क्रिस्टोफ़ाइड्स एल्गोरिथ्म

क्रिस्टोफ़ाइड्स कलन विधि या क्रिस्टोफ़ाइड्स-सेरड्यूकोव एल्गोरिदम ट्रैवलिंग सेल्समैन की समस्या के अनुमानित समाधान खोजने के लिए एक एल्गोरिदम है, ऐसे उदाहरणों पर जहां दूरियां एक मीट्रिक स्थान बनाती हैं (वे सममित हैं और त्रिकोण असमानता का पालन करती हैं)। यह एक सन्निकटन एल्गोरिदम है जो गारंटी देता है कि इसका समाधान इष्टतम समाधान लंबाई के 3/2 के कारक के भीतर होगा, और इसका नाम निकोस क्रिस्टोफ़ाइड्स और अनातोली आई. सेरड्यूकोव के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1976 में स्वतंत्र रूप से इसकी खोज की थी। यह एल्गोरिदम अभी भी सर्वश्रेष्ठ बहुपद समय सन्निकटन एल्गोरिदम के रूप में खड़ा है, जिसकी सामान्य मीट्रिक स्थानों पर ट्रैवलिंग सेल्समैन समस्या के लिए संबंधित वैज्ञानिक समुदाय द्वारा गहन समीक्षा की गई है। हालाँकि, जुलाई 2020 में, कार्लिन, क्लेन और घरान ने एक प्रीप्रिंट जारी किया जिसमें उन्होंने एक उपन्यास सन्निकटन एल्गोरिथ्म पेश किया और दावा किया कि इसका सन्निकटन अनुपात 1.5 - 10 है।−36. उनकी विधि क्रिस्टोफाइड्स एल्गोरिथ्म के समान सिद्धांतों का पालन करती है, लेकिन न्यूनतम फैले हुए पेड़ के स्थान पर सावधानीपूर्वक चुने गए यादृच्छिक वितरण से यादृच्छिक रूप से चुने गए पेड़ का उपयोग करती है। यह पेपर कंप्यूटिंग के सिद्धांत पर संगोष्ठी|STOC'21 में प्रकाशित हुआ था जहां इसे सर्वश्रेष्ठ पेपर का पुरस्कार मिला।

एल्गोरिथम
होने देना $G = (V,w)$ ट्रैवलिंग सेल्समैन समस्या का एक उदाहरण बनें। वह है, $G$ सेट पर एक पूरा ग्राफ़ है $V$ शीर्षों का, और फ़ंक्शन $w$ के प्रत्येक किनारे पर एक गैर-नकारात्मक वास्तविक भार निर्दिष्ट करता है $G$. त्रिभुज असमानता के अनुसार, प्रत्येक तीन शीर्षों के लिए $u$, $v$, और $x$, ऐसा ही होना चाहिए $w(uv) + w(vx) ≥ w(ux)$.

फिर एल्गोरिथ्म को छद्मकोड में निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है। # न्यूनतम फैलाव वाला पेड़ बनाएं $T$ का $G$.
 * 1) होने देना $O$ विषम डिग्री (ग्राफ सिद्धांत) के साथ शीर्षों का सेट बनें $T$. हाथ मिलाने की प्रमेयिका द्वारा, $O$ में शीर्षों की संख्या सम है।
 * 2) न्यूनतम वजन का सही मिलान खोजें $M$ से शीर्षों द्वारा दिए गए प्रेरित उपग्राफ में $O$.
 * 3) किनारों को मिला लें $M$ और $T$ कनेक्टेड मल्टीग्राफ बनाने के लिए $H$ जिसमें प्रत्येक शीर्ष की डिग्री सम है।
 * 4) में एक यूलेरियन सर्किट बनाएं $H$.
 * 5) बार-बार शीर्षों (शॉर्टकटिंग) को छोड़ कर पिछले चरण में पाए गए सर्किट को हैमिल्टनियन सर्किट में बनाएं।

चरण 5 और 6 से जरूरी नहीं कि केवल एक ही परिणाम मिले। इस तरह अनुमानी कई अलग-अलग रास्ते दे सकता है।

अनुमान अनुपात
एल्गोरिथम द्वारा उत्पादित समाधान की लागत इष्टतम के 3/2 के भीतर है। इसे साबित करने के लिए आइए $C$ इष्टतम ट्रैवलिंग सेल्समैन टूर बनें। से एक किनारा हटाना $C$ एक फैले हुए पेड़ का उत्पादन करता है, जिसका वजन कम से कम न्यूनतम फैले हुए पेड़ के बराबर होना चाहिए, जिसका अर्थ है $w(T) ≤ w(C)$. इसके बाद, शीर्षों को क्रमांकित करें $O$ चारों ओर चक्रीय क्रम में $C$, और विभाजन $C$ पथों के दो सेटों में: वे जिनमें चक्रीय क्रम में पहले पथ शीर्ष पर एक विषम संख्या होती है और वे जिनमें पहले पथ शीर्ष पर एक सम संख्या होती है। पथों का प्रत्येक सेट पूर्ण मिलान से मेल खाता है $O$ जो प्रत्येक पथ के दो समापन बिंदुओं से मेल खाता है, और इस मिलान का भार अधिकतम पथों के भार के बराबर है। चूँकि पथों के ये दो सेट किनारों को विभाजित करते हैं $C$, दो सेटों में से एक का वजन अधिकतम आधा होता है $C$, और त्रिभुज असमानता के कारण इसके संगत मिलान का भार भी अधिक से अधिक आधा होता है $C$. न्यूनतम-वजन वाले पूर्ण मिलान का कोई बड़ा वजन नहीं हो सकता है, इसलिए $w(M) ≤ w(C)/2$. का वजन जोड़ना $T$ और $M$ अधिक से अधिक यूलर दौरे को महत्व देता है $3w(C)/2$. त्रिकोण असमानता के लिए धन्यवाद, शॉर्टकटिंग से वजन नहीं बढ़ता है, इसलिए आउटपुट का भार भी अधिकतम होता है $3w(C)/2$.

निचली सीमा
ट्रैवलिंग सेल्समैन समस्या के लिए ऐसे इनपुट मौजूद हैं जो क्रिस्टोफ़ाइड्स एल्गोरिदम को एक समाधान खोजने के लिए प्रेरित करते हैं जिसका सन्निकटन अनुपात मनमाने ढंग से 3/2 के करीब है। ऐसा ही एक वर्ग है इनपुट एक पथ (ग्राफ़ सिद्धांत) द्वारा बनते हैं $n$ शीर्ष, पथ के किनारों पर भार होता है $1$, वजन के साथ पथ में दो कदम दूर शीर्षों को जोड़ने वाले किनारों के एक सेट के साथ $1 + ε$ एक संख्या के लिए $ε$शून्य के करीब लेकिन सकारात्मक चुना गया। संपूर्ण ग्राफ़ के सभी शेष किनारों में इस उपग्राफ़ में सबसे छोटी पथ समस्याओं द्वारा दी गई दूरियाँ हैं। फिर न्यूनतम फैले हुए पेड़ की लंबाई, पथ द्वारा दी जाएगी $n &minus; 1$, और केवल दो विषम शीर्ष पथ समापन बिंदु होंगे, जिनके पूर्ण मिलान में लगभग वजन वाला एक किनारा होता है $n/2$. पेड़ का मिलन और मिलान एक चक्र है, जिसमें कोई संभावित शॉर्टकट नहीं है, और वजन लगभग है $3n/2$. हालाँकि, इष्टतम समाधान वजन के किनारों का उपयोग करता है $1 + ε$दो वजन सहित-$1$ किनारे पथ के अंतिम बिंदुओं पर आपतित होते हैं, और कुल वजन है $(1 + ε)(n &minus; 2) + 2$, के करीब $n$ के छोटे मानों के लिए $ε$. इसलिए हमें 3/2 का अनुमानित अनुपात प्राप्त होता है।

बाहरी संबंध

 * NIST Christofides Algorithm Definition