उपव्युत्पन्न

गणित में, सब यौगिक, सबग्रेडिएंट और सबडिफरेंशियल व्युत्पन्न को उत्तल फलन के लिए सामान्यीकृत करते हैं जो आवश्यक रूप से भिन्न कार्य नहीं होते हैं। उत्तल विश्लेषण में उप-व्युत्पन्न उत्पन्न होते हैं, उत्तल फलन का अध्ययन, अक्सर उत्तल अनुकूलन के संबंध में उपयोग किया जाता है।

माना $$f:I \to \mathbb{R}$$ वास्तविक रेखा के संवृत अंतराल पर परिभाषित वास्तविक संख्या-मूल्यवान उत्तल फलन बनें थे। ऐसे फलन को सभी बिंदुओं पर भिन्न होने की आवश्यकता नहीं है: उदाहरण के लिए, निरपेक्ष मान फलन $$f(x)=|x|$$ जब यह गैर-विभेदित $$x=0$$ होता है चूँकि, जैसा कि दाईं ओर के ग्राफ़ में देखा गया है (जहाँ $$f(x)$$ नीले रंग में निरपेक्ष मान फलन के समान गैर-विभेदित किंक हैं), किसी के लिए $$x_0$$ फलन के डोमेन में कोई रेखा खींच सकता है जो बिंदु $$(x_0,f(x_0))$$ से होकर जाती है और जो प्रत्येक समिष्ट या तो एफ के ग्राफ को छू रहा है या नीचे है। ऐसी रेखा की स्लोप को उप-व्युत्पन्न कहा जाता है।

परिभाषा
कठोरता से, उत्तल फलन का उपव्युत्पन्न $$f:I \to \mathbb{R}$$ बिंदु पर $$x_0$$ संवृत अंतराल में $$I$$ वास्तविक संख्या $$c$$ है ऐसा है कि $$f(x)-f(x_0)\ge c(x-x_0)$$ सभी के लिए $$x\in I$$. माध्य मान प्रमेय के व्युत्क्रम द्वारा, उपअवकलजों का समुच्चय (गणित) $$x_0$$ उत्तल फलन के लिए खाली समुच्चय विवृत अंतराल है $$[a,b]$$, जहाँ $$a$$ और $$b$$ एकतरफ़ा सीमाएँ हैं $$a=\lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},$$$$b=\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$ समुच्चय $$[a,b]$$ सभी उपअवकलन को फलन $$f$$ पर $$x_0$$, द्वारा चिह्नित $$\partial f(x_0)$$ का उपविभेदक कहा जाता है. यदि $$f$$ उत्तल है, तो किसी भी बिंदु पर इसका उपविभेदक गैर-रिक्त है। इसके अतिरिक्त, यदि यह उपविभेदक $$x_0$$ है इसमें बिल्कुल उप-व्युत्पन्न सम्मिलित है इस प्रकार $$\partial f(x_0)=\{f'(x_0)\}$$ और $$f$$ पर भिन्न $$x_0$$ है

उदाहरण
फलन $$f(x)=|x|$$ पर विचार करें जो उत्तल है. फिर $$[-1,1]$$ मूल पर उपविभेदक अंतराल है. किसी भी बिंदु पर उपविभेदक $$x_0<0$$ सिंगलटन समुच्चय $$\{-1\}$$ है, जबकि किसी भी बिंदु पर उपविभेदक $$x_0>0$$ सिंगलटन समुच्चय $$\{1\}$$ है यह साइन फलन के समान है, किन्तु एकल-मूल्यवान $$0$$ नहीं है , इसके अतिरिक्त सभी संभावित उप-व्युत्पन्न सम्मिलित हैं।

गुण

 * एक उत्तल कार्य $$f:I\to\mathbb{R}$$ पर भिन्न $$x_0$$ है यदि और केवल यदि उपविभेदक सिंगलटन समुच्चय है, जो $$\{f'(x_0)\}$$ है.
 * एक बिंदु $$x_0$$ उत्तल फलन का वैश्विक न्यूनतम $$f$$ है यदि और केवल यदि शून्य उपविभेदक में निहित है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त चित्र में, कोई ग्राफ़ के लिए क्षैतिज उपस्पर्शरेखा $$f$$ पर $$(x_0,f(x_0))$$ रेखा खींच सकता है यह अंतिम गुण इस तथ्य का सामान्यीकरण है कि समिष्टीय न्यूनतम पर अवकलनीय फलन का व्युत्पन्न शून्य है।
 * यदि $$f$$ और $$g$$ उपविभेदकों के साथ उत्तल फलन हैं इस प्रकार $$\partial f(x)$$ और $$\partial g(x)$$ साथ $$x$$ कार्यों में से किसी का आंतरिक बिंदु होते है, फिर उपविभेदक $$f + g$$ है $$\partial(f + g)(x) = \partial f(x) + \partial g(x)$$ (जहां अतिरिक्त ऑपरेटर मिन्कोव्स्की योग को दर्शाता है)। इसे इस प्रकार पढ़ा जाता है कि किसी योग का उपअंतर, उपविभेदकों का योग होता है।

उपग्रेडिएंट
उप-व्युत्पन्न और उप-अंतर की अवधारणाओं को कई चर के कार्यों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। यदि $$f:U\to\mathbb{R}$$ यूक्लिडियन समिष्ट में उत्तल समुच्चय खुला समुच्चय पर परिभाषित वास्तविक-मूल्यवान उत्तल फलन $$\mathbb{R}^n$$ है, वेक्टर $$ v$$ उस समिष्ट को उपग्रेडिएंट $$x_0\in U$$ कहा जाता है यदि किसी के लिए $$x\in U$$ के पास वह है
 * $$f(x)-f(x_0)\ge v\cdot (x-x_0),$$

जहां डॉट डॉट उत्पाद को दर्शाता है। सभी उपग्रेडिएंट्स का समुच्चय $$x_0$$ x0 पर उपविभेदक कहा जाता है और $$\partial f(x_0)$$ द्वारा दर्शाया गया है. उपविभेदक सदैव गैर-रिक्त उत्तल कॉम्पैक्ट समुच्चय होता है।

ये अवधारणाएँ उत्तल कार्यों $$f:U\to\mathbb{R}$$ को और अधिक सामान्यीकृत करती हैं समिष्टीय रूप से उत्तल समिष्ट में उत्तल समुच्चय पर $$V$$. कार्यात्मक $$v^*$$ दोहरे समिष्ट में $$V^*$$ को उपग्रेडिएंट $$x_0$$ $$U$$ कहा जाता है यदि सभी के लिए $$x\in U$$,
 * $$f(x)-f(x_0)\ge v^*(x-x_0).$$

सभी उपग्रेडिएंट्स का समुच्चय $$x_0$$ पर उपविभेदक $$x_0$$ कहा जाता है और फिर $$\partial f(x_0)$$ से दर्शाया गया है. उपविभेदक सदैव उत्तल विवृत समुच्चय होता है। यह खाली समुच्चय हो सकता है; उदाहरण के लिए अनबाउंड ऑपरेटर पर विचार करें, जो उत्तल है, किन्तु उसका कोई सबग्रेडिएंट नहीं है। यदि $$f$$ सतत है, उपविभेदक अरिक्त है।

इतिहास
उत्तल कार्यों पर उपविभेदक की प्रारंभ 1960 के दशक की प्रारंभ में जीन-जैक्स मोरो और आर. टायरेल रॉकफेलर द्वारा की गई थी। गैर-उत्तल कार्यों के लिए सामान्यीकृत उपविभेदक एफ.एच. क्लार्क और आर.टी. द्वारा प्रस्तुत किया गया था। 1980 के दशक की प्रारंभ में रॉकफेलर आया था।

यह भी देखें

 * अशक्त व्युत्पन्न
 * उपग्रेडिएंट विधि

संदर्भ
== बाहरी संबंध                                                                                                                                                                                                                    ==