वक्र

वक्र, जिसे गणित में भी सैद्धांतिक और अनुप्रयुक्त गणित ग्रंथों में एक घुमावदार रेखा कहा जाता है, गणितीय वस्तु है जो अक्षीय सीधी समतल रेखा (ज्यामिति)  के समान या भिन्न है, घुमावदार रेखा एक सीधी रेखा नहीं है, लेकिन एक  समारोह  हो सकती है, या घुमावदार रेखा एक गैर सीधी समतल (अआयताकार वस्तु) का हिस्सा हो सकती है, या किसी गोले या गोलाकार वस्तु का हिस्सा हो सकती है, या एक घुमावदार तल आदि हो सकती है, और वहाँ भी अलग है (यह विपरीत नहीं है, यानी लंबवत नहीं है) या समानांतर)  रैखिकता  रेखाओं के लिए जो सीधे विमानों का हिस्सा हैं लेकिन कुछ कार्यों के लिए सीधे विमानों में सीधे विमान में प्रक्षेपित किए जा सकते हैं।

अक्षीय क्षेत्रों और घुमावदार गोलाकार वस्तुओं में, रेखाएं शायद वस्तुओं की ज्यामिति को परिभाषित करती हैं।

सहज रूप से, एक वक्र को एक गतिमान बिंदु (ज्यामिति)  द्वारा छोड़े गए निशान के रूप में माना जा सकता है। यह वह परिभाषा है जो 2000 साल पहले यूक्लिड के तत्वों में दिखाई दी थी | यूक्लिड के  तत्व : [घुमावदार] रेखा मात्रा की पहली प्रजाति है, जिसका केवल एक आयाम है, अर्थात् लंबाई, बिना किसी चौड़ाई और गहराई के, और उस बिंदु के प्रवाह या भाग के अलावा और कुछ नहीं है जो […] लंबाई, किसी भी चौड़ाई से मुक्त। एक वक्र की इस परिभाषा को आधुनिक गणित में औपचारिक रूप दिया गया है: एक वक्र एक निरंतर फ़ंक्शन द्वारा एक टोपोलॉजिकल स्पेस  के लिए एक  अंतराल (गणित)  की  छवि (गणित)  है। कुछ संदर्भों में, वक्र को परिभाषित करने वाले फ़ंक्शन को पैरामीट्रिज़ेशन कहा जाता है, और वक्र एक  पैरामीट्रिक वक्र  होता है। इस लेख में, इन वक्रों को कभी-कभी टोपोलॉजिकल कर्व्स कहा जाता है ताकि उन्हें अधिक विवश वक्रों जैसे अलग-अलग वक्रों से अलग किया जा सके। इस परिभाषा में अधिकांश वक्र शामिल हैं जिनका गणित में अध्ययन किया जाता है; उल्लेखनीय अपवाद हैं  स्तर वक्र  (जो वक्र और पृथक बिंदुओं के  संघ (सेट सिद्धांत)  हैं), और  बीजीय वक्र  (नीचे देखें)। स्तर वक्र और बीजीय वक्रों को कभी-कभी  निहित वक्र  कहा जाता है, क्योंकि वे आम तौर पर  निहित समीकरण ों द्वारा परिभाषित होते हैं।

फिर भी, टोपोलॉजिकल कर्व्स का वर्ग बहुत व्यापक है, और इसमें कुछ ऐसे कर्व्स होते हैं जो ऐसे नहीं दिखते जैसे कोई कर्व की उम्मीद कर सकता है, या यहां तक ​​कि खींचा नहीं जा सकता है। यह अंतरिक्ष भरने वाला वक्र ्स और  भग्न वक्र ्स का मामला है। अधिक नियमितता सुनिश्चित करने के लिए, एक वक्र को परिभाषित करने वाले फ़ंक्शन को अक्सर अलग-अलग कार्य माना जाता है, और फिर वक्र को एक अलग वक्र कहा जाता है।

एक समतल बीजीय वक्र  दो अनिश्चित (चर) s में  बहुपद  का शून्य समुच्चय है। अधिक सामान्यतः, एक बीजीय वक्र बहुपदों के परिमित समुच्चय का शून्य समुच्चय होता है, जो एक  बीजीय किस्म  के आयाम की बीजगणितीय किस्म होने की आगे की शर्त को पूरा करता है। यदि बहुपद के गुणांक एक  क्षेत्र (गणित)  से संबंधित हैं $k$, वक्र को ऊपर परिभाषित किया गया कहा जाता है $k$. एक वास्तविक बीजीय वक्र  के सामान्य मामले में, जहां $k$  वास्तविक संख्या ओं का क्षेत्र है, बीजीय वक्र टोपोलॉजिकल वक्रों का एक परिमित संघ है। जब  जटिल संख्या  शून्य पर विचार किया जाता है, तो एक जटिल बीजीय वक्र होता है, जो  टोपोलॉजी  के दृष्टिकोण से, वक्र नहीं होता है, बल्कि एक  सतह (गणित)  होता है, और इसे अक्सर  रीमैन सतह  कहा जाता है। हालांकि सामान्य ज्ञान में वक्र नहीं होने के बावजूद, अन्य क्षेत्रों में परिभाषित बीजीय वक्रों का व्यापक अध्ययन किया गया है। विशेष रूप से, आधुनिक  क्रिप्टोग्राफी  में एक  परिमित क्षेत्र  पर बीजीय वक्र व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं।

इतिहास
वक्रों में रुचि बहुत पहले शुरू हुई थी जब वे गणितीय अध्ययन का विषय थे। यह कला में और प्रागैतिहासिक काल की रोजमर्रा की वस्तुओं पर उनके सजावटी उपयोग के कई उदाहरणों में देखा जा सकता है बार। वक्र, या कम से कम उनके चित्रमय प्रतिनिधित्व, बनाना आसान है, उदाहरण के लिए समुद्र तट पर रेत पर एक छड़ी के साथ।

ऐतिहासिक रूप से, शब्द अधिक आधुनिक शब्द के स्थान पर इस्तेमाल किया गया था. इसलिए शर्तें तथा  जिन्हें आज वक्र रेखाओं से रेखाएँ कहा जाता है, उन्हें अलग करने के लिए उपयोग किया जाता था। उदाहरण के लिए, यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक I में, एक रेखा को एक चौड़ाई रहित लंबाई (डिफ। 2) के रूप में परिभाषित किया गया है, जबकि एक  रेखा को एक ऐसी रेखा के रूप में परिभाषित किया गया है जो समान रूप से बिंदुओं के साथ स्थित है (डिफ। 4)। रेखा के बारे में यूक्लिड का विचार शायद इस कथन से स्पष्ट होता है कि एक रेखा के सिरे बिंदु होते हैं, (डिफ। 3)। बाद के टीकाकारों ने विभिन्न योजनाओं के अनुसार पंक्तियों को और वर्गीकृत किया। उदाहरण के लिए:
 * समग्र रेखाएं (कोण बनाने वाली रेखाएं)
 * मिश्रित पंक्तियाँ
 * निर्धारित करें (ऐसी रेखाएं जो अनिश्चित काल तक विस्तारित नहीं होती हैं, जैसे वृत्त)
 * अनिश्चित (ऐसी रेखाएं जो अनिश्चित काल तक विस्तारित होती हैं, जैसे कि सीधी रेखा और परवलय)

यूनानी भूगोलवेत्ताओं ने कई अन्य प्रकार के वक्रों का अध्ययन किया था। एक कारण ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में उनकी रुचि थी जिसे मानक कंपास और सीधा निर्माण का उपयोग करके हल नहीं किया जा सकता था। इन वक्रों में शामिल हैं:
 * शंकु खंड, पेर्गा के अपोलोनियस द्वारा गहराई से अध्ययन किया गया
 * Diocles का cissoid, Diocles (गणितज्ञ)  द्वारा अध्ययन किया गया और घन को दोगुना करने के लिए एक विधि के रूप में उपयोग किया जाता है।
 * निकोमेडिस का शंख, जिसका अध्ययन निकोमेडिस (गणितज्ञ)  द्वारा घन को दुगुना करने और समकोण त्रिभुजाकार करने की विधि के रूप में किया गया है।
 * आर्किमिडीज सर्पिल, जिसका अध्ययन आर्किमिडीज द्वारा एक कोण को समद्विभाजित करने और वृत्त का वर्ग करने की विधि के रूप में किया जाता है।
 * पर्सियस (जियोमीटर) द्वारा शंकु के वर्गों के रूप में अध्ययन किए गए स्पाइरिक खंड,  टोरस्र्स  के खंड अपोलोनियस द्वारा अध्ययन किए गए थे।

वक्र के सिद्धांत में एक मौलिक प्रगति सत्रहवीं शताब्दी में रेने डेसकार्टेस द्वारा विश्लेषणात्मक ज्यामिति  की शुरूआत थी। इसने एक विस्तृत ज्यामितीय निर्माण के बजाय एक समीकरण का उपयोग करके एक वक्र का वर्णन करने में सक्षम बनाया। इसने न केवल नए वक्रों को परिभाषित और अध्ययन करने की अनुमति दी, बल्कि इसने बीजीय वक्रों के बीच एक औपचारिक भेद करने में सक्षम बनाया जिसे  बहुपद समीकरण ों का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है, और अनुवांशिक वक्र जो नहीं कर सकते हैं। पहले, वक्रों को ज्यामितीय या यांत्रिक के रूप में वर्णित किया गया था कि वे कैसे उत्पन्न होते हैं, या माना जा सकता है।

जोहान्स केप्लर द्वारा  खगोल  विज्ञान में शंकु वर्गों को लागू किया गया था। न्यूटन ने विविध ताओं के कलन में एक प्रारंभिक उदाहरण पर भी काम किया। परिवर्तनशील समस्याओं के समाधान, जैसे कि  ब्राचिस्टोक्रोन  और  टॉटोक्रोन  प्रश्न, ने वक्रों के गुणों को नए तरीकों से प्रस्तुत किया (इस मामले में,  चक्रज )।  ज़ंजीर का  को इसका नाम एक लटकती हुई श्रृंखला की समस्या के समाधान के रूप में मिलता है, इस प्रकार का प्रश्न जो विभेदक कलन के माध्यम से नियमित रूप से सुलभ हो जाता है।

अठारहवीं शताब्दी में सामान्य रूप से समतल बीजीय वक्रों के सिद्धांत की शुरुआत हुई। न्यूटन ने वास्तविक बिंदुओं के सामान्य विवरण में 'अंडाकार' में घन वक्र ों का अध्ययन किया था। बेज़ौट के प्रमेय के बयान ने कई पहलुओं को दिखाया जो उस समय की ज्यामिति के लिए सीधे पहुंच योग्य नहीं थे, एकवचन बिंदुओं और जटिल समाधानों के साथ।

उन्नीसवीं शताब्दी के बाद से, वक्र सिद्धांत को कई गुना और बीजीय किस्मों के सिद्धांत में से एक आयाम के विशेष मामले के रूप में देखा जाता है। फिर भी, कई प्रश्न वक्रों के लिए विशिष्ट हैं, जैसे कि अंतरिक्ष-भरने वाले वक्र, जॉर्डन वक्र प्रमेय  और हिल्बर्ट की सोलहवीं समस्या।

टोपोलॉजिकल कर्व
एक टोपोलॉजिकल वक्र एक सतत कार्य (टोपोलॉजी) द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है $$\gamma \colon I \rightarrow X$$ अंतराल से (गणित) $I$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस में वास्तविक संख्याओं का $X$. ठीक से बोलते हुए, वक्र की छवि (गणित) है $$\gamma.$$ हालाँकि, कुछ संदर्भों में, $$\gamma$$ खुद को एक वक्र कहा जाता है, खासकर जब छवि ऐसी नहीं दिखती जिसे आम तौर पर वक्र कहा जाता है और पर्याप्त रूप से विशेषता नहीं होती है $$\gamma.$$ उदाहरण के लिए, पीनो वक्र की छवि या, अधिक सामान्यतः, एक स्थान-भरने वाला वक्र पूरी तरह से एक वर्ग को भरता है, और इसलिए इस बारे में कोई जानकारी नहीं देता है कि कैसे $$\gamma$$ परिभषित किया।

एक वक्र $$\gamma$$ बन्द है या एक लूप (टोपोलॉजी)  है अगर $$I = [a, b]$$ तथा $$\gamma(a) = \gamma(b)$$. एक बंद वक्र इस प्रकार एक घेरा  के निरंतर मानचित्रण की छवि है।

यदि टोपोलॉजिकल कर्व के फ़ंक्शन का डोमेन  एक बंद और परिबद्ध अंतराल है $$I = [a, b]$$वक्र को पथ (टोपोलॉजी)  कहा जाता है, जिसे टोपोलॉजिकल आर्क (या सिर्फ 'arc)

एक वक्र सरल होता है यदि यह एक इंजेक्शन  निरंतर कार्य द्वारा अंतराल या सर्कल की छवि है। दूसरे शब्दों में, यदि एक वक्र को एक सतत फलन द्वारा परिभाषित किया जाता है $$\gamma$$ एक डोमेन के रूप में एक अंतराल के साथ, वक्र सरल होता है यदि और केवल यदि अंतराल के किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं में अलग-अलग छवियां हों, सिवाय, संभवतः, यदि बिंदु अंतराल के समापन बिंदु हैं। सहज रूप से, एक साधारण वक्र एक ऐसा वक्र है जो स्वयं को पार नहीं करता है और इसमें कोई लापता बिंदु नहीं है (एक निरंतर गैर-स्व-प्रतिच्छेदन वक्र)।

एक समतल सरल बंद वक्र को जॉर्डन वक्र भी कहा जाता है। इसे प्लेन में नॉन-सेल्फ-इंटरसेक्टिंग लूप (टोपोलॉजी) के रूप में भी परिभाषित किया गया है। जॉर्डन वक्र प्रमेय में कहा गया है कि जॉर्डन वक्र के एक विमान में सेट पूरक में दो जुड़े घटक (टोपोलॉजी) होते हैं (अर्थात वक्र विमान को दो गैर-प्रतिच्छेदन क्षेत्र (गणित)  में विभाजित करता है जो दोनों जुड़े हुए हैं)।

एक समतल वक्र  एक वक्र है जिसके लिए $$X$$  यूक्लिडियन विमान  है—ये पहले सामने आए उदाहरण हैं—या कुछ मामलों में प्रक्षेपी तल। एएक वक्र है जिसके लिए $$X$$ कम से कम त्रि-आयामी है; एक  एक अंतरिक्ष वक्र है जो किसी भी विमान में नहीं है। समतल, स्थान और तिरछा वक्र की ये परिभाषाएँ वास्तविक बीजगणितीय ज्यामिति पर भी लागू होती हैं, हालाँकि वक्र की उपरोक्त परिभाषा लागू नहीं होती है (एक वास्तविक बीजगणितीय वक्र अंतरिक्ष से जुड़ा हो सकता है)।

वक्र की परिभाषा में ऐसे आंकड़े शामिल हैं जिन्हें सामान्य उपयोग में शायद ही वक्र कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक साधारण वक्र की छवि समतल (अंतरिक्ष-भरने वाले वक्र) में एक वर्ग (ज्यामिति)  को कवर कर सकती है और इस प्रकार एक सकारात्मक क्षेत्र हो सकता है। भग्न वक्र में ऐसे गुण हो सकते हैं जो सामान्य ज्ञान के लिए अजीब हों। उदाहरण के लिए, एक फ्रैक्टल वक्र में एक  हॉसडॉर्फ आयाम  एक से बड़ा हो सकता है ( कोच हिमपात  देखें) और यहां तक ​​​​कि एक सकारात्मक क्षेत्र भी। एक उदाहरण ड्रैगन वक्र है, जिसमें कई अन्य असामान्य गुण हैं।

विभेदनीय वक्र
मोटे तौर पर बोल रहा हूँ a एक वक्र है जिसे स्थानीय रूप से एक इंजेक्टिव डिफरेंशियल फंक्शन की छवि के रूप में परिभाषित किया गया है $$\gamma \colon I \rightarrow X$$ अंतराल से (गणित) $I$ वास्तविक संख्याओं का एक अलग-अलग कई गुना में $X$, अक्सर $$\mathbb{R}^n.$$ अधिक सटीक रूप से, एक अवकलनीय वक्र एक उपसमुच्चय है $C$ का $X$ जहां का हर बिंदु $C$ एक पड़ोस है $U$ ऐसा है कि $$C\cap U$$ वास्तविक संख्याओं के अंतराल के लिए भिन्नता है। दूसरे शब्दों में, एक अवकलनीय वक्र, आयाम एक का भिन्न-भिन्न कई गुना है।

अवकलनीय चाप
यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक चाप (प्रतीक: ) एक अवकलनीय फलन वक्र का एक कनेक्टेड समुच्चय है।

रेखा के चाप (ज्यामिति) को रेखा खंड,  किरण (ज्यामिति) , या रेखा (ज्यामिति) कहा जाता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि वे कैसे बंधे हैं।

एक सामान्य घुमावदार उदाहरण एक वृत्त  का चाप है, जिसे  वृत्ताकार चाप  कहा जाता है।

एक गोले (या एक गोलाकार) में, एक बड़े वृत्त (या एक महान दीर्घवृत्त ) के एक चाप को एक महान चाप कहा जाता है।

वक्र की लंबाई
यदि $$ X = \mathbb{R}^{n} $$ है $$ n $$-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष, और यदि $$ \gamma: [a,b] \to \mathbb{R}^{n} $$ एक इंजेक्शन और लगातार अलग-अलग कार्य है, तो की लंबाई $$ \gamma $$ मात्रा के रूप में परिभाषित किया गया है

\operatorname{Length}(\gamma) ~ \stackrel{\text{def}}{=} ~ \int_{a}^{b} |\gamma\,'(t)| ~ \mathrm{d}{t}. $$ एक वक्र की लंबाई Parametrization (ज्यामिति) से स्वतंत्र है $$ \gamma $$.

विशेष रूप से, लंबाई $$ s $$ निरंतर अवकलनीय फलन के फलन के ग्राफ का $$ y = f(x) $$ एक बंद अंतराल पर परिभाषित $$ [a,b] $$ है

s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^{2}} ~ \mathrm{d}{x}. $$ अधिक आम तौर पर, अगर $$ X $$ मीट्रिक के साथ एक मीट्रिक स्थान  है $$ d $$, तो हम एक वक्र की लंबाई को परिभाषित कर सकते हैं $$ \gamma: [a,b] \to X $$ द्वारा

\operatorname{Length}(\gamma) ~ \stackrel{\text{def}}{=} ~ \sup \! \left\{ \sum_{i = 1}^{n} d(\gamma(t_{i}),\gamma(t_{i - 1})) ~ \Bigg| ~ n \in \mathbb{N} ~ \text{and} ~ a = t_{0} < t_{1} < \ldots < t_{n} = b \right\}, $$ जहां सर्वोच्च पर कब्जा कर लिया जाता है $$ n \in \mathbb{N} $$ और सभी विभाजन $$ t_{0} < t_{1} < \ldots < t_{n} $$ का $$ [a, b] $$.

एक सुधारीय वक्र विक्षनरी: परिमित लंबाई वाला वक्र होता है। एक वक्र $$ \gamma: [a,b] \to X $$ कहा जाता है (या इकाई-गति या चाप लंबाई द्वारा पैरामीट्रिज्ड) यदि किसी के लिए $$ t_{1},t_{2} \in [a,b] $$ ऐसा है कि $$ t_{1} \leq t_{2} $$, अपने पास

\operatorname{Length} \! \left( \gamma|_{[t_{1},t_{2}]} \right) = t_{2} - t_{1}. $$ यदि $$ \gamma: [a,b] \to X $$ एक Lipschitz निरंतरता है|Lipschitz-निरंतर कार्य, तो यह स्वचालित रूप से सुधार योग्य है। इसके अलावा, इस मामले में, कोई व्यक्ति. की गति (या मीट्रिक व्युत्पन्न ) को परिभाषित कर सकता है $$ \gamma $$ पर $$ t \in [a,b] $$ जैसा

{\operatorname{Speed}_{\gamma}}(t) ~ \stackrel{\text{def}}{=} ~ \limsup_{s \to t} \frac{d(\gamma(s),\gamma(t))}{|s - t|} $$ और फिर दिखाओ कि

\operatorname{Length}(\gamma) = \int_{a}^{b} {\operatorname{Speed}_{\gamma}}(t) ~ \mathrm{d}{t}. $$

विभेदक ज्यामिति
जबकि मिलने वाले वक्रों के पहले उदाहरण ज्यादातर समतल वक्र हैं (अर्थात, रोज़मर्रा के शब्दों में, द्वि-आयामी अंतरिक्ष में घुमावदार रेखाएँ), कुंडलित वक्रता  जैसे स्पष्ट उदाहरण हैं जो स्वाभाविक रूप से तीन आयामों में मौजूद हैं। ज्यामिति की जरूरतें, और उदाहरण के लिए  शास्त्रीय यांत्रिकी  में किसी भी संख्या में आयामों के अंतरिक्ष में वक्र की धारणा होनी चाहिए।  सामान्य सापेक्षता  में, एक  विश्व रेखा   अंतरिक्ष समय  में एक वक्र है।

यदि $$X$$ एक अवकलनीय कई गुना है, तो हम अवकलनीय वक्र की धारणा को परिभाषित कर सकते हैं $$X$$. यह सामान्य विचार गणित में वक्रों के कई अनुप्रयोगों को कवर करने के लिए पर्याप्त है। स्थानीय दृष्टिकोण से कोई ले सकता है $$X$$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष होना। दूसरी ओर, अधिक सामान्य होना उपयोगी है, इसमें (उदाहरण के लिए) वक्रों की विभेदक ज्यामिति  को परिभाषित करना संभव है $$X$$ वक्र की इस धारणा के माध्यम से।

यदि $$X$$ एक चिकनी कई गुना है, एक चिकनी वक्र है $$X$$ एक चिकना नक्शा  है


 * $$\gamma \colon I \rightarrow X$$.

यह एक बुनियादी धारणा है। कम और अधिक प्रतिबंधित विचार भी हैं। यदि $$X$$ एक है $$C^k$$ कई गुना (यानी, कई गुना जिसका चार्ट (टोपोलॉजी)  है $$k$$ बार लगातार भिन्न), फिर a $$C^k$$ वक्र इन $$X$$ एक ऐसा वक्र है जिसे केवल माना जाता है $$C^k$$ (अर्थात। $$k$$ बार लगातार अलग-अलग)। यदि $$X$$ एक मैनिफोल्ड है (अर्थात असीम रूप से भिन्न और चार्ट शक्ति श्रृंखला के रूप में व्यक्त करने योग्य हैं), और $$\gamma$$ एक विश्लेषणात्मक नक्शा है, तो $$\gamma$$ विश्लेषणात्मक वक्र कहा जाता है।

एक अवकलनीय वक्र कहा जाता है 'regularअगर इसका व्युत्पन्न कभी गायब नहीं होता है। (शब्दों में, एक नियमित वक्र कभी भी रुकने के लिए धीमा नहीं होता है या अपने आप पीछे नहीं होता है।) दो $$C^k$$ अवकलनीय वक्र


 * $$\gamma_1 \colon I \rightarrow X$$ तथा


 * $$\gamma_2 \colon J \rightarrow X$$

एक आपत्ति होने पर समकक्ष कहा जाता है $$C^k$$ नक्शा


 * $$p \colon J \rightarrow I$$

ऐसा है कि उलटा नक्शा


 * $$p^{-1} \colon I \rightarrow J$$

ई आल्सो $$C^k$$, तथा


 * $$\gamma_{2}(t) = \gamma_{1}(p(t))$$

सभी के लिए $$t$$. नक्शा $$\gamma_2$$ का पुनर्मूल्यांकन कहा जाता है $$\gamma_1$$; और यह सभी के सेट पर एक तुल्यता संबंध  बनाता है $$C^k$$ अवकलनीय वक्र in $$X$$. ए $$C^k$$ चाप का एक तुल्यता वर्ग  है $$C^k$$ reparametrization के संबंध के तहत घटता है।

बीजीय वक्र
बीजीय वक्र बीजगणितीय ज्यामिति  में माने जाने वाले वक्र हैं। एक समतल बीजीय वक्र निर्देशांक के बिंदुओं का समुच्चय (गणित) है $x, y$ ऐसा है कि $f(x, y) = 0$, कहाँ पे $f$ किसी क्षेत्र में परिभाषित दो चरों में एक बहुपद है $F$. एक कहता है कि वक्र को ऊपर परिभाषित किया गया है $F$. बीजगणितीय ज्यामिति आम तौर पर न केवल निर्देशांक वाले बिंदुओं पर विचार करती है $F$ लेकिन बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र  में निर्देशांक वाले सभी बिंदु $K$.

यदि C, F में गुणांक वाले बहुपद f द्वारा परिभाषित एक वक्र है, तो वक्र को F के ऊपर परिभाषित कहा जाता है।

वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित वक्र के मामले में, सामान्य रूप से जटिल संख्या निर्देशांक वाले बिंदुओं पर विचार किया जाता है। इस मामले में, वास्तविक निर्देशांक वाला एक बिंदु एक वास्तविक बिंदु है, और सभी वास्तविक बिंदुओं का सेट वक्र का वास्तविक भाग है। इसलिए यह एक बीजीय वक्र का केवल वास्तविक भाग है जो एक टोपोलॉजिकल वक्र हो सकता है (यह हमेशा ऐसा नहीं होता है, क्योंकि बीजीय वक्र का वास्तविक भाग काट दिया जा सकता है और इसमें पृथक बिंदु हो सकते हैं)। संपूर्ण वक्र, जो इसके जटिल बिंदु का समुच्चय है, स्थलीय दृष्टिकोण से एक सतह है। विशेष रूप से, गैर-एकवचन जटिल प्रक्षेपी बीजीय वक्रों को रीमैन सतह कहा जाता है।

एक वक्र के बिंदु $C$ एक क्षेत्र में निर्देशांक के साथ $G$ अधिक तर्कसंगत कहा जाता है $G$ और निरूपित किया जा सकता है $C(G)$. कब $G$ परिमेय संख्या ओं का क्षेत्र है, कोई केवल परिमेय बिंदुओं की बात करता है। उदाहरण के लिए, Fermat's Last Theorem को इस प्रकार पुनर्कथित किया जा सकता है: For $n > 2$, डिग्री के फर्मेट वक्र का प्रत्येक तर्कसंगत बिंदु $n$ शून्य समन्वय है।

बीजीय वक्र अंतरिक्ष वक्र भी हो सकते हैं, या उच्च आयाम वाले स्थान में वक्र हो सकते हैं, मान लीजिए $n$. उन्हें एक बीजीय किस्म एक के आयाम की बीजगणितीय किस्मों के रूप में परिभाषित किया गया है। उन्हें कम से कम के सामान्य समाधान के रूप में प्राप्त किया जा सकता है $n–1$ में बहुपद समीकरण $n$ चर। यदि $n–1$ बहुपद आयाम के स्थान में एक वक्र को परिभाषित करने के लिए पर्याप्त हैं $n$, वक्र को पूर्ण प्रतिच्छेदन कहा जाता है। चर को समाप्त करके ( उन्मूलन सिद्धांत के किसी भी उपकरण द्वारा), एक बीजीय वक्र को एक समतल बीजीय वक्र पर प्रक्षेपित किया जा सकता है, जो हालांकि नई विलक्षणताओं जैसे कि cusp (विलक्षण) या दोहरे बिंदुओं को पेश कर सकता है।

एक समतल वक्र को प्रक्षेप्य तल में एक वक्र तक भी पूरा किया जा सकता है: यदि एक वक्र को बहुपद द्वारा परिभाषित किया जाता है $f$ कुल डिग्री का $d$, फिर $w^{d}f(u/w, v/w)$ एक सजातीय बहुपद  को सरल करता है $g(u, v, w)$ डिग्री का $d$. के मान $u, v, w$ ऐसा है कि $g(u, v, w) = 0$ प्रक्षेप्य तल में वक्र के पूरा होने के बिंदुओं के सजातीय निर्देशांक हैं और प्रारंभिक वक्र के बिंदु ऐसे हैं कि $w$ शून्य नहीं है। एक उदाहरण फर्मेट वक्र है $u^{n} + v^{n} = w^{n}$, जिसका एक affine रूप है $x^{n} + y^{n} = 1$. उच्च आयामी रिक्त स्थान में वक्रों के लिए समरूपीकरण की एक समान प्रक्रिया को परिभाषित किया जा सकता है।

रेखा (ज्यामिति) को छोड़कर, बीजगणितीय वक्रों के सबसे सरल उदाहरण शंकु खंड हैं, जो डिग्री दो और जीनस (गणित) शून्य के गैर-एकवचन वक्र हैं। अण्डाकार वक्र, जो एक जीनस के गैर-एकवचन वक्र हैं, का अध्ययन  संख्या सिद्धांत  में किया जाता है, और क्रिप्टोग्राफी के लिए महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं।

यह भी देखें

 * समन्वय वक्र
 * झुर्रीदार चाप
 * वक्र फिटिंग
 * वक्र अभिविन्यास
 * वक्र रेखाचित्र
 * वक्रों की विभेदक ज्यामिति
 * वक्रों की गैलरी
 * वक्र विषयों की सूची
 * वक्रों की सूची
 * ओस्कुलेटिंग सर्कल
 * पैरामीट्रिक सतह
 * पथ (टोपोलॉजी)
 * बहुभुज वक्र
 * स्थिति वेक्टर
 * वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन
 * अनंत-आयामी वेक्टर फ़ंक्शन
 * घुमावदार संख्या

संदर्भ

 * Euclid, commentary and trans. by T. L. Heath Elements Vol. 1 (1908 Cambridge) Google Books
 * E. H. Lockwood A Book of Curves (1961 Cambridge)
 * Euclid, commentary and trans. by T. L. Heath Elements Vol. 1 (1908 Cambridge) Google Books
 * E. H. Lockwood A Book of Curves (1961 Cambridge)

बाहरी संबंध

 * Famous Curves Index, School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland
 * Mathematical curves A collection of 874 two-dimensional mathematical curves
 * Gallery of Space Curves Made from Circles, includes animations by Peter Moses
 * Gallery of Bishop Curves and Other Spherical Curves, includes animations by Peter Moses
 * The Encyclopedia of Mathematics article on lines.
 * The Manifold Atlas page on 1-manifolds.