वक्र

गणित में, वक्र (जिसे पुराने ग्रंथों में एक वक्रित रेखा भी कहा जाता है) एक रेखा के समान एक विषय है, परन्तु यह आवश्यक नहीं है कि वह सीधा हो।

सहज रूप से, किसी गतिमान बिंदु को एक स्थान से छोड़ने पर प्राप्त वक्रित रेखा के रूप में विचारित किया जा सकता है। यह वह परिभाषा है जो यूक्लिड के तत्वों में 2000 से भी अधिक वर्ष पहले दिखाई दी थी: "[वक्रित] रेखा [...] मात्रा की पहला वर्ग है, जिसका केवल एक ही आयाम होता है, अर्थात् लंबाई, बिना किसी चौड़ाई या गहराई के, तथा बिंदु के प्रवाह या भाग के अलावा तथा कुछ नहीं है जो [...] अपनी काल्पनिकता से लंबाई में कुछ अवशेष छोड़ देगा, किसी भी चौड़ाई से मुक्त होगा।"

आधुनिक गणित में वक्र की इस परिभाषा को औपचारिक रूप दिया गया है: वक्र एक अंतराल का प्रतिबिम्ब (इमेज) है जो एक सतत फलन द्वारा एक सांस्थितिक (टोपोलॉजिकल) समष्टि के लिए होता है। कुछ संदर्भों में, फलन जो वक्र को परिभाषित करता है उसे प्राचलीकरण (पैरामीट्रिजेशन) कहा जाता है, तथा वक्र एक पैरामीट्रिक वक्र होता है। इस लेख में, इन वक्रों को कभी-कभी सांस्थितिक वक्र कहा जाता है ताकि उन्हें अलग-अलग वक्रों जैसे अलग-अलग वक्रों से अलग किया जा सके। यह परिभाषा गणित में अध्ययन किए जाने वाले अधिकांश वक्रों को सम्मिलित करती है; उल्लेखनीय अपवाद स्तर वक्र हैं (जो वक्र तथा अलग-अलग बिंदुओं के संघ हैं), तथा बीजगणितीय वक्र (नीचे देखें)। स्तर वक्र तथा बीजगणितीय वक्रों को कभी-कभी अंतर्निहित वक्र कहा जाता है, क्योंकि वे सामान्यतः अंतर्निहित समीकरणों द्वारा परिभाषित होते हैं।

फिर भी, सांस्थितिक वक्रों का वर्गीकरण बहुत व्यापक होता है, तथा इसमें कुछ वक्र होते हैं जो किसी वक्र की अपेक्षा के अनुरूप नहीं दिखते हैं, या यहां तक कि खींचे नहीं जा सकते। यह स्थान-पूरक वक्र तथा भग्न वक्रों की स्थितियाँ है। अधिक नियमितता सुनिश्चित करने के लिए, वक्र को परिभाषित करने वाले फलन को प्रायः अवकलनीय माना जाता है, तथा वक्र को एक अवकलनीय वक्र कहा जाता है।

समतल बीजगणितीय वक्र दो अनिर्धारकों में बहुपद का शून्य समुच्चय होता है। सामान्यतः, एक बीजगणितीय वक्र बहुपदों के परिमित समुच्चय का शून्य समुच्चय होता है, जो एक आयाम के बीजगणितीय विविधता होने की आगे की स्थिति को पूरा करता है। यदि बहुपदों के गुणांक एक क्षेत्र $k$ से संबंधित हैं, तो वक्र को $k$ पर परिभाषित किया जाता है। एक वास्तविक बीजगणितीय वक्र के सामान्य स्थिति में, जहाँ $k$ वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र है, बीजगणितीय वक्र सांस्थितिक वक्रों का एक परिमित संघ है। जब जटिल शून्यों पर विचार किया जाता है, तो एक जटिल बीजगणितीय वक्र होता है, जो सांस्थितिक दृष्टिकोण से, एक वक्र नहीं है, बल्कि एक सतह है, तथा प्रायः इसे रीमैन सतह कहा जाता है। हालांकि सामान्य ज्ञान में वक्र नहीं होने के बावजूद, अन्य क्षेत्रों में परिभाषित बीजगणितीय वक्रों का व्यापक अध्ययन किया गया है। विशेष रूप से, आधुनिक क्रिप्टोग्राफी में सीमित क्षेत्र पर बीजगणितीय वक्रों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

इतिहास
वक्रों में रुचि गणितीय अध्ययन का विषय होने से बहुत पहले से ही शुरू हो गई थी। इसे कला में तथा प्रागैतिहासिक काल की रोजमर्रा की वस्तुओं में उनके सजावटी उपयोग के कई उदाहरणों में देखा जा सकता है। वक्र, या कम से कम उनके चित्रमय निरूपण, बनाने में सरल हैं, उदाहरण के लिए समुद्र तट पर रेत पर एक छड़ी के साथ।

ऐतिहासिक रूप से, शब्द रेखा का प्रयोग अधिक आधुनिक शब्द वक्र के स्थान पर किया जाता था। इसलिए सीधी रेखा तथा दाहिनी रेखा शब्दों का उपयोग वक्र रेखाओं से आज की रेखा को अलग करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक I में, एक रेखा को "चौड़ाई रहित लंबाई" (डिफ. 2) के रूप में परिभाषित किया गया है, जबकि एक सीधी रेखा को "एक ऐसी रेखा के रूप में परिभाषित किया गया है जो समान रूप से अपने आप पर स्थित बिंदुओं के साथ स्थित है" (डिफ। 4)। रेखा के बारे में यूक्लिड के विचार को शायद इस कथन से स्पष्ट किया गया है "एक रेखा के सिरे बिंदु होते हैं," (डिफ. 3)। बाद में टिप्पणीकारों ने विभिन्न योजनाओं के अनुसार पंक्तियों को वर्गीकृत किया। उदाहरण के लिए:
 * समग्र रेखाएँ (कोण बनाने वाली रेखाएँ)
 * मिश्रित पंक्तियाँ
 * निर्धारित करें (रेखाएँ जो अनिश्चित काल तक विस्तारित नहीं होती हैं, जैसे वृत्त)
 * अनिश्चित (ऐसी रेखाएँ जो अनिश्चित रूप से विस्तारित होती हैं, जैसे कि सीधी रेखा और परवलय)

ग्रीक जियोमीटर ने कई अन्य प्रकार के वक्रों का अध्ययन किया था। एक कारण ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में उनकी रुचि थी जिसे मानक कंपास तथा स्ट्रेटएज निर्माण का उपयोग करके हल नहीं किया जा सकता था। इन वक्रों में सम्मिलित हैं:
 * पेरगा के एपोलोनियस द्वारा गहन से अध्ययन किए गए शंकु वर्ग
 * डिओक्लेस के सिस्सोइड, डिओक्लेस द्वारा अध्ययन किया गया तथा घन को दोगुना करने के लिए एक विधि के रूप में उपयोग किया जाता है।
 * निकोमेड्स का शंखभ, निकोमेडिस द्वारा घन को दोगुना करने तथा एक कोण को समत्रिभाजित करने की एक विधि के रूप में अध्ययन किया गया।
 * चापिमिडीज सर्पिल, जिसका अध्ययन चापिमिडीज़ द्वारा एक कोण को समद्विभाजित करने तथा वृत्त को वर्गाकार करने की एक विधि के रूप में किया गया था।
 * स्पाइरिक अनुच्छेद, पर्सियस द्वारा शंकु के वर्गों के रूप में अध्ययन किए गए टोरी के वर्गों का अध्ययन एपोलोनियस द्वारा किया गया था।

सत्रहवीं शताब्दी में रेने डेसकार्टेस द्वारा विश्लेषणात्मक ज्यामिति की शुरुआत वक्र के सिद्धांत में एक मौलिक प्रगति थी। इसने एक वक्र को एक विस्तृत ज्यामितीय निर्माण के बजाय एक समीकरण का उपयोग करके वर्णित किया। इसने न केवल नए वक्रों को परिभाषित तथा अध्ययन करने की अनुमति दी, बल्कि इसने बीजगणितीय वक्रों के बीच एक औपचारिक अंतर को सक्षम किया जिसे बहुपद समीकरणों का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है, तथा अतींद्रिय वक्र जो नहीं कर सकते हैं। पहले, वक्रों को "ज्यामितीय" या "यांत्रिक" के रूप में वर्णित किया गया था, इस आधार पर कि वे कैसे उत्पन्न हुए थे, या माना जा सकता था।

केप्लर द्वारा खगोल विज्ञान में शंकु वर्गों का प्रयोग किया गया था। न्यूटन ने विभिन्नताओं की कलन में एक प्रारंभिक उदाहरण पर भी फलन किया। वैरिएबल समस्याओं के समाधान, जैसे कि ब्राचिस्टोक्रोन तथा टॉटोक्रोन प्रश्न, वक्र के गुणों को नए तरीकों से पेश करते हैं (इस स्थिति में, चक्रज)। कैटेनरी का नाम हैंगिंग चेन की समस्या के समाधान के रूप में मिलता है, ऐसा प्रश्न जो अवकलन गणित के माध्यम से नियमित रूप से सुलभ हो गया।

अठारहवीं शताब्दी में, सामान्य तौर पर समतल बीजगणितीय वक्रों के सिद्धांत की शुरुआत हुई। न्यूटन ने क्यूबिक वक्रों का अध्ययन किया था, वास्तविक बिंदुओं के सामान्य विवरण में 'अंडाकार'। बेज़ाउट के प्रमेय के बयान ने कई प्रारूपों को दिखाया जो कि उस समय की ज्यामिति के लिए सीधे सुलभ नहीं थे, एकवचन बिंदुओं तथा जटिल समाधानों के साथ करना।

उन्नीसवीं सदी के बाद से, वक्र सिद्धांत को कई गुना तथा बीजगणितीय किस्मों के सिद्धांत के आयाम के विशेष स्थिति के रूप में देखा जाता है। फिर भी, कई प्रश्न घटता के लिए विशिष्ट हैं, जैसे कि स्थान भरने वाले वक्र, जॉर्डन वक्र प्रमेय तथा हिल्बर्ट की सोलहवीं समस्या।

सांस्थितिक वक्र
सांस्थितिक वक्र को वास्तविक संख्याओं के अंतराल $I$ से सांस्थितिक समष्टि $X$ में एक सतत फलन $$\gamma \colon I \rightarrow X$$ द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। उचित रूप से, वक्र $$\gamma$$ का प्रतिबिम्ब है। हालांकि, कुछ संदर्भों में, $$\gamma$$ को ही एक वक्र कहा जाता है, विशेष रूप से जब प्रतिबिम्ब वैसी नहीं दिखती है जिसे सामान्यतः वक्र कहा जाता है तथा यह पर्याप्त रूप से $$\gamma$$ को चित्रित नहीं करती है।

उदाहरण के लिए, पीनो वक्र का प्रतिबिम्ब या, अधिक सामान्यतः, एक स्थान-भरने वाला वक्र पूरी तरह से एक वर्ग भरता है, तथा इसलिए $$\gamma$$ को कैसे परिभाषित किया जाता है, इस पर कोई जानकारी नहीं देता है।

$$\gamma$$ बंद वक्र है या एक लूप है यदि $$I = [a, b]$$ तथा $$\gamma(a) = \gamma(b)$$ है। इस प्रकार बंद वक्र एक वृत्त के सतत प्रतिचित्रणण का प्रतिबिम्ब होता है।

यदि एक सांस्थितिक वक्र का डोमेन एक बंद तथा परिबद्ध अंतराल $$I = [a, b]$$ है, तो वक्र को एक पथ कहा जाता है, जिसे सांस्थितिक चाप (या सिर्फ चाप) भी कहा जाता है।

वक्र साधारण होता है यदि यह एक अंतःक्षेपण या अंतःक्षेपी सतत फलन द्वारा एक वृत्त का प्रतिबिम्ब हो। दूसरे शब्दों में, यदि एक वक्र को एक डोमेन के रूप में एक अंतराल के साथ एक सतत फलन $$\gamma$$ द्वारा परिभाषित किया जाता है, तो वक्र सरल होता है यदि तथा केवल यदि अंतराल के किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं में अलग-अलग प्रतिबिम्ब हों, सिवाय इसके कि, यदि बिंदु अंतराल के अंत बिंदु हैं। सहज रूप से, एक साधारण वक्र एक वक्र है जो "स्वयं को पार नहीं करता है तथा कोई लापता बिंदु नहीं है" (एक सतत गैर-स्व-प्रतिच्छेदी वक्र)।

एक समतल सरल बंद वक्र को जॉर्डन वक्र भी कहते हैं। इसे तल में एक गैर-स्व-प्रतिच्छेदन सतत लूप के रूप में भी परिभाषित किया गया है। जॉर्डन वक्र प्रमेय में कहा गया है कि जॉर्डन वक्र के एक तल में समुच्चय पूरक में दो जुड़े घटक होते हैं (अर्थात वक्र तल को दो गैर-प्रतिच्छेदन क्षेत्रों में विभाजित करता है जो दोनों जुड़े हुए हैं)।

समतल वक्र एक वक्र होता है जिसके लिए $$X$$ यूक्लिडियन तल है - ये ऐसे उदाहरण हैं जो पहली बार मिले हैं - या कुछ मामलों में प्रक्षेपी तल। स्पेस वक्र एक ऐसा वक्र होता है जिसके लिए $$X$$ कम से कम त्रि-आयामी है; तिर्यक् वक्र एक अंतरिक्ष वक्र है जो किसी तल में नहीं होता है। समतल, स्थान तथा तिरछा वक्रों की ये परिभाषाएँ वास्तविक बीजगणितीय वक्रों पर भी लागू होती हैं, हालाँकि वक्र की उपरोक्त परिभाषा लागू नहीं होती है (एक वास्तविक बीजगणितीय वक्र डिस्कनेक्ट हो सकता है)।

वक्र की परिभाषा में ऐसे आंकड़े सम्मिलित होते हैं जिन्हें आम उपयोग में शायद ही वक्र कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक साधारण वक्र का प्रतिबिम्ब समतल (अंतरिक्ष-भरने वाले वक्र) में एक वर्ग को कवर कर सकती है तथा इस प्रकार एक सकारात्मक क्षेत्र हो सकता है। फ्रैक्टल वक्रों में ऐसे गुण हो सकते हैं जो सामान्य ज्ञान के लिए अजीब हों। उदाहरण के लिए, फ्रैक्टल वक्र का हॉसडॉर्फ आयाम एक से बड़ा हो सकता है (कोच स्नोफ्लेक देखें) तथा यहां तक कि एक सकारात्मक क्षेत्र भी। एक उदाहरण ड्रैगन वक्र है, जिसमें कई अन्य असामान्य गुण होते हैं।

अवकलनीय वक्र
मोटे तौर पर अवकलनीय वक्र एक ऐसा वक्र होता है जिसे स्थानीय रूप से अंतःक्षेपक अवकलनीय फलन $$\gamma \colon I \rightarrow X$$ का प्रतिबिम्ब के रूप में परिभाषित किया जाता है जो वास्तविक संख्याओं के अंतराल $I$ से एक अलग-अलग कई गुना $X$, प्रायः $$\mathbb{R}^n$$ में होता है।

अत्याधिक यथार्थ रूप से, अवकलनीय वक्र $X$ का एक उपसमुच्चय $C$ होता है, जहां $C$ के प्रत्येक बिंदु का पड़ोस $U$ होता है, जैसे कि $$C\cap U$$ वास्तविक संख्याओं के अंतराल के लिए भिन्न होता है। दूसरे शब्दों में, एक अवकलनीय वक्र, आयाम एक का भिन्न-भिन्न बहुगुणित होता है।

अवकलनीय चाप
यूक्लिडियन ज्यामिति में, चाप (प्रतीक: ⌒) एक अवकलनीय वक्र का एक जुड़ा उपसमुच्चय होता है।

रेखाओं के चापों को खंड, किरणें या रेखाएँ कहा जाता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि वे किस प्रकार परिबद्ध हैं।

सामान्य वक्रित उदाहरण एक वृत्त का चाप है, जिसे वृत्ताकार चाप कहा जाता है।

गोले (या एक गोलाकार) में, एक बड़े वृत्त (या एक वृहत दीर्घवृत्त) के एक चाप को वृहत चाप कहा जाता है।

वक्र की लंबाई
यदि $$ X = \mathbb{R}^{n} $$ $$ n $$-आयामी यूक्लिडियन स्थान है, तथा यदि $$ \gamma: [a,b] \to \mathbb{R}^{n} $$ एक इंजेक्शन तथा लगातार अलग-अलग फलन है, तो $$ \gamma $$ की लंबाई को मात्रा के रूप में परिभाषित किया जाता है

\operatorname{Length}(\gamma) ~ \stackrel{\text{def}}{=} ~ \int_{a}^{b} |\gamma\,'(t)| ~ \mathrm{d}{t}. $$ वक्र की लंबाई पैरामीट्रिजेशन $$ \gamma $$ से स्वतंत्र है।

विशेष रूप से, एक बंद अंतराल $$ [a,b] $$ पर परिभाषित एक सतत भिन्न फलन $$ y = f(x) $$ के ग्राफ की लंबाई $$ s $$ है

s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^{2}} ~ \mathrm{d}{x}. $$ अधिक सामान्यतः, यदि $$ X $$ मीट्रिक $$ d $$ के साथ एक मीट्रिक स्थान है, तो हम वक्र $$ \gamma: [a,b] \to X $$ की लंबाई को परिभाषित कर सकते हैं

\operatorname{Length}(\gamma) ~ \stackrel{\text{def}}{=} ~ \sup \! \left\{ \sum_{i = 1}^{n} d(\gamma(t_{i}),\gamma(t_{i - 1})) ~ \Bigg| ~ n \in \mathbb{N} ~ \text{and} ~ a = t_{0} < t_{1} < \ldots < t_{n} = b \right\}, $$ जहां सर्वोच्चता सभी $$ n \in \mathbb{N} $$ तथा $$ t_{0} < t_{1} < \ldots < t_{n} $$ के सभी विभाजनों $$ [a, b] $$ पर ले ली गई है।

एक सुधार योग्य वक्र एक परिमित लंबाई वाला वक्र है। एक वक्र $$ \gamma: [a,b] \to X $$ को प्राकृतिक (या इकाई-गति या चाप लंबाई द्वारा पैरामीट्रिज्ड) कहा जाता है यदि किसी भी $$ t_{1},t_{2} \in [a,b] $$ के लिए $$ t_{1} \leq t_{2} $$, हमारे पास है

\operatorname{Length} \! \left( \gamma|_{[t_{1},t_{2}]} \right) = t_{2} - t_{1}. $$ यदि $$ \gamma: [a,b] \to X $$ एक लिप्सचिट्ज़-सतत फलन है, तो यह स्वतः सुधार योग्य है। इसके अलावा, इस स्थिति में, कोई $$ \gamma $$ की गति (या मीट्रिक व्युत्पन्न) को $$ t \in [a,b] $$ पर परिभाषित कर सकता है

{\operatorname{Speed}_{\gamma}}(t) ~ \stackrel{\text{def}}{=} ~ \limsup_{s \to t} \frac{d(\gamma(s),\gamma(t))}{|s - t|} $$ तथा

\operatorname{Length}(\gamma) = \int_{a}^{b} {\operatorname{Speed}_{\gamma}}(t) ~ \mathrm{d}{t}. $$

अवकल ज्यामिति
जबकि मिलने वाले वक्रों के पहले उदाहरण ज्यादातर समतल वक्र हैं (अर्थात, रोज़मर्रा के शब्दों में, द्वि-विमीय क्षेत्र में वक्रित रेखाएँ), ऐसे स्पष्ट उदाहरण हैं जैसे कि हेलिक्स जो तीन आयामों में स्वाभाविक रूप से उपस्थित हैं। ज्यामिति की जरूरतें, तथा उदाहरण के लिए चिरसम्मत यांत्रिकी के लिए किसी भी संख्या में आयामों के अंतरिक्ष में वक्र की धारणा होना है। सामान्य सापेक्षता में, स्पेसटाइम में एक विश्व रेखा एक वक्र है।

यदि $$X$$ अवकलनीय गुणक है, तो हम $$X$$ में अवकलनीय वक्र की धारणा को परिभाषित कर सकते हैं। यह सामान्य विचार गणित में वक्रों के अनेक अनुप्रयोगों को समाविष्ट करने के लिए पर्याप्त है। स्थानीय दृष्टिकोण से कोई भी $$X$$ को यूक्लिडियन स्थान मान सकता है। दूसरी ओर, यह अधिक सामान्य होना उपयोगी है, इसमें (उदाहरण के लिए) वक्र की इस धारणा के माध्यम से स्पर्शरेखा सदिशों को $$X$$ में परिभाषित करना संभव है।

यदि $$X$$ निष्कोण बहुगुणित है, तो $$X$$ में एक निष्कोण वर्क एक निष्कोण प्रतिचित्रण है


 * $$\gamma \colon I \rightarrow X$$.

यह एक मूल धारणा है। कम तथा अधिक सीमित विचार भी हैं। यदि $$X$$ $$C^k$$ कई गुना है (यानी, एक कई गुना जिसका चार्ट लगातार $$k$$ बार अलग-अलग होता है), तो $$X$$ में एक $$C^k$$ वक्र ऐसा वक्र होता है जिसे केवल $$C^k$$ माना जाता है (यानी $$k$$ बार सतत अलग-अलग होता है)। यदि $$X$$ एक विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड है (अर्थात असीम रूप से भिन्न तथा चार्ट शक्ति श्रृंखला के रूप में अभिव्यक्त होते हैं), तथा $$\gamma$$ एक विश्लेषणात्मक प्रतिचित्रण है, तो $$\gamma$$ को एक विश्लेषणात्मक वक्र कहा जाता है।

अवकलनीय वक्र को सममित कहा जाता है यदि इसकी व्युत्पत्ति कभी लुप्त न हो। (शब्दों में, एक नियमित वक्र कभी भी रुकने के लिए धीमा नहीं होता या अपने आप पीछे नहीं हटता।) दो $$C^k$$ अलग-अलग वक्र


 * $$\gamma_1 \colon I \rightarrow X$$ तथा


 * $$\gamma_2 \colon J \rightarrow X$$

एक द्विभाजक होने पर समकक्ष कहा जाता है $$C^k$$ प्रतिचित्रण


 * $$p \colon J \rightarrow I$$

ऐसा है कि व्युत्क्रम प्रतिचित्रण


 * $$p^{-1} \colon I \rightarrow J$$

$$C^k$$ भी, तथा


 * $$\gamma_{2}(t) = \gamma_{1}(p(t))$$

सभी $$t$$ के लिए प्रतिचित्रण $$\gamma_2$$ को $$\gamma_1$$ का पुन:परमिश्रण कहा जाता है; तथा यह $$X$$ में सभी $$C^k$$ अवकलनीय वक्रों के समुच्चय पर एक तुल्यता संबंध बनाता है। एक $$C^k$$ चाप पुनर्मूल्यांकन के संबंध के तहत $$C^k$$ वक्रों का एक तुल्यता वर्ग है।

बीजगणितीय वक्र
बीजगणितीय वक्र वे वक्र हैं जिन्हें बीजगणितीय ज्यामिति में माना जाता है। एक समतल बीजगणितीय वक्र निर्देशांक $x, y$ के बिंदुओं का समुच्चय होता है, जैसे कि $f(x, y) = 0$, जहां $f$ किसी क्षेत्र $F$ पर परिभाषित दो चरों में एक बहुपद है। एक कहता है कि वक्र $F$ पर परिभाषित है। बीजगणितीय ज्यामिति सामान्यतः न केवल $F$ में निर्देशांक वाले बिंदुओं पर विचार करती है बल्कि बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र $K$ में निर्देशांक वाले सभी बिंदुओं पर विचार करती है।

यदि C, F में गुणांकों वाले बहुपद $f$ द्वारा परिभाषित एक वक्र है, तो वक्र को $F$ के ऊपर परिभाषित किया गया है।

वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित एक वक्र के स्थिति में, सामान्य रूप से जटिल निर्देशांक वाले बिंदुओं पर विचार किया जाता है। इस स्थिति में, वास्तविक निर्देशांक वाला एक बिंदु एक वास्तविक बिंदु होता है, तथा सभी वास्तविक बिंदुओं का समुच्चय वक्र का वास्तविक भाग होता है। इसलिए यह केवल एक बीजगणितीय वक्र का वास्तविक भाग है जो एक सामयिक वक्र हो सकता है (यह हमेशा मामला नहीं होता है, क्योंकि बीजगणितीय वक्र का वास्तविक भाग असंगत हो सकता है तथा इसमें अलग-अलग बिंदु सम्मिलित हो सकते हैं)। संपूर्ण वक्र, जो इसके जटिल बिंदु का समुच्चय है, स्थलीय दृष्टिकोण से एक सतह है। विशेष रूप से, व्युत्क्रमणीय जटिल प्रक्षेपी बीजगणितीय वक्रों को रिमेंन सतह कहा जाता है।

एक क्षेत्र $G$ में निर्देशांक वाले वक्र $C$ के बिंदु $G$ के ऊपर परिमेय कहे जाते हैं तथा इन्हें $C(G)$ से दर्शाया जा सकता है। जब $G$ परिमेय संख्याओं का क्षेत्र होता है, तो व्यक्ति केवल परिमेय बिंदुओं की बात करता है। उदाहरण के लिए, फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय को इस प्रकार पुनर्कथित किया जा सकता है: $n > 2$ के लिए, डिग्री $n$ के फ़र्मेट वक्र के प्रत्येक तर्कसंगत बिंदु का शून्य निर्देशांक होता है।

बीजगणितीय वक्र स्थान वक्र भी हो सकते हैं, या उच्च आयाम वाले स्थान में वक्र हो सकते हैं, जैसे कि $n$। उन्हें आयाम एक के बीजगणितीय किस्मों के रूप में परिभाषित किया गया है। उन्हें n चरों में कम से कम $n–1$ बहुपद समीकरणों के सामान्य हल के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। यदि $n–1$ बहुपद आयाम $n$ के एक स्थान में एक वक्र को परिभाषित करने के लिए पर्याप्त हैं, तो वक्र को एक पूर्ण प्रतिच्छेदन कहा जाता है। चर को समाप्त करके (उन्मूलन सिद्धांत के किसी भी उपकरण द्वारा), एक बीजगणितीय वक्र को समतल बीजगणितीय वक्र पर प्रक्षेपित किया जा सकता है, जो हालांकि क्यूप्स या दोहरे बिंदुओं जैसी नई विलक्षणता का परिचय दे सकता है।

प्रक्षेपी तल में वक्र के लिए एक समतल वक्र भी पूरा किया जा सकता है: यदि एक वक्र को कुल डिग्री $d$ के बहुपद $f$ द्वारा परिभाषित किया गया है, तो $w^{d}f(u/w, v/w)$ डिग्री $d$ के एक सजातीय बहुपद $g(u, v, w)$ को सरल करता है। $u, v, w$ के मान ऐसे हैं कि $g(u, v, w) = 0$ प्रक्षेपी तल में वक्र के पूरा होने के बिंदुओं के सजातीय निर्देशांक हैं और प्रारंभिक वक्र के बिंदु ऐसे हैं कि $w$ शून्य नहीं है। एक उदाहरण फ़र्मेट कर्व $u^{n} + v^{n} = w^{n}$ है, जिसमें एक सजातीय रूप $x^{n} + y^{n} = 1$ है। समरूपता की एक समान प्रक्रिया को उच्च आयामी स्थानों में वक्रों के लिए परिभाषित किया जा सकता है।

रेखाओं को छोड़कर, बीजगणितीय वक्रों के सबसे सरल उदाहरण शांकव हैं, जो दो डिग्री तथा जीनस शून्य के व्युत्क्रमणीय वक्र हैं। दीर्घवृत्तीय वक्र, जो कि जीनस एक के व्युत्क्रमणीय वक्र हैं, संख्या सिद्धांत में अध्ययन किए जाते हैं, तथा क्रिप्टोग्राफी के लिए महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं।

यह भी देखें

 * समन्वय वक्र
 * कुंचित चाप
 * वक्र फिटिंग
 * वक्र अभिविन्यास
 * वक्र रेखाचित्र
 * वक्रों की विभेदक ज्यामिति
 * वक्रों की गैलरी
 * वक्र विषयों की सूची
 * वक्रों की सूची
 * आश्लेषी वृत्त
 * पैरामीट्रिक सतह
 * पथ (टोपोलॉजी)
 * बहुभुज वक्र
 * स्थिति वेक्टर
 * वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन
 * अनंत-आयामी वेक्टर फ़ंक्शन
 * घुमावदार संख्या

संदर्भ

 * Euclid, commentary and trans. by T. L. Heath Elements Vol. 1 (1908 Cambridge) Google Books
 * E. H. Lockwood A Book of Curves (1961 Cambridge)
 * Euclid, commentary and trans. by T. L. Heath Elements Vol. 1 (1908 Cambridge) Google Books
 * E. H. Lockwood A Book of Curves (1961 Cambridge)

बाहरी संबंध

 * Famous Curves Index, School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland
 * Mathematical curves A collection of 874 two-dimensional mathematical curves
 * Gallery of Space Curves Made from Circles, includes animations by Peter Moses
 * Gallery of Bishop Curves and Other Spherical Curves, includes animations by Peter Moses
 * The Encyclopedia of Mathematics article on lines.
 * The Manifold Atlas page on 1-manifolds.