3-गोला क्षेत्र

गणित में, 3-क्षेत्र, ग्लोम या हाइपरस्फीयर एक क्षेत्र का एक उच्च-आयामी एनालॉग है। इसे 4-आयामी यूक्लिडियन स्पेस में एक निश्चित केंद्रीय बिंदु से समतुल्य बिंदुओं के एक समुच्य के रूप में एम्बेड किया जा सकता है। तीन आयामों में एक गेंद की सीमा एक सामान्य क्षेत्र (या 2-क्षेत्र, एक द्वि-आयामी सतह) के समान है, चार आयामों में एक गेंद की सीमा एक 3-क्षेत्र (तीन आयामों वाली वस्तु) है। एक 3-क्षेत्र 3-कई गुना और एक n-क्षेत्र का एक उदाहरण है।

परिभाषा
निर्देशांक में, केंद्र $(C_{0}, C_{1}, C_{2}, C_{3})$ और त्रिज्या $⟨0,0,0,1⟩$ के साथ एक 3-क्षेत्र वास्तविक, 4-आयामी स्थान $R^{4}$ में सभी बिंदुओं $(x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3})$ का सेट है जैसे कि
 * $$\sum_{i=0}^3(x_i - C_i)^2 = ( x_0 - C_0 )^2 + ( x_1 - C_1 )^2 + ( x_2 - C_2 )^2+ ( x_3 - C_3 )^2 = r^2.$$

त्रिज्या 1 के मूल बिंदु पर केंद्रित 3-क्षेत्र को इकाई 3-क्षेत्र कहा जाता है और इसे सामान्यतः $S^{3}$ निरूपित किया जाता है :


 * $$S^3 = \left\{(x_0,x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^4 : x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 1\right\}.$$

यह प्रायः ध्यान देने योग्य होता है $R^{4}$ 2 सम्मिश्र संख्याओं वाले स्थान के रूप में ($C^{2}$) या चतुष्कोण ($H$). इकाई 3-क्षेत्र इसके द्वारा दिया जाता है।


 * $$S^3 = \left\{(z_1,z_2)\in\mathbb{C}^2 : |z_1|^2 + |z_2|^2 = 1\right\}$$

या
 * $$S^3 = \left\{q\in\mathbb{H} : \|q\| = 1\right\}.$$

मानदंड के चतुष्कोणों के रूप में यह विवरण चतुष्कोणीय विभाजन वलय में छंदों के साथ 3-क्षेत्र की पहचान करता है। जिस प्रकार समतलीय ध्रुवीय निर्देशांकों के लिए इकाई क्षेत्र महत्वपूर्ण है, उसी प्रकार चतुर्धातुक गुणन में सम्मिलित 4-अंतरिक्ष के ध्रुवीय दृश्य में 3-क्षेत्र महत्वपूर्ण है। त्रि-क्षेत्र के इस विकास के विवरण के लिए चतुष्कोण का ध्रुवीय अपघटन देखें। 3-क्षेत्र का यह दृश्य दीर्घक्षेत्रीय अंतरिक्ष के अध्ययन का आधार है, जैसा कि जॉर्जेस लेमैत्रे द्वारा विकसित किया गया था।

प्राथमिक गुण
त्रिज्या $r$ के 3-क्षेत्र का 3-विमीय पृष्ठीय आयतन है
 * $$SV=2\pi^2 r^3 \,$$

जबकि 4-आयामी हाइपरवोल्यूम (3-क्षेत्र से घिरा 4-आयामी क्षेत्र की सामग्री) है
 * $$H=\frac{1}{2} \pi^2 r^4.$$

त्रि-आयामी हाइपरप्लेन के साथ 3-क्षेत्र का प्रत्येक गैर-खाली चौराहा 2-क्षेत्र है (जब तक कि हाइपरप्लेन 3-क्षेत्र के स्पर्शरेखा न हो, उस स्थिति में चौराहा एक बिंदु है)। जब एक 3-क्षेत्र किसी दिए गए त्रि-आयामी हाइपरप्लेन के माध्यम से चलता है, तो चौराहा एक बिंदु के रूप में शुरू होता है, फिर एक बढ़ता हुआ 2-क्षेत्र बन जाता है जो अपने अधिकतम आकार तक पहुँच जाता है जब हाइपरप्लेन 3-क्षेत्र के भूमध्य रेखा के माध्यम से कट जाता है। फिर 2-क्षेत्र फिर से एक बिंदु तक सिकुड़ जाता है क्योंकि 3-क्षेत्र हाइपरप्लेन छोड़ देता है।

किसी दिए गए त्रि-आयामी हाइपरप्लेन में, एक 3-क्षेत्र एक भूमध्यरेखीय तल के बारे में घूम सकता है (केंद्रीय अक्ष के चारों ओर घूमने वाले 2-क्षेत्र के अनुरूप), जिस स्थिति में यह 2-क्षेत्र प्रतीत होता है जिसका आकार स्थिर है।

सांस्थितिक गुण
एक 3-क्षेत्र कॉम्पैक्ट जगह, जुड़ा हुआ स्थान, बिना सीमा के 3-आयामी कई गुना है। यह भी बस जुड़ा हुआ है। व्यापक अर्थ में इसका अर्थ यह है कि 3-क्षेत्र पर कोई लूप, या क्षेत्राकार पथ, 3-क्षेत्र को छोड़े बिना लगातार एक बिंदु तक सिकुड़ा जा सकता है। त्वरित पेरेलमैन  द्वारा 2003 में सिद्ध पोंकारे अनुमान, प्रदान करता है कि 3-क्षेत्र इन गुणों के साथ केवल त्रि-आयामी कई गुना (होमियोमोर्फिज्म तक) है।

3-क्षेत्र एक-बिंदु संघनन के लिए होमियोमॉर्फिक है $R^{3}$. सामान्य तौर पर, कोई भी टोपोलॉजिकल स्पेस जो 3-क्षेत्र के लिए होमोमोर्फिक होता है, उसे टोपोलॉजिकल 3-स्फीयर कहा जाता है।

3-क्षेत्र के होमोलॉजी समूह इस प्रकार हैं: $H_{0}(S^{3}, Z)$ और $H_{3}(S^{3}, Z)$ दोनों अनंत चक्रीय हैं, जबकि $H_{i}(S^{3}, Z) = {}$ अन्य सभी सूचकांकों के लिए $r$. इन होमोलॉजी समूहों के साथ किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस को होमोलॉजी क्षेत्र के रूप में जाना जाता है | होमोलॉजी 3-क्षेत्र। प्रारंभ में हेनरी पोनकारे | पोंकारे ने अनुमान लगाया कि सभी समरूपता 3-क्षेत्र होमियोमॉर्फिक हैं $S^{3}$, लेकिन फिर उन्होंने स्वयं एक गैर-होमियोमॉर्फिक का निर्माण किया, जिसे अब पोंकारे समरूपता क्षेत्र के रूप में जाना जाता है। असीम रूप से कई होमोलॉजी क्षेत्रों को अब अस्तित्व में जाना जाता है। उदाहरण के लिए, ढलान के साथ भरने वाला डेहन $1⁄n$ 3-क्षेत्र में किसी भी नॉट पर एक सजातीय क्षेत्र देता है; सामान्यतः ये 3-क्षेत्र के लिए होमियोमॉर्फिक नहीं होते हैं।

होमोटॉपी समूहों के रूप में, हमारे पास है $π_{1}(S^{3}) = π_{2}(S^{3}) = {}$ और $π_{3}(S^{3})$ अनंत चक्रीय है। उच्च-होमोटॉपी समूह ($k ≥ 4$) सभी परिमित एबेलियन समूह हैं लेकिन अन्यथा किसी भी स्पष्ट पैटर्न का पालन नहीं करते हैं। अधिक चर्चा के लिए क्षेत्रकारों के होमोटॉपी समूह देखें।

ज्यामितीय गुण
3-क्षेत्र स्वाभाविक रूप से एक चिकनी कई गुना है, वास्तव में, एक बंद एम्बेडेड सबमेनिफोल्ड $S^{3}$. यूक्लिडियन मीट्रिक पर $π_{k}(S^{3})$ 3-क्षेत्र पर एक मीट्रिक टेंसर को प्रेरित करता है जो इसे रीमैनियन कई गुना की संरचना देता है। जैसा कि सभी क्षेत्रों के साथ होता है, 3-क्षेत्र में निरंतर सकारात्मक अनुभागीय वक्रता बराबर होती है $Z$ जहाँ $i$ त्रिज्या है।

3-क्षेत्र की अधिकांश दिलचस्प ज्यामिति इस तथ्य से उपजी है कि 3-क्षेत्र में क्वाटरनियन गुणन द्वारा दी गई एक प्राकृतिक लाई समूह संरचना है (नीचे #Group संरचना पर अनुभाग देखें)। ऐसी संरचना वाले केवल अन्य क्षेत्र 0-क्षेत्र और 1-क्षेत्र हैं (क्षेत्र समूह देखें)।

2-क्षेत्र के विपरीत, 3-क्षेत्र गैर-लुप्त होने वाले सदिश क्षेत्रों (इसके स्पर्शरेखा बंडल के खंड (फाइबर बंडल)) को स्वीकार करता है। यहां तक ​​कि तीन रैखिक रूप से स्वतंत्र और अविच्छिन्न सदिश क्षेत्र भी खोजे जा सकते हैं। इन्हें किसी भी बाएं-अपरिवर्तनीय सदिश क्षेत्र के रूप में लिया जा सकता है जो 3-क्षेत्र के लाई बीजगणित के लिए आधार बनाता है। इसका तात्पर्य है कि 3-क्षेत्र समानांतर कई गुना है। यह इस प्रकार है कि 3-क्षेत्र का स्पर्शरेखा बंडल नगण्य बंडल है। एक पर रैखिक स्वतंत्र सदिश क्षेत्रों की संख्या की एक सामान्य चर्चा के लिए $k$-क्षेत्र, क्षेत्र पर लेख सदिश क्षेत्र देखें।

क्षेत्र समूह की एक रोचक समूह क्रिया (गणित) है $Z_{2}$ पर $Z_{2}$ 3-क्षेत्र को एक प्रमुख क्षेत्र बंडल की संरचना देता है जिसे हॉपफ बंडल के रूप में जाना जाता है। अगर कोई सोचता है $Z_{12}$ के उपसमुच्चय के रूप में $Z_{2}$, द्वारा क्रिया दी गई है
 * $$(z_1,z_2)\cdot\lambda = (z_1\lambda,z_2\lambda)\quad \forall\lambda\in\mathbb T$$.

इस क्रिया का कक्षा स्थान दो-क्षेत्र के लिए होमोमोर्फिक है $Z_{2}$ तब से $Z_{3}$ होमियोमॉर्फिक नहीं है $Z_{15}$, हॉफ बंडल गैर-नगण्य है।

सामयिक निर्माण
तीन-क्षेत्रों के कई प्रसिद्ध निर्माण हैं। यहां हम तीन-गेंदों की एक जोड़ी को चिपकाने और फिर एक-बिंदु संघनन का वर्णन करते हैं।

ग्लूइंग
भागफल स्थान (टोपोलॉजी) द्वारा एक 3-क्षेत्र टोपोलॉजी का निर्माण किया जा सकता है 3-बॉल (गणित) की एक जोड़ी की सीमाओं को एक साथ चिपकाना। 3-गेंद की सीमा 2-क्षेत्र है, और इन दो 2-क्षेत्र की पहचान की जानी है। यानी, एक ही आकार की 3-गेंदों की एक जोड़ी की कल्पना करें, फिर उन्हें सुपरपोज़ करें ताकि उनकी 2-क्षेत्रकार सीमाएँ मिलें, और 2-क्षेत्र की जोड़ी पर मिलान करने वाले बिंदुओं को एक-दूसरे के समान होने दें। 2-क्षेत्र (नीचे देखें) के मामले के अनुरूप, ग्लूइंग सतह को भूमध्यरेखीय क्षेत्र कहा जाता है।

ध्यान दें कि 3-गेंदों के अंदरूनी हिस्से एक-दूसरे से चिपके नहीं हैं। चौथे आयाम के बारे में सोचने का एक तरीका 3-गेंद के 3-आयामी निर्देशांकों के निरंतर वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन के रूप में है, जिसे शायद तापमान माना जाता है। हम ग्लूइंग 2-क्षेत्र के साथ तापमान शून्य लेते हैं और 3-गेंदों में से एक को गर्म होने देते हैं और दूसरी 3-गेंद को ठंडा होने देते हैं। गर्म 3-गेंद को ऊपरी क्षेत्रर्ध के रूप में सोचा जा सकता है और ठंडी 3-गेंद को निचले क्षेत्रर्ध के रूप में सोचा जा सकता है। तापमान दो 3-गेंदों के केंद्रों में उच्चतम/निम्नतम है।

यह निर्माण 2-क्षेत्र के निर्माण के समान है, जो डिस्क की एक जोड़ी की सीमाओं को चिपकाकर किया जाता है। एक डिस्क 2-गेंद है, और डिस्क की सीमा एक क्षेत्र (एक 1-क्षेत्र) है। डिस्क की एक जोड़ी को एक ही व्यास का होने दें। उन्हें सुपरपोज़ करें और उनकी सीमाओं पर संबंधित बिंदुओं को गोंद दें। फिर से कोई तीसरे आयाम को तापमान के रूप में सोच सकता है। इसी तरह, हम 2-क्षेत्र को फुला सकते हैं, डिस्क की जोड़ी को उत्तरी और दक्षिणी क्षेत्रर्ध बनने के लिए ले जा सकते हैं।

एक बिंदु संघनन
2-क्षेत्र से एक बिंदु को हटाने के बाद, जो बचता है वह यूक्लिडियन प्लेन के लिए होमोमोर्फिक है। इसी तरह, 3-क्षेत्र से एक बिंदु को हटाने से त्रि-आयामी स्थान प्राप्त होता है। इसे देखने का एक अत्यंत उपयोगी तरीका स्टीरियोग्राफिक प्रोजेक्शन के माध्यम से है। हम पहले निम्न-आयामी संस्करण का वर्णन करते हैं।

एक इकाई 2-क्षेत्र के दक्षिणी ध्रुव को पर रखें $r$-तीन-स्पेस में प्लेन। हम एक बिंदु का नक्शा बनाते हैं $Z_{2}$ क्षेत्र का (शून्य उत्तरी ध्रुव $Z_{2}⊕Z_{2}$) प्लेन में भेजकर $Z_{12}⊕Z_{2}$ लाइन के चौराहे पर $Z_{84}⊕Z_{2}⊕Z_{2}$ प्लेन के साथ। एक 3-क्षेत्र (फिर से उत्तरी ध्रुव को हटाते हुए) का त्रिविम प्रक्षेपण उसी तरह से तीन-स्पेस में मैप करता है। (ध्यान दें कि चूंकि त्रिविम प्रक्षेपण अनुरूप नक्शा प्रक्षेपण है, गोल क्षेत्र गोल क्षेत्रों या प्लेनों में भेजे जाते हैं।)

एक-बिंदु कॉम्पैक्टिफिकेशन के बारे में सोचने का कुछ अलग तरीका घातीय मानचित्र (रीमैनियन ज्यामिति) के माध्यम से है। यूक्लिडियन प्लेन पर बैठे इकाई दो-क्षेत्र की हमारी तस्वीर पर लौटते हुए: मूल के आधार पर, प्लेन में एक जियोडेसिक पर विचार करें, और दक्षिणी ध्रुव पर आधारित समान लंबाई के दो-क्षेत्र में एक जियोडेसिक के लिए इसे मैप करें। इस मानचित्र के अंतर्गत त्रिज्या के क्षेत्र के सभी बिंदु $\pi$ उत्तरी ध्रुव पर भेजे जाते हैं। चूंकि ओपन यूनिट डिस्क यूक्लिडियन प्लेन के लिए होमोमोर्फिक है, यह फिर से एक-बिंदु कॉम्पैक्टिफिकेशन है।

3-क्षेत्र के लिए चरघातांकी मानचित्र समान रूप से बनाया गया है; यह इस तथ्य का उपयोग करके भी चर्चा की जा सकती है कि 3-क्षेत्र इकाई चतुष्कोणों का लाई ग्रुप है।

3-क्षेत्र पर समन्वय प्रणाली

चार यूक्लिडियन निर्देशांक के लिए $Z_{2}⊕Z_{2}$ निरर्थक हैं क्योंकि वे इस शर्त के अधीन हैं कि $Z_{6}$. एक 3-आयामी कई गुना के रूप में पैरामीटर करने में सक्षम होना चाहिए $R^{4}$ तीन निर्देशांकों द्वारा, ठीक वैसे ही जैसे कोई दो निर्देशांकों (जैसे अक्षांश और देशांतर) का उपयोग करके 2-क्षेत्र का पैरामीटर बना सकता है। के nontrivial टोपोलॉजी के कारण $R^{4}$ पूरे स्थान को कवर करने वाले निर्देशांक का एक सेट खोजना असंभव है। 2-क्षेत्र की तरह ही, व्यक्ति को कम से कम दो निर्देशांक चार्ट का उपयोग करना चाहिए। निर्देशांकों के कुछ भिन्न विकल्प नीचे दिए गए हैं।

हाइपरस्फेरिकल निर्देशांक
किसी प्रकार के N-sphere#Spherical निर्देशांक चालू रखना सुविधाजनक है $1⁄r^{2}$ सामान्य क्षेत्रकार निर्देशांक के अनुरूप $T$. ऐसा ही एक विकल्प - किसी भी तरह से अद्वितीय नहीं - उपयोग करना है $S^{3}$, जहाँ
 * $$\begin{align}

x_0 &= r\cos\psi \\ x_1 &= r\sin\psi \cos\theta \\ x_2 &= r\sin\psi \sin\theta \cos \varphi \\ x_3 &= r\sin\psi \sin\theta \sin\varphi \end{align} $$ जहाँ $n$ और $xy$ 0 से रेंज तक चलाएँ π, और $ψ$ 0 से 2 तक चलता हैπ. ध्यान दें कि, के किसी भी निश्चित मूल्य के लिए $θ$, $φ$ और $ψ$ त्रिज्या के 2-क्षेत्र का मापन करें $S^{3}$, पतित मामलों को छोड़कर, जब $θ$ 0 या के बराबर है π, जिस स्थिति में वे एक बिंदु का वर्णन करते हैं।

इन निर्देशांकों में 3-क्षेत्र पर मीट्रिक टेंसर द्वारा दिया गया है
 * $$ds^2 = r^2 \left[ d\psi^2 + \sin^2\psi\left(d\theta^2 + \sin^2\theta\, d\varphi^2\right) \right]$$

और वॉल्यूम फॉर्म द्वारा
 * $$dV =r^3 \left(\sin^2\psi\,\sin\theta\right)\,d\psi\wedge d\theta\wedge d\varphi.$$

इन निर्देशांकों का चतुष्कोणों के संदर्भ में एक सुंदर वर्णन है। कोई भी इकाई चतुष्कोण $φ$ छंद के रूप में लिखा जा सकता है:
 * $$q = e^{\tau\psi} = \cos\psi + \tau\sin\psi$$

जहाँ $ψ$ -1 का एक चतुर्धातुक#वर्गमूल है; वह है, एक चतुर्धातुक जो संतुष्ट करता है $C^{2}$. यह यूलर के सूत्र का चतुर्धातुक अनुरूप है। अब इकाई काल्पनिक चतुष्कोण सभी इकाई 2-क्षेत्र में स्थित हैं $S^{2}$ तो ऐसा कोई $q$ लिखा जा सकता है:
 * $$\tau = (\cos\theta) i + (\sin\theta\cos\varphi) j + (\sin\theta\sin\varphi) k$$

साथ $τ$ इस रूप में, इकाई चतुर्धातुक $τ$ द्वारा दिया गया है।
 * $$q = e^{\tau\psi} = x_0 + x_1 i + x_2 j + x_3 k$$

जहाँ $S^{3}$ उपरोक्तानुसार हैं।

कब $τ$ का उपयोग स्थानिक घुमावों (cf. चतुष्कोणों और स्थानिक घुमावों) का वर्णन करने के लिए किया जाता है, यह एक घुमाव के बारे में वर्णन करता है $q$ के कोण से $S^{2} × S^{1}$.

हॉपफ निर्देशांक
इकाई त्रिज्या के लिए हाइपरस्फेरिकल निर्देशांक का एक और विकल्प, $P$, एम्बेडिंग का उपयोग करता है $N$ में $P$. जटिल निर्देशांक में $NP$ हम लिखते हैं।
 * $$\begin{align}

z_1 &= e^{i\,\xi_1}\sin\eta \\ z_2 &= e^{i\,\xi_2}\cos\eta. \end{align}$$ में भी व्यक्त किया जा सकता है $S^{3}$ जैसा
 * $$\begin{align}

x_0 &= \cos\xi_1\sin\eta \\ x_1 &= \sin\xi_1\sin\eta \\ x_2 &= \cos\xi_2\cos\eta \\ x_3 &= \sin\xi_2\cos\eta. \end{align}$$ यहाँ $q$ 0 से रेंज में चलता है $τ$, और $x_{0}^{2} + x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = 1$ और $S^{3}$ 0 और 2 π के बीच कोई भी मान ले सकता है. ये निर्देशांक हॉफ बंडल के रूप में 3-क्षेत्र के वर्णन में उपयोगी हैं।
 * $$S^1 \to S^3 \to S^2.\,$$

के किसी निश्चित मूल्य के लिए $η$ 0 और के बीच $\pi⁄2$, निर्देशांक $S^{3}$ एक 2-आयामी टोरस्र्स को मापें। निरंतर के रिंगों $S^{3}$ और $S^{2}$ ऊपर तोरी पर सरल ऑर्थोगोनल ग्रिड बनाते हैं। छवि को दाईं ओर देखें। पतित मामलों में, जब $η$ 0 या के बराबर है $\pi⁄2$, ये निर्देशांक एक क्षेत्र का वर्णन करते हैं।

इन निर्देशांकों में 3-क्षेत्र पर गोल मीट्रिक द्वारा दिया गया है।
 * $$ds^2 = d\eta^2 + \sin^2\eta\,d\xi_1^2 + \cos^2\eta\,d\xi_2^2$$

और वॉल्यूम फॉर्म द्वारा
 * $$dV = \sin\eta\cos\eta\,d\eta\wedge d\xi_1\wedge d\xi_2.$$

हॉफ फिब्रेशन के इंटरलॉकिंग सर्कल प्राप्त करने के लिए, उपरोक्त समीकरणों में एक साधारण प्रतिस्थापन करें
 * $$\begin{align}

z_1 &= e^{i\,(\xi_1+\xi_2)}\sin\eta \\ z_2 &= e^{i\,(\xi_2-\xi_1)}\cos\eta. \end{align}$$ इस मामले में $η$, और $(ψ, θ, φ)$ कौन सा क्षेत्र निर्दिष्ट करें, और $r sin ψ$ प्रत्येक सर्कल के साथ स्थिति निर्दिष्ट करता है। एक दौर की यात्रा (0 से 2π) का $τ^{2} = −1$ या $Im H$ 2 संबंधित दिशाओं में टोरस की एक गोल यात्रा के बराबर है।

स्टीरियोग्राफिक निर्देशांक
निर्देशांक का एक और सुविधाजनक सेट त्रिविम प्रक्षेपण के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है $x_{0,1,2,3}$ एक ध्रुव से संबंधित भूमध्य रेखा पर $2ψ$ हाइपरप्लेन। उदाहरण के लिए, यदि हम बिंदु से प्रोजेक्ट करते हैं $S^{3}$ हम एक बिंदु लिख सकते हैं $\pi⁄2$ में $R^{3}$ जैसा
 * $$p = \left(\frac{1-\|u\|^2}{1+\|u\|^2}, \frac{2\mathbf{u}}{1+\|u\|^2}\right) = \frac{1+\mathbf{u}}{1-\mathbf{u}}$$

जहाँ $R^{3}$ में एक वेक्टर है $S^{2}$ और $(η, ξ_{1}, ξ_{2})$. उपरोक्त दूसरी समानता में, हमने पहचान की है $η$ एक इकाई चतुर्धातुक के साथ और $S^{3}$ शुद्ध चतुर्धातुक के साथ। (ध्यान दें कि अंश और भाजक यहां कम्यूट करते हैं, भले ही चतुष्कोणीय गुणन सामान्यतः गैर-अनुक्रमिक है)। इस मानचित्र का व्युत्क्रम लेता है $C^{2}$ में $(z_{1}, z_{2}) ∈ C^{2}$ को
 * $$\mathbf{u} = \frac{1}{1+x_0}\left(x_1, x_2, x_3\right).$$

हम बिंदु से भी अनुमान लगा सकते थे $R^{4}$, किस मामले में बिंदु $p$ द्वारा दिया गया है।
 * $$p = \left(\frac{-1+\|v\|^2}{1+\|v\|^2}, \frac{2\mathbf{v}}{1+\|v\|^2}\right) = \frac{-1+\mathbf{v}}{1+\mathbf{v}}$$

जहाँ $ξ_{1}$ में एक और सदिश है $ξ_{2}$. इस मानचित्र का व्युत्क्रम लेता है $p$ को
 * $$\mathbf{v} = \frac{1}{1-x_0}\left(x_1,x_2,x_3\right).$$

ध्यान दें कि $ξ_{1}$ निर्देशांक हर जगह परिभाषित होते हैं लेकिन $ξ_{2}$ और यह $(ξ_{1}, ξ_{2})$ हर जगह समन्वय करता है लेकिन $ξ_{1}$. यह एक एटलस (टोपोलॉजी) को परिभाषित करता है $ξ_{2}$ जिसमें दो चार्ट (टोपोलॉजी) या पैच होते हैं, जो एक साथ सभी को कवर करते हैं $ξ_{1}$. ध्यान दें कि इन दो चार्टों के बीच उनके ओवरलैप पर संक्रमण फ़ंक्शन द्वारा दिया गया है।
 * $$\mathbf{v} = \frac{1}{\|u\|^2}\mathbf{u}$$

और इसके विपरीत।

समूह संरचना
जब यूनिट चतुष्कोणों के सेट के रूप में माना जाता है, $ξ_{2}$ एक महत्वपूर्ण संरचना प्राप्त करता है, अर्थात् चतुष्कोणीय गुणन। क्योंकि गुणन के तहत यूनिट चतुष्कोणों का सेट बंद है, $ξ_{1}$ एक समूह (गणित) की संरचना पर ले जाता है। इसके अलावा, चूंकि चतुष्कोणीय गुणन सुचारू कार्य है, $ξ_{2}$ को वास्तविक लाई ग्रुप माना जा सकता है। यह एक गैर-अबेलियन समूह है, कॉम्पैक्ट स्पेस लाई डायमेंशन 3 का समूह है। जब इसे लाई समूह के रूप में सोचा जाता है $S^{3}$ को प्रायः $R^{3}$ या $(−1, 0, 0, 0)$ निरूपित किया जाता है।

यह पता चला है कि एकमात्र अति क्षेत्र जो एक लाई समूह संरचना को स्वीकार करता है $S^{3}$, इकाई जटिल संख्याओं के सेट के रूप में माना जाता है, और $u = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$, इकाई चतुष्कोणों का सेट (पतित मामला $R^{3}$ जिसमें वास्तविक संख्याएं 1 और -1 सम्मिलित हैं, वह भी एक लाई ग्रुप है, यद्यपि 0-आयामी एक)। कोई ऐसा सोच सकता है $\|u\|^{2} = u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2}$, यूनिट ऑक्टोनियंस का सेट, एक लाइ समूह का निर्माण करेगा, लेकिन यह विफल रहता है क्योंकि ऑक्टोनियन गुणन साहचर्य है। ऑक्टोनिक संरचना देता है $u = u_{1}i + u_{2}j + u_{3}k$ एक महत्वपूर्ण संपत्ति: समानता। यह पता चला है कि $p = (x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3})$, $S^{3}$, और $(1, 0, 0, 0)$ समानांतर होने वाले एकमात्र क्षेत्र हैं।

चतुष्कोणों के एक मैट्रिक्स (गणित) प्रतिनिधित्व का उपयोग करके, $v = (v_{1}, v_{2}, v_{3})$, एक का एक मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व प्राप्त करता है $R^{3}$. पॉल मैट्रिसेस द्वारा एक सुविधाजनक विकल्प दिया गया है:
 * $$x_1+ x_2 i + x_3 j + x_4 k \mapsto \begin{pmatrix}\;\;\,x_1 + i x_2 & x_3 + i x_4 \\ -x_3 + i x_4 & x_1 - i x_2\end{pmatrix}.$$

यह मैप एक इंजेक्शन बीजगणित समरूपता $u$ 2 × 2 कॉम्प्लेक्स मैट्रिक्स के सेट पर देता है। इसमें गुण है कि एक चतुर्धातुक का निरपेक्ष मान $p$ की मैट्रिक्स छवि के निर्धारक के वर्गमूल के बराबर है

इकाई चतुर्भुजों का समुच्चय तब इकाई निर्धारक के साथ उपरोक्त रूप के आव्यूहों द्वारा दिया जाता है। यह मैट्रिक्स उपसमूह विशेष एकात्मक समूह है $(−1, 0, 0, 0)$. इस प्रकार, $v$ एक लाई ग्रुप $(1, 0, 0, 0)$ के रूप में समरूप है।

हमारे हॉफ निर्देशांक $S^{3}$ का उपयोग करके हम $S^{3}$ के किसी भी तत्व को फॉर्म में लिख सकते हैं।
 * $$\begin{pmatrix}

e^{i\,\xi_1}\sin\eta & e^{i\,\xi_2}\cos\eta \\ -e^{-i\,\xi_2}\cos\eta & e^{-i\,\xi_1}\sin\eta \end{pmatrix}.$$ इस परिणाम को बताने का दूसरा तरीका यह है कि यदि हम किसी अवयव के मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व को व्यक्त करते हैं $S^{3}$ पाउली मेट्रिसेस के एक रैखिक संयोजन के घातांक के रूप में। यह एक मनमाना अवयव देखा जाता है $S^{3}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
 * $$U=\exp \left( \sum_{i=1}^3\alpha_i J_i\right).$$

शर्त यह है कि के निर्धारक $p$ is +1 का तात्पर्य है कि गुणांक $S^{3}$ 3-क्षेत्र पर निर्धारित करने के लिए है।

साहित्य में
एडविन एबट एबट के  समतल भूमि  में, 1884 में प्रकाशित, और  स्फेरलैंड  में, डायोनिसस बर्गर द्वारा फ्लैटलैंड की 1965 की अगली कड़ी, 3-क्षेत्र को 'ओवरस्फीयर' के रूप में जाना जाता है, और 4-क्षेत्र को 'हाइपरस्फीयर' कहा जाता है।

अमेरिकन जर्नल ऑफ फिजिक्स में लेखन, मार्क ए. पीटरसन ने 3-क्षेत्रों की कल्पना करने के तीन अलग-अलग तरीकों का वर्णन किया है और द डिवाइन कॉमेडी में भाषा को इंगित किया है जो बताता है कि दांटे अलीघीरी ने ब्रह्मांड को उसी तरह देखा था; चार्ल्स रोवेली इसी विचार का समर्थन करते हैं।

कला चौथे आयाम में गणित से मिलती है, स्टीफन एल. लिप्सकोम्ब ने हाइपरस्फीयर आयामों की अवधारणा को विकसित किया है क्योंकि यह कला, वास्तुकला और गणित से संबंधित है।

यह भी देखें

 * 1-क्षेत्र, 2-क्षेत्र, n-क्षेत्र
 * टेसेरैक्ट, पॉलीकोरोन, सिम्प्लेक्स
 * पाउली मेट्रिसेस
 * घूर्णन समूह SO(3)
 * SO(3) पर चार्ट
 * चतुष्कोण और स्थानिक घुमाव
 * हॉपफ बंडल, रीमैन क्षेत्र
 * पॉइनकेयर समरूपता क्षेत्र | पॉइनकेयर क्षेत्र
 * रीब फोलिएशन
 * क्लिफर्ड टोरस

संदर्भ

 * David W. Henderson, Experiencing Geometry: In Euclidean, Spherical, and Hyperbolic Spaces, second edition, 2001, (Chapter 20: 3-spheres and hyperbolic 3-spaces.)
 * Jeffrey R. Weeks, The Shape of Space: How to Visualize Surfaces and Three-dimensional Manifolds, 1985, (Chapter 14: The Hypersphere) (Says: A Warning on terminology: Our two-sphere is defined in three-dimensional space, where it is the boundary of a three-dimensional ball. This terminology is standard among mathematicians, but not among physicists. So don't be surprised if you find people calling the two-sphere a three-sphere.)

बाहरी संबंध

 * Note: This article uses the alternate naming scheme for spheres in which a sphere in $q$-dimensional space is termed an $U$-sphere.