प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित)

रैखिक बीजगणित और कार्यात्मक विश्लेषण में, प्रक्षेप एक रैखिक परिवर्तन है $$P$$ एक सदिश स्थान से स्वयं (एक अंतःरूपांतरण) जैसे कि $$P\circ P=P$$. अर्थात जब भी $$P$$ किसी भी सदिश पर दो बार लागू किया जाता है, यह वही परिणाम देता है जैसे कि इसे पहली बार लागू किया गया था (अर्थात। $$P$$ वर्गसम है)। यह अपनी छवि (गणित) अपरिवर्तित छोड़ देता है। प्रक्षेप की यह परिभाषा आलेखी प्रक्षेप के विचार को औपचारिक और सामान्य बनाती है। वस्तु में बिंदुओं पर प्रक्षेप के प्रभाव की जांच करके एक ज्यामितीय वस्तु पर प्रक्षेपण के प्रभाव पर भी विचार किया जा सकता है।

परिभाषाएँ
सदिश स्थान पर प्रक्षेप $$V$$ एक रैखिक संकारक है $$P : V \to V$$ ऐसा है कि $$P^2 = P$$.

जब $$V$$ एक आंतरगुणन है और पूर्ण है (अर्थात जब $$V$$ हिल्बर्ट समष्‍टि है) लांबिकता की अवधारणा का उपयोग किया जा सकता है। एक प्रक्षेप $$P$$ हिल्बर्ट समष्‍टि पर यदि $$V$$ यहां संतुष्ट होता है तो इसे लंबकोणीय प्रक्षेप कहा जाता है $$\langle P \mathbf x, \mathbf y \rangle = \langle \mathbf x, P \mathbf y \rangle$$ सभी के लिए $$\mathbf x, \mathbf y \in V$$. हिल्बर्ट समष्‍टि पर एक प्रक्षेप जो लांबिक नहीं है, उसे तिर्यक प्रक्षेप कहा जाता है।

प्रक्षेप आव्यूह
प्रक्षेप आव्यूह के इगनवेल्यूज़ ​​​​0 या 1 होना चाहिए।
 * आयाम (सदिश स्थान) में | परिमित-आयामी मामला, एक वर्ग आव्यूह $$P$$ प्रक्षेप आव्यूह कहा जाता है यदि यह इसके वर्ग के बराबर है, अर्थात यदि $$P^2 = P$$.
 * एक वर्ग आव्यूह $$P$$ एक लंबकोणीय प्रक्षेप आव्यूह कहा जाता है यदि $$P^2 = P = P^{\mathrm T}$$ एक वास्तविक संख्या आव्यूह (गणित) के लिए, और क्रमशः $$P^2 = P = P^{*}$$ एक जटिल संख्या आव्यूह के लिए, जहाँ $$P^{\mathrm T}$$ के स्थानान्तरण को दर्शाता है $$P$$ और $$P^{*}$$ आसन्न या हर्मिटियन आव्यूह परिवर्तन को दर्शाता है $$P$$.
 * एक प्रक्षेप आव्यूह जो लंबकोणीय प्रक्षेप आव्यूह नहीं है, उसे तिर्यक प्रक्षेप आव्यूह कहा जाता है।

लंबकोणीय प्रक्षेप
उदाहरण के लिए, फलन जो बिंदु को प्रतिचित्र करता है $$(x,y,z)$$ त्रि-आयामी समष्‍टि में $$\mathbb{R}^3$$ सुसंगत रूप से $$(x,y,0)$$ xy-प्लेन पर एक लंबकोणीय प्रक्षेप है। यह फलन आव्यूह द्वारा दर्शाया गया है $$P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$ एक स्वेच्छ यूक्लिडियन सदिश पर इस आव्यूह की क्रिया है $$P \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ 0 \end{bmatrix}.$$ यह देखने के लिए $$P$$ वास्तव में एक प्रक्षेप है, अर्थात, $$P = P^2$$, हम गणना करते हैं $$P^2 \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = P \begin{bmatrix} x \\ y \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ 0 \end{bmatrix} = P\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}.$$ यह देखते हुए $$P^{\mathrm T} = P$$ दिखाता है कि प्रक्षेप एक लंबकोणीय प्रक्षेप है।

तिर्यक प्रक्षेप
गैर-लांबिक (तिर्यक) प्रक्षेप का एक सरल उदाहरण है $$P = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 1 \end{bmatrix}.$$ मैट्रिक्स गुणन के माध्यम से, कोई यह देखता है $$P^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 1 \end{bmatrix} = P.$$ दिखा रहा है $$P$$ वास्तव में एक प्रक्षेप है।

प्रक्षेप $$P$$ लांबिक है यदि और केवल यदि $$\alpha = 0$$ है, क्योंकि तभी $$P^{\mathrm T} = P.$$ होगा।

अकर्मण्यता
परिभाषा के अनुसार, एक प्रक्षेप $$P$$ वर्गसम है (अर्थात् $$P^2 = P$$).

ओपेन मैप
प्रत्येक प्रक्षेप एक ओपेन मैप है, जिसका अर्थ है कि यह फलन के प्रक्षेत्र में प्रत्येक ओपेन सेट को छवि (गणित) के उपसमष्‍टि संस्थिति में एक ओपेन सेट पर प्रतिचित्र करता है। अर्थात किसी सदिश के लिए $$\mathbf{x}$$ और कोई भी गेंद $$B_\mathbf{x}$$ (सकारात्मक त्रिज्या के साथ) पर केंद्रित $$\mathbf{x}$$, पर एक गेंद सम्मलित है $$B_{P\mathbf{x}}$$ (सकारात्मक त्रिज्या के साथ) पर केंद्रित $$P\mathbf{x}$$ जो पूरी तरह से छवि में निहित है $$P(B_\mathbf{x})$$.

छवि और कर्नेल की पूरकता
मान लिजिए $$W$$ एक परिमित-आयामी सदिश समष्‍टि बनें और $$P$$ पर एक प्रक्षेप हो $$W$$.मान लीजिए रेखीय उपसमष्टि $$U$$ और $$V$$ की छवि (गणित) और कर्नेल (रैखिक बीजगणित) हैं $$P$$ क्रमश:। तब $$P$$ में निम्नलिखित गुण हैं:

एक प्रक्षेप की छवि और कर्नेल पूरक हैं, जैसा कि हैं $$P$$ और $$Q = I - P$$. प्रचालक $$Q$$ की छवि और कर्नेल के रूप में भी एक प्रक्षेप है $$P$$ जो कर्नेल और छवि बन जाते हैं $$Q$$ और इसके विपरीत। हम कहते हैं $$P$$ साथ में एक प्रक्षेप है $$V$$ पर $$U$$ (कर्नेल / छवि) और $$Q$$ साथ में एक प्रक्षेप है $$U$$ पर $$V$$.
 * 1) $$P$$ तत्समक संकारक है $$I$$ पर $$U$$: $$\forall \mathbf x \in U: P \mathbf x = \mathbf x.$$
 * 2) हमारे पास सीधा योग है $$W = U \oplus V$$. हर सदिश $$\mathbf x \in W$$ के रूप में विशिष्ट रूप से विघटित किया जा सकता है $$\mathbf x = \mathbf u + \mathbf v$$ साथ $$\mathbf u = P \mathbf x$$ और $$\mathbf v = \mathbf x - P \mathbf x = \left(I-P\right) \mathbf x$$, और जहाँ $$\mathbf u \in U, \mathbf v \in V.$$

विस्तार
अनंत-आयामी सदिश रिक्त स्थान में, प्रक्षेप के विस्तार में निहित है $$\{ 0, 1 \}$$ जैसा $$(\lambda I - P)^{-1} = \frac 1 \lambda I + \frac 1 {\lambda(\lambda-1)} P.$$ केवल 0 या 1 ही किसी प्रक्षेप का आइगेन मान हो सकता है। इसका तात्पर्य है कि एक लंबकोणीय प्रक्षेप $$P$$ हमेशा एक सकारात्मक अर्ध-निश्चित आव्यूह होता है। सामान्य तौर पर, संबंधित आइगेन मान (क्रमशः) कर्नेल और प्रक्षेप की सीमा होती है। सदिश समष्टि का प्रत्यक्ष योगों में अपघटन अद्वितीय नहीं है। इसलिए, एक उप-स्थान दिया गया है $$V$$, ऐसे कई अनुमान हो सकते हैं जिनकी सीमा (या कर्नेल) है $$V$$.

यदि प्रक्षेप अनौपचारिक है तो इसमें न्यूनतम बहुपद (रैखिक बीजगणित) है $$x^2 - x = x (x-1)$$, जो अलग-अलग रैखिक कारकों में कारक हैं, और इस प्रकार $$P$$ विकर्णीय है।

अनुमानों का उत्पाद
अनुमानों का उत्पाद सामान्य रूप से प्रक्षेप नहीं है, भले ही वे लांबिक हों। यदि दो प्रक्षेप आव्यूह को स्थानांतरित कर रहे हैं तो उनका उत्पाद एक प्रक्षेप है, लेकिन इसका विलोम (तर्क) गलत है: दो गैर-आवागमन प्रक्षेप का उत्पाद प्रक्षेप हो सकता है।

यदि दो लंबकोणीय प्रक्षेप विनिमय करते हैं तो उनका उत्पाद एक लंबकोणीय प्रक्षेप है। यदि दो लंबकोणीय प्रक्षेपों का उत्पाद एक लंबकोणीय प्रक्षेप है, तो दो लंबकोणीय प्रक्षेप विनिमय करते हैं (सामान्यत:: दो स्व-आसन्न अंतःरूपांतरण विनिमय करते हैं और केवल तब जब उनका उत्पाद स्व-संलग्न है)।

लंबकोणीय प्रक्षेप
जब सदिश स्थान $$W$$ एक आंतरगुणन है और पूर्ण है। (हिल्बर्ट समष्‍टि है) तब लांबिकता की अवधारणा का उपयोग किया जा सकता है। एक लंबकोणीय प्रक्षेप एक प्रक्षेप है जिसके लिए सीमा $$U$$ और शून्य स्थान $$V$$ हैं। इस प्रकार, प्रत्येक के लिए $$\mathbf x$$ और $$\mathbf y$$ में $$W$$, $$ \langle P \mathbf x, (\mathbf y - P \mathbf y) \rangle = \langle (\mathbf x - P \mathbf x), P \mathbf y \rangle = 0$$. समान रूप से: $$ \langle \mathbf x, P \mathbf y \rangle = \langle P \mathbf x, P \mathbf y \rangle = \langle P \mathbf x, \mathbf y \rangle. $$ एक प्रक्षेप केवल तभी लंबकोणीय होता है जब यह स्व-संयोजित होता है। स्व-संयुक्‍त और आईडेमेन्टी गुणों का उपयोग करना $$P$$, किसी के लिए $$\mathbf x$$ और $$\mathbf y$$ में $$W$$ अपने पास $$P\mathbf{x} \in U$$, $$\mathbf{y} - P\mathbf{y} \in V$$, और $$ \langle P \mathbf x, \mathbf y - P \mathbf y \rangle = \langle \mathbf x, \left(P-P^2\right) \mathbf y \rangle = 0$$ जहाँ $$\langle \cdot, \cdot \rangle$$ से जुड़ा आंतरगुणन है $$W$$. इसलिए, $$P $$ और $$I - P $$ लंबकोणीय प्रक्षेप हैं। दूसरी दिशा, अर्थात् यदि $$P$$ लांबिक है तो यह स्व-संलग्न है, निहितार्थ से अनुसरण करता है $$\langle (\mathbf x - P \mathbf x), P \mathbf y \rangle = \langle P \mathbf x, (\mathbf y - P \mathbf y) \rangle = 0$$ को $$ \langle \mathbf x, P \mathbf y \rangle = \langle P \mathbf x, P\mathbf y \rangle = \langle P \mathbf x, \mathbf y \rangle = \langle \mathbf x, P^* \mathbf y \rangle $$ हर एक के लिए $$x$$ और $$y$$ में $$W$$; इस प्रकार $$P=P^*$$.

$$

गुण और विशेष स्थिति
एक लंबकोणीय प्रक्षेप एक परिबद्ध संचालिका है। ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रत्येक $$\mathbf v$$ के लिए हमारे पास सदिश स्थान में, कॉची-श्वार्ज असमानता $$\left \| P \mathbf v\right\|^2 = \langle P \mathbf v, P \mathbf v \rangle = \langle P \mathbf v, \mathbf v \rangle \leq \left\|P \mathbf v\right\| \cdot \left\|\mathbf v\right\|$$ इस प्रकार $$\left\|P \mathbf v\right\| \leq \left\|\mathbf v\right\|$$.

परिमित-आयामी जटिल या वास्तविक सदिश स्थान के लिए, मानक आंतरगुणन को प्रतिस्थापित किया जा सकता है $$\langle \cdot, \cdot \rangle$$.

सूत्र
एक साधारण मामला तब होता है जब लंबकोणीय प्रक्षेप एक रेखा पर होता है। यदि $$\mathbf u$$ रेखा पर एक इकाई सदिश है, तो प्रक्षेप बाह्य गुणनफल द्वारा दिया जाता है $$ P_\mathbf{u} = \mathbf u \mathbf u^\mathsf{T}.$$ (यदि $$\mathbf u$$ जटिल-मान है, उपरोक्त समीकरण में स्थानान्तरण को एक हर्मिटियन स्थानान्तरण द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है)। यह सक्रियक u को अपरिवर्तनीय छोड़ देता है, और यह सभी सदिश लांबिकता को शून्य कर देता है $$\mathbf u$$, यह सिद्ध करते हुए कि यह वास्तव में u युक्त रेखा पर लंबकोणीय प्रक्षेप है। इसे देखने का एक आसान तरीका एक स्वेच्छ सदिश पर विचार करना है $$\mathbf x$$ रेखा पर एक घटक के योग के रूप में (अर्थात प्रक्षेपित सदिश जिसे हम चाहते हैं) और इसके लिए एक और लंबवत, $$\mathbf x = \mathbf x_\parallel + \mathbf x_\perp$$. प्रक्षेप लागू करना, हम प्राप्त करते हैं $$ P_{\mathbf u} \mathbf x = \mathbf u \mathbf u^\mathsf{T} \mathbf x_\parallel + \mathbf u \mathbf u^\mathsf{T} \mathbf x_\perp = \mathbf u \left( \sgn\left(\mathbf u^\mathsf{T} \mathbf x_\parallel\right) \left \| \mathbf x_\parallel \right \| \right) + \mathbf u \cdot \mathbf 0 = \mathbf x_\parallel $$ समांतर और लंबवत सदिश के अदिश गुणनफल के गुणों से।

इस सूत्र को स्वेच्छ आयाम (सदिश स्थान) के उप-स्थान पर लंबकोणीय प्रक्षेपों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। माना $$\mathbf u_1, \ldots, \mathbf u_k$$ उप-स्थान का एक प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण आधार $$U$$ बनें, इस धारणा के साथ कि पूर्णांक $$k \geq 1$$, और मान $$A$$ निरूपित करें $$n \times k$$ आव्यूह, जिसके कॉलम हैं $$\mathbf u_1, \ldots, \mathbf u_k$$, अर्थात।, $$A = \begin{bmatrix} \mathbf u_1 & \cdots & \mathbf u_k \end{bmatrix}$$. तब प्रक्षेप द्वारा दिया जाता है: $$P_A = A A^\mathsf{T}$$ जो इस रूप में पुनः लिखा जा सकता है $$P_A = \sum_i \langle \mathbf u_i, \cdot \rangle \mathbf u_i.$$ आव्यूह $$A^\mathsf{T}$$ आंशिक समदूरीकता है जो की लांबिक पूरक पर गायब हो जाती है, $$U$$ और $$A$$ वह समदूरीकता है जो एम्बेड करता है $$U$$, जो अंतर्निहित सदिश समष्‍टि की सीमा $$P_A$$ की अंतिम जगह है $$A$$. यह भी स्पष्ट है $$A A^{\mathsf T}$$ पर पहचान सक्रियक है $$U$$.

आर्थोनॉर्मल स्थिति को भी हटाया जा सकता है। यदि $$\mathbf u_1, \ldots, \mathbf u_k$$ एक (जरूरी नहीं कि ऑर्थोनॉर्मल) आधार (रैखिक बीजगणित) है $$k \geq 1$$, और $$A$$ पंक्ति के रूप में इन सदिशों के साथ आव्यूह है, तब प्रक्षेप है: $$P_A = A \left(A^\mathsf{T} A\right)^{-1} A^\mathsf{T}.$$ आव्यूह $$A$$ अभी भी $$U$$ को एम्बेड करता है अंतर्निहित सदिश समष्‍टि में लेकिन अब सामान्य रूप से एक समदूरीकता नहीं है। आव्यूह $$\left(A^\mathsf{T}A\right)^{-1}$$एक सामान्य कारक है जो मानक को ठीक करता है। उदाहरण के लिए, एक रैंक-1 सक्रियक की  $$\mathbf u \mathbf u^\mathsf{T}$$ एक प्रक्षेप नहीं है यदि $$\left\|\mathbf u \right\| \neq 1.$$ द्वारा विभाजित करने के बाद $$\mathbf u^\mathsf{T} \mathbf u = \left\| \mathbf u \right\|^2,$$ हम प्रक्षेप प्राप्त करते हैं $$\mathbf u \left(\mathbf u^\mathsf{T} \mathbf u \right)^{-1} \mathbf u^\mathsf{T}$$ द्वारा फैलाए गए उप-स्थान पर $$u$$.

सामान्य स्थिति में, हमारे पास स्वेच्छ सकारात्मक निश्चित आव्यूह हो सकता है $$D$$ एक आंतरगुणन को परिभाषित करना $$\langle x, y \rangle_D = y^\dagger Dx$$, और प्रक्षेप $$P_A$$ द्वारा दिया गया है $P_A x = \operatorname{argmin}_{y \in \operatorname{range}(A)} \left\|x - y\right\|^2_D$. तब $$P_A = A \left(A^\mathsf{T} D A\right)^{-1} A^\mathsf{T} D.$$ जब प्रक्षेपण की परिसर समष्‍टि एक प्रधार द्वारा उत्पन्न होती है (अर्थात जनित्र की संख्या इसके आयाम से अधिक है), प्रक्षेप के लिए सूत्र रूप लेता है: $$P_A = A A^+$$. यहाँ $$A^+$$ मूर-पेनरोज़ स्यूडोइनवर्स के लिए खड़ा है। यह प्रक्षेप सक्रियक के निर्माण के कई तरीकों में से एक है।

यदि $$\begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix}$$ एक गैर-एकल आव्यूह है और $$A^\mathsf{T}B = 0$$ (अर्थात।, $$B$$ का शून्य समष्‍टि आव्यूह है $$A$$), निम्नलिखित धारण करता है: $$\begin{align} I &= \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} A^\mathsf{T} \\ B^\mathsf{T} \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} A^\mathsf{T} \\ B^\mathsf{T} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} \left( \begin{bmatrix} A^\mathsf{T} \\ B^\mathsf{T} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} \right )^{-1} \begin{bmatrix} A^\mathsf{T} \\B^\mathsf{T} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} \begin{bmatrix}A^\mathsf{T}A&O\\O&B^\mathsf{T}B\end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} A^\mathsf{T} \\ B^\mathsf{T} \end{bmatrix}\\[4pt] &= A \left(A^\mathsf{T}A\right)^{-1} A^\mathsf{T} + B \left(B^\mathsf{T}B\right)^{-1} B^\mathsf{T} \end{align}$$ यदि लांबिक स्थिति को बढ़ाया जाता है $$A^\mathsf{T}W B = A^\mathsf{T}W^\mathsf{T}B = 0$$ के साथ $$W$$ गैर विलक्षण, निम्नलिखित धारण करता है: $$I = \begin{bmatrix}A & B\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\left(A^\mathsf{T} W A\right)^{-1} A^\mathsf{T} \\ \left(B^\mathsf{T} W B\right)^{-1} B^\mathsf{T} \end{bmatrix} W.$$ ये सभी सूत्र जटिल आंतरगुणन रिक्त स्थान के लिए भी लागू होते हैं, बशर्ते कि स्थानांतरण के अतिरिक्त संयुग्म स्थानान्तरण का उपयोग किया जाता है। प्रक्षेपित्र के योग के बारे में अधिक जानकारी बैनर्जी और रॉय (2014) में पाई जा सकती है। बनर्जी को भी देखें (2004) मूल गोलाकार त्रिकोणमिति में प्रक्षेपित्र के योग के आवेदन के लिए।

तिर्यक प्रक्षेप
शब्द तिर्यक प्रक्षेप कभी-कभी गैर-लंबकोणीय प्रक्षेपों को संदर्भित करने के लिए प्रयोग किया जाता है। इन अनुमानों का उपयोग द्वि-आयामी चित्रों (तिर्यक प्रक्षेप) में स्थानिक आंकड़ों का प्रतिनिधित्व करने के लिए भी किया जाता है, चूंकि लंबकोणीय प्रक्षेपों के रूप में अधिकांशत: नहीं है। जबकि एक साधारण न्यूनतम वर्ग प्रतिगमन के फिट किए गए मूल्य की गणना के लिए एक लंबकोणीय प्रक्षेप की आवश्यकता होती है, इंस्ट्रूमेंटल_वेरिएबल के फिट किए गए मूल्य की गणना के लिए एक तिर्यक प्रक्षेप की आवश्यकता होती है।

अनुमानों को उनके रिक्त स्थान द्वारा परिभाषित किया जाता है और आधार सदिश उनकी सीमा को दर्शाने के लिए उपयोग किया जाता है (जो रिक्त स्थान का पूरक है)। जब ये आधार सदिश शून्य स्थान के लिए लांबिक होते हैं, तो प्रक्षेप एक लंबकोणीय प्रक्षेप देता है। जब ये आधार सदिश शून्य स्थान के लिए लांबिक नहीं होते हैं, तो प्रक्षेप एक तिर्यक प्रक्षेप होता है, या केवल एक सामान्य प्रक्षेप होता है।

एक अशून्य प्रक्षेप सक्रियक के लिए एक आव्यूह प्रतिनिधित्व सूत्र
माना $$P$$ एक रैखिक सक्रियक $$P : V \to V$$ ऐसा है कि $$P^2 = P$$ और मान लो $$P : V \to V$$ शून्य संकारक नहीं है। सदिश $$\mathbf u_1, \ldots, \mathbf u_k$$ प्रक्षेप की सीमा के लिए आधार तैयार करें, और इन सदिशों का इसमें समुच्चयन करें $$n \times k$$ आव्यूह $$A$$ है. इसलिए पूर्णांक $$k \geq 1$$, अन्यथा $$k = 0$$ और $$P$$ शून्य संकारक है। सीमा और शून्य स्थान पूरक स्थान हैं, इसलिए शून्य स्थान का आयाम है $$n - k$$. यह इस प्रकार है कि शून्य स्थान के लांबिक पूरक का आयाम $$k$$. होने देना $$\mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_k$$ प्रक्षेप के शून्य स्थान के लांबिक पूरक के लिए एक आधार तैयार करें, और इन सदिशों को आव्यूह $$B$$ में समुच्चयन करें. फिर प्रक्षेप $$P$$ (शर्त के साथ $$k \geq 1$$) द्वारा दिया गया है $$ P = A \left(B^\mathsf{T} A\right)^{-1} B^\mathsf{T}. $$ यह अभिव्यक्ति ऊपर दिए गए लंबकोणीय प्रक्षेपों के सूत्र को सामान्यीकृत करती है। इस अभिव्यक्ति का एक मानक प्रमाण निम्नलिखित है। किसी भी सदिश के लिए $$\mathbf x$$ सदिश समष्‍टि में $$V$$, को हम विघटित कर सकते हैं $$\mathbf{x} = \mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2$$, जहां सदिश $$\mathbf{x}_1 = P(\mathbf{x})$$ की छवि में है $$P$$, और सदिश $$\mathbf{x}_2 = \mathbf{x} - P(\mathbf{x})$$. इसलिए $$P(\mathbf{x}_2) = P(\mathbf{x}) - P^2(\mathbf{x})= \mathbf{0}$$, और तब $$\mathbf{x}_2$$ के रिक्त स्थान में है $$P$$. दूसरे शब्दों में, सदिश $$\mathbf{x}_1$$ के कॉलम स्पेस में है $$A$$, इसलिए $$\mathbf{x}_1 = A \mathbf{w}$$ कुछ के लिए $$k$$ आयाम सदिश $$\mathbf{w}$$ और सदिश $$\mathbf{x}_2$$ संतुष्ट $$B^\mathsf{T} \mathbf{x}_2=\mathbf{0}$$ के निर्माण से $$B$$. इन शर्तों को एक साथ रखें, और हम एक सदिश पाते हैं $$\mathbf{w}$$ जिससे कि $$B^\mathsf{T} (\mathbf{x}-A\mathbf{w})=\mathbf{0}$$. मेट्रिसेस के बाद से $$A$$ और $$B$$ फुल रैंक के हैं $$k$$ उनके निर्माण से, $$k\times k$$-आव्यूह $$B^\mathsf{T} A$$ उलटा है। तो समीकरण $$B^\mathsf{T} (\mathbf{x}-A\mathbf{w})=\mathbf{0}$$ सदिश देता है $$\mathbf{w}= (B^{\mathsf{T}}A)^{-1} B^{\mathsf{T}} \mathbf{x}.$$ इस प्रकार से, $$P\mathbf{x} = \mathbf{x}_1 = A\mathbf{w}= A(B^{\mathsf{T}}A)^{-1} B^{\mathsf{T}} \mathbf{x}$$ किसी भी सदिश के लिए $$\mathbf{x} \in V$$ और इसलिए $$P = A(B^{\mathsf{T}}A)^{-1} B^{\mathsf{T}}$$है.

उस स्थिति में $$P$$ एक लंबकोणीय प्रक्षेप है, हम ले सकते हैं $$A = B$$, और यह उसका अनुसरण करता है $$P=A \left(A^\mathsf{T} A\right)^{-1} A^\mathsf{T}$$. इस सूत्र का उपयोग करके कोई भी इसे आसानी से जाँच कर सकता है  $$P=P^\mathsf{T}$$. सामान्य तौर पर, यदि सदिश स्थान जटिल संख्या क्षेत्र से अधिक है, तो एक हर्मिटियन ट्रांज़ोज़ का उपयोग करता है $$A^*$$ और सूत्र है $$P=A \left(A^* A\right)^{-1} A^*$$. याद रखें कि कोई आव्यूह के मूर-पेनरोज़ व्युत्क्रम को परिभाषित कर सकता है $$A$$ द्वारा $$A^{+}= (A^*A)^{-1}A^*$$ तब से $$A$$ पूर्ण स्तंभ रैंक है, इसलिए  $$P=A A^{+}$$.

विलक्षण मूल्य
ध्यान दें कि $$I-P$$ तिर्यक प्रक्षेप भी है। विलक्षण मूल्य $$P$$ और $$I-P$$ के एक असामान्य आधार द्वारा $$A$$ की गणना की जा सकती है. $$Q_A$$ का एक अलौकिक आधार हो $$A$$ और जाने $$Q_A^{\perp}$$ का लांबिक पूरक हो $$Q_A$$. आव्यूह के विलक्षण मूल्यों को निरूपित करें $$Q_A^T A (B^T A)^{-1} B^T Q_A^{\perp} $$ सकारात्मक मूल्यों द्वारा $$\gamma_1 \ge \gamma_2 \ge \ldots \ge \gamma_k $$. इसके साथ, के लिए एकवचन मान $$P$$ हैं: $$\sigma_i = \begin{cases} \sqrt{1+\gamma_i^2} & 1 \le i \le k \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$ और एकवचन मूल्यों के लिए $$I-P$$ हैं $$\sigma_i = \begin{cases} \sqrt{1+\gamma_i^2} 	& 1 \le i \le k \\ 1 				& k+1 \le i \le n-k \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$ इसका तात्पर्य है कि सबसे बड़ा एकवचन मूल्य $$P$$ और $$I-P$$ समान हैं, और इस प्रकार तिर्यक अनुमानों के आव्यूह मानदंड समान हैं। चूंकि,प्रतिबंधी संख्या संबंध को संतुष्ट करती है $$\kappa(I-P) = \frac{\sigma_1}{1} \ge \frac{\sigma_1}{\sigma_k} = \kappa(P)$$, और इसलिए जरूरी नहीं कि बराबर हो।

एक आंतरगुणन के साथ प्रक्षेप ढूँढना
माना $$V$$ लांबिक सदिश द्वारा फैले एक सदिश समष्‍टि (इस स्थिति में एक विमान) हो $$\mathbf u_1, \mathbf u_2, \dots, \mathbf u_p$$. माना $$y$$ एक सदिश बनें। कोई $$\mathbf y$$ एक प्रक्षेप को परिभाषित कर सकता है जैसा $$V$$ पर $$ \operatorname{proj}_V \mathbf y = \frac{\mathbf y \cdot \mathbf u^i}{\mathbf u^i \cdot \mathbf u^i } \mathbf u^i $$ जहां दोहराए गए सूचकांकों का योग किया जाता है ( आइंस्टीन संकेतन )। सदिश $$\mathbf y$$ एक लांबिक योग के रूप में लिखा जा सकता है जैसे कि $$\mathbf y = \operatorname{proj}_V \mathbf y + \mathbf z$$. $$\operatorname{proj}_V \mathbf y$$ कभी-कभी y के रूप में दर्शाया जाता है $$\hat{\mathbf y}$$. रैखिक बीजगणित में एक प्रमेय है जो बताता है कि यह $$\mathbf z$$ से सबसे छोटी दूरी (लांबिक दूरी) है $$\mathbf y$$ को $$V$$ और सामान्यत: यंत्र अधिगम  जैसे क्षेत्रों में उपयोग किया जाता है।



विहित रूप
कोई प्रक्षेप $$P=P^2$$ आयाम के सदिश स्थान पर $$d$$ एक क्षेत्र पर (गणित) एक विकर्ण आव्यूह है, क्योंकि इसकी न्यूनतम बहुपद (रैखिक बीजगणित) विभाजित होती है $$x^2-x$$, जो अलग-अलग रैखिक कारकों में विभाजित होता है। इस प्रकार एक आधार सम्मलित है जिसमें $$P$$ रूप है
 * $$P = I_r\oplus 0_{d-r}$$

जहाँ $$r$$ के रैखिक रूपांतरण की कोटि है $$P$$. यहाँ $$I_r$$ आकार की पहचान आव्यूह है $$r$$, $$0_{d-r}$$ आकार का शून्य आव्यूह है $$d-r$$, और $$\oplus$$ प्रत्यक्ष योग संचालिका है। यदि सदिश स्थान जटिल है और एक आंतरगुणन से सुसज्जित है, तो एक प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण आधार है जिसमें P का आव्यूह है
 * $$P = \begin{bmatrix}1&\sigma_1 \\ 0&0\end{bmatrix} \oplus \cdots \oplus \begin{bmatrix}1&\sigma_k \\ 0&0\end{bmatrix} \oplus I_m \oplus 0_s.$$

जहाँ $$\sigma_1 \geq \sigma_2\geq \dots \geq \sigma_k > 0$$. पूर्णांक $$k,s,m$$ और वास्तविक संख्याएँ $$\sigma_i$$ विशिष्ट रूप से निर्धारित हैं। ध्यान दें कि $$2k+s+m=d$$. कारण $$I_m \oplus 0_s$$ अधिकतम अपरिवर्तनीय उप-स्थान से मेल खाती है जिस पर $$P$$ एक लंबकोणीय प्रक्षेप के रूप में कार्य करता है (जिससे कि पी स्वयं लांबिक हो और केवल यदि $$k=0$$) और यह $$\sigma_i$$-ब्लॉक तिर्यक घटकों के अनुरूप हैं।

मानक सदिश रिक्त स्थान पर अनुमान
जब अंतर्निहित सदिश स्थान $$X$$ एक (जरूरी नहीं कि परिमित-आयामी) आदर्श सदिश स्थान है, विश्लेषणात्मक प्रश्न, परिमित-आयामी स्थिति में अप्रासंगिक हैं, पर विचार करने की आवश्यकता है। अभी मान लो $$X$$ एक बानाख-समष्‍टि है।

ऊपर चर्चा किए गए कई बीजगणितीय परिणाम इस संदर्भ में पारित होने से बच जाते हैं। एक प्रत्यक्ष योग अपघटन $$X$$ पूरक उप-स्थानों में अभी भी प्रक्षेप निर्दिष्ट करता है, और इसके विपरीत। यदि $$X$$ प्रत्यक्ष योग है $$X = U \oplus V$$, फिर सक्रियक द्वारा परिभाषित $$P(u+v) = u$$ अभी भी सीमा के साथ एक प्रक्षेप है $$U$$ और कर्नेल$$V$$. यह भी स्पष्ट है $$P^2 = P$$. इसके विपरीत यदि $$P$$ प्रक्षेप है $$X$$, अर्थात। $$P^2 = P$$, तो यह आसानी से सत्यापित हो जाता है $$(1-P)^2 = (1-P)$$. दूसरे शब्दों में, $$1 - P$$ प्रक्षेप भी है। सन्दर्भ $$P^2 = P$$ तात्पर्य $$1 = P + (1-P)$$ और $$X$$ प्रत्यक्ष योग है $$\operatorname{rg}(P) \oplus \operatorname{rg}(1 - P)$$.

चूंकि, परिमित-आयामी स्थिति के विपरीत, अनुमानों को सामान्य रूप से सीमित रैखिक सक्रियक नहीं होना चाहिए। यदि एक उपक्षेत्र $$U$$ का $$X$$ मानक टोपोलॉजी में बंद नहीं है, तो प्रक्षेप पर $$U$$ निरंतर नहीं है। दूसरे शब्दों में, एक सतत प्रक्षेप की सीमा $$P$$ एक बंद उप-स्थान होना चाहिए। इसके अतिरिक्त, एक सतत प्रक्षेप का कर्नेल (वास्तव में, सामान्य रूप से एक सतत रैखिक सक्रियक) बंद है। इस प्रकार एक सतत प्रक्षेप $$P$$ का अपघटन देता है $$X$$ दो पूरक बंद उप-स्थानों में: $$X = \operatorname{rg}(P) \oplus \ker(P) = \ker(1-P) \oplus \ker(P)$$.

एक अतिरिक्त धारणा के साथ इसका विलोम भी मान्य है। कल्पना करना $$U$$ की बंद उपसमष्टि है $$X$$. यदि कोई बंद उप-स्थान सम्मलित है $$V$$ ऐसा है कि X = U ⊕ V, फिर प्रक्षेप $$P$$ रेंज के साथ $$U$$ और कर्नेल$$V$$ निरंतर है। यह बंद ग्राफ प्रमेय से अनुसरण करता है। कल्पना करना xn → x और Pxn → y. इसे दिखाने की जरूरत है $$Px=y$$. तब से $$U$$ बंद है और {Pxn} ⊂ U, Y में निहित है $$U$$, अर्थात। Py = y. भी, xn − Pxn = (I − P)xn → x − y. क्योंकि $$V$$ बंद है और {(I − P)xn} ⊂ V, अपने पास $$x-y \in V$$, अर्थात। $$P(x-y)=Px-Py=Px-y=0$$, जो दावे को सिद्ध करता है।

उपरोक्त तर्क इस धारणा का उपयोग करता है कि दोनों $$U$$ और $$V$$ बंद हो जाते हैं। सामान्य तौर पर, एक बंद उप-स्थान दिया जाता है $$U$$, एक पूरक बंद उप-स्थान सम्मलित होने की आवश्यकता नहीं है चूंकि, $$V$$ हिल्बर्ट रिक्त स्थान के लिए यह हमेशा लांबिक पूरक लेकर किया जा सकता है। बानाख-समष्‍टि के लिए, एक आयामी उप-स्थान में हमेशा एक बंद पूरक उप-स्थान होता है। यह हैन-बनाक प्रमेय का एक तात्कालिक परिणाम है। माना $$U$$ की रैखिक अवधि हो $$u$$. हैन-बनच द्वारा, एक परिबद्ध रेखीय प्रकार्य सम्मलित है $$\varphi$$ ऐसा है कि φ(u) = 1. परिचालक $$P(x)=\varphi(x)u$$ संतुष्ट $$P^2=P$$, अर्थात यह एक प्रक्षेप है। $$\varphi$$ की सीमाबद्धता की निरंतरता का तात्पर्य है $$P$$ और इसलिए $$\ker(P) = \operatorname{rg}(I-P)$$ की एक बंद पूरक उपसमष्टि है $$U$$.

आवेदन और आगे के विचार
कुछ रैखिक बीजगणित समस्याओं के लिए अनुमान (लांबिक और अन्यथा) कलन विधि में एक प्रमुख भूमिका निभाते हैं:
 * क्यूआर अपघटन (गृहस्थ परिवर्तन और ग्राम-श्मिट अपघटन देखें);
 * विलक्षण मान अपघटन
 * हेसनबर्ग आव्यूह फॉर्म में कमी (कई आइगेनवैल्यू [[ कलन विधि ]] में पहला कदम)
 * रेखीय प्रतिगमन
 * सक्रियक के-सिद्धांत में कुछ के-समूहों के निर्माण में आव्यूह बीजगणित के प्रक्षेपी तत्वों का उपयोग किया जाता है

जैसा कि ऊपर कहा गया है, अनुमान वर्गसम का एक विशेष मामला है। विश्लेषणात्मक रूप से, लंबकोणीय प्रक्षेप विशेषता बहुपद के गैर-विनिमयेटिव सामान्यीकरण हैं। उदाहरण के लिए, अर्धसरल बीजगणित को वर्गीकृत करने के लिए वर्गसम का उपयोग किया जाता है, जबकि माप सिद्धांत मापने योग्य सेट के विशिष्ट कार्यों पर विचार करने के साथ आरंभ होता है। इसलिए जैसा कि आप कल्पना कर सकते हैं कि प्रक्षेप अधिकांशत:, सक्रियक बीजगणित के संदर्भ में सामने आते हैं। विशेष रूप से, एक वॉन न्यूमैन बीजगणित अनुमानों के पूर्ण जाली (क्रम) द्वारा उत्पन्न होता है।

सामान्यीकरण
सामान्यत:, आदर्श सदिशसमष्‍टि के बीच एक मानचित्र दिया जाता है $$T\colon V \to W,$$ कोई भी इस मानचित्र को कर्नेल के लांबिक पूरक पर एक समदूरीकता होने के लिए समान रूप से पूछ सकता है: वह $$(\ker T)^\perp \to W$$ एक समदूरीकता बनें (आंशिक समदूरीकता की तुलना करें); विशेष रूप से यह विशेषण कार्य होना चाहिए। लंबकोणीय प्रक्षेप का मामला तब होता है जब W V का एक उप-स्थान होता है। रीमानी ज्यमिति में, इसका उपयोग रीमानी सबमर्सियन की परिभाषा में किया जाता है।

यह भी देखें

 * केंद्रित आव्यूह, जो प्रक्षेप आव्यूह का एक उदाहरण है।
 * डिकस्ट्रा का प्रक्षेप कलन विधि सेट के एक अंतरायोजी पर प्रक्षेप की गणना करने के लिए
 * अपरिवर्तनीय उपस्थान
 * कम से कम वर्ग वर्णक्रमीय विश्लेषण
 * लांबिकीकरण
 * ट्रेस (रैखिक बीजगणित) # गुण

बाहरी संबंध

 * , from MIT OpenCourseWare
 * , by Pavel Grinfeld.
 * Planar Geometric Projections Tutorial – a simple-to-follow tutorial explaining the different types of planar geometric projections.