एडजुगेट मैट्रिक्स

रैखिक बीजगणित में, एक वर्ग मैट्रिक्स का सहायक या शास्त्रीय जोड़ $A$ इसके सहकारक मैट्रिक्स का स्थानान्तरण है और इसे इसके द्वारा निरूपित किया जाता है $adj(A)$. इसे कभी-कभी सहायक मैट्रिक्स के रूप में भी जाना जाता है, या जोड़, हालाँकि बाद वाला शब्द आज आम तौर पर एक अलग अवधारणा को संदर्भित करता है, हर्मिटियन सहायक जो मैट्रिक्स के लिए संयुग्म स्थानान्तरण है।

इसके सहायक के साथ एक मैट्रिक्स का उत्पाद एक विकर्ण मैट्रिक्स देता है (मुख्य विकर्ण पर प्रविष्टियाँ शून्य नहीं हैं) जिनकी विकर्ण प्रविष्टियाँ मूल मैट्रिक्स के निर्धारक हैं:
 * $$\mathbf{A} \operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \det(\mathbf{A}) \mathbf{I},$$

कहाँ $I$ उसी आकार का पहचान मैट्रिक्स है $A$. नतीजतन, एक व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स का गुणन व्युत्क्रम उसके सहायक को उसके निर्धारक से विभाजित करके पाया जा सकता है।

परिभाषा
का निर्णायक $A$ सहकारक मैट्रिक्स का स्थानान्तरण है $C$ का $A$,
 * $$\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{C}^\mathsf{T}.$$

अधिक विस्तार से, मान लीजिए $R$ एक इकाई क्रमविनिमेय वलय है और $A$ एक $n&thinsp;×&thinsp;n$ से प्रविष्टियों के साथ मैट्रिक्स $R$. वह $(i, j)$-लघु (रैखिक बीजगणित) का $A$, निरूपित $M_{ij}$, का निर्धारक है $(n − 1)&thinsp;×&thinsp;(n − 1)$ मैट्रिक्स जो पंक्ति को हटाने से उत्पन्न होता है $i$ और कॉलम $j$ का $A$. सहकारक (रैखिक बीजगणित)#एक मैट्रिक्स का व्युत्क्रम $A$ है $n&thinsp;×&thinsp;n$ आव्यूह $C$ किसका $(i, j)$ प्रविष्टि है $(i, j)$ का सहकारक (रैखिक बीजगणित)। $A$, वह कौन सा है $(i, j)$-मामूली बार एक संकेत कारक:
 * $$\mathbf{C} = \left((-1)^{i+j} \mathbf{M}_{ij}\right)_{1 \le i, j \le n}.$$

का निर्णायक $A$ का स्थानांतरण है $C$, वह यह है कि $n&thinsp;×&thinsp;n$मैट्रिक्स जिसका $(i, j)$ प्रविष्टि है $(j,&hairsp;i)$ का सहकारक $A$,
 * $$\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{C}^\mathsf{T} = \left((-1)^{i+j} \mathbf{M}_{ji}\right)_{1 \le i, j \le n}.$$

महत्वपूर्ण परिणाम
एडजुगेट को इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि का उत्पाद $A$ इसके adjugate से एक विकर्ण मैट्रिक्स प्राप्त होता है जिसकी विकर्ण प्रविष्टियाँ निर्धारक होती हैं $det(A)$. वह है,
 * $$\mathbf{A} \operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \operatorname{adj}(\mathbf{A}) \mathbf{A} = \det(\mathbf{A}) \mathbf{I},$$

कहाँ $I$ है $n&thinsp;×&thinsp;n$ शिनाख्त सांचा। यह निर्धारक के लाप्लास विस्तार का परिणाम है।

उपरोक्त सूत्र मैट्रिक्स बीजगणित में मूलभूत परिणामों में से एक को दर्शाता है $A$ व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स है यदि और केवल यदि $det(A)$ की एक इकाई (रिंग सिद्धांत) है $R$. जब यह कायम रहता है, तो उपरोक्त समीकरण प्राप्त होता है
 * $$\begin{align}

\operatorname{adj}(\mathbf{A}) &= \det(\mathbf{A}) \mathbf{A}^{-1}, \\ \mathbf{A}^{-1} &= \det(\mathbf{A})^{-1} \operatorname{adj}(\mathbf{A}). \end{align}$$

1 × 1 सामान्य मैट्रिक्स
चूँकि 0 x 0 मैट्रिक्स का निर्धारक 1 है, किसी भी 1 × 1 मैट्रिक्स (जटिल संख्या अदिश) का सहायक है $$\mathbf{I} = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}$$. उसका अवलोकन करो $$\mathbf{A} \operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{A} \mathbf{I} = (\det \mathbf{A}) \mathbf {I}.$$

2 × 2 सामान्य मैट्रिक्स
2 × 2 मैट्रिक्स का एडजुगेट
 * $$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$$

है
 * $$\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}.$$

प्रत्यक्ष गणना द्वारा,
 * $$\mathbf{A} \operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{bmatrix} ad - bc & 0 \\ 0 & ad - bc \end{bmatrix} = (\det \mathbf{A})\mathbf{I}.$$

ऐसे में ये बात भी सच है $det$($adj$(ए))= $det$(ए) और इसलिए वह $adj$($adj$(ए)) = ए.

3 × 3 सामान्य मैट्रिक्स
3 × 3 मैट्रिक्स पर विचार करें
 * $$\mathbf{A} = \begin{bmatrix}

a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}.$$ इसका सहकारक मैट्रिक्स है
 * $$\mathbf{C} = \begin{bmatrix}

+\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \\ \\ -\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \\ \\ +\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} \end{bmatrix},$$ कहाँ
 * $$\begin{vmatrix} a_{im} & a_{in} \\ a_{jm} & a_{jn} \end{vmatrix}

= \det\!\begin{bmatrix} a_{im} & a_{in} \\ a_{jm} & a_{jn} \end{bmatrix} .$$ इसका सहायक इसके सहकारक मैट्रिक्स का स्थानान्तरण है,
 * $$\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{C}^\mathsf{T} = \begin{bmatrix}

+\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix} \\ & & \\ -\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} \\ & & \\ +\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} \end{bmatrix}.$$

3 × 3 संख्यात्मक मैट्रिक्स
एक विशिष्ट उदाहरण के रूप में, हमारे पास है
 * $$\operatorname{adj}\!\begin{bmatrix}

-3 & 2 & -5 \\ -1 &  0 & -2 \\ 3 & -4 &  1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -8 & 18 & -4 \\ -5 & 12 & -1 \\ 4 & -6 & 2 \end{bmatrix}.$$ यह जांचना आसान है कि एडजुगेट निर्धारक का व्युत्क्रम मैट्रिक्स गुणा है, $−6$. वह $−1$ दूसरी पंक्ति में, एडजुगेट के तीसरे कॉलम की गणना निम्नानुसार की गई थी। एडजुगेट की (2,3) प्रविष्टि ए का (3,2) सहकारक है। इस सहकारक की गणना मूल मैट्रिक्स ए की तीसरी पंक्ति और दूसरे स्तंभ को हटाकर प्राप्त सबमैट्रिक्स का उपयोग करके की जाती है।
 * $$\begin{bmatrix} -3 & -5 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}.$$

(3,2) सहकारक इस सबमैट्रिक्स के निर्धारक का एक संकेत गुना है:
 * $$(-1)^{3+2}\operatorname{det}\!\begin{bmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{bmatrix} = -(-3 \cdot -2 - -5 \cdot -1) = -1,$$

और यह सहायक की (2,3) प्रविष्टि है।

गुण
किसी के लिए $n&thinsp;×&thinsp;n$ आव्यूह $A$, प्रारंभिक गणना से पता चलता है कि adjugates में निम्नलिखित गुण हैं:
 * $$\operatorname{adj}(\mathbf{I}) = \mathbf{I}$$, कहाँ $$\mathbf{I}$$ पहचान मैट्रिक्स है.
 * $$\operatorname{adj}(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$$, कहाँ $$\mathbf{0}$$ शून्य मैट्रिक्स है, सिवाय इसके कि यदि $$n=1$$ तब $$\operatorname{adj}(\mathbf{0}) = \mathbf{I}$$.
 * $$\operatorname{adj}(c \mathbf{A}) = c^{n - 1}\operatorname{adj}(\mathbf{A})$$ किसी भी अदिश राशि के लिए $c$.
 * $$\operatorname{adj}(\mathbf{A}^\mathsf{T}) = \operatorname{adj}(\mathbf{A})^\mathsf{T}$$.
 * $$\det(\operatorname{adj}(\mathbf{A})) = (\det \mathbf{A})^{n-1}$$.
 * अगर $A$ तो उलटा है $$\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = (\det \mathbf{A}) \mathbf{A}^{-1}$$. यह इस प्रकार है कि:
 * $adj(A)$ व्युत्क्रम के साथ व्युत्क्रमणीय है $(det A)^{−1}A$.
 * $adj(A^{−1}) = adj(A)^{−1}$ प्रवेशवार बहुपद है $adj(A)$. विशेष रूप से, वास्तविक संख्या या जटिल संख्याओं पर, adjugate की प्रविष्टियों का एक सुचारू कार्य है $A$.
 * $A$ प्रवेशवार बहुपद है $B$. विशेष रूप से, वास्तविक संख्या या जटिल संख्याओं पर, adjugate की प्रविष्टियों का एक सुचारू कार्य है $n&thinsp;×&thinsp;n$.

सम्मिश्र संख्याओं पर,
 * $$\operatorname{adj}(\overline\mathbf{A}) = \overline{\operatorname{adj}(\mathbf{A})}$$, जहां बार जटिल संयुग्मन को दर्शाता है।
 * $$\operatorname{adj}(\mathbf{A}^*) = \operatorname{adj}(\mathbf{A})^*$$, जहां तारांकन संयुग्म स्थानांतरण को दर्शाता है।

लगता है कि $A$ दूसरा है $B$ आव्यूह। तब
 * $$\operatorname{adj}(\mathbf{AB}) = \operatorname{adj}(\mathbf{B})\operatorname{adj}(\mathbf{A}).$$

यह तीन प्रकार से गणितीय प्रमाण हो सकता है। एक तरीका, जो किसी भी क्रमविनिमेय वलय के लिए मान्य है, कॉची-बिनेट सूत्र का उपयोग करके सीधी गणना है। दूसरा तरीका, जो वास्तविक या जटिल संख्याओं के लिए मान्य है, पहले व्युत्क्रमणीय आव्यूहों का निरीक्षण करना है $A$ और $B$,
 * $$\operatorname{adj}(\mathbf{B})\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = (\det \mathbf{B})\mathbf{B}^{-1}(\det \mathbf{A})\mathbf{A}^{-1} = (\det \mathbf{AB})(\mathbf{AB})^{-1} = \operatorname{adj}(\mathbf{AB}).$$

चूँकि प्रत्येक गैर-व्युत्क्रमणीय आव्यूह व्युत्क्रमणीय आव्यूहों की सीमा है, इसलिए सहायक के निरंतर कार्य का तात्पर्य यह है कि सूत्र तब सत्य रहता है जब इनमें से कोई एक हो $A$ या $A$ उलटा नहीं है.

पिछले सूत्र का एक परिणाम यह है कि, किसी भी गैर-नकारात्मक पूर्णांक के लिए $k$,
 * $$\operatorname{adj}(\mathbf{A}^k) = \operatorname{adj}(\mathbf{A})^k.$$

अगर $B$ व्युत्क्रमणीय है, तो उपरोक्त सूत्र ऋणात्मक के लिए भी मान्य है $k$.

पहचान से
 * $$(\mathbf{A} + \mathbf{B})\operatorname{adj}(\mathbf{A} + \mathbf{B})\mathbf{B} = \det(\mathbf{A} + \mathbf{B})\mathbf{B} = \mathbf{B}\operatorname{adj}(\mathbf{A} + \mathbf{B})(\mathbf{A} + \mathbf{B}),$$

हम निष्कर्ष निकालते हैं
 * $$\mathbf{A}\operatorname{adj}(\mathbf{A} + \mathbf{B})\mathbf{B} = \mathbf{B}\operatorname{adj}(\mathbf{A} + \mathbf{B})\mathbf{A}.$$

लगता है कि $AB = BA$ आवागमन मैट्रिक्स ेस के साथ $adj(A)$. पहचान को गुणा करना $A$ बाएँ और दाएँ पर $adj(A)$ यह साबित करता है
 * $$\det(\mathbf{A})\operatorname{adj}(\mathbf{A})\mathbf{B} = \det(\mathbf{A})\mathbf{B}\operatorname{adj}(\mathbf{A}).$$

अगर $B$ व्युत्क्रमणीय है, इसका तात्पर्य यह है $adj(A)$ भी साथ आवागमन करता है $B$. वास्तविक या जटिल संख्याओं पर, निरंतरता का तात्पर्य है $A$ के साथ आवागमन करता है $det(A+t&hairsp;I)$ यहां तक ​​कि जब $adj((A+t&hairsp;I)(B))$ उलटा नहीं है.

अंत में, दूसरे प्रमाण की तुलना में एक अधिक सामान्य प्रमाण है, जिसके लिए केवल यह आवश्यक है कि एक n × n मैट्रिक्स में कम से कम 2n + 1 तत्वों (उदाहरण के लिए पूर्णांक मॉड्यूलर अंकगणित 11 पर 5 × 5 मैट्रिक्स) के साथ एक फ़ील्ड (गणित) पर प्रविष्टियाँ हों ). $adj(A+t&hairsp;I)&hairsp;adj(B)$ t में एक बहुपद है जिसमें अधिकतम n पर बहुपद की घात होती है, इसलिए इसमें बहुपद का अधिकतम n मूल होता है। ध्यान दें कि ij&hairsp;वीं प्रविष्टि $A+t&hairsp;I$अधिकतम क्रम n का एक बहुपद है, और इसी तरह के लिए भी $A$. Ij&hairsp;वीं प्रविष्टि पर ये दो बहुपद कम से कम n+ 1 अंक पर सहमत हैं, क्योंकि हमारे पास क्षेत्र के कम से कम n+ 1 तत्व हैं जहां $adj&hairsp;A$ व्युत्क्रमणीय है, और हमने व्युत्क्रमणीय आव्यूहों की पहचान सिद्ध कर दी है। डिग्री n के बहुपद जो n+ 1 बिंदुओं पर सहमत होते हैं, समान होने चाहिए (उन्हें एक दूसरे से घटाएं और आपके पास अधिकतम n डिग्री वाले बहुपद के लिए n+ 1 मूल होंगे - एक विरोधाभास जब तक कि उनका अंतर समान रूप से शून्य न हो)। चूँकि दोनों बहुपद समान हैं, वे t के प्रत्येक मान के लिए समान मान लेते हैं। इस प्रकार, जब t = 0 होता है तो वे समान मान लेते हैं।

उपरोक्त गुणों और अन्य प्राथमिक गणनाओं का उपयोग करके, यह दिखाना आसान है कि यदि $A$ में निम्नलिखित गुणों में से एक है $adj(A)$ भी करता है:
 * ऊपरी त्रिकोणीय,
 * निचला त्रिकोणीय,
 * विकर्ण मैट्रिक्स,
 * ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स,
 * एकात्मक मैट्रिक्स,
 * सममित मैट्रिक्स,
 * हर्मिटियन मैट्रिक्स,
 * तिरछा-सममित मैट्रिक्स|तिरछा-सममित,
 * तिरछा-Hermitian,
 * सामान्य मैट्रिक्स.

अगर $A$ उलटा है, तो, जैसा कि ऊपर बताया गया है, इसके लिए एक सूत्र है $A$ निर्धारक और व्युत्क्रम के संदर्भ में $rk(A) ≤ n − 2$. कब $adj(A) = 0$ उलटा नहीं है, एडजुगेट अलग-अलग लेकिन निकट से संबंधित सूत्रों को संतुष्ट करता है।
 * अगर $rk(A) = n −&thinsp;1$, तब $rk(adj(A)) = 1$.
 * अगर $adj(A)$, तब $adj(A)&hairsp;A = 0$. (कुछ माइनर गैर-शून्य है, इसलिए $adj(A)$ गैर-शून्य है और इसलिए इसकी रैंक (रैखिक बीजगणित) कम से कम एक है; पहचान $n −&thinsp;1$ तात्पर्य यह है कि शून्य स्थान का आयाम (वेक्टर स्थान)। $adj(A) = αxy^{T}$ कम से कम है $α$, इसलिए इसकी रैंक अधिकतम एक है।) यह उसका अनुसरण करता है $x$, कहाँ $y$ एक अदिश राशि है और $Ax = 0$ और $A^{T}&thinsp;y = 0$ ऐसे सदिश हैं $A$ और $b$.

कॉलम प्रतिस्थापन और क्रैमर नियम
PARTITION $n$ स्तंभ सदिश में:
 * $$\mathbf{A} = \begin{bmatrix}\mathbf{a}_1 & \cdots & \mathbf{a}_n\end{bmatrix}.$$

होने देना $1&thinsp;≤ i ≤ n$ आकार का एक कॉलम वेक्टर बनें $i$. हल करना $A$ और कॉलम को प्रतिस्थापित करके गठित मैट्रिक्स पर विचार करें $b$ का $adj(A)b$ द्वारा $A$:
 * $$(\mathbf{A} \stackrel{i}{\leftarrow} \mathbf{b})\ \stackrel{\text{def}}{=}\ \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 & \cdots & \mathbf{a}_{i-1} & \mathbf{b} & \mathbf{a}_{i+1} & \cdots & \mathbf{a}_n \end{bmatrix}.$$

लाप्लास कॉलम के साथ इस मैट्रिक्स के निर्धारक का विस्तार करता है $i$. परिणाम प्रवेश है $i$ उत्पाद की $adj(A)$. विभिन्न संभावितों के लिए इन निर्धारकों को एकत्रित करना $i$ कॉलम वैक्टर की समानता उत्पन्न करता है
 * $$\left(\det(\mathbf{A} \stackrel{i}{\leftarrow} \mathbf{b})\right)_{i=1}^n = \operatorname{adj}(\mathbf{A})\mathbf{b}.$$

इस सूत्र के निम्नलिखित ठोस परिणाम हैं। समीकरणों की रैखिक प्रणाली पर विचार करें
 * $$\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}.$$

ये मान लीजिए $x_{i}$ एकवचन मैट्रिक्स है|गैर-एकवचन। इस प्रणाली को बायीं ओर से गुणा करना $x$ और निर्धारक पैदावार से विभाजित करना
 * $$\mathbf{x} = \frac{\operatorname{adj}(\mathbf{A})\mathbf{b}}{\det \mathbf{A}}.$$

इस स्थिति में पिछले सूत्र को लागू करने से क्रैमर का नियम प्राप्त होता है,
 * $$x_i = \frac{\det(\mathbf{A} \stackrel{i}{\leftarrow} \mathbf{b})}{\det \mathbf{A}},$$

कहाँ $A$ है $i$वीं प्रविष्टि $p$.

अभिलक्षणिक बहुपद
मान लीजिए कि इसका अभिलक्षणिक बहुपद है $n −&thinsp;1$ होना
 * $$p(s) = \det(s\mathbf{I} - \mathbf{A}) = \sum_{i=0}^n p_i s^i \in R[s].$$

का पहला विभाजित अंतर $sI − A$ घात का एक सममित बहुपद है $p(A) = 0$,
 * $$\Delta p(s, t) = \frac{p(s) - p(t)}{s - t} = \sum_{0 \le j + k < n} p_{j+k+1} s^j t^k \in R[s, t].$$

गुणा $A$ इसके adjugate द्वारा. तब से $A(t)$ केली-हैमिल्टन प्रमेय द्वारा, कुछ प्राथमिक जोड़-तोड़ से पता चलता है
 * $$\operatorname{adj}(s\mathbf{I} - \mathbf{A}) = \Delta p(s\mathbf{I}, \mathbf{A}).$$

विशेष रूप से, संकल्पात्मक औपचारिकता $p_{A}(t)$ को परिभाषित किया गया है
 * $$R(z; \mathbf{A}) = (z\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1},$$

और उपरोक्त सूत्र के अनुसार, यह बराबर है
 * $$R(z; \mathbf{A}) = \frac{\Delta p(z\mathbf{I}, \mathbf{A})}{p(z)}.$$

जैकोबी का सूत्र
निर्धारक के व्युत्पन्न के लिए एडजुगेट जैकोबी के सूत्र में भी दिखाई देता है। अगर $A$ तो फिर लगातार भिन्न-भिन्न है
 * $$\frac{d(\det \mathbf{A})}{dt}(t) = \operatorname{tr}\left(\operatorname{adj}(\mathbf{A}(t)) \mathbf{A}'(t)\right).$$

यह इस प्रकार है कि निर्धारक का कुल व्युत्पन्न सहायक का स्थानान्तरण है:
 * $$d(\det \mathbf{A})_{\mathbf{A}_0} = \operatorname{adj}(\mathbf{A}_0)^{\mathsf{T}}.$$

केली-हैमिल्टन सूत्र
होने देना $adj(A)$ का अभिलक्षणिक बहुपद बनें $A$. केली-हैमिल्टन प्रमेय यह बताता है
 * $$p_{\mathbf{A}}(\mathbf{A}) = \mathbf{0}.$$

अचर पद को अलग करना और समीकरण को इससे गुणा करना $p_{A}(t)$ उस निर्णय के लिए एक अभिव्यक्ति देता है जो केवल पर निर्भर करता है $A$ और के गुणांक $A$. इन गुणांकों को शक्तियों के ट्रेस (रैखिक बीजगणित) के संदर्भ में स्पष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है $k_{l} ≥ 0$ पूर्ण घातीय बेल बहुपद का उपयोग करना। परिणामी सूत्र है
 * $$\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \sum_{s=0}^{n-1} \mathbf{A}^{s} \sum_{k_1, k_2, \ldots, k_{n-1}} \prod_{\ell=1}^{n-1} \frac{(-1)^{k_\ell+1}}{\ell^{k_\ell}k_{\ell}!}\operatorname{tr}(\mathbf{A}^\ell)^{k_\ell},$$

कहाँ $n$ का आयाम है $A$, और राशि ले ली जाती है $s$ और सभी अनुक्रम $V$ रैखिक डायोफैंटाइन समीकरण को संतुष्ट करना
 * $$s+\sum_{\ell=1}^{n-1}\ell k_\ell = n - 1.$$

2 × 2 मामले के लिए, यह देता है
 * $$\operatorname{adj}(\mathbf{A})=\mathbf{I}_2(\operatorname{tr}\mathbf{A}) - \mathbf{A}.$$

3 × 3 मामले के लिए, यह देता है
 * $$\operatorname{adj}(\mathbf{A})=\frac{1}{2}\mathbf{I}_3\!\left( (\operatorname{tr}\mathbf{A})^2-\operatorname{tr}\mathbf{A}^2\right) - \mathbf{A}(\operatorname{tr}\mathbf{A}) + \mathbf{A}^2 .$$

4 × 4 मामले के लिए, यह देता है
 * $$\operatorname{adj}(\mathbf{A})=

\frac{1}{6}\mathbf{I}_4\!\left( (\operatorname{tr}\mathbf{A})^3  - 3\operatorname{tr}\mathbf{A}\operatorname{tr}\mathbf{A}^2  + 2\operatorname{tr}\mathbf{A}^{3} \right) - \frac{1}{2}\mathbf{A}\!\left( (\operatorname{tr}\mathbf{A})^2 - \operatorname{tr}\mathbf{A}^2\right) + \mathbf{A}^2(\operatorname{tr}\mathbf{A}) - \mathbf{A}^3.$$ वही सूत्र सीधे फद्दीव-लेवेरियर एल्गोरिथ्म के अंतिम चरण का अनुसरण करता है, जो कुशलता से विशेषता बहुपद को निर्धारित करता है $n$.

बाह्य बीजगणित से संबंध
बाहरी बीजगणित का उपयोग करके सहायक को अमूर्त शब्दों में देखा जा सकता है। होने देना $R$ सेम $v ∈ V$-आयामी सदिश समष्टि. बाहरी उत्पाद एक द्विरेखीय युग्मन को परिभाषित करता है
 * $$V \times \wedge^{n-1} V \to \wedge^n V.$$

संक्षेप में, $$\wedge^n V$$ के लिए समरूपी है $T : V &rarr; V$, और ऐसी किसी भी समरूपता के तहत बाहरी उत्पाद एक आदर्श युग्मन है। इसलिए, यह एक समरूपता उत्पन्न करता है
 * $$\phi \colon V\ \xrightarrow{\cong}\ \operatorname{Hom}(\wedge^{n-1} V, \wedge^n V).$$

स्पष्ट रूप से, यह जोड़ी भेजती है $(n −&thinsp;1)$ को $$\phi_{\mathbf{v}}$$, कहाँ
 * $$\phi_\mathbf{v}(\alpha) = \mathbf{v} \wedge \alpha.$$

लगता है कि $T$ एक रैखिक परिवर्तन है. द्वारा पुलबैक $Hom$सेंट बाहरी शक्ति $T$ का एक रूपवाद प्रेरित करता है $V = R^{n}$ रिक्त स्थान. का निर्णायक $e_{1}, …, e_{n}$ समग्र है
 * $$V\ \xrightarrow{\phi}\ \operatorname{Hom}(\wedge^{n-1} V, \wedge^n V)\ \xrightarrow{(\wedge^{n-1} T)^*}\ \operatorname{Hom}(\wedge^{n-1} V, \wedge^n V)\ \xrightarrow{\phi^{-1}}\ V.$$

अगर $T$ अपने विहित आधार से संपन्न है $A$, और यदि का मैट्रिक्स $T$इसमें आधार (रैखिक बीजगणित) है $A$, फिर का adjugate $e_{i}$ का सहायक है $R^{n}$. यह देखने के लिए कि क्यों, दे दो $$\wedge^{n-1} \mathbf{R}^n$$ बुनियाद
 * $$\{\mathbf{e}_1 \wedge \dots \wedge \hat\mathbf{e}_k \wedge \dots \wedge \mathbf{e}_n\}_{k=1}^n.$$

एक आधार वेक्टर ठीक करें $e_{i}$ का $(n −&thinsp;1)$. की छवि $T$ अंतर्गत $$\phi$$ यह इस आधार पर निर्धारित होता है कि यह आधार वैक्टर कहां भेजता है:
 * $$\phi_{\mathbf{e}_i}(\mathbf{e}_1 \wedge \dots \wedge \hat\mathbf{e}_k \wedge \dots \wedge \mathbf{e}_n)

= \begin{cases} (-1)^{i-1} \mathbf{e}_1 \wedge \dots \wedge \mathbf{e}_n, &\text{if}\ k = i, \\ 0 &\text{otherwise.} \end{cases}$$ वेक्टर के आधार पर, $k = i$सेंट बाहरी शक्ति $T$ है
 * $$\mathbf{e}_1 \wedge \dots \wedge \hat\mathbf{e}_j \wedge \dots \wedge \mathbf{e}_n \mapsto \sum_{k=1}^n (\det A_{jk}) \mathbf{e}_1 \wedge \dots \wedge \hat\mathbf{e}_k \wedge \dots \wedge \mathbf{e}_n.$$

इनमें से प्रत्येक पद शून्य के अंतर्गत मैप करता है $$\phi_{\mathbf{e}_i}$$ सिवाय $A$ अवधि। इसलिए, की वापसी $$\phi_{\mathbf{e}_i}$$ जिसके लिए रैखिक परिवर्तन है
 * $$\mathbf{e}_1 \wedge \dots \wedge \hat\mathbf{e}_j \wedge \dots \wedge \mathbf{e}_n \mapsto (-1)^{i-1} (\det A_{ji}) \mathbf{e}_1 \wedge \dots \wedge \mathbf{e}_n,$$

अर्थात् यह बराबर है
 * $$\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} (\det A_{ji})\phi_{\mathbf{e}_j}.$$

का उलटा लगाना $$\phi$$ दर्शाता है कि का adjugate $V$ जिसके लिए रैखिक परिवर्तन है
 * $$\mathbf{e}_i \mapsto \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}(\det A_{ji})\mathbf{e}_j.$$

नतीजतन, इसका मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व का सहायक है $φ$.

अगर $φ$ एक आंतरिक उत्पाद और एक वॉल्यूम फॉर्म से संपन्न है, फिर मानचित्र $ω$ को और अधिक विघटित किया जा सकता है। इस मामले में, $v$ को हॉज स्टार ऑपरेटर और दोहरीकरण के संयोजन के रूप में समझा जा सकता है। विशेष रूप से, यदि $R^{n}$ आयतन रूप है, तो यह, आंतरिक उत्पाद के साथ मिलकर, एक समरूपता निर्धारित करता है
 * $$\omega^\vee \colon \wedge^n V \to \mathbf{R}.$$

यह एक समरूपता को प्रेरित करता है
 * $$\operatorname{Hom}(\wedge^{n-1} \mathbf{R}^n, \wedge^n \mathbf{R}^n) \cong \wedge^{n-1} (\mathbf{R}^n)^\vee.$$

एक सदिश $
 * v$ में $ω^{∨}∘&thinsp;φ$ रैखिक कार्यात्मकता से मेल खाता है
 * $$(\alpha \mapsto \omega^\vee(\mathbf{v} \wedge \alpha)) \in \wedge^{n-1} (\mathbf{R}^n)^\vee.$$

हॉज स्टार ऑपरेटर की परिभाषा के अनुसार, यह रैखिक कार्यात्मकता दोहरी है $v ↦ *v^{∨}$. वह है, $A$ बराबर है $n&thinsp;×&thinsp;n$.

उच्च adjugates
होने देना $r &ge; 0$ सेम $r$ मैट्रिक्स, और ठीक करें $A$.$adj_{r}&thinsp;A$वां उच्चतर अधिनिर्णय $r$ एक $\binom{n}{r} \!\times\! \binom{n}{r}$ मैट्रिक्स, निरूपित $I$, जिनकी प्रविष्टियाँ आकार के आधार पर अनुक्रमित की जाती हैं $J$ उपसमुच्चय ${1, ..., m }$ और $I$ का $J$. होने देना $I$ और $J$ के पूरक (सेट सिद्धांत) को निरूपित करें $A$ और $I$, क्रमश। चलो भी $$\mathbf{A}_{I^c, J^c}$$ के सबमैट्रिक्स को निरूपित करें $J$ जिसमें वे पंक्तियाँ और स्तंभ शामिल हैं जिनके सूचकांक हैं $(I, J)$ और $adj_{r} A$, क्रमश। फिर $σ(I)$की प्रविष्टि $σ(J)$ है
 * $$(-1)^{\sigma(I) + \sigma(J)}\det \mathbf{A}_{J^c, I^c},$$

कहाँ $I$ और $J$ के तत्वों का योग है $adj_{0}(A) = det&thinsp;A$ और $adj_{1}(A) = adj&thinsp;A$, क्रमश।

उच्च adjugates के मूल गुणों में शामिल हैं: उच्चतर एडजुगेट को सामान्य एडजुगेट, प्रतिस्थापन के समान ही अमूर्त बीजीय शब्दों में परिभाषित किया जा सकता है $$\wedge^r V$$ और $$\wedge^{n-r} V$$ के लिए $$V$$ और $$\wedge^{n-1} V$$, क्रमश।
 * $$\operatorname{adj}_r(\mathbf{A})C_r(\mathbf{A}) = C_r(\mathbf{A})\operatorname{adj}_r(\mathbf{A}) = (\det \mathbf{A})I_{\binom{n}{r}}$$, कहाँ $adj_{n}(A) = 1$ दर्शाता है $adj_{r}(BA) = adj_{r}(A)&thinsp;adj_{r}(B)$&हेयरस्प;यौगिक मैट्रिक्स।
 * $$\operatorname{adj}_r(\mathbf{A})C_r(\mathbf{A}) = C_r(\mathbf{A})\operatorname{adj}_r(\mathbf{A}) = (\det \mathbf{A})I_{\binom{n}{r}}$$, कहाँ $C_{r}(A)$ दर्शाता है $r$&हेयरस्प;यौगिक मैट्रिक्स।
 * $$\operatorname{adj}_r(\mathbf{A})C_r(\mathbf{A}) = C_r(\mathbf{A})\operatorname{adj}_r(\mathbf{A}) = (\det \mathbf{A})I_{\binom{n}{r}}$$, कहाँ ᙭᙭᙭᙭᙭ दर्शाता है ᙭᙭᙭᙭᙭&हेयरस्प;यौगिक मैट्रिक्स।
 * $$\operatorname{adj}_r(\mathbf{A})C_r(\mathbf{A}) = C_r(\mathbf{A})\operatorname{adj}_r(\mathbf{A}) = (\det \mathbf{A})I_{\binom{n}{r}}$$, कहाँ ᙭᙭᙭᙭᙭ दर्शाता है ᙭᙭᙭᙭᙭&हेयरस्प;यौगिक मैट्रिक्स।
 * $$\operatorname{adj}_r(\mathbf{A})C_r(\mathbf{A}) = C_r(\mathbf{A})\operatorname{adj}_r(\mathbf{A}) = (\det \mathbf{A})I_{\binom{n}{r}}$$, कहाँ ᙭᙭᙭᙭᙭ दर्शाता है ᙭᙭᙭᙭᙭&हेयरस्प;यौगिक मैट्रिक्स।

पुनरावृत्त adjugates
एक व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स ए का एडजुगेट लेते हुए पुनरावृत्त फ़ंक्शन $k$ गुना पैदावार होती है


 * $$\overbrace{\operatorname{adj}\dotsm\operatorname{adj}}^k(\mathbf{A})=\det(\mathbf{A})^{\frac{(n-1)^k-(-1)^k}n}\mathbf{A}^{(-1)^k},$$
 * $$\det(\overbrace{\operatorname{adj}\dotsm\operatorname{adj}}^k(\mathbf{A}))=\det(\mathbf{A})^{(n-1)^k}.$$

उदाहरण के लिए,
 * $$\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\mathbf{A})) = \det(\mathbf{A})^{n - 2} \mathbf{A}.$$
 * $$\det(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\mathbf{A}))) = \det(\mathbf{A})^{(n - 1)^2}.$$

यह भी देखें

 * केली-हैमिल्टन प्रमेय
 * क्रैमर का नियम
 * ट्रेस आरेख
 * जैकोबी का सूत्र
 * फद्दीव-लेवेरियर एल्गोरिदम
 * यौगिक मैट्रिक्स

ग्रन्थसूची

 * Roger A. Horn and Charles R. Johnson (2013), Matrix Analysis, Second Edition. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6
 * Roger A. Horn and Charles R. Johnson (1991), Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46713-1

बाहरी संबंध

 * Matrix Reference Manual
 * Online matrix calculator (determinant, track, inverse, adjoint, transpose) Compute Adjugate matrix up to order 8