जटिल संख्या

गणित में, एक जटिल संख्या एक संख्या प्रणाली  का एक तत्व है जो  वास्तविक संख्या ओं को एक विशिष्ट तत्व के साथ विस्तारित करती है $i$, काल्पनिक इकाई कहा जाता है और  समीकरण  को संतुष्ट करता है $(a, b)$; प्रत्येक सम्मिश्र संख्या को रूप में व्यक्त किया जा सकता है $i2 = −1$, कहाँ पे $i$ तथा $a$ वास्तविक संख्याएँ हैं। क्योंकि कोई भी वास्तविक संख्या उपरोक्त समीकरण को संतुष्ट नहीं करती है, $b$ रेने डेसकार्टेस द्वारा एक  काल्पनिक संख्या  कहा जाता था। सम्मिश्र संख्या के लिए $i2 = −1$, $i$ कहा जाता हैतथा $a$ कहा जाता है. सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय को किसी भी प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है $$\mathbb C$$ या $a + bi$. ऐतिहासिक नामकरण काल्पनिक होने के बावजूद, गणितीय विज्ञान  में जटिल संख्याओं को वास्तविक संख्याओं के समान ही वास्तविक माना जाता है और प्राकृतिक दुनिया के वैज्ञानिक विवरण के कई पहलुओं में मौलिक हैं। सम्मिश्र संख्याएँ सभी बहुपद समीकरण ों को हल करने की अनुमति देती हैं, यहाँ तक कि वे भी जिनका वास्तविक संख्याओं में कोई हल नहीं है। अधिक सटीक रूप से,  बीजगणित का मौलिक प्रमेय  दावा करता है कि वास्तविक या जटिल गुणांक वाले प्रत्येक गैर-स्थिर बहुपद समीकरण का एक समाधान होता है जो एक जटिल संख्या होती है। उदाहरण के लिए, समीकरण $$(x+1)^2 = -9$$ इसका कोई वास्तविक समाधान नहीं है, क्योंकि वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता है, लेकिन इसके दो अवास्तविक जटिल समाधान हैं $a + bi$ तथा $C$.

जटिल संख्याओं के जोड़, घटाव और गुणा को नियम का उपयोग करके स्वाभाविक रूप से परिभाषित किया जा सकता है $−1 + 3i$ सहयोगी कानून, विनिमेय कानून  और  वितरण कानून  कानूनों के साथ संयुक्त। प्रत्येक अशून्य सम्मिश्र संख्या का एक गुणनात्मक प्रतिलोम होता है। यह जटिल संख्याओं को एक  क्षेत्र (गणित)  बनाता है जिसमें उपक्षेत्र के रूप में वास्तविक संख्याएँ होती हैं। सम्मिश्र संख्याएं आयाम दो का एक वास्तविक सदिश समष्टि भी बनाती हैं, जिसमें $−1 − 3i$ एक  मानक आधार  के रूप में।

यह मानक आधार सम्मिश्र संख्याओं को कार्तीय तल बनाता है, जिसे सम्मिश्र तल कहते हैं। यह जटिल संख्याओं और उनके संचालन की एक ज्यामितीय व्याख्या की अनुमति देता है, और इसके विपरीत जटिल संख्याओं के संदर्भ में कुछ ज्यामितीय गुणों और निर्माणों को व्यक्त करता है। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याएँ वास्तविक रेखा  का निर्माण करती हैं जिसे जटिल तल के क्षैतिज अक्ष से पहचाना जाता है। निरपेक्ष मान की सम्मिश्र संख्याएँ इकाई वृत्त बनाती हैं। एक सम्मिश्र संख्या का योग सम्मिश्र तल में एक  अनुवाद (ज्यामिति)  है, और एक सम्मिश्र संख्या से गुणा मूल पर केंद्रित एक  समानता (ज्यामिति)  है।  जटिल संयुग्मन  वास्तविक अक्ष के संबंध में  प्रतिबिंब समरूपता  है। जटिल निरपेक्ष मान एक  यूक्लिडियन मानदंड  है।

संक्षेप में, जटिल संख्याएं एक समृद्ध संरचना बनाती हैं जो एक साथ एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र  है, वास्तविक पर एक  कम्यूटेटिव बीजगणित (संरचना), और आयाम दो का एक  यूक्लिडियन वेक्टर स्पेस  है।

परिभाषा
एक सम्मिश्र संख्या, रूप की एक संख्या होती है $i^{2} = −1$, कहाँ पे $b$ तथा $x$ वास्तविक संख्या एं हैं, और $\{1, i\}$ एक अनिश्चित संतोषजनक है $z = x + iy$. उदाहरण के लिए, $a + bi$ एक जटिल संख्या है। इस तरह, एक जटिल संख्या को एकल अनिश्चित में वास्तविक गुणांक वाले बहुपद  के रूप में परिभाषित किया जाता है $i$, जिसके लिए संबंध $i^{2} = −1$ लगाया जाता है। इस परिभाषा के आधार पर, बहुपद के लिए जोड़ और गुणा का उपयोग करके जटिल संख्याओं को जोड़ा और गुणा किया जा सकता है। सम्बन्ध $2 + 3i$ समानता को प्रेरित करता है $i$ तथा $i^{2} + 1 = 0$ जो सभी पूर्णांकों के लिए धारण करता है $y$; ये किसी भी बहुपद को कम करने की अनुमति देते हैं जो जटिल संख्याओं के जोड़ और गुणा के परिणामस्वरूप एक रैखिक बहुपद में होता है $a$, फॉर्म के फिर से $i^{2} + 1 = 0$ वास्तविक गुणांक के साथ $b$ वास्तविक संख्या $k$ सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग कहलाता है $i^{4k} = 1, i^{4k+1} = i, i^{4k+2} = −1,$; वास्तविक संख्या $i$ उसका काल्पनिक भाग कहलाता है। जोर देने के लिए, काल्पनिक भाग में एक कारक शामिल नहीं है $a, b.$; यानी काल्पनिक हिस्सा है $a$, नहीं $i^{4k+3} = −i,$. औपचारिक रूप से, जटिल संख्याओं को अनिश्चित में बहुपद वलय  के  भागफल वलय  के रूप में परिभाषित किया जाता है $a + bi$, बहुपद द्वारा उत्पन्न  आदर्श (अंगूठी सिद्धांत)  द्वारा $a + bi$ (भागफल क्षेत्र के रूप में #निर्माण देखें)।

संकेतन
एक वास्तविक संख्या $b$ एक जटिल संख्या के रूप में माना जा सकता है $bi$, जिसका काल्पनिक भाग 0 है। एक विशुद्ध रूप से काल्पनिक संख्या $i$ एक सम्मिश्र संख्या है $i^{2} + 1$, जिसका वास्तविक भाग शून्य है। बहुपदों की तरह, यह लिखना आम है $i$ के लिये $a + 0i$ तथा $bi$ के लिये $0 + bi$. इसके अलावा, जब काल्पनिक भाग ऋणात्मक होता है, अर्थात, $a + 0i$, लिखना आम बात है $bi$ के बजाय $0 + bi$; उदाहरण के लिए, के लिए $b = −|b| < 0$, $a − |b|i$ के स्थान पर लिखा जा सकता है $a + (−|b|)i$.

अनिश्चित के गुणन के बाद से $b = −4$ और एक वास्तविक वास्तविक गुणांक वाले बहुपदों में क्रमविनिमेय है, बहुपद $3 − 4i$ के रूप में लिखा जा सकता है $3 + (−4)i$ यह अक्सर भावों द्वारा निरूपित काल्पनिक भागों के लिए समीचीन होता है, उदाहरण के लिए, जब $b$ एक कट्टरपंथी है। एक सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग $a$ द्वारा दर्शाया गया है $i$, $$\mathcal{Re}(z)$$, या $$\mathfrak{R}(z)$$; एक सम्मिश्र संख्या का काल्पनिक भाग $a$ द्वारा दर्शाया गया है $a + bi$, $$\mathcal{Im}(z)$$, या $$\mathfrak{I}(z).$$ उदाहरण के लिए, $$ \operatorname{Re}(2 + 3i) = 2 \quad \text{ and } \quad  \operatorname{Im}(2 + 3i) = 3~.$$ सभी सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय (गणित) को द्वारा निरूपित किया जाता है $$\Complex$$ ( ब्लैकबोर्ड बोल्ड ) या $a + ib.$ (ईमानदार बोल्ड)।

कुछ विषयों में, विशेष रूप से विद्युत  चुंबकत्व और  विद्युत अभियन्त्रण  में, $b$ के बजाय प्रयोग किया जाता है $z$ जैसा $z$ अक्सर  विद्युत प्रवाह  का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रयोग किया जाता है। इन मामलों में, सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रकार लिखी जाती हैं: $Re(z)$, या $Im(z)$.

विज़ुअलाइज़ेशन
एक जटिल संख्या $j$ इस प्रकार एक आदेशित जोड़ी के साथ पहचाना जा सकता है $$(\Re (z),\Im (z))$$ वास्तविक संख्याओं की, जिन्हें बदले में द्वि-आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु के निर्देशांक के रूप में व्याख्यायित किया जा सकता है। सबसे तात्कालिक स्थान उपयुक्त निर्देशांक वाला यूक्लिडियन तल है, जिसे तब जटिल तल या Argand आरेख कहा जाता है, का नाम  जीन-रॉबर्ट Argand  के नाम पर रखा गया है। एक अन्य प्रमुख स्थान जिस पर निर्देशांक प्रक्षेपित किए जा सकते हैं, एक गोले की द्वि-आयामी सतह है, जिसे तब  रीमैन क्षेत्र  कहा जाता है।

कार्तीय जटिल विमान
दो मनमानी वास्तविक मूल्यों को शामिल करने वाली जटिल संख्याओं की परिभाषा तुरंत जटिल विमान में कार्टेशियन निर्देशांक के उपयोग का सुझाव देती है। क्षैतिज (वास्तविक) अक्ष का उपयोग आम तौर पर वास्तविक भाग को प्रदर्शित करने के लिए किया जाता है, जिसमें दाईं ओर बढ़ते हुए मान होते हैं, और काल्पनिक भाग ऊर्ध्वाधर (काल्पनिक) अक्ष को ऊपर की ओर बढ़ते हुए मूल्यों के साथ चिह्नित करता है।

एक चार्टेड संख्या को या तो Wikt के रूप में देखा जा सकता है: समन्वय बिंदु या मूल से इस बिंदु तक एक वेक्टर (ज्यामितीय)  के रूप में। एक सम्मिश्र संख्या के निर्देशांक मान $i$ इसलिए इसे इसके कार्तीय, आयताकार, या बीजीय रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

विशेष रूप से, जोड़ और गुणा का संचालन एक बहुत ही प्राकृतिक ज्यामितीय चरित्र पर होता है, जब जटिल संख्याओं को स्थिति वैक्टर के रूप में देखा जाता है: जोड़ यूक्लिडियन वेक्टर # जोड़ और घटाव से मेल खाता है, जबकि गुणा (ध्रुवीय रूप में गुणा और विभाजन देखें) गुणा से मेल खाता है उनके परिमाण और वास्तविक अक्ष के साथ उनके द्वारा बनाए गए कोणों को जोड़ते हुए। इस तरह से देखा जाए तो एक सम्मिश्र संख्या का गुणा $C$ मूल के बारे में एक चौथाई मोड़ (ज्यामिति) (समकोण | 90 °) द्वारा स्थिति वेक्टर अभिविन्यास (ज्यामिति)  को घुमाने से मेल खाती है - एक तथ्य जिसे बीजगणितीय रूप से निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है: $$(a + bi)\cdot i = ai + b(i)^2 = -b + ai .$$

मापांक और तर्क
जटिल तल में निर्देशांक के लिए एक वैकल्पिक विकल्प ध्रुवीय समन्वय प्रणाली  है जो बिंदु की दूरी का उपयोग करता है $i$ मूल से (गणित) ($z$), और धनात्मक वास्तविक अक्ष और रेखाखंड के बीच अंतरित कोण $z$ वामावर्त अर्थ में। यह ध्रुवीय रूप की ओर जाता है
 * $$z=re^{i\varphi}=r(\cos\varphi +i\sin\varphi) $$

एक सम्मिश्र संख्या का, जहाँ $z$ का निरपेक्ष मान है $φ$, तथा $$\varphi$$ का तर्क (जटिल विश्लेषण)  है $r$.

किसी सम्मिश्र संख्या का निरपेक्ष मान (या मापांक या परिमाण) $a + bj$ है $$r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}.$$ यदि $z$ एक वास्तविक संख्या है (अर्थात, यदि $a + jb$), फिर $i$. अर्थात्, एक वास्तविक संख्या का निरपेक्ष मान एक सम्मिश्र संख्या के रूप में उसके निरपेक्ष मान के बराबर होता है।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, एक सम्मिश्र संख्या का निरपेक्ष मान सम्मिश्र तल में सम्मिश्र संख्या को निरूपित करने वाले बिंदु की उत्पत्ति की दूरी है।

का तर्क $O$ (कई अनुप्रयोगों में जिन्हें चरण कहा जाता है $Oz$) त्रिज्या का कोण है $r$ सकारात्मक वास्तविक अक्ष के साथ, और के रूप में लिखा जाता है $z = x + yi$. मापांक के साथ, तर्क आयताकार रूप से पाया जा सकता है $z$ —काल्पनिक-दर-वास्तविक भागों के भागफल के प्रतिलोम स्पर्शरेखा को लागू करके। अर्ध-कोणीय पहचान का उपयोग करके, आर्कटिक की एक शाखा रेंज को कवर करने के लिए पर्याप्त है $z$ की $y = 0$-कार्य, और अधिक सूक्ष्म केस-दर-मामला विश्लेषण से बचा जाता है

$$\varphi = \arg (x+yi) = \begin{cases} 2 \arctan\left(\dfrac{y}{\sqrt{x^2 + y^2} + x}\right) &\text{if } y \neq 0 \text{ or } x > 0, \\ \pi &\text{if } x < 0 \text{ and } y = 0, \\ \text{undefined} &\text{if } x = 0 \text{ and } y = 0. \end{cases}$$ आम तौर पर, जैसा कि ऊपर दिया गया है, अंतराल में प्रमुख मूल्य $z$ चुना जाता है। यदि arg मान ऋणात्मक है, तो श्रेणी में मान $z$ या $φ$ जोड़कर प्राप्त किया जा सकता है $r = |x|$. का मूल्य $Oz$ इस लेख में कांति  में व्यक्त किया गया है। यह के किसी भी पूर्णांक गुणज से बढ़ सकता है $arg z$ और फिर भी वही कोण देते हैं, जिसे धनात्मक वास्तविक अक्ष की किरणों द्वारा और मूल बिंदु से तक अंतरित करके देखा जाता है $x + yi$. इसलिए, arg फ़ंक्शन को कभी-कभी बहु-मूल्यवान फ़ंक्शन के रूप में माना जाता है। सम्मिश्र संख्या 0 के लिए ध्रुवीय कोण अनिश्चित है, लेकिन ध्रुवीय कोण 0 का मनमाना चुनाव आम है।

का मूल्य $(−π, π]$ atan2  के परिणाम के बराबर है: $$\varphi = \operatorname{atan2}\left(\operatorname{Im}(z),\operatorname{Re}(z) \right).$$ साथ साथ, $(−π, π]$ तथा $(−π, π]$ सम्मिश्र संख्याओं को निरूपित करने का एक अन्य तरीका, ध्रुवीय रूप दें, क्योंकि मापांक और तर्क का संयोजन विमान पर एक बिंदु की स्थिति को पूरी तरह से निर्दिष्ट करता है। मूल आयताकार निर्देशांक को ध्रुवीय रूप से पुनर्प्राप्त करना त्रिकोणमितीय रूप नामक सूत्र द्वारा किया जाता है $$ z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi ).$$ यूलर के सूत्र का प्रयोग करके इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है $$z = r e^{i \varphi} \text{ or } z = r \exp i \varphi.$$ का उपयोग करते हुए $arg$ समारोह, इसे कभी-कभी संक्षिप्त किया जाता है $$ z = r \operatorname\mathrm{cis} \varphi. $$ कोण संकेतन  में, अक्सर  इलेक्ट्रानिक्स  में आयाम के साथ एक चरण (साइन तरंगों) का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है $[0, 2π)$ और चरण $φ$, यह के रूप में लिखा है $$z = r \angle \varphi. $$

जटिल ग्राफ
जटिल विश्लेषण की कल्पना करते समय, एक जटिल इनपुट और आउटपुट दोनों की आवश्यकता होती है। चूँकि प्रत्येक सम्मिश्र संख्या को दो आयामों में दर्शाया जाता है, एक जटिल फलन को दृष्टिगत रूप से रेखांकन करने के लिए एक चार आयामी स्थान की धारणा की आवश्यकता होगी, जो केवल अनुमानों में ही संभव है। इस वजह से, जटिल कार्यों को देखने के अन्य तरीके तैयार किए गए हैं।

डोमेन रंग में आउटपुट आयामों को क्रमशः रंग और चमक द्वारा दर्शाया जाता है। डोमेन के रूप में जटिल विमान में प्रत्येक बिंदु अलंकृत है, आमतौर पर रंग जटिल संख्या के तर्क का प्रतिनिधित्व करता है, और चमक परिमाण का प्रतिनिधित्व करती है। डार्क स्पॉट मोडुली को शून्य के पास चिह्नित करते हैं, चमकीले धब्बे मूल से बहुत दूर होते हैं, ग्रेडेशन बंद हो सकता है, लेकिन इसे नीरस माना जाता है। रंग अक्सर के चरणों में भिन्न होते हैं $z$ के लिये $2π$ प्रति $2π$ लाल, पीले, हरे, सियान, नीले, से मैजेंटा तक। इन भूखंडों को डोमेन कलरिंग कहा जाता है। यह जानकारी खोए बिना कार्यों की कल्पना करने का एक आसान तरीका प्रदान करता है। तस्वीर के लिए शून्य दिखाता है $cis$ और डंडे $$\pm \sqrt.$$

इतिहास
एक सामान्य घन समीकरण  के nवें मूल (त्रिकोणमितीय कार्यों के बिना) में समाधान, जब इसकी तीनों जड़ें वास्तविक संख्याएं होती हैं, तो इसमें  ऋणात्मक संख्या ओं के वर्गमूल होते हैं, एक ऐसी स्थिति जिसे परिमेय मूल परीक्षण द्वारा सहायता प्राप्त फैक्टरिंग द्वारा ठीक नहीं किया जा सकता है, यदि घन अघुलनशील बहुपद है; यह तथाकथित  एक अपरिवर्तनीय मौका  (इरेड्यूसिबल केस) है। इस पहेली ने इतालवी गणितज्ञ  गेरोलामो कार्डानो  को अपने Ars Magna में लगभग 1545 में जटिल संख्याओं की कल्पना करने के लिए प्रेरित किया, हालांकि उनकी समझ अल्पविकसित थी; इसके अलावा उन्होंने बाद में जटिल संख्याओं को सूक्ष्म के रूप में खारिज कर दिया क्योंकि वे बेकार हैं। सामान्य बहुपदों की समस्या पर काम करने से अंततः बीजगणित के मूल प्रमेय का जन्म हुआ, जो दर्शाता है कि सम्मिश्र संख्याओं के साथ, डिग्री एक या उच्चतर के प्रत्येक बहुपद समीकरण का एक समाधान मौजूद होता है। जटिल संख्याएं इस प्रकार बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र बनाती हैं, जहां किसी भी बहुपद समीकरण में एक फ़ंक्शन का रूट होता है।

अनेक गणितज्ञों ने सम्मिश्र संख्याओं के विकास में योगदान दिया। जटिल संख्याओं के जोड़, घटाव, गुणा और मूल निष्कर्षण के नियम इतालवी गणितज्ञ राफेल बॉम्बेली  द्वारा विकसित किए गए थे। जटिल संख्याओं के लिए एक अधिक अमूर्त औपचारिकता आगे आयरिश गणितज्ञ  विलियम रोवन हैमिल्टन  द्वारा विकसित की गई, जिन्होंने इस अमूर्तता को चतुर्धातुक सिद्धांत तक बढ़ाया। ऋणात्मक संख्या ओं के वर्गमूल ों के लिए सबसे प्रारंभिक क्षणभंगुर संदर्भ शायद पहली शताब्दी ईस्वी में  हेलेनिस्टिक गणित  के  अलेक्जेंड्रिया के हीरो  के काम में हुआ था, जहां अपने हीरो ऑफ अलेक्जेंड्रिया # ग्रंथ सूची में उन्होंने माना, जाहिरा तौर पर त्रुटि में, मात्रा एक  पिरामिड  का एक असंभव छिन्नक पद पर पहुंचने के लिए $$\sqrt{81 - 144}$$ उनकी गणना में, जो आज के लिए आसान हो जाएगा  $$\sqrt{-63} = 3i\sqrt{7}$$. हेलेनिस्टिक गणित में नकारात्मक मात्राओं की कल्पना नहीं की गई थी और हीरो ने इसे केवल इसके सकारात्मक से बदल दिया था $$\sqrt{144 - 81} = 3\sqrt{7}.$$ अपने आप में एक विषय के रूप में जटिल संख्याओं का अध्ययन करने की प्रेरणा पहली बार 16 वीं शताब्दी में उठी जब क्यूबिक समीकरण और क्वार्टिक समीकरण बहुपद की जड़ों के लिए बीजगणितीय समाधान इतालवी गणितज्ञों द्वारा खोजे गए थे (निकोलो फोंटाना टार्टाग्लिया, गेरोलामो कार्डानो देखें)। इसे जल्द ही महसूस किया गया (लेकिन बहुत बाद में साबित हुआ) कि ये सूत्र, भले ही केवल वास्तविक समाधानों में रुचि रखते हों, कभी-कभी ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूल के हेरफेर की आवश्यकता होती है। उदाहरण के तौर पर, फॉर्म के घन समीकरण के लिए टार्टाग्लिया का सूत्र $(z^{2} − 1)(z − 2 − i)^{2}⁄z^{2} + 2 + 2i$ समीकरण का हल देता है $0$ जैसा

$$\tfrac{1}{\sqrt{3}}\left(\left(\sqrt{-1}\right)^{1/3}+\left(\sqrt{-1}\right)^{-1/3}\right).$$ प्रथम दृष्टया यह बात बेमानी लगती है। हालांकि, जटिल संख्याओं के साथ औपचारिक गणना दर्शाती है कि समीकरण $2\pi$ तीन समाधान हैं: $$-i, \frac{\sqrt{3} + i}{2}, \frac{-\sqrt{3}+i}{2}.$$ इन्हें बदले में प्रतिस्थापित करना $$\sqrt{-1}^{1/3}$$ टार्टाग्लिया के घन सूत्र और सरलीकरण में, 0, 1 और -1 को के समाधान के रूप में प्राप्त किया जाता है $±1, (2 + i)$. बेशक इस विशेष समीकरण को देखते ही हल किया जा सकता है, लेकिन यह स्पष्ट करता है कि जब वास्तविक मूल के साथ घन समीकरणों को हल करने के लिए सामान्य सूत्रों का उपयोग किया जाता है, जैसा कि बाद के गणितज्ञों ने सख्ती से दिखाया, जटिल संख्या कैसस इरेड्यूसिबिलिस का उपयोग। राफेल बॉम्बेली क्यूबिक समीकरणों के इन प्रतीत होने वाले विरोधाभासी समाधानों को स्पष्ट रूप से संबोधित करने वाले पहले व्यक्ति थे और इन मुद्दों को हल करने की कोशिश कर रहे जटिल अंकगणित के नियमों को विकसित किया।

इन मात्राओं के लिए काल्पनिक शब्द 1637 में रेने डेसकार्टेस द्वारा गढ़ा गया था, जो अपने अवास्तविक स्वभाव पर जोर देने के लिए दर्द में थे। "... sometimes only imaginary, that is one can imagine as many as I said in each equation, but sometimes there exists no quantity that matches that which we imagine. [... quelquefois seulement imaginaires c'est-à-dire que l'on peut toujours en imaginer autant que j'ai dit en chaque équation, mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité qui corresponde à celle qu'on imagine.]" भ्रम का एक और स्रोत यह था कि समीकरण $$\sqrt{-1}^2 = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = -1$$ बीजगणितीय पहचान के साथ असंगत रूप से असंगत लग रहा था $$\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$$, जो गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए मान्य है $φ$ तथा $r$, और जिसका उपयोग जटिल संख्या गणनाओं में भी किया जाता था $φ$, $r$ सकारात्मक और दूसरा नकारात्मक। इस पहचान का गलत उपयोग (और संबंधित पहचान $\frac{1}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{1}{a}}$ ) मामले में जब दोनों $φ$ तथा $\pi⁄3$ निगेटिव यहां तक ​​कि बेडविल्ड लियोनहार्ड यूलर  भी हैं। इस कठिनाई ने अंततः विशेष प्रतीक का उपयोग करने की परंपरा को जन्म दिया $x3 = px + q$ की जगह में $$\sqrt{-1}$$ इस गलती से बचाव के लिए। फिर भी, यूलर ने छात्रों को आज की तुलना में बहुत पहले जटिल संख्याओं से परिचित कराना स्वाभाविक समझा। अपनी प्रारंभिक बीजगणित पाठ्य पुस्तक,  बीजगणित के तत्व  में, वह लगभग एक ही बार में इन नंबरों का परिचय देता है और फिर उनका प्राकृतिक तरीके से उपयोग करता है।

18वीं शताब्दी में जटिल संख्याओं का व्यापक उपयोग हुआ, क्योंकि यह देखा गया कि त्रिकोणमितीय कार्यों से जुड़ी गणनाओं को सरल बनाने के लिए जटिल अभिव्यक्तियों के औपचारिक हेरफेर का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 1730 में अब्राहम डी मोइवरे  ने उल्लेख किया कि उस कोण के त्रिकोणमितीय कार्यों की शक्तियों के लिए एक कोण के एक पूर्णांक गुणक के त्रिकोणमितीय कार्यों से संबंधित जटिल पहचान को निम्नलिखित प्रसिद्ध सूत्र द्वारा फिर से व्यक्त किया जा सकता है जो उसका नाम है, डी मोइवर का सूत्र:

$$(\cos \theta + i\sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i\sin n \theta. $$ 1748 में, यूलर ने आगे बढ़कर जटिल विश्लेषण का यूलर का सूत्र प्राप्त किया:

$$\cos \theta + i\sin \theta = e ^{i\theta } $$ औपचारिक रूप से जटिल शक्ति श्रृंखला में हेरफेर करके और देखा कि इस सूत्र का उपयोग किसी भी त्रिकोणमितीय पहचान को बहुत सरल घातीय पहचान को कम करने के लिए किया जा सकता है।

जटिल विमान (#Complex समतल) में एक बिंदु के रूप में एक जटिल संख्या का विचार पहली बार डेनमार्क - नॉर्वे  के  गणितज्ञ   कैस्पर वेसल  द्वारा 1799 में वर्णित किया गया था, हालांकि जॉन वालिस | वालिस के ए ट्रीटीज ऑफ अलजेब्रा में 1685 में इसका अनुमान लगाया गया था। वेसल का संस्मरण प्रोसीडिंग्स ऑफ द कोपेनहेगन अकादमी  में छपा लेकिन काफी हद तक किसी का ध्यान नहीं गया। 1806 में जीन-रॉबर्ट अरगंड ने स्वतंत्र रूप से जटिल संख्याओं पर एक पुस्तिका जारी की और बीजगणित # इतिहास के मौलिक प्रमेय का एक कठोर प्रमाण प्रदान किया।  कार्ल फ्रेडरिक गॉस  ने पहले 1797 में प्रमेय का एक अनिवार्य रूप से  टोपोलॉजी  प्रमाण प्रकाशित किया था, लेकिन उस समय -1 के वर्गमूल के वास्तविक तत्वमीमांसा के बारे में अपना संदेह व्यक्त किया। यह 1831 तक नहीं था कि उन्होंने इन संदेहों पर काबू पा लिया और विमान में बिंदुओं के रूप में जटिल संख्याओं पर अपना ग्रंथ प्रकाशित किया, बड़े पैमाने पर आधुनिक संकेतन और शब्दावली की स्थापना: "यदि किसी ने पहले इस विषय पर मिथ्या दृष्टिकोण से विचार किया था और इसलिए एक रहस्यमय अंधकार पाया, तो यह काफी हद तक अनाड़ी शब्दावली के कारण है। अगर किसी ने +1, -1 नहीं कहा होता, $\sqrt{-1}$ सकारात्मक, नकारात्मक, या काल्पनिक (या असंभव भी) इकाइयाँ, लेकिन इसके बजाय, प्रत्यक्ष, उलटा या पार्श्व इकाइयाँ कहें, तो शायद ही इस तरह के अंधेरे की बात हो।"

19वीं शताब्दी की शुरुआत में, अन्य गणितज्ञों ने स्वतंत्र रूप से जटिल संख्याओं के ज्यामितीय निरूपण की खोज की: बुई, सी.वी. मौरे, जॉन वॉरेन (गणितज्ञ),   जैक्स फ़्रेडरिक फ़्रांस | फ़्रांस और उनके भाई,  दायां बेलावाइटिस । अंग्रेजी गणितज्ञ जी.एच. हार्डी ने टिप्पणी की कि गॉस पहले गणितज्ञ थे जिन्होंने 'वास्तव में आत्मविश्वास और वैज्ञानिक तरीके' में जटिल संख्याओं का उपयोग किया था, हालांकि नॉर्वे नील्स हेनरिक अबेलु  और  कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबिक  जैसे गणितज्ञ गॉस के 1831 के ग्रंथ को प्रकाशित करने से पहले उनका नियमित रूप से उपयोग कर रहे थे। ऑगस्टिन-लुई कॉची और  बर्नहार्ड रिमेंन  ने मिलकर कॉची के मामले में 1825 के आसपास #Complex विश्लेषण के मौलिक विचारों को पूर्णता की उच्च अवस्था में लाया।

सिद्धांत में प्रयुक्त सामान्य शब्द मुख्यतः संस्थापकों के कारण हैं। Argand बुलाया $x^{3} = x$ दिशा कारक, और $$r = \sqrt{a^2 + b^2}$$ मापांक; कॉची (1821) $z^{3} = i$ कम किया गया रूप और जाहिर तौर पर तर्क शब्द का परिचय दिया; गॉस प्रयुक्त $x^{3} &minus; x = 0$ के लिये $$\sqrt{-1}$$, के लिए सम्मिश्र संख्या शब्द की शुरुआत की $i$, और बुलाया $cos φ + i sin φ$ नियम। व्यंजक दिशा गुणांक, अक्सर के लिए प्रयोग किया जाता है $cos φ + i sin φ$, हैंकेल (1867) के कारण है, और निरपेक्ष मान, मापांक के लिए, Weierstrass के कारण होता है।

सामान्य सिद्धांत पर बाद के शास्त्रीय लेखकों में रिचर्ड डेडेकिंड, ओटो होल्डर,  फेलिक्स क्लेन , हेनरी पोंकारे,  हरमन ब्लैक ,  कार्ल वीयरस्ट्रास  और कई अन्य शामिल हैं। जटिल बहुभिन्नरूपी कलन में महत्वपूर्ण कार्य (एक व्यवस्थितकरण सहित) 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में शुरू किया गया है। 1927 में  विलियम विर्टिंगर  द्वारा महत्वपूर्ण परिणाम प्राप्त किए गए हैं।

समानता
सम्मिश्र संख्याओं में वास्तविक संख्याओं के समान समानता की परिभाषा होती है; दो सम्मिश्र संख्या $i$ तथा $a + bi$ समान हैं यदि और केवल यदि उनके वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग समान हैं, अर्थात यदि $a^{2} + b^{2}$ तथा $cos φ + i sin φ$. ध्रुवीय रूप में लिखी गई गैर-शून्य सम्मिश्र संख्याएँ समान होती हैं यदि और केवल यदि उनका परिमाण समान हो और उनके तर्कों में पूर्णांक गुणज हों $a_{1} + b_{1}i$.

आदेश देना
वास्तविक संख्याओं के विपरीत, सम्मिश्र संख्याओं का कोई प्राकृतिक क्रम नहीं होता है। विशेष रूप से, जटिल संख्याओं पर कोई रैखिक क्रम नहीं है जो कि जोड़ और गुणा के साथ संगत है। इसलिए, सम्मिश्र संख्याओं में एक क्रमबद्ध क्षेत्र की संरचना नहीं होती है। इसके लिए एक स्पष्टीकरण यह है कि एक ऑर्डर किए गए फ़ील्ड में वर्गों का प्रत्येक गैर-तुच्छ योग # नॉनट्रिविअल स्क्वायरसम गैर-शून्य है, और $a_{2} + b_{2}i$ वर्गों का एक गैर-तुच्छ योग है। इस प्रकार, जटिल संख्याओं को स्वाभाविक रूप से द्वि-आयामी विमान पर विद्यमान माना जाता है।

संयुग्म
सम्मिश्र संख्या का सम्मिश्र संयुग्म $a_{1} = a_{2}$ द्वारा दिया गया है $b_{1} = b_{2}$. इसे या तो द्वारा निरूपित किया जाता है $u$ या $2π$. सम्मिश्र संख्याओं पर यह एकात्मक संक्रिया केवल उनके मूल संक्रिया जोड़, घटाव, गुणा और भाग को लागू करके व्यक्त नहीं की जा सकती है।

ज्यामितीय रूप से, $v$ प्रतिबिंब समरूपता है| का प्रतिबिंब $p$ वास्तविक धुरी के बारे में। दो बार संयुग्मित करने से मूल सम्मिश्र संख्या प्राप्त होती है $$\overline{\overline{z}}=z,$$ जो इस ऑपरेशन को एक इनवोल्यूशन (गणित) बनाता है। प्रतिबिंब वास्तविक भाग और के परिमाण दोनों को छोड़ देता है $q$ अपरिवर्तित, अर्थात् $$\operatorname{Re}(\overline{z}) = \operatorname{Re}(z)\quad$$ तथा $$\quad |\overline{z}| = |z|.$$ एक सम्मिश्र संख्या का काल्पनिक भाग और तर्क $a$ संयुग्मन के तहत अपना चिन्ह बदलें $$\operatorname{Im}(\overline{z}) = -\operatorname{Im}(z)\quad \text{ and } \quad \operatorname{arg} \overline{z} \equiv -\operatorname{arg} z \pmod {2\pi}.$$ तर्क और परिमाण के विवरण के लिए, #Polar रूप पर अनुभाग देखें।

एक सम्मिश्र संख्या का गुणनफल $i^{2} + 1^{2} = 0$ और इसके संयुग्म को निरपेक्ष वर्ग के रूप में जाना जाता है। यह हमेशा एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या होती है और प्रत्येक के परिमाण के वर्ग के बराबर होती है: $$z\cdot \overline{z} = x^2 + y^2 = |z|^2 = |\overline{z}|^2.$$ इस गुण का उपयोग दिए गए हर के संयुग्म द्वारा भिन्न के अंश और हर दोनों का विस्तार करके एक जटिल हर के साथ एक अंश को एक वास्तविक हर के साथ एक समान अंश में परिवर्तित करने के लिए किया जा सकता है। इस प्रक्रिया को कभी-कभी हर का युक्तिकरण (गणित)  कहा जाता है (हालांकि अंतिम अभिव्यक्ति में हर एक अपरिमेय वास्तविक संख्या हो सकती है), क्योंकि यह एक भाजक में सरल अभिव्यक्तियों से जड़ों को हटाने की विधि जैसा दिखता है।

सम्मिश्र संख्या के वास्तविक और काल्पनिक भाग $b$ संयुग्मन का उपयोग करके निकाला जा सकता है: $$\operatorname{Re}(z) = \dfrac{z+\overline{z}}{2},\quad \text{ and } \quad \operatorname{Im}(z) = \dfrac{z-\overline{z}}{2i}.$$ इसके अलावा, एक सम्मिश्र संख्या वास्तविक होती है यदि और केवल यदि वह अपने स्वयं के संयुग्म के बराबर हो।

संयुग्मन बुनियादी जटिल अंकगणितीय संचालन पर वितरित करता है: $$\begin{align} \overline{z\pm w} &= \overline{z} \pm \overline{w}, \\ \overline{z\cdot w} &= \overline{z} \cdot \overline{w}, \\ \overline{z/w} &= \overline{z}/\overline{w}. \end{align}$$ संयुग्मन का उपयोग व्युत्क्रम ज्यामिति में भी किया जाता है, ज्यामिति की एक शाखा जो एक रेखा के बारे में प्रतिबिंबों का अधिक सामान्य अध्ययन करती है। नेटवर्क विश्लेषण (विद्युत सर्किट)  में, जटिल संयुग्म का उपयोग समतुल्य प्रतिबाधा खोजने में किया जाता है जब अधिकतम पावर ट्रांसफर प्रमेय की तलाश की जाती है।

जोड़ और घटाना
दो सम्मिश्र संख्या $$a =x+yi$$ तथा $$b =u+vi$$ उनके वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग-अलग जोड़कर सबसे आसानी से जोड़ा जाता है। यानी:

$$a + b =(x+yi) + (u+vi) = (x+u) + (y+v)i.$$ इसी तरह, घटाव  को इस प्रकार किया जा सकता है $$a - b =(x+yi) - (u+vi) = (x-u) + (y-v)i.$$ एक सम्मिश्र संख्या का गुणन $$a =x+yi$$ और एक वास्तविक संख्या $a$ इसी तरह अलग से गुणा करके किया जा सकता है $b$ और के वास्तविक और काल्पनिक भाग $a$: $$ra=r(x+yi) = rx + ryi.$$ विशेष रूप से, घटाव घटाव को नकार कर किया जा सकता है (जो इसे गुणा कर रहा है $z = x + yi$) और परिणाम को minuend  में जोड़ना: $$a - b =a + (-1)\,b.$$ सम्मिश्र तल में सम्मिश्र संख्याओं के विज़ुअलाइज़ेशन का उपयोग करते हुए, जोड़ की निम्नलिखित ज्यामितीय व्याख्या होती है: दो सम्मिश्र संख्याओं का योग $b$ तथा $z$, जटिल तल में बिंदुओं के रूप में व्याख्या की गई, वह बिंदु है जो तीन शीर्षों से समांतर चतुर्भुज बनाकर प्राप्त किया जाता है $\overline{z}$, और लेबल किए गए तीरों के बिंदु $\overline{z}$ तथा $\overline{z}$ (बशर्ते कि वे लाइन में न हों)। समान रूप से, इन बिंदुओं को बुलाते हुए $z$, $z$, क्रमशः और समांतर चतुर्भुज का चौथा बिंदु $z$ त्रिकोण  $z$ तथा $r$  सर्वांगसमता (ज्यामिति)  हैं।

गुणा और वर्ग
वितरण संपत्ति के नियम, कम्यूटेटिव संपत्ति (जोड़ और गुणा की), और परिभाषित संपत्ति $x − yi$ जटिल संख्याओं पर लागू होता है। यह इस प्रकार है कि $$(x+yi)\, (u+vi)= (xu - yv) + (xv + yu)i.$$ विशेष रूप से, $$(x+yi)^2=x^2-y^2 + 2xyi.$$

पारस्परिक और विभाजन
संयुग्मन का उपयोग करते हुए, एक गैर-शून्य सम्मिश्र संख्या का गुणन प्रतिलोम $z*$ हमेशा के लिए तोड़ा जा सकता है $$\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z \overline{z}} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}=\frac{\overline{z}}{x^2+y^2}=\frac{x}{x^2+y^2} -\frac{y}{x^2+y^2}i,$$ चूँकि शून्येतर का अर्थ है कि $z = x + yi$ शून्य से बड़ा है।

इसका उपयोग एक मनमाना जटिल संख्या के विभाजन को व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है $–1$ एक शून्येतर सम्मिश्र संख्या. द्वारा $r$ जैसा $$\frac {w}{z}= w\cdot \frac {1}{z}= (u+vi)\cdot \left(\frac{x}{x^2+y^2} -\frac{y}{x^2+y^2}i\right)= \frac{(ux+vy)+(vx-uy)i} {x^2+y^2}.$$

ध्रुवीय रूप में गुणा और भाग
गुणा, भाग और घातांक के सूत्र ध्रुवीय रूप में कार्टेशियन निर्देशांक में संबंधित सूत्रों की तुलना में सरल होते हैं। दो सम्मिश्र संख्याएँ दी गई हैं $i2 = −1$ तथा $z = x + yi$, त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के कारण $$\begin{alignat}{4} \cos a \cos b & - \sin a \sin b & {}={} & \cos(a + b) \\ \cos a \sin b & + \sin a \cos b & {}={} & \sin(a + b). \end{alignat}$$ हम प्राप्त कर सकते हैं

$$z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)).$$ दूसरे शब्दों में, निरपेक्ष मूल्यों को गुणा किया जाता है और उत्पाद के ध्रुवीय रूप को प्राप्त करने के लिए तर्क जोड़े जाते हैं। उदाहरण के लिए, से गुणा करना $x2 + y2$ एक चौथाई-मोड़ (ज्यामिति) वामावर्त से मेल खाती है, जो वापस देता है $w = u + vi$. दायीं ओर का चित्र के गुणन को दर्शाता है $$(2+i)(3+i)=5+5i. $$ के वास्तविक और काल्पनिक भाग के बाद से $2 + i$ बराबर हैं, उस संख्या का तर्क 45 डिग्री है, या $3 + i$ (रेडियन में)। दूसरी ओर, यह लाल और नीले त्रिभुजों के मूल में कोणों का योग भी है जो क्रमशः आर्कटान (1/3) और आर्कटान(1/2) हैं। इस प्रकार, सूत्र $$\frac{\pi}{4} = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \arctan\left(\frac{1}{3}\right) $$ धारण करता है। चूंकि आर्कटन फ़ंक्शन को अत्यधिक कुशलता से अनुमानित किया जा सकता है, इस तरह के सूत्र - जिन्हें मशीन-जैसे फ़ार्मुलों के रूप में जाना जाता है - का उपयोग पीआई के उच्च-सटीक अनुमानों के लिए किया जाता है।$\pi$.

इसी प्रकार, विभाजन द्वारा दिया जाता है $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \left(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)\right).$$

वर्गमूल
वर्गमूल $z_{1} = r_{1}(cos φ_{1} + i sin φ_{1})$ (साथ $z_{2} = r_{2}(cos φ_{2} + i sin φ_{2})$) हैं $$ \pm (\gamma + \delta i)$$, कहाँ पे

$$\gamma = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}}$$ तथा

$$\delta = (\sgn b)\sqrt{\frac{-a + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}},$$ कहाँ पे $i$ साइन फंक्शन  फंक्शन है। इसे वर्ग करके देखा जा सकता है $$ \pm (\gamma + \delta i)$$ प्राप्त करने के लिए $i^{2} = −1$. यहां $$\sqrt{a^2 + b^2}$$ का निरपेक्ष मान कहलाता है $5 + 5i$, और वर्गमूल चिह्न गैर-ऋणात्मक वास्तविक भाग वाले वर्गमूल को इंगित करता है, जिसे मूल वर्गमूल कहा जाता है; भी $$\sqrt{a^2 + b^2}= \sqrt{z\overline{z}},$$ कहाँ पे $π/4$.

घातीय फलन
घातीय कार्य $$\exp \colon \Complex \to \Complex ; z \mapsto \exp z $$ प्रत्येक सम्मिश्र संख्या के लिए परिभाषित किया जा सकता है $a$ शक्ति श्रृंखला द्वारा $$\exp z= \sum_{n=0}^\infty \frac {z^n}{n!},$$ जिसमें अभिसरण की अनंत त्रिज्या है।

मान $a + bi$ घातांकीय फलन का यूलर संख्या है $$e = \exp 1 = \sum_{n=0}^\infty \frac1{n!}\approx 2.71828.$$ यदि $a$ असली है, एक है $$\exp z=e^z.$$ विश्लेषणात्मक निरंतरता इस समानता को हर जटिल मूल्य के लिए विस्तारित करने की अनुमति देती है $b$, और इस प्रकार आधार के साथ जटिल घातांक को परिभाषित करने के लिए $O$ जैसा $$e^z=\exp z.$$

कार्यात्मक समीकरण
घातांकीय फलन कार्यात्मक समीकरण को संतुष्ट करता है $$e^{z+t}=e^ze^t.$$ यह या तो दोनों सदस्यों के शक्ति श्रृंखला विस्तार की तुलना करके या समीकरण के प्रतिबंध से वास्तविक तर्कों तक विश्लेषणात्मक निरंतरता को लागू करके साबित किया जा सकता है।

यूलर का सूत्र
यूलर का सूत्र बताता है कि, किसी भी वास्तविक संख्या के लिए $a$, $$e^{iy} = \cos y + i\sin y .$$ इस प्रकार कार्यात्मक समीकरण का तात्पर्य है कि, यदि $b$ तथा $A$ असली हैं, एक है $$e^{x+iy} = e^x(\cos y + i\sin y) = e^x \cos y + i e^x \sin y ,$$ जो घातांकीय फलन का उसके वास्तविक और काल्पनिक भागों में अपघटन है।

जटिल लघुगणक
वास्तविक स्थिति में, प्राकृतिक  लघुगणक को व्युत्क्रम फलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$\ln \colon \R^+ \to \R ; x \mapsto \ln x $$ घातीय फ़ंक्शन का। इसे जटिल डोमेन तक विस्तारित करने के लिए, कोई यूलर के सूत्र से शुरू कर सकता है। इसका तात्पर्य है कि, यदि एक सम्मिश्र संख्या $$z\in \Complex^\times$$ ध्रुवीय रूप में लिखा गया है $$ z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi )$$ साथ $$r, \varphi \in \R ,$$ फिर साथ $$ \ln z = \ln r + i \varphi $$ जटिल लघुगणक के रूप में एक उचित व्युत्क्रम होता है: $$ \exp \ln z = \exp(\ln r + i \varphi ) = r \exp i \varphi = r(\cos \varphi + i\sin \varphi ) = z .$$ हालाँकि, क्योंकि कोसाइन और साइन आवधिक कार्य हैं, एक पूर्णांक गुणज का जोड़ $b ≠ 0$ प्रति $B$ नहीं बदलता $X$. उदाहरण के लिए, $sgn$, तो दोनों $OAB$ तथा $a + bi$ के प्राकृतिक लघुगणक के संभावित मान हैं $a + bi$.

इसलिए, यदि जटिल लघुगणक को एक बहु-मूल्यवान फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित नहीं किया जाना है $$ \ln z = \left\{ \ln r + i (\varphi + 2\pi k) \mid k \in \Z \right\},$$ किसी को शाखा कट  का उपयोग करना पड़ता है और  कोडोमेन  को प्रतिबंधित करना पड़ता है, जिसके परिणामस्वरूप विशेषण कार्य होता है $$\ln \colon \; \Complex^\times \; \to \; \; \; \R^+ + \; i \, \left(-\pi, \pi\right] .$$ यदि $$z \in \Complex \setminus \left( -\R_{\ge 0} \right)$$ एक गैर-सकारात्मक वास्तविक संख्या नहीं है (एक सकारात्मक या एक गैर-वास्तविक संख्या), जटिल लघुगणक का परिणामी प्रमुख मूल्य प्राप्त होता है $z = a + bi$. यह ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के बाहर एक विश्लेषणात्मक कार्य  है, लेकिन इसे किसी ऐसे फलन तक लम्बा नहीं किया जा सकता है जो किसी भी ऋणात्मक वास्तविक संख्या पर निरंतर हो $$z \in -\R^+ $$, जहां मूल मूल्य है $1$.

घातांक
यदि $2π$ असली है और $XBA$ जटिल, घातांक के रूप में परिभाषित किया गया है $$x^z=e^{z\ln x},$$ कहाँ पे $eiπ = e3iπ = −1$ प्राकृतिक लघुगणक को दर्शाता है।

इस सूत्र को के जटिल मूल्यों तक विस्तारित करना स्वाभाविक लगता है $z$, लेकिन इस तथ्य से उत्पन्न कुछ कठिनाइयाँ हैं कि जटिल लघुगणक वास्तव में एक फ़ंक्शन नहीं है, बल्कि एक बहु-मूल्यवान फ़ंक्शन है।

यह इस प्रकार है कि यदि $z$ ऊपर के रूप में है, और यदि $z$ एक और सम्मिश्र संख्या है, तो घातांक बहुमान फलन है $$z^t=\left\{e^{t\ln r}\,(\cos(\varphi t+ 2 \pi kt)+i\sin(\varphi t+ 2 \pi kt))\}\mid k\in \mathbb Z\right\}$$

पूर्णांक और भिन्नात्मक घातांक
यदि, पूर्ववर्ती सूत्र में, $z$ एक पूर्णांक है, तो ज्या और कोज्या स्वतंत्र हैं $e$. इस प्रकार, यदि घातांक $y$ एक पूर्णांक है, तो $3iπ$ अच्छी तरह से परिभाषित है, और घातांक सूत्र डी मोइवर के सूत्र को सरल करता है: $$ z^{n}=(r(\cos \varphi + i\sin \varphi ))^n = r^n \, (\cos n\varphi + i \sin n \varphi).$$

$x$ }} वां रूट|$y$एक सम्मिश्र संख्या के वें मूल $φ$ द्वारा दिए गए हैं $$z^{1/n} = \sqrt[n]r \left( \cos \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right)$$ के लिये $−1$. (यहां $$\sqrt[n]r$$ सामान्य है (सकारात्मक) $z$धनात्मक वास्तविक संख्या का वां मूल $iπ$।) क्योंकि साइन और कोसाइन आवधिक हैं, अन्य पूर्णांक मान $z$ अन्य मूल्य न दें।

जब $x$एक सकारात्मक वास्तविक संख्या की जड़ $z$ सकारात्मक वास्तविक संख्या चुना जाता है $t$ संतुष्टि देने वाला $−π < φ < π$, एक विशेष परिसर को अलग करने का कोई प्राकृतिक तरीका नहीं है $t$एक जटिल संख्या की जड़। इसलिए $k$जड़ एक बहुमान फलन है|$n$-मूल्यवान समारोह $n$. इसका तात्पर्य यह है कि, सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के मामले के विपरीत, किसी के पास है $$(z^n)^{1/n} \ne z,$$ चूंकि बाएं हाथ के होते हैं $n$ मान, और दाईं ओर एक एकल मान है।

क्षेत्र संरचना
सेट $$\Complex$$ सम्मिश्र संख्याओं का एक क्षेत्र (गणित) है। संक्षेप में, इसका अर्थ है कि निम्नलिखित तथ्य हैं: पहला, किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं को जोड़ा और गुणा किया जा सकता है जिससे एक और सम्मिश्र संख्या प्राप्त होती है। दूसरा, किसी भी सम्मिश्र संख्या के लिए $z$, इसका योगात्मक प्रतिलोम $ln z = ln(−z) + iπ$ एक सम्मिश्र संख्या भी है; और तीसरा, प्रत्येक अशून्य सम्मिश्र संख्या में एक गुणनात्मक प्रतिलोम सम्मिश्र संख्या होती है। इसके अलावा, ये संक्रियाएं कई कानूनों को पूरा करती हैं, उदाहरण के लिए किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं के योग और गुणन के क्रमपरिवर्तन का नियम $x > 0$ तथा $ln$: $$\begin{align} z_1 + z_2 & = z_2 + z_1 ,\\ z_1 z_2 & = z_2 z_1. \end{align}$$ एक क्षेत्र पर इन दो कानूनों और अन्य आवश्यकताओं को ऊपर दिए गए सूत्रों द्वारा सिद्ध किया जा सकता है, इस तथ्य का उपयोग करके कि वास्तविक संख्याएं स्वयं एक क्षेत्र बनाती हैं।

वास्तविक के विपरीत, $$\Complex$$ एक आदेशित क्षेत्र  नहीं है, अर्थात संबंध को परिभाषित करना संभव नहीं है $zn$ जो जोड़ और गुणा के साथ संगत है। वास्तव में, किसी भी क्रमित क्षेत्र में, किसी भी तत्व का वर्ग आवश्यक रूप से धनात्मक होता है, इसलिए $0 ≤ k ≤ n − 1$  कुल आदेश  के अस्तित्व को रोकता है $$\Complex.$$ जब किसी गणितीय विषय या निर्माण के लिए अंतर्निहित क्षेत्र सम्मिश्र संख्याओं का क्षेत्र होता है, तो उस तथ्य को दर्शाने के लिए विषय का नाम आमतौर पर संशोधित किया जाता है। उदाहरण के लिए: जटिल विश्लेषण, जटिल मैट्रिक्स (गणित), जटिल बहुपद, और जटिल झूठ बीजगणित।

बहुपद समीकरणों के समाधान
किसी भी जटिल संख्या को देखते हुए (गुणांक कहा जाता है) $c^{n} = r$, समीकरण $$a_n z^n + \dotsb + a_1 z + a_0 = 0$$ कम से कम एक जटिल समाधान z है, बशर्ते कि उच्च गुणांक में से कम से कम एक $–z$ शून्य नहीं है। यह कार्ल फ्रेडरिक गॉस और जीन ले रोंड डी'अलेम्बर्ट के बीजगणित के मौलिक प्रमेय का कथन है। इस तथ्य के कारण, $$\Complex$$ बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र कहा जाता है। यह गुण परिमेय संख्या  के लिए मान्य नहीं है $$\Q$$ (बहुपद $z_{1}$ परिमेय मूल नहीं है, क्योंकि 2|√2 का वर्गमूल एक परिमेय संख्या नहीं है) और न ही वास्तविक संख्या $$\R$$ (बहुपद $z_{2}$ के लिए वास्तविक जड़ नहीं है $z_{1} < z_{2}$, के वर्ग के बाद से $n$ किसी भी वास्तविक संख्या के लिए धनात्मक है $r$)

इस प्रमेय के विभिन्न प्रमाण हैं, या तो विश्लेषणात्मक तरीकों से जैसे कि लिउविल की प्रमेय (जटिल विश्लेषण) | लिउविल की प्रमेय, या टोपोलॉजी वाले जैसे घुमावदार संख्या, या  गैलोइस सिद्धांत  के संयोजन का एक प्रमाण और यह तथ्य कि विषम डिग्री के किसी भी वास्तविक बहुपद में है कम से कम एक असली जड़।

इस तथ्य के कारण, किसी भी बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र के लिए प्रमेय जो लागू होते हैं $$\Complex.$$ उदाहरण के लिए, किसी भी गैर-रिक्त जटिल वर्ग मैट्रिक्स  में कम से कम एक (जटिल)  eigenvalue  होता है।

बीजीय लक्षण वर्णन
फील्ड $$\Complex$$ निम्नलिखित तीन गुण हैं: यह दिखाया जा सकता है कि इन गुणों वाला कोई भी क्षेत्र समरूपी  (एक क्षेत्र के रूप में) से $$\Complex.$$ उदाहरण के लिए, क्षेत्र का बीजगणितीय समापन $$\Q_p$$ p-adic संख्या का |$k$-एडिक संख्या भी इन तीन गुणों को संतुष्ट करती है, इसलिए ये दो क्षेत्र आइसोमॉर्फिक हैं (फ़ील्ड के रूप में, लेकिन टोपोलॉजिकल फ़ील्ड के रूप में नहीं)। भी, $$\Complex$$ जटिल Puiseux श्रृंखला के क्षेत्र के लिए समरूपी है। हालाँकि, एक समरूपता को निर्दिष्ट करने के लिए पसंद के स्वयंसिद्ध की आवश्यकता होती है। इस बीजीय अभिलक्षणन का एक अन्य परिणाम यह है कि $$\Complex$$ इसमें कई उचित उपक्षेत्र शामिल हैं जो कि समरूप हैं $$\Complex$$.
 * सबसे पहले, इसकी विशेषता (बीजगणित)  0 है। इसका मतलब है कि $i^{2} = −1$ किसी भी संख्या में योगों के लिए (जिनमें से सभी एक के बराबर हैं)।
 * दूसरा, इसकी ट्रान्सेंडेंस डिग्री  खत्म $$\Q$$, का  प्रमुख क्षेत्र  $$\Complex,$$  सातत्य की कार्डिनैलिटी  है।
 * तीसरा, यह बीजीय रूप से बंद है (ऊपर देखें)।

एक टोपोलॉजिकल क्षेत्र के रूप में विशेषता
. का पूर्ववर्ती लक्षण वर्णन $$\Complex$$ के केवल बीजीय पहलुओं का वर्णन करता है $$\Complex.$$ अर्थात्, पड़ोस (टोपोलॉजी)  और  निरंतरता (टोपोलॉजी)  के गुण, जो  गणितीय विश्लेषण  और टोपोलॉजी जैसे क्षेत्रों में मायने रखते हैं, से निपटा नहीं जाता है। निम्नलिखित विवरण $$\Complex$$ एक  टोपोलॉजिकल रिंग  के रूप में (अर्थात, एक ऐसा क्षेत्र जो एक  टोपोलॉजिकल स्पेस  से लैस है, जो अभिसरण की धारणा की अनुमति देता है) टोपोलॉजिकल गुणों को ध्यान में रखता है। $$\Complex$$ एक उपसमुच्चय शामिल है $a_{0}, ..., a_{n}$ (अर्थात् धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय) गैर-शून्य तत्वों का निम्नलिखित तीन शर्तों को पूरा करता है: इसके अतिरिक्त, $$\Complex$$ एक गैर-तुच्छ समावेशन (गणित) ऑटोमोर्फिज्म  है $a_{1}, ..., a_{n}$ (अर्थात् जटिल संयुग्मन), जैसे कि $x^{2} − 2$ में है $x^{2} + a$ किसी भी शून्येतर के लिए $n$ में $$\Complex.$$ किसी भी क्षेत्र $r$ इन गुणों के साथ सेट लेकर एक टोपोलॉजी के साथ संपन्न किया जा सकता है $a > 0$ आधार (टोपोलॉजी)  के रूप में, जहां $c$ मैदान पर पर्वतमाला और $n$ सीमा से अधिक $1 + 1 + ⋯ + 1 ≠ 0$. इस टोपोलॉजी के साथ $n$ एक टोपोलॉजिकल क्षेत्र के रूप में आइसोमॉर्फिक है $$\Complex.$$ एकमात्र जुड़ा हुआ स्थान स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट  टोपोलॉजिकल रिंग हैं $$\R$$ तथा $$\Complex.$$ यह का एक और लक्षण वर्णन देता है $$\Complex$$ एक टोपोलॉजिकल क्षेत्र के रूप में, चूंकि $$\Complex$$ से अलग किया जा सकता है $$\R$$ क्योंकि शून्येतर सम्मिश्र संख्याएँ आपस में जुड़ी हुई हैं, जबकि अशून्य वास्तविक संख्याएँ नहीं हैं।
 * $P$ जोड़, गुणा और प्रतिलोम लेने के तहत बंद किया गया है।
 * यदि $n$ तथा $z$ के विशिष्ट तत्व हैं $P$, तो कोई $P$ या $x − y$ में है $y − x$.
 * यदि $n$ का कोई गैर-रिक्त उपसमुच्चय है $P$, फिर $P$ कुछ के लिए $z$ में $$\Complex.$$

आदेशित जोड़े के रूप में निर्माण
विलियम रोवन हैमिल्टन ने सेट को परिभाषित करने के लिए दृष्टिकोण पेश किया $$\Complex$$ जटिल संख्याओं का सेट के रूप में $$\mathbb{R}^2$$ का ordered pairs $S + P = x + P$ वास्तविक संख्याओं का, जिसमें जोड़ और गुणा के लिए निम्नलिखित नियम लागू किए गए हैं:

$$\begin{align} (a, b) + (c, d) &= (a + c, b + d)\\ (a, b) \cdot (c, d) &= (ac - bd, bc + ad). \end{align}$$ यह तो व्यक्त करने के लिए सिर्फ अंकन की बात है $x ↦ x*$ जैसा $x x*$.

भागफल क्षेत्र के रूप में निर्माण
हालांकि यह निम्न-स्तरीय निर्माण जटिल संख्याओं की संरचना का सटीक वर्णन करता है, निम्नलिखित समकक्ष परिभाषा से. की बीजगणितीय प्रकृति का पता चलता है $$\Complex$$ अधिक तुरंत। यह लक्षण वर्णन क्षेत्रों और बहुपदों की धारणा पर निर्भर करता है। फ़ील्ड एक सेट है जो जोड़, घटाव, गुणा और भाग संचालन के साथ संपन्न होता है जो व्यवहार करता है, जैसे कि, तर्कसंगत संख्याओं से परिचित होता है। उदाहरण के लिए, वितरण कानून $$(x+y) z = xz + yz$$ किन्हीं तीन तत्वों के लिए धारण करना चाहिए $x$, $x$ तथा $p$ एक मैदान का। सेट $$\R$$ वास्तविक संख्याओं का एक क्षेत्र बनता है। एक बहुपद $P$ वास्तविक गुणांक के साथ रूप की अभिव्यक्ति है $$a_nX^n+\dotsb+a_1X+a_0,$$ जहां $B(x, p) = { y | p − (y − x)(y − x)* ∈ P }$ वास्तविक संख्याएँ हैं। बहुपदों का सामान्य जोड़ और गुणन समुच्चय का समर्थन करता है $$\R[X]$$ एक वलय (गणित) संरचना वाले ऐसे सभी बहुपदों का। इस वलय को वास्तविक संख्याओं पर बहुपद वलय कहा जाता है।

सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय को भागफल वलय के रूप में परिभाषित किया जाता है $$\R[X]/(X^2+1).$$ इस एक्सटेंशन फ़ील्ड में के दो वर्गमूल हैं $P$, अर्थात् ( सह समुच्चय ) $(a, b)$ तथा $(a, b)$, क्रमश। (कोसेट) $a + bi$ तथा $p(X)$ का आधार बनाना $$\mathbb{R}[X]/(X^2 + 1)$$ एक वास्तविक सदिश स्थल  के रूप में, जिसका अर्थ है कि विस्तार क्षेत्र के प्रत्येक तत्व को इन दो तत्वों में एक  रैखिक संयोजन  के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है। समान रूप से, विस्तार क्षेत्र के तत्वों को क्रमित जोड़े के रूप में लिखा जा सकता है $a_{0}, ..., a_{n}$ वास्तविक संख्याओं का। भागफल वलय एक क्षेत्र है, क्योंकि $−1$ इरेड्यूसिबल बहुपद खत्म हो गया है $$\R,$$ इसलिए यह जो आदर्श उत्पन्न करता है वह मैक्सिमल आदर्श है।

रिंग में जोड़ और गुणा के सूत्र $$\R[X],$$ संबंध मॉड्यूलो $X$, क्रमित युग्मों के रूप में परिभाषित सम्मिश्र संख्याओं के योग और गुणन के सूत्रों के अनुरूप है। तो क्षेत्र की दो परिभाषाएँ $$\Complex$$ समरूपता (क्षेत्रों के रूप में) हैं।

इसे स्वीकार करना $$\Complex$$ बीजगणितीय रूप से बंद है, क्योंकि यह का बीजीय विस्तार  है $$\mathbb{R}$$ इस दृष्टिकोण में, $$\Complex$$ इसलिए का बीजगणितीय समापन है $$\R.$$

जटिल संख्याओं का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व
जटिल आंकड़े $−X$ द्वारा भी प्रतिनिधित्व किया जा सकता है $1$ मैट्रिक्स (गणित) जिसका रूप है:

$$ \begin{pmatrix} a &  -b  \\ b & \;\; a \end{pmatrix} $$ यहां प्रविष्टियां $x$ तथा $y$ वास्तविक संख्याएँ हैं। चूंकि ऐसे दो आव्यूहों का योग और गुणनफल पुनः इसी रूप का होता है, इसलिए ये आव्यूह वलय का एक उपखंड बनाते हैं। $X$ मैट्रिक्स

एक साधारण गणना से पता चलता है कि नक्शा: $$a+ib\mapsto \begin{pmatrix} a &  -b  \\ b & \;\; a \end{pmatrix}$$ जटिल संख्याओं के क्षेत्र से इन आव्यूहों के वलय तक एक वलय समरूपता  है। यह समरूपता एक जटिल संख्या के निरपेक्ष मान के वर्ग को संबंधित मैट्रिक्स के निर्धारक के साथ जोड़ता है, और एक जटिल संख्या के संयुग्म को मैट्रिक्स के स्थानान्तरण के साथ जोड़ता है।

सम्मिश्र संख्याओं के गुणन के ज्यामितीय विवरण को सम्मिश्र संख्याओं और ऐसे आव्यूहों के बीच इस पत्राचार का उपयोग करके रोटेशन मैट्रिक्स  के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। वेक्टर पर मैट्रिक्स की क्रिया $(a, b)$ के गुणन से मेल खाती है $X^{2} + 1$ द्वारा $X^{2} = −1$. विशेष रूप से, यदि निर्धारक है $a + bi$, एक वास्तविक संख्या है $S$ जैसे कि मैट्रिक्स का रूप है: $$\begin{pmatrix} \cos t & - \sin t  \\ \sin t & \;\; \cos t \end{pmatrix}$$ इस मामले में, वैक्टर पर मैट्रिक्स की कार्रवाई और जटिल संख्या से गुणा $$\cos t+i\sin t$$ दोनों कोण के घूर्णन (गणित) हैं $x$.

जटिल विश्लेषण


एक जटिल चर के कार्यों के अध्ययन को जटिल विश्लेषण के रूप में जाना जाता है और इसका व्यावहारिक गणित  के साथ-साथ गणित की अन्य शाखाओं में बहुत अधिक व्यावहारिक उपयोग होता है। अक्सर,  वास्तविक विश्लेषण  या सम  संख्या सिद्धांत  में कथनों के लिए सबसे प्राकृतिक प्रमाण जटिल विश्लेषण से तकनीकों का उपयोग करते हैं (उदाहरण के लिए  अभाज्य संख्या प्रमेय  देखें)। वास्तविक कार्यों के विपरीत, जिन्हें आमतौर पर दो-आयामी ग्राफ़ के रूप में दर्शाया जाता है,  जटिल कार्य ों में चार-आयामी ग्राफ़ होते हैं और उपयोगी रूप से रंग-कोडिंग द्वारा दो चर के एक फ़ंक्शन के ग्राफ को चित्रित किया जा सकता है। चार आयामों का सुझाव देने के लिए त्रि-आयामी ग्राफ, या द्वारा जटिल कार्य के जटिल विमान के गतिशील परिवर्तन को एनिमेट करना।

जटिल घातांक और संबंधित कार्य
अभिसरण श्रृंखला और (वास्तविक) विश्लेषण में  निरंतर कार्य ों की धारणाओं में जटिल विश्लेषण में प्राकृतिक एनालॉग होते हैं। एक क्रम  सम्मिश्र संख्याओं को अभिसारी अनुक्रम कहा जाता है यदि और केवल यदि इसके वास्तविक और काल्पनिक भाग करते हैं। यह (ε, δ) - सीमाओं की परिभाषा के बराबर है, जहां वास्तविक संख्याओं का निरपेक्ष मान सम्मिश्र संख्याओं में से एक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। अधिक सारगर्भित दृष्टि से, $$\mathbb{C}$$,  मीट्रिक (गणित)  के साथ संपन्न $$\operatorname{d}(z_1, z_2) = |z_1 - z_2|$$ एक पूर्ण मीट्रिक स्थान  है, जिसमें विशेष रूप से त्रिभुज असमानता शामिल है $$|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|$$ किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं के लिए $2 × 2$ तथा $2 × 2$.

वास्तविक विश्लेषण की तरह, अभिसरण की इस धारणा का उपयोग कई प्राथमिक कार्य ों के निर्माण के लिए किया जाता है: घातीय कार्य $(x, y)$, भी लिखा $x + iy$,  अनंत श्रृंखला  के रूप में परिभाषित किया गया है $$\exp z:= 1+z+\frac{z^2}{2\cdot 1}+\frac{z^3}{3\cdot 2\cdot 1}+\cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}. $$ वास्तविक त्रिकोणमितीय कार्यों को परिभाषित करने वाली श्रृंखला साइन और कोज्या, साथ ही अतिशयोक्तिपूर्ण फ़ंक्शन सिंह और कोश भी बिना बदलाव के जटिल तर्कों को आगे बढ़ाते हैं। अन्य त्रिकोणमितीय और  अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य ों के लिए, जैसे  स्पर्शरेखा (फ़ंक्शन) , चीजें थोड़ी अधिक जटिल होती हैं, क्योंकि परिभाषित श्रृंखला सभी जटिल मूल्यों के लिए अभिसरण नहीं करती है। इसलिए, विश्लेषणात्मक निरंतरता की विधि का उपयोग करके, उन्हें या तो साइन, कोसाइन और एक्सपोनेंशियल या समकक्ष रूप से परिभाषित करना चाहिए।

यूलर का सूत्र कहता है: $$\exp(i\varphi) = \cos \varphi + i\sin \varphi $$ किसी भी वास्तविक संख्या के लिए $x$, विशेष रूप से $$\exp(i \pi) = -1 $$, जो यूलर की पहचान है। वास्तविक संख्याओं की स्थिति के विपरीत, जटिल समाधानों का एक अनंत सेट होता है $F$ समीकरण का $$\exp z = w $$ किसी भी सम्मिश्र संख्या के लिए $a + ib$. यह दिखाया जा सकता है कि ऐसा कोई समाधान $x$ - का जटिल लघुगणक कहा जाता है $p$ - संतुष्ट $$\log w = \ln|w| + i\arg w, $$ जहां arg arg (गणित) परिभाषित #Polar रूप है, और ln (वास्तविक) प्राकृतिक लघुगणक है। जैसा कि arg एक बहु-मूल्यवान फ़ंक्शन है, जो केवल एक से अधिक. तक अद्वितीय है $1$, लॉग भी बहुमान है। लॉग का मुख्य मूल्य अक्सर काल्पनिक भाग को अंतराल (गणित)  तक सीमित करके लिया जाता है। $F$.

जटिल घातांक  $sin(1/z)$ की तरह परिभाषित किया गया है $$z^\omega = \exp(\omega \log z), $$ और बहु-मूल्यवान है, सिवाय इसके कि कब $x$ एक पूर्णांक है। के लिये $|1| = 1$, कुछ प्राकृतिक संख्या के लिए $y$, यह गैर-विशिष्टता को पुनः प्राप्त करता है $z$ऊपर उल्लिखित वें जड़ें।

जटिल संख्याएं, वास्तविक संख्याओं के विपरीत, सामान्य रूप से असंशोधित शक्ति और लघुगणक पहचानों को संतुष्ट नहीं करती हैं, खासकर जब भोलेपन से एकल-मूल्यवान कार्यों के रूप में व्यवहार किया जाता है; देखें घातांक#शक्ति और लघुगणक पहचान की विफलता। उदाहरण के लिए, वे संतुष्ट नहीं हैं $$a^{bc} = \left(a^b\right)^c.$$ समीकरण के दोनों पक्ष यहां दिए गए जटिल घातांक की परिभाषा से बहुमान हैं, और बाईं ओर के मान दाईं ओर के सबसेट हैं।

होलोमोर्फिक कार्य
एक समारोह एफ: $$\mathbb{C}$$ → $$\mathbb{C}$$ होलोमोर्फिक फ़ंक्शन  कहा जाता है यदि यह कॉची-रीमैन समीकरणों को संतुष्ट करता है। उदाहरण के लिए, कोई भी रैखिक परिवर्तन#परिभाषा और प्रथम परिणाम|$$\mathbb{R}$$-रेखीय नक्शा $$\mathbb{C}$$ → $$\mathbb{C}$$ फॉर्म में लिखा जा सकता है $$f(z)=az+b\overline{z}$$ जटिल गुणांक के साथ $a$ तथा $b$. यह नक्शा होलोमोर्फिक है अगर और केवल अगर $|z/w| = |z|/|w|$. दूसरा सारांश $$b \overline z$$ वास्तविक अवकलनीय है, लेकिन कॉची-रीमैन समीकरणों को संतुष्ट नहीं करता है।

जटिल विश्लेषण से पता चलता है कि वास्तविक विश्लेषण में कुछ विशेषताएं स्पष्ट नहीं हैं। उदाहरण के लिए, कोई दो होलोमोर्फिक फलन $t$ तथा $t$ जो मनमाने ढंग से छोटे खुले उपसमुच्चय पर सहमत होते हैं $$\mathbb{C}$$ हर जगह अनिवार्य रूप से सहमत हैं। मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन, फ़ंक्शन जिन्हें स्थानीय रूप से लिखा जा सकता है: $d(z, w) = |z − w|$ एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन के साथ $z$, अभी भी होलोमोर्फिक कार्यों की कुछ विशेषताओं को साझा करते हैं। अन्य कार्यों में  आवश्यक विलक्षणता  होती है, जैसे कि $d(z, w) = |z − w|$ पर $z_{1}$.

आवेदन
संकेत का प्रक्रमण, नियंत्रण सिद्धांत , विद्युत चुंबकत्व, द्रव गतिकी,  क्वांटम यांत्रिकी ,  नक्शानवीसी , और कंपन # कंपन विश्लेषण सहित कई वैज्ञानिक क्षेत्रों में जटिल संख्याओं के अनुप्रयोग हैं। इनमें से कुछ अनुप्रयोगों का वर्णन नीचे किया गया है।

आकार
तीन समरेखीयता|गैर-समरेखीय बिंदु $$u, v, w$$ समतल में त्रिभुज की आकृति#समानता वर्ग निर्धारित करें $$\{u, v, w\}$$. जटिल तल में बिंदुओं का पता लगाना, त्रिभुज के इस आकार को जटिल अंकगणित द्वारा व्यक्त किया जा सकता है $$S(u, v, w) = \frac {u - w}{u - v}. $$ आकार $$S$$ एक त्रिभुज का एक समान रहेगा, जब जटिल विमान को अनुवाद या फैलाव (एक affine परिवर्तन  द्वारा), आकार की सहज धारणा के अनुरूप, और समानता (ज्यामिति) का वर्णन करके रूपांतरित किया जाता है। इस प्रकार प्रत्येक त्रिभुज $$\{u, v, w\}$$ एक आकार में है# समान आकार वाले त्रिभुजों के समरूप वर्ग।

फ्रैक्टल ज्यामिति
मैंडलब्रॉट सेट जटिल तल पर बने भग्न का एक लोकप्रिय उदाहरण है। इसे हर स्थान की साजिश रचकर परिभाषित किया गया है $$c$$ जहां अनुक्रम को पुनरावृत्त करना $$f_c(z)=z^2+c$$ जब अनंत रूप से पुनरावृत्ति होती है तो  विचलन (स्थिरता सिद्धांत)  नहीं होता है। इसी तरह,  जूलिया सेट  के समान नियम हैं, सिवाय जहां $$c$$ स्थिर रहता है।

त्रिकोण
प्रत्येक त्रिभुज में एक अद्वितीय स्टेनर [[ अंडाकार े ]] होता है - त्रिभुज के अंदर एक दीर्घवृत्त और त्रिभुज की तीनों भुजाओं के मध्य बिंदुओं की स्पर्शरेखा। मार्डन के प्रमेय के अनुसार त्रिभुज के स्टीनर इनलिप्स का  फोकस (ज्यामिति)  निम्नानुसार पाया जा सकता है:  सम्मिश्र तल में त्रिभुज के शीर्षों को इस प्रकार निरूपित करें $z_{2}$, $exp z$, तथा $e^{z}$. घन समीकरण लिखें $$(x-a)(x-b)(x-c)=0$$, इसका व्युत्पन्न लें, और (द्विघात) व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें। मार्डेन के प्रमेय का कहना है कि इस समीकरण के समाधान जटिल संख्याएं हैं जो स्टीनर इनलिप्स के दो फॉसी के स्थानों को दर्शाती हैं।

बीजीय संख्या सिद्धांत
जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, किसी भी गैर-स्थिर बहुपद समीकरण (जटिल गुणांकों में) का समाधान है $$\mathbb{C}$$. मजबूत से तर्क, वही सत्य है यदि समीकरण में परिमेय गुणांक हैं। ऐसे समीकरणों की जड़ों को बीजगणितीय संख्याएँ कहा जाता है - वे बीजगणितीय संख्या सिद्धांत  में अध्ययन की एक प्रमुख वस्तु हैं। की तुलना में $$\overline{\mathbb{Q}}$$, का बीजगणितीय समापन $$\mathbb{Q}$$, जिसमें सभी बीजीय संख्याएं भी शामिल हैं, $$\mathbb{C}$$ ज्यामितीय शब्दों में आसानी से समझने योग्य होने का लाभ है। इस तरह, ज्यामितीय प्रश्नों का अध्ययन करने के लिए बीजीय विधियों का उपयोग किया जा सकता है और इसके विपरीत। बीजगणितीय विधियों के साथ, अधिक विशेष रूप से फील्ड थ्योरी (गणित) की मशीनरी को  एकता की जड़  वाले  संख्या क्षेत्र  में लागू करना, यह दिखाया जा सकता है कि एक नियमित नॉनगन कंपास और स्ट्रेटएज निर्माण का निर्माण संभव नहीं है - एक विशुद्ध रूप से ज्यामितीय समस्या।

एक अन्य उदाहरण गाऊसी पूर्णांक  है; यानी फॉर्म की संख्या $w ≠ 0$, कहाँ पे $w$ तथा $z$ पूर्णांक हैं, जिनका उपयोग फ़र्मेट के प्रमेय को दो वर्गों के योग पर वर्गीकृत करने के लिए किया जा सकता है।

विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत
विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत इस तथ्य का लाभ उठाकर संख्याओं, अक्सर पूर्णांक या परिमेय का अध्ययन करता है कि उन्हें जटिल संख्या के रूप में माना जा सकता है, जिसमें विश्लेषणात्मक विधियों का उपयोग किया जा सकता है। यह जटिल-मूल्यवान कार्यों में संख्या-सैद्धांतिक जानकारी को एन्कोड करके किया जाता है। उदाहरण के लिए, रीमैन जीटा फंक्शन  $2π$  अभाज्य संख्या ओं के वितरण से संबंधित है।

अनुचित समाकलन
लागू क्षेत्रों में, जटिल-मूल्यवान कार्यों के माध्यम से जटिल संख्याओं का उपयोग अक्सर कुछ वास्तविक-मूल्यवान अनुचित इंटीग्रल की गणना करने के लिए किया जाता है। ऐसा करने के लिए कई तरीके मौजूद हैं; समोच्च एकीकरण के तरीके  देखें।

गतिशील समीकरण
अवकल समीकरणों में, पहले सभी सम्मिश्र मूल ज्ञात करना सामान्य है $w$ रेखीय अवकल समीकरण का # रैखिक अंतर समीकरण  या समीकरण प्रणाली के निरंतर गुणांक वाले सजातीय समीकरण और फिर फॉर्म के आधार कार्यों के संदर्भ में सिस्टम को हल करने का प्रयास करते हैं $z^{ω}$. इसी तरह, अंतर समीकरण ों में, जटिल जड़ें $φ$ अंतर समीकरण प्रणाली के अभिलक्षणिक समीकरण का उपयोग प्रपत्र के आधार कार्यों के संदर्भ में सिस्टम को हल करने का प्रयास करने के लिए किया जाता है $ω = 1 / n$.

रैखिक बीजगणित
मैट्रिक्स का Eigendecomposition मैट्रिक्स शक्तियों और मैट्रिक्स घातांक  की गणना के लिए एक उपयोगी उपकरण है। हालांकि, इसे अक्सर जटिल संख्याओं के उपयोग की आवश्यकता होती है, भले ही मैट्रिक्स वास्तविक हो (उदाहरण के लिए, एक रोटेशन मैट्रिक्स)।

जटिल संख्याएं अक्सर वास्तविक संख्याओं में मूल रूप से कल्पना की गई अवधारणाओं को सामान्य बनाती हैं। उदाहरण के लिए, संयुग्मित स्थानांतरण स्थानान्तरण को सामान्य करता है, हर्मिटियन मैट्रिक्स   सममित मैट्रिक्स  को सामान्य करता है, और  एकात्मक मैट्रिक्स   ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स  को सामान्य करता है।

नियंत्रण सिद्धांत
नियंत्रण सिद्धांत में, सिस्टम अक्सर समय डोमेन से जटिल आवृत्ति डोमेन  में  लाप्लास ट्रांसफॉर्म  का उपयोग करके रूपांतरित होते हैं। सिस्टम के  शून्य और ध्रुव ों का विश्लेषण जटिल विमान में किया जाता है।  रूट लोकस,  न्यक्विस्ट प्लॉट , और  निकोल्स प्लॉट  तकनीक सभी जटिल विमान का उपयोग करते हैं।

रूट लोकस विधि में, यह महत्वपूर्ण है कि क्या शून्य और ध्रुव बाएं या दाएं आधे विमानों में हैं, यानी वास्तविक भाग शून्य से अधिक या कम है। यदि एक रेखीय, समय-अपरिवर्तनीय (LTI) प्रणाली में ध्रुव हैं जो हैं


 * दाहिने आधे तल में अस्थिर  रहेगा,
 * सभी बाएं आधे तल में, यह BIBO स्थिरता होगी,
 * काल्पनिक अक्ष पर इसमें सीमांत स्थिरता  होगी।

यदि किसी प्रणाली के दाहिने आधे तल में शून्य है, तो यह एक गैर-न्यूनतम चरण प्रणाली है।

सिग्नल विश्लेषण
समय-समय पर अलग-अलग संकेतों के लिए सुविधाजनक विवरण के लिए सिग्नल विश्लेषण और अन्य क्षेत्रों में जटिल संख्याओं का उपयोग किया जाता है। वास्तविक भौतिक मात्राओं का प्रतिनिधित्व करने वाले वास्तविक कार्यों के लिए, अक्सर साइन और कोसाइन के संदर्भ में, संबंधित जटिल कार्यों पर विचार किया जाता है, जिनमें से वास्तविक भाग मूल मात्रा होते हैं। किसी दी गई आवृत्ति  की ज्या तरंग के लिए, निरपेक्ष मान $b = 0$ संबंधित $z$  आयाम  और तर्क है (जटिल विश्लेषण) $f(z)/(z − z_{0})^{n}$  चरण (लहरें)  है।

यदि फूरियर विश्लेषण  को किसी दिए गए वास्तविक-मूल्यवान सिग्नल को आवधिक कार्यों के योग के रूप में लिखने के लिए नियोजित किया जाता है, तो इन आवधिक कार्यों को अक्सर फॉर्म के जटिल-मूल्यवान कार्यों के रूप में लिखा जाता है

$$x(t) = \operatorname{Re} \{X( t ) \} $$ तथा

$$X( t ) = A e^{i\omega t} = a e^{ i \phi } e^{i\omega t} = a e^{i (\omega t + \phi) } $$ जहाँ कोणीय आवृत्ति  का प्रतिनिधित्व करता है और सम्मिश्र संख्या A ऊपर बताए अनुसार चरण और आयाम को कूटबद्ध करता है।

इस उपयोग को अंकीय संकेत प्रक्रिया  और  डिजिटल इमेज प्रोसेसिंग  में भी विस्तारित किया गया है, जो फूरियर विश्लेषण (और  छोटा लहर  विश्लेषण) के डिजिटल संस्करणों का उपयोग संचारित करने, डेटा संपीड़न, पुनर्स्थापित करने और अन्यथा डिजिटल डेटा  ध्वनि  संकेतों, स्थिर छवियों और  वीडियो  संकेतों को संसाधित करने के लिए करता है।

AM रेडियो के आयाम मॉडुलन के दो पार्श्व बैंडों के लिए प्रासंगिक एक अन्य उदाहरण है:

$$\begin{align} \cos((\omega + \alpha)t) + \cos\left((\omega - \alpha)t\right) & = \operatorname{Re}\left(e^{i(\omega + \alpha)t} + e^{i(\omega - \alpha)t}\right) \\ & = \operatorname{Re}\left(\left(e^{i\alpha t} + e^{-i\alpha t}\right) \cdot e^{i\omega t}\right) \\ & = \operatorname{Re}\left(2\cos(\alpha t) \cdot e^{i\omega t}\right) \\ & = 2 \cos(\alpha t) \cdot \operatorname{Re}\left(e^{i\omega t}\right) \\ & = 2 \cos(\alpha t) \cdot \cos\left(\omega t\right). \end{align}$$

विद्युत चुंबकत्व और विद्युत इंजीनियरिंग
इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में, फुरियर रूपांतरण  का उपयोग अलग-अलग  वोल्टेज  और विद्युत प्रवाह का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। प्रतिरोधों,  संधारित्र ों और प्रेरकों के उपचार को बाद के दो के लिए काल्पनिक, आवृत्ति-निर्भर प्रतिरोधों को पेश करके और तीनों को एक ही जटिल संख्या में जोड़कर एकीकृत किया जा सकता है जिसे  विद्युत प्रतिबाधा  कहा जाता है। इस दृष्टिकोण को फेजर कैलकुलस कहा जाता है।

इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में, काल्पनिक इकाई को द्वारा निरूपित किया जाता है $z$, के साथ भ्रम से बचने के लिए $w$, जो आम तौर पर विद्युत प्रवाह को दर्शाने के लिए उपयोग किया जाता है, या, विशेष रूप से, $(−π, π]$, जो आमतौर पर तात्कालिक विद्युत प्रवाह को दर्शाने के लिए उपयोग किया जाता है।

चूंकि एक एसी विद्युत परिपथ  में वोल्टेज दोलन कर रहा है, इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

$$ V(t) = V_0 e^{j \omega t} = V_0 \left (\cos\omega t + j \sin\omega t \right ),$$ मापने योग्य मात्रा प्राप्त करने के लिए, वास्तविक भाग लिया जाता है:

$$ v(t) = \operatorname{Re}(V) = \operatorname{Re}\left [ V_0 e^{j \omega t} \right ] = V_0 \cos \omega t.$$ जटिल-मूल्यवान संकेत $sin(1/z)$ वास्तविक-मूल्यवान, मापने योग्य सिग्नल का विश्लेषणात्मक संकेत  प्रतिनिधित्व कहा जाता है $z = 0$.

द्रव गतिकी
द्रव गतिकी में, दो आयामों में संभावित प्रवाह  का वर्णन करने के लिए जटिल कार्यों का उपयोग किया जाता है।

क्वांटम यांत्रिकी
जटिल संख्या क्षेत्र क्वांटम यांत्रिकी के गणितीय फॉर्मूलेशन के लिए आंतरिक है, जहां जटिल हिल्बर्ट रिक्त स्थान एक ऐसे फॉर्मूलेशन के लिए संदर्भ प्रदान करता है जो सुविधाजनक और शायद सबसे मानक है। क्वांटम यांत्रिकी के मूल आधार सूत्र - श्रोडिंगर समीकरण और हाइजेनबर्ग के मैट्रिक्स यांत्रिकी  - जटिल संख्याओं का उपयोग करते हैं।

सापेक्षता
विशेष सापेक्षता और  सामान्य सापेक्षता  में,  अंतरिक्ष समय  पर मीट्रिक के लिए कुछ सूत्र सरल हो जाते हैं यदि कोई स्पेसटाइम सातत्य के समय घटक को काल्पनिक मानता है। (यह दृष्टिकोण अब शास्त्रीय सापेक्षता में मानक नहीं है, लेकिन  क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत  में  बाती रोटेशन  है।)  स्पिनर ों के लिए जटिल संख्याएं आवश्यक हैं, जो सापेक्षता में उपयोग किए जाने वाले  टेन्सर  का सामान्यीकरण हैं।

सामान्यीकरण और संबंधित धारणाएं
क्षेत्र के विस्तार की प्रक्रिया $$\mathbb R$$ वास्तविक के $$\mathbb C$$ केली-डिकसन निर्माण के रूप में जाना जाता है। इसे आगे उच्च आयामों तक ले जाया जा सकता है, जो quaternion s की उपज है $$\mathbb H$$ और अष्टक $$\mathbb{O}$$ जो (वास्तविक सदिश समष्टि के रूप में) क्रमशः आयाम 4 और 8 के हैं। इस संदर्भ में सम्मिश्र संख्याओं को द्विअर्थी कहा गया है। जिस तरह निर्माण को वास्तविक पर लागू करने से आदेशित क्षेत्र की संपत्ति खो जाती है, वास्तविक और जटिल संख्याओं से परिचित गुण प्रत्येक विस्तार के साथ गायब हो जाते हैं। चतुर्धातुक कम्यूटेटिविटी खो देते हैं, अर्थात, $a = x_{A} + y_{A}i$ कुछ चतुष्कोणों के लिए $b = x_{B} + y_{B}i$, और अष्टक का गुणन, इसके अतिरिक्त कम्यूटेटिव नहीं होने के कारण, सहयोगी होने में विफल रहता है: $c = x_{C} + y_{C}i$ कुछ अक्टून के लिए $x + iy$.

वास्तविक, सम्मिश्र संख्या, चतुर्भुज और अष्टक सभी मानक विभाजन बीजगणित  हैं $$\mathbb R$$. हर्विट्ज़ के प्रमेय (मानक विभाजन बीजगणित) द्वारा | हर्विट्ज़ की प्रमेय वे ही हैं; सेडेनियन, केली-डिकसन निर्माण का अगला चरण, इस संरचना को प्राप्त करने में विफल है।

केली-डिकसन निर्माण के नियमित प्रतिनिधित्व  से निकटता से संबंधित है $$\mathbb C,$$ एक के रूप में सोचा $$\mathbb R$$- बीजगणित (अंगूठी सिद्धांत)  (an $$\mathbb{R}$$-सदिश स्थान गुणन के साथ), आधार के संबंध में $ζ(s)$. इसका मतलब निम्नलिखित है: $$\mathbb R$$-रेखीय नक्शा $$\begin{align} \mathbb{C} &\rightarrow \mathbb{C} \\ z &\mapsto wz \end{align}$$ कुछ निश्चित सम्मिश्र संख्या के लिए $ω$ a. द्वारा दर्शाया जा सकता है $f(t) = e^{rt}$ मैट्रिक्स (एक बार एक आधार चुना गया है)। आधार के संबंध में $f(t) = r^{t}$, यह मैट्रिक्स है $$\begin{pmatrix} \operatorname{Re}(w) & -\operatorname{Im}(w) \\ \operatorname{Im}(w) & \operatorname{Re}(w) \end{pmatrix},$$ अर्थात्, ऊपर दिए गए सम्मिश्र संख्याओं के मैट्रिक्स निरूपण पर अनुभाग में उल्लिखित है। जबकि यह का रैखिक प्रतिनिधित्व  है $$\mathbb C$$ 2 × 2 वास्तविक आव्यूह में, यह केवल एक ही नहीं है। कोई भी मैट्रिक्स $$J = \begin{pmatrix}p & q \\ r & -p \end{pmatrix}, \quad p^2 + qr + 1 = 0$$ गुण है कि इसका वर्ग पहचान मैट्रिक्स का ऋणात्मक है: $|z|$. फिर $$\{ z = a I + b J : a,b \in \mathbb{R} \}$$ क्षेत्र के लिए भी समरूपी है $$\mathbb C,$$ और एक वैकल्पिक जटिल संरचना देता है $$\mathbb R^2.$$ यह एक रैखिक जटिल संरचना  की धारणा द्वारा सामान्यीकृत है।

हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्या एं भी सामान्यीकृत होती हैं $$\mathbb R,$$ $$\mathbb C,$$ $$\mathbb H,$$ तथा $$\mathbb{O}.$$ उदाहरण के लिए, इस धारणा में विभाजित-जटिल संख्या एँ हैं, जो वलय के तत्व हैं $$\mathbb R[x]/(x^2-1)$$ (विरोध के रूप में $$\mathbb R[x]/(x^2+1)$$ जटिल संख्याओं के लिए)। इस वलय में, समीकरण $arg z$ चार समाधान हैं।

फील्ड $$\mathbb R$$ का समापन है $$\mathbb Q,$$ सामान्य निरपेक्ष मान मीट्रिक (गणित) के संबंध में परिमेय संख्याओं का क्षेत्र। मेट्रिक (गणित) के अन्य विकल्प $$\mathbb Q$$ खेतों की ओर ले जाएं $$\mathbb Q_p$$ p-adic संख्या का |$n$-adic संख्याएं (किसी भी अभाज्य संख्या के लिए $n$), जो इस प्रकार. के अनुरूप हैं $$\mathbb{R}$$. पूरा करने के कोई अन्य गैर-तुच्छ तरीके नहीं हैं $$\mathbb Q$$ बजाय $$\mathbb R$$ तथा $$\mathbb Q_p,$$ ओस्ट्रोव्स्की के प्रमेय द्वारा। बीजीय बंद $$\overline {\mathbb{Q}_p}$$ का $$\mathbb Q_p$$ अभी भी एक मानदंड है, लेकिन (विपरीत $$\mathbb C$$) के संबंध में पूर्ण नहीं हैं। पूर्ण $$\mathbb{C}_p$$ का $$\overline {\mathbb{Q}_p}$$ बीजगणितीय रूप से बंद हो जाता है। सादृश्य द्वारा, क्षेत्र को कहा जाता है $a$-एडिक कॉम्प्लेक्स नंबर।

मैदान $$\mathbb R,$$ $$\mathbb Q_p,$$ और उनके परिमित क्षेत्र विस्तार, जिनमें शामिल हैं $$\mathbb C,$$ स्थानीय क्षेत्र  कहलाते हैं।

यह भी देखें

 * बीजीय सतह
 * वृत्ताकार गति#संमिश्र संख्याओं का उपयोग करना
 * जटिल-आधार प्रणाली
 * जटिल ज्यामिति
 * दोहरी जटिल संख्या
 * ईसेनस्टीन पूर्णांक
 * यूलर की पहचान
 * ज्यामितीय बीजगणित#यूनिट स्यूडोस्केलर (जिसमें 2-आयामी स्पिनर के रूप में जटिल विमान शामिल है#दो आयाम सबस्पेस $$\mathcal{G}_2^+$$)
 * इकाई सम्मिश्र संख्या

ऐतिहासिक

 * - जटिल संख्याओं के इतिहास और जटिल विश्लेषण की शुरुआत का एक सौम्य परिचय।
 * - संख्या की अवधारणा के ऐतिहासिक विकास पर एक उन्नत परिप्रेक्ष्य।
 * - जटिल संख्याओं के इतिहास और जटिल विश्लेषण की शुरुआत का एक सौम्य परिचय।
 * - संख्या की अवधारणा के ऐतिहासिक विकास पर एक उन्नत परिप्रेक्ष्य।
 * - संख्या की अवधारणा के ऐतिहासिक विकास पर एक उन्नत परिप्रेक्ष्य।

श्रेणी:संरचना बीजगणित श्रेणी:जटिल संख्या