चतुष्फलकीय संख्या



एक टेट्राहेड्रल संख्या, या त्रिकोणीय पिरामिड संख्या, एक आलंकारिक संख्या है जो एक त्रिकोणीय आधार और तीन पक्षों के साथ एक पिरामिड (ज्यामिति) का प्रतिनिधित्व करती है, जिसे टेट्राहेड्रोन कहा जाता है। $n$n}}वें चतुष्फलकीय संख्या, $Te_{n}$, पहले का योग है $n$ त्रिकोणीय संख्या, अर्थात्,


 * $$ Te_n = \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2} = \sum_{k=1}^n \left(\sum_{i=1}^k i\right)$$

चतुष्फलकीय संख्याएँ हैं:


 * 1, 4, 10, 20 (संख्या), 35 (संख्या), 56 (संख्या), 84 (संख्या), 120 (संख्या), 165 (संख्या), 220 (संख्या), ...

सूत्र
के लिए सूत्र $n$वें चतुष्फलकीय संख्या को. के तीसरे बढ़ते भाज्य द्वारा दर्शाया जाता है $n$ 3 के भाज्य द्वारा विभाजित:
 * $$Te_n= \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2} = \sum_{k=1}^n \left(\sum_{i=1}^k i\right)=\frac{n(n+1)(n+2)}{6} = \frac{n^{\overline 3}}{3!}$$

चतुष्फलकीय संख्याओं को द्विपद गुणांक के रूप में भी दर्शाया जा सकता है:
 * $$Te_n=\binom{n+2}{3}.$$

टेट्राहेड्रल नंबर इसलिए चौथे स्थान पर पास्कल के त्रिकोण में बाएं या दाएं से पाए जा सकते हैं।

सूत्र के प्रमाण
यह प्रमाण इस तथ्य का उपयोग करता है कि $n$त्रिकोणीय संख्या द्वारा दी गई है
 * $$T_n=\frac{n(n+1)}{2}.$$

यह गणितीय प्रेरण द्वारा आगे बढ़ता है।


 * मुख्य मामला
 * $$Te_1 = 1 = \frac{1\cdot 2\cdot 3}{6}.$$

आगमनात्मक कदम
 * $$\begin{align}

Te_{n+1} \quad &= Te_n + T_{n+1} \\ &= \frac{n(n+1)(n+2)}{6} + \frac{(n+1)(n+2)}{2} \\ &= (n+1)(n+2)\left(\frac{n}{6}+\frac{1}{2}\right) \\ &= \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6}. \end{align}$$ सूत्र को गोस्पर के एल्गोरिथम द्वारा भी सिद्ध किया जा सकता है।

सामान्यीकरण
त्रिकोणीय संख्याओं के लिए पाया गया पैटर्न $$ \sum_{n_1=1}^{n_2}n_1=\binom{n_2+1}{2}$$ और चतुष्फलकीय संख्याओं के लिए $$ \sum_{n_2=1}^{n_3}\sum_{n_1=1}^{n_2}n_1=\binom{n_3+2}{3}$$ सामान्यीकृत किया जा सकता है। यह सूत्र की ओर जाता है: $$ \sum_{n_{k-1}=1}^{n_k}\sum_{n_{k-2}=1}^{n_{k-1}}\ldots\sum_{n_2=1}^{n_3}\sum_{n_1=1}^{n_2}n_1=\binom{n_k+k-1}{k}$$

ज्यामितीय व्याख्या
चतुष्फलकीय संख्याओं को गोले बनाकर प्रतिरूपित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, पाँचवीं चतुष्फलकीय संख्या ($Te_{5} = 35$) को 35 बिलियर्ड गेंदों और मानक त्रिकोणीय बिलियर्ड्स बॉल फ्रेम के साथ तैयार किया जा सकता है जिसमें 15 गेंदें होती हैं। फिर उनके ऊपर 10 और गेंदें रखी जाती हैं, फिर एक और 6, फिर एक और तीन और शीर्ष पर एक गेंद टेट्राहेड्रोन को पूरा करती है।

जब आदेश-$n$ चतुष्फलक से निर्मित $Te_{n}$ गोले को एक इकाई के रूप में उपयोग किया जाता है, यह दिखाया जा सकता है कि ऐसी इकाइयों के साथ एक अंतरिक्ष टाइलिंग एक सघन क्षेत्र पैकिंग प्राप्त कर सकती है जब तक कि $n ≤ 4$.

चतुष्फलकीय जड़ें और चतुष्फलकीय संख्याओं के लिए परीक्षण
के घनमूल की सादृश्यता से $x$, कोई (वास्तविक) चतुष्फलकीय जड़ को परिभाषित कर सकता है $x$ संख्या के रूप में $n$ ऐसा है कि $Te_{n} = x$: $$n = \sqrt[3]{3x+\sqrt{9{x^2}-\frac{1}{27}}} +\sqrt[3]{3x-\sqrt{9{x^2}-\frac{1}{27}}} -1$$ जो कार्डानो के सूत्र से अनुसरण करता है। समान रूप से, यदि वास्तविक चतुष्फलकीय जड़ $n$ का $x$ एक पूर्णांक है, $x$ है $n$वें टेट्राहेड्रल संख्या।

गुण

 * $Te_{n} + Te_{n−1} = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} ... + n^{2}$, वर्ग पिरामिड संख्याएँ।
 * $Te_{2n+1} = 1^{2} + 3^{2} ... + (2n+1)^{2}$, विषम वर्गों का योग।
 * $Te_{2n&numsp;&numsp;} = 2^{2} + 4^{2} ... + (2n)^{2}&numsp;&numsp;$, सम वर्गों का योग।
 * ए। जे. मेयल ने 1878 में सिद्ध किया कि केवल तीन चतुष्फलकीय संख्याएँ भी वर्ग संख्याएँ हैं, अर्थात्:
 * सर फ्रेडरिक पोलॉक, प्रथम बैरोनेट ने अनुमान लगाया कि प्रत्येक संख्या अधिकतम 5 टेट्राहेड्रल संख्याओं का योग है: पोलक टेट्राहेड्रल संख्या अनुमान देखें।
 * एकमात्र चतुष्फलकीय संख्या जो एक वर्ग पिरामिड संख्या भी है 1 (बीकर्स, 1988) है, और एकमात्र चतुष्फलकीय संख्या जो एक पूर्ण घन भी है, 1 है।
 * चतुष्फलकीय संख्याओं के व्युत्क्रम का अनंत योग है $3⁄2$, जिसे दूरबीन श्रृंखला का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है:
 * $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{6}{n(n+1)(n+2)} = \frac{3}{2}.$$
 * चतुष्फलकीय संख्याओं की समता (गणित) सम-विषम-सम-सम-सम-विषम दोहराव वाले पैटर्न का अनुसरण करती है।
 * चतुष्फलकीय संख्याओं का अवलोकन:
 * संख्याएं जो त्रिकोणीय और चतुष्फलकीय दोनों हैं, द्विपद गुणांक समीकरण को संतुष्ट करती हैं:
 * $$T_n=\binom{n+1}{2}=\binom{m+2}{3}=Te_m.$$
 * केवल वही संख्याएँ जो चतुष्फलकीय और त्रिभुजाकार दोनों संख्याएँ हैं: :
 * संख्याएं जो त्रिकोणीय और चतुष्फलकीय दोनों हैं, द्विपद गुणांक समीकरण को संतुष्ट करती हैं:
 * $$T_n=\binom{n+1}{2}=\binom{m+2}{3}=Te_m.$$
 * केवल वही संख्याएँ जो चतुष्फलकीय और त्रिभुजाकार दोनों संख्याएँ हैं: :
 * केवल वही संख्याएँ जो चतुष्फलकीय और त्रिभुजाकार दोनों संख्याएँ हैं: :


 * $Te_{1&numsp;} = &numsp;&numsp;1^{2} = &numsp;&numsp;&numsp;&numsp;1$ सभी उत्पादों का योग है p × q जहाँ (p, q) क्रमित जोड़े हैं और p + q = n + 1
 * $Te_{2&numsp;} = &numsp;&numsp;2^{2} = &numsp;&numsp;&numsp;&numsp;4$ (n + 2)-बिट संख्याओं की संख्या है जिसमें उनके द्विआधारी विस्तार में 1 के दो रन होते हैं।

लोकप्रिय संस्कृति
$Te_{48} = 140^{2} = 19600$ कैरल के सभी 12 छंदों, क्रिसमस के बारह दिन (गीत) के दौरान मेरे सच्चे प्यार ने मुझे उपहारों की कुल संख्या भेजी है। प्रत्येक पद के बाद उपहारों की संचयी कुल संख्या भी है $Te_{5} = Te_{4} + Te_{3} + Te_{2} + Te_{1}$ पद के लिए एन.

संभावित KeyForge तीन-घर संयोजनों की संख्या भी एक चतुष्फलकीय संख्या है, $Te_{1&numsp;} = T_{1&numsp;&numsp;} = &numsp;&numsp;&numsp;1$ कहाँ पे $n$ घरों की संख्या है।

यह भी देखें

 * केंद्रित त्रिकोणीय संख्या

बाहरी संबंध

 * Geometric Proof of the Tetrahedral Number Formula by Jim Delany, The Wolfram Demonstrations Project.
 * Geometric Proof of the Tetrahedral Number Formula by Jim Delany, The Wolfram Demonstrations Project.