बॉक्स मॉडल में कण

परिमाण यांत्रिकी में, एक बॉक्स मॉडल में कण (जिसे अनंत विभव कूप या अनंत वर्ग कूप के रूप में भी जाना जाता है) अभेद्य बाधाओं से घिरे एक छोटे से समष्टि में घूमने के लिए स्वतंत्र कण का वर्णन करता है। मॉडल का उपयोग मुख्य रूप से शास्त्रीय और परिमाण प्रणालियों के मध्य अंतर को दर्शाने के लिए एक काल्पनिक उदाहरण के रूप में किया जाता है। शास्त्रीय प्रणालियों में, उदाहरण के लिए, एक बड़े बॉक्स के भीतर फंसा हुआ कण बॉक्स के भीतर किसी भी गति से घूम सकता है और इसके एक समष्टि से दूसरे समष्टि पर पाए जाने की अधिक संभावना नहीं होती है। हालाँकि, जब कूप बहुत संकीर्ण हो जाता है (कुछ नैनोमीटर के पैमाने पर), तो परिमाण प्रभाव महत्वपूर्ण हो जाते हैं। कण केवल कुछ धनात्मक ऊर्जा स्तरों पर ही अधिकार कर सकता है। इसी प्रकार, इसमें कभी भी शून्य ऊर्जा नहीं हो सकती, अर्थात कण कभी भी स्थिर नहीं बैठ सकता। इसके अतिरिक्त, इसकी ऊर्जा स्तर के आधार पर, दूसरों की तुलना में कुछ समष्टिों पर इसके पाए जाने की अधिक संभावना है। कण को ​​कुछ समष्टिों पर, जिन्हें समष्टििक बिंदु के रूप में जाना जाता है, कभी भी पता नहीं लगाया जा सकता है।

एक बॉक्स मॉडल में कण परिमाण यांत्रिकी में बहुत कम समस्याओं में से एक है जिसे बिना किसी अनुमान के विश्लेषणात्मक रूप से हल किया जा सकता है। सहजता के कारण, मॉडल जटिल गणित की आवश्यकता के बिना परिमाण प्रभावों में अंतर्दृष्टि की अनुमति देता है। यह एक सरल चित्रण के रूप में कार्य करता है कि ऊर्जा परिमाणीकरण (ऊर्जा स्तर), जो परमाणुओं और अणुओं जैसे अधिक जटिल परिमाण प्रणालियों में पाए जाते हैं, कैसे आते हैं। यह स्नातक भौतिकी पाठ्यक्रमों में पढ़ाई जाने वाली पहली परिमाण यांत्रिकी समस्याओं में से एक है और इसे सामान्यतः अधिक जटिल परिमाण प्रणालियों के लिए एक अनुमान के रूप में उपयोग किया जाता है।

एक आयामी समाधान
एक बॉक्स मॉडल में कण का सबसे सरल रूप एक आयामी प्रणाली पर विचार करता है। यहां, कण केवल दोनों छोर पर अभेद्य बाधाओं के साथ एक सीधी रेखा के साथ पीछे और आगे की ओर बढ़ सकता है। एक-आयामी बॉक्स की भित्तियों को अनंत रूप से बड़ी संभावित ऊर्जा वाले समष्टि के क्षेत्रों के रूप में देखा जा सकता है। इसके विपरीत, बॉक्स के आंतरिक भाग में स्थिर, शून्य स्थितिज ऊर्जा होती है। इसका अर्थ यह है कि बॉक्स के भीतर कण पर कोई बल कार्य नहीं करता है और यह उस क्षेत्र में स्वतंत्र रूप से घूम सकता है। हालाँकि, यदि कण बॉक्स की भित्तियों को छूता है, तो असीम रूप से बड़े बल उसे पीछे हटा देते हैं, जिससे वह बाहर नहीं निकल पाता है। इस मॉडल में संभावित ऊर्जा इस प्रकार दी गई है। $$V(x) = \begin{cases} 0, & x_c-\tfrac{L}{2} < x <x_c+\tfrac{L}{2},\\ \infty, & \text{otherwise,} \end{cases},$$ जहां L बॉक्स की लंबाई है, xcबॉक्स के केंद्र का समष्टि है और x बॉक्स के भीतर कण की स्थिति है। साधारण स्थितियों में केन्द्रित बॉक्स (xc= 0) और विस्थापित बॉक्स (xc= L/2) (चित्रित) सम्मिलित है।

स्थिति तरंग फलन
परिमाण यांत्रिकी में, तरंगक्रिया किसी कण के व्यवहार का सबसे मौलिक विवरण देती है; कण के मापने योग्य गुण (जैसे कि इसकी स्थिति, गति और ऊर्जा) सभी तरंग फलन से प्राप्त किए जा सकते हैं। प्रणाली के लिए श्रोडिंगर समीकरण को हल करके तरंग फलन $$\psi(x,t)$$ पाया जा सकता है $$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi(x,t) +V(x)\psi(x,t),$$ जहाँ $$\hbar$$ अपचित प्लांक स्थिरांक है, $$m$$ कण का द्रव्यमान है, $$i$$ काल्पनिक इकाई है और $$t$$ समय है।

बॉक्स के भीतर, कण पर कोई बल कार्य नहीं करता है, जिसका अर्थ है कि बॉक्स के भीतर तरंग फलन का भाग एक मुक्त कण के समान रूप में समष्टि और समय के माध्यम से दोलन करता है:

जहाँ $$A$$ और $$B$$ यादृच्छिक सम्मिश्र संख्याएँ हैं। समष्टि और समय के माध्यम से दोलनों की आवृत्ति तरंग संख्या द्वारा दी जाती है। $$k$$ और कोणीय आवृत्ति $$\omega$$ क्रमशः ये दोनों अभिव्यक्ति द्वारा कण की कुल ऊर्जा से संबंधित हैं $$E = \hbar\omega = \frac{\hbar^2 k^2}{2m},$$ जिसे एक मुक्त कण के परिक्षेपण संबंध के रूप में जाना जाता है। यहां किसी को ध्यान देना चाहिए कि अब, चूंकि कण पूर्णतया से मुक्त नहीं है लेकिन एक क्षमता (ऊपर वर्णित संभावित V) के प्रभाव में है, ऊपर दिए गए कण की ऊर्जा वैसी नहीं है जैसी $$ \frac{p^2}{2m} $$, जहां p कण का संवेग है और इस प्रकार उपरोक्त तरंगसंख्या k वास्तव में कण की ऊर्जा अवस्थाओं का वर्णन करती है, न कि संवेग अवस्थाओं का (अर्थात् यह पता चलता है कि कण का संवेग $$ p = \hbar k $$ द्वारा नहीं दिया गया है)। इस अर्थ में, संख्या k को तरंगसंख्या कहना काफी खतरनाक है, क्योंकि यह सामान्यतः "तरंगसंख्या" की तरह गति से संबंधित नहीं है। k को तरंगसंख्या कहने का तर्क यह है कि यह बॉक्स के भीतर तरंग फलन के शीर्षों की संख्या की गणना करता है और इस अर्थ में यह एक तरंगसंख्या है। इस विसंगति को नीचे अधिक स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है, जब हमें पता चलता है कि कण का ऊर्जा वर्णक्रम भिन्न है (केवल ऊर्जा के भिन्न मानों की अनुमति है) लेकिन संवेग वर्णक्रम सतत है (संवेग संतत भिन्न हो सकता है) और विशेष रूप से, कण की ऊर्जा और संवेग के लिए संबंध $$E = \frac{p^2}{2m} $$ स्थिर नहीं रहता है। जैसा कि ऊपर कहा गया है, ऊर्जा और संवेग के मध्य यह संबंध स्थिर नहीं रहने का कारण यह है कि कण स्वतंत्र नहीं है, लेकिन प्रणाली में एक संभावित V है और कण की ऊर्जा $$ E = T + V $$ है, जहां T गतिज ऊर्जा और V स्थितिज ऊर्जा है।

किसी दिए गए समष्टि पर तरंग फलन का आयाम $$P(x,t) = |\psi(x,t)|^2$$ द्वारा वहां एक कण पाए जाने की संभावना से संबंधित है। इसलिए तरंग फलन को बॉक्स के किनारों से परे प्रत्येक स्थान पर लुप्त हो जाना चाहिए।  इसके अतिरिक्त, तरंग फलन का आयाम एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक आकस्मिक रुप से नहीं बढ़ सकता है।  ये दोनों स्थितियाँ केवल तरंग-फलनों द्वारा ही संतुष्ट होती हैं। $$\psi_n(x,t) = \begin{cases} A \sin\left(k_n \left(x-x_c+\tfrac{L}{2}\right)\right) e^{-i\omega_n t}\quad & x_c-\tfrac{L}{2} < x < x_c+\tfrac{L}{2}\\ 0 & \text{otherwise} \end{cases},$$ जहाँ $$k_n=\frac{n \pi}{ L},$$ और $$E_n=\hbar \omega_n=\frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2 m L^2} = \frac{n^2 h^2}{8mL^2},$$ जहाँ n एक धनात्मक पूर्णांक (1, 2, 3, 4, ...) है। एक विस्थापित बॉक्स (xc= L/2) के लिए, समाधान विशेष रूप से सरल है। सबसे सरल समाधान, $$k_n = 0$$ या $$A = 0$$ दोनों ही नगण्य तरंग फलन $$\psi(x) = 0$$ उत्पन्न करते हैं, जो एक ऐसे कण का वर्णन करता है जो प्रणाली में कहीं भी उपस्थित नहीं है। $$n$$ के ऋणात्मक मानों की उपेक्षा की जाती है, क्योंकि भौतिक रूप से महत्वहीन संकेत परिवर्तन को छोड़कर वे धनात्मक $$n$$ समाधानों के समान तरंग-फलन देते हैं। यहां कोई यह देख सकता है कि कण के लिए केवल ऊर्जा मानों और तरंग संख्या k के एक भिन्न समुच्चय की अनुमति है। सामान्यतः परिमाण यांत्रिकी में यह भी मांग की जाती है कि तरंग फलन के अतिरिक्त तरंग फलनों का व्युत्पन्न भी सतत हो; यहां इस मांग से एकमात्र समाधान सतत शून्य फलन होगा, जो कि हम नहीं चाहते हैं, इसलिए हम इस मांग को छोड़ देते हैं (चूंकि अनंत क्षमता वाली इस प्रणाली को एक गैर-भौतिक अमूर्त सीमित स्थिति के रूप में माना जा सकता है, हम इसे मान सकते हैं ऐसे और नियमों का बंकन)। ध्यान दें कि इस मांग को छोड़ने का अर्थ है कि तरंग फलन बॉक्स की सीमा पर एक भिन्न फलन नहीं है और इस प्रकार यह कहा जा सकता है कि तरंग फलन सीमा बिंदुओं पर श्रोडिंगर समीकरण $$ x = 0 $$ और $$ x = L $$ को हल नहीं करता है।

अंत में, अज्ञात स्थिरांक $$A$$ तरंग फलन को सामान्य करके पाया जा सकता है ताकि प्रणाली में कण खोजने की कुल संभावना घनत्व 1 हो।

गणितीय रूप से, $$\int_0^L \left\vert \psi(x) \right\vert^2 dx = 1 $$ (कण कहीं न कहीं होगा)

यह इस प्रकार है कि $$\left| A \right| = \sqrt{\frac{2 }{L}}.$$ इस प्रकार, A निरपेक्ष मान $$ वाली कोई भी सम्मिश्र संख्या हो सकती है; A के ये विभिन्न मान समान भौतिक स्थिति उत्पन्न करते हैं, इसलिए सरल बनाने के लिए A = √2/L का चयन किया जा सकता है।

यह अपेक्षा की जाती है कि समष्टि में इसकी स्थिति की परवाह किए बिना बॉक्स के आइगेन-मान, अर्थात, ऊर्जा $$E_n$$ समान होनी चाहिए, लेकिन $$\psi_n(x,t)$$ बदल जाती है। ध्यान दें कि $$x_c - \tfrac{L}{2}$$ तरंग फलन में एक चरण परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। श्रोडिंगर समीकरण को हल करते समय इस चरण परिवर्तन का कोई प्रभाव नहीं पड़ता है और इसलिए यह आइगेन-मानों को प्रभावित नहीं करता है।

यदि हम निर्देशांक की उत्पत्ति को बॉक्स के केंद्र पर व्यवस्थित करते हैं, तो हम तरंग फलन के स्थानिक भाग को संक्षेप में इस प्रकार लिख सकते हैं: $$\psi_n (x) = \begin{cases} \sqrt{\frac{2}{L}} \sin(k_nx) \quad{} \text{for } n \text{ even} \\ \sqrt{\frac{2}{L}} \cos(k_nx) \quad{} \text{for } n \text{ odd}. \end{cases}$$

संवेग तरंग फलन
संवेग तरंग फलन स्थिति तरंग फलन के फूरियर रूपांतरण के समानुपाती होता है। $$k = p / \hbar$$ के साथ (ध्यान दें कि नीचे दिए गए संवेग तरंग फलनों का वर्णन करने वाला मापदण्ड $\sqrt{2/L}$ बिल्कुल ऊपर दिए गए विशेष $k_{n}$ नहीं है, जो ऊर्जा आइगेन-मानों से जुड़ा हुआ है), संवेग तरंग फलन द्वारा दिया गया है। $$\phi_n(p,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^\infty \psi_n(x,t)e^{-ikx}\,dx = \sqrt{\frac{L}{\pi \hbar}} \left(\frac{n\pi}{n\pi+k L}\right)\,\operatorname{sinc}\left(\tfrac{1}{2}(n\pi-k L)\right)e^{-i k x_c}e^{i (n-1) \tfrac{\pi}{2}}e^{-i\omega_n t} , $$ जहां sinc प्रमुख ज्या sinc फलन $sinc(x) = sin(x)/x$ है। केन्द्रित बॉक्स ($x_{c} = 0$) के लिए, समाधान वास्तविक और विशेष रूप से सरल है, क्योंकि दाईं ओर का चरण कारक एकता में कम हो जाता है। (सावधानी से, $k$ के सम फलन के रूप में लिखा जा सकता है)।

यह देखा जा सकता है कि इस तरंग वेष्टक में गति वर्णक्रम सतत है और कोई यह निष्कर्ष निकाल सकता है कि तरंग संख्या $k_{n}$ द्वारा वर्णित ऊर्जा स्थिति के लिए, जब मापा जाता है, तो गति, $$ p = \pm \hbar k_n $$से परे अन्य मान भी प्राप्त कर सकती है।

अत: यह भी प्रतीत होता है कि चूँकि nवें आइजेन अवस्था के लिए ऊर्जा $ E_n = \frac{\hbar^2 k_n^2}{2m} $ है, संबंध $ E = \frac{p^2}{2m} $  मापी गई गति $p$ के लिए दृढता से नियंत्रण नहीं रखता है; ऊर्जा आइजेन अवस्था $$ \psi_n $$ यह एक संवेग आइजन अवस्था नहीं है, और, वास्तव में, दो संवेग आइजेन अवस्था का अध्यारोपण भी नहीं है, जैसा कि ऊपर समीकरण ($p$) से कल्पना करने के लिए प्रलोभित हो सकता है: विशेष रूप से, माप से पहले इसकी कोई अच्छी तरह से परिभाषित गति नहीं है!

स्थिति और गति संभाव्यता वितरण
उत्कृष्ट भौतिकी में, कण को ​​समान संभावना के साथ बॉक्स में कहीं भी पाया जा सकता है। हालाँकि, परिमाण यांत्रिकी में, किसी दिए गए समष्टि पर एक कण को ​​खोजने की संभाव्यता घनत्व तरंग फलन $$P(x) = |\psi(x)|^2$$ से प्राप्त होती है। एक बॉक्स में कण के लिए, किसी दिए गए समष्टि पर कण को ​​खोजने की संभाव्यता घनत्व उसकी स्थिति पर निर्भर करती है और इसके द्वारा दी जाती है $$P_n(x,t) = \begin{cases} \frac{2}{L} \sin^2\left(k_n \left(x-x_c+\tfrac{L}{2}\right)\right), & x_c-\frac{L}{2} < x < x_c+\frac{L}{2},\\ 0, & \text{otherwise,} \end{cases}$$ इस प्रकार, एक से अधिक n के किसी भी मान के लिए, बॉक्स के भीतर ऐसे क्षेत्र हैं जिनके लिए $$P(x)=0$$ यह दर्शाता है कि स्थानिक बिंदुओं उपस्थित हैं जिन पर कण नहीं पाया जा सकता है।

परिमाण यांत्रिकी में, किसी कण की स्थिति का औसत, या अपेक्षित मान दिया जाता है। $$\langle x \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} x P_n(x)\,\mathrm{d}x.$$ एक बॉक्स में स्थिर अवस्था वाले कण के लिए, यह दर्शाया जा सकता है कि औसत स्थिति सदैव $$\langle x \rangle =x_c$$ होती है। चाहे कण की अवस्था कुछ भी हो। अवस्थाओं के अध्यारोपण के लिए, स्थिति का अपेक्षित मान गुणित पद के आधार पर बदल जाएगा जो $$\cos(\omega t)$$ के आनुपातिक है।

स्थिति में भिन्नता कण की स्थिति में अनिश्चितता का माप है: $$\mathrm{Var}(x) = \int_{-\infty}^\infty (x-\langle x\rangle)^2 P_n(x)\,dx = \frac{L^2}{12}\left(1-\frac{6}{n^2\pi^2}\right)$$ किसी दिए गए संवेग के साथ एक कण को ​​खोजने की संभाव्यता घनत्व तरंग फलन $$P(x) = |\phi(x)|^2$$ से प्राप्त होती है। स्थिति की तरह, किसी दिए गए संवेग पर कण को ​​खोजने की संभाव्यता घनत्व उसकी स्थिति पर निर्भर करती है और इसके द्वारा दी जाती है। $$P_n(p)=\frac{L}{\pi \hbar} \left(\frac{n\pi}{n\pi+k L}\right)^2\,\textrm{sinc}^2\left(\tfrac{1}{2}(n\pi-k L)\right)$$ जहाँ, फिर से, $$k = p / \hbar$$ है। तब संवेग के लिए अपेक्षित मान की गणना शून्य की जाती है, और संवेग में भिन्नता की गणना की जाती हैː $$\mathrm{Var}(p)=\left(\frac{\hbar n\pi}{L}\right)^2$$ स्थिति और गति में अनिश्चितताएं ($$\Delta x$$ और $$\Delta p$$) को उनके संबंधित प्रसरणों के वर्गमूल के बराबर के रूप में परिभाषित किया गया है, ताकि: $$\Delta x \Delta p = \frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{n^2\pi^2}{3}-2}$$ यह गुणनफल n बढ़ने के साथ बढ़ता है, जिसका न्यूनतम मान n=1 है। n=1 के लिए इस गुणनफल का मान लगभग 0.568 $$\hbar$$ के बराबर है, जो हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत का पालन करता है, जो बताता है कि गुणनफल इससे अधिक या $$\hbar/2$$ के बराबर होगा।

स्थिति में अनिश्चितता का एक अन्य माप संभाव्यता वितरण Hx सूचना ऐन्ट्रोपी है: $$H_x=\int_{-\infty}^\infty P_n(x) \log(P_n(x) x_0)\,dx =\log\left(\frac{2 L}{e \,x_0}\right)$$ जहाँ x0 एक यादृच्छिक संदर्भ लंबाई है।

संवेग में अनिश्चितता का एक अन्य माप संभाव्यता वितरण Hp की सूचना ऐन्ट्रोपी है: $$H_p(n)=\int_{-\infty}^\infty P_n(p) \log(P_n(p) p_0)\,dp$$ $$\lim_{n\to\infty} H_p(n) = \log\left(\frac{4 \pi \hbar\, e^{2(1-\gamma)}}{ L\, p_0}\right)$$ जहां γ यूलर स्थिरांक है। परिमाण यांत्रिक एन्ट्रॉपीय अनिश्चितता सिद्धांत बताता है कि $$x_0\,p_0 = \hbar$$ के लिए, $$H_x+H_p(n) \ge \log(e\,\pi) \approx 2.14473...$$ (नट (इकाई))

के लिए $$x_0\,p_0=\hbar$$, स्थिति और संवेग एन्ट्रॉपी का योग उपज: $$H_x+H_p(\infty) = \log\left(8\pi\, e^{1-2\gamma}\right) \approx 3.06974...$$ (नेट)

जो परिमाण एन्ट्रोपिक अनिश्चितता सिद्धांत को संतुष्ट करता है।

ऊर्जा स्तर
प्रत्येक अनुमत तरंग संख्या के अनुरूप ऊर्जा को इस प्रकार लिखा जा सकता है $$E_n = \frac{n^2\hbar^2 \pi ^2}{2mL^2} = \frac{n^2 h^2}{8mL^2}.$$ ऊर्जा का स्तर बढ़ता है $$n^2$$, जिसका अर्थ है कि उच्च ऊर्जा स्तर निम्न ऊर्जा स्तर की तुलना में अधिक मात्रा में एक दूसरे से अलग होते हैं। कण के लिए न्यूनतम संभव ऊर्जा (इसकी शून्य-बिंदु ऊर्जा) अवस्था 1 में पाई जाती है, जो कि दी गई है $$E_1 = \frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2} = \frac{h^2}{8mL^2}.$$ इसलिए, कण में सदैव धनात्मक ऊर्जा होती है। यह शास्त्रीय प्रणालियों के विपरीत है, जहां कण गतिहीन होकर शून्य ऊर्जा प्राप्त कर सकता है। इसे अनिश्चितता सिद्धांत के संदर्भ में समझाया जा सकता है, जो बताता है कि किसी कण की स्थिति और गति में अनिश्चितताओं का उत्पाद सीमित है $$\Delta x\Delta p \geq \frac{\hbar}{2}$$ यह दिखाया जा सकता है कि कण की स्थिति में अनिश्चितता बॉक्स की चौड़ाई के समानुपाती होती है। इस प्रकार, संवेग में अनिश्चितता बॉक्स की चौड़ाई के लगभग व्युत्क्रमानुपाती होती है। किसी कण की गतिज ऊर्जा किसके द्वारा दी जाती है? $$E = p^2/(2m)$$, और इसलिए उपरोक्त गणना के साथ गुणात्मक समझौते में, एक बॉक्स में कण की न्यूनतम गतिज ऊर्जा द्रव्यमान और कूप की चौड़ाई के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होती है।

(हाइपर)आयताकार भित्तिें
यदि कोई कण द्वि-आयामी बॉक्स में फंस गया है, तो वह स्वतंत्र रूप से भीतर जा सकता है $$x$$ और $$y$$-दिशाएँ, लंबाई द्वारा अलग की गई बाधाओं के मध्य $$L_x$$ और $$L_y$$ क्रमश। एक केन्द्रित बॉक्स के लिए, स्थिति तरंग फलन को बॉक्स की लंबाई सहित लिखा जा सकता है $$\psi_n(x,t,L)$$. एक-आयामी बॉक्स के समान दृष्टिकोण का उपयोग करके, यह दिखाया जा सकता है कि एक केंद्रित बॉक्स के लिए तरंग फलन और ऊर्जा क्रमशः दी गई हैं $$\psi_{n_x,n_y} = \psi_{n_x}(x,t,L_x)\psi_{n_y}(y,t,L_y),$$ $$E_{n_x,n_y} = \frac{\hbar^2 k_{n_x,n_y}^2}{2m},$$ जहां द्वि-आयामी वेवसदिश द्वारा दिया गया है $$\mathbf{k}_{n_x,n_y} = k_{n_x}\mathbf{\hat{x}} + k_{n_y}\mathbf{\hat{y}} = \frac{n_x \pi }{L_x} \mathbf{\hat{x}} + \frac{n_y \pi }{L_y} \mathbf{\hat{y}}.$$ त्रि-आयामी बॉक्स के लिए, समाधान हैं $$\psi_{n_x,n_y,n_z} = \psi_{n_x}(x,t,L_x)\psi_{n_y}(y,t,L_y) \psi_{n_z}(z,t,L_z),$$ $$E_{n_x,n_y,n_z} = \frac{\hbar^2 k_{n_x,n_y,n_z}^2}{2m}, $$ जहां त्रि-आयामी वेवसदिश निम्न द्वारा दिया गया है: $$\mathbf{k}_{n_x,n_y,n_z} = k_{n_x}\mathbf{\hat{x}} + k_{n_y}\mathbf{\hat{y}} + k_{n_z}\mathbf{\hat{z}} = \frac{n_x \pi }{L_x} \mathbf{\hat{x}} + \frac{n_y \pi }{L_y} \mathbf{\hat{y}} + \frac{n_z \pi }{L_z} \mathbf{\hat{z}} .$$ सामान्य तौर पर एन-आयामी बॉक्स के लिए, समाधान हैं $$ \psi =\prod_{i} \psi_{n_i}(x_i,t,L_i)$$ एन-आयामी गति तरंग फलनों को इसी तरह दर्शाया जा सकता है $$\phi_n(x, t, L_x)$$ और एक n-आयामी केन्द्रित बॉक्स के लिए संवेग तरंग फलन तब है: $$ \phi = \prod_{i} \phi_{n_i}(k_i,t,L_i)$$ उपरोक्त समाधानों की एक रोचक विशेषता यह है कि जब दो या दो से अधिक लंबाई समान होती हैं (उदाहरण के लिए, $$L_x = L_y$$), समान कुल ऊर्जा के अनुरूप अनेक तरंग फलन होते हैं। उदाहरण के लिए, $$n_x = 2, n_y = 1$$ वाले तरंग फलनों में $$n_x = 1, n_y = 2$$ के समान ऊर्जा होती है। इस स्थिति को अध:पतन कहा जाता है और उस स्थिति के लिए जहां बिल्कुल दो पतित तरंग फलनों में समान ऊर्जा होती है, ऊर्जा स्तर को दोगुना पतित कहा जाता है। व्यवस्था में समरूपता के कारण विकृति उत्पन्न होती है। उपरोक्त स्थिति के लिए दो लंबाई बराबर हैं इसलिए प्रणाली 90° क्रमावर्तन के संबंध में सममित है।

अधिक जटिल भित्ति आकार
एक बॉक्स में परिमाण-यांत्रिक कणों के लिए तरंग फलन, जिसकी भित्तियों का यादृच्छिक आकार होता है, हेल्महोल्त्ज़ समीकरण द्वारा सीमा प्रतिबन्ध के अधीन दिया जाता है कि तरंग फलन भित्तियों पर लुप्त हो जाता है। इन प्रणालियों का अध्ययन भित्ति के आकार के लिए परिमाण अराजकता के क्षेत्र में किया जाता है जिनके संबंधित गतिशील बिलियर्ड गैर-अभिन्न होते हैं।

अनुप्रयोग
इसकी गणितीय सरलता के कारण, एक बॉक्स मॉडल में कण का उपयोग अधिक जटिल भौतिक प्रणालियों के लिए अनुमानित समाधान खोजने के लिए किया जाता है जिसमें एक कण दो उच्च संभावित बाधाओं के मध्य कम विद्युत क्षमता के एक संकीर्ण क्षेत्र में फंस जाता है। ये परिमाण कूप प्रणाली प्रकाश इलेक्ट्रॉनिकी में विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं और परिमाण कूप लेजर, परिमाण कूप अवरक्त फोटोडिटेक्टर और परिमाण-सीमित नितांत प्रभाव मॉड्यूलेटर जैसे उपकरणों में उपयोग किए जाते हैं। इसका उपयोग क्रोनिग-पेन्नी मॉडल में एक जालक का मॉडल बनाने और मुक्त इलेक्ट्रॉन सन्निकटन के साथ एक परिमित धातु के लिए भी किया जाता है।

संयुग्मित पॉलीन
संयुग्मित पॉलीन प्रणाली को एक बॉक्स में कण का उपयोग करके मॉडल किया जा सकता है। इलेक्ट्रॉनों की संयुग्मित प्रणाली को एक आयामी बॉक्स के रूप में तैयार किया जा सकता है, जिसकी लंबाई पॉलीन के एक अंतक से दूसरे तक की कुल आबंध दूरी के बराबर होती है। इस स्थिति में प्रत्येक π आबंध में इलेक्ट्रॉनों के प्रत्येक युग्म उनके ऊर्जा स्तर से मेल खाते है। दो ऊर्जा स्तरों nf और ni के मध्य ऊर्जा अंतराल है। $$\Delta E = \frac{(n_f^2 - n_i^2) h^2}{8mL^2}$$ मूल अवस्था ऊर्जा, n, और पहली उत्तेजित अवस्था, n+1 के मध्य का अंतर, प्रणाली को उत्तेजित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा से मेल खाता है। इस ऊर्जा की एक विशिष्ट तरंग दैर्ध्य होती है और इसलिए प्रकाश का रंग, इससे संबंधित होता है: $$\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$$ इस घटना का एक सामान्य उदाहरण β-वर्णपीतक में है। β-वर्णपीतक (C40H56) नारंगी रंग और लगभग 3.8 एनएम की आणविक लंबाई वाला एक संयुग्मित पॉलीन है (हालांकि इसकी श्रृंखला की लंबाई केवल लगभग 2.4 एनएम है)। β-वर्णपीतक के उच्च स्तर के संयुग्मन के कारण, इलेक्ट्रॉन अणु की पूरी लंबाई में फैले हुए होते हैं, जिससे कोई इसे एक बॉक्स में एक-आयामी कण के रूप में मॉडल कर सकता है। β-वर्णपीतक में संयुग्मन में 11 कार्बन-कार्बन द्वि-आबंध होते हैं; उनमें से प्रत्येक द्वि-आबंध में दो π-इलेक्ट्रॉन होते हैं, इसलिए β-वर्णपीतक में 22 π-इलेक्ट्रॉन होते हैं। प्रति ऊर्जा स्तर पर दो इलेक्ट्रॉनों के साथ, β-वर्णपीतक को ऊर्जा स्तर n=11 पर एक बॉक्स में एक कण के रूप में माना जा सकता है। इसलिए, एक इलेक्ट्रॉन को अगले ऊर्जा स्तर तक उत्तेजित करने के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा की गणना, n=12, निम्नानुसार की जा सकती है (स्मरण रखें कि एक इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान 9.109 × 10−31 कि.ग्रा है)ː $$\Delta E = \frac{(n_f^2 - n_i^2) h^2}{8 m L^2}= \frac{(12^2 - 11^2) h^2}{8 m L^2}= 2.3658\times10^{-19} \text{ J}$$ ऊर्जा के साथ तरंग दैर्ध्य के पिछले संबंध का उपयोग करते हुए, प्लांक स्थिरांक h और प्रकाश की गति c दोनों को स्मरण करते हुए: $$\lambda = \frac{ hc }{ \Delta E }= 0.00000084 \text{ m} = 840 \text{ nm}$$ यह इंगित करता है कि β-वर्णपीतक मुख्य रूप से अवरक्त वर्णक्रम में प्रकाश को अवशोषित करता है, इसलिए यह मानव नेत्र को सफेद दिखाई देगा। हालाँकि प्रेक्षित तरंगदैर्घ्य 450 एनएम है, यह दर्शाता है कि एक बॉक्स में कण इस प्रणाली के लिए एक आदर्श मॉडल नहीं है।

परिमाण कूप लेजर
एक बॉक्स मॉडल में कण को ​​​​परिमाण कूप लेजर पर अनुप्रयुक्त किया जा सकता है, जो लेजर डायोड होते हैं जिसमें एक अर्धचालक "कूप" सामग्री होती है जो विभिन्न सामग्रियों की दो अन्य अर्धचालक परतों के मध्य मध्यवर्ती होती है, क्योंकि इस सैंडविच की परतें बहुत पतली हैं (मध्य की परत सामान्यतः लगभग 100 Å मोटी होती है), परिमाण परिरोधन प्रभाव देखा जा सकता है। यह विचार कि उन्नत लेजर डायोड बनाने के लिए परिमाण प्रभावों का उपयोग किया जा सकता है, 1970 के दशक में उत्पन्न हुआ था। परिमाण कूप लेजर का एकस्व 1976 में आर. डिंगल और सी. एच. हेनरी द्वारा किया गया था।

विशेष रूप से, परिमाण कूपों के व्यवहार को एक परिमित कूप मॉडल में कण द्वारा दर्शाया जा सकता है। दो सीमा प्रतिबंधों का चयन किया जाना चाहिए। पहला यह कि तरंग क्रिया निरंतर होनी चाहिए। प्रायः, दूसरी सीमा स्थिति को तरंग फलन के व्युत्पन्न के रूप में चुना जाता है जो सीमा के पार निरंतर होना चाहिए, लेकिन परिमाण कूप के स्थिति में सीमा के दोनों ओर द्रव्यमान भिन्न होते हैं। इसके बजाय, कण प्रवाह को $$(1/m) d\phi/dz$$ के रूप में संरक्षित करने के लिए दूसरी सीमा स्थिति को चुना जाता है, जो प्रयोग के अनुरूप है। एक बॉक्स में परिमित कूप कण के समाधान को संख्यात्मक रूप से हल किया जाना चाहिए, जिसके परिणामस्वरूप तरंग फलन होते हैं जो परिमाण कूप के भीतर ज्या फलन होते हैं और बाधाओं में तीव्रता से क्षय होने वाले फलन होते हैं। इलेक्ट्रॉनों के ऊर्जा स्तरों का यह परिमाणीकरण परिमाण कूप लेजर को पारंपरिक अर्धचालक लेजर की तुलना में अधिक कुशलता से प्रकाश उत्सर्जित करने की अनुमति देता है।

अपने छोटे आकार के कारण, परिमाण बिंदु निर्दिष्ट अर्धचालक के थोक गुणों को प्रदर्शित नहीं करते हैं, बल्कि मात्राबद्ध ऊर्जा अवस्थाओं को दर्शाते हैं। इस प्रभाव को परिमाण परिरोधन के रूप में जाना जाता है और इसने परिमाण कूप लेजर जैसे परिमाण बिंदुओं के कई अनुप्रयोगों की उत्पत्ति की है।

प्रिंसटन विश्वविद्यालय के शोधकर्ताओं ने हाल ही में एक परिमाण कूप लेजर बनाया है जो चावल के दाने से बड़ा नहीं है। लेज़र एक एकल इलेक्ट्रॉन द्वारा संचालित होता है जो दो परिमाण बिंदुओं से होकर गुजरता है; एक दोहरा परिमाण बिंदु है। सूक्ष्म तरंग क्षेत्र में फोटॉन उत्सर्जित करते समय इलेक्ट्रॉन उच्च ऊर्जा की स्थिति से निम्न ऊर्जा की स्थिति में चला जाता है। ये फोटॉन प्रकाश की किरण बनाने के लिए दर्पणों से उछलते हैं।

परिमाण कूप लेजर काफी हद तक प्रकाश और इलेक्ट्रॉनों के मध्य परस्पर क्रिया पर आधारित है। यह संबंध परिमाण भौतिक सिद्धांतों में एक प्रमुख घटक है जिसमें डी ब्रोगली तरंग दैर्घ्य और एक बॉक्स में कण सम्मिलित हैं। द्विक परिमाण बिंदु वैज्ञानिकों को एक इलेक्ट्रॉन की गति पर पूर्ण नियंत्रण प्राप्त करने की अनुमति देता है जिसके परिणामस्वरूप लेज़र किरणपुंज का उत्पादन होता है।

परिमाण बिंदु
परिमाण बिंदु अत्यंत छोटे अर्धचालक होते हैं (नैनोमीटर के पैमाने पर)। वे परिमाण परिरोधन प्रदर्शित करते हैं जिसमें इलेक्ट्रॉन "बिंदु" से बच नहीं सकते हैं, इस प्रकार एक बॉक्स में कण सन्निकटन का उपयोग करने की अनुमति मिलती है। उनके व्यवहार को त्रि-आयामी एक बॉक्स में कण ऊर्जा परिमाणीकरण समीकरणों द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

परिमाण बिंदु का ऊर्जा अंतराल इसकी संयोजकता और चालन बैंड के मध्य का ऊर्जा अंतराल है। यह ऊर्जा अंतराल $$\Delta E(r)$$ थोक सामग्री $$E_{\text{gap}}$$के साथ-साथ एक बॉक्स में कण से प्राप्त ऊर्जा समीकरण के बराबर है, जो इलेक्ट्रॉनों और छिद्रों के लिए ऊर्जा देता है। इसे निम्नलिखित समीकरण में देखा जा सकता है, जहाँ $$m^*_e$$ और $$m^*_h$$ इलेक्ट्रॉन और छिद्र के प्रभावी द्रव्यमान हैं, $$r$$ बिंदु की त्रिज्या है और $$h$$ प्लांक स्थिरांक है: $$\Delta E(r) = E_{\text{gap}}+\left ( \frac{h^2}{8r^2} \right ) \left( \frac{1}{m^*_e}+\frac{1}{m^*_h} \right)$$ इसलिए, परिमाण बिंदु का ऊर्जा अंतर "बॉक्स की लंबाई" के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है, अर्थात परिमाण बिंदु की त्रिज्या है।

बैंड अंतराल का प्रकलन प्रकाश की विशिष्ट तरंग दैर्ध्य के अवशोषण और उत्सर्जन की अनुमति देता है, क्योंकि ऊर्जा तरंग दैर्ध्य के व्युत्क्रमानुपाती होती है। परिमाण बिंदु जितना छोटा होगा, बैंड अंतराल उतना ही बड़ा होगा और इस प्रकार अवशोषित तरंग दैर्ध्य उतना ही कम होगा।

विभिन्न आकारों के परिमाण बिंदुओं को संश्लेषित करने के लिए विभिन्न अर्धचालक सामग्रियों का उपयोग किया जाता है और इसलिए वे प्रकाश की विभिन्न तरंग दैर्ध्य का उत्सर्जन करते हैं। ऐसी सामग्रियां जो सामान्यतः दृश्य क्षेत्र में प्रकाश उत्सर्जित करती हैं, प्रायः उपयोग की जाती हैं और उनके आकार को ठीक किया जाता है ताकि कुछ रंग उत्सर्जित हो सकें। परिमाण बिंदुओं को संश्लेषित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले विशिष्ट पदार्थ कैडमियम (Cd) और सेलेनियम (Se) हैं। उदाहरण के लिए, जब दो नैनोमीटर सीडीएसई परिमाण बिंदु उत्सर्जन वर्णक्रम के इलेक्ट्रॉन, नीली रोशनी उत्सर्जित होती है। इसी प्रकार, चार नैनोमीटर सीडीएसई परिमाण बिंदुओं में लाल रोशनी उत्सर्जित होती है।

परिमाण बिंदुओं में विभिन्न प्रकार के कार्य होते हैं, जिनमें प्रतिदीप्त रंजक, प्रतिरोधान्तरित्र, एलईडी, सौर सेल और प्रकाशीय जांच के माध्यम से चिकित्सा प्रतिबिंबन सम्मिलित हैं, लेकिन इन्हीं तक सीमित नहीं हैं।

परिमाण बिंदुओं का एक कार्य लसीका बिंदु प्रतिचित्रिण में उनका उपयोग है, जो निकट अवरक्त (NIR) क्षेत्र में प्रकाश उत्सर्जित करने की उनकी अद्वितीय क्षमता के कारण संभव है। लसीका बिंदु प्रतिचित्रिण शल्यचिकित्सकों को यह पता लगाने की अनुमति देता है कि कैंसर कोशिकाएं जहाँ उपस्थित हैं।

परिमाण बिंदु इन फलनों के लिए उज्ज्वल प्रकाश के उत्सर्जन, विभिन्न प्रकार की तरंग दैर्ध्य द्वारा उत्तेजना और अन्य पदार्थों की तुलना में प्रकाश के प्रति उच्च प्रतिरोध के कारण उपयोगी होते हैं।

सापेक्ष प्रभाव
यदि डिराक समीकरण के माध्यम से सापेक्ष प्रभावों को ध्यान में रखा जाए तो नोड्स पर संभाव्यता घनत्व शून्य नहीं होता है।

यह भी देखें

 * परिमाण यांत्रिकी का इतिहास
 * परिमित क्षमता अच्छी तरह से
 * डेल्टा फलन क्षमता
 * एक बॉक्स में गैस
 * एक वलय में कण
 * गोलाकार सममित विभव में कण
 * परिमाण हार्मोनिक ऑसिलेटर
 * अर्धवृत्ताकार क्षमता अच्छी तरह से
 * कॉन्फ़िगरेशन अभिन्न (सांख्यिकीय यांत्रिकी)
 * बलोच का प्रमेय

बाहरी संबंध

 * Configuration integral (statistical mechanics), 2008. this wiki site is down; see this article in the web archive on 2012 April 28.