व्युत्पन्न बीजगणितीय ज्यामिति

व्युत्पन्न बीजगणितीय ज्यामिति गणित की एक शाखा है जो बीजगणितीय ज्यामिति को ऐसी स्थिति में सामान्यीकृत करती है जहां क्रमविनिमेय वलय, जो स्थानीय चार्ट प्रदान करते हैं, या तो अवकल क्रमिक बीजगणित $$\mathbb{Q}$$ से अधिक, साधारण क्रमविनिमेय वलय या $$E_{\infty}$$ द्वारा प्रतिस्थापित किए जाते हैं। बीजगणितीय सांस्थिति से वलय दीप्ति रेखाएं, जिसके उच्च समस्थेयता समूह संरचना शीफ की गैर-विसंगतता (जैसे, टोर) के लिए अधीन हैं। ग्रोथेंडिक की योजना सिद्धांत संरचना शीफ को शून्यंभावी अवयव को ले जाने की स्वीकृति देता है। व्युत्पन्न बीजगणितीय ज्यामिति को इस विचार के विस्तार के रूप में माना जा सकता है और अन्य अनुप्रयोगों के बीच विरूपण सिद्धांत (सीएफ जे फ्रांसिस) में विशिष्ट बीजगणितीय किस्मों और कोटिस्पर्शी सम्मिश्रों के प्रतिच्छेदन सिद्धांत (या प्रेरक समस्थेयता सिद्धांत ) के लिए प्राकृतिक समायोजन प्रदान करता है।

परिचय
क्षेत्र में अध्ययन की मूल वस्तुएं व्युत्पन्न योजनाएं और व्युत्पन्न चित्ति हैं। प्रायः उद्धृत प्रयोजन सेरे का प्रतिच्छेदन सूत्र है। सामान्य सूत्रीकरण में, सूत्र में टोर फलन-निर्धारक सम्मिलित होता है और इस प्रकार, जब तक उच्च टोर नष्ट नहीं हो जाता, तब तक योजना-सैद्धांतिक प्रतिच्छेदन (अर्थात, संलयन के सूत्र गुणनफल) सही प्रतिच्छेदन संख्या नहीं देते हैं। व्युत्पन्न संदर्भ में, कोई व्युत्पन्न प्रदिश गुणनफल $$A \otimes^L B$$ लेता है, जिसका उच्च समस्थेयता उच्चतम टोर है, जिसका विनिर्देश एक योजना नहीं बल्कि एक व्युत्पन्न योजना है। इसलिए, व्युत्पन्न सूत्र गुणनफल सही प्रतिच्छेदन संख्या देता है। वर्तमान में यह काल्पनिक है व्युत्पन्न प्रतिच्छेदन सिद्धांत को अभी विकसित किया जाना है।

व्युत्पन्न शब्द का उपयोग उसी तरह से किया जाता है जैसे कि व्युत्पन्न फलन-निर्धारक या व्युत्पन्न श्रेणी, इस अर्थ में कि क्रमविनिमेय वलयों की श्रेणी को व्युत्पन्न वलयों की ∞-श्रेणी से प्रतिस्थापित किया जा रहा है। उत्कृष्ट बीजगणितीय ज्यामिति में, अर्ध-सुसंगत चित्ति की व्युत्पन्न श्रेणी को त्रिकोणीय श्रेणी के रूप में देखा जाता है, लेकिन इसमें एक स्थिर ∞-श्रेणी में प्राकृतिक वृद्धि होती है, जिसे एक एबेलियन श्रेणी के ∞-श्रेणीबद्ध एनालॉग के रूप में माना जा सकता है।

परिभाषाएँ
व्युत्पन्न बीजगणितीय ज्यामिति मूल रूप से होमोलॉजिकल (समरूप) बीजगणित और समस्थेयता का उपयोग करके ज्यामितीय वस्तुओं का अध्ययन है। चूंकि इस क्षेत्र में वस्तुओं को समरूपता और समस्थेयता जानकारी को सांकेतिक शब्दों में बदलना चाहिए, इसलिए व्युत्पन्न समष्‍टियो के बारे में विभिन्न धारणाएं हैं। व्युत्पन्न बीजगणितीय ज्यामिति में अध्ययन की मूल वस्तुएँ व्युत्पन्न योजनाएँ हैं, और अधिक सामान्यतः, व्युत्पन्न चित्ति हैं। स्वाभाविक रूप से, व्युत्पन्न योजनाओं को व्युत्पन्न वलयों की कुछ श्रेणी से लेकर समुच्चय की श्रेणी तक फलन-निर्धारक होना चाहिए
 * $$F: \text{DerRings} \to \text{Sets}$$

जिसे उच्च समूह के क्षेत्रों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है जो कि समस्थेयता प्रकारों द्वारा तैयार किए जाने की अपेक्षा है। ये व्युत्पन्न चित्ति प्ररूप के उपयुक्त कारक हैं
 * $$F: \text{DerRings} \to \text{HoT}$$

कई लेखक ऐसे फलन-निर्धारको को सरलीकृत समुच्चय में मानो के साथ फलन-निर्धारक के रूप में मॉडल करते हैं, क्योंकि वे समस्थेयता प्रकारों का मॉडल करते हैं और अच्छी तरह से अध्ययन किए जाते हैं। इन व्युत्पन्न स्थानों पर अलग-अलग परिभाषाएँ इस बात पर निर्भर करती हैं कि व्युत्पन्न वलय क्या हैं, और समस्थेयता प्रकार क्या दिखना चाहिए। व्युत्पन्न रिंगों के कुछ उदाहरणों में क्रमविनिमेय अवकल वर्गीकृत बीजगणित, प्रतिसमुच्‍चीय वलय और $$E_\infty$$-वलय सम्मिलित है।

विशिष्ट 0 पर व्युत्पन्न ज्यामिति
विशिष्ट 0 से अधिक व्युत्पन्न ज्यामिति सहमत हैं क्योंकि व्युत्पन्न वलय समान हैं। और $$E_\infty$$ बीजगणित विशिष्ट शून्य पर केवल क्रमविनिमेय अवकल वर्गीकृत बीजगणित हैं। फिर हम व्युत्पन्न योजनाओं को बीजगणितीय ज्यामिति में योजनाओं के समान परिभाषित कर सकते हैं। बीजगणितीय ज्यामिति के समान, हम इन वस्तुओं को एक युग्म $$(X,\mathcal{O}_X^\bullet)$$ के रूप में भी देख सकते हैं, जो क्रमविनिमेय अवकल वर्गीकृत बीजगणित के समूह के साथ सांस्थितिक समष्टि $$X$$ है। कभी-कभी लेखक यह मानते हैं कि ये ऋणात्मक रूप से वर्गीकृत हैं, इसलिए $$\mathcal{O}_X^{n} = 0$$ के लिए $$n > 0$$ होता है। शीफ की स्थिति को भी दुर्बल किया जा सकता है ताकि $$X$$ के कवर $$U_i$$ के लिए चक्रिका $$\mathcal{O}_{U_i}^\bullet$$ केवल अर्ध-समरूपता द्वारा $$U_{ij}$$ अतिछादन पर जोड़ेगा।

दुर्भाग्य से, विशेष p पर, अवकल वर्गीकृत बीजगणित इस तथ्य $$d[x^p] = p[x^{p-1}]$$ के कारण समस्थेयता सिद्धांत के लिए निम्न काम करते हैं। प्रतिसमुच्‍चीय बीजगणित का उपयोग करके इसे दूर किया जा सकता है।

यादृच्छिक विशेषता पर व्युत्पन्न ज्यामिति
यादृच्छिक विशेषता पर व्युत्पन्न वलयों को सरल श्रेणीबद्ध गुणों के कारण साधारण क्रमविनिमेय वलय के रूप में लिया जाता है। विशेष रूप से, साधारण वलय की श्रेणी सरल रूप से समृद्ध होती है, जिसका अर्थ है कि होम-समुच्चय स्वयं सरल समुच्चय होते हैं। इसके अतिरिक्त, साधारण समुच्चय से आने वाले साधारण क्रमविनिमेय वलयों पर एक प्रामाणिक मॉडल संरचना है। वास्तव में, यह क्विलेन का एक प्रमेय है कि सरल समुच्चय पर मॉडल संरचना को साधारण क्रमविनिमेय वलयों में स्थानांतरित किया जा सकता है।

उच्चतम राशि
यह अनुमान लगाया गया है कि उच्च चित्ति का एक अंतिम सिद्धांत है जो समस्थेयता परिकल्पना का मॉडल है। ग्रोथेंडिक ने अनुमान लगाया कि इन्हें वलयित समूह, या उनकी परिभाषा के दुर्बल रूप से तैयार किया जाएगा। सिम्पसन ग्रोथेंडिक के विचारों की मनोवृति में एक उपयोगी परिभाषा देता है। याद रखें कि एक बीजगणितीय चित्ति (यहां 1-चित्ति) को प्रतिनिधित्व योग्य कहा जाता है यदि किन्हीं दो योजनाओं का सूत्र गुणनफल एक योजना के लिए समरूपी है। यदि हम यह मान लें कि 0-चित्ति केवल एक बीजगणितीय समष्टि है और 1-राशि केवल एक राशि है, तो हम पुनरावर्ती रूप से एक n- राशि को एक वस्तु के रूप में परिभाषित कर सकते हैं जैसे कि किसी भी दो योजनाओं के साथ सूत्र गुणनफल एक (n-1)-स्टैक है। यदि हम बीजगणितीय राशि की परिभाषा पर वापस जाते हैं, तो यह नई परिभाषा सहमत होती है।

वर्णक्रमीय योजनाएं
व्युत्पन्न बीजगणितीय ज्यामिति का एक अन्य सिद्धांत वर्णक्रमीय योजनाओं के सिद्धांत द्वारा समझाया गया है। परिशुद्ध स्थिति के लिए उनकी परिभाषा के लिए उपयुक्त मात्रा में प्रौद्योगिकी की आवश्यकता होती है। लेकिन, संक्षेप में, वर्णक्रमीय योजनाएँ $$X = (\mathfrak{X},\mathcal{O}_{\mathfrak{X}})$$ एक वर्णक्रमीय रूप से $$\infty$$- सांस्थितिक $$\mathfrak{X}$$ एक साथ $$\mathbb{E}_\infty$$-वलय के एक शीफ के साथ $$\mathcal{O}_{\mathfrak{X}}$$ वलय द्वारा दिया जाता है। इस पर एफ़िन योजनाओं की परिभाषा के समान कुछ स्थानीय स्थितियों के अधीन होती है। विशेष रूप से

इसके अतिरिक्त, यदि $$\pi_i(\mathcal{O}_{\mathfrak{X}}) = 0$$ के लिए $$i < 0$$ तो वर्णक्रमीय योजना $$X$$ को संयोजक कहा जाता है।
 * 1) $$\mathfrak{X} \cong \text{Shv}(X_{top})$$ को कुछ सांस्थितिक समष्टि के $$\infty$$ सांस्थितिक के समतुल्य होना चाहिए।
 * 2) $$U_i$$ का एक आच्छादन $$X_{top}$$ सम्मिलित होना चाहिए। जैसे कि प्रेरित शीर्ष $$(\mathfrak{X}_{U_i}, \mathcal{O}_{\mathfrak{X}_{U_i}})$$ एक वर्णक्रमीय रूप से वलयित टोपोस $$\text{Spec}(A_i)$$ के समतुल्य है। कुछ के लिए $$\mathbb{E}_\infty$$-वलय $$A_i$$ के समतुल्य होता है।

उदाहरण
स्मरण करो कि एक बिंदु $$\text{Sh}(*)$$ का टोपोस समुच्चयों की श्रेणी के बराबर है। फिर, $$\infty$$-टॉपोस समुच्चयन में, हम इसके अतिरिक्त $$\infty$$-शेव के $$\infty$$-ग्रुपोइड्स (जो हैं $$\infty$$-श्रेणियाँ समान वस्तु के साथ) विचार करते हैं, जिसे $$\text{Shv}(*)$$ निरूपित करते है, अतः $$\infty$$-टोपोस समुच्चयन बिंदु टोपोस के अनुरूप है। फिर, संलग्न करके एक वर्णक्रमीय रूप से वलयित समष्टि $$\mathbb{E}_\infty$$-वलय $$A$$ की संरचना दी जा सकती है। ध्यान दें कि इसका तात्पर्य वर्णक्रमीय रूप से वलयित रिक्त समष्टि सामान्यीकरण करता है अतः $$\mathbb{E}_\infty$$-वलय क्योंकि प्रत्येक $$\mathbb{E}_\infty$$-वलय को वर्णक्रमीय रूप से वलयित समष्टि से संबद्ध किया जा सकता है।

यह वर्णक्रमीय रूप से वलयित टोपोस एक वर्णक्रमीय योजना हो सकती है यदि इस वलय का वर्णक्रम $$\infty$$-टॉपोस एक समतुल्य देता है, इसलिए इसका अंतर्निहित समष्टि एक बिंदु है। उदाहरण के लिए, यह वलय वर्णक्रम $$H\mathbb{Q}$$ द्वारा दिया जा सकता है, जिसे ईलेनबर्ग-मैकलेन वर्णक्रम कहा जाता है, जो ईलेनबर्ग-मैकलेन समष्टि $$K(\mathbb{Q},n)$$ से निर्मित होता है।

अनुप्रयोग

 * व्युत्पन्न बीजगणितीय ज्यामिति का उपयोग केर्ज़, स्ट्रंक एंड टैमे (2018) द्वारा ऋणात्मक k-सिद्धांत के नष्ट होने पर वीबेल के अनुमान को प्रमाणित करने के लिए किया गया था।
 * अरिंकिन और गैट्सगोरी द्वारा ज्यामितीय लैंगलैंड अनुमान का सूत्रीकरण व्युत्पन्न बीजगणितीय ज्यामिति का उपयोग करता है।

यह भी देखें

 * व्युत्पन्न योजना
 * स्टैक का अनुसरण
 * गैर क्रमपरिवर्तनीय ति बीजगणितीय ज्यामिति
 * सरल क्रमविनिमेय वलय
 * व्युत्पन्न
 * एक ओपेरा पर बीजगणित
 * En-वलय
 * उच्चतम टोपोस सिद्धांत
 * ∞-टोपोस
 * एटेल स्पेक्ट्रम (वर्णक्रम)

औरn और ई∞ -अंगूठियां

 * स्पेक्ट्रल बीजगणितीय ज्यामिति - Rezk
 * ऑपरेड्स एंड शीफ कोहोलॉजी - जेपी मई - $$E_\infty$$विशेषता 0 और पर -रिंग्स $$E_\infty$$शेफ कोहोलॉजी के लिए संरचना
 * ई की स्पर्शरेखा जटिल और होशचाइल्ड कोहोलॉजीn-रिंग्स https://arxiv.org/abs/1104.0181
 * फ्रांसिस, जॉन; व्युत्पन्न बीजगणितीय ज्यामिति ओवर $\mathcal{E}_n$-रिंग्स

अनुप्रयोग

 * लोरे, पार्कर; शुर्ग, टिमो। (2018)। arxiv:1208.6325|व्युत्पन्न योजनाओं के लिए Grothendieck-Riemann-Roch
 * सियोकान-फोंटेनाइन, आई., कापरानोव, एम. (2007)। arxiv:math/0703214|dg-manifolds के माध्यम से वर्चुअल फंडामेंटल क्लासेस
 * मान, ई., रोबालो एम. (2018)। arxiv:1803.09476|ग्रोमोव-विटन सिद्धांत व्युत्पन्न बीजगणितीय ज्यामिति के साथ
 * डेविड बेन-ज़वी|बेन-ज़्वी, डी., फ्रांसिस, जे., और डी. नाडलर। व्युत्पन्न बीजगणितीय ज्यामिति में इंटीग्रल ट्रांसफॉर्म्स और ड्रिनफेल्ड केंद्र.

क्वांटम फील्ड सिद्धांत

 * आर्क्सिव: 1111.4234

बाहरी संबंध

 * Jacob Lurie's Home Page
 * Overview of Spectral Algebraic Geometry
 * DAG reading group (Fall 2011) at Harvard
 * http://ncatlab.org/nlab/show/derived+algebraic+geometry
 * Michigan Derived Algebraic Geometry RTG Learning Workshop, 2012
 * Derived algebraic geometry: how to reach research level math?
 * Derived Algebraic Geometry and Chow Rings/Chow Motives
 * Gabriele Vezzosi, An overview of derived algebraic geometry, October 2013