फर्मी स्तर

एक ठोस-अवस्था निकाय का फर्मी स्तर शरीर में एक इलेक्ट्रॉन जोड़ने के लिए आवश्यक ऊष्मप्रवैगिकी कार्य है। यह एक ऊष्मप्रवैगिकी मात्रा है जिसे प्राय: संक्षिप्तता के लिए μ या EF द्वारा दर्शाया जाता है।

फर्मी स्तर में इलेक्ट्रॉन को दूर करने के लिए आवश्यक कार्य सम्मिलित नहीं है। इलेक्ट्रॉनिक गुणों का निर्धारण करने में इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना और यह इलेक्ट्रॉनिक परिपथ में वोल्टेज और आवेश के प्रवाह से कैसे संबंधित है - ठोस-अवस्था भौतिकी की समझ के लिए आवश्यक है।।

बैंड संरचना सिद्धांत में ठोस अवस्था भौतिकी में एक ठोस में ऊर्जा के स्तर का विश्लेषण करने के लिए उपयोग किया जाता है। फर्मी स्तर को एक इलेक्ट्रॉन का एक काल्पनिक ऊर्जा स्तर माना जा सकता है, जैसे कि ऊष्मप्रवैगिकी संतुलन में इस ऊर्जा स्तर की 50% संभावना होगी।विद्युत गुणों के निर्धारण में बैंड ऊर्जा स्तरों के संबंध में फर्मी स्तर की स्थिति एक महत्वपूर्ण कारक है। फर्मी स्तर आवश्यक रूप से एक वास्तविक ऊर्जा स्तर के अनुरूप नहीं होता है (एक इन्सुलेटर में फर्मी स्तर ऊर्जा अंतराल में होता है) न ही इसे बैंड संरचना के अस्तित्व की आवश्यकता होती है। हालाँकि फर्मी स्तर एक सटीक परिभाषित ऊष्मप्रवैगिकी मात्रा है और फर्मी स्तर में अंतर को केवल वोल्टमापक यंत्र से मापा जा सकता है।

वोल्टेज माप
कभी-कभी यह कहा जाता है कि विद्युत धाराएं इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षमता (गैलवानी क्षमता) में अंतर से संचालित होती हैं लेकिन यह बिल्कुल सच नहीं है। एक प्रति उदाहरण के रूप में पी-एन जंक्शन जैसे बहु-भौतिक उपकरणों में संतुलन पर आंतरिक इलेक्ट्रोस्टैटिक संभावित अंतर होते हैं फिर भी बिना किसी नेट धारा के यदि एक वोल्टमापक यंत्र जंक्शन से जुड़ा हुआ है, तो एक शून्य वोल्ट को मापता है।

स्पष्ट रूप से इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षमता सामग्री में आवेश के प्रवाह को प्रभावित करने वाला एकमात्र कारक नहीं है - पाउली प्रतिकर्षण, वाहक सांद्रता प्रवणता, विद्युत चुम्बकीय प्रेरण और तापीय प्रभाव भी एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। इलेक्ट्रॉनिक परिपथ में मापी गई वोल्टेज नामक मात्रा का इलेक्ट्रॉनों (फर्मी स्तर) के लिए रासायनिक क्षमता से सीधा संबंध होता है।

जब एक वोल्टमापक यंत्र की लीड एक परिपथ में दो बिंदुओं से जुड़ी होती है, तो प्रदर्शित वोल्टेज एक यूनिट चार्ज को एक बिंदु से दूसरे तक जाने की अनुमति देने पर स्थानांतरित किए गए कुल कार्य का एक माप होता है। यदि भिन्न वोल्टेज (शार्ट परिपथ बनाने) के दो बिंदुओं के बीच एक साधारण तार जुड़ा हुआ है, तो वर्तमान धनात्मक से ऋणात्मक वोल्टेज में प्रवाहित होगा जो उपलब्ध कार्य को ऊष्मा में परिवर्तित करेगा।

किसी पिंड का फर्मी स्तर उसमें एक इलेक्ट्रॉन जोड़ने के लिए आवश्यक कार्य को व्यक्त करता है या समान रूप से एक इलेक्ट्रॉन को हटाकर प्राप्त कार्य को व्यक्त करता है। इसलिए VA- VB इलेक्ट्रॉनिक परिपथ में दो बिंदुओं A और B के बीच वोल्टेज में देखा गया अंतर संबंधित रासायनिक संभावित अंतर μA- μB से बिल्कुल संबंधित है।फर्मी स्तर में सूत्र द्वारा $$ V_\mathrm{A} - V_\mathrm{B} = \frac{\mu_\mathrm{A} - \mu_\mathrm{B}}{-e} $$जहाँ -e इलेक्ट्रॉन आवेश है।

उपरोक्त विचार से यह देखा जा सकता है कि यदि एक सरल पथ प्रदान किया जाता है तो इलेक्ट्रॉन उच्च μ (कम वोल्टेज) से कम μ (उच्च वोल्टेज) की ओर बढ़ेंगे। इलेक्ट्रॉनों के इस प्रवाह के कारण निम्न μ बढ़ेगा (चार्जिंग या अन्य प्रतिकर्षण प्रभावों के कारण) और इसी तरह उच्च μ घटने का कारण होगा। अंतत: μ दोनों निकायों में समान मान पर स्थिर हो जाएगा। यह इलेक्ट्रॉनिक परिपथ के संतुलन (बंद) स्थिति के संबंध में एक महत्वपूर्ण तथ्य की ओर ले जाता है। इसका अर्थ यह भी है कि किसी भी दो बिंदुओं के बीच वोल्टेज (वोल्टमापक यंत्र से मापा जाता है) संतुलन पर शून्य होगा। ध्यान दें कि यहां ऊष्मप्रवैगिकी संतुलन के लिए आवश्यक है कि परिपथ आंतरिक रूप से जुड़ा हो और इसमें कोई बैटरी या अन्य शक्ति स्रोत न हों न ही तापमान में कोई भिन्नता हो।

ठोस पदार्थों की बैंड संरचना
ठोस पदार्थों के बैंड सिद्धांत में इलेक्ट्रॉनों को एकल-कण ऊर्जा से बने बैंड की एक श्रृंखला पर कब्जा करने के लिए माना जाता है और प्रत्येक को ϵ द्वारा लेबल किया जाता है। यद्यपि यह एकल कण चित्र एक सन्निकटन है। यह इलेक्ट्रॉनिक व्यवहार की समझ को बहुत सरल करता है और सही ढंग से लागू होने पर यह प्राय: सही परिणाम प्रदान करता है।

फर्मी-डिराक वितरण, $$f(\epsilon)$$, संभावना देता है कि (थर्मोडायनेमिक संतुलन पर) ϵ ऊर्जा वाली अवस्था में एक इलेक्ट्रॉन व्याप्त है: $$ f(\epsilon) = \frac{1}{e^{(\epsilon - \mu)/k_\mathrm{B} T} + 1} $$यहाँ T ऊष्मप्रवैगिकी तापमान है और kB बोल्ट्जमैन स्थिरांक है। यदि फर्मी स्तर (ϵ = µ) पर कोई राज्य है, तो इस राज्य के कब्जे में होने की 50% संभावना होगी। वितरण को बाएं चित्र में दर्शाया गया है। f 1 के जितना पास होता है इस अवस्था के कब्जे में होने की संभावना उतनी ही अधिक होती है। f 0 के जितना पास होगा इस स्थिति के खाली होने की संभावना उतनी ही अधिक होगी। सामग्री के विद्युत व्यवहार को निर्धारित करने में सामग्री की बैंड संरचना के भीतर μ का स्थान महत्वपूर्ण है।
 * एक इन्सुलेटर (बिजली) में, μ एक बड़े बैंड गैप के भीतर होता है जो किसी भी राज्य से दूर होता है जो धारा ले जाने में सक्षम होता है।
 * एक धातु, अर्द्ध धातु या पतित अर्धचालक में μ एक डेलोकलाइज्ड बैंड के भीतर होता है। μ के आस-पास बड़ी संख्या में राज्य तापीय रूप से सक्रिय हैं और आसानी से धारा ले जाते हैं।
 * एक आंतरिक या हल्के से डोप किए गए अर्धचालक में μ एक बैंड किनारे के काफी करीब है कि उस बैंड किनारे के पास रहने वाले तापीय उत्साहित वाहकों की एक पतली संख्या होती है।

अर्धचालक और अर्धधातु में बैंड संरचना के सापेक्ष μ की स्थिति को प्राय: डोपिंग या गेटिंग द्वारा काफी हद तक नियंत्रित किया जा सकता है। ये नियंत्रण μ नहीं बदलते हैं जो इलेक्ट्रोड द्वारा तय किया जाता है बल्कि वे पूरे बैंड संरचना को ऊपर और नीचे स्थानांतरित करने का कारण बनते हैं (कभी-कभी बैंड संरचना के आकार को भी बदलते हैं)।

स्थानीय चालन बैंड संदर्भित, आंतरिक रासायनिक क्षमता और पैरामीटर ζ
यदि प्रतीक ℰ का उपयोग इसके संलग्न बैंड ϵC के किनारे की ऊर्जा के सापेक्ष मापे गए इलेक्ट्रॉन ऊर्जा स्तर को दर्शाने के लिए किया जाता है, तो सामान्य तौर पर हमारे पास ℰ = ϵ - ϵC होता है। हम एक पैरामीटर ζ परिभाषित कर सकते हैं जो बैंड किनारे के संबंध में फर्मी स्तर को संदर्भित करता है:$$\zeta = \mu - \epsilon_{\rm C}.$$यह निम्नानुसार है कि फर्मी-डिराक वितरण समारोह को इस रूप में लिखा जा सकता है:$$f(\mathcal{E}) = \frac{1}{e^{(\mathcal{E} - \zeta)/k_\mathrm{B} T} + 1}. $$धातुओं की इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना शुरू में 1927 से सोमरफेल्ड द्वारा विकसित की गई थी। जिन्होंने अंतर्निहित ऊष्मप्रवैगिकी और सांख्यिकीय यांत्रिकी पर बहुत ध्यान दिया। आभासी रूप से कुछ संदर्भों में बैंड-संदर्भित मात्रा ζ को फर्मी स्तर, रासायनिक क्षमता या विद्युत रासायनिक क्षमता कहा जा सकता है जिससे विश्व स्तर पर संदर्भित फर्मी स्तर के साथ अस्पष्टता हो सकती है। इस लेख में चालन बैंड संदर्भित फर्मी स्तर या आंतरिक रासायनिक क्षमता का उपयोग ζ को संदर्भित करने के लिए किया जाता है। ζ सीधे सक्रिय आवेश वाहकों की संख्या के साथ-साथ उनकी विशिष्ट गतिज ऊर्जा से संबंधित है और इसलिए यह सीधे सामग्री के स्थानीय गुणों (जैसे विद्युत चालकता) को निर्धारित करने में सम्मिलित है। इस कारण से एक एकल प्रवाहकीय सामग्री में इलेक्ट्रॉनों के गुणों पर ध्यान केंद्रित करते समय ζ के मान पर ध्यान केंद्रित करना आम बात है।एक मुक्त इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा अवस्थाओं के अनुरूप किसी अवस्था का ℰ उस अवस्था की गतिज ऊर्जा होती है और ϵC इसकी संभावित ऊर्जा है। इसे ध्यान में रखते हुए पैरामीटर ζ को फर्मी गतिज ऊर्जा भी कहा जा सकता है। μ के विपरीत पैरामीटर ζ संतुलन पर स्थिर नहीं है, बल्कि ϵC में भिन्नता के कारण सामग्री में स्थान से भिन्न होता है। जो सामग्री की गुणवत्ता और अशुद्धियों/डोपेंट्स जैसे कारकों द्वारा निर्धारित किया जाता है।

अर्धचालक या अर्धधातु की सतह के पास ζ को बाहरी रूप से लगाए गए विद्युत क्षेत्रों द्वारा दृढ़ता से नियंत्रित किया जा सकता है जैसा कि क्षेत्र प्रभाव ट्रांजिस्टर में किया जाता है। मल्टी-बैंड सामग्री में ζ एक ही स्थान पर कई मान भी ले सकता है। उदाहरण के लिए एल्यूमीनियम धातु के एक टुकड़े में फर्मी स्तर को पार करने वाले दो चालन बैंड होते हैं (अन्य सामग्रियों में और भी अधिक बैंड) प्रत्येक बैंड की एक अलग धार ऊर्जा ϵCऔर एक अलग ζ होती है।

पूर्ण शून्य पर ζ का मान व्यापक रूप से फर्मी ऊर्जा के रूप में जाना जाता है, जिसे कभी-कभी ζ0 लिखा जाता है। भ्रामक रूप से फर्मी ऊर्जा नाम का उपयोग कभी-कभी गैर-शून्य तापमान पर ζ को संदर्भित करने के लिए किया जाता है।

तापमान संतुलन से बाहर
फर्मी स्तर μ और तापमान T ऊष्मप्रवैगिकी संतुलन स्थिति में एक ठोस-अवस्था उपकरण के लिए अच्छी तरह से परिभाषित स्थिरांक हैं, जैसे कि जब यह शेल्फ पर कुछ भी नहीं कर रहा हो। जब उपकरण को संतुलन से बाहर लाया जाता है और उपयोग में लाया जाता है, तो फर्मी स्तर और तापमान को सख्ती से परिभाषित नहीं किया जाता है। सौभाग्य से किसी दिए गए स्थान के लिए अर्ध-फर्मी स्तर और अर्ध-तापमान को परिभाषित करना अक्सर संभव होता है, जो थर्मोकपल वितरण के संदर्भ में राज्यों के व्यवसाय का सटीक वर्णन करता है। उपकरण को अर्ध-संतुलन में कहा जाता है जब और जहां ऐसा वर्णन संभव होता है।

अर्ध-संतुलन दृष्टिकोण किसी को धातु के एक टुकड़े की विद्युत चालकता के रूप में कुछ गैर-संतुलन प्रभावों की एक साधारण तस्वीर बनाने की अनुमति देता है (जैसा कि μ के ढाल से उत्पन्न होता है) या इसकी तापीय चालकता (जैसा कि टी में ढाल से उत्पन्न होता है)। अर्ध-μ और अर्ध-टी किसी भी गैर-संतुलन स्थिति में भिन्न हो सकते हैं जैसे :
 * यदि सिस्टम में रासायनिक असंतुलन है (जैसे बैटरी में)।
 * यदि सिस्टम बदलते विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों (संधारित्र, कुचालक और ट्रांसफार्मर के रूप में) के संपर्क में है।
 * एक अलग तापमान वाले प्रकाश स्रोत से रोशनी के तहत जैसे सूर्य (सौर कोशिकाओं में)।
 * जब उपकरण के भीतर तापमान स्थिर नहीं होता है (थर्मोक्यूल्स के रूप में)।
 * जब उपकरण को बदल दिया गया हो लेकिन उसे फिर से संतुलित करने के लिए पर्याप्त समय नहीं मिला हो ( जैसे कि पायरोइलेक्ट्रिक पदार्थों के रूप में)।

कुछ स्थितियों में जैसे किसी सामग्री के तुरंत बाद एक उच्च-ऊर्जा लेजर पल्स का अनुभव होता है, इलेक्ट्रॉन वितरण को किसी भी थर्मल वितरण द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है।

कोई इस स्थिति में अर्ध-फर्मी स्तर या अर्ध-तापमान को परिभाषित नहीं कर सकता है। इलेक्ट्रॉनों को केवल गैर-तापीय कहा जाता है। कम नाटकीय स्थितियों में जैसे निरंतर रोशनी के तहत एक सौर सेल में एक अर्ध-संतुलन विवरण संभव हो सकता है लेकिन μ और T के अलग-अलग मानों को अलग-अलग बैंड (चालन बैंड और संयोजी बंध) के कार्य की आवश्यकता होती है। तब भी μ और T के मान एक सामग्री इंटरफ़ेस (जैसे, p-n जंक्शन) पर असतत रूप से कूद सकते हैं जब एक धारा चलाई जा रही हो तो इंटरफ़ेस में ही खराबी परिभाषित होती है।

शब्दावली की समस्याएं
फ़र्मी स्तर शब्द का उपयोग मुख्य रूप से अर्धचालको में इलेक्ट्रॉनों की ठोस अवस्था भौतिकी पर चर्चा करने के लिए किया जाता है और डोपिंग के विभिन्न स्तरों के साथ विभिन्न सामग्रियों वाले उपकरणों में बैंड आरेखों का वर्णन करने के लिए इस शब्द का सटीक उपयोग आवश्यक है। हालांकि इन संदर्भों में कोई यह भी देख सकता है कि बैंड-संदर्भित फर्मी स्तर μ − ϵC को संदर्भित करने के लिए फर्मी स्तर का गलत तरीके से उपयोग किया जाता है जिसके ऊपर ζ होता है।

वैज्ञानिकों और इंजीनियरों को यह देखना आम है कि जब वे वास्तव में ϵC में परिवर्तन का वर्णन कर रहे होते हैं, तो एक कंडक्टर के अंदर फर्मी स्तर को नियंत्रित करने और फर्मी स्तर को पिन करने या ट्यूनिंग करने का उल्लेख करते हैं। डोपिंग (अर्धचालक) या क्षेत्र प्रभाव (अर्धचालक) के कारण।

वास्तव में ऊष्मप्रवैगिकी संतुलन यह गारंटी देता है कि कंडक्टर में फर्मी स्तर हमेशा इलेक्ट्रोड के फर्मी स्तर के बराबर होना तय होता है। डोपिंग या क्षेत्र प्रभाव द्वारा केवल बैंड संरचना (फर्मी स्तर नहीं) को बदला जा सकता है (बैंड आरेख भी देखें)। एक विद्युत रासायनिक क्षमता परस्पर विरोधी शब्दावली शर्तों, रासायनिक क्षमता और विद्युत रासायनिक क्षमता के बीच स्थित है। यह भी ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि फर्मी स्तर आवश्यक रूप से फर्मी ऊर्जा के समान नहीं है। क्वांटम यांत्रिकी के व्यापक संदर्भ में फर्मी ऊर्जा शब्द प्राय: एक आदर्श गैर-अंतः क्रियात्मक, विकार मुक्त, शून्य तापमान फर्मी गैस में एक फर्मियन की अधिकतम गतिज ऊर्जा को संदर्भित करता है।

यह अवधारणा बहुत सैद्धांतिक है (गैर-अंतःक्रियात्मक फर्मी गैस जैसी कोई चीज नहीं है और शून्य तापमान प्राप्त करना असंभव है)। हालांकि यह एक धातु में लगभग सफेद बौने, न्यूट्रॉन स्टार, परमाणु नाभिक और इलेक्ट्रॉनों का वर्णन करने में कुछ उपयोग होता है। दूसरी ओर अर्धचालक भौतिकी और इंजीनियरिंग के क्षेत्र में फर्मी ऊर्जा का उपयोग अक्सर इस लेख में वर्णित फर्मी स्तर को संदर्भित करने के लिए किया जाता है।

फर्मी स्तर का संदर्भ और शून्य फर्मी स्तर का स्थान
एक समन्वय प्रणाली में उत्पत्ति की पसंद की तरह ऊर्जा के शून्य बिंदु को मनमाने ढंग से परिभाषित किया जा सकता है। अवलोकन योग्य घटनाएं केवल ऊर्जा अंतर पर निर्भर करती हैं। अलग-अलग पिंडों की तुलना करते समय हालांकि यह महत्वपूर्ण है कि वे सभी शून्य ऊर्जा के स्थान के अपने चुनाव में सुसंगत हों अन्यथा बेतुके परिणाम प्राप्त होंगे। इसलिए यह सुनिश्चित करने के लिए एक सामान्य बिंदु को स्पष्ट रूप से नाम देना सहायक हो सकता है। दूसरी ओर यदि कोई संदर्भ बिंदु स्वाभाविक रूप से अस्पष्ट है (जैसे कि वैक्यूम) तो यह इसके बजाय और अधिक समस्याएं पैदा करेगा।

सामान्य बिंदु का एक व्यावहारिक और अच्छी तरह से न्यायोचित विकल्प एक भारी भौतिक कंडक्टर है जैसे विद्युत जमीन या पृथ्वी। इस तरह के कंडक्टर को एक अच्छे ऊष्मप्रवैगिकी संतुलन में माना जा सकता है और इसलिए इसका μ अच्छी तरह परिभाषित है। यह चार्ज का भंडार प्रदान करता है ताकि बिना चार्जिंग प्रभाव के बड़ी संख्या में इलेक्ट्रॉनों को जोड़ा या हटाया जा सके। इसके सुलभ होने का भी लाभ है ताकि किसी अन्य वस्तु के फर्मी स्तर को केवल वोल्टमीटर से मापा जा सके।

शून्य में संदर्भ शून्य के रूप में ऊर्जा का उपयोग करने की सलाह क्यों नहीं दी जाती है
सिद्धांत रूप में ऊर्जा के संदर्भ बिंदु के रूप में निर्वात में एक स्थिर इलेक्ट्रॉन की स्थिति का उपयोग करने पर विचार किया जा सकता है। यह दृष्टिकोण तब तक उचित नहीं है जब तक कोई यह परिभाषित करने के लिए सावधान न हो कि निर्वात कहाँ है। समस्या यह है कि निर्वात में सभी बिंदु समतुल्य नहीं होते हैं।

ऊष्मप्रवैगिकी संतुलन पर यह वैक्यूम (वोल्टा क्षमता) में स्थित ऑर्डर 1 V के विद्युत संभावित अंतर के लिए विशिष्ट है। इस वैक्यूम संभावित भिन्नता का स्रोत वैक्यूम के संपर्क में आने वाली विभिन्न संवाहक सामग्रियों के बीच कार्य फलन में भिन्नता है। एक कंडक्टर के ठीक बाहर इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षमता सामग्री पर संवेदनशील रूप से निर्भर करती है साथ ही किस सतह का चयन किया जाता है (इसकी क्रिस्टल अभिविन्यास, संदूषण और अन्य विवरण)।

सार्वभौमिकता के लिए सबसे अच्छा सन्निकटन देने वाला पैरामीटर ऊपर सुझाया गया पृथ्वी-संदर्भित फर्मी स्तर है। इसका यह भी फायदा है कि इसे वोल्टमीटर से मापा जा सकता है।

छोटी प्रणालियों में असतत चार्जिंग प्रभाव
ऐसे स्थितियों में जहां एक इलेक्ट्रॉन के कारण चार्जिंग प्रभाव गैर-नगण्य हैं उपरोक्त परिभाषाओं को स्पष्ट किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए दो समान समानांतर-प्लेटों से बने संधारित्र पर विचार करें। यदि संधारित्र अपरिवर्तित है, तो फर्मी स्तर दोनों ओर समान है इसलिए कोई सोच सकता है कि एक इलेक्ट्रॉन को एक प्लेट से दूसरी प्लेट में ले जाने के लिए कोई ऊर्जा नहीं लेनी चाहिए। लेकिन जब इलेक्ट्रॉन को स्थानांतरित किया गया है, तो संधारित्र आवेशित हो गया है इसलिए इसमें थोड़ी मात्रा में ऊर्जा लगती है। एक सामान्य संधारित्र में यह नगण्य है लेकिन नैनो-स्केल कैपेसिटर में यह अधिक महत्वपूर्ण हो सकता है।

इस स्थिति में रासायनिक क्षमता के साथ-साथ उपकरण की स्थिति की ऊष्मप्रवैगिकी परिभाषा के बारे में सटीक होना चाहिए। क्या यह विद्युत रूप से पृथक है या यह इलेक्ट्रोड से जुड़ा है।


 * जब शरीर एक इलेक्ट्रोड (भंडार) के साथ इलेक्ट्रॉनों और ऊर्जा का आदान-प्रदान करने में सक्षम होता है, तो इसे भव्य विहित पहनावा द्वारा वर्णित किया जाता है। रासायनिक क्षमता $µ$ का मान इलेक्ट्रोड द्वारा तय किया जा सकता है और शरीर पर इलेक्ट्रॉनों की संख्या का उतार-चढ़ाव हो सकता है। इस स्थिति में किसी पिंड की रासायनिक क्षमता एक अतिसूक्ष्म राशि द्वारा इलेक्ट्रॉनों की औसत संख्या को बढ़ाने के लिए आवश्यक कार्य की असीम मात्रा है (भले ही किसी भी समय इलेक्ट्रॉनों की संख्या एक पूर्णांक हो और औसत संख्या लगातार बदलती रहती है) : $$\mu(\left\langle N \right\rangle,T) = \left(\frac{\partial F}{\partial \left\langle N \right\rangle}\right)_T,$$ जहाँ $F(N, T)$ ग्रैंड कैनोनिकल पहनावा का हेल्महोल्ट्ज़ मुक्त ऊर्जा कार्य है।
 * यदि शरीर में इलेक्ट्रॉनों की संख्या निश्चित है (लेकिन शरीर अभी भी ऊष्मीय रूप से ऊष्मा स्नान से जुड़ा हुआ है), तो यह मानक में है। हम इस स्थिति में एक रासायनिक क्षमता को शाब्दिक रूप से परिभाषित कर सकते हैं क्योंकि एक इलेक्ट्रॉन को एक शरीर में जोड़ने के लिए आवश्यक कार्य है जिसमे पहले से ही $N$ इलेक्ट्रॉन है : $$\mu'(N, T) = F(N + 1, T) - F(N, T),$$ कहाँ $F(N, T)$ कैनोनिकल पहनावा का मुक्त ऊर्जा कार्य है वैकल्पिक रूप से,  $$\mu''(N, T) = F(N, T) - F(N - 1, T) = \mu'(N - 1, T).$$ऊष्मप्रवैगिकी सीमा को छोड़कर ये रासायनिक क्षमता समतुल्य नहीं हैं, $µ ≠ µ&prime; ≠ µ&Prime;$। कूलम्ब नाकाबंदी दिखाने वाली छोटी प्रणालियों में अंतर महत्वपूर्ण है। पैरामीटर $µ$ (यानी, उस स्थिति में जहां इलेक्ट्रॉनों की संख्या में उतार-चढ़ाव की अनुमति है) वोल्टमीटर वोल्टेज से संबंधित रहता है। यहां तक ​​कि छोटी प्रणालियों में भी सटीक होने के लिए फर्मी स्तर को एक इलेक्ट्रॉन चार्ज द्वारा नियतात्मक चार्जिंग घटना द्वारा परिभाषित नहीं किया जाता है बल्कि एक इलेक्ट्रॉन के एक असीम अंश द्वारा एक सांख्यिकीय चार्जिंग घटना होती है।

फुटनोट्स और संदर्भ
श्रेणी:इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचनाएं श्रेणी:Fermi-Dirac सांख्यिकी

डी: फर्मीएनर्जी वें: फर्मी ऊर्जा स्तर vi:Mức Fermi