बिर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान

गणित में, बिर्च और स्विनर्टन-डियर अनुमान (जिसे अक्सर बिर्च-सविनर्टन-डायर अनुमान कहा जाता है) दीर्घवृत्ताकार वक्र को परिभाषित करने वाले समीकरणों के तर्कसंगत समाधान के सेट का वर्णन करता है। यह संख्या सिद्धांत के क्षेत्र में व्यापक रूप से सबसे चुनौतीपूर्ण गणितीय समस्याओं में से एक है। इसका नाम गणितज्ञ ब्रायन जॉन बिर्च और पीटर स्विनर्टन-डायर के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने मशीन गणना की मदद से 1960 के दशक के पहलेार्ध के दौरान अनुमान विकसित किए थे। 2022 तक, अनुमान के केवल विशेष मामले सिद्ध हुए हैं।

अनुमान का आधुनिक सूत्रीकरण संख्या क्षेत्र K पर दीर्घवृत्तीय वक्र E से जुड़े अंकगणितीय डेटा को s = 1 पर E के हासे-विल L-फ़ंक्शन L(E, s) के व्यवहार से संबंधित करता है। अधिक विशेष रूप से, यह अनुमान लगाया गया है कि एबेलियन समूह E(K) के E के बिंदुओं की रैंक s = 1 पर L(E, s) के शून्य का क्रम है, और L(E, s के टेलर विस्तार में पहला गैर-शून्य गुणांक ) s = 1 पर अधिक परिष्कृत अंकगणितीय डेटा द्वारा दिया गया है जो E से अधिक K  से जुड़ा है।

अनुमान को क्ले गणित संस्थान द्वारा सूचीबद्ध सात सहस्राब्दी पुरस्कार समस्याओं में से एक के रूप में चुना गया था, जिसने पहले सही प्रमाण के लिए $1,000,000 पुरस्कार की पेशकश की है।

पृष्ठभूमि
मोर्डेल (1922) ने मोर्डेल के प्रमेय को सिद्ध किया: दीर्घवृत्त वक्र पर परिमेय बिंदुओं के समूह का एक परिमित आधार होता है। इसका मतलब यह है कि किसी भी अंडाकार वक्र के लिए वक्र पर तर्कसंगत बिंदुओं का परिमित उपसमुच्चय होता है, जिससे आगे के सभी तर्कसंगत बिंदु उत्पन्न हो सकते हैं।

यदि किसी वक्र पर तर्कसंगत बिंदुओं की संख्या अनंत है तो किसी परिमित आधार में किसी बिंदु पर अनंत क्रम होना चाहिए। अनंत क्रम के साथ स्वतंत्र आधार बिंदुओं की संख्या को वक्र का क्रम कहा जाता है, और यह दीर्घवृत्तीय वक्र का एक महत्वपूर्ण अपरिवर्तनीय गुण है।

यदि एक दीर्घवृत्ताकार वक्र का क्रम 0 है, तो वक्र में केवल परिमित संख्या में परिमेय बिंदु होते हैं। दूसरी ओर, यदि वक्र का क्रम 0 से अधिक है, तो वक्र में अनंत संख्या में तर्कसंगत बिंदु होते हैं।

हालांकि मोर्डेल का प्रमेय दर्शाता है कि दीर्घवृत्ताकार वक्र का रैंक हमेशा परिमित होता है, यह प्रत्येक वक्र के रैंक की गणना के लिए प्रभावी विधि नहीं देता है। कुछ दीर्घवृत्तीय वक्रों के रैंक की गणना संख्यात्मक विधियों का उपयोग करके की जा सकती है लेकिन (वर्तमान ज्ञान की स्थिति में) यह अज्ञात है कि ये विधियाँ सभी वक्रों को नियंत्रित करती हैं।

एक L-फंक्शन L(E, s) दीर्घवृत्तीय वक्र E के लिए परिभाषित किया जा सकता है, प्रत्येक अभाज्य p वक्र मॉड्यूलो पर बिंदुओं की संख्या से एक यूलर उत्पाद का निर्माण करते है। यह L-फ़ंक्शन, रीमैन जीटा फ़ंक्शन और डिरिचलेट L-सीरीज़ के अनुरूप है, जिसे द्विआधारी द्विघात रूप के लिए परिभाषित किया गया है। यह हसे-विल L-फंक्शन का एक विशेष मामला है।

(E, s) की प्राकृतिक परिभाषा केवल Re(s) > 3/2 के साथ मिश्रित तल में s के मानों के लिए अभिसरित होती है। हेल्मुट हास ने अनुमान लगाया कि L(E, s) को पूरे  मिश्रित तल में विश्लेषणात्मक निरंतरता से बढ़ाया जा सकता है।  मिश्रित गुणन के साथ दीर्घवृत्ताकार वक्रों के लिए यह अनुमान पहली बार  द्वारा सिद्ध किया गया था। बाद में 2001 में मॉड्यूलरिटी प्रमेय के परिणामस्वरूप, Q पर सभी अंडाकार वक्रों के लिए यह सच साबित हुआ।

एक सामान्य दीर्घवृत्ताकार वक्र पर तर्कसंगत बिंदुओं का पता लगाना एक कठिन समस्या है। दिए गए अभाज्य p पर बिंदुओं का पता लगाना अवधारणात्मक रूप से सीधा है, क्योंकि जांच करने के लिए केवल सीमित संख्या में संभावनाएं हैं। हालांकि, बड़े समय के लिए यह अभिकलनीयत रूप से गहन है।

इतिहास
1960 के दशक की शुरुआत में पीटर स्विनर्टन-डायर ने EDSAC 2|EDSAC-2 कंप्यूटर का उपयोग कैंब्रिज विश्वविद्यालय की कंप्यूटर प्रयोगशाला में बिंदुओं की संख्या की गणना करने के लिए किया था।p) अण्डाकार वक्रों पर बड़ी संख्या में अभाज्य p के लिए जिनकी रैंक ज्ञात थी। इन संख्यात्मक परिणामों से अनुमान लगाया कि एनpएक वक्र E के लिए रैंक r के साथ एक स्पर्शोन्मुख कानून का पालन करता है


 * $$\prod_{p\leq x} \frac{N_p}{p} \approx C\log (x)^r \mbox{ as } x \rightarrow \infty $$

जहां सी स्थिर है।

प्रारंभ में यह ग्राफिकल भूखंडों में कुछ कमजोर प्रवृत्तियों पर आधारित था; इसने J. W. S. कैसल्स (बर्च के पीएचडी सलाहकार) में संदेह के एक उपाय को प्रेरित किया। समय के साथ संख्यात्मक साक्ष्य ढेर हो गए।

इसने बदले में उन्हें s = 1 पर एक वक्र के L-फ़ंक्शन L(E, s) के व्यवहार के बारे में एक सामान्य अनुमान लगाने के लिए प्रेरित किया, अर्थात् इस बिंदु पर इसका क्रम r का शून्य होगा। यह उस समय के लिए एक दूरदर्शी अनुमान था, यह देखते हुए कि L(E, s) की विश्लेषणात्मक निरंतरता केवल मिश्रित गुणन वाले वक्रों के लिए स्थापित की गई थी, जो संख्यात्मक उदाहरणों के मुख्य स्रोत भी थे। (एनबी कि एल-फ़ंक्शन का पारस्परिक (गणित) कुछ दृष्टिकोणों से अध्ययन की एक अधिक प्राकृतिक वस्तु है; इस अवसर पर इसका अर्थ है कि किसी को शून्य के बजाय ध्रुवों पर विचार करना चाहिए।)

अनुमान को बाद में एस = 1 पर एल-फ़ंक्शन के सटीक अग्रणी टेलर गुणांक की भविष्यवाणी को शामिल करने के लिए विस्तारित किया गया था। यह अनुमानित रूप से दिया गया है
 * $$\frac{L^{(r)}(E,1)}{r!} = \frac{\#\mathrm{Sha}(E)\Omega_E R_E \prod_{p|N}c_p}{(\#E_{\mathrm{Tor}})^2}$$

जहां दाहिनी ओर की राशियां वक्र के अपरिवर्तनीय हैं, कैसल्स, जॉन टेट (गणितज्ञ), इगोर शफारेविच और अन्य द्वारा अध्ययन किया गया :

$$\#E_{\mathrm{Tor}}$$ मरोड़ समूह का क्रम है,

$$\#\mathrm{Sha}(E)$$ टेट-शफारेविच समूह का आदेश है,

$$\Omega_E$$ ई की वास्तविक अवधि को ई के जुड़े घटकों की संख्या से गुणा किया जाता है,

$$R_E$$ ई की नेरॉन-टेट ऊंचाई है जिसे तर्कसंगत बिंदुओं के आधार पर विहित ऊंचाई के माध्यम से परिभाषित किया गया है,

$$c_p$$ ई के कंडक्टर एन को विभाजित करने वाले प्राइम पी पर ई की तमागावा संख्या है। इसे टेट के एल्गोरिदम द्वारा पाया जा सकता है।

वर्तमान स्थिति
बिर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान केवल विशेष मामलों में ही सिद्ध हुए हैं:


 * 1)  सिद्ध किया कि यदि E वर्ग संख्या (संख्या सिद्धांत) 1, F = K या 'Q' के एक काल्पनिक द्विघात क्षेत्र K द्वारा  मिश्रित गुणन के साथ एक संख्या क्षेत्र F पर एक वक्र है, और L(E, 1) 0 नहीं है तो E (एफ) एक परिमित समूह है। इसे उस मामले में विस्तारित किया गया था जहां F, K द्वारा किसी परिमित एबेलियन विस्तार है.
 * 2)  दिखाया गया है कि यदि एक मॉड्यूलर अण्डाकार वक्र में s = 1 पर प्रथम-क्रम शून्य है तो इसमें अनंत क्रम का एक परिमेय बिंदु है; ग्रॉस-ज़ैगियर प्रमेय देखें।
 * 3) दिखाया गया है कि एक मॉड्यूलर अंडाकार वक्र ई जिसके लिए एल (ई, 1) शून्य नहीं है, रैंक 0 है, और एक मॉड्यूलर अंडाकार वक्र ई जिसके लिए एल (ई, 1) के लिए s = 1 पर प्रथम क्रम शून्य है, रैंक 1 है।
 * 4)  दिखाया गया है कि के द्वारा  मिश्रित गुणन के साथ एक काल्पनिक द्विघात क्षेत्र K पर परिभाषित अण्डाकार वक्रों के लिए, यदि अण्डाकार वक्र की L-श्रृंखला s = 1 पर शून्य नहीं थी, तो टेट-शफारेविच समूह के पी-भाग में आदेश की भविष्यवाणी की गई थी बर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान द्वारा, सभी अभाज्य संख्या p > 7 के लिए।
 * , का विस्तार कार्य, ने साबित किया कि मॉड्यूलरिटी प्रमेय, जो परिमेय पर सभी अण्डाकार वक्रों के परिणाम #2 और #3 का विस्तार करता है, और दिखाता है कि 'Q' पर सभी अण्डाकार वक्रों के L-फ़ंक्शन s = 1 पर परिभाषित हैं।
 * 1)  साबित कर दिया कि क्यू पर अंडाकार वक्र के मोर्डेल-वील समूह का औसत रैंक 7/6 से ऊपर है। इसे p-समता प्रमेय के साथ जोड़कर  तथा  और जीएल (2) द्वारा इवासावा सिद्धांत के मुख्य अनुमान के प्रमाण के साथ, वे निष्कर्ष निकालते हैं कि क्यू पर दीर्घवृत्त वक्रों के एक सकारात्मक अनुपात में विश्लेषणात्मक रैंक शून्य है, और इसलिए, द्वारा , बिर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान को संतुष्ट करें।

वर्तमान में 1 से अधिक रैंक वाले वक्रों को शामिल करने वाले कोई प्रमाण नहीं हैं।

अनुमान की सच्चाई के लिए व्यापक संख्यात्मक प्रमाण हैं।

परिणाम
रीमैन परिकल्पना की तरह, इस अनुमान के कई परिणाम हैं, जिनमें निम्नलिखित दो शामिल हैं:
 * होने देना $n$ एक विषम वर्ग-मुक्त पूर्णांक बनें। बर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान को मानते हुए, $n$ परिमेय भुजाओं की लंबाई (एक सर्वांगसम संख्या) के साथ एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल है यदि और केवल यदि पूर्णांकों के त्रिक की संख्या ($x$, $y$, $z$) संतुष्टि देने वाला $2x^{2} + y^{2} + 8z^{2} = n$ संतोषजनक त्रिक की संख्या का दुगुना है $2x^{2} + y^{2} + 32z^{2} = n$. टनेल प्रमेय के कारण यह कथन, इस तथ्य से संबंधित है कि n एक सर्वांगसम संख्या है यदि और केवल यदि अण्डाकार वक्र $y^{2} = x^{3} − n^{2}x$ अनंत क्रम का एक तर्कसंगत बिंदु है (इस प्रकार, बर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान के तहत, इसका $L$-फ़ंक्शन में शून्य है $1$). इस कथन में रुचि यह है कि स्थिति आसानी से सत्यापित हो जाती है।
 * एक अलग दिशा में, कुछ विश्लेषणात्मक तरीके एल-फ़ंक्शंस के परिवारों की महत्वपूर्ण पट्टी के केंद्र में शून्य के क्रम के अनुमान के लिए अनुमति देते हैं। बीएसडी अनुमान को स्वीकार करते हुए, ये अनुमान विचाराधीन अण्डाकार वक्रों के परिवारों के रैंक के बारे में जानकारी के अनुरूप हैं। उदाहरण के लिए: मान लें कि सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना और बीएसडी अनुमान, द्वारा दिए गए वक्रों की औसत रैंक $y^{2} = x^{3} + ax+ b$ की तुलना में छोटा है $2$.

बाहरी संबंध

 * The Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture: An Interview with Professor Henri Darmon by Agnes F. Beaudry
 * What is the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture? lecture by Manjul Bhargava (september 2016) given during the Clay Research Conference held at the University of Oxford
 * The Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture: An Interview with Professor Henri Darmon by Agnes F. Beaudry
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