स्पर्शरेखा विकास योग्य

सतहों के विभेदक ज्यामिति के गणित के अध्ययन में, एक स्पर्शरेखा विकसित करने योग्य एक विशेष प्रकार की विकास योग्य सतह है जो यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक वक्र से प्राप्त होती है क्योंकि सतह स्पर्श रेखा से वक्र तक बह जाती है। ऐसी सतह वक्र के स्पर्शरेखा तलों का आवरण (गणित) भी है।

पैरामीटराइजेशन
होने देना $$\gamma(t)$$ एक चिकनी अंतरिक्ष वक्र का एक मानकीकरण हो। वह है, $$\gamma$$ एक अवकलनीय फलन है| दो बार अवकलनीय फलन कहीं नहीं लुप्त होने वाला व्युत्पन्न है जो इसके तर्क को मानचित्रित करता है $$t$$ (एक वास्तविक संख्या) अंतरिक्ष में एक बिंदु के लिए; वक्र की छवि है $$\gamma$$. फिर एक द्वि-आयामी सतह, विकसित करने योग्य स्पर्शरेखा $$\gamma$$, मानचित्र द्वारा परिचालित किया जा सकता है मूल वक्र स्पर्शरेखा विकसित करने योग्य की एक सीमा बनाता है, और इसे इसकी नियता या प्रतिगमन का किनारा कहा जाता है। यह वक्र पहले सतह को समतल में विकसित करके प्राप्त किया जाता है, और फिर सतह पर शासित सतह के तल में छवि पर विचार किया जाता है। रेखाओं के इस परिवार का आवरण एक समतल वक्र है जिसका विकास के अंतर्गत प्रतिलोम प्रतिगमन का किनारा है। सहज रूप से, यह एक वक्र है जिसके साथ समतल में विकसित होने की प्रक्रिया के दौरान सतह को मोड़ने की आवश्यकता होती है।
 * $$(s,t)\mapsto \gamma(t) + s\gamma{\,'}(t).$$

गुण
स्पर्शरेखा विकासशील एक विकासशील सतह है; अर्थात्, यह शून्य गाऊसी वक्रता वाली सतह है। यह विकास योग्य सतह के तीन मौलिक प्रकारों में से एक है; अन्य दो सामान्यीकृत शंकु हैं (एक निश्चित बिंदु के माध्यम से रेखाओं के एक-आयामी परिवार द्वारा खोजी गई सतह), और सिलेंडर (समानांतर रेखाओं के एक-आयामी परिवार द्वारा खोजी गई सतहें)। (तल (ज्यामिति) को कभी-कभी चौथे प्रकार के रूप में दिया जाता है, या इन दो प्रकारों में से किसी एक के विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है।) त्रि-आयामी अंतरिक्ष में प्रत्येक विकास योग्य सतह इन तीन प्रकारों के टुकड़ों को एक साथ जोड़कर बनाई जा सकती है; इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि प्रत्येक विकास योग्य सतह एक शासित सतह है, रेखाओं के एक-आयामी परिवार का एक संघ है। हालाँकि, प्रत्येक शासित सतह विकास योग्य नहीं होती है; घुमावदार एक प्रति उदाहरण प्रदान करता है।

वक्र के शून्य मरोड़ वाले बिंदु वाले वक्र के विकास योग्य स्पर्शरेखा में एक स्व-प्रतिच्छेदन होगा।

इतिहास
1772 में लियोनहार्ड यूलर द्वारा पहली बार स्पर्शरेखा के विकास का अध्ययन किया गया था। उस समय तक, केवल ज्ञात विकास योग्य सतहें सामान्यीकृत शंकु और सिलेंडर थे। यूलर ने दिखाया कि स्पर्शरेखा विकसित करने योग्य हैं और प्रत्येक विकास योग्य सतह इन प्रकारों में से एक है।