ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण

सांख्यिकीय यांत्रिकी में ऑर्नस्टीन-ज़र्निक (OZ) समीकरण एक अभिन्न समीकरण है लियोनार्ड ऑर्नस्टीन और फ्रिट्स ज़र्निके द्वारा जो विभिन्न सहसंबंध फ़ंक्शन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) को एक दूसरे से जोड़ता है। क्लोजर (गणित) संबंध के साथ, इसका उपयोग तरल पदार्थ या कोलाइड जैसे अनाकार पदार्थ के संरचना कारक और थर्मोडायनामिक स्थिति कार्यों की गणना करने के लिए किया जाता है।

प्रसंग
गणना के लिए सन्निकटन की नींव के रूप में OZ समीकरण का व्यावहारिक महत्व है तरल पदार्थ में अणुओं या आयनों या कोलाइडल कणों का युग्म सहसंबंध कार्य। जोड़ी सहसंबंध फ़ंक्शन फूरियर ट्रांसफॉर्म के माध्यम से स्थिर संरचना कारक से संबंधित है, जिसे एक्स-रे विवर्तन या न्यूट्रॉन विवर्तन का उपयोग करके प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित किया जा सकता है।

OZ समीकरण युग्म सहसंबंध फ़ंक्शन को प्रत्यक्ष सहसंबंध फ़ंक्शन से संबंधित करता है। प्रत्यक्ष सहसंबंध फ़ंक्शन का उपयोग केवल OZ समीकरण के संबंध में किया जाता है, जिसे वास्तव में इसकी परिभाषा के रूप में देखा जा सकता है। OZ समीकरण के अलावा, जोड़ी सहसंबंध फ़ंक्शन की गणना के लिए अन्य तरीकों में कम घनत्व पर वायरल विस्तार, और BBGKY पदानुक्रम | बोगोलीबोव-बॉर्न-ग्रीन-किर्कवुड-यवॉन (BBGKY) पदानुक्रम शामिल हैं। इनमें से किसी भी विधि को एक भौतिक सन्निकटन के साथ जोड़ा जाना चाहिए: वायरल विस्तार के मामले में काट-छाँट, OZ या BBGKY के लिए एक समापन संबंध।

समीकरण
अंकन को सरल रखने के लिए, हम केवल सजातीय तरल पदार्थों पर विचार करते हैं। इस प्रकार जोड़ी सहसंबंध फ़ंक्शन केवल दूरी पर निर्भर करता है, और इसलिए इसे रेडियल वितरण फ़ंक्शन भी कहा जाता है। इसे लिखा जा सकता है
 * $$g(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2) = g(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2) \equiv g(\mathbf{r}_{12}) = g(|\mathbf{r}_{12}|) \equiv g(r_{12}) \equiv g(12),$$

जहां पहली समानता एकरूपता से आती है, दूसरी आइसोट्रॉपी से, और समतुल्यताएं नए अंकन का परिचय देती हैं।

कुल सहसंबंध फ़ंक्शन को इस प्रकार परिभाषित करना सुविधाजनक है:


 * $$ h(12)\equiv g(12)-1$$

जो दूरी पर अणु 2 पर अणु 1 के प्रभाव को व्यक्त करता है $$\,r_{12}\,$$. OZ समीकरण

इस प्रभाव को दो योगदानों में विभाजित करता है, प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष। प्रत्यक्ष योगदान प्रत्यक्ष सहसंबंध फ़ंक्शन को परिभाषित करता है, $$c(r).$$ अप्रत्यक्ष भाग तीसरे, लेबल वाले अणु 3 पर अणु 1 के प्रभाव के कारण होता है, जो बदले में अणु 2 को प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष रूप से प्रभावित करता है। यह अप्रत्यक्ष प्रभाव घनत्व द्वारा भारित होता है और अणु 3 की सभी संभावित स्थितियों पर औसत होता है।

अप्रत्यक्ष प्रभाव को ख़त्म करके, $$\,c(r)\,$$ से कम दूरी वाला है $$h(r)$$ और अधिक आसानी से मॉडलिंग और अनुमान लगाया जा सकता है। की त्रिज्या $$\,c(r)\,$$ अंतर-आण्विक बलों की त्रिज्या द्वारा निर्धारित किया जाता है, जबकि की त्रिज्या $$\,h(r)\,$$ सहसंबंध लंबाई के क्रम का है।

फूरियर रूपांतरण
OZ समीकरण में अभिन्न एक कनवल्शन है। इसलिए, OZ समीकरण को फूरियर रूपांतरित करता है द्वारा हल किया जा सकता है। यदि हम फूरियर परिवर्तनों को निरूपित करते हैं $$h(\mathbf{r})$$ और $$c(\mathbf{r})$$ द्वारा $$\hat{h}(\mathbf{k})$$ और $$\hat{c}(\mathbf{k})$$, क्रमशः, और कनवल्शन प्रमेय का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं


 * $$ \hat{h}(\mathbf{k}) \; = \; \hat{c}(\mathbf{k}) \; + \; \rho \; \hat{h}(\mathbf{k})\;\hat{c}(\mathbf{k})~, $$

कौन सी पैदावार


 * $$ \hat{c}(\mathbf{k}) \; = \; \frac{\hat{h}(\mathbf{k})}{\;1 \;+\;\rho \;\hat{h}(\mathbf{k})\;} \qquad \text{ and } \qquad \hat{h}(\mathbf{k}) \; = \; \frac{\hat{c}(\mathbf{k})}{\; 1 \; - \; \rho \; \hat{c}(\mathbf{k}) \;} ~. $$

बंद रिश्ते
दोनों कार्यों के रूप में, $$ \,h \,$$ और $$ \,c \,$$, अज्ञात हैं, किसी को एक अतिरिक्त समीकरण की आवश्यकता होती है, जिसे क्लोजर (गणित) संबंध के रूप में जाना जाता है। जबकि OZ समीकरण पूरी तरह से औपचारिक है, समापन में कुछ शारीरिक रूप से प्रेरित सन्निकटन शामिल होना चाहिए।

निम्न-घनत्व सीमा में, युग्म सहसंबंध फ़ंक्शन बोल्ट्ज़मान कारक द्वारा दिया जाता है,


 * $$g(12)=\text{e}^{-\beta u(12)},\quad \rho\to 0$$

साथ $$\beta=1/k_\text{B} T$$ और जोड़ी क्षमता के साथ $$u(r)$$. उच्च घनत्व के लिए समापन संबंध इस सरल संबंध को विभिन्न तरीकों से संशोधित करते हैं। सबसे प्रसिद्ध समापन सन्निकटन हैं:
 * अभेद्य (कठोर) कोर वाले कणों के लिए पर्कस-येविक सन्निकटन,
 * हाइपरनेटेटेड-चेन समीकरण|हाइपरनेटेटेड-चेन सन्निकटन, नरम कोर और आकर्षक संभावित पूंछ वाले कणों के लिए,
 * माध्य गोलाकार सन्निकटन,
 * रोजर्स-यंग सन्निकटन।

बाद वाले दो पहले वाले दो कणों के बीच अलग-अलग तरीकों से प्रक्षेप करते हैं, और इस प्रकार उन कणों का संतोषजनक विवरण प्राप्त करते हैं जिनमें कठोर कोर और आकर्षक बल होते हैं।