एलेक्जेंडरसन

अलेक्जेंडर की चाल, जिसे अलेक्जेंडर चाल के रूप में भी जाना जाता है, ज्यामितीय टोपोलॉजी में एक मूल परिणाम है, जिसका नाम जेम्स वाडेल अलेक्जेंडर II|जे के नाम पर रखा गया है। डब्ल्यू अलेक्जेंडर।

कथन
एन-डायमेंशनल बॉल (गणित) के दो होमियोमोर्फिज्म $$D^n$$ जो सीमा (टोपोलॉजी) क्षेत्र पर सहमत हैं $$S^{n-1}$$ होमोटॉपी # आइसोटोपी हैं।

अधिक आम तौर पर, डी के दो होमोमोर्फिज्मn जो सीमा पर समस्थानिक हैं समस्थानिक हैं।

प्रमाण
बेस केस: हर होमोमोर्फिज़्म जो सीमा को ठीक करता है, सीमा के सापेक्ष पहचान के लिए समस्थानिक है।

अगर $$f\colon D^n \to D^n$$ संतुष्ट $$f(x) = x \text{ for all } x \in S^{n-1}$$, फिर f को पहचान से जोड़ने वाली एक समस्थानिक द्वारा दिया जाता है


 * $$ J(x,t) = \begin{cases} tf(x/t), & \text{if } 0 \leq \|x\| < t, \\ x, & \text{if } t \leq \|x\| \leq 1. \end{cases} $$

नेत्रहीन, होमोमोर्फिज्म सीमा से 'सीधा बाहर' है, 'निचोड़' $$f$$ मूल के नीचे। विलियम थर्स्टन ने इसे सभी उलझनों को एक बिंदु पर जोड़ने की बात कही है। मूल 2-पेज पेपर में, जे. डब्ल्यू. अलेक्जेंडर बताते हैं कि प्रत्येक के लिए $$t>0 $$ रूपान्तरण $$J_t $$ प्रतिकृति $$f$$ एक अलग पैमाने पर, त्रिज्या की डिस्क पर $$t$$, इस प्रकार के रूप में $$t\rightarrow 0$$ यह अपेक्षा करना उचित है $$J_t $$ पहचान में विलीन हो जाता है।

सूक्ष्मता यह है कि पर $$t=0$$, $$f$$ गायब हो जाता है : जर्म (गणित) मूल रूप से एक असीम रूप से फैला हुआ संस्करण से कूदता है $$f$$ पहचान के लिए। होमोटोपी में प्रत्येक चरण को सुचारू (सुचारू संक्रमण) किया जा सकता है, लेकिन होमोटोपी (समग्र मानचित्र) में एक विलक्षणता है $$(x,t)=(0,0)$$. यह रेखांकित करता है कि अलेक्जेंडर ट्रिक एक टुकड़ा-टुकड़ा रैखिक कई गुना  कंस्ट्रक्शन है, लेकिन स्मूथ नहीं है।

सामान्य स्थिति: सीमा पर समस्थानिक का तात्पर्य समस्थानिक से है

अगर $$f,g\colon D^n \to D^n$$ दो होमियोमॉर्फिज़्म हैं जो सहमत हैं $$S^{n-1}$$, तब $$g^{-1}f$$ पर पहचान है $$S^{n-1}$$, इसलिए हमारे पास एक आइसोटोप है $$J$$ पहचान से $$g^{-1}f$$. वो नक्शा $$gJ$$ तब से एक आइसोटोप है $$g$$ को $$f$$.

रेडियल एक्सटेंशन
कुछ लेखक अलेक्जेंडर ट्रिक शब्द का उपयोग इस कथन के लिए करते हैं कि प्रत्येक होमोमोर्फिज्म का $$S^{n-1}$$ संपूर्ण गेंद के एक होमोमोर्फिज्म तक बढ़ाया जा सकता है $$D^n$$.

हालांकि, ऊपर चर्चा किए गए परिणाम की तुलना में इसे साबित करना बहुत आसान है: इसे रेडियल एक्सटेंशन (या शंक्वाकार) कहा जाता है और यह भी सच है कि टुकड़े-टुकड़े रैखिक होमोमोर्फिज्म | टुकड़े-टुकड़े-रैखिक रूप से, लेकिन सुचारू रूप से नहीं।

ठोस रूप से, चलो $$f\colon S^{n-1} \to S^{n-1}$$ एक होमोमोर्फिज्म हो, फिर
 * $$ F\colon D^n \to D^n \text{ with } F(rx) = rf(x) \text{ for all } r \in [0,1) \text{ and } x \in S^{n-1}$$ गेंद के होमियोमोर्फिज्म को परिभाषित करता है।

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यह भी देखें

 * क्लचिंग निर्माण