सदिश बंडल

गणित में, सदिश बंडल से एक टोपोलॉजी  निर्माण होता है जो किसी अन्य समष्टि द्वारा पैरामीटर किए गए सदिश रिक्त समष्टि के विचार को उपयुक्त बनाता है (उदाहरण: X  कई गुना या बीजगणितीय भाँति , का  टोपोलॉजिकल समष्टि  हो सकता है) समष्टि X के प्रत्येक बिंदु x से एक सदिश समष्टि V(x) को इस तरह से जोड़ते हैं ये सदिश रिक्त समष्टि पर एक साथ फिट होकर 'X (जैसे एक टोपोलॉजिकल समष्टि,  विविध ) के समान समष्टि बनाते हैं, जिसे  'X को  सदिश बंडल कहा जाता है।

उदाहरण यह है कि सदिश रिक्त समष्टि का परिवार है, एक निश्चित सदिश समष्टि V ऐसा है कि V(x) = V सभी के लिए X में X: इस :घटना में X प्रत्येक x के लिए V की एक प्रति है और ये प्रतियां X के ऊपर सदिश बंडल X × V बनाने के लिए एक साथ फिट होती हैं।. ऐसे सदिश बंडल फाइबर बंडल तुच्छ कहलाते है। उदाहरणों का एक अधिक सम्मिश्र स्मूथ कई गुना मैनिफोल्ड्स के स्पर्शरेखा बंडल हैं: इस तरह के कई गुना के सभी  बिंदु पर  स्पर्शरेखा समष्टि को उस बिंदु पर मैनिफोल्ड से जोड़ते हैं। स्पर्शरेखा बंडल समानता: तुच्छ बंडल नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, गेंद प्रमेय  द्वारा गोले का स्पर्शरेखा बंडल गैर-तुच्छ है। सामान्य तौर पर, मैनिफोल्ड को समानांतर मैनिफोल्ड कहा जाता है जब इसका  स्पर्शरेखा बंडल तुच्छ है।

चूंकि, सदिश बंडलों को हमेशा समष्टिीय रूप से तुच्छ होने की आवश्यकता होती है, जिसका अर्थ है कि वे फाइबर बंडलों के उदाहरण हैं। साथ ही, सदिश रिक्त समष्टि का सामान्यतः वास्तविक या सम्मिश्र संख्याओं पर होना आवश्यक है, इस विषय में सदिश बंडल को वास्तविक या सम्मिश्र सदिश बंडल  कहा जाता है। सम्मिश्र सदिश बंडलों को अतिरिक्त संरचना के साथ वास्तविक सदिश बंडलों के रूप में देखा जा सकता है। निम्नलिखित में, हम  टोपोलॉजिकल समष्टि की श्रेणी में वास्तविक सदिश बंडलों पर ध्यान केंद्रित करते हैं।

परिभाषा और पहला परिणाम
एक वास्तविक सदिश बंडल में निम्नलिखित हैं:
 * 1) टोपोलॉजिकल समष्टि X और E
 * 2) एक सतत फलन प्रक्षेपण $\pi$ : ई → एक्स (बंडल प्रक्षेपण)
 * 3) X में प्रत्येक x के लिए, परिमित-आयामी की संरचना फाइबर बंडल पर परिमित-आयामी  वास्तविक संख्या  सदिश समष्टि π−1({x})

जहां निम्नलिखित संगतता स्थिति संतुष्ट है: एक्स में प्रत्येक बिंदु पी के लिए, पी का एक खुला पड़ोस यू ⊆ एक्स है, एक प्राकृतिक संख्या के, और होमियोमोर्फिज्म है:


 * $$\varphi\colon U \times \mathbf{R}^{k} \to \pi^{-1}(U) $$

इस प्रकार कि सभी x ∈ U के लिए,


 * $$ (\pi \circ \varphi)(x,v) = x $$ 'Rk' में सभी वैक्टर  के लिए, और
 * नक्शा $$ v \mapsto \varphi (x, v)$$ सदिश रिक्त समष्टि आर के बीच एक रैखिक समरूपता है'Rk और π-1({x})।

होमियोमॉर्फिज्म के साथ खुला पड़ोस U एक साथ $$\varphi$$ सदिश बंडल का समष्टिीय तुच्छीकरण कहा जाता है। समष्टिीय तुच्छता से पता चलता है कि 'समष्टिीय रूप से' मानचित्र π U × 'Rk' के प्रक्षेपण जैसा दिखता है U पर है।

हर फाइबर π−1({x}) एक परिमित-विमीय वास्तविक सदिश समष्टि है और इसलिए इसका आयाम k हैx. समष्टिीय तुच्छीकरण दर्शाता है कि फलन x kx समष्टिीय रूप से स्थिर है, और इसलिए X के प्रत्येक समष्टिीय रूप से जुड़े हुए समष्टि पर स्थिर है। यदि kxसभी X पर एक अचर k के बराबर है, तो k को सदिश बंडल का 'रैंक' कहा जाता है, और E को 'रैंक k का सदिश बंडल' कहा जाता है। सामान्यतः एक सदिश बंडल की परिभाषा में यह सम्मिलित होता है कि पद अच्छी तरह से परिभाषित है, जिससे kxस्थिर है। रैंक 1 के सदिश बंडलों को लाइन बंडल कहा जाता है, जबकि रैंक 2 के सदिश बंडलों को सामान्यतः समतल बंडल कहा जाता है।

कार्तीय गुणनफल X × 'R'k, प्रोजेक्शन X × 'R' से सुसज्जितk → X, को X के ऊपर रैंक k का 'तुच्छ बंडल' कहा जाता है।

संक्रमण फलन
रैंक k का एक सदिश बंडल E → X दिया गया है, और पड़ोस का एक जोड़ा U और V दिया गया है, जिसके ऊपर बंडल तुच्छ बनाता है


 * $$\begin{align}

\varphi_U\colon U\times \mathbf{R}^k &\mathrel{\xrightarrow{\cong}} \pi^{-1}(U), \\ \varphi_V\colon V\times \mathbf{R}^k &\mathrel{\xrightarrow{\cong}} \pi^{-1}(V) \end{align}$$ समग्र फलन
 * $$\varphi_U^{-1}\circ\varphi_V \colon (U\cap V)\times\mathbf{R}^k\to (U\cap V)\times\mathbf{R}^k$$

अंशतः समान रूप से परिभाषित और संतुष्ट करता है
 * $$\varphi_U^{-1}\circ\varphi_V (x,v) = \left (x,g_{UV}(x)v \right)$$

कुछ GL(k) -महत्वपूर्ण फ़ंक्शन के लिए
 * $$g_{UV}\colon U\cap V\to \operatorname{GL}(k).$$

इन्हें सदिश बंडल का संक्रमण फलन (या निर्देशांक परिवर्तन) कहा जाता है।

संक्रमण फलनों का सेट इस अर्थ में एक चेक चक्र बनाता है
 * $$g_{UU}(x) = I, \quad g_{UV}(x)g_{VW}(x)g_{WU}(x) = I$$

सभी U, V, W के लिए जिस पर बंडल संतोषजनक हो जाता है $$ U\cap V\cap W\neq \emptyset$$. इस प्रकार डेटा (E, X, π, Rk) फाइबर बंडल को परिभाषित करता है; G के अतिरिक्त डेटाUV एक GL(k) संरचना समूह को निर्दिष्ट करता है जिसमें फाइबर पर क्रिया GL(k) की मानक क्रिया है।

इसके विपरीत, एक फाइबर बंडल (E, X, π, Rk) फाइबर 'R' पर मानक उपाय से अभिनय करने वाली GL(k) कोसाइकिल के साथ Rk, वहाँ एक सदिश बंडल संबद्ध है। यह सदिश बंडलों के लिए फाइबर बंडल निर्माण प्रमेय  का एक उदाहरण है, और इसे सदिश बंडल की वैकल्पिक परिभाषा के रूप में लिया सकता है।

उपसमूह
सदिश बंडलों के निर्माण की एक सरल विधि अन्य सदिश बंडलों के सबबंडल्स लेना है। एक सदिश बंडल दिया गया $$\pi: E\to X$$ एक टोपोलॉजिकल समष्टि पर, एक सबबंडल बस एक सबसमष्टि है $$F\subset E$$ जिसके लिए प्रतिबंध $$\left.\pi\right|_F$$ का $$\pi$$ प्रति $$F$$ देता है $$\left.\pi\right|_F: F \to X$$ एक सदिश बंडल की संरचना भी। इस विषय में फाइबर $$F_x\subset E_x$$ प्रत्येक के लिए सदिश उपसमष्टि है $$x\in X$$.

एक तुच्छ बंडल के एक उपसमूह को तुच्छ होने की आवश्यकता नहीं है, और वास्तव में प्रत्येक वास्तविक सदिश बंडल को पर्याप्त उच्च पद के तुच्छ बंडल के एक उपसमूह के रूप में देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए मोबियस बैंड, घेरा के ऊपर एक गैर-तुच्छ लाइन बंडल, घेरा के ऊपर तुच्छ पद 2 बंडल के एक सबबंडल के रूप में देखा जा सकता है।

सदिश बंडल
सदिश बंडल से आकारिकी π1: E1 → X1 सदिश बंडल के लिए π2: E2 → X2 निरंतर मानचित्र f: E की एक जोड़ी द्वारा दिया गया हैE1 →E2 और g: X1 →X2 ऐसा है कि
 * g ∘π1 = π2∘ f
 * [[File:BundleMorphism-01.png]]:X में प्रत्येक X के लिए X1, नक्शा π1-1({x}) → π2−1({g(x)}) f द्वारा प्रेरित सदिश समष्टिों के बीच एक रेखीय मानचित्र है।

ध्यान दें कि g f द्वारा निर्धारित किया जाता है (क्योंकि π1 आच्छादक है), और f को फिर 'आवरण g' कहा जाता है।

सभी सदिश बंडलों का वर्ग बंडल आकारिकी के साथ मिलकर एक श्रेणी  बनाता है। सदिश बंडलों तक सीमित करना जिसके लिए रिक्त समष्टि कई गुना हैं और चिकने बंडल मोर्फिज्म हम चिकने सदिश बंडलों की श्रेणी प्राप्त करते हैं। सदिश बंडल मॉर्फिज्म फाइबर बंडलों के बीच  बंडल नक्शा  की धारणा का एक विशेष विषय है, और इसे कभी-कभी होमोमोर्फिज्म' कहा जाता है।

E से एक बंडल E2, U2 एक व्युत्क्रम के साथ जो एक बंडल समरूप भी है (E2, U1) को बंडल समरूपता कहा जाता है, और फिर E1 और E2 आइसोमॉर्फिक सदिश बंडल कहा जाता है। तुच्छ बंडल के साथ (k) सदिश बंडल E ओवर X का एक आइसोमोर्फिज्म (पद k ऊपरX) को 'का ट्रिवियलाइजेशन' कहा जाता है। 'E', और 'E' को तब तुच्छ कहा जाता है। सदिश बंडल की परिभाषा से पता चलता है कि कोई भी सदिश बंडल समष्टिीय रूप से तुच्छ है।

हम एक निश्चित आधार समष्टि X पर सभी सदिश बंडलों की श्रेणी पर भी विचार कर सकते हैं। इस श्रेणी में मोर्फिज्म के रूप में हम सदिश बंडलों के उन  मोर्फिज्म को लेते हैं जिनके आधार समष्टि पर मानचित्र 'X' पर पहचान फलन है। यही है, बंडल मोर्फिज्म जिसके लिए निम्न आरेख कम्यूटेटिव आरेख:
 * [[File:BundleMorphism-02.png]](ध्यान दें कि यह श्रेणी एबेलियन श्रेणी नहीं है; सदिश बंडलों के आकारिकी का श्रेणी सिद्धांत सामान्य रूप से किसी भी प्राकृतिक उपाय से सदिश बंडल नहीं है।

सदिश बंडलों के बीच एक सदिश बंडल आकारिकी π1: E1 → X1 तथा π2: E2 → X2 X से मानचित्र g को कवर करना E1, X2 X1 पर सदिश बंडल आकारिकी के रूप में भी देखा जा सकता है E1  पुलबैक बंडल  g*E2.

अनुभाग और समष्टिीय रूप से मुक्त बंडल
एक सदिश बंडल दिया गया π: E → X और X का एक खुला उपसमुच्चय U, हम 'सेक्शन' पर विचार कर सकते हैं π U पर, निरंतर फलन S: U → E जहां समग्र π∘ ऐसा है कि (π ∘ s)(u) = u में सभी U के लिए। अनिवार्य रूप से, एक अनुभाग U के प्रत्येक बिंदु को संलग्न सदिश समष्टि से बिना किसी अंतराल के प्रदान करता है। एक उदाहरण के रूप में, अंतर मैनिफोल्ड के स्पर्शरेखा बंडल के खंड कुछ और नहीं अन्यथा उस मैनिफोल्ड पर सदिश क्षेत्र हैं।

F(U) को U पर सभी वर्गों का समूह होने दें। F(U) में हमेशा कम से कम एक तत्व होता है, अर्थात् शून्य खंड: फ़ंक्शन s जो U के प्रत्येक तत्व x को सदिश समष्टि π-1({x} के शून्य तत्व से मापन करता है। खंडों के बिंदुवार योग और अदिश गुणन के साथ, F(U) स्वयं एक वास्तविक सदिश समष्टि बन जाता है। इन सदिश रिक्त समष्टि का संग्रह X पर सदिश रिक्त समष्टि का एक शीफ समूह है।

यदि s, F(U) का एक अवयव है और α: U → 'R' एक सतत मानचित्र है, तो αs (बिंदुवार अदिश गुणन) F(U) में होता है। हम देखते हैं कि F(U) U पर निरंतर वास्तविक-मूल्यवान फलनों के वलय के ऊपर एक मापांक है। इसके  अतिरिक्त, यदि OX X पर निरंतर वास्तविक-मूल्यवान फलनों की संरचना शीफ ​​को दर्शाता है, Xमापांक फिर F O का एक शीफ बन जाता है।

सदिश बंडल से X-मॉड्यूल का प्रत्येक शीफ इस तरह से उत्पन्न नहीं होता है: केवल समष्टिीय रूप से मुक्त शीफ ही करते हैं। (कारण: समष्टिीय रूप से हम प्रक्षेपण YX 'R' के वर्गों की तलाश में हैं

X-मॉड्यूल,इससे भी अधिक: X पर वास्तविक सदिश बंडलों की श्रेणी O के समष्टिीय रूप से मुक्त और सूक्ष्म रूप से उत्पन्न ढेरों की श्रेणी के लिए श्रेणी सिद्धांत है।

तो हम X पर वास्तविक सदिश बंडलों की श्रेणी के बारे में सोच सकते हैं जैसे कि OX-मॉड्यूल के शीशों की श्रेणी के अंदर बैठे, यह बाद वाली श्रेणी एबेलियन है, इसलिए यह वह जगह है जहां हम सदिश बंडलों के आकारिकी के गुठली और कोकर्नेल की गणना कर सकते हैं।

एक रैंक n सदिश बंडल तुच्छ है यदि और केवल अगर इसमें n रैखिक रूप से स्वतंत्र वैश्विक खंड हैं।

सदिश बंडलों पर संचालन
सदिश रिक्त समष्टि पर फाइबरवाइज करके अधिकांश संचालन सदिश बंडलों तक बढ़ाए जा सकते हैं।

उदाहरण के लिए, यदि E, X के ऊपर एक सदिश बंडल है, तो X के ऊपर एक बंडल E* है, जिसे 'दोहरी बंडल' कहा जाता है, जिसका फाइबर x ∈ X पर दोहरी सदिश समष्टि है (Ex)*. नियमित रूप से E* को जोड़े (x, φ) के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जहाँ x ∈ X और φ ∈ (Ex)*. दोहरी बंडल समष्टिीय रूप से तुच्छ है क्योंकि E के समष्टिीय तुच्छीकरण के व्युत्क्रम का समष्टिान्तरण E* का एक समष्टिीय तुच्छीकरण है: यहां मुख्य बिंदु यह है कि दोहरी सदिश समष्टि लेने का संचालन फलनात्मक है।

कई फलनात्मक संचालन हैं जो सदिश रिक्त समष्टि के एक ही क्षेत्र पर किए जा सकते हैं, और ये सीधे सदिश बंडल E, F पर X जोड़े तक विस्तारित होते हैं और कुछ उदाहरण अनुसरण करते हैं।


 * E और F का 'व्हिटनी योग' (हस्लर व्हिटनी के लिए नामित) या 'प्रत्यक्ष योग बंडल' एक सदिश बंडल E ⊕ FX पर है जिसका फाइबर X से अधिक मॉड्यूल E का प्रत्यक्ष योग हैx⊕ एफxसदिश रिक्त समष्टि Exऔर Fx.
 * 'टेंसर उत्पाद बंडल' E ⊗ F को इसी तरह से परिभाषित किया गया है, जिसमें सदिश समष्टि के फाइबरवाइज टेंसर उत्पाद का उपयोग किया जाता है।
 * 'होम-बंडल' होम (E, F) एक सदिश बंडल है जिसका फाइबर X पर E से रैखिक मानचित्रों का समष्टि है| xF के लिएx(जिसे अक्सर होम के रूप में दर्शाया जाता हैx, Fx) या L (Ex, Fx))। होम-बंडल और उपयोगी है क्योंकि सदिश बंडल होमोमोर्फिज्म के बीच E से F से X और X के ऊपर होम (E, F) के वर्गों के बीच एक विभाजन है।
 * पिछले उदाहरण पर निर्माण, एक एंडोमोर्फिज्म बंडल होम (E, E) और एक फ़ंक्शन F:X → 'R' के एक खंड को देखते हुए, कोई एक बिंदु x X पर फाइबर ले कर एक 'ईजेनबंडल' का निर्माण कर सकता है। f(x)-आइजन्सदिश, ईजेनसमष्टि और रैखिक मानचित्र s(x) का स्पेक्ट्रम हो: Ex → Exx. चूंकि यह निर्माण स्वाभाविक है, जब तक देखभाल नहीं की जाती है, परिणामी वस्तु में समष्टिीय तुच्छता नहीं होगी। s के शून्य खंड होने और f के पृथक शून्य होने के घटना पर विचार करें। परिणामी ईजेनबंडल में इन शून्यों पर फाइबर E में उनके ऊपर फाइबर के लिए आइसोमोर्फिक होगा, जबकि हर जगह फाइबर तुच्छ 0-आयामी सदिश समष्टि है।
 * दोहरा बंडल E*, E के बंडल समरूपता का होम बंडल होम (E, 'R' × X) और तुच्छ बंडल 'R' × X है। एक कैनोनिकल सदिश बंडल आइसोमॉर्फिज़्म होम (E, F) = E*⊗F है।

इनमें से प्रत्येक ऑपरेशन बंडलों की एक सामान्य विशेषता का एक विशेष उदाहरण है: सदिश रिक्त समष्टि की श्रेणी पर किए जा सकने वाले कई ऑपरेशन सदिश बंडलों की श्रेणी पर एक फलनात्मक उपाय से भी किए जा सकते हैं। यह चिकनी गुणक  s की भाषा में उपयुक्त बनाया गया है। एक अलग प्रकृति का संचालन 'पुलबैक बंडल' निर्माण है। एक सदिश बंडल E → Y और एक  नक्शा f: X → Y दिया गया है, कोई E को X के ऊपर एक सदिश बंडल f * E पर वापस खींच सकता है। एक बिंदु x ∈ X पर फाइबर अनिवार्य रूप से केवल f(x) ∈ पर फाइबर है। Y इसलिए, व्हिटनी योग E ⊕ F को X से X × X के विकर्ण मानचित्र के पुलबैक बंडल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जहां X × X पर बंडल E × × F है।

'टिप्पणी': मान लीजिए X एक सघन समष्टि है। X के ऊपर कोई सदिश बंडल E एक तुच्छ बंडल का सीधा जोड़ है; एक बंडल E है' ऐसा है किE ⊕ E' तुच्छ है। यह विफल हो जाता है यदि X कॉम्पैक्ट नहीं है: उदाहरण के लिए, अनंत वास्तविक प्रक्षेप्य समष्टि पर  टॉटोलॉजिकल लाइन बंडल  में यह गुण नहीं है।

अतिरिक्त संरचनाएं और सामान्यीकरण
सदिश बंडलों को प्रायः अधिक संरचना दी जाती है। उदाहरण के लिए, सदिश बंडल एक मीट्रिक से युक्त हो सकते हैं। सामान्यतः इस मीट्रिक को निश्चित द्विरेखीय रूप की आवश्यकता होती है, इस स्थिति में E का प्रत्येक फाइबर एक इयूक्लिडियन समष्टि बन जाता है। एक रैखिक सम्मिश्र संरचना  के साथ एक सदिश बंडल एक सम्मिश्र सदिश बंडल से मेल खाता है, जिसे सम्मिश्र सदिश के साथ परिभाषा में वास्तविक सदिश रिक्त समष्टि को बदलकर प्राप्त किया जा सकता है और यह आवश्यक है कि सभी मैपिंग फाइबर में सम्मिश्र-रैखिक हों। सामान्यतः एक बंडल के संरचना समूह के परिणामी कमी के संदर्भ में एक सदिश बंडल पर लगाए गए अतिरिक्त संरचना को सामान्यतः समझ सकता है। अधिक सामान्य टोपोलॉजिकल क्षेत्रों पर सदिश बंडलों का भी उपयोग किया जा सकता है।

यदि एक परिमित-आयामी सदिश समष्टि के जगह, यदि फाइबर F ​​को एक बनच समष्टि के रूप में लिया जाता है, तो एक 'बनच बंडल' प्राप्त होता है। विशेष रूप से, यह आवश्यक होना चाहिए कि समष्टिीय तुच्छीकरण प्रत्येक फाइबर पर बनच समष्टि आइसोमोर्फिज्म हों और इसके अतिरिक्त, संक्रमण
 * $$g_{UV} \colon U\cap V \to \operatorname{GL}(F)$$

बनच कई गुना की निरंतर मैपिंग कर रहे हैं। C. के संगत सिद्धांत मेंp बंडल, सभी मैपिंग का C होना आवश्यक हैIपी.

सदिश बंडल विशेष फाइबर बंडल होते हैं, जिनके फाइबर सदिश रिक्त समष्टि होते हैं और जिनके चक्र सदिश समष्टि संरचना का सम्मान करते हैं। अधिक सामान्य फाइबर बंडलों का निर्माण किया जा सकता है जिसमें फाइबर में अन्य संरचनाएं हो सकती हैं; उदाहरण के लिए गोले के बंडल गोले द्वारा रेशेदार होते हैं।

स्मूथ सदिश बंडल
एक सदिश बंडल (E, P, M) 'चिकनी' है,यदि Eऔर M चिकने कई गुना हैं, P: E → M एक स्मूथ नक्शा है, और समष्टिीय तुच्छीकरण भिन्नताएं हैं। स्मूथई की आवश्यक डिग्री के आधार पर, Cp बंडलों की विभिन्न संबंधित धारणाएँ हैं| अनन्त रूप से भिन्न C∞-बंडल और  वास्तविक विश्लेषणात्मक  Cω-बंडल है। इस भाग में हम C∞बडलों पर ध्यान केंद्रित करेंगे। C∞ का सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण है∞-C∞-कई गुना M का स्पर्शरेखा बंडल (TM, πTM, M) है।

चिकने सदिश बंडल को इस तथ्य से चित्रित किया जा सकता है कि यह ऊपर वर्णित संक्रमण फलनों को स्वीकार करता है जो तुच्छ चार्ट यू और वी के परस्पर पर सुचारू रूप से फलन करते हैं। एक सदिश बंडल E स्मूथ है यदि यह खुले सेटों को छोटा करके एक कवर को स्वीकार करता है जैसे कि किन्हीं दो ऐसे समुच्चयों U और V के लिए, संक्रमण फलन,
 * $$g_{UV}: U\cap V \to \operatorname{GL}(k,\mathbb{R})$$

मैट्रिक्स समूह GL (K, R) में एक सहज फलन है, जो एक लाइ समूह है।

इसी प्रकार, यदि संक्रमण फलन हैं:


 * Cr तो सदिश बंडल 'C' हैr सदिश बंडल',
 * वास्तविक विश्लेषणात्मक तो सदिश बंडल एक 'वास्तविक विश्लेषणात्मक सदिश बंडल' है ,
 * होलोमोर्फिक तो सदिश बंडल एक ' होलोमॉर्फिक सदिश बंडल ' है (इसके लिए मैट्रिक्स समूह को एक सम्मिश्र झूठ समूह  होना आवश्यक है),
 * बीजगणितीय फलन तब सदिश बंडल एक 'बीजगणितीय सदिश बंडल' होता है।

C∞-सदिश बंडल (E, P, M) में एक बहुत ही महत्वपूर्ण संपत्ति है जो अधिक सामान्य सी द्वारा साझा नहीं की जाती है-फाइबर बंडल। अर्थात्, स्पर्शरेखा समष्टि Tv(तथाx) किसी भी V ∈ E परx फाइबर E के साथ स्वाभाविक रूप से पहचाना जा सकता हैx अपने आप। यह पहचान ऊर्ध्वाधर लिफ्ट vl. के द्वारा प्राप्त की जाती हैv: Ex→ Tv(Ex), के रूप में परिभाषित किया गया है


 * $$\operatorname{vl}_vw[f] := \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}f(v + tw), \quad f\in C^\infty(E_x).$$

लंबवत उपाय को प्राकृतिक C के रूप में भी देखा जा सकता है∞-सदिश बंडल समरूपता p*E → VE, जहां (p*E, p*p, E) E से p: E → M, के ऊपर (E, p, M) का पुल-बैक बंडल है। और VE:= KR(P*) TE ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा बंडल है, स्पर्शरेखा बंडल का एक प्राकृतिक सदिश उप-बंडल (TE, πTE, E) कुल समष्टि ई की।

किसी भी चिकने सदिश बंडल का कुल समष्टि E एक प्राकृतिक सदिश क्षेत्र Vv := vlvv को वहन करता है, विहित सदिश क्षेत्र के रूप में जाना जाता है। अधिक औपचारिक रूप से, V (TE, πTE, E)का एक स्मूथ खंड है,और इसे लाइ-ग्रुप एक्शन के अनंत जनरेटर के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है $$(t,v) \mapsto e^{tv}$$ फाइबरवाइज अदिश गुणन द्वारा। विहित सदिश क्षेत्र V निम्नलिखित उपाय से पूरी तरह से चिकनी सदिश बंडल संरचना की विशेषता है। तैयारी के रूप में, ध्यान दें कि जब X एक चिकनी कई गुना M और X ∈ एम पर एक चिकनी सदिश क्षेत्र है जैसे किXx = 0, रैखिक मानचित्रण
 * $$C_x(X): T_x M \to T_x M; \quad C_x(X) Y = (\nabla_Y X)_x$$

M पर रैखिक सहपरिवर्ती व्युत्पन्न ∇ के चयन पर निर्भर नहीं करता। E पर विहित सदिश क्षेत्र V अभिगृहीतों को संतुष्ट करता है


 * 1) प्रवाह (T, V) → ΦTV(v) V विश्व स्तर पर परिभाषित है।
 * 2) प्रत्येक v ∈ V के लिए एक अद्वितीय लिम हैt→∞ ΦTV(v) V.
 * 3) Cv(V)∘Cv(V) = Cv(V) जब भी वीv = 0।
 * 4) V का शून्य सेट E का एक चिकनी सबमनीफोल्ड है जिसका कोडिमेंशन C के पद के बराबर हैv(V)।

इसके विपरीत, यदि E चिकनी कई गुना है और V E पर एक चिकनी सदिश क्षेत्र है जो 1-4 को संतुष्ट करता है इसके विपरीत, यदि E कोई चिकनी कई गुना है और V E पर एक चिकनी सदिश फील्ड है जो 1–4 को संतुष्ट करता है,, तो E पर एक यूनिक सदिश बंडल संरचना है जिसका विहित सदिश क्षेत्र V है।

किसी भी चिकने सदिश बंडल (E, p, M) के लिए उसके स्पर्शरेखा बंडल (TE, πTE, ई) में एक प्राकृतिक माध्यमिक सदिश बंडल संरचना है (TE, P*, TM), जहां P* विहित प्रक्षेपण p: E → M का बढ़ना है। इस द्वितीयक सदिश बंडल संरचना में बढ़ना संचालन पुश-फ़ॉरवर्ड हैं +*: T (E × E) →TE और λ*: TE → मूल जोड़ का TE +: E × E → E और अदिश गुणन λ: E → E।

K-सिद्धांत
के-सिद्धांत समूह, $K(X)$, एक कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ टोपोलॉजिकल समष्टि को आइसोमोर्फिज्म वर्गों द्वारा उत्पन्न एबेलियन समूह के रूप में परिभाषित किया गया है $[E]$ सम्मिश्र सदिश बंडलों के संबंध को सापेक्ष करते हैं कि जब भी हमारे पास एक उपयुक्त अनुक्रम होता है।


 * $$ 0 \to A \to B \to C \to 0 $$

फिर


 * $$ [B] = [A] + [C] $$

टोपोलॉजिकल केओ सिद्धांत  में। KO-सिद्धांत इस निर्माण का संस्करण है जो वास्तविक सदिश बंडलों पर विचार करता है।  कॉम्पैक्ट समर्थन  के साथ के-सिद्धांत को भी परिभाषित किया जा सकता है, साथ ही उच्च के-सिद्धांत समूहों को भी परिभाषित किया जा सकता है।

राउल बोत्तो ल की प्रसिद्ध बॉट आवधिकता  किसी भी समष्टि के-सिद्धांत का आशय  करती है $X$ के समरूपी है $S^{2}X$, का दोहरा निलंबन $X$.

बीजगणितीय ज्यामिति में,K -सिद्धांत समूहों पर विचार किया जाता है जिसमें एक योजना $X$ पर सुसंगत ढेर होते हैं, साथ ही उपरोक्त समतुल्य संबंध के साथ योजना पर सदिश बंडलों के K-सिद्धांत समूह होते हैं। दो निर्माण समान हैं, बशर्ते कि अंतर्निहित योजना सुचारू हो।

सामान्य धारणाएं

 * ग्रासमैनियन : सदिश बंडल के लिए रिक्त समष्टि को वर्गीकृत करना, जिसमें लाइन बंडलों के लिए प्रक्षेप्य समष्टि  शामिल हैं
 * विशेषता वर्ग
 * विभाजन सिद्धांत
 * स्थिर बंडल

टोपोलॉजी और विभेदक ज्योमेट्री

 * गेज सिद्धांत (गणित) : सदिश बंडलों और प्रमुख बंडलों पर कनेक्शन का सामान्य अध्ययन और भौतिकी के साथ उनका संबंध।
 * कनेक्शन (सदिश बंडल) : सदिश बंडलों के वर्गों को अलग करने के लिए आवश्यक धारणा।

बीजीय और विश्लेषणात्मक ज्यामिति

 * बीजीय सदिश बंडल
 * पिकार्ड समूह
 * होलोमोर्फिक सदिश बंडल

स्रोत

 * , खंड 1.5 देखें।
 * अध्याय 5 देखें
 * , खंड 1.5 देखें।
 * अध्याय 5 देखें
 * अध्याय 5 देखें
 * अध्याय 5 देखें

बाहरी संबंध
 * Why is it useful to study vector bundles ? on MathOverflow
 * Why is it useful to classify the vector bundles of a space ?
 * Why is it useful to classify the vector bundles of a space ?