इडेम्पोटेंट (रिंग थ्योरी)

वलय सिद्धांत में, गणित की शाखा, वलय का निष्क्रिय अवयव या मात्र निष्क्रिय अवयव (गणित) एक ऐसा अवयव है जो a2 = a है। अर्थात्, वलय के गुणन के अंतर्गत अवयव निष्क्रिय है। गणितीय प्रेरण से, कोई यह निष्कर्ष भी निकाल सकता है कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक n के लिए a = a2 = a3 = a4 = ... = an । उदाहरण के लिए, आव्यूह वलय का निष्क्रिय अवयव वस्तुतः निष्क्रिय आव्यूह है।

सामान्य वलयों के लिए, गुणन के अंतर्गत निष्क्रिय अवयव मॉड्यूल (गणित) के अपघटन में सम्मिलित होते हैं, और वलय के अनुरूपता से बीजगणित गुणों से युग्मित होते हैं। बूलियन बीजगणित में, अध्ययन की मुख्य वस्तुएं वलय हैं जिनमें सभी अवयव योग और गुणा दोनों के अंतर्गत निष्क्रिय हैं।

Z के भागफल
कोई पूर्णांक मॉड्यूल n के वलय पर विचार कर सकता है जहां n वर्ग-मुक्त पूर्णांक है। चीनी शेषफल प्रमेय के अनुसार, यह वलय पूर्णांक मॉड्यूलो p के वलय के गुणनफल में कारक होता है जहां p अभाज्य संख्या है। अब इनमें से प्रत्येक कारक क्षेत्र (गणित) है, इसलिए यह स्पष्ट है कि कारकों के एकमात्र निष्क्रिय प्रभाव 0 और 1 होंगे। अर्थात, प्रत्येक कारक के दो निष्क्रिय कारक हैं। इसलिए यदि m कारक हैं, तो 2m निष्क्रिय होंगे।

हम इसे पूर्णांक मॉड 6, R = Z/6Z के लिए जांच सकते हैं। चूँकि 6 के दो अभाज्य गुणनखंड (2 और 3) हैं इसलिए इसमें 22 निष्क्रिय होंगे।


 * 02 ≡ 0 ≡ 0 (mod 6)
 * 12 ≡ 1 ≡ 1 (mod 6)
 * 22 ≡ 4 ≡ 4 (mod 6)
 * 32 ≡ 9 ≡ 3 (mod 6)
 * 42 ≡ 16 ≡ 4 (mod 6)
 * 52 ≡ 25 ≡ 1 (mod 6)

इन गणनाओं से, 0, 1, 3, और 4 इस वलय के निष्क्रिय हैं, जबकि 2 और 5 नहीं हैं। यह निम्न वर्णित अपघटन गुणों को भी प्रदर्शित करता है: क्योंकि 3 + 4 = 1 (mod 6), वलय अपघटन 3Z/6Z ⊕ 4Z/6Z है। 3Z/6Z में तत्समक 3+6Z है और 4Z/6Z में तत्समक 4+6Z है।

बहुपद वलय का भागफल
एक वलय $$R$$ और अवयव $$f \in R$$ इस प्रकार दिया गया है कि $$f^2 \neq 0$$, तो भागफल वलय
 * $$R/(f^2 - f)$$

में निष्क्रिय $$f$$ है। उदाहरण के लिए, इसे $$x \in \mathbb{Z}[x]$$ या किसी बहुपद $$f \in k[x_1,\ldots, x_n]$$ पर लागू किया जा सकता है।

विभाजन-चतुर्थक वलयों में निष्क्रिय
विभाजन-चतुर्थक वलय में निष्क्रिय का श्रृंखलाभ होता है।

वलय निष्क्रिय के प्रकार
महत्वपूर्ण प्रकार के निष्क्रियों की आंशिक सूची में सम्मिलित हैं:
 * यदि ab = ba = 0 है तो दो निष्क्रिय a और b को  'लाम्बिक ' कहा जाता है। यदि a वलय R (वलय के साथ) में निष्क्रिय है, तो b = 1&thinsp;− a है; इसके अतिरिक्त, a और b लाम्बिक हैं।
 * R में निष्क्रिय a को 'केंद्रीय निष्क्रिय ' कहा जाता है यदि ax = xa R में सभी x के लिए, अर्थात, यदि a, R के केंद्र (वलय सिद्धांत) में है।
 * एक 'तुच्छ निष्क्रिय ' अवयव 0 और 1 में से किसी को संदर्भित करता है, जो सदैव निष्क्रिय होते हैं।
 * वलय R का 'आदिम निष्क्रिय ' गैर-शून्य निष्क्रिय है, जैसे कि aR उचित R-मॉड्यूल के रूप में अविभाज्य मॉड्यूल है; अर्थात कि aR दो शून्य मॉड्यूल उपमॉड्यूल के मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग नहीं है। समान रूप से, यदि इसे a = e + f के रूप में नहीं लिखा जा सकता है, तो a आदिम निष्क्रिय है, जहां e और f R में गैर-शून्य लाम्बिक निष्क्रिय हैं।
 * एक 'स्थानीय निष्क्रिय' निष्क्रिय है जैसे कि aRa स्थानीय वलय है। इसका तात्पर्य यह है कि aR प्रत्यक्षतः अविभाज्य है, इसलिए स्थानीय निष्क्रियता भी आदिम है।
 *  'दाएँ अखंडनीय निष्क्रिय' निष्क्रिय है जिसके लिए aR सरल मॉड्यूल है। शूर की लेम्मा द्वारा, EndR(aR) = aRa विभाजन वलय है, और इसलिए स्थानीय वलय है, इसलिए दाएँ (और बाएँ) अखंडनीय निष्क्रिय स्थानीय हैं।
 * एक केंद्रीय रूप से आदिम निष्क्रिय केंद्रीय निष्क्रिय भावी a है जिसे दो गैर-शून्य लाम्बिक केंद्रीय निष्क्रियता के योग के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।
 * एक निष्क्रिय a + I भागफल वलय में R/I को  'लिफ्ट मोडुलो I' कहा जाता है यदि R में कोई निष्क्रिय b स्थित है जैसे कि b + I = a + I.
 * R के निष्क्रिय को 'पूर्ण निष्क्रिय' कहा जाता है यदि RaR = R.
 * एक पृथक्करण निष्क्रियता; वियोज्य बीजगणित देखें।

कोई भी गैर-तुच्छ निष्क्रिय a शून्य विभाजक है (क्योंकि ab = 0 जिसमें न तो a और न ही b शून्य है, जहां b = 1&thinsp;− a)। इससे पता चलता है कि अभिन्न प्रांत और विभाजन वलयों में ऐसी निष्क्रियता नहीं होती है। स्थानीय वलयों में भी ऐसे निरर्थक लोग नहीं हैं, परन्तु अलग कारण से। वलय के जैकबसन कट्टरपंथी में निहित एकमात्र निष्क्रिय 0 है।

निष्क्रिय की विशेषता वाले वलय

 * एक वलय जिसमें सभी अवयव निष्क्रिय होते हैं, बूलियन वलय कहलाता है। कुछ लेखक इस प्रकार की वलय के लिए निष्क्रिय वलय शब्द का उपयोग करते हैं। ऐसे वलय में, गुणन क्रमविनिमेय वलय है और प्रत्येक अवयव अपना योगात्मक व्युत्क्रम है।
 * एक वलय अर्धसरल वलय है यदि और मात्र तभी यदि प्रत्येक दायां (या प्रत्येक बायां) आदर्श (वलय सिद्धांत) निष्क्रिय द्वारा उत्पन्न किया गया हो।
 * एक वलय वॉन न्यूमैन नियमित वलय है यदि और मात्र यदि प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल दाएं (या प्रत्येक अंतिम रूप से उत्पन्न बाएं) आदर्श निष्क्रिय द्वारा उत्पन्न होता है।
 * एक वलय जिसके लिए संहारक (वलय सिद्धांत) r.Ann(S) R का प्रत्येक उपसमुच्चय S निष्क्रिय द्वारा उत्पन्न होता है, बेयर वलय कहलाती है। यदि प्रतिबन्ध मात्र R के सभी एकल (गणित) उपसमुच्चय के लिए लागू होती है, तो वलय उचित रिकार्ट वलय है। ये दोनों प्रकार के वलय (बीजगणित) होने पर भी रुचिपूर्ण हैं।
 * एक वलय जिसमें सभी निष्क्रिय केंद्र होते हैं (वलय सिद्धांत) को 'एबेलियन वलय' कहा जाता है। ऐसे वलयों को क्रमविनिमेय होने की आवश्यकता नहीं है।
 * एक वलय अखंडनीय वलय है यदि और मात्र यदि 0 और 1 ही एकमात्र केंद्रीय निष्क्रिय हैं।
 * एक वलय R कोe1R ⊕ e2R ⊕ ... ⊕ enR के रूप में लिखा जा सकता है, प्रत्येक ei स्थानीय निष्प्रभावी यदि और मात्र यदि R अर्धपरिपूर्ण वलय है।
 * एक वलय को 'एसबीआई वलय' या  'लिफ्ट/रेड' वलय कहा जाता है यदि R के सभी निष्क्रिय मॉड्यूल जैकबसन रेडिकल को लिफ्ट करते हैं।
 * एक वलय दाएं प्रत्यक्ष पद पर आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करती है यदि और मात्र तभी यदि वलय बाएं प्रत्यक्ष समन पर अवरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करती है यदि और मात्र यदि युग्मानुसार लाम्बिक निष्क्रिय का प्रत्येक समुच्चय परिमित है।
 * यदि a वलय R में निष्क्रिय है, तो aRa फिर से गुणक तत्समक a के साथ वलय है। वलय aRa को प्रायः R के 'कोण वलय' के रूप में जाना जाता है। अंतःरूपता वलय EndR(aR) ≅ aRa के वलय के बाद से कोण वलय स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती है।

विघटन में भूमिका
R के निष्क्रिय अवयवों का R-मॉड्यूल (गणित) के अपघटन से महत्वपूर्ण संबंध है। यदि M R-मॉड्यूल है और E = EndR(M) इसकी अंतःरूपता वलय है, तो A ⊕ B = M यदि और मात्र यदि e में अद्वितीय निष्क्रिय e है जैसे कि A = e(M) और B = (1&thinsp;− e)(M). स्पष्ट रूप से, M प्रत्यक्षतः अविभाज्य है यदि और मात्र यदि e में 0 और 1 ही एकमात्र निष्क्रिय हैं।

मामले में जब M = R अंतःरूपता वलय EndR(R) = R, जहां प्रत्येक अंतःरूपता निश्चित वलय अवयव द्वारा बाएं गुणन के रूप में उत्पन्न होता है। अंकन के इस संशोधन के साथ, A ⊕ B = R उचित मॉड्यूल के रूप में यदि और मात्र यदि कोई अद्वितीय निष्क्रिय e स्थित है जैसे कि eR = A और (1&thinsp;− e)R = B. इस प्रकार R का प्रत्येक प्रत्यक्ष सारांश निष्क्रिय द्वारा उत्पन्न होता है।

यदि a केंद्रीय निष्क्रिय है, तो कोने की वलय aRa = Ra गुणक तत्समक के साथ वलय है। जिस प्रकार निष्क्रिय मॉड्यूल के रूप में R के प्रत्यक्ष अपघटन को निर्धारित करते हैं, उसी प्रकार R के केंद्रीय निष्क्रिय वलय के मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग के रूप में R के अपघटन को निर्धारित करते हैं। यदि R, वलय R का सीधा योग है1,...,आरn, फिर वलय के तत्समक अवयव आरi R में केंद्रीय निष्क्रियता हैं, युग्मानुसार लाम्बिक, और उनका योग 1 है। इसके विपरीत, केंद्रीय निष्क्रियता दी गई है1,...,एn R में जो युग्मानुसार लाम्बिक हैं और उनका योग 1 है, तो R वलय रा का सीधा योग है1,…,रविn. इसलिए विशेष रूप से, R में प्रत्येक केंद्रीय निष्क्रिय a कोने के वलय aRa के प्रत्यक्ष योग के रूप में R के अपघटन को जन्म देता है और (1&thinsp;− a)R(1&thinsp;− a). परिणामस्वरूप, वलय R वलय के रूप में प्रत्यक्षतः अविभाज्य है यदि और मात्र यदि तत्समक 1 केंद्रीय रूप से आदिम है।

आगमनात्मक रूप से कार्य करते हुए, कोई 1 को केंद्रीय रूप से आदिम अवयवों के योग में विघटित करने का प्रयास कर सकता है। यदि 1 केंद्रीय रूप से आदिम है, तो हमारा काम हो गया। यदि नहीं, तो यह केंद्रीय लाम्बिक निष्क्रिय का योग है, जो बदले में आदिम या अधिक केंद्रीय निष्क्रिय का योग है, इत्यादि। समस्या यह हो सकती है कि यह अंतहीन रूप से जारी रह सकता है, जिससे केंद्रीय लाम्बिक निष्क्रिय का अनंत परिवार तैयार हो सकता है। प्रतिबन्ध R में केंद्रीय लाम्बिक निष्क्रिय के अनंत समुच्चय सम्मिलित नहीं हैं, यह वलय पर प्रकार की परिमितता की स्थिति है। इसे कई तरीकों से हासिल किया जा सकता है, जैसे कि वलय का उचित नोथेरियन वलय होना आवश्यक है। यदि अपघटन R = c1R ⊕ c2R ⊕ ... ⊕ cnR प्रत्येक सी के साथ स्थित हैi केंद्रीय रूप से आदिम निष्क्रिय, तो R कोने के वलय सी का सीधा योग हैi&hairsp;R सीi, जिनमें से प्रत्येक वलय अपरिवर्तनीय है।

एक क्षेत्र पर साहचर्य बीजगणित या जॉर्डन बीजगणित के लिए, पीयरस अपघटन बीजगणित का अपघटन है जो निष्क्रिय अवयवों के आइगेनस्पेस के योग के रूप में होता है।

आवर्तन के साथ संबंध
यदि a अंतःरूपता वलय एंड का निष्क्रिय हैR(एम), फिर अंतःरूपता f = 1&thinsp;− 2a M का R-मॉड्यूल इनवोल्यूशन (गणित) है। अर्थात, f R-मॉड्यूल समरूपता है जैसे कि f2एम की तत्समक अंतःरूपता है।

R का निष्क्रिय अवयव a और उससे जुड़ा इनवोल्यूशन f, मॉड्यूल R के दो इनवोल्यूशन को जन्म देता है, जो R को बाएँ या दाएँ मॉड्यूल के रूप में देखने पर निर्भर करता है। यदि r, R के मनमाने अवयव का प्रतिनिधित्व करता है, तो f को उचित R-मॉड्यूल समरूपता के रूप में देखा जा सकता है r ↦ fr ताकि ffr = r, या f को बाएं R-मॉड्यूल समरूपता के रूप में भी देखा जा सकता है r ↦ rf, कहाँ rff = r.

यदि 2 R का उलटा अवयव है तो इस प्रक्रिया को उलटा किया जा सकता है: यदि b इन्वोल्यूशन है, तो 2−1(1&thinsp;− b) और 2−1(1&thinsp;+ b) ओर्थोगोनल निष्क्रिय हैं, जो a और के अनुरूप हैं 1&thinsp;− a. इस प्रकार वलय के लिए जिसमें 2 उलटा है, निष्क्रिय अवयव एक-से-एक तरीके से आक्रमणों पर आपत्ति जताते हैं।

R-मॉड्यूल की श्रेणी
मॉड्यूल की श्रेणी|R-मॉड्यूल की श्रेणी के लिए निष्क्रियता को उठाने के भी बड़े परिणाम होते हैं। सभी निष्क्रिय मॉड्यूलो I को तभी उठाते हैं जब R/I के प्रत्येक R प्रत्यक्ष सारांश में R-मॉड्यूल के रूप में प्रक्षेप्य आवरण होता है। Idempotent सदैव modulo nil आदर्शों और वलयों को उठाते हैं जिसके लिए R पूर्णता है (वलय सिद्धांत)#क्रल टोपोलॉजी|I-एडिकली पूर्ण।

जब उठाना सबसे महत्वपूर्ण होता है I = J(R), R का जैकबसन रेडिकल। सेमीपरफेक्ट वलयों का और लक्षण यह है कि वे अर्धस्थानीय वलय हैं जिनके निष्क्रिय मॉड्यूल जे (आर) उठाते हैं।

निष्क्रिय लोगों की जाली
कोई किसी वलय के निष्क्रियता पर आंशिक क्रम को इस प्रकार परिभाषित कर सकता है: यदि a और b निष्क्रिय हैं, तो हम लिखते हैं a ≤ b अगर और मात्र अगर ab = ba = a. इस क्रम के संबंध में, 0 सबसे छोटा और 1 सबसे बड़ा निष्क्रिय है। लाम्बिक निष्क्रिय a और b के लिए, a + b भी निष्क्रिय है, और हमारे पास है a ≤ a + b और b ≤ a + b. इस आंशिक क्रम के परमाणु (आदेश सिद्धांत) बिल्कुल आदिम निष्क्रिय हैं।

जब उपरोक्त आंशिक क्रम R के केंद्रीय निष्क्रियता तक सीमित है, तो जाली (आदेश) संरचना, या यहां तक ​​कि बूलियन बीजगणित संरचना भी दी जा सकती है। बूलियन बीजगणित#ऑपरेशंस के दो केंद्रीय निष्क्रिय e और f के लिए ¬e = 1&thinsp;− e और ज्वाइन और मीट द्वारा दिया जाता है
 * e ∨ f = e + f − ef

और
 * e ∧ f = ef.

ऑर्डर देना अब सरल हो गया है e ≤ f अगर और मात्र अगर eR ⊆ f&hairsp;R, और जुड़ना और मिलना संतुष्ट करता है (e ∨ f&thinsp;)&hairsp;R = eR + f&hairsp;R और (e ∧ f&thinsp;)&hairsp;R = eR ∩ f&hairsp;R = (eR)(f&hairsp;R). इसमें दिखाया गया है कि यदि R वॉन न्यूमैन नियमित और उचित इंजेक्शन मॉड्यूल#स्व-इंजेक्शन वलय|स्वयं इंजेक्शन है, तो जाली पूर्ण जाली है।

टिप्पणियाँ
Idempotent and nilpotent were introduced by Benjamin Peirce in 1870.

संदर्भ

 * “idempotent” at FOLDOC
 * p. 443
 * Peirce, Benjamin.. Linear Associative Algebra 1870.
 * p. 443
 * Peirce, Benjamin.. Linear Associative Algebra 1870.
 * Peirce, Benjamin.. Linear Associative Algebra 1870.