हाइपरप्लेन पृथक्करण प्रमेय

ज्यामिति में, हाइपरप्लेन पृथक्करण प्रमेय, 'एन'-आयामी यूक्लिडियन स्पेस में उत्तल समुच्चय पृथक्करण हेतु एक प्रमेय है। इसके कई संस्करण उपलब्ध है। प्रमेय के एक संस्करण में, यदि ये दोनों समुच्चय संकुचित समुच्चय हैं और उनमें से कम से कम एक सघन समुच्चय है, तो उनके मध्य में एक हाइपरप्लेन है और उनके मध्य दो समानांतर हाइपरप्लेन भी किसी अंतराल से भिन्न हो गए हैं। दूसरे संस्करण में, यदि दोनों असंयुक्त उत्तल समुच्चय खुले हैं, तो उनके मध्य एक हाइपरप्लेन है, परन्तु जरूरी नहीं कि कोई अंतराल हो। कोई अक्ष जो किसी अलग करने वाले हाइपरप्लेन के लिए अष्टभुजीय है, पृथक करने वाला अक्ष है, क्योंकि अक्ष पर उत्तल पिंडों के अष्टभुजीय प्रक्षेप असंयुक्त हैं।

हाइपरप्लेन पृथक्करण प्रमेय हरमन मिन्कोव्स्की के कारण है। हन-बनाक पृथक्करण प्रमेय स्थलीय सदिश स्थानों के परिणाम का सामान्यीकरण करता है।

एक संबंधित परिणाम सहायक हाइपरप्लेन प्रमेय है।

समर्थन सदिश यंत्र के संदर्भ में, आदर्श पृथक्करण हाइपरप्लेन या अधिकतम-सीमा हाइपरप्लेन एक ऐसा हाइपरप्लेन होता है जो दो बिंदुगणित समूहों को पृथक्करण करता है और इन दोनों से समान दूरी पर स्थित होता है।

कथन और प्रमाण
सभी स्थितियों में, मान लीजिए $$A, B$$ असंयुक्त, अरिक्त और के उत्तल उपसमुच्चय $$\R^n$$ है जिनके परिणामों का सारांश इस प्रकार है:

आयामों की संख्या परिमित होनी चाहिए। अनंत-आयामी स्थानों में दो बंद, उत्तल, असंयुक्त समुच्चय के उदाहरण हैं जिन्हें एक बंद हाइपरप्लेन (एक हाइपरप्लेन जहां एक सतत रैखिक कार्यात्मक कुछ स्थिरांक के बराबर होता है) से अलग नहीं किया जा सकता है, यहां तक ​​कि कमजोर अर्थों में भी जहां असमानताएं सख्त नहीं हैं। यहाँ, परिकल्पना में सघनता को शिथिल नहीं किया जा सकता है; इसका उदहारण आगे के अनुभाग में प्रदर्शित किया गया है। पृथक्करण प्रमेय का यह संस्करण अनंत-आयाम का सामान्यीकरण करता है; सामान्यीकरण को सामान्यतः हाह्न-बनाक पृथक्करण प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

जिसका प्रमाण निम्नलिखित लेम्मा पर आधारित है:

$$

$$

चूँकि एक पृथक्करण हाइपरप्लेन खुले उत्तल समुच्चयों के आतंरिक भागों को नहीं काट सकता है, हमारे पास एक परिणाम है:

संभावित प्रतिच्छेदन की स्थिति
अगर समुच्चय करता है यदि समूह $$A, B$$  में संभावित प्रतिच्छेदन होता है, परन्तु उनके सांदर्भिक आंतरिकों में पृथक्करण होता है, तो पहली स्थिति के प्रमाण, परिवर्तन के बिना ही लागू हो जाते है, जिससे निम्न परिणाम मिलता है:

विशेष रूप से, हमारे पास सहायक हाइपरप्लेन प्रमेय है।

$$

प्रमेय का विलोम
ध्यान दें कि एक हाइपरप्लेन का अस्तित्व जो केवल दो उत्तल समुच्चयों को अलग करता है, दोनों असमानताओं के कमजोर अर्थों में गैर-सख्त होने का स्पष्ट रूप से यह अर्थ नहीं है कि दो समुच्चय अलग हैं। दोनों समुच्चयों में हाइपरप्लेन पर स्थित बिंदु भिन्न हो सकते हैं।

प्रति उदाहरण और विशिष्टता
यदि A और B में से एक उत्तल नहीं है, तो कई संभावित प्रति उदाहरण हैं। उदाहरण के लिए, A और B संकेंद्रित वृत्त हो सकते हैं। एक अधिक सूक्ष्म प्रति उदाहरण वह है जिसमें ए और बी दोनों बंद हैं परन्तु कोई भी सघन नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि ए एक बंद अर्ध समुच्चय है और बी हाइपरबोला के एक हाथ से घिरा हुआ है, तो कोई सख्ती से अलग करने वाला हाइपरप्लेन नहीं है:


 * $$A = \{(x,y) : x \le 0\}$$
 * $$B = \{(x,y) : x > 0, y \geq 1/x \}.\ $$

यद्यपि, दूसरे प्रमेय के एक उदाहरण से, एक हाइपरप्लेन है जो उनके आंतरिक भाग को अलग करता है। एक अन्य प्रकार के प्रति उदाहरण में A सघन और B खुला है। उदाहरण के लिए, A एक बंद वर्ग हो सकता है और B एक खुला वर्ग हो सकता है जो A को स्पर्श करता है।

प्रमेय के पहले संस्करण में, स्पष्ट रूप से अलग करने वाला हाइपरप्लेन कभी भी अद्वितीय नहीं होता है। दूसरे संस्करण में, यह अद्वितीय हो भी सकता है और नहीं भी। तकनीकी रूप से एक पृथक्करण धुरी कभी भी अद्वितीय नहीं होती क्योंकि इसका अनुवाद किया जा सकता है; प्रमेय के दूसरे संस्करण में, एक अलग अक्ष अनुवाद तक अद्वितीय हो सकता है।

हॉर्न कोण कई हाइपरप्लेन पृथक्करणों के लिए एक अच्छा प्रति उदाहरण प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, में $$\R^2$$, यूनिट डिस्क खुले अंतराल से अलग है $$((1, 0), (1,1))$$, परन्तु उन्हें अलग करने वाली एकमात्र रेखा में संपूर्णता शामिल है $$((1, 0), (1,1))$$. इससे पता चलता है कि अगर $$A$$ बंद है और $$B$$ अपेक्षाकृत खुला है, तो जरूरी नहीं कि एक पृथक्करण उपलब्ध हो जो सख्त हो $$B$$. हालांकि, यदि $$A$$ बंद पालीटॉप है तो ऐसा पृथक्करण उपलब्ध है।

अन्य प्रकार
फ़ार्कस लेम्मा और संबंधित परिणामों को हाइपरप्लेन पृथक्करण प्रमेय के रूप में समझा जा सकता है, जब उत्तल पिंडों को सूक्ष्म रूप से कई रेखीय असमानताओं द्वारा परिभाषित किया जाता है तो और भी परिणाम मिल सकते हैं।

संघटन का पता लगाने में प्रयोग
संघटन का पता लगाने में, हाइपरप्लेन पृथक्करण प्रमेय सामान्यतः निम्न रूप में प्रयोग किया जाता है:

आयाम के अतिरिक्त, पृथक्करण धुरी सदैव एक रेखा होती है।

उदाहरण के लिए, 3डी में, समष्टि को प्लेन द्वारा अलग किया जाता है, परन्तु अलग करने वाला अक्ष अलग करने वाले प्लेन के लंबवत होता है।

बहुभुज धुरी के मध्य तेजी से संघटन का पता लगाने के लिए पृथक अक्ष प्रमेय लागू किया जा सकता है। प्रत्येक फलक की सतह सामान्य या अन्य विशेषता दिशा का उपयोग पृथक करने वाले अक्ष के रूप में किया जाता है। ध्यान दें कि यह भिन्न-भिन्न अक्षों को अलग करता है तथा रेखा/प्लेन को अलग नहीं करता है।

3डी में, फेस नॉर्म्स का उपयोग अकेले कुछ एज-ऑन-एज गैर-संघटन वाले स्थितियों को अलग करने में विफल होता है। अतिरिक्त अक्षों की आवश्यकता होती है, जिसमें शीर्षों के युग्म के गुणन-उत्पाद सम्मिलित होते हैं।

प्रवर्धित दक्षता के लिए, समानांतर अक्षों की गणना एकल अक्ष के रूप में की जा सकती है।

यह भी देखें

 * दोहरी शंकु
 * फ़र्कस की लेम्मा
 * किर्चबर्गर प्रमेय
 * इष्टतम नियंत्रण

संदर्भ




बाहरी संबंध

 * Collision detection and response

Séparation des convexes