सापेक्षिक ऊष्मा चालन

सापेक्षिक ऊष्मा चालन का तात्पर्य विशेष सापेक्षता के अनुकूल एक तरह से ऊष्मा चालन (और समान प्रसार प्रक्रियाओं) के मॉडलिंग से है। विशेष (और सामान्य सापेक्षता) सापेक्षता में, गैर-सापेक्षतावादी ऊष्मा चालन के लिए सामान्य ऊष्मा समीकरण को संशोधित किया जाना चाहिए, क्योंकि इससे प्रकाश से भी तेज़ सिग्नल प्रसार होता है। इसलिए, सापेक्षतावादी ऊष्मा चालन में निरंतर मीडिया (ठोस, तरल पदार्थ, गैस) में ऊष्मा के प्रसार के लिए मॉडलों का समूह सम्मिलित होता है जो सापेक्षतावादी कॉसलिटी (भौतिकी) के अनुरूप होता है, अर्थात यह सिद्धांत कि एक प्रभाव उसके कारण से जुड़े प्रकाश-शंकु के अन्दर होना चाहिए। ऊष्मा संचालन के लिए कोई भी उचित सापेक्षतावादी मॉडल भी ल्यपुनोव स्थिरता होना चाहिए, इस अर्थ में कि तापमान में अंतर प्रकाश की तुलना में धीमी गति से प्रसारित है और समय के साथ कम (यह स्थिरता संपत्ति सापेक्षतावादी कॉसलिटी के साथ घनिष्ठ रूप से जुड़ी हुई है ) हो जाता है।

परवलयिक मॉडल (गैर-सापेक्षतावादी)
न्यूटोनियन संदर्भ में ऊष्मा चालन ऊष्मा समीकरण द्वारा प्रतिरूपित होता है, अर्थात् इस प्रकार का परवलयिक आंशिक अवकल समीकरण:


 * $$\frac{\partial\theta}{\partial t}~=~\alpha~\nabla^2\theta ,$$

जहां θ तापमान है, भौतिकी में t समय है, α = k/(ρ c) तापीय प्रसार है, k तापीय चालकता है, ρ घनत्व है, और c विशिष्ट ताप क्षमता है। लाप्लास ऑपरेटर,$$\scriptstyle\nabla^2$$, को कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में परिभाषित किया गया है


 * $$\nabla^2~=~\frac{\partial^2}{\partial x^2}~+~\frac{\partial^2}{\partial y^2}~+~\frac{\partial^2}{\partial z^2} .$$

यह फूरियर समीकरण ताप प्रवाह वेक्टर, q के फूरियर के रैखिक सन्निकटन को तापमान प्रवणता के एक फलन के रूप में प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जा सकता है,


 * $$\mathbf{q}~=~-k~\nabla\theta ,$$

ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम में


 * $$\rho~c~\frac{\partial \theta}{\partial t}~+ ~\nabla \cdot \mathbf{q}~=~ 0 ,$$

जहां डेल ऑपरेटर, ∇ को 3D में परिभाषित किया गया है


 * $$\nabla ~=~\frac{\partial}{\partial x}~\mathbf{i}~+~\frac{\partial}{\partial y}~\mathbf{j}~+~\frac{\partial}{\partial z}~\mathbf{k} .$$

यह दिखाया जा सकता है कि ऊष्मा प्रवाह वेक्टर की यह परिभाषा ऊष्मागतिकी के दूसरे नियम को भी संतुष्ट करती है,
 * $$\nabla\cdot\left(\frac{\mathbf{q}}{\theta}\right)~+~\rho~\frac{\partial s}{\partial t}~=~\sigma,$$

जहां s विशिष्ट एन्ट्रापी है और σ एन्ट्रापी उत्पादन है। यह गणितीय मॉडल विशेष सापेक्षता के साथ असंगत है: ऊष्मा समीकरण से जुड़े ग्रीन फ़ंक्शन में समर्थन होता है जो प्रकाश-शंकु के बाहर प्रसारित है, जिससे सूचना का प्रकाश से भी तेज प्रसार होता है। उदाहरण के लिए, मूल बिंदु पर ऊष्मा के स्पंदन पर विचार करें; फिर फूरियर समीकरण के अनुसार, इसे किसी भी दूर बिंदु पर तुरंत अनुभव (अर्थात् तापमान में परिवर्तन) किया जाता है। ऊष्मा के प्रसार की गति निर्वात में प्रकाश की गति से तेज़ होती है, जो सापेक्षता के संरचना के अन्दर अस्वीकार्य है।

अतिशयोक्तिपूर्ण मॉडल (सापेक्षतावादी)
ऊपर चर्चा की गई ऊष्मा चालन के लिए परवलयिक मॉडल से पता चलता है कि फूरियर समीकरण (और अधिक सामान्य फ़िक का प्रसार का नियम) कम से कम एक कारण से सापेक्षता के सिद्धांत के साथ असंगत है: यह सातत्य क्षेत्र (भौतिकी) के प्रसार की अनंत गति ( इस स्थिति में: गर्मी, या तापमान प्रवणता) को स्वीकार करता है। इस विरोधाभास को दूर करने के लिए, कार्लो कट्टानेओ, वेर्नोटे, चेस्टर, और अन्य जैसे कार्यकर्ताओं ने प्रस्ताव दिया कि फूरियर समीकरण को परवलयिक से अतिपरवलयिक रूप में उन्नत किया जाना चाहिए, जहां n, तापमान क्षेत्र $$\theta$$ द्वारा शासित है:


 * $$\frac{1}{C^2}~\frac{\partial^2\theta}{\partial t^2}~+~\frac{1}{\alpha}~\frac{\partial\theta}{\partial t}~=~\nabla^2\theta$$.

इस समीकरण में, C को दूसरी ध्वनि (जो कि उत्तेजित अवस्था और फोनन की तरह अर्धकण से संबंधित है) की गति कहा जाता है। समीकरण को हाइपरबोलिक आंशिक अंतर समीकरण ऊष्मा चालन (एचसीसी) समीकरण के रूप में जाना जाता है। गणितीय रूप से, उपरोक्त समीकरण को टेलीग्राफ समीकरण कहा जाता है, क्योंकि यह औपचारिक रूप से टेलीग्राफर के समीकरणों के समान है, जिसे मैक्सवेल के इलेक्ट्रोडायनामिक्स के समीकरणों से प्राप्त किया जा सकता है।

एचएचसी समीकरण को थर्मोडायनामिक्स के पहले नियम के साथ संगत बनाए रखने के लिए, ताप प्रवाह वेक्टर, q की परिभाषा को संशोधित करना आवश्यक है।


 * $$\tau_{_0}~\frac{\partial\mathbf{q}}{\partial t}~+~\mathbf{q}~=~-k~\nabla\theta,$$
 * ऊष्मा प्रवाह के इस समीकरण को अधिकांश "मैक्सवेल-कैटेनियो समीकरण" के रूप में जाना जाता है। हाइपरबोलिक समीकरण का सबसे महत्वपूर्ण निहितार्थ यह है कि परवलयिक (अपव्यय) से हाइपरबोलिक (एक संरक्षण कानून शब्द सम्मिलित) आंशिक अंतर समीकरण में स्विच करने से, थर्मल अनुनाद और थर्मल शॉक तरंगों  जैसी घटनाओं की संभावना होती है।

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