मध्यवर्ती मैग्मा

सार बीजगणित में, एक औसत दर्जे का मैग्मा या औसत दर्जे का समूह एक मैग्मा या ग्रुपॉयड है (जो कि एक बाइनरी ऑपरेशन के साथ एक सेट है) जो पहचान को संतुष्ट करता है


 * $$(x \cdot y) \cdot (u \cdot v) = (x \cdot u) \cdot (y \cdot v)$$, या अधिक सरलता से $$xy\cdot uv = xu\cdot yv$$

सभी x, y, u और v के लिए, कन्वेंशन का उपयोग करते हुए कि जक्सटैपिशन एक ही ऑपरेशन को दर्शाता है लेकिन इसकी उच्च प्राथमिकता है। इस पहचान को विभिन्न प्रकार से औसत दर्जे का, एबेलियन, अल्टरनेशन, ट्रांसपोज़िशन, इंटरचेंज, बाय-कम्यूटिव, बिसमेट्रिक, सरकम्यूटेटिव, एंट्रोपिक आदि कहा गया है। कोई भी कम्यूटेटिव सेमिग्रुप एक औसत दर्जे का मैग्मा है, और एक औसत दर्जे का मैग्मा का एक पहचान तत्व होता है और केवल अगर यह एक कम्यूटेटिव मोनोइड है। "ओनली इफ" दिशा एकमैन-हिल्टन तर्क है। औसत दर्जे का मैग्मा बनाने वाले अर्धसमूहों का एक अन्य वर्ग सामान्य बैंड है। औसत दर्जे का मैग्मास सहयोगी नहीं होना चाहिए: ऑपरेशन + और पूर्णांक $m ≠ n$ के साथ किसी भी गैर-तुच्छ एबेलियन समूह के लिए, नए बाइनरी ऑपरेशन द्वारा परिभाषित $$x \cdot y = mx+ny $$ एक औसत दर्जे का मैग्मा उत्पन्न करता है जो सामान्य रूप से न तो साहचर्य है और न ही क्रमविनिमेय।

मैग्मा $M$ के लिए उत्पाद की स्पष्ट परिभाषा का उपयोग करते हुए, ऑपरेशन के साथ कार्तीय वर्ग मैग्मा $M × M$  परिभाषित किया जा सकता है।

$(x, y) ∙ (u, v) = (x ∙ u, y ∙ v)$.

$M$ का बाइनरी ऑपरेशन$∙$, जिसे $M × M$  से $M$  तक मैपिंग के रूप में माना जाता है, मानचित्र $(x, y)$ से $x ∙ y$, $(u, v)$ से $u ∙ v$, और $(x ∙ u, y ∙ v)$ से $(x ∙ u) ∙ (y ∙ v)$. इसलिए, एक मेग्मा $M$ औसत दर्जे का है अगर और केवल अगर इसका बाइनरी ऑपरेशन $M × M$  से $M$  तक मैग्मा होमोमोर्फिज्म है। इसे आसानी से एक कम्यूटेटिव डायग्राम के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, और इस तरह एक औसत दर्जे के मैग्मा ऑब्जेक्ट की धारणा की ओर जाता है। कार्टेशियन उत्पाद वाली श्रेणी। (ऑटो मैग्मा वस्तु में चर्चा देखें।)

अगर $f$ और $g$ औसत दर्जे के मैग्मा के एंडोमोर्फिज्म हैं, तो मैपिंग  $f∙g$ बिंदुवार गुणा द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$(f\cdot g)(x) = f(x)\cdot g(x)$$

स्वयं एक एंडोमोर्फिज्म है। यह इस प्रकार है कि एक औसत दर्जे का मैग्मा $M$ के सभी एंडोमोर्फिज्म का सेट एंड ($M$) स्वयं एक औसत दर्जे का मैग्मा है।

ब्रुक-मर्डोक-टोयोडा प्रमेय
ब्रुक-मर्डोक-टोयोडा प्रमेय औसत दर्जे के अर्धसमूहों के निम्नलिखित लक्षण वर्णन प्रदान करता है। एक एबेलियन समूह $A$ और $A$ के दो कम्यूटिंग ऑटोमोर्फिज्म φ और ψ को देखते हुए, $A$ पर एक ऑपरेशन को परिभाषित करें।

कहाँ $c$ $A$ का कुछ निश्चित तत्व है। यह सिद्ध करना कठिन नहीं है कि $A$ इस ऑपरेशन के तहत एक औसत अर्धसमूह बनाता है। ब्रुक-टोयोडा प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक औसत दर्जे का अर्धसमूह इस रूप का है, यानी इस तरह से एक आबेलियन समूह से परिभाषित एक अर्धसमूह के लिए समरूप है। विशेष रूप से, प्रत्येक औसत दर्जे का अर्धसमूह एक एबेलियन समूह के लिए समस्थानिक है।

परिणाम 1941 में डीसी मर्डोक और के टोयोदा द्वारा स्वतंत्र रूप से प्राप्त किया गया था। फिर 1944 में ब्रुक द्वारा इसे फिर से खोजा गया।

सामान्यीकरण
औसत दर्जे का या (अधिक सामान्यतः) एंट्रोपिक शब्द का उपयोग कई कार्यों के सामान्यीकरण के लिए भी किया जाता है। एक बीजगणितीय संरचना एक एंट्रोपिक बीजगणित है यदि प्रत्येक दो ऑपरेशन औसत दर्जे की पहचान के सामान्यीकरण को संतुष्ट करते हैं। मान लीजिए कि f और g क्रमशः arity m और n की संक्रियाएँ हैं। फिर संतुष्ट करने के लिए f और g की आवश्यकता होती है


 * $$f(g(x_{11}, \ldots, x_{1n}), \ldots, g(x_{m1}, \ldots, x_{mn})) = g(f(x_{11}, \ldots, x_{m1}), \ldots, f(x_{1n}, \ldots, x_{mn})).$$

असहयोगी उदाहरण
एक गैर-सहयोगी औसत दर्जे का मैग्मा का एक विशेष रूप से प्राकृतिक उदाहरण दीर्घवृत्ताकार वक्रों पर समरेख बिंदुओं द्वारा दिया जाता है। संचालन $$x\cdot y = - (x + y)$$ वक्र पर बिंदुओं के लिए, x और y के बीच एक रेखा खींचने और परिभाषित करने के अनुरूप $$x\cdot y$$ अण्डाकार वक्र के साथ रेखा के तीसरे चौराहे बिंदु के रूप में, एक (कम्यूटिव) औसत दर्जे का मैग्मा है जो अण्डाकार वक्र जोड़ के संचालन के लिए समस्थानिक है।

अण्डाकार वक्र जोड़ के विपरीत, $$x\cdot y$$ वक्र पर एक तटस्थ तत्व की पसंद से स्वतंत्र है, और आगे की पहचान को संतुष्ट करता है $$x\cdot (x \cdot y) = y$$. यह संपत्ति सामान्यतः विशुद्ध रूप से ज्यामितीय प्रमाणों में उपयोग की जाती है कि अण्डाकार वक्र जोड़ साहचर्य है।

यह भी देखें

 * औसत दर्जे का मैग्मास की श्रेणी