अतिएकरूपता

हाइपरयूनिफ़ॉर्म सामग्रियों की विशेषता मुख्य रूप से बड़े पैमाने पर घनत्व में होने वाले उतार-चढ़ावों का असामान्य दमन है। इसके कारण यदि अधिक सटीक रूप से, लंबी-तरंग लंबाई सीमा (जैसे क्रिस्टल के लिए) में घनत्व के उतार-चढ़ाव का विलुप्त होना विशिष्ट गैसों, तरल पदार्थों या अनाकार ठोस पदार्थों से हाइपरयूनिफॉर्म प्रणालियों को अलग करता है। अतिएकरूपता के उदाहरणों में सभी पूर्ण क्रिस्टल सम्मिलित हैं, इस प्रकार उत्तम क्वासीक्रिस्टल, और पदार्थ की विदेशी अनाकार अवस्थाएँ इसके उदाहरण हैं। मात्रात्मक रूप से, बहु-कण प्रणाली को हाइपरयूनिफ़ॉर्म कहा जाता है, जिसके कारण यदि गोलाकार अवलोकन विंडो के भीतर बिंदुओं की संख्या का अंतर अवलोकन विंडो की मात्रा की तुलना में अधिक धीरे-धीरे बढ़ता है। इस प्रकार यह परिभाषा लंबी-तरंगदैर्घ्य सीमा में संरचना कारक के लुप्त होने के समान होती है, और इसे विषम सामग्रियों के साथ-साथ अदिश, सदिश और टेंसर क्षेत्रों को सम्मिलित करने के लिए विस्तारित किया गया है। इस प्रकार किसी अव्यवस्थित हाइपरयूनिफ़ॉर्म सिस्टम के व्युत्क्रम मान के लिए महत्वपूर्ण बिंदु पर यह अग्रेषित दिखायी देता हैं। उन्हें ऊष्मागतिकी संतुलन या असंतुलित ऊष्मागतिकी्स मार्गों के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है, और मौलिक यांत्रिकी और क्वांटम यांत्रिकी या क्वांटम-मैकेनिकल सिस्टम दोनों में पाए जाते हैं। इसलिए, हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी की अवधारणा अब भौतिकी में विषयों की विस्तृत श्रृंखला अंक शास्त्र, जीवविज्ञान और सामग्री विज्ञान को जोड़ती है।

हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी की अवधारणा लंबी दूरी के क्रम की पारंपरिक धारणा को सामान्यीकृत करती है, और इस प्रकार पदार्थ की विदेशी स्थिति को परिभाषित करती है। इसके फलस्वरूप अव्यवस्थित हाइपरयूनिफ़ॉर्म कई-कण प्रणाली तरल के समान सांख्यिकीय रूप से आइसोट्रॉपी हो सकती है, जिसमें इस प्रकार कोई ब्रैग चोटियां नहीं होती हैं और कोई पारंपरिक प्रकार की लंबी दूरी का क्रम नहीं होता है। फिर भी बड़े पैमाने पर इस प्रकार हाइपरयूनिफ़ॉर्म सिस्टम को बड़े पैमाने पर घनत्व में उतार-चढ़ाव के दमन में क्रिस्टल के समान होते हैं। यह विचित्र संयोजन अव्यवस्थित हाइपरयूनिफ़ॉर्म सामग्रियों को नवीन भौतिक गुणों से संपन्न करने के लिए जाना जाता है, जो कि लगभग इष्टतम और दिशा के लिए अनीसोट्रोपिक क्रिस्टल के विपरीत दोनों स्थितियों में स्वतंत्र हैं ।

इतिहास
शब्द हाइपरयूनिफॉर्मिटी को मुख्यतः ब्रह्मांड विज्ञान के संदर्भ में इसे स्वतंत्र रूप से सुपर-होमोजेनिटी भी कहा जाता है, जिसको 2003 के पेपर में साल्वातोर टोरक्वेटो और फ्रैंक स्टिलिंगर द्वारा सिद्ध और अध्ययन किया गया था, जिसमें उन्होंने दिखाया कि अन्य बातों के अतिरिक्त, हाइपरयूनिफॉर्मिटी क्रिस्टल, क्वासिक क्रिस्टल और विदेशी अव्यवस्थित किस्मों को वर्गीकृत और इस प्रकार संरचनात्मक रूप से चिह्नित करने के लिए एकीकृत प्रारूप प्रदान करती है। इसके अर्थ में हाइपरयूनिफॉर्मिटी लंबी दूरी की संपत्ति है जिसे विदेशी अव्यवस्थित प्रणालियों को भी सम्मिलित करने के लिए लंबी दूरी के क्रम (उदाहरण के लिए, क्रिस्टल के अनुवादात्मक / ओरिएंटेशनल ऑर्डर या क्वासिक क्रिस्टल के ओरिएंटेशनल ऑर्डर) की पारंपरिक धारणा को सामान्य बनाने के रूप में देखा जा सकता है।

हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी को सबसे पहले बिंदु प्रक्रियाओं के लिए पेश किया गया था और बाद में दो-चरण सामग्री (या छिद्रपूर्ण माध्यम) और यादृच्छिक क्षेत्र के लिए सामान्यीकृत किया गया हैं, इसे सैद्धांतिक प्रारूप, सिमुलेशन और प्रयोगों में देखा गया है, नीचे दिए गए उदाहरणों की सूची देखें।

परिभाषा
इसमें बहु-कण प्रणाली $$d$$-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष $$R^d$$ त्रिज्या के साथ गोलाकार अवलोकन विंडो में बिंदुओं की संख्या को हाइपरयूनिफ़ॉर्म कहा जाता है, जिसमें $$R$$ भिन्नता $$\sigma_N^2(R)$$ के समान है और यह अवलोकन विंडो के आयतन से धीमी है: $$\lim_{R\to \infty} \frac{\sigma_N^2(R)}{R^d} = 0.$$यह परिभाषा (अनिवार्य रूप से) मूल में संरचना कारक के लुप्त होने के समान है: $$\lim_{\mathbf{k}\to 0} S(\mathbf{k}) = 0$$ तरंग सदिश के लिए $$\mathbf{k} \in \mathbb{R}^d$$.

इसी प्रकार, ठोस और शून्य चरण से युक्त दो चरण वाले माध्यम को हाइपरयूनिफ़ॉर्म कहा जाता है यदि गोलाकार अवलोकन विंडो के अंदर ठोस चरण की मात्रा में भिन्नता होती है जो इस प्रकार अवलोकन विंडो की मात्रा से धीमी होती है। यह परिभाषा इसके अतिरिक्त मूल रूप से वर्णक्रमीय घनत्व के लुप्त होने के समान है।

हाइपरयूनिफ़ॉर्म सिस्टम की अनिवार्य विशेषता संख्या विचरण की उनकी स्केलिंग $$\sigma_N^2(R)$$ के समान है, जिसमें बड़ी त्रिज्या के लिए या समकक्ष संरचना कारक के लिए $$S(k)$$ छोटे वेवनंबर के लिए हम हाइपरयूनिफ़ॉर्म सिस्टम पर विचार करते हैं, जो इस प्रकार इसके मूल मान के समीप संरचना कारक के शक्ति-नियम के व्यवहार की विशेषता रखते हैं: $$S(\mathbf{k}) \sim |\mathbf{k}|^{\alpha} \text{ for } \mathbf{k}\to 0$$एक स्थिरांक के साथ $$0<\alpha<\infty$$, तो तीन अलग-अलग स्केलिंग व्यवहार हैं, जो हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी के तीन वर्गों को परिभाषित करते हैं:$$\sigma_N^2(R)\sim\begin{cases} R^{d-1}, &\alpha>1 & (\text{CLASS I})\\ R^{d-1}\ln R, &\alpha=1 & (\text{CLASS II})\\ R^{d-\alpha}, &0<\alpha<1 & (\text{CLASS III})\\ \end{cases}$$हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी के सभी तीन वर्गों के उदाहरण ज्ञात हैं।

उदाहरण
भौतिकी में अव्यवस्थित हाइपरयूनिफ़ॉर्म सिस्टम के उदाहरण अव्यवस्थित आधारभूत अवस्थाएँ हैं, इस अव्यवस्थित गोलाकार पैकिंग,      अनाकार बर्फ, अनाकार धब्बेदार पैटर्न, कुछ फर्मिओनिक सिस्टम, यादृच्छिक स्व-संगठन,       अव्यवस्थित जाली,   और एवियन फोटोरिसेप्टर कोशिकाएं सम्मिलित हैं।

गणित में, संभाव्यता सिद्धांत के संदर्भ में अव्यवस्थित अतिएकरूपता का अध्ययन किया गया है, जिसमें ज्यामिति,  और संख्या सिद्धांत, जहां इस प्रकार अभाज्य संख्याएं निश्चित स्केलिंग सीमा में प्रभावी रूप से आवधिक और हाइपरयूनिफॉर्म को सीमित करती पाई गई हैं। इसके आगे के उदाहरणों में कुछ यादृच्छिक गमन  और बिंदु प्रक्रियाओं की स्थिर संयोजन समस्या सम्मिलित हैं ।

अतिएकरूपता का आदेश
आदेशित, हाइपरयूनिफ़ॉर्म सिस्टम के उदाहरणों में सभी क्रिस्टल सम्मिलित हैं, जहाँ पर इस प्रकार सभी क्वासिक्रिस्टल, और सीमा-आवधिक समुच्चय उपयुक्त हैं। जबकि कमजोर रूप से सहसंबद्ध ध्वनि को सामान्यतः हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी को संरक्षित करता है, सीमित तापमान पर सहसंबद्ध उत्तेजनाएं हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी को नष्ट कर देती हैं। इस प्रकार क्रैमिंग के परिणामस्वरूप सहसंबद्ध इलेक्ट्रॉन प्रणालियों में फर्मिओनिक क्वांटम पदार्थ के लिए हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी की भी सूचना दी गई थी।

अव्यवस्थित अतिएकरूपता
साल्वाटोर टॉर्काटो (2014) मार्बल्स के हिले हुए बक्से में पाए गए छिपे हुए क्रम का उदाहरण देता है, जो इस व्यवस्था में आते हैं, जिसे अधिकतम यादृच्छिक जाम पैकिंग कहा जाता है। इस प्रकार से छिपे हुए क्रम का उपयोग अंततः स्वयं-संगठित कोलाइड्स या प्रकाशिकी के लिए किया जा सकता है, जिसमें क्रिस्टल जैसी दक्षता के साथ अपितु अत्यधिक लचीले डिजाइन के साथ प्रकाश संचारित करने की क्षमता होती है।

यह पाया गया है कि अव्यवस्थित हाइपरयूनिफ़ॉर्म सिस्टम में अद्वितीय ऑप्टिकल गुण होते हैं। उदाहरण के लिए, अव्यवस्थित पॉल स्टीनहार्ट फोटोनिक्स और हाइपरयूनिफॉर्मिटी में पूर्ण फोटोनिक बैंड अंतराल प्रदर्शित होते पाए गए हैं जो आकार में फोटोनिक क्रिस्टल के समान हैं, अपितु इस प्रकार आइसोट्रॉपी के अतिरिक्त लाभ के साथ, जो क्रिस्टल के साथ फ्री-फॉर्म संरचनाएँ जैसे वेवगाइड (प्रकाशिकी) को संभव नहीं बनाता है।  इसके अतिरिक्त गुप्त हाइपरयूनिफ़ॉर्म सिस्टम में, सामग्री के लिए विशिष्ट मान से अधिक लंबी किसी भी तरंग दैर्ध्य का प्रकाश उच्च कण घनत्व के लिए भी बिना हानि (सहसंबद्ध विकार के कारण) के आगे बढ़ने में सक्षम है।

इसके विपरीत, ऐसी स्थितियों में जहां प्रकाश ही घनत्व की असंबद्ध, अव्यवस्थित सामग्री के माध्यम से फैलता है, इस प्रकार यह सामग्री एकाधिक प्रसारित होने के कारण अपारदर्शी दिखाई देगी। इस प्रकार "गुप्त" हाइपरयूनिफ़ॉर्म सामग्रियों को सैद्धांतिक रूप से किसी भी तरंग दैर्ध्य के प्रकाश के लिए डिज़ाइन किया जा सकता है, और अवधारणा के अनुप्रयोग तरंग भौतिकी और सामग्री अभियांत्रिकी के विभिन्न प्रकार के क्षेत्रों को कवर करते हैं।

मुर्गियों की आंखों में फोटोरिसेप्टर कोशिका पैटर्न में अव्यवस्थित हाइपरयूनिफॉर्मिटी पाई जाती हैं। ऐसा इसलिए माना जाता है क्योंकि चिकन या अन्य पक्षियों की आंखों में प्रकाश-संवेदनशील कोशिकाएं सरलता से इष्टतम क्रिस्टलीय व्यवस्था प्राप्त नहीं कर सकती हैं, बल्कि अव्यवस्थित विन्यास बनाती हैं जो यथासंभव समान होता है। वास्तव में, यह एवियन शंकु पैटर्न की मुलिथिपेरुनिफ़ॉर्मिटी की उल्लेखनीय संपत्ति है, जो पक्षियों को तीव्र रंग संवेदन प्राप्त करने में सक्षम बनाती है।

हाल ही में अनाकार 2‑D सामग्रियों में अव्यवस्थित हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी की खोज की गई थी, जिसे सामग्री में इलेक्ट्रॉनिक परिवहन को बढ़ाने के लिए दिखाया गया था। इस प्रकार यह रहस्यमय जैविक पैटर्न में भी उभर सकता है जिसे फेयरी सर्कल (शुष्क घास निर्माण) के रूप में जाना जाता है - इस प्रकार वृत्त और वृत्तों के पैटर्न जो शुष्क स्थानों में उभरते हैं।

अव्यवस्थित, अपितु अत्यधिक समान सामग्री बनाना
अव्यवस्थित हाइपरयूनिफ़ॉर्म सामग्रियों को बनाने की चुनौती को आंशिक रूप से दोषों और ऊष्मीय उतार-चढ़ाव जैसी कमियों की अपरिहार्य उपस्थिति के लिए उत्तरदायी ठहराया जाता है। इस प्रकार उदाहरण के लिए, संपीडनशीलता ऊष्मप्रवैगिकी या उतार-चढ़ाव-संपीड़न संबंध यह निर्देश देता है कि ऊष्मीय संतुलन में कोई भी संपीड़ित एक-घटक तरल पदार्थ परिमित तापमान पर कठोरता से हाइपरयूनिफॉर्म नहीं हो सकता है।

हाल ही में क्रेमोस और डगलस (2018) ने आणविक स्तर पर हाइपरयूनिफ़ॉर्म सामग्रियों के व्यावहारिक निर्माण के लिए डिज़ाइन नियम प्रस्तावित किया है। विशेष रूप से, हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी इंडेक्स द्वारा मापी गई प्रभावी हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी अणुओं के विशिष्ट भागों (उदाहरण के लिए, स्टार पॉलिमर के मूल या बॉटलब्रश पॉलिमर की स्थिति में बैकबोन चेन) द्वारा प्राप्त की जाती है।

इन विशेषताओं के संयोजन से आणविक पैकिंग होती है जो इस प्रकार छोटे और बड़े दोनों लंबाई के पैमाने पर अत्यधिक समान होती है।

असंतुलित हाइपरयूनिफ़ॉर्म तरल पदार्थ और लंबाई स्केल
अव्यवस्थित हाइपरयूनिफॉर्मिटी का तात्पर्य लंबी दूरी के ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण (ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण) से है। यहाँ पर इस प्रकार संतुलन कई-कण प्रणालियों में, इसके लिए गंभीर रूप से डिजाइन किए गए प्रभावी ढंग से लंबी दूरी की बातचीत की आवश्यकता होती है, जो इस प्रकार असंतुलित हाइपरयूनिफॉर्म स्थितियों की गतिशील स्व-संयोजन के लिए आवश्यक नहीं है। इस प्रकार 2019 में, नी और सहकर्मियों ने सैद्धांतिक रूप से असंतुलित दृढ़ता से हाइपरयूनिफ़ॉर्म द्रव चरण की भविष्यवाणी की, जो गोलाकार रूप से तैरने वाले सक्रिय कठोर क्षेत्रों की प्रणालियों में उपस्थित है, जिसकी 2022 में प्रायोगिक रूप से पुष्टि की गई हैं।

इस नए हाइपरयूनिफ़ॉर्म तरल पदार्थ में विशेष लंबाई का पैमाना होता है, यानी, सक्रिय कणों के गोलाकार प्रक्षेपवक्र का व्यास, जिसके नीचे बड़े घनत्व में उतार-चढ़ाव देखा जाता है। इसके अतिरिक्त, सामान्यीकृत यादृच्छिक आयोजन प्रारूप के आधार पर, लेई और नी (2019) असंतुलित हाइपरयूनिफ़ॉर्म तरल पदार्थों के लिए हाइड्रोडायनामिक सिद्धांत तैयार किया, और इस प्रकार लंबाई का पैमाना जिसके ऊपर सिस्टम हाइपरयूनिफ़ॉर्म है, इस प्रकार इनके कणों की जड़ता द्वारा नियंत्रित किया जाता है। इसके सिद्धांत के फलस्वरूप स्टोकेस्टिक हार्मोनिक ऑसिलेटर के अवमंदन के रूप में द्रव अतिसमानता के तंत्र को सामान्यीकृत करता है, जो इंगित करता है कि दबा हुआ लंबी-तरंग दैर्ध्य घनत्व में उतार-चढ़ाव या तो ध्वनिक (अनुनाद) मोड या डिफ्यूसिव (ओवरडैम्प्ड) मोड के रूप में प्रदर्शित हो सकता है।

यह भी देखें

 * क्रिस्टल
 * क्वासिक्रिस्टल
 * अनाकार ठोस
 * वस्तुस्थिति