स्टेनर दीर्घवृत्त



ज्यामिति में, एक त्रिभुज के स्टीनर दीर्घवृत्त को स्टेनर परिक्रमाकार भी कहा जाता है जिसे स्टेनर इन अंडाकार से अलग करने के लिए स्टेनर परिधि दीर्घवृत्त कहा जाता है, यह एक विशिष्ट परिधि होती है और दीर्घवृत्त  त्रिभुज को इसके शीर्ष ज्यामिति पर स्पर्श करती है। जिसका केंद्र त्रिभुज का केन्द्रक होता है। जैकब स्टेनर के नाम पर इसका नाम रखा गया, यह परिधि का एक उदाहरण है। त्रिभुज के परिवृत्त  की तुलना करते हुए एक अन्य वृत्ताकार है जो त्रिभुज को उसके शीर्षों पर स्पर्श करता है, लेकिन त्रिभुज के केंद्रक पर तब तक केंद्रित नहीं होता है जब तक कि त्रिभुज समबाहु त्रिभुज न हो।

स्टेनर दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल त्रिभुज के क्षेत्रफल $$\frac{4 \pi}{3\sqrt{3}},$$ के बराबर होता है और इसलिए स्टेनर इन दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल 4 गुना है। स्टीनर दीर्घवृत्त में त्रिभुज के चारों ओर परिचालित किसी भी दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल सबसे कम होता है।

स्टेनर दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल त्रिभुज के क्षेत्रफल (केकेकेके) के बराबर होता है और इसलिए स्टेनर इन दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल 4 गुना होता है।स्टेनर दीर्घवृत्त में त्रिभुज के बारे में कोई भी दीर्घवृत्त वृत्त का न्यूनतम क्षेत्र होता है।

स्टेनर दीर्घवृत्त स्केल्ड स्टेनर इनलिप्स है (कारक 2, केंद्र केन्द्रक है)। इसलिए दोनों दीर्घवृत्त समान हैं (समान सनकीपन (गणित) है)।

गुण
* स्टेनर दीर्घवृत्त एकमात्र दीर्घवृत्त है, जिसका केंद्र केन्द्रक है $$S$$ एक त्रिकोण का $$ABC$$ और अंक शामिल हैं $$A,B,C$$. स्टेनर दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल है $$\tfrac{4 \pi}{3\sqrt{3}}$$-त्रिकोण के क्षेत्र का गुना।

ए) एक समबाहु त्रिभुज के लिए स्टेनर दीर्घवृत्त परिवृत्त है, जो एकमात्र दीर्घवृत्त है, जो पूर्व शर्तों को पूरा करता है। वांछित दीर्घवृत्त में दीर्घवृत्त के केंद्र में परिलक्षित त्रिभुज होना चाहिए। यह परिवृत्त के लिए सही है। एक शंकु खंड विशिष्ट रूप से 5 बिंदुओं द्वारा निर्धारित किया जाता है। इसलिए परिवृत्त एकमात्र स्टेनर दीर्घवृत्त है।
 * सबूत:

बी) क्योंकि एक मनमाना त्रिकोण एक समबाहु त्रिभुज का Affine नक्शा है, एक दीर्घवृत्त एक इकाई सर्कल x²+y²=1 की एक affine छवि के रूप में दीर्घवृत्त#Ellipse है और त्रिकोण के केन्द्रक को छवि त्रिकोण के केन्द्रक पर मैप किया जाता है, संपत्ति (केंद्र के रूप में केन्द्रक के साथ एक अद्वितीय परिधि) किसी भी त्रिभुज के लिए सत्य है। एक समबाहु त्रिभुज के परिवृत्त का क्षेत्रफल है $$\tfrac{4 \pi}{3\sqrt{3}}$$-त्रिभुज के क्षेत्रफल की तह। एक सजातीय नक्शा क्षेत्रों के अनुपात को संरक्षित करता है। इसलिए अनुपात पर कथन किसी भी त्रिभुज और उसके स्टेनर दीर्घवृत्त के लिए सत्य है।

संयुग्मी बिंदुओं का निर्धारण
एक दीर्घवृत्त (कंप्यूटर या हाथ से) खींचा जा सकता है, अगर केंद्र के अलावा संयुग्मित व्यास पर कम से कम दो संयुग्म बिंदु ज्ञात हों। इस मामले में
 * या तो कोई रिट्ज के निर्माण द्वारा दीर्घवृत्त के शीर्ष को निर्धारित करता है और एक उपयुक्त दीर्घवृत्त कम्पास के साथ दीर्घवृत्त को खींचता है
 * या दीर्घवृत्त आरेखित करने के लिए पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व का उपयोग करता है।

[[File:Steiner-ellipse-steps.svg|500px|thumb|स्टेनर दीर्घवृत्त पर संयुग्मी बिंदु निर्धारित करने के चरण: 1) त्रिभुज का एक समद्विबाहु त्रिभुज में रूपांतरण

2) बिंदु का निर्धारण $$D$$ जो संयुग्मित है $$C$$ (चरण 1–5)

3) संयुग्मित अर्धव्यास के साथ दीर्घवृत्त खींचना $$SC, SD$$]]रहने दो $$ABC$$ एक त्रिकोण और उसका केंद्र $$S$$. अक्ष के साथ कतरनी मानचित्रण $$d$$ के माध्यम से $$S$$ और समानांतर $$AB$$ त्रिभुज को समद्विबाहु त्रिभुज में बदल देता है $$A'B'C'$$ (आरेख देखें)। बिंदु $$C'$$ त्रिभुज के स्टेनर दीर्घवृत्त का शीर्ष है $$A'B'C'$$. एक दूसरा शिखर $$D$$ इस दीर्घवृत्त पर स्थित है $$d$$, चूंकि $$d$$ के लंबवत है $$SC'$$ (समरूपता कारण)। यह शीर्ष डेटा से निर्धारित किया जा सकता है (केंद्र के साथ दीर्घवृत्त $$S$$ के माध्यम से $$C'$$ और $$B'$$, $$|A'B'|=c$$) गणना द्वारा। परिणाम यह निकला
 * $$|SD|=\frac{c}{\sqrt{3}}\ .$$

या ड्राइंग द्वारा: दीर्घवृत्त का उपयोग करना # पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व | डे ला हायर की विधि (केंद्र चित्र देखें) शीर्ष $$D$$ समद्विबाहु त्रिभुज के स्टेनर दीर्घवृत्त का $$A'B'C'$$ निर्धारित है।

उलटा कतरनी मानचित्रण मानचित्र $$C'$$ वापस $$C$$ और बिंदु $$D$$ निश्चित है, क्योंकि यह अपरूपण अक्ष पर एक बिंदु है। इसलिए अर्ध व्यास $$SD$$ से संयुग्मित है $$SC$$

संयुग्मित अर्धव्यास की इस जोड़ी की मदद से दीर्घवृत्त को हाथ से या कंप्यूटर द्वारा खींचा जा सकता है।

पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व और समीकरण
दिया गया: त्रिभुज $$\ A=(a_1,a_2),\; B=(b_1,b_2), \; C=(c_1,c_2)$$ वांटेड: इसके स्टेनर दीर्घवृत्त का पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व और समीकरण

त्रिभुज का केंद्र है $$\ S=(\tfrac{a_1+b_1+c_1}{3},\tfrac{a_2+b_2+c_2}{3})\ .$$ पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व:

पिछले खंड की जांच से स्टेनर दीर्घवृत्त का निम्नलिखित पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व प्राप्त होता है:


 * $$\ \vec x =\vec p(t)=\overrightarrow{OS}\; +\; \overrightarrow{SC}\; \cos t \;+\; \frac{1}{\sqrt{3}}\overrightarrow{AB}\; \sin t \;, \quad 0\le t <2\pi \; . $$
 * दीर्घवृत्त के चार शीर्ष होते हैं $$\quad \vec p(t_0),\; \vec p(t_0\pm\frac{\pi}{2}),\; \vec p(t_0+\pi),\ $$ कहां $$t_0$$ से आता है
 * $$\cot (2t_0)= \frac{\vec f_1^{\, 2}-\vec f_2^{\, 2}}{2\vec f_1 \cdot \vec f_2}\quad$$ साथ $$\quad \vec f_1=\vec{SC},\quad \vec f_2=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{AB} \quad $$ (इकाई वृत्त x²+y²=1 की एक सघन छवि के रूप में दीर्घवृत्त#Ellipse देखें)।

पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व निर्धारित करने के लिए बिंदुओं की भूमिका को बदला जा सकता है।

उदाहरण (आरेख देखें): $$A=(-5,-5),B=(0,25), C=(20,0)$$.

समीकरण:

यदि मूल त्रिभुज का केन्द्रक है (स्टीनर दीर्घवृत्त का केंद्र) पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व के अनुरूप समीकरण $\vec x=\vec f_1 \cos t + \vec f_2 \sin t$ है उदाहरण: त्रिकोण का केंद्र $$\quad A=(-\tfrac{3}{2}\sqrt{3},-\tfrac{3}{2}),\ B=(\tfrac{\sqrt{3}}{2},-\tfrac{3}{2}),\ C=(\sqrt{3},3)\quad $$ मूल है। वैक्टर से $$\vec f_1=(\sqrt{3},3)^T,\ \vec f_2=(2,0)^T \ $$ स्टेनर दीर्घवृत्त का समीकरण प्राप्त होता है:
 * $$\ (xf_{2y} - yf_{2x})^2 + (yf_{1x} - xf_{1y})^2 - (f_{1x}f_{2y} - f_{1y}f_{2x})^2 =0 \ ,$$ साथ $$\ \vec f_i=(f_{ix},f_{iy})^T \ $$.
 * $$9x^2+7y^2-6\sqrt{3} xy-36=0 \ .$$

अर्ध-अक्ष और रैखिक विलक्षणता का निर्धारण
यदि शीर्ष पहले से ही ज्ञात हैं (ऊपर देखें), अर्ध अक्षों को निर्धारित किया जा सकता है। यदि कोई केवल अक्षों और उत्केंद्रता में रुचि रखता है, तो निम्न विधि अधिक उपयुक्त है:

रहने दो $$a,b,\; a>b$$ स्टीनर दीर्घवृत्त के अर्ध अक्ष। दीर्घवृत्त # दीर्घवृत्त के संयुग्मित अर्ध व्यास के गुणों पर संयुग्मित व्यास पर अपोलोनियोस के प्रमेय से एक मिलता है:
 * $$ a^2+b^2=\vec{SC}^2+\vec{SD}^2 \, \quad a\cdot b= \left|\det(\vec{SC},\vec{SD})\right| \ .$$

द्वारा समीकरणों के दाहिने हाथ पक्षों को नकारना $$M$$ और $$N$$ क्रमशः और गैर रेखीय प्रणाली को बदलना (सम्मान करना $$a>b>0$$) फलस्वरूप होता है:
 * $$a^2+b^2=M ,\ ab=N \quad \rightarrow \quad a^2+2ab+b^2=M+2N ,\ a^2-2ab+b^2=M-2N $$
 * $$ \rightarrow\quad (a+b)^2=M+2N ,\ (a-b)^2=M-2N \quad \rightarrow\quad a+b=\sqrt{M+2N} ,\  a-b=\sqrt{M-2N}\ .  $$

के लिए हल करना $$a$$ और $$b$$ एक अर्ध अक्ष प्राप्त करता है: साथ $$\qquad M= \vec{SC}^2+\frac{1}{3}\vec{AB}^2\, \quad N= \frac{1}{\sqrt{3}} |\det(\vec{SC},\vec{AB})|\qquad $$.
 * $$\ a=\frac{1}{2}(\sqrt{M+2N}+\sqrt{M-2N}) \, \qquad b=\frac{1}{2}(\sqrt{M+2N}-\sqrt{M-2N})\ ,$$

स्टेनर दीर्घवृत्त की रेखीय उत्केन्द्रता होती है और क्षेत्र भ्रमित नहीं होना चाहिए $$a,b$$ इस खंड में इस लेख में अन्य अर्थों के साथ!
 * $$c=\sqrt{a^2-b^2}=\cdots=\sqrt{\sqrt{M^2-4N^2}}\ .$$
 * $$F=\pi ab=\pi N=\frac{\pi}{\sqrt{3}} \left|\det(\vec{SC},\vec{AB})\right|$$

त्रिरेखीय समीकरण
ट्रिलिनियर निर्देशांक में स्टेनर सर्कमलिप्स का समीकरण है


 * $$bcyz+cazx+abxy=0$$

साइड की लंबाई के लिए ए, बी, सी।

अर्द्ध अक्षों और रैखिक विलक्षणता की वैकल्पिक गणना
अर्ध-प्रमुख और अर्ध-लघु कुल्हाड़ियों (लंबाई ए, बी, सी के साथ त्रिकोण के) की लंबाई होती है


 * $$\frac{1}{3}\sqrt{a^2+b^2+c^2 \pm 2Z},$$

और फोकल लंबाई


 * $$\frac{2}{3}\sqrt{Z}$$

कहां


 * $$Z=\sqrt{a^4+b^4+c^4-a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2}.$$

foci को त्रिकोण का बिकार्ट बिंदु कहा जाता है।

यह भी देखें

 * त्रिकोण शंकु

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * समद्विबाहु त्रिकोण
 * द्विविभाजितता
 * शिखर (ज्यामिति)
 * त्रिकोण
 * समभुज त्रिकोण
 * विलक्षणता (गणित)
 * एफ़िन मानचित्र
 * त्रिभुज शंकु

संदर्भ

 * Georg Glaeser, Hellmuth Stachel, Boris Odehnal: The Universe of Conics, Springer 2016, ISBN 978-3-662-45449-7, p.383