यौगिक पॉइसन वितरण

संभाव्यता सिद्धांत में, जहाँ यौगिक पॉइसन वितरण अनेक स्वतंत्र समान रूप से वितरित यादृच्छिक वेरिएबल के योग का संभाव्यता वितरण है, जहां जोड़े जाने वाले शब्दों की संख्या स्वयं पॉइसन-वितरित वेरिएबल है| परिणाम या तब सतत वितरण या असतत वितरण हो सकता है।

परिभाषा
लगता है कि


 * $$N\sim\operatorname{Poisson}(\lambda),$$

अर्थात, N यादृच्छिक वेरिएबल है जिसका वितरण अपेक्षित मूल्य λ के साथ पॉइसन वितरण है, और वह


 * $$X_1, X_2, X_3, \dots$$

यह समान रूप से वितरित यादृच्छिक वेरिएबल हैं जो परस्पर स्वतंत्र हैं और N से भी यह स्वतंत्र हैं। फिर योग की संभाव्यता वितरण $$N$$ आई.आई.डी. यादृच्छिक चर


 * $$Y = \sum_{n=1}^N X_n$$

एक यौगिक पॉइसन वितरण है।

इस प्रकार की स्थितियों में N = 0 है तब यह 0 पदों का योग है इसलिए Y का मान 0 है। तथा इसलिए Y का सशर्त वितरण, यह देखते हुए कि N = 0 पतित वितरण है।

यौगिक पॉइसन वितरण N पर (Y,N) के संयुक्त वितरण को हाशिए पर रखकर प्राप्त किया जाता है, और इसीलिए यह संयुक्त वितरण सशर्त वितरण Y को संयोजित करके प्राप्त किया जा सकता है। N के सीमांत वितरण के साथ N।

गुण
अपेक्षित मूल्य और यौगिक वितरण का विचरण कुल अपेक्षा के नियम और कुल विचरण के नियम से सरल तरीके से प्राप्त किया जा सकता है। इस प्रकार


 * $$\operatorname{E}(Y)= \operatorname{E}\left[\operatorname{E}(Y \mid N)\right]= \operatorname{E}\left[N \operatorname{E}(X)\right]= \operatorname{E}(N) \operatorname{E}(X) ,$$

\begin{align} \operatorname{Var}(Y) & = \operatorname{E}\left[\operatorname{Var}(Y\mid N)\right] + \operatorname{Var}\left[\operatorname{E}(Y \mid N)\right] =\operatorname{E} \left[N\operatorname{Var}(X)\right] + \operatorname{Var}\left[N\operatorname{E}(X)\right], \\[6pt] & = \operatorname{E}(N)\operatorname{Var}(X) + \left(\operatorname{E}(X) \right)^2 \operatorname{Var}(N). \end{align} $$ फिर, चूंकि E(N)=Var(N) यदि N पॉइसन-वितरित है, तब इन सूत्रों को कम किया जा सकता है


 * $$\operatorname{E}(Y)= \operatorname{E}(N)\operatorname{E}(X) ,$$
 * $$\operatorname{Var}(Y) = \operatorname{E}(N)(\operatorname{Var}(X) + (\operatorname{E}(X))^2)= \operatorname{E}(N){\operatorname{E}(X^2)}.$$

जहाँ Y का संभाव्यता वितरण विशेषता फलन (संभावना सिद्धांत) के संदर्भ में निर्धारित किया जा सकता है:


 * $$\varphi_Y(t) = \operatorname{E}(e^{itY})= \operatorname{E} \left( \left(\operatorname{E} (e^{itX}\mid N) \right)^N \right)= \operatorname{E} \left((\varphi_X(t))^N\right), \,$$

और इसलिए, पॉइसन वितरण के संभाव्यता-उत्पादक फलन का उपयोग करके, हमारे पास है
 * $$\varphi_Y(t) = \textrm{e}^{\lambda(\varphi_X(t) - 1)}.\,$$

एक वैकल्पिक दृष्टिकोण संचयी उत्पादन कार्यों के माध्यम से है:
 * $$K_Y(t)=\ln \operatorname{E}[e^{tY}]=\ln \operatorname E[\operatorname E[e^{tY}\mid N]]=\ln \operatorname E[e^{NK_X(t)}]=K_N(K_X(t)) . \,$$

कुल संचयन के नियम के माध्यम से यह दिखाया जा सकता है कि, यदि पॉइसन वितरण का माध्य λ = 1 है, तब Y का संचयक X1 के क्षण (गणित) के समान है.

इस प्रकार यह दिखाया जा सकता है कि प्रत्येक अनंत विभाज्यता (संभावना) संभाव्यता वितरण यौगिक पॉइसन वितरण की सीमा है। और यौगिक पॉइसन वितरण परिभाषा के अनुसार अनंत विभाज्यता (संभावना) है।

असतत यौगिक पॉइसन वितरण
जब $$X_1, X_2, X_3, \dots$$ है $$P(X_1 = k) = \alpha_k,\ (k =1,2, \ldots )$$ सकारात्मक पूर्णांक-मूल्यवान आई.आई.डी. यादृच्छिक वेरिएबल हैं, तब इस यौगिक पॉइसन वितरण को असतत यौगिक पॉइसन वितरण का नाम दिया गया है  (या हकलाना-पॉइसन वितरण ). हम कहते हैं कि असतत यादृच्छिक वेरिएबल $$Y$$ संतोषजनक संभाव्यता उत्पन्न करने वाले फलन लक्षण वर्णन के लिए उपयोग किया जाता है


 * $$ P_Y(z) = \sum\limits_{i = 0}^\infty P(Y = i)z^i = \exp\left(\sum\limits_{k = 1}^\infty  \alpha_k \lambda (z^k - 1)\right), \quad (|z| \le 1)$$

इसमें मापदंडों $$(\alpha_1 \lambda,\alpha_2 \lambda, \ldots ) \in \mathbb{R}^\infty$$ ( जहाँ $\sum_{i = 1}^\infty \alpha_i = 1$, साथ $\alpha_i \ge 0,\lambda > 0$ ) के साथ अलग यौगिक पॉइसन (डीसीपी) वितरण है, जिसे द्वारा दर्शाया जाता है


 * $$X \sim {\text{DCP}}(\lambda {\alpha _1},\lambda {\alpha _2}, \ldots )$$

इसके अतिरिक्त, यदि $$X \sim {\operatorname{DCP}}(\lambda {\alpha _1}, \ldots ,\lambda {\alpha _r})$$ होगा तब हम कहते हैं $$X$$ क्रम का असतत $$r$$ यौगिक पॉइसन वितरण है जब $$r = 1,2$$, डीसीपी क्रमशः पॉइसन वितरण और हर्माइट वितरण बन जाता है। जब $$r = 3,4$$, तो डीसीपी क्रमशः ट्रिपल हकलाना-पॉइसन वितरण और चौगुनी स्तुत्तेरिंग-पॉइसन वितरण बन जाता है। जो कि अन्य विशेष स्थितियों में सम्मिलित हैं: तथा शिफ्ट ज्यामितीय वितरण, ऋणात्मक द्विपद वितरण, ज्यामितीय पॉइसन वितरण, नेमैन प्रकार A वितरण, लूरिया-डेलब्रुक प्रयोग में उपयोग किया जाता है लूरिया-डेलब्रुक वितरण को दर्शाने के लिए । डीसीपी के अधिक विशेष स्थितियों के लिए, समीक्षा पेपर देखें और उसमें संदर्भ भी देंखे।

कंपाउंड पॉइसन वितरण के फेलर के लक्षण वर्णन में कहा गया है कि गैर-ऋणात्मक पूर्णांक मूल्य आर.वी. $$X$$ अनंत विभाज्यता (संभावना) है यदि और केवल यदि इसका वितरण असतत यौगिक पॉइसन वितरण है। यह दिखाया जा सकता है कि ऋणात्मक द्विपद वितरण असतत अनंत विभाज्यता (संभावना) है, अर्थात, यदि X का ऋणात्मक द्विपद वितरण है, तब किसी भी सकारात्मक पूर्णांक  के लिए, असतत i.i.d उपस्थितहै। यादृच्छिक वेरिएबल X1, ..., Xn जिसके योग का वितरण वही है जो X का है। शिफ्ट ज्यामितीय वितरण असतत यौगिक पॉइसन वितरण है क्योंकि यह ऋणात्मक द्विपद वितरण का तुच्छ स्तिथियाँ है।

यह वितरण बैच आगमन को मॉडल कर सकता है (जैसे कि थोक कतार में)। ). कुल प्रमाण राशि के वितरण के मॉडलिंग के लिए बीमांकिक विज्ञान में असतत यौगिक पॉइसन वितरण का भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

जब कुछ $$\alpha_k$$ ऋणात्मक हैं, तब यह असतत छद्म यौगिक पॉइसन वितरण है। हम परिभाषित करते हैं कि कोई भी असतत यादृच्छिक वेरिएबल $$Y$$ संतोषजनक संभाव्यता उत्पन्न करने वाले फलन लक्षण वर्णन का उपयोग किया जाता है


 * $$ G_Y(z) = \sum\limits_{i = 0}^\infty P(Y = i)z^i = \exp\left(\sum\limits_{k = 1}^\infty  \alpha_k \lambda (z^k - 1)\right), \quad (|z| \le 1)$$

मापदंडों के साथ असतत छद्म यौगिक पॉइसन वितरण है $$(\lambda_1 ,\lambda_2, \ldots )=:(\alpha_1 \lambda,\alpha_2 \lambda, \ldots ) \in \mathbb{R}^\infty$$ जहाँ $\sum_{i = 1}^\infty {\alpha_i} = 1$  और $\sum_{i = 1}^\infty  {\left|  \right|} < \infty$, साथ $${\alpha_i} \in \mathbb{R},\lambda  > 0 $$.

यौगिक पॉइसन गामा वितरण
यदि X में गामा वितरण है, जिसमें घातीय वितरण विशेष स्तिथियाँ है, तब Y का सशर्त वितरण है | N पुनः गामा वितरण है। Y के सीमांत वितरण को ट्वीडी वितरण विचरण शक्ति 1< p < 2 के साथ (विशेषता फलन की तुलना के माध्यम से प्रमाण (संभावना सिद्धांत))। अधिक स्पष्ट होने के लिए, यदि


 * $$ N \sim\operatorname{Poisson}(\lambda) ,$$

और


 * $$ X_i \sim \operatorname{\Gamma}(\alpha, \beta) $$

आई.आई.डी., फिर का वितरण


 * $$ Y = \sum_{i=1}^N X_i $$

एक प्रजनन घातीय फैलाव मॉडल है $$ED(\mu, \sigma^2)$$ साथ



\begin{align} \operatorname{E}[Y] & = \lambda \frac{\alpha}{\beta} =: \mu, \\[4pt] \operatorname{Var}[Y]& = \lambda \frac{\alpha(1+\alpha)}{\beta^2}=: \sigma^2 \mu^p. \end{align} $$ पॉइसन और गामा पैरामीटर $$\lambda, \alpha, \beta$$ पॉइसन और पैरामीटर्स की ट्वीडी $$\mu, \sigma^2, p$$ मैपिंग निम्नलखित में से है :



\begin{align} \lambda &= \frac{\mu^{2-p}}{(2-p)\sigma^2} , \\[4pt] \alpha &= \frac{2-p}{p-1} , \\[4pt] \beta &= \frac{\mu^{1-p}}{(p-1)\sigma^2}. \end{align} $$

यौगिक पॉइसन प्रक्रियाएँ
दर के साथ यौगिक पॉइसन प्रक्रिया $$\lambda>0$$ और जंप आकार वितरण जी सतत समय स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है $$\{\,Y(t) : t \geq 0 \,\}$$ द्वारा दिए गए


 * $$Y(t) = \sum_{i=1}^{N(t)} D_i,$$

जहां परिपाटी के अनुसार योग शून्य के सामान्तर होता है जब तक कि N(t)= 0. जहाँ, $$ \{\,N(t) : t \geq 0\,\}$$ दर के साथ पॉइसन प्रक्रिया है $$\lambda$$, और $$ \{\,D_i : i \geq 1\,\}$$ वितरण फलन G के साथ स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक वेरिएबल हैं, जो $$ \{\,N(t) : t \geq 0\,\}.\,$$से भी स्वतंत्र हैं

यौगिक पॉइसन प्रक्रिया के असतत संस्करण के लिए, इसका उपयोग अशक्त मॉडल के लिए अस्तित्व विश्लेषण में किया जा सकता है।

अनुप्रयोग
एक यौगिक पॉइसन वितरण, जिसमें सारांश में घातीय वितरण होता है, का उपयोग रेवफेम द्वारा दिन में कुल वर्षा के वितरण को मॉडल करने के लिए किया गया था, जहां प्रत्येक दिन में पॉइसन-वितरित घटनाओं की संख्या होती है, जिनमें से प्रत्येक वर्षा की मात्रा प्रदान करती है। घातांकीय वितरण है। थॉम्पसन ने मासिक कुल वर्षा के लिए वही मॉडल प्रयुक्त किया।

बीमा के लिए आवेदन आए हैं और सीटी स्कैन| तथा एक्स-रे के लिए कंप्यूटेड टोमोग्राफी का उपयोग किया जाता है ।

यह भी देखें

 * यौगिक पॉइसन प्रक्रिया
 * हर्मिट वितरण
 * ऋणात्मक द्विपद वितरण
 * ज्यामितीय वितरण
 * ज्यामितीय पॉइसन वितरण
 * गामा वितरण
 * पॉसों वितरण
 * शून्य-इन्फ्लातेद मॉडल