एकात्मक परिवर्तन (क्वांटम यांत्रिकी)

क्वांटम यांत्रिकी में, श्रोडिंगर समीकरण वर्णित करता है कि एक प्रणाली समय के साथ कैसे बदलती है। यह प्रणाली में ऊर्जा के लिए प्रणाली की स्थिति में परिवर्तन से संबंधित है ( जिसे हैमिल्टोनियन कहलाने वाले एक संचालक दिया जाता है)। इसलिए, एक बार हैमिल्टनियन ज्ञात हो जाने पर, समय की गतिशीलता सैद्धांतिक रूप से ज्ञात हो जाती है। उसके बाद, जो बचा है उसे हैमिल्टोनियन को श्रेडिंगर समीकरण में प्रविष्ट करके प्रणाली की स्थिति को समय के एक सम्बन्ध के रूप में हल करना है।

हालाँकि, प्रायः श्रोडिंगर समीकरण को हल करना मुश्किल होता है (यहां तक ​​कि एक कंप्यूटर के साथ भी)। इसलिए, भौतिकविदों ने गणितीय तकनीकों को विकसित किया है ताकि इन समस्याओं को सरल बनाने और भौतिक घटनाओं को स्पष्ट करने में मदद मिल सके। यह ऐसी ही तकनीक में से एक है जो हैमिल्टनियन में ऐकिक रूपांतरण लागू करता है। ऐसा करने से श्रोडिंगर समीकरण का एक सरलीकृत संस्करण प्राप्त हो सकता है जिसका समाधान मूल के समान ही है।

रूपांतरण
एक ऐकिक रूपांतरण (या फ़्रेम परिवर्त) को समय-निरपेक्ष हैमिल्टोनियन $$H(t)$$ और ऐकिक संकारक $$U(t)$$ के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। इस परिवर्तन के तहत, हैमिल्टोनियन इस प्रकार रूपांतरित होता है,

$$H \to UH{U^\dagger} + i\hbar\,{\dot{U}U^\dagger} =: \breve{H} \quad \quad (0)$$।

श्रोडिंगर समीकरण नए हैमिल्टोनियन पर लागू होता है। अपरिवर्तित और परिवर्तित समीकरणों के समाधान भी $$U$$ से सम्बन्धित है। विशेष रूप से, यदि तरंग फलन $$\psi(t)$$ मूल समीकरण को संतुष्ट करता है, तो $$U\psi(t)$$ नये समीकरण को संतुष्ट करेगा।

व्युत्पत्ति
याद रखें कि एकात्मक आव्यूह की परिभाषा के अनुसार, $$U^\dagger U = 1$$ होता है। श्रोडिंगर समीकरण से शुरुआत करते हुए,


 * $$\dot{\psi}=-\frac{i}{\hbar}H\psi$$,

$$U^\dagger U$$ को हम अपनी इच्छानुसार सम्मिलित कर सकते हैं। विशेष रूप से, इसे $$H/\hbar$$ के बाद सम्मिलित करने पर और दोनों पक्षों को $$U$$ से पूर्वगुणित करने पर, हमें


 * $$U\dot{\psi}=-\frac{i}{\hbar} \left(UHU^\dagger \right) U\psi\quad\quad (1)$$

प्राप्त होता है। उसके बाद, ध्यान दें कि गुणनफल नियम द्वारा,


 * $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(U\psi\right)=\dot{U}\psi+U\dot{\psi}$$.

एक और $$U^\dagger U$$ सम्मिलित करने और पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें


 * $$U\dot{\psi} =

\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\Big(U\psi\Big) - \dot{U}U^\dagger U\psi \quad\quad(2)$$

मिलता है। अंत में, उपरोक्त (1) और (2) के संयोजन से वांछित रूपांतरण होता है,


 * $$\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\Big(U \psi\Big) =

-\frac{i}{\hbar}\Big(UH{U^\dagger} + i\hbar\, \dot{U}{U^\dagger}\Big) \Big(U\psi\Big) \quad\quad \left(3\right)$$।

यदि हम रूपांतरित तरंग फलन का वर्णन करने के लिए संकेतन $$\breve{\psi} := U\psi$$ को चुनते हैं, तो समीकरणों को स्पष्ट रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, $$(3)$$ को


 * $$\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\breve{\psi} =

-\frac{i}{\hbar} \breve{H}\breve{\psi} \quad\quad \left(4\right)$$,

के रूप में फिर से लिखा जा सकता है जिसे मूल श्रोडिंगर समीकरण,


 * $$\breve{H}\breve{\psi} =

i\hbar{\operatorname{d}\!\breve{\psi}\over\operatorname{d}\!t}.$$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। मूल तरंग फलन को $$\psi = U^{\dagger} \breve{\psi}$$ के रूप में पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।

अन्योन्यक्रिया प्रतिबिम्ब से सम्बन्ध
ऐकिक रूपांतरणों को अन्योन्यक्रिया (डिरैक) प्रतिबिम्ब के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। बाद के दृष्टिकोण में, हैमिल्टोनियन को समय-निरपेक्ष भाग और कालाश्रित भाग


 * $$H(t)=H_0 + V(t) \quad \quad (a)$$

में विभाजित किया गया है। इस स्थिति में, श्रोडिंगर समीकरण


 * $$\dot{\psi_I} =

-\frac{i}{\hbar} \left(e^{iH_0 t/\hbar} V e^{-iH_0 t/\hbar}\right) \psi_I$$, साथ $$\psi_I = e^{i H_0 t/\hbar} \psi$$. बन जाता है। ऐकिक रूपांतरण के साथ अनुरूपता को $U(t)=\exp\left[{+i H_0 t / \hbar}\right]$  चुनकर प्रदर्शित किया जा सकता है। परिणामस्वरूप, $${U^\dagger}(t) = \exp \left[{-i H_{0} t}/\hbar\right].$$प्राप्त होता है ।उपरोक्त $$(0)$$ से संकेतन का उपयोग करते हुए, हमारा रूपांतरित हैमिल्टोनियन


 * $$\breve{H} = U\left[H_0 + V(t)\right]U^{\dagger} + i\hbar \dot{U}U^{\dagger}

\quad \quad (b)$$ बन जाता है, पहले ध्यान दें कि $$U$$, $$H_0$$ का एक फलन है, इसलिए दोनों को रूपान्तरित करना होगा। फिर


 * $$UH_0U^\dagger=H_0$$,

जो $$(b)$$, अर्थात $$\breve{H} = H_0 + UV(t)U^{\dagger} + i \hbar \dot{U}U^{\dagger}$$में रूपांतरण में पहले पद का ध्यान रखता है। इसके बाद


 * $$\begin{align} i\hbar \dot{U}U^\dagger & =

i\hbar \left({\operatorname{d}\!U\over\operatorname{d}\!t}\right) e^{-iH_{0} t/\hbar} \\ & = i\hbar \Big(iH_{0}/\hbar\Big) e^{+iH_{0} t/\hbar} e^{-iH_{0} t/\hbar} \\ & = i \hbar \left({i H_0}/\hbar \right) \\ & = -H_{0}, \\ \end{align}$$ की गणना करने के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग करें, जो अन्य $$H_0$$ के साथ निरसित हो जाता है। जैसा कि उपर दिखाया गया है, स्पष्ट रूप से हमारे पास $$\breve{H} = UVU^\dagger$$ शेष गया है, जिससे $$\dot{\psi_{I}} = -\frac{i}{\hbar} U V U^{\dagger} \psi_I $$ प्राप्त हो रहा है।

हालाँकि, सामान्य ऐकिक रूपांतरण को लागू करते समय, यह आवश्यक नहीं है कि $$H(t)$$ को भागों में तोड़ दिया जाए, या यहाँ तक कि $$U(t)$$ हैमिल्टोनियन के किसी भी भाग का एक फलन हो।

घूर्णी फ्रेम
दो-अवस्थाओं वाले एक परमाणु, स्थिर $$|g\rangle$$ और उत्साहित $$|e\rangle$$पर विचार करें। परमाणु में हैमिल्टोनियन $$H = \hbar\omega {|{e}\rangle \langle {e}|}$$ है, जहाँ $$\omega$$, g-e संक्रमण के साथ जुड़े प्रकाश की आवृत्ति है। अब मान लीजिए हम $$\omega_d$$ आवृत्ति पर एक चालन के साथ परमाणु को प्रकाशित करते हैं जो दो अवस्थाओं को जोड़ता है, और समय-निरपेक्ष संचालित हैमिल्टनियन कुछ जटिल चालन शक्ति Ω के लिए
 * $$H/\hbar=\omega |e\rangle\langle e| + \Omega\ e^{i\omega_d t}|g\rangle\langle e| + \Omega^*\ e^{-i\omega_d t}|e\rangle\langle g|$$

है। प्रतिस्पर्धी आवृत्ति पैमानों ($$\omega$$, $$\omega_d$$, और $$\Omega$$) के कारण, चालन के प्रभाव का अनुमान लगाना मुश्किल है (संचालित हार्मोनिक गति देखें)।

चालन के बिना, $$|e\rangle$$ का चरण $$|g\rangle$$ के सापेक्ष दोलन करेगा। ब्लॉख क्षेत्र में दो-अवस्था प्रणाली का प्रतिनिधित्व, यह z-अक्ष के चारों ओर घूर्णन से मेल खाता है। वैचारिक रूप से, हम ऐकिक रूपांतरण $$U=e^{i\omega t|e\rangle\langle e|}$$द्वारा परिभाषित घूर्णन संदर्भ फ्रेम में प्रवेश करके गतिशीलता के इस घटक को हटा सकते हैं। निर्देश के घूर्णन फ्रेम में प्रवेश करके हटा सकते है। इस रूपांतरण के अंतर्गत, हैमिल्टनियन


 * $$H/\hbar\to \Omega\, e^{i(\omega_d-\omega)t} |g\rangle \langle e|

+ \Omega^*\, e^{i(\omega-\omega_d)t} |e\rangle \langle g|$$ बन जाता है।

यदि चालक आवृत्ति g-e संक्रमण की आवृत्ति, $$\omega_d=\omega$$ के बराबर है, तो अनुनाद उत्पन्न होगा और फिर उपरोक्त समीकरण घटकर


 * $$\breve{H} / \hbar =

\Omega\ |g\rangle\langle e| + \Omega^*\ |e\rangle\langle g|$$ हो जाएगा।

इससे स्पष्ट हो जाता है, बिना विवरणों में जाए, गतिशीलता में आवृत्ति $$\Omega$$ पर स्थिर और उत्साहित अवस्थाओं के बीच एक दोलन सम्मिलित होगा।

एक अन्य सीमित स्थिति के रूप में, मान लीजिए कि चालन बाह्य-अनुनादी से दूर, $$|\omega_d-\omega|\gg 0$$ है। हम श्रोडिंगर समीकरण को सीधे हल किए बिना उस स्थिति में गतिशीलता का पता लगा सकते हैं। मान लीजिए कि प्रणाली स्थिर अवस्था $$|g\rangle$$ में शुरू होता है। प्रारंभ में, हैमिल्टनियन $$|e\rangle$$ के कुछ घटक का पालन करेगा। हालाँकि, थोड़े समय बाद, यह लगभग $$|e\rangle$$ की समान मात्रा में लेकिन पूरी तरह से अलग चरण का पालन करेगा। इस प्रकार एक बाह्य-अनुनादी चालन का प्रभाव खुद को स्थानांतरित करने की प्रवृत्ति दिखाएगा। इसे यह कहते हुए भी व्यक्त किया जा सकता है कि एक बाह्य-अनुनादी चालन परमाणु के फ्रेम में तेजी से घूर्णन कर रहा है।

इन अवधारणाओं को नीचे दी गई तालिका में प्रतिबिंबित किया गया है, जहां गोला बलोच क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है, तीर परमाणु की अवस्था का प्रतिनिधित्व करता है, और हाथ चालन का प्रतिनिधित्व करता है।

विस्थापित फ्रेम
उपरोक्त उदाहरण का विश्लेषण अन्योन्यक्रिया प्रतिबिम्ब में भी किया जा सकता था। हालाँकि, निम्नलिखित उदाहरण का ऐकिक रूपांतरणों के सामान्य सूत्रीकरण के बिना विश्लेषण करना अधिक कठिन है। दो सरल आवर्ती दोलकों पर विचार करें, जिनके बीच हम एक बीम स्प्लिटर अन्योन्यक्रिया का निर्माण करना चाहेंगे,


 * $$g\, ab^\dagger + g^*\, a^\dagger b$$ .

इसे $$a$$और $$b$$ के रूप में काम करने वाले दो सूक्ष्म गुहिका अनुनादकों  के साथ प्रयोगात्मक रूप से प्राप्त किया गया था। नीचे, हम इस प्रयोग के सरलीकृत संस्करण का विश्लेषण प्रस्तुत करते हैं।

सूक्ष्म-तरंग गुहिकाओं के अतिरिक्त, प्रयोग में एक ट्रांसमोन क्वबिट, $$c$$ भी सम्मिलित था, जो दोनों मोड से जुड़ा हुआ था। क्वबिट को दो आवृत्तियों $$\omega_1$$ और $$\omega_2$$ पर एक साथ संचालित किया जाता है, जिसके लिए $$\omega_1-\omega_2=\omega_a-\omega_b$$प्राप्त होता है।


 * $$H_\mathrm{drive}/\hbar=\Re\left[\epsilon_1e^{i\omega_1 t}+\epsilon_2 e^{i\omega_2 t}\right](c+c^\dagger).$$

इसके अतिरिक्त, मोड्स को युग्मित करने वाले कई चौथे-क्रम के पद हैं, लेकिन इनमें से अधिकांश को उपेक्षित किया जा सकता है। इस प्रयोग में, दो ऐसे पद हैं जो महत्वपूर्ण हो जायेंगे वे


 * $$H_4/\hbar=g_4\Big(e^{i(\omega_b-\omega_a)t}ab^\dagger + \text{h.c.}\Big)c^\dagger c$$ हैं।

(H.c., हर्मिटियन संयुग्मी के लिए आशुलिपि है।) हम एक विस्थापन रूपांतरण$$U=D(-\xi_1 e^{-i\omega_1 t}-\xi_2 e^{-i\omega_2 t})$$, से मोड $$c$$ लागू कर सकते हैं। सावधानीपूर्वक चुने गए आयामों के लिए, यह रूपांतरण $$c\to c+\xi_1 e^{-i\omega_1 t}+\xi_2 e^{-i\omega_2 t}$$को विस्थापित करते हुए $$H_\textrm{drive}$$ को निरसित कर देगा। इससे हमें

$$H/\hbar = g_4\Big(e^{i(\omega_b-\omega_a)t}ab^\dagger + e^{i(\omega_a-\omega_b)t}a^\dagger b\big)(c^\dagger +\xi_1^* e^{i\omega_1t}+\xi_2^* e^{i\omega_2 t})(c +\xi_1 e^{-i\omega_1t}+\xi_2 e^{-i\omega_2 t})$$इस अभिव्यक्ति का विस्तार करने और तेजी से घूर्णन वाले शब्दों को छोड़ने पर वांछित हैमिल्टनियन,


 * $$H/\hbar=g_4 \xi_1^*\xi_2 e^{i(\omega_b-\omega_a+\omega_1-\omega_2)t}\ ab^\dagger+\text{h.c.} = g\, ab^\dagger + g^*\, a^\dagger b$$
 * प्राप्त होता है।

बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ सूत्र से सम्बन्ध
ऐकिक रूपांतरणों में सम्मिलित संचालकों के लिए यह सामान्य है जिसे संचालकों के घातांक के रूप में लिखा जाना है, $$U = e^X$$, जैसा कि ऊपर देखा गया है। इसके अतिरिक्त, घातांकों में संचालक साधारणतः सम्बन्ध $$X^\dagger = -X$$ का पालन करते हैं, ताकि एक संचालक $$Y$$ का रूपांतरण $$UYU^\dagger = e^XYe^{-X}$$ हो। अब इटरेटर दिक् परिवर्तक


 * $$[(X)^n,Y] \equiv \underbrace{[X,\dotsb[X,[X}_{n \text { times }}, Y]] \dotsb],\quad [(X)^0,Y] \equiv Y,$$

को प्रस्तुत करके, हम इस रूपांतरण को संक्षिप्त रूप से, या, पूर्णता के लिए लंबे रूप में,


 * $$e^X Y e^{-X} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{[(X)^n,Y]}{n!},$$

या, पूर्णता के लिए लंबे रूप में,


 * $$e^{X}Y e^{-X} = Y+\left[X,Y\right]+\frac{1}{2!}[X,[X,Y]]+\frac{1}{3!}[X,[X,[X,Y]]]+\cdots.$$
 * के रूप में लिखने के लिए बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ सूत्र के एक विशेष परिणाम का उपयोग कर सकते हैं।