मॉड्युली स्पेस

गणित में, विशेष रूप से बीजगणितीय ज्यामिति में, एक मापांक स्थान एक ज्यामितीय स्थान (आमतौर पर एक योजना (गणित) या एक बीजगणितीय स्टैक) होता है, जिसके बिंदु कुछ निश्चित प्रकार के बीजगणितीय-ज्यामितीय वस्तुओं या ऐसी वस्तुओं के समरूपता वर्गों का प्रतिनिधित्व करते हैं। ऐसे स्थान अक्सर वर्गीकरण समस्याओं के समाधान के रूप में उत्पन्न होते हैं: यदि कोई दिखा सकता है कि रोचक वस्तुओं का एक संग्रह (उदाहरण के लिए, एक निश्चित जीनस (टोपोलॉजी) के चिकने बीजगणितीय वक्र) को एक ज्यामितीय स्थान की संरचना दी जा सकती है, तो कोई इस तरह का पैरामीट्रिज कर सकता है परिणामी स्थान पर निर्देशांक प्रस्तुत करके वस्तुएँ। इस संदर्भ में, मापांक शब्द का प्रयोग पैरामीटर के पर्याय के रूप में किया जाता है; मॉडुलि रिक्त स्थान को पहले वस्तुओं के स्थान के बजाय मापदंडों के स्थान के रूप में समझा गया था। मॉड्यूलि रिक्त स्थान का एक प्रकार औपचारिक मोडुली है। बर्नहार्ड रीमैन ने पहली बार 1857 में मोडुली शब्द का इस्तेमाल किया था।

प्रेरणा
मॉड्यूलि रिक्त स्थान ज्यामितीय वर्गीकरण समस्याओं के समाधान के स्थान हैं। यही है, मॉड्यूलि स्पेस के अंक ज्यामितीय समस्याओं के समाधान के अनुरूप हैं। यहां अलग-अलग समाधानों की पहचान की जाती है यदि वे आइसोमॉर्फिक हैं (अर्थात, ज्यामितीय रूप से समान)। मॉडुलि रिक्त स्थान को समस्या के लिए मापदंडों का एक सार्वभौमिक स्थान देने के बारे में सोचा जा सकता है। उदाहरण के लिए, सर्वांगसमता तक यूक्लिडियन तल में सभी वृत्तों को खोजने की समस्या पर विचार करें। किसी भी वृत्त को तीन बिंदु देकर विशिष्ट रूप से वर्णित किया जा सकता है, लेकिन तीन बिंदुओं के कई अलग-अलग सेट एक ही वृत्त देते हैं: पत्राचार कई-से-एक है। हालाँकि, मंडलियों को उनके केंद्र और त्रिज्या देकर विशिष्ट रूप से परिचालित किया जाता है: यह दो वास्तविक पैरामीटर और एक सकारात्मक वास्तविक पैरामीटर है। चूँकि हम केवल सर्वांगसमता तक के वृत्तों में रुचि रखते हैं, इसलिए हम ऐसे वृत्तों की पहचान करते हैं जिनके केंद्र अलग-अलग हों, लेकिन एक ही त्रिज्या हो, और इसलिए केवल त्रिज्या ही रुचि के सेट को पैरामीटर करने के लिए पर्याप्त है। इसलिए मॉड्यूलि स्पेस धनात्मक वास्तविक संख्या है।

मोडुली रिक्त स्थान अक्सर प्राकृतिक ज्यामितीय और स्थलीय संरचनाओं को भी ले जाते हैं। मंडलियों के उदाहरण में, उदाहरण के लिए, मोडुली स्पेस केवल एक अमूर्त सेट नहीं है, लेकिन रेडी के अंतर का पूर्ण मूल्य एक मीट्रिक (गणित) को परिभाषित करता है, यह निर्धारित करने के लिए कि दो सर्किल कब करीब हैं। मॉड्यूलि रिक्त स्थान की ज्यामितीय संरचना स्थानीय रूप से हमें बताती है कि ज्यामितीय वर्गीकरण समस्या के दो समाधान करीब हैं, लेकिन आम तौर पर मोडुली रिक्त स्थान में एक जटिल वैश्विक संरचना भी होती है।

फ़ाइल: रियल प्रोजेक्टिव लाइन मोडुली स्पेस example.pdf|thumb|P का निर्माण1(R) 0 ≤ θ < π या S के भागफल स्थान के रूप में भिन्न करके 1।

उदाहरण के लिए, आर में लाइनों के संग्रह का वर्णन करने के तरीके पर विचार करें2 जो मूल बिंदु को काटता है। हम इस परिवार की प्रत्येक पंक्ति L को एक मात्रा निर्दिष्ट करना चाहते हैं जो इसे विशिष्ट रूप से पहचान सके - एक मापांक। ऐसी मात्रा का एक उदाहरण 0 ≤ θ < π रेडियन के साथ सकारात्मक कोण θ(L) है। एल लाइनों का सेट इसलिए पैरामीट्रिज्ड 'पी' के रूप में जाना जाता है1(R) और वास्तविक प्रक्षेपी रेखा कहलाती है।

हम R में रेखाओं के संग्रह का भी वर्णन कर सकते हैं2 जो एक स्थलाकृतिक निर्माण के माध्यम से मूल को प्रतिच्छेद करता है। बुद्धि के लिए: एस पर विचार करें1 ⊂ आर2 और ध्यान दें कि प्रत्येक बिंदु ∈ 'S'1 संग्रह में एक रेखा L(s) देता है (जो मूल और s को जोड़ता है)। हालाँकि, यह मानचित्र टू-टू-वन है, इसलिए हम 'P' प्राप्त करने के लिए s ~ −s की पहचान करना चाहते हैं1(आर) ≅ एस1/~ जहां इस स्थान पर टोपोलॉजी भागफल मानचित्र S द्वारा प्रेरित भागफल टोपोलॉजी है1 → पी1(आर).

इस प्रकार, जब हम पी पर विचार करते हैं1(R) रेखाओं की मॉड्यूलि स्पेस के रूप में जो आर में मूल को काटती है2, हम उन तरीकों को कैप्चर करते हैं जिनमें परिवार के सदस्य (इस मामले में पंक्तियां) 0 ≤ θ < π को लगातार बदलते हुए संशोधित कर सकते हैं।

प्रोजेक्टिव स्पेस और ग्रासमैनियन
वास्तविक वास्तविक प्रक्षेप्य स्थानn एक मोडुली स्पेस है जो 'R' में लाइनों के स्पेस को पैरामीट्रिज करता हैn+1 जो मूल बिंदु से होकर गुजरता है। इसी तरह, जटिल प्रक्षेपी स्थान 'सी' में सभी जटिल रेखाओं का स्थान हैn+1 मूल बिंदु से गुजर रहा है।

अधिक आम तौर पर, फ़ील्ड F पर सदिश समष्टि V का ग्रासमानियन  'G'(k, V) V के सभी k-विमीय रैखिक उपसमष्टि का मॉडुलि समष्टि होता है।

विश्व स्तर पर उत्पन्न वर्गों के साथ बहुत पर्याप्त लाइन बंडलों के मॉड्यूल के रूप में प्रोजेक्टिव स्पेस
जब भी किसी योजना का एम्बेडिंग होता है $$X$$ सार्वभौमिक प्रक्षेप्य अंतरिक्ष में $$\mathbf{P}^n_\mathbb{Z}$$, एम्बेडिंग एक लाइन बंडल द्वारा दी गई है $$\mathcal{L} \to X$$ और $$n+1$$ धारा $$s_0,\ldots,s_n\in\Gamma(X,\mathcal{L})$$ जो सभी एक ही समय में गायब नहीं होते हैं। इसका मतलब है, एक बिंदु <ब्लॉककोट> दिया गया है$$x:\text{Spec}(R) \to X$$ एक संबद्ध बिंदु है"$\hat{x}:\text{Spec}(R) \to \mathbf{P}^n_\mathbb{Z}$"रचनाओं द्वारा दिया गया"$[s_0:\cdots:s_n]\circ x = [s_0(x):\cdots:s_n(x)] \in \mathbf{P}^n_\mathbb{Z}(R) $"फिर, अनुभागों के साथ दो लाइन बंडल समतुल्य हैं"$(\mathcal{L},(s_0,\ldots,s_n))\sim (\mathcal{L}',(s_0',\ldots,s_n'))$"यदि कोई तुल्याकारिता है $$\phi:\mathcal{L} \to \mathcal{L}'$$ ऐसा है कि $$\phi(s_i) = s_i'$$. इसका मतलब है संबंधित मोडुली फ़ैक्टर <ब्लॉककोट>$$\mathbf{P}^n_\mathbb{Z}:\text{Sch}\to \text{Sets}$$ स्कीम भेजता है $$X$$ सेट पर <ब्लॉककोट>$$\mathbf{P}^n_\mathbb{Z}(X) =\left\{ (\mathcal{L},s_0,\ldots,s_n) : \begin{matrix} \mathcal{L} \to X \text{ is a line bundle} \\ s_0,\ldots,s_n\in\Gamma(X,\mathcal{L}) \\ \text{ form a basis of global sections} \end{matrix} \right\} / \sim $$ यह दिखाना सत्य है जिसे पुनरुक्ति की एक श्रृंखला के माध्यम से चलाया जा सकता है: कोई भी प्रक्षेपी एम्बेडिंग $$i:X \to \mathbb{P}^n_\mathbb{Z}$$ विश्व स्तर पर उत्पन्न शीफ देता है $$i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_\mathbb{Z}}(1)$$ वर्गों के साथ $$i^*x_0,\ldots,i^*x_n$$. इसके विपरीत, एक पर्याप्त लाइन बंडल दिया गया $$\mathcal{L} \to X$$ वैश्विक रूप से उत्पन्न $$n+1$$ अनुभाग ऊपर के रूप में एक एम्बेडिंग देता है।

चाउ किस्म
चाउ रिंग चाउ (डी, पी3) एक प्रक्षेपी बीजगणितीय किस्म है जो 'P' में डिग्री d वक्रों को पैरामीट्रिज करती है3। इसका निर्माण निम्नानुसार किया गया है। C को 'P' में डिग्री d का वक्र होने दें 3, तो P की सभी पंक्तियों पर विचार करें3 जो वक्र C को प्रतिच्छेद करता है। यह एक डिग्री d भाजक (बीजगणितीय ज्यामिति) D हैC'जी' (2, 4) में, 'पी' में लाइनों का ग्रासमानियन3। जब C भिन्न होता है, C को D से जोड़करC, हम ग्रासमानियन के डिग्री डी विभाजकों के स्थान के सबसेट के रूप में डिग्री डी घटता का एक पैरामीटर स्थान प्राप्त करते हैं: 'चाउ' (डी, 'पी' 3).

हिल्बर्ट योजना
हिल्बर्ट स्कीम हिल्ब(X) एक मोडुली स्कीम है। Hilb(X) का प्रत्येक बंद बिंदु एक निश्चित योजना X की एक बंद उपयोजना से मेल खाता है, और प्रत्येक बंद उपयोजना को ऐसे बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है। हिल्बर्ट स्कीम का एक सरल उदाहरण है हिल्बर्ट स्कीम पैरामीटराइज़िंग डिग्री $$d$$ प्रोजेक्टिव स्पेस की हाइपरसर्फफेस $$\mathbb{P}^n$$. यह प्रक्षेपी बंडल <ब्लॉककोट> द्वारा दिया गया है$$\mathcal{Hilb}_d(\mathbb{P}^n) = \mathbb{P}(\Gamma(\mathcal{O}(d)))$$ सार्वभौमिक परिवार के साथ "द्वारा दिया गया$\mathcal{U} = \{ (V(f), f) : f \in \Gamma(\mathcal{O}(d)) \}$"कहाँ $$V(f)$$ डिग्री के लिए संबद्ध प्रक्षेप्य योजना है $$d$$ सजातीय बहुपद $$f$$.

परिभाषाएँ
चीजों की कई संबंधित धारणाएं हैं जिन्हें हम मोडुली स्पेस कह सकते हैं। इनमें से प्रत्येक परिभाषा ज्यामितीय वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए अंतरिक्ष एम के बिंदुओं के लिए इसका क्या अर्थ है, इसकी एक अलग धारणा को औपचारिक रूप देती है।

ठीक मोडुलि स्पेस
यह मानक अवधारणा है। ह्यूरिस्टिक रूप से, यदि हमारे पास एक स्थान एम है जिसके लिए प्रत्येक बिंदु एम ∊ एम बीजगणित-ज्यामितीय वस्तु यू से मेल खाता हैm, तो हम इन वस्तुओं को एम पर एक टॉटोलॉजिकल बंडल परिवार यू में इकट्ठा कर सकते हैं। (उदाहरण के लिए, ग्रासमैनियन 'जी' (के, वी) रैंक के बंडल को ले जाता है जिसका फाइबर किसी भी बिंदु पर [एल] ∊ 'जी' (के, V) केवल रैखिक उपसमष्टि L ⊂ V है।) M को परिवार U का 'आधार स्थान' कहा जाता है। हम कहते हैं कि सार्वभौमिक बंडल 'सार्वभौमिक' है यदि बीजगणित-ज्यामितीय वस्तुओं का कोई परिवार किसी आधार स्थान B पर T है। यू का पुलबैक (श्रेणी सिद्धांत) एक अद्वितीय मानचित्र बी → एम के साथ। एक सूक्ष्म मोडुलि स्पेस एक स्पेस एम है जो एक सार्वभौमिक परिवार का आधार है।

अधिक सटीक रूप से, मान लीजिए कि हमारे पास योजनाओं से लेकर सेट तक एक फ़ैक्टर एफ है, जो एक योजना बी को आधार बी के साथ वस्तुओं के सभी उपयुक्त परिवारों के सेट को असाइन करता है। एक स्थान एम, फ़ंक्टर एफ के लिए एक 'ठीक मोडुली स्पेस' है यदि एम प्रतिनिधित्व योग्य है functor F, यानी एक प्राकृतिक समरूपता है τ : F → 'होम' (-, एम), जहां 'होम' (-, एम) बिंदुओं का फ़ैक्टर है। इसका तात्पर्य है कि एम एक सार्वभौमिक परिवार रखता है; यह परिवार पहचान मानचित्र '1' के अनुरूप एम पर परिवार हैM ∊ होम(म, म)।

मोटे मॉडुलि स्पेस
बारीक मोडुली स्थान वांछनीय हैं, लेकिन वे हमेशा मौजूद नहीं होते हैं और अक्सर निर्माण करना मुश्किल होता है, इसलिए गणितज्ञ कभी-कभी एक कमजोर धारणा का उपयोग करते हैं, मोटे मोडुली स्थान का विचार। यदि कोई प्राकृतिक रूपांतरण τ मौजूद है तो एक स्थान M, क्रियाकलाप F के लिए एक 'स्थूल मोडुलि स्पेस' है: F → 'होम' (-, M) और τ ऐसे प्राकृतिक परिवर्तनों के बीच सार्वभौमिक है। अधिक ठोस रूप से, M, F के लिए एक मोटे मोडुली स्थान है यदि कोई परिवार T आधार B पर एक मानचित्र φ को जन्म देता हैT : बी → एम और कोई भी दो वस्तुएं वी और डब्ल्यू (एक बिंदु पर परिवारों के रूप में माना जाता है) एम के एक ही बिंदु के अनुरूप हैं यदि और केवल अगर वी और डब्ल्यू आइसोमोर्फिक हैं। इस प्रकार, एम एक ऐसा स्थान है जिसमें प्रत्येक वस्तु के लिए एक बिंदु होता है जो एक परिवार में प्रकट हो सकता है, और जिसकी ज्यामिति परिवारों में वस्तुओं के भिन्न होने के तरीकों को दर्शाती है। ध्यान दें, हालांकि, एक मोटे मोडुली स्थान में आवश्यक रूप से उपयुक्त वस्तुओं का कोई परिवार नहीं होता है, केवल एक सार्वभौमिक होने दें।

दूसरे शब्दों में, एक फाइन मॉडुलि स्पेस में बेस स्पेस M और यूनिवर्सल फैमिली U → M दोनों शामिल होते हैं, जबकि मोटे मॉड्यूलि स्पेस में केवल बेस स्पेस M होता है।

मोडुली ढेर
अक्सर ऐसा होता है कि दिलचस्प ज्यामितीय वस्तुएं कई प्राकृतिक automorphism से सुसज्जित होती हैं। यह विशेष रूप से एक सूक्ष्म मोडुली स्थान के अस्तित्व को असंभव बनाता है (सहजता से, विचार यह है कि यदि एल कुछ ज्यामितीय वस्तु है, तो तुच्छ परिवार L × [0,1] को सर्कल 'एस' पर एक मुड़ परिवार में बनाया जा सकता है।1 एल × {0} को एल × {1} के साथ एक गैर-तुच्छ ऑटोमोर्फिज्म के माध्यम से पहचान कर। अब यदि सूक्ष्म मॉडुलि स्पेस X अस्तित्व में है, तो मानचित्र 'S'1 → X को स्थिर नहीं होना चाहिए, लेकिन तुच्छता से किसी भी उचित खुले सेट पर स्थिर होना चाहिए), फिर भी कभी-कभी मोटे मोडुली स्थान प्राप्त कर सकते हैं। हालांकि, यह दृष्टिकोण आदर्श नहीं है, क्योंकि ऐसे स्थानों के अस्तित्व की गारंटी नहीं है, जब वे मौजूद होते हैं तो वे अक्सर एकवचन होते हैं, और उन वस्तुओं के कुछ गैर-तुच्छ परिवारों के बारे में विवरण याद करते हैं जिन्हें वे वर्गीकृत करते हैं।

समरूपताओं को याद करके वर्गीकरण को समृद्ध करने के लिए एक अधिक परिष्कृत दृष्टिकोण है। अधिक सटीक रूप से, किसी भी आधार पर बी बी पर परिवारों की श्रेणी पर विचार कर सकता है, जिसमें परिवारों के बीच केवल समरूपता के रूप में लिया जाता है। एक तब रेशेदार श्रेणी पर विचार करता है जो किसी भी स्थान बी को बी से अधिक परिवारों के समूह को निर्दिष्ट करता है। मॉड्यूलि समस्या का वर्णन करने के लिए ग्रुपोइड्स में फाइबर की गई इन श्रेणियों का उपयोग ग्रोथेंडिक (1960/61) तक जाता है। सामान्य तौर पर, उन्हें योजनाओं या बीजगणितीय रिक्त स्थान द्वारा प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, लेकिन कई मामलों में, उनके पास बीजगणितीय ढेर की प्राकृतिक संरचना होती है।

Deligne-Mumford (1969) में बीजगणितीय स्टैक और मॉडुलि समस्याओं का विश्लेषण करने के लिए उनका उपयोग एक दिए गए जीनस के बीजगणितीय घटता के (मोटे) मोडुली की इरेड्यूसबिलिटी को साबित करने के लिए एक उपकरण के रूप में दिखाई दिया। बीजगणितीय स्टैक की भाषा अनिवार्य रूप से रेशेदार श्रेणी को देखने के लिए एक व्यवस्थित तरीका प्रदान करती है जो एक स्थान के रूप में मोडुली समस्या का गठन करती है, और 'मॉड्यूली स्टैक' कई मॉडुलि समस्याओं में से अधिकांश संबंधित मोटे मॉडुलि स्थान की तुलना में बेहतर व्यवहार (जैसे चिकनी) है।

वक्रों का मापांक
मोडुली ढेर $$\mathcal{M}_{g}$$ जीनस जी के चिकने प्रोजेक्टिव कर्व्स के परिवारों को उनके समरूपताओं के साथ वर्गीकृत करता है। जब g > 1, इस ढेर को नई सीमा बिंदुओं को जोड़कर संकुचित किया जा सकता है जो स्थिर नोडल वक्रों (उनके समरूपताओं के साथ) के अनुरूप होता है। एक वक्र स्थिर होता है यदि इसमें केवल ऑटोमोर्फिज्म का परिमित समूह होता है। परिणामी ढेर को दर्शाया गया है $$\overline{\mathcal{M}}_{g}$$. दोनों मोडुली ढेर वक्रों के सार्वभौमिक परिवारों को ले जाते हैं। चिकने या स्थिर वक्रों के समरूपता वर्गों का प्रतिनिधित्व करने वाले मोटे मोडुली रिक्त स्थान को भी परिभाषित किया जा सकता है। मोडुली स्टैक की धारणा का आविष्कार करने से पहले इन मोटे मॉडुलि रिक्त स्थान का वास्तव में अध्ययन किया गया था। वास्तव में, मोडुली स्टैक के विचार का आविष्कार डेलिग्ने और ममफोर्ड द्वारा किया गया था ताकि मोटे मॉडुलि रिक्त स्थान की प्रोजेक्टिविटी को साबित करने का प्रयास किया जा सके। हाल के वर्षों में, यह स्पष्ट हो गया है कि वक्रों का ढेर वास्तव में अधिक मौलिक वस्तु है।

ऊपर के दोनों स्टैक का आयाम 3g−3 है; इसलिए एक स्थिर नोडल वक्र को पूरी तरह से 3g−3 मापदंडों के मूल्यों को चुनकर निर्दिष्ट किया जा सकता है, जब g> 1. निचले जीनस में, किसी को ऑटोमोर्फिज्म के चिकने परिवारों की उपस्थिति के लिए उनकी संख्या घटाकर हिसाब देना चाहिए। जीनस ज़ीरो का बिल्कुल एक जटिल वक्र है, रीमैन स्फेयर, और इसके समरूपता का समूह पीजीएल (2) है। इसलिए, का आयाम $$\mathcal{M}_0$$ है


 * डिम (जीनस जीरो कर्व्स का स्थान) - डिम (ऑटोमोर्फिज्म का समूह) = 0 - डिम (पीजीएल (2)) = -3।

इसी तरह, जीनस 1 में, घटता का एक आयामी स्थान है, लेकिन इस तरह के प्रत्येक वक्र में ऑटोमोर्फिज्म का एक आयामी समूह होता है। इसलिए, ढेर $$\mathcal{M}_1$$ आयाम 0 है। जी > 1 होने पर स्थूल मॉडुलि रिक्त स्थान का आयाम 3g−3 होता है, क्योंकि जीनस g > 1 के साथ घटता केवल एक परिमित समूह होता है, जैसे कि मंद (ऑटोमोर्फिज्म का एक समूह) = 0। आखिरकार, में जीनस ज़ीरो, मोटे मोडुलि स्पेस का डायमेंशन ज़ीरो है, और जीनस वन में इसका डायमेंशन वन है।

एन चिह्नित बिंदुओं के साथ जीनस जी नोडल कर्व्स के मोडुली स्टैक पर विचार करके भी समस्या को समृद्ध किया जा सकता है। इस तरह के चिह्नित वक्रों को स्थिर कहा जाता है यदि वक्र ऑटोमोर्फिज्म का उपसमूह जो चिह्नित बिंदुओं को ठीक करता है, परिमित है। एन-चिन्हित बिंदुओं के साथ चिकने (या स्थिर) जीनस जी कर्व्स के परिणामी मोडुली स्टैक को निरूपित किया जाता है $$\mathcal{M}_{g,n}$$ (या $$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$$), और आयाम 3g − 3 + n है।

मॉड्यूली स्टैक विशेष रुचि का मामला है $$\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$$ एक चिह्नित बिंदु के साथ जीनस 1 घटता है। यह अण्डाकार वक्रों का ढेर है, और बहुत अध्ययन किए गए मॉड्यूलर रूपों का प्राकृतिक घर है, जो इस स्टैक पर बंडलों के मेरोमोर्फिक खंड हैं।

किस्मों का मोडुली
उच्च आयामों में, बीजगणितीय किस्मों के मॉड्यूल का निर्माण और अध्ययन करना अधिक कठिन होता है। उदाहरण के लिए, ऊपर चर्चित अण्डाकार वक्रों के मॉडुलि स्पेस का उच्च-आयामी एनालॉग एबेलियन किस्मों का मोडुली स्पेस है, जैसे कि सीगल मॉड्यूलर किस्म। यह सील मॉड्यूलर रूप थ्योरी की अंतर्निहित समस्या है। शिमुरा किस्म भी देखें।

न्यूनतम मॉडल कार्यक्रम से उत्पन्न होने वाली तकनीकों का उपयोग करते हुए, जेनोस कोल्लार और निकोलस शेफर्ड-बैरन द्वारा सामान्य प्रकार की किस्मों के मोडुली रिक्त स्थान का निर्माण किया गया, जिसे अब केएसबी मोडुली स्पेस के रूप में जाना जाता है। डिफरेंशियल ज्योमेट्री और बाइरेशनल ज्योमेट्री से एक साथ उत्पन्न होने वाली तकनीकों का उपयोग करते हुए, फैनो किस्मों के मोडुली स्पेस का निर्माण फैनो किस्मों के के-स्थिरता के एक विशेष वर्ग तक सीमित करके हासिल किया गया है। के-स्थिर किस्में। इस सेटिंग में कौचर बिरकर  द्वारा सिद्ध की गई फ़ानो किस्मों की सीमा के बारे में महत्वपूर्ण परिणामों का उपयोग किया जाता है, जिसके लिए उन्हें 2018  फील्ड मेडल  से सम्मानित किया गया था।

कैलाबी-यौ किस्मों के मॉडुलि रिक्त स्थान का निर्माण एक महत्वपूर्ण खुली समस्या है, और केवल विशेष मामले जैसे कि K3 सतह या एबेलियन किस्मों के मोडुली रिक्त स्थान को समझा जाता है।

वेक्टर बंडलों का मॉड्यूल
एक अन्य महत्वपूर्ण मोडुली समस्या मोडुली स्टैक वेक्ट की ज्यामिति (विभिन्न सबस्टैक) को समझना हैn(X) एक निश्चित बीजगणितीय किस्म X पर रैंक n वेक्टर बंडलों का। इस स्टैक का सबसे अधिक अध्ययन तब किया गया है जब X एक-आयामी है, और विशेष रूप से जब n एक के बराबर है। इस मामले में, मोटे मोडुली स्थान पिकार्ड योजना है, जो वक्रों के मोडुली स्थान की तरह ढेर का आविष्कार करने से पहले अध्ययन किया गया था। जब बंडलों की रैंक 1 और डिग्री शून्य होती है, मोटे मॉड्यूलि स्पेस का अध्ययन जैकोबियन किस्म का अध्ययन होता है।

भौतिकी के अनुप्रयोगों में, सदिश बंडलों के मापांकों की संख्या और फाइबर बंडलों के मापांकों की संख्या की निकटता से संबंधित समस्या। मुख्य जी-बंडलों को गेज सिद्धांत में महत्वपूर्ण पाया गया है।

मापांक स्थान का आयतन
सरल जियोडेसिक्स और वील-पीटरसन वॉल्यूम्स ऑफ़ मोडुली स्पेसेस बॉर्डर वाली रीमैन सतहें।

मोडुली स्पेस बनाने की विधियाँ
मोडुली समस्याओं का आधुनिक सूत्रीकरण और मोडुली फंक्शनलर्स (या अधिक सामान्यतः ग्रुपोइड्स में रेशेदार श्रेणी) के संदर्भ में मोडुली स्पेस की परिभाषा, और रिक्त स्थान (लगभग) उनका प्रतिनिधित्व करते हुए, ग्रोथेंडिक (1960/61) में वापस आते हैं, जिसमें उन्होंने वर्णित किया एक उदाहरण के रूप में जटिल विश्लेषणात्मक ज्यामिति में Teichmüller रिक्त स्थान का उपयोग करके सामान्य रूपरेखा, दृष्टिकोण और मुख्य समस्याएं। वार्ता, विशेष रूप से, मॉडुलि रिक्त स्थान के निर्माण की सामान्य विधि का वर्णन करती है, जो पहले विचाराधीन मोडुली समस्या को कठोर करती है।

अधिक सटीक रूप से, वर्गीकृत की जा रही वस्तुओं के गैर-तुच्छ ऑटोमोर्फिज़्म का अस्तित्व एक ठीक मोडुली स्थान को असंभव बना देता है। हालांकि, मूल वस्तुओं को अतिरिक्त डेटा के साथ वर्गीकृत करने की एक संशोधित मोडुली समस्या पर विचार करना अक्सर संभव होता है, इस तरह से चुना जाता है कि पहचान ही एकमात्र ऑटोमोर्फिज्म है जो अतिरिक्त डेटा का भी सम्मान करता है। कठोर डेटा के उपयुक्त विकल्प के साथ, संशोधित मोडुली समस्या में एक (ठीक) मोडुली स्पेस टी होगा, जिसे अक्सर एक उपयुक्त हिल्बर्ट स्कीम या कोट स्कीम की उपयोजना के रूप में वर्णित किया जाता है। कठोर डेटा को इसके अलावा चुना जाता है ताकि यह एक बीजगणितीय संरचना समूह G के साथ एक प्रमुख बंडल से मेल खाता हो। इस प्रकार कोई G की क्रिया द्वारा भागफल लेकर कठोर समस्या से मूल तक वापस जा सकता है, और मॉड्यूलि स्पेस के निर्माण की समस्या एक योजना (या अधिक सामान्य स्थान) खोजने का बन जाता है जो (एक उपयुक्त मजबूत अर्थ में) जी की कार्रवाई से टी का भागफल टी/जी है। अंतिम समस्या, सामान्य रूप से, समाधान स्वीकार नहीं करती है; हालाँकि, इसे 1965 में डेविड ममफोर्ड द्वारा विकसित ग्राउंडब्रेकिंग ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत (GIT) द्वारा संबोधित किया गया है, जो दर्शाता है कि उपयुक्त परिस्थितियों में भागफल वास्तव में मौजूद है।

यह देखने के लिए कि यह कैसे काम कर सकता है, जीनस जी> 2 के चिकनी घटता पैरामीट्रिजिंग की समस्या पर विचार करें। डिग्री डी> 2 जी की एक पूर्ण रैखिक प्रणाली के साथ एक चिकनी वक्र प्रोजेक्टिव स्पेस 'पी' के बंद एक आयामी उप-योजना के बराबर है।डी−जी. नतीजतन, चिकने घटता और रैखिक प्रणालियों (कुछ मानदंडों को पूरा करने वाले) के मोडुली स्थान को पर्याप्त उच्च-आयामी प्रक्षेपी स्थान की हिल्बर्ट योजना में एम्बेड किया जा सकता है। हिल्बर्ट योजना में इस लोकस एच में पीजीएल (एन) की क्रिया है जो रैखिक प्रणाली के तत्वों को मिलाती है; नतीजतन, चिकनी घटता के मापांक स्थान को प्रक्षेप्य सामान्य रैखिक समूह द्वारा H के भागफल के रूप में पुनर्प्राप्त किया जाता है।

एक अन्य सामान्य दृष्टिकोण मुख्य रूप से माइकल आर्टिन के साथ जुड़ा हुआ है। यहाँ विचार यह है कि जिस तरह की वस्तु को वर्गीकृत किया जाना है, उसके साथ शुरू किया जाए और उसके विरूपण सिद्धांत का अध्ययन किया जाए। इसका अर्थ है कि पहले अतिसूक्ष्म विकृति का निर्माण करना, फिर 'पूर्व-प्रतिनिधित्व' प्रमेय को एक औपचारिक योजना आधार पर एक वस्तु में एक साथ रखने की अपील करना। इसके बाद, अलेक्जेंड्रे ग्रोथेंडिक के लिए एक अपील | ग्रोथेंडिक की ग्रोथेंडिक अस्तित्व प्रमेय एक आधार पर वांछित प्रकार की एक वस्तु प्रदान करती है जो एक पूर्ण स्थानीय रिंग है। इस वस्तु को आर्टिन के सन्निकटन प्रमेय के माध्यम से अनुमानित रूप से उत्पन्न अंगूठी पर परिभाषित वस्तु द्वारा अनुमानित किया जा सकता है। इस बाद वाली अंगूठी की एक अंगूठी के स्पेक्ट्रम को वांछित मोडुली स्थान पर एक प्रकार का समन्वय चार्ट देने के रूप में देखा जा सकता है। इन चार्टों को पर्याप्त रूप से एक साथ जोड़कर, हम अंतरिक्ष को कवर कर सकते हैं, लेकिन हमारे स्पेक्ट्रा के मिलन से मॉड्यूलि स्पेस तक का नक्शा सामान्य रूप से एक से कई होगा। इसलिए, हम पूर्व पर एक तुल्यता संबंध को परिभाषित करते हैं; अनिवार्य रूप से, दो बिंदु समतुल्य होते हैं यदि प्रत्येक के ऊपर की वस्तुएं आइसोमॉर्फिक हों। यह एक योजना और एक तुल्यता संबंध देता है, जो एक बीजगणितीय स्थान को परिभाषित करने के लिए पर्याप्त है (वास्तव में एक बीजगणितीय ढेर अगर हम सावधान रहें) यदि हमेशा एक योजना नहीं है।

भौतिकी में
मॉडुलि स्पेस शब्द का प्रयोग कभी-कभी भौतिक विज्ञान में अदिश क्षेत्र के एक सेट के वैक्यूम अपेक्षा मूल्यों के मोडुली स्पेस या संभावित स्ट्रिंग पृष्ठभूमि के मोडुली स्पेस के लिए विशेष रूप से संदर्भित करने के लिए किया जाता है।

मॉडुलि रिक्त स्थान भौतिकी में टोपोलॉजिकल क्षेत्र सिद्धांत में भी दिखाई देते हैं, जहां कोई विभिन्न बीजगणितीय मोडुली रिक्त स्थान के प्रतिच्छेदन संख्या की गणना करने के लिए फेनमैन पथ अभिन्न  का उपयोग कर सकता है।

निर्माण उपकरण

 * हिल्बर्ट योजना
 * भाव योजना
 * विरूपण सिद्धांत
 * जीआईटी भागफल
 * आर्टिन की कसौटी, मोडुली फ़ैक्टरों से बीजगणितीय ढेर के रूप में मोडुली रिक्त स्थान के निर्माण के लिए सामान्य मानदंड

मोडुली स्पेस

 * बीजगणितीय वक्रों का मापांक
 * अण्डाकार वक्रों का मोडुली ढेर
 * फ़ानो किस्मों की के-स्थिरता| के-स्थिर फ़ानो किस्मों के मोडुली स्थान
 * मॉड्यूलर वक्र
 * पिकार्ड फ़ैक्टर
 * कोट स्कीम# एक कर्व पर सेमीटेबल वेक्टर बंडल
 * Kontsevich अंतरिक्ष मॉड्यूल
 * सेमीस्टेबल शीशों का मोडुली

टिप्पणियाँ

 * Moduli theory
 * Moduli stacks in P-adic modular forms and Langlands program

मौलिक कागजात



 * डेविड ममफोर्ड|ममफोर्ड, डेविड, ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत। गणित और उनके सीमावर्ती क्षेत्रों के परिणाम, नई श्रृंखला, वॉल्यूम 34 स्प्रिंगर-वर्लग, बर्लिन-न्यूयॉर्क 1965 vi+145 पीपी
 * ममफोर्ड, डेविड; फोगार्टी, जे.; किरवान, एफ। ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत। तीसरा संस्करण। गणित और संबंधित क्षेत्रों में परिणाम (2) (गणित और संबंधित क्षेत्रों में परिणाम (2)), 34. स्प्रिंगर-वेरलाग, बर्लिन, 1994. xiv+292 पीपी। ISBN 3-540-56963-4

अन्य संदर्भ

 * पापड़ोपोलोस, अथानेसे, संस्करण। (2007), टेचमुलर सिद्धांत की पुस्तिका। वॉल्यूम। मैं, गणित और सैद्धांतिक भौतिकी में आईआरएमए व्याख्यान, 11, यूरोपीय गणितीय सोसायटी (ईएमएस), ज्यूरिख,, ISBN 978-3-03719-029-6,
 * पापड़ोपोलोस, अथानेसे, संस्करण। (2009), टेचमुलर थ्योरी की हैंडबुक। वॉल्यूम। द्वितीय, गणित और सैद्धांतिक भौतिकी में आईआरएमए व्याख्यान, 13, यूरोपीय गणितीय सोसायटी (ईएमएस), ज्यूरिख,, ISBN 978-3-03719-055-5,
 * पापड़ोपोलोस, अथानेसे, संस्करण। (2012), टेचमुलर थ्योरी की हैंडबुक। वॉल्यूम। III, गणित और सैद्धांतिक भौतिकी में IRMA व्याख्यान, 17, यूरोपीय गणितीय सोसायटी (EMS), ज्यूरिख,, ISBN 978-3-03719-103-3.

अन्य लेख और स्रोत





 * मरयम मिर्जाखनी (2007) बॉर्डर वाली रीमैन सतहों के मोडुली स्पेस के सिंपल जियोडेसिक और वेल-पीटर्सन वॉल्यूम गणितीय खोजें
 * मरयम मिर्जाखनी (2007) बॉर्डर वाली रीमैन सतहों के मोडुली स्पेस के सिंपल जियोडेसिक और वेल-पीटर्सन वॉल्यूम गणितीय खोजें