प्रतिस्थापन अभिगृहीत स्कीमा

सेट सिद्धांत में, प्रतिस्थापन की स्वयंसिद्ध स्कीमा ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धान्त (जेडएफ) में स्वयंसिद्धों की एक स्वयंसिद्ध स्कीमा है जो यह दावा करती है कि किसी निश्चित कार्यात्मक विधेय के तहत किसी भी सेट (गणित) की छवि (गणित) भी एक सेट है। ZF में कुछ अनंत सेटों के निर्माण के लिए यह आवश्यक है।

स्वयंसिद्ध स्कीमा इस विचार से प्रेरित है कि एक वर्ग (सेट सिद्धांत) एक सेट है या नहीं, यह केवल वर्ग की प्रमुखता पर निर्भर करता है, इसके तत्वों के रैंक (सेट सिद्धांत) पर नहीं। इस प्रकार, यदि एक वर्ग एक सेट होने के लिए काफी छोटा है, और उस वर्ग से दूसरे वर्ग के लिए एक विशेषण है, तो स्वयंसिद्ध कहता है कि दूसरा वर्ग भी एक सेट है। हालाँकि, क्योंकि ZFC केवल सेटों की बात करता है, उचित वर्गों की नहीं, स्कीमा को केवल निश्चित अनुमानों के लिए कहा जाता है, जिन्हें उनके परिभाषित अच्छी तरह से तैयार किए गए फॉर्मूले से पहचाना जाता है।

कथन
कल्पना करना $$P$$ एक निश्चित द्विआधारी संबंध (गणित) है (जो एक उचित वर्ग हो सकता है) जैसे कि हर सेट के लिए $$x$$ एक अनूठा सेट है $$y$$ ऐसा है कि $$P(x,y)$$ रखती है। एक संबंधित निश्चित कार्य है $$F_P$$, कहाँ $$F_P(x)=y$$ अगर और केवल अगर $$P(x,y)$$. (संभवतः उचित) वर्ग पर विचार करें $$B$$ इस तरह परिभाषित किया गया है कि हर सेट के लिए $$y$$, $$y\in B$$ अगर और केवल अगर कोई है $$x\in A$$ साथ $$F_P(x)=y$$. $$B$$ की छवि कहलाती है $$A$$ अंतर्गत $$F_P$$, और निरूपित $$F_P[A]$$ या (सेट-बिल्डर नोटेशन का उपयोग करके) $$\{F_P(x):x\in A\}$$.

प्रतिस्थापन की स्वयंसिद्ध स्कीमा बताती है कि यदि $$F$$ उपरोक्त के रूप में एक परिभाषित वर्ग कार्य है, और $$A$$ कोई सेट है, तो छवि $$F[A]$$ भी एक सेट है। इसे लघुता के सिद्धांत के रूप में देखा जा सकता है: स्वयंसिद्ध कहता है कि यदि $$A$$ एक सेट होने के लिए काफी छोटा है, तो $$F[A]$$ एक सेट होने के लिए भी काफी छोटा है। यह आकार की सीमा के मजबूत स्वयंसिद्ध द्वारा निहित है।

चूंकि प्रथम-क्रम तर्क में निश्चित कार्यों को मापना असंभव है, प्रत्येक सूत्र के लिए स्कीमा का एक उदाहरण शामिल है $$\phi$$ मुक्त चर के साथ सेट सिद्धांत की भाषा में $$w_1,\dotsc,w_n,A,x,y$$; लेकिन $$B$$ में मुक्त नहीं है $$\phi$$. समुच्चय सिद्धांत की औपचारिक भाषा में, स्वयंसिद्ध स्कीमा है:
 * $$\begin{align}

\forall w_1,\ldots,w_n \, \forall A \, ( [ \forall x \in A &\, \exists ! y \, \phi(x, y, w_1, \ldots, w_n, A) ]\ \Longrightarrow\ \exists B \, \forall y \, [y \in B \Leftrightarrow \exists x \in A \, \phi(x, y, w_1, \ldots, w_n, A) ] ) \end{align}$$ अर्थ के लिए $$\exists!$$, विशिष्टता मात्रा का ठहराव देखें।

स्पष्टता के लिए, कोई चर नहीं होने की स्थिति में $$w_i$$, यह सरल करता है:
 * $$\begin{align}

\forall A \, ( [ \forall x \in A &\, \exists ! y \, \phi(x, y, A) ]\ \Longrightarrow\ \exists B \, \forall y \, [y \in B \Leftrightarrow \exists x \in A \, \phi(x, y, A) ] ) \end{align}$$ तो जब भी $$\phi$$ अद्वितीय निर्दिष्ट करता है $$x$$-को-$$y$$ पत्राचार, एक समारोह के समान $$F$$ पर $$A$$, फिर सब $$y$$ इस तरह से पहुंचे एक सेट में एकत्र किया जा सकता है $$B$$, के सदृश $$F[A]$$.

अनुप्रयोग
सामान्य गणित के अधिकांश प्रमेयों के प्रमाण के लिए प्रतिस्थापन की स्वयंसिद्ध योजना आवश्यक नहीं है। दरअसल, ज़र्मेलो सेट सिद्धांत (जेड) पहले से ही दूसरे क्रम के अंकगणित की व्याख्या कर सकता है और परिमित प्रकारों में बहुत से प्रकार के सिद्धांत की व्याख्या कर सकता है, जो बदले में गणित के थोक को औपचारिक रूप देने के लिए पर्याप्त हैं। यद्यपि प्रतिस्थापन का स्वयंसिद्ध स्कीमा आज सेट सिद्धांत में एक मानक स्वयंसिद्ध है, यह अक्सर प्रकार सिद्धांत और topos थ्योरी में फाउंडेशन सिस्टम की प्रणालियों से छोड़ा जाता है।

किसी भी दर पर, अभिगृहीत स्कीमा ZF की शक्ति को काफी हद तक बढ़ा देती है, दोनों प्रमेयों के संदर्भ में यह सिद्ध कर सकती है - उदाहरण के लिए दिखाए गए सेट मौजूद हैं - और Z की तुलना में इसकी प्रमाण-सैद्धांतिक स्थिरता शक्ति के संदर्भ में भी। कुछ महत्वपूर्ण उदाहरणों का पालन करें:


 * जॉन वॉन न्यूमैन की आधुनिक परिभाषा का उपयोग करते हुए, ω से अधिक किसी भी सीमा क्रमसूचक के अस्तित्व को साबित करने के लिए प्रतिस्थापन अभिगृहीत की आवश्यकता होती है। क्रमसूचक संख्या ω·2 = ω + ω ऐसी पहली क्रमसूचक संख्या है। अनंत का अभिगृहीत अनंत समुच्चय ω = {0, 1, 2, ...} के अस्तित्व पर बल देता है। कोई ω·2 को अनुक्रम {ω, ω + 1, ω + 2,...} के संघ के रूप में परिभाषित करने की उम्मीद कर सकता है। हालांकि, ऑर्डिनल्स के ऐसे वर्ग (सेट थ्योरी) के मनमाना सेट होने की आवश्यकता नहीं है - उदाहरण के लिए, सभी ऑर्डिनल्स का वर्ग सेट नहीं है। प्रतिस्थापन अब ω में प्रत्येक परिमित संख्या n को संगत ω + n से बदलने की अनुमति देता है, और इस प्रकार यह गारंटी देता है कि यह वर्ग एक समुच्चय है। एक स्पष्टीकरण के रूप में, ध्यान दें कि प्रतिस्थापन का सहारा लिए बिना आसानी से एक सुव्यवस्थित सेट का निर्माण किया जा सकता है जो ω·2 के लिए आइसोमॉर्फिक है - बस ω की दो प्रतियों के असंयुक्त संघ को लें, दूसरी प्रतिलिपि पहली से बड़ी है - लेकिन यह एक क्रमसूचक नहीं है क्योंकि यह समावेशन द्वारा पूरी तरह से आदेशित नहीं है।
 * बड़े अध्यादेश सीधे कम प्रतिस्थापन पर निर्भर करते हैं। उदाहरण के लिए, ω1, पहला बेशुमार क्रमसूचक, निम्नानुसार बनाया जा सकता है - गणनीय कुओं के आदेशों का सेट एक सबसेट के रूप में मौजूद है $$P({\mathbb N}\times {\mathbb N})$$ अलगाव के स्वयंसिद्ध और शक्ति सेट के स्वयंसिद्ध द्वारा (ए पर एक द्विआधारी संबंध का एक उपसमुच्चय है $$A\times A$$, और इसलिए सत्ता स्थापित का एक तत्व $$P(A\times A)$$. संबंधों का एक सेट इस प्रकार का एक सबसेट है $$P(A\times A)$$)). प्रत्येक सुव्यवस्थित सेट को उसके क्रमसूचक से बदलें। यह काउंटेबल ऑर्डिनल्स ω का सेट है1, जिसे स्वयं बेशुमार दिखाया जा सकता है। निर्माण दो बार प्रतिस्थापन का उपयोग करता है; एक बार प्रत्येक सुव्यवस्थित सेट के लिए एक क्रमिक असाइनमेंट सुनिश्चित करने के लिए और फिर से उनके ऑर्डर्स द्वारा अच्छी तरह से ऑर्डर किए गए सेटों को बदलने के लिए। यह हार्टोग्स संख्या के परिणाम का एक विशेष मामला है, और सामान्य मामले को इसी तरह सिद्ध किया जा सकता है।
 * उपरोक्त के आलोक में, प्रत्येक सुव्यवस्थित सेट के लिए एक क्रमसूचक के असाइनमेंट के अस्तित्व के लिए भी प्रतिस्थापन की आवश्यकता होती है। इसी तरह वॉन न्यूमैन कार्डिनल असाइनमेंट जो प्रत्येक सेट के लिए एक बुनियादी संख्या प्रदान करता है, प्रतिस्थापन की आवश्यकता होती है, साथ ही पसंद का स्वयंसिद्ध भी।
 * पुनरावर्ती रूप से परिभाषित टुपल्स के सेट के लिए $$A^n=A^{n-1}\times A$$ और बड़े के लिए $$A$$, सेट $$\{A^n\mid n\in {\mathbb N}\}$$ सत्ता सेट, पसंद और बिना प्रतिस्थापन के केवल सिद्धांत के साथ सेट सिद्धांत से साबित होने के लिए अपने अस्तित्व के लिए एक रैंक का बहुत ऊंचा है।
 * इसी तरह, हार्वे फ्रीडमैन ने दिखाया कि बोरेल सेट निर्धारक हैं, यह दिखाने के लिए प्रतिस्थापन की आवश्यकता है। सिद्ध परिणाम डोनाल्ड ए. मार्टिन की बोरेल निर्धारकता प्रमेय है।
 * ZF प्रतिस्थापन के साथ सेट V के रूप में Z की संगति को सिद्ध करता हैω·2 Z का एक मॉडल (तर्क) है जिसका अस्तित्व ZF में सिद्ध किया जा सकता है। कार्डिनल संख्या $$\aleph_\omega$$ पहला ऐसा है जिसे ZF में मौजूद दिखाया जा सकता है लेकिन Z में नहीं। स्पष्टीकरण के लिए, ध्यान दें कि गोडेल की दूसरी अपूर्णता प्रमेय से पता चलता है कि इनमें से प्रत्येक सिद्धांत में एक वाक्य है, जो सिद्धांत की अपनी निरंतरता को व्यक्त करता है, जो उस सिद्धांत में असाध्य है, यदि वह सिद्धांत सुसंगत है - इस परिणाम को अक्सर शिथिल रूप से इस दावे के रूप में व्यक्त किया जाता है कि इनमें से कोई भी सिद्धांत अपनी निरंतरता साबित नहीं कर सकता है, यदि यह सुसंगत है।

संग्रह
संग्रह की स्वयंसिद्ध स्कीमा बारीकी से संबंधित है और अक्सर प्रतिस्थापन की स्वयंसिद्ध स्कीमा के साथ भ्रमित होती है। ZF अभिगृहीतों के शेष भाग पर, यह प्रतिस्थापन की अभिगृहीत स्कीमा के समतुल्य है। पावर सेट स्वयंसिद्ध या इसके रचनात्मक सेट सिद्धांत के अभाव में संग्रह का स्वयंसिद्ध प्रतिस्थापन से अधिक मजबूत है, लेकिन IZF के ढांचे में कमजोर है, जिसमें बहिष्कृत मध्य के कानून का अभाव है।

जबकि प्रतिस्थापन को यह कहने के लिए पढ़ा जा सकता है कि किसी फ़ंक्शन की छवि एक सेट है, संग्रह संबंधों की छवियों के बारे में बोलता है और फिर केवल यह कहता है कि संबंध की छवि का कुछ सुपरसेट एक सेट है। दूसरे शब्दों में, परिणामी सेट $$B$$ इसकी कोई न्यूनतम आवश्यकता नहीं है, यानी इस संस्करण में विशिष्टता की आवश्यकता भी नहीं है $$\phi$$. अर्थात्, द्वारा परिभाषित संबंध $$\phi$$ एक समारोह होने की आवश्यकता नहीं है - some $$x\in A$$ कई के अनुरूप हो सकता है $$y$$में है $$B$$. इस मामले में, छवि सेट $$B$$ जिनके अस्तित्व पर जोर दिया गया है उनमें कम से कम एक ऐसा होना चाहिए $$y$$ प्रत्येक के लिए $$x$$ मूल सेट में, इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि इसमें केवल एक ही होगा।

मान लीजिए कि के मुक्त चर $$\phi$$ बीच में हैं $$w_1,\dotsc,w_n,x,y$$; लेकिन नहीं $$A$$ और न $$B$$ में मुक्त है $$\phi$$. तब स्वयंसिद्ध स्कीमा है:

\forall w_1,\ldots,w_n \,[(\forall x\, \exists\, y \phi(x, y, w_1, \ldots, w_n)) \Rightarrow \forall A\, \exists B\, \forall x \in A\, \exists y \in B\, \phi(x, y, w_1, \ldots, w_n)] $$ स्वयंसिद्ध स्कीमा को कभी-कभी पूर्व प्रतिबंधों के बिना कहा जाता है (इसके अलावा $$B$$ में मुक्त नहीं हो रहा है $$\phi$$) विधेय पर, $$\phi$$:

\forall w_1,\ldots,w_n \, \forall A\, \exists B\,\forall x \in A\, [ \exists y \phi(x, y, w_1, \ldots, w_n) \Rightarrow \exists y \in B\,\phi(x, y, w_1, \ldots, w_n)] $$ इस मामले में तत्व हो सकते हैं $$x$$ में $$A$$ जो किसी अन्य सेट से संबद्ध नहीं हैं $$\phi$$. हालाँकि, जैसा कि कहा गया है, स्वयंसिद्ध स्कीमा के लिए आवश्यक है कि, यदि कोई तत्व $$x$$ का $$A$$ कम से कम एक सेट से जुड़ा हुआ है $$y$$, फिर छवि सेट $$B$$ कम से कम एक ऐसा होगा $$y$$. परिणामी अभिगृहीत स्कीमा को परिबद्धता का स्वयंसिद्ध स्कीमा भी कहा जाता है।

जुदाई
जुदाई का स्वयंसिद्ध स्कीमा, ZFC में अन्य स्वयंसिद्ध स्कीमा, प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध स्कीमा और खाली सेट के स्वयंसिद्ध द्वारा निहित है। याद करें कि पृथक्करण की अभिगृहीत स्कीमा में शामिल हैं
 * $$\forall A\, \exists B\, \forall C\, (C \in B \Leftrightarrow [C \in A \land \theta(C)])$$

प्रत्येक सूत्र के लिए $$\theta$$ जिसमें सेट सिद्धांत की भाषा में $$B$$ मुक्त नहीं है।

प्रमाण इस प्रकार है। एक सूत्र से शुरू करें $$\theta(C)$$ जिसका उल्लेख नहीं है $$B$$, और एक सेट $$A$$. यदि कोई तत्व नहीं है $$E$$ का $$A$$ संतुष्ट $$\theta(E)$$ फिर सेट $$B$$ अलगाव के स्वयंसिद्ध स्कीमा के प्रासंगिक उदाहरण द्वारा वांछित खाली सेट है। अन्यथा, एक निश्चित चुनें $$E$$ में $$A$$ ऐसा है कि $$\theta(E)$$ रखती है। क्लास फंक्शन को परिभाषित कीजिए $$F$$ ऐसा कि, किसी भी तत्व के लिए $$D$$, $$F(D)=D$$ अगर $$\theta(D)$$ रखता है और $$F(D)=E$$ अगर $$\theta(D)$$ गलत है। फिर की छवि $$A$$ अंतर्गत $$F$$, यानी, सेट $$B = F''A := \{F(x):x\in A\}=A\cap\{x:\theta(x)\}$$, मौजूद है (प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध द्वारा) और ठीक सेट है $$B$$ अलगाव के स्वयंसिद्ध के लिए आवश्यक।

इस परिणाम से पता चलता है कि ZFC को एकल अनंत स्वयंसिद्ध स्कीमा के साथ स्वयंसिद्ध करना संभव है। क्योंकि कम से कम एक ऐसी अनंत स्कीमा की आवश्यकता होती है (ZFC सूक्ष्म रूप से स्वयंसिद्ध नहीं है), यह दर्शाता है कि यदि वांछित हो तो प्रतिस्थापन का स्वयंसिद्ध स्कीमा ZFC में एकमात्र अनंत स्वयंसिद्ध स्कीमा के रूप में खड़ा हो सकता है। क्योंकि अलगाव की स्वयंसिद्ध योजना स्वतंत्र नहीं है, इसे कभी-कभी ज़र्मेलो-फ्रेंकेल स्वयंसिद्धों के समकालीन बयानों से हटा दिया जाता है।

जुदाई अभी भी महत्वपूर्ण है, तथापि, ZFC के टुकड़ों में उपयोग के लिए, ऐतिहासिक विचारों के कारण, और सेट सिद्धांत के वैकल्पिक स्वयंसिद्धों के साथ तुलना के लिए। सेट सिद्धांत का एक सूत्रीकरण जिसमें प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध को शामिल नहीं किया गया है, यह सुनिश्चित करने के लिए पृथक्करण के स्वयंसिद्ध के कुछ रूप शामिल होंगे, यह सुनिश्चित करने के लिए कि इसके मॉडल में सेटों का पर्याप्त समृद्ध संग्रह है। सेट सिद्धांत के मॉडल के अध्ययन में, कभी-कभी प्रतिस्थापन के बिना ZFC के मॉडल पर विचार करना उपयोगी होता है, जैसे कि मॉडल $$V_\delta$$ वॉन न्यूमैन के पदानुक्रम में।

उपरोक्त प्रमाण अपवर्जित मध्य के कानून का उपयोग यह मानने में करता है कि यदि $$A$$ nonempty है तो इसमें एक तत्व होना चाहिए (अंतर्ज्ञानवादी तर्क में, एक सेट खाली है यदि इसमें कोई तत्व नहीं है, और nonempty इसका औपचारिक निषेध है, जो तत्व से कमजोर है)। अलगाव का स्वयंसिद्ध रचनात्मक सेट सिद्धांत में शामिल है।

इतिहास
प्रतिस्थापन का स्वयंसिद्ध स्कीमा अर्नेस्ट ज़र्मेलो के 1908 के सेट सिद्धांत (जेड) के स्वयंसिद्धीकरण का हिस्सा नहीं था। इसका कुछ अनौपचारिक सन्निकटन जॉर्ज कैंटर के अप्रकाशित कार्यों में मौजूद था, और यह फिर से अनौपचारिक रूप से मिरीमनॉफ (1917) में दिखाई दिया।

1922 में अब्राहम फ्रेंकेल द्वारा इसका प्रकाशन आधुनिक सेट सिद्धांत ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत ('ZFC') बनाता है। स्वयंसिद्ध स्वतंत्र रूप से उसी वर्ष (और 1923 में प्रकाशित) में थोराल्फ़ स्कोलेम द्वारा स्वतंत्र रूप से खोजा और घोषित किया गया था। ज़र्मेलो ने स्वयं फ्रेंकेल के स्वयंसिद्ध को 1930 में प्रकाशित अपनी संशोधित प्रणाली में शामिल किया, जिसमें नींव के एक नए स्वयंसिद्ध वॉन न्यूमैन के स्वयंसिद्ध के रूप में भी शामिल था। हालाँकि यह स्कोलेम का स्वयंसिद्ध सूची का पहला क्रम संस्करण है जिसका हम आज उपयोग करते हैं, उन्हें आमतौर पर कोई श्रेय नहीं मिलता है क्योंकि प्रत्येक व्यक्तिगत स्वयंसिद्ध को पहले ज़र्मेलो या फ्रेंकेल द्वारा विकसित किया गया था। वाक्यांश "ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी" का उपयोग पहली बार 1928 में वॉन न्यूमैन द्वारा प्रिंट में किया गया था। ज़र्मेलो और फ्रेंकेल ने 1921 में भारी पत्राचार किया था; प्रतिस्थापन का स्वयंसिद्ध इस आदान-प्रदान का एक प्रमुख विषय था। फ्रेंकेल ने मार्च 1921 में ज़र्मेलो के साथ पत्राचार शुरू किया। 6 मई 1921 से पहले के उनके पत्र हालांकि खो गए हैं। ज़र्मेलो ने पहली बार 9 मई 1921 को फ्रेंकेल के जवाब में अपने सिस्टम में एक अंतर को स्वीकार किया। 10 जुलाई 1921 को, फ्रेंकेल ने एक पेपर (1922 में प्रकाशित) को पूरा किया और प्रकाशन के लिए प्रस्तुत किया, जिसमें उनके स्वयंसिद्ध को मनमाना प्रतिस्थापन की अनुमति देने के रूप में वर्णित किया गया था: यदि एम एक है सेट और M के प्रत्येक तत्व को [एक सेट या एक यूरेलेमेंट] से बदल दिया जाता है, फिर M फिर से एक सेट में बदल जाता है (एबिंगहॉस द्वारा कोष्ठकीय समापन और अनुवाद)। फ्रेंकेल के 1922 के प्रकाशन ने ज़र्मेलो को उपयोगी तर्कों के लिए धन्यवाद दिया। इस प्रकाशन से पहले, फ्रेंकेल ने सार्वजनिक रूप से 22 सितंबर 1921 को जेना में आयोजित जर्मन गणितीय सोसायटी की बैठक में अपनी नई स्वयंसिद्ध की घोषणा की। इस बैठक में ज़र्मेलो उपस्थित थे; फ्रेंकेल की चर्चा के बाद की चर्चा में उन्होंने सामान्य शब्दों में प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध को स्वीकार किया, लेकिन इसकी सीमा के संबंध में संदेह व्यक्त किया।

6 जुलाई 1922 को हेलसिंकी में आयोजित स्कैंडिनेवियाई गणितज्ञों की 5वीं कांग्रेस में दिए गए एक भाषण में थोराल्फ़ स्कोलेम ने जर्मेलो की प्रणाली में अंतराल की अपनी खोज को सार्वजनिक किया (वही अंतर जो फ्रेंकेल ने पाया था); इस कांग्रेस की कार्यवाही 1923 में प्रकाशित हुई थी। स्कोलेम ने प्रथम-क्रम निश्चित प्रतिस्थापन के संदर्भ में एक संकल्प प्रस्तुत किया: चलो यू एक निश्चित प्रस्ताव है जो डोमेन बी में कुछ जोड़े (ए, बी) के लिए है; आगे मान लें कि प्रत्येक a के लिए अधिक से अधिक एक b मौजूद है जैसे कि U सत्य है। फिर, सेट एम के तत्वों पर एक सीमा के रूप मेंa, b एक समुच्चय M के सभी तत्वों की श्रेणी में आता हैb. उसी वर्ष, फ्रेंकेल ने स्कोलेम के पेपर की समीक्षा लिखी, जिसमें फ्रेंकेल ने केवल यह कहा कि स्कोलेम के विचार उनके स्वयं के अनुरूप हैं।

ज़र्मेलो ने खुद कभी भी स्कोलेम के प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध स्कीमा के निर्माण को स्वीकार नहीं किया। एक बिंदु पर उन्होंने स्कोलेम के दृष्टिकोण को "गरीबों का सिद्धांत" कहा। ज़र्मेलो ने एक ऐसी प्रणाली की परिकल्पना की जो बड़े कार्डिनल्स के लिए अनुमति देगी। उन्होंने स्कोलेम के विरोधाभास #गणितीय समुदाय द्वारा स्वागत के दार्शनिक निहितार्थों पर भी कड़ी आपत्ति जताई, जो स्कोलेम के प्रथम-क्रम के स्वयंसिद्धकरण के बाद आया। हेंज-डाइटर एबिंगहॉस द्वारा ज़र्मेलो की जीवनी के अनुसार, ज़र्मेलो की स्कोलेम के दृष्टिकोण की अस्वीकृति ने सेट सिद्धांत और तर्क के विकास पर ज़र्मेलो के प्रभाव के अंत को चिह्नित किया।