विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत

गणित में, विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत संख्या सिद्धांत की एक शाखा है जो गणितीय विश्लेषण से विधियों का उपयोग करते हुए  पूर्णांकों की समस्याओं को हल करती है। यह अक्सर कहा जाता है कि पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट के 1837 में, समान्तर श्रेणी पर डिरिचलेट के प्रमेय का पहला प्रमाण देने के लिए, डिरिचलेट एल-फलन की प्रस्तावना के साथ शुरू हुआ था। यह अभाज्य संख्याओं (अभाज्य संख्या प्रमेय और रीमैन ज़ीटा फलन को शामिल करते हुए) और योगात्मक संख्या सिद्धांत (जैसे गोल्डबैक अनुमान और वारिंग की समस्या) पर अपने परिणामों के लिए जाना जाता है।

विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत की शाखाएँ
विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत को दो प्रमुख भागों में विभाजित किया जा सकता है, तकनीक में मूलभूत अंतर की तुलना में वे जिस प्रकार की समस्याओं को हल करने का प्रयास करते हैं, उससे अधिक विभाजित होते हैं।
 * गुणात्मक संख्या सिद्धांत अभाज्य संख्याओं के वितरण से संबंधित है, जैसे कि एक अंतराल में अभाज्य संख्याओं की संख्या का अनुमान लगाना, और इसमें अभाज्य संख्या प्रमेय और समान्तर श्रेणी में अभाज्य संख्याओं पर डिरिचलेट प्रमेय शामिल है।
 * योगात्मक संख्या सिद्धांत का संबंध पूर्णांकों की योगात्मक संरचना से होता है, जैसे कि गोल्डबैक का अनुमान है कि 2 से अधिक प्रत्येक सम संख्या दो अभाज्य संख्याओं का योग होती है। वारिंग की समस्या का हल योगात्मक संख्या सिद्धांत के  मुख्य परिणामों में से एक है।

अग्रदूत
विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत का अधिकांश भाग अभाज्य संख्या प्रमेय से प्रेरित होता है। मान लीजिए (x) अभाज्य-गणना फलन है जो किसी भी वास्तविक संख्या x के लिए, x से कम या उसके बराबर अभाज्य संख्याओं की संख्या प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, π(10) = 4 क्योंकि चार अभाज्य संख्याएँ (2, 3, 5 और 7) 10 से कम या उसके बराबर हैं। अतः अभाज्य संख्या प्रमेय के अनुसार x / ln(x), π(x) के लिए एक अच्छा सन्निकटन है, इस अर्थ में कि दो फलनों (x) और x / ln(x) के भागफल की सीमा जैसे ही x अनंत की ओर बढ़ने पर 1 होती है:


 * $$\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)}{x/\ln(x)}=1,$$

अभाज्य संख्याओं के वितरण का स्पर्शोन्मुख नियम कहलाता है।

एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे ने 1797 या 1798 में अनुमान लगाया कि π(a) फलन a/(A ln(a) + B) द्वारा अनुमानित है, जहां A और B अनिर्दिष्ट स्थिरांक हैं। संख्या सिद्धांत (1808) पर अपनी पुस्तक के दूसरे संस्करण में उन्होंने A = 1 और B -1.08366 के साथ एक अधिक सटीक अनुमान लगाया। कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने एक ही प्रश्न पर विचार किया: "आईएम ज़ैर 1792 या 1793", अपने स्वयं के स्मरण के अनुसार लगभग साठ साल बाद एन्के (1849) को उन्होंने एक पत्र में अपनी लघुगणक तालिका में (वह उस समय 15 या 16 वर्ष के थे) "प्रिमज़ाहलेन अनटर $$a(=\infty) \frac a{\ln a}$$" संक्षिप्त नोट लिखा। लेकिन गॉस ने कभी भी इस अनुमान को प्रकाशित नहीं किया। 1838 में पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट अपने स्वयं के अनुमानित कार्य, लघुगणकीय अभिन्न li (x) (श्रृंखला के थोड़े अलग रूप के तहत, जिसे उन्होंने गॉस को बताया) के साथ आए। लीजेंड्रे और डिरिचलेट के दोनों सूत्र ऊपर बताए गए π(x) और x / ln(x) के समान अनुमानित अनंतस्पर्शी तुल्यता का संकेत देते हैं, हालांकि यह पता चला है कि डिरिचलेट का सन्निकटन काफी बेहतर है यदि कोई भागफल के बजाय अंतरों पर विचार करता है।

डिरिचलेट
जॉन पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट को विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत के निर्माण का श्रेय दिया जाता है, ऐसा क्षेत्र जिसमें उन्होंने कई गंभीर परिणाम पाए और उन्हें प्रमाणित करने में कुछ मुख्य उपकरण पेश किए, जिनमें से कई बाद में उनके नाम पर रखे गए। 1837 में उन्होंने समांतर श्रेणी पर डिरिचलेट के प्रमेय को प्रकाशित किया, बीजगणितीय समस्या से निपटने के लिए गणितीय विश्लेषण अवधारणाओं का उपयोग करके और इस प्रकार विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत की शाखा का निर्माण किया। प्रमेय को सिद्ध करने में, उन्होंने डिरिचलेट वर्णों और L-फलन का परिचय दिया। 1841 में उन्होंने अपने समांतर श्रेणी प्रमेय को पूर्णांकों से गौसीय पूर्णांकों $$\mathbb{Z}[i]$$ के वलय तक सामान्यीकृत किया।

चेबिशेव
1848 और 1850 के दो पत्रों में, रूसी गणितज्ञ पफनटी ल'वोविच चेबीशेव ने अभाज्य संख्याओं के वितरण के स्पर्शोन्मुख नियम को सिद्ध करने का प्रयास किया। उनका काम ज़ीटा फलन ζ(s) (तर्क "s" के वास्तविक मूल्यों के लिए, जैसा कि 1737 की शुरुआत में लियोनहार्ड यूलर के काम हैं) के उपयोग के लिए उल्लेखनीय है, जो 1859 के रीमैन के प्रसिद्ध संस्मरण से पहले का है, और वह स्पर्शोन्मुख नियम के थोड़े कमजोर रूप को प्रमाणित करने में सफल रहा, अर्थात्, यदि π(x)/(x/ln(x)) की सीमा x के रूप में अनंत तक जाती है, तो यह आवश्यक रूप से एक के बराबर होता है। वह अप्रतिबंधित रूप से प्रमाणित करने में सक्षम था कि यह अनुपात सभी x के लिए 1 के करीब स्पष्ट रूप से दिए गए दो स्थिरांक से ऊपर और नीचे से घिरा है। हालांकि चेबीशेव का प्रमाण पत्र अभाज्य संख्या प्रमेय को प्रमाणित नहीं करता, π(x) के लिए उनके अनुमान बर्ट्रेंड के इस अभिधारणा को प्रमाणित करने के लिए पर्याप्त थे कि किसी भी पूर्णांक n ≥ 2 के लिए n और 2n के बीच एक अभाज्य संख्या उपस्थित होती है।

रीमैन
बर्नहार्ड रीमैन ने आधुनिक विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में कुछ प्रसिद्ध योगदान दिए हैं। एक छोटे से पेपर में (संख्या सिद्धांत के विषय पर उन्होंने केवल एक ही प्रकाशित किया था), उन्होंने रीमैन ज़ीटा फलन की जांच की और अभाज्य संख्याओं के वितरण को समझने के लिए इसके महत्व को स्थापित किया। उन्होंने ज़ीटा फलन के गुणों के बारे में कई अनुमान लगाए, जिनमें से एक प्रसिद्ध रीमैन परिकल्पना है।

हैडामार्ड और डे ला वेली-पौसिन
रीमैन के विचारों का विस्तार करते हुए, अभाज्य संख्या प्रमेय के दो प्रमाण स्वतंत्र रूप से जैक्स हैडामार्ड और चार्ल्स जीन डे ला वाली-पौसिन द्वारा प्राप्त किए गए और उसी वर्ष (1896) में दिखाई दिए। दोनों प्रमाणों ने जटिल विश्लेषण के तरीकों का उपयोग किया, इस प्रमाण के एक मुख्य चरण के रूप में स्थापित किया कि रीमैन ज़ीटा फलन ζ (s) चर s के सभी जटिल मूल्यों के लिए अशून्य है, जिसका रूप t > 0 के साथ s = 1 + it है।

आधुनिक समय
1950 के बाद सबसे बड़ा तकनीकी परिवर्तन चालनी विधि का विकास रहा है, विशेष रूप से बहुगुणित समस्याओं में। ये प्रकृति में सांयोगिक एवं काफी विविध होते हैं। संयोजक सिद्धांत की चरम शाखा बदले में मात्रात्मक ऊपरी और निचली सीमा पर विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में रखे गए मूल्य से काफी प्रभावित हुई है। एक अन्य आधुनिक विकास प्रायिकतात्मक संख्या सिद्धांत है, जो संख्या सैद्धांतिक कार्यों के वितरण का अनुमान लगाने के लिए प्रायिकता सिद्धांत से विधियों का उपयोग करता है, जैसे कि कितने अभाज्य भाजक एक संख्या है।

विशेष रूप से, क्षेत्र में यितांग झांग, जेम्स मेनार्ड, टेरेंस ताओ और बेन ग्रीन द्वारा की गई सफलताओं ने गोल्डस्टन-पिंट्ज़-यल्डिरम पद्धति का उपयोग किया है। जो वे मूल रूप से यह प्रमाणित करते कि

$$p_{n+1}-p_n \geq o(\log p_n).$$

विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत के विकास अक्सर पहले की तकनीकों के परिशोधन होते हैं, जो त्रुटि शर्तों को कम करते हैं और उनकी प्रयोज्यता को बढ़ाते हैं। उदाहरण के लिए, हार्डी और लिटिलवुड की वृत्त पद्धति को जटिल तल में एकक वृत्त के पास घात श्रेणी पर लागू करने के रूप में माना गया था, अब इसे परिमित घातांक राशि के रूप में माना जाता है (अर्थात, इकाई चक्र पर, लेकिन घात श्रेणी को छोटा कर दिया जाता है)। डायोफैंटाइन सन्निकटन की ज़रूरतें पूरक फलन के लिए होती है जो फलन उत्पन्न नहीं कर रहे हैं-उनके गुणांक एक कोष्ठ सिद्धांत के उपयोग से निर्मित होते हैं- और कई सम्मिश्र चर शामिल होते हैं। डायोफैंटाइन सन्निकटन और ज्ञानातीत्व (ट्रान्सेंडेंस) सिद्धांत के क्षेत्र का विस्तार हुआ है, इस बिंदु तक कि तकनीकों को मोर्डेल अनुमान पर लागू किया गया है।

समस्याएं और परिणाम
विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में प्रमेय और परिणाम पूर्णांकों के बारे में सटीक संरचनात्मक परिणाम नहीं होते हैं, जिसके लिए बीजीय और ज्यामितीय उपकरण अधिक उपयुक्त होते हैं। इसके बजाय, वे विभिन्न संख्या सैद्धांतिक कार्यों के लिए अनुमानित सीमा और अनुमान देते हैं, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण दिखाते हैं।

गुणक संख्या सिद्धांत
यूक्लिड ने दिखाया कि अपरिमित रूप से कई अभाज्य संख्याएँ होती हैं। अभाज्य संख्याओं के स्पर्शोन्मुख वितरण को निर्धारित करना एक महत्वपूर्ण प्रश्न है, अर्थात्, किसी दी गई संख्या से कितने अभाज्य संख्याएँ छोटी हैं, इसका एक मोटा विवरण। गॉस ने, दूसरों के बीच, अभाज्य संख्याओं की एक बड़ी सूची की गणना करने के बाद, अनुमान लगाया कि बड़ी संख्या N से कम या उसके बराबर अभाज्य संख्याओं की संख्या अभिन्न के मान के करीब है


 * $$\int^N_2 \frac{1}{\log t} \, dt.$$

1859 में बर्नहार्ड रीमैन ने वास्तविक संख्या x से कम या उसके बराबर अभाज्य संख्याओं के लिए एक विश्लेषणात्मक व्यंजक प्राप्त करने के लिए जटिल विश्लेषण और एक विशेष मेरोमॉर्फिक फलन का उपयोग किया जिसे अब रीमैन ज़ीटा फलन के रूप में जाना जाता है। उल्लेखनीय रूप से, रीमैन के सूत्र में मुख्य शब्द बिल्कुल उपरोक्त अभिन्न था, गॉस के अनुमान के लिए पर्याप्त भार देता है। रीमैन ने पाया कि इस अभिव्यक्ति में त्रुटि शब्द, और इसलिए जिस तरीके से अभाज्य वितरित किए जाते हैं, वे ज़ीटा फलन के जटिल शून्य से निकटता से संबंधित हैं। रीमैन के विचारों का उपयोग करते हुए और ज़ीटा फलन के शून्य के बारे में अधिक जानकारी प्राप्त करके, जैक्स हैडामार्ड और चार्ल्स जीन डे ला वेली-पॉसिन गॉस के अनुमान के प्रमाण को पूरा करने में सफल रहे। विशेष रूप से, उन्होंने प्रमाणित किया कि यदि
 * $$\pi(x) = (\text{number of primes }\leq x),$$

फिर


 * $$\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x/\log x} = 1.$$

इस उल्लेखनीय परिणाम को अब अभाज्य संख्या प्रमेय के रूप में जाना जाता है। विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में यह एक केंद्रीय परिणाम है। संक्षेप में, यह बताता है कि बड़ी संख्या में N दिया गया है, N से कम या उसके बराबर अभाज्य संख्याओं की संख्या लगभग N/log(N) है।

आम तौर पर, किसी भी पूर्णांक n के लिए किसी भी समान्तर श्रेणी a+nq में अभाज्य संख्याओं के बारे में एक ही प्रश्न पूछा जा सकता है। संख्या सिद्धांत के लिए विश्लेषणात्मक तकनीकों के पहले अनुप्रयोगों में से एक में, डिरिचलेट ने प्रमाणित किया कि a और q सह अभाज्य के साथ किसी भी समान्तर श्रेणी में असीम रूप से कई अभाज्य हैं। अभाज्य संख्या प्रमेय को इस समस्या के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है;
 * $$\pi(x, a, q) = (\text {number of primes } \leq x \text{ such that } p \text{ is in the arithmetic progression } a + nq, n \in \mathbf Z), $$

तब यदि a और q सह अभाज्य हैं,


 * $$\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x,a,q)\phi(q)}{x/\log x} = 1.$$

संख्या सिद्धांत में कई गंभीर और व्यापक अनुमान भी हैं जिनके प्रमाण वर्तमान तकनीकों के लिए बहुत कठिन प्रतीत होते हैं, जैसे कि युगल अभाज्य अनुमान जो पूछता है कि क्या असीम रूप से कई अभाज्य p हैं जैसे कि p + 2 अभाज्य है। इलियट-हैलबर्स्टम अनुमान की धारणा पर यह हाल ही में प्रमाणित हुआ है कि असीम रूप से कई अभाज्य p हैं जैसे कि p + k कुछ धनात्मक सम k के लिए अधिकतम 12 है। साथ ही, यह बिना शर्त सिद्ध किया गया है (अर्थात अप्रमाणित अनुमानों के आधार पर नहीं) कि असीम रूप से कई अभाज्य p ऐसे हैं कि p + k कुछ अधिकतम 246 पर धनात्मक सम k के लिए अभाज्य है।

योगात्मक संख्या सिद्धांत
योगात्मक संख्या सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण समस्याओं में से एक वारिंग की समस्या है, जो पूछती है कि क्या किसी भी k ≥ 2 के लिए, k घात की सीमित संख्या के योग के रूप में किसी भी धनात्मक पूर्णांक को लिखना संभव है,


 * $$n=x_1^k+\cdots+x_\ell^k.$$

वर्गों के लिए स्थिति, k = 2, का उत्तर लैग्रेंजे ने 1770 में दिया, जिन्होंने प्रमाणित किया कि प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक अधिकतम चार वर्गों का योग होता है। 1909 में हिल्बर्ट ने बीजगणितीय तकनीकों का उपयोग करते हुए सामान्य स्थिति को प्रमाणित किया, जिसमें कोई स्पष्ट सीमा नहीं थी। महत्वपूर्ण सफलता हार्डी और लिटिलवुड द्वारा समस्या के लिए विश्लेषणात्मक उपकरणों का अनुप्रयोग था। इन तकनीकों को वृत्त विधि के रूप में जाना जाता है, और फलन G(k) के लिए स्पष्ट ऊपरी सीमाएं प्रदान करते हैं, जो कि विनोग्रादोव की बाध्यता के रूप में आवश्यक k घात की न्यूनतम संख्या है।


 * $$G(k)\leq k(3\log k+11).$$

डायोफेंटाइन समस्याएं
डायोफैंटाइन की समस्याएं बहुपद समीकरणों के पूर्णांक समाधानों से संबंधित हैं: कोई समाधान के वितरण का अध्ययन कर सकता है, अर्थात, "आकार" या ऊंचाई के कुछ माप के अनुसार समाधान की गणना कर सकता है।

एक महत्वपूर्ण उदाहरण गॉस वृत्त समस्या है, जो पूर्णांक बिंदुओं (x y) के लिए पूछता है जो संतुष्ट करते हैं
 * $$x^2+y^2\leq r^2.$$

ज्यामितीय शब्दों में, त्रिज्या r के साथ तल में मूल बिंदु के इतस्ततः केंद्रित एक वृत्त दिया गया है, समस्या पूछती है कि कितने पूर्णांक जलक बिंदु वृत्त पर या उसके अंदर स्थित होते हैं। यह सिद्ध करना कठिन नहीं है कि उत्तर $$\pi r^2 + E(r)$$ है, जहाँ $$E(r)/r^2 \to 0$$, $$r \to \infty$$ है। फिर से, विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत का कठिन हिस्सा और एक बड़ी उपलब्धि त्रुटि शब्द E(r) पर विशिष्ट ऊपरी सीमा प्राप्त करना है।

गॉस के द्वारा $$ E(r) = O(r)$$ प्राप्त किया गया। सामान्य तौर पर, इकाई वृत्त (या, अधिक ठीक से, संकुचित एकक डिस्क) के साथ O(r) त्रुटि शब्द संभव होगा, जिसे किसी भी बंधे हुए समतलीय क्षेत्र के खंडशः चिकनी सीमा के साथ बदल दिया जाएगा। इसके अलावा, इकाई वृत्त को इकाई वर्ग द्वारा प्रतिस्थापित करते हुए, सामान्य समस्या के लिए त्रुटि शब्द r के रैखिक फलन जितना बड़ा हो सकता है।इसलिए, वृत्त की स्थिति में कुछ $$\delta < 1$$ के लिए $$O(r^{\delta})$$ रूप की त्रुटि सीमा प्राप्त करना एक महत्वपूर्ण सुधार है। इसे प्राप्त करने वाले पहले व्यक्ति 1906 में सिएरपिंस्की थे, जिन्होंने $$ E(r) = O(r^{2/3})$$ दिखाया। 1915 में, हार्डी और लैंडौ प्रत्येक ने दिखाया कि एक के पास $$E(r) = O(r^{1/2})$$ नहीं है। तब से लक्ष्य यह दिखाना रहा है कि प्रत्येक निश्चित $$\epsilon > 0$$ के लिए वास्तविक संख्या $$C(\epsilon)$$ मौजूद है जैसे कि $$E(r) \leq C(\epsilon) r^{1/2 + \epsilon}$$।

2000 में हक्सले ने उस $$E(r) = O(r^{131/208})$$ को दिखाया, जो सबसे अच्छा प्रकाशित परिणाम है।

डिरिचलेट श्रृंखला
गुणक संख्या सिद्धांत में सबसे उपयोगी उपकरणों में से एक डिरिचलेट श्रृंखला है, जो कि फॉर्म की एक अनंत श्रृंखला द्वारा परिभाषित समिश्र चर के फलन हैं।


 * $$f(s)=\sum_{n=1}^\infty a_nn^{-s}.$$

गुणांक $$a_n$$ की पसंद के आधार पर, यह श्रृंखला हर जगह, कहीं भी, या किसी अर्ध तल पर परिवर्तित हो सकती है। कई स्थितियों में, यहां तक ​​कि जहां श्रृंखला हर जगह अभिसरण नहीं करती है, पूर्णसममितिक (होलोमोर्फिक) फलन जो इसे परिभाषित करता है, विश्लेषणात्मक रूप से पूरे सम्मिश्र समतल पर एक मेरोमोर्फिक फलन के लिए जारी रह सकता है। गुणनात्मक समस्याओं में इस प्रकार के फलनों की उपयोगिता औपचारिक पहचान में देखी जा सकती है


 * $$\left(\sum_{n=1}^\infty a_nn^{-s}\right)\left(\sum_{n=1}^\infty b_nn^{-s}\right)=\sum_{n=1}^\infty\left(\sum_{k\ell=n}a_kb_\ell\right)n^{-s};$$

इसलिए दो डिरिचलेट श्रृंखला के गुणनफल के गुणांक मूल गुणांकों के गुणनात्मक संकल्प हैं I इसके अलावा, डिरिचलेट श्रृंखला के बारे में विश्लेषणात्मक जानकारी से गुणांकों के बारे में जानकारी प्राप्त करने के लिए आंशिक योग और टौबेरियन प्रमेय जैसी तकनीकों का उपयोग किया जाता है। इस प्रकार एक गुणक फलन का आकलन करने के लिए एक सामान्य तरीका यह है कि इसे एक डिरिचलेट श्रृंखला (या सरल डिरिचलेट श्रृंखला के उत्पाद के रूप में संवलन पहचान का उपयोग करके) के रूप में व्यक्त किया जाए, इस श्रृंखला को एक जटिल फलन के रूप में जांचें और फिर इस विश्लेषणात्मक जानकारी को मूल फलन के बारे में जानकारी में परिवर्तित करें।

रीमैन ज़ीटा फलन
यूलर ने दिखाया कि अंकगणित के मूल प्रमेय का अर्थ है (कम से कम औपचारिक रूप से) यूलर गुणनफल
 * $$ \sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n^s} = \prod_p^\infty \frac {1}{1-p^{-s}}\text{ for }s > 1$$

जहां गुणनफल को सभी अभाज्य संख्याओं p पर लिया जाता है।

अभाज्य संख्याओं की अनंतता का यूलर का प्रमाण s = 1 (तथाकथित हार्मोनिक श्रृंखला) के लिए बाईं ओर के शब्द के विचलन का उपयोग करता है, जो एक विशुद्ध विश्लेषणात्मक परिणाम है। यूलर भी सबसे पहले विश्लेषणात्मक तर्कों का उपयोग पूर्णांकों के गुणों का अध्ययन करने के उद्देश्य से किया गया था, विशेष रूप से बिजली श्रृंखला बनाने के द्वारा। यह विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत की शुरुआत थी।

बाद में, रीमैन ने s के जटिल मानों के लिए इस फलन पर विचार किया और दिखाया कि इस फलन को s = 1 पर एक साधारण ध्रुव के साथ पूरे तल पर एक मेरोमॉर्फिक फलन तक बढ़ाया जा सकता है। इस फलन को अब रीमैन ज़ीटा फलन के रूप में जाना जाता है और इसे ζ (s) द्वारा निरूपित किया जाता है। इस समारोह पर साहित्य की अधिकता है और यह कार्य अधिक सामान्य डिरिचलेट एल-फ़ंक्शंस का एक विशेष मामला है।

विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांतवादी अक्सर अनुमानों की त्रुटि में रुचि रखते हैं जैसे कि अभाज्य संख्या प्रमेय। इस मामले में, त्रुटि x/log x से छोटी है। Π (x) के लिए रीमैन का सूत्र दर्शाता है कि इस सन्निकटन में त्रुटि पद को ज़ीटा फलन के शून्यों के पदों में व्यक्त किया जा सकता है। अपने 185 9 के पेपर में, रीमैन ने अनुमान लगाया कि ζ के सभी "गैर-तुच्छ" शून्य रेखा $$ \Re(s) = 1/2 $$ पर स्थित हैं लेकिन इस कथन का सबूत कभी नहीं दिया। इस प्रसिद्ध और लंबे समय से चली आ रही धारणा को रीमैन परिकल्पना के रूप में जाना जाता है और संख्या सिद्धांत में इसके कई गहरे निहितार्थ हैं; वास्तव में, कई महत्वपूर्ण प्रमेय इस धारणा के तहत सिद्ध हुए हैं कि परिकल्पना सत्य है। उदाहरण के लिए, रीमैन हाइपोथिसिस की धारणा के तहत, अभाज्य संख्या प्रमेय में त्रुटि शब्द $ O(x^{1/2+\varepsilon})$ है।

20वीं सदी की शुरुआत में जी.एच. हार्डी और लिटलवुड ने रीमैन परिकल्पना को प्रमाणित करने के प्रयास में ज़ीटा फलन के बारे में कई परिणाम प्रमाणित किए। वास्तव में, 1914 में, हार्डी ने प्रमाणित कर दिया कि क्रिटिकल लाइन पर ज़ीटा फलन के असीमित कई शून्य थे।
 * $$ \Re(z) = 1/2. $$

इसके कारण क्रांतिक रेखा पर शून्यों के घनत्व का वर्णन करने वाले कई प्रमेयों का जन्म हुआ।

यह भी देखें

 * स्वसमाकृतिक (ऑटोमोर्फिक) L-फलन
 * स्वसमाकृतिक रूप
 * लैंगलैंड्स कार्यक्रम
 * मैयर की आव्यूह विधि

अग्रिम पठन

 * Ayoub, Introduction to the Analytic Theory of Numbers
 * H. L. Montgomery and R. C. Vaughan, Multiplicative Number Theory I : Classical Theory
 * H. Iwaniec and E. Kowalski, Analytic Number Theory.
 * D. J. Newman, Analytic number theory, Springer, 1998

On specialized aspects the following books have become especially well-known:


 * H. Halberstam and H. E. Richert, Sieve Methods
 * R. C. Vaughan, The Hardy–Littlewood method, 2nd. edn.
 * R. C. Vaughan, The Hardy–Littlewood method, 2nd. edn.

Certain topics have not yet reached book form in any depth. Some examples are (i) Montgomery's pair correlation conjecture and the work that initiated from it, (ii) the new results of Goldston, pintz and Yilidrim on small gaps between primes, and (iii) the Green–Tao theorem showing that arbitrarily long arithmetic progressions of primes exist.