गणना

गणना वस्तुओं के परिमित समुच्चय के तत्वों की संख्या निर्धारित करने की प्रक्रिया है, अर्थात, एक समुच्चय का आकार निर्धारित करना। गिनती के पारंपरिक तरीके में सेट के प्रत्येक तत्व के लिए एक (मानसिक या मौखिक) काउंटर को लगातार 1 से बढ़ाना शामिल है, कुछ क्रम में, उन तत्वों को चिह्नित (या विस्थापित) करते हुए एक ही तत्व को एक से अधिक बार जाने से बचने के लिए, जब तक कोई नहीं अचिह्नित तत्व छोड़े गए हैं; यदि काउंटर को पहले ऑब्जेक्ट के बाद एक पर सेट किया गया था, तो अंतिम ऑब्जेक्ट पर जाने के बाद का मान वांछित तत्वों की संख्या देता है। संबंधित शब्द गणना प्रत्येक तत्व को एक संख्या निर्दिष्ट करके विशिष्ट रूप से एक परिमित सेट (संयोजक) सेट (गणित) या अनंत सेट के तत्वों की पहचान करने के लिए संदर्भित करता है।

गिनती में कभी-कभी एक के अलावा अन्य संख्याएँ शामिल होती हैं; उदाहरण के लिए, धन की गिनती करते समय, परिवर्तन की गिनती करते समय, दो (2, 4, 6, 8, 10, 12, ...) द्वारा गिनना, या पांच (5, 10, 15, 20, 25, ...) द्वारा गिनना ).

ऐसे पुरातात्विक साक्ष्य हैं जो बताते हैं कि मनुष्य कम से कम 50,000 वर्षों से गिन रहे हैं। गिनती का उपयोग प्राचीन संस्कृतियों द्वारा मुख्य रूप से सामाजिक और आर्थिक डेटा जैसे कि समूह के सदस्यों की संख्या, शिकार जानवरों, संपत्ति, या ऋण (अर्थात्, लेखाकर्म) का ट्रैक रखने के लिए किया जाता था। दक्षिण अफ्रीका में सीमावर्ती गुफाओं में नोकदार हड्डियां भी पाई गई हैं जो यह सुझाव दे सकती हैं कि गिनती की अवधारणा मनुष्यों को 44,000 ईसा पूर्व तक ज्ञात थी। गिनती के विकास से गणितीय अंकन, अंक प्रणाली और लेखन का विकास हुआ।

गिनती के रूप


गिनती विभिन्न रूपों में हो सकती है।

गिनती मौखिक हो सकती है; यानी प्रगति पर नज़र रखने के लिए हर नंबर ज़ोर से (या मानसिक रूप से) बोलना। यह अक्सर उन वस्तुओं की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है जो समय के साथ विभिन्न प्रकार की चीजों को गिनने के बजाय पहले से मौजूद हैं।

गिनती मिलान चिह्नों के रूप में भी हो सकती है, प्रत्येक संख्या के लिए एक चिह्न बनाना और फिर मिलान किए जाने पर सभी चिह्नों को गिनना। समय के साथ वस्तुओं की गिनती करते समय यह उपयोगी होता है, जैसे कि एक दिन के दौरान कितनी बार कुछ होता है। मिलान करना आधार 1 गिनती है; सामान्य गणना बेस 10 में की जाती है। कंप्यूटर बेस उंगली की गिनती (0s और 1s) का उपयोग करते हैं, जिसे बूलियन बीजगणित भी कहा जाता है।

गिनती अंगुलियों की गिनती के रूप में भी हो सकती है, विशेषकर छोटी संख्याओं की गिनती करते समय। यह अक्सर बच्चों द्वारा गिनती और सरल गणितीय कार्यों को सुविधाजनक बनाने के लिए उपयोग किया जाता है। अंगुलियों की गिनती एकात्मक संकेतन (एक उंगली = एक इकाई) का उपयोग करती है, और इस प्रकार 10 की गिनती तक सीमित है (जब तक कि आप अपने पैर की उंगलियों से शुरू नहीं करते)। बारह की संख्या तक गिनने के लिए पुरानी अंगुलियों की गिनती में चार अंगुलियों और प्रत्येक अंगुली (फलांगों) में तीन हड्डियों का उपयोग किया जाता था। अन्य हाथ-संकेत प्रणालियां भी उपयोग में हैं, उदाहरण के लिए चीनी प्रणाली जिसके द्वारा एक हाथ के केवल इशारों का उपयोग करके 10 तक गिनती की जा सकती है। फिंगर बाइनरी (बेस 2 काउंटिंग) का उपयोग करके, उंगली की गिनती तक रखना संभव है 1023 = 210 − 1.

गिनती की सुविधा के लिए विभिन्न उपकरणों का भी उपयोग किया जा सकता है, जैसे हाथ से मिलान काउंटर और अबेकस।

समावेशी गिनती
रोमन कैलेंडर और रोमांस भाषाओं में समय के साथ व्यवहार करते समय आम तौर पर समावेशी गिनती का सामना करना पड़ता है। सम्मिलित रूप से गिनने पर, रविवार (प्रारंभिक दिन) पहला दिन होगा और इसलिए अगला रविवार आठवां दिन होगा। उदाहरण के लिए, पखवाड़े के लिए फ्रांसीसी वाक्यांश क्विनज़ाइन (15 [दिन]) है, और इसी तरह के शब्द ग्रीक (δεκαπενθήμερο, dekapenthímero), स्पैनिश (quincena) और पुर्तगाली (quinzena) में मौजूद हैं। इसके विपरीत, अंग्रेजी शब्द पखवाड़े चौदह-रात्रि से व्युत्पन्न होता है, जैसा कि पुरातन शब्द: सेननाइट सात-रात्रि से करता है; अंग्रेजी शब्द समावेशी गिनती के उदाहरण नहीं हैं। अंग्रेजी जैसी विशेष गिनती वाली भाषाओं में, जब रविवार से आठ दिनों की गिनती की जाती है, तो सोमवार पहला दिन, मंगलवार दूसरा दिन और अगला सोमवार आठवां दिन होगा। कई वर्षों के लिए यह यूनाइटेड किंगडम में कराधान का इतिहास था #वाक्यांश के लिए एक तारीख से मतलब उस तारीख के बाद के दिन से शुरू करने के लिए कानूनी नियम: गलतफहमी के उच्च जोखिम के कारण अब इस प्रथा को हटा दिया गया है। रोमन कैलेंडर में, नोन्स (मतलब नौ) आइड्स से 8 दिन पहले का है; अधिक आम तौर पर, तारीखों को अगले नामित दिन तक समावेशी रूप से गिने जाने वाले दिनों के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है। ईसाई कैलेंडर में, Quinquagesima (मतलब 50) ईस्टर रविवार से 49 दिन पहले आता है।

संगीत शब्दावली भी मानक पैमाने के नोटों के बीच अंतराल (संगीत) की समावेशी गिनती का उपयोग करती है: एक नोट ऊपर जाना दूसरा अंतराल है, दो नोट ऊपर जाना तीसरा अंतराल है, आदि, और सात नोट ऊपर जाना एक सप्तक है।

शिक्षा और विकास
दुनिया की अधिकांश संस्कृतियों में गिनना सीखना एक महत्वपूर्ण शैक्षिक/विकासात्मक मील का पत्थर है। गिनना सीखना बच्चे का गणित में पहला कदम है, और उस अनुशासन का सबसे मौलिक विचार है। हालाँकि, अमेज़ोनिया और ऑस्ट्रेलियाई आउटबैक में कुछ संस्कृतियों की गिनती नहीं है, और उनकी भाषाओं में संख्या शब्द नहीं हैं।

बहुत से बच्चे मात्र 2 वर्ष की आयु में ही गिनती सूची (अर्थात् एक, दो, तीन, ... कह कर) सुनाने में कुछ निपुण हो जाते हैं। वे छोटी संख्याओं के लिए क्रमसूचकता के प्रश्नों का उत्तर भी दे सकते हैं, उदाहरण के लिए, तीन के बाद क्या आता है? . वे एक सेट में प्रत्येक वस्तु को इंगित करने और एक के बाद एक शब्दों को पढ़ने में कुशल भी हो सकते हैं। यह कई माता-पिता और शिक्षकों को इस निष्कर्ष पर ले जाता है कि बच्चा जानता है कि सेट के आकार को निर्धारित करने के लिए गिनती का उपयोग कैसे करना है। शोध से पता चलता है कि इन कौशलों को सीखने के बाद एक बच्चे को यह समझने में लगभग एक साल लग जाता है कि उनका क्या मतलब है और प्रक्रियाओं को क्यों किया जाता है। इस बीच, बच्चे सीखते हैं कि कार्डिनैलिटी का नाम कैसे देना है, जिसे वे subitize कर सकते हैं।

गणित में गिनती
गणित में, एक समुच्चय की गिनती करने और परिणाम n खोजने का सार यह है कि यह धनात्मक पूर्णांक {1, 2, ..., n} के उपसमुच्चय के साथ समुच्चय का एक-से-एक पत्राचार (या आक्षेप) स्थापित करता है।. एक मौलिक तथ्य, जिसे गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध किया जा सकता है, वह यह है कि कोई भी आक्षेप {1, 2, ..., n} और {1, 2, ..., m} के बीच तब तक मौजूद नहीं हो सकता जब तक कि n = m; यह तथ्य (इस तथ्य के साथ कि दो आक्षेप एक और आक्षेप देने के लिए कार्य रचना हो सकते हैं) यह सुनिश्चित करता है कि एक ही सेट को अलग-अलग तरीकों से गिनने से कभी भी अलग-अलग संख्याएँ नहीं हो सकती हैं (जब तक कि कोई त्रुटि न हो)। यह मूलभूत गणितीय प्रमेय है जो गिनती को उसका उद्देश्य बताता है; हालाँकि आप एक (परिमित) सेट की गिनती करते हैं, उत्तर समान है। एक व्यापक संदर्भ में, प्रमेय (परिमित) साहचर्य के गणितीय क्षेत्र में एक प्रमेय का एक उदाहरण है - इसलिए (परिमित) कॉम्बिनेटरिक्स को कभी-कभी गिनती के गणित के रूप में जाना जाता है।

गणित में उत्पन्न होने वाले कई समुच्चय किसी प्राकृत संख्या n के लिए {1, 2, ..., n} के साथ एक आक्षेप स्थापित करने की अनुमति नहीं देते हैं; इन्हें अपरिमित समुच्चय कहा जाता है, जबकि वे समुच्चय जिनके लिए ऐसा आक्षेप मौजूद होता है (कुछ n के लिए) परिमित समुच्चय कहलाते हैं। अनंत सेटों को सामान्य अर्थों में नहीं गिना जा सकता है; एक बात के लिए, गणितीय प्रमेय जो परिमित समुच्चयों के लिए इस सामान्य अर्थ को रेखांकित करते हैं, अनंत समुच्चयों के लिए झूठे हैं। इसके अलावा, अवधारणाओं की विभिन्न परिभाषाएँ जिनके संदर्भ में इन प्रमेयों को कहा गया है, जबकि परिमित समुच्चयों के समतुल्य, अनंत समुच्चयों के संदर्भ में असमान हैं।

कुछ सुविचारित समुच्चय के साथ एक आपत्ति स्थापित करने (अस्तित्व) के अर्थ में गिनती की धारणा को उनके लिए विस्तारित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि एक समुच्चय को सभी प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के साथ आपत्ति में लाया जा सकता है, तो इसे गणनीय रूप से अनंत कहा जाता है। इस तरह की गिनती मौलिक रूप से परिमित सेटों की गिनती से भिन्न होती है, जिसमें एक सेट में नए तत्वों को जोड़ना आवश्यक रूप से इसके आकार में वृद्धि नहीं करता है, क्योंकि मूल सेट के साथ आपत्ति की संभावना को बाहर नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए, सभी पूर्णांकों (ऋणात्मक संख्याओं सहित) के सेट को प्राकृतिक संख्याओं के सेट के साथ आक्षेप में लाया जा सकता है, और तर्कसंगत संख्याओं के सभी परिमित अनुक्रमों की तरह प्रतीत होने वाले बहुत बड़े सेट अभी भी (केवल) अनगिनत रूप से अनंत हैं। फिर भी, ऐसे समुच्चय हैं, जैसे कि वास्तविक संख्याओं का समुच्चय, जो प्राकृतिक संख्याओं के साथ आपत्ति स्वीकार करने के लिए बहुत बड़ा दिखाया जा सकता है, और इन समुच्चयों को अगणनीय समुच्चय कहा जाता है। जिन सेटों के लिए उनके बीच एक आक्षेप मौजूद है, उन्हें एक ही प्रमुखता कहा जाता है, और सबसे सामान्य अर्थों में एक सेट की गणना करने के लिए इसकी कार्डिनैलिटी का निर्धारण करने के लिए लिया जा सकता है। प्रत्येक प्राकृतिक संख्या द्वारा दी गई कार्डिनैलिटी से परे, अनंत कार्डिनैलिटी का एक अनंत पदानुक्रम है, हालांकि साधारण गणित में बहुत कम ऐसी कार्डिनैलिटी होती है (अर्थात, सेट सिद्धांत के बाहर जो स्पष्ट रूप से संभव कार्डिनैलिटी का अध्ययन करता है)।

गिनती, ज्यादातर परिमित समुच्चय, के गणित में विभिन्न अनुप्रयोग हैं। एक महत्वपूर्ण सिद्धांत यह है कि यदि दो समुच्चय X और Y में तत्वों की समान परिमित संख्या और एक फलन हो f: X → Y इंजेक्शन के रूप में जाना जाता है, तो यह विशेषण भी है, और इसके विपरीत। एक संबंधित तथ्य को कबूतर सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, जो बताता है कि यदि दो सेट X और Y में n और m तत्वों की परिमित संख्या है n > m, फिर कोई नक्शा f: X → Y इंजेक्शन नहीं है (इसलिए एक्स के दो अलग-अलग तत्व मौजूद हैं जो एफ वाई के समान तत्व को भेजता है); यह पूर्व सिद्धांत से अनुसरण करता है, क्योंकि यदि एफ इंजेक्शन थे, तो इसका कार्य (गणित) # एम तत्वों के साथ एक्स के एक सख्त उपसमुच्चय एस के लिए प्रतिबंध और विस्तार होगा, जो प्रतिबंध तब विशेषण होगा, इस तथ्य का खंडन करता है कि एक्स में S के बाहर X, f(x) प्रतिबंध की छवि में नहीं हो सकता। समान गिनती के तर्क स्पष्ट रूप से उदाहरण प्रदान किए बिना कुछ वस्तुओं के अस्तित्व को साबित कर सकते हैं। अपरिमित समुच्चयों के मामले में यह उन स्थितियों में भी लागू हो सकता है जहां उदाहरण देना असंभव है। गणनात्मक कॉम्बिनेटरिक्स का डोमेन परिमित सेट के तत्वों की संख्या की गणना करने से संबंधित है, वास्तव में उन्हें गिनने के बिना; उत्तरार्द्ध आमतौर पर असंभव होता है क्योंकि परिमित सेट के अनंत परिवारों को एक ही बार में माना जाता है, जैसे किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए {1, 2, ..., n} के क्रमपरिवर्तन का सेट।

यह भी देखें

 * कार्ड पढ़ना (पुल)
 * गणना
 * बुनियादी संख्या
 * कॉम्बिनेटरिक्स
 * डेटा गिनें
 * गिनती (संगीत)
 * गिनती की समस्या (जटिलता)
 * विकासमूलक मनोविज्ञान
 * प्राथमिक अंकगणित
 * उंगली गिनना
 * गणित का इतिहास
 * जेटन
 * माप का स्तर
 * गणितीय मात्रा
 * क्रमसूचक संख्या
 * कण संख्या
 * Subitizing और गिनती
 * मिलान का चिह्न
 * एकात्मक अंक प्रणाली
 * संख्याओं की सूची
 * यान तन टेथेरा (ब्रिटेन में भेड़ों की गिनती)

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संदर्भ
सीए:कॉम्पटार