श्रेणी सिद्धांत

श्रेणी सिद्धांत गणितीय संरचनाओं और उनके संबंधों का एक सामान्य सिद्धांत है जिसे 20 वीं शताब्दी के मध्य में सैमुअल एलेनबर्ग और सॉन्डर्स मैक लेन द्वारा बीजगणितीय टोपोलॉजी पर उनके मूलभूत कार्य में पेश किया गया था। आजकल, गणित के लगभग सभी क्षेत्रों में और कंप्यूटर विज्ञान के कुछ क्षेत्रों में श्रेणी सिद्धांत का उपयोग किया जाता है। विशेष रूप से, पिछले वाले से नई गणितीय वस्तुओं के कई निर्माण, जो कई संदर्भों में समान रूप से प्रकट होते हैं, आसानी से व्यक्त किए जाते हैं और श्रेणियों के संदर्भ में एकीकृत होते हैं। उदाहरणों में भागफल स्थान (बहुविकल्पी), प्रत्यक्ष उत्पाद, पूर्णता (बहुविकल्पी)#गणित, और द्वैत (गणित) शामिल हैं।

एक श्रेणी (गणित) दो प्रकार की गणितीय वस्तु, श्रेणी की वस्तु (श्रेणी सिद्धांत) और आकारिकी से बनती है, जो आकारिकी के स्रोत और लक्ष्य नामक दो वस्तुओं से संबंधित होती है।. एक अक्सर कहता है कि एक रूपवाद एक 'तीर' है जो अपने स्रोत को 'नक्शा' करता है। यदि पहले आकारिकी का लक्ष्य दूसरे के स्रोत के बराबर होता है, और आकारिकी संरचना में कार्य संरचना (साहचर्यता और पहचान तत्व का अस्तित्व) के समान गुण होते हैं, तो morphisms 'रचना' की जा सकती है। आकृतिवाद अक्सर किसी प्रकार का कार्य (गणित) होता है, लेकिन हमेशा ऐसा नहीं होता है। उदाहरण के लिए, एक मोनोइड को एक एकल वस्तु के साथ एक श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है, जिसका morphisms मोनॉइड के तत्व हैं।

श्रेणी की दूसरी मौलिक अवधारणा एक ऑपरेटर की अवधारणा है, जो दो श्रेणियों के बीच एक रूपवाद की भूमिका निभाती है $$C_1$$ तथा $$C_2:$$ यह वस्तुओं को मैप करता है $$C_1$$ की वस्तुओं को $$C_2$$ और morphisms $$C_1$$ के morphisms के लिए $$C_2$$ इस तरह से कि स्रोतों को स्रोतों के लिए मैप किया जाता है और लक्ष्यों को लक्ष्यों के लिए मैप किया जाता है (या, एक प्रतिपरिवर्तक फ़ैक्टर के मामले में, स्रोतों को लक्ष्यों के लिए मैप किया जाता है और इसके विपरीत)। एक तीसरी मौलिक अवधारणा एक प्राकृतिक परिवर्तन है जिसे फ़ैक्टरों के रूपवाद के रूप में देखा जा सकता है।

श्रेणियाँ
एक श्रेणी सी में निम्नलिखित तीन गणितीय इकाइयां शामिल हैं: प्रत्येक आकारिकी 'f' में एक स्रोत वस्तु 'a' और लक्ष्य वस्तु 'b' होती है। अभिव्यक्ति f : a → b, को मौखिक रूप से कहा जाएगा क्योंकि f, a से b तक का आकार है। अभिव्यक्ति hom(a, b) - वैकल्पिक रूप से व्यक्त किया गया homC(a, b), mor(a, b), या C(a, b) - a से b तक सभी morphisms के होम-क्लास को दर्शाता है। किन्ही तीन वस्तुओं a, b, और c के लिए, हमारे पास है ऐसा कि
 * एक वर्ग (सेट थ्योरी) ओबी (सी), जिसके तत्वों को ऑब्जेक्ट कहा जाता है;
 * एक वर्ग होम (सी), जिसके तत्वों को आकारिकी या मानचित्र (गणित) या तीर कहा जाता है।
 * एक बाइनरी ऑपरेशन ∘, जिसे आकारिकी की संरचना कहा जाता है, जैसे
 * ∘ : hom(b, c) × hom(a, b) → hom(a, c).
 * की रचना f : a → b तथा g : b → c के रूप में लिखा गया है g ∘ f या प्रेमिका, दो स्वयंसिद्धों द्वारा शासित:
 * 1. साहचर्य: यदि f : a → b, g : b → c, तथा h : c → d फिर
 * h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f
 * 2. सर्वसमिका (गणित): प्रत्येक वस्तु x के लिए, आकारिकी का अस्तित्व होता है 1x : x → x x के लिए सर्वसमिका रूपवाद कहा जाता है,
 * हर रूपवाद के लिए f : a → b, अपने पास
 * 1b ∘ f = f = f ∘ ida.
 * स्वयंसिद्धों से यह सिद्ध किया जा सकता है कि प्रत्येक वस्तु के लिए बिल्कुल एक ही पहचान आकारिकी होती है।
 * कुछ लेखक प्रत्येक वस्तु को उसकी पहचान रूपवाद के साथ पहचान कर, अभी-अभी दी गई परिभाषा से हटें।

आकारिकी
morphisms के बीच संबंध (जैसे fg = h) को अक्सर क्रमविनिमेय आरेखों का उपयोग करके चित्रित किया जाता है, जिसमें बिंदु (कोने) वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं और आकारिकी का प्रतिनिधित्व करने वाले तीर होते हैं।

मोर्फिज्म में निम्न में से कोई भी गुण हो सकता है। एक रूपवाद f : a → b एक है:
 * एकरूपता (या मोनिक) अगर f ∘ g1 = f ∘ g2 तात्पर्य g1 = g2 सभी रूपों के लिए g1, g2 : x → a.
 * अधिरूपता (या महाकाव्य) यदि g1 ∘ f = g2 ∘ f तात्पर्य g1 = g2 सभी रूपों के लिए g1, g2 : b → x.
 * बिमोर्फिज्म अगर एफ महाकाव्य और मोनिक दोनों है।
 * समरूपतावाद यदि कोई आकारिकी मौजूद है g : b → a ऐसा है कि f ∘ g = 1b and g ∘ f = 1a.
 * एंडोमोर्फिज्म अगर a = b. अंत (ए) ए के एंडोमोर्फिज्म के वर्ग को दर्शाता है।
 * ऑटोमोर्फिज्म अगर एफ एंडोमोर्फिज्म और आइसोमोर्फिज्म दोनों है। aut(a) a के automorphisms के वर्ग को दर्शाता है।
 * पीछे हटना (श्रेणी सिद्धांत) यदि f का सही व्युत्क्रम मौजूद है, यानी यदि कोई आकारिकी मौजूद है g : b → a साथ f ∘ g = 1b.
 * खंड (श्रेणी सिद्धांत) यदि f का बायाँ व्युत्क्रम मौजूद है, अर्थात यदि कोई आकारिकी मौजूद है g : b → a साथ g ∘ f = 1a.

प्रत्येक प्रत्यावर्तन एक एपिमोर्फिज्म है, और प्रत्येक खंड एक मोनोमोर्फिज्म है। इसके अलावा, निम्नलिखित तीन बयान समकक्ष हैं:
 * f एक एकरूपता और एक प्रत्यावर्तन है;
 * एफ एक एपिमोर्फिज्म और एक खंड है;
 * f एक तुल्याकारिता है।

फंक्टर्स
फ़ंक्टर श्रेणियों के बीच संरचना-संरक्षण मानचित्र हैं। उन्हें सभी (छोटी) श्रेणियों की श्रेणी में आकारिकी के रूप में माना जा सकता है।

A (covariant) functor F श्रेणी C से श्रेणी D तक लिखा गया है F : C → D, के होते हैं:
 * C में प्रत्येक वस्तु x के लिए, D में वस्तु F(x); तथा
 * प्रत्येक रूपवाद के लिए f : x → y सी में, एक morphism F(f) : F(x) → F(y) डी में,

जैसे कि निम्नलिखित दो गुण धारण करते हैं:
 * C में प्रत्येक वस्तु x के लिए, F(1x) = 1F(x);
 * सभी रूपों के लिए f : x → y तथा g : y → z, F(g ∘ f) = F(g) ∘ F(f).

एक प्रतिपरिवर्ती संचालिका F: C → D एक सहसंयोजक फ़ंक्टर की तरह है, सिवाय इसके कि यह आकारिकी को चारों ओर घुमाता है (सभी तीरों को उलट देता है)। अधिक विशेष रूप से, हर रूपवाद f : x → y सी में एक morphism को सौंपा जाना चाहिए F(f) : F(y) → F(x) डी में। दूसरे शब्दों में, एक प्रतिपरिवर्ती फ़ैक्टर विपरीत श्रेणी सी से सहसंयोजक फ़ैक्टर के रूप में कार्य करता हैऑप से D.

प्राकृतिक परिवर्तन
एक प्राकृतिक परिवर्तन दो कारकों के बीच का संबंध है। फ़ंक्टर अक्सर प्राकृतिक निर्माणों और प्राकृतिक परिवर्तनों का वर्णन करते हैं, फिर ऐसे दो निर्माणों के बीच प्राकृतिक समरूपता का वर्णन करते हैं। कभी-कभी दो बिल्कुल भिन्न निर्माणों से एक ही परिणाम प्राप्त होता है; यह दो कारकों के बीच एक प्राकृतिक समरूपता द्वारा व्यक्त किया गया है।

यदि एफ और जी श्रेणियों सी और डी के बीच (सहसंयोजक) फ़ैक्टर हैं, तो एफ से जी तक एक प्राकृतिक परिवर्तन η सी में प्रत्येक वस्तु एक्स को एक आकारिकी से जोड़ता है ηX : F(X) → G(X) डी में ऐसा है कि हर morphism के लिए f : X → Y सी में, हमारे पास है ηY ∘ F(f) = G(f) ∘ ηX; इसका अर्थ है कि निम्न आरेख क्रमविनिमेय आरेख है:

यदि F से G तक एक प्राकृतिक परिवर्तन मौजूद है, तो F और G को स्वाभाविक रूप से आइसोमोर्फिक कहा जाता हैX C में प्रत्येक वस्तु X के लिए एक तुल्याकारिता है।

सार्वभौमिक निर्माण, सीमाएं, और कोलिमिट
श्रेणी सिद्धांत की भाषा का प्रयोग करते हुए गणितीय अध्ययन के कई क्षेत्रों को वर्गीकृत किया जा सकता है। श्रेणियों में सेट, समूह और टोपोलॉजी शामिल हैं।

प्रत्येक श्रेणी को उन गुणों से अलग किया जाता है जो इसकी सभी वस्तुओं में समान होते हैं, जैसे कि खाली सेट या उत्पाद टोपोलॉजी, फिर भी एक श्रेणी की परिभाषा में, वस्तुओं को परमाणु माना जाता है, अर्थात, हम नहीं जानते कि क्या वस्तु A एक सेट है, एक टोपोलॉजी, या कोई अन्य अमूर्त अवधारणा। इसलिए, उन वस्तुओं की आंतरिक संरचना का जिक्र किए बिना विशेष वस्तुओं को परिभाषित करना चुनौती है। तत्वों को संदर्भित किए बिना खाली सेट को परिभाषित करने के लिए, या उत्पाद टोपोलॉजी को खुले सेटों का संदर्भ दिए बिना, इन वस्तुओं को अन्य वस्तुओं के साथ उनके संबंधों के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है, जैसा कि संबंधित श्रेणियों के आकारिकी द्वारा दिया गया है। इस प्रकार, कार्य सार्वभौमिक संपत्ति को खोजना है जो विशिष्ट रूप से ब्याज की वस्तुओं को निर्धारित करता है।

कई महत्वपूर्ण निर्माणों को विशुद्ध रूप से श्रेणीबद्ध तरीके से वर्णित किया जा सकता है यदि श्रेणी सीमा विकसित की जा सकती है और कोलिमिट की धारणा उत्पन्न करने के लिए दोहरीकरण किया जा सकता है।

समतुल्य श्रेणियां
यह पूछना एक स्वाभाविक प्रश्न है: किन परिस्थितियों में दो श्रेणियों को अनिवार्य रूप से एक ही माना जा सकता है, इस अर्थ में कि एक श्रेणी के प्रमेयों को आसानी से दूसरी श्रेणी के प्रमेयों में बदला जा सकता है? ऐसी स्थिति का वर्णन करने के लिए जिस प्रमुख उपकरण का उपयोग किया जाता है, उसे श्रेणियों की समानता कहा जाता है, जो दो श्रेणियों के बीच उपयुक्त कारक द्वारा दिया जाता है। श्रेणीबद्ध तुल्यता ने गणित में श्रेणियों#उदाहरणों की तुल्यता पाई है।

आगे की अवधारणाएं और परिणाम
श्रेणियों और फ़ैक्टरों की परिभाषाएँ केवल श्रेणीबद्ध बीजगणित की मूल बातें प्रदान करती हैं; अतिरिक्त महत्वपूर्ण विषय नीचे सूचीबद्ध हैं। हालांकि इन सभी विषयों के बीच मजबूत अंतर्संबंध हैं, दिए गए आदेश को आगे पढ़ने के लिए एक दिशानिर्देश के रूप में माना जा सकता है।
 * फ़ंक्टर श्रेणी डीC में ऑब्जेक्ट के रूप में C से D तक के फ़ंक्टर हैं और इस तरह के फ़ैक्टर के प्राकृतिक रूपांतरणों के रूप में आकारिकी है। योनेदा लेम्मा श्रेणी सिद्धांत के सबसे प्रसिद्ध बुनियादी परिणामों में से एक है; यह फ़ंक्टर श्रेणियों में प्रतिनिधित्व योग्य फ़ैक्टर्स का वर्णन करता है।
 * द्वैत (श्रेणी सिद्धांत): श्रेणी सिद्धांत में प्रत्येक कथन, प्रमेय या परिभाषा में एक द्वैत होता है जो अनिवार्य रूप से सभी तीरों को उलट कर प्राप्त किया जाता है। यदि श्रेणी C में एक कथन सत्य है तो इसका द्विवचन द्विश्रेणी C में सत्य हैऑप। यह द्वंद्व, जो श्रेणी सिद्धांत के स्तर पर पारदर्शी है, अक्सर अनुप्रयोगों में अस्पष्ट होता है और आश्चर्यजनक संबंधों को जन्म दे सकता है।
 * सहायक कारक: एक फंक्‍टर को किसी अन्‍य फन्‍क्‍टर के बगल में (या दाएं) छोड़ा जा सकता है जो विपरीत दिशा में मैप करता है। इस तरह के आसन्न फंक्शंस की एक जोड़ी आम तौर पर एक सार्वभौमिक संपत्ति द्वारा परिभाषित निर्माण से उत्पन्न होती है; इसे सार्वभौमिक गुणों पर अधिक अमूर्त और शक्तिशाली दृष्टिकोण के रूप में देखा जा सकता है।

उच्च-आयामी श्रेणियां
उपरोक्त अवधारणाओं में से कई, विशेष रूप से श्रेणियों के समतुल्यता, आसन्न फ़ंक्टर जोड़े और फ़ैक्टर श्रेणियां, उच्च-आयामी श्रेणियों के संदर्भ में स्थित हो सकती हैं। संक्षेप में, यदि हम दो वस्तुओं के बीच एक रूपवाद को एक वस्तु से दूसरी वस्तु तक ले जाने वाली प्रक्रिया के रूप में मानते हैं, तो उच्च-आयामी श्रेणियां हमें उच्च-आयामी प्रक्रियाओं पर विचार करके इसे लाभप्रद रूप से सामान्यीकृत करने की अनुमति देती हैं।

उदाहरण के लिए, एक (सख्त) 2-श्रेणी आकारिकी के बीच आकारिकी के साथ एक श्रेणी है, यानी ऐसी प्रक्रियाएँ जो हमें एक आकारिकी को दूसरे में बदलने की अनुमति देती हैं। फिर हम इन द्विरूपताओं को क्षैतिज और लंबवत दोनों तरह से बना सकते हैं, और हमें दो संरचना कानूनों से संबंधित होने के लिए 2-आयामी विनिमय कानून की आवश्यकता होती है। इस संदर्भ में, मानक उदाहरण 'कैट' है, जो सभी (छोटी) श्रेणियों की 2-श्रेणी है, और इस उदाहरण में, आकारिकी के द्विरूपता सामान्य अर्थों में आकारिकी के प्राकृतिक परिवर्तन हैं। एक अन्य मूल उदाहरण एक वस्तु के साथ 2-श्रेणी पर विचार करना है; ये अनिवार्य रूप से मोनोइडल श्रेणी हैं। द्विश्रेणी 2-आयामी श्रेणियों की एक कमजोर धारणा है जिसमें रूपवाद की संरचना सख्ती से साहचर्य नहीं है, लेकिन केवल एक समरूपता तक साहचर्य है।

इस प्रक्रिया को सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए बढ़ाया जा सकता है, और इन्हें n-श्रेणी|n-श्रेणियाँ कहा जाता है। अर्ध-श्रेणी की भी एक धारणा है |

उच्च-आयामी श्रेणियां उच्च-आयामी बीजगणित के व्यापक गणितीय क्षेत्र का हिस्सा हैं, रोनाल्ड ब्राउन (गणितज्ञ) द्वारा पेश की गई अवधारणा। इन विचारों के संवादात्मक परिचय के लिए, देखें जॉन बेज़, 'ए टेल ऑफ़ एन-कैटेगरीज' (1996)।

ऐतिहासिक नोट्स
जबकि समूह सिद्धांत पर 1942 के पेपर में सैमुअल इलेनबर्ग और सॉन्डर्स मैक लेन द्वारा फंक्शनलर्स और प्राकृतिक परिवर्तनों के विशिष्ट उदाहरण दिए गए थे, इन अवधारणाओं को एक ही लेखक द्वारा 1945 के पेपर में श्रेणियों की अतिरिक्त धारणा के साथ, अधिक सामान्य अर्थों में पेश किया गया था। (जिन्होंने बीजगणितीय टोपोलॉजी के क्षेत्र में श्रेणी सिद्धांत के अनुप्रयोगों पर चर्चा की)। उनका काम सहज ज्ञान युक्त और ज्यामितीय होमोलॉजी (गणित) से होमोलॉजिकल बीजगणित, ईलेनबर्ग और मैक लेन से संक्रमण का एक महत्वपूर्ण हिस्सा था, बाद में लिखते हुए कि उनका लक्ष्य प्राकृतिक परिवर्तनों को समझना था, जिसके लिए पहले फ़ैक्टरों की परिभाषा की आवश्यकता थी, फिर श्रेणियां।

स्टैनिस्लाव मछुआरे और उनकी ओर से कुछ लेखन ने दावा किया है कि पोलैंड में 1930 के दशक के अंत में संबंधित विचार प्रचलित थे। ईलेनबर्ग पोलिश थे, और उन्होंने 1930 के दशक में पोलैंड में गणित का अध्ययन किया था। श्रेणी सिद्धांत भी, कुछ अर्थों में, अमूर्त प्रक्रियाओं को औपचारिक बनाने में एमी नोथेर (मैक लेन के शिक्षकों में से एक) के काम की निरंतरता है; नोथेर ने महसूस किया कि एक प्रकार की गणितीय संरचना को समझने के लिए उन प्रक्रियाओं को समझने की आवश्यकता होती है जो उस संरचना (समरूपता) को संरक्षित करती हैं। ईलेनबर्ग और मैक लेन ने उन प्रक्रियाओं (फ़ंक्टर्स) को समझने और औपचारिक बनाने के लिए श्रेणियों की शुरुआत की जो टोपोलॉजी को बीजगणितीय संरचनाओं (टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट्स) से संबंधित करती हैं जो उन्हें चिह्नित करती हैं।

श्रेणी सिद्धांत मूल रूप से होमोलॉजिकल बीजगणित की आवश्यकता के लिए पेश किया गया था, और आधुनिक बीजगणितीय ज्यामिति (योजना सिद्धांत) की आवश्यकता के लिए व्यापक रूप से विस्तारित किया गया था। श्रेणी सिद्धांत को सार्वभौमिक बीजगणित के विस्तार के रूप में देखा जा सकता है, क्योंकि बाद वाला बीजगणितीय संरचनाओं का अध्ययन करता है, और पूर्व किसी भी प्रकार की गणितीय संरचना पर लागू होता है और विभिन्न प्रकृति की संरचनाओं के बीच संबंधों का भी अध्ययन करता है। इस कारण से, इसका उपयोग पूरे गणित में किया जाता है। गणितीय तर्क और शब्दार्थ (कंप्यूटर विज्ञान) (श्रेणीबद्ध अमूर्त मशीन) के लिए आवेदन बाद में आए।

टोपोस (एकवचन टोपोस) नामक कुछ श्रेणियां गणित की नींव के रूप में स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत के विकल्प के रूप में भी काम कर सकती हैं। एक टोपोस को दो अतिरिक्त टोपोस स्वयंसिद्धों के साथ एक विशिष्ट प्रकार की श्रेणी के रूप में भी माना जा सकता है। श्रेणी सिद्धांत के इन मूलभूत अनुप्रयोगों को रचनावाद (गणित) के आधार और औचित्य के रूप में उचित विस्तार से तैयार किया गया है। टोपोस अमूर्त शेफ (गणित) का एक रूप है, ज्यामितीय उत्पत्ति के साथ, और व्यर्थ टोपोलॉजी जैसे विचारों की ओर जाता है।

कार्यात्मक प्रोग्रामिंग और डोमेन सिद्धांत में अनुप्रयोगों के साथ, श्रेणीबद्ध तर्क अब एक अच्छी तरह से परिभाषित क्षेत्र है, जो कार्यात्मक प्रोग्रामिंग और डोमेन सिद्धांत में अनुप्रयोगों के साथ प्रकार सिद्धांत पर आधारित है, जहां एक कार्टेशियन बंद श्रेणी को लैम्ब्डा कैलकुलस के गैर-वाक्यविन्यास विवरण के रूप में लिया जाता है। बहुत कम से कम, श्रेणी सैद्धांतिक भाषा स्पष्ट करती है कि वास्तव में इन संबंधित क्षेत्रों में क्या समानता है (कुछ अर्थों में: अमूर्त अर्थ)।

श्रेणी सिद्धांत को अन्य क्षेत्रों में भी लागू किया गया है। उदाहरण के लिए, जॉन बैज़ ने भौतिकी और मोनोइडल श्रेणियों में फेनमैन आरेखों के बीच एक लिंक दिखाया है। श्रेणी सिद्धांत का एक अन्य अनुप्रयोग, अधिक विशेष रूप से: टोपोस सिद्धांत, गणितीय संगीत सिद्धांत में बनाया गया है, उदाहरण के लिए द टोपोस ऑफ़ म्यूज़िक, ज्योमेट्रिक लॉजिक ऑफ़ कॉन्सेप्ट्स, थ्योरी, और प्रदर्शन ग्वेरिनो माज़ोला द्वारा देखें।

गणित की नींव के रूप में श्रेणियों के लिए अंडरग्रेजुएट्स को पेश करने के हालिया प्रयासों में विलियम लॉवरे और रोजब्रुग (2003) और लॉवरे और स्टीफन शैनुअल (1997) और मिरोस्लाव योतोव (2012) शामिल हैं।

यह भी देखें

 * डोमेन सिद्धांत
 * समृद्ध श्रेणी
 * श्रेणी सिद्धांत की शब्दावली
 * समूह सिद्धांत
 * उच्च श्रेणी सिद्धांत
 * उच्च आयामी बीजगणित
 * गणित में प्रकाशनों की सूची#श्रेणी सिद्धांत
 * लैम्ब्डा कैलकुलस
 * श्रेणी सिद्धांत की रूपरेखा
 * श्रेणी सिद्धांत और संबंधित गणित की समयरेखा

स्रोत

 * एमएससी के हिस्से के रूप में पेश किए जाने वाले पाठ्यक्रम के लिए नोट्स। गणितीय तर्क में, मैनचेस्टर विश्वविद्यालय।
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 * भौतिक विज्ञान
 * श्रेणीबद्ध सार मशीन
 * अंतर्ज्ञानवादी तर्क
 * शेफ़ (गणित)
 * गुएरिनो माज़ोला

बाहरी संबंध

 * Theory and Application of Categories, an electronic journal of category theory, full text, free, since 1995.
 * nLab, a wiki project on mathematics, physics and philosophy with emphasis on the n-categorical point of view.
 * The n-Category Café, essentially a colloquium on topics in category theory.
 * Category Theory, a web page of links to lecture notes and freely available books on category theory.
 * , a formal introduction to category theory.
 * , with an extensive bibliography.
 * List of academic conferences on category theory
 * — An informal introduction to higher order categories.
 * WildCats is a category theory package for Mathematica. Manipulation and visualization of objects, morphisms, categories, functors, natural transformations, universal properties.
 * , a channel about category theory.
 * Video archive of recorded talks relevant to categories, logic and the foundations of physics.
 * Interactive Web page which generates examples of categorical constructions in the category of finite sets.
 * Category Theory for the Sciences, an instruction on category theory as a tool throughout the sciences.
 * Category Theory for Programmers A book in blog form explaining category theory for computer programmers.
 * Introduction to category theory.
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 * Introduction to category theory.