प्रायिकता वितरण

संभाव्यता सिद्धांत और आंकड़ों में, संभाव्यता वितरण गणितीय कार्य (गणित) है जो प्रयोग (संभाव्यता सिद्धांत) के लिए विभिन्न संभावित परिणामों की घटना की संभावना देता है। यह इसके नमूना स्थान और घटना की संभावना (संभाव्यता सिद्धांत) (नमूना स्थान के सबसेट) के संदर्भ में यादृच्छिकता घटना का गणितीय विवरण है। उदाहरण के लिए, यदि $X$ सिक्का टॉस (प्रयोग) के परिणाम को निरूपित करने के लिए उपयोग किया जाता है, फिर की संभावना वितरण $X$ मान 0.5 (1 में 2 या 1/2) ले जाएगा $X = heads$, और 0.5 के लिए $X = tails$ (उस निष्पक्ष सिक्के को मानते हुए)।यादृच्छिक घटनाओं के उदाहरणों में कुछ भविष्य की तारीख में मौसम की स्थिति, यादृच्छिक रूप से चयनित व्यक्ति की ऊंचाई, स्कूल में पुरुष छात्रों का अंश, सर्वेक्षण पद्धति के परिणामों का संचालन करना, आदि शामिल हैं।

परिचय
एक संभावना वितरण घटनाओं की संभावनाओं, नमूना स्थान के सबसेट की संभावनाओं का गणितीय विवरण है।नमूना स्थान, जिसे अक्सर निरूपित किया जाता है $$\Omega$$, यादृच्छिक घटना के सभी संभावित परिणामों (संभावना) का सेट (गणित) है;यह कोई भी सेट हो सकता है: वास्तविक संख्याओं का सेट, वेक्टर (गणित) का सेट, मनमाना गैर-नामांकित मूल्यों का सेट, आदि। उदाहरण के लिए, सिक्का फ्लिप का नमूना स्थान होगा $Ω = {heads, tails}$।

यादृच्छिक चर के विशिष्ट मामले के लिए संभाव्यता वितरण को परिभाषित करने के लिए (इसलिए नमूना स्थान को संख्यात्मक सेट के रूप में देखा जा सकता है), असतत और बिल्कुल निरंतर यादृच्छिक चर के बीच अंतर करना आम है।असतत मामले में, यह संभावना द्रव्यमान कार्य निर्दिष्ट करने के लिए पर्याप्त है $$p$$ प्रत्येक संभावित परिणाम के लिए संभावना प्रदान करना: उदाहरण के लिए, उचित पासा फेंकते समय, छह मान 1 से 6 में से प्रत्येक में संभावना 1/6 होती है।एक घटना की संभावना (संभाव्यता सिद्धांत) को तब उन परिणामों की संभावनाओं का योग माना जाता है जो घटना को संतुष्ट करते हैं;उदाहरण के लिए, घटना की संभावना भी मूल्य रोल करती है $$p(2) + p(4) + p(6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2.$$ इसके विपरीत, जब यादृच्छिक चर निरंतरता से मान लेता है तो आमतौर पर, किसी भी व्यक्तिगत परिणाम में संभावना शून्य होती है और केवल ऐसी घटनाएं होती हैं जिनमें असीम रूप से कई परिणाम शामिल होते हैं, जैसे कि अंतराल, सकारात्मक संभावना हो सकती है।उदाहरण के लिए, सुपरमार्केट में हैम के टुकड़े के वजन को मापने पर विचार करें, और मान लें कि पैमाने में सटीकता के कई अंक हैं।संभावना है कि इसका वजन ठीक 500 & nbsp; g शून्य है, क्योंकि इसमें कुछ गैर-शून्य दशमलव अंक होंगे।फिर भी, कोई भी गुणवत्ता नियंत्रण में मांग कर सकता है, कि हैम के 500 & nbsp का पैकेज; कम से कम 98% संभावना के साथ 490 & nbsp; g और 510 & nbsp; g के बीच वजन होना चाहिए, और यह मांग माप उपकरणों की सटीकता के लिए कम संवेदनशील है।

बिल्कुल निरंतर संभावना वितरण को कई तरीकों से वर्णित किया जा सकता है।संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन किसी भी मूल्य की infinitesimal संभावना का वर्णन करता है, और संभावना है कि किसी दिए गए अंतराल में परिणाम निहित है, एकीकरण (गणित) द्वारा उस अंतराल पर संभावना घनत्व फ़ंक्शन द्वारा गणना की जा सकती है। वितरण का वैकल्पिक विवरण संचयी वितरण फ़ंक्शन के माध्यम से है, जो इस संभावना का वर्णन करता है कि यादृच्छिक चर किसी दिए गए मूल्य से बड़ा नहीं है (यानी, $$P(X < x)$$ कुछ के लिए $$x$$)।संचयी वितरण फ़ंक्शन से संभावना घनत्व फ़ंक्शन के तहत क्षेत्र है $$-\infty$$ को $$x$$, जैसा कि चित्र द्वारा दाईं ओर वर्णित है।

सामान्य संभाव्यता परिभाषा
एक संभाव्यता वितरण को विभिन्न रूपों में वर्णित किया जा सकता है, जैसे कि संभावना द्रव्यमान कार्य या संचयी वितरण फ़ंक्शन द्वारा।सबसे सामान्य विवरणों में से एक, जो बिल्कुल निरंतर और असतत चर के लिए लागू होता है, संभाव्यता फ़ंक्शन के माध्यम से है $$P\colon \mathcal{A} \to \Reals$$ जिसका इनपुट स्पेस $$\mathcal{A}$$ संबंधित है नमूना स्थान के लिए, और इसके आउटपुट के रूप में वास्तविक संख्या संभावना देता है। संभाव्यता समारोह $$P$$ नमूना स्थान के तर्क सबसेट के रूप में ले सकते हैं, जैसा कि सिक्का टॉस उदाहरण में, जहां फ़ंक्शन $$P$$ ऐसा परिभाषित किया गया था $P(heads) = 0.5$ और $P(tails) = 0.5$।हालांकि, यादृच्छिक चर के व्यापक उपयोग के कारण, जो नमूना स्थान को संख्याओं के सेट में बदल देते हैं (जैसे, $$\R$$, $$\N$$), संभावना वितरण का अध्ययन करना अधिक सामान्य है, जिनके तर्क इन विशेष प्रकार के सेटों (संख्या सेट) के सबसेट हैं, और इस लेख में चर्चा की गई सभी संभावना वितरण इस प्रकार के हैं।के रूप में निरूपित करना आम है $$P(X \in E)$$ संभावना है कि चर का निश्चित मूल्य $$X$$ निश्चित घटना से संबंधित है $$E$$.

उपरोक्त संभाव्यता फ़ंक्शन केवल संभाव्यता वितरण की विशेषता है यदि यह सभी kolmogorov axioms को संतुष्ट करता है, अर्थात: संभाव्यता फ़ंक्शन की अवधारणा को संभाव्यता स्थान के तत्व के रूप में परिभाषित करके अधिक कठोर बना दिया जाता है $$(X, \mathcal{A}, P)$$, कहां $$X$$ संभावित परिणामों का सेट है, $$\mathcal{A}$$ सभी सबसेट का सेट है $$E \subset X$$ जिनकी संभावना को मापा जा सकता है, और $$P$$ संभावना फ़ंक्शन, या संभाव्यता माप है, जो इन औसत दर्जे के सबसेट में से प्रत्येक के लिए संभावना प्रदान करता है $$E \in \mathcal{A}$$. संभाव्यता वितरण आमतौर पर दो वर्गों में से से संबंधित हैं।एक असतत संभावना वितरण उन परिदृश्यों पर लागू होता है जहां संभावित परिणामों का सेट असतत संभावना वितरण है (जैसे कि सिक्का टॉस, मरने का रोल) और संभावनाओं को परिणामों की संभावनाओं की असतत सूची द्वारा एन्कोड किया जाता है;इस मामले में असतत संभावना वितरण को संभावना द्रव्यमान कार्य के रूप में जाना जाता है।दूसरी ओर, बिल्कुल निरंतर संभावना वितरण उन परिदृश्यों पर लागू होते हैं जहां संभावित परिणामों का सेट निरंतर सीमा (जैसे वास्तविक संख्या) में मूल्यों पर ले जा सकता है, जैसे कि किसी दिए गए दिन पर तापमान।बिल्कुल निरंतर मामले में, संभावनाएं संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन द्वारा वर्णित की जाती हैं, और संभावना वितरण संभावना घनत्व फ़ंक्शन के अभिन्न अंग की परिभाषा के अनुसार है। सामान्य वितरण आमतौर पर बिल्कुल निरंतर संभावना वितरण है।अधिक जटिल प्रयोग, जैसे कि निरंतर समय में परिभाषित स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं को शामिल करने वाले, अधिक सामान्य संभावना उपायों के उपयोग की मांग कर सकते हैं।
 * 1) $$P(X \in E) \ge 0 \; \forall E \in \mathcal{A}$$, इसलिए संभावना गैर-नकारात्मक है
 * 2) $$P(X \in E) \le 1 \; \forall E \in \mathcal{A}$$, इसलिए कोई संभावना नहीं है $$1$$
 * 3) $$P(X \in \bigsqcup_{i} E_i ) = \sum_i P(X \in E_i)$$ सेट के किसी भी असंतुष्ट परिवार के लिए $$\{ E_i \}$$

एक संभाव्यता वितरण जिसका नमूना स्थान एक-आयामी है (उदाहरण के लिए वास्तविक संख्या, लेबल की सूची, ऑर्डर किए गए लेबल या बाइनरी) को Univariate वितरण कहा जाता है, जबकि वितरण जिसका नमूना स्थान आयाम 2 या अधिक का वेक्टर स्थान है, जिसे मल्टीवेरेट वितरण कहा जाता है।एक अविभाज्य वितरण विभिन्न विभिन्न मूल्यों पर एकल यादृच्छिक चर की संभावनाओं को देता है;एक बहुभिन्नरूपी वितरण (एक संयुक्त संभावना वितरण) यादृच्छिक वेक्टर की संभावनाएं देता है - दो या अधिक यादृच्छिक चर की सूची - मूल्यों के विभिन्न संयोजनों पर ले जाता है।महत्वपूर्ण और आमतौर पर सामना किए जाने वाले एकतरफा संभावना वितरण में द्विपद वितरण, हाइपरजोमेट्रिक वितरण और सामान्य वितरण शामिल हैं।आमतौर पर सामना किया जाने वाला बहुभिन्नरूपी वितरण बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण है।

संभाव्यता फ़ंक्शन, संचयी वितरण फ़ंक्शन, संभाव्यता द्रव्यमान फ़ंक्शन और संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन, क्षण उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन और विशेषता फ़ंक्शन (संभाव्यता सिद्धांत) के अलावा, संभावना वितरण की पहचान करने के लिए भी काम करते हैं, क्योंकि वे विशिष्ट रूप से अंतर्निहित संचयी वितरण फ़ंक्शन का निर्धारण करते हैं।

शब्दावली
संभावना वितरण के विषय पर साहित्य में व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले कुछ प्रमुख अवधारणाओं और शब्द नीचे सूचीबद्ध हैं।

मूल शर्तें

 * यादृच्छिक चर: नमूना स्थान से मान लेता है;संभावनाएं बताती हैं कि कौन से मान और मूल्यों के सेट को अधिक संभावना है।
 * घटना (संभाव्यता सिद्धांत): यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों (परिणामों) का सेट जो निश्चित संभावना के साथ होता है।
 * संभाव्यता उपाय या संभाव्यता माप: संभावना का वर्णन करता है $$P(X \in E)$$ वह घटना $$E,$$ होता है।
 * संचयी वितरण समारोह: संभावना का मूल्यांकन करने वाले फ़ंक्शन $$X$$ से कम या उसके बराबर मूल्य लेंगे $$x$$ यादृच्छिक चर के लिए (केवल वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर के लिए)।
 * क्वांटाइल फ़ंक्शन: संचयी वितरण फ़ंक्शन का उलटा।देता है $$x$$ ऐसा, संभावना के साथ $$q$$, $$X$$ अधिक नहीं होगा $$x$$।

असतत संभावना वितरण

 * असतत संभावना वितरण: कई यादृच्छिक चर के लिए बारीक रूप से या गिनती से असीम रूप से कई मूल्यों के साथ।
 *  प्रायिकता द्रव्यमान फ़ंक्शन ( PMF ): फ़ंक्शन जो संभावना देता है कि असतत यादृच्छिक चर कुछ मूल्य के बराबर है।
 *  आवृत्ति वितरण : तालिका जो विभिन्न परिणामों की आवृत्ति को प्रदर्शित करती है ।
 * सापेक्ष आवृत्ति वितरण: आवृत्ति वितरण जहां प्रत्येक मान को नमूना (आँकड़े) (यानी नमूना आकार) में कई परिणामों द्वारा विभाजित (सामान्यीकृत) किया गया है।
 * श्रेणीबद्ध वितरण: मूल्यों के परिमित सेट के साथ असतत यादृच्छिक चर के लिए।

बिल्कुल निरंतर संभावना वितरण

 * बिल्कुल निरंतर संभावना वितरण: कई यादृच्छिक चर के लिए बेशुमार कई मूल्यों के साथ।
 *  प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन ( PDF ) या प्रायिकता घनत्व : फ़ंक्शन जिसका मूल्य किसी भी दिए गए नमूने (या बिंदु) पर नमूना स्थान (यादृच्छिक चर द्वारा लिए गए संभावित मूल्यों का सेट) पर है।एक सापेक्ष संभावना 'प्रदान करने के रूप में व्याख्या की जा सकती है कि यादृच्छिक चर का मूल्य उस नमूने के बराबर होगा।

संबंधित शब्द

 * समर्थन (गणित): मान यादृच्छिक चर द्वारा गैर-शून्य संभावना के साथ मान लिया जा सकता है।एक यादृच्छिक चर के लिए $$X$$, इसे कभी -कभी निरूपित किया जाता है $$R_X$$।
 * पूँछ: यादृच्छिक चर की सीमा के करीब क्षेत्र, यदि पीएमएफ या पीडीएफ अपेक्षाकृत कम हैं।आमतौर पर फॉर्म होता है $$X > a$$, $$X < b$$ या उसके बाद संघ।
 * सिर: वह क्षेत्र जहां पीएमएफ या पीडीएफ अपेक्षाकृत अधिक है।आमतौर पर फॉर्म होता है $$a < X < b$$।
 * अपेक्षित मूल्य या मतलब: संभावित मूल्यों का भारित औसत, उनकी संभावनाओं का उपयोग उनके वजन के रूप में;या निरंतर एनालॉग।
 * माध्य: मूल्य जैसे कि माध्य से कम मानों का सेट, और सेट से अधिक सेट, प्रत्येक में संभावनाएं हैं कि एक-आधा से अधिक नहीं है।
 * मोड (सांख्यिकी): असतत यादृच्छिक चर के लिए, उच्चतम संभावना के साथ मूल्य;एक बिल्कुल निरंतर यादृच्छिक चर के लिए, स्थान जिस पर संभावना घनत्व फ़ंक्शन में स्थानीय शिखर होता है।
 * क्वांटाइल: Q-quantile मान है $$x$$ ऐसा है कि $$P(X < x) = q$$।
 * विचरण: माध्य के बारे में पीएमएफ या पीडीएफ का दूसरा क्षण;वितरण के सांख्यिकीय फैलाव का महत्वपूर्ण उपाय।
 * मानक विचलन: विचरण का वर्गमूल, और इसलिए फैलाव का और उपाय।
 * सममित संभावना वितरण: कुछ वितरणों की संपत्ति जिसमें वितरण का हिस्सा विशिष्ट मूल्य के बाईं ओर (आमतौर पर माध्यिका) के हिस्से की दर्पण छवि है, जो इसके दाईं ओर है।
 * तिरछापन: जिस हद तक पीएमएफ या पीडीएफ अपने माध्य के तरफ से झुकता है, उसका उपाय।वितरण का तीसरा मानकीकृत क्षण।
 * कर्टोसिस: पीएमएफ या पीडीएफ की पूंछ के मोटापे का उपाय।वितरण का चौथा मानकीकृत क्षण।

संचयी वितरण समारोह
एक वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर के विशेष मामले में, संभाव्यता वितरण को संभावना माप के बजाय संचयी वितरण फ़ंक्शन द्वारा समान रूप से दर्शाया जा सकता है।एक यादृच्छिक चर का संचयी वितरण कार्य $$X$$ संभावना वितरण के संबंध में $$p$$ की तरह परिभाषित किया गया है $$F(x) = P(X \leq x).$$ किसी भी वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर के संचयी वितरण फ़ंक्शन में गुण होते हैं:
 * <ली स्टाइल = मार्जिन: 0.7REM 0;>$$F(x)$$ गैर-डिसीजिंग है; 
 * <ली स्टाइल = मार्जिन: 0.7REM 0;>$$F(x)$$ सही-निरंतर है; 
 * <ली स्टाइल = मार्जिन: 0.7REM 0;>$$0 \le F(x) \le 1$$; 
 * <ली स्टाइल = मार्जिन: 0.7REM 0;>$$\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$$ और $$\lim_{x \to \infty} F(x) = 1$$;और 
 * <ली स्टाइल = मार्जिन: 0.7REM 0;>$$\Pr(a < X \le b) = F(b) - F(a)$$।

इसके विपरीत, कोई भी कार्य $$F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ यह उपरोक्त गुणों के पहले चार को संतुष्ट करता है, वास्तविक संख्याओं पर कुछ संभाव्यता वितरण का संचयी वितरण कार्य है। किसी भी संभावना वितरण को असतत संभावना वितरण के योग के रूप में विघटित किया जा सकता है, बिल्कुल निरंतर संभावना वितरण और विलक्षण उपाय, और इस प्रकार कोई भी संचयी वितरण फ़ंक्शन संचयी वितरण कार्यों के अनुसार तीनों के योग के रूप में अपघटन को स्वीकार करता है।

असतत संभावना वितरण
एक असतत संभावना वितरण यादृच्छिक चर की संभावना वितरण है जो केवल मानों की गिनती योग्य संख्या पर ले जा सकता है (लगभग निश्चित रूप से) जिसका अर्थ है कि किसी भी घटना की संभावना $$E$$ (परिमित या श्रृंखला (गणित)) योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: $$P(X\in E) = \sum_{\omega\in A} P(X = \omega),$$ कहां $$A$$ गिनती योग्य सेट है।इस प्रकार असतत यादृच्छिक चर वास्तव में संभावना द्रव्यमान कार्य के साथ हैं $$p(x) = P(X=x)$$।उस मामले में जहां मूल्यों की सीमा अनगिनत अनंत है, इन मानों को संभावनाओं के लिए पर्याप्त तेजी से शून्य तक गिरना होगा। उदाहरण के लिए, उदाहरण के लिए, यदि, यदि $$p(n) = \tfrac{1}{2^n}$$ के लिए $$n = 1, 2, ...$$, संभावनाओं का योग होगा $$1/2 + 1/4 + 1/8 + \dots = 1$$।

एक असतत यादृच्छिक चर यादृच्छिक चर है जिसका संभाव्यता वितरण असतत है।

सांख्यिकीय मॉडलिंग में उपयोग किए जाने वाले प्रसिद्ध असतत संभावना वितरण में पॉइसन वितरण, बर्नौली वितरण, द्विपद वितरण, ज्यामितीय वितरण, नकारात्मक द्विपद वितरण और श्रेणीबद्ध वितरण शामिल हैं। जब नमूना (आँकड़े) (टिप्पणियों का सेट) बड़ी आबादी से खींचा जाता है, तो नमूना बिंदुओं में अनुभवजन्य वितरण फ़ंक्शन होता है जो असतत होता है, और जो जनसंख्या वितरण के बारे में जानकारी प्रदान करता है।इसके अतिरिक्त, यूनिफ़ॉर्म डिस्ट्रीब्यूशन (असतत) का उपयोग आमतौर पर कंप्यूटर प्रोग्रामों में किया जाता है जो कई विकल्पों के बीच समान-संभाव्यता यादृच्छिक चयन बनाते हैं।

संचयी वितरण समारोह
एक वास्तविक-मूल्यवान असतत यादृच्छिक चर को समतुल्य रूप से यादृच्छिक चर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसका संचयी वितरण फ़ंक्शन केवल कूदने से बढ़ता है-अर्थात, इसका सीडीएफ केवल जहां यह उच्च मूल्य पर कूदता है, और बिना कूद के अंतराल में स्थिर होता है।जिन बिंदुओं पर छलांग लगती है, वे ठीक वे मान हैं जो यादृच्छिक चर ले सकते हैं। इस प्रकार संचयी वितरण फ़ंक्शन का रूप है $$F(x) = P(X \leq x) = \sum_{\omega \leq x} p(\omega).$$ ध्यान दें कि वे बिंदु जहां सीडीएफ कूदता है हमेशा गणना योग्य सेट बनाता है;यह कोई भी गिनती करने योग्य सेट हो सकता है और इस प्रकार वास्तविक संख्याओं में भी घना हो सकता है।

DIRAC डेल्टा प्रतिनिधित्व
एक असतत संभावना वितरण को अक्सर DIRAC उपायों के साथ दर्शाया जाता है, पतित वितरण की संभावना वितरण।किसी भी परिणाम के लिए $$\omega$$, होने देना $$\delta_\omega$$ Dirac उपाय पर केंद्रित हो $$\omega$$।एक असतत संभावना वितरण को देखते हुए, गणना योग्य सेट है $$A$$ साथ $$P(X \in A) = 1$$ और संभावना द्रव्यमान कार्य $$p$$।यदि $$E$$ कोई घटना है, तो $$P(X \in E) = \sum_{\omega \in A} p(\omega) \delta_\omega(E),$$ या संक्षेप में, $$P_X = \sum_{\omega \in A} p(\omega) \delta_\omega.$$ इसी तरह, असतत वितरण को सामान्यीकृत फ़ंक्शन संभावना घनत्व फ़ंक्शन के रूप में DiRAC डेल्टा फ़ंक्शन के साथ दर्शाया जा सकता है $$f$$, कहां $$f(x) = \sum_{\omega \in A} p(\omega) \delta(x - \omega),$$ जिसका मतलब है $$P(X \in E) = \int_E f(x) \, dx = \sum_{\omega \in A} p(\omega) \int_E \delta(x - \omega) = \sum_{\omega \in A \cap E} p(\omega)$$ किसी भी घटना के लिए $$E.$$

संकेतक-फ़ंक्शन प्रतिनिधित्व
एक असतत यादृच्छिक चर के लिए $$X$$, होने देना $$u_0, u_1, \dots$$ गैर-शून्य संभावना के साथ यह मान ले सकते हैं।निरूपित

$$\Omega_i=X^{-1}(u_i)= \{\omega: X(\omega)=u_i\},\, i=0, 1, 2, \dots$$ ये असंतुष्ट सेट हैं, और ऐसे सेटों के लिए

$$P\left(\bigcup_i \Omega_i\right)=\sum_i P(\Omega_i)=\sum_i P(X=u_i)=1.$$ यह इस बात की संभावना है कि संभावना है $$X$$ के अलावा कोई भी मूल्य लेता है $$u_0, u_1, \dots$$ शून्य है, और इस प्रकार कोई लिख सकता है $$X$$ जैसा

$$X(\omega)=\sum_i u_i 1_{\Omega_i}(\omega)$$ संभावना शून्य के सेट को छोड़कर, जहां $$1_A$$ का संकेतक कार्य है $$A$$।यह असतत यादृच्छिक चर की वैकल्पिक परिभाषा के रूप में काम कर सकता है।

एक-बिंदु वितरण
एक विशेष मामला यादृच्छिक चर का असतत वितरण है जो केवल निश्चित मूल्य पर ले सकता है;दूसरे शब्दों में, यह नियतात्मक वितरण है।औपचारिक रूप से व्यक्त किया गया, यादृच्छिक चर $$X$$ यदि संभावित परिणाम है तो एक-बिंदु वितरण है $$x$$ ऐसा है कि $$P(X{=}x)=1.$$ अन्य सभी संभावित परिणामों में संभावना 0. है। इसका संचयी वितरण फ़ंक्शन 0 से 1 तक तुरंत कूदता है।

बिल्कुल निरंतर संभावना वितरण
एक पूरी तरह से निरंतर संभावना वितरण वास्तविक संख्याओं के साथ वास्तविक संख्याओं पर संभावना वितरण है, जैसे कि वास्तविक रेखा में संपूर्ण अंतराल, और जहां किसी भी घटना की संभावना को अभिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। अधिक सटीक रूप से, वास्तविक यादृच्छिक चर $$X$$ यदि कोई फ़ंक्शन है तो बिल्कुल निरंतर संभावना वितरण है $$f: \Reals \to [0, \infty]$$ ऐसा कि प्रत्येक अंतराल के लिए $$[a,b] \subset \mathbb{R}$$ की संभावना $$X$$ से संबंधित $$[a,b]$$ के अभिन्न अंग द्वारा दिया जाता है $$f$$ ऊपर $$I$$: $$P\left(a \le X \le b \right) = \int_a^b f(x) \, dx .$$ यह संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन की परिभाषा है, ताकि पूरी तरह से निरंतर संभावना वितरण वास्तव में संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के साथ हो। विशेष रूप से, के लिए संभावना $$X$$ कोई एकल मूल्य लेने के लिए $$a$$ (वह है, $$a \le X \le a$$) शून्य है, क्योंकि ऊपरी और निचली सीमाओं के साथ अभिन्न अंग हमेशा शून्य के बराबर होता है। यदि अंतराल $$[a,b]$$ किसी भी औसत दर्जे का सेट द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $$A$$, समानता के अनुसार अभी भी है: $$ P(X \in A) = \int_A f(x) \, dx .$$ एक बिल्कुल निरंतर यादृच्छिक चर यादृच्छिक चर है जिसका संभाव्यता वितरण बिल्कुल निरंतर है।

पूरी तरह से निरंतर संभावना वितरण के कई उदाहरण हैं: सामान्य वितरण, समान वितरण (निरंतर), ची-वर्ग वितरण | ची-स्क्वर्ड, और संभाव्यता वितरण की सूची#बिल्कुल निरंतर वितरण।

संचयी वितरण समारोह
ऊपर परिभाषित के रूप में बिल्कुल निरंतर संभावना वितरण ठीक पूर्ण निरंतरता संचयी वितरण फ़ंक्शन के साथ हैं। इस मामले में, संचयी वितरण कार्य $$F$$ प्रपत्र है $$F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt$$ कहां $$f$$ यादृच्छिक चर का घनत्व है $$X$$ वितरण के संबंध में $$P$$।

शब्दावली पर ध्यान दें: बिल्कुल निरंतर वितरण को 'निरंतर वितरण' से अलग किया जाना चाहिए, जो निरंतर संचयी वितरण समारोह वाले हैं।हर बिल्कुल निरंतर वितरण निरंतर वितरण है, लेकिन यह सच नहीं है, एकवचन वितरण मौजूद हैं, जो न तो बिल्कुल निरंतर हैं और न ही असतत हैं और न ही उन का मिश्रण है, और कोई घनत्व नहीं है।एक उदाहरण कैंटर वितरण द्वारा दिया गया है।कुछ लेखक हालांकि सभी वितरणों को निरूपित करने के लिए सतत वितरण शब्द का उपयोग करते हैं, जिनके संचयी वितरण कार्य बिल्कुल निरंतर कार्य हैं, यानी निरंतर वितरण के रूप में बिल्कुल निरंतर वितरण को संदर्भित करते हैं। घनत्व कार्यों की अधिक सामान्य परिभाषा के लिए और समकक्ष बिल्कुल निरंतर उपायों को बिल्कुल निरंतर उपाय देखें।

kolmogorov परिभाषा
माप सिद्धांत में | संभावना सिद्धांत के माप-सिद्धांतीय औपचारिकता, यादृच्छिक चर को औसत दर्जे का कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है $$X$$ संभावना स्थान से $$(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$$ औसत दर्जे के स्थान के लिए $$(\mathcal{X},\mathcal{A})$$।फॉर्म की घटनाओं की संभावनाओं को देखते हुए $$\{\omega\in\Omega\mid X(\omega)\in A\}$$ संतुष्ट संभाव्यता स्वयंसिद्ध $$X$$पुष्पक उपाय है $$X_*\mathbb{P}$$ का $$X$$, जो संभावना उपाय है $$(\mathcal{X},\mathcal{A})$$ संतुष्टि देने वाला $$X_*\mathbb{P} = \mathbb{P}X^{-1}$$.

अन्य प्रकार के वितरण
समर्थन के साथ बिल्कुल निरंतर और असतत वितरण $$\mathbb{R}^k$$ या $$\mathbb{N}^k$$ घटना के असंख्य को मॉडल करने के लिए बेहद उपयोगी हैं, चूंकि अधिकांश व्यावहारिक वितरण अपेक्षाकृत सरल सबसेट पर समर्थित होते हैं, जैसे कि हाइपरक्यूब या बॉल (गणित)।हालांकि, यह हमेशा मामला नहीं होता है, और समर्थन के साथ घटनाएं मौजूद हैं जो वास्तव में जटिल घटता हैं $$\gamma: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^n$$ कुछ स्थान के भीतर $$\mathbb{R}^n$$ या इसी के समान।इन मामलों में, संभावना वितरण को इस तरह की वक्र की छवि पर समर्थित किया जाता है, और इसके लिए बंद सूत्र खोजने के बजाय अनुभवजन्य रूप से निर्धारित किए जाने की संभावना है। एक उदाहरण को दाईं ओर के आंकड़े में दिखाया गया है, जो विभेदक समीकरणों की प्रणाली के विकास को प्रदर्शित करता है (जिसे आमतौर पर राबिनोविच -फब्रिकेंट समीकरणों के रूप में जाना जाता है) का उपयोग प्लाज्मा (भौतिकी) में लैंगमुइर तरंगों के व्यवहार को मॉडल करने के लिए किया जा सकता है। जब इस घटना का अध्ययन किया जाता है, तो सबसेट से देखे गए राज्यों को लाल रंग में इंगित किया जाता है।तो कोई यह पूछ सकता है कि लाल सबसेट की निश्चित स्थिति में राज्य को देखने की संभावना क्या है;यदि ऐसी संभावना मौजूद है, तो इसे सिस्टम की संभावना माप कहा जाता है।

इस तरह का जटिल समर्थन गतिशील प्रणालियों में काफी बार दिखाई देता है।यह स्थापित करना सरल नहीं है कि सिस्टम में संभावना उपाय है, और मुख्य समस्या निम्नलिखित है।होने देना $$t_1 \ll t_2 \ll t_3$$ समय में इंस्टेंट हो और $$O$$ समर्थन का सबसेट;यदि सिस्टम के लिए संभावना उपाय मौजूद है, तो कोई सेट के अंदर राज्यों को देखने की आवृत्ति की उम्मीद करेगा $$O$$ अंतराल में समान होगा $$[t_1,t_2]$$ और $$[t_2,t_3]$$, जो नहीं हो सकता है;उदाहरण के लिए, यह साइन के समान दोलन कर सकता है, $$\sin(t)$$, किसकी सीमा कब $$t \rightarrow \infty$$ अभिसरण नहीं करता है।औपचारिक रूप से, माप केवल तभी मौजूद होता है जब सापेक्ष आवृत्ति की सीमा तब होती है जब सिस्टम को अनंत भविष्य में देखा जाता है। डायनेमिक सिस्टम की शाखा जो संभाव्यता माप के अस्तित्व का अध्ययन करती है वह है एर्गोडिक सिद्धांत।

ध्यान दें कि इन मामलों में भी, संभावना वितरण, यदि यह मौजूद है, तब भी इस बात पर निर्भर करता है कि समर्थन क्रमशः या गिनती योग्य है या नहीं, इस पर निर्भर करता है।

यादृच्छिक संख्या पीढ़ी
अधिकांश एल्गोरिदम स्यूडोरेंडोम नंबर जनरेटर पर आधारित होते हैं जो संख्याओं का उत्पादन करता है $$X$$ जो समान रूप से आधे-खुले अंतराल में वितरित किए जाते हैं $[0, 1)$।ये यादृच्छिक चर $$X$$ फिर कुछ एल्गोरिथ्म के माध्यम से नया यादृच्छिक चर बनाने के लिए बदल दिया जाता है जो आवश्यक संभावना वितरण होता है।समान छद्म-यादृच्छिकता के इस स्रोत के साथ, किसी भी यादृच्छिक चर की वास्तविकता उत्पन्न की जा सकती है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए $$U$$ कुछ के लिए यादृच्छिक बर्नौली चर का निर्माण करने के लिए 0 और 1 के बीच समान वितरण है $$0 < p < 1$$, हम परिभाषित करते हैं $$X = \begin{cases} 1,& \text{if } U<p\\ 0,& \text{if } U\geq p \end{cases}$$ ताकि $$\Pr(X=1) = \Pr(U<p) = p, \quad \Pr(X=0) = \Pr(U\geq p) = 1-p.$$ इस यादृच्छिक चर एक्स में पैरामीटर के साथ बर्नौली वितरण है $$p$$. ध्यान दें कि यह असतत यादृच्छिक चर का परिवर्तन है।

एक वितरण समारोह के लिए $$F$$ बिल्कुल निरंतर यादृच्छिक चर में से, बिल्कुल निरंतर यादृच्छिक चर का निर्माण किया जाना चाहिए। $$F^{\mathit{inv}}$$का उलटा कार्य $$F$$, वर्दी चर से संबंधित है $$U$$: $${U\leq F(x)} = {F^{\mathit{inv}}(U)\leq x}.$$ उदाहरण के लिए, मान लें कि यादृच्छिक चर है जिसमें घातीय वितरण है $$F(x) = 1 - e^{-\lambda x}$$ निर्माण किया जाना चाहिए।

$$\begin{align} F(x) = u &\Leftrightarrow 1-e^{-\lambda x} = u \\[2pt] &\Leftrightarrow e^{-\lambda x } = 1-u \\[2pt] &\Leftrightarrow -\lambda x = \ln(1-u) \\[2pt] &\Leftrightarrow x = \frac{-1}{\lambda}\ln(1-u) \end{align}$$ इसलिए $$F^{\mathit{inv}}(u) = \frac{-1}{\lambda}\ln(1-u)$$ और अगर $$U$$ $$U(0,1)$$ वितरण, फिर यादृच्छिक चर $$X$$ द्वारा परिभाषित किया गया है $$X = F^{\mathit{inv}}(U) = \frac{-1}{\lambda} \ln(1-U)$$।यह घातीय वितरण है $$\lambda$$.

सांख्यिकीय सिमुलेशन (मोंटे कार्लो विधि) में लगातार समस्या स्यूडोरेंडोमनेस की पीढ़ी है। छद्म-यादृच्छिक संख्या जो दिए गए तरीके से वितरित की जाती हैं।

सामान्य संभावना वितरण और उनके अनुप्रयोग
संभाव्यता वितरण और यादृच्छिक चर की अवधारणा जो वे वर्णन करते हैं कि संभाव्यता सिद्धांत के गणितीय अनुशासन और सांख्यिकी विज्ञान के विज्ञान को रेखांकित करता है।लगभग किसी भी मूल्य में प्रसार या परिवर्तनशीलता होती है जिसे आबादी में मापा जा सकता है (जैसे लोगों की ऊंचाई, धातु की स्थायित्व, बिक्री वृद्धि, यातायात प्रवाह, आदि);लगभग सभी माप कुछ आंतरिक त्रुटि के साथ किए जाते हैं;भौतिकी में, कई प्रक्रियाओं को संभावित रूप से वर्णित किया जाता है, गैसों के गतिज सिद्धांत से मौलिक कणों के क्वांटम यांत्रिक विवरण तक।इन और कई अन्य कारणों के लिए, सरल संख्या अक्सर मात्रा का वर्णन करने के लिए अपर्याप्त होती है, जबकि संभावना वितरण अक्सर अधिक उपयुक्त होते हैं।

निम्नलिखित कुछ सबसे सामान्य संभावना वितरणों की सूची है, जिसे वे संबंधित प्रक्रिया के प्रकार द्वारा समूहीकृत करते हैं।अधिक संपूर्ण सूची के लिए, संभाव्यता वितरण की सूची देखें, जो परिणाम की प्रकृति द्वारा माना जाता है (असतत, बिल्कुल निरंतर, बहुभिन्नरूपी, आदि)

नीचे दिए गए सभी एकतरफा वितरण एकल रूप से चरम पर हैं;यही है, यह माना जाता है कि मान ही बिंदु के आसपास क्लस्टर करते हैं।व्यवहार में, वास्तव में देखी गई मात्रा कई मूल्यों के आसपास क्लस्टर हो सकती है।इस तरह की मात्रा को मिश्रण वितरण का उपयोग करके मॉडलिंग की जा सकती है।

रैखिक विकास (जैसे त्रुटियां, ऑफसेट)

 * सामान्य वितरण (गौसियन वितरण), ऐसी मात्रा के लिए;सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला बिल्कुल निरंतर वितरण

घातीय वृद्धि (जैसे कीमत, आय, आबादी)

 * लॉग-सामान्य वितरण, ऐसी एकल मात्रा के लिए जिसका लॉग सामान्य वितरण वितरित है
 * Pareto वितरण, ऐसी एकल मात्रा के लिए जिसका लॉग घातांक वितरण वितरित है;प्रोटोटाइप पावर लॉ डिस्ट्रीब्यूशन

समान रूप से वितरित मात्रा

 * असतत वर्दी वितरण, मूल्यों के परिमित सेट के लिए (जैसे कि मेला मरने का परिणाम)
 * निरंतर समान वितरण, बिल्कुल लगातार वितरित मूल्यों के लिए

बर्नौली परीक्षण (हाँ/नहीं घटना, किसी दिए गए संभाव्यता के साथ)

 * बुनियादी वितरण:
 * बर्नौली वितरण, एकल बर्नौली परीक्षण के परिणाम के लिए (जैसे सफलता/विफलता, हाँ/नहीं)
 * द्विपद वितरण, सकारात्मक घटनाओं की संख्या (जैसे सफलताओं, हाँ वोट, आदि) के लिए स्वतंत्र (सांख्यिकी) घटनाओं की निश्चित कुल संख्या दी गई है
 * नकारात्मक द्विपद वितरण, द्विपद-प्रकार की टिप्पणियों के लिए, लेकिन जहां ब्याज की मात्रा निश्चित संख्या में होने से पहले विफलताओं की संख्या है
 * ज्यामितीय वितरण, द्विपद-प्रकार की टिप्पणियों के लिए लेकिन जहां ब्याज की मात्रा पहली सफलता से पहले विफलताओं की संख्या है;नकारात्मक द्विपद वितरण का विशेष मामला
 * एक परिमित आबादी पर नमूना योजनाओं से संबंधित:
 * हाइपरजोमेट्रिक वितरण, सकारात्मक घटनाओं की संख्या (जैसे सफलताओं, हाँ वोट, आदि) के लिए कुल घटनाओं की निश्चित संख्या को देखते हुए, प्रतिस्थापन के बिना नमूने का उपयोग करना
 * बीटा-बिनोमियल वितरण, सकारात्मक घटनाओं की संख्या (जैसे सफलताओं, हाँ वोट, आदि) के लिए कुल घटनाओं की निश्चित संख्या दी गई, प्लायला कलश मॉडल का उपयोग करके नमूनाकरण (कुछ अर्थों में, प्रतिस्थापन के बिना नमूने के विपरीत)

श्रेणीबद्ध परिणाम (के साथ घटनाएं) $K$ संभावित परिणाम)

 * श्रेणीबद्ध वितरण, एकल श्रेणीगत परिणाम के लिए (जैसे सर्वेक्षण में हाँ/नहीं/शायद);बर्नौली वितरण का सामान्यीकरण
 * बहुराष्ट्रीय वितरण, प्रत्येक प्रकार के श्रेणीबद्ध परिणामों की संख्या के लिए, कुल परिणामों की निश्चित संख्या को देखते हुए;द्विपद वितरण का सामान्यीकरण
 * बहुभिन्नरूपी हाइपरजोमेट्रिक वितरण, बहुराष्ट्रीय वितरण के समान, लेकिन प्रतिस्थापन के बिना नमूने का उपयोग करना;हाइपरजोमेट्रिक वितरण का सामान्यीकरण

पॉइसन प्रक्रिया (किसी दिए गए दर के साथ स्वतंत्र रूप से होने वाली घटनाएं)

 * पॉइसन वितरण, समय की अवधि में पॉइसन-प्रकार की घटनाओं की संख्या के लिए
 * घातीय वितरण, अगले पॉइसन-प्रकार की घटना से पहले के समय के लिए
 * गामा वितरण, अगले K Poisson- प्रकार की घटनाओं से पहले के समय के लिए

सामान्य रूप से वितरित घटकों के साथ वैक्टर का निरपेक्ष मान

 * रेले वितरण, गॉसियन वितरित ऑर्थोगोनल घटकों के साथ वेक्टर परिमाण के वितरण के लिए।गॉसियन वास्तविक और काल्पनिक घटकों के साथ आरएफ संकेतों में रेले वितरण पाए जाते हैं।
 * चावल वितरण, रेले वितरण का सामान्यीकरण जहां स्थिर पृष्ठभूमि संकेत घटक है।मल्टीपैथ प्रसार के कारण और गैर-शून्य एनएमआर संकेतों पर शोर भ्रष्टाचार के साथ एमआर छवियों में रेडियो सिग्नल के रेनियन लुप्त होने में पाया गया।

सामान्य रूप से वितरित मात्रा वर्गों के योग के साथ संचालित

 * ची-वर्ग वितरण, वर्ग मानक सामान्य चर के योग का वितरण;उपयोगी उदा।सामान्य रूप से वितरित नमूनों के नमूना विचरण के बारे में अनुमान के लिए (ची-स्क्वर्ड परीक्षण देखें)
 * छात्र का टी वितरण, मानक सामान्य चर के अनुपात का वितरण और स्केल ची चुकता वितरण चर का वर्गमूल;अज्ञात विचरण के साथ सामान्य रूप से वितरित नमूनों के माध्य के बारे में अनुमान के लिए उपयोगी (छात्र का टी-टेस्ट देखें)
 * एफ-वितरण, दो स्केल ची चुकता वितरण चर के अनुपात का वितरण;उपयोगी उदा।ऐसे अनुमानों के लिए जिसमें वेरिएंट की तुलना करना या आर-स्क्वेयर शामिल करना शामिल है (चुकता पियर्सन उत्पाद-पल सहसंबंध गुणांक)

के रूप में बायेसियन इनवेंशन में पूर्व वितरण के रूप में

 * बीटा वितरण, एकल संभावना के लिए (0 और 1 के बीच वास्तविक संख्या);बर्नौली वितरण और द्विपद वितरण के लिए संयुग्मन
 * गामा वितरण, गैर-नकारात्मक स्केलिंग पैरामीटर के लिए;एक पॉइसन वितरण या घातीय वितरण के दर पैरामीटर के लिए संयुग्मन, सामान्य वितरण, आदि के सटीक (सांख्यिकी) (उलटा विचरण), आदि।
 * Dirichlet वितरण, संभावनाओं के वेक्टर के लिए जो 1 के लिए राशि होनी चाहिए;श्रेणीबद्ध वितरण और बहुराष्ट्रीय वितरण के लिए संयुग्म;बीटा वितरण का सामान्यीकरण
 * Wishart वितरण, सममित गैर-नकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स के लिए;एक बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण के सहसंयोजक मैट्रिक्स के व्युत्क्रम के लिए संयुग्म;गामा वितरण का सामान्यीकरण

संभावना वितरण के कुछ विशेष अनुप्रयोग

 * कैश लैंग्वेज मॉडल और अन्य सांख्यिकीय भाषा मॉडल प्राकृतिक भाषा प्रसंस्करण में उपयोग किए जाने वाले विशेष शब्दों और शब्द अनुक्रमों की घटना के लिए संभावनाएं प्रदान करने के लिए संभावना वितरण के माध्यम से ऐसा करते हैं।
 * क्वांटम यांत्रिकी में, किसी दिए गए बिंदु पर कण को खोजने की संभावना घनत्व उस बिंदु पर कण की तरंग के परिमाण के वर्ग के लिए आनुपातिक है (जन्म के नियम देखें)।इसलिए, कण की स्थिति की संभावना वितरण कार्य द्वारा वर्णित किया गया है $P_{a\le x\le b} (t) = \int_a^b d x\,|\Psi(x,t)|^2 $, संभावना है कि कण की स्थिति $x$ अंतराल में होगा $a ≤ x ≤ b$ आयाम में, और आयाम तीन में समान ट्रिपल अभिन्न।यह क्वांटम यांत्रिकी का प्रमुख सिद्धांत है।
 * पावर-फ्लो अध्ययन में संभाव्य लोड प्रवाह इनपुट चर की अनिश्चितताओं को संभाव्यता वितरण के रूप में बताता है और संभावना वितरण की अवधि में बिजली प्रवाह गणना भी प्रदान करता है।
 * पिछले आवृत्ति वितरण जैसे कि उष्णकटिबंधीय चक्रवात, ओले, घटनाओं के बीच समय, आदि के आधार पर प्राकृतिक घटनाओं की भविष्यवाणी की भविष्यवाणी।

यह भी देखें

 * सशर्त संभाव्यता वितरण
 * संयुक्त संभावना वितरण
 * Quasiprobability वितरण
 * अनुभवजन्य संभावना
 * हिस्टोग्राम
 * Riemann -stieltjes इंटीग्रल#एप्लिकेशन टू प्रोबेबिलिटी थ्योरी | Riemann -StieltJes इंटीग्रल एप्लिकेशन टू प्रोबेबिलिटी थ्योरी

सूची

 * संभाव्यता वितरण की सूची
 * सांख्यिकीय विषयों की सूची

बाहरी कड़ियाँ

 * Field Guide to Continuous Probability Distributions, Gavin E. Crooks.
 * Field Guide to Continuous Probability Distributions, Gavin E. Crooks.

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यह: यादृच्छिक चर