गोलाकार हार्मोनिक्स

गणित और भौतिक विज्ञान की में, गोलाकार हार्मोनिक्स एक गोले की सतह पर परिभाषित विशेष फलन हैं। वे प्रायः कई वैज्ञानिक क्षेत्रों में आंशिक अवकल समीकरणों को हल करने में कार्यरत होते हैं।

चूँकि गोलाकार हार्मोनिक्स ऑर्थोगोनल फलन का एक पूरा समूह बनाते हैं और इस प्रकार एक ऑर्थोनॉर्मल आधार होता है, एक गोले की सतह पर परिभाषित प्रत्येक फलन को इन गोलाकार हार्मोनिक्स के योग के रूप में लिखा जा सकता है। यह एक वृत्त पर परिभाषित आवधिक फलनों के समान है जिसे फूरियर श्रृंखला के माध्यम से वृत्तीय फलनों (ज्या और कोज्या) के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। फूरियर श्रृंखला में ज्या और कोज्या की तरह, गोलाकार हार्मोनिक्स को (स्थानिक) कोणीय आवृत्ति द्वारा व्यवस्थित किया जा सकता है, जैसा कि दाईं ओर चित्रण में फलनों की पंक्तियों में देखा गया है। इसके अलावा, गोलाकार हार्मोनिक्स एसओ(3), तीन आयामों में घूर्णन के समूह के अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व के लिए आधार फलन हैं, और इस प्रकार एसओ(3) के समूह सैद्धांतिक चर्चा में एक केंद्रीय भूमिका निभाते हैं।

गोलाकार हार्मोनिक्स की उत्पत्ति गोलाकार डोमेन में लाप्लास के समीकरण को हल करने से होती है। ऐसे फलन जो लाप्लास के समीकरण के हल होते हैं हार्मोनिक फलन कहलाते हैं। उनके नाम के होते हुए भी, गोलाकार हार्मोनिक्स कार्टेशियन निर्देशांक में अपना सरलतम रूप लेते हैं, जहां उन्हें लाप्लास के समीकरण का पालन करने वाले डिग्री $$\ell$$ में $$(x, y, z)$$ के सजातीय बहुपदों के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। गोलाकार निर्देशांक के साथ संबंध तत्काल उत्पन्न होता है यदि कोई डिग्री $$\ell$$ के उपर्युक्त बहुपद से रेडियल निर्भरता $$r^\ell$$के एक कारक को निकालने के लिए एकरूपता का उपयोग करता है; शेष कारक को गोलाकार कोणीय निर्देशांक $$\theta$$ और $$\varphi$$ के केवल फलन के रूप में माना जा सकता है, या इन कोणों द्वारा निर्दिष्ट अभिविन्यास इकाई सदिश $$\mathbf r$$ इन कोणों द्वारा निर्दिष्ट माना जा सकता है। इस सेटिंग में, उन्हें तीन आयामों में लैपलेस के समीकरण के समाधान के एक समूह के कोणीय भाग के रूप में देखा जा सकता है, और इस दृष्टिकोण को प्रायः एक वैकल्पिक परिभाषा के रूप में लिया जाता है। हालाँकि, ध्यान दें कि गोलाकार हार्मोनिक्स गोले पर कार्य नहीं करते हैं जो गोले पर मानक गोल मीट्रिक के लिए लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर के संबंध में हार्मोनिक हैं: इस अर्थ में हार्मोनिक फलनों के बाद से गोले पर केवल स्थिरांक हैं चूंकि हार्मोनिक फलन अधिकतम सिद्धांत को संतुष्ट करते हैं। गोलाकार हार्मोनिक्स, क्षेत्र पर फलनों के रूप में, लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर के अभिलक्षणिक फलन हैं (नीचे उच्च आयाम अनुभाग देखें)।

गोलाकार हार्मोनिक्स का एक विशिष्ट समूह, जिसे $$Y_\ell^m(\theta,\varphi)$$ या $$Y_\ell^m({\mathbf r})$$ के रूप में चिह्नित किया जाता है, लैपलेस के गोलाकार हार्मोनिक्स के रूप में जाना जाता है, क्योंकि उन्हें पहली बार 1782 में पियरे साइमन डी लाप्लास द्वारा प्रस्तुत किया गया था। ये फलन एक ओर्थोगोनल प्रणाली का निर्माण करते हैं, और इस प्रकार उपरोक्त वर्णित क्षेत्र पर एक सामान्य फलन के विस्तार के लिए मूलभूत हैं।

गोलाकार हार्मोनिक्स कई सैद्धांतिक और व्यावहारिक अनुप्रयोगों में महत्वपूर्ण हैं, जिसमें मल्टीपोल इलेक्ट्रोस्टैटिक और विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र, इलेक्ट्रॉन विन्यास, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र, भूगर्भ, ग्रहों के निकायों और सितारों के चुंबकीय क्षेत्र और ब्रह्मांडीय माइक्रोवेव पृष्ठभूमि विकिरण का प्रतिनिधित्व सम्मिलित है। 3डी कंप्यूटर ग्राफिक्स में, गोलाकार हार्मोनिक्स अप्रत्यक्ष प्रकाश (परिवेश अंतर्रोध, वैश्विक प्रदीपन, प्रीकंप्यूटेड रेडियंस ट्रांसफर इत्यादि) और 3डी आकृतियों के मॉडलिंग सहित विभिन्न प्रकार के विषयों में एक भूमिका निभाते हैं।

इतिहास
तीन आयामों में न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम की न्यूटोनियन क्षमता के संबंध में गोलाकार हार्मोनिक्स की पहली बार जांच की गई थी। 1782 में, पियरे-साइमन डी लाप्लास ने अपने मेकानिक सेलेस्टे में, एक बिंदु $x$ पर स्थित बिंदु द्रव्यमान $m_{i}$ के एक समूह से जुड़े बिंदु $x_{i}$ पर गुरुत्वाकर्षण क्षमता $$\R^3 \to \R$$ द्वारा दिया गया था

$$V(\mathbf{x}) = \sum_i \frac{m_i}{|\mathbf{x}_i - \mathbf{x}|}.$$ उपरोक्त सारांश में प्रत्येक शब्द एक बिंदु द्रव्यमान के लिए एक व्यक्तिगत न्यूटोनियन क्षमता है। उस समय से ठीक पहले, एड्रियन मैरी लीजेंड्रे ने $r = |x|$ और $r_{1} = |x_{1}|$ की घातों में न्यूटोनियन क्षमता के विस्तार की जांच की थी। उन्होंने पता लगाया कि अगर $r ≤ r_{1}$ तब

$$\frac{1}{|\mathbf{x}_1 - \mathbf{x}|} = P_0(\cos\gamma)\frac{1}{r_1} + P_1(\cos\gamma)\frac{r}{r_1^2} + P_2(\cos\gamma)\frac{r^2}{r_1^3}+\cdots$$ जहाँ $γ$ सदिशों $$$x$''' और $x_{1}$के बीच का कोण है। फलन $$P_i: [-1, 1] \to \R$$ लीजेंड्रे बहुपद हैं, और उन्हें गोलाकार हार्मोनिक्स के एक विशेष स्थिति के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। इसके बाद, अपने 1782 के संस्मरण में, लैपलेस ने $x_{1}$ और $x$ के बीच कोण $γ$ का प्रतिनिधित्व करने के लिए गोलाकार निर्देशांक का उपयोग करके इन गुणांकों की जांच की। (अधिक विस्तृत विश्लेषण के लिए लेजेंड्रे पॉलीनॉमियल्स भौतिकी में लीजेंड्रे बहुपदों के अनुप्रयोग देखें।)

1867 में, विलियम थॉमसन, प्रथम बैरन केल्विन (लॉर्ड केल्विन) और पीटर गुथरी टैट ने प्राकृतिक धारणा पर अपने आलेख में ठोस हार्मोनिक्स प्रस्तावित किया, और इन फलनों के लिए सबसे पहले "गोलाकार हार्मोनिक्स" का नाम भी प्रस्तुत किया। लाप्लास के समीकरण के ठोस हार्मोनिक्स सजातीय कार्य बहुपद समाधान $$\R^3 \to \R$$ थे $$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0.$$ गोलाकार निर्देशांक में लाप्लास के समीकरण की जांच करके, थॉमसन और टैट ने लाप्लास के गोलाकार हार्मोनिक्स को पुनः प्राप्त किया। (नीचे दिया गया अनुभाग देखें, "हार्मोनिक बहुपद प्रतिनिधित्व"।) शब्द "लाप्लास के गुणांक" विलियम व्हीवेल द्वारा इन पंक्तियों के साथ प्रस्तुत किए गए समाधानों की विशेष प्रणाली का वर्णन करने के लिए नियोजित किया गया था, जबकि अन्य ने इस पद को क्षेत्रीय गोलाकार हार्मोनिक्स के लिए आरक्षित किया था जो ठीक से लाप्लास और लीजेंड्रे द्वारा प्रस्तुत किया गया था।

फूरियर श्रृंखला के 19वीं शताब्दी के विकास ने आयताकार डोमेन में विभिन्न प्रकार की भौतिक समस्याओं का समाधान संभव बनाया, जैसे ताप समीकरण और तरंग समीकरण का समाधान। यह त्रिकोणमितीय फलनों की श्रृंखला में फलनों के विस्तार से प्राप्त किया जा सकता है। जबकि फूरियर श्रृंखला में त्रिकोणमितीय फलन एक स्ट्रिंग में कंपन के मूलभूत तरीकों का प्रतिनिधित्व करते हैं, गोलाकार हार्मोनिक्स उसी तरह एक क्षेत्र के कंपन के मूलभूत तरीकों का उसी तरह प्रतिनिधित्व करते हैं। त्रिकोणमितीय फलनों के अपेक्षाकृत गोलाकार हार्मोनिक्स में विस्तार करके फूरियर श्रृंखला के सिद्धांत के कई पहलुओं को सामान्यीकृत किया जा सकता है। इसके अलावा, त्रिकोणमितीय फलनों को समतुल्य रूप से जटिल घातांक के रूप में कैसे लिखा जा सकता है, इसके अनुरूप, गोलाकार हार्मोनिक्स में भी जटिल-मूल्यवान फलनों के समान रूप होता है। यह गोलाकार समरूपता रखने वाली समस्याओं के लिए एक वरदान था, जैसे कि मूल रूप से लाप्लास और लिजेंड्रे द्वारा अध्ययन किए गए खगोलीय यांत्रिकी।

भौतिकी में पहले से ही गोलाकार हार्मोनिक्स की व्यापकता ने क्वांटम यांत्रिकी के 20वीं सदी के जन्म में उनके बाद के महत्व के लिए मंच तैयार किया। (जटिल-मूल्यवान) गोलाकार हार्मोनिक्स $$S^2 \to \Complex$$ कोणीय संवेग संचालक संचालिका के वर्ग के अभिलक्षणिक फलन हैं $$-i\hbar\mathbf{r}\times\nabla,$$ और इसलिए वे परमाणु कक्षकों के विभिन्न परिमाणित विन्यासों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

लाप्लास का गोलाकार हार्मोनिक्स


लाप्लास का समीकरण यह बताता है कि एक अदिश क्षेत्र $f$ का लाप्लासियन शून्य है। (यहाँ अदिश क्षेत्र को जटिल समझा जाता है, अर्थात एक (चिकनी) फलन $$f:\R^3 \to \Complex$$ के अनुरूप।) गोलाकार निर्देशांक में यह है:

$$ \nabla^2 f = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial f}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2 \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta \frac{\partial f}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2 \sin^2\theta} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} = 0.$$ फॉर्म के समाधान खोजने की समस्या पर विचार करें $f(r, θ, φ) = R(r) Y(θ, φ)$. वेरिएबल्स के पृथक्करण से, लाप्लास के समीकरण को लागू करने के परिणामस्वरूप दो अवकल समीकरण: $$\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right) = \lambda,\qquad \frac{1}{Y}\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta \frac{\partial Y}{\partial\theta}\right) + \frac{1}{Y}\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2Y}{\partial\varphi^2} = -\lambda.$$ इस धारणा के तहत दूसरे समीकरण को सरल बनाया जा सकता है कि $Y$ का $Y(θ, φ) = Θ(θ) Φ(φ)$ रूप है। चरों के पृथक्करण को फिर से दूसरे समीकरण में लागू करने से अवकल समीकरणों की जोड़ी का मार्ग प्रशस्त होता है

$$\frac{1}{\Phi} \frac{d^2 \Phi}{d\varphi^2} = -m^2$$$$\lambda\sin^2\theta + \frac{\sin\theta}{\Theta} \frac{d}{d\theta} \left(\sin\theta \frac{d\Theta}{d\theta}\right) = m^2$$ कुछ संख्या के लिए $m$। एक प्राथमिकता, $m$ एक जटिल स्थिरांक है, लेकिन क्योंकि $Φ$ एक आवधिक फलन होना चाहिए जिसकी अवधि समान रूप से विभाजित हो $2π$ को विभाजित करती है,, $m$ आवश्यक रूप से एक पूर्णांक है और $Φ$ जटिल घातांकों $e^{± imφ}$ का एक रैखिक संयोजन है। समाधान फलन$Y(θ, φ)$ गोले के ध्रुवों पर नियमित है, जहाँ $θ = 0, π$ है। डोमेन के सीमा बिंदुओं पर दूसरे समीकरण के समाधान Θ में इस नियमितता को थोपना एक स्टर्म-लिउविल समस्या है जो पैरामीटर $λ$ को $λ = ℓ (ℓ + 1)$ के रूप में होने के लिए बाध्य करती है, कुछ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए $ℓ ≥ |m|$; इसे कक्षीय कोणीय संवेग को कोणीय संवेग संचालक के संदर्भ में भी समझाया गया है। इसके अलावा, चर का परिवर्तन $t = cos θ$ इस समीकरण को संबद्ध लिजेन्ड्रे फलन में रूपांतरित करता है, जिसका समाधान संबंधित लैजेन्ड्रे बहुपद

$Pm ℓ(cos θ)$का गुणज है। अंत में, $R$ के लिए समीकरण का हल $R(r) = A r + B r$; पूरे $R^{3}$ बल $B = 0$ में समाधान नियमित होने की आवश्यकता है।

यहाँ समाधान को विशेष रूप $A = 0$ माना गया था। $Y(θ, φ) = Θ(θ) Φ(φ)$ दिए गए मान के लिए, इस रूप के $ℓ$ स्वतंत्र समाधान हैं, प्रत्येक पूर्णांक $2ℓ + 1$ के लिए एक $m$ के साथ। ये कोणीय समाधान $$Y_{\ell}^m : S^2 \to \Complex$$ त्रिकोणमितीय फलनों का एक उत्पाद है, यहाँ एक जटिल घातांक के रूप में दर्शाया गया है, और संबंधित लीजेंड्रे बहुपद हैं:

$$ Y_\ell^m (\theta, \varphi ) = N e^{i m \varphi } P_\ell^m (\cos{\theta} )$$ जो पूरा करते हैं $$ r^2\nabla^2 Y_\ell^m (\theta, \varphi ) = -\ell (\ell + 1 ) Y_\ell^m (\theta, \varphi ).$$ यहाँ $$Y_{\ell}^m:S^2 \to \Complex$$ को डिग्री $−ℓ ≤ m ≤ ℓ$ और क्रम $ℓ$ का एक गोलाकार हार्मोनिक फलन कहा जाता है, $$P_{\ell}^m:[-1,1]\to \R$$ एक संबंधित लीजेंड्रे बहुपद है, $m$ एक सामान्यीकरण स्थिरांक है, और $N$ और $θ$ क्रमशः अक्षांश और देशांतर का प्रतिनिधित्व करते हैं। विशेष रूप से, अक्षांश $φ$, या ध्रुवीय कोण, उत्तरी ध्रुव पर $θ$ से भूमध्य रेखा पर $0$ तक, दक्षिणी ध्रुव पर π तक, और देशांतर $π/2$, या दिगंश, $φ$ के साथ सभी मान ग्रहण कर सकते हैं। एक निश्चित पूर्णांक $0 ≤ φ < 2π$ के लिए, अभिलक्षणिक मान समस्या का हर समाधान $ℓ$, $$Y: S^2 \to \Complex$$ $$ r^2\nabla^2 Y = -\ell (\ell + 1 ) Y$$ $$Y_\ell^m : S^2 \to \Complex$$ का एक रैखिक संयोजन है। वस्तुत:, ऐसे किसी भी समाधान के लिए, $Y(θ, φ)$ एक सजातीय बहुपद $$\R^3 \to \Complex$$ के गोलीय निर्देशांकों में व्यंजक है जो हार्मोनिक है (नीचे देखें), और इसलिए गिनती के आयाम $r^{ℓ} Y(θ, φ)$ रैखिक रूप से स्वतंत्र ऐसे बहुपद दिखाते हैं।

सामान्य समाधान $$f:\R^3 \to \Complex$$ लाप्लास के समीकरण के लिए $$\Delta f = 0$$ मूल पर केन्द्रित एक गेंद में गोलाकार हार्मोनिक फलनों का एक रैखिक संयोजन होता है जो उचित पैमाने के कारक $2ℓ + 1$ से गुणा होता है ,

$$ f(r, \theta, \varphi) = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell f_\ell^m r^\ell Y_\ell^m (\theta, \varphi ), $$ जहां $$f_{\ell}^m \in \Complex$$ स्थिरांक हैं और कारक $r^{ℓ}$ को (नियमित) ठोस हार्मोनिक्स $$\R^3 \to \Complex$$ के रूप में जाना जाता है। इस तरह का विस्तार गेंद में मान्य है

$$ r < R = \frac{1}{\limsup_{\ell\to\infty} |f_\ell^m|^{{1}/{\ell}}}.$$ $$ r > R$$ के लिए, $$r$$ की नकारात्मक शक्तियों के साथ ठोस हार्मोनिक्स (अनियमित ठोस हार्मोनिक्स $$\R^3 \setminus \{ \mathbf{0} \} \to \Complex$$) के बदले चुना जाता है। उस स्थिति में, ऊपर प्रयोग की गई टेलर श्रृंखला (लगभग $$r = 0$$) के बदले लॉरेंट श्रृंखला (लगभग $$r=\infty$$) में ज्ञात क्षेत्रों के समाधान का विस्तार करने की आवश्यकता है, शर्तों से मेल खाने और श्रृंखला विस्तार गुणांक $$f^m_\ell \in \Complex$$ खोजने के लिए।

कक्षीय कोणीय संवेग
क्वांटम यांत्रिकी में, लाप्लास के गोलाकार हार्मोनिक्स को कक्षीय कोणीय संवेग के रूप में समझा जाता है। $$\mathbf{L} = -i\hbar (\mathbf{x}\times \mathbf{\nabla}) = L_x\mathbf{i} + L_y\mathbf{j}+L_z\mathbf{k}.$$ $r^{ℓ} Y_{ℓ}^{m}$ क्वांटम यांत्रिकी में पारंपरिक है; इकाइयों में काम करना सुविधाजनक है जिसमें $ħ$। गोलाकार हार्मोनिक्स कक्षीय कोणीय गति के वर्ग के अभिलक्षणिक फलन हैं $$\begin{align} \mathbf{L}^2 &= -r^2\nabla^2 + \left(r\frac{\partial}{\partial r}+1\right)r\frac{\partial}{\partial r}\\ &= -\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta} - \frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}. \end{align}$$ लाप्लास के गोलाकार हार्मोनिक्स कक्षीय कोणीय गति के वर्ग के संयुक्त अभिलक्षणिक फलनों और अज़ीमुथल धुरी के बारे में घूर्णन के जनरेटर हैं: $$\begin{align} L_z &= -i\left(x\frac{\partial}{\partial y} - y\frac{\partial}{\partial x}\right)\\ &=-i\frac{\partial}{\partial\varphi}. \end{align}$$ ये ऑपरेटर कम्यूट करते हैं, और R3 पर वेट फंक्शन के रूप में सामान्य वितरण के संबंध में फलनों के भारित हिल्बर्ट स्पेस f स्क्वायर-इंटीग्रेबल पर सघन रूप से परिभाषित स्व-संबद्ध ऑपरेटर हैं: $$\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int_{\R^3} |f(x)|^2 e^{-|x|^2/2}\,dx < \infty.$$ इसके अलावा, L2 एक धनात्मक ऑपरेटर है।

अगर $ħ = 1$, L2 और Lzका एक संयुक्त अभिलक्षणिक फलन है, फिर परिभाषा के अनुसार $$\begin{align} \mathbf{L}^2Y &= \lambda Y\\ L_zY &= mY \end{align}$$ कुछ वास्तविक संख्याओं m और λ के लिए। यहाँ m वास्तव में एक पूर्णांक होना चाहिए, क्योंकि Y को निर्देशांक φ में आवधिक होना चाहिए, अवधि के साथ एक संख्या जो समान रूप से 2π को विभाजित करती है। इसके अलावा, चूंकि $$\mathbf{L}^2 = L_x^2 + L_y^2 + L_z^2$$ और प्रत्येक Lx, Ly, Lz में से प्रत्येक स्व-संलग्न हैं, यह $Y$ का अनुसरण करता है।

द्वारा इस संयुक्त अभिलक्षणिक समष्‍टि को $λ ≥ m^{2}$ से निरूपित करें, और इसके द्वारा ऊपर उठाने और घटाने वाले ऑपरेटरों को परिभाषित करें $$\begin{align} L_+ &= L_x + iL_y\\ L_- &= L_x - iL_y \end{align}$$ तब $E_{λ,m}$ और $L_{+}$, $L_{−}$के साथ कम्यूट करते हैं, और $L^{2}$, $L_{+}$, $L_{−}$ द्वारा उत्पन्न लाई बीजगणित क्रम 2, $$\mathfrak{sl}_2(\Complex)$$ का विशेष रैखिक लाई बीजगणित है, जिसमें कम्यूटेशन संबंध हैं $$[L_z,L_+] = L_+,\quad [L_z,L_-] = -L_-, \quad [L_+,L_-] = 2L_z.$$ इस प्रकार $L_{z}$ (यह एक "रेजिंग ऑपरेटर" है) और $L_{+} : E_{λ,m} → E_{λ,m+1}$ (यह एक "लोअरिंग ऑपरेटर" है)। विशेष रूप से, $L_{−} : E_{λ,m} → E_{λ,m−1}$ पर्याप्त रूप से बड़े k के लिए शून्य होना चाहिए, क्योंकि असमानता $λ ≥ m^{2}$ प्रत्येक गैर-तुच्छ संयुक्त अभिलक्षणिक समष्‍टि में धारण करना चाहिए। माना $Y ∈ E_{λ,m}$ एक गैर-शून्य संयुक्त अभिलक्षणिक फलन हो, और माना $k$ ऐसा सबसे छोटा पूर्णांक हो $$L_+^kY = 0.$$ तब से $$L_-L_+ = \mathbf{L}^2 - L_z^2 - L_z$$ यह इस प्रकार है कि $$0 = L_-L_+^k Y = (\lambda - (m+k)^2-(m+k))Y.$$ इस प्रकार $Lk + : E_{λ,m} → E_{λ,m+k}$ सकारात्मक पूर्णांक के लिए $λ = ℓ(ℓ + 1)$ ।

पूर्ववर्ती सभी को गोलाकार निर्देशांक निरूपण में काम किया गया है, $$\langle \theta, \varphi| l m\rangle = Y_l^m (\theta, \varphi)$$ ऑर्थोनॉर्मल गोलाकार केट आधार में अधिक अमूर्त रूप से व्यक्त किया जा सकता है।

हार्मोनिक बहुपद प्रतिनिधित्व
गोलाकार हार्मोनिक्स को कुछ बहुपद फलनों $$\R^3 \to \Complex$$ के इकाई क्षेत्र में प्रतिबंध के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। विशेष रूप से, हम कहते हैं कि एक (जटिल-मूल्यवान) बहुपद फलन $$p: \R^3 \to \Complex$$ डिग्री $$\ell$$ का सजातीय बहुपद है अगर $$p(\lambda\mathbf x)=\lambda^\ell p(\mathbf x)$$ सभी वास्तविक संख्याओं $$\lambda \in \R$$ और सभी $$x \in \R^3$$के लिए है। हम कहते हैं $$p$$ हार्मोनिक फलन है अगर $$\Delta p=0,$$ जहाँ $$\Delta$$ लाप्लासियन है। फिर प्रत्येक $$\ell$$ के लिए, हम परिभाषित करते हैं $$\mathbf{A}_\ell = \left\{\text{harmonic polynomials } \R^3 \to \Complex \text{ that are homogeneous of degree } \ell \right\}.$$ उदाहरण के लिए, जब $$\ell=1$$, $$\mathbf{A}_1$$ सभी रैखिक फलनों $$\R^3 \to \Complex$$ का केवल 3-आयामी स्थान है, क्योंकि ऐसा कोई भी फलन स्वचालित रूप से हार्मोनिक होता है। इस बीच, जब $$\ell = 2$$, हमारे पास 5-आयामी स्थान है: $$\mathbf{A}_2 = \operatorname{span}_{\Complex}(x_1 x_2,\, x_1 x_3,\, x_2 x_3,\, x_1^2-x_2^2,\, x_1^2-x_3^2).$$ किसी भी $$\ell$$ के लिए, $$\ell$$ डिग्री के गोलाकार हार्मोनिक्स का स्थान $$\mathbf{H}_{\ell}$$, $$\mathbf{A}_\ell$$ के तत्वों के गोले $$S^2$$क्षेत्र के लिए प्रतिबंधों का स्थान मात्र है। जैसा कि परिचय में सुझाया गया है, यह परिप्रेक्ष्य संभवतः "गोलाकार हार्मोनिक" शब्द का मूल है (यानी, एक हार्मोनिक फलन के क्षेत्र में प्रतिबंध)।

उदाहरण के लिए, किसी के लिए $$c \in \Complex$$ सूत्र $$p(x_1, x_2, x_3) = c(x_1 + ix_2)^\ell$$ डोमेन और कोडोमेन $$\R^3 \to \Complex$$ के साथ डिग्री $$\ell$$ के एक सजातीय बहुपद को परिभाषित करता है, जो $$x_3$$ से स्वतंत्र होता है। यह बहुपद आसानी से हार्मोनिक देखा जाता है। अगर हम गोलाकार निर्देशांक $$(r,\theta,\varphi)$$में $$p$$ लिखते हैं और फिर $$r = 1$$ तक सीमित करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है $$p(\theta,\varphi) = c \sin(\theta)^\ell (\cos(\varphi) + i \sin(\varphi))^\ell,$$ जिसे फिर से लिखा जा सकता है $$p(\theta,\varphi) = c\left(\sqrt{1-\cos^2(\theta)}\right)^\ell e^{i\ell\varphi}.$$ संबद्ध लिजेन्ड्रे बहुपद $$P^\ell_\ell$$ के सूत्र का उपयोग करने के बाद, हम इसे गोलाकार हार्मोनिक $$Y^\ell_\ell(\theta, \varphi)$$के सूत्र के रूप में पहचान सकते हैं (गोलीय हार्मोनिक्स के विशेष स्थितियों पर नीचे दिया गया अनुभाग देखें।)

लंबकोणीयता और सामान्यीकरण
लाप्लास गोलाकार हार्मोनिक फलन $$S^2 \to \Complex$$ के लिए कई अलग-अलग सामान्यीकरण सामान्य उपयोग में हैं। पूरे खंड में, हम $$m>0$$ उस मानक परिपाटी का उपयोग करते हैं जिसके लिए (संबद्ध लीजेंड्रे बहुपद देखें) $$P_\ell ^{-m} = (-1)^m \frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!} P_\ell ^{m}$$ जो रोड्रिग्स के सूत्र द्वारा दिया गया प्राकृतिक सामान्यीकरण है।

ध्वनि विज्ञान में, लाप्लास गोलाकार हार्मोनिक्स को प्रायः परिभाषित किया जाता है (यह इस आलेख में प्रयुक्त सम्मेलन है) $$ Y_\ell^m( \theta, \varphi ) = \sqrt{\frac{(2\ell+1)}{4\pi} \frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}} \, P_\ell^m ( \cos{\theta} ) \, e^{i m \varphi } $$ जबकि क्वांटम यांत्रिकी में: $$ Y_\ell^m( \theta, \varphi ) = (-1)^m \sqrt{\frac{(2\ell+1)}{4\pi}\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}} \, P_{\ell}^m ( \cos{\theta} ) \, e^{i m \varphi } $$ जहां $$P_{\ell}^{m}$$ कॉन्डन-शॉर्टली चरण के बिना लीजेंड्रे बहुपद जुड़े हुए हैं (चरण को दो बार गिनने से बचने के लिए)।

दोनों परिभाषाओं में, गोलाकार हार्मोनिक्स ऑर्थोनॉर्मल हैं $$\int_{\theta=0}^\pi\int_{\varphi=0}^{2\pi}Y_\ell^m \, Y_{\ell'}^{m'}{}^* \, d\Omega=\delta_{\ell\ell'}\, \delta_{mm'},$$ जहां $ℓ = m + k$ क्रोनकर डेल्टा है और $δ_{ij}$ है। इस सामान्यीकरण का उपयोग क्वांटम यांत्रिकी में किया जाता है क्योंकि यह सुनिश्चित करता है कि प्रायिकता सामान्यीकृत है, अर्थात $$\int{|Y_\ell^m|^2 d\Omega} = 1.$$ भूमंडल नापने का शास्र और वर्णक्रमीय विश्लेषण के विषयों का उपयोग

$$ Y_\ell^m( \theta, \varphi ) = \sqrt{{(2\ell+1) }\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}} \, P_\ell^m ( \cos{\theta} )\, e^{i m \varphi } $$ जिनके पास इकाई शक्ति है

$$\frac{1}{4 \pi} \int_{\theta=0}^\pi\int_{\varphi=0}^{2\pi}Y_\ell^m \, Y_{\ell'}^{m'}{}^* d\Omega=\delta_{\ell\ell'}\, \delta_{mm'}.$$ चुंबकत्व समुदाय, इसके विपरीत, श्मिट अर्ध-सामान्यीकृत हार्मोनिक्स का उपयोग करता है

$$ Y_\ell^m( \theta, \varphi ) = \sqrt{\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}} \, P_\ell^m ( \cos{\theta} ) \, e^{i m \varphi }$$ जिनका सामान्यीकरण है

$$ \int_{\theta=0}^\pi\int_{\varphi=0}^{2\pi}Y_\ell^m \, Y_{\ell'}^{m'}{}^*d\Omega = \frac{4 \pi}{(2 \ell + 1)} \delta_{\ell\ell'}\, \delta_{mm'}.$$ क्वांटम यांत्रिकी में इस सामान्यीकरण का कभी-कभी उपयोग भी किया जाता है, और गिउलिओ राकाह के बाद राका के सामान्यीकरण का नाम दिया गया है।

यह दिखाया जा सकता है कि उपरोक्त सभी सामान्यीकृत गोलाकार हार्मोनिक फलन संतुष्ट हैं

$$Y_\ell^{m}{}^* (\theta, \varphi) = (-1)^m Y_\ell^{-m} (\theta, \varphi),$$ जहां सुपरस्क्रिप्ट $dΩ = sin(θ) dφ dθ$ जटिल संयुग्मन को दर्शाता है। वैकल्पिक रूप से, यह समीकरण विग्नेर डी-मैट्रिक्स के साथ गोलाकार हार्मोनिक फलनों के संबंध से अनुसरण करता है।

कोंडोन-शॉर्टले चरण
गोलाकार हार्मोनिक फलनों की परिभाषा के साथ भ्रम का एक स्रोत $$(-1)^m$$ के एक चरण कारक से संबंधित है, प्रायः क्वांटम यांत्रिक साहित्य में एडवर्ड कोंडोन -शॉर्टले चरण के रूप में जाना जाता है। क्वांटम यांत्रिकी समुदाय में, यह सामान्य अभ्यास है कि या तो संबंधित लेजेंड्रे बहुपदों की परिभाषा में इस चरण कारक को सम्मिलित किया जाए, या इसे गोलाकार हार्मोनिक फलनों की परिभाषा में जोड़ा जाए। गोलाकार हार्मोनिक फलनों की परिभाषा में कोंडोन-शॉर्टली चरण का उपयोग करने की कोई आवश्यकता नहीं है, लेकिन इसमें सम्मिलित कुछ क्वांटम यांत्रिक संचालन, विशेष रूप ऑपरेटरों को ऊपर उठाने और कम करने के अनुप्रयोग को सरल बना सकते हैं। भूगणित और चुंबकत्व समुदायों ने गोलाकार हार्मोनिक फलनों की अपनी परिभाषाओं में कोंडोन-शॉर्टली चरण कारक को सम्मिलित नहीं किया है और न ही संबद्ध लेजेंड्रे बहुपदों की परिभाषा में किया है।

असली रूप
गोलाकार हार्मोनिक्स $$Y_{\ell m}:S^2 \to \R$$ का वास्तविक आधार उनके जटिल समकक्षों $$Y_{\ell}^m: S^2 \to \Complex$$ के संदर्भ व्यवस्थित करके परिभाषित किया जा सकता है $$\begin{align} Y_{\ell m} &= \begin{cases} \dfrac{i}{\sqrt{2}} \left(Y_\ell^{m} - (-1)^m\, Y_\ell^{-m}\right) & \text{if}\ m < 0\\ Y_\ell^0 & \text{if}\ m=0\\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} \left(Y_\ell^{-m} + (-1)^m\, Y_\ell^{m}\right) & \text{if}\ m > 0. \end{cases}\\ &= \begin{cases} \dfrac{i}{\sqrt{2}} \left(Y_\ell^{-|m|} - (-1)^{m}\, Y_\ell^{|m|}\right) & \text{if}\ m < 0\\ Y_\ell^0 & \text{if}\ m=0\\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} \left(Y_\ell^{-|m|} + (-1)^{m}\, Y_\ell^{|m|}\right) & \text{if}\ m>0. \end{cases}\\ &= \begin{cases} \sqrt{2} \, (-1)^m \, \Im [{Y_\ell^{|m|}}] & \text{if}\ m<0\\ Y_\ell^0 & \text{if}\ m=0\\ \sqrt{2} \, (-1)^m \, \Re [{Y_\ell^m}] & \text{if}\ m>0. \end{cases} \end{align} $$ कोंडोन-शॉर्टली चरण सम्मेलन का उपयोग यहां निरंतरता के लिए किया जाता है। वास्तविक गोलाकार हार्मोनिक्स $$Y_{\ell m}:S^2 \to \R$$ के संदर्भ में जटिल गोलाकार हार्मोनिक्स $$Y_{\ell}^m : S^2 \to \Complex$$ को परिभाषित करने वाले संबंधित व्युत्क्रम समीकरण हैं $$ Y_{\ell}^{m} = \begin{cases} \dfrac{1}{\sqrt{2}} \left(Y_{\ell |m|} - i Y_{\ell,-|m|}\right) & \text{if}\ m<0 \\[4pt] Y_{\ell 0} &\text{if}\ m=0 \\[4pt] \dfrac{(-1)^m}{ \sqrt{2}} \left(Y_{\ell |m|} + i Y_{\ell,-|m|}\right) & \text{if}\ m>0. \end{cases} $$ असली गोलाकार हार्मोनिक्स $$Y_{\ell m}:S^2 \to \R$$ कभी-कभी टेसरल गोलाकार हार्मोनिक्स के रूप में जाना जाता है। इन फलनों में वही ऑर्थोनॉर्मलिटी गुण होते हैं जो जटिल वाले $$Y_{\ell}^m : S^2 \to \Complex$$ हैं। $$ के साथ वास्तविक गोलाकार हार्मोनिक्स $$Y_{\ell m}$$ को कोज्या प्रकार के कहा जाता है, और $m > 0$ वाले ज्या प्रकार के होते हैं। इसका कारण लीजेंड्रे बहुपदों के संदर्भ में फलनों को लिखकर देखा जा सकता है $$ Y_{\ell m} = \begin{cases} \left(-1\right)^m\sqrt{2} \sqrt{\dfrac{2\ell+1}{4\pi}\dfrac{(\ell-|m|)!}{(\ell+|m|)!}} \; P_\ell^{|m|}(\cos \theta) \ \sin( |m|\varphi ) &\text{if } m<0 \\[4pt] \sqrt{\dfrac{ 2\ell+1}{4\pi}} \ P_\ell^m(\cos \theta) & \text{if } m=0 \\[4pt] \left(-1\right)^m\sqrt{2} \sqrt{\dfrac{2\ell+1}{4\pi}\dfrac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}} \; P_\ell^m(\cos \theta) \ \cos( m\varphi ) & \text{if } m>0 \,. \end{cases} $$ कार्तीय प्रतिनिधित्व से संबंधित निम्नलिखित उपखंड में समान ज्या और कोज्या कारकों को भी देखा जा सकता है।

$$\ell = 4$$ तक और वास्तविक गोलाकार हार्मोनिक्स की सूची के लिए यहां देखें, जिसे उपरोक्त समीकरणों के आउटपुट के अनुरूप देखा जा सकता है।

क्वांटम रसायन शास्त्र में प्रयोग
जैसा कि हाइड्रोजन परमाणु के लिए विश्लेषणात्मक समाधान से जाना जाता है, तरंग फलन के कोणीय भाग के अभिलक्षणिक फलन गोलाकार हार्मोनिक्स हैं। हालांकि, चुंबकीय शब्दों के बिना गैर-सापेक्षवादी श्रोडिंगर समीकरण के समाधान को वास्तविक बनाया जा सकता है। यही कारण है कि वास्तविक रूपों का व्यापक रूप से क्वांटम रसायन विज्ञान के आधार फलनों में उपयोग किया जाता है, क्योंकि प्रोग्राम्स को तब जटिल बीजगणित का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं होती है। यहां, यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि वास्तविक फलन उसी स्थान को फैलाते हैं जो जटिल होते हैं।

उदाहरण के लिए, जैसा कि गोलाकार हार्मोनिक्स की तालिका से देखा जा सकता है, सामान्य $m < 0$ फलन ($$\ell = 1$$) जटिल होते हैं, और धुरी दिशाओं को मिलाते हैं, लेकिन वास्तविक संस्करण अनिवार्य रूप से केवल $p$, $x$, और $y$ हैं।

कार्तीय रूप में गोलाकार हार्मोनिक्स
जटिल गोलाकार हार्मोनिक्स $$Y_\ell^m$$ डिग्री $$\ell$$ के एक सजातीय कार्य के रूप में $$S^2$$ से सभी  $$\R^3$$ तक विस्तार करके ठोस हार्मोनिक्स को जन्म देता है, यानी सेटिंग $$R_\ell^m(v) := \|v\|^\ell Y_\ell^m\left(\frac{v}{\|v\|}\right)$$ यह पता चला है कि $$R_\ell^m$$ डिग्री $$\ell$$ के हार्मोनिक और सजातीय बहुपदों स्थान का आधार है। अधिक विशेष रूप से, यह घूर्णी समूह $$SO(3)$$के इस प्रतिनिधित्व का गेलफैंड-सेटलिन-आधार (सामान्यीकरण तक अद्वितीय) है और कार्तीय निर्देशांक में $$R_\ell^m$$ के लिए एक स्पष्ट सूत्र इस तथ्य से प्राप्त किया जा सकता है।

हर्ग्लोट्ज़ जनरेटिंग फलन
यदि $$Y_{\ell}^m: S^2 \to \Complex$$ के लिए क्वांटम मैकेनिकल को परिपाटी अपनाया जाता है, तब $$ e^{v{\mathbf a}\cdot{\mathbf r}} = \sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m = -\ell}^{\ell} \sqrt{\frac{4\pi}{2\ell +1}} \frac{r^{\ell} v^{\ell} {\lambda^m}}{\sqrt{(\ell +m)!(\ell-m)!}} Y_{\ell}^m (\mathbf{r}/r). $$ यहाँ, $$\mathbf r$$ घटकों $$(x, y, z) \in \R^3$$, $$r = |\mathbf{r}|$$, और $$ {\mathbf a} = {\mathbf{\hat z}} - \frac{\lambda}{2}\left({\mathbf{\hat x}} + i {\mathbf{\hat y}}\right) + \frac{1}{2\lambda}\left({\mathbf{\hat x}} - i {\mathbf{\hat y}}\right) $$के साथ सदिश है।

$$\mathbf a $$ जटिल निर्देशांक वाला एक सदिश है:

$$\mathbf a =[\frac{1}{2}(\frac{1}{\lambda}-\lambda),-\frac{i}{2 }(\frac{1}{\lambda} +\lambda),1      ] .$$

$$\mathbf a$$ का आवश्यक गुण यह है कि यह शून्य है: $$\mathbf a \cdot \mathbf a = 0.$$ यह $$v$$ और $$\lambda$$ को वास्तविक मापदंडों के रूप में लेने के लिए पर्याप्त है। वास्तविक मापदंडों के रूप में। हर्ग्लोट्ज़ के नाम पर इस जनक फलन का नामकरण करने में, हम का अनुसरण करते हैं, जो इसकी खोज के लिए उनके द्वारा अप्रकाशित आलेखों को श्रेय देते हैं।

अनिवार्य रूप से गोलाकार हार्मोनिक्स के सभी गुण इस जनक फलन से प्राप्त किए जा सकते हैं। इस परिभाषा का एक तात्कालिक लाभ यह है कि यदि सदिश $$\mathbf r$$ को क्वांटम मैकेनिकल स्पिन सदिश ऑपरेटर $$\mathbf J$$ द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है, जैसे कि $$\mathcal{Y}_{\ell}^m({\mathbf J})$$ ठोस हार्मोनिक्स $$r^{\ell}Y_{\ell}^m (\mathbf{r}/r)$$का ऑपरेटर एनालॉग है , एक गोलाकार टेंसर ऑपरेटरों के मानकीकृत सेट के लिए एक जनरेटिंग फलन प्राप्त करता है, $$\mathcal{Y}_{\ell}^m({\mathbf J})$$:

$$ e^{v{\mathbf a}\cdot{\mathbf J}} = \sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m = -\ell}^{\ell} \sqrt{\frac{4\pi}{2\ell +1}} \frac{v^{\ell} {\lambda^m}}{\sqrt{(\ell +m)!(\ell-m)!}} {\mathcal Y}_{\ell}^m({\mathbf J}). $$ दो परिभाषाओं की समानता यह सुनिश्चित करती है कि $$\mathcal{Y}_{\ell}^m$$ रूपांतरण घूर्णन के तहत (नीचे देखें) परिवर्तन $$Y_{\ell}^m$$ की तरह से होता है। जो बदले में गारंटी देता है कि वे गोलाकार टेन्सर ऑपरेटर हैं, $$T^{(k)}_q$$, $$k = {\ell}$$ और $$q = m$$ के साथ, सभी नियमों का पालन करते हुए ऐसे ऑपरेटरों के गुण, जैसे क्लेब्स-गॉर्डन रचना प्रमेय, और विग्नर-एकार्ट प्रमेय। इसके अलावा, वे एक निश्चित पैमाने या सामान्यीकरण के साथ एक मानकीकृत सेट हैं।

अलग कार्तीय रूप
हर्ग्लोट्ज़ियन परिभाषा बहुपद उत्पन्न करती है, जो कि, यदि कोई चाहे तो आगे के बहुपद में गुणनखंडित किया जा सकता है। $$z$$ और अन्य $$x$$ और $$y$$, निम्नानुसार (कोंडन-शॉर्टले चरण): $$ r^\ell\, \begin{pmatrix} Y_\ell^{m} \\ Y_\ell^{-m} \end{pmatrix} = \left[\frac{2\ell+1}{4\pi}\right]^{1/2} \bar{\Pi}^m_\ell(z) \begin{pmatrix} \left(-1\right)^m (A_m + i B_m) \\ (A_m - i B_m) \end{pmatrix} , \qquad m > 0. $$ और के लिए $z$: $$r^\ell\,Y_\ell^{0} \equiv \sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi}} \bar{\Pi}^0_\ell .$$ यहाँ $$A_m(x,y) = \sum_{p=0}^m \binom{m}{p} x^p y^{m-p} \cos \left((m-p) \frac{\pi}{2}\right),$$ $$B_m(x,y) = \sum_{p=0}^m \binom{m}{p} x^p y^{m-p} \sin \left((m-p) \frac{\pi}{2}\right),$$ और $$ \bar{\Pi}^m_\ell(z) = \left[\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}\right]^{1/2} \sum_{k=0}^{\left \lfloor (\ell-m)/2\right \rfloor} (-1)^k 2^{-\ell} \binom{\ell}{k}\binom{2\ell-2k}{\ell} \frac{(\ell-2k)!}{(\ell-2k-m)!} \; r^{2k}\; z^{\ell-2k-m}. $$ $$m = 0$$ के लिए यह कम हो जाता है $$ \bar{\Pi}^0_\ell(z) = \sum_{k=0}^{\left \lfloor \ell/2\right \rfloor} (-1)^k 2^{-\ell} \binom{\ell}{k}\binom{2\ell-2k}{\ell} \; r^{2k}\; z^{\ell-2k}. $$ कारक $$\bar{\Pi}_\ell^m(z)$$ अनिवार्य रूप से संबद्ध लीजेंड्रे बहुपद $$P_\ell^m(\cos\theta)$$ है, और कारक $$(A_m \pm i B_m)$$ अनिवार्य रूप से $$e^{\pm i m\varphi}$$ हैं।

उदाहरण
स्पष्ट रूप से ऊपर सूचीबद्ध $$\bar{\Pi}_\ell^m(z)$$, $$A_m(x,y)$$, और $$B_m(x,y)$$ के लिए व्यंजकों का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं: $$ Y^1_3 = - \frac{1}{r^3} \left[\tfrac{7}{4\pi}\cdot \tfrac{3}{16} \right]^{1/2} \left(5z^2-r^2\right) \left(x+iy\right) = - \left[\tfrac{7}{4\pi}\cdot \tfrac{3}{16}\right]^{1/2} \left(5\cos^2\theta-1\right) \left(\sin\theta e^{i\varphi}\right) $$$$ Y^{-2}_4 = \frac{1}{r^4} \left[\tfrac{9}{4\pi}\cdot\tfrac{5}{32}\right]^{1/2} \left(7z^2-r^2\right) \left(x-iy\right)^2 = \left[\tfrac{9}{4\pi}\cdot\tfrac{5}{32}\right]^{1/2} \left(7 \cos^2\theta -1\right) \left(\sin^2\theta e^{-2 i \varphi}\right) $$ यह सत्यापित किया जा सकता है कि यह यहां सूचीबद्ध फलन से सहमत है।

असली रूप
वास्तविक गोलाकार हार्मोनिक्स बनाने के लिए उपरोक्त समीकरणों का उपयोग करके, यह देखा जाता है कि के लिए $$m>0$$ के लिए केवल $$A_m$$ पद (कोज्या) सम्मिलित हैं, और $$m<0$$ के लिए केवल $$B_m$$ पद (ज्या) सम्मिलित हैं:

$$ r^\ell\, \begin{pmatrix} Y_{\ell m} \\ Y_{\ell -m} \end{pmatrix} = \sqrt{\frac{2\ell+1}{2\pi}} \bar{\Pi}^m_\ell(z) \begin{pmatrix} A_m \\ B_m \end{pmatrix} , \qquad m > 0. $$ और m = 0 के लिए: $$ r^\ell\,Y_{\ell 0} \equiv \sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi}} \bar{\Pi}^0_\ell. $$

विशेष स्थिति और मूल्य
= \frac{(\mp 1)^{\ell}}{2^{\ell}\ell!} \sqrt{\frac{(2\ell+1)!}{4\pi}} \sin^{\ell}\theta\, e^{\pm i\ell\varphi},$$ या अधिक सरलता से कार्तीय निर्देशांक में, $$r^{\ell} Y_{\ell}^{\pm\ell}({\mathbf r}) = \frac{(\mp 1)^{\ell}}{2^{\ell}\ell!} \sqrt{\frac{(2\ell+1)!}{4\pi}} (x \pm i y)^{\ell}.$$
 * 1) जब $$m = 0$$, गोलाकार हार्मोनिक्स $$Y_{\ell}^m: S^2 \to \Complex$$ साधारण लीजेंड्रे बहुपदों में कम हो जाता है:$$Y_{\ell}^0(\theta, \varphi) = \sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi}} P_{\ell}(\cos\theta).$$
 * 2) जब $$m = \pm\ell$$, $$Y_{\ell}^{\pm\ell}(\theta,\varphi)
 * 1) उत्तरी ध्रुव पर, जहां $$ \theta = 0$$ और $$\varphi$$ अपरिभाषित है, $$m = 0$$ वाले को छोड़कर सभी गोलाकार हार्मोनिक्स लुप्त हो जाते हैं:$$ Y_{\ell}^m(0,\varphi) = Y_{\ell}^m({\mathbf z}) = \sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi}} \delta_{m0}.$$

समरूपता गुण
स्थानिक उलटा (समता) और घूर्णन के संचालन के तहत गोलाकार हार्मोनिक्स में गहरे और परिणामी गुण होते हैं।

समानता
गोलाकार हार्मोनिक्स में निश्चित समता होती है। अर्थात्, वे मूल के बारे में व्युत्क्रम के संबंध में या तो सम या विषम हैं। उलटा ऑपरेटर $$P\Psi(\mathbf r) = \Psi(-\mathbf r)$$ द्वारा दर्शाया गया है। फिर, जैसा कि कई तरीकों से देखा जा सकता है (संभवतः हर्ग्लोट्ज़ जनरेटिंग फलन से सबसे अधिक), $$\mathbf r$$ एक इकाई सदिश होने के साथ, $$ Y_\ell^m(-\mathbf r) = (-1)^\ell Y_\ell^m(\mathbf r).$$ गोलाकार कोणों के संदर्भ में, समानता एक बिंदु को निर्देशांक $$\{\theta,\varphi\}$$ से $$\{\pi-\theta,\pi+\varphi\}$$ में बदल देती है। गोलाकार हार्मोनिक्स की समानता का वर्णन तब है $$Y_\ell^m(\theta,\varphi) \to Y_\ell^m(\pi-\theta,\pi+\varphi) = (-1)^\ell Y_\ell^m(\theta,\varphi)$$ (इसे निम्न प्रकार से देखा जा सकता है: संबंधित लीजेंड्रे बहुपद $m = 0$ देता है और हमारे पास घातीय फलन से हमारे पास $(−1)^{ℓ+m}$ है, गोलाकार हार्मोनिक्स के लिए एक साथ $(−1)^{m}$ की समानता देता है।)

समानता वास्तविक गोलाकार हार्मोनिक्स के लिए और उच्च आयामों में गोलाकार हार्मोनिक्स के लिए जारी रहती है: डिग्री $ℓ$ के गोलाकार हार्मोनिक के लिए एक बिंदु प्रतिबिंब लागू करने से $(−1)^{ℓ}$ के कारक से चिह्न जाता है।

घूर्णन
मूल के बारे में घूर्णन $$\mathcal R$$ विचार करें जो यूनिट वेक्टर आर को $$\mathbf r$$ को $$\mathbf r'$$ भेजता है। इस ऑपरेशन के तहत, $$\ell$$ डिग्री का एक गोलाकार हार्मोनिक और क्रम $$m$$ एक ही डिग्री के गोलाकार हार्मोनिक्स के रैखिक संयोजन में परिवर्तित हो जाता है। वह है, $$ Y_\ell^m({\mathbf r}') = \sum_{m' = -\ell}^\ell A_{mm'} Y_\ell^{m'}({\mathbf r}), $$ जहां $$A_{mm'}$$ क्रम का एक मैट्रिक्स $$(2\ell + 1)$$ है जो घूर्णन $$\mathcal R$$ पर निर्भर करता है। हालाँकि, यह इस गुण को व्यक्त करने का मानक तरीका नहीं है। मानक तरीके से कोई लिखता है,

$$Y_\ell^m({\mathbf r}') = \sum_{m' = -\ell}^\ell [D^{(\ell)}_{mm'}({\mathcal R})]^* Y_\ell^{m'}({\mathbf r}),$$ जहां $$D^{(\ell)}_{mm'}({\mathcal R})^*$$ विग्नर डी-मैट्रिक्स के एक तत्व का जटिल संयुग्म है। विशेष रूप से जब $$\mathbf r'$$ दिगंश का एक $$\phi_0$$ घूर्णन है तो हमें पहचान मिलती है,

$$Y_\ell^m({\mathbf r}') = Y_\ell^{m}({\mathbf r}) e^{i m \phi_0}.$$ गोलाकार हार्मोनिक्स का घूर्णी व्यवहार संभवतः समूह सिद्धांत के दृष्टिकोण से उनकी सर्वोत्कृष्ट विशेषता है। $$Y_\ell^m$$ की डिग्री $$\ell$$, आयाम $$(2\ell + 1)$$ के समूह SO(3) के अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व के लिए फलनों का एक आधार समूह प्रदान करती है। गोलाकार हार्मोनिक्स (जैसे अतिरिक्त प्रमेय) के बारे में कई तथ्य जो विश्लेषण के तरीकों का उपयोग करके श्रमसाध्य सिद्ध होते हैं, समरूपता के तरीकों का उपयोग करके सरल प्रमाण और गहरा महत्व प्राप्त करते हैं।

गोलाकार हार्मोनिक्स विस्तार
लाप्लास गोलाकार हार्मोनिक्स $$Y_{\ell}^m:S^2 \to \Complex$$ ऑर्थोनॉर्मल फलनों का एक पूरा समूह बनाते हैं और इस तरह स्क्वायर-इंटीग्रेबल फलन $$L^2_{\Complex}(S^2)$$ के हिल्बर्ट स्पेस का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाते हैं। इकाई क्षेत्र $$S^2$$ पर, कोई वर्ग-अभिन्नीकरणीय फलन $$f:S^2 \to \Complex$$ इस प्रकार इनका एक रैखिक संयोजन के रूप में विस्तार किया जा सकता है:

$$f(\theta,\varphi)=\sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell f_\ell^m \, Y_\ell^m(\theta,\varphi).$$ यह विस्तार माध्य-वर्ग अभिसरण — गोले के L2 में अभिसरण के अर्थ में है — कहने का तात्पर्य यह है कि

$$\lim_{N\to\infty} \int_0^{2\pi}\int_0^\pi \left|f(\theta,\varphi)-\sum_{\ell=0}^N \sum_{m=- \ell}^\ell f_\ell^m Y_\ell^m(\theta,\varphi)\right|^2\sin\theta\, d\theta \,d\varphi = 0.$$ विस्तार गुणांक फूरियर गुणांक के अनुरूप हैं, और एक गोलाकार हार्मोनिक के जटिल संयुग्म द्वारा उपरोक्त समीकरण को गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है, ठोस कोण Ω पर एकीकृत किया जा सकता है, और उपरोक्त ऑर्थोगोनलिटी संबंधों का उपयोग किया जा सकता है। बुनियादी हिल्बर्ट अंतरिक्ष सिद्धांत द्वारा इसे कड़ाई से उचित ठहराया गया है। ऑर्थोनॉर्मलाइज़्ड हार्मोनिक्स के स्थिति में, यह देता है:

$$f_\ell^m=\int_{\Omega} f(\theta,\varphi)\, Y_\ell^{m*}(\theta,\varphi)\,d\Omega = \int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^\pi \,d\theta\,\sin\theta f(\theta,\varphi)Y_\ell^{m*} (\theta,\varphi).$$ यदि गुणांक ℓ में पर्याप्त रूप से तेजी से घटते हैं— उदाहरण के लिए, घातीय रूप से— तो श्रृंखला भी  f  में परिवर्तित हो जाती है।

एक स्क्वायर-इंटीग्रेबल फलन $$f:S^2 \to \R$$ को उपरोक्त वास्तविक हार्मोनिक्स $$Y_{\ell m}:S^2 \to \R$$ के संदर्भ में योग के रूप में भी विस्तारित किया जा सकता है

$$ f(\theta, \varphi) = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell f_{\ell m} \, Y_{\ell m}(\theta, \varphi). $$ श्रृंखला का अभिसरण फिर से उसी अर्थ में होता है, अर्थात् वास्तविक गोलाकार हार्मोनिक्स $$Y_{\ell m}:S^2 \to \R$$ ऑर्थोनॉर्मल फलनों का एक पूरा समूह बनाते हैं और इस तरह स्क्वायर-इंटीग्रेबल फलनों $$L^2_{\R}(S^2)$$ के हिल्बर्ट स्पेस का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाते हैं। वास्तविक हार्मोनिक फलनों $$Y_{\ell m}$$के संदर्भ में विस्तार का लाभ यह है कि वास्तविक फलनों के लिए $$f:S^2 \to \R$$ विस्तार गुणांक $$f_{\ell m}$$ वास्तविक होने की गारंटी है, जबकि उनके गुणांक $$f_{\ell}^m$$ $$Y_{\ell}^m$$ उनके विस्तार के संदर्भ में (उन्हें फलन के रूप में मानते हुए $$f: S^2 \to \Complex \supset \R$$) के पास वह गुण नहीं है।

सिग्नल प्रोसेसिंग में पावर स्पेक्ट्रम
किसी फलन f की कुल शक्ति को सिग्नल प्रोसेसिंग साहित्य में फलन स्क्वायर के अभिन्न अंग के रूप में परिभाषित किया गया है, जो इसके डोमेन के क्षेत्र से विभाजित है। वास्तविक इकाई-शक्ति गोलाकार हार्मोनिक फलनों के ऑर्थोनॉर्मलिटी गुणों का उपयोग करना, यह सत्यापित करना सीधा है कि इकाई क्षेत्र पर परिभाषित फलन की कुल शक्ति पारसेवल के प्रमेय के सामान्यीकरण द्वारा इसके वर्णक्रमीय गुणांक से संबंधित है (यहाँ, प्रमेय कहा गया है) श्मिट अर्ध-सामान्यीकृत हार्मोनिक्स के लिए, ऑर्थोनॉर्मल हार्मोनिक्स के लिए संबंध थोड़ा अलग है):

$$\frac{1}{4 \, \pi} \int_\Omega |f(\Omega)|^2\, d\Omega = \sum_{\ell=0}^\infty S_{f\!f}(\ell),$$ जहाँ $$S_{f\!f}(\ell) = \frac{1}{2\ell+1}\sum_{m=-\ell}^\ell |f_{\ell m}|^2 $$ को कोणीय शक्ति स्पेक्ट्रम (श्मिट अर्ध-सामान्यीकृत हार्मोनिक्स के लिए) के रूप में परिभाषित किया गया है। इसी तरह, कोई भी दो फलनों की पार-शक्ति को परिभाषित कर सकता है $$\frac{1}{4 \, \pi} \int_\Omega f(\Omega) \, g^\ast(\Omega) \, d\Omega = \sum_{\ell=0}^\infty S_{fg}(\ell),$$ जहाँ $$S_{fg}(\ell) = \frac{1}{2\ell+1}\sum_{m=-\ell}^\ell f_{\ell m} g^\ast_{\ell m} $$ क्रॉस-पावर स्पेक्ट्रम के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि फलन $(−1)^{ℓ}$ और $m = 0$ का माध्य शून्य है (अर्थात वर्णक्रमीय गुणांक $ℓ = 3$ और $f$ शून्य हैं), फिर $g$ और $f_{00}$ क्रमशः डिग्री $ℓ$ के लिए फलन के विचरण और सहप्रसरण में योगदान का प्रतिनिधित्व करते हैं, क्रमश। यह सामान्य है कि (क्रॉस-) शक्ति स्पेक्ट्रम फॉर्म के शक्ति नियम द्वारा अच्छी तरह अनुमानित है

$$S_{f\!f}(\ell) = C \, \ell^{\beta}.$$ जब $g_{00}$, स्पेक्ट्रम सफेद होता है क्योंकि प्रत्येक डिग्री में समान शक्ति होती है। जब $S_{ff}(ℓ)$, स्पेक्ट्रम को लाल कहा जाता है क्योंकि उच्च डिग्री की तुलना में लंबी तरंग दैर्ध्य के साथ कम डिग्री पर अधिक शक्ति होती है। अंत में, जब $S_{fg}(ℓ)$, स्पेक्ट्रम को नीला कहा जाता है। $β = 0$ की वृद्धि के क्रम की स्थिति अगले खंड में $β < 0$ की अवकलनीयता के क्रम से संबंधित है।

भिन्नता गुण
$β > 0$ के स्पर्शोन्मुखता के संदर्भ में कोई भी मूल फलन $S_{ff}(ℓ)$ के अवकलनीयता गुणों को भी समझ सकता है।  विशेष रूप से, यदि $f$ $ℓ$ के किसी भी परिमेय फलन की तुलना में $S_{ff}(ℓ)$ के रूप में तेजी से घटता है, तब $f$ अपरिमित रूप से अवकलनीय है।  यदि, इसके अलावा, $S_{ff}(ℓ)$ चरघातांकी रूप से क्षय होता है, तो $ℓ → ∞$  सचमुच में गोले पर वास्तविक विश्लेषणात्मक है।

सामान्य तकनीक सोबोलिव रिक्त स्थान के सिद्धांत का उपयोग करना है। $f$ की अवकलनीयता के विकास से संबंधित कथन तब फूरियर श्रृंखला के गुणांकों की वृद्धि पर अनुरूप परिणामों के समान हैं। विशेष रूप से, अगर $$\sum_{\ell=0}^\infty (1+\ell^2)^s S_{ff}(\ell) < \infty,$$ तब $S_{ff}(ℓ)$  सोबोलेव स्पेस $f$ में है। विशेष रूप से, सोबोलेव एम्बेडिंग प्रमेय का अर्थ है $S_{ff}(ℓ)$ असीम रूप से अलग है परंतु कि $$S_{ff}(\ell) = O(\ell^{-s})\quad\rm{as\ }\ell\to\infty$$ $f$ सभी के लिए हो।

जोड़ प्रमेय
काफी रुचि और उपयोग का गणितीय परिणाम गोलाकार हार्मोनिक्स के लिए अतिरिक्त प्रमेय कहा जाता है। दो वैक्टर दिए गए हैं गोलाकार निर्देशांक $$(r,\theta,\varphi)$$ और $$(r ', \theta ', \varphi ')$$ के साथ क्रमशः दो सदिश $H^{s}(S^{2})$ और $f$ दिए हुए हैं, उनके बीच का कोण $$\gamma$$ संबंध द्वारा दिया गया है $$\cos\gamma = \cos\theta'\cos\theta + \sin\theta\sin\theta' \cos(\varphi-\varphi')$$ जिसमें दाईं ओर दिखाई देने वाले त्रिकोणमितीय फलनों की भूमिका गोलाकार हार्मोनिक्स द्वारा निभाई जाती है और बायीं ओर की भूमिका लीजेंड्रे बहुपदों द्वारा निभाई जाती है।

अतिरिक्त प्रमेय बताता है

जहाँ $s$ डिग्री $$का लीजेंड्रे बहुपद है। यह अभिव्यक्ति वास्तविक और जटिल हार्मोनिक्स दोनों के लिए मान्य है। यूनिट बॉल में पोइसन कर्नेल के गुणों का उपयोग करके, या ज्यामितीय रूप से सदिश y के लिए एक घूर्णन लागू करके परिणाम को विश्लेषणात्मक रूप से सिद्ध किया जा सकता है ताकि यह 'z'-अक्ष के साथ इंगित हो, और फिर सीधे  दाहिने- हाथ की तरफ गणना कर सके।

विशेष रूप से, जब $r$, यह अनसोल्ड प्रमेय देता है $$\sum_{m=-\ell}^\ell Y_{\ell m}^*(\mathbf{x}) \, Y_{\ell m}(\mathbf{x}) = \frac{2\ell + 1}{4\pi}$$ जो पहचान $r′$ को दो आयामों में सामान्यीकृत करता है।

विस्तार में ($ℓ$), बाएँ हाथ की ओर $P_{ℓ}$ डिग्री $ℓ$ जोनल गोलाकार हार्मोनिक का एक निरंतर गुणक है। इस दृष्टिकोण से, उच्च आयामों के लिए निम्न सामान्यीकरण है। माना $4π$ $$-गोले पर $ℓ$ गोलाकार हार्मोनिक्स की डिग्री के स्थान $x = y$ का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार है। तब $$Z^{(\ell)}_{\mathbf{x}}$$, इकाई सदिश $n$ के अनुरूप डिग्री अंतरिक्ष का एक मनमाना ऑर्थोनॉर्मल आधार हो  डिग्री $ℓ$ जोनल हार्मोनिक, के रूप में विघटित होता है

इसके अलावा, जोनल हार्मोनिक $$Z^{(\ell)}_{\mathbf{x}}({\mathbf{y}})$$ उपयुक्त गेगेंबोइर बहुपद के एक निरंतर गुणक के रूप में दिया गया है:

($x$) और ($ℓ$) के संयोजन आयाम $cos^{2}θ + sin^{2}θ = 1$ में ($$) मिलता है जब $P_{ℓ}(x⋅y)$ और $Y_{j}$ गोलाकार निर्देशांक में दर्शाए जाते हैं। अंत में,  $H_{ℓ}$ पर मूल्यांकन करने से कार्यात्मक पहचान मिलती है $$\frac{\dim \mathbf{H}_\ell}{\omega_{n-1}} = \sum_{j=1}^{\dim(\mathbf{H}_\ell)}|Y_j({\mathbf{x}})|^2$$ जहां $n = 2$ (n−1)-गोले का आयतन है।

संकुचन नियम
एक अन्य उपयोगी पहचान गोलाकार हार्मोनिक्स के योग के रूप में दो गोलाकार हार्मोनिक्स के उत्पाद को व्यक्त करती है $$ Y_{a,\alpha}\left(\theta,\varphi\right)Y_{b,\beta}\left(\theta,\varphi\right) = \sqrt{\frac{\left(2a+1\right) \left(2b+1\right)}{4\pi}}\sum_{c=0}^{\infty}\sum_{\gamma=-c}^{c}\left(-1\right)^{\gamma}\sqrt{2c+1}\begin{pmatrix} a & b & c\\ \alpha & \beta & -\gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b & c\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} Y_{c,\gamma}\left(\theta,\varphi\right). $$ इस राशि में से कई नियम तुच्छ रूप से शून्य हैं। $$ c $$ और $$\gamma$$ के मान जो इस योग में गैर-शून्य पदों परिणत होते हैं, 3j-प्रतीकों के लिए चयन नियमों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।

क्लेबश-गॉर्डन गुणांक
क्लेबश-गॉर्डन गुणांक गोलाकार हार्मोनिक्स के संदर्भ में दो गोलाकार हार्मोनिक्स के उत्पाद के विस्तार में दिखाई देने वाले गुणांक हैं। अनिवार्य रूप से एक ही गणना करने के लिए विग्नेर 3-जेएम प्रतीक, राकाह गुणांक और स्लेटर अभिन्न सहित कई प्रकार की तकनीकें उपलब्ध हैं। अमूर्त रूप से, क्लेब्स-गॉर्डन गुणांक घूर्णन समूह के दो अलघुकरणीय निरूपणों के टेन्सर उत्पाद को अप्रासंगिक अभ्यावेदन के योग के रूप में व्यक्त करते हैं: उपयुक्त रूप से सामान्यीकृत, गुणांक तब गुणक होते हैं।

गोलाकार हार्मोनिक्स का दृश्य


लाप्लास गोलाकार हार्मोनिक्स $$Y_\ell^m$$ उनकी "नोडल रेखाओं" पर विचार करके देखा जा सकता है, जो कि गोले पर बिंदुओं का समूह है जहाँ$$\Re [Y_\ell^m] = 0$$, या वैकल्पिक रूप से जहाँ$$\Im [Y_\ell^m] = 0$$ की नोडल रेखाएँ ℓ मंडलियों से बने हैं: $x$ देशांतर के साथ वृत्त और ℓ−|m| अक्षांशों के साथ वृत्त। क्रमशः $$\theta$$ और $$\varphi$$  दिशाओं में $$Y_\ell^m$$ के शून्यों की संख्या की गणना करके प्रत्येक प्रकार की नोडल रेखाओं की संख्या निर्धारित की जा सकती है। $$\theta$$ के एक फलन के रूप में $$Y_\ell^m$$को ध्यान में रखते हुए, संबंधित लेजेंड्रे बहुपदों के वास्तविक और काल्पनिक घटक प्रत्येक के पास  ℓ−|m| शून्य, प्रत्येक नोडल 'अक्षांश रेखा' को जन्म देता है। दूसरी ओर, $$Y_\ell^m$$ को $$\varphi$$ का एक फलन मानते हुए, त्रिकोणमितीय साइन और कॉश फलनों में 2|m| शून्य, जिनमें से प्रत्येक एक नोडल 'देशांतर रेखा' को जन्म देता है।

जब गोलाकार हार्मोनिक क्रम एम शून्य होता है (आकृति में ऊपरी-बाएं), गोलाकार हार्मोनिक फलन देशांतर पर निर्भर नहीं होते हैं, और उन्हें ज़ोनल कहा जाता है। इस तरह के गोलाकार हार्मोनिक्स आंचलिक गोलाकार फलनों का एक विशेष स्थिति है। जब $y$ (आकृति में नीचे-दाईं ओर), अक्षांश में कोई शून्य क्रॉसिंग नहीं है, और फलनों को क्षेत्रीय कहा जाता है। अन्य स्थितियों के लिए, कार्य क्षेत्र की जाँच करते हैं, और उन्हें टेसरल कहा जाता है।

डिग्री $$ के अधिक सामान्य गोलाकार हार्मोनिक्स आवश्यक रूप से लाप्लास आधार $$Y_\ell^m$$ के नहीं हैं, और उनके नोडल समूह काफी सामान्य प्रकार के हो सकते हैं।

गोलाकार हार्मोनिक्स की सूची
कॉन्डन-शॉर्टले चरण कन्वेंशन का उपयोग करने वाले पहले कुछ ऑर्थोनॉर्मलाइज़्ड लाप्लास गोलाकार हार्मोनिक्स $$Y_{\ell}^m : S^2 \to \Complex$$ के लिए विश्लेषणात्मक अभिव्यक्तियाँ: $$Y_{0}^{0}(\theta,\varphi) = \frac{1}{2}\sqrt{\frac 1 \pi}$$$$\begin{align} Y_{1}^{-1}(\theta,\varphi) &= \frac{1}{2}\sqrt{\frac 3 {2\pi}} \, \sin\theta \, e^{-i\varphi} \\ Y_{1}^{0}(\theta,\varphi) &= \frac{1}{2}\sqrt{\frac 3 \pi}\, \cos\theta \\ Y_{1}^{1}(\theta,\varphi) &= \frac{-1}{2}\sqrt{\frac 3 {2\pi}}\, \sin\theta\, e^{i\varphi} \end{align}$$$$\begin{align} Y_{2}^{-2}(\theta,\varphi) &= \frac{1}{4}\sqrt{\frac{15}{2\pi}} \, \sin^{2}\theta \, e^{-2i\varphi} \\ Y_{2}^{-1}(\theta,\varphi) &= \frac{1}{2}\sqrt{\frac{15}{2\pi}}\, \sin\theta\, \cos\theta\, e^{-i\varphi} \\ Y_{2}^{0}(\theta,\varphi) &= \frac{1}{4} \sqrt{\frac 5 \pi}\, (3\cos^{2}\theta-1) \\ Y_{2}^{1}(\theta,\varphi) &= \frac{-1}{2}\sqrt{\frac{15}{2\pi}}\, \sin\theta\,\cos\theta\, e^{i\varphi} \\ Y_{2}^{2}(\theta,\varphi) &= \frac{1}{4}\sqrt{\frac{15}{2\pi}}\, \sin^{2}\theta \, e^{2i\varphi} \end{align}$$

उच्च आयाम
चिरप्रतिष्ठित गोलाकार हार्मोनिक्स को को त्रि-आयामी यूक्लिडियन स्पेस $$\R^3$$ के अंदर इकाई क्षेत्र $$S^2$$ पर जटिल-मूल्यवान फलनों के रूप में परिभाषित किया गया है। गोलाकार हार्मोनिक्स को उच्च-आयामी यूक्लिडियन स्पेस $$\R^n$$ सामान्यीकृत किया जा सकता है। मान लीजिए $x = y$ डिग्री $$ $$ वास्तविक चरों वाले जटिल-मूल्यवान सजातीय बहुपदों के स्थान को निरूपित करता है, यहाँ फलन $$\R^n \to \Complex$$ के रूप में माना जाता है। अर्थात्, एक बहुपद $ω_{n−1}$, $n = 5$ℓ  में है बशर्ते कि किसी भी वास्तविक $$\lambda \in \R$$  के लिए, किसी के पास हो

$$p(\lambda \mathbf{x}) = \lambda^\ell p(\mathbf{x}).$$ मान लीजिए Aℓ सभी हार्मोनिक बहुपदों से मिलकर Pℓ के उप-स्थान को दर्शाता है: $$\mathbf{A}_{\ell} := \{ p \in \mathbf{P}_{\ell} \,\mid\, \Delta p = 0 \} \,. $$ ये (नियमित) ठोस गोलाकार हार्मोनिक्स हैं। चलो एचℓ इकाई क्षेत्र पर फलनों के स्थान को निरूपित करें $$S^{n-1} := \{\mathbf{x}\in\R^n\,\mid\, \left|x\right|=1\}$$ $n = ℓ$ से प्रतिबंध द्वारा प्राप्त किया गया $$\mathbf{H}_{\ell} := \left\{ f: S^{n-1} \to \Complex \,\mid\, \text{ for some }p \in \mathbf{A}_{\ell},\, f(\mathbf{x}) = p(\mathbf{x}) \text{ for all }\mathbf{x} \in S^{n-1} \right\} .$$ निम्नलिखित गुण धारण करते हैं: = r^{1-n}\frac{\partial}{\partial r}r^{n-1}\frac{\partial}{\partial r} + r^{-2}\Delta_{S^{n-1}} = \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{n-1}{r}\frac{\partial}{\partial r} + r^{-2}\Delta_{S^{n-1}}$$ \end{cases}$$ जहां $|m|$. विशेष रूप से, $$\dim \mathbf{H}_\ell = \binom{n+\ell-1}{n-1}-\binom{n+\ell-3}{n- 1}.$$ गोलाकार लाप्लासियन के लिए स्टर्म-लिउविल समस्या को हल करके, चर के पृथक्करण की विधि द्वारा उच्च आयामों में गोलाकार हार्मोनिक्स का एक ऑर्थोगोनल आधार गणितीय प्रेरण का निर्माण किया जा सकता है। $$\Delta_{S^{n-1}} = \sin^{2-n}\varphi\frac{\partial}{\partial\varphi}\sin^{n-2}\varphi\frac{\partial}{\partial\varphi} + \sin^{-2}\varphi \Delta_{S^{n-2}}$$ जहां φ Sn−1 र गोलाकार निर्देशांक प्रणाली में अक्षीय निर्देशांक है। ऐसी प्रक्रिया का अंतिम परिणाम है $$Y_{\ell_1, \dots \ell_{n-1}} (\theta_1, \dots \theta_{n-1}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{i \ell_1 \theta_1} \prod_{j = 2}^{n-1} {}_j \bar{P}^{\ell_{j-1}}_{\ell_j} (\theta_j)$$ जहां सूचकांक संतुष्ट होते हैं $ℓ = |m|$ और अभिलक्षणिक मान $P_{ℓ}$ है। उत्पाद में फलनों को लीजेंड्रे फलन के संदर्भ में परिभाषित किया गया है $${}_j \bar{P}^\ell_{L} (\theta) = \sqrt{\frac{2L+j-1}{2} \frac{(L+\ell+j-2)!}{(L-\ell)!}} \sin^{\frac{2-j}{2}} (\theta) P^{-\left(\ell + \frac{j-2}{2}\right)}_{L+\frac{j-2}{2}} (\cos \theta) \,.$$
 * स्टोन-वीयरस्ट्रास प्रमेय द्वारा, समान टोपोलॉजी के संबंध में $$S^{n-1}$$ पर निरंतर फलनों के समूह $$C(S^{n-1})$$ में रिक्त स्थान $p$ का योग सघन है। नतीजतन, इन रिक्त स्थानों का योग भी स्पेस में $p$ के क्षेत्र में वर्ग-अभिन्न फलनों के क्षेत्र में घना है। इस प्रकार गोले पर प्रत्येक वर्ग-अभिन्नीकरण समारोह विशिष्ट रूप से गोलाकार हार्मोनिक्स की एक श्रृंखला में विघटित हो जाता है, जहां श्रृंखला $A_{ℓ}$ अर्थ में अभिसरण करती है।
 * सभी $H_{ℓ}$ के लिए, किसी के पास $$\Delta_{S^{n-1}}f = -\ell(\ell+n-2)f.$$ जहां $L^{2}(S^{n−1})$ $L^{2}$पर लाप्लास-बेल्ट्रामी संचालिका है। यह ऑपरेटर तीन आयामों में लाप्लासियन के कोणीय भाग का अनुरूप है; बुद्धि के लिए, एन आयामों में लाप्लासियन के रूप में विघटित होता है$$\nabla^2
 * यह स्टोक्स प्रमेय और पूर्ववर्ती संपत्ति से अनुसरण करता है कि रिक्त स्थान $f ∈ H_{ℓ}$ $Δ_{S^{n−1}}|undefined$से आंतरिक उत्पाद के संबंध में ओर्थोगोनल हैं। यानी, $$ \int_{S^{n-1}} f\bar{g} \, \mathrm{d}\Omega = 0$$$S^{n−1}$ और $H_{ℓ}$ के लिए  $L^{2}(S^{n−1})$ के लिए।
 * इसके विपरीत, रिक्त स्थान $f ∈ H_{ℓ}$ सटीक $g ∈ H_{k}$ अभिलक्षणिक समष्टि हैं। विशेष रूप से, रिज क्षमता $$\Delta_{S^{n-1}}^{-1}$$के लिए वर्णक्रमीय प्रमेय का एक आवेदन एक और प्रमाण देता है कि रिक्त स्थान $k ≠ ℓ$ जोड़ीदार ओर्थोगोनल हैं और $H_{ℓ}$ में पूर्ण हैं।
 * हर सजातीय बहुपद $Δ_{S^{n−1}}|undefined$ को विशिष्ट रूप में लिखा जा सकता है $$p(x) = p_\ell(x) + |x|^2p_{\ell-2} + \cdots + \begin{cases}
 * x|^\ell p_0 & \ell \rm{\ even}\\
 * x|^{\ell-1} p_1(x) & \ell\rm{\ odd}

प्रतिनिधित्व सिद्धांत के साथ संबंध
डिग्री $$ के गोलाकार हार्मोनिक्स का स्थान $H_{ℓ}$ (SO(3) और इसके डबल-कवर SU(2)के चारों ओर घूर्णन के समरूपता समूह का प्रतिनिधित्व है। दरअसल में, घुमाव द्वि-आयामी क्षेत्र पर कार्य करते हैं, और इस प्रकार फलन रचना द्वारा $L^{2}(S^{n−1})$ पर भी कार्य करते हैं $$ \psi \mapsto \psi\circ\rho^{-1}$$ $m$ के लिए एक गोलाकार हार्मोनिक और $ℓ$ एक घूर्णन के लिए। प्रतिनिधित्व $p ∈ P_{ℓ}$ SO(3) का एक अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व है।

$p_{j} ∈ A_{j}$ के तत्व $|ℓ_{1}| ≤ ℓ_{2} ≤ ⋯ ≤ ℓ_{n−1}$ के तत्वों के क्षेत्र में प्रतिबंध के रूप में उत्पन्न होते हैं: तत्वों के क्षेत्र में प्रतिबंध के रूप में उत्पन्न होता है: हार्मोनिक बहुपद सजातीय डिग्री ℓ के त्रि-आयामी यूक्लिडियन डिग्री के हार्मोनिक बहुपद सजातीय $ℓ$ त्रि-आयामी यूक्लिडियन स्पेस पर $−ℓ_{n−1}(ℓ_{n−1} + n−2)$पर। $H_{ℓ}$ के ध्रुवीकरण से, गुणांक $$\psi_{i_1\dots i_\ell}$$ हैं सूचकांकों पर सममित, विशिष्ट रूप से आवश्यकता द्वारा निर्धारित $$\psi(x_1,\dots,x_n) = \sum_{i_1\dots i_\ell}\psi_{i_1\dots i_\ell}x_{i_1}\cdots x_{i_\ell}.$$ परिस्थिति है कि $n$ हार्मोनिक होना इस बात के बराबर है कि टेन्सर $$\psi_{i_1\dots i_\ell}$$ सूचकांकों के प्रत्येक जोड़े पर मुक्त रूप से ट्रेस होना चाहिए। इस प्रकार $H_{ℓ}$ के एक अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व के रूप में, $H_{ℓ}$ डिग्री $ℓ$ के ट्रेसलेस सममित टेन्सर के स्थान के लिए आइसोमोर्फिक है।

प्रायः, समान कथन उच्च आयामों में होते हैं: एन-गोले पर गोलाकार हार्मोनिक्स का स्थान Hℓ ट्रेसलेस सममित ℓ-टेंसर के अनुरूप $H_{ℓ}$का इर्रेड्यूबल प्रतिनिधित्व है। हालाँकि, जबकि $A_{ℓ}$ और $R^{3}$ का प्रत्येक इर्रिड्यूसिबल टेन्सर प्रतिनिधित्व इस प्रकार का है, उच्च आयामों में विशेष ऑर्थोगोनल समूहों में अतिरिक्त इर्रेड्यूबल प्रतिनिधित्व होते हैं जो इस तरह से उत्पन्न नहीं होते हैं।

विशेष ऑर्थोगोनल समूहों में अतिरिक्त स्पिन प्रतिनिधित्व होते हैं जो टेन्सर प्रतिनिधित्व नहीं होते हैं, और प्रायः गोलाकार हार्मोनिक्स नहीं होते हैं। एक अपवाद SO(3) का स्पिन प्रतिनिधित्व है: सख्ती से बोलना ये SO(3) के डबल कवर SU(2) का प्रतिनिधित्व हैं। बदले में, SU(2) को इकाई चतुष्कोणों के समूह के साथ पहचाना जाता है, और इसलिए यह 3-गोले के साथ मेल खाता है। क्वाटरनियोनिक गुणा द्वारा क्रिया के संबंध में, 3-गोले पर गोलाकार हार्मोनिक्स के स्थान SO(3) के कुछ स्पिन प्रतिनिधित्व हैं।

गोलार्ध हार्मोनिक्स के साथ संबंध
गोलाकार हार्मोनिक्स फलनों के दो समूहों में विभाजित किया जा सकता है। एक गोलार्द्धीय फलन (HSH), लंबकोणीय और गोलार्द्ध पर पूर्ण है। दूसरा पूरक गोलार्ध हार्मोनिक्स (CHSH) है।

सामान्यीकरण
दो-गोले के कोण-संरक्षण समरूपता का वर्णन मोबियस ट्रांसफ़ॉर्मेशन PSL(2,C) के समूह द्वारा किया गया है। दो-गोले के कोण-संरक्षण समरूपता का वर्णन मोबियस ट्रांसफ़ॉर्मेशन के समूह द्वारा किया गया है। इस समूह के संबंध में, गोला सामान्य रीमैन क्षेत्र के बराबर है। समूह पीएसएल (2, सी) (उचित) लोरेंत्ज़ समूह के लिए समरूप है, और दो-गोले पर इसकी कार्रवाई मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष में आकाशीय क्षेत्र पर लोरेंत्ज़ समूह की कार्यवाही से सहमत है। लोरेंत्ज़ समूह के लिए गोलाकार हार्मोनिक्स का एनालॉग हाइपरजियोमेट्रिक श्रृंखला द्वारा दिया गया है; इसके अलावा, गोलाकार हार्मोनिक्स हाइपरज्यामितीय श्रृंखला के रूप में फिर से व्यक्त किया जा सकता है, क्योंकि $ψ ∈ A_{ℓ}$ $SO(3)$का एक उपसमूह है।

प्रायः, हाइपरज्यामेट्रिक श्रृंखला को किसी भी सममित स्थान की समरूपता का वर्णन करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है; विशेष रूप से, किसी भी लाइ समूह के लिए हाइपरज्यामितीय श्रृंखला विकसित की जा सकती है।

यह भी देखें

 * क्यूबिक हार्मोनिक (कंप्यूटेशंस में गोलाकार हार्मोनिक्स के बजाय अक्सर उपयोग किया जाता है)
 * बेलनाकार हार्मोनिक्स
 * गोलाकार आधार
 * स्पिनर गोलाकार हार्मोनिक्स
 * स्पिन-भारित गोलाकार हार्मोनिक्स
 * स्टर्म-लिउविल सिद्धांत
 * गोलाकार हार्मोनिक्स की तालिका
 * वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स
 * परमाणु कक्षीय

सामान्य संदर्भ

 * ई.डब्ल्यू. हॉब्सन, द थ्योरी ऑफ़ स्फेरिकल एंड एलिपोसाइडल हार्मोनिक्स, (1955) चेल्सी पब। कं, ISBN 978-0-8284-0104-3.
 * सी. मुलर, स्फेरिकल हार्मोनिक्स, (1966) स्प्रिंगर, लेक्चर नोट्स इन मैथमैटिक्स, वॉल्यूम। 17, ISBN 978-3-540-03600-5.
 * ई.यू. कोंडोन और जी.एच. शॉर्टली, द थ्योरी ऑफ़ एटॉमिक स्पेक्ट्रा, (1970) कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस में, ISBN 0-521-09209-4, अध्याय 3 देखें।
 * जेडी जैक्सन, क्लासिकल इलेक्ट्रोडायनामिक्स, ISBN 0-471-30932-X
 * अल्बर्ट मसीहा, क्वांटम यांत्रिकी, खंड II। (2000) डोवर। ISBN 0-486-40924-4.
 * डी. ए. वार्शलोविच, ए. एन. मोस्कलेव, वी. के. खेरसॉन्स्की क्वांटम थ्योरी ऑफ़ एंगुलर मोमेंटम, (1988) वर्ल्ड साइंटिफिक पब्लिशिंग कंपनी, सिंगापुर ISBN 9971-5-0107-4
 * डी. ए. वार्शलोविच, ए. एन. मोस्कलेव, वी. के. खेरसॉन्स्की क्वांटम थ्योरी ऑफ़ एंगुलर मोमेंटम, (1988) वर्ल्ड साइंटिफिक पब्लिशिंग कंपनी, सिंगापुर ISBN 9971-5-0107-4

श्रेणी:परमाणु भौतिकी श्रेणी:फूरियर विश्लेषण श्रेणी:हार्मोनिक विश्लेषण श्रेणी:आंशिक अवकल समीकरण श्रेणी:घूर्णी समरूपता श्रेणी:विशेष अतिज्यामितीय कार्य

बाहरी संबंध

 * Spherical Harmonics at MathWorld
 * Spherical Harmonics 3D representation