कंडक्टर (वर्ग क्षेत्र सिद्धांत)

बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में, स्थानीय क्षेत्र या वैश्विक क्षेत्रों के एक परिमित विस्तार एबेलियन विस्तार का संवाहक विस्तार में रामीकरण (गणित) का एक मात्रात्मक माप प्रदान करता है। कंडक्टर की परिभाषा आर्टिन मानचित्र से संबंधित है।

स्थानीय कंडक्टर
मान लीजिए कि एल/के गैर-आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्रों का एक सीमित एबेलियन विस्तार है। एल/के का 'कंडक्टर', दर्शाया गया है $$\mathfrak{f}(L/K)$$, सबसे छोटा गैर-नकारात्मक पूर्णांक n है जैसे कि उच्चतर इकाई समूह
 * $$U^{(n)} = 1 + \mathfrak{m}_K^n = \left\{u\in\mathcal{O}^\times: u \equiv 1\, \left(\operatorname{mod} \mathfrak{m}_K^n\right)\right\}$$

एन में निहित हैL/K(एल×), जहां एनL/K फ़ील्ड मानक मानचित्र है और $$\mathfrak{m}_K$$ K का स्थानीय क्षेत्र है. समान रूप से, n सबसे छोटा पूर्णांक है जैसे कि स्थानीय आर्टिन मानचित्र तुच्छ है $$U_K^{(n)}$$. कभी-कभी, कंडक्टर को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है $$\mathfrak{m}_K^n$$ जहां n ऊपर जैसा है। किसी विस्तार का संचालक प्रभाव को मापता है। गुणात्मक रूप से, विस्तार अप्रभावित है यदि, और केवल यदि, कंडक्टर शून्य है, और इसका वश में प्रभाव तभी पड़ता है जब, और केवल तभी, जब कंडक्टर 1 हो। अधिक सटीक रूप से, कंडक्टर उच्च प्रभाव वाले समूहों की गैर-तुच्छता की गणना करता है: यदि s सबसे बड़ा पूर्णांक है जिसके लिए कम संख्या वाला उच्च प्रभाव समूह Gsतो फिर यह गैर-तुच्छ है $$\mathfrak{f}(L/K) = \eta_{L/K}(s) + 1$$, कहां ηL/K वह फ़ंक्शन है जो उच्च प्रभाव वाले समूहों की निचली संख्या से ऊपरी संख्या में अनुवाद करता है। एल/के का कंडक्टर गैलोज़ समूह गैल (एल/के) के पात्रों के आर्टिन कंडक्टर से भी संबंधित है। विशेष रूप से,
 * $$\mathfrak{m}_K^{\mathfrak{f}(L/K)} = \operatorname{lcm}\limits_\chi \mathfrak{m}_K^{\mathfrak{f}_\chi}$$

जहां χ गैल (एल/के) के सभी गुणक चरित्र पर भिन्न होता है, $$\mathfrak{f}_\chi$$ χ का आर्टिन कंडक्टर है, और एलसीएम सबसे छोटा सामान्य गुणक है।

अधिक सामान्य फ़ील्ड
कंडक्टर को एल/के के लिए उसी तरह से परिभाषित किया जा सकता है, जो जरूरी नहीं कि स्थानीय क्षेत्रों का एबेलियन परिमित गैलोज़ विस्तार हो। हालाँकि, यह केवल L पर निर्भर करता हैab/K, मानक सीमा प्रमेय के कारण, L में K का अधिकतम एबेलियन विस्तार, जो बताता है कि, इस स्थिति में,
 * $$N_{L/K}\left(L^\times\right) = N_{L^{\text{ab}}/K} \left(\left(L^{\text{ab}}\right)^\times \right).$$

इसके अतिरिक्त, कंडक्टर को तब परिभाषित किया जा सकता है जब एल और के को स्थानीय की तुलना में थोड़ा अधिक सामान्य होने की अनुमति दी जाती है, अर्थात् यदि वे अर्ध-परिमित क्षेत्र | अर्ध-परिमित अवशेष क्षेत्र के साथ पूर्ण मूल्यवान फ़ील्ड हैं।

आर्किमिडीयन क्षेत्र
अधिकतर वैश्विक कंडक्टरों के लिए, तुच्छ एक्सटेंशन आर/आर के कंडक्टर को 0 के रूप में परिभाषित किया गया है, और एक्सटेंशन सी/आर के कंडक्टर को 1 के रूप में परिभाषित किया गया है।

बीजगणितीय संख्या फ़ील्ड
आर्टिन मानचित्र का उपयोग करके, संख्या फ़ील्ड के एबेलियन एक्सटेंशन एल/के के कंडक्टर को स्थानीय मामले के समान परिभाषित किया जा सकता है। विशेष रूप से, मान लीजिए θ : मैंm → गैल(L/K) वैश्विक आर्टिन मानचित्र बनें जहां मापांक (बीजगणितीय संख्या सिद्धांत) m L/K के लिए एक परिभाषित मापांक है ; हम कहते हैं कि आर्टिन पारस्परिकता कानून एम के लिए मान्य है यदि θ किरण वर्ग समूह एम के माध्यम से कारक है। हम L/K के कंडक्टर को परिभाषित करते हैं, जिसे दर्शाया गया है $$\mathfrak{f}(L/K)$$, सभी मापांकों का उच्चतम सामान्य कारक होना जिसके लिए पारस्परिकता कायम है; वस्तुतः पारस्परिकता कायम रहती है $$\mathfrak{f}(L/K)$$, इसलिए यह सबसे छोटा मापांक है।

उदाहरण
\left|\Delta_{\mathbf{Q}\left(\sqrt{d}\right)}\right| & \text{for }d > 0 \\ \infty\left|\Delta_{\mathbf{Q}\left(\sqrt{d}\right)}\right| & \text{for }d < 0 \end{cases}$$
 * तर्कसंगत संख्याओं के क्षेत्र को आधार मानते हुए, क्रोनकर-वेबर प्रमेय में कहा गया है कि एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र K 'Q' पर एबेलियन है यदि और केवल यदि यह एक साइक्लोटोमिक क्षेत्र का उपक्षेत्र है $$\mathbf{Q}\left(\zeta_n\right)$$, कहाँ $$\zeta_n$$ एकता की आदिम nवीं जड़ को दर्शाता है। यदि n सबसे छोटा पूर्णांक है जिसके लिए यह धारण करता है, तो K का चालक n है यदि K जटिल संयुग्मन द्वारा तय किया गया है और $$n \infty$$ अन्यथा।
 * L/K रहने दो $$\mathbf{Q}\left(\sqrt{d}\right)/\mathbf{Q}$$ जहाँ d एक वर्गमुक्त पूर्णांक है। तब,
 * $$\mathfrak{f}\left(\mathbf{Q}\left(\sqrt{d}\right)/\mathbf{Q}\right) = \begin{cases}
 * कहाँ $$\Delta_{\mathbf{Q}(\sqrt{d})}$$ के बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विभेदक है $$\mathbf{Q}\left(\sqrt{d}\right)/\mathbf{Q}$$.

स्थानीय संचालकों और प्रभाव से संबंध
वैश्विक कंडक्टर स्थानीय कंडक्टरों का उत्पाद है:
 * $$\mathfrak{f}(L/K) = \prod_\mathfrak{p}\mathfrak{p}^{\mathfrak{f}\left(L_\mathfrak{p}/K_\mathfrak{p}\right)}.$$

परिणामस्वरूप, एक परिमित अभाज्य L/K में विस्तारित होता है यदि, और केवल यदि, यह विभाजित होता है $$\mathfrak{f}(L/K)$$. कंडक्टर में एक अनंत अभाज्य v होता है यदि, और केवल यदि, v वास्तविक है और L में जटिल हो जाता है।