नियंत्रित नॉट गेट

कंप्यूटर विज्ञान में, नियंत्रित नॉट गेट (सी-एनओटी या सीएनओटी भी), नियंत्रित-एक्स गेट, नियंत्रित-बिट-फ्लिप गेट, फेनमैन गेट या नियंत्रित पाउली-एक्स एक क्वांटम लॉजिक गेट है जो यह कितना घूमता है? |गेट-आधारित  एक कंप्यूटर जितना  के निर्माण में एक आवश्यक घटक है। इसका उपयोग क्वांटम उलझाव और बेल अवस्थाओं को सुलझाने के लिए किया जा सकता है। सीएनओटी गेट्स और सिंगल qubit रोटेशन के संयोजन का उपयोग करके किसी भी क्वांटम सर्किट को सटीकता की मनमानी डिग्री तक सिम्युलेटेड किया जा सकता है।  गेट का नाम कभी-कभी रिचर्ड फेनमैन के नाम पर रखा जाता है जिन्होंने 1986 में क्वांटम गेट आरेखों के लिए प्रारंभिक संकेतन विकसित किया था।   CNOT को पॉल के मैट्रिक्स में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:


 * $$ \mbox{CNOT} = e^{i\frac{\pi}{4}(I_1-Z_1)(I_2-X_2)}= e^{-i\frac{\pi}{4}(I_1-Z_1)(I_2-X_2)}. $$

एकात्मक मैट्रिक्स और हर्मिटियन मैट्रिक्स दोनों होने के कारण, सीएनओटी सिल्वेस्टर का सूत्र $$ e^{i\theta U}=(\cos \theta)I+(i\sin \theta) U$$ और $$ U =e^{i\frac{\pi}{2}(I-U)}=e^{-i\frac{\pi}{2}(I-U)}$$, और अनैच्छिक मैट्रिक्स है।

उदाहरण के लिए, सीएनओटी गेट को क्वांटम लॉजिक गेट्स की सूची#रोटेशन ऑपरेटर गेट्स और बिल्कुल एक क्वांटम लॉजिक गेट्स की सूची#दो क्विबिट इंटरेक्शन गेट्स के उत्पादों के रूप में विघटित किया जा सकता है।


 * $$ \mbox{CNOT} =e^{-i\frac{\pi}{4}}R_{y_1}(-\pi/2)R_{x_1}(-\pi/2)R_{x_2}(-\pi/2)R_{xx}(\pi/2)R_{y_1}(\pi/2). $$

सामान्य तौर पर, किसी भी एकल क्वबिट यूनिटरी मैट्रिक्स#प्रॉपर्टीज़ को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है $$ U = e^{iH} $$, जहां H एक हर्मिटियन मैट्रिक्स है, और फिर नियंत्रित U है $$ CU =  e^{i\frac{1}{2}(I_1-Z_1)H_2} $$.

सीएनओटी गेट का उपयोग शास्त्रीय प्रतिवर्ती कंप्यूटिंग में भी किया जाता है।

संचालन
सीएनओटी गेट 2 क्विबिट वाले क्वांटम रजिस्टर पर काम करता है। सीएनओटी गेट दूसरे क्वबिट (लक्ष्य क्वबिट) को फ़्लिप करता है यदि और केवल यदि पहला क्वबिट (नियंत्रण क्वबिट) है $$|1\rangle$$.

अगर $$\{|0\rangle,|1\rangle\}$$ दोनों क्वैबिट के लिए एकमात्र अनुमत इनपुट मान हैं, तो CNOT गेट का TARGET आउटपुट शास्त्रीय XOR गेट के परिणाम से मेल खाता है। नियंत्रण को इस रूप में ठीक करना $$|1\rangle$$, CNOT गेट का TARGET आउटपुट क्लासिकल NOT गेट का परिणाम देता है।

अधिक आम तौर पर, इनपुट को एक रैखिक सुपरपोजिशन होने की अनुमति होती है $$\{|0\rangle,|1\rangle\}$$. CNOT गेट क्वांटम अवस्था को परिवर्तित करता है:

$$a|00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle + d|11\rangle$$ में:

$$a|00\rangle + b|01\rangle + c|11\rangle + d|10\rangle$$ सीएनओटी गेट की कार्रवाई को मैट्रिक्स (क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स फॉर्म) द्वारा दर्शाया जा सकता है:


 * $$ \operatorname{CNOT} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\  0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}.$$

सीएनओटी गेट का पहला प्रायोगिक कार्यान्वयन 1995 में पूरा किया गया था। यहां, आयन ट्रैप#ट्रैप्ड आयन क्वांटम कंप्यूटर में एक एकल फीरोज़ा  आयन का उपयोग किया गया था। दो क्वैबिट को एक ऑप्टिकल अवस्था में और जाल के भीतर आयन की कंपन अवस्था में एन्कोड किया गया था। प्रयोग के समय, सीएनओटी-ऑपरेशन की विश्वसनीयता 90% के क्रम पर मापी गई थी। एक नियमित नियंत्रित NOT गेट के अलावा, कोई फ़ंक्शन-नियंत्रित NOT गेट का निर्माण कर सकता है, जो इनपुट के रूप में क्वैबिट की एक मनमानी संख्या n+1 को स्वीकार करता है, जहां n+1 2 (एक क्वांटम रजिस्टर) से अधिक या उसके बराबर है। यह गेट रजिस्टर के अंतिम क्वबिट को फ़्लिप करता है यदि और केवल तभी जब एक अंतर्निहित फ़ंक्शन, इनपुट के रूप में पहले एन क्वबिट के साथ, 1 लौटाता है। फ़ंक्शन-नियंत्रित नॉट गेट Deutsch-Jozsa एल्गोरिथम का एक अनिवार्य तत्व है।

हैडामर्ड में व्यवहार रूपांतरित आधार
जब केवल कम्प्यूटेशनल आधार पर देखा जाए $$\{|0\rangle,|1\rangle\}$$, सी का व्यवहारNOT समतुल्य शास्त्रीय द्वार जैसा प्रतीत होता है। हालाँकि, एक क्वबिट पर नियंत्रण और दूसरे पर लक्ष्य को लेबल करने की सरलता दोनों क्वबिट के अधिकांश इनपुट मानों के लिए क्या होता है इसकी जटिलता को प्रतिबिंबित नहीं करती है।

हैडमार्ड रूपांतरित आधार के संबंध में सीएनओटी गेट को व्यक्त करके अंतर्दृष्टि जीती जा सकती है $$\{|+\rangle,|-\rangle\}$$. Hadamard रूपांतरित आधार एक-क्विबिट क्वांटम रजिस्टर द्वारा दिया गया है


 * $$|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle),\qquad |-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - |1\rangle),$$

और 2-क्विबिट रजिस्टर का संगत आधार है


 * $$|++\rangle = |+\rangle\otimes|+\rangle = \frac{1}{2}(|0\rangle + |1\rangle)\otimes(|0\rangle + |1\rangle) = \frac{1}{2}(|00\rangle + |01\rangle + |10\rangle + |11\rangle)$$,

आदि। इस आधार पर सीएनओटी को देखने पर, दूसरी बिट की स्थिति अपरिवर्तित रहती है, और पहली बिट की स्थिति दूसरे बिट की स्थिति के अनुसार फ़्लिप हो जाती है। (विवरण के लिए नीचे देखें।) इस प्रकार, इस आधार पर यह समझ में आता है कि कौन सा बिट नियंत्रण बिट है और कौन सा लक्ष्य बिट उलट गया है। लेकिन हमने परिवर्तन बिल्कुल नहीं बदला है, केवल जिस तरह से हम इसके बारे में सोच रहे हैं। कम्प्यूटेशनल आधार $$\{|0\rangle,|1\rangle\}$$ ज़ेड-दिशा में स्पिन के लिए ईजेनबासिस है, जबकि हैडामर्ड आधार $$\{|+\rangle,|-\rangle\}$$ एक्स-दिशा में स्पिन के लिए आइगेनबेसिस है। X और Z को स्विच करना और 1 और 2 को क्वैबिट करना, फिर, मूल परिवर्तन को पुनः प्राप्त करता है। यह सीएनओटी गेट की मौलिक समरूपता को व्यक्त करता है।

यह अवलोकन कि सी में दोनों क्वबिट (समान रूप से) प्रभावित होते हैंNOT उलझी हुई क्वांटम प्रणालियों में सूचना प्रवाह पर विचार करते समय बातचीत का महत्व है।

गणना का विवरण
अब हम गणना का विवरण देने के लिए आगे बढ़ते हैं। हैडामर्ड आधार राज्यों में से प्रत्येक के माध्यम से कार्य करते हुए, पहली कक्षा बीच में फ़्लिप हो जाती है $$|+\rangle$$ और $$|-\rangle$$ जब दूसरा क्वबिट होता है $$|-\rangle$$:

एक क्वांटम सर्किट जो सी के बाद हैडामर्ड ट्रांसफॉर्म करता हैNOT फिर एक और हैडामर्ड परिवर्तन, को हैडामर्ड आधार पर सीएनओटी गेट के प्रदर्शन के रूप में वर्णित किया जा सकता है (यानी एक चेंज_ऑफ_बेसिस#एंडोमोर्फिज्म):

$(H_{1} ⊗ H_{1})^{−1}. C_{NOT}. (H_{1} ⊗ H_{1})$

सिंगल-क्विबिट हैडामर्ड ट्रांसफॉर्म, एच1, हर्मिटियन मैट्रिक्स है और इसलिए इसका अपना व्युत्क्रम है। दो क्विबिट्स पर संचालित (स्वतंत्र रूप से) दो हैडामर्ड ट्रांसफॉर्म के टेंसर उत्पाद को हैडामर्ड ट्रांसफॉर्म#डेफिनिशन|एच लेबल किया गया है2. इसलिए हम आव्यूहों को इस प्रकार लिख सकते हैं:

$H_{2}. C_{NOT}. H_{2}$

जब गुणा किया जाता है, तो यह एक मैट्रिक्स उत्पन्न करता है जो स्वैप करता है $$|01\rangle$$ और $$|11\rangle$$ जाते समय शर्तें ख़त्म हो गईं $$|00\rangle$$ और $$|10\rangle$$ अकेले शर्तें. यह एक CNOT गेट के समतुल्य है जहाँ qubit 2 नियंत्रण qubit है और qubit 1 लक्ष्य qubit है:

$$\frac{1}{2} \begin{bmatrix}\begin{array}{rrrr} 1 & 1 &  1 &  1\\    1 & -1 &  1 & -1\\    1 &  1 & -1 & -1\\    1 & -1 & -1 &  1   \end{array}\end{bmatrix} . \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\   0 & 1 & 0 & 0\\    0 & 0 & 0 & 1\\    0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} . \frac{1}{2} \begin{bmatrix}\begin{array}{rrrr} 1 & 1 &  1 &  1\\    1 & -1 &  1 & -1\\    1 &  1 & -1 & -1\\    1 & -1 & -1 &  1   \end{array}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\   0 & 0 & 0 & 1\\    0 & 0 & 1 & 0\\    0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$

बेल स्टेट का निर्माण
सी का एक सामान्य अनुप्रयोगNOT गेट का उद्देश्य अधिकतम दो क्वैबिट को इसमें उलझाना है $$|\Phi^+\rangle$$ बेल अवस्था; यह सुपरडेंस कोडिंग, क्वांटम टेलीपोर्टेशन और उलझे हुए क्वांटम क्रिप्टोग्राफी एल्गोरिदम के सेटअप का हिस्सा है।

निर्मित करना $$|\Phi^+\rangle$$, सी में इनपुट ए (नियंत्रण) और बी (लक्ष्य)।NOT गेट हैं:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)_A$$ और $$|0\rangle_B$$ सी लगाने के बादNOT, परिणामी बेल राज्य $\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle)$ इसमें यह गुण है कि व्यक्तिगत क्वैबिट को किसी भी आधार का उपयोग करके मापा जा सकता है और यह हमेशा प्रत्येक राज्य को हल करने का 50/50 मौका देगा। वास्तव में, व्यक्तिगत क्वैबिट एक अपरिभाषित स्थिति में हैं। दो क्वैबिट के बीच का सहसंबंध दोनों क्वैबिट की स्थिति का संपूर्ण विवरण है; यदि हम दोनों क्वैबिट को मापने और नोट्स की तुलना करने के लिए एक ही आधार चुनते हैं, तो माप पूरी तरह से सहसंबंधित होंगे।

जब कम्प्यूटेशनल आधार पर देखा जाता है, तो ऐसा प्रतीत होता है कि qubit A, qubit B को प्रभावित कर रहा है। हमारे दृष्टिकोण को Hadamard आधार पर बदलने से पता चलता है कि, एक सममित तरीके से, qubit B, qubit A को प्रभावित कर रहा है।

इनपुट स्थिति को वैकल्पिक रूप से इस प्रकार देखा जा सकता है:

$$|+\rangle_A$$ और $$\frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle + |-\rangle)_B$$ हैडामर्ड दृश्य में, नियंत्रण और लक्ष्य क्वैबिट की अवधारणात्मक रूप से अदला-बदली की गई है और क्वबिट बी होने पर क्वबिट ए उलटा हो जाता है। $$|-\rangle_B$$. सी लागू करने के बाद आउटपुट स्थितिNOT गेट है $\frac{1}{\sqrt{2}}(|++\rangle + |--\rangle)$ जिसे दिखाया जा सकता है बिल्कुल वैसी ही स्थिति होना $\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle)$.

सी-आरओटी गेट
सी-आरओटी गेट (नियंत्रित रबी चक्र) एक को छोड़कर सी-नॉट गेट के बराबर है $$\pi /2 $$ z अक्ष के चारों ओर परमाणु स्पिन का घूमना।

कार्यान्वयन
ट्रैप्ड आयन क्वांटम कंप्यूटर:


 * सिराक-ज़ोलर नियंत्रित-नॉट गेट
 * मोल्मर-सोरेंसन गेट

यह भी देखें

 * टोफोली गेट (नियंत्रित-नियंत्रित-नॉट गेट)

बाहरी संबंध

 * Michael Westmoreland: "Isolation and information flow in quantum dynamics" - discussion around the Cnot gate