सम और विषम फलन

गणित में, सम फलन और विषम फलन फलन (गणित) होते हैं जो योगात्मक व्युत्क्रम लेने के संबंध में विशेष समरूपता संबंधों को संतुष्ट करते हैं। वे गणितीय विश्लेषण के कई क्षेत्रों में महत्वपूर्ण हैं, विशेष रूप से शक्ति श्रृंखला और फूरियर श्रृंखला के सिद्धांत। उन्हें ऊर्जा समीकरण की शक्तियों की समता (गणित) के लिए नामित किया गया है जो प्रत्येक शर्त को पूरा करते हैं: फ़ंक्शन $$f(x) = x^n$$ यदि n एक सम पूर्णांक है, तो यह एक सम फलन है, और यदि n एक विषम पूर्णांक है, तो यह एक विषम फलन है।

परिभाषा और उदाहरण
समता और विषमता को आम तौर पर वास्तविक कार्यों के लिए माना जाता है, जो वास्तविक चर के वास्तविक-मूल्यवान कार्य हैं। हालांकि, अवधारणाओं को आम तौर पर उन कार्यों के लिए परिभाषित किया जा सकता है जिनके फ़ंक्शन और कोडोमेन दोनों के डोमेन में योगात्मक व्युत्क्रम की धारणा है। इसमें एबेलियन समूह, सभी रिंग (बीजगणित), सभी फ़ील्ड (गणित), और सभी वेक्टर रिक्त स्थान शामिल हैं। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, एक वास्तविक कार्य विषम या सम (या न ही) हो सकता है, जैसा कि वेक्टर चर का एक जटिल संख्या-मूल्यवान कार्य हो सकता है, और इसी तरह।

किसी फ़ंक्शन के उनके ग्राफ़ की समरूपता को दर्शाने के लिए दिए गए उदाहरण वास्तविक फ़ंक्शन हैं।

सम कार्य
छवि: फंक्शन एक्स ^2.svg|right|thumb|$$f(x)=x^2$$ सम फलन का उदाहरण है। मान लीजिए f एक वास्तविक चर का वास्तविक-मूल्यवान फलन है। तब f 'सम' है यदि निम्नलिखित समीकरण सभी x के लिए मान्य है जैसे कि x और -x f के डोमेन में हैं:

या समतुल्य यदि निम्न समीकरण ऐसे सभी x के लिए मान्य है:


 * $$f(x) - f(-x) = 0.$$

ज्यामितीय रूप से, एक सम फलन का ग्राफ y-अक्ष के संबंध में समरूपता है, जिसका अर्थ है कि y-अक्ष के बारे में परावर्तन (गणित) के बाद इसका ग्राफ अपरिवर्तित रहता है।

सम फलनों के उदाहरण हैं:
 * निरपेक्ष मूल्य $$x \mapsto |x|,$$
 * $$x \mapsto x^2,$$
 * $$x \mapsto x^4,$$
 * त्रिकोणमितीय समारोह $$\cos,$$
 * अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य $$\cosh.$$

विषम कार्य
पुनः, मान लीजिए f एक वास्तविक चर का वास्तविक-मूल्यवान फलन है। तब f 'विषम' होता है यदि निम्नलिखित समीकरण सभी x के लिए ऐसा रखता है कि x और -x f के डोमेन में हैं:

या समतुल्य यदि निम्न समीकरण ऐसे सभी x के लिए मान्य है:


 * $$f(x) + f(-x) = 0.$$

ज्यामितीय रूप से, एक विषम फ़ंक्शन के ग्राफ़ में उत्पत्ति (गणित) के संबंध में घूर्णी समरूपता होती है, जिसका अर्थ है कि मूल के बारे में 180 डिग्री (कोण) के रोटेशन (गणित) के बाद इसका ग्राफ़ अपरिवर्तित रहता है।

विषम कार्यों के उदाहरण हैं:
 * पहचान समारोह $$x \mapsto x,$$
 * $$x \mapsto x^3,$$
 * उसका $$\sin,$$
 * अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य $$\sinh,$$
 * त्रुटि समारोह $$\operatorname{erf}.$$



विशिष्टता

 * यदि कोई फलन सम और विषम दोनों है, तो यह हर जगह परिभाषित होने पर 0 के बराबर होता है।
 * यदि कोई फलन विषम है, तो उस फलन का निरपेक्ष मान एक सम फलन होता है।

जोड़ और घटाव

 * दो सम कार्यों का योग सम है।
 * दो विषम फलनों का योग विषम होता है।
 * दो विषम कार्यों के बीच का घटाव विषम है।
 * दो सम कार्यों के बीच का अंतर सम है।
 * सम और विषम फलन का योग सम या विषम नहीं है, जब तक कि किसी फलन के दिए गए डोमेन पर कोई एक फलन शून्य के बराबर न हो।

गुणा और भाग

 * दो सम फलनों का गुणनफल सम फलन होता है।
 * इसका अर्थ है कि किसी भी संख्या में सम फलनों का गुणनफल भी एक सम फलन होता है।
 * दो विषम फलनों का गुणनफल एक सम फलन होता है।
 * एक सम फलन और एक विषम फलन का गुणनफल एक विषम फलन होता है।
 * दो सम फलनों का विभाजन (गणित) एक सम फलन है।
 * दो विषम फलनों का भागफल एक सम फलन होता है।
 * सम फलन और विषम फलन का भागफल विषम फलन होता है।

रचना

 * दो सम फलनों का फलन संघटन सम है।
 * दो विषम फलनों का संघटन विषम होता है।
 * सम फलन और विषम फलन का संघटन सम होता है।
 * सम फलन वाले किसी भी फलन का संघटन सम होता है (लेकिन इसके विपरीत नहीं)।

सम-विषम अपघटन
प्रत्येक फलन एक सम और एक विषम फलन के योग के रूप में विशिष्ट रूप से विघटित हो सकता है, जिसे क्रमशः सम भाग और फलन का विषम भाग कहा जाता है; अगर कोई परिभाषित करता है

और

तब $$f_\text{e}$$ सम है, $$f_\text{o}$$ अजीब है, और
 * $$f(x)=f_\text{e}(x) + f_\text{o}(x).$$

इसके विपरीत यदि
 * $$f(x)=g(x)+h(x),$$

कहाँ $$ सम है और $$ तब विषम है $$g=f_\text{e}$$ और $$h=f_\text{o},$$ तब से
 * $$\begin{align}

2f_\text{e}(x) &=f(x)+f(-x)= g(x) + g(-x) +h(x) +h(-x) = 2g(x),\\ 2f_\text{o}(x) &=f(x)-f(-x)= g(x) - g(-x) +h(x) -h(-x) = 2h(x). \end{align}$$ उदाहरण के लिए, अतिशयोक्तिपूर्ण कोसाइन  और अतिशयोक्तिपूर्ण साइन को एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन के सम और विषम भागों के रूप में माना जा सकता है, क्योंकि पहला एक सम फ़ंक्शन है, दूसरा विषम है, और
 * $$e^x=\underbrace{\cosh (x)}_{f_\text{e}(x)} + \underbrace{\sinh (x)}_{f_\text{o}(x)}$$.

आगे बीजगणितीय गुण

 * सम फलनों का कोई भी रैखिक संयोजन सम होता है, और सम फलन वास्तविक संख्याओं पर एक सदिश स्थान बनाते हैं। इसी तरह, विषम कार्यों का कोई भी रैखिक संयोजन विषम होता है, और विषम कार्य भी वास्तविक के ऊपर एक सदिश स्थान बनाते हैं। वास्तव में, सभी वास्तविक कार्यों का वेक्टर स्थान सम और विषम कार्यों के रैखिक उप-स्थान के वेक्टर रिक्त स्थान का प्रत्यक्ष योग है। पिछले अनुभाग में संपत्ति को व्यक्त करने का यह एक अधिक अमूर्त तरीका है।
 * कार्यों के स्थान को इस संपत्ति के साथ-साथ ऊपर दिए गए कुछ लोगों द्वारा वास्तविक संख्याओं पर एक वर्गीकृत बीजगणित माना जा सकता है।


 * सम फलन वास्तविक क्षेत्र के ऊपर एक बीजगणित बनाते हैं। हालांकि, विषम फलन वास्तविक के ऊपर एक बीजगणित नहीं बनाते हैं, क्योंकि वे गुणन के तहत समापन (गणित) नहीं हैं।

विश्लेषणात्मक गुण
किसी फलन के विषम या सम होने का अर्थ अवकलनीय फलन, या यहाँ तक कि सतत फलन भी नहीं है। उदाहरण के लिए, डिरिचलेट समारोह सम है, लेकिन कहीं भी निरंतर नहीं है।

निम्नलिखित में, यौगिक, फूरियर श्रृंखला, टेलर श्रृंखला, और इसी तरह के गुण शामिल हैं, मान लीजिए कि इन अवधारणाओं को उन कार्यों से परिभाषित किया गया है जिन्हें माना जाता है।

बुनियादी विश्लेषणात्मक गुण

 * सम फलन का अवकलज विषम होता है।
 * किसी विषम फलन का अवकलज सम होता है।
 * −A से +A तक के विषम फलन का समाकलन शून्य है (जहाँ A परिमित है, और फलन में −A और A के बीच कोई उर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख नहीं है)। एक विषम कार्य के लिए जो एक सममित अंतराल पर पूर्णांक है, उदा। $$[-A,A]$$, उस अंतराल पर समाकलन का परिणाम शून्य है; वह है
 * $$\int_{-A}^{A} f(x)\,dx = 0$$.
 * −A से +A तक के सम फलन का समाकल 0 से +A तक का समाकलन का दुगुना है (जहाँ A परिमित है, और फलन में -A और A के बीच कोई उर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी रेखाएँ नहीं हैं। यह तब भी सत्य है जब A अनंत है, लेकिन केवल अगर अभिन्न अभिसरण); वह है
 * $$\int_{-A}^{A} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{A} f(x)\,dx$$.

श्रृंखला

 * सम फलन की मैक्लॉरिन श्रृंखला में केवल सम शक्तियाँ शामिल हैं।
 * विषम फलन की मैक्लॉरिन श्रृंखला में केवल विषम घातें शामिल हैं।
 * किसी आवधिक फलन सम फलन की फूरियर श्रृंखला में केवल त्रिकोणमितीय फलन पद शामिल होते हैं।
 * किसी आवधिक विषम फलन की फूरियर श्रृंखला में केवल त्रिकोणमितीय फलन पद शामिल होते हैं।
 * पूर्ण रूप से वास्तविक-मूल्यवान सम फलन का फूरियर रूपांतरण वास्तविक और सम है। (देखना )
 * विशुद्ध रूप से वास्तविक-मूल्यवान विषम फलन का फूरियर रूपांतरण काल्पनिक और विषम है। (देखना )

हार्मोनिक्स
संकेत आगे बढ़ाना में, हार्मोनिक विरूपण तब होता है जब एक साइन लहर सिग्नल मेमोरी-लेस  गैर रेखीय प्रणाली  के माध्यम से भेजा जाता है, यानी एक सिस्टम जिसका समय टी पर आउटपुट केवल समय टी पर इनपुट पर निर्भर करता है और किसी भी पिछले इनपुट पर निर्भर नहीं करता है। बार। ऐसी प्रणाली को एक प्रतिक्रिया समारोह द्वारा वर्णित किया गया है $$V_\text{out}(t) = f(V_\text{in}(t))$$. उत्पादित लयबद्ध ्स का प्रकार प्रतिक्रिया समारोह एफ पर निर्भर करता है:
 * जब प्रतिक्रिया समारोह भी होता है, तो परिणामी सिग्नल में इनपुट साइन वेव के केवल हार्मोनिक्स भी शामिल होंगे; $$0f, 2f, 4f, 6f, \dots $$
 * मौलिक आवृत्ति भी एक विषम हार्मोनिक है, इसलिए मौजूद नहीं होगी।
 * एक साधारण उदाहरण एक फुल-वेव रेक्टिफायर है।
 * $$0f$$ h> घटक डीसी ऑफ़सेट का प्रतिनिधित्व करता है, सम-सममित स्थानांतरण कार्यों की एक तरफा प्रकृति के कारण।
 * जब यह विषम होता है, तो परिणामी सिग्नल में इनपुट साइन वेव के केवल विषम हार्मोनिक्स शामिल होंगे; $$1f, 3f, 5f, \dots $$
 * आउटपुट सिग्नल आधा तरंग सममित होगा।
 * एक सरल उदाहरण एक सममित इलेक्ट्रॉनिक एम्पलीफायर | पुश-पुल एम्पलीफायर में क्लिपिंग (ऑडियो) है।
 * जब यह असममित होता है, परिणामी सिग्नल में सम या विषम हार्मोनिक्स हो सकते हैं; $$1f, 2f, 3f, \dots $$
 * सरल उदाहरण एक अर्ध-लहर सुधारक हैं, और एक असममित वर्ग-ए एम्पलीफायर में क्लिपिंग हैं।

ध्यान दें कि यह अधिक जटिल तरंगों के लिए सही नहीं है। उदाहरण के लिए, सॉटूथ वेव में सम और विषम हार्मोनिक्स दोनों होते हैं। सम-सममित पूर्ण-तरंग सुधार के बाद, यह एक त्रिकोण तरंग बन जाता है, जो डीसी ऑफ़सेट के अलावा, केवल विषम हार्मोनिक्स होता है।

बहुभिन्नरूपी कार्य
समान समरूपता:

एक समारोह $$f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} $$ सम सममित कहा जाता है यदि:
 * $$f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=f(-x_1,-x_2,\ldots,-x_n) \quad \text{for all } x_1,\ldots,x_n \in \mathbb{R}$$

विषम समरूपता:

एक समारोह $$f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} $$ विषम सममित कहा जाता है यदि:
 * $$f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=-f(-x_1,-x_2,\ldots,-x_n) \quad \text{for all } x_1,\ldots,x_n \in \mathbb{R}$$

जटिल-मूल्यवान कार्य
जटिल संख्या के लिए सम और विषम समरूपता की परिभाषा | वास्तविक तर्क के जटिल-मूल्यवान कार्य वास्तविक मामले के समान हैं लेकिन इसमें जटिल संयुग्मन शामिल है।

समान समरूपता:

एक वास्तविक तर्क का एक जटिल-मूल्यवान कार्य $$f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}$$ सम सममित कहा जाता है यदि:
 * $$f(x)=\overline{f(-x)} \quad \text{for all } x \in \mathbb{R}$$

विषम समरूपता:

एक वास्तविक तर्क का एक जटिल-मूल्यवान कार्य $$f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}$$ विषम सममित कहा जाता है यदि:
 * $$f(x)=-\overline{f(-x)} \quad \text{for all } x \in \mathbb{R}$$

परिमित लंबाई अनुक्रम
सम और विषम समरूपता की परिभाषाएँ एन-बिंदु अनुक्रमों तक विस्तारित हैं (अर्थात प्रपत्र के कार्य $$f: \left\{0,1,\ldots,N-1\right\} \to \mathbb{R}$$) निम्नलिखित नुसार:

समान समरूपता:

एक N-बिंदु अनुक्रम को सम सममित कहा जाता है यदि
 * $$f(n) = f(N-n) \quad \text{for all } n \in \left\{ 1,\ldots,N-1 \right\}.$$

इस तरह के अनुक्रम को अक्सर पैलिंड्रोमिक अनुक्रम कहा जाता है; पैलिंड्रोमिक बहुपद भी देखें।

विषम समरूपता:

एक एन-बिंदु अनुक्रम को विषम सममित कहा जाता है यदि
 * $$f(n) = -f(N-n) \quad \text{for all } n \in \left\{1,\ldots,N-1\right\}. $$

इस तरह के अनुक्रम को कभी-कभी एंटी-पैलिंड्रोमिक अनुक्रम कहा जाता है; पैलिंड्रोमिक बहुपद भी देखें।

यह भी देखें

 * जटिल संख्याओं में सामान्यीकरण के लिए हर्मिटियन फ़ंक्शन
 * टेलर श्रृंखला
 * फोरियर श्रेणी
 * होल्स्टीन-हेरिंग विधि
 * समता (भौतिकी)