न्युड्सन नंबर

न्युड्सन संख्या (Kn) आयामहीन संख्या है जिसे आणविक माध्य मुक्त पथ लंबाई और प्रतिनिधि भौतिक लंबाई माप के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। इस प्रकार से यह लंबाई का माप, उदाहरण के लिए, किसी तरल पदार्थ में किसी पिंड की त्रिज्या हो सकता है। इस संख्या का नाम डेनमार्क के भौतिक विज्ञानी मार्टिन न्युड्सन (1871-1949) के नाम पर रखा गया है।

इस प्रकार से न्युड्सन संख्या यह निर्धारित करने में सहायता करती है कि किसी स्थिति को मॉडल करने के लिए सांख्यिकीय यांत्रिकी या द्रव गतिशीलता के सातत्य यांत्रिकी सूत्रीकरण का उपयोग किया जाना चाहिए या नहीं किया जाना चाहिए। यदि न्युड्सन संख्या के समीप या उससे अधिक है, तब अणु का औसत मुक्त पथ समस्या की लंबाई के माप के समान होते है, और द्रव यांत्रिकी की सातत्य धारणा अब उचित अनुमान नहीं है। अर्थात इस स्तिथियों में, सांख्यिकीय विधियों का उपयोग किया जाना चाहिए.

परिभाषा
अतः न्युड्सन संख्या आयामहीन संख्या है जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है


 * $$\mathrm{Kn}\ = \frac {\lambda}{L},$$

जहाँ
 * $$\lambda$$ = माध्य मुक्त पथ [L1],
 * $$L$$ = प्रतिनिधि भौतिक लंबाई माप [L1].

जहाँ $$L$$, माना जाने वाला प्रतिनिधि लंबाई माप एक प्रणाली के विभिन्न भौतिक लक्षणों के अनुरूप हो सकता है किन्तु सामान्यतः अंतराल की लंबाई से संबंधित होता है जिस पर गैस चरण के माध्यम से थर्मल परिवहन या उच्च माप पर परिवहन होता है। इस प्रकार से यह छिद्रपूर्ण और दानेदार सामग्रियों की स्तिथि है, जहां गैस चरण के माध्यम से थर्मल परिवहन इसके दबाव और इस चरण में अणुओं के परिणामी औसत मुक्त पथ पर अत्यधिक निर्भर करता है। और बोल्ट्जमान गैस के लिए, माध्य मुक्त पथ की गणना सरलता से की जा सकती है, जिससे


 * $$\mathrm{Kn}\ = \frac {k_\text{B} T}{\sqrt{2}\pi d^2 p L}=\frac {k_\text{B}}{\sqrt{2}\pi d^2 \rho R_{s} L},                                                       $$

जहाँ
 * $$k_\text{B}$$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक (1.380649 × 10−23 J/K in SI units) [M1 L2 T−2 Θ−1],
 * $$T$$ थर्मोडायनामिक तापमान [θ1], है
 * $$d                                                                                                                                                                                                                  $$ कण हार्ड-शेल व्यास [L1] है,
 * $$p$$ स्थैतिक दबाव [M1 L−1 T−2] है ,
 * $$R_{s}$$ गैस स्थिरांक या विशिष्ट गैस स्थिरांक है [L2 T−2 θ−1] (हवा के लिए 287.05 J/(किग्रा K)),
 * $$\rho$$ घनत्व [M1 L−3] है.

यदि तापमान बढ़ाया जाता है, किन्तु आयतन स्थिर रखा जाता है, तो न्युड्सन संख्या (और माध्य मुक्त पथ) परिवर्तन नहीं होते है (एक आदर्श गैस के लिए)। इस स्थिति में, घनत्व समान रहता है। यदि तापमान बढ़ा दिया जाए और दबाव स्थिर रखा जाए तो गैस फैलती है और इसलिए उसका घनत्व कम हो जाता है। इस स्तिथि में, माध्य मुक्त पथ बढ़ता है और न्युड्सन संख्या भी बढ़ती है। इसलिए, यह ध्यान रखना उपयोगी हो सकता है कि माध्य मुक्त पथ (और इसलिए न्युड्सन संख्या) वास्तव में थर्मोडायनामिक वेरिएबल घनत्व (घनत्व के व्युत्क्रम के आनुपातिक) पर निर्भर है, और केवल अप्रत्यक्ष रूप से तापमान और दबाव पर निर्भर रहते है।

इस प्रकार से वायुमंडल में कण गतिशीलता के लिए, और मानक तापमान और दबाव, अर्थात 0 डिग्री सेल्सियस और 1 एटीएम मानने के लिए, हमारे पास $$\lambda$$ ≈ $0 m$ (80 एनएम) है।

गैसों में मैक और रेनॉल्ड्स संख्याओं से संबंध
इस प्रकार से न्युड्सन संख्या मैक संख्या और रेनॉल्ड्स संख्या से संबंधित हो सकती है।

गतिशील श्यानता का उपयोग करना है।
 * $$\mu = \frac{1}{2}\rho \bar{c} \lambda,$$

औसत अणु गति के साथ (मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण से)
 * $$\bar{c} = \sqrt{\frac{8 k_\text{B} T}{\pi m}},$$

माध्य मुक्त पथ निम्नानुसार निर्धारित किया जाता है:
 * $$\lambda = \frac{\mu}{\rho} \sqrt{\frac{\pi m}{2 k_\text{B} T}}.$$

एल (कुछ विशिष्ट लंबाई) से विभाजित करने पर, न्युड्सन संख्या प्राप्त होती है:
 * $$ \mathrm{Kn}\ = \frac{\lambda}{L} = \frac{\mu}{\rho L} \sqrt{\frac{\pi m}{2 k_\text{B} T}},$$

जहाँ
 * $$\bar{c}$$ मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण [L1 T−1],से औसत आणविक गति हैː
 * T थर्मोडायनामिक तापमान [θ1], है
 * μ गतिशील श्यानता [M1 L2 T−2 θ−1], है
 * m आणविक द्रव्यमान [M1], है
 * kB बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक [M1 L2 T−2 θ−1] है,
 * $$\rho$$ घनत्व [M1 L−3] है.

आयामहीन मच संख्या को इस प्रकार लिखा जा सकता है
 * $$\mathrm{Ma} = \frac {U_\infty}{c_\text{s}},$$

जहां ध्वनि की गति दी जाती है
 * $$c_\text{s} = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}} = \sqrt{\frac{\gamma k_\text{B}T}{m}},$$

जहाँ
 * U∞फ्रीस्ट्रीम गति [L1 T−1] है,
 * R सार्वभौमिक गैस स्थिरांक है (SI में 8.314 47215 J K−1 mol−1) [M1 L2 T−2 θ−1 mol−1],,
 * M दाढ़ द्रव्यमान [M1 mol−1] है
 * $$\gamma$$ विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात [1] है।

आयामहीन रेनॉल्ड्स संख्या को इस प्रकार लिखा जा सकता है
 * $$\mathrm{Re} = \frac {\rho U_\infty L}{\mu}.$$

मैक संख्या को रेनॉल्ड्स संख्या से विभाजित करना:


 * $$\frac{\mathrm{Ma}}{\mathrm{Re}} = \frac{U_\infty / c_\text{s}}{\rho U_\infty L / \mu} = \frac{\mu}{\rho L c_\text{s}} = \frac{\mu}{\rho L \sqrt{\frac{\gamma k_\text{B} T}{m}}} = \frac{\mu}{\rho L} \sqrt{\frac{m}{\gamma k_\text{B} T}}$$

और से गुणा करके $$\sqrt{\frac{\gamma \pi}{2}}$$ न्युड्सन संख्या उत्पन्न करता है:


 * $$\frac{\mu}{\rho L} \sqrt{\frac{m}{\gamma k_\text{B}T}} \sqrt{\frac{\gamma \pi}{2}} = \frac{\mu}{\rho L} \sqrt{\frac{\pi m}{2k_\text{B} T}} = \mathrm{Kn}.$$

मैक, रेनॉल्ड्स और न्युड्सन संख्याएँ इसलिए संबंधित हैं


 * $$\mathrm{Kn}\ = \frac{\mathrm{Ma}}{\mathrm{Re}} \sqrt{\frac{\gamma \pi}{2}}.$$

आवेदन
इस प्रकार से न्युड्सन संख्या का उपयोग प्रवाह के विरलन को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है: अतः यह शासन वर्गीकरण अनुभवजन्य और समस्या पर निर्भर है किन्तु पर्याप्त रूप से मॉडल प्रवाह के लिए उपयोगी प्रमाण हुआ है।
 * $$\mathrm{Kn} < 0.01 $$: सातत्यक यांत्रिकी
 * $$0.01 < \mathrm{Kn} < 0.1 $$: स्लिप फ्लो
 * $$ 0.1 < \mathrm{Kn} < 10 $$: संक्रमणकालीन प्रवाह
 * $$\mathrm{Kn} > 10 $$: मुक्त आणविक प्रवाह

इस प्रकार से उच्च न्युड्सन संख्याओं की समस्याओं में निचले पृथ्वी के वायुमंडल के माध्यम से धूल के कण की गति और बाह्यमंडल के माध्यम से उपग्रह की गति की गणना सम्मिलित है। न्युड्सन नंबर के लिए अधिक व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले अनुप्रयोगों में से माइक्रोफ्लुइडिक्स और एमईएमएस उपकरण डिज़ाइन में है जहां प्रवाह सातत्य से मुक्त-आणविक तक होता है। वर्तमान के वर्षों में, इसे अन्य विषयों जैसे छिद्रपूर्ण मीडिया में परिवहन, जैसे, पेट्रोलियम जलाशयों में प्रयुक्त किया गया है। अर्थात कहा जाता है कि उच्च न्युड्सन संख्या वाली स्थितियों में तरल पदार्थों की गति न्युड्सन प्रवाह को प्रदर्शित करती है, जिसे मुक्त आणविक प्रवाह भी कहा जाता है।

किसी विमान जैसे विमान के चारों ओर वायु प्रवाह में न्युड्सन संख्या कम होती है, जो की इसे सातत्य यांत्रिकी के क्षेत्र में दृढ़ता से रखती है। और न्युड्सन संख्या का उपयोग करके स्टोक्स के नियम के लिए समायोजन का उपयोग कनिंघम सुधार कारक में किया जा सकता है, यह छोटे कणों में फिसलन के कारण ड्रैग बल सुधार है (अर्थात dp < 5 μm). नोजल के माध्यम से जल का प्रवाह सामान्यतः कम न्युड्सन संख्या वाली स्थिति में होनी चाहिए।

इस प्रकार से विभिन्न आणविक द्रव्यमान वाली गैसों के मिश्रण को पतली दीवार के छोटे छिद्रों के माध्यम से मिश्रण भेजकर आंशिक रूप से अलग किया जा सकता है क्योंकि छिद्र से निकलने वाले अणुओं की संख्या गैस के दबाव के समानुपाती होती है और इसके आणविक द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होती है। इस तकनीक का उपयोग छिद्रपूर्ण झिल्लियों का उपयोग करके यूरेनियम जैसे समस्थानिक मिश्रण को अलग करने के लिए किया गया है, और इसे जल से हाइड्रोजन उत्पादन में उपयोग के लिए इसका सफलतापूर्वक प्रदर्शन भी किया गया है।

अतः न्युड्सन संख्या गैसों में तापीय संचालन में भी महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। किन्तु उदाहरण के लिए, इन्सुलेशन सामग्री के लिए, जहां गैसें कम दबाव में होती हैं, कम तापीय चालकता सुनिश्चित करने के लिए न्युड्सन संख्या यथासंभव अधिक होनी चाहिए।

बाहरी संबंध

 * Knudsen number and diffusivity calculators