बोहर-वान लीउवेन प्रमेय

बोह्र-वान लीउवेन प्रमेय में कहा गया है कि जब सांख्यिकीय यांत्रिकी और शास्त्रीय यांत्रिकी को निरंतर प्रयुक्त किया जाता है, तब इसका चुंबकीयकरण का थर्मल औसत सदैव शून्य होता है। यह ठोस पदार्थों में चुंबकत्व को केवल क्वांटम यांत्रिक प्रभाव बनाता है और इसका कारण है कि शास्त्रीय भौतिकी अनुचुंबकत्व, प्रतिचुंबकत्व और लौहचुंबकत्व की गणना नहीं कर सकते है। ट्राइबोइलेक्ट्रिसिटी की व्याख्या करने में शास्त्रीय भौतिकी की अक्षमता भी बोह्र-वान लीउवेन प्रमेय से उत्पन्न होती है।

इतिहास
जिसे आज बोहर-वान लीउवेन प्रमेय के नाम से जाना जाता है, उसकी खोज नील्स बोह्र ने 1911 में अपने डॉक्टरेट शोध प्रबंध में की थी। और इसके पश्चात् में हेंड्रिका जोहाना वान लीउवेन द्वारा 1919 में अपने डॉक्टरेट थीसिस में इसे फिर से खोजा गया। 1932 में,जे. एच. वान वेलेक जॉन हैस्ब्रुक वान वेलेक| ने विद्युत और चुंबकीय संवेदनशीलता पर लिखी पुस्तक में बोह्र के प्रारंभिक प्रमेय को औपचारिक रूप दिया और इसको विस्तारित किया।

इस खोज का महत्व यह है कि शास्त्रीय भौतिकी अनुचुंबकत्व, प्रतिचुंबकत्व और लौहचुंबकत्व जैसी चीजों की अनुमति नहीं देती है और इस प्रकार चुंबकीय घटनाओं को समझाने के लिए क्वांटम भौतिकी की आवश्यकता होती है। यह परिणाम, संभवतः अब तक का सबसे अधिक अपस्फीतिकारी प्रकाशन है, 1913 में बोह्र के हाइड्रोजन परमाणु के अर्ध-शास्त्रीय बोह्र मॉडल के विकास में योगदान दिया होगा।

सहज प्रमाण
बोह्र-वान लीउवेन प्रमेय पृथक प्रणाली पर प्रयुक्त होता है जो घूम नहीं सकती हैं। यदि पृथक प्रणाली को बाहरी रूप से प्रयुक्त चुंबकीय क्षेत्र की प्रतिक्रिया में घूमने की अनुमति दी जाती है, तब यह प्रमेय प्रयुक्त नहीं होता है। यदि, इसके अतिरिक्त, किसी दिए गए तापमान और क्षेत्र में थर्मल संतुलन की केवल ही स्थिति है, और प्रणाली के क्षेत्र प्रयुक्त होने के पश्चात् इसको संतुलन में लौटने का समय दिया जाता है, तब कोई चुंबकीयकरण नहीं होगा।

इस प्रकार संभावना है कि प्रणाली गति की निश्चित स्थिति में होगा, मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आंकड़ों के अनुसार आनुपातिक होने का पुर्वानुमान है $$\exp(-U/k_\text{B} T)$$, जहां $$U$$ प्रणाली की ऊर्जा है, वही $$k_\text{B}$$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है, और $$T$$ पूर्ण तापमान है। यह ऊर्जा कण के लिए गतिज ऊर्जा $$m v^2/2$$ के योग के सामान्य है द्रव्यमान $$m$$ और गति $$v$$) और संभावित ऊर्जा।

चुंबकीय क्षेत्र संभावित ऊर्जा में योगदान नहीं करता है। विद्युत आवेश $$q$$ और वेग $$\mathbf{v}                                                                                                                                                                                                                        $$ वाले कण पर लोरेंत्ज़ बल होता है |
 * $$\mathbf{F} = q \left(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}\right),$$

जहां $$\mathbf{E}                                                                                                                                                                                                                     $$ विद्युत क्षेत्र है और $$\mathbf{B}$$ चुंबकीय प्रवाह घनत्व है. किये गये कार्य (भौतिकी) की दर $$\mathbf{F}\cdot\mathbf{v} = q\mathbf{E}\cdot\mathbf{v}$$ है और यह $$\mathbf{B}

$$ पर निर्भर नहीं है. इसलिए, ऊर्जा चुंबकीय क्षेत्र पर निर्भर नहीं करती है, इसलिए गति का वितरण चुंबकीय क्षेत्र पर निर्भर नहीं करता है।

शून्य क्षेत्र में, आवेशित कणों की कोई शुद्ध गति नहीं होती हैं क्योंकि प्रणाली घूमने में सक्षम नहीं है। इसलिए इसका औसत चुंबकीय क्षण शून्य होता हैं। चूँकि गतियों का वितरण चुंबकीय क्षेत्र पर निर्भर नहीं करता है, इसलिए किसी भी चुंबकीय क्षेत्र में तापीय संतुलन में क्षण शून्य रहता है।

अधिक औपचारिक प्रमाण
प्रमाण की जटिलता को कम करने के लिए, $$N$$ इलेक्ट्रॉनों वाली प्रणाली का उपयोग किया जाएगा।

यह उचित है, क्योंकि किसी ठोस में अधिकांश चुंबकत्व इलेक्ट्रॉनों द्वारा वहन किया जाता है, और प्रमाण को इससे अधिक प्रकार के आवेशित कणों के लिए सरलता से सामान्यीकृत किया जाता है।

प्रत्येक इलेक्ट्रॉन पर ऋणात्मक आवेश $$e                                                                                                                                                                                                                                $$ और द्रव्यमान $$m_\text{e}$$ होता है।

यदि इसकी स्थिति $$\mathbf{r}$$ है और वेग $$\mathbf{v}$$ है, तब यह विद्युत धारा $$\mathbf{j} = e\mathbf{v}$$ और चुंबकीय क्षण को उत्पन्न करता है
 * $$ \mathbf{\mu} = \frac{1}{2c}\mathbf{r}\times\mathbf{j} = \frac{e}{2c}\mathbf{r}\times\mathbf{v}.$$

उपरोक्त समीकरण से पता चलता है कि चुंबकीय क्षण वेग निर्देशांक का रैखिक कार्य है, इसलिए किसी दिए गए दिशा में कुल चुंबकीय क्षण रूप का रैखिक कार्य होना चाहिए
 * $$ \mu = \sum_{i=1}^N\mathbf{a}_i\cdot\dot{\mathbf{r}}_i,$$

जहां बिंदु समय व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व करता है और $$\mathbf{a}_i$$ स्थिति निर्देशांक $$\{\mathbf{r}_i,i=1\ldots N\}$$ के आधार पर सदिश गुणांक हैं।

मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़े संभावना देते हैं कि nवें कण का संवेग $$\mathbf{p}_n$$ है और निर्देशांक $$\mathbf{r}_n$$ है जैसे
 * $$ dP \propto \exp{\left[-\frac{\mathcal{H}(\mathbf{p}_1,\ldots,\mathbf{p}_N;\mathbf{r}_1,\ldots,\mathbf{r}_N)}{k_\text{B}T}\right]}d\mathbf{p}_1,\ldots,d\mathbf{p}_Nd\mathbf{r}_1,\ldots,d\mathbf{r}_N, $$

जहां $$\mathcal{H}$$ हैमिल्टनियन यांत्रिकी या विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में आवेशित कण, प्रणाली की कुल ऊर्जा है।

इन सामान्यीकृत निर्देशांको के किसी भी फलन $$f(\mathbf{p}_1,\ldots,\mathbf{p}_N;\mathbf{r}_1,\ldots,\mathbf{r}_N)$$ का थर्मल औसत तब होता है
 * $$\langle f\rangle =\frac{\int f dP}{\int dP}.$$

चुंबकीय क्षेत्र की उपस्थिति में,
 * $$ \mathcal{H} = \frac{1}{2m_\text{e}}\sum_{i=1}^N \left(\mathbf{p}_i - \frac{e}{c}\mathbf{A}_i \right)^2 + e\phi(\mathbf{q}),$$

जहाँ $$\mathbf{A}_i$$ चुंबकीय सदिश क्षमता है और $$\phi(\mathbf{q})$$ विद्युत अदिश क्षमता है। प्रत्येक कण के लिए संवेग $$\mathbf{p}_i$$और स्थिति $$\mathbf{r}_i$$ के घटक हैमिल्टनियन यांत्रिकी के समीकरणों से संबंधित हैं
 * $$ \begin{align}

\dot{\mathbf{p}}_i &= -\partial \mathcal{H} / \partial \mathbf{r}_i\\ \dot{\mathbf{r}}_i &= \partial \mathcal{H} / \partial \mathbf{p}_i. \end{align}$$ इसलिए,
 * $$ \dot{\mathbf{r}}_i \propto \mathbf{p}_i - \frac{e}{c}\mathbf{A}_i,$$

अतः क्षण $$\mu$$ क्षण $$\mathbf{p}_i$$ का रैखिक फलन है।

थर्मली औसत क्षण,


 * $$\langle \mu \rangle = \frac{\int \mu dP}{\int dP},$$

रूप के अभिन्नों के आनुपातिक शब्दों का योग है


 * $$ \int_{-\infty}^\infty (\mathbf{p}_i - \frac{e}{c}\mathbf{A}_i) dP, $$

जहाँ $$p$$ गति निर्देशांकों में से का प्रतिनिधित्व करता है।

इंटीग्रैंड $$p$$ का विषम कार्य है, इसलिए यह विलुप्त हो जाता है।

इसलिए, $$\langle\mu\rangle=0$$.

अनुप्रयोग
बोह्र-वान लीउवेन प्रमेय प्लाज्मा (भौतिकी) सहित अनेक अनुप्रयोगों में उपयोगी है: ये सभी संदर्भ नील्स बोह्र के भौतिक मॉडल पर बोह्र-वान लीउवेन प्रमेय की चर्चा को आधार बनाते हैं, जिसमें पूरी तरह से प्रतिबिंबित करने वाली दीवारें उन धाराओं को प्रदान करने के लिए आवश्यक हैं जो इसे व्यर्थ कर देती हैं प्लाज्मा के तत्व के आंतरिक भाग से शुद्ध योगदान, और परिणामस्वरूप प्लाज्मा तत्व के लिए शून्य शुद्ध प्रतिचुम्बकत्व होता है।

विशुद्ध रूप से शास्त्रीय प्रकृति का प्रतिचुंबकत्व प्लाज़्मा में होता है, लेकिन यह थर्मल असंतुलन का परिणाम है, जैसे कि प्लाज़्मा घनत्व में ढाल। वैद्युतयांत्रिकी और विद्युत अभियन्त्रण को भी बोह्र-वान लीउवेन प्रमेय से व्यावहारिक लाभ मिलता है।

बाहरी संबंध

 * The early 20th century: Relativity and quantum mechanics bring understanding at last