जाइरोमैग्नेटिक अनुपात

भौतिकी में, एक कण या प्रणाली का घूर्णचुम्बकीय अनुपात (जिसे कभी-कभी अन्य विषयों में मैग्नेटोग्यरिक अनुपात के रूप में भी जाना जाता है इसके कोणीय गति के चुंबकीय क्षण का अनुपात होता है, और इसे अक्सर प्रतीक γ, गामा द्वारा निरूपित किया जाता है। इसकी एसआई इकाई रेडियन प्रति सेकंड प्रति टेस्ला (rad⋅s−1⋅T−1) या, समकक्ष, कूलम्ब प्रति किलोग्राम (C⋅kg−1) है।

"ज्योरोमैग्नेटिक अनुपात" शब्द का प्रयोग अक्सर एक अलग लेकिन निकट से संबंधित मात्रा, $g$-फैक्टर के पर्याय के रूप में किया जाता है। आयाम रहित होने में $g$-फैक्टर केवल घूर्णचुम्बकीय अनुपात से भिन्न होता है।

क्लासिकल रोटेटिंग बॉडी के लिए
समरूपता के अक्ष के बारे में घूमते हुए एक गैर-प्रवाहकीय आवेशित शरीर पर विचार करें। शास्त्रीय भौतिकी के नियमों के अनुसार, इसमें आवेश की गति के कारण चुंबकीय द्विध्रुवीय क्षण और इसके घूर्णन से उत्पन्न द्रव्यमान की गति के कारण कोणीय गति दोनों होती है। यह दिखाया जा सकता है कि जब तक इसका आवेश और द्रव्यमान घनत्व और प्रवाह [स्पष्टीकरण की आवश्यकता है] समान रूप से और घूर्णी रूप से सममित रूप से वितरित किया जाता है, इसका घूर्णचुम्बकीय अनुपात है
 * $$ \gamma = \frac{q}{2m} $$

कहाँ $${q}$$ इसका चार्ज है और $${m}$$ इसका द्रव्यमान है।

इस संबंध की व्युत्पत्ति इस प्रकार है। यह शरीर के भीतर एक असीम रूप से संकीर्ण गोलाकार वलय के लिए इसे प्रदर्शित करने के लिए पर्याप्त है, सामान्य परिणाम के रूप में तब एक एकीकरण से होता है। मान लीजिए कि वलय की त्रिज्या $r$, क्षेत्रफल $A = πr^{2}$, द्रव्यमान $m$, आवेश $q$ और कोणीय संवेग $L = mvr$ है। फिर चुंबकीय द्विध्रुवीय क्षण का परिमाण है:
 * $$ \mu = I A = \frac{q v}{2 \pi r} \, \pi r^2 = \frac{q}{2m} \, m v r = \frac{q}{2m} L ~.$$

एक पृथक इलेक्ट्रॉन के लिए
एक विलगित इलेक्ट्रॉन का एक कोणीय संवेग होता है और एक चुंबकीय आघूर्ण (भौतिकी) इसके चक्रण से उत्पन्न होता है। जबकि एक इलेक्ट्रॉन के स्पिन को कभी-कभी अक्ष के बारे में शाब्दिक रोटेशन के रूप में देखा जाता है, इसे चार्ज के समान वितरित द्रव्यमान के लिए जिम्मेदार नहीं ठहराया जा सकता है। उपरोक्त शास्त्रीय संबंध धारण नहीं करता है, इलेक्ट्रॉन के जी-कारक के पूर्ण मूल्य से गलत परिणाम देता है, जिसे $g_{e}$ कहा जाता है:$$ \gamma_\mathrm{e} = \frac{-e}{ 2 m_\mathrm{e}} \, |g_\mathrm{e}| = \frac{ g_\mathrm{e} \mu_\mathrm{B} }{ \hbar } \, ,$$ कहाँ $μ_{B}$ बोहर चुंबक है।

इलेक्ट्रॉन स्पिन के कारण घूर्णचुम्बकीय अनुपात एक इलेक्ट्रॉन की परिक्रमा के कारण दोगुना होता है।

सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी के ढांचे में, $$ g_\mathrm{e} = -2 \left(1 + \frac{\alpha}{\,2\pi\,} + \cdots\right)~,$$ कहाँ $$\alpha$$ ठीक-संरचना स्थिरांक है। यहाँ सापेक्षतावादी परिणाम के लिए छोटे सुधार $g = 2$ विषम चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण की क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत गणना से आते हैं। इलेक्ट्रॉन $g$-कारक को एक-इलेक्ट्रॉन साइक्लोट्रॉन में इलेक्ट्रॉन चुंबकीय क्षण को मापकर बारह दशमलव स्थानों तक जाना जाता है: $$g_\mathrm{e} = -2.002\,319\,304\,362\,56(35).$$ इलेक्ट्रॉन घूर्णचुम्बकीय अनुपात है $$ \gamma_\mathrm{e} = \mathrm{-1.760\,859\,630\,23(53) \times 10^{11} \,rad{\cdot}s^{-1}{\cdot}T^{-1}}$$ $$ \frac{\gamma_\mathrm{e}}{2\pi} = \mathrm{-28\,024.951\,4242(85) \,MHz{\cdot}T^{-1}} .$$ इलेक्ट्रॉन $γ$-कारक और $γ$ सिद्धांत के साथ उत्कृष्ट समझौते में हैं; विवरण के लिए क्यूईडी के सटीक परीक्षण देखें।

जाइरोमैग्नेटिक कारक सापेक्षता के परिणाम के रूप में नहीं
चूंकि डायराक के समीकरण से 2 के बराबर एक जाइरोमैग्नेटिक कारक होता है, इसलिए यह सोचना एक गलत धारणा है कि जी-फैक्टर 2 सापेक्षता का परिणाम है; यह नहीं है। कारक 2 श्रोडिंगर समीकरण और सापेक्षवादी क्लेन-गॉर्डन समीकरण (जो डिराक की ओर जाता है) दोनों के रैखिककरण से प्राप्त किया जा सकता है। दोनों ही मामलों में एक 4-स्पिनर प्राप्त होता है और दोनों रैखिककरणों के लिए जी-कारक 2 के बराबर पाया जाता है; इसलिए, कारक 2 न्यूनतम युग्मन और स्थान और समय के लिए डेरिवेटिव के समान क्रम होने के तथ्य का परिणाम है।

भौतिक स्पिन $g$ कण जिन्हें रेखीय गेज डायराक समीकरण द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है, के अनुसार $γ$ $e⁄4 σ^{μν }F_{μν}$ अवधि द्वारा विस्तारित गेज क्लेन-गॉर्डन समीकरण को संतुष्ट करते हैं ,

$$ \left[\, \left( \partial^\mu \, u + i\, e\, A^\mu \right)\, \left( \partial_\mu + i\, e\, A_\mu \right) + g \, \frac{e}{\, 4\,} \, \sigma^{\mu\nu} \, F_{\mu\nu} + m^2 \,\right] \; \psi \; = \; 0 ~, \quad g \ne 2 ~. $$

यहां, $1⁄2σ^{μν}$ और $F^{μν}$ क्रमशः डायराक अंतरिक्ष में लोरेंत्ज़ समूह जनरेटर और विद्युत चुम्बकीय टेंसर के लिए खड़े हैं, जबकि $A^{μ}$ विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता है। इस तरह के एक कण के लिए एक उदाहरण लोरेंत्ज़ समूह का प्रतिनिधित्व सिद्धांत के $D^{(½,1)} ⊕ D^{(1,½)}$ प्रतिनिधित्व स्थान में स्पिन $1⁄2$ साथी स्पिन $g$ है। इस कण को $g$ = $s$ द्वारा अभिलक्षणित दिखाया गया है और फलस्वरूप यह वास्तव में एक द्विघात फ़र्मियन के रूप में व्यवहार करता है।

एक नाभिक के लिए
प्रोटॉन, न्यूट्रॉन, और कई नाभिक परमाणु स्पिन ले जाते हैं, जो ऊपर के रूप में घूर्णचुम्बकीय अनुपात को जन्म देता है। सादगी और स्थिरता के लिए अनुपात पारंपरिक रूप से प्रोटॉन द्रव्यमान और आवेश के संदर्भ में लिखा जाता है, यहां तक ​​कि न्यूट्रॉन और अन्य नाभिकों के लिए भी। सूत्र है:
 * $$ \gamma_{\rm n} = \frac{e}{\, 2m_p\,} \, g_{\rm n} = g_{\rm n}\, \frac{\,\mu_\mathrm{N} \,}{\hbar}~,$$

कहाँ $$\mu_\mathrm{N}$$ परमाणु मैग्नेटन है, और $$ g_{\rm n} $$ जी-कारक (भौतिकी) है |$+$-प्रश्न में नाभिक या नाभिक का कारक। के अनुपात $$\,\frac{\gamma_n}{\, 2 \pi \, g_{\rm n}\,}\, ,$$ के बराबर $$\mu_\mathrm{N}/h$$, 7.622593285(47) मेगाहर्ट्ज/टी है।

नाभिक का घूर्णचुम्बकीय अनुपात परमाणु चुंबकीय अनुनाद (NMR) और चुंबकीय अनुनाद इमेजिंग (MRI) में भूमिका निभाता है। ये प्रक्रियाएं इस तथ्य पर भरोसा करती हैं कि परमाणु स्पिन के कारण थोक चुंबकीयकरण एक चुंबकीय क्षेत्र में लार्मर आवृत्ति नामक दर से आगे बढ़ता है, जो कि चुंबकीय क्षेत्र की ताकत के साथ घूर्णचुम्बकीय अनुपात का उत्पाद है। इस घटना के साथ, γ का चिन्ह पूर्वसर्ग के अर्थ (दक्षिणावर्त बनाम वामावर्त) को निर्धारित करता है।

1H और 13C जैसे सबसे सामान्य नाभिकों में सकारात्मक घूर्णचुम्बकीय अनुपात होते हैं। कुछ सामान्य नाभिकों के अनुमानित मान नीचे दी गई तालिका में दिए गए हैं।

लार्मर पुरस्सरण
किसी बाहरी चुंबकीय क्षेत्र में रखे जाने पर एक स्थिर घूर्णचुम्बकीय अनुपात के साथ कोई भी मुक्त प्रणाली, जैसे कि आवेशों की एक कठोर प्रणाली, एक परमाणु नाभिक, या एक इलेक्ट्रॉन$B$ (टेस्ला में मापा गया) जो अपने चुंबकीय क्षण के साथ संरेखित नहीं है, एक आवृत्ति पर अग्रगमन होगा $−$ ( हेटर्स में मापा जाता है), जो बाहरी क्षेत्र के समानुपाती होता है:
 * $$f=\frac{\gamma}{2\pi}B.$$

इस कारण से, के मान $−$, हर्ट्ज़ प्रति टेस्ला (यूनिट) (Hz/T) की इकाइयों में, इसके बजाय अक्सर उद्धृत किया जाता है $ψμ$.

अनुमानी व्युत्पत्ति
इस संबंध की व्युत्पत्ति इस प्रकार है: पहले हमें यह सिद्ध करना होगा कि एक चुंबकीय आघूर्ण के अधीन होने से उत्पन्न बलाघूर्ण $$\mathbf{m}$$ एक चुंबकीय क्षेत्र के लिए $$\mathbf{B}$$ है $$\, \boldsymbol{\Tau}=\mathbf{m}\times\mathbf{B}\, .$$ स्थिर विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के कार्यात्मक रूप की पहचान ने चुंबकीय द्विध्रुवीय क्षण के परिमाण को समान रूप से परिभाषित करने के लिए प्रेरित किया है $$m=I\pi r^2$$, या निम्नलिखित तरीके से, क्षण का अनुकरण करनाp}एक विद्युत द्विध्रुव का }: चुंबकीय द्विध्रुव को काल्पनिक चुंबकीय आवेशों के साथ कम्पास की सुई द्वारा दर्शाया जा सकता है $$\pm q_{\rm m}$$ दो ध्रुवों पर और ध्रुवों के बीच सदिश दूरी $$\mathbf{d}$$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के प्रभाव में $$\, \mathbf{B} \, .$$ शास्त्रीय यांत्रिकी द्वारा इस सुई पर बलाघूर्ण होता है $$\, \boldsymbol{\Tau} = q_{\rm m} (\mathbf{d}\times\mathbf{B}) \, .$$ लेकिन जैसा कि पहले कहा गया है $$\, q_{\rm m}\mathbf{d}=I\pi r^2\hat{\mathbf{d}} = \mathbf{m} \, ,$$ इसलिए वांछित सूत्र सामने आता है। $$\hat{\mathbf{d}}$$ इकाई दूरी वेक्टर है।

व्युत्पत्ति में हमारे द्वारा उपयोग किए जाने वाले कताई इलेक्ट्रॉन के मॉडल में जाइरोस्कोप के साथ एक स्पष्ट सादृश्य है। किसी भी घूर्णन पिंड के लिए कोणीय गति के परिवर्तन की दर $$\, \mathbf{J} \,$$ लागू बल आघूर्ण के बराबर होता है $$\mathbf{T}$$:
 * $$\frac{d\mathbf{J}}{dt}=\mathbf{T}~.$$

एक उदाहरण के रूप में जाइरोस्कोप के पुरस्सरण पर ध्यान दें। पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण आकर्षण जाइरोस्कोप पर ऊर्ध्वाधर दिशा में एक बल या टॉर्क लागू करता है, और जाइरोस्कोप की धुरी के साथ कोणीय गति सदिश धुरी के माध्यम से एक ऊर्ध्वाधर रेखा के बारे में धीरे-धीरे घूमता है। जाइरोस्कोप के स्थान पर अक्ष के चारों ओर घूमने वाले एक गोले की कल्पना करें और जाइरोस्कोप की धुरी पर इसके केंद्र के साथ, और जाइरोस्कोप की धुरी के साथ दो विपरीत दिशा वाले वैक्टर दोनों गोले के केंद्र में उत्पन्न हुए, ऊपर की ओर $$\mathbf{J}$$ और नीचे $$\mathbf{m}.$$ गुरुत्वाकर्षण को चुंबकीय प्रवाह घनत्व से बदलें $$\, \mathbf{B} ~.$$

$$\frac{\,\operatorname{d} \mathbf{J}\,}{\,\operatorname{d} t \,}$$ तीर के पाइक के रैखिक वेग का प्रतिनिधित्व करता है $$\,\mathbf{J}\,$$ एक वृत्त के साथ जिसकी त्रिज्या है $$\, J\sin{\phi}\, ,$$ कहाँ $$\,\phi\,$$ के बीच का कोण है $$\,\mathbf{J}\,$$ और लंबवत। इसलिए स्पिन के घूर्णन का कोणीय वेग है
 * $$\omega = 2\pi \,f = \frac{1}{ \, J \, \sin{\phi}\,}\,\left|\frac{\,\rm{d}\,\mathbf{J}\,}{\,\rm{d}\,t\,}\right| = \frac{\,\left| \mathbf{T} \right| \,}{\, J \, \sin{\phi}\,} = \frac{\,\left| \mathbf{m} \times \mathbf{B} \right| \,}{\, J \,\sin{\phi} \,} = \frac{\,m\,B\sin{\phi}\,}{\, J \,\sin{\phi}\,} = \frac{\, m\, B\,}{J} = \gamma\, B ~.$$

फलस्वरूप, $$f=\frac{\gamma}{\,2\pi\,}\,B~.\quad \text{q.e.d.}$$ यह संबंध दो समतुल्य शब्दों के बीच एक स्पष्ट विरोधाभास की भी व्याख्या करता है, घूर्णचुम्बकीय अनुपात बनाम मैग्नेटोग्यरिक अनुपात: जबकि यह एक चुंबकीय गुण (अर्थात चुंबकीय क्षण) का एक 'गाइरिक' (घूर्णी, से) का अनुपात है। γύρος, टर्न ) संपत्ति (यानी कोणीय गति), यह एक ही समय में, कोणीय आवृत्ति (एक अन्य gyric संपत्ति) के बीच का अनुपात भी है। $1⁄2$ = 2 $\pi$ $3⁄2$ और चुंबकीय क्षेत्र।

कोणीय पुरस्सरण आवृत्ति का एक महत्वपूर्ण भौतिक अर्थ है: यह साइक्लोट्रॉन अनुनाद है, जब हम एक उच्च आवृत्ति विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र को अध्यारोपित करते हैं, तो एक आयनित प्लाज़्मा की अनुनाद आवृत्ति एक स्थिर परिमित चुंबकीय क्षेत्र के प्रभाव में होती है।

यह भी देखें

 * चार्ज-टू-मास अनुपात
 * रासायनिक पारी
 * लांडे जी-फैक्टर|लांडे $g$--कारक
 * लार्मर समीकरण
 * प्रोटॉन घूर्णचुम्बकीय अनुपात