टी-नॉर्म फ़ज़ी लॉजिक

टी-नॉर्म फजी तर्क गैर-पारम्परिक तर्क का समूह है जिसे अनौपचारिक रूप से एक शब्दार्थ द्वारा सीमांकित किया जाता है। जिसको वास्तविक संख्या इकाई अंतराल [0, 1] के सत्य मानों और फलनों की प्रणाली के लिए टी-नॉर्म तर्क कहा जाता है जो तार्किक संयोजन की अनुमेय व्याख्याओं के लिए प्रयुक्त होता है। वे मुख्य रूप से अनुप्रयुक्त फ़ज़ी तर्क और फजी समुच्चय सिद्धान्त में अनुमानित तर्क के सैद्धांतिक आधार के रूप में उपयोग किए जाते हैं।

टी-नॉर्म फ़ज़ी तर्क, फ़ज़ी तर्क और बहुमान तर्क के व्यापक वर्ग के रूप मे होते हैं। एक अनुक्रम निहितार्थ उत्पन्न करने के लिए टी-नॉर्म तर्क को सामान्यतः बाएं की ओर होने की आवश्यकता होती है। बाएं की ओर टी-नॉर्म के तर्क आगे अवसंरचनात्मक तर्क की श्रेणी में आते हैं। जिनमें से उन्हें पूर्व-रैखिकता के नियम की वैधता (A → B) ∨ (B → A) के साथ चिह्नित किया जाता है।प्रस्तावित और प्रथम-क्रम या उच्च-क्रम टी-नॉर्म फ़ज़ी तर्क के साथ ही मॉडल और अन्य संक्रियक द्वारा उनके दोनों विस्तार का अध्ययन किया जाता है। तर्क जो टी-नॉर्म अर्थ विज्ञान को वास्तविक इकाई अंतराल (उदाहरण के लिए, सूक्ष्म रूप से बहुमान लुकासेविच तर्क) के एक उपसमुच्चय तक सीमित करते हैं सामान्यतः वे कक्ष में भी सम्मिलित होते हैं।

टी-नॉर्म फ़ज़ी तर्क के महत्वपूर्ण उदाहरण सभी बाएँ ओर टी-नॉर्म के एकपदी टी-मानक तर्क (एमटीएल) के सभी नियमित टी-नॉर्म के मूल तर्क (बीएल) उत्पाद टी-नॉर्म के उत्पाद फ़ज़ी तर्क या न्यूनतम नीलपोटेंट टी-नॉर्म का कुछ स्वतंत्र रूप से प्रेरित तर्क उदाहरण के लिए लुकासिविक्ज़ तर्क (जो लुकासिविक्ज़ टी-नॉर्म का तर्क है) या गोडेल-डमेट तर्क (जो न्यूनतम टी-नॉर्म का तर्क है) टी-नॉर्म फ़ज़ी तर्क में भी सम्मिलित होते हैं।

प्रेरणा
फ़ज़ी तर्क के परिवार के सदस्यों के रूप में, टी-नॉर्म फ़ज़ी तर्क मुख्य रूप से 1 (सच्चाई) और 0 (झूठी) के बीच मध्यस्थ सत्य मूल्यों को स्वीकार करके प्रस्तावों की सत्यता की डिग्री का प्रतिनिधित्व करते हुए शास्त्रीय दो-मूल्यवान तर्क को सामान्य बनाने का लक्ष्य रखता है। इकाई अंतराल [0, 1] से डिग्रियों को वास्तविक संख्या माना जाता है। प्रस्तावात्मक टी-नॉर्म फ़ज़ी तर्क में, प्रस्तावात्मक संयोजकों को सत्य-कार्यात्मक होने के लिए निर्धारित किया जाता है, अर्थात, कुछ घटक प्रस्तावों से एक प्रस्तावक संयोजक द्वारा गठित एक जटिल प्रस्ताव का सत्य मान एक कार्य है (संयोजी का सत्य कार्य कहा जाता है) घटक प्रस्तावों के सत्य मूल्य। सत्य कार्य सत्य डिग्री के समुच्चय पर काम करते हैं (मानक शब्दार्थ में, [0, 1] अंतराल पर); इस प्रकार एक n-आरी प्रस्तावक संयोजक c का सत्य फलन एक फलन Fc: [0, 1]n → [0, 1] है। ट्रुथ फ़ंक्शंस क्लासिकल तर्क से ज्ञात प्रपोज़िशनल कनेक्टिव्स की ट्रुथ टेबल को सामान्य करता है ताकि ट्रुथ वैल्यू की बड़ी प्रणाली पर काम किया जा सके।

टी-नॉर्म फज़ी तर्क संयोजन के सत्य कार्य पर कुछ प्राकृतिक प्रतिबंध लगाते हैं। ट्रूथ फंक्शन $$*\colon[0,1]^2\to[0,1]$$ का संयोजन निम्नलिखित शर्तों को पूरा करने के लिए माना जाता है:
 * क्रमविनिमेयता, यानी [0, 1] में सभी x और y के लिए $$x*y=y*x$$ है। यह इस धारणा को व्यक्त करता है कि फ़ज़ी प्रस्तावों का क्रम संयोजन के रूप में सारहीन है, भले ही मध्यवर्ती सत्य डिग्री स्वीकार की जाती हैं।
 * साहचर्य, यानी [0, 1] में सभी x, y, और z के लिए $$(x*y)*z = x*(y*z)$$ यह इस धारणा को व्यक्त करता है कि संयोजन करने का क्रम सारहीन है, भले ही मध्यवर्ती सत्य डिग्री स्वीकार की जाती हैं।
 * एकरसता, यानी, यदि $$x \le y$$ तो $$x*z \le y*z$$ सभी x, y, और z in [0, 1] के लिए। यह इस धारणा को व्यक्त करता है कि एक संयोजन की सत्यता की डिग्री को बढ़ाने से संयोजन की सत्यता की डिग्री कम नहीं होनी चाहिए।
 * 1 की तटस्थता, जो [0, 1] में सभी x के लिए $$1*x = x$$ है। यह धारणा सत्य डिग्री 1 को पूर्ण सत्य मानने से मेल खाती है, जिसके संयोजन से दूसरे संयोजन के सत्य मूल्य में कमी नहीं होती है। पिछली स्थितियों के साथ-साथ यह स्थिति सुनिश्चित करती है कि [0, 1] में सभी x के लिए $$0*x = 0$$ भी है, जो सत्य डिग्री 0 को पूर्ण मिथ्या मानने के अनुरूप है, जिसके साथ संयोजन हमेशा पूर्णतः असत्य होता है।
 * समारोह की निरंतरता $$*$$ (पिछली शर्तें किसी भी तर्क में निरंतरता के लिए इस आवश्यकता को कम करती हैं)। अनौपचारिक रूप से यह धारणा व्यक्त करता है कि संयोजनों की सत्य डिग्री के सूक्ष्म परिवर्तनों का परिणाम उनके संयोजन की सत्य डिग्री के मैक्रोस्कोपिक परिवर्तन में नहीं होना चाहिए। यह स्थिति, अन्य बातों के अलावा, संयोजन से प्राप्त (अवशिष्ट) निहितार्थ का एक अच्छा व्यवहार सुनिश्चित करती है; हालांकि, अच्छे व्यवहार को सुनिश्चित करने के लिए, कार्य की बाईं-निरंतरता (किसी भी तर्क में)। $$*$$ काफी है। सामान्य तौर पर टी-नॉर्म फ़ज़ी तर्क, इसलिए, केवल बाईं-निरंतरता $$*$$ आवश्यक है, जो इस धारणा को व्यक्त करता है कि एक संयोजन की सत्य डिग्री की सूक्ष्म कमी को संयोजन की सत्य डिग्री को मैक्रोस्कोपिक रूप से कम नहीं करना चाहिए।

ये धारणाएं संयुग्मन के सत्य कार्य को एक बाएं-निरंतर टी-नॉर्म बनाती हैं, जो फ़ज़ी तर्क (टी-मानक आधारित) के परिवार के नाम की व्याख्या करता है। परिवार के विशेष तर्क संयुग्मन के व्यवहार के बारे में और धारणाएं बना सकते हैं (उदाहरण के लिए, गोडेल-डमेट तर्क को इसकी निष्क्रियता की आवश्यकता होती है) या अन्य कनेक्टिव्स (उदाहरण के लिए, तर्क आईएमटीएल (इनवॉल्विव मोनोइडल टी-नॉर्म तर्क) को नकारात्मकता की अनिवार्यता की आवश्यकता होती है)

सभी बाएं-निरंतर टी-नॉर्म $$*$$ में एक अद्वितीय अवशेष है, जो कि एक बाइनरी फ़ंक्शन है $$\Rightarrow$$ ऐसा है कि [0, 1] में सभी x, y, और z के लिए,
 * $$x*y\le z$$ अगर और केवल अगर $$x\le y\Rightarrow z.$$

बाएं-निरंतर टी-नॉर्म के अवशेषों को स्पष्ट रूप से परिभाषित किया जा सकता है:
 * $$(x\Rightarrow y)=\sup\{z\mid z*x\le y\}.$$

यह सुनिश्चित करता है कि अवशेष बिंदुवार सबसे बड़ा कार्य है जैसे कि सभी x और y के लिए,
 * $$x*(x\Rightarrow y)\le y.$$

उत्तरार्द्ध को अनुमान के तौर-तरीकों के नियम के एक फ़ज़ी संस्करण के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। बाएं-निरंतर टी-नॉर्म के अवशेषों को सबसे दुर्बल कार्य के रूप में वर्णित किया जा सकता है जो फ़ज़ी मोडस पोनेंस को वैध बनाता है, जो इसे फ़ज़ी तर्क में निहितार्थ के लिए एक उपयुक्त सत्य कार्य बनाता है। टी-नॉर्म संयोजन और इसके अवशिष्ट निहितार्थ के बीच इस संबंध के लिए टी-नॉर्म की वाम-निरंतरता आवश्यक और पर्याप्त शर्त है।

आगे के प्रस्तावक संयोजकों के सत्य कार्यों को टी-नॉर्म और इसके अवशेषों के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए अवशिष्ट निषेध $$\neg x=(x\Rightarrow 0)$$ या द्वि-अवशिष्ट तुल्यता $$x\Leftrightarrow y = (x\Rightarrow y)*(y\Rightarrow x).$$ प्रस्तावपरक संयोजकों के सत्य कार्यों को अतिरिक्त परिभाषाओं द्वारा भी प्रस्तुत किया जा सकता है: सबसे सामान्य वाले न्यूनतम हैं (जो एक अन्य संयोजक संयोजक की भूमिका निभाते हैं), अधिकतम ( जो एक संयोजन संयोजन की भूमिका निभाता है), या बाज़ डेल्टा ऑपरेटर, [0, 1] में $$\Delta x = 1$$ यदि $$x=1$$ और $$\Delta x = 0$$ अन्यथा परिभाषित किया गया है। इस तरह, एक बाएं-निरंतर टी-नॉर्म, इसका अवशेष, और अतिरिक्त प्रस्तावात्मक संयोजकों के सत्य कार्य [0, 1] में जटिल तर्कवाक्य सूत्रों के सत्य मूल्यों को निर्धारित करते हैं।

सूत्र जो हमेशा 1 का मूल्यांकन करते हैं, उन्हें दिए गए बाएं-निरंतर टी-नॉर्म $$*,$$या $$*\mbox{-}$$ tautology के संबंध में tautology कहा जाता है। सभी का समुच्चय $$*\mbox{-}$$टॉटोलॉजी को टी-नॉर्म का तर्क कहा जाता है $$*,$$ क्योंकि ये सूत्र फ़ज़ी तर्क (टी-नॉर्म द्वारा निर्धारित) के नियमों का प्रतिनिधित्व करते हैं जो परमाणु सूत्रों की सत्य डिग्री की परवाह किए बिना (1 डिग्री तक) धारण करते हैं। वाम-निरंतर टी-नॉर्म के एक बड़े वर्ग के संबंध में कुछ सूत्र पुनरावलोकन (तर्क) हैं; ऐसे सूत्रों के समुच्चय को वर्ग का तर्क कहा जाता है। महत्वपूर्ण टी-नॉर्म तर्क विशिष्ट टी-नॉर्म या टी-नॉर्म की कक्षाओं के तर्क हैं, उदाहरण के लिए:
 * लुकासिविज़ तर्क $$x*y = \max(x+y-1,0)$$ का तर्क है।
 * गोडेल-डमेट तर्क $$x*y = \min(x,y)$$ न्यूनतम टी-नॉर्म न्यूनतम का तर्क है।
 * उत्पाद फ़ज़ी तर्क उत्पाद $$x*y = x\cdot y$$ का तर्क है।
 * मोनोइडल टी-नॉर्म तर्क एमटीएल सभी बाएं-निरंतर टी-नॉर्म का (वर्ग का) तर्क है।
 * बेसिक फ़ज़ी तर्क बीएल सभी निरंतर टी-नॉर्म का (वर्ग का) तर्क है।

यह पता चला है कि विशेष टी-नॉर्म और टी-नॉर्म के वर्गों के कई तर्क स्वयंसिद्ध हैं। [0, 1] पर संबंधित टी-मानक शब्दार्थ के संबंध में स्वयंसिद्ध प्रणाली की पूर्णता प्रमेय को तब तर्क की मानक पूर्णता कहा जाता है। [0, 1] पर मानक वास्तविक-मूल्यवान शब्दार्थ के अलावा, सामान्य बीजगणितीय शब्दार्थ के संबंध में तर्क ध्वनि और पूर्ण हैं, जो प्रीलीनियर कम्यूटेटिव बाउंडेड इंटीग्रल रेसिड्यूएटेड लैटिस के उपयुक्त वर्गों द्वारा गठित हैं।

इतिहास
फ़ज़ी तर्क या टी-नॉर्म की धारणाओं के सामने आने से पहले ही परिवार को पहचानने से बहुत पहले कुछ विशेष टी-नॉर्म फ़ज़ी तर्क पेश किए गए थे और उनकी जाँच की गई थी: विशेष टी-नॉर्म फ़ज़ी तर्क और उनकी कक्षाओं का एक व्यवस्थित अध्ययन हेजेक (1998) मोनोग्राफ मेटामैथमैटिक्स ऑफ़ फ़ज़ी तर्क के साथ शुरू हुआ, जिसने निरंतर टी-नॉर्म के तर्क की धारणा प्रस्तुत की, तीन बुनियादी निरंतर टी-नॉर्म के तर्क ( लुकासेविच, Gödel, और उत्पाद), और सभी निरंतर टी-नॉर्म का 'मूल' फ़ज़ी तर्क BL (वे सभी प्रस्तावात्मक और प्रथम-क्रम दोनों)। पुस्तक ने हिल्बर्ट-शैली की गणना, बीजगणितीय शब्दार्थ और अन्य तर्क (पूर्णता प्रमेय, निगमन प्रमेय, जटिलता, आदि) से ज्ञात मेटामाथमेटिकल गुणों के साथ गैर-शास्त्रीय तर्क के रूप में फ़ज़ी तर्क की जांच भी शुरू की।
 * लुकासेविच तर्क (लुकासेविच t-norm का तर्क) मूल रूप से Jan लुकासेविच (1920) द्वारा तीन-मूल्यवान तर्क के रूप में परिभाषित किया गया था; इसे बाद में एन-वैल्यूड (सभी परिमित एन के लिए) के साथ-साथ असीम रूप से कई-मूल्यवान वेरिएंट, दोनों प्रपोजल और फर्स्ट-ऑर्डर के लिए सामान्यीकृत किया गया था।
 * माइकल डमेट तर्क (न्यूनतम टी-नॉर्म का तर्क) गोडेल के 1932 के अंतर्ज्ञानवादी तर्क के अनंत-मूल्यवान होने के प्रमाण में निहित था। बाद में (1959) डमेट द्वारा स्पष्ट रूप से इसका अध्ययन किया गया जिसने तर्क के लिए एक पूर्णता प्रमेय साबित किया।

तब से, टी-नॉर्म फ़ज़ी तर्क की अधिकता पेश की गई है और उनके मेटामैथमैटिकल गुणों की जांच की गई है। एस्टेवा और गोडो (MTL, IMTL, SMTL, NM, WNM), [1] एस्टेवा, गोडो, और मोंटागना (प्रस्तावात्मक ŁΠ) और सिंटुला द्वारा 2001 में कुछ सबसे महत्वपूर्ण टी-नॉर्म फ़ज़ी तर्क पेश किए गए थे। (प्रथम-क्रम ŁΠ).

तार्किक भाषा
प्रस्तावपरक टी-नॉर्म फ़ज़ी तर्क की तार्किक शब्दावली में मानक रूप से निम्नलिखित संयोजक सम्मिलित हैं: कुछ प्रस्तावात्मक टी-नॉर्म तर्क उपरोक्त भाषा में और प्रस्तावात्मक संयोजक जोड़ते हैं, जो अक्सर निम्नलिखित होते हैं:
 * निहितार्थ $$\rightarrow$$ (बाइनरी)। टी-नॉर्म-आधारित फ़ज़ी तर्क के अलावा अन्य के संदर्भ में, टी-नॉर्म-आधारित निहितार्थ को कभी-कभी अवशिष्ट निहितार्थ या आर-निहितार्थ कहा जाता है, क्योंकि इसका मानक शब्दार्थ टी-नॉर्म का अवशेष है जो मजबूत संयोजन का एहसास करता है।
 * प्रबल संयोजन $$\And$$ (बाइनरी)। अवसंरचनात्मक तर्क के संदर्भ में, साइन $$\otimes$$ और नाम समूह, गहन, गुणक, या समानांतर संयोजन अक्सर मजबूत संयोजन के लिए उपयोग किए जाते हैं।
 * दुर्बल संयोजन $$\wedge$$ (बाइनरी), जिसे जाली संयोजन भी कहा जाता है (जैसा कि यह हमेशा बीजगणितीय शब्दार्थ में मिलने के जाली संचालन द्वारा महसूस किया जाता है)। अवसंरचनात्मक तर्क के संदर्भ में, एडिटिव, एक्सटेंशनल या तुलनात्मक संयोजन नाम कभी-कभी जाली संयोजन के लिए उपयोग किए जाते हैं। तर्क बीएल और इसके एक्सटेंशन में (हालांकि सामान्य रूप से टी-नॉर्म तर्क में नहीं), निहितार्थ और मजबूत संयोजन के संदर्भ में दुर्बल संयोजन निश्चित है:$$A\wedge B \equiv A \mathbin{\And} (A \rightarrow B).$$ दो संयुग्मन संयोजकों की उपस्थिति संकुचन-मुक्त अवसंरचनात्मक तर्क की एक सामान्य विशेषता है।
 * बॉटम $$\bot$$ $$0$$ या $$\overline{0}$$ आम वैकल्पिक संकेत हैं और ज़ीरो प्रोपोज़िशनल कांस्टेंट के लिए एक कॉमन वैकल्पिक नाम है (जैसा कि अवसंरचनात्मक तर्क के कॉन्स्टेंट नीचे और शून्य टी-नॉर्म फ़ज़ी में मेल खाते हैं तर्क)। विनती $$\bot$$ असत्यता या बेतुकापन का प्रतिनिधित्व करता है और शास्त्रीय सत्य मूल्य असत्य से मेल खाता है।
 * 'निषेध' $$\neg$$ ( एकात्मक ऑपरेशन ), जिसे कभी-कभी अवशिष्ट निषेध कहा जाता है यदि अन्य नकारात्मक संयोजकों पर विचार किया जाता है, जैसा कि रिडक्टियो एड एब्सर्डम द्वारा अवशिष्ट निहितार्थ से परिभाषित किया गया है: $$\neg A \equiv A \rightarrow \bot$$
 * समानता $$\leftrightarrow$$ (बाइनरी), के रूप में परिभाषित किया गया $$A \leftrightarrow B \equiv (A \rightarrow B) \wedge (B \rightarrow A)$$ टी-नॉर्म तर्क में, परिभाषा इसके समकक्ष है $$(A \rightarrow B) \mathbin{\And} (B \rightarrow A).$$
 * (दुर्बल) संयोजन $$\vee$$ (बाइनरी), जिसे लैटिस डिसजंक्शन भी कहा जाता है (क्योंकि यह हमेशा बीजगणितीय शब्दार्थ में शामिल होने के जाली संचालन द्वारा महसूस किया जाता है)। टी-नॉर्म तर्क में यह अन्य संयोजकों के संदर्भ में निश्चित है:$$A \vee B \equiv ((A \rightarrow B) \rightarrow B) \wedge ((B \rightarrow A) \rightarrow A)$$
 * शीर्ष $$\top$$ (शून्य), जिसे एक भी कहा जाता है और $$1$$ या $$\overline{1}$$ द्वारा निरूपित किया जाता है। अवसंरचनात्मक तर्क के स्थिरांक शीर्ष और शून्य के रूप में टी-नॉर्म फ़ज़ी तर्क में मेल खाते हैं)। प्रस्ताव $$\top$$ शास्त्रीय सत्य मान सत्य से मेल खाता है और टी-नॉर्म तर्क में परिभाषित किया जा सकता है$$\top \equiv \bot \rightarrow \bot.$$
 * डेल्टा संयोजक $$\triangle$$ एक एकल संयोजक है जो किसी प्रस्ताव के शास्त्रीय सत्य पर जोर देता है, क्योंकि $$\triangle A$$ के सूत्र शास्त्रीय तर्क के रूप में व्यवहार करते हैं। इसे बाज़ डेल्टा भी कहा जाता है, क्योंकि इसका पहली बार मथियास बाज़ द्वारा गोडेल-डमेट तर्क के लिए उपयोग किया गया था। डेल्टा संयोजी द्वारा एक टी-नॉर्म तर्क $$L$$ का विस्तार आमतौर पर $$L_{\triangle}.$$ द्वारा दर्शाया जाता है।
 * सत्य स्थिरांक मानक वास्तविक-मूल्यवान शब्दार्थ में 0 और 1 के बीच विशेष सत्य मूल्यों का प्रतिनिधित्व करने वाले अशक्त संयोजक हैं। वास्तविक संख्या $$r$$ के लिए, संबंधित सत्य स्थिरांक को आमतौर पर $$\overline{r}.$$ द्वारा दर्शाया जाता है। अधिकतर, सभी परिमेय संख्याओं के लिए सत्य स्थिरांक जोड़े जाते हैं। भाषा में सभी सत्य स्थिरांकों की प्रणाली बहीखाता पद्धति के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करने वाली मानी जाती है: $$\overline{r \mathbin{\And} s} \leftrightarrow (\overline{r} \mathbin{\And} \overline{s}),$$ $$\overline{r \rightarrow s} \leftrightarrow (\overline{r} \mathbin{\rightarrow} \overline{s}),$$ आदि सभी प्रस्तावात्मक संयोजकों और भाषा में परिभाषित सभी सत्य स्थिरांकों के लिए।
 * समावेशी प्रतिवाद $$\sim$$ (यूनरी) को t-मानदंड तर्कों में एक अतिरिक्त निषेध के रूप में जोड़ा जा सकता है जिसका अवशिष्ट निषेध स्वयं समावेशी नहीं है, अर्थात यदि यह दोहरे निषेध के नियम का पालन नहीं करता है $$\neg\neg A \leftrightarrow A$$ एक टी-मानक तर्क समावेशी निषेध के साथ विस्तारित $$L$$ को आम तौर पर $$L_{\sim}$$ द्वारा निरूपित किया जाता है और इसे अंतर्वलन के साथ $$L$$ कहा जाता है।
 * प्रबल संयोजन $$\oplus$$ (बाइनरी)- अवसंरचनात्मक तर्क के संदर्भ में इसे ग्रुप, इंटेन्शनल, मल्टीप्लिकेटिव या पैरेलल डिसजंक्शन भी कहा जाता है। भले ही संकुचन-मुक्त अवसंरचनात्मक तर्क में मानक, टी-नॉर्म फ़ज़ी तर्क में आमतौर पर इसका उपयोग केवल समावेशी निषेध की उपस्थिति में किया जाता है, जो इसे मजबूत संयोजन से डी मॉर्गन के कानून द्वारा निश्चित (और इतना स्वयंसिद्ध) बनाता है:$$A \oplus B \equiv \mathrm{\sim}(\mathrm{\sim}A \mathbin{\And} \mathrm{\sim}B).$$
 * अतिरिक्त टी-नॉर्म संयोजन और अवशिष्ट प्रभाव। कुछ स्पष्ट रूप से मजबूत टी-नॉर्म तर्क, उदाहरण के लिए तर्क ŁΠ, उनकी भाषा में एक से अधिक मजबूत संयोजन या अवशिष्ट निहितार्थ हैं। मानक वास्तविक-मूल्यवान शब्दार्थ में, ऐसे सभी मजबूत संयोजनों को अलग-अलग टी-नॉर्म और उनके अवशिष्टों द्वारा अवशिष्ट निहितार्थों द्वारा महसूस किया जाता है।

प्रस्तावपरक टी-नॉर्म तर्कशास्त्र के सुनिर्मित सूत्रों को प्रस्तावात्मक चरों (सामान्यत: गणनीय रूप से अनेक) से उपरोक्त तार्किक संयोजकों द्वारा परिभाषित किया जाता है, जैसा कि सामान्यत: प्रस्तावात्मक तर्कों में होता है। कोष्ठकों को बचाने के लिए, वरीयता के निम्नलिखित क्रम का उपयोग करना आम है:
 * यूनरी कनेक्टिव्स (सबसे बारीकी से बांधें)
 * निहितार्थ और तुल्यता के अलावा अन्य बाइनरी संयोजक
 * निहितार्थ और तुल्यता (सबसे शिथिल बाँधें)

टी-नॉर्म तर्क के प्रथम-क्रम के संस्करण उपरोक्त प्रस्तावपरक संयोजकों और निम्नलिखित परिमाणकों के साथ प्रथम-क्रम तर्क की सामान्य तार्किक भाषा को नियोजित करते हैं: एक प्रस्तावित टी-नॉर्म तर्क $$L$$ का प्रथम-क्रम संस्करण आमतौर पर $$L\forall.$$ द्वारा दर्शाया जाता है।
 * सामान्य परिमाणक $$\forall$$
 * अस्तित्वगत परिमाणक $$\exists$$

शब्दार्थ
बीजगणितीय शब्दार्थ (गणितीय तर्क) मुख्य रूप से प्रस्तावित टी-मानक फ़ज़ी तर्क के लिए उपयोग किया जाता है, जिसमें बीजगणितीय संरचना के तीन मुख्य वर्ग होते हैं, जिसके संबंध में एक टी-नॉर्म फ़ज़ी तर्क $$L$$ पूर्ण होता है:
 * सामान्य शब्दार्थ, सभी $$L$$-अलजेब्रस से बना है - यानी, सभी बीजगणित जिसके लिए तर्क सही है।
 * रेखीय शब्दार्थ, सभी रेखीय $$L$$-अलजेब्रस से बनता है - अर्थात, सभी $$L$$- बीजगणित जिनका जाली क्रम रैखिक है।
 * मानक शब्दार्थ, सभी मानक $$L$$ -अलजेब्रा से निर्मित - अर्थात, सभी $$L$$-एलजेब्रा, जिनकी जाली रिडक्ट सामान्य क्रम के साथ वास्तविक इकाई अंतराल [0, 1] है। मानक $$L$$-अलजेब्रस में, मजबूत संयोजन की व्याख्या एक बाएं-निरंतर टी-नॉर्म है और अधिकांश प्रस्तावात्मक संयोजकों की व्याख्या टी-नॉर्म द्वारा निर्धारित की जाती है (इसलिए नाम टी-मानक-आधारित तर्कशास्त्र और टी-नॉर्म $$L$$-अलजेब्रस, जिसका उपयोग जाली [0, 1]) पर $$L$$-अलजेब्रा के लिए भी किया जाता है। अतिरिक्त संयोजकों के साथ टी-मानक तर्कों में, हालांकि, अतिरिक्त संयोजकों की वास्तविक-मूल्यवान व्याख्या को आगे की शर्तों द्वारा प्रतिबंधित किया जा सकता है ताकि टी-नॉर्म बीजगणित को मानक कहा जा सके: उदाहरण के लिए, मानक $$L_\sim$$ में इनवोल्यूशन के साथ तर्क $$L_\sim$$ के बीजगणित, अतिरिक्त समावेशी निषेध की व्याख्या \sim को अन्य इनवोल्यूशन के बजाय मानक इनवोल्यूशन $$f_\sim(x)=1-x,$$ होना आवश्यक है, जो कि $$\sim$$ को $$L_\sim$$ बीजगणित पर व्याख्या करें। सामान्य तौर पर, मानक टी-नॉर्म बीजगणित की परिभाषा को अतिरिक्त कनेक्टिव्स के साथ टी-नॉर्म तर्क के लिए स्पष्ट रूप से दिया जाना चाहिए।

ग्रन्थसूची

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