एमवी-बीजगणित

अमूर्त बीजगणित में, शुद्ध गणित की एक शाखा, एक एमवी-बीजगणित एक बीजगणितीय संरचना है जिसमें बाइनरी ऑपरेशन होता है $$\oplus$$, एक एकात्मक ऑपरेशन  $$\neg$$, और स्थिरांक $$0$$, कुछ स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करना। एमवी-अल्जेब्रा लुकासिविज़ लॉजिक के बीजगणितीय शब्दार्थ (गणितीय तर्क) हैं; अक्षर MV अनेक-मूल्यवान लॉजिक|Jan Łukasiewicz|Łukasiewicz के बहु-मूल्यवान लॉजिक को संदर्भित करता है। एमवी-अलजेब्रा, बाउंडेड BCK_एलजेब्रा#BCK_एलजेब्रा BCK अलजेब्रा के वर्ग से मेल खाता है।

परिभाषाएँ
एक एमवी-बीजगणित एक बीजगणितीय संरचना है $$\langle A, \oplus, \lnot, 0\rangle,$$ को मिलाकर जो निम्नलिखित पहचान (गणित) को संतुष्ट करता है: पहले तीन स्वयंसिद्धों के आधार पर, $$\langle A, \oplus, 0 \rangle$$ क्रमविनिमेय मोनोइड है। सर्वसमिकाओं द्वारा परिभाषित होने के कारण, एमवी-अलजेब्रा बीजगणित की एक किस्म (सार्वभौमिक बीजगणित) बनाते हैं। एमवी-अलजेब्रा की विविधता बीएल (तर्क) -एलजेब्रा की विविधता की एक उप-किस्म है और इसमें सभी बूलियन बीजगणित (संरचना) शामिल हैं।
 * एक खाली सेट | गैर-खाली सेट (गणित) $$A,$$
 * एक बाइनरी ऑपरेशन $$\oplus$$ पर $$A,$$
 * एक यूनरी ऑपरेशन $$\lnot$$ पर $$A,$$ और
 * निरंतर $$0$$ के एक निश्चित तत्व (गणित) को नकारना $$A,$$
 * $$ (x \oplus y) \oplus z = x \oplus (y \oplus z),$$
 * $$ x \oplus 0 = x,$$
 * $$ x \oplus y = y \oplus x,$$
 * $$ \lnot \lnot x = x,$$
 * $$ x \oplus \lnot 0 = \lnot 0,$$ और
 * $$ \lnot ( \lnot x \oplus y)\oplus y = \lnot ( \lnot y \oplus x) \oplus x.$$

एक एमवी-बीजगणित को समान रूप से परिभाषित किया जा सकता है (पेट्र हेजेक|हाजेक 1998) एक प्रीलीनियर कम्यूटेटिव बाउंड इंटीग्रल अवशिष्ट जाली  के रूप में $$\langle L, \wedge, \vee, \otimes, \rightarrow, 0, 1 \rangle $$ अतिरिक्त पहचान को संतुष्ट करना $$x \vee y = (x \rightarrow y) \rightarrow y.$$

एमवी-बीजगणित
के उदाहरण एक साधारण संख्यात्मक उदाहरण है $$A=[0,1],$$ संचालन के साथ $$x \oplus y = \min(x + y, 1)$$ और $$\lnot x = 1 - x.$$ गणितीय फजी लॉजिक में, इस MV-बीजगणित को मानक MV-बीजगणित कहा जाता है, क्योंकि यह Łukasiewicz तर्क के मानक वास्तविक-मूल्यवान शब्दार्थ बनाता है।

तुच्छ एमवी-बीजगणित में केवल तत्व 0 है और संचालन को एकमात्र संभव तरीके से परिभाषित किया गया है, $$0\oplus0=0$$ और $$\lnot0=0.$$ दो-तत्व एमवी-बीजगणित वास्तव में दो-तत्व बूलियन बीजगणित है $$\{0,1\},$$ साथ $$\oplus$$ बूलियन संयोजन के साथ मेल खाता है और $$\lnot$$ बूलियन निषेध के साथ। वास्तव में स्वयंसिद्ध जोड़ना $$x \oplus x = x$$ एमवी-बीजगणित को परिभाषित करने वाले अभिगृहीतों के परिणामस्वरूप बूलियन बीजगणित का स्वयंसिद्धीकरण होता है।

यदि इसके बजाय स्वयंसिद्ध जोड़ा गया है $$x \oplus x \oplus x = x \oplus x$$, तब स्वयंसिद्ध MV को परिभाषित करते हैं3 बीजगणित तीन-मूल्यवान Łukasiewicz तर्क Ł के संगत है3. अन्य परिमित रैखिक रूप से आदेशित एमवी-बीजगणित को मानक एमवी-बीजगणित के ब्रह्मांड और संचालन को सेट करने के लिए प्रतिबंधित करके प्राप्त किया जाता है $$n$$ 0 और 1 (दोनों शामिल) के बीच समदूरस्थ वास्तविक संख्याएँ, अर्थात् समुच्चय $$\{0,1/(n-1),2/(n-1),\dots,1\},$$ जो संचालन के तहत बंद है $$\oplus$$ और $$\lnot$$ मानक एमवी-बीजगणित; इन बीजगणितों को आमतौर पर एमवी के रूप में दर्शाया जाता हैn.

एक अन्य महत्वपूर्ण उदाहरण सी.सी. चांग का एमवी-बीजगणित है, जिसमें केवल बहुत छोता (आदेश प्रकार ω के साथ) और उनके सह-इन्फिनिटिमल्स शामिल हैं।

चांग ने एक धनात्मक तत्व u को फिक्स करके और खंड [0, u] को { x ∈ G | 0 ≤ x ≤ u }, जो x ⊕ y = min(u, x + y) और ¬x = u − x के साथ एक MV-बीजगणित बन जाता है। इसके अलावा, चांग ने दिखाया कि इस तरह से एक समूह से निर्मित एमवी-बीजगणित के लिए प्रत्येक रैखिक रूप से आदेश दिया गया एमवी-बीजगणित आइसोमोर्फिक है।

डेनियल मुंडिसी ने उपरोक्त निर्माण को एबेलियन जाली-आदेशित समूहों तक बढ़ाया। यदि G मजबूत (क्रम) इकाई u वाला एक ऐसा समूह है, तो इकाई अंतराल {x ∈ G | 0 ≤ x ≤ u} को ¬x = u - x, x ⊕ y = u ∧ से सुसज्जित किया जा सकता हैG (x + y), और x ⊗ y = 0 ∨G (एक्स + वाई - यू)। यह निर्माण मजबूत इकाई और एमवी-बीजगणित के साथ जाली-आदेशित एबेलियन समूहों के बीच एक स्पष्ट समानता स्थापित करता है।

एक प्रभाव बीजगणित जो जाली-आदेशित है और लगभग परिमित-आयामी C*-बीजगणित एक MV-बीजगणित है। इसके विपरीत, कोई भी एमवी-बीजगणित एक जाली-आदेशित प्रभाव बीजगणित है जिसमें रीज़ अपघटन गुण होता है।

लुकासिविक्ज़ तर्क से संबंध
सी.सी. चांग ने 1920 में जैन लुकासिविक्ज़ द्वारा पेश किए गए कई-मूल्यवान लॉजिक्स का अध्ययन करने के लिए एमवी-एलजेब्रा तैयार किया। विशेष रूप से, एमवी-एलजेब्रा लुकासिविक्ज़ लॉजिक के बीजगणितीय शब्दार्थ (गणितीय तर्क) का निर्माण करते हैं, जैसा कि नीचे वर्णित है।

एक एमवी-बीजगणित ए दिया गया है, एक ए-मूल्यांकन (तर्क) प्रस्तावपरक सूत्रों के बीजगणित से एक समरूपता है (भाषा में $$\oplus,\lnot,$$ और 0) ए में। सूत्र 1 के लिए मैप किए गए (यानी, टू $$\lnot$$0) सभी ए-मूल्यों के लिए ए-टॉटोलॉजी (तर्क) कहा जाता है। यदि [0,1] से अधिक मानक एमवी-बीजगणित कार्यरत है, तो सभी [0,1]-टॉटोलॉजी का सेट तथाकथित अनंत-मूल्यवान Łukasiewicz तर्क को निर्धारित करता है।

चांग (1958, 1959) पूर्णता प्रमेय में कहा गया है कि कोई भी एमवी-बीजगणित समीकरण मानक एमवी-बीजगणित में अंतराल [0,1] पर धारण करना प्रत्येक एमवी-बीजगणित में होगा। बीजगणितीय रूप से, इसका मतलब है कि मानक एमवी-बीजगणित सभी एमवी-बीजगणित की विविधता उत्पन्न करता है। समान रूप से, चांग की पूर्णता प्रमेय कहती है कि एमवी-अल्जेब्रा अनंत-मूल्यवान लुकासिविक्ज़ तर्क की विशेषता है, जिसे [0,1]-टॉटोलॉजी के सेट के रूप में परिभाषित किया गया है।

जिस तरह से [0,1] एमवी-बीजगणित सभी संभव एमवी-बीजगणित की विशेषता बताता है, वह इस प्रसिद्ध तथ्य के समानांतर है कि दो-तत्व बूलियन बीजगणित में मौजूद पहचान सभी संभव बूलियन बीजगणित में होती है। इसके अलावा, MV-अल्जेब्रा अनंत-मूल्यवान Łukasiewicz लॉजिक को इस तरह से चित्रित करते हैं जैसे कि बूलियन अल्जेब्रा शास्त्रीय दो-तत्व बूलियन बीजगणित की विशेषता रखते हैं (लिंडेनबाम-टार्स्की बीजगणित देखें)।

1984 में, फॉन्ट, रोड्रिग्ज और टॉरेंस ने वाज्सबर्ग बीजगणित को अनंत-मूल्यवान Łukasiewicz तर्क के लिए एक वैकल्पिक मॉडल के रूप में पेश किया। वाज्सबर्ग बीजगणित और एमवी-बीजगणित शब्द-समतुल्य हैं।

एमवीn-अलजेब्रा
1940 के दशक में ग्रिगोर मोसिल  ने अपना Łukasiewicz–Moisil बीजगणित (LM) पेश कियाn-algebras) n-मूल्यवान Łukasiewicz तर्क के लिए बीजगणितीय शब्दार्थ (गणितीय तर्क) देने की आशा में। हालांकि, 1956 में एलन रोज़ ने पाया कि n ≥ 5 के लिए, Łukasiewicz-Moisil बीजगणित Łukasiewicz n-मूल्यवान लॉजिक को मॉडल (गणितीय तर्क) नहीं करता है। हालांकि सीसी चांग ने अपना एमवी-बीजगणित 1958 में प्रकाशित किया, यह केवल ℵ के लिए एक विश्वसनीय मॉडल है0-वैल्यूड (इनफिनिटली-मैनी-वैल्यूड) लुकासिविक्ज़-टार्स्की लॉजिक। स्वयंसिद्ध रूप से अधिक जटिल (अंतिम रूप से) एन-मूल्यवान लुकासिविक्ज़ लॉजिक्स के लिए, उपयुक्त बीजगणित 1977 में रेवाज़ ग्रिगोलिया द्वारा प्रकाशित किए गए थे और एमवी कहलाते थे।n-बीजगणित। एमवीn-अलजेब्रा LM का एक उपवर्ग हैn-अलजेब्रा; समावेशन n ≥ 5 के लिए सख्त है। एमवीn-एलजेब्रा एमवी-एलजेब्रा होते हैं जो कुछ अतिरिक्त सूक्तियों को संतुष्ट करते हैं, ठीक उसी तरह जैसे कि n-मान वाले Łukasiewicz लॉजिक्स में अतिरिक्त अभिगृहीतों को ℵ में जोड़ा जाता है0-मूल्यवान तर्क।

1982 में रॉबर्टो सिग्नोली ने एलएम में जोड़े गए कुछ अतिरिक्त अवरोधों को प्रकाशित कियाn-एलजेब्रा एन-मूल्यवान Łukasiewicz तर्क के लिए उचित मॉडल प्रदान करते हैं; सिग्नोली ने अपनी खोज को उचित n-मूल्यवान Łukasiewicz algebras कहा। एलएमn-अलजेब्रा जो एमवी भी हैंn-अलजेब्रा सटीक रूप से सिग्नोली के उचित एन-वैल्यू लुकासिविक्ज़ एल्जेब्रा हैं।

कार्यात्मक विश्लेषण से संबंध
एमवी-अल्जेब्रस डेनियल मुंडिसी द्वारा लगभग परिमित-आयामी C*-एलजेब्रा से संबंधित थे, जो लगभग परिमित-आयामी C*-अलजेब्रा के सभी आइसोमोर्फिज़्म वर्गों के बीच जाली-आदेशित आयाम समूह और गणनीय एमवी बीजगणित के सभी आइसोमोर्फिज़्म वर्गों के बीच एक विशेषण पत्राचार स्थापित करके संबंधित थे। इस पत्राचार के कुछ उदाहरणों में शामिल हैं:

सॉफ्टवेयर में
फ़ज़ी लॉजिक (प्रकार II) को लागू करने वाले कई ढाँचे हैं, और उनमें से अधिकांश को बहु-संलग्न तर्क कहा जाता है। यह एमवी-बीजगणित के कार्यान्वयन से ज्यादा कुछ नहीं है।

संदर्भ

 * Chang, C. C. (1958) "Algebraic analysis of many-valued logics," Transactions of the American Mathematical Society 88: 476–490.
 * -- (1959) "A new proof of the completeness of the Lukasiewicz axioms," Transactions of the American Mathematical Society 88: 74–80.
 * Cignoli, R. L. O., D'Ottaviano, I. M. L., Mundici, D. (2000) Algebraic Foundations of Many-valued Reasoning. Kluwer.
 * Di Nola A., Lettieri A. (1993) "Equational characterization of all varieties of MV-algebras," Journal of Algebra 221: 463–474.
 * Hájek, Petr (1998) Metamathematics of Fuzzy Logic. Kluwer.
 * Mundici, D.: Interpretation of AF C*-algebras in Łukasiewicz sentential calculus. J. Funct. Anal. 65, 15–63 (1986)

अग्रिम पठन

 * Daniele Mundici, MV-ALGEBRAS. A short tutorial
 * Mundici, D. The C*-Algebras of Three-Valued Logic. Logic Colloquium ’88, Proceedings of the Colloquium held in Padova 61–77 (1989).
 * Cabrer, L. M. & Mundici, D. A Stone-Weierstrass theorem for MV-algebras and unital ℓ-groups. Journal of Logic and Computation (2014).
 * Olivia Caramello, Anna Carla Russo (2014) The Morita-equivalence between MV-algebras and abelian ℓ-groups with strong unit
 * Olivia Caramello, Anna Carla Russo (2014) The Morita-equivalence between MV-algebras and abelian ℓ-groups with strong unit

बाहरी संबंध

 * Stanford Encyclopedia of Philosophy: "Many-valued logic"—by Siegfried Gottwald.