ब्रह्मांड का आकार

भौतिक ब्रह्माण्ड विज्ञान में ब्रह्माण्ड का आकार, ब्रह्माण्ड की स्थानीय और भूमंडलीय ज्यामिति है। ब्रह्माण्ड की ज्यामिति की स्थानीय विशेषताओं को मुख्य रूप से इसकी वक्रता द्वारा वर्णित किया जाता है, जबकि ब्रह्माण्ड की सांस्थिति इसके आकार के सामान्य भूमंडलीय गुणों को एक सतत वस्तु के रूप में वर्णित करती है। स्थानिक वक्रता का वर्णन सामान्य सापेक्षता द्वारा किया जाता है जो गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव के कारण अंतरिक्ष समय को वक्रित करने का वर्णन करता है। स्थानिक सांस्थिति को इसकी वक्रता से निर्धारित नहीं किया जा सकता है इस तथ्य के कारण कि स्थानीय रूप से अप्रभेदनीय स्थान सम्मिलित हैं जो विभिन्न टोपोलॉजिकल अपरिवर्तनीयताओ के साथ संपन्न हो सकते हैं।

ब्रह्मांड-विज्ञानियों ने प्रेक्षणीय ब्रह्माण्ड और संपूर्ण ब्रह्माण्ड के बीच अंतर करते हैं, पूर्व उत्तरार्द्ध का एक वक्र के आकार का भाग है जो सिद्धांतिक रूप में खगोलीय प्रेक्षणों द्वारा सक्षम हो सकता है। ब्रह्माण्ड संबंधी सिद्धांत को मानते हुए, प्रेक्षणीय ब्रह्माण्ड सभी समकालीन लाभप्रद स्थिति बिंदुओं के समान होते है जो ब्रह्माण्ड विज्ञानियों को उनके प्रेक्षणीय ब्रह्माण्ड का अध्ययन करने की जानकारी के साथ संपूर्ण ब्रह्माण्ड के गुणों पर चर्चा करने की स्वीकृति देते हैं। इस संदर्भ में मुख्य चर्चा यह है कि क्या ब्रह्माण्ड प्रेक्षणीय ब्रह्माण्ड की तरह परिमित या अनंत है।

ब्रह्माण्ड के कई संभावित संस्थानिक और ज्यामितीय गुणों की पहचान करने की आवश्यकता है। इसका संस्थानिक लक्षण वर्णन एक प्राकृतिक समस्या है। इनमें से इसके कुछ मुख्य गुण हैं: इन गुणों के बीच कुछ तार्किक संबंध होता हैं। उदाहरण के लिए, धनात्मक वक्रता वाला ब्रह्माण्ड आवश्यक रूप से परिमित होता है। हालांकि यह सामान्यतः साहित्य में माना जाता है कि एक समतल या ऋणात्मक रूप से घुमावदार ब्रह्माण्ड अनंत है यदि सांस्थिति विज्ञान तुच्छ नहीं है तो यह स्थित नहीं होना चाहिए। उदाहरण के लिए तीन-टोरस द्वारा सचित्र के रूप में, एकाधिक संबद्ध स्थान समतल और परिमित हो सकता है। अभी तक केवल संबद्ध स्थानों के स्थितिे में, संस्थानिक का अर्थ अनंत है।
 * 1) परिबद्धता (चाहे ब्रह्मांड परिमित हो या अनंत)
 * 2) निष्‍प्रभता या शून्य वक्रता, अतिपरवलिक या ऋणात्मक वक्रता, गोलीय या धनात्मक वक्रता
 * 3) संबद्धता: कैसे ब्रह्मांड को एक साथ कई गुना अर्थात साधारण रूप से जुड़ा हुआ स्थान या कई गुना जुड़ा हुआ स्थान माना जाता है।

आज तक, ब्रह्माण्ड का समुचित आकार भौतिक ब्रह्माण्ड विज्ञान में तर्क का विषय बना हुआ है। इस संबंध में, विभिन्न स्वतंत्र स्रोतों (उदाहरण के लिए डब्ल्यूएमएपी, प्रतीगामी और प्लैंक (अंतरिक्ष यान) से प्रायोगिक आँकड़ा को पुष्टि करते हैं कि ब्रह्माण्ड केवल 0.4% त्रुटि के मार्जिन के साथ समतल है। फिर भी, खगोलीय प्रेक्षण के आधार पर सरल बनाम एकाधिक संबद्धता का कारण अभी तक सुनिश्चित नहीं किया गया है। दूसरी ओर, पर्याप्त रूप से बड़े घुमावदार ब्रह्माण्ड के लिए कोई भी गैर-शून्य वक्रता संभव है (इसी तरह एक गोले का एक छोटा भाग समतल दिख सकता है) सिद्धांतकार संबद्धता, वक्रता और सीमा से संबंधित ब्रह्माण्ड के आकार का एक औपचारिक गणितीय मॉडल बनाने की कोशिश कर रहे हैं। औपचारिक शब्दों में, यह ब्रह्माण्ड के चार-आयामी अंतरिक्ष-समय के स्थानिक खंड (कोमोविंग निर्देशांक में) के अनुरूप एक 3-गुना मॉडल है। अधिकांश सिद्धांतवादी वर्तमान में जिस मॉडल का उपयोग करते हैं वह फ्रीडमैन-लेमेट्रे-रॉबर्टसन-वॉकर (एफएलआरडब्ल्यू) मॉडल है। इनके तर्क को सामने प्रस्तुत किया गया हैं कि प्रेक्षण संबंधी आँकड़ा इस निष्कर्ष के साथ सबसे उपयुक्त है कि भूमंडलीय ब्रह्माण्ड का आकार अनंत और समतल है लेकिन आँकड़ा अन्य संभावित आकृतियों के अनुरूप भी है, जैसे कि तथाकथित पोंकारे डोडेकाहेड्रल अन्तरिक्ष, बहु संबद्ध थ्री-टोरस और सोकोलोव-स्ट्रोबिंस्की अन्तरिक्ष के 2-आयामी जाली द्वारा अतिपरवलीय अन्तरिक्ष के ऊपरी अर्ध- मॉडल का भाग भौतिक ब्रह्माण्ड विज्ञान सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत पर आधारित है जो विभेदक समीकरणों के संदर्भ में एक भौतिक चित्र है। इसलिए, ब्रह्माण्ड के केवल स्थानीय ज्यामितीय गुण सैद्धांतिक रूप से सुलभ हो जाते हैं।

इस प्रकार, आइंस्टीन के समष्टि समीकरण केवल स्थानीय ज्यामिति का निर्धारण करते हैं लेकिन ब्रह्माण्ड की सांस्थिति पर पूर्णतः कुछ नहीं कहते हैं। वर्तमान में, ऐसे भूमंडलीय गुणों को स्पष्ट करने की एकमात्र संभावना ब्रह्माण्डीय सूक्ष्मतरंग वातावरण (सीएमबी) के तापमान ढाल समष्टि मे विशेष रूप से उतार-चढ़ाव (विषमदैशिक) पर प्रेक्षण संबंधी आँकड़ा पर निर्भर करती है।

प्रेक्षणीय ब्रह्मांड का आकार
जैसा कि परिचय में बताया गया है कि विचार करने के दो स्वरूप होते हैं: प्रेक्षणीय ब्रह्माण्ड को एक समष्टि के रूप में माना जा सकता है जो 46.5 अरब प्रकाश-वर्ष के लिए किसी भी प्रेक्षण बिंदु से बाहर की ओर प्रसारित होता है और समय से पहले वापस जा रहा है और जितना अधिक दूर दिखता है उतना ही अधिक लाल हो जाता है। आदर्श रूप से, कोई बिग-बैंग सिद्धान्त के अनुसार पीछे मुड़कर देखना प्रारम्भ रख सकता है हालांकि, प्रकाश और अन्य विद्युत चुम्बकीय विकिरण का उपयोग करके कोई भी व्यक्ति सबसे दूर देख सकता है यह ब्रह्माण्डीय सूक्ष्मतरंग वातावरण (सीएमबी) है, जैसा कि कोई भी अतीत जो अपारदर्शी है। यह प्रायोगिक परीक्षण से पता चलता है कि प्रेक्षणीय ब्रह्माण्ड समदैशिक और समरूपता के बहुत निकट होता है।
 * 1) स्थानीय ज्यामिति, जो मुख्य रूप से ब्रह्मांड की वक्रता से संबंधित है और विशेष रूप से प्रेक्षणीय ब्रह्मांड हैं।
 * 2) भूमंडलीय ज्यामिति, जो सम्पूर्ण रूप से ब्रह्मांड की सांस्थिति से संबंधित है।

यदि प्रेक्षणीय ब्रह्माण्ड संपूर्ण ब्रह्माण्ड को समाहित करता है तो प्रेक्षण द्वारा संपूर्ण ब्रह्माण्ड की संरचना का निर्धारण करना संभव हो सकता है। हालाँकि, यदि प्रेक्षणीय ब्रह्माण्ड संपूर्ण ब्रह्माण्ड से छोटा है, तो प्रेक्षण संपूर्ण ब्रह्माण्ड के केवल एक भाग तक सीमित रहता है और हम इस माप के माध्यम से इसकी भूमंडलीय ज्यामिति का निर्धारण करने में सक्षम नहीं हो सकते हैं। प्रयोगों से, संपूर्ण ब्रह्माण्ड की भूमंडलीय ज्यामिति के विभिन्न गणितीय मॉडलों का निर्माण संभव है जो सभी वर्तमान प्रेक्षण आँकड़ा के अनुरूप हैं इस प्रकार यह वर्तमान में अज्ञात है कि क्या प्रेक्षणीय ब्रह्माण्ड भूमंडलीय ब्रह्माण्ड के समान है या इसके अतिरिक्त परिमाण के कई छोटे भाग हो सकते हैं। ब्रह्माण्ड कुछ आयामों में छोटा हो सकता है और दूसरों में नहीं (जिस तरह से एक घनाभ चौड़ाई और लंबाई के आयामों की तुलना में लंबाई के आयाम में लंबा है) यह परीक्षण करने के लिए कि क्या कोई दिया गया गणितीय मॉडल ब्रह्माण्ड का समुचित वर्णन करता है, वैज्ञानिक मॉडल के उपन्यास निहितार्थों की अपेक्षा करते हुए - ब्रह्माण्ड में घटनाएँ जो अभी तक नहीं देखी गई हैं लेकिन यदि मॉडल सही है तो इसका अस्तित्व होना चाहिए - और वे उन घटनाओं का परीक्षण करने के लिए प्रयोग करते हैं उदाहरण के लिए, यदि ब्रह्माण्ड एक छोटा सवृत पाश है, यदि कोई व्यक्ति अन्तरिक्ष में किसी वस्तु की विभिन्न छवियों को देखने की अपेक्षा करता है, हालांकि यह जरूरी नहीं कि उसी आकार की छवियां प्राप्त हों। ब्रह्मांड-विज्ञानियों ने सामान्यतः अंतरिक्ष-समय मे दिए गए अंतरिक्ष स्तरी खंड के साथ कार्य करते हैं, जिसे कोमोविंग निर्देशांक कहा जाता है जिसके एक अधिमानित समूह का अस्तित्व संभव है और वर्तमान मे भौतिक ब्रह्माण्ड विज्ञान में व्यापक रूप से यह स्वीकृत किया जाता है।

अंतरिक्ष-समय का वह पश्च प्रकाश शंकु भाग जिसे सामान्यतः देखा जा सकता है (ब्रह्माण्डीय प्रकाश क्षितिज के भीतर सभी बिंदु पर्यवेक्षक तक अभिगमन के लिए दिया गया समय), जबकि संबन्धित शब्द हबल आयतन का उपयोग या तो पिछले प्रकाश शंकु या आने वाले अंतिम प्रकाश प्रकीर्णन की सतह का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है। "ब्रह्माण्ड के आकार (एक समय में एक बिंदु पर)" पर परस्पर क्रिया करने के लिए केवल विशेष सापेक्षता के दृष्टिकोण से औपचारिक रूप से अनुभवहीन है एक साथ सापेक्षता के कारण, अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं को एक ही समय में सम्मिलित नहीं किया जा सकता है। "एक समय में ब्रह्मांड का आकार" हालांकि, आने वाले निर्देशांक (यदि अच्छी तरह से परिभाषित हैं) बिग बैंग सिद्धान्त (सीएमबी के संदर्भ में मापा गया) के बाद से एक विशिष्ट सार्वभौमिक समय के रूप में उपयोग करके उन लोगों को एक पूर्णतः जानकारी को प्रदान करते हैं।

ब्रह्माण्ड की वक्रता
वक्रता एक राशि है जो यह प्रदर्शित करती है कि किसी स्थान की ज्यामिति समतल समष्‍टि मे स्थानीय रूप से कैसे भिन्न होती है। किसी भी स्थानीय आइसोट्रोपिक स्थान (और इसलिए स्थानीय समदिक ब्रह्माण्ड) की वक्रता निम्नलिखित मुख्य तीन स्थितियों में से एक में होती है:
 * 1) शून्य वक्रता (समतल): एक खींचे हुए त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है और पाइथागोरस प्रमेय प्रयुक्त होता है ऐसा 3-आयामी समष्टि मे स्थानीय रूप से समतल समष्टि $E^{3}$ द्वारा प्रतिरूपित किया गया है।
 * 2) धनात्मक वक्रता: एक खींचे हुए त्रिभुज के कोणों का योग 180° से अधिक होता है ऐसा 3-आयामी समष्टि मे स्थानीय रूप से 3-वक्र $S^{3}$ के एक वृत्त द्वारा तैयार किया गया है।
 * 3) ऋणात्मक वक्रता: एक खींचे हुए त्रिभुज के कोणों का योग 180° से कम होता है इस प्रकार के 3-आयामी समष्टि को स्थानीय रूप से अतिपरवलीय समष्टि $H^{3}$ के एक वक्र द्वारा तैयार किया गया है।

घुमावदार ज्यामिति गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के समष्टि में हैं। धनात्मक रूप से घुमावदार समष्टि का एक उदाहरण पृथ्वी जैसे गोले की सतह होती है। भूमध्य रेखा से एक ध्रुव की ओर खींचे गए त्रिभुज में कम से कम दो कोण 90° के बराबर होंगे, जिनके 3 कोणों का योग 180° से अधिक होता है। और एक ऋणात्मक रूप से घुमावदार सतह का एक उदाहरण सैडिल या पहाड़ी दर्रे का आकार होता है। सैडिल की सतह पर खींचे गए त्रिभुज में कोणों का योग 180° से कम होता है।

सामान्य सापेक्षता यह प्रदर्शित करती है कि द्रव्यमान और ऊर्जा के समय की वक्रता को विचलित करते हैं और इसका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि ओमेगा (Ω) के साथ प्रदर्शित घनत्व पैरामीटर नामक मान का उपयोग करके ब्रह्माण्ड की वक्रता क्या है। घनत्व पैरामीटर ब्रह्मांड का औसत घनत्व है जिसे क्रांतिक ऊर्जा घनत्व से विभाजित किया जाता है, जो ब्रह्मांड के समतल होने के लिए आवश्यक द्रव्यमान ऊर्जा है। दूसरे प्रकार से -
 * यदि $Ω$, ब्रह्माण्ड समतल है।
 * यदि $Ω > 1$, धनात्मक वक्रता होती है।
 * यदि $Ω < 1$ ऋणात्मक वक्रता होती है।

वक्रता को दो प्रकार से निर्धारित करने के लिए कोई भी प्रायोगिक रूप से $Ω = 1$ की गणना कर सकता है। ब्रह्माण्ड में सभी द्रव्यमान-ऊर्जा की संख्या है और इसका औसत घनत्व को प्राप्त करना है फिर उस औसत को क्रांतिक ऊर्जा घनत्व से विभाजित करना होता है। विल्किन्सन सूक्ष्मतरंग अनिसोट्रॉपी परीक्षण (डब्ल्यूएमएपी) के साथ-साथ प्लैंक अंतरिक्ष यान का आँकड़ा ब्रह्माण्ड में सामान्य द्रव्यमान बैरोनिक पदार्थ और अस्पष्ट द्रव्य आपेक्षिक कण, फोटॉन और न्युट्रीन, गुप्त ऊर्जा या ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक सभी द्रव्यमान-ऊर्जा के तीन घटकों के लिए निम्न मान प्रदान करते है।

Ωद्रव्यमान ≈ 0.315±0.018

Ωआपेक्षित ≈ 9.24×10−5

ΩΛ ≈ 0.6817±0.0018

Ωकुल = Ωद्रव्यमान + Ωआपेक्षित + ΩΛ = 1.00±0.02

क्रांतिक घनत्व मान के लिए वास्तविक मान को ρक्रांतिक = 9.47×10−27 kg m−3 के रूप में मापा जाता है। प्रायोगिक त्रुटि के भीतर ये मान, ब्रह्मांड मे समतल प्रतीत होते है।

Ω को मापने का एक अन्य तरीका प्रेक्षणीय ब्रह्माण्ड में एक कोण को मापने के द्वारा ज्यामितीय रूप से ऐसा करना है। हम सीएमबी का उपयोग करके ऊर्जा फलन और तापमान अपररूपता को मापकर ऐसा कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक ऐसे गैस बादल को खोजने की कल्पना कर सकते हैं जो इतना बड़ा होने के कारण तापीय संतुलन में नहीं है कि प्रकाश की गति तापीय सूचना का प्रसार नहीं कर सकती है। इस प्रसार की गति को जानने के बाद, हम गैस बादल के आकार के साथ-साथ गैस बादल की दूरी को भी जानते हैं, फिर हमारे पास त्रिकोण के दो पक्ष होते हैं और कोणों को निर्धारित कर सकते हैं। इसी प्रकार की एक विधि का उपयोग करते हुए, बुमेरांग सिद्धान्त ने निर्धारित किया है कि प्रायोगिक त्रुटि के भीतर कोणों का योग 180° होता है, जो Ωकुल ≈ 1.00±0.12 के अनुरूप है।

ये और अन्य खगोलीय माप की समष्टि वक्रता को शून्य के बहुत निकट होने के लिए स्थगित करते हैं, हालांकि वे इसके संकेत को स्थगित नहीं करते हैं। इसका तात्पर्य यह है कि यद्यपि समय की स्थानीय ज्यामिति समय अंतराल पर आधारित सापेक्षता के सिद्धांत द्वारा उत्पन्न होती है, परिचित यूक्लिडियन ज्यामिति द्वारा 3- समष्टि का अनुमान लगाया जा सकता है।

फ्रीडमैन समीकरणों का उपयोग करने वाले फ्रीडमैन-लेमैट्रे-रॉबर्टसन-वॉकर (एफएलआरडब्ल्यू) मॉडल का उपयोग सामान्यतः ब्रह्माण्ड को मॉडल करने के लिए किया जाता है। एफएलआरडब्ल्यू मॉडल द्रव गतिकी के गणित के आधार पर ब्रह्माण्ड की वक्रता प्रदान करता है, अर्थात ब्रह्माण्ड के भीतर पदार्थ को एक आदर्श तरल पदार्थ के रूप में मॉडलिंग करता है। यद्यपि द्रव्यमान के सितारों और संरचनाओं को "लगभग एफएलआरडब्ल्यू" मॉडल में प्रस्तुत किया जा सकता है, हालांकि एक जटिलता के साथ एफएलआरडब्ल्यू मॉडल का उपयोग प्रेक्षणीय ब्रह्माण्ड की समष्टि ज्यामिति का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है। इसको कहने का एक अन्य तरीका यह है कि यदि गुप्त ऊर्जा के सभी रूपों को उपेक्षित कर दिया जाए, तो ब्रह्माण्ड की वक्रता को उसके भीतर के पदार्थ के औसत घनत्व को मापकर निर्धारित किया जा सकता है यह मानते हुए कि सभी पदार्थ समान रूप से वितरित हैं (अतिरिक्त 'द्वारा उत्पन्न विकृतियों के) सघन 'वस्तुएं जैसे कि आकाशगंगाएँ) इस धारणा को टिप्पणियों द्वारा सुनिश्चित किया गया है जबकि ब्रह्माण्ड अपेक्षाकृत कम समरूपता (भौतिकी) और विषमदैशिक, (ब्रह्माण्ड की बड़े पैमाने पर संरचना देखें) औसत सजातीय और समदैशिक होता है।

भूमंडलीय ब्रह्माण्ड संरचना
भूमंडलीय संरचना ज्यामिति और संपूर्ण ब्रह्माण्ड की सांस्थिति को प्रेक्षणीय ब्रह्माण्ड और उससे आगे दोनों को संरक्षित करती है जबकि स्थानीय ज्यामिति भूमंडलीय ज्यामिति को पूरी तरह से निर्धारित नहीं करती है लेकिन यह विशेष रूप से निरंतर वक्रता की ज्यामिति की संभावनाओं को सीमित करती है। ब्रह्माण्ड को प्रायः स्थलीय दोषों से मुक्त एक जियोडेसिक बहुरूपता के रूप में माना जाता है इनमें से किसी एक को शिथिल करने से विश्लेषण अधिक जटिल हो जाता है। एक भूमंडलीय ज्यामिति एक स्थानीय ज्यामिति और एक सांस्थिति है। यह इस प्रकार है कि अकेले एक सांस्थिति भूमंडलीय ज्यामिति नहीं देती है: उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन 3-समष्टि और अतिपरवलिक 3-समष्टि में समान टोपोलॉजी है लेकिन विभिन्न भूमंडलीय ज्यामिति हैं।

जैसा कि प्रस्तावना में कहा गया है, ब्रह्माण्ड की भूमंडलीय संरचना के अध्ययन के भीतर परीक्षण में सम्मिलित हैं:
 * ब्रह्मांड अनंत है या विस्तार में परिमित है।
 * चाहे भूमंडलीय ब्रह्माण्ड की ज्यामिति समतल हो, धनात्मक रूप से घुमावदार हो या ऋणात्मक रूप से घुमावदार हो।
 * क्या सांस्थिति केवल एक गोले की तरह संबद्ध है या एक टोरस की तरह द्विगुणित है।

अनंत या परिमित
ब्रह्माण्ड के विषय में वर्तमान में अनुत्तरित प्रश्नों में से एक यह है कि क्या ब्रह्माण्ड अनंत या परिमित है। अंतर्बोध के लिए, यह समझा जा सकता है कि एक परिमित ब्रह्माण्ड का एक परिमित आयतन है, उदाहरण के लिए, सिद्धांत रूप में भौतिक पदार्थों की एक सीमित राशि से परिपूर्ण हो सकता है जबकि एक अनंत ब्रह्मांड अबाधित है और कोई संख्यात्मक आयतन संभवतः इसे भर नहीं सकता है। गणितीय रूप से, ब्रह्माण्ड अनंत है या परिमित है, इस प्रश्न को परिबद्धता कहा जाता है। एक अनंत ब्रह्माण्ड (सीमित आव्यूह समष्टि) का अर्थ है कि अपेक्षाकृत रूप से दूर स्थित बिंदु हैं जो किसी भी दूरी $d$ के लिए, ऐसे बिंदु हैं जो कम से कम $d$ दूरी के निकट हैं। एक परिमित ब्रह्माण्ड एक सीमित आव्यूह समष्टि है, जहां कुछ दूरी $d$ है जैसे कि सभी बिंदु एक दूसरे के दूरी $d$ के भीतर हैं। इस तरह के सबसे छोटे $d$ को ब्रह्माण्ड का व्यास कहा जाता है, इस प्रकार स्थितिे में ब्रह्माण्ड में अपेक्षाकृत रूप से परिभाषित "आयतन" या "पैमाना" होता है।

सीमा के साथ या अतिरिक्त
एक परिमित ब्रह्माण्ड की कल्पना करते हुए, ब्रह्माण्ड का या तो कोई किनारा हो सकता है या कोई किनारा नहीं हो सकता है कई परिमित गणितीय शून्य समष्टि, उदाहरण के लिए, एक वक्र (गणित), का किनारा या सीमा होती है। जिन समष्टिों में किनारे हैं, उन्हें अवधारणात्मक और गणितीय दोनों रूप से संरक्षण करना जटिल होता है। अर्थात्, यह सिद्ध करना बहुत कठिन होता है कि ऐसे ब्रह्माण्ड के किनारे पर क्या होगा। इस कारण से, किनारों वाले शून्य समष्टि को सामान्यतः विचार जोन से बाहर रखा जाता है।

हालाँकि, इसमे कई परिमित समष्टि सम्मिलित होते हैं, जैसे कि 3-वृत्त और 3-टोरस, जिनका कोई किनारा नहीं है। गणितीय रूप से, इन समष्टि को अतिरिक्त किसी सीमा को "कॉम्पैक्ट" कहा जाता है। कॉम्पैक्ट शब्द का अर्थ है कि यह सीमा ("बाध्य") और पूर्ण में परिमित है। "बिना सीमा के" शब्द का अर्थ है कि अंतरिक्ष का कोई किनारा नहीं होता है। इसके अतिरिक्त, ताकि कलन को प्रयुक्त किया जा सके और ब्रह्माण्ड को सामान्यतः एक अलग-अलग कई गुना माना जाता है। एक गणितीय वस्तु जिसमें ये सभी गुण होते हैं, बिना सीमा के कॉम्पैक्ट और अलग-अलग होते हैं उन्हें सवृत मैनिफोल्ड कहा जाता है। 3-वृत्त और 3-टोरस दोनों सवृत मैनिफोल्ड (कई गुना) होते हैं।

यदि अंतरिक्ष अनंत (समतल, संबद्ध) क्षोभ होत है तब सीएमबी के तापमान में सभी पैमानों पर विकिरण सम्मिलित होते है। हालांकि, अंतरिक्ष परिमित है, तो वे तरंग दैर्ध्य लुप्त हो जाती हैं जो अंतरिक्ष के आकार से बड़े होती हैं। नासा के डब्ल्यूएमएपी और ईएसए के प्लैंक जैसे उपग्रहों के साथ बनाए गए सीएमबी क्षोभ वर्णक्रम के मानचित्रों ने बड़े पैमाने पर लुप्त क्षोभ की एक आश्चर्यजनक मात्रा प्रदर्शित होती है। सीएमबी के देखे गए उतार-चढ़ाव के गुण ब्रह्माण्ड के आकार से परे के पैमाने पर एक ' लुप्त ऊर्जा' को उत्सर्जित करते हैं। इसका अर्थ यह होगा कि हमारा ब्रह्माण्ड द्विगुणित संबद्ध और परिमित है। सीएमबी के क्षोभ ब्रह्माण्ड के साथ विस्तृत तीन-टोरस के रूप अपेक्षाकृत प्रयुक्त होते है और ब्रह्माण्ड तीनों आयामों में स्वयं से संबद्ध होते है।

वक्रता
ब्रह्माण्ड की वक्रता सांस्थिति पर प्रभाव डालती है। यदि समष्टि ज्यामिति वक्राकार है अर्थात धनात्मक वक्रता है, तो सांस्थिति सघन होती है। एक समतल (शून्य वक्रता) या एक अतिपरवालीय (ऋणात्मक वक्रता) समष्टि ज्यामिति के लिए, सांस्थिति सघन या अनंत हो सकती है। कई पाठ्यपुस्तकों में गलत तरीके से कहा गया है कि एक समतल ब्रह्माण्ड का अर्थ अनंत ब्रह्माण्ड होता है हालाँकि, सत्य कथन यह है कि एक समतल ब्रह्माण्ड जो कि सरलता से जुड़ा हुआ है, एक अनंत ब्रह्माण्ड का अर्थ है। उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन स्थान समतल है, जुड़ा हुआ है और अनंत है, लेकिन ऐसे समतल टोरस हैं जो समतल, बहुसंख्यक, परिमित और सघन हैं। (समतल टोरस देखें)।

सामान्य रूप से, रीमानियन ज्यामिति में समष्टि से भूमंडलीय प्रमेय स्थानीय ज्यामिति को भूमंडलीय ज्यामिति से संबंधित करते हैं। यदि समष्टि ज्यामिति में निरंतर वक्रता है, तो भूमंडलीय ज्यामिति बहुत सीमित है, जैसा कि थर्स्टन ज्यामिति में वर्णित है।

नवीनतम शोध से पता चलता है कि सबसे प्रभावशाली भविष्य के प्रयोग (जैसे वर्ग किलोमीटर सरणी) समतल, विवृत और संवृत ब्रह्माण्ड के बीच अंतर करने में सक्षम नहीं होंगे यदि ब्रह्माण्ड संबंधी वक्रता पैरामीटर का सही मान 10−4 से छोटा है। तो ब्रह्माण्ड संबंधी वक्रता पैरामीटर का सही मान 10−3 से बड़ा होता है तब हम इन तीन मॉडलों के बीच अंतर करने में सक्षम होंगे।

2018 में प्रारम्भ प्लैंक मिशन के अंतिम परिणाम ब्रह्माण्ड संबंधी वक्रता पैरामीटर 1 – Ω = ΩK = –K c²/a²H², to be 0.0007±0.0019 एक समतल ब्रह्मांड के अनुरूप दिखाई देते हैं। (अर्थात् धनात्मक वक्रता: K = +1, Ωκ < 0, Ω > 1, ऋणात्मक वक्रता: K = −1, Ωκ > 0, Ω < 1, शून्य वक्रता: K = 0, Ωκ = 0, Ω = 1)।

शून्य वक्रता वाला ब्रह्माण्ड
शून्य वक्रता वाले ब्रह्माण्ड में, समष्टि ज्यामिति समतल होती है। सबसे स्पष्ट भूमंडलीय संरचना यूक्लिडियन अंतरिक्ष की है, जो विस्तार में अनंत है।समतल ब्रह्माण्ड जो सीमा में परिमित हैं उनमें टोरस्र्स और क्लेन बोटल सम्मिलित हैं। इसके अतिरिक्त, तीन आयामों में 10 सीमित सवृत समतल 3 गुना हैं, जिनमें से 6 उन्मुख हैं और 4 गैर-उन्मुख हैं। ये बीबरबैक कई गुना होते हैं। सबसे घनिष्ठ उपरोक्त 3-टोरस ब्रह्माण्ड है। गुप्त ऊर्जा की अनुपस्थिति में, एक समतल ब्रह्माण्ड का सदैव के लिए विस्तृत होता है, लेकिन निरंतर घटती दर से, विस्तार शून्य के निकट तक हो सकता है। गुप्त ऊर्जा के साथ, गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव के कारण, ब्रह्माण्ड की विस्तार दर प्रारंभ में धीमी हो जाती है, लेकिन अंततः बढ़ जाती है। ब्रह्माण्ड का अंतिम भाग वही है जो एक विवृत ब्रह्माण्ड का है।

एक समतल ब्रह्माण्ड में शून्य-ऊर्जा ब्रह्माण्ड हो सकता है।

धनात्मक वक्रता वाला ब्रह्माण्ड
एक धनात्मक रूप से घुमावदार ब्रह्माण्ड को अण्डाकार ज्यामिति द्वारा वर्णित किया गया है, और इसे त्रि-आयामी हाइपरस्फीयर या कुछ अन्य गोलाकार 3-कई गुना (जैसे पोंकारे डोडेकाहेड्रल ) के रूप में माना जा सकता है, जो सभी 3-गोले के भागफल हैं।

पॉइंकेयर डोडेकाहेड्रल एक धनात्मक रूप से घुमावदार स्थान है, जिसे बोलचाल की भाषा में "सॉकरबॉल-आकार" के रूप में वर्णित किया गया है, क्योंकि यह बाइनरी इकोसाहेड्रल समूह द्वारा 3-समष्टि का भागफल है, जो आईकोसाहेड्रल समरूपता के बहुत करीब है, सॉकर बॉल की समरूपता। यह 2003 में जीन पियरे ल्यूमिनेट और उनके सहयोगियों द्वारा प्रस्तावित किया गया था और मॉडल के लिए आकाश पर एक इष्टतम अभिविन्यास का अनुमान 2008 में लगाया गया था।

ऋणात्मक वक्रता वाला ब्रह्माण्ड
एक अतिशयोक्तिपूर्ण ब्रह्माण्ड, एक ऋणात्मक स्थानिक वक्रता में से एक, अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति द्वारा वर्णित है और स्थानीय रूप से एक असीम रूप से विस्तारित सैडिल आकार के त्रि-आयामी एनालॉग के रूप में सोचा जा सकता है। अतिशयोक्तिपूर्ण 3-कई गुना की एक बड़ी विविधता है, और उनका वर्गीकरण पूरी तरह से समझा नहीं गया है। मोस्टो कठोरता प्रमेय के माध्यम से परिमित मात्रा को समझा जा सकता है। अतिशयोक्तिपूर्ण स्थानीय ज्यामिति के लिए, संभावित त्रि-आयामी स्थानों में से कई को अनौपचारिक रूप से "हॉर्न सांस्थिति" कहा जाता है, इसलिए इसे छद्ममंडल के आकार के कारण कहा जाता है, जो अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति का एक विहित मॉडल है। एक उदाहरण पिकार्ड हॉर्न है, जो एक ऋणात्मक रूप से घुमावदार स्थान है, जिसे बोलचाल की भाषा में "फ़नल-आकार" के रूप में वर्णित किया गया है।

वक्रता: विवृत या सवृत
जब ब्रह्माण्ड विज्ञानी ब्रह्माण्ड को "संवृत" या "विवृत" होने की बात करते हैं, तो वे सामान्यतः इस बात पर विचार करते हैं कि वक्रता क्रमशः ऋणात्मक या धनात्मक है या नहीं। विवृत और सवृत के ये अर्थ टोपोलॉजिकल में समूह के लिए विवृत और सवृत के गणितीय अर्थ से अलग हैं और विवृत और सवृत मैनिफोल्ड के गणितीय अर्थ के लिए हैं, जो अस्पष्टता और भ्रम को उत्पन्न करते है। गणित में, एक सवृत मैनिफोल्ड (अर्थात, सीमा के बिना सघन) और विवृत मैनिफोल्ड (अर्थात, जो सघन नहीं है और सीमा के बिना) की परिभाषाएं हैं। एक "सवृत ब्रह्माण्ड" अनिवार्य रूप से एक सवृत मैनिफोल्ड है। एक "विवृत ब्रह्माण्ड" या तो एक सवृत या विवृत मैनिफोल्ड हो सकता है। उदाहरण के लिए, फ्रीडमैन-लेमैट्रे-रॉबर्टसन-वॉकर (एफएलआरडब्ल्यू) मॉडल में ब्रह्माण्ड को सीमाओं के अतिरिक्त माना जाता है, इस स्थितिे में "सघन ब्रह्माण्ड" एक ऐसे ब्रह्माण्ड का वर्णन कर सकता है जो एक सवृत मैनिफोल्ड होता है।

मिल्ने मॉडल (अतिपरवलिक विस्तार)
यदि कोई ब्रह्माण्ड के विस्तार के लिए मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष-आधारित विशेष सापेक्षता को प्रयुक्त करता है और बिना घुमावदार अंतरिक्ष-समय की अवधारणा का प्रयोग किए मिल्ने मॉडल प्राप्त होता है। तो निरंतर आयु (बिग बैंग के उपयुक्त समय) के ब्रह्माण्ड के किसी भी स्थानिक भाग में ऋणात्मक वक्रता होगी यह केवल एक छद्म-यूक्लिडियन अंतरिक्ष ज्यामितीय तथ्य है जो समतल यूक्लिडियन अंतरिक्ष में संकेंद्रित समष्टिों के समान है, फिर भी घुमावदार होता हैं। इस मॉडल की समष्टि ज्यामिति एक असीमित अतिपरवलयिक समष्टि है। इस मॉडल में संपूर्ण ब्रह्माण्ड को मिन्कोवस्की अंतरिक्ष में प्रयुक्त करके मॉडल किया जा सकता है इस स्थितिे में ब्रह्माण्ड को मिन्कोव्स्की समय के प्रकाश शंकु के अंदर सम्मिलित किया गया है। इस स्थितिे में मिल्ने मॉडल प्रकाश शंकु का भविष्य का आंतरिक भाग है और प्रकाश शंकु ही बिग-बैंग है।

किसी भी क्षण के लिए $Ω = 1$ मिल्ने मॉडल के भीतर समन्वय समय (बिग बैंग को $Ω > 1$ मानते हुए), ब्रह्माण्ड का कोई भी समष्‍टि अनुप्रस्थ $Ω < 1$ स्थिर है मिन्कोवस्की अंतरिक्ष-समय में त्रिज्या के एक वृत्त से घिरा $Ω$ हुआ है एक क्षेत्र के भीतर एक अनंत ब्रह्मांड "अंतर्विष्ट" के स्पष्ट निर्देशांक मे मिल्ने मॉडल के समन्वय प्रणालियों और मिंकोस्की अंतरिक्ष-आधारिक समय के बीच असंतुलन का प्रभाव होता है जिसमें यह अंतः स्थापित होता है।

यह मॉडल अनिवार्य रूप से $t > 0$ के लिए एक अपभ्रष्ट (गणित) एफएलआरडब्ल्यू है। यह उन टिप्पणियों के साथ असंगत होता है जो निश्चित रूप से अत्यधिक ऋणात्मक समष्टि वक्रता को प्रयुक्त करता हैं। हालांकि, एक पार्श्व के रूप में जिसमें गुरुत्वाकर्षण समष्टि या ग्रैविटॉन संचालित हो सकती है जिसमे विभिन्न निश्चरता के कारण, मैक्रोस्कोपिक पैमाने की समष्टि, आइंस्टीन के समष्टि समीकरणों के किसी अन्य (विवृत) हल के बराबर होती है।

यह भी देखें

 * —एक स्ट्रिंग-सिद्धान्त-संबंधित मॉडल, जो एक पांच-आयामी, ब्रैन-आकार वाले ब्रह्मांड का चित्रण करता है बिग बैंग का एक विकल्प, जिसमें ब्रह्मांड की उत्पत्ति का वर्णन तब किया गया जब पांचवें आयाम में दो झिल्लियों मे टकराव हुआ।
 * कॉम्पैक्ट सांस्थिति के साथ 6 या 7 अतिरिक्त स्थान-जैसे आयामों के लिए
 * - गॉस द्वारा शोध की गई उल्लेखनीय प्रमेय, जिसने प्रदर्शित किया गया है कि सतहों के लिए वक्रता की एक आंतरिक धारणा है। यह रीमैन द्वारा उच्च-आयामी शून्य समष्टि के लिए वक्रता की (आंतरिक) धारणा को सामान्यीकृत करने के लिए उपयोग किया जाता है
 * - गॉस द्वारा शोध की गई उल्लेखनीय प्रमेय, जिसने प्रदर्शित किया गया है कि सतहों के लिए वक्रता की एक आंतरिक धारणा है। यह रीमैन द्वारा उच्च-आयामी शून्य समष्टि के लिए वक्रता की (आंतरिक) धारणा को सामान्यीकृत करने के लिए उपयोग किया जाता है
 * - गॉस द्वारा शोध की गई उल्लेखनीय प्रमेय, जिसने प्रदर्शित किया गया है कि सतहों के लिए वक्रता की एक आंतरिक धारणा है। यह रीमैन द्वारा उच्च-आयामी शून्य समष्टि के लिए वक्रता की (आंतरिक) धारणा को सामान्यीकृत करने के लिए उपयोग किया जाता है
 * - गॉस द्वारा शोध की गई उल्लेखनीय प्रमेय, जिसने प्रदर्शित किया गया है कि सतहों के लिए वक्रता की एक आंतरिक धारणा है। यह रीमैन द्वारा उच्च-आयामी शून्य समष्टि के लिए वक्रता की (आंतरिक) धारणा को सामान्यीकृत करने के लिए उपयोग किया जाता है
 * - गॉस द्वारा शोध की गई उल्लेखनीय प्रमेय, जिसने प्रदर्शित किया गया है कि सतहों के लिए वक्रता की एक आंतरिक धारणा है। यह रीमैन द्वारा उच्च-आयामी शून्य समष्टि के लिए वक्रता की (आंतरिक) धारणा को सामान्यीकृत करने के लिए उपयोग किया जाता है

बाहरी संबंध

 * Geometry of the Universe at icosmos.co.uk
 * Universe is Finite, "Soccer Ball"-Shaped, Study Hints. Possible wrap-around dodecahedral shape of the universe
 * Classification of possible universes in the Lambda-CDM model.
 * What do you mean the universe is flat? Scientific American Blog explanation of a flat universe and the curved spacetime in the universe.
 * Universe is Finite, "Soccer Ball"-Shaped, Study Hints. Possible wrap-around dodecahedral shape of the universe
 * Classification of possible universes in the Lambda-CDM model.
 * What do you mean the universe is flat? Scientific American Blog explanation of a flat universe and the curved spacetime in the universe.
 * What do you mean the universe is flat? Scientific American Blog explanation of a flat universe and the curved spacetime in the universe.
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