लेम्निस्केट

बीजीय ज्यामिति में, लेम्निस्केट कई आकृति-आठ या $∞$-आकार के वक्रों में से एक है। यह शब्द लैटिन लैमनिस्कैटस से आया है जिसका अर्थ है "रिबन से सजाया गया", ग्रीक λημνίσκος से जिसका अर्थ है "रिबन",  या जो वैकल्पिक रूप से ऊन को संदर्भित कर सकता है जिससे रिबन बनाए गए थे।

जिन वक्रों को लेम्निस्केट कहा गया है, उनमें तीन चतुर्थक समतल वक्र सम्मिलित हैं: बूथ का हिप्पोपेड या लेम्निस्केट, बर्नौली का लेम्निस्केट, और गेरोनो का लेम्निस्केट। लेम्निस्केट्स (और विशेष रूप से हिप्पोपेड) का अध्ययन प्राचीन ग्रीक गणित से मिलता है, लेकिन इस प्रकार के वक्रों के लिए "लेम्निस्केट" शब्द 17वीं शताब्दी के अंत में जैकब बर्नौली के काम से आया है।

बूथ का लेम्निस्केट


आकृति-आठ आकार वाले वक्रों के विचार का पता प्रोक्लस से लगाया जा सकता है, जो यूनानी नियोप्लाटोनिस्ट दार्शनिक और गणितज्ञ थे, जो 5वीं शताब्दी ईस्वी में रहते थे। प्रोक्लस ने टोरस के अक्ष के समानांतर समतल द्वारा टोरस के अनुप्रस्थ-परिच्छेद पर विचार किया। जैसा कि उन्होंने देखा, अधिकांश ऐसे अनुभागों के लिए अनुप्रस्थ-परिच्छेद में एक या दो दीर्घवृत्त होते हैं; हालाँकि, जब समतल टोरस की आंतरिक सतह पर स्पर्शरेखा होता है, तो अनुप्रस्थ-परिच्छेद आकृति-आठ का आकार ले लेता है, जिसे प्रोक्लस ने घोड़े की बेड़ी (घोड़े के दो पैरों को एक साथ पकड़ने के लिए उपकरण) कहा है, या ग्रीक में "हिप्पोपेडे"। इस वक्र का नाम "लेम्निस्केट ऑफ़ बूथ" 19वीं सदी के गणितज्ञ जेम्स बूथ द्वारा इसके अध्ययन के समय का है।

लेम्निस्केट को बीजगणितीय वक्र के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो चतुर्थक बहुपद $$(x^2 + y^2)^2 - cx^2 - dy^2$$ का शून्य समूह है। जब पैरामीटर d ऋणात्मक है (या विशेष स्तिथि के लिए शून्य जहां लेम्निस्केट बाहरी स्पर्शरेखा वृत्तों की एक योग बन जाता है)। d के धनात्मक मानों के लिए इसके स्थान पर बूथ का दीर्घवृत्त प्राप्त होता है।

बर्नौली का लेम्निस्केट


1680 में, कैसिनी ने वक्रों के एक परिवार का अध्ययन किया, जिसे अब कैसिनी दीर्घवृत्त कहा जाता है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है: सभी बिंदुओं का स्थान, जिनकी दो निश्चित बिंदुओं से दूरी का उत्पाद, वक्र का नाभि, स्थिरांक है। बहुत ही विशिष्ट परिस्थितियों में (जब बिंदुओं के बीच की आधी दूरी स्थिरांक के वर्गमूल के बराबर होती है) यह लेम्निस्केट उत्पन्न करता है।

1694 में, जोहान बर्नौली ने कैसिनी ओवल के लेम्निस्केट स्तिथि का अध्ययन किया, जिसे अब बर्नौली के लेम्निस्केट (ऊपर दिखाया गया है) के रूप में जाना जाता है, "समकालिक" की समस्या के संबंध में, जिसे पहले लीबनिज द्वारा प्रस्तुत किया गया था। हिप्पोपेडे की तरह, यह बीजगणितीय वक्र है, जो बहुपद $$(x^2 + y^2)^2 - a^2 (x^2 - y^2)$$ का शून्य समूह है। बर्नौली के भाई जैकब बर्नौली ने भी उसी वर्ष उसी वक्र का अध्ययन किया और इसे इसका नाम लेम्निस्केट दिया। इसे ज्यामितीय रूप से उन बिंदुओं के स्थान के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, जिनकी दो नाभियों से दूरी का गुणनफल, अंतर-फ़ोकल दूरी के आधे के वर्ग के बराबर होता है। यह हिप्पोपेड (बूथ का लेम्निस्केट) का एक विशेष मामला है, जिसमें $$d=-c$$ है, और इसे टोरस के क्रॉस-सेक्शन के रूप में बनाया जा सकता है, जिसके आंतरिक छेद और गोलाकार क्रॉस-सेक्शन का व्यास एक दूसरे के समान है। लेम्निस्केटिक अण्डाकार फ़ंक्शन बर्नौली के लेम्निस्केट के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों के अनुरूप हैं, और इस लेम्निस्केट की चाप लंबाई का मूल्यांकन करने में लेम्निस्केट स्थिरांक उत्पन्न होते हैं।

गेरोनो का लेम्निस्केट
अन्य लेम्निस्केट, गेरोनो का लेम्निस्केट या ह्यूजेन्स का लेम्निस्केट, चतुर्थक बहुपद $$y^2-x^2(a^2-x^2)$$ का शून्य समूह है। विवियानी का वक्र, गोले को सिलेंडर के साथ काटने से बना एक त्रि-आयामी वक्र, इसमें आठ का आकार भी होता है और इसके समतल प्रक्षेपण के रूप में गेरोनो का लेम्निस्केट होता है।

अन्य
अन्य आकृति-आठ के आकार के बीजीय वक्र सम्मिलित हैं
 * डेविल्स कर्व, चतुर्थक समीकरण $$y^2 (y^2 - a^2) = x^2 (x^2 - b^2)$$ द्वारा परिभाषित वक्र जिसमें एक जुड़े घटक में आकृति-आठ का आकार होता है।
 * वाट का वक्र, यांत्रिक शृंखलन द्वारा निर्मित आकृति-आठ के आकार का वक्र है। वाट का वक्र घात-छह बहुपद समीकरण का शून्य समूह $$(x^2+y^2)(x^2+y^2-d^2)^2+4a^2y^2(x^2+y^2-b^2)=0$$ और एक विशेष स्तिथि के रूप में बर्नौली का लेम्निस्केट है।

यह भी देखें

 * एनालेम्मा, एक वर्ष के दौरान आकाश में दोपहर के समय सूर्य की स्थिति से पता लगाया गया आठ आकार का वक्र है।
 * अपरिमित चिन्ह है।
 * लेम्निस्केट्स को सामान्यीकृत शांकव के रूप में दर्शाया गया है।
 * लॉरेंज अट्रैक्टर, एक त्रि-आयामी गतिशील प्रणाली जो लेम्निस्केट आकार प्रदर्शित करती है।
 * बहुपद लेम्निस्केट, जटिल बहुपद के पूर्ण मान का एक स्तर समूह है।