क्वांटम ज्यामिति

सैद्धांतिक भौतिकी में, क्वांटम ज्यामिति ज्यामिति की अवधारणाओं को सामान्यीकृत करने वाली गणितीय अवधारणाओं का समूह है, जिसकी समझ प्लैंक लंबाई की तुलना में दूरी के पैमाने पर भौतिक घटनाओं का वर्णन करने के लिए आवश्यक है। इन दूरियों पर, क्वांटम यांत्रिकी का भौतिक घटनाओं पर गहरा प्रभाव पड़ता है।

क्वांटम गुरुत्व
क्वांटम गुरुत्वाकर्षण का प्रत्येक सिद्धांत क्वांटम ज्यामिति शब्द का उपयोग थोड़े अलग तरीके से करता है। स्ट्रिंग सिद्धांत, गुरुत्वाकर्षण के क्वांटम सिद्धांत के लिए एक प्रमुख उम्मीदवार, क्वांटम ज्यामिति शब्द का उपयोग टी-द्वैत और अन्य ज्यामितीय द्वंद्व, दर्पण समरूपता (स्ट्रिंग सिद्धांत), टोपोलॉजी-बदलते संक्रमण जैसे विदेशी घटनाओं का वर्णन करने के लिए करता है।, न्यूनतम संभव दूरी का पैमाना, और अन्य प्रभाव जो अंतर्ज्ञान को चुनौती देते हैं। अधिक तकनीकी रूप से, क्वांटम ज्योमेट्री एक स्पेसटाइम मैनिफोल्ड के आकार को संदर्भित करता है जैसा कि डी-branes द्वारा अनुभव किया जाता है जिसमें मीट्रिक टेंसर में क्वांटम सुधार शामिल हैं, जैसे कि वर्ल्डशीट  एक पल । उदाहरण के लिए, एक चक्र के क्वांटम आयतन की गणना इस चक्र पर लिपटी एक झिल्ली (एम-सिद्धांत) के द्रव्यमान से की जाती है।

पाश क्वांटम गुरुत्वाकर्षण (LQG) कहे जाने वाले क्वांटम ग्रेविटी के वैकल्पिक दृष्टिकोण में, वाक्यांश क्वांटम ज्यामिति आमतौर पर LQG के भीतर वैज्ञानिक औपचारिकता को संदर्भित करता है, जहाँ ज्यामिति के बारे में जानकारी प्राप्त करने वाले वेधशालाएँ अब  हिल्बर्ट अंतरिक्ष  पर अच्छी तरह से परिभाषित ऑपरेटर हैं। विशेष रूप से, कुछ भौतिक वेधशालाओं, जैसे कि क्षेत्र, में एक असतत स्पेक्ट्रम (भौतिकी) होता है। यह भी दिखाया गया है कि लूप क्वांटम ज्यामिति गैर-कम्यूटेटिव ज्यामिति है | गैर-कम्यूटेटिव। यह संभव है (लेकिन असंभाव्य माना जाता है) कि ज्यामिति की यह कड़ाई से परिमाणित समझ स्ट्रिंग सिद्धांत से उत्पन्न होने वाली ज्यामिति की क्वांटम तस्वीर के अनुरूप होगी।

एक और, काफी सफल, दृष्टिकोण, जो पहले सिद्धांतों से अंतरिक्ष-समय की ज्यामिति को फिर से बनाने की कोशिश करता है, असतत लोरेंट्ज़ियन क्वांटम गुरुत्व है।

क्वांटम स्टेट्स डिफरेंशियल फॉर्म्स
के रूप में

वेज उत्पाद का उपयोग करते हुए क्वांटम राज्यों को व्यक्त करने के लिए विभेदक रूपों का उपयोग किया जाता है:
 * $$|\psi\rangle = \int \psi(\mathbf{x},t) \, |\mathbf{x},t\rangle \, \mathrm{d}^3\mathbf{x} $$

जहां स्थिति वेक्टर है


 * $$\mathbf{x} = (x^1,x^2,x^3) $$

अंतर मात्रा तत्व है


 * $$\mathrm{d}^3\mathbf{x} = \mathrm{d}x^1 \!\wedge \mathrm{d}x^2 \!\wedge \mathrm{d}x^3$$

और $x^{1}, x^{2}, x^{3}$ निर्देशांक का एक मनमाना सेट है, ऊपरी सूचकांक संकेतन सहप्रसरण और सदिशों के प्रतिप्रसरण को दर्शाता है, निचला सूचकांक सदिशों के सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण को इंगित करता है, इसलिए स्पष्ट रूप से अंतर रूप में क्वांटम स्थिति है:


 * $$|\psi\rangle = \int \psi(x^1,x^2,x^3,t) \, |x^1,x^2,x^3,t\rangle \, \mathrm{d}x^1 \!\wedge \mathrm{d}x^2 \!\wedge \mathrm{d}x^3$$

ओवरलैप इंटीग्रल द्वारा दिया गया है:


 * $$\langle\chi|\psi\rangle = \int \chi^* \psi ~ \mathrm{d}^3\mathbf{x}$$

विभेदक रूप में यह है


 * $$\langle\chi|\psi\rangle = \int \chi^* \psi ~ \mathrm{d}x^1 \!\wedge \mathrm{d}x^2 \!\wedge \mathrm{d}x^3$$

अंतरिक्ष के किसी क्षेत्र में कण के मिलने की संभावना $R$ उस क्षेत्र पर अभिन्न द्वारा दिया गया है:


 * $$\langle\psi|\psi\rangle = \int_R \psi^* \psi ~ \mathrm{d}x^1 \!\wedge \mathrm{d}x^2 \!\wedge \mathrm{d}x^3$$

बशर्ते तरंग क्रिया  वेव फंक्शन हो। कब $R$ सभी 3डी स्थिति स्थान है, अभिन्न होना चाहिए $1$ यदि कण मौजूद है।

डिफरेंशियल फॉर्म गणितीय वक्रों और सतह (गणित) की ज्यामिति का एक स्वतंत्र समन्वय तरीके से वर्णन करने के लिए एक दृष्टिकोण है। क्वांटम यांत्रिकी में, आयताकार कार्टेशियन निर्देशांक में आदर्श स्थितियाँ होती हैं, जैसे कि संभावित कुआँ, एक बॉक्स में कण, क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर, और गोलाकार ध्रुवीय निर्देशांक जैसे परमाणुओं और अणुओं में इलेक्ट्रॉनों में अधिक यथार्थवादी सन्निकटन। सामान्यता के लिए, एक औपचारिकता जिसका उपयोग किसी भी समन्वय प्रणाली में किया जा सकता है उपयोगी है।

यह भी देखें

 * गैर अनुमेय ज्यामिति

अग्रिम पठन

 * Supersymmetry, Demystified, P. Labelle, McGraw-Hill (USA), 2010, ISBN 978-0-07-163641-4
 * Quantum Mechanics, E. Abers, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 9780131461000
 * Quantum Mechanics Demystified, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2006, ISBN 0-07-145546 9
 * Quantum Field Theory, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2008, ISBN 978-0-07-154382-8

बाहरी संबंध

 * Space and Time: From Antiquity to Einstein and Beyond
 * Quantum Geometry and its Applications