समूह वेग

[[Image:Wave group.gif|frame|गहरे पानी की सतह पर [[गुरुत्वाकर्षण तरंग|गुरुत्वाकर्षण तरंगों]] के समूहों में आवृत्ति फैलाव। लाल वर्ग चरण वेग के साथ चलता है, और हरे वृत्त समूह वेग के साथ फैलते हैं। इस गहरे पानी के मामले में, चरण वेग समूह वेग का दोगुना है। आकृति के बाएँ से दाएँ जाने पर लाल वर्ग दो हरे वृत्तों से आगे निकल जाता है।

ऐसा लगता है कि नई तरंगें एक तरंग समूह के पीछे उभरती हैं, आयाम में तब तक बढ़ती हैं जब तक कि वे समूह के केंद्र में न हों, और लहर समूह के मोर्चे पर गायब हो जाती हैं।सतह गुरुत्वाकर्षण तरंगों के लिए, पानी के कण वेग ज्यादातर मामलों में चरण वेग से बहुत छोटे होते हैं।]] एक तरंग का समूह वेग वह वेग है जिसके साथ तरंग के आयाम का समग्र लिफाफा आकार- जिसे तरंग के मॉडुलन या लिफाफा के रूप में जाना जाता है-जगह के माध्यम से फैलता है।

उदाहरण के लिए, यदि एक शांत तालाब के बीच में एक पत्थर फेंका जाता है, तो पानी में एक शांत केंद्र वाली तरंगों का एक गोलाकार पैटर्न दिखाई देता है, जिसे केशिका तरंग के रूप में भी जाना जाता है। तरंगों का बढ़ता हुआ वलय तरंग समूह है, जिसके भीतर एक व्यक्ति उन तरंगों को पहचान सकता है जो पूरे समूह की तुलना में तेजी से यात्रा करता है। व्यक्तिगत तरंगों के आयाम बढ़ते हैं क्योंकि वे समूह के अनुगामी किनारे से निकलते हैं और जैसे-जैसे वे समूह के अग्रणी किनारे तक पहुँचते हैं, कम होते जाते हैं।

परिभाषा
समूह वेग $v_{g}$ समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है:
 * $$v_{\rm g} \ \equiv\ \frac{\partial \omega}{\partial k}\,$$

जहाँ $ω$ तरंग की कोणीय आवृत्ति है (सामान्यतः पर प्रति सेकंड रेडियन में व्यक्त की जाती है), और $k$ कोणीय तरंग संख्या है (सामान्यतः पर प्रति मीटर रेडियन में व्यक्त)। चरण वेग है: $v_{p} = ω/k$.

समारोह (गणित) $ω(k)$, जो देता है $ω$ के कार्य के रूप में $k$, फैलाव संबंध के रूप में जाना जाता है।


 * अगर $ω$ आनुपातिकता (गणित) है  $k$, तब समूह वेग ठीक चरण वेग के बराबर होता है। किसी भी आकार की तरंग इस वेग से बिना विकृत हुए यात्रा करेगी।
 * यदि ω k का एक रैखिक फलन है, लेकिन सीधे आनुपातिक नहीं है $(ω = ak + b)$, तब समूह वेग और चरण वेग भिन्न होते हैं। एक तरंग पैकेट का लिफ़ाफ़ा (दाईं ओर आकृति देखें) समूह वेग से यात्रा करेगा, जबकि लिफाफे के भीतर अलग-अलग चोटियाँ और गर्त चरण वेग से आगे बढ़ेंगे।
 * अगर $ω$ का एक रैखिक कार्य नहीं है $k$, तरंग पैकेट का लिफाफा यात्रा के दौरान विकृत हो जाएगा। चूंकि एक तरंग पैकेट में विभिन्न आवृत्तियों की एक श्रृंखला होती है (और इसलिए इसके विभिन्न मान $k$), समूह वेग $∂ω/∂k$ के विभिन्न मूल्यों के लिए अलग होगा $k$. इसलिए, लिफाफा एक ही वेग से नहीं चलता है, लेकिन इसके तरंग संख्या घटक ($k$) लिफाफे को विकृत करते हुए, विभिन्न वेगों पर चलते हैं। यदि वेवपैकेट में आवृत्तियों की एक संकीर्ण सीमा होती है, और $ω(k)$ उस संकीर्ण सीमा पर लगभग रैखिक है, छोटी अशुद्धता के संबंध में नाड़ी विरूपण छोटा होगा। आगे की चर्चा देखें # फैलाव में उच्च-क्रम की शर्तें। उदाहरण के लिए, ग्रेविटी वेव#डीप वॉटर गुरुत्वाकर्षण तरंगें  के लिए, $\omega = \sqrt{gk}$, और इसलिए $v_{g} = v_{p} /2$. यह सभी जहाजों और तैरने वाली वस्तुओं की धनुष लहर के लिए केल्विन वेक पैटर्न को रेखांकित करता है। भले ही वे कितनी तेजी से आगे बढ़ रहे हों, जब तक उनका वेग स्थिर है, प्रत्येक तरफ वेकेशन यात्रा की रेखा के साथ 19.47° = आर्क्सिन (1/3) का कोण बनाता है।

व्युत्पत्ति
समूह वेग के सूत्र की एक व्युत्पत्ति इस प्रकार है। स्थिति के कार्य के रूप में तरंग पैकेट पर विचार करें $x$ और समय $t: α(x,t)$.

होने देना $A(k)$ समय पर इसका फूरियर रूपांतरण हो $t = 0$,
 * $$ \alpha(x, 0) = \int_{-\infty}^\infty dk \, A(k) e^{ikx}.$$

सुपरपोज़िशन सिद्धांत द्वारा, किसी भी समय वेवपैकेट $t$ है
 * $$ \alpha(x, t) = \int_{-\infty}^\infty dk \, A(k) e^{i(kx - \omega t)},$$

जहाँ $ω$ निहित रूप से एक कार्य है  $k$.

मान लीजिए कि तरंग पैकेट $α$ लगभग एकरंगा है, ताकि  $A(k)$ एक केंद्रीय yahoo के आसपास तेजी से चरम पर है  $k_{0}$.

फिर, रैखिककरण देता है
 * $$\omega(k) \approx \omega_0 + \left(k - k_0\right)\omega'_0$$

जहाँ
 * $$\omega_0 = \omega(k_0)$$ और $$\omega'_0 = \left.\frac{\partial \omega(k)}{\partial k}\right|_{k=k_0}$$ (इस चरण की चर्चा के लिए अगला भाग देखें)। फिर, कुछ बीजगणित के बाद,
 * $$ \alpha(x,t) = e^{i\left(k_0 x - \omega_0 t\right)}\int_{-\infty}^\infty dk \, A(k) e^{i(k - k_0)\left(x - \omega'_0 t\right)}.$$

इस अभिव्यक्ति में दो कारक हैं। पहला कारक, $$e^{i\left(k_0 x - \omega_0 t\right)}$$, वेववेक्टर के साथ एक परिपूर्ण मोनोक्रोमैटिक तरंग का वर्णन करता है $k_{0}$, चोटियों और कुंडों के साथ चरण वेग से चलती है $$\omega_0/k_0$$ वेवपैकेट के लिफाफे के भीतर।

अन्य कारक,
 * $$\int_{-\infty}^\infty dk \, A(k) e^{i(k - k_0)\left(x - \omega'_0 t\right)}$$,

वेवपैकेट का लिफाफा देता है। यह लिफाफा कार्य संयोजन के माध्यम से ही स्थिति और समय पर निर्भर करता है $$(x - \omega'_0 t)$$.

इसलिए, वेवपैकेट का लिफाफा वेग से यात्रा करता है
 * $$\omega'_0 = \left.\frac{d\omega}{dk}\right|_{k=k_0}~,$$ जो समूह वेग सूत्र की व्याख्या करता है।

फैलाव में उच्च-क्रम की शर्तें
[[File:Wave disp.gif|thumb|388px|right|गहरे पानी पर सतह गुरुत्वाकर्षण तरंगों के लिए उच्च-क्रम फैलाव प्रभाव द्वारा तरंग समूहों का विरूपण (साथ $v_{g} = ½v_{p}$).

यह तीन तरंग घटकों के सुपरपोज़िशन को दिखाता है—क्रमशः 22, 25 और 29 तरंग दैर्ध्य के साथ 2 किमी लंबाई के आवधिक फ़ंक्शन क्षैतिज डोमेन में फ़िट होता है। घटकों के तरंग आयाम क्रमशः 1, 2 और 1 मीटर हैं।]]पिछली व्युत्पत्ति का एक भाग टेलर श्रृंखला है:
 * $$\omega(k) \approx \omega_0 + (k - k_0)\omega'_0(k_0)$$

यदि वेवपैकेट में अपेक्षाकृत बड़ी आवृत्ति फैलती है, या यदि फैलाव होता है $ω(k)$ में तीव्र विविधताएं हैं (जैसे अनुनाद के कारण), या यदि पैकेट बहुत लंबी दूरी पर यात्रा करता है, तो यह धारणा मान्य नहीं है, और टेलर विस्तार में उच्च-क्रम की शर्तें महत्वपूर्ण हो जाती हैं।

नतीजतन, तरंग पैकेट का लिफाफा न केवल चलता है, बल्कि विकृत भी होता है, जिसे सामग्री के समूह वेग फैलाव द्वारा वर्णित किया जा सकता है। शिथिल रूप से, वेवपैकेट के विभिन्न आवृत्ति-घटक अलग-अलग गति से यात्रा करते हैं, तेज़ घटक वेवपैकेट के सामने की ओर बढ़ते हैं और धीमी गति से पीछे की ओर बढ़ते हैं। आखिरकार, वेव पैकेट खिंच जाता है। प्रकाशित तंतु  के माध्यम से सिग्नल के प्रसार और उच्च शक्ति, शॉर्ट-पल्स लेजर के डिजाइन में यह एक महत्वपूर्ण प्रभाव है।

इतिहास
एक लहर के चरण वेग से भिन्न समूह वेग का विचार सबसे पहले विलियम रोवन हैमिल्टन द्वारा प्रस्तावित किया गया था। डब्ल्यू.आर. हैमिल्टन द्वारा 1839 में किया गया था, और पहला पूर्ण उपचार 1877 में जॉन स्ट्रट, तीसरे बैरन रेले ने अपने थ्योरी ऑफ़ साउंड में किया था।

अन्य भाव
प्रकाश के लिए, अपवर्तक सूचकांक $n$, वैक्यूम वेवलेंथ $λ_{0}$, और माध्यम में तरंग दैर्ध्य  $λ$, से संबंधित हैं
 * $$\lambda_0 = \frac{2\pi c}{\omega}, \;\; \lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi v_{\rm p}}{\omega}, \;\; n = \frac{c}{v_{\rm p}} = \frac{\lambda_0}{\lambda},$$

साथ $v_{p} = ω/k$ चरण वेग।

समूह वेग, इसलिए, निम्नलिखित में से किसी भी सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है,
 * $$ \begin{align}

v_{\rm g} &= \frac{c}{n + \omega \frac{\partial n}{\partial \omega}} = \frac{c}{n - \lambda_0 \frac{\partial n}{\partial \lambda_0}}\\ &= v_{\rm p} \left(1 + \frac{\lambda}{n} \frac{\partial n}{\partial \lambda}\right) = v_{\rm p} - \lambda \frac{\partial v_{\rm p}}{\partial \lambda} = v_{\rm p} + k \frac{\partial v_{\rm p}}{\partial k}. \end{align}$$

तीन आयामों में
प्रकाश तरंगों, ध्वनि तरंगों और पदार्थ तरंगों जैसे तीन आयामों से यात्रा करने वाली तरंगों के लिए, चरण और समूह वेग के सूत्र सीधे तरीके से सामान्यीकृत होते हैं: जहाँ $$\vec{\nabla}_{\mathbf{k}} \, \omega$$ मतलब कोणीय आवृत्ति का ढाल $ω$ वेव वेक्टर के एक फंक्शन के रूप में $$\mathbf{k}$$, और $$\hat{\mathbf{k}}$$ दिशा k में इकाई वेक्टर है।
 * एक आयाम: $$v_{\rm p} = \omega/k, \quad v_{\rm g} = \frac{\partial \omega}{\partial k}, \,$$
 * तीन आयाम: $$(v_{\rm p})_i = \frac{\omega}{{k}_i}, \quad \mathbf{v}_{\rm g} = \vec{\nabla}_{\mathbf{k}} \, \omega \,$$

यदि तरंगें एनिस्ट्रोपिक (अर्थात्, घूर्णी रूप से सममित नहीं) माध्यम से फैल रही हैं, उदाहरण के लिए एक क्रिस्टल, तो चरण वेग वेक्टर और समूह वेग वेक्टर अलग-अलग दिशाओं में इंगित कर सकते हैं।

हानिकारक या लाभकारी मीडिया में
समूह वेग को अक्सर उस वेग के रूप में माना जाता है जिस पर एक तरंग के साथ ऊर्जा या सूचना का संचार होता है। ज्यादातर मामलों में यह सटीक है, और समूह वेग को तरंग के संकेत वेग के रूप में माना जा सकता है। हालाँकि, यदि तरंग एक अवशोषणशील या लाभकारी माध्यम से यात्रा कर रही है, तो यह हमेशा पकड़ में नहीं आता है। इन मामलों में समूह वेग एक अच्छी तरह से परिभाषित मात्रा नहीं हो सकता है या सार्थक मात्रा नहीं हो सकता है।

उनके पाठ में "आवधिक संरचनाओं में तरंग प्रसार", लियोन ब्रिलौइन ने तर्क दिया कि एक अपव्यय माध्यम में समूह वेग का स्पष्ट भौतिक अर्थ नहीं रह जाता है। एक परमाणु गैस के माध्यम से विद्युत चुम्बकीय तरंगों के संचरण से संबंधित एक उदाहरण लाउडॉन द्वारा दिया गया है। एक अन्य उदाहरण सौर प्रकाशमंडल में यांत्रिक तरंगें हैं: तरंगें अवमंदित होती हैं (शिखरों से गर्तों तक विकिरण ताप प्रवाह द्वारा), और उससे संबंधित, ऊर्जा वेग अक्सर तरंगों के समूह वेग से काफी कम होता है। इस अस्पष्टता के बावजूद, समूह वेग की अवधारणा को जटिल मीडिया तक विस्तारित करने का एक सामान्य तरीका माध्यम के अंदर स्थानिक रूप से नम विमान तरंग समाधानों पर विचार करना है, जो एक जटिल-मूल्यवान वेववेक्टर द्वारा विशेषता है। फिर, वेववेक्टर के काल्पनिक भाग को मनमाने ढंग से छोड़ दिया जाता है और समूह वेग के लिए सामान्य सूत्र को वेववेक्टर के वास्तविक भाग पर लागू किया जाता है, अर्थात।
 * $$v_{\rm g} = \left(\frac{\partial \left(\operatorname{Re} k\right)}{\partial \omega}\right)^{-1} .$$

या, समतुल्य, जटिल अपवर्तक सूचकांक के वास्तविक भाग के संदर्भ में, $n = n + iκ$, किसी के पास
 * $$\frac{c}{v_{\rm g}} = n + \omega \frac{\partial n}{\partial \omega} .$$

यह दिखाया जा सकता है कि समूह वेग का यह सामान्यीकरण एक वेवपैकेट के शिखर की स्पष्ट गति से संबंधित है। उपरोक्त परिभाषा सार्वभौमिक नहीं है, हालांकि: वैकल्पिक रूप से कोई भी खड़ी तरंगों के समय को कम करने पर विचार कर सकता है (वास्तविक $k$, जटिल $ω$), या, समूह वेग को एक जटिल-मूल्यवान मात्रा होने दें। अलग-अलग विचार अलग-अलग वेग उत्पन्न करते हैं, फिर भी दोषरहित, लाभहीन माध्यम के मामले में सभी परिभाषाएँ सहमत हैं।

जटिल मीडिया के लिए समूह वेग के उपरोक्त सामान्यीकरण अजीब तरह से व्यवहार कर सकते हैं, और विषम फैलाव का उदाहरण एक अच्छा उदाहरण के रूप में कार्य करता है। विषम फैलाव के एक क्षेत्र के किनारों पर, $$v_{\rm g}$$ अनंत हो जाता है (निर्वात में प्रकाश की गति को भी पार कर जाता है), और $$v_{\rm g}$$ आसानी से नकारात्मक हो सकता है (इसका चिन्ह रे का विरोध करता है$k$) विषम फैलाव के बैंड के अंदर।

सुपरल्यूमिनल समूह वेग
1980 के दशक के बाद से, विभिन्न प्रयोगों ने सत्यापित किया है कि हानिपूर्ण सामग्रियों, या लाभकारी सामग्रियों के माध्यम से भेजे गए लेज़र  प्रकाश दालों के समूह वेग (जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है) के लिए वैक्यूम में प्रकाश की गति से काफी अधिक होना संभव है। $c$. वेवपैकेट्स की चोटियों को भी इससे तेज गति से चलते देखा गया $c$.

हालांकि, इन सभी मामलों में, इस बात की कोई संभावना नहीं है कि संकेतों को प्रकाश की तुलना में तेजी से ले जाया जा सकता है, क्योंकि उच्च मान है $v$$g$ तेज तरंगाग्र की वास्तविक गति को तेज करने में मदद नहीं करता है जो किसी भी वास्तविक संकेत की शुरुआत में होता है। अनिवार्य रूप से प्रतीत होता है सुपरल्यूमिनल ट्रांसमिशन समूह वेग को परिभाषित करने के लिए ऊपर उपयोग किए जाने वाले संकीर्ण बैंड सन्निकटन का एक आर्टिफैक्ट है और मध्यवर्ती माध्यम में अनुनाद घटना के कारण होता है। एक व्यापक बैंड विश्लेषण में यह देखा गया है कि सिग्नल लिफाफे के प्रसार की स्पष्ट रूप से विरोधाभासी गति वास्तव में कई चक्रों पर आवृत्तियों के व्यापक बैंड के स्थानीय हस्तक्षेप का परिणाम है, जो सभी पूरी तरह से यथोचित और चरण वेग पर फैलते हैं। परिणाम इस तथ्य के समान है कि छाया प्रकाश की तुलना में तेजी से यात्रा कर सकती है, भले ही उन्हें पैदा करने वाला प्रकाश हमेशा प्रकाश की गति से फैलता हो; चूँकि जिस घटना को मापा जा रहा है, वह केवल कार्य-कारण के साथ शिथिल रूप से जुड़ी हुई है, यह अनिवार्य रूप से कारण प्रसार के नियमों का सम्मान नहीं करती है, भले ही वह सामान्य परिस्थितियों में ऐसा करती हो और एक सामान्य अंतर्ज्ञान की ओर ले जाती हो।

यह भी देखें

 * लहर प्रसार
 * फैलाव (पानी की लहरें)
 * फैलाव (प्रकाशिकी)
 * तरंग प्रसार गति
 * समूह विलंब
 * समूह वेग फैलाव
 * समूह विलंब फैलाव
 * चरण विलंब
 * चरण वेग
 * सिग्नल वेग
 * धीमी रोशनी
 * अग्र वेग
 * मैटर वेव # ग्रुप वेलोसिटी
 * सॉलिटन

अग्रिम पठन

 * Crawford jr., Frank S. (1968).  Waves (Berkeley Physics Course, Vol. 3), McGraw-Hill,  ISBN 978-0070048607 Free online version

बाहरी संबंध

 * Greg Egan has an excellent Java applet on his web site that illustrates the apparent difference in group velocity from phase velocity.
 * Maarten Ambaum has a webpage with movie demonstrating the importance of group velocity to downstream development of weather systems.
 * Phase vs. Group Velocity – Various Phase- and Group-velocity relations (animation)