यूक्लिडियन दूरी

गणित में, यूक्लिडियन अंतरिक्ष  में दो बिंदुओं के बीच की यूक्लिडियन दूरी दो बिंदुओं (ज्यामिति) के बीच एक रेखा खंड की लंबाई है। इसकी गणना पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके बिंदुओं के कार्तीय निर्देशांक से की जा सकती है, इसलिए इसे कभी-कभी पायथागॉरियन दूरी भी कहा जाता है। यह नाम प्राचीन यूनानी गणितज्ञों यूक्लिड और पाइथागोरस से लिया गया हैं, लेकिन यूक्लिड ने संख्याओं के रूप में दूरियों का प्रतिनिधित्व नहीं किया,  और पायथागॉरियन प्रमेय से दूरी की गणना का संबंध 18वीं शताब्दी तक नहीं बनाया गया था।

दो वस्तुओं के बीच का अन्तर जो बिंदु नहीं हैं, को सामान्यतः वस्तुओं से बिंदुओं के जोड़े के बीच की सबसे छोटी दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है। सूत्रों को विभिन्न प्रकार की वस्तुओं के बीच का अन्तर की गणना करने के लिए जाना जाता है, जैसे कि एक बिंदु से एक रेखा का अन्तर।  दूरी की अवधारणा को  विकसित गणित में अमूर्त मीट्रिक रिक्त स्थान के लिए सामान्यीकृत किया गया है, और यूक्लिडियन की तुलना में अन्य दूरियों का भी अध्ययन किया गया है। कुछ अनुप्रयोगों में सांख्यिकी और गणितीय अनुकूलन में दूरी के बजाय यूक्लिडियन दूरी के वर्ग का उपयोग किया जाता है।

एक आयाम
वास्तविक रेखा पर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच का अन्तर उनके निर्देशांकों के संख्यात्मक अंतर, उनके निरपेक्ष अंतर का निरपेक्ष मान है। इस प्रकार यदि $$p$$ तथा $$q$$ वास्तविक रेखा पर दो बिंदु हैं, तो उनके बीच का अन्तर इस प्रकार दी गई है: $$d(p,q) = |p-q|.$$ एक अधिक जटिल सूत्र, समान मान देता है, लेकिन उच्च आयामों के लिए अधिक आसानी से सामान्यीकरण करता है: $$d(p,q) = \sqrt{(p-q)^2}.$$ इस सूत्र में, वर्ग निकालने और फिर वर्गमूल लेने पर कोई भी धनात्मक संख्या में परिवर्तन नहीं होता है, लेकिन किसी भी ऋणात्मक संख्या को उसके निरपेक्ष मान से बदल देती है।

दो आयाम
यूक्लिडियन तल में, माना बिंदु $$p$$ कार्तीय निर्देशांक  $$(p_1,p_2)$$ हैं और माना $$q$$ में निर्देशांक  $$(q_1,q_2)$$ हैं. तब $$p$$ और $$q$$ के बीच का अन्तर निम्न द्वारा दी जाती है: $$d(p,q) = \sqrt{(q_1-p_1)^2 + (q_2-p_2)^2}.$$ इस पायथागॉरियन प्रमेय को एक समकोण त्रिभुज में क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर भुजाओं के साथ लागू करके देखा जा सकता है, जिसका रेखा खंड p से q तक कर्ण के रूप में हो। वर्गमूल के अंदर दो वर्ग सूत्र क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर पक्षों पर वर्गों के क्षेत्रफ़ल देते हैं, और बाहरी वर्गमूल कर्ण पर स्थित वर्ग के क्षेत्रफल को कर्ण की लंबाई में परिवर्तित करता है। ध्रुवीय निर्देशांक प्रणाली द्वारा दिए गए बिंदुओं के लिए दूरी की गणना करना भी संभव है। यदि ध्रुवीय निर्देशांक $$p$$ $$(r,\theta)$$ हैं और के ध्रुवीय निर्देशांक $$q$$ $$(s,\psi)$$ हैं, तो उनका अन्तर कोसाइन के नियम द्वारा दी गई है: $$d(p,q)=\sqrt{r^2 + s^2 - 2rs\cos(\theta-\psi)}.$$ जब $$p$$ तथा $$q$$ जटिल तल में जटिल संख्याओं के रूप में व्यक्त किया जाता हैं, वास्तविक संख्याओं के रूप में व्यक्त किए गए एक-आयामी बिंदुओं के लिए समान सूत्र का उपयोग किया जा सकता है, हालांकि यहां निरपेक्ष मान चिह्न जटिल मानक को दर्शाता है: $$d(p,q)=|p-q|.$$

उच्च आयाम
तीन आयामों में, कार्तीय निर्देशांक द्वारा दिए गए बिंदुओं के लिए, दूरी है $$d(p,q)=\sqrt{(p_1-q_1)^2 + (p_2-q_2)^2 + (p_3-q_3)^2}.$$ सामान्य तौर पर, कार्तीय निर्देशांक द्वारा दिए गए बिंदुओं के लिए $$n$$-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष, दूरी है

$$d(p,q) = \sqrt{(p_1- q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2+\cdots+(p_i - q_i)^2+\cdots+(p_n - q_n)^2}.$$

बिंदुओं के अलावा अन्य वस्तुएं
उन वस्तुओं के जोड़े जो दोनों बिंदु नहीं हैं, दूरी को दो वस्तुओं से किसी भी दो बिंदुओं के बीच की सबसे छोटी दूरी के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, हालांकि अधिक जटिल सामान्यीकरण बिंदुओं से लेकर समूहों तक जैसे हौसडॉर्फ दूरी का भी समान्यता उपयोग किया जाता हैं। विभिन्न प्रकार की वस्तुओं के बीच दूरियों की गणना के सूत्र भी सम्मिलित हैं:
 * यूक्लिडियन तल में एक बिंदु से एक रेखा तक का अन्तर
 * त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक बिंदु से एक तल का अन्तर *


 * त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में दो रेखाओं के बीच का अन्तर

गुण
यूक्लिडियन दूरी एक मीट्रिक स्थान में दूरी का प्रारम्भिक उदाहरण है, और मीट्रिक अंतरिक्ष के सभी परिभाषित गुणों का पालन करता है:
 * यह सममित है, जिसका अर्थ है कि सभी बिंदुओं के लिए $$p$$ तथा $$q$$, $$d(p,q)=d(q,p)$$. यानी (वन-वे सड़कों के साथ सड़क का अन्तर के विपरीत) दो बिंदुओं के बीच का अन्तर इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि दो बिंदुओं में से कौन सा बिन्दु प्रारम्भिक है और कौन सा अंतिम है।
 * यह धनात्मक है, अर्थात प्रत्येक दो भिन्न बिंदुओं के बीच का अन्तर एक धनात्मक संख्या होती है, जबकि किसी भी बिंदु से स्वयं का अन्तर शून्य होती है।
 * प्रत्येक तीनो बिंदुओं के लिए $$p$$, $$q$$, तथा $$r$$, $$d(p,q)+d(q,r)\ge d(p,r)$$. यह त्रिभुज असमानता का पालन करता है: सहज रूप से,  $$p$$ से $$r$$ तक $$q$$ से यात्रा करना  $$p$$ से  $$r$$ तक से सीधे यात्रा करने से कम नहीं हो सकता।

टॉलेमी की असमानता, चार बिंदुओं $$p$$, $$q$$, $$r$$, तथा $$s$$.के बीच यूक्लिडियन दूरियों से संबंधित है. यह प्रकट करता है की यह एक अन्य गुण है, $$d(p,q)\cdot d(r,s)+d(q,r)\cdot d(p,s)\ge d(p,r)\cdot d(q,s).$$ इसे यह कहते हुए दोहराया जा सकता है कि समतल में बिंदुओं के लिए प्रत्येक चतुर्भुज के लिए, चतुर्भुज के विपरीत पक्षों के गुणनफल का योग उसके विकर्णों के गुणनफल जितनी बड़ी संख्या के बराबर होता है। हालाँकि, टॉलेमी की असमानता किसी भी आयाम के यूक्लिडियन रिक्त स्थानों में बिंदुओं पर अधिक लागू होती है, चाहे वो किसी भी प्रकार से व्यवस्थित हों। मीट्रिक रिक्त स्थान में बिंदुओं के लिए जो यूक्लिडियन रिक्त स्थान नहीं हैं, वहा असमानता सत्य नहीं हो सकती है। यूक्लिडियन दूरी ज्यामिति यूक्लिडियन दूरी के गुणों का अध्ययन करती है जैसे कि टॉलेमी की असमानता, और यह परीक्षण करने के लिए क्या दी गई दूरियों के समूह यूक्लिडियन अंतरिक्ष में बिंदुओं से आते हैं। बेकमैन-क्वार्ल्स प्रमेय के अनुसार, यूक्लिडियन तल या उच्च-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष का कोई भी परिवर्तन जो इकाई दूरी को संरक्षित करता है, सभी दूरी को संरक्षित करते हुए आइसोमेट्री होना चाहिए।

वर्गाकार यूक्लिडियन दूरी
कई अनुप्रयोगों में, विशेष रूप से दूरियों की तुलना करते समय, और यूक्लिडियन दूरियों की गणना में अंतिम वर्गमूल को छोड़ना अधिक सुविधाजनक हो सकता है। इस लोप से उत्पन्न मान यूक्लिडियन दूरी का वर्ग (बीजगणित) है, और इसे ही वर्गाकार यूक्लिडियन दूरी कहा जाता है। इसे वर्गों के योग के रूप में एक समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$$d^2(p,q) = (p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2+\cdots+(p_i - q_i)^2+\cdots+(p_n - q_n)^2.$$ इसके अलावा दूरी की तुलना के लिए परीक्षण, आँकड़ों में यूक्लिडियन दूरी का वर्ग केंद्रीय महत्व है, जहाँ इसका उपयोग कम से कम वर्गों की विधि में किया जाता है, प्रेक्षित और अनुमानित मूल्यों के बीच का अन्तर के वर्ग के औसत को कम करके  सांख्यिकीय अनुमानों का उपयुक्त जानकारी प्राप्त करने के लिए एक मानक विधि है। और प्रायिकता वितरणों की तुलना करने के लिए विचलन (सांख्यिकी) के सबसे सरल रूप में। एक दूसरे से वर्गित दूरियों का जोड़, जैसा कि कम से कम वर्ग ठीक किया जाता है, पाइथागोरस योग नामक दूरियों पर एक संचालन के अनुरूप होता है। गुच्छ विश्लेषण में, लंबी दूरी के प्रभाव को मजबूत करने के लिए वर्ग दूरी का उपयोग किया जा सकता है। वर्गाकार यूक्लिडियन दूरी एक मीट्रिक स्थान नहीं बनाती है, क्योंकि यह त्रिभुज असमानता को संतुष्ट नहीं करती है। हालांकि यह दूरी के विपरीत दो बिंदुओं का एक चिकना, सख्ती से उत्तल कार्य है, जो गैर-चिकनी (समान बिंदुओं के जोड़े के पास) और उत्तल है लेकिन सख्ती से उत्तल नहीं है। इस प्रकार वर्गाकार दूरी अनुकूलन सिद्धांत में पसंद की जाती है, क्योंकि यह उत्तल विश्लेषण का उपयोग करने की अनुमति देता है। चूंकि वर्गाकार गैर-ऋणात्मक मानों का एक मोनोटोनिक कार्य है, वर्गाकार दूरी को कम करना यूक्लिडियन दूरी को कम करने के बराबर है, इसलिए अनुकूलन समस्या तो बराबर है, लेकिन वर्गाकार दूरी का उपयोग करके हल करना आसान है। परिमित समूह से बिंदुओं के जोड़े के बीच सभी वर्गकार दूरी का संग्रह यूक्लिडियन दूरी मैट्रिक्स  में संग्रहीत किया जा सकता है, और इस रूप में दूरी ज्यामिति में उपयोग किया जाता है।

सामान्यीकरण
गणित के अधिक

विकसित क्षेत्रों में, जब यूक्लिडियन स्पेस को एक वेक्टर स्पेस के रूप में देखते हैं, तो इसका अन्तर एक आदर्श (गणित) से जुड़ी होती है जिसे आदर्श कहा जाता है यूक्लिडियन मानदंड, जिसे मूल (गणित) से प्रत्येक वेक्टर का अन्तर के रूप में परिभाषित किया गया है। अन्य मानदंडों के सापेक्ष इस मानदंड का एक महत्वपूर्ण गुण यह है कि यह मूल के चारों ओर अंतरिक्ष के मनमाने घुमाव के तहत अपरिवर्तित रहता है। ड्वोर्त्ज़की प्रमेय के प्रमेय के अनुसार, प्रत्येक परिमित-आयामी मानक सदिश स्थान में एक उच्च-आयामी उप-स्थान होता है, जिस पर मानदंड लगभग यूक्लिडियन होता है;

इस गुण के साथ यूक्लिडियन मानदंड ही एकमात्र मानदंड है। इसे L2 मानदंड या L2 दूरी के रूप में अनंत-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान तक बढ़ाया जा सकता है। यूक्लिडियन दूरी यूक्लिडियन स्पेस को एक टोपोलॉजिकल स्पेस, यूक्लिडियन टोपोलॉजीकी संरचना देती है, जिसमें खुली गेंदें (दिए गए बिंदु से दी गई दूरी से कम दूरी पर बिंदुओं के उप-समूचय) इसके निकटतम होती हैं।

यूक्लिडियन रिक्त स्थान और निम्न-आयामी सदिश स्थानों पर अन्य सामान्य दूरियों में सम्मिलित हैं:
 * चेबीशेव दूरी, जो केवल सबसे महत्वपूर्ण आयाम को प्रासंगिक मानते हुए दूरी को मापता है।
 * मैनहट्टन दूरी, जो केवल अक्ष-संरेखित दिशाओं के बाद का अन्तर को मापती है।
 * मिन्कोव्स्का अन्तर, एक सामान्यीकरण जो यूक्लिडियन दूरी, मैनहट्टन दूरी और चेबीशेव दूरी को एकीकृत करता है।

तीनो आयामों में सतहों पर बिंदुओं के लिए, यूक्लिडियन दूरी को भूगर्भीय दूरी से अलग किया जाना चाहिए, जो सतह से संबंधित सबसे छोटी वक्र की लंबाई। विशेष रूप से, पृथ्वी या अन्य गोलाकार या निकट-गोलाकार सतहों पर महान-वृत्त का अन्तर को मापने के लिए, जिन दूरियों का उपयोग किया गया है, उनमें हैवरसाइन दूरी सम्मिलित है, जो उनके देशांतर और अक्षांशों से एक गोले पर दो बिंदुओं के बीच महान-वृत्त का अन्तर देती है, और विन्सेन्टी के सूत्र गोलाकार पर दूरी के लिए विन्सेंट दूरी के रूप में भी जाना जाता है।

इतिहास
यूक्लिडियन दूरी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में दूरी है; दोनों अवधारणाओं का नाम प्राचीन ग्रीक गणितज्ञ यूक्लिड के नाम पर रखा गया है, जिनके यूक्लिड के तत्व कई शताब्दियों के लिए ज्यामिति में एक मानक पाठ्यपुस्तक बन गए। लंबाई और दूरी  की अवधारणाएं संस्कृतियों में व्यापक हैं, चौथी सहस्राब्दी ईसा पूर्व (यूक्लिड से बहुत पहले) में सुमेर से जल्द से जल्द जीवित प्रोटोलिटरेट नौकरशाही दस्तावेजों के लिए दिनांकित किया जा सकता है। और गति और समय की संबंधित अवधारणाओं से पहले बच्चों में विकसित होने की परिकल्पना की गई है। लेकिन दूरी की धारणा, दो बिंदुओं से परिभाषित संख्या के रूप में, वास्तव में यूक्लिड के तत्वों में प्रकट नहीं होती है। इसके अतिरिक्त, यूक्लिड रेखा खंडों की लंबाई की तुलना के माध्यम से, और आनुपातिकता (गणित) की अवधारणा के माध्यम से, रेखा खंडों की सर्वांगसमता (ज्यामिति) के माध्यम से इस अवधारणा को स्पष्ट रूप से देखता है। पायथागॉरियन प्रमेय भी प्राचीन है, लेकिन यह 1637 में रेने डेसकार्टेस द्वारा कार्तीय निर्देशांक के आविष्कार के बाद ही दूरियों की माप में अपनी केंद्रीय भूमिका निभा सकता था। दूरी सूत्र स्वयं पहली बार 1731 में एलेक्सिस क्लेराट द्वारा प्रकाशित किया गया था। इस सूत्र के कारण, यूक्लिडियन दूरी को कभी-कभी पाइथागोरस दूरी भी कहा जाता है। यद्यपि पृथ्वी की सतह पर लंबी दूरी की सटीक माप, जो यूक्लिडियन नहीं हैं, प्राचीन काल से कई संस्कृतियों में फिर से अध्ययन किया गया था (जियोडेसी का इतिहास देखें), यह विचार कि यूक्लिडियन दूरी बिंदुओं के बीच का अन्तर को मापने का एकमात्र तरीका नहीं हो सकता है। 19वीं सदी के गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के सूत्रीकरण के साथ गणितीय रिक्त स्थान बाद में भी आए। तीन से अधिक आयामों की ज्यामिति के लिए यूक्लिडियन मानदंड और यूक्लिडियन दूरी की परिभाषा भी पहली बार 19वीं शताब्दी में ऑगस्टिन-लुई कॉची के काम में दिखाई दी थी।