तारकीय न्यूक्लियोसिंथेसिस



तारकीय न्यूक्लियोसिंथेसिस तारों के भीतर परमाणु संलयन प्रतिक्रियाओं द्वारा रासायनिक तत्वों का न्यूक्लियोसिंथेसिस|निर्माण (न्यूक्लियोसिंथेसिस) है। महा विस्फोट के दौरान हाइड्रोजन, हीलियम और लिथियम के बिग बैंग न्यूक्लियोसिंथेसिस के बाद से तारकीय न्यूक्लियोसिंथेसिस हुआ है। भविष्य कहनेवाला शक्ति के रूप में, यह तत्वों की प्रेक्षित बहुतायत का सटीक अनुमान देता है। यह बताता है कि तत्वों की प्रेक्षित बहुतायत समय के साथ क्यों बदलती है और क्यों कुछ तत्व और उनके समस्थानिक दूसरों की तुलना में बहुत अधिक प्रचुर मात्रा में होते हैं। सिद्धांत को शुरू में 1946 में फ्रेड हॉयल द्वारा प्रस्तावित किया गया था, जिन्होंने बाद में 1954 में इसे परिष्कृत किया। मार्गरेट बर्बिज और जेफ्री बर्बिज, विलियम अल्फ्रेड फाउलर और फ्रेड हॉयल ने अपने प्रसिद्ध 1957 बी2एफएच पेपर|बी2एफएच पेपर, जो खगोल भौतिकी के इतिहास में सबसे अधिक उद्धृत पत्रों में से एक बन गया।

तारकीय विकास उनके जीवनकाल में उनकी संरचना में परिवर्तन (उनके घटक तत्वों की प्रचुरता) के कारण, पहले हाइड्रोजन दहन (मुख्य अनुक्रम तारा), फिर हीलियम दहन (क्षैतिज शाखा तारा) और उत्तरोत्तर उच्च तत्वों के जलने से हुआ। हालाँकि, यह अपने आप में ब्रह्मांड में तत्वों की प्रचुरता को महत्वपूर्ण रूप से नहीं बदलता है क्योंकि तत्व तारे के भीतर समाहित हैं। बाद में अपने जीवन में, एक कम-द्रव्यमान तारा तारकीय हवा के माध्यम से अपने वायुमंडल को धीरे-धीरे बाहर निकाल देगा, जिससे एक ग्रह नीहारिका बन जाएगी, जबकि एक उच्च-द्रव्यमान तारा सुपरनोवा नामक अचानक विनाशकारी घटना के माध्यम से द्रव्यमान को बाहर निकाल देगा। सुपरनोवा न्यूक्लियोसिंथेसिस शब्द का उपयोग बड़े पैमाने पर तारे या सफेद बौने के विस्फोट के दौरान तत्वों के निर्माण का वर्णन करने के लिए किया जाता है।

जलने वाले ईंधन का उन्नत क्रम गुरुत्वाकर्षण के पतन और उससे जुड़े ताप से प्रेरित होता है, जिसके परिणामस्वरूप कार्बन जलने, ऑक्सीजन-जलने की प्रक्रिया और सिलिकॉन जलने का परिणाम होता है। हालाँकि, अधिकांश न्यूक्लियोसिंथेसिस मास रेंज में हैं A = 28–56 (सिलिकॉन से निकेल तक) वास्तव में स्टार सुपरनोवा # कोर पतन की ऊपरी परतों के कारण होता है, जिससे एक संपीड़न सदमे की लहर  बाहर की ओर उछलती है। शॉक फ्रंट संक्षेप में तापमान को लगभग 50% बढ़ा देता है, जिससे लगभग एक सेकंड के लिए भयंकर जलन होती है। विशाल सितारों में यह अंतिम दहन, जिसे विस्फोटक न्यूक्लियोसिंथेसिस या सुपरनोवा न्यूक्लियोसिंथेसिस कहा जाता है, तारकीय न्यूक्लियोसिंथेसिस का अंतिम युग है।

न्यूक्लियोसिंथेसिस के सिद्धांत के विकास के लिए एक प्रोत्साहन रासायनिक तत्वों की प्रचुरता में भिन्नता की खोज थी#ब्रह्मांड। भौतिक विवरण की आवश्यकता पहले से ही सौर मंडल में रासायनिक तत्वों के सापेक्ष प्रचुरता से प्रेरित थी। तत्वों की परमाणु संख्या के एक समारोह के रूप में एक ग्राफ पर प्लॉट किए जाने पर उन बहुतायत में एक दांतेदार आरी का आकार होता है जो दसियों लाख के कारकों से भिन्न होता है (न्यूक्लियोसिंथेसिस सिद्धांत का इतिहास देखें)। इसने एक प्राकृतिक प्रक्रिया का सुझाव दिया जो यादृच्छिक नहीं है। तारकीय न्यूक्लियोसिंथेसिस की प्रक्रियाओं को समझने के लिए दूसरा प्रोत्साहन 20वीं शताब्दी के दौरान हुआ, जब यह महसूस किया गया कि परमाणु संलयन प्रतिक्रियाओं से निकलने वाली ऊर्जा गर्मी और प्रकाश के स्रोत के रूप में सूर्य की दीर्घायु के लिए जिम्मेदार है।

इतिहास
1920 में, आर्थर एडिंगटन, फ्रांसिस विलियम एस्टन द्वारा परमाणु द्रव्यमान के सटीक माप के आधार पर|F.W. एस्टन और जॉन पेरिन  के एक प्रारंभिक सुझाव ने प्रस्तावित किया कि सितारों ने हीलियम बनाने के लिए हाइड्रोजन के परमाणु संलयन से अपनी ऊर्जा प्राप्त की और संभावना जताई कि सितारों में भारी तत्व उत्पन्न होते हैं।   यह तारकीय न्यूक्लियोसिंथेसिस के विचार की दिशा में एक प्रारंभिक कदम था। 1928 में  जॉर्ज गैमोव  ने क्वांटम यांत्रिकी, जिसे अब गैमो कारक कहा जाता है, प्राप्त किया। क्वांटम-मैकेनिकल फॉर्मूला दो सन्निहित नाभिकों के लिए उनके बीच इलेक्ट्रोस्टैटिक कूलम्ब बाधा को पार करने और मजबूत होने के कारण परमाणु प्रतिक्रिया से गुजरने के लिए पर्याप्त रूप से एक दूसरे से संपर्क करने की संभावना प्रदान करता है। परमाणु बल जो बहुत कम दूरी पर ही प्रभावी होता है।  अगले दशक में गैमो कारक का उपयोग रॉबर्ट डी'एस्कॉर्ट एटकिन्सन और फ्रिट्ज हौटरमैन्स द्वारा और बाद में एडवर्ड टेलर और खुद गैमो द्वारा उस दर को प्राप्त करने के लिए किया गया था जिस पर तारकीय आंतरिक भाग में मौजूद उच्च तापमान पर परमाणु प्रतिक्रियाएं होती हैं।

1939 में, नोबेल पुरस्कार #नोबेल व्याख्यान में सितारों में ऊर्जा उत्पादन शीर्षक से, हंस बेथे ने प्रतिक्रियाओं के लिए विभिन्न संभावनाओं का विश्लेषण किया जिसके द्वारा हाइड्रोजन को हीलियम में जोड़ा जाता है। उन्होंने दो प्रक्रियाओं को परिभाषित किया जिन्हें वे तारों में ऊर्जा के स्रोत मानते थे। पहला, प्रोटॉन-प्रोटॉन चेन रिएक्शन, सूर्य के द्रव्यमान तक द्रव्यमान वाले सितारों में प्रमुख ऊर्जा स्रोत है। दूसरी प्रक्रिया, सीएनओ चक्र | कार्बन-नाइट्रोजन-ऑक्सीजन चक्र, जिसे 1938 में कार्ल फ्रेडरिक वॉन वीज़स्कर द्वारा भी माना गया था, अधिक विशाल मुख्य-अनुक्रम सितारों में अधिक महत्वपूर्ण है। ये कार्य तारों को गर्म रखने में सक्षम ऊर्जा उत्पादन से संबंधित हैं। 1968 की पाठ्यपुस्तक में प्रोटॉन-प्रोटॉन श्रृंखला और CNO चक्र का स्पष्ट भौतिक विवरण दिखाई देता है।  हालांकि, बेठे के दो पेपर भारी नाभिकों के निर्माण को संबोधित नहीं करते थे। यह सिद्धांत 1946 में फ्रेड हॉयल द्वारा अपने तर्क के साथ शुरू किया गया था कि बहुत गर्म नाभिक का एक संग्रह थर्मोडायनामिक रूप से लोहे में इकट्ठा होगा। हॉयल ने इसके बाद 1954 में एक पेपर के साथ वर्णन किया कि कैसे बड़े पैमाने पर सितारों के भीतर उन्नत संलयन चरण कार्बन से लोहे के तत्वों को बड़े पैमाने पर संश्लेषित करेंगे। हॉयल के सिद्धांत को अन्य प्रक्रियाओं तक विस्तारित किया गया था, जिसकी शुरुआत मार्गरेट बर्बिज, जेफ्री बर्बिज, विलियम अल्फ्रेड फाउलर और फ्रेड हॉयल द्वारा 1957 के रिव्यू पेपर सिंथेसिस ऑफ द एलिमेंट्स इन स्टार्स के प्रकाशन से हुई थी, जिसे आमतौर पर बी2एफएच पेपर|बी के रूप में संदर्भित किया जाता है।2एफएच पेपर। इस समीक्षा पत्र ने पहले के शोध को एक भारी उद्धृत तस्वीर में एकत्र किया और परिष्कृत किया जिसने तत्वों के देखे गए सापेक्ष बहुतायत के लिए लेखांकन का वादा किया; लेकिन इसने स्वयं प्राथमिक नाभिकों की उत्पत्ति के लिए हॉयल की 1954 की तस्वीर का विस्तार नहीं किया, जितना कि कई लोगों ने माना, न्यूट्रॉन कैप्चर द्वारा लोहे से भारी तत्वों के न्यूक्लियोसिंथेसिस की समझ को छोड़कर। एलिस्टर जी. डब्ल्यू. कैमरून और डोनाल्ड डी. क्लेटन द्वारा महत्वपूर्ण सुधार किए गए। 1957 में कैमरन ने न्यूक्लियोसिंथेसिस के लिए अपना स्वतंत्र दृष्टिकोण प्रस्तुत किया, हॉयल के उदाहरण से सूचित किया, और कंप्यूटर को परमाणु प्रणालियों के विकास की समय-निर्भर गणनाओं में पेश किया। क्लेटन ने 1961 में एस-प्रोसेस|एस-प्रोसेस के पहली बार-निर्भर मॉडल की गणना की और 1965 में आर-प्रोसेस|आर-प्रोसेस का, साथ ही 1968 में प्रचुर मात्रा में अल्फा-कण नाभिक और लौह-समूह तत्वों में सिलिकॉन के जलने से, और रेडियोजेनिक कालक्रम की खोज की तत्वों की आयु निर्धारित करने के लिए।



मुख्य प्रतिक्रियाएँ
तारकीय न्यूक्लियोसिंथेसिस में सबसे महत्वपूर्ण प्रतिक्रियाएं:
 * हाइड्रोजन संलयन:
 * ड्यूटेरियम संलयन
 * प्रोटॉन-प्रोटॉन श्रृंखला
 * सीएनओ चक्र | कार्बन-नाइट्रोजन-ऑक्सीजन चक्र
 * हीलियम संलयन:
 * ट्रिपल-अल्फा प्रक्रिया
 * अल्फा प्रक्रिया
 * भारी तत्वों का संलयन:
 * लिथियम जलना : भूरा बौना  में आमतौर पर पाई जाने वाली प्रक्रिया
 * कार्बन जलाने की प्रक्रिया
 * नियॉन-बर्निंग प्रक्रिया
 * ऑक्सीजन जलाने की प्रक्रिया
 * सिलिकॉन जलाने की प्रक्रिया
 * लोहे से भारी तत्वों का उत्पादन:
 * न्यूट्रॉन कैप्चर:
 * आर-प्रक्रिया
 * एस-प्रक्रिया
 * प्रोटॉन कैप्चर:
 * आर[[पी-प्रक्रिया]]
 * पी-प्रक्रिया
 * फोटोविघटन

हाइड्रोजन संलयन
हाइड्रोजन संलयन (हीलियम -4 नाभिक बनाने के लिए चार प्रोटॉन का परमाणु संलयन प्रमुख प्रक्रिया है जो मुख्य अनुक्रम | मुख्य-अनुक्रम सितारों के कोर में ऊर्जा उत्पन्न करती है। इसे हाइड्रोजन जलाना भी कहा जाता है, जिसे ऑक्सीकरण वातावरण में रासायनिक प्रतिक्रिया हाइड्रोजन # दहन के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। दो प्रमुख प्रक्रियाएं हैं जिनके द्वारा तारकीय हाइड्रोजन संलयन होता है: प्रोटॉन-प्रोटॉन श्रृंखला और कार्बन-नाइट्रोजन-ऑक्सीजन (सीएनओ) चक्र। सफेद बौनों के अपवाद के साथ सभी सितारों में से नब्बे प्रतिशत, इन दो प्रक्रियाओं द्वारा हाइड्रोजन का संलयन कर रहे हैं।

सूर्य जैसे निम्न-द्रव्यमान मुख्य-अनुक्रम सितारों के कोर में, प्रमुख ऊर्जा उत्पादन प्रक्रिया प्रोटॉन-प्रोटॉन श्रृंखला प्रतिक्रिया है। यह प्रतिक्रियाओं के एक क्रम के माध्यम से एक हीलियम -4 नाभिक बनाता है जो एक उत्सर्जित पॉज़िट्रॉन और न्यूट्रिनो के साथ एक ड्यूटेरियम नाभिक (एक प्रोटॉन प्लस एक न्यूट्रॉन) बनाने के लिए दो प्रोटॉन के संलयन से शुरू होता है। प्रत्येक पूर्ण संलयन चक्र में, प्रोटॉन-प्रोटॉन श्रृंखला अभिक्रिया लगभग 26.2 MeV छोड़ती है। प्रोटॉन-प्रोटॉन श्रृंखला प्रतिक्रिया चक्र तापमान के प्रति अपेक्षाकृत असंवेदनशील है; तापमान में 10% की वृद्धि से इस विधि से ऊर्जा उत्पादन में 46% की वृद्धि होगी, इसलिए, यह हाइड्रोजन संलयन प्रक्रिया तारे की त्रिज्या के एक तिहाई तक हो सकती है और तारे के द्रव्यमान का आधा हिस्सा घेर सकती है। सूर्य के द्रव्यमान के 35% से ऊपर के तारों के लिए, सतह की ओर ऊर्जा प्रवाह पर्याप्त रूप से कम है और संवहन (गर्मी हस्तांतरण) के बजाय कोर क्षेत्र से ऊर्जा हस्तांतरण विकिरण गर्मी हस्तांतरण  द्वारा रहता है। नतीजतन, बाहर की ओर कोर या फ्यूजन उत्पादों में ताजा हाइड्रोजन का थोड़ा सा मिश्रण होता है।

उच्च-द्रव्यमान सितारों में, प्रमुख ऊर्जा उत्पादन प्रक्रिया CNO चक्र है, जो एक उत्प्रेरक चक्र है जो कार्बन, नाइट्रोजन और ऑक्सीजन के नाभिकों को मध्यस्थ के रूप में उपयोग करता है और अंत में प्रोटॉन-प्रोटॉन श्रृंखला के रूप में एक हीलियम नाभिक का उत्पादन करता है। एक पूर्ण CNO चक्र के दौरान, 25.0 MeV ऊर्जा मुक्त होती है। प्रोटॉन-प्रोटोन श्रृंखला प्रतिक्रिया की तुलना में इस चक्र के ऊर्जा उत्पादन में अंतर, न्युट्रीनो  उत्सर्जन के माध्यम से खोई हुई ऊर्जा के कारण होता है। सीएनओ चक्र बहुत तापमान संवेदनशील है, तापमान में 10% की वृद्धि से ऊर्जा उत्पादन में 350% की वृद्धि होगी। सीएनओ चक्र ऊर्जा उत्पादन का लगभग 90% स्टार के द्रव्यमान के आंतरिक 15% के भीतर होता है, इसलिए यह कोर पर दृढ़ता से केंद्रित होता है। इसका परिणाम इतनी तीव्र बाहरी ऊर्जा प्रवाह में होता है कि  विकिरण स्थानांतरण  की तुलना में संवहन ऊर्जा हस्तांतरण अधिक महत्वपूर्ण हो जाता है। नतीजतन, कोर क्षेत्र एक संवहन क्षेत्र बन जाता है, जो हाइड्रोजन संलयन क्षेत्र को हिलाता है और इसे आसपास के प्रोटॉन-समृद्ध क्षेत्र के साथ अच्छी तरह मिलाता है। यह कोर संवहन सितारों में होता है जहां सीएनओ चक्र कुल ऊर्जा का 20% से अधिक योगदान देता है। जैसे-जैसे तारे की उम्र बढ़ती है और कोर का तापमान बढ़ता है, संवहन क्षेत्र के कब्जे वाला क्षेत्र धीरे-धीरे 20% द्रव्यमान से नीचे द्रव्यमान के आंतरिक 8% तक सिकुड़ जाता है। सूर्य अपनी ऊर्जा का 1% CNO चक्र से पैदा करता है।

एक तारे में हावी होने वाली हाइड्रोजन संलयन प्रक्रिया का प्रकार दो प्रतिक्रियाओं के बीच तापमान निर्भरता के अंतर से निर्धारित होता है। प्रोटॉन-प्रोटॉन श्रृंखला प्रतिक्रिया लगभग तापमान पर शुरू होती है $4 K$, यह छोटे सितारों में प्रमुख संलयन तंत्र बनाता है। एक स्व-अनुरक्षण CNO श्रृंखला को लगभग उच्च तापमान की आवश्यकता होती है $16 K$, लेकिन इसके बाद जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है, प्रोटॉन-प्रोटॉन प्रतिक्रिया की तुलना में दक्षता में यह अधिक तेजी से बढ़ता है। ऊपर लगभग $17 K$, CNO चक्र ऊर्जा का प्रमुख स्रोत बन जाता है। यह तापमान सूर्य के द्रव्यमान के कम से कम 1.3 गुना द्रव्यमान वाले मुख्य-अनुक्रम सितारों के कोर में प्राप्त किया जाता है। स्वयं सूर्य का कोर तापमान लगभग होता है $15.7 K$. मुख्य-अनुक्रम तारे की आयु के रूप में, कोर तापमान में वृद्धि होगी, जिसके परिणामस्वरूप इसके सीएनओ चक्र से योगदान में लगातार वृद्धि होगी।

हीलियम संलयन
हाइड्रोजन संलयन के परिणामस्वरूप मुख्य अनुक्रम सितारे अपने कोर में हीलियम जमा करते हैं, लेकिन कोर हीलियम संलयन शुरू करने के लिए पर्याप्त गर्म नहीं होता है। हीलियम संलयन सबसे पहले तब शुरू होता है जब कोई तारा अपने मूल में पर्याप्त हीलियम को प्रज्वलित करने के बाद लाल विशाल शाखा को छोड़ देता है। सूर्य के द्रव्यमान के आसपास के सितारों में, यह लाल विशाल शाखा की नोक पर एक डीजनरेट पदार्थ हीलियम कोर से हीलियम फ्लैश के साथ शुरू होता है, और तारा क्षैतिज शाखा में चला जाता है जहां यह अपने कोर में हीलियम को जलाता है। अधिक विशाल तारे बिना फ्लैश के अपने कोर में हीलियम को प्रज्वलित करते हैं और स्पर्शोन्मुख विशाल शाखा तक पहुँचने से पहले एक नीले लूप को निष्पादित करते हैं। ऐसा सितारा शुरू में एजीबी से नीले रंग की ओर जाता है, फिर वापस लूप करता है जिसे हयाशी एट अल।  कहा जाता है।  नीला पाश ्स का एक महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि वे मिल्की वे और आस-पास की आकाशगंगाओं में दूरियों को निर्धारित करने में केंद्रीय महत्व के शास्त्रीय सेफिड चर को जन्म देते हैं।  नाम के बावजूद, लाल विशाल शाखा से नीले लूप पर तारे आमतौर पर नीले रंग के नहीं होते हैं, बल्कि पीले रंग के दिग्गज होते हैं, संभवतः सेफिड चर। वे हीलियम को तब तक फ्यूज करते हैं जब तक कि कोर काफी हद तक कार्बन और ऑक्सीजन न हो जाए। जब वे मुख्य अनुक्रम को छोड़ देते हैं और लाल महादानव बन जाते हैं तो सबसे विशाल तारे महादानव बन जाते हैं। एक स्टार के कोर में हीलियम समाप्त होने के बाद, कार्बन-ऑक्सीजन कोर के चारों ओर एक खोल में हीलियम संलयन जारी रहेगा।

सभी मामलों में, हीलियम को ट्रिपल-अल्फा प्रक्रिया के माध्यम से कार्बन में जोड़ा जाता है, यानी, तीन हीलियम नाभिक बेरिलियम-8 के माध्यम से कार्बन में परिवर्तित हो जाते हैं|8हो। इसके बाद यह अल्फा प्रक्रिया के माध्यम से ऑक्सीजन, नियॉन और भारी तत्वों का निर्माण कर सकता है। इस तरह, अल्फा प्रक्रिया अधिमानतः हीलियम नाभिक पर कब्जा करके प्रोटॉन की सम संख्या वाले तत्वों का उत्पादन करती है। प्रोटॉन की विषम संख्या वाले तत्व अन्य संलयन पथों द्वारा बनते हैं।

प्रतिक्रिया दर
संख्या घनत्व n वाले प्रजातियों A और B के बीच प्रतिक्रिया दर घनत्वA,B, द्वारा दिया गया है:
 * $$r = n_A \, n_B \, k $$

जहां कश्मीर परमाणु संलयन प्रक्रिया को बनाने वाली प्रत्येक प्राथमिक बाइनरी प्रतिक्रिया की प्रतिक्रिया दर स्थिर है:
 * $$k = \langle \sigma(v)\,v \rangle$$

यहाँ, σ(v) सापेक्ष वेग v पर क्रॉस-सेक्शन है, और औसत सभी वेगों पर किया जाता है।

अर्ध-शास्त्रीय रूप से, क्रॉस सेक्शन आनुपातिक है $$\pi\,\lambda^2$$, कहाँ $$\lambda = h/p$$ पदार्थ तरंग है। इस प्रकार अर्ध-शास्त्रीय रूप से क्रॉस सेक्शन आनुपातिक है $\frac{m}{E}$.

हालाँकि, चूंकि प्रतिक्रिया में क्वांटम टनलिंग शामिल है, कम ऊर्जा पर एक घातीय अवमंदन होता है जो गैमो कारक ई पर निर्भर करता हैG, अरहेनियस समीकरण दे रहा है:
 * $$\sigma(E) = \frac{S(E)}{E} e^{-\sqrt{\frac{E_\text{G}}{E}}}$$

जहां एस (ई) परमाणु बातचीत के विवरण पर निर्भर करता है, और एक क्रॉस सेक्शन के लिए गुणा की गई ऊर्जा का आयाम है।

इसके बाद मैक्सवेल-बोल्ट्जमान वितरण #ऊर्जा के लिए वितरण | मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन वितरण और संबंध का उपयोग करते हुए, कुल प्रतिक्रिया दर प्राप्त करने के लिए सभी ऊर्जाओं को एकीकृत करता है:
 * $$\frac{r}{V} = n_A n_B \int_0^{\infty}\frac{S(E)}{E} \, e^{-\sqrt{\frac{E_\text{G}}{E}}} 2\sqrt{\frac{E}{\pi(kT)^3}} e^{-\frac{E}{kT}} \,\sqrt{\frac{2E}{m_\text{R}}}dE$$

कहाँ $$m_\text{R} = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$$ घटा हुआ द्रव्यमान है।

चूँकि इस एकीकरण में प्रपत्र की उच्च ऊर्जाओं पर एक घातीय अवमंदन होता है $$\sim e^{-\frac{E}{kT}}$$ और गामो कारक से कम ऊर्जा पर, शिखर के चारों ओर, जिसे गामो चोटी कहा जाता है, को छोड़कर अभिन्न लगभग हर जगह गायब हो गया, और ई0, कहाँ:
 * $$\frac{\partial}{\partial E} \left( -\sqrt{\frac{E_\text{G}}{E}} - \frac{E}{kT}\right) \, = \, 0$$

इस प्रकार:
 * $$E_0 = \left(\frac{1}{2}kT \sqrt{E_\text{G}}\right)^\frac{2}{3}$$

एक्सपोनेंट को फिर ई के आसपास अनुमानित किया जा सकता है0 जैसा:
 * $$e^{-\frac{E}{kT} - \sqrt{\frac{E_\text{G}}{E}}} \approx e^{-\frac{3E_0}{kT}} \exp\left(-\frac{(E - E_0)^2}{\frac{4}{3} E_0 kT}\right)$$

और प्रतिक्रिया दर अनुमानित है:
 * $$\frac{r}{V} \approx n_A \, n_B \, \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3 m_\text{R}}}\, \sqrt{E_0} \frac{S(E_0)}{kT} e^{-\frac{3E_0}{kT}} $$

एस का मान (ई0) आम तौर पर हैं 10−3 – 103 keV·b, लेकिन बीटा क्षय को शामिल करते समय एक बड़े कारक से भीग जाते हैं, मध्यवर्ती बाध्य अवस्था (जैसे diproton) अर्ध-जीवन और बीटा क्षय अर्ध-जीवन के बीच संबंध के कारण, जैसा कि प्रोटॉन-प्रोटॉन श्रृंखला प्रतिक्रिया में होता है। ध्यान दें कि मुख्य-अनुक्रम सितारों में सामान्य कोर तापमान केवी के क्रम के केटी देते हैं।

इस प्रकार, सीएनओ चक्र में सीमित प्रतिक्रिया, प्रोटॉन कैप्चर द्वारा, एस (ई0) ~ एस (0) = 3.5keV·b, जबकि प्रोटॉन-प्रोटॉन श्रृंखला प्रतिक्रिया में सीमित प्रतिक्रिया, दो प्रोटॉन से ड्यूटेरियम का निर्माण, बहुत कम S(E) होता है0) ~ एस(0) = 4×10 -22 केवी · बी। संयोग से, चूंकि पूर्व की प्रतिक्रिया में बहुत अधिक गैमो कारक होता है, और विशिष्ट सितारों में तत्वों की सापेक्ष बहुतायत के कारण, दो प्रतिक्रिया दर एक तापमान मान के बराबर होती हैं जो मुख्य-अनुक्रम सितारों के मुख्य तापमान सीमा के भीतर होती हैं।

बाहरी संबंध

 * "How the Sun Shines", by John N. Bahcall (Nobel prize site, accessed 6 January 2020)
 * Nucleosynthesis in NASA's Cosmicopia