चिरसम्मत यांत्रिकी



'शास्त्रीय यांत्रिकी एक   भौतिक सिद्धांत  है जो   मैक्रोस्कोपिक  वस्तुओं के   गति  का वर्णन करता है,   प्रक्षेप्य  एस से    मशीनरी, और   खगोलीय वस्तुओं , जैसे   अंतरिक्ष यान  ,   ग्रह ,   तारे  सेकेंड और   आकाशगंगाएँ । शास्त्रीय यांत्रिकी द्वारा शासित वस्तुओं के लिए, यदि वर्तमान स्थिति ज्ञात है, तो यह भविष्यवाणी करना संभव है कि यह भविष्य (नियतत्ववाद) में कैसे आगे बढ़ेगा, और यह अतीत (प्रतिवर्तीता) में कैसे चला गया है।

शास्त्रीय यांत्रिकी के शुरुआती विकास को अक्सर  न्यूटनियन यांत्रिकी  के रूप में जाना जाता है। इसमें सर   आइजैक न्यूटन  के मूलभूत कार्यों के आधार पर भौतिक अवधारणाएं शामिल हैं, और   गॉटफ्रिड विल्हेम लिबनिज,   जोसेफ-लुई लैग्रेंज ,   लियोनहार्ड यूलर  और अन्य समकालीनों द्वारा आविष्कार किए गए गणितीय तरीकों को 17 वीं शताब्दी में शामिल किया गया था।   बल  एस की प्रणाली के प्रभाव में    निकायों  की गति का वर्णन करें। बाद में, अधिक सार विधियों को विकसित किया गया, जिससे शास्त्रीय यांत्रिकी के सुधारों को   लैग्रैंजियन यांत्रिकी  और   हैमिल्टनियन यांत्रिकी  के रूप में जाना जाता है। 18वीं और 19वीं शताब्दी में मुख्य रूप से की गई ये प्रगति, पहले के कार्यों से काफी आगे तक फैली हुई है, खासकर   विश्लेषणात्मक यांत्रिकी  के उनके उपयोग के माध्यम से। कुछ संशोधनों के साथ इनका उपयोग आधुनिक भौतिकी के सभी क्षेत्रों में भी किया जाता है।

शास्त्रीय यांत्रिकी बड़ी वस्तुओं का अध्ययन करते समय अत्यंत सटीक परिणाम प्रदान करता है जो बहुत बड़े पैमाने पर नहीं हैं और गति  प्रकाश की गति  के करीब नहीं आ रही है। जब जांच की जा रही वस्तुओं में एक परमाणु व्यास के आकार के बारे में होता है, तो   यांत्रिकी :   क्वांटम यांत्रिकी  के अन्य प्रमुख उप-क्षेत्र को पेश करना आवश्यक हो जाता है। उन वेगों का वर्णन करने के लिए जो प्रकाश की गति की तुलना में छोटे नहीं हैं,   विशेष सापेक्षता  की आवश्यकता है। ऐसे मामलों में जहां वस्तुएं अत्यधिक विशाल हो जाती हैं,   सामान्य सापेक्षता  लागू हो जाती है। हालांकि, कई आधुनिक स्रोतों में शास्त्रीय भौतिकी में   सापेक्षवादी यांत्रिकी  शामिल हैं, जो उनके विचार में शास्त्रीय यांत्रिकी को अपने सबसे विकसित और सटीक रूप में दर्शाता है।

सिद्धांत का विवरण
thumb|alt=परवलयिक प्रक्षेप्य गति का आरेख |  [[ प्रक्षेप्य गति  का विश्लेषण शास्त्रीय यांत्रिकी का एक हिस्सा है। ]] निम्नलिखित शास्त्रीय यांत्रिकी की बुनियादी अवधारणाओं का परिचय देता है। सादगी के लिए, यह अक्सर वास्तविक दुनिया की वस्तुओं को  बिंदु कण  एस (नगण्य आकार वाली वस्तुओं) के रूप में मॉडल करता है। एक बिंदु कण की गति को   पैरामीटर  एस की एक छोटी संख्या की विशेषता है: इसकी स्थिति,   द्रव्यमान, और   बल  एस उस पर लागू होता है। इनमें से प्रत्येक पैरामीटर पर बारी-बारी से चर्चा की जाती है।

वास्तव में, शास्त्रीय यांत्रिकी जिस तरह की वस्तुओं का वर्णन कर सकता है, उसका आकार हमेशा   गैर-शून्य  होता है। ('बहुत'' छोटे कणों की भौतिकी, जैसे कि   इलेक्ट्रॉन,   क्वांटम यांत्रिकी  द्वारा अधिक सटीक रूप से वर्णित है।) गैर-शून्य आकार वाली वस्तुओं में अतिरिक्त    स्वतंत्रता की डिग्री , उदाहरण के लिए, एक    बेसबॉल     स्पिन  जब यह चलती है। हालांकि, बिंदु कणों के परिणामों का उपयोग ऐसी वस्तुओं का अध्ययन करने के लिए    मिश्रित  वस्तुओं के रूप में किया जा सकता है, जो सामूहिक रूप से अभिनय बिंदु कणों की एक बड़ी संख्या से बना है। एक मिश्रित वस्तु का द्रव्यमान ]] का  [[ केंद्र एक बिंदु कण की तरह व्यवहार करता है।

शास्त्रीय यांत्रिकी  सामान्य ज्ञान  धारणाओं का उपयोग करता है कि कैसे पदार्थ और बल मौजूद हैं और बातचीत करते हैं। यह मानता है कि पदार्थ और ऊर्जा में निश्चित, जानने योग्य गुण होते हैं जैसे कि स्थान और गति में स्थान। गैर-सापेक्ष यांत्रिकी यह भी मानता है कि बल तुरंत कार्य करते हैं (  की दूरी  पर भी देखें)।

स्थिति और उसके डेरिवेटिव
बिंदु कण की 'स्थिति' को  समन्वय प्रणाली के संबंध में परिभाषित किया गया है जो   अंतरिक्ष में एक मनमाना निश्चित संदर्भ बिंदु पर केंद्रित है जिसे मूल 'ओ' कहा जाता है। एक साधारण समन्वय प्रणाली एक   कण पी' की स्थिति का वर्णन कर सकती है जिसमें    वेक्टर के साथ r लेबल वाले तीर द्वारा इंगित किया गया है जो मूल 'ओ' से बिंदु तक इंगित करता है। पी। सामान्य तौर पर, बिंदु कण को ​​'ओ' के सापेक्ष स्थिर होने की आवश्यकता नहीं होती है। ऐसे मामलों में जहां P O के सापेक्ष गति कर रहा है, r को t,   बार के एक फलन के रूप में परिभाषित किया गया है। पूर्व-आइंस्टीन सापेक्षता (  गैलीलियन सापेक्षता के रूप में जाना जाता है) में, समय को एक निरपेक्ष माना जाता है, अर्थात,   समय अंतराल जो किसी भी दी गई घटनाओं के बीच समाप्त होने के लिए मनाया जाता है, सभी पर्यवेक्षकों के लिए समान है   पूर्ण समय पर भरोसा करने के अलावा, शास्त्रीय यांत्रिकी अंतरिक्ष की संरचना के लिए   यूक्लिडियन ज्यामिति मानता है

वेग और गति
 वेग , या समय के साथ विस्थापन के ]] परिवर्तन की    दर को समय के संबंध में स्थिति के  [[ व्युत्पन्न  के रूप में परिभाषित किया गया है:$$\mathbf{v} = {\mathrm{d}\mathbf{r} \over \mathrm{d}t}\,\!$$.

शास्त्रीय यांत्रिकी में, वेग सीधे योगात्मक और घटाव होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि एक कार 60 किमी/घंटा की गति से पूर्व की ओर चलती है और 50 किमी/घंटा की गति से उसी दिशा में यात्रा कर रही दूसरी कार को पास करती है, तो धीमी कार तेज कार को पूर्व की ओर यात्रा करती हुई मानती है। 60 − 50 = 10 किमी/घंटा। हालांकि, तेज कार के दृष्टिकोण से, धीमी कार पश्चिम की ओर 10 किमी/घंटा की गति से बढ़ रही है, जिसे अक्सर -10 किमी/घंटा के रूप में दर्शाया जाता है जहां i का चिह्न होता है।विपरीत दिशा में होता है। वेग   वेक्टर मात्रा ; उन्हें   वेक्टर विश्लेषण  का उपयोग करके निपटाया जाना चाहिए।

गणितीय रूप से, यदि पिछली चर्चा में पहली वस्तु का वेग वेक्टर द्वारा दर्शाया गया है और सदिश द्वारा दूसरी वस्तु का वेग, जहां u पहली वस्तु की गति है, v दूसरी वस्तु की गति है, और d और e   इकाई सदिश हैं  s क्रमशः प्रत्येक वस्तु की गति की दिशा में, तो दूसरी वस्तु द्वारा देखी गई पहली वस्तु का वेग है:$$\mathbf{u}' = \mathbf{u} - \mathbf{v} \, .$$

इसी प्रकार, पहली वस्तु दूसरी वस्तु के वेग को इस प्रकार देखती है:$$\mathbf{v'}= \mathbf{v} - \mathbf{u} \, .$$

जब दोनों वस्तुएँ एक ही दिशा में चल रही हों, तो इस समीकरण को सरल बनाया जा सकता है:$$\mathbf{u}' = ( u - v ) \mathbf{d} \, .$$

या, दिशा की अनदेखी करके, अंतर केवल गति के संदर्भ में दिया जा सकता है:$$u' = u - v \, .$$

त्वरण
 त्वरण , या वेग के परिवर्तन की दर, समय के संबंध में वेग का   व्युत्पन्न  है (समय के संबंध में स्थिति का    सेकंड व्युत्पन्न ):$$\mathbf{a} = {\mathrm{d}\mathbf{v} \over \mathrm{d}t} = {\mathrm{d^2}\mathbf{r} \over \mathrm{d}t^2}.$$

त्वरण समय के साथ वेग के परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। वेग या तो परिमाण या दिशा, या दोनों में बदल सकता है। कभी-कभी, वेग v के परिमाण में कमी को मंदी के रूप में संदर्भित किया जाता है, लेकिन आम तौर पर समय के साथ वेग में कोई भी परिवर्तन, जिसमें मंदी भी शामिल है, को केवल त्वरण के रूप में जाना जाता है।

संदर्भ के फ्रेम
जबकि  कण  की स्थिति, वेग और त्वरण को किसी भी    पर्यवेक्षक  के संबंध में गति के किसी भी राज्य में वर्णित किया जा सकता है, शास्त्रीय यांत्रिकी    संदर्भ के एक विशेष परिवार के अस्तित्व को मानता है। फ्रेम  जिसमें प्रकृति के यांत्रिक नियम तुलनात्मक रूप से सरल रूप लेते हैं। इन विशेष संदर्भ फ़्रेमों को   जड़त्वीय फ़्रेम  कहा जाता है। एक जड़त्वीय फ्रेम संदर्भ का एक आदर्श फ्रेम है जिसके भीतर किसी वस्तु पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है। चूँकि उस पर कोई बाह्य बल कार्य नहीं कर रहा है, इसलिए वस्तु का वेग स्थिर रहता है; अर्थात् यह या तो विरामावस्था में है या एक सीधी रेखा में एकसमान गति कर रहा है।

जड़त्वीय फ्रेम की एक प्रमुख अवधारणा उन्हें पहचानने की विधि है। व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, संदर्भ फ्रेम जो   दूर के सितारों  (एक अत्यंत दूर बिंदु) के संबंध में तेजी से नहीं बढ़ते हैं, उन्हें जड़त्वीय फ्रेम के लिए अच्छा अनुमान माना जाता है।   गैर-जड़ता संदर्भ फ्रेम  एस मौजूदा जड़त्वीय फ्रेम के संबंध में तेजी लाता है। वे आइंस्टीन की सापेक्षता का आधार बनाते हैं। सापेक्ष गति के कारण, गैर-जड़त्वीय फ्रेम में कण संदर्भ फ्रेम में मौजूदा क्षेत्रों से बलों द्वारा स्पष्ट नहीं किए गए तरीकों से चलते प्रतीत होते हैं। इसलिए, ऐसा प्रतीत होता है कि अन्य बल हैं जो केवल सापेक्ष त्वरण के परिणामस्वरूप गति के समीकरणों में प्रवेश करते हैं। इन बलों को   काल्पनिक बल  एस, जड़त्व बल या छद्म बल कहा जाता है।

दो  संदर्भ फ़्रेम  S और S' पर विचार करें। प्रत्येक संदर्भ फ्रेम में पर्यवेक्षकों के लिए एक घटना में (x,y, z,t) फ्रेम S और ( x', y' , z' , t' ) फ्रेम में S' >. मान लें कि समय सभी संदर्भ फ़्रेमों में समान रूप से मापा जाता है, और यदि हमें आवश्यकता होती है जब, फिर संदर्भ फ्रेम से देखे गए उसी घटना के स्पेस-टाइम निर्देशांक के बीच संबंध S' and S, जो u के सापेक्ष वेग से x दिशा में गति कर रहा है, वह है:$$x' = x - u t \,$$ $$y' = y \,$$ $$z' = z \,$$ $$t' = t \, .$$

सूत्रों का यह सेट  समूह परिवर्तन  को परिभाषित करता है जिसे   गैलीलियन परिवर्तन  (अनौपचारिक रूप से, गैलीलियन रूपांतरण) के रूप में जाना जाता है। यह समूह   विशेष सापेक्षता  में प्रयुक्त   पोंकारे समूह  का एक सीमित मामला है। सीमित स्थिति तब लागू होती है जब 'u' का वेग c, प्रकाश की   गति  की तुलना में बहुत छोटा होता है।

परिवर्तनों के निम्नलिखित परिणाम हैं:
 * v′ = v - u ('S के दृष्टिकोण से एक कण का वेग v′ अपने वेग v से u' से धीमा है। 'एस)
 * a′ = a (किसी भी जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में कण का त्वरण समान होता है)
 * F′ = F (किसी भी जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में एक कण पर बल समान होता है)
 * प्रकाश की  गति  शास्त्रीय यांत्रिकी में स्थिर नहीं है, न ही   सापेक्षवादी यांत्रिकी  में प्रकाश की गति को दी गई विशेष स्थिति शास्त्रीय यांत्रिकी में एक समकक्ष है।

कुछ समस्याओं के लिए, घूर्णन निर्देशांक (संदर्भ फ़्रेम) का उपयोग करना सुविधाजनक है। इस प्रकार कोई भी एक सुविधाजनक जड़त्वीय फ्रेम के लिए मैपिंग रख सकता है, या अतिरिक्त रूप से एक काल्पनिक   केन्द्रापसारक बल  और   कोरिओलिस बल  पेश कर सकता है।

वेग और गति
 वेग , या समय के साथ विस्थापन के ]] परिवर्तन की    दर को समय के संबंध में स्थिति के  [[ व्युत्पन्न  के रूप में परिभाषित किया गया है:$$\mathbf{v} = {\mathrm{d}\mathbf{r} \over \mathrm{d}t}\,\!$$.

शास्त्रीय यांत्रिकी में, वेग सीधे योगात्मक और घटाव होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि एक कार 60 किमी/घंटा की गति से पूर्व की ओर चलती है और 50 किमी/घंटा की गति से उसी दिशा में यात्रा कर रही दूसरी कार को पास करती है, तो धीमी कार तेज कार को पूर्व की ओर यात्रा करती हुई मानती है। 60 − 50 = 10 किमी/घंटा। हालांकि, तेज कार के दृष्टिकोण से, धीमी कार 10 किमी/घंटा पश्चिम की ओर बढ़ रही है, जिसे अक्सर -10 किमी/घंटा के रूप में दर्शाया जाता है जहां संकेत विपरीत दिशा को दर्शाता है। वेग   वेक्टर मात्रा ; उन्हें   वेक्टर विश्लेषण  का उपयोग करके निपटाया जाना चाहिए।

गणितीय रूप से, यदि पिछली चर्चा में पहली वस्तु का वेग वेक्टर द्वारा दर्शाया गया है और सदिश द्वारा दूसरी वस्तु का वेग, जहां u पहली वस्तु की गति है, v दूसरी वस्तु की गति है, और d और e   इकाई सदिश हैं  s क्रमशः प्रत्येक वस्तु की गति की दिशा में, तो दूसरी वस्तु द्वारा देखी गई पहली वस्तु का वेग है:$$\mathbf{u}' = \mathbf{u} - \mathbf{v} \, .$$

इसी प्रकार, पहली वस्तु दूसरी वस्तु के वेग को इस प्रकार देखती है:$$\mathbf{v'}= \mathbf{v} - \mathbf{u} \, .$$

जब दोनों वस्तुएँ एक ही दिशा में गतिमान हों, तो इस समीकरण को सरल बनाया जा सकता है:$$\mathbf{u}' = ( u - v ) \mathbf{d} \, .$$

या, दिशा की अनदेखी करके, अंतर केवल गति के संदर्भ में दिया जा सकता है:$$u' = u - v \, .$$

त्वरण
 त्वरण , या वेग के परिवर्तन की दर, समय के संबंध में वेग का   व्युत्पन्न  है (समय के संबंध में स्थिति का    सेकंड व्युत्पन्न ):$$\mathbf{a} = {\mathrm{d}\mathbf{v} \over \mathrm{d}t} = {\mathrm{d^2}\mathbf{r} \over \mathrm{d}t^2}.$$

त्वरण समय के साथ वेग के परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। वेग या तो परिमाण या दिशा, या दोनों में बदल सकता है। कभी-कभी, वेग v के परिमाण में कमी को मंदी के रूप में संदर्भित किया जाता है, लेकिन आम तौर पर समय के साथ वेग में कोई भी परिवर्तन, जिसमें मंदी भी शामिल है, को केवल त्वरण के रूप में जाना जाता है।

संदर्भ के फ्रेम
जबकि  कण  की स्थिति, वेग और त्वरण को किसी भी    पर्यवेक्षक  के संबंध में गति के किसी भी राज्य में वर्णित किया जा सकता है, शास्त्रीय यांत्रिकी    संदर्भ के एक विशेष परिवार के अस्तित्व को मानता है। फ्रेम  जिसमें प्रकृति के यांत्रिक नियम तुलनात्मक रूप से सरल रूप लेते हैं। इन विशेष संदर्भ फ़्रेमों को   जड़त्वीय फ़्रेम  कहा जाता है। एक जड़त्वीय फ्रेम संदर्भ का एक आदर्श फ्रेम है जिसके भीतर किसी वस्तु पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है। चूँकि उस पर कोई बाह्य बल कार्य नहीं कर रहा है, इसलिए वस्तु का वेग स्थिर रहता है; अर्थात् यह या तो विरामावस्था में है या एक सीधी रेखा में एकसमान गति कर रहा है।

जड़त्वीय फ्रेम की एक प्रमुख अवधारणा उन्हें पहचानने की विधि है। व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, संदर्भ फ्रेम जो   दूर के सितारों  (एक अत्यंत दूर बिंदु) के संबंध में तेजी से नहीं बढ़ते हैं, उन्हें जड़त्वीय फ्रेम के लिए अच्छा अनुमान माना जाता है।   गैर-जड़ता संदर्भ फ्रेम  एस मौजूदा जड़त्वीय फ्रेम के संबंध में तेजी लाता है। वे आइंस्टीन की सापेक्षता का आधार बनाते हैं। सापेक्ष गति के कारण, गैर-जड़त्वीय फ्रेम में कण संदर्भ फ्रेम में मौजूदा क्षेत्रों से बलों द्वारा स्पष्ट नहीं किए गए तरीकों से चलते प्रतीत होते हैं। इसलिए, ऐसा प्रतीत होता है कि अन्य बल हैं जो केवल सापेक्ष त्वरण के परिणामस्वरूप गति के समीकरणों में प्रवेश करते हैं। इन बलों को   काल्पनिक बल  एस, जड़त्व बल या छद्म बल कहा जाता है।

दो  संदर्भ फ़्रेम  S और S' पर विचार करें। प्रत्येक संदर्भ फ्रेम में पर्यवेक्षकों के लिए एक घटना में (x,y, z,t) फ्रेम S और ( x', y' , z' , t' ) फ्रेम में S' >. मान लें कि समय सभी संदर्भ फ़्रेमों में समान रूप से मापा जाता है, और यदि हमें आवश्यकता होती है जब, फिर संदर्भ फ्रेम S' और S से देखे गए समान घटना के स्पेस-टाइम निर्देशांक के बीच संबंध, जो u' के सापेक्ष वेग से आगे बढ़ रहे हैं ' 'x दिशा में है:$$x' = x - u t \,$$ $$y' = y \,$$ $$z' = z \,$$ $$t' = t \, .$$

सूत्रों का यह सेट  समूह परिवर्तन  को परिभाषित करता है जिसे   गैलीलियन परिवर्तन  (अनौपचारिक रूप से, गैलीलियन रूपांतरण) के रूप में जाना जाता है। यह समूह   विशेष सापेक्षता  में प्रयुक्त   पोंकारे समूह  का एक सीमित मामला है। सीमित स्थिति तब लागू होती है जब 'u' का वेग c, प्रकाश की   गति  की तुलना में बहुत छोटा होता है।

परिवर्तनों के निम्नलिखित परिणाम हैं:
 * v′ = v - u ('S के दृष्टिकोण से एक कण का वेग v′ अपने वेग v से u' से धीमा है। 'एस)
 * a′ = a (किसी भी जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में कण का त्वरण समान होता है)
 * F′ = F (किसी भी जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में एक कण पर बल समान होता है)
 * प्रकाश की  गति  शास्त्रीय यांत्रिकी में स्थिर नहीं है, न ही   सापेक्षवादी यांत्रिकी  में प्रकाश की गति को दी गई विशेष स्थिति शास्त्रीय यांत्रिकी में एक समकक्ष है।

कुछ समस्याओं के लिए, घूर्णन निर्देशांक (संदर्भ फ़्रेम) का उपयोग करना सुविधाजनक है। इस प्रकार कोई भी एक सुविधाजनक जड़त्वीय फ्रेम के लिए मैपिंग रख सकता है, या अतिरिक्त रूप से एक काल्पनिक   केन्द्रापसारक बल  और   कोरिओलिस बल  पेश कर सकता है।

बल और न्यूटन का दूसरा नियम
भौतिकी में एक बल कोई भी क्रिया है जो किसी वस्तु के वेग को बदलने का कारण बनती है; यानी तेज करना। एक बल एक   क्षेत्र  के भीतर से उत्पन्न होता है, जैसे कि विद्युत-स्थैतिक क्षेत्र (स्थिर विद्युत आवेशों के कारण), विद्युत-चुंबकीय क्षेत्र (चलती आवेशों के कारण), या गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र (द्रव्यमान के कारण), दूसरों के बीच में।

न्यूटन पहला व्यक्ति था जिसने   बल  और   संवेग  के बीच संबंध को गणितीय रूप से व्यक्त किया। कुछ भौतिक विज्ञानी    न्यूटन के गति के दूसरे नियम  को बल और द्रव्यमान की परिभाषा के रूप में व्याख्यायित करते हैं, जबकि अन्य इसे एक मौलिक अभिधारणा, प्रकृति का एक नियम मानते हैं। या तो व्याख्या के समान गणितीय परिणाम होते हैं, जिसे ऐतिहासिक रूप से न्यूटन के दूसरे नियम के रूप में जाना जाता है:$$\mathbf{F} = {\mathrm{d}\mathbf{p} \over \mathrm{d}t} = {\mathrm{d}(m \mathbf{v}) \over \mathrm{d}t}.$$

मात्रा mv को (  विहित  )   संवेग  कहा जाता है। इस प्रकार किसी कण पर लगने वाला नेट बल समय के साथ कण के संवेग में परिवर्तन की दर के बराबर होता है। चूंकि त्वरण की परिभाषा है, दूसरे नियम को सरल और अधिक परिचित रूप में लिखा जा सकता है:$$\mathbf{F} = m \mathbf{a} \, .$$

जब तक किसी कण पर लगने वाला बल ज्ञात है, तब तक न्यूटन का द्वितीय नियम कण की गति का वर्णन करने के लिए पर्याप्त है। एक बार कण पर कार्य करने वाले प्रत्येक बल के लिए स्वतंत्र संबंध उपलब्ध हो जाने पर, उन्हें न्यूटन के दूसरे नियम में प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जिससे  साधारण अंतर समीकरण  प्राप्त होता है, जिसे गति का समीकरण कहा जाता है।

एक उदाहरण के रूप में, मान लें कि घर्षण कण पर अभिनय करने वाला एकमात्र बल है, और इसे कण के वेग के एक कार्य के रूप में तैयार किया जा सकता है, उदाहरण के लिए:$$\mathbf{F}_{\rm R} = - \lambda \mathbf{v} \, ,$$

जहाँ λ एक धनात्मक नियतांक है, ऋणात्मक चिन्ह बताता है कि बल वेग के बोध के विपरीत है। तब गति का समीकरण है$$- \lambda \mathbf{v} = m \mathbf{a} = m {\mathrm{d}\mathbf{v} \over \mathrm{d}t} \, .$$

यह प्राप्त करने के लिए   एकीकृत  हो सकता है$$\mathbf{v} = \mathbf{v}_0 e^{{-\lambda t}/{m}}$$

जहां v0 प्रारंभिक वेग है। इसका अर्थ यह हुआ कि इस कण का वेग   समय के साथ-साथ घातांकीय रूप से  से शून्य हो जाता है। इस मामले में, एक समान दृष्टिकोण यह है कि कण की गतिज ऊर्जा घर्षण द्वारा अवशोषित होती है (जो इसे   ऊर्जा  के संरक्षण के अनुसार गर्मी ऊर्जा में परिवर्तित करती है), और कण धीमा हो रहा है। समय के एक फलन के रूप में कण की स्थिति  r  प्राप्त करने के लिए इस अभिव्यक्ति को और एकीकृत किया जा सकता है।

महत्वपूर्ण बलों में   गुरुत्वाकर्षण बल  और   लोरेंत्ज़ बल    विद्युत चुंबकत्व  के लिए शामिल हैं। इसके अलावा,   न्यूटन के तीसरे नियम  का उपयोग कभी-कभी एक कण पर कार्य करने वाले बलों को निकालने के लिए किया जा सकता है: यदि यह ज्ञात है कि कण ए दूसरे कण बी पर  एफ एक बल लगाता है, तो यह इस प्रकार है कि B को A पर बराबर और विपरीत प्रतिक्रिया बल, -F लगाना चाहिए। न्यूटन के तीसरे नियम के मजबूत रूप के लिए आवश्यक है कि F और −F A और B को जोड़ने वाली रेखा के साथ-साथ कार्य करें, जबकि कमजोर रूप ऐसा नहीं करता है। न्यूटन के तीसरे नियम के कमजोर रूप के उदाहरण अक्सर चुंबकीय बलों के लिए पाए जाते हैं

कार्य और ऊर्जा
यदि एक स्थिर बल F एक कण पर लगाया जाता है जो r. का विस्थापन करता है बल द्वारा किए गए कार्य को बल और विस्थापन सदिशों के  अदिश गुणनफल  के रूप में परिभाषित किया गया है:
 * $$W = \mathbf{F} \cdot \Delta \mathbf{r} \, .$$

अधिक सामान्यतः, यदि बल 'सी' पथ के साथ r1 से r2 तक जाने पर स्थिति के एक फलन के रूप में बदलता रहता है, तो कण पर किया गया कार्य  लाइन इंटीग्रल. द्वारा दिया गया है
 * $$W = \int_C \mathbf{F}(\mathbf{r}) \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} \, .$$

यदि कण को ​​r1 से r2 तक ले जाने में किया गया कार्य समान हो, चाहे कोई भी रास्ता अपनाया जाए, बल को   रूढ़िवादी ।   गुरुत्वाकर्षण  एक रूढ़िवादी बल है, जैसा कि एक आदर्श    वसंत  के कारण बल है, जैसा कि   हुक के नियम  द्वारा दिया गया है।   घर्षण  के कारण लगने वाला बल गैर-रूढ़िवादी है।

गतिज ऊर्जा Ek द्रव्यमान के एक कण m की गति v से चल रही है, किसके द्वारा दी गई है
 * $$E_\mathrm{k} = \tfrac{1}{2}mv^2 \, .$$

कई कणों से बनी विस्तारित वस्तुओं के लिए, समग्र शरीर की गतिज ऊर्जा कणों की गतिज ऊर्जाओं का योग होती है।

कार्य-ऊर्जा प्रमेय में कहा गया है कि स्थिर द्रव्यमान m के एक कण के लिए, कण पर किया गया कुल कार्य W स्थिति r1 से आगे बढ़ने पर कण पर किया जाता है। r2 कण की   गतिज ऊर्जा  Ek में परिवर्तन के बराबर है:$$W = \Delta E_\mathrm{k} = E_\mathrm{k_2} - E_\mathrm{k_1} = \tfrac{1}{2} m \left(v_2^{\, 2} - v_1^{\, 2}\right) .$$

रूढ़िवादी बलों को एक अदिश फलन के  ग्रेडिएंट  के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसे   संभावित ऊर्जा  के रूप में जाना जाता है और इसे Ep के रूप में दर्शाया जाता है:
 * $$\mathbf{F} = - \mathbf{\nabla} E_\mathrm{p} \, .$$

यदि एक कण पर कार्य करने वाले सभी बल रूढ़िवादी हैं, और Ep कुल संभावित ऊर्जा है (जिसे निकायों की पारस्परिक स्थिति को पुनर्व्यवस्थित करने के लिए शामिल बलों के कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है), द्वारा प्राप्त किया गया है प्रत्येक बल के अनुरूप संभावित ऊर्जाओं का योग
 * $$\mathbf{F} \cdot \Delta \mathbf{r} = - \mathbf{\nabla} E_\mathrm{p} \cdot \Delta \mathbf{r} = - \Delta E_\mathrm{p} \, .$$

स्थितिज ऊर्जा में कमी गतिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होती है
 * $$-\Delta E_\mathrm{p} = \Delta E_\mathrm{k} \Rightarrow \Delta (E_\mathrm{k} + E_\mathrm{p}) = 0 \, .$$

इस परिणाम को ऊर्जा के संरक्षण के रूप में जाना जाता है और बताता है कि कुल  ऊर्जा ,
 * $$\sum E = E_\mathrm{k} + E_\mathrm{p} \, ,$$

समय में स्थिर है। यह अक्सर उपयोगी होता है, क्योंकि आम तौर पर सामना की जाने वाली कई ताकतें रूढ़िवादी होती हैं।

न्यूटन के नियमों से परे
शास्त्रीय यांत्रिकी विस्तारित गैर-बिंदु जैसी वस्तुओं के अधिक जटिल गतियों का भी वर्णन करता है।  यूलर के नियम  इस क्षेत्र में न्यूटन के नियमों का विस्तार प्रदान करते हैं।   कोणीय गति  की अवधारणाएँ उसी   कलन  पर निर्भर करती हैं जिसका उपयोग एक-आयामी गति का वर्णन करने के लिए किया जाता है।   रॉकेट समीकरण  किसी वस्तु के संवेग में परिवर्तन की दर की धारणा का विस्तार करता है ताकि द्रव्यमान खोने वाली वस्तु के प्रभावों को शामिल किया जा सके। (ये सामान्यीकरण/विस्तार न्यूटन के नियमों से प्राप्त होते हैं, कहते हैं, एक ठोस शरीर को बिंदुओं के संग्रह में विघटित करके।)

शास्त्रीय यांत्रिकी के दो महत्वपूर्ण वैकल्पिक सूत्र हैं:  लैग्रेंजियन यांत्रिकी  और   हैमिल्टनियन यांत्रिकी । ये, और अन्य आधुनिक फॉर्मूलेशन, आमतौर पर   सामान्यीकृत निर्देशांक  में यांत्रिक प्रणालियों का वर्णन करने के लिए ऊर्जा, गति और गति जैसे अन्य भौतिक मात्राओं का जिक्र करने के बजाय बल की अवधारणा को बाईपास करते हैं। ये मूल रूप से न्यूटन के नियमों का गणितीय पुनर्लेखन हैं, लेकिन जटिल यांत्रिक समस्याओं को इन रूपों में हल करना बहुत आसान है। इसके अलावा, हैमिल्टनियन औपचारिकता में क्वांटम यांत्रिकी के साथ सादृश्य अधिक स्पष्ट है।

संवेग और गतिज ऊर्जा के लिए ऊपर दिए गए व्यंजक केवल तभी मान्य होते हैं जब कोई महत्वपूर्ण विद्युत चुम्बकीय योगदान न हो। विद्युत चुम्बकत्व में, विद्युत धारावाही तारों के लिए न्यूटन का दूसरा नियम तब तक टूट जाता है जब तक कि सिस्टम की गति में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का योगदान शामिल नहीं हो जाता है, जैसा कि  पॉयिंग वेक्टर  द्वारा व्यक्त किया गया है, जिसे c2 से विभाजित किया गया है, जहाँ c मुक्त स्थान में   प्रकाश की गति  है।

वैधता की सीमा
शास्त्रीय यांत्रिकी की कई शाखाएँ अधिक सटीक रूपों का सरलीकरण या सन्निकटन हैं; दो सबसे सटीक  सामान्य सापेक्षता  और सापेक्षतावादी   सांख्यिकीय यांत्रिकी  हैं।   जियोमेट्रिक ऑप्टिक्स,    क्वांटम थ्योरी ऑफ़ लाइट  का एक सन्निकटन है, और इसका कोई श्रेष्ठ शास्त्रीय रूप नहीं है।

जब क्वांटम यांत्रिकी और शास्त्रीय यांत्रिकी दोनों लागू नहीं हो सकते हैं, जैसे कि क्वांटम स्तर पर स्वतंत्रता की कई डिग्री के साथ,  क्वांटम फील्ड सिद्धांत  (क्यूएफटी) उपयोग में है। QFT छोटी दूरी, और बड़ी गति के साथ कई डिग्री की स्वतंत्रता के साथ-साथ बातचीत के दौरान कणों की संख्या में किसी भी बदलाव की संभावना से संबंधित है। मैक्रोस्कोपिक स्तर पर बड़ी मात्रा में स्वतंत्रता का इलाज करते समय,   सांख्यिकीय यांत्रिकी  उपयोगी हो जाता है। सांख्यिकीय यांत्रिकी स्थूल स्तर पर कणों की बड़ी (लेकिन गणनीय) संख्याओं के व्यवहार और समग्र रूप से उनकी बातचीत का वर्णन करता है। सांख्यिकीय यांत्रिकी मुख्य रूप से   ऊष्मप्रवैगिकी  में उन प्रणालियों के लिए उपयोग किया जाता है जो शास्त्रीय थर्मोडायनामिक्स की मान्यताओं की सीमा से बाहर हैं। उच्च   वेग  वस्तुओं के प्रकाश की गति के करीब पहुंचने के मामले में, शास्त्रीय यांत्रिकी को   विशेष सापेक्षता  द्वारा बढ़ाया जाता है। यदि वस्तुएं अत्यधिक भारी हो जाती हैं (अर्थात, उनका   श्वार्ज़स्चिल्ड त्रिज्या  किसी दिए गए अनुप्रयोग के लिए नगण्य रूप से छोटा नहीं है),   न्यूटनियन यांत्रिकी  से विचलन स्पष्ट हो जाते हैं और   पैरामीटरयुक्त पोस्ट-न्यूटनियन औपचारिकता  का उपयोग करके मात्रा निर्धारित की जा सकती है। उस स्थिति में,   सामान्य सापेक्षता  (GR) लागू हो जाती है। हालांकि, अब तक   क्वांटम ग्रेविटी  का जीआर और क्यूएफटी को एकीकृत करने का कोई सिद्धांत इस अर्थ में नहीं है कि इसका उपयोग तब किया जा सकता है जब वस्तुएं बहुत छोटी और भारी हो जाती हैं। ]] ]   [5 ]

विशेष सापेक्षता के लिए न्यूटोनियन सन्निकटन
विशेष सापेक्षता में, एक कण का संवेग किसके द्वारा दिया जाता है$$\mathbf{p} = \frac{m \mathbf{v}}{ \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \, ,$$ जहाँ m कण का विराम द्रव्यमान है, v इसका वेग है, v v का मापांक है, और c प्रकाश की गति है।

अगर v c की तुलना में बहुत छोटा है, v2/c2 लगभग शून्य है, और इसलिए$$\mathbf{p} \approx m\mathbf{v} \, .$$ इस प्रकार न्यूटनियन समीकरण प्रकाश की गति की तुलना में कम गति से गतिमान पिंडों के लिए आपेक्षिक समीकरण का एक सन्निकटन है।

उदाहरण के लिए,  साइक्लोट्रॉन,   जाइरोट्रॉन , या उच्च वोल्टेज   मैग्नेट्रोन  की आपेक्षिक साइक्लोट्रॉन आवृत्ति किसके द्वारा दी गई है$$f = f_\mathrm{c}\frac{m_0}{m_0 + \frac{T}{c^2}} \, ,$$ जहां fc गतिज ऊर्जा T और (  शेष  ) द्रव्यमान m वाले इलेक्ट्रॉन (या अन्य आवेशित कण) की शास्त्रीय आवृत्ति है। 0 चुंबकीय क्षेत्र में चक्कर लगा रहा है। एक इलेक्ट्रॉन का (बाकी) द्रव्यमान 511 keV है। तो आवृत्ति सुधार एक चुंबकीय वैक्यूम ट्यूब के लिए एक 5.11 kV प्रत्यक्ष वर्तमान त्वरित वोल्टेज के साथ 1% है।

क्वांटम यांत्रिकी का शास्त्रीय सन्निकटन
शास्त्रीय यांत्रिकी का किरण सन्निकटन तब टूट जाता है जब  डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य  सिस्टम के अन्य आयामों से बहुत छोटा नहीं होता है। गैर-सापेक्ष कणों के लिए, यह तरंग दैर्ध्य है$$\lambda=\frac{h}{p}$$

जहाँ h  प्लांक नियतांक  है और p संवेग है।

फिर, यह  इलेक्ट्रॉनों  के साथ भारी कणों के साथ होने से पहले होता है। उदाहरण के लिए, 1927 में   क्लिंटन डेविसन  और   लेस्टर जर्मर  द्वारा उपयोग किए गए इलेक्ट्रॉनों, 54 वी द्वारा त्वरित, की तरंग दैर्ध्य 0.167 एनएम थी, जो कि एक   विवर्तन    साइड लोब  को प्रदर्शित करने के लिए काफी लंबा था। निकेल   क्रिस्टल  का चेहरा 0.215 एनएम के परमाणु अंतर के साथ। एक बड़े   निर्वात कक्ष  के साथ,   कोणीय संकल्प  को एक रेडियन से   मिलीरेडियन  तक बढ़ाना और   एकीकृत सर्किट  कंप्यूटर मेमोरी के आवधिक पैटर्न से क्वांटम विवर्तन देखना अपेक्षाकृत आसान प्रतीत होगा।

एक इंजीनियरिंग पैमाने पर शास्त्रीय यांत्रिकी की विफलता के अधिक व्यावहारिक उदाहरण  क्वांटम टनलिंग  द्वारा   सुरंग डायोड  एस और बहुत संकीर्ण   ट्रांजिस्टर     गेट    एकीकृत सर्किट  एस में चालन हैं।

शास्त्रीय यांत्रिकी एक ही चरम  उच्च आवृत्ति सन्निकटन    ज्यामितीय प्रकाशिकी  के रूप में है। यह अधिक बार सटीक होता है क्योंकि यह   शेष द्रव्यमान  के साथ कणों और निकायों का वर्णन करता है। इनका संवेग अधिक होता है और इसलिए समान गतिज ऊर्जा वाले प्रकाश जैसे द्रव्यमान रहित कणों की तुलना में डी ब्रोगली तरंगदैर्घ्य कम होते हैं।

इतिहास
पिंडों की गति का अध्ययन एक प्राचीन है, जो शास्त्रीय यांत्रिकी को  विज्ञान,   इंजीनियरिंग  और   प्रौद्योगिकी  में सबसे पुराने और सबसे बड़े विषयों में से एक बनाता है।

कुछ  यूनानी दार्शनिक  पुरातनता के, उनमें   अरस्तू,   अरिस्टोटेलियन भौतिकी  के संस्थापक, इस विचार को बनाए रखने वाले पहले व्यक्ति हो सकते हैं कि सब कुछ एक कारण से होता है और सैद्धांतिक सिद्धांत प्रकृति की समझ में सहायता कर सकते हैं। जबकि एक आधुनिक पाठक के लिए, इनमें से कई संरक्षित विचार बेहद उचित रूप से सामने आते हैं, गणितीय   सिद्धांत  और नियंत्रित   प्रयोग  दोनों का एक स्पष्ट अभाव है, जैसा कि हम जानते हैं। ये बाद में आधुनिक विज्ञान के निर्माण में निर्णायक कारक बन गए, और इनका प्रारंभिक अनुप्रयोग शास्त्रीय यांत्रिकी के रूप में जाना जाने लगा। मध्ययुगीन गणितज्ञ   जॉर्डनस डी नेमोर  ने अपने एलिमेंटा सुपर डिमॉन्स्ट्रेशनम पोन्डरम में स्थितीय   गुरुत्वाकर्षण  और घटक   बलों  के उपयोग की अवधारणा पेश की।<!-- स्रोतों के दांतेदार दुरुपयोग की तरह दिखता है: एक प्रारंभिक गणितीय और प्रयोगात्मक   वैज्ञानिक पद्धति  को    यांत्रिकी  11वीं सदी में   अल-बिरूनी  द्वारा, जिन्होंने 12वीं शताब्दी में   अल-खज़िनी  के साथ मिलकर   सांख्यिकी  और    गतिकी को एकीकृत किया।  को   विज्ञान  यांत्रिकी में, और   हाइड्रोस्टैटिक्स  के क्षेत्रों को गतिकी के साथ मिलाकर   हाइड्रोडायनामिक्स  का क्षेत्र बनाया गया    न्यूटन के गति के नियम  से संबंधित अवधारणाओं को भी   मध्य युग  के दौरान कई अन्य    मुस्लिम भौतिकविदों  द्वारा प्रतिपादित किया गया था।   जड़ता  के कानून के प्रारंभिक संस्करण, जिसे न्यूटन के गति के पहले नियम के रूप में जाना जाता है, और   गति  से संबंधित अवधारणा, न्यूटन के गति के दूसरे नियम का हिस्सा, इब्न अल-हेथम (अल्हाज़ेन) द्वारा वर्णित किया गया था।  और   एविसेना     बल  और   त्वरण  के बीच आनुपातिकता, शास्त्रीय यांत्रिकी में एक महत्वपूर्ण सिद्धांत, पहली बार    अबुल-बराकत  द्वारा कहा गया था। और   इब्न बज्जाह  ने    प्रतिक्रिया  बल की अवधारणा भी विकसित की  गुरुत्वाकर्षण पर सिद्धांत   बानी मूसा. द्वारा विकसित किए गए थे अलहाज़ेन भंडारण पर यह पता है वह  गैलीलियो गैलीली  का   त्वरण  का गणितीय उपचार और    प्रोत्साहन]  [[ मोशन (भौतिकी) |  गति  के पहले के मध्ययुगीन विश्लेषणों से विकसित हुआ, विशेष रूप से एविसेना के इब्न बजाहो और   जीन बुरिडन  -->

के पीसा | टॉवर के   झुके हुए टॉवर से अलग-अलग वजन के दो तोपों को गिराने का प्रसिद्ध प्रयोग किया हो सकता है (या नहीं), यह दर्शाता है कि वे दोनों एक ही समय में जमीन से टकराए थे। उस विशेष प्रयोग की वास्तविकता विवादित है, लेकिन उसने  [[ झुकाव वाले विमान  पर गेंदें घुमाकर मात्रात्मक प्रयोग किए। त्वरित गति का उनका सिद्धांत ऐसे प्रयोगों के परिणामों से प्राप्त हुआ था और शास्त्रीय यांत्रिकी की आधारशिला बनाता है। 1673   में क्रिस्टियान ह्यूजेन्स  ने अपने   होरोलोगियम ऑसिलेटोरियम " में वर्णित किया कि पहले दो    गति के नियम  काम भी पहला आधुनिक ग्रंथ है जिसमें एक भौतिक समस्या (गिरते हुए शरीर की    त्वरित गति )    है, जिसे  मापदंडों के एक सेट द्वारा आदर्श बनाया गया है, फिर गणितीय रूप से विश्लेषण किया गया और   के मौलिक कार्यों में से एक का गठन किया गया। अनुप्रयुक्त गणित <ref name=":0 Portrait of Sir Isaac Newton, 1689.jpg (1643-1727), भौतिकी के इतिहास में एक प्रभावशाली व्यक्ति और जिनके    गति के तीन नियम  शास्त्रीय यांत्रिकी का आधार बनाते हैं ]] न्यूटन ने प्राकृतिक दर्शन के अपने सिद्धांतों की स्थापना तीन प्रस्तावों पर की:sed    गति के नियम :   जड़ता का नियम, उसका त्वरण का दूसरा नियम (ऊपर बताया गया है), और   क्रिया और प्रतिक्रिया का नियम ; और इसलिए शास्त्रीय यांत्रिकी की नींव रखी। न्यूटन के दूसरे और तीसरे दोनों कानूनों को न्यूटन के   फिलॉसफी नेचुरलिस प्रिंसिपिया मैथमैटिका '' में उचित वैज्ञानिक और गणितीय उपचार दिया गया था। गणितीय अभिव्यक्ति। न्यूटन ने   संवेग संरक्षण  और   कोणीय संवेग  के सिद्धांतों को भी प्रतिपादित किया। यांत्रिकी में, न्यूटन ने भी पहला सही प्रदान किया   गुरुत्वाकर्षण  का वैज्ञानिक और गणितीय सूत्रीकरण   में न्यूटन का सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण का नियम । न्यूटन के गति और गुरुत्वाकर्षण के नियमों का संयोजन शास्त्रीय यांत्रिकी का पूर्ण और सबसे सटीक विवरण प्रदान करता है। उन्होंने प्रदर्शित किया कि ये नियम रोजमर्रा की वस्तुओं के साथ-साथ आकाशीय पिंडों पर भी लागू होते हैं। विशेष रूप से, उन्होंने ग्रहों की गति के   केप्लर के नियम  की सैद्धांतिक व्याख्या प्राप्त की।

न्यूटन ने पहले गणित के  कलन  का आविष्कार किया था, और इसका उपयोग गणितीय गणना करने के लिए किया था। स्वीकार्यता के लिए, उनकी पुस्तक,    Principia, पूरी तरह से लंबे समय से स्थापित ज्यामितीय विधियों के संदर्भ में तैयार की गई थी, जिन्हें जल्द ही उनके कैलकुलस ने ग्रहण कर लिया था। हालांकि, यह    लीबनिज  था जिसने   व्युत्पन्न  और   अभिन्न  वरीयता का संकेतन विकसित किया था। आज। न्यूटन, और उनके अधिकांश समकालीन,    ह्यूजेन्स  के उल्लेखनीय अपवाद के साथ, इस धारणा पर काम करते थे कि शास्त्रीय यांत्रिकी   प्रकाश  सहित   ज्यामितीय प्रकाशिकी  के रूप में सभी घटनाओं की व्याख्या करने में सक्षम होंगे। तथाकथित   न्यूटन के छल्ले  (एक   तरंग हस्तक्षेप  घटना) की खोज करते हुए भी उन्होंने प्रकाश ]] के अपने  [[ कणिका सिद्धांत को बनाए रखा।

न्यूटन के बाद, शास्त्रीय यांत्रिकी गणित के साथ-साथ भौतिकी में अध्ययन का एक प्रमुख क्षेत्र बन गया। गणितीय योगों ने उत्तरोत्तर समस्याओं की एक बड़ी संख्या के समाधान खोजने की अनुमति दी। पहला उल्लेखनीय गणितीय उपचार 1788 में  में जोसेफ लुई लैग्रेंज  द्वारा किया गया था। लैग्रेंजियन यांत्रिकी को 1833 में   में विलियम रोवन हैमिल्टन  द्वारा फिर से तैयार किया गया था। दाएँ | अंगूठा |  180px |  alt=बाईं ओर देखने में विलियम रोवन हैमिल्टन की तस्वीर |   [[ विलियम रोवन हैमिल्टन |  हैमिल्टन  का सबसे बड़ा योगदान शायद   लैग्रेंजियन यांत्रिकी  का सुधार है, जिसे अब   हैमिल्टनियन यांत्रिकी कहा जाता है।  कई प्रमुख गणितीय भौतिकी फॉर्मूलेशन द्वारा पसंदीदा विकल्प बना रहा है। ]]

उन्नीसवीं शताब्दी के अंत में कुछ कठिनाइयों की खोज की गई थी जिन्हें केवल अधिक आधुनिक भौतिकी द्वारा ही हल किया जा सकता था। इनमें से कुछ कठिनाइयाँ  विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत  और प्रसिद्ध   माइकलसन-मॉर्ले प्रयोग  के साथ संगतता से संबंधित हैं। इन समस्याओं के समाधान ने   के सापेक्षता के विशेष सिद्धांत  को जन्म दिया, जिसे अक्सर शास्त्रीय यांत्रिकी का एक हिस्सा माना जाता है।

कठिनाइयों का एक दूसरा सेट ऊष्मप्रवैगिकी से संबंधित था।  थर्मोडायनामिक्स  के साथ संयुक्त होने पर, शास्त्रीय यांत्रिकी शास्त्रीय   सांख्यिकीय यांत्रिकी  के   गिब्स विरोधाभास  की ओर जाता है, जिसमें   एन्ट्रॉपी  एक अच्छी तरह से परिभाषित मात्रा नहीं है।    ब्लैकके-बॉडी रेडिएशन  को    क्वांटा  के परिचय के बिना समझाया नहीं गया था। जैसे-जैसे प्रयोग परमाणु स्तर पर पहुंचे, शास्त्रीय यांत्रिकी   ऊर्जा स्तर  और   परमाणुओं के आकार  और   फोटो-इलेक्ट्रिक प्रभाव  जैसी बुनियादी चीजों की व्याख्या करने में विफल रहे। इन समस्याओं को हल करने के प्रयास से   क्वांटम यांत्रिकी  का विकास हुआ।

20वीं सदी के अंत से,  भौतिकी  में शास्त्रीय यांत्रिकी अब एक स्वतंत्र सिद्धांत नहीं रहा है। इसके बजाय, शास्त्रीय यांत्रिकी को अब अधिक सामान्य क्वांटम यांत्रिकी के लिए एक अनुमानित सिद्धांत माना जाता है।   मानक मॉडल  में प्रकृति की मूलभूत शक्तियों को समझने पर जोर दिया गया है और इसके अधिक आधुनिक विस्तार सभी ]] के एकीकृत   सिद्धांत में बदल गए हैं। शास्त्रीय यांत्रिकी कमजोर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों में गैर-क्वांटम यांत्रिक, कम ऊर्जा कणों की गति के अध्ययन के लिए उपयोगी सिद्धांत है। इसके अलावा, इसे  [[ जटिल डोमेन  में विस्तारित किया गया है जहां जटिल शास्त्रीय यांत्रिकी क्वांटम यांत्रिकी के समान व्यवहार प्रदर्शित करता है

शाखाएं
शास्त्रीय यांत्रिकी को पारंपरिक रूप से तीन मुख्य शाखाओं में विभाजित किया गया था:
 * स्टैटिक्स,   संतुलन  का अध्ययन और   बल  एस से इसका संबंध
 * गतिशीलता, गति का अध्ययन और बलों से इसका संबंध
 * कीनेमेटिक्स, प्रेक्षित गतियों के निहितार्थों से निपटने के लिए परिस्थितियों की परवाह किए बिना उन्हें उत्पन्न करना

एक अन्य विभाजन गणितीय औपचारिकता की पसंद पर आधारित है:
 * न्यूटनियन यांत्रिकी
 * लग्रांगियन यांत्रिकी
 * हैमिल्टनियन यांत्रिकी

वैकल्पिक रूप से, आवेदन के क्षेत्र द्वारा एक विभाजन किया जा सकता है:
 * खगोलीय यांत्रिकी,  स्टार  एस,   ग्रह  एस और अन्य खगोलीय पिंडों से संबंधित
 * सातत्य यांत्रिकी, एक सातत्य के रूप में मॉडलिंग की गई सामग्री के लिए, उदाहरण के लिए,  ठोस  एस और   द्रव  एस (यानी,   तरल  एस और   गैस  एस)।
 * सापेक्षवादी यांत्रिकी (यानी    विशेष  और    सामान्य  सापेक्षता के सिद्धांत सहित), उन निकायों के लिए जिनकी गति प्रकाश की गति के करीब है।
 * सांख्यिकीय यांत्रिकी, जो व्यक्तिगत परमाणुओं और अणुओं के सूक्ष्म गुणों को मैक्रोस्कोपिक या थोक   थर्मोडायनामिक  सामग्री के गुणों से संबंधित करने के लिए एक रूपरेखा प्रदान करता है।