एचपीओ औपचारिकता

इतिहास प्रक्षेपण संचालन (एचपीओ) औपचारिकता क्रिस्टोफर ईशम द्वारा विकसित अस्थायी क्वांटम नियम के लिए दृष्टिकोण है। यह समय के विभिन्न बिंदुओं पर क्वांटम यांत्रिकी प्रस्तावों की तार्किक संरचना से संबंधित है।

परिचय
मानक क्वांटम यांत्रिकी में भौतिक प्रणाली हिल्बर्ट अंतरिक्ष $$\mathcal{H}$$ से जुड़ी होती है, निश्चित समय पर प्रणाली की अवस्थाओं को अंतरिक्ष में सामान्यीकृत सदिश द्वारा दर्शाया जाता है एवं भौतिक वेधशालाओं को हर्मिटियन संचालक $$\mathcal{H}$$ द्वारा दर्शाया जाता है।

भौतिक प्रस्ताव $$\,P$$ निश्चित समय पर प्रणाली के विषय में ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण संचालन द्वारा $$\hat{P}$$ पर $$\mathcal{H}$$ दर्शाया जा सकता है। यह प्रतिनिधित्व तार्किक प्रस्तावों की लैटिस एवं हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर प्रक्षेपण संचालनों की जाली (आदेश) को साथ जोड़ता है (क्वांटम नियम क्वांटम यांत्रिक प्रणाली के प्रस्तावक जाली देखें)।

एचपीओ औपचारिकता प्रणाली के विषय में उन प्रस्तावों के लिए इन विचारों का स्वाभाविक विस्तार है जो अधिक बार संबंधित होते हैं।

सजातीय इतिहास
सजातीय इतिहास प्रस्ताव $$\,\alpha $$ एकल-बार प्रस्तावों का क्रम $$\alpha_{t_i}$$ है, भिन्न-भिन्न समय पर निर्दिष्ट $$t_1 < t_2 < \ldots < t_n $$ किया गया। इन समयों को इतिहास का लौकिक सहारा कहा जाता है। हम प्रस्ताव को $$\,\alpha$$ निरूपित करेंगे, जैसे $$(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$$ एवं इसे इस रूप में पढ़ें $$\alpha_{t_1}$$ समय पर $$t_1$$ सत्य है एवं तत्पश्चात $$\alpha_{t_2}$$ समय पर $$t_2$$ सत्य है एवं तत्पश्चात $$\alpha_{t_n}$$ समय पर $$t_n$$ क्या सत्य है।

अमानवीय इतिहास
सभी इतिहास प्रस्तावों को भिन्न-भिन्न समय पर प्रस्तावों के अनुक्रम द्वारा प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है। इन्हें अमानवीय इतिहास प्रस्ताव कहा जाता है। उदाहरण के लिए प्रस्ताव है $$\,\alpha$$ या $$\,\beta$$ दो सजातीय इतिहास के लिए $$\,\alpha, \beta$$ है।

इतिहास प्रक्षेपण संचालन
एचपीओ औपचारिकता का मुख्य अवलोकन इतिहास हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर प्रक्षेपण संचालनों द्वारा इतिहास प्रस्तावों का प्रतिनिधित्व करना है। यहीं से इतिहास प्रक्षेपण संचालन (HPO) नाम आता है।

समान इतिहास के लिए $$\alpha = (\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$$ हम प्रक्षेपों को परिभाषित करने के लिए हिल्बर्ट अंतरिक्ष के टेंसर उत्पाद का उपयोग कर सकते हैं।

$$\hat{\alpha}:= \hat{\alpha}_{t_1} \otimes \hat{\alpha}_{t_2} \otimes \ldots \otimes \hat{\alpha}_{t_n}$$जहाँ $$\hat{\alpha}_{t_i}$$ प्रक्षेपण संचालन प्रारम्भ है, $$\mathcal{H}$$ जो प्रस्ताव का प्रतिनिधित्व $$\alpha_{t_i}$$ समय में $$t_i$$ करता है।

यह $$\hat{\alpha}$$ टेंसर उत्पाद इतिहास हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर प्रक्षेपण संचालन $$H = \mathcal{H} \otimes \mathcal{H} \otimes \ldots \otimes \mathcal{H} $$ है, सभी प्रक्षेपण संचालन प्रारम्भ नहीं हैं, प्रपत्र $$H$$ के टेंसर उत्पादों के योग के रूप में $$\hat{\alpha}$$ लिखा जा सकता है, इन अन्य प्रक्षेपण संचालनों का उपयोग सजातीय इतिहासों के जाली संचालन को प्रारम्भ करके अमानवीय इतिहास का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है।

लौकिक क्वांटम नियम
इतिहास पर प्रक्षेपको द्वारा इतिहास प्रस्तावों का प्रतिनिधित्व हिल्बर्ट अंतरिक्ष स्वाभाविक रूप से इतिहास प्रस्तावों की तार्किक संरचना को कूटबद्ध करता है। इतिहास हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर प्रक्षेपण संचालन के समुच्चय पर जाली (आदेश) संचालन $$H$$ इतिहास प्रस्तावों पर तार्किक संचालन के जाल के मॉडल के लिए प्रारम्भ किया जा सकता है।

यदि दो सजातीय इतिहास $$\,\alpha $$ एवं $$\,\beta$$ उसी अस्थायी समर्थन को विचार न करें जिसे वे संशोधित कर सकते हैं जिससे वे ऐसा कर सकें। यदि $$\,t_i$$ के अस्थायी समर्थन में $$\,\alpha$$ है, किन्तु $$\,\beta$$ नहीं है, (उदाहरण के लिए) तत्पश्चात नया सजातीय इतिहास प्रस्ताव भिन्न है, $$\,\beta$$ सदैव सत्य प्रस्ताव को सम्मिलित करके $$\,t_i$$ बन सकता है। इस प्रकार लौकिक का समर्थन $$\,\alpha, \beta$$ करता है, सदैव साथ जुड़ सकते हैं। इसलिए हम मान लेंगे कि सभी सजातीय इतिहास समान लौकिक समर्थन विचार करते हैं।

अब हम सजातीय इतिहास प्रस्तावों के लिए तार्किक संचालन प्रस्तुत करते हैं, $$\,\alpha $$ एवं $$\,\beta$$ ऐसा है कि $$\hat{\alpha} \hat{\beta} = \hat{\beta}\hat{\alpha} $$

संयोजन
यदि $$\alpha$$ एवं $$\beta$$ दो सजातीय इतिहास हैं तो इतिहास प्रस्ताव$$\,\alpha$$ एवं $$\,\beta$$ समान इतिहास भी है। यह प्रक्षेपण संचालन द्वारा दर्शाया गया है।

$$\widehat{\alpha \wedge \beta}:= \hat{\alpha} \hat{\beta}$$ $$(= \hat{\beta} \hat{\alpha})$$

वियोग
यदि $$\alpha$$ एवं $$\beta$$ दो सजातीय इतिहास हैं तो इतिहास प्रस्ताव$$\,\alpha$$ या $$\,\beta$$ सामान्यतः सजातीय इतिहास नहीं है। यह प्रक्षेपण संचालन द्वारा दर्शाया गया है।

$$\widehat{\alpha \vee \beta}:= \hat{\alpha} + \hat{\beta} - \hat{\alpha}\hat{\beta}$$

निषेध
प्रक्षेपण संचालनों की जाली में नकारात्मक क्रिया $$ \hat{P} $$ की होती है।

$$\neg \hat{P} := \mathbb{I} - \hat{P}$$ जहाँ $$\mathbb{I}$$ हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर  पहचान संचालन है। इस प्रकार प्रक्षेपों प्रस्ताव का प्रतिनिधित्व करता था $$\neg \alpha$$ (अर्थात् नहीं $$\alpha$$) है,

$$\widehat{\neg \alpha}:= \mathbb{I} - \hat{\alpha}.$$

उदाहरण: दो बार का इतिहास
उदाहरण के रूप में, दो बार के सजातीय इतिहास प्रस्ताव के निषेध पर विचार करें $$\,\alpha = (\alpha_1, \alpha_2)$$. प्रक्षेपों प्रस्ताव का प्रतिनिधित्व करने के लिए $$\neg \alpha$$ है,

$$\widehat{\neg \alpha} = \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} - \hat{\alpha}_1 \otimes \hat{\alpha}_2$$ $$= (\mathbb{I} - \hat{\alpha}_1) \otimes \hat{\alpha}_2 + \hat{\alpha}_1 \otimes (\mathbb{I} - \hat{\alpha}_2) + (\mathbb{I} - \hat{\alpha}_1) \otimes (\mathbb{I} - \hat{\alpha}_2)$$ इस अभिव्यक्ति में आने वाले शब्द:


 * $$(\mathbb{I} - \hat{\alpha}_1) \otimes \hat{\alpha}_2$$
 * $$\hat{\alpha}_1 \otimes (\mathbb{I} - \hat{\alpha}_2) $$
 * $$(\mathbb{I} - \hat{\alpha}_1) \otimes (\mathbb{I} - \hat{\alpha}_2) $$.

प्रत्येक की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है:
 * $$\,\alpha_1 $$ असत्य है एवं $$\,\alpha_2 $$ क्या सत्य है,
 * $$\,\alpha_1 $$ सत्य है एवं $$\,\alpha_2 $$ त्रुटिपूर्ण है,
 * दोनों $$\,\alpha_1 $$ असत्य है एवं $$\,\alpha_2 $$ त्रुटिपूर्ण है,

ये तीन सजातीय इतिहास, ओआर (OR) ऑपरेशन के साथ मिलकर, प्रस्ताव की प्रविधि के लिए सभी संभावनाएं सम्मिलित करते हैं। तब$$\,\alpha_1$$ एवं $$\,\alpha_2$$असत्य हो सकता है। इसलिए हम देखते हैं कि  परिभाषा $$\widehat{\neg \alpha}$$ किस प्रस्ताव से सहमत हैं $$\neg \alpha$$ अर्थ होना चाहिए।

संदर्भ

 * C.J. Isham, Quantum Logic and the Histories Approach to Quantum Theory, J. Math. Phys. 35 (1994) 2157-2185, arXiv:gr-qc/9308006v1