स्थानीकृत अवयव मॉडल

स्थानीकृत अवयव प्रारूप (जिसे स्थानीकृत- मापदण्ड नमूना या स्थानीकृत अवयव नमूना भी कहा जाता है) स्थानिक रूप से वितरित भौतिक प्रणालियों के व्यवहार के विवरण को सरल करता है, जैसे कि विद्युत सर्किट(परिपथ), एक टोपोलॉजी (विद्युत परिपथ) में असतत संस्थाओं से मिलकर बनता है जो अनुमानित रूप से कुछ मान्यताओं के तहत वितरित प्रणाली का व्यवहार। यह इलेक्ट्रिकल नेटवर्क (इलेक्ट्रॉनिक्स सहित), मैकेनिकल मल्टीबॉडी सिस्टम, हीट ट्रांसफर, ध्वनिकी, आदि में उपयोगी है। यह डिस्ट्रीब्यूटेड पैरामीटर सिस्टम या मॉडल के विपरीत हो सकता है जिसमें व्यवहार को स्थानिक रूप से वितरित किया जाता है और इसे असतत संस्थाओं में स्थानीयकृत नहीं माना जा सकता है।

गणितीय रूप से बोलते हुए, सरलीकरण प्रणाली के राज्य स्थान (नियंत्रण) को एक गिनती संख्या आयाम तक कम कर देता है, और भौतिक प्रणाली के निरंतर (अनंत-आयामी) समय और अंतरिक्ष मॉडल के आंशिक अंतर समीकरण (पीडीई) को साधारण अंतर समीकरणों में बदल देता है ( ODEs) एक सीमित संख्या में मापदंडों के साथ।

ढेलेदार-पदार्थ अनुशासन
लम्प्ड-मैटर अनुशासन इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में लगाए गए धारणाओं का एक सेट है जो नेटवर्क विश्लेषण (इलेक्ट्रिकल परिपथ) में उपयोग किए जाने वाले गांठ-परिपथ एब्स्ट्रैक्शन की नींव प्रदान करता है। स्वयं लगाए गए प्रतिबंध हैं:
 * 1) किसी चालक के बाहर चुंबकीय फ्लक्स का समय में परिवर्तन शून्य होता है। $$\frac{\partial \phi_B} {\partial t} = 0$$
 * 2) चालक तत्वों के अंदर समय में आवेश का परिवर्तन शून्य होता है। $$\frac{\partial q} {\partial t} = 0$$
 * 3) लम्प्ड तत्व में विद्युत चुम्बकीय तरंगों के प्रसार विलंब की तुलना में ब्याज की सिग्नल टाइमस्केल्स बहुत बड़ी हैं।

मैक्सवेल के समीकरणों पर लागू होने पर पहली दो धारणाएं किरचॉफ के परिपथ कानूनों में परिणत होती हैं और केवल तभी लागू होती हैं जब परिपथ स्थिर अवस्था (इलेक्ट्रॉनिक्स) में हो। तीसरी धारणा नेटवर्क विश्लेषण (विद्युत परिपथ) में प्रयुक्त स्थानीकृत अवयव प्रारूप का आधार है। वितरित-तत्व मॉडल में कम गंभीर धारणाओं का परिणाम होता है, जबकि अभी भी पूर्ण मैक्सवेल समीकरणों के प्रत्यक्ष आवेदन की आवश्यकता नहीं होती है।

गांठदार-तत्व मॉडल
इलेक्ट्रॉनिक इलेक्ट्रिकल नेटवर्क का स्थानीकृत अवयव प्रारूप सरलीकृत धारणा बनाता है कि परिपथ, विद्युत प्रतिरोध, समाई, अधिष्ठापन, और लाभ (इलेक्ट्रॉनिक्स) की विशेषताओं को आदर्श विद्युत घटकों में केंद्रित किया जाता है; रेसिस्टर्स, कैपेसिटर और इंडक्टर्स आदि पूरी तरह से विद्युत चालन तारों के एक नेटवर्क से जुड़ते हैं।

स्थानीकृत अवयव प्रारूप जब भी मान्य होता है $$L_c \ll \lambda$$, कहाँ पे $$L_c$$ परिपथ की विशेषता लंबाई को दर्शाता है, और $$\lambda$$ परिपथ के ऑपरेटिंग तरंग दैर्ध्य को दर्शाता है। अन्यथा, जब परिपथ की लंबाई तरंग दैर्ध्य के क्रम पर होती है, तो हमें अधिक सामान्य मॉडल पर विचार करना चाहिए, जैसे कि वितरित-तत्व मॉडल (ट्रांसमिशन लाइनों सहित), जिसका गतिशील व्यवहार मैक्सवेल के समीकरणों द्वारा वर्णित है। स्थानीकृत अवयव प्रारूप की वैधता को देखने का एक और तरीका यह है कि यह मॉडल उस परिमित समय की उपेक्षा करता है जो एक परिपथ के चारों ओर फैलने के लिए सिग्नल लेता है। जब भी यह प्रसार समय अनुप्रयोग के लिए महत्वपूर्ण नहीं होता है तो गांठ-तत्व मॉडल का उपयोग किया जा सकता है। यह वह स्थिति है जब प्रसार समय शामिल सिग्नल की अवधि (भौतिकी) से बहुत कम होता है। हालांकि, बढ़ते प्रसार समय के साथ सिग्नल के कल्पित और वास्तविक चरण के बीच एक बढ़ती हुई त्रुटि होगी जिसके परिणामस्वरूप सिग्नल के कल्पित आयाम में त्रुटि होती है। सटीक बिंदु जिस पर स्थानीकृत अवयव प्रारूप का उपयोग नहीं किया जा सकता है, यह कुछ हद तक इस बात पर निर्भर करता है कि किसी दिए गए एप्लिकेशन में सिग्नल को कितनी सटीक रूप से जाना जाना चाहिए।

वास्तविक दुनिया के घटक गैर-आदर्श विशेषताओं को प्रदर्शित करते हैं, जो वास्तव में, वितरित तत्व हैं, लेकिन अक्सर ढेलेदार तत्वों द्वारा प्रथम-क्रम सन्निकटन के लिए प्रतिनिधित्व किया जाता है। उदाहरण के लिए कैपेसिटर में रिसाव के लिए खाते के लिए, हम गैर-आदर्श संधारित्र को समानांतर में जुड़े एक बड़े गांठ वाले प्रतिरोधी के रूप में मॉडल कर सकते हैं, भले ही रिसाव वास्तव में पूरे ढांकता हुआ वितरित हो। इसी तरह एक तार-घाव रोकनेवाला में महत्वपूर्ण अधिष्ठापन के साथ-साथ विद्युत प्रतिरोध भी इसकी लंबाई के साथ वितरित किया जाता है लेकिन हम इसे आदर्श अवरोधक के साथ श्रृंखला में एक गांठदार प्रारंभ करनेवाला के रूप में मॉडल कर सकते हैं।

थर्मल सिस्टम
एक लम्प्ड-कैपेसिटेंस मॉडल, जिसे लम्प्ड सिस्टम विश्लेषण भी कहा जाता है, एक थर्मल सिस्टम को कई असतत "गांठ" में कम कर देता है और मानता है कि प्रत्येक गांठ के अंदर तापमान का अंतर नगण्य है। यह सन्निकटन अन्यथा जटिल अवकल समीकरण ऊष्मा समीकरणों को सरल बनाने के लिए उपयोगी है। इसे विद्युत समाई के गणितीय एनालॉग के रूप में विकसित किया गया था, हालांकि इसमें विद्युत प्रतिरोध के थर्मल एनालॉग भी शामिल हैं।

लम्प्ड-कैपेसिटेंस मॉडल क्षणिक चालन में एक सामान्य सन्निकटन है, जिसका उपयोग तब किया जा सकता है जब किसी वस्तु के भीतर ऊष्मा चालन वस्तु की सीमा के पार ऊष्मा हस्तांतरण की तुलना में बहुत तेज हो। सन्निकटन की विधि तब क्षणिक चालन प्रणाली (वस्तु के भीतर स्थानिक तापमान भिन्नता) के एक पहलू को अधिक गणितीय रूप से ट्रैक्टेबल रूप में कम कर देती है (अर्थात, यह माना जाता है कि वस्तु के भीतर का तापमान अंतरिक्ष में पूरी तरह से समान है, हालांकि यह स्थानिक रूप से समान तापमान मान समय के साथ बदलता है)। ऑब्जेक्ट या सिस्टम के हिस्से के भीतर बढ़ते समान तापमान को तब एक कैपेसिटिव जलाशय के रूप में माना जा सकता है जो गर्मी को तब तक अवशोषित करता है जब तक कि यह समय पर एक स्थिर तापीय अवस्था तक नहीं पहुंच जाता (जिसके बाद उसके भीतर तापमान नहीं बदलता है)।

एक लम्प्ड-कैपेसिटेंस सिस्टम का एक प्रारंभिक-खोज उदाहरण जो इस तरह के भौतिक सरलीकरण के कारण गणितीय रूप से सरल व्यवहार प्रदर्शित करता है, वे सिस्टम हैं जो न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुरूप हैं। यह नियम केवल यह बताता है कि एक गर्म (या ठंडी) वस्तु का तापमान एक साधारण घातीय फैशन में अपने पर्यावरण के तापमान की ओर बढ़ता है। वस्तुएं इस नियम का कड़ाई से पालन तभी करती हैं जब उनके भीतर ऊष्मा चालन की दर उनमें या उनमें से निकलने वाली ऊष्मा के प्रवाह से बहुत अधिक हो। ऐसे मामलों में किसी भी समय पर एक ही वस्तु के तापमान के बारे में बात करना समझ में आता है (क्योंकि वस्तु के भीतर कोई स्थानिक तापमान भिन्नता नहीं है) और वस्तु के भीतर समान तापमान भी इसकी कुल तापीय ऊर्जा की अधिकता या कमी को आनुपातिक रूप से भिन्न होने की अनुमति देता है। सतह का तापमान, इस प्रकार न्यूटन के शीतलन आवश्यकता के नियम को स्थापित करता है कि तापमान में कमी की दर वस्तु और पर्यावरण के बीच अंतर के समानुपाती होती है। यह बदले में सरल घातीय ताप या शीतलन व्यवहार की ओर जाता है (विवरण नीचे)।

विधि
गांठों की संख्या निर्धारित करने के लिए, बायोट संख्या (बीआई), सिस्टम का एक आयाम रहित पैरामीटर, का उपयोग किया जाता है। बीआई को वस्तु के भीतर प्रवाहकीय गर्मी प्रतिरोध के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो विभिन्न तापमान के एक समान स्नान के साथ वस्तु की सीमा के पार संवहन (गर्मी हस्तांतरण) प्रतिरोध के अनुपात में होता है। जब वस्तु में स्थानांतरित गर्मी के लिए थर्मल प्रतिरोध पूरी तरह से वस्तु के भीतर गर्मी के प्रतिरोध से बड़ा होता है, तो बायोट संख्या 1 से कम होती है। इस मामले में, विशेष रूप से बायोट संख्याओं के लिए जो कि छोटे होते हैं, स्थानिक रूप से समान का अनुमान वस्तु के भीतर के तापमान का उपयोग शुरू किया जा सकता है, क्योंकि यह माना जा सकता है कि वस्तु में स्थानांतरित गर्मी के पास समान रूप से वितरित करने का समय है, ऐसा करने के लिए कम प्रतिरोध के कारण, वस्तु में प्रवेश करने वाली गर्मी के प्रतिरोध की तुलना में।

यदि किसी ठोस वस्तु के लिए बायोट संख्या 0.1 से कम है, तो पूरी सामग्री लगभग समान तापमान होगी, जिसमें सतह पर प्रमुख तापमान अंतर होगा। इसे ऊष्मीय रूप से पतला माना जा सकता है। उपयोगी रूप से सटीक सन्निकटन और गर्मी हस्तांतरण विश्लेषण के लिए बायोट संख्या आम तौर पर 0.1 से कम होनी चाहिए। लम्प्ड-सिस्टम सन्निकटन का गणितीय समाधान न्यूटन के शीतलन का नियम देता है।

0.1 से अधिक बायोट संख्या (एक ऊष्मीय रूप से मोटा पदार्थ) इंगित करता है कि कोई यह धारणा नहीं बना सकता है, और सामग्री के भीतर समय-भिन्न और गैर-स्थानिक-समान तापमान क्षेत्र का वर्णन करने के लिए क्षणिक गर्मी चालन के लिए अधिक जटिल गर्मी हस्तांतरण समीकरणों की आवश्यकता होगी। तन।

एकल समाई दृष्टिकोण को कई प्रतिरोधक और कैपेसिटिव तत्वों को शामिल करने के लिए विस्तारित किया जा सकता है, प्रत्येक गांठ के लिए Bi <0.1 के साथ। चूंकि बायोट संख्या की गणना सिस्टम की एक विशिष्ट लंबाई के आधार पर की जाती है, इसलिए सिस्टम को अक्सर पर्याप्त संख्या में वर्गों, या गांठों में तोड़ा जा सकता है, ताकि बायोट संख्या स्वीकार्य रूप से छोटी हो।

थर्मल सिस्टम की कुछ विशिष्ट लंबाई हैं:
 * प्लेट की मोटाई
 * फिन: मोटाई / 2
 * लंबा सिलेंडर (ज्यामिति): व्यास / 4
 * क्षेत्र: व्यास / 6

मनमाना आकार के लिए, विशेषता लंबाई को आयतन / सतह क्षेत्र मानना ​​उपयोगी हो सकता है।

थर्मल विशुद्ध रूप से प्रतिरोधक परिपथ
गर्मी हस्तांतरण अनुप्रयोगों में उपयोग की जाने वाली एक उपयोगी अवधारणा एक बार स्थिर राज्य गर्मी चालन की स्थिति तक पहुंच गई है, थर्मल परिपथ के रूप में जाना जाने वाला थर्मल ट्रांसफर का प्रतिनिधित्व है। एक थर्मल परिपथ एक परिपथ के प्रत्येक तत्व में गर्मी प्रवाह के प्रतिरोध का प्रतिनिधित्व है, जैसे कि यह एक विद्युत प्रतिरोधी था। स्थानांतरित गर्मी विद्युत प्रवाह के अनुरूप होती है और थर्मल प्रतिरोध विद्युत प्रतिरोधी के समान होता है। गर्मी हस्तांतरण के विभिन्न तरीकों के लिए थर्मल प्रतिरोध के मूल्यों की गणना तब विकसित समीकरणों के हर के रूप में की जाती है। गर्मी हस्तांतरण के विभिन्न तरीकों के थर्मल प्रतिरोधों का उपयोग गर्मी हस्तांतरण के संयुक्त तरीकों के विश्लेषण में किया जाता है। निम्नलिखित विशुद्ध रूप से प्रतिरोधक उदाहरण में कैपेसिटिव तत्वों की कमी का मतलब है कि परिपथ का कोई भी भाग ऊर्जा को अवशोषित नहीं कर रहा है या तापमान के वितरण में परिवर्तन नहीं कर रहा है। यह मांग करने के बराबर है कि स्थिर राज्य गर्मी चालन (या विकिरण के रूप में स्थानांतरण) की स्थिति पहले ही स्थापित हो चुकी है।

तीन गर्मी हस्तांतरण मोड और स्थिर राज्य स्थितियों में उनके थर्मल प्रतिरोधों का वर्णन करने वाले समीकरण, जैसा कि पहले चर्चा की गई है, नीचे दी गई तालिका में संक्षेप हैं:

 

ऐसे मामलों में जहां विभिन्न मीडिया (उदाहरण के लिए, एक मिश्रित सामग्री के माध्यम से) के माध्यम से गर्मी हस्तांतरण होता है, समकक्ष प्रतिरोध उन घटकों के प्रतिरोधों का योग होता है जो समग्र बनाते हैं। संभावित रूप से, ऐसे मामलों में जहां अलग-अलग गर्मी हस्तांतरण मोड होते हैं, कुल प्रतिरोध विभिन्न मोड के प्रतिरोधों का योग होता है। थर्मल परिपथ अवधारणा का उपयोग करते हुए, किसी भी माध्यम से स्थानांतरित गर्मी की मात्रा तापमान परिवर्तन और माध्यम के कुल थर्मल प्रतिरोध का भागफल है।

एक उदाहरण के रूप में, क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र की एक समग्र दीवार पर विचार करें $$A$$. समग्र एक. से बना है $$L_1$$ थर्मल गुणांक के साथ लंबा सीमेंट प्लास्टर $$k_1$$ तथा $$L_2$$ थर्मल गुणांक के साथ लंबे कागज का सामना करना पड़ा फाइबर ग्लास $$k_2$$. दीवार की बाईं सतह पर है $$T_i$$ और एक संवहनी गुणांक के साथ हवा के संपर्क में $$h_i$$. दीवार की दाहिनी सतह पर है $$T_o$$ और संवहन गुणांक के साथ हवा के संपर्क में $$h_o$$.

थर्मल प्रतिरोध अवधारणा का उपयोग करते हुए, समग्र के माध्यम से गर्मी का प्रवाह निम्नानुसार है: $$\dot{Q}=\frac{T_i-T_o}{R_i+R_1+R_2+R_o}=\frac{T_i-T_1}{R_i}=\frac{T_i-T_2}{R_i+R_1}=\frac{T_i-T_3}{R_i+R_1+R_2}=\frac{T_1-T_2}{R_1}=\frac{T_3-T_o}{R_0}$$ कहाँ पे $$R_i=\frac{1}{h_iA}$$, $$R_o=\frac{1}{h_oA}$$, $$R_1=\frac{L_1}{k_1A}$$, तथा $$R_2=\frac{L_2}{k_2A}$$

न्यूटन के शीतलन का नियम
न्यूटन का शीतलन का नियम अंग्रेजी भौतिक विज्ञानी आइजैक न्यूटन (1642 - 1727) के लिए जिम्मेदार एक अनुभवजन्य संबंध है। गैर-गणितीय रूप में कहा गया यह कानून निम्नलिखित है:

या, प्रतीकों का उपयोग करना: $$\text {Rate of cooling} \sim \Delta T$$ अपने परिवेश से भिन्न तापमान पर एक वस्तु अंततः अपने परिवेश के साथ एक सामान्य तापमान पर आ जाएगी। एक अपेक्षाकृत गर्म वस्तु अपने परिवेश को गर्म करने पर ठंडी हो जाती है; एक ठंडी वस्तु अपने परिवेश से गर्म होती है। यह देखते हुए कि कितनी जल्दी (या धीरे-धीरे) कुछ ठंडा होता है, हम इसकी शीतलन दर की बात करते हैं - प्रति इकाई समय में तापमान में कितने डिग्री परिवर्तन होता है।

किसी वस्तु के ठंडा होने की दर इस बात पर निर्भर करती है कि वस्तु अपने परिवेश से कितनी अधिक गर्म है। एक गर्म सेब पाई का तापमान परिवर्तन प्रति मिनट अधिक होगा यदि पाई को ठंडे फ्रीजर में रखा जाता है, अगर इसे रसोई की मेज पर रखा जाता है। जब पाई फ्रीजर में ठंडी हो जाती है, तो उसके और उसके आसपास के तापमान का अंतर अधिक हो जाता है। एक ठंडे दिन में, जब अंदर और बाहर के तापमान में बड़ा अंतर होता है, तो एक गर्म घर अधिक दर से बाहर की ओर गर्मी का रिसाव करेगा। ठंड के दिन घर के अंदर के तापमान को उच्च तापमान पर रखना कम तापमान पर रखने की तुलना में अधिक महंगा होता है। यदि तापमान का अंतर छोटा रखा जाता है, तो शीतलन की दर संगत रूप से कम होगी।

जैसा कि न्यूटन के शीतलन के नियम में कहा गया है, किसी वस्तु के ठंडा होने की दर - चाहे वह तापीय चालन, संवहन (गर्मी हस्तांतरण), या तापीय विकिरण द्वारा हो - तापमान अंतर T के लगभग समानुपाती होती है। जमे हुए भोजन ठंडे कमरे की तुलना में गर्म कमरे में तेजी से गर्म होगा। ध्यान दें कि ठंड के दिन अनुभव की जाने वाली ठंडक की दर हवा के अतिरिक्त संवहन प्रभाव से बढ़ाई जा सकती है। इसे विंड चिल कहा जाता है। उदाहरण के लिए, -20 डिग्री सेल्सियस की हवा की ठंड का मतलब है कि गर्मी उसी दर से खो रही है जैसे कि तापमान -20 डिग्री सेल्सियस हवा के बिना था।

लागू स्थितियां
यह कानून कई स्थितियों का वर्णन करता है जिसमें एक वस्तु की बड़ी तापीय क्षमता और बड़ी चालकता होती है, और अचानक एक समान स्नान में डूब जाती है जो अपेक्षाकृत खराब गर्मी का संचालन करती है। यह एक प्रतिरोधक और एक कैपेसिटिव तत्व वाले थर्मल परिपथ का एक उदाहरण है। कानून के सही होने के लिए, शरीर के अंदर सभी बिंदुओं पर तापमान हर समय बिंदु पर लगभग समान होना चाहिए, जिसमें इसकी सतह का तापमान भी शामिल है। इस प्रकार, शरीर और परिवेश के बीच तापमान का अंतर इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि शरीर के किस हिस्से को चुना गया है, क्योंकि शरीर के सभी हिस्सों का तापमान प्रभावी रूप से समान होता है। इन स्थितियों में, शरीर की सामग्री शरीर के अन्य हिस्सों को गर्मी के प्रवाह से बचाने के लिए कार्य नहीं करती है, और स्थिति में गर्मी प्रवाह की दर को नियंत्रित करने वाले सभी महत्वपूर्ण इन्सुलेशन (या थर्मल प्रतिरोध) संपर्क के क्षेत्र में रहते हैं। शरीर और उसके आसपास। इस सीमा के पार, तापमान-मान एक असंतत फैशन में कूदता है।

ऐसी स्थितियों में, गर्मी को शरीर के बाहरी हिस्से से इंसुलेटिंग सीमा के पार, संवहन, चालन या प्रसार द्वारा स्थानांतरित किया जा सकता है, जब तक कि सीमा वस्तु के इंटीरियर के संबंध में अपेक्षाकृत खराब कंडक्टर के रूप में कार्य करती है। एक भौतिक इन्सुलेटर की उपस्थिति की आवश्यकता नहीं होती है, जब तक कि शरीर के अंदर गर्मी के प्रवाहकीय हस्तांतरण (या रुचि के क्षेत्र के अंदर- ऊपर वर्णित गांठ) की तुलना में सीमा के पार गर्मी पारित करने के लिए कार्य करने वाली प्रक्रिया धीमी है।

ऐसी स्थिति में, वस्तु कैपेसिटिव परिपथ तत्व के रूप में कार्य करती है, और सीमा पर थर्मल संपर्क का प्रतिरोध (एकल) थर्मल प्रतिरोधी के रूप में कार्य करता है। विद्युत परिपथों में, इस तरह का संयोजन समय में एक साधारण घातीय कानून के अनुसार, इनपुट वोल्टेज की ओर चार्ज या डिस्चार्ज होगा। थर्मल परिपथ में, इस कॉन्फ़िगरेशन के परिणामस्वरूप तापमान में समान व्यवहार होता है: वस्तु तापमान का स्नान तापमान के लिए एक घातीय दृष्टिकोण।

गणितीय कथन
न्यूटन का नियम गणितीय रूप से सरल प्रथम-क्रम अंतर समीकरण द्वारा कहा गया है: $$ \frac{d Q}{d t} = - h \cdot A(T(t)- T_{\text{env}}) = - h \cdot A \Delta T(t)$$ कहाँ पे
 * क्यू जूल में तापीय ऊर्जा है
 * एच सतह और द्रव के बीच गर्मी हस्तांतरण गुणांक है
 * ए स्थानांतरित की जा रही गर्मी का सतह क्षेत्र है
 * T वस्तु की सतह और आंतरिक तापमान का तापमान है (चूंकि ये इस सन्निकटन में समान हैं)
 * टीenv पर्यावरण का तापमान है
 * Δटी(टी) = टी(टी) - टीenv पर्यावरण और वस्तु के बीच समय पर निर्भर तापीय प्रवणता है

इस रूप में ऊष्मा स्थानान्तरण करना कभी-कभी बहुत अच्छा सन्निकटन नहीं होता है, जो सिस्टम में ऊष्मा चालन के अनुपात पर निर्भर करता है। यदि अंतर बड़े नहीं हैं, तो सिस्टम में गर्मी हस्तांतरण के सटीक फॉर्मूलेशन के लिए गैर-समरूप या खराब प्रवाहकीय मीडिया में (क्षणिक) गर्मी हस्तांतरण समीकरण के आधार पर गर्मी प्रवाह के विश्लेषण की आवश्यकता हो सकती है।

वस्तु ताप क्षमता के संदर्भ में समाधान
यदि पूरे शरीर को कुल ताप सामग्री के साथ गांठ-समाई ताप जलाशय के रूप में माना जाता है, जो साधारण कुल ताप क्षमता के समानुपाती होता है $$C$$, तथा $$T$$, शरीर का तापमान, या $$Q = C T$$. यह उम्मीद की जाती है कि सिस्टम शरीर के तापमान में समय के साथ घातीय क्षय का अनुभव करेगा।

ताप क्षमता की परिभाषा से $$C$$ संबंध आता है $$C = dQ/dT$$. समय के संबंध में इस समीकरण को अलग करने से पहचान मिलती है (जब तक वस्तु में तापमान किसी भी समय एक समान होता है): $$dQ/dt  = C (dT/dt)$$. इस अभिव्यक्ति का उपयोग प्रतिस्थापित करने के लिए किया जा सकता है $$dQ/dt$$ इस खंड को शुरू करने वाले पहले समीकरण में, ऊपर। तो अगर $$T(t)$$ समय पर ऐसे शरीर का तापमान है $$t$$, तथा $$T_\text{env}$$ शरीर के चारों ओर के वातावरण का तापमान है: $$ \frac{d T(t)}{d t} = - r (T(t) - T_{\text{env}}) = - r \Delta T(t) $$ कहाँ पे $$r = hA/C$$ प्रणाली की एक सकारात्मक स्थिर विशेषता है, जो की इकाइयों में होनी चाहिए $$s^{-1}$$, और इसलिए कभी-कभी एक विशिष्ट समय स्थिरांक के रूप में व्यक्त किया जाता है $$t_0$$ के द्वारा दिया गया: $$t_0 = 1/r = -\Delta T(t)/(dT(t)/dt)$$. इस प्रकार, थर्मल सिस्टम में, $$t_0 = C/hA$$. (कुल ताप क्षमता $$C$$ किसी प्रणाली की द्रव्यमान-विशिष्ट ताप क्षमता द्वारा और अधिक प्रतिनिधित्व किया जा सकता है $$c_p$$ इसके द्रव्यमान से गुणा किया जाता है $$m$$, ताकि समय स्थिर रहे $$t_0$$ द्वारा भी दिया जाता है $$mc_p/hA$$)

सीमा शर्तों के एकीकरण और प्रतिस्थापन के मानक तरीकों से इस अंतर समीकरण का समाधान देता है: $$ T(t) = T_{\mathrm{env}} + (T(0) - T_{\mathrm{env}}) \ e^{-r t}. $$ यदि:


 * $$ \Delta T(t) \quad $$ की तरह परिभाषित किया गया है : $$ T(t) - T_{\mathrm{env}} \, \quad $$ कहाँ पे $$ \Delta T(0)\quad $$ समय 0 पर प्रारंभिक तापमान अंतर है,

तब न्यूटनियन समाधान इस प्रकार लिखा जाता है: $$ \Delta T(t) = \Delta T(0) \ e^{-r t} = \Delta T(0) \ e^{-t/t_0}. $$ यदि प्रारंभिक अवकल समीकरण को के पदों में लिखा जाए तो यही समाधान लगभग तुरंत दिखाई देता है $$\Delta T(t)$$, के लिए हल किए जाने वाले एकल फ़ंक्शन के रूप में। $$ \frac{d T(t)}{d t} = \frac{d \Delta T(t)}{d t} = - \frac{1}{t_0} \Delta T(t) $$

आवेदन
विश्लेषण की इस विधा को मनुष्यों की मृत्यु के समय का विश्लेषण करने के लिए फोरेंसिक विज्ञान पर लागू किया गया है। इसके अलावा, इसे एचवीएसी (हीटिंग, वेंटिलेटिंग और एयर-कंडीशनिंग, जिसे बिल्डिंग क्लाइमेट कंट्रोल के रूप में संदर्भित किया जा सकता है) पर लागू किया जा सकता है, ताकि आराम स्तर सेटिंग में बदलाव के लगभग तात्कालिक प्रभावों को सुनिश्चित किया जा सके।

यांत्रिक प्रणाली
इस डोमेन में सरलीकृत धारणाएं हैं:
 * सभी वस्तुएं कठोर शरीर हैं;
 * कठोर पिंडों के बीच सभी अंतःक्रियाएं गतिज युग्मों (जोड़ों), स्प्रिंग (उपकरण) और डैशपॉट के माध्यम से होती हैं।

ध्वनिकी
इस संदर्भ में, लम्प्ड-घटक मॉडल सन्निकटन के अधीन ध्वनिक सिद्धांत की वितरित अवधारणाओं का विस्तार करता है। ध्वनिक लम्प्ड-घटक मॉडल में, ध्वनिक गुणों वाले कुछ भौतिक घटकों को मानक इलेक्ट्रॉनिक घटकों या घटकों के सरल संयोजनों के समान व्यवहार करने के रूप में अनुमानित किया जा सकता है।


 * एक कठोर दीवार वाली गुहा जिसमें हवा (या समान संपीड़ित द्रव) होती है, को एक संधारित्र के रूप में अनुमानित किया जा सकता है जिसका मूल्य गुहा के आयतन के समानुपाती होता है। इस सन्निकटन की वैधता गुहा के सबसे लंबे आयाम की तुलना में ब्याज की सबसे छोटी तरंग दैर्ध्य पर काफी (बहुत) बड़ी होने पर निर्भर करती है।
 * एक प्रतिवर्त बंदरगाह को एक प्रारंभ करनेवाला के रूप में अनुमानित किया जा सकता है जिसका मूल्य उसके पार-अनुभागीय क्षेत्र से विभाजित बंदरगाह की प्रभावी लंबाई के समानुपाती होता है। प्रभावी लंबाई वास्तविक लंबाई और अंत सुधार है। यह सन्निकटन ब्याज की सबसे छोटी तरंगदैर्घ्य पर निर्भर करता है जो बंदरगाह के सबसे लंबे आयाम से काफी बड़ा है।
 * कुछ प्रकार की भिगोना सामग्री को एक रोकनेवाला के रूप में अनुमानित किया जा सकता है। मूल्य सामग्री के गुणों और आयामों पर निर्भर करता है। सन्निकटन तरंग दैर्ध्य में काफी लंबे समय तक और सामग्री के गुणों पर निर्भर करता है।
 * एक लाउडस्पीकर ड्राइव यूनिट (आमतौर पर एक वूफर या सबवूफर ड्राइव यूनिट) को शून्य-विद्युत प्रतिबाधा वोल्टेज स्रोत, एक रोकनेवाला, एक संधारित्र और एक प्रारंभ करनेवाला के श्रृंखला कनेक्शन के रूप में अनुमानित किया जा सकता है। मान इकाई के विनिर्देशों और ब्याज की तरंग दैर्ध्य पर निर्भर करते हैं।

इमारतों के लिए गर्मी हस्तांतरण
इस क्षेत्र में एक सरल धारणा यह है कि सभी गर्मी हस्तांतरण तंत्र रैखिक हैं, जिसका अर्थ है कि विकिरण और संवहन प्रत्येक समस्या के लिए रैखिक हैं।

कई प्रकाशन मिल सकते हैं जो वर्णन करते हैं कि इमारतों के लम्प्ड-तत्व मॉडल कैसे उत्पन्न करें। ज्यादातर मामलों में, इमारत को एकल थर्मल ज़ोन माना जाता है और इस मामले में, बहु-स्तरित दीवारों को ढेलेदार तत्वों में बदलना मॉडल के निर्माण में सबसे जटिल कार्यों में से एक हो सकता है। प्रमुख-परत विधि एक सरल और यथोचित सटीक विधि है। इस पद्धति में, परतों में से एक को पूरे निर्माण में प्रमुख परत के रूप में चुना जाता है, इस परत को समस्या की सबसे प्रासंगिक आवृत्तियों को देखते हुए चुना जाता है। उनकी थीसिस में, विभिन्न भविष्य के मौसम परिदृश्यों के तहत कई सिमुलेशन चलाकर, घरेलू ऊर्जा प्रणालियों की दक्षता का मूल्यांकन करने के लिए इमारतों के लम्प्ड-तत्व मॉडल का भी उपयोग किया गया है।

द्रव प्रणाली
प्रवाह का प्रतिनिधित्व करने के लिए दबाव और धारा का प्रतिनिधित्व करने के लिए वोल्टेज का उपयोग करके द्रव प्रणालियों का वर्णन करने के लिए लुम्प्ड-तत्व मॉडल का उपयोग किया जा सकता है; विद्युत परिपथ प्रतिनिधित्व से समान समीकरण इन दो चरों को प्रतिस्थापित करने के बाद मान्य होते हैं। ऐसे अनुप्रयोग, उदाहरण के लिए, वेंट्रिकुलर सहायता उपकरण आरोपण के लिए मानव हृदय प्रणाली की प्रतिक्रिया का अध्ययन कर सकते हैं।

यह भी देखें

 * आइसोमोर्फिज्म#सिस्टम आइसोमोर्फिज्म
 * मॉडल ऑर्डर में कमी

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 * विद्युत तार
 * व्यावर्तित जोड़ी
 * पनडुब्बी संचार केबल
 * आत्म प्रेरण
 * एक घोड़ा
 * समतल लहर
 * भारीपन की स्थिति
 * स्थायी तरंग अनुपात
 * वेवनंबर
 * स्थायी लहर
 * लंबी दूरी का टेलीफोन
 * लंबी लहर
 * संतुलित रेखा
 * गुंजयमान गुहा
 * असंतुलित रेखा
 * पावर डिवाइडर और दिशात्मक युग्मक
 * प्रतिरोधी
 * ध्वनि की तरंग
 * ध्वनि का दबाव
 * गतिशील सीमा
 * परिमाणीकरण (सिग्नल प्रोसेसिंग)
 * रोशनी
 * पीढ़ी हानि
 * शोर अनुपात का संकेत
 * बातचीत का माध्यम
 * इंटरमॉड्यूलेशन विकृति
 * कम शोर एम्पलीफायर
 * पूर्व-प्रवर्धक
 * मैक ओएस
 * चर आवृत्ति ड्राइव
 * पवन टरबाइन
 * जमाग
 * निश्चित बिंदु (गणित)
 * सीमित तत्व विधि
 * MOSFET
 * ईगल (कार्यक्रम)
 * उन्नत डिजाइनर
 * मेंटर ग्राफिक्स
 * स्विच-मोड बिजली की आपूर्ति
 * विद्युत प्रणालियों में नुकसान
 * संख्यात्मक तरीके
 * योजनाबद्ध कब्जा
 * ढांच के रूप में
 * वोल्टेज रेगुलेटर
 * COMPARATOR
 * 555 टाइमर आईसी
 * पत्र का मामला
 * असंवेदनशील मामला
 * हेनरी (इकाई)
 * म्यू (पत्र)
 * पाठ संपादकों की सूची
 * फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म
 * सी++
 * बूस्ट (सी ++ पुस्तकालय)
 * क्यूटी (सॉफ्टवेयर)
 * रूटिंग (इलेक्ट्रॉनिक डिजाइन ऑटोमेशन)
 * तांबे के लिए
 * बहाव को काबू करें
 * पासा
 * आंकड़े
 * सिक्का
 * प्रतिबिंब (भौतिकी)
 * रासायनिक प्रतिक्रिया
 * विद्युत उत्पादन
 * टुकड़े-टुकड़े रैखिक कार्य
 * मिश्रित-संकेत
 * पायथन सॉफ्टवेयर
 * डायनामिक-लिंक लाइब्रेरी
 * बीएसडी लाइसेंस
 * टीके (सॉफ्टवेयर)

बाहरी संबंध

 * Advanced modelling and simulation techniques for magnetic components
 * IMTEK Mathematica Supplement (IMS), the Open Source IMTEK Mathematica Supplement (IMS) for lumped modelling