कार्यात्मक विधेय

औपचारिक तर्क और गणित की संबंधित शाखाओं में, एक कार्यात्मक विधेय, या कार्य प्रतीक, एक तार्किक प्रतीक है जिसे किसी अन्य वस्तु शब्द का उत्पादन करने के लिए एक वस्तु शब्द पर लागू किया जा सकता है। कार्यात्मक विधेय को कभी-कभी मैपिंग भी कहा जाता है, लेकिन उस शब्द में मैपिंग (गणित) है। एक मॉडल (तर्क) में, एक फ़ंक्शन प्रतीक एक फ़ंक्शन (गणित) द्वारा तैयार किया जाएगा।

विशेष रूप से, एक औपचारिक भाषा में प्रतीक एफ एक कार्यात्मक प्रतीक है, अगर भाषा में किसी वस्तु का प्रतिनिधित्व करने वाला कोई प्रतीक एक्स दिया गया है, एफ(एक्स) फिर से एक प्रतीक है उस भाषा में किसी वस्तु का प्रतिनिधित्व करना। टाइप किए गए तर्क में, एफ डोमेन टाइप टी और कोडोमेन टाइप यू के साथ एक कार्यात्मक प्रतीक है, यदि कोई प्रतीक एक्स दिया गया है जो टाइप टी, एफ' की वस्तु का प्रतिनिधित्व करता है। '(X'') प्रकार यू के एक वस्तु का प्रतिनिधित्व करने वाला एक प्रतीक है। इसी तरह एक से अधिक चर के फ़ंक्शन प्रतीकों को परिभाषित कर सकते हैं, एक से अधिक चर के कार्यों के अनुरूप; 0 (संख्या) चर में एक फ़ंक्शन प्रतीक केवल एक तार्किक स्थिरांक प्रतीक है।

अब औपचारिक भाषा के एक मॉडल पर विचार करें, जिसमें सेट (गणित) [टी] और [यू] द्वारा टाइप किए गए टी और यू के प्रकार हैं और टाइप टी के प्रत्येक प्रतीक एक्स को एक तत्व [एक्स] द्वारा मॉडल किया गया है। [टी] में। फिर 'एफ' को सेट द्वारा मॉडलिंग किया जा सकता है
 * $$[F]:=\big\{([X],[F(X)]):[X]\in[\mathbf{T}]\big\},$$

जो डोमेन [टी] और कोडोमेन [यू] के साथ बस एक फ़ंक्शन (गणित) है। यह एक सुसंगत मॉडल की आवश्यकता है कि [F(X)] = [F(Y)] जब भी [X] = [ य]।

नए फ़ंक्शन प्रतीकों का परिचय
विधेय तर्क के उपचार में जो किसी को नए विधेय प्रतीकों को पेश करने की अनुमति देता है, वह भी नए फ़ंक्शन प्रतीकों को पेश करने में सक्षम होना चाहेगा। फ़ंक्शन प्रतीकों F और G को देखते हुए, एक नया फ़ंक्शन प्रतीक F ∘ G पेश किया जा सकता है, F और G की फ़ंक्शन संरचना, संतोषजनक (F ∘ G)(X) = F(G(X)), सभी X के लिए। बेशक, इस समीकरण के दाईं ओर टाइप किए गए तर्क में कोई मतलब नहीं है जब तक कि F का डोमेन प्रकार G के कोडोमेन प्रकार से मेल नहीं खाता है, इसलिए रचना को परिभाषित करने के लिए यह आवश्यक है।

किसी को कुछ फंक्शन सिंबल भी अपने आप मिल जाते हैं। अलिखित तर्क में, एक पहचान विधेय आईडी होती है जो सभी एक्स के लिए आईडी (एक्स) = एक्स को संतुष्ट करती है। टाइप किए गए तर्क में, किसी भी प्रकार का 'टी' दिया गया है, एक पहचान विधेय आईडी हैT डोमेन और कोडोमेन प्रकार टी के साथ; यह आईडी को संतुष्ट करता हैT(एक्स) = 'टी' प्रकार के सभी एक्स के लिए एक्स। इसी प्रकार, यदि 'T', 'U' का उपप्रकार है, तो डोमेन प्रकार 'T' और कोडोमेन प्रकार 'U' का समावेशन विधेय है जो समान समीकरण को संतुष्ट करता है; पुराने से नए प्रकार के निर्माण के अन्य तरीकों से जुड़े अतिरिक्त फ़ंक्शन प्रतीक हैं।

इसके अतिरिक्त, एक उपयुक्त प्रमेय सिद्ध करने के बाद कार्यात्मक विधेय को परिभाषित किया जा सकता है। (यदि आप एक औपचारिक प्रणाली में काम कर रहे हैं जो आपको प्रमेयों को सिद्ध करने के बाद नए प्रतीकों को पेश करने की अनुमति नहीं देती है, तो आपको इससे बचने के लिए संबंध प्रतीकों का उपयोग करना होगा, जैसा कि अगले भाग में है।) विशेष रूप से, यदि आप यह साबित कर सकते हैं कि प्रत्येक एक्स (या किसी निश्चित प्रकार के प्रत्येक एक्स) के लिए, एक अद्वितीय (गणित) वाई मौजूद है जो कुछ शर्त पी को संतुष्ट करता है, तो आप इसे इंगित करने के लिए एक फ़ंक्शन प्रतीक एफ पेश कर सकते हैं। ध्यान दें कि P स्वयं एक संबंधपरक विधेय (तर्क) होगा जिसमें X और Y दोनों शामिल होंगे। तो अगर ऐसा कोई विधेय P और एक प्रमेय है:
 * 'T' प्रकार के सभी X के लिए, 'U' प्रकार के कुछ अद्वितीय Y के लिए, P(X,Y),

तो आप डोमेन प्रकार 'टी' और कोडोमेन प्रकार 'यू' का एक फ़ंक्शन प्रतीक एफ पेश कर सकते हैं जो संतुष्ट करता है:
 * 'T' प्रकार के सभी X के लिए, 'U' प्रकार के सभी Y के लिए, P(X,Y) यदि और केवल यदि Y = F(X).

कार्यात्मक विधेय के बिना करना
विधेय तर्क के कई उपचार कार्यात्मक विधेय की अनुमति नहीं देते हैं, केवल संबंधपरक विधेय (तर्क) एस। यह उपयोगी है, उदाहरण के लिए, धातु विज्ञान ल प्रमेय (जैसे गोडेल की अपूर्णता प्रमेय) को साबित करने के संदर्भ में, जहां कोई नए कार्यात्मक प्रतीकों (न ही उस मामले के लिए कोई अन्य नए प्रतीक) की शुरूआत की अनुमति नहीं देना चाहता है। लेकिन कार्यात्मक प्रतीकों को संबंधपरक प्रतीकों के साथ बदलने की एक विधि है जहां पूर्व हो सकता है; इसके अलावा, यह एल्गोरिथम है और इस प्रकार परिणाम के अधिकांश धातु संबंधी प्रमेयों को लागू करने के लिए उपयुक्त है।

विशेष रूप से, यदि F का डोमेन प्रकार 'T' और कोडोमेन प्रकार 'U' है, तो इसे एक विधेय P प्रकार ('T', 'U') से बदला जा सकता है। सहज रूप से, P(X,Y) का अर्थ F(X) = Y है। फिर जब भी किसी कथन में F(X) दिखाई दे, तो आप इसे 'U' प्रकार के नए प्रतीक Y से बदल सकते हैं और एक अन्य कथन P(X,Y) शामिल कर सकते हैं। समान कटौती करने में सक्षम होने के लिए, आपको एक अतिरिक्त प्रस्ताव की आवश्यकता है:
 * 'T' प्रकार के सभी X के लिए, 'U' प्रकार के कुछ अद्वितीय (गणित) Y के लिए, P(X,Y)।

(बेशक, यह वही प्रस्ताव है जिसे पिछले खंड में एक नया फ़ंक्शन प्रतीक पेश करने से पहले एक प्रमेय के रूप में सिद्ध किया जाना था।)

क्योंकि कार्यात्मक विधेय का उन्मूलन कुछ उद्देश्यों और संभव दोनों के लिए सुविधाजनक है, औपचारिक तर्क के कई उपचार फ़ंक्शन प्रतीकों के साथ स्पष्ट रूप से व्यवहार नहीं करते हैं, बल्कि इसके बजाय केवल संबंध प्रतीकों का उपयोग करते हैं; इसके बारे में सोचने का एक और तरीका यह है कि एक कार्यात्मक विधेय एक विशेष प्रकार का विधेय है, विशेष रूप से वह जो उपरोक्त प्रस्ताव को संतुष्ट करता है। यह एक समस्या प्रतीत हो सकती है यदि आप एक प्रस्ताव स्कीमा (तर्क) निर्दिष्ट करना चाहते हैं जो केवल कार्यात्मक विधेय F पर लागू होता है; आप समय से पहले कैसे जानेंगे कि क्या यह उस शर्त को पूरा करता है? स्कीमा का समतुल्य सूत्रीकरण प्राप्त करने के लिए, पहले F(X) के किसी भी रूप को एक नए चर Y के साथ बदलें। फिर संबंधित एक्स पेश किए जाने के तुरंत बाद प्रत्येक वाई पर सार्वभौमिक रूप से मात्रा निर्धारित करें (यानी, एक्स को मात्रा निर्धारित करने के बाद, या एक्स मुक्त होने पर बयान की शुरुआत में), और पी (एक्स, वाई) के साथ मात्रा को सुरक्षित रखें। अंत में, संपूर्ण कथन को ऊपर दिए गए कार्यात्मक विधेय के लिए अद्वितीयता की स्थिति का भौतिक सशर्त बनाएं।

आइए एक उदाहरण के रूप में ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी में प्रतिस्थापन की स्वयंसिद्ध स्कीमा लें। (यह उदाहरण गणितीय प्रतीकों का उपयोग करता है।) यह स्कीमा बताता है (एक रूप में), किसी भी कार्यात्मक विधेय F के लिए एक चर में:
 * $$\forall A, \exists B, \forall C, C \in A \rightarrow F(C)\in B.$$ सबसे पहले, हमें F(C) को किसी अन्य चर D से बदलना होगा:
 * $$\forall A, \exists B, \forall C, C \in A\rightarrow D \in B.$$ बेशक, यह कथन सही नहीं है; D को C के ठीक बाद परिमाणित किया जाना चाहिए:
 * $$\forall A, \exists B, \forall C, \forall D, C \in A \rightarrow D\in B.$$ इस परिमाणीकरण की रक्षा के लिए हमें अभी भी P का परिचय देना चाहिए:
 * $$\forall A, \exists B, \forall C, \forall D, P(C,D) \rightarrow (C \in A \rightarrow D \in B).$$ यह लगभग सही है, लेकिन यह बहुत से विधेय पर लागू होता है; हम वास्तव में क्या चाहते हैं:
 * $$(\forall X, \exists ! Y, P(X,Y))\rightarrow (\forall A, \exists B, \forall C, \forall D, P(C,D)\rightarrow (C \in A \rightarrow D \in B)).$$ प्रतिस्थापन की स्वयंसिद्ध स्कीमा का यह संस्करण अब एक औपचारिक भाषा में उपयोग के लिए उपयुक्त है जो नए फ़ंक्शन प्रतीकों के परिचय की अनुमति नहीं देता है। वैकल्पिक रूप से, कोई मूल कथन को ऐसी औपचारिक भाषा में एक कथन के रूप में व्याख्या कर सकता है; यह अंत में दिए गए बयान के लिए केवल एक संक्षिप्त नाम था।

यह भी देखें

 * समारोह प्रतीक (तर्क)
 * तार्किक संयोजक
 * तार्किक स्थिरांक

श्रेणी:मॉडल सिद्धांत