असतत तरंगिका परिवर्तन

संख्यात्मक विश्लेषण और फलनिक विश्लेषण में, एक विविक्त तरंगिका रूपांतरण (डीडब्ल्यूटी) कोई भी तरंगिका रूपांतरण है जिसके लिए तरंगिकाओं का विविक्त प्रतिदर्श लिया जाता है। अन्य तरंगिका रूपांतरणों की तरह, फूरियर रूपांतरणों की तुलना में इसका एक प्रमुख लाभ कालिक विभेदन है, तथा यह आवृत्ति और  स्थान की सूचना (समय में स्थान) दोनों को प्रग्रहण करता है।

हार तरंगिकाएँ
पहले डीडब्ल्यूटी का आविष्कार हंगेरियन गणितज्ञ अल्फ्रेड हार ने किया था। $$2^n$$ संख्याओं की सूची द्वारा दर्शाए गए निविष्ट के लिए, हार तरंगिका रूपांतरण को निविष्ट मानों को जोड़ने, अंतर को संग्रहीत करने और योग को पारक करने के लिए माना जा सकता है। इस प्रक्रिया को पुनरावर्ती रूप से दोहराया जाता है, अगले पैमाने को सिद्ध करने के लिए योगों को जोड़ा जाता है, जिससे $$2^n-1$$ अंतर और एक अंतिम योग बनता है।

डौबेचीज़ तरंगिकाएँ
विविक्त तरंगिका रूपांतरणों का सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला समुच्चय 1988 में बेल्जियम के गणितज्ञ इंग्रिड डौबेचीज़ द्वारा तैयार किया गया था। यह सूत्रीकरण अंतर्निहित मूल तरंगिका फलन के उत्तरोत्तर बेहतर विविक्त प्रतिदर्श उत्पन्न करने के लिए पुनरावृत्ति संबंधों के उपयोग पर आधारित है, प्रत्येक वियोजन पिछले पैमाने से दोगुना है। अपने मौलिक पेपर में, डौबेचीज़ ने तरंगिकाओं का एक समूह प्राप्त किया है, जिनमें से पहला हार तरंगिका है। तब से इस क्षेत्र में रुचि बढ़ी है, और ड्यूबेचीज़ की मूल तरंगिकाओं की कई विविधताएँ विकसित की गईं।

द्वैती-वृक्ष सम्मिश्र तरंगिका रूपांतरण (डीसीडब्ल्यूटी)
द्वैती वृक्ष सम्मिश्र तरंगिका रूपांतरण ($$\mathbb{C}$$डब्ल्यूटी) महत्वपूर्ण अतिरिक्त गुणों के साथ विविक्त तरंगिका रूपांतरण (डीडब्ल्यूटी) में एक अपेक्षाकृत आधुनिक वृद्धि है, यह दो और उच्चतर आयामों में लगभग रूपांतरणशील और दिशात्मक रूप से चयनात्मक है। यह केवल $$2^d$$ के अतिरेक कारक के साथ प्राप्त किया जा सकता है, जो कि अनिर्दिष्ट डीडब्ल्यूटी से काफी कम है। बहुआयामी (एम-डी) द्वैती वृक्ष $$\mathbb{C}$$डब्ल्यूटी अविभाज्य है लेकिन अभिकलनीय रूप से दक्ष, पृथक्करणीय निस्यंदक बैंक (एफबी) पर आधारित है।

अन्य
विविक्त तरंगिका रूपांतरण के अन्य रूपों में 1988 में डिडिएर ले गैल और अली जे. तबताबाई द्वारा विकसित ले गैल-तबताबाई (एलजीटी) 5/3 तरंगिका (जेपीईजी 2000 या जेपीईजी एक्सएस में प्रयुक्त),  1990 में अली नासी अकन्सो द्वारा विकसित द्विपद क्यूएमएफ, 1996 में विलियम ए. पर्लमैन के साथ अमीर सईद द्वारा विकसित पदानुक्रमित पेड़ों में समुच्चय विभाजन (एसपीआईएचटी) कलन विधि, गैर- या अनिर्दिष्ट तरंगिका रूपांतरण (जहाँ निम्न प्रतिदर्श को छोड़ दिया जाता है), और न्यूलैंड रूपांतरण (जहाँ आवृत्ति स्थान में उचित रूप से निर्मित शीर्ष निस्यंदक से तरंगिकाओं का एक प्रसामान्य लांबिक आधार बनता है) सम्मिलित है। तरंगिका पैकेट विघटन भी विविक्त तरंगिका रूपांतरण से संबंधित हैं। सम्मिश्र तरंगिका रूपांतरण दूसरा रूप है।

गुण
हार डीडब्ल्यूटी सामान्य रूप से तरंगिकाओं के वांछनीय गुणों को दर्शाता है। सबसे पहले, इसे  $$O(n)$$ संचालन में  निष्पादित किया जा सकता है, दूसरा, यह विभिन्न पैमानों पर जांच करके न केवल निविष्ट की आवृत्ति सामग्री की धारणा को प्रग्रहण करता है, बल्कि कालिक सामग्री, अर्थात वह समय जिस पर ये आवृत्तियां होती हैं। संयुक्त रूप से, ये दोनों गुण तीव्र तरंगिका रूपांतरण (एफडब्ल्यूटी) को पारंपरिक तीव्र फूरियर रूपांतरण (एफएफटी) का विकल्प बनाते हैं।

समय के मुद्दे
निस्यंदक बैंक में दर-रूपांतरण संचालको के कारण, विविक्त डब्ल्यूटी समय-अरूपांतरणीय नहीं है, लेकिन वास्तव में समय में संकेत के संरेखण के प्रति बहुत संवेदनशील है। तरंगिका रूपांतरणों का समय-भिन्न-भिन्न समस्या का समाधान करने के लिए, मल्लाट और झोंग ने संकेत के तरंगिका प्रतिनिधित्व के लिए एक नया कलन विधि प्रस्तावित किया, जो समय रूपांतरण के लिए अरूपांतरणीय है। इस कलन विधि के अनुसार, जिसे टीआई-डीडब्ल्यूटी कहा जाता है, केवल मापनी प्राचल को द्वैयकीय अनुक्रम 2^j (j∈Z) के साथ प्रतिदर्श किया जाता है और समय में प्रत्येक बिंदु के लिए तरंगिका रूपांतरण की गणना की जाती है।

अनुप्रयोग
विविक्त तरंगिका रूपांतरण का विज्ञान, इंजीनियरिंग, गणित और कंप्यूटर विज्ञान में बड़ी संख्या में अनुप्रयोग है। विशेष रूप से, इसका उपयोग, एक अलग संकेत को अधिक अनावश्यक रूप में प्रस्तुत करने के लिए, प्रायः डेटा संपीड़न के लिए पूर्व शर्त के रूप में संकेत कोडिंग के लिए किया जाता है। गति विश्लेषण, प्रतिबिंब प्रक्रमण, अंकीय संचार और कई अन्य के लिए त्वरण के संकेत संसाधन में व्यावहारिक अनुप्रयोग भी पाए जा सकते हैं।

यह दिखाया गया है कि कम-शक्ति वाले गतिचालक के प्रारूप के लिए और अल्ट्रा-वाइडबैंड (यूडब्ल्यूबी) बेतार संचार में भी जैव चिकित्सा संकेत संसाधन में अनुरूप निस्यंदक बैंक के रूप में विविक्त तरंगिका रूपांतरण (पैमाने और बदलाव में अलग, और समय में निरंतर) को सफलतापूर्वक लागू किया गया है।

प्रतिबिंब प्रक्रमण में उदाहरण
तरंगिकाओ का उपयोग प्रायः प्रतिबिंबो जैसे दो आयामी संकेतों को दर्शाने के लिए किया जाता है। निम्नलिखित उदाहरण दिखाए गए रव वाले प्रतिबिम्ब से अवांछित सफेद गाउसीय रव को हटाने के लिए तीन चरण प्रदान करता है। मैटलैब का उपयोग प्रतिबिम्ब को आयात और निस्यंदित करने के लिए किया गया था।

पहला कदम तरंगिका प्रकार और अपघटन का स्तर N चुनना है। इस स्थिति में बायोर्थोगोनल 3.5 तरंगिकाओ को 10 के स्तर N के साथ चुना गया था। बायोर्थोगोनल तरंगिकाओ का उपयोग आमतौर पर, निकटवर्ती पिक्सेल तीव्रता मानों के उनके उच्च विपर्यास के कारण सफेद गाउसीय रव का पता लगाने और निस्यंदित करने के लिए प्रतिबिंब प्रक्रमण में किया जाता है । इन तरंगिकाओं का उपयोग करके द्वि-आयामी प्रतिबिम्ब पर एक तरंगिका रूपांतरण किया जाता है।

प्रतिबिम्ब फ़ाइल के अपघटन के बाद, अगला कदम 1 से N तक प्रत्येक स्तर के लिए अवश्रेणी मान निर्धारित करता है। इन श्रेणीओं को चुनने के लिए बिरगे-मास्सार्ट योजना एक पर्याप्‍त सामान्य विधि है। इस प्रक्रिया का उपयोग करके N = 10 स्तरों के लिए अलग-अलग श्रेणीएँ बनाई जाती हैं। इन श्रेणीओं को लागू करने से संकेत का अधिकांश वास्तविक निस्पंदन होता है।

अंतिम चरण संशोधित स्तरों से प्रतिबिम्ब का पुनर्निर्माण करता है। यह व्युत्क्रम तरंगिका रूपांतरण का उपयोग करके पूरा किया जाता है। परिणामी प्रतिबिंब, सफेद गाउसीय रव को हटाकर, मूल प्रतिबिम्ब के नीचे दिखाया गया है। किसी भी प्रकार के डेटा को निस्पंदित करते समय परिणाम के संकेत और रव अनुपात को मापना महत्वपूर्ण है। इस स्थिति में, मूल की तुलना में रव वाले प्रतिबिम्ब का एसएनआर 30.4958% था, और अस्वीकृत प्रतिबिम्ब का एसएनआर 32.5525% था। तरंगिका निस्पंदन के परिणामस्वरूप सुधार से 2.0567% का एसएनआर लाभ प्राप्त होता है।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि अन्य तरंगिकाएँ, स्तर और श्रेणी रणनीतियों को चुनने से विभिन्न प्रकार के निस्पंदन हो सकते हैं। इस उदाहरण में, सफ़ेद गाउसीय रव को हटाने के लिए चुना गया था। हालाँकि, अलग-अलग श्रेणी के साथ, इसे आसानी से बढ़ाया जा सकता था।

विविक्त फूरियर रूपांतरण के साथ विविक्त तरंगिका रूपांतरण के बीच अंतर और समानता को स्पष्ट करने के लिए, निम्नलिखित अनुक्रम के डीडब्ल्यूटी और डीएफटी पर विचार करें, (1,0,0,0), एक इकाई आवेग।

डीएफटी का लांबिक आधार (डीएफटी आव्यूह) है,



\begin{bmatrix} 1 & 1 &  1 &  1\\ 1 & -i & -1 &  i\\ 1 & -1 & 1 & -1\\ 1 &  i & -1 & -i \end{bmatrix} $$ जबकि लंबाई 4 डेटा के लिए हार तरंगिकाओं के साथ डीडब्ल्यूटी की पंक्तियों में लांबिक आधार है,



\begin{bmatrix} 1 & 1 &  1 &  1\\ 1 &  1 & -1 & -1\\ 1 & -1 &  0 &  0\\ 0 &  0 &  1 & -1 \end{bmatrix} $$ (संकेतन को सरल बनाने के लिए, पूर्ण संख्याओं का उपयोग किया जाता है, इसलिए आधार लांबिक हैं लेकिन प्रसामान्य लांबिक नहीं हैं।)

प्रारंभिक टिप्पणियों में साम्मिलित हैं,
 * ज्यावक्रीय तरंगें केवल उनकी आवृत्ति में भिन्न होती हैं। पहला कोई चक्र पूरा नहीं करता है, दूसरा एक पूर्ण चक्र पूरा करता है, तीसरा दो चक्र पूरा करता है, और चौथा तीन चक्र पूरा करता है (जो विपरीत दिशा में एक चक्र पूरा करने के बराबर है)। चरण में अंतर को किसी दिए गए आधार सदिश को एक सम्मिश्र स्थिरांक से गुणा करके दर्शाया जा सकता है।
 * इसके विपरीत, तरंगिकाओं में आवृत्ति और स्थान दोनों होते हैं। पहले की तरह, पहला शून्य चक्र पूरा करता है, और दूसरा एक चक्र पूरा करता है। हालाँकि, तीसरे और चौथे दोनों की आवृत्ति समान है, और पहले की तुलना में दोगुनी है। आवृत्ति में भिन्न होने के बजाय, वे स्थान में भिन्न होते हैं - तीसरा पहले दो तत्वों पर अशून्य है, और चौथा दूसरे दो तत्वों पर अशून्य है।
 * $$\begin{align}

(1,0,0,0) &= \frac{1}{4}(1,1,1,1) + \frac{1}{4}(1,1,-1,-1) + \frac{1}{2}(1,-1,0,0) \qquad \text{Haar DWT}\\ (1,0,0,0) &= \frac{1}{4}(1,1,1,1) + \frac{1}{4}(1,i,-1,-i) + \frac{1}{4}(1,-1,1,-1) + \frac{1}{4}(1,-i,-1,i) \qquad \text{DFT} \end{align}$$ डीडब्ल्यूटी स्थानीयकरण को प्रदर्शित करता है, (1,1,1,1) शब्द औसत संकेत मान देता है, (1,1,-1,-1) संकेत को प्रक्षेत्र के बाईं ओर रखता है, और (1,–1,0,0) इसे बाईं ओर के बाईं ओर रखता है, और किसी भी स्तर पर संक्षिप्त करने से संकेत का निम्न प्रतिचयित संस्करण प्राप्त होता है,
 * $$\begin{align}

&\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)\\ &\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0,0\right)\qquad\text{2-term truncation}\\ &\left(1,0,0,0\right) \end{align}$$ इसके विपरीत, डीएफटी, विभिन्न आवृत्तियों की तरंगों के हस्तक्षेप द्वारा अनुक्रम को व्यक्त करता है - इस प्रकार श्रृंखला को छोटा करने से श्रृंखला का एक निम्नपारक निस्यंदक संस्करण प्राप्त होता है,
 * $$\begin{align}

&\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)\\ &\left(\frac{3}{4},\frac{1}{4},-\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)\qquad\text{2-term truncation}\\ &\left(1,0,0,0\right) \end{align}$$ विशेष रूप से, मध्य सन्निकटन (2-अवधि) भिन्न होता है। आवृत्ति प्रक्षेत्र परिप्रेक्ष्य से, यह एक बेहतर अनुमान है, लेकिन समय प्रक्षेत्र परिप्रेक्ष्य से इसमें कमियां हैं - यह अवक्रमण प्रदर्शित करता है - मूल्यों में से एक नकारात्मक है, हालांकि मूल श्रृंखला प्रत्येक जगह गैर-नकारात्मक है - और वलयन, जहां दाईं ओर अशून्य है, वह तरंगिका रूपांतरण के विपरीत है। दूसरी ओर, फूरियर सन्निकटन सही ढंग से एक शीर्ष दिखाता है, और सभी बिंदु उनके सही मान के $$1/4$$ के भीतर हैं, हालाँकि सभी बिंदुओं में त्रुटि है। इसके विपरीत, तरंगिका सन्निकटन, बाएं आधे भाग पर एक शीर्ष रखता है, लेकिन पहले बिंदु पर कोई शीर्ष नहीं होता है, और जबकि यह आधे मानों (स्थान को दर्शाते हुए) के लिए बिल्कुल सही है, इसमें अन्य मानों के लिए $$1/2$$ की त्रुटि है।

यह इन रूपांतरणों के बीच व्यापार-बंद के प्रकार को दर्शाता है, और विशेष रूप से क्षणिक प्रतिरूपण के लिए, जैसे कुछ स्थितियों में डीडब्ल्यूटी बेहतर व्यवहार प्रदान करता है।

रूपांतरण का एक स्तर
संकेत $$x$$ के डीडब्ल्यूटी की गणना निस्यंदक की एक श्रृंखला के माध्यम से पारित करके की जाती है। सबसे पहले प्रतिदर्श को आवेग प्रतिक्रिया $$g$$ के साथ एक निम्नपारक निस्यंदक के माध्यम से पारित किया जाता है जिसके परिणामस्वरूप दोनों का संविलियन होता है,


 * $$y[n] = (x * g)[n] = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty  {x[k] g[n - k]} $$

उच्च पारक निस्यंदक $$h$$ का उपयोग करके संकेत को एक साथ विघटित भी किया जाता है। निर्गम विवरण गुणांक (उच्च पारक निस्यंदक से) और सन्निकटन गुणांक (निम्न पारक से) देते हैं। यह महत्वपूर्ण है कि दोनों निस्यंदक एक-दूसरे से संबंधित हों और उन्हें चतुर्भुज दर्पण निस्यंदक के रूप में जाना जाता है।

हालाँकि, संकेत की आधी आवृत्तियों को अब हटा दिया गया है इसलिए आधे प्रतिदर्शो को नाइक्विस्ट के नियम के अनुसार खारिज किया जा सकता है। ऊपर दिए गए चित्र में निम्नपारक निस्यंदक $$g$$ के निस्यंदक निर्गत फिर 2 द्वारा उपप्रतिदर्श किया जाता है और इसे फिर से एक नए निम्नपारक निस्यंदक $$g$$ और एक उच्च-पारक निस्यंदक $$h$$ पिछली वाली अंतक आवृत्ति के साथ पारक करके संसाधित किया जाता है, अर्थात,


 * $$y_{\mathrm{low}} [n] = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty  {x[k] g[2 n - k]} $$
 * $$y_{\mathrm{high}} [n] = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty  {x[k] h[2 n - k]} $$

इस अपघटन ने समय वियोजन को आधा कर दिया है क्योंकि प्रत्येक निस्यंदक निर्गम का केवल आधा हिस्सा ही संकेत को दर्शाता है। हालाँकि, प्रत्येक निर्गम में निविष्ट की आधी आवृत्ति पट्ट होती है, इसलिए आवृत्ति वियोजन दोगुना कर दिया गया है।

उप प्रतिचयन संचालक $$\downarrow$$
 * $$(y \downarrow k)[n] = y[k n] $$

के साथ उपरोक्त सारांश को अधिक संक्षिप्त रूप से लिखा जा सकता है।


 * $$y_{\mathrm{low}} = (x*g)\downarrow 2 $$
 * $$y_{\mathrm{high}} = (x*h)\downarrow 2 $$

हालाँकि बाद में निम्न प्रतिदर्श के साथ पूर्ण संवलन $$x*g$$ की गणना करने से गणना का समय क्षय होगा।

उत्थापन योजना एक अनुकूलन है जहां ये दोनों गणनाएं आपस में जुड़ी हुई हैं।

सोपानन और निस्यंदक बैंक
इस अपघटन को आवृत्ति वियोजन को और बढ़ाने के लिए दोहराया जाता है और सन्निकटन गुणांक को उच्च और निम्न-पारक निस्यंदक के साथ विघटित किया जाता है और फिर निम्न-प्रतिदर्श किया जाता है। इसे एक द्वयी तरू के रूप में दर्शाया गया है जिसमें नोड्स एक अलग समय-आवृत्ति स्थानीयकरण के साथ उपसमष्‍टि का प्रतिनिधित्व करते हैं। इस तरू को निस्यंदक बैंक के नाम से जाना जाता है।

उपरोक्त आरेख में प्रत्येक स्तर पर संकेत निम्न और उच्च आवृत्तियों में विघटित हो जाता है। अपघटन प्रक्रिया के कारण निविष्ट संकेत $$2^n$$ का गुणज होना चाहिए जहां $$n$$ स्तरों की संख्या है।

उदाहरण के लिए 32 प्रतिदर्शो वाला एक संकेत, आवृत्ति श्रेणी 0 से $$f_n$$ और अपघटन के 3 स्तर, 4 निर्गम पैमाने उत्पन्न होते हैं,



मूल तरंगिका से संबंध
तरंगिकाओ के निस्यंदक बैंक कार्यान्वयन की व्याख्या किसी दिए गए मूल तरंगिका $$\psi(t)$$के लिए चाइल्ड तरंगिका के एक विविक्त समुच्चय के तरंगिका गुणांक की गणना के रूप में की जा सकती है। विविक्त तरंगिका रूपांतरण की स्थिति में, मूल तरंगिका को दो

$$ \psi_{j,k}(t)= \frac{1}{\sqrt{2^j}} \psi \left( \frac{t - k 2^j}{2^j} \right) $$

की शक्तियों द्वारा स्थानांतरित किया जाता है और मापा जाता है, जहां $$j$$ मापनी प्राचल है और $$k$$ स्थानान्तरण प्राचल है, तथा दोनों पूर्णांक हैं।

याद रखें कि संकेत $$x(t)$$ का तरंगिका गुणांक $$\gamma$$, तरंगिका पर $$x(t)$$ का प्रक्षेपण है, और मान लीजिये कि $$x(t)$$ लंबाई $$2^N$$का संकेत है। उपरोक्त असतत समूह में एक चाइल्ड तरंगिका की स्थिति में,

$$ \gamma_{jk} = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \frac{1}{\sqrt{2^j}} \psi \left( \frac{t - k 2^j}{2^j} \right) dt $$

अब एक विशेष पैमाने पर $$j$$ को ठीक करें, ताकि $$ \gamma_{jk} $$केवल $$k$$ का एक फलन हो। उपरोक्त समीकरण के आलोक में, $$\gamma_{jk}$$ को मूल तरंगिका

$$h(t) =  \frac{1}{\sqrt{2^j}} \psi \left( \frac{-t}{2^j} \right) $$ के विस्तारित, परावर्तित और सामान्यीकृत संस्करण के साथ  $$x(t)$$के संवलन के रूप में देखा जा सकता है, जिसका प्रतिदर्श $$1, 2^j, 2^{2j}, ..., 2^{N}$$बिंदुओं पर लिया गया है। लेकिन यह वही है जो विवरण गुणांक विविक्त तरंगिका रूपांतरण के स्तर $$j$$ पर देते हैं। इसलिए, $$h[n]$$ और $$g[n]$$ के उचित विकल्प के लिए, निस्यंदक बैंक का विवरण गुणांक किसी दिए गए मूल तरंगिका $$\psi(t)$$ के लिए चाइल्ड तरंगिकाओ के एक विविक्त समुच्चय के तरंगिका गुणांक से बिल्कुल अनुरूप होता है।

उदाहरण के तौर पर, विविक्त हार तरंगिका पर विचार करें, जिसकी मूल तरंगिका$$\psi = [1, -1]$$ है। फिर इस तरंगिका का विस्तारित, परावर्तित और सामान्यीकृत संस्करण $$h[n] = \frac{1}{\sqrt{2}} [-1, 1]$$ है, जो वास्तव में, विविक्त हार तरंगिका रूपांतरण के लिए उच्च पारक अपघटन निस्यंदक है।

काल जटिलता
द्रूत फूरियर रूपांतरण के लिए O(N लॉग N) की तुलना में, विविक्त तरंगिका रूपांतरण का निस्यंदक बैंक कार्यान्वयन कुछ स्थितियों में केवल O(N) लेता है।

ध्यान दें कि यदि $$g[n]$$ और $$h[n]$$ दोनों एक स्थिर लंबाई हैं (अर्थात उनकी लंबाई N से स्वतंत्र है), तो $$x * h$$ और $$x * g$$ प्रत्येक O(N) समय लेते है। तरंगिका निस्यंदकबैंक इन दो O(N) में से प्रत्येक को संवलन करता है, फिर संकेत को आकार N/2 की दो शाखाओं में विभाजित करता है। लेकिन यह केवल $$g[n]$$ से जुड़ी ऊपरी शाखा को पुनरावर्ती रूप से विभाजित करता है (जैसा कि एफएफटी के विपरीत है, जो ऊपरी शाखा और निचली शाखा दोनों को पुनरावर्ती रूप से विभाजित करता है)। यह निम्नलिखित पुनरावृत्ति संबंध की ओर ले जाता है


 * $$T(N) = 2N + T\left( \frac N 2 \right)$$

जो संपूर्ण संचालन के लिए O(N) समय की ओर ले जाता है, जैसा कि उपरोक्त संबंध के ज्यामितीय श्रृंखला विस्तार द्वारा दिखाया जा सकता है।

उदाहरण के तौर पर, विविक्त हार तरंगिका रूपांतरण रैखिक है, क्योंकि उस स्थिति में $$h[n]$$ और $$g[n]$$ स्थिर लंबाई 2 हैं।


 * $$h[n] = \left[\frac{-\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right] g[n] =  \left[\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$$

तरंगिकाओं का स्थान, O(N) सम्मिश्रता के साथ मिलकर, प्रत्याभुति देता है कि रूपांतरण की गणना ऑनलाइन (प्रवाही के आधार पर) की जा सकती है। यह गुण एफएफटी के बिल्कुल विपरीत है, जिसके लिए एक ही बार में पूरे संकेत तक अभिगम की आवश्यकता होती है। यह बहु-स्तरीय रूपांतरण और बहु-आयामी रूपांतरणों (जैसे, 2-डी डीडब्ल्यूटी) पर भी लागू होता है।

अन्य रूपांतरण
{\cal W^+} {\bf y} = {\cal W^+} f + {\cal W^+} {f ({\bf X} -1)}, $$ जहां बाद की अभिव्यक्ति में $$f$$ के योगदान के कारण विस्तार गुणांक $$ {\cal W^+} {f ({\bf X} -1)}$$ को सामान्य रूप से विरल नहीं माना जा सकता है। गुणक संरचना में, तरंगिका रूपांतरण इस प्रकार है जैसे कि $$ {\cal W^\times} {\bf y} = \left({\cal W^\times} f\right) \times \left({\cal W^\times} { {\bf X}}\right). $$। गुणक बीजगणित में तरंगिकाओं के इस 'अंतःस्थापन' में सामान्यीकृत गुणक सन्निकटन और विवरण संचालक साम्मिलित होते हैं, उदाहरण के लिए, हार तरंगिकाओं की स्थिति में, फिर सामान्यीकरण गुणांक $$\alpha$$ तक, $${\cal W^\times}$$ का उपयोग करने पर मानक $${\cal W^+}$$ सन्निकटन (अंकगणित माध्य) $$c_{k} = \alpha(y_{k} + y_{k-1})$$ और विवरण (अंकगणितीय अंतर) $$d_{k} = \alpha(y_{k} - y_{k-1})$$ क्रमशः ज्यामितीय माध्य सन्निकटन $$c_{k}^\ast = (y_{k} \times y_{k-1})^\alpha$$ और ज्यामितीय अंतर (विवरण) $$d_{k}^\ast = \left(\frac{y_{k}}{y_{k-1}}\right)^\alpha$$ बन जाते हैं।
 * सुवाह्य नेटवर्क आलेखिकी (पीएनजी) प्रारूप में अन्तर्ग्रथन के लिए उपयोग किया जाने वाला एडम7 कलन विधि, डेटा का एक बहु पैमाना प्रारूप है जो हार तरंगिकाओ के साथ डीडब्ल्यूटी के समान है। डीडब्ल्यूटी के विपरीत, इसका एक विशिष्ट पैमाना है -कि यह 8×8 ब्लॉक से शुरू होता है, और यह प्रतिबिम्ब को नष्ट करने (निम्न पारक निस्यंदक, फिर निम्न प्रतिदर्श) के बजाय निम्न प्रतिदर्श करता है। इस प्रकार यह सरल कार्यान्वयन के बदले में प्रारंभिक चरण में कलाकृतियों (पिक्सेलेशन) को दिखाते हुए अनुपयुक्त आवृत्ति व्यवहार प्रदान करता है।
 * गुणात्मक (या ज्यामितीय) विविक्त तरंगिका रूपांतरण एक प्रकार है जो अवलोकन प्रारूप $${\bf y} = f { {\bf X} }$$ पर लागू होता है जिसमें $$\mathbb{E} X = 1$$ के साथ एक सकारात्मक नियमित फलन $$f$$ और एक गुणात्मक स्वतंत्र सकारात्मक रव $$X$$, की पारस्परिक क्रिया सम्मिलित होती है। निरूपित $${\cal W}$$, एक तरंगिका रूपांतरण है। $$f { {\bf X} } = f + {f ({\bf X} -1)}$$ के बाद से, मानक (योज्य) विविक्त तरंगिका रूपांतरण $${\cal W^+}$$ इस प्रकार है कि $$

कोड उदाहरण
अपने सरलतम रूप में, डीडब्ल्यूटी की गणना करना उल्लेखनीय रूप से आसान है।

जावा में हार तरंगिका, हार, ड्यूबेचिस, कोइफ़लेट और लीजेंड्रे तरंगिकाओ का उपयोग करके 1-D और 2-D डीडब्ल्यूटी के लिए पूरा जावा कोड विवृत स्रोत परियोजना जेवेव से उपलब्ध है। इसके अतिरिक्त, जेपीईजी 2000 प्रतिबिम्ब संपीड़न मानक में प्रयुक्त C में विविक्त बायोरथोगोनल सीडीएफ 9/7 तरंगिका रूपांतरण का तेजी से उठाने वाला कार्यान्वयन यहां पाया जा सकता है (5 मार्च 2012 को संग्रहीत)।

उपरोक्त कोड का उदाहरण
यह आंकड़ा ध्वनि तरंग पर हार तरंगिका गुणांक की गणना करने के लिए उपरोक्त कोड को लागू करने का एक उदाहरण दिखाता है। यह उदाहरण तरंगिका रूपांतरण के दो प्रमुख गुणों पर प्रकाश डालता है,


 * प्राकृतिक संकेतों में प्रायः कुछ हद तक सहजता होती है, जो उन्हें तरंगिका क्षेत्र में विरल बना देती है। इस उदाहरण में तरंगिका प्रक्षेत्र में समय प्रक्षेत्र की तुलना में बहुत कम महत्वपूर्ण घटक हैं, और अधिकांश महत्वपूर्ण घटक बाईं ओर मोटे गुणांक की ओर हैं। इसलिए, प्राकृतिक संकेत तरंगिका प्रक्षेत्र में संपीड़ित होते हैं।
 * तरंगिका रूपांतरण एक संकेत का बहुवियोजन, बैंड पारक प्रतिनिधित्व है। इसे इस आलेख में दी गई विविक्त तरंगिका रूपांतरण की निस्यंदकबैंक परिभाषा से सीधे देखा जा सकता है। लंबाई $$2^N$$ के संकेत के लिए, श्रेणी में गुणांक $$[2^{N-j}, 2^{N-j+1}]$$ मूल संकेत के एक संस्करण का प्रतिनिधित्व करते हैं जो पारक बैंड$$ \left[ \frac{\pi}{2^j}, \frac{\pi}{2^{j-1}} \right]$$में है। यही कारण है कि तरंगिका गुणांक की इन श्रेणियों पर ज़ूम करने पर मूल संकेत की संरचना समान दिखती है। जो श्रेणियाँ बाईं ओर के करीब है (उपरोक्त संकेतन में बड़ी $$j$$), वह संकेत का मोटा प्रतिनिधित्व करती हैं, जबकि दाईं ओर की श्रेणियां बारीक विवरण दर्शाती हैं।

यह भी देखें

 * विविक्त कोसाइन रूपांतरण (डीसीटी)
 * तरंगिका
 * तरंगिका रूपांतरण
 * तरंगिका संपीड़न
 * तरंगिका-संबंधित रूपांतरणों की सूची

बाहरी संबंध

 * Stanford's WaveLab in matlab
 * libdwt, a cross-platform डीडब्ल्यूटी library written in C
 * Concise Introduction से Wavelets by René Puschinger

Wavelet-Transformation Ondelette