सेंट्ररपेटल फ़ोर्स

एक केन्द्रापसारक बल (लैटिन सेंट्रम, केंद्र और पेटेरे से, तलाश करने के लिए ) एक बल है जो शरीर को एक घुमावदार प्रक्षेपवक्र का अनुसरण करता है। केन्द्रापसारक बल की दिशा हमेशा शरीर की गति के लिए और पथ के तात्कालिक दोलन चक्र के निश्चित बिंदु की ओर ओर्थोगोनालिटी होती है। आइजैक न्यूटन ने इसे एक बल के रूप में वर्णित किया है जिसके द्वारा पिंड खींचे जाते हैं या प्रेरित होते हैं, या किसी भी तरह से एक केंद्र के रूप में एक बिंदु की ओर जाते हैं। न्यूटोनियन यांत्रिकी के सिद्धांत में, गुरुत्वाकर्षण केन्द्रापसारक बल प्रदान करता है जिससे खगोलीय कक्षाएँ बनती हैं।

केन्द्रापसारक बल से जुड़ा एक सामान्य उदाहरण वह मामला है जिसमें एक शरीर एक समान गति के साथ एक वृत्ताकार पथ पर चलता है। केन्द्रापसारक बल गति के समकोण पर और त्रिज्या के साथ-साथ वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर निर्देशित होता है। गणितीय विवरण 1659 में डच भौतिक विज्ञानी क्रिस्टियान ह्यूजेंस द्वारा प्राप्त किया गया था।

सूत्र
गति # स्पर्शरेखा गति v पर गतिमान m द्रव्यमान की वस्तु पर केन्द्रापसारक बल का परिमाण वक्रता r की त्रिज्या वाले पथ के साथ है:

कहाँ $$a_c$$ केन्द्रापसारक त्वरण है और $$\Delta \textbf{v}$$ यूक्लिडियन वेक्टर # वेग वैक्टर के बीच जोड़ और घटाव है। चूंकि उपरोक्त आरेख में वेग वैक्टर में निरंतर परिमाण होता है और चूंकि प्रत्येक एक अपने संबंधित स्थिति वेक्टर के लंबवत होता है, इसलिए सरल वेक्टर घटाव का तात्पर्य दो समान समद्विबाहु त्रिभुजों से होता है जिसमें सर्वांगसम कोण होते हैं - एक जिसमें एक आधार (ज्यामिति) होता है $$\Delta \textbf{v}$$ और एक समद्विबाहु त्रिभुज की लंबाई $$v$$, और दूसरा एक आधार (ज्यामिति)। $$\Delta \textbf{r}$$ (स्थिति सदिश यूक्लिडियन सदिश#जोड़ और घटाव) और एक समद्विबाहु त्रिभुज की लंबाई $$r$$: $$\frac{|\Delta \textbf{v}|}{v} = \frac{|\Delta \textbf{r}|}{r}$$ $$|\Delta \textbf{v}| = \frac{v}{r}|\Delta \textbf{r}|$$ इसलिए, $$|\Delta\textbf{v}|$$ से प्रतिस्थापित किया जा सकता है $$\frac{v}{r} |\Delta \textbf{r}|$$: $$a_c = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{|\Delta \textbf{v}|}{\Delta t} = \frac{v}{r} \lim_{\Delta t \to 0} \frac{|\Delta \textbf{r}|}{\Delta t} = \omega\lim_{\Delta t \to 0} \frac{|\Delta \textbf{r}|}{\Delta t} = v\omega = \frac{v^2}{r}$$ बल की दिशा उस वृत्त के केंद्र की ओर होती है जिसमें वस्तु चल रही है, या दोलन वृत्त (वह वृत्त जो वस्तु के स्थानीय पथ के लिए सबसे उपयुक्त है, यदि पथ वृत्ताकार नहीं है)। सूत्र में गति को चुकता किया गया है, इसलिए दो बार गति को चार गुना बल की आवश्यकता होती है। वक्रता की त्रिज्या के साथ व्युत्क्रम संबंध से पता चलता है कि आधी रेडियल दूरी के लिए दो बार बल की आवश्यकता होती है। इस बल को कभी-कभी वृत्त के केंद्र के बारे में वस्तु के कोणीय वेग ω के रूप में भी लिखा जाता है, सूत्र द्वारा स्पर्शरेखा वेग से संबंधित $$v = \omega r$$ ताकि $$F_c = m r \omega^2 \,.$$ वृत्त की एक क्रांति के लिए कक्षीय अवधि T का उपयोग करके व्यक्त किया गया,

समीकरण बन जाता है $$F_c = m r \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2.$$ कण त्वरक में, वेग बहुत अधिक हो सकता है (निर्वात में प्रकाश की गति के करीब) इसलिए वही विराम द्रव्यमान अब अधिक जड़ता (सापेक्ष द्रव्यमान) पर जोर देता है जिससे समान केन्द्रापसारक त्वरण के लिए अधिक बल की आवश्यकता होती है, इसलिए समीकरण बन जाता है: $$F_c = \frac{\gamma m v^2}{r}$$ कहाँ

लोरेंत्ज़ कारक है।

इस प्रकार केन्द्रापसारक बल द्वारा दिया जाता है: $$F_c = \gamma m v \omega$$ जो आपेक्षिक संवेग के परिवर्तन की दर है $$\gamma m v$$.

स्रोत
एक वस्तु के मामले में जो एक क्षैतिज तल में एक रस्सी के अंत में चारों ओर झूल रही है, वस्तु पर केन्द्रापसारक बल रस्सी के तनाव द्वारा आपूर्ति की जाती है। रस्सी का उदाहरण 'पुल' बल से जुड़ा एक उदाहरण है। केन्द्रापसारक बल को 'पुश' बल के रूप में भी आपूर्ति की जा सकती है, जैसे उस मामले में जहां दीवार की सामान्य प्रतिक्रिया मौत की दीवार (मोटरसाइकिल अधिनियम) या रोटर (सवारी) सवार के लिए केंद्रीय बल प्रदान करती है।

आइजैक न्यूटन का अभिकेन्द्रीय बल का विचार उस विचार से मेल खाता है जिसे आजकल केंद्रीय बल के रूप में जाना जाता है। जब एक उप[[ग्रह]] किसी ग्रह के चारों ओर कक्षा में होता है, तो गुरुत्वाकर्षण को अभिकेन्द्रीय बल माना जाता है, हालांकि उत्केंद्रित कक्षाओं के मामले में, गुरुत्वाकर्षण बल फोकस की ओर निर्देशित होता है, न कि वक्रता के तात्कालिक केंद्र की ओर। केन्द्रापसारक बल का एक और उदाहरण हेलिक्स में उत्पन्न होता है जो अन्य बाहरी बलों की अनुपस्थिति में एक समान चुंबकीय क्षेत्र में आवेशित कण के चलने पर पता लगाया जाता है। इस मामले में, चुंबकीय बल केन्द्रापसारक बल है जो हेलिक्स अक्ष की ओर कार्य करता है।

कई मामलों का विश्लेषण
वेग और त्वरण को नियंत्रित करने वाले सूत्रों की व्युत्पत्ति के साथ बढ़ती हुई जटिलता के तीन उदाहरण नीचे दिए गए हैं।

समान वर्तुल गति
एकसमान वृत्तीय गति, घूर्णन की स्थिर दर के मामले को संदर्भित करती है। इस मामले का वर्णन करने के लिए यहां दो दृष्टिकोण दिए गए हैं।

पथरी व्युत्पत्ति
दो आयामों में, स्थिति वेक्टर $$\textbf{r}$$, जिसका परिमाण (लंबाई) है $$r$$ और एक कोण पर निर्देशित $$\theta$$ एक्स-अक्ष के ऊपर, यूनिट वैक्टर और  का उपयोग करके कार्टेशियन निर्देशांक में व्यक्त किया जा सकता है > >: $$ \textbf{r} = r \cos(\theta) \hat\mathbf i + r \sin(\theta) \hat\mathbf j. $$ एकसमान वृत्तीय गति की धारणा के लिए तीन चीजों की आवश्यकता होती है:
 * 1) वस्तु केवल एक वृत्त पर चलती है।
 * 2) वृत्त की त्रिज्या $$r$$ समय में नहीं बदलता।
 * 3) वस्तु निरंतर कोणीय वेग के साथ चलती है $$\omega$$ घेरे के चारों ओर। इसलिए, $$\theta = \omega t$$ कहाँ $$t$$ यह समय है।

वेग $$\textbf{v}$$ और त्वरण $$\textbf{a}$$ समय के संबंध में गति के पहले और दूसरे डेरिवेटिव स्थिति के हैं:

$$ \textbf{r} = r \cos(\omega t) \hat\mathbf i + r \sin(\omega t) \hat\mathbf j, $$

कोष्ठक में शब्द की मूल अभिव्यक्ति है $$\textbf{r}$$ कार्टेशियन निर्देशांक में। फलस्वरूप, $$ \textbf{a} = - \omega^2 \textbf{r}. $$ ऋणात्मक दर्शाता है कि त्वरण वृत्त के केंद्र (त्रिज्या के विपरीत) की ओर इंगित किया गया है, इसलिए इसे अभिकेन्द्रीय (अर्थात् केंद्र-खोज) कहा जाता है। जबकि वस्तुएं स्वाभाविक रूप से एक सीधे रास्ते का अनुसरण करती हैं (जड़ता के कारण), यह केन्द्रापसारक त्वरण एक केन्द्रापसारक बल के कारण होने वाले वृत्ताकार गति पथ का वर्णन करता है।

वैक्टर का उपयोग कर व्युत्पत्ति
दाईं ओर की छवि समान वर्तुल गति के लिए सदिश संबंधों को दर्शाती है। घूर्णन स्वयं को कोणीय वेग सदिश Ω द्वारा दर्शाया जाता है, जो कक्षा के तल के लिए सामान्य है (दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करके) और इसके द्वारा दिया गया परिमाण है:
 * $$ |\mathbf{\Omega}| = \frac {\mathrm{d} \theta } {\mathrm{d}t} = \omega \, $$

θ के साथ समय t पर कोणीय स्थिति। इस उपधारा में, dθ/dt को समय से स्वतंत्र, स्थिर माना जाता है। वृत्तीय पथ पर dt समय में कण द्वारा तय की गई दूरी 'dℓ' है
 * $$ \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = \mathbf {\Omega} \times \mathbf{r}(t) \mathrm{d}t \, $$

जो, वेक्टर क्रॉस उत्पाद के गुणों से, परिमाण rdθ है और परिपत्र पथ के स्पर्शरेखा की दिशा में है।

फलस्वरूप,
 * $$\frac {\mathrm{d} \mathbf{r}}{\mathrm{d}t} = \lim_{{\Delta}t \to 0} \frac {\mathbf{r}(t + {\Delta}t)-\mathbf{r}(t)}{{\Delta}t} = \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\ell}}{\mathrm{d}t} \ .$$

दूसरे शब्दों में,
 * $$ \mathbf{v}\ \stackrel{\mathrm{def}}{ = }\ \frac {\mathrm{d} \mathbf{r}}{\mathrm{d}t} = \frac {\mathrm{d}\mathbf{\boldsymbol{\ell}}}{\mathrm{d}t} = \mathbf {\Omega} \times \mathbf{r}(t)\ . $$

समय के संबंध में अंतर करना, $$ \mathbf{a}\ \stackrel{\mathrm{def}}{ = }\ \frac {\mathrm{d} \mathbf{v}} {d\mathrm{t}} = \mathbf {\Omega} \times \frac{\mathrm{d} \mathbf{r}(t)}{\mathrm{d}t} = \mathbf{\Omega} \times \left[ \mathbf {\Omega} \times \mathbf{r}(t)\right] \ .$$ तिगुना उत्पाद#वेक्टर तिगुना उत्पाद|लग्रेंज का सूत्र कहता है: $$ \mathbf{a} \times \left ( \mathbf{b} \times \mathbf{c} \right ) = \mathbf{b} \left ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} \right ) - \mathbf{c} \left ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \right ) \ .$$ Ω • r(t) = 0 हर समय अवलोकन के साथ Lagrange के सूत्र को लागू करना, $$ \mathbf{a} = - {|\mathbf{\Omega|}}^2 \mathbf{r}(t) \ .$$ शब्दों में, त्वरण हर समय रेडियल विस्थापन आर के विपरीत सीधे इंगित कर रहा है, और इसका एक परिमाण है: $$ |\mathbf{a}| = |\mathbf{r}(t)| \left ( \frac {\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d}t} \right) ^2 = r {\omega}^2 $$ जहाँ खड़ी पट्टियां |...| सदिश परिमाण को निरूपित करें, जो कि r(t) के मामले में केवल पथ की त्रिज्या r है। यह परिणाम पिछले खंड से सहमत है, हालांकि अंकन थोड़ा अलग है।


 * 1) गैर-समान वृत्तीय गति के विश्लेषण में जब घूर्णन की दर को स्थिर किया जाता है, तो वह विश्लेषण इस बात से सहमत होता है।

वेक्टर दृष्टिकोण का एक गुण यह है कि यह स्पष्ट रूप से किसी भी समन्वय प्रणाली से स्वतंत्र है।

उदाहरण: बैंक्ड टर्न
दाईं ओर की छवि में ऊपरी पैनल एक बांक्ड कर्व पर गोलाकार गति में एक गेंद को दिखाता है। वक्र को क्षैतिज से θ कोण पर बांधा जाता है, और सड़क की सतह को फिसलन माना जाता है। उद्देश्य यह पता लगाना है कि बैंक के पास कौन सा कोण होना चाहिए ताकि गेंद सड़क से फिसले नहीं। अंतर्ज्ञान हमें बताता है कि, बिना किसी बैंकिंग के एक सपाट वक्र पर, गेंद बस सड़क से फिसल जाएगी; जबकि एक बहुत खड़ी बैंकिंग के साथ, गेंद तब तक केंद्र की ओर खिसकेगी जब तक कि वह तेजी से वक्र की यात्रा नहीं करती।

पथ की दिशा में होने वाले किसी भी त्वरण के अलावा, ऊपर की छवि का निचला पैनल गेंद पर बल को इंगित करता है। दो बल हैं; एक गेंद m'g' के द्रव्यमान के केंद्र के माध्यम से लंबवत रूप से नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण का बल है, जहाँ m गेंद का द्रव्यमान है और 'g' गुरुत्वाकर्षण त्वरण है; दूसरा उर्ध्वगामी सामान्य बल है जो सड़क द्वारा सड़क की सतह m'a' के समकोण पर लगाया जाता हैn. घुमावदार गति द्वारा मांगे गए केन्द्रापसारक बल को भी ऊपर दिखाया गया है। यह केन्द्रापसारक बल गेंद पर लगाया गया तीसरा बल नहीं है, बल्कि सामान्य बल और गुरुत्वाकर्षण बल के सदिश जोड़ के परिणामस्वरूप गेंद पर शुद्ध बल द्वारा प्रदान किया जाना चाहिए। सड़क द्वारा लगाए गए सामान्य बल और गुरुत्वाकर्षण के कारण ऊर्ध्वाधर बल के सदिश योग द्वारा गेंद पर परिणामी या शुद्ध बल एक वृत्ताकार पथ की यात्रा करने की आवश्यकता से निर्धारित केन्द्रापसारक बल के बराबर होना चाहिए। घुमावदार गति तब तक बनी रहती है जब तक कि यह शुद्ध बल गति के लिए आवश्यक केन्द्रापसारक बल प्रदान करता है।

गेंद पर क्षैतिज शुद्ध बल सड़क से बल का क्षैतिज घटक है, जिसका परिमाण है $|F_{h}| = m|a_{n}| sin θ$. सड़क से बल के ऊर्ध्वाधर घटक को गुरुत्वाकर्षण बल का प्रतिकार करना चाहिए: $|F_{v}| = m|a_{n}| cos θ = m|g|$, जो ये दर्शाता हे $|a_{n}| = |g| / cos θ$. के लिए उपरोक्त सूत्र में प्रतिस्थापित करना $|F_{h}|$ होने के लिए एक क्षैतिज बल उत्पन्न करता है:

दूसरी ओर, वेग से |v| त्रिज्या  r  के एक वृत्ताकार पथ पर, कीनेमेटीक्स का कहना है कि गेंद को लगातार मोड़ में घुमाने के लिए आवश्यक बल रेडियल रूप से आवक केन्द्रापसारक बल F हैc परिमाण का: $$|\mathbf{F}_\mathrm{c}| = m |\mathbf{a}_\mathrm{c}| = \frac{m|\mathbf{v}|^2}{r} \,. $$ नतीजतन, गेंद एक स्थिर पथ में है जब सड़क के कोण को स्थिति को पूरा करने के लिए सेट किया गया है: $$m |\mathbf{g}| \tan \theta = \frac{m|\mathbf{v}|^2}{r} \, ,$$ या, $$ \tan \theta = \frac {|\mathbf{v}|^2} {|\mathbf{g}|r} \, .$$ जैसे ही बैंक θ का कोण 90° की ओर पहुंचता है, स्पर्शरेखा फलन अनंत तक पहुंचता है, जिससे |'v'| के लिए बड़े मान मिलते हैं।2/आर. शब्दों में, यह समीकरण बताता है कि अधिक गति के लिए (बड़ा |'v'|) सड़क को अधिक तेजी से बांधा जाना चाहिए (θ के लिए एक बड़ा मान), और तेज मोड़ के लिए (छोटे आर) सड़क को भी अधिक तेजी से बांधा जाना चाहिए, जो अंतरात्मा के अनुरूप हो। जब कोण θ उपरोक्त शर्तों को पूरा नहीं करता है, तो सड़क द्वारा लगाए गए बल का क्षैतिज घटक सही केन्द्रापसारक बल प्रदान नहीं करता है, और अंतर प्रदान करने के लिए सड़क की सतह पर एक अतिरिक्त घर्षण बल को स्पर्शरेखा कहा जाता है। यदि घर्षण ऐसा नहीं कर सकता (अर्थात, घर्षण का गुणांक पार हो गया है), तो गेंद एक अलग दायरे में स्लाइड करती है जहां संतुलन को महसूस किया जा सकता है। ये विचार हवाई उड़ान पर भी लागू होते हैं। एफएए पायलट का मैनुअल देखें।

गैर-समान परिपत्र गति
समान परिपत्र गति के मामले के सामान्यीकरण के रूप में, मान लें कि रोटेशन की कोणीय दर स्थिर नहीं है। त्वरण में अब एक स्पर्शरेखा घटक है, जैसा कि छवि को दाईं ओर दिखाया गया है। इस मामले का उपयोग ध्रुवीय समन्वय प्रणाली के आधार पर एक व्युत्पत्ति रणनीति को प्रदर्शित करने के लिए किया जाता है।

चलो r(t) एक वेक्टर बनें जो समय के एक समारोह के रूप में बिंदु द्रव्यमान की स्थिति का वर्णन करता है। चूँकि हम वर्तुल गति मान रहे हैं, मान लीजिए $r(t) = R·u_{r}$, जहां R एक नियतांक है (वृत्त की त्रिज्या) और 'u'r इकाई वेक्टर है जो मूल से बिंदु द्रव्यमान तक इंगित करता है। यू की दिशाr θ द्वारा वर्णित है, x-अक्ष और इकाई सदिश के बीच का कोण, x-अक्ष से वामावर्त मापा जाता है। ध्रुवीय निर्देशांक के लिए अन्य इकाई वेक्टर, 'यू'θ यू के लंबवत हैr और θ बढ़ने की दिशा में इशारा करता है। इन ध्रुवीय इकाई वैक्टरों को एक्स और वाई दिशाओं में कार्टेशियन समन्वय प्रणाली इकाई वैक्टर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, निरूपित $$\hat\mathbf i$$ और $$\hat\mathbf j$$ क्रमश: $$\mathbf u_r = \cos \theta \ \hat\mathbf i + \sin \theta \ \hat\mathbf j$$ और $$\mathbf u_\theta = - \sin \theta \ \hat\mathbf i + \cos \theta \ \hat\mathbf j.$$ कोई वेग खोजने के लिए अंतर कर सकता है: $$\begin{align} \mathbf{v} &= r \frac {d \mathbf{u}_r}{dt} \\ &= r \frac {d}{dt} \left( \cos \theta \ \hat\mathbf{i} + \sin \theta \ \hat\mathbf{j}\right) \\ &= r \frac {d \theta}{dt} \frac{d}{d \theta} \left( \cos \theta \ \hat\mathbf{i} + \sin \theta \ \hat\mathbf{j}\right) \\ & = r \frac {d \theta} {dt} \left( -\sin \theta \ \hat\mathbf{i} + \cos \theta \ \hat\mathbf{j}\right)\\ & = r \frac{d\theta}{dt} \mathbf{u}_\theta \\ & = \omega r \mathbf{u}_\theta \end{align}$$ कहाँ $ω$ कोणीय वेग है $dθ/dt$.

वेग के लिए यह परिणाम अपेक्षाओं से मेल खाता है कि वेग को वृत्त के स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित किया जाना चाहिए, और वेग का परिमाण होना चाहिए $rω$. फिर से अंतर करना, और यह ध्यान रखना $$\frac {d\mathbf{u}_\theta}{dt} = -\frac{d\theta}{dt} \mathbf{u}_r = - \omega \mathbf{u}_r \, $$ हम पाते हैं कि त्वरण, a है: $$\mathbf{a} = r \left( \frac {d\omega}{dt} \mathbf{u}_\theta - \omega^2 \mathbf{u}_r \right) \. $$ इस प्रकार, त्वरण के रेडियल और स्पर्शरेखा घटक हैं: $$\mathbf{a}_{r} = - \omega^{2} r \ \mathbf{u}_r = - \frac{|\mathbf{v}|^2}{r} \ \mathbf{u}_r $$ और $$\mathbf{a}_\theta = r \ \frac {d\omega}{dt} \ \mathbf{u}_\theta = \frac {d | \mathbf{v} | }{dt} \ \mathbf{u}_\theta \, $$ कहाँ $|v| = r ω$ वेग (गति) का परिमाण है।

ये समीकरण गणितीय रूप से व्यक्त करते हैं कि, एक वस्तु के मामले में जो एक बदलती गति के साथ एक वृत्ताकार पथ के साथ चलती है, शरीर के त्वरण को लंबवत घटक में विघटित किया जा सकता है जो गति की दिशा (सेंट्रिपेटल त्वरण) को बदलता है, और एक समानांतर, या स्पर्शरेखा घटक, जो गति को बदलता है।

ध्रुवीय निर्देशांक
उपरोक्त परिणाम शायद अधिक आसानी से ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में प्राप्त किए जा सकते हैं, और साथ ही एक विमान के भीतर सामान्य गति तक विस्तारित किया जा सकता है, जैसा कि आगे दिखाया गया है। विमान में ध्रुवीय निर्देशांक एक रेडियल यूनिट वेक्टर यू को नियोजित करते हैंρ और एक कोणीय इकाई वेक्टर यूθ, जैसा कि उपर दिखाया गया है। स्थिति r पर एक कण द्वारा वर्णित है:

$$\mathbf{r} = \rho \mathbf{u}_{\rho} \, $$ जहां संकेतन ρ का उपयोग आर के बजाय मूल से पथ की दूरी का वर्णन करने के लिए किया जाता है, यह जोर देने के लिए कि यह दूरी निश्चित नहीं है, लेकिन समय के साथ बदलती है। यूनिट वेक्टर 'यू'ρ कण के साथ यात्रा करता है और हमेशा r(t) के समान दिशा में इंगित करता है। यूनिट वेक्टर यूθ कण के साथ भी यात्रा करता है और यू के लिए ऑर्थोगोनल रहता हैρ. इस प्रकार, यूρ और आपθ कण से जुड़ी एक स्थानीय कार्टेशियन समन्वय प्रणाली बनाते हैं, और कण द्वारा तय किए गए पथ से बंधे होते हैं। यूनिट वैक्टर को स्थानांतरित करने से उनकी पूंछ मिलती है, जैसा कि ऊपर की छवि के बाईं ओर सर्कल में देखा गया है, यह देखा गया है कि यूρ और आपθ यूनिट सर्कल पर युक्तियों के साथ एक समकोण जोड़ी बनाएं जो इस सर्कल के परिधि पर उसी कोण θ (टी) के साथ 'आर' (टी) के रूप में आगे और पीछे का पता लगाएं।

जब कण चलता है, तो उसका वेग होता है


 * $$ \mathbf{v} = \frac {\mathrm{d} \rho }{\mathrm{d}t} \mathbf{u}_{\rho} + \rho \frac {\mathrm{d} \mathbf{u}_{\rho}}{\mathrm{d}t} \, . $$

वेग का मूल्यांकन करने के लिए, यूनिट वेक्टर यू का व्युत्पन्नρ ज़रूरी है। क्योंकि यूρ एक इकाई वेक्टर है, इसका परिमाण निश्चित है, और यह केवल दिशा में बदल सकता है, अर्थात इसका परिवर्तन डुρ केवल यू के लंबवत एक घटक हैρ. जब प्रक्षेपवक्र r(t) एक राशि dθ घुमाता है, uρ, जो r(t) के समान दिशा में इंगित करता है, dθ द्वारा भी घूमता है। ऊपर चित्र देखें। इसलिए, यू में परिवर्तनρ है


 * $$ \mathrm{d} \mathbf{u}_{\rho} = \mathbf{u}_{\theta} \mathrm{d}\theta \,, $$

या


 * $$ \frac {\mathrm{d} \mathbf{u}_{\rho}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{u}_{\theta} \frac {\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} \, . $$

इसी प्रकार, यू के परिवर्तन की दरθ पाया जाता है। यू के साथ के रूप मेंρ, मेंθ एक इकाई वेक्टर है और केवल आकार बदले बिना ही घूम सकता है। यू के लिए ओर्थोगोनल रहने के लिएρ जबकि प्रक्षेपवक्र r(t) एक राशि dθ, u घुमाता हैθ, जो r(t) के लिए ओर्थोगोनल है, dθ द्वारा भी घूमता है। ऊपर चित्र देखें। इसलिए, परिवर्तन डुθ ओ के लिए ओर्थोगोनल हैθ और dθ के समानुपाती (ऊपर चित्र देखें):


 * $$ \frac{\mathrm{d} \mathbf{u}_{\theta}}{\mathrm{d}t} = -\frac {\mathrm{d} \theta} {\mathrm{d}t} \mathbf{u}_{\rho} \, . $$

ऊपर दी गई छवि संकेत को नकारात्मक दिखाती है: ऑर्थोगोनलिटी बनाए रखने के लिए, यदि duρ dθ के साथ धनात्मक है, तो d'u'θ कम होना चाहिए।

यू के व्युत्पन्न को प्रतिस्थापित करनाρ वेग के लिए अभिव्यक्ति में:


 * $$ \mathbf{v} = \frac {\mathrm{d} \rho }{\mathrm{d}t} \mathbf{u}_{\rho} + \rho \mathbf{u}_{\theta} \frac {\mathrm{d} \theta} {\mathrm{d}t} = v_{\rho} \mathbf{u}_{\rho} + v_{\theta} \mathbf{u}_{\theta} = \mathbf{v}_{\rho} + \mathbf{v}_{\theta} \, . $$

त्वरण प्राप्त करने के लिए, दूसरी बार विभेदन किया जाता है:
 * $$ \mathbf{a} = \frac {\mathrm{d}^2 \rho }{\mathrm{d}t^2} \mathbf{u}_{\rho} + \frac {\mathrm{d} \rho }{\mathrm{d}t} \frac{\mathrm{d} \mathbf{u}_{\rho}}{\mathrm{d}t} + \frac {\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d}t} \mathbf{u}_{\theta} \frac {\mathrm{d} \theta} {\mathrm{d}t} + \rho \frac{\mathrm{d} \mathbf{u}_{\theta}}{\mathrm{d}t} \frac {\mathrm{d} \theta} {\mathrm{d}t} + \rho \mathbf{u}_{\theta} \frac {\mathrm{d}^2 \theta} {\mathrm{d}t^2} \, . $$

यू के डेरिवेटिव को प्रतिस्थापित करनाρ और आपθ, कण का त्वरण है:
 * $$\begin{align}

\mathbf{a} & = \frac {\mathrm{d}^2 \rho }{\mathrm{d}t^2} \mathbf{u}_{\rho} + 2\frac {\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d}t} \mathbf{u}_{\theta} \frac {\mathrm{d} \theta} {\mathrm{d}t} - \rho \mathbf{u}_{\rho} \left( \frac {\mathrm{d} \theta} {\mathrm{d}t}\right)^2 + \rho \mathbf{u}_{\theta} \frac {\mathrm{d}^2 \theta} {\mathrm{d}t^2} \, \\ & = \mathbf{u}_{\rho} \left[ \frac {\mathrm{d}^2 \rho }{\mathrm{d}t^2}-\rho\left( \frac {\mathrm{d} \theta} {\mathrm{d}t}\right)^2 \right] + \mathbf{u}_{\theta}\left[ 2\frac {\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d}t} \frac {\mathrm{d} \theta} {\mathrm{d}t} + \rho \frac {\mathrm{d}^2 \theta} {\mathrm{d}t^2}\right] \\ & = \mathbf{u}_{\rho} \left[ \frac {\mathrm{d}v_{\rho}}{\mathrm{d}t}-\frac{v_{\theta}^2}{\rho}\right] + \mathbf{u}_{\theta}\left[ \frac{2}{\rho}v_{\rho} v_{\theta} + \rho\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{v_{\theta}}{\rho}\right] \,. \end{align}$$ एक विशेष उदाहरण के रूप में, यदि कण निरंतर त्रिज्या R के एक चक्र में चलता है, तो dρ/dt = 0, 'v' = 'v'θ, और:

$$\mathbf{a} = \mathbf{u}_{\rho} \left[ -\rho\left( \frac {\mathrm{d} \theta} {\mathrm{d}t}\right)^2 \right] + \mathbf{u}_{\theta}\left[ \rho \frac {\mathrm{d}^2 \theta} {\mathrm{d}t^2}\right] = \mathbf{u}_{\rho} \left[ -\frac{v^2}{r}\right] + \mathbf{u}_{\theta}\left[ \frac {\mathrm{d} v} {\mathrm{d}t}\right] \ $$ कहाँ $$ v = v_{\theta}. $$ ये परिणाम ऊपर दिए गए #Nonuniform परिपत्र गति के लिए सहमत हैं। गैर-समान परिपत्र गति पर आलेख भी देखें। यदि इस त्वरण को कण द्रव्यमान से गुणा किया जाता है, तो प्रमुख पद अभिकेन्द्र बल होता है और कोणीय त्वरण से संबंधित दूसरे पद के ऋणात्मक को कभी-कभी यूलर बल कहा जाता है। सर्कुलर गति के अलावा अन्य प्रक्षेपवक्रों के लिए, उदाहरण के लिए, ऊपर की छवि में कल्पना की गई अधिक सामान्य प्रक्षेपवक्र, घूर्णन के तात्कालिक केंद्र और प्रक्षेपवक्र की वक्रता की त्रिज्या केवल अप्रत्यक्ष रूप से यू द्वारा परिभाषित समन्वय प्रणाली से संबंधित हैंρऔर आपθऔर लंबाई तक |r(t)| = ρ। नतीजतन, सामान्य मामले में, उपरोक्त सामान्य त्वरण समीकरण से सेंट्रीपेटल और यूलर शब्दों को अलग करना सीधा नहीं है। इस मुद्दे से सीधे निपटने के लिए, स्थानीय निर्देशांक बेहतर हैं, जैसा कि आगे चर्चा की गई है।

स्थानीय निर्देशांक
स्थानीय निर्देशांक का मतलब निर्देशांक का एक सेट है जो कण के साथ यात्रा करता है, और कण के पथ द्वारा निर्धारित अभिविन्यास है। यूनिट वैक्टर बनते हैं जैसा कि छवि में दिखाया गया है, पथ के लिए स्पर्शरेखा और सामान्य दोनों। इस समन्वय प्रणाली को कभी-कभी आंतरिक या पथ निर्देशांक कहा जाता है या एनटी-निर्देशांक, सामान्य-स्पर्शरेखा के लिए, इन इकाई सदिशों को संदर्भित करते हुए। ये निर्देशांक विभेदक रूपों के सिद्धांत से स्थानीय निर्देशांक की अधिक सामान्य अवधारणा का एक बहुत ही विशेष उदाहरण हैं। कण के पथ के साथ दूरी चाप की लंबाई s है, जिसे समय का ज्ञात कार्य माना जाता है।


 * $$ s = s(t) \ . $$

सामान्य 'यू' के साथ एक रेखा पर वक्र से दूरी ρ (ऑस्क्युलेटिंग सर्कल # गणितीय विवरण) स्थित प्रत्येक स्थिति में वक्रता का एक केंद्र परिभाषित किया गया है।n (एस)। चाप की लंबाई s पर आवश्यक दूरी ρ(s) को वक्र की स्पर्शरेखा के घूमने की दर के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, जो बदले में पथ द्वारा ही निर्धारित किया जाता है। यदि किसी प्रारंभिक स्थिति के सापेक्ष स्पर्शरेखा का अभिविन्यास θ(s) है, तो ρ(s) को व्युत्पन्न dθ/ds द्वारा परिभाषित किया गया है:


 * $$\frac{1} {\rho (s)} = \kappa (s) = \frac {\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s}\ . $$

वक्रता की त्रिज्या को आमतौर पर धनात्मक (अर्थात् एक निरपेक्ष मान के रूप में) लिया जाता है, जबकि वक्रता # एक सामान्य पैरामीट्रिजेशन के संदर्भ में κ एक हस्ताक्षरित मात्रा है।

वक्रता के केंद्र और वक्रता के त्रिज्या को खोजने के लिए एक ज्यामितीय दृष्टिकोण एक सीमित प्रक्रिया का उपयोग करता है जो ऑस्क्युलेटिंग सर्कल की ओर जाता है। ऊपर चित्र देखें।

इन निर्देशांकों का उपयोग करते हुए, पथ के साथ गति को हमेशा बदलते केंद्र के परिपत्र पथों के उत्तराधिकार के रूप में देखा जाता है, और प्रत्येक स्थिति में त्रिज्या ρ के साथ उस स्थिति में गैर-समान परिपत्र गति का गठन होता है। रोटेशन की कोणीय दर का स्थानीय मान तब दिया जाता है:


 * $$ \omega(s) = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s} \frac {\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{\rho(s)}\ \frac {\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = \frac{v(s)}{\rho(s)}\ ,$$

द्वारा दी गई स्थानीय गति v के साथ:


 * $$ v(s) = \frac {\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\ . $$

उपरोक्त अन्य उदाहरणों के लिए, क्योंकि यूनिट वैक्टर परिमाण को नहीं बदल सकते हैं, उनके परिवर्तन की दर हमेशा उनकी दिशा के लंबवत होती है (ऊपर की छवि में बाएं हाथ की प्रविष्टि देखें):
 * $$\frac{d\mathbf{u}_\mathrm{n}(s)}{ds} = \mathbf{u}_\mathrm{t}(s)\frac{d\theta}{ds} = \mathbf{u}_\mathrm{t}(s)\frac{1}{\rho} \ ; $$ $$\frac{d\mathbf{u}_\mathrm{t}(s)}{\mathrm{d}s} = -\mathbf{u}_\mathrm{n}(s)\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s} = - \mathbf{u}_\mathrm{n}(s)\frac{1}{\rho} \ . $$

नतीजतन, वेग और त्वरण हैं:
 * $$ \mathbf{v}(t) = v \mathbf{u}_\mathrm{t}(s)\ ; $$

और चेन नियम का उपयोग करना | भेदभाव के चेन-नियम:


 * $$ \mathbf{a}(t) = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} \mathbf{u}_\mathrm{t}(s) - \frac{v^2}{\rho}\mathbf{u}_\mathrm{n}(s) \ ; $$ स्पर्शरेखा त्वरण के साथ $$\frac{\mathrm{\mathrm{d}}v}{\mathrm{\mathrm{d}}t} = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}s}\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}s}\ v \ . $$

इस स्थानीय समन्वय प्रणाली में, त्वरण स्थानीय त्रिज्या ρ(s) के साथ #Nonuniform परिपत्र गति के लिए अभिव्यक्ति जैसा दिखता है, और केंद्रीय त्वरण को दूसरे पद के रूप में पहचाना जाता है। इस दृष्टिकोण को तीन आयामी अंतरिक्ष वक्रों तक विस्तारित करने से फ़्रेनेट-सेरेट फ़ार्मुलों की ओर जाता है।

वैकल्पिक दृष्टिकोण
ऊपर की छवि को देखते हुए, किसी को आश्चर्य हो सकता है कि चाप लंबाई की गणना करने में ρ(s) और ρ(s + ds) के बीच वक्रता में अंतर का पर्याप्त ध्यान रखा गया है या नहीं ds = ρ(s)dθ के रूप में। इस बिंदु पर आश्वासन नीचे उल्लिखित अधिक औपचारिक दृष्टिकोण का उपयोग करके पाया जा सकता है। यह दृष्टिकोण वक्रता#सामान्य पैरामीट्रिजेशन के संदर्भ में लेख के साथ भी संबंध बनाता है।

स्थानीय समन्वय प्रणाली के इकाई वैक्टर को पेश करने के लिए, एक दृष्टिकोण कार्टेशियन निर्देशांक में शुरू करना है और इन कार्टेशियन निर्देशांक के संदर्भ में स्थानीय निर्देशांक का वर्णन करना है। चाप की लंबाई s के संदर्भ में, पथ को इस प्रकार वर्णित किया जाना चाहिए: $$\mathbf{r}(s) = \left[ x(s),\ y(s) \right]. $$ फिर पथ ds के साथ एक वृद्धिशील विस्थापन द्वारा वर्णित है: $$\mathrm{d}\mathbf{r}(s) = \left[ \mathrm{d}x(s),\ \mathrm{d}y(s) \right] = \left[ x'(s),\ y'(s) \right] \mathrm{d}s \, $$ जहां s के संबंध में डेरिवेटिव को निरूपित करने के लिए primes पेश किए जाते हैं। इस विस्थापन का परिमाण ds है, जो दर्शाता है कि:
 * $$\left[ x'(s)^2 + y'(s)^2 \right] = 1 \ . $$ (समीकरण 1)

यह विस्थापन आवश्यक रूप से s पर वक्र के लिए एक स्पर्शरेखा है, यह दर्शाता है कि वक्र के लिए इकाई वेक्टर स्पर्शरेखा है: $$\mathbf{u}_\mathrm{t}(s) = \left[ x'(s), \ y'(s) \right], $$ जबकि वक्र के लिए सामान्य बाहरी इकाई वेक्टर है $$\mathbf{u}_\mathrm{n}(s) = \left[ y'(s),\ -x'(s) \right], $$ ऑर्थोगोनलिटी को यह दिखा कर सत्यापित किया जा सकता है कि वेक्टर डॉट उत्पाद शून्य है। इन सदिशों का इकाई परिमाण #Eq का परिणाम है। 1|समान। 1. स्पर्शरेखा सदिश का उपयोग करके, वक्र की स्पर्शरेखा का कोण θ इस प्रकार दिया जाता है: $$\sin \theta = \frac{y'(s)}{\sqrt{x'(s)^2 + y'(s)^2}} = y'(s) \ ;$$ और $$\cos \theta = \frac{x'(s)}{\sqrt{x'(s)^2 + y'(s)^2}} = x'(s) \ .$$ वक्रता की त्रिज्या पूरी तरह से औपचारिक रूप से पेश की जाती है (ज्यामितीय व्याख्या की आवश्यकता के बिना): $$\frac{1}{\rho} = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s}\. $$ θ का व्युत्पन्न उससे sinθ के लिए पाया जा सकता है: $$\frac{\mathrm{d} \sin\theta}{\mathrm{d}s} = \cos \theta \frac {\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s} = \frac{1}{\rho} \cos \theta \ = \frac{1}{\rho} x'(s)\. $$ अब: $$\frac{\mathrm{d} \sin \theta }{\mathrm{d}s} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} \frac{y'(s)}{\sqrt{x'(s)^2 + y'(s)^2}} = \frac{y(s)x'(s)^2-y'(s)x'(s)x(s)} {\left(x'(s)^2 + y'(s)^2\right)^{3/2}}\, $$ जिसमें भाजक एकता है। ज्या के व्युत्पन्न के लिए इस सूत्र के साथ, वक्रता की त्रिज्या बन जाती है: $$\frac {\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s} = \frac{1}{\rho} = y(s)x'(s) - y'(s)x(s) = \frac{y(s)}{x'(s)} = -\frac{x(s)}{y'(s)} \ ,$$ जहाँ रूपों की समानता #Eq के विभेदन से उत्पन्न होती है। 1|समान। 1: $$x'(s)x(s) + y'(s)y(s) = 0 \. $$ इन परिणामों के साथ, त्वरण पाया जा सकता है: $$\begin{align} \mathbf{a}(s) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathbf{v}(s) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} \left( x'(s), \ y'(s) \right) \right] \\ & = \left(\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2}\right)\mathbf{u}_\mathrm{t}(s) + \left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right) ^2 \left(x(s),\ y(s) \right) \\ & = \left(\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2}\right)\mathbf{u}_\mathrm{t}(s) - \left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right) ^2 \frac{1}{\rho} \mathbf{u}_\mathrm{n}(s) \end{align}$$ जैसा कि यूनिट वैक्टर यू के साथ डॉट उत्पाद लेकर सत्यापित किया जा सकता हैt(ओं) और 'यू'n(एस)। त्वरण के लिए यह परिणाम वही है जो त्रिज्या ρ पर आधारित वर्तुल गति के लिए है। जड़त्वीय फ्रेम में इस समन्वय प्रणाली का उपयोग करते हुए, प्रक्षेपवक्र के लिए सामान्य बल को केन्द्रापसारक बल के रूप में और प्रक्षेपवक्र के समानांतर को स्पर्शरेखा बल के रूप में पहचानना आसान है। गुणात्मक दृष्टिकोण से, पथ को एक सीमित समय के लिए एक वृत्त के चाप द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, और सीमित समय के लिए वक्रता का एक विशेष त्रिज्या लागू होता है, केन्द्रापसारक और यूलर बलों का उस त्रिज्या के साथ परिपत्र गति के आधार पर विश्लेषण किया जा सकता है.

त्वरण के लिए यह परिणाम पहले पाए गए परिणाम से सहमत है। हालांकि, इस दृष्टिकोण में, एस के साथ वक्रता के त्रिज्या में परिवर्तन का प्रश्न पूरी तरह से औपचारिक रूप से संभाला जाता है, एक ज्यामितीय व्याख्या के अनुरूप है, लेकिन उस पर निर्भर नहीं है, जिससे किसी भी प्रश्न से बचने के लिए उपरोक्त छवि ρ में भिन्नता की उपेक्षा के बारे में सुझाव दे सकती है।

उदाहरण: वर्तुल गति
उपरोक्त सूत्रों को स्पष्ट करने के लिए, x, y को इस प्रकार दिया जाए:
 * $$x = \alpha \cos \frac{s}{\alpha} \ ; \ y = \alpha \sin\frac{s}{\alpha} \ .$$

तब:
 * $$x^2 + y^2 = \alpha^2 \, $$

जिसे त्रिज्या α के साथ मूल के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ के रूप में पहचाना जा सकता है। स्थिति s = 0 [α, 0], या 3 बजे से मेल खाती है। उपरोक्त औपचारिकता का उपयोग करने के लिए, डेरिवेटिव की आवश्यकता है:


 * $$y^{\prime}(s) = \cos \frac{s}{\alpha} \ ; \ x^{\prime}(s) = -\sin \frac{s}{\alpha} \, $$
 * $$y^{\prime\prime}(s) = -\frac{1}{\alpha}\sin\frac{s}{\alpha} \ ; \ x^{\prime\prime}(s) = -\frac{1}{\alpha}\cos \frac{s}{\alpha} \ . $$

इन परिणामों के साथ, कोई यह सत्यापित कर सकता है कि:
 * $$ x^{\prime}(s)^2 + y^{\prime}(s)^2 = 1 \ ; \ \frac{1}{\rho} = y^{\prime\prime}(s)x^{\prime}(s)-y^{\prime}(s)x^{\prime\prime}(s) = \frac{1}{\alpha} \ . $$

यूनिट वैक्टर भी मिल सकते हैं:
 * $$\mathbf{u}_\mathrm{t}(s) = \left[-\sin\frac{s}{\alpha} \, \ \cos\frac{s}{\alpha} \right] \ ; \ \mathbf{u}_\mathrm{n}(s) = \left[\cos\frac{s}{\alpha} \ , \ \sin\frac{s}{\alpha} \right] \ , $$

जो दर्शाता है कि s = 0 स्थिति [ρ, 0] और s = ρπ/2 [0, ρ] पर स्थित है, जो x और y के लिए मूल भावों से सहमत है। दूसरे शब्दों में, s को वृत्त के चारों ओर 3 बजे से वामावर्त मापा जाता है। इसके अलावा, इन वैक्टरों के डेरिवेटिव पाए जा सकते हैं:
 * $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\mathbf{u}_\mathrm{t}(s) = -\frac{1}{\alpha} \left[\cos\frac{s}{\alpha} \, \ \sin\frac{s}{\alpha} \right] = -\frac{1}{\alpha}\mathbf{u}_\mathrm{n}(s) \ ; $$
 * $$ \ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\mathbf{u}_\mathrm{n}(s) = \frac{1}{\alpha} \left[-\sin\frac{s}{\alpha} \, \ \cos\frac{s}{\alpha} \right] = \frac{1}{\alpha}\mathbf{u}_\mathrm{t}(s) \ . $$

वेग और त्वरण प्राप्त करने के लिए, s के लिए समय-निर्भरता आवश्यक है। परिवर्ती गति v(t) पर वामावर्त गति के लिए:
 * $$s(t) = \int_0^t \ dt^{\prime} \ v(t^{\prime}) \, $$

जहाँ v(t) गति है और t समय है, और s(t = 0) = 0. तब:
 * $$\mathbf{v} = v(t)\mathbf{u}_\mathrm{t}(s) \ ,$$
 * $$\mathbf{a} = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\mathbf{u}_\mathrm{t}(s) + v\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathbf{u}_\mathrm{t}(s) = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\mathbf{u}_\mathrm{t}(s)-v\frac{1}{\alpha}\mathbf{u}_\mathrm{n}(s)\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} $$
 * $$\mathbf{a} = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\mathbf{u}_\mathrm{t}(s)-\frac{v^2}{\alpha}\mathbf{u}_\mathrm{n}(s) \, $$

जहां यह पहले से ही स्थापित है कि α = ρ। यह त्वरण गैर-समान परिपत्र गति के लिए मानक परिणाम है।

यह भी देखें

 * विश्लेषणात्मक यांत्रिकी
 * अनुप्रयुक्त यांत्रिकी
 * बर्ट्रेंड प्रमेय
 * केंद्रीय बल
 * अपकेन्द्रीय बल
 * परिपत्र गति
 * शास्त्रीय यांत्रिकी
 * कॉरिओलिस प्रभाव
 * गतिकी (भौतिकी)
 * एस्किमो यो-यो
 * समय व्युत्पन्न#उदाहरण: वर्तुल गति|उदाहरण: वर्तुल गति
 * बनावटी बल
 * फ्रेनेट-सीरेट सूत्र
 * केन्द्रापसारक और केन्द्रापसारक बलों का इतिहास
 * गतिकी
 * कैनेटीक्स (भौतिकी)
 * प्लानर कण गति के यांत्रिकी
 * ऑर्थोगोनल निर्देशांक
 * प्रतिक्रियाशील केन्द्रापसारक बल
 * स्थिति-विज्ञान

अग्रिम पठन

 * Centripetal force vs. Centrifugal force, from an online Regents Exam physics tutorial by the Oswego City School District
 * Centripetal force vs. Centrifugal force, from an online Regents Exam physics tutorial by the Oswego City School District
 * Centripetal force vs. Centrifugal force, from an online Regents Exam physics tutorial by the Oswego City School District

बाहरी संबंध

 * Notes from Physics and Astronomy HyperPhysics at Georgia State University