ऑर्डर एम्बेडिंग

ऑर्डर सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, ऑर्डर एम्बेडिंग एक विशेष प्रकार का मोनोटोन फ़ंक्शन है, जो एक आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट को दूसरे में शामिल करने का एक तरीका प्रदान करता है। गैलोइस कनेक्शन की तरह, ऑर्डर एम्बेडिंग एक ऐसी धारणा का निर्माण करती है जो आदेश समरूपता  की अवधारणा से सख्ती से कमजोर है। इन दोनों कमजोरियों को श्रेणी सिद्धांत के संदर्भ में समझा जा सकता है।

औपचारिक परिभाषा
औपचारिक रूप से, दो आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट (पोसेट) दिए गए हैं $$(S, \leq)$$ और $$(T, \preceq)$$, एक फ़ंक्शन (गणित) $$f: S \to T$$ यदि एक आदेश एम्बेडिंग है $$f$$ आदेश-संरक्षण और आदेश-प्रतिबिंबित दोनों है, यानी सभी के लिए $$x$$ और $$y$$ में $$S$$, किसी के पास

ऐसा फ़ंक्शन आवश्यक रूप से इंजेक्शन  है, क्योंकि $$f(x) = f(y)$$ तात्पर्य $$x \leq y$$ और $$y \leq x$$. यदि कोई ऑर्डर दो पॉसेट के बीच एम्बेड हो रहा है $$S$$ और $$T$$ अस्तित्व में है, ऐसा कोई कहता है $$S$$ में एम्बेड किया जा सकता है $$T$$.
 * $$x\leq y \text{ if and only if } f(x)\preceq f(y).$$

गुण
एक ऑर्डर समरूपता को एक विशेषण ऑर्डर एम्बेडिंग के रूप में वर्णित किया जा सकता है। परिणामस्वरूप, f एम्बेड करने वाला कोई भी ऑर्डर किसी फ़ंक्शन S के डोमेन और उसकी छवि (गणित) f(S) के बीच एक समरूपता को प्रतिबंधित करता है, जो एम्बेडिंग शब्द को उचित ठहराता है। दूसरी ओर, यह अच्छी तरह से हो सकता है कि दो (आवश्यक रूप से अनंत) पॉसेट ऑर्डर-आइसोमोर्फिक हुए बिना एक-दूसरे में पारस्परिक रूप से ऑर्डर-एम्बेडेबल हों।

खुले अंतराल द्वारा एक उदाहरण प्रदान किया गया है $$(0,1)$$ वास्तविक संख्याएँ और संगत बंद अंतराल $$[0,1]$$. कार्यक्रम $$f(x) = (94x+3) / 100$$ पूर्व को उपसमुच्चय में मैप करता है $$(0.03,0.97)$$ उत्तरार्द्ध का और उत्तरार्द्ध का उपसमुच्चय $$[0.03,0.97]$$पूर्व का, चित्र देखें। दोनों सेटों को प्राकृतिक तरीके से ऑर्डर करना, $$f$$ आदेश-संरक्षण और आदेश-प्रतिबिंबित दोनों है (क्योंकि यह एक रैखिक कार्य है). फिर भी, दोनों पदों के बीच कोई समरूपता मौजूद नहीं हो सकती, उदाहरण के लिए $$[0,1]$$ जबकि कम से कम तत्व है $$(0,1)$$ नहीं करता। वास्तविक संख्याओं को एक अंतराल में क्रमबद्ध करने के लिए आर्कटान का उपयोग करने वाले एक समान उदाहरण के लिए, और विपरीत दिशा के लिए पहचान मानचित्र देखें, उदाहरण के लिए देखें। जस्ट एंड वीज़ (1996)। एक वापसी एक जोड़ी है $$(f,g)$$ क्रम-संरक्षित मानचित्रों की जिनकी कार्य संरचना $$g \circ f$$ पहचान है. इस मामले में, $$f$$ इसे कोरट्रैक्शन कहा जाता है, और यह एक ऑर्डर एम्बेडिंग होना चाहिए। हालाँकि, प्रत्येक ऑर्डर एम्बेडिंग एक कोरट्रैक्शन नहीं है। एक तुच्छ उदाहरण के रूप में, अद्वितीय ऑर्डर एम्बेडिंग $$f: \emptyset \to \{1\}$$ खाली पोसेट से गैर-रिक्त पोसेट में कोई वापसी नहीं है, क्योंकि कोई ऑर्डर-संरक्षण मानचित्र नहीं है $$g: \{1\} \to \emptyset$$. अधिक स्पष्ट रूप से, सेट पर विचार करें $$S$$ 6 के भाजक का, आंशिक रूप से x द्वारा y को विभाजित करने पर क्रमबद्ध, चित्र देखें। एम्बेडेड उप-पोज़िट पर विचार करें $$\{ 1,2,3 \}$$. एम्बेडिंग की वापसी $$id: \{ 1,2,3 \} \to S$$ भेजने की आवश्यकता होगी $$6$$ कहीं अंदर $$\{ 1,2,3 \}$$ दोनों के ऊपर $$2$$ और $$3$$, लेकिन ऐसी कोई जगह नहीं है.

अतिरिक्त परिप्रेक्ष्य
पोसेट्स को सीधे तौर पर कई दृष्टिकोणों से देखा जा सकता है, और ऑर्डर एम्बेडिंग इतनी बुनियादी हैं कि वे हर जगह से दिखाई देते हैं। उदाहरण के लिए:
 * (मॉडल सिद्धांत) एक पोसेट एक सेट है जो (रिफ्लेक्सिव, एंटीसिमेट्रिक और ट्रांजिटिव) द्विआधारी संबंध  से लैस है। ए → बी को एम्बेड करने वाला ऑर्डर ए से बी की प्राथमिक उपसंरचना में एक समरूपता है।
 * (ग्राफ़ सिद्धांत) एक पोसेट एक (सकर्मक, चक्रीय, निर्देशित, प्रतिवर्ती) ग्राफ़ (असतत गणित) है। ए → बी को एम्बेड करने वाला एक आदेश ए से बी के एक प्रेरित सबग्राफ के लिए एक ग्राफ समरूपता है।
 * (श्रेणी सिद्धांत) एक पोसेट एक (छोटी, पतली और कंकाल) श्रेणी (गणित) है जैसे कि प्रत्येक होम-सेट में अधिकतम एक तत्व होता है। ए → बी को एम्बेड करने वाला एक ऑर्डर ए से बी तक एक पूर्ण और वफादार ऑपरेटर है जो वस्तुओं पर इंजेक्शन है, या समकक्ष ए से बी की पूर्ण उपश्रेणी में एक आइसोमोर्फिज्म है।

यह भी देखें

 * दुशनिक-मिलर प्रमेय
 * लेवर का प्रमेय