माध्य-क्षेत्र सिद्धांत

भौतिकी और प्रायिकता सिद्धांत में, औसत-क्षेत्र सिद्धांत (मीन-फील्ड थ्योरी, एमएफटी) या स्व-सुसंगत क्षेत्र सिद्धांत उच्च विमीय (प्रसंभाव्य) मॉडल के व्यवहार का अध्ययन करता है जिसे सरलीकृत मॉडल के माध्यम से मूल मॉडल का प्राप्तिकरण करके अध्ययन किया जाता है, जो स्वतंत्रता की कोटि (सांख्यिकी की अंतिम गणना में मुक्त रूप से बदलने के योग्य आंकड़ों की संख्या) के औसत से मूल का अनुमान लगाता है। ऐसे मॉडल कई अलग-अलग घटकों पर विचार करते हैं जो एक दूसरे के साथ प्रभावशील होते हैं।

एमएफटी की मुख्य विचारधारा यह है कि किसी भी एक निकाय के साथ संबंधित सभी अंतःक्रियाओं को औसत या प्रभावी अंतःक्रिया के द्वारा प्रतिस्थापित किया जाए, जिसे कभी-कभी आणविक क्षेत्र कहा जाता है। इससे किसी भी बहु-निकाय समस्या को प्रभावी एकल-निकाय समस्या में संघटित किया जाता है। एमएफटी समस्याओं के हल करने की सरलता के कारण, निकाय के कार्यविधि में कुछ अंतर्दृष्टि कम अभिकलनात्मक लागत पर प्राप्त की जा सकती है।

एमएफटी को इसके पश्चात भौतिकी के बाहर के विस्तृत श्रृंखला में भी लागू किया गया है, जिनमें सांख्यिकीय अनुमान, ग्राफिकल मॉडल, तंत्रिका विज्ञान (न्यूरोसाइंस), आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस, एपिडेमिक मॉडल, कतार सिद्धांत, कंप्यूटर-नेटवर्क कार्यकरण और गेम सिद्धांत, जैसे कि क्वान्टमी प्रतिक्रिया साम्यावस्था में।

उत्पत्ति
यह विचार पहली बार भौतिकी (सांख्यिकीय यांत्रिकी) में पियरे क्यूरी और पियरे वीस के कार्य में दिखाई दिया था, जहां प्रावस्था संक्रमण का वर्णन किया गया। एमएफटी का उपयोग ब्रैग-विलियम्स सन्निकटन, बेथे जाल पर मॉडल, लैंडौ सिद्धांत, पियर-वेस सन्निकटन, फ्लोरी-हग्गिन्स समाधान सिद्धांत, और शेउट्जेन्स-फ्लीर सिद्धांत में किया गया है।

अनेक (कभी-कभी अनंत) स्वतंत्रता की कोटियों वाले निकायों को सामान्यतः यथार्थ रूप से हल करना या सीमित, विश्लेषणात्मक रूप में गणना करना कठिन होता है, कुछ सरल स्थितयों को छोड़कर (जैसे कि कुछ गॉसियन यादृच्छिक-क्षेत्र सिद्धांत, 1D आइसिंग मॉडल)। प्रायः गणितीय समस्याएं उत्पन्न होती हैं जो निकाय के विभाजन संख्या की गणना जैसे कार्य को कठिन बना देती हैं। एमएफटी सन्निकटन पद्धति है जो प्रायः मूल समस्या को हल करने और गणना करने के लिए विवृत होती है, और कुछ स्थितियों में एमएफटी बहुत यथार्थ सन्निकटन प्रदान कर सकती है।

क्षेत्र सिद्धांत में, हैमिल्टोनियन उद्दीपन एकाधिकता के आधार पर विस्तृत किया जा सकता है जो क्षेत्र के औसत के चारों ओर संवेग के मान के आस-पास के उच्चावचन (फ्लक्चुएशन) के स्तर में होते हैं। इस संदर्भ में, एमएफटी को हमिल्टोनियन के उच्चावचन में "शून्य-क्रम" का विस्तार के रूप में देखा जा सकता है। भौतिक रूप से, इसका अर्थ है कि एमएफटी निकाय में कोई उच्चावचन नहीं होता है, लेकिन यह इस विचार से समरूपता रखता है कि कोई "मीन-फील्ड" के साथ सभी क्रियाविधि को प्रतिस्थापित करने के साथ सम्मिलित होता है।

प्रायः, एमएफटी उच्च-क्रम उच्चावचनों का अध्ययन करने के लिए एक सुविधाजनक लॉन्च पॉइंट प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, विभाजन फलन (पार्टीशन फंक्शन) की गणना करते समय, हैमिल्टोनियन में क्रियाविधि स्थितियों की संख्या का अध्ययन करने से कभी-कभी उद्विग्नत परिणाम या फेनमैन आरेख उत्पन्न हो सकते हैं जो मीन-फील्ड सन्निकटन को सही करते हैं।

प्रामाण्य
सामान्यतः, विमीयता किसी भी विशेष समस्या के लिए क्या मीन-फील्ड दृष्टिकोण कार्यविन्त होगा, यह निर्धारित करने में सक्रिय भूमिका निभाता है। कभी-कभी एक महत्वपूर्ण विमा होती है जिसके ऊपर एमएफटी दृष्टिकोण स्वीकृत होता है और जिसके नीचे यह स्वीकृत नहीं होता है।

अनुमानतः, एमएफटी में कई अंतराक्रियाएं किसी प्रभावी अंतराक्रिया द्वारा प्रतिस्थापित की जाती हैं। इसलिए, यदि क्षेत्र या कण मूल निकाय में कई यादृच्छिक अंतराक्रियाएं प्रदर्शित करते हैं, तो वे एक दूसरे को रद्द करने की प्रवृत्ति रखते हैं, अतः माध्यमिक प्रभावी अंतराक्रिया और एमएफटी अधिक यथार्थ होंगे। यह उच्च विमीयता की स्थितियों में सच है, जब हैमिल्टोनियन में दीर्घ-संबंधी बल होते हैं या कण विस्तारित होते हैं (उदा. पॉलीमर)। गिन्जबर्ग मापक मानक फील्ड थीरोरी को अपर्याप्त अनुमानित सन्निकटन बनाने वाले उच्चावचन के रूप में निर्देशित करता है, जो सामान्यतः स्वेक्षा वाली स्थानिक विमाओं की संख्या पर निर्भर करता है।

प्रारूपिक दृष्टिकोण (हैमिल्टोनियन)
माध्य-क्षेत्र सिद्धांत के लिए प्रारूपिक आधार बोगोलियुबॉव असमानता है। यह असमानता कहती है कि हैमिल्टोनियन के साथ निकाय की मुक्त ऊर्जा


 * $$\mathcal{H} = \mathcal{H}_0 + \Delta \mathcal{H}$$

निम्नलिखित ऊपरी परिबध है:


 * $$F \leq F_0 \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \langle \mathcal{H}_0 \rangle - T S_0,$$

जहाँ $$S_0$$ एंट्रॉपी है, और $$F$$ और $$F_0$$ हेलमहोल्ट्ज मुक्त ऊर्जाएँ हैं। साम्यावस्था में एंसेम्बल के साथ, हैमिल्टोनियन $$\mathcal{H}_0$$ के संदर्भ निकाय के समतुल्य समूह पर औसत लिया जाता है। विशेष स्थितियों में, जब उल्लेखित हैमिल्टोनियन गैर-अंतःक्रियात्मक निकाय का होता है और अतः इसे निम्न रूप में लिखा जा सकता है:


 * $$\mathcal{H}_0 = \sum_{i=1}^N h_i(\xi_i),$$

जहां $$\xi_i$$ हमारे सांख्यिकीय सिस्टम के व्यक्तिगत घटकों (परमाणु, स्पिन आदि) की स्वतंत्रता की कोटियाँ होती हैं, हम असमानता के दाईं ओर को निम्न करके ऊपरी बाध्यता को तीव्र करने का विचार कर सकते हैं। इस असमानता के दाईं ओर को कम करने वाला संदर्भ निकाय अतः "सर्वश्रेष्ठ" सन्निकटन है जो गैर-सहसंबद्धता वाले स्वतंत्रता की कोटि का उपयोग करके वास्तविक निकाय के लिए निकटता में सन्निकटित बनाया जाता है और इसे माध्य क्षेत्र सन्निकटन के रूप में जाना जाता है।

सर्वाधिक साधारण स्थिति के लिए कि टारगेट हैमिल्टनियन में केवल युग्मित अंतःक्रियाएं होती हैं, अर्थात,


 * $$\mathcal{H} = \sum_{(i,j) \in \mathcal{P}} V_{i,j}(\xi_i, \xi_j),$$

जहां $$\mathcal{P}$$ एक ऐसे युग्म का समुच्चय है जो प्रभावशील होता है, न्यूनीकरण करने की प्रक्रिया को समरूप रूप से की जा सकता है। $$\operatorname{Tr}_i f(\xi_i)$$ को एकल घटक की स्वतंत्रता की कोटि पर देखे जाने योग्य $$f$$ के सामान्यीकृत योग के रूप में परिभाषित करें (विकल्प के लिए अविकल्पीय संख्यात्मक चर, अविकल्पीय चर के लिए अवरोधों का एकीकरण)। अनुमानित मुक्त ऊर्जा निम्नलिखित द्वारा दी जाती है:
 * $$\begin{align}

F_0 &= \operatorname{Tr}_{1,2,\ldots,N} \mathcal{H}(\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_N) P^{(N)}_0(\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_N) \\ &+ kT \,\operatorname{Tr}_{1,2,\ldots,N} P^{(N)}_0(\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_N) \log P^{(N)}_0(\xi_1, \xi_2, \ldots,\xi_N), \end{align}$$ जहां $$P^{(N)}_0(\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_N)$$ वे प्रायिकता हैं कि संदर्भ निकाय को $$(\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_N)$$ द्वारा निर्दिष्ट स्थितियों में प्राप्त होगा। यह प्रायिकता सामान्यीकृत बोल्ट्जमान गुणक द्वारा निर्दिष्ट होती है। जो निम्नवत है
 * $$\begin{align}

P^{(N)}_0(\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_N) &= \frac{1}{Z^{(N)}_0} e^{-\beta \mathcal{H}_0(\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_N)} \\ &= \prod_{i=1}^N \frac{1}{Z_0} e^{-\beta h_i(\xi_i)} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \prod_{i=1}^N P^{(i)}_0(\xi_i), \end{align}$$ जहाँ $$Z_0$$ विभाजन फलन है। अत:
 * $$\begin{align}

F_0 &= \sum_{(i,j) \in \mathcal{P}} \operatorname{Tr}_{i,j} V_{i,j}(\xi_i, \xi_j) P^{(i)}_0(\xi_i) P^{(j)}_0(\xi_j) \\ &+ kT \sum_{i=1}^N \operatorname{Tr}_i P^{(i)}_0(\xi_i) \log P^{(i)}_0(\xi_i). \end{align}$$ न्यूनीकरण के लिए, हम लैग्रेंज गुणक का उपयोग करके एकल-स्वतंत्रता-की-कोटि प्रायिकताओं $$P^{(i)}_0$$ के साथ सम्बन्ध के साथ अवकलन करते हैं जिससे उचित सामान्यीकरण सुनिश्चित हो। अंतिम परिणाम स्व-संगति समीकरणों का समुच्चय होता है
 * $$P^{(i)}_0(\xi_i) = \frac{1}{Z_0} e^{-\beta h_i^{MF}(\xi_i)},\quad i = 1, 2, \ldots, N,$$

जहां माध्य क्षेत्र द्वारा दिया गया है
 * $$h_i^\text{MF}(\xi_i) = \sum_{\{j \mid (i,j) \in \mathcal{P}\}} \operatorname{Tr}_j V_{i,j}(\xi_i, \xi_j) P^{(j)}_0(\xi_j).$$

अनुप्रयोग
माध्य क्षेत्र सिद्धांत को कई भौतिक प्रणालियों पर लागू किया जा सकता है ताकि चरण संक्रमण जैसी घटनाओं का अध्ययन किया जा सके।

औपचारिक व्युत्पत्ति
ऊपर दिखाई गई बोगोलीबॉव असमानता का उपयोग द्वि-आयामी आइसिंग जाली के माध्य क्षेत्र मॉडल की गतिशीलता को खोजने के लिए किया जा सकता है। परिणामी अनुमानित हेल्महोल्ट्ज मुक्त ऊर्जा से एक चुंबकीयकरण समारोह की गणना की जा सकती है। पहला कदम सही हेमिल्टनियन का एक अधिक सुगम सन्निकटन चुनना है। एक गैर-बातचीत या प्रभावी फ़ील्ड हैमिल्टनियन का उपयोग करना,


 * $$ -m \sum_i s_i $$,

परिवर्तनशील मुक्त ऊर्जा है


 * $$ F_V = F_0 + \left \langle \left( -J \sum s_i s_j - h \sum s_i \right) - \left(-m\sum s_i\right) \right \rangle_0. $$

Bogoliubov असमानता द्वारा, इस मात्रा को सरल बनाना और चुंबकीयकरण समारोह की गणना करना कि गणितीय अनुकूलन भिन्नता मुक्त ऊर्जा वास्तविक चुंबकत्व के लिए सबसे अच्छा सन्निकटन पैदा करती है। न्यूनतम है
 * $$ m = J\sum\langle s_j \rangle_0 + h, $$

जो स्पिन का पहनावा औसत (सांख्यिकीय यांत्रिकी) है। यह करने के लिए सरल करता है
 * $$ m = \text{tanh}(zJ\beta m) + h. $$

सभी स्पिनों द्वारा महसूस किए गए प्रभावी क्षेत्र को औसत स्पिन मान के बराबर करना, उतार-चढ़ाव के दमन के लिए परिवर्तनशील दृष्टिकोण से संबंधित है। मैग्नेटिसेशन फ़ंक्शन की भौतिक व्याख्या तब अलग-अलग स्पिन के लिए माध्य मानों का एक क्षेत्र है।

गैर-अंतःक्रियात्मक स्पिन सन्निकटन
एक पर आइसिंग मॉडल पर विचार करें $$d$$-आयामी जाली। हैमिल्टनियन द्वारा दिया गया है
 * $$H = -J \sum_{\langle i, j \rangle} s_i s_j - h \sum_i s_i,$$

जहां $$\sum_{\langle i, j \rangle}$$ निकटतम पड़ोसियों की जोड़ी पर योग इंगित करता है $$\langle i, j \rangle$$, और $$s_i, s_j = \pm 1$$ पड़ोसी ईज़िंग स्पिन हैं।

आइए हम अपने स्पिन चर को उसके माध्य मान से उतार-चढ़ाव का परिचय देकर रूपांतरित करें $$m_i \equiv \langle s_i \rangle$$. हम हैमिल्टनियन को इस रूप में फिर से लिख सकते हैं
 * $$H = -J \sum_{\langle i, j \rangle} (m_i + \delta s_i) (m_j + \delta s_j) - h \sum_i s_i,$$

जहां हम परिभाषित करते हैं $$\delta s_i \equiv s_i - m_i$$; यह स्पिन का उतार-चढ़ाव है।

यदि हम दाईं ओर विस्तार करते हैं, तो हमें एक शब्द मिलता है जो पूरी तरह से स्पिन के औसत मूल्यों पर निर्भर करता है और स्पिन कॉन्फ़िगरेशन से स्वतंत्र होता है। यह तुच्छ शब्द है, जो सिस्टम के सांख्यिकीय गुणों को प्रभावित नहीं करता है। अगला शब्द स्पिन के औसत मूल्य और उतार-चढ़ाव मूल्य के उत्पाद को शामिल करने वाला है। अंत में, अंतिम शब्द में दो उतार-चढ़ाव मूल्यों का उत्पाद शामिल होता है।

माध्य क्षेत्र सन्निकटन में इस दूसरे क्रम के उतार-चढ़ाव की अवधि की उपेक्षा करना शामिल है:
 * $$H \approx H^\text{MF} \equiv -J \sum_{\langle i, j \rangle} (m_i m_j + m_i \delta s_j + m_j \delta s_i) - h \sum_i s_i.$$

इन उतार-चढ़ावों को कम आयामों पर बढ़ाया जाता है, जिससे एमएफटी उच्च आयामों के लिए बेहतर सन्निकटन बन जाता है।

फिर से, सारांश को फिर से विस्तारित किया जा सकता है। इसके अलावा, हम उम्मीद करते हैं कि प्रत्येक स्पिन का माध्य मान साइट-स्वतंत्र है, क्योंकि ईज़िंग श्रृंखला पारभासी रूप से अपरिवर्तनीय है। यह प्रदान करता है


 * $$H^\text{MF} = -J \sum_{\langle i, j \rangle} \big(m^2 + 2m(s_i - m)\big) - h \sum_i s_i.$$

पड़ोसी स्पिनों पर योग को फिर से लिखा जा सकता है $$\sum_{\langle i, j \rangle} = \frac{1}{2} \sum_i \sum_{j \in nn(i)}$$, कहाँ $$nn(i)$$ का मतलब निकटतम पड़ोसी $$i$$, और यह $$1/2$$ प्रीफैक्टर डबल काउंटिंग से बचता है, क्योंकि प्रत्येक बॉन्ड दो स्पिन में भाग लेता है। सरलीकरण अंतिम अभिव्यक्ति की ओर ले जाता है


 * $$H^\text{MF} = \frac{J m^2 N z}{2} - \underbrace{(h + m J z)}_{h^\text{eff.}} \sum_i s_i,$$

कहाँ $$z$$ समन्वय संख्या है। इस बिंदु पर, इस्सिंग हैमिल्टनियन को एक प्रभावी माध्य क्षेत्र के साथ एक-निकाय हैमिल्टनियन के योग में अलग कर दिया गया है $$h^\text{eff.} = h + J z m$$, जो बाहरी क्षेत्र का योग है $$h$$ और पड़ोसी स्पिन द्वारा प्रेरित माध्य क्षेत्र का। यह ध्यान देने योग्य है कि यह औसत क्षेत्र सीधे निकटतम पड़ोसियों की संख्या पर निर्भर करता है और इस प्रकार सिस्टम के आयाम पर निर्भर करता है (उदाहरण के लिए, आयाम के हाइपरक्यूबिक जाली के लिए $$d$$, $$z = 2 d$$).

इस हैमिल्टनियन को विभाजन समारोह में प्रतिस्थापित करना और प्रभावी 1D समस्या को हल करना, हम प्राप्त करते हैं


 * $$ Z = e^{-\frac{\beta J m^2 Nz}{2}} \left[2 \cosh\left(\frac{h + m J z}{k_\text{B} T}\right)\right]^N,$$

कहाँ $$N$$ जाली साइटों की संख्या है। यह सिस्टम के विभाजन कार्य के लिए एक बंद और सटीक अभिव्यक्ति है। हम सिस्टम की मुक्त ऊर्जा प्राप्त कर सकते हैं और महत्वपूर्ण घातांक की गणना कर सकते हैं। विशेष रूप से, हम चुंबकत्व प्राप्त कर सकते हैं $$m$$ के एक समारोह के रूप में $$h^\text{eff.}$$.

इस प्रकार हमारे बीच दो समीकरण हैं $$m$$ और $$h^\text{eff.}$$, हमें निर्धारित करने की अनुमति देता है $$m$$ तापमान के एक समारोह के रूप में। यह निम्नलिखित अवलोकन की ओर जाता है:
 * एक निश्चित मान से अधिक तापमान के लिए $$T_\text{c}$$, एक मात्र उपाय है $$m = 0$$. सिस्टम पैरामैग्नेटिक है।
 * के लिए $$T < T_\text{c}$$, दो गैर-शून्य समाधान हैं: $$m = \pm m_0$$. सिस्टम फेरोमैग्नेटिक है।

$$T_\text{c}$$ निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया गया है: $$T_\text{c} = \frac{J z}{k_B}$$.

इससे पता चलता है कि एमएफटी फेरोमैग्नेटिक फेज ट्रांजिशन के लिए जिम्मेदार हो सकता है।

अन्य प्रणालियों के लिए आवेदन
इसी प्रकार, निम्नलिखित मामलों में एमएफटी को अन्य प्रकार के हैमिल्टनियन पर लागू किया जा सकता है: माध्य क्षेत्र सिद्धांत की तरह भिन्न रूप से न्यूनीकरण का उपयोग वैरिएशनल बायेसियन विधियों | सांख्यिकीय अनुमान में भी किया जा सकता है।
 * धातु-अतिचालक संक्रमण का अध्ययन करना। इस मामले में, चुंबकीयकरण का एनालॉग सुपरकंडक्टर गैप है $$\Delta$$.
 * एक तरल स्फ़टिक  का आणविक क्षेत्र जो निदेशक क्षेत्र के लाप्लासियन गैर-शून्य होने पर उभरता है।
 * प्रोटीन संरचना भविष्यवाणी में एक निश्चित तृतीयक संरचना दी गई इष्टतम एमिनो एसिड  पक्ष श्रृंखला पैकिंग का निर्धारण करने के लिए (स्व-संगत माध्य क्षेत्र (जीव विज्ञान) देखें)।
 * एक मिश्रित सामग्री की लोच (भौतिकी) निर्धारित करने के लिए।

समय-निर्भर माध्य क्षेत्रों का विस्तार
माध्य क्षेत्र सिद्धांत में, एकल-स्थल समस्या में दिखाई देने वाला माध्य क्षेत्र समय-स्वतंत्र अदिश या सदिश मात्रा है। हालांकि, यह हमेशा मामला नहीं होता है: गतिशील औसत क्षेत्र सिद्धांत (डीएमएफटी) नामक औसत क्षेत्र सिद्धांत के एक प्रकार में, औसत क्षेत्र समय-निर्भर मात्रा बन जाता है। उदाहरण के लिए, धातु-मोट-इन्सुलेटर संक्रमण का अध्ययन करने के लिए डीएमएफटी को हबर्ड मॉडल पर लागू किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * गतिशील माध्य क्षेत्र सिद्धांत
 * मीन फील्ड गेम थ्योरी
 * सामान्यीकृत महामारी माध्य क्षेत्र मॉडल