विचरण का बहुभिन्नरूपी विश्लेषण

आँकड़ों में, विचरण का बहुभिन्नरूपी विश्लेषण (मनोवा) बहुभिन्नरूपी प्रतिरूप साधनों की तुलना करने की एक प्रक्रिया है। एक बहुभिन्नरूपी प्रक्रिया के रूप में, इसका उपयोग तब किया जाता है जब दो या दो से अधिक आश्रित चर होते हैं, और अक्सर अलग-अलग निर्भर चरों को अलग-अलग महत्व परीक्षणों के बाद उपयोग किया जाता है। छवि के संबंध के बिना, आश्रित चर k जीवन संतुष्टि स्कोर हो सकते हैं जिन्हें अनुक्रमिक समय बिंदुओं पर मापा जाता है और p कार्य संतुष्टि स्कोर अनुक्रमिक समय बिंदुओं पर मापा जाता है। इस स्थिति में k+p निर्भर चर हैं जिनका रैखिक संयोजन एक बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण, बहुभिन्नरूपी प्रसरण-सहप्रसरण आव्यूह एकरूपता, और रैखिक संबंध, कोई बहुसंरेखता नहीं है, और प्रत्येक बिना बाहरी कारकों के अनुसरण करता है।

एनोवा के साथ संबंध
मनोवा विचरण (एनोवा) के एकतरफा विश्लेषण का एक सामान्यीकृत रूप है, हालाँकि, विचरण के विश्लेषण के विपरीत, यह माध्य अंतरों के सांख्यिकीय महत्व के परीक्षण में परिणाम चर के बीच सहप्रसरण का उपयोग करता है।

जहां विचरण के अविभाज्य विश्लेषण में वर्गों का योग दिखाई देता है, विचरण के बहुभिन्नरूपी विश्लेषण में कुछ निश्चित सकारात्मक-निश्चित आव्यूह दिखाई देते हैं। विकर्ण प्रविष्टियाँ समान प्रकार के वर्ग हैं जो कि अविभाजित एनोवा में दिखाई देते हैं। अप विकर्ण प्रविष्टियां उत्पादों के संगत योग हैं। त्रुटि वितरण के बारे में सामान्य धारणाओं के तहत, त्रुटि के कारण वर्गों के योग के समकक्ष में विशरट वितरण होता है।

मनोवा प्रारूप विचरण आव्यूह के उत्पाद, $$\Sigma_\text{model}$$ और त्रुटि विचरण आव्यूह के व्युत्क्रम, $$\Sigma_\text{res}^{-1}$$, या $$A=\Sigma_\text{model} \times \Sigma_\text{res}^{-1}$$ के गुणनफल पर आधारित है। परिकल्पना यह है कि $$\Sigma_\text{model} = \Sigma_\text{residual}$$ का तात्पर्य उत्पाद $$A \sim I$$ है। अपरिवर्तनीय विचारों का अर्थ है कि मनोवा आंकड़े इस आव्यूह उत्पाद के एकवचन मूल्य अपघटन के परिमाण का माप होना चाहिए, लेकिन वैकल्पिक परिकल्पना की बहु-आयामी प्रकृति के कारण कोई अद्वितीय विकल्प नहीं है।

सबसे आम आँकड़े $$\lambda_p$$ $$A$$  आव्यूह के मूल (या इगनवेल्यूज़) पर आधारित सारांश हैं. प्रत्येक की गुणों पर चर्चा जारी है, हालांकि सबसे बड़ा मूल केवल महत्व पर एक सीमा की ओर ले जाता है जो आम तौर पर व्यावहारिक हित में नहीं होती है। एक और जटिलता यह है कि, रॉय के सबसे बड़े मूल को छोड़कर, शून्य परिकल्पना के तहत इन आँकड़ों का वितरण सीधा नहीं है और केवल कुछ कम-आयामी स्थितियों को छोड़कर अनुमानित किया जा सकता है।
 * सैमुअल स्टेनली विल्क्स' $$\Lambda_\text{Wilks} = \prod_{1,\ldots,p}(1/(1 + \lambda_{p})) = \det(I + A)^{-1} = \det(\Sigma_\text{res})/\det(\Sigma_\text{res} + \Sigma_\text{model})$$ लैम्ब्डा (Λ) के रूप में वितरित
 * के.सी. श्रीधरन पिल्लई–एम एस बार्टलेट ट्रेस, $$\Lambda_\text{Pillai} = \sum_{1,\ldots,p}(\lambda_p/(1 + \lambda_p)) = \operatorname{tr}(A(I + A)^{-1})$$
 * लॉली-होटलिंग ट्रेस, $$\Lambda_\text{LH} = \sum_{1,\ldots,p}(\lambda_{p}) = \operatorname{tr}(A)$$
 * रॉय का सबसे बड़ा मूल (जिसे रॉय की सबसे बड़ा मूल भी कहा जाता है), $$\Lambda_\text{Roy} = \max_p(\lambda_p) $$

शून्य परिकल्पना के तहत रॉय के सबसे बड़े मूल के वितरण के लिए एक कलन विधि में में प्राप्त किया गया था जबकि विकल्प के अंतर्गत वितरण का अध्ययन किया जाता है।

विल्क्स लैम्ब्डा के लिए सबसे प्रसिद्ध सन्निकटन सी. आर. राव द्वारा निकाला गया था।

दो समूहों की स्थिति में, सभी आँकड़े समतुल्य हैं और परीक्षण हॉटेलिंग के टी-वर्ग में कम हो जाता है।

निर्भर चर का सहसंबंध
मनोवा की शक्ति निर्भर चर के सहसंबंधों और उन चरों से जुड़े प्रभाव आकारों से प्रभावित होती है। उदाहरण के लिए, जब दो समूह और दो आश्रित चर होते हैं, तो मनोवा की शक्ति सबसे कम होती है जब सहसंबंध छोटे से बड़े मानकीकृत प्रभाव आकार के अनुपात के बराबर होता है।

यह भी देखें

 * विभेदक कार्य विश्लेषण
 * विहित सहसंबंध विश्लेषण
 * विचरण का बहुभिन्नरूपी विश्लेषण (विकिविश्वविद्यालय)
 * दोहराए गए उपाय प्रारूप

बाहरी संबंध

 * Multivariate Analysis of Variance (मनोवा) by Aaron French, Marcelo Macedo, John Poulsen, Tyler Waterson and Angela Yu, San Francisco State University