा में, स्थानीय रूप से समाधान का अनुमान लगाया जा सकता है$$u(t,x) \approx a(t,x)e^{i(k\cdot x - \omega t)}$$

कहाँ पे $$k, \omega$$ satisfy a dispersion relation, and the amplitude $$a(t,x)$$ धीरे-धीरे बदलता है। अधिक सटीक रूप से,   लीडिंग ऑर्डर  सॉल्यूशन फॉर्म लेता है$$a_0(t,x) e^{i\varphi(t,x)/\varepsilon}.$$ अवधि $$\varphi(t,x)/\varepsilon$$ can be linearized to recover large wavenumber $$k:= \nabla_x \varphi$$, and frequency $$\omega := -\partial_t \varphi$$. The amplitude $$a_0$$ satisfies a transport equation. The small parameter $$\varepsilon\,$$ अत्यधिक दोलनशील प्रारंभिक स्थितियों के कारण दृश्य में प्रवेश करती है। इस प्रकार, जब प्रारंभिक स्थितियां अवकल समीकरण के गुणांकों की तुलना में बहुत तेजी से दोलन करती हैं, तो समाधान अत्यधिक दोलन होंगे, और किरणों के साथ ले जाया जाएगा। अवकल समीकरण में गुणांकों को स्मूद मानते हुए किरणें भी होंगी। दूसरे शब्दों में,  अपवर्तन  नहीं होता है। इस तकनीक के लिए प्रेरणा प्रकाश प्रसार के विशिष्ट परिदृश्य का अध्ययन करने से आती है जहां लघु तरंग दैर्ध्य प्रकाश किरणों के साथ यात्रा करता है जो इसके यात्रा समय को कम (अधिक या कम) करता है। इसके पूर्ण अनुप्रयोग के लिए   माइक्रोलोकल विश्लेषण  से उपकरणों की आवश्यकता होती है।

सोमरफेल्ड-रुंज विधि
शून्य तरंग दैर्ध्य की सीमा लेकर ज्यामितीय प्रकाशिकी के समीकरण प्राप्त करने की विधि का वर्णन सबसे पहले  अर्नोल्ड सोमरफेल्ड  और जे. रन्ज ने 1911 में किया था। उनकी व्युत्पत्ति  पीटर डेबी  की एक मौखिक टिप्पणी पर आधारित थी  एक मोनोक्रोमैटिक स्केलर फ़ील्ड पर विचार करें $$\psi(\mathbf{r},t)=\phi(\mathbf{r})e^{i\omega t}$$, where $$\psi$$ could be any of the components of electric or magnetic field and hence the function $$\phi$$ तरंग समीकरण को संतुष्ट करें$$\nabla^2\phi + k_o^2 n(\mathbf{r}) \phi =0$$

कहाँ पे $$k_o=\omega/c=2\pi/\lambda_o$$ with $$c$$ being the speed of light in vacuum. Here, $$n(\mathbf{r})$$ is the refractive index of the medium. Without loss of generality, let us introduce $$\phi=A(k_o,\mathbf{r}) e^{ik_oS(\mathbf{r})}$$ समीकरण को में बदलने के लिए$$-k_o^2 A[(\nabla S)^2 - n^2] + 2ik_o(\nabla S\cdot \nabla A) + ik_o A\nabla^2 S + \nabla^2 A =0.$$

चूंकि ज्यामितीय प्रकाशिकी का अंतर्निहित सिद्धांत सीमा में निहित है $$\lambda_o\sim k_o^{-1}\rightarrow 0$$, निम्नलिखित स्पर्शोन्मुख श्रृंखला मान ली गई है,$$A(k_o,\mathbf{r}) = \sum_{m=0}^\infty \frac{A_m(\mathbf{r})}{(ik_o)^m}$$

के बड़े लेकिन परिमित मान के लिए $$k_o$$, the series diverges, and one has to be careful in keeping only appropriate first few terms. For each value of $$k_o$$, किसी को रखे जाने वाले शब्दों की एक इष्टतम संख्या मिल सकती है और इष्टतम संख्या से अधिक शब्दों को जोड़ने से खराब सन्निकटन हो सकता है श्रृंखला को समीकरण में प्रतिस्थापित करने और विभिन्न आदेशों की शर्तों को एकत्रित करने पर, कोई पाता है


 * <गणित>\शुरू {संरेखण}

O(k_o^2): &\quad (\nabla S)^2 = n^2, \\ O(k_o) : &\quad 2\nabla S\cdot \nabla A_0 + A_0\nabla^2 S =0, \\ O(1): &\quad 2\nabla S\cdot \nabla A_1 + A_1\nabla^2 S =-\nabla^2 A_0, \end{align} सामान्य रूप में,$$O(k_o^{1-m}):\quad 2\nabla S\cdot \nabla A_m + A_m\nabla^2 S =-\nabla^2 A_{m-1}.$$

पहला समीकरण  ईकोनल समीकरण   के रूप में जाना जाता है, जो  ईकोनल  निर्धारित करता है $$S(\mathbf{r})$$ एक   हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण  है, उदाहरण के लिए कार्टेशियन निर्देशांक में लिखा जाता है$$\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)^2 + \left(\frac{\partial S}{\partial z}\right)^2 = n^2.$$

शेष समीकरण कार्यों को निर्धारित करते हैं $$A_m(\mathbf{r})$$.

लूनबर्ग विधि
मैक्सवेल के समीकरणों के समाधान की विसंगतियों की सतहों का विश्लेषण करके ज्यामितीय प्रकाशिकी के समीकरण प्राप्त करने की विधि का वर्णन पहली बार   रुडोल्फ कार्ल लूनबर्ग  द्वारा 1944 में किया गया था। यह विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र को सोमरफेल्ड-रंज विधि द्वारा आवश्यक एक विशेष रूप के लिए प्रतिबंधित नहीं करता है जो आयाम मानता है $$A(k_o,\mathbf{r})$$ and phase $$S(\mathbf{r})$$ satisfy the equation $$\lim_{k_0\to\infty}{1\over k_0}\left({1\over A}\,\nabla S \cdot \nabla A + {1\over 2}\nabla^2 S\right) = 0$$. यह शर्त संतुष्ट है उदा। समतल तरंगें लेकिन योगात्मक नहीं है।

लूनबर्ग के दृष्टिकोण का मुख्य निष्कर्ष निम्नलिखित है:

प्रमेय। मान लीजिए क्षेत्र $$\mathbf{\vec E}(x, y, z, t)$$ and $$\mathbf{\vec H}(x, y, z, t)$$ (in a linear isotropic medium described by dielectric constants $$\varepsilon(x, y, z)$$ and $$\mu(x, y, z)$$) have finite discontinuities along a (moving) surface in $$\mathbf{R}^3$$ described by the equation $$\psi(x, y, z) - ct = 0$$. Then Maxwell's equations in the integral form imply that $$\psi$$ ईकोनल समीकरण को संतुष्ट करता है:$$\psi_x^2 + \psi_y^2 + \psi_z^2 = \varepsilon\mu = n^2$$,

कहाँ पे $$n$$ माध्यम (गाऊसी इकाइयों) के अपवर्तन का सूचकांक है।

असंततता की ऐसी सतह का एक उदाहरण एक स्रोत से निकलने वाला प्रारंभिक तरंग मोर्चा है जो एक निश्चित समय पर विकिरण करना शुरू कर देता है।

इस प्रकार क्षेत्र असंततता की सतह ज्यामितीय प्रकाशिकी तरंग मोर्चों के रूप में परिभाषित संबंधित ज्यामितीय प्रकाशिकी क्षेत्रों के साथ बन जाती है:$$\mathbf{\vec E}^*(x, y, z) = \mathbf{\vec E}(x, y, z, \psi(x, y, z)/c)$$ $$\mathbf{\vec H}^*(x, y, z) = \mathbf{\vec H}(x, y, z, \psi(x, y, z)/c)$$

वे क्षेत्र सोमरफेल्ड-रंज दृष्टिकोण के परिवहन समीकरणों के अनुरूप परिवहन समीकरणों का पालन करते हैं। लूनबर्ग के सिद्धांत में प्रकाश किरणों को असंबद्धता सतहों के लिए प्रक्षेपवक्र ऑर्थोगोनल के रूप में परिभाषित किया गया है और सही पैरामीट्रिजेशन के साथ उन्हें फ़र्मेट के कम से कम समय के सिद्धांत का पालन करने के लिए दिखाया जा सकता है, इस प्रकार मानक प्रकाशिकी की प्रकाश किरणों के साथ उन किरणों की पहचान स्थापित करना।

उपरोक्त घटनाओं को अनिसोट्रोपिक मीडिया के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है

लूनबर्ग के प्रमेय का प्रमाण इस बात की जांच पर आधारित है कि मैक्सवेल के समीकरण समाधान की असंततता के प्रसार को कैसे नियंत्रित करते हैं। बुनियादी तकनीकी लेम्मा इस प्रकार है:

एक तकनीकी लेम्मा। Let $$\varphi(x, y, z, t) = 0$$ be a hypersurface (a 3-dimensional manifold) in spacetime $$\mathbf{R}^4$$ on which one or more of: $$\mathbf{\vec E}(x, y, z, t)$$, $$\mathbf{\vec H}(x, y, z, t)$$, $$\varepsilon(x, y, z)$$, $$\mu(x, y, z)$$, एक सीमित असंततता है। फिर हाइपरसर्फेस के प्रत्येक बिंदु पर निम्नलिखित सूत्र होते हैं:$$\nabla\varphi \times [\mathbf{\vec H}] - {1\over c} \, \varphi_t \, [\varepsilon\mathbf{\vec E}] = 0$$ $$\nabla\varphi \times [\mathbf{\vec E}] + {1\over c} \, \varphi_t \, [\mu\mathbf{\vec H}] = 0$$ $$\nabla\cdot [\varepsilon\mathbf{\vec E}] = 0$$ $$\nabla\cdot [\mu\mathbf{\vec H}] = 0$$

जहां $$\nabla$$ operator acts in the $$xyz$$-space (for every fixed $$t$$) and the square brackets denote the difference in values on both sides of the discontinuity surface (set up according to an arbitrary but fixed convention, e.g. the gradient $$\nabla\varphi$$ मात्राओं की दिशा में इशारा करते हुए  से  घटाया जा रहा है)।

प्रूफ़ का स्केच।  मैक्सवेल के समीकरण से शुरू करेंस्रोतों से दूर (गॉसियन इकाइयाँ):$$\nabla\cdot \varepsilon\mathbf{\vec E} = 0$$ $$\nabla\cdot \mu\mathbf{\vec H} = 0$$ $$\nabla\times \mathbf{\vec E} + {\mu\over c} \, \mathbf{\vec H}_t = 0$$ $$\nabla\times \mathbf{\vec H} - {\varepsilon\over c} \, \mathbf{\vec E}_t = 0$$

स्टोक्स के प्रमेय का प्रयोग करना $$\mathbf{R}^4$$ one can conclude from the first of the above equations that for any domain $$D$$ in $$\mathbf{R}^4$$ with a piecewise smooth boundary $$\Gamma$$ निम्नलिखित सत्य है:$$\oint_\Gamma (\mathbf{\vec M} \cdot \varepsilon\mathbf{\vec E}) \, dS = 0$$

कहाँ पे $$\mathbf{\vec M} = (x_N, y_N, z_N)$$ is the projection of the outward unit normal $$(x_N, y_N, z_N, t_N)$$ of $$\Gamma$$ onto the 3D slice $$t = \rm{const}$$, and $$dS$$ is the volume 3-form on $$\Gamma$$. इसी प्रकार, शेष मैक्सवेल के समीकरणों से निम्नलिखित को स्थापित किया जाता है:$$\oint_\Gamma (\mathbf{\vec M} \cdot \mu\mathbf{\vec H}) \, dS = 0$$ $$\oint_\Gamma (\mathbf{\vec M} \times \mathbf{\vec E} + {\mu\over c} \, t_N \, \mathbf{\vec H}) \, dS = 0$$ $$\oint_\Gamma (\mathbf{\vec M} \times \mathbf{\vec H} - {\varepsilon\over c} \, t_N \, \mathbf{\vec E}) \, dS = 0$$

अब मनमानी छोटी उप-सतहों पर विचार करके $$\Gamma_0$$ of $$\Gamma$$ and setting up small neighbourhoods surrounding $$\Gamma_0$$ in $$\mathbf{R}^4$$, और तदनुसार उपरोक्त समाकलों को घटाने पर, एक प्राप्त होता है:$$\int_{\Gamma_0} (\nabla\varphi \cdot [\varepsilon\mathbf{\vec E}]) \, {dS\over \|\nabla^{4D}\varphi\|} = 0$$ $$\int_{\Gamma_0} (\nabla\varphi \cdot [\mu\mathbf{\vec H}]) \, {dS\over \|\nabla^{4D}\varphi\|} = 0$$ $$\int_{\Gamma_0} \left( \nabla\varphi \times [\mathbf{\vec H}] - {1\over c} \, \varphi_t \, [\varepsilon\mathbf{\vec E}] \right) \, {dS\over \|\nabla^{4D}\varphi\|} = 0$$ $$\int_{\Gamma_0} \left( \nabla\varphi \times [\mathbf{\vec E}] + {1\over c} \, \varphi_t \, [\mu\mathbf{\vec H}] \right) \, {dS\over \|\nabla^{4D}\varphi\|} = 0$$

कहाँ पे $$\nabla^{4D}$$ denotes the gradient in the 4D $$xyzt$$-space. And since $$\Gamma_0$$ मनमाना है, इंटीग्रेंड 0 के बराबर होना चाहिए जो लेम्मा को साबित करता है।

अब यह दिखाना आसान है कि जैसे-जैसे वे एक सतत माध्यम से फैलते हैं, असंततता सतहें ईकोनल समीकरण का पालन करती हैं। विशेष रूप से, यदि $$\varepsilon$$ and $$\mu$$ are continuous, then the discontinuities of $$\mathbf{\vec E}$$ and $$\mathbf{\vec H}$$ satisfy: $$[\varepsilon\mathbf{\vec E}] = \varepsilon[\mathbf{\vec E}]$$ and $$[\mu\mathbf{\vec H}] = \mu[\mathbf{\vec H}]$$. इस मामले में लेम्मा के पहले दो समीकरणों को इस प्रकार लिखा जा सकता है:$$\nabla\varphi \times [\mathbf{\vec H}] - {\varepsilon\over c} \, \varphi_t \, [\mathbf{\vec E}] = 0$$ $$\nabla\varphi \times [\mathbf{\vec E}] + {\mu\over c} \, \varphi_t \, [\mathbf{\vec H}] = 0$$

के साथ पहले समीकरण का क्रॉस उत्पाद लेना $$\nabla\varphi$$ और दूसरी पैदावार को प्रतिस्थापित करना:$$\nabla\varphi \times (\nabla\varphi \times [\mathbf{\vec H}]) - {\varepsilon\over c} \, \varphi_t \, (\nabla\varphi \times [\mathbf{\vec E}]) = (\nabla\varphi \cdot [\mathbf{\vec H}]) \, \nabla\varphi - \|\nabla\varphi\|^2 \, [\mathbf{\vec H}] + {\varepsilon\mu\over c^2} \varphi_t^2 \, [\mathbf{\vec H}] = 0$$

मैक्सवेल के दूसरे समीकरण से, $$\nabla\varphi \cdot [\mathbf{\vec H}] = 0$$, hence, for points lying on the surface $$\varphi = 0$$ केवल:$$\|\nabla\varphi\|^2 = {\varepsilon\mu\over c^2} \varphi_t^2$$

(ध्यान दें कि इस चरण में असंततता की उपस्थिति आवश्यक है क्योंकि हम अन्यथा शून्य से विभाजित होंगे।)

Beçaभौतिक विचारों का उपयोग कोई सामान्यता के नुकसान के बिना मान सकता है कि $$\varphi$$ निम्नलिखित रूप का है: $$\varphi(x, y, z, t) = \psi(x, y, z) - ct$$, i.e. a 2D surface moving through space, modelled as level surfaces of $$\psi$$. (Mathematically $$\psi$$ exists if $$\varphi_t \ne 0$$  निहित फलन प्रमेय  द्वारा।) उपरोक्त समीकरण के पदों में लिखा गया है $$\psi$$ बन जाता है:$$\|\nabla\psi\|^2 = {\varepsilon\mu\over c^2} \, (-c)^2 = \varepsilon\mu = n^2$$

अर्थात$$\psi_x^2 + \psi_y^2 + \psi_z^2 = n^2$$

जो ईकोनल समीकरण है और यह सभी के लिए है $$x$$, $$y$$, $$z$$, since the variable $$t$$ is absent. Other laws of optics like Snell's law and Fresnel formulae can be similarly obtained by considering discontinuities in $$\varepsilon$$ and $$\mu$$.

चार-सदिश संकेतन का उपयोग करते हुए सामान्य समीकरण
में [[ विशेष सापेक्षता  में प्रयुक्त चार-सदिश ]] अंकन, तरंग समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है$$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x_i\partial x^i}=0$$

और प्रतिस्थापन $$\psi= A e^{iS/\epsilon}$$ की ओर जाता है

$$-\frac{A}{\epsilon^2}\frac{\partial S}{\partial x_i} \frac{\partial S}{\partial x^i} + \frac{2i}{\epsilon} \frac{\partial A}{\partial x_i} \frac{\partial S}{\partial x^i} + \frac{iA}{\epsilon} \frac{\partial^2 S}{\partial x_i\partial x^i}  + \frac{\partial^2 A}{\partial x_i\partial x^i} =0. $$

इसलिए ईकोनल समीकरण द्वारा दिया गया है$$\frac{\partial S}{\partial x_i} \frac{\partial S}{\partial x^i}=0.$$

एक बार उपरोक्त समीकरण को हल करके ईकोनल मिल जाने के बाद, तरंग चार-वेक्टर से पाया जा सकता है$$k_i=- \frac{\partial S}{\partial x^i}.$$

कुछ प्रारंभिक पुस्तकों और पत्रों के अंग्रेजी अनुवाद

 * एच. ब्रून्स, दास इकोनल
 * एम. मालुस, ऑप्टिक
 * जे. प्लकर, प्रकाश तरंगों के सामान्य रूप की चर्चा
 * ई. कुमेर, रेक्टिलिनियर रे सिस्टम का सामान्य सिद्धांत
 * E. Kummer, ऑप्टिकली-रियलिज़ेबल रेक्टिलिनियर रे सिस्टम पर प्रस्तुति
 * R. Meibauer, प्रकाश किरणों के रेक्टिलिनियर सिस्टम का सिद्धांत
 * एम. पास्च, रे सिस्टम की फोकल सतहों और परिसरों की विलक्षणता सतहों पर
 * ए. लेविस्टल, ज्यामितीय प्रकाशिकी में अनुसंधान
 * एफ. क्लेन, ब्रंस ईकोनल पर
 * R. Dontot, इंटीग्रल इनवेरिएंट्स और ज्यामितीय प्रकाशिकी के कुछ बिंदुओं पर
 * टी. डी डोंडर, ऑप्टिक्स के इंटीग्रल इनवेरिएंट पर