ठोस कोण

ज्यामिति में, ठोस कोण(प्रतीक: $Ω$)किसी विशेष बिंदु से दृष्टि क्षेत्र की मात्रा का माप है जो किसी दिए गए पिंडको कवर करता है। अर्थात्, यह एक उपाय है कि उस बिंदु से देखने वाले पर्यवेक्षक को पिंडकितनी बड़ी दिखाई देती है। जिस बिंदु से पिंडको देखा जाता है उसे ठोस कोण का शीर्ष कहा जाता है, और कहा जाता है कि पिंडउस बिंदु पर अपना ठोस कोण बनाती है।

अन्तरराष्ट्रीय मात्रक प्रणाली(एसआई) में, एक ठोस कोण को विमाहीन संख्या इकाई में व्यक्त किया जाता है जिसे स्टेरेडियन (प्रतीक: sr) कहा जाता है। स्टेरेडियन शीर्ष के चारों ओर इकाई क्षेत्र पर इकाई वृत्त से मेल खाता है, इसलिए पिंडजो शीर्ष से सभी अर्धरखा को अवरुद्ध करती है, इकाई क्षेत्र के कुल सतह क्षेत्र $$4\pi$$ के बराबर स्टेरेडियन की संख्या को कवर करेगी। ठोस कोणों को डिग्री, मिनट और सेकंड जैसे कोणीय उपायों के वर्गों में भी मापा जा सकता है।

पास की छोटी पिंडदूर की बड़ी पिंडके समान ठोस कोण अंतरित कर सकती है। उदाहरण के लिए, हालाँकि चंद्रमा सूर्य से बहुत छोटा है, यह पृथ्वी के बहुत करीब भी है। दरअसल, जैसा कि पृथ्वी पर किसी भी बिंदु से देखा जाता है, दोनों वस्तुओं में लगभग समान ठोस कोण और स्पष्ट आकार होता है। यह सूर्य ग्रहण के दौरान स्पष्ट होता है।

परिभाषा और गुण
स्टेरेडियन में पिंडका ठोस कोण इकाई क्षेत्र के खंड के क्षेत्रफल के बराबर होता है, जो शीर्ष पर केंद्रित होता है, जो कि पिंडको कवर करता है। स्टेरेडियन में इकाई क्षेत्र के खंड का क्षेत्रफल देना रेडियन में इकाई वृत्त के चाप की लंबाई देने के समान है। जिस प्रकार रेडियन में समतलीय कोण एक चाप की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात होता है, उसी तरह स्टेरेडियन में ठोस कोण किसी पिंडद्वारा किसी गोले पर आच्छादित क्षेत्रफल का अनुपात उक्त त्रिज्या के वर्ग वृत्त द्वारा दिए गए क्षेत्रफल से होता है। सूत्र है$$\Omega=\frac{A}{r^2},$$जहाँ A गोलाकार सतह क्षेत्र है और r विचारित गोले की त्रिज्या है।

ठोस कोण अधिकांशतः खगोल शास्त्र, भौतिकी और विशेष रूप से खगोल भौतिकी में उपयोग किए जाते हैं। किसी पिंडका ठोस कोण जो बहुत दूर है, क्षेत्रफल से वर्ग दूरी के अनुपात के अनुपात में होता है। यहाँ क्षेत्र का अर्थ पिंडका वह क्षेत्र है जब उसे देखने की दिशा में प्रक्षेपित किया जाता है।

गोले का ठोस कोण इसके आंतरिक भाग में किसी भी बिंदु 4π sr से मापा जाता है, और घन के केंद्र पर उसके फलक द्वारा अंतरित ठोस कोण उसका एक-छठा है, या $2\pi⁄3$ sr है। ठोस कोणों को वर्ग डिग्री में भी मापा जा सकता है (1 sr = $(180⁄\pi)$2 वर्ग डिग्री), वर्ग मिनट और वर्ग सेकंड में, या गोले के अंशों में (1 sr = $1⁄4\pi$ आंशिक क्षेत्र), जिसे स्पैट (इकाई) (1 sp = 4π sr) के रूप में भी जाना जाता है।

गोलीय निर्देशांक में अवकल के लिए एक सूत्र है,

$$d\Omega = \sin\theta\,d\theta\,d\varphi,$$ जहां $θ$ अक्षांश (उत्तरी ध्रुव से कोण) है और $φ$ देशांतर है।

यादृच्छिक उन्मुख सतह $S$ के लिए बिंदु $P$ पर अंतरित ठोस कोण सतह $S$ के केंद्र $P$, के साथ इकाई क्षेत्र के प्रक्षेपण के ठोस कोण के बराबर है, जिसकी गणना सतह समाकलन के रूप में की जा सकती है:

$$\Omega = \iint_S \frac{ \hat{r} \cdot \hat{n}}{r^2}\,dS \ = \iint_S \sin\theta\,d\theta\,d\varphi,$$ जहां $$\hat{r} = \vec{r} / r$$ के अनुरूप इकाई सदिश है $$ \vec{r} $$, बिंदु $P$ के संबंध में सतह $dS$ के अतिसूक्ष्म क्षेत्र की स्थिति सदिश और जहाँ $$ \hat{n} $$, $dS$ को इकाई सामान्य सदिश का प्रतिनिधित्व करता है। यहां तक ​​कि यदि इकाई क्षेत्र पर सतह $S$ पर प्रक्षेपण समरूपी नहीं है, तो अदिश गुणनफल $$\hat{r} \cdot \hat{n}$$ है।

इस प्रकार कोई भी छोटे से पहलू द्वारा अंतरित ठोस कोण का अनुमान लगा सकता है जिसमें सपाट सतह क्षेत्र $dS$, अभिविन्यास $$\hat{n}$$, दर्शक से $r$ दूरी इस प्रकार है:

$$d\Omega = 4 \pi \left(\frac{dS}{A}\right) \, (\hat{r} \cdot \hat{n}),$$ जहां गोले का सतह क्षेत्र $A = 4\pir^{2}$ है।

व्यावहारिक अनुप्रयोग

 * दीप्त तीव्रता और दीप्त को परिभाषित करना, और संबंधित विकिरणमापी मात्राएं विकिरक तीव्रता और विकिरक
 * गोलाकार त्रिभुज के गोलाकार अतिरिक्त $E$ की गणना करना
 * सीमा तत्व विधि (बीईएम) का उपयोग करके क्षमता की गणना
 * धातु परिसरों में लिगेंड के आकार का मूल्यांकन, लिगैंड शंकु कोण देखें
 * चार्ज वितरण के आसपास विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र की ताकत की गणना करना
 * गॉस के नियम की व्युत्पत्ति
 * गर्मी हस्तांतरण में उत्सर्जक शक्ति और विकिरण की गणना
 * रदरफोर्ड प्रभाव में अनुप्रस्थ काट की गणना करना
 * रमण प्रभाव में अनुप्रस्थ काट की गणना करना
 * प्रकाशित तंतु के स्वीकृति शंकु का ठोस कोण

शंकु, गोलाकार कैप, गोलार्ध
ठोस कोण के शीर्ष पर शंकु (ज्यामिति) का ठोस कोण, और शीर्ष (ज्यामिति) कोण 2$θ = A/2$ के साथ, इकाई गोले पर गोलाकार कैप का क्षेत्रफल है

$$\Omega = 2\pi \left (1 - \cos\theta \right)\ = 4\pi \sin^2 \frac{\theta}{2}.$$ छोटे $r = 1$ के लिए जैसे कि $θ$ यह $θ$, वृत्त का क्षेत्रफल कम हो जाता है।

उपरोक्त गोलाकार निर्देशांक में इकाई सतह तत्व का उपयोग करके निम्नलिखित दोहरा समाकलन की गणना करके पाया जाता है:

$$\begin{align} \int_0^{2\pi} \int_0^\theta \sin\theta' \, d \theta' \, d \phi &= \int_0^{2\pi} d \phi\int_0^\theta \sin\theta' \, d \theta' \\ &= 2\pi\int_0^\theta \sin\theta' \, d \theta' \\ &= 2\pi\left[ -\cos\theta' \right]_0^{\theta} \\ &= 2\pi\left(1 - \cos\theta \right). \end{align}$$ यह सूत्र बिना कलन के भी निकाला जा सकता है। 2200 साल पहले आर्किमिडीज ने सिद्ध किया कि गोलाकार कैप का सतह क्षेत्र हमेशा वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर होता है, जिसकी त्रिज्या गोलाकार कैप के रिम से उस बिंदु तक की दूरी के बराबर होती है, जहां कैप की समरूपता की अक्ष कैप को काटती है। आरेख में इस त्रिज्या के रूप में दिया गया है

$$ 2r \sin \frac{\theta}{2}. $$ अतः इकाई गोले के लिए गोलाकार कैप का ठोस कोण इस प्रकार दिया जाता है

$$ \Omega = 4\pi \sin^2 \frac{\theta}{2} = 2\pi \left (1 - \cos\theta \right). $$

जब $cos θ ≈ 1 − θ^{2}/2$ = $\pi⁄2$,, गोलीय कैप 2$\pi$ ठोस कोण वाला अर्धगोला बन जाती है।

शंकु के पूरक का ठोस कोण है $$4\pi - \Omega = 2\pi \left(1 + \cos\theta \right) = 4\pi\cos^2 \frac{\theta}{2}.$$ यह खगोलीय गोले के उस भाग का ठोस कोण भी है जिसे अक्षांश $πθ^{2}$ पर स्थित खगोलीय प्रेक्षक पृथ्वी के घूर्णन के रूप में देख सकता है। भूमध्य रेखा पर सभी खगोलीय गोले दिखाई देते हैं, किसी भी ध्रुव पर, केवल आधा।

शंकु के अक्ष से कोण $γ$ पर समतल द्वारा काटे गए गोलाकार कैप के खंड द्वारा अंतरित ठोस कोण और शंकु के शीर्ष से गुजरते हुए सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है

$$ \Omega = 2 \left[ \arccos \left(\frac{\sin\gamma}{\sin\theta}\right) - \cos\theta \arccos\left(\frac{\tan\gamma}{\tan\theta}\right) \right]. $$ उदाहरण के लिए, यदि $θ$, तो सूत्र उपरोक्त गोलाकार कैप सूत्र में कम हो जाता है: पहला शब्द π,बन जाता है, और दूसरा $θ$ बन जाता है।

चतुर्पाश्वीय
बता दें कि OABC चतुष्फलक का शीर्ष है जिसकी उत्पत्ति O पर है और त्रिकोणीय फलक ABC द्वारा अंतरित है, जहां $$\vec a\ ,\, \vec b\ ,\, \vec c $$ शीर्षों A, B और C की सदिश स्थितियाँ हैं। शीर्ष कोण $θ_{a}$ परिभाषित करें कोण BOC होना और तदनुसार $θ_{b}$, $θ_{c}$ को परिभाषित करना। मान लीजिए कि $$\phi_{ab}$$ उन समतलों के बीच द्वितल कोण हैं जिनमें चतुष्फलकीय फलक OAC और OBC होते हैं और $$\phi_{ac}$$, $$\phi_{bc}$$ को परिभाषित करते हैं। त्रिकोणीय सतह ABC द्वारा अंतरित ठोस कोण $γ = −θ$ द्वारा दिया गया है

$$ \Omega = \left(\phi_{ab} + \phi_{bc} + \phi_{ac}\right)\ - \pi.$$ यह गोलाकार आधिक्य के सिद्धांत से अनुसरण करता है और यह इस तथ्य की ओर जाता है कि प्रमेय के अनुरूप प्रमेय है कि "प्लैनर त्रिकोण के आंतरिक कोणों का योग π, के बराबर है", के चार आंतरिक ठोस कोणों के योग के लिए चतुष्फलक इस प्रकार है:

$$ \sum_{i=1}^4 \Omega_i = 2 \sum_{i=1}^6 \phi_i\ - 4 \pi,$$ जहां $$\phi_i$$ चतुष्फलकीय फलक OAB, OAC, OBC और ABC वाले किन्हीं भी दो तलों के बीच सभी छह द्वितल कोणों की श्रेणी में होते हैं।

मूल O पर चतुष्फलक के ठोस कोण की गणना के लिए उपयोगी सूत्र जो विशुद्ध रूप से शीर्ष कोणों $θ_{a}$, $θ_{b}$, $θ_{c}$ का फलन है, ल'हुइलियर के प्रमेय द्वारा दिया गया है जैसा

$$ \tan \left( \frac{1}{4} \Omega \right) = \sqrt{ \tan \left( \frac{\theta_s}{2}\right) \tan \left( \frac{\theta_s - \theta_a}{2}\right) \tan \left( \frac{\theta_s - \theta_b}{2}\right) \tan \left(\frac{\theta_s - \theta_c}{2}\right)}, $$ जहां $$ \theta_s = \frac {\theta_a + \theta_b + \theta_c}{2}. $$ एक सूत्र में 3 आयामी समष्टि में शिखरों को सदिश के रूप में व्यक्त करना सम्मलित है। मान लीजिए $$\vec a\ ,\, \vec b\ ,\, \vec c $$ शीर्षों A, B और C की सदिश स्थितियाँ हैं, और $a$, $b$, और $c$ प्रत्येक सदिश (मूल-बिंदु दूरी) का परिमाण हैं। त्रिकोणीय सतह ABC द्वारा अंतरित ठोस कोण $\pi cos θ$ है:

$$\tan \left( \frac{1}{2} \Omega \right) = \frac{\left|\vec a\ \vec b\ \vec c\right|}{abc + \left(\vec a \cdot \vec b\right)c + \left(\vec a \cdot \vec c\right)b + \left(\vec b \cdot \vec c\right)a}, $$ जहां $$\left|\vec a\ \vec b\ \vec c\right|=\vec a \cdot (\vec b \times \vec c)$$ तीन सदिश के त्रिक गुणनफल को दर्शाता है और $$\vec a \cdot \vec b$$ अदिश गुणनफल को दर्शाता है।

ऋणात्मक या गलत ठोस कोणों से बचने के लिए यहां सावधानी बरतनी चाहिए। संभावित त्रुटियों का स्रोत यह है कि अदिश त्रिक गुणनफल ऋणात्मक हो सकता है यदि $a$, $b$, $c$ गलत निर्धारक है। कम्प्यूटिंग एक पर्याप्त समाधान है क्योंकि समीकरण का कोई अन्य भाग आवलन पर निर्भर नहीं करता है। दूसरा नुकसान तब होता है जब अदिश त्रिक गुणनफल धनात्मक होता है लेकिन विभाजक ऋणात्मक होता है। इस मामले में ऋणात्मक मान देता है जिसे π से बढ़ाया जाना चाहिए।

पिरामिड
शीर्ष कोण $a$ और $b$ (पिरामिड के विपरीत दिशा के चेहरों को मापा गया द्वितल कोण) के साथ चार-तरफा समकोणीय पिरामिड (ज्यामिति) का ठोस कोण है $$\Omega = 4 \arcsin \left( \sin \left({a \over 2}\right) \sin \left({b \over 2}\right) \right). $$ यदि पिरामिड के आधार की दोनों ओर की लंबाई ($Ω$ और $Ω$) और आधार आयत के केंद्र से पिरामिड के शीर्ष (गोले का केंद्र) तक की दूरी ($α$) ज्ञात हो, तो उपरोक्त समीकरण हो सकता है देने के लिए हेरफेर किया जाना

$$\Omega = 4 \arctan \frac {\alpha\beta} {2d\sqrt{4d^2 + \alpha^2 + \beta^2}}. $$ समकोण $n$-गोनल पिरामिड का ठोस कोण, जहाँ पिरामिड का आधार परिवृत्त $r$ का एक नियमित $n$ पक्षीय बहुभुज है, एक पिरामिड ऊँचाई $h$ के साथ है

$$\Omega = 2\pi - 2n \arctan\left(\frac {\tan \left({\pi\over n}\right)}{\sqrt{1 + {r^2 \over h^2}}} \right). $$ किनारों $β$ का प्रतिनिधित्व करने वाले इकाई सदिश के अनुक्रम द्वारा परिभाषित $d$ पक्षीय आधार के साथ यादृच्छिक पिरामिड का ठोस कोण कुशलता से गणना की जा सकती है:

$$ \Omega = 2\pi - \arg \prod_{j=1}^{n} \left(   \left( s_{j-1} s_j \right)\left( s_{j} s_{j+1} \right) -    \left( s_{j-1} s_{j+1} \right) +    i\left[ s_{j-1} s_j s_{j+1} \right]  \right). $$ जहाँ कोष्ठक (* *) अदिश गुणनफल है और वर्गाकार कोष्ठक [* * *] त्रिगुणात्मक गुणनफल है, और $i$ काल्पनिक इकाई है। सूचकांकों का चक्रण किया जाता है: ${s_{1}, s_{2}}, ... s_{n}|undefined$ और $n$। जटिल गुणनफल बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष कोण से जुड़े चरण को जोड़ते हैं। चूंकि,$$2\pi$$ का गुणक $$\arg$$ के ब्रांच कट में खो गया है और इसे अलग से मार्ग किया जाना चाहिए। इसके अतिरिक्त, जटिल चरणों के चलने वाले गुणनफल को लगभग समांतर खंडों की सीमा में अधः प्रवाह से बचने के लिए कभी-कभी बढ़ाया जाना चाहिए।

अक्षांश-देशांतर आयत
ग्लोब पर अक्षांश-देशांतर आयत का ठोस कोण होता है $$\left ( \sin \phi_\mathrm{N} - \sin \phi_\mathrm{S} \right ) \left ( \theta_\mathrm{E} - \theta_\mathrm{W} \,\! \right)\;\mathrm{sr},$$ जहाँ $s_{0} = s_{n}$ और $s_{1} = s_{n + 1}$ अक्षांश उत्तर और दक्षिण रेखाएँ हैं (भूमध्य रेखा से रेडियन में उत्तर की ओर बढ़ते कोण के साथ मापा जाता है), और $φ_{N}$ और $φ_{S}$ देशांतर की पूर्व और पश्चिम रेखाएँ हैं (जहाँ रेडियन में कोण पूर्व की ओर बढ़ता है)। गणितीय रूप से, यह कोण $θ_{E}$ के चाप का प्रतिनिधित्व करता है जो $θ_{W}$रेडियन द्वारा गोले के चारों ओर घूमता है। जब देशांतर 2π रेडियन तक फैला होता है और अक्षांश π रेडियन तक फैला होता है, तो ठोस कोण गोले का होता है।

अक्षांश-देशांतर आयत को आयताकार पिरामिड के ठोस कोण से भ्रमित नहीं होना चाहिए। आयताकार पिरामिड के सभी चार पक्ष बड़े वृत्त चाप में गोले की सतह को काटते हैं। अक्षांश-देशांतर आयत के साथ, देशांतर की केवल रेखाएँ ही वृहत वृत्त चाप होती हैं, अक्षांश रेखाएँ नहीं हैं।

खगोलीय पिंड
कोणीय व्यास की परिभाषा का उपयोग करके, खगोलीय पिंड के ठोस कोण के सूत्र को पिंड की त्रिज्या, $R$, और प्रेक्षक से पिंड की दूरी के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है।, $$d$$:

$$\Omega = 2 \pi \left (1 - \frac{\sqrt{d^2 - R^2}}{d} \right ) : d \geq R.$$ सूर्य और चंद्रमा (पृथ्वी के संबंध में) के लिए उपयुक्त औसत मान डालने पर, सूर्य का औसत ठोस कोण 6.794×10−5 स्टेरेडियन और चंद्रमा का औसत ठोस कोण 6.418×10−5 स्टेरेडियन होता है। कुल खगोलीय क्षेत्र के संदर्भ में, सूर्य और चंद्रमा क्रमशः 0.0005406% ($5.406 पीपीएम$) और 0.0005107% (5.107 पीपीएम) के औसत भिन्नात्मक क्षेत्रों को घटाते हैं। चूँकि ये ठोस कोण लगभग समान आकार के होते हैं, ग्रहण के दौरान पृथ्वी और चंद्रमा के बीच की दूरी के आधार पर चंद्रमा पूर्ण और कुंडलाकार दोनों तरह के सौर ग्रहण का कारण बन सकता है।

यादृच्छिक आयामों में ठोस कोण
$ϕ_{N} − ϕ_{S}$ -आयामी यूक्लिडियन समष्टि में यूनिट स्फीयर की पूर्ण ($d − 1$)-आयामी गोलाकार सतह द्वारा अंतरित ठोस कोण को किसी भी आयाम d में परिभाषित किया जा सकता है। गोलाकार समरूपता के साथ गणना में अधिकांशतः इस ठोस कोण कारक की आवश्यकता होती है। यह सूत्र द्वारा दिया गया है $$\Omega_{d} = \frac{2\pi^\frac{d}{2}}{\Gamma\left(\frac{d}{2}\right)}, $$ जहां $θ_{E} − θ_{W}$ गामा फलन है। जब $d$ पूर्णांक होता है, तो गामा फलन की स्पष्ट रूप से गणना की जा सकती है। यह इस प्रकार है कि $$ \Omega_{d} = \begin{cases} \frac{1}{ \left(\frac{d}{2} - 1 \right)!} 2\pi^\frac{d}{2}\ & d\text{ even} \\ \frac{\left(\frac{1}{2}\left(d - 1\right)\right)!}{(d - 1)!} 2^d \pi^{\frac{1}{2}(d - 1)}\ & d\text{ odd}. \end{cases} $$ यह $Γ$ क्षेत्रफल की सतह से घिरे 3D गोले के लिए 4π स्टेरेडियन और $d$ लंबाई की परिधि से घिरे 2D वृत्त के लिए 2π रेडियन के अपेक्षित परिणाम देता है। यह 1D मामले के लिए थोड़ा कम स्पष्ट 2 भी देता है, जिसमें मूल-केंद्रित 1D "गोला" अंतराल $[−r, r]$ है और यह दो सीमित बिंदुओं से घिरा है।

यादृच्छिक में सदिश सूत्र का प्रतिरूप एओमोटो और रिबांडो द्वारा स्वतंत्र रूप से प्राप्त किया गया था। यह उन्हें अनंत बहुभिन्नरूपी टेलर श्रृंखला के रूप में व्यक्त करता है: $$\Omega = \Omega_d \frac{\left|\det(V)\right|}{(4\pi)^{d/2}} \sum_{\vec a\in \N_0^{\binom {d}{2}}} \left [ \frac{(-2)^{\sum_{i<j} a_{ij}}}{\prod_{i<j} a_{ij}!}\prod_i \Gamma \left (\frac{1+\sum_{m\neq i} a_{im}}{2} \right ) \right ] \vec \alpha^{\vec a}. $$ दिया गया $d$ यूनिट सदिश $$\vec{v}_i$$ कोण को परिभाषित करते हुए, $V$ को उनके संयोजन से बनने वाले मैट्रिक्स को निरूपित करते हैं, इसलिए $i$वां स्तंभ है $$\vec{v}_i$$, और $$\alpha_{ij} = \vec{v}_i\cdot\vec{v}_j = \alpha_{ji}, \alpha_{ii}=1$$. चर $$\alpha_{ij},1 \le i < j \le d$$ बहुभिन्नरूपी बनाओ

$$\vec \alpha = (\alpha_{12},\dotsc, \alpha_{1d}, \alpha_{23}, \dotsc, \alpha_{d-1,d}) \in \R^{\binom{d}{2}}$$ सर्वांगसम पूर्णांक मल्टीएक्सपोनेंट के लिए $$\vec a=(a_{12}, \dotsc, a_{1d}, a_{23}, \dotsc , a_{d-1,d}) \in \N_0^{\binom{d}{2}}, $$ परिभाषित करना $\vec \alpha^{\vec a}=\prod \alpha_{ij}^{a_{ij}}$

ध्यान दें कि यहाँ $$\N_0$$ = गैर-ऋणात्मक पूर्णांक, या 0 से शुरू होने वाली प्राकृतिक संख्याएँ। अंकन $$\alpha_{ji}$$ के लिए $$j > i$$ चर का अर्थ है $$\alpha_{ij}$$, इसी तरह घातांक के लिए $$a_{ji}$$.

इसलिए, शब्द $\sum_{m \ne l} a_{lm}$ का अर्थ है सभी पदों का योग $$\vec a$$ जिसमें  या तो पहली या दूसरी अनुक्रमणिका के रूप में प्रकट होता है। जहाँ यह श्रृंखला अभिसरण करती है, यह सदिशों द्वारा परिभाषित ठोस कोण में परिवर्तित हो जाती है।

आगे की पढाई

 * Erratum ibid. vol 50 (2011) page 059801.
 * Erratum ibid. vol 50 (2011) page 059801.
 * Erratum ibid. vol 50 (2011) page 059801.
 * Erratum ibid. vol 50 (2011) page 059801.
 * Erratum ibid. vol 50 (2011) page 059801.
 * Erratum ibid. vol 50 (2011) page 059801.
 * Erratum ibid. vol 50 (2011) page 059801.
 * Erratum ibid. vol 50 (2011) page 059801.
 * Erratum ibid. vol 50 (2011) page 059801.
 * Erratum ibid. vol 50 (2011) page 059801.

बाहरी कड़ियाँ

 * HCR's Theory of Polygon(solid angle subtended by any polygon) from Academia.edu
 * Arthur P. Norton, A Star Atlas, Gall and Inglis, Edinburgh, 1969.
 * M. G. Kendall, A Course in the Geometry of N Dimensions, No. 8 of Griffin's Statistical Monographs & Courses, ed. M. G. Kendall, Charles Griffin & Co. Ltd, London, 1961