विशार्ट वितरण

आँकड़ों में, विशार्ट वितरण गामा वितरण के कई आयामों का सामान्यीकरण है। इसका नाम जॉन विशरट (सांख्यिकीविद्) के सम्मान में रखा गया है, जिन्होंने पहली बार 1928 में वितरण तैयार किया था।

यह सममित, गैर-नकारात्मक-निश्चित यादृच्छिक आव्यूह (अर्थात आव्यूह (गणित) -मूल्यवान यादृच्छिक चर) पर परिभाषित संभाव्यता वितरण का एक परिवार है। यादृच्छिक आव्यूह सिद्धांत में, विशार्ट मैट्रिसेस के स्थान को विशार्ट पहनावा कहा जाता है।

बहुभिन्नरूपी आँकड़ों में सहप्रसरण आव्यूह के अनुमान में इन वितरणों का बहुत महत्व है। बायेसियन सांख्यिकी में, विशार्ट वितरण एक बहुभिन्नरूपी-सामान्य यादृच्छिक-सदिश के व्युत्क्रम सहप्रसरण-आव्यूह से पहले का संयुग्म है।

अन्य नामों में विशार्ट पहनावा सम्मिलित है ((यादृच्छिक आव्यूह सिद्धांत में मेट्रिसेस पर संभाव्यता वितरण को आमतौर पर "पहनावा" कहा जाता है) या विशार्ट-लगुएरे पहनावा (चूंकि इसके ईजेनवेल्यू वितरण में लैगुएरे बहुपद सम्मिलित हैं) या एलओई, एलयूई, एलएसई (जीओई, जीयूई, जीएसई के अनुरूप) ).

परिभाषा
मान लीजिए $G$ एक $X ~ W_{p}(V, n)$ आव्यूह है, जिनमें से प्रत्येक कॉलम स्वतंत्र रूप से $p$-चर सामान्य वितरण से शून्य माध्य के साथ खींचा जाता है:


 * $$G_{i} = (g_i^1,\dots,g_i^p)^T\sim \mathcal{N}_p(0,V).$$

फिर विशार्ट वितरण $n > p − 1$ यादृच्छिक आव्यूह का प्रायिकता वितरण है:
 * $$S= G G^T = \sum_{i=1}^n G_{i}G_{i}^T$$

स्कैटर आव्यूह के रूप में जाना जाता है। एक इंगित करता है कि $S$ के पास लेखन द्वारा प्रायिकता वितरण है


 * $$S\sim W_p(V,n).$$

सकारात्मक पूर्णांक $n$ स्वतंत्रता की डिग्री (सांख्यिकी) की संख्या है। कभी-कभी इसे $V > 0$ लिखा जाता है। $p × p$ के लिए आव्यूह $S$ व्युत्क्रमणीय है और यदि $V$ व्युत्क्रमणीय है तो प्रायिकता 1 है।

यदि $X(p × p)$ तो यह बंटन स्वतंत्रता की n कोटि वाला ची-वर्ग वितरण है।

घटना
विशार्ट वितरण एक बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण से नमूने के लिए नमूना सहप्रसरण आव्यूह के वितरण के रूप में उत्पन्न होता है। बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय विश्लेषण में संभावना-अनुपात परीक्षणों में यह अक्सर होता है। यह यादृच्छिक आव्यूह के वर्णक्रमीय सिद्धांत और बहुआयामी बायेसियन विश्लेषण में भी उत्पन्न होता है। रेले लुप्तप्राय एमआईएमओ वायरलेस चैनलों के प्रदर्शन का विश्लेषण करते समय वायरलेस संचार में भी इसका सामना करना पड़ता है।

संभाव्यता घनत्व समारोह
विशार्ट वितरण को इसके संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन द्वारा निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है:

माना कि $Γ_{p}$ यादृच्छिक चर का एक $tr$ सममित आव्यूह है जो धनात्मक अर्ध-निश्चित है। माना कि $(n − p − 1)V$ आकार $n ≥ p + 1$ का एक (निश्चित) सममित सकारात्मक निश्चित आव्यूह है।

फिर, यदि $p × n$, $p × p$ का विशार्ट बंटन स्वतंत्रता की $n$ कोटि के साथ है, यदि इसमें संभाव्यता घनत्व फलन है


 * $$ f_{\mathbf X} (\mathbf X) = \frac{1}{2^{np/2} \left|{\mathbf V}\right|^{n/2} \Gamma_p\left(\frac {n}{2}\right ) }{\left|\mathbf{X}\right|}^{(n-p-1)/2} e^{-\frac{1}{2}\operatorname{tr}({\mathbf V}^{-1}\mathbf{X})}$$

जहां $$\left|{\mathbf X}\right|$$ का निर्धारक $$\mathbf X$$ है और $W(V, p, n)$ बहुभिन्नरूपी गामा फलन है जिसे परिभाषित किया गया है


 * $$\Gamma_p \left (\frac n 2 \right )= \pi^{p(p-1)/4}\prod_{j=1}^p \Gamma\left( \frac{n}{2} - \frac{j-1}{2} \right ).$$

उपरोक्त घनत्व यादृच्छिक आव्यूह $n ≥ p$ के सभी $$p^2$$ तत्वों का संयुक्त घनत्व नहीं है (ऐसा p^{2}-आयामी घनत्व समरूपता बाधाओं के कारण मौजूद नहीं है $$X_{ij}=X_{ji}$$, बल्कि यह $$p^2$$ के लिए $$p(p+1)/2$$ तत्वों $$X_{ij}$$ का संयुक्त घनत्व है। इसके अलावा, उपरोक्त घनत्व सूत्र केवल सकारात्मक निश्चित आव्यूहों पर लागू होता है $$\mathbf x;$$ अन्य आव्यूहों के लिए घनत्व शून्य के बराबर है।

वर्णक्रमीय घनत्व
आइगेनवैल्यू के लिए ज्वाइंट-आइगेनवैल्यू डेंसिटी $$\lambda_1,\dots, \lambda_p\ge 0$$ एक यादृच्छिक आव्यूह का $$ \mathbf{X}\sim W_p(\mathbf{I},n)$$ है,


 * $$c_{n,p}e^{-\frac{1}{2}\sum_i\lambda_i}\prod \lambda_i^{(n-p-1)/2}\prod_{i<j}|\lambda_i-\lambda_j|$$

कहाँ $$c_{n,p}$$एक स्थिरांक है।

वास्तव में उपरोक्त परिभाषा को किसी भी वास्तविक $p = V = 1$ तक बढ़ाया जा सकता है। यदि $X$, तो विशार्ट में अब कोई घनत्व नहीं है, बल्कि यह एक विलक्षण वितरण का प्रतिनिधित्व करता है जो निम्न आयाम उप-स्थान में मान लेता है। $p × p$ आव्यूह ।

बायेसियन सांख्यिकी में प्रयोग करें
बायेसियन आंकड़ों में, बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण के संदर्भ में, विशार्ट वितरण सटीक आव्यूह $V$ से पहले संयुग्मी है, जहां $p × p$ सहप्रसरण आव्यूह है।

मापदंडों का चुनाव
$n ≥ p$ सेट करके सबसे कम जानकारीपूर्ण, उचित विशार्ट प्रायर प्राप्त किया जाता है।

$X$ का पूर्व माध्य $Γ_{p}$ है, जो सुझाव देता है कि $X$ के लिए एक उचित विकल्प $n > p − 1$ होगा, जहां $n ≤ p − 1$ सहप्रसरण आव्यूह के लिए कुछ पूर्व अनुमान है।

लॉग-अपेक्षा
निम्नलिखित सूत्र विशार्ट वितरण से जुड़े बेयस नेटवर्क के लिए वेरिएबल बेयस डेरिवेशन में एक भूमिका निभाता है::


 * $$\operatorname{E}[\, \ln\left|\mathbf{X}\right|\, ] = \psi_p\left(\frac n 2\right) + p \, \ln(2) + \ln|\mathbf{V}|$$

जहाँ $$\psi_p$$ बहुभिन्नरूपी डिगामा फलन है (बहुभिन्नरूपी गामा फलन के लघुगणक का व्युत्पन्न)।

लॉग-विचरण
बायेसियन सांख्यिकी में निम्न विचरण संगणना सहायक हो सकती है:


 * $$\operatorname{Var}\left[\, \ln\left|\mathbf{X}\right| \,\right]=\sum_{i=1}^p \psi_1\left(\frac{n+1-i} 2\right)$$

कहाँ $$\psi_1$$ त्रिगामा कार्य है। यह विशार्ट रैंडम वेरिएबल की फिशर जानकारी की गणना करते समय सामने आता है।

एंट्रॉपी
वितरण की सूचना एन्ट्रापी में निम्नलिखित सूत्र हैं:


 * $$\operatorname{H}\left[\, \mathbf{X} \,\right] = -\ln \left( B(\mathbf{V},n) \right) -\frac{n-p-1}{2} \operatorname{E}\left[\, \ln\left|\mathbf{X}\right|\,\right] + \frac{np}{2}$$

कहाँ $p × p$ वितरण का सामान्यीकरण स्थिरांक है:


 * $$B(\mathbf{V},n) = \frac{1}{\left|\mathbf{V}\right|^{n/2} 2^{np/2}\Gamma_p\left(\frac n 2 \right)}.$$

इसका विस्तार इस प्रकार किया जा सकता है:



\begin{align} \operatorname{H}\left[\, \mathbf{X}\, \right] & = \frac{n}{2} \ln \left|\mathbf{V}\right| +\frac{n p}{2} \ln 2 + \ln \Gamma_p \left(\frac{n}{2} \right) - \frac{n-p-1}{2} \operatorname{E}\left[\, \ln\left|\mathbf{X}\right|\, \right] + \frac{n p}{2} \\[8pt] &= \frac{n}{2} \ln\left|\mathbf{V}\right| + \frac{n p}{2} \ln 2 + \ln\Gamma_p\left(\frac{n}{2} \right) - \frac{n-p-1} 2 \left( \psi_p \left(\frac{n}{2}\right) + p\ln 2 + \ln\left|\mathbf{V}\right|\right) + \frac{n p}{2} \\[8pt] &= \frac{n}{2} \ln\left|\mathbf{V}\right| + \frac{n p}{2} \ln 2 + \ln\Gamma_p\left(\frac n 2\right) - \frac{n-p-1}{2} \psi_p\left(\frac n 2 \right) - \frac{n-p-1} 2 \left(p\ln 2 +\ln\left|\mathbf{V}\right| \right) + \frac{n p}{2} \\[8pt] &= \frac{p+1}{2} \ln\left|\mathbf{V}\right| + \frac1 2 p(p+1) \ln 2 + \ln\Gamma_p\left(\frac n 2\right) - \frac{n-p-1}{2} \psi_p\left(\frac n 2 \right) + \frac{n p}{2} \end{align} $$

क्रॉस-एन्ट्रॉपी
पैरामीटर के साथ दो विशार्ट वितरण $$p_0$$ का क्रॉस एंट्रोपी $$n_0, V_0$$ और $$p_1$$ पैरामीटर के साथ $$n_1, V_1$$ है:


 * $$\begin{align}

H(p_0, p_1) &= \operatorname{E}_{p_0}[\, -\log p_1\, ]\\[8pt] &= \operatorname{E}_{p_0} \left[\, -\log \frac{\left|\mathbf{X}\right|^{(n_1 - p_1 - 1)/2} e^{-\operatorname{tr}(\mathbf{V}_1^{-1} \mathbf{X})/2}}{2^{n_1 p_1/2} \left|\mathbf{V}_1\right|^{n_1/2} \Gamma_{p_1}\left(\tfrac{n_1}{2}\right)} \right]\\[8pt] &= \tfrac{n_1 p_1} 2 \log 2 + \tfrac{n_1} 2 \log \left|\mathbf{V}_1\right| + \log \Gamma_{p_1}(\tfrac{n_1} 2) - \tfrac{n_1 - p_1 - 1} 2 \operatorname{E}_{p_0}\left[\, \log\left|\mathbf{X}\right|\, \right] + \tfrac{1}{2}\operatorname{E}_{p_0}\left[\, \operatorname{tr}\left(\,\mathbf{V}_1^{-1}\mathbf{X}\,\right) \, \right] \\[8pt] &= \tfrac{n_1 p_1}{2} \log 2 + \tfrac{n_1} 2 \log \left|\mathbf{V}_1\right| + \log \Gamma_{p_1}(\tfrac{n_1}{2}) - \tfrac{n_1 - p_1 - 1}{2} \left( \psi_{p_0}(\tfrac{n_0} 2) + p_0 \log 2 + \log \left|\mathbf{V}_0\right|\right)+ \tfrac{1}{2} \operatorname{tr}\left(\, \mathbf{V}_1^{-1} n_0 \mathbf{V}_0\, \right) \\[8pt] &=-\tfrac{n_1}{2} \log \left|\, \mathbf{V}_1^{-1} \mathbf{V}_0\, \right| + \tfrac{p_1+1} 2 \log \left|\mathbf{V}_0\right| + \tfrac{n_0} 2 \operatorname{tr}\left(\, \mathbf{V}_1^{-1} \mathbf{V}_0\right)+ \log \Gamma_{p_1}\left(\tfrac{n_1}{2}\right) - \tfrac{n_1 - p_1 - 1}{2} \psi_{p_0}(\tfrac{n_0}{2})  +  \tfrac{n_1(p_1 - p_0)+p_0(p_1+1)}{2} \log 2 \end{align}$$ ध्यान दें कि कब $$p_0=p_1$$ और $$n_0=n_1$$हम एंट्रॉपी पुनर्प्राप्त करते हैं।

केएल-विचलन
कुल्बैक-लीब्लर विचलन $$p_1$$ से $$p_0$$ है



\begin{align} D_{KL}(p_0 \| p_1) & = H(p_0, p_1) - H(p_0) \\[6pt] & =-\frac{n_1} 2 \log |\mathbf{V}_1^{-1} \mathbf{V}_0| + \frac{n_0}{2}(\operatorname{tr}(\mathbf{V}_1^{-1} \mathbf{V}_0) - p)+ \log \frac{\Gamma_p\left(\frac{n_1} 2 \right)}{\Gamma_p\left(\frac{n_0} 2 \right)} + \tfrac{n_0 - n_1 } 2 \psi_p\left(\frac{n_0} 2\right) \end{align} $$

विशेषता समारोह
विशार्ट वितरण का अभिलाक्षणिक फलन (संभाव्यता सिद्धांत) है


 * $$\Theta \mapsto \operatorname{E}\left[ \, \exp\left( \,i \operatorname{tr}\left(\,\mathbf{X}{\mathbf\Theta}\,\right)\,\right)\, \right] = \left|\, 1 - 2i\, {\mathbf\Theta}\,{\mathbf V}\, \right|^{-n/2} $$

जहाँ $Ω = Σ^{−1}$ अपेक्षा दर्शाता है। (यहां $Σ$ $n = p$ के समान आयाम वाला कोई आव्यूह है, $W_{p}(V, n)$ पहचान आव्यूह को इंगित करता है, और $i$ $nV$ का वर्गमूल है)। इस सूत्र की ठीक से व्याख्या करने के लिए थोड़ी सावधानी की आवश्यकता होती है, क्योंकि गैर-पूर्णांक जटिल शक्तियाँ रीमैन सतह होती हैं; जब $n$ पूर्णांक नहीं होता है, तो सही शाखा को विश्लेषणात्मक निरंतरता के माध्यम से निर्धारित किया जाना चाहिए।

प्रमेय
अगर एक $V$ रैंडम आव्यूह $n^{−1}Σ_{0}^{−1}$ का विशरट डिस्ट्रीब्यूशन $m$ डिग्री ऑफ फ्रीडम और वेरियंस आव्यूह $Σ_{0}$ है तो मैथबीएफ $$\mathbf{X}\sim\mathcal{W}_p({\mathbf V},m)$$ लिखें और $B(V, n)$ एक $E[⋅]$ आव्यूह है रैंक $q$, फिर
 * $$\mathbf{C}\mathbf{X}{\mathbf C}^T \sim \mathcal{W}_q\left({\mathbf C}{\mathbf V}{\mathbf C}^T,m\right).$$

कोरोलरी 1
यदि $Θ$ शून्येतर $V$ अचर सदिश है, तब


 * $$\sigma_z^{-2} \, {\mathbf z}^T\mathbf{X}{\mathbf z} \sim \chi_m^2.$$

इस मामले में,$$\chi_m^2$$ ची-वर्ग वितरण है और $$\sigma_z^2={\mathbf z}^T{\mathbf V}{\mathbf z}$$ (ध्यान दें कि $$\sigma_z^2$$ स्थिरांक है; यह है धनात्मक क्योंकि $1$ धनात्मक निश्चित है)।

उपप्रमेय 2
उस मामले पर विचार करें जहां $−1$ (अर्थात, j-वां तत्व एक है और अन्य सभी शून्य हैं)। फिर उपप्रमेय 1 ऊपर यह दर्शाता है


 * $$\sigma_{jj}^{-1} \, w_{jj}\sim \chi^2_m$$

आव्यूह के विकर्ण पर प्रत्येक तत्व का सीमांत वितरण देता है।

जॉर्ज सेबर बताते हैं कि विशार्ट वितरण को "बहुभिन्नरूपी ची-वर्ग वितरण" नहीं कहा जाता है क्योंकि ऑफ-विकर्ण तत्वों का सीमांत वितरण ची-वर्ग नहीं है। सेबर बहुभिन्नरूपी शब्द को उस मामले के लिए आरक्षित करना पसंद करते हैं जब सभी अविभाजित सीमांत एक ही परिवार के हों।

बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण का अनुमानक
विशार्ट वितरण एक बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण के सहप्रसरण आव्यूह के अधिकतम-संभावना अनुमानक (MLE) का नमूना वितरण है। ] MLE की व्युत्पत्ति वर्णक्रमीय प्रमेय का उपयोग करती है।

बार्टलेट अपघटन
स्केल आव्यूह $p × p$ और $n$ डिग्री ऑफ फ्रीडम के साथ एक $X$-वैरिएट विशरट वितरण से आव्यूह $V$ का बार्टलेट अपघटन गुणनखंड है:


 * $$\mathbf{X} = {\textbf L}{\textbf A}{\textbf A}^T{\textbf L}^T,$$

जहाँ $C$, $q × p$ का चोल्स्की अपघटन गुणक है और:


 * $$\mathbf A = \begin{pmatrix}

c_1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\ n_{21} & c_2 &0 & \cdots& 0 \\ n_{31} & n_{32} & c_3 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ n_{p1} & n_{p2} & n_{p3} &\cdots & c_p \end{pmatrix}$$

जहाँ $$c_i^2 \sim \chi^2_{n-i+1}$$ और $z$ स्वतंत्र रूप से यह विशार्ट वितरण से यादृच्छिक नमूने प्राप्त करने के लिए एक उपयोगी तरीका प्रदान करता है।

आव्यूह तत्वों का सीमांत वितरण
माना कि $p × 1$ एक $V$ पियर्सन उत्पाद-आघूर्ण सहसंबंध गुणांक $z^{T} = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0)$ और $V$ इसके निचले चॉल्स्की कारक द्वारा विशेषता है:


 * $$\mathbf{V} = \begin{pmatrix}

\sigma_1^2 & \rho \sigma_1 \sigma_2 \\ \rho \sigma_1 \sigma_2 & \sigma_2^2 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{L} = \begin{pmatrix} \sigma_1 & 0 \\ \rho \sigma_2 & \sqrt{1-\rho^2} \sigma_2 \end{pmatrix}$$ उपरोक्त बार्टलेट अपघटन के माध्यम से गुणा करने पर, हम पाते हैं कि $V$ विशार्ट वितरण से एक यादृच्छिक नमूना है


 * $$\mathbf{X} = \begin{pmatrix}

\sigma_1^2 c_1^2 & \sigma_1 \sigma_2 \left (\rho c_1^2 + \sqrt{1-\rho^2} c_1 n_{21} \right ) \\ \sigma_1 \sigma_2 \left (\rho c_1^2 + \sqrt{1-\rho^2} c_1 n_{21} \right ) & \sigma_2^2 \left(\left (1-\rho^2 \right ) c_2^2 + \left (\sqrt{1-\rho^2} n_{21} + \rho c_1 \right )^2 \right) \end{pmatrix}$$ विकर्ण तत्व, सबसे स्पष्ट रूप से पहले तत्व में, स्वतंत्रता की $n$ डिग्री के साथ $X$ वितरण का पालन करते हैं ($L$ द्वारा स्केल किया गया) जैसा कि अपेक्षित था। ऑफ-विकर्ण तत्व कम परिचित है लेकिन इसे सामान्य भिन्नता-माध्य मिश्रण के रूप में पहचाना जा सकता है जहां मिश्रण घनत्व एक $V$ वितरण है। ऑफ-विकर्ण तत्व के लिए संबंधित सीमांत संभाव्यता घनत्व इसलिए भिन्नता-गामा वितरण है


 * $$f(x_{12}) = \frac{\left | x_{12} \right |^{\frac{n-1}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right) \sqrt{2^{n-1} \pi \left (1-\rho^2 \right ) \left (\sigma_1 \sigma_2 \right )^{n+1}}} \cdot K_{\frac{n-1}{2}} \left(\frac{\left |x_{12} \right |}{\sigma_1 \sigma_2 \left (1-\rho^2 \right )}\right) \exp{\left(\frac{\rho x_{12}}{\sigma_1 \sigma_2 (1-\rho^2)}\right)}$$

जहां $n_{ij} ~ N(0, 1)$ दूसरी तरह का संशोधित बेसेल कार्य है। उच्च आयामों के लिए समान परिणाम मिल सकते हैं, लेकिन ऑफ-डायगोनल सहसंबंधों की अन्योन्याश्रितता तेजी से जटिल हो जाती है। गैर-केंद्रीय मामले में भी क्षण-उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन को लिखना संभव है (अनिवार्य रूप से क्रेग की nवीं शक्ति (1936) समीकरण 10) हालांकि संभाव्यता घनत्व बेसेल कार्यों का एक अनंत योग बन जाता है।

आकृति पैरामीटर की सीमा
यह दिखाया जा सकता है कि विशार्ट वितरण को परिभाषित किया जा सकता है यदि और केवल अगर आकार पैरामीटर $V$ सेट से संबंधित है


 * $$\Lambda_p:=\{0,\ldots,p-1\}\cup \left(p-1,\infty\right).$$

इस सेट का नाम गिंडिकिन के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने सजातीय शंकु पर गामा वितरण के संदर्भ में 1970 के दशक में इसे पेश किया था। हालाँकि, Gindikin पहनावा के असतत स्पेक्ट्रम में नए मापदंडों के लिए, अर्थात्,


 * $$\Lambda_p^*:=\{0, \ldots, p-1\},$$

संबंधित विशार्ट वितरण में कोई लेबेस्ग घनत्व नहीं है।

अन्य वितरणों से संबंध

 * विशार्ट वितरण व्युत्क्रम-विशार्ट वितरण से संबंधित है, जिसे $$W_p^{-1}$$ द्वारा निरूपित किया जाता है, इस प्रकार है: यदि $2 × 2$ और यदि हम चर $−1 < ρ < 1$ का परिवर्तन करते हैं, तो $$\mathbf{C}\sim W_p^{-1}(\mathbf{V}^{-1},n)$$ इस संबंध को इस बात पर ध्यान देकर प्राप्त किया जा सकता है कि चरों के इस परिवर्तन के जैकोबियन निर्धारक का निरपेक्ष मान $L$ है, उदाहरण के लिए समीकरण (15.15) में देखें।
 * बायेसियन आँकड़ों में, विशार्ट वितरण बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण के सटीक पैरामीटर से पहले एक संयुग्म है, जब औसत पैरामीटर ज्ञात होता है।
 * एक सामान्यीकरण बहुभिन्नरूपी गामा वितरण है।
 * एक अलग प्रकार का सामान्यीकरण सामान्य-विशार्ट वितरण है, अनिवार्य रूप से विशार्ट वितरण के साथ एक बहुचर सामान्य वितरण का उत्पाद है।

यह भी देखें

 * ची-वर्ग वितरण
 * समिश्र विशार्ट वितरण
 * F-वितरण
 * गामा वितरण
 * होटलिंग का टी-वर्ग वितरण
 * व्युत्क्रम-विशार्ट वितरण
 * बहुचर गामा वितरण
 * छात्र का टी-वितरण
 * विल्क्स का लैम्ब्डा वितरण

बाहरी संबंध

 * A C++ library for random matrix generator