ओरिएंटेड मैट्रोइड

एक ओरिएंटेड मैट्रॉइड एक गणित गणितीय संरचना है जो निर्देशित ग्राफ के गुणों को अमूर्त करता है, ऑर्डर किए गए फ़ील्ड पर सदिश स्थल की व्यवस्था करता है, और ऑर्डर किए गए फ़ील्ड पर हाइपरप्लेन की व्यवस्था करता है। इसकी तुलना में, एक साधारण (यानी, गैर-उन्मुख) matroid रैखिक स्वतंत्रता गुणों को अमूर्त करता है जो ग्राफ़ (असतत गणित) दोनों के लिए सामान्य हैं, जो आवश्यक रूप से निर्देशित नहीं हैं, और क्षेत्र (गणित) पर वैक्टर की व्यवस्था के लिए, जो जरूरी नहीं हैं आदेश दिया। सभी उन्मुख matroids में एक अंतर्निहित matroid है। इस प्रकार, सामान्य matroids पर परिणाम उन्मुख matroids पर लागू किया जा सकता है। हालाँकि, रूपांतरण (तर्क) झूठा है; अंतर्निहित संरचना (जैसे, सर्किट या स्वतंत्र सेट) को उन्मुख करके कुछ मैट्रोइड एक उन्मुख मैट्रॉइड नहीं बन सकते हैं। मैट्रोइड्स और ओरिएंटेड मैट्रोड्स के बीच अंतर पर नीचे चर्चा की गई है।

मैट्रोइड्स अक्सर आयाम सिद्धांत (बीजगणित) और एल्गोरिदम जैसे क्षेत्रों में उपयोगी होते हैं। एक संरचना के उन्मुख प्रकृति के बारे में अतिरिक्त विवरण के एक उन्मुख matroid के शामिल किए जाने के कारण, इसकी उपयोगिता आगे ज्यामिति और अनुकूलन (गणित) सहित कई क्षेत्रों में फैली हुई है।

पृष्ठभूमि
सेट करने के लिए ग्राफ के किनारों पर ओरिएंटेशन (ग्राफ सिद्धांत) की अवधारणा को अमूर्त करने के लिए, सेट के तत्वों को दिशा देने की क्षमता की आवश्यकता होती है। इसे हासिल करने का तरीका हस्ताक्षरित सेटों की निम्नलिखित परिभाषा के साथ है।


 * एक हस्ताक्षरित सेट, $$X$$, वस्तुओं के एक समूह को जोड़ती है, $$\underline{X}$$, उस सेट के विभाजन के साथ दो सबसेट में: $$X^+$$ और $$X^-$$.
 * के सदस्य $$X^+$$ सकारात्मक तत्व कहलाते हैं; के सदस्यों $$X^-$$ नकारात्मक तत्व हैं।

समर्थन का एक तत्व दिया $$x$$, हम लिखेंगे $$x$$ एक सकारात्मक तत्व के लिए और $$-x$$ एक नकारात्मक तत्व के लिए इस तरह, एक हस्ताक्षरित सेट केवल विशिष्ट तत्वों में नकारात्मक संकेत जोड़ रहा है। यह एक दिशा के रूप में तभी समझ में आएगा जब हम बड़ी संरचनाओं के उन्मुखीकरण पर विचार करेंगे। तब प्रत्येक तत्व का चिन्ह इस अभिविन्यास के सापेक्ष अपनी दिशा को कूटबद्ध करेगा।
 * सेट $$\underline{X} = X^+ \cup X^-$$ का समर्थन कहा जाता है $$X$$.
 * खाली हस्ताक्षरित सेट, $$ \empty $$, खाली सेट के रूप में परिभाषित किया गया है $$ \underline{\empty} $$ इसके विभाजन के साथ दो खाली सेटों में संयुक्त: $$\emptyset^+$$ और $$\emptyset^-$$.
 * हस्ताक्षरित सेट $$Y$$ के विपरीत है $$X$$, अर्थात।, $$Y = -X$$, अगर और केवल अगर $$Y^+ = X^-$$ और $$Y^- = X^+$$

स्वयंसिद्धीकरण
साधारण मैट्रोइड्स की तरह, कई समतुल्य स्वयंसिद्ध प्रणाली मौजूद हैं। (ऐसी संरचनाएं जिनमें एकाधिक समकक्ष स्वयंसिद्धताएं होती हैं, क्रिप्टोमोर्फिज्म कहलाती हैं।)

सर्किट स्वयंसिद्ध
होने देना $$E$$ कोई सेट हो। हम सन्दर्भ देते है $$E$$ ग्राउंड सेट के रूप में। होने देना $$\mathcal{C}$$ हस्ताक्षरित सेटों का एक संग्रह हो, जिनमें से प्रत्येक एक सबसेट द्वारा समर्थित हो $$E$$. यदि निम्नलिखित अभिगृहीत धारण करते हैं $$\mathcal{C}$$, फिर समकक्ष $$\mathcal{C}$$ हस्ताक्षरित सर्किट का सेट है ओरिएंटेड मैट्रॉइड ऑन के लिए $$E$$.


 * (को0) $$\empty \notin \mathcal{C}$$
 * (C1) (सममित) $$\text{ For all } X \in \mathcal{C},~ -\!X \in \mathcal{C}.$$
 * (C2) (अतुलनीय) $$\text{ For all } X,Y \in \mathcal{C}, \text{ if } \underline X\subseteq \underline Y\text{ then } (X=Y \text{ or } X = -Y).$$
 * (C3) (कमजोर उन्मूलन) $$\text{ For all } X,Y \in \mathcal{C}, X \neq -Y \text{ with an } e \in X^+ \cap Y^- \text{ there is a } Z \in \mathcal{C} \text{ such that }$$
 * $$ Z^+ \subseteq (X^+ \cup Y^+)\setminus\{e\} \text{ and }$$
 * $$ Z^- \subseteq (X^- \cup Y^-)\setminus\{e\}.$$

सदिश अभिगृहीत
हस्ताक्षरित सेट की संरचना $$X$$ और $$Y$$ हस्ताक्षरित सेट है $$X\circ Y$$ द्वारा परिभाषित $$\underline{X\circ Y}= {\underline X} \cup {\underline Y}$$, $$(X\circ Y)^+ = X^+ \cup \left(Y^+ \setminus X^-\right)$$, और $$(X\circ Y)^-  = X^- \cup \left(Y^- \setminus X^+\right)$$. एक उन्मुख मैट्रोइड के वैक्टर सर्किट की रचनाएं हैं। वैक्टर $$\mathcal V$$ एक ओरिएंटेड मैट्रोइड के निम्नलिखित स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करते हैं:


 * $$\emptyset \in \mathcal V$$ * $$\mathcal V = -\mathcal V$$
 * सभी के लिए $$X, Y\in \mathcal V$$, $$X\circ Y \in \mathcal V$$
 * सभी के लिए $$X, Y\in \mathcal V$$, $$e\in X^+ \cap Y^- $$और $$f\in (\underline X \setminus \underline Y)\cup (\underline Y \setminus \underline X) \cup (X^+\cap Y^+) \cup (X^- \cap Y^-)$$, वहां एक है $$Z\in \mathcal V$$, ऐसा है कि
 * $$Z^+ \subset X^+ \cup Y^+ \setminus e$$,
 * $$Z^- \subset X^- \cup Y^- \setminus e$$, और
 * $$f\in \underline Z$$.

चिरोटोप स्वयंसिद्ध
होने देना $$E$$ ऊपर जैसा हो। प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए $$r$$, रैंक का एक चिरोटोप $$r$$एक कार्य है $$\chi\colon E^r\to \{-1,0,1\}$$ जो निम्नलिखित अभिगृहीतों को संतुष्ट करता है:


 * (बी0) (गैर तुच्छ): $$\chi$$ समान शून्य नहीं है
 * (B1) (वैकल्पिक): किसी भी क्रमपरिवर्तन के लिए $$\sigma$$ और $$x_1,\dots,x_r\in E$$, $$\chi\left(x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(r)}\right)=\operatorname{sgn}(\sigma)\chi\left(x_1,\dots,x_r\right)$$, कहाँ $$\operatorname{sgn}(\sigma)$$ क्रमपरिवर्तन के क्रमपरिवर्तन की समानता है।
 * (बी2) (एक्सचेंज): किसी के लिए भी $$x_1,\dots,x_r,y_1,\dots,y_r\in E$$ ऐसा है कि $$\chi(y_i,x_2,\dots,x_r)\chi(y_1,\dots,y_{i-1},x_1,y_{i+1},\dots,y_r)\ge 0$$ प्रत्येक के लिए $$i$$, तो हमारे पास भी है $$ \chi\left(x_1,\dots,x_r\right)\chi\left(y_1,\dots,y_r\right)\ge0$$.

चिरोटोप शब्द को चिरलिटी (गणित) की गणितीय धारणा से लिया गया है, जो कि चिरलिटी (रसायन विज्ञान) से अलग की गई अवधारणा है, जहाँ इसका उपयोग उन अणुओं को अलग करने के लिए किया जाता है जिनकी संरचना एक प्रतिबिंब के अलावा समान होती है।

समानता
रंक का हर चिरोटोप $$r$$ एक मैट्रोइड के आधारों के एक सेट को जन्म देता है $$E$$ उन से मिलकर $$r$$-तत्व उसे उपसमुच्चय करता है $$\chi$$ एक अशून्य मान प्रदान करता है। चिरोटोप तब उस मैट्रोइड के सर्किट पर हस्ताक्षर कर सकता है। अगर $$ C$$ वर्णित मैट्रोइड का एक सर्किट है, फिर $$C\subset \{x_1,\dots,x_r,x_{r+1}\}$$ कहाँ $$\{x_1,\dots,x_r\}$$ एक आधार है। तब $$C$$ सकारात्मक तत्वों के साथ हस्ताक्षर किए जा सकते हैं
 * $$C^+=\{x_i: (-1)^i\chi(x_1,\dots,x_{i-1},x_{i+1},\dots,x_{r+1})=1\}$$

और नकारात्मक तत्व पूरक हैं। इस प्रकार एक चिरोटोप एक उन्मुख मैट्रॉइड के उन्मुख आधारों को जन्म देता है। इस अर्थ में, (B0) आधारों के लिए गैर-खाली स्वयंसिद्ध है और (B2) आधार विनिमय संपत्ति है।

उदाहरण
ओरिएंटेड मैट्रोइड्स को अक्सर निर्देशित रेखांकन या रैखिक असमानताओं की प्रणालियों के लिए एक अमूर्त के रूप में पेश किया जाता है (जैसे, बेचेम और केर्न)। नीचे स्पष्ट निर्माण हैं।

निर्देशित रेखांकन
एक निर्देशित ग्राफ को देखते हुए, हम निम्नलिखित विधि द्वारा ग्राफ के मानक चक्र (ग्राफ सिद्धांत) से एक हस्ताक्षरित सर्किट को परिभाषित करते हैं। हस्ताक्षरित सर्किट का समर्थन $$\textstyle \underline{X}$$ न्यूनतम चक्र में किनारों का मानक सेट है। हम चक्र के साथ दक्षिणावर्त या वामावर्त दिशा में उन किनारों को निर्दिष्ट करते हैं जिनका अभिविन्यास सकारात्मक तत्वों की दिशा से सहमत है $$\textstyle X^+$$ और वे किनारे जिनका अभिविन्यास नकारात्मक तत्वों की दिशा से असहमत है $$\textstyle X^-$$. अगर $$\textstyle \mathcal{C} $$ ऐसे सभी का सेट है $$\textstyle X$$, तब $$\textstyle \mathcal{C} $$ निर्देशित ग्राफ के किनारों के सेट पर एक ओरिएंटेड मैट्रोइड के हस्ताक्षरित सर्किट का सेट है।

यदि हम दाईं ओर निर्देशित ग्राफ पर विचार करें, तो हम देख सकते हैं कि केवल दो सर्किट हैं, अर्थात् $$\textstyle \{(1,2),(1,3),(3,2)\}$$ और $$\textstyle \{(3,4),(4,3)\}$$. इसके बाद दक्षिणावर्त और वामावर्त अभिविन्यास के अनुरूप केवल चार संभावित हस्ताक्षरित सर्किट हैं, अर्थात् $$\textstyle\{ (1,2),-(1,3),-(3,2)\}$$, $$\textstyle\{ -(1,2),(1,3),(3,2)\}$$, $$\textstyle\{(3,4),(4,3)\}$$, और $$\textstyle\{-(3,4),-(4,3)\}$$. ये चार सेट सेट पर एक ओरिएंटेड मैट्रोइड के हस्ताक्षरित सर्किट का सेट बनाते हैं $$\textstyle \{ (1,2),(1,3),(3,2),(3,4),(4,3)\}$$.

रेखीय बीजगणित
अगर $$\textstyle E$$ का कोई परिमित उपसमुच्चय है $$\textstyle\mathbb{R}^n$$, तो न्यूनतम रैखिक रूप से निर्भर सेटों का सेट एक मैट्रोइड के सर्किट सेट का निर्माण करता है $$\textstyle E$$. प्रत्येक सर्किट के लिए इस निर्माण को उन्मुख मैट्रोइड्स तक विस्तारित करने के लिए $$\textstyle \{v_1,\dots,v_m\}$$ न्यूनतम रैखिक निर्भरता है
 * $$\sum_{i=1}^m \lambda_i v_i =0$$

साथ $$\textstyle \lambda_i\in\mathbb{R}$$. फिर हस्ताक्षरित सर्किट $$\textstyle X=\{X^+,X^-\}$$ सकारात्मक तत्व हैं $$\textstyle X^+=\{v_i:\lambda_i>0\}$$ और नकारात्मक तत्व $$\textstyle X^-=\{v_i:\lambda_i<0\}$$. ऐसे सभी का सेट $$\textstyle X$$ ओरिएंटेड मैट्रोइड ऑन के हस्ताक्षरित सर्किट का सेट बनाता है $$\textstyle E$$. ओरिएंटेड मैट्रोइड्स जिन्हें इस तरह से महसूस किया जा सकता है उन्हें मैट्रोइड प्रतिनिधित्व कहा जाता है।

सदिशों के समान समुच्चय को देखते हुए $$E$$, हम उसी ओरिएंटेड मैट्रोइड को चिरोटोप के साथ परिभाषित कर सकते हैं $$\chi:E^r\rightarrow\{-1,0,1\}$$. किसी के लिए $$x_1,\dots,x_r\in E$$ होने देना
 * $$\chi(x_1,\dots,x_r)=\operatorname{sgn}(\det(x_1,\dots,x_r))$$

जहाँ समीकरण का दाहिना पक्ष निर्धारक का चिह्न है। तब $$ \chi$$ सेट पर उसी ओरिएंटेड मैट्रोइड का चिरोटोप है $$E$$.

हाइपरप्लेन व्यवस्था
एक वास्तविक हाइपरप्लेन व्यवस्था $$\mathcal A = \{H_1, \ldots, H_n\}$$ में हाइपरप्लेन का एक परिमित सेट है $$\R^d $$, प्रत्येक में मूल है। प्रत्येक हाइपरप्लेन के एक पक्ष को धनात्मक पक्ष के रूप में चुनकर, हम अर्ध-स्थानों की व्यवस्था प्राप्त करते हैं। आधे स्थान की व्यवस्था परिवेशी स्थान को कोशिकाओं के एक सीमित संग्रह में तोड़ देती है, प्रत्येक को प्रत्येक हाइपरप्लेन के किस तरफ परिभाषित किया जाता है। यानी प्रत्येक बिंदु असाइन करें $$x\in \R^d$$हस्ताक्षरित सेट के लिए $$X = (X^+, X^-)$$साथ $$i \in X^+$$ अगर $$x$$ के सकारात्मक पक्ष में है $$H_i$$और $$i\in X^-$$अगर $$x$$ के नकारात्मक पक्ष में है $$H_i$$. हस्ताक्षरित सेटों का यह संग्रह ओरिएंटेड मैट्रॉइड के कोवेक्टर्स के सेट को परिभाषित करता है, जो डुअल ओरिएंटेड मैट्रोइड के वैक्टर हैं।

उत्तल पॉलीटॉप
गुंटर एम. ज़िग्लर ने उत्तल पॉलीटोप्स के माध्यम से उन्मुख मैट्रोइड्स का परिचय दिया।

अभिविन्यास
एक मानक मैट्रॉइड को ओरिएंटेबल कहा जाता है यदि इसके सर्किट कुछ ओरिएंटेड मैट्रोइड के हस्ताक्षरित सर्किट का समर्थन करते हैं। यह ज्ञात है कि सभी वास्तविक प्रतिनिधित्व योग्य matroids उन्मुख हैं। यह भी ज्ञात है कि माथेरॉइड माइनर लेने के तहत ओरिएंटेबल मैट्रोइड्स की श्रेणी बंद है, हालांकि ओरिएंटेबल मैट्रोइड्स के लिए मेट्रॉइड#फॉरबिडेन माइनर कैरेक्टराइजेशन की सूची अनंत मानी जाती है। इस अर्थ में, उन्मुख matroids नियमित matroids की तुलना में एक बहुत सख्त औपचारिकता है।

द्वैत
बहुत कुछ मैट्रोइड्स में अद्वितीय डुअल मैट्रॉइड होता है, ओरिएंटेड मैट्रोड्स में अद्वितीय ऑर्थोगोनल डुअल होता है। इसका मतलब यह है कि अंतर्निहित मैट्रोइड दोहरी हैं और कोकिरकिट्स पर हस्ताक्षर किए गए हैं ताकि वे हर सर्किट के लिए ऑर्थोगोनल हों। दो हस्ताक्षरित सेटों को ऑर्थोगोनल कहा जाता है यदि उनके समर्थन का प्रतिच्छेदन खाली है या यदि चौराहे पर उनके सकारात्मक तत्वों का प्रतिबंध और चौराहे पर नकारात्मक तत्व दो गैर-समान और गैर-विपरीत हस्ताक्षरित सेट बनाते हैं। दोहरे उन्मुख मैट्रोइड का अस्तित्व और विशिष्टता इस तथ्य पर निर्भर करती है कि प्रत्येक हस्ताक्षरित सर्किट प्रत्येक हस्ताक्षरित सर्किट के लिए ऑर्थोगोनल है। यह देखने के लिए कि विशिष्टता के लिए ऑर्थोगोनलिटी क्यों आवश्यक है, केवल ऊपर दिए गए डिग्राफ उदाहरण को देखने की जरूरत है। हम जानते हैं कि प्लानर ग्राफ़ के लिए, कि सर्किट मैट्रॉइड का दोहरा ग्राफ़ के दोहरे ग्राफ़ का सर्किट मैट्रॉइड है। इस प्रकार कई अलग-अलग उन्मुख मैट्रोइड्स हैं जो दोहरी हैं क्योंकि ग्राफ और उसके दोहरे को उन्मुख करने के तरीके हैं।

इस अनूठे ऑर्थोगोनल डुअल ओरिएंटेड मैट्रोइड के स्पष्ट निर्माण को देखने के लिए, ओरिएंटेड मैट्रोइड के चिरोटोप पर विचार करें $$\chi:E^r\rightarrow\{-1,0,1\}$$. यदि हम तत्वों की सूची पर विचार करें $$ x_1,\dots,x_k \in E$$ एक चक्रीय क्रमचय के रूप में तो हम परिभाषित करते हैं $$\operatorname{sgn}(x_1,\dots,x_k)$$ संबंधित क्रमचय का संकेत होना। अगर $$\chi^*:E^{|E|-r}\rightarrow\{-1,0,1\}$$ परिभाषित किया जाता है
 * $$\chi^*(x_1,\dots,x_r)\mapsto \chi(x_{r+1},\dots,x_{|E|})\operatorname{sgn}(x_1,\dots,x_r,x_{r+1},\dots,x_{|E|}),$$

तब $$\chi^*$$ अद्वितीय ऑर्थोगोनल डुअल ओरिएंटेड मैट्रोइड का चिरोटोप है।

सामयिक प्रतिनिधित्व
सभी उन्मुख मैट्रोइड प्रतिनिधित्व करने योग्य नहीं हैं-अर्थात्, सभी को बिंदु विन्यास या, समकक्ष, हाइपरप्लेन व्यवस्था के रूप में प्राप्ति नहीं होती है। हालांकि, कुछ अर्थों में, सभी उन्मुख मैट्रोइड्स प्राप्ति के करीब आते हैं हाइपरप्लेन व्यवस्थाएं हैं। विशेष रूप से, फोकमैन-लॉरेंस टोपोलॉजिकल प्रतिनिधित्व प्रमेय कहता है कि किसी भी उन्मुख मैट्रोइड को एक स्यूडोलिन # अन्य प्रकार की व्यवस्था के रूप में एक अहसास है। ए $$d$$-आयामी स्यूडोस्फीयर का एक एम्बेडिंग है $$e:S^d\hookrightarrow S^{d+1}$$ ऐसा है कि एक होमियोमोर्फिज्म मौजूद है $$h:S^{d+1}\rightarrow S^{d+1}$$ ताकि $$h \circ e $$ एम्बेड $$S^d$$ भूमध्य रेखा के रूप में $$S^{d+1}$$. इस अर्थ में एक स्यूडोस्फीयर सिर्फ एक कई गुना स्फीयर है (सिकंदर सींग वाला गोला के विपरीत)। में एक स्यूडोस्फीयर व्यवस्था $$S^d$$स्यूडोस्फीयर का एक संग्रह है जो स्यूडोस्फीयर के साथ प्रतिच्छेद करता है। अंत में, फोल्कमैन लॉरेंस टोपोलॉजिकल प्रतिनिधित्व प्रमेय कहता है कि रैंक के प्रत्येक उन्मुख मैट्रोइड $$d+1$$ में एक स्यूडोस्फीयर व्यवस्था से प्राप्त किया जा सकता है $$S^d$$. इसका नाम जॉन फोकमैन और जिम लॉरेंस (गणितज्ञ) के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इसे 1978 में प्रकाशित किया था।

ज्यामिति


ओरिएंटेड मैट्रोइड्स के सिद्धांत ने संयोजी ज्यामिति के विकास को प्रभावित किया है, विशेष रूप से उत्तल पॉलीटोप्स, ज़ोनोटोप्स और वैक्टरों के विन्यास (हाइपरप्लेन की व्यवस्था) के सिद्धांत। कई परिणाम-कैराथियोडोरी के प्रमेय (उत्तल पतवार) | कैराथोडोरी के प्रमेय, हेली के प्रमेय, राडोन के प्रमेय, हैन-बनाक प्रमेय, केरीन-मिलमैन प्रमेय, भेड़िया लेम्मा को उपयुक्त उन्मुख मैट्रोइड्स का उपयोग करके तैयार किया जा सकता है।

अनुकूलन


ओरिएंटेड मैट्रोइड्स के लिए एक स्वयंसिद्ध प्रणाली का विकास आर. टाइरेल रॉकफेलर द्वारा शुरू किया गया था ताकि डेंटज़िग के सिंप्लेक्स एल्गोरिथम के धुरी संचालन के माध्यम से उत्पन्न होने वाले मैट्रिसेस के साइन पैटर्न का वर्णन किया जा सके; रॉकफेलर टकर की झांकी में अल्बर्ट डब्ल्यू टकर के इस तरह के साइन पैटर्न के अध्ययन से प्रेरित था। ओरिएंटेड मैट्रोड्स के सिद्धांत ने संयोजन अनुकूलन में सफलता हासिल की है। रैखिक प्रोग्रामिंग में, यह वह भाषा थी जिसमें रॉबर्ट जी. ब्लैंड ने अपना ब्लैंड का नियम तैयार किया, जिसके द्वारा सिंप्लेक्स एल्गोरिदम चक्रों से बचता है। इसी तरह, टरलाकी और झांग ने यह साबित करने के लिए इसका इस्तेमाल किया कि उनके क्रिस-क्रॉस एल्गोरिथम में रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं के लिए परिमित समाप्ति होती है। इसी तरह के परिणाम टोड और टेरलेकी द्वारा उत्तल द्विघात प्रोग्रामिंग में बनाए गए थे। इसे रैखिक-भिन्नात्मक प्रोग्रामिंग पर लागू किया गया है, द्विघात प्रोग्रामिंग|द्विघात-प्रोग्रामिंग समस्याएं, और रैखिक संपूरकता समस्याएं। संयोजी अनुकूलन के बाहर, ओएम सिद्धांत रॉकफेलर के मोनोट्रोपिक प्रोग्रामिंग के सिद्धांत और गढ़वाले वंश के संबंधित विचारों में उत्तल न्यूनीकरण में भी प्रकट होता है। इसी तरह, मैट्रोइड सिद्धांत ने संयोजी एल्गोरिदम के विकास को प्रभावित किया है, विशेष रूप से लालची एल्गोरिदम। अधिक आम तौर पर, एल्गोरिदम की परिमित समाप्ति का अध्ययन करने के लिए एक लालची उपयोगी होता है।

किताबें

 * इवर डी. नेरिंग और अल्बर्ट डब्ल्यू. टकर, 1993, लीनियर प्रोग्राम्स एंड रिलेटेड प्रॉब्लम्स, एकेडमिक प्रेस। (प्राथमिक)
 * दिमित्रिस वर्टसेकस के एथेना साइंटिफिक द्वारा पुनर्प्रकाशित, 1998।
 * इवर डी. नेरिंग और अल्बर्ट डब्ल्यू. टकर, 1993, लीनियर प्रोग्राम्स एंड रिलेटेड प्रॉब्लम्स, एकेडमिक प्रेस। (प्राथमिक)
 * दिमित्रिस वर्टसेकस के एथेना साइंटिफिक द्वारा पुनर्प्रकाशित, 1998।
 * इवर डी. नेरिंग और अल्बर्ट डब्ल्यू. टकर, 1993, लीनियर प्रोग्राम्स एंड रिलेटेड प्रॉब्लम्स, एकेडमिक प्रेस। (प्राथमिक)
 * दिमित्रिस वर्टसेकस के एथेना साइंटिफिक द्वारा पुनर्प्रकाशित, 1998।

लेख

 * ए. बेचेम, ए. वांका, ओरिएंटेड मैट्रोइड्स के लिए पृथक्करण प्रमेय, डिस्क्रीट मैथ। 70 (1988) 303—310।
 * रॉबर्ट जी. ब्लैंड, न्यू फाइनाइट पिवटिंग रूल्स फॉर सिम्प्लेक्स मेथड, मैथ. संचालन। रेस। 2 (1977) 103–107।
 * आर टायरेल रॉकफेलर। की एक उपसमष्टि के प्रारंभिक सदिश $$R^n$$, कॉम्बिनेटोरियल गणित और उसके अनुप्रयोगों में, आर. सी. बोस और टी. ए. डाउलिंग (एड्स), यूनीव। उत्तरी केरोलिना प्रेस, 1969, 104-127।
 * माइकल जे. टोड, ओरिएंटेड मैट्रोइड्स में रेखीय और द्विघात प्रोग्रामिंग, जे. कॉम्बिन। थ्योरी सेर। बी 39 (1985) 105—133।
 * आर टायरेल रॉकफेलर। की एक उपसमष्टि के प्रारंभिक सदिश $$R^n$$, कॉम्बिनेटोरियल गणित और उसके अनुप्रयोगों में, आर. सी. बोस और टी. ए. डाउलिंग (एड्स), यूनीव। उत्तरी केरोलिना प्रेस, 1969, 104-127।
 * माइकल जे. टोड, ओरिएंटेड मैट्रोइड्स में रेखीय और द्विघात प्रोग्रामिंग, जे. कॉम्बिन। थ्योरी सेर। बी 39 (1985) 105—133।
 * आर टायरेल रॉकफेलर। की एक उपसमष्टि के प्रारंभिक सदिश $$R^n$$, कॉम्बिनेटोरियल गणित और उसके अनुप्रयोगों में, आर. सी. बोस और टी. ए. डाउलिंग (एड्स), यूनीव। उत्तरी केरोलिना प्रेस, 1969, 104-127।
 * माइकल जे. टोड, ओरिएंटेड मैट्रोइड्स में रेखीय और द्विघात प्रोग्रामिंग, जे. कॉम्बिन। थ्योरी सेर। बी 39 (1985) 105—133।
 * माइकल जे. टोड, ओरिएंटेड मैट्रोइड्स में रेखीय और द्विघात प्रोग्रामिंग, जे. कॉम्बिन। थ्योरी सेर। बी 39 (1985) 105—133।
 * माइकल जे. टोड, ओरिएंटेड मैट्रोइड्स में रेखीय और द्विघात प्रोग्रामिंग, जे. कॉम्बिन। थ्योरी सेर। बी 39 (1985) 105—133।
 * माइकल जे. टोड, ओरिएंटेड मैट्रोइड्स में रेखीय और द्विघात प्रोग्रामिंग, जे. कॉम्बिन। थ्योरी सेर। बी 39 (1985) 105—133।
 * माइकल जे. टोड, ओरिएंटेड मैट्रोइड्स में रेखीय और द्विघात प्रोग्रामिंग, जे. कॉम्बिन। थ्योरी सेर। बी 39 (1985) 105—133।

वेब पर




बाहरी संबंध

 * Komei Fukuda (ETH Zentrum, Zurich) with publications including Oriented matroid programming (1982 Ph.D. thesis)
 * Tamás Terlaky (Lehigh University) with publications