एक आयामी जाली में कण

क्वांटम यांत्रिकी में, एक आयामी जाली में कण एक समस्या है जो आवधिक क्रिस्टल संरचना के मॉडल में होती है। क्षमता क्रिस्टल की आवधिक संरचना में आयनों द्वारा विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र बनाने के कारण होती है, इसलिए इलेक्ट्रॉन जाली के अंदर एक नियमित क्षमता के अधीन होते हैं। यह मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल का एक सामान्यीकरण है, जो जाली के अंदर शून्य क्षमता को मानता है।

समस्या परिभाषा
जब ठोस पदार्थों के बारे में बात की जाती है, तो चर्चा मुख्य रूप से क्रिस्टल-आवधिक जालक के बारे में होती है। यहां हम धनात्मक आयनों के 1D जालक पर चर्चा करेंगे। मान लीजिए कि दो आयनों के बीच की दूरी है $a$, जाली में क्षमता कुछ इस तरह दिखेगी: क्षमता का गणितीय प्रतिनिधित्व एक अवधि के साथ एक आवधिक कार्य है $a$. बलोच की प्रमेय के अनुसार, <रेफरी नाम = बलोच 1929 पीपी. 555-600 > श्रोडिंगर समीकरण का वेवफंक्शन समाधान जब संभावित आवधिक होता है, तो इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$ \psi (x) = e^{ikx} u(x),$$ कहाँ $u(x)$ एक आवधिक कार्य है जो संतुष्ट करता है $u(x + a) = u(x)$. यह फ्लॉकेट एक्सपोनेंट वाला बलोच फैक्टर है $$ k$$ जो श्रोडिंगर समीकरण के ऊर्जा स्पेक्ट्रम की बैंड संरचना को क्रोनिग-पेनी क्षमता या मैथ्यू समीकरण के रूप में कोसाइन फ़ंक्शन जैसी आवधिक क्षमता के साथ जन्म देता है।

जाली के किनारों के पास आने पर सीमा की स्थिति के साथ समस्याएं होती हैं। इसलिए, हम बोर्न–वॉन कर्मन सीमा स्थिति|बॉर्न–वॉन कर्मन सीमा स्थितियों का पालन करते हुए आयन जाली का एक वलय के रूप में प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। अगर $L$ जाली की लंबाई है ताकि $L ≫ a$, तो जाली में आयनों की संख्या इतनी बड़ी है, कि जब एक आयन पर विचार किया जाता है, तो इसका परिवेश लगभग रैखिक होता है, और इलेक्ट्रॉन की तरंग अपरिवर्तित होती है। तो अब, दो सीमा शर्तों के बजाय हमें एक गोलाकार सीमा शर्त मिलती है: $$ \psi (0)=\psi (L).$$ अगर $N$ जाली में आयनों की संख्या है, तो हमारा संबंध है: $aN = L$. सीमा की स्थिति में बदलने और बलोच के प्रमेय को लागू करने के परिणामस्वरूप परिमाणीकरण होगा $k$: $$ \psi (0) = e^{ik \cdot 0} u(0) = e^{ikL} u(L) = \psi (L)$$ $$ u(0) = e^{ikL} u(L)=e^{ikL} u(N a) \to e^{ikL} = 1$$ $$ \Rightarrow kL = 2\pi n \to k = {2\pi \over L} n \qquad \left( n=0, \pm 1, \dots, \pm \frac{N}{2} \right).$$

क्रोनिग–पेनी मॉडल
क्रोनिग-पेनी मॉडल (राल्फ क्रोनिग और विलियम पेनी, बैरन पेनी के नाम पर रखा गया <रेफरी नाम = डी एल क्रोनिग पेनी पीपी। 499-513> ) एक सरल, आदर्शित क्वांटम-यांत्रिक प्रणाली है जिसमें आयताकार संभावित अवरोधों की एक अनंत आवधिक सरणी होती है।

संभावित कार्य एक आयताकार क्षमता द्वारा अनुमानित है: बलोच राज्य | बलोच के प्रमेय का उपयोग करते हुए, हमें केवल एक ही अवधि के लिए एक समाधान खोजने की जरूरत है, सुनिश्चित करें कि यह निरंतर और सुचारू है, और कार्य सुनिश्चित करने के लिए $u(x)$ भी निरंतर और सुचारू है।

क्षमता की एकल अवधि को ध्यान में रखते हुए: हमारे यहां दो क्षेत्र हैं। हम प्रत्येक के लिए स्वतंत्र रूप से हल करेंगे: ई को कुएं के ऊपर ऊर्जा मूल्य होने दें (ई> 0) \frac{-\hbar^2}{2m} \psi_{xx} &= E \psi \\ \Rightarrow \psi &= A e^{i \alpha x} + A' e^{-i \alpha x} & \left( \alpha^2 = {2mE \over \hbar^2} \right) \end{align}$$ \frac{-\hbar^2}{2m} \psi_{xx} &= (E+V_0)\psi \\ \Rightarrow \psi &= B e^{i \beta x} + B' e^{-i \beta x} & \left( \beta^2 = {2m(E+V_0) \over \hbar^2} \right). \end{align}$$ खोजने के लिए u(x) प्रत्येक क्षेत्र में, हमें इलेक्ट्रॉन के तरंग समारोह में हेरफेर करने की आवश्यकता है: $$\begin{align} \psi(0<x<a-b) &= A e^{i \alpha x} + A' e^{-i \alpha x} = e^{ikx} \left( A e^{i (\alpha-k) x} + A' e^{-i (\alpha+k) x} \right) \\ \Rightarrow u(0<x<a-b) &= A e^{i (\alpha-k) x} + A' e^{-i (\alpha+k) x}. \end{align}$$ और उसी तरह: $$ u(-b<x<0)=B e^{i (\beta-k) x} + B' e^{-i (\beta+k) x}.$$ समाधान को पूरा करने के लिए हमें यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि प्रायिकता फलन निरंतर और सुचारू है, अर्थात: $$ \psi(0^{-})=\psi(0^{+}) \qquad \psi'(0^{-})=\psi'(0^{+}).$$ ओर वो $u(x)$ और $u′(x)$ आवधिक हैं: $$ u(-b)=u(a-b) \qquad u'(-b)=u'(a-b).$$ ये शर्तें निम्नलिखित मैट्रिक्स उत्पन्न करती हैं: $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1 \\ \alpha & -\alpha & -\beta & \beta \\ e^{i(\alpha-k)(a-b)} & e^{-i(\alpha+k)(a-b)} & -e^{-i(\beta-k)b} & -e^{i(\beta+k)b} \\ (\alpha-k)e^{i(\alpha-k)(a-b)} & -(\alpha+k)e^{-i(\alpha+k)(a-b)} & -(\beta-k)e^{-i(\beta-k)b} & (\beta+k)e^{i(\beta+k)b} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A \\ A' \\ B \\ B' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.$$ हमारे लिए एक गैर-तुच्छ समाधान होने के लिए, मैट्रिक्स का निर्धारक 0 होना चाहिए। यह हमें निम्नलिखित अभिव्यक्ति की ओर ले जाता है: $$ \cos(k a) = \cos(\beta b) \cos[\alpha(a-b)]-{\alpha^2+\beta^2 \over 2\alpha \beta} \sin(\beta b) \sin[\alpha(a-b)].$$ अभिव्यक्ति को और सरल बनाने के लिए, हम निम्नलिखित सन्निकटन करते हैं: $$ b \to 0; \quad V_0 \to \infty; \quad V_0 b = \mathrm{constant}$$ $$ \Rightarrow \beta^2 b = \mathrm{constant}; \quad \alpha^2 b \to 0$$ $$ \Rightarrow \beta b \to 0; \quad \sin(\beta b) \to \beta b; \quad \cos(\beta b) \to 1.$$ अभिव्यक्ति अब होगी: $$ \cos(k a) = \cos(\alpha a)+P \frac{\sin(\alpha a)}{\alpha a}, \qquad P= \frac{m V_0 ba}{\hbar^2}.$$ कूप के अंदर ऊर्जा मूल्यों के लिए (ई <0), हम प्राप्त करते हैं: $$ \cos(k a) = \cos(\beta b) \cosh[\alpha(a-b)]-{\beta^2-\alpha^2 \over 2\alpha \beta} \sin(\beta b) \sinh[\alpha(a-b)],$$ साथ $$\alpha^2 = {2 m |E| \over \hbar^2}$$ और $$\beta^2 = \frac{2 m (V_0-|E|)}{\hbar^2}$$.
 * के लिए $$ 0 < x < (a-b)$$: $$\begin{align}
 * के लिए $$ -b <x < 0 $$: $$\begin{align}

उपरोक्त के समान अनुमानों के बाद ($$ b \to 0; \, V_0 \to \infty; \, V_0 b = \mathrm{constant}$$), हम पहुंचते हैं $$ \cos(k a) = \cosh(\alpha a) + P \frac{\sinh(\alpha a)}{\alpha a}$$ P के लिए उसी सूत्र के साथ जो पिछले मामले में था $$\left(P = \frac{m V_0 b a}{\hbar^2}\right)$$.

क्रोनिग-पेनी मॉडल
में बैंड अंतराल



पिछले पैराग्राफ में, भौतिक प्रणाली के मापदंडों द्वारा निर्धारित नहीं किए जाने वाले एकमात्र चर ऊर्जा E और क्रिस्टल गति k हैं। ई के लिए एक मान चुनकर, कोई दाहिने हाथ की गणना कर सकता है, और फिर k लेकर गणना कर सकता है $$\arccos$$ दोनों पक्षों का। इस प्रकार, व्यंजक फैलाव संबंध को जन्म देता है।

उपरोक्त अंतिम अभिव्यक्ति का दाहिना हाथ कभी-कभी 1 से अधिक या -1 से कम हो सकता है, इस मामले में k का कोई मान नहीं है जो समीकरण को सत्य बना सके। तब से $$\alpha a \propto \sqrt{E}$$, इसका अर्थ है कि E के कुछ ऐसे मान हैं जिनके लिए श्रोडिंगर समीकरण का कोई आइगेन फलन नहीं है। ये मान ऊर्जा अंतराल का निर्माण करते हैं।

इस प्रकार, क्रोनिग-पेनी मॉडल बैंड गैप प्रदर्शित करने के लिए सबसे सरल आवधिक संभावनाओं में से एक है।

क्रोनिग-पेनी मॉडल: वैकल्पिक समाधान
एक वैकल्पिक उपचार इसी तरह की समस्या के लिए दिया जाता है। यहां हमारे पास डेल्टा आवधिक क्षमता है: $$V(x) = A\cdot\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(x - n a).$$

$A$ कुछ स्थिर है, और $a$ जाली स्थिरांक (प्रत्येक साइट के बीच की दूरी) है। चूंकि यह क्षमता आवधिक है, हम इसे फूरियर श्रृंखला के रूप में विस्तारित कर सकते हैं: $$V(x) = \sum_K \tilde{V}(K)\cdot e^{i K x},$$ कहाँ $$\tilde{V}(K) = \frac{1}{a}\int_{-a/2}^{a/2}dx\,V(x)\,e^{-i K x} = \frac{1}{a}\int_{-a/2}^{a/2} dx \sum_{n=-\infty}^{\infty} A\cdot \delta(x-na)\,e^{-i K x} = \frac{A}{a}.$$ बलोच के प्रमेय का उपयोग करते हुए तरंग-फलन बराबर है $$\psi_k(x) = e^{i k x} u_k(x)$$ कहाँ $$u_k(x)$$ एक कार्य है जो जाली में आवधिक है, जिसका अर्थ है कि हम इसे फूरियर श्रृंखला के रूप में भी विस्तारित कर सकते हैं: $$u_k(x)=\sum_{K} \tilde{u}_k(K)e^{i K x}.$$ इस प्रकार तरंग कार्य है: $$\psi_k(x)=\sum_{K}\tilde{u}_k(K)\,e^{i(k+K)x}.$$ इसे श्रोडिंगर समीकरण में रखने पर, हम पाते हैं: $$\left[\frac{\hbar^2(k+K)^2}{2m}-E_k\right] \tilde{u}_k(K)+\sum_{K'}\tilde{V}(K-K')\,\tilde{u}_k(K') = 0$$ या यों कहें: $$\left[\frac{\hbar^2(k+K)^2}{2m}-E_k\right] \tilde{u}_k(K)+\frac{A}{a}\sum_{K'}\tilde{u}_k(K')=0$$ अब हम पहचानते हैं कि: $$u_k(0)=\sum_{K'}\tilde{u}_k(K')$$ श्रोडिंगर समीकरण में इसे प्लग करें: $$\left[\frac{\hbar^2(k+K)^2}{2m}-E_k\right] \tilde{u}_k(K)+\frac{A}{a}u_k(0)=0$$ इसके लिए समाधान करें $$\tilde{u}_k(K)$$ हम पाते हैं: $$\tilde{u}_k(K)=\frac{\frac{2m}{\hbar^2}\frac{A}{a}f(k)}{\frac{2mE_k}{\hbar^2}-(k+K)^2}=\frac{\frac{2m}{\hbar^2}\frac{A}{a}}{\frac{2mE_k}{\hbar^2}-(k+K)^2}\,u_k(0)$$ हम के सभी मूल्यों पर इस अंतिम समीकरण का योग करते हैं $K$ पहुंचने के लिए: $$\sum_{K}\tilde{u}_k(K)=\sum_{K}\frac{\frac{2m}{\hbar^2}\frac{A}{a}}{\frac{2mE_k}{\hbar^2}-(k+K)^2}\,u_k(0)$$ या: $$u_k(0)=\sum_{K}\frac{\frac{2m}{\hbar^2}\frac{A}{a}}{\frac{2mE_k}{\hbar^2}-(k+K)^2}\,u_k(0)$$ आसानी से, $$u_k(0)$$ रद्द हो जाता है और हमें मिलता है: $$1=\sum_{K}\frac{\frac{2m}{\hbar^2}\frac{A}{a}}{\frac{2mE_k}{\hbar^2}-(k+K)^2}$$ या: $$\frac{\hbar^2}{2m}\frac{a}{A}=\sum_{K}\frac{1}{\frac{2mE_k}{\hbar^2}-(k+K)^2}$$ अपने आप को कुछ अनावश्यक नोटेशनल प्रयासों से बचाने के लिए हम एक नया चर परिभाषित करते हैं: $$\alpha^2 := \frac{2 m E_k}{\hbar^2}$$ और अंत में हमारी अभिव्यक्ति है: $$\frac{\hbar^2}{2m}\frac{a}{A}=\sum_{K}\frac{1}{\alpha^2-(k+K)^2}$$ अब, $K$ एक पारस्परिक जाली वेक्टर है, जिसका अर्थ है कि एक योग $K$ वास्तव में के पूर्णांक गुणकों पर योग है $$\frac{2\pi}{a}$$: $$\frac{\hbar^2}{2m}\frac{a}{A}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{\alpha^2-(k+\frac{2\pi n}{a})^2}$$ हम इसे और अधिक विचारोत्तेजक बनाने के लिए इस अभिव्यक्ति को थोड़ा हथकंडा कर सकते हैं (आंशिक अंश अपघटन का उपयोग करें): $$\begin{align} \frac{\hbar^2}{2m}\frac{a}{A} &= \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{\alpha^2-(k+\frac{2\pi n}{a})^2} \\ &=-\frac{1}{2\alpha}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left[\frac{1}{(k+\frac{2\pi n}{a})-\alpha}-\frac{1}{(k+\frac{2\pi n}{a})+\alpha}\right] \\ &=-\frac{a}{4\alpha}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left[\frac{1}{\pi n + \frac{k a}{2}-\frac{\alpha a}{2}}-\frac{1}{\pi n +\frac{k a}{2}+\frac{\alpha a} {2}} \right] \\ &=-\frac{a}{4\alpha}\left[\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{\pi n + \frac{k a}{2}-\frac{\alpha a}{2}} - \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{\pi n +\frac{k a}{2}+\frac{\alpha a}{2}} \right] \end{align}$$ यदि हम कॉटैंजेंट फ़ंक्शन (Equation 18) के योग की एक अच्छी पहचान का उपयोग करते हैं जो कहता है: $$\cot(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{2 \pi n + 2x}-\frac{1}{2 \pi n - 2x}$$ और इसे हमारे एक्सप्रेशन में प्लग करें जो हमें मिलता है: $$\frac{\hbar^2}{2m}\frac{a}{A} = -\frac{a}{4\alpha}\left[\cot\left(\tfrac{k a}{2}-\tfrac{\alpha a}{2}\right) - \cot\left(\tfrac{k a}{2}+\tfrac{\alpha a}{2}\right)\right]$$ हम के योग का उपयोग करते हैं $cot$ और फिर, का उत्पाद $sin$ (जो योग के सूत्र का हिस्सा है $cot$) पहुंचने के लिए: $$\cos(k a)=\cos(\alpha a)+\frac{m A}{\hbar^2 \alpha}\sin(\alpha a)$$ यह समीकरण ऊर्जा (के माध्यम से) के बीच के संबंध को दर्शाता है $α$) और तरंग-वेक्टर, $k$, और जैसा कि आप देख सकते हैं, क्योंकि समीकरण के बाएँ हाथ की ओर से केवल सीमा हो सकती है $−1$ को $1$ तो मूल्यों पर कुछ सीमाएं हैं $α$ (और इस प्रकार, ऊर्जा) ग्रहण कर सकता है, अर्थात, ऊर्जा के मूल्यों की कुछ सीमाओं पर, इन समीकरणों के अनुसार कोई समाधान नहीं है, और इस प्रकार, सिस्टम में वे ऊर्जाएँ नहीं होंगी: ऊर्जा अंतराल। ये तथाकथित बैंड-अंतराल हैं, जिन्हें आवधिक क्षमता के किसी भी आकार में मौजूद दिखाया जा सकता है (सिर्फ डेल्टा या वर्ग अवरोध नहीं)।

अंतर सूत्र की एक अलग और विस्तृत गणना के लिए (अर्थात बैंड के बीच की खाई के लिए) और एक आयामी श्रोडिंगर समीकरण के आइगेनवेल्यू के स्तर विभाजन के लिए मुलर-कर्स्टन देखें। इस संदर्भ में कोसाइन क्षमता (मैथ्यू समीकरण) के अनुरूप परिणाम भी विस्तार से दिए गए हैं।

परिमित लंबाई के एक आयामी जाली में कण
हाल ही में, यह पाया गया है कि परिमित के एक आदर्श एक आयामी जाली में कण पर समस्या लंबाई $$ L = N a $$ दो सिरों के साथ $$ \tau $$ और $$ L + \tau $$ - कहाँ $$ a $$ संभावित अवधि है और  $$ N $$ एक सकारात्मक पूर्णांक है - क्वांटम यांत्रिकी की कुछ अन्य समस्याओं में से एक है जिसे विश्लेषणात्मक रूप से हल किया जा सकता है, आवधिक अंतर समीकरणों के गणितीय सिद्धांत पर आधारित। निम्नलिखित में हम संक्षेप में नए सिद्धांत के कुछ प्रमुख निष्कर्षों का वर्णन करते हैं। पाठक जो गणितीय तर्क और अधिक विवरण में रुचि रखते हैं, उन्हें मूल प्रकाशनों में भेजा जाता है।

हम मुख्य रूप से उन मामलों में रुचि रखते हैं जहां लगातार दो लगातार ऊर्जा बैंडों के बीच एक बैंड गैप होता है। ऐसे मामलों के लिए, नए सिद्धांत ने पाया कि परिमित लंबाई के एक आयामी जाली में दो अलग-अलग प्रकार के राज्य हैं: तदनुसार बलोच तरंग के प्रत्येक ऊर्जा बैंड, वहाँ हैं $$ N - 1 $$ परिमित क्रिस्टल में अवस्थाएँ होती हैं जिनकी ऊर्जाएँ होती हैं पर निर्भर $$ N $$ लेकिन चालू नहीं $$ \tau $$ और ऊर्जा बैंड को सटीक रूप से मैप करें, जो स्थिर बलोच राज्य हैं। बलोच तरंग के प्रत्येक बैंड गैप के अनुरूप परिमित क्रिस्टल में हमेशा एक और केवल एक अवस्था होती है, जिसकी ऊर्जा निर्भर करती है $$ \tau $$ लेकिन चालू नहीं $$ N $$. यह अवस्था या तो एक स्थिर-ऊर्जा सीमित बैंड-एज अवस्था है या बैंड गैप में एक सतह अवस्था है। ऐसे का अस्तित्व $$ \tau $$-आश्रित अवस्था बलोच तरंगों के क्वांटम परिरोध का एक मूलभूत अंतर है।

यह भी देखें

 * मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल
 * खाली जाली सन्निकटन
 * लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल
 * क्रिस्टल की संरचना
 * मैथ्यू समारोह

बाहरी संबंध

 * "The Kronig–Penney Model" by Michael Croucher, an interactive calculation of 1d periodic potential band structure using Mathematica, from The Wolfram Demonstrations Project.