यूक्लिडियन ज्यामिति



यूक्लिडियन ज्यामिति  एक गणितीय प्रणाली है जिसका श्रेय प्राचीन यूनानी गणित यूक्लिड को जाता है, जिसका वर्णन उन्होंने ज्यामिति पर अपनी पाठ्यपुस्तक में किया है: यूक्लिड के तत्व। यूक्लिड के दृष्टिकोण में सहज रूप से आकर्षक  स्वयंसिद्ध ों (अभिधारणाओं) के एक छोटे से सेट को ग्रहण करना और इनमें से कई अन्य  प्रस्ताव ों (प्रमेय) को शामिल करना शामिल है। हालांकि यूक्लिड के कई परिणाम पहले बताए जा चुके थे, यूक्लिड ने सबसे पहले इन प्रस्तावों को एक तर्क में व्यवस्थित किया|तार्किक प्रणाली जिसमें प्रत्येक परिणाम स्वयंसिद्ध और पहले सिद्ध प्रमेयों से  गणितीय प्रमाण  है। तत्वों की शुरुआत 'प्लेन ज्योमेट्री' से होती है, अभी भी माध्यमिक विद्यालय (हाई स्कूल) में पहली  स्वयंसिद्ध प्रणाली  और गणितीय प्रमाणों के पहले उदाहरण के रूप में पढ़ाया जाता है। यह तीन आयामों की ठोस ज्यामिति पर जाता है। अधिकांश तत्व उन परिणामों को बताते हैं जिन्हें अब  बीजगणित  और  संख्या सिद्धांत  कहा जाता है, जिन्हें ज्यामितीय भाषा में समझाया गया है।

दो हजार से अधिक वर्षों के लिए, विशेषण यूक्लिडियन अनावश्यक था क्योंकि किसी अन्य प्रकार की ज्यामिति की कल्पना नहीं की गई थी। यूक्लिड के स्वयंसिद्ध इतने सहज रूप से स्पष्ट थे ( समानांतर अभिधारणा के संभावित अपवाद के साथ) कि उनसे सिद्ध कोई भी प्रमेय एक निरपेक्ष, अक्सर आध्यात्मिक, अर्थ में सत्य माना जाता था। आज, हालांकि, कई अन्य स्व-संगत  गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति  | गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति ज्ञात हैं, जो पहली बार 19वीं शताब्दी की शुरुआत में खोजी गई थीं।  अल्बर्ट आइंस्टीन  के  सामान्य सापेक्षता  के सिद्धांत का एक निहितार्थ यह है कि भौतिक स्थान स्वयं यूक्लिडियन नहीं है, और त्रि-आयामी अंतरिक्ष केवल छोटी दूरी ( गुरुत्वाकर्षण  की ताकत के सापेक्ष) पर इसके लिए एक अच्छा सन्निकटन है। यूक्लिडियन ज्यामिति सिंथेटिक ज्यामिति  का एक उदाहरण है, जिसमें यह उन वस्तुओं के बारे में प्रस्तावों के लिए बिंदुओं और रेखाओं जैसे ज्यामितीय वस्तुओं के मूल गुणों का वर्णन करने वाले स्वयंसिद्धों से तार्किक रूप से आगे बढ़ता है। यह  विश्लेषणात्मक ज्यामिति  के विपरीत है, जिसे लगभग 2,000 साल बाद रेने डेसकार्टेस द्वारा पेश किया गया था, जो बीजगणितीय सूत्रों के रूप में ज्यामितीय गुणों को व्यक्त करने के लिए निर्देशांक का उपयोग करता है।

तत्व
तत्व मुख्य रूप से ज्यामिति के पहले के ज्ञान का एक व्यवस्थितकरण है। पहले के उपचारों पर इसके सुधार को तेजी से पहचाना गया, जिसके परिणामस्वरूप पहले वाले उपचारों को संरक्षित करने में कोई दिलचस्पी नहीं थी, और वे अब लगभग सभी खो चुके हैं।

तत्वों में 13 पुस्तकें हैं:

पुस्तकें I-IV और VI समतल ज्यामिति पर चर्चा करती हैं। समतल आकृतियों के बारे में कई परिणाम सिद्ध होते हैं, उदाहरण के लिए, किसी भी त्रिभुज में, किसी भी तरह से एक साथ लिए गए दो कोण दो समकोण से कम होते हैं। (पुस्तक I प्रस्ताव 17) और पायथागॉरियन प्रमेय समकोण त्रिभुजों में समकोण को अंतरित करने वाली भुजा का वर्ग समकोण वाले पक्षों के वर्गों के बराबर होता है। (पुस्तक I, प्रस्ताव 47)

पुस्तकें V और VII-X संख्या सिद्धांत से संबंधित हैं, संख्याओं को ज्यामितीय रूप से रेखा खंडों या सतह क्षेत्रों के क्षेत्रों की लंबाई के रूप में माना जाता है। अभाज्य संख्याएँ और परिमेय संख्या एँ और  अपरिमेय संख्या एँ जैसी धारणाएँ पेश की जाती हैं। यह सिद्ध हो गया है कि अपरिमित रूप से अनेक अभाज्य संख्याएँ हैं।

पुस्तकें XI-XIII ठोस ज्यामिति से संबंधित हैं। एक विशिष्ट परिणाम शंकु के आयतन और समान ऊँचाई और आधार वाले बेलन के बीच 1:3 का अनुपात होता है। प्लेटोनिक ठोस  का निर्माण किया जाता है।

स्वयंसिद्ध
यूक्लिडियन ज्यामिति एक स्वयंसिद्ध प्रणाली है, जिसमें सभी प्रमेय (सच्चे कथन) कम संख्या में सरल स्वयंसिद्धों से प्राप्त होते हैं। गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के आगमन तक, इन स्वयंसिद्धों को भौतिक दुनिया में स्पष्ट रूप से सच माना जाता था, ताकि सभी प्रमेय समान रूप से सत्य हों। हालांकि, यूक्लिड की मान्यताओं से लेकर निष्कर्ष तक के तर्क उनकी भौतिक वास्तविकता से स्वतंत्र रूप से मान्य हैं। तत्वों की पहली पुस्तक की शुरुआत के करीब, यूक्लिड विमान ज्यामिति के लिए पांच अभिगृहीत (स्वयंसिद्ध) देता है, जिसे निर्माण के संदर्भ में कहा गया है (जैसा कि थॉमस हीथ द्वारा अनुवादित किया गया है):
 * निम्नलिखित को अभिधारणा दें:


 * 1) किसी भी  बिंदु (ज्यामिति)  से किसी भी बिंदु तक एक  सीधी रेखा  खींचना।
 * 2) एक सीधी रेखा में लगातार एक  रेखा खंड  का निर्माण (विस्तार) करना।
 * 3) किसी भी केंद्र और दूरी (त्रिज्या) वाले वृत्त का वर्णन करना।
 * 4) कि सभी समकोण  एक दूसरे के बराबर हैं।
 * 5) [समानांतर अभिधारणा]: कि, यदि दो सीधी रेखाओं पर गिरने वाली एक सीधी रेखा एक ही तरफ के आंतरिक कोणों को दो समकोण से कम बनाती है, तो दो सीधी रेखाएँ, यदि अनिश्चित काल तक उत्पन्न होती हैं, तो उस तरफ मिलती हैं जिस पर कोण होते हैं दो समकोण से कम।

यद्यपि यूक्लिड स्पष्ट रूप से केवल निर्मित वस्तुओं के अस्तित्व पर जोर देता है, अपने तर्क में वह यह भी मानता है कि वे अद्वितीय हैं।

तत्वों में निम्नलिखित पाँच सामान्य धारणाएँ भी शामिल हैं:


 * 1) चीजें जो एक ही चीज के बराबर होती हैं वे भी एक दूसरे के बराबर होती हैं ( यूक्लिडियन संबंध  की सकर्मक संपत्ति)।
 * 2) यदि बराबर में बराबर जोड़ दिया जाए, तो पूर्ण बराबर होते हैं (समानता का योग गुण)।
 * 3) यदि बराबर में से बराबर घटाया जाए, तो अंतर बराबर (समानता का घटाव गुण) होता है।
 * 4) एक दूसरे के साथ मेल खाने वाली चीजें एक दूसरे के बराबर होती हैं (रिफ्लेक्सिव प्रॉपर्टी)।
 * 5) पूरा भाग से बड़ा है।

आधुनिक विद्वान इस बात से सहमत हैं कि यूक्लिड की अभिधारणाएँ पूर्ण तार्किक आधार प्रदान नहीं करती हैं जो यूक्लिड को अपनी प्रस्तुति के लिए आवश्यक थी। ज्यामिति की आधुनिक नींव स्वयंसिद्धों के अधिक व्यापक और पूर्ण सेट का उपयोग करती है।

समानांतर अभिधारणा
पूर्वजों के लिए, समानांतर अभिधारणा दूसरों की तुलना में कम स्पष्ट लगती थी। वे बिल्कुल निश्चित प्रस्तावों की एक प्रणाली बनाने की इच्छा रखते थे, और उनके लिए, ऐसा लगता था जैसे समानांतर रेखा सरल कथनों से आवश्यक प्रमाण प्रदान करती है। अब यह ज्ञात है कि ऐसा प्रमाण असंभव है क्योंकि कोई भी ज्यामिति की सुसंगत प्रणाली (अन्य स्वयंसिद्धों का पालन करते हुए) का निर्माण कर सकता है जिसमें समानांतर अभिधारणा सत्य है, और अन्य जिसमें यह गलत है। ऐसा लगता है कि यूक्लिड ने इसे दूसरों से गुणात्मक रूप से अलग माना है, जैसा कि तत्वों के संगठन द्वारा प्रमाणित किया गया है: उनके पहले 28 प्रस्ताव वे हैं जिन्हें इसके बिना सिद्ध किया जा सकता है।

कई वैकल्पिक अभिगृहीत तैयार किए जा सकते हैं जो समानांतर अभिधारणा (अन्य स्वयंसिद्धों के संदर्भ में) के तार्किक समकक्ष हैं। उदाहरण के लिए, Playfair का स्वयंसिद्ध कहता है:


 * एक समतल (ज्यामिति) में, एक बिंदु से होकर जो दी गई सीधी रेखा पर नहीं है, अधिक से अधिक एक ऐसी रेखा खींची जा सकती है जो दी गई रेखा से कभी नहीं मिलती।

अधिक से अधिक खंड वह है जिसकी आवश्यकता है क्योंकि शेष स्वयंसिद्धों से यह सिद्ध किया जा सकता है कि कम से कम एक समानांतर रेखा मौजूद है।



सबूत के तरीके
यूक्लिडियन ज्यामिति रचनात्मक प्रमाण  है। 1, 2, 3, और 5 कुछ ज्यामितीय आकृतियों के अस्तित्व और विशिष्टता पर जोर देते हैं, और ये दावे एक रचनात्मक प्रकृति के हैं: यानी, हमें न केवल बताया जाता है कि कुछ चीजें मौजूद हैं, बल्कि उन्हें बनाने के तरीके भी दिए गए हैं एक  कम्पास और सीधा  से ज्यादा नहीं। इस अर्थ में, यूक्लिडियन ज्यामिति कई आधुनिक स्वयंसिद्ध प्रणालियों की तुलना में अधिक ठोस है, जैसे कि सेट सिद्धांत, जो अक्सर वस्तुओं के अस्तित्व पर यह कहे बिना कि उन्हें कैसे बनाया जाए, या यहां तक ​​​​कि उन वस्तुओं के अस्तित्व पर जोर देते हैं जिन्हें सिद्धांत के भीतर निर्मित नहीं किया जा सकता है।

यूक्लिड ने अक्सर विरोधाभास द्वारा सबूत  का इस्तेमाल किया। यूक्लिडियन ज्यामिति भी सुपरपोजिशन की विधि की अनुमति देती है, जिसमें एक आकृति को अंतरिक्ष में दूसरे बिंदु पर स्थानांतरित किया जाता है। उदाहरण के लिए, प्रस्ताव I.4, त्रिभुजों की भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता, दो त्रिभुजों में से एक को इस प्रकार घुमाकर सिद्ध किया जाता है कि इसकी एक भुजा दूसरे त्रिभुज की समान भुजा के साथ मेल खाती है, और फिर यह साबित करती है कि अन्य भुजाएँ भी संपाती हैं. कुछ आधुनिक उपचारों में एक छठी अभिधारणा, त्रिभुज की कठोरता को जोड़ा जाता है, जिसे अध्यारोपण के विकल्प के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है। रेफरी> कॉक्सेटर, पी। 5.

अंकों और अंकों का नामकरण
अंक आमतौर पर वर्णमाला के बड़े अक्षरों का उपयोग करके नामित किए जाते हैं। अन्य आंकड़े, जैसे कि रेखाएं, त्रिकोण, या मंडल, को प्रासंगिक आंकड़े से स्पष्ट रूप से चुनने के लिए पर्याप्त संख्या में बिंदुओं को सूचीबद्ध करके नामित किया गया है, उदाहरण के लिए, त्रिभुज एबीसी आमतौर पर बिंदु ए, बी और सी पर शिखर के साथ एक त्रिकोण होगा।.

पूरक और पूरक कोण
वे कोण जिनका योग समकोण होता है, पूरक कोण कहलाते हैं। पूरक कोण तब बनते हैं जब एक किरण एक ही शीर्ष को साझा करती है और उस दिशा में इंगित की जाती है जो समकोण बनाने वाली दो मूल किरणों के बीच होती है। दो मूल किरणों के बीच किरणों की संख्या अनंत है।

जिन कोणों का योग एक सरल कोण होता है वे पूरक कोण होते हैं। पूरक कोण तब बनते हैं जब एक किरण एक ही शीर्ष को साझा करती है और एक दिशा में इंगित की जाती है जो दो मूल किरणों के बीच होती है जो सीधा कोण (180 डिग्री कोण) बनाती है। दो मूल किरणों के बीच किरणों की संख्या अनंत है।

यूक्लिड के संकेतन के आधुनिक संस्करण
आधुनिक शब्दावली में, कोणों को आमतौर पर डिग्री (कोण)  या  कांति  में मापा जाता है।

आधुनिक स्कूल की पाठ्यपुस्तकें अक्सर अलग-अलग आकृतियों को परिभाषित करती हैं जिन्हें रेखा (ज्यामिति)  s (अनंत), रेखा (गणित) # रे (अर्ध-अनंत), और रेखा खंड (परिमित लंबाई का) कहा जाता है। यूक्लिड, एक किरण को एक ऐसी वस्तु के रूप में चर्चा करने के बजाय जो एक दिशा में अनंत तक फैली हुई है, आमतौर पर ऐसे स्थानों का उपयोग करती है जैसे कि रेखा को पर्याप्त लंबाई तक बढ़ाया जाता है, हालांकि वह कभी-कभी अनंत रेखाओं को संदर्भित करता है। यूक्लिड में एक रेखा या तो सीधी या घुमावदार हो सकती है, और जब आवश्यक हो तो उसने अधिक विशिष्ट शब्द सीधी रेखा का उपयोग किया।

पोंस एसिनोरम
पोन्स एसिनोरम ( गधों का पुल ) बताता है कि समद्विबाहु त्रिभुज में आधार पर कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं, और, यदि समान सीधी रेखाएँ आगे उत्पन्न होती हैं, तो आधार के नीचे के कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं। इसका नाम पाठक की बुद्धि के तत्वों में पहली वास्तविक परीक्षा के रूप में और उसके बाद आने वाले कठिन प्रस्तावों के पुल के रूप में इसकी लगातार भूमिका के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है। इसका नाम इसलिए भी रखा जा सकता है क्योंकि ज्यामितीय आकृति एक खड़ी पुल से मिलती-जुलती है जिसे केवल एक पक्का पैर वाला गधा ही पार कर सकता है।

त्रिभुजों की सर्वांगसमता
त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं यदि उनकी तीनों भुजाएँ समान (SSS), दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण बराबर (SAS), या दो कोण और एक भुजा समान (ASA) (पुस्तक I, प्रस्ताव 4, 8, और 26) हो। तीन समान कोणों (AAA) वाले त्रिभुज समरूप होते हैं, लेकिन आवश्यक नहीं कि सर्वांगसम हों। साथ ही, दो समान भुजाओं वाले और एक आसन्न कोण वाले त्रिभुज आवश्यक रूप से समान या सर्वांगसम नहीं होते हैं।

त्रिभुज कोण योग
त्रिभुज के कोणों का योग एक सरल कोण (180 डिग्री) के बराबर होता है। इसके कारण एक समबाहु त्रिभुज में 60 डिग्री के तीन आंतरिक कोण होते हैं। इसके अलावा, यह प्रत्येक त्रिभुज में कम से कम दो न्यून कोण और एक अधिक कोण  या समकोण होने का कारण बनता है।

पाइथागोरस प्रमेय
प्रसिद्ध पायथागॉरियन प्रमेय (पुस्तक I, प्रस्ताव 47) में कहा गया है कि किसी भी समकोण त्रिभुज में, वर्ग का क्षेत्रफल जिसकी भुजा कर्ण (समकोण के विपरीत भुजा) होती है, उन वर्गों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होती है जिनकी भुजाएँ होती हैं दो पैर (दो भुजाएँ जो समकोण पर मिलती हैं)।

थेल्स प्रमेय
थेल्स के प्रमेय, जिसका नाम थेल्स ऑफ मिलेटस के नाम पर रखा गया है, में कहा गया है कि यदि ए, बी और सी एक सर्कल पर बिंदु हैं जहां रेखा एसी सर्कल का व्यास है, तो कोण एबीसी एक समकोण है। कैंटर का मानना ​​था कि थेल्स ने यूक्लिड बुक I, प्रस्ताव 32 के माध्यम से यूक्लिड बुक III, प्रस्ताव 31 के तरीके से अपने प्रमेय को साबित किया।

क्षेत्रफल और आयतन का मापन
आधुनिक शब्दावली में, एक समतल आकृति का क्षेत्रफल उसके किसी भी रैखिक आयाम के वर्ग के समानुपाती होता है, $$A \propto L^2$$, और घन में ठोस का आयतन, $$V \propto L^3$$. यूक्लिड ने इन परिणामों को विभिन्न विशेष मामलों में सिद्ध किया जैसे कि एक वृत्त का क्षेत्रफल और एक समानांतर चतुर्भुज ठोस का आयतन। यूक्लिड ने आनुपातिकता के प्रासंगिक स्थिरांक के कुछ, लेकिन सभी को निर्धारित नहीं किया। उदाहरण के लिए, यह उनके उत्तराधिकारी आर्किमिडीज थे जिन्होंने यह साबित किया कि एक गोले में परिक्रमण बेलन का आयतन 2/3 होता है।

माप और अंकगणित की प्रणाली
यूक्लिडियन ज्यामिति में दो मूलभूत प्रकार के माप होते हैं: कोण और यूक्लिडियन दूरी । कोण का पैमाना निरपेक्ष है, और यूक्लिड अपनी मूल इकाई के रूप में समकोण का उपयोग करता है, इसलिए, उदाहरण के लिए, 45-डिग्री (कोण) कोण को समकोण के आधे के रूप में संदर्भित किया जाएगा। दूरी का पैमाना सापेक्ष है; एक इकाई के रूप में एक निश्चित गैर-शून्य लंबाई के साथ एक रेखा खंड को मनमाने ढंग से चुनता है, और अन्य दूरियां इसके संबंध में व्यक्त की जाती हैं। दूरियों के जोड़ को एक निर्माण द्वारा दर्शाया जाता है जिसमें एक लाइन सेगमेंट को दूसरे लाइन सेगमेंट के अंत में उसकी लंबाई बढ़ाने के लिए कॉपी किया जाता है, और इसी तरह घटाव के लिए।

क्षेत्रफल (ज्यामिति) और आयत न का मापन दूरियों से किया जाता है। उदाहरण के लिए, 3 की चौड़ाई और 4 की लंबाई वाले एक आयत में एक क्षेत्र होता है जो उत्पाद का प्रतिनिधित्व करता है, 12. क्योंकि गुणन की यह ज्यामितीय व्याख्या तीन आयामों तक सीमित थी, चार या अधिक के उत्पाद की व्याख्या करने का कोई सीधा तरीका नहीं था। संख्या, और यूक्लिड ने ऐसे उत्पादों से परहेज किया, हालांकि वे निहित हैं, उदाहरण के लिए पुस्तक IX, प्रस्ताव 20 के प्रमाण में।

यूक्लिड रेखाओं की एक जोड़ी, या तलीय या ठोस आकृतियों की एक जोड़ी को बराबर (ἴσος) के रूप में संदर्भित करता है यदि उनकी लंबाई, क्षेत्रफल या आयतन क्रमशः समान हैं, और इसी तरह कोणों के लिए। मजबूत शब्द सर्वांगसमता (ज्यामिति)  इस विचार को संदर्भित करता है कि एक संपूर्ण आकृति एक ही आकार और आकृति के समान होती है। वैकल्पिक रूप से, दो आंकड़े सर्वांगसम होते हैं यदि एक को दूसरे के ऊपर ले जाया जा सकता है ताकि यह ठीक से मेल खाता हो। (इसे पलटने की अनुमति है।) इस प्रकार, उदाहरण के लिए, एक 2x6 आयत और एक 3x4 आयत समान हैं लेकिन सर्वांगसम नहीं हैं, और अक्षर R इसकी दर्पण छवि के सर्वांगसम है। अलग-अलग आकारों को छोड़कर जो आंकड़े सर्वांगसम होंगे, उन्हें समानता (ज्यामिति) कहा जाता है। समान आकृतियों के युग्म में  संगत भुजाएँ और संगत कोण  सर्वांगसम होते हैं और संगत भुजाएँ एक-दूसरे के समानुपाती होती हैं।

आवेदन
गणित में यूक्लिडियन ज्यामिति की मौलिक स्थिति के कारण, यहां अनुप्रयोगों के प्रतिनिधि नमूने से अधिक देना अव्यावहारिक है।

आर्किमिडीज और अपोलोनियस
आर्किमिडीज (सी। 287 ईसा पूर्व - सी। 212 ईसा पूर्व), एक रंगीन आकृति जिसके बारे में कई ऐतिहासिक उपाख्यानों को दर्ज किया गया है, को यूक्लिड के साथ प्राचीन गणितज्ञों में से एक के रूप में याद किया जाता है। यद्यपि उनके काम की नींव यूक्लिड द्वारा रखी गई थी, उनका काम, यूक्लिड के विपरीत, पूरी तरह से मौलिक माना जाता है। उन्होंने दो और तीन आयामों में विभिन्न आकृतियों के आयतन और क्षेत्रफल के समीकरणों को सिद्ध किया और परिमित संख्याओं के आर्किमिडीयन गुण को प्रतिपादित किया।

पेर्गा का अपोलोनियस (सी। 262 ईसा पूर्व - सी। 190 ईसा पूर्व) मुख्य रूप से शंकु वर्गों की जांच के लिए जाना जाता है।



17वीं सदी: डेसकार्टेस
रेने डेसकार्टेस (1596-1650) ने विश्लेषणात्मक ज्यामिति विकसित की, ज्यामिति को औपचारिक रूप देने के लिए एक वैकल्पिक विधि जो ज्यामिति को बीजगणित में बदलने पर केंद्रित थी। इस दृष्टिकोण में, एक समतल पर एक बिंदु को उसके कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली (x, y) निर्देशांक द्वारा दर्शाया जाता है, एक रेखा को उसके समीकरण द्वारा दर्शाया जाता है, और इसी तरह।

यूक्लिड के मूल दृष्टिकोण में, पाइथागोरस प्रमेय यूक्लिड के अभिगृहीतों का अनुसरण करता है। कार्टेशियन दृष्टिकोण में, स्वयंसिद्ध बीजगणित के स्वयंसिद्ध हैं, और पाइथागोरस प्रमेय को व्यक्त करने वाला समीकरण तब यूक्लिड के स्वयंसिद्ध शब्दों में से एक की परिभाषा है, जिसे अब प्रमेय माना जाता है।

समीकरण
 * $$|PQ|=\sqrt{(p_x-q_x)^2+(p_y-q_y)^2} \, $$

दो बिंदुओं के बीच की दूरी को परिभाषित करना P = (p .)x, पीy) और क्यू = (क्यूx, क्यूy) को तब यूक्लिडियन मीट्रिक स्थान  के रूप में जाना जाता है, और अन्य मीट्रिक गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति|गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति को परिभाषित करते हैं।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति के संदर्भ में, शास्त्रीय ज्यामिति के कंपास और सीधा निर्माण पर प्रतिबंध का अर्थ है पहले और दूसरे क्रम के समीकरणों पर प्रतिबंध, उदाहरण के लिए, y = 2x + 1 (एक पंक्ति), या x2 + और2 = 7 (एक वृत्त)।

इसके अलावा 17वीं शताब्दी में, गिरार्ड Desargues, परिप्रेक्ष्य के सिद्धांत (ग्राफिकल) से प्रेरित होकर, अनंत पर आदर्श बिंदुओं, रेखाओं और विमानों की अवधारणा की शुरुआत की। परिणाम को एक प्रकार की सामान्यीकृत ज्यामिति, प्रक्षेपी ज्यामिति के रूप में माना जा सकता है, लेकिन इसका उपयोग साधारण यूक्लिडियन ज्यामिति में सबूत तैयार करने के लिए भी किया जा सकता है जिसमें विशेष मामलों की संख्या कम हो जाती है।



18वीं सदी
18 वीं शताब्दी के जियोमीटर ने यूक्लिडियन प्रणाली की सीमाओं को परिभाषित करने के लिए संघर्ष किया। बहुतों ने पहले चार में से पाँचवीं अभिधारणा को सिद्ध करने का व्यर्थ प्रयास किया। 1763 तक, कम से कम 28 विभिन्न प्रमाण प्रकाशित हो चुके थे, लेकिन सभी गलत पाए गए। इस अवधि तक अग्रणी, जियोमीटर ने यह निर्धारित करने का भी प्रयास किया कि यूक्लिडियन ज्यामिति में कौन से निर्माण किए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक कम्पास और स्ट्रेटेज के साथ एक कोण को ट्राइसेक्ट करने की समस्या वह है जो स्वाभाविक रूप से सिद्धांत के भीतर होती है, क्योंकि स्वयंसिद्ध रचनात्मक कार्यों को संदर्भित करते हैं जिन्हें उन उपकरणों के साथ किया जा सकता है। हालाँकि, इस समस्या का समाधान खोजने में सदियों के प्रयास विफल रहे, जब तक कि पियरे वांट्ज़ेल  ने 1837 में एक प्रमाण प्रकाशित नहीं किया कि ऐसा निर्माण असंभव था। अन्य निर्माण जो असंभव साबित हुए, उनमें घन को दोगुना करना और वृत्त का वर्ग करना शामिल है। घन को दोगुना करने के मामले में, निर्माण की असंभवता इस तथ्य से उत्पन्न होती है कि कंपास और सीधी विधि में समीकरण शामिल होते हैं जिनका क्रम दो की अभिन्न शक्ति है, घन को दोगुना करते समय तीसरे क्रम के समीकरण के समाधान की आवश्यकता होती है।

लियोनहार्ड यूलर ने यूक्लिडियन ज्यामिति के एक सामान्यीकरण पर चर्चा की, जिसे एफ़िन ज्यामिति कहा जाता है, जो तीन और चार को कमजोर करते हुए पांचवीं अभिधारणा को अपरिवर्तित रखता है, जिससे कोण (जहां सही त्रिकोण अर्थहीन हो जाते हैं) और सामान्य रूप से रेखा खंडों की लंबाई की समानता को समाप्त कर देता है। (जहां से वृत्त अर्थहीन हो जाते हैं) समानांतरता की धारणा को रेखाओं के बीच एक  तुल्यता संबंध  के रूप में बनाए रखते हुए, और समानांतर रेखा खंडों की लंबाई की समानता (इसलिए रेखा खंडों का मध्य बिंदु बना रहता है)।

19वीं सदी
19वीं शताब्दी की शुरुआत में, लज़ारे कार्नो  और अगस्त फर्डिनेंड मोबियस | मोबियस ने परिणामों को सरल और एकीकृत करने के तरीके के रूप में व्यवस्थित रूप से हस्ताक्षरित कोणों और रेखा खंडों के उपयोग को विकसित किया।

उच्च आयाम
1840 के दशक में विलियम रोवन हैमिल्टन ने चतुर्भुज विकसित किए, और जॉन टी। ग्रेव्स और आर्थर केली  ने  ऑक्टोनियन  विकसित किए। ये  सामान्य बीजगणित  हैं जो सम्मिश्र संख्याओं का विस्तार करते हैं। बाद में यह समझा गया कि चतुर्भुज भी चार तर्कसंगत कार्टेशियन निर्देशांक के साथ एक यूक्लिडियन ज्यामितीय प्रणाली हैं। केली ने  4-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में घूर्णन  का अध्ययन करने के लिए चतुर्भुज का उपयोग किया।

मध्य शताब्दी में लुडविग श्लाफली ने यूक्लिडियन अंतरिक्ष की सामान्य अवधारणा विकसित की, यूक्लिडियन ज्यामिति को लुडविग श्लाफली # उच्च आयामों तक विस्तारित किया। उन्होंने पॉलीस्कीम्स को परिभाषित किया, जिसे बाद में पॉलीटोप ्स कहा जाता है, जो कि चार-आयामी अंतरिक्ष # आयामी सादृश्य |  बहुभुज  और  बहुतल  के उच्च-आयामी एनालॉग हैं। उन्होंने अपने सिद्धांत को विकसित किया और सभी नियमित पॉलीटोप्स की खोज की, यानी $$n$$नियमित बहुभुज और  प्लेटोनिक ठोस  के -आयामी अनुरूप। उन्होंने पाया कि छह नियमित 4-पॉलीटॉप हैं, और तीन सभी उच्च आयामों में हैं।

Schläfli ने सापेक्ष अस्पष्टता में यह काम किया और इसे केवल मरणोपरांत 1901 में पूर्ण रूप से प्रकाशित किया गया था। जब तक इसे फिर से खोजा नहीं गया और H.S.M द्वारा नियमित पॉलीटोप्स (पुस्तक)  तब तक इसका बहुत कम प्रभाव था। कॉक्सेटर।

1878 में विलियम किंगडन क्लिफोर्ड ने पेश किया जिसे अब ज्यामितीय बीजगणित  कहा जाता है,  हरमन ग्रासमैन  के बीजगणित के साथ हैमिल्टन के चतुर्भुज को एकीकृत करता है और इन प्रणालियों की ज्यामितीय प्रकृति को प्रकट करता है, खासकर चार आयामों में। ज्यामितीय बीजगणित के संचालन में उन ज्यामितीय वस्तुओं को प्रतिबिंबित करने, घुमाने, अनुवाद करने और मानचित्रण करने का प्रभाव होता है जिन्हें नए पदों पर मॉडलिंग किया जा रहा है।  3-क्षेत्र  की सतह पर  क्लिफोर्ड टोरस  दो सर्किलों के कार्टेशियन उत्पाद का सबसे सरल और सबसे सममित फ्लैट एम्बेडिंग है (उसी अर्थ में एक सिलेंडर की सतह फ्लैट है)।

गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति
ज्यामिति में सदी का सबसे प्रभावशाली विकास तब हुआ, जब 1830 के आसपास, जेनोस बोल्याई और निकोलाई इवानोविच लोबचेव्स्की  ने गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति पर अलग-अलग काम प्रकाशित किया, जिसमें समानांतर अभिधारणा मान्य नहीं है। चूंकि गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति यूक्लिडियन ज्यामिति के साथ अपेक्षाकृत रूप से संगत है, समानांतर अभिधारणा को अन्य अभिधारणाओं से सिद्ध नहीं किया जा सकता है।

19वीं शताब्दी में, यह भी महसूस किया गया कि यूक्लिड के दस स्वयंसिद्ध और सामान्य विचार तत्वों में बताए गए सभी प्रमेयों को साबित करने के लिए पर्याप्त नहीं हैं। उदाहरण के लिए, यूक्लिड ने परोक्ष रूप से माना कि किसी भी रेखा में कम से कम दो बिंदु होते हैं, लेकिन इस धारणा को अन्य स्वयंसिद्धों से सिद्ध नहीं किया जा सकता है, और इसलिए स्वयं एक स्वयंसिद्ध होना चाहिए। ऊपर की आकृति में दिखाए गए तत्वों में सबसे पहला ज्यामितीय प्रमाण यह है कि कोई भी रेखा खंड त्रिभुज का हिस्सा होता है; यूक्लिड दोनों समापन बिंदुओं के चारों ओर वृत्त खींचकर और उनके प्रतिच्छेदन को तीसरे बिंदु के रूप में लेते हुए सामान्य तरीके से इसकी रचना करता है: शीर्ष। हालांकि, उनके स्वयंसिद्ध, इस बात की गारंटी नहीं देते हैं कि वृत्त वास्तव में प्रतिच्छेद करते हैं, क्योंकि वे निरंतरता की ज्यामितीय संपत्ति पर जोर नहीं देते हैं, जो कि कार्टेशियन शब्दों में वास्तविक संख्या # वास्तविक संख्याओं की पूर्णता संपत्ति के बराबर है। 1882 में मोरित्ज़ पास्च से शुरू होकर, ज्यामिति के लिए कई उन्नत स्वयंसिद्ध प्रणालियों का प्रस्ताव किया गया है, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध हिल्बर्ट के स्वयंसिद्ध हैं, बिरखॉफ के स्वयंसिद्ध, और टार्स्की के स्वयंसिद्ध।

20वीं सदी और सापेक्षता
अल्बर्ट आइंस्टीन | आइंस्टीन के विशेष सापेक्षता  के सिद्धांत में चार-आयामी अंतरिक्ष-समय, मिंकोव्स्की अंतरिक्ष शामिल है, जो गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति | गैर-यूक्लिडियन है। इससे पता चलता है कि गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति, जिन्हें कुछ साल पहले यह दिखाने के लिए पेश किया गया था कि समानांतर अभिधारणा को साबित नहीं किया जा सकता है, भौतिक दुनिया का वर्णन करने के लिए भी उपयोगी हैं।

हालांकि, मिंकोव्स्की अंतरिक्ष का त्रि-आयामी अंतरिक्ष भाग यूक्लिडियन ज्यामिति का स्थान बना हुआ है। सामान्य सापेक्षता के मामले में ऐसा नहीं है, जिसके लिए अंतरिक्ष-समय के अंतरिक्ष भाग की ज्यामिति यूक्लिडियन ज्यामिति नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि त्रिभुज का निर्माण प्रकाश की तीन किरणों से किया जाता है, तो सामान्य तौर पर गुरुत्वाकर्षण के कारण आंतरिक कोण 180 डिग्री तक नहीं जुड़ते हैं। एक अपेक्षाकृत कमजोर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र, जैसे कि पृथ्वी या सूर्य का, एक मीट्रिक द्वारा दर्शाया जाता है जो यूक्लिडियन के लगभग, लेकिन बिल्कुल नहीं है। 20वीं शताब्दी तक, यूक्लिडियन ज्यामिति से प्रकाश की किरणों में इन विचलन का पता लगाने में सक्षम कोई तकनीक नहीं थी, लेकिन आइंस्टीन ने भविष्यवाणी की थी कि ऐसे विचलन मौजूद होंगे। बाद में 1919 में सूर्य ग्रहण के दौरान सूर्य द्वारा तारों का हल्का सा झुकना जैसे अवलोकनों द्वारा उन्हें सत्यापित किया गया था, और इस तरह के विचार अब ग्लोबल पोजिशनिंग सिस्टम  सिस्टम को चलाने वाले सॉफ़्टवेयर का एक अभिन्न अंग हैं।

अंतरिक्ष की संरचना के विवरण के रूप में
यूक्लिड का मानना ​​​​था कि उनके स्वयंसिद्ध भौतिक वास्तविकता के बारे में स्व-स्पष्ट कथन थे। यूक्लिड के प्रमाण उन मान्यताओं पर निर्भर करते हैं जो यूक्लिड के मौलिक स्वयंसिद्धों में स्पष्ट नहीं हैं, विशेष रूप से कि आकृतियों के कुछ संचलन उनके ज्यामितीय गुणों को नहीं बदलते हैं जैसे कि पक्षों की लंबाई और आंतरिक कोण, तथाकथित यूक्लिडियन गति, जिसमें अनुवाद, प्रतिबिंब और आंकड़ों के घुमाव शामिल हैं। अंतरिक्ष के भौतिक विवरण के रूप में लिया गया, अभिधारणा 2 (एक पंक्ति का विस्तार करना) का दावा है कि अंतरिक्ष में छेद या सीमाएँ नहीं हैं; अभिधारणा 4 (समकोण की समानता) कहती है कि अंतरिक्ष समदैशिक  है और सर्वांगसमता (ज्यामिति) बनाए रखते हुए आंकड़ों को किसी भी स्थान पर ले जाया जा सकता है; और 5 (समानांतर अभिधारणा) को अभिगृहीत करें कि अंतरिक्ष समतल है (इसमें कोई  आंतरिक वक्रता  नहीं है)। रेफरी नाम = पेनरोज़>

जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, अल्बर्ट आइंस्टीन का सापेक्षता का सिद्धांत इस दृष्टिकोण को महत्वपूर्ण रूप से संशोधित करता है।

मूल रूप से यूक्लिड द्वारा तैयार किए गए स्वयंसिद्धों का अस्पष्ट चरित्र अंतरिक्ष की संरचना के लिए उनके कुछ अन्य निहितार्थों के बारे में विभिन्न टिप्पणीकारों के लिए असहमत होना संभव बनाता है, जैसे कि यह अनंत है या नहीं (नीचे देखें) और इसकी टोपोलॉजी क्या है। प्रणाली के आधुनिक, अधिक कठोर सुधार ref>उदाहरण के लिए, टार्स्की (1951)। का लक्ष्य आमतौर पर इन मुद्दों को साफ-सुथरा तरीके से अलग करना है। इस अधिक आधुनिक दृष्टिकोण की भावना में यूक्लिड के स्वयंसिद्धों की व्याख्या करते हुए, स्वयंसिद्ध 1-4 अनंत या परिमित स्थान ( अण्डाकार ज्यामिति के रूप में) के अनुरूप हैं, और सभी पांच स्वयंसिद्ध विभिन्न प्रकार के टोपोलॉजी (जैसे, एक विमान, एक सिलेंडर) के अनुरूप हैं।, या द्वि-आयामी यूक्लिडियन ज्यामिति के लिए एक टोरस)।

अनंत वस्तुएं
यूक्लिड को कभी-कभी परिमित रेखाओं (जैसे, अभिधारणा 2) और अनंत रेखाओं (पुस्तक I, प्रस्ताव 12) के बीच स्पष्ट रूप से पहचाना जाता है। हालांकि, उन्होंने आमतौर पर ऐसे भेद नहीं किए, जब तक कि वे आवश्यक न हों। अभिधारणाएं स्पष्ट रूप से अनंत रेखाओं का उल्लेख नहीं करती हैं, हालांकि उदाहरण के लिए कुछ टिप्पणीकार अभिधारणा 3 की व्याख्या करते हैं, किसी भी त्रिज्या के साथ एक वृत्त का अस्तित्व, जिसका अर्थ है कि अंतरिक्ष अनंत है।

अतिसूक्ष्मजीव की धारणा पर पहले  एलीटिक स्कूल  द्वारा व्यापक रूप से चर्चा की गई थी, लेकिन कोई भी उन्हें एक ठोस तार्किक आधार पर रखने में सक्षम नहीं था, जिसमें ज़ेनो के विरोधाभास जैसे विरोधाभास थे जो सार्वभौमिक संतुष्टि के लिए हल नहीं हुए थे। यूक्लिड ने इनफिनिटिमल्स के बजाय थकावट की विधि का इस्तेमाल किया। बाद के प्राचीन टिप्पणीकारों, जैसे कि बंद किया हुआ  (410-485 सीई) ने अनंत के बारे में कई सवालों को सबूत की मांग के मुद्दों के रूप में माना और, उदाहरण के लिए, प्रोक्लस ने एक लाइन की अनंत विभाज्यता को साबित करने का दावा किया, जो कि विरोधाभास के सबूत के आधार पर था जिसमें उन्होंने मामलों पर विचार किया था। इसे बनाने वाले सम और विषम अंकों की संख्या। 20 वीं शताब्दी के मोड़ पर, ओटो स्टोल्ज़,  पॉल डू बोइस-रेमंड ,  ग्यूसेप वेरोनीज़ , और अन्य ने आर्किमिडीज़ संपत्ति पर विवादास्पद काम का निर्माण किया | यूक्लिडियन ज्यामिति के गैर-आर्किमिडियन मॉडल, जिसमें दो बिंदुओं के बीच की दूरी अनंत या असीम हो सकती है,  आइजैक न्यूटन -गॉटफ्राइड लाइबनिज अर्थ में। पचास साल बाद,  अब्राहम रॉबिन्सन  ने वेरोनीज़ के काम के लिए एक कठोर तार्किक आधार प्रदान किया।

अनंत प्रक्रियाएं
एक कारण यह है कि पूर्वजों ने समानांतर अभिधारणा को दूसरों की तुलना में कम निश्चित माना है कि इसे भौतिक रूप से सत्यापित करने के लिए हमें दो पंक्तियों का निरीक्षण करने की आवश्यकता होगी ताकि यह जांचा जा सके कि वे कभी भी बहुत दूर बिंदु पर प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, और यह निरीक्षण संभावित रूप से एक अनंत राशि ले सकता है समय की। प्रेरण द्वारा प्रमाण का आधुनिक सूत्रीकरण 17वीं शताब्दी तक विकसित नहीं हुआ था, लेकिन कुछ बाद के टिप्पणीकारों ने इसे यूक्लिड के कुछ प्रमाणों में निहित माना है, उदाहरण के लिए, अपराधों की अनंतता का प्रमाण। अनंत श्रृंखला से जुड़े कथित विरोधाभास, जैसे कि ज़ेनो का विरोधाभास, यूक्लिड से पहले का था। यूक्लिड ने इस तरह की चर्चाओं से परहेज किया, उदाहरण के लिए, IX.35 में ज्यामितीय श्रृंखला के आंशिक योग के लिए व्यंजक, शब्दों की संख्या को अनंत होने देने की संभावना पर टिप्पणी किए बिना।

शास्त्रीय तर्क
यूक्लिड ने अक्सर विरोधाभास द्वारा सबूत की विधि का इस्तेमाल किया, और इसलिए यूक्लिडियन ज्यामिति की पारंपरिक प्रस्तुति शास्त्रीय तर्क मानती है, जिसमें प्रत्येक प्रस्ताव या तो सत्य या गलत होता है, यानी, किसी भी प्रस्ताव पी के लिए, प्रस्ताव पी या नहीं पी स्वचालित रूप से सत्य है।

कठोरता के आधुनिक मानक
यूक्लिडियन ज्यामिति को ठोस स्वयंसिद्ध आधार पर रखना सदियों से गणितज्ञों का काम था। 1900 के पेरिस सम्मेलन में ग्यूसेप पीनो  प्रतिनिधिमंडल के  एलेसेंड्रो पडोआ  द्वारा  आदिम धारणा ओं, या अपरिभाषित अवधारणाओं की भूमिका को स्पष्ट रूप से सामने रखा गया था: "...when we begin to formulate the theory, we can imagine that the undefined symbols are completely devoid of meaning and that the unproved propositions are simply conditions imposed upon the undefined symbols.

Then, the system of ideas that we have initially chosen is simply one interpretation of the undefined symbols; but..this interpretation can be ignored by the reader, who is free to replace it in his mind by another interpretation.. that satisfies the conditions...

Logical questions thus become completely independent of empirical or psychological questions...

The system of undefined symbols can then be regarded as the abstraction obtained from the specialized theories that result when...the system of undefined symbols is successively replaced by each of the interpretations..." अर्थात्, गणित एक पदानुक्रमित ढांचे के भीतर संदर्भ-स्वतंत्र ज्ञान है। जैसा कि बर्ट्रेंड रसेल  ने कहा है: "If our hypothesis is about anything, and not about some one or more particular things, then our deductions constitute mathematics. Thus, mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about, nor whether what we are saying is true." इस तरह के मूलभूत दृष्टिकोण नींववाद  और  औपचारिकता (गणित)  के बीच होते हैं।

स्वयंसिद्ध सूत्र
"Geometry is the science of correct reasoning on incorrect figures."
 * यूक्लिड के अभिगृहीत: कैम्ब्रिज के ट्रिनिटी कॉलेज में अपने शोध प्रबंध में, बर्ट्रेंड रसेल ने उस समय तक के दार्शनिकों के दिमाग में यूक्लिड की ज्यामिति की बदलती भूमिका को संक्षेप में प्रस्तुत किया। यह कुछ ज्ञान, प्रयोग से स्वतंत्र, और अनुभववाद के बीच एक संघर्ष था, जिसमें प्रयोगात्मक इनपुट की आवश्यकता थी। यह मुद्दा स्पष्ट हो गया क्योंकि यह पाया गया कि समानांतर अभिधारणा आवश्यक रूप से मान्य नहीं थी और इसकी प्रयोज्यता एक अनुभवजन्य मामला था, यह तय करते हुए कि लागू ज्यामिति यूक्लिडियन थी या गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति | गैर-यूक्लिडियन।
 * हिल्बर्ट के स्वयंसिद्ध: हिल्बर्ट के स्वयंसिद्धों का लक्ष्य स्वतंत्र स्वयंसिद्धों के एक सरल और पूर्ण सेट की पहचान करना था जिससे सबसे महत्वपूर्ण ज्यामितीय प्रमेयों को निकाला जा सके। उत्कृष्ट उद्देश्य यूक्लिडियन ज्यामिति को कठोर बनाना (छिपी हुई धारणाओं से बचना) और समानांतर अभिधारणा के प्रभाव को स्पष्ट करना था।
 * बीरखॉफ के अभिगृहीत: बिरखॉफ ने यूक्लिडियन ज्यामिति के लिए चार अभिधारणाओं का प्रस्ताव रखा, जिनकी पुष्टि पैमाने और चांदा के साथ प्रयोगात्मक रूप से की जा सकती है। यह प्रणाली वास्तविक संख्या ओं के गुणों पर बहुत अधिक निर्भर करती है।   कोण और दूरी की धारणाएँ आदिम अवधारणाएँ बन जाती हैं।
 * टार्स्की के स्वयंसिद्ध: अल्फ्रेड टार्स्किक  (1902-1983) और उनके छात्रों ने प्राथमिक यूक्लिडियन ज्यामिति को ज्यामिति के रूप में परिभाषित किया, जिसे  प्रथम-क्रम तर्क  में व्यक्त किया जा सकता है और इसके तार्किक आधार के लिए सेट सिद्धांत पर निर्भर नहीं करता है, हिल्बर्ट के स्वयंसिद्धों के विपरीत, जिसमें बिंदु सेट शामिल हैं। टार्स्की ने साबित किया कि प्राथमिक यूक्लिडियन ज्यामिति का उनका स्वयंसिद्ध सूत्रीकरण एक निश्चित निर्णायकता (तर्क) में सुसंगत और पूर्ण है: एक एल्गोरिथ्म है, जो प्रत्येक प्रस्ताव के लिए, या तो सही या गलत दिखाया जा सकता है। (यह गोडेल की अपूर्णता प्रमेयों का उल्लंघन नहीं करता है | गोडेल की प्रमेय, क्योंकि यूक्लिडियन ज्यामिति प्रमेय को लागू करने के लिए पर्याप्त मात्रा में  पीनो अंकगणित  का वर्णन नहीं कर सकती है। ) यह  वास्तविक बंद क्षेत्र ों की निर्णायकता के बराबर है, जिनमें से प्राथमिक यूक्लिडियन ज्यामिति एक मॉडल है।

यह भी देखें

 * निरपेक्ष ज्यामिति
 * विश्लेषणात्मक ज्यामिति
 * बीरखोफ के अभिगृहीत
 * कार्तीय समन्वय प्रणाली
 * हिल्बर्ट के अभिगृहीत
 * घटना ज्यामिति
 * इंटरैक्टिव ज्यामिति सॉफ्टवेयर की सूची
 * मीट्रिक स्पेस
 * गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति
 * आदेशित ज्यामिति
 * समानांतर अभिधारणा
 * प्रकार सिद्धांत

शास्त्रीय प्रमेय

 * कोण द्विभाजक प्रमेय
 * तितली प्रमेय
 * सेवा का प्रमेय
 * हीरोन का सूत्र
 * मेनेलॉस प्रमेय
 * नौ-बिंदु वृत्त
 * पाइथागोरस प्रमेय

संदर्भ

 * In 3 vols.: vol. 1 ISBN 0-486-60088-2, vol. 2 ISBN 0-486-60089-0, vol. 3 ISBN 0-486-60090-4. Heath's authoritative translation of Euclid's Elements, plus his extensive historical research and detailed commentary throughout the text.
 * In 3 vols.: vol. 1 ISBN 0-486-60088-2, vol. 2 ISBN 0-486-60089-0, vol. 3 ISBN 0-486-60090-4. Heath's authoritative translation of Euclid's Elements, plus his extensive historical research and detailed commentary throughout the text.
 * In 3 vols.: vol. 1 ISBN 0-486-60088-2, vol. 2 ISBN 0-486-60089-0, vol. 3 ISBN 0-486-60090-4. Heath's authoritative translation of Euclid's Elements, plus his extensive historical research and detailed commentary throughout the text.
 * In 3 vols.: vol. 1 ISBN 0-486-60088-2, vol. 2 ISBN 0-486-60089-0, vol. 3 ISBN 0-486-60090-4. Heath's authoritative translation of Euclid's Elements, plus his extensive historical research and detailed commentary throughout the text.

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बाहरी संबंध

 * Kiran Kedlaya, Geometry Unbound (a treatment using analytic geometry; PDF format, GFDL licensed)
 * Kiran Kedlaya, Geometry Unbound (a treatment using analytic geometry; PDF format, GFDL licensed)
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