सदिश गुणनफल

गणित में, क्रॉस उत्पाद या वेक्टर उत्पाद (कभी-कभी निर्देशित क्षेत्र उत्पाद, इसके ज्यामितीय महत्व पर जोर देने के लिए) एक त्रि-आयामी अभिविन्यास (वेक्टर स्थान)   [[ यूक्लिडियन वेक्टर  अंतरिक्ष ]] में दो यूक्लिडियन वैक्टर पर एक  बाइनरी ऑपरेशन  है। $$E$$), और प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है $$\times$$. दो  रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर  दिए गए हैं $a$ तथा $b$, क्रॉस उत्पाद, $a × b$ (एक क्रॉस बी पढ़ें), एक वेक्टर है जो दोनों के लिए लंबवत है $a$ तथा $b$, और इस प्रकार उन्हें रखने वाले विमान के लिए  सामान्य (ज्यामिति) । इसके गणित, भौतिकी,  अभियांत्रिकी  और  कंप्यूटर प्रोग्रामिंग  में कई अनुप्रयोग हैं। इसे  डॉट उत्पाद  (प्रक्षेपण उत्पाद) के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए।

यदि दो सदिशों की दिशा समान है या एक दूसरे से बिल्कुल विपरीत दिशा है (अर्थात, वे रैखिक रूप से स्वतंत्र नहीं हैं), या यदि किसी एक की लंबाई शून्य है, तो उनका अनुप्रस्थ गुणनफल शून्य होता है। अधिक सामान्यतः, उत्पाद का परिमाण पक्षों के लिए वैक्टर के साथ समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है; विशेष रूप से, दो लंब सदिशों के गुणनफल का परिमाण उनकी लंबाई का गुणनफल होता है।

क्रॉस उत्पाद anticommutativity  है (यानी, $a × b = − b × a$) और योग पर  वितरण  है (अर्थात, $a × (b + c) = a × b + a × c$). अंतरिक्ष $$E$$ एक साथ क्रॉस उत्पाद एक क्षेत्र पर एक बीजगणित है, जो न तो क्रम विनिमेय है और न ही साहचर्य है, लेकिन एक  झूठ बीजगणित  है जिसमें क्रॉस उत्पाद  लेट ब्रैकेट  है।

डॉट उत्पाद की तरह, यह यूक्लिडियन स्पेस  के  मीट्रिक स्थान  पर निर्भर करता है, लेकिन डॉट प्रोडक्ट के विपरीत, यह स्पेस के ओरिएंटेशन (गणित) (या  दाहिने हाथ का नियम ) के विकल्प पर भी निर्भर करता है (यही कारण है कि ओरिएंटेड स्पेस की आवश्यकता है) ). क्रॉस उत्पाद के संबंध में, वैक्टर के  बाहरी बीजगणित  का उपयोग मनमाना आयामों में किया जा सकता है (एक  bivector  या  2-प्रपत्र  परिणाम के साथ) और अंतरिक्ष के उन्मुखीकरण से स्वतंत्र है।

पारंपरिक 3-आयामी क्रॉस उत्पाद के लिए ओरिएंटेशन और मीट्रिक संरचना का उपयोग करके उत्पाद को विभिन्न तरीकों से सामान्यीकृत किया जा सकता है, कोई भी कर सकता है $n$ आयाम, का उत्पाद लें $n − 1$ वेक्टर उन सभी के लिए लंबवत वेक्टर उत्पन्न करने के लिए। लेकिन अगर उत्पाद सदिश परिणामों के साथ गैर-तुच्छ बाइनरी उत्पादों तक सीमित है, तो यह केवल तीन और सात आयामों में मौजूद है। सात-आयामी क्रॉस उत्पाद | सात आयामों में क्रॉस-उत्पाद में अवांछनीय गुण होते हैं (उदाहरण के लिए यह सात-आयामी क्रॉस उत्पाद # जैकोबी पहचान  को संतुष्ट करने के लिए अष्टक से संबंध), हालांकि, इसका उपयोग गणितीय भौतिकी में मात्राओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए नहीं किया जाता है बहुआयामी अंतरिक्ष-समय के रूप में। (क्रॉस उत्पाद#सामान्यीकरण|§ सामान्यीकरण, अन्य आयामों के लिए नीचे देखें।)

परिभाषा
दो वैक्टर ए और बी का क्रॉस उत्पाद केवल त्रि-आयामी अंतरिक्ष में परिभाषित किया गया है और इसे निरूपित किया गया है a × b. भौतिकी और अनुप्रयुक्त गणित में, कील संकेतन a ∧ b अक्सर उपयोग किया जाता है (वेक्टर उत्पाद नाम के संयोजन के साथ),  हालांकि शुद्ध गणित में इस तरह के अंकन आमतौर पर केवल बाहरी उत्पाद के लिए आरक्षित होते हैं, वेक्टर उत्पाद का एक सार $n$ आयाम।

क्रॉस उत्पाद a × b एक वेक्टर सी के रूप में परिभाषित किया गया है जो दाएं हाथ के नियम द्वारा दी गई दिशा के साथ ए और बी दोनों के लिए लंबवत (ऑर्थोगोनल) है और समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर परिमाण जो सदिश फैलाता है।

क्रॉस उत्पाद सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \left\| \mathbf{a} \right\| \left\| \mathbf{b} \right\| \sin (\theta) \ \mathbf{n}$$

कहाँ पे:


 * θ उन्हें समाहित करने वाले तल में 'a' और 'b' के बीच का कोण  है (इसलिए, यह 0° और 180° के बीच है)
 * ‖'a'‖ और ‖'b'‖ सदिश 'a' और 'b' के परिमाण (वेक्टर)  हैं
 * और 'एन' दाहिने हाथ के नियम (सचित्र) द्वारा दी गई दिशा में 'ए' और 'बी' युक्त विमान के लंबवत एक इकाई वेक्टर  है।

यदि सदिश a और b समांतर हैं (अर्थात, उनके बीच का कोण θ या तो 0° या 180° है), उपरोक्त सूत्र के अनुसार, a और b का क्रॉस गुणनफल शून्य सदिश 0 है।

दिशा
परिपाटी के अनुसार, सदिश n की दिशा दाएँ हाथ के नियम द्वारा दी गई है, जहाँ कोई केवल दाहिने हाथ की तर्जनी को a की दिशा में और मध्यमा को b की दिशा में इंगित करता है। फिर, वेक्टर n अंगूठे से बाहर आ रहा है (आसन्न चित्र देखें)। इस नियम का उपयोग करने का अर्थ है कि क्रॉस उत्पाद एंटीकोम्यूटेटिविटी है। एंटी-कम्यूटेटिव; वह है, b × a = −(a × b). तर्जनी को पहले b की ओर इंगित करके, और फिर मध्य उंगली को a की ओर इंगित करते हुए, अंगूठे को विपरीत दिशा में मजबूर किया जाएगा, उत्पाद वेक्टर के चिह्न को उलट दिया जाएगा।

जैसा कि क्रॉस प्रोडक्ट ऑपरेटर स्पेस के ओरिएंटेशन (वेक्टर स्पेस) पर निर्भर करता है (जैसा कि ऊपर की परिभाषा में स्पष्ट है), दो वैक्टर का क्रॉस प्रोडक्ट एक सच्चा वेक्टर नहीं है, बल्कि एक 'स्यूडोवेक्टर' है। देखना अधिक विवरण के लिए।

नाम और उत्पत्ति
1842 में, विलियम रोवन हैमिल्टन  ने चतुष्कोणीय बीजगणित और गैर-कम्यूटेटिव हैमिल्टन उत्पाद की खोज की। विशेष रूप से, जब दो सदिशों (अर्थात् शून्य अदिश भाग के साथ शुद्ध चतुष्कोण) का हैमिल्टन उत्पाद किया जाता है, तो इसका परिणाम एक अदिश और सदिश भाग के साथ एक चतुर्भुज होता है। इस हैमिल्टन उत्पाद का स्केलर और वेक्टर भाग दो वैक्टरों के डॉट उत्पाद और क्रॉस उत्पाद के नकारात्मक से मेल खाता है।

1881 में, योशिय्याह विलार्ड गिब्स , और स्वतंत्र रूप से  ओलिवर हीविसाइड  ने एक अवधि का उपयोग करते हुए डॉट उत्पाद और क्रॉस उत्पाद दोनों के लिए संकेतन की शुरुआत की (a ⋅ b) और एक × (a × b), क्रमशः, उन्हें निरूपित करने के लिए। 1877 में, इस तथ्य पर जोर देने के लिए कि एक डॉट उत्पाद का परिणाम एक स्केलर (गणित) है, जबकि एक क्रॉस उत्पाद का परिणाम एक यूक्लिडियन वेक्टर है, विलियम किंगडन क्लिफोर्ड  ने दो कार्यों के लिए वैकल्पिक नाम स्केलर उत्पाद और वेक्टर उत्पाद को गढ़ा। ये वैकल्पिक नाम अभी भी साहित्य में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं।

दोनों क्रॉस नोटेशन (a × b) और नाम क्रॉस उत्पाद संभवतः इस तथ्य से प्रेरित थे कि प्रत्येक स्केलर घटक a × b ए और बी के गैर-संगत घटकों को गुणा करके गणना की जाती है। इसके विपरीत, एक डॉट उत्पाद a ⋅ b ए और बी के संबंधित घटकों के बीच गुणा शामिल है। जैसा कि समझाया गया #मैट्रिक्स नोटेशन, क्रॉस उत्पाद को विशेष के निर्धारक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है 3 × 3 आव्यूह। सरस नियम के अनुसार, इसमें क्रॉस किए गए विकर्णों द्वारा पहचाने गए मैट्रिक्स तत्वों के बीच गुणन शामिल है।

समन्वय संकेतन
यदि (i, j,k) एक सकारात्मक रूप से उन्मुख ऑर्थोनॉर्मल आधार है, तो आधार वैक्टर निम्नलिखित समानता को संतुष्ट करते हैं :$$\begin{alignat}{2} \mathbf{\color{blue}{i}}&\times\mathbf{\color{red}{j}} &&= \mathbf{\color{green}{k}}\\ \mathbf{\color{red}{j}}&\times\mathbf{\color{green}{k}} &&= \mathbf{\color{blue}{i}}\\ \mathbf{\color{green}{k}}&\times\mathbf{\color{blue}{i}} &&= \mathbf{\color{red}{j}} \end{alignat}$$ जिसका अर्थ है, क्रॉस उत्पाद की एंटीकम्यूटेटिविटी से, कि
 * $$\begin{alignat}{2}

\mathbf{\color{red}{j}}&\times\mathbf{\color{blue}{i}} &&= -\mathbf{\color{green}{k}}\\ \mathbf{\color{green}{k}}&\times\mathbf{\color{red}{j}} &&= -\mathbf{\color{blue}{i}}\\ \mathbf{\color{blue}{i}}&\times\mathbf{\color{green}{k}} &&= -\mathbf{\color{red}{j}} \end{alignat}$$ क्रॉस उत्पाद (और रैखिक आजादी की स्पष्ट कमी) की एंटीकॉम्यूटेटिविटी का भी अर्थ है
 * $$\mathbf{\color{blue}{i}}\times\mathbf{\color{blue}{i}} = \mathbf{\color{red}{j}}\times\mathbf{\color{red}{j}} = \mathbf{\color{green}{k}}\times\mathbf{\color{green}{k}} = \mathbf{0}$$ (शून्य वेक्टर)।

क्रॉस उत्पाद की वितरण और रैखिकता  के साथ ये समानताएं (हालांकि ऊपर दी गई परिभाषा से आसानी से अनुसरण नहीं करती हैं), किसी भी दो वैक्टर ए और बी के क्रॉस उत्पाद को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त हैं। प्रत्येक वेक्टर को मानक आधार वैक्टर के समानांतर तीन ऑर्थोगोनल घटकों के योग के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:
 * $$\begin{alignat}{3}

\mathbf{a} &= a_1\mathbf{\color{blue}{i}} &&+ a_2\mathbf{\color{red}{j}} &&+ a_3\mathbf{\color{green}{k}} \\ \mathbf{b} &= b_1\mathbf{\color{blue}{i}} &&+ b_2\mathbf{\color{red}{j}} &&+ b_3\mathbf{\color{green}{k}} \end{alignat}$$ उनका क्रॉस उत्पाद a × b वितरण का उपयोग करके विस्तार किया जा सकता है:
 * $$ \begin{align}

\mathbf{a}\times\mathbf{b} = {} &(a_1\mathbf{\color{blue}{i}} + a_2\mathbf{\color{red}{j}} + a_3\mathbf{\color{green}{k}}) \times (b_1\mathbf{\color{blue}{i}} + b_2\mathbf{\color{red}{j}} + b_3\mathbf{\color{green}{k}})\\ = {} &a_1b_1(\mathbf{\color{blue}{i}} \times \mathbf{\color{blue}{i}}) + a_1b_2(\mathbf{\color{blue}{i}} \times \mathbf{\color{red}{j}}) + a_1b_3(\mathbf{\color{blue}{i}} \times \mathbf{\color{green}{k}}) + {}\\ &a_2b_1(\mathbf{\color{red}{j}} \times \mathbf{\color{blue}{i}}) + a_2b_2(\mathbf{\color{red}{j}} \times \mathbf{\color{red}{j}}) + a_2b_3(\mathbf{\color{red}{j}} \times \mathbf{\color{green}{k}}) + {}\\ &a_3b_1(\mathbf{\color{green}{k}} \times \mathbf{\color{blue}{i}}) + a_3b_2(\mathbf{\color{green}{k}} \times \mathbf{\color{red}{j}}) + a_3b_3(\mathbf{\color{green}{k}} \times \mathbf{\color{green}{k}})\\ \end{align}$$ इसे के अपघटन के रूप में व्याख्यायित किया जा सकता है a × b i, j, या k के साथ संरेखित सदिशों को शामिल करते हुए नौ सरल क्रॉस उत्पादों के योग में। इन नौ क्रॉस उत्पादों में से प्रत्येक दो वैक्टर पर काम करता है जिन्हें संभालना आसान होता है क्योंकि वे एक दूसरे के समानांतर या ऑर्थोगोनल होते हैं। इस अपघटन से, उपर्युक्त # कोऑर्डिनेट नोटेशन का उपयोग करके और समान शब्दों को एकत्रित करके, हम प्राप्त करते हैं:
 * $$\begin{align}

\mathbf{a}\times\mathbf{b} = {} &\quad\ a_1b_1\mathbf{0} + a_1b_2\mathbf{\color{green}{k}} - a_1b_3\mathbf{\color{red}{j}} \\ &- a_2b_1\mathbf{\color{green}{k}} + a_2b_2\mathbf{0} + a_2b_3\mathbf{\color{blue}{i}} \\ &+ a_3b_1\mathbf{\color{red}{j}}\ - a_3b_2\mathbf{\color{blue}{i}}\ + a_3b_3\mathbf{0} \\ = {} &(a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{\color{blue}{i}} + (a_3b_1 - a_1b_3)\mathbf{\color{red}{j}} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{\color{green}{k}}\\ \end{align}$$ जिसका अर्थ है कि परिणामी वेक्टर s = s के तीन अदिश घटक1मैं + स2जे + एस3के = a × b हैं
 * $$\begin{align}

s_1 &= a_2b_3-a_3b_2\\ s_2 &= a_3b_1-a_1b_3\\ s_3 &= a_1b_2-a_2b_1 \end{align}$$ कॉलम वेक्टर का उपयोग करके, हम उसी परिणाम का प्रतिनिधित्व इस प्रकार कर सकते हैं:
 * $$\begin{bmatrix}s_1\\s_2\\s_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\end{bmatrix}$$

मैट्रिक्स संकेतन
क्रॉस उत्पाद को औपचारिक गणना  निर्धारक के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है:


 * $$\mathbf{a\times b} = \begin{vmatrix}

\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\\ \end{vmatrix}$$ इस निर्धारक की गणना सर्रस के नियम | सारस के नियम या कॉफ़ेक्टर विस्तार का उपयोग करके की जा सकती है। सर्रस के नियम का उपयोग करते हुए, इसका विस्तार होता है
 * $$\begin{align}

\mathbf{a\times b} &=(a_2b_3\mathbf{i}+a_3b_1\mathbf{j}+a_1b_2\mathbf{k}) - (a_3b_2\mathbf{i}+a_1b_3\mathbf{j}+a_2b_1\mathbf{k})\\ &=(a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} +(a_3b_1 - a_1b_3)\mathbf{j} +(a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}. \end{align}$$ इसके बजाय पहली पंक्ति के साथ माइनर (रैखिक बीजगणित)  विस्तार का उपयोग करते हुए, इसका विस्तार होता है
 * $$\begin{align}

\mathbf{a\times b} &= \begin{vmatrix} a_2&a_3\\ b_2&b_3 \end{vmatrix}\mathbf{i} - \begin{vmatrix} a_1&a_3\\ b_1&b_3 \end{vmatrix}\mathbf{j} + \begin{vmatrix} a_1&a_2\\ b_1&b_2 \end{vmatrix}\mathbf{k} \\

&=(a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} -(a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} +(a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}, \end{align}$$ जो परिणामी सदिश के घटकों को सीधे देता है।

लेवी-सिविता टेंसर्स
का उपयोग करना
 * किसी भी आधार पर, क्रॉस-उत्पाद $$a \times b$$ टेंसोरियल फॉर्मूला द्वारा दिया जाता है $$E_{ijk}a^ib^j$$ कहाँ पे $$E_{ijk} $$ सहपरिवर्ती लेवी-सिविता प्रतीक#लेवी-सिविता टेंसर|लेवी-सिविता टेंसर है (हम सूचकांकों की स्थिति पर ध्यान देते हैं)। यह #बाहरी उत्पाद के रूप में दिए गए आंतरिक सूत्र से मेल खाता है।
 * अंतरिक्ष के समान अभिविन्यास वाले ऑर्थोनॉर्मल आधार पर, $$a \times b$$ छद्म-तन्य सूत्र द्वारा दिया गया है $$ \varepsilon_{ijk}a^ib^j$$ कहाँ पे $$\varepsilon_{ijk}$$ लेवी-सिविटा प्रतीक है (जो एक छद्म टेंसर है)। रोजमर्रा की भौतिकी के लिए यही सूत्र उपयोग किया जाता है लेकिन यह केवल आधार के इस विशेष विकल्प के लिए काम करता है।
 * किसी भी ऑर्थोनॉर्मल आधार पर, $$a \times b$$ छद्म-तन्य सूत्र द्वारा दिया गया है $$(-1)^B\varepsilon_{ijk}a^ib^j$$ कहाँ पे $$(-1)^B = \pm 1$$ इंगित करता है कि आधार में स्थान के समान अभिविन्यास है या नहीं।

जब हम एक ऑर्थोनॉर्मल आधार को उलटते हैं तो बाद वाला फॉर्मूला अंतरिक्ष के उन्मुखीकरण को बदलने से बचता है।

ज्यामितीय अर्थ
क्रॉस उत्पाद के यूक्लिडियन मानदंड  की व्याख्या समांतर चतुर्भुज के सकारात्मक  क्षेत्र  के रूप में की जा सकती है जिसमें ए और बी पक्षों के रूप में होते हैं (चित्र 1 देखें): $$ \left\| \mathbf{a} \times \mathbf{b} \right\| = \left\| \mathbf{a} \right\| \left\| \mathbf{b} \right\| \left| \sin \theta \right| .$$ वास्तव में, एक क्रॉस उत्पाद और एक डॉट उत्पाद के संयोजन का उपयोग करके किनारों के रूप में 'ए', 'बी' और 'सी' वाले समांतर चतुर्भुज के वॉल्यूम वी की गणना कर सकते हैं, जिसे स्केलर ट्रिपल उत्पाद  कहा जाता है (चित्र 2 देखें):



\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})= \mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})= \mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b}). $$ चूंकि स्केलर ट्रिपल उत्पाद का परिणाम नकारात्मक हो सकता है, समानांतर चतुर्भुज का आयतन इसके निरपेक्ष मान द्वारा दिया जाता है:


 * $$V = |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})|.$$

क्योंकि क्रॉस उत्पाद का परिमाण इसके तर्कों के बीच के कोण की ज्या से जाता है, क्रॉस उत्पाद को लंबवतता के माप के रूप में उसी तरह माना जा सकता है जैसे कि डॉट उत्पाद समानता का एक उपाय है। दो यूनिट वैक्टर  दिए गए हैं, उनके क्रॉस उत्पाद का परिमाण 1 है यदि दोनों लंबवत हैं और शून्य का परिमाण है यदि दोनों समानांतर हैं। दो यूनिट वैक्टर का डॉट उत्पाद बिल्कुल विपरीत व्यवहार करता है: यह शून्य होता है जब यूनिट वैक्टर लंबवत होते हैं और 1 अगर यूनिट वैक्टर समानांतर होते हैं।

यूनिट वैक्टर दो सुविधाजनक पहचान सक्षम करते हैं: दो यूनिट वैक्टरों का डॉट उत्पाद दो यूनिट वैक्टरों के बीच कोण के कोसाइन (जो सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है) उत्पन्न करता है। दो यूनिट वैक्टरों के क्रॉस उत्पाद का परिमाण साइन उत्पन्न करता है (जो हमेशा सकारात्मक होगा)।

बीजगणितीय गुण




यदि दो सदिशों का क्रॉस उत्पाद शून्य सदिश है (अर्थात, a × b = 0), तो या तो एक या दोनों इनपुट शून्य वेक्टर हैं, (a = 0 या b = 0) या फिर वे समानांतर या विरोधी समानांतर हैं (a ∥ b) ताकि उनके बीच के कोण की ज्या शून्य हो (θ = 0° या θ = 180° तथा sin θ = 0).

एक वेक्टर का स्व-क्रॉस उत्पाद शून्य वेक्टर है:
 * $$\mathbf{a} \times \mathbf{a} = \mathbf{0}.$$

क्रॉस उत्पाद एंटीकॉम्यूटेटिविटी है,
 * $$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a}),$$

इसके अलावा वितरण संपत्ति,
 * $$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) + (\mathbf{a} \times \mathbf{c}),$$

और अदिश गुणन के साथ संगत ताकि
 * $$(r\,\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = \mathbf{a} \times (r\,\mathbf{b}) = r\,(\mathbf{a} \times \mathbf{b}).$$

यह सहयोगी नहीं है, लेकिन जैकोबी पहचान को संतुष्ट करता है:
 * $$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) + \mathbf{b} \times (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) + \mathbf{c} \times (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \mathbf{0}.$$

वितरणशीलता, रैखिकता और जैकोबी पहचान दर्शाती है कि R3 यूक्लिडियन स्पेस#असली समन्वय स्थान वेक्टर जोड़ और क्रॉस उत्पाद के साथ मिलकर एक लाई बीजगणित बनाता है, 3 आयामों में वास्तविक ऑर्थोगोनल समूह  का लाई बीजगणित,  SO(3) । क्रॉस उत्पाद रद्दीकरण कानून  का पालन नहीं करता है; वह है, a × b = a × c साथ a ≠ 0 मतलब नहीं b = c, लेकिन केवल वह:
 * $$ \begin{align}

\mathbf{0} &= (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) - (\mathbf{a} \times \mathbf{c})\\ &= \mathbf{a} \times (\mathbf{b} - \mathbf{c}).\\ \end{align}$$ यह वह स्थिति हो सकती है जहाँ b और c रद्द हो जाते हैं, लेकिन इसके अतिरिक्त जहाँ a और b − c समानांतर हैं; अर्थात्, वे एक स्केल फ़ैक्टर t से संबंधित हैं, जिसके कारण:
 * $$\mathbf{c} = \mathbf{b} + t\,\mathbf{a},$$

कुछ स्केलर टी के लिए।

अगर इसके अलावा a × b = a × c तथा a ≠ 0 ऊपर के रूप में, यह मामला है कि a ⋅ b = a ⋅ c फिर
 * $$\begin{align}

\mathbf{a} \times (\mathbf{b} - \mathbf{c}) &= \mathbf{0} \\ \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} - \mathbf{c}) &= 0, \end{align}$$ जैसा b − c एक साथ समानांतर नहीं हो सकता (क्रॉस उत्पाद के लिए 0 हो) और लंबवत (डॉट उत्पाद के लिए 0 होने के लिए) a, यह मामला होना चाहिए कि b और c रद्द करें: b = c.

ज्यामितीय परिभाषा से, क्रॉस उत्पाद द्वारा परिभाषित अक्ष के बारे में उचित रोटेशन (गणित)  के तहत अपरिवर्तनीय है a × b. सूत्र में:
 * $$(R\mathbf{a}) \times (R\mathbf{b}) = R(\mathbf{a} \times \mathbf{b})$$, कहाँ पे $$R$$ के साथ एक रोटेशन मैट्रिक्स  है $$\det(R)=1$$.

अधिक आम तौर पर, क्रॉस उत्पाद मैट्रिक्स (गणित)  परिवर्तनों के तहत निम्नलिखित पहचान का पालन करता है:
 * $$(M\mathbf{a}) \times (M\mathbf{b}) = (\det M) \left(M^{-1}\right)^\mathrm{T}(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \operatorname{cof} M (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) $$

कहाँ पे $$M$$ एक 3-बाई-3 मैट्रिक्स (गणित) है और $$\left(M^{-1}\right)^\mathrm{T}$$ व्युत्क्रम मैट्रिक्स का स्थानान्तरण है और $$\operatorname{cof}$$ सहकारक मैट्रिक्स है। यह आसानी से देखा जा सकता है कि यह सूत्र पूर्व वाले को कैसे कम करता है $$M$$ एक रोटेशन मैट्रिक्स है। यदि $$M$$ एक सामान्य क्रॉस उत्पाद पर लागू एक 3-बाय -3 सममित मैट्रिक्स है $$\mathbf{a} \times \mathbf{b}$$, निम्नलिखित संबंध सत्य है:
 * $$M(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \operatorname{Tr}(M)(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) - \mathbf{a} \times M\mathbf{b} + \mathbf{b} \times M\mathbf{a}$$

दो सदिशों का क्रॉस उत्पाद के रिक्त स्थान में होता है 2 × 3 पंक्तियों के रूप में वैक्टर के साथ मैट्रिक्स:
 * $$\mathbf{a} \times \mathbf{b} \in NS\left(\begin{bmatrix}\mathbf{a} \\ \mathbf{b}\end{bmatrix}\right).$$

दो क्रॉस उत्पादों के योग के लिए, निम्नलिखित पहचान रखती है:
 * $$\mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{c} \times \mathbf{d} = (\mathbf{a} - \mathbf{c}) \times (\mathbf{b} - \mathbf{d}) + \mathbf{a} \times \mathbf{d} + \mathbf{c} \times \mathbf{b}.$$

भेदभाव
डिफरेंशियल कैलकुलस का उत्पाद नियम किसी भी बिलिनियर ऑपरेशन पर लागू होता है, और इसलिए क्रॉस उत्पाद पर भी लागू होता है:
 * $$\frac{d}{dt}(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \frac{d\mathbf{a}}{dt} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \frac{d\mathbf{b}}{dt} ,$$

जहाँ a और b सदिश हैं जो वास्तविक चर t पर निर्भर करते हैं।

ट्रिपल उत्पाद विस्तार
क्रॉस उत्पाद का उपयोग ट्रिपल उत्पाद के दोनों रूपों में किया जाता है। तीन सदिशों के अदिश त्रिक गुणनफल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है


 * $$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}), $$

यह ए, बी और सी किनारों के साथ समानांतर चतुर्भुज की हस्ताक्षरित मात्रा है और इस तरह वैक्टर का उपयोग किसी भी क्रम में किया जा सकता है जो उपरोक्त क्रम का एक भी क्रमपरिवर्तन है। इसलिए निम्नलिखित बराबर हैं:


 * $$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) = \mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}), $$

सदिश ट्रिपल उत्पाद एक अन्य क्रॉस उत्पाद के परिणाम के साथ एक वेक्टर का क्रॉस उत्पाद है, और निम्न सूत्र द्वारा डॉट उत्पाद से संबंधित है


 * $$\begin{align}

\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{c} \cdot \mathbf{a}) - \mathbf{c}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \\ (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = \mathbf{b}(\mathbf{c} \cdot \mathbf{a}) - \mathbf{a} (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) \end{align}$$ राइट हैंड सदस्य में वैक्टर के क्रम को याद रखने के लिए स्मरक बीएसी माइनस सीएबी का उपयोग किया जाता है। इस सूत्र का उपयोग भौतिकी में सदिश गणनाओं को सरल बनाने के लिए किया जाता है। ढाल  के संबंध में एक विशेष मामला और सदिश कलन में उपयोगी है
 * $$\begin{align}

\nabla \times (\nabla \times \mathbf{f}) &= \nabla (\nabla \cdot \mathbf{f} ) - (\nabla \cdot \nabla) \mathbf{f} \\ &= \nabla (\nabla \cdot \mathbf{f} ) - \nabla^2 \mathbf{f},\\ \end{align}$$ कहाँ ∇2 सदिश लाप्लासियन संचालिका है।

अन्य पहचान क्रॉस उत्पाद को स्केलर ट्रिपल उत्पाद से संबंधित करती हैं:
 * $$\begin{align}

(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times (\mathbf{a}\times \mathbf{c}) &= (\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})) \mathbf{a} \\ (\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{d}) &= \mathbf{b}^\mathrm{T} \left( \left( \mathbf{c}^\mathrm{T} \mathbf{a}\right)I - \mathbf{c} \mathbf{a}^\mathrm{T} \right) \mathbf{d}\\ &= (\mathbf{a}\cdot \mathbf{c})(\mathbf{b}\cdot \mathbf{d})-(\mathbf{a}\cdot \mathbf{d}) (\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}) \end{align}$$ जहां मैं पहचान मैट्रिक्स है।

वैकल्पिक सूत्रीकरण
क्रॉस उत्पाद और डॉट उत्पाद निम्न से संबंधित हैं:
 * $$ \left\| \mathbf{a} \times \mathbf{b} \right\| ^2 = \left\| \mathbf{a}\right\|^2  \left\|\mathbf{b}\right\|^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 .$$

दाईं ओर ए और बी का ग्रामियन मैट्रिक्स  है, जो वैक्टर द्वारा परिभाषित समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र का वर्ग है। यह स्थिति क्रॉस उत्पाद के परिमाण को निर्धारित करती है। अर्थात, चूंकि डॉट गुणनफल दो सदिशों के बीच θ कोण के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, जैसे:


 * $$ \mathbf{a \cdot b} = \left\| \mathbf a \right\| \left\| \mathbf b \right\| \cos \theta, $$

ऊपर दिए गए संबंध को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:


 * $$ \left\| \mathbf{a \times b} \right\|^2 = \left\| \mathbf{a} \right\| ^2 \left\| \mathbf{b}\right \| ^2 \left(1-\cos^2 \theta \right) .$$

पायथागॉरियन त्रिकोणमितीय पहचान प्राप्त करने पर:
 * $$ \left\| \mathbf{a} \times \mathbf{b} \right\| = \left\| \mathbf{a} \right\| \left\| \mathbf{b} \right\| \left| \sin \theta \right| ,$$

जो θ के संदर्भ में व्यक्त क्रॉस उत्पाद का परिमाण है, जो 'ए' और 'बी' द्वारा परिभाषित समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के बराबर है (ऊपर #परिभाषा देखें)।

इस आवश्यकता और संपत्ति का संयोजन जो क्रॉस उत्पाद अपने घटकों 'ए' और 'बी' के लिए ऑर्थोगोनल हो, क्रॉस उत्पाद की वैकल्पिक परिभाषा प्रदान करता है।

Lagrange की पहचान
सम्बन्ध:

\left\| \mathbf{a} \times \mathbf{b} \right\|^2 \equiv \det \begin{bmatrix} \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} & \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \\ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} & \mathbf{b} \cdot \mathbf{b}\\ \end{bmatrix} \equiv \left\| \mathbf{a} \right\| ^2 \left\| \mathbf{b} \right\| ^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2. $$ की तुलना एक अन्य संबंध से की जा सकती है जिसमें दाहिना हाथ शामिल है, अर्थात् लैग्रेंज की पहचान इस प्रकार व्यक्त की गई है:

\sum_{1 \le i < j \le n} \left( a_ib_j - a_jb_i \right)^2 \equiv \left\| \mathbf a \right\|^2 \left\| \mathbf b \right\|^2 - ( \mathbf{a \cdot b } )^2\ , $$ जहाँ a और b n-विमीय सदिश हो सकते हैं। इससे यह भी पता चलता है कि सतहों के लिए रिमेंनियन [[ वॉल्यूम फॉर्म  ]] वेक्टर कैलकुस से वॉल्यूम फॉर्म है। मामले में जहां n = 3, इन दो समीकरणों के संयोजन से इसके घटकों के संदर्भ में क्रॉस उत्पाद के परिमाण का व्यंजक प्राप्त होता है:
 * $$\begin{align}

&\left\|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\right\|^2 \equiv \sum_{1 \le i < j \le 3}\left(a_ib_j - a_jb_i \right)^2 \\ \equiv{} &\left(a_1b_2 - b_1a_2\right)^2 + \left(a_2b_3 - a_3b_2\right)^2 + \left(a_3b_1 - a_1b_3\right)^2 \. \end{align}$$ एक ही परिणाम सीधे मिले क्रॉस उत्पाद के घटकों का उपयोग करके पाया जाता है:
 * $$\mathbf{a} \times \mathbf{b} \equiv \det \begin{bmatrix}

\hat\mathbf{i} & \hat\mathbf{j} & \hat\mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{bmatrix}.$$ आर. में3, लैग्रेंज का समीकरण गुणन का एक विशेष मामला है $|vw|$ = $|v|$$|w|$ Quaternion#बीजगणितीय गुणों में आदर्श के।

यह एक अन्य सूत्र का एक विशेष मामला है, जिसे कभी-कभी लैग्रेंज की पहचान भी कहा जाता है, जो कि बिनेट-कॉची पहचान का त्रि-आयामी मामला है:

(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{d}) \equiv (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})(\mathbf{b} \cdot \mathbf{d}) - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{d})(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}). $$ यदि a = c तथा b = d यह उपरोक्त सूत्र को सरल करता है।

घुमावों के अनंत जनरेटर
क्रॉस उत्पाद आर में रोटेशन (गणित) के अनंत जनरेटर का आसानी से वर्णन करता है3। विशेष रूप से, यदि n, R में एक इकाई सदिश है 3 और R(φ, 'n') कोण φ (रेडियंस में मापा जाता है, वामावर्त जब 'n' की नोक से देखा जाता है) के साथ 'n' द्वारा निर्दिष्ट मूल के माध्यम से धुरी के बारे में एक घूर्णन को दर्शाता है, फिर
 * $$\left.{d\over d\phi} \right|_{\phi=0} R(\phi,\boldsymbol{n}) \boldsymbol{x} = \boldsymbol{n} \times \boldsymbol{x}$$

R में प्रत्येक सदिश x के लिए3। n के साथ क्रॉस उत्पाद इसलिए n के बारे में घुमावों के अनंत जनरेटर का वर्णन करता है। ये इनफिनिटिमल जेनरेटर घूर्णन समूह SO(3) (3) के लाई अल्जेब्रा सो(3) बनाते हैं, और हम परिणाम प्राप्त करते हैं कि लेट अल्जेब्रा आर 3 क्रॉस उत्पाद के साथ लाई बीजगणित के लिए आइसोमोर्फिक है इसलिए (3)।

मैट्रिक्स गुणा में रूपांतरण
वेक्टर क्रॉस उत्पाद को तिरछा-सममित मैट्रिक्स  और वेक्टर के उत्पाद के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है: $$\begin{align} \mathbf{a} \times \mathbf{b} = [\mathbf{a}]_{\times} \mathbf{b} &= \begin{bmatrix}\,0&\!-a_3&\,\,a_2\\ \,\,a_3&0&\!-a_1\\-a_2&\,\,a_1&\,0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{bmatrix} \\ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = {[\mathbf{b}]_\times}^\mathrm{\!\!T} \mathbf{a} &= \begin{bmatrix}\,0&\,\,b_3&\!-b_2\\ -b_3&0&\,\,b_1\\\,\,b_2&\!-b_1&\,0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{bmatrix}, \end{align}$$ जहां सुपरस्क्रिप्ट $T$ ट्रांज़ेक्शन ऑपरेशन को संदर्भित करता है, और [ए]× द्वारा परिभाषित किया गया है: $$[\mathbf{a}]_{\times} \stackrel{\rm def}{=} \begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_3&\,\,\,a_2\\\,\,\,a_3&0&\!-a_1\\\!-a_2&\,\,a_1&\,\,0\end{bmatrix}.$$ कॉलम [ए]×,i सदिश a के लिए तिरछा-सममित मैट्रिक्स की गणना इकाई सदिशों के साथ क्रॉस उत्पाद की गणना करके भी प्राप्त की जा सकती है। वह है, $$[\mathbf{a}]_{\times, i} = \mathbf{a} \times \mathbf{\hat{e}_i}, \; i\in \{1,2,3\} $$ या $$[\mathbf{a}]_{\times} = \sum_{i=1}^3\left(\mathbf{a} \times \mathbf{\hat{e}_i}\right)\otimes\mathbf{\hat{e}_i},$$ कहाँ पे $$\otimes$$ बाहरी उत्पाद  ऑपरेटर है।

साथ ही, यदि a स्वयं एक क्रॉस उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जाता है: $$\mathbf{a} = \mathbf{c} \times \mathbf{d}$$ फिर $$[\mathbf{a}]_{\times} = \mathbf{d}\mathbf{c}^\mathrm{T} - \mathbf{c}\mathbf{d}^\mathrm{T} .$$

$$ इस परिणाम को ज्यामितीय बीजगणित  का उपयोग करके उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। विशेष रूप से किसी भी आयाम में द्विभाजक को तिरछा-सममित मैट्रिक्स के साथ पहचाना जा सकता है, इसलिए एक तिरछा-सममित मैट्रिक्स और वेक्टर के बीच का उत्पाद एक द्विभाजक और वेक्टर के उत्पाद के ग्रेड -1 भाग के बराबर है। तीन आयामों में बाइवेक्टर्स वैक्टर के लिए  हॉज दोहरी  हैं, इसलिए उत्पाद अपने वेक्टर डुअल के बजाय बाइवेक्टर के साथ क्रॉस उत्पाद के बराबर है। उच्च आयामों में उत्पाद की गणना अभी भी की जा सकती है लेकिन बायवेक्टरों में स्वतंत्रता की अधिक डिग्री होती है और वे वैक्टर के बराबर नहीं होते हैं।

इस संकेतन के साथ काम करना भी अक्सर बहुत आसान होता है, उदाहरण के लिए, एपिपोलर ज्यामिति  में।

क्रॉस उत्पाद के सामान्य गुणों से तुरंत इसका अनुसरण होता है $$[\mathbf{a}]_{\times} \, \mathbf{a} = \mathbf{0}$$ तथा $$\mathbf{a}^\mathrm T \, [\mathbf{a}]_{\times} = \mathbf{0}$$ और इस तथ्य से कि [ए]× तिरछा-सममित है यह इस प्रकार है $$\mathbf{b}^\mathrm T \, [\mathbf{a}]_{\times} \, \mathbf{b} = 0. $$ उपर्युक्त ट्रिपल उत्पाद विस्तार (बीएसी-कैब नियम) इस संकेतन का उपयोग करके आसानी से सिद्ध किया जा सकता है।

जैसा ऊपर बताया गया है, झूठ बीजगणित आर3 क्रॉस उत्पाद के साथ लाई बीजगणित के लिए आइसोमोर्फिक है, इसलिए (3), जिसके तत्वों को 3×3 तिरछा-सममित मैट्रिक्स के साथ पहचाना जा सकता है। मानचित्र a → [a]× आर के बीच एक समरूपता प्रदान करता है3 और इसी तरह (3)। इस मानचित्र के तहत, 3-वैक्टर का क्रॉस उत्पाद 3x3 तिरछा-सममित मैट्रिक्स के कम्यूटेटर  से मेल खाता है।


 * {| class="toccolours collapsible collapsed" width="70%" style="text-align:left"

!Matrix conversion for cross product with canonical base vectors
 * Denoting with $$\mathbf{e}_i \in \mathbf{R}^{3 \times 1}$$ the $$i$$-th canonical base vector, the cross product of a generic vector $$\mathbf{v} \in \mathbf{R}^{3 \times 1}$$ with $$\mathbf{e}_i$$ is given by: $$\mathbf{v} \times \mathbf{e}_i = \mathbf{C}_i \mathbf{v}$$, where
 * Denoting with $$\mathbf{e}_i \in \mathbf{R}^{3 \times 1}$$ the $$i$$-th canonical base vector, the cross product of a generic vector $$\mathbf{v} \in \mathbf{R}^{3 \times 1}$$ with $$\mathbf{e}_i$$ is given by: $$\mathbf{v} \times \mathbf{e}_i = \mathbf{C}_i \mathbf{v}$$, where

$$ \mathbf{C}_1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{C}_2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{C}_3 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$

These matrices share the following properties:
 * $$\mathbf{C}_i^\textrm{T} = -\mathbf{C}_i$$ (skew-symmetric);
 * Both trace and determinant are zero;
 * $$\text{rank}(\mathbf{C}_i) = 2$$;
 * $$\mathbf{C}_i \mathbf{C}_i^\textrm{T} = \mathbf{P}^{ ^\perp}_{\mathbf{e}_i}$$ (see below);

The orthogonal projection matrix of a vector $$\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$$ is given by $$\mathbf{P}_{\mathbf{v}} = \mathbf{v}\left(\mathbf{v}^\textrm{T} \mathbf{v}\right)^{-1} \mathbf{v}^T$$. The projection matrix onto the orthogonal complement is given by $$\mathbf{P}^{ ^\perp}_{\mathbf{v}} = \mathbf{I} - \mathbf{P}_{\mathbf{v}}$$, where $$\mathbf{I}$$ is the identity matrix. For the special case of $$\mathbf{v} = \mathbf{e}_i$$, it can be verified that

$$ \mathbf{P}^{^\perp}_{\mathbf{e}_1} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{P}^{ ^\perp}_{\mathbf{e}_2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{P}^{ ^\perp}_{\mathbf{e}_3} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$

For other properties of orthogonal projection matrices, see projection (linear algebra).
 * }

टेंसर के लिए सूचकांक संकेतन
क्रॉस उत्पाद को वैकल्पिक रूप से लेवी-सिविटा प्रतीक # लेवी-सिविटा टेंसर | लेवी-सिविटा टेंसर ई के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता हैijkऔर एक डॉट उत्पाद ηmi, जो टेन्सर अनुप्रयोगों के लिए सदिश संकेतन को परिवर्तित करने में उपयोगी हैं:


 * $$\mathbf{c} = \mathbf{a \times b} \Leftrightarrow\ c^m = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \eta^{mi} E_{ijk} a^j b^k$$

जहां अनुक्रमित परिवार  $$i,j,k$$ वेक्टर घटकों के अनुरूप। क्रॉस उत्पाद का यह लक्षण वर्णन अक्सर आइंस्टीन सारांश सम्मेलन का उपयोग करके अधिक कॉम्पैक्ट रूप से व्यक्त किया जाता है:
 * $$\mathbf{c} = \mathbf{a \times b} \Leftrightarrow\ c^m = \eta^{mi} E_{ijk} a^j b^k$$

जिसमें दोहराए गए सूचकांकों को 1 से 3 तक के मानों में जोड़ दिया जाता है।

सकारात्मक रूप से उन्मुख ऑर्थोनॉर्मल आधार η मेंमील  = डी मील ( क्रोनकर डेल्टा ) और $$ E_{ijk} = \varepsilon_{ijk}$$ (लेवी-सिविता प्रतीक)। उस मामले में, यह प्रतिनिधित्व क्रॉस उत्पाद के तिरछा-सममित प्रतिनिधित्व का दूसरा रूप है:


 * $$[\varepsilon_{ijk} a^j] = [\mathbf{a}]_\times.$$

शास्त्रीय यांत्रिकी में: लेवी-सीविटा प्रतीक का उपयोग करके क्रॉस उत्पाद का प्रतिनिधित्व करने से यांत्रिक समरूपता स्पष्ट हो सकती है जब भौतिक प्रणालियां  समदैशिक  होती हैं। (एक उदाहरण: हुक के नियम में एक कण को ​​तीन-अंतरिक्ष में क्षमता पर विचार करें, तीन आयामों में दोलन करने के लिए स्वतंत्र; इनमें से कोई भी आयाम किसी भी अर्थ में विशेष नहीं है, इसलिए समरूपता क्रॉस-उत्पाद-प्रतिनिधित्व कोणीय गति में निहित है, जिसे बनाया गया है उपर्युक्त लेवी-सिविता प्रतिनिधित्व द्वारा स्पष्ट)।

स्मारिका


xyzzy शब्द का प्रयोग क्रॉस उत्पाद की परिभाषा को याद रखने के लिए किया जा सकता है।

यदि


 * $$\mathbf{a} = \mathbf{b} \times \mathbf{c}$$

कहाँ पे:



\mathbf{a} = \begin{bmatrix}a_x\\a_y\\a_z\end{bmatrix},\ \mathbf{b} = \begin{bmatrix}b_x\\b_y\\b_z\end{bmatrix},\ \mathbf{c} = \begin{bmatrix}c_x\\c_y\\c_z\end{bmatrix} $$ फिर:


 * $$a_x = b_y c_z - b_z c_y $$
 * $$a_y = b_z c_x - b_x c_z $$
 * $$a_z = b_x c_y - b_y c_x. $$

दूसरे और तीसरे समीकरणों को पहले से केवल अनुलंब रूप से सबस्क्रिप्ट को घुमाकर प्राप्त किया जा सकता है, x → y → z → x. बेशक, समस्या यह है कि पहले समीकरण को कैसे याद रखा जाए, और इस उद्देश्य के लिए दो विकल्प उपलब्ध हैं: या तो सर्रस की योजना के प्रासंगिक दो विकर्णों को याद रखना (जिनमें i शामिल है), या xyzzy अनुक्रम को याद रखना।

चूंकि सर्रस की योजना में पहला विकर्ण क्रॉस उत्पाद # मैट्रिक्स नोटेशन-उल्लेखित 3 × 3 मैट्रिक्स का मुख्य विकर्ण  है, शब्द xyzzy के पहले तीन अक्षरों को बहुत आसानी से याद किया जा सकता है।

क्रॉस विज़ुअलाइज़ेशन
उपरोक्त स्मरक उपकरण के समान, समीकरण में दो वैक्टरों के बीच एक क्रॉस या एक्स को देखा जा सकता है। यह सही क्रॉस प्रोडक्ट फॉर्मूला याद रखने में मददगार हो सकता है।

यदि


 * $$\mathbf{a} = \mathbf{b} \times \mathbf{c}$$

फिर:



\mathbf{a} = \begin{bmatrix}b_x\\b_y\\b_z\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}c_x\\c_y\\c_z\end{bmatrix}. $$ अगर हम के लिए सूत्र प्राप्त करना चाहते हैं $$a_x$$ हम बस छोड़ देते हैं $$b_x$$ तथा $$c_x$$ सूत्र से, और अगले दो घटकों को नीचे ले जाएँ:



a_x = \begin{bmatrix}b_y\\b_z\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}c_y\\c_z\end{bmatrix}. $$ ऐसा करते समय $$a_y$$ अगले दो तत्वों को मैट्रिक्स के चारों ओर लपेटना चाहिए ताकि z घटक के बाद x घटक आ जाए। स्पष्टता के लिए, इस ऑपरेशन को करते समय $$a_y$$, अगले दो घटक z और x (उस क्रम में) होने चाहिए। जबकि इसके लिए $$a_z$$ अगले दो घटकों को x और y के रूप में लिया जाना चाहिए।



a_y = \begin{bmatrix}b_z\\b_x\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}c_z\\c_x\end{bmatrix},\ a_z = \begin{bmatrix}b_x\\b_y\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}c_x\\c_y\end{bmatrix} $$ के लिये $$a_x$$ फिर, यदि हम क्रॉस ऑपरेटर को बाईं ओर एक तत्व से दाईं ओर एक तत्व की ओर इशारा करते हुए देखते हैं, तो हम बाईं ओर पहला तत्व ले सकते हैं और बस उस तत्व से गुणा कर सकते हैं जो दाहिने हाथ के मैट्रिक्स में क्रॉस पॉइंट करता है। इसके बाद हम अगले तत्व को बाईं ओर से घटाते हैं, उस तत्व से गुणा करते हैं जो यहां भी क्रॉस पॉइंट करता है। इसका परिणाम हमारे में होता है $$a_x$$ सूत्र -


 * $$a_x = b_y c_z - b_z c_y.$$

हम इसे उसी तरह से कर सकते हैं $$a_y$$ तथा $$a_z$$ उनसे जुड़े सूत्र बनाने के लिए।

अनुप्रयोग
क्रॉस उत्पाद में विभिन्न संदर्भों में अनुप्रयोग हैं। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग कम्प्यूटेशनल ज्यामिति, भौतिकी और इंजीनियरिंग में किया जाता है। उदाहरणों की एक गैर-विस्तृत सूची इस प्रकार है।

कम्प्यूटेशनल ज्यामिति
क्रॉस उत्पाद दो तिरछी रेखाओं की दूरी की गणना में प्रकट होता है#दूरी (एक ही विमान  में नहीं) त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक दूसरे से।

क्रॉस उत्पाद का उपयोग त्रिभुज या बहुभुज के लिए सामान्य की गणना करने के लिए किया जा सकता है, एक ऑपरेशन जो अक्सर कंप्यूटर ग्राफिक्स  में किया जाता है। उदाहरण के लिए, बहुभुज के भीतर एक बिंदु के बारे में एक बहुभुज (दक्षिणावर्त या वामावर्त) की घुमाव की गणना बहुभुज को त्रिकोणित करके (जैसे कि एक पहिया को घुमाते हुए) और क्रॉस उत्पाद का उपयोग करके कोणों (स्पोक के बीच) को ट्रैक करने के लिए किया जा सकता है। प्रत्येक कोण का चिह्न।

विमान के कम्प्यूटेशनल ज्यामिति में, क्रॉस उत्पाद का उपयोग तीन बिंदुओं द्वारा परिभाषित तीव्र कोण के संकेत को निर्धारित करने के लिए किया जाता है $$ p_1=(x_1,y_1), p_2=(x_2,y_2)$$ तथा $$ p_3=(x_3,y_3)$$. यह दो जोड़ी बिंदुओं द्वारा परिभाषित दो समतलीय वेक्टर (ज्यामिति)  के क्रॉस उत्पाद की दिशा (ऊपर या नीचे) से मेल खाती है $$(p_1, p_2)$$ तथा $$(p_1, p_3)$$. न्यूनकोण का चिह्न व्यंजक का चिह्न है
 * $$ P = (x_2-x_1)(y_3-y_1)-(y_2-y_1)(x_3-x_1),$$

जो दो सदिशों के क्रॉस उत्पाद की हस्ताक्षरित लंबाई है।

दाहिने हाथ की समन्वय प्रणाली में, यदि परिणाम 0 है, तो अंक संरेख होते हैं; यदि यह धनात्मक है, तो तीन बिंदु चारों ओर घूमने का एक धनात्मक कोण बनाते हैं $$ p_1$$ से $$ p_2$$ प्रति $$ p_3$$, अन्यथा एक नकारात्मक कोण। दूसरे दृष्टिकोण से, का संकेत $$P$$ बताता है कि क्या $$ p_3$$ रेखा के बाईं ओर या दाईं ओर स्थित है $$ p_1, p_2.$$ क्रॉस उत्पाद का उपयोग बहुतल  की मात्रा की गणना करने में किया जाता है जैसे टेट्राहेड्रॉन#वॉल्यूम या समांतर चतुर्भुज#वॉल्यूम।

कोणीय गति और टोक़
कोणीय गति $L$ किसी दिए गए मूल के बारे में एक कण के रूप में परिभाषित किया गया है:


 * $$\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p},$$

कहाँ पे $r$ मूल के सापेक्ष कण का स्थिति सदिश है, $p$ कण का रैखिक संवेग है।

उसी तरह, क्षण (भौतिकी) $M$ एक बल का $F_{B}$ बिंदु A के चारों ओर बिंदु B पर लागू किया गया है:


 * $$ \mathbf{M}_\mathrm{A} = \mathbf{r}_\mathrm{AB} \times \mathbf{F}_\mathrm{B}\,$$

यांत्रिकी में बल के आघूर्ण को बल आघूर्ण भी कहा जाता है और इसे इस प्रकार लिखा जाता है $$\mathbf{\tau}$$ पद के बाद से $r$, रेखीय संवेग $p$ और बल $F$ सभी वास्तविक सदिश हैं, दोनों कोणीय संवेग हैं $L$ और एक बल का क्षण $M$ स्यूडोवेक्टर या अक्षीय वैक्टर हैं।

कठोर शरीर
क्रॉस उत्पाद अक्सर कठोर गतियों के विवरण में प्रकट होता है। एक दृढ़ पिण्ड पर स्थित दो बिंदुओं P और Q को निम्न प्रकार से जोड़ा जा सकता है:


 * $$\mathbf{v}_P - \mathbf{v}_Q = \boldsymbol\omega \times \left( \mathbf{r}_P - \mathbf{r}_Q \right)\,$$

कहाँ पे $$\mathbf{r}$$ बिंदु की स्थिति है, $$\mathbf{v}$$ इसका वेग है और $$\boldsymbol\omega$$ शरीर का कोणीय वेग है।

पद के बाद से $$\mathbf{r}$$ और वेग $$\mathbf{v}$$ सच्चे सदिश हैं, कोणीय वेग $$\boldsymbol\omega$$ एक स्यूडोवेक्टर या अक्षीय वेक्टर है।

लोरेंत्ज़ बल
क्रॉस उत्पाद का उपयोग गतिमान विद्युत आवेश द्वारा अनुभव किए गए लोरेंत्ज़ बल  का वर्णन करने के लिए किया जाता है $q_{e}$:
 * $$\mathbf{F} = q_e \left( \mathbf{E}+ \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right)$$

वेग के बाद से $v$, ताकत $F$ और विद्युत क्षेत्र $E$ सभी सच्चे सदिश हैं, चुंबकीय क्षेत्र $B$ एक स्यूडोवेक्टर है।

अन्य
वेक्टर कलन में, क्रॉस उत्पाद का उपयोग वेक्टर ऑपरेटर   कर्ल (गणित)  के सूत्र को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।

एक मैट्रिक्स गुणन के संदर्भ में एक क्रॉस उत्पाद को फिर से लिखने की चाल एपिपोलर ज्यामिति और बहु-दृश्य ज्यामिति में अक्सर दिखाई देती है, विशेष रूप से मिलान बाधाओं को प्राप्त करते समय।

बाहरी उत्पाद के रूप में
क्रॉस उत्पाद को बाहरी उत्पाद के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। इसे तीन आयामों के अलावा एक क्रॉस उत्पाद#बाहरी उत्पाद के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। यह दृश्य क्रॉस उत्पाद की प्राकृतिक ज्यामितीय व्याख्या की अनुमति देता है। बाह्य बीजगणित में दो सदिशों का बाह्य गुणनफल द्विभाजक होता है। एक बाइवेक्टर एक ओरिएंटेड प्लेन एलिमेंट है, ठीक उसी तरह जिस तरह एक वेक्टर एक ओरिएंटेड लाइन एलिमेंट है। दो वैक्टर ए और बी को देखते हुए, बाइवेक्टर को देखा जा सकता है a ∧ b ए और बी द्वारा फैलाए गए उन्मुख समानांतर चतुर्भुज के रूप में। इसके बाद बायवेक्टर के हॉज स्टार  को लेकर क्रॉस उत्पाद प्राप्त किया जाता है a ∧ b,  पी-वेक्टर  मैपिंग | 2-वैक्टर से वैक्टर:


 * $$a \times b = \star (a \wedge b).$$

इसे बायवेक्टर के लंबवत उन्मुख बहु-आयामी तत्व के रूप में माना जा सकता है। केवल तीन आयामों में परिणाम एक उन्मुख एक-आयामी तत्व है - एक वेक्टर - जबकि, उदाहरण के लिए, चार आयामों में एक बायवेक्टर का हॉज ड्यूल द्वि-आयामी है - एक बाइवेक्टर। तो, केवल तीन आयामों में ए और बी के वेक्टर क्रॉस उत्पाद को वेक्टर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो द्विभाजक के लिए दोहरी है a ∧ b: यह बाइवेक्टर के लिए लंबवत है, समन्वय प्रणाली की हैंडनेस पर निर्भर अभिविन्यास के साथ, और इकाई सामान्य वेक्टर के सापेक्ष समान परिमाण है a ∧ b इकाई बायवेक्टर के सापेक्ष है; ठीक ऊपर वर्णित गुण।

संगति
जब भौतिकी के नियमों को समीकरणों के रूप में लिखा जाता है, तो समन्वय प्रणाली का एक मनमाना विकल्प बनाना संभव है, जिसमें हाथापाई भी शामिल है। किसी को कभी भी ऐसे समीकरण को लिखने के लिए सावधान नहीं रहना चाहिए जहां दोनों पक्ष उन सभी परिवर्तनों के तहत समान रूप से व्यवहार नहीं करते हैं जिन पर विचार करने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, यदि समीकरण का एक पक्ष दो ध्रुवीय वैक्टरों का क्रॉस उत्पाद है, तो यह ध्यान रखना चाहिए कि परिणाम एक स्यूडोवेक्टर  है। इसलिए, संगति के लिए, दूसरा पक्ष भी एक अक्षीय सदिश होना चाहिए। अधिक आम तौर पर, एक क्रॉस उत्पाद का परिणाम या तो एक ध्रुवीय वेक्टर या एक अक्षीय वेक्टर हो सकता है, जो उसके संचालन के प्रकार (ध्रुवीय वैक्टर या अक्षीय वैक्टर) पर निर्भर करता है। अर्थात्, क्रॉस उत्पाद के आवेदन के तहत ध्रुवीय वैक्टर और अक्षीय वैक्टर निम्नलिखित तरीकों से परस्पर जुड़े हुए हैं:

या प्रतीकात्मक रूप से
 * ध्रुवीय वेक्टर × ध्रुवीय वेक्टर = अक्षीय वेक्टर
 * अक्षीय वेक्टर × अक्षीय वेक्टर = अक्षीय वेक्टर
 * ध्रुवीय वेक्टर × अक्षीय वेक्टर = ध्रुवीय वेक्टर
 * अक्षीय वेक्टर × ध्रुवीय वेक्टर = ध्रुवीय वेक्टर
 * ध्रुवीय × ध्रुवीय = अक्षीय
 * अक्षीय × अक्षीय = अक्षीय
 * ध्रुवीय × अक्षीय = ध्रुवीय
 * अक्षीय × ध्रुवीय = ध्रुवीय

क्योंकि क्रॉस उत्पाद एक ध्रुवीय वेक्टर भी हो सकता है, यह दर्पण छवि परिवर्तन के साथ दिशा नहीं बदल सकता है। यह उपरोक्त संबंधों के अनुसार होता है, यदि एक ऑपरेंड एक ध्रुवीय वेक्टर है और दूसरा एक अक्षीय वेक्टर है (उदाहरण के लिए, दो ध्रुवीय वैक्टरों का क्रॉस उत्पाद)। उदाहरण के लिए, एक वेक्टर ट्रिपल उत्पाद जिसमें तीन ध्रुवीय वैक्टर शामिल हैं, एक ध्रुवीय वेक्टर है।

बाहरी बीजगणित का उपयोग करके एक हैंडनेस-मुक्त दृष्टिकोण संभव है।

ऑर्थोनॉर्मल आधार का विरोधाभास
मान लीजिए (i, j, k) एक अलौकिक आधार है। सदिश i, j और k स्थान के उन्मुखीकरण पर निर्भर नहीं करते हैं। उन्हें किसी अभिविन्यास के अभाव में भी परिभाषित किया जा सकता है। इसलिए वे अक्षीय सदिश नहीं हो सकते। लेकिन यदि i और j ध्रुवीय सदिश हैं तो k i × j = k या j × i = k के लिए एक अक्षीय सदिश है। यह एक विरोधाभास है।

अक्षीय और ध्रुवीय भौतिक सदिशों के लिए भौतिक क्वालिफायर हैं; अर्थात, सदिश जो भौतिक मात्राओं जैसे वेग या चुंबकीय क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करते हैं। सदिश i, j और k गणितीय सदिश हैं, न तो अक्षीय और न ही ध्रुवीय। गणित में, दो सदिशों का क्रॉस-उत्पाद एक सदिश होता है। कोई विरोधाभास नहीं है।

सामान्यीकरण
क्रॉस उत्पाद को उच्च आयामों में सामान्यीकृत करने के कई तरीके हैं।

झूठ बीजगणित
क्रॉस उत्पाद को सबसे सरल लाई उत्पादों में से एक के रूप में देखा जा सकता है, और इस प्रकार लाई बीजगणित द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है, जो कि बाइनरी उत्पादों के रूप में अभिगृहीत होते हैं जो बहु-रेखीयता, तिरछा-समरूपता और जैकोबी पहचान के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करते हैं। कई झूठ बीजगणित मौजूद हैं, और उनका अध्ययन गणित का एक प्रमुख क्षेत्र है, जिसे झूठ सिद्धांत  कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, हाइजेनबर्ग बीजगणित  एक और झूठ बीजगणित संरचना देता है $$\mathbf{R}^3.$$ आधार में $$\{x,y,z\},$$ उत्पाद है $$[x,y]=z, [x,z]=[y,z]=0.$$

चतुष्कोण
क्रॉस उत्पाद को quaternions के संदर्भ में भी वर्णित किया जा सकता है। सामान्य तौर पर, यदि एक वेक्टर [a1, a2, a3] चतुष्कोण के रूप में दर्शाया गया है a1i + a2j + a3k, दो वैक्टरों का क्रॉस उत्पाद उनके उत्पाद को चतुर्भुज के रूप में लेकर और परिणाम के वास्तविक भाग को हटाकर प्राप्त किया जा सकता है। वास्तविक भाग दो वैक्टर के डॉट उत्पाद का ऋणात्मक होगा।

ऑक्टोनियंस
7-आयामी सदिशों के लिए एक क्रॉस उत्पाद उसी तरह प्राप्त किया जा सकता है, जिसमें चतुष्कोणों के बजाय ऑक्टोनियन  का उपयोग किया जा सकता है। अन्य आयामों में दो वैक्टरों के गैर-तुच्छ वेक्टर-मूल्यवान क्रॉस उत्पादों का गैर-अस्तित्व हर्विट्ज के प्रमेय (सामान्य विभाजन बीजगणित) के परिणाम से संबंधित है। हर्विट्ज़ का प्रमेय है कि केवल  मानक विभाजन बीजगणित  आयाम 1, 2, 4 और 8 वाले हैं.

बाहरी उत्पाद
सामान्य आयाम में, बाइनरी क्रॉस उत्पाद का कोई प्रत्यक्ष एनालॉग नहीं होता है जो विशेष रूप से एक वेक्टर उत्पन्न करता है। हालांकि बाहरी उत्पाद है, जिसमें समान गुण हैं, सिवाय इसके कि दो वैक्टरों का बाहरी उत्पाद अब एक साधारण वेक्टर के बजाय एक पी-वेक्टर|2-वेक्टर है। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, क्रॉस उत्पाद को हॉज स्टार ऑपरेटर का उपयोग करके 2-वैक्टर को वैक्टर में मैप करने के लिए तीन आयामों में बाहरी उत्पाद के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। हॉज ड्यूल ऑफ एक्सटीरियर प्रोडक्ट यील्ड a (n − 2)-वेक्टर, जो किसी भी संख्या में आयामों में क्रॉस उत्पाद का एक प्राकृतिक सामान्यीकरण है।

ज्यामितीय बीजगणित में ज्यामितीय बीजगणित बनाने के लिए बाहरी उत्पाद और डॉट उत्पाद को (योग के माध्यम से) जोड़ा जा सकता है।

बाहरी उत्पाद
जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, क्रॉस उत्पाद को बाहरी उत्पाद के हॉज डुअल के रूप में तीन आयामों में व्याख्यायित किया जा सकता है। किसी भी परिमित n आयामों में, के बाहरी उत्पाद का हॉज ड्यूल n − 1 वेक्टर एक वेक्टर है। इसलिए, बाइनरी ऑपरेशन के बजाय, मनमाना परिमित आयामों में, क्रॉस उत्पाद को कुछ दिए गए बाहरी उत्पाद के हॉज दोहरे के रूप में सामान्यीकृत किया जाता है। n − 1 वैक्टर। इस सामान्यीकरण को बाह्य उत्पाद कहते हैं।

कम्यूटेटर उत्पाद
द्वि-वेक्टर के रूप में बीजगणित के त्रि-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष की व्याख्या करना|2-वेक्टर (1-वेक्टर नहीं) त्रि-आयामी ज्यामितीय बीजगणित के श्रेणीबद्ध सदिश स्थल, जहां $$\mathbf{i} = \mathbf{e_2} \mathbf{e_3}$$, $$\mathbf{j} = \mathbf{e_1} \mathbf{e_3}$$, तथा $$\mathbf{k} = \mathbf{e_1} \mathbf{e_2}$$, क्रॉस उत्पाद बिल्कुल ज्यामितीय बीजगणित से मेल खाता है#ज्यामितीय बीजगणित में आंतरिक और बाहरी उत्पादों के विस्तार और दोनों एक ही प्रतीक का उपयोग करते हैं $$\times$$. कम्यूटेटर उत्पाद को 2-वैक्टर के लिए परिभाषित किया गया है $$A$$ तथा $$B$$ ज्यामितीय बीजगणित में:


 * $$A \times B = \tfrac{1}{2}(AB - BA) $$

कहाँ पे $$AB$$ ज्यामितीय उत्पाद है। कम्यूटेटर उत्पाद को तीन आयामों में मनमाने ढंग से मल्टीवेक्टर # ज्यामितीय बीजगणित के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप मल्टीवेक्टर में केवल ग्रेडेड वेक्टर स्पेस 1 (1-वेक्टर/क्रॉस उत्पाद # क्रॉस उत्पाद और हैंडनेस) और 2 (2-वेक्टर/ स्यूडोवेक्टर)। जबकि दो 1-वैक्टर का कम्यूटेटर उत्पाद वास्तव में बाहरी उत्पाद के समान होता है और 2-वेक्टर उत्पन्न करता है, 1-वेक्टर और 2-वेक्टर का कम्यूटेटर एक वास्तविक वेक्टर उत्पन्न करता है, जो कि ज्यामितीय बीजगणित के बजाय संगत होता है# के एक्सटेंशन ज्यामितीय बीजगणित में आंतरिक और बाहरी उत्पाद। दो 2-वैक्टर के कम्यूटेटर उत्पाद में कोई समान समकक्ष उत्पाद नहीं होता है, यही कारण है कि कम्यूटेटर उत्पाद को पहले स्थान पर 2-वैक्टर के लिए परिभाषित किया जाता है। इसके अलावा, तीन 2-वैक्टर का कम्यूटेटर ट्रिपल उत्पाद वेक्टर बीजगणित में समान तीन स्यूडोवेक्टर के वेक्टर ट्रिपल उत्पाद के समान है। हालांकि, ज्यामितीय बीजगणित में तीन 1-वैक्टर का कम्यूटेटर ट्रिपल उत्पाद इसके बजाय साइन (गणित) # वेक्टर बीजगणित में समान तीन सच्चे वैक्टर के वेक्टर ट्रिपल उत्पाद की दिशा का चिह्न है।

उच्च आयामों के लिए सामान्यीकरण उच्च-आयामी ज्यामितीय बीजगणित में 2-वैक्टर के समान कम्यूटेटर उत्पाद द्वारा प्रदान किया जाता है, लेकिन 2-वैक्टर अब छद्मवेक्टर नहीं हैं। जिस तरह तीन आयामों में 2-वैक्टर का कम्यूटेटर उत्पाद/क्रॉस उत्पाद क्रॉस उत्पाद # झूठ बीजगणित, कम्यूटेटर उत्पाद से लैस उच्च आयामी ज्यामितीय बीजगणित के 2-वेक्टर उप-बीजगणित भी झूठ बीजगणित के अनुरूप हैं। साथ ही तीन आयामों में, कम्यूटेटर उत्पाद को मनमाने ढंग से मल्टीवेक्टर के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

बहुरेखीय बीजगणित
बहुरेखीय बीजगणित के संदर्भ में, क्रॉस उत्पाद को 3-आयामी आयतन रूप से प्राप्त (1,2) -टेंसर (एक मिश्रित टेन्सर, विशेष रूप से एक द्विरेखीय मानचित्र) के रूप में देखा जा सकता है, a (0,3)-टेंसर, सूचकांकों को बढ़ाने और घटाने के द्वारा।

विस्तार से, 3-आयामी वॉल्यूम फॉर्म उत्पाद को परिभाषित करता है $$ V \times V \times V \to \mathbf{R},$$ इन 3 सदिशों द्वारा दिए गए आव्यूह का सारणिक लेकर। दोहरे स्थान से, यह एक फ़ंक्शन के बराबर है $$ V \times V \to V^*,$$ (किसी भी दो इनपुट को ठीक करने से एक फंक्शन मिलता है $$ V \to \mathbf{R}$$ तीसरे इनपुट पर मूल्यांकन करके) और एक आंतरिक उत्पाद की उपस्थिति में (जैसे डॉट उत्पाद; अधिक आम तौर पर, एक गैर-पतित बिलिनियर रूप), हमारे पास एक आइसोमोर्फिज्म है $$ V \to V^*,$$ और इस प्रकार यह एक नक्शा उत्पन्न करता है $$ V \times V \to V,$$ जो क्रॉस उत्पाद है: एक (0,3) -टेन्सर (3 वेक्टर इनपुट, स्केलर आउटपुट) को एक इंडेक्स बढ़ाकर (1,2) -टेन्सर (2 वेक्टर इनपुट, 1 वेक्टर आउटपुट) में बदल दिया गया है।

उपरोक्त बीजगणित का ज्यामिति में अनुवाद, द्वारा परिभाषित समानांतर चतुर्भुज का कार्य आयतन $$ (a,b,-)$$(जहां पहले दो वैक्टर निश्चित हैं और अंतिम एक इनपुट है), जो एक फ़ंक्शन को परिभाषित करता है $$ V \to \mathbf{R}$$, वेक्टर के साथ डॉट उत्पाद के रूप में विशिष्ट रूप से प्रदर्शित किया जा सकता है: यह वेक्टर क्रॉस उत्पाद है $$ a \times b.$$ इस दृष्टिकोण से, क्रॉस उत्पाद को स्केलर ट्रिपल उत्पाद द्वारा परिभाषित किया जाता है, $$\mathrm{Vol}(a,b,c) = (a\times b)\cdot c.$$ उसी तरह, उच्च आयामों में कोई भी सामान्यीकृत क्रॉस उत्पादों को एन-आयामी वॉल्यूम फॉर्म के सूचकांकों को बढ़ाकर परिभाषित कर सकता है, जो कि एक है $$ (0,n)$$-टेंसर। क्रॉस उत्पाद का सबसे प्रत्यक्ष सामान्यीकरण या तो परिभाषित करना है:
 * एक $$ (1,n-1)$$-टेंसर, जो इनपुट के रूप में लेता है $$ n-1$$ वैक्टर, और आउटपुट के रूप में देता है 1 वेक्टर - ए $$ (n-1)$$-एरी वेक्टर-मूल्यवान उत्पाद, या
 * एक $$ (n-2,2)$$-टेंसर, जो इनपुट 2 वैक्टर के रूप में लेता है और रैंक के आउटपुट तिरछा-सममित टेंसर  के रूप में देता है n − 2 - रैंक के साथ एक द्विआधारी उत्पाद n − 2 टेंसर मान। कोई भी परिभाषित कर सकता है $$(k,n-k)$$अन्य k के लिए -टेन्सर।

ये उत्पाद सभी बहुरेखीय और तिरछा-सममित हैं, और इन्हें निर्धारक और समता (भौतिकी)  के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। $$ (n-1)$$th>-ary उत्पाद को निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है: दिया गया $$ n-1$$ वैक्टर $$ v_1,\dots,v_{n-1}$$ में $$\mathbf{R}^n,$$ उनके सामान्यीकृत क्रॉस उत्पाद को परिभाषित करें $$ v_n = v_1 \times \cdots \times v_{n-1}$$ जैसा: यह अद्वितीय मल्टीलाइनियर, वैकल्पिक उत्पाद है जो का मूल्यांकन करता है $$ e_1 \times \cdots \times e_{n-1} = e_n$$, $$ e_2 \times \cdots \times e_n = e_1,$$ और इसी तरह सूचकांकों के चक्रीय क्रमपरिवर्तन के लिए।
 * द्वारा परिभाषित हाइपरप्लेन के लंबवत $$ v_i,$$
 * परिमाण द्वारा परिभाषित समांतर चतुर्भुज का आयतन है $$ v_i,$$ जिसकी गणना ग्राम निर्धारक के रूप में की जा सकती है $$ v_i,$$
 * उन्मुख ताकि $$ v_1,\dots,v_n$$ सकारात्मक रूप से उन्मुख है।

निर्देशांक में, कोई इसके लिए एक सूत्र दे सकता है $$ (n-1)$$आर. में क्रॉस उत्पाद का -एरी एनालॉगn द्वारा:


 * $$\bigwedge_{i=0}^{n-1}\mathbf{v}_i =

\begin{vmatrix} v_1{}^1 &\cdots &v_1{}^{n}\\ \vdots &\ddots &\vdots\\ v_{n-1}{}^1 & \cdots &v_{n-1}{}^{n}\\ \mathbf{e}_1 &\cdots &\mathbf{e}_{n} \end{vmatrix}. $$ यह सूत्र संरचना में R. में सामान्य क्रॉस उत्पाद के लिए निर्धारक सूत्र के समान है3 सिवाय इसके कि आधार सदिशों की पंक्ति पहले की बजाय निर्धारक में अंतिम पंक्ति होती है। इसका कारण यह सुनिश्चित करना है कि आदेशित सदिश (v .)1, ..., मेंn−1, एल$n–1 i=0$vi) के संबंध में एक सकारात्मक अभिविन्यास (गणित) है (e .)1, ..., तथाn). यदि n विषम है, तो यह संशोधन मान को अपरिवर्तित छोड़ देता है, इसलिए यह सम्मेलन बाइनरी उत्पाद की सामान्य परिभाषा से सहमत है। इस मामले में कि n सम है, हालाँकि, भेद को रखा जाना चाहिए। इस $$ (n-1)$$-एरी फॉर्म वेक्टर क्रॉस उत्पाद के समान गुणों का आनंद लेता है: यह अपने तर्कों में वैकल्पिक रूप  और रैखिक है, यह प्रत्येक तर्क के लिए लंबवत है, और इसका परिमाण तर्कों से घिरे क्षेत्र का हाइपरवॉल्यूम देता है। और वेक्टर क्रॉस उत्पाद की तरह, इसे एक समन्वय स्वतंत्र तरीके से परिभाषित किया जा सकता है क्योंकि तर्कों के पच्चर उत्पाद के हॉज दोहरे।

इतिहास
1773 में, जोसेफ-लुई लाग्रेंज  ने तीन आयामों में  चतुर्पाश्वीय  का अध्ययन करने के लिए डॉट और क्रॉस उत्पादों दोनों के घटक रूप का उपयोग किया। 1843 में, विलियम रोवन हैमिल्टन ने क्वाटरनियन उत्पाद पेश किया, और इसके साथ वेक्टर और स्केलर शब्द भी शामिल थे। दो चतुर्भुज दिए गए [0, u] तथा [0, v], जहां u और v R. में सदिश हैं3, उनके चतुष्कोणीय उत्पाद को इस रूप में संक्षेपित किया जा सकता है [−u ⋅ v, u × v]. जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने अपने प्रसिद्ध मैक्सवेल के समीकरणों को विकसित करने के लिए हैमिल्टन के क्वाटरनियन टूल्स का इस्तेमाल किया, और इसके लिए और अन्य कारणों से एक समय के लिए क्वाटरनियन भौतिकी शिक्षा का एक अनिवार्य हिस्सा थे।

1844 में, हरमन ग्रासमैन  ने एक ज्यामितीय बीजगणित प्रकाशित किया जो आयाम दो या तीन से बंधा नहीं था। ग्रासमैन कई उत्पादों को विकसित करता है, जिसमें एक क्रॉस उत्पाद भी शामिल है, जिसका प्रतिनिधित्व किया जाता है $[uv]$. (यह भी देखें: बाह्य बीजगणित।)

1853 में, ग्रासमैन के समकालीन, ऑगस्टिन-लुई कॉची  ने बीजीय कुंजियों पर एक पेपर प्रकाशित किया, जिसका उपयोग समीकरणों को हल करने के लिए किया गया था और क्रॉस उत्पाद के समान गुणन गुण थे। 1878 में, विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड ने गतिशील के तत्व  प्रकाशित किया, जिसमें शब्द वेक्टर उत्पाद प्रमाणित है। पुस्तक में, दो सदिशों के इस गुणनफल को समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर परिमाण के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसके वे दो पक्ष हैं, और उनके तल के लम्बवत दिशा है। (यह भी देखें:  क्लिफर्ड बीजगणित ।)

1881 के व्याख्यान नोट्स में, योशिय्याह विलार्ड गिब्स क्रॉस उत्पाद का प्रतिनिधित्व करते हैं $$u \times v$$ और इसे तिरछा उत्पाद कहते हैं। 1901 में, गिब के छात्र  एडविन बिडवेल विल्सन  ने इन व्याख्यान नोट्स को पाठ्यपुस्तक  वेक्टर विश्लेषण  में संपादित और विस्तारित किया। विल्सन शब्द तिरछा उत्पाद रखता है, लेकिन देखता है कि वैकल्पिक शब्द उत्पाद को पार करते हैं और वेक्टर उत्पाद अधिक बार होते थे। 1908 में, Cesare Burali-Forti  और ​​ Roberto Marcolongo  ने वेक्टर उत्पाद संकेतन पेश किया $A × B$. यह इस दिन तक फ्रांस  और अन्य क्षेत्रों में प्रतीक के रूप में प्रयोग किया जाता है $$\times$$ गुणन और  कार्तीय गुणन फल को निरूपित करने के लिए पहले से ही प्रयोग किया जाता है।

यह भी देखें

 * कार्टेशियन उत्पाद - दो सेटों का उत्पाद
 * ज्यामितीय बीजगणित#घूर्णन प्रणालियां|ज्यामितीय बीजगणित: घूर्णन प्रणालियां
 * एकाधिक क्रॉस उत्पाद - तीन से अधिक वैक्टर वाले उत्पाद
 * सदिशों का गुणन
 * चौगुना उत्पाद
 * × (प्रतीक)

ग्रन्थसूची

 * E. A. Milne (1948) Vectorial Mechanics, Chapter 2: Vector Product, pp 11 –31, London: Methuen Publishing.
 * E. A. Milne (1948) Vectorial Mechanics, Chapter 2: Vector Product, pp 11 –31, London: Methuen Publishing.
 * E. A. Milne (1948) Vectorial Mechanics, Chapter 2: Vector Product, pp 11 –31, London: Methuen Publishing.

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 * अंक शास्त्र
 * सीधा
 * भौतिक विज्ञान
 * समानांतर चतुर्भुज
 * अभिविन्यास (गणित)
 * एक क्षेत्र पर बीजगणित
 * जोड़नेवाला
 * अंतरिक्ष समय
 * सात आयामी क्रॉस उत्पाद
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 * द्विरेखीय नक्शा
 * सूचकांकों को बढ़ाना और घटाना
 * दोहरी जगह
 * अंदरूनी प्रोडक्ट
 * पाठयपुस्तक
 * गुणा
 * वैक्टर का गुणन

बाहरी संबंध

 * A quick geometrical derivation and interpretation of cross products
 * An interactive tutorial created at Syracuse University – (requires java)
 * W. Kahan (2007). Cross-Products and Rotations in Euclidean 2- and 3-Space. University of California, Berkeley (PDF).
 * The vector product, Mathcentre (UK), 2009
 * The vector product, Mathcentre (UK), 2009