विशिष्ट ताप क्षमता

ऊष्मप्रवैगिकी में, विशिष्ट ताप क्षमता (प्रतीक $c$) किसी पदार्थ के नमूने के द्रव्यमान द्वारा विभाजित पदार्थ के नमूने की ताप क्षमता है, जिसे कभी-कभी सामूहिक ताप क्षमता भी कहा जाता है। अनौपचारिक रूप से, यह ऊष्मा की वह मात्रा है जिसे किसी पदार्थ के द्रव्यमान की एक इकाई में जोड़ा जाना चाहिए ताकि तापमान में एक इकाई की वृद्धि हो सके। विशिष्ट ताप क्षमता की इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली जूल प्रति केल्विन प्रति किलोग्राम, J⋅kg है−1⋅K-1. उदाहरण के लिए, तापमान बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा $1 kg$ पानी द्वारा $1 K$ है $4,184 joules$, इसलिए पानी की विशिष्ट ऊष्मा क्षमता है $4,184 J⋅kg^{−1}⋅K^{−1}$. विशिष्ट ताप क्षमता अक्सर तापमान के साथ बदलती रहती है, और पदार्थ की प्रत्येक अवस्था के लिए भिन्न होती है। तरल पानी में सामान्य पदार्थों के बीच सबसे अधिक विशिष्ट ऊष्मा क्षमता होती है $4,184 J⋅kg^{−1}⋅K^{−1}$ 20 डिग्री सेल्सियस पर; लेकिन बर्फ का तापमान, 0°C से ठीक नीचे, केवल होता है $2,093 J⋅kg^{−1}⋅K^{−1}$. लोहा, ग्रेनाइट, और हाइड्रोजन गैस की विशिष्ट ताप क्षमता लगभग 449 J⋅kg है−1⋅K−1, 790 J⋅किग्रा−1⋅K−1, और 14300 J⋅kg−1⋅K-1, क्रमशः। जबकि पदार्थ एक चरण संक्रमण से गुजर रहा है, जैसे कि पिघलना या उबलना, इसकी विशिष्ट ताप क्षमता तकनीकी रूप से अपरिभाषित है, क्योंकि ताप अपना तापमान बढ़ाने के बजाय अपनी स्थिति को बदलने में चला जाता है।

किसी पदार्थ की विशिष्ट ताप क्षमता, विशेष रूप से एक गैस, जब विस्तार करने की अनुमति दी जाती है तो यह काफी अधिक हो सकती है क्योंकि इसे गर्म किया जाता है (स्थिर दबाव पर विशिष्ट ताप क्षमता) जब इसे एक बंद बर्तन में गर्म किया जाता है जो विस्तार को रोकता है (विशिष्ट ताप क्षमता) स्थिर मात्रा में)। इन दो मूल्यों को आमतौर पर द्वारा निरूपित किया जाता है $$c_p$$ और $$c_V$$, क्रमश; उनका भागफल $$\gamma = c_p/c_V$$ताप क्षमता अनुपात है।

विशिष्ट ताप शब्द किसी दिए गए तापमान पर किसी पदार्थ की विशिष्ट ताप क्षमता और संदर्भ तापमान पर किसी संदर्भ पदार्थ के बीच के अनुपात को भी संदर्भित कर सकता है, जैसे कि 15 डिग्री सेल्सियस पर पानी; विशिष्ट गुरुत्व के फैशन में ज्यादा। विशिष्ट ताप क्षमता अन्य भाजक के साथ ताप क्षमता के अन्य गहन उपायों से भी संबंधित है। यदि पदार्थ की मात्रा को तिल (इकाई) की संख्या के रूप में मापा जाता है, तो इसके बजाय मोलर ताप क्षमता प्राप्त होती है, जिसका SI मात्रक जूल प्रति केल्विन प्रति मोल, J⋅mol है−1⋅K-1. यदि राशि को नमूने की मात्रा के रूप में लिया जाता है (जैसा कि कभी-कभी इंजीनियरिंग में किया जाता है), तो एक को वॉल्यूमेट्रिक ताप क्षमता प्राप्त होती है, जिसका SI मात्रक जूल प्रति केल्विन प्रति घन मीटर, J⋅m है−3⋅K-1.

अवधारणा का उपयोग करने वाले पहले वैज्ञानिकों में से एक जोसेफ ब्लैक, 18 वीं शताब्दी के मेडिकल डॉक्टर और ग्लासगो विश्वविद्यालय में मेडिसिन के प्रोफेसर थे। उन्होंने गर्मी के लिए शब्द क्षमता का उपयोग करते हुए, कई पदार्थों की विशिष्ट ताप क्षमता को मापा।

परिभाषा
किसी पदार्थ की विशिष्ट ऊष्मा क्षमता, जिसे आमतौर पर निरूपित किया जाता है $$c$$ या $s$, ताप क्षमता है $$C$$ द्रव्यमान द्वारा विभाजित पदार्थ का एक नमूना $$M$$ नमूने का:
 * $$c = \frac{C}{M} = \frac{1}{M} \cdot \frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} T}$$

कहाँ $$\mathrm{d} Q$$ एक छोटे से वेतन वृद्धि द्वारा नमूने के तापमान को समान रूप से बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा की मात्रा को व्युत्पन्न करें $$\mathrm{d} T$$.

किसी वस्तु की ताप क्षमता की तरह, किसी पदार्थ की विशिष्ट ऊष्मा क्षमता भिन्न हो सकती है, कभी-कभी प्रारंभिक तापमान के आधार पर काफी हद तक $$T$$ नमूना और दबाव $$p$$ उस पर आवेदन किया। इसलिए, इसे एक कार्य माना जाना चाहिए $$c(p,T)$$ उन दो चरों में से।

किसी पदार्थ की विशिष्ट ताप क्षमता देते समय ये पैरामीटर आमतौर पर निर्दिष्ट होते हैं। उदाहरण के लिए, पानी (तरल): $$c_p$$ = 4187 J⋅kg−1⋅K-1 (15°C) निर्दिष्ट नहीं होने पर, विशिष्ट ताप क्षमता के प्रकाशित मूल्य $$c$$ आमतौर पर तापमान और दबाव के लिए कुछ मानक स्थितियों के लिए मान्य होते हैं।

हालाँकि, की निर्भरता $$c$$ प्रारंभिक तापमान और दबाव को अक्सर व्यावहारिक संदर्भों में अनदेखा किया जा सकता है, उदा। उन चरों की संकीर्ण श्रेणियों में काम करते समय। उन संदर्भों में आमतौर पर क्वालीफायर को छोड़ दिया जाता है $$(p,T)$$, और एक स्थिर द्वारा विशिष्ट ताप क्षमता का अनुमान लगाता है $$c$$ उन श्रेणियों के लिए उपयुक्त।

विशिष्ट ताप क्षमता पदार्थ की एक गहन संपत्ति है, एक आंतरिक विशेषता है जो विचाराधीन राशि के आकार या आकार पर निर्भर नहीं करती है। (एक व्यापक संपत्ति के सामने विशिष्ट क्वालीफायर अक्सर इससे प्राप्त एक गहन संपत्ति को इंगित करता है। )

विविधताएं
किसी पदार्थ में उष्मा ऊर्जा का अंतःक्षेपण, इसके तापमान को बढ़ाने के अलावा, आमतौर पर इसकी मात्रा और/या इसके दबाव में वृद्धि का कारण बनता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि नमूना कैसे सीमित है। उत्तरार्द्ध के बारे में की गई पसंद मापी गई विशिष्ट ताप क्षमता को प्रभावित करती है, यहां तक ​​​​कि समान शुरुआती दबाव के लिए भी $$p$$ और शुरुआती तापमान $$T$$. दो विशेष विकल्प व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं:


 * यदि दबाव स्थिर रखा जाता है (उदाहरण के लिए, परिवेशी वायुमंडलीय दबाव पर), और नमूने को विस्तार करने की अनुमति दी जाती है, तो विस्तार कार्य (थर्मोडायनामिक्स) उत्पन्न करता है क्योंकि दबाव से बल बाड़े या आसपास के द्रव को विस्थापित करता है। वह काम प्रदान की गई ऊष्मा ऊर्जा से आना चाहिए। इस प्रकार प्राप्त विशिष्ट ताप क्षमता को निरंतर दबाव (या आइसोबैरिक) पर मापा जाता है, और इसे अक्सर निरूपित किया जाता है $c_{p}$, $c_{\mathrm{p}}$,|undefined वगैरह।
 * दूसरी ओर, यदि विस्तार को रोका जाता है - उदाहरण के लिए एक पर्याप्त रूप से कठोर बाड़े द्वारा, या आंतरिक एक का प्रतिकार करने के लिए बाहरी दबाव बढ़ाकर - कोई कार्य उत्पन्न नहीं होता है, और इसमें जाने वाली ऊष्मा ऊर्जा को इसके बजाय योगदान देना चाहिए नमूने की आंतरिक ऊर्जा के लिए, इसके तापमान को अतिरिक्त मात्रा में बढ़ाने सहित। इस तरह से प्राप्त विशिष्ट ताप क्षमता को स्थिर आयतन (या आइसोकोरिक) पर मापा जाता है और निरूपित किया जाता है $c_{V}$, $c_{v}$, $c_{\mathrm{v}}$,|undefined वगैरह।

का मान है $$c_{V}$$ के मान से प्रायः कम होता है $$c_p$$. यह अंतर गैसों में विशेष रूप से उल्लेखनीय है जहां निरंतर दबाव के तहत मूल्य स्थिर मात्रा में 30% से 66.7% अधिक होता है। इसलिए गैसों का ताप क्षमता अनुपात आमतौर पर 1.3 और 1.67 के बीच होता है।

प्रयोज्यता
विशिष्ट ताप क्षमता को काफी सामान्य संरचना और आणविक संरचना के गैसों, तरल और ठोस के लिए परिभाषित और मापा जा सकता है। यदि पर्याप्त रूप से बड़े पैमाने पर विचार किया जाए तो इनमें गैस मिश्रण, समाधान और मिश्र धातु, या विषम सामग्री जैसे दूध, रेत, ग्रेनाइट और कंक्रीट शामिल हैं।

विशिष्ट ताप क्षमता को उन सामग्रियों के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है जो स्थिति या संरचना को तापमान और दबाव में परिवर्तन के रूप में बदलते हैं, जब तक परिवर्तन प्रतिवर्ती और क्रमिक होते हैं। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, अवधारणाओं को एक गैस या तरल के लिए परिभाषित किया जा सकता है जो तापमान बढ़ने पर अलग हो जाता है, जब तक कि पृथक्करण के उत्पाद तुरंत और पूरी तरह से पुन: संयोजित हो जाते हैं जब यह गिरता है।

विशिष्ट ताप क्षमता अर्थपूर्ण नहीं है यदि पदार्थ अपरिवर्तनीय रासायनिक परिवर्तनों से गुजरता है, या यदि कोई चरण संक्रमण होता है, जैसे पिघलने या उबलते हुए, माप द्वारा फैले तापमान की सीमा के भीतर तेज तापमान पर।

नाप
किसी पदार्थ की विशिष्ट ऊष्मा क्षमता आमतौर पर परिभाषा के अनुसार निर्धारित की जाती है; अर्थात्, आमतौर पर एक कैलोरीमीटर के साथ पदार्थ के नमूने की ताप क्षमता को मापकर, और नमूने के द्रव्यमान से विभाजित करके। किसी पदार्थ की ऊष्मा क्षमता का अनुमान लगाने के लिए कई तकनीकों को लागू किया जा सकता है, जैसे कि तेज़ अंतर स्कैनिंग कैलोरीमेट्री।

एक कठोर कंटेनर में नमूना संलग्न करके, गैसों की विशिष्ट ताप क्षमता को निरंतर मात्रा में मापा जा सकता है। दूसरी ओर, स्थिर आयतन पर विशिष्ट ऊष्मा क्षमता को मापना तरल और ठोस पदार्थों के लिए निषेधात्मक रूप से कठिन हो सकता है, क्योंकि तापमान में मामूली वृद्धि के कारण होने वाले विस्तार को रोकने के लिए अक्सर अव्यावहारिक दबावों की आवश्यकता होती है। इसके बजाय, सामान्य अभ्यास निरंतर दबाव पर विशिष्ट ताप क्षमता को मापना है (सामग्री को अपनी इच्छा के अनुसार विस्तार या अनुबंध करने की अनुमति देना), थर्मल विस्तार के गुणांक और सामग्री के थोक मापांक को अलग से निर्धारित करना और विशिष्ट ताप क्षमता की गणना करना ऊष्मप्रवैगिकी के नियमों के अनुसार इन आंकड़ों से निरंतर आयतन। <!-- चेक और मर्ज करें:

अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली
विशिष्ट ताप क्षमता के लिए SI इकाई जूल प्रति केल्विन प्रति किलोग्राम है $J⁄kg⋅K$, J⋅K−1⋅किग्रा-1. चूँकि एक सेल्सियस पैमाने के तापमान में वृद्धि एक केल्विन की वृद्धि के समान है, जो जूल प्रति डिग्री सेल्सियस प्रति किलोग्राम के समान है: J/(kg⋅°C)। कभी-कभी द्रव्यमान की इकाई के लिए किलोग्राम के बजाय चने का उपयोग किया जाता है: 1J⋅g−1⋅K−1 = 1000 J⋅kg−1⋅K-1.

किसी पदार्थ की विशिष्ट ऊष्मा क्षमता (द्रव्यमान की प्रति इकाई) का विमीय विश्लेषण L होता है2⋅Θ−1⋅T−2, या (L/T)2/Θ. इसलिए, SI इकाई J⋅kg−1⋅K-1 मीटर वर्ग प्रति दूसरा  वर्ग प्रति केल्विन (m2⋅के−1⋅s-2).

इंपीरियल इंजीनियरिंग इकाइयां
निर्माण, असैनिक अभियंत्रण, केमिकल इंजीनियरिंग, और अन्य तकनीकी विषयों के पेशेवर, विशेष रूप से संयुक्त राज्य अमेरिका में, पाउंड (द्रव्यमान) (lb = 0.45359237 किग्रा) सहित अंग्रेजी इंजीनियरिंग इकाइयों का उपयोग द्रव्यमान की इकाई के रूप में, फ़ारेनहाइट या रैंकिन स्केल ( डिग्री आर = $5⁄9$ K, लगभग 0.555556 K) तापमान वृद्धि की इकाई के रूप में, और ब्रिटिश थर्मल यूनिट (BTU ≈ 1055.056 J), ऊष्मा की इकाई के रूप में।

उन संदर्भों में, विशिष्ट ताप क्षमता की इकाई BTU/lb⋅°R, या 1 है $BTU⁄lb⋅°R$ = 4186.68$J⁄kg⋅K$. मूल रूप से BTU को परिभाषित किया गया था ताकि पानी की औसत विशिष्ट ताप क्षमता 1 BTU/lb⋅°F हो। कैलोरी के मूल्य की समानता पर ध्यान दें - 4187 J/kg⋅°C ≈ 4184 J/kg⋅°C (~.07%) - क्योंकि वे अनिवार्य रूप से समान ऊर्जा को माप रहे हैं, पानी को आधार संदर्भ के रूप में उपयोग करके, स्केल किया गया उनके सिस्टम के संबंधित lbs और °F, या kg और °C।

कैलोरी
रसायन विज्ञान में, ऊष्मा की मात्रा को अक्सर कैलोरी में मापा जाता था। भ्रामक रूप से, उस नाम की दो इकाइयाँ, जिन्हें cal या Cal कहा जाता है, का उपयोग आमतौर पर ऊष्मा की मात्रा को मापने के लिए किया जाता है: हालांकि इन इकाइयों का अभी भी कुछ संदर्भों में उपयोग किया जाता है (जैसे कि पोषण में किलोग्राम कैलोरी), अब तकनीकी और वैज्ञानिक क्षेत्रों में उनके उपयोग को हटा दिया गया है। जब इन इकाइयों में ऊष्मा को मापा जाता है, तो विशिष्ट ताप क्षमता की इकाई आमतौर पर होती है
 * छोटी कैलोरी (या ग्राम-कैलोरी, कैलोरी) 4.184 जे है, बिल्कुल। इसे मूल रूप से परिभाषित किया गया था ताकि तरल पानी की विशिष्ट ताप क्षमता 1 कैलोरी/डिग्री सेल्सियस⋅g हो।
 * ग्रैंड कैलोरी (भी किलोकैलोरी, किलोग्राम-कैलोरी, या भोजन कैलोरी; किलो कैलोरी या कैलोरी) 1000 छोटी कैलोरी है, यानी 4184 जे, बिल्कुल। इसे इस तरह परिभाषित किया गया था कि पानी की विशिष्ट ताप क्षमता 1 Cal/°C⋅kg होगी।
 * 1$BTU⁄lb⋅°R$ (छोटी कैलोरी) = 1$J⁄BTU$ = 1 $1⁄0.45359237$ (बड़ी कैलोरी) = 4184$lb⁄kg$ = 4.184 $9⁄5$.

ध्यान दें कि जबकि कैल है$°R⁄K$ कैलोरी या किलो कैलोरी का, यह किलोग्राम के बजाय प्रति ग्राम'' भी है: एर्गो, किसी भी इकाई में, पानी की विशिष्ट ताप क्षमता लगभग 1 होती है।

भौतिक आधार
किसी पदार्थ के नमूने का तापमान उसके द्रव्यमान के केंद्र के सापेक्ष उसके घटक कणों (परमाणुओं या अणुओं) की औसत गतिज ऊर्जा को दर्शाता है। हालांकि, किसी पदार्थ के नमूने को प्रदान की गई सभी ऊर्जा उसके तापमान को बढ़ाने में नहीं जाएगी, जिसका उदाहरण समविभाजन प्रमेय के माध्यम से दिया गया है।

मोनोएटोमिक गैसें
क्वांटम यांत्रिकी भविष्यवाणी करती है कि, कमरे के तापमान और सामान्य दबावों पर, गैस में एक पृथक परमाणु गतिज ऊर्जा के रूप में ऊर्जा की किसी भी महत्वपूर्ण मात्रा को संग्रहीत नहीं कर सकता है। इस प्रकार, मोलर ताप क्षमता सभी एकपरमाणुक गैसों (जैसे उत्कृष्ट गैसों) के लिए समान होती है। ज्यादा ठीक, $$c_{V,\mathrm{m}} = 3R/2 \approx \mathrm{12.5 \, J \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}}$$ और $$c_{P,\mathrm{m}} = 5R/2 \approx \mathrm{21 \, J \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}}$$, कहाँ $$R \approx \mathrm{8.31446 \, J \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}}$$ आदर्श गैस स्थिरांक है (जो कि केल्विन सूक्ष्म ऊर्जा इकाई से मैक्रोस्कोपिक ऊर्जा इकाई जूल और अवोगाद्रो संख्या तक बोल्ट्जमान स्थिरांक का गुणनफल है)।

इसलिए, एक मोनोएटोमिक गैस की विशिष्ट ताप क्षमता (द्रव्यमान की प्रति इकाई, प्रति मोल नहीं) इसके (एडिमेंशनल) परमाणु भार के व्युत्क्रमानुपाती होगी $$A$$. यानी लगभग,
 * $$c_V \approx \mathrm{12470 \, J \cdot K^{-1} \cdot kg^{-1}}/A \quad\quad\quad c_p \approx \mathrm{20785 \, J \cdot K^{-1} \cdot kg^{-1}}/A$$

नोबल गैसों के लिए, हीलियम से जेनॉन तक, ये परिकलित मान हैं

बहुपरमाणुक गैसें
दूसरी ओर, एक पॉलीएटोमिक गैस अणु (दो या दो से अधिक परमाणु एक साथ बंधे होते हैं) अपनी गतिज ऊर्जा के अलावा अन्य रूपों में ऊष्मा ऊर्जा को संग्रहीत कर सकते हैं। इन रूपों में अणु का घूर्णन, और इसके द्रव्यमान के केंद्र के सापेक्ष परमाणुओं का कंपन शामिल है।

स्वतंत्रता की ये अतिरिक्त डिग्री (भौतिकी और रसायन विज्ञान) या मोड पदार्थ की विशिष्ट ताप क्षमता में योगदान करते हैं। अर्थात्, जब ऊष्मा ऊर्जा को बहुपरमाणुक अणुओं वाली गैस में इंजेक्ट किया जाता है, तो इसका केवल एक हिस्सा उनकी गतिज ऊर्जा को बढ़ाने में जाएगा, और इसलिए तापमान; बाकी स्वतंत्रता की उन अन्य कोटि में जाएंगे। तापमान में समान वृद्धि को प्राप्त करने के लिए, उस पदार्थ के एक मोल को एक मोनोएटोमिक गैस के एक मोल की तुलना में अधिक ऊष्मा ऊर्जा प्रदान करनी होगी। इसलिए, एक बहुपरमाणुक गैस की विशिष्ट ऊष्मा क्षमता न केवल उसके आणविक द्रव्यमान पर निर्भर करती है, बल्कि अणुओं की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या पर भी निर्भर करती है। क्वांटम यांत्रिकी आगे कहती है कि प्रत्येक घूर्णी या कंपन मोड केवल निश्चित असतत मात्रा (क्वांटा) में ऊर्जा ले या खो सकता है। तापमान के आधार पर, स्वतंत्रता की कुछ डिग्री को सक्रिय करने के लिए आवश्यक क्वांटा की तुलना में प्रति अणु औसत ताप ऊर्जा बहुत कम हो सकती है। कहा जाता है कि वे तरीके जमे हुए हैं। उस स्थिति में, पदार्थ की विशिष्ट ऊष्मा क्षमता तापमान के साथ बढ़ने वाली है, कभी-कभी चरणबद्ध तरीके से, क्योंकि अधिक मोड अनफ्रोजेन हो जाते हैं और इनपुट ऊष्मा ऊर्जा के हिस्से को अवशोषित करना शुरू कर देते हैं।

उदाहरण के लिए, नाइट्रोजन की दाढ़ ताप क्षमता स्थिर आयतन पर है $$c_{V,\mathrm{m}} = \mathrm{20.6 \, J \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}}$$ (15 डिग्री सेल्सियस, 1 एटीएम पर), जो है $$2.49 R$$. यदि प्रत्येक अणु में स्वतंत्रता की 5 डिग्री होती है, तो यह सिद्धांत से अपेक्षित मूल्य है। ये अणु के वेग सदिश की तीन डिग्री, द्रव्यमान के केंद्र के माध्यम से एक धुरी के बारे में दो डिग्री और दो परमाणुओं की रेखा के लंबवत हो जाते हैं। स्वतंत्रता की उन दो अतिरिक्त डिग्री के कारण, विशिष्ट ताप क्षमता $$c_V$$ का (736 J⋅K−1⋅किग्रा−1) समान आणविक द्रव्यमान 28 (445 J⋅K) वाली काल्पनिक एकपरमाणुक गैस से अधिक है−1⋅किग्रा-1), के कारक द्वारा $J⁄kg⋅K$.

नाइट्रोजन की विशिष्ट ताप क्षमता के लिए यह मान व्यावहारिक रूप से -150 डिग्री सेल्सियस से नीचे लगभग 300 डिग्री सेल्सियस तक स्थिर है। उस तापमान सीमा में, बंधन को खींचने और संपीड़ित करने वाले परमाणुओं के कंपन के अनुरूप स्वतंत्रता की दो अतिरिक्त डिग्री अभी भी जमी हुई हैं। उस तापमान पर, वे मोड अन-फ्रीज होने लगते हैं, और परिणामस्वरूप $$c_V$$ पहले तेजी से बढ़ना शुरू होता है, फिर धीमा हो जाता है क्योंकि यह दूसरे स्थिर मान की ओर जाता है। यह 35.5 J⋅K है-1⋅mol-1 1500 °C पर, 36.9 2500 °C पर, और 37.5 3500 °C पर। अंतिम मान प्रति अणु स्वतंत्रता के 7 डिग्री के अनुमानित मूल्य के लगभग सटीक रूप से मेल खाता है।

विशिष्ट ताप क्षमता के बीच संबंध
मौलिक उष्मागतिक संबंध से शुरू करके कोई दिखा सकता है,
 * $$ c_p - c_v = \frac{\alpha^2 T}{\rho \beta_T} $$

कहाँ, लेख में एक व्युत्पत्ति पर चर्चा की गई है विशिष्ट हीट के बीच संबंध।
 * $$ \alpha $$ थर्मल विस्तार का गुणांक है,
 * $$ \beta_T $$ इज़ोटेर्माल संपीड्यता है, और
 * $$ \rho $$ घनत्व है।

एक आदर्श गैस के लिए, यदि $$\rho$$ उपरोक्त समीकरण में मोल (रसायन विज्ञान) घनत्व के रूप में व्यक्त किया जाता है, यह समीकरण केवल जूलियस रॉबर्ट वॉन मेयर के संबंध में कम हो जाता है,
 * $$ C_{p,m} - C_{v,m} = R \!$$

कहाँ $$ C_{p,m} $$ और $$ C_{v,m} $$ क्रमशः दबाव और स्थिर आयतन पर प्रति मोल के आधार पर व्यक्त की जाने वाली गहन संपत्ति ताप क्षमता है।

विशिष्ट ताप क्षमता
प्रति द्रव्यमान के आधार पर किसी पदार्थ की विशिष्ट ऊष्मा क्षमता होती है


 * $$c={\partial C \over \partial m},$$

जो चरण संक्रमण की अनुपस्थिति में बराबर है


 * $$c=E_ m={C \over m} = {C \over {\rho V}},$$

कहाँ
 * $$C$$ प्रश्न में सामग्री से बने शरीर की ताप क्षमता है,
 * $$m$$ शरीर का द्रव्यमान है,
 * $$V$$ शरीर का आयतन है, और
 * $$\rho = \frac{m}{V}$$ सामग्री का घनत्व है।

गैसों के लिए, और उच्च दबाव के तहत अन्य सामग्रियों के लिए, विचाराधीन प्रक्रियाओं के लिए विभिन्न सीमा स्थितियों के बीच अंतर करने की आवश्यकता है (चूंकि मूल्य अलग-अलग स्थितियों के बीच महत्वपूर्ण रूप से भिन्न होते हैं)। विशिष्ट प्रक्रियाएँ जिनके लिए ऊष्मा क्षमता को परिभाषित किया जा सकता है, उनमें शामिल हैं आइसोबैरिक प्रक्रिया (निरंतर दबाव, $$dp = 0$$) या आइसोकोरिक प्रक्रिया (स्थिर आयतन, $$dV = 0$$) प्रक्रियाएं। इसी विशिष्ट ताप क्षमता को व्यक्त किया जाता है


 * $$c_p = \left(\frac{\partial C}{\partial m}\right)_p,$$
 * $$c_V = \left(\frac{\partial C}{\partial m}\right)_V.$$

से संबंधित पैरामीटर $$c$$ है $$CV^{-1}$$, वॉल्यूमेट्रिक ताप क्षमता। इंजीनियरिंग अभ्यास में, $$c_V$$ ठोस या तरल पदार्थ के लिए अक्सर एक स्थिर-आयतन के बजाय एक बड़ा ताप क्षमता का प्रतीक होता है। ऐसे मामलों में, द्रव्यमान-विशिष्ट ताप क्षमता अक्सर सबस्क्रिप्ट के साथ स्पष्ट रूप से लिखी जाती है $$m$$, जैसा $$c_m$$. बेशक, उपरोक्त संबंधों से, ठोस के लिए कोई लिखता है


 * $$ c_m = \frac{C}{m} = \frac{c_V}{\rho}. $$

स्थापित आणविक द्रव्यमान या एक तिल (रसायन विज्ञान) के साथ शुद्ध सजातीय रासायनिक यौगिकों के लिए, एक गहन संपत्ति के रूप में ताप क्षमता को प्रति द्रव्यमान के आधार पर प्रति द्रव्यमान के आधार पर निम्नलिखित समीकरणों के अनुरूप प्रति द्रव्यमान के आधार पर व्यक्त किया जा सकता है। समीकरण:


 * $$C_{p,m} = \left(\frac{\partial C}{\partial n}\right)_p = \text{molar heat capacity at constant pressure}$$
 * $$C_{V,m} = \left(\frac{\partial C}{\partial n}\right)_V = \text{molar heat capacity at constant volume}$$

जहाँ n = शरीर या थर्मोडायनामिक प्रणाली में मोल्स की संख्या। प्रति द्रव्यमान के आधार पर विशिष्ट ताप क्षमता से इसे अलग करने के लिए मोलर ताप क्षमता के रूप में ऐसी प्रति मोल मात्रा का उल्लेख किया जा सकता है।

बहुउष्णकटिबंधीय ताप क्षमता
यदि सभी थर्मोडायनामिक गुण (दबाव, आयतन, तापमान) बदलते हैं, तो पॉलीट्रोपिक ताप क्षमता की गणना प्रक्रियाओं में की जाती है


 * $$C_{i,m} = \left(\frac{\partial C}{\partial n}\right) = \text{molar heat capacity at polytropic process}$$

एडियाबेटिक और इज़ोटेर्म फ़ंक्शंस के बीच चलने वाली सबसे महत्वपूर्ण पॉलीट्रोपिक प्रक्रियाएं, पॉलीट्रोपिक इंडेक्स 1 और एडियाबेटिक एक्सपोनेंट (γ या κ) के बीच है।

आयाम रहित ताप क्षमता
किसी पदार्थ की आयाम रहित संख्या ऊष्मा क्षमता होती है
 * $$C^*={C \over nR} = {C \over {N k_\text{B}}}$$

कहाँ
 * सी प्रश्न में सामग्री से बने शरीर की गर्मी क्षमता है (जे/के)
 * एन शरीर में पदार्थ की मात्रा है (तिल (इकाई))
 * R गैस स्थिरांक है (J⋅K-1⋅mol−1)
 * एन शरीर में अणुओं की संख्या है। (आयाम रहित)
 * कB बोल्ट्जमैन स्थिरांक है (J⋅K−1)

फिर से, SI इकाइयाँ उदाहरण के लिए दिखाई गई हैं।

पहले आयाम की मात्राओं के बारे में और पढ़ें बीआईपीएम में

आदर्श गैस लेख में, आयामहीन ताप क्षमता $$ C^* $$ रूप में अभिव्यक्त किया जाता है $$ \hat c $$.

पूर्ण शून्य पर ताप क्षमता
एंट्रॉपी की परिभाषा से#एंट्रॉपी की थर्मोडायनामिक परिभाषा


 * $$TdS=\delta Q$$

पूर्ण एन्ट्रॉपी की गणना शून्य केल्विन तापमान से अंतिम तापमान टी तक एकीकरण द्वारा की जा सकती हैf:$$S(T_f)=\int_{T=0}^{T_f} \frac{\delta Q}{T} =\int_0^{T_f} \frac{\delta Q}{dT}\frac{dT}{T} =\int_0^{T_f} C(T)\,\frac{dT}{T}.$$ उपरोक्त इंटीग्रल के लिए शून्य तापमान पर ताप क्षमता शून्य होनी चाहिए ताकि एक अनंत निरपेक्ष एन्ट्रापी न मिले, इस प्रकार ऊष्मप्रवैगिकी के तीसरे नियम का उल्लंघन होता है। डेबी मॉडल की ताकत में से एक यह है कि (पूर्व आइंस्टीन मॉडल के विपरीत) यह शून्य की ओर ताप क्षमता के दृष्टिकोण के उचित गणितीय रूप की भविष्यवाणी करता है, क्योंकि पूर्ण शून्य तापमान निकट आता है।

ठोस चरण
उच्च तापमान पर बड़े और बड़े बहु-परमाणु गैसों के लिए सैद्धांतिक अधिकतम ताप क्षमता भी 3R की डुलोंग-पेटिट सीमा तक पहुंच जाती है, जब तक कि इसकी गणना अणुओं के नहीं, परमाणुओं के प्रति तिल के रूप में की जाती है। इसका कारण यह है कि सिद्धांत रूप में बहुत बड़े अणुओं वाली गैसों में ठोस के समान उच्च तापमान ताप क्षमता होती है, जिसमें केवल (छोटी) ऊष्मा क्षमता का योगदान होता है जो संभावित ऊर्जा से आता है जिसे गैस में अलग-अलग अणुओं के बीच संग्रहीत नहीं किया जा सकता है।

डुलोंग-पेटिट सीमा समविभाजन प्रमेय से उत्पन्न होती है, और इस तरह केवल एक माइक्रोस्टेट सातत्य की शास्त्रीय सीमा में मान्य है, जो एक उच्च तापमान सीमा है। प्रकाश और गैर-धात्विक तत्वों के साथ-साथ मानक परिवेश तापमान और दबाव पर कार्बन यौगिकों पर आधारित अधिकांश सामान्य आणविक ठोस, क्वांटम प्रभाव भी एक महत्वपूर्ण भूमिका निभा सकते हैं, जैसा कि वे बहु-परमाणु गैसों में करते हैं। ये प्रभाव आमतौर पर ठोस में परमाणुओं के 3R प्रति तिल से कम ताप क्षमता देने के लिए संयोजित होते हैं, हालांकि आणविक ठोस में, आणविक ठोस में अणुओं के प्रति मोल की गणना की गई ऊष्मा क्षमता 3R से अधिक हो सकती है। उदाहरण के लिए, गलनांक पर पानी की बर्फ की ताप क्षमता अणुओं के प्रति मोल लगभग 4.6R है, लेकिन परमाणुओं के प्रति मोल केवल 1.5R है। प्रति परमाणु 3R संख्या से कम (जैसा कि हीरे और बेरिलियम के मामले में है) हल्के परमाणुओं के लिए संभावित कंपन मोड के "फ्रीजिंग आउट" के परिणामस्वरूप उपयुक्त रूप से कम तापमान पर होता है, ठीक उसी तरह जैसे कमरे के तापमान पर कई कम-द्रव्यमान-परमाणु गैसों में होता है। उच्च क्रिस्टल बाध्यकारी ऊर्जा के कारण, इन प्रभावों को तरल पदार्थों की तुलना में ठोस पदार्थों में अधिक बार देखा जाता है: उदाहरण के लिए तरल पानी की गर्मी क्षमता बर्फ की तुलना में दोगुनी होती है, और फिर से परमाणुओं के 3R प्रति तिल के करीब होती है। डुलोंग-पेटिट सैद्धांतिक अधिकतम।

ठोस पदार्थों की ताप क्षमता के अधिक आधुनिक और सटीक विश्लेषण के लिए, विशेष रूप से कम तापमान पर, फोनन के विचार का उपयोग करना उपयोगी होता है। डेबी मॉडल देखें।

सैद्धांतिक अनुमान
पाथ इंटीग्रल मोंटे कार्लो विधि क्वांटम डायनेमिक सिद्धांतों के आधार पर ऊष्मा क्षमता के मूल्यों को निर्धारित करने के लिए एक संख्यात्मक दृष्टिकोण है। हालांकि, नीचे उल्लिखित सरल विधियों का उपयोग करके कई राज्यों में गैसों के लिए अच्छा अनुमान लगाया जा सकता है। गैर-क्रायोजेनिक तापमान पर अपेक्षाकृत भारी परमाणुओं (परमाणु संख्या> लोहा) से बने कई ठोस पदार्थों के लिए, कमरे के तापमान पर ताप क्षमता 3R = 24.94 जूल प्रति केल्विन प्रति मोल परमाणु (डुलोंग-पेटिट नियम, R गैस स्थिरांक है) तक पहुंचती है।. गैसों और ठोसों दोनों के लिए कम तापमान सन्निकटन उनके विशिष्ट आइंस्टीन तापमान या डेबी तापमान से कम तापमान पर आइंस्टीन और डेबी के नीचे चर्चा की गई विधियों द्वारा किया जा सकता है। पानी (तरल): CP = 4185.5 J⋅K−1⋅किग्रा-1 (15 डिग्री सेल्सियस, 101.325 केपीए) पानी (तरल): CVH = 74.539 J⋅K-1⋅mol-1 (25 डिग्री सेल्सियस) तरल पदार्थ और गैसों के लिए, यह जानना महत्वपूर्ण है कि दिए गए ताप क्षमता डेटा किस दबाव को संदर्भित करते हैं। अधिकांश प्रकाशित डेटा मानक दबाव के लिए दिए गए हैं। हालांकि, तापमान और दबाव के लिए अलग-अलग मानक स्थितियों को विभिन्न संगठनों द्वारा परिभाषित किया गया है। इंटरनेशनल यूनियन ऑफ प्योर एंड एप्लाइड केमिस्ट्री (IUPAC) ने अपनी सिफारिश को एक वातावरण से बदलकर गोल मान 100 kPa (≈750.062 Torr) कर दिया।

पहले सिद्धांतों से गणना
पथ अभिन्न मोंटे कार्लो विधि क्वांटम डायनेमिक सिद्धांतों के आधार पर ऊष्मा क्षमता के मूल्यों को निर्धारित करने के लिए एक संख्यात्मक दृष्टिकोण है। हालांकि, नीचे उल्लिखित सरल विधियों का उपयोग करके कई राज्यों में गैसों के लिए अच्छा अनुमान लगाया जा सकता है। गैर-क्रायोजेनिक तापमान पर अपेक्षाकृत भारी परमाणुओं (परमाणु संख्या> लोहा) से बने कई ठोस पदार्थों के लिए, कमरे के तापमान पर ताप क्षमता 3R = 24.94 जूल प्रति केल्विन प्रति मोल परमाणु (डुलोंग-पेटिट नियम, R गैस स्थिरांक है) तक पहुंचती है।. गैसों और ठोसों दोनों के लिए कम तापमान सन्निकटन उनके विशिष्ट आइंस्टीन तापमान या डेबी तापमान से कम तापमान पर आइंस्टीन और डेबी के नीचे चर्चा की गई विधियों द्वारा किया जा सकता है।

ताप क्षमता के बीच संबंध
स्थिर आयतन पर विशिष्ट ऊष्मा क्षमता को मापना तरल और ठोस पदार्थों के लिए निषेधात्मक रूप से कठिन हो सकता है। अर्थात्, छोटे तापमान परिवर्तन के लिए आम तौर पर तरल या ठोस को स्थिर आयतन पर बनाए रखने के लिए बड़े दबाव की आवश्यकता होती है, जिसका अर्थ है कि युक्त पोत लगभग कठोर या कम से कम बहुत मजबूत होना चाहिए (थर्मल विस्तार और संपीड्यता का गुणांक देखें)। इसके बजाय, निरंतर दबाव पर ताप क्षमता को मापना आसान है (सामग्री को स्वतंत्र रूप से विस्तार या अनुबंध करने की अनुमति देता है) और बुनियादी थर्मोडायनामिक कानूनों से प्राप्त गणितीय संबंधों का उपयोग करके निरंतर मात्रा में ताप क्षमता के लिए हल करें।

ताप क्षमता अनुपात, या रुद्धोष्म सूचकांक, स्थिर दाब पर ताप क्षमता और स्थिर आयतन पर ऊष्मा क्षमता का अनुपात है। इसे कभी-कभी आइसेंट्रोपिक विस्तार कारक के रूप में भी जाना जाता है।

आदर्श गैस
एक आदर्श गैस के लिए, राज्य के समीकरण के अनुसार उपरोक्त आंशिक डेरिवेटिव का मूल्यांकन करना, जहां R एक आदर्श गैस के लिए गैस स्थिरांक है
 * $$P V = n R T,$$
 * $$C_P - C_V = T \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V,n} \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P,n},$$
 * $$P = \frac{nRT}{V} \Rightarrow \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V,n} = \frac{nR}{V},$$
 * $$V = \frac{nRT}{P} \Rightarrow \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P,n} = \frac{nR}{P}.$$

स्थानापन्न


 * $$T \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V,n} \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P,n} = T \frac{nR}{V} \frac{nR}{P} = \frac{nRT}{V} \frac{nR}{P} = P \frac{nR}{P} = nR,$$

यह समीकरण केवल जूलियस रॉबर्ट वॉन मेयर के संबंध को कम करता है:


 * $$C_{P,m} - C_{V,m} = R.$$

उपरोक्त मेयर संबंध द्वारा परिभाषित ताप क्षमता में अंतर केवल एक आदर्श गैस के लिए सटीक है और किसी भी वास्तविक गैस के लिए अलग होगा।

विशिष्ट ताप क्षमता
प्रति द्रव्यमान के आधार पर किसी पदार्थ की विशिष्ट ऊष्मा क्षमता होती है


 * $$c = \frac{\partial C}{\partial m},$$

जो चरण संक्रमण की अनुपस्थिति में बराबर है


 * $$c = E_m = \frac{C}{m} = \frac{C}{\rho V},$$

कहाँ
 * $$C$$ प्रश्न में सामग्री से बने शरीर की ताप क्षमता है,
 * $$m$$ शरीर का द्रव्यमान है,
 * $$V$$ शरीर का आयतन है,
 * $$\rho = \frac{m}{V}$$ सामग्री का घनत्व है।

गैसों के लिए, और उच्च दबाव के तहत अन्य सामग्रियों के लिए, विचाराधीन प्रक्रियाओं के लिए विभिन्न सीमा स्थितियों के बीच अंतर करने की आवश्यकता है (चूंकि मूल्य अलग-अलग स्थितियों के बीच महत्वपूर्ण रूप से भिन्न होते हैं)। विशिष्ट प्रक्रियाएँ जिनके लिए ऊष्मा क्षमता को परिभाषित किया जा सकता है, उनमें शामिल हैं आइसोबैरिक प्रक्रिया (निरंतर दबाव, $$\text{d}P = 0$$) या आइसोकोरिक प्रक्रिया (स्थिर आयतन, $$\text{d}V = 0$$) प्रक्रियाएं। इसी विशिष्ट ताप क्षमता को व्यक्त किया जाता है


 * $$c_P = \left(\frac{\partial C}{\partial m}\right)_P,$$
 * $$c_V = \left(\frac{\partial C}{\partial m}\right)_V.$$

पिछले अनुभाग के परिणामों से, द्रव्यमान से भाग देने पर संबंध प्राप्त होता है


 * $$c_P - c_V = \frac{\alpha^2 T}{\rho \beta_T}.$$

से संबंधित पैरामीटर $$c$$ है $$C/V$$, वॉल्यूमेट्रिक ताप क्षमता। इंजीनियरिंग अभ्यास में, $$c_V$$ ठोस या तरल पदार्थ के लिए अक्सर एक स्थिर-आयतन के बजाय एक बड़ा ताप क्षमता का प्रतीक होता है। ऐसे मामलों में, विशिष्ट ताप क्षमता अक्सर सबस्क्रिप्ट के साथ स्पष्ट रूप से लिखी जाती है $$m$$, जैसा $$c_m$$. बेशक, उपरोक्त संबंधों से, ठोस के लिए कोई लिखता है


 * $$ c_m = \frac{C}{m} = \frac{c_\text{volumetric}}{\rho}.$$

स्थापित आणविक द्रव्यमान, या एक तिल (रसायन विज्ञान) के साथ शुद्ध सजातीय रासायनिक यौगिकों के लिए, एक गहन संपत्ति के रूप में ताप क्षमता को प्रति-द्रव्यमान आधार के बजाय प्रति-द्रव्यमान के आधार पर निम्नलिखित समीकरणों के अनुरूप व्यक्त किया जा सकता है। जन समीकरण:


 * $$C_{P,m} = \left(\frac{\partial C}{\partial n}\right)_P = \text{molar heat capacity at constant pressure,}$$
 * $$C_{V,m} = \left(\frac{\partial C}{\partial n}\right)_V = \text{molar heat capacity at constant volume,}$$

जहाँ n शरीर या थर्मोडायनामिक प्रणाली में मोल्स की संख्या है। प्रति-द्रव्यमान के आधार पर विशिष्ट ताप क्षमता से इसे अलग करने के लिए एक ऐसी प्रति-तिल मात्रा को 'मोलर ताप क्षमता' के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।

पॉलीट्रोपिक ताप क्षमता
यदि सभी थर्मोडायनामिक गुण (दबाव, आयतन, तापमान) बदलते हैं, तो पॉलीट्रोपिक ताप क्षमता की गणना प्रक्रियाओं में की जाती है:


 * $$C_{i,m} = \left(\frac{\partial C}{\partial n}\right) = \text{molar heat capacity at polytropic process.}$$

एडियाबेटिक और इज़ोटेर्म फ़ंक्शंस के बीच चलने वाली सबसे महत्वपूर्ण पॉलीट्रोपिक प्रक्रियाएं, पॉलीट्रोपिक इंडेक्स 1 और एडियाबेटिक एक्सपोनेंट (γ या κ) के बीच है।

आयाम रहित ताप क्षमता
किसी पदार्थ की आयाम रहित संख्या ऊष्मा क्षमता होती है
 * $$C^* = \frac{C}{nR} = \frac{C}{N k_\text{B}},$$

कहाँ
 * $$C$$ विचाराधीन सामग्री (जे/के) से बने शरीर की ताप क्षमता है,
 * n शरीर में पदार्थ की मात्रा है (तिल (इकाई)),
 * R गैस स्थिरांक है (J/(K⋅mol)),
 * एन शरीर में अणुओं की संख्या है (आयाम रहित),
 * कB बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक (J/(K⋅अणु)) है।

आदर्श गैस लेख में, आयामहीन ताप क्षमता $$C^*$$ रूप में अभिव्यक्त किया जाता है $$\hat c$$ और वहां प्रति कण स्वतंत्रता की डिग्री की आधी संख्या से सीधे संबंधित है। यह स्वतंत्रता की द्विघात डिग्री के लिए सही है, समविभाजन प्रमेय का एक परिणाम है।

अधिक आम तौर पर, आयामहीन ताप क्षमता तापमान में लॉगरिदमिक वृद्धि को प्रति कण आयाम रहित एंट्रॉपी में वृद्धि से संबंधित करती है $$S^* = S / N k_\text{B}$$, नेट (यूनिट) में मापा जाता है।
 * $$C^* = \frac{\text{d}S^*}{\text{d}(\ln T)}.$$

वैकल्पिक रूप से, आधार-2 लघुगणकों का उपयोग करके, $$C^*$$ तापमान में बेस-2 लघुगणकीय वृद्धि को अंश ्स में मापी गई आयाम रहित एन्ट्रापी में वृद्धि से संबंधित करता है।

पूर्ण शून्य पर ताप क्षमता
एंट्रॉपी की परिभाषा से#एंट्रॉपी की थर्मोडायनामिक परिभाषा


 * $$T \, \text{d}S = \delta Q,$$

पूर्ण एन्ट्रॉपी की गणना शून्य से अंतिम तापमान टी तक एकीकृत करके की जा सकती हैf:


 * $$S(T_\text{f}) = \int_{T=0}^{T_\text{f}} \frac{\delta Q}{T}

= \int_0^{T_\text{f}} \frac{\delta Q}{\text{d}T}\frac{\text{d}T}{T} = \int_0^{T_\text{f}} C(T)\,\frac{\text{d}T}{T}.$$

थर्मोडायनामिक व्युत्पत्ति
सिद्धांत रूप में, किसी पदार्थ की विशिष्ट ऊष्मा क्षमता को उसके अमूर्त थर्मोडायनामिक मॉडलिंग से राज्य के एक समीकरण और एक आंतरिक ऊर्जा कार्य द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।

सजातीय नमूने में पदार्थ की स्थिति
सिद्धांत को लागू करने के लिए, व्यक्ति पदार्थ (ठोस, तरल या गैस) के नमूने पर विचार करता है जिसके लिए विशिष्ट ताप क्षमता को परिभाषित किया जा सकता है; विशेष रूप से, इसकी सजातीय संरचना और निश्चित द्रव्यमान है $$M$$. मान लें कि आंतरिक दबाव के लिए सिस्टम का विकास हमेशा धीमा होता है $$P$$ और तापमान $$T$$ सर्वत्र एक समान माने जाते हैं। दबाव $$P$$ बाड़े या किसी आसपास के तरल पदार्थ, जैसे हवा द्वारा उस पर लगाए गए दबाव के बराबर होगा।

सामग्री की स्थिति को तीन मापदंडों द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है: इसका तापमान $$T$$, दबाव $$P$$, और इसकी विशिष्ट मात्रा $$\nu = V/M$$, कहाँ $$V$$ नमूने का आयतन है। (यह मात्रा पारस्परिक है $$1/\rho$$ सामग्री के घनत्व से $$\rho = M/V$$।) पसंद $$T$$ और $$P$$, विशिष्ट मात्रा $$\nu$$ सामग्री और उसकी स्थिति का एक गहन गुण है, जो नमूने में पदार्थ की मात्रा पर निर्भर नहीं करता है।

वे चर स्वतंत्र नहीं हैं। अनुमत राज्यों को उन तीन चरों से संबंधित राज्य के समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है: $$F(T, P, \nu) = 0.$$ कार्यक्रम $$F$$ विचाराधीन सामग्री पर निर्भर करता है। द्रव्यमान की प्रति इकाई नमूने में आंतरिक रूप से संग्रहीत विशिष्ट आंतरिक ऊर्जा, तब एक और कार्य होगा $$U(T, P, \nu)$$ इन राज्य चरों में से, जो सामग्री के लिए भी विशिष्ट है। तब नमूने में कुल आंतरिक ऊर्जा होगी $$M \, U(T,P,\nu)$$.

कुछ साधारण पदार्थों के लिए, जैसे एक आदर्श गैस, बुनियादी सिद्धांत से राज्य के समीकरण को प्राप्त किया जा सकता है $$F = 0$$ और यहां तक ​​कि विशिष्ट आंतरिक ऊर्जा $$U$$ सामान्य तौर पर, इन कार्यों को प्रत्येक पदार्थ के लिए प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित किया जाना चाहिए।

ऊर्जा का संरक्षण
इस मात्रा का पूर्ण मूल्य अपरिभाषित है, और (ऊष्मप्रवैगिकी के प्रयोजनों के लिए) शून्य आंतरिक ऊर्जा की स्थिति को मनमाने ढंग से चुना जा सकता है। हालांकि, ऊर्जा के संरक्षण के नियम से, कोई भी अतिसूक्ष्म वृद्धि $$M \, \mathrm{d}U$$ कुल आंतरिक ऊर्जा में $$M U$$ ऊष्मा ऊर्जा के शुद्ध प्रवाह से मेल खाना चाहिए $$\mathrm{d}Q$$ नमूने में, साथ ही उस पर बाड़े या आसपास के माध्यम से प्रदान की गई कोई भी शुद्ध यांत्रिक ऊर्जा। बाद वाला है $$-P \, \mathrm{d}V$$, कहाँ $$\mathrm{d} V$$ उस अतिसूक्ष्म चरण में नमूने के आयतन में परिवर्तन है। इसलिए
 * $$\mathrm{d}Q - P \, \mathrm{d} V = M \, \mathrm{d}U$$

इस तरह
 * $$\frac{\mathrm{d}Q}{M} - P \, \mathrm{d}\nu = \mathrm{d}U$$

यदि गर्मी की मात्रा के इंजेक्शन के दौरान नमूने की मात्रा (इसलिए सामग्री की विशिष्ट मात्रा) स्थिर रखी जाती है $$\mathrm{d}Q$$, फिर शब्द $$P \, \mathrm{d}\nu$$ शून्य है (कोई यांत्रिक कार्य नहीं किया जाता है)। फिर, से विभाजित करना $$\mathrm{d} T$$,
 * $$\frac{\mathrm{d}Q}{M \, \mathrm{d}T} = \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}T}$$

कहाँ $$\mathrm{d}T$$ तापमान में परिवर्तन है जो गर्मी इनपुट के परिणामस्वरूप होता है। बाईं ओर स्थिर आयतन पर विशिष्ट ताप क्षमता है $$c_V$$ सामग्री का।

निरंतर दबाव पर ताप क्षमता के लिए, सिस्टम की विशिष्ट एन्थैल्पी को योग के रूप में परिभाषित करना उपयोगी होता है $$h(T, P, \nu) = U(T, P, \nu) + P \nu$$. तब विशिष्ट एन्थैल्पी में एक अतिसूक्ष्म परिवर्तन होगा
 * $$\mathrm{d}h = \mathrm{d}U + V \, \mathrm{d}P + P \, \mathrm{d}V$$

इसलिए
 * $$\frac{\mathrm{d}Q}{M} + V \, \mathrm{d}P = \mathrm{d}h$$

यदि दबाव स्थिर रखा जाता है, तो बाईं ओर का दूसरा पद शून्य होता है, और
 * $$\frac{\mathrm{d}Q}{M \, \mathrm{d}T} = \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}T}$$

बाईं ओर निरंतर दबाव पर विशिष्ट ताप क्षमता है $$c_P$$ सामग्री का।

राज्य के समीकरण से संबंध
सामान्य तौर पर, असीम मात्रा $$\mathrm{d}T, \mathrm{d}P, \mathrm{d}V, \mathrm{d}U$$ राज्य के समीकरण और विशिष्ट आंतरिक ऊर्जा समारोह से विवश हैं। अर्थात्,
 * $$\begin{cases}

\displaystyle \mathrm{d}T \frac{\partial F}{\partial T}(T,P,V) + \mathrm{d}P \frac{\partial F}{\partial P}(T,P,V) + \mathrm{d}V \frac{\partial F}{\partial V}(T,P,V) &=& 0\\[2ex] \displaystyle \mathrm{d}T \frac{\partial U}{\partial T}(T,P,V) + \mathrm{d}P \frac{\partial U}{\partial P}(T,P,V) + \mathrm{d}V \frac{\partial U}{\partial V}(T,P,V) &=& \mathrm{d}U \end{cases} $$ यहाँ $$(\partial F/\partial T)(T,P,V)$$ राज्य समीकरण के (आंशिक) व्युत्पन्न को दर्शाता है $$F$$ इसके संबंध में $$T$$ तर्क, अन्य दो तर्कों को स्थिर रखते हुए, राज्य में मूल्यांकन किया गया $$(T,P,V)$$ प्रश्न में। अन्य आंशिक डेरिवेटिव उसी तरह परिभाषित किए गए हैं। चार अपरिमेय वेतन वृद्धि पर ये दो समीकरण सामान्य रूप से उन्हें संभावित अतिसूक्ष्म राज्य परिवर्तनों के द्वि-आयामी रैखिक उप-स्थान पर विवश करते हैं, जो सामग्री और स्थिति पर निर्भर करता है। इस अंतरिक्ष में निरंतर-आयतन और निरंतर-दबाव परिवर्तन केवल दो विशेष दिशाएँ हैं।

यह विश्लेषण भी मायने रखता है कि ऊर्जा कैसे बढ़ती है $$\mathrm{d}Q$$ नमूना में इंजेक्ट किया जाता है, अर्थात् गर्मी चालन, विकिरण, विद्युत चुम्बकीय प्रेरण, रेडियोधर्मी क्षय, आदि द्वारा।

ताप क्षमता के बीच संबंध
किसी विशिष्ट मात्रा के लिए $$\nu$$, निरूपित करें $$p_\nu(T)$$ फ़ंक्शन जो वर्णन करता है कि तापमान के साथ दबाव कैसे बदलता है $$T$$, जैसा कि राज्य के समीकरण द्वारा अनुमत है, जब सामग्री की विशिष्ट मात्रा को जबरदस्ती स्थिर रखा जाता है $$\nu$$. अनुरूप, किसी भी दबाव के लिए $$P$$, होने देना $$\nu_P(T)$$ वह कार्य हो जो वर्णन करता है कि तापमान के साथ विशिष्ट आयतन कैसे भिन्न होता है, जब दबाव को स्थिर रखा जाता है $$P$$. अर्थात्, वे कार्य ऐसे हैं जो $$F(T, p_\nu(T), \nu) = 0$$और$$F(T, P, \nu_P(T))= 0$$ के किसी भी मान के लिए $$T,P,\nu$$. दूसरे शब्दों में, के रेखांकन $$p_\nu(T)$$ और $$\nu_P(T)$$ राज्य समीकरण द्वारा परिभाषित सतह के स्लाइस हैं, जो निरंतर विमानों द्वारा काटे जाते हैं $$\nu$$ और स्थिर $$P$$, क्रमश।

फिर, मौलिक उष्मागतिक संबंध से यह इस प्रकार है
 * $$c_P(T,P,\nu) - c_V(T,P,\nu) = T \left[\frac{\mathrm{d}p_\nu}{\mathrm{d}T}(T)\right]\left[\frac{\mathrm{d}\nu_P}{\mathrm{d}T}(T)\right]$$

इस समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है
 * $$c_P(T,P,\nu) - c_V(T,P,\nu) = \nu T\frac{\alpha^2}{\beta_T},$$

कहाँ दोनों राज्य पर निर्भर करता है $$(T, P, \nu)$$.
 * $$\alpha$$ थर्मल विस्तार का गुणांक है,
 * $$\beta_T$$ इज़ोटेर्माल संपीड्यता है,

ताप क्षमता अनुपात, या रुद्धोष्म सूचकांक, अनुपात है $$c_P/c_V$$ स्थिर दाब पर ताप क्षमता से स्थिर आयतन पर ताप क्षमता। इसे कभी-कभी आइसेंट्रोपिक विस्तार कारक के रूप में भी जाना जाता है।

पहले सिद्धांतों से गणना
पाथ इंटीग्रल मोंटे कार्लो विधि क्वांटम डायनेमिक सिद्धांतों के आधार पर ऊष्मा क्षमता के मूल्यों को निर्धारित करने के लिए एक संख्यात्मक दृष्टिकोण है। हालांकि, नीचे उल्लिखित सरल विधियों का उपयोग करके कई राज्यों में गैसों के लिए अच्छा अनुमान लगाया जा सकता है। गैर-क्रायोजेनिक तापमान पर अपेक्षाकृत भारी परमाणुओं (परमाणु संख्या> लोहा) से बने कई ठोस पदार्थों के लिए, कमरे के तापमान पर ताप क्षमता 3R = 24.94 जूल प्रति केल्विन प्रति मोल परमाणु (डुलोंग-पेटिट नियम, R गैस स्थिरांक है) तक पहुंचती है।. गैसों और ठोसों दोनों के लिए कम तापमान सन्निकटन उनके विशिष्ट आइंस्टीन तापमान या डेबी तापमान से कम तापमान पर आइंस्टीन और डेबी के नीचे चर्चा की गई विधियों द्वारा किया जा सकता है। हालांकि, विचारित सामग्री के लिए राज्य के समीकरण के साथ उपयोग किए जाने पर इस तरह के प्रारंभिक विचारों की स्थिरता के लिए ध्यान दिया जाना चाहिए।

आदर्श गैस
एक आदर्श गैस के लिए, राज्य के समीकरण के अनुसार उपरोक्त आंशिक डेरिवेटिव का मूल्यांकन करना, जहां R एक आदर्श गैस के लिए गैस स्थिरांक है
 * $$P V = n R T,$$
 * $$C_P - C_V = T \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V,n} \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P,n},$$
 * $$P = \frac{nRT}{V} \Rightarrow \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V,n} = \frac{nR}{V},$$
 * $$V = \frac{nRT}{P} \Rightarrow \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P,n} = \frac{nR}{P}.$$

स्थानापन्न


 * $$T \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V,n} \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P,n} = T \frac{nR}{V} \frac{nR}{P} = \frac{nRT}{V} \frac{nR}{P} = P \frac{nR}{P} = nR,$$

यह समीकरण केवल जूलियस रॉबर्ट वॉन मेयर के संबंध को कम करता है:


 * $$C_{P,m} - C_{V,m} = R.$$

उपरोक्त मेयर संबंध द्वारा परिभाषित ताप क्षमता में अंतर केवल एक आदर्श गैस के लिए सटीक है और किसी भी वास्तविक गैस के लिए अलग होगा।

यह भी देखें

 * संलयन की तापीय धारिता (संलयन की तापीय धारिता)
 * वाष्पीकरण की तापीय धारिता (वाष्पीकरण की तापीय धारिता)
 * फ्रेनकेल लाइन
 * ताप क्षमता अनुपात
 * ऊष्मा समीकरण
 * गर्मी हस्तांतरण गुणांक
 * ऊष्मप्रवैगिकी का इतिहास
 * जॉबबैक विधि (ताप क्षमता का अनुमान)
 * अव्यक्त गर्मी
 * भौतिक गुण (थर्मोडायनामिक्स)
 * क्वांटम [[सांख्यिकीय यांत्रिकी]]
 * आर-मूल्य (इन्सुलेशन)
 * वाष्पीकरण की तापीय धारिता
 * संलयन की तापीय धारिता
 * सांख्यिकीय यांत्रिकी
 * विशिष्ट ताप क्षमता की तालिका
 * थर्मल द्रव्यमान
 * शुद्ध पदार्थों के लिए थर्मोडायनामिक डेटाबेस
 * थर्मोडायनामिक समीकरण
 * वॉल्यूमेट्रिक ताप क्षमता

अग्रिम पठन

 * Emmerich Wilhelm & Trevor M. Letcher, Eds., 2010, Heat Capacities: Liquids, Solutions and Vapours, Cambridge, U.K.:Royal Society of Chemistry, ISBN 0-85404-176-1. A very recent outline of selected traditional aspects of the title subject, including a recent specialist introduction to its theory, Emmerich Wilhelm, "Heat Capacities: Introduction, Concepts, and Selected Applications" (Chapter 1, pp. 1–27), chapters on traditional and more contemporary experimental methods such as photoacoustic methods, e.g., Jan Thoen & Christ Glorieux, "Photothermal Techniques for Heat Capacities," and chapters on newer research interests, including on the heat capacities of proteins and other polymeric systems (Chs. 16, 15), of liquid crystals (Ch. 17), etc.

बाहरी संबंध

 * (2012-05may-24) Phonon theory sheds light on liquid thermodynamics, heat capacity – Physics World The phonon theory of liquid thermodynamics | Scientific Reports