ब्रेम्सरेडिएशन

ब्रेम्सरेडिएशन, से ब्रेमसेन रोधक और विकिरण विकिरण; अर्थात, आरोधन विकिरण या मंदन विकिरण, विद्युत चुम्बकीय विकिरण है, जो एक आवेशित कण के अवमंदन द्वारा उत्पन्न होता है, जब किसी अन्य आवेशित कण द्वारा विक्षेपित किया जाता है, सामान्यतः एक परमाणु नाभिक द्वारा एक इलेक्ट्रॉन। गतिमान कण गतिज ऊर्जा खो देता है, जो विकिरण(अर्थात, फोटॉन) में परिवर्तित हो जाता है, इस प्रकार ऊर्जा के संरक्षण को संतुष्ट करते है। तथ्य का उपयोग विकिरण के उत्पादन की प्रक्रिया को संदर्भित करने के लिए भी किया जाता है। ब्रेम्सरेडिएशन में एक सतत वर्णक्रम होता है, जो अधिक तीव्र हो जाता है और जिसकी परम तीव्रता उच्च आवृत्तियों की ओर स्थानांतरित हो जाती है, क्योंकि मन्‍द कणों की ऊर्जा में परिवर्तन बढ़ जाता है।

बड़े पैमाने पर बोलना, ब्रेम्सरेडिएशन या 'आरोधन विकिरण' एक आवेशित कण के मंदन(ऋणात्मक त्वरण) के कारण उत्पन्न होने वाला कोई भी विकिरण है, जिसमें सिंक्रोट्रॉन विकिरण(अर्थात, एक सापेक्षिक कण द्वारा फोटॉन उत्सर्जन), साइक्लोट्रॉन विकिरण(अर्थात एक गैर-आपेक्षिकीय कण द्वारा फोटॉन उत्सर्जन), और बीटा क्षय के समय इलेक्ट्रॉनों और पॉज़िट्रॉन का उत्सर्जन सम्मिलित है।। यद्यपि, तथ्य का प्रयोग प्रायः इलेक्ट्रॉनों से विकिरण के अधिक संकीर्ण अर्थ में किया जाता है(जो भी स्रोत से) पदार्थ में धीमा हो जाता है।

प्लाज्मा(भौतिकी) से उत्सर्जित ब्रेम्सरेडिएशन को कभी-कभी 'मुक्त-मुक्त विकिरण' कहा जाता है। यह इस तथ्य को संदर्भित करते है कि इस स्थिति में विकिरण उन इलेक्ट्रॉनों द्वारा निर्मित होते है जो पूर्व मुक्त होते हैं(अर्थात, परमाणु या आणविक बाध्य अवस्था में नहीं), और एक फोटॉन के उत्सर्जन के बाद मुक्त रहते हैं। उसी भाषा में, 'बद्ध-बद्ध' विकिरण वर्णक्रमीय रेखा(एक इलेक्ट्रॉन दो बद्ध अवस्था के बीच चला जाता है) को संदर्भित करते है, जबकि 'मुक्त-बद्ध' विकिरण विकिरण पुनर्संयोजन(प्लाज्मा) प्रक्रिया को संदर्भित करते है, जिसमें एक मुक्त इलेक्ट्रॉन एक आयन के साथ प्लाज्मा पुनर्संयोजन होता है।

शास्त्रीय विवरण
यदि क्वांटम यांत्रिकी प्रभाव नगण्य हैं, तो एक त्वरित आवेशित कण लारमोर सूत्र और इसके सापेक्ष सामान्यीकरण द्वारा वर्णित शक्ति को विकीर्णित करता है।

कुल विकीर्ण शक्ति
कुल विकीर्ण शक्ति
 * $$P = \frac{q^2 \gamma^4}{6 \pi \varepsilon_0 c}

\left( \dot{\beta}^2 + \frac{\left(\boldsymbol{\beta} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}\right)^2}{1 - \beta^2}\right)$$ है, जहाँ $\boldsymbol\beta = \frac{\mathbf v}{c}$ (प्रकाश की गति से विभाजित कण का वेग), $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$ लोरेंत्ज़ कारक है, $$\varepsilon_0$$ निर्वात पारगम्यता है, $$\dot{\boldsymbol\beta}$$ $$\boldsymbol\beta$$ का समय व्युत्पन्न दर्शाता है, और q कण का आवेश है। ऐसी स्थिति में जहां वेग त्वरण(अर्थात, रैखिक गति) के समानांतर होता है, अभिव्यक्ति
 * $$P_{a \parallel v} = \frac{q^2 a^2 \gamma^6}{6 \pi \varepsilon_0 c^3},$$

में घट जाती है जहाँ $$a \equiv \dot{v} = \dot{\beta}c$$ त्वरण होता है। वेग($$\boldsymbol{\beta} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}} = 0$$) की लंबवत त्वरण की स्थिति में, उदाहरण के लिए सिंक्रोटॉन में, कुल शक्ति


 * $$P_{a \perp v} = \frac{q^2 a^2 \gamma^4 }{6 \pi \varepsilon_0 c^3}$$ है।

दो सीमित स्थितियों में विकीर्ण शक्ति $$\gamma^4$$ $$\left(a \perp v\right)$$ या $$\gamma^6$$ $$\left(a \parallel v\right)$$ समानुपाती होती है। $$E = \gamma m c^2$$के बाद से, हम देखते हैं कि समान ऊर्जा $$E$$ वाले कणों के लिए कुल विकिरणित शक्ति $$m^{-4}$$ या $$m^{-6}$$के रूप में जाती है, जो इस बात का कारण है कि क्यों इलेक्ट्रॉन भारी आवेशित कणों की तुलना में अधिक तीव्रता से ब्रेम्सरेडिएशन विकिरण में ऊर्जा खो देते हैं(जैसे, म्यूऑन, प्रोटॉन, अल्फा कण)। यही कारण है कि एक टीईवी ऊर्जा इलेक्ट्रॉन-पॉजिट्रॉन कोलाइडर(जैसे प्रस्तावित अंतर्राष्ट्रीय रैखिक कोलाइडर) एक गोलाकार सुरंग(निरंतर त्वरण की आवश्यकता) का उपयोग नहीं कर सकते है, जबकि एक प्रोटॉन-प्रोटॉन कोलाइडर(जैसे व्यापक हैड्रान कोलाइडर) एक गोलाकार सुरंग का उपयोग कर सकते है। प्रोटॉन की तुलना में $$(m_p/m_e)^4 \approx 10^{13}$$ गुना अधिक दर पर ब्रेम्सरेडिएशन के कारण इलेक्ट्रॉन ऊर्जा खो देते हैं।

कोणीय वितरण
कोण के कार्य के रूप में विकिरणित शक्ति के लिए सबसे सामान्य सूत्र है:
 * $$\frac{d P}{d\Omega} = \frac{q^2}{16\pi^2 \varepsilon_0 c} \frac{\left|\hat{\mathbf n} \times \left(\left(\hat{\mathbf n} - \boldsymbol{\beta}\right) \times \dot{\boldsymbol{\beta}}\right)\right|^2}{\left(1 - \hat{\mathbf n}\cdot\boldsymbol{\beta}\right)^5}$$

जहाँ $$\hat{\mathbf n}$$ एक इकाई सदिश है जो कण से पर्यवेक्षक की ओर संकेत करता है, और $$d\Omega$$ ठोस कोण का एक अतिसूक्ष्म अंश है।

ऐसी स्थिति में जहां वेग त्वरण के समानांतर होता है(उदाहरण के लिए, रैखिक गति), यह

$$\frac{dP_{a \parallel v}}{d\Omega} = \frac{q^2a^2}{16\pi^2 \varepsilon_0 c^3}\frac{\sin^2 \theta}{(1 - \beta \cos\theta)^5}$$

को सरल करता है जहां $$\theta$$, $$\mathbf{a}$$ और अवलोकन की दिशा के बीच का कोण है।

सरलीकृत क्वांटम-यांत्रिक विवरण
ब्रेम्सरेडिएशन का पूर्ण क्वांटम-यांत्रिक निरूपण बहुत सम्मिलित है। शुद्ध कूलम्ब क्षमता का उपयोग करते हुए एक इलेक्ट्रॉन, एक आयन और एक फोटॉन की परस्पर क्रिया के निर्वात स्थिति का एक यथार्थ हल है जो संभवत: प्रथमतः 1931 में ए. सोमरफेल्ड द्वारा प्रकाशित किया गया था। इस विश्लेषणात्मक हल में जटिल गणित सम्मिलित है, और कई संख्यात्मक गणनाएँ प्रकाशित की गई हैं, जैसे कर्ज़स और लैटर द्वारा। अन्य अनुमानित सूत्र प्रस्तुत किए गए हैं, जैसे वेनबर्ग और प्राडलर और सेमेलरॉक द्वारा हाल के कार्य में।

यह खंड पूर्व खंड का एक क्वांटम-यांत्रिक एनालॉग देता है, परन्तु कुछ सरलीकरण के साथ महत्वपूर्ण भौतिकी को चित्रित करता है। हम द्रव्यमान $$m_e$$ के एक इलेक्ट्रॉन की विशेष स्थिति के गैर-सापेक्षवादी निरूपण देते हैं, आवेश$$-e$$, और प्रारंभिक गति $$v$$ आवेश $$Ze$$ और संख्या घनत्व $$n_i$$ के भारी आयनों की गैस के कूलम्ब क्षेत्र में घटते हैं। उत्सर्जित विकिरण आवृत्ति $$\nu=c/\lambda$$ और ऊर्जा $$h\nu$$ का एक फोटॉन है। हम उत्सर्जकता $$j(v,\nu)$$ को खोजना चाहते हैं जो प्रति उत्सर्जित शक्ति है(फोटॉन वेग समष्टि *में ठोस कोण फोटॉन आवृत्ति), दोनों अनुप्रस्थ फोटॉन ध्रुवीकरणों पर अभिव्यक्त की गई है। हम इसे क्वांटम और अन्य संशोधनों के लिए मुक्त-मुक्त उत्सर्जन गौंट कारक gff लेखांकन के अनुमानित शास्त्रीय परिणाम के रूप में व्यक्त करते हैं:

$$j(v,\nu) = {8\pi\over 3\sqrt3}\left({e^2\over 4\pi\epsilon_0}\right)^3 {Z^2n_i \over c^3m_e^2v}g_{\rm ff}(v,\nu)$$

$$j(\nu,v)=0$$ यदि $$h\nu > mv^2/2$$, अर्थात्, इलेक्ट्रॉन में फोटॉन उत्सर्जित करने के लिए पर्याप्त गतिज ऊर्जा नहीं है। $$g_{\rm ff}$$ के लिए सामान्य, क्वांटम-यांत्रिक सूत्र स्थित है परन्तु बहुत जटिल है, और सामान्यतः संख्यात्मक गणनाओं द्वारा पाया जाता है। हम निम्नलिखित अतिरिक्त मान्यताओं के साथ कुछ अनुमानित परिणाम प्रस्तुत करते हैं:


 * निर्वात परस्पर क्रिया: हम परिप्रेक्ष्य माध्यम के किसी भी प्रभाव की उपेक्षा करते हैं, जैसे कि प्लाज्मा आवरण प्रभाव। यह प्लाज्मा इलेक्ट्रॉन घनत्व $$n_e$$के साथ प्लाज्मा दोलन $$\nu_{\rm pe} \propto n_{\rm e}^{1/2}$$ की तुलना में बहुत अधिक फोटॉन आवृत्ति के लिए उचित है। ध्यान दें कि प्रकाश तरंगें $$\nu<\nu_{\rm pe}$$ के लिए क्षणभंगुर हैं और एक महत्वपूर्ण भिन्न दृष्टिकोण की आवश्यकता होगी।
 * शीतल फोटॉन: $$h\nu\ll m_ev^2/2$$, अर्थात्, फोटॉन ऊर्जा प्रारंभिक इलेक्ट्रॉन गतिज ऊर्जा से बहुत कम है।

इन धारणाओं के साथ, दो इकाई रहित पैरामीटर प्रक्रिया की विशेषता बताते हैं: $$\eta_Z \equiv Ze^2/\hbar v$$, जो इलेक्ट्रॉन-आयन कूलम्ब परस्पर क्रिया की सामर्थ्य को मापता है, और $$\eta_\nu \equiv h\nu/2m_ev^2$$, जो फोटॉन की मृदुता को मापता है और हम मानते हैं कि यह सदैव छोटा होता है(कारक 2 का विकल्प बाद की सुविधा के लिए है)। सीमा में $$\eta_Z\ll 1$$, क्वांटम-यांत्रिक रूढ़ सन्निकटन देता है:

$$g_{\rm ff,Born} = {\sqrt3 \over \pi}\ln{1\over\eta_\nu}$$ विपरीत सीमा $$\eta_Z\gg 1$$ में, पूर्ण क्वांटम-मैकेनिकल परिणाम विशुद्ध शास्त्रीय परिणाम

$$g_{\rm ff,class} = {\sqrt3\over\pi}\left[\ln\left({1\over \eta_Z\eta_\nu}\right)- \gamma \right]$$ में घट जाता है जहाँ $$\gamma\approx 0.577$$ यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक है। ध्यान दें कि $$1/\eta_Z\eta_\nu=m_ev^3/\pi Ze^2\nu$$ जो कि प्लैंक स्थिरांक $$h$$ के बिना विशुद्ध शास्त्रीय अभिव्यक्ति है।

गौंट कारक को समझने का एक अर्ध-शास्त्रीय, अनुमानी विधि इसे $$g_{\rm ff} \approx \ln(b_{\rm max}/b_{\rm min})$$ के रूप में लिखना है जहां $$b_{\max}$$ और $$b_{\rm min}$$ इलेक्ट्रॉन-आयन संघट्टन के लिए फोटॉन विद्युत क्षेत्र की उपस्थिति में अधिकतम और न्यूनतम "प्रभाव पैरामीटर" हैं। हमारी धारणाओं के साथ, $$b_{\rm max}=v/\nu$$: बड़े प्रभाव मापदंडों के लिए, फोटॉन क्षेत्र का ज्यावक्रीय दोलन "चरण मिश्रण" प्रदान करते है जो परस्पर क्रिया को दृढ़ता से कम करते है। $$b_{\rm min}$$ क्वांटम-यांत्रिक डीब्रॉली तरंग $$\approx h/m_ev$$ से बड़ा है और निकटतम दृष्टिकोण $$\approx e^2/4\pi\epsilon_0m_ev^2$$ की शास्त्रीय दूरी है जहाँ इलेक्ट्रॉन-आयन कूलम्ब संभावित ऊर्जा इलेक्ट्रॉन की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा के बराबर है।

उपरोक्त सन्निकटन सामान्यतः तब तक लागू होते हैं जब तक लघुगणक का तर्क बड़ा होता है, और जब यह एकता से कम होता है तो टूट जाता है। अर्थात्, गॉट गुणक के लिए ये रूप ऋणात्मक हो जाते हैं, जो अभौतिक है। पूर्ण गणनाओं के लिए एक अपूर्ण सन्निकटन, उपयुक्त जन्म और शास्त्रीय सीमाओं के साथ,

$$g_{\rm ff} \approx \max\left[1, {\sqrt3\over\pi}\ln\left[{1\over \eta_\nu\max(1,e^\gamma\eta_Z)}\right] \right]$$है

तापीय आरोधन विकिरण: उत्सर्जन और अवशोषण
यह खंड स्थूल माध्यम में ब्रेम्सरेडिएशन उत्सर्जन और उलटा अवशोषण प्रक्रिया(विपरीत ब्रेम्सरेडिएशन कहा जाता है) पर चर्चा करता है। हम विकिरण अंतरण के समीकरण से प्रारम्भ करते हैं, जो सामान्य प्रक्रियाओं पर लागू होता है न कि मात्र ब्रेम्सरेडिएशन पर:

$$\frac{1}{c} \partial_t I_\nu + \hat \mathbf n\cdot\nabla I_\nu = j_\nu-k_\nu I_\nu$$

$$I_\nu(t,\mathbf x)$$ विकिरण वर्णक्रमीय तीव्रता है, या शक्ति प्रति(क्षेत्र * फोटॉन वेग अंतरिक्ष * फोटॉन आवृत्ति में ठोस कोण) दोनों ध्रुवीकरणों पर अभिव्यक्त है। $$j_\nu$$ उत्सर्जन है, के अनुरूप $$j(v,\nu)$$ऊपर परिभाषित, और $$k_\nu$$ अवशोषकता है। $$j_\nu$$ और $$k_\nu$$ पदार्थ के गुण हैं, विकिरण नहीं, और माध्यम में सभी कणों के लिए खाते हैं - न कि मात्र एक इलेक्ट्रॉन और एक आयन की एक जोड़ी जैसा कि पूर्व खंड में है। यदि $$I_\nu$$ अंतरिक्ष और समय में एक समान है, तो स्थानांतरण समीकरण का बायां हाथ शून्य है, और हम

$$I_\nu={j_\nu \over k_\nu}$$पाते हैं यदि द्रव्य और विकिरण भी किसी ताप पर तापीय साम्यावस्था में हों, तब $$I_\nu$$ कृष्णिका पिंडों से उत्पन्न विकिरण होना चाहिए:

$$B_\nu(\nu, T_e) = \frac{2h\nu^3}{c^2}\frac{1}{e^{h\nu/k_{\rm B}T_e} - 1}$$ चूंकि $$j_\nu$$ और $$k_\nu$$ $$I_\nu$$ से स्वतंत्र हैं, इसका तात्पर्य यह है कि जब भी पदार्थ कुछ तापमान पर संतुलन में होता है - तो विकिरण की स्थिति की परवाह किए बिना $$j_\nu/k_\nu$$ कृष्णिका वर्णक्रम होना चाहिए। एक बार ज्ञात होने पर यह हमें $$j_\nu$$ और $$k_\nu$$ दोनों को तुरंत जानने की अनुमति देता है - संतुलन में पदार्थ के लिए।

प्लाज्मा में
नोट: यह खंड वर्तमान में रेले-जीन्स सीमा $$\hbar \omega \ll k_{\rm B}T_e$$ में लागू होने वाले सूत्र देता है, और विकिरण के परिमाणित(प्लैंक) निरूपण का उपयोग नहीं करता है। इस प्रकार $$\exp(-\hbar\omega/k_{\rm B}T_e)$$ जैसा सामान्य कारक प्रकट नहीं होता है। निम्न $$\hbar \omega / k_{\rm B}T_e$$ में $$y$$ की उपस्थिति संघट्टनों के क्वांटम-यांत्रिक निरूपण के कारण है।

एक प्लाज्मा(भौतिकी) में, मुक्त इलेक्ट्रॉन निरंतर आयनों से टकराते हैं, जिससे ब्रेम्सरेडिएशन का निर्माण होता है। पूर्ण विश्लेषण के लिए द्विक कूलम्ब संघट्टनों के साथ-साथ सामूहिक(परावैद्युत) व्यवहार दोनों के लिए लेखांकन की आवश्यकता होती है। बेकेफी द्वारा एक विस्तृत निरूपण दिया गया है, जबकि एक सरलीकृत इचिमारू द्वारा दिया गया है। इस खंड में हम बेकेफी के परावैद्युत निरूपण का पालन करते हैं, जिसमें लगभग अंतक तरंग संख्या, $$k_{\rm max}$$ के माध्यम से संघट्टनसम्मिलित हैं।

तापमान $$T_e$$ के साथ मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण के अनुसार वितरित तापीय इलेक्ट्रॉनों के साथ एक समान प्लाज्मा पर विचार करें। बेकेफी के बाद, ब्रेम्सरेडिएशन विकीर्ण की शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व(शक्ति प्रति कोणीय आवृत्ति अंतराल प्रति आयतन, ठोस कोण के पूरे $$4\pi$$ स्टिरेडियन पर एकीकृत, और दोनों ध्रुवीकरणों में), की गणना


 * $$ {dP_\mathrm{Br} \over d\omega} = {8\sqrt 2 \over 3\sqrt\pi} \left[{e^2 \over 4\pi\varepsilon_0} \right]^3 {1 \over (m_ec^2)^{3/2}} \left[1-{\omega_{\rm p}^2 \over \omega^2}\right]^{1/2} {Z_i^2 n_i n_e \over (k_{\rm B} T_e)^{1/2}} E_1(y),

$$ की जाती है जहाँ $$\omega_p \equiv (n_ee^2/\varepsilon_0m_e)^{1/2}$$ इलेक्ट्रॉन प्लाज्मा आवृत्ति है, $$\omega$$ फोटॉन आवृत्ति है, $$n_e, n_i$$ इलेक्ट्रॉनों और आयनों की संख्या घनत्व है, और अन्य प्रतीक भौतिक स्थिरांक हैं। दूसरा कोष्ठक कारक प्लाज्मा में एक प्रकाश तरंग के अपवर्तन का सूचकांक है, और यह दर्शाता है कि $$\omega < \omega_{\rm p}$$ के लिए उत्सर्जन बहुत कम हो गया है(यह एक प्लाज्मा में प्रकाश तरंग के लिए अंतक स्थिति है, इस स्थिति में प्रकाश तरंग क्षणभंगुर तरंग है)। इस प्रकार यह सूत्र मात्र $$\omega>\omega_{\rm p}$$ के लिए लागू होता है। इस सूत्र को बहु-प्रजाति के प्लाज्मा में आयन प्रजातियों पर अभिव्यक्त किया जाना चाहिए।

विशेष फलन $$E_1$$ को घातीय अभिन्न लेख में परिभाषित किया गया है, और इकाई रहित मात्रा $$y$$


 * $$y = {1\over 2}{\omega^2 m_e \over k_{\rm max}^2 k_{\rm B} T_e} $$ है।

$$k_{\rm max}$$ एक अधिकतम या अंतक तरंग संख्या है, जो द्विक संघट्टनों के कारण उत्पन्न होता है, और आयन प्रजातियों के साथ भिन्न हो सकते है। साधारणतया, $$k_{\rm max} = 1/\lambda_{\rm B}$$ जब $$k_{\rm B} T_{\rm e} > Z_i^2 E_{\rm h}$$(प्लास्मा में विशिष्ट जो बहुत शीत नहीं होता है), जहां $$E_{\rm h} \approx 27.2$$ eV हार्ट्री परमाणु इकाइयाँ हैं, और $$\lambda_{\rm B} = \hbar/(m_{\rm e} k_{\rm B} T_{\rm e})^{1/2}$$ इलेक्ट्रॉन तापीय डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य है। अन्यथा, $$k_{\rm max} \propto 1/l_{\rm C}$$ जहाँ $$l_{\rm C}$$ निकटतम दृष्टिकोण की शास्त्रीय कूलम्ब दूरी है।

सामान्य स्थिति $$k_m = 1/\lambda_B$$ के लिए, हम


 * $$y = {1\over2}\left[\frac{\hbar\omega}{k_{\rm B} T_e}\right]^2 $$ पाते हैं।

$$dP_\mathrm{Br}/d\omega$$ के लिए सूत्र अनुमानित है, जिसमें यह $$\omega_{\rm p}$$से थोड़ा ऊपर $$\omega$$ के लिए होने वाले बढ़े हुए उत्सर्जन की उपेक्षा करते है।

सीमा $$y\ll 1$$ में, $$E_1(y) \approx -\ln [y e^\gamma] + O(y) $$ को $$E_1 $$ के रूप में सन्निकटित कर सकते हैं जहाँ $$\gamma\approx 0.577$$ यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक है। अग्रणी, लॉगरिदमिक तथ्य का प्रायः उपयोग किया जाता है, और कूलम्ब लॉगरिदम जैसा दिखता है जो अन्य संपार्श्विक प्लाज्मा गणनाओं में होता है। $$y>e^{-\gamma}$$ के लिए लघुगणक तथ्य ऋणात्मक है, और सन्निकटन स्पष्ट रूप से अपर्याप्त है। बेकेफी लघुगणक तथ्य के लिए उचित अभिव्यक्ति देता है जो विस्तृत द्विक् संघट्टन गणनाओं से मेल खाते है।

कुल उत्सर्जन शक्ति घनत्व, सभी आवृत्तियों पर एकीकृत,


 * $$\begin{align}

P_\mathrm{Br} &= \int_{\omega_{\rm p}}^\infty d\omega {dP_\mathrm{Br}\over d\omega} = {16 \over 3} \left[ {e^2 \over 4\pi\varepsilon_0} \right]^3 {1 \over m_e^2c^3} Z_i^2 n_i n_e k_{\rm max} G(y_{\rm p}) \\ G(y_p) &= {1 \over 2\sqrt{\pi}} \int_{y_{\rm p}}^\infty dy \, y^{-\frac{1}{2}} \left[1 - {y_{\rm p} \over y}\right]^\frac{1}{2} E_1(y) \\ y_{\rm p} &= y(\omega=\omega_{\rm p}) \end{align}$$
 * $$G(y_{\rm p}=0)=1$$ है और $$y_{\rm p}$$ के साथ घटता है; यह सदैव धनात्मक होता है। $$k_{\rm max} = 1/\lambda_{\rm B}$$के लिए, हम


 * $$P_\mathrm{Br} = {16 \over 3} {\left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\right)^3 \over (m_e c^2)^\frac{3}{2}\hbar} Z_i^2 n_i n_e (k_{\rm B} T_e)^\frac{1}{2} G(y_{\rm p})$$ पाते हैं

$$\lambda_{\rm B}$$ की क्वांटम प्रकृति के कारण $$\hbar$$ की क्वांटम प्रकृति के कारण। व्यावहारिक इकाइयों में, $$G=1$$ के लिए इस सूत्र का सामान्यतः उपयोग किया जाने वाला संस्करण
 * $$P_\mathrm{Br} [\textrm{W}/\textrm{m}^3] = {Z_i^2 n_i n_e \over \left[7.69 \times 10^{18} \textrm{m}^{-3}\right]^2} T_e[\textrm{eV}]^\frac{1}{2} $$ है।

द्विक संघट्टनों के विवरण के कारण अंतर के साथ, यह सूत्र ऊपर दिए गए सूत्र का 1.59 गुना है। इस प्रकार की अस्पष्टता को प्रायः गॉट गुणक $$g_{\rm B}$$ प्रस्तुत करके व्यक्त किया जाता है, उदा. एक में


 * $$\varepsilon_\mathrm{ff} = 1.4\times 10^{-27} T^\frac{1}{2} n_e n_i Z^2 g_{\rm B},\,$$

मिलता है, जहाँ सब कुछ सीजीएस इकाइयों में व्यक्त किया जाता है।

आपेक्षिकीय संशोधन
बहुत अधिक तापमान के लिए इस सूत्र में आपेक्षिकीय संशोधन होते हैं, अर्थात, $$k_{\rm B} T_e/m_e c^2\,$$ के क्रम की अतिरिक्त तथ्य।

ब्रेम्सरेडिएशन शीतलन
यदि प्लाज्मा प्रकाशतः विरल है, तो ब्रेम्सरेडिएशन विकिरण हानि को छोड़ देता है, आंतरिक प्लाज्मा ऊर्जा का भाग ले जाता है। इस प्रभाव को ब्रेम्सरेडिएशन शीतलन के रूप में जाना जाता है। यह एक प्रकार का विकिरण शीतलन है। ब्रेम्सरेडिएशन द्वारा ले जाई जाने वाली ऊर्जा को ब्रेम्सरेडिएशन हानि कहा जाता है और यह एक प्रकार के विकिरण संबंधी हानि का प्रतिनिधित्व करते है। सामान्यतः ब्रेम्सरेडिएशन हानि तथ्य का उपयोग उस संदर्भ में किया जाता है जब प्लाज्मा शीतलन अवांछित होती है, उदाहरण के लिए परमाणु संलयन में।

ध्रुवीकरण संबंधी ब्रेम्सरेडिएशन
ध्रुवीकरण संबंधी ब्रेम्सरेडिएशन(कभी-कभी परमाणु ब्रेम्सरेडिएशन के रूप में जाना जाता है) लक्ष्य के परमाणु इलेक्ट्रॉनों द्वारा उत्सर्जित विकिरण होता है क्योंकि लक्ष्य परमाणु को आवेशित कण के कूलम्ब क्षेत्र द्वारा ध्रुवीकृत किया जाता है। अपेक्षाकृत भारी घटना कणों, अनुनाद प्रक्रियाएं, और मुक्त परमाणुओं से जुड़े प्रयोगों में कुल ब्रेम्सरेडिएशन स्पेक्ट्रम में ध्रुवीकरण संबंधी ब्रेम्सरेडिएशन योगदान देखा गया है। यद्यपि, अभी भी कुछ चर्चा चल रही है कि ठोस लक्ष्यों पर तीव्रता से इलेक्ट्रॉनों की घटना से जुड़े प्रयोगों में महत्वपूर्ण ध्रुवीकरण ब्रेम्सरेडिएशन योगदान हैं या नहीं।

यह ध्यान देने योग्य है कि ध्रुवीकरण तथ्य का अर्थ यह नहीं है कि उत्सर्जित ब्रेम्सरेडिएशन ध्रुवीकृत है। साथ ही, ध्रुवीकरण वाले ब्रेम्सरेडिएशन का कोणीय वितरण सैद्धांतिक रूप से सामान्य ब्रेम्सरेडिएशन से अत्यधिक अलग है।

एक्स-किरण नली


एक एक्स-किरण नली में, इलेक्ट्रॉनों को लक्ष्य नामक धातु के एक टुकड़े की ओर विद्युत क्षेत्र द्वारा निर्वात में त्वरित किया जाता है। एक्स-किरण उत्सर्जित होते हैं क्योंकि धातु में इलेक्ट्रॉनों की गति धीमी हो जाती है। आउटपुट वर्णक्रम में एक्स-किरण का सतत वर्णक्रम होता है, जिसमें कुछ ऊर्जाओं पर अतिरिक्त तीव्र शिखर होते हैं। निरंतर वर्णक्रम ब्रेम्सरेडिएशन के कारण होते है, जबकि तीव्र शिखर लक्ष्य में परमाणुओं से जुड़ी विशिष्ट एक्स-किरण हैं। इस कारण से, इस संदर्भ में ब्रेम्सरेडिएशन को निरंतर एक्स-किरण भी कहा जाता है।

इस सातत्य वर्णक्रम का आकार लगभग क्रामर्स के नियम द्वारा वर्णित है।

क्रेमर्स के नियम का सूत्र सामान्यतः उत्सर्जित विकिरण के तरंग दैर्ध्य $$\lambda$$ के विरुद्ध तीव्रता(फोटॉन संख्या) $$I$$ के वितरण के रूप में दिया जाता है:
 * $$ I(\lambda) \, d\lambda = K \left( \frac{\lambda}{\lambda_{\min}} - 1 \right)\frac{1}{\lambda^2} \, d\lambda $$

निरंतर K लक्ष्य तत्व की परमाणु संख्या के समानुपाती होता है, और $$\lambda_{\min}$$ डुआन-हंट नियम द्वारा दी गई न्यूनतम तरंग दैर्ध्य है।

वर्णक्रम में तीव्र अंतक $$\lambda_{\min}$$ है, जो आने वाले इलेक्ट्रॉनों की सीमित ऊर्जा के कारण है। उदाहरण के लिए, यदि नली में एक इलेक्ट्रॉन को 60 किलोवोल्ट के माध्यम से त्वरित किया जाता है, तो यह 60 इलेक्ट्रॉन वोल्ट की गतिज ऊर्जा प्राप्त करेगा, और जब यह लक्ष्य से टकराता है, तो यह ऊर्जा के संरक्षण द्वारा अधिकतम 60 keV की ऊर्जा के साथ एक्स-किरण बना सकता है।(यह ऊपरी सीमा मात्र एक एक्स-किरण फोटॉन उत्सर्जित करके एक विराम पर आने वाले इलेक्ट्रॉन से मेल खाती है। सामान्यतः इलेक्ट्रॉन कई फोटॉन उत्सर्जित करता है, और प्रत्येक में 60 keV से कम ऊर्जा होती है।) अधिकतम 60 keV की ऊर्जा वाले फोटॉन में तरंग दैर्ध्य होता है। कम से कम 21 पीकोमीटर, इसलिए निरंतर एक्स-किरण वर्णक्रम में ठीक वही अंतक है, जैसा कि ग्राफ में देखा गया है। अधिक सामान्यतः कम-तरंग दैर्ध्य अंतक, डुआन-हंट नियम के लिए सूत्र है:
 * $$\lambda_\min = \frac{h c}{e V} \approx \frac{1239.8}{V}\text{ pm/kV}$$

जहाँ h प्लैंक स्थिरांक है, c प्रकाश की गति है, V वह वोल्टेज है जिसके माध्यम से इलेक्ट्रॉनों को त्वरित किया जाता है, e प्राथमिक आवेश है, और pm पीकोमीटर है।

बीटा क्षय
बीटा कण उत्सर्जक पदार्थ कभी-कभी निरंतर वर्णक्रम के साथ एक मंद विकिरण प्रदर्शित करते हैं जो कि ब्रेम्सरेडिएशन के कारण होता है(नीचे बाहरी ब्रेम्सरेडिएशन देखें)। इस संदर्भ में, ब्रेम्सरेडिएशन एक प्रकार का द्वितीयक विकिरण है, जिसमें यह प्राथमिक विकिरण(बीटा कण) को रोकने(या धीमा करने) के परिणामस्वरूप उत्पन्न होता है। यह एक्स-किरण जनरेटर(जैसा कि ऊपर) में इलेक्ट्रॉनों के साथ धातु के लक्ष्यों पर बमबारी करके उत्पादित एक्स-किरण के समान है, अतिरिक्त इसके कि यह बीटा विकिरण से उच्च गति वाले इलेक्ट्रॉनों द्वारा निर्मित होते है।

आंतरिक और बाहरी ब्रेम्सरेडिएशन
आंतरिक ब्रेम्सरेडिएशन(जिसे आंतरिक ब्रेम्सरेडिएशन के रूप में भी जाना जाता है) इलेक्ट्रॉन के निर्माण और इसके ऊर्जा के हानि से उत्पन्न होता है(नाभिक के क्षेत्र में दृढ़ विद्युत क्षेत्र के कारण क्षय हो रहा है) क्योंकि यह नाभिक को छोड़ देता है। इस प्रकार के विकिरण नाभिक में बीटा क्षय की एक विशेषता है, परन्तु यह कभी-कभी(कम सामान्यतः) प्रोटॉन के लिए मुक्त न्यूट्रॉन के बीटा क्षय में देखा जाता है, जहां इसे बनाया जाता है क्योंकि बीटा इलेक्ट्रॉन प्रोटॉन छोड़ देता है।

बीटा क्षय द्वारा इलेक्ट्रॉन और पॉज़िट्रॉन उत्सर्जन में, फोटॉन की ऊर्जा इलेक्ट्रॉन-न्यूक्लियॉन जोड़ी से आती है, जिसमें बीटा कण की बढ़ती ऊर्जा के साथ ब्रेम्सरेडिएशन का वर्णक्रम निरंतर घटता जाता है। इलेक्ट्रॉन परिग्रहण में, ऊर्जा न्युट्रीनो के व्यय पर आती है, और वर्णक्रम सामान्य न्यूट्रिनो ऊर्जा का लगभग एक तिहाई होता है, जो सामान्य न्यूट्रिनो ऊर्जा पर शून्य विद्युत चुम्बकीय ऊर्जा तक कम हो जाता है। ध्यान दें कि इलेक्ट्रॉन परिग्रहण की स्थिति में, कोई आवेशित कण उत्सर्जित नहीं होने पर भी ब्रेम्सरेडिएशन उत्सर्जित होता है। इसके अतिरिक्त, ब्रेम्सरेडिएशन विकिरण को उत्पन्न होने के विषय में सोचा जा सकता है क्योंकि परिग्रहण किए गए इलेक्ट्रॉन को अवशोषित होने की दिशा में त्वरित किया जाता है। इस प्रकार के विकिरण आवृत्तियों पर हो सकते हैं जो मृदु गामा विकिरण के समान होते हैं, परन्तु यह गामा क्षय की तीव्र वर्णक्रमीय रेखाओं में से कोई भी प्रदर्शित नहीं करता है, और इस प्रकार तकनीकी रूप से गामा विकिरण नहीं है।

जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, बाहर से आने वाले इलेक्ट्रॉनों के नाभिक(अर्थात, किसी अन्य नाभिक द्वारा उत्सर्जित) पर टकराने के कारण आंतरिक प्रक्रिया को बाहरी ब्रेम्सरेडिएशन से अलग किया जाना है।

विकिरण सुरक्षा
कुछ स्थितियों में, जैसे कि का क्षय, सामान्य रूप से उपयोग की जाने वाले सघन पदार्थ(जैसे सीसा) के साथ बीटा विकिरण के परिरक्षण द्वारा उत्पादित ब्रेम्सरेडिएशन अपने आप में संकटपूर्ण है; ऐसे स्थितियों में, कम घनत्व वाले पदार्थ, जैसे प्लेक्सीग्लास(ल्यूसाइट), प्लास्टिक, लकड़ी, या जल के साथ परिरक्षण पूर्ण किया जाना चाहिए; चूंकि इन पदार्थों के लिए परमाणु संख्या कम है, ब्रेम्सरेडिएशन की तीव्रता अत्यधिक कम हो जाती है, परन्तु इलेक्ट्रॉनों(बीटा विकिरण) को रोकने के लिए परिरक्षण की बड़ी मोटाई की आवश्यकता होती है।

खगोल भौतिकी में
आकाशगंगाओं के समूह में प्रमुख चमकदार घटक 107 से 108 केल्विन अतःसमूह माध्यम है। अतःसमूह माध्यम से उत्सर्जन तापीय ब्रेम्सरेडिएशन द्वारा विशेषता है। यह विकिरण एक्स-किरण की ऊर्जा सीमा में है और सरलता से चंद्रा एक्स-किरण वेधशाला, एक्सएमएम- न्यूटन, आरओएसएटी, ब्रह्मांड विज्ञान और खगोल भौतिकी के लिए उन्नत उपग्रह, एक्सोसैट, सुजाकू(उपग्रह), रेवेन जैसे अंतरिक्ष-आधारित दूरबीनों और अंतर्राष्ट्रीय एक्स-किरण वेधशाला और एस्ट्रो-एच जैसे भविष्य के मिशनों जैसे के साथ देखा जा सकता है।

और एस्ट्रो-एच [https: //web.archive.org/web/20071112015825/http://www.astro.isas.ac.jp/future/NeXT/]।

ब्रेम्सरेडिएशन रेडियो तरंग दैर्ध्य पर एच II क्षेत्रों के लिए प्रमुख उत्सर्जन तंत्र भी है।

विद्युत् विसर्जन में
विद्युत विसर्जन में, उदाहरण के लिए दो इलेक्ट्रोड के बीच प्रयोगशाला विसर्जन के रूप में या मेघ और भूमि के बीच या मेघों के भीतर विद्युत् के विसर्जन के रूप में, इलेक्ट्रॉन वायु के अणुओं के प्रकीर्णन ब्रेम्सरेडिएशन फोटॉन का उत्पादन करते हैं। ये फोटॉन स्थलीय गामा-किरण चमक में प्रकट होते हैं और इलेक्ट्रॉनों, पॉज़िट्रॉन, न्यूट्रॉन और प्रोटॉन के बीम के स्रोत होते हैं। ब्रेम्सरेडिएशन फोटॉनों की उपस्थिति ऑक्सीजन के कम प्रतिशत वाले नाइट्रोजन-ऑक्सीजन मिश्रण में विसर्जन के प्रसार और आकारिकी को भी प्रभावित करती है।

क्वांटम यांत्रिक विवरण
पूर्ण क्वांटम यांत्रिक विवरण सबसे पूर्व बेथे और हेटलर द्वारा किया गया था। उन्होंने इलेक्ट्रॉनों के लिए समतल तरंगें ग्रहण कीं जो एक परमाणु के नाभिक में प्रकीर्णित हैं, और एक अनुप्रस्थ काट प्राप्त किया जो उस प्रक्रिया की पूरी ज्यामिति को उत्सर्जित फोटॉन की आवृत्ति से संबंधित करता है। चौगुनी अंतर अनुप्रस्थ काट जो युग्मोत्पादन के लिए क्वांटम यांत्रिक समरूपता दिखाता है, वह है:


 * $$\begin{align}

d^4\sigma ={} &\frac{Z^2 \alpha_\text{fine}^3 \hbar^2}{(2\pi)^2}\frac{\left|\mathbf{p}_f\right|}{\left|\mathbf{p}_i\right|} \frac{d\omega}{\omega}\frac{d\Omega_i \, d\Omega_f \, d\Phi}{\left|\mathbf{q}\right|^4} \\ &{}\times \left[ \frac{\mathbf{p}_f^2\sin^2\Theta_f}{\left(E_f - c\left|\mathbf{p}_f\right| \cos\Theta_f\right)^2}\left(4E_i^2 - c^2\mathbf{q}^2\right) + \frac{\mathbf{p}_i^2\sin^2\Theta_i}{\left(E_i - c\left|\mathbf{p}_i\right| \cos\Theta_i\right)^2}\left(4E_f^2 - c^2\mathbf{q}^2\right) \right. \\               & {} \qquad+ 2\hbar^2\omega^2 \frac {\mathbf{p}_i^2 \sin^2\Theta_i + \mathbf{p}_f^2 \sin^2\Theta_f} {(E_f - c\left|\mathbf{p}_f\right| \cos\Theta_f)\left(E_i - c\left|\mathbf{p}_i\right| \cos\Theta_i\right)} \\ & {} \qquad- 2\left. \frac {\left|\mathbf{p}_i\right| \left|\mathbf{p}_f\right| \sin\Theta_i \sin\Theta_f \cos\Phi} {\left(E_f - c\left|\mathbf{p}_f\right| \cos\Theta_f\right)\left(E_i - c\left|\mathbf{p}_i\right| c1\cos\Theta_i\right)} \left(2E_i^2 + 2E_f^2 - c^2\mathbf{q}^2\right) \right]. \end{align}$$ वहाँ $$Z$$ परमाणु संख्या है, $$\alpha_\text{fine}\approx 1/137$$ सूक्ष्म-संरचना स्थिरांक, $$\hbar$$ कम प्लैंक स्थिरांक और $$c$$ प्रकाश की गति है। प्रारंभिक और अंतिम अवस्था में गतिज ऊर्जा $$E_{\text{kin},i/f}$$ इसकी कुल ऊर्जा $$E_{i,f}$$ या इसके संवेग $$\mathbf{p}_{i,f}$$ से



E_{i, f} = E_{\text{kin}, i/f} + m_e c^2 = \sqrt{m_e^2 c^4 + \mathbf{p}_{i, f}^2 c^2} $$ के माध्यम से जुड़ी होती है, जहाँ $$m_e$$ एक इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान होता है। ऊर्जा का संरक्षण



E_f = E_i - \hbar\omega, $$ देता है, जहाँ $$ \hbar\omega $$ फोटॉन ऊर्जा है। उत्सर्जित फोटॉन और प्रकीर्णित इलेक्ट्रॉन


 * $$\begin{align}

\Theta_i &= \sphericalangle(\mathbf{p}_i, \mathbf{k}),\\ \Theta_f &= \sphericalangle(\mathbf{p}_f, \mathbf{k}),\\ \Phi &= \text{Angle between the planes } (\mathbf{p}_i, \mathbf{k}) \text{ and } (\mathbf{p}_f, \mathbf{k}), \end{align}$$ द्वारा दी गई हैं जहाँ $$\mathbf{k}$$ फोटॉन का संवेग है।

अंतर के रूप में दिया गया है


 * $$\begin{align}

d\Omega_i &= \sin\Theta_i\ d\Theta_i,\\ d\Omega_f &= \sin\Theta_f\ d\Theta_f \end{align}$$ के रूप में दिए गए हैं। नाभिक और इलेक्ट्रॉन के बीच आभासी फोटॉन का निरपेक्ष मान


 * $$\begin{align}

-\mathbf{q}^2 ={} & -\left|\mathbf{p}_i\right|^2 - \left|\mathbf{p}_f\right|^2 - \left(\frac{\hbar}{c}\omega\right)^2 + 2\left|\mathbf{p}_i\right|\frac{\hbar}{c} \omega\cos\Theta_i - 2\left|\mathbf{p}_f\right|\frac{\hbar}{c} \omega\cos\Theta_f \\ & {} + 2\left|\mathbf{p}_i\right| \left|\mathbf{p}_f\right| \left(\cos\Theta_f\cos\Theta_i + \sin\Theta_f\sin\Theta_i\cos\Phi\right) \end{align}$$ है। वैधता की सीमा बोर्न सन्निकटन



v \gg \frac{Zc}{137} $$ द्वारा दी गई है जहाँ प्रारंभिक और अंतिम अवस्था में इलेक्ट्रॉन के वेग $$ v $$ के लिए इस संबंध को पूरा करना होता है।

व्यावहारिक अनुप्रयोगों के लिए(उदाहरण के लिए मोंटे कार्लो कोड में) उत्सर्जित फोटॉन की आवृत्ति $$\omega$$ और इस फोटॉन और घटना इलेक्ट्रॉन के बीच के कोण के बीच संबंध पर ध्यान देना रुचिपूर्ण हो सकता है। कोह्न और एबर्ट बाहर ने $$\Phi$$ और $$\Theta_f$$ पर बेथे और हेटलर द्वारा चौगुनी अंतर अनुप्रस्थ काट को एकीकृत किया और प्राप्त किया:

\frac{d^2\sigma (E_i, \omega, \Theta_i)}{d\omega \, d\Omega_i} = \sum\limits_{j=1}^6 I_j $$ साथ में


 * $$\begin{align}

I_1 ={} &\frac{2\pi A}{\sqrt{\Delta_2^2 + 4p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i}} \ln\left(\frac              { \Delta_2^2 + 4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i - \sqrt{\Delta_2^2 + 4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i}\left(\Delta_1 + \Delta_2\right) + \Delta_1\Delta_2}               {-\Delta_2^2 - 4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i - \sqrt{\Delta_2^2 + 4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i}\left(\Delta_1 - \Delta_2\right) + \Delta_1\Delta_2}           \right) \\ & {} \times\left[ 1 +           \frac{c\Delta_2}{p_f\left(E_i - cp_i\cos\Theta_i\right)} - \frac{p_i^2 c^2 \sin^2\Theta_i}{\left(E_i - cp_i\cos\Theta_i\right)^2} - \frac{2\hbar^2\omega^2 p_f \Delta_2}{c\left(E_i - cp_i\cos\Theta_i\right)\left(\Delta_2^2 + 4p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i\right)} \right], \\ I_2 ={} &-\frac{2\pi Ac}{p_f\left(E_i - cp_i\cos\Theta_i\right)}\ln\left(\frac{E_f + p_fc}{E_f - p_fc}\right), \\ I_3 = {} & \frac{2\pi A}{\sqrt{\left(\Delta_2E_f + \Delta_1 p_f c\right)^4 + 4m^2 c^4 p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i}} \times \ln\left[\left(\left[E_f + p_fc\right]\right.\right. \\         & \left.\left[4p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i\left(E_f - p_f c\right) +              \left(\Delta_1 + \Delta_2\right)\left(\left[\Delta_2 E_f + \Delta_1 p_f c\right] - \sqrt{\left[\Delta_2 E_f + \Delta_1 p_f c\right]^2 + 4m^2 c^4 p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i}\right)\right]\right) \\ &\left[\left(E_f - p_f c\right)\left(4p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i\left[-E_f - p_f c\right]\right.\right. \\         & {} + \left.\left.\left(\Delta_1 - \Delta_2\right)\left(\left[\Delta_2 E_f + \Delta_1 p_f c\right] - \sqrt{\left(\Delta_2 E_f + \Delta_1 p_f c\right)^2 + 4m^2 c^4 p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i}\right]\right)\right]^{-1} \\         & {} \times \left[-\frac{              \left(\Delta_2^2 + 4p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i\right)\left(E_f^3 + E_f p_f^2 c^2\right) +              p_f c\left(2\left[\Delta_1^2 - 4p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i\right]E_f p_f c + \Delta_1 \Delta_2\left[3E_f^2 + p_f^2 c^2\right]\right)           }            {\left(\Delta_2E_f + \Delta_1 p_f c\right)^2 + 4m^2 c^4 p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i}        \right.\\          & {} -\frac{c\left(\Delta_2 E_f + \Delta_1 p_f c\right)}{p_f\left(E_i - cp_i \cos\Theta_i\right)} -              \frac{                  4E_i^2 p_f^2 \left(2\left[\Delta_2 E_f + \Delta_1 p_f c\right]^2 - 4m^2 c^4 p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i\right)\left(\Delta_1 E_f + \Delta_2 p_f c\right)               }                {\left(\left[\Delta_2 E_f + \Delta_1 p_f c\right]^2 + 4m^2 c^4 p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i\right)^2} \\          & {} + \left.\frac{              8p_i^2 p_f^2 m^2 c^4 \sin^2\Theta_i\left(E_i^2 + E_f^2\right) -              2\hbar^2\omega^2 p_i^2 \sin^2\Theta_i p_f c\left(\Delta_2 E_f + \Delta_1 p_f c\right) +              2\hbar^2 \omega^2 p_f m^2 c^3\left(\Delta_2 E_f + \Delta_1 p_f c\right)            }            {\left(E_i - cp_i\cos\Theta_i\right)\left(\left[\Delta_2 E_f + \Delta_1 p_f c\right]^2 + 4m^2 c^4 p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i\right)}\right], \\  I_4 ={} & {} -\frac              {4\pi A p_f c\left(\Delta_2 E_f + \Delta_1 p_f c\right)}              {\left(\Delta_2E_f + \Delta_1 p_f c\right)^2 + 4m^2 c^4 p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i} -            \frac {16\pi E_i^2 p_f^2 A\left(\Delta_2E_f + \Delta_1 p_f c\right)^2} {\left(\left[\Delta_2 E_f + \Delta_1 p_f c\right]^2 + 4m^2 c^4 p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i\right)^2}, \\ I_5 ={} & \frac {4\pi A}             { \left(-\Delta_2^2 + \Delta_1^2 - 4 p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i\right) \left(\left[\Delta_2 E_f + \Delta_1 p_f c\right]^2 + 4m^2 c^4 p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i\right) } \\         & {} \times\left[\frac{\hbar^2 \omega^2 p_f^2}{E_i - cp_i\cos\Theta_i}\right.\\ & {} \times\frac{ E_f\left(2\Delta_2^2\left[\Delta_2^2 - \Delta_1^2\right] + 8p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i\left[\Delta_2^2 + \Delta_1^2\right]\right) + p_f c\left(2\Delta_1\Delta_2\left[\Delta_2^2 - \Delta_1^2\right] + 16\Delta_1\Delta_2 p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i\right) }              {\Delta_2^2 + 4p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i} \\ & {} + \frac {2\hbar^2 \omega^2 p_i^2 \sin^2\Theta_i \left(2\Delta_1\Delta_2 p_f c + 2\Delta_2^2 E_f + 8p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i E_f\right)} {E_i - cp_i\cos\Theta_i} \\ & {} + \frac {2E_i^2 p_f^2 \left(                  2\left[\Delta_2^2 - \Delta_1^2\right]\left[\Delta_2 E_f + \Delta_1 p_f c\right]^2 +                   8p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i\left[\left(\Delta_1^2 + \Delta_2^2\right)\left(E_f^2 + p_f^2 c^2\right) + 4\Delta_1\Delta_2 E_f p_f c\right]                 \right) }              {\left(\Delta_2 E_f + \Delta_1 p_f c\right)^2 + 4m^2 c^4 p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i} \\ & {} + \left.\frac{8p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i\left(E_i^2 + E_f^2\right)\left(\Delta_2p_fc + \Delta_1 E_f\right)}{E_i - cp_i\cos\Theta_i}\right], \\ I_6 ={} & \frac{16\pi E_f^2 p_i^2 \sin^2\Theta_i A}{\left(E_i - cp_i\cos\Theta_i\right)^2 \left(-\Delta_2^2 + \Delta_1^2 - 4p_i^2 p_f^2 \sin^2\Theta_i\right)}, \end{align}$$ और


 * $$\begin{align}

A &= \frac{Z^2\alpha_\text{fine}^3}{(2\pi)^2} \frac{\left|\mathbf{p}_f\right|}{\left|\mathbf{p}_i\right|} \frac{\hbar^2}{\omega} \\ \Delta_1 &= -\mathbf{p}_i^2 - \mathbf{p}_f^2 - \left(\frac{\hbar}{c}\omega\right)^2 + 2\frac{\hbar}{c} \omega\left|\mathbf{p}_i\right|\cos\Theta_i, \\ \Delta_2 &= -2\frac{\hbar}{c}\omega\left|\mathbf{p}_f\right| + 2\left|\mathbf{p}_i\right|\left|\mathbf{p}_f\right|\cos\Theta_i. \end{align}$$ यद्यपि, एक ही समाकल के लिए एक बहुत सरल अभिव्यक्ति (समीकरण 2BN) और (समीकरण 4.1) में पाया जा सकता है।

ऊपर दिए गए दोहरे अंतर अनुप्रस्थ काट के विश्लेषण से पता चलता है कि जिन इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा शेष ऊर्जा(511 keV) से बड़ी है, वे आगे की दिशा में फोटॉनों का उत्सर्जन करते हैं, जबकि कम ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन समस्थानिक रूप से फोटॉनों का उत्सर्जन करते हैं।

इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन ब्रेम्सरेडिएशन
एक क्रियाविधि, जिसे छोटे परमाणु क्रमांक $$Z$$ के लिए महत्वपूर्ण माना जाता है, एक परमाणु या अणु के खोल इलेक्ट्रॉनों पर एक मुक्त इलेक्ट्रॉन का प्रकीर्णन है। चूँकि इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन ब्रेम्सरेडिएशन $$Z$$ का एक कार्य है और सामान्य इलेक्ट्रॉन-नाभिक ब्रेम्सरेडिएशन $$Z^2$$ का एक कार्य है, इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन ब्रेम्सरेडिएशन धातुओं के लिए नगण्य है। यद्यपि, वायु के लिए, यह स्थलीय गामा-किरण चमक के उत्पादन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

यह भी देखें

 * बीम विकिरण
 * साइक्लोट्रॉन विकिरण
 * विगलर ​​(सिंक्रोट्रॉन)
 * मुक्त-इलेक्ट्रॉन लेसर
 * एक्स-किरण का इतिहास
 * लैंडौ-पोमेरानचुक-मिग्डल प्रभाव
 * प्लाज्मा भौतिकी लेखों की सूची
 * परमाणु संलयन: ब्रेम्सरेडिएशन हानि
 * पदार्थ में उच्च ऊर्जा इलेक्ट्रॉनों द्वारा ब्रेम्सरेडिएशन द्वारा ऊर्जा हानि को चिह्नित करने वाली विकिरण लंबाई
 * सिंक्रोट्रॉन प्रकाश स्रोत

बाहरी संबंध

 * Index of Early ब्रेम्सरेडिएशन Articles