विग्नर D-आव्यूह

विग्नर डी-आव्यूह एसयू (2) और एसओ (3) समूहों के अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व में एकात्मक आव्यूह है। यह 1927 में यूजीन विग्नर द्वारा पेश किया गया था, और कोणीय गति के क्वांटम यांत्रिक सिद्धांत में एक मौलिक भूमिका निभाता है। डी-आव्यूह का जटिल संयुग्म गोलाकार और सममित कठोर रोटार के हैमिल्टनियन का ईजेनफंक्शन है। अक्षर $D$ डारस्टेलुंग के लिए है, जिसका अर्थ जर्मन में प्रतिनिधित्व है।

विग्नर डी-आव्यूह की परिभाषा
मान ले कि $J_{x}, J_{y}, J_{z}$ SU(2) और SO(3) के लाई बीजगणित के जनक बनें। क्वांटम यांत्रिकी में, ये तीन ऑपरेटर एक सदिश ऑपरेटर के घटक होते हैं जिन्हें कोणीय गति के रूप में जाना जाता है। उदाहरण एक परमाणु, इलेक्ट्रॉनिक स्पिन, और स्पिन (भौतिकी) की कोणीय गति में एक इलेक्ट्रॉन की कोणीय गति है।

सभी स्थितियो में, तीन ऑपरेटर निम्नलिखित रूपान्तरण संबंधो को पूरा करते हैं,
 * $$ [J_x,J_y] = i J_z,\quad [J_z,J_x] = i J_y,\quad [J_y,J_z] = i J_x, $$

जहां i विशुद्ध रूप से काल्पनिक संख्या और प्लैंक स्थिरांक है $ħ$ को एक के बराबर सेट किया गया है। कासिमिर अपरिवर्तनीय


 * $$ J^2 = J_x^2 + J_y^2 + J_z^2 $$ लाई बीजगणित के सभी जनरेटर के साथ संचार करता है। इसलिए, इसे $J_{z}$ के साथ विकर्ण किया जा सकता है।

यह यहाँ प्रयुक्त गोलाकार आधार को परिभाषित करता है। यानी, ब्रा-केट नोटेशन का एक पूरा सेट है (अर्थात क्वांटम संख्याओं द्वारा लेबल किए गए संयुक्त आइजन्वेक्टर का ऑर्थोनॉर्मल आधार जो आइगेनवेल्यूज़ को परिभाषित करता है)
 * $$ J^2 |jm\rangle = j(j+1) |jm\rangle,\quad J_z |jm\rangle = m |jm\rangle,$$

जहाँ j = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, ... SU(2) के लिए, और j = 0, 1, 2, ... SO(3) के लिए। दोनों ही स्थितियो में, $m = −j, −j + 1, ..., j$.है।

एक 3-आयामी रोटेशन (गणित) के रूप में लिखा जा सकता है
 * $$\mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma) = e^{-i\alpha J_z}e^{-i\beta J_y}e^{-i\gamma J_z},$$

जहाँ α, β, γ यूलर कोण हैं (कीवर्ड द्वारा विशेषता: z-y-z कन्वेंशन, राइट-हैंडेड फ्रेम, राइट-हैंड स्क्रू रूल, एक्टिव इंटरप्रिटेशन) है।

'विग्नर डी-आव्यूह' तत्वों के साथ इस गोलाकार आधार में आयाम 2j + 1 का एक एकात्मक वर्ग आव्यूह है
 * $$D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma) \equiv \langle jm' | \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma)| jm \rangle =e^{-im'\alpha } d^j_{m'm}(\beta)e^{-i m\gamma},$$

जहाँ
 * $$d^j_{m'm}(\beta)= \langle jm' |e^{-i\beta J_y} | jm \rangle = D^j_{m'm}(0,\beta,0) $$ ऑर्थोगोनल विग्नर्स (छोटा) डी-आव्यूह का एक तत्व है।

यानी इस आधार पर
 * $$ D^j_{m'm}(\alpha,0,0) = e^{-im'\alpha } \delta_{m'm} $$

γ आव्यूह कारक की तरह, लेकिन उपरोक्त β कारक के विपरीत विकर्ण है।

विग्नर (छोटा) डी-आव्यूह
विग्नर ने निम्नलिखित अभिव्यक्ति दी:
 * $$d^j_{m'm}(\beta) =[(j+m')!(j-m')!(j+m)!(j-m)!]^{\frac{1}{2}} \sum_{s=s_{\mathrm{min}}}^{s_{\mathrm{max}}} \left[\frac{(-1)^{m'-m+s} \left(\cos\frac{\beta}{2}\right)^{2j+m-m'-2s}\left(\sin\frac{\beta}{2}\right)^{m'-m+2s}}{(j+m-s)!s!(m'-m+s)!(j-m'-s)!} \right].$$

s का योग ऐसे मानों से अधिक है कि भाज्य गैर-ऋणात्मक हैं, अर्थात $$s_{\mathrm{min}}=\mathrm{max}(0,m-m')$$, $$s_{\mathrm{max}}=\mathrm{min}(j+m,j-m')$$.

नोट: यहाँ परिभाषित डी-आव्यूह तत्व वास्तविक हैं। यूलर कोण के प्रायः उपयोग किए जाने वाले z-x-z कन्वेंशन में, कारक $$(-1)^{m'-m+s}$$ इस सूत्र में द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है $$(-1)^s i^{m-m'},$$ आधे फलन को पूरी तरह से काल्पनिक होने का कारण बनता है। डी-आव्यूह तत्वों की वास्तविकता एक कारण है कि इस आलेख में उपयोग किए जाने वाले जेड-वाई-जेड कन्वेंशन को आमतौर पर क्वांटम यांत्रिक अनुप्रयोगों में पसंद किया जाता है।

डी-आव्यूह तत्व जैकोबी बहुपद से संबंधित हैं $$P^{(a,b)}_k(\cos\beta)$$ गैर ऋणात्मक के साथ $$a$$ और $$b.$$ होने देना


 * $$ k = \min(j+m, j-m, j+m', j-m').$$

अगर


 * $$k = \begin{cases}

j+m: & a=m'-m;\quad \lambda=m'-m\\ j-m: & a=m-m';\quad \lambda= 0 \\ j+m': & a=m-m';\quad \lambda= 0 \\ j-m': & a=m'-m;\quad \lambda=m'-m \\ \end{cases}$$ फिर, साथ $$b=2j-2k-a,$$ संबंध है


 * $$d^j_{m'm}(\beta) = (-1)^{\lambda} \binom{2j-k}{k+a}^{\frac{1}{2}} \binom{k+b}{b}^{-\frac{1}{2}} \left(\sin\frac{\beta}{2}\right)^a \left(\cos\frac{\beta}{2}\right)^b P^{(a,b)}_k(\cos\beta),$$

जहाँ $$ a,b \ge 0.$$

विग्नर डी-आव्यूह के गुण
डी-आव्यूह का जटिल संयुग्म कई अलग-अलग गुणों को पूरा करता है जिन्हें निम्नलिखित ऑपरेटरों को पेश करके संक्षिप्त रूप से तैयार किया जा सकता है $$(x, y, z) = (1, 2, 3),$$
 * $$\begin{align}

\hat{\mathcal{J}}_1 &= i \left( \cos \alpha \cot \beta \frac{\partial}{\partial \alpha} + \sin \alpha {\partial \over \partial \beta} - {\cos \alpha \over \sin \beta} {\partial \over \partial \gamma} \right) \\ \hat{\mathcal{J}}_2 &= i \left( \sin \alpha \cot \beta {\partial \over \partial \alpha} - \cos \alpha {\partial \over \partial \beta} - {\sin \alpha \over \sin \beta} {\partial \over \partial \gamma} \right) \\ \hat{\mathcal{J}}_3 &= - i {\partial \over \partial \alpha} \end{align}$$ जिनका क्वांटम मैकेनिकल अर्थ है: वे स्पेस-फिक्स्ड रिजिड रोटर एंगुलर मोमेंटम ऑपरेटर हैं।

आगे,
 * $$\begin{align}

\hat{\mathcal{P}}_1 &= i \left( {\cos \gamma \over \sin \beta}{\partial \over \partial \alpha } - \sin \gamma {\partial \over \partial \beta }- \cot \beta \cos \gamma {\partial \over \partial \gamma} \right)\\ \hat{\mathcal{P}}_2 &= i \left( - {\sin \gamma \over \sin \beta} {\partial \over \partial \alpha} - \cos \gamma {\partial \over \partial \beta} + \cot \beta \sin \gamma {\partial \over \partial \gamma} \right) \\ \hat{\mathcal{P}}_3 &= - i {\partial\over \partial \gamma}, \\ \end{align}$$ जिनका क्वांटम मैकेनिकल अर्थ है: वे बॉडी-फिक्स्ड रिजिड रोटर एंगुलर मोमेंटम ऑपरेटर हैं।

ऑपरेटर कम्यूटेशन संबंधों को पूरा करते हैं
 * $$ \left[\mathcal{J}_1, \mathcal{J}_2\right] = i \mathcal{J}_3, \qquad \hbox{and}\qquad \left[\mathcal{P}_1, \mathcal{P}_2\right] = -i \mathcal{P}_3,$$

और सूचकांकों के साथ संबंधित संबंधों को चक्रीय रूप से अनुमत किया गया। $$\mathcal{P}_i$$ h> विषम रूपान्तरण संबंधों को पूरा करें (दाईं ओर एक ऋण चिह्न है)। दो सेट परस्पर कम्यूट करते हैं,
 * $$\left[\mathcal{P}_i, \mathcal{J}_j\right] = 0,\quad i, j = 1, 2, 3,$$

और कुल संकारकों का वर्ग बराबर है,
 * $$\mathcal{J}^2 \equiv \mathcal{J}_1^2+ \mathcal{J}_2^2 + \mathcal{J}_3^2 = \mathcal{P}^2 \equiv \mathcal{P}_1^2+ \mathcal{P}_2^2 + \mathcal{P}_3^2.$$

उनका स्पष्ट रूप है,
 * $$\mathcal{J}^2= \mathcal{P}^2 =-\frac{1}{\sin^2\beta} \left( \frac{\partial^2}{\partial \alpha^2} +\frac{\partial^2}{\partial \gamma^2} -2\cos\beta\frac{\partial^2}{\partial\alpha\partial \gamma} \right)-\frac{\partial^2}{\partial \beta^2} -\cot\beta\frac{\partial}{\partial \beta}.$$

संचालक $$\mathcal{J}_i$$ डी-आव्यूह के पहले (पंक्ति) सूचकांक पर कार्य करें,
 * $$\begin{align}

\mathcal{J}_3 D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma)^* &=m' D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma)^* \\ (\mathcal{J}_1 \pm i \mathcal{J}_2) D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma)^* &= \sqrt{j(j+1)-m'(m'\pm 1)} D^j_{m'\pm 1, m}(\alpha,\beta,\gamma)^* \end{align}$$ संचालक $$\mathcal{P}_i$$ डी-आव्यूह के दूसरे (स्तंभ) सूचकांक पर कार्य करें,
 * $$\mathcal{P}_3 D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma)^* = m D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma)^* ,$$

और, विषम रूपान्तरण संबंध के कारण ऊपर उठाने/घटाने वाले ऑपरेटरों को उलटे संकेतों के साथ परिभाषित किया जाता है,
 * $$(\mathcal{P}_1 \mp i \mathcal{P}_2) D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma)^* = \sqrt{j(j+1)-m(m\pm 1)} D^j_{m', m\pm1}(\alpha,\beta,\gamma)^* .$$

आखिरकार,
 * $$\mathcal{J}^2 D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma)^* =\mathcal{P}^2 D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma)^* = j(j+1) D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma)^*.$$

दूसरे शब्दों में, (जटिल संयुग्म) विग्नर डी-आव्यूह की पंक्तियों और स्तंभों द्वारा उत्पन्न आइसोमोर्फिक लाइ बीजगणित के इरेड्यूसिबल प्रतिनिधित्व $$\{\mathcal{J}_i\}$$ और $$\{-\mathcal{P}_i\}$$ है।

विग्नर डी-आव्यूह की महत्वपूर्ण संपत्ति के कम्यूटेशन से होती है $$ \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma) $$ क्वांटम यांत्रिकी में टी-समरूपता टाइम रिवर्सल के साथ $T$,
 * $$\langle jm' | \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma)| jm \rangle = \langle jm' | T^{ \dagger} \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma) T| jm \rangle =(-1)^{m'-m} \langle j,-m' | \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma)| j,-m \rangle^*,$$

या
 * $$D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma) = (-1)^{m'-m} D^j_{-m',-m}(\alpha,\beta,\gamma)^*.$$
 * यहाँ, हमने उसका उपयोग किया $$T $$ एकात्मक विरोधी है (इसलिए आगे बढ़ने के बाद जटिल संयुग्मन $$T^\dagger $$ केट से ब्रा तक), $$ T | jm \rangle = (-1)^{j-m} | j,-m \rangle$$ और $$(-1)^{2j-m'-m} = (-1)^{m'-m}$$.

एक और समरूपता का अर्थ है
 * $$(-1)^{m'-m}D^{j}_{mm'}(\alpha,\beta,\gamma)=D^{j}_{m'm}(\gamma,\beta,\alpha)~. $$

ओर्थोगोनलिटी संबंध
विग्नर डी-आव्यूह तत्व $$D^j_{mk}(\alpha,\beta,\gamma)$$ यूलर कोणों के ऑर्थोगोनल फलन $$\alpha, \beta,$$ और $$\gamma$$ का एक सेट बनाते हैं।


 * $$\int_0^{2\pi} d\alpha \int_0^\pi d\beta \sin \beta \int_0^{2\pi} d\gamma \,\, D^{j'}_{m'k'}(\alpha,\beta,\gamma)^\ast D^j_{mk}(\alpha, \beta, \gamma) = \frac{8\pi^2}{2j+1} \delta_{m'm}\delta_{k'k}\delta_{j'j}.$$

यह शूर ऑर्थोगोनलिटी संबंधो की एक विशेष स्थिति है।

महत्वपूर्ण रूप से, पीटर-वेइल प्रमेय द्वारा, वे आगे एक पूर्ण सेट बनाते हैं।

यह तथ्य कि $$D^j_{mk}(\alpha,\beta,\gamma)$$ एक गोलाकार आधार से एकात्मक परिवर्तन के आव्यूह तत्व हैं $$ | lm \rangle$$ दूसरे करने के लिए $$ \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma) | lm \rangle$$ संबंधों द्वारा दर्शाया गया है:
 * $$\sum_k  D^j_{m'k}(\alpha, \beta, \gamma)^* D^j_{mk}(\alpha, \beta, \gamma)  = \delta_{m,m'},$$
 * $$\sum_k  D^j_{k m'}(\alpha, \beta, \gamma)^* D^j_{km}(\alpha, \beta, \gamma)  = \delta_{m,m'}.$$

एसयू (2) के लिए समूह वर्ण केवल रोटेशन कोण β पर निर्भर करते हैं, क्लास फलन (बीजगणित) होने के नाते, फिर, रोटेशन के अक्षों से स्वतंत्र,


 * $$\chi^j (\beta)\equiv \sum_m D^j_{mm}(\beta)=\sum_m d^j_{mm}(\beta) = \frac{\sin\left (\frac{(2j+1)\beta}{2} \right )}{\sin \left (\frac{\beta}{2} \right )},$$

और फलस्वरूप समूह के हार उपाय के माध्यम से, सरल ओर्थोगोनलिटी संबंधों को पूरा करते हैं,
 * $$\frac{1}{\pi} \int _0^{2\pi} d\beta \sin^2 \left (\frac{\beta}{2} \right ) \chi^j (\beta)  \chi^{j'}(\beta)=  \delta_{j'j}.$$

पूर्णता संबंध (इसी संदर्भ में निकाला गया, (3.95)) है


 * $$\sum_j \chi^j (\beta) \chi^j (\beta')= \delta (\beta -\beta'),$$

जहाँ, $$\beta' =0$$ के लिए
 * $$\sum_j \chi^j (\beta) (2j+1)= \delta (\beta ).$$

विग्नर डी-मैट्रिसेस, क्लेबश-गॉर्डन श्रृंखला का क्रोनकर उत्पाद


\mathbf{D}^j(\alpha,\beta,\gamma)\otimes \mathbf{D}^{j'}(\alpha,\beta,\gamma) $$ SO(3) और SU(2) समूहों का एक कम करने योग्य आव्यूह प्रतिनिधित्व बनाता है। अलघुकरणीय घटकों में कमी निम्नलिखित समीकरण द्वारा होती है: :$$ D^j_{m k}(\alpha,\beta,\gamma) D^{j'}_{m' k'}(\alpha,\beta,\gamma) = \sum_{J=|j-j'|}^{j+j'} \langle j m j' m' | J \left(m + m'\right) \rangle \langle j k j' k' | J \left(k + k'\right) \rangle D^J_{\left(m + m'\right) \left(k + k'\right)}(\alpha,\beta,\gamma) $$

प्रतीक $$\langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_3 m_3 \rangle$$ एक क्लेब्स-गॉर्डन गुणांक है।

गोलाकार हार्मोनिक्स और लीजेंड्रे बहुपदों से संबंध
पूर्णांक मान के लिए $$l$$, डी-आव्यूह तत्व शून्य के बराबर दूसरी अनुक्रमणिका के साथ आनुपातिक हैं गोलाकार हार्मोनिक्स और संबंधित लीजेंड्रे बहुपद, एकता के लिए सामान्यीकृत और कॉन्डन और शॉर्टली चरण कन्वेंशन के साथ:

D^{\ell}_{m 0}(\alpha,\beta,\gamma) = \sqrt{\frac{4\pi}{2\ell+1}} Y_{\ell}^{m*} (\beta, \alpha ) = \sqrt{\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}} \, P_\ell^m ( \cos{\beta} ) \, e^{-i m \alpha }. $$ इसका तात्पर्य डी-आव्यूह के लिए निम्नलिखित संबंध से है:

d^{\ell}_{m 0}(\beta) = \sqrt{\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}} \, P_\ell^m ( \cos{\beta} ). $$ गोलाकार हार्मोनिक्स का घूर्णन $$ \langle \theta, \phi| \ell m'\rangle$$ तब प्रभावी रूप से दो घुमावों की रचना होती है,

\sum^\ell_{m'=-\ell} Y_{\ell}^ {m'} (\theta, \phi ) ~ D^{\ell}_{m' ~m }(\alpha,\beta,\gamma). $$ जब दोनों सूचकांकों को शून्य पर सेट किया जाता है, तो विग्नेर डी-आव्यूह तत्व साधारण लीजेंड्रे बहुपदों द्वारा दिए जाते हैं:

D^{\ell}_{0,0}(\alpha,\beta,\gamma) = d^{\ell}_{0,0}(\beta) = P_{\ell}(\cos\beta). $$ यूलर कोणों की वर्तमान परिपाटी में, $$\alpha$$ है। एक अनुदैर्ध्य कोण और $$\beta$$ एक कोटिट्यूडिनल कोण है (गोलाकार ध्रुवीय कोण ऐसे कोणों की भौतिक परिभाषा में)। यह एक कारण है कि z-y-z यूलर कोण परिपाटी का प्रयोग आणविक भौतिकी में प्रायः किया जाता है। विग्नर डी-आव्यूह की समय-उलट संपत्ति से तुरंत अनुसरण करता है

\left( Y_{\ell}^m \right) ^* = (-1)^m Y_{\ell}^{-m}. $$ स्पिन-भारित गोलाकार हार्मोनिक्स के लिए एक अधिक सामान्य संबंध मौजूद है:

D^{\ell}_{m s}(\alpha,\beta,-\gamma) =(-1)^s \sqrt\frac{4\pi}{2{\ell}+1} {}_sY_{\ell}^m(\beta,\alpha) e^{is\gamma}. $$

रोटेशन के तहत परिवर्तन की संभावना के साथ संबंध
डी-आव्यूह के एक तत्व का पूर्ण वर्ग,



F_{mm'}(\beta) = | D^j_{mm'}(\alpha,\beta,\gamma) |^2, $$ संभावना देता है कि स्पिन के साथ एक प्रणाली $$j$$ स्पिन प्रक्षेपण के साथ वर्ग में तैयार किया गया $$m$$ साथ में स्पिन प्रोजेक्शन के लिए कुछ दिशा $$m'$$ दूसरी दिशा में एक कोण पर $$\beta$$ पहली दिशा में मापी जाएगी। मात्राओं का समुच्चय $$F_{mm'}$$ स्वयं एक वास्तविक सममित आव्यूह बनाता है, $$\beta$$ केवल यूलर कोण पर निर्भर करता है। जैसा कि संकेत दिया गया है।

उल्लेखनीय रूप से, के लिए इगेनवलुए समस्या $$F$$ आव्यूह को पूरी तरह से हल किया जा सकता है:

\sum_{m' = -j}^j F_{mm'}(\beta) f^j_{\ell}(m') = P_{\ell}(\cos\beta) f^j_{\ell}(m) \qquad (\ell = 0, 1, \ldots, 2j). $$ यहाँ, ईजेनसदिश, $$f^j_{\ell}(m)$$, एक स्केल्ड और शिफ्ट किया गया असतत चेबिशेव बहुपद है, और संबंधित आइगेनवेल्यू है, $$P_{\ell}(\cos\beta)$$, लीजेंड्रे बहुपद है।

बेसेल फलन से संबंध
सीमा में जब $$\ell \gg m, m^\prime$$ अपने पास


 * $$D^\ell_{mm'}(\alpha,\beta,\gamma) \approx e^{-im\alpha-im'\gamma}J_{m-m'}(\ell\beta)$$

जहाँ $$J_{m-m'}(\ell\beta)$$ बेसेल फलन है और $$\ell\beta$$ परिमित है।

डी-आव्यूह तत्वों की सूची
विग्नर, एट अल के साइन कन्वेंशन का उपयोग करना। डी-आव्यूह तत्व $$d^j_{m'm}(\theta) $$ जे के लिए = 1/2, 1, 3/2, और 2 नीचे दिए गए हैं।

j = 1/2 के लिए


 * $$\begin{align}

d_{\frac{1}{2},\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} &= \cos \frac{\theta}{2} \\[6pt] d_{\frac{1}{2},-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} &= -\sin \frac{\theta}{2} \end{align}$$ j = 1 के लिए


 * $$\begin{align}

d_{1,1}^{1} &= \frac{1}{2} (1+\cos \theta) \\[6pt] d_{1,0}^{1} &= -\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta \\[6pt] d_{1,-1}^{1} &= \frac{1}{2} (1-\cos \theta) \\[6pt] d_{0,0}^{1} &= \cos \theta \end{align}$$ j = 3/2 के लिए


 * $$\begin{align}

d_{\frac{3}{2}, \frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} &= \frac{1}{2} (1+\cos \theta) \cos \frac{\theta}{2} \\[6pt] d_{\frac{3}{2}, \frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} &= -\frac{\sqrt{3}}{2} (1+\cos \theta) \sin \frac{\theta}{2} \\[6pt] d_{\frac{3}{2},-\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} &= \frac{\sqrt{3}}{2} (1-\cos \theta) \cos \frac{\theta}{2} \\[6pt] d_{\frac{3}{2},-\frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} &= -\frac{1}{2} (1-\cos \theta) \sin \frac{\theta}{2} \\[6pt] d_{\frac{1}{2}, \frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} &= \frac{1}{2} (3\cos \theta - 1) \cos \frac{\theta}{2} \\[6pt] d_{\frac{1}{2},-\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} &= -\frac{1}{2} (3\cos \theta + 1) \sin \frac{\theta}{2} \end{align}$$ j = 2 के लिए
 * $$\begin{align}

d_{2,2}^{2} &= \frac{1}{4}\left(1 +\cos \theta\right)^2  \\[6pt] d_{2,1}^{2} &= -\frac{1}{2}\sin \theta \left(1 + \cos \theta\right)  \\[6pt] d_{2,0}^{2} &= \sqrt{\frac{3}{8}}\sin^2 \theta  \\[6pt] d_{2,-1}^{2} &= -\frac{1}{2}\sin \theta \left(1 - \cos \theta\right) \\[6pt] d_{2,-2}^{2} &= \frac{1}{4}\left(1 -\cos \theta\right)^2 \\[6pt] d_{1,1}^{2} &= \frac{1}{2}\left(2\cos^2\theta + \cos \theta-1 \right) \\[6pt] d_{1,0}^{2} &= -\sqrt{\frac{3}{8}} \sin 2 \theta  \\[6pt] d_{1,-1}^{2} &= \frac{1}{2}\left(- 2\cos^2\theta + \cos \theta +1 \right) \\[6pt] d_{0,0}^{2} &= \frac{1}{2} \left(3 \cos^2 \theta - 1\right) \end{align}$$ विग्नर डी-आव्यूह तत्व स्वैप किए गए निचले सूचकांकों के साथ संबंध के साथ पाए जाते हैं:


 * $$d_{m', m}^j = (-1)^{m-m'}d_{m, m'}^j = d_{-m,-m'}^j.$$

समरूपता और विशेष स्थितियाँ

 * $$\begin{align}

d_{m',m}^{j}(\pi)       &= (-1)^{j-m}  \delta_{m',-m} \\[6pt] d_{m',m}^{j}(\pi-\beta) &= (-1)^{j+m'}  d_{m',-m}^{j}(\beta)\\[6pt] d_{m',m}^{j}(\pi+\beta) &= (-1)^{j-m}  d_{m',-m}^{j}(\beta)\\[6pt] d_{m',m}^{j}(2\pi+\beta) &= (-1)^{2j}   d_{m',m}^{j}(\beta)\\[6pt] d_{m',m}^{j}(-\beta)    &= d_{m,m'}^{j}(\beta) = (-1)^{m'-m} d_{m',m}^{j}(\beta) \end{align}$$

यह भी देखें

 * क्लेबश-गॉर्डन गुणांक
 * टेंसर ऑपरेटर
 * क्वांटम यांत्रिकी में समरूपता