लैग्रेंज व्युत्क्रम प्रमेय

गणितीय विश्लेषण में, लैग्रेंज व्युत्क्रम प्रमेय, जिसे लैग्रेंज-बर्मन सूत्र के रूप में भी जाना जाता है, विश्लेषणात्मक फलन एक व्युत्क्रम फलन के टेलरश्रेणी मे विस्तार करता है।

कथन
मान लीजिए कि $z$ को एक समीकरण द्वारा $w$ के फलन के रूप में परिभाषित किया गया है


 * $$z = f(w)$$

जहाँ $f$ एक बिंदु पर विश्लेषणात्मक होता है $a$ और $$f'(a)\neq 0$$ तब $w$ के लिए समीकरण को अंतर्वर्त करना या हल करना संभव होता है, इसे इस रूप में व्यक्त करना $$w=g(z)$$ एक घात श्रेणी द्वारा दिया गया
 * $$ g(z) = a + \sum_{n=1}^{\infty} g_n \frac{(z - f(a))^n}{n!}, $$

जहाँ
 * $$ g_n = \lim_{w \to a} \frac{d^{n-1}}{dw^{n-1}} \left[\left( \frac{w-a}{f(w) - f(a)} \right)^n \right]. $$

प्रमेय बताता है है कि इस श्रृंखला में अभिसरण की एक गैर-शून्य त्रिज्या होता है, अर्थात, $$g(z)$$ निकटतम में $z$ के एक विश्लेषणात्मक कार्य का प्रतिनिधित्व करता है $$z= f(a)$$ इसे श्रृंखला का प्रत्यावर्तन भी कहा जाता है।

यदि विश्लेषणात्मकता के बारे में प्रमाण छोड़ दिए जाते हैं, तो सूत्र औपचारिक घात श्रेणी के लिए भी मान्य होते है और इसे विभिन्न विधियों से सामान्यीकृत किया जा सकता है: इसे कई चरों के फलनों के लिए तैयार किया जा सकता है; इसे किसी भी विश्लेषणात्मक फलन $F$ के लिए $F(g(z))$ तैयार फॉर्मूला प्रदान करने के लिए बढ़ाया जा सकता है; और इसे स्थिति में सामान्यीकृत किया जा सकता है $$f'(a)=0,$$ जहां व्युत्क्रम $g$ एक बहुमूल्यवान फलन होता है।

इस प्रमेय को जोसेफ लुई लैग्रेंज ने प्रमाणित किया था और हंस हेनरिक बर्मन द्वारा दोनों 18वीं सदी के अंत में,  सामान्यीकृत किया गया था। जटिल विश्लेषण और समोच्च एकीकरण का उपयोग करके इसमे एक सीधी व्युत्पत्ति होती है; जटिल औपचारिक घात श्रेणी संस्करण बहुपदो के सूत्र को जानने का परिणाम है, इसलिए विश्लेषणात्मक फलनों के सिद्धांत को लागू किया जा सकता है। वास्तव में, विश्लेषणात्मक फलन सिद्धांत की मशीनरी इस प्रमाण में केवल औपचारिक विधि  से प्रवेश करती है, जिसमें वास्तव में जो आवश्यक है वह औपचारिक अवशेषों की कुछ गुण की आवश्यकता होती है, और और एक अधिक प्रत्यक्ष औपचारिक प्रमाण उपलब्ध होते है।

यदि $f$ औपचारिक घात श्रेणी है, तो उपरोक्त सूत्र श्रृंखला $f$  के गुणांकों के संदर्भ में सीधे संरचनागत व्युत्क्रम श्रृंखला $g$ के गुणांक नहीं देता है। यदि कोई औपचारिक घात श्रेणी में फलन  $f$ और $g$ को व्यक्त कर सकता है।


 * $$f(w) = \sum_{k=0}^\infty f_k \frac{w^k}{k!} \qquad \text{and} \qquad  g(z) = \sum_{k=0}^\infty g_k \frac{z^k}{k!}$$

$f_{0} = 0$ और $f_{1} ≠ 0$ के साथ, तो व्युत्क्रम गुणांक का एक स्पष्ट रूप बेल बहुपद के पद में दिया जा सकता है:
 * $$ g_n = \frac{1}{f_1^n} \sum_{k=1}^{n-1} (-1)^k n^{(k)} B_{n-1,k}(\hat{f}_1,\hat{f}_2,\ldots,\hat{f}_{n-k}), \quad n \geq 2, $$

जहाँ
 * $$\begin{align}

\hat{f}_k &= \frac{f_{k+1}}{(k+1)f_{1}}, \\ g_1 &= \frac{1}{f_{1}}, \text{ and} \\ n^{(k)} &= n(n+1)\cdots (n+k-1) \end{align}$$ भाज्य संबंधी बढ़ता है

जब $f_{1} = 1$, अंतिम सूत्र की व्याख्या असोसिएहेड्रॉन के फलकों के संदर्भ में की जा सकती है
 * जहां $$ g_n = \sum_{F \text{ face of } K_n} (-1)^{n-\dim F} f_F, \quad n \geq 2, $$ कहाँ $$ f_{F} = f_{i_{1}} \cdots f_{i_{m}} $$ प्रत्येक फलक के लिए $$ F = K_{i_1} \times \cdots \times K_{i_m} $$ असोसिएहेड्रॉन का $$ K_n $$

उदाहरण
उदाहरण के लिए, डिग्री $p$ का बीजगणितीय समीकरण
 * $$ x^p - x + z= 0$$

फलन $f(x) = x − x^{p}$ के लिए लैग्रेंज व्युत्क्रम सूत्र के माध्यम से $x$ के लिए हल किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप एक औपचारिक श्रृंखला समाधान प्राप्त होता है


 * $$ x = \sum_{k=0}^\infty \binom{pk}{k} \frac{z^{(p-1)k+1} }{(p-1)k+1} . $$

अभिसरण परीक्षणों द्वारा, यह श्रृंखला वास्तव में अभिसरण के लिए है $$|z| \leq (p-1)p^{-p/(p-1)},$$ जो सबसे बड़ी डिस्क भी है जिसमें $f$ के स्थानीय व्युत्क्रम को परिभाषित किया जा सकता है।

प्रमाण का रेखाचित्र
मान लीजिए $$z=0=f(w=0)$$ फिर हम गणना कर सकते हैं

\oint_{w=0} \frac{d w}{2\pi i} \frac{1}{f(w) -z} = \oint_{w=0} \frac{d w}{2\pi i} \frac{1}{f'(g(z)) w + O(w^2)} = \frac{1}{f'(g(z))} = g'(f(w)) = g'(z) . $$ यदि हम ज्यामितीय श्रृंखला का उपयोग करके एकीकृत का विस्तार करते हैं तो हमें प्राप्त होता है

\oint_{w=0} \frac{d w}{2\pi i} \frac{1}{f(w) -z} = \sum_{n=0}^\infty z^n \oint_{w=0} \frac{d w}{2\pi i} \frac{1}{(f(w))^{n+1}} = \sum_{n=0}^\infty z^n \oint_{w=0} \frac{d w}{2\pi i} \frac{1}{w^{n+1}} \left(\frac{w}{f(w)}\right)^{n+1} = \sum_{n=0}^\infty \frac{ z^n }{n!} \left. \frac{d^n}{ d w^n}\left(\frac{w}{f(w)}\right)^{n+1} \right|_{w=0} , $$ जहां अंतिम चरण में हमने इस तथ्य का उपयोग किया था $$f(w)$$ मे एक साधारण शून्य होता है

अंततः हम एकीकरण कर सकते हैं $$z$$ को ध्यान में रखते हुए $$g(0)=0$$

g'(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{ z^n }{n!} \left. \frac{d^n}{ d w^n}\left(\frac{w}{f(w)}\right)^{n+1} \right|_{w=0} \Longrightarrow g(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{ z^{n+1} }{(n+1)!} \left. \frac{d^n}{ d w^n}\left(\frac{w}{f(w)}\right)^{n+1} \right|_{w=0} . $$ सारांश सूचकांक को पुनः परिभाषित करने पर हमें बताया गया सूत्र प्राप्त होता है।

लैग्रेंज-बर्मन सूत्र
लैग्रेंज व्युत्क्रम प्रमेय का एक विशेष स्थिति होती है जिसका उपयोग साहचर्य में किया जाता है और जब लागू होता है $$f(w)=w/\phi(w)$$ कुछ विश्लेषणात्मक के लिए $$\phi(w)$$ साथ $$\phi(0)\ne 0.$$ लेना $$a=0$$ प्राप्त करने के लिए $$f(a)=f(0)=0.$$ फिर व्युत्क्रम के लिए $$g(z)$$ (संतुष्टि देने वाला $$f(g(z))\equiv z$$), अपने पास


 * $$\begin{align}

g(z) &= \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \lim_{w \to 0} \frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}} \left(\left( \frac{w}{w/\phi(w)} \right)^n \right)\right] \frac{z^n}{n!} \\ {} &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \left[\frac{1}{(n-1)!} \lim_{w \to 0} \frac{d^{n-1}}{dw^{n-1}} (\phi(w)^n) \right] z^n, \end{align}$$ जिसे वैकल्पिक रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है


 * $$[z^n] g(z) = \frac{1}{n} [w^{n-1}] \phi(w)^n,$$

जहाँ $$[w^r]$$ एक ऑपरेटर है जो का गुणांक निकालता है $$w^r$$ के एक समारोह की टेलर श्रृंखला में $w$.

सूत्र के सामान्यीकरण को लैग्रेंज-बर्मन सूत्र के रूप में जाना जाता है:
 * $$[z^n] H (g(z)) = \frac{1}{n} [w^{n-1}] (H' (w) \phi(w)^n)$$

कहाँ $H$ एक मनमाना विश्लेषणात्मक कार्य है।

कभी-कभी, व्युत्पन्न $H'(w)$ काफी जटिल हो सकता है. सूत्र का एक सरल संस्करण प्रतिस्थापित करता है $H'(w)$ साथ $H(w)(1 &minus; φ'(w)/φ(w))$ पाने के


 * $$ [z^n] H (g(z)) = [w^n] H(w) \phi(w)^{n-1} (\phi(w) - w \phi'(w)), $$

कौन सम्मलित है $φ'(w)$ के अतिरिक्त $H'(w)$ होता है

लैम्बर्ट डब्ल्यू फलन
लैंबर्ट $W$ फलन है $$W(z)$$ जो कि समीकरण द्वारा स्पष्ट रूप से परिभाषित है


 * $$ W(z) e^{W(z)} = z.$$

हम टेलर श्रृंखला की गणना करने के लिए प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं $$W(z)$$ पर $$z=0$$ हम लेते हैं $$f(w) = we^w$$ और $$a = 0$$ उसे पहचानते हुए


 * $$\frac{d^n}{dx^n} e^{\alpha x} = \alpha^n e^{\alpha x},$$

यह देता है


 * $$\begin{align}

W(z) &= \sum_{n=1}^{\infty} \left[\lim_{w \to 0} \frac{d^{n-1}}{dw^{n-1}} e^{-nw} \right] \frac{z^n}{n!} \\ {} &= \sum_{n=1}^{\infty} (-n)^{n-1} \frac{z^n}{n!} \\ {} &= z-z^2+\frac{3}{2}z^3-\frac{8}{3}z^4+O(z^5). \end{align}$$ इस श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या है $$e^{-1}$$ (लैंबर्ट फलन की मुख्य उपखंड देते हुए)।

एक श्रृंखला जो बड़े पैमाने पर $z$ के लिए अभिसरण करती है (चूँकि सभी $z$ के लिए नहीं) श्रृंखला व्युत्क्रम द्वारा भी प्राप्त की जा सकती है। फलन $$f(z) = W(e^z) - 1$$ समीकरण को संतुष्ट करता है


 * $$1 + f(z) + \ln (1 + f(z)) = z.$$

जब $$z + \ln (1 + z)$$ एक घात श्रेणी में में विस्तारित और अंतर्वर्त किया जा सकता है। यह एक श्रृंखला देता है $$f(z+1) = W(e^{z+1})-1\text{:}$$
 * $$W(e^{1+z}) = 1 + \frac{z}{2} + \frac{z^2}{16} - \frac{z^3}{192} - \frac{z^4}{3072} + \frac{13 z^5}{61440} - O(z^6).$$

$$W(x)$$ को प्रतिस्थापित करके गणना की जा सकती है $$\ln x - 1$$ के लिए $z$ उपरोक्त शृंखला में होता है। उदाहरण के लिए, प्रतिस्थापित करना $−1$ के लिए $z$ का मान देता है $$W(1) \approx 0.567143$$

बाइनरी ट्री
सेट पर विचार करें सेट $$\mathcal{B}$$ बिना लेबल वाले बाइनरी ट्री की संख्या का एक तत्व $$\mathcal{B}$$ या तो शून्य आकार का एक पत्ता है, या दो उपतरु वाला एक मूल बिंदु द्वारा निरूपित होता है $$B_n$$पर बाइनरी ट्री की संख्या $$n$$ बिंदु होता है

वर्गमूल को हटाने से एक बाइनरी ट्री छोटे आकार के दो ट्री में विभाजित हो जाता है। इससे उत्पादक फलन पर कार्यात्मक समीकरण प्राप्त होता है $$\textstyle B(z) = \sum_{n=0}^\infty B_n z^n\text{:}$$
 * $$B(z) = 1 + z B(z)^2$$

$$C(z) = B(z) - 1$$, इस प्रकार है $$C(z) = z (C(z)+1)^2$$ प्रमेय को साथ में लागू करना $$\phi(w) = (w+1)^2$$ की उत्पत्ति करता है
 * $$ B_n = [z^n] C(z) = \frac{1}{n} [w^{n-1}] (w+1)^{2n} = \frac{1}{n} \binom{2n}{n-1} = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n}.$$

इससे पता चलता है कि $$B_n$$ $n$वां कैटलन संख्या होती है।

अभिन्नों का स्पर्शोन्मुख सन्निकटन
लाप्लास-एर्डेली प्रमेय में जो लाप्लास-प्रकार के पूर्ण सांख्यिक के लिए उपगामी सन्निकटन देता है, फलन व्युत्क्रम को एक महत्वपूर्ण रूप में लिया जाता है।

यह भी देखें

 * फ़ा डि ब्रूनो का सूत्र उन दो श्रृंखलाओं के गुणांकों के संदर्भ में दो औपचारिक घात श्रेणीओं की संरचना के गुणांक देता है। समान रूप से, यह एक समग्र फलन के nवें अवकलज के लिए एक सूत्र है।
 * किसी अन्य प्रमेय के लिए लैग्रेंज प्रत्यावर्तन प्रमेय को कभी-कभी व्युत्क्रम प्रमेय भी कहा जाता है
 * औपचारिक घात श्रेणी लैग्रेंज व्युत्क्रम सूत्र

बाहरी संबंध

 * Bürmann–Lagrange series at Springer EOM
 * Bürmann–Lagrange series at Springer EOM
 * Bürmann–Lagrange series at Springer EOM