कनिंघम चेन

गणित में, कनिंघम शृंखला अभाज्य संख्याओं का एक निश्चित पूर्णांक अनुक्रम है। कनिंघम श्रृंखलाओं का नाम गणितज्ञ एलन जोसेफ चम्पनीस कनिंघम|ए के नाम पर रखा गया है। जे सी कनिंघम। उन्हें लगभग दोगुनी प्राइम्स की चेन भी कहा जाता है।

परिभाषा
पहली तरह की लंबाई n की एक कनिंघम श्रृंखला अभाज्य संख्याओं (p) का एक क्रम है1, ..., पीn) ऐसा है कि पीi+1= 2पीi+ 1 सभी के लिए 1 ≤ i < n. (इसलिए अंतिम को छोड़कर ऐसी श्रृंखला का प्रत्येक पद सोफी जर्मेन अभाज्य है, और पहले को छोड़कर प्रत्येक पद एक सुरक्षित अभाज्य है)।

यह इस प्रकार है कि



\begin{align} p_2 & = 2p_1+1, \\ p_3 & = 4p_1+3, \\ p_4 & = 8p_1+7, \\ & {}\ \vdots \\ p_i & = 2^{i-1}p_1 + (2^{i-1}-1), \end{align} $$ या, सेटिंग द्वारा $$a = \frac{p_1 + 1}{2}$$ (जो नंबर $$a$$ अनुक्रम का हिस्सा नहीं है और अभाज्य संख्या होने की आवश्यकता नहीं है), हमारे पास है $$p_i = 2^{i} a - 1.$$ इसी तरह, दूसरी तरह की लंबाई n की एक कनिंघम श्रृंखला अभाज्य संख्याओं (p) का एक क्रम है1, ..., पीn) ऐसा है कि पीi+1= 2पीi− 1 सबके लिए 1 ≤ i < n.

यह इस प्रकार है कि सामान्य शब्द है


 * $$p_i = 2^{i-1}p_1 - (2^{i-1}-1).$$

अब, सेटिंग करके $$a = \frac{p_1 - 1}{2} $$, अपने पास $$ p_i = 2^{i} a + 1$$.

कनिंघम शृंखलाओं को भी कभी-कभी अभाज्य संख्याओं के अनुक्रमों के लिए सामान्यीकृत किया जाता है (p1, ..., पीn) ऐसा है कि पीi+1 = एपीiसभी 1 ≤ i ≤ n के लिए + b निश्चित सह अभाज्य पूर्णांक a और b के लिए; परिणामी श्रृंखलाओं को 'सामान्यीकृत कनिंघम श्रृंखला' कहा जाता है।

एक कनिंघम श्रृंखला को 'पूर्ण' कहा जाता है यदि इसे आगे बढ़ाया नहीं जा सकता है, अर्थात, यदि श्रृंखला में पिछले और अगले पद अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं।

उदाहरण
पहली तरह की पूर्ण कनिंघम श्रृंखलाओं के उदाहरणों में ये शामिल हैं:


 * 2, 5, 11, 23, 47 (अगली संख्या 95 होगी, लेकिन वह अभाज्य संख्या नहीं है।)
 * 3, 7 (अगली संख्या 15 होगी, लेकिन वह अभाज्य संख्या नहीं है।)
 * 29, 59 (अगली संख्या 119 = 7×17 होगी, लेकिन वह अभाज्य संख्या नहीं है।)
 * 41, 83, 167 (अगली संख्या 335 होगी, लेकिन वह अभाज्य संख्या नहीं है।)
 * 89, 179, 359, 719, 1439, 2879 (अगली संख्या 5759 = 13×443 होगी, लेकिन यह अभाज्य संख्या नहीं है।)

दूसरी तरह की पूर्ण कनिंघम श्रृंखलाओं के उदाहरणों में ये शामिल हैं:


 * 2, 3, 5 (अगली संख्या 9 होगी, लेकिन वह अभाज्य संख्या नहीं है।)
 * 7, 13 (अगली संख्या 25 होगी, लेकिन वह अभाज्य संख्या नहीं है।)
 * 19, 37, 73 (अगली संख्या 145 होगी, लेकिन वह अभाज्य संख्या नहीं है।)
 * 31, 61 (अगली संख्या 121 = 11 होगी2, लेकिन वह प्राइम नहीं है।)

कनिंघम चेन को अब क्रिप्टोग्राफिक सिस्टम में उपयोगी माना जाता है क्योंकि वे ElGamal एन्क्रिप्शन के लिए दो समवर्ती उपयुक्त सेटिंग्स प्रदान करते हैं ... [जो] किसी भी क्षेत्र में लागू किया जा सकता है जहां असतत लघुगणक समस्या कठिन है।

सबसे बड़ी ज्ञात कनिंघम चेन
यह डिक्सन के अनुमान और व्यापक शिनजेल की परिकल्पना एच से अनुसरण करता है, दोनों को व्यापक रूप से सच माना जाता है, कि प्रत्येक k के लिए अनंत रूप से लंबाई k की कई कनिंघम श्रृंखलाएँ हैं। हालाँकि, ऐसी श्रृंखलाएँ उत्पन्न करने की कोई ज्ञात प्रत्यक्ष विधियाँ नहीं हैं।

सबसे लंबी कनिंघम श्रृंखला के लिए या सबसे बड़े अभाज्यों से बने एक के लिए कंप्यूटिंग प्रतियोगिताएं होती हैं, लेकिन बेन जे. ग्रीन और टेरेंस ताओ की सफलता के विपरीत - ग्रीन-ताओ प्रमेय, कि मनमानी लंबाई के अभाज्यों की अंकगणितीय प्रगति होती है - बड़ी कनिंघम श्रृंखलाओं पर आज तक कोई सामान्य परिणाम ज्ञात नहीं है।

q# प्रारंभिक 2 × 3 × 5 × 7 × ... × q को दर्शाता है।

, किसी भी तरह की सबसे लंबी ज्ञात कनिंघम श्रृंखला की लंबाई 19 है, जिसे 2014 में जारोस्लाव व्रॉब्ल्व्स्की द्वारा खोजा गया था।

कनिंघम जंजीरों की बधाई
समता (गणित) को प्रधान होने दें $$p_1$$ पहली तरह की कनिंघम श्रृंखला का पहला प्रधान बनें। इस प्रकार पहला अभाज्य विषम है $$p_1 \equiv 1 \pmod{2}$$. चूँकि श्रृंखला में प्रत्येक क्रमिक अभाज्य है $$p_{i+1} = 2p_i + 1$$ यह इस प्रकार है कि $$p_i \equiv 2^i - 1 \pmod{2^i}$$. इस प्रकार, $$p_2 \equiv 3 \pmod{4}$$, $$p_3 \equiv 7 \pmod{8}$$, इत्यादि।

उपरोक्त संपत्ति को आधार 2 में एक श्रृंखला के अभाज्यों पर विचार करके अनौपचारिक रूप से देखा जा सकता है। (ध्यान दें कि, सभी आधारों के साथ, आधार से गुणा करने पर अंकों को बाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है; उदाहरण के लिए दशमलव में हमारे पास 314 × 10 = 3140 है।) जब हम विचार करते हैं$$p_{i+1} = 2p_i + 1$$ आधार 2 में, हम देखते हैं कि गुणा करके$$p_i$$ 2 से, का कम से कम महत्वपूर्ण अंक$$p_i$$ का दूसरा सबसे कम महत्वपूर्ण अंक बन जाता है$$p_{i+1}$$. क्योंकि $$p_i$$ विषम है—अर्थात् आधार 2 में सबसे कम महत्वपूर्ण अंक 1 है—हम जानते हैं कि का दूसरा सबसे कम महत्वपूर्ण अंक$$p_{i+1}$$ भी 1 है। और अंत में, हम उसे देख सकते हैं$$p_{i+1}$$ में 1 जोड़ने के कारण विषम होगा $$2p_i$$. इस तरह, एक कनिंघम श्रृंखला में क्रमिक अभाज्य अनिवार्य रूप से बाइनरी में बाईं ओर स्थानांतरित हो जाते हैं, जिसमें कम से कम महत्वपूर्ण अंक भरते हैं। उदाहरण के लिए, यहां पूरी लंबाई वाली 6 चेन है जो 141361469 से शुरू होती है:

इसी तरह का परिणाम दूसरी तरह की कनिंघम श्रृंखलाओं के लिए भी है। अवलोकन से कि $$p_1 \equiv 1 \pmod{2}$$ और संबंध $$p_{i+1} = 2 p_i - 1$$ यह इस प्रकार है कि $$p_i \equiv 1 \pmod{2^i}$$. बाइनरी नोटेशन में, दूसरी तरह की कनिंघम श्रृंखला में प्राइम 0...01 पैटर्न के साथ समाप्त होते हैं, जहां, प्रत्येक के लिए $$i$$, के पैटर्न में शून्यों की संख्या $$p_{i+1}$$ के लिए शून्यों की संख्या से एक अधिक है $$p_i$$. पहली तरह की कनिंघम श्रृंखलाओं के साथ, पैटर्न के बचे हुए टुकड़े प्रत्येक क्रमिक प्रधान के साथ एक स्थान से चले गए।

इसी प्रकार, क्योंकि $$ p_i = 2^{i-1}p_1 + (2^{i-1}-1) \, $$ यह इस प्रकार है कि $$p_i \equiv 2^{i-1} - 1 \pmod{p_1}$$. लेकिन, Fermat की छोटी प्रमेय द्वारा, $$2^{p_1-1} \equiv 1 \pmod{p_1}$$, इसलिए $$p_1$$ विभाजित $$p_{p_1}$$ (यानी साथ $$ i = p_1 $$). इस प्रकार, कोई कनिंघम शृंखला अनंत लंबाई की नहीं हो सकती।

यह भी देखें

 * प्राइमकॉइन, जो कनिंघम चेन का उपयोग प्रूफ-ऑफ-वर्क सिस्टम के रूप में करता है
 * द्वि-जुड़वां श्रृंखला
 * अंकगणितीय प्रगति में प्रधान

बाहरी संबंध

 * The Prime Glossary: Cunningham chain
 * Primecoin discoveries (primes.zone): online database of primecoin findings with list of records and visualization
 * PrimeLinks++: Cunningham chain
 * -- the first term of the lowest complete Cunningham chains of the first kind of length n, for 1 ≤ n ≤ 14
 * -- the first term of the lowest complete Cunningham chains of the second kind with length n, for 1 ≤ n ≤ 15