गुडरमैनियन फलन

गणित में, गुडरमैनियन फलन एक अतिशयोक्तिपूर्ण कोण माप $\psi$ को एक वृत्ताकार कोण माप $\phi$  से संबंधित करता है जिसे $\psi$  का गुडरमैनियन कहा जाता है और $\operatorname{gd}\psi$  को निरूपित करता है। गुडरमानियन फलन वृत्तीय फलनों और अतिपरवलयिक फलनों के मध्य घनिष्ठ संबंध प्रकट करता है। यह 1760 के दशक में जोहान हेनरिक लैम्बर्ट द्वारा प्रस्तावित किया गया था, और बाद में क्रिस्टोफर गुडरमैन के नाम पर रखा गया था, जिन्होंने 1830 में वृत्तीय और अतिशयोक्तिपूर्ण फलन के मध्य संबंधों का वर्णन किया था। गुडरमैनियन को कभी-कभी अतिशयोक्तिपूर्ण आयाम कहा जाता है जब प्राचल $m=1$  होने पर जैकोबी दीर्घवृत्तीय आयाम $\operatorname{am}(\psi, m)$  का एक सीमित प्रकरण होता है। वास्तविक गुडरमानियन फलन को विशेष रूप से $-\infty < \psi < \infty$ के लिए अतिपरवलयिक व्युत्क्रम कोटिज्या का अभिन्न होने के लिए परिभाषित किया गया  है।

वास्तविक व्युत्क्रम गुडमैनियन फलन को $-\tfrac12\pi < \phi < \tfrac12\pi$ के लिए व्युत्क्रम कोटिज्या के समाकलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

अतिशयोक्तिपूर्ण कोण माप $$\psi = \operatorname{gd}^{-1} \phi$$ को $$\phi$$ का एंटी-गुडरमैनियन या कभी-कभी $$\phi$$ का लैम्बर्टियन कहा जाता है, जिसे $$\psi = \operatorname{lam} \phi$$ कहा जाता है। अक्षांश $\phi$ के लिए भूगणित और नौसंचालन के संदर्भ में, $$k \operatorname{gd}^{-1} \phi$$ (स्वैच्छिक स्थिरांक $k$  द्वारा स्केल किया गया) को ऐतिहासिक रूप से $$\phi$$ (फ्रेंच: अक्षांश क्रोइसांटे) का मध्याह्न भाग कहा जाता था। यह मर्केटर प्रक्षेप का ऊर्ध्व समन्वयीकरण है।

दो कोण माप $\phi$ और $\psi$  एक सामान्य त्रिविम प्रक्षेपण से संबंधित हैं

और यह समरूपता $\operatorname{gd}$  और $\operatorname{gd}^{-1}$  के लिए एक वैकल्पिक परिभाषा के रूप में काम कर सकती है जो पूरे सम्मिश्र समतल में मान्य है:

वृत्तीय-अतिशयोक्तिपूर्ण सर्वसमिका
हम चर के परिवर्तन के रूप में त्रिविम प्रक्षेपण (स्पर्शरेखा आधा-स्पर्शरेखा) का उपयोग करके अतिशयोक्तिपूर्ण व्युत्क्रम कोटिज्या के अभिन्न का मूल्यांकन कर सकते हैं:

$\phi = \operatorname{gd} \psi$ और $s = \tan \tfrac12 \phi = \tanh \tfrac12 \psi$  देकर हम $\psi$  के अतिशयोक्तिपूर्ण फलानो और $\phi$  के वृत्तीय फलानो के मध्य कई सर्वसमिका प्राप्त कर सकते है।



इन्हें सामान्यतः $$\operatorname{gd}$$ और $$\operatorname{gd}^{-1}$$के लिए $$\psi$$ और $$\phi$$ के साथ $$|\phi| < \tfrac12\pi$$ के वास्तविक मूल्यों के लिए व्यंजक के रूप में उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, संख्यात्मक रूप से सद्‍व्यवहारी सूत्र

(ध्यान दें, के लिए $$|\phi| > \tfrac12\pi$$ और सम्मिश्र तर्कों के लिए, व्युत्क्रम फलनों की शाखाओं का चयन करते समय सावधानी रखनी चाहिए।)

हम $\psi$  और $\phi$  को $s\colon$  के रूप में भी व्यक्त कर सकते हैं:

यदि हम घातांक के संदर्भ में $\tan\tfrac12$ और $\tanh\tfrac12$  का विस्तार करते हैं, तो हम उसे देख सकते हैं $s,$  $$\exp \phi i,$$ और $$\exp \psi$$ सभी एक-दूसरे के मोबियस परिवर्तन हैं (विशेष रूप से, रीमैन क्षेत्र के घूर्णन):

$\psi$ और $\phi$  के वास्तविक मूल्यों के लिए $$|\phi| < \tfrac12\pi$$  के साथ, इन मोबियस परिवर्तनों को त्रिकोणमितीय फलानो के संदर्भ में कई प्रकार से लिखा जा सकता है,

ये $$|\phi| < \tfrac12\pi$$ के साथ वास्तविक तर्कों के लिए $$\operatorname{gd}$$ और $$\operatorname{gd}^{-1}$$ के लिए और व्यंजक देते हैं। उदाहरण के लिए,

सम्मिश्र मान
एक सम्मिश्र चर के फलानो के रूप में, $z \mapsto w = \operatorname{gd} z$ अनुरूप मानचित्र से अनंत पट्टी $\left|\operatorname{Im}z\right| \leq \tfrac12\pi$  को अनंत पट्टी $\left|\operatorname{Re}w\right| \leq \tfrac12\pi,$  में मानचित्र करता है, जबकि $w \mapsto z = \operatorname{gd}^{-1} w$  अनंत पट्टी $\left|\operatorname{Re}w\right| \leq \tfrac12\pi$  को अनंत पट्टी $ \left|\operatorname{Im}z\right| \leq \tfrac12\pi$  के अनुरूप मानचित्र करता हैं। पूरे सम्मिश्र समतल में प्रतिबिंबों द्वारा विश्लेषणात्मक रूप से जारी, $z \mapsto w = \operatorname{gd} z$ अवधि $2\pi i$  का एक आवर्ती फलन है जो पट्टी $-\pi< \operatorname{Re}w \leq \pi$  पर "ऊंचाई" $2\pi i$  की किसी भी अनंत पट्टी को भेजता हैं। इसी तरह, पूरे सम्मिश्र समतल तक विस्तारित, $w \mapsto z = \operatorname{gd}^{-1} w$  अवधि $2\pi$  का एक आवधिक फलन है जो "चौड़ाई" $2\pi$  की किसी भी अनंत पट्टी को पट्टी $-\pi < \operatorname{Im}z \leq \pi$  पर भेजता हैं। सम्मिश्र समतल में सभी बिंदुओं के लिए, इन फलानो को सही प्रकार से लिखा जा सकता है:

$\operatorname{gd}$ और $\operatorname{gd}^{-1}$  फलानो के लिए इन विस्तारित प्रक्षेत्र के साथ प्रतिलोम रहने के लिए, हम प्रत्येक को एक बहुविकल्पीय फलान मान सकते हैं (संभवतः  $\operatorname{Gd}$  और $\operatorname{Gd}^{-1}$, $\operatorname{gd}$  और $\operatorname{gd}^{-1}$ प्रमुख शाखा के साथ) या उनके प्रक्षेत्र और सहप्रक्षेत्र को रीमैन सतहों के रूप में मानते हैं।

अगर $u + iv = \operatorname{gd}(x + iy),$ तब वास्तविक और काल्पनिक घटक $u$  और $v$  द्वारा पाया जा सकता है:

(व्यावहारिक फलानान्वयन में, 2-तर्क चाप स्पर्शज्या का उपयोग करना सुनिश्चित करें, $u = \operatorname{atan2}(\sinh x, \cos y)$ .)

इसी तरह अगर $x + iy = \operatorname{gd}^{-1}(u + iv),$ तो घटक $x$  और $y$  को इसके द्वारा पाया जा सकता है:

इन्हें एक साथ गुणा करने से अतिरिक्त सर्वसमिका का पता चलता है

समानताएं
दो फलानो को एक-दूसरे के घूर्णन या प्रतिबिंब के रूप में माना जा सकता है, ज्या और अतिपरवलीय ज्या के मध्य $\sinh iz = i \sin z$ के समान संबंध के साथ:

फलान दोनों विषम हैं और वे सम्मिश्र संयुग्म के साथ चलते हैं। यही है, प्रक्षेत्र में वास्तविक या काल्पनिक अक्ष पर प्रतिबिंब सहप्रक्षेत्र में समान प्रतिबिंब में परिणाम देता है:

फलान आवधिक फलान हैं, अवधि $2\pi i$ और $2\pi$  के साथ:

$\pm\pi i$ द्वारा $\operatorname{gd}$  के प्रक्षेत्र में एक अनुवाद अर्ध-घुमाव घूर्णन और सहप्रक्षेत्र में अनुवाद $\pm\pi$  में से एक में होता है, और इसके विपरीत $\operatorname{gd}^{-1}\colon$ के लिए:

$\operatorname{gd}$ के प्रक्षेत्र में किसी भी रेखा $x \pm \tfrac12\pi i$  के परिणामस्वरूप एक प्रतिबिंब में सहप्रक्षेत्र में एक रेखा $\pm \tfrac12\pi + yi$  और $\operatorname{gd}^{-1}\colon$  के लिए इसके विपरीत होता है:

यह सर्वसमिका से संबंधित है

विशिष्ट मान
कुछ विशिष्ट मान (जहाँ $\infty$ अनंत पट्टी के एक छोर पर सीमा इंगित करता है):

तर्क-जोड़ सर्वसमिका
अतिशयोक्तिपूर्ण फलानो के संयोजन से # तर्कों और त्रिकोणमितीय फलानो के योग # योग और अंतर सूत्र तर्क-जोड़ सर्वसमिका,


 * 1) वृत्तीय–हाइपरबोलिक आइडेंटिटी|वृत्तीय–हाइपरबोलिक आइडेंटिटी के साथ,

हमारे पास गुडरमानियन तर्क-जोड़ सर्वसमिका है:

आगे तर्क-जोड़ सर्वसमिका अन्य वृत्तीय फलानो के संदर्भ में लिखी जा सकती है, लेकिन उलटे फलानो में शाखाओं को चुनने में उन्हें अधिक देखभाल की आवश्यकता होती है। विशेष रूप से,

जिसका उपयोग गुडरमैनियन फलन#सम्मिश्र मान|कॉम्प्लेक्स गुडरमैनियन के लिए प्रति-घटक संगणना और व्युत्क्रम गुडरमैनियन को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। विशिष्ट मामले में $z = w,$ डबल-तर्क वाली सर्वसमिका हैं

टेलर श्रृंखला
टेलर श्रृंखला शून्य के पास, सम्मिश्र मानों के लिए मान्य है $z$ साथ $|z| < \tfrac12\pi,$  हैं

जहां नंबर $E_{k}$ यूलर नंबर हैं, 1, 0, -1, 0, 5, 0, -61, 0, 1385 ... (अनुक्रम, , और पूर्णांक अनुक्रमों के ऑन-लाइन विश्वकोश में)। इन श्रृंखलाओं की गणना पहली बार 1671 में जेम्स ग्रेगोरी (गणितज्ञ) द्वारा की गई थी। क्योंकि गुडरमैनियन और व्युत्क्रम गुडरमैनियन फलन अतिशयोक्तिपूर्ण व्युत्क्रम कोटिज्या और व्युत्क्रम कोटिज्या फलन के अभिन्न हैं, अंश $E_{k}$ और $|E_{k}|$  अतिशयोक्तिपूर्ण फलानो के अंश के समान हैं # टेलर श्रृंखला अभिव्यक्ति | टेलर श्रृंखला के लिए $ψ$ और त्रिकोणमितीय फलान # पावर श्रृंखला विस्तार |$ϕ = gd ψ$, क्रमशः, लेकिन एक स्थान से स्थानांतरित कर दिया।

घटाए गए अहस्ताक्षरित अंश 1, 1, 1, 61, 277, ... हैं और घटाए गए हर 1, 6, 24, 5040, 72576, ... (अनुक्रम) हैं और  पूर्णांक अनुक्रमों के ऑन-लाइन विश्वकोश में)।

इतिहास
फलन और इसके व्युत्क्रम मर्केटर प्रक्षेप से संबंधित हैं। मर्केटर प्रक्षेप में ऊर्ध्वाधर समन्वय को अक्षांश#सममितीय अक्षांश कहा जाता है, और इसे अक्सर निरूपित किया जाता है $\psi.$ अक्षांश के संदर्भ में $\phi$  गोले पर ( कांति  में अभिव्यक्त) सममितीय अक्षांश लिखा जा सकता है

सममितीय अक्षांश से गोलीय अक्षांश का व्युत्क्रम होता है $\phi = \operatorname{gd} \psi.$ (ध्यान दें: क्रांति के दीर्घवृत्ताभ पर, भूगणितीय अक्षांश और सममितीय अक्षांश के मध्य का संबंध थोड़ा अधिक सम्मिश्र है।)

जेरार्ड मर्केटर ने 1569 में अपना प्रसिद्ध नक्शा तैयार किया, लेकिन निर्माण की सटीक विधि सामने नहीं आई। 1599 में, एडवर्ड राइट (गणितज्ञ) ने त्रिकोणमितीय तालिकाओं से संख्यात्मक रूप से मर्केटर प्रक्षेप के निर्माण के लिए एक विधि का वर्णन किया, लेकिन एक बंद सूत्र का उत्पादन नहीं किया। बंद सूत्र 1668 में जेम्स ग्रेगोरी (गणितज्ञ) द्वारा प्रकाशित किया गया था।

1760 के दशक में जोहान हेनरिक लैम्बर्ट द्वारा अतिशयोक्तिपूर्ण फलानो के रूप में एक ही समय में गुडरमैनियन फलन प्रस्तावित किया गया था। उन्होंने इसे पारलौकिक कोण कहा, और यह 1862 तक विभिन्न नामों से चला गया जब आर्थर केली ने सुझाव दिया कि इसे विशेष फलानो के सिद्धांत पर 1830 के दशक में क्रिस्टोफ गुडरमैन के काम के लिए श्रद्धांजलि के रूप में अपना वर्तमान नाम दिया जाए। गुडरमैन ने क्रेले के जर्नल में लेख प्रकाशित किए थे जिन्हें बाद में एक पुस्तक में एकत्र किया गया था जिसकी व्याख्या की $\sinh$ और $\cosh$  व्यापक दर्शकों के लिए (हालांकि प्रतीकों द्वारा दर्शाया गया है $\mathfrak{Sin}$  और $\mathfrak{Cos}$ ).

अंकन $\operatorname{gd}$ केली द्वारा प्रस्तावित किया गया था जो कॉल करके शुरू होता है $\phi = \operatorname{gd} u$  जैकोबी अण्डाकार फलान#am $\operatorname{am} u$  पतित मामले में जहां अण्डाकार मापांक है $m = 1,$  ताकि $\sqrt{1 + m\sin\!^2\,\phi}$  कम कर देता है $\cos \phi.$ यह व्युत्क्रम कोटिज्या फलन के समाकल का व्युत्क्रम है। केली के अंकन का उपयोग करना,

तब उन्होंने पारलौकिक की परिभाषा निकाली,

यह देखते हुए कि यद्यपि एक काल्पनिक रूप में प्रदर्शित किया गया है, [यह] एक वास्तविक फलान है $ u$ ".

गुडरमैनियन और इसके व्युत्क्रम का उपयोग वृत्ताकार फलानो के त्रिकोणमितीय तालिकाओं को बनाने के लिए किया गया था जो अतिशयोक्तिपूर्ण फलानो की तालिकाओं के रूप में भी फलान करते हैं। एक अतिशयोक्तिपूर्ण कोण दिया गया है $\psi$, अतिशयोक्तिपूर्ण फलानो को पहले देखने पर पाया जा सकता है $\phi = \operatorname{gd} \psi$ एक गुडरमैनियन टेबल में और फिर के उपयुक्त वृत्तीय फलन को देख रहे हैं $\phi$ , या सीधे पता लगाने से $\psi$  एक सहायक में $$\operatorname{gd}^{-1}$$ त्रिकोणमितीय तालिका का स्तंभ।

सामान्यीकरण
गुडरमैनियन फलन को एक अतिपरवलय की एक शाखा पर बिंदुओं को अर्धवृत्त पर बिंदुओं के मानचित्रण के बारे में सोचा जा सकता है। एक एन-डायमेंशनल hyperboloid  की एक शीट पर बिंदुओं को इसी तरह स्टीरियोग्राफिक प्रक्षेप के माध्यम से एक एन-डायमेंशनल गोलार्ध पर मैप किया जा सकता है। हाइपरबोलिक ज्यामिति # गोलार्ध मॉडल हाइपरबॉलिक स्पेस का प्रतिनिधित्व करने के लिए ऐसे मानचित्र का उपयोग करता है।

अनुप्रयोग
*अतिपरवलयिक ज्यामिति में समानता फलन का कोण कोण#गुडर्मेनियन के कोण जोड़े का संयोजन है, $$\mathit{\Pi}(\psi) = \tfrac12\pi - \operatorname{gd} \psi.$$ अनुप्रस्थ मर्केटर प्रक्षेप पर निरंतर अक्षांश की एक रेखा भूमध्य रेखा (प्रक्षेपण पर) के समानांतर होती है और अक्षांश के व्युत्क्रम गुडरमैनियन के आनुपातिक राशि से विस्थापित होती है।
 * अनुप्रस्थ मर्केटर प्रक्षेपण को परिभाषित करने के लिए गुडरमैनियन (एक सम्मिश्र तर्क के साथ) का उपयोग किया जा सकता है।
 * गुडरमैनियन उलटा पेंडुलम के गैर-आवधिक समाधान में प्रकट होता है।
 * गुडरमेनियन गतिमान कासिमिर प्रभाव के गतिमान दर्पण विलयन में प्रकट होता है।
 * यदि असीम रूप से लंबे, समदूरस्थ, समांतर, समतलीय, सीधे तारों की एक अनंत संख्या को वैकल्पिक संकेतों के साथ समान विद्युत क्षमता पर रखा जाता है, तो तारों के अनुप्रस्थ-अनुभागीय समतल में संभावित-प्रवाह वितरण सम्मिश्र गुडरमैनियन है।
 * गुडरमैनियन फलन एक सिग्मॉइड फलन है, और इस तरह कभी-कभी मशीन सीखने में सक्रियण फलन के रूप में उपयोग किया जाता है।
 * (स्केल्ड और शिफ्ट किया गया) गुडरमैनियन अतिपरवलयिक व्युत्क्रम कोटिज्या बंटन का संचयी बंटन फलन है।
 * गुडरमानियन पर आधारित एक फलन सर्पिल आकाशगंगा भुजाओं के आकार के लिए एक अच्छा मॉडल प्रदान करता है।

यह भी देखें

 * ट्रैक्ट्रिक्स
 * कैटेनरी#समान शक्ति की कैटेनरी

बाहरी संबंध

 * Penn, Michael (2020) "the Gudermannian function!" on YouTube.

संदर्भ

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