प्रमात्रा क्षेत्र सिद्धान्त

सैद्धांतिक भौतिकी में, क्वांटम फील्ड थ्योरी (क्यूएफटी) एक सैद्धांतिक ढांचा है जो शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत, विशेष सापेक्षता और क्वांटम यांत्रिकी को जोड़ती है।  QFT का उपयोग  कण भौतिकी  में उप-परमाणु कणों के  भौतिक मॉडल  के निर्माण के लिए और  संघनित पदार्थ भौतिकी  में अर्ध-कणों के मॉडल के निर्माण के लिए किया जाता है।

क्यूएफटी कणों को उनके अंतर्निहित क्वांटम क्षेत्र (भौतिकी)  के उत्तेजित अवस्थाओं (जिसे क्वांटम भी कहा जाता है) के रूप में मानता है, जो कणों की तुलना में अधिक मौलिक हैं। कणों के बीच की बातचीत का वर्णन लैग्रेंजियन (क्षेत्र सिद्धांत) में उनके संबंधित क्वांटम क्षेत्रों को शामिल करते हुए अंतःक्रियात्मक शब्दों द्वारा किया जाता है।  गड़बड़ी सिद्धांत (क्वांटम यांत्रिकी)  के अनुसार प्रत्येक बातचीत को  फेनमैन आरेख ों द्वारा नेत्रहीन रूप से दर्शाया जा सकता है।

इतिहास
क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत सैद्धांतिक भौतिकविदों की पीढ़ियों के काम से उभरा जो 20वीं शताब्दी के अधिकांश समय में फैला था। इसका विकास 1920 के दशक में प्रकाश और इलेक्ट्रॉनों  के बीच बातचीत के विवरण के साथ शुरू हुआ, जिसका समापन पहले क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत-क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स में हुआ। एक प्रमुख सैद्धांतिक बाधा जल्द ही परेशान गणनाओं में विभिन्न अनंत की उपस्थिति और दृढ़ता के साथ पीछा किया, एक समस्या केवल 1 9 50 के दशक में पुनर्मूल्यांकन प्रक्रिया के आविष्कार के साथ हल हो गई। एक दूसरी बड़ी बाधा क्यूएफटी की कमजोर अंतःक्रिया और मजबूत अंतःक्रियाओं का वर्णन करने में स्पष्ट अक्षमता के साथ आई, जहां कुछ सिद्धांतकारों ने क्षेत्र सैद्धांतिक दृष्टिकोण को छोड़ने का आह्वान किया।  गेज सिद्धांत  के विकास और 1970 के दशक में मानक मॉडल के पूरा होने से क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत का पुनर्जागरण हुआ।

सैद्धांतिक पृष्ठभूमि
क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत, क्वांटम यांत्रिकी और विशेष सापेक्षता के संयोजन से उत्पन्न होता है। इन सैद्धांतिक अग्रदूतों का संक्षिप्त विवरण इस प्रकार है।

सबसे पहला सफल शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत वह है जो न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम से उभरा, उनके 1687 के ग्रंथ फिलोसोफी नेचुरलिस प्रिंसिपिया मैथमैटिका से क्षेत्रों की अवधारणा की पूर्ण अनुपस्थिति के बावजूद। न्यूटन द्वारा वर्णित गुरुत्वाकर्षण बल एक दूरी पर एक क्रिया है - दूर की वस्तुओं पर इसका प्रभाव तात्कालिक होता है, चाहे दूरी कोई भी हो। रिचर्ड बेंटले के साथ पत्रों के आदान-प्रदान में, हालांकि, न्यूटन ने कहा कि यह अकल्पनीय है कि निर्जीव पाशविक पदार्थ, किसी अन्य चीज की मध्यस्थता के बिना, जो कि भौतिक नहीं है, परस्पर संपर्क के बिना अन्य मामले को संचालित और प्रभावित करना चाहिए। यह 18वीं शताब्दी तक नहीं था जब गणितीय भौतिकविदों ने क्षेत्रों के आधार पर गुरुत्वाकर्षण का एक सुविधाजनक विवरण खोजा था - एक संख्यात्मक मात्रा ( गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र  के मामले में एक वेक्टर (गणित और भौतिकी) अंतरिक्ष में हर बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण की क्रिया को इंगित करता है। उस बिंदु पर कोई कण। हालाँकि, इसे केवल एक गणितीय चाल माना जाता था। 19वीं शताब्दी में विद्युत  चुंबकत्व के विकास के साथ क्षेत्रों ने अपना अस्तित्व ग्रहण करना शुरू कर दिया।  माइकल फैराडे  ने 1845 में अंग्रेजी शब्द फ़ील्ड गढ़ा। उन्होंने भौतिक प्रभावों वाले क्षेत्रों को अंतरिक्ष के गुणों के रूप में पेश किया (भले ही यह पदार्थ से रहित हो)। उन्होंने दूरी पर कार्रवाई के खिलाफ तर्क दिया, और प्रस्तावित किया कि वस्तुओं के बीच बातचीत बल की अंतरिक्ष-भरने वाली रेखाओं के माध्यम से होती है। खेतों का यह विवरण आज तक बना हुआ है। शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व का सिद्धांत 1864 में मैक्सवेल के समीकरणों के साथ पूरा हुआ, जिसमें  विद्युत क्षेत्र,  चुंबकीय क्षेत्र ,  विद्युत प्रवाह  और विद्युत  आवेश  के बीच संबंध का वर्णन किया गया था। मैक्सवेल के समीकरणों ने विद्युत चुम्बकीय तरंगों के अस्तित्व को निहित किया, एक ऐसी घटना जिससे विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र एक स्थानिक बिंदु से दूसरे स्थान पर एक सीमित गति से फैलते हैं, जो प्रकाश की गति के रूप में सामने आता है। इस प्रकार कार्रवाई-पर-दूरी का निर्णायक रूप से खंडन किया गया। शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व की भारी सफलता के बावजूद, यह उत्सर्जन स्पेक्ट्रम में असतत रेखाओं के लिए और न ही विभिन्न तरंग दैर्ध्य में ब्लैकबॉडी विकिरण के वितरण के लिए जिम्मेदार नहीं था। मैक्स प्लैंक  के ब्लैकबॉडी विकिरण के अध्ययन ने क्वांटम यांत्रिकी की शुरुआत को चिह्नित किया। उन्होंने परमाणुओं का इलाज किया, जो  विद्युत चुम्बकीय विकिरण  को अवशोषित और उत्सर्जित करते हैं, महत्वपूर्ण संपत्ति के साथ छोटे  थरथरानवाला  के रूप में उनकी ऊर्जा निरंतर, मूल्यों के बजाय असतत की एक श्रृंखला पर ही ले सकती है। इन्हें क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर्स के रूप में जाना जाता है। ऊर्जा को असतत मूल्यों तक सीमित करने की इस प्रक्रिया को परिमाणीकरण कहा जाता है।  इस विचार पर निर्माण करते हुए,  अल्बर्ट आइंस्टीन  ने 1905 में  प्रकाश विद्युत प्रभाव  के लिए एक स्पष्टीकरण का प्रस्ताव दिया, कि प्रकाश ऊर्जा के अलग-अलग पैकेटों से बना होता है जिन्हें फोटॉन (प्रकाश का क्वांटा) कहा जाता है। इसका तात्पर्य यह था कि विद्युत चुम्बकीय विकिरण, शास्त्रीय विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में तरंगें होते हुए भी कणों के रूप में मौजूद होते हैं।

1913 में, नील्स बोहरो  ने परमाणु संरचना का बोह्र मॉडल पेश किया, जिसमें परमाणुओं के भीतर के इलेक्ट्रॉन निरंतर ऊर्जा के बजाय असतत की एक श्रृंखला को ही ले सकते हैं। यह परिमाणीकरण का एक और उदाहरण है।  बोहर मॉडल  ने परमाणु वर्णक्रमीय रेखाओं की असतत प्रकृति की सफलतापूर्वक व्याख्या की। 1924 में,  लुई डी ब्रोगली  ने तरंग-कण द्वैत की परिकल्पना का प्रस्ताव रखा, कि सूक्ष्म कण विभिन्न परिस्थितियों में तरंग-समान और कण-समान गुणों का प्रदर्शन करते हैं। इन बिखरे हुए विचारों को एकजुट करते हुए, एक सुसंगत अनुशासन, क्वांटम यांत्रिकी, 1925 और 1926 के बीच तैयार किया गया था, जिसमें मैक्स प्लैंक, लुइस डी ब्रोगली, वर्नर हाइजेनबर्ग,  मैक्स बोर्न, इरविन श्रोडिंगर,  पॉल डिराका  और वोल्फगैंग पॉली के महत्वपूर्ण योगदान थे। उसी वर्ष फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव पर अपने पेपर के रूप में, आइंस्टीन ने मैक्सवेल के विद्युत चुंबकत्व पर निर्मित विशेष सापेक्षता के अपने सिद्धांत को प्रकाशित किया। लोरेंत्ज़ रूपांतरण नामक नए नियम, पर्यवेक्षक के वेग में परिवर्तन के तहत एक घटना परिवर्तन के समय और स्थान निर्देशांक के लिए दिए गए थे, और समय और स्थान के बीच का अंतर धुंधला हो गया था। यह प्रस्तावित किया गया था कि विभिन्न वेगों पर पर्यवेक्षकों के लिए सभी भौतिक कानून समान होने चाहिए, अर्थात लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के तहत भौतिक कानून अपरिवर्तनीय हों।

दो मुश्किलें रह गईं। अवलोकन के अनुसार, क्वांटम यांत्रिकी अंतर्निहित श्रोडिंगर समीकरण परमाणुओं से विकिरण के उत्तेजित उत्सर्जन की व्याख्या कर सकता है, जहां एक इलेक्ट्रॉन बाहरी विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की कार्रवाई के तहत एक नया फोटॉन उत्सर्जित करता है, लेकिन यह सहज उत्सर्जन की व्याख्या करने में असमर्थ था, जहां एक इलेक्ट्रॉन ऊर्जा में अनायास घट जाता है। और बाहरी विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की कार्रवाई के बिना भी एक फोटॉन उत्सर्जित करता है। सैद्धांतिक रूप से, श्रोडिंगर समीकरण फोटॉन का वर्णन नहीं कर सका और विशेष सापेक्षता के सिद्धांतों के साथ असंगत था-यह रैखिक ऑपरेटर ों के लिए स्थानिक निर्देशांक को बढ़ावा देते हुए समय को एक सामान्य संख्या के रूप में मानता है।

क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स
क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत स्वाभाविक रूप से विद्युत चुम्बकीय अंतःक्रियाओं के अध्ययन के साथ शुरू हुआ, क्योंकि विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र 1920 के दशक तक एकमात्र ज्ञात शास्त्रीय क्षेत्र था। 1925-1926 में बॉर्न, हाइजेनबर्ग और पास्कल जॉर्डन  के कार्यों के माध्यम से, मुक्त विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का एक क्वांटम सिद्धांत (जिसका पदार्थ के साथ कोई अंतःक्रिया नहीं है) विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र को क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर्स के एक सेट के रूप में मानकर  विहित परिमाणीकरण  के माध्यम से विकसित किया गया था। बातचीत के बहिष्करण के साथ, हालांकि, ऐसा सिद्धांत अभी तक वास्तविक दुनिया के बारे में मात्रात्मक भविष्यवाणियां करने में असमर्थ था। अपने मौलिक 1927 के पेपर में विकिरण के उत्सर्जन और अवशोषण का क्वांटम सिद्धांत, डिराक ने क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स (QED) शब्द गढ़ा, एक सिद्धांत जो मुक्त विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का वर्णन करने वाले शब्दों को विद्युत प्रवाह घनत्व और विद्युत चुम्बकीय चार के बीच एक अतिरिक्त अंतःक्रियात्मक शब्द जोड़ता है। -संभावना। प्रथम-क्रम गड़बड़ी सिद्धांत (क्वांटम यांत्रिकी) का उपयोग करते हुए, उन्होंने सहज उत्सर्जन की घटना को सफलतापूर्वक समझाया। क्वांटम यांत्रिकी में अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार, क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर स्थिर नहीं रह सकते हैं, लेकिन उनके पास एक गैर-शून्य न्यूनतम ऊर्जा होती है और उन्हें हमेशा सबसे कम ऊर्जा अवस्था (जमीन की स्थिति) में भी दोलन करना चाहिए। इसलिए, एक पूर्ण निर्वात में भी, शून्य-बिंदु ऊर्जा वाला एक दोलनशील विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र बना रहता है। यह निर्वात में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों का यह क्वांटम उतार-चढ़ाव है जो परमाणुओं में इलेक्ट्रॉनों द्वारा विकिरण के सहज उत्सर्जन को उत्तेजित करता है। डिराक का सिद्धांत परमाणुओं द्वारा विकिरण के उत्सर्जन और अवशोषण दोनों को समझाने में बेहद सफल रहा; दूसरे क्रम के गड़बड़ी सिद्धांत को लागू करके, यह फोटॉनों के प्रकीर्णन, अनुनाद प्रतिदीप्ति और गैर-सापेक्ष कॉम्पटन प्रकीर्णन के लिए जिम्मेदार था। बहरहाल, उच्च-क्रम गड़बड़ी सिद्धांत का अनुप्रयोग गणनाओं में समस्याग्रस्त अनन्तताओं से ग्रस्त था। 1928 में, डिराक ने एक तरंग समीकरण लिखा जिसमें सापेक्षतावादी इलेक्ट्रॉनों का वर्णन किया गया था - डायराक समीकरण। इसके निम्नलिखित महत्वपूर्ण परिणाम हुए: एक इलेक्ट्रॉन का चक्कर (भौतिकी) 1/2 होता है; इलेक्ट्रॉन जी-कारक (भौतिकी)|जी-कारक 2 है; इसने हाइड्रोजन परमाणु  की बारीक संरचना के लिए सही सोमरफेल्ड सूत्र का नेतृत्व किया; और इसका उपयोग सापेक्षतावादी कॉम्पटन प्रकीर्णन के लिए क्लेन-निशिना सूत्र प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। यद्यपि परिणाम फलदायी थे, सिद्धांत ने स्पष्ट रूप से नकारात्मक ऊर्जा राज्यों के अस्तित्व को भी निहित किया, जिससे परमाणु अस्थिर हो जाएंगे, क्योंकि वे विकिरण के उत्सर्जन से हमेशा कम ऊर्जा वाले राज्यों में क्षय हो सकते हैं। उस समय प्रचलित दृष्टिकोण यह था कि दुनिया दो अलग-अलग अवयवों से बनी थी: भौतिक कण (जैसे इलेक्ट्रॉन) और क्षेत्र (भौतिकी) # क्वांटम क्षेत्र (जैसे फोटॉन)। भौतिक कणों को शाश्वत माना जाता था, उनकी भौतिक अवस्था को अंतरिक्ष के किसी भी क्षेत्र या वेग की सीमा में प्रत्येक कण को ​​खोजने की संभावनाओं द्वारा वर्णित किया गया था। दूसरी ओर, फोटॉनों को केवल अंतर्निहित मात्रात्मक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की उत्तेजित अवस्थाओं के रूप में माना जाता था, और इसे स्वतंत्र रूप से बनाया या नष्ट किया जा सकता था। यह 1928 और 1930 के बीच था कि जॉर्डन, यूजीन विग्नर, हाइजेनबर्ग, पॉली और  एनरिको फर्मी  ने पाया कि भौतिक कणों को क्वांटम क्षेत्रों के उत्साहित राज्यों के रूप में भी देखा जा सकता है। जिस तरह फोटॉन परिमाणित विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की उत्तेजित अवस्थाएँ होते हैं, उसी प्रकार प्रत्येक प्रकार के कण का अपना क्वांटम क्षेत्र होता है: एक इलेक्ट्रॉन क्षेत्र, एक प्रोटॉन क्षेत्र, आदि। पर्याप्त ऊर्जा को देखते हुए, अब भौतिक कण बनाना संभव होगा। इस विचार पर निर्माण करते हुए, फर्मी ने 1932 में  बीटा क्षय  के लिए एक स्पष्टीकरण प्रस्तावित किया जिसे फर्मी की बातचीत के रूप में जाना जाता है।  परमाणु नाभिक  में प्रति इलेक्ट्रॉन नहीं होते हैं, लेकिन क्षय की प्रक्रिया में, आसपास के इलेक्ट्रॉन क्षेत्र से एक इलेक्ट्रॉन का निर्माण होता है, जो एक उत्तेजित परमाणु के विकिरण क्षय में आसपास के विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र से निर्मित फोटॉन के अनुरूप होता है। यह 1929 में डिराक और अन्य द्वारा महसूस किया गया था कि डीरेक समीकरण द्वारा निहित नकारात्मक ऊर्जा राज्यों को इलेक्ट्रॉनों के समान द्रव्यमान वाले लेकिन विपरीत विद्युत आवेश वाले कणों के अस्तित्व को मानकर हटाया जा सकता है। इसने न केवल परमाणुओं की स्थिरता सुनिश्चित की, बल्कि यह प्रतिकण  के अस्तित्व का पहला प्रस्ताव भी था। दरअसल, पॉज़िट्रॉन के प्रमाण की खोज 1932 में  कार्ल डेविड एंडरसन  ने  ब्रह्मांड किरण  में की थी। पर्याप्त ऊर्जा के साथ, जैसे कि एक फोटॉन को अवशोषित करके, एक इलेक्ट्रॉन-पॉज़िट्रॉन जोड़ी बनाई जा सकती है, एक प्रक्रिया जिसे  जोड़ी उत्पादन  कहा जाता है; रिवर्स प्रक्रिया, विनाश, एक फोटॉन के उत्सर्जन के साथ भी हो सकता है। इससे पता चला कि बातचीत के दौरान कण संख्या तय करने की आवश्यकता नहीं है। ऐतिहासिक रूप से, हालांकि, पॉज़िट्रॉन को पहले एक नए प्रकार के कण के बजाय एक अनंत इलेक्ट्रॉन समुद्र में छेद के रूप में माना जाता था, और इस सिद्धांत को डिराक होल सिद्धांत के रूप में संदर्भित किया गया था।  QFT ने स्वाभाविक रूप से अपनी औपचारिकता में एंटीपार्टिकल्स को शामिल किया।

इन्फिनिटीज और रीनॉर्मलाइजेशन
रॉबर्ट ओपेनहाइमर ने 1930 में दिखाया कि QED में उच्च-क्रम की गड़बड़ी गणना हमेशा अनंत मात्रा में होती है, जैसे कि इलेक्ट्रॉन स्व-ऊर्जा और इलेक्ट्रॉन और फोटॉन क्षेत्रों की वैक्यूम शून्य-बिंदु ऊर्जा, यह सुझाव देते हुए कि उस समय के कम्प्यूटेशनल तरीके अत्यधिक उच्च गति वाले फोटॉन से जुड़े इंटरैक्शन से ठीक से निपट नहीं सकते थे। यह 20 साल बाद तक नहीं था कि इस तरह की अनंतताओं को दूर करने के लिए एक व्यवस्थित दृष्टिकोण विकसित किया गया था।

अर्न्स्ट स्टुकेलबर्ग द्वारा 1934 और 1938 के बीच पत्रों की एक श्रृंखला प्रकाशित की गई, जिसने QFT के सापेक्षिक रूप से अपरिवर्तनीय सूत्रीकरण की स्थापना की। 1947 में, स्टुकेलबर्ग ने भी स्वतंत्र रूप से एक पूर्ण पुनर्सामान्यीकरण प्रक्रिया विकसित की। दुर्भाग्य से, ऐसी उपलब्धियों को सैद्धांतिक समुदाय द्वारा समझा और पहचाना नहीं गया था।

इन अनंतताओं का सामना करते हुए, जॉन आर्चीबाल्ड व्हीलर  और हाइजेनबर्ग ने क्रमशः 1937 और 1943 में, तथाकथित एस-मैट्रिक्स सिद्धांत के साथ समस्याग्रस्त QFT को प्रतिस्थापित करने का प्रस्ताव रखा। चूंकि सूक्ष्म अंतःक्रियाओं के विशिष्ट विवरण अवलोकनों के लिए दुर्गम हैं, इसलिए सिद्धांत को बातचीत के सूक्ष्म सूक्ष्म तत्वों से संबंधित होने के बजाय केवल एक बातचीत में कम संख्या में अवलोकन योग्य (जैसे परमाणु की ऊर्जा) के बीच संबंधों का वर्णन करने का प्रयास करना चाहिए।. 1945 में, रिचर्ड फेनमैन और व्हीलर ने साहसपूर्वक QFT को पूरी तरह से छोड़ने का सुझाव दिया और कण परस्पर क्रिया के तंत्र के रूप में कार्रवाई-पर-दूरी का प्रस्ताव रखा। 1947 में, विलिस लैम्ब और रॉबर्ट रदरफोर्ड ने मिनट के अंतर को मापा 2S1/2 तथा 2पी1/2 हाइड्रोजन परमाणु के ऊर्जा स्तर को लैम्ब शिफ्ट भी कहा जाता है। फोटॉनों के योगदान की अनदेखी करके, जिनकी ऊर्जा इलेक्ट्रॉन द्रव्यमान से अधिक है, हंस बेथे  ने  मेमने की पारी  के संख्यात्मक मूल्य का सफलतापूर्वक अनुमान लगाया।  इसके बाद,  नॉर्मन माइल्स क्रोलो, लैम्ब,  जेम्स ब्रूस फ्रेंच , और विक्टर वीसकोफ ने फिर से एक दृष्टिकोण का उपयोग करके इस मूल्य की पुष्टि की जिसमें अनंत ने अन्य अनंत को परिमित मात्रा में परिणाम के लिए रद्द कर दिया। हालाँकि, यह विधि अनाड़ी और अविश्वसनीय थी और इसे अन्य गणनाओं के लिए सामान्यीकृत नहीं किया जा सकता था।

अंततः 1950 के आसपास सफलता मिली जब जूलियन श्विंगर, रिचर्ड फेनमैन,  फ्रीमैन डायसन  और शिनिचिरो टोमोनागा द्वारा अनंत को खत्म करने के लिए एक अधिक मजबूत विधि विकसित की गई। मुख्य विचार द्रव्यमान और आवेश के परिकलित मानों को प्रतिस्थापित करना है, भले ही वे अनंत हों, उनके परिमित मापित मानों से। इस व्यवस्थित कम्प्यूटेशनल प्रक्रिया को पुनर्सामान्यीकरण के रूप में जाना जाता है और इसे गड़बड़ी सिद्धांत में मनमाना क्रम पर लागू किया जा सकता है।  जैसा कि टोमोनागा ने अपने नोबेल व्याख्यान में कहा था:"चूंकि क्षेत्र प्रतिक्रियाओं के कारण संशोधित द्रव्यमान और आवेश के वे भाग [अनंत हो जाते हैं], सिद्धांत द्वारा उनकी गणना करना असंभव है। हालाँकि, प्रयोगों में देखे गए द्रव्यमान और आवेश मूल द्रव्यमान और आवेश नहीं होते हैं, बल्कि क्षेत्र प्रतिक्रियाओं द्वारा संशोधित द्रव्यमान और आवेश होते हैं, और वे परिमित होते हैं। दूसरी ओर, सिद्धांत में दिखाई देने वाले द्रव्यमान और आवेश हैं ... क्षेत्र प्रतिक्रियाओं द्वारा संशोधित मान। चूंकि यह ऐसा है, और विशेष रूप से चूंकि सिद्धांत संशोधित द्रव्यमान और आवेश की गणना करने में असमर्थ है, इसलिए हम उनके लिए प्रायोगिक मूल्यों को घटनात्मक रूप से प्रतिस्थापित करने की प्रक्रिया अपना सकते हैं ... इस प्रक्रिया को द्रव्यमान और आवेश का पुनर्सामान्यीकरण कहा जाता है ... लंबे समय के बाद, श्रमसाध्य गणना, श्विंगर की तुलना में कम कुशल, हमने एक परिणाम प्राप्त किया ... जो [द] अमेरिकियों के साथ समझौता था।"

पुनर्सामान्यीकरण प्रक्रिया को लागू करके, अंततः इलेक्ट्रॉन के विषम चुंबकीय क्षण  (इलेक्ट्रॉन जी-कारक (भौतिकी) का विचलन 2 से जी-कारक) और वैक्यूम ध्रुवीकरण की व्याख्या करने के लिए गणना की गई। ये परिणाम प्रयोगात्मक माप के साथ एक उल्लेखनीय डिग्री के लिए सहमत हुए, इस प्रकार अनंत के खिलाफ युद्ध के अंत को चिह्नित करते हैं।

उसी समय, फेनमैन ने क्वांटम यांत्रिकी और फेनमैन आरेख ों के  पथ अभिन्न सूत्रीकरण  की शुरुआत की। उत्तरार्द्ध का उपयोग नेत्रहीन और सहज रूप से व्यवस्थित करने और परेशान विस्तार में शब्दों की गणना करने में मदद करने के लिए किया जा सकता है। प्रत्येक आरेख को एक अंतःक्रिया में कणों के पथ के रूप में व्याख्या किया जा सकता है, प्रत्येक शीर्ष और रेखा में एक समान गणितीय अभिव्यक्ति होती है, और इन अभिव्यक्तियों का उत्पाद आरेख द्वारा दर्शाए गए इंटरैक्शन के बिखरने का आयाम देता है। यह पुनर्मूल्यांकन प्रक्रिया और फेनमैन आरेखों के आविष्कार के साथ था कि क्यूएफटी अंततः एक पूर्ण सैद्धांतिक ढांचे के रूप में उभरा।

गैर-असामान्यीकरण
QED की जबरदस्त सफलता को देखते हुए, कई सिद्धांतकारों का मानना ​​​​था कि 1949 के बाद के कुछ वर्षों में, QFT जल्द ही सभी सूक्ष्म घटनाओं की समझ प्रदान कर सकता है, न कि केवल फोटॉन, इलेक्ट्रॉनों और पॉज़िट्रॉन के बीच की बातचीत। इस आशावाद के विपरीत, QFT ने अवसाद के एक और दौर में प्रवेश किया जो लगभग दो दशकों तक चला। पहली बाधा पुनर्सामान्यीकरण प्रक्रिया की सीमित प्रयोज्यता थी। QED में परेशान गणनाओं में, भौतिक मात्राओं की एक छोटी (परिमित) संख्या (अर्थात् इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान और आवेश) को फिर से परिभाषित करके सभी अनंत मात्राओं को समाप्त किया जा सकता है। डायसन ने 1949 में साबित किया कि यह केवल सिद्धांतों के एक छोटे वर्ग के लिए संभव है जिसे रेनॉर्मलाइजेबल थ्योरी कहा जाता है, जिसमें से QED एक उदाहरण है। हालांकि, कमजोर बातचीत के फर्मी की बातचीत सहित अधिकांश सिद्धांत, गैर-असामान्यीकरण योग्य हैं। इन सिद्धांतों में पहले क्रम से परे किसी भी परेशान गणना के परिणामस्वरूप अनंतताएं होंगी जिन्हें भौतिक मात्राओं की सीमित संख्या को फिर से परिभाषित करके हटाया नहीं जा सका। दूसरी बड़ी समस्या फेनमैन आरेख पद्धति की सीमित वैधता से उपजी है, जो कि गड़बड़ी सिद्धांत में एक श्रृंखला विस्तार पर आधारित है। श्रृंखला के अभिसरण और निम्न-क्रम की गणना के लिए एक अच्छा सन्निकटन होने के लिए, युग्मन स्थिरांक, जिसमें श्रृंखला का विस्तार किया जाता है, पर्याप्त रूप से छोटी संख्या होनी चाहिए। QED में युग्मन स्थिरांक  ठीक-संरचना स्थिरांक  है $α ≈ 1/137$, जो इतना छोटा है कि यथार्थवादी गणनाओं में केवल सबसे सरल, निम्नतम क्रम, फेनमैन आरेखों पर विचार करने की आवश्यकता है। इसके विपरीत, मजबूत अंतःक्रिया में युग्मन स्थिरांक मोटे तौर पर एक के क्रम का होता है, जिससे जटिल, उच्च क्रम, फेनमैन आरेख उतने ही महत्वपूर्ण होते हैं जितने कि सरल। इस प्रकार परेशान क्यूएफटी विधियों का उपयोग करके मजबूत बातचीत के लिए विश्वसनीय मात्रात्मक भविष्यवाणियों को प्राप्त करने का कोई तरीका नहीं था। इन कठिनाइयों के आने के साथ, कई सिद्धांतवादी क्यूएफटी से दूर होने लगे। कुछ ने समरूपता (भौतिकी) सिद्धांतों और संरक्षण कानून ों पर ध्यान केंद्रित किया, जबकि अन्य ने व्हीलर और हाइजेनबर्ग के पुराने एस-मैट्रिक्स सिद्धांत को अपनाया। QFT का उपयोग अनुमानी रूप से मार्गदर्शक सिद्धांतों के रूप में किया गया था, लेकिन मात्रात्मक गणना के आधार के रूप में नहीं। हालांकि, श्विंगर ने एक अलग रास्ता अपनाया। एक दशक से अधिक समय तक वे और उनके छात्र क्षेत्र सिद्धांत के लगभग एकमात्र प्रतिपादक थे, लेकिन 1966 में उन्होंने एक नई विधि के साथ अनंत की समस्या के आसपास एक रास्ता खोज लिया जिसे उन्होंने स्रोत सिद्धांत कहा। पायन भौतिकी में विकास, जिसमें नए दृष्टिकोण को सबसे सफलतापूर्वक लागू किया गया था, ने उन्हें गणितीय सादगी और वैचारिक स्पष्टता के महान लाभों के बारे में आश्वस्त किया जो इसके उपयोग को प्रदान करते थे। स्रोत सिद्धांत में कोई विचलन नहीं है, और कोई पुनर्सामान्यीकरण नहीं है। इसे क्षेत्र सिद्धांत का गणनात्मक उपकरण माना जा सकता है, लेकिन यह अधिक सामान्य है। स्रोत सिद्धांत का उपयोग करते हुए, श्विंगर इलेक्ट्रॉन के विषम चुंबकीय क्षण की गणना करने में सक्षम थे, जो उन्होंने 1947 में किया था, लेकिन इस बार अनंत मात्राओं के बारे में कोई 'विचलित करने वाली टिप्पणी' नहीं की। श्विंगर ने गुरुत्वाकर्षण के अपने क्यूएफटी सिद्धांत के लिए स्रोत सिद्धांत को भी लागू किया, और आइंस्टीन के सभी चार क्लासिक परिणामों को पुन: पेश करने में सक्षम था: गुरुत्वाकर्षण लाल बदलाव, गुरुत्वाकर्षण द्वारा प्रकाश का विक्षेपण और धीमा होना, और बुध की पेरीहेलियन पूर्वता। भौतिक विज्ञान समुदाय द्वारा स्रोत सिद्धांत की उपेक्षा श्विंगर के लिए एक बड़ी निराशा थी:"दूसरों द्वारा इन तथ्यों की सराहना की कमी निराशाजनक, लेकिन समझने योग्य थी। -जे। श्विंगर"

मानक-मॉडल
1954 में, यांग चेन-निंग और रॉबर्ट मिल्स (भौतिक विज्ञानी) ने QED के गेज सिद्धांत को सामान्यीकृत किया, जिससे यांग-मिल्स सिद्धांत | गैर-एबेलियन गेज सिद्धांत (जिसे यांग-मिल्स सिद्धांत के रूप में भी जाना जाता है) की ओर अग्रसर हुआ, जो अधिक जटिल स्थानीय समरूपता पर आधारित हैं। समूह। QED में, (विद्युत रूप से) आवेशित कण फोटॉनों के आदान-प्रदान के माध्यम से परस्पर क्रिया करते हैं, जबकि गैर-एबेलियन गेज सिद्धांत में, एक नए प्रकार के आवेश (भौतिकी) वाले कण बड़े पैमाने पर गेज बोसॉन के आदान-प्रदान के माध्यम से बातचीत करते हैं। फोटॉन के विपरीत, ये गेज बोसॉन स्वयं चार्ज करते हैं। शेल्डन ग्लासो ने एक गैर-एबेलियन गेज सिद्धांत विकसित किया जिसने 1960 में विद्युत चुम्बकीय और कमजोर अंतःक्रियाओं को एकीकृत किया। 1964 में, नमस्ते अब्दुस  और  जॉन क्लाइव वार्ड  एक ही सिद्धांत पर एक अलग रास्ते से पहुंचे। यह सिद्धांत, फिर भी, गैर-असामान्यीकरण योग्य था। पीटर हिग्स, रॉबर्ट ब्रौट, फ्रांकोइस एंगलर्ट, गेराल्ड गुरलनिक , सी.आर. हेगन, और टी.डब्ल्यू.बी. किबल ने अपने प्रसिद्ध 1964 के पीआरएल समरूपता ब्रेकिंग पेपर में प्रस्तावित किया कि यांग-मिल्स सिद्धांतों में गेज समरूपता को सहज समरूपता ब्रेकिंग नामक एक तंत्र द्वारा तोड़ा जा सकता है, जिसके माध्यम से मूल रूप से मासलेस गेज बोसॉन द्रव्यमान प्राप्त कर सकता है। ग्लासो, सलाम और वार्ड के पहले के सिद्धांत को सहज समरूपता तोड़ने के विचार के साथ जोड़कर, स्टीवन वेनबर्ग ने 1967 में एक सिद्धांत लिखा जिसमें सभी लेप्टानों के बीच इलेक्ट्रोवीक इंटरैक्शन  और हिग्स बोसोन के प्रभावों का वर्णन किया गया था। उनके सिद्धांत को पहले तो ज्यादातर नजरअंदाज कर दिया गया था,  जब तक इसे 1971 में जेरार्ड टी हूफ्ट के प्रमाण द्वारा प्रकाश में वापस नहीं लाया गया कि गैर-एबेलियन गेज सिद्धांत पुन: सामान्य करने योग्य हैं। वेनबर्ग और सलाम के इलेक्ट्रोवेक सिद्धांत को 1970 में ग्लासो,  ज़ोइन इलियोपोलोस  और  लुसियानो माईनी  द्वारा लेप्टन से क्वार्क तक विस्तारित किया गया था, जो इसके पूरा होने का प्रतीक था।

हेरोल्ड फ्रिट्ज्चो, मरे गेल-मन्न  और  हेनरिक ल्यूटवाइलर  ने 1971 में खोज की कि मजबूत बातचीत से जुड़ी कुछ घटनाओं को गैर-एबेलियन गेज सिद्धांत द्वारा भी समझाया जा सकता है। क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स (QCD) का जन्म हुआ। 1973 में,  डेविड ग्रॉस ,  फ्रैंक विल्ज़ेक  और  ह्यूग डेविड पोलित्ज़र  ने दिखाया कि गैर-एबेलियन गेज सिद्धांत  स्पर्शोन्मुख स्वतंत्रता  हैं, जिसका अर्थ है कि पुनर्सामान्यीकरण के तहत, अंतःक्रियात्मक ऊर्जा बढ़ने के साथ मजबूत अंतःक्रिया का युग्मन स्थिरांक कम हो जाता है। (इसी तरह की खोजों को पहले भी कई बार बनाया गया था, लेकिन उन्हें काफी हद तक नजरअंदाज कर दिया गया था।)  इसलिए, कम से कम उच्च-ऊर्जा अंतःक्रियाओं में, QCD में युग्मन स्थिरांक एक गड़बड़ी श्रृंखला विस्तार को वारंट करने के लिए पर्याप्त रूप से छोटा हो जाता है, जिससे मजबूत बातचीत के लिए मात्रात्मक भविष्यवाणियां संभव हो जाती हैं। इन सैद्धांतिक सफलताओं ने QFT में एक पुनर्जागरण लाया। पूर्ण सिद्धांत, जिसमें इलेक्ट्रोवीक सिद्धांत और क्रोमोडायनामिक्स शामिल हैं, को आज प्राथमिक कणों के मानक मॉडल के रूप में जाना जाता है। मानक मॉडल गुरुत्वाकर्षण  को छोड़कर सभी मूलभूत अंतःक्रियाओं का सफलतापूर्वक वर्णन करता है, और इसकी कई भविष्यवाणियों को बाद के दशकों में उल्लेखनीय प्रयोगात्मक पुष्टि के साथ पूरा किया गया है। हिग्स बोसोन, सहज समरूपता तोड़ने के तंत्र के लिए केंद्रीय, अंततः 2012 में सीईआरएन में पाया गया था, जो मानक मॉडल के सभी घटकों के अस्तित्व के पूर्ण सत्यापन को चिह्नित करता है।

अन्य घटनाक्रम
1970 के दशक में गैर-एबेलियन गेज सिद्धांतों में गैर-परेशान विधियों का विकास देखा गया। 'टी हूफ्ट-पोल्याकोव मोनोपोल' को सैद्धांतिक रूप से 'टी हूफ्ट और अलेक्जेंडर मार्कोविच पॉलाकोव,  होल्गर बेच नीलसन  और पॉल ओलेसेन द्वारा  फ्लक्स ट्यूब , और पॉलाकोव और कोउथर्स द्वारा  एक पल  द्वारा खोजा गया था। ये वस्तुएं गड़बड़ी सिद्धांत के माध्यम से दुर्गम हैं। सुपरसिमेट्री भी इसी अवधि में दिखाई दी। चार आयामों में पहला सुपरसिमेट्रिक QFT 1970 में यूरी गोल्फैंड और एवगेनी लिक्टमैन  द्वारा बनाया गया था, लेकिन उनका परिणाम  लोहे का परदा  के कारण व्यापक रुचि हासिल करने में विफल रहा। 1973 में  जूलियस वेस  और  ब्रूनो ज़ुमिनो  के काम के बाद ही सुपरसिमेट्री ने सैद्धांतिक समुदाय में उड़ान भरी। चार मूलभूत अंतःक्रियाओं में, गुरुत्वाकर्षण एकमात्र ऐसा है जिसमें एक सुसंगत QFT विवरण का अभाव है। क्वांटम गुरुत्व के सिद्धांत के विभिन्न प्रयासों से स्ट्रिंग सिद्धांत का विकास हुआ, अनुरूप समरूपता  के साथ स्वयं एक प्रकार का द्वि-आयामी QFT। जोएल शेर्क और  जॉन हेनरी ब्लैक ़ ने पहली बार 1974 में प्रस्तावित किया था कि स्ट्रिंग सिद्धांत गुरुत्वाकर्षण का क्वांटम सिद्धांत हो सकता है।

संघनित-पदार्थ-भौतिकी
यद्यपि क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत प्राथमिक कणों के बीच बातचीत के अध्ययन से उत्पन्न हुआ, इसे अन्य भौतिक प्रणालियों पर सफलतापूर्वक लागू किया गया है, विशेष रूप से संघनित पदार्थ भौतिकी में कई-शरीर प्रणालियों के लिए।

ऐतिहासिक रूप से, सहज समरूपता तोड़ने का हिग्स तंत्र प्राथमिक कणों के लिए योइचिरो नंबू के सुपरकंडक्टर सिद्धांत के आवेदन का परिणाम था, जबकि पुनर्सामान्यीकरण की अवधारणा मामले में दूसरे क्रम के चरण संक्रमण  के अध्ययन से निकली थी। फोटॉन की शुरुआत के तुरंत बाद, आइंस्टीन ने एक क्रिस्टल में कंपन पर परिमाणीकरण प्रक्रिया का प्रदर्शन किया, जिससे पहला क्वासिपार्टिकल-फोनन बना। लेव लैंडौ ने दावा किया कि कई संघनित पदार्थ प्रणालियों में कम-ऊर्जा उत्तेजनाओं को क्वासिपार्टिकल्स के एक सेट के बीच बातचीत के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है। क्यूएफटी की फेनमैन आरेख विधि संघनित पदार्थ प्रणालियों में विभिन्न घटनाओं के विश्लेषण के लिए स्वाभाविक रूप से उपयुक्त थी। गेज सिद्धांत का उपयोग सुपरकंडक्टर्स में चुंबकीय प्रवाह  की मात्रा का वर्णन करने के लिए किया जाता है, क्वांटम हॉल प्रभाव में प्रतिरोधकता, साथ ही एसी  जोसेफसन प्रभाव  में आवृत्ति और वोल्टेज के बीच संबंध।

सिद्धांत
सरलता के लिए निम्नलिखित वर्गों में प्राकृतिक इकाइयों का उपयोग किया जाता है, जिसमें कम प्लैंक स्थिरांक $ħ$ और प्रकाश की गति $c$ दोनों एक पर सेट हैं।

शास्त्रीय क्षेत्र
एक शास्त्रीय क्षेत्र (भौतिकी) स्थानिक और समय निर्देशांक का एक कार्य (गणित) है। उदाहरणों में न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण में गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र शामिल हैं $g(x, t)$ और विद्युत क्षेत्र $E(x, t)$ और चुंबकीय क्षेत्र $B(x, t)$ शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व में। एक शास्त्रीय क्षेत्र को एक संख्यात्मक मात्रा के रूप में माना जा सकता है जो अंतरिक्ष में हर बिंदु पर समय के साथ बदलता है। इसलिए, इसमें असीम रूप से कई डिग्री की स्वतंत्रता (यांत्रिकी) है। क्वांटम यांत्रिक गुणों को प्रदर्शित करने वाली कई घटनाओं को केवल शास्त्रीय क्षेत्रों द्वारा नहीं समझाया जा सकता है। फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव जैसी घटना को स्थानिक रूप से निरंतर क्षेत्र के बजाय असतत कणों (फोटॉन) द्वारा सबसे अच्छी तरह से समझाया गया है। क्वांटम फील्ड थ्योरी का लक्ष्य फील्ड की संशोधित अवधारणा का उपयोग करके विभिन्न क्वांटम मैकेनिकल घटनाओं का वर्णन करना है।

कैननिकल क्वांटिज़ेशन और पथ इंटीग्रल फॉर्मूलेशन क्यूएफटी के दो सामान्य फॉर्मूलेशन हैं। QFT के मूल सिद्धांतों को प्रेरित करने के लिए, शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत का एक सिंहावलोकन निम्नानुसार है।

सबसे सरल शास्त्रीय क्षेत्र एक वास्तविक अदिश क्षेत्र है - अंतरिक्ष में हर बिंदु पर एक वास्तविक संख्या जो समय के साथ बदलती है। इसे के रूप में दर्शाया गया है $ϕ(x, t)$, कहाँ पे $x$ स्थिति वेक्टर है, और $t$ समय है। मान लीजिए कि क्षेत्र का लग्रांगियन (क्षेत्र सिद्धांत), $$L$$, है
 * $$L = \int d^3x\,\mathcal{L} = \int d^3x\,\left[\frac 12 \dot\phi^2 - \frac 12 (\nabla\phi)^2 - \frac 12 m^2\phi^2\right],$$

कहाँ पे $$\mathcal{L}$$ लैग्रैन्जियन घनत्व है, $$\dot\phi$$ क्षेत्र का समय-व्युत्पन्न है, $∇$ ग्रेडिएंट ऑपरेटर है, और $m$ एक वास्तविक पैरामीटर (क्षेत्र का द्रव्यमान) है। लैग्रेंजियन पर यूलर-लैग्रेंज समीकरण को लागू करना:
 * $$\frac{\partial}{\partial t} \left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial\phi/\partial t)}\right] + \sum_{i=1}^3 \frac{\partial}{\partial x^i} \left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial\phi/\partial x^i)}\right] - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = 0,$$

हम क्षेत्र के लिए गति के समीकरण  प्राप्त करते हैं, जो यह बताता है कि यह समय और स्थान में कैसे बदलता है:
 * $$\left(\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 + m^2\right)\phi = 0.$$

इसे क्लेन-गॉर्डन समीकरण के रूप में जाना जाता है। क्लेन-गॉर्डन समीकरण एक तरंग समीकरण है, इसलिए इसके समाधान को सामान्य मोड  ( फुरियर रूपांतरण  के माध्यम से प्राप्त) के योग के रूप में निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$\phi(\mathbf{x}, t) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}}\left(a_{\mathbf{p}} e^{-i\omega_{\mathbf{p}}t + i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} + a_{\mathbf{p}}^* e^{i\omega_{\mathbf{p}}t - i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right),$$

कहाँ पे $a$ एक सम्मिश्र संख्या है (सम्मेलन द्वारा सामान्यीकृत), $$ जटिल संयुग्मन  को दर्शाता है, और $ω_{p}$ सामान्य मोड की आवृत्ति है:
 * $$\omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2}.$$

इस प्रकार प्रत्येक सामान्य विधा एकल के अनुरूप होती है $p$ आवृत्ति के साथ एक शास्त्रीय हार्मोनिक थरथरानवाला के रूप में देखा जा सकता है $ω_{p}$.

विहित परिमाणीकरण
उपरोक्त शास्त्रीय क्षेत्र के लिए क्वांटम ऑपरेटर फ़ील्ड के लिए क्वांटिज़ेशन प्रक्रिया एक शास्त्रीय हार्मोनिक ऑसीलेटर को क्वांटम हार्मोनिक ऑसीलेटर के प्रचार के समान है।

शास्त्रीय हार्मोनिक थरथरानवाला के विस्थापन का वर्णन द्वारा किया गया है
 * $$x(t) = \frac{1}{\sqrt{2\omega}} a e^{-i\omega t} + \frac{1}{\sqrt{2\omega}} a^* e^{i\omega t},$$

कहाँ पे $a$ एक सम्मिश्र संख्या है (सम्मेलन द्वारा सामान्यीकृत), और $ω$ थरथरानवाला की आवृत्ति है। ध्यान दें कि $x$ संतुलन की स्थिति से सरल हार्मोनिक गति में एक कण का विस्थापन है, स्थानिक लेबल के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए $x$ एक क्वांटम क्षेत्र का।

क्वांटम हार्मोनिक थरथरानवाला के लिए, $x(t)$ एक रैखिक ऑपरेटर को पदोन्नत किया जाता है $$\hat x(t)$$:
 * $$\hat x(t) = \frac{1}{\sqrt{2\omega}} \hat a e^{-i\omega t} + \frac{1}{\sqrt{2\omega}} \hat a^\dagger e^{i\omega t}.$$

जटिल आंकड़े $a$ तथा $a^{*}$ विनाश ऑपरेटर  द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $$\hat a$$ और निर्माण ऑपरेटर $$\hat a^\dagger$$, क्रमशः, जहां $†$  हर्मिटियन संयुग्मन  को दर्शाता है। दोनों के बीच रूपांतरण संबंध है
 * $$\left[\hat a, \hat a^\dagger\right] = 1.$$

सरल हार्मोनिक थरथरानवाला के हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)  को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
 * $$\hat H = \hbar\omega \hat{a}^\dagger \hat{a} +\frac{1}{2}\hbar\omega.$$

निर्वात अवस्था $$|0\rang$$, जो सबसे कम ऊर्जा अवस्था है, द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$\hat a|0\rang = 0$$

और ऊर्जा है $$\frac12\hbar\omega$$ कोई इसे आसानी से जांच सकता है $$[\hat H, \hat{a}^\dagger]=\hbar\omega,$$ जिसका अर्थ है कि $$\hat{a}^\dagger$$ सरल हार्मोनिक थरथरानवाला की ऊर्जा को बढ़ाता है $$\hbar\omega$$. उदाहरण के लिए, राज्य $$\hat{a}^\dagger|0\rang$$ ऊर्जा का एक प्रतिरूप है $$3\hbar\omega/2$$. एकल हार्मोनिक थरथरानवाला की कोई भी ऊर्जा स्वदेशी अवस्था से प्राप्त की जा सकती है $$|0\rang$$ सृजन ऑपरेटर को क्रमिक रूप से लागू करके $$\hat a^\dagger$$: और प्रणाली के किसी भी राज्य को राज्यों के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
 * $$|n\rang \propto \left(\hat a^\dagger\right)^n|0\rang.$$

वास्तविक अदिश क्षेत्र पर एक समान प्रक्रिया लागू की जा सकती है $ϕ$, इसे क्वांटम फील्ड ऑपरेटर के रूप में प्रचारित करके $$\hat\phi$$, जबकि सर्वनाश ऑपरेटर $$\hat a_{\mathbf{p}}$$, निर्माण ऑपरेटर $$\hat a_{\mathbf{p}}^\dagger$$ और कोणीय आवृत्ति $$w_\mathbf {p}$$अब एक विशेष के लिए हैं $p$:
 * $$\hat \phi(\mathbf{x}, t) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}}\left(\hat a_{\mathbf{p}} e^{-i\omega_{\mathbf{p}}t + i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} + \hat a_{\mathbf{p}}^\dagger e^{i\omega_{\mathbf{p}}t - i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right).$$

उनके कम्यूटेशन संबंध हैं:
 * $$\left[\hat a_{\mathbf p}, \hat a_{\mathbf q}^\dagger\right] = (2\pi)^3\delta(\mathbf{p} - \mathbf{q}),\quad \left[\hat a_{\mathbf p}, \hat a_{\mathbf q}\right] = \left[\hat a_{\mathbf p}^\dagger, \hat a_{\mathbf q}^\dagger\right] = 0,$$

कहाँ पे $δ$ Dirac डेल्टा फ़ंक्शन है। निर्वात अवस्था $$|0\rang$$ द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$\hat a_{\mathbf p}|0\rang = 0,\quad \text{for all }\mathbf p.$$

क्षेत्र के किसी भी क्वांटम राज्य से प्राप्त किया जा सकता है $$|0\rang$$ सृजन ऑपरेटरों को क्रमिक रूप से लागू करके $$\hat a_{\mathbf{p}}^\dagger$$ (या ऐसे राज्यों के रैखिक संयोजन द्वारा), उदा।
 * $$\left(\hat a_{\mathbf{p}_3}^\dagger\right)^3 \hat a_{\mathbf{p}_2}^\dagger \left(\hat a_{\mathbf{p}_1}^\dagger\right)^2 |0\rang.$$

जबकि एकल क्वांटम हार्मोनिक थरथरानवाला के राज्य स्थान में एक दोलन कण के सभी असतत ऊर्जा राज्य होते हैं, क्वांटम क्षेत्र के राज्य स्थान में कणों की एक मनमानी संख्या के असतत ऊर्जा स्तर होते हैं। बाद के स्थान को फॉक स्पेस  के रूप में जाना जाता है, जो इस तथ्य के लिए जिम्मेदार हो सकता है कि कण संख्या सापेक्षिक क्वांटम सिस्टम में तय नहीं होती है। एक कण के बजाय एक मनमाना संख्या में कणों की मात्रा निर्धारित करने की प्रक्रिया को अक्सर दूसरा परिमाणीकरण भी कहा जाता है। पूर्वगामी प्रक्रिया गैर-सापेक्ष क्वांटम यांत्रिकी का प्रत्यक्ष अनुप्रयोग है और इसका उपयोग स्केलर फ़ील्ड, डिराक क्षेत्र  को मापने (जटिल) करने के लिए किया जा सकता है, वेक्टर क्षेत्र (जैसे विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र), और यहां तक ​​कि स्ट्रिंग सिद्धांत। हालांकि, सृजन और विनाश ऑपरेटरों को केवल सबसे सरल सिद्धांतों में अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है जिसमें कोई अंतःक्रिया नहीं है (तथाकथित मुक्त सिद्धांत)। वास्तविक अदिश क्षेत्र के मामले में, इन ऑपरेटरों का अस्तित्व गति के शास्त्रीय समीकरणों के समाधान के सामान्य मोड के योग में अपघटन का परिणाम था। किसी भी यथार्थवादी अंतःक्रियात्मक सिद्धांत पर गणना करने के लिए, गड़बड़ी सिद्धांत (क्वांटम यांत्रिकी) आवश्यक होगा।

प्रकृति में किसी भी क्वांटम क्षेत्र के लग्रांगियन में मुक्त सिद्धांत शर्तों के अतिरिक्त बातचीत की शर्तें शामिल होंगी। उदाहरण के लिए, वास्तविक अदिश क्षेत्र के लैग्रैंजियन के लिए एक चतुर्थक अंतःक्रियात्मक शब्द पेश किया जा सकता है:
 * $$\mathcal{L} = \frac 12 (\partial_\mu\phi)\left(\partial^\mu\phi\right) - \frac 12 m^2\phi^2 - \frac{\lambda}{4!}\phi^4,$$

कहाँ पे $μ$ एक स्पेसटाइम इंडेक्स है, $$\partial_0 = \partial/\partial t,\ \partial_1 = \partial/\partial x^1$$, आदि। सूचकांक पर योग $μ$ आइंस्टीन संकेतन  के बाद छोड़ा गया है। यदि पैरामीटर $λ$ पर्याप्त रूप से छोटा है, तो उपरोक्त लैग्रैन्जियन द्वारा वर्णित अंतःक्रियात्मक सिद्धांत को मुक्त सिद्धांत से एक छोटा सा परेशानी माना जा सकता है।

पथ अभिन्न
क्यूएफटी का पथ अभिन्न सूत्रीकरण ऑपरेटरों और राज्य रिक्त स्थान की स्थापना के बजाय एक निश्चित अंतःक्रिया प्रक्रिया के बिखरने के आयाम की प्रत्यक्ष गणना से संबंधित है। किसी सिस्टम के कुछ प्रारंभिक अवस्था से विकसित होने की प्रायिकता आयाम की गणना करने के लिए $$|\phi_I\rang$$ समय पर $t = 0$ किसी अंतिम अवस्था में $$|\phi_F\rang$$ पर $t = T$, कुल समय $T$ में विभाजित है $N$ छोटे अंतराल। समग्र आयाम सभी मध्यवर्ती राज्यों में एकीकृत, प्रत्येक अंतराल के भीतर विकास के आयाम का उत्पाद है। होने देना $H$ हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) (यानी समय विकास ऑपरेटर) हो, तो
 * $$\lang \phi_F|e^{-iHT}|\phi_I\rang = \int d\phi_1\int d\phi_2\cdots\int d\phi_{N-1}\,\lang \phi_F|e^{-iHT/N}|\phi_{N-1}\rang\cdots\lang \phi_2|e^{-iHT/N}|\phi_1\rang\lang \phi_1|e^{-iHT/N}|\phi_I\rang.$$

सीमा लेना $N → ∞$, इंटीग्रल का उपरोक्त उत्पाद फेनमैन पथ इंटीग्रल बन जाता है:
 * $$\lang \phi_F|e^{-iHT}|\phi_I\rang = \int \mathcal{D}\phi(t)\,\exp\left\{i\int_0^T dt\,L\right\},$$

कहाँ पे $L$ Lagrangian शामिल है $ϕ$ और हैमिल्टनियन से प्राप्त स्थानिक और समय निर्देशांक के संबंध में इसके व्युत्पन्न $H$ लीजेंड्रे परिवर्तन के माध्यम से। पथ समाकलन की प्रारंभिक और अंतिम स्थितियाँ क्रमशः हैं
 * $$\phi(0) = \phi_I,\quad \phi(T) = \phi_F.$$

दूसरे शब्दों में, समग्र आयाम प्रारंभिक और अंतिम राज्यों के बीच हर संभव पथ के आयाम पर योग है, जहां एक पथ का आयाम इंटीग्रैंड में घातांक द्वारा दिया जाता है।

दो सूत्री सहसंबंध फलन
गणना में, अक्सर अभिव्यक्ति का सामना करना पड़ता है जैसे$$\lang 0|T\{\phi(x)\phi(y)\}|0\rang \quad \text{or} \quad \lang \Omega |T\{\phi(x)\phi(y)\}|\Omega \rang$$क्रमशः मुक्त या अंतःक्रियात्मक सिद्धांत में। यहां, $$x$$ तथा $$y$$ स्थिति चार-वैक्टर हैं, $$T$$ टाइम ऑर्डरिंग ऑपरेटर है जो अपने ऑपरेंड को फेरबदल करता है इसलिए टाइम-घटक $$x^0$$ तथा $$y^0$$ दाएं से बाएं बढ़ो, और $$|\Omega\rang$$ अंतःक्रियात्मक सिद्धांत की जमीनी अवस्था (वैक्यूम अवस्था) है, जो मुक्त भूमि अवस्था से भिन्न है $$| 0 \rang$$. यह व्यंजक क्षेत्र के से प्रचारित होने की प्रायिकता आयाम का प्रतिनिधित्व करता है $y$ प्रति $x$, और कई नामों से जाता है, जैसे दो-बिंदु प्रचारक, दो-बिंदु सहसंबंध फ़ंक्शन (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत), दो-बिंदु ग्रीन फ़ंक्शन या संक्षिप्त के लिए दो-बिंदु फ़ंक्शन। फ्री टू-पॉइंट फ़ंक्शन, जिसे फेनमैन प्रचारक  के रूप में भी जाना जाता है, वास्तविक स्केलर फ़ील्ड के लिए या तो कैनोनिकल क्वांटिज़ेशन या पथ इंटीग्रल द्वारा पाया जा सकता है
 * $$\lang 0|T\{\phi(x)\phi(y)\} |0\rang \equiv D_F(x-y) = \lim_{\epsilon\to 0} \int\frac{d^4p}{(2\pi)^4} \frac{i}{p_\mu p^\mu - m^2 + i\epsilon} e^{-ip_\mu (x^\mu - y^\mu)}.$$

एक अंतःक्रियात्मक सिद्धांत में, जहां लैग्रेंजियन या हैमिल्टन में शब्द शामिल हैं $$L_I(t)$$ या $$H_I(t)$$ जो बातचीत का वर्णन करते हैं, दो-बिंदु फ़ंक्शन को परिभाषित करना अधिक कठिन होता है। हालांकि, कैननिकल क्वांटिज़ेशन फॉर्मूलेशन और पथ इंटीग्रल फॉर्मूलेशन दोनों के माध्यम से, इसे मुक्त दो-बिंदु फ़ंक्शन की अनंत परेशानी श्रृंखला के माध्यम से व्यक्त करना संभव है।

विहित परिमाणीकरण में, दो-बिंदु सहसंबंध फ़ंक्शन को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
 * $$\lang\Omega|T\{\phi(x)\phi(y)\}|\Omega\rang = \lim_{T\to\infty(1-i\epsilon)} \frac{\left\lang 0\left|T\left\{\phi_I(x)\phi_I(y)\exp\left[-i\int_{-T}^T dt\, H_I(t)\right]\right\}\right|0\right\rang}{\left\lang 0\left|T\left\{\exp\left[-i\int_{-T}^T dt\, H_I(t)\right]\right\}\right|0\right\rang},$$

कहाँ पे $ε$ एक अतिसूक्ष्म संख्या है और $ϕ_{I}$ फ्री थ्योरी के तहत फील्ड ऑपरेटर है। यहां, घातांक प्रकार्य  को इसकी शक्ति श्रृंखला विस्तार के रूप में समझा जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, में $$\phi^4$$-सिद्धांत, हैमिल्टनियन का अंतःक्रियात्मक शब्द है $H_I(t) = \int d^3 x\,\frac{\lambda}{4!}\phi_I(x)^4$, और के संदर्भ में दो-बिंदु सहसंयोजक का विस्तार $$\lambda$$ हो जाता है$$\lang\Omega|T\{\phi(x)\phi(y)\}|\Omega\rang = \frac{ \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-i \lambda)^n}{(4 !)^n n !} \int d^4 z_1 \cdots \int d^4 z_n \lang 0|T\{\phi_I(x)\phi_I(y)\phi_I(z_1)^4\cdots\phi_I(z_n)^4\}|0\rang}{ \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-i \lambda)^n}{(4 !)^n n !} \int d^4 z_1 \cdots \int d^4 z_n \lang 0|T\{                 \phi_I(z_1)^4\cdots\phi_I(z_n)^4\}|0\rang }.$$यह गड़बड़ी विस्तार मात्राओं के संदर्भ में परस्पर क्रिया करने वाले दो-बिंदु फ़ंक्शन को व्यक्त करता है $$\lang 0 | \cdots | 0 \rang$$ जिसका मूल्यांकन मुक्त सिद्धांत में किया जाता है।

पथ अभिन्न सूत्रीकरण में, दो-बिंदु सहसंबंध फ़ंक्शन लिखा जा सकता है
 * $$\lang\Omega|T\{\phi(x)\phi(y)\}|\Omega\rang = \lim_{T\to\infty(1-i\epsilon)} \frac{\int\mathcal{D}\phi\,\phi(x)\phi(y)\exp\left[i\int_{-T}^T d^4z\,\mathcal{L}\right]}{\int\mathcal{D}\phi\,\exp\left[i\int_{-T}^T d^4z\,\mathcal{L}\right]},$$

कहाँ पे $$\mathcal{L}$$ लैग्रैन्जियन घनत्व है। पिछले पैराग्राफ की तरह, घातांक को एक श्रृंखला के रूप में विस्तारित किया जा सकता है $λ$, मुक्त सिद्धांत में अंतःक्रियात्मक दो-बिंदु फ़ंक्शन को मात्राओं में कम करना।

विक का प्रमेय और भी कम करता है $n$दो-बिंदु सहसंबंध कार्यों के उत्पादों के योग के लिए मुक्त सिद्धांत में -बिंदु सहसंबंध कार्य। उदाहरण के लिए,
 * $$\begin{align}

\lang 0|T\{\phi(x_1)\phi(x_2)\phi(x_3)\phi(x_4)\}|0\rang &= \lang 0|T\{\phi(x_1)\phi(x_2)\}|0\rang \lang 0|T\{\phi(x_3)\phi(x_4)\}|0\rang\\ &+ \lang 0|T\{\phi(x_1)\phi(x_3)\}|0\rang \lang 0|T\{\phi(x_2)\phi(x_4)\}|0\rang\\ &+ \lang 0|T\{\phi(x_1)\phi(x_4)\}|0\rang \lang 0|T\{\phi(x_2)\phi(x_3)\}|0\rang. \end{align}$$ चूंकि अंतःक्रियात्मक सहसंबंध कार्यों को मुक्त सहसंबंध कार्यों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, इसलिए (परेशान) अंतःक्रियात्मक सिद्धांत में सभी भौतिक मात्राओं की गणना करने के लिए केवल बाद वाले का मूल्यांकन किया जाना चाहिए। यह फेनमैन प्रचारक को क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण मात्राओं में से एक बनाता है।

फेनमैन आरेख
अंतःक्रियात्मक सिद्धांत में सहसंबंध कार्यों को एक गड़बड़ी श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है। श्रृंखला में प्रत्येक शब्द मुक्त सिद्धांत में फेनमैन प्रचारकों का एक उत्पाद है और इसे फेनमैन आरेख द्वारा नेत्रहीन रूप से दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, $λ^{1}$ में दो-बिंदु सहसंबंध समारोह में शब्द $ϕ^{4}$ सिद्धांत है
 * $$\frac{-i\lambda}{4!}\int d^4z\,\lang 0|T\{\phi(x)\phi(y)\phi(z)\phi(z)\phi(z)\phi(z)\}|0\rang.$$

विक के प्रमेय को लागू करने के बाद, शर्तों में से एक है
 * $$12\cdot \frac{-i\lambda}{4!}\int d^4z\, D_F(x-z)D_F(y-z)D_F(z-z).$$

इसके बजाय यह शब्द फेनमैन आरेख से प्राप्त किया जा सकता है


 * [[File:Phi-4 one-loop.svg|200px.

आरेख में शामिल हैं


 * बाहरी कोने एक किनारे से जुड़े हुए हैं और डॉट्स द्वारा दर्शाए गए हैं (यहां लेबल किया गया है $$x$$ तथा $$y$$)
 * चार किनारों से जुड़े आंतरिक कोने और डॉट्स द्वारा दर्शाए गए (यहां लेबल किए गए हैं $$z$$)
 * किनारों को जोड़ने वाले किनारे और रेखाओं द्वारा दर्शाए गए।

प्रत्येक शीर्ष एक एकल से मेल खाता है $$\phi$$ स्पेसटाइम में संबंधित बिंदु पर क्षेत्र कारक, जबकि किनारों को स्पेसटाइम बिंदुओं के बीच प्रसारकों के अनुरूप होता है। आरेख के अनुरूप गड़बड़ी श्रृंखला में शब्द तथाकथित फेनमैन नियमों से निम्नलिखित अभिव्यक्ति को लिखकर प्राप्त किया जाता है:


 * 1) हर आंतरिक शीर्ष के लिए $$z_i$$, एक कारक लिखें $-i \lambda \int d^4 z_i$.
 * 2) हर किनारे के लिए जो दो कोने जोड़ता है $$z_i$$ तथा $$z_j$$, एक कारक लिखें $$D_F(z_i-z_j)$$.
 * 3) आरेख के समरूपता कारक से विभाजित करें।

समरूपता कारक के साथ $$2$$, इन नियमों का पालन करने से ठीक ऊपर की अभिव्यक्ति प्राप्त होती है। फूरियर द्वारा प्रचारक को बदलकर, फेनमैन नियमों को स्थिति स्थान से गति स्थान में सुधार किया जा सकता है। गणना करने के लिए $n$-बिंदु सहसंबंध समारोह $k$-वां क्रम, सभी मान्य फेनमैन आरेखों को सूचीबद्ध करें $n$ बाहरी बिंदु और $k$ या कम शीर्षों पर जाएं, और फिर प्रत्येक पद के लिए व्यंजक प्राप्त करने के लिए फेनमैन नियमों का उपयोग करें। सटीक होना,
 * $$\lang\Omega|T\{\phi(x_1)\cdots\phi(x_n)\}|\Omega\rang$$

के साथ जुड़े सभी आरेखों (अभिव्यक्तियों के अनुरूप) के योग के बराबर है $n$ बाहरी बिंदु। (जुड़े हुए आरेख वे होते हैं जिनमें प्रत्येक शीर्ष रेखाओं के माध्यम से एक बाहरी बिंदु से जुड़ा होता है। जो घटक बाहरी रेखाओं से पूरी तरह से अलग हो जाते हैं उन्हें कभी-कभी निर्वात बुलबुले कहा जाता है।) $ϕ^{4}$ ऊपर चर्चा की गई बातचीत सिद्धांत, प्रत्येक शीर्ष पर चार पैर होने चाहिए। यथार्थवादी अनुप्रयोगों में, एक निश्चित अंतःक्रिया के प्रकीर्णन आयाम या एक कण की क्षय दर  की गणना एस-मैट्रिक्स से की जा सकती है, जिसे स्वयं फेनमैन आरेख विधि का उपयोग करके पाया जा सकता है। लूप से रहित फेनमैन आरेख ट्री-स्तरीय आरेख कहलाते हैं, जो निम्नतम-क्रम की अंतःक्रिया प्रक्रियाओं का वर्णन करते हैं; जिनमें $n$ लूप के रूप में संदर्भित किया जाता है $n$-लूप आरेख, जो अंतःक्रिया के लिए उच्च-क्रम योगदान, या विकिरण सुधारों का वर्णन करते हैं। जिन रेखाओं के अंत बिंदु शीर्ष होते हैं, उन्हें आभासी कणों के प्रसार के रूप में माना जा सकता है।

सामान्यीकरण
फेनमैन नियमों का उपयोग वृक्ष-स्तरीय आरेखों का सीधे मूल्यांकन करने के लिए किया जा सकता है। हालांकि, लूप आरेखों की भोले-भाले गणना जैसे कि ऊपर दिखाया गया है, का परिणाम भिन्न गति इंटीग्रल होगा, जिसका अर्थ यह प्रतीत होता है कि परेशान विस्तार में लगभग सभी शब्द अनंत हैं। ऐसी अनंतताओं को दूर करने के लिए पुनर्सामान्यीकरण प्रक्रिया एक व्यवस्थित प्रक्रिया है।

Lagrangian में दिखने वाले पैरामीटर, जैसे कि द्रव्यमान $m$ और युग्मन स्थिरांक $λ$, कोई भौतिक अर्थ नहीं है - $m$, $λ$, और क्षेत्र की ताकत $ϕ$ प्रयोगात्मक रूप से मापने योग्य मात्रा नहीं हैं और इन्हें क्रमशः नंगे द्रव्यमान, नंगे युग्मन स्थिरांक और नंगे क्षेत्र के रूप में संदर्भित किया जाता है। भौतिक द्रव्यमान और युग्मन स्थिरांक को कुछ अंतःक्रियात्मक प्रक्रिया में मापा जाता है और आम तौर पर नंगे मात्रा से भिन्न होते हैं। इस अंतःक्रियात्मक प्रक्रिया से भौतिक मात्राओं की गणना करते समय, कोई व्यक्ति अलग-अलग गति इंटीग्रल के डोमेन को कुछ गति कट-ऑफ से नीचे सीमित कर सकता है $Λ$, भौतिक मात्राओं के लिए व्यंजक प्राप्त करें, और फिर सीमा लें $Λ → ∞$. यह नियमितीकरण (भौतिकी) का एक उदाहरण है, क्यूएफटी में विचलन का इलाज करने के तरीकों का एक वर्ग, के साथ $Λ$ नियामक होने के नाते।

ऊपर वर्णित दृष्टिकोण को नंगे गड़बड़ी सिद्धांत कहा जाता है, क्योंकि गणना में केवल नंगे मात्रा जैसे द्रव्यमान और युग्मन स्थिरांक शामिल होते हैं। एक अलग दृष्टिकोण, जिसे पुनर्सामान्यीकृत गड़बड़ी सिद्धांत कहा जाता है, शुरुआत से ही भौतिक रूप से सार्थक मात्राओं का उपयोग करना है। के मामले में $ϕ^{4}$ सिद्धांत, क्षेत्र की ताकत को पहले पुनर्परिभाषित किया गया है:
 * $$\phi = Z^{1/2}\phi_r,$$

कहाँ पे $ϕ$ खाली मैदान है, $ϕ_{r}$ पुनर्निर्मित क्षेत्र है, और $Z$ निर्धारित करने के लिए एक स्थिरांक है। लैग्रैन्जियन घनत्व बन जाता है:
 * $$\mathcal{L} = \frac 12 (\partial_\mu\phi_r)(\partial^\mu\phi_r) - \frac 12 m_r^2\phi_r^2 - \frac{\lambda_r}{4!}\phi_r^4 + \frac 12 \delta_Z (\partial_\mu\phi_r)(\partial^\mu\phi_r) - \frac 12 \delta_m\phi_r^2 - \frac{\delta_\lambda}{4!}\phi_r^4,$$

कहाँ पे $m_{r}$ तथा $λ_{r}$ प्रयोगात्मक रूप से मापने योग्य, पुनर्सामान्यीकृत, द्रव्यमान और युग्मन स्थिरांक हैं, और
 * $$\delta_Z = Z-1,\quad \delta_m = m^2Z - m_r^2,\quad \delta_\lambda = \lambda Z^2 - \lambda_r$$

निर्धारित करने के लिए स्थिरांक हैं। पहले तीन पद हैं $ϕ^{4}$ Lagrangian घनत्व को पुनर्सामान्यीकृत मात्राओं के संदर्भ में लिखा जाता है, जबकि बाद के तीन शब्दों को प्रतिपद कहा जाता है। जैसा कि लैग्रैन्जियन में अब अधिक शब्द हैं, इसलिए फेनमैन आरेखों में अतिरिक्त तत्व शामिल होने चाहिए, प्रत्येक के अपने स्वयं के फेनमैन नियम होंगे। प्रक्रिया को निम्नानुसार रेखांकित किया गया है। पहले एक नियमितीकरण योजना चुनें (जैसे कि ऊपर दी गई कट-ऑफ नियमितीकरण या आयामी नियमितीकरण ); नियामक को बुलाओ $Λ$. फेनमैन आरेखों की गणना करें, जिसमें अपसारी पद निर्भर करेगा $Λ$. फिर, परिभाषित करें $δ_{Z}$, $δ_{m}$, तथा $δ_{λ}$ जैसे कि काउंटरटर्म के लिए फेनमैन आरेख सामान्य फेनमैन आरेखों में भिन्न शर्तों को बिल्कुल रद्द कर देंगे जब सीमा $Λ → ∞$ लिया जाता है। इस प्रकार सार्थक परिमित मात्राएँ प्राप्त होती हैं।

पुनर्सामान्यीकरणीय सिद्धांतों में एक परिमित परिणाम प्राप्त करने के लिए सभी अनन्तताओं को समाप्त करना ही संभव है, जबकि गैर-सामान्यीकरण योग्य सिद्धांतों में छोटी संख्या के मापदंडों को फिर से परिभाषित करके अनंत को हटाया नहीं जा सकता है। प्राथमिक कणों का मानक मॉडल एक सामान्यीकरण योग्य QFT है, जबकि क्वांटम गुरुत्व गैर-नवीकरणीय है।

सामान्यीकरण समूह
केनेथ जी. विल्सन द्वारा विकसित पुनर्सामान्यीकरण समूह, एक गणितीय उपकरण है जिसका उपयोग भौतिक मापदंडों (लग्रैन्जियन में गुणांक) में परिवर्तन का अध्ययन करने के लिए किया जाता है क्योंकि सिस्टम को विभिन्न पैमानों पर देखा जाता है। जिस तरह से प्रत्येक पैरामीटर पैमाने के साथ बदलता है उसका वर्णन उसके बीटा फ़ंक्शन (भौतिकी) |β फ़ंक्शन द्वारा किया जाता है। सहसंबंध कार्य, जो मात्रात्मक भौतिक भविष्यवाणियों के अंतर्गत आते हैं, कैलन-सिमानज़िक समीकरण के अनुसार पैमाने के साथ बदलते हैं। एक उदाहरण के रूप में, QED में युग्मन स्थिरांक, अर्थात् प्राथमिक आवेश $e$, निम्नलिखित β फ़ंक्शन है:
 * $$\beta(e) \equiv \frac{1}{\Lambda}\frac{de}{d\Lambda} = \frac{e^3}{12\pi^2} + O\mathord\left(e^5\right),$$

कहाँ पे $Λ$ वह ऊर्जा पैमाना है जिसके तहत का मापन होता है $e$ प्रदर्शन किया जाता है। इस अवकल समीकरण का तात्पर्य है कि प्रेक्षित प्राथमिक आवेश जैसे-जैसे पैमाना बढ़ता है, बढ़ता जाता है। पुनर्सामान्यीकृत युग्मन स्थिरांक, जो ऊर्जा पैमाने के साथ परिवर्तित होता है, चल युग्मन स्थिरांक भी कहलाता है। युग्मन स्थिरांक $g$ क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स में, समरूपता समूह पर आधारित एक गैर-एबेलियन गेज सिद्धांत $SU(3)$, निम्नलिखित β फ़ंक्शन है:
 * $$\beta(g) \equiv \frac{1}{\Lambda}\frac{dg}{d\Lambda} = \frac{g^3}{16\pi^2}\left(-11 + \frac 23 N_f\right) + O\mathord\left(g^5\right),$$

कहाँ पे $N_{f}$ क्वार्क स्वाद (कण भौतिकी)  की संख्या है। मामले में जहां $N_{f} ≤ 16$ (मानक मॉडल है $N_{f} = 6$), युग्मन स्थिरांक $g$ ऊर्जा के पैमाने में वृद्धि के रूप में घट जाती है। इसलिए, जबकि कम ऊर्जा पर मजबूत अंतःक्रिया मजबूत होती है, यह उच्च-ऊर्जा अंतःक्रियाओं में बहुत कमजोर हो जाती है, एक घटना जिसे स्पर्शोन्मुख स्वतंत्रता के रूप में जाना जाता है। अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत (सीएफटी) विशेष क्यूएफटी हैं जो अनुरूप समरूपता को स्वीकार करते हैं। वे पैमाने में परिवर्तन के प्रति असंवेदनशील हैं, क्योंकि उनके सभी युग्मन स्थिरांक लुप्त हो रहे हैं β फ़ंक्शन। (विपरीत सत्य नहीं है, हालांकि - सभी β कार्यों के गायब होने का मतलब सिद्धांत के अनुरूप समरूपता नहीं है।) उदाहरणों में शामिल हैं स्ट्रिंग सिद्धांत और एन = 4 सुपरसिमेट्रिक यांग-मिल्स सिद्धांत|$N = 4$ सुपरसिमेट्रिक यांग-मिल्स सिद्धांत। विल्सन के चित्र के अनुसार, प्रत्येक QFT मूल रूप से अपनी ऊर्जा कट-ऑफ के साथ होता है $N = 4$, यानी कि सिद्धांत अब. से अधिक ऊर्जाओं पर मान्य नहीं है $Λ$, और पैमाने से ऊपर की स्वतंत्रता की सभी डिग्री $Λ$ छोड़े जाने हैं। उदाहरण के लिए, कट-ऑफ एक संघनित पदार्थ प्रणाली में परमाणु रिक्ति का व्युत्क्रम हो सकता है, और प्राथमिक कण भौतिकी में इसे गुरुत्वाकर्षण में क्वांटम उतार-चढ़ाव के कारण स्पेसटाइम की मौलिक दानेदारता से जोड़ा जा सकता है। कण अंतःक्रियाओं के सिद्धांतों का कट-ऑफ पैमाना वर्तमान प्रयोगों से बहुत आगे है। भले ही उस पैमाने पर सिद्धांत बहुत जटिल थे, जब तक कि इसके युग्मन पर्याप्त रूप से कमजोर हों, इसे कम ऊर्जा पर एक पुनर्सामान्यीकरण प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत  द्वारा वर्णित किया जाना चाहिए। पुनर्सामान्यीकरण योग्य और गैर-असामान्यीकरणीय सिद्धांतों के बीच अंतर यह है कि पूर्व उच्च ऊर्जाओं के विवरण के प्रति असंवेदनशील होते हैं, जबकि बाद वाले उन पर निर्भर करते हैं। इस दृष्टिकोण के अनुसार, गैर-सामान्यीकरण योग्य सिद्धांतों को एक अधिक मौलिक सिद्धांत के कम ऊर्जा वाले प्रभावी सिद्धांतों के रूप में देखा जाना चाहिए। कट-ऑफ निकालने में विफलता $Λ$ इस तरह के सिद्धांत में गणना से केवल यह संकेत मिलता है कि नई भौतिक घटनाएं ऊपर के पैमाने पर दिखाई देती हैं $Λ$, जहां एक नया सिद्धांत आवश्यक है।

अन्य सिद्धांत
पूर्ववर्ती खंडों में उल्लिखित परिमाणीकरण और पुनर्सामान्यीकरण प्रक्रियाएं मुक्त सिद्धांत और चतुर्थक अंतःक्रिया के लिए की जाती हैं|$Λ$ वास्तविक अदिश क्षेत्र का सिद्धांत। इसी तरह की प्रक्रिया अन्य प्रकार के क्षेत्रों के लिए भी की जा सकती है, जिसमें जटिल संख्या स्केलर फ़ील्ड, वेक्टर फ़ील्ड और डिराक फ़ील्ड, साथ ही साथ अन्य प्रकार के इंटरैक्शन शब्द शामिल हैं, जिसमें इलेक्ट्रोमैग्नेटिक इंटरैक्शन और युकावा इंटरैक्शन शामिल हैं।

एक उदाहरण के रूप में, क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स में एक डिराक क्षेत्र होता है $ϕ^{4}$ इलेक्ट्रॉन  क्षेत्र और एक वेक्टर क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करना $ψ$ विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र (फोटॉन क्षेत्र) का प्रतिनिधित्व। (इसके नाम के बावजूद, क्वांटम विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र वास्तव में शास्त्रीय विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के बजाय शास्त्रीय विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता से मेल खाता है।) पूर्ण QED लैग्रैन्जियन घनत्व है:
 * $$\mathcal{L} = \bar\psi\left(i\gamma^\mu\partial_\mu - m\right)\psi - \frac 14 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} - e\bar\psi\gamma^\mu\psi A_\mu,$$

कहाँ पे $A^{μ}$ डिराक मैट्रिसेस  हैं, $$\bar\psi = \psi^\dagger\gamma^0$$, तथा $$F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$$  विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की ताकत  है। इस सिद्धांत में पैरामीटर हैं (नंगे) इलेक्ट्रॉन द्रव्यमान $γ^{μ}$ और (नंगे) प्राथमिक प्रभार $m$. लैग्रैन्जियन घनत्व में पहला और दूसरा शब्द क्रमशः मुक्त डिराक क्षेत्र और मुक्त वेक्टर क्षेत्रों के अनुरूप है। अंतिम शब्द इलेक्ट्रॉन और फोटॉन क्षेत्रों के बीच बातचीत का वर्णन करता है, जिसे मुक्त सिद्धांतों से परेशानी के रूप में माना जाता है।

ऊपर दिखाया गया QED में ट्री-स्तरीय फेनमैन आरेख का एक उदाहरण है। यह एक इलेक्ट्रॉन और एक पॉज़िट्रॉन को नष्ट करने का वर्णन करता है, एक ऑफ-शैल  फोटॉन बनाता है, और फिर इलेक्ट्रॉन और पॉज़िट्रॉन की एक नई जोड़ी में क्षय होता है। समय बाएं से दाएं चलता है। समय में आगे की ओर इशारा करते हुए तीर पॉज़िट्रॉन के प्रसार का प्रतिनिधित्व करते हैं, जबकि समय में पीछे की ओर इशारा करते हुए इलेक्ट्रॉनों के प्रसार का प्रतिनिधित्व करते हैं। एक लहरदार रेखा एक फोटॉन के प्रसार का प्रतिनिधित्व करती है। QED फेनमैन आरेखों में प्रत्येक शीर्ष पर एक आवक और एक जावक फ़र्मियन (पॉज़िट्रॉन/इलेक्ट्रॉन) पैर के साथ-साथ एक फोटॉन लेग भी होना चाहिए।

गेज समरूपता
यदि प्रत्येक स्पेसटाइम बिंदु पर फ़ील्ड में निम्न परिवर्तन किया जाता है $e$ (एक स्थानीय परिवर्तन), तो QED Lagrangian अपरिवर्तित, या अपरिवर्तनीय रहता है:
 * $$\psi(x) \to e^{i\alpha(x)}\psi(x),\quad A_\mu(x) \to A_\mu(x) + ie^{-1} e^{-i\alpha(x)}\partial_\mu e^{i\alpha(x)},$$

कहाँ पे $x$ स्पेसटाइम निर्देशांक का कोई भी कार्य है। यदि किसी सिद्धांत का लैग्रेंजियन (या अधिक सटीक रूप से क्रिया (भौतिकी) ) एक निश्चित स्थानीय परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है, तो परिवर्तन को सिद्धांत के  गेज समरूपता  के रूप में जाना जाता है। गेज समरूपता प्रत्येक स्पेसटाइम बिंदु पर एक  समूह (गणित)  बनाती है। QED के मामले में, दो अलग-अलग स्थानीय समरूपता परिवर्तनों का क्रमिक अनुप्रयोग $$e^{i\alpha(x)}$$ तथा $$e^{i\alpha'(x)}$$ अभी तक एक और समरूपता परिवर्तन है $$e^{i[\alpha(x)+\alpha'(x)]}$$. किसी के लिए $α(x)$, $$e^{i\alpha(x)}$$ का एक तत्व है $α(x)$ समूह, इस प्रकार QED कहा जाता है $U(1)$ गेज समरूपता। फोटॉन क्षेत्र $U(1)$ के रूप में संदर्भित किया जा सकता है $A_{μ}$ गेज बोसॉन।

$U(1)$ एक एबेलियन समूह  है, जिसका अर्थ है कि परिणाम समान है, चाहे जिस क्रम में इसके तत्वों को लागू किया गया हो। क्यूएफटी को  गैर-एबेलियन समूह ों पर भी बनाया जा सकता है, जिससे यांग-मिल्स सिद्धांत | गैर-एबेलियन गेज सिद्धांत (जिसे यांग-मिल्स सिद्धांत भी कहा जाता है) को जन्म दिया जाता है। क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स, जो मजबूत अंतःक्रिया का वर्णन करता है, एक गैर-एबेलियन गेज सिद्धांत है जिसमें a $U(1)$ गेज समरूपता। इसमें तीन Dirac क्षेत्र शामिल हैं $SU(3)$ क्वार्क फ़ील्ड के साथ-साथ आठ वेक्टर फ़ील्ड का प्रतिनिधित्व करना $ψ^{i}, i = 1,2,3$ ग्लूऑन क्षेत्रों का प्रतिनिधित्व करते हैं, जो हैं $A^{a,μ}, a = 1,...,8$ गेज बोसॉन। QCD लैग्रैन्जियन घनत्व है:
 * $$\mathcal{L} = i\bar\psi^i \gamma^\mu (D_\mu)^{ij} \psi^j - \frac 14 F_{\mu\nu}^aF^{a,\mu\nu} - m\bar\psi^i \psi^i,$$

कहाँ पे $SU(3)$ गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न  है:
 * $$D_\mu = \partial_\mu - igA_\mu^a t^a,$$

कहाँ पे $D_{μ}$ युग्मन स्थिरांक है, $g$ के आठ झूठ बीजगणित हैं $t^{a}$ मौलिक प्रतिनिधित्व  में ($SU(3)$ मैट्रिक्स),
 * $$F_{\mu\nu}^a = \partial_\mu A_\nu^a - \partial_\nu A_\mu^a + gf^{abc}A_\mu^b A_\nu^c,$$

तथा $3×3$ की संरचना स्थिरांक हैं $f^{abc}$. दोहराए गए सूचकांक $SU(3)$ आइंस्टीन संकेतन का पालन करने पर निहित रूप से अभिव्यक्त किया गया है। यह लग्रांगियन परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है:
 * $$\psi^i(x) \to U^{ij}(x)\psi^j(x),\quad A_\mu^a(x) t^a \to U(x)\left[A_\mu^a(x) t^a + ig^{-1} \partial_\mu\right]U^\dagger(x),$$

कहाँ पे $i,j,a$ का एक तत्व है $U(x)$ हर स्पेसटाइम पॉइंट. पर $SU(3)$:
 * $$U(x) = e^{i\alpha(x)^a t^a}.$$

समरूपता की पूर्ववर्ती चर्चा लैग्रेंजियन के स्तर पर है। दूसरे शब्दों में, ये शास्त्रीय समरूपता हैं। परिमाणीकरण के बाद, कुछ सिद्धांत अब अपनी शास्त्रीय समरूपता प्रदर्शित नहीं करेंगे, एक घटना जिसे विसंगति (भौतिकी)  कहा जाता है। उदाहरण के लिए, पथ में अभिन्न सूत्रीकरण, लैग्रैन्जियन घनत्व के अपरिवर्तनीय होने के बावजूद $$\mathcal{L}[\phi,\partial_\mu\phi]$$ खेतों के एक निश्चित स्थानीय परिवर्तन के तहत,  माप (गणित)  $\int\mathcal D\phi$  पथ का अभिन्न परिवर्तन हो सकता है। प्रकृति को सुसंगत होने का वर्णन करने वाले सिद्धांत के लिए, इसकी गेज समरूपता में कोई विसंगति नहीं होनी चाहिए। प्राथमिक कणों का मानक मॉडल समूह पर आधारित एक गेज सिद्धांत है $x$, जिसमें सभी विसंगतियां बिल्कुल रद्द हो जाती हैं। सामान्य सापेक्षता की सैद्धांतिक नींव,  तुल्यता सिद्धांत, को गेज समरूपता के एक रूप के रूप में भी समझा जा सकता है, जो सामान्य सापेक्षता को  लोरेंत्ज़ समूह  पर आधारित एक गेज सिद्धांत बनाता है। नोएदर के प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक निरंतर समरूपता, यानी समरूपता परिवर्तन में पैरामीटर असतत के बजाय निरंतर होने के कारण, एक संबंधित संरक्षण कानून की ओर जाता है। उदाहरण के लिए, $SU(3) × SU(2) × U(1)$ QED की समरूपता का तात्पर्य आवेश संरक्षण से है। गेज-रूपांतरण अलग-अलग क्वांटम राज्यों से संबंधित नहीं है। बल्कि, यह एक ही क्वांटम अवस्था के दो समकक्ष गणितीय विवरणों से संबंधित है। एक उदाहरण के रूप में, फोटॉन क्षेत्र $U(1)$चार-सदिश होने के कारण, स्वतंत्रता की चार स्पष्ट डिग्री होती है, लेकिन फोटॉन की वास्तविक स्थिति को फोटॉन ध्रुवीकरण  के अनुरूप इसकी दो डिग्री स्वतंत्रता द्वारा वर्णित किया जाता है। स्वतंत्रता के शेष दो अंशों को निरर्थक कहा जाता है - जाहिर तौर पर लिखने के अलग-अलग तरीके $A^{μ}$ गेज परिवर्तन द्वारा एक दूसरे से संबंधित हो सकते हैं और वास्तव में फोटॉन क्षेत्र की उसी स्थिति का वर्णन कर सकते हैं। इस अर्थ में, गेज इनवेरिएंस वास्तविक समरूपता नहीं है, बल्कि चुने हुए गणितीय विवरण की अतिरेक का प्रतिबिंब है। पथ इंटीग्रल फॉर्मूलेशन में गेज रिडंडेंसी के लिए खाते में, किसी को तथाकथित फद्दीव-पोपोव भूत | फद्दीव-पोपोव गेज फिक्सिंग  प्रक्रिया का प्रदर्शन करना चाहिए। गैर-एबेलियन गेज सिद्धांतों में, ऐसी प्रक्रिया भूत नामक नए क्षेत्रों का परिचय देती है। घोस्ट फील्ड्स के अनुरूप कणों को घोस्ट पार्टिकल्स कहा जाता है, जिन्हें बाहरी रूप से नहीं पहचाना जा सकता है। फडदेव-पोपोव प्रक्रिया का अधिक कठोर सामान्यीकरण  BRST परिमाणीकरण  द्वारा दिया गया है।

सहज समरूपता-तोड़ना
स्वतःस्फूर्त समरूपता तोड़ना एक ऐसा तंत्र है जिसके द्वारा लैग्रेंजियन की समरूपता का उल्लंघन इसके द्वारा वर्णित प्रणाली द्वारा किया जाता है। तंत्र को स्पष्ट करने के लिए, एक रैखिक सिग्मा मॉडल पर विचार करें जिसमें $A^{μ}$ वास्तविक अदिश क्षेत्र, लैग्रैन्जियन घनत्व द्वारा वर्णित:
 * $$\mathcal{L} = \frac 12 \left(\partial_\mu\phi^i\right)\left(\partial^\mu\phi^i\right) + \frac 12 \mu^2 \phi^i\phi^i - \frac{\lambda}{4} \left(\phi^i\phi^i\right)^2,$$

कहाँ पे $N$ तथा $μ$ वास्तविक पैरामीटर हैं। सिद्धांत स्वीकार करता है a $λ$ वैश्विक समरूपता:
 * $$\phi^i \to R^{ij}\phi^j,\quad R\in\mathrm{O}(N).$$

शास्त्रीय सिद्धांत की निम्नतम ऊर्जा अवस्था (जमीनी अवस्था या निर्वात अवस्था) कोई एकसमान क्षेत्र है $O(N)$ संतुष्टि देने वाला
 * $$\phi_0^i \phi_0^i = \frac{\mu^2}{\lambda}.$$

व्यापकता के नुकसान के बिना, जमीनी स्थिति में रहने दें $ϕ_{0}$-वें दिशा:
 * $$\phi_0^i = \left(0,\cdots,0,\frac{\mu}{\sqrt{\lambda}}\right).$$

असली $N$ फ़ील्ड को फिर से लिखा जा सकता है:
 * $$\phi^i(x) = \left(\pi^1(x),\cdots,\pi^{N-1}(x),\frac{\mu}{\sqrt{\lambda}} + \sigma(x)\right),$$

और मूल लग्रांगियन घनत्व इस प्रकार है:
 * $$\mathcal{L} = \frac 12 \left(\partial_\mu\pi^k\right)\left(\partial^\mu\pi^k\right) + \frac 12 \left(\partial_\mu\sigma\right)\left(\partial^\mu\sigma\right) - \frac 12 \left(2\mu^2\right)\sigma^2 - \sqrt{\lambda}\mu\sigma^3 - \sqrt{\lambda}\mu\pi^k\pi^k\sigma - \frac{\lambda}{2} \pi^k\pi^k\sigma^2 - \frac{\lambda}{4}\left(\pi^k\pi^k\right)^2,$$

कहाँ पे $N$. असली $k = 1, ..., N − 1$ वैश्विक समरूपता अब केवल उपसमूह छोड़कर प्रकट नहीं होती है $O(N)$. स्वतःस्फूर्त समरूपता के टूटने से पहले की बड़ी समरूपता को छिपा हुआ या अनायास टूटा हुआ कहा जाता है। गोल्डस्टोन के प्रमेय में कहा गया है कि सहज समरूपता के टूटने के तहत, हर टूटी हुई निरंतर वैश्विक समरूपता एक बड़े पैमाने पर क्षेत्र की ओर ले जाती है जिसे गोल्डस्टोन बोसॉन कहा जाता है। उपरोक्त उदाहरण में, $O(N − 1)$ है $O(N)$ निरंतर समरूपता (इसके झूठ बीजगणित का आयाम), जबकि $N(N − 1)/2$ है $O(N − 1)$. टूटी हुई समरूपताओं की संख्या उनका अंतर है, $(N − 1)(N − 2)/2$, जो से मेल खाती है $N − 1$ बड़े पैमाने पर क्षेत्र $N − 1$. दूसरी ओर, जब एक गेज (वैश्विक के विपरीत) समरूपता अनायास टूट जाती है, तो परिणामस्वरूप गोल्डस्टोन बोसॉन को गेज बोसॉन के लिए एक अतिरिक्त डिग्री स्वतंत्रता बनकर संबंधित गेज बोसॉन द्वारा खा लिया जाता है। गोल्डस्टोन बोसॉन तुल्यता प्रमेय में कहा गया है कि उच्च ऊर्जा पर, लंबे समय तक ध्रुवीकृत विशाल गेज बोसॉन के उत्सर्जन या अवशोषण के लिए आयाम गोल्डस्टोन बोसॉन के उत्सर्जन या अवशोषण के आयाम के बराबर हो जाता है जिसे गेज बोसॉन द्वारा खाया गया था। लौह चुम्बकत्व के क्यूएफटी में, सहज समरूपता टूटना कम तापमान पर  चुंबकीय द्विध्रुव  के संरेखण की व्याख्या कर सकता है। प्राथमिक कणों के मानक मॉडल में, डब्ल्यू और जेड बोसॉन, जो अन्यथा गेज समरूपता के परिणामस्वरूप द्रव्यमान रहित होते हैं, हिग्स बोसोन के सहज समरूपता को तोड़ने के माध्यम से द्रव्यमान प्राप्त करते हैं, एक प्रक्रिया जिसे  हिग्स तंत्र  कहा जाता है।

सुपरसिमेट्री
प्रकृति में सभी प्रयोगात्मक रूप से ज्ञात समरूपताएं बोसॉन  को बोसॉन और  फर्मियन  को फर्मियन से संबंधित करती हैं। सिद्धांतकारों ने एक प्रकार की समरूपता के अस्तित्व की परिकल्पना की है, जिसे सुपरसिमेट्री कहा जाता है, जो बोसॉन और फ़र्मियन से संबंधित है। मानक मॉडल पोंकारे समूह का पालन करता है | पोंकारे समरूपता, जिसके जनरेटर स्पेसटाइम अनुवाद (ज्यामिति) हैं $π^{k}$ और लोरेंत्ज़ परिवर्तन $P^{μ}$. इन जेनरेटरों के अतिरिक्त, (3+1)-आयामों में सुपरसिमेट्री में अतिरिक्त जेनरेटर शामिल हैं $J_{μν}$सुपरचार्ज कहलाते हैं, जो स्वयं वेइल फर्मियन के रूप में परिवर्तित हो जाते हैं। इन सभी जनरेटर द्वारा उत्पन्न समरूपता समूह को सुपर-पोंकारे समूह के रूप में जाना जाता है। सामान्य तौर पर सुपरसिमेट्री जनरेटर के एक से अधिक सेट हो सकते हैं, $Q_{α}$, जो संबंधित उत्पन्न करता है $Q_{α}^{I}, I = 1, ..., N$ सुपरसिमेट्री, $N = 1$ सुपरसिमेट्री, और इसी तरह। सुपरसिमेट्री का निर्माण अन्य आयामों में भी किया जा सकता है, सुपरस्ट्रिंग सिद्धांत में इसके अनुप्रयोग के लिए विशेष रूप से (1+1) आयामों में। सुपर-पोंकारे समूह की कार्रवाई के तहत एक सुपरसिमेट्रिक सिद्धांत का लैग्रैंगियन अपरिवर्तनीय होना चाहिए। ऐसे सिद्धांतों के उदाहरणों में शामिल हैं: न्यूनतम सुपरसिमेट्रिक मानक मॉडल  (एमएसएसएम), एन = 4 सुपरसिमेट्रिक यांग-मिल्स सिद्धांत|$N = 2$ सुपरसिमेट्रिक यांग-मिल्स सिद्धांत, और सुपरस्ट्रिंग सिद्धांत। सुपरसिमेट्रिक सिद्धांत में, प्रत्येक फ़र्मियन में एक बोसोनिक सुपरपार्टनर होता है और इसके विपरीत। यदि सुपरसिमेट्री को स्थानीय समरूपता में बढ़ावा दिया जाता है, तो परिणामी गेज सिद्धांत सामान्य सापेक्षता का विस्तार है जिसे सुपरग्रेविटी कहा जाता है। सुपरसिमेट्री भौतिकी में कई मौजूदा समस्याओं का एक संभावित समाधान है। उदाहरण के लिए, मानक मॉडल की पदानुक्रम समस्या - क्यों हिग्स बोसोन के द्रव्यमान को विकिरण के रूप में ठीक नहीं किया जाता है (पुनर्सामान्यीकरण के तहत) बहुत उच्च पैमाने पर जैसे कि  ग्रैंड यूनिफाइड थ्योरी  या प्लैंक द्रव्यमान- को हिग्स क्षेत्र से संबंधित करके हल किया जा सकता है। और इसके सुपर-पार्टनर,  हिग्सिनो । फेनमैन आरेखों में हिग्स बोसोन लूप के कारण रेडिएटिव सुधार संबंधित हिग्सिनो लूप द्वारा रद्द कर दिए जाते हैं। सुपरसिमेट्री मानक मॉडल के साथ-साथ  गहरे द्रव्य  की प्रकृति में सभी गेज युग्मन स्थिरांक के भव्य एकीकरण के उत्तर भी प्रदान करती है। फिर भी,, प्रयोगों ने अभी तक सुपरसिमेट्रिक कणों के अस्तित्व के प्रमाण प्रदान नहीं किए हैं। यदि सुपरसिमेट्री प्रकृति की एक सच्ची समरूपता थी, तो यह एक टूटी हुई समरूपता होनी चाहिए, और समरूपता को तोड़ने की ऊर्जा वर्तमान के प्रयोगों से प्राप्त होने वाली ऊर्जा से अधिक होनी चाहिए।

अन्य स्पेसटाइम
$N = 4$ }} सिद्धांत, क्यूईडी, क्यूसीडी, साथ ही साथ संपूर्ण मानक मॉडल सभी एक (3+1)-आयामी मिंकोव्स्की अंतरिक्ष (3 स्थानिक और 1 समय आयाम) को उस पृष्ठभूमि के रूप में मानते हैं जिस पर क्वांटम क्षेत्र परिभाषित हैं। हालाँकि, QFT एक प्राथमिकता आयामों की संख्या और न ही स्पेसटाइम की ज्यामिति पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाता है।

संघनित पदार्थ भौतिकी में, QFT का उपयोग द्वि-आयामी इलेक्ट्रॉन गैस|(2+1)-आयामी इलेक्ट्रॉन गैसों का वर्णन करने के लिए किया जाता है। उच्च-ऊर्जा भौतिकी में, स्ट्रिंग सिद्धांत एक प्रकार का (1+1)-आयामी QFT है, जबकि कलुजा-क्लेन सिद्धांत कम आयामों में गेज सिद्धांतों का उत्पादन करने के लिए अतिरिक्त आयाम ों में गुरुत्वाकर्षण का उपयोग करता है। मिंकोव्स्की अंतरिक्ष में, फ्लैट मीट्रिक टेंसर (सामान्य सापेक्षता)  $ϕ^{4}$ Lagrangian में इंडेक्स स्पेसटाइम इंडेक्स को बढ़ाने और घटाने के लिए उपयोग किया जाता है, उदा।
 * $$A_\mu A^\mu = \eta_{\mu\nu} A^\mu A^\nu,\quad \partial_\mu\phi \partial^\mu\phi = \eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi \partial_\nu\phi,$$

कहाँ पे $η_{μν}$ का विलोम है $η^{μν}$ संतुष्टि देने वाला $η_{μν}$. दूसरी ओर घुमावदार स्पेसटाइम में क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के लिए, एक सामान्य मीट्रिक (जैसे कि ब्लैक होल  का वर्णन करने वाला श्वार्जस्चिल्ड मीट्रिक) का उपयोग किया जाता है:
 * $$A_\mu A^\mu = g_{\mu\nu} A^\mu A^\nu,\quad \partial_\mu\phi \partial^\mu\phi = g^{\mu\nu}\partial_\mu\phi \partial_\nu\phi,$$

कहाँ पे $η^{μρ}η_{ρν} = δ^{μ}_{ν}$ का विलोम है $g^{μν}$. एक वास्तविक अदिश क्षेत्र के लिए, एक सामान्य स्पेसटाइम पृष्ठभूमि में लैग्रैन्जियन घनत्व है
 * $$\mathcal{L} = \sqrt{|g|}\left(\frac 12 g^{\mu\nu} \nabla_\mu\phi \nabla_\nu\phi - \frac 12 m^2\phi^2\right),$$

कहाँ पे $g_{μν}$, तथा $g = det(g_{μν})$ सहसंयोजक व्युत्पन्न को दर्शाता है। QFT का लैग्रेंजियन, इसलिए इसके गणनात्मक परिणाम और भौतिक भविष्यवाणियां, स्पेसटाइम पृष्ठभूमि की ज्यामिति पर निर्भर करती हैं।

टोपोलॉजिकल क्वांटम फील्ड थ्योरी
क्यूएफटी के सहसंबंध कार्य और भौतिक भविष्यवाणियां स्पेसटाइम मीट्रिक पर निर्भर करती हैं $∇_{μ}$. क्यूएफटी के एक विशेष वर्ग के लिए जिसे टोपोलॉजिकल क्वांटम फील्ड थ्योरी (टीक्यूएफटी) कहा जाता है, सभी सहसंबंध कार्य स्पेसटाइम मीट्रिक में निरंतर परिवर्तन से स्वतंत्र होते हैं। घुमावदार स्पेसटाइम में क्यूएफटी आमतौर पर स्पेसटाइम बैकग्राउंड की ज्यामिति (स्थानीय संरचना) के अनुसार बदलते हैं, जबकि टीक्यूएफटी स्पेसटाइम  भिन्नरूपता  के तहत अपरिवर्तनीय होते हैं लेकिन स्पेसटाइम के टोपोलॉजी (वैश्विक संरचना) के प्रति संवेदनशील होते हैं। इसका मतलब यह है कि टीक्यूएफटी के सभी गणना परिणाम अंतर्निहित स्पेसटाइम के टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट हैं। चेर्न-साइमन्स सिद्धांत TQFT का एक उदाहरण है और इसका उपयोग क्वांटम गुरुत्व के मॉडल के निर्माण के लिए किया गया है। TQFT के अनुप्रयोगों में  भिन्नात्मक क्वांटम हॉल प्रभाव  और टोपोलॉजिकल क्वांटम कंप्यूटर शामिल हैं।  भिन्नात्मक कणों की विश्व रेखा प्रक्षेपवक्र (जिसे किसी के रूप में जाना जाता है) स्पेसटाइम में एक लिंक कॉन्फ़िगरेशन बना सकता है, जो भौतिकी में किसी के ब्रेडिंग आंकड़ों से संबंधित है गणित में लिंक इनवेरिएंट। टोपोलॉजिकल क्वांटम फील्ड थ्योरी (TQFTs) टोपोलॉजिकल क्वांटम मामलों के फ्रंटियर रिसर्च पर लागू होते हैं, जिसमें 2 + 1 स्पेसटाइम आयामों में चेर्न-सीमन्स-विटन गेज सिद्धांत, 3 + 1 स्पेसटाइम आयामों और उससे आगे के अन्य नए विदेशी TQFT शामिल हैं।

परेशान और गैर-परेशान तरीके
गड़बड़ी सिद्धांत (क्वांटम यांत्रिकी) का उपयोग करते हुए, बातचीत में भाग लेने वाले आभासी कणों की संख्या में एक श्रृंखला विस्तार द्वारा एक छोटे से अंतःक्रियात्मक शब्द के कुल प्रभाव को क्रम से अनुमानित किया जा सकता है। विस्तार में प्रत्येक शब्द को आभासी कणों के माध्यम से एक दूसरे के साथ बातचीत करने के लिए (भौतिक) कणों के एक संभावित तरीके के रूप में समझा जा सकता है, जिसे फेनमैन आरेख का उपयोग करके दृष्टि से व्यक्त किया जाता है। QED में दो इलेक्ट्रॉनों के बीच विद्युत चुम्बकीय बल  एक आभासी फोटॉन के प्रसार द्वारा (परेशान सिद्धांत में पहले क्रम में) का प्रतिनिधित्व करता है। इसी तरह, डब्ल्यू और जेड बोसॉन कमजोर बातचीत करते हैं, जबकि ग्लून्स मजबूत बातचीत करते हैं। विभिन्न आभासी कणों के आदान-प्रदान से जुड़े मध्यवर्ती राज्यों के योग के रूप में एक बातचीत की व्याख्या केवल गड़बड़ी सिद्धांत के ढांचे में समझ में आती है। इसके विपरीत, QFT में गैर-परेशान तरीके बिना किसी श्रृंखला विस्तार के अंतःक्रियात्मक लैग्रैंगियन को संपूर्ण मानते हैं। बातचीत करने वाले कणों के बजाय, इन विधियों ने 'टी हूफ्ट-पोल्याकोव मोनोपोल,  डोमेन दीवार, फ्लक्स ट्यूब और इंस्टेंटन जैसी अवधारणाओं को जन्म दिया है। क्यूएफटी के उदाहरण जो पूरी तरह से हल करने योग्य नहीं हैं, उनमें  अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत  का  न्यूनतम मॉडल (भौतिकी)  शामिल है। और थिरिंग मॉडल।

गणितीय कठोरता
कण भौतिकी और संघनित पदार्थ भौतिकी में अपनी जबरदस्त सफलता के बावजूद, QFT में ही एक औपचारिक गणितीय आधार का अभाव है। उदाहरण के लिए, हाग के प्रमेय के अनुसार, QFT के लिए एक अच्छी तरह से परिभाषित अंतःक्रियात्मक चित्र मौजूद नहीं है, जिसका अर्थ है कि QFT का गड़बड़ी सिद्धांत (क्वांटम यांत्रिकी), जो संपूर्ण फेनमैन आरेख विधि को रेखांकित करता है, मूल रूप से अपरिभाषित है। हालांकि, परेशान क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत, जिसके लिए केवल यह आवश्यक है कि मात्राएं बिना किसी अभिसरण आवश्यकताओं के औपचारिक शक्ति श्रृंखला के रूप में गणना योग्य हों, को कठोर गणितीय उपचार दिया जा सकता है। विशेष रूप से, केविन कॉस्टेलो  का मोनोग्राफ रीनॉर्मलाइजेशन और इफेक्टिव फील्ड थ्योरी गड़बड़ी संबंधी पुनर्सामान्यीकरण का एक कठोर सूत्रीकरण प्रदान करता है जो  लियो कडानोफ़, केनेथ जी विल्सन और  योसेफ पोल्चिंस्की  के प्रभावी-क्षेत्र सिद्धांत दृष्टिकोण दोनों को जोड़ता है, साथ ही गेज सिद्धांतों को मापने के लिए  रद्द करें-वेलिकोव्स्की  दृष्टिकोण के साथ। इसके अलावा, परेशान पथ-अभिन्न विधियों, आमतौर पर परिमित-आयामी एकीकरण सिद्धांत से प्रेरित औपचारिक कम्प्यूटेशनल विधियों के रूप में समझा जाता है, उनके परिमित-आयामी एनालॉग्स से एक ध्वनि गणितीय व्याख्या दी जा सकती है। 1950 के दशक से, सैद्धांतिक भौतिकविदों और गणितज्ञों ने गणितीय रूप से कठोर तरीके से सापेक्षतावादी क्यूएफटी के ठोस मॉडल के अस्तित्व को स्थापित करने और उनके गुणों का अध्ययन करने के लिए सभी क्यूएफटी को स्वयंसिद्ध ों के एक समूह में व्यवस्थित करने का प्रयास किया है। अध्ययन की इस पंक्ति को  रचनात्मक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत  कहा जाता है, जो  गणितीय भौतिकी  का एक उपक्षेत्र है।  जिसके परिणामस्वरूप  सीपीटी प्रमेय, स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय और गोल्डस्टोन के प्रमेय जैसे परिणाम सामने आए हैं, और दो और तीन स्पेसटाइम आयामों में कई परस्पर क्रिया करने वाले QFTs के गणितीय रूप से कठोर निर्माण के लिए, उदा। मनमानी बहुपद अंतःक्रियाओं के साथ द्वि-आयामी अदिश क्षेत्र सिद्धांत, चतुर्थक अंतःक्रिया के साथ त्रि-आयामी अदिश क्षेत्र सिद्धांत, आदि। सामान्य QFT की तुलना में, टोपोलॉजिकल क्वांटम फील्ड थ्योरी और कंफर्मल फील्ड थ्योरी गणितीय रूप से बेहतर समर्थित हैं - दोनों को  कोबर्डिज्म  के प्रतिनिधित्व (गणित) के ढांचे में वर्गीकृत किया जा सकता है। बीजगणितीय क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत QFT के स्वयंसिद्धीकरण के लिए एक और दृष्टिकोण है, जिसमें मूलभूत वस्तुएं स्थानीय संचालक और उनके बीच बीजगणितीय संबंध हैं। इस दृष्टिकोण का अनुसरण करने वाली स्वयंसिद्ध प्रणालियों में वाइटमैन स्वयंसिद्ध और हाग-कैस्टलर स्वयंसिद्ध शामिल हैं। वाइटमैन के सिद्धांतों को संतुष्ट करने वाले सिद्धांतों का निर्माण करने का एक तरीका ओस्टरवाल्डर-श्रेडर स्वयंसिद्धों का उपयोग करना है, जो एक वास्तविक समय सिद्धांत के लिए विश्लेषणात्मक निरंतरता  (विक रोटेशन) द्वारा एक  काल्पनिक समय  सिद्धांत से प्राप्त करने के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें देते हैं। यांग-मिल्स अस्तित्व और जन अंतर, मिलेनियम पुरस्कार समस्याओं में से एक, यांग-मिल्स सिद्धांत के अच्छी तरह से परिभाषित अस्तित्व की चिंता करता है। यांग-मिल्स सिद्धांत उपरोक्त सिद्धांतों द्वारा निर्धारित किए गए हैं। समस्या का पूरा विवरण इस प्रकार है। "Prove that for any compact simple gauge group $g_{μν}$, a non-trivial quantum Yang–Mills theory exists on $\mathbb{R}^4$ and has a mass gap $G$. Existence includes establishing axiomatic properties at least as strong as those cited in, and."

यह भी देखें

 * अब्राहम-लोरेंत्ज़ बल
 * विज्ञापन/सीएफटी पत्राचार
 * स्वयंसिद्ध क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत
 * क्वांटम यांत्रिकी का परिचय
 * क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में सामान्य समाकलन
 * अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत
 * रचनात्मक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत
 * डिराक का समीकरण
 * फॉर्म फैक्टर (क्वांटम फील्ड थ्योरी)
 * फेनमैन आरेख
 * हरा-कुबो संबंध
 * ग्रीन का कार्य (कई-शरीर सिद्धांत)
 * समूह क्षेत्र सिद्धांत
 * जाली क्षेत्र सिद्धांत
 * क्वांटम क्षेत्र सिद्धांतों की सूची
 * स्थानीय क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत
 * गैर-अनुवांशिक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत
 * एक क्षेत्र (भौतिकी) का परिमाणीकरण (भौतिकी)
 * क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स
 * घुमावदार स्पेसटाइम में क्वांटम फील्ड थ्योरी
 * क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स
 * क्वांटम फ्लेवरडायनामिक्स
 * क्वांटम हैड्रोडायनामिक्स
 * क्वांटम हाइड्रोडायनामिक्स
 * क्वांटम तुच्छता
 * श्रोडिंगर के समीकरण और क्वांटम यांत्रिकी के पथ अभिन्न सूत्रीकरण के बीच संबंध
 * स्ट्रिंग सिद्धांत और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के बीच संबंध
 * श्विंगर-डायसन समीकरण
 * स्थैतिक बल और आभासी-कण विनिमय
 * क्वांटम यांत्रिकी में समरूपता
 * श्रोडिंगर समीकरण के लिए सैद्धांतिक और प्रायोगिक औचित्य
 * टोपोलॉजिकल क्वांटम फील्ड थ्योरी
 * वार्ड-ताकाहाशी पहचान
 * व्हीलर-फेनमैन अवशोषक सिद्धांत
 * विग्नर का वर्गीकरण
 * विग्नेर का प्रमेय

संदर्भ

 * Bibliography

अग्रिम पठन

 * General readers


 * Introductory texts


 * Lancaster, T., & Blundell, S. J. (2014). Quantum field theory for the gifted amateur. OUP Oxford. ISBN 9780199699339
 * Lancaster, T., & Blundell, S. J. (2014). Quantum field theory for the gifted amateur. OUP Oxford. ISBN 9780199699339
 * Lancaster, T., & Blundell, S. J. (2014). Quantum field theory for the gifted amateur. OUP Oxford. ISBN 9780199699339
 * Lancaster, T., & Blundell, S. J. (2014). Quantum field theory for the gifted amateur. OUP Oxford. ISBN 9780199699339
 * Lancaster, T., & Blundell, S. J. (2014). Quantum field theory for the gifted amateur. OUP Oxford. ISBN 9780199699339
 * Lancaster, T., & Blundell, S. J. (2014). Quantum field theory for the gifted amateur. OUP Oxford. ISBN 9780199699339
 * Lancaster, T., & Blundell, S. J. (2014). Quantum field theory for the gifted amateur. OUP Oxford. ISBN 9780199699339
 * Lancaster, T., & Blundell, S. J. (2014). Quantum field theory for the gifted amateur. OUP Oxford. ISBN 9780199699339
 * Lancaster, T., & Blundell, S. J. (2014). Quantum field theory for the gifted amateur. OUP Oxford. ISBN 9780199699339


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 * बातचीत तस्वीर
 * बीजीय क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत
 * मिलेनियम पुरस्कार की समस्याएं

बाहरी संबंध



 * Stanford Encyclopedia of Philosophy: "Quantum Field Theory", by Meinard Kuhlmann.
 * Siegel, Warren, 2005. Fields..
 * Quantum Field Theory by P. J. Mulders
 * Quantum Field Theory by P. J. Mulders