हेइलब्रॉन त्रिकोण समस्या

असतत ज्यामिति और विसंगति सिद्धांत में, हेइलब्रॉन त्रिकोण समस्या छोटे क्षेत्र के त्रिकोणों से बचते हुए, विमान में बिंदु रखने की समस्या है। इसका नाम हंस हेइलब्रोन के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने अनुमान लगाया था कि, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि किसी दिए गए क्षेत्र में बिंदु कैसे रखे गए हैं, सबसे छोटा त्रिकोण क्षेत्र अधिकतम आनुपातिकता (गणित) या बिंदुओं की संख्या के वर्ग (बीजगणित) के व्युत्क्रम आनुपातिकता पर होगा। उनका अनुमान गलत सिद्ध हुआ, किंतु न्यूनतम त्रिभुज क्षेत्र की स्पर्शोन्मुख विश्लेषण दर अज्ञात बनी हुई है।

परिभाषा
हेइलब्रॉन त्रिकोण समस्या किसी दिए गए नंबर $$n$$ के लिए समतल में किसी आकृति के अंदर $$n$$ बिंदुओं की नियुक्ति से संबंधित है, जैसे इकाई वर्ग या इकाई डिस्क बिंदुओं का प्रत्येक त्रिक एक त्रिभुज के तीन शीर्षों का निर्माण करता है, और इन त्रिभुजों के बीच, समस्या सबसे छोटे त्रिभुज से संबंधित है, जैसा कि क्षेत्रफल द्वारा मापा जाता है। बिंदुओं के अलग-अलग प्लेसमेंट में अलग-अलग सबसे छोटे त्रिकोण होंगे, और समस्या पूछती है: सबसे छोटे त्रिकोण के क्षेत्र को अधिकतम करने के लिए $$n$$ बिंदुओं को कैसे रखा जाना चाहिए? triangle?

अधिक औपचारिक रूप से, आकृति को समतल में एक कॉम्पैक्ट सेट $$D$$ माना जा सकता है, जिसका अर्थ है कि यह मूल से एक सीमित दूरी के अंदर रहता है और बिंदुओं को इसकी सीमा पर रखने की अनुमति है। इस समस्या पर अधिकांश कार्यों में, $$D$$ अतिरिक्त रूप से गैर-शून्य क्षेत्र का उत्तल सेट है। जब रखे गए तीन बिंदु एक रेखा पर स्थित होते हैं, तो उन्हें एक विकृत त्रिभुज बनाने वाला माना जाता है जिसका क्षेत्रफल शून्य के रूप में परिभाषित किया गया है, इसलिए सबसे छोटे त्रिभुज को अधिकतम करने वाले स्थानों में बिंदुओं का संरेख त्रिक नहीं होगा। यह धारणा कि आकार सघन है, इसका तात्पर्य यह है कि इष्टतमता के समीप पहुंचने वाले स्थानों के अनुक्रम के अतिरिक्त, $$n$$ बिंदुओं का एक इष्टतम स्थान उपस्थित है। संख्या $$\Delta_D(n)$$ को इस इष्टतम प्लेसमेंट में सबसे छोटे त्रिकोण के क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। placement. एक इकाई वर्ग में छह बिंदुओं के साथ, चित्र में एक उदाहरण दिखाया गया है। ये छह बिंदु $$\tbinom63=20$$ विभिन्न त्रिभुज बनाते हैं, जिनमें से चार चित्र में छायांकित हैं। इन 20 त्रिभुजों में से छह, जिनमें दो छायांकित आकृतियाँ हैं, का क्षेत्रफल 1/8 है; शेष 14 त्रिभुजों का क्षेत्रफल बड़ा है। यह एक इकाई वर्ग में छह बिंदुओं का इष्टतम स्थान है: अन्य सभी स्थान कम से कम एक त्रिभुज बनाते हैं जिसका क्षेत्रफल 1/8 या उससे छोटा है। इसलिए,$\Delta_D(6)=\tfrac18$.

चूँकि शोधकर्ताओं ने विशिष्ट आकृतियों और विशिष्ट छोटी संख्या के बिंदुओं के लिए $$\Delta_D(n)$$ के मूल्य का अध्ययन किया है, हेइलब्रॉन इसके स्पर्शोन्मुख व्यवहार के बारे में चिंतित थे: यदि आकार $$D$$ को स्थिर रखा जाता है, किंतु $$n$$ भिन्न होता है, सबसे छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल $$n$$ के साथ कैसे भिन्न होता है? अर्थात्, हेइलब्रॉन का प्रश्न $$n$$ के फलन के रूप में, of $\Delta_D(n)$, की वृद्धि दर से संबंधित है। किन्हीं दो आकृतियों $$D$$ और $D'$,' के लिए, संख्याएं $$\Delta_D(n)$$ और $$\Delta_{D'}(n)$$ केवल एक स्थिर कारक से भिन्न होती हैं, क्योंकि $$D$$ के अंदर $n$.बिंदुओं के किसी भी स्थान को $D'$,' के अंदर फिट करने के लिए एक एफ़िन परिवर्तन द्वारा स्केल किया जा सकता है, जिससे न्यूनतम त्रिकोण बदल जाता है। क्षेत्रफल केवल एक स्थिरांक द्वारा इसलिए, $$\Delta_D(n)$$ की विकास दर की सीमा में जो उस वृद्धि की आनुपातिकता के स्थिरांक को छोड़ देता है, $$D$$ की पसंद अप्रासंगिक है और सबस्क्रिप्ट को छोड़ा जा सकता है।

हेइलब्रॉन का अनुमान और उसका खंडन
हेइलब्रॉन ने 1951 से पहले अनुमान लगाया था कि न्यूनतम त्रिभुज क्षेत्र सदैव $n$ के फलन के रूप में तेजी से सिकुड़ता है - अधिक विशेष रूप से, $n$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती।. बड़े ओ नोटेशन के संदर्भ में, इसे सीमा के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$\Delta(n)=O\left(\frac{1}{n^2}\right).$$

दूसरी दिशा में, पॉल एर्डोस ने न्यूनतम त्रिभुज क्षेत्र के साथ बिंदु सेट के उदाहरण पाए जो to $1/n^2$, के आनुपातिक थे, यह प्रदर्शित करते हुए कि, यदि सत्य है, तो हेइलब्रॉन की अनुमानित सीमा को प्रबल नहीं किया जा सकता है। इन उदाहरणों का वर्णन करने के लिए, एर्डोज़ ने ग्रिड बिंदुओं के बड़े सेट पर, एक पंक्ति में तीन नहीं होने पर, नो-थ्री-इन-लाइन समस्या तैयार की। जैसा कि एर्डोज़ ने देखा, जब $$n$$ एक अभाज्य संख्या है, तो $$n\times n$$ पूर्णांक ग्रिड ({2 के लिए) पर $$n$$ बिंदुओं $$(i,i^2\bmod n)$$ के सेट में तीन संरेख बिंदु नहीं होते हैं, और इसलिए पिक के सूत्र के अनुसार उनके द्वारा बनाए गए प्रत्येक त्रिकोण में होता है क्षेत्रफल कम से कम $\tfrac12$.. जब इन ग्रिड बिंदुओं को एक इकाई वर्ग के अंदर फिट करने के लिए स्केल किया जाता है, तो उनका सबसे छोटा त्रिकोण क्षेत्र $1/n^2$, के समानुपाती होता है, जो हेइलब्रॉन की अनुमानित ऊपरी सीमा से मेल खाता है। यदि $$n$$ अभाज्य नहीं है, तो $$n$$ के समीप एक अभाज्य संख्या का उपयोग करके एक समान निर्माण समान स्पर्शोन्मुख निचली सीमा को प्राप्त करता है।.

अंततः उन बिंदुओं के सेट को खोजने के लिए संभाव्य विधि का उपयोग करके हेइलब्रॉन के अनुमान को समाप्त कर दिया, जिनका सबसे छोटा त्रिकोण क्षेत्र एर्दो द्वारा पाए गए से बड़ा है। उनके निर्माण में निम्नलिखित चरण सम्मिलित हैं: इनके निर्माण से उत्पन्न क्षेत्रफल असमान्य रूप से बढ़ता है $$\Delta(n)=\Omega\left(\frac{\log n}{n^2}\right).$$ इसका प्रमाण व्युत्पन्नकरण हो सकता है, जिससे इस त्रिभुज क्षेत्र के साथ प्लेसमेंट के निर्माण के लिए एक बहुपद समय एल्गोरिदम तैयार हो सकता है।
 * कुछ some $\varepsilon>0$. के लिए, इकाई वर्ग में व्यवस्थित रूप से $$n^{1+\varepsilon}$$ अंक रखें।
 * उन सभी बिंदुओं के जोड़े को हटा दें जो अप्रत्याशित रूप से एक-दूसरे के समीप हैं।
 * सिद्ध करें कि निम्न-क्षेत्र त्रिभुज कुछ शेष बचे हैं और इसलिए दो, तीन या चार निम्न-क्षेत्र त्रिभुजों द्वारा बनने वाले चक्रों की केवल एक उपरेखीय संख्या है। इन चक्रों से संबंधित सभी बिंदुओं को हटा दें।
 * यह दिखाने के लिए कि, उच्च संभावना के साथ, शेष बिंदुओं में $$n$$ बिंदुओं का एक उपसमूह सम्मिलित है, उच्च परिधि के 3-समान हाइपरग्राफ के लिए एक त्रिकोण हटाने की प्रमेयिका प्रयुक्त करें जो किसी भी छोटे क्षेत्र वाले त्रिकोण का निर्माण नहीं करती है।

ऊपरी सीमा
इकाई वर्ग में $$n$$ बिंदुओं का प्रत्येक सेट क्षेत्रफल का एक त्रिभुज बनाता है जो $$n$$ के अधिकतम व्युत्क्रमानुपाती होता है। इसे देखने का एक तरीका दिए गए बिंदु सेट $S$,के उत्तल पतवार को त्रिकोण बनाना है, और त्रिकोण में सबसे छोटे त्रिकोण को चुनना है। दूसरा यह है कि बिंदुओं को उनके $x$-निर्देशांक के आधार पर क्रमबद्ध किया जाए जो एक-दूसरे के सबसे समीप हों। 1951 में हेइलब्रॉन त्रिकोण समस्या पर प्रकाशित पहले पेपर में, क्लाउस रोथ ने फॉर्म के on $\Delta(n)$,पर एक प्रबल ऊपरी सीमा सिद्ध की थी $$\Delta(n)=O\left(\frac{1}{n\sqrt{\log\log n}}\right).$$ अब तक ज्ञात सर्वोत्तम बाउंड फॉर्म का है $$\Delta(n)\leq\frac{\exp{\left(c\sqrt{\log n}\right)}}{n^{8/7}},$$ कुछ के लिए constant $c$, द्वारा सिद्ध.

द्वारा $$n^{-\frac{8}{7}-\frac{1}{2000}}$$के समान एक नई ऊपरी सीमा सिद्ध की गई थी।

विशिष्ट आकृतियाँ और संख्याएँ
गोल्डबर्ग (1972) ने 16 तक $$n$$ के लिए एक वर्ग में $$n$$ बिंदुओं की इष्टतम व्यवस्था की जांच की है। गोल्डबर्ग के छह बिंदुओं तक के निर्माण वर्ग की सीमा पर स्थित हैं, और एक नियमित बहुभुज के शीर्षों का एक एफ़िन परिवर्तन बनाने के लिए रखे गए हैं। $$n$$ के बड़े मानों के लिए, कॉमेलास और येब्रा (2002) ने गोल्डबर्ग की सीमा में सुधार किया, और इन मानों के लिए समाधान में वर्ग के आंतरिक बिंदु सम्मिलित हैं। ये निर्माण सात बिंदुओं तक इष्टतम सिद्ध हुए हैं। प्रमाण ने बिंदुओं की संभावित व्यवस्था के कॉन्फ़िगरेशन स्थान को 226 अलग-अलग उप-समस्याओं में उप-विभाजित करने के लिए एक कंप्यूटर खोज का उपयोग किया, और यह दिखाने के लिए नॉनलाइनियर प्रोग्रामिंग तकनीकों का उपयोग किया कि उनमें से 225 स्थितियों में, सबसे अच्छी व्यवस्था ज्ञात सीमा जितनी अच्छी नहीं थी। शेष स्थितियों में, अंतिम इष्टतम समाधान सहित, प्रतीकात्मक गणना तकनीकों का उपयोग करके इसकी इष्टतमता सिद्ध की गई थी।

एक इकाई वर्ग में 7-12 बिंदुओं के लिए सबसे प्रसिद्ध समाधान निम्नलिखित हैं, जो तैयार किए हुयी धातु पे पानी चढाने की कला के माध्यम से पाए गए हैं;सात बिंदुओं की व्यवस्था इष्टतम मानी जाती है।

किसी दिए गए आकार के लिए इष्टतम प्लेसमेंट की खोज करने के अतिरिक्त, कोई दिए गए अंकों की संख्या के लिए इष्टतम आकार की खोज कर सकता है। क्षेत्रफल एक के साथ उत्तल आकृतियों $$D$$ में, नियमित षट्भुज वह है जो $\Delta_D(6)$; को अधिकतम करता है; इस आकृति के लिए, $\Delta_D(6)=\tfrac16$, छह बिंदुओं के साथ षट्कोण शीर्षों पर सर्वोत्तम रूप से रखा गया है। इकाई क्षेत्रफल की उत्तल आकृतियाँ जो अधिकतम $$\Delta_D(7)$$ होती हैं उनमें $\Delta_D(7)=\tfrac19$} होता है।

भिन्नताएँ
इस समस्या के कई रूप रहे हैं इसमें बिंदुओं के समान रूप से यादृच्छिक सेट का मामला भी सम्मिलित है, जिसके लिए कोलमोगोरोव जटिलता या पॉइसन सन्निकटन पर आधारित तर्क बताते हैं कि न्यूनतम क्षेत्र का अपेक्षित मूल्य अंकों की संख्या के घन के व्युत्क्रमानुपाती है। उच्च-आयामी संकेतन की मात्रा से संबंधित विविधताओं का भी अध्ययन किया गया है।

सरलताओं पर विचार करने के अतिरिक्त एक अन्य उच्च-आयामी संस्करण एक और पैरामीटर k जोड़ता है, और यूनिट हाइपरक्यूब में $$n$$ बिंदुओं के प्लेसमेंट के लिए कहता है जो $$k$$ बिंदुओं के किसी भी उपसमूह के उत्तल पतवार की न्यूनतम मात्रा को अधिकतम करता है। $$k=d+1$$ के लिए ये उपसमुच्चय सरल बनाते हैं किंतु $d$, के सापेक्ष $k$, के बड़े मानों के लिए, वे अधिक जटिल आकार बना सकते हैं। जब $$k$$ $\log n$, के सापेक्ष पर्याप्त रूप से बड़ा होता है, तो व्यवस्थित रूप से रखे गए बिंदु सेट में न्यूनतम $k$-बिंदु उत्तल पतवार की मात्रा volume $\Omega(k/n)$. होती है इससे उत्तम कोई बंधन संभव नहीं है; किसी भी प्लेसमेंट में वॉल्यूम $O(k/n)$, के साथ $$k$$ अंक होते हैं, जो समन्वित क्रम में कुछ $$k$$ निरन्तर बिंदुओं को चुनकर प्राप्त किए जाते हैं। इस परिणाम में सीमा खोज डेटा संरचनाओं में अनुप्रयोग हैं।

यह भी देखें

 * नर्तक सेट, बिंदुओं का एक सेट जो बड़े क्षेत्र के खाली त्रिकोणों से बचाता है

बाहरी संबंध

 * Erich's Packing Center, by Erich Friedman, including the best known solutions to the Heilbronn problem for small values of $$n$$ for squares, circles, equilateral triangles, and convex regions of variable shape but fixed area
 * Erich's Packing Center, by Erich Friedman, including the best known solutions to the Heilbronn problem for small values of $$n$$ for squares, circles, equilateral triangles, and convex regions of variable shape but fixed area