शेफ़र अनुक्रम

गणित में, शेफ़र अनुक्रम या पॉवरॉइड एक बहुपद अनुक्रम है, अर्थात, बहुपदों का अनुक्रम $(p_{n}(x) : n = 0, 1, 2, 3, ...)$ जिसमें प्रत्येक बहुपद का सूचकांक उसकी डिग्री के बराबर होता है, जो कॉम्बिनेटरिक्स में अम्ब्रल कैलकुलस से संबंधित स्थितियों को संतुष्ट करता है। इनका नाम इसाडोर एम. शेफ़र के नाम पर रखा गया है।

परिभाषा
बहुपद अनुक्रम (pn) निश्चित करें। x में बहुपदों पर एक रैखिक ऑपरेटर Q को परिभाषित करें


 * $$Qp_n(x) = np_{n-1}(x)\, .$$

यह सभी बहुपदों पर Q निर्धारित करता है। बहुपद अनुक्रम pn शेफ़र अनुक्रम है यदि रैखिक ऑपरेटर Q अभी परिभाषित शिफ्ट-एक्विवरिएंट है; ऐसा Q तब डेल्टा ऑपरेटर होता है। यहां, हम बहुपदों पर शिफ्ट-एक्विवरिएंट होने के लिए रैखिक ऑपरेटर Q को परिभाषित करते हैं यदि, जब भी f(x) = g(x + a) = Ta g(x) का "शिफ्ट" है, तो g(x), then (Qf)(x) = (Qg)(x + a); यानी, Q हर शिफ्ट ऑपरेटर के साथ आवागमन करता है:TaQ = QTa।

गुण
सभी शेफ़र अनुक्रमों का समुच्चय बहुपद अनुक्रमों की अम्ब्रल संरचना के संचालन के तहत समूह है, जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है. मान लीजिए (pn(x) : n = 0, 1, 2, 3, ...) और (qn(x) : n = 0, 1, 2, 3, ...) बहुपद अनुक्रम हैं, जिनके द्वारा दिया गया है


 * $$p_n(x)=\sum_{k=0}^n a_{n,k}x^k\ \mbox{and}\ q_n(x)=\sum_{k=0}^n b_{n,k}x^k.$$

तब अम्ब्रल संरचना $$p \circ q$$ बहुपद अनुक्रम है जिसका nवाँ पद है


 * $$(p_n\circ q)(x) = \sum_{k=0}^n a_{n,k}q_k(x) = \sum_{0\le \ell \le k \le n} a_{n,k}b_{k,\ell}x^\ell$$

(सबस्क्रिप्ट n pn में दिखाई देता है, क्योंकि यह उस अनुक्रम का n पद है, लेकिन q में नहीं, क्योंकि यह अनुक्रम को उसके किसी एक पद के बजाय संपूर्ण रूप में संदर्भित करता है)।

इस समूह का समरूपता अवयव मानक एकपद आधार है


 * $$e_n(x) = x^n = \sum_{k=0}^n \delta_{n,k} x^k.$$

दो महत्वपूर्ण उपसमूह एपेल अनुक्रमों का समूह हैं, जो वे अनुक्रम हैं जिनके लिए ऑपरेटर Q केवल विभेदन है, और द्विपद प्रकार के अनुक्रमों का समूह, जो वे हैं जो समरूपता को संतुष्ट करते हैं
 * $$p_n(x+y)=\sum_{k=0}^n{n \choose k}p_k(x)p_{n-k}(y).$$

शेफ़र अनुक्रम ( pn(x) : n = 0, 1, 2, ... ) द्विपद प्रकार का है यदि और केवल यदि दोनों


 * $$p_0(x) = 1\,$$

और


 * $$p_n(0) = 0\mbox{ for } n \ge 1. \,$$

एपेल अनुक्रमों का समूह एबेलियन है; द्विपद प्रकार के अनुक्रमों का समूह नहीं है। एपेल अनुक्रमों का समूह सामान्य उपसमूह है; द्विपद प्रकार के अनुक्रमों का समूह नहीं है। शेफ़र अनुक्रमों का समूह एपेल अनुक्रमों के समूह और द्विपद प्रकार के अनुक्रमों के समूह का अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है। यह इस प्रकार है कि एपेल अनुक्रमों के समूह के प्रत्येक कोसेट में द्विपद प्रकार का बिल्कुल अनुक्रम होता है। दो शेफ़र अनुक्रम एक ही ऐसे कोसेट में हैं यदि और केवल यदि ऑपरेटर Q ऊपर वर्णित है - जिसे उस अनुक्रम का "डेल्टा ऑपरेटर" कहा जाता है - दोनों स्थितियों में एक ही रैखिक ऑपरेटर है। (सामान्यतः, डेल्टा ऑपरेटर बहुपदों पर शिफ्ट-एक्विवरिएंट रैखिक ऑपरेटर होता है जो डिग्री को एक से कम कर देता है। यह शब्द एफ. हिल्डेब्रांड के कारण है।)

यदि sn(x) शेफ़र अनुक्रम है और pn(x) द्विपद प्रकार का अनुक्रम है जो समान डेल्टा ऑपरेटर को साझा करता है, तो


 * $$s_n(x+y)=\sum_{k=0}^n{n \choose k}p_k(x)s_{n-k}(y).$$

कभी-कभी शेफ़र अनुक्रम शब्द को ऐसे अनुक्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है जो द्विपद प्रकार के कुछ अनुक्रमों से इस संबंध को रखता है। विशेष रूप से, यदि ( sn(x) ) एपेल अनुक्रम है, तो


 * $$s_n(x+y)=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^ks_{n-k}(y).$$

हर्मिट बहुपदों का अनुक्रम, बर्नौली बहुपदों का अनुक्रम, और एकपदी ( xn : n = 0, 1, 2, ... ) एपेल अनुक्रमों के उदाहरण हैं।

शेफ़र अनुक्रम pn को इसके घातीय जनरेटिंग फ़ंक्शन की विशेषता है


 * $$ \sum_{n=0}^\infty \frac{p_n(x)}{n!} t^n = A(t) \exp(x B(t)) \, $$

जहाँ A और B t में (औपचारिक) शक्ति श्रृंखला हैं। शेफ़र अनुक्रम इस प्रकार सामान्यीकृत एपेल बहुपदों के उदाहरण हैं और इसलिए इनसे संबंधित पुनरावृत्ति संबंध है।

उदाहरण
शेफ़र अनुक्रम वाले बहुपद अनुक्रमों के उदाहरणों में सम्मिलित हैं:
 * हाबिल बहुपद;
 * बर्नौली बहुपद;
 * यूलर बहुपद;
 * केंद्रीय तथ्यात्मक बहुपद;
 * हर्माइट बहुपद;
 * लैगुएरे बहुपद;
 * एकपदी (xn : n = 0, 1, 2, ... );
 * मॉट बहुपद;
 * दूसरे प्रकार के बर्नौली बहुपद;
 * अवरोही और आरोही फैक्टरियल;
 * लैगुएरे बहुपद;
 * टचर्ड बहुपद;
 * मिट्टाग-लेफ़लर बहुपद;

संदर्भ

 * Reprinted in the next reference.
 * Reprinted by Dover, 2005.
 * Reprinted by Dover, 2005.
 * Reprinted by Dover, 2005.