स्थिर चौड़ाई का वक्र

ज्यामिति में, स्थिर चौड़ाई का एक वक्र समतल में एक सरल बंद वक्र होता है जिसकी चौड़ाई (समानांतर सहायक रेखाओं के बीच की दूरी) सभी दिशाओं में समान होती है। निरंतर चौड़ाई के एक वक्र से घिरा आकार निरंतर चौड़ाई या एक कक्षीय पिंड है, इन आकृतियों को यह नाम लियोनहार्ड यूलर द्वारा दिया गया है। मानक उदाहरण हैं वृत्त और रीलॉक्स त्रिभुज। इन वक्रों का निर्माण रेखाओं की व्यवस्था के रेखन पर केंद्रित वृत्ताकार चापों का उपयोग करके भी किया जा सकता है, जैसे कि कुछ वक्रों का समावेश, या आंशिक वक्र पर केंद्रित वृत्तों को काटकर।

निरंतर चौड़ाई का प्रत्येक पिंड एक उत्तल समुच्चय है, इसकी सीमा किसी भी रेखा द्वारा अधिकतम दो बार पार की जाती है, और यदि रेखा लंबवत रूप से पार करती है, तो यह चौड़ाई से अलग दोनों रेखन पर ऐसा करती है। बारबियर के प्रमेय के अनुसार, आकार की परिधि इसकी चौड़ाई का ठीक π गुना है, लेकिन इसका क्षेत्रफल इसके आकार पर निर्भर करता है, रीलॉक्स त्रिकोण के साथ इसकी चौड़ाई के लिए सबसे छोटा संभव क्षेत्र है और सबसे बड़ा वृत्त है। निरंतर चौड़ाई के आकार के प्रत्येक अधिसमुच्चय में बिंदुओं के जोड़े शामिल होते हैं जो चौड़ाई से अलग होते हैं, और निरंतर चौड़ाई के प्रत्येक वक्र में चरम वक्रता के कम से कम छह बिंदु शामिल होते हैं। हालांकि रीलॉक्स त्रिकोण चिकना नहीं है, निरंतर चौड़ाई के वक्र को हमेशा उसी निरंतर चौड़ाई के चिकने वक्र द्वारा मनमाने ढंग से महीनता से अनुमानित किया जा सकता है।

स्थिर-चौड़ाई वाले अनुप्रस्थ काट वाले बेलनाकार(सिलिंडरों) को समतल सतह का समर्थन करने के लिए बेल्लोर्मि(रोलर्स ) के रूप में उपयोग किया जा सकता है। स्थिर चौड़ाई के वक्र का एक अन्य अनुप्रयोग सिक्के के आकार के लिए है, जहां नियमित रीलॉक्स बहुभुज एक आम पसंद हैं। संभावना है कि मंडलियों के अलावा अन्य वक्रों की निरंतर चौड़ाई हो सकती है, जिससे किसी वस्तु की गोलाई की जांच करना अधिक जटिल हो जाता है।

उच्च आयामों और गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के लिए निरंतर चौड़ाई के वक्रों को कई तरह से सामान्यीकृत किया गया है।

परिभाषाएँ
चौड़ाई, और स्थिर चौड़ाई, वक्रों की सहायक रेखाओं के रूप में परिभाषित की जाती हैं; ये वे रेखाएँ हैं जो किसी वक्र को बिना काटे स्पर्श करती हैं।

विमान में प्रत्येक सघन समुच्चय वक्र में किसी भी दिशा में दो सहायक रेखाएँ होती हैं, जिनके बीच वक्र सैंडविच(बीच में रखना) होता है। इन दो रेखाओं के बीच की यूक्लिड के नियमों के अनुरूप दूरी उस दिशा में वक्र की चौड़ाई है, और एक वक्र की निरंतर चौड़ाई होती है यदि यह दूरी रेखाओं की सभी दिशाओं के लिए समान हो। एक बंधे हुए उत्तल समुच्चय की चौड़ाई को उसी तरह से परिभाषित किया जा सकता है जैसे वक्र के लिए, समानांतर रेखाओं के जोड़े के बीच की दूरी जो इसे पार किए बिना समुच्चय को छूती है, और एक उत्तल समुच्चय निरंतर चौड़ाई का एक पिंड होता है जब यह दूरी गैर-शून्य होती है और रेखाओं की दिशा पर निर्भर नहीं करता है। निरंतर चौड़ाई के प्रत्येक आकार की सीमा के रूप में निरंतर चौड़ाई का एक वक्र होता है, और निरंतर चौड़ाई के प्रत्येक वक्र की उत्तल पतवार के रूप में निरंतर चौड़ाई का आकार होता है।

एक सघन वक्र या उत्तल समुच्चय की चौड़ाई को परिभाषित करने का एक अन्य समकक्ष तरीका एक रेखा पर इसके आयतीय प्रक्षेपण को देखकर है। दोनों ही मामलों में, प्रक्षेपण एक रेखा खंड है, जिसकी लंबाई समर्थन रेखाओं के बीच की दूरी के बराबर होती है जो रेखा के लंबवत होती हैं। इसलिए, एक वक्र या एक उत्तल समुच्चय की चौड़ाई स्थिर होती है जब इसके सभी आयतीय अनुमानों की लंबाई समान होती है।

उदाहरण
वृत्तों की चौड़ाई उनके व्यास के बराबर होती है। दूसरी ओर, वर्ग ऐसा नहीं करते हैं: वर्ग के दो विपरीत पक्षों के समानांतर सहायक रेखाएँ एक विकर्ण के समानांतर सहायक रेखाओं की तुलना में एक साथ निकट होती हैं। अधिक सामान्यतः, किसी भी बहुभुज की चौड़ाई स्थिर नहीं हो सकती है। हालांकि, स्थिर चौड़ाई के अन्य आकार भी हैं। एक मानक उदाहरण रीलॉक्स त्रिकोण है, तीन वृत्तों का प्रतिच्छेदन, प्रत्येक उस स्थान पर केन्द्रित होता है जहाँ अन्य दो वृत्त मिलते हैं। इसकी सीमा वक्र में इन वृत्तों के तीन चाप होते हैं, जो 120° कोणों पर मिलते हैं, इसलिए यह वक्र और सतह चिकनी नहीं है, और वास्तव में ये कोण निरंतर चौड़ाई के किसी भी वक्र के लिए सबसे तेज संभव हैं। स्थिर चौड़ाई के अन्य वक्र चिकने लेकिन गैर-वृत्ताकार हो सकते हैं, यहाँ तक कि उनकी सीमा में कोई गोलाकार चाप भी नहीं है।

उदाहरण के लिए, नीचे बहुपद का शून्य समुच्चय निरंतर चौड़ाई का एक गैर-परिपत्र चिकनी बीजगणितीय वक्र बनाता है:
 * $$\begin{align}

f(x,y)={}&(x^2 + y^2)^4 - 45(x^2 + y^2)^3 - 41283(x^2 + y^2)^2\\ & + 7950960(x^2 + y^2) + 16(x^2 - 3y^2)^3 +48(x^2 + y^2)(x^2 - 3y^2)^2\\ &+ x(x^2 - 3y^2)\left(16(x^2 + y^2)^2 - 5544(x^2 + y^2) + 266382\right) - 720^3. \end{align}$$ इसकी घात, आठ, एक बहुपद के लिए न्यूनतम संभव घात है जो निरंतर चौड़ाई के गैर-वृत्ताकार वक्र को परिभाषित करता है।

निर्माण
भुजाओं की विषम संख्या वाला प्रत्येक नियमित बहुभुज निरंतर चौड़ाई के एक वक्र को जन्म देता है, एक रीलॉक्स बहुभुज, जो इसके शीर्षों पर केन्द्रित वृत्ताकार चापों से बनता है जो केंद्र से सबसे दूर के दो शीर्षों से होकर गुजरता है। उदाहरण के लिए, यह निर्माण एक समबाहु त्रिभुज से एक रीलॉक्स त्रिभुज उत्पन्न करता है। कुछ अनियमित बहुभुज रीलॉक्स बहुभुज भी उत्पन्न करते हैं। मार्टिन गार्डनर द्वारा प्रतिच्छेदी-रेखीय विधि कहे जाने वाले निकट संबंधित निर्माण में, समतल में रेखाओं की व्यवस्था (कोई दो समानांतर नहीं बल्कि अन्यथा मनमाने ढंग से) को रेखाओं के ढलानों द्वारा चक्रीय क्रम में क्रमबद्ध किया जाता है। फिर रेखाएं वृत्ताकार चापों के अनुक्रम से बने वक्र द्वारा जुड़ी होती हैं; प्रत्येक चाप क्रमबद्ध क्रम में दो लगातार रेखाओं को जोड़ता है, और उनके रेखन पर केंद्रित होता है। पहले चाप की त्रिज्या को इतना बड़ा चुना जाना चाहिए कि सभी क्रमिक चाप अगले रेखन बिंदु के दाईं ओर समाप्त हो जाएं; हालाँकि, सभी पर्याप्त-बड़ी त्रिज्याएँ काम करती हैं। दो पंक्तियों के लिए, यह एक वृत्त बनाता है; एक समबाहु त्रिभुज की भुजाओं पर तीन रेखाओं के लिए, न्यूनतम संभव त्रिज्या के साथ, यह एक रीलॉक्स त्रिभुज बनाता है, और एक नियमित तारा बहुभुज की रेखाओं के लिए यह एक रीलॉक्स बहुभुज बना सकता है। लियोनहार्ड यूलर ने पुच्छल विलक्षणताओं की एक विषम संख्या वाले वक्रों के समावेशन से निरंतर चौड़ाई के वक्र का निर्माण किया, जिसमें प्रत्येक दिशा में केवल एक स्पर्श रेखा होती है (अर्थात, समतल वक्र (ज्यामिति))। अंतर्वलित निर्माण का वर्णन करने का एक सहज तरीका इस तरह के वक्र के चारों ओर एक रेखा खंड को रोल करना है, जब तक कि यह स्पर्शरेखा के अपने शुरुआती बिंदु पर वापस नहीं आ जाता है, तब तक इसे बिना खिसकाए वक्र के स्पर्शरेखा पर रखें। रेखा खंड इतना लंबा होना चाहिए कि वह वक्र के पुच्छल बिंदुओं तक पहुंच सके, ताकि वह वक्र के अगले भाग में प्रत्येक पुच्छल को पार कर सके, और इसकी प्रारंभिक स्थिति को सावधानी से चुना जाना चाहिए ताकि दोलन प्रक्रिया के अंत में यह यह उसी स्थिति में है जिससे यह शुरू हुआ था। जब ऐसा होता है, तो रेखा खंड के अंत बिंदुओं द्वारा पता लगाया गया वक्र एक अंतर्वलित होता है जो दिए गए वक्र को बिना पार किए, रेखा खंड की लंबाई के बराबर निरंतर चौड़ाई के साथ घेरता है। यदि शुरुआती वक्र चिकना है (नोक को छोड़कर), निरंतर चौड़ाई का परिणामी वक्र भी चिकना होगा। इस निर्माण के लिए सही गुणों के साथ एक शुरुआती वक्र का एक उदाहरण त्रिभुजाकार वक्र है, और त्रिभुजाकार के प्रतिकेंद्रज जो इसे घेरते हैं, निरंतर चौड़ाई के चिकने वक्र बनाते हैं, जिसमें कोई गोलाकार चाप नहीं होता है।

एक और निर्माण कुछ आवश्यकताओं को पूरा करते हुए, स्थिर चौड़ाई के वक्र का आधा हिस्सा चुनता है, और इसकी सीमा के हिस्से के रूप में दिए गए वक्र वाले निरंतर चौड़ाई का एक आकार बनाता है। निर्माण एक उत्तल घुमावदार चाप से शुरू होता है, जिसका अंतिम बिंदु इच्छित चौड़ाई $$w$$ है । दो समापन बिंदुओं को एक दूसरे से $$w$$ की दूरी पर समानांतर सहायक रेखाओं को छूना चाहिए । इसके अतिरिक्त, प्रत्येक सहायक रेखा जो चाप के दूसरे बिंदु को स्पर्श करती है, उस बिंदु पर त्रिज्या $$w$$ के एक वृत्त पर स्पर्शरेखा होनी चाहिए, जिसमें संपूर्ण चाप शामिल हो। यह आवश्यकता चाप की वक्रता को वृत्त की वक्रता से कम होने से रोकती है। निरंतर चौड़ाई का पूरा आकार दो प्रकार के मंडलियों के अनंत परिवार के अंदरूनी हिस्सों का प्रतिच्छेदन है: जो सहायक रेखाओं के स्पर्शक हैं, और दिए गए चाप के प्रत्येक बिंदु पर केंद्रित एक ही त्रिज्या के अधिक वृत्त हैं। यह रचना सार्वभौम है: स्थिर चौड़ाई के सभी वक्रों का निर्माण इस प्रकार किया जा सकता है। 19वीं सदी के एक फ्रांसीसी गणितज्ञ विक्टर पुइसेक्स ने दीर्घवृत्तीय चापों वाली स्थिर चौड़ाई वाले वक्रों की खोज की जिसका निर्माण अर्ध-दीर्घवृत्त से इस प्रकार किया जा सकता है। वक्रता की स्थिति को पूरा करने के लिए, अर्ध-दीर्घवृत्त को अर्ध-प्रमुख और अर्ध-लघु अक्ष से घिरा होना चाहिए | इसके दीर्घवृत्त के अर्ध-प्रमुख अक्ष, और दीर्घवृत्त में अधिक से अधिक उत्केन्द्रता (गणित) होनी चाहिए $$\tfrac{1}{2}\sqrt{3}$$. समतुल्य रूप से, अर्ध-प्रमुख अक्ष अर्ध-लघु अक्ष से अधिक से अधिक दो बार होना चाहिए।

निरंतर चौड़ाई के किन्हीं दो पिंडों को देखते हुए, उनका मिन्कोव्स्की योग निरंतर चौड़ाई का एक और पिंड बनाता है। समतल वक्रों के समर्थन कार्यों के योग के लिए मिन्कोव्स्की योगों का एक सामान्यीकरण प्रक्षेपी समतल वक्र और एक वृत्त के योग से निरंतर चौड़ाई का एक वक्र उत्पन्न करता है, जब भी परिणाम एक उत्तल वक्र होता है। निरंतर चौड़ाई के सभी वक्र इस तरह समतल वक्रों के योग में विघटित हो सकते हैं।

गुण
निरंतर चौड़ाई का एक वक्र अपनी चौड़ाई से अलग की गई दो समानांतर रेखाओं के बीच घूम सकता है, जबकि हर समय उन रेखाओं को छूता है, जो घुमाए गए वक्र के लिए सहायक रेखाओं के रूप में कार्य करती हैं। उसी तरह, निरंतर चौड़ाई का एक वक्र एक समचतुर्भुज या वर्ग के भीतर घूम सकता है, जिसके विपरीत भुजाओं के जोड़े चौड़ाई से अलग हो जाते हैं और समानांतर समर्थन रेखाओं पर स्थित होते हैं। निरंतर चौड़ाई का प्रत्येक वक्र एक नियमित षट्भुज के भीतर उसी तरह नहीं घूम सकता है, क्योंकि इसकी सहायक रेखाएँ हमेशा एक नियमित बनाने के बजाय अलग-अलग घुमावों के लिए अलग-अलग अनियमित षट्भुज बना सकती हैं। हालांकि, निरंतर चौड़ाई के प्रत्येक वक्र को समांतर सहायक रेखाओं पर विपरीत पक्षों के साथ कम से कम एक नियमित षट्भुज द्वारा घेरा जा सकता है। एक वक्र की चौड़ाई स्थिर होती है यदि और केवल यदि समानांतर सहायक रेखाओं के प्रत्येक जोड़े के लिए, यह उन दो रेखाओं को उन बिंदुओं पर स्पर्श करता है जिनकी दूरी रेखाओं के बीच की दूरी के बराबर होती है। विशेष रूप से, इसका तात्पर्य यह है कि यह केवल एक बिंदु पर प्रत्येक सहायक रेखा को स्पर्श कर सकता है। समतुल्य रूप से, वक्र को लंबवत रूप से पार करने वाली प्रत्येक रेखा इसे चौड़ाई के बराबर दूरी के दो बिंदुओं पर पार करती है। इसलिए, निरंतर चौड़ाई का वक्र उत्तल होना चाहिए, क्योंकि प्रत्येक गैर-उत्तल सरल बंद वक्र में एक सहायक रेखा होती है जो इसे दो या अधिक बिंदुओं पर स्पर्श करती है। निरंतर चौड़ाई के वक्र स्व-समानांतर या स्वत:-समानांतर वक्रों के उदाहरण हैं, एक रेखा खंड के दोनों समापन बिंदुओं द्वारा खोजे गए वक्र जो इस तरह से चलते हैं कि दोनों समापन बिंदु रेखा खंड के लंबवत चलते हैं। हालाँकि, अन्य स्व-समानांतर वक्र मौजूद हैं, जैसे कि एक वृत्त के समावेशन द्वारा गठित अनंत कुंडलित, जिसमें निरंतर चौड़ाई नहीं होती है।

बारबियर के प्रमेय का दावा है कि निरंतर चौड़ाई के किसी भी वक्र की परिधि $$\pi$$ द्वारा गुणा की गई चौड़ाई के बराबर है। एक विशेष मामले के रूप में, यह सूत्र मानक सूत्र के अनुरूप है $$\pi d$$ एक वृत्त की परिधि के लिए उसका व्यास दिया गया है। समपरिमितीय असमानता और बारबियर के प्रमेय के अनुसार, दी गई स्थिर चौड़ाई के किसी भी वक्र का अधिकतम क्षेत्रफल वृत्त में होता है। ब्लास्चके-लेबेस्गुए प्रमेय का कहना है कि रूलॉक्स त्रिकोण में दी गई निरंतर चौड़ाई के किसी भी उत्तल वक्र का सबसे कम क्षेत्रफल है। निरंतर चौड़ाई के आकार के प्रत्येक उचित अधिसमुच्चय में सख्ती से अधिक व्यास होता है, और इस संपत्ति के साथ प्रत्येक यूक्लिडियन समुच्चय निरंतर चौड़ाई का आकार होता है। विशेष रूप से, यह संभव नहीं है कि स्थिर चौड़ाई का एक पिंड समान स्थिर चौड़ाई वाले किसी भिन्न पिंड का उपसमुच्चय हो। निरंतर चौड़ाई के प्रत्येक वक्र को मनमाने ढंग से सटीकता से एक टुकड़ावार परिपत्र वक्र या उसी स्थिर चौड़ाई के विश्लेषणात्मक वक्र द्वारा अनुमानित किया जा सकता है।

एक चिकने वक्र का एक शीर्ष वह बिंदु होता है जहाँ इसकी वक्रता एक स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम होती है; एक वृत्ताकार चाप के लिए, सभी बिंदु शीर्ष होते हैं, लेकिन गैर-परिपत्र वक्रों में शीर्षों का परिमित पृथक समुच्चय हो सकता है। एक ऐसे वक्र के लिए जो चिकना नहीं है, जिन बिंदुओं पर यह चिकना नहीं है, उन्हें अनंत वक्रता के शीर्षों के रूप में भी माना जा सकता है। निरंतर चौड़ाई की वक्र के लिए, स्थानीय रूप से न्यूनतम वक्रता के प्रत्येक शीर्ष को वक्र के व्यास पर इसके विपरीत स्थानीय रूप से अधिकतम वक्रता के शीर्ष के साथ जोड़ा जाता है, और कम से कम छह कोने होने चाहिए। यह चार-शिखर प्रमेय के विपरीत है,जिसके अनुसार समतल में प्रत्येक सरल बंद चिकने वक्र में कम से कम चार शीर्ष होते हैं। कुछ वक्र, जैसे दीर्घवृत्त, में ठीक चार शीर्ष होते हैं, लेकिन स्थिर चौड़ाई वाले वक्र के लिए यह संभव नहीं है। क्योंकि स्थानीय निम्नतम वक्रता स्थानीय उच्चिष्ठ के विपरीत होती है, केंद्रीय समरूपता के साथ निरंतर चौड़ाई के एकमात्र वक्र वृत्त होते हैं, जिसके लिए वक्रता सभी बिंदुओं पर समान होती है। निरंतर चौड़ाई के प्रत्येक वक्र के लिए, वक्र की सबसे छोटी-वृत्त समस्या और इसमें शामिल सबसे बड़ा वृत्त संकेंद्रित होते हैं, और उनके व्यास का औसत वक्र की चौड़ाई है। ये दो वृत्त एक साथ विपरीत बिंदुओं के कम से कम तीन युग्मों में वक्र को स्पर्श करते हैं, लेकिन ये बिंदु आवश्यक रूप से शीर्ष नहीं हैं।

एक उत्तल पिंड की निरंतर चौड़ाई, यदि और केवल यदि पिंड का मिंकोव्स्की योग और इसका 180° घूर्णन एक गोलाकार चक्र है; यदि हां, तो मुख्य भाग की चौड़ाई चक्र की त्रिज्या है।

अनुप्रयोग
समानांतर रेखाओं के बीच घुमाने के लिए निरंतर चौड़ाई के वक्रों की क्षमता के कारण, अनुप्रस्थ काट के रूप में निरंतर चौड़ाई के वक्र वाला कोई भी बेलनाकार एक "बेल्लोर्मि" के रूप में कार्य कर सकता है| बेल्लोर्मि, एक स्तर के विमान का समर्थन करता है और इसे समतल रखता है क्योंकि यह किसी भी स्तर की सतह पर लुढ़कता है। हालांकि, बेल्लोर्मि का केंद्र रोल करते समय ऊपर और नीचे चलता रहता है, इसलिए यह निर्माण निश्चित धुरी से जुड़े इस आकार के पहियों के लिए काम नहीं करेगा। कुछ सिक्के नुमा आकार निरंतर चौड़ाई के गैर-वृत्ताकार निकाय हैं। उदाहरण के लिए, ब्रिटिश ब्रिटिश सिक्का बीस पैसा और ब्रिटिश सिक्का पचास पैसा  के सिक्के रीलॉक्स सप्तभुज हैं, और कनाडाई लूनी (कनाडाई एक डॉलर का सिक्का) एक रीलॉक्स 11-भुज  है। मशीन में सिक्के के उन्मुखीकरण की परवाह किए बिना, ये आकृतियाँ स्वचालित सिक्का मशीनों को इन सिक्कों को उनकी चौड़ाई से पहचानने की अनुमति देती हैं। दूसरी ओर, चौड़ाई का परीक्षण गोलाई (ऑब्जेक्ट) को निर्धारित करने के लिए अपर्याप्त है, क्योंकि ऐसे परीक्षण हलकों को स्थिर चौड़ाई के अन्य वक्रों से अलग नहीं कर सकते हैं। इस तथ्य की अनदेखी ने अन्तरिक्ष यान टोकयंत्र आपदा में एक भूमिका निभाई हो सकती है, क्योंकि उस प्रक्षेपण में  प्रक्षेपात्र(रॉकेट) के वर्गों की गोलाई का परीक्षण केवल चौड़ाई को मापने के द्वारा किया गया था, और अर्ध गोलाकार आकार असामान्य रूप से उच्च तनाव पैदा कर सकता है जो कि आपदा पैदा करने वाला एक कारक  हो सकता था।

सामान्यीकरण
निरंतर चौड़ाई के वक्रों को कुछ गैर-उत्तल वक्रों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, वक्र जिनमें प्रत्येक दिशा में दो स्पर्श रेखाएँ होती हैं, इन दो रेखाओं के बीच समान अलगाव के साथ उनकी दिशा की परवाह किए बिना। एक सीमित मामले के रूप में, समतल वक्र (प्रत्येक दिशा में एक स्पर्शरेखा वाली वक्र) को शून्य चौड़ाई का वक्र भी कहा जाता है।

इन अवधारणाओं को तीन आयामों में सामान्यीकृत करने का एक तरीका निरंतर चौड़ाई की सतह के माध्यम से है। रीलॉक्स त्रिकोण के त्रि-आयामी, रीलॉक्स चतुष्फलक में निरंतर चौड़ाई नहीं होती है, लेकिन इसमें मामूली परिवर्तन मीस्नर निकायों का उत्पादन करते हैं, जो करते हैं। निरंतर चौड़ाई के वक्रों को भी निरंतर चमक, त्रि-आयामी आकृतियों के आकार के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है जिनके द्वि-आयामी अनुमानों में सभी समान क्षेत्र होते हैं; ये आकृतियाँ बारबियर प्रमेय के सामान्यीकरण का पालन करती हैं। त्रि-आयामी सामान्यीकरण का एक अलग वर्ग, निरंतर चौड़ाई के अंतरिक्ष वक्र, गुणों द्वारा परिभाषित किया गया है कि प्रत्येक विमान जो वक्र को लंबवत रूप से पार करता है, उसे ठीक एक अन्य बिंदु पर काटता है, जहां यह लंबवत भी है, और यह कि बिंदुओं के सभी जोड़े प्रतिच्छेद करते हैं लम्बवत विमानों द्वारा अलग-अलग दूरी पर हैं।

गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति में निरंतर चौड़ाई के वक्र और पिंडों का भी अध्ययन किया गया है और गैर-यूक्लिडियन आदर्श सदिश अंतरिक्ष के लिए।

यह भी देखें

 * औसत चौड़ाई, किसी वक्र की चौड़ाई सभी संभव दिशाओं में औसत होती है
 * ज़िंडलर वक्र, एक वक्र जिसमें सभी परिधि-द्विभाजित जीवाओं की लंबाई समान होती है

बाहरी संबंध

 * Interactive Applet by Michael Borcherds showing an irregular shape of constant width (that you can change) made using GeoGebra.
 * Shapes of constant width at cut-the-knot
 * Shapes of constant width at cut-the-knot
 * Shapes of constant width at cut-the-knot