आकारिक वर्ग नियम

गणित में, एक औपचारिक समूह कानून (मोटे तौर पर कहें तो) एक औपचारिक शक्ति श्रृंखला है जो ऐसा व्यवहार करती है जैसे कि यह एक लाई समूह का उत्पाद हो। द्वारा उनका परिचय कराया गया. औपचारिक समूह शब्द का अर्थ कभी-कभी औपचारिक समूह कानून के समान होता है, और कभी-कभी इसका अर्थ कई सामान्यीकरणों में से एक होता है। औपचारिक समूह लाई समूह (या बीजगणितीय समूह) और लाई बीजगणित के बीच मध्यवर्ती होते हैं। इनका उपयोग बीजगणितीय संख्या सिद्धांत और बीजगणितीय टोपोलॉजी में किया जाता है।

परिभाषाएँ
क्रमविनिमेय वलय R पर एक आयामी औपचारिक समूह कानून R में गुणांक के साथ एक शक्ति श्रृंखला F(x,y) है, जैसे कि सबसे सरल उदाहरण योगात्मक औपचारिक समूह कानून F(x, y) = x + y है। परिभाषा का विचार यह है कि एफ लाई समूह के उत्पाद के औपचारिक शक्ति श्रृंखला विस्तार जैसा कुछ होना चाहिए, जहां हम निर्देशांक चुनते हैं ताकि लाई समूह की पहचान मूल हो।
 * 1) F(x,y) = x + y + उच्च डिग्री के पद
 * 2) F(x, F(y,z)) = F(F(x ,y), z) (सहयोगिता)।

अधिक सामान्यतः, एन-आयामी औपचारिक समूह कानून एन शक्ति श्रृंखला का एक संग्रह है एफi(एक्स1, एक्स2, ..., एक्सn, और1, और2, ..., औरn) 2n वेरिएबल्स में, जैसे कि जहाँ हम (F) के लिए 'F' लिखते हैं1, ..., एफn), x के लिए (x1, ..., एक्सn), और इसी तरह।
 * 1) 'F'('x','y') = 'x' + 'y' + उच्च डिग्री के पद
 * 2) 'एफ'('एक्स', 'एफ'('वाई','जेड')) = 'एफ'('एफ'('एक्स','वाई'), 'जेड')

यदि F(x,y) = F(y,x) हो तो औपचारिक समूह नियम को क्रमविनिमेय कहा जाता है। यदि आर मरोड़ मुक्त है, तो कोई आर को क्यू-बीजगणित में एम्बेड कर सकता है और किसी भी एक-आयामी औपचारिक समूह कानून एफ को एफ के रूप में लिखने के लिए घातांक और लघुगणक का उपयोग कर सकता है। x,y) = exp(log(x) + log(y)), इसलिए F आवश्यक रूप से क्रमविनिमेय है। अधिक सामान्यतः, हमारे पास है:
 * प्रमेय. R पर प्रत्येक एक-आयामी औपचारिक समूह कानून क्रमविनिमेय है यदि और केवल तभी जब R में कोई गैर-शून्य मरोड़ निलपोटेंट नहीं है (यानी, कोई भी गैर-शून्य तत्व जो मरोड़ और निलपोटेंट दोनों हैं)।

समूह (गणित) के लिए व्युत्क्रम तत्वों के अस्तित्व के अनुरूप किसी स्वयंसिद्ध की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि यह औपचारिक समूह कानून की परिभाषा से स्वचालित रूप से अनुसरण करता है। दूसरे शब्दों में हम हमेशा एक (अद्वितीय) शक्ति श्रृंखला G पा सकते हैं जैसे कि F(x,G(x)) = 0।

आयाम एम के औपचारिक समूह कानून एफ से एन आयाम के औपचारिक समूह कानून जी तक एक समरूपता एम चर में एन शक्ति श्रृंखला का एक संग्रह एफ है, जैसे कि
 * G(f(x), f(y)) = f(F(x,y)).

व्युत्क्रम के साथ एक समरूपता को समरूपता कहा जाता है, और यदि इसके अतिरिक्त f(x) = x + उच्च डिग्री के पद हों तो इसे सख्त समरूपता कहा जाता है। उनके बीच समरूपता वाले दो औपचारिक समूह कानून अनिवार्य रूप से समान हैं; वे केवल निर्देशांक के परिवर्तन से भिन्न होते हैं।

उदाहरण

 * योगात्मक औपचारिक समूह कानून द्वारा दिया गया है
 * $$F(x,y) = x + y.\ $$


 * गुणात्मक औपचारिक समूह कानून द्वारा दिया गया है
 * $$F(x,y) = x + y + xy.\ $$
 * इस नियम को इस प्रकार समझा जा सकता है. रिंग (गणित) आर में उत्पाद जी (गुणक समूह) जी (ए, बी) = एबी द्वारा दिया गया है। यदि हम a = 1 + x, b = 1 + y, और G = 1 + F डालकर 0 को पहचान बनाने के लिए निर्देशांक बदलते हैं, तो हम पाते हैं कि F(x,y) = x + y + xy।

तर्कसंगत संख्याओं पर, योगात्मक औपचारिक समूह कानून से गुणक तक एक समरूपता है, जो द्वारा दी गई है exp(x) − 1. सामान्य क्रमविनिमेय वलय R पर ऐसी कोई समरूपता नहीं है क्योंकि इसे परिभाषित करने के लिए गैर-अभिन्न तर्कसंगत संख्याओं की आवश्यकता होती है, और योगात्मक और गुणक औपचारिक समूह आमतौर पर आइसोमोर्फिक नहीं होते हैं।


 * आम तौर पर, हम पहचान पर निर्देशांक लेकर और उत्पाद मानचित्र के औपचारिक शक्ति श्रृंखला विस्तार को लिखकर, किसी भी बीजगणितीय समूह या आयाम n के झूठ समूह से आयाम n का एक औपचारिक समूह कानून बना सकते हैं। योगात्मक और गुणक औपचारिक समूह कानून इस प्रकार योगात्मक और गुणक बीजगणितीय समूहों से प्राप्त किए जाते हैं। इसका एक अन्य महत्वपूर्ण विशेष मामला 'अण्डाकार वक्र का औपचारिक समूह (कानून)' (या एबेलियन किस्म) है।
 * F(x,y) = (x + y)/(1 + xy) एक औपचारिक समूह कानून है जो हाइपरबोलिक स्पर्शरेखा फ़ंक्शन के अतिरिक्त सूत्र से आता है: tanh(x + y) = F(tanh(x), tanh (y)), और विशेष सापेक्षता में वेगों को जोड़ने का सूत्र भी है (1 के बराबर प्रकाश की गति के साथ)।
 * $F(x,y) = \left. \left(x\sqrt{1-y^4} +y\sqrt{1-x^4}\right) \right/ \!(1+x^2y^2)$ Z[1/2] पर एक औपचारिक समूह कानून है जिसे यूलर ने जोड़ सूत्र के रूप में पाया है। अण्डाकार अभिन्न :


 * $$\int_0^x{dt\over \sqrt{1-t^4}} + \int_0^y{dt\over \sqrt{1-t^4}} = \int_0^{F(x,y)}{dt\over \sqrt{1-t^4}}.$$

झूठ बीजगणित
कोई भी एन-आयामी औपचारिक समूह कानून रिंग आर पर एक एन-आयामी झूठ बीजगणित देता है, जिसे द्विघात भाग एफ के संदर्भ में परिभाषित किया गया है।2 औपचारिक समूह कानून का.
 * [x,y] = एफ2(एक्स,वाई) - एफ2(वाई,एक्स)

लाई समूहों या बीजगणितीय समूहों से लेकर लाई बीजगणित तक के प्राकृतिक फ़नकार को लाई समूहों से लेकर औपचारिक समूह कानूनों तक के ऑपरेटर में विभाजित किया जा सकता है, इसके बाद औपचारिक समूह के लाई बीजगणित को लिया जा सकता है:
 * झूठ समूह → औपचारिक समूह कानून → झूठ बीजगणित

विशेषता (बीजगणित) 0 के क्षेत्र (गणित) पर, औपचारिक समूह कानून अनिवार्य रूप से परिमित-आयामी झूठ बीजगणित के समान होते हैं: अधिक सटीक रूप से, परिमित-आयामी औपचारिक समूह कानूनों से परिमित-आयामी झूठ बीजगणित तक फ़ैक्टर श्रेणियों का एक समतुल्य है। गैर-शून्य विशेषता वाले क्षेत्रों में, औपचारिक समूह कानून लाई बीजगणित के समकक्ष नहीं हैं। वास्तव में, इस मामले में यह सर्वविदित है कि एक बीजगणितीय समूह से उसके लाई बीजगणित में जाने से अक्सर बहुत अधिक जानकारी दूर हो जाती है, लेकिन इसके बजाय औपचारिक समूह कानून में जाने से अक्सर पर्याप्त जानकारी बच जाती है। तो कुछ अर्थों में औपचारिक समूह कानून विशेषता पी>0 में लाई बीजगणित के लिए सही विकल्प हैं।

क्रमविनिमेय औपचारिक समूह कानून का लघुगणक
यदि F, क्रमविनिमेय Q-बीजगणित R पर एक क्रमविनिमेय एन-आयामी औपचारिक समूह कानून है, तो यह योगात्मक औपचारिक समूह कानून के लिए सख्ती से समरूपी है। दूसरे शब्दों में, योगात्मक औपचारिक समूह से F तक एक सख्त समरूपता f है, जिसे F का लघुगणक कहा जाता है, ताकि
 * f(F(x,y)) = f(x) + f(y).

उदाहरण:
 * F(x,y) = x + y का लघुगणक f(x) =  है एक्स।
 * F(x,y) = x + y +xy का लघुगणक f(x) है ) = लॉग(1+x), क्योंकि लॉग(1+x+y+xy) = लॉग(1+x)+ लॉग(1+y).

यदि R में परिमेय नहीं है, तो R ⊗ Q तक अदिश राशि के विस्तार द्वारा एक मानचित्र f का निर्माण किया जा सकता है, लेकिन यदि R में सकारात्मक विशेषता है तो यह सब कुछ शून्य पर भेज देगा। रिंग आर पर औपचारिक समूह कानूनों का निर्माण अक्सर उनके लघुगणक को आर ⊗ क्यू में गुणांक के साथ एक शक्ति श्रृंखला के रूप में लिखकर किया जाता है, और फिर यह साबित किया जाता है कि संबंधित औपचारिक समूह के गुणांक आर पर हैं। ' ⊗ Q वास्तव में R में है। सकारात्मक विशेषता में काम करते समय, आमतौर पर आर को एक मिश्रित विशेषता रिंग से बदल दिया जाता है, जिसका प्रभाव आर पर होता है, जैसे कि विट वेक्टर की रिंग डब्ल्यू(आर), और अंत में R तक कम हो जाता है।

अपरिवर्तनीय अंतर
जब F एक-आयामी है, तो कोई इसका लघुगणक 'अपरिवर्तनीय अंतर' ω(t) के संदर्भ में लिख सकता है। होने देना $$\omega(t) = \frac{\partial F}{\partial x}(0,t)^{-1} dt \in Rtdt,$$कहाँ $Rt dt$ मुफ़्त है $Rt$ -एक प्रतीक डीटी पर रैंक 1 का मॉड्यूल। तब ω उस अर्थ में अनुवाद अपरिवर्तनीय है $$F^* \omega = \omega,$$अगर हम लिखें तो कहां $\omega(t) = p(t)dt$, तो परिभाषा के अनुसार एक है$$F^* \omega := p(F(t,s)) \frac{\partial F}{\partial x}(t,s) dt.$$यदि कोई विस्तार पर विचार करता है $\omega(t) = (1 + c_1 t + c_2 t^2 + \dots) dt$ , सूत्र$$f(t) = \int \omega(t) = t + \frac{c_1}{2} t^2 + \frac{c_2}{3} t^3 + \dots$$F के लघुगणक को परिभाषित करता है।

औपचारिक समूह कानून का औपचारिक समूह वलय
एक औपचारिक समूह कानून का औपचारिक समूह वलय एक समूह के समूह वलय और एक ली बीजगणित के सार्वभौमिक आवरण बीजगणित के अनुरूप एक सह-विनिमेय हॉपफ बीजगणित है, जो दोनों सह-अनुकरणीय हॉफ बीजगणित भी हैं। सामान्य तौर पर सह-विनिमेय हॉपफ बीजगणित बहुत हद तक समूहों की तरह व्यवहार करते हैं।

सरलता के लिए हम 1-आयामी मामले का वर्णन करते हैं; उच्च-आयामी मामला समान है सिवाय इसके कि अंकन अधिक शामिल हो जाता है।

मान लीजिए कि F, R के ऊपर एक (1-आयामी) औपचारिक समूह कानून है। इसका 'औपचारिक समूह वलय' (जिसे इसका 'हाइपरलेजेब्रा' या इसका 'सहसंयोजक बायलजेब्रा' भी कहा जाता है) एक सह-विनिमेय हॉपफ बीजगणित H है, जिसका निर्माण इस प्रकार किया गया है।
 * आर-मॉड्यूल (गणित) के रूप में, एच एक आधार 1 = डी के साथ मुफ़्त मॉड्यूल है(0), डी(1), डी(2),...
 * सहउत्पाद Δ, ΔD द्वारा दिया जाता है(n) = ΣD(i)‍⊗ डी(n−i) (इसलिए इस कोलजेब्रा का द्वैत केवल औपचारिक शक्ति श्रृंखला का वलय है)।
 * गणक η D के गुणांक द्वारा दिया जाता है(0).
 * पहचान 1 = D है(0).
 * एंटीपोड एस डी लेता है(n) से (−1)एनडी(एन).
 * डी का गुणांक(1) उत्पाद डी में (i)D(j)x का गुणांक हैमैंyj F(x,y) में।

इसके विपरीत, एक हॉपफ बीजगणित दिया गया है जिसकी कोलजेब्रा संरचना ऊपर दी गई है, हम इससे एक औपचारिक समूह कानून एफ पुनर्प्राप्त कर सकते हैं। तो 1-आयामी औपचारिक समूह कानून अनिवार्य रूप से हॉपफ बीजगणित के समान हैं जिनकी कोलजेब्रा संरचना ऊपर दी गई है।

कार्यकर्ताओं के रूप में औपचारिक समूह कानून
R पर एक n-आयामी औपचारिक समूह कानून 'F' और एक क्रमविनिमेय R-बीजगणित S को देखते हुए, हम एक समूह 'F'(S) बना सकते हैं जिसका अंतर्निहित सेट N हैn जहां N, S के शून्यप्रभावी तत्वों का समुच्चय है। N के तत्वों को गुणा करने के लिए 'F' का उपयोग करके उत्पाद दिया जाता है।n; मुद्दा यह है कि सभी औपचारिक शक्ति श्रृंखलाएं अब एकत्रित हो गई हैं क्योंकि उन्हें शून्य-शक्तिशाली तत्वों पर लागू किया जा रहा है, इसलिए गैर-शून्य शब्दों की केवल एक सीमित संख्या है। यह 'F' को क्रमविनिमेय R-बीजगणित S से समूहों तक एक फ़नकार बनाता है।

हम 'एफ'(एस) की परिभाषा को कुछ टोपोलॉजिकल बीजगणित|टोपोलॉजिकल आर-बीजगणित तक बढ़ा सकते हैं। विशेष रूप से, यदि S असतत R बीजगणित की व्युत्क्रम सीमा है, तो हम 'F'(S) को संबंधित समूहों की व्युत्क्रम सीमा के रूप में परिभाषित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यह हमें 'F'('Z') को परिभाषित करने की अनुमति देता हैp) पी-एडिक संख्या|पी-एडिक संख्याओं में मानों के साथ।

'एफ' के समूह-मूल्यवान फ़ैक्टर को 'एफ' के औपचारिक समूह रिंग एच का उपयोग करके भी वर्णित किया जा सकता है। सरलता के लिए हम मान लेंगे कि 'एफ' 1-आयामी है; सामान्य मामला समान है. किसी भी सह-विनिमेय हॉपफ बीजगणित के लिए, एक तत्व g को 'समूह-समान' कहा जाता है यदि Δg = g ⊗ g और εg = 1, और समूह-समान तत्व गुणन के तहत एक समूह बनाते हैं। एक रिंग पर औपचारिक समूह कानून के हॉपफ बीजगणित के मामले में, समूह जैसे तत्व बिल्कुल फॉर्म के होते हैं
 * डी(0)+डी (1)x+डी (2)x 2 +...

शून्यशक्तिशाली तत्वों x के लिए। विशेष रूप से हम H ⊗ S के समूह-जैसे तत्वों की पहचान S के निलपोटेंट तत्वों से कर सकते हैं, और H ⊗ S के समूह-जैसे तत्वों पर समूह संरचना की पहचान 'F'(S) पर समूह संरचना से की जाती है।

ऊंचाई
मान लीजिए कि f विशेषता p > 0 के क्षेत्र पर एक-आयामी औपचारिक समूह कानूनों के बीच एक समरूपता है। तब f या तो शून्य है, या इसकी शक्ति श्रृंखला विस्तार में पहला गैर-शून्य शब्द है $$ax^{p^h}$$ कुछ गैर-नकारात्मक पूर्णांक h के लिए, जिसे समरूपता f की 'ऊंचाई' कहा जाता है। शून्य समरूपता की ऊंचाई ∞ के रूप में परिभाषित की गई है।

विशेषता p > 0 के क्षेत्र पर एक आयामी औपचारिक समूह कानून की 'ऊंचाई' को पी मानचित्र द्वारा इसके गुणन की ऊंचाई के रूप में परिभाषित किया गया है।

विशेषता p > 0 के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर दो एक-आयामी औपचारिक समूह कानून आइसोमोर्फिक हैं यदि और केवल तभी जब उनकी ऊंचाई समान हो, और ऊंचाई कोई भी सकारात्मक पूर्णांक या ∞ हो सकती है।

उदाहरण:
 * योगात्मक औपचारिक समूह कानून F(x,y) = x + y की ऊंचाई ∞ है, क्योंकि इसका pth पावर मैप 0 है।
 * गुणात्मक औपचारिक समूह कानून F(x,y) = x + y + xy की ऊंचाई 1 है, क्योंकि इसका pth पावर मैप (1 + x) हैp - 1 = xप.
 * अण्डाकार वक्र के औपचारिक समूह नियम की ऊंचाई या तो एक या दो होती है, यह इस पर निर्भर करता है कि वक्र सामान्य है या सुपरसिंगुलर। आइज़ेंस्टीन श्रृंखला के लुप्त होने से सुपरसिंग्युलैरिटी का पता लगाया जा सकता है $$E_{p-1}$$.

लेज़ार्ड रिंग
एक सार्वभौमिक क्रमविनिमेय वलय पर एक सार्वभौमिक क्रमविनिमेय औपचारिक समूह कानून है जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है। हम जाने


 * एफ(एक्स,वाई)

होना


 * x + y + Σci,j xमैंyज

अनिश्चित के लिए


 * सीi,j,

और हम सार्वभौमिक वलय R को तत्वों c द्वारा उत्पन्न क्रमविनिमेय वलय के रूप में परिभाषित करते हैंi,j, उन संबंधों के साथ जो औपचारिक समूह कानूनों के लिए साहचर्यता और क्रमविनिमेयता कानूनों द्वारा मजबूर हैं। परिभाषा के अनुसार कमोबेश, वलय R में निम्नलिखित सार्वभौमिक गुण हैं:
 * किसी भी क्रमविनिमेय वलय S के लिए, S पर एक-आयामी औपचारिक समूह कानून R से S तक वलय समरूपता के अनुरूप हैं।

ऊपर निर्मित क्रमविनिमेय वलय R को 'लेज़ार्ड की सार्वभौमिक वलय' के रूप में जाना जाता है। पहली नज़र में यह अविश्वसनीय रूप से जटिल लगता है: इसके जनरेटर के बीच संबंध बहुत गड़बड़ हैं। हालाँकि लैज़ार्ड ने साबित किया कि इसकी एक बहुत ही सरल संरचना है: यह डिग्री 2, 4, 6, ... (जहाँ ci,j डिग्री 2(i+j−1)) है। डेनियल क्विलेन ने असामान्य ग्रेडिंग की व्याख्या करते हुए साबित किया कि जटिल कोबॉर्डिज्म का गुणांक रिंग स्वाभाविक रूप से लैजार्ड की सार्वभौमिक रिंग के लिए एक ग्रेडेड रिंग के रूप में आइसोमोर्फिक है।

औपचारिक समूह
औपचारिक समूह औपचारिक योजनाओं की श्रेणी (गणित) में एक समूह वस्तु है।
 * अगर $$G$$ बीजगणित की कला से समूहों के लिए एक फ़नकार है जिसे सटीक फ़नकार छोड़ दिया जाता है, तो यह प्रतिनिधित्व योग्य है (जी एक औपचारिक समूह के बिंदुओं का फ़नकार है। (फ़नकार की बाईं सटीकता परिमित प्रक्षेप्य सीमाओं के साथ आने के बराबर है)।
 * अगर $$G$$ तो यह एक समूह योजना है $$ \widehat{G} $$, पहचान पर जी का औपचारिक समापन, एक औपचारिक समूह की संरचना है।
 * एक सुचारु समूह योजना का औपचारिक समापन समरूपी है $$\mathrm{Spf}(RT_1,\ldots,T_n)$$. कुछ लोग औपचारिक समूह योजना को सुचारू कहते हैं यदि इसका विपरीत प्रभाव पड़ता है; अन्य लोग इस रूप की स्थानीय वस्तुओं के लिए औपचारिक समूह शब्द को आरक्षित रखते हैं।
 * औपचारिक सहजता विकृतियों की लिफ्टों के अस्तित्व पर जोर देती है और उन औपचारिक योजनाओं पर लागू हो सकती है जो बिंदुओं से बड़ी हैं। एक सुचारु औपचारिक समूह योजना औपचारिक समूह योजना का एक विशेष मामला है।
 * एक सुचारू औपचारिक समूह को देखते हुए, कोई भी अनुभागों का एक समान सेट चुनकर एक औपचारिक समूह कानून और एक क्षेत्र का निर्माण कर सकता है।
 * मापदंडों के परिवर्तन से प्रेरित औपचारिक समूह कानूनों के बीच (गैर-सख्त) समरूपताएं औपचारिक समूह पर समन्वय परिवर्तन के समूह के तत्व बनाती हैं।

औपचारिक समूहों और औपचारिक समूह कानूनों को केवल क्रमविनिमेय रिंगों या क्षेत्रों के बजाय मनमानी योजना (गणित) पर भी परिभाषित किया जा सकता है, और परिवारों को आधार से पैरामीट्रिज़िंग ऑब्जेक्ट तक मानचित्रों द्वारा वर्गीकृत किया जा सकता है।

औपचारिक समूह कानूनों का मॉड्यूलि स्पेस अनंत-आयामी एफ़िन रिक्त स्थान का एक असंयुक्त संघ है, जिसके घटक आयाम द्वारा पैरामीट्रिज्ड होते हैं, और जिनके बिंदु पावर श्रृंखला 'एफ' के स्वीकार्य गुणांक द्वारा पैरामीट्रिज्ड होते हैं। सुचारू औपचारिक समूहों का संबंधित मॉड्यूलि स्टैक समन्वय परिवर्तनों के अनंत-आयामी समूह की विहित कार्रवाई द्वारा इस स्थान का एक भागफल है।

बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर, एक-आयामी औपचारिक समूहों का उप-स्टैक या तो एक बिंदु (विशेषता शून्य में) या स्टैकी पॉइंट पैरामीट्रिज़िंग ऊंचाइयों की एक अनंत श्रृंखला है। विशेषता शून्य में, प्रत्येक बिंदु के बंद होने में अधिक ऊंचाई के सभी बिंदु शामिल होते हैं। यह अंतर औपचारिक समूहों को सकारात्मक और मिश्रित विशेषता में एक समृद्ध ज्यामितीय सिद्धांत देता है, जिसमें स्टीनरोड बीजगणित, पी-विभाज्य समूह, डायडोने सिद्धांत और गैलोइस अभ्यावेदन के संबंध हैं। उदाहरण के लिए, सेरे-टेट प्रमेय का तात्पर्य है कि एक समूह योजना की विकृतियाँ उसके औपचारिक समूह द्वारा दृढ़ता से नियंत्रित की जाती हैं, विशेष रूप से सुपरसिंगुलर एबेलियन किस्म के मामले में। सुपरसिंगुलर अण्डाकार वक्रों के लिए, यह नियंत्रण पूर्ण है, और यह विशेषता शून्य स्थिति से काफी अलग है जहां औपचारिक समूह में कोई विकृति नहीं है।

एक औपचारिक समूह को कभी-कभी सह-विनिमेय हॉपफ बीजगणित के रूप में परिभाषित किया जाता है (आमतौर पर कुछ अतिरिक्त शर्तों को जोड़ा जाता है, जैसे इंगित किया जाना या जुड़ा होना)। यह उपरोक्त धारणा से कमोबेश दोहरा है। सहज मामले में, निर्देशांक चुनना औपचारिक समूह रिंग का विशिष्ट आधार लेने के बराबर है।

कुछ लेखक औपचारिक समूह शब्द का प्रयोग औपचारिक समूह कानून के अर्थ में करते हैं।

लुबिन-टेट औपचारिक समूह कानून
हमने Z को जाने दियाp p-adic पूर्णांकों का वलय बनें|p-adic पूर्णांकों का। 'लुबिन-टेट औपचारिक समूह कानून' अद्वितीय (1-आयामी) औपचारिक समूह कानून F है जैसे कि e(x) = px + xपीदूसरे शब्दों में, एफ का एक एंडोमोर्फिज्म है
 * $$e(F(x,y)) = F(e(x), e(y)).\ $$

अधिक आम तौर पर हम ई को किसी भी शक्ति श्रृंखला के रूप में अनुमति दे सकते हैं जैसे कि ई (एक्स) = पीएक्स + उच्च-डिग्री शब्द और ई (एक्स) = एक्सपीमॉड पी. इन शर्तों को पूरा करने वाले ई के विभिन्न विकल्पों के लिए सभी समूह कानून सख्ती से आइसोमोर्फिक हैं। 'Z' में प्रत्येक तत्व a के लिएp ल्यूबिन-टेट औपचारिक समूह कानून का एक अद्वितीय एंडोमोर्फिज्म एफ है जैसे कि एफ(एक्स) = कुल्हाड़ी + उच्च-डिग्री शब्द। यह वलय 'Z' की क्रिया देता हैp लुबिन-टेट औपचारिक समूह कानून पर।

Z के साथ एक समान निर्माण हैp मूल्यांकन के परिमित अवशेष क्षेत्र के साथ किसी भी पूर्ण असतत मूल्यांकन रिंग द्वारा प्रतिस्थापित। यह निर्माण किसके द्वारा शुरू किया गया था? , अण्डाकार कार्यों के जटिल गुणन के शास्त्रीय सिद्धांत के स्थानीय क्षेत्र भाग को अलग करने के सफल प्रयास में। यह स्थानीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत के कुछ दृष्टिकोणों में भी एक प्रमुख घटक है और रंगीन समरूपता सिद्धांत में मोरावा ई-सिद्धांत के निर्माण में एक आवश्यक घटक।

यह भी देखें

 * विट वेक्टर
 * आर्टिन-हस्से घातीय
 * ग्रुप फ़ैक्टर
 * अतिरिक्त प्रमेय

संदर्भ

 * P. Gabriel, Étude infinitésimale des schémas en groupes SGA 3 Exp. VIIB
 * Formal Groups and Applications (Pure and Applied Math 78) Michiel Hazewinkel Publisher: Academic Pr (June 1978) ISBN 0-12-335150-2
 * P. Gabriel, Étude infinitésimale des schémas en groupes SGA 3 Exp. VIIB
 * Formal Groups and Applications (Pure and Applied Math 78) Michiel Hazewinkel Publisher: Academic Pr (June 1978) ISBN 0-12-335150-2
 * P. Gabriel, Étude infinitésimale des schémas en groupes SGA 3 Exp. VIIB
 * Formal Groups and Applications (Pure and Applied Math 78) Michiel Hazewinkel Publisher: Academic Pr (June 1978) ISBN 0-12-335150-2

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