वास्तविक मान फलन

चित्र:वजन 20mg~500g.jpg|thumb|right|ग्राम में मापा गया द्रव्यमान भार के इस संग्रह से सकारात्मक संख्या वास्तविक संख्याओं का एक कार्य है। भार फलन शब्द, इस उदाहरण के लिए एक संकेत है, शुद्ध और अनुप्रयुक्त गणित में प्रयोग किया जाता है।

गणित में, एक वास्तविक-मूल्यवान फलन एक फलन (गणित) होता है जिसका कोडोमेन वास्तविक संख्याएँ होती हैं। दूसरे शब्दों में, यह एक ऐसा फलन है जो फलन के अपने प्रांत के प्रत्येक सदस्य को एक वास्तविक संख्या प्रदान करता है।

एक वास्तविक चर का वास्तविक-मूल्यवान कार्य (आमतौर पर वास्तविक कार्य कहा जाता है) और कई वास्तविक चर के वास्तविक-मूल्यवान कार्य पथरी के अध्ययन का मुख्य उद्देश्य हैं, और अधिक सामान्य रूप से, वास्तविक विश्लेषण। विशेष रूप से, कई फ़ंक्शन रिक्त स्थान में वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन होते हैं।

बीजगणितीय संरचना
होने देना $${\mathcal F}(X,{\mathbb R})$$ एक सेट से सभी कार्यों का सेट हो (गणित) $X$ वास्तविक संख्या के लिए $$\mathbb R$$. क्योंकि $$\mathbb R$$ एक क्षेत्र है (गणित), $${\mathcal F}(X,{\mathbb R})$$ निम्नलिखित परिचालनों के साथ वास्तविक पर एक वेक्टर अंतरिक्ष और एक कम्यूटेटिव बीजगणित (संरचना) में बदल दिया जा सकता है:
 * $$f+g: x \mapsto f(x) + g(x)$$ - वेक्टर जोड़
 * $$\mathbf{0}: x \mapsto 0$$ - जोड़ने योग्य पहचान
 * $$c f: x \mapsto c f(x),\quad c \in \mathbb R$$ - स्केलर गुणज
 * $$f g: x \mapsto f(x)g(x)$$ - बिंदुवार गुणन

ये ऑपरेशन आंशिक कार्यों तक विस्तारित होते हैं $X$ को $$\mathbb R,$$ प्रतिबंध के साथ कि आंशिक कार्य करता है $f + g$ और $f g$ को केवल तभी परिभाषित किया जाता है जब किसी फ़ंक्शन का डोमेन $f$ और $g$ एक गैर-खाली चौराहा है; इस स्थिति में, उनका डोमेन के डोमेन का प्रतिच्छेदन है $f$ और $g$.

इसके अलावा, चूंकि $$\mathbb R$$ एक आदेशित सेट है, एक आंशिक क्रम है पर $${\mathcal F}(X,{\mathbb R}),$$ किसने बनाया $${\mathcal F}(X,{\mathbb R}) $$ आंशिक रूप से आदेशित अंगूठी।
 * $$\ f \le g \quad\iff\quad \forall x: f(x) \le g(x),$$

मापने योग्य
बोरेल सेट का σ-बीजगणित वास्तविक संख्याओं पर एक महत्वपूर्ण संरचना है। अगर $X$ का अपना σ-बीजगणित और एक फलन है $f$ ऐसा है कि preimage $f ^{−1}(B)$ किसी भी बोरेल सेट का $B$ उस σ-बीजगणित से संबंधित है, तब $f$ को मापने योग्य कार्य कहा जाता है। मापने योग्य कार्य भी एक सदिश स्थान और एक बीजगणित बनाते हैं जैसा कि ऊपर बताया गया है.

इसके अलावा, वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का एक सेट (परिवार)। $X$ वास्तव में σ-बीजगणित को परिभाषित कर सकता है $X$ सभी बोरेल सेट (या केवल अंतराल (गणित)) के सभी प्रीइमेज द्वारा उत्पन्न, यह महत्वपूर्ण नहीं है)। यह वह तरीका है जिससे σ-एलजेब्रा (कोलमोगोरोव के स्वयंसिद्ध | कोल्मोगोरोव के) संभाव्यता सिद्धांत में उत्पन्न होता है, जहां नमूना स्थान पर वास्तविक-मूल्यवान कार्य करता है $&Omega;$ वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर हैं।

निरंतर
वास्तविक संख्याएँ एक टोपोलॉजिकल स्पेस और एक पूर्ण मीट्रिक स्थान बनाती हैं। निरंतर कार्य वास्तविक-मूल्यवान कार्य (जिसका अर्थ है कि $X$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस है) सामान्य टोपोलॉजी और मेट्रिक ज्यामिति के सिद्धांतों में महत्वपूर्ण हैं। चरम मूल्य प्रमेय बताता है कि कॉम्पैक्ट जगह  पर किसी भी वास्तविक निरंतर कार्य के लिए इसकी वैश्विक मैक्सिमा और मिनिमा मौजूद हैं।

मीट्रिक स्थान की अवधारणा को ही दो चरों के वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन के साथ परिभाषित किया गया है, मीट्रिक (गणित), जो निरंतर है। कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ अंतरिक्ष पर निरंतर कार्यों की जगह का एक विशेष महत्व है। अभिसरण अनुक्रमों को एक विशेष स्थलीय स्थान पर वास्तविक-मूल्यवान निरंतर कार्यों के रूप में भी माना जा सकता है।

निरंतर कार्य एक सदिश स्थान और एक बीजगणित भी बनाते हैं जैसा कि ऊपर बताया गया है, और #Measurable का एक उपवर्ग है क्योंकि किसी भी स्थलीय स्थान में खुले (या बंद) सेटों द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित होता है।

चिकना
सुचारू कार्यों को परिभाषित करने के लिए वास्तविक संख्या को कोडोमेन के रूप में उपयोग किया जाता है। एक वास्तविक सुचारू कार्य का एक डोमेन वास्तविक समन्वय स्थान हो सकता है (जो एक वास्तविक बहुविकल्पी कार्य उत्पन्न करता है), एक सामयिक सदिश स्थान, उनमें से एक खुला उपसमुच्चय, या एक चिकनी कई गुना।

सुचारू कार्यों के स्थान भी सदिश स्थान और बीजगणित हैं जैसा कि ऊपर बताया गया है और #Continuous के स्थान के उपस्थान हैं।

माप सिद्धांत में प्रकटन
एक सेट पर एक माप (गणित) सबसेट के σ-बीजगणित पर एक गैर-नकारात्मक वास्तविक-मूल्यवान कार्यात्मक है। एलपी स्पेस | एलp एक माप के साथ सेट पर रिक्त स्थान पूर्वोक्त #Measurable|वास्तविक-मूल्यवान मापनीय कार्यों से परिभाषित किए गए हैं, हालांकि वे वास्तव में कोटिएंट स्पेस (टोपोलॉजी) हैं। अधिक सटीकता से, जबकि उपयुक्त समाकल को संतुष्ट करने वाला फलन L के एक अवयव को परिभाषित करता हैp स्थान, किसी के लिए विपरीत दिशा में $f ∈ L^{p}(X)$ और $x ∈ X$ जो एक परमाणु (माप सिद्धांत) नहीं है, मान $f(x)$ अच्छी परिभाषा है। हालांकि, वास्तविक मूल्यवान Lp रिक्त स्थान में अभी भी ऊपर वर्णित कुछ संरचना है. प्रत्येक एलp रिक्त स्थान एक सदिश स्थान है और एक आंशिक क्रम है, और कार्यों का एक बिंदुवार गुणन मौजूद है जो बदलता है $[0, +∞]$, अर्थात्
 * $$\sdot: L^{1/\alpha} \times L^{1/\beta} \to L^{1/(\alpha+\beta)},\quad

0 \le \alpha,\beta \le 1,\quad\alpha+\beta \le 1.$$ उदाहरण के लिए, दो एल का बिंदुवार उत्पाद2 कार्य L से संबंधित हैं 1।

अन्य दिखावे
अन्य संदर्भ जहां वास्तविक-मूल्यवान कार्यों और उनके विशेष गुणों का उपयोग किया जाता है, उनमें मोनोटोनिक फ़ंक्शन (आदेशित सेट पर), उत्तल फ़ंक्शन (वेक्टर और एफ़िन रिक्त स्थान पर), हार्मोनिक फ़ंक्शन और सबहार्मोनिक फ़ंक्शन फ़ंक्शन ( रीमैनियन कई गुना ्स पर), विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन (आमतौर पर एक का) शामिल हैं। या अधिक वास्तविक चर), बीजगणितीय कार्य (वास्तविक बीजगणितीय विविधता पर), और बहुपद (एक या अधिक वास्तविक चर)।

यह भी देखें

 * सच्चा विश्लेषण
 * आंशिक अंतर समीकरण, वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का एक प्रमुख उपयोगकर्ता
 * नॉर्म (गणित)
 * अदिश (गणित)

संदर्भ

 * Gerald Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0.
 * Gerald Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0.