द्विकेंद्रित चतुर्भुज

यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज एक उत्तल बहुभुज चतुर्भुज होता है जिसमें एक अंतःवृत्त और एक परिवृत्त दोनों होते हैं। इन वृत्तों की त्रिज्या और केंद्र को क्रमशः अंतर्त्रिज्या और परिधि, और अंतःकेंद्र और परिकेंद्र कहा जाता है। परिभाषा से यह पता चलता है कि द्विकेंद्रित चतुर्भुज में स्पर्शरेखा चतुर्भुज और चक्रीय चतुर्भुज दोनों के सभी गुण होते हैं। इन चतुर्भुजों के अन्य नाम राग-स्पर्श चतुर्भुज हैं और खुदा हुआ और परिचालित चतुर्भुज। इसे शायद ही कभी डबल सर्कल चतुर्भुज कहा जाता है और द्विलेखित चतुर्भुज। यदि दो वृत्त, एक दूसरे के भीतर, एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज का अंतःवृत्त और परिवृत्त हैं, तो परिवृत्त पर प्रत्येक बिंदु एक समान अंतःवृत्त और परिवृत्त वाले एक द्विकेन्द्र चतुर्भुज का शीर्ष है। यह पोंसलेट के समापन प्रमेय का एक विशेष मामला है | पोंसलेट का छिद्र, जिसे फ्रांसीसी गणितज्ञ जीन-विक्टर पोंसेलेट (1788-1867) द्वारा सिद्ध किया गया था।

विशेष मामले
द्विकेंद्रित चतुर्भुज के उदाहरण वर्ग (ज्यामिति), सही पतंग, और स्पर्शरेखा ट्रेपेज़ॉइड#आइसोसेलस स्पर्शरेखा ट्रेपेज़ॉइड हैं।

लक्षण
भुजाओं a, b, c, d वाला एक उत्तल चतुर्भुज ABCD द्विकेंद्रित है यदि और केवल यदि विपरीत भुजाएं स्पर्शरेखा चतुर्भुजों के लिए पिटोट प्रमेय और चक्रीय चतुर्भुज गुण को संतुष्ट करती हैं कि विपरीत कोण पूरक कोण हैं; वह है,

\begin{cases} a+c=b+d\\ A+C=B+D=\pi. \end{cases} $$ तीन अन्य लक्षण उन बिंदुओं से संबंधित हैं जहां एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज में अंतःवृत्त पक्षों के लिए स्पर्शरेखा है। यदि अंतर्वृत्त क्रमश: W, X, Y, Z पर AB, BC, CD, DA की भुजाओं को स्पर्श करता है, तो एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज ABCD भी चक्रीय होता है यदि और केवल यदि निम्नलिखित तीन शर्तों में से कोई एक हो: इन तीनों में से पहले का अर्थ है कि संपर्क चतुर्भुज WXYZ एक ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज है।
 * WY, XZ के लंबवत है
 * $$\frac{AW}{WB}=\frac{DY}{YC}$$
 * $$\frac{AC}{BD}=\frac{AW+CY}{BX+DZ}$$

यदि E, F, G, H क्रमशः WX, XY, YZ, ZW के मध्य बिंदु हैं, तो स्पर्शरेखा चतुर्भुज ABCD भी चक्रीय है यदि और केवल यदि चतुर्भुज EFGH एक आयत है।

एक अन्य विशेषता के अनुसार, यदि मैं एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज में अंतःकेंद्र है जहां विपरीत पक्षों के विस्तार जे और के पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो चतुर्भुज भी चक्रीय होता है यदि और केवल यदि जेआईके एक समकोण है।

फिर भी एक और आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज ABCD चक्रीय है यदि और केवल यदि इसकी न्यूटन रेखा इसके संपर्क चतुर्भुज WXYZ की न्यूटन रेखा के लंबवत है। (चतुर्भुज की न्यूटन रेखा उसके विकर्णों के मध्यबिंदुओं द्वारा परिभाषित रेखा है।)

निर्माण
एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज के निर्माण की एक सरल विधि है:

यह अंतःवृत्त C से शुरू होता हैrकेंद्र (ज्यामिति) I के चारों ओर त्रिज्या r के साथ और फिर एक दूसरे से दो लंब जीवा (ज्यामिति) WY और XZ को अंतःवृत्त C में खींचेंr. जीवाओं के अंतबिंदुओं पर अंतःवृत्त पर स्पर्श रेखाएँ a, b, c और d खींचिए। ये चार बिंदुओं A, B, C और D पर प्रतिच्छेद करते हैं, जो एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज के शीर्ष (ज्यामिति) हैं। परिवृत्त बनाने के लिए, दो लम्ब समद्विभाजक p खींचिए1और पी2द्विकेंद्रित चतुर्भुज की भुजाओं पर a क्रमशः b. लंबवत द्विभाजक पी1और पी2परिवृत्त C के केंद्र O में प्रतिच्छेद करती हैRवृत्त C के केंद्र I की दूरी x के साथr. परिवृत्त को केंद्र O के चारों ओर खींचा जा सकता है।

इस निर्माण की वैधता इस विशेषता के कारण है कि, एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज एबीसीडी में, संपर्क चतुर्भुज WXYZ में लंबवत विकर्ण होते हैं यदि और केवल अगर स्पर्शरेखा चतुर्भुज भी चक्रीय चतुर्भुज है।

चार मात्राओं के संदर्भ में सूत्र
एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज के क्षेत्रफल K को चतुर्भुज की चार मात्राओं के रूप में कई अलग-अलग तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है। यदि भुजाएँ a, b, c, d हैं, तो क्षेत्रफल निम्न द्वारा दिया जाता है    :$$\displaystyle K = \sqrt{abcd}.$$ यह ब्रह्मगुप्त के सूत्र का एक विशेष मामला है। इसे स्पर्शरेखा चतुर्भुज#क्षेत्रफल के क्षेत्र के लिए सीधे त्रिकोणमितीय सूत्र से भी प्राप्त किया जा सकता है। ध्यान दें कि इसका विलोम सही नहीं है: कुछ चतुर्भुज जो द्विकेंद्रित नहीं हैं उनका भी क्षेत्रफल होता है $$\displaystyle K = \sqrt{abcd}.$$ ऐसे चतुर्भुज का एक उदाहरण एक गैर-वर्ग आयत है।

क्षेत्र को स्पर्शरेखा चतुर्भुज # विशेष रेखा खंडों e, f, g, h के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है
 * $$K=\sqrt[4]{efgh}(e+f+g+h).$$

एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज ABCD के क्षेत्रफल का सूत्र जिसका केंद्र I है :$$K=AI\cdot CI+BI\cdot DI.$$ यदि एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज में स्पर्शरेखा चतुर्भुज # विशेष रेखा खंड k, l और विकर्ण p, q है, तो इसका क्षेत्रफल है
 * $$K=\frac{klpq}{k^2+l^2}.$$

यदि के, एल स्पर्शरेखा तार हैं और एम, एन चतुर्भुज के चतुर्भुज # विशेष रेखा खंड हैं, तो क्षेत्र सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है
 * $$K=\left|\frac{m^2-n^2}{k^2-l^2}\right|kl$$

इस सूत्र का उपयोग नहीं किया जा सकता है यदि चतुर्भुज एक सही पतंग है, क्योंकि उस स्थिति में भाजक शून्य है।

यदि M और N विकर्णों के मध्य बिंदु हैं, और E और F विपरीत भुजाओं के विस्तार के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं, तो एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज का क्षेत्रफल इस प्रकार दिया जाता है
 * $$K=\frac{2MN\cdot EI\cdot FI}{EF}$$

जहाँ I अंतःवृत्त का केंद्र है।

तीन मात्राओं के संदर्भ में सूत्र
एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज का क्षेत्रफल दो विपरीत भुजाओं और विकर्णों के बीच के कोण θ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है :$$K=ac\tan{\frac{\theta}{2}}=bd\cot{\frac{\theta}{2}}.$$ दो आसन्न कोणों और अंतःवृत्त की त्रिज्या r के संदर्भ में, क्षेत्र द्वारा दिया गया है :$$K=2r^2\left(\frac{1}{\sin{A}}+\frac{1}{\sin{B}}\right).$$ क्षेत्र को परिमाप R और अंतःत्रिज्या r के रूप में दिया गया है
 * $$K=r(r+\sqrt{4R^2+r^2})\sin \theta$$

जहाँ θ विकर्णों के बीच का कोण है। यदि एम और एन विकर्णों के मध्य बिंदु हैं, और ई और एफ विपरीत पक्षों के विस्तार के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं, तो क्षेत्र को भी व्यक्त किया जा सकता है
 * $$K=2MN\sqrt{EQ\cdot FQ}$$

जहाँ Q अंतःवृत्त के केंद्र से होकर जाने वाली रेखा EF के लंब का पाद है।

असमानताएं
यदि r और R क्रमशः अंतरत्रिज्या और परिकत्रिज्या हैं, तो क्षेत्र K असमानता को संतुष्ट करता है (गणित)
 * $$\displaystyle 4r^2 \le K \le 2R^2.$$

दोनों ओर समानता तभी होती है जब चतुर्भुज एक वर्ग (ज्यामिति) हो।

क्षेत्र के लिए एक और असमानता है
 * $$K \le \tfrac{4}{3}r\sqrt{4R^2+r^2}$$

जहाँ r और R क्रमशः अन्तःत्रिज्या और परित्रिज्या हैं।

पिछले एक की तुलना में क्षेत्र के लिए एक समान ऊपरी सीमा देने वाली समान असमानता है :$$K \le r(r+\sqrt{4R^2+r^2})$$ समानता के साथ अगर और केवल अगर चतुर्भुज एक सही पतंग है।

इसके अलावा, भुजाओं a, b, c, d और अर्द्धपरिधि s के साथ:


 * $$2\sqrt{K} \leq s \leq r+ \sqrt{r^2+4R^2}; $$
 * $$6K \leq ab+ac+ad+bc+bd+cd \leq 4r^2+4R^2+ 4r\sqrt{r^2+4R^2}; $$
 * $$4Kr^2\leq abcd \leq \frac{16}{9} r^2(r^2+4R^2). $$

कोण सूत्र
यदि a, b, c, d एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज ABCD में क्रमशः AB, BC, CD, DA भुजाओं की लंबाई हैं, तो इसके शीर्ष कोणों की गणना त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ की जा सकती है: :$$\tan{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{bc}{ad}}=\cot{\frac{C}{2}},$$
 * $$\tan{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{cd}{ab}}=\cot{\frac{D}{2}}.$$

त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए समान अंकन का उपयोग करते हुए निम्नलिखित सूत्र धारण करते हैं:
 * $$\sin{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{bc}{ad+bc}}=\cos{\frac{C}{2}},$$
 * $$\cos{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{ad}{ad+bc}}=\sin{\frac{C}{2}},$$
 * $$\sin{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{cd}{ab+cd}}=\cos{\frac{D}{2}},$$
 * $$\cos{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{ab}{ab+cd}}=\sin{\frac{D}{2}}.$$

विकर्णों के बीच के कोण θ से गणना की जा सकती है
 * $$\displaystyle \tan{\frac{\theta}{2}}=\sqrt{\frac{bd}{ac}}.$$

अंतर्त्रिज्या और परित्रिज्या
एक द्विकेन्द्रीय चतुर्भुज की अन्तःत्रिज्या r भुजाओं a, b, c, d के अनुसार निर्धारित होती है
 * $$\displaystyle r=\frac{\sqrt{abcd}}{a+c}=\frac{\sqrt{abcd}}{b+d}.$$

परिवृत्त R को परमेश्वर के सूत्र के एक विशेष मामले के रूप में दिया गया है। यह है :$$\displaystyle R=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{abcd}}.$$ अंतर्त्रिज्या को लगातार स्पर्शरेखा चतुर्भुज # विशेष रेखा खंडों ई, एफ, जी, एच के अनुसार भी व्यक्त किया जा सकता है
 * $$\displaystyle r=\sqrt{eg}=\sqrt{fh}.$$

ये दो सूत्र वास्तव में एक चक्रीय चतुर्भुज होने के लिए अंतःत्रिज्या आर के साथ एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें हैं।

द्विकेंद्रित चतुर्भुज की चार भुजाएं a, b, c, d, चतुर्थक समारोह के चार समाधान हैं
 * $$y^4-2sy^3+(s^2+2r^2+2r\sqrt{4R^2+r^2})y^2-2rs(\sqrt{4R^2+r^2}+r)y+r^2s^2=0$$

जहां s अर्द्धपरिधि है, और r और R क्रमशः अंतर्त्रिज्या और परित्रिज्या हैं। यदि अंतःत्रिज्या आर के साथ एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज है जिसका स्पर्शरेखा चतुर्भुज # विशेष रेखा खंड ई, एफ, जी, एच हैं, तो अंतःत्रिज्या आर के साथ एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज मौजूद हैv जिसकी स्पर्शरेखा की लंबाई ई हैवी, च में, जी वी, जीv, जहाँ v कोई वास्तविक संख्या हो सकती है। एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज की अंतःत्रिज्या किसी भी अन्य स्पर्शरेखा चतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई के समान अनुक्रम की तुलना में अधिक होती है।

असमानताएं
परिधि R और अंतःत्रिज्या r असमानता को संतुष्ट करते हैं
 * $$R\ge \sqrt{2}r$$

जिसे 1948 में एल. फेजेस टूथ ने साबित किया था। यह समानता के साथ तभी होता है जब दो वृत्त संकेंद्रित होते हैं (एक दूसरे के समान केंद्र होते हैं); तो चतुर्भुज एक वर्ग (ज्यामिति) है। असमानता को कई अलग-अलग तरीकों से साबित किया जा सकता है, एक उपरोक्त क्षेत्र के लिए दोहरी असमानता का उपयोग करके।

पिछली असमानता का विस्तार है
 * $$\frac{r\sqrt{2}}{R}\le \frac{1}{2}\left(\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{B}{2}}+\sin{\frac{B}{2}}\cos{\frac{C}{2}}+\sin{\frac{C}{2}}\cos{\frac{D}{2}}+\sin{\frac{D}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\right)\le 1$$

जहां दोनों तरफ समानता है अगर और केवल अगर चतुर्भुज एक वर्ग (ज्यामिति) है। एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज की अर्धपरिधि संतुष्ट करती है
 * $$\sqrt{8r\left(\sqrt{4R^2+r^2}-r\right)}\le s \le \sqrt{4R^2+r^2}+r$$

जहाँ r और R क्रमशः अंतर्त्रिज्या और परित्रिज्या हैं।

इसके अतिरिक्त,
 * $$2sr^2\leq abc+abd+acd+bcd \leq 2r(r+\sqrt{r^2+4R^2})^2$$

तथा


 * $$abc+abd+acd+bcd \leq 2\sqrt{K}(K+2R^2).$$

उपद्रव 'प्रमेय
फ़स प्रमेय किसी भी द्विकेन्द्रीय चतुर्भुज के लिए अंतःत्रिज्या r, परिवृत्त R और अंतःकेन्द्र I और परिकेन्द्र O के बीच की दूरी x के बीच संबंध देता है। सम्बन्ध है
 * $$\frac{1}{(R-x)^2}+\frac{1}{(R+x)^2}=\frac{1}{r^2},$$

या समकक्ष
 * $$\displaystyle 2r^2(R^2+x^2)=(R^2-x^2)^2.$$

यह 1792 में निकोलस फस (1755-1826) द्वारा प्राप्त किया गया था। एक्स पैदावार के लिए समाधान
 * $$x=\sqrt{R^2+r^2-r\sqrt{4R^2+r^2}}.$$

फ़स की प्रमेय, जो कि ज्यामिति में यूलर की प्रमेय का अनुरूप है। द्विकेंद्रित चतुर्भुजों के लिए त्रिभुजों के लिए यूलर की प्रमेय कहती है कि यदि एक चतुर्भुज द्विकेन्द्रित है, तो इसके दो संबद्ध वृत्त उपरोक्त समीकरणों के अनुसार संबंधित हैं। वास्तव में इसका विलोम भी धारण करता है: दिए गए दो वृत्त (एक दूसरे के भीतर) जिनकी त्रिज्या R और r है और उनके केंद्रों के बीच दूरी x है जो फ़स के प्रमेय में स्थिति को संतुष्ट करते हैं, उनमें से एक में खुदा हुआ एक उत्तल चतुर्भुज मौजूद है और दूसरे को स्पर्श करता है। (और फिर पोंसेलेट के समापन प्रमेय द्वारा, उनमें से कई असीम रूप से मौजूद हैं)।

को लागू करने $$x^2 \ge 0$$ आर और आर के संदर्भ में एक्स के लिए फस के प्रमेय की अभिव्यक्ति के लिए उपर्युक्त असमानता प्राप्त करने का एक और तरीका है $$R \ge \sqrt{2}r.$$ एक सामान्यीकरण है
 * $$2r^2+x^2\le R^2 \le 2r^2+x^2+2rx.$$

कार्लिट्ज की पहचान
अंतरवृत्त और परिवृत्त के केंद्रों के बीच की दूरी x के लिए एक अन्य सूत्र अमेरिकी गणितज्ञ लियोनार्ड कार्लिट्ज़ (1907-1999) के कारण है। यह प्रकट करता है की
 * $$\displaystyle x^2=R^2-2Rr\cdot \mu$$

जहाँ r और R क्रमशः अन्तःत्रिज्या और परित्रिज्या हैं, और
 * $$\displaystyle \mu=\sqrt{\frac{(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)^2(ac+bd)}} = \sqrt{\frac{(ab+cd)(ad+bc)}{(b+d)^2(ac+bd)}}$$

जहाँ a, b, c, d द्विकेंद्रित चतुर्भुज की भुजाएँ हैं।

स्पर्शरेखा की लंबाई और भुजाओं के लिए असमानताएँ
स्पर्शरेखा चतुर्भुज के लिए # विशेष रेखा खंड ई, एफ, जी, एच निम्नलिखित असमानताएं रखती हैं:
 * $$4r\le e+f+g+h \le 4r\cdot \frac{R^2+x^2}{R^2-x^2}$$

तथा
 * $$4r^2\le e^2+f^2+g^2+h^2 \le 4(R^2+x^2-r^2)$$

जहाँ r अन्तःत्रिज्या है, R परिकत्रिज्या है, और x अन्त:केन्द्र और परिकेन्द्र के बीच की दूरी है। पक्ष a, b, c, d असमानताओं को संतुष्ट करते हैं
 * $$8r\le a+b+c+d \le 8r\cdot \frac{R^2+x^2}{R^2-x^2}$$

तथा
 * $$4(R^2-x^2+2r^2)\le a^2+b^2+c^2+d^2 \le 4(3R^2-2r^2).$$

केंद्र के अन्य गुण
एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज में परिकेन्द्र, अंतःकेन्द्र और विकर्णों का प्रतिच्छेद संरेख होता है। एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज ABCD के केंद्र I और शीर्षों के बीच की चार दूरियों के संबंध में निम्नलिखित समानता है:
 * $$\frac{1}{AI^2}+\frac{1}{CI^2}=\frac{1}{BI^2}+\frac{1}{DI^2}=\frac{1}{r^2}$$

जहां आर अंतःत्रिज्या है।

यदि P एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज ABCD में विकर्णों का प्रतिच्छेदन है जिसका केंद्र I है, तो
 * $$\frac{AP}{CP}=\frac{AI^2}{CI^2}.$$

एक द्विकेन्द्रीय चतुर्भुज ABCD में अंतर्त्रिज्या r और परिकत्रिज्या R से संबंधित एक असमानता है
 * $$4r^2 \le AI\cdot CI+BI\cdot DI \le 2R^2$$

जहां मैं केंद्र हूं।

विकर्णों के गुण
एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज में विकर्णों की लंबाई को चक्रीय चतुर्भुज#Diagonals or Tangential quadrilateral#Diagonals and Tangency जीवाओं के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो एक चक्रीय चतुर्भुज और एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज में क्रमशः धारण करने वाले सूत्र हैं।

विकर्णों p और q के साथ एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज में, निम्नलिखित सर्वसमिका धारण करती है: :$$\displaystyle \frac{pq}{4r^2}-\frac{4R^2}{pq}=1$$ जहाँ r और R क्रमशः अन्तःत्रिज्या और परित्रिज्या हैं। इस समानता को फिर से लिखा जा सकता है :$$r=\frac{pq}{2\sqrt{pq+4R^2}}$$ या, इसे विकर्णों के गुणनफल के लिए द्विघात समीकरण के रूप में हल करना
 * $$pq=2r\left(r+\sqrt{4R^2+r^2}\right).$$

द्विकेंद्रित चतुर्भुज में विकर्णों p, q के गुणनफल के लिए असमानता है :$$\displaystyle 8pq\le (a+b+c+d)^2$$ जहाँ a, b, c, d भुजाएँ हैं। यह 1967 में मरे एस क्लैमकिन द्वारा सिद्ध किया गया था।

चार अंतःकेन्द्र एक वृत्त पर स्थित हैं
बता दें कि ABCD एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज है और O इसके परिवृत्त का केंद्र है। फिर चार त्रिभुजों OAB, OBC, OCD, ODA के अंतःकेन्द्र एक वृत्त पर स्थित हैं।

यह भी देखें

 * द्विकेंद्रित बहुभुज
 * भूतपूर्व स्पर्शरेखा चतुर्भुज

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * चतुष्कोष
 * अन्तःवृत्त
 * अगर और केवल अगर
 * अधिक कोण
 * सीधा
 * केंद्र में
 * आवश्यक और पर्याप्त स्थिति
 * राग (ज्यामिति)
 * स्पर्शरेखा
 * शिखर (ज्यामिति)
 * दंडवत द्विभाजक
 * असमानता (गणित)
 * त्रिकोणमितीय फलन
 * से कम
 * RADIUS
 * गाढ़ा
 * circumcenter
 * समरेख