प्रकीर्णन आयाम

क्वांटम भौतिकी में, प्रकीर्णन आयाम एक स्थिर-अवस्था प्रकीर्णन प्रक्रिया में आने वाली समतल तरंग के सापेक्ष निवर्तमान गोलाकार तरंग की संभाव्यता आयाम है। केंद्रीय सममित प्रकीर्णन केंद्र से बड़ी दूरी पर, समतल तरंग का वर्णन तरंग तरंग क्रिया द्वारा किया जाता है

\psi(\mathbf{r}) = e^{ikz} + f(\theta)\frac{e^{ikr}}{r} \;, $$ कहाँ $$\mathbf{r}\equiv(x,y,z)$$ स्थिति सदिश है; $$r\equiv|\mathbf{r}|$$; $$e^{ikz}$$ तरंग संख्या के साथ आने वाली समतल तरंग है $k$  साथ $z$ एक्सिस; $$e^{ikr}/r$$ निवर्तमान गोलाकार तरंग है; $θ$ प्रकीर्णन कोण है (घटना और प्रकीर्णन दिशा के बीच का कोण); और $$f(\theta)$$ प्रकीर्णन आयाम है. प्रकीर्णन आयाम का आयामी विश्लेषण लंबाई है। प्रकीर्णन आयाम एक संभाव्यता आयाम है; प्रकीर्णन कोण के एक फलन के रूप में विभेदक क्रॉस सेक्शन (भौतिकी) | क्रॉस-सेक्शन को इसके मापांक वर्ग के रूप में दिया जाता है,

d\sigma = |f(\theta)|^2 \;d\Omega. $$ मनमाने बाह्य क्षेत्र में तरंग क्रिया का स्पर्शोन्मुख रूप रूप धारण कर लेता है
 * $$\psi = e^{ikr\mathbf n\cdot\mathbf n'} + f(\mathbf n,\mathbf n') \frac{e^{ikr}}{r}$$

कहाँ $$\mathbf n$$ आपतित कणों की दिशा है और $$\mathbf n'$$ बिखरे हुए कणों की दिशा है.

एकात्मक स्थिति
जब प्रकीर्णन के दौरान कणों की संख्या का संरक्षण सही रहता है, तो यह प्रकीर्णन आयाम के लिए एकात्मक स्थिति की ओर ले जाता है। सामान्य मामले में, हमारे पास है
 * $$f(\mathbf{n},\mathbf{n}') -f^*(\mathbf{n}',\mathbf{n})= \frac{ik}{2\pi} \int f(\mathbf{n},\mathbf{n})f^*(\mathbf{n},\mathbf{n})\,d\Omega''$$

प्रकाशिक प्रमेय यहाँ से सेटिंग द्वारा अनुसरण करता है $$\mathbf n=\mathbf n'.$$ केन्द्रीय सममितीय क्षेत्र में एकात्मक स्थिति बन जाती है
 * $$\mathrm{Im} f(\theta)=\frac{k}{4\pi}\int f(\gamma)f(\gamma')\,d\Omega''$$

कहाँ $$\gamma$$ और $$\gamma'$$ के बीच के कोण हैं $$\mathbf{n}$$ और $$\mathbf{n}'$$ और कुछ दिशा $$\mathbf{n}''$$. यह शर्त अनुमत फॉर्म पर बाधा डालती है $$f(\theta)$$, अर्थात, प्रकीर्णन आयाम का वास्तविक और काल्पनिक भाग इस मामले में स्वतंत्र नहीं हैं। उदाहरण के लिए, यदि $$|f(\theta)|$$ में $$f=|f|e^{2i\alpha}$$ तब ज्ञात होता है (मान लीजिए, क्रॉस सेक्शन के माप से)। $$\alpha(\theta)$$ इस प्रकार निर्धारित किया जा सकता है $$f(\theta)$$ विकल्प के भीतर विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है $$f(\theta)\rightarrow -f^*(\theta)$$.

आंशिक तरंग विस्तार
आंशिक तरंग विस्तार में प्रकीर्णन आयाम को आंशिक तरंगों के योग के रूप में दर्शाया जाता है,
 * $$f=\sum_{\ell=0}^\infty (2\ell+1) f_\ell P_\ell(\cos \theta)$$,

कहाँ $f_{ℓ}$ आंशिक प्रकीर्णन आयाम है और $P_{ℓ}$ लीजेंड्रे बहुपद हैं। आंशिक आयाम को आंशिक तरंग एस मैट्रिक्स  तत्व के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है $S_{ℓ}$ ($$=e^{2i\delta_\ell}$$) और प्रकीर्णन चरण बदलाव $δ_{ℓ}$ जैसा
 * $$f_\ell = \frac{S_\ell-1}{2ik} = \frac{e^{2i\delta_\ell}-1}{2ik} = \frac{e^{i\delta_\ell} \sin\delta_\ell}{k} = \frac{1}{k\cot\delta_\ell-ik} \;.$$

फिर कुल क्रॉस सेक्शन
 * $$\sigma = \int |f(\theta)|^2d\Omega $$,

के रूप में विस्तारित किया जा सकता है
 * $$\sigma = \sum_{l=0}^\infty \sigma_l, \quad \text{where} \quad \sigma_l = 4\pi(2l+1)|f_l|^2=\frac{4\pi}{k^2}(2l+l)\sin^2\delta_l$$

आंशिक क्रॉस सेक्शन है. कुल क्रॉस सेक्शन भी बराबर है $$\sigma=(4\pi/k)\,\mathrm{Im} f(0)$$ ऑप्टिकल प्रमेय के कारण.

के लिए $$\theta\neq 0$$, हम लिख सकते हैं
 * $$f=\frac{1}{2ik}\sum_{\ell=0}^\infty (2\ell+1) e^{2i\delta_l} P_\ell(\cos \theta).$$

एक्स-रे
एक्स-रे के लिए प्रकीर्णन लंबाई थॉमसन प्रकीर्णन लंबाई या शास्त्रीय इलेक्ट्रॉन त्रिज्या है, $r$0.

न्यूट्रॉन
परमाणु न्यूट्रॉन प्रकीर्णन प्रक्रिया में सुसंगत न्यूट्रॉन प्रकीर्णन लंबाई शामिल होती है, जिसका वर्णन अक्सर किया जाता है $b$.

क्वांटम यांत्रिक औपचारिकता
एस मैट्रिक्स औपचारिकता द्वारा एक क्वांटम यांत्रिक दृष्टिकोण दिया जाता है।

माप
प्रकीर्णन आयाम को निम्न-ऊर्जा शासन में प्रकीर्णन लंबाई द्वारा निर्धारित किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * वेनेज़ियानो आयाम
 * समतल तरंग विस्तार