बहुस्तरीय मोंटे कार्लो विधि

संख्यात्मक विश्लेषण में बहुस्तरीय मोंटे कार्लो (एमएलएमसी) विधियाँ संयोजनात्मक अनुरूपण में उत्पन्न होने वाले अपेक्षित मूल्यों की गणना के लिए एक कलन विधि हैं। मोंटे कार्लो विधियों की तरह, बहुस्तरीय मोंटे कार्लो विधियाँ भी दोहरे प्रक्रिया आधारित यादृच्छिक प्रतिरूप चयन पर आधारित होती हैं, परंतु इन प्रतिरूपो को विभिन्न सत्यता स्तरों पर लिया जाता है। एमएलएमसी विधियाँ मुख्य रूप से मानक मोंटे कार्लो विधियों की गणना के गणितीय लागत को अत्यधिक कम कर सकती हैं, क्योंकि इसमें अधिकांश प्रतिरूपो को कम सत्यता और उसके संबंधित कम लागत के साथ लिया जाता है, और मात्र बहुत कम संख्या में प्रतिरूपो को उच्च सत्यता और उसके संबंधित उच्च लागत के साथ लिया जाता है।

लक्ष्य
बहुस्तरीय मोंटे कार्लो विधि का उद्देश्य एक प्रसंभाव्य अनुरूपण के आउटपुट होने वाले यादृच्छिक परिवर्तन $$G$$ की अपेक्षित मान $$\operatorname{E}[G]$$ का अनुमान लगाना है। यदि यह यादृच्छिक परिवर्तन सटीकता से अनुकारित नहीं किया जा सकता है, तब यहां एक अनुक्रमणिका$$G_0, G_1, \ldots, G_L$$ होती है $$G_0, G_1, \ldots, G_L$$ जो सुधारती सटीकता के साथ बढ़ती है, परंतु उसके साथ लागत भी बढ़ती है, जैसा कि $$G$$ और $$L\rightarrow\infty$$अभिसरण करता है बहुस्तरीय विधि का आधार दूरबीन योग समीकरण होता है।,

$ \operatorname{E}[G_{L}] = \operatorname{E}[G_{0}] + \sum_{\ell=1}^L \operatorname{E}[G_\ell - G_{\ell-1}],$

यह अपेक्षा ऑपरेटर की रैखिकता के कारण आसानी से पूरा किया जा सकता है। इसके बाद हर अपेक्षा $$\operatorname{E}[G_\ell - G_{\ell-1}]$$ को मोंटे कार्लो विधि के द्वारा अनुमानित किया जाता है, जिससे बहुस्तरीय मोंटे कार्लो विधि प्राप्त होती है। ध्यान दें कि स्तर $$\ell$$ के $$G_\ell - G_{\ell-1}$$ का एक प्रतिरूप लेना  $$G_{\ell}$$ और $$G_{\ell-1}$$ दोनों अनुरूपण की आवश्यकता होती है।

एमएलएमसी विधि केवल तभी काम करती है जब प्रसरण $$\operatorname{V}[G_\ell - G_{\ell-1}]\rightarrow0$$ के रूप में होती है तब $$\ell\rightarrow\infty$$, हो सकती है यदि दोनों $$G_{\ell}$$ और $$G_{\ell-1}$$ एक ही यादृच्छिक परिवर्तन $$G$$.को अनुमानित करते हैं। केंद्रीय सीमा सिद्धांत के अनुसार, यह इसका अर्थ है कि जैसे ही $$G_\ell - G_{\ell-1}$$ होता है, अंतर  $$\ell\rightarrow\infty$$.की अपेक्षा को सटीकता से अनुमानित करने के लिए कम से कम प्रतिरूपों की आवश्यकता होती है।

इसलिए, अधिकांश प्रतिरूप स्तर $$0$$, पर लिए जाएंगे, जहां प्रतिरूप सस्ते होते हैं, और केवल बहुत कम प्रतिरूप सबसे छोटे स्तर $$L$$. पर आवश्यक होंगे। इस अर्थ में, एमएलएमसी को एक पुनरावर्ती नियंत्रण भिन्न रणनीति के रूप में माना जा सकता है।

अनुप्रयोग
एमएलएमसी के पहले आवेदन का श्रेय माइक जाइल्स को दिया जाता है, मोंटे कार्लो विकल्प प्रारूप के लिए प्रसंभाव्य अंतर समीकरण के संदर्भ में, यद्यपि, पैरामीट्रिक एकीकरण के संदर्भ में हेनरिक के काम में पहले के निशान मिलते हैं।

यहाँ, यादृच्छिक परिवर्तन $$G=f(X(T))$$ प्रतिफल फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है, और अनुमानों की श्रृंखला $$G_\ell$$, $$\ell=0,\ldots,L$$ समय सोपान $$X(t)$$ के साथ प्रतिरूपों के पथ $$h_\ell=2^{-\ell}T$$.के एक अनुमान का उपयोग करती है।

अनिश्चितता मापन में समस्याओं के लिए एमएलएमसी का अनुप्रयोग एक सक्रिय अनुसंधान क्षेत्र है। इन समस्याओं का एक महत्वपूर्ण प्रोटोटाइपिकल उदाहरण पीडीई होते हैं। इस संदर्भ में, यादृच्छिक चर $$G$$ ये दर्शाता है कि रुचि की मात्रा, और अनुमानों की श्रृंखला पीडीई के ग्रिड आकारों के साथ एक अनुक्रमण को संबंधित करती है।

एमएलएमसी अनुकरण के लिए एक कलन-विधि
एमएलएमसी अनुरूपण के लिए एक सरल स्तर-अनुकूली कलन-विधि छद्म कोड में नीचे दिया गया है। repeat Take warm-up samples at level Compute the sample variance on all levels Define the optimal number of samples on all levels Take additional samples on each level according to      if  then Test for convergence end if not converged then end until converged

एमएलएमसी का विस्तार
बहुस्तरीय मोंटे कार्लो पद्धति के हाल के विस्तार में बहु सूचकांक मोंटे कार्लो सम्मिलित हैं, जहां शोधन की एक से अधिक दिशाओं पर विचार किया जाता है, क्वासी-मोंटे कार्लो विधि को संगणना के साथ संयोजित किया जाता है।

यह भी देखें

 * मोंटे कार्लो विधि
 * वित्त में मोंटे कार्लो के तरीके
 * वित्त में क्वासी-मोंटे कार्लो पद्धति
 * अनिश्चितता मात्रा का ठहराव
 * स्टोकेस्टिक आंशिक अंतर समीकरण