सरल लाय समूह

यह लेख किलिंग-कार्टन वर्गीकरण के बारे में है। सामान्य रूप से सैद्धांतिक भौतिकी में पाए जाने वाले समूहों की एक छोटी सूची के लिए, लाइ समूहों की तालिका देखें। अधिक से अधिक 3 आयामों के समूहों के लिए, बियांची वर्गीकरण देखें।

गणित में, साधारण लाइ समूह जुड़ा हुआ गैर-एबेलियन लाइ समूह G है, जिसमें गैर-साधारण जुड़े सामान्य उपसमूह नहीं होते हैं। सामान्य लाई समूहों की सूची का उपयोग सामान्य लाई बीजगणित और रिमेंनियन सममित समष्टि की सूची को पढ़ने के लिए किया जा सकता है।

वास्तविक संख्याओं के क्रमविनिमेय लाई समूह के साथ, $$\mathbb{R}$$, और इकाई-परिमाण जटिल संख्याओं का, U(1) (इकाई वृत्त), सामान्य लाइ समूह परमाणु ब्लॉक देते हैं जो समूह विस्तार के संक्रिया के माध्यम से सभी (परिमित-आयामी) जुड़े हुए समूहों को बनाते हैं। कई सामान्य रूप से सामना किए जाने वाले लाइ समूह या तो सामान्य होते हैं या सामान्य होने के लिए 'संवृत' होते हैं: उदाहरण के लिए, 1 के बराबर निर्धारक के साथ n मैट्रिक्स (आव्यूह) का तथाकथित विशेष रैखिक समूह SL(n) सभी n > 1 के लिए सामान्य है।

सामान्य लाइ समूहों का पहला वर्गीकरण विल्हेम किलिंग द्वारा किया गया था, और यह कार्य बाद में एली कार्टन द्वारा सिद्ध किया गया था। अंतिम वर्गीकरण को प्रायः किलिंग-कार्टन वर्गीकरण के रूप में संदर्भित किया जाता है।

परिभाषा
दुर्भाग्य से, साधारण लाइ समूह की सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत परिभाषा नहीं है। विशेष रूप से, इसे सदैव लाइ समूह के रूप में परिभाषित नहीं किया जाता है जो कि अमूर्त समूह के रूप में सामान्य समूह है। लेखक इस बात पर भिन्न हैं कि क्या एक साधारण लाइ समूह को जोड़ा जाना है, या क्या इसे एक गैर-साधारण केंद्र की स्वीकृति है, या क्या $$\mathbb{R}$$ एक साधारण लाइ समूह है।

सबसे सामान्य परिभाषा यह है कि एक लाइ समूह सामान्य है यदि यह जुड़ा हुआ है, गैर-एबेलियन है, और प्रत्येक संवृत जुड़ा हुआ सामान्य उपसमूह या तो पहचान या संपूर्ण समूह है। विशेष रूप से, साधारण समूहों को गैर-साधारण केंद्र रखने की स्वीकृति है, लेकिन $$\mathbb{R}$$ सामान्य नहीं है।

इस आलेख में साधारण केंद्र के साथ जुड़े सामान्य लाइ समूह सूचीबद्ध हैं। एक बार जब ये ज्ञात हो जाते हैं, तो गैर-साधारण केंद्र वाले लोगों को निम्नानुसार सूचीबद्ध करना आसान हो जाता है। साधारण केंद्र के साथ किसी भी सामान्य लाइ समूह में एक सार्वभौमिक अंतर्गत होता है, जिसका केंद्र सामान्य लाइ समूह का मौलिक समूह होता है। केंद्र के एक उपसमूह द्वारा इस सार्वभौमिक अंतर्गत के भागफल के रूप में गैर-साधारण केंद्र वाले संबंधित सामान्य लाइ समूहों को प्राप्त किया जा सकता है।

विकल्प
साधारण लाई समूह की समतुल्य परिभाषा लाई समानता से होती है: जुड़ा हुआ लाई समूह सामान्य है यदि इसका लाई बीजगणित सामान्य लाई बीजगणित है। एक महत्वपूर्ण तकनीकी बिंदु यह है कि एक साधारण लाइ समूह में असतत सामान्य उपसमूह हो सकते हैं। इस कारण से, साधारण लाई समूह की परिभाषा एक लाई समूह की परिभाषा के बराबर नहीं है जो कि साधारण समूह है।

सामान्य लाइ समूहों में कई शास्त्रीय लाइ समूह सम्मिलित हैं, जो फेलिक्स क्लेन के एर्लांगेन कार्यक्रम के अर्थ में गोलाकार ज्यामिति, प्रक्षेपी ज्यामिति और संबंधित ज्यामिति के लिए एक समूह-सैद्धांतिक आधार प्रदान करते हैं। साधारण लाई समूहों के वर्गीकरण के समय यह सामने आया कि वहाँ भी कई असाधारण संभावनाएँ सम्मिलित हैं जो किसी भी परिचित ज्यामिति के अनुरूप नहीं हैं जो किसी भी परिचित ज्यामिति से संबंधित नहीं हैं। ये असाधारण समूह गणित की अन्य उपखंडों के साथ-साथ समकालीन सैद्धांतिक भौतिकी में कई विशेष उदाहरणों और विन्यासों के लिए अधीन हैं।

प्रति उदाहरण के रूप में, सामान्य रेखीय समूह न तो सामान्य है, न ही अर्ध-सामान्य लाइ समूह हो। ऐसा इसलिए है क्योंकि पहचान के गुणक एक गैर-साधारण सामान्य उपसमूह बनाते हैं, इस प्रकार परिभाषा से बचते हैं। समतुल्य रूप से, संबंधित लाइ बीजगणित में एक किलिंग स्वरूप का रूप है, क्योंकि बीजगणित के शून्य तत्व के लिए पहचान मानचित्र के गुणक। इस प्रकार, संबंधित लाई बीजगणित भी न तो सामान्य है और न ही अर्धसरल है। एक अन्य प्रति-उदाहरण सम आयाम में विशेष लंबकोणीय समूह हैं। इनमें मैट्रिक्स $$-I$$ केंद्र में (समूह सिद्धांत) है, और यह तत्व पहचान तत्व से जुड़ा हुआ है, और इसलिए ये समूह परिभाषा से बचते हैं। ये दोनों लघुकारक समूह हैं।

सामान्य लाइ बीजगणित
साधारण लाइ समूह का लाइ बीजगणित एक साधारण लाइ बीजगणित है। यह सामान्य केंद्र और 1 से अधिक आयाम के सरल लाइ बीजगणित के साथ जुड़े सरल लाई समूहों के बीच एक-से-एक समानता है।\\

सम्मिश्र संख्याओं पर अर्धसरल लाई बीजगणित को उनके डायनकिन आरेखो द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जो ABCDEFG प्रकार के होते हैं। यदि L एक वास्तविक सामान्य लाई बीजगणित है, तो इसकी जटिलता एक सामान्य सम्मिश्र लाई बीजगणित है, जब तक कि L पहले से ही एक लाई बीजगणित का जटिलीकरण न हो, जिस स्थिति में L का जटिलीकरण L की दो प्रतियों का एक उत्पाद है। यह समस्या को कम करता है वास्तविक सामान्य लाई बीजगणित को प्रत्येक सम्मिश्र सामान्य लाई बीजगणित के सभी वास्तविक रूपो को जांच करने के लिए वर्गीकृत करना (अर्थात, वास्तविक लाई बीजगणित जिसका सम्मिश्र सम्मिश्र लाई बीजगणित है)। सदैव कम से कम 2 ऐसे रूप होते हैं: विभाजित रूप और एक सुसंहत रूप, और सामान्य रूप से कुछ अन्य होते हैं। विभिन्न वास्तविक रूप सम्मिश्र लाई बीजगणित के अधिकतम 2 क्रम के स्वाकारिकता के वर्गों के अनुरूप हैं।

सममित समष्टि
सममित समष्टि निम्नानुसार वर्गीकृत किए गए हैं।

सबसे पहले, एक सममित समष्टि का सार्वभौमिक मे अंतर्गत अभी भी सममित है, इसलिए हम केवल जुड़े सममित स्थानों के स्थिति में कम कर सकते हैं। (उदाहरण के लिए, वास्तविक प्रक्षेपी तल का सार्वभौमिक मे अंतर्गत एक वृत्त है।)

दूसरा, सममित समष्टि का उत्पाद सममित है, इसलिए हम केवल अलघुकरणीय को आसानी से जुड़े पदों को वर्गीकृत कर सकते हैं (जहाँ अलघुकरणीय का अर्थ है कि उन्हें छोटे सममित स्थानों के उत्पाद के रूप में नहीं लिखा जा सकता है)।

अलघुकरणीय सामान्य रूप से जुड़े सममित समष्टि वास्तविक रेखा हैं, और प्रत्येक गैर-सुसंहत सामान्य लाई समूह जी के अनुरूप दो सममित समष्टि हैं, एक सुसंहत और एक नॉन-सुसंहत है। गैर-सुसंहत एक अधिकतम सुसंहत उपसमूह H द्वारा G के भागफल मे अंतर्गत है, और सुसंहत एक भागफल मे अंतर्गत है सुसंहत और गैर-सुसंहत के बीच यह द्वंद्व सममित समष्टि वृत्ताकार और अतिपरिवलयिक ज्यामिति के बीच प्रसिद्ध द्वैत का एक सामान्यीकरण है।

हर्मिटियन सममित समष्टि
संगत सम्मिश्र संरचना वाले सममित समष्टि को हर्मिटियन कहा जाता है। सुसंहत से जुड़ा अलघुकरणीय हर्मिटियन सममित समष्टि 4 अनंत श्रेणी में आते हैं जिनमें 2 असाधारण वर्ग बचे हैं, और प्रत्येक में एक गैर-सुसंहत द्विक है। इसके अतिरिक्त सम्मिश्र तल भी एक हर्मिटियन सममित समष्टि है; यह अलघुकरणीय हर्मिटियन सममित समष्टि की पूरी सूची देता है।

चार वर्ग p = 2, D III और C I के लिए A III, B I और D I प्रकार हैं, और दो असाधारण प्रकार 16 और 27 के जटिल आयामों के प्रकार E III और E VII हैं।

अंकन
$$ \mathbb {R, C, H, O} $$ वास्तविक संख्या, सम्मिश्र संख्या, चतुष्कोण, और अष्टक के लिए है।

असाधारण समूहों के लिए E6−26 जैसे प्रतीकों में, घातांक -26 एक अपरिवर्तनीय सममित द्विरेखीय रूप का हस्ताक्षर है जो अधिकतम सुसंहत उपसमूह पर ऋणात्मक चर है। यह अधिकतम सुसंहत उपसमूह के आयाम से दो गुना कम समूह के आयाम के बराबर है।

नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध मौलिक समूह साधारण केंद्र के साथ साधारण समूह का मूलभूत समूह है। समान लाइ बीजगणित वाले अन्य सामान्य समूह इस मौलिक समूह के उपसमूहों के अनुरूप हैं (मापांक बाहरी स्वाकारिकता समूह की संक्रिया)।

पूर्ण वर्गीकरण
सामान्य लाइ समूह पूरी तरह से वर्गीकृत हैं। वर्गीकरण सामान्य रूप से कई चरणों में कहा जाता है, अर्थात्:


 * सरल जटिल लाई बीजगणित का वर्गीकरण डायनकिन आरेखों द्वारा जटिल संख्याओं पर सरल लाई बीजगणित का वर्गीकरण।


 * सरल वास्तविक लाई बीजगणित का वर्गीकरण प्रत्येक सरल जटिल लाई बीजगणित के कई वास्तविक रूप होते हैं, जिन्हें इसके डायनकिन आरेख की अतिरिक्त पद द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जिसे इचिरो सैटेक के बाद सैटेक रेखाकृति कहा जाता है।

कोई दिखा सकता है कि किसी भी लाइ समूह का मौलिक समूह असतत एबेलियन समूह है। एक (गैर-साधारण) उपसमूह $$K\subset \pi_1(G)$$ दिया गया, कुछ लाइ समूह के मौलिक समूह $$G$$ की कोई नया समूह बनाने के लिए समष्टि को अंतर्निहित करने के सिद्धांत का उपयोग कर सकता है और $$\tilde{G}^K$$ जिसके केंद्र मे $$K$$ है। अब कोई भी (वास्तविक या सम्मिश्र) लाइ समूह इस निर्माण को केंद्र रहित लाइ समूहों पर प्रयुक्त करके प्राप्त किया जा सकता है। ध्यान दें कि इस तरह से प्राप्त वास्तविक लाइ समूह किसी भी सम्मिश्र समूह के वास्तविक रूप नहीं हो सकते हैं। इस तरह के वास्तविक समूह का एक बहुत ही महत्वपूर्ण उदाहरण मेटाप्लेक्टिक समूह है, जो अनंत-आयामी प्रतिनिधित्व सिद्धांत और भौतिकी में प्रकट होता है। जब कोई $$K\subset \pi_1(G)$$ देता है, पूर्ण मौलिक समूह, $$\tilde{G}^{K = \pi_1(G)}$$ परिणामी लाइ समूह केंद्रविहीन लाइ समूह का सार्वभौमिक के अंतर्गत $$G$$ है और सिर्फ जुड़ा हुआ है। विशेष रूप से, प्रत्येक (वास्तविक या सम्मिश्र) लाइ बीजगणित भी एक अद्वितीय जुड़ा हुआ और सामान्य रूप से जुड़ा हुआ अंतरिक्ष लाइ समूह से अनुरूप $$\tilde{G}$$ है, उस लाई बीजगणित के साथ, जिसे सरलता से जुड़ा लाई समूह $$\mathfrak{g}$$ कहा जाता है।
 * प्रत्येक (वास्तविक या सम्मिश्र) सामान्य लाइ बीजगणित के लिए केंद्र रहित सामान्य लाइ समूहों का वर्गीकरण $$\mathfrak{g}$$, एक अद्वितीय केंद्रविहीन सामान्य लाइ समूह $$G$$ है जिसका लाइ बीजगणित $$\mathfrak{g}$$ है और जिसका साधारण केंद्र (समूह सिद्धांत) है।
 * सामान्य लाइ समूहों की सूची

सुसंहत लाइ समूह
प्रत्येक साधारण सम्मिश्र लाई बीजगणित का एक अद्वितीय वास्तविक रूप होता है जिसका संबंधित केंद्र रहित लाई समूह सुसंहत समष्टि होता है। यह पता चला है कि इन स्थितियों में सिर्फ जुड़ा हुआ समूह भी सुसंहत है। पीटर-वेइल प्रमेय के कारण सुसंहत लाइ समूहों के पास विशेष रूप से सुविधाजनक प्रतिनिधित्व सिद्धांत है। साधारण सम्मिश्र लाई बीजगणित की तरह, केंद्र रहित सुसंहत लाई समूहों को डायनकिन आरेखों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है (पहली बार विल्हेम किलिंग और एली कार्टन द्वारा वर्गीकृत)।



डाइनकिन आरेखों की अनंत (A, B, C, D) श्रृंखला के लिए, प्रत्येक डायकिन आरेख से जुड़े एक संबंधित सुसंहत लाई समूह को स्पष्ट रूप से एक मैट्रिक्स समूह के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जिसमें संबंधित केंद्र रहित सुसंहत लाई समूह को एक उपसमूह द्वारा भागफल के रूप में वर्णित किया गया है। A और C प्रकार के लिए हम मैट्रिक्स (आव्यूह) समूह के रूप में संबंधित बस जुड़े हुए समूह के स्पष्ट मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व पा सकते हैं।

वर्गीकरण का अवलोकन
Ar के पास इसके संबद्ध बस जुड़े हुए सुसंहत समूह के रूप में विशेष एकात्मक समूह, SU(r + 1) और इसके संबद्ध केंद्रहीन सुसंहत समूह के रूप में प्रक्षेपी एकात्मक समूह PU(r + 1) है।

Brके पास इसके संबंधित केंद्रहीन सुसंहत समूह विषम विशेष लंबकोणीय समूह SO(2r + 1) हैं। हालांकि यह समूह केवल जुड़ा नहीं है: इसका सार्वभौमिक (द्विक) आवरण चक्रण समूह है।

Cr के पास इसके संबद्ध सरलता से जुड़े समूह के रूप में एकात्मक सममिती मेट्रिसेस का समूह है, Sp(r) और इसके संबद्ध केंद्रहीन समूह के रूप में, प्रक्षेपी एकात्मक सममिती मैट्रिक्स के लाइ समूह PSp(r) = Sp(r)/{I, −I} है। सममिती समूहों में मेटाप्लेक्टिक समूह द्वारा द्विक आवरण होता है।

Dr इसके संबद्ध सुसंहत समूह के रूप में विशेष लंबकोणीय समूह भी हैं, विशेष लंबकोणीय समूह SO(2r) और इसके संबद्ध केंद्र रहित सुसंहत समूह के रूप में प्रक्षेपी विशेष लंबकोणीय समूह PSO(2r) = SO(2r)/{I, −I} है। B श्रृंखला के साथ, SO(2r) केवल जुड़ा नहीं है; इसका सार्वभौमिक अंतर्गत फिर से चक्रण समूह है, लेकिन बाद में फिर से एक केंद्र है (cf. इसका लेख)।

आरेख D2 दो अलग-अलग नोड्स हैं, जो A1 ∪ A1 के समान हैं, और यह संयोग चतुर्धातुक गुणन द्वारा दिए गए SU(2) × SU(2) से SO(4) तक आच्छादित प्रतिचित्रण समरूपता से अनुरूप है; चतुष्कोण और स्थानिक घूर्णन देखें। अतः SO(4) एक साधारण समूह नहीं है। इसके अतिरिक्त, आरेख D3, A3 के समान है, जो SU(4) से SO(6) तक आच्छादन प्रतिचित्रण समरूपता के अनुरूप है।

उपरोक्त चार वर्गों Ai, Bi, Ci, और Di के अतिरिक्त, पाँच तथाकथित असाधारण डाइकिन आरेख G2, F4, E6, E7,, और E8 हैं; इन असाधारण डायकिन आरेखों में भी सिर्फ जुड़े हुए और केंद्र रहित सुसंहत समूह जुड़े हुए हैं। हालांकि, असाधारण वर्गों से जुड़े समूहों का वर्णन करना अनंत वर्गों से जुड़े लोगों की तुलना में अधिक कठिन है, मुख्यतः क्योंकि उनके विवरण असाधारण वस्तुओं का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, G2 से जुड़ा समूह अष्टक का स्वाकारिकता समूह है, और F4 से जुड़ा समूह एक निश्चित अल्बर्ट बीजगणित का स्वाकारिकता समूह है।

E7+1⁄2. भी देखें।

टिप्पणियाँ

 * $$\mathbb{R}$$ अमूर्त समूह के रूप में 'साधारण' नहीं है, और अधिकांश (लेकिन सभी नहीं) परिभाषाओं के अनुसार यह एक साधारण लाइ समूह नहीं है। इसके अतिरिक्त, अधिकांश लेखक इसके लाइ बीजगणित को एक साधारण लाइ बीजगणित के रूप में नहीं मानते हैं। इसे यहाँ सूचीबद्ध किया गया है ताकि "अलघुकरणीय केवल सममित समष्टि" की सूची पूरी हो जाए। ध्यान दें कि $$\mathbb{R}$$ सुसंहत द्विक के बिना एकमात्र ऐसा गैर-सुसंहत सममित समष्टि है (हालांकि इसमें एक सुसंहत भागफल S1 है।)

छोटे आयाम के सामान्य लाइ समूह
निम्न तालिका में कुछ लाइ समूहों को छोटे आयामों के सामान्य लाइ बीजगणित के साथ सूचीबद्ध किया गया है। दी गई रेखा पर सभी समूहों का एक ही लाई बीजगणित होता है। आयाम 1 स्थिति में, समूह एबेलियन हैं और सामान्य नहीं हैं।

सामान्य लेसित समूह
सामान्य रूप से लेसित समूह एक लाई समूह होता है जिसके डायनकिन आरेख में केवल सामान्य शृंखला होती हैं, और इसलिए संबंधित लाई बीजगणित की सभी गैर-शून्य मूलों की लंबाई समान होती है। A, D और E श्रृंखला समूह सभी सिर्फ लेसित हैं, लेकिन B, C, F, या G प्रकार का कोई समूह केवल लेसित नहीं है।

यह भी देखें

 * कार्टन मैट्रिक्स (आव्यूह)
 * कॉक्सेटर मैट्रिक्स
 * वेइल समूह
 * कॉक्सेटर समूह
 * केएसी-मूडी बीजगणित
 * विपत्ति सिद्धांत

अग्रिम पठन

 * Besse, Einstein manifolds ISBN 0-387-15279-2
 * Helgason, Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces. ISBN 0-8218-2848-7
 * Fuchs and Schweigert, Symmetries, Lie algebras, and representations: a graduate course for physicists. Cambridge University Press, 2003. ISBN 0-521-54119-0