अपेक्षाकृत संहत उपसमष्टि

गणित में, एक अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट उप-स्थान (या अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय, या प्रीकॉम्पैक्ट उपसमुच्चय) $Y$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस का $X$ एक उपसमुच्चय है जिसका टोपोलॉजिकल क्लोजर सघन स्थान  है।

गुण
कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल स्पेस का प्रत्येक उपसमुच्चय अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट होता है (क्योंकि कॉम्पैक्ट स्पेस का एक बंद उपसमुच्चय कॉम्पैक्ट होता है)। और एक मनमाना टोपोलॉजिकल स्पेस में अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट सेट का प्रत्येक उपसमुच्चय अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट होता है।

हॉसडॉर्फ़ अंतरिक्ष का प्रत्येक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट है। हॉसडॉर्फ़ स्थान में, जैसे कि एक अनंत सेट पर विशेष बिंदु टोपोलॉजी, एक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय का बंद होना जरूरी नहीं कि कॉम्पैक्ट हो; अलग ढंग से कहा गया है, गैर-हॉसडॉर्फ स्थान का एक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय आवश्यक रूप से अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट नहीं है।

(संभवतः गैर-हॉसडॉर्फ) टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस का प्रत्येक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय पूर्ण टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस और अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट है।

मीट्रिक टोपोलॉजी के मामले में, या अधिक सामान्यतः जब अनुक्रमों का उपयोग कॉम्पैक्टनेस के परीक्षण के लिए किया जा सकता है, सापेक्ष कॉम्पैक्टनेस के लिए मानदंड यह बन जाता है कि कोई भी अनुक्रम $Y$ में एक अनुवर्ती अभिसरण है $X$.

कुछ प्रमुख प्रमेय अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय की विशेषता बताते हैं, विशेष रूप से कार्य स्थान में। एक उदाहरण अर्ज़ेला-एस्कोली प्रमेय है। रुचि के अन्य मामले एकसमान अभिन्नता और जटिल विश्लेषण में सामान्य परिवार की अवधारणा से संबंधित हैं। संख्याओं की ज्यामिति में महलर की कॉम्पैक्टनेस प्रमेय कुछ गैर-कॉम्पैक्ट सजातीय स्थानों (विशेष रूप से जाली (समूह) के स्थान) में अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय की विशेषता बताती है।

प्रतिउदाहरण
प्रतिउदाहरण के रूप में एक अनंत विशेष बिंदु टोपोलॉजी के विशेष बिंदु के किसी भी पड़ोस (टोपोलॉजी) को लें। पड़ोस स्वयं कॉम्पैक्ट हो सकता है लेकिन अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट नहीं है क्योंकि इसका समापन संपूर्ण गैर-कॉम्पैक्ट स्थान है।

लगभग आवधिक कार्य
लगभग आवधिक फलन की परिभाषा $F$ वैचारिक स्तर पर इसका अनुवाद के साथ संबंध है $F$ अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट सेट होने के नाते। इसे किसी विशेष सिद्धांत में प्रयुक्त टोपोलॉजी के संदर्भ में सटीक बनाने की आवश्यकता है।

यह भी देखें

 * संक्षिप्त रूप से एम्बेडेड
 * पूरी तरह से घिरा हुआ स्थान

संदर्भ

 * page 12 of V. Khatskevich, D.Shoikhet, Differentiable Operators and Nonlinear Equations, Birkhäuser Verlag AG, Basel, 1993, 270 pp. at google books