पास्कल आव्यूह

गणित में, विशेष रूप से आव्यूह सिद्धांत और कॉम्बिनेटरिक्स में, पास्कल आव्यूह एक आव्यूह (संभवतः अनंत) होता है जिसमें इसके अवयवो के रूप में द्विपद गुणांक होते हैं। इस प्रकार यह आव्यूह रूप में पास्कल के त्रिकोण का एक एन्कोडिंग है। इसे प्राप्त करने के तीन प्राकृतिक विधि हैं: निचले-त्रिकोणीय आव्यूह, ऊपरी-त्रिकोणीय आव्यूह , या सममित आव्यूह के रूप में उदाहरण के लिए, 5 × 5 आव्यूह हैं:

$$L_5 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 3 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 6 & 4 & 1 \end{pmatrix}\,\,\,$$$$U_5 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\,\,\,$$$$S_5 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 3 & 6 & 10 & 15 \\ 1 & 4 & 10 & 20 & 35 \\ 1 & 5 & 15 & 35 & 70 \end{pmatrix}=L_5 \times U_5$$ ऐसे अन्य विधि हैं जिनसे पास्कल के त्रिकोण को आव्यूह रूप में रखा जा सकता है, किंतु इन्हें आसानी से अनंत तक विस्तारित नहीं किया जा सकता है।

परिभाषा
पास्कल आव्यूह के गैर-शून्य तत्व द्विपद गुणांक द्वारा दिए गए हैं:

$$L_{ij} = {i \choose j} = \frac{i!}{j!(i-j)!}, j \le i                                                                                                               $$ $$U_{ij} = {j \choose i} = \frac{j!}{i!(j-i)!}, i \le j$$ $$S_{ij} = {i+j \choose i} = {i+j \choose j} = \frac{(i+j)!}{i!j!}$$ जैसे कि सूचकांक i, j 0 से प्रारंभ होते हैं, और ! फैक्टोरियल को दर्शाता है.

गुण
आव्यूहों का सुखद संबंध है Sn = LnUn इससे यह आसानी से देखा जा सकता है कि सभी तीन आव्यूहों का निर्धारक 1 है, क्योंकि एक त्रिकोणीय आव्यूह का निर्धारक केवल उसके विकर्ण तत्वों का गुणनफल है, जो Ln and Un दोनों के लिए सभी 1 हैं। दूसरे शब्दों में, आव्यूह Sn, Ln, and Un एकरूप हैं, Ln and Un में ट्रेस n है।

Sn का निशान द्वारा दिया गया है
 * $$\text{tr}(S_n) = \sum^n_{i=1} \frac{ [ 2(i-1) ] !}{[(i-1)!]^2} = \sum^{n-1}_{k=0} \frac{ (2k) !}{(k!)^2}$$

अनुक्रम 1, 3, 9, 29, 99, 351, 1275, ... द्वारा दिए गए पहले कुछ शब्दों के साथ.

निर्माण
एक पास्कल आव्यूह का निर्माण वास्तव में एक विशेष उपविकर्ण या सुपरडायगोनल आव्यूह के आव्यूह घातांक को लेकर किया जा सकता है। नीचे दिया गया उदाहरण 7 × 7 पास्कल आव्यूह का निर्माण करता है, किंतु विधि किसी भी वांछित n × n पास्कल आव्यूह के लिए काम करती है। निम्नलिखित आव्यूह में बिंदु शून्य तत्वों का प्रतिनिधित्व करते हैं।



\begin{array}{lll} & L_7=\exp \left ( \left [ \begin{smallmatrix} . & . & . & . & . & . & . \\ 1 & . & . & . & . & . & . \\ . & 2 & . & . & . & . & . \\ . & . & 3 & . & . & . & . \\ . & . & . & 4 & . & . & . \\ . & . & . & . & 5 & . & . \\ . & . & . & . & . & 6 &.

\end{smallmatrix} \right ] \right ) = \left [ \begin{smallmatrix} 1  & .   & .   & .   & .   & .   & .   \\ 1   & 1   & .   & .   & .   & .   & .   \\ 1   & 2   & 1   & .   & .   & .   & .   \\ 1   & 3   & 3   & 1   & .   & .   & .   \\ 1   & 4   & 6   & 4   & 1   & .   & .   \\ 1   & 5   & 10  & 10  & 5   & 1   & .   \\ 1   & 6   & 15  & 20  & 15  & 6   & 1  \end{smallmatrix} \right ] \\ \\ & U_7=\exp \left ( \left [ \begin{smallmatrix} {\color{white}1}. & 1 & . & . & . & . & . \\ {\color{white}1}. & . & 2 & . & . & . & . \\ {\color{white}1}. & . & . & 3 & . & . & . \\ {\color{white}1}. & . & . & . & 4 & . & . \\ {\color{white}1}. & . & . & . & . & 5 & . \\ {\color{white}1}. & . & . & . & . & . & 6 \\ {\color{white}1}. & . & . & . & . & . & . \end{smallmatrix} \right ] \right ) = \left [ \begin{smallmatrix} 1  & 1   & 1   & 1   & 1   & 1   & 1   \\ .   & 1   & 2   & 3   & 4   & 5   & 6   \\ .   & .   & 1   & 3   & 6   & 10  & 15  \\ .   & .   & .   & 1   & 4   & 10  & 20  \\ .   & .   & .   & .   & 1   & 5   & 15  \\ .   & .   & .   & .   & .   & 1   & 6   \\ .   & .   & .   & .   & .   & .   & 1  \end{smallmatrix} \right ] \\ \\
 * \quad

\therefore & S_7 =\exp \left ( \left [ \begin{smallmatrix} . & . & . & . & . & . & . \\ 1 & . & . & . & . & . & . \\ . & 2 & . & . & . & . & . \\ . & . & 3 & . & . & . & . \\ . & . & . & 4 & . & . & . \\ . & . & . & . & 5 & . & . \\ . & . & . & . & . & 6 &.

\end{smallmatrix} \right ] \right ) \exp \left ( \left [ \begin{smallmatrix} {\color{white}i}. & 1 & . & . & . & . & . \\ {\color{white}i}. & . & 2 & . & . & . & . \\ {\color{white}i}. & . & . & 3 & . & . & . \\ {\color{white}i}. & . & . & . & 4 & . & . \\ {\color{white}i}. & . & . & . & . & 5 & . \\ {\color{white}i}. & . & . & . & . & . & 6 \\ {\color{white}i}. & . & . & . & . & . & . \end{smallmatrix} \right ] \right ) = \left [ \begin{smallmatrix} 1  & 1   & 1   & 1   & 1   & 1   & 1   \\ 1   & 2   & 3   & 4   & 5   & 6   & 7   \\ 1   & 3   & 6   & 10  & 15  & 21  & 28  \\ 1   & 4   & 10  & 20  & 35  & 56  & 84  \\ 1   & 5   & 15  & 35  & 70  & 126 & 210 \\ 1   & 6   & 21  & 56  & 126 & 252 & 462 \\ 1   & 7   & 28  & 84  & 210 & 462 & 924 \end{smallmatrix} \right ]. \end{array} $$ यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि कोई n × n आव्यूह A और B के लिए केवल exp(A) exp(B) = exp(A + B) नहीं मान सकता है; यह समानता केवल तभी सत्य है जब AB = BA (अर्थात् जब आव्यूह A और B परिवर्तित हों)। उपरोक्त की तरह सममित पास्कल आव्यूह के निर्माण में, उप- और सुपरडायगोनल आव्यूह कम्यूट नहीं होते हैं, इसलिए मैट्रिसेस को जोड़ने वाला (संभवतः) आकर्षक सरलीकरण नहीं किया जा सकता है।

निर्माण के लिए उपयोग किए जाने वाले उप- और सुपरडायगोनल आव्यूह की एक उपयोगी गुण यह है कि दोनों शून्य-शक्तिशाली हैं; अर्थात्, जब पर्याप्त रूप से महान पूर्णांक घात तक बढ़ा दिया जाता है, तो वे शून्य आव्यूह में परिवर्तित हो जाते हैं। (अधिक जानकारी के लिए शिफ्ट आव्यूह देखें।) चूंकि हम जिस n × n सामान्यीकृत शिफ्ट आव्यूह का उपयोग कर रहे हैं, वह घात n तक बढ़ाए जाने पर शून्य हो जाता है, आव्यूह एक्सपोनेंशियल की गणना करते समय हमें स्पष्ट परिणाम प्राप्त करने के लिए केवल अनंत श्रृंखला के पहले n + 1 शब्दों पर विचार करने की आवश्यकता होती है।

वेरिएंट
आव्यूह -लघुगणक PL7 के स्पष्ट संशोधन और फिर आव्यूह घातांक के अनुप्रयोग द्वारा रौचक वेरिएंट प्राप्त किए जा सकते हैं।

नीचे दिया गया पहला उदाहरण लॉग-आव्यूह के मानों के वर्गों का उपयोग करता है और 7 × 7 "लैगुएरे" - आव्यूह  (या लैगुएरे बहुपदों के गुणांकों का आव्यूह ) बनाता है

\begin{array}{lll} & LAG_7=\exp \left ( \left [ \begin{smallmatrix} . & . & . & . & . & . & . \\ 1 & . & . & . & . & . & . \\ . & 4 & . & . & . & . & . \\ . & . & 9 & . & . & . & . \\ . & . & . & 16 & . & . & . \\ . & . & . & . & 25 & . & . \\ . & . & . & . & . & 36 & . \end{smallmatrix} \right ] \right ) = \left [ \begin{smallmatrix} 1 &     . &      . &      . &     . &    . &   .   \\    1 &      1 &      . &      . &     . &    . &   .   \\    2 &      4 &      1 &      . &     . &    . &   .   \\     6 &     18 &      9 &      1 &     . &    . &   .   \\    24 &     96 &     72 &     16 &     1 &    . &   .   \\   120 &    600 &    600 &    200 &    25 &    1 &   .   \\   720 &   4320 &   5400 &   2400 &   450 &   36 &   1 \end{smallmatrix} \right ] \end{array} $$ लैगुएरे-आव्यूह का उपयोग वास्तव में कुछ अन्य स्केलिंग और/या वैकल्पिक संकेतों की योजना के साथ किया जाता है। (उच्च शक्तियों के सामान्यीकरण के बारे में साहित्य अभी तक नहीं मिला है)
 * \quad

नीचे दिया गया दूसरा उदाहरण लॉग-आव्यूह के मानों के उत्पाद v(v+ 1) का उपयोग करता है और 7 × 7 लाह - आव्यूह (या लाह संख्याओं के गुणांकों का आव्यूह ) बनाता है।


 * $$\begin{array}{lll}

& LAH_7 = \exp \left ( \left [ \begin{smallmatrix} . & . & . & . & . & . & . \\ 2 & . & . & . & . & . & . \\ . & 6 & . & . & . & . & . \\ . & . &12 & . & . & . & . \\ . & . & . & 20 & . & . & . \\ . & . & . & . & 30 & . & . \\ . & . & . & . & . & 42 & . \end{smallmatrix} \right ] \right ) = \left [ \begin{smallmatrix} 1 & . & . & . & . & . & . & . \\ 2 & 1 & . & . & . & . & . & . \\ 6 & 6 & 1 & . & . & . & . & . \\ 24 & 36 & 12 & 1 & . & . & . & . \\ 120 & 240 & 120 & 20 & 1 & . & . & . \\ 720 & 1800 & 1200 & 300 & 30 & 1 & . & . \\ 5040 & 15120 & 12600 & 4200 & 630 & 42 & 1 & . \\ 40320 & 141120 & 141120 & 58800 & 11760 & 1176 & 56 & 1 \end{smallmatrix} \right ] \end{array} $$ इसके अतिरिक्त v(v − 1) का उपयोग करने से विकर्ण को नीचे-दाईं ओर स्थानांतरित किया जा सकता है।
 * \quad

नीचे दिया गया तीसरा उदाहरण मूल PL7-आव्यूह के वर्ग का उपयोग करता है, जिसे 2 से विभाजित किया जाता है, दूसरे शब्दों में: दूसरे उपविकर्ण में प्रथम-क्रम द्विपद (द्विपद (k, 2)) और एक आव्यूह का निर्माण करता है, जो गॉसियन त्रुटि फलन के डेरिवेटिव और इंटीग्रल के संदर्भ में होता है:



\begin{array}{lll} & GS_7 = \exp \left ( \left [ \begin{smallmatrix} . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . \\ 1 & . & . & . & . & . & . \\ . & 3 & . & . & . & . & . \\ . & . & 6 & . & . & . & . \\ . & . & . & 10 & . & . & . \\ . & . & . & . & 15 & . & . \end{smallmatrix} \right ] \right ) = \left [ \begin{smallmatrix} 1 &   . &    . &    . &    . &   . &   .   \\    . &    1 &    . &    . &    . &   . &   .   \\    1 &    . &    1 &    . &    . &   . &   .   \\    . &    3 &    . &    1 &    . &   . &   .   \\    3 &    . &    6 &    . &    1 &   . &   .   \\    . &   15 &    . &   10 &    . &   1 &   .   \\   15 &    . &   45 &    . &   15 &   . &   1 \end{smallmatrix} \right ] \end{array} $$ यदि यह आव्यूह व्युत्क्रम आव्यूह है (उदाहरण के लिए, ऋणात्मक आव्यूह -लघुगणक का उपयोग करके), तो व्युत्क्रम आव्यूह में वैकल्पिक संकेत हैं और गॉस के त्रुटि-फलन के डेरिवेटिव (और विस्तार से इंटीग्रल) के गुणांक देते हैं। (बड़ी शक्तियों के सामान्यीकरण के बारे में साहित्य अभी तक नहीं मिला है।)
 * \quad

मूल आव्यूह को पास्कल के त्रिभुज या एक्सटेंशन तक विस्तारित करके एक अन्य संस्करण प्राप्त किया जा सकता है:

\begin{array}{lll} & \exp \left ( \left [ \begin{smallmatrix} . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ -5& . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ . &-4 & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . &-3 & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . &-2 & . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . &-1 & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & 0 & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & 1 & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . & 2 & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . & . & 3 & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . & . & . & 4 & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & 5 &.

\end{smallmatrix} \right ] \right ) = \left [ \begin{smallmatrix} 1  & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   \\ -5  & 1   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   \\ 10  & -4  & 1   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   \\ -10 & 6   & -3  & 1   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   \\ 5   & -4  & 3   & -2  & 1   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   \\ -1  & 1   & -1  & 1   & -1  & 1   & .   & .   & .   & .   & .   & .   \\ .   & .   & .   & .   & .   & 0   & 1   & .   & .   & .   & .   & .   \\ .   & .   & .   & .   & .   & .   & 1   & 1   & .   & .   & .   & .   \\ .   & .   & .   & .   & .   & .   & 1   & 2   & 1   & .   & .   & .   \\ .   & .   & .   & .   & .   & .   & 1   & 3   & 3   & 1   & .   & .   \\ .   & .   & .   & .   & .   & .   & 1   & 4   & 6   & 4   & 1   & .   \\ .   & .   & .   & .   & .   & .   & 1   & 5   & 10  & 10  & 5   & 1 \end{smallmatrix} \right ] . \end{array} $$

यह भी देखें

 * पास्कल का त्रिकोण
 * एलयू अपघटन

संदर्भ

 * G. S. Call and D. J. Velleman, "Pascal's matrices", American Mathematical Monthly, volume 100, (April 1993) pages 372–376

बाहरी संबंध

 * G. Helms Pascalmatrix in a project of compilation of facts about Numbertheoretical matrices
 * G. Helms Gauss-matrix
 * Weisstein, Eric W. Gaussian-function
 * Weisstein, Eric W. Erf-function
 * Weisstein, Eric W. "Hermite Polynomial". Hermite-polynomials
 * Endl, Kurt "Über eine ausgezeichnete Eigenschaft der Koeffizientenmatrizen des Laguerreschen und des Hermiteschen Polynomsystems". In: PERIODICAL VOLUME 65 Mathematische Zeitschrift Kurt Endl
 * (Related to Gauss-matrix).