अनिवार्य विलक्षणता

जटिल विश्लेषण में, एक फलन (गणित) की एक आवश्यक विलक्षणता एक गंभीर विलक्षणता (गणित) है जिसके पास फलन विषम व्यवहार प्रदर्शित करता है।

श्रेणी अनिवार्य विलक्षणता पृथक विलक्षणता का एक बचा हुआ या डिफ़ॉल्ट समूह है जो विशेष रूप से अप्रबंधनीय है: परिभाषा के अनुसार वे विलक्षणता की अन्य दो श्रेणियों में से किसी में भी फिट नहीं होते हैं जिन्हें किसी तरह से हटाने योग्य विलक्षणताओ और ध्रुवों (जटिल विश्लेषण) का समाधान किया जा सकता है। व्यवहार में कुछ गैर-पृथक विलक्षणताओं को भी शामिल करते हैं; जिनका कोई अवशेष (जटिल विश्लेषण) नहीं होता है।

औपचारिक विवरण
जटिल तल $$\mathbb{C}$$ के एक खुले उपसमुच्चय $$U$$ पर विचार करें। मान लीजिए $$a$$ $$U$$ का एक अवयव है और $$f\colon U\setminus\{a\}\to \mathbb{C}$$ एक होलोमॉर्फिक फलन हैं। बिंदु $$a$$ फलन की एक आवश्यक विलक्षणता कहा जाता है $$f$$ यदि विलक्षणता न तो ध्रुव (जटिल विश्लेषण) है और न ही हटाने योग्य विलक्षणता है।

उदाहरण के लिए, समारोह $$f(z)=e^{1/z}$$ में एक आवश्यक विलक्षणता है $$z=0$$.

वैकल्पिक विवरण
होने देना $$\;a\;$$ एक जटिल संख्या हो, मान लीजिए $$f(z)$$ पर परिभाषित नहीं है $$\;a\;$$ लेकिन कुछ क्षेत्र में विश्लेषणात्मक कार्य है $$U$$ जटिल विमान का, और वह हर ओपन सेट पड़ोस (गणित)। $$a$$ के साथ गैर-खाली चौराहा है $$U$$.


 * अगर दोनों $$\lim_{z \to a}f(z)$$ और $$\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}$$ मौजूद हैं, तो $$a$$ दोनों की एक हटाने योग्य विलक्षणता है $$f$$ और $$\frac{1}{f}$$.


 * अगर $$\lim_{z \to a}f(z)$$ लेकिन मौजूद है $$\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}$$ मौजूद नहीं है (वास्तव में $$\lim_{z\to a}|1/f(z)|=\infty$$), तब $$a$$ का एक शून्य (जटिल विश्लेषण) है $$f$$ और एक पोल (जटिल विश्लेषण)। $$\frac{1}{f}$$.


 * इसी तरह, अगर $$\lim_{z \to a}f(z)$$ मौजूद नहीं है (वास्तव में $$\lim_{z\to a}|f(z)|=\infty$$) लेकिन $$\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}$$ मौजूद है, तो $$a$$ का ध्रुव है $$f$$ और एक शून्य $$\frac{1}{f}$$.


 * यदि नहीं $$\lim_{z \to a}f(z)$$ और न $$\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}$$ मौजूद है, तो $$a$$ दोनों की एक आवश्यक विलक्षणता है $$f$$ और $$\frac{1}{f}$$.

एक आवश्यक विलक्षणता को चित्रित करने का एक और तरीका यह है कि लॉरेंट श्रृंखला $$f$$ बिंदु पर $$a$$ अपरिमित रूप से कई ऋणात्मक घात वाले पद हैं (अर्थात् लॉरेंट श्रेणी का मुख्य भाग एक अनंत योग है)। एक संबंधित परिभाषा यह है कि यदि कोई बिंदु है $$a$$ जिसके लिए कोई व्युत्पन्न नहीं है $$f(z)(z-a)^n$$ के रूप में एक सीमा में परिवर्तित हो जाता है $$z$$ आदत है $$a$$, तब $$a$$ की एक आवश्यक विलक्षणता है $$f$$. अनंत पर एक बिंदु के साथ रीमैन क्षेत्र पर, $$\infty_\mathbb{C}$$, कार्यक्रम $${f(z)}$$ उस बिंदु पर एक आवश्यक विलक्षणता है अगर और केवल अगर $${f(1/z)}$$ 0 पर एक आवश्यक विलक्षणता है: यानी न तो $$\lim_{z \to 0}{f(1/z)}$$ और न $$\lim_{z \to 0}\frac{1}{f(1/z)}$$ मौजूद। रीमैन क्षेत्र पर रीमैन जीटा फलन में केवल एक आवश्यक विलक्षणता है, पर $$\infty_\mathbb{C}$$. होलोमॉर्फिक कार्यों का व्यवहार उनकी आवश्यक विलक्षणताओं के पास कैसोराती-वीयरस्ट्रैस प्रमेय और काफी मजबूत पिकार्ड के महान प्रमेय द्वारा वर्णित है। उत्तरार्द्ध का कहना है कि एक आवश्यक विलक्षणता के हर पड़ोस में $$a$$, कार्यक्रम $$f$$ संभवतः एक को छोड़कर, असीमित रूप से कई बार प्रत्येक जटिल मान लेता है। (अपवाद आवश्यक है; उदाहरण के लिए, function $$\exp(1/z)$$ कभी भी मान 0 नहीं लेता है।)

संदर्भ

 * Lars V. Ahlfors; Complex Analysis, McGraw-Hill, 1979
 * Rajendra Kumar Jain, S. R. K. Iyengar; Advanced Engineering Mathematics. Page 920. Alpha Science International, Limited, 2004. ISBN 1-84265-185-4

बाहरी संबंध

 *  An Essential Singularity by Stephen Wolfram, Wolfram Demonstrations Project.
 * Essential Singularity on Planet Math