एकांकी समाधान

एक विलक्षण उपाय ''यs(x) एक साधारण अंतर समीकरण का एक समाधान है जो गणितीय विलक्षणता है या एक जिसके लिए प्रारंभिक मूल्य समस्या (जिसे कुछ लेखकों द्वारा कॉची समस्या भी कहा जाता है) समाधान पर किसी बिंदु पर एक अनूठा समाधान करने में विफल रहता है। वह समुच्चय जिस पर एक हल एकवचन है, एक बिंदु जितना छोटा या पूर्ण वास्तविक रेखा जितना बड़ा हो सकता है। समाधान जो इस अर्थ में एकवचन हैं कि प्रारंभिक मूल्य समस्या एक अद्वितीय समाधान होने में विफल रहती है, गणितीय विलक्षणता नहीं होनी चाहिए।

कुछ मामलों में, एकवचन समाधान शब्द का उपयोग उस समाधान के लिए किया जाता है जिसमें वक्र पर प्रत्येक बिंदु पर प्रारंभिक मूल्य समस्या की विशिष्टता की विफलता होती है। इस मजबूत अर्थ में एक अकेला समाधान अक्सर समाधानों के परिवार से प्रत्येक समाधान के लिए स्पर्शरेखा के रूप में दिया जाता है। स्पर्शरेखा से हमारा मतलब है कि एक बिंदु x है जहाँ y हैs(एक्स) = औरc(एक्स) और वाई 's(एक्स) = वाई 'c(एक्स) जहां वाईcसी द्वारा पैरामीटर किए गए समाधानों के परिवार में एक समाधान है। इसका मतलब यह है कि एकवचन समाधान समाधान के परिवार का लिफाफा (गणित) है।

आम तौर पर, एकवचन समाधान अंतर समीकरणों में दिखाई देते हैं, जब एक शब्द में विभाजित करने की आवश्यकता होती है जो 0 (संख्या) के बराबर हो सकती है। इसलिए, जब कोई एक अंतर समीकरण को हल कर रहा है और विभाजन का उपयोग कर रहा है, तो उसे यह जांचना चाहिए कि क्या होता है यदि शब्द शून्य के बराबर है, और क्या यह एक विलक्षण समाधान की ओर जाता है। पिकार्ड-लिंडेलोफ प्रमेय, जो अद्वितीय समाधानों के अस्तित्व के लिए पर्याप्त शर्तें देता है, का उपयोग एकवचन समाधानों के अस्तित्व को रद्द करने के लिए किया जा सकता है। अन्य प्रमेय, जैसे कि पीआनो अस्तित्व प्रमेय, आवश्यक रूप से अद्वितीय होने के बिना समाधानों के अस्तित्व के लिए पर्याप्त शर्तें प्रदान करते हैं, जो एकवचन समाधानों के अस्तित्व की अनुमति दे सकते हैं।

एक अलग समाधान
सजातीय रैखिक साधारण अंतर समीकरण पर विचार करें


 * $$ xy'(x) +2y(x)= 0, \,\!$$

जहां primes x के संबंध में डेरिवेटिव को दर्शाता है। इस समीकरण का सामान्य हल है
 * $$ y(x)= C x^{-2} . \,\!$$

किसी प्रदत्त के लिए $$C$$को छोड़कर यह घोल चिकना है $$x=0$$ जहां समाधान भिन्न है। इसके अलावा, दिए गए के लिए $$x\not=0$$, यह एक अनूठा समाधान है जिससे गुजर रहा है $$(x,y(x))$$.

विशिष्टता की विफलता
अंतर समीकरण पर विचार करें


 * $$ y'(x)^2 = 4y(x) . \,\!$$

इस समीकरण के समाधान का एक-पैरामीटर परिवार द्वारा दिया गया है


 * $$ y_c(x) = (x-c)^2 . \,\!$$

द्वारा एक और उपाय दिया गया है


 * $$ y_s(x) = 0 . \,\!$$

चूँकि अध्ययन किया जा रहा समीकरण एक प्रथम-क्रम समीकरण है, प्रारंभिक स्थितियाँ प्रारंभिक x और y मान हैं। उपरोक्त समाधानों के दो सेटों पर विचार करके, कोई यह देख सकता है कि समाधान अद्वितीय होने में विफल रहता है $$y=0$$. (यह दिखाया जा सकता है कि के लिए $$y>0$$ यदि वर्गमूल की एक शाखा को चुना जाता है, तो एक स्थानीय समाधान होता है जो पिकार्ड-लिंडेलोफ प्रमेय का उपयोग करके अद्वितीय होता है।) इस प्रकार, उपरोक्त समाधान सभी एकवचन समाधान हैं, इस अर्थ में कि समाधान पड़ोस में अद्वितीय होने में विफल रहता है। एक या अधिक बिंदुओं का। (आमतौर पर, हम कहते हैं कि विशिष्टता इन बिंदुओं पर विफल हो जाती है।) समाधानों के पहले सेट के लिए, विशिष्टता एक बिंदु पर विफल हो जाती है, $$x=c$$, और दूसरे समाधान के लिए, अद्वितीयता के प्रत्येक मूल्य पर विफल हो जाती है $$x$$. इस प्रकार, समाधान $$y_s$$ मजबूत अर्थ में एकमात्र समाधान है कि x के प्रत्येक मान पर अद्वितीयता विफल हो जाती है। हालाँकि, यह एक गणितीय विलक्षणता नहीं है क्योंकि यह और इसके सभी डेरिवेटिव निरंतर हैं।

इस उदाहरण में समाधान $$y_s(x)=0$$ समाधान के परिवार का लिफाफा है $$y_c(x)=(x-c)^2$$. समाधान $$y_s$$ प्रत्येक वक्र के लिए स्पर्शरेखा है $$y_c(x)$$ बिंदु पर $$(c,0)$$.

विशिष्टता की विफलता का उपयोग अधिक समाधान बनाने के लिए किया जा सकता है। इन्हें दो स्थिरांक लेकर पाया जा सकता है $$c_1 < c_2 $$ और एक समाधान परिभाषित करना $$y(x)$$ होना $$(x-c_1)^2$$ कब $$x < c_1$$, होना $$0$$ कब $$c_1\leq x\leq c_2$$, और होना $$(x-c_2)^2$$ कब $$x > c_2$$. प्रत्यक्ष गणना से पता चलता है कि यह हर बिंदु पर अंतर समीकरण का समाधान है, जिसमें शामिल है $$x=c_1$$ और $$x=c_2$$. अंतराल पर इन समाधानों के लिए विशिष्टता विफल हो जाती है $$c_1\leq x\leq c_2$$, और समाधान एकवचन हैं, इस अर्थ में कि दूसरा व्युत्पन्न अस्तित्व में विफल रहता है $$x=c_1$$ और $$x=c_2$$.

अद्वितीयता की विफलता का एक और उदाहरण
पिछला उदाहरण गलत धारणा दे सकता है कि अद्वितीयता की विफलता का सीधा संबंध है $$y(x)=0$$. क्लेराट के समीकरण के निम्नलिखित उदाहरण में विशिष्टता की विफलता भी देखी जा सकती है:


 * $$ y(x) = x \cdot y' + (y')^2 \,\!$$

हम y' = p और फिर लिखते हैं


 * $$ y(x) = x \cdot p + (p)^2. $$

अब, हम x के अनुसार अवकलन लेंगे:
 * $$ p = y' = p + x p' + 2 p p' $$

जो साधारण बीजगणित द्वारा प्राप्त होता है
 * $$ 0 = ( 2 p + x )p'. $$

यदि 2p+x=0 या p′=0 हो तो यह स्थिति हल हो जाती है।

यदि p' = 0 इसका अर्थ है कि y' = p = c = अचर, और इस नए समीकरण का व्यापक हल है:
 * $$ y_c(x) = c \cdot x + c^2 $$

जहाँ c प्रारंभिक मान द्वारा निर्धारित किया जाता है।

यदि x + 2p = 0 तो हम पाते हैं कि p = −½x और ODE में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है
 * $$ y_s(x) = -\tfrac{1}{2}x^2 + (-\tfrac{1}{2}x)^2 = -\tfrac{1}{4} x^2. $$

अब हम जाँच करेंगे कि ये विलयन कब एकवचन हल हैं। यदि दो समाधान एक-दूसरे को काटते हैं, अर्थात, वे दोनों एक ही बिंदु (x, y) से गुजरते हैं, तो पहले क्रम के साधारण अंतर समीकरण के लिए अद्वितीयता की विफलता होती है। इस प्रकार, यदि पहले रूप का समाधान दूसरे समाधान को प्रतिच्छेद करता है तो अद्वितीयता की विफलता होगी।

प्रतिच्छेदन की स्थिति है : ys(एक्स) = औरc(एक्स)। हमने सलुझाया
 * $$ c \cdot x + c^2 = y_c(x) = y_s(x) = -\tfrac{1}{4} x^2 $$

चौराहा बिंदु खोजने के लिए, जो है $$(-2c, -c^2)$$.

हम सत्यापित कर सकते हैं कि वक्र इस बिंदु y' पर स्पर्शरेखा हैंs(एक्स) = वाई 'c(एक्स)। हम यौगिक  की गणना करते हैं:


 * $$ y_c'(-2 c) = c \,\!$$
 * $$ y_s'(-2 c) = -\tfrac{1}{2} x |_{x = -2 c} = c. \,\!$$

इस तरह,


 * $$ y_s(x) = -\tfrac{1}{4} \cdot x^2 \,\!$$

समाधान के एक-पैरामीटर परिवार के प्रत्येक सदस्य के लिए स्पर्शरेखा है


 * $$ y_c(x) = c \cdot x + c^2 \,\!$$

इस क्लेराट समीकरण का:


 * $$ y(x) = x \cdot y' + (y')^2. \,\!$$

यह भी देखें

 * चंद्रशेखर समीकरण
 * क्रिस्टल का समीकरण
 * कास्टिक (गणित)
 * लिफाफा (गणित)
 * प्रारंभिक मूल्य समस्या
 * पिकार्ड-लिंडेलोफ प्रमेय