रैखिक विस्तार

गणित में, सदिशों के समुच्चय $S$ (किसी सदिश समिष्ट से) का रैखिक स्पैन जिसे रैखिक हल (रैखिक समावरक) या केवल स्पैन भी कहा जाता है, $span(S)$ से प्रदर्शित किया जाता है, को $S$ में सदिशों के सभी रैखिक संयोजनों (कॉम्बिनेशन) के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है। इसे या तो सभी रेखीय उपसमष्टियों के प्रतिच्छेदन के रूप में वर्णित किया जा सकता है जिसमें $S$ सम्मिलित होता है, या $S$ युक्त सबसे छोटी उपसमष्टि के रूप में। सदिशों के एक समुच्चय का रैखिक स्पैन स्वयं एक सदिश समिष्ट होता है। स्पैन को मैट्रोइड्स और मॉड्यूल के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

यह व्यक्त करने के लिए कि एक सदिश समिष्ट $V$ उपसमुच्चय $S$ का एक रैखिक स्पैन है, सामान्यतः निम्नलिखित सूत्र रूप का उपयोग किया जाता है - या तो: $S$, $V$ को स्पैन करता है, $S$, $V$ का एक स्पैन किया गया समुच्चय है, $V$ को $S$ द्वारा स्पैन/उत्पन्न किया जाता है, या $S$, $V$ का एक जनरेटर या जनरेटर समुच्चय है।

परिभाषा
एक फ़ील्ड $K$ पर एक सदिश समिष्ट $V$ दिया गया है, सदिशों के एक समुच्चय $S$ की अवधि (जरूरी नहीं कि अनंत हो) को $V$ के सभी उपस्थानों के प्रतिच्छेदन $W$ के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें $S$ सम्मिलित है। $W$ को $S$ द्वारा फैले हुए उपसमष्टि के रूप में संदर्भित किया जाता है, या $S$ में सदिशों द्वारा। इसके विपरीत, $S$ को $W$ का स्पैन समुच्चय कहा जाता है, और हम कहते हैं कि $S$, $W$ को विस्तृत करता है।

वैकल्पिक रूप से, $S$ की अवधि को $S$ के तत्वों (सदिश) के सभी परिमित रैखिक संयोजनों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो उपरोक्त परिभाषा से अनुसरण करता है।

$$ \operatorname{span}(S) = \left \{ {\left.\sum_{i=1}^k \lambda_i \mathbf v_i \;\right|\; k \in \N, \mathbf v_i  \in S, \lambda _i  \in K} \right \}.$$अनंत $S$ के मामले में, अनंत रैखिक संयोजन (अर्थात जहां एक संयोजन में एक अनंत राशि सम्मिलित हो सकती है, यह मानते हुए कि इस तरह की रकम को किसी तरह परिभाषित किया गया है, कहते हैं, एक बनच स्थान) को परिभाषा से बाहर रखा गया है; एक सामान्यीकरण जो इन्हें अनुमति देता है वह समतुल्य नहीं है।

उदाहरण
वास्तविक सदिश समष्टि $$\mathbb R^3$$ में {(−1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} एक विस्तृत समुच्चय के रूप में है। यह विशेष रूप से फैला हुआ समुच्चय भी एक आधार है। अगर (-1, 0, 0) को (1, 0, 0) से बदल दिया जाता है, तो यह $$\mathbb R^3$$ का विहित आधार भी बन जाएगा।

उसी स्थान के लिए एक और स्पैन समुच्चय {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (-1, $1/2$, 3), (1, 1, 1)} द्वारा दिया जाता है, लेकिन यह समुच्चय आधार नहीं है, क्योंकि यह रैखिक निर्भरता है।

समुच्चय ${(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0)}$ $$\mathbb R^3$$ का विस्तृत समुच्चय नहीं है, चूँकि इसकी अवधि $$\mathbb R^3$$ में सभी सदिशों का स्थान है जिसका अंतिम घटक शून्य है। वह स्थान समुच्चय {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} द्वारा भी फैला हुआ है, क्योंकि (1, 1, 0) (1, 0, 0) और (0, 1, 0) का एक रैखिक संयोजन है। हालाँकि, यह $$\mathbb R^3$$ तक फैला हुआ है। (जब इसे $$\mathbb R^3$$ के उपसमुच्चय के रूप में समझा जाता है)।

खाली समुच्चय {(0, 0, 0)} का एक फैला हुआ समुच्चय है, क्योंकि खाली समुच्चय $$\mathbb R^3$$ में सभी संभावित वेक्टर रिक्त स्थान का एक सबसमुच्चय है, इन सभी वेक्टर रिक्त स्थान का प्रतिच्छेदन है।

फ़ंक्शन $x^{n}$ का समुच्चय, जहां $n$ एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है, बहुपदों के स्थान को फैलाता है।

परिभाषाओं की समानता
$V$ के एक उपसमुच्चय $S$ के सभी रैखिक संयोजनों का समुच्चय, $K$ के ऊपर एक सदिश समिष्ट, $V$ युक्त $S$ का सबसे छोटा रैखिक उपसमष्टि है।


 * प्रमाण। हम पहले सिद्ध करते हैं कि $span S$, $V$ की एक उपसमष्टि है। चूँकि $S$, $V$ का एक उपसमूह है, हमें केवल $span S$ में एक शून्य वेक्टर $0$ के अस्तित्व को साबित करने की आवश्यकता है, वह $span S$ अतिरिक्त के तहत बंद है, और वह $span S$ स्केलर गुणन के तहत बंद है। $$S = \{ \mathbf v_1, \mathbf v_2, \ldots, \mathbf v_n \}$$ को देखते हुए, यह तुच्छ है कि $V$ का शून्य वेक्टर $$\mathbf 0 = 0 \mathbf v_1 + 0 \mathbf v_2 + \cdots + 0 \mathbf v_n$$ के बाद से $S$ में मौजूद है। $S$ के दो रैखिक संयोजनों को एक साथ जोड़ने से $S$ का एक रैखिक संयोजन भी उत्पन्न होता है: $$(\lambda_1 \mathbf v_1 + \cdots + \lambda_n \mathbf v_n) + (\mu_1 \mathbf v_1 + \cdots + \mu_n \mathbf v_n) = (\lambda_1 + \mu_1) \mathbf v_1 + \cdots + (\lambda_n + \mu_n) \mathbf v_n$$, जहां सभी $$\lambda_i, \mu_i \in K$$, और $S$ के रैखिक संयोजन को स्केलर $$c \in K$$ से गुणा करने पर S: $$c(\lambda_1 \mathbf v_1 + \cdots + \lambda_n \mathbf v_n) = c\lambda_1 \mathbf v_1 + \cdots + c\lambda_n \mathbf v_n$$ का एक और रैखिक संयोजन प्राप्त होगा। इस प्रकार $S$, $V$ की एक उपसमष्टि है।
 * मान लीजिए कि $W$, $V$ युक्त $S$ की एक रैखिक उपसमष्टि है। यह $$S \subseteq \operatorname{span} S$$ का अनुसरण करता है, क्योंकि प्रत्येक $v_{i}$ $S$ का एक रैखिक संयोजन है (त्रुटिपूर्ण)। चूँकि $W$ जोड़ और अदिश गुणन के अंतर्गत संवृत है, तो प्रत्येक रैखिक संयोजन $$\lambda_1 \mathbf v_1 + \cdots + \lambda_n \mathbf v_n$$ को $W$ में समाविष्ट होना चाहिए। इस प्रकार, $span S$ $V$ युक्त $S$ के प्रत्येक उप-स्थान में समाहित है, और ऐसे सभी उप-स्थानों का प्रतिच्छेदन, या सबसे छोटा उप-स्थान, $S$ के सभी रैखिक संयोजनों के समुच्चय के बराबर है।

स्पैनिंग समुच्चय का आकार रैखिक रूप से स्वतंत्र समुच्चय का कम से कम आकार है
सदिश समष्टि $V$ के प्रत्येक फैले हुए समुच्चय $S$ में कम से कम उतने अवयव होने चाहिए जितने कि $V$ से सदिशों के किसी रैखिक स्वतंत्रता समुच्चय में होते हैं।


 * प्रमाण। $$S = \{ \mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_m \}$$ को एक फैले हुए समुच्चय होने दें और $$W = \{ \mathbf w_1, \ldots, \mathbf w_n \}$$ $V$ से सदिशों का एक रैखिक रूप से स्वतंत्र समुच्चय बनें। हम $$m \geq n$$ दिखाना चाहते हैं।
 * चूँकि $S$, $V$ तक फैला है, तो $$S \cup \{ \mathbf w_1 \}$$ को भी $V$ तक फैलाना चाहिए, और $w_1$ को $S$ का एक रैखिक संयोजन होना चाहिए। इस प्रकार $$S \cup \{ \mathbf w_1 \}$$ रैखिक रूप से निर्भर है, और हम $S$ से एक वेक्टर को हटा सकते हैं जो अन्य तत्वों का एक रैखिक संयोजन है। यह सदिश कोई भी $w_{i}$ नहीं हो सकता है, क्योंकि $W$ रैखिक रूप से स्वतंत्र है। परिणामी समुच्चय $$\{ \mathbf w_1, \mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_{i-1}, \mathbf v_{i+1}, \ldots, \mathbf v_m \}$$ है, जो कि $V$ का स्पैन समुच्चय है। हम इस चरण को $n$ बार दोहराते हैं, जहाँ $p$वें चरण के बाद परिणामी समुच्चय $$\{ \mathbf w_1, \ldots, \mathbf w_p \}$$ और $S$ के $m - p$ सदिशों का मिलन है।
 * यह $n$वें चरण तक सुनिश्चित किया जाता है कि $v$ के प्रत्येक आसन्न के लिए $S$ में से हमेशा कुछ $v_i$ निकालना होगा, और इस प्रकार कम से कम उतने ही $v_{i}$ हैं जितने कि $w_{i}$ हैं—अर्थात् $$m \geq n$$ है। इसे सत्यापित करने के लिए, हम विरोधाभास के रूप में मान लेते हैं कि $$m < n$$ है। फिर, $m$वें चरण पर, हमारे पास समुच्चय $$\{ \mathbf w_1, \ldots, \mathbf w_m \}$$ है और हम अन्य सदिश $$\mathbf w_{m+1}$$ को जोड़ सकते हैं। लेकिन, चूँकि $$\{ \mathbf w_1, \ldots, \mathbf w_m \}$$ $V$ का एक विस्तृत समुच्चय है, $$\mathbf w_{m+1}$$ $$\{ \mathbf w_1, \ldots, \mathbf w_m \}$$ का एक रैखिक संयोजन है। यह एक विरोधाभास है, क्योंकि $W$ रैखिकतः स्वतंत्र है।

स्पैनिंग समुच्चय को आधार पर कम किया जा सकता है
चलो $V$ एक परिमित-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष बनें। यदि आवश्यक हो तो सदिश को हटाकर (यानी यदि समुच्चय में रैखिक रूप से निर्भर सदिश हैं) $V$ को फैलाने वाले सदिशों का कोई भी समुच्चय $V$ के आधार पर कम किया जा सकता है। यदि पसंद का स्वयंसिद्ध धारण करता है, तो यह इस धारणा के बिना सच है कि $V$ का परिमित आयाम है। यह यह भी इंगित करता है कि $V$ परिमित-आयामी होने पर एक आधार न्यूनतम स्पैन समुच्चय है।

सामान्यीकरण
अंतरिक्ष में बिंदुओं की अवधि की परिभाषा को सामान्यीकृत करते हुए, मैट्रॉइड के ग्राउंड समुच्चय के एक उपसमुच्चय $X$ को स्पैनिंग समुच्चय कहा जाता है यदि $X$ का रैंक पूरे ग्राउंड समुच्चय के रैंक के बराबर है ।

सदिश समिष्ट की परिभाषा को मॉड्यूल के लिए भी सामान्यीकृत किया जा सकता है। एक $R$-मॉड्यूल $A$ और तत्वों का एक संग्रह $a_{1}$, ..., $a_{n}$, $A$ का दिया गया है, $A$ का सबमॉड्यूल $a_{1}$, ..., $a_{n}$, चक्रीय मॉड्यूल का योग है$$Ra_1 + \cdots + Ra_n = \left\{ \sum_{k=1}^n r_k a_k \bigg| r_k \in R \right\}$$ तत्वों के सभी $R$-रैखिक संयोजनों से मिलकर $a_{i}$। वेक्टर रिक्त स्थान के मामले में, $A$ के किसी भी सबसमुच्चय द्वारा फैलाए गए $A$ के सबमॉड्यूल उस उपसमुच्चय वाले सभी सबमॉड्यूल्स का प्रतिच्छेदन है।

बंद रेखीय स्पैन (कार्यात्मक विश्लेषण)
कार्यात्मक विश्लेषण में, सदिश समिष्ट के एक समुच्चय (गणित) का एक बंद रैखिक स्पैन न्यूनतम बंद समुच्चय होता है जिसमें उस समुच्चय का रैखिक स्पैन होता है।

मान लीजिए कि $X$ एक मानक सदिश समष्टि है और मान लीजिए कि $E$, $X$ का कोई गैर-रिक्त उपसमुच्चय है। $E$ की बंद रैखिक अवधि, जिसे $$\overline{\operatorname{Sp}}(E)$$ या $$\overline{\operatorname{Span}}(E)$$ द्वारा निरूपित किया जाता है, $X$ की सभी बंद रेखीय उपसमष्टि का प्रतिच्छेदन है, जिसमें $E$ सम्मिलित है।

इसका एक गणितीय सूत्रीकरण है


 * $$\overline{\operatorname{Sp}}(E) = \{u\in X | \forall\varepsilon > 0\,\exists x\in\operatorname{Sp}(E) : \|x - u\|<\varepsilon\}.$$

अंतराल [0, 1] पर फ़ंक्शन xn के समुच्चय का बंद रैखिक स्पैन, जहां n एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है, उपयोग किए गए मानदंड पर निर्भर करता है। यदि L2 मानदंड का उपयोग किया जाता है, तो बंद रैखिक स्पैन अंतराल पर वर्ग-अभिन्नीकरण कार्यों का हिल्बर्ट स्थान है। लेकिन यदि अधिकतम मानदंड का उपयोग किया जाता है, तो बंद रैखिक अवधि अंतराल पर निरंतर कार्यों की जगह होगी। किसी भी मामले में, बंद रैखिक अवधि में ऐसे कार्य होते हैं जो बहुपद नहीं होते हैं, और इसलिए रैखिक स्पैन में ही नहीं होते हैं। हालांकि, बंद रैखिक अवधि में कार्यों के समुच्चय की प्रमुखता सातत्य की प्रमुखता है, जो बहुपदों के समुच्चय के लिए समान प्रमुखता है।

टिप्पणियाँ
बंद रैखिक अवधि में एक समुच्चय का रैखिक स्पैन घना है। इसके अलावा, जैसा कि नीचे दी गई लेम्मा में बताया गया है, बंद रैखिक अवधि वास्तव में रैखिक अवधि का बंद होना है।

क्लोज्ड लीनियर सबस्पेस से निपटने के दौरान क्लोज्ड लीनियर स्पैन महत्वपूर्ण होते हैं (जो स्वयं अत्यधिक महत्वपूर्ण होते हैं, रिज़्ज़ लेम्मा देखें)।

एक उपयोगी लेम्मा
$X$ को एक मानक स्थान होने दें और $E$ को $X$ का कोई गैर-खाली उपसमुच्चय होने दें। तब {{ordered list |list-style-type=lower-alpha | $$\overline{\operatorname{Sp}}(E)$$ X की एक बंद रैखिक उपसमष्टि है जिसमें E है,| गणित>\overline{\operatorname{Sp}}$$E^\perp = (\operatorname{Sp}(E))^\perp = \left(\overline{\operatorname{Sp}(E)}\right)^\perp.$$

(इसलिए बंद लीनियर स्पैन को खोजने का सामान्य तरीका पहले लीनियर स्पैन को ढूंढना है, और फिर उस लीनियर स्पैन को बंद करना है।)

यह भी देखें

 * अफिन हल
 * शंक्वाकार संयोजन
 * उत्तल पतवार

पाठ्यपुस्तकें

 * Lay, David C. (2021) Linear Algebra and Its Applications (6th Edition). Pearson.
 * Lay, David C. (2021) Linear Algebra and Its Applications (6th Edition). Pearson.
 * Lay, David C. (2021) Linear Algebra and Its Applications (6th Edition). Pearson.
 * Lay, David C. (2021) Linear Algebra and Its Applications (6th Edition). Pearson.
 * Lay, David C. (2021) Linear Algebra and Its Applications (6th Edition). Pearson.
 * Lay, David C. (2021) Linear Algebra and Its Applications (6th Edition). Pearson.

बाहरी संबंध

 * Linear Combinations and Span: Understanding linear combinations and spans of vectors, khanacademy.org.