स्थानीय समय (गणित)

स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के गणितीय सिद्धांत में, स्थानीय समय सेमीमार्टिंगेल प्रक्रियाओं से जुड़ी एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है, जैसे ब्राउनियन गति, जो किसी कण द्वारा किसी दिए गए स्तर पर बिताए गए समय की मात्रा को दर्शाती है। स्थानीय समय विभिन्न स्टोकेस्टिक एकीकरण सूत्रों में प्रकट होता है, जैसे कि तनाका का सूत्र, यदि इंटीग्रैंड पर्याप्त रूप से सुचारू नहीं है। इसका अध्ययन सांख्यिकीय यांत्रिकी में यादृच्छिक क्षेत्रों के संदर्भ में भी किया जाता है।

औपचारिक परिभाषा
एक सतत वास्तविक मूल्यवान सेमीमार्टिंगेल के लिए $$(B_s)_{s\ge 0}$$, का स्थानीय समय $$B$$ बिंदु पर $$x$$ स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है जिसे अनौपचारिक रूप से परिभाषित किया गया है


 * $$L^x(t) =\int_0^t \delta(x-B_s)\,d[B]_s,$$

कहाँ $$\delta$$ डिराक डेल्टा समारोह है और $$[B]$$ द्विघात भिन्नता है। यह पॉल लेवी (गणितज्ञ) | पॉल लेवी द्वारा आविष्कृत एक धारणा है। मूल विचार यह है $$L^x(t)$$ कितने समय का एक (उचित रूप से पुनर्वर्धित और समय-पैरामीट्रिज्ड) माप है $$B_s$$ पर खर्च किया है $$x$$ समय तक $$t$$. अधिक सख्ती से, इसे लगभग सुनिश्चित सीमा के रूप में लिखा जा सकता है


 * $$ L^x(t) =\lim_{\varepsilon\downarrow 0} \frac{1}{2\varepsilon} \int_0^t 1_{\{ x- \varepsilon < B_s < x+\varepsilon \}} \, d[B]_s,$$

जो हमेशा मौजूद दिखाया जा सकता है। ध्यान दें कि ब्राउनियन गति के विशेष मामले में (या अधिक सामान्यतः एक वास्तविक-मूल्यवान इटो प्रसार $$ dB = b(t,B)\,dt+ dW$$ कहाँ $$ W $$ एक ब्राउनियन गति है), शब्द $$d[B]_s$$ बस कम कर देता है $$ds$$, जो बताता है कि इसे का स्थानीय समय क्यों कहा जाता है $$B$$ पर $$x$$. असतत राज्य-अंतरिक्ष प्रक्रिया के लिए $$(X_s)_{s\ge 0}$$, स्थानीय समय को और अधिक सरल रूप में व्यक्त किया जा सकता है
 * $$ L^x(t) =\int_0^t 1_{\{x\}}(X_s) \, ds.$$

तनाका का सूत्र
तनाका का सूत्र मनमाने ढंग से निरंतर सेमीमार्टिंगेल के लिए स्थानीय समय की परिभाषा भी प्रदान करता है $$(X_s)_{s\ge 0}$$ पर $$ \mathbb R: $$
 * $$ L^x(t) = |X_t - x| - |X_0 - x| - \int_0^t \left( 1_{(0,\infty)}(X_s - x) - 1_{(-\infty, 0]}(X_s-x) \right) \, dX_s, \qquad t \geq 0. $$

मेयर द्वारा स्वतंत्र रूप से एक अधिक सामान्य रूप सिद्ध किया गया था और वांग; यह सूत्र इटो की लेम्मा को दो अलग-अलग कार्यों के लिए अधिक सामान्य वर्ग के कार्यों के लिए विस्तारित करता है। अगर $$ F:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$$ व्युत्पन्न के साथ बिल्कुल निरंतर है $$ F',$$ जो तब परिबद्ध भिन्नता का है
 * $$ F(X_t) = F(X_0) + \int_0^t F'_{-}(X_s) \, dX_s + \frac12 \int_{-\infty}^\infty L^x(t) \, dF'_{-}(x), $$

कहाँ $$ F'_{-}$$ वाम व्युत्पन्न है।

अगर $$X$$ एक ब्राउनियन गति है, तो किसी के लिए भी $$\alpha\in(0,1/2)$$ स्थानीय समय का क्षेत्र $$ L = (L^x(t))_{x \in \mathbb R, t \geq 0}$$ एक संशोधन है जो a.s है। होल्डर लगातार अंदर $$ x$$ प्रतिपादक के साथ $$\alpha$$, समान रूप से बंधे हुए $$x$$ और $$t$$. सामान्य रूप में, $$ L $$ एक संशोधन है जो ए.एस. में निरंतर $$t$$ और कैडलैग इन $$x$$.

तनाका का सूत्र स्पष्ट रूप से दूब-मेयर अपघटन प्रमेय प्रदान करता है। एक-आयामी प्रतिबिंबित ब्राउनियन गति के लिए दूब-मेयर अपघटन $$(|B_s|)_{s \geq 0}$$.

रे-नाइट प्रमेय
स्थानीय समय का क्षेत्र $$ L_t = (L^x_t)_{x \in E}$$ एक अंतरिक्ष पर एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया से जुड़ा हुआ है $$E$$ यादृच्छिक क्षेत्रों के क्षेत्र में एक अच्छी तरह से अध्ययन किया जाने वाला विषय है। रे-नाइट प्रकार के प्रमेय क्षेत्र L से संबंधित हैंt एक संबद्ध गाऊसी प्रक्रिया के लिए।

सामान्य तौर पर पहले प्रकार के रे-नाइट प्रकार के प्रमेय क्षेत्र एल पर विचार करते हैंt अंतर्निहित प्रक्रिया के हिटिंग समय पर, जबकि दूसरी तरह के प्रमेय एक रुकने के समय के संदर्भ में होते हैं, जिस पर स्थानीय समय का क्षेत्र पहले दिए गए मान से अधिक होता है।

पहला रे-नाइट प्रमेय
चलो (बीt)t ≥ 0 बी से शुरू होने वाली एक आयामी ब्राउनियन गति हो0 = ए> 0, और (डब्ल्यूt)t≥0 डब्ल्यू से शुरू होने वाली एक मानक द्वि-आयामी ब्राउनियन गति हो0 = 0 ∈ आर 2। रुकने के समय को परिभाषित करें जिस पर बी पहली बार उत्पत्ति से टकराता है, $$ T = \inf\{t \geq 0 \colon B_t = 0\}$$. रे और नाइट (स्वतंत्र रूप से) ने दिखाया

जहां (एलt)t ≥ 0 के स्थानीय समय का क्षेत्र है (बीt)t ≥ 0, और समानता सी [0, ए] पर वितरण में है। प्रक्रिया | डब्ल्यूx|2 को वर्गाकार बेसेल प्रक्रिया के रूप में जाना जाता है।

दूसरी किरण-नाइट प्रमेय
चलो (बीt)t ≥ 0 एक मानक एक आयामी ब्राउनियन गति हो B0 = 0 ∈ R, और माना (Lt)t ≥ 0 स्थानीय समय का संबद्ध क्षेत्र हो। चलो टीa पहली बार हो जब शून्य पर स्थानीय समय a> 0 से अधिक हो
 * $$ T_a = \inf \{ t \geq 0 \colon L^0_t > a \}.$$

चलो (डब्ल्यूt)t ≥ 0 डब्ल्यू से शुरू होने वाली एक स्वतंत्र एक-आयामी ब्राउनियन गति हो0 = 0, तब

समान रूप से, प्रक्रिया $$(L^x_{T_a})_{x \geq 0}$$ (जो स्थानिक चर में एक प्रक्रिया है $$x$$) पर शुरू हुई 0-आयामी बेसेल प्रक्रिया के वर्ग के वितरण के बराबर है $$ a $$, और जैसा कि मार्कोवियन है।

सामान्यीकृत रे-नाइट प्रमेय
अधिक सामान्य स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं के लिए रे-नाइट प्रकार के परिणामों का गहन अध्ययन किया गया है, और दोनों के अनुरूप कथन ($$) और ($$) दृढ़ता से सममित मार्कोव प्रक्रियाओं के लिए जाने जाते हैं।

यह भी देखें

 * तनाका का सूत्र
 * एक प्रकार कि गति
 * यादृच्छिक क्षेत्र

संदर्भ

 * K. L. Chung and R. J. Williams, Introduction to Stochastic Integration, 2nd edition, 1990, Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3386-8.
 * M. Marcus and J. Rosen, Markov Processes, Gaussian Processes, and Local Times, 1st edition, 2006, Cambridge University Press ISBN 978-0-521-86300-1
 * P. Mörters and Y. Peres, Brownian Motion, 1st edition, 2010, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76018-8.