संख्या सिद्धांत



संख्या सिद्धांत (या पुराने उपयोग में अंकगणितीय या उच्च अंकगणित) शुद्ध गणित की एक शाखा है प्राथमिक रूप से जो पूर्णांकों और पूर्णांक-मूल्यों के अध्ययन के लिए समर्पित है। जर्मन गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने (1777-1855) में कहा,कि गणित विज्ञान की रानी है - और संख्या सिद्धांत गणित की रानी है। संख्या सिद्धांतवादी अभाज्य (प्राइम) संख्याओं के साथ-साथ पूर्णांक (उदाहरण के लिए, तर्कसंगत संख्याओं) से बने गणितीय वस्तुओं के गुणों का अध्ययन करते हैं या पूर्णांक के सामान्यीकरण के रूप में परिभाषित होते हैं (उदाहरण के लिए, बीजगणितीय पूर्णांक।"

पूर्णांकों को या तो स्वयं में या समीकरणों (डायोफेंटाइन ज्यामिति) के समाधान के रूप में माना जा सकता है। संख्या सिद्धांत में प्रश्नों को अक्सर विश्लेषणात्मक वस्तुओं (उदाहरण के लिए, रीमैन ज़ेटा कार्यों फ़ंक्शन) के अध्ययन के माध्यम से सबसे अच्छी तरह से समझा जाता है, कुछ (विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत) के प्रकार में अभाज्य (प्राइम) या अन्य संख्या-सिद्धांतीय वस्तुओं के गुणों को सांकेतिक शब्दों में बदलना (एनकोड)।कोई भी परिमेय संख्याओं के संबंध में वास्तविक संख्याओं  का अध्ययन कर सकता है, उदाहरण के लिए, जैसा कि उत्तरार्द्ध (डायोफेंटाइन सन्निकटन) द्वारा अनुमानित किया गया है।

संख्या सिद्धांत के लिए पुराना शब्द अंकगणित है। बीसवीं शताब्दी की शुरुआत में, यह संख्या सिद्धांत द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था। । अंकगणित" शब्द का प्रयोग आम जनता द्वारा "प्राथमिक गणना" के लिए किया जाता है; इसने गणितीय तर्क में अन्य अर्थ भी प्राप्त किए हैं जैसे पीनो अंकगणित में, और कंप्यूटर विज्ञान में, जैसा कि फ्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित में है। संख्या सिद्धांत के लिए अंकगणितीय शब्द का उपयोग बीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध में कुछ हद तक फ्रांसीसी प्रभाव के कारण हुआ। विशेष रूप से, अंकगणितीय को आमतौर पर संख्या-विषय के विशेषण के रूप में प्राथमिकता दी जाती है।

अंकगणित का आरंभ
अंकगणितीय प्रकृति का सबसे पुरानी ऐतिहासिक खोज तालिका का एक टुकड़ा है: टूटी हुई मिट्टी की गोली (क्ले टैबलेट) प्लिम्पटन 322 (लार्सा, मेसोपोटामिया, सीए 1800 ईसा पूर्व) में पाइथागोरियन ट्रिपल्स की एक सूची है, यानी, जो कि पूर्णांक $$(a,b,c)$$ है कि $$a^2+b^2=c^2$$। ट्रिपल बहुत अधिक हैं और बहुत बड़े हैं जिन्हें पाशविक बल (ब्रूट फोर्स) द्वारा प्राप्त किए गए हैं।पहले कॉलम पर शीर्षक पर लिखा है: विकर्ण का ताकिल्टम जिसे घटा दिया गया है जैसे कि चौड़ाई ... तालिका का विन्यास (लेआउट) सुझाव देता है कि यह आधुनिक भाषा में, पहचान के लिए कितनी मात्रा में किया गया था।


 * $$\left(\frac{1}{2} \left(x - \frac{1}{x}\right)\right)^2 + 1 = \left(\frac{1}{2} \left(x + \frac{1}{x} \right)\right)^2,$$

जो नियमित रूप से पुराने बेबीलोनियन अभ्यासों में निहित है। यदि किसी अन्य विधि का उपयोग किया गया था, पहले ट्रिपल्स का निर्माण किया गया था और उदाहरण के लिए, अनुप्रयोगों के दृश्य के साथ $$c/a$$, संभवतः एक तालिका के रूप में वास्तविक उपयोग के लिए, फिर से किया गया ।

यह ज्ञात नहीं है कि ये आवेदन क्या हो सकते हैं, या कोई भी हो सकते है; उदाहरण के लिए, वास्तव में बेबीलोनियन खगोल विज्ञान बाद में ही अपने अस्तित्व में आया। इसके बजाय यह सुझाव दिया गया है कि तालिका स्कूल की समस्याओं के लिए संख्यात्मक उदाहरणों का एक स्रोत थी। जबकि बेबीलोनियन संख्या (नंबर) सिद्धांत है- तो क्या बेबीलोनियन गणित से बचता है, जिसे इस प्रकार कहा जा सकता है- कि इस एकल, विचित्र टुकड़ों में विभक्त बेबीलोनियन बीजगणित (बीजगणित के माध्यमिक-विद्यालय अर्थ में) असाधारण रूप से अच्छी तरह से विकसित किया गया था। स्वर्गीय नियोप्लाटोनिक स्रोत यह बताता है कि पाइथागोरस ने बेबीलोनियों से गणित सीखा।बहुत पहले के स्रोत यह बताता है कि थेल्स और पाइथागोरस ने मिस्र में यात्रा की और अध्ययन किया।

यूक्लिड IX 21–34 संभवतः पाइथागोरस है; यह बहुत ही सरल तत्व है (विषम बार सम भी सम है, यहां तक कि अगर एक विषम संख्या एक सम को  मापती है [= विभाजित] एक समान संख्या, तो यह आधा [= विभाजित] भी मापती है। लेकिन यह साबित करने के लिए केवल इतना आवश्यक है कि वर्गमूल रूट को साबित करने की आवश्यकता है कि 2 |$$\sqrt{2}$$  अपरिमेय है। पाइथागोरियन के मनीषियों (मिस्टिक्स) ने विषम और सम को बहुत महत्व दिया। यह खोज कि $$\sqrt{2}$$  अपरिमेय को प्रारंभिक पाइथागोरस (पूर्व-थियोडोरस) को श्रेय दिया जाता है। यह प्रकट करके (आधुनिक शब्दों में) कि संख्याएँ अपरिमेय हो सकती है, इस खोज ने गणितीय इतिहास में पहले मूलभूत संकट को उकसाया है; इसके प्रमाण या इसके विभाजन को कभी -कभी हिप्पासस को श्रेय दिया जाता है, जिसे पाइथागोरियन संप्रदाय से निष्कासित या विभाजित किया गया था।  इसने एक ओर संख्याओं (पूर्णांक और परिमेय-अंकगणित के विषय ) और दूसरी ओर लंबाई और अनुपात (जिसे हम वास्तविक संख्याओं के साथ पहचानेंगे, चाहे तर्कसंगत हों या नहीं), के बीच अंतर को मजबूर किया।

पाइथागोरस परंपरा ने तथाकथित बहुभुज या आलंकारिक संख्याओं की भी बात की गई थी। जबकि वर्ग संख्याएँ, घन संख्याएँ, आदि, अब त्रिकोणीयओं संख्या, पंचकोणीयओं (पेंटागोनल) संख्याओं, आदि की तुलना में अधिक प्राकृतिक रूप से देखे जाते हैं, त्रिकोणीय और पंचकोणीय (पेंटागोनल) संख्याओं के योगों का अध्ययन प्रारंभिक आधुनिक अवधि (17 वीं से 19 वीं शताब्दी की शुरुआत में) में फलदायी साबित होगा।

हम प्राचीन मिस्र या वैदिक स्रोतों में स्पष्ट रूप से अंकगणितीय सामग्री के बारे में नहीं जानते हैं, हालांकि प्रत्येक में कुछ बीजगणित है। चीनी शेष प्रमेय एक अभ्यास के रूप में दिखाई देता है सुनजी सुआंजिंग (तीसरी, चौथी या पांचवीं शताब्दी सीई) में एक अभ्यास [16] के रूप में प्रकट होता है।[17] (सुन्ज़ी के समाधान में एक महत्वपूर्ण चरण की व्याख्या की गई है: [नोट 5] यह वह समस्या है जिसे बाद में आर्यभट के कुकाक द्वारा हल किया गया था नीचे देखें।)

चीनी गणित में कुछ संख्यात्मक रहस्यवाद भी है, लेकिन, पाइथागोरस के विपरीत, ऐसा लगता है कि यह कहीं नहीं गया है।पाइथागोरस की सही संख्याओं की तरह, जादू वर्ग अंधविश्वास से मनोरंजन में पारित हो गए हैं।

शास्त्रीय ग्रीस और प्रारंभिक हेलेनिस्टिक अवधि
कुछ अंशों के अलावा, शास्त्रीय ग्रीस के गणित को या तो समकालीन गैर-गणितज्ञों की रिपोर्टों के माध्यम से या प्रारंभिक हेलेनिस्टिक काल से गणितीय कार्यों के माध्यम से जाना जाता है। संख्या सिद्धांत के मामले में, इसका मतलब है, क्रमशः प्लेटो और यूक्लिड, ।

जबकि एशियाई गणित ने ग्रीक और हेलेनिस्टिक सीखने को प्रभावित किया, ऐसा लगता है कि ग्रीक गणित भी एक स्वदेशी परंपरा है।

यूसेबियस, पे एक्स, अध्याय 4 पाइथागोरस के उल्लेख:

"वास्तव में उक्त पाइथागोरस, जबकि प्रत्येक राष्ट्र के ज्ञान का अध्ययन करते हुए, बेबीलोन, और मिस्र, और सभी फारस का दौरा किया, मागी और पुजारियों द्वारा निर्देशित किया जा रहा है: और इसके अलावा वह ब्राह्मण अध्ययन के तहत संबंधित है। (ये भारतीय दार्शनिक हैं);और कुछ से उन्होंने ज्योतिष, दूसरों से ज्यामिति, और दूसरों से अंकगणित और संगीत, और विभिन्न देशों से अलग -अलग चीजें, और केवल ग्रीस के बुद्धिमान पुरुषों से उन्हें कुछ भी नहीं मिला, क्योंकि वे एक गरीबी और ज्ञान की कमी के लिए थे:इसलिए इसके विपरीत वह स्वयं सीखने में यूनानियों के लिए निर्देश के लेखक बन गए, जिसे उन्होंने विदेश से खरीदा था।"

अरस्तू ने दावा किया कि प्लेटो के दर्शन ने पाइथागोरस की शिक्षाओं का बारीकी से पालन किया, और सिसरो ने इस दावे को दोहराया:प्लेटोनम फेरुंट डिडिसिस पाइथागोरिया ओम्निया ("वे कहते हैं कि प्लेटो ने पाइथागोरस की सभी चीजें सीखी")। प्लेटो को गणित में गहरी रुचि थी, और अंकगणित और गणना के बीच स्पष्ट रूप से प्रतिष्ठित था।(अंकगणित द्वारा उनका मतलब था, भाग में, संख्या पर सिद्धांत, इसके बजाय कि अंकगणित या संख्या सिद्धांत) यह प्लेटो के संवादों के माध्यम से है - अर्थात्, थिएटेटस- कि हम जानते हैं कि थियोडोरस ने साबित कर दिया था कि $$\sqrt{3}, \sqrt{5}, \dots, \sqrt{17}$$  तर्कहीन हैं। थिएटेटस, प्लेटो की तरह थियोडोरस के शिष्य था ; उन्होंने विभिन्न प्रकार के अतुलनीय को अलग करने पर काम किया, और इस प्रकार यकीनन संख्या प्रणालियों के अध्ययन में एक अग्रणी था।।

यूक्लिड ने अपने तत्वों का हिस्सा अभाज्य संख्याओं (प्राइम नंबरों) और विभाजन के लिए समर्पित किया, ऐसे विषय जो संख्या सिद्धांत के लिए स्पष्ट रूप से संबंधित हैं और इसके लिए बुनियादी हैं (बुक्स VII से यूक्लिड के तत्वों की पुस्तकें VII से IX तक)। विशेष रूप से, उन्होंने दो संख्याओं (यूक्लिडियन एल्गोरिथम; तत्व, प्रस्ताव VII.2) के सबसे बड़े सामान्य भाजक की गणना करने के लिए एक एल्गोरिथ्म दिया और प्राइम्स की अनंतता का पहला ज्ञात प्रमाण (तत्व, प्रस्ताव IX.20)।

1773 में, लेसिंग ने एक एपिग्राम प्रकाशित किया जो उन्होंने एक लाइब्रेरियन के रूप में अपने काम के दौरान एक पांडुलिपि में पाया था;इसने आर्किमिडीज द्वारा एरातोस्टेनेस को भेजे गए एक पत्र का दावा किया। एपिग्राम ने प्रस्तावित किया कि जिसे जाना जाता है आर्किमिडीज की मवेशी समस्या;इसके समाधान (पांडुलिपि से अनुपस्थित) को एक अनिश्चित द्विघात समीकरण को हल करने की आवश्यकता होती है (जो बाद में पेल के समीकरण का गलत नाम होगा) को कम करता है।जहां तक हम जानते हैं, इस तरह के समीकरणों को पहली बार भारतीय स्कूल द्वारा सफलतापूर्वक व्यवहार किया गया था।यह ज्ञात नहीं है कि क्या आर्किमिडीज के पास समाधान का एक तरीका था या नहीं।

डायोफेंटस
अलेक्जेंड्रिया के डायोफेंटस के बारे में बहुत कम जाना जाता है;वह संभवत: तीसरी शताब्दी ईस्वी में रहते थे, यानी यूक्लिड के लगभग पांच सौ साल बाद। डायोफेंटस के अंकगणित की तेरह पुस्तकों में से छह मूल ग्रीक में बची हैं और चार अरबी अनुवाद में बची हैं।अंकगणित काम की गई समस्याओं का एक संग्रह है, जहां कार्य बहुपद समीकरणों की एक प्रणाली के लिए तर्कसंगत समाधान खोजने के लिए होता है, आमतौर पर $$f(x,y)=z^2$$ या $$f(x,y,z)=w^2$$।इस प्रकार, आजकल, हम डायोफेंटाइन समीकरणों की बात करते हैं जब हम बहुपद समीकरणों की बात करते हैं, जिससे तर्कसंगत या पूर्णांक समाधान ढूंढे जाने चाहिए।

कोई कह सकता है कि डायोफेंटस परिमेय बिंदुओं का अध्ययन कर रहा था, अर्थात, ऐसे बिंदु जिनके निर्देशांक परिमेय हैं - वक्रों और बीजगणितीय किस्मों पर;हालांकि, शास्त्रीय काल के यूनानियों के विपरीत, अब हम ज्यामितीय शब्दों में बीजगणित कहते हैं, डायोफेंटस ने वह किया जो अब हम विशुद्ध रूप से बीजगणितीय शब्दों में बुनियादी बीजगणितीय ज्यामिति कहेंगे। आधुनिक भाषा में, डायोफेंटस ने जो किया वह किस्मों के परिमेय पैरामीटर को खोजने के लिए था;अर्थात्, समीकरण से दिया गया है (जैसे) $$f(x_1,x_2,x_3)=0$$, उनका उद्देश्य तीन तर्कसंगत कार्यों को ढूंढना था (संक्षेप में) $$g_1, g_2, g_3$$ जैसे, के सभी मूल्यों के लिए $$r$$ तथा $$s$$, स्थापना $$x_i = g_i(r,s)$$ के लिये $$i=1,2,3$$ के लिए एक समाधान देता है $$f(x_1,x_2,x_3)=0.$$ डायोफेंटस ने कुछ गैर-तर्कसंगत वक्रों के समीकरणों का भी अध्ययन किया, जिसके लिए कोई तर्कसंगत पैरामीट्राइजेशन संभव नहीं है।वह इन वक्रों (अण्डाकार घटता, जैसा कि, उनकी पहली ज्ञात घटना प्रतीत होता है) के माध्यम से एक स्पर्शरेखा निर्माण के लिए कितनी मात्रा में: समन्वित ज्यामिति में अनुवादित (जो डायोफेंटस के समय में मौजूद नहीं था), उनकी विधि को एक ज्ञात तर्कसंगत बिंदु पर एक वक्र के लिए एक स्पर्शरेखा खींचने के रूप में कल्पना की जाएगी, और फिर वक्र के साथ स्पर्शरेखा के दूसरे बिंदु को खोजने के लिए;यह अन्य बिंदु एक नया तर्कसंगत बिंदु है।(डायोफेंटस ने विशेष निर्माण का भी सहारा लिया कि यह एक विशेष मामला कहा जा सकता है।)

जबकि डायोफेंटस काफी हद तक तर्कसंगत समाधानों से संबंधित था, उन्होंने पूर्णांक संख्याओं पर कुछ परिणाम ग्रहण किए, विशेष रूप से कि प्रत्येक पूर्णांक चार वर्गों का योग है (हालांकि उन्होंने कभी भी स्पष्ट रूप से नहीं कहा था)।

आर्यभट, ब्रह्मगुप्त, भास्कर
जबकि ग्रीक खगोल विज्ञान ने शायद भारतीय शिक्षा को प्रभावित किया, त्रिकोणमिति को शुरू करने के बिंदु पर, ऐसा लगता है कि भारतीय गणित अन्यथा एक स्वदेशी परंपरा है; विशेष रूप से, इस बात का कोई सबूत नहीं है कि यूक्लिड के तत्व 18 वीं शताब्दी से पहले भारत पहुंचे थे। आर्यभट (476-550 ईस्वी) ने दिखाया कि एक साथ सर्वांगसमता के जोड़े $$n\equiv a_1 \bmod m_1$$, $$n\equiv a_2 \bmod m_2$$ एक विधि द्वारा हल किया जा सकता है जिसे उन्होंने कुआक, या पुलवरिसर कहा जाता है; यह यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म के एक सामान्यीकरण प्रक्रिया है, जिसे संभवतः भारत में स्वतंत्र रूप से खोजा गया था। आर्यभट को खगोलीय गणनाओं के लिए अनुप्रयोगों को ध्यान में रखा था। ब्रह्मगुप्त (628 ईस्वी) ने अनिश्चितकालीन द्विघात समीकरणों के व्यवस्थित अध्ययन की शुरुआत की - विशेष रूप से, गलत नाम वाले पेल के समीकरण | पेल समीकरण, जिसमें आर्किमिडीज़ को पहली बार रुचि हो सकती है, और जो कि फर्मेट और यूलर के समय तक पश्चिम में हल नहीं हुई थी ।बाद में संस्कृत लेखक ब्रह्मगुप्त की तकनीकी शब्दावली का उपयोग करते हुए अनुसरण करा। पेल के समीकरण को हल करने के लिए एक सामान्य प्रक्रिया (चक्र वाला, या चक्रीय विधि) अंततः जयदेव द्वारा पाया गया था; (ग्यारहवीं शताब्दी में उद्धृत; उनका काम अन्यथा खो गया है) शुरुआती जीवित प्रदर्शनी भस्कारा द्वितीय के बीज-गणित (बारहवीं शताब्दी) में प्रकट होती है। भारतीय गणित अठारहवीं शताब्दी के उत्तरार्ध तक यूरोप में काफी हद तक अज्ञात रहे; ब्रह्मगुप्त और भास्कारा के काम का 1817 में हेनरी कोलब्रुक द्वारा अंग्रेजी में अनुवाद किया गया था।

इस्लामिक स्वर्ण युग में अंकगणित
नौवीं शताब्दी की शुरुआत में, खलीफा अल-मोनमुन ने कई ग्रीक गणितीय कार्यों के अनुवादों और कम से कम एक संस्कृत काम (सिंधिंद, जो हो सकता है या नहीं हो सकता है ब्रह्मगुप्त का ब्रहमासफुसधांता हो सकता है)। डायोफेंटस के मुख्य कार्य, अंकगणित, को अरबी में कुस्टा इब्न लुका (820–912) द्वारा अनुवादित किया गया था। ग्रंथ का हिस्सा अल-फखरी (अल-करजी द्वारा | अल-करजी, 953-सीए 1029) कुछ समय सीमा समाप्त करने के लिए इस पर आधारित है। रशीद रोशदी के अनुसार, अल-करजी के समकालीन इब्न अल-ह्यथम को पता था जिसे बाद में विल्सन का प्रमेय कहा जाएगा।

पश्चिमी यूरोप मध्य युग में
फाइबोनैचि द्वारा अंकगणितीय प्रगति में वर्गों पर एक ग्रंथ के अलावा - जिन्होंने उत्तरी अफ्रीका और कॉन्स्टेंटिनोपल में यात्रा की और अध्ययन किया- मध्य युग के दौरान पश्चिमी यूरोप में बोलने के लिए कोई संख्या सिद्धांत नहीं किया गया था। ग्रीक पुरातनता के कार्यों के नए सिरे से अध्ययन के लिए देर से पुनर्जागरण में यूरोप में मामलों में बदलाव शुरू हुआ । एक उत्प्रेरक डायोफेंटस के अंकगणित के लैटिन में पाठ्य उत्सर्जन और अनुवाद था।

प्रारंभिक आधुनिक संख्या सिद्धांत
पियरे डी फर्माट (1607-1665) ने कभी भी अपने लेखन को प्रकाशित नहीं किया; विशेष रूप से, संख्या सिद्धांत पर उनका काम लगभग पूरी तरह से गणितज्ञों और निजी सीमांत नोटों में पत्रों में समाहित है। अपने टिप्पणियाँ (नोट्स0 और पत्रों में, उन्होंने शायद ही कोई सबूत लिखा था -इस क्षेत्र में उनका कोई मॉडल नहीं था । अपने जीवनकाल में, फ़र्मेट ने क्षेत्र में निम्नलिखित योगदान दिया:


 * फर्मेट के पहले हितों में से एक सही संख्या थी (जो यूक्लिड, तत्वों IX में दिखाई देती है) और सौहार्दपूर्ण संख्याएं; इन विषयों ने उन्हें इंटेगर डिवीर्स पर काम करने के लिए प्रेरित किया, जो कि पत्राचार के विषयों के बीच शुरुआत से (1636 के बाद) थे, जिन्होंने उन्हें दिन के गणितीय समुदाय के संपर्क में रखा।
 * 1638 में, फ़र्मेट ने दावा किया, बिना सबूत के, कि सभी पूरी संख्या को चार वर्गों या उससे कम के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
 * फर्मेट का लिटिल प्रमेय (1640): यदि A अभाज्य (प्राइम) P द्वारा विभाज्य नहीं है, तो $$a^{p-1} \equiv 1 \bmod p.$$
 * यदि ए और बी सहअभाज्य (कॉपरीम) हैं, तो $$a^2 + b^2$$ किसी भी प्रमुख अभाज्य सर्वांगसम से विभाज्य नहीं है; और 1 मोडुलो 4 के लिए प्रत्येक को प्रमुख रूप में लिखा जा सकता है $$a^2 + b^2$$. ये दोनों कथन भी 1640 से हैं;1659 में, फर्मेट ने ह्यूजेंस से कहा कि उन्होंने अनंत वंश की विधि द्वारा बाद के बयान को साबित कर दिया था।
 * 1657 में,अंग्रेजी गणितज्ञों के लिए एक चुनौती के रूप में, फर्माट ने हल करने की समस्या को जन्म दिया $$x^2 - N y^2 = 1$$। समस्या को कुछ महीनों में वालिस और ब्रौनकर द्वारा हल किया गया था। फर्माट ने अपने समाधान को वैध माना, लेकिन बताया कि उन्होंने बिना किसी सबूत के एक एल्गोरिथ्म प्रदान किया था (जैसा कि जयदेव और भास्कर ने किया था, हालांकि फर्माट को इस बारे में पता नहीं था)।उन्होंने कहा कि एक सबूत अनंत वंश द्वारा पाया जा सकता है।
 * फर्मेट ने कहा और साबित किया (अनंत वंश द्वारा) वह $$x^{4} + y^{4} = z^{4}$$ पूर्णांक में कोई गैर-तुच्छ समाधान नहीं है।फ़र्मेट ने अपने संवाददाताओं का भी उल्लेख किया है $$x^3 + y^3 = z^3$$ कोई गैर-तुच्छ समाधान नहीं है, और यह भी अनंत वंश द्वारा सिद्ध किया जा सकता है। पहला ज्ञात प्रमाण यूलर (1753; वास्तव में अनंत वंश द्वारा) के कारण है।
 * फर्माट ने दावा किया (फर्मेट के अंतिम प्रमेय) ने दिखाया है कि कोई समाधान नहीं है $$x^n + y^n = z^n$$ सभी के लिए $$n\geq 3$$;यह दावा डायोफेंटस की उनकी कॉपी के हाशिये में उनके एनोटेशन में दिखाई देता है।

यूलर
संख्या सिद्धांत में लियोनहार्ड यूलर (1707-1783) की रुचि पहली बार 1729 में हुई थी, जब उसके एक दोस्त, शौकिया गोल्डबैक ने उन्हें इस विषय पर फ़र्माट के कुछ काम की ओर इशारा किया। इसे आधुनिक संख्या सिद्धांत का पुनर्जन्म कहा गया है, फर्मेट के विषय के लिए अपने समकालीनों का ध्यान आकर्षित करने में सफलता की कमी के बाद। संख्या सिद्धांत पर यूलर के काम में निम्नलिखित शामिल हैं:
 * फर्माट के बयानों के लिए प्रमाण। इसमें फर्माट का छोटा प्रमेय (एनर द्वारा गैर-प्राइम मोडुली द्वारा सामान्यीकृत) शामिल है;यह तथ्य कि $$p = x^2 + y^2$$ अगर और केवल $$p\equiv 1 \bmod 4$$;इस प्रमाण की दिशा में प्रारंभिक काम कि प्रत्येक पूर्णांक चार वर्गों का योग है (पहला पूरा प्रमाण जोसेफ-लुइस लैग्रेंज (1770) द्वारा है, जल्द ही यूलर द्वारा खुद को सुधार दिया गया);गैर-शून्य पूर्णांक समाधान की कमी $$x^4 + y^4 = z^2$$ ।
 * पेल का समीकरण, पहले यूलर द्वारा गलत नाम दिया गया। उन्होंने निरंतर अंशों और पेल के समीकरण के बीच लिंक पर लिखा।
 * विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत की ओर पहला कदम। चार वर्गों, विभाजन,पंचकोणीय संख्याओं (पेंटागोनल संख्याओं) और अभाज्य संख्याओं (प्राइम नंबरों) के वितरण के अपने काम में, यूलर ने संख्या सिद्धांत में विश्लेषण (विशेष रूप से, अनंत श्रृंखला) के रूप में देखा जा सकता है के उपयोग का बीड़ा उठाया।चूंकि वह जटिल विश्लेषण के विकास से पहले रहते थे, इसलिए उनके अधिकांश काम बिजली श्रृंखला के औपचारिक हेरफेर तक ही सीमित हैं। हालांकि, उन्होंने कुछ बहुत ही उल्लेखनीय (हालांकि पूरी तरह से कठोर नहीं) किया, जो कि बाद में रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन कहा जाएगा।
 * द्विघात रूप।फ़र्मेट के नेतृत्व के बाद, यूलर ने इस सवाल पर और शोध किया कि किस अभाज्य संख्याओं (प्राइम्स) को फॉर्म में व्यक्त किया जा सकता है $$x^2 + N y^2$$, इसमें से कुछ द्विघात पारस्परिकता को पूर्वनिर्मित करते हैं।
 * डायोफेंटाइन समीकरण।यूलर ने जीनस 0 और 1 के कुछ डायोफेंटाइन समीकरणों पर काम किया। विशेष रूप से, उन्होंने डायोफेंटस के काम का अध्ययन किया; उन्होंने इसे व्यवस्थित करने की कोशिश की, लेकिन इस तरह के प्रयास के लिए अभी तक समय नहीं था - बीजगणित ज्यामिति अभी भी अपनी प्रारंभिक अवस्था में थी। उन्होंने देखा कि डायोफेंटाइन समस्याओं और अण्डाकार अभिन्न लोगों के बीच एक संबंध था, जिसका अध्ययन उन्होंने ने खुद शुरू किया था।

लैग्रेंज, लीजेंड्रे और गॉस
जोसेफ-लुईस लैग्रेंज (1736-1813) कुछ फ़र्मेट और यूलर के काम और टिप्पणियों के पूर्ण प्रमाण देने वाले पहले व्यक्ति थे- उदाहरण के लिए, लैग्रेंज के चार-वर्ग प्रमेय। चार-वर्ग प्रमेय और गलत तरीके से पेल के समीकरण का मूल सिद्धांत (जिसके लिए एक एल्गोरिथम समाधान फर्माट और उनके समकालीनों द्वारा पाया गया था, और उनके पहले जयदेव और भास्कर द्वितीय द्वारा भी खोजा गया था।) उन्होंने पूर्ण सामान्यता में द्विघात रूपों का भी अध्ययन किया ( $$m X^2 + n Y^2$$) - उनके तुल्यता संबंध को परिभाषित करना, यह दर्शाना कि उन्हें छोटे रूप में कैसे रखा जाए, आदि।

एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे (1752-1833) पद्विघात पारस्परिकता का नियम बताने वाले पहले व्यक्ति थे।वह भी अंकगणित प्रगति पर अभाज्य संख्या प्रमेय (प्राइम नंबर प्रमेय) और डिरिचलेट के प्रमेय के लिए क्या मात्रा में अनुमान लगाया गया है। उन्होंने समीकरण का पूरा उपचार दिया $$a x^2 + b y^2 + c z^2 = 0$$ और बाद में गॉस द्वारा पूरी तरह से विकसित रेखाओं के साथ द्विघात रूपों पर काम किया। अपने वृद्धावस्था में, वह फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय को साबित करने वाले पहले व्यक्ति थे $$n=5$$ (पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट द्वारा काम पूरा करना, और उन्हें और सोफी जर्मेन दोनों को श्रेय देना)।

उनके विघटन अंकगणित (1798) में, कार्ल फ्रेडरिक गॉस (1777-1855) ने द्विघात पारस्परिकता के नियम को साबित किया और द्विघात रूपों के सिद्धांत को विकसित किया (विशेष रूप से, उनकी रचना को परिभाषित करते हुए)।उन्होंने कुछ बुनियादी संकेतन (बधाई) भी पेश किए और एक खंड को कम्प्यूटेशनल मामलों के लिए समर्पित किया, जिसमें आदिमता परीक्षण भी शामिल थे। अस्वीकृति के अंतिम खंड ने एकता और संख्या सिद्धांत की जड़ों के बीच एक कड़ी स्थापित की:  वृत्त विभाजन का सिद्धांत ...जिसकी व्याख्या सेकंड में की जाती है। 7 अंकगणित से संबंधित नहीं है, लेकिन इसके सिद्धांतों को केवल उच्च अंकगणित से ही लिया जा सकता है।

इस तरह, गॉस ने यकीनन एवरिस्टे गाल्वाइस के काम और बीजगणितीय संख्या सिद्धांत दोनों की ओर पहला स्थान बनाया।

परिपक्वता और उपक्षेत्रों में विभाजन
उन्नीसवीं शताब्दी की शुरुआत में, निम्नलिखित विकास धीरे -धीरे हुए:


 * अध्ययन के क्षेत्र में संख्या सिद्धांत (या उच्च अंकगणित) की आत्म-चेतना के रूप में वृद्धि।
 * बुनियादी आधुनिक संख्या सिद्धांत के लिए आवश्यक आधुनिक गणित के अधिकांश विकास: जटिल विश्लेषण, समूह सिद्धांत, गैलोइस सिद्धांत - बीजगणित में विश्लेषण और अमूर्तता में अधिक से अधिक कठोरता से प्रभावित।
 * अपने आधुनिक उपक्षेत्रों में संख्या सिद्धांत का मोटा उपखंड - विशेष रूप से, विश्लेषणात्मक और बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में।

बीजगणितीय संख्या सिद्धांत को पारस्परिकता और रोमकपेशी-उच्‍छेदन (साइक्लोटॉमी) के अध्ययन के साथ शुरू करने के लिए कहा जा सकता है, लेकिन वास्तव में अमूर्त बीजगणित और प्रारंभिक आदर्श सिद्धांत और मूल्यांकन सिद्धांत के विकास के साथ अपने आप में आया; नीचे देखें। विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत के लिए एक पारंपरिक प्रारंभिक बिंदु अंकगणित प्रगति (1837) पर डिरिचलेट का प्रमेय है,  जिनके प्रमाण ने एल-फ़ंक्शन पेश किए और इसमें कुछ स्पर्शोन्मुख विश्लेषण और एक वास्तविक चर पर एक सीमित प्रक्रिया शामिल थी। वास्तव में संख्या सिद्धांत में विश्लेषणात्मक विचारों का पहला उपयोग यूलर (1730) पर वापस चला जाता है, जिन्होंने औपचारिक शक्ति श्रृंखला और गैर-कठोर (या निहित) तर्कों को सीमित किया।संख्या सिद्धांत में जटिल विश्लेषण का उपयोग बाद में आता है: ज़ेटा फ़ंक्शन पर बर्नहार्ड रीमैन (1859) का काम कैनोनिकल शुरुआती बिंदु है; जैकोबी का चार-वर्ग प्रमेय (1839), जो इसे पूर्ववर्ती करता है, शुरू में अलग-अलग स्ट्रैंड से संबंधित है, जो अब तक विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत (मॉड्यूलर फॉर्म) में अग्रणी भूमिका निभाता है। प्रत्येक उपक्षेत्र (सबफील्ड) का इतिहास नीचे अपने स्वयं के खंड में संबोधित किया गया है;पूर्ण उपचार के लिए प्रत्येक उपक्षेत्र (सबफील्ड) का मुख्य लेख देखें।प्रत्येक क्षेत्र में सबसे दिलचस्प सवाल खुले रहते हैं और सक्रिय रूप से काम किया जा रहा है।

प्राथमिक संख्या सिद्धांत
प्राथमिक शब्द आम तौर पर एक ऐसी विधि को दर्शाता है जो जटिल विश्लेषण का उपयोग नहीं करता है।उदाहरण के लिए, अभाज्य संख्या (प्राइम नंबर) प्रमेय पहली बार 1896 में जटिल विश्लेषण का उपयोग करके सिद्ध किया गया था, लेकिन एक प्राथमिक प्रमाण केवल 1949 में पॉल एर्ड्स द्वारा पाया गया था। एर्ड्स और सेलबर्ग। यह शब्द कुछ अस्पष्ट है: उदाहरण के लिए, जटिल टाउबेरियन प्रमेयों (उदाहरण के लिए, वीनर -इकोरा प्रमेय | ) पर आधारित प्रमाण अक्सर जटिल विश्लेषण के बजाय फूरियर विश्लेषण के उपयोग करने के बावजूद,काफी ज्ञानवर्धक के रूप में देखा जाता है, लेकिन प्राथमिक नहीं। यहाँ कहीं और के रूप में, एक प्राथमिक प्रमाण एक गैर-तत्व की तुलना में अधिकांश पाठकों के लिए लंबा और अधिक कठिन हो सकता है। संख्या सिद्धांत में एक क्षेत्र होने की प्रतिष्ठा प्राप्त है, जिसके कई परिणाम आम आदमी (लेपर्सन) को बताए जा सकते हैं। इसी समय, इन परिणामों के प्रमाण विशेष रूप से सुलभ नहीं हैं, आंशिक रूप से, क्योंकि उनके द्वारा उपयोग किए जाने वाले उपकरणों की सीमा, यदि कुछ भी है, तो गणित के भीतर असामान्य रूप से व्यापक है।

विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत
विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत को परिभाषित किया जा सकता है

कुछ विषयों को आमतौर पर विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत का हिस्सा माना जाता है, उदाहरण के लिए, चलनी सिद्धांत, पहली परिभाषा के बजाय दूसरे द्वारा बेहतर आच्छादन (कवर) किए गए हैं: कुछ चलनी सिद्धांत, उदाहरण के लिए, थोड़ा विश्लेषण का उपयोग करता है, फिर भी यह विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत से संबंधित है।
 * अपने उपकरणों के संदर्भ में, वास्तविक और जटिल विश्लेषण से उपकरणों के माध्यम से पूर्णांक के अध्ययन के रूप में; या
 * इसकी चिंताओं के संदर्भ में, आकार और घनत्व पर अनुमानों की संख्या सिद्धांत के भीतर अध्ययन के रूप में, पहचान के विपरीत।

विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में निम्नलिखित समस्याओं के उदाहरण हैं:अभाज्य संख्या( प्राइम नंबर प्रमेय), गोल्डबैक अनुमान (या ट्विन प्राइम अनुमान, या हार्डी -लिटिलवुड अनुमान), वारिंग समस्या और रीमैन परिकल्पना। विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत के कुछ सबसे महत्वपूर्ण उपकरण सर्कल विधि, चलनी के तरीके और एल-फ़ंक्शन (या, बल्कि, उनके गुणों का अध्ययन) हैं। वैकल्पिक् (मॉड्यूलर) रूपों का सिद्धांत (ऑटोमोर्फिक रूप और, अधिक आम तौर पर,) भी विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत के उपकरण बॉक्स (टूलबॉक्स) में एक तेजी से केंद्रीय स्थान पर कब्जा कर लेता है। एक बीजगणितीय संख्या के बारे में विश्लेषणात्मक प्रश्न पूछ सकता है, और ऐसे सवालों के जवाब देने के लिए विश्लेषणात्मक साधनों का उपयोग कर सकता है; यह इस प्रकार अंतर्विरोध है कि बीजगणितीय और विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत । उदाहरण के लिए, कोई प्रमुख आदर्शों(बीजगणितीय संख्याओं के क्षेत्र में प्रमुख संख्याओं के सामान्यीकरण) को परिभाषित कर सकता है और पूछ सकता है कि एक निश्चित आकार तक कितने प्रमुख आदर्श हैं।इस प्रश्न का उत्तर डेडेकाइंड ज़ेटा कार्यों की एक परीक्षा के माध्यम से दिया जा सकता है, जो कि रीमैन ज़ेटा कार्यों  के सामान्यीकरण हैं, जो विषय की जड़ों पर एक प्रमुख विश्लेषणात्मक वस्तु है। यह विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में एक सामान्य प्रक्रिया का एक उदाहरण है: उचित रूप से निर्मित जटिल-मूल्यवान कार्यों के विश्लेषणात्मक व्यवहार से एक अनुक्रम (यहां, अभाज्य आइडियल या अभाज्य नंबर) के वितरण के बारे में जानकारी प्राप्त करना।

बीजगणितीय संख्या सिद्धांत
एक बीजीय संख्या कोई भी जटिल संख्या है जो कुछ बहुपद समीकरण का समाधान है $$f(x)=0$$ परिमेय गुणांक के साथ;उदाहरण के लिए, हर समाधान $$x$$ का $$x^5 + (11/2) x^3 - 7 x^2 + 9 = 0 $$ (मान लीजिए) एक बीजीय संख्या है। बीजगणितीय संख्याओं के क्षेत्र (फ़ील्ड) को बीजगणितीय संख्या क्षेत्र (फ़ील्ड), या शीघ्र ही संख्या क्षेत्र (फ़ील्ड) भी कहा जाता है। बीजगणितीय संख्या सिद्धांत अध्ययन बीजगणितीय संख्या क्षेत्रों का अध्ययन करता है। इस प्रकार, विश्लेषणात्मक और बीजगणितीय संख्या सिद्धांत अधिव्यापन (ओवरलैप) कर सकते हैं और अध्ययन की वस्तुओं द्वारा उत्तरार्द्ध पूर्व को इसके तरीकों से परिभाषित किया जाता है,।

यह तर्क दिया जा सकता है कि गॉस द्वारा पहले से ही सबसे सरल प्रकार के संख्या क्षेत्रों (अर्थात, द्विघात क्षेत्रों) का अध्ययन किया गया था, क्योंकि अयोग्यता में द्विघात रूपों की चर्चा अंकगणित को आदर्शों के संदर्भ में बहाल किया जा सकता है और द्विघात क्षेत्रों में मानदंड।(एक द्विघात क्षेत्र में सभी होते हैं प्रपत्र की संख्या $$ a + b \sqrt{d}$$, कहाँ पे $$a$$ तथा $$b$$  परिमेय संख्याएं हैं और $$d$$ एक निश्चित परिमेय संख्या है जिसका वर्गमूल परिमेय नहीं है।) उस मामले के लिए, 11 वीं शताब्दी की चक्रवाल विधि-आधुनिक शब्दों में- वास्तविक द्विघात संख्या क्षेत्र की इकाइयों को खोजने के लिए एक एल्गोरिथ्म के संख्या क्षेत्र बराबर है।हालाँकि, भस्कारा और न ही गॉस को संख्या क्षेत्रों के बारे में पता था।

इस विषय के आधार जैसा कि हम जानते हैं कि यह उन्नीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध में समूह किया गया था, जब आदर्श संख्या, आदर्शों और मूल्यांकन सिद्धांत का सिद्धांत विकसित किया गया था;ये बीजगणितीय संख्या क्षेत्रों में अद्वितीय कारक की कमी से निपटने के तीन पूरक तरीके हैं। (उदाहरण के लिए, परिमेय द्वारा उत्पन्न क्षेत्र में तथा $$ \sqrt{-5}$$, रेखावृत्त $$6$$ दोनों के रूप में कारक किया जा सकता है $$ 6 = 2 \cdot 3$$ तथा $$ 6 = (1 + \sqrt{-5}) ( 1 - \sqrt{-5})$$;के सभी $$2$$, $$3$$, $$1 + \sqrt{-5}$$ तथा $$ 1 - \sqrt{-5}$$ इरेड्यूसिबल हैं, और इस प्रकार, एक भोले अर्थ में, अभाज्य पूर्णांक के बीच के अनुरूप।) आदर्श संख्याओं के विकास के लिए प्रारंभिक प्रेरणा (कुमर द्वारा) उच्च पारस्परिकता कानूनों के अध्ययन से आया है, अर्थात्, द्विघात पारस्परिकता के सामान्यीकरण।

संख्या क्षेत्रों को अक्सर छोटे नंबर क्षेत्रों के विस्तार के रूप में अध्ययन किया जाता है: एक क्षेत्र L को एक क्षेत्र k का विस्तार कहा जाता है यदि L में k होता है। (उदाहरण के लिए, जटिल संख्या C वास्तविक R का एक विस्तार है, और वास्तविक R परिमेय का विस्तार है Q.) किसी दिए गए संख्या क्षेत्र (नंबर फ़ील्ड) के संभावित विस्तार (एक्सटेंशन) को वर्गीकृत करना एक कठिन और आंशिक रूप से खुली समस्या है। एबेलियन विस्तार एक्सटेंशन- यानी, k के विस्तार (एक्सटेंशन) l जैसे कि गैलिस समूह ग्रुप K के K के गैल (l/k) एक एबेलियन समूह है - अपेक्षाकृत अच्छी तरह से समझा जाता है। उनका वर्गीकरण वर्ग क्षेत्र (क्लास फील्ड) सिद्धांत के कार्यक्रम का उद्देश्य था, जिसे 19 वीं शताब्दी के अंत में (आंशिक रूप से क्रोनकर और ईसेनस्टीन द्वारा) में शुरू किया गया था और 1900-1950 में बड़े पैमाने पर किया गया था।

बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में अनुसंधान के एक सक्रिय क्षेत्र का एक उदाहरण इवासवा सिद्धांत है।लैंगलैंड्स कार्यक्रम, गणित में मुख्य वर्तमान बड़े पैमाने पर अनुसंधान योजनाओं में से एक, कभी-कभी संख्या क्षेत्रों के गैर-एबेलियन विस्तार (एक्सटेंशन) के लिए वर्ग क्षेत्र सिद्धांत को सामान्य करने के प्रयास के रूप में वर्णित किया जाता है।

डायोफेंटाइन ज्यामिति
डायोफेंटाइन ज्यामिति की केंद्रीय समस्या को यह निर्धारित करना है कि एक डायोफेंटाइन समीकरण में समाधान कब होता है, और यदि ऐसा होता है, तो कितने।लिया गया दृष्टिकोण एक ज्यामितीय वस्तु के रूप में एक समीकरण के समाधान के बारे में सोचना है।

उदाहरण के लिए, दो चर में एक समीकरण तल में एक वक्र को परिभाषित करता है। एक समीकरण, या समीकरणों की प्रणाली, दो या दो से अधिक चर में एन-डायमेंशनल स्पेस में एक वक्र, एक सतह या कुछ अन्य ऐसी वस्तु को परिभाषित करता है। डायोफेंटाइन ज्यामिति में, कोई पूछता है कि क्या वक्र या सतह पर कोई परिमेय बिंदु हैं (सभी अंक जिनके निर्देशांक परिमेय हैं) या अभिन्न बिंदु (इंटीग्रल पॉइंट्स) (सभी अंक जिनके निर्देशांक पूर्णांक हैं)। यदि ऐसे कोई बिंदु हैं, तो अगला कदम यह पूछना है कि कितने हैं और कैसे वितरित किए जाते हैं। इस दिशा में एक बुनियादी सवाल यह है कि क्या बारीक या असीम रूप से किसी दिए गए वक्र (या सतह) पर कई तर्कसंगत बिंदु हैं।

पाइथागोरियन समीकरण में $$x^2+y^2 = 1,$$ हम इसके परिमेय समाधानों का अध्ययन करना चाहते हैं, अर्थात् इसके समाधान $$(x,y)$$ ऐसा है कि x और y दोनों परिमेय हैं। यह सभी पूर्णांक समाधानों के लिए पूछने के समान है प्रति $$a^2 + b^2 = c^2$$;बाद के समीकरण का कोई हल समाधान देता है $$x = a/c$$, $$y = b/c$$ पूर्व को।यह वक्र पर परिमेय निर्देशांक के साथ सभी बिंदुओं के लिए पूछना द्वारा वर्णित $$x^2 + y^2 = 1$$।(यह वक्र मूल के चारों ओर त्रिज्या 1 का एक चक्र होता है।)

वक्रों पर बिंदुओं के संदर्भ में समीकरणों पर प्रश्नों का पुनर्मूल्यांकन सुखद (फेलिसियस) हो जाता है। एक बीजीय वक्र पर परिमेय या पूर्णांक बिंदुओं की संख्या की परिमितता या नहीं - एक समीकरण के लिए परिमेय या पूर्णांक समाधान है $$f(x,y)=0$$, कहाँ पे $$f$$ दो चर में एक बहुपद है - वक्र के जीनस पर महत्वपूर्ण रूप से निर्भर करता है। जीनस को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है: $$f(x,y)=0$$ जटिल संख्या होने के लिए;फिर $$f(x,y)=0$$ (प्रोजेक्टिव) 4-आयामी स्थान में 2-आयामी सतह को परिभाषित करता है (चूंकि दो जटिल चर को चार वास्तविक चर में विघटित किया जा सकता है, यानी चार आयाम)।यदि हम सतह में (डोनट) छेदों की संख्या गिनते हैं; हम इस संख्या को जीनस कहते हैं $$f(x,y)=0$$।अन्य ज्यामितीय धारणाएं केवल महत्वपूर्ण हैं।

डायोफेंटाइन सन्निकटन का बारीकी से जुड़ा हुआ क्षेत्र भी है: एक संख्या दी गई $$x$$, फिर यह पता लगाना कि इसे परिमेय द्वारा कितनी अच्छी तरह से अनुमानित किया जा सकता है। (हम उन अनुमानों की तलाश कर रहे हैं जो उस स्थान की मात्रा के सापेक्ष अच्छे हैं जो परिमेय लिखने के लिए लेता है: कॉ $$a/q$$ (साथ $$\gcd(a,q)=1$$) अच्छा सन्निकटन $$x$$ यदि $$|x-a/q|<\frac{1}{q^c}$$, कहाँ पे $$c$$ बड़ा है।) यह प्रश्न विशेष रुचि का है अगर $$x$$ एक बीजीय संख्या है। यदि $$x$$ अच्छी तरह से अनुमानित नहीं किया जा सकता है, तो कुछ समीकरणों में पूर्णांक या परिमेय समाधान नहीं होते हैं। इसके अलावा, कई अवधारणाएं (विशेष रूप से ऊंचाई की) डायोफेंटाइन ज्यामिति में और डायोफेंटाइन सन्निकटन के अध्ययन में दोनों महत्वपूर्ण हो जाती हैं। यह प्रश्न पारलौकिक संख्या सिद्धांत (ट्रांसेंडेंटल नंबर थ्योरी) में भी विशेष रुचि  है: यदि किसी संख्या को किसी भी बीजीय संख्या की तुलना में बेहतर अनुमानित किया जा सकता है, तो यह एक पारलौकिक संख्या है।यह इस तर्क से है कि $\pi$ और ई को पारलौकिक दिखाया गया है।

डायोफेंटाइन ज्यामिति को संख्याओं की ज्यामिति के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जो बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में कुछ प्रश्नों के उत्तर देने के लिए चित्रमय तरीकों का एक संग्रह है। अंकगणित ज्यामिति, हालांकि, एक समकालीन शब्द है, डायोफेंटाइन ज्यामिति शब्द द्वारा आच्छादन(कवर) समान डोमेन के लिए किए गए। अंकगणितीय ज्यामिति शब्द यकीन उपयोग किया जाता है सबसे अधिक बार जब कोई आधुनिक बीजगणितीय ज्यामिति (उदाहरण के लिए, फाल्टिंग्स के प्रमेय) के लिए डायफैंटाइन सन्निकटन में तकनीकों के बजाय सम्बन्ध (कनेक्शन) पर जोर देना चाहता है।

अन्य उपक्षेत्र
नीचे के क्षेत्र बीसवीं सदी के मध्य से पहले के नहीं हैं, भले ही वे पुरानी सामग्री पर आधारित हों। उदाहरण के लिए, जैसा कि नीचे बताया गया है, संख्या सिद्धांत में एल्गोरिदम का मामला बहुत पुराना है, कुछ अर्थों में प्रमाण की अवधारणा से पुराना है; इसी समय,अभिकलनीयता (कम्प्यूटिबिलिटी) का आधुनिक अध्ययन केवल 1930 और 1940 के दशक से है, और 1970 के दशक से कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत।

संभाव्य संख्या सिद्धांत
अधिकांश संभाव्य संख्या सिद्धांत को चर के अध्ययन के एक महत्वपूर्ण विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है जो लगभग पारस्परिक रूप से स्वतंत्र हैं, लेकिन काफी नहीं हैं।उदाहरण के लिए, यह घटना कि एक और दस लाख के बीच एक यादृच्छिक पूर्णांक दो से विभाज्य हो और यह घटना कि यह तीन से विभाज्य हो, लगभग स्वतंत्र है, लेकिन काफी नहीं।

यह कभी -कभी कहा जाता है कि संभाव्य कॉम्बिनेटरिक्स इस तथ्य का उपयोग करता है कि जो कुछ भी संभावना के साथ होता है और उससे अधिक होता है $$0$$ कभी -कभी होना चाहिए;कोई समान न्याय के साथ कह सकता है कि संभाव्य संख्या सिद्धांत के कई अनुप्रयोग इस तथ्य पर टिका है कि जो भी असामान्य है वह दुर्लभ होना चाहिए।यदि कुछ बीजगणितीय वस्तुओं ( कुछ समीकरणों के लिए तर्कसंगत या पूर्णांक समाधान कहते हैं,) को कुछ समझदारी से परिभाषित वितरण की पूंछ में दिखाया जा सकता है, तो यह इस प्रकार है कि उनमें से कुछ होना चाहिए;यह एक बहुत ही ठोस गैर-संभाव्य कथन है जो एक संभाव्य से है।

कभी-कभी, एक गैर-कठोर, संभाव्य दृष्टिकोण कई अनुमानी एल्गोरिदम और खुली समस्याओं की ओर जाता है, विशेष रूप से क्रैमर का अनुमान।

अंकगणितीय साहचर्य
अगर हम काफी मोटी अनंत समूह(सेट) से शुरू करते हैं $$A$$, इसमें अंकगणितीय प्रगति में कई तत्व शामिल हैं: $$a$$, $$a+b, a+2 b, a+3 b, \ldots, a+10b$$, कहो?क्या बड़े पूर्णांक को तत्वों के योग के रूप में लिखना संभव होना चाहिए $$A$$?

ये प्रश्न अंकगणित साहचर्य (कॉम्बिनेटरिक्स) की विशेषता हैं। यह एक वर्तमान में सहसंयोजक क्षेत्र है; यह योगात्मक संख्या सिद्धांत (एडिटिव नंबर थ्योरी) (जो कुछ विशिष्ट समूह (सेटों) के साथ खुद को चिंतित करता है $$A$$ अंकगणितीय महत्व, जैसे कि अभाज्य या वर्ग) और, यकीनन, संख्याओं की कुछ तेजी से विकसित करने वाली ज्यामिति,में नई सामग्री साथ ।एर्गोडिक सिद्धांत, परिमित समूह सिद्धांत, मॉडल सिद्धांत और अन्य क्षेत्रों के साथ इसके विकासशील कड़ी (लिंक) के लिए विकास और वितरण खातों के मुद्दों पर इसका ध्यान केंद्रित है। सक्रिय साहचर्य (एडिटिव कॉम्बिनेटरिक्स) शब्द का भी उपयोग किया जाता है;हालांकि, समूह (सेट) $$A$$ अध्ययन किए जाने की आवश्यकता नहीं है, पूर्णांक के समूह(सेट) की आवश्यकता नहीं है, बल्कि गैर-विनिमेयशील (कम्यूटेटिव) समूहों के उप-समूचय (सबसेट), जिसके लिए गुणन प्रतीक, अतिरिक्त प्रतीक नहीं, पारंपरिक रूप से उपयोग किया जाता है;वे रिंगों के उप-समूचय (सबसेट) भी हो सकते हैं, जिस स्थिति में विकास $$A+A$$ तथा $$A$$·$$A$$ शायद तुलना की।

कम्प्यूटेशनल नंबर थ्योरी
शब्द एल्गोरिथ्म केवल अल-ख्वारिज़मी के कुछ पाठकों के लिए वापस चला जाता है, समाधान के तरीकों के सावधानीपूर्वक विवरण प्रमाणों से पुराने हैं: ऐसे तरीके (अर्थात्,एल्गोरिदम) किसी भी पहचानने योग्य गणित के रूप में पुराने हैं - जो कि मिस्र, बेबीलोनियन, वैदिक, चीनी -वे -वेस सबूत केवल शास्त्रीय काल के यूनानियों के साथ दिखाई दिए। एक प्रारंभिक मामला यह है कि अब हम यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म को क्या कहते हैं।अपने मूल रूप में (अर्थात्, सबसे बड़ी सामान्य भाजक की गणना के लिए एक एल्गोरिथ्म के रूप में) यह यूक्लिड के तत्वों में बुक VII के प्रस्ताव 2 के रूप में प्रकट होता है। हालांकि, उस रूप में जो अक्सर संख्या सिद्धांत में उपयोग किया जाता है (अर्थात्, एक समीकरण के लिए पूर्णांक समाधान खोजने के लिए एक एल्गोरिथ्म के रूप में $$a x + b y = c$$, या, क्या है, उन मात्राओं को खोजने के लिए जिनके अस्तित्व को चीनी शेष प्रमेय द्वारा आश्वासन दिया गया है) यह पहली बार आर्यभट (5 वीं -6 वीं शताब्दी सीई) के कार्यों में एक एल्गोरिथ्म के रूप में दिखाई देता है। कुआक (पुलवरिसर),बिना शुद्धता के प्रमाण ।

दो मुख्य प्रश्न हैं: क्या हम इसकी गणना कर सकते हैं? और क्या हम इसकी तेजी से गणना कर सकते हैं? कोई भी यह परीक्षण कर सकता है कि कोई अभाज्यसंख्या प्रमुख है या नहीं, यदि है तो इसे प्रमुख कारकों में विभाजित करें; ऐसा तेजी से करना एक और मामला है। अब हम आदिमता के परीक्षण के लिए तेजी से एल्गोरिदम जानते हैं, लेकिन, बहुत काम (सैद्धांतिक और व्यावहारिक दोनों) के बावजूद, फैक्टरिंग के लिए वास्तव में कोई तेज़ एल्गोरिथ्म नहीं।

गणना की कठिनाई उपयोगी हो सकती है: संदेशों को एन्क्रिप्ट करने के लिए आधुनिक संलेख (प्रोटोकॉल) (उदाहरण के लिए, आरएसए) उन कार्यों पर निर्भर करते हैं जो सभी के लिए ज्ञात होते हैं, लेकिन जिनके व्युत्क्रम केवल चुने हुए लोगों के लिए जाना जाता है, और अपने दम पर समझने बहुत समय लगेगा। उदाहरण के लिए, ये फलन ऐसे हो सकते हैं कि उनके व्युत्क्रमों की गणना केवल तभी की जा सकती है जब कुछ बड़े पूर्णांक को गुणनखंडित किया जाता है। जबकि संख्या सिद्धांत के बाहर कई कठिन कम्प्यूटेशनल समस्याएं ज्ञात हैं, आजकल अधिकांश काम करने वाले एन्क्रिप्शन प्रोटोकॉल कुछ संख्या-सैद्धांतिक समस्याओं की कठिनाई पर आधारित हैं।

कुछ चीजें बिल्कुल गणना योग्य (कम्प्यूटेबल) नहीं हो सकती हैं; वास्तव में, यह कुछ उदाहरणों में सिद्ध किया जा सकता है। उदाहरण के लिए,1970 में, यह साबित हुआ था, हिल्बर्ट की 10 वीं समस्या के समाधान के रूप में, कि कोई ट्यूरिंग मशीन नहीं है जो सभी डायोफैंटाइन समीकरणों को हल कर सकती है। विशेष रूप से, इसका मतलब यह है कि, स्वयंसिद्धों के एक कम्प्यूटिक रूप से एन्यूमरेबल समूह (सेट) को देखते हुए, डायोफेंटाइन समीकरण हैं जिनके लिए कोई प्रमाण नहीं है, स्वयंसिद्धों से शुरू होता है, कि समीकरणों के समूह (सेट) में पूर्णांक समाधान हैं या नहीं।(हम आवश्यक रूप से डायोफेंटाइन समीकरणों की बात कर रहे होंगे, जिनके लिए कोई पूर्णांक समाधान नहीं हैं, क्योंकि, कम से कम एक समाधान के साथ एक डायोफेंटाइन समीकरण को देखते हुए, समाधान स्वयं इस तथ्य का एक प्रमाण प्रदान करता है कि एक समाधान मौजूद है। हम यह साबित नहीं कर सकते हैं कि एक विशेष डायोफेंटाइनसमीकरण इस तरह का है, क्योंकि इसका मतलब यह होगा कि इसका कोई समाधान नहीं है।)

अनुप्रयोग
संख्या-सिद्धांतवादी लियोनार्ड डिक्सन (1874-1954) ने कहा कि भगवान का शुक्र है कि संख्या सिद्धांत किसी भी आवेदन से अप्रभावित है। ऐसा दृश्य अब संख्या सिद्धांत पर लागू नहीं है। 1974 में, डोनाल्ड नुथ ने कहा ... लगभग प्राथमिक संख्या सिद्धांत में हर प्रमेय एक प्राकृतिक, प्रेरित तरीके से उठता है, कंप्यूटर बनाने की समस्या के संबंध में उच्च गति वाले संख्यात्मक गणना करते हैं। प्राथमिक संख्या सिद्धांत कंप्यूटर वैज्ञानिकों के लिए असतत गणित पाठ्यक्रमों में पढ़ाया जाता है; दूसरी ओर, संख्या सिद्धांत में संख्यात्मक विश्लेषण में निरंतर के लिए अनुप्रयोग भी हैं। क्रिप्टोग्राफी के लिए प्रसिद्ध अनुप्रयोगों के साथ-साथ गणित के कई अन्य क्षेत्रों के लिए भी आवेदन हैं।

पुरस्कार
अमेरिकन मैथमेटिकल सोसाइटी ने संख्या सिद्धांत में कोल पुरस्कार प्रदान करती है। इसके अलावा, संख्या सिद्धांत फर्मेट पुरस्कार द्वारा पुरस्कृत तीन गणितीय उप -विभाजन में से एक है।

यह भी देखें

 * बीजगणितीय कार्य क्षेत्र
 * परिमित क्षेत्र
 * पी-एडिक नंबर

सूत्रों का कहना है

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अग्रिम पठन
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Hardy and Wright's book is a comprehensive classic, though its clarity sometimes suffers due to the authors' insistence on elementary methods (Apostol n.d.). Vinogradov's main attraction consists in its set of problems, which quickly lead to Vinogradov's own research interests; the text itself is very basic and close to minimal. Other popular first introductions are:

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बाहरी संबंध

 * Number Theory entry in the Encyclopedia of Mathematics
 * Number Theory Web
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