विशेष समकोण त्रिभुज

एक विशेष समकोण त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज होता है जिसमें कुछ नियमित विशेषताएं होती हैं जो त्रिभुज पर गणना को आसान बनाता है, या जिसके लिए सरल सूत्र मौजूद हैं। उदाहरण के लिए, एक समकोण त्रिभुज में ऐसे कोण हो सकते हैं जो सरल संबंध बनाते हैं, जैसे कि 45°–45°–90°। इसे कोण-आधारित समकोण त्रिभुज कहा जाता है। एक भुजा-आधारित समकोण त्रिभुज वह होता है जिसमें भुजाओं की लंबाई प्राकृतिक संख्या का अनुपात बनाती है, जैसे कि 3 : 4 : 5, या अन्य विशेष संख्याओं का जैसे सुनहरा अनुपात। इन विशेष समकोण त्रिभुजों के कोणों या भुजाओं के अनुपातों के संबंधों को जानने से अधिक उन्नत तरीकों का सहारा लिए बिना ज्यामिति की समस्याओं में विभिन्न लंबाई की गणना करने की अनुमति मिलती है।

कोण आधारित
कोण-आधारित विशेष समकोण त्रिभुज उन कोणों के संबंधों द्वारा निर्दिष्ट किए जाते हैं जिनसे त्रिभुज बना है। इन त्रिभुजों के कोण इस प्रकार हैं कि बड़ा (समकोण) कोण, जो 90 अंश (कोण) या $\pi⁄2$ कांति, अन्य दो कोणों के योग के बराबर है।

साइड की लंबाई आमतौर पर यूनिट सर्कल या अन्य ज्यामिति विधियों के आधार पर निकाली जाती है। इस दृष्टिकोण का उपयोग 30°, 45°, और 60° के कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को तेजी से पुन: उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है।

सामान्य त्रिकोणमितीय कार्यों की गणना में सहायता के लिए विशेष त्रिकोण का उपयोग किया जाता है, जैसा कि नीचे दिया गया है:

45°–45°–90° त्रिभुज, 30°–60°–90° त्रिभुज, और समबाहु त्रिभुज/समबाहु (60°–60°–60°) त्रिभुज समतल में तीन मोबियस त्रिभुज हैं, जिसका अर्थ है कि वे अपने पक्षों में प्रतिबिंब (गणित) के माध्यम से विमान को tessellate करते हैं; त्रिभुज समूह देखें।

45°–45°–90° त्रिभुज
समतल ज्यामिति में, एक वर्ग के विकर्ण का निर्माण एक त्रिभुज में होता है जिसके तीन कोण 1 : 1 : 2 के अनुपात में होते हैं, जो 180° या $\pi$ रेडियंस। इसलिए, कोण क्रमशः 45° मापते हैं ($√0⁄2$), 45° ($√4⁄2$), और 90° ($\pi⁄6$). इस त्रिभुज की भुजाएँ 1 : 1 के अनुपात में हैं:√2, जो पायथागॉरियन प्रमेय से तुरंत अनुसरण करता है।

सभी समकोण त्रिभुजों में, 45°–45°–90° अंश त्रिभुज में कर्ण और पादों के योग का सबसे छोटा अनुपात होता है, अर्थात् $33 1⁄3$. और कर्ण से पैरों के योग के लिए ऊंचाई (त्रिकोण) का सबसे बड़ा अनुपात, अर्थात् $1⁄12$.

इन कोणों वाले त्रिभुज एकमात्र संभावित समकोण त्रिभुज हैं जो यूक्लिडियन ज्यामिति में समद्विबाहु त्रिभुज भी हैं। हालांकि, गोलीय ज्यामिति और अतिपरवलयिक ज्यामिति में, समद्विबाहु त्रिभुजों के असीम रूप से कई अलग-अलग आकार होते हैं।

30°–60°–90° त्रिभुज
यह एक त्रिभुज है जिसके तीन कोण 1 : 2 : 3 के अनुपात में हैं और क्रमशः 30° मापते हैं ($√1⁄2$), 60° ($1⁄2$), और 90° ($√3⁄2$). भुजाएँ 1 : 3 के वर्गमूल के अनुपात में हैं√3 : 2.

त्रिकोणमिति के प्रयोग से इस तथ्य का प्रमाण स्पष्ट हो जाता है। ज्यामिति प्रमाण है:


 * भुजा लंबाई 2 के साथ एक समबाहु त्रिभुज ABC बनाएं और बिंदु D को खंड BC के मध्य बिंदु के रूप में लें। ए से डी तक एक ऊंचाई रेखा खींचें। फिर एबीडी लंबाई 2 के कर्ण और लंबाई 1 के आधार बीडी के साथ 30 डिग्री -60 डिग्री -90 डिग्री त्रिकोण है।


 * तथ्य यह है कि शेष पैर AD की लंबाई 3| का वर्गमूल है√3 पायथागॉरियन प्रमेय से तुरंत अनुसरण करता है।

30°–60°–90° त्रिभुज एकमात्र समकोण त्रिभुज है जिसके कोण समांतर श्रेणी में हैं। इस तथ्य का प्रमाण सरल है और इस तथ्य से अनुसरण करता है कि यदि α, α + δ, α + 2δ प्रगति में कोण हैं तो कोणों का योग 3α + 3δ = 180°. 3 से विभाजित करने के बाद, कोण α + δ 60° होना चाहिए। समकोण 90° है, शेष कोण 30° है।

साइड-आधारित
समकोण त्रिभुज जिनकी भुजाएँ पूर्णांक लंबाई की होती हैं, भुजाओं को सामूहिक रूप से पायथागॉरियन ट्रिपल के रूप में जाना जाता है, ऐसे कोण होते हैं जो सभी डिग्री (कोण) की परिमेय संख्या नहीं हो सकते। (यह निवेन के प्रमेय से निकला है।) वे सबसे अधिक उपयोगी हैं क्योंकि उन्हें आसानी से याद किया जा सकता है और पक्षों का कोई भी एकाधिक (गणित) समान संबंध उत्पन्न करता है। पायथागॉरियन त्रिक उत्पन्न करने के लिए यूक्लिड के सूत्र का उपयोग करते हुए, भुजाओं को अनुपात में होना चाहिए


 * m$1⁄\sqrt{3}$ − n$\pi⁄4$ : 2mn : m$1⁄8$ + n$√2⁄2$

जहाँ m और n कोई धनात्मक पूर्णांक हैं जैसे कि m > n.

आम पायथागॉरियन ट्रिपल
कई पायथागॉरियन ट्रिपल हैं जो प्रसिद्ध हैं, जिनमें अनुपात में भुजाएँ शामिल हैं:


 * {| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0"

!align="right"|3:||align="center"|4 ||align="left"|:5

!align="right"|5:||align="center"|12||align="left"|:13 !align="right"|8:||align="center"|15||align="left"|:17 !align="right"|7:||align="center"|24||align="left"|:25 !align="right"|9:||align="center"|40||align="left"|:41 3 : 4 : 5 त्रिकोण अंकगणितीय प्रगति में किनारों के साथ एकमात्र समकोण त्रिभुज हैं। पायथागॉरियन त्रिभुज पर आधारित त्रिभुज हेरोनियन त्रिभुज हैं, जिसका अर्थ है कि उनके पास पूर्णांक क्षेत्र के साथ-साथ पूर्णांक पक्ष भी हैं।
 * }

प्राचीन मिस्र में 3 : 4 : 5 त्रिकोण का संभावित उपयोग, इस तरह के त्रिकोण को बनाने के लिए एक गांठदार रस्सी के कथित उपयोग के साथ, और यह सवाल कि क्या पाइथागोरस प्रमेय उस समय ज्ञात था, बहुत बहस का विषय रहा है। यह पहली बार 1882 में इतिहासकार मोरिट्ज़ कैंटर द्वारा अनुमान लगाया गया था। यह ज्ञात है कि प्राचीन मिस्र में समकोण सटीक रूप से निर्धारित किए गए थे; कि उनके सर्वेक्षकों ने मापने के लिए रस्सियों का उपयोग किया था; उस प्लूटार्क ने आइसिस और ओसिरिस की (लगभग 100 ईस्वी) में दर्ज किया कि मिस्र के लोग 3 : 4 : 5 त्रिभुज की प्रशंसा करते थे;  और यह कि मिस्र के मध्य साम्राज्य (1700 ईसा पूर्व से पहले) के बर्लिन पपीरस 6619 में कहा गया है कि 100 के एक वर्ग का क्षेत्रफल दो छोटे वर्गों के बराबर है। एक की भुजा दूसरे की भुजा ½ + ¼ है। गणित के इतिहासकार रोजर एल. कुक ने कहा है कि पाइथागोरस प्रमेय को जाने बिना ऐसी स्थितियों में किसी की रुचि होने की कल्पना करना कठिन है। इसके विरुद्ध, कुक ने नोट किया कि 300 ईसा पूर्व से पहले कोई भी मिस्री पाठ वास्तव में त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई ज्ञात करने के लिए प्रमेय के उपयोग का उल्लेख नहीं करता है, और यह कि समकोण बनाने के सरल तरीके हैं। कुक ने निष्कर्ष निकाला कि कैंटर का अनुमान अनिश्चित है: उनका अनुमान है कि प्राचीन मिस्रवासी शायद पाइथागोरस प्रमेय को जानते थे, लेकिन इसका कोई प्रमाण नहीं है कि उन्होंने इसका उपयोग समकोण बनाने के लिए किया था। निम्नलिखित सभी पायथागॉरियन ट्रिपल अनुपात निम्नतम रूप में व्यक्त किए गए हैं (ऊपर दी गई सूची में सबसे छोटे रूप में पांच सबसे छोटे से परे) दोनों गैर-कर्ण पक्षों के साथ 256 से कम:


 * {| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" align="left"

!align="right"|11:||align="center"|60||align="left"|:61|| !align="right"|12:||align="center"|35||align="left"|:37 !align="right"|13:||align="center"|84||align="left"|:85 !align="right"|15:||align="center"|112||align="left"|:113 !align="right"|16:||align="center"|63||align="left"|:65 !align="right"|17:||align="center"|144||align="left"|:145 !align="right"|19:||align="center"|180||align="left"|:181 !align="right"|20:||align="center"|21||align="left"|:29 !align="right"|20:||align="center"|99||align="left"|:101 !align="right"|21:||align="center"|220||align="left"|:221
 * }

लगभग-समद्विबाहु पायथागॉरियन ट्रिपल
समद्विबाहु समकोण त्रिभुजों में पूर्णांक मानों वाली भुजाएँ नहीं हो सकती हैं, क्योंकि कर्ण का किसी भी दूसरी ओर का अनुपात है √2 और 2# प्रूफ़ ऑफ़ इररेशनलिटी| का वर्गमूल√2 को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, असीम रूप से कई समद्विबाहु समकोण त्रिभुज मौजूद हैं। ये पूर्णांक भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज हैं जिनके लिए कैथेटस | गैर-कर्ण किनारों की लंबाई एक से भिन्न होती है। इस तरह के लगभग समद्विबाहु समकोण त्रिभुजों को पुनरावर्ती रूप से प्राप्त किया जा सकता है,


 * ए0 = 1, बी0 = 2
 * एn = पिताn−1 + एn−1:बीn = हाँn + खn−1एn कर्ण की लंबाई है, n = 1, 2, 3, .... समान रूप से,


 * $$(\tfrac{x-1}{2})^2+(\tfrac{x+1}{2})^2 = y^2$$

जहां {x, y} पेल समीकरण के समाधान हैं x$1⁄\sqrt{2}$ − 2y$√2⁄2$ = −1, कर्ण y के साथ पेल संख्या '1', 2, '5', 12, '29', 70, '169', 408, '985', 2378... .. सबसे छोटे पायथागॉरियन त्रिक परिणाम हैं:
 * {| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0"

!align="right"| 3 :|| align="center" | 4 ||align="left"|:        5 !align="right"| 20 :|| align="center" | 21 ||align="left"|:       29 !align="right"| 119 :|| align="center" | 120 ||align="left"|:      169 !align="right"| 696 :|| align="center" | 697 ||align="left"|:      985 !align="right"| 4,059 :|| align="center" | 4,060 ||align="left"|:    5,741 !align="right"| 23,660 :|| align="center" | 23,661 ||align="left"|:   33,461 !align="right"| 137,903 :|| align="center" | 137,904 ||align="left"|:  195,025 !align="right"| 803,760 :|| align="center" | 803,761 ||align="left"|: 1,136,689 !align="right"|4,684,659 :|| align="center" | 4,684,660 ||align="left"|: 6,625,109 वैकल्पिक रूप से, समान त्रिभुजों को वर्ग त्रिभुजाकार संख्याओं से प्राप्त किया जा सकता है।
 * }

अंकगणितीय और ज्यामितीय प्रगति


केप्लर त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ ज्यामितीय प्रगति में हैं। यदि भुजाएँ ज्यामितीय प्रगति a, ar, ar से बनती हैं2 तो इसका सामान्य अनुपात r = r द्वारा दिया जाता है √φ जहां φ सुनहरा अनुपात है। इसलिए इसकी भुजाएँ अनुपात में हैं 1 : √φ : φ. इस प्रकार, केप्लर त्रिभुज का आकार विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है (एक पैमाने कारक तक) आवश्यकता से कि इसकी भुजाएँ ज्यामितीय प्रगति में हों।

3-4-5 त्रिभुज अद्वितीय समकोण त्रिभुज (स्केलिंग तक) है जिसकी भुजाएँ अंकगणितीय प्रगति में हैं।

नियमित बहुभुज की भुजाएं
होने देना $$a=2\sin\frac{\pi}{10}=\frac{-1+\sqrt5}{2}=\frac1\varphi\approx 0.618$$ यूनिट सर्कल में खुदा हुआ एक नियमित दसभुज की पार्श्व लंबाई हो, जहां $$\varphi$$ सुनहरा अनुपात है। होने देना $$b=2\sin\frac{\pi}{6}=1$$ यूनिट सर्कल में एक नियमित षट्भुज की भुजा की लंबाई हो, और दें $$c=2\sin\frac{\pi}{5}=\sqrt{\frac{5-\sqrt5}{2}}\approx 1.176$$ यूनिट सर्कल में एक नियमित पंचकोण  की भुजा की लंबाई हो। तब $$a^2+b^2=c^2$$, इसलिए ये तीन लंबाइयाँ एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ बनाती हैं। वही त्रिभुज एक सुनहरे आयत का आधा भाग बनाता है। यह पार्श्व लंबाई के एक नियमित आईकोसाहेड्रॉन के भीतर भी पाया जा सकता है $$c$$: किसी भी शीर्ष से सबसे छोटी रेखा खंड $$V$$ इसके पांच पड़ोसियों के विमान की लंबाई है $$a$$, और इस रेखा खंड के अंतिम बिंदु साथ में किसी भी पड़ोसी के साथ $$V$$ भुजाओं के साथ एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष बनाएँ $$a$$, $$b$$, और $$c$$.

यह भी देखें

 * पूर्णांक त्रिकोण
 * थियोडोरस का सर्पिल

बाहरी संबंध

 * 3 : 4 : 5 triangle
 * 30–60–90 triangle
 * 45–45–90 triangle – with interactive animations