गतिशील प्रणाली

गणित में, एक गतिशील प्रणाली एक प्रणाली है जिसमें एक फलन (गणित) एक परिवेशी स्थान में एक बिंदु (ज्यामिति) की समय निर्भरता का वर्णन करता है। इस प्रकार से उदाहरणों में गणितीय मॉडल सम्मिलित हैं जो घड़ी के लंगर के दोलन, पाइप में जल के प्रवाह, वायु में कणों की यादृच्छिक गति और झील में प्रत्येक वसंत ऋतु में मछलियों की संख्या का वर्णन करते हैं। सबसे सामान्य परिभाषा समष्टि के विभिन्न विकल्पों जैसे सामान्य अंतर समीकरण एर्गोडिक सिद्धांत और समय को मापने के विधियों की अनुमति देकर गणित में अनेक अवधारणाओं को एकीकृत करती है। और समय को पूर्णांकों द्वारा, वास्तविक संख्या या सम्मिश्र संख्याओं द्वारा मापा जा सकता है या एक अधिक सामान्य बीजगणितीय वस्तु हो सकती है, जो अपनी भौतिक उत्पत्ति की स्मृति खो देती है, और स्थान एक सहज स्थान-समय की आवश्यकता के बिना, अनेक गुना या बस एक समुच्चय (गणित) हो सकता है इस पर संरचना परिभाषित की गई है।

किसी भी समय, एक गतिशील प्रणाली में एक अवस्था (नियंत्रण) होता है जो एक उपयुक्त अवस्था स्थान में एक बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है। यह अवस्था अधिकांशतः वास्तविक संख्याओं के एक टपल या ज्यामितीय अनेक गुना में एक सदिश स्थान द्वारा दिया जाता है। गतिशील प्रणाली का विकास नियम एक ऐसा कार्य है जो बताता है कि भविष्य के अवस्था वर्तमान स्थिति से क्या अनुसरण करते हैं। अधिकांशतः कार्य नियतात्मक प्रणाली (गणित) है, अर्थात, एक निश्चित समय अंतराल के लिए केवल एक भविष्य की स्थिति वर्तमान स्थिति से अनुसरण करती है। चूंकि, कुछ प्रणालियाँ प्रसंभाव्यता प्रणाली हैं, जिसमें यादृच्छिक घटनाएँ अवस्था वेरिएबल के विकास को भी प्रभावित करती हैं।

भौतिकी में, एक गतिशील प्रणाली को एक कण या कणों के समूह के रूप में वर्णित किया जाता है, जिसका अवस्था समय के साथ परिवर्तित होता रहता है और इस प्रकार समय डेरिवेटिव वाले अंतर समीकरण का पालन करता है। प्रणाली के भविष्य के व्यवहार के बारे में भविष्यवाणी करने के लिए, कंप्यूटर सिमुलेशन के माध्यम से ऐसे समीकरणों का एक विश्लेषणात्मक समाधान या समय के साथ उनका एकीकरण का अनुभव किया जाता है।

गतिशील प्रणाली का अध्ययन गतिशील प्रणाली सिद्धांत का फोकस है, जिसमें गणित, भौतिकी, जैसे विभिन्न प्रकार के क्षेत्रों में अनुप्रयोग हैं। जीव विज्ञान, रसायन विज्ञान, अभियांत्रिकी , अर्थशास्त्र , क्लियोडायनामिक्स , और दवा । गतिशील प्रणाली अव्यवस्था सिद्धांत , रसद मानचित्र डायनामिक्स, द्विभाजन सिद्धांत , स्व-विधानसभा और स्व-संगठन प्रक्रियाओं और अव्यवस्था अवधारणा के किनारे का एक मूलभूत भाग हैं।

सिंहावलोकन
एक गतिशील प्रणाली की अवधारणा का मूल न्यूटोनियन यांत्रिकी में है। इस प्रकार से वहां, अन्य प्राकृतिक विज्ञानों और इंजीनियरिंग विषयों की तरह, गतिशील प्रणालियों का विकास नियम एक अंतर्निहित संबंध है जो भविष्य में थोड़े समय के लिए प्रणाली की स्थिति देता है। (संबंध या तो एक विभेदक समीकरण, पुनरावृत्ति संबंध या अन्य समय माप की गणना है।) भविष्य के सभी समयों के लिए स्थिति का निर्धारण करने के लिए संबंध को अनेक बार पुनरावृत्त करने की आवश्यकता होती है - प्रत्येक समय एक छोटा पथ आगे बढ़ता है। इस प्रकार से पुनरावृत्ति प्रक्रिया को प्रणाली को हल करने या प्रणाली को एकीकृत करने के रूप में जाना जाता है। यदि प्रणाली को हल किया जा सकता है, तो प्रारंभिक बिंदु दिए जाने पर भविष्य की सभी स्थितियों को निर्धारित करना संभव है, बिंदुओं का एक संग्रह जिसे प्रक्षेपवक्र या कक्षा (गतिकी) के रूप में जाना जाता है।

कंप्यूटर के आगमन से पहले, एक कक्षा खोजने के लिए परिष्कृत गणितीय तकनीकों की आवश्यकता होती थी और इसे केवल गतिशील प्रणालियों के एक छोटे वर्ग के लिए ही पूरा किया जा सकता था। और इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटिंग मशीनों पर कार्यान्वित संख्यात्मक विधियों ने गतिशील प्रणाली की कक्षाओं को निर्धारित करने के कार्य को सरल बना दिया है।

सरल गतिशील प्रणालियों के लिए, प्रक्षेपवक्र को जानना अधिकांशतः पर्याप्त होता है, किन्तु अधिकांश गतिशील प्रणालियां व्यक्तिगत प्रक्षेपवक्रों के संदर्भ में समझने के लिए बहुत सम्मिश्र होती हैं। इस प्रकार से कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं क्योंकि:
 * अध्ययन की गई प्रणालियाँ केवल लगभग ज्ञात हो सकती हैं - प्रणाली के मापदंडों को ठीक से ज्ञात नहीं हो सकता है या समीकरणों से शब्द विलुप्त हो सकते हैं। और उपयोग किए गए सन्निकटन संख्यात्मक समाधानों की वैधता या प्रासंगिकता पर प्रश्न उठाते हैं। इन प्रश्नों का समाधान करने के लिए गतिशील प्रणालियों के अध्ययन में स्थिरता की अनेक धारणाएं प्रस्तुत की गई हैं, जैसे लायपुनोव स्थिरता या संरचनात्मक स्थिरता गतिशील प्रणाली की स्थिरता का अर्थ है कि मॉडल या प्रारंभिक स्थितियों का एक वर्ग है जिसके लिए ट्रैजेक्टोरियां समकक्ष होंगी। किन्तु स्थिरता की विभिन्न धारणाओं के साथ उनके तुल्यता संबंध को स्थापित करने के लिए कक्षाओं की तुलना करने की प्रक्रिया है।
 * प्रक्षेपवक्र का प्रकार एक विशेष प्रक्षेपवक्र से अधिक महत्वपूर्ण हो सकता है। कुछ प्रक्षेपवक्र आवधिक हो सकते हैं, जबकि अन्य प्रणाली के अनेक भिन्न-भिन्न अवस्थाों में भटक सकते हैं। अनुप्रयोगों को अधिकांशतः इन वर्गों की गणना करने या प्रणाली को एक वर्ग के अन्दर बनाए रखने की आवश्यकता होती है। सभी संभावित प्रक्षेपवक्रों को वर्गीकृत करने से गतिशील प्रणालियों के गुणात्मक अध्ययन का मार्ग प्रशस्त हुआ है, अर्थात्, ऐसे गुण जो समन्वय परिवर्तनों के अधीन नहीं परिवर्तित होते हैं। इस प्रकार से रेखीय गतिकीय प्रणालियाँ और पॉइंकेयर-बेंडिक्ससन प्रमेय गतिकीय प्रणालियों के उदाहरण हैं जहाँ कक्षाओं के संभावित वर्गों को समझा जाता है।
 * एक पैरामीटर के समारोह के रूप में प्रक्षेपवक्र का व्यवहार एक आवेदन के लिए आवश्यक हो सकता है। एक पैरामीटर के रूप में विविध है, गतिशील प्रणालियों में द्विभाजन सिद्धांत हो सकता है जहां गतिशील प्रणाली का गुणात्मक व्यवहार परिवर्तन हो जाता है। उदाहरण के लिए, यह अशांति के रूप में, केवल आवधिक गति से स्पष्ट रूप से अनिश्चित व्यवहार तक जा सकता है।
 * प्रणाली के प्रक्षेपवक्र अनियमित दिखाई दे सकते हैं, जैसे कि यादृच्छिक। इन स्तिथियों में अधिक दीर्घ प्रक्षेपवक्र या अनेक भिन्न-भिन्न प्रक्षेपवक्रों का उपयोग करके औसत की गणना करना आवश्यक हो सकता है। किन्तु एर्गोडिक सिद्धांत के लिए औसत को उचित प्रकार से परिभाषित किया गया है और अनोसोव डिफोमोर्फिज्म के लिए अधिक विस्तृत समझ तैयार की गई है। अतः गतिशील प्रणालियों के संभाव्य भागो को समझने से सांख्यिकीय यांत्रिकी और अव्यवस्था सिद्धांत की नींव स्थापित करने में सहायता मिली है।

इतिहास
इस प्रकार से बहुत से लोग फ्रांसीसी गणितज्ञ हेनरी पोंकारे को गतिशील प्रणालियों के संस्थापक के रूप में मानते हैं। पोनकारे ने अब दो क्लासिकल मोनोग्राफ, न्यू मेथड्स ऑफ सेलेस्टियल मैकेनिक्स (1892-1899) और लेक्चर्स ऑन सेलेस्टियल मैकेनिक्स (1905-1910) प्रकाशित किए है। उनमें, उन्होंने तीन निकायों की गति की समस्या पर अपने शोध के परिणामों को सफलतापूर्वक प्रस्तुत किया और समाधानों के व्यवहार (आवृत्ति, स्थिरता, स्पर्शोन्मुख, और इसी तरह) का विस्तार से अध्ययन किया। इन पेपर्स में पोंकारे रिकरेंस प्रमेय सम्मिलित है, जिसमें कहा गया है कि कुछ प्रणालियां पर्याप्त रूप से लंबे किन्तु सीमित समय के बाद प्रारंभिक अवस्था के बहुत समीप की स्थिति में वापस आ जाएंगी।

अलेक्जेंडर लायपुनोव ने अनेक महत्वपूर्ण सन्निकटन विधियों का विकास किया है। उनकी विधियाँ, जो उन्होंने 1899 में विकसित कीं, साधारण अवकल समीकरणों के समुच्चयों की स्थिरता को परिभाषित करना संभव बनाती हैं। उन्होंने एक गतिशील प्रणाली की स्थिरता का आधुनिक सिद्धांत बनाया है।

अतः 1913 में, जॉर्ज डेविड बिरखॉफ ने पोंकारे के पोंकारे-बिरखॉफ़ प्रमेय को प्रमाणित किया, जो तीन-शरीर की समस्या का एक विशेष स्तिथि थी, जिसके परिणाम ने उन्हें विश्व प्रसिद्ध बना दिया। 1927 में, उन्होंने अपना Dynamical Systems प्रकाशित किया। और बिरखॉफ का सबसे टिकाऊ परिणाम उनकी 1931 की खोज है जिसे अब एर्गोडिक प्रमेय कहा जाता है। इस प्रकार से माप सिद्धांत के साथ एर्गोडिक परिकल्पना पर भौतिकी से अंतर्दृष्टि का संयोजन, इस प्रमेय ने हल किया, कम से कम सिद्धांत रूप में, सांख्यिकीय यांत्रिकी की मूलभूत समस्या है। जिसमे एर्गोडिक प्रमेय का भी गतिकी पर प्रभाव पड़ा है।

स्टीफन स्मेल ने भी महत्वपूर्ण प्रगति की है। उनका प्रथम योगदान घोड़े की नाल का मानचित्र था जिसने गतिशील प्रणाली में महत्वपूर्ण शोध प्रारंभ किया। उन्होंने अनेक अन्य लोगों द्वारा किए गए एक शोध कार्यक्रम को भी रेखांकित किया है।

ऑलेक्ज़ेंडर मायकोलायोविच शार्कोवस्की ने 1964 में असतत गतिशील प्रणालियों की अवधियों पर शार्कोवस्की के प्रमेय को विकसित किया। और प्रमेय के निहितार्थों में से एक यह है कि यदि वास्तविक रेखा पर असतत गतिशील प्रणाली का आवधिक बिंदु 3 का आवधिक बिंदु है तो इसमें हर दूसरे अवधि के आवधिक बिंदु होने चाहिए।

इस प्रकार से 20वीं शताब्दी के अंत में आंशिक अंतर समीकरणों के लिए गतिशील प्रणाली के परिप्रेक्ष्य ने लोकप्रियता प्राप्त करना प्रारंभ कर दिया। फिलीस्तीनी यांत्रिक इंजीनियर अली एच. नायफेह ने यांत्रिकी और इंजीनियरिंग प्रणालियों में अरैखिक गतिशीलता प्रस्तुत की। अनुप्रयुक्त अरेखीय गतिशीलता में उनका अग्रणी कार्य मशीनों और संरचनाओं के निर्माण और रखरखाव में प्रभावशाली रहा है जो दैनिक जीवन में सामान्य हैं, जैसे जहाज, क्रेन (मशीन), पुल, भवन, गगनचुंबी भवन, जेट इंजन , रॉकेट इंजन , विमान और समष्टि यान आदि.

औपचारिक परिभाषा
सबसे सामान्य अर्थ में, एक गतिशील प्रणाली एक टपल (T, X, Φ) है जहां T एक मोनोइड है, जिसे योगात्मक रूप से लिखा गया है, X एक गैर-रिक्त समुच्चय (गणित) है और Φ एक कार्य है (गणित)
 * $$\Phi: U \subseteq (T \times X) \to X$$

साथ
 * $$\mathrm{proj}_{2}(U) = X$$ (जहाँ पे $$\mathrm{proj}_{2}$$ दूसरा प्रक्षेपण है (समुच्चय सिद्धांत))

और किसी भी x के लिए X में:
 * $$\Phi(0,x) = x$$
 * $$\Phi(t_2,\Phi(t_1,x)) = \Phi(t_2 + t_1, x),$$
 * $$\, t_1,\, t_2 + t_1 \in I(x)$$ और $$\ t_2 \in I(\Phi(t_1, x)) $$, के लिए जहां हमने X में किसी भी x के लिए समुच्चय $$ I(x) := \{ t \in T : (t,x) \in U \}$$ को परिभाषित किया है।

विशेष रूप से, उस स्तिथि में $$ U = T \times X $$ हमारे पास X में हर x के लिए $$ I(x) = T $$ है और इस प्रकार Φ X पर T के एक मोनोइड क्रिया को परिभाषित करता है।

फलन Φ(t,x) को गतिशील प्रणाली का 'एवोल्यूशन फलन' कहा जाता है: यह समुच्चय एक्स में हर बिंदु x से जुड़ा होता है, जो वेरिएबल t, पर निर्भर करता है, जिसे 'एवोल्यूशन पैरामीटर' कहा जाता है। जहाँ X को ' चरण स्थान ' या 'अवस्था स्थान' कहा जाता है, जबकि वेरिएबल x प्रणाली की 'प्रारंभिक अवस्था' का प्रतिनिधित्व करता है।

हम अधिकांशतः लिखते हैं
 * $$\Phi_x(t) \equiv \Phi(t,x)$$
 * $$\Phi^t(x) \equiv \Phi(t,x)$$

यदि हम किसी एक वेरिएबल को स्थिर मान लें।
 * $$\Phi_x:I(x) \to X$$

x के माध्यम से प्रवाह और x के माध्यम से इसका ग्राफ (फलन) प्रक्षेपवक्र कहा जाता है। समुच्चय
 * $$\gamma_x \equiv\{\Phi(t,x) : t \in I(x)\}$$

'x'' के माध्यम से कक्षा (गतिकी) कहा जाता है।

ध्यान दें कि x के माध्यम से कक्षा x के माध्यम से प्रवाह की छवि (गणित) है।

अवस्था स्थान X के एक उपसमुच्चय S को Φ-अपरिवर्तनीय कहा जाता है यदि S में सभी x और T में सभी t के लिए
 * $$\Phi(t,x) \in S.$$

इस प्रकार, विशेष रूप से, यदि S Φ-'अपरिवर्तनीय है,' $$I(x) = T$$ S में सभी x के लिए। अर्थात, x के माध्यम से प्रवाह को S के प्रत्येक तत्व के लिए प्रायः के लिए परिभाषित किया जाना चाहिए।

अधिक सामान्यतः गतिशील प्रणाली के लिए परिभाषाओं के दो वर्ग होते हैं: एक सामान्य अंतर समीकरणों से प्रेरित होता है और फ्लेवर में ज्यामितीय होता है; और दूसरा एर्गोडिक सिद्धांत से प्रेरित है और फ्लेवर में माप (गणित) या माप सिद्धांत है।

ज्यामितीय परिभाषा
ज्यामितीय परिभाषा में, एक गतिशील प्रणाली टपल $$ \langle \mathcal{T}, \mathcal{M}, f\rangle $$ है। $$\mathcal{T}$$ समय के लिए डोमेन है - अनेक विकल्प हैं, सामान्यतः वास्तविक या पूर्णांक, संभवतः गैर-ऋणात्मक होने तक सीमित हैं। जहाँ $$\mathcal{M}$$ एक अनेक गुना है, अर्थात स्थानीय रूप से एक बानाच स्थान या यूक्लिडियन स्थान, या असतत स्तिथि में एक ग्राफ (असतत गणित)। f एक विकास नियम t → f t है ($$t\in\mathcal{T}$$ के साथ ऐसा है कि f t अपने आप में अनेक गुना का एक भिन्नरूपता है। इसलिए, f अपने आप में अनेक गुना के भिन्नरूपों के स्थान पर समय-डोमेन $$ \mathcal{T}$$ n का एक "सुचारू" मानचित्रण है। अन्य पद, f(t) डोमेन $$ \mathcal{T}$$ में प्रत्येक समय t के लिए एक भिन्नता है

वास्तविक गतिशील प्रणाली
इस प्रकार से एक वास्तविक गतिशील प्रणाली, वास्तविक समय गतिशील प्रणाली, निरंतर समय गतिशील प्रणाली, या प्रवाह (गणित) एक टपल (T, M, Φ) है जिसमें टी वास्तविक संख्या 'आर' में खुला अंतराल है, एक बनच स्थान, और Φ एक सतत कार्य एम अनेक गुना स्थानीय रूप से भिन्न-भिन्न है। यदि Φ निरंतर अवकलनीय है तो हम कहते हैं कि तंत्र एक अवकलनीय गत्यात्मक तंत्र है। यदि मैनिफोल्ड M स्थानीय रूप से Rn से भिन्न है, तो गतिशील प्रणाली परिमित-आयामी है; यदि नहीं, तो गतिशील प्रणाली अनंत-आयामी है। ध्यान दें कि यह एक सहानुभूतिपूर्ण संरचना नहीं मानता है। जब T को वास्तविक माना जाता है, तो गतिशील प्रणाली को वैश्विक या प्रवाह कहा जाता है; और यदि T गैर-ऋणात्मक वास्तविकताओं तक सीमित है, तो गतिशील प्रणाली एक अर्ध-प्रवाह है।

असतत गतिशील प्रणाली
एक असतत गतिशील प्रणाली, असतत-समय गतिशील प्रणाली एक टपल (T, M, Φ) है, जहां M बानाच स्थान के लिए स्थानीय रूप से भिन्न-भिन्न भिन्न है, और Φ एक फलन है। जब T को पूर्णांक के रूप में लिया जाता है, तो यह कैस्केड या मानचित्र होता है। यदि T गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों तक सीमित है, तो हम प्रणाली को सेमी-कैस्केड कहते हैं।

सेलुलर ऑटोमेटन
एक सेलुलर ऑटोमेटन एक टपल (T, M, Φ) है, जिसमें T एक जालक (समूह) है जैसे पूर्णांक या उच्च-आयामी पूर्णांक जालक, M एक पूर्णांक जालक (फिर से, एक या अधिक के साथ) आयाम) से कार्यों का एक समुच्चय है एक परिमित समुच्चय के लिए, और Φ a (स्थानीय रूप से परिभाषित) विकास कार्य है। जैसे कि सेल्यूलर आटोमेटा गतिशील प्रणाली हैं। M में जालक समष्टि जालक का प्रतिनिधित्व करती है, जबकि T में एक समय जालक का प्रतिनिधित्व करती है।

बहुआयामी सामान्यीकरण
गतिशील प्रणालियों को सामान्यतः एक स्वतंत्र वेरिएबल पर परिभाषित किया जाता है, जिसे समय माना जाता है। प्रणाली का अधिक सामान्य वर्ग अनेक स्वतंत्र वेरिएबल पर परिभाषित किया गया है और इसलिए इसे बहुआयामी प्रणाली कहा जाता है। इस प्रकार से उदाहरण के लिए, मूर्ति प्रोद्योगिकी ऐसी प्रणालियाँ प्रतिरूपण के लिए उपयोगी होती हैं।

एक गतिशील प्रणाली का संघनन
स्थानीय रूप से सघन और हॉसडॉर्फ स्थान टोपोलॉजिकल स्थान 'X' पर वैश्विक गतिशील प्रणाली (R, X, Φ) को देखते हुए, यह अधिकांशतः Φ के निरंतर विस्तार Φ* का अध्ययन करने के लिए उपयोगी होता है। X का X*। यद्यपि हम मूल प्रणाली की विभेदक संरचना को खो देते हैं, अब हम नई प्रणाली (R, X*, Φ*) का विश्लेषण करने के लिए सघननेस तर्कों का उपयोग कर सकते हैं।

सघन गतिशील प्रणाली में किसी भी कक्षा की सीमा निर्धारित गैर-रिक्त, सघन स्थान और बस जुड़ा हुआ है ।

सैद्धांतिक परिभाषा मापें
एक गतिशील प्रणाली को औपचारिक रूप से माप स्थान ट्रिपलेट (T, (X, Σ, μ), Φ) के माप-संरक्षण परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। यहां, T एक मोनॉइड (सामान्यतः गैर-ऋणात्मक पूर्णांक) है, X एक समुच्चय है, और (X, Σ, μ) एक संभाव्यता स्थान है, जिसका अर्थ सिग्मा-बीजगणित है कि Σ (X, Σ). एक मानचित्र Φ: X → X को Σ-मापने योग्य कहा जाता है यदि और केवल यदि, Σ में प्रत्येक σ के लिए, $$\Phi^{-1}\sigma \in \Sigma$$ परिभाषित किया जा सकता है। एक मानचित्र Φ को माप को संरक्षित करने के लिए कहा जाता है यदि और केवल यदि, Σ में प्रत्येक σ के लिए, किसी के पास $$\mu(\Phi^{-1}\sigma ) = \mu(\sigma)$$ हो। उपरोक्त को मिलाकर, एक मानचित्र Φ को X का माप-संरक्षण परिवर्तन कहा जाता है, यदि यह X से स्वयं का मानचित्र है, तो यह Σ-मापने योग्य है, और माप-संरक्षित है। ऐसे Φ के लिए त्रिक (T, (X, Σ, μ), Φ), को तब एक गतिशील प्रणाली के रूप में परिभाषित किया जाता है।

मानचित्र Φ गतिशील प्रणाली के समय के विकास का प्रतीक है। इस प्रकार, असतत गतिशील प्रणालियों के लिए प्रत्येक पूर्णांक n के लिए पुनरावृत्त $$\Phi^n = \Phi \circ \Phi \circ \dots \circ \Phi$$ का अध्ययन किया जाता है। निरंतर गतिशील प्रणालियों के लिए, मानचित्र Φ को एक सीमित समय के विकास मानचित्र के रूप में समझा जाता है और निर्माण अधिक सम्मिश्र होता है।

ज्यामितीय परिभाषा से संबंध
माप सैद्धांतिक परिभाषा माप-संरक्षण परिवर्तन के अस्तित्व को मानती है। किसी एक विकास नियम से अनेक भिन्न-भिन्न अपरिवर्तनीय उपायों को जोड़ा जा सकता है। यदि गतिशील प्रणाली विभेदक समीकरणों के प्रणाली द्वारा दिया गया है तो उपयुक्त माप निर्धारित किया जाना चाहिए। इससे विभेदक समीकरणों से प्रारंभ होने वाले एर्गोडिक सिद्धांत को विकसित करना कठिन हो जाता है, इसलिए एर्गोडिक सिद्धांत के अन्दर एक गतिशील प्रणाली-प्रेरित परिभाषा के लिए सुविधाजनक हो जाता है जो माप की चुनाव को साइड-स्टेप करता है और मानता है, कि चुनाव हो चुका है। एक सरल निर्माण (कभी-कभी क्रायलोव-बोगोलीबॉव प्रमेय कहा जाता है) से पता चलता है कि प्रणालियों के एक बड़े वर्ग के लिए प्रायः एक माप का निर्माण करना संभव होता है जिससे गतिशील प्रणाली के विकास नियम को एक माप-संरक्षण परिवर्तन बनाया जा सके। निर्माण में अवस्था समष्टि के एक दिए गए माप को प्रक्षेपवक्र के भविष्य के सभी बिंदुओं के लिए सम्‍मिलित किया जाता है, जो कि निरंकुशता को सुनिश्चित करता है।

कुछ प्रणालियों में एक प्राकृतिक माप होता है, जैसे कि हैमिल्टनियन प्रणालियों में लिउविले के प्रमेय (हैमिल्टनियन), अन्य अपरिवर्तनीय उपायों जैसे कि हैमिल्टनियन प्रणाली की आवधिक कक्षाओं पर समर्थित उपाय पर चुना जाता है। अव्यवस्था अपव्यय प्रणालियों के लिए अपरिवर्तनीय माप का विकल्प तकनीकी रूप से अधिक चुनौतीपूर्ण है। उपाय को आकर्षित करने वाले पर समर्थित होने की आवश्यकता है, किन्तु आकर्षित करने वालों के पास शून्य लेब्सग माप है और लेब्सगमाप के संबंध में अपरिवर्तनीय उपायों को विलक्षण होना चाहिए। समय के विकास के अधीन चरण स्थान का एक छोटा क्षेत्र संकुचित होता है।

अतिशयोक्तिपूर्ण गतिशील प्रणालियों के लिए, सिनाई-रूएल-बोवेन उपाय प्राकृतिक चुनाव प्रतीत होते हैं। वे गतिशील प्रणाली के स्थिर अनेक गुना की ज्यामितीय संरचना पर निर्मित होते हैं; वे छोटे-छोटे व्यवधानों के अधीन शारीरिक रूप से व्यवहार करते हैं; और वे अतिशयोक्तिपूर्ण प्रणालियों के देखे गए अनेक आँकड़ों की व्याख्या करते हैं।

गतिशील प्रणाली का निर्माण
समय में विकास की अवधारणा गतिशील प्रणालियों के सिद्धांत के केंद्र में है जैसा कि पिछले खंडों में देखा गया है: इस तथ्य का मूल कारण यह है कि सिद्धांत की प्रारंभिक प्रेरणा शास्त्रीय यांत्रिकी के समय व्यवहार का अध्ययन था। किन्तु एक गतिशील प्रणाली बनने से पहले सामान्य अंतर समीकरणों की एक प्रणाली को हल किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए प्रारंभिक मान समस्या पर विचार करें जैसे निम्न:


 * $$\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{v}(t,\boldsymbol{x})$$
 * $$\boldsymbol{x}|_=\boldsymbol{x}_0$$

जहाँ पे
 * $$\dot{\boldsymbol{x}}$$ सामग्री बिंदु x के वेग का प्रतिनिधित्व करता है
 * M एक परिमित आयामी अनेक गुना है
 * v: T × M → TM Rn या 'C'n में एक सदिश क्षेत्र है और चरण स्थान M में दिए गए भौतिक बिंदु पर कार्य करने वाले ज्ञात बलों द्वारा प्रेरित वेग के परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। परिवर्तन चरण स्थान M में एक सदिश नहीं है, किन्तु इसके अतिरिक्त स्पर्शरेखा समष्टि TM में है।

समीकरण में उच्च क्रम डेरिवेटिव की कोई आवश्यकता नहीं है, न ही v(t,x) में पैरामीटर टी के लिए, क्योंकि इन्हें उच्च आयामों की प्रणालियों पर विचार करके समाप्त किया जा सकता है।

इस सदिश क्षेत्र के गुणों के आधार पर यांत्रिक प्रणाली कहलाती है
 * 'ऑटोनोमस', जब 'v'(t, 'x') = 'v'('x')
 * 'सजातीय' जब 'v'(t, '0') = 0 सभी t, के लिए

समाधान मानक ओडीई तकनीकों का उपयोग करके पाया जा सकता है और इसे पहले से ही ऊपर प्रस्तुत किए गए विकास कार्य के रूप में दर्शाया गया है


 * $$\boldsymbol(t)=\Phi(t,\boldsymbol_0)$$

गतिशील प्रणाली तब (T, M, Φ) है।

ऊपर दिखाए गए अंतर समीकरणों की प्रणाली का कुछ औपचारिक परिवर्तन समीकरणों का एक अधिक सामान्य रूप देता है जिसे एक गतिशील प्रणाली को संतुष्ट करना चाहिए


 * $$\dot{\boldsymbol{x}}-\boldsymbol{v}(t,\boldsymbol{x})=0 \qquad\Leftrightarrow\qquad \mathfrak\left(t,\Phi(t,\boldsymbol_0)\right)=0$$

जहाँ पे $$\mathfrak{G}:{{(T\times M)}^M}\to\mathbf{C}$$ विकास कार्यों के समुच्चय से सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र तक एक कार्यात्मक (गणित) है।

सम्मिश्र बाधाओं के साथ यांत्रिक प्रणाली प्रतिरूपण करते समय यह समीकरण उपयोगी होता है।

गतिशील प्रणालियों में अनेक अवधारणाओं को अनंत-आयामी मैनिफोल्ड्स तक बढ़ाया जा सकता है- जो कि स्थानीय रूप से बानाच रिक्त स्थान हैं- इस स्तिथि में अंतर समीकरण आंशिक अंतर समीकरण हैं।

उदाहरण

 * अर्नोल्ड का कैट मानचित्र
 * बेकर का मानचित्र अराजक टुकड़े-टुकड़े रैखिक कार्य मानचित्र का एक उदाहरण है
 * गतिशील बिलियर्ड्स और  गतिशील बाहरी बिलियर्ड्स
 * उछलती गेंद की गतिशीलता
 * वृत्त मानचित्र
 * सम्मिश्र द्विघात बहुपद
 * दोहरा लोलक
 * डायाडिक परिवर्तन
 * हेनोन मानचित्र
 * अतार्किक घुमाव
 * कपलान-यॉर्क मानचित्र
 * अराजक मानचित्रों की सूची
 * लॉरेंज प्रणाली
 * द्विघात मानचित्र अनुकरण प्रणाली
 * रोस्लर मानचित्र
 * स्विंगिंग एटवुड की मशीन
 * टेंट का मानचित्र

रैखिक गतिशील प्रणाली
रैखिक गतिशील प्रणालियों को सरल कार्यों और वर्गीकृत सभी कक्षाओं के व्यवहार के संदर्भ में हल किया जा सकता है। एक रैखिक प्रणाली में चरण स्थान N-आयामी यूक्लिडियन स्थान है, इसलिए चरण स्थान में किसी भी बिंदु को N संख्या वाले सदिश द्वारा दर्शाया जा सकता है। इस प्रकार से रैखिक प्रणालियों का विश्लेषण संभव है क्योंकि वे एक सुपरपोजिशन सिद्धांत को संतुष्ट करते हैं: यदि यदि u(t) और w(t) वेक्टर क्षेत्र के लिए अंतर समीकरण को संतुष्ट करते हैं (किन्तु आवश्यक नहीं कि प्रारंभिक स्थिति हो) तो u(t) + w(t) भी ऐसा ही होगा।

प्रवाह
एक प्रवाह (गणित) के लिए, सदिश क्षेत्र v(x) चरण स्थान में स्थिति का एक परिशोधित रूपांतरण फलन है, अर्थात,
 * $$ \dot{x} = v(x) = A x + b,$$

A आव्यूह के साथ, b संख्याओं का सदिश और x स्थिति सदिश है। सुपरपोज़िशन सिद्धांत (रैखिकता) का उपयोग करके इस प्रणाली का समाधान पाया जा सकता है।

स्तिथि b ≠ 0 A = 0 के साथ b की दिशा में बस एक सीधी रेखा है:


 * $$\Phi^t(x_1) = x_1 + b t. $$

जब b शून्य होता है और A ≠ 0 मूल प्रवाह का एक संतुलन (या एकवचन) बिंदु होता है, अर्थात, यदि x0= 0, तो कक्षा वहीं रहती है। अन्य प्रारंभिक स्थितियों के लिए, गति का समीकरण आव्यूह घातांक द्वारा दिया जाता है: प्रारंभिक बिंदु x0 के लिए,


 * $$\Phi^t(x_0) = e^{t A} x_0. $$

जब b = 0, A के आइजेनवैल्यू एस ​​​​चरण स्थान की संरचना का निर्धारण करते हैं। जहाँ A के आइगेनमान ​​​​और eigenvector s से यह निर्धारित करना संभव है कि प्रारंभिक बिंदु मूल बिंदु पर संतुलन बिंदु पर अभिसरण या विचलन करेगा या नहीं।

स्तिथि में दो भिन्न-भिन्न प्रारंभिक स्थितियों के बीच की दूरी ए ≠ 0 अधिकतर स्तिथियों में घातीय रूप से परिवर्तित जाएगी, या तो घातीय रूप से तेजी से एक बिंदु की ओर परिवर्तित हो जाएगी, या घातीय रूप से तेजी से विचलन करेगी। रैखिक प्रणालियाँ विचलन के स्तिथि में प्रारंभिक स्थितियों पर संवेदनशील निर्भरता प्रदर्शित करती हैं। गैर-रैखिक प्रणालियों के लिए यह अव्यवस्था सिद्धांत के लिए (आवश्यक किन्तु पर्याप्त नहीं) स्थितियों में से एक है।



मानचित्र
असतत-समय गतिशील प्रणाली | असतत-समय, Affine परिवर्तन गतिशील प्रणाली में एक आव्यूह अंतर समीकरण का रूप होता है:
 * $$ x_{n+1} = A x_n + b, $$

A आव्यूह और b सदिश के साथ। जैसा कि निरंतर स्थिति में होता है, निर्देशांक x→ x + (1 − A)-1b का परिवर्तन- शब्द b को समीकरण से हटा देता है। नई समन्वय प्रणाली में, मूल मानचित्र का एक निश्चित बिंदु है और समाधान रैखिक प्रणाली A nx0 के हैं। मानचित्र के लिए समाधान अब वक्र नहीं हैं, किन्तु ऐसे बिंदु हैं जो चरण स्थान में कूदते हैं। कक्षाओं को घटता या तंतुओं में व्यवस्थित किया जाता है, जो उन बिंदुओं का संग्रह होता है जो मानचित्र की क्रिया के अधीन स्वयं में मानचित्रित होते हैं।

जैसा कि निरंतर स्तिथि में, A के आइगेनमान ​​​​और अभिलक्षणिक सदिश चरण स्थान की संरचना निर्धारित करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि u1 A का एक ईजेनसदिश है, जिसका वास्तविक ईजेनवैल्यू एक से छोटा है, फिर α u1 के साथ बिंदुओं द्वारा दी गई सीधी रेखाएं, α ∈ 'R' के साथ, मानचित्र का एक अपरिवर्तनीय वक्र है। इस सीधी रेखा के बिंदु निश्चित बिंदु पर चलते हैं।

अनेक अन्य पृथक गतिशील प्रणालियाँ भी हैं।

स्थानीय गतिकी
गतिशील प्रणालियों के गुणात्मक गुण निर्देशांक के एक सहज परिवर्तन के अधीन नहीं परिवर्तित हैं (इसे कभी-कभी गुणात्मक की परिभाषा के रूप में लिया जाता है): सदिश क्षेत्र का एक विलक्षण बिंदु (एक बिंदु जहां v(x) = 0) एक विलक्षण बिंदु रहेगा स्मूथ परिवर्तनों के अधीन; एक आवधिक कक्षा चरण स्थान में एक लूप है और चरण स्थान की स्मूथ विकृति इसे लूप होने में नहीं परिवर्तित कर सकती है। यह एकवचन बिंदुओं और आवधिक कक्षाओं के निकटतम में है कि एक गतिशील प्रणाली के चरण स्थान की संरचना को उचित प्रकार से समझा जा सकता है। गतिशील प्रणालियों के गुणात्मक अध्ययन में, दृष्टिकोण यह दिखाना है कि निर्देशांक (सामान्यतः अनिर्दिष्ट, किन्तु गणना योग्य) में परिवर्तन होता है जो गतिशील प्रणाली को यथासंभव सरल बनाता है।

सुधार
इस प्रकार से चरण स्थान के अधिकांश छोटे पैच में प्रवाह को बहुत सरल बनाया जा सकता है। यदि y एक बिंदु है जहां सदिश क्षेत्र v(y) ≠ 0 है, तो y के आस-पास के क्षेत्र के लिए निर्देशांक में परिवर्तन होता है जहां सदिश क्षेत्र समान परिमाण के समांतर सदिशों की एक श्रृंखला बन जाता है। इसे सुधार प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

सुधार प्रमेय कहता है कि गणितीय विलक्षणता से दूर एक छोटे से पैच में एक बिंदु की गतिशीलता एक सीधी रेखा है। अनेक पैच को एक साथ सिलाई करके पैच को कभी-कभी बड़ा किया जा सकता है, और जब यह पूरे चरण स्थान M में कार्य करता है तो गतिशील प्रणाली इंटीग्रेबल होता है। अधिकतर स्तिथियों में पैच को पूरे चरण स्थान तक नहीं बढ़ाया जा सकता है। और सदिश क्षेत्र में एकवचन बिंदु हो सकते हैं (जहाँ v(x) = 0); या पैच छोटे और छोटे हो सकते हैं जैसे-जैसे कोई बिंदु समीप आता है। अधिक सूक्ष्म कारण एक वैश्विक बाधा है, जहां एक पैच में प्रक्षेपवक्र प्रारंभ होता है, और अन्य पैच की एक श्रृंखला का दौरा करने के पश्चात मूल एक पर वापस आ जाता है। यदि अगली बार कक्षा चरण स्थान के चारों ओर एक अलग विधियों से चक्कर लगाती है, तो पैच की पूरी श्रृंखला में सदिश क्षेत्र को सुधारना असंभव है।

आवधिक कक्षाओं के पास
सामान्य रूप से, एक आवधिक निकटतम के पड़ोस में सुधार प्रमेय का उपयोग नहीं किया जा सकता है। पोंकारे ने एक दृष्टिकोण विकसित किया जो आवधिक कक्षा के समीप के विश्लेषण को मानचित्र के विश्लेषण में परिवर्तित कर देता है। कक्षा γ में एक बिंदु x0 चुनें और उस पड़ोस में चरण स्थान के उन बिंदुओं पर विचार करें जो v(x0) के लंबवत हैं। ये बिंदु कक्षा का पोंकारे खंड S(γ, x0) हैं। प्रवाह अब एक मानचित्र को परिभाषित करता है, पोंकारे मानचित्र F : S → S, एस से प्रारंभ होने वाले और एस पर लौटने वाले बिंदुओं के लिए। इन सभी बिंदुओं को वापस आने में समान समय नहीं लगेगा, किन्तु समय समय के समीप होगा इसमें x0 लगता है।

पोंकारे खंड के साथ आवर्त कक्षा का प्रतिच्छेदन, पोंकारे मानचित्र F का एक निश्चित बिंदु है। अनुवाद द्वारा, बिंदु को x = 0 पर माना जा सकता है। इस प्रकार से मानचित्र की टेलर श्रृंखला F(x) = J · है x + Ox2), इसलिए निर्देशांक h में परिवर्तन से केवल F को इसके रैखिक भाग में सरल बनाने की अपेक्षा की जा सकती है।


 * $$ h^{-1} \circ F \circ h(x) = J \cdot x.$$

इसे संयुग्मन समीकरण के रूप में जाना जाता है। इस समीकरण को धारण करने के लिए परिस्थितियों का पता लगाना गतिशील प्रणालियों में अनुसंधान के प्रमुख कार्यों में से एक रहा है। पोंकारे ने सबसे पहले सभी कार्यों को विश्लेषणात्मक मानते हुए संपर्क किया और इस प्रक्रिया में गैर-अनुनाद स्थिति की खोज की। यदि λ1, ..., λν J के आइगेनमान ​​​​हैं, वे गुंजयमान होंगे यदि एक आइजेनमान दो या दो से अधिक का एक पूर्णांक रैखिक संयोजन है। चूंकि प्रपत्र λi - Σ (अन्य आइगेनमान ​​​​के गुणक) के पद फलन h के लिए नियम के भाजक में होता है, गैर-अनुनाद स्थिति को छोटे विभाजक समस्या के रूप में भी जाना जाता है।

संयुग्मन परिणाम
संयुग्मन समीकरण के समाधान के अस्तित्व पर परिणाम J के आइगेनमान ​​​​और h से आवश्यक चिकनाई की डिग्री पर निर्भर करते हैं। जैसा कि J को किसी विशेष समरूपता की आवश्यकता नहीं है, इसके आइगेनमान ​​सामान्यतः सम्मिश्र संख्याएँ होंगी। जब J के आइगेनमान इकाई वृत्त में नहीं होते हैं, तो गति निश्चित बिंदु x0 के पास होती है F का अतिशयोक्तिपूर्ण निश्चित बिंदु कहा जाता है और जब आइगेनमान इकाई वृत्त और सम्मिश्र पर होते हैं, तो गतिकी को वृत्ताकार कहा जाता है।

अतिशयोक्तिपूर्ण स्तिथि में, हार्टमैन-ग्रोबमैन प्रमेय एक सतत कार्य के अस्तित्व के लिए नियम देता है जो मानचित्र के निश्चित बिंदु के निकटतम को रैखिक मानचित्र J·x पर मैप करता है। अतिशयोक्तिपूर्ण स्तिथि भी संरचनात्मक रूप से स्थिर है। और सदिश क्षेत्र में छोटे परिवर्तन केवल पोंकारे मानचित्र में छोटे परिवर्तन उत्पन्न करेंगे और ये छोटे परिवर्तन सम्मिश्र तल में J के आइगेनमानों की स्थिति में छोटे परिवर्तनों को प्रतिबिंबित करेंगे, जिसका अर्थ है कि मानचित्र अभी भी अतिशयोक्तिपूर्ण है।

इस प्रकार से कोलमोगोरोव-अर्नोल्ड-मोजर प्रमेय एक दीर्घवृत्त बिंदु के निकट व्यवहार देता है।

द्विभाजन सिद्धांत
जब विकास मानचित्र Φt (या जिस सदिश क्षेत्र से इसे प्राप्त किया गया है) एक पैरामीटर μ पर निर्भर करता है, चरण स्थान की संरचना भी इस पैरामीटर पर निर्भर करेगी। एक विशेष मान μ0 तक पहुंचने तक छोटे परिवर्तन चरण स्थान में कोई गुणात्मक परिवर्तन नहीं ला सकते हैं। इस बिंदु पर चरण स्थान गुणात्मक रूप से परिवर्तित होता है और कहा जाता है कि गतिशील प्रणाली द्विभाजन से निकलत है।

द्विभाजन सिद्धांत चरण स्थान (सामान्यतः एक निश्चित बिंदु (गणित), एक आवधिक कक्षा, या एक अपरिवर्तनीय टोरस्र्स ) में एक संरचना पर विचार करता है और पैरामीटर μ के फलन के रूप में इसके व्यवहार का अध्ययन करता है। और द्विभाजन बिंदु पर संरचना अपनी स्थिरता को परिवर्तित सकती है, नई संरचनाओं में विभाजित हो सकती है या अन्य संरचनाओं के साथ विलय कर सकती है। मानचित्र की टेलर श्रृंखला सन्निकटन का उपयोग करके और उन अंतरों की समझ जो निर्देशांक के परिवर्तन से समाप्त हो सकते हैं, गतिशील प्रणालियों के द्विभाजनों को सूचीबद्ध करना संभव है।

एक प्रणाली परिवार Fμ के अतिशयोक्तिपूर्ण निश्चित बिंदु x0 के द्विभाजन को द्विभाजन बिंदु पर गणना की गई प्रणाली DFμ(x0) के पहले व्युत्पन्न के आइगेनमान ​​द्वारा चित्रित किया जा सकता है। मानचित्र के लिए, द्विभाजन तब होगा जब इकाई वृत्त पर DFμ के आइगेनमान ​​होंगे। प्रवाह के लिए, यह तब घटित होगा जब काल्पनिक अक्ष पर स्वदेशी मान होंगे। अधिक जानकारी के लिए, द्विभाजन सिद्धांत पर मुख्य लेख देखें।

कुछ द्विभाजन चरण स्थान में बहुत सम्मिश्र संरचनाओं को उत्पन्न कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, रूले-टेकेंस परिदृश्य बताता है कि कैसे एक आवधिक कक्षा एक टोरस और टोरस को एक विचित्र आकर्षण में विभाजित करती है। एक अन्य उदाहरण में, द्विभाजन आरेख फीगेनबाम अवधि-दोहरीकरण वर्णन करता है कि कैसे एक स्थिर आवधिक कक्षा अवधि-दोहरीकरण द्विभाजन की एक श्रृंखला के माध्यम से जाती है।

एर्गोडिक प्रणाली
अनेक गतिशील प्रणालियों में, प्रणाली के निर्देशांक चुनना संभव है जिससे चरण समष्टि में मात्रा (वास्तव में एक ν-आयामी मात्रा) अपरिवर्तनीय हो। यह न्यूटन के नियमों से प्राप्त यांत्रिक प्रणालियों के लिए होता है जब तक कि निर्देशांक स्थिति और संवेग हैं और आयतन (स्थिति) × (संवेग) की इकाइयों में मापा जाता है। प्रवाह एक उपसमुच्चय A के बिंदुओं को बिंदु Φ t(A) में ले जाता है और चरण स्थान की अपरिवर्तनीयता का अर्थ है कि
 * $$ \mathrm{vol} (A) = \mathrm{vol} ( \Phi^t(A) ). $$

हैमिल्टनियन यांत्रिकी में, एक समन्वय दिए जाने पर उचित (सामान्यीकृत) गति को प्राप्त करना संभव है जैसे संबंधित मात्रा प्रवाह द्वारा संरक्षित है। वॉल्यूम की गणना लिउविल के प्रमेय (हैमिल्टनियन) द्वारा की जाती है।

हैमिल्टनियन प्रणाली में, प्रारंभिक स्थिति से स्थिति और संवेग के सभी संभव विन्यासों तक नहीं पहुँचा जा सकता है। ऊर्जा संरक्षण के कारण, प्रारंभिक स्थिति के समान ऊर्जा वाले अवस्था ही सुलभ हैं। समान ऊर्जा वाले अवस्था एक ऊर्जा शेल Ω बनाते हैं, जो चरण स्थान का एक उप-अनेक गुना है। लिउविले माप का उपयोग करके गणना की गई ऊर्जा खोल की मात्रा, विकास के अधीन संरक्षित है।

उन प्रणालियों के लिए जहां आयतन को प्रवाह द्वारा संरक्षित किया जाता है, पोनकारे ने पोंकारे पुनरावृत्ति प्रमेय की खोज की: मान लें कि चरण स्थान में एक परिमित लिउविले आयतन है और F को चरण स्थान आयतन-संरक्षण मानचित्र और चरण स्थान का एक उपसमुच्चय होने दें। तब A का लगभग हर बिंदु A पर असीम रूप से लौटता है। पोंकेयर पुनरावर्तन प्रमेय का उपयोग अर्नेस्ट ज़र्मेलो द्वारा लुडविग बोल्ट्जमैन की टकराव परमाणुओं की एक गतिशील प्रणाली में एंट्रॉपी में वृद्धि की व्युत्पत्ति पर आपत्ति करने के लिए किया गया था।

बोल्ट्जमैन के काम द्वारा उठाए गए प्रश्नों में से एक समय औसत और समष्टि औसत के बीच संभावित समानता थी, जिसे उन्होंने एर्गोडिक परिकल्पना कहा है। परिकल्पना बताती है कि एक क्षेत्र A में एक विशिष्ट प्रक्षेपवक्र खर्च करने की अवधि vol(A)/vol(Ω) है।

एर्गोडिक परिकल्पना सांख्यिकीय यांत्रिकी के विकास के लिए आवश्यक आवश्यक गुण नहीं निकली और भौतिक प्रणालियों के प्रासंगिक भागो को पकड़ने के लिए अन्य एर्गोडिक-जैसे गुणों की एक श्रृंखला प्रस्तुत की गई है। बर्नार्ड कोपमैन ने कार्यात्मक विश्लेषण के उपयोग से एर्गोडिक प्रणाली के अध्ययन से संपर्क किया है। एक अवलोकन योग्य एक ऐसा फलन है जो चरण स्थान के प्रत्येक बिंदु पर एक संख्या को जोड़ता है (तात्कालिक दबाव, या औसत ऊंचाई कहते हैं)। विकास फलन φ t का उपयोग करके एक प्रेक्षण योग्य के मान की गणना किसी अन्य समय में की जा सकती है यह एक ऑपरेटर U t, स्थानांतरण संचालक का परिचय देता हैː


 * $$ (U^t a)(x) = a(\Phi^{-t}(x)). $$

रैखिक ऑपरेटर U के वर्णक्रमीय गुणों का अध्ययन करके Φ t के एर्गोडिक गुणों को वर्गीकृत करना संभव हो जाता है। एक अवलोकन योग्य फलन पर प्रवाह की क्रिया पर विचार करने के कूपमैन दृष्टिकोण का उपयोग करने में, Φ t से जुड़ी परिमित-आयामी गैर-रेखीय समस्या को U से जुड़े एक अनंत-आयामी रैखिक समस्या में माप किया जाता है।

ऊर्जा सतह Ω तक सीमित लिउविले माप संतुलन सांख्यिकीय यांत्रिकी में गणना किए गए औसत का आधार है। प्रक्षेपवक्र के साथ समय का औसत बोल्ट्ज़मान कारक exp(−βH) के साथ गणना की गई स्थान में औसत के समान है। इस विचार को सिनाई, बोवेन और रुएल (एसआरबी) द्वारा गतिशील प्रणालियों के एक बड़े वर्ग के लिए सामान्यीकृत किया गया है जिसमें विघटनकारी प्रणालियाँ सम्मिलित हैं। इस प्रकार से एसआरबी उपाय बोल्ट्ज़मैन कारक को प्रतिस्थापित करते हैं और उन्हें अव्यवस्था प्रणालियों के आकर्षणकर्ताओं पर परिभाषित किया जाता है।

अरैखिक गतिशील प्रणालियां और अव्यवस्था
सरल अरैखिक गतिकीय प्रणालियां और यहां तक ​​कि टुकड़ों के अनुसार रैखिक प्रणालियां पूरी तरह से अप्रत्याशित व्यवहार प्रदर्शित कर सकती हैं, जो इस तथ्य के अतिरिक्त यादृच्छिक प्रतीत हो सकता है कि वे मौलिक रूप से नियतात्मक हैं। इस प्रतीत होने वाले अप्रत्याशित व्यवहार को अव्यवस्था सिद्धांत कहा गया है। किन्तु एनोसोव डिफियोमोर्फिज्म स्पष्ट रूप से परिभाषित गतिशील प्रणालियां हैं जो की अव्यवस्था प्रणालियों के लिए बताए गए गुणों को प्रदर्शित करती हैं। अतिशयोक्तिपूर्ण प्रणालियों में एक प्रक्षेपवक्र के लंबवत स्पर्शरेखा स्थान को दो भागों में उचित प्रकार से अलग किया जा सकता है: एक उन बिंदुओं के साथ जो कक्षा की ओर अभिसरण करते हैं (स्थिर अनेक गुना) और अन्य बिंदु जो कक्षा से अलग हो जाते हैं (अस्थिर अनेक गुना)।

गणित की यह शाखा गतिशील प्रणालियों के दीर्घकालिक गुणात्मक व्यवहार से संबंधित है। यहां, गतिशील प्रणाली (जो अधिकांशतः निराशाजनक होता है) को परिभाषित करने वाले समीकरणों के स्पष्ट समाधान खोजने पर ध्यान नहीं दिया जाता है, किन्तु इस तरह के प्रश्नों के उत्तर देने के लिए कि क्या प्रणाली लंबी अवधि में एक स्थिर स्थिति में बस जाएगा, और यदि हां, तो क्या हैं संभावित आकर्षित करने वाले? या प्रणाली का दीर्घकालिक व्यवहार इसकी प्रारंभिक स्थिति पर निर्भर करता है? ''

ध्यान दें कि सम्मिश्र प्रणालियों का अव्यवस्था व्यवहार कोई समस्या नहीं है। मौसम विज्ञान सम्मिश्र-यहां तक ​​कि अव्यवस्था-व्यवहार को सम्मिलित करने के लिए वर्षों से जाना जाता है। अव्यवस्था सिद्धांत इतना आश्चर्यजनक रहा है क्योंकि अव्यवस्था लगभग तुच्छ प्रणालियों में पाई जा सकती है। रसद मानचित्र केवल एक दूसरी डिग्री बहुपद है; घोड़े की नाल का मानचित्र टुकड़े-टुकड़े रैखिक है।

परिमित अवधि के समाधान
गैर-रैखिक स्वायत्त ओडीईएस के लिए कुछ नियम के अधीन परिमित अवधि के समाधान विकसित करना संभव है, यहाँ इसका अर्थ यह है कि अपनी स्वयं की गतिशीलता से, प्रणाली एक अंत समय में शून्य मान तक पहुँच जाएगा और उसके बाद प्रायः के लिए शून्य में रहता है। ये परिमित-अवधि के समाधान संपूर्ण वास्तविक रेखा पर विश्लेषणात्मक कार्य नहीं कर सकते हैं, और क्योंकि वे अपने अंतिम समय में गैर-लिप्सचिट्ज़ फलन करेंगे, इसलिए वे लिप्सचिट्ज़ अंतर समीकरणों के समाधान की विशिष्टता को सहन नहीं करते हैं।

इस प्रकार से उदाहरण के रूप में, समीकरण:
 * $$y'= -\text{sgn}(y)\sqrt{|y|},\,\,y(0)=1$$

परिमित अवधि समाधान स्वीकार करता है:
 * $$y(x)=\frac{1}{4}\left(1-\frac{x}{2}+\left|1-\frac{x}{2}\right|\right)^2$$

यह भी देखें

 * व्यवहार मॉडलिंग
 * संज्ञानात्मक मॉडलिंग
 * सम्मिश्र गतिकी
 * दूसरी भाषा के विकास के लिए गतिशील दृष्टिकोण
 * प्रतिक्रिया निष्क्रियता
 * विश्लेषणात्मक कार्यों की अनंत रचनाएँ
 * गतिशील प्रणाली विषयों की सूची
 * दोलन
 * प्रणाली और नियंत्रण में लोग
 * शार्कोवस्की की प्रमेय
 * प्रणाली की गतिशीलता
 * प्रणाली सिद्धांत
 * अधिकतम क्षमता का सिद्धांत

संदर्भ

 * online version of first edition on the EMIS site.
 * online version of first edition on the EMIS site.

आगे की पढाई
Works providing a broad coverage:
 * (available as a reprint: ISBN 0-201-40840-6)
 * Encyclopaedia of Mathematical Sciences has a sub-series on dynamical systems with reviews of current research.

Introductory texts with a unique perspective:

Textbooks

Popularizations:

बाहरी कड़ियाँ

 * Arxiv preprint server has daily submissions of (non-refereed) manuscripts in dynamical systems.
 * Encyclopedia of dynamical systems A part of Scholarpedia — peer reviewed and written by invited experts.
 * Nonlinear Dynamics. Models of bifurcation and chaos by Elmer G. Wiens
 * Sci.Nonlinear FAQ 2.0 (Sept 2003) provides definitions, explanations and resources related to nonlinear science


 * Online books or lecture notes
 * Geometrical theory of dynamical systems. Nils Berglund's lecture notes for a course at ETH at the advanced undergraduate level.
 * Dynamical systems. George D. Birkhoff's 1927 book already takes a modern approach to dynamical systems.
 * Chaos: classical and quantum. An introduction to dynamical systems from the periodic orbit point of view.
 * Learning Dynamical Systems. Tutorial on learning dynamical systems.
 * Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Lecture notes by Gerald Teschl


 * Research groups
 * Dynamical Systems Group Groningen, IWI, University of Groningen.
 * Chaos @ UMD. Concentrates on the applications of dynamical systems.
 * , SUNY Stony Brook. Lists of conferences, researchers, and some open problems.
 * Center for Dynamics and Geometry, Penn State.
 * Control and Dynamical Systems, Caltech.
 * Laboratory of Nonlinear Systems, Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL).
 * Center for Dynamical Systems, University of Bremen
 * Systems Analysis, Modelling and Prediction Group, University of Oxford
 * Non-Linear Dynamics Group, Instituto Superior Técnico, Technical University of Lisbon
 * Dynamical Systems, IMPA, Instituto Nacional de Matemática Pura e Applicada.
 * Nonlinear Dynamics Workgroup, Institute of Computer Science, Czech Academy of Sciences.
 * UPC Dynamical Systems Group Barcelona, Polytechnical University of Catalonia.
 * Center for Control, Dynamical Systems, and Computation, University of California, Santa Barbara.