सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी

भौतिकी में, सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी (आरक्यूएम) का क्वांटम यांत्रिकी (क्यूएम) कोई भी पोंकारे सहसंयोजक सूत्रीकरण है। यह सिद्धांत बड़े पैमाने पर कणों पर प्रयुक्त होता है जो प्रकाश c की संवेग के बराबर सभी वेगों पर विस्तारित होते हैं, और बड़े पैमाने पर कणों को समायोजित कर सकते हैं। सिद्धांत में उच्च ऊर्जा भौतिकी, कण भौतिकी और त्वरक भौतिकी, साथ ही परमाणु भौतिकी, रसायन विज्ञान और और संघनित पदार्थ भौतिकी में अनुप्रयोग हैं। गैर-सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी गैलीलियन सापेक्षता के संदर्भ में प्रयुक्त क्वांटम यांत्रिकी के गणितीय सूत्रीकरण को संदर्भित करता है, विशेष रूप से संकारक (भौतिकी) द्वारा गतिशील परिवर्ती को बदलकर उत्कृष्ट यांत्रिकी के समीकरणों की मात्रा निर्धारित करता है। सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी (आरक्यूएम) विशेष सापेक्षता के साथ प्रयुक्त क्वांटम यांत्रिकी है। हालांकि श्रोडिंगर चित्र और हाइजेनबर्ग चित्र जैसे पहले के सूत्रीकरण मूल रूप से एक गैर-सापेक्षतावादी पृष्ठभूमि में निर्मित किए गए थे, उनमें से कुछ (जैसे डिरैक या पथ-समाकल औपचारिकतावाद) विशेष सापेक्षता के साथ भी काम करते हैं।

सभी सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी के लिए सामान्य प्रमुख विशेषताओं में प्रतिद्रव्य की प्रागुक्त, प्रारंभिक प्रचक्रण 1/2 फर्मियन के प्रचक्रण चुंबकीय आघूर्ण, सूक्ष्म संरचना, और विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों में आवेशित कणों की क्वांटम गतिकी में सम्मिलित हैं। मुख्य परिणाम डायराक समीकरण है, जिससे ये पूर्वानुमान स्वतः निर्गमन हैं। इसके विपरीत, गैर-सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी में, प्रयोगात्मक टिप्पणियों के साथ स्वीकृति प्राप्त करने के लिए शब्दों को हैमिल्टनी प्रचालक में कृत्रिम रूप से प्रस्तुत किया जाना है।

सबसे सफल (और सबसे व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला) सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी, सापेक्षतावादी क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत (क्यूएफटी) है, जिसमें प्राथमिक कणों की व्याख्या क्षेत्र क्वांटा के रूप में की जाती है। सापेक्षतावादी क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत का एक अद्वितीय परिणाम जिसे अन्य सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी के विपरीत परीक्षण किया गया है, कण संख्या के संरक्षण की विफलता है, उदाहरण के लिए पदार्थ निर्माण और विलोपन में किया जाता है।

इस लेख में, समीकरणों को परिचित 3D सदिश कलन संकेतन में लिखा गया है और संकारक (भौतिकी) के लिए शीर्ष का उपयोग किया गया है (आवश्यक नहीं कि साहित्य में), और जहां दिक्काल के घटकों को एकत्र किया जा सकता है, प्रदिश सूचकांक संकेतन को भी (प्रायः साहित्य में उपयोग किया जाता है) दिखाया गया है, इसके अतिरिक्त आइंस्टीन संकेतन का उपयोग किया जाता है। एसआई इकाइयों का उपयोग यहां किया जाता है; गाऊसी इकाइयाँ और प्राकृतिक इकाइयाँ सामान्य विकल्प हैं। सभी समीकरण स्थिति प्रतिनिधित्व में हैं; संवेग निरूपण के लिए समीकरणों को फूरियर रूपांतरित होना चाहिए - स्थिति और संवेग स्थान देखें।

विशेष सापेक्षता और क्वांटम यांत्रिकी का संयोजन
विशेष सापेक्षता के अनुरूप होने के लिए श्रोडिंगर चित्र को संशोधित करना एक दृष्टिकोण है।

क्वांटम यांत्रिकी का एक गणितीय सूत्रीकरण यह है कि किसी क्वांटम प्रणाली का समय विकास श्रोडिंगर समीकरण द्वारा दिया जाता है:


 * $$i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi =\hat{H}\psi$$

प्रणाली के अनुरूप एक उपयुक्त हैमिल्टनियन ऑपरेटर Ĥ का उपयोग करना। समाधान एक सम्मिश्र-मान तरंग फलन ψ(r, t) है, जो प्रणाली के व्यवहार का वर्णन करते हुए समय t पर कण के 3D स्थिति सदिश r का एक फलन है।

प्रत्येक कण में एक गैर-ऋणात्मक प्रचक्रण क्वांटम संख्या s होती है। जो संख्या 2s एक पूर्णांक पूर्णांक विषम है जो फ़र्मियन और यहां तक कि बोसोन के लिए भी है। प्रत्येक s में 2s + 1 z-प्रक्षेपण क्वांटम संख्याएँ $σ = s, s &minus; 1, ..., &minus;s + 1, &minus;s$ होती हैं। यह एक अतिरिक्त असतत चर है जिसके लिए तरंग फलन $m_{s}$ की आवश्यकता होती है।

ऐतिहासिक रूप से, 1920 के दशक के प्रारंभ में वोल्फगैंग पाउली, राल्फ क्रोनिग, जॉर्ज उहलेनबेक और शमूएल गौडस्मिट प्रचक्रण की अवधारणा को प्रस्तावित करने वाले पहले व्यक्ति थे। तरंग फलन में प्रचक्रण को सम्मिलित करने में पाउली अपवर्जन सिद्धांत (1925) और अधिक सामान्य प्रचक्रण-सांख्यिकी प्रमेय (1939) मार्कस फ़िएरज़ के कारण सम्मिलित है, जिसे एक साल बाद पाउली द्वारा पुनः प्राप्त किया गया। यह परमाणुओं के नाभिक के इलेक्ट्रॉनिक विन्यास (और इसलिए आवर्त सारणी पर सभी तत्व और उनके रसायन) से लेकर क्वार्क विन्यास और रंग आवेश (इसलिए बेरिऑन और मेसॉन के गुण) तक उप-परमाणु कण व्यवहार और घटना की एक विविध श्रेणी के लिए स्पष्टीकरण है।

विशेष आपेक्षिकता की एक मौलिक प्रागुक्त सापेक्षतावादी ऊर्जा-संवेग संबंध है; विराम द्रव्यमान $s_{z}$ के एक कण के लिए, और ऊर्जा के संदर्भ में एक विशेष संरचना में $σ$ और 3-संवेग $ψ(r, t, σ)$ डॉट उत्पाद के संदर्भ में मानक (गणित) $$p = \sqrt{\mathbf{p} \cdot \mathbf{p}}$$ के साथ, यह है:
 * $$E^2 = c^2\mathbf{p}\cdot\mathbf{p} + (mc^2)^2\,.$$

इन समीकरणों का उपयोग ऊर्जा और संवेग संचालकों के साथ किया जाता है, जो क्रमशः हैं:


 * $$\hat{E}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\,,\quad \hat{\mathbf{p}} = -i\hbar\nabla\,,$$

सापेक्षिक तरंग समीकरण (आरडब्ल्यूई) का निर्माण करने के लिए: ऊर्जा-संवेग संबंध के अनुरूप एक आंशिक अवकलन समीकरण, और कण की क्वांटम गतिशीलता की प्रागुक्त करने के लिए $m$ के लिए हल किया जाता है। दिक्काल को समान स्तर पर रखने के लिए, सापेक्षता के रूप में, दिक्काल के आंशिक अवकलज के क्रम समान होने चाहिए, और आदर्श रूप से जितना संभव हो उतना कम होना चाहिए, आंशिक अवकलज के प्रारंभिक मानो को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता न हो। संभाव्यता व्याख्याओं के लिए यह महत्वपूर्ण है, जिसका उदाहरण नीचे दिया गया है। किसी भी अवकलन समीकरण का सबसे कम संभव (शून्य क्रम अवकलज एक अवकलन समीकरण नहीं बनायेगा) क्रम पहला है।

हाइजेनबर्ग चित्र क्वांटम यांत्रिकी का एक और सूत्रीकरण है, जिस स्थिति में तरंग फलन $E$ होता है और समय-निरपेक्ष है, और संकारक $p$ में संवेग के समीकरण द्वारा नियंत्रित समय निर्भरता होती है:


 * $$\frac{d}{dt}A = \frac{1}{i\hbar}[A,\hat{H}]+\frac{\partial}{\partial t}A\,,$$

यह समीकरण सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी में भी सही है, तथापि हाइजेनबर्ग संकारक को एसआर के अनुरूप होने के लिए संशोधित किया जाए।

ऐतिहासिक रूप से, 1926 के आसपास, इरविन श्रोडिंगर और वर्नर हाइजेनबर्ग दिखाते हैं कि तरंग यांत्रिकी और आव्यूह यांत्रिकी समतुल्य हैं, बाद में परिवर्तन सिद्धांत (क्वांटम यांत्रिकी) का उपयोग करके डिराक द्वारा आगे बढ़ाया गया।

आरडब्ल्यूई के लिए एक अधिक आधुनिक दृष्टिकोण, पहली बार प्रस्तुत किया गया था जब आरडब्ल्यूई किसी भी प्रचक्रण के कणों के लिए विकसित हो रहे थे, लोरेंत्ज़ समूह के प्रतिनिधित्व को प्रयुक्त करना है।

दिक्काल
उत्कृष्ट यांत्रिकी और गैर-सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी में, समय एक पूर्ण मात्रा है, सभी पर्यवेक्षक और कण सदैव, अंतरिक्ष से स्वतंत्र पृष्ठभूमि में स्थिर रह सकते हैं। इस प्रकार गैर-सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी में कई कण प्रणाली के लिए $ψ$ होता है।

सापेक्षवादी यांत्रिकी में, समन्वय प्रणाली और समन्वय समय निरपेक्ष नहीं होते हैं; एक दूसरे के सापेक्ष चलने वाले कोई भी दो पर्यवेक्षक घटना (सापेक्षता) के विभिन्न स्थानों और समय को माप सकते हैं। स्थिति और समय निर्देशांक स्वाभाविक रूप से घटनाओं के अनुरूप चार-आयामी दिक्काल स्थिति X = (ct, r) में संयोजित होते हैं, और ऊर्जा और 3-संवेग स्वाभाविक रूप से एक के चार-संवेग P = (E/c, p) में संयोजित होते हैं। गतिशील कण, जैसा कि कुछ संदर्भ संरचना में मापा जाता है, लोरेंत्ज़ परिवर्तन के अनुसार परिवर्तन के रूप में एक अलग संरचना में एक संशोधन बढ़ाया जाता है और / या मूल संरचना के सापेक्ष घुमाया जाता है। व्युत्पन्न संचालक, और इसलिए ऊर्जा और 3-संवेग संचालक भी गैर-अपरिवर्तनीय हैं और लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के अंतर्गत बदलते हैं।

उपयुक्त ऑर्थोक्रोनस लोरेंत्ज़ परिवर्तन के अंतर्गत $ψ$ मिंकोव्स्की समष्टि में, सभी एक-कण क्वांटम अवस्था ψσ स्थानीय रूप से लोरेंत्ज़ समूह के कुछ प्रतिनिधित्व D के अंतर्गत रूपांतरित होते हैं:
 * $$\psi_\sigma(\mathbf{r}, t) \rightarrow D(\Lambda) \psi_\sigma(\Lambda^{-1}(\mathbf{r}, t)) $$

जहाँ $A(t)$ एक परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व है, दूसरे शब्दों में a $ψ(r_{1}, r_{2}, r_{3}, ..., t, σ_{1}, σ_{2}, σ_{3}...)$ वर्ग आव्यूह है। पुनः, ψ को कॉलम सदिश के रूप में माना जाता है जिसमें σ के (2s + 1) अनुमत मान वाले घटक होते हैं। क्वांटम संख्या s और σ के साथ-साथ अन्य स्तर, सतत या असतत, अन्य क्वांटम संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हुए निरुद्ध दिए जाते हैं। प्रतिनिधित्व के आधार पर σ का एक मान एक से अधिक बार हो सकता है।

अधिक जानकारी: जनित्र (गणित), समूह सिद्धांत, लोरेंत्ज़ समूह का प्रतिनिधित्व सिद्धांत, और क्वांटम यांत्रिकी में समरूपता

गैर-सापेक्षवादी और सापेक्षवादी हैमिल्टनियन
अदिश विभव में एक कण के लिए हैमिल्टनियन यांत्रिकी गतिज ऊर्जा $(r, t) → Λ(r, t)$ धनात्मक संभावित ऊर्जा $D(Λ)$ है, श्रोडिंगर चित्र में संबंधित क्वांटम संचालिका के साथ:


 * $$\hat{H} = \frac{\hat{\mathbf{p}}\cdot\hat{\mathbf{p}}}{2m} + V(\mathbf{r},t) $$

और उपरोक्त श्रोडिंगर समीकरण में इसे प्रतिस्थापित करने से तरंग फलन के लिए एक गैर-सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी समीकरण मिलता है: प्रक्रिया एक सरल व्यंजक का प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन है। इसके विपरीत सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी में यह उतना आसान नहीं है; ऊर्जा-संवेग समीकरण ऊर्जा और संवेग में द्विघात है जो समस्याओ का कारण बनता है। सरलता से स्थापित करनाग:


 * $$\hat{H} = \hat{E} = \sqrt{c^2 \hat{\mathbf{p}}\cdot\hat{\mathbf{p}} + (mc^2)^2} \quad \Rightarrow \quad i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi = \sqrt{c^2 \hat{\mathbf{p}}\cdot \hat{\mathbf{p}} + (mc^2)^2} \, \psi$$

अनेक कारणों से सहायक नहीं है। संकारक के वर्गमूल का उपयोग नहीं किया जा सकता क्योंकि यह स्थापित है; संवेग संचालिका, प्रत्येक पद में एक घात तक बढ़ाए जाने से पहले, ψ पर कार्य करने से पहले इसे एक घात श्रृंखला में विस्तारित करना होगा। घात श्रृंखला के परिणामस्वरूप, समष्टि अवकलज (गणित) पूरी तरह से असममित हैं: समष्टि अवकलज में अनंत-क्रम लेकिन समय अवकलज में केवल पहला क्रम, जो कि अपरिष्कृत और स्थूल है। पुनः, वर्गमूल के बराबर ऊर्जा संकारक के गैर-अपरिवर्तनीयता की समस्या है जो अपरिवर्तनीय भी नहीं है। एक अन्य समस्या, कम स्पष्ट और अधिक गंभीर, यह है कि इसे क्वांटम गैर-स्थानिकता के रूप में दिखाया जा सकता है और यहां तक ​​कि कारणता (भौतिकी) का उल्लंघन भी कर सकता है: यदि कण को प्रारंभ में बिंदु r0 पर स्थानीयकृत किया जाता है ताकि ψ(r0, t = 0) परिमित हो और कहीं और शून्य हो, फिर किसी भी बाद के समय में समीकरण विस्थापन ψ(r, t) ≠ 0 प्रत्येक समष्टि की प्रागुक्त करता है, यहाँ तक कि |r| > ct जिसका अर्थ है कि कण प्रकाश के स्पंद से पहले एक बिंदु पर पहुंच सकता है। इसे अतिरिक्त अवरोध $(2s + 1)×(2s + 1)$ द्वारा दूर करना होगा।

हैमिल्टनियन में प्रचक्रण को सम्मिलित करने की समस्या भी है, जो गैर-सापेक्षवादी श्रोडिंगर सिद्धांत की प्रागुक्त नहीं है। प्रचक्रण वाले कणों में एक समान प्रचक्रण चुंबकीय आघूर्ण होता है जो μB, बोह्र मैग्नेटॉन की इकाइयों में परिमाणित होता है
 * $$\hat{\boldsymbol{\mu}}_S = - \frac{g\mu_B}{\hbar}\hat{\mathbf{S}}\,,\quad \left|\boldsymbol{\mu}_S\right| = - g\mu_B \sigma\,,$$

जहाँ $p·p/2m$ कण के लिए (प्रचक्रण) g-कारक (भौतिकी) है, और $V(r, t)$ प्रचक्रण संकारक है, इसलिए वे विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों के साथ अन्तः क्रिया करते हैं। बाहरी रूप से प्रयुक्त चुंबकीय क्षेत्र B में एक कण के लिए, अंतःक्रिया पद है
 * $$\hat{H}_B = - \mathbf{B} \cdot \hat{\boldsymbol{\mu}}_S $$

उपरोक्त गैर-सापेक्षवादी हैमिल्टनियन में जोड़ा जाना है। इसके विपरीत; सापेक्षवादी ऊर्जा-संवेग संबंध को प्रयुक्त करने की आवश्यकता के रूप में एक सापेक्षवादी हैमिल्टनियन स्वचालित रूप से प्रचक्रण का परिचय देता है।

आपेक्षिकवादी हैमिल्टन निम्नलिखित स्थितियों में गैर-सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी के अनुरूप हैं; उत्कृष्ट संभावित ऊर्जा अवधि के साथ-साथ उत्कृष्ट गतिज ऊर्जा संबंध जैसे संवेग पदों के समान, बाह्य रूप से प्रयुक्त क्षेत्रों के साथ बाकी द्रव्यमान और अंतःक्रिया शर्तों सहित पद हैं। एक महत्वपूर्ण अंतर यह है कि सापेक्षवादी हैमिल्टनियों में आव्यूह (गणित) के रूप में प्रचक्रण संकारक होते हैं, जिसमें आव्यूह गुणन प्रचक्रण सूचकांक $ψ(

|r| > ct, t) = 0$ पर सक्रिय है, तो सामान्य रूप से एक सापेक्षवादी हैमिल्टनियन:


 * $$\hat{H} = \hat{H}(\mathbf{r}, t, \hat{\mathbf{p}}, \hat{\mathbf{S}})$$

समष्टि, समय और संवेग और प्रचक्रण संकारक का एक फलन है।

मुक्त कणों के लिए क्लेन-गॉर्डन और डिराक समीकरण
क्लेन-गॉर्डन समीकरण प्राप्त करने के लिए ऊर्जा और संवेग संचालकों को सीधे ऊर्जा-संवेग संबंध में प्रतिस्थापित करना पहली दृष्टि में आकर्षक लग सकता है:
 * $$\hat{E}^2 \psi = c^2\hat{\mathbf{p}}\cdot\hat{\mathbf{p}}\psi + (mc^2)^2\psi \,,$$

और इसे प्राप्त करने के प्रत्यक्ष तरीके के कारण कई लोगों द्वारा खोजा गया था, विशेष रूप से 1925 में श्रोडिंगर द्वारा उनके नाम पर गैर-सापेक्षवादी समीकरण और 1927 में क्लेन और गॉर्डन द्वारा, जिन्होंने समीकरण में विद्युत चुम्बकीय अन्तः क्रिया सम्मिलित की थी। यह लोरेंत्ज़ सहप्रसरण है, फिर भी यह समीकरण एकल कम से कम दो कारणों से सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी के लिए पर्याप्त आधार नहीं है: पहला यह है कि ऋणात्मक-ऊर्जा अवस्थाएँ समाधान हैं, दूसरा (नीचे दिया गया है) घनत्व है, और यह समीकरण जैसा कि स्थापित है केवल प्रचक्रण-रहित कणों पर प्रयुक्त होता है। इस समीकरण को इस रूप में देखा जा सकता है

\left(\hat{E} - c\boldsymbol{\alpha}\cdot\hat{\mathbf{p}} - \beta mc^2 \right)\left(\hat{E} + c\boldsymbol{\alpha}\cdot\hat{\mathbf{p}} + \beta mc^2 \right)\psi=0 \,, $$ जहाँ $g$ और $S$ केवल संख्याएँ या सदिश नहीं हैं, बल्कि 4 × 4 हर्मिटियन आव्यूह हैं जो प्रतिक्रमण $σ$ के लिए आवश्यक हैं:


 * $$\alpha_i \beta = - \beta \alpha_i, \quad \alpha_i\alpha_j = - \alpha_j\alpha_i \,,$$

और वर्ग सर्वसम आव्यूह के लिए:


 * $$ \alpha_i^2 = \beta^2 = I \,, $$

ताकि मिश्रित दूसरे क्रम के अवकलज वाले पद अस्वीकृत हो जाएं जबकि दूसरे क्रम के अवकलज पूरी तरह से दिक्काल में बने रहें। पहला कारक:


 * $$\left(\hat{E} - c\boldsymbol{\alpha}\cdot\hat{\mathbf{p}} - \beta mc^2 \right)\psi=0 \quad \Leftrightarrow \quad \hat{H} = c\boldsymbol{\alpha}\cdot\hat{\mathbf{p}} + \beta mc^2$$

डायराक समीकरण है। अन्य कारक भी डायराक समीकरण है, लेकिन ऋणात्मक द्रव्यमान के एक कण के लिए होते है। प्रत्येक कारक सापेक्षतावादी रूप से अपरिवर्तनीय है। तर्क दूसरे तरीके से किया जा सकता है: हैमिल्टनियन को उपरोक्त रूप में प्रस्तावित करें, जैसा कि डिराक ने 1928 में किया था, फिर संकारकों के अन्य कारक E + cα · p + βmc2 द्वारा समीकरण को पूर्व-गुणा करें, और KG समीकरण के साथ तुलना करें α और β पर परिवद्ध को निर्धारित करता है। धनात्मक द्रव्यमान समीकरण सांतत्य को नष्ट किए बिना उपयोग में लाया जा सकता है। अतः ψ को गुणा करने वाले आव्यूह सुझाव देते हैं कि यह KG समीकरण में अनुमत अदिश तरंग फलन नहीं है, बल्कि इसके अतिरिक्त चार-घटक इकाई होना चाहिए। डायराक समीकरण अभी भी ऋणात्मक ऊर्जा समाधान की प्रागुक्त करता है, इसलिए डिराक ने माना कि ऋणात्मक ऊर्जा अवस्थाएं सदैव व्याप्त रहती हैं, क्योंकि पाउली अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार, परमाणुओं में धनात्मक से ऋणात्मक ऊर्जा स्तरों तक इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण निषिद्ध होगा। विवरण के लिए डिराक संग्रह देखें।

घनत्व और धाराएं
गैर-सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी में, तरंग फलन का वर्ग मापांक $α = (α_{1}, α_{2}, α_{3})$ प्रायिकता घनत्व फलन $β$ देता है। यह 1927 के लगभग कोपेनहेगन व्याख्या है। सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी में, जबकि $i ≠ j$ एक तरंग फलन है, प्रायिकता की व्याख्या गैर-सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी के समान नहीं है। कुछ सापेक्षिक तरंग समीकरण प्रायिकता घनत्व $ψ$ या प्रायिकता धारा $ρ = |ψ|^{2}$ (वास्तव में प्रायिकता धारा घनत्व का अर्थ है) की प्रागुक्त नहीं करते हैं। क्योंकि वे दिक्काल के धनात्मक-निश्चित फलन नहीं हैं। डायराक समीकरण करता है:
 * $$\rho=\psi^\dagger \psi, \quad \mathbf{j} = \psi^\dagger \gamma^0 \boldsymbol{\gamma} \psi \quad \rightleftharpoons \quad J^\mu = \psi^\dagger \gamma^0 \gamma^\mu \psi $$

जहां डैगर हर्मिटियन आसन्न को दर्शाता है (लेखक सामान्य रूप से डायराक संलग्न के लिए ψ = ψ†γ0 लिखते हैं) और Jμ प्रायिकता चार-धारा है, जबकि क्लेन-गॉर्डन समीकरण नहीं करता है:
 * $$\rho = \frac{i\hbar}{2mc^2}\left(\psi^{*}\frac{\partial \psi}{\partial t} - \psi \frac{\partial \psi^*}{\partial t}\right)\, ,\quad \mathbf{j} = -\frac{i\hbar}{2m}\left(\psi^* \nabla \psi - \psi \nabla \psi^*\right) \quad \rightleftharpoons  \quad J^\mu = \frac{i\hbar}{2m}(\psi^*\partial^\mu\psi - \psi\partial^\mu\psi^*) $$

जहाँ $ψ(r, t)$ चार प्रवणता है। चूंकि दोनों के प्रारंभिक मान $ρ$ और $j$ स्वतंत्र रूप से चयन जा सकता है, अतः घनत्व ऋणात्मक हो सकता है।

इसके अतिरिक्त, जो पहली दृष्टि, एक प्रायिकता घनत्व और प्रायिकता धारा को विद्युत आवेश से गुणा करने पर आवेश घनत्व और धारा घनत्व के रूप में पुनर्व्याख्या की जानी चाहिए। फिर, तरंग फलन $∂^{μ}$ एक तरंग फलन परिशुद्ध नहीं है, लेकिन एक क्षेत्र के रूप में पुनर्व्याख्या की गई है। विद्युत आवेश का घनत्व और धारा सदैव एक सांतत्य समीकरण को संतुष्ट करती है:


 * $$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{J} = 0 \quad \rightleftharpoons \quad \partial_\mu J^\mu = 0 \,, $$

आवेश के रूप में एक संरक्षित मात्रा है। प्रायिकता घनत्व और धारा भी एक सांतत्य समीकरण को संतुष्ट करते हैं क्योंकि प्रायिकता संरक्षित है, हालांकि यह केवल अंतःक्रियाओं के अभाव में ही संभव है।

प्रचक्रण और विद्युत चुम्बकीय रूप से परस्पर क्रिया करने वाले कण
सापेक्षिक तरंग समीकरण में अन्तः क्रिया सम्मिलित करना सामान्य रूप से कठिन होता है। न्यूनतम युग्मन विद्युत चुम्बकीय अन्तः क्रिया को सम्मिलित करने का एक सरल तरीका है। विद्युत आवेश के एक आवेशित कण के लिए $ψ$ चुंबकीय सदिश विभव द्वारा दिए गए विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में $∂ψ/∂t$ चुंबकीय क्षेत्र द्वारा $ψ$ परिभाषित, और विद्युत अदिश विभव $q$ द्वारा दिया गया है, यह है:
 * $$\hat{E} \rightarrow \hat{E} - q\phi \,, \quad \hat{\mathbf{p}}\rightarrow \hat{\mathbf{p}} - q \mathbf{A} \quad \rightleftharpoons \quad \hat{P}_\mu \rightarrow \hat{P}_\mu -q A_\mu$$

जहाँ $A(r, t)$ चार-संवेग है जिसमें संबंधित 4-आघूर्ण संकारक है, और $B = &nabla; &times; A$ चार प्रायिकता है। निम्नलिखित में, गैर-सापेक्षतावादी सीमा सीमित स्थितियों को संदर्भित करती है:


 * $$E - e\phi \approx mc^2\,,\quad \mathbf{p} \approx m \mathbf{v}\,,$$

अर्थात्, कण की कुल ऊर्जा छोटे विद्युत विभवों के लिए लगभग शेष ऊर्जा होती है, और संवेग उत्कृष्ट संवेग के लगभग होता है।

प्रचक्रण 0
सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी में, KG समीकरण न्यूनतम युग्मन विधि को स्वीकार करता है;


 * $${(\hat{E} - q\phi)}^2 \psi = c^2{(\hat{\mathbf{p}} - q \mathbf{A})}^2\psi + (mc^2)^2\psi \quad \rightleftharpoons \quad \left[{(\hat{P}_\mu - q A_\mu)}{(\hat{P}^\mu - q A^\mu)} - {(mc)}^2 \right] \psi = 0.$$

ऐसे स्थिति में जहां आवेश शून्य है, समीकरण मुक्त KG समीकरण के लिए सामान्य रूप से कम हो जाता है, इसलिए गैर-शून्य आवेश निम्न माना जाता है। यह एक अदिश समीकरण है जो लोरेंत्ज़ समूह के अलघुकरणीय एक-आयामी अदिश (0,0) निरूपण के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। इसका अर्थ है कि इसके सभी समाधान (0,0) प्रतिनिधित्वों के प्रत्यक्ष योग से संबंधित होंगे। ऐसे समाधान जो अलघुकरणीय (0,0) प्रतिनिधित्व से संबंधित नहीं हैं, उनके दो या अधिक स्वतंत्र घटक होंगे। इस तरह के समाधान सामान्य रूप से अशून्य प्रचक्रण वाले कणों का वर्णन नहीं कर सकते हैं क्योंकि प्रचक्रण घटक स्वतंत्र नहीं हैं। उसके लिए अन्य प्रतिबंध लगाने होंगे, उदाहरण प्रचक्रण के लिए डायराक समीकरण$1⁄2$, नीचे देखें। इस प्रकार यदि कोई प्रणाली केवल KG समीकरण को संतुष्ट करता है, तो इसे केवल शून्य प्रचक्रण वाले प्रणाली के रूप में व्याख्या किया जा सकता है।

विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र को मैक्सवेल के समीकरणों के अनुसार उत्कृष्ट रूप से व्यवहार किया जाता है और कण को ​ KG समीकरण के समाधान तरंग फलन द्वारा वर्णित किया जाता है। समीकरण, जैसा कि यह स्थापित है, सदैव बहुत उपयोगी नहीं होता है, क्योंकि बड़े पैमाने पर प्रचक्रणहीन कण, जैसे कि π-मेसन, विद्युत चुम्बकीय अन्तः क्रिया के अतिरिक्त बहुत प्रबल अन्तः क्रिया का अनुभव करते हैं। हालांकि, यह अन्य अंतःक्रियाओं के अभाव में आवेशित किए गए प्रचक्रण-रहित बोसोन का सही वर्णन करता है।

KG समीकरण बाहरी विद्युत चुम्बकीय विभव में प्रचक्रण-रहित आवेश बोसॉन पर प्रयुक्त होता है। जैसे, समीकरण को परमाणुओं के विवरण पर प्रयुक्त नहीं किया जा सकता, क्योंकि इलेक्ट्रॉन एक चक्रण $1⁄2$ कण है। गैर-सापेक्षतावादी सीमा में एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में प्रचक्रण-रहित आवेशित कण के लिए श्रोडिंगर समीकरण के लिए समीकरण कम हो जाता है:


 * $$\left ( i\hbar \frac{\partial}{\partial t}- q\phi\right) \psi = \frac{1}{2m}{(\hat{\mathbf{p}} - q \mathbf{A})}^2 \psi \quad \Leftrightarrow \quad \hat{H} = \frac{1}{2m}{(\hat{\mathbf{p}} - q \mathbf{A})}^2 + q\phi.$$

प्रचक्रण $1⁄2$
गैर-सापेक्ष रूप से, प्रचक्रण विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में कणों के लिए 1927 में वोल्फगैंग पाउली द्वारा पाउली समीकरण में प्रस्तुत किया गया घटनात्मक मॉडल था:


 * $$\left(i \hbar \frac{\partial}{\partial t} - q \phi \right) \psi = \left[ \frac{1}{2m}{(\boldsymbol{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - q \mathbf{A}))}^2 \right] \psi \quad \Leftrightarrow \quad \hat{H} = \frac{1}{2m}{(\boldsymbol{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - q \mathbf{A}))}^2 + q \phi $$

2 × 2 पाउली आव्यूह के माध्यम से, और $ϕ(r, t)$ गैर-सापेक्षतावादी श्रोडिंगर समीकरण के रूप में केवल एक अदिश तरंग नहीं है, बल्कि एक दो-घटक संदिश क्षेत्र है:


 * $$\psi=\begin{pmatrix}\psi_{\uparrow} \\ \psi_{\downarrow} \end{pmatrix}$$

जहां पादांक ↑ और ↓ प्रचक्रित ($P_{μ}$) और नीचे की ओर प्रचक्रण ($A_{μ}$) अवस्थाओ को संदर्भित करते हैं।

सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी में, डायराक समीकरण न्यूनतम युग्मन भी सम्मिलित कर सकता है, ऊपर से पुनः लिखा गया;


 * $$\left(i \hbar \frac{\partial}{\partial t} -q\phi \right)\psi = \gamma^0 \left[ c\boldsymbol{\gamma}\cdot{(\hat{\mathbf{p}} - q\mathbf{A})} - mc^2 \right] \psi \quad \rightleftharpoons \quad \left[\gamma^\mu (\hat{P}_\mu - q A_\mu) - mc^2 \right]\psi = 0$$

और प्रचक्रण का परिशुद्ध अनुमान लगाने वाला पहला समीकरण था, जो 4 × 4 गामा आव्यूहों $&psi;$ का परिणाम था। 4 × 4 सर्वसम आव्यूह है जो ऊर्जा संकारक (संभावित ऊर्जा पद सहित) को पूर्व-गुणा करता है, पारंपरिक रूप से सरलता और स्पष्टता (अर्थात संख्या 1 की तरह व्यवहार किया जाता है) के लिए नहीं लिखा गया है। यहाँ $σ = +1⁄2$ एक चार-घटक संदिश क्षेत्र है, जो परंपरागत रूप से दो दो-घटक प्रचकर्णों में विभाजित होता है:
 * $$\psi=\begin{pmatrix}\psi_{+} \\ \psi_{-} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\psi_{+\uparrow} \\ \psi_{+\downarrow} \\ \psi_{-\uparrow} \\ \psi_{-\downarrow} \end{pmatrix} $$

2-संदिश $σ = &minus;1⁄2$ 4-संवेग $γ^{0} = β, γ = (γ_{1}, γ_{2}, γ_{3}) = βα = (βα_{1}, βα_{2}, βα_{3})$ और आवेश $&psi;$ और दो प्रचक्रण अवस्था ($ψ_{+}$, पहले की तरह) वाले एक कण के अनुरूप है। अन्य 2-संदिश $(E, p)$ समान द्रव्यमान और प्रचक्रण अवस्था वाले समान कण से मेल खाता है, लेकिन ऋणात्मक 4-संवेग $q$ और ऋणात्मक आवेश $σ = ±1⁄2$, अर्थात, ऋणात्मक ऊर्जा समय-उत्क्रमित संवेग और ऋणात्मक आवेश को दर्शाती है। यह एक कण और तदनुरूपी प्रतिकण की पहली व्याख्या और प्रागुक्त थी। इन प्रचकर्णों के अधिक विवरण के लिए डिराक संदिश और द्वि-संदिश देखें। गैर-सापेक्षतावादी सीमा में डायराक समीकरण पाउली समीकरण (इसके लिए डिराक समीकरण देखें) में कम हो जाता है। जब एक-इलेक्ट्रॉन परमाणु या आयन लगाया जाता है, तो समायोजित $ψ_{−}$ और $−(E, p)$ उपयुक्त विद्युत-स्थैतिक विभव के लिए, अतिरिक्त सापेक्षतावादी पदों में प्रचक्रण कक्षा अन्योन्यक्रिया, इलेक्ट्रॉन घूर्णचुम्बकीय अनुपात और डार्विन शब्द सम्मिलित हैं। साधारण क्वांटम यांत्रिकी में इन शब्दों को सुलेखित किया जाता है और क्षोभ सिद्धांत का उपयोग करके संशोधित किया जाता है। धनात्मक ऊर्जा सही संरचना के लिए परिशुद्ध रूप से गणना करती है।

सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी के अंदर, द्रव्यमान रहित कणों के लिए डिराक समीकरण कम हो जाता है:


 * $$ \left(\frac{\hat{E}}{c} + \boldsymbol{\sigma}\cdot \hat{\mathbf{p}} \right) \psi_{+} = 0 \,,\quad \left(\frac{\hat{E}}{c} - \boldsymbol{\sigma}\cdot \hat{\mathbf{p}} \right) \psi_{-} = 0 \quad \rightleftharpoons \quad \sigma^\mu \hat{P}_\mu \psi_{+} = 0\,,\quad \sigma_\mu \hat{P}^\mu \psi_{-} = 0\,,$$

इनमें से पहला वेइल समीकरण है, जो द्रव्यमान रहित न्युट्रीनो के लिए अपेक्षाकृत अधिक सरलीकरण है। इस बार 2 × 2 सर्वसम आव्यूह है जो पारंपरिक रूप से नहीं लिखे गए ऊर्जा संकारक को पूर्व-गुणा करता है। सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी में इसे ज़ीरोथ पाउली आव्यूह $−q$ के रूप में लेना उपयोगी है, जो ऊर्जा संचालिका (समय अवकल) के साथ जोड़े जाते हैं, यथार्थ वैसे ही जैसे अन्य तीन आव्यूह संवेग संचालक (स्थानिक अवकल) से जोड़े जाते हैं।

पाउली और गामा आव्यूह को यहां शुद्ध गणित के अतिरिक्त सैद्धांतिक भौतिकी में प्रस्तुत किया गया था। उनके पास चतुष्कोणों और SO(2) और SO(3) लाइ समूह के लिए अनुप्रयोग हैं, क्योंकि वे क्रमशः महत्वपूर्ण क्रमविनिमेयक [, ] और प्रति-क्रमविनिमेयक [ , ]+ संबंधों को संतुष्ट करते हैं:


 * $$\left[\sigma_a, \sigma_b \right] = 2i \varepsilon_{abc} \sigma_c \,, \quad \left[\sigma_a, \sigma_b \right]_{+} = 2\delta_{ab}\sigma_0$$

जहाँ $A = 0$ त्रि-आयामी लेवी-सिविता प्रतीक है। क्लिफोर्ड बीजगणित में गामा आव्यूह आधार (रैखिक बीजगणित) बनाते हैं, और समतल दिक्काल मिन्कोव्स्की दूरीक $ϕ$ के घटकों के साथ एक संबंध है:


 * $$\left[\gamma^\alpha,\gamma^\beta\right]_{+} = \gamma^\alpha\gamma^\beta + \gamma^\beta\gamma^\alpha = 2\eta^{\alpha\beta}\,,$$

(कार्टन औपचारिकता (भौतिकी) को प्रस्तुत करके इसे घूर्णक दिक्काल तक बढ़ाया जा सकता है, लेकिन यह विशेष सापेक्षता का विषय नहीं है)।

1929 में, ब्रेट समीकरण को दो या दो से अधिक विद्युत चुम्बकीय रूप से बड़े पैमाने पर प्रचक्रण $1⁄2$ का वर्णन करने के लिए पाया गया था। प्रथम-क्रम सापेक्षवादी सुधारों के लिए फ़र्मियन; इस तरह के एक सापेक्षवादी क्वांटम कई-कण प्रणाली का वर्णन करने वाले पहले प्रयासों में से एक है। हालांकि, यह अभी भी केवल एक अनुमान है, और हैमिल्टनियन में कई लंबी और जटिल राशियाँ सम्मिलित हैं।

कुंडलता और किरेलिटी
कुंडलता (कण भौतिकी) द्वारा परिभाषित किया गया है;


 * $$\hat{h} = \hat{\mathbf{S}}\cdot \frac{\hat{\mathbf{p}}}{|\mathbf{p}|} = \hat{\mathbf{S}} \cdot \frac{c\hat{\mathbf{p}}}{\sqrt{E^2 - (m_0c^2)^2}}$$

जहाँ p संवेग संचालक है, S चक्रण के एक कण के लिए प्रचक्रण संकारक s, E कण की कुल ऊर्जा है, और m0 इसका विश्राम द्रव्यमान है। कुंडलता प्रचक्रण और रूपांतरण संवेग वैक्टर के उन्मुखीकरण को इंगित करता है। परिभाषा में 3-संवेग के कारण कुंडलता संरचना-निर्भर है, और प्रचक्रण परिमाणीकरण के कारण इसकी मात्रा निर्धारित की जाती है, जिसमें समानांतर संरेखण के लिए असतत धनात्मक मान और प्रतिसमान्तर संरेखण के लिए ऋणात्मक मान होते हैं।

डायराक समीकरण (और वेइल समीकरण) में एक स्वचालित घटना प्रचक्रण का प्रक्षेपण $1⁄2$ 3-संवेग पर संकारक (गुना c), $σ_{0}$ है, जो कुंडलता (प्रचक्रण के लिए$1⁄2$ स्थिति) गुण है$$\sqrt{E^2 - (m_0c^2)^2}$$.

द्रव्यमान रहित कणों के लिए कुंडलता सरल हो जाता है:


 * $$\hat{h} = \hat{\mathbf{S}} \cdot \frac{c\hat{\mathbf{p}}}{E} $$

उच्च प्रचक्रण
डायराक समीकरण केवल प्रचक्रण $1⁄2$ डायराक समीकरण से अधिक के कणों का वर्णन कर सकता है, आरडब्ल्यूई को विभिन्न चक्रणों के मुक्त कणो पर प्रयुक्त किया गया है। 1936 में, डिराक ने अपने समीकरण को सभी फर्मियन तक बढ़ाया, तीन साल बाद मार्कस फ़िएर्ज़ और पाउली ने उसी समीकरण को पुनः प्राप्त किया। 1948 में लोरेंत्ज़ समूह सिद्धांत का उपयोग करते हुए बर्गमैन-विग्नर समीकरण पाए गए, जो किसी भी प्रचक्रण के साथ सभी मुक्त कणों के लिए प्रयुक्त होते हैं। उपरोक्त KG समीकरण के गुणनखंड को ध्यान में रखते हुए, और लोरेंत्ज़ समूह सिद्धांत द्वारा अधिक दृढ़ता से, यह आव्यूह के रूप में प्रचक्रण को प्रस्तुत करने के लिए स्पष्ट हो जाता है।

तरंग फलन बहुघटक संदिश क्षेत्र हैं, जिन्हें दिक्काल के फलन (गणित) के कॉलम सदिश के रूप में दर्शाया जा सकता है:


 * $$\psi(\mathbf{r},t) = \begin{bmatrix} \psi_{\sigma=s}(\mathbf{r},t) \\ \psi_{\sigma=s - 1}(\mathbf{r},t) \\ \vdots \\ \psi_{\sigma=-s + 1}(\mathbf{r},t) \\ \psi_{\sigma=-s}(\mathbf{r},t) \end{bmatrix}\quad\rightleftharpoons\quad {\psi(\mathbf{r},t)}^\dagger = \begin{bmatrix} {\psi_{\sigma=s}(\mathbf{r},t)}^\star & {\psi_{\sigma=s - 1}(\mathbf{r},t)}^\star & \cdots & {\psi_{\sigma=-s + 1}(\mathbf{r},t)}^\star & {\psi_{\sigma=-s}(\mathbf{r},t)}^\star \end{bmatrix}$$

जहां दाहिनी ओर पद हर्मिटियन संयुग्म है। प्रचक्रण के एक विशाल कण $ε_{abc}$ के लिए, वहाँ $η^{αβ}$ कण के लिए घटक, और दूसरा $σ · c p$ इसी प्रति कण के लिए (वहाँ $s$ संभव $2s + 1$ प्रत्येक स्थिति में मान हैं) हैं, समग्र रूप से a $2s + 1$-घटक संदिश क्षेत्र:


 * $$\psi(\mathbf{r},t) = \begin{bmatrix} \psi_{+,\,\sigma=s}(\mathbf{r},t) \\ \psi_{+,\,\sigma=s - 1}(\mathbf{r},t) \\ \vdots \\ \psi_{+,\,\sigma=-s + 1}(\mathbf{r},t) \\ \psi_{+,\,\sigma=-s}(\mathbf{r},t) \\ \psi_{-,\,\sigma=s}(\mathbf{r},t) \\ \psi_{-,\,\sigma=s - 1}(\mathbf{r},t) \\ \vdots \\ \psi_{-,\,\sigma=-s + 1}(\mathbf{r},t) \\ \psi_{-,\,\sigma=-s}(\mathbf{r},t) \end{bmatrix}\quad\rightleftharpoons\quad {\psi(\mathbf{r},t)}^\dagger\begin{bmatrix} {\psi_{+,\,\sigma=s}(\mathbf{r},t)}^\star & {\psi_{+,\,\sigma=s - 1}(\mathbf{r},t)}^\star & \cdots & {\psi_{-,\,\sigma=-s}(\mathbf{r},t)}^\star \end{bmatrix} $$

कण को ​​इंगित करने वाले  +  पादांक के साथ और प्रति कण के लिए  -  पादांक है। हालांकि, प्रचक्रण के द्रव्यमानहीन कणों के लिए, सदैव दो-घटक संदिश क्षेत्र होते हैं; एक +s के संगत एक कुंडल अवस्था में कण के लिए है और दूसरा -s के अनुरूप विपरीत कुंडल अवस्था में प्रति कण के लिए है:


 * $$\psi(\mathbf{r},t) = \begin{pmatrix} \psi_{+}(\mathbf{r},t) \\ \psi_{-}(\mathbf{r},t) \end{pmatrix}$$

आपेक्षिक ऊर्जा-संवेग संबंध के अनुसार, सभी द्रव्यमान रहित कण प्रकाश की संवेग से संचरण करते हैं, इसलिए प्रकाश की संवेग से संचरण करने वाले कणों को भी दो-घटक प्रचकर्णों द्वारा वर्णित किया जाता है। ऐतिहासिक रूप से, एली कार्टन ने 1913 में प्रचकर्णों का सबसे सामान्य रूप पाया, इससे पहले कि 1927 के बाद सापेक्षिक तरंग समीकरण में प्रचकर्णों का खुलासा हुआ।

उच्च-प्रचक्रण कणों का वर्णन करने वाले समीकरणों के लिए, अन्योन्यक्रियाओं का समावेश सरल न्यूनतम युग्मन के रूप में कहीं नहीं है, वे गलत भविष्यवाणियों और आत्म-असंगतताओं को उत्पन्न देते हैं। से अधिक प्रचक्रण के लिए $1⁄2$, सापेक्षिक तरंग समीकरण कण के द्रव्यमान, चक्रण और विद्युत आवेश द्वारा निर्धारित नहीं होता है; प्रचक्रण क्वांटम संख्या द्वारा अनुमत विद्युत चुम्बकीय आघूर्ण (विद्युत द्विध्रुवीय आघूर्ण और चुंबकीय द्विध्रुवीय आघूर्ण) एकपक्षीय (सैद्धांतिक रूप से, चुंबकीय आवेश भी योगदान देगा) होते हैं।। उदाहरण के लिए, प्रचक्रण$ħ⁄2$ स्थिति केवल एक चुंबकीय द्विध्रुव की स्वीकृति देता है, लेकिन प्रचक्रण के लिए 1 कण चुंबकीय चतुर्ध्रुव और विद्युत द्विध्रुव भी संभव हैं। इस विषय पर अधिक जानकारी के लिए, बहुध्रुव प्रसार और (उदाहरण के लिए) सेड्रिक लॉर्से (2009) देखें।

वेग संचालक
श्रोडिंगर/पाउली वेग संकारक को उत्कृष्ट परिभाषा का उपयोग करते हुए एक विशाल कण $2s + 1$ के लिए परिभाषित किया जा सकता है, और क्वांटम संचालिका को सामान्य तरीके से प्रतिस्थापित करना:
 * $$\hat{\mathbf{v}} = \frac{1}{m}\hat{\mathbf{p}}$$

जिसमें ऐसे आइगेनमान ​​​​हैं जो कोई भी मान लेते हैं। सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी में, डायराक सिद्धांत, यह है:


 * $$\hat{\mathbf{v}} = \frac{i}{\hbar}\left[\hat{H},\hat{\mathbf{r}}\right]$$

जिसका ±c के बीच आइगेनमान ​​​​होना चाहिए। अधिक सैद्धांतिक पृष्ठभूमि के लिए फ़ोल्डी-वौथुसेन परिवर्तन देखें।

आपेक्षिक क्वांटम लाग्रंगियन
श्रोडिंगर चित्र में हैमिल्टनी प्रचालक के लिए अवकलन समीकरण $σ$ बनाने के लिए एक दृष्टिकोण है, एक समतुल्य विकल्प एक लाग्रंगियन (क्षेत्र सिद्धांत) (वास्तव में लैग्रेंजियन घनत्व का अर्थ है) निर्धारित करना है, फिर क्षेत्र-सैद्धांतिक यूलर-लैग्रेंज समीकरण द्वारा अवकलन समीकरण उत्पन्न करें:


 * $$ \partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \psi )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} = 0 \,$$

कुछ आरडब्लू के लिए, निरीक्षण के द्वारा लैग्रेंजियन पाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, डिराक लाग्रंगियन है:
 * $$\mathcal{L} = \overline{\psi}(\gamma^\mu P_\mu - mc)\psi$$

और क्लेन-गॉर्डन लैग्रैंगियन है:


 * $$\mathcal{L} = - \frac{\hbar^2}{m} \eta^{\mu \nu} \partial_{\mu}\psi^{*} \partial_{\nu}\psi - m c^2 \psi^{*} \psi\,.$$

यह सभी सापेक्षिक तरंग समीकरण के लिए संभव नहीं है; और एक कारण यह है कि लोरेंत्ज़ समूह सैद्धांतिक दृष्टिकोण महत्वपूर्ण और आकर्षक है: दिक्काल में मौलिक अपरिवर्तनीयता और समरूपता का उपयोग उपयुक्त समूह प्रतिनिधित्वों का उपयोग करके सापेक्षिक तरंग समीकरण प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। अतः $2(2s + 1)$ की क्षेत्र व्याख्या के साथ लाग्रंगियन दृष्टिकोण सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी के अतिरिक्त सापेक्षतावादी क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत का विषय है: फेनमैन का पथ समाकल सूत्रीकरण हैमिल्टनी प्रचालक के अतिरिक्त अपरिवर्तनीय लैग्रैन्जियन का उपयोग करता है, क्योंकि उत्तरार्द्ध अधिकतम जटिल हो सकता है, (उदाहरण के लिए) वेनबर्ग (1995) देखे।

आपेक्षिकीय क्वांटम कोणीय संवेग
गैर-सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी में, कोणीय संवेग संचालिका उत्कृष्ट छद्म सदिश $p = m v$ परिभाषा से बनता है। सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी में, स्थिति और संवेग संचालकों को सीधे सम्मिलित किया जाता है, जहां वे कक्षीय सापेक्षिक कोणीय संवेग प्रदिश में चार-आयामी स्थिति और कण की संवेग से परिभाषित होते हैं, बाहरी बीजगणित औपचारिकता में समान रूप से एक द्विभाजक होते है:
 * $$M^{\alpha\beta} = X^\alpha P^\beta - X^\beta P^\alpha = 2 X^{[\alpha} P^{\beta]} \quad \rightleftharpoons \quad \mathbf{M} = \mathbf{X}\wedge\mathbf{P}\,,$$

जो समग्र रूप से छह घटक हैं: तीन गैर-सापेक्षवादी 3-कक्षीय ; $ψ$, $ψ$, $L = r × p$, और अन्य तीन $M^{12} = L^{3}$, $M^{23} = L^{1}$, $M^{31} = L^{2}$ कोणीय संवेग हैं, घूर्णन वस्तु के द्रव्यमान के केंद्र के अभिवर्ध हैं। प्रचक्रण वाले कणों के लिए एक अतिरिक्त सापेक्ष-क्वांटम पद जोड़ा जाना है। विराम द्रव्यमान $M^{01}$ के एक कण के लिए, कुल कोणीय संवेग प्रदिश है:


 * $$J^{\alpha\beta} = 2X^{[\alpha} P^{\beta]} + \frac{1}{m^2}\varepsilon^{\alpha \beta \gamma \delta} W_\gamma p_\delta \quad \rightleftharpoons \quad \mathbf{J} = \mathbf{X}\wedge\mathbf{P} + \frac{1}{m^2}\star(\mathbf{W}\wedge\mathbf{P})$$

जहां तारक बिंदु हॉज द्विक को दर्शाता है, और


 * $$W_\alpha =\frac{1}{2}\varepsilon_{\alpha \beta \gamma \delta}M^{\beta \gamma}p^\delta \quad \rightleftharpoons \quad \mathbf{W} = \star(\mathbf{M}\wedge\mathbf{P})$$

पाउली-लुबांस्की छद्म सदिश है। आपेक्षिक प्रचक्रण पर अधिक जानकारी के लिए, (उदाहरण के लिए) ट्रोशिन एंड ट्यूरिन (1994) देखें।

थॉमस पुरःसरण और प्रचक्रण-कक्षीय अन्तःक्रिया
1926 में, थॉमस पुरःसरण की खोज की गई: परमाणुओं के प्रचक्रण-कक्षीय अन्तःक्रिया और स्थूलदर्शीय वस्तु के घूर्णन में अनुप्रयोग के साथ प्राथमिक कणों के प्रचक्रण के सापेक्ष संशोधन किया। 1939 में विग्नर ने थॉमस पुरःसरण को व्युत्पन्न किया।

उत्कृष्ट विद्युत चुंबकत्व और विशेष सापेक्षता में, एक विद्युत क्षेत्र E के माध्यम से एक वेग v के साथ संचरण करने वाला एक इलेक्ट्रॉन, लेकिन एक चुंबकीय क्षेत्र B नहीं, अपने स्वयं के संदर्भ के संरचना में एक लोरेंत्ज़-रूपांतरित चुंबकीय क्षेत्र B ' का अनुभव करेगा:


 * $$\mathbf{B}' = \frac{\mathbf{E} \times \mathbf{v}}{c^2\sqrt{1- \left(v/c\right)^2}} \,.$$

गैर-सापेक्षतावादी सीमा v << c में:


 * $$\mathbf{B}' = \frac{\mathbf{E} \times \mathbf{v}}{c^2} \,,$$

इसलिए गैर-सापेक्षतावादी प्रचक्रण अन्तःक्रिया हैमिल्टनियन बन जाता है:
 * $$\hat{H} = - \mathbf{B}'\cdot \hat{\boldsymbol{\mu}}_S = -\left(\mathbf{B} + \frac{\mathbf{E} \times \mathbf{v}}{c^2} \right) \cdot \hat{\boldsymbol{\mu}}_S \,, $$

जहां पहला व्यंजक पहले से ही गैर-सापेक्षतावादी चुंबकीय आघूर्ण अन्तः क्रिया है, और दूसरा व्यंजक  $M^{02}$ क्रम का सापेक्ष संशोधन है, लेकिन यह प्रायोगिक परमाणु स्पेक्ट्रा से $1⁄2$ के कारक से असहमत है। एल. थॉमस द्वारा यह इंगित किया गया था कि एक दूसरा सापेक्ष प्रभाव है: इलेक्ट्रॉन वेग के लंबवत एक विद्युत क्षेत्र घटक इसके तात्कालिक वेग के लंबवत इलेक्ट्रॉन के अतिरिक्त त्वरण का कारण बनता है, इसलिए इलेक्ट्रॉन घुमावदार पथ में चलता है। इलेक्ट्रॉन संदर्भ के एक घूर्णन संरचना में चलता है, और इलेक्ट्रॉन के इस अतिरिक्त पुरस्सरण को थॉमस पुरस्सरण कहा जाता है। इसे दिखाया जा सकता है कि इस प्रभाव का शुद्ध परिणाम यह है कि प्रचक्रण-कक्षीय अन्तःक्रिया आधे से कम हो जाता है, जैसे कि इलेक्ट्रॉन द्वारा अनुभव किए गए चुंबकीय क्षेत्र का मान केवल आधा है, और हैमिल्टनियन में सापेक्ष संशोधन है:


 * $$\hat{H} = - \mathbf{B}'\cdot \hat{\boldsymbol{\mu}}_S = -\left(\mathbf{B} + \frac{\mathbf{E} \times \mathbf{v}}{2c^2} \right) \cdot \hat{\boldsymbol{\mu}}_S \,.$$

सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी के स्थिति में, $1/2$ के कारक की प्रागुक्त डायराक समीकरण द्वारा की जाती है।

इतिहास
जिन घटनाओं ने सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी को जन्म दिया और स्थापित किया, और क्वांटम विद्युत्-गतिक (क्यूईडी) से अधिक सांतत्य को नीचे संक्षेप में प्रस्तुत किया गया है [ उदाहरण के लिए, आर. रेसनिक और आर. आइज़बर्ग (1985), और पीटर एटकिंस|पी.डब्ल्यू एटकिंस (1974) देखें]। 1890 के दशक से लेकर 1950 के दशक तक नए और अप्रत्यक्ष क्वांटम सिद्धांत में प्रायोगिक और सैद्धांतिक अनुसंधान की आधी सदी से भी अधिक समय तक यह पता चला कि कई घटनाओं को एकल क्वांटम यांत्रिकी द्वारा नहीं समझाया जा सकता है। एसआर, 20वीं शताब्दी के अंत में पाया गया, एक आवश्यक घटक पाया गया, जिसमे एकीकरण सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी का एकीकरण हुआ। सैद्धांतिक पूर्वानुमान और प्रयोग मुख्य रूप से नए पाए गए परमाणु भौतिकी, परमाणु भौतिकी और कण भौतिकी पर केंद्रित हैं; स्पेक्ट्रमदर्शी, कणों के विवर्तन और प्रकीर्णन, और परमाणुओं और अणुओं के अंदर इलेक्ट्रॉनों और नाभिकों पर विचार करके ध्यान केंद्रित करते है। प्रचक्रण के प्रभावों के लिए कई परिणाम अधीन हैं।

क्वांटम परिघटना में कणों का सापेक्षिक विवरण
1905 में अल्बर्ट आइंस्टीन ने प्रकाश विद्युत प्रभाव के बारे में प्रकाश के एक कण विवरण को फोटॉन के रूप में समझाया। 1916 में, अर्नोल्ड सोमरफेल्ड ने पहले क्रम के सापेक्षवादी सुधारों के कारण परमाणुओं की वर्णक्रमीय रेखाओं के विभाजन की सूक्ष्म संरचना की व्याख्या की। 1923 के कॉम्पटन प्रभाव ने अधिक प्रमाण प्रदान किया कि विशेष सापेक्षता इस स्थिति में फोटॉन-इलेक्ट्रॉन प्रकीर्णन के एक कण विवरण पर प्रयुक्त होती है। लुई डी ब्रोगली तरंग-कण द्वैत को पदार्थ तक विस्तृत होते हैं: डी ब्रोगली तरंग-कण द्वैत को डी ब्रोगली संबंधों के स्थिति में विस्तारित करता है, जो विशेष सापेक्षता और क्वांटम यांत्रिकी के अनुरूप हैं। 1927 तक, डेविसन और जर्मर और अलग से जी. थॉमसन ने सफलतापूर्वक इलेक्ट्रॉनों को विवर्तित कर दिया, जिससे तरंग-कण द्वैत का प्रायोगिक साक्ष्य उपलब्ध हो गया।

प्रयोग

 * 1897 जे. जे. थॉमसन ने इलेक्ट्रॉन की खोज की और इसके द्रव्यमान-से-आवेश अनुपात को मापता है। ज़ीमैन प्रभाव की खोज एक स्थिर चुंबकीय क्षेत्र की उपस्थिति में वर्णक्रमीय रेखा को कई घटकों में विभाजित करती है।
 * 1908 रॉबर्ट एंड्रयूज मिलिकन ने तेल पात प्रयोग में इलेक्ट्रॉन पर आवेश को मापा और इसके परिमाणीकरण के प्रायोगिक साक्ष्य प्राप्त किए।
 * 1911 अर्नेस्ट रदरफोर्ड के नेतृत्व में गीजर-मार्सडेन प्रयोग में अल्फा कण प्रकीर्णन से पता चला कि परमाणुओं में एक आंतरिक संरचना परमाणु नाभिक होती है।
 * 1913 1913 स्टार्क प्रभाव एक स्थिर विद्युत क्षेत्र के कारण वर्णक्रमीय रेखाओं के विभाजन की (ज़ीमैन प्रभाव के साथ तुलना) खोज की है।
 * 1922 स्टर्न-गेरलाच प्रचक्रण और उसके परिमाणीकरण के प्रायोगिक साक्ष्य का प्रयोग करते हैं।
 * 1924 एडमंड क्लिफ्टन स्टोनर ने चुंबकीय क्षेत्रों में ऊर्जा स्तर के विभाजन का अध्ययन किया।
 * 1932 जेम्स चाडविक द्वारा न्यूट्रॉन की प्रायोगिक खोज, और कार्ल डेविड एंडरसन द्वारा पोजीट्रान, पॉज़िट्रॉन की सैद्धांतिक प्रागुक्त की पुष्टि करते हैं।
 * 1958 मोसबाउर प्रभाव की खोज एक ठोस में अनुबंध परमाणु नाभिक द्वारा गामा विकिरण का प्रतिध्वनित और प्रतिक्षेप-मुक्त उत्सर्जन और अवशोषण, गुरुत्वाकर्षण अभिरक्त विस्थापन और समय विस्तरण के परिशुद्ध माप के लिए उपयोगी, और अतिसूक्ष्म अन्तःक्रिया में परमाणु विद्युत चुम्बकीय आघूर्ण के विश्लेषण में की गई थी ।

क्वांटम गैर-स्थानीयता और सापेक्षतावादी अवस्थिति
1935 में आइंस्टीन, नाथन रोसेन, बोरिस पोडॉल्स्की ने एक पत्र प्रकाशित किया कणों के क्वांटम उलझन से संबंधित, क्वांटम गैर-स्थानीयता पर सवाल करते हुए और एसआर में कार्य-कारण के स्पष्ट उल्लंघन का समर्थन किया: कण यादृच्छिक दूरी पर तत्काल अन्तः क्रिया करने के लिए प्रकट हो सकते हैं। यह एक गलत धारणा थी क्योंकि सूचना जटिल अवस्थाओं में न तो स्थानांतरित होती है और न ही स्थानांतरित की जा सकती है; बल्कि सूचना संचरण दो पर्यवेक्षकों द्वारा (एक पर्यवेक्षक को दूसरे को एक संकेत भेजना होता है, जो कि c से अधिक नहीं हो सकता है) माप की प्रक्रिया में है। क्वांटम यांत्रिकी एसआर का उल्लंघन नहीं करता है। 1959 में, डेविड बोहम और याकिर अहरोनोव ने एक पत्र प्रकाशित किया अहरोनोव-बोहम प्रभाव पर, क्वांटम यांत्रिकी में विद्युत चुम्बकीय विभव की स्थिति पर सवाल करते हुए हुए विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र टेंसर और विद्युत चुम्बकीय चार-विभव ईएम 4-विभव सूत्रीकरण दोनों एसआर में प्रयुक्त होते हैं, लेकिन क्वांटम यांत्रिकी में विभव हैमिल्टनियन (ऊपर देखें) में प्रवेश करते हैं और आवेश किए गए कणों की संवेग को उन क्षेत्रों में भी प्रभावित करते हैं जहां क्षेत्र शून्य हैं। 1964 में, बेल की प्रमेय ईपीआर विरोधाभास पर एक पत्र में प्रकाशित हुई थी, दर्शाया गया है कि क्वांटम यांत्रिकी को स्थानीय अप्रत्यक्ष-परिवर्ती सिद्धांत से प्राप्त नहीं किया जा सकता है। स्थानीय अप्रत्यक्ष-परिवर्ती सिद्धांत यदि स्थानीयता को बनाए रखा जाना है।

लैम्ब सृति
1947 में, इलेक्ट्रॉन और निर्वात के बीच परस्पर क्रिया के कारण लैम्ब सृति में 2S1⁄2 और 2P1⁄2 हाइड्रोजन के स्तरों में एक छोटे से अंतर की खोज की गई थी। लैम्ब और रदरफोर्ड प्रायोगिक रूप से सूक्ष्मतरंग विकिरण द्वारा 2S1⁄2 और 2P1⁄2 हाइड्रोजन स्तरों के उत्तेजित रेडियो-आवृत्ति संक्रमणों को मापते हैं। बेथे द्वारा लैम्ब सृति की व्याख्या प्रस्तुत की गई है। 1950 के दशक के प्रारंभ में इस प्रभाव पर शोध पत्र प्रकाशित किए गए थे।

क्वांटम विद्युत्-गतिक का विकास

 * 1943 हार्ट-इचिरो टोमोनागा ने क्वांटम विद्युत्-गतिक  में प्रभावशाली, पुनर्सामान्यीकरण पर कार्य प्रारंभ किया।
 * 1947 जूलियन श्विंगर ने इलेक्ट्रॉन के विषम चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण की गणना की। पॉलीकार्प कुश विषम चुंबकीय इलेक्ट्रॉन आघूर्ण का मापन करता है, जो क्वांटम विद्युत्-गतिक की उत्कृष्ट पूर्वानुमानों में से एक की पुष्टि करता है।

परमाणु भौतिकी और रसायन विज्ञान

 * सापेक्षवादी क्वांटम रसायन
 * ब्रेट समीकरण
 * इलेक्ट्रॉन प्रचक्रण अनुनाद
 * सूक्ष्म-संरचना स्थिर

गणितीय भौतिकी

 * क्वांटम दिक्काल
 * प्रचक्रण संयोजन
 * स्पिनर समूह
 * भौतिक स्थान के बीजगणित में डायराक समीकरण
 * कासिमिर अपरिवर्तनीय
 * कासिमिर संचालक
 * विग्नर डी-आव्यूह

कण भौतिकी और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत

 * ज़िटरबेवेगंग
 * दो-निकाय डायराक समीकरण
 * सापेक्षवादी भारी आयन कोलाइडर
 * समरूपता (भौतिकी)
 * समता (भौतिकी)
 * सीपीटी व्युत्क्रमण
 * चिरलिटी (भौतिकी)
 * मानक मॉडल
 * गेज सिद्धांत
 * टैचियन
 * लोरेंत्ज़ उल्लंघन के लिए आधुनिक खोज