गेज सहसंयोजक व्युत्पत्ति

भौतिकी में गेज सहसंयोजक व्युत्पत्ति यह व्यक्त करने का साधन है कि भौतिकी एक स्थान से दूसरे स्थान पर कैसे बदलती हैI यह थ्योरी व्यक्त करती है कि कैसे भौतिक घटना का वर्णन करने के लिए उपयोग की जाने वाली समन्वय प्रणाली एक स्थान से दूसरे स्थान पर परिवर्तित हो सकती हैI गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न का उपयोग भौतिकी के कई क्षेत्रों में किया जाता है जिसमें क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और द्रव गतिकी सम्मिलित है।

यदि भौतिक सिद्धांत स्थानीय वृत्ति से स्वतंत्र है तो स्थानीय वृत्ति परिवर्तन का समूह गेज परिवर्तन सिद्धांत की भौतिक सामग्री को अपरिवर्तित छोड़ते हुए सिद्धांत में क्षेत्रों पर कार्य करता है। इस तरह के गेज परिवर्तनों के तहत फ़ील्ड घटकों का सामान्य व्युत्पन्न अपरिवर्तनीय नहीं है क्योंकि वे स्थानीय फ्रेम पर निर्भर करते हैं। हालांकि, जब गेज ट्रांसफ़ॉर्मेशन फ़ील्ड्स पर कार्य करते हैं और गेज सहसंयोजक यौगिक एक साथ होते हैं तो वे सिद्धांतों के गुणों को संरक्षित करते हैं जो वृत्ति पर निर्भर नहीं होते हैंI इसलिए यह भौतिकी के मान्य विवरण हैं। सामान्य सापेक्षता में उपयोग किए जाने वाले सहसंयोजक व्युत्पन्न की तरह गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न स्थानीय निर्देशांक में कनेक्शन के लिए एक अभिव्यक्ति है जिसमें सम्मिलित क्षेत्रों के लिए फ्रेम का चयन किया जाता है जो सूचकांक संकेतन के रूप में होता है।

दृष्टिकोण
गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न को समझने के कई तरीके हैं। इस लेख में लिया गया दृष्टिकोण कई भौतिकी पाठ्यपुस्तकों में प्रयुक्त ऐतिहासिक रूप से पारंपरिक संकेतन पर आधारित है।  अन्य दृष्टिकोण गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न को एक प्रकार के कनेक्शन के रूप में समझना हैI  सजातीय उपसमष्‍टि को परिभाषित करने के लिए मीट्रिक टेंसर की किसी भी अवधारणा की आवश्यकता नहीं होती हैI  सजातीय संबंध वक्रता को गेज क्षमता की क्षेत्र शक्ति के रूप में समझा जा सकता है। जब कोई मीट्रिक उपलब्ध होता है तो इस स्थिति में कोई दूसरी दिशा की ओर स्थान्तरित हो सकता है और संबंध को परिभाषित कर सकता हैI यह संबंध सीधे सामान्य सापेक्षता की ओर जाता हैI हालाँकि इसके लिए मीट्रिक की आवश्यकता होती है जो भौतिकी गेज सिद्धांत के पास उपस्थित नहीं है।

एक-दूसरे के सामान्यीकरण होने के बजाय एफ़िन और मीट्रिक ज्यामिति अलग-अलग दिशाओं में जाती हैंI रीमैनियन ज्यामिति का गेज समूह सामान्य रूप से अनिश्चितकालीन ऑर्थोगोनल समूह ओ (एस आर) होना चाहिए या स्पेसटाइम के लिए लोरेंत्ज़ समूह ओ(3,1) से संबंधित होना चाहिएI परिभाषा के अनुसार स्पर्शरेखा स्थान और रिक्त स्थान को आपस में जोड़ना चाहिए I इसके विपरीत कण भौतिकी में नियोजित गेज समूह सिद्धांत रूप में कोई भी समूह गलत हो सकता हैI हालांकि व्यवहार में मानक मॉडल केवल यू (1), एसयू (2) और एसयू (3) का उपयोग करता है।

एक और अधिक जटिल फिर भी अधिक सटीक और ज्यामितीय रूप से ज्ञानवर्धक दृष्टिकोण से समझने के लिए कि गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न वही है जो मुख्य रूप से बाहरी सहसंयोजक व्युत्पन्न के रूप में स्थापित है। गेज सिद्धांत अवधारणात्मक रूप से अंतर ज्यामिति के कई क्षेत्रों में कहीं अधिक उन्नत पृष्ठभूमि की आवश्यकता होती है।

गेज इनवेरियन के ज्यामितीयकरण में अंतिम चरण यह पहचानना है कि क्वांटम सिद्धांत में किसी को केवल प्रमुख फाइबर बंडल के पड़ोसी तंतुओं की तुलना करने की आवश्यकता होती है और यह अतिरिक्त विवरण प्रदान करते हैं। यह क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में गेज कनेक्शन के निकटतम विवरण के रूप में बीजगणित प्राप्त करने के लिए गेज समूह को संशोधित करने के विचार की ओर जाता है। साधारण ले बीजगणित के लिए अंतरिक्ष समरूपता पर गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न को आंतरिक गेज समरूपता के साथ नहीं जोड़ा जा सकता हैl मीट्रिक ज्यामिति और एफ़िन ज्यामिति आवश्यक रूप से विशिष्ट गणितीय विषय हैंi यह कोलमैन-मंडुला प्रमेय की सामग्री है। हालांकि इस प्रमेय का आधार सुपरएलजेब्रा द्वारा उल्लंघन किया जाता हैl इस प्रकार एकल एकीकृत समरूपता स्थानिक और आंतरिक समरूपता दोनों का वर्णन कर सकती हैI

अधिक गणितीय दृष्टिकोण इंडेक्स-मुक्त संकेतन का उपयोग करता है जो गेज सिद्धांत की ज्यामितीय और बीजगणितीय संरचना पर बल देता हैI उदाहरण के लिए गेज को समप्रसरण के रूप में मानना इसका मुख्य उदहारण प्रस्तुत करता हैI भौतिकी में उपयोग किए जाने वाले सूचकांक संकेतन इसे व्यावहारिक गणनाओं के लिए कहीं अधिक सुविधाजनक बनाते हैंI हालांकि यह सिद्धांत की समग्र ज्यामितीय संरचना को अधिक अपारदर्शी बनाता है। भौतिकी के दृष्टिकोण का शैक्षणिक लाभ भी हैI गेज सिद्धांत की सामान्य संरचना को बहुभिन्नरूपी में न्यूनतम पृष्ठभूमि के बाद उजागर किया जा सकता है जबकि ज्यामितीय दृष्टिकोण के लिए अंतर ज्यामिति के सामान्य सिद्धांत रिमेंनियन मैनिफोल्ड्स बीजगणित की आवश्यकता होती है। सामान्य समझ विकसित करने के लिए समूह और सिद्धांत का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। अधिक उन्नत चर्चाओं में दोनों संकेतन आमतौर पर मिश्रित होते हैं।

गेज सहप्रसरण आवश्यकता के माध्यम से सहसंयोजक व्युत्पन्न की प्रेरणा
सामान्य गेज $$n$$ घटक क्षेत्र $$\phi = (\phi_a)_{a = 1..n}$$ पर विचार करेंI थ्योरी में मुख्य उदाहरणों में कॉम्पैक्ट गेज समूह है $$U(x)= e^{i\alpha(x)}$$ जहां $$\alpha(x)$$बीजगणित का एक तत्व है जो समरूपता परिवर्तनों के समूह से जुड़ा है और बीजगणित के हेर्मिटियन जनरेटर के रूप में व्यक्त किया जा सकता हैI $$i$$गेज समूह के अपरिमेय तत्व$$\{t_K\}_{K \in \mathcal{K}}$$, जैसा $$\alpha(x) = \alpha^K(x) t_K$$.

$$\phi(x)$$ जैसा
 * $$ \phi(x) \rightarrow \phi'(x) = U(x) \phi(x) \equiv e^{i\alpha(x)} \phi(x), $$
 * $$ \phi^\dagger(x) \rightarrow \phi{'}^{\dagger} \equiv \phi^\dagger(x) U^\dagger (x) = \phi^\dagger(x) e^{-i\alpha(x)}, \qquad U^\dagger = U^{-1}. $$

अब आंशिक व्युत्पन्न $$\partial_\mu$$ तदनुसार के रूप में बदल देता है
 * $$ \partial_\mu \phi(x)

\rightarrow \partial_\mu \phi'(x) = U(x) \partial_\mu \phi(x) + (\partial_\mu U) \phi(x) \equiv e^{i\alpha(x)} \partial_\mu \phi(x) + i (\partial_\mu \alpha) e^{i\alpha(x)} \phi(x) $$. इसलिए गतिज शब्द $$ \phi^\dagger \partial_\mu \phi $$ में गेज परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय नहीं है।

गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न की परिभाषा

नॉन गेज इनवेरियन का मूल कारण यह है $$\phi = (\phi_1, \ldots \phi_n)$$ पंक्ति वेक्टर या सूचकांक अंकन के रूप में हर क्षेत्र को विशिष्ट रूप से $$\phi_a$$ निश्चित रूप से बेस फ्रेम यानी $$\varphi^1(x),\ldots, \varphi^n(x)$$ से व्यक्त किया जा सकता हैI $$\phi = \phi_a\varphi^a$$ कार्यों के लिए $$\phi_a(x)$$ आइंस्टीन योग का $$\varphi^a$$ स्थिर हैI  $$x$$ निर्भर गेज इनवेरियन को इनवेरियन माना जा सकता है।

$$D_\mu$$ के तौर पर आंशिक व्युत्पन्न का गेज सहसंयोजक प्रस्तुत कर सकते हैं I सामान्यीकरण $$\partial_\mu$$ और $$\phi$$ इसके घटकों के बजाय $$\phi_a$$ गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न को उत्पाद नियम के रूप में परिभाषित किया गया हैI
 * $$ D_\mu (f \phi) = (\partial_\mu f)\phi + f (D_\mu \phi) $$ सुचारू कार्य के लिए $$f$$ कनेक्शन की परिभाषित संपत्ति हैI

इंडेक्स नोटेशन पर वापस जाने के लिए इस नियम का उपयोग करते हैंI
 * $$ D_\mu \phi = D_\mu(\phi_a\varphi^a) = (\partial_\mu \phi_a)\varphi^a + \phi_a (D_\mu \varphi^a).$$.

निश्चित के लिए $$a$$, $$D_\mu \varphi^a$$ क्षेत्र है इसलिए फ्रेम क्षेत्र का विस्तार किया जा सकता है।  गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न और फ्रेम क्षेत्र की गेज क्षमता को परिभाषित करता हैI
 * $$D_\mu \varphi^a = -igA^a_{\mu b} \varphi^b$$

$$-ig$$ कॉम्पैक्ट गेज समूहों के लिए पारंपरिक है और इसे युग्मन स्थिरांक के रूप में व्याख्या किया गया है।

इसके विपरीत $$\varphi^1, \ldots \varphi^n$$ और गेज क्षमता $$A^a_{\mu b}$$ विशिष्ट रूप से गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न को परिभाषित करता है।
 * $$D_\mu\phi = (D_\mu\phi)_a\varphi^a = (\partial_\mu \phi_a -igA^b_{\mu a}\phi_b)\varphi^a$$.

यह इंडेक्स निम्नलिखित तरह से प्रस्तुत है
 * $$ (D_\mu \phi)_a = \partial_\mu \phi_a - ig A^b_{\mu a}\phi_b, $$

जो अंकन के द्वारा अक्सर लिखा जाता है
 * $$ D_\mu \phi_a = \partial_\mu \phi_a - ig A^b_{\mu a}\phi_b $$.

यह सामान्य तौर पर भौतिकी में प्रस्तुत गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न की परिभाषा है। गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न को अक्सर अतिरिक्त संरचना को स्थिर बनाने वाली अतिरिक्त स्थितियों को संतुष्ट करने के लिए माना जाता हैI इस अर्थ में सहसंयोजक व्युत्पन्न गायब हो जाता है।
 * $$ \partial_\mu h(\phi, \psi) = h(D_\mu \phi, \psi) + h(\phi, D_\mu \psi)$$

हर्मिटियन उत्पाद को स्थिर बनाना। इसे एक स्थानीय के संबंध में लिख रहा हूं $$h$$-ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम फील्ड देता है
 * $$ \partial_\mu (\phi_a^* \psi_a) = \sum_a (D_\mu \phi)_a^* \psi_a + \phi_a^* (D_\mu \psi)_a $$,

उपरोक्त समीकरण का उपयोग करके हम देखते हैं $$A_\mu$$ हर्मिटियन होना चाहिए यानी $$A^b_{\mu a} = {A^a_{\mu b}}^*$$ हर्मिटियन मेट्रिसेस हैं (कारक तक $$i$$) एकात्मक समूह के जनरेटर। आम तौर पर गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न गेज समूह को संरक्षित करता हैI $$G$$ प्रतिनिधित्व के साथ $$\rho$$ गेज सहसंयोजक कनेक्शन के रूप में लिखा जा सकता है
 * $$ (D_\mu \phi)_a = \partial_\mu \phi_a - ig A_\mu^K\rho'(t_K)^b_a\phi_b $$

कहाँ $$\rho'$$ समूह प्रतिनिधित्व से जुड़े बीजगणित का प्रतिनिधित्व है $$\rho$$

ध्यान दें कि भौतिक क्षेत्र के रूप में गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न सहित वक्र के स्पर्शरेखा के साथ शून्य गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न के साथ क्षेत्र $$\gamma$$होता है $$D_{\dot \gamma}\phi = (\frac{d}{dt} \gamma^\mu) D_\mu \phi = 0 $$ क्षेत्र की भौतिक रूप से अर्थपूर्ण परिभाषा है $$\phi$$ I गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न समानांतर परिवहन को परिभाषित करता हैI

गेज फील्ड स्ट्रेंथ
आंशिक डेरिवेटिव के विपरीत गेज सहसंयोजक डेरिवेटिव कम्यूट नहीं करते हैं। हालाँकि वे लगभग इस अर्थ में करते हैं कि कम्यूटेटर क्रम 2 का संचालक नहीं है, बल्कि क्रम 0 का है अर्थात कार्यों पर रैखिक है:
 * $$ [D_\mu, D_\nu] (f \phi) = (\partial_\mu \partial_\nu f) \phi + \partial_\nu f D_\mu \phi + \partial_\mu f D_\nu \phi + f D_\mu D_\nu \phi - (\mu \leftrightarrow \nu) = f [D_\mu, D_\nu] \phi$$.

रेखीय चित्रण द्वारा समीकरण प्रस्तुत करता है
 * $$ F_{\mu\nu} = -1/(ig) [D_\mu, D_\nu]$$

इंडेक्स नोटेशन में गेज पोटेंशिअल का उपयोग करते हुए
 * $$ F_{\mu\nu\,b}^{\ a} = \partial_\mu A^a_{\nu b} - \partial_\nu A^a_{\mu b} - ig(A^a_{\mu c}A^c_{\nu b} - A^a_{\nu c}A^c_{\mu b})$$.

अगर $$D_\mu$$ G सहसंयोजक व्युत्पन्न है बाद वाले शब्द की व्याख्या जी के लाइ बीजगणित में एक कम्यूटेटर के रूप में की जा सकती हैI

गेज परिवर्तन के तहत व्युत्क्रम
गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न, गेज परिवर्तनों के तहत, यानी सभी के लिए सहसंयोजक रूप से रूपांतरित होता है $$\phi$$
 * $$ D_\mu \phi(x) \rightarrow D'_\mu \phi'(x) = D'_\mu U(x) \phi(x) = U(x) D_\mu \phi(x), $$

जो ऑपरेटर रूप में रूप लेता है
 * $$ D'_\mu U(x) = U(x) D_\mu$$

या
 * $$ D'_\mu = U(x) D_\mu U^{-1}(x).$$

विशेष रूप से (पर निर्भरता को दबाना $$x$$)
 * $$ -ig F'_{\mu\nu} = [D'_\mu, D'_\nu] = [UD_\mu U^{-1}, UD_\nu U^{-1}] = U[D_\mu, D_\nu]U^{-1} = -ig U F_{\mu\nu} U^{-1}$$.

इसके अलावा, (सूचकांकों को दबाना और उन्हें मैट्रिक्स गुणन द्वारा प्रतिस्थापित करना) यदि $$D_\mu = \partial_\mu - ig A_\mu$$ ऊपर का रूप है, $$D'_\mu$$ स्वरूप का है
 * $$ D'_\mu = \partial_\mu + (\partial_\mu U^{-1})U - igU A_\mu U^{-1} $$ या उपयोग करना $$U(x) = e^{i \alpha(x)}$$,
 * $$ D'_\mu = \partial_\mu - i\partial_\mu \alpha -ig U A_\mu U^{-1} $$ जो इस रूप का भी है।

एकात्मक गेज समूह के साथ हर्मिटियन मामले में $$ U^{-1} = U^\dagger$$ और हमने एक फर्स्ट ऑर्डर डिफरेंशियल ऑपरेटर पाया है $$D_\mu$$ साथ $$\partial_\mu$$ पहले आदेश शब्द के रूप में ऐसा है
 * $$ \phi^\dagger D_\mu \phi \rightarrow \phi'^\dagger D'_\mu \phi' = \phi^\dagger D_\mu \phi.$$.

गेज सिद्धांत
गेज सिद्धांत में, जो क्षेत्र (भौतिकी) के एक विशेष वर्ग का अध्ययन करता है, जो क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में महत्वपूर्ण हैं, स्थानीय गेज परिवर्तनों के तहत लैग्रैंगियन में विभिन्न क्षेत्रों का उपयोग किया जाता हैl काइनेटिक शब्दों में फ़ील्ड के डेरिवेटिव शामिल होते हैं, जो उपरोक्त तर्कों से गेज सहसंयोजक व्युतपन्न यौगिक को संलग्न करने की आवश्यकता होती है।

एबेलियन गेज थ्योरी
गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न $$D_\mu$$ एक जटिल अदिश क्षेत्र पर $$\phi = \phi_1 \varphi^1$$ (अर्थात। $$n = 1$$) प्रभार संबंधी $$q$$ एक है $$U(1)$$ संबंध। गेज क्षमता $$A_\mu$$ एक (1 x 1) मैट्रिक्स है यानी एक स्केलर।
 * $$ (D_\mu \phi)_1 = (\partial_\mu \phi_1 - iq A_\mu \phi_1) $$

गेज क्षेत्र की शक्ति है
 * $$ F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu -\partial_\nu A_\mu$$

गेज क्षमता की व्याख्या विद्युत चुम्बकीय क्षमता और गेज फील्ड शक्ति को फैराडे टेंसर के रूप में की जा सकती है। चूँकि इसमें केवल क्षेत्र का आवेश शामिल होता है न कि चुंबकीय क्षण की तरह उच्च मल्टीपोल $$\partial_\mu$$ द्वारा $$D_\mu$$ ) इसे न्यूनतम युग्मन कहा जाता है।

फोरा डिराक स्पिनर फील्ड $$ \psi $$ प्रभार संबंधी $$q$$ सहपरिवर्ती व्युत्पन्न भी एक है $$U(1)$$ कनेक्शन है इसे गामा मैट्रिक्स के साथ स्थान्तरित किया जाता हैI इसे परिभाषित किया गया हैI
 * $$ (D_\mu \psi)_\alpha := (\partial_\mu - i q A_\mu) \psi_\alpha$$

कहाँ फिर से $$A_\mu$$ विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता के रूप में व्याख्या की जाती है और $$F_{\mu\nu}$$ विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र टेंसर के रूप में व्याख्या की जाती हैI (माइनस साइन एक मिंकोस्की मीट्रिक हस्ताक्षर के लिए मान्य प्रचलन है (−, +, +, +) जो सामान्य सापेक्षता में आम है और नीचे प्रयोग किया जाता है। कण भौतिकी सम्मेलन के लिए (+, −, −, −), यह है $$ D_\mu := \partial_\mu + i q A_\mu $$. इलेक्ट्रॉन के आवेश को ऋणात्मक के रूप में परिभाषित किया गया है $$q_e=-|e|$$,जबकि डायराक क्षेत्र को सकारात्मक रूप से रूपांतरित करने के लिए परिभाषित किया गया है $$\psi(x) \rightarrow e^{iq\alpha(x)} \psi(x).$$)

क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स
यदि गेज परिवर्तन समीकरण इस तरह से है I
 * $$ \psi \mapsto e^{i\Lambda} \psi $$

और गेज क्षमता के लिए
 * $$ A_\mu \mapsto A_\mu + {1 \over e} (\partial_\mu \Lambda) $$

तब $$ D_\mu $$ के रूप में परिवर्तित हो जाता है
 * $$ D_\mu \mapsto \partial_\mu - i e A_\mu - i (\partial_\mu \Lambda) $$,

और $$ D_\mu \psi $$ के रूप में परिवर्तित हो जाता है
 * $$ D_\mu \psi \mapsto e^{i \Lambda} D_\mu \psi $$

और $$ \bar \psi := \psi^\dagger \gamma^0 $$ के रूप में परिवर्तित हो जाता है
 * $$ \bar \psi \mapsto \bar \psi e^{-i \Lambda} $$

ताकि
 * $$ \bar \psi D_\mu \psi \mapsto \bar \psi D_\mu \psi $$

और $$ \bar \psi D_\mu \psi $$ क्यूईडी लैग्रेंजियन में इसलिए गेज इनवेरिएंट है, और गेज सहसंयोजक डेरिवेटिव को इस प्रकार उपयुक्त नाम दिया गया है।

दूसरी ओर, गैर-सहसंयोजक व्युत्पन्न $$ \partial_\mu $$ की गेज समरूपता को संरक्षित नहीं करेगा क्योंकि
 * $$ \bar \psi \partial_\mu \psi \mapsto \bar \psi \partial_\mu \psi + i \bar \psi (\partial_\mu \Lambda) \psi $$.

क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स
क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स में, गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न है
 * $$ D_\mu := \partial_\mu - i g_s \, G_\mu^\alpha \, \lambda_\alpha /2 $$

$$g_s$$ मजबूत अंतःक्रिया का युग्मन स्थिरांक है, $$G$$ आठ अलग-अलग ग्लून्स के लिए ग्लूऑन गेज क्षेत्र है $$\alpha=1 \dots 8$$, और कहाँ $$\lambda_\alpha$$ आठ गेल-मान आव्यूहों में से एक है। गेल-मैन मैट्रिसेस रंग समरूपता समूह एसयू (3) के लाई समूह का प्रतिनिधित्व करते हैं। क्वार्क के लिए, प्रतिनिधित्व मौलिक प्रतिनिधित्व हैI

मानक मॉडल
मानक मॉडल में सहपरिवर्ती व्युत्पन्न विद्युत चुम्बकीय, कमजोर और मजबूत इंटरैक्शन को जोड़ती है। इसे निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$ D_\mu := \partial_\mu - i \frac{g'}{2} Y \, B_\mu - i \frac{g}{2} \sigma_j \, W_\mu^j - i \frac{g_s}{2} \lambda_\alpha \, G_\mu^\alpha $$

यहां के गेज क्षेत्र विद्युत  लाइ समूह के मौलिक प्रतिनिधित्व से संबंधित हैं $$U(1)\times SU(2)$$ रंग समरूपता का गुना समूह SU(3). युग्मन स्थिरांक $$g'$$ हाइपरचार्ज का युग्मन प्रदान करता है $$Y$$ तक $$B$$ बोसोन और $$g$$ तीन वेक्टर बोसोन के माध्यम से युग्मन $$W^j$$ $$(j = 1,2,3)$$ आइसोस्पिन के लिए घटक यहां पॉल मैट्रिसेस के रूप में लिखे गए हैं $$\sigma_j$$I विद्युत अंतःक्रिया के माध्यम से ये बोसोन क्षेत्र द्रव्यमान रहित विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में $$A_\mu$$ और तीन विशाल सदिश बोसोन के लिए क्षेत्र $$W^\pm$$ और $$Z$$.संयोजित होते हैं I

सामान्य सापेक्षता
सामान्य सापेक्षता में सहसंयोजक व्युत्पन्न गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न का विशेष उदाहरण है। यह स्पर्शरेखा बंडल पर लाइट सिटी कनेक्शन से मेल खाता है यानी यह स्पर्शरेखा वेक्टर क्षेत्रों या अधिक टेंसर पर कार्य करता है। यह आमतौर पर $$\nabla$$ के बजाय $$D$$लिखा जाता हैI इस विशेष मामले में निर्देशांक का एक विकल्प $$x^1,\ldots, x^d$$ न केवल आंशिक डेरिवेटिव देता है $$\partial_\mu$$, लेकिन वे स्पर्शरेखा सदिशों के एक फ्रेम के रूप में दोगुने हैं $$\partial_1, \ldots \partial_d$$ जिसमें वेक्टर क्षेत्र $$v$$ के रूप में विशिष्ट रूप से $$v = v^\mu\partial_\mu$$ में व्यक्त किया जा सकता हैI आंतरिक सूचकांक भी अंतरिक्ष समय सूचकांक हैं। थोड़ा अलग सामान्यीकरण (और अंकन) तक गेज क्षमता $$A^\lambda_{ \mu\nu}$$ द्वारा परिभाषित क्रिस्टोफेल प्रतीक हैI
 * $$ \nabla_\mu \partial_\nu = \Gamma^\lambda_{\mu \nu} \partial_\lambda$$.

यह सहपरिवर्ती व्युत्पन्न देता है
 * $$ (\nabla_\mu v)^\nu = (\nabla_\mu (v^\lambda\partial_\lambda))^\nu = ((\partial_\mu v^\lambda) \partial_\lambda + v^\lambda (\nabla_\mu \partial_\lambda))^\nu = \partial_\mu v^\nu + \Gamma^\nu_{\mu \lambda}v^\lambda $$.

गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न के साथ औपचारिक समानता तब अधिक स्पष्ट होती है जब निर्देशांक को वेक्टर फ़ील्ड के फ्रेम से अलग किया जाता है $$e_1 = e_1^\mu\partial_\mu, \ldots, e_d = e_d^\mu\partial_\mu$$. खासकर जब फ्रेम प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण होता है ऐसे फ्रेम को सामान्य तौर पर फ्रेम फील्ड कहा जाता हैI
 * $$ (\nabla_\mu v)^n = (\nabla_\mu (v^\ell e_\ell))^n = ((\partial_\mu v^\ell) e_\ell + v^\ell (\nabla_\mu e_\ell))^n = \partial_\mu v^n + \Gamma^n_{\mu \ell} v^\ell $$

$$\nabla_\mu e_m = \Gamma^\ell_{\mu m} e_\ell$$

गेज सहसंयोजक व्युत्पत्ति की गेज स्वतंत्रता का प्रत्यक्ष रेखीय समय में प्रत्येक बिंदु पर प्रसामान्य लांबिक डी-बीन की पसंद पर आधारित समीकरण हैI स्थानीय लोरेंत्ज़ इनवेरिएंस में लेवी सिविटा कनेक्शन की परिभाषा के लिए निर्देशांकों की भिन्नता अधिक उपयुक्त है I

द्रव गतिकी
द्रव गतिकी में, द्रव के गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न को इस रूप में परिभाषित किया जा सकता है
 * $$ \nabla_t \mathbf{v}:= \partial_t \mathbf{v} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v}$$

कहाँ $$\mathbf{v}$$ द्रव का वेग सदिश क्षेत्र है।

यह भी देखें

 * काइनेटिक गति
 * कनेक्शन (गणित)
 * न्यूनतम युग्मन
 * घुंघराले पथरी

संदर्भ

 * Tsutomu Kambe, Gauge Principle For Ideal Fluids And Variational Principle. (PDF file.)