प्रारंभिक टोपोलॉजी

सामान्य संस्थिकीकी और संबंधित गणित के क्षेत्रों में, प्रारंभिक संस्थिति (या उत्प्रेरित संस्थिति  या कमजोर संस्थिति  या सीमांत संस्थिति  या प्रोजेक्टिव संस्थिति ) एक समुच्चय $$X$$ पर किसी समूह के साथ संबंधित फलनों के लिए, वह सबसे अल्पकारी सांस्थिति है जो उन फलनों को सतत बनाती है।

उपसमष्‍टि सांस्थिति और उत्पाद सांस्थिति निर्माण दोनों प्रारंभिक सांस्थिति की विशेष स्थितिया हैं। वास्तव में, प्रारंभिक सांस्थिति निर्माण को इनके एक साधारणीकरण के रूप में देखा जा सकता है।

द्विपक्षीय अवधारणा है कि अंतिम सांस्थिति, किसी दिए गए समुच्चय $$X$$ पर मान उत्पन्न करने वाले फलनों के लिए सबसे उपयुक्त सांस्थिति है।

परिभाषा
एक समुच्चय $$X$$ और एक अनुक्रमित वर्ग $$\left(Y_i\right)_{i \in I}$$ के सांस्थितिकीय समष्‍टि फलनों के साथ दिया गया होता हैं$$f_i : X \to Y_i,$$प्रारंभिक सांस्थिति $$\tau$$ एक समुच्चय $$X$$ पर सबसे कोरस्ट सांस्थिति होती है जिसमें प्रत्येक$$f_i : (X, \tau) \to Y_i$$सतत होती है।

विवृत्त समुच्चय के संदर्भ में परिभाषा

यदि प्रत्येक $$i \in I$$ के लिए एक सांस्थिति समूह है, जहाँ $$\sigma_i$$ $$Y_i$$ है तो इन सांस्थितियों की उपरी सीमा सबसे कम ऊच्च सांस्थिति होती है जो प्रत्येक $$X$$ पर, और  $$I$$-सूचकांक $$f_i^{-1}\left(\sigma_i\right)$$ (जहां $$i \in I$$) द्वारा उत्पन्न की गई सांस्थिति के बराबर होती है।

यदि प्रत्येक $$i \in I$$ के लिए $$\sigma_i$$ $$Y_i$$ पर सांस्थिति को दर्शाता है, तो एक सांस्थिति $$X$$ पर,है और $$I$$ है सूचकांक वर्ग  $$f_i^{-1}\left(\sigma_i\right)$$ (जहां $$i \in I$$) की सबसे कम ऊच्च सांस्थिति होती है।

व्याख्यात्मक रूप से, प्रारंभिक सांस्थिति वह संग्रह है जिसे सभी समूहों के द्वारा उत्पन्न किए गए विवृत्त समूहों का आवागमन रूप में प्राप्त किया जाता है, जहां सभी संग्रह  $$f_i^{-1}(U)$$ के रूप में होते हैं, यहाँ $$U$$ किसी $$i \in I$$ के लिए $$Y_i$$ में एक विवृत्त समुच्चय होता है,और यह सीमित संघटन और अनिश्चित संघटन के अंतर्गत निर्मित होता है।

यदि $$I$$ में केवल एक तत्व होता है, तो प्रारंभिक सांस्थिति $$(X, \tau)$$ के सभी खुले समूहों को प्रायः बेलनाकार समूह कहा जाता है

उदाहरण
कई सांस्थितिकीय निर्माणों को प्रारंभिक सांस्थिति के विशेष स्थितियों के रूप में माना जा सकता है।
 * उपसमष्‍टि सांस्थिति समावेशन आरेख के संबंध में उपसमष्‍टि पर प्रारंभिक सांस्थिति है।
 * उत्पाद सांस्थिति प्रक्षेपण आरेख के वर्ग के संबंध में प्रारंभिक सांस्थिति है।
 * रिक्त स्थान और निरंतर आरेखों की किसी भी व्युत्क्रम प्रणाली की व्युत्क्रम सीमा विहित आकारिकी द्वारा निर्धारित प्रारंभिक सांस्थिति के साथ समुच्चय -सैद्धांतिक व्युत्क्रम सीमा है।
 * स्थानीय रूप से उत्तल स्थान पर कमजोर सांस्थिति इसके दो प्रत्येक स्थान के निरंतर रैखिक रूपो के संबंध में प्रारंभिक सांस्थिति है।
 * एक निश्चित सेट $$X.$$ पर सांस्थितियों के एकसमूह  के संबंध में प्रारंभिक सांस्थिति $$X.$$ पर फलन  $$\operatorname{id}_i : X \to \left(X, \tau_i\right)$$ के साथ, सांस्थितियों $$\left\{\tau_i\right\}$$  का सांस्थिति के ग्रिड में सर्वोच्च (या युग्मन) है। अर्थात, प्रारंभिक सांस्थिति \tau वह सांस्थिति है जो सांस्थितियों के यूनियन से उत्पन्न होती है।
 * एक सांस्थितियों समष्टि पूरी तरह से नियमित है, और केवल तभी जब इसमें वास्तविक-मूल्यवान निरंतर कार्यों के अपने वर्ग के संबंध में प्रारंभिक सांस्थिति हो।
 * प्रत्येक सांस्थितियों समष्टि $$X$$ से निरंतर कार्यों के वर्ग के संबंध में प्रारंभिक सांस्थिति $$X$$ सिएरपिंस्की क्षेत्र के लिए है।

विशेष गुण
प्रारंभिक सांस्थिति $$X$$ पर निम्नलिखित विशिष्ट गुण द्वारा चित्रित किया जा सकता है: किसी स्थान $$Z$$ से  $$X$$ तक किसी फलन $$g$$ निरंतर है, तब और केवल तब जब प्रत्येक $$i \in I.$$ के लिए  $$f_i \circ g$$  निरंतर होता है।

ध्यान दें, यहाँ यह एक सामान्य गुणधर्म नहीं है, यहाँ एक श्रेणीय वर्णन दिया गया है।

यदि एक फ़िल्टर $$\mathcal{B}$$ एक बिन्दु $$x \in X$$ पर संगत होता है, तब और केवल तब जब प्रत्येक $$i \in I$$ के लिए संगत प्रीफ़िल्टर $$f_i(\mathcal{B})$$ $$f_i(x)$$ पर संगत होता है।

मूल्यांकन
उत्पाद सांस्थिति की सार्वभौमिक संपत्ति से, हम जानते हैं कि निरंतर आरेखों का कोई भी वर्ग  $$f_i : X \to Y_i$$ एक अद्वितीय सतत आरेख निर्धारित करता है $$\begin{alignat}{4} f :\;&& X &&\;\to   \;& \prod_i Y_i \\[0.3ex] && x &&\;\mapsto\;& \left(f_i(x)\right)_{i \in I} \\ \end{alignat}$$ इस आरेख को के नाम से जाना जाता है.

यदि एक आरेखों कासमूह $${f_i : X \to Y_i}$$ $$X$$ में बिंदुओं को अलग करता है तो सभी $$x \neq y$$ के लिए $$X$$ में कुछ ऐसा $$i$$ उपस्थित  होता है जिसके लिए $$f_i(x) \neq f_i(y)$$ होता है। बिंदुओं को अलग करने वाले समूह $${f_i}$$ बिंदुओं को अलग करता है यदि और केवल यदि संबंधित आरेख आरेखण $$f$$ प्रविष्टि है।

यदि आरेखण $$f$$ एक टोपोलॉजिक प्रतिष्ठान है, तो और केवल तब जब $$X$$ के लिए आरेखों $${f_i}$$ द्वारा निर्धारित प्रारंभिक संस्थिति होती है और यह आरेखसमूह बिंदुओं को अलग करता है।

हॉसडॉर्फनेस

यदि $$X$$ आरेखों द्वारा प्रेरित प्रारंभिक संस्थिति रखता है और प्रत्येक  $$Y_i$$ हौसडोरफ है, तो $$X$$ एक हौसडोरफ स्थान है यदि और केवल यदि ये आरेख बिंदुओं को अलग करते हैं।

प्रारंभिक सांस्थिति की परिवर्तनशीलता
यदि $$X$$ को $$I$$-सूचीकृत आरेखों $$\left\{f_i : X \to Y_i\right\}$$ द्वारा उत्पन्न प्रारंभिक संस्थिति है और प्रत्येक $$i \in I,$$ के लिए $$Y_i$$ पर संस्थिति किसी $$J_i$$- सूचीकृत आरेखों $$\left\{g_j : Y_i \to Z_j\right\}$$ द्वारा उत्पन्न प्रारंभिक संस्थिति है (जब $$j$$, $$J_i$$ पर चलता है), तो $$X$$ पर $$\left\{f_i : X \to Y_i\right\}$$ द्वारा उत्पन्न प्रारंभिक संस्थिति, $$I$$ पर चलते हुए $$J_i$$-सूचीकृत आरेखों $$\left\{g_j \circ f_i : X \to Z_j\right\}$$ द्वारा उत्पन्न $${\textstyle \bigcup\limits_{i \in I} J_i}$$-सूचीकृत आरेखों द्वारा उत्पन्न प्रारंभिक संस्थिति के बराबर होती है, जब $$i$$ $$I$$ पर चलता है और $$j$$ $$J_i$$ पर चलता है।

विशेष रूप से, यदि $$S \subseteq X$$ है, तो उप-स्थान संस्थिति जो $$S$$ से प्राप्त करता है, वह प्रारंभिक संस्थिति के बराबर होती है जो सम्मिलन आरेख $$X$$ द्वारा प्रेरित होती है जिसे  $$s \mapsto s$$).के द्वारा परिभाषित किया जाता है। इस प्रकार, यदि $$S \to X$$ पर, $$\left\{f_i : X \to Y_i\right\}$$ द्वारा प्रेरित प्रारंभिक संस्थिति  है, तो उप-स्थान संस्थिति जो $$S$$ से प्राप्त करता है, वह वही प्रारंभिक संस्थिति  होती है जो $$X$$ के द्वारा प्रेरित होती है यहां $$S$$ संकीर्णन  $$\left\{\left.f_i\right|_S : S \to Y_i\right\}$$  द्वारा $$f_i$$ प्रतिबंध $$S.$$पर है।

उत्पाद सांस्थिति $$\prod_i Y_i$$ पर बराबर है वह प्रारंभिक संस्थिति है जिसे विहित प्रक्षेपण $$\operatorname{pr}_i : \left(x_k\right)_{k \in I} \mapsto x_i$$ के बराबर है जैसा $$i$$ द्वारा प्रेरित किया जाता है, जहां $$I.$$ऊर्जा के रूप में विस्तृत किया जाता है।

इस प्रकार,$$\left\{f_i : X \to Y_i\right\}$$ द्वारा प्रेरित $$X$$ पर प्रारंभिक सांस्थिति उत्पाद सांस्थिति के उपस्थिति के बराबर होती है जो मूल्यांकन आरेख $$\prod_i Y_i$$ द्वारा प्रेरित $$X$$ के उपस्थिति योग्य उप-स्थान $f : X \to \prod_i Y_i\,.$ पर होती है।

इसके अतिरिक्त, यदि आरेख $$\left\{f_i\right\}_{i \in I}$$ अलग-अलग बिंदु $$X$$पर अलग-अलग बिंदुओं को अलग करते हैं, तो मूल्यांकन आरेख प्रोडक्ट स्थान $$\prod_i Y_i.$$ के उपस्थिति समानान्तर आरेख होता है, जो   $$f(X)$$ की सबस्थानिकता होती है।

संवृत्त समुच्चयो से बिंदुओं को अलग करना
यदि कोई स्थान $$X$$ में एक सांस्थिति से लगी होती है, तो यह उपयोगी होता है कि क्या $$X$$ पर की गई सांस्थिति किसी आरेखित समूह के द्वारा उत्पन्नित प्रारंभिक सांस्थिति है या नहीं। इस खंड में एक पर्याप्त शर्त दी गई है।

एक आरेखित समूह $$\left\{f_i : X \to Y_i\right\}$$ यदि स्थान $$X$$ में से संवृत्त समुच्चयो को बिंदुओं से अलग करती है, तो इसका अर्थ है कि सभी संवृत्त समुच्चय $$X$$ यदि सभी संवृत्त समुच्चय $$A$$ के लिए और सभी $$x \not\in A,$$ के लिए $$X$$ नहीं $$A$$ मे है किसी ऐसे $$i$$ उपस्थित होता है जिसके लिए निम्न शर्ते पूरी होती है।$$f_i(x) \notin \operatorname{cl}(f_i(A))$$ यहाँ $$\operatorname{cl}$$ (आवरण ऑपरेटर) को संकेत करता है।


 * सिद्धांत: एक समूह के निरंतर आरेखों $$\left\{f_i : X \to Y_i\right\}$$ बिंदुओं को संवृत्त समुच्चय से अलग करता है यदि और केवल यदि बेलन समुच्चय $$f_i^{-1}(V),$$ के लिए $$V$$ विवृत हो, $$Y_i,$$ सांस्थिति पर एक आधार रूप लेते हैं।
 * इससे यह परिणाम होता है कि जबकि सभी समूहों $$\left\{f_i\right\}$$ संवृत्त समुच्चयों से बिंदुओं को अलग करते है,तब स्थान $$X$$मे प्रारंभिक सांस्थिति $$\left\{f_i\right\}.$$ द्वारा उत्पन्न होती है। संवाद में विपरीत विफल हो जाता है, क्योंकि सामान्यतः बेलन समुच्चय प्रारंभिक सांस्थिति के लिए केवल एक उपआधार बनाएंगे।

यदि स्थान $$X$$ एक  T0 स्पेस है, तो किसी भी आरेखित  $$\left\{f_i\right\}$$ जो $$X$$ में बिंदुओं को संवृत्त समुच्चय से अलग करता है, वह बिंदुओं को भी अलग करेगा। इस स्थिति में, मूल्यांकन आरेख एक संपुटन होगी।

प्रारंभिक समरूप संरचना
यदि $$\left(\mathcal{U}i\right){i \in I}$$ एकसमूह है जो $$I \neq \varnothing$$ के संकेतांकित किए गए $$X$$ पर समरूप संरचना है, तो $$\left(\mathcal{U}i\right){i \in I}$$ की  वह सबसे आठ समरूप संरचना है जो प्रत्येक $$\mathcal{U}i$$ से पूर्णतः अधिक महत्त्वपूर्ण (finer) है। यह समरूप संरचना हमेशा उपलब्ध होती है और यह $$X \times X$$ पर उत्पन्न फ़िल्टर उपाधार $${\textstyle \bigcup\limits{i \in I} \mathcal{U}_i}$$ द्वारा उत्पन्न फ़िल्टर के बराबर होती है।

यदि $$\tau_i$$ वह संस्थिकी है जो समरूप संरचना $$\mathcal{U}i$$ द्वारा $$X$$ पर उत्पन्न होती है, तो सबसे ऊचा समरूप संरचना के साथ संबंधित $$X$$ पर संस्थिकी, $$\left(\tau_i\right){i \in I}$$ की सबसे ऊची संस्थिकी के बराबर होती है। इसके अलावा, यदि $$\tau_i$$ $$\mathcal{U}i$$ द्वारा उत्पन्न संस्थिकी है, तो सबसे ऊपरी सीमा समरूप संरचना के साथ संबंधित $$X$$ पर संस्थिकी $$\left(\tau_i\right){i \in I}$$ सबसे ऊपरी सीमा संस्थिकी के समान होती है। सांस्थिति चालू है $$X$$ प्रेरक $$\mathcal{U}$$ सबसे मोटे सांस्थिति पर है $$X$$ ऐसा कि प्रत्येक  $$f_i : X \to Y_i$$ सतत है. प्रारंभिक समरूप संरचना $$\mathcal{U}$$ यह भी सबसे मोटे समान संरचना के बराबर है जैसे कि पहचान आरेखण $$\operatorname{id} : \left(X, \mathcal{U}\right) \to \left(X, f_i^{-1}\left(\mathcal{U}_i\right)\right)$$ समान रूप से निरंतर हैं.

अब सोचें कि एक आरेख कासमूह  है और हर $$i \in I$$ के लिए, $$\mathcal{U}_i$$ एक $$Y_i$$ पर समरूप संरचना है। तब $$Y_i$$ के लिए $$f_i$$ द्वारा ऐसी एकमात्र सबसे आठ समरूप संरचना $$\mathcal{U}$$ होती है जो सभी $$f_i : \left(X, \mathcal{U}\right) \to \left(Y_i, \mathcal{U}_i\right)$$ को समरूप सतत बनाती है। $$$$ इसके बराबर होती है संख्यात्मक सेट $$I$$ के साथ उत्पन्न समरूप संरचनाओं के $$f_i^{-1}\left(\mathcal{U}_i\right)$$ (यहाँ $$i \in I$$ है) द्वारा समरूप सतत बनाने वाली सबसे ऊची सीमा समरूप संरचना के बराबर होती है।

$$\mathcal{U}$$ द्वारा प्रेरित $$X$$ पर संस्थिकी, हर $$f_i : X \to Y_i$$ को सत्यापित करने वाली सबसे लचीली संस्थिकी होती है।

$$X$$ पर $$\mathcal{U}$$ द्वारा उत्पन्न संस्थिकी सभी $$f_i : X \to Y_i$$ को निरंतर बनाने वाली सबसे आठ संस्थिकी होती है।

इसके अलावा, प्रारंभिक समरूप संरचना $$\mathcal{U}$$ भी ऐसी सबसे आठ समरूप संरचना के बराबर होती है जिससे व्यक्तित्व चित्रण $$\operatorname{id} : \left(X, \mathcal{U}\right) \to \left(X, f_i^{-1}\left(\mathcal{U}_i\right)\right)$$ संघटित होता है।

हॉसडॉर्फनेस: प्रारंभिक समरूप संरचना $$\mathcal{U}$$ द्वारा प्रेरित $$X$$ पर संस्थिकी हौसदोर्फ़ होती है यदि और केवल यदि हर बार $$x, y \in X$$ अलग होते हैं ($$x \neq y$$), तब किसी भी $$i \in I$$ और किसी भी $$Y_i$$ की आस-पास की देखभाल $$V_i \in \mathcal{U}_i$$ ऐसा होता है कि $$\left(f_i(x), f_i(y)\right) \not\in V_i$$।

इसके अतिरिक्त, हर सूचकांक $$i \in I$$ के लिए $$\mathcal{U}_i$$ द्वारा प्रेरित $$Y_i$$ पर संस्थिकी हौसदोर्फ़ होती है तो प्रारंभिक समरूप संरचना $$\mathcal{U}$$ द्वारा प्रेरित $$X$$ पर संस्थिकी हौसदोर्फ़ होती है यदि और केवल यदि आरेखण ने विभक्त बिंदुओं को $$X$$ पर विभक्त किया हो (या समतुल्यता से, यदि और केवल यदि मूल्यांकन आरेख $f : X \to \prod_i Y_i$  निष्पादन सूचकांक हो)।

समरूप सततता: यदि $$\mathcal{U}$$ प्रारंभिक समरूप संरचना है जिसे आरेखण ने उत्पन्न किया है, तो किसी भी समरूप स्थान $$Z$$ से $$(X, \mathcal{U})$$ में एक फ़ंक्शन $$g$$ समरूप सतत होता है यदि और केवल यदि प्रत्येक $$i \in I$$ के लिए $$f_i \circ g : Z \to Y_i$$ समरूप सतत होता है।

कोशी फ़िल्टर: $$X$$ पर एक फ़िल्टर $$\mathcal{B}$$ $$(X, \mathcal{U})$$ पर एक कोशी फ़िल्टर होता है यदि और केवल यदि हर $$i \in I$$ के लिए $$f_i\left(\mathcal{B}\right)$$ एक कोशी पूर्व-फ़िल्टर होता है।

प्रारंभिक समरूप संरचना की अटिशयता: यदि ऊपर दिए गए "प्रारंभिक संस्थिकी की अटिशयता" कथन में "संस्थिकी" शब्द को "समरूप संरचना" से बदला जाए, तो प्राप्त होने वाला कथन भी सत्य होगा।

श्रेणीबद्ध विवरण
श्रेणी सिद्धांत की भाषा में, प्रारंभिक संस्थिति निर्माण को निम्नलिखित रूप में वर्णित किया जा सकता है। $$Y$$ को असतत संख्या $$J$$ से संस्थानिक समष्टियों के श्रेणी $$\mathrm{Top}$$ में फलन के रूप में वर्णित किया जाता है, जो $$j\mapsto Y_j$$ को मान देता है। $$U$$ को $$\mathrm{Top}$$ से $$\mathrm{Set}$$ के लिए सामान्य विस्मरणशील फलन कहा जाता है। यह आरेखण $$f_j : X \to Y_j$$ को $$X$$ से $$UY$$ तक के लिए एक शंकु के रूप में सोचा जा सकता है। अर्थात, $$(X,f)$$ $$\mathrm{Cone}(UY) := (\Delta\downarrow{UY})$$ के शंकु-तत्त्वों में एक वस्तु है। और अधिक निश्चित रूप से, यह शंकु $$(X,f)$$ $$\mathrm{Set}$$ में एक $$U$$-आरेख पर परिभाषित करता है।

विस्मरणशील फलन $$U : \mathrm{Top} \to \mathrm{Set}$$ एक फलन $$\bar{U} : \mathrm{Cone}(Y) \to \mathrm{Cone}(UY)$$ को प्रेरित करता है। प्रारंभिक संस्थिति की विशेषता गुण प्रत्येक $$\bar{U}$$ से $$(X,f)$$ तक एक सर्वप्रथम संरेख का उपस्थित होने के समकक्ष होने के साथ समान है; अर्थात, एक वर्ग $$\left(\bar{U}\downarrow(X,f)\right)$$ में एक आवधिक वस्तु स्पष्ट रूप से, इसमें $$\mathrm{Cone}(Y)$$ में एक वस्तु $$I(X,f)$$ और आकारिता$$\varepsilon : \bar{U} I(X,f) \to (X,f)$$ का होना सम्मिलित है, जिसमें प्रत्येक वस्तु $$(Z,g)$$ के लिए $$\varphi : \bar{U}(Z,g) \to (X,f)$$ एक अद्वितीय आकारिता$$\zeta : (Z,g) \to I(X,f)$$ उपस्थित है जिसके लिए निम्नलिखित यानचित्र संगठन होता है: $$(X,f) \mapsto I(X,f)$$ को $$X$$ पर प्रारंभिक संस्थिति निर्मित करने वाले संकेतक के रूप में एक फलन के रूप में विस्तारित किया जा सकता है:$$I : \mathrm{Cone}(UY) \to \mathrm{Cone}(Y)$$ जो $$\bar{U}$$ के सहायक के रूप में है। वास्तव में, $$I$$ $$\bar{U}$$ का एक दक्षिण प्रतिगामी फलन है; क्योंकि $$\bar{U}I$$ $$\mathrm{Cone}(UY)$$ निम्नलिखित आरेख आवागमन करता है:

यह भी देखें
. उत्पाद  संस्थिति
 * अंतिम संस्थिति
 * भागफल स्थान ( संस्थिति)
 * उपस्थान संस्थिति