संवृत्त मोनोइडल श्रेणी

गणित में, विशेष रूप से श्रेणी सिद्धांत में, एक बंद मोनोइडल श्रेणी (या एक मोनॉयडल बंद श्रेणी) एक श्रेणी (गणित) है जो एक मोनोइडल श्रेणी और एक बंद श्रेणी दोनों है, इस तरह से कि संरचनाएं संगत हैं।

एक क्लासिक उदाहरण सेट की श्रेणी है, सेट, जहां सेट का मोनोइडल उत्पाद है $$A$$ और $$B$$ सामान्य कार्तीय उत्पाद है $$A \times B$$, और आंतरिक होम $$B^A$$ से फ़ंक्शन (गणित) का सेट है $$A$$ को $$B$$. एक गैर-कार्टेशियन मोनोइडल श्रेणी का उदाहरण सदिश रिक्त स्थान की श्रेणी है, K-Vect, एक क्षेत्र पर (गणित) $$K$$. यहां मोनोइडल उत्पाद वेक्टर रिक्त स्थान का सामान्य टेन्सर उत्पाद है, और आंतरिक होम एक सदिश स्थान से दूसरे तक रैखिक मानचित्रों का सदिश स्थान है।

बंद सममित मोनोइडल श्रेणियों की आंतरिक भाषा रैखिक तर्क है और प्रकार प्रणाली रैखिक प्रकार की प्रणाली है। बंद मोनोइडल श्रेणियों के कई उदाहरण सममित मोनोइडल श्रेणी हैं। हालांकि, यह हमेशा मामला नहीं होना चाहिए, क्योंकि भाषाविज्ञान के श्रेणी-सैद्धांतिक योगों में गैर-सममित मोनोइडल श्रेणियों का सामना किया जा सकता है; मोटे तौर पर बोलना, यह इसलिए है क्योंकि प्राकृतिक भाषा में शब्द-क्रम मायने रखता है।

परिभाषा
एक बंद मोनोइडल श्रेणी एक मोनोइडल श्रेणी है $$\mathcal{C}$$ ऐसा कि हर वस्तु के लिए $$B$$ के साथ सही टेंसरिंग द्वारा दिया गया ऑपरेटर $$B$$
 * $$A\mapsto A\otimes B$$ एक सही आसन्न है, लिखा है
 * $$A\mapsto (B \Rightarrow A).$$ इसका मतलब यह है कि होम सेट  के बीच एक आक्षेप मौजूद है, जिसे 'करीइंग' कहा जाता है
 * $$\text{Hom}_\mathcal{C}(A\otimes B, C)\cong\text{Hom}_\mathcal{C}(A,B\Rightarrow C)$$

यह ए और सी दोनों में स्वाभाविक है। एक अलग, लेकिन सामान्य संकेतन में, कोई कहेगा कि फ़ंक्टर
 * $$-\otimes B:\mathcal{C}\to\mathcal{C}$$

दाहिना जोड़ है
 * $$[B, -]:\mathcal{C}\to\mathcal{C}$$

समतुल्य रूप से, एक बंद मोनोइडल श्रेणी $$\mathcal{C}$$ प्रत्येक दो वस्तुओं A और B के साथ सुसज्जित श्रेणी है निम्नलिखित सार्वभौमिक संपत्ति को संतुष्ट करना: प्रत्येक रूपवाद के लिए
 * एक वस्तु $$A\Rightarrow B$$,
 * एक रूपवाद $$\mathrm{eval}_{A,B} : (A\Rightarrow B) \otimes A \to B$$,
 * $$f : X\otimes A\to B$$

एक अद्वितीय morphism मौजूद है
 * $$h : X \to A\Rightarrow B$$

ऐसा है कि
 * $$f = \mathrm{eval}_{A,B}\circ(h \otimes \mathrm{id}_A).$$

इसे दिखाया जा सकता है कि यह निर्माण एक फ़ैक्टर को परिभाषित करता है $$\Rightarrow : \mathcal{C}^{op} \times \mathcal{C} \to \mathcal{C}$$. इस फ़ैक्टर को आंतरिक होम फ़ैक्टर और ऑब्जेक्ट कहा जाता है $$A \Rightarrow B$$ का आंतरिक गृह कहा जाता है $$A$$ और $$B$$. आंतरिक होम के लिए कई अन्य नोटेशन आम उपयोग में हैं। जब टेंसर उत्पाद चालू हो $$\mathcal{C}$$ कार्तीय उत्पाद है, सामान्य अंकन है $$B^A$$ और इस वस्तु को चरघातांकी वस्तु कहते हैं।

दो बंद और सममित श्रेणियां
सख्ती से बोलते हुए, हमने एक सही बंद मोनोइडल श्रेणी को परिभाषित किया है, क्योंकि हमें किसी वस्तु के साथ 'सही' टेंसरिंग की आवश्यकता है $$A$$ दाहिना जोड़ है। बाएं बंद मोनोइडल श्रेणी में, हम इसके बजाय मांग करते हैं कि किसी भी वस्तु के साथ बाएं टेंसरिंग का फ़ंक्टर $$A$$
 * $$B\mapsto A\otimes B$$ एक सही जोड़ है
 * $$B\mapsto(B\Leftarrow A)$$

एक बाइक्लोज्ड मोनोइडल श्रेणी एक मोनोइडल श्रेणी है जो बाएँ और दाएँ दोनों बंद होती है।

एक सममित मोनोइडल श्रेणी को बंद छोड़ दिया जाता है अगर और केवल अगर यह सही बंद हो। इस प्रकार हम सुरक्षित रूप से एक 'सममित मोनोइडल बंद श्रेणी' कह सकते हैं, यह निर्दिष्ट किए बिना कि यह बाएं या दाएं बंद है या नहीं। वास्तव में, लट मोनोइडल श्रेणी के लिए भी यही सच है: चूंकि ब्रेडिंग बनाता है $$A \otimes B$$ स्वाभाविक रूप से आइसोमोर्फिक $$B \otimes A$$, बाईं ओर टेंसरिंग और दाईं ओर टेंसरिंग के बीच का अंतर सारहीन हो जाता है, इसलिए हर दाहिनी बंद ब्रेडेड मोनोइडल श्रेणी एक कैनोनिकल तरीके से बंद हो जाती है, और इसके विपरीत।

हमने बंद मोनोइडल श्रेणियों को एक अतिरिक्त संपत्ति के साथ मोनोइडल श्रेणियों के रूप में वर्णित किया है। एक समान रूप से एक बंद मोनोइडल श्रेणी को एक अतिरिक्त संपत्ति के साथ एक बंद श्रेणी के रूप में परिभाषित कर सकता है। अर्थात्, हम एक मोनोइडल श्रेणी के अस्तित्व की मांग कर सकते हैं जो कि आंतरिक होम फ़ंक्शनर से सटे हुए हैं। इस दृष्टिकोण में, बंद मोनोइडल श्रेणियों को मोनोइडल बंद श्रेणियां भी कहा जाता है।

उदाहरण

 * प्रत्येक कार्टेशियन बंद श्रेणी एक सममित, मोनोइडल बंद श्रेणी है, जब मोनोइडल संरचना कार्टेशियन उत्पाद संरचना है। घातीय वस्तु द्वारा आंतरिक होम फ़ैक्टर दिया जाता है $$B^A$$.
 * विशेष रूप से, सेट की श्रेणी, सेट, एक सममित, बंद मोनोइडल श्रेणी है। यहाँ आंतरिक होम $$A \Rightarrow B$$ केवल कार्यों का सेट है $$A$$ को $$B$$.
 * मॉड्यूल की श्रेणी, 'आर'-मॉड एक क्रमविनिमेय अंगूठी  'आर' पर एक गैर-कार्टेशियन, सममित, मोनोइडल बंद श्रेणी है। मोनोइडल उत्पाद मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद और आंतरिक होम द्वारा दिया जाता है $$M\Rightarrow N$$ मॉड्यूल समरूपता | आर-रैखिक मानचित्रों के स्थान द्वारा दिया गया है $$\operatorname{Hom}_R(M, N)$$ इसकी प्राकृतिक आर-मॉड्यूल संरचना के साथ।
 * विशेष रूप से, एक फ़ील्ड पर वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी $$K$$ एक सममित, बंद मोनोइडल श्रेणी है।
 * एबेलियन समूहों को जेड-मॉड्यूल के रूप में माना जा सकता है, इसलिए एबेलियन समूहों की श्रेणी भी एक सममित, बंद मोनोइडल श्रेणी है।
 * एक कॉम्पैक्ट बंद श्रेणी एक सममित, मोनोइडल बंद श्रेणी है, जिसमें आंतरिक होम फ़ैक्टर है $$A\Rightarrow B$$ द्वारा दिया गया है $$A^*\otimes B$$. विहित उदाहरण परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी है, FdVect।

प्रति उदाहरण

 * अंगूठियों की श्रेणी अंगूठियों के टेंसर उत्पाद के तहत एक सममित, मोनोइडल श्रेणी है $$\Z$$ इकाई वस्तु के रूप में कार्य करना। यह श्रेणी बंद नहीं है। यदि ऐसा होता, तो किसी भी जोड़ी के छल्ले के बीच बिल्कुल एक समरूपता होती: $$\operatorname{Hom}(R,S)\cong\operatorname{Hom}(\Z\otimes R,S)\cong\operatorname{Hom}(\Z,R\Rightarrow S)\cong\{\bullet\}$$. क्रमविनिमेय वलय R के ऊपर वाले क्षेत्रों पर R-बीजगणित की श्रेणी के लिए भी यही है।

यह भी देखें

 * इसबेल संयुग्मी