स्थानीय सह-समरूपता

बीजगणितीय ज्यामिति में, स्थानीय कोहोमोलॉजी सापेक्ष समरूपता का बीजगणितीय एनालॉग है। अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक ने 1961 में हार्वर्ड में सेमिनार में इसे पेश किया था, और 1961-2 में IHES में SGA2 के रूप में लिखा गया - , के रूप में पुनः प्रकाशित. बीजगणितीय विविधता (या योजना (गणित)) के एक खुले सेट पर परिभाषित एक फ़ंक्शन (अधिक सामान्यतः, क्वासिकोहेरेंट शीफ का एक खंड) को देखते हुए, स्थानीय कोहोलॉजी उस फ़ंक्शन को किसी फ़ंक्शन के बड़े डोमेन तक विस्तारित करने में बाधा को मापती है। तर्कसंगत कार्य $$1/x$$उदाहरण के लिए, केवल के पूरक पर परिभाषित किया गया है $$0$$ एफ़िन स्थान पर $$\mathbb{A}^1_K$$ एक क्षेत्र पर (गणित) $$K$$, और संपूर्ण स्थान पर किसी फ़ंक्शन तक विस्तारित नहीं किया जा सकता है। स्थानीय कोहोमोलॉजी मॉड्यूल $$H^1_{(x)}(K[x])$$ (कहाँ $$K[x]$$ की एफ़िन किस्म है $$\mathbb{A}^1_K$$) Čech कोहोलॉजी के लुप्त न होने पर इसका पता लगाता है $$[1/x]$$. एक समान तरीके से, $$1/xy$$ से दूर परिभाषित किया गया है $$x$$ और $$y$$ एफ़िन स्पेस में कार्टेशियन समन्वय प्रणाली, लेकिन इसे किसी भी पूरक तक विस्तारित नहीं किया जा सकता है $$x$$-अक्ष या का पूरक $$y$$-अक्ष अकेले (न ही इसे ऐसे कार्यों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है); यह रुकावट सटीक रूप से एक गैर-शून्य वर्ग से मेल खाती है $$[1/xy]$$ स्थानीय कोहोमोलॉजी मॉड्यूल में $$H^2_{(x,y)}(K[x,y])$$. बीजगणितीय ज्यामिति के अलावा, स्थानीय सह-समरूपता ने क्रमविनिमेय बीजगणित में भी अनुप्रयोग पाया है,  साहचर्य, और कुछ प्रकार के आंशिक अंतर समीकरण।

परिभाषा
सिद्धांत के सबसे सामान्य ज्यामितीय रूप में, अनुभाग $$\Gamma_Y$$ एक पूले के माने जाते हैं (गणित) $$F$$ टोपोलॉजिकल स्पेस पर, एबेलियन समूहों का $$X$$, एक बंद उपसमुच्चय में समर्थन (गणित) के साथ $$Y$$, के व्युत्पन्न फ़ैक्टर $$\Gamma_Y$$ स्थानीय कोहोमोलोजी समूह बनाएं


 * $$H_Y^i(X,F)$$

सिद्धांत के बीजगणितीय रूप में, अंतरिक्ष ) एम, द्वारा निरूपित $$\tilde M$$. बंद उपयोजना Y को एक आदर्श (रिंग सिद्धांत) I द्वारा परिभाषित किया गया है। इस स्थिति में, फ़ंक्टर ΓY(एफ) 'आई-टोरसन' फंक्टर से मेल खाता है, जो कि विनाशक (रिंग सिद्धांत) का एक संघ है


 * $$\Gamma_I(M) := \bigcup_{n \ge 0} (0 :_M I^n),$$

यानी, एम के तत्व जो आई की कुछ शक्ति से नष्ट हो जाते हैं। एक व्युत्पन्न फ़ंक्शनल के रूप में, आईI के संबंध में स्थानीय कोहोमोलॉजी मॉड्यूल i है वेंसह-समरूपता $$H^i(\Gamma_I(E^\bullet))$$ श्रृंखला परिसर का $$\Gamma_I(E^\bullet)$$ आई-टोरसन भाग लेने से प्राप्त किया गया $$\Gamma_I(-)$$ एक इंजेक्शन संकल्प का $$E^\bullet$$ मॉड्यूल का $$M$$. क्योंकि $$E^\bullet$$ इसमें आर-मॉड्यूल और आर-मॉड्यूल समरूपता शामिल हैं, स्थानीय कोहोलॉजी समूहों में से प्रत्येक में आर-मॉड्यूल की प्राकृतिक संरचना होती है।

I-मरोड़ भाग $$\Gamma_I(M)$$ वैकल्पिक रूप से इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है


 * $$\Gamma_I(M) := \varinjlim_{n \in N} \operatorname {Hom}_R(R/I^n, M),$$

और इस कारण से, आर-मॉड्यूल एम की स्थानीय कोहोलॉजी सहमत है एक्सट फ़ैक्टर की सीधी सीमा के साथ,


 * $$H_I^i(M) := \varinjlim_{n \in N} \operatorname {Ext}_R^i(R/I^n, M).$$

इनमें से किसी भी परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि $$H^i_I(M)$$ यदि अपरिवर्तित रहेगा $$I$$ एक आदर्श के समान मूलांक वाले दूसरे आदर्श द्वारा प्रतिस्थापित कर दिया गया। इससे यह भी पता चलता है कि स्थानीय कोहोलॉजी I के लिए जनरेटर की किसी भी पसंद पर निर्भर नहीं करती है, एक तथ्य जो सेच कॉम्प्लेक्स से जुड़ी निम्नलिखित परिभाषा में प्रासंगिक हो जाता है।

कोसज़ुल और सेच कॉम्प्लेक्स का उपयोग करना
स्थानीय कोहोमोलॉजी की व्युत्पन्न फ़ैक्टर परिभाषा के लिए मॉड्यूल के एक इंजेक्शन रिज़ॉल्यूशन की आवश्यकता होती है $$M$$, जो इसे स्पष्ट गणनाओं में उपयोग के लिए दुर्गम बना सकता है। सेच कोहोमोलॉजी|सेच कॉम्प्लेक्स को कुछ संदर्भों में अधिक व्यावहारिक के रूप में देखा जाता है।, उदाहरण के लिए, बताएं कि वे अनिवार्य रूप से किसी दिए गए मॉड्यूल के लिए इनमें से किसी भी [इंजेक्टिव] प्रकार के रिज़ॉल्यूशन उत्पन्न करने की समस्या को अनदेखा करते हैं स्थानीय कोहोमोलॉजी की सेच जटिल परिभाषा प्रस्तुत करने से पहले, और एक योजना पर अर्ध-सुसंगत शीव्स की कोहोमोलॉजी की गणना के लिए एक व्यावहारिक विधि देने के रूप में सेच कोहोमोलॉजी का वर्णन करता है। और गणना के लिए उपयुक्त है। सेच कॉम्प्लेक्स को जटिल शर्ट के कोलिमिट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$K^\bullet(f_1,\ldots,f_m)$$ कहाँ $$f_1,\ldots, f_n$$ बनाना $$I$$. स्थानीय कोहोमोलॉजी मॉड्यूल का वर्णन किया जा सकता है जैसा:


 * $$H_I^i(M) \cong \varinjlim_m H^i \left (\operatorname{Hom}_R \left (K^\bullet \left (f_1^m, \dots, f_n^m \right ), M \right ) \right )$$

कोस्ज़ुल कॉम्प्लेक्स में वह गुण होता है जिससे गुणा किया जाता है $$f_i$$ एक श्रृंखला जटिल रूपवाद को प्रेरित करता है $$\cdot f_i : K^\bullet(f_1,\ldots, f_n) \to K^\bullet(f_1,\ldots, f_n)$$ यह शून्य का समस्थानिक है, अर्थ $$H^i(K^\bullet(f_1,\ldots, f_n))$$ द्वारा नष्ट कर दिया जाता है $$f_i$$. की सीमा में एक गैर-शून्य मानचित्र $$\operatorname{Hom}$$ सेट में सीमित रूप से कई कोसज़ुल परिसरों को छोड़कर सभी के मानचित्र शामिल हैं, और जो आदर्श में किसी तत्व द्वारा नष्ट नहीं किए गए हैं।

कोसज़ुल परिसरों का यह कोलिमिट समरूपी है चेक कोहोमोलॉजी|सेच कॉम्प्लेक्स, निरूपित $$\check{C}^\bullet(f_1,\ldots,f_n;M)$$, नीचे। $$0\to M \to \bigoplus_{i_0} M_{f_i} \to \bigoplus_{i_0 < i_1} M_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \cdots \to M_{f_1\cdots f_n}\to 0$$  मैं कहाँ हूँवेंका स्थानीय कोहोमोलोजी मॉड्यूल $$M$$ इसके संबंध में $$I=(f_1,\ldots,f_n)$$ के लिए समरूपी है मैं उपरोक्त श्रृंखला परिसर की कोहॉमोलॉजी,
 * $$H^i_I(M)\cong H^i(\check{C}^\bullet(f_1,\ldots,f_n;M)).$$

स्थानीय कोहोमोलॉजी मॉड्यूल (विशेषता (बीजगणित) में) की गणना के व्यापक मुद्दे पर चर्चा की गई है और.

बुनियादी गुण
चूंकि आर-मॉड्यूल के किसी भी छोटे सटीक अनुक्रम के लिए स्थानीय कोहोमोलॉजी को व्युत्पन्न फ़ैक्टर के रूप में परिभाषित किया गया है $$0\to M_1\to M_2\to M_3\to 0$$, परिभाषा के अनुसार, स्थानीय कोहोलॉजी में एक प्राकृतिक लंबा सटीक अनुक्रम है


 * $$\cdots\to H^i_I(M_1)\to H^i_I(M_2)\to H^i_I(M_3)\to H^{i+1}_I(M_1)\to\cdots$$ स्थानीय कोहोमोलॉजी मॉड्यूल के साथ एक्स और खुले सेट यू = एक्स \ वाई के सामान्य शीफ़ कोहोमोलोजी को जोड़ने वाले शीफ कोहोमोलॉजी का एक लंबा सटीक अनुक्रम भी है। एक्स पर परिभाषित क्वासिकोहेरेंट शीफ एफ के लिए, इसका रूप है


 * $$\cdots\to H^i_Y(X,F)\to H^i(X,F)\to H^i(U,F)\to H^{i+1}_Y(X,F)\to\cdots$$

सेटिंग में जहां एक्स एक एफ़िन योजना है $$\text{Spec}(R)$$ और Y एक आदर्श (रिंग सिद्धांत) I, कोहोमोलॉजी समूहों का लुप्त हो रहा सेट है $$H^i(X,F)$$ के लिए गायब हो जाओ $$i>0$$. अगर $$F=\tilde{M}$$, इससे एक सटीक अनुक्रम प्राप्त होता है


 * $$0 \to H_I^0(M) \to M \stackrel {\text{res}} \to H^0(U, \tilde M) \to H^1_I(M) \to 0,$$

जहां मध्य मानचित्र खंडों का प्रतिबंध है। इस प्रतिबंध मानचित्र के लक्ष्य को आदर्श परिवर्तन भी कहा जाता है। n ≥ 1 के लिए, समरूपताएँ हैं


 * $$H^{n}(U, \tilde M) \stackrel \cong \to H^{n+1}_I(M).$$

शीफ कोहोमोलॉजी के साथ उपरोक्त समरूपता के कारण, योजना पर कई सार्थक बीजगणितीय टोपोलॉजी निर्माणों को व्यक्त करने के लिए स्थानीय कोहोमोलॉजी का उपयोग किया जा सकता है। $$X=\operatorname{Spec}(R)$$ विशुद्ध रूप से बीजगणितीय शब्दों में. उदाहरण के लिए, एक्स में खुले सेट यू और वी की एक जोड़ी के संबंध में मेयर-विएटोरिस अनुक्रम के स्थानीय कोहोलॉजी में एक प्राकृतिक एनालॉग है, जो क्रमशः आदर्श आई और जे की जोड़ी के अनुरूप बंद उप-योजनाओं के पूरक द्वारा दिया गया है।. इस क्रम का स्वरूप है


 * $$\cdots H^i_{I+J}(M)\to H^i_I(M)\oplus H^i_J(M)\to H^i_{I\cap J}(M)\to H^{i+1}_{I+J}(M)\to\cdots$$

किसी के लिए $$R$$-मापांक $$M$$.

स्थानीय कोहोलॉजी के लुप्त होने का उपयोग बीजगणितीय सेट को परिभाषित करने के लिए आवश्यक (सैद्धांतिक रूप से सेट) समीकरणों की कम से कम संख्या (अंकगणितीय रैंक के रूप में संदर्भित) को बाध्य करने के लिए किया जा सकता है। $$V(I)$$ में $$\operatorname{Spec}(R)$$. अगर $$J$$ के समान मूलांक है $$I$$, और द्वारा उत्पन्न होता है $$n$$ तत्व, फिर जनरेटर पर Čech कॉम्प्लेक्स $$J$$ डिग्री में कोई शर्त नहीं है $$i > n$$. सभी आदर्शों में जनरेटरों की संख्या सबसे कम $$J$$ ऐसा है कि $$\sqrt{J}=\sqrt{I}$$ की अंकगणितीय रैंक है $$I$$, निरूपित $$\operatorname{ara}(I)$$. चूंकि स्थानीय सहसंबद्धता के संबंध में $$I$$ ऐसे किसी भी आदर्श का उपयोग करके गणना की जा सकती है, यह उसका अनुसरण करता है $$H^i_I(M)=0$$ के लिए $$i>\operatorname{ara}(I)$$.

श्रेणीबद्ध स्थानीय सहसंरचना और प्रक्षेप्य ज्यामिति
कब $$R$$ रिंग द्वारा वर्गीकृत किया गया है $$\mathbb{N}$$, $$I$$ सजातीय तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है, और $$M$$ एक वर्गीकृत मॉड्यूल है, स्थानीय कोहोमोलॉजी मॉड्यूल पर एक प्राकृतिक ग्रेडिंग है $$H^i_I(M)$$ जो की ग्रेडिंग के अनुकूल है $$M$$ और $$R$$. इस आलेख में व्यक्त स्थानीय कोहोलॉजी के सभी बुनियादी गुण श्रेणीबद्ध संरचना के अनुकूल हैं। अगर $$M$$ अंतिम रूप से उत्पन्न होता है और $$I=\mathfrak{m}$$ के तत्वों द्वारा उत्पन्न आदर्श है $$R$$ सकारात्मक डिग्री होने पर, फिर श्रेणीबद्ध घटक $$H^i_{\mathfrak{m}}(M)_n$$ अंतिम रूप से उत्पन्न होते हैं $$R$$ और पर्याप्त रूप से बड़े पैमाने पर गायब हो जाते हैं $$n$$. मामला जहां $$I=\mathfrak m$$ सकारात्मक डिग्री के सभी तत्वों द्वारा उत्पन्न आदर्श (कभी-कभी अप्रासंगिक आदर्श कहा जाता है) विशेष रूप से विशेष है, प्रक्षेप्य ज्यामिति के साथ इसके संबंध के कारण। इस मामले में, एक समरूपता है


 * $$H^{i+1}_{\mathfrak m}(M)\cong \bigoplus_{k \in \mathbf Z} H^i(\text{Proj}(R), \tilde M(k))$$

कहाँ $$\text{Proj}(R)$$ प्रोजेक्ट निर्माण से संबंधित है $$R$$, और $$(k)$$ सेरे मोड़ को दर्शाता है। इस समरूपता को वर्गीकृत करते हुए दिया गया है


 * $$H^{i+1}_{\mathfrak m}(M)_n \cong H^i(\text{Proj}(R), \tilde M(n))$$

सभी डिग्री में $$n$$. यह समरूपता स्थानीय सह-समरूपता को सुसंगत शीफ सह-समरूपता से जोड़ती है। उदाहरण के लिए, कैस्टेलनुवो-ममफोर्ड नियमितता को स्थानीय कोहोलॉजी का उपयोग करके तैयार किया जा सकता है जैसा


 * $$\text{reg}(M) = \text{sup}\{\text{end}(H^i_{\mathfrak{m}}(M))+i\,|\, 0\leq i\leq \text{dim}(M)\}$$

कहाँ $$\text{end}(N)$$ उच्चतम डिग्री को दर्शाता है $$t$$ ऐसा है कि $$N_t\neq 0$$. नियमितता से संबंधित कुछ ऊपरी सीमा वाले परिणामों को साबित करने के लिए स्थानीय सह-समरूपता का उपयोग किया जा सकता है।

शीर्ष स्थानीय सहसंरचना
सेच कॉम्प्लेक्स का उपयोग करना, यदि $$I=(f_1,\ldots,f_n)R$$ स्थानीय कोहोमोलॉजी मॉड्यूल $$H^n_I(M)$$ पर उत्पन्न होता है $$R$$ स्थानीयकरण की छवियों द्वारा (क्रमविनिमेय बीजगणित)
 * $$\left[\frac{m}{f_1^{t_1}\cdots f_n^{t_n}}\right]$$

के लिए $$m\in M$$ और $$t_1,\ldots,t_n\geq 1$$. यह अंश एक गैर-शून्य तत्व से मेल खाता है $$H^n_I(M)$$ यदि और केवल यदि कोई नहीं है $$k\geq 0$$ ऐसा है कि $$(f_1\cdots f_t)^k m \in (f_1^{t_1+k},\ldots,f_t^{t_n+k})M$$. उदाहरण के लिए, यदि $$t_i=1$$, तब
 * $$f_i\cdot \left[\frac{m}{f_1^{t_1}\cdots f_i\cdots f_n^{t_n}}\right]=0.$$


 * अगर $$K$$ एक फ़ील्ड (गणित) है और $$R=K[x_1,\ldots,x_n]$$ ऊपर एक बहुपद वलय है $$K$$ में $$n$$ चर, फिर स्थानीय कोहोमोलॉजी मॉड्यूल $$H^n_{(x_1,\ldots,x_n)}(K[x_1,\ldots,x_n])$$ इसे एक सदिश समष्टि के रूप में माना जा सकता है $$K$$ व्युत्क्रम एकपदी (सेच कोहोमोलॉजी कक्षाओं) द्वारा दिए गए आधार के साथ $$\left[x_1^{-t_1}\cdots x_n^{-t_n}\right]$$ के लिए $$t_1,\ldots,t_n\geq 1$$. एक के रूप में $$R$$-मॉड्यूल, से गुणा $$x_i$$ कम हो $$t_i$$ 1 द्वारा, शर्त के अधीन $$x_i\cdot \left[x_1^{-t_1}\cdots x_i^{-1}\cdots x_n^{-t_n}\right]=0.$$ क्योंकि शक्तियां $$t_i$$ के तत्वों से गुणा करके नहीं बढ़ाया जा सकता $$R$$, मॉड्यूल $$H^n_{(x_1,\ldots,x_n)}(K[x_1,\ldots,x_n])$$ अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल नहीं है।

एच के उदाहरण1
अगर $$H^0(U,\tilde R)$$ ज्ञात है (कहां $$U=\operatorname{Spec}(R)-V(I)$$), मॉड्यूल $$H^1_I(R)$$ कभी-कभी अनुक्रम का उपयोग करके स्पष्ट रूप से गणना की जा सकती है


 * $$0 \to H_I^0(R) \to R \to H^0(U, \tilde R) \to H^1_I(R) \to 0.$$

निम्नलिखित उदाहरणों में, $$K$$ क्या कोई फ़ील्ड (गणित) है?


 * अगर $$R=K[X,Y^2,XY,Y^3]$$ और $$I=(X,Y^2)R$$, तब $$H^0(U,\tilde R)=K[X,Y]$$ और एक सदिश समष्टि के रूप में $$K$$, पहला स्थानीय कोहोमोलॉजी मॉड्यूल $$H^1_I(R)$$ है $$K[X,Y]/K[X,Y^2,XY,Y^3]$$, एक 1-आयामी $$K$$ वेक्टर स्पेस द्वारा उत्पन्न $$Y$$.
 * अगर $$R=K[X,Y]/(X^2,XY)$$ और $$\mathfrak{m}=(X,Y)R$$, तब $$\Gamma_{\mathfrak{m}}(R)=xR$$ और $$H^0(U,\tilde R)=K[Y,Y^{-1}]$$, इसलिए $$H^1_{\mathfrak{m}}(R)=K[Y,Y^{-1}]/K[Y]$$ अनंत-आयामी है $$K$$ आधार के साथ सदिश स्थान $$Y^{-1},Y^{-2},Y^{-3},\ldots$$

मॉड्यूल के अपरिवर्तनीयों से संबंध
आयाम मंदRएक मॉड्यूल का (एम) (इसके समर्थन के क्रुल आयाम के रूप में परिभाषित) स्थानीय कोहोलॉजी मॉड्यूल के लिए एक ऊपरी सीमा प्रदान करता है:
 * $$H_I^n(M) = 0 \text{ for all }n>\dim_R(M).$$

यदि R स्थानीय रिंग है और M अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल है, तो यह सीमा तीव्र है, अर्थात, $$H^n_\mathfrak{m}(M) \ne 0$$.

एक मॉड्यूल की गहराई (नियमित अनुक्रम की अधिकतम लंबाई के रूप में परिभाषित | नियमित एम-अनुक्रम; जिसे एम के ग्रेड के रूप में भी जाना जाता है) एक तेज निचली सीमा प्रदान करती है, यानी, यह सबसे छोटा पूर्णांक एन है जैसे कि
 * $$H^n_I(M) \ne 0.$$

ये दोनों सीमाएं मिलकर स्थानीय रिंगों पर कोहेन-मैकाले मॉड्यूल का एक लक्षण वर्णन उत्पन्न करती हैं: वे वास्तव में वे मॉड्यूल हैं जहां $$H^n_\mathfrak{m}(M)$$ एक एन को छोड़कर सभी के लिए गायब हो जाता है।

स्थानीय द्वंद्व
स्थानीय द्वैत प्रमेय सेरे द्वैत का एक स्थानीय एनालॉग है। कोहेन-मैकाले स्थानीय रिंग के लिए $$R$$ आयाम का $$d$$ यह गोरेन्स्टीन रिंग की एक समरूप छवि है (उदाहरण के लिए, यदि $$R$$ एक अंगूठी का पूरा होना है ), यह बताता है कि प्राकृतिक युग्मन


 * $$H^n_\mathfrak m(M) \times \operatorname{Ext}_R^{d-n}(M, \omega_R) \to H^d_\mathfrak m(\omega_R)$$

एक आदर्श जोड़ी है, जहां $$\omega_R$$ के लिए एक दोहरीकरण मॉड्यूल है $$R$$. मैटलिस द्वैत के संदर्भ में $$D(-)$$, स्थानीय द्वैत प्रमेय को निम्नलिखित समरूपता के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
 * $$H^n_\mathfrak m(M) \cong D(\operatorname{Ext}_R^{d-n}(M,\omega_R))$$

कथन सरल है जब $$\omega_R \cong R$$, जो समतुल्य है उस परिकल्पना के लिए $$R$$ गोरेन्स्टीन रिंग है. यह मामला है, उदाहरण के लिए, यदि $$R$$ नियमित अंगूठी है.

अनुप्रयोग
प्रारंभिक अनुप्रयोग लेफ्शेट्ज़ हाइपरप्लेन प्रमेयों के एनालॉग्स के लिए थे। सामान्य तौर पर ऐसे प्रमेय बताते हैं कि कुछ 'नुकसान' को छोड़कर, जिसे नियंत्रित किया जा सकता है, बीजगणितीय विविधता के हाइपरप्लेन अनुभाग पर होमोलॉजी या कोहोलॉजी का समर्थन किया जाता है। ये परिणाम बीजगणितीय मौलिक समूह और पिकार्ड समूह पर लागू होते हैं।

एक अन्य प्रकार के अनुप्रयोग कनेक्टिविटी प्रमेय हैं जैसे कि ग्रोथेंडिक की कनेक्टिविटी प्रमेय (बर्टिनी प्रमेय का एक स्थानीय एनालॉग) या फुल्टन-हैनसेन कनेक्टिविटी प्रमेय के कारण और. उत्तरार्द्ध का दावा है कि 'पी' में दो प्रक्षेप्य विविधता वी और डब्ल्यू के लिएबीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर r, Z = V ∩ W का जुड़ाव आयाम (यानी, Z के एक बंद उपसमुच्चय T का न्यूनतम आयाम जिसे Z से हटाया जाना है ताकि पूरक (सेट सिद्धांत) Z \ टी असंबद्ध स्थान है) से बंधा हुआ है
 * c(Z) ≥ dim V + dim W - r - 1.

उदाहरण के लिए, यदि dim V + dim W > r है तो Z जुड़ा हुआ है। पॉलीहेड्रल ज्यामिति में, स्टैनली के 1975 के मैकमुलेन के ऊपरी बाउंड प्रमेय के सरल रूप के प्रमाण के एक प्रमुख घटक में यह दिखाना शामिल है कि संबंधित सरल परिसर की स्टेनली-रीस्नर रिंग कोहेन-मैकॉले है, और स्थानीय कोहोमोलॉजी इस गणना में एक महत्वपूर्ण उपकरण है। होचस्टर का सूत्र.

यह भी देखें

 * स्थानीय समरूपता - किसी स्थान के शंकु के टोपोलॉजिकल एनालॉग और स्थानीय समरूपता की गणना देता है
 * फाल्टिंग्स का विनाशक प्रमेय

परिचयात्मक संदर्भ

 * हुनेके, क्रेग; टेलर, अमेलिया, स्थानीय कोहोमोलॉजी पर व्याख्यान

संदर्भ

 * Book review by Hartshorne