ऋणात्मक बहुपद वितरण

संभाव्यता सिद्धांत और आंकड़ों में, ऋणात्मक बहुपद वितरण दो से अधिक परिणामों के लिए ऋणात्मक द्विपद वितरण (NB(x0, p)) का एक सामान्यीकरण है।

इस प्रकार अविभाज्य ऋणात्मक द्विपद वितरण के साथ, यदि पैरामीटर $$x_0$$ एक धनात्मक पूर्णांक है, तो ऋणात्मक बहुपद वितरण में एक कलश मॉडल व्याख्या होती है। मान लीजिए कि हमारे पास एक प्रयोग है जो m+1≥2 संभावित परिणाम, {X0,...,Xm} उत्पन्न करता है, प्रत्येक क्रमशः गैर-ऋणात्मक संभावनाओं {p0,...,pm} के साथ होता है। यदि नमूनाकरण n अवलोकन किए जाने तक जारी रहता, तो {X0,...,Xm} को बहुपद रूप से वितरित किया गया होता। चूँकि, यदि X0 पूर्व निर्धारित मान X0 पर पहुँच जाता है (यह मानते हुए कि X0 एक धनात्मक पूर्णांक है) तो प्रयोग रोक दिया जाता है, तो m-tuple {X1,...,Xm} का वितरण ऋणात्मक बहुपद है। ये चर बहुपद रूप से वितरित नहीं हैं क्योंकि उनका योग X1+...+Xm निश्चित नहीं है, जो एक ऋणात्मक द्विपद वितरण से लिया गया है।

सीमांत वितरण
यदि m-आयामी 'x' को निम्नानुसार विभाजित किया गया है $$ \mathbf{X} = \begin{bmatrix} \mathbf{X}^{(1)} \\ \mathbf{X}^{(2)} \end{bmatrix}

\text{ with sizes }\begin{bmatrix} n \times 1 \\ (m-n) \times 1 \end{bmatrix}                                                                                          $$ और इसलिए $$\boldsymbol{p}$$ $$ \boldsymbol p                                                                                                                                   = \begin{bmatrix} \boldsymbol p^{(1)} \\ \boldsymbol p^{(2)} \end{bmatrix} \text{ with sizes }\begin{bmatrix} n \times 1 \\ (m-n) \times 1 \end{bmatrix}                                                                                     $$ और जाने $$q = 1-\sum_i p_i^{(2)} = p_0+\sum_i p_i^{(1)}$$$$\boldsymbol X^{(1)}$$ का सीमांत वितरण $$\mathrm{NM}(x_0,p_0/q, \boldsymbol p^{(1)}/q )$$ है। अथार्त सीमांत वितरण भी ऋणात्मक बहुपद है तथा जिसमें $$\boldsymbol p^{(2)}$$ को हटा दिया गया है और शेष पी को उचित रूप से स्केल किया गया है जिससे एक में जोड़ा जा सकता है।

कहा जाता है कि अविभाज्य सीमांत $$m=1$$ का ऋणात्मक द्विपद वितरण होता है।

नियमित वितरण
नियमित _संभावना_वितरण $$\mathbf{X}^{(1)}$$ दिया गया $$\mathbf{X}^{(2)}=\mathbf{x}^{(2)}$$ है $\mathrm{NM}(x_0+\sum{x_i^{(2)}},\mathbf{p}^{(1)}) $. है, $$ \Pr(\mathbf{x}^{(1)}\mid \mathbf{x}^{(2)}, x_0, \mathbf{p} )= \Gamma\!\left(\sum_{i=0}^m{x_i}\right)\frac{(1-\sum_{i=1}^n{p_i^{(1)}})^{x_0+\sum_{i=1}^{m-n}x_i^{(2)}}}{\Gamma(x_0+\sum_{i=1}^{m-n}x_i^{(2)})}\prod_{i=1}^n{\frac{(p_i^{(1)})^{x_i}}{(x_i^{(1)})!}}. $$

स्वतंत्र योग
यदि $$\mathbf{X}_1 \sim \mathrm{NM}(r_1, \mathbf{p})$$ और यदि $$\mathbf{X}_2 \sim \mathrm{NM}(r_2, \mathbf{p})$$ तो स्वतंत्रता (संभावना सिद्धांत) हैं जो की $$\mathbf{X}_1+\mathbf{X}_2 \sim \mathrm{NM}(r_1+r_2, \mathbf{p})$$. इसी तरह और इसके विपरीत, विशेषता फलन से यह देखना आसान है कि ऋणात्मक बहुपद अनंत विभाज्यता (संभावना) है।

एकत्रीकरण
यदि $$\mathbf{X} = (X_1, \ldots, X_m)\sim\operatorname{NM}(x_0, (p_1,\ldots,p_m))$$ फिर, यदि सबस्क्रिप्ट i और j वाले यादृच्छिक चर को वेक्टर से हटा दिया जाता है और उनके योग से प्रतिस्थापित कर दिया जाता है, $$\mathbf{X}' = (X_1, \ldots, X_i + X_j, \ldots, X_m)\sim\operatorname{NM} (x_0, (p_1, \ldots, p_i + p_j, \ldots, p_m)).$$ इस एकत्रीकरण गुण का उपयोग ऊपर उल्लिखित $$X_i$$ के सीमांत वितरण को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है।

सहसंबंध आव्यूह
सहसंबंध आव्यूह या सहसंबंध आव्यूह की प्रविष्टियाँ हैं $$\rho(X_i,X_i) = 1.$$$$\rho(X_i,X_j) = \frac{\operatorname{cov}(X_i,X_j)}{\sqrt{\operatorname{var}(X_i)\operatorname{var}(X_j)}} = \sqrt{\frac{p_i p_j}{(p_0+p_i)(p_0+p_j)}}.$$

क्षणों की विधि
यदि हम ऋणात्मक बहुपद का माध्य सदिश होने दें $$\boldsymbol{\mu}=\frac{x_0}{p_0}\mathbf{p}$$ और सहप्रसरण आव्यूह $$\boldsymbol{\Sigma}=\tfrac{x_0}{p_0^2}\,\mathbf{p}\mathbf{p}' + \tfrac{x_0}{p_0}\,\operatorname{diag}(\mathbf{p}),$$ फिर निर्धारकों के गुणों के माध्यम से यह दिखाना आसान है $ |\boldsymbol{\Sigma}| = \frac{1}{p_0}\prod_{i=1}^m{\mu_i}$. इससे तो यही पता चलता है $$x_0=\frac{\sum{\mu_i}\prod{\mu_i}}{|\boldsymbol{\Sigma}|-\prod{\mu_i}}$$ और $$ \mathbf{p}= \frac{|\boldsymbol{\Sigma}|-\prod{\mu_i}}{|\boldsymbol{\Sigma}|\sum{\mu_i}}\boldsymbol{\mu}. $$ नमूना क्षणों को प्रतिस्थापित करने से क्षणों (सांख्यिकी) अनुमान की विधि प्राप्त होती है $$\hat{x}_0=\frac{(\sum_{i=1}^{m}{\bar{x_i})}\prod_{i=1}^{m}{\bar{x_i}}}{|\mathbf{S}|-\prod_{i=1}^{m}{\bar{x_i}}}$$ और $$ \hat{\mathbf{p}}=\left(\frac{|\boldsymbol{S}|-\prod_{i=1}^{m}{\bar{x}_i}}{|\boldsymbol{S}|\sum_{i=1}^{m}{\bar{x}_i}}\right)\boldsymbol{\bar{x}} $$

संबंधित वितरण

 * ऋणात्मक द्विपद वितरण
 * बहुपद वितरण
 * व्युत्क्रम डिरिक्लेट वितरण, ऋणात्मक बहुपद के लिए एक संयुग्म पूर्व
 * डिरिचलेट ऋणात्मक बहुपद वितरण

संदर्भ
Waller LA and Zelterman D. (1997). Log-linear modeling with the negative multi- nomial distribution. Biometrics 53: 971–82.