माध्य मान प्रमेय

गणित में, माध्य मान प्रमेय (या लैग्रेंज प्रमेय) मोटे तौर पर बताता है कि दो अंतिम बिंदुओं के बीच दिए गए समतल चाप (ज्यामिति) के लिए, कम से कम एक बिंदु होता है, जिस पर चाप की स्पर्श रेखा इसके माध्यम से छेदक रेखा के समानांतर होती है समापनबिंदु. यह वास्तविक विश्लेषण में सबसे महत्वपूर्ण परिणामों में से एक है। इस प्रमेय का उपयोग अंतराल के बिंदुओं पर डेरिवेटिव के बारे में स्थानीय परिकल्पना से शुरू करके अंतराल (गणित) पर किसी फ़ंक्शन के बारे में कथनों को सिद्ध करने के लिए किया जाता है।

अधिक सटीक रूप से, प्रमेय बताता है कि यदि $$f$$ अंतराल (गणित)#शब्दावली पर एक सतत कार्य है $$[a, b]$$ और अंतराल पर व्युत्पन्न (गणित)#शब्दावली $$(a,b)$$, तो एक बिंदु मौजूद है $$c$$ में $$(a,b)$$ इस प्रकार कि स्पर्शरेखा पर $$c$$ अंतिम बिंदुओं से होकर जाने वाली छेदक रेखा के समानांतर है $$\big(a, f(a)\big)$$ और $$\big(b, f(b)\big)$$, वह है,
 * $$f'(c)=\frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$$

इतिहास
ज्या के व्युत्क्रम प्रक्षेप के लिए इस प्रमेय के एक विशेष मामले का वर्णन सबसे पहले भारत में केरल स्कूल ऑफ एस्ट्रोनॉमी एंड मैथमेटिक्स के परमेश्वर (1380-1460) ने गोविंदास्वामी और भास्कर द्वितीय पर अपनी टिप्पणियों में किया था। प्रमेय का एक प्रतिबंधित रूप 1691 में माइकल रोले े द्वारा सिद्ध किया गया था; परिणाम वह था जिसे अब रोले के प्रमेय के रूप में जाना जाता है, और कैलकुलस की तकनीक के बिना, केवल बहुपदों के लिए सिद्ध किया गया था। अपने आधुनिक रूप में औसत मूल्य प्रमेय को 1823 में ऑगस्टिन लुई कॉची द्वारा बताया और सिद्ध किया गया था। तब से इस प्रमेय के कई रूप सिद्ध हो चुके हैं।

औपचारिक कथन
होने देना $$f:[a,b]\to\R$$ बंद अंतराल पर एक सतत फलन बनें (गणित) $[a,b]$, और खुले अंतराल पर अवकलनीय कार्य $(a,b)$, कहाँ $a < b$. फिर कुछ मौजूद है $$c$$ में $$(a,b)$$ ऐसा है कि


 * $$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

माध्य मान प्रमेय रोले के प्रमेय का एक सामान्यीकरण है, जो मानता है $$f(a)=f(b)$$, ताकि ऊपर दाहिनी ओर शून्य हो।

माध्य मान प्रमेय अभी भी थोड़ी अधिक सामान्य सेटिंग में मान्य है। बस यही मानने की जरूरत है $$f:[a,b]\to\R$$ निरंतर कार्य चालू है $$[a,b]$$, और वह हर किसी के लिए $$x$$ में $$(a,b)$$ किसी फ़ंक्शन की सीमा


 * $$\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

एक सीमित संख्या या बराबर के रूप में मौजूद है $$\infty$$ या $$-\infty$$. यदि परिमित है, तो वह सीमा बराबर होती है $$f'(x)$$. एक उदाहरण जहां प्रमेय का यह संस्करण लागू होता है वह वास्तविक-मूल्यवान क्युब जड़  फ़ंक्शन मैपिंग द्वारा दिया गया है $$x \mapsto x^{1/3}$$, जिसका व्युत्पन्न मूल में अनंत की ओर प्रवृत्त होता है।

जैसा कि कहा गया है, प्रमेय गलत है यदि एक अलग-अलग कार्य वास्तविक-मूल्य के बजाय जटिल-मूल्यवान है। उदाहरण के लिए, परिभाषित करें $$f(x) = e^{xi}$$ सभी वास्तविक के लिए $x$. तब
 * $$f(2\pi)-f(0)=0=0(2\pi-0)$$

जबकि $$f'(x)\ne 0$$ किसी भी वास्तविक के लिए $x$.

इन औपचारिक कथनों को जोसेफ-लुई लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है।

प्रमाण
इजहार $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा का ढलान देता है $$(a,f(a))$$ और $$(b,f(b))$$, जो के ग्राफ का एक कॉर्ड (ज्यामिति) है $$f$$, जबकि $$f'(x)$$ बिंदु पर वक्र की स्पर्श रेखा का ढलान देता है $$(x,f(x))$$. इस प्रकार माध्य मान प्रमेय कहता है कि चिकने वक्र की किसी भी जीवा को देखते हुए, हम जीवा के अंतिम बिंदुओं के बीच स्थित वक्र पर एक बिंदु पा सकते हैं, जैसे कि उस बिंदु पर वक्र की स्पर्श रेखा जीवा के समानांतर हो। निम्नलिखित प्रमाण इस विचार को दर्शाता है।

परिभाषित करना $$g(x)=f(x)-rx$$, कहाँ $$r$$ एक स्थिरांक है. तब से $$f$$ निरंतर चालू है $$[a,b]$$ और पर भिन्न $$(a,b)$$, के लिए भी यही सच है $$g$$. अब हम चुनना चाहते हैं $$r$$ ताकि $$g$$ रोले के प्रमेय की शर्तों को पूरा करता है। यानी


 * $$\begin{align}

g(a)=g(b)&\iff f(a)-ra=f(b)-rb\\ &\iff r(b-a)=f(b)-f(a) \\ &\iff r=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}. \end{align}$$ रोले के प्रमेय के अनुसार, चूँकि $$g$$ भिन्न है और $$g(a)=g(b)$$, वहाँ कुछ $$c$$ में $$(a,b)$$ जिसके लिए $$g'(c)=0$$, और यह समानता से अनुसरण करता है $$g(x)=f(x)-rx$$ वह,


 * $$\begin{align}

&g'(x) = f'(x) -r \\ & g'(c) = 0\\ &g'(c) = f'(c) - r = 0 \\ &\Rightarrow f'(c) = r = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{align}$$

निहितार्थ
प्रमेय 1: मान लें कि f एक सतत, वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन है, जो वास्तविक रेखा के एक मनमाना अंतराल I पर परिभाषित है। यदि अंतराल I के प्रत्येक आंतरिक (टोपोलॉजी) पर f का व्युत्पन्न मौजूद है और शून्य है, तो f आंतरिक में स्थिर कार्य है।

प्रमाण: मान लें कि अंतराल I के प्रत्येक आंतरिक (टोपोलॉजी) पर f का व्युत्पन्न मौजूद है और शून्य है। मान लीजिए (a, b) I में एक मनमाना खुला अंतराल है। माध्य मान प्रमेय द्वारा, (ए, बी) में एक बिंदु सी मौजूद है जैसे कि


 * $$0=f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

इसका अर्थ यह है कि f(a) = f(b). इस प्रकार, I के आंतरिक भाग पर f स्थिर है और इस प्रकार निरंतरता द्वारा I पर भी स्थिर है। (इस परिणाम के बहुपरिवर्तनीय संस्करण के लिए नीचे देखें।)

'टिप्पणियां:' 'प्रमेय 2:' यदि इन कार्यों के डोमेन के अंतराल (ए, बी) में सभी एक्स के लिए एफ' (एक्स) = जी' (एक्स), तो एफ - जी स्थिर है, यानी एफ = जी + सी जहां सी (ए, बी) पर एक स्थिरांक है।
 * अंतराल I के अंतिम बिंदुओं पर केवल f की निरंतरता की आवश्यकता होती है, भिन्नता की नहीं। यदि I एक खुला अंतराल है, तो निरंतरता की कोई परिकल्पना बताने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि एक बिंदु पर व्युत्पन्न का अस्तित्व इस बिंदु पर निरंतरता को दर्शाता है। (लेख व्युत्पन्न की व्युत्पन्न#निरंतरता और भिन्नता अनुभाग देखें।)
 * एफ की भिन्नता को एक तरफा डेरिवेटिव्स में आराम दिया जा सकता है | एक तरफा भिन्नता, अर्ध-विभेदीकरण पर लेख में दिया गया प्रमाण।

'प्रमाण:' मान लीजिए F = f - g, तो F' = f' - g' = 0 अंतराल (a, b) पर, इसलिए उपरोक्त प्रमेय 1 बताता है कि F = f - g एक स्थिरांक c या f = है जी + सी.

'प्रमेय 3:' यदि F, अंतराल I पर f का एक प्रतिअवकलज है, तो I पर f का सबसे सामान्य प्रतिअवकलज F(x) + c है जहां c एक स्थिरांक है।

'प्रमाण:' यह सीधे उपरोक्त प्रमेय 2 से अनुसरण करता है।

कॉची का माध्य मान प्रमेय
कॉची का माध्य मान प्रमेय, जिसे विस्तारित माध्य मान प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है, माध्य मान प्रमेय का सामान्यीकरण है। इसमें कहा गया है: यदि कार्य $$f$$ और $$g$$ दोनों बंद अंतराल पर निरंतर हैं $$[a,b]$$ और खुले अंतराल पर अवकलनीय $$(a,b)$$, तो कुछ मौजूद है $$c \in (a,b)$$, ऐसा है कि :$$(f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c).$$ बेशक अगर $$g(a) \neq g(b)$$ और $$g'(c) \neq 0$$, यह इसके बराबर है:


 * $$\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.$$

ज्यामितीय रूप से, इसका मतलब है कि वक्र के ग्राफ़ में कुछ स्पर्शरेखा है
 * $$\begin{cases}[a,b] \to \R^2\\t\mapsto (f(t),g(t))\end{cases}$$

जो बिंदुओं द्वारा परिभाषित रेखा के समानांतर (ज्यामिति) है $$(f(a), g(a))$$ और $$(f(b), g(b))$$. हालाँकि, कॉची का प्रमेय सभी मामलों में ऐसी स्पर्शरेखा के अस्तित्व का दावा नहीं करता है $$(f(a), g(a))$$ और $$(f(b), g(b))$$ अलग-अलग बिंदु हैं, क्योंकि यह केवल कुछ मूल्य के लिए ही संतुष्ट हो सकता है $$c$$ साथ $$f'(c) = g'(c) = 0$$, दूसरे शब्दों में एक मान जिसके लिए उल्लिखित वक्र स्थिर बिंदु है; ऐसे बिंदुओं में वक्र की कोई भी स्पर्शरेखा परिभाषित होने की संभावना नहीं है। इस स्थिति का एक उदाहरण द्वारा दिया गया वक्र है


 * $$t \mapsto \left(t^3,1-t^2\right),$$

जो अंतराल पर $$[-1,1]$$ बिंदु से चला जाता है $$(-1, 0)$$ को $$(1, 0)$$, फिर भी कभी कोई क्षैतिज स्पर्श रेखा नहीं होती; हालाँकि इसका एक स्थिर बिंदु (वास्तव में एक पुच्छल (विलक्षणता)) है $$t = 0$$.

कॉची के माध्य मान प्रमेय का उपयोग एल'हॉपिटल के नियम को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है। माध्य मान प्रमेय कॉची के माध्य मान प्रमेय का विशेष मामला है जब $$g(t) = t$$.

कॉची के माध्य मान प्रमेय का प्रमाण
कॉची के माध्य मान प्रमेय का प्रमाण माध्य मान प्रमेय के प्रमाण के समान विचार पर आधारित है।

 <ली> कल्पना करना $$g(a) \neq g(b)$$. परिभाषित करना $$h(x) = f(x) - rg(x)$$, कहाँ $$r$$ इस तरह से तय किया गया है $$h(a) = h(b)$$, अर्थात्
 * $$\begin{align}h(a)=h(b)&\iff f(a)-rg(a)=f(b)-rg(b)\\ &\iff r (g(b)-g(a))=f(b)-f(a)\\ &\iff r=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.\end{align}$$

तब से $$f$$ और $$g$$ निरंतर चालू हैं $$[a,b]$$ और पर भिन्न $$(a,b)$$, के लिए भी यही सच है $$h$$. सब मिलाकर, $$h$$ रोले के प्रमेय की शर्तों को संतुष्ट करता है: परिणामस्वरूप, कुछ है $$c$$ में $$(a,b)$$ जिसके लिए $$h'(c) = 0$$. अब की परिभाषा का उपयोग कर रहे हैं $$h$$ अपने पास:
 * $$0=h'(c)=f'(c)-rg'(c) = f'(c)- \left (\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \right ) g'(c).$$

इसलिए:
 * $$f'(c)= \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} g'(c),$$

जिसका तात्पर्य परिणाम से है।  <ली> अगर $$g(a) = g(b)$$, फिर, रोले के प्रमेय को लागू करना $$g$$, यह इस प्रकार है कि वहाँ मौजूद है $$c$$ में $$(a,b)$$ जिसके लिए $$g'(c) = 0$$. इस विकल्प का उपयोग करना $$c$$, कॉची का माध्य मान प्रमेय (तुच्छ रूप से) मान्य है।  

निर्धारकों के लिए सामान्यीकरण
ये मान लीजिए $$f, g,$$ और $$h$$ पर भिन्न-भिन्न कार्य हैं $$(a,b)$$ जो लगातार चालू हैं $$[a,b]$$. परिभाषित करना


 * $$ D(x) = \begin{vmatrix}

f(x) & g(x) & h(x)\\ f(a) & g(a) & h(a)\\ f(b) & g(b) & h(b) \end{vmatrix}$$ वहां मौजूद $$c\in(a,b)$$ ऐसा है कि $$ D'(c)=0$$.

नोटिस जो
 * $$ D'(x) = \begin{vmatrix}

f'(x) & g'(x)& h'(x)\\ f(a) & g(a) & h(a)\\ f(b) & g(b)& h(b) \end{vmatrix}$$ और यदि हम रखते हैं $$h(x)=1$$, हमें कॉची का माध्य मान प्रमेय मिलता है। अगर हम जगह देते हैं $$h(x)=1$$ और $$g(x)=x$$ हमें लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय मिलता है।

सामान्यीकरण का प्रमाण काफी सरल है: प्रत्येक $$D(a)$$ और $$D(b)$$ इसलिए, दो समान पंक्तियों वाले निर्धारक हैं $$D(a)=D(b)=0$$. रोले के प्रमेय का तात्पर्य है कि अस्तित्व है $$c\in (a,b)$$ ऐसा है कि $$D'(c)=0$$.

कई चरों में माध्य मान प्रमेय
माध्य मान प्रमेय अनेक चरों के वास्तविक कार्यों का सामान्यीकरण करता है। तरकीब यह है कि एक चर का वास्तविक फ़ंक्शन बनाने के लिए पैरामीट्रिज़ेशन का उपयोग करें, और फिर एक-चर प्रमेय लागू करें।

होने देना $$G$$ का एक खुला उपसमुच्चय बनें $$\R^n$$, और जाने $$f:G\to\R$$ एक भिन्न कार्य हो. अंक ठीक करें $$x,y\in G$$ इस प्रकार कि बीच में रेखा खंड हो $$x, y$$ में निहित है $$G$$, और परिभाषित करें $$g(t)=f\big((1-t)x+ty\big)$$. तब से $$g$$ एक चर में एक अवकलनीय फलन है, माध्य मान प्रमेय देता है:


 * $$g(1)-g(0)=g'(c)$$

कुछ के लिए $$c$$ 0 और 1 के बीच. लेकिन तब से $$g(1)=f(y)$$ और $$g(0)=f(x)$$, कंप्यूटिंग $$g'(c)$$ स्पष्ट रूप से हमारे पास है:


 * $$f(y)-f(x)=\nabla f\big((1-c)x+cy\big)\cdot (y-x)$$

कहाँ $$\nabla$$ एक ढाल को दर्शाता है और $$\cdot$$ एक डॉट उत्पाद. यह एक चर (मामले में) में प्रमेय का सटीक एनालॉग है $$n=1$$ यह एक चर में प्रमेय है)। कॉची-श्वार्ज़ असमानता द्वारा, समीकरण अनुमान देता है:


 * $$\Bigl|f(y)-f(x)\Bigr| \le \Bigl|\nabla f\big((1-c)x+cy\big)\Bigr|\ \Bigl|y - x\Bigr|.$$

विशेष रूप से, जब का आंशिक व्युत्पन्न $$f$$ बंधे हुए हैं, $$f$$ लिप्सचिट्ज़ निरंतरता है (और इसलिए एकसमान निरंतरता)।

उपरोक्त के अनुप्रयोग के रूप में, हम इसे सिद्ध करते हैं $$f$$ यदि खुला उपसमुच्चय स्थिर है $$G$$ जुड़ा हुआ है और प्रत्येक आंशिक व्युत्पन्न है $$f$$ 0 है. कोई बिंदु चुनें $$x_0\in G$$, और जाने $$g(x)=f(x)-f(x_0)$$. हम दिखाना चाहते हैं $$g(x)=0$$ हरएक के लिए $$x\in G$$. उसके लिए, चलो $$E=\{x\in G:g(x)=0\}$$. तब E बंद है और शून्य नहीं है। यह भी खुला है: हर किसी के लिए $$x\in E$$ ,


 * $$\Big|g(y)\Big|=\Big|g(y)-g(x)\Big|\le (0)\Big|y-x\Big|=0$$

हरएक के लिए $$y$$ के किसी पड़ोस में $$x$$. (यहाँ, यह महत्वपूर्ण है कि $$x$$ और $$y$$ एक दूसरे के काफी करीब हैं।) चूंकि $$G$$ जुड़ा हुआ है, हम निष्कर्ष निकालते हैं $$E=G$$.

उपरोक्त तर्क समन्वय-मुक्त तरीके से दिए गए हैं; इसलिए, जब वे मामले का सामान्यीकरण करते हैं $$G$$ बनच स्थान का एक उपसमुच्चय है।

वेक्टर-मूल्यवान कार्यों के लिए माध्य मान प्रमेय
वेक्टर-वैल्यू फ़ंक्शंस के लिए माध्य मान प्रमेय का कोई सटीक एनालॉग नहीं है (नीचे देखें)। हालाँकि, एक असमानता है जिसे कई समान स्थितियों पर लागू किया जा सकता है, जिन पर माध्य मान प्रमेय एक आयामी मामले में लागू होता है:

$$

प्रमेय माध्य मान प्रमेय से अनुसरण करता है। सचमुच, ले लो $$\varphi(t) = (\textbf{f}(b) - \textbf{f}(a)) \cdot \textbf{f}(t)$$. तब $$\varphi$$ वास्तविक-मूल्यवान है और इस प्रकार, माध्य मूल्य प्रमेय द्वारा,
 * $$\varphi(b) - \varphi(a) = \varphi'(c)(b-a)$$

कुछ के लिए $$c \in (a, b)$$. अब, $$\varphi(b) - \varphi(a) = |\textbf{f}(b) - \textbf{f}(a)|^2$$ और $$\varphi'(c) = (\textbf{f}(b) - \textbf{f}(a)) \cdot \textbf{f}'(c).$$ इसलिए, उपरोक्त समीकरण से, कॉची-श्वार्ज़ असमानता का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं:
 * $$|\textbf{f}(b) - \textbf{f}(a)|^2 \le |\textbf{f}(b) - \textbf{f}(a)| |\textbf{f}'(c) |(b-a).$$

अगर $$\textbf{f}(b) = \textbf{f}(a)$$, प्रमेय तुच्छ है (कोई भी सी काम करता है)। अन्यथा, दोनों पक्षों को विभाजित करना $$ |\textbf{f}(b) - \textbf{f}(a)|$$ प्रमेय उत्पन्न करता है। $$\square$$ जीन डियूडोने ने अपने क्लासिक ग्रंथ फ़ाउंडेशन ऑफ़ मॉडर्न एनालिसिस में माध्य मान प्रमेय को त्याग दिया है और इसे माध्य असमानता (जो नीचे दिया गया है) से प्रतिस्थापित कर दिया है क्योंकि प्रमाण रचनात्मक नहीं है और कोई माध्य मान नहीं पा सकता है और अनुप्रयोगों में केवल माध्य असमानता की आवश्यकता होती है। विश्लेषण I में सर्ज लैंग माध्य मान प्रमेय का उपयोग, अभिन्न रूप में, एक त्वरित प्रतिवर्त के रूप में करता है, लेकिन इस उपयोग के लिए व्युत्पन्न की निरंतरता की आवश्यकता होती है। यदि कोई हेनस्टॉक-कुर्जवील इंटीग्रल का उपयोग करता है तो उसके पास अतिरिक्त धारणा के बिना अभिन्न रूप में औसत मूल्य प्रमेय हो सकता है कि व्युत्पन्न निरंतर होना चाहिए क्योंकि प्रत्येक व्युत्पन्न हेनस्टॉक-कुर्जवील इंटीग्रेबल है।

माध्य मान समानता का कोई एनालॉग न होने का कारण निम्नलिखित है: यदि $f : U → R^{m}$ एक अवकलनीय फलन है (जहाँ $U ⊂ R^{n}$ खुला है) और यदि $x + th$, $x, h ∈ R^{n}, t ∈ [0, 1]$ प्रश्नाधीन रेखाखंड है (अंदर पड़ा हुआ)। $U$), तो कोई उपरोक्त पैरामीट्रिजेशन प्रक्रिया को प्रत्येक घटक फ़ंक्शन पर लागू कर सकता है $f_{i} (i = 1, …, m)$ f का (उपरोक्त नोटेशन सेट में $y = x + h$). ऐसा करने पर व्यक्ति को अंक मिलते हैं $x + t_{i}h$ लाइन खंड पर संतोषजनक


 * $$f_i(x+h) - f_i(x) = \nabla f_i (x + t_ih) \cdot h.$$

लेकिन आम तौर पर एक भी बात नहीं बनेगी $x + t*h$ लाइन खंड पर संतोषजनक


 * $$f_i(x+h) - f_i(x) = \nabla f_i (x + t^* h) \cdot h.$$

सभी के लिए $i$ इसके साथ ही। उदाहरण के लिए, परिभाषित करें:


 * $$\begin{cases}

f : [0, 2 \pi] \to \R^2 \\ f(x) = (\cos(x), \sin(x)) \end{cases}$$ तब $$f(2\pi) - f(0) = \mathbf{0} \in \R^2$$, लेकिन $$f_1'(x) = -\sin (x)$$ और $$f_2'(x) = \cos (x)$$ कभी भी एक साथ शून्य नहीं होते $$x$$ तक फैली हुई है $$\left[0, 2 \pi\right]$$.

उपरोक्त प्रमेय का तात्पर्य निम्नलिखित है:

वास्तव में, उपरोक्त कथन कई अनुप्रयोगों के लिए पर्याप्त है और इसे निम्नानुसार सीधे सिद्ध किया जा सकता है। (हम लिखेंगे $$f$$ के लिए $$\textbf{f}$$ पठनीयता के लिए।) पहले मान लें $$f$$ पर भिन्न है $$a$$ बहुत। अगर $$f'$$ पर असीमित है $$(a, b)$$, साबित करने के लिए कुछ भी नहीं है। इस प्रकार, मान लीजिए $$\sup_{(a, b)} |f'| < \infty$$. होने देना $$M > \sup_{(a, b)} |f'|$$ कुछ वास्तविक संख्या हो. होने देना
 * $$E = \{ 0 \le t \le 1 \mid |f(a + t(b-a)) - f(a)| \le Mt(b-a) \}.$$

हम दिखाना चाहते हैं $$1 \in E$$. की निरंतरता से $$f$$, सेट $$E$$ बन्द है। यह भी अरिक्त है $$0$$ उसमे है। इसलिए, सेट $$E$$ सबसे बड़ा तत्व है $$s$$. अगर $$s = 1$$, तब $$1 \in E$$ और हमारा काम हो गया. इस प्रकार अन्यथा मान लीजिए. के लिए $$1 > t > s$$,
 * $$\begin{align}

&|f(a + t(b-a)) - f(a)| \\ &\le |f(a + t(b-a)) - f(a+s(b - a)) - f'(a + s(b-a))(t-s)(b-a)| + |f'(a+s(b-a))|(t-s)(b-a) \\ &+|f(a + s(b-a)) - f(a)|. \end{align} $$ होने देना $$\epsilon > 0$$ ऐसा हो कि $$M - \epsilon > \sup_{(a, b)} |f'|$$. की भिन्नता से $$f$$ पर $$a + s(b-a)$$ (टिप्पणी $$s$$ हो सकता है 0), यदि $$t$$ के काफी करीब है $$s$$, पहला पद है $$\le \epsilon (t-s)(b-a)$$. दूसरा पद है $$\le (M - \epsilon) (t-s)(b-a)$$. तीसरा पद है $$\le Ms(b-a)$$. इसलिए, अनुमानों को सारांशित करने पर, हमें मिलता है: $$|f(a + t(b-a)) - f(a)| \le tM|b-a|$$, की अधिकतमता का विरोधाभास $$s$$. इस तरह, $$1 = s \in M$$ और उसका अर्थ यह निकलता है:
 * $$|f(b) - f(a)| \le M(b-a).$$

तब से $$M$$ मनमाना है, तो इससे अभिकथन का तात्पर्य होता है। अंततः, यदि $$f$$ पर भिन्न नहीं है $$a$$, होने देना $$a' \in (a, b)$$ और पहला मामला लागू करें $$f$$ पर प्रतिबंधित $$[a', b]$$, हमें देना:
 * $$|f(b) - f(a')| \le (b-a')\sup_{(a, b)} |f'|$$

तब से $$(a', b) \subset (a, b)$$. दे $$a' \to a$$ प्रमाण समाप्त करता है. $$\square$$ कैलकुलस में बुनियादी परिणाम स्थापित करने के लिए माध्य मूल्य असमानता के कुछ अनुप्रयोगों के लिए, यूक्लिडियन स्पेस#बेसिक धारणाओं पर कैलकुलस भी देखें।

वेक्टर-मूल्यवान कार्यों के लिए माध्य मान प्रमेय का एक निश्चित प्रकार का सामान्यीकरण निम्नानुसार प्राप्त किया जाता है: चलो $f$ एक खुले अंतराल पर परिभाषित एक निरंतर भिन्न वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन बनें $I$, और जाने $x$ साथ ही $x + h$ के अंक हो $I$. एक चर में माध्य मान प्रमेय हमें बताता है कि कुछ मौजूद हैं $t*$ 0 और 1 के बीच ऐसा कि


 * $$f(x+h)-f(x) = f'(x + t^* h) \cdot h.$$

दूसरी ओर, हमारे पास, कलन के मूलभूत प्रमेय के बाद चरों के परिवर्तन के द्वारा,


 * $$ f(x+h)-f(x) = \int_x^{x+h} f'(u) \, du = \left (\int_0^1 f'(x+th)\,dt \right) \cdot h.$$

इस प्रकार, मूल्य $f′(x + t*h)$ विशेष बिंदु पर $t*$ को माध्य मान से प्रतिस्थापित कर दिया गया है


 * $$\int_0^1 f'(x + t h) \, dt.$$

इस अंतिम संस्करण को वेक्टर मूल्यवान फ़ंक्शंस के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है:

$$

सबूत। चलो एफ1, …, एफmके घटकों को निरूपित करें $U ⊂ R^{n}$ और परिभाषित करें:


 * $$\begin{cases}

g_i : [0,1] \to \R \\ g_i(t) = f_i (x +th) \end{cases} $$ तो हमारे पास हैं



\begin{align} f_i(x+h)-f_i(x) &= g_i(1)-g_i(0) =\int_0^1 g_i'(t)\,dt \\ &= \int_0^1 \left (\sum_{j=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial x_j} (x + t h) h_j\right) dt = \sum_{j=1}^n \left (\int_0^1 \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x + t h)\,dt\right) h_j. \end{align} $$ दावा तब से इस प्रकार है $f : U → R^{m}$ घटकों से युक्त मैट्रिक्स है $$\tfrac{\partial f_i}{\partial x_j}$$. $$\square$$ माध्य मूल्य असमानता को उपरोक्त प्रस्ताव के परिणाम के रूप में प्राप्त किया जा सकता है (हालांकि इस धारणा के तहत व्युत्पन्न निरंतर हैं)।

ऐसे मामले जहां प्रमेय लागू नहीं किया जा सकता
माध्य मान प्रमेय के लिए दोनों शर्तें आवश्यक हैं:


 * 1) f(x) (a,b) पर अवकलनीय है
 * 2) f(x) [a,b] पर निरंतर है

जहां उपरोक्त शर्तों में से एक संतुष्ट नहीं है, औसत मूल्य प्रमेय सामान्य रूप से मान्य नहीं है, और इसलिए इसे लागू नहीं किया जा सकता है।

फ़ंक्शन खुले अंतराल a,b
पर भिन्न है

पहली शर्त की आवश्यकता को प्रतिउदाहरण द्वारा देखा जा सकता है जहां फ़ंक्शन $$f(x)=|x| $$ [-1,1] पर अवकलनीय नहीं है।

फ़ंक्शन बंद अंतराल a,b
पर निरंतर है

दूसरी स्थिति की आवश्यकता को प्रतिउदाहरण द्वारा देखा जा सकता है जहां फ़ंक्शन $$f(x) = \begin{cases} 1, & \text{at }x=0 \\ 0, & \text{if }x\in( 0,1] \end{cases} $$

$$f(x) $$ चूँकि मानदंड 1 को पूरा करता है $$f'(x)=0 $$ पर $$(0,1) $$ लेकिन तब से मानदंड 2 नहीं $$\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=-1 $$ और $$-1\neq 0 =f'(x)  $$ सभी के लिए $$x\in (0,1) $$ तो ऐसा नहीं $$c $$ मौजूद

निश्चित समाकलनों के लिए प्रथम माध्य मान प्रमेय
मान लीजिए f : [a, b] → 'R' एक सतत फलन है। फिर (ए, बी) में सी मौजूद है जैसे कि


 * $$\int_a^b f(x) \, dx = f(c)(b - a).$$

चूँकि [a, b] पर f का माध्य मान इस प्रकार परिभाषित किया गया है


 * $$\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx,$$

हम निष्कर्ष की व्याख्या इस प्रकार कर सकते हैं कि f (a, b) में कुछ c पर अपना माध्य मान प्राप्त कर लेता है। सामान्य तौर पर, यदि f: [a, b] → 'R' सतत है और g एक पूर्णांक फलन है जो [a, b] पर चिह्न नहीं बदलता है, तो (a, b) में c मौजूद है जैसे कि


 * $$\int_a^b f(x) g(x) \, dx = f(c) \int_a^b g(x) \, dx.$$

प्रमाण है कि [ए, बी] में कुछ सी है
मान लीजिए f: [a, b] → 'R' सतत है और g [a, b] पर एक अऋणात्मक पूर्णांकीय फलन है। चरम मूल्य प्रमेय के अनुसार, m और M का अस्तित्व इस प्रकार है कि [a, b] में प्रत्येक x के लिए, $$m\leq f(x) \leq M $$ और $$f[a,b] = [m, M]$$. चूँकि g अऋणात्मक है,


 * $$m \int_a^b g(x) \, dx \leq \int^b_a f(x) g(x) \, dx \leq M \int_a^b g(x) \, dx.$$

अब चलो


 * $$I = \int_a^b g(x) \, dx.$$

अगर $$I = 0$$, हम तब से कर रहे हैं


 * $$0 \leq \int_a^b f(x) g(x)\, dx \leq 0$$

साधन


 * $$\int_a^b f(x)g(x)\, dx=0,$$

तो (ए, बी) में किसी भी सी के लिए,


 * $$\int_a^b f(x)g(x)\, dx = f(c) I = 0.$$

यदि मैं ≠ 0, तो


 * $$m \leq \frac{1}{I} \int_a^b f(x)g(x)\,dx \leq M.$$

मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय के अनुसार, f अंतराल [m, M] के प्रत्येक मान को प्राप्त करता है, इसलिए [a, b] में कुछ c के लिए


 * $$f(c) = \frac1I\int^b_a f(x) g(x) \, dx,$$

वह है,


 * $$\int_a^b f(x) g(x) \, dx = f(c) \int_a^b g(x) \, dx.$$

अंततः, यदि g [a, b] पर ऋणात्मक है, तो


 * $$M \int_a^b g(x) \, dx \leq \int^b_a f(x)g(x) \, dx \leq m \int_a^b g(x) \, dx,$$

और हमें अभी भी ऊपर जैसा ही परिणाम मिलता है।

QED

निश्चित समाकलनों के लिए दूसरा माध्य मान प्रमेय
निश्चित समाकलनों के लिए विभिन्न थोड़े भिन्न प्रमेय हैं जिन्हें दूसरा माध्य मान प्रमेय कहा जाता है। आमतौर पर पाया जाने वाला संस्करण इस प्रकार है:


 * यदि G : [a, b] → R एक सकारात्मक मोनोटोन फ़ंक्शन फ़ंक्शन है और φ : [a, b] → R एक पूर्णांक है फ़ंक्शन, तो (a, b] में एक संख्या x मौजूद है जैसे कि
 * $$ \int_a^b G(t)\varphi(t)\,dt = G(a^+) \int_a^x \varphi(t)\,dt. $$

यहाँ $$G(a^+)$$ के लिए खड़ा है ${\lim_{x\to a^+}G(x)}$ जिसका अस्तित्व परिस्थितियों से चलता है। ध्यान दें कि यह आवश्यक है कि अंतराल (ए, बी] में बी शामिल है। इस आवश्यकता वाला एक संस्करण नहीं है:
 * यदि G: [a, b] → 'R' एक मोनोटोन फ़ंक्शन है (जरूरी नहीं कि घटता और सकारात्मक) फ़ंक्शन और φ: [a, b] → 'R' एक पूर्णांक फ़ंक्शन है, तो ( ए, बी) ऐसा कि
 * $$ \int_a^b G(t)\varphi(t)\,dt = G(a^+) \int_a^x \varphi(t)\,dt + G(b^-) \int_x^b \varphi(t)\,dt. $$

एकीकरण के लिए माध्य मान प्रमेय वेक्टर-मूल्यवान कार्यों के लिए विफल रहता है
यदि फ़ंक्शन $$G$$ एक बहुआयामी वेक्टर लौटाता है, तो एकीकरण के लिए एमवीटी सत्य नहीं है, भले ही डोमेन का $$G$$ बहुआयामी भी है.

उदाहरण के लिए, एक पर परिभाषित निम्नलिखित 2-आयामी फ़ंक्शन पर विचार करें $$n$$-आयामी घन:


 * $$\begin{cases}

G: [0,2\pi]^n \to \R^2 \\ G(x_1, \dots, x_n) = \left(\sin(x_1 + \cdots + x_n), \cos(x_1 + \cdots + x_n) \right) \end{cases} $$ फिर, समरूपता द्वारा यह देखना आसान है कि का माध्य मान $$G$$ इसके डोमेन पर (0,0) है:


 * $$\int_{[0,2\pi]^n} G(x_1,\dots,x_n) dx_1 \cdots dx_n = (0,0)$$

हालाँकि, इसका कोई मतलब नहीं है $$G=(0,0)$$, क्योंकि $$|G|=1$$ हर जगह.

माध्य मान प्रमेय का एक संभाव्य एनालॉग
मान लीजिए कि X और Y गैर-नकारात्मक यादृच्छिक चर हैं जैसे कि E[X] < E[Y] < ∞ और $$X \leq_{st} Y$$ (अर्थात स्टोकेस्टिक क्रम में X, Y से छोटा है)। फिर संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन वाला एक बिल्कुल निरंतर गैर-नकारात्मक यादृच्छिक चर Z मौजूद है


 * $$ f_Z(x)={\Pr(Y>x)-\Pr(X>x)\over {\rm E}[Y]-{\rm E}[X]}\,, \qquad x\geqslant 0.$$

मान लीजिए कि g एक मापने योग्य फलन और अवकलनीय फलन है जैसे कि E[g(X)], E[g(Y)] < ∞, और इसके व्युत्पन्न g' को मापने योग्य और रीमैन अभिन्न  होने दें | रीमैन-अंतराल पर पूर्णांक [x, y] सभी y ≥ x ≥ 0 के लिए। फिर, E[g′(Z)] परिमित है और
 * $$ {\rm E}[g(Y)]-{\rm E}[g(X)]={\rm E}[g'(Z)]\,[{\rm E}(Y)-{\rm E}(X)].$$

जटिल चरों में माध्य मान प्रमेय
जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, प्रमेय भिन्न-भिन्न जटिल-मूल्य वाले कार्यों के लिए मान्य नहीं है। इसके बजाय, प्रमेय का एक सामान्यीकरण इस प्रकार बताया गया है: मान लीजिए f: Ω → 'C' खुले उत्तल सेट Ω पर एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन है, और मान लीजिए कि a और b Ω में अलग-अलग बिंदु हैं। फिर a से b तक रेखा खंड के आंतरिक भाग पर बिंदु u, v इस प्रकार मौजूद हैं
 * $$\operatorname{Re}(f'(u)) = \operatorname{Re}\left ( \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \right),$$
 * $$\operatorname{Im}(f'(v)) = \operatorname{Im}\left ( \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \right).$$

जहां Re वास्तविक भाग है और Im एक जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन का काल्पनिक भाग है।

यह भी देखें: वूरहोव सूचकांक।

यह भी देखें

 * न्यूमार्क-बीटा विधि
 * माध्य मान प्रमेय (विभाजित अंतर)
 * रेसट्रैक सिद्धांत
 * स्टोलार्स्की का मतलब है

बाहरी संबंध

 * PlanetMath: Mean-Value Theorem
 * "Mean Value Theorem: Intuition behind the Mean Value Theorem" at the Khan Academy
 * "Mean Value Theorem: Intuition behind the Mean Value Theorem" at the Khan Academy
 * "Mean Value Theorem: Intuition behind the Mean Value Theorem" at the Khan Academy
 * "Mean Value Theorem: Intuition behind the Mean Value Theorem" at the Khan Academy