सेप्स्ट्रम

फोरियर विश्लेषण में, सेप्स्ट्रम (बहुवचन सेपस्ट्रा, विशेषण सेप्स्ट्रल) अनुमानित सिग्नल स्पेक्ट्रम के लघुगणक के व्युत्क्रम फोरियर रूपांतरण (आईएफटी) की गणना का परिणाम है। आवृत्ति स्पेक्ट्रा में आवधिक संरचनाओं की जांच के लिए विधि एक उपकरण है। मानव भाषण के विश्लेषण में पावर सेप्स्ट्रम के अनुप्रयोग हैं।

सेप्स्ट्रम शब्द, स्पेक्ट्रम नमक शब्द के कुछ वर्णो का स्थान बदल कर प्राप्त किया गया है। सेप्स्ट्रा के संचालन को क्वेफ्रेन्सी विश्लेषण (या क्वेफ्रेन्सी विश्लेषण ), उत्थापन, या सेप्स्ट्रल विश्लेषण लेबल किया जाता है। इसका उच्चारण दो तरह से किया जा सकता है, दूसरा केपस्ट्रम के साथ भ्रम से बचने का लाभदायक है।



उत्पत्ति
सेपस्ट्रम की अवधारणा 1963 में बी. पी. बोगर्ट, एम. जे. हीली और जे. डब्ल्यू. तुकी द्वारा प्रस्तुत की गई थी। यह आवृत्ति स्पेक्ट्रा में आवधिक संरचनाओं की जांच करने के लिए एक उपकरण के रूप में कार्य करता है। इस तरह के प्रभाव संकेत में सुस्पष्ट प्रतिध्वनियों या प्रतिबिंबों से संबंधित होते हैं, या हार्मोनिक आवृत्तियों (आंशिक, ओवरटोन) की घटना से संबंधित होते हैं। गणितीय रूप से यह आवृत्ति दिक् में सिग्नलों के विघटन की समस्या से निपटता है।

ग्रंथ सूची में बोगर्ट पेपर के सन्दर्भों को प्रायः गलत तरीके से संपादित किया जाता है। फ्रीक्वेंसी, एनालिसिस, स्पेक्ट्रम और फेज में वर्णो को पुनर्स्थापित करके लेखकों द्वारा "क्वेफ्रेन्सी", "एलेनिसिस", "सेप्स्ट्रम" और "सेफे" शब्दों का आविष्कार किया गया। आविष्कृत शब्दों को पुराने शब्दों के अनुरूप परिभाषित किया जाता है।

सामान्य परिभाषा
सेप्स्ट्रम गणितीय संक्रियाओं के निम्नलिखित क्रम का परिणाम है:
 * समय डोमेन से आवृत्ति डोमेन में सिग्नल का परिवर्तन
 * स्पेक्ट्रल आयाम के लघुगणक की गणना
 * क्वेफ़्रेंसी डोमेन में परिवर्तन, जहाँ अंतिम स्वतंत्र चर, क्वेफ़्रेंसी, का एक समय पैमाना है।

प्रकार
सेपस्ट्रम का उपयोग कई रूपों में किया जाता है। सर्वाधिक महत्वपूर्ण हैं:
 * पावर सेपस्ट्रम: लघुगणक "पावर स्पेक्ट्रम" से लिया गया है
 * जटिल सेपस्ट्रम: लघुगणक स्पेक्ट्रम से लिया जाता है, जिसकी गणना फोरियर विश्लेषण के माध्यम से की जाती है

सेप्स्ट्रम को समझाने के लिए सूत्रों में निम्नलिखित संक्षिप्त रूपों का उपयोग किया जाता है:

पावर सेपस्ट्रम
"सेप्स्ट्रम" को मूल रूप से निम्नलिखित संबंधों द्वारा पावर सेप्स्ट्रम के रूप में परिभाषित किया गया है:


 * $$C_{p}=\left|\mathcal{F}^{-1}\left\{\log\left(\left|\mathcal{F}\{f(t)\}\right|^2\right)\right\}\right|^2$$

पावर सेप्स्ट्रम में ध्वनि और कंपन संकेतों के विश्लेषण में मुख्य अनुप्रयोग हैं। यह स्पेक्ट्रल विश्लेषण के लिए पूरक उपकरण है।

कभी-कभी इसे निम्न रूप में भी परिभाषित किया जाता है:


 * $$C_{p}=\left|\mathcal{F}\left\{\log\left(\left|\mathcal{F}\{f(t)\}\right|^2\right)\right\}\right|^2$$

इस सूत्र के कारण, सेपस्ट्रम को कभी-कभी किसी स्पेक्ट्रम का स्पेक्ट्रम भी कहा जाता है। यह दिखाया जा सकता है कि दोनों सूत्र एक-दूसरे के अनुरूप हैं क्योंकि आवृत्ति स्पेक्ट्रल वितरण समान रहता है, केवल अंतर स्केलिंग कारक है जिसे बाद में लागू किया जा सकता है। कुछ लेख दूसरे सूत्र को पसंद करते हैं।

अन्य संकेतन इस तथ्य के कारण संभव हैं कि यदि स्केलिंग कारक 2 लागू किया जाता है तो पावर स्पेक्ट्रम का लॉग स्पेक्ट्रम के लॉग के बराबर होता है:

$$\log |\mathcal{F}|^2 = 2 \log |\mathcal{F}| $$

अतः
 * $$C_{p}=\left|\mathcal{F}^{-1}\left\{2\log |\mathcal{F}|\right\}\right|^2, \text{ or} $$
 * $$C_{p}=4\cdot\left|\mathcal{F}^{-1}\left\{\log |\mathcal{F}| \right\}\right|^2,$$

जो वास्तविक सेप्स्ट्रम के साथ संबंध प्रदान करता है (नीचे देखें)।

इसके अतिरिक्त, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पावर स्पेक्ट्रम $$C_{p}$$ के लिए सूत्र में अंतिम वर्ग संक्रिया को कभी-कभी अनावश्यक कहा जाता है और इसलिए कभी-कभी छोड़ दिया जाता है।

वास्तविक सेपस्ट्रम प्रत्यक्ष रूप से पावर सेप्स्ट्रम से संबंधित है:


 * $$C_{p}=4\cdot C_{r}^2$$

यह कला अभियोग (जटिल लघुगणक के काल्पनिक भाग में निहित) को त्यागकर जटिल सेप्स्ट्रम (नीचे परिभाषित) से प्राप्त होता है। इसका केंद्र स्पेक्ट्रम के आयामों में आवधिक प्रभावों पर होता है:
 * $$C_{r}=\mathcal{F}^{-1}\left\{\log(\mathcal{|\mathcal{F}\{f(t) \}|})\right\}$$

जटिल सेप्स्ट्रम
जटिल सेप्स्ट्रम को होमोमोर्फिक प्रणाली सिद्धांत के अपने विकास में ओपेनहेम द्वारा परिभाषित किया गया था। सूत्र अन्य साहित्य में भी उपलब्ध कराया गया है।
 * $$C_{c}=\mathcal{F}^{-1}\left\{\log( \mathcal{F}\{f(t) \})\right\}$$

जैसा कि $$\mathcal{F}$$ सम्मिश्र है, लघुगणक-पद को $$\mathcal{F}$$ के साथ परिमाण और कला के उत्पाद के रूप में और बाद में योग के रूप में भी लिखा जा सकता है। इसके अतिरिक्त सरलीकरण स्पष्ट है, यदि लघुगणक आधार ई के साथ एक प्राकृतिक लघुगणक है:


 * $$\log(\mathcal{F}) = \log(\mathcal{|F| \cdot e^{i\varphi}})$$
 * $$\log_e(\mathcal{F}) = \log_e(\mathcal{|F|}) + \log_e(e^{i\varphi}) = \log_e(\mathcal{|F|}) + i\varphi$$

इसलिए: जटिल सेप्स्ट्रम को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:


 * $$C_{c}=\mathcal{F}^{-1}\left\{\log_e(\mathcal{|F|}) + i\varphi\right\}$$

जटिल सेप्स्ट्रम कला कला के अभियोग को बरकरार रखता है। इस प्रकार व्युत्क्रम संचालन द्वारा क्वेफ्रेन्सी डोमेन से टाइम डोमेन पर वापस आना सदैव संभव है:
 * $$f(t)=\mathcal{F}^{-1}\left\{b^\left(\mathcal{F}\{C_c\}\right)\right\},$$

जहां बी (B) प्रयुक्त लघुगणक का आधार है।

मुख्य अनुप्रयोग वर्णक्रमीय आवृत्ति डोमेन में निस्यन्दन के लिए एनालॉग संक्रिया के रूप में क्वेफ्रेंसी डोमेन (लिफ्टिंग) में सिग्नल का संशोधन है। एक उदाहरण कुछ विशिष्टताओं के दमन द्वारा प्रतिध्वनि प्रभावों का दमन है।

कला सेप्स्ट्रम (फेज स्पेक्ट्रम के बाद) कॉम्प्लेक्स सेप्स्ट्रम से संबंधित है:
 * कला स्पेक्ट्रम = (जटिल सेप्स्ट्रम - जटिल सेप्स्ट्रम का कालोत्क्रमण)2।

संबंधित अवधारणाएं
सेप्स्ट्रल ग्राफ के स्वतंत्र चर को क्वेफ्रेन्सी कहा जाता है। क्वेफ़्रेंसी समय का एक माप है, हालांकि समय डोमेन में एक संकेत के अर्थ में नहीं। उदाहरण के लिए, यदि किसी ऑडियो सिग्नल की सैंपलिंग दर 44100 Hz (हर्ट्ज) है और सेपस्ट्रम में एक बड़ी चोटी है, जिसकी क्वफ़्रेंसी 100 प्रतिरूप है, तो शिखर एक मूल आवृत्ति की उपस्थिति को इंगित करता है जो 44100/100 = 441 Hz (हर्ट्ज) है। यह शिखर सेपस्ट्रम में होता है क्योंकि स्पेक्ट्रम में हार्मोनिक आवधिक होते हैं और अवधि मूल आवृत्ति से मेल खाती है, क्योंकि हार्मोनिक मूल आवृत्ति के पूर्णांक गुणक होते हैं।

केपस्ट्रम, जो "कोलमोगोरोव-समीकरण पावर-श्रृंखला समय प्रतिक्रिया" के लिए खड़ा है, सेपस्ट्रम के समान है और इसके साथ वही संबंध है जो अपेक्षित मूल्य का सांख्यिकीय औसत है, अर्थात सेपस्ट्रम अनुभवजन्य रूप से मापी गई मात्रा है, जबकि केपस्ट्रम सैद्धांतिक मात्रा है। यह सेपस्ट्रम से पहले प्रयोग में था।

स्वसेप्स्ट्रम को स्वसहसंबंध के सेप्स्ट्रम के रूप में परिभाषित किया गया है। प्रतिध्वियों के साथ डेटा के विश्लेषण में स्वसेप्स्ट्रम, सेप्स्ट्रम की तुलना में अधिक यथार्त होता है।

वर्णविपर्यास विषय वस्तु पर अग्रिम वादन के साथ, निस्यन्दक जो एक सेपस्ट्रम पर काम करता है उसे निस्यन्दक कहा जा सकता है। निम्न-पास निस्यन्दक आवृत्ति डोमेन में लो-पास निस्यन्दक के समान होता है। इसे क्वेफ्रेंसी डोमेन में विंडो से गुणा करके और फिर आवृत्ति डोमेन में वापस कनवर्ट करके कार्यान्वित किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप संशोधित सिग्नल होता है, अर्थात सिग्नल प्रतिध्वनि कम हो जाता है।

व्याख्या
सेपस्ट्रम को विभिन्न स्पेक्ट्रम बैंडों में परिवर्तन की दर के बारे में सूचना के रूप में देखा जा सकता है। इसका आविष्कार मूल रूप से भूकंप और बम विस्फोटों से उत्पन्न भूकंपीय गूँज को चिह्नित करने के लिए किया गया था। इसका उपयोग मानव भाषण की मूलभूत आवृत्ति को निर्धारित करने और रडार सिग्नल रिटर्न का विश्लेषण करने के लिए भी किया गया है। सेपस्ट्रम पिच निर्धारण विशेष रूप से प्रभावी है क्योंकि वोकल उत्तेजना (पिच) और वोकल ट्रैक्ट (फॉर्मेंट) के प्रभाव पावर स्पेक्ट्रम के लघुगणक में योगात्मक होते हैं और इस प्रकार स्पष्ट रूप से अलग होते हैं।

सेप्स्ट्रम एक प्रतिनिधित्व है जिसका उपयोग होमोमोर्फिक सिग्नल प्रक्रमण में किया जाता है, जो कि कनवल्शन (जैसे एक स्रोत और निस्यन्दक) द्वारा संयुक्त संकेतों को रैखिक पृथक्करण के लिए उनके सेपस्ट्रा के योग में परिवर्तित करता है। विशेष रूप से, पावर सेपस्ट्रम को प्रायः मानव आवाज और संगीत संकेतों का प्रतिनिधित्व करने के लिए फीचर वेक्टर के रूप में उपयोग किया जाता है। इन अनुप्रयोगों के लिए, आमतौर पर स्पेक्ट्रम को पहले मेल स्केल का उपयोग करके रूपांतरित किया जाता है। परिणाम को मेल-आवृत्ति सेप्स्ट्रम या एमएफसी (इसके गुणांकों को मेल-आवृत्ति सेप्स्ट्रल गुणांक, या एमएफसीसी कहा जाता है) कहा जाता है। इसका उपयोग आवाज की पहचान, पिच पहचान और बहुत कुछ के लिए किया जाता है। सेपस्ट्रम इन अनुप्रयोगों में उपयोगी है क्योंकि मुखर रस्सियों से कम आवृत्ति आवधिक उत्तेजना और मुखर पथ के फॉर्मेंट निस्यन्दन, जो समय डोमेन में घूमते हैं और आवृत्ति डोमेन में गुणा करते हैं, योगात्मक होते हैं और क्वेफ्रेन्सी डोमेन में विभिन्न क्षेत्रों में होते हैं।

ध्यान दें कि एक शुद्ध साइन वेव का उपयोग सेप्स्ट्रम के परीक्षण के लिए क्वेफ्रेन्सी से इसकी पिच निर्धारण के लिए नहीं किया जा सकता है क्योंकि शुद्ध साइन वेव में कोई हार्मोनिक्स नहीं होता है और यह क्वेफ्रेन्सी चोटियों तक नहीं ले जाता है। बल्कि, हार्मोनिक्स युक्त एक परीक्षण संकेत का उपयोग किया जाना चाहिए (जैसे कम से कम दो साइन का योग जहां दूसरी साइन पहली साइन के कुछ हार्मोनिक (एकाधिक) है, या बेहतर, एक वर्ग या त्रिकोण तरंग के साथ एक संकेत, क्योंकि ऐसे सिग्नल स्पेक्ट्रम में कई ओवरटोन प्रदान करते हैं।)

सेप्स्ट्रल डोमेन की एक महत्वपूर्ण संपत्ति यह है कि दो संकेतों के कनवल्शन को उनके जटिल सेपस्ट्रा के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$x_1 * x_2 \mapsto x'_1 + x'_2.$$

अनुप्रयोग
सेपस्ट्रम की अवधारणा ने कई अनुप्रयोगों को जन्म दिया है: हाल ही में सेप्स्ट्रम आधारित विसंवलन का उपयोग प्रसंभाव्य (स्टोकेस्टिक) आवेग ट्रेनों के प्रभाव को दूर करने के लिए किया गया, जो कि एसईएमजी सिग्नल के पावर स्पेक्ट्रम से ही एक एसईएमजी सिग्नल उत्पन्न करता है। इस तरह, केवल मोटर यूनिट एक्शन पोटेंशिअल (एमयुएपी) के आकार और आयाम के अभियोग को बनाए रखा जाता है, और फिर, एमयुएपी के समय-डोमेन मॉडल के मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए उपयोग किया जाता है।
 * परावर्तन परामर्श (रडार, सोनार अनुप्रयोग, पृथ्वी भूकंप विज्ञान)
 * स्पीकर की मूल आवृत्ति (पिच) का आकलन
 * भाषण विश्लेषण और पहचान
 * विद्युतमस्तिष्कलेख (इलेक्ट्रोएन्सेफ्लोग्राम) (ईईजी) और मस्तिष्क तरंगों के विश्लेषण में चिकित्सा अनुप्रयोग
 * हार्मोनिक पैटर्न के आधार पर मशीन कंपन विश्लेषण (गियरबॉक्स दोष, टरबाइन ब्लेड विफलता, ...)

मानव भाषण के पिच निर्धारण के लिए अनुप्रयोग के लिए श्रोएडर और नोल द्वारा एक लघु-समय के सेपस्ट्रम विश्लेषण का प्रस्ताव किया गया।

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 * "Speech analysis: Cepstral analysis vs. LPC", www.advsolned.com
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 * "Speech analysis: Cepstral analysis vs. LPC", www.advsolned.com
 * "A tutorial on Cepstrum and LPCCs"