मास्टर समीकरण

भौतिकी, रसायन विज्ञान और संबंधित क्षेत्रों में, मास्टर समीकरणों का उपयोग किसी प्रणाली के समय के विकास का वर्णन करने के लिए किया जाता है जिसे किसी भी समय राज्यों के संभाव्यता संयोजन के रूप में तैयार किया जा सकता है और राज्यों के बीच स्विचिंग एक संक्रमण दर मैट्रिक्स द्वारा निर्धारित किया जाता है। समीकरण अलग-अलग समीकरणों का एक सेट है - समय के साथ - उन संभावनाओं का जो सिस्टम प्रत्येक अलग-अलग राज्यों पर कब्जा कर लेता है।

परिचय
एक मास्टर समीकरण प्रथम-क्रम अंतर समीकरणों का एक फेनोमेनोलॉजिकल सेट है जो निरंतर समय चर टी के संबंध में शास्त्रीय यांत्रिकी के असतत सेट (गणित) में से प्रत्येक पर कब्जा करने के लिए (आमतौर पर) समय के विकास की संभावना का वर्णन करता है। मास्टर समीकरण का सबसे परिचित रूप एक मैट्रिक्स रूप है:
 * $$ \frac{d\vec{P}}{dt}=\mathbf{A}\vec{P},$$

कहाँ $$\vec{P}$$ एक कॉलम वेक्टर है, और $$\mathbf{A}$$ कनेक्शन का मैट्रिक्स है। राज्यों के बीच संबंध बनाने का तरीका समस्या के आयाम को निर्धारित करता है; यह या तो है
 * एक डी-आयामी प्रणाली (जहां डी 1,2,3,...) है, जहां कोई भी राज्य अपने 2डी निकटतम पड़ोसियों से जुड़ा हुआ है, या
 * एक नेटवर्क, जहां प्रत्येक जोड़ी राज्यों का कनेक्शन हो सकता है (नेटवर्क की संपत्तियों के आधार पर)।

जब कनेक्शन समय-स्वतंत्र दर स्थिरांक होते हैं, तो मास्टर समीकरण एक गतिज योजना का प्रतिनिधित्व करता है, और प्रक्रिया मार्कोव प्रक्रिया है (राज्य i के लिए कोई भी कूदने का समय संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन एक घातीय है, कनेक्शन के मूल्य के बराबर दर के साथ)। जब कनेक्शन वास्तविक समय पर निर्भर करते हैं (यानी मैट्रिक्स $$\mathbf{A}$$ समय पर निर्भर करता है, $$\mathbf{A}\rightarrow\mathbf{A}(t)$$ ), प्रक्रिया स्थिर नहीं है और मास्टर समीकरण पढ़ता है
 * $$ \frac{d\vec{P}}{dt}=\mathbf{A}(t)\vec{P}.$$

जब कनेक्शन मल्टी एक्सपोनेंशियल कूदने का समय प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शंस का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो प्रक्रिया सेमी मार्कोव प्रक्रिया | सेमी-मार्कोवियन है, और गति का समीकरण एक पूर्णांक-विभेदक समीकरण है जिसे सामान्यीकृत मास्टर समीकरण कहा जाता है:
 * $$ \frac{d\vec{P}}{dt}= \int^t_0 \mathbf{A}(t- \tau )\vec{P}( \tau )d \tau . $$

गणित का सवाल $$\mathbf{A}$$ जन्म-मृत्यु प्रक्रिया का भी प्रतिनिधित्व कर सकता है, जिसका अर्थ है कि संभाव्यता इंजेक्शन (जन्म) या प्रणाली (मृत्यु) से ली गई है, जहां प्रक्रिया संतुलन में नहीं है।

मैट्रिक्स का विस्तृत विवरण और सिस्टम के गुण
होने देना $$\mathbf{A}$$ संक्रमण दर (गतिज दर या प्रतिक्रिया दर के रूप में भी जाना जाता है) का वर्णन करने वाला मैट्रिक्स बनें। हमेशा की तरह, पहला सबस्क्रिप्ट पंक्ति का प्रतिनिधित्व करता है, दूसरा सबस्क्रिप्ट कॉलम का। अर्थात्, स्रोत दूसरे सबस्क्रिप्ट द्वारा और गंतव्य पहले सबस्क्रिप्ट द्वारा दिया जाता है। यह अपेक्षा के विपरीत है, लेकिन यह तकनीकी रूप से सुविधाजनक है।

प्रत्येक राज्य k के लिए, व्यवसाय की संभावना में वृद्धि अन्य सभी राज्यों से k के योगदान पर निर्भर करती है, और इसके द्वारा दी जाती है:


 * $$ \sum_\ell A_{k\ell}P_\ell, $$

कहाँ $$ P_\ell $$ राज्य में सिस्टम होने की संभावना है $$ \ell $$, जबकि मैट्रिक्स (गणित) $$\mathbf{A}$$ ट्रांज़िशन-रेट कॉन्सटेंट (गणित) के ग्रिड से भरा हुआ है। इसी प्रकार, $$P_k$$ अन्य सभी राज्यों के कब्जे में योगदान देता है $$ P_\ell, $$
 * $$ \sum_\ell A_{\ell k}P_k, $$

संभाव्यता सिद्धांत में, यह विकास को निरंतर-समय की मार्कोव प्रक्रिया के रूप में पहचानता है, जिसमें एकीकृत मास्टर समीकरण चैपमैन-कोलमोगोरोव समीकरण का पालन करता है।

मास्टर समीकरण को सरल बनाया जा सकता है ताकि ℓ = k वाले पद योग में प्रकट न हों। यह गणना की अनुमति देता है भले ही का मुख्य विकर्ण $$\mathbf{A}$$ परिभाषित नहीं है या एक मनमाना मान निर्दिष्ट किया गया है।


 * $$ \frac{dP_k}{dt}

=\sum_\ell(A_{k\ell}P_\ell) =\sum_{\ell\neq k}(A_{k\ell}P_\ell) + A_{kk}P_k =\sum_{\ell\neq k}(A_{k\ell}P_\ell - A_{\ell k}P_k). $$ अंतिम समानता इस तथ्य से उत्पन्न होती है कि
 * $$ \sum_{\ell, k}(A_{\ell k}P_k) = \frac{d}{dt} \sum_\ell(P_{\ell}) = 0 $$ क्योंकि संभावनाओं पर योग $$ P_{\ell} $$ पैदावार एक, एक निरंतर कार्य। चूंकि इसे किसी भी संभावना के लिए धारण करना है $$\vec{P}$$ (और विशेष रूप से फॉर्म की किसी भी संभावना के लिए $$ P_{\ell} = \delta_{\ell k}$$ कुछ के लिए) हमें मिलता है
 * $$ \sum_{\ell}(A_{\ell k}) =  0 \qquad \forall k.$$ इसका प्रयोग करके हम विकर्ण तत्वों को इस प्रकार लिख सकते हैं
 * $$ A_{kk} = -\sum_{\ell\neq k}(A_{\ell k}) \Rightarrow A_{kk} P_k = -\sum_{\ell\neq k}(A_{\ell k} P_k) $$.

मास्टर समीकरण विस्तृत संतुलन प्रदर्शित करता है यदि योग की प्रत्येक शर्तें संतुलन पर अलग-अलग गायब हो जाती हैं- यानी यदि, सभी राज्यों के लिए k और ℓ संतुलन संभावनाएँ हैं $$\pi_k$$ और $$\pi_\ell$$,


 * $$A_{k \ell} \pi_\ell = A_{\ell k} \pi_k .$$

इन सममिति संबंधों को ऑनसेगर पारस्परिक संबंधों के रूप में सूक्ष्म गतिकी (सूक्ष्म प्रतिवर्तीता) की समय उत्क्रमणीयता के आधार पर सिद्ध किया गया था।

मास्टर समीकरणों के उदाहरण
शास्त्रीय यांत्रिकी, क्वांटम यांत्रिकी और अन्य विज्ञानों में कई भौतिक समस्याओं को मास्टर समीकरण के रूप में कम किया जा सकता है, जिससे समस्या का एक बड़ा सरलीकरण हो सकता है (गणितीय मॉडल देखें)।

क्वांटम यांत्रिकी में लिंडब्लाड समीकरण एक घनत्व मैट्रिक्स के समय के विकास का वर्णन करने वाले मास्टर समीकरण का सामान्यीकरण है। हालांकि लिंडब्लैड समीकरण को अक्सर एक मास्टर समीकरण के रूप में संदर्भित किया जाता है, यह सामान्य अर्थों में एक नहीं है, क्योंकि यह न केवल संभावनाओं के समय के विकास (घनत्व मैट्रिक्स के विकर्ण तत्व) को नियंत्रित करता है, बल्कि क्वांटम सुसंगतता के बारे में जानकारी वाले चरों को भी नियंत्रित करता है। सिस्टम के राज्यों के बीच (घनत्व मैट्रिक्स के गैर-विकर्ण तत्व)।

मास्टर समीकरण का एक अन्य विशेष मामला फोकर-प्लैंक समीकरण है जो निरंतर संभावना वितरण के समय के विकास का वर्णन करता है। जटिल मास्टर समीकरण जो विश्लेषणात्मक उपचार का विरोध करते हैं, उन्हें सिस्टम आकार विस्तार जैसी सन्निकटन तकनीकों का उपयोग करके इस रूप में (विभिन्न अनुमानों के तहत) डाला जा सकता है।

स्टोचैस्टिक रासायनिक कैनेटीक्स मास्टर समीकरण का एक और उदाहरण है। एक रासायनिक मास्टर समीकरण का उपयोग रासायनिक प्रतिक्रियाओं के एक सेट को मॉडल करने के लिए किया जाता है जब एक या अधिक प्रजातियों के अणुओं की संख्या छोटी होती है (100 या 1000 अणुओं के क्रम में)। रासायनिक मास्टर समीकरण भी बहुत बड़े मॉडल जैसे डीएनए क्षति संकेत, फंगल रोगज़नक़ कैंडिडा अल्बिकन्स के लिए पहली बार हल किए गए हैं।

क्वांटम मास्टर समीकरण
क्वांटम मास्टर समीकरण मास्टर समीकरण के विचार का एक सामान्यीकरण है। संभावनाओं के एक सेट (जो केवल एक घनत्व मैट्रिक्स के विकर्ण तत्वों का गठन करता है) के लिए अंतर समीकरणों की एक प्रणाली के बजाय, क्वांटम मास्टर समीकरण पूरे घनत्व मैट्रिक्स के लिए विभेदक समीकरण हैं, जिसमें ऑफ-डायगोनल तत्व शामिल हैं। एक घनत्व मैट्रिक्स केवल विकर्ण तत्वों के साथ शास्त्रीय यादृच्छिक प्रक्रिया के रूप में तैयार किया जा सकता है, इसलिए इस तरह के एक साधारण मास्टर समीकरण को शास्त्रीय माना जाता है। ऑफ-डायगोनल तत्व क्वांटम सुसंगतता का प्रतिनिधित्व करते हैं जो एक भौतिक विशेषता है जो आंतरिक रूप से क्वांटम मैकेनिकल है।

रेडफ़ील्ड समीकरण और लिंडब्लाड समीकरण लगभग क्वांटम मास्टर समीकरणों के उदाहरण हैं जिन्हें मार्कोव प्रक्रिया माना जाता है। कुछ अनुप्रयोगों के लिए अधिक सटीक क्वांटम मास्टर समीकरणों में ध्रुवीय रूपांतरित क्वांटम मास्टर समीकरण और VPQME (परिवर्तनीय ध्रुवीय परिवर्तित क्वांटम मास्टर समीकरण) शामिल हैं।

मैट्रिक्स और समय विकास के eigenvalues ​​​​के बारे में प्रमेय
क्योंकि $$\mathbf{A}$$ पूरा
 * $$ \sum_{\ell}A_{\ell k} =  0 \qquad \forall k$$

और
 * $$ A_{\ell k} \geq 0 \qquad \forall \ell\neq k,$$ कोई दिखा सकता है वह:


 * कम से कम एक ईजेनवेक्टर गायब होने वाले ईजेनवैल्यू के साथ है, बिल्कुल एक अगर का ग्राफ $$\mathbf{A}$$ मजबूती से जुड़ा हुआ है।
 * अन्य सभी eigenvalues $$ \lambda$$ पूरा $$ 0 > \operatorname{Re} \lambda \geq 2 \operatorname{min}_i A_{ii}$$.
 * सभी ईजेनवेक्टर $$v$$ एक गैर-शून्य eigenvalue पूर्ति के साथ $$ \sum_{i}v_{i} =  0$$.

किसी राज्य के समय के विकास के लिए इसके महत्वपूर्ण परिणाम हैं।

यह भी देखें

 * कोलमोगोरोव समीकरण (मार्कोव कूद प्रक्रिया)
 * सतत-समय मार्कोव प्रक्रिया
 * क्वांटम मास्टर समीकरण
 * फर्मी का सुनहरा नियम
 * विस्तृत संतुलन
 * बोल्ट्जमैन का एच-प्रमेय

बाहरी संबंध

 * Timothy Jones, A Quantum Optics Derivation (2006)