डायटोमिक अणुओं की समरूपता

भौतिकी और रसायन विज्ञान में आणविक समरूपता अणुओं में मौजूद समरूपता और उनकी समरूपता के अनुसार अणुओं के वर्गीकरण का वर्णन करती है। आणविक समरूपता भौतिकी और रसायन विज्ञान में क्वांटम यांत्रिकी के अनुप्रयोग में एक मौलिक अवधारणा है, उदाहरण के लिए इसका उपयोग अणु के कई गुणों की भविष्यवाणी या व्याख्या करने के लिए किया जा सकता है, जैसे कि इसका द्विध्रुवीय क्षण और इसके अनुमत स्पेक्ट्रोस्कोपी संक्रमण (चयन नियमों के आधार पर), सटीक कठोर गणना किए बिना (जो, कुछ मामलों में, संभव भी नहीं हो सकता है)। ऐसा करने के लिए अणु के समरूपता समूह की वर्ण तालिका से अलघुकरणीय अभ्यावेदन का उपयोग करके अणु की अवस्थाओं को वर्गीकृत करना आवश्यक है। सभी आणविक समरूपताओं के बीच, डायटोमिक अणु कुछ विशिष्ट विशेषताएं दिखाते हैं और उनका विश्लेषण करना अपेक्षाकृत आसान होता है।

समरूपता और समूह सिद्धांत
एक प्रणाली को नियंत्रित करने वाले भौतिक नियम आम तौर पर एक संबंध (समीकरण, अंतर समीकरण, अभिन्न समीकरण आदि) के रूप में लिखे जाते हैं। इस संबंध के संघटकों पर एक संक्रिया, जो संबंधों के रूप को अपरिवर्तित रखती है, समरूपता रूपांतरण या तंत्र की समरूपता कहलाती है। समरूपता क्वांटम यांत्रिकी में मौलिक रूप से महत्वपूर्ण अवधारणा है। यह संरक्षित मात्राओं की भविष्यवाणी कर सकता है और क्वांटम संख्या प्रदान कर सकता है। यह ईगेनवैल्यूज और ईजेनवेक्टरों की भविष्यवाणी कर सकता है और हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) के मैट्रिक्स तत्वों के बारे में उन्हें गणना किए बिना अंतर्दृष्टि देता है। व्यक्तिगत समरूपताओं को देखने के बजाय, कभी-कभी समरूपताओं के बीच सामान्य संबंधों को देखना अधिक सुविधाजनक होता है। यह पता चला है कि समूह सिद्धांत ऐसा करने का सबसे कारगर तरीका है।
 * इन समरूपता संचालन में बाहरी या आंतरिक समन्वय शामिल हो सकते हैं; ज्यामितीय या आंतरिक समरूपता को जन्म देना।
 * ये समरूपता संचालन वैश्विक या स्थानीय हो सकते हैं; वैश्विक या गेज समरूपता को जन्म देना।
 * ये समरूपता संचालन असतत या निरंतर हो सकते हैं।

समूह
एक समूह एक गणितीय संरचना है (आमतौर पर (जी, *) के रूप में दर्शाया जाता है) जिसमें एक सेट जी और एक बाइनरी ऑपरेशन शामिल होता है $$'*'$$ (कभी-कभी शिथिल रूप से 'गुणन' कहा जाता है), निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करते हैं: x,y\in G $$, उत्पाद$$
 * 1) बंद करें : तत्वों के प्रत्येक जोड़े के लिए $$

x*y\in G $$. x*e=e*x=x;\forall x\in G$$). x\in G $$$$ \text{ }\exists \text{ }y\in G $$ ऐसा है कि $$ x*y=y*x=e $$). \forall x,y\in G$$,$$ x*y=y*x $$, यानी संक्रिया क्रमविनिमेय में, तब समूह को एबेलियन समूह कहा जाता है। अन्यथा इसे एक गैर-अबेलियन समूह|गैर-अबेलियन समूह कहा जाता है।
 * 1) ' सहयोगता ': G में प्रत्येक x और y और z के लिए, दोनों (x*y)*z और x*(y*z) का परिणाम G में एक ही तत्व के साथ होता है (प्रतीकों में, $$(x*y)*z=x*(y*z)\forall x,y,z\in G$$).
 * 2) पहचान का अस्तित्व : G' में एक ऐसा तत्व होना चाहिए (जैसे e ) कि उत्पाद G' के किसी भी तत्व के साथ ''e' नहीं बने तत्व में परिवर्तन (प्रतीकों में,$$
 * 1) व्युत्क्रम का अस्तित्व : जी में प्रत्येक तत्व ( x ) के लिए, एक तत्व होना चाहिए y में जी' ऐसा होना चाहिए कि उत्पाद का उत्पाद 'x' और y' पहचान तत्व है e (प्रतीकों में, प्रत्येक के लिए $$
 * उपरोक्त चारों के अतिरिक्त यदि ऐसा होता है कि $$

समूह, समरूपता और संरक्षण
हैमिल्टनियन के सभी समरूपता परिवर्तनों के सेट में एक समूह की संरचना होती है, जिसमें समूह गुणन एक के बाद एक परिवर्तनों को लागू करने के बराबर होता है। समूह तत्वों को मैट्रिसेस के रूप में दर्शाया जा सकता है, ताकि समूह संचालन सामान्य मैट्रिक्स गुणन बन जाए। क्वांटम यांत्रिकी में, राज्यों के मनमाने सुपरपोजिशन का विकास एकात्मक संचालकों द्वारा दिया जाता है, इसलिए समरूपता समूहों के प्रत्येक तत्व एकात्मक संचालक हैं। अब किसी भी एकात्मक संकारक को कुछ हर्मिटियन ऑपरेटर के घातांक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। तो, संबंधित हर्मिटियन ऑपरेटर समरूपता समूह के 'जनरेटर' हैं। ये एकात्मक परिवर्तन हैमिल्टनियन ऑपरेटर पर कुछ हिल्बर्ट अंतरिक्ष में इस तरह से कार्य करते हैं कि हैमिल्टन परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तित रहता है। दूसरे शब्दों में, समरूपता संचालक हैमिल्टनियन के साथ आवागमन करते हैं। यदि $$U$$ एकात्मक समरूपता ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करता है और हैमिल्टनियन $$H$$ पर कार्य करता है, तो

इन ऑपरेटरों के पास समूह के उपर्युक्त गुण हैं: इसलिए, एक प्रणाली की समरूपता से हमारा तात्पर्य ऑपरेटरों के एक समूह से है, जिनमें से प्रत्येक हैमिल्टनियन के साथ संचार करता है, और वे एक समरूपता समूह बनाते हैं। यह समूह एबेलियन या नॉन-एबेलियन हो सकता है। यह किस पर निर्भर करता है, सिस्टम के गुण बदलते हैं (उदाहरण के लिए, यदि समूह एबेलियन है, तो कोई गिरावट नहीं होगी)। एक प्रणाली में हर अलग प्रकार की समरूपता के अनुरूप, हम इससे जुड़े समरूपता समूह को खोज सकते हैं।
 * सममिति संक्रियाएँ गुणन के अंतर्गत बंद हैं।
 * समरूपता परिवर्तनों के अनुप्रयोग साहचर्य हैं।
 * हमेशा एक तुच्छ परिवर्तन होता है, जहाँ मूल निर्देशांक के लिए कुछ भी नहीं किया जाता है। यह समूह का पहचान तत्व है।
 * और जब तक एक व्युत्क्रम परिवर्तन मौजूद है, यह एक समरूपता परिवर्तन है, अर्थात यह हैमिल्टन के अपरिवर्तनीय को छोड़ देता है। इस प्रकार प्रतिलोम इस समुच्चय का भाग है।

यह इस प्रकार है कि जनरेटर $$T$$ समरूपता समूह का भी हैमिल्टनियन के साथ आवागमन होता है। अब, यह इस प्रकार है: कुछ विशिष्ट उदाहरण घूर्णी समरूपता, अनुवाद संबंधी आक्रमण आदि वाले सिस्टम हो सकते हैं। एक घूर्णी रूप से अपरिवर्तनीय प्रणाली के लिए, हैमिल्टनियन का समरूपता समूह सामान्य रोटेशन समूह है। अब, यदि (कहते हैं) प्रणाली Z-अक्ष के बारे में किसी भी घुमाव के बारे में अपरिवर्तनीय है (अर्थात, प्रणाली में अक्षीय समरूपता है), तो हैमिल्टनियन का समरूपता समूह सममिति अक्ष के बारे में घूर्णन का समूह है। अब, यह समूह कक्षीय कोणीय संवेग के Z-घटक द्वारा उत्पन्न होता है, $$_$$ (सामान्य समूह तत्व $$R(\alpha)={{e}^{\frac{-i\alpha {{L}_{z}}}{\hbar }}} $$). इस प्रकार, $$_$$ साथ आवागमन करता है $$H$$ इस प्रणाली के लिए और कोणीय गति का Z-घटक संरक्षित है। इसी तरह, अनुवाद समरूपता रैखिक गति के संरक्षण को जन्म देती है, व्युत्क्रम समरूपता समता संरक्षण को जन्म देती है और इसी तरह।

समरूपता संचालन, बिंदु समूह और क्रमपरिवर्तन-उलटा समूह
एक निश्चित इलेक्ट्रॉनिक अवस्था में संतुलन पर एक अणु में आमतौर पर कुछ ज्यामितीय समरूपता होती है। इस समरूपता को एक निश्चित बिंदु समूह द्वारा वर्णित किया गया है जिसमें संचालन होते हैं (जिन्हें समरूपता संचालन कहा जाता है) जो अणु के एक स्थानिक अभिविन्यास का उत्पादन करते हैं जो प्रारंभिक विन्यास से अप्रभेद्य है। पाँच प्रकार के बिंदु समूह समरूपता ऑपरेशन हैं: पहचान, रोटेशन, प्रतिबिंब, व्युत्क्रम और अनुचित रोटेशन या रोटेशन-प्रतिबिंब। सभी समरूपता संक्रियाओं के लिए सामान्य यह है कि अणु का ज्यामितीय केंद्र-बिंदु अपनी स्थिति नहीं बदलता है; इसलिए नाम बिंदु समूह। किसी विशेष अणु के लिए उसके आणविक मॉडल की ज्यामितीय समरूपता पर विचार करके बिंदु समूह के तत्वों को निर्धारित किया जा सकता है। हालाँकि, जब कोई बिंदु समूह का उपयोग करता है, तो तत्वों की उसी तरह व्याख्या नहीं की जानी चाहिए। इसके बजाय तत्व वाइब्रोनिक (कंपन-इलेक्ट्रॉनिक) निर्देशांक को घुमाते हैं और / या प्रतिबिंबित करते हैं और ये तत्व वाइब्रोनिक हैमिल्टनियन के साथ आवागमन करते हैं। बिंदु समूह का उपयोग वाइब्रोनिक आइजेनस्टेट्स को समरूपता द्वारा वर्गीकृत करने के लिए किया जाता है। घूर्णी स्तरों के समरूपता वर्गीकरण, पूर्ण (रोविब्रोनिक परमाणु स्पिन) हैमिल्टनियन के आइजनस्टेट्स, को उपयुक्त क्रमपरिवर्तन-उलटा समूह के उपयोग की आवश्यकता होती है जैसा कि लॉन्गेट-हिगिंस द्वारा पेश किया गया था। अनुभाग उलटा समरूपता और परमाणु क्रमचय समरूपता नीचे देखें। क्रमपरिवर्तन-उलटा समूहों के तत्व पूर्ण आणविक हैमिल्टनियन के साथ आवागमन करते हैं। बिंदु समूहों के अलावा, क्रिस्टलोग्राफी में महत्वपूर्ण एक अन्य प्रकार का समूह मौजूद है, जहां 3-डी में अनुवाद पर भी ध्यान देने की आवश्यकता है। उन्हें अंतरिक्ष समूह के रूप में जाना जाता है।

मूल बिंदु समूह समरूपता संचालन
ऊपर वर्णित पांच बुनियादी समरूपता संचालन हैं: {{c}_{n}}$$: एन-फोल्ड रोटेशन ऑपरेशन समरूपता के एन-फोल्ड एक्सिस के बारे में आणविक ओरिएंटेशन उत्पन्न करता है जो प्रत्येक रोटेशन के लिए प्रारंभिक से अप्रभेद्य होता है$$ \frac{n}$$ (दक्षिणावर्त और वामावर्त)। इसे द्वारा दर्शाया जाता है $$ {{c}_{n}}$$. इस मामले में समरूपता का अक्ष समरूपता तत्व है। एक अणु में एक से अधिक सममिति अक्ष हो सकते हैं; उच्चतम n वाले को 'प्रमुख अक्ष' कहा जाता है, और परिपाटी द्वारा कार्टेसियन समन्वय प्रणाली में z-अक्ष निर्दिष्ट किया जाता है। \frac{n}$$उस घूर्णन की धुरी के बारे में, और दूसरा, उस अक्ष के लंबवत समतल (और ज्यामिति के आणविक केंद्र के माध्यम से) के माध्यम से प्रतिबिंब। यह अक्ष इस मामले में सममिति तत्व है। इसका संक्षिप्त रूप S हैn. एक विशिष्ट अणु में मौजूद अन्य सभी समरूपता इन 5 संक्रियाओं का एक संयोजन है।
 * 1) आइडेंटिटी ऑपरेशन ई (जर्मन 'ईनहाइट' अर्थ एकता से): आइडेंटिटी ऑपरेशन अणु को अपरिवर्तित छोड़ देता है। यह समरूपता समूह में पहचान तत्व बनाता है। हालांकि इसका समावेश तुच्छ प्रतीत होता है, यह महत्वपूर्ण भी है क्योंकि सबसे असममित अणु के लिए भी, यह समरूपता मौजूद है। संगत समरूपता तत्व संपूर्ण अणु ही है।
 * 2) उलटा, i: यह ऑपरेशन अणु को उसके उलटने के केंद्र के बारे में बताता है (यदि इसका कोई है)। इस मामले में उलटा केंद्र समरूपता तत्व है। इस केंद्र पर परमाणु हो भी सकता है और नहीं भी। एक अणु में व्युत्क्रम का केंद्र हो भी सकता है और नहीं भी। उदाहरण के लिए: बेंजीन अणु, एक घन और गोलों में एक व्युत्क्रम केंद्र होता है, जबकि एक चतुष्फलक नहीं होता है।
 * 3) परावर्तन σ: परावर्तन ऑपरेशन एक निश्चित तल के बारे में अणु की एक दर्पण छवि ज्यामिति का निर्माण करता है। दर्पण तल अणु को द्विभाजित करता है और इसमें ज्यामिति का केंद्र शामिल होना चाहिए। इस मामले में समरूपता का तल सममिति तत्व है। प्रमुख अक्ष (नीचे परिभाषित) के समानांतर एक समरूपता विमान को लंबवत (σv) और एक लंबवत को क्षैतिज (σh) कहा जाता है। एक तीसरे प्रकार का समरूपता विमान मौजूद है: यदि एक ऊर्ध्वाधर समरूपता विमान अतिरिक्त रूप से दो 2-गुना घूर्णन अक्षों के बीच के कोण को प्रमुख अक्ष के लंबवत बनाता है, तो विमान को डायहेड्रल (σd) करार दिया जाता है।
 * 4) एन-फोल्ड रोटेशन$$
 * 1) 'एन-फोल्ड रोटेशन-रिफ्लेक्शन या अनुचित रोटेशन एसn: ''अनुचित रोटेशन के एन-फोल्ड अक्ष के बारे में एन-फोल्ड अनुचित रोटेशन ऑपरेशन दो लगातार ज्यामिति परिवर्तनों से बना है: पहला, एक रोटेशन के माध्यम से $$

शोएनफ्लाइज़ नोटेशन
जर्मन गणितज्ञ आर्थर मोरिट्ज़ स्कोनफ्लाइज़ के नाम पर स्कोनफ्लाइज़ (या स्कोनफ़्लिज़) नोटेशन, आमतौर पर बिंदु समूहों का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले दो सम्मेलनों में से एक है। इस अंकन का उपयोग स्पेक्ट्रोस्कोपी में किया जाता है और इसका उपयोग आणविक बिंदु समूह को निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता है।

डायटोमिक अणुओं के लिए बिंदु समूह
डायटोमिक अणुओं के लिए दो बिंदु समूह हैं: $$ {{C}_{\infty v}} $$ हेटेरोन्यूक्लियर डायटॉमिक्स के लिए, और $$ {{D}_{\infty h}} $$ होमोन्यूक्लियर डायटोमिक्स के लिए। {{C}_{\infty v}} $$: समूह $$ {{C}_{\infty v}} $$, घुमाव शामिल हैं $$ C(\phi) $$ किसी भी कोण से $$ \phi $$ समरूपता की धुरी और प्रतिबिंबों की अनंत संख्या के बारे में $$ {{\sigma }_{v}}$$ इंटर-न्यूक्लियर एक्सिस (या वर्टिकल एक्सिस, जो सबस्क्रिप्ट ' v ' का कारण है) वाले विमानों के माध्यम से। समूह में $$ {{C}_{\infty v}} $$ समरूपता के सभी तल समतुल्य हैं, इसलिए सभी प्रतिबिंब $$ {{\sigma }_{v}}$$ तत्वों की एक सतत श्रृंखला के साथ एक एकल वर्ग बनाना; समरूपता की धुरी द्विपक्षीय है, जिससे वर्गों की एक सतत श्रृंखला होती है, प्रत्येक में दो तत्व होते हैं $$ C(\pm \phi) $$. ध्यान दें कि यह समूह नॉन-अबेलियन है और समूह में अनंत संख्या में अप्रासंगिक अभ्यावेदन मौजूद हैं। समूह की वर्ण तालिका इस प्रकार है: {{D}_{\infty h}}$$: अक्षीय परावर्तन समरूपता के अलावा, समनाभिकीय द्विपरमाणुक अणु समरूपता के बिंदु से गुजरने वाले समतल में किसी भी अक्ष के माध्यम से व्युत्क्रमण या परावर्तन के संबंध में सममित होते हैं और अंतर-नाभिकीय अक्ष के लंबवत होते हैं।
 * $$

समूह $$ {{D}_{\infty h}}$$ की कक्षाएं समूह $$ {{C}_{\infty v}} $$ से दो समूहों$$ {{D}_{\infty h}}={{C}_{\infty v}}\times {{C}_{i}}$$ के बीच संबंध का उपयोग करके प्राप्त की जा सकती हैं। $$ {{C}_{\infty v}} $$ बार $$ {{D}_{\infty h}}$$ जैसे गैर-एबेलियन है और समूह में अप्रासंगिक अभ्यावेदन की अनंत संख्या है। इस समूह की वर्ण तालिका इस प्रकार है:

कम्यूटिंग ऑपरेटरों का पूरा सेट
एकल परमाणु के विपरीत, द्विपरमाणुक अणु का हैमिल्टनियन साथ आवागमन नहीं करता है $${{L}^{2}}$$. तो क्वांटम संख्या $$l$$ अब एक अच्छी क्वांटम संख्या नहीं है। आंतरिक अक्ष अंतरिक्ष में एक विशिष्ट दिशा चुनता है और क्षमता गोलाकार रूप से सममित नहीं होती है। बजाय, $${{L}_{z}}$$ और $${{J}_{z}}$$ हैमिल्टनियन के साथ यात्रा करता है $$H$$ (मनमाना आंतरिक परमाणु अक्ष को Z अक्ष के रूप में लेते हुए)। लेकिन $${{L}_{x}},{{L}_{y}}$$ के साथ आवागमन न करें $$H$$ इस तथ्य के कारण कि एक द्विपरमाणुक अणु का इलेक्ट्रॉनिक हेमिल्टनियन आंतरिक परमाणु रेखा (जेड अक्ष) के चारों ओर घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय है, लेकिन एक्स या वाई अक्ष के बारे में घूर्णन के तहत नहीं। दोबारा, $${{S}^{2}}$$ और $${{S}_{z}}$$ एक अलग हिल्बर्ट स्थान पर कार्य करते हैं, इसलिए वे यात्रा करते हैं $$H$$ इस मामले में भी। द्विपरमाणुक अणु के लिए इलेक्ट्रॉनिक हैमिल्टन भी आंतरिक परमाणु रेखा वाले सभी विमानों में प्रतिबिंब के तहत अपरिवर्तनीय है। (X-Z) तल एक ऐसा तल है, और इस तल में इलेक्ट्रॉनों के निर्देशांकों का प्रतिबिंब संक्रिया से मेल खाता है $${{y}_{i}}\to -{{y}_{i}}$$. अगर $${{A}_{y}}$$ ऑपरेटर है जो इस प्रतिबिंब को निष्पादित करता है $$[{{A}_{y}},H]=0$$. तो एक सामान्य हेटेरोन्यूक्लियर अणु के लिए कम्यूटिंग वेधशालाओं (CSCO) का पूरा सेट है $$\{H,\text{ }{{J}_{z}},{{L}_{z}},{{S}^{2}},{{S}_{z}},A\}$$; कहाँ $$A$$ एक संकारक है जो दो स्थानिक निर्देशांकों (x या y) में से केवल एक को उलटा करता है।

होमोन्यूक्लियर डायटोमिक अणु के विशेष मामले में, एक अतिरिक्त समरूपता होती है, क्योंकि आंतरिक अक्ष द्वारा प्रदान की गई समरूपता के अक्ष के अलावा, दो नाभिकों के बीच की दूरी के मध्य बिंदु पर समरूपता का एक केंद्र होता है (समरूपता पर चर्चा की गई है) यह पैराग्राफ केवल दो परमाणु आवेशों के समान होने पर निर्भर करता है। इसलिए दो नाभिकों का द्रव्यमान भिन्न हो सकता है, अर्थात वे एक ही प्रजाति के दो समस्थानिक हो सकते हैं जैसे प्रोटॉन और ड्यूटेरॉन, या $${{O}^{16}}$$ और $${{O}^{18}}$$, और इसी तरह)। इस बिंदु को निर्देशांक की उत्पत्ति के रूप में चुनना, हैमिल्टनियन उस मूल के संबंध में सभी इलेक्ट्रॉनों के निर्देशांक के व्युत्क्रम के तहत अपरिवर्तनीय है, अर्थात् ऑपरेशन में $${{\vec{r}}_{i}}\to -{{\vec{r}}_{i}}$$. इस प्रकार समता ऑपरेटर $$\Pi $$. इस प्रकार एक समनाभिकीय द्विपरमाणुक अणु के लिए CSCO है $$\left\{ H,\text{ }{{J}_{z}},{{L}_{z}},{{S}^{2}},{{S}_{z}},A,\text{ }\Pi \right\}$$.

आणविक शब्द प्रतीक, Λ-दोहरीकरण
आणविक शब्द प्रतीक समूह प्रतिनिधित्व और कोणीय संवेग की एक आशुलिपि अभिव्यक्ति है जो एक अणु की स्थिति की विशेषता है। यह परमाणु मामले के प्रतीक शब्द के बराबर है। हम पहले से ही सबसे सामान्य डायटोमिक अणु के सीएससीओ को जानते हैं। तो, अच्छी क्वांटम संख्याएँ पर्याप्त रूप से डायटोमिक अणु की स्थिति का वर्णन कर सकती हैं। यहाँ, नामकरण में समरूपता स्पष्ट रूप से बताई गई है।

कोणीय संवेग
यहाँ, सिस्टम गोलाकार रूप से सममित नहीं है। इसलिए, $$[H,{{L}^{2}}]\ne 0$$, और राज्य के संदर्भ में चित्रित नहीं किया जा सकता है $$l$$ हैमिल्टनियन के एक स्वदेशी के रूप में एक स्वदेशी नहीं है $${{L}^{2}} $$ अब (परमाणु शब्द प्रतीक के विपरीत, जहां राज्यों को इस रूप में लिखा गया था $$^{2S+1}{{L}_{J}}$$). परंतु जैसे $$[H,{{L}_{z}}]= 0$$, के अनुरूप eigenvalues $${{L}_{z}}$$ अभी भी इस्तेमाल किया जा सकता है। अगर,

$$\begin{align} & {{L}_{z}}\left| \Psi \right\rangle ={{M}_{L}}\hbar \left| \Psi  \right\rangle ;{{M}_{L}}=0,\pm 1,\pm 2,.......... \\ & \Rightarrow {{L}_{z}}\left| \Psi  \right\rangle =\pm \Lambda \hbar \left| \Psi  \right\rangle ;\Lambda =0,1,2,........... \\ \end{align}$$ कहाँ $$\Lambda =\left| {{M}_{L}} \right|$$ आंतरिक अक्ष पर कुल इलेक्ट्रॉनिक कोणीय गति के प्रक्षेपण का पूर्ण मूल्य (एयू में) है; $$\Lambda $$ शब्द प्रतीक के रूप में प्रयुक्त किया जा सकता है। परमाणुओं के लिए उपयोग किए जाने वाले स्पेक्ट्रोस्कोपिक संकेतन एस, पी, डी, एफ, ... के अनुरूप, यह कोड अक्षरों को मूल्यों के साथ जोड़ने के लिए प्रथागत है $$\Lambda $$ पत्राचार के अनुसार: अलग-अलग इलेक्ट्रॉनों के लिए, संकेतन और प्रयुक्त पत्राचार हैं:

$$\lambda =\left| {{m}_{l}} \right|$$ और

अक्षीय समरूपता
दोबारा, $$[{{A}_{y}},H]=0$$, और इसके अलावा में: $${{A}_{y}}{{L}_{z}}=-{{L}_{z}}{{A}_{y}}$$ [जैसा $${{L}_{z}}=-i\hbar (x\frac{\partial }{\partial y}-y\frac{\partial }{\partial x})$$]। यह तुरंत अनुसरण करता है कि अगर $$\Lambda \ne 0$$ ऑपरेटर की कार्रवाई $${{A}_{y}}$$ eigenvalue के अनुरूप एक eigenstate पर $$\Lambda \hbar$$ का $$_$$ इस स्थिति को ईगेनवैल्यू के अनुरूप दूसरे में परिवर्तित करता है $$-\Lambda \hbar$$, और यह कि दोनों स्वदेशी राज्यों में समान ऊर्जा है। इलेक्ट्रॉनिक शब्द जैसे कि $$\Lambda \ne 0$$ (यानी शर्तें $$\Pi ,\Delta ,\Phi ,................$$) इस प्रकार दोगुने पतित होते हैं, दो अवस्थाओं के अनुरूप ऊर्जा का प्रत्येक मान जो आणविक अक्ष के साथ कक्षीय कोणीय गति के प्रक्षेपण की दिशा से भिन्न होता है। यह दुगनी गिरावट वास्तव में केवल अनुमानित है और यह दिखाना संभव है कि इलेक्ट्रॉनिक और घूर्णी गतियों के बीच की बातचीत के साथ शब्दों का विभाजन होता है $$\Lambda \ne 0$$ पास के दो स्तरों में, जिसे कहा जाता है $$\Lambda $$-दोहरीकरण।

$$\Lambda=0$$ से मेल खाता है $$\Sigma $$ राज्यों। ये अवस्थाएँ गैर-पतित हैं, इसलिए कि a की अवस्थाएँ $$\Sigma $$ शब्द को केवल आणविक अक्ष वाले विमान के माध्यम से प्रतिबिंब में स्थिरांक से गुणा किया जा सकता है। कब $$\Lambda=0$$, एक साथ के eigenfunctions $$H$$,$$_$$ और $$_$$ निर्माण किया जा सकता है। तब से $$A_{y}^{2}=1$$, के eigenfunctions $$_$$ आइगेनवैल्यू हैं $$\pm 1$$. तो पूरी तरह से निर्दिष्ट करने के लिए $$\Sigma $$ डायटोमिक अणुओं की स्थिति, $${{\Sigma }^{+}}$$ राज्यों, जो नाभिक वाले विमान में प्रतिबिंब पर अपरिवर्तित छोड़ दिया जाता है, से अलग करने की आवश्यकता होती है $${{\Sigma }^{-}}$$ स्टेट्स, जिसके लिए यह उस ऑपरेशन को करने में साइन इन करता है।

उलटा समरूपता और परमाणु क्रमपरिवर्तन समरूपता
समनाभिकीय द्विपरमाणुक अणुओं के मध्य बिंदु पर समरूपता का केंद्र होता है। निर्देशांक की उत्पत्ति के रूप में इस बिंदु (जो द्रव्यमान का परमाणु केंद्र है) का चयन करना, इलेक्ट्रॉनिक हैमिल्टनियन उस मूल पर सभी इलेक्ट्रॉनों के निर्देशांकों के व्युत्क्रम के बिंदु समूह संचालन के तहत अपरिवर्तनीय है। यह संक्रिया समता (भौतिकी) संक्रिया P (या E*) नहीं है; समता ऑपरेशन में द्रव्यमान के आणविक केंद्र पर परमाणु और इलेक्ट्रॉनिक स्थानिक निर्देशांक का व्युत्क्रम शामिल होता है। इलेक्ट्रॉनिक राज्य या तो ऑपरेशन i से अपरिवर्तित रहते हैं, या वे i द्वारा साइन में बदल जाते हैं। पूर्व को सबस्क्रिप्ट जी द्वारा निरूपित किया जाता है और इसे गेराड कहा जाता है, जबकि बाद वाले को सबस्क्रिप्ट यू द्वारा निरूपित किया जाता है और इसे अनगेरेड कहा जाता है। 'सबस्क्रिप्ट जी या यू'' इसलिए शब्द प्रतीक में जोड़ा जाता है, ताकि होमोन्यूक्लियर डायटोमिक अणुओं के लिए इलेक्ट्रॉनिक राज्यों में समरूपता हो सके $$\Sigma _{g}^{+},\Sigma _{g}^{-},\Sigma _{u}^{+},\Sigma _{u}^{-},{{\Pi }_{g}},{{\Pi }_{u}}$$....... के अलघुकरणीय अभ्यावेदन के अनुसार $${{D}_{\infty h}}$$ बिंदु समूह।'''

समता (भौतिकी) संक्रिया P या E* और रोविब्रोनिक (घूर्णन-कंपन-इलेक्ट्रॉनिक) ऊर्जा स्तरों (जिन्हें अक्सर घूर्णी स्तर कहा जाता है) के साथ एक द्विपरमाणुक अणु का पूरा हेमिल्टनियन (सभी अणुओं के लिए) समानता समरूपता लेबल दिया जा सकता है। '+ या -''। होमोन्यूक्लियर डायटोमिक अणु का पूरा हैमिल्टनियन भी ऑपरेशन के साथ शुरू होता है दो (समान) नाभिकों और घूर्णी स्तरों के निर्देशांकों को बदलने (या आदान-प्रदान करने) का अतिरिक्त लेबल s या a प्राप्त करें जो इस बात पर निर्भर करता है कि कुल वेवफंक्शन है या नहीं क्रमपरिवर्तन ऑपरेशन द्वारा अपरिवर्तित (सममित) या साइन इन (एंटीसिमेट्रिक) में बदल गया। इस प्रकार, विषमनाभिकीय द्विपरमाणुक अणुओं के घूर्णी स्तरों को + या - लेबल किया जाता है, जबकि समनाभिकीय द्विपरमाणुक अणुओं के अणुओं को +s, +a, -s या -a लेबल किया जाता है। रोविब्रोनिक परमाणु स्पिन राज्यों को उपयुक्त क्रमपरिवर्तन-उलटा समूह का उपयोग करके वर्गीकृत किया गया है। समनाभिकीय द्विपरमाणुक अणु का पूरा हैमिल्टनियन (सभी सेंट्रो-सममित अणुओं के लिए) न्यूक्लियर हाइपरफाइन हैमिल्टनियन के प्रभाव के कारण पॉइंट ग्रुप इनवर्जन ऑपरेशन i के साथ कम्यूट नहीं करता है। न्यूक्लियर हाइपरफाइन हैमिल्टनियन g और u वाइब्रोनिक स्टेट्स (जिसे ऑर्थो-पैरा मिक्सिंग कहा जाता है) के घूर्णी स्तरों को मिला सकते हैं और दे सकते हैं ऑर्थो-पैरा ट्रांज़िशन में वृद्धि

स्पिन (भौतिकी) और कुल कोणीय गति
यदि एस व्यक्तिगत इलेक्ट्रॉन स्पिन के परिणामी को दर्शाता है, $$s(s+1){{\hbar }^{2}}$$ S के eigenvalues ​​​​हैं और जैसा कि परमाणुओं के मामले में, अणु के प्रत्येक इलेक्ट्रॉनिक शब्द को S के मान से भी जाना जाता है। यदि स्पिन-ऑर्बिट युग्मन को उपेक्षित किया जाता है, तो क्रम का अध: पतन होता है $$2s+1$$ प्रत्येक के साथ जुड़ा हुआ है $$s$$ किसी प्रदत्त के लिए $$\Lambda $$. जैसे परमाणुओं के लिए, मात्रा $$2s+1$$ शब्द की बहुलता कहलाती है और इसे (बाएं) सुपरस्क्रिप्ट के रूप में लिखा जाता है, ताकि शब्द प्रतीक को इस रूप में लिखा जा सके $${}^{2s+1}\Lambda $$. उदाहरण के लिए, प्रतीक $${}^{3}\Pi $$एक शब्द को दर्शाता है जैसे कि $$\Lambda = 1 $$ और $$s=1 $$. यह ध्यान देने योग्य है कि जमीनी स्थिति (अक्सर प्रतीक द्वारा लेबल की जाती है $$X $$) अधिकांश डायटोमिक अणु ऐसे होते हैं $$s=0 $$ और अधिकतम समरूपता प्रदर्शित करता है। इस प्रकार, ज्यादातर मामलों में यह एक है $${}^{1}{{\Sigma }^{+}} $$ राज्य (के रूप में लिखा गया है $$X{}^{1}{{\Sigma }^{+}} $$, उत्तेजित अवस्थाएँ लिखी जाती हैं $$A,B,C,...$$ सामने) एक विषम परमाणु अणु के लिए और ए $${}^{1}\Sigma _{g}^{+} $$ राज्य (के रूप में लिखा गया है $$X{}^{1}\Sigma _{g}^{+} $$) एक होमोन्यूक्लियर अणु के लिए।

स्पिन-ऑर्बिट कपलिंग इलेक्ट्रॉनिक राज्यों की गिरावट को दूर करती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि स्पिन का z-घटक कक्षीय कोणीय गति के z-घटक के साथ परस्पर क्रिया करता है, जिससे अणु अक्ष 'J' के साथ कुल इलेक्ट्रॉनिक कोणीय गति उत्पन्न होती है।z. यह क्वांटम संख्या द्वारा विशेषता है $${{M}_{J}} $$, कहाँ $${{M}_{J}}={{M}_{S}}+{{M}_{L}} $$. फिर से, के सकारात्मक और नकारात्मक मूल्य $${{M}_{J}} $$ पतित हैं, इसलिए जोड़े (एमL, एमS) और (-ML, -एमS) पतित हैं। इन जोड़ियों को क्वांटम संख्या के साथ समूहीकृत किया जाता है $$\Omega

$$, जिसे मानों की जोड़ी के योग के रूप में परिभाषित किया गया है (ML, एमS) जिसके लिए एमLसकारात्मक है: $$\Omega =\Lambda +{{M}_{S}}

$$

आण्विक शब्द प्रतीक
तो, सबसे सामान्य डायटोमिक अणु के लिए समग्र आणविक शब्द प्रतीक द्वारा दिया गया है:

$${}^{2S+1}\!\Lambda^{(+/-)}_{\Omega,(g/u)} $$ कहाँ $$ आंतरिक अक्ष के साथ कक्षीय कोणीय गति का प्रक्षेपण है
 * एस कुल स्पिन क्वांटम संख्या है
 * $$\Lambda
 * $$\Omega

$$ आंतरिक अक्ष के साथ कुल कोणीय गति का प्रक्षेपण है
 * यू/जी पॉइंट ग्रुप ऑपरेशन आई का प्रभाव है
 * +/− आंतरिक परमाणु अक्ष वाले एक मनमानी विमान के साथ प्रतिबिंब समरूपता है

हैमिल्टनियन
के मैट्रिक्स तत्वों पर समरूपता का प्रभाव इलेक्ट्रॉनिक शर्तें या संभावित घटता $${{E}_{S}}(R)$$ द्विपरमाणुक अणु की मात्रा केवल आंतरिक दूरी पर निर्भर करती है $$R $$, और इन संभावित वक्रों के व्यवहार की जांच करना महत्वपूर्ण है क्योंकि आर भिन्न होता है। विभिन्न शब्दों का प्रतिनिधित्व करने वाले वक्रों के प्रतिच्छेदन की जांच करना काफी रुचि का विषय है। होने देना $${{E}_{1}}(R) $$ और $${{E}_{2}}(R) $$ दो अलग-अलग इलेक्ट्रॉनिक संभावित वक्र। यदि वे किसी बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो कार्य करता है $${{E}_{1}}(R) $$ और $${{E}_{2}}(R) $$ इस बिंदु के पास पड़ोसी मान होंगे। यह तय करने के लिए कि क्या ऐसा चौराहा हो सकता है, समस्या को निम्नानुसार रखना सुविधाजनक है। मान लीजिए कुछ आंतरिक दूरी पर $$_ $$ मूल्य $${{E}_{1}}({{R}_{C}}) $$ और $${{E}_{2}}({{R}_{C}}) $$ करीब हैं, लेकिन अलग हैं (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है)। फिर इसकी जांच की जाएगी कि है या नहीं $${{E}_{1}}(R) $$ और $${{E}_{2}}(R) $$ संशोधन द्वारा प्रतिच्छेद करने के लिए बनाया जा सकता है $${{R}_{C}}\to {{R}_{C}}+\Delta R $$. ऊर्जाएं $$E_{1}^{(0)}={{E}_{1}}({{R}_{C}}) $$ और $$E_{2}^{(0)}={{E}_{2}}({{R}_{C}}) $$ हैमिल्टनियन के eigenvalues ​​हैं $${{H}_{0}}=H({{R}_{C}}) $$. संबंधित ऑर्थोनॉर्मल इलेक्ट्रॉनिक ईजेनस्टेट्स द्वारा निरूपित किया जाएगा $$\left| \Phi _{1}^{(0)} \right\rangle $$ और $$\left| \Phi _{2}^{(0)} \right\rangle $$ और वास्तविक माने जाते हैं। हैमिल्टनियन अब बन जाता है $$H\equiv H({{R}_{C}}+\Delta R)={{H}_{0}}+H' $$, कहाँ $$H'=\frac{\partial {{H}_{0}}}{\partial {{R}_{C}}}\Delta R $$ छोटा गड़बड़ी ऑपरेटर है (हालांकि यह एक पतित मामला है, इसलिए गड़बड़ी की सामान्य विधि काम नहीं करेगी)। सेटिंग $$H_{ij}^{'}=\left\langle \Phi _{i}^{(0)}|H'|\Phi _{j}^{(0)} \right\rangle ;i,j=1,2 $$, यह अनुमान लगाया जा सकता है कि के लिए $${{E}_{1}}(R) $$ और $${{E}_{2}}(R) $$ बिंदु पर बराबर होना $${{R}_{C}}+\Delta R $$ निम्नलिखित दो शर्तों को पूरा करने की आवश्यकता है: हालाँकि, हमारे पास केवल एक मनमाना पैरामीटर है गणित>\डेल्टा आर गड़बड़ी दे रहा है गणित>एच' । इसलिए

एक से अधिक पैरामीटर वाली दो शर्तें सामान्य रूप से एक साथ संतुष्ट नहीं हो सकती हैं (प्रारंभिक धारणा है कि $$\left| \Phi _{1}^{(0)} \right\rangle $$ और $$\left| \Phi _{2}^{(0)} \right\rangle $$ वास्तविक, इसका तात्पर्य है $$H_{12}^{'} $$ वास्तविक भी है)। तो, दो मामले उत्पन्न हो सकते हैं: $$ समान रूप से गायब हो जाता है। तब पहली शर्त को स्वतंत्र रूप से संतुष्ट करना संभव है। इसलिए, एक निश्चित मान के लिए, क्रॉसिंग होने के लिए यह संभव है $$\Delta R $$ (यानी, के एक निश्चित मूल्य के लिए $$R $$) पहला समीकरण संतुष्ट है। गड़बड़ी ऑपरेटर के रूप में $$H' $$ (या $$H $$) अणु के समरूपता संचालकों के साथ संचार करता है, यह स्थिति तब होगी जब दो इलेक्ट्रॉनिक अवस्थाएँ होंगी $$\left| \Phi _{1}^{(0)} \right\rangle $$ और $$\left| \Phi _{2}^{(0)} \right\rangle $$ अलग-अलग बिंदु समूह समरूपताएं हैं (उदाहरण के लिए यदि वे दो इलेक्ट्रॉनिक शब्दों के अनुरूप हैं जिनके अलग-अलग मूल्य हैं $$\Lambda $$, अलग-अलग इलेक्ट्रॉनिक समानताएं जी और यू, अलग-अलग बहुलताएं, या उदाहरण के लिए दो शब्द हैं $${{\Sigma }^{+}} $$ और $${{\Sigma }^{-}} $$) जैसा कि यह दिखाया जा सकता है कि, एक स्केलर मात्रा के लिए जिसका ऑपरेटर कोणीय गति और व्युत्क्रम संचालकों के साथ काम करता है, समान कोणीय गति और समता के राज्यों के बीच संक्रमण के लिए केवल मैट्रिक्स तत्व गैर-शून्य हैं और सबूत अनिवार्य रूप से वैध रहता है एक ही रूप, एक मनमाना समरूपता ऑपरेटर के सामान्य मामले के लिए। $$ और $$\left| \Phi _{2}^{(0)} \right\rangle $$ एक ही बिंदु समूह समरूपता है, तो $$H_{12}^{'} $$ हो सकता है, और सामान्य तौर पर, गैर-शून्य होगा। आकस्मिक क्रॉसिंग को छोड़कर, जो तब होता है जब संयोग से, दो समीकरण समान मान पर संतुष्ट होते हैं $$R $$, का एकल मान ज्ञात करना सामान्य रूप से असंभव है $$\Delta R $$ (यानी, का एक मान $$R $$) जिसके लिए दो शर्तें एक साथ पूरी होती हैं। इस प्रकार, एक द्विपरमाणुक अणु में, केवल भिन्न समरूपता के पद प्रतिच्छेद कर सकते हैं, जबकि समान समरूपता के पदों का प्रतिच्छेदन वर्जित है। यह, सामान्य रूप से, क्वांटम यांत्रिकी में किसी भी मामले के लिए सही है, जहां हैमिल्टनियन में कुछ पैरामीटर होते हैं और इसके आइगेनवेल्यूज उस पैरामीटर के परिणामी कार्य होते हैं। इस सामान्य नियम को जॉन वॉन न्यूमैन-विग्नर गैर-क्रॉसिंग नियम के रूप में जाना जाता है।
 * 1) मैट्रिक्स तत्व $$H_{12}^{'}
 * 1) अगर इलेक्ट्रॉनिक बताता है $$\left| \Phi _{1}^{(0)} \right\rangle

इस सामान्य समरूपता सिद्धांत के महत्वपूर्ण परिणाम आणविक स्पेक्ट्रा हैं। वास्तव में, द्विपरमाणुक अणुओं के मामले में संयोजी बंध सिद्धांत के अनुप्रयोगों में, परमाणु कक्षीय और आणविक कक्षकों के बीच तीन मुख्य पत्राचार का ध्यान रखा जाता है: इस प्रकार, वॉन न्यूमैन-विग्नर गैर-क्रॉसिंग नियम भी वैलेंस बांड सिद्धांत के लिए एक प्रारंभिक बिंदु के रूप में कार्य करता है।
 * 1) आणविक ऑर्बिटल्स का एक दिया गया मान है $$\lambda $$ (आंतरिक अक्ष के साथ कक्षीय कोणीय संवेग का घटक) समान मान वाले परमाणु कक्षकों के साथ जुड़ना चाहिए $$\lambda $$ (अर्थात समान मान $$\left| m \right|$$).
 * 2) तरंग फ़ंक्शन (जी या यू) की इलेक्ट्रॉनिक समता को संरक्षित किया जाना चाहिए $$R$$ बदलता है $$0$$ को $$\infty$$.
 * 3) वॉन न्यूमैन-विग्नर गैर-क्रॉसिंग नियम का पालन किया जाना चाहिए, ताकि समान समरूपता वाले ऑर्बिटल्स के अनुरूप ऊर्जा घटता के रूप में पार न हो $$R$$ बदलता है $$0$$ को $$\infty$$.

देखने योग्य परिणाम
अणु की आणविक वर्णक्रमीय रेखा को प्रभावित करके डायटोमिक अणुओं में समरूपता सीधे प्रकट होती है। द्विपरमाणुक अणुओं में विभिन्न प्रकार के स्पेक्ट्रमों पर सममिति के प्रभाव हैं:

घूर्णी स्पेक्ट्रम
विद्युत द्विध्रुवीय सन्निकटन में विकिरण के उत्सर्जन या अवशोषण के लिए संक्रमण आयाम को विद्युत द्विध्रुवीय ऑपरेटर के घटक के वाइब्रोनिक मैट्रिक्स तत्व के समानुपाती दिखाया जा सकता है। $$D$$ आणविक अक्ष के साथ। यह स्थाई विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण है। समनाभिकीय द्विपरमाणुक अणुओं में, स्थायी विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण लुप्त हो जाता है और कोई शुद्ध घूर्णन स्पेक्ट्रम नहीं होता है (लेकिन नीचे N.B. देखें)। हेटेरोन्यूक्लियर डायटोमिक अणुओं में एक स्थायी विद्युत द्विध्रुवीय क्षण होता है और वाइब्रोनिक अवस्था में परिवर्तन के बिना घूर्णी संक्रमणों के अनुरूप स्पेक्ट्रा प्रदर्शित करता है। के लिए $$\Lambda =0 $$घूर्णी संक्रमण के लिए चयन नियम हैं: $$\begin{align} & \Delta \Im =\pm 1 \\ & \Delta {{M}_{\Im }}=0,\pm 1 \\ \end{align} $$. के लिए $$\Lambda \ne 0 $$, चयन नियम बन जाते हैं: $$\begin{align} & \Delta \Im =0,\pm 1 \\ & \Delta {{M}_{\Im }}=0,\pm 1 \\ \end{align} $$यह इस तथ्य के कारण है कि हालांकि अवशोषित या उत्सर्जित फोटॉन कोणीय गति की एक इकाई को वहन करता है, परमाणु घुमाव बदल सकता है, जिसमें कोई परिवर्तन नहीं होता है $$\Im $$, यदि इलेक्ट्रॉनिक कोणीय संवेग एक समान और विपरीत परिवर्तन करता है। समरूपता के विचारों के लिए आवश्यक है कि एक डायटोमिक अणु के विद्युत द्विध्रुवीय क्षण को आंतरिक रेखा के साथ निर्देशित किया जाए, और यह अतिरिक्त चयन नियम की ओर ले जाता है $$\Delta \Lambda =0 $$डायटोमिक अणु के शुद्ध घूर्णी स्पेक्ट्रम में सुदूर इन्फ्रा-रेड या माइक्रोवेव क्षेत्र में रेखाएँ होती हैं, इन रेखाओं की आवृत्तियाँ निम्न द्वारा दी जाती हैं:

$$\hbar {{\omega }_{\Im +1,\Im }}={{E}_{r}}(\Im +1)-{{E}_{r}}(\Im)=2B(\Im +1) $$; कहाँ $$B=\frac{2\mu R_{0}^{2}} $$, और $$\Im \ge \Lambda $$
 * N.B. असाधारण परिस्थितियों में हाइपरफाइन हैमिल्टनियन होमोन्यूक्लियर डायटोमिक अणुओं के g और u वाइब्रोनिक अवस्थाओं के घूर्णी स्तरों को मिला सकता है जिससे शुद्ध घूर्णी (ऑर्थो - पैरा) एक समनाभिकीय द्विपरमाणुक अणु में संक्रमण।

कंपन स्पेक्ट्रम
शुद्ध कंपन संक्रमण के लिए संक्रमण मैट्रिक्स तत्व हैं $${{\mu }_{v,v'}}=\left\langle v'|\mu |v \right\rangle $$, कहाँ $$\mu $$ इलेक्ट्रॉनिक अवस्था में द्विपरमाणुक अणु का द्विध्रुव आघूर्ण है $$\alpha $$. क्योंकि द्विध्रुव आघूर्ण बंध की लंबाई पर निर्भर करता है $$R $$संतुलन से नाभिक के विस्थापन के साथ इसकी भिन्नता को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: $$\mu ={{\mu }_{0}}+{{(\frac{d\mu }{dx})}_{0}}x+\frac{1}{2}{{(\frac{{{d}^{2}}\mu }{d{{x}^{2}}})}_{0}}{{x}^{2}}+....... $$; कहाँ $${{\mu }_{0}} $$ द्विध्रुव आघूर्ण है जब विस्थापन शून्य होता है। संक्रमण मैट्रिक्स तत्व हैं, इसलिए: $$\left\langle v'|\mu |v \right\rangle ={{\mu }_{0}}\left\langle v'|v \right\rangle +{{(\frac{d\mu }{dx})}_{0}}\left\langle v'|x|v \right\rangle +\frac{1}{2}{{(\frac{{{d}^{2}}\mu }{d{{x}^{2}}})}_{0}}\left\langle v'|{{x}^{2}}|v \right\rangle +.......={{(\frac{d\mu }{dx})}_{0}}\left\langle v'|x|v \right\rangle +\frac{1}{2}{{(\frac{{{d}^{2}}\mu }{d{{x}^{2}}})}_{0}}\left\langle v'|{{x}^{2}}|v \right\rangle +....... $$राज्यों की रूढ़िवादिता का उपयोग करना। इसलिए, संक्रमण मैट्रिक्स केवल गैर-शून्य है यदि आणविक द्विध्रुवीय क्षण विस्थापन के साथ भिन्न होता है, अन्यथा के डेरिवेटिव के लिए $$\mu $$ शून्य होगा। डायटोमिक अणुओं के कंपन संक्रमण के लिए सकल चयन नियम तब होता है: एक कंपन स्पेक्ट्रम दिखाने के लिए, डायटोमिक अणु में एक द्विध्रुवीय क्षण होना चाहिए जो विस्तार के साथ बदलता रहता है। तो, होमोन्यूक्लियर डायटोमिक अणु विद्युत-द्विध्रुवीय कंपन संक्रमण से नहीं गुजरते हैं। तो, एक समनाभिकीय डायटोमिक अणु विशुद्ध रूप से कंपन स्पेक्ट्रा नहीं दिखाता है।

छोटे विस्थापन के लिए, एक अणु के विद्युत द्विध्रुवीय पल में बंधन के विस्तार के साथ रैखिक रूप से भिन्न होने की उम्मीद की जा सकती है। यह एक हेटरोन्यूक्लियर अणु के मामले में होगा जिसमें दो परमाणुओं पर आंशिक शुल्क आंतरिक दूरी से स्वतंत्र थे। ऐसे मामलों में (हार्मोनिक सन्निकटन के रूप में जाना जाता है), विस्तार में द्विघात और उच्च शर्तों को नजरअंदाज किया जा सकता है और $${{\mu }_{v,v'}}=\left\langle v'|\mu |v \right\rangle ={{(\frac{d\mu }{dx})}_{0}}\left\langle v'|x|v \right\rangle $$. अब, मैट्रिक्स तत्वों को हार्मोनिक ऑसिलेटर वेवफंक्शन के संदर्भ में स्थिति के आधार पर व्यक्त किया जा सकता है: हर्मिट बहुपद। हर्मिट बहुपदों की संपत्ति का उपयोग करना: $$2(\alpha x){{H}_{v}}(\alpha x)=2v{{H}_{v-1}}(\alpha x)+{{H}_{v+1}}(\alpha x) $$, यह स्पष्ट है कि $$x\left| v \right\rangle $$ जो आनुपातिक है $$x{{H}_{v}}(\alpha x) $$, दो शब्दों का उत्पादन करता है, एक आनुपातिक $$\left| v+1 \right\rangle  $$ और दूसरे को $$\left| v-1 \right\rangle  $$. तो, केवल गैर-शून्य योगदान $${{\mu }_{v,v'}} $$ से आता है $$v'=v\pm 1 $$. तो, हेटरोन्यूक्लियर डायटोमिक अणुओं के लिए चयन नियम है: $$\Delta v=\pm 1 $$
 * निष्कर्ष: समनाभिकीय द्विपरमाणुक अणु कोई शुद्ध कंपन वर्णक्रमीय रेखाएं नहीं दिखाते हैं, और विषमनाभिकीय द्विपरमाणुक अणुओं की कंपन वर्णक्रमीय रेखाएं उपर्युक्त चयन नियम द्वारा नियंत्रित होती हैं।

घूर्णी-कंपन स्पेक्ट्रोस्कोपी
समनाभिकीय द्विपरमाणुक अणु न तो शुद्ध कम्पनिक और न ही शुद्ध घूर्णी स्पेक्ट्रम दिखाते हैं। हालाँकि, एक फोटॉन के अवशोषण के लिए अणु को कोणीय गति की एक इकाई लेने की आवश्यकता होती है, कंपन संक्रमण के साथ घूर्णी अवस्था में परिवर्तन होता है, जो शुद्ध घूर्णी स्पेक्ट्रम के समान चयन नियमों के अधीन होता है। एक अणु के लिए ए $$\Sigma $$ राज्य, दो कंपन-घूर्णन (या रोवाइब्रेशनल) स्तरों के बीच संक्रमण $$(v,\Im)$$ और $$(v',\Im')$$, कंपन क्वांटम संख्या के साथ $$v$$ और $$v' = v + 1$$, के अनुसार दो सेटों में आते हैं $$\Delta \Im =+1$$ या $$\Delta \Im =-1$$. के अनुरूप सेट $$\Delta \Im =+1$$ 'आर शाखा' कहा जाता है। संगत आवृत्तियों द्वारा दिया जाता है: $$\hbar {{\omega }^{R}}=E(v+1,\Im +1)-E(v,\Im)=2B(\Im +1)+\hbar {{\omega }_{0}};\text{ }\Im =0,1,2,......$$ के अनुरूप सेट $$\Delta \Im =-1$$ 'पी शाखा' कहा जाता है। संगत आवृत्तियों द्वारा दिया जाता है: $$\hbar {{\omega }^{P}}=E(v+1,\Im -1)-E(v,\Im)=-2B\Im +\hbar {{\omega }_{0}};\text{ }\Im =1,2,3,......$$ दोनों शाखाएं एक घूर्णन-कंपन बैंड या रोवाइब्रेशनल बैंड कहलाती हैं। ये बैंड स्पेक्ट्रम के इन्फ़रा रेड हिस्से में हैं।

यदि अणु में नहीं है $$\Sigma $$ राज्य, ताकि $$\Lambda \ne 0 $$, के साथ संक्रमण $$\Delta \Im =0$$ अनुमति दी जाती है। यह कंपन-घूर्णी स्पेक्ट्रम की एक और शाखा को जन्म देता है, जिसे 'क्यू शाखा' कहा जाता है। आवृत्तियों $${{\omega }^{Q}}$$ इस शाखा में रेखाओं के अनुरूप एक द्विघात फलन द्वारा दिया गया है $$\Im $$ अगर $${{B}_{v}}$$ और $${{B}_{v+1}}$$ असमान हैं, और एकल आवृत्ति तक कम करें: $$\hbar {{\omega }^{Q}}=E(v+1,\Im)-E(v,\Im)=\hbar {{\omega }_{0}}$$ अगर $${{B}_{v+1}}={{B}_{v}}$$.

विषमनाभिकीय द्विपरमाणुक अणु के लिए, इस चयन नियम के दो परिणाम हैं: समनाभिकीय द्विपरमाणुक अणु भी इस प्रकार का स्पेक्ट्रम प्रदर्शित करते हैं। हालाँकि, चयन नियम थोड़े अलग हैं।
 * 1) कंपन और घूर्णी क्वांटम संख्या दोनों को बदलना होगा। क्यू-शाखा इसलिए वर्जित है।
 * 2) रोटेशन के ऊर्जा परिवर्तन को या तो घटाया जा सकता है या कंपन के ऊर्जा परिवर्तन में जोड़ा जा सकता है, क्रमशः स्पेक्ट्रम की पी- और आर- शाखाएं दे सकता है।
 * निष्कर्ष: दोनों होमो- और हेटेरो-न्यूक्लियर डायटोमिक अणु रोविब्रेशनल स्पेक्ट्रा दिखाते हैं। विषमनाभिकीय द्विपरमाणुक अणुओं के स्पेक्ट्रम में एक क्यू-शाखा अनुपस्थित होती है।

एक विशेष उदाहरण: हाइड्रोजन अणु आयन
आण्विक संरचना पर समरूपता का एक स्पष्ट निहितार्थ सबसे सरल द्वि-परमाणु प्रणाली के मामले में दिखाया जा सकता है: एक हाइड्रोजन अणु आयन या एक डी-हाइड्रोजन कटियन, $$\text{H}_{2}^{+}$$. के लिए एक प्राकृतिक परीक्षण तरंग समारोह $$\text{H}_{2}^{+}$$ जब दो प्रोटॉन व्यापक रूप से अलग हो जाते हैं तो सिस्टम की निम्नतम-ऊर्जा स्थिति पर विचार करके निर्धारित किया जाता है। फिर स्पष्ट रूप से दो संभावित अवस्थाएँ हैं: इलेक्ट्रॉन या तो एक प्रोटॉन से जुड़ा होता है, जो जमीनी अवस्था में हाइड्रोजन परमाणु बनाता है, या इलेक्ट्रॉन दूसरे प्रोटॉन से जुड़ा होता है, फिर से हाइड्रोजन परमाणु की जमीनी अवस्था में (जैसा कि दर्शाया गया है) चित्र में)। स्थिति के आधार पर परीक्षण स्थिति (या 'तरंग कार्य') तब हैं:

$$\left\langle \mathbf{r}|\mathbf{1} \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{\pi a_{0}^{3}}}{{e}^{-\frac{\left| \mathbf{r}-\frac{\mathbf{R}}{2} \right|}}}$$ और $$\left\langle \mathbf{r}|\mathbf{2} \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{\pi a_{0}^{3}}}{{e}^{-\frac{\left| \mathbf{r}+\frac{\mathbf{R}}{2} \right|}}}$$ का विश्लेषण $$\text{H}_{2}^{+}$$ परिवर्तनशील विधि का उपयोग करके इन रूपों को ग्रहण करना शुरू कर देता है। दोबारा, यह राज्यों का केवल एक संभावित संयोजन है। राज्यों का अन्य संयोजन भी हो सकता है, उदाहरण के लिए, इलेक्ट्रॉन हाइड्रोजन परमाणु की उत्तेजित अवस्था में है। सिस्टम का संबंधित हैमिल्टनियन है:

$$H=\frac{2{{m}_{e}}}-\frac{\left| \mathbf{r}-\mathbf{R}/2 \right|}-\frac{\left| \mathbf{r}+\mathbf{R}/2 \right|}+\frac{R}$$ स्पष्ट रूप से, राज्यों का उपयोग करना $$\left| 1 \right\rangle $$ और $$\left| 2 \right\rangle $$ आधार के रूप में हैमिल्टनियन में ऑफ-डायगोनल तत्वों को पेश करेगा। यहाँ, की सापेक्ष सादगी के कारण $$\text{H}_{2}^{+}$$ आयन, मैट्रिक्स (गणित) वास्तव में गणना की जा सकती है। का इलेक्ट्रॉनिक हैमिल्टन $$\text{H}_{2}^{+}$$ बिंदु समूह उलटा समरूपता ऑपरेशन i के साथ संचार करता है। इसकी समरूपता गुणों का उपयोग करके, हम हैमिल्टनियन के विकर्ण मैट्रिक्स और ऑफ-विकर्ण तत्वों से संबंधित कर सकते हैं: क्योंकि $${{H}_{11}}={{H}_{22}}$$ साथ ही $${{H}_{12}}={{H}_{21}}$$, का रैखिक संयोजन $$\left| 1 \right\rangle $$ और$$\left| 2 \right\rangle $$ हैमिल्टनियन का विकर्ण है $$\left| \pm \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{2\pm 2\left\langle 1|2 \right\rangle }}(\left| 1 \right\rangle \pm \left| 2 \right\rangle)$$ (सामान्यीकरण के बाद)। नहीं था $$[H,$$मैं$$]=0$$ के लिए $$\text{H}_{2}^{+}$$, राज्य $$\left| \pm  \right\rangle$$ i के भी eigenstates हैं। यह पता चला है कि $$\left| +  \right\rangle$$ और $$\left| -  \right\rangle$$ eigenvalues ​​+1 और -1 के साथ i के eigenstates हैं (दूसरे शब्दों में, तरंग कार्य करता है $$\left\langle \mathbf{r}|+ \right\rangle $$ और $$\left\langle \mathbf{r}|- \right\rangle $$ क्रमशः जेरेड (सममित) और अनगेरेड (असममित) हैं)। ऊर्जाओं की संगत अपेक्षा मूल्य हैं $${{E}_{\pm }}=\frac{1}{1\pm \left\langle 1|2 \right\rangle }({{H}_{11}}\pm {{H}_{12}})$$. ग्राफ से, हम केवल यही देखते हैं $${{E}_{+}}$$ 1.3 Å के पृथक्करण और कुल ऊर्जा के अनुरूप न्यूनतम है $${{E}_{+}}=-15.4 \text{ eV}$$, जो सिस्टम की प्रारंभिक ऊर्जा से कम है, $$-13.6 \text{ eV}$$. इस प्रकार, केवल जेराड राज्य आयन को बाध्यकारी ऊर्जा के साथ स्थिर करता है $$1.8 \text{ eV}$$. नतीजतन, की जमीनी स्थिति $$\text{H}_{2}^{+}$$ है $${{X}^{2}}\Sigma _{g}^{+}$$ और यह राज्य $$\left(\left| + \right\rangle \right)$$ एक बंधन आणविक कक्षीय कहा जाता है। इस प्रकार, समरूपता के निर्माण में एक स्पष्ट भूमिका निभाती है $$\text{H}_{2}^{+}$$.

यह भी देखें

 * चरित्र तालिका
 * डायटोमिक अणु
 * आणविक समरूपता
 * स्कोनफ्लाइज़ संकेतन
 * रासायनिक रूप से महत्वपूर्ण 3डी बिंदु समूहों के लिए वर्ण तालिकाओं की सूची
 * हुंड के मामले
 * घूर्णी-कंपन स्पेक्ट्रोस्कोपी
 * आणविक शब्द प्रतीक
 * पार करने से परहेज किया
 * डाइहाइड्रोजन धनायन
 * क्वांटम यांत्रिकी में समरूपता
 * समूह (गणित)
 * बिंदु समूह तीन आयामों में
 * आवागमन वेधशालाओं का पूरा सेट
 * बोर्न-ओपेनहाइमर सन्निकटन
 * आवागमन वेधशालाओं का पूरा सेट
 * बोर्न-ओपेनहाइमर सन्निकटन

अग्रिम पठन

 * 1) Quantum Mechanics, Third Edition: Non-Relativistic Theory (Volume 3)by L. D. Landau, L. M. Lifshitz; ISBN 978-0750635394 Edition: 3rd; chapters: XI and XII.
 * 2) Physics of Atoms & Molecules by B.H. Bransden, C.J. Joachain; ISBN 978-8177582796 Edition: 2nd edition; chapter: 9
 * 3) Molecular Spectra and Molecular Structure: Spectra of Diatomic Molecules by Gerhard Herzberg; ISBN 978-0894642685 Edition: 2nd
 * 4) Molecular Quantum Mechanics by Peter W. Atkins, Ronald S. Friedman; ISBN 978-0199541423 Edition: 5th; chapter: 10.
 * 5) Lecture notes on Quantum Mechanics (handouts: 12, 10) by Prof. Sourendu Gupta, Tata Institute of Fundamental Research, Mumbai.
 * 6) Symmetry in Physics: Principles and Simple Applications Volume 1 by James Philip Elliott, P.G. Dawber; ISBN 978-0195204551
 * 7) A Modern Approach to Quantum Mechanics by John S. Townsend; Edition 2nd; ISBN 978-1891389788
 * 8) http://www.astro.uwo.ca/~jlandstr/p467/lec5-mol_spect/index.html

बाहरी संबंध

 * 1) http://www.astro.uwo.ca/~jlandstr/p467/lec5-mol_spect/index.html
 * 2) http://csi.chemie.tu-darmstadt.de/ak/immel/script/redirect.cgi?filename=http://csi.chemie.tu-darmstadt.de/ak/immel/tutorials/symmetry/index1.html
 * 3) http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2014/index.php
 * 4) A pdf file explaining the relation between Point Groups and Permutation-Inversion Groups Link