द्रव का आयतन विधि

कम्प्यूटेशनल द्रव गतिकी में, द्रव की मात्रा (वीओएफ) विधि एक मुक्त-सतह मॉडलिंग तकनीक है, यानी मुक्त सतह (या द्रव इंटरफ़ेस | द्रव-द्रव इंटरफ़ेस) को ट्रैक करने और पता लगाने के लिए एक संख्यात्मक विधि। यह यूलेरियन विधियों के वर्ग से संबंधित है जो एक बहुभुज जाल की विशेषता है जो या तो स्थिर है या इंटरफ़ेस के विकसित आकार को समायोजित करने के लिए एक निश्चित निर्धारित तरीके से चल रहा है। जैसे, वीओएफ एक संवहन योजना है - एक संख्यात्मक नुस्खा जो प्रोग्रामर को इंटरफ़ेस के आकार और स्थिति को ट्रैक करने की अनुमति देता है, लेकिन यह एक स्टैंडअलोन प्रवाह समाधान एल्गोरिदम नहीं है। प्रवाह की गति का वर्णन करने वाले नेवियर-स्टोक्स समीकरणों को अलग से हल करना होगा। यही बात अन्य सभी संवहन एल्गोरिदम के लिए भी लागू होती है।

इतिहास
द्रव विधि की मात्रा पहले की मार्कर-और-सेल विधि|मार्कर-और-सेल (एमएसी) विधियों पर आधारित है। जिसे अब वीओएफ के नाम से जाना जाता है उसका पहला विवरण 1976 में नोह और वुडवर्ड द्वारा दिया गया था, जहां अंश कार्य करता है $$C$$ (नीचे देखें) प्रकाशित हुआ, हालाँकि जर्नल में पहला प्रकाशन 1981 में हर्ट और निकोल्स द्वारा किया गया था। चूंकि वीओएफ पद्धति ने कंप्यूटर भंडारण आवश्यकताओं को कम करके मैक को पीछे छोड़ दिया, इसलिए यह जल्दी ही लोकप्रिय हो गई। प्रारंभिक अनुप्रयोगों में टॉरे एट अल शामिल हैं। लॉस अलामोस राष्ट्रीय प्रयोगशाला  से, जिन्होंने नासा के लिए वीओएफ कोड बनाए (1985,1987)। वीओएफ का पहला कार्यान्वयन अपूर्ण इंटरफ़ेस विवरण से ग्रस्त था, जिसे बाद में पीसवाइज़-लीनियर इंटरफ़ेस कैलकुलेशन (पीएलआईसी) योजना शुरू करके ठीक किया गया था। पीएलआईसी के साथ वीओएफ का उपयोग करना एक समकालीन मानक है, जिसका उपयोग फ्लो साइंस, इंक.|फ्लो-3डी, गेरिस (सॉफ्टवेयर), फ्लुएंट, इंक., ओपन फ़ोम, सिमसेंटर स्टार-सीसीएम+ और कन्वर्जेंट साइंस जैसे कई कंप्यूटर कोड में किया जाता है।

अवलोकन
यह विधि तथाकथित भिन्न फलन के विचार पर आधारित है $$C$$. यह एक अदिश फ़ंक्शन है, जिसे नियंत्रण मात्रा में तरल पदार्थ के संकेतक फ़ंक्शन के अभिन्न अंग के रूप में परिभाषित किया गया है, अर्थात् एक कम्प्यूटेशनल नियमित ग्रिड सेल की मात्रा। प्रत्येक तरल पदार्थ का आयतन अंश कम्प्यूटेशनल ग्रिड में प्रत्येक कोशिका के माध्यम से ट्रैक किया जाता है, जबकि सभी तरल पदार्थ गति समीकरणों का एक सेट साझा करते हैं, यानी प्रत्येक स्थानिक दिशा के लिए एक। सेल-वॉल्यूम औसत परिप्रेक्ष्य से, जब कोई सेल ट्रैक किए गए चरण से खाली होता है, तो का मान $$C$$ शून्य है; जब सेल ट्रैक किए गए चरण से भरा होता है, $$C=1$$; और जब सेल में ट्रैक किए गए और गैर-ट्रैक किए गए वॉल्यूम के बीच एक इंटरफ़ेस होता है, $$ 0 < C < 1$$. एक स्थानीय बिंदु के परिप्रेक्ष्य से जिसमें कोई आयतन नहीं है, $$C$$ यह एक असंतत कार्य है, जब स्थानीय बिंदु गैर-ट्रैक से ट्रैक किए गए चरण में चला जाता है, तो इसका मान 0 से बढ़कर 1 हो जाता है। द्रव इंटरफ़ेस की सामान्य दिशा वहां पाई जाती है जहां का मान होता है $$C$$ सबसे तेजी से बदलता है. इस पद्धति के साथ, मुक्त-सतह को स्पष्ट रूप से परिभाषित नहीं किया जाता है, बल्कि इसे कोशिका की ऊंचाई पर वितरित किया जाता है। इस प्रकार, सटीक परिणाम प्राप्त करने के लिए, स्थानीय ग्रिड परिशोधन करना होगा। शोधन मानदंड सरल है, कोशिकाओं के साथ $$ 0<C<1 $$ परिष्कृत करना होगा. इसके लिए एक विधि, जिसे मार्कर और माइक्रो-सेल विधि के रूप में जाना जाता है, 1997 में राड और उनके सहयोगियों द्वारा विकसित की गई है। का विकास $$m$$-एक सिस्टम में द्रव पर $$n$$ तरल पदार्थ परिवहन समीकरण द्वारा नियंत्रित होते हैं (वास्तव में वही समीकरण जिसे स्तर-निर्धारित विधि दूरी फ़ंक्शन द्वारा पूरा किया जाना है) $$\phi$$):


 * $$ \frac{\partial C_{m}}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla C_{m} =0,$$

निम्नलिखित बाधा के साथ


 * $$ \sum_{m=1}^{n} C_{m} = 1 $$,

यानी, तरल पदार्थों का आयतन स्थिर है। प्रत्येक कोशिका के लिए, घनत्व जैसे गुण $$ \rho $$ कोशिका में सभी तरल पदार्थों के आयतन अंश औसत द्वारा गणना की जाती है


 * $$ \rho=\sum_{m=1}^{n} \rho_{m} C_{m}.$$

फिर इन गुणों का उपयोग डोमेन के माध्यम से एकल गति समीकरण को हल करने के लिए किया जाता है, और प्राप्त वेग क्षेत्र को तरल पदार्थों के बीच साझा किया जाता है।

वीओएफ विधि कम्प्यूटेशनल रूप से अनुकूल है, क्योंकि यह केवल एक अतिरिक्त समीकरण पेश करती है और इस प्रकार न्यूनतम भंडारण की आवश्यकता होती है। इस पद्धति की विशेषता अत्यधिक गैर-रेखीय समस्याओं से निपटने की इसकी क्षमता भी है जिसमें मुक्त सतह तीव्र टोपोलॉजिकल परिवर्तनों का अनुभव करती है। वीओएफ विधि का उपयोग करके, कोई सतह-ट्रैकिंग विधियों द्वारा उपयोग किए जाने वाले जटिल जाल विरूपण एल्गोरिदम के उपयोग से भी बच सकता है। इस विधि से जुड़ी प्रमुख कठिनाई मुक्त सतह पर धब्बा लगाना है। यह समस्या परिवहन समीकरण के अत्यधिक प्रसार से उत्पन्न होती है।

विवेकीकरण
मुक्त सतह पर धब्बा लगने से बचने के लिए, परिवहन समीकरण को अत्यधिक प्रसार के बिना हल करना होगा। इस प्रकार, वीओएफ विधि की सफलता काफी हद तक संवहन के लिए उपयोग की जाने वाली योजना पर निर्भर करती है $$C$$ मैदान। किसी भी चुनी गई योजना को इस तथ्य से निपटने की जरूरत है $$C$$ उदाहरण के विपरीत, असंतत है दूरी समारोह $$\phi$$ लेवल-सेट_मेथड | में उपयोग किया जाता है लेवल-सेट विधि.

जबकि पहले क्रम की अपविंड योजना इंटरफ़ेस को खराब कर देती है, उसी क्रम की डाउनविंड योजना गलत वितरण समस्या का कारण बनेगी जो ग्रिड लाइन के साथ प्रवाह उन्मुख नहीं होने की स्थिति में अनियमित व्यवहार का कारण बनेगी। चूँकि ये निचले-क्रम की योजनाएँ गलत हैं, और उच्च-क्रम की योजनाएँ अस्थिर हैं और दोलनों को प्रेरित करती हैं, ऐसी योजनाओं को विकसित करना आवश्यक हो गया है जो मुक्त-सतह को तेज रखने के साथ-साथ मोनोटोनिक प्रोफाइल भी तैयार करती हैं। $$C$$. पिछले कुछ वर्षों में, संवहन के इलाज के लिए विभिन्न तरीकों का विकास किया गया है। हर्ट द्वारा मूल वीओएफ-लेख में, एक दाता-स्वीकर्ता योजना नियोजित की गई थी। इस योजना ने कंप्रेसिव डिफरेंसिंग योजनाओं के लिए आधार बनाया।

वीओएफ के इलाज के लिए विभिन्न तरीकों को मोटे तौर पर तीन श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है, अर्थात् दाता-स्वीकर्ता फॉर्मूलेशन, उच्च क्रम भिन्न योजनाएं और लाइन तकनीक।

दाता-स्वीकर्ता योजनाएं
दाता-स्वीकर्ता योजना दो मूलभूत मानदंडों पर आधारित है, अर्थात् सीमा मानदंड और उपलब्धता मानदंड। पहला बताता है कि का मूल्य $$C$$ शून्य और एक के बीच सीमित होना होगा। बाद वाला मानदंड यह सुनिश्चित करता है कि एक समय चरण के दौरान चेहरे पर संवहित द्रव की मात्रा दाता कोशिका में उपलब्ध मात्रा से कम या उसके बराबर है, यानी, वह कोशिका जहां से द्रव स्वीकर्ता कोशिका में प्रवाहित हो रहा है। अपने मूल काम में, हर्ट ने इसे एक मिश्रित योजना के साथ व्यवहार किया जिसमें नियंत्रित डाउनवाइंडिंग और अपवाइंडिंग भिन्नता शामिल थी।

उच्च क्रम अंतर योजनाएं
उच्च क्रम भिन्न योजनाओं में, जैसा कि नाम से पता चलता है, संवहन परिवहन समीकरण को उच्च क्रम या मिश्रित भिन्न योजनाओं के साथ विभेदित किया जाता है। इस तरह के तरीकों में आर्बिट्रेरी मेशेज के लिए कंप्रेसिव इंटरफ़ेस कैप्चरिंग स्कीम (CICSAM) शामिल है। और उच्च रिज़ॉल्यूशन इंटरफ़ेस कैप्चरिंग (HRIC) योजना, जो दोनों लियोनार्ड द्वारा सामान्यीकृत परिवर्तनीय आरेख (एनवीडी) पर आधारित हैं।

ज्यामितीय पुनर्निर्माण तकनीक
लाइन तकनीकें सेल में इंटरफ़ेस को स्पष्ट रूप से ट्रैक न करके परिवहन समीकरण के विवेकीकरण से जुड़ी समस्याओं को दूर करती हैं। इसके बजाय, एक इंटरफ़ेस सेल में द्रव वितरण पड़ोसी कोशिकाओं के वॉल्यूम अंश वितरण का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है। 1976 से नोह और वुडवर्ड द्वारा सरल रेखा इंटरफ़ेस गणना (एसएलआईसी)। इंटरफ़ेस के पुनर्निर्माण के लिए एक सरल ज्यामिति का उपयोग करता है। प्रत्येक कोशिका में इंटरफ़ेस को समन्वय अक्षों में से एक के समानांतर एक रेखा के रूप में अनुमानित किया जाता है और क्रमशः क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर आंदोलनों के लिए अलग-अलग द्रव विन्यास ग्रहण करता है। आज व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली तकनीक यंग्स द्वारा पीसवाइज़ लीनियर इंटरफ़ेस कैलकुलेशन है। PLIC इस विचार पर आधारित है कि इंटरफ़ेस को एक लाइन के रूप में दर्शाया जा सकता है $R^{2}$ या एक समतल (ज्यामिति) में $R^{3}$; बाद वाले मामले में हम इंटरफ़ेस का वर्णन इस प्रकार कर सकते हैं:


 * $$\mathbf{n}_x+\mathbf{n}_y+\mathbf{n}_z=\alpha,$$

कहाँ $$\mathbf{n}$$ इंटरफ़ेस के लिए एक वेक्टर सामान्य है। सामान्य के घटक पाए जाते हैं जैसे परिमित अंतर विधि या न्यूनतम वर्ग अनुकूलन के साथ इसके संयोजन का उपयोग करके। मुक्त अवधि $$\alpha$$ फिर कम्प्यूटेशनल सेल के भीतर बड़े पैमाने पर संरक्षण को लागू करके (विश्लेषणात्मक रूप से या अनुमानित रूप से) पाया जाता है। एक बार इंटरफ़ेस का विवरण स्थापित हो जाने पर, संवहन समीकरण $$C$$ का प्रवाह ज्ञात करने जैसी ज्यामितीय तकनीकों का उपयोग करके हल किया जाता है $$C$$ ग्रिड कोशिकाओं के बीच, या द्रव वेग के अलग-अलग मूल्यों का उपयोग करके इंटरफ़ेस के अंतिम बिंदुओं को आगे बढ़ाना।

इंटरफ़ेस कैप्चर समस्याएँ
दो-चरण प्रवाह में, जिसमें दो चरणों के गुण काफी भिन्न होते हैं, इंटरफ़ेस पर सतह तनाव बल की गणना में त्रुटियां फ्रंट-कैप्चरिंग विधियों जैसे द्रव की मात्रा (वीओएफ) और स्तर-सेट विधि | स्तर- का कारण बनती हैं। इंटरफेशियल नकली धाराओं को विकसित करने के लिए सेट विधि (एलएस)। ऐसे प्रवाहों को बेहतर ढंग से हल करने के लिए, ऐसे नकली धाराओं को कम करने के लिए विशेष उपचार की आवश्यकता होती है। कुछ अध्ययनों ने लेवल-सेट विधि और द्रव विधियों की मात्रा को मिलाकर इंटरफ़ेस ट्रैकिंग में सुधार करने पर ध्यान दिया है, जबकि कुछ अन्य ने स्मूथनिंग लूप जोड़कर या संपत्ति औसत तकनीकों में सुधार करके संख्यात्मक समाधान एल्गोरिदम में सुधार करने पर ध्यान दिया है।

यह भी देखें
स्टोकेस्टिक यूलेरियन लैग्रेंजियन विधि विधि
 * निमज्जित सीमा विधि
 * लेवल-सेट विधि
 * स्लोशिंग