डायमंड सिद्धांत

गणित में, और विशेष रूप से स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत में हीरा सिद्धांत $◊$ में रोनाल्ड जेन्सेन द्वारा पेश किया गया एक संयोजन सिद्धांत है जो रचनात्मक ब्रह्मांड में है ($L$) और इसका तात्पर्य सातत्य परिकल्पना से है। जेन्सेन ने हीरे के सिद्धांत को अपने प्रमाण से निकाला कि निर्माण की स्वयंसिद्धता ($V = L$) एक सुस्लिन वृक्ष के अस्तित्व का तात्पर्य है।

परिभाषाएँ
हीरा सिद्धांत $◊$ कहते हैं कि एक मौजूद है◊-sequence, सेट का एक परिवार $A_{α} ⊆ α$ के लिए $α < ω_{1}$ ऐसा कि किसी भी उपसमुच्चय के लिए $A$ प्रथम बेशुमार क्रमसूचक |ω1के समुच्चय $α$ साथ $A ∩ α = A_{α}$ में स्थिर है $ω_{1}$.

हीरा सिद्धांत के कई समतुल्य रूप हैं। एक कहता है कि एक गणनीय संग्रह है $A_{α}$ के सबसेट का $α$ प्रत्येक गणनीय अध्यादेश के लिए $α$ ऐसा कि किसी भी उपसमुच्चय के लिए $A$ का $ω_{1}$ एक स्थिर उपसमुच्चय है $C$ का $ω_{1}$ ऐसा कि सभी के लिए $α$ में $C$ अपने पास $A ∩ α ∈ A_{α}$ और $C ∩ α ∈ A_{α}$. एक अन्य समतुल्य रूप बताता है कि सेट मौजूद हैं $A_{α} ⊆ α$ के लिए $α < ω_{1}$ ऐसा कि किसी भी उपसमुच्चय के लिए $A$ का $ω_{1}$ कम से कम एक अनंत है $α$ साथ $A ∩ α = A_{α}$.

अधिक आम तौर पर, किसी दिए गए बुनियादी संख्या के लिए $κ$ और एक स्थिर सेट $S ⊆ κ$, कथन $◊_{S}$ (कभी-कभी लिखा जाता है $◊(S)$ या $◊_{κ}(S)$) कथन है कि एक क्रम है $⟨A_{α} : α ∈ S⟩$ ऐसा है कि

सिद्धांत $A_{α} ⊆ α$ वैसा ही है जैसा कि $A ⊆ κ$.
 * प्रत्येक ${α ∈ S : A ∩ α = A_{α} }$
 * हरएक के लिए $κ$, $◊_{ω_{1}}|undefined$ में स्थिर है $◊$

हीरा-प्लस सिद्धांत $◊^{+}$ बताता है कि एक मौजूद है$◊^{+}$-अनुक्रम, दूसरे शब्दों में एक गणनीय संग्रह $A_{α}$ के सबसेट का $α$ प्रत्येक गणनीय क्रमिक α के लिए जैसे कि किसी भी सबसेट के लिए $A$ का $ω_{1}$ एक बंद असीमित उपसमुच्चय है $C$ का $ω_{1}$ ऐसा कि सभी के लिए $α$ में $C$ अपने पास $A ∩ α ∈ A_{α}$ और $C ∩ α ∈ A_{α}$.

गुण और उपयोग
दिखाया कि हीरा सिद्धांत $◊$ सुस्लिन वृक्षों के अस्तित्व को दर्शाता है। उन्होंने यह भी दिखाया $V = L$ हीरा-प्लस सिद्धांत का तात्पर्य है, जो हीरा सिद्धांत का तात्पर्य है, जिसका अर्थ है निरंतर परिकल्पना। विशेष रूप से हीरा सिद्धांत और हीरा-प्लस सिद्धांत दोनों ZFC के स्वयंसिद्धों की स्वतंत्रता (गणितीय तर्क) हैं। भी $♣ + CH$ तात्पर्य $◊$, बूत सहारों शेलाह गावे मॉडल्स ऑफ़ $♣ + ¬ CH$, इसलिए $◊$ और $♣$ समतुल्य नहीं हैं (बल्कि, $♣$ से कमजोर है $◊$).

हीरा सिद्धांत $◊$ एक कुरेपा वृक्ष के अस्तित्व का अर्थ नहीं है, बल्कि मजबूत है $◊^{+}$ सिद्धांत दोनों का तात्पर्य है $◊$ कुरेपा वृक्ष का सिद्धांत और अस्तित्व।

इस्तेमाल किया गया $◊$ C*-बीजगणित बनाने के लिए |$C*$- बीजगणित नाइमार्क की समस्या के प्रति उदाहरण के रूप में कार्य करता है।

सभी कार्डिनल्स के लिए $κ$ और स्थिर उपसमुच्चय $S ⊆ κ^{+}$, $◊_{S}$ रचनात्मक ब्रह्मांड में रखता है। के लिए साबित किया $κ > ℵ_{0}$, $◊_{κ^{+}}(S)|undefined$ से अनुसरण करता है $2^{κ} = κ^{+}$ स्थिर के लिए $S$ जिसमें cofinality के अध्यादेश शामिल नहीं हैं $κ$.

शेलाह ने दिखाया कि हीरे का सिद्धांत व्हाइटहेड समस्या को हल करता है, जिसका अर्थ है कि व्हाइटहेड की हर समस्या मुक्त है।

यह भी देखें

 * ZFC से स्वतंत्र बयानों की सूची
 * L में कथन सत्य | कथन सत्य में $L$