टेलर प्रमेय



गणना में, टेलर का प्रमेय एक अनुमान देता है $k$ -डिग्री के बहुपद द्वारा किसी दिए गए बिंदु के चारों ओर बार-बार भिन्न-भिन्न कार्य $k$, इसको कॉल किया गया $k$ -वें क्रम का टेलर बहुपद। एक सुचारु कार्य के लिए, टेलर बहुपद '' क्रम में काट-छाँट है$k$ समारोह की टेलर श्रृंखला का। प्रथम-क्रम टेलर बहुपद फ़ंक्शन का रैखिक सन्निकटन है, और दूसरे-क्रम टेलर बहुपद को अक्सर 'द्विघात सन्निकटन' के रूप में जाना जाता है। टेलर के प्रमेय के कई संस्करण हैं, कुछ इसके टेलर बहुपद द्वारा फ़ंक्शन की सन्निकटन त्रुटि का स्पष्ट अनुमान देते हैं।

टेलर के प्रमेय का नाम गणितज्ञ ब्रूक टेलर के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1715 में इसका एक संस्करण बताया था, हालाँकि परिणाम के पहले संस्करण का उल्लेख 1671 में जेम्स ग्रेगरी (खगोलशास्त्री और गणितज्ञ) द्वारा विज्ञान में पहले ही किया जा चुका था। टेलर का प्रमेय परिचयात्मक-स्तर के कैलकुलस पाठ्यक्रमों में पढ़ाया जाता है और गणितीय विश्लेषण में केंद्रीय प्राथमिक उपकरणों में से एक है। यह घातांकीय फलन और त्रिकोणमितीय फलन जैसे कई पारलौकिक फलनों के मानों की सटीक गणना करने के लिए सरल अंकगणितीय सूत्र देता है। यह विश्लेषणात्मक कार्यों के अध्ययन का प्रारंभिक बिंदु है, और गणित के विभिन्न क्षेत्रों के साथ-साथ संख्यात्मक विश्लेषण और गणितीय भौतिकी में भी मौलिक है। टेलर का प्रमेय बहुभिन्नरूपी फ़ंक्शन और वेक्टर मूल्यवान फ़ंक्शन फ़ंक्शन का भी सामान्यीकरण करता है।

प्रेरणा
फ़ाइल:ई^x with linear approximation.png|thumb|right|का ग्राफ $f(x)=e^x$ (नीला) इसके रैखिक सन्निकटन के साथ $P_1(x)=1+x$  (लाल)पर $a=0$. यदि एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन (गणित) $f(x)$ बिंदु पर व्युत्पन्न है $x=a$, तो इस बिंदु के निकट इसका एक रैखिक सन्निकटन होता है। इसका मतलब है कि एक फ़ंक्शन h मौजूद है1(x) ऐसा कि

$$ f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + h_1(x)(x - a), \quad \lim_{x \to a} h_1(x) = 0.$$ यहाँ

$$P_1(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$$ का रैखिक सन्निकटन है $f(x)$ बिंदु a के निकट x के लिए, जिसका ग्राफ़ $y=P_1(x)$  ग्राफ़ की स्पर्श रेखा है $y=f(x)$  पर x = a. सन्निकटन में त्रुटि है: $$R_1(x) = f(x) - P_1(x) = h_1(x)(x - a).$$ जैसे-जैसे x, a की ओर बढ़ता है, यह त्रुटि उससे कहीं अधिक तेजी से शून्य हो जाती है $$f'(a)(x{-}a)$$, बनाना $$f(x)\approx P_1(x)$$ एक उपयोगी सन्निकटन.

फ़ाइल:ई^x with quadratic approximation corrected.png|thumb|right|का ग्राफ $f(x)=e^x$ (नीला) अपने द्विघात सन्निकटन के साथ  $$P_2(x) = 1 +x + \dfrac{x^2}{2}$$ (लाल)पर $a=0$. सन्निकटन में सुधार पर ध्यान दें. बेहतर सन्निकटन के लिए $f(x)$, हम एक रैखिक फलन के बजाय एक द्विघात बहुपद फिट कर सकते हैं:

$$P_2(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2}(x - a)^2.$$ केवल एक व्युत्पन्न का मिलान करने के बजाय $f(x)$ पर  $x=a$, इस बहुपद में पहला और दूसरा व्युत्पन्न समान है, जैसा कि विभेदन पर स्पष्ट है।

टेलर का प्रमेय यह सुनिश्चित करता है कि द्विघात सन्निकटन, पर्याप्त रूप से छोटे पड़ोस में है $x=a$, रैखिक सन्निकटन से अधिक सटीक। विशेष रूप से,

$$f(x) = P_2(x) + h_2(x)(x - a)^2, \quad \lim_{x \to a} h_2(x) = 0.$$ यहाँ सन्निकटन में त्रुटि है

$$R_2(x) = f(x) - P_2(x) = h_2(x)(x - a)^2,$$ जो, के सीमित व्यवहार को देखते हुए $$h_2$$की तुलना में तेजी से शून्य पर चला जाता है $$(x - a)^2$$ जैसे कि x, a की ओर प्रवृत्त होता है।

इसी प्रकार, यदि हम उच्च डिग्री के बहुपदों का उपयोग करते हैं तो हमें f के और भी बेहतर सन्निकटन प्राप्त हो सकते हैं, तब से हम चयनित आधार बिंदु पर f के साथ और भी अधिक व्युत्पन्नों का मिलान कर सकते हैं।

सामान्य तौर पर, डिग्री k के बहुपद द्वारा किसी फ़ंक्शन का अनुमान लगाने में त्रुटि बहुत तेजी से शून्य हो जाएगी $$(x-a)^k$$ जैसे कि x, a की ओर प्रवृत्त होता है। हालाँकि, ऐसे फ़ंक्शन हैं, यहां तक ​​​​कि असीम रूप से भिन्न भी, जिनके लिए अनुमानित बहुपद की डिग्री बढ़ाने से सन्निकटन की सटीकता में वृद्धि नहीं होती है: हम कहते हैं कि ऐसा फ़ंक्शन x = a पर विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन होने में विफल रहता है: यह (स्थानीय रूप से) इस बिंदु पर इसके डेरिवेटिव द्वारा निर्धारित नहीं होता है।

टेलर का प्रमेय स्पर्शोन्मुख प्रकृति का है: यह हमें केवल यह बताता है कि त्रुटि हुई है $R_k$ ए द्वारा एक अनुमान में $k$ -वें क्रम का टेलर बहुपद पीkकिसी भी गैर-शून्य की तुलना में तेजी से शून्य हो जाता है $k$ -वें डिग्री बहुपद के रूप में $x \to a$. यह हमें नहीं बताता कि विस्तार के केंद्र के किसी ठोस पड़ोस (गणित) में त्रुटि कितनी बड़ी है, लेकिन इस उद्देश्य के लिए शेष पद (नीचे दिए गए) के लिए स्पष्ट सूत्र हैं जो एफ पर कुछ अतिरिक्त नियमितता मान्यताओं के तहत मान्य हैं। टेलर के प्रमेय के ये उन्नत संस्करण आम तौर पर विस्तार के केंद्र के एक छोटे से पड़ोस में सन्निकटन त्रुटि के लिए एक समान अभिसरण की ओर ले जाते हैं, लेकिन अनुमान आवश्यक रूप से उन पड़ोस के लिए नहीं होते हैं जो बहुत बड़े हैं, भले ही फ़ंक्शन एफ विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन हो। उस स्थिति में किसी को मूल फ़ंक्शन के विश्वसनीय टेलर-अनुमान प्राप्त करने के लिए विस्तार के विभिन्न केंद्रों के साथ कई टेलर बहुपदों का चयन करना पड़ सकता है (दाईं ओर एनीमेशन देखें।)

ऐसे कई तरीके हैं जिनसे हम शेष पद का उपयोग कर सकते हैं:


 * 1) बहुपद P के लिए त्रुटि का अनुमान लगाएंk(x) डिग्री k का अनुमान लगाना $f(x)$  किसी दिए गए अंतराल पर (ए - आर, ए + आर)। (अंतराल और डिग्री को देखते हुए, हम त्रुटि पाते हैं।)
 * 2) वह सबसे छोटी घात k ज्ञात कीजिए जिसके लिए बहुपद Pk(एक्स) अनुमानित $f(x)$  किसी दिए गए अंतराल पर दी गई त्रुटि सहनशीलता के भीतर (ए - आर, ए + आर)। (अंतराल और त्रुटि सहनशीलता को देखते हुए, हम डिग्री पाते हैं।)
 * 3) सबसे बड़ा अंतराल (a − r, a + r) ज्ञात करें जिस पर Pk(एक्स) अनुमानित $f(x)$  किसी दी गई त्रुटि सहनशीलता के भीतर। (डिग्री और त्रुटि सहनशीलता को देखते हुए, हम अंतराल पाते हैं।)

प्रमेय का कथन
टेलर के प्रमेय के सबसे बुनियादी संस्करण का सटीक विवरण इस प्रकार है:

टेलर के प्रमेय में प्रदर्शित होने वाला बहुपद है$\boldsymbol{k}$ -वें क्रम का टेलर बहुपद

$$P_k(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k $$ बिंदु a पर फलन f का। टेलर बहुपद इस अर्थ में अद्वितीय स्पर्शोन्मुख सबसे उपयुक्त बहुपद है कि यदि कोई फ़ंक्शन मौजूद है hk : R → R और ए $k$ -वें क्रम का बहुपद p इस प्रकार है कि

$$ f(x) = p(x) + h_k(x)(x-a)^k, \quad \lim_{x\to a} h_k(x) = 0 ,$$ फिर पी = पीk. टेलर का प्रमेय 'शेष पद' के स्पर्शोन्मुख व्यवहार का वर्णन करता है

$$ R_k(x) = f(x) - P_k(x),$$ जो टेलर बहुपद के साथ f का सन्निकटन करते समय सन्निकटन त्रुटि है। लिटिल-ओ संकेतन का उपयोग करते हुए, टेलर के प्रमेय में कथन इस प्रकार पढ़ा जाता है

$$R_k(x) = o(|x-a|^{k}), \quad x\to a.$$

शेषफल के लिए स्पष्ट सूत्र
एफ पर मजबूत नियमितता मान्यताओं के तहत शेष पद आर के लिए कई सटीक सूत्र हैंkटेलर बहुपद में से सबसे आम निम्नलिखित हैं।

टेलर के प्रमेय के ये परिशोधन आमतौर पर माध्य मान प्रमेय का उपयोग करके सिद्ध किए जाते हैं, जहां से यह नाम पड़ा है। इसके अतिरिक्त, ध्यान दें कि यह बिल्कुल माध्य मान प्रमेय है जब $k=0$. इसके अलावा अन्य समान अभिव्यक्तियाँ भी पाई जा सकती हैं। उदाहरण के लिए, यदि G(t) बंद अंतराल पर निरंतर है और बीच के खुले अंतराल पर एक गैर-लुप्त व्युत्पन्न के साथ भिन्न है $a$ और $x$, तब

$$ R_k(x) = \frac{f^{(k+1)}(\xi)}{k!}(x-\xi)^k \frac{G(x)-G(a)}{G'(\xi)} $$ कुछ संख्या के लिए $\xi$ बीच में $a$  और $x$. यह संस्करण विशेष मामलों के रूप में शेष के लैग्रेंज और कॉची रूपों को शामिल करता है, और नीचे माध्य मान प्रमेय#कॉची का माध्य मान प्रमेय|कॉची का माध्य मान प्रमेय का उपयोग करके सिद्ध किया गया है। लैग्रेंज फॉर्म लेने से प्राप्त होता है $$G(t)=(x-t)^{k+1}$$ और कॉची रूप लेने से प्राप्त होता है $$G(t)=t-a$$.

शेषफल के अभिन्न रूप के लिए बयान पिछले वाले की तुलना में अधिक उन्नत है, और पूर्ण व्यापकता के लिए लेबेसेग अभिन्न की समझ की आवश्यकता है। हालाँकि, यह रीमैन अभिन्न  के अर्थ में भी लागू है, बशर्ते कि f का (k+1)वां व्युत्पन्न बंद अंतराल [a,x] पर निरंतर हो।

$$

एफ के बिल्कुल निरंतर होने के कारण के बीच बंद अंतराल पर $a$ और $x$, इसका व्युत्पन्न एफ एल के रूप में मौजूद है-फ़ंक्शन, और परिणाम को कैलकुलस के मौलिक प्रमेय और भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके औपचारिक गणना द्वारा सिद्ध किया जा सकता है।

शेष के लिए अनुमान
टेलर सन्निकटन में दिखाई देने वाले शेष पद का अनुमान लगाने में सक्षम होना, इसके लिए एक सटीक सूत्र होने के बजाय, व्यवहार में अक्सर उपयोगी होता है। मान लीजिए कि एफ है (k + 1)-अंतराल I में कई बार लगातार अंतर होता है जिसमें a होता है। मान लीजिए कि ऐसे वास्तविक स्थिरांक q और Q हैं

$$q\le f^{(k+1)}(x)\le Q$$ संपूर्ण I में, फिर शेष पद असमानता को संतुष्ट करता है

$$q\frac{(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}\le R_k(x)\le Q\frac{(x-a)^{k+1}}{(k+1)!},$$ अगर x > a, और एक समान अनुमान यदि x < a. यह शेषफल के लैग्रेंज रूप का एक सरल परिणाम है। विशेषकर, यदि

$$|f^{(k+1)}(x)|\le M$$ एक अंतराल पर I = (a − r,a + r) कुछ के साथ $$r > 0$$, तब

$$|R_k(x)|\le M\frac{|x-a|^{k+1}}{(k+1)!}\le M\frac{r^{k+1}}{(k+1)!}$$ सभी के लिए x∈(a − r,a + r). दूसरी असमानता को एक समान अभिसरण कहा जाता है, क्योंकि यह अंतराल पर सभी x के लिए समान रूप से रखती है (a − r,a + r).

उदाहरण
मान लीजिए कि हम फ़ंक्शन का अनुमानित मान ज्ञात करना चाहते हैं $f(x)=e^x$ अंतराल पर $[-1,1]$  यह सुनिश्चित करते हुए कि अनुमान में त्रुटि 10 से अधिक न हो−5. इस उदाहरण में हम दिखावा करते हैं कि हम घातीय फलन के केवल निम्नलिखित गुणों को जानते हैं:

इन गुणों से यह निष्कर्ष निकलता है $f^{(k)}(x)=e^x$ सभी के लिए $k$, खास तरीके से, $f^{(k)}(0)=1$. इसलिए$k$ -वें क्रम का टेलर बहुपद $f$ पर $0$  और इसका शेष पद लैग्रेंज रूप में दिया गया है

$$ P_k(x) = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^k}{k!}, \qquad R_k(x)=\frac{e^\xi}{(k+1)!}x^{k+1},$$ कहाँ $\xi$ 0 और x के बीच कोई संख्या है. चूँकि ईx बढ़ रहा है ($$), हम बस उपयोग कर सकते हैं $e^x \leq 1$ के लिए $x \in [-1,0]$  उपअंतराल पर शेषफल का अनुमान लगाने के लिए $$[-1,0]$$. शेष के लिए ऊपरी सीमा प्राप्त करने के लिए $$[0,1]$$, हम संपत्ति का उपयोग करते हैं $e^\xi <e^x$ के लिए $0<\xi<x$  अंदाज़ा लगाने के लिए

$$ e^x = 1 + x + \frac{e^\xi}{2}x^2 < 1 + x + \frac{e^x}{2}x^2, \qquad 0 < x\leq 1 $$ दूसरे क्रम के टेलर विस्तार का उपयोग करना। फिर हम ई के लिए हल करते हैंxउसका अनुमान लगाने के लिए

$$ e^x \leq \frac{1+x}{1-\frac{x^2}{2}} = 2\frac{1+x}{2-x^2} \leq 4, \qquad 0 \leq x\leq 1 $$ बस अंश को अधिकतम करके और हर को छोटा करके। ई के लिए इन अनुमानों का संयोजनxहम उसे देखते हैं

$$ |R_k(x)| \leq \frac{4|x|^{k+1}}{(k+1)!} \leq \frac{4}{(k+1)!}, \qquad -1\leq x \leq 1, $$ इसलिए आवश्यक परिशुद्धता निश्चित रूप से पहुँच जाती है, जब

$$ \frac{4}{(k+1)!} < 10^{-5} \quad \Longleftrightarrow \quad 4\cdot 10^5 < (k+1)! \quad \Longleftrightarrow \quad k \geq 9. $$ ( कारख़ाने का देखें या हाथ से मानों की गणना करें $9! =362880$  और $10! =3628800$ .) निष्कर्ष के रूप में, टेलर का प्रमेय सन्निकटन की ओर ले जाता है

$$ e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^9}{9!} + R_9(x), \qquad |R_9(x)| < 10^{-5}, \qquad -1\leq x \leq 1. $$ उदाहरण के लिए, यह सन्निकटन दशमलव प्रतिनिधित्व प्रदान करता है $$e \approx 2.71828$$, दशमलव के पाँच स्थानों तक सही करें।

टेलर वास्तविक विश्लेषणात्मक कार्यों का विस्तार
मान लीजिए I ⊂ 'R' एक खुला अंतराल है। परिभाषा के अनुसार, एक फ़ंक्शन f: I → 'R' एक विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन है यदि इसे स्थानीय रूप से एक अभिसरण शक्ति श्रृंखला द्वारा परिभाषित किया गया है। इसका मतलब यह है कि प्रत्येक a ∈ I के लिए कुछ r > 0 और गुणांक c का एक क्रम मौजूद होता हैk∈ 'आर' ऐसे कि (a − r, a + r) ⊂ I और

$$ f(x) = \sum_{k=0}^\infty c_k(x-a)^k = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \cdots, \qquad |x-a|<r. $$ सामान्य तौर पर, पावर श्रृंखला # पावर श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या की गणना कॉची-हैडामर्ड प्रमेय | कॉची-हैडामर्ड सूत्र से की जा सकती है

$$ \frac{1}{R} = \limsup_{k\to\infty}|c_k|^\frac{1}{k}. $$ यह परिणाम एक ज्यामितीय श्रृंखला के साथ तुलना पर आधारित है, और एक ही विधि से पता चलता है कि यदि किसी पर आधारित शक्ति श्रृंखला कुछ बी ∈ 'आर' के लिए अभिसरण करती है, तो उसे बंद अंतराल पर एक समान अभिसरण अभिसरण करना होगा $[a-r_b,a+r_b]$, कहाँ $r_b=\left\vert b-a \right\vert$. यहां केवल शक्ति श्रृंखला के अभिसरण पर विचार किया गया है, और यह संभवतः ऐसा ही हो सकता है (a − R,a + R) f के डोमेन I से आगे तक फैला हुआ है।

वास्तविक विश्लेषणात्मक फलन f के टेलर बहुपद केवल परिमित काट-छांट हैं

$$ P_k(x) = \sum_{j=0}^k c_j(x-a)^j, \qquad c_j = \frac{f^{(j)}(a)}{j!}$$ इसकी स्थानीय रूप से परिभाषित शक्ति श्रृंखला, और संबंधित शेष शर्तें स्थानीय रूप से विश्लेषणात्मक कार्यों द्वारा दी गई हैं

$$ R_k(x) = \sum_{j=k+1}^\infty c_j(x-a)^j = (x-a)^k h_k(x), \qquad |x-a|<r. $$ यहाँ कार्य

$$\begin{align} & h_k:(a-r,a+r)\to \R \\ & h_k(x) = (x-a)\sum_{j=0}^\infty c_{k+1+j} \left(x - a\right)^j \end{align}$$ विश्लेषणात्मक भी हैं, क्योंकि उनकी परिभाषित शक्ति श्रृंखला में मूल श्रृंखला के समान अभिसरण की त्रिज्या है। ये मानते हुए [a − r, a + r] ⊂ I और r<R, ये सभी श्रृंखलाएं समान रूप से अभिसरित होती हैं (a − r, a + r). स्वाभाविक रूप से, विश्लेषणात्मक कार्यों के मामले में कोई शेष पद का अनुमान लगा सकता है $R_k(x)$ विस्तार के केंद्र में व्युत्पन्न f'(a) के अनुक्रम की पूंछ से, लेकिन जटिल विश्लेषण का उपयोग करने से एक और संभावना भी उत्पन्न होती है, जिसे टेलर के प्रमेय#विश्लेषणात्मकता से संबंध##जटिल विश्लेषण में टेलर के प्रमेय द्वारा वर्णित किया गया है।

टेलर का प्रमेय और टेलर श्रृंखला का अभिसरण
एफ की टेलर श्रृंखला कुछ अंतराल में अभिसरण करेगी जिसमें इसके सभी डेरिवेटिव बंधे हुए हैं और बहुत तेजी से नहीं बढ़ते हैं क्योंकि के अनंत तक जाता है। (हालाँकि, भले ही टेलर श्रृंखला अभिसरण करती है, यह एफ में परिवर्तित नहीं हो सकती है, जैसा कि नीचे बताया गया है; तब एफ को गैर-विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन कहा जाता है।)

कोई टेलर श्रृंखला के बारे में सोच सकता है

$$ f(x) \approx \sum_{k=0}^\infty c_k(x-a)^k = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \cdots $$ एक अपरिमित रूप से अनेक बार अवकलनीय फलन f : 'R' → 'R' के अनंत क्रम टेलर बहुपद के रूप में। अब शेषफल के लिए टेलर के प्रमेय # अनुमान का अर्थ है कि यदि, किसी भी आर के लिए, एफ के व्युत्पन्न को (ए - आर, ए + आर) से घिरा हुआ माना जाता है, तो किसी भी क्रम के के लिए और किसी भी आर > 0 के लिए एक स्थिरांक मौजूद होता है Mk,r > 0 ऐसा है कि

प्रत्येक x ∈ (a − r,a + r) के लिए। कभी-कभी स्थिरांक Mk,r को इस तरह से चुना जा सकता है Mk,r निश्चित r और सभी k के लिए ऊपर परिबद्ध है। फिर कुछ विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन के लिए एफ वर्दी अभिसरण की टेलर श्रृंखला

$$\begin{align} & T_f:(a-r,a+r)\to\R \\ & T_f(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(a)}{k!} \left(x-a\right)^k \end{align}$$ (किसी को अभिसरण भी मिलता है भले ही Mk,rजब तक यह धीरे-धीरे बढ़ता है तब तक ऊपर सीमित नहीं है।)

सीमा समारोह Tf परिभाषा के अनुसार हमेशा विश्लेषणात्मक होता है, लेकिन यह जरूरी नहीं कि मूल फ़ंक्शन f के बराबर हो, भले ही f असीम रूप से भिन्न हो। इस मामले में, हम कहते हैं कि f एक गैर-विश्लेषणात्मक सहज फ़ंक्शन है, उदाहरण के लिए एक समतल कार्य:

$$\begin{align} & f:\R \to \R \\ & f(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}} & x>0 \\ 0 & x \leq 0. \end{cases} \end{align}$$ गणितीय प्रेरण द्वारा श्रृंखला नियम का बार-बार उपयोग करने से पता चलता है कि किसी भी क्रम k के लिए,

$$ f^{(k)}(x) = \begin{cases} \frac{p_k(x)}{x^{3k}}\cdot e^{-\frac{1}{x^2}} & x>0 \\ 0 & x \leq 0 \end{cases}$$ कुछ बहुपद पी के लिएkडिग्री 2(k − 1) की। कार्यक्रम $$e^{-\frac{1}{x^2}}$$ किसी भी बहुपद की तुलना में तेजी से शून्य हो जाता है $x \to 0$, इसलिए f अपरिमित रूप से कई गुना भिन्न है और f(0) = 0 प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक k के लिए। उपरोक्त सभी परिणाम इस मामले में मान्य हैं:

हालाँकि, जैसे-जैसे k निश्चित r के लिए बढ़ता है, M का मान बढ़ता हैk,rआर की तुलना में अधिक तेज़ी से बढ़ता हैk, और त्रुटि शून्य पर नहीं जाती है।
 * एफ की टेलर श्रृंखला शून्य फ़ंक्शन टी में समान रूप से परिवर्तित होती हैf(x)=0, जो शून्य के बराबर सभी गुणांकों के साथ विश्लेषणात्मक है।
 * फ़ंक्शन f इस टेलर श्रृंखला के बराबर नहीं है, और इसलिए गैर-विश्लेषणात्मक है।
 * किसी भी क्रम k ∈ 'N' और त्रिज्या r > 0 के लिए M मौजूद हैk,r> 0 शेष सीमा को संतुष्ट करना ($$) ऊपर।

जटिल विश्लेषण में टेलर का प्रमेय
टेलर का प्रमेय फ़ंक्शंस f: 'C' → 'C' को सामान्यीकृत करता है जो जटिल विमान के एक खुले उपसमुच्चय U ⊂ 'C' में जटिल रूप से भिन्न होते हैं। हालाँकि, जटिल विश्लेषण में इसकी उपयोगिता अन्य सामान्य प्रमेयों से कम है। अर्थात्, कॉची के अभिन्न सूत्र का उपयोग करके जटिल विभेदक कार्यों f : U → 'C' के लिए संबंधित परिणामों के मजबूत संस्करण निम्नानुसार निकाले जा सकते हैं।

मान लीजिए r > 0 इस प्रकार है कि बंद डिस्क B(z,r) ∪S(z,r) U में समाहित है। फिर एक सकारात्मक पैरामीट्रिजेशन के साथ कॉची का अभिन्न सूत्र γ(t) = z + reit वृत्त S(z, r) के साथ $$t \in [0,2 \pi]$$ देता है

$$f(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(w)}{w-z}\,dw, \quad f'(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(w)}{(w-z)^2} \, dw, \quad \ldots, \quad f^{(k)}(z) = \frac{k!}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{k+1}} \, dw.$$ यहां सभी इंटीग्रैंड घेरा S(z,r) पर निरंतर हैं, जो इंटीग्रल चिह्न के तहत भेदभाव को उचित ठहराता है। विशेष रूप से, यदि खुले समुच्चय U पर f एक बार जटिल अवकलनीय है, तो यह वास्तव में U पर अनंत बार जटिल अवकलनीय है। एक व्यक्ति कॉची के अनुमान भी प्राप्त करता है

$$ |f^{(k)}(z)| \leq \frac{k!}{2\pi}\int_\gamma \frac{M_r}{|w-z|^{k+1}} \, dw = \frac{k!M_r}{r^k}, \quad M_r = \max_{|w-c|=r}|f(w)| $$ किसी भी z ∈ U और r > 0 के लिए जैसे कि B(z, r) ∪ S(c, r) ⊂ U. इन अनुमानों का अर्थ है कि सम्मिश्र संख्या टेलर श्रृंखला

$$ T_f(z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(c)}{k!}(z-c)^k $$ f का किसी भी खुली डिस्क पर समान रूप से अभिसरण होता है $B(c,r) \subset U$ साथ $S(c,r) \subset U$  किसी फ़ंक्शन में टीf. इसके अलावा, डेरिवेटिव एफ के लिए समोच्च अभिन्न सूत्रों का उपयोग करना(सी),

$$\begin{align} T_f(z) &= \sum_{k=0}^\infty \frac{(z-c)^k}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(w)}{(w-c)^{k+1}} \, dw \\ &= \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{w-c} \sum_{k=0}^\infty  \left(\frac{z-c}{w-c}\right)^k \, dw \\ &= \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{w-c}\left( \frac{1}{1-\frac{z-c}{w-c}} \right) \, dw \\ &= \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw = f(z), \end{align}$$ इसलिए किसी खुले सेट U ⊂ 'C' में कोई भी जटिल व्युत्पन्न फ़ंक्शन f वास्तव में जटिल विश्लेषणात्मक है। वास्तविक विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए जो कुछ भी कहा गया है टेलर का प्रमेय#विश्लेषणात्मकता से संबंध##विश्लेषणात्मक कार्यों का टेलर विस्तार जटिल विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए भी लागू होता है, जिसमें खुले अंतराल I को एक खुले उपसमुच्चय U ∈ 'C' द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है और a-केंद्रित अंतराल (a − r, a +r) को C-केंद्रित डिस्क B(c,r) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। विशेष रूप से, टेलर विस्तार फॉर्म में है

$$ f(z) = P_k(z) + R_k(z), \quad P_k(z) = \sum_{j=0}^k \frac{f^{(j)}(c)}{j!}(z-c)^j, $$ जहाँ शेष पद R हैkजटिल विश्लेषणात्मक है. जटिल विश्लेषण के तरीके टेलर विस्तार के संबंध में कुछ शक्तिशाली परिणाम प्रदान करते हैं। उदाहरण के लिए, किसी भी सकारात्मक रूप से उन्मुख जॉर्डन वक्र के लिए कॉची के अभिन्न सूत्र का उपयोग करना $\gamma$ जो सीमा को पैरामीट्रिज करता है $\partial W \subset U$  एक क्षेत्र का $W \subset U$, कोई व्युत्पन्नों के लिए व्यंजक प्राप्त करता है f(c) जैसा कि ऊपर बताया गया है, और इसके लिए गणना को थोड़ा संशोधित किया जा रहा है Tf(z) = f(z), कोई सटीक सूत्र पर पहुंचता है

$$ R_k(z) = \sum_{j=k+1}^\infty \frac{(z-c)^j}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{(w-c)^{j+1}} \, dw = \frac{(z-c)^{k+1}}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w) \, dw}{(w-c)^{k+1}(w-z)}, \qquad z\in W. $$ यहां महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि क्षेत्र पर टेलर बहुपद द्वारा सन्निकटन की गुणवत्ता $W \subset U$ सीमा पर स्वयं फ़ंक्शन f के मानों का प्रभुत्व है $\partial W \subset U$. इसी प्रकार, कॉची के अनुमानों को शेष के लिए श्रृंखला अभिव्यक्ति पर लागू करने से, एक समान अनुमान प्राप्त होता है

$$ |R_k(z)| \leq \sum_{j=k+1}^\infty \frac{M_r |z-c|^j}{r^j} = \frac{M_r}{r^{k+1}} \frac{|z-c|^{k+1}}{1-\frac{|z-c|}{r}} \leq \frac{M_r \beta^{k+1}}{1-\beta}, \qquad \frac{|z-c|}{r} \leq \beta < 1. $$

उदाहरण
कार्यक्रम

$$\begin{align} & f : \R \to \R \\ & f(x) = \frac{1}{1+x^2} \end{align}$$ विश्लेषणात्मक कार्य है, अर्थात स्थानीय रूप से इसकी टेलर श्रृंखला द्वारा निर्धारित किया जाता है। इस फ़ंक्शन को इस तथ्य को स्पष्ट करने के लिए टेलर के प्रमेय#प्रेरणा के अनुसार तैयार किया गया था कि कुछ प्राथमिक कार्यों को विस्तार के केंद्र के पड़ोस में टेलर बहुपद द्वारा अनुमानित नहीं किया जा सकता है जो बहुत बड़े हैं। इस प्रकार के व्यवहार को जटिल विश्लेषण के ढांचे में आसानी से समझा जा सकता है। अर्थात्, फ़ंक्शन f एक मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन में विस्तारित होता है

$$\begin{align} & f:\Complex \cup \{\infty\} \to \Complex \cup \{\infty\} \\ & f(z) = \frac{1}{1+z^2} \end{align}$$ सघन जटिल तल पर। इसमें सरल ध्रुव हैं $z=i$ और $z=-i$, और यह अन्यत्र विश्लेषणात्मक है। अब इसकी टेलर श्रृंखला z पर केन्द्रित है0 किसी भी डिस्क B(z) पर अभिसरण होता है0, r) r < |z - z के साथ0|, जहां वही टेलर श्रृंखला z ∈ 'C' पर एकत्रित होती है। इसलिए, 0 पर केन्द्रित f की टेलर श्रृंखला B(0, 1) पर अभिसरित होती है और यह |z| के साथ किसी भी z ∈ 'C' के लिए अभिसरित नहीं होती है। > 1 i और −i पर ध्रुवों के कारण। इसी कारण से 1 पर केन्द्रित एफ की टेलर श्रृंखला अभिसरित होती है $B(1, \sqrt{2})$  और किसी भी z ∈ 'C' के लिए अभिसरण नहीं करता है $\left\vert z-1 \right\vert>\sqrt{2}$.

उच्च-क्रम भिन्नता
एक फ़ंक्शन f: 'R'n → 'R', 'a' ∈'R' से व्युत्पन्न हैn यदि और केवल यदि कोई रैखिक कार्यात्मक L मौजूद है: 'R'n → 'R' और एक फ़ंक्शन h : 'R'n → 'R' ऐसा कि

$$ f(\boldsymbol{x}) = f(\boldsymbol{a}) + L(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}) + h(\boldsymbol{x})\lVert\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\rVert, \qquad \lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}h(\boldsymbol{x})=0. $$ अगर यही बात है तो $L=df(\boldsymbol{a})$ बिंदु 'ए' पर एफ के एक फ़ंक्शन का (विशिष्ट रूप से परिभाषित) अंतर है। इसके अलावा, f का आंशिक व्युत्पन्न 'a' पर मौजूद है और f का अंतर 'a' पर दिया गया है

$$ df( \boldsymbol{a} )( \boldsymbol{v} ) = \frac{\partial f}{\partial x_1}(\boldsymbol{a})v_1 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}(\boldsymbol{a})v_n. $$ बहु-सूचकांक संकेतन  का परिचय दें

$$ |\alpha| = \alpha_1+\cdots+\alpha_n, \quad \alpha!=\alpha_1!\cdots\alpha_n!, \quad \boldsymbol{x}^\alpha=x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n} $$ α∈'N' के लिएn और 'x' ∈ 'R'n. यदि सभी $k$ -वें क्रम का आंशिक व्युत्पन्न f : Rn → R पर निरंतर हैं a ∈ Rn, फिर दूसरे डेरिवेटिव की समरूपता द्वारा|क्लेरौट के प्रमेय, कोई ए पर मिश्रित डेरिवेटिव के क्रम को बदल सकता है, इसलिए संकेतन

$$ D^\alpha f = \frac{\partial^{|\alpha|}f}{\partial x_1^{\alpha_1}\cdots \partial x_n^{\alpha_n}}, \qquad |\alpha|\leq k $$ उच्च क्रम के लिए आंशिक डेरिवेटिव इस स्थिति में उचित है। यही बात सत्य है यदि f के सभी (k − 1)-वें क्रम के आंशिक व्युत्पन्न 'a' के किसी पड़ोस में मौजूद हैं और 'a' पर भिन्न हैं। तब हम कहते हैं कि f, k 'बिंदु a पर कई गुना भिन्न है'।

बहुभिन्नरूपी कार्यों के लिए टेलर का प्रमेय
पिछले अनुभाग के नोटेशन का उपयोग करते हुए, निम्नलिखित प्रमेय प्राप्त होता है। $$

यदि फ़ंक्शन f : Rn → R एक बंद गेंद में k + 1 बार लगातार भिन्न होता है $$B = \{ \mathbf{y} \in \R^n : \left\|\mathbf{a}-\mathbf{y}\right\| \leq r\}$$ कुछ के लिए $$r > 0$$, तो कोई शेषफल के संदर्भ में एक सटीक सूत्र प्राप्त कर सकता है (k+1)-th इस पड़ोस में f का आंशिक व्युत्पन्न ऑर्डर करें। अर्थात्,

$$ \begin{align} & f( \boldsymbol{x} ) = \sum_{|\alpha|\leq k} \frac{D^\alpha f(\boldsymbol{a})}{\alpha!} (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})^\alpha + \sum_{|\beta|=k+1} R_\beta(\boldsymbol{x})(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})^\beta, \\ & R_\beta( \boldsymbol{x} ) = \frac{|\beta|}{\beta!} \int_0^1 (1-t)^{|\beta|-1}D^\beta f \big(\boldsymbol{a}+t( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a} )\big) \, dt. \end{align} $$ इस मामले में, कॉम्पैक्ट सेट बी में (k+1)-वें क्रम के आंशिक डेरिवेटिव के निरंतर कार्य के कारण, व्यक्ति को तुरंत एक समान अनुमान प्राप्त होता है

$$ \left|R_\beta(\boldsymbol{x})\right| \leq \frac{1}{\beta!} \max_{|\alpha|=|\beta|} \max_{\boldsymbol{y}\in B} |D^\alpha f(\boldsymbol{y})|, \qquad \boldsymbol{x}\in B. $$

दो आयामों में उदाहरण
उदाहरण के लिए, एक सुचारु फलन f: 'R' का तृतीय-क्रम टेलर बहुपद2 → 'R', 'x' को दर्शाता है − 'a' = 'v',

$$ \begin{align} P_3(\boldsymbol{x}) = f ( \boldsymbol{a} ) + {} &\frac{\partial f}{\partial x_1}( \boldsymbol{a} ) v_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}( \boldsymbol{a} ) v_2 + \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}( \boldsymbol{a} ) \frac {v_1^2}{2!} + \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2}( \boldsymbol{a} ) v_1 v_2 + \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}( \boldsymbol{a} ) \frac{v_2^2}{2!}  \\ & + \frac{\partial^3 f}{\partial x_1^3}( \boldsymbol{a} ) \frac{v_1^3}{3!} + \frac{\partial^3 f}{\partial x_1^2 \partial x_2}( \boldsymbol{a} ) \frac{v_1^2 v_2}{2!} + \frac{\partial^3 f}{\partial x_1 \partial x_2^2}( \boldsymbol{a} ) \frac{v_1 v_2^2}{2!} + \frac{\partial^3 f}{\partial x_2^3}( \boldsymbol{a} ) \frac{v_2^3}{3!} \end{align}$$

एक वास्तविक चर में टेलर के प्रमेय का प्रमाण
होने देना

$$ h_k(x) = \begin{cases} \frac{f(x) - P(x)}{(x-a)^k} & x\not=a\\ 0&x=a \end{cases} $$ जहां, जैसा कि टेलर के प्रमेय के कथन में है,

$$ P(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.$$ ये दिखाने के लिए काफी है

$$ \lim_{x\to a} h_k(x) =0. $$ यहां प्रमाण एल'हॉपिटल के नियम के बार-बार लागू होने पर आधारित है। ध्यान दें, प्रत्येक के लिए $j=0,1,...,k-1$, $$f^{(j)}(a)=P^{(j)}(a)$$. इसलिए पहले में से प्रत्येक $k-1$ अंश के व्युत्पन्न $$h_k(x)$$ पर गायब हो जाता है $$x=a$$, और यही बात हर के बारे में भी सच है। इसके अलावा, शर्त यह है कि फ़ंक्शन $f$  होना $k$  एक बिंदु पर भिन्न-भिन्न समय के लिए क्रमानुसार भिन्नता की आवश्यकता होती है $k-1$  उक्त बिंदु के पड़ोस में (यह सच है, क्योंकि भिन्नता के लिए एक बिंदु के पूरे पड़ोस में एक फ़ंक्शन को परिभाषित करने की आवश्यकता होती है), अंश और उसका $k-2$  व्युत्पन्न पड़ोस में भिन्न होते हैं $a$. स्पष्ट रूप से, हर भी उक्त शर्त को पूरा करता है, और इसके अतिरिक्त, जब तक गायब नहीं होता है $x=a$, इसलिए एल'हॉपिटल के नियम के लिए आवश्यक सभी शर्तें पूरी की जाती हैं, और इसका उपयोग उचित है। इसलिए

$$\begin{align} \lim_{x\to a} \frac{f(x) - P(x)}{(x-a)^k} &= \lim_{x\to a} \frac{\frac{d}{dx}(f(x) - P(x))}{\frac{d}{dx}(x-a)^k} = \cdots = \lim_{x\to a} \frac{\frac{d^{k-1}}{dx^{k-1}}(f(x) - P(x))}{\frac{d^{k-1}}{dx^{k-1}}(x-a)^k}\\ &=\frac{1}{k!}\lim_{x\to a} \frac{f^{(k-1)}(x) - P^{(k-1)}(x)}{x-a}\\ &=\frac{1}{k!}(f^{(k)}(a) - f^{(k)}(a)) = 0 \end{align}$$ जहां दूसरी अंतिम समानता व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार होती है $ x=a$.

एक वास्तविक चर में टेलर के प्रमेय के लिए वैकल्पिक प्रमाण
होने देना $$f(x)$$ टेलर बहुपद द्वारा अनुमानित किया जाने वाला कोई भी वास्तविक-मूल्यवान, निरंतर, कार्य हो।

चरण 1: चलो $F$ और $G$  कार्य हो. तय करना $F$ और $G$  होना

$$\begin{align} F(x) = f(x) - \sum^{n-1}_{k=0} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k} \end{align}$$

$$\begin{align} G(x) = (x-a)^{n} \end{align}$$ चरण 2: के गुण $F$ और $G$ :

$$\begin{align} F(a) & = f(a) - f(a) - f'(a)(a - a) - ... - \frac{f^{(n-1)}(a)(a-a)^{n-1}}{(n-1)!} = 0 \\ G(a) & = (a-a)^n = 0 \end{align}$$ इसी प्रकार,

$$\begin{align} F'(a) = f'(a) - f'(a) - \frac{2f''(a)(a-a)}{1!} - ... - \frac{f^{(n-2)}(a)(n-1)(a-a)^{n-2}}{(n-1)!} = 0 \end{align}$$

$$\begin{align} G'(a) &= n(a-a)^{n-1} = 0\\ &\qquad \vdots\\ G^{(n-1)}(a) &= F^{(n-1)}(a) = 0 \end{align}$$ चरण 3: कॉची माध्य मान प्रमेय का उपयोग करें

होने देना $$f_{1}$$ और $$g_{1}$$ निरंतर कार्य चालू रहें $$[a, b]$$. तब से $$a < x < b$$ इसलिए हम अंतराल के साथ काम कर सकते हैं $$[a, x]$$. होने देना $$f_{1}$$ और $$g_{1}$$ पर भिन्न होना $$(a, x)$$. मान लीजिए $$g_{1}'(x) \neq 0$$ सभी के लिए $$x \in (a, b)$$. तभी अस्तित्व है $$c_{1} \in (a, x)$$ ऐसा है कि

$$\begin{align} \frac{f_{1}(x) - f_{1}(a)}{g_{1}(x) - g_{1}(a)} = \frac{f_{1}'(c_{1})}{g_{1}'(c_{1})} \end{align}$$ टिप्पणी: $$G'(x) \neq 0$$ में $$(a, b)$$ और $$F(a), G(a) = 0$$ इसलिए

$$\begin{align} \frac{F(x)}{G(x)} = \frac{F(x) - F(a)}{G(x) - G(a)} = \frac{F'(c_{1})}{G'(c_{1})} \end{align}$$ कुछ के लिए $$c_{1} \in (a, x)$$.

इसके लिए भी प्रदर्शन किया जा सकता है $$(a, c_{1})$$:

$$\begin{align} \frac{F'(c_{1})}{G'(c_{1})} = \frac{F'(c_{1}) - F'(a)}{G'(c_{1}) - G'(a)} = \frac{F(c_{2})}{G(c_{2})} \end{align}$$ कुछ के लिए $$c_{2} \in (a, c_{1})$$. इसे जारी रखा जा सकता है $$c_{n}$$.

इससे एक विभाजन मिलता है $$(a, b)$$:

$$\begin{align} a < c_{n} < c_{n-1} < ... < c_{1} < x \end{align}$$ साथ

$$\begin{align} \frac{F(x)}{G(x)} = \frac{F'(c_{1})}{G'(c_{1})} = ... = \frac{F^{(n)}(c_{n})}{G^{(n)}(c_{n})} \end{align}.$$ तय करना $$c = c_{n}$$:

$$\begin{align} \frac{F(x)}{G(x)} = \frac{F^{(n)}(c)}{G^{(n)}(c)} \end{align}$$ चरण 4: वापस स्थानापन्न करें

$$\begin{align} \frac{F(x)}{G(x)} = \frac{f(x) - \sum^{n-1}_{k=0} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}}{(x-a)^{n}} = \frac{F^{(n)}(c)}{G^{(n)}(c)} \end{align}$$ घात नियम के अनुसार, बार-बार व्युत्पन्न $$(x - a)^{n}$$, $$G^{(n)}(c) = n(n-1)...1$$, इसलिए:

$$\begin{align} \frac{F^{(n)}(c)}{G^{(n)}(c)} = \frac{f^{(n)}(c)}{n(n-1)...1} = \frac{f^{(n)}(c)}{n!} \end{align}.$$ इससे ये होता है:

$$\begin{align} f(x) - \sum^{n-1}_{k=0} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k} = \frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-a)^{n} \end{align}.$$ पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$\begin{align} f(x) = \sum^{n-1}_{k=0} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k} + \frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-a)^{n} \end{align},$$ या क्योंकि $$c_{n} = a$$ अंततः:

$$\begin{align} f(x) = \sum^{n}_{k=0} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k} \end{align}.$$

शेषफल के माध्य मान रूपों की व्युत्पत्ति
मान लीजिए कि G कोई वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन है, जो बीच के बंद अंतराल पर निरंतर है $a$ और $x$  और बीच के खुले अंतराल पर एक गैर-लुप्त होने वाले व्युत्पन्न के साथ भिन्न $a$  और $x$, और परिभाषित करें

$$ F(t) = f(t) + f'(t)(x-t) + \frac{f''(t)}{2!}(x-t)^2 + \cdots + \frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k. $$ के लिए $$ t \in [a,x] $$. फिर, माध्य मान प्रमेय द्वारा#कॉची का माध्य मान प्रमेय|कॉची का माध्य मान प्रमेय,

कुछ के लिए $\xi$ के बीच खुले अंतराल पर $a$  और $x$. ध्यान दें कि यहाँ अंश है $F(x)-F(a)=R_k(x)$ टेलर बहुपद का बिल्कुल शेष भाग है $y=f(x)$. गणना करना

$$\begin{align} F'(t) = {} & f'(t) + \big(f''(t)(x-t) - f'(t)\big) + \left(\frac{f^{(3)}(t)}{2!}(x-t)^2 - \frac{f^{(2)}(t)}{1!}(x-t)\right) +  \cdots \\ & \cdots + \left( \frac{f^{(k+1)}(t)}{k!}(x-t)^k - \frac{f^{(k)}(t)}{(k-1)!}(x-t)^{k-1}\right) = \frac{f^{(k+1)}(t)}{k!}(x-t)^k, \end{align}$$ इसे प्लग इन करें ($$) और उसे खोजने के लिए शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करें

$$ R_k(x) = \frac{f^{(k+1)}(\xi)}{k!}(x-\xi)^k \frac{G(x)-G(a)}{G'(\xi)}.$$ यह टेलर के प्रमेय के वास्तविक कथन के बाद माध्य मान रूप में शेषफल के साथ उल्लिखित शेष पद का रूप है। शेषफल का लैग्रेंज रूप चुनने पर ज्ञात होता है $$ G(t) = (x-t)^{k+1} $$ और चुनकर कॉची फॉर्म $$ G(t) = t-a$$.

टिप्पणी। इस विधि का प्रयोग करके शेषफल का पूर्णांक रूप भी चुनकर प्राप्त किया जा सकता है

$$ G(t) = \int_a^t \frac{f^{(k+1)}(s)}{k!} (x-s)^k \, ds,$$ लेकिन माध्य मान प्रमेय के उपयोग के लिए आवश्यक एफ की आवश्यकताएं बहुत मजबूत हैं, यदि कोई इस मामले में दावे को साबित करने का लक्ष्य रखता है कि एफ केवल पूर्णतया सतत है। हालाँकि, यदि कोई लेबेस्ग इंटीग्रल के बजाय रीमैन इंटीग्रल का उपयोग करता है, तो धारणाओं को कमजोर नहीं किया जा सकता है।

शेषफल के पूर्णांक रूप की व्युत्पत्ति
एफ के बिल्कुल निरंतर होने के कारण के बीच बंद अंतराल पर $a$ और $x$  इसका व्युत्पन्न एफ एल के रूप में मौजूद है1-फ़ंक्शन, और हम कलन के मौलिक प्रमेय और भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग कर सकते हैं। यही प्रमाण रीमैन इंटीग्रल के लिए लागू होता है, यह मानते हुए कि एफ बंद अंतराल पर निरंतर कार्य है और खुले अंतराल पर अवकलनीय कार्य है $a$  और $x$, और यह माध्य मान प्रमेय का उपयोग करने की तुलना में समान परिणाम की ओर ले जाता है।

कैलकुलस का मौलिक प्रमेय यह बताता है

$$ f(x)=f(a)+ \int_a^x \, f'(t) \, dt.$$ अब हम भागों द्वारा एकीकरण कर सकते हैं और इसे देखने के लिए कैलकुलस के मौलिक प्रमेय का फिर से उपयोग कर सकते हैं

$$ \begin{align} f(x) &= f(a)+\Big(xf'(x)-af'(a)\Big)-\int_a^x tf''(t) \, dt \\ &= f(a) + x\left(f'(a) + \int_a^x f(t) \,dt \right) -af'(a)-\int_a^x tf(t) \, dt \\ &= f(a)+(x-a)f'(a)+\int_a^x \, (x-t)f''(t) \, dt, \end{align} $$ जो बिल्कुल टेलर का प्रमेय है और k=1 मामले में शेषफल अभिन्न रूप में है। सामान्य कथन को गणितीय प्रेरण का उपयोग करके सिद्ध किया जाता है। लगता है कि

शेष पद को भागों द्वारा एकीकृत करते हुए हम जिस पर पहुंचते हैं

$$\begin{align} \int_a^x \frac{f^{(k+1)} (t)}{k!} (x - t)^k \, dt = & - \left[ \frac{f^{(k+1)} (t)}{(k+1)k!} (x - t)^{k+1} \right]_a^x + \int_a^x \frac{f^{(k+2)} (t)}{(k+1)k!} (x - t)^{k+1} \, dt \\ = & \ \frac{f^{(k+1)} (a)}{(k+1)!} (x - a)^{k+1} + \int_a^x \frac{f^{(k+2)} (t)}{(k+1)!} (x - t)^{k+1} \, dt. \end{align}$$ इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करना in ($$) दर्शाता है कि यदि यह मान k के लिए है, तो इसे मान k + 1 के लिए भी धारण करना चाहिए। इसलिए, चूंकि यह k = 1 के लिए है, इसलिए इसे प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक k के लिए भी धारण करना चाहिए।

बहुभिन्नरूपी टेलर बहुपदों के शेषफल के लिए व्युत्पत्ति
हम विशेष मामला सिद्ध करते हैं, जहां f : 'R'n → 'R' में केंद्र 'a' के साथ कुछ बंद गेंद B में k+1 क्रम तक निरंतर आंशिक व्युत्पन्न होते हैं। प्रमाण की रणनीति टेलर के प्रमेय के एक-चर मामले को 'x' और 'a' से सटे रेखा खंड पर f के प्रतिबंध पर लागू करना है। a और x के बीच रेखा खंड को u(t) = द्वारा पैरामीट्रिज करें a + t(x − a). हम फ़ंक्शन पर टेलर के प्रमेय का एक-चर संस्करण लागू करते हैं g(t) = f(u(t)):

$$ f(\boldsymbol{x})=g(1)=g(0)+\sum_{j=1}^k\frac{1}{j!}g^{(j)}(0)\ +\ \int_0^1 \frac{(1-t)^k }{k!} g^{(k+1)}(t)\, dt.$$ कई चरों के लिए श्रृंखला नियम लागू करने से लाभ मिलता है

$$\begin{align} g^{(j)}(t)&=\frac{d^j}{dt^j}f(u(t))\\ &= \frac{d^j}{dt^j} f(\boldsymbol{a}+t(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}))\\ &= \sum_{|\alpha| =j} \left(\begin{matrix} j\\ \alpha\end{matrix} \right) (D^\alpha f) (\boldsymbol{a}+t(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})) (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})^\alpha \end{align}$$ कहाँ $$\tbinom j \alpha$$ बहुपद गुणांक है. तब से $$\tfrac{1}{j!}\tbinom j \alpha=\tfrac{1}{\alpha!}$$, हम पाते हैं:

$$ f(\mathbf x)= f(\mathbf a) + \sum_{1 \leq |\alpha| \leq k}\frac{1}{\alpha!} (D^\alpha f) (\mathbf a)(\mathbf x-\mathbf a)^\alpha+\sum_{|\alpha|=k+1}\frac{k+1}{\alpha!} (\mathbf x-\mathbf a)^\alpha \int_0^1 (1-t)^k (D^\alpha f)(\mathbf a+t(\mathbf x-\mathbf a))\,dt.$$

बाहरी संबंध

 * Taylor Series Approximation to Cosine at cut-the-knot
 * Trigonometric Taylor Expansion interactive demonstrative applet
 * Taylor Series Revisited at Holistic Numerical Methods Institute