बेल बहुपद

साहचर्य गणित में, एरिक टेम्पल बेल के सम्मान में नामित बेल बहुपद का उपयोग सेट विभाजन के अध्ययन में किया जाता है। वे स्टर्लिंग नंबर और बेल नंबर से संबंधित हैं। वे कई अनुप्रयोगों में भी होते हैं, जैसे कि फा डि ब्रूनो के सूत्र में।

घातीय बेल बहुपद
आंशिक या अपूर्ण घातीय बेल बहुपद बहुपदों की एक त्रिकोणीय सरणी द्वारा दिए गए हैं


 * $$B_{n,k}(x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1}) = \sum{n! \over j_1!j_2!\cdots j_{n-k+1}!}

\left({x_1\over 1!}\right)^{j_1}\left({x_2\over 2!}\right)^{j_2}\cdots\left({x_{n-k+1} \over (n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}},$$ जहां गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के सभी अनुक्रम j1, j2, j3, ..., jn−k+1 पर योग लिया जाता है, जैसे कि ये दो शर्तें पूरी होती हैं:


 * $$j_1 + j_2 + \cdots + j_{n-k+1} = k, $$ :$$j_1 + 2 j_2 + 3 j_3 + \cdots + (n-k+1)j_{n-k+1} = n.$$

योग


 * $$B_n(x_1,\dots,x_n)=\sum_{k=1}^n B_{n,k}(x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1})$$

nवां पूर्ण चरघातांकी बेल बहुपद कहलाता है।

साधारण बेल बहुपद
इसी प्रकार, आंशिक साधारण बेल बहुपद द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$\hat{B}_{n,k}(x_1,x_2,\ldots,x_{n-k+1}) = \sum \frac{k!}{j_1! j_2! \cdots j_{n-k+1}!} x_1^{j_1} x_2^{j_2} \cdots x_{n-k+1}^{j_{n-k+1}}, $$

जहां योग गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के सभी अनुक्रम j1, j2, j3, ..., jn−k+1 पर चलता है जैसे कि
 * $$j_1 + j_2 + \cdots + j_{n-k+1} = k,$$
 * $$j_1 + 2 j_2 + \cdots + (n-k+1)j_{n-k+1} = n.$$

साधारण बेल बहुपदों को घातीय बेल बहुपदों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$\hat{B}_{n,k}(x_1,x_2,\ldots,x_{n-k+1}) = \frac{k!}{n!}B_{n,k}(1!\cdot x_1,2!\cdot x_2,\ldots,(n-k+1)!\cdot x_{n-k+1}).$$

सामान्य तौर पर, बेल बहुपद घातीय बेल बहुपद को संदर्भित करता है, जब तक कि अन्यथा स्पष्ट रूप से न कहा गया हो।

संयुक्त अर्थ
घातीय बेल बहुपद एक सेट को विभाजित करने के तरीकों से संबंधित जानकारी को कूटबद्ध करता है। उदाहरण के लिए, यदि हम एक सेट {A, B, C} पर विचार करते हैं, तो इसे दो गैर-खाली, गैर-अतिव्यापी उपसमुच्चय में विभाजित किया जा सकता है, जिसे 3 अलग-अलग तरीकों से भागों या ब्लॉकों के रूप में भी जाना जाता है:


 * {{A}, {B, C}}
 * {{B}, {A, C}}
 * {{C}, {B, A}}

इस प्रकार, हम इन विभाजनों के बारे में जानकारी को एन्कोड कर सकते हैं


 * $$B_{3,2}(x_1,x_2) = 3 x_1 x_2. $$

यहाँ, बी की सदस्यताएँ3,2 हमें बताता है कि हम 3 तत्वों के साथ सेट के विभाजन को 2 ब्लॉकों में विभाजित करने पर विचार कर रहे हैं। प्रत्येक एक्स की सबस्क्रिप्टi किसी दिए गए विभाजन में i तत्वों (या आकार i के ब्लॉक) के साथ ब्लॉक की उपस्थिति को दर्शता है। तो यहाँ, एक्स2 दो तत्वों के साथ एक ब्लॉक की उपस्थिति को दर्शता करता है। इसी प्रकार, एक्स1 एकल तत्व वाले ब्लॉक की उपस्थिति को दर्शता है। x का प्रतिपादकij दर्शता है कि एकल विभाजन में आकार i के ऐसे j ब्लॉक हैं। यहाँ, चूँकि दोनों x1 और एक्स2 प्रतिपादक 1 है, यह दर्शता करता है कि दिए गए विभाजन में केवल एक ऐसा ब्लॉक है। एकपद का गुणांक दर्शता करता है कि ऐसे कितने विभाजन हैं। हमारे स्थितियों के लिए, 3 तत्वों के साथ 2 ब्लॉकों में एक सेट के 3 विभाजन हैं, जहां प्रत्येक विभाजन में तत्वों को 1 और 2 के आकार के दो ब्लॉकों में विभाजित किया गया है।

चूँकि किसी भी समुच्चय को एक ही ब्लॉक में केवल एक तरीके से विभाजित किया जा सकता है, उपरोक्त व्याख्या का अर्थ होगा कि Bn,1 = एक्सn. इसी प्रकार, चूंकि केवल एक ही विधि है कि n तत्वों वाले एक सेट को n सिंगलटन में विभाजित किया जाए, Bn,n = एक्स1एन.

अधिक जटिल उदाहरण के रूप में, विचार करें


 * $$B_{6,2}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=6x_5x_1+15x_4x_2+10x_3^2.$$

यह हमें बताता है कि यदि 6 तत्वों के एक सेट को 2 ब्लॉकों में विभाजित किया जाता है, तो हमारे पास आकार 1 और 5 के ब्लॉक के साथ 6 विभाजन, आकार 4 और 2 के ब्लॉक वाले 15 विभाजन और 3 आकार के 2 ब्लॉक वाले 10 विभाजन हो सकते हैं।

एकपदी में सबस्क्रिप्ट का योग तत्वों की कुल संख्या के बराबर है। इस प्रकार, आंशिक बेल बहुपद में दिखाई देने वाले मोनोमियल्स की संख्या उन तरीकों की संख्या के बराबर होती है, जिन्हें पूर्णांक n को k धनात्मक पूर्णांकों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यह n के k भागों में पूर्णांक विभाजन के समान है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त उदाहरणों में, पूर्णांक 3 को केवल 2+1 के रूप में दो भागों में विभाजित किया जा सकता है। इस प्रकार, B में केवल एक एकपदी है3,2. चूंकि, पूर्णांक 6 को 5+1, 4+2 और 3+3 के रूप में दो भागों में विभाजित किया जा सकता है। इस प्रकार, B में तीन एकपदी हैं6,2. वास्तव में, एक मोनोमियल में वेरिएबल्स के सबस्क्रिप्ट वही होते हैं जो पूर्णांक विभाजन द्वारा दिए गए होते हैं, जो विभिन्न ब्लॉकों के आकार को दर्शाते हैं। एक पूर्ण बेल बहुपद बी में दिखाई देने वाले एकपदों की कुल संख्याnइस प्रकार n के पूर्णांक विभाजनों की कुल संख्या के बराबर है।

साथ ही प्रत्येक मोनोमियल की डिग्री, जो मोनोमियल में प्रत्येक चर के घातांक का योग है, सेट में विभाजित ब्लॉकों की संख्या के बराबर है। अर्थात जे1 + जे2 + ... = के। इस प्रकार, एक पूर्ण बेल बहुपद बी दिया गयाn, हम आंशिक बेल बहुपद बी को अलग कर सकते हैंn,kडिग्री k वाले उन सभी एकपदों को एकत्रित करके।

अंत में, यदि हम ब्लॉक के आकार की उपेक्षा करते हैं और सभी xi = x, तो आंशिक बेल बहुपद बी के गुणांकों का योगn,k n तत्वों वाले एक सेट को k ब्लॉकों में विभाजित करने के तरीकों की कुल संख्या देगा, जो दूसरी प्रकार की स्टर्लिंग संख्याओं के समान है। साथ ही, पूर्ण बेल बहुपद बी के सभी गुणांकों का योगnहमें n तत्वों के साथ एक सेट को गैर-अतिव्यापी उपसमुच्चय में विभाजित करने के तरीकों की कुल संख्या देगा, जो बेल संख्या के समान है।

सामान्य तौर पर, यदि पूर्णांक n एक पूर्णांक विभाजन है जिसमें एक योग है जिसमें 1 j दिखाई देता है1 बार, 2 प्रकट होता है जे2 बार, और इसी प्रकार, फिर आकार n के एक सेट के विभाजन की संख्या जो पूर्णांक n के उस विभाजन के लिए ढह जाती है जब सेट के सदस्य अप्रभेद्य हो जाते हैं, बहुपद में संबंधित गुणांक होता है।

उदाहरण
उदाहरण के लिए, हमारे पास है


 * $$B_{6,2}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=6x_5x_1+15x_4x_2+10x_3^2$$

क्योंकि 6 तत्वों के सेट को 2 ब्लॉक के रूप में विभाजित करने के तरीके हैं


 * 6 के सेट को 5 + 1 के रूप में विभाजित करने के 6 तरीके,
 * 6 के सेट को 4 + 2 के रूप में विभाजित करने के 15 तरीके, और
 * 6 के सेट को 3 + 3 के रूप में विभाजित करने के 10 तरीके।

इसी प्रकार,


 * $$B_{6,3}(x_1,x_2,x_3,x_4)=15x_4x_1^2+60x_3x_2x_1+15x_2^3$$

क्योंकि 6 तत्वों के सेट को 3 ब्लॉक के रूप में विभाजित करने के तरीके हैं


 * 6 के सेट को 4+1+1 के रूप में विभाजित करने के 15 तरीके,
 * 60 6 के सेट को 3+2+1 के रूप में विभाजित करने के तरीके, और
 * 6 के सेट को 2+2+2 के रूप में विभाजित करने के 15 तरीके।

जनरेटिंग फंक्शन
घातीय आंशिक बेल बहुपदों को इसके जनरेटिंग फ़ंक्शन के दोहरे श्रृंखला विस्तार द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:

\begin{align} \Phi(t,u) &= \exp\left( u \sum_{j=1}^\infty x_j \frac{t^j}{j!} \right) = \sum_{n\geq k \geq 0} B_{n,k}(x_1,\ldots,x_{n-k+1}) \frac{t^n}{n!} u^k\\ &= 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{n!} \sum_{k=1}^n u^k B_{n,k}(x_1,\ldots,x_{n-k+1}). \end{align} $$ दूसरे शब्दों में, k-th शक्ति के श्रृंखला विस्तार द्वारा समान मात्रा में क्या है:
 * $$ \frac{1}{k!}\left( \sum_{j=1}^\infty x_j \frac{t^j}{j!} \right)^k = \sum_{n=k}^\infty B_{n,k}(x_1,\ldots,x_{n-k+1}) \frac{t^n}{n!}, \qquad k = 0, 1, 2, \ldots $$

पूर्ण घातीय बेल बहुपद द्वारा परिभाषित किया गया है $$\Phi(t,1)$$, या दूसरे शब्दों में:
 * $$ \Phi(t,1) = \exp\left( \sum_{j=1}^\infty x_j \frac{t^j}{j!} \right) = \sum_{n=0}^\infty B_n(x_1,\ldots, x_n) \frac{t^n}{n!}.$$

इस प्रकार, n-वाँ पूर्ण बेल बहुपद दिया जाता है
 * $$ B_n(x_1,\ldots, x_n) = \left. \left(\frac{\partial}{\partial t}\right)^n \exp\left( \sum_{j=1}^n x_j \frac{t^j}{j!} \right) \right|_{t=0}. $$

इसी प्रकार, साधारण आंशिक बेल बहुपद को जनरेटिंग फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित किया जा सकता है
 * $$ \hat{\Phi}(t,u) = \exp \left( u \sum_{j=1}^\infty x_j t^j \right) = \sum_{n\geq k\geq 0} \hat{B}_{n,k}(x_1,\ldots,x_{n-k+1}) t^n \frac{u^k}{k!}.$$

या, समतुल्य, k-वें शक्ति के श्रृंखला विस्तार द्वारा:
 * $$\left(\sum_{j=1}^\infty x_j t^j\right)^k = \sum_{n=k}^\infty \hat{B}_{n,k}(x_1, \ldots, x_{n-k+1}) t^n. $$

यह भी देखें जनरेटिंग फंक्शन ट्रांसफॉर्मेशन#पॉवर ऑफ़ ओजीएफ एंड कंपोज़िशन विथ फंक्शन्स फॉर बेल पॉलीनॉमियल जनरेटिंग फंक्शन एक्सपेंशन ऑफ़ कंपोज़िशन ऑफ़ सीक्वेंस उत्पन्न करने वाले कार्य एंड एक्सपोनेंटिएशन, लॉगरिथम्स, एंड [[घातांक प्रकार्य]] ऑफ़ ए सीक्वेंस जनरेटिंग फंक्शन। इनमें से प्रत्येक सूत्र को कॉमेट के संबंधित अनुभागों में उद्धृत किया गया है।

पुनरावृत्ति संबंध
पूर्ण बेल बहुपद को पुनरावृत्ति संबंध के रूप में परिभाषित किया जा सकता है
 * $$ B_{n+1}(x_1, \ldots, x_{n+1}) = \sum_{i=0}^n {n \choose i} B_{n-i}(x_1, \ldots, x_{n-i}) x_{i+1}$$

प्रारंभिक मूल्य के साथ $$B_0 = 1$$.

आंशिक बेल बहुपदों की भी पुनरावृत्ति संबंध द्वारा दक्षतापूर्वक गणना की जा सकती है:
 * $$ B_{n,k} = \sum_{i=1}^{n-k+1} \binom{n-1}{i-1} x_i B_{n-i,k-1},$$

कहाँ
 * $$ B_{0,0} = 1; $$
 * $$ B_{n,0} = 0 \text{ for } n \geq 1; $$
 * $$ B_{0,k} = 0 \text{ for } k \geq 1. $$

पूर्ण बेल बहुपद निम्नलिखित पुनरावृत्ति अंतर सूत्र को भी संतुष्ट करते हैं:

\begin{align} B_n(x_1, \ldots, x_n) = \frac{1}{n-1} \left[ \sum_{i=2}^n \right. & \sum_{j=1}^{i-1} (i-1) \binom{i-2}{j-1} x_j x_{i-j}\frac{\partial B_{n-1}(x_1,\dots,x_{n-1})}{\partial x_{i-1}} \\[5pt] & \left. {} + \sum_{i=2}^n \sum_{j=1}^{i-1} \frac{x_{i+1}}{\binom i j} \frac{\partial^2 B_{n-1}(x_1,\dots,x_{n-1})}{\partial x_j \partial x_{i-j}} \right. \\[5pt] & \left. {} + \sum_{i=2}^n x_i \frac{\partial B_{n-1}(x_1,\dots,x_{n-1})}{\partial x_{i-1}} \right]. \end{align} $$

संजात
संपूर्ण बेल बहुपदों के आंशिक अवकलज निम्न द्वारा दिए गए हैं
 * $$ \frac{\partial B_{n}}{\partial x_i} (x_1, \ldots, x_{n}) = \binom{n}{i} B_{n-i}(x_1, \ldots, x_{n-i}).$$

इसी प्रकार, आंशिक बेल बहुपदों के आंशिक डेरिवेटिव द्वारा दिए गए हैं
 * $$ \frac{\partial B_{n,k}}{\partial x_i} (x_1, \ldots, x_{n-k+1}) = \binom{n}{i} B_{n-i,k-1}(x_1, \ldots, x_{n-i-k+2}).$$

यदि बेल बहुपदों के तर्क एक आयामी कार्य हैं, तो श्रृंखला नियम का उपयोग प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है
 * $$ \frac{d}{dx} \left(B_{n,k}(a_1(x), \cdots, a_{n-k+1}(x))\right) = \sum_{i=1}^{n-k+1} \binom{n}{i} a_i'(x) B_{n-i,k-1}(a_1(x), \cdots, a_{n-i-k+2}(x)).$$

निर्धारक रूप
पूर्ण बेल बहुपद निर्धारकों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:


 * $$B_n(x_1,\dots,x_n) = \det\begin{bmatrix}

x_1 & {n-1 \choose 1} x_2 & {n-1 \choose 2}x_3 & {n-1 \choose 3} x_4 & \cdots & \cdots & x_n \\ \\ -1 & x_1 & {n-2 \choose 1} x_2 & {n-2 \choose 2} x_3 & \cdots & \cdots & x_{n-1} \\  \\ 0 & -1 & x_1 & {n-3 \choose 1} x_2 & \cdots & \cdots & x_{n-2} \\ \\ 0 & 0 & -1 & x_1 & \cdots & \cdots & x_{n-3} \\  \\ 0 & 0 & 0 & -1 & \cdots & \cdots & x_{n-4} \\ \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots  \\  \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & x_1 \end{bmatrix}$$ और


 * $$B_n(x_1,\dots,x_n) = \det\begin{bmatrix}

\frac{x_1}{0!} & \frac{x_2}{1!} & \frac{x_3}{2!} & \frac{x_4}{3!} & \cdots & \cdots & \frac{x_n}{(n-1)!} \\ \\ -1 & \frac{x_1}{0!} & \frac{x_2}{1!} & \frac{x_3}{2!} & \cdots & \cdots & \frac{x_{n-1}}{(n-2)!} \\  \\ 0 & -2 & \frac{x_1}{0!} & \frac{x_2}{1!} & \cdots & \cdots & \frac{x_{n-2}}{(n-3)!} \\ \\ 0 & 0 & -3 & \frac{x_1}{0!} & \cdots & \cdots & \frac{x_{n-3}}{(n-4)!} \\  \\ 0 & 0 & 0 & -4 & \cdots & \cdots & \frac{x_{n-4}}{(n-5)!} \\ \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots  \\  \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -(n-1) & \frac{x_1}{0!} \end{bmatrix}.$$

स्टर्लिंग नंबर और बेल नंबर
बेल बहुपद बी का मानn,k(एक्स1,एक्स2,...) कारख़ाने का के अनुक्रम पर पहली प्रकार की एक अहस्ताक्षरित स्टर्लिंग संख्या के बराबर होती है:
 * $$B_{n,k}(0!,1!,\dots,(n-k)!)=c(n,k)=|s(n,k)| = \left[{n\atop k}\right].$$

इन मानों का योग फैक्टोरियल के अनुक्रम पर पूर्ण बेल बहुपद का मान देता है:
 * $$B_n(0!,1!,\dots,(n-1)!)=\sum_{k=1}^n B_{n,k}(0!,1!,\dots,(n-k)!) = \sum_{k=1}^n \left[{n\atop k}\right] = n!.$$

बेल बहुपद बी का मानn,k(एक्स1,एक्स2,...) एक के अनुक्रम पर दूसरी प्रकार की स्टर्लिंग संख्या के बराबर होती है:
 * $$B_{n,k}(1,1,\dots,1)=S(n,k)=\left\{{n\atop k}\right\}.$$

इन मानों का योग एक के अनुक्रम पर पूर्ण बेल बहुपद का मान देता है:
 * $$B_n(1,1,\dots,1)=\sum_{k=1}^n B_{n,k}(1,1,\dots,1) = \sum_{k=1}^n \left\{{n\atop k}\right\},$$

जो nth बेल नंबर है।

व्युत्क्रम संबंध
यदि हम परिभाषित करते हैं


 * $$y_n = \sum_{k=1}^n B_{n,k}(x_1,\ldots,x_{n-k+1}),$$

तो हमारे पास उलटा संबंध है


 * $$x_n = \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} (k-1)! B_{n,k}(y_1,\ldots,y_{n-k+1}).$$

टचर्ड बहुपद
बहुपद स्पर्श $$T_n(x) = \sum_{k=0}^n \left\{{n\atop k}\right\}\cdot x^k$$ x होने वाले सभी तर्कों पर पूर्ण बेल बहुपद के मान के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$T_n(x) = B_n(x,x,\dots,x).$$

कनवल्शन आइडेंटिटी
अनुक्रमों के लिए एक्सn, औरn, n = 1, 2, ..., कनवल्शन को परिभाषित करें:


 * $$(x \mathbin{\diamondsuit} y)_n = \sum_{j=1}^{n-1} {n \choose j} x_j y_{n-j}.$$

योग की सीमाएं 1 और n − 1 हैं, न कि 0 और n ।

होने देना $$x_n^{k\diamondsuit}\,$$ अनुक्रम का nवाँ पद हो


 * $$\displaystyle\underbrace{x\mathbin{\diamondsuit}\cdots\mathbin{\diamondsuit} x}_{k \text{ factors}}.\,$$

तब
 * $$B_{n,k}(x_1,\dots,x_{n-k+1}) = {x_n^{k\diamondsuit} \over k!}.\,$$

उदाहरण के लिए, आइए गणना करें $$ B_{4,3}(x_1,x_2) $$. अपने पास


 * $$ x = ( x_1 \, \ x_2 \ , \ x_3 \ , \ x_4 \ , \dots ) $$
 * $$ x \mathbin{\diamondsuit} x = ( 0,\ 2 x_1^2 \ ,\  6 x_1 x_2 \, \  8 x_1 x_3 + 6 x_2^2 \ , \dots ) $$
 * $$ x \mathbin{\diamondsuit} x \mathbin{\diamondsuit} x = ( 0 \ ,\ 0 \ , \ 6 x_1^3 \ , \ 36 x_1^2 x_2 \ , \dots ) $$

और इस प्रकार,


 * $$ B_{4,3}(x_1,x_2) = \frac{ ( x \mathbin{\diamondsuit} x \mathbin{\diamondsuit} x)_4 }{3!} = 6 x_1^2 x_2. $$

अन्य पहचान

 * $$B_{n,k}(1!,2!,\ldots,(n-k+1)!) = \binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} = L(n,k)$$ जो ये रही संख्या देता है।
 * $$B_{n,k}(1,2,3,\ldots,n-k+1) = \binom{n}{k} k^{n-k} $$ जो इम्पोटेंस # इम्पोटेंट फंक्शन देता है।
 * $$B_{n,k}(-x_1,x_2,-x_3,\ldots,(-1)^{n-k}x_{n-k+1}) = (-1)^n B_{n,k}(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_{n-k+1})$$ और $$B_n(-x_1,x_2,-x_3,\ldots,(-1)^{n-1}x_n) = (-1)^n B_n(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$$.
 * संपूर्ण बेल बहुपद द्विपद प्रकार के संबंध को संतुष्ट करते हैं:
 * $$ B_n(x_1 + y_1, \ldots, x_n + y_n) = \sum_{i=0}^n {n \choose i} B_{n-i}(x_1, \ldots, x_{n-i})B_i(y_1, \ldots, y_i),$$
 * $$ B_{n, k}\Bigl(\frac{x_{q+1}}{\binom{q+1}{q}}, \frac{x_{q+2}}{\binom{q+2}{q}}, \ldots\Bigr) = \frac{n!(q!)^k}{(n+qk)!} B_{n+qk, k}(\ldots, 0, 0, x_{q+1}, x_{q+2}, \ldots).$$
 * यह कारक की चूक को ठीक करता है $$(q!)^k$$ कॉमटेट की किताब में।


 * कब $$1 \le a < n$$,
 * $$B_{n, n-a}(x_1, \ldots, x_{a+1}) = \sum_{j = a+1}^{2a}\frac{j!}{a!}\binom{n}{j}(x_1)^{n-j} B_{a, j-a}\Bigl(\frac{x_2}{2}, \frac{x_3}{3}, \ldots, \frac{x_{2(a+1)-j}}{2(a+1)-j}\Bigr).$$


 * आंशिक बेल बहुपद के विशेष स्थितियों:



\begin{align} B_{n, 1}(x_1, \ldots, x_n) = {} & x_n \\ [8pt] B_{n, 2}(x_1, \ldots, x_{n-1}) = {} & \frac{1}{2}\sum_{k = 1}^{n-1} \binom{n}{k} x_kx_{n-k} \\ [8pt] B_{n, n}(x_1) = {} & (x_1)^n \\ [8pt] B_{n, n-1}(x_1, x_2) = {} & \binom{n}{2}(x_1)^{n-2}x_2 \\ [8pt] B_{n, n-2}(x_1, x_2, x_3) = {} & \binom{n}{3}(x_1)^{n-3}x_3 + 3\binom{n}{4}(x_1)^{n-4}(x_2)^2 \\ [8pt] B_{n, n-3}(x_1, x_2, x_3, x_4) = {} & \binom{n}{4}(x_1)^{n-4}x_4 + 10\binom{n}{5}(x_1)^{n-5}x_2x_3 + 15\binom{n}{6}(x_1)^{n-6}(x_2)^3\\ [8pt] B_{n, n-4}(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = {} & \binom{n}{5}(x_1)^{n-5}x_5 + 5\binom{n}{6}(x_1)^{n-6}\bigl[3x_2x_4 + 2(x_3)^2\bigr] + 105\binom{n}{7}(x_1)^{n-7}(x_2)^2x_3\\ {} & {} + 105\binom{n}{8}(x_1)^{n-8}(x_2)^4. \end{align} $$

उदाहरण
पहले कुछ पूर्ण बेल बहुपद हैं:



\begin{align} B_0 = {} & 1, \\[8pt] B_1(x_1) = {} & x_1, \\[8pt] B_2(x_1,x_2) = {} & x_1^2 + x_2, \\[8pt] B_3(x_1,x_2,x_3) = {} & x_1^3 + 3x_1 x_2 + x_3, \\[8pt] B_4(x_1,x_2,x_3,x_4) = {} & x_1^4 + 6 x_1^2 x_2 + 4 x_1 x_3 + 3 x_2^2 + x_4, \\[8pt] B_5(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) = {} & x_1^5 + 10 x_2 x_1^3 + 15 x_2^2 x_1 + 10 x_3 x_1^2 + 10 x_3 x_2 + 5 x_4 x_1 + x_5 \\[8pt] B_6(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6) = {} & x_1^6 + 15 x_2 x_1^4 + 20 x_3 x_1^3 + 45 x_2^2 x_1^2 + 15 x_2^3 + 60 x_3 x_2 x_1 \\ & {} + 15 x_4 x_1^2 + 10 x_3^2 + 15 x_4 x_2 + 6 x_5 x_1 + x_6, \\[8pt] B_7(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7) = {} & x_1^7 + 21 x_1^5 x_2 + 35 x_1^4 x_3 + 105 x_1^3 x_2^2 + 35 x_1^3 x_4 \\ & {} + 210 x_1^2 x_2 x_3 + 105 x_1 x_2^3 + 21 x_1^2 x_5 + 105 x_1 x_2 x_4 \\ & {} + 70 x_1 x_3^2 + 105 x_2^2 x_3 + 7 x_1 x_6 + 21 x_2 x_5 + 35 x_3 x_4 + x_7. \end{align}$$

ब्रूनो का सूत्र प्राप्त करें
फा डि ब्रूनो के सूत्र को बेल बहुपदों के संदर्भ में निम्नानुसार बताया जा सकता है:


 * $${d^n \over dx^n} f(g(x)) = \sum_{k=1}^n f^{(k)}(g(x)) B_{n,k} \left(g'(x),g''(x), \dots, g^{(n-k+1)}(x)\right).$$

इसी प्रकार, Faà di Bruno के सूत्र का एक शक्ति-श्रृंखला संस्करण निम्नानुसार बेल बहुपदों का उपयोग करके कहा जा सकता है। कल्पना करना


 * $$f(x)=\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n!} x^n \qquad \text{and} \qquad g(x) = \sum_{n=1}^\infty {b_n \over n!} x^n.$$

तब


 * $$g(f(x)) = \sum_{n=1}^\infty

\frac{\sum_{k=1}^n b_k B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1})}{n!} x^n.$$ विशेष रूप से, पूर्ण बेल बहुपद औपचारिक शक्ति श्रृंखला के घातांक में दिखाई देते हैं:


 * $$\exp\left(\sum_{i=1}^\infty {a_i \over i!} x^i \right)

= \sum_{n=0}^\infty {B_n(a_1,\dots,a_n) \over n!} x^n,$$ जो तर्कों के एक निश्चित अनुक्रम पर पूर्ण बेल बहुपदों के घातीय जनरेटिंग फ़ंक्शन का भी प्रतिनिधित्व करता है $$a_1, a_2, \dots$$.

श्रृंखला का प्रत्यावर्तन
औपचारिक शक्ति श्रृंखला में दो कार्य एफ और जी को व्यक्त किया जाना चाहिए


 * $$f(w) = \sum_{k=0}^\infty f_k \frac{w^k}{k!}, \qquad \text{and} \qquad  g(z) = \sum_{k=0}^\infty g_k \frac{z^k}{k!},$$

ऐसा है कि g, g(f(w)) = w या f(g(z)) = z द्वारा परिभाषित f का संयोजनात्मक व्युत्क्रम है। यदि एफ0 = 0 और एफ1 ≠ 0, तो व्युत्क्रम के गुणांकों का एक स्पष्ट रूप बेल बहुपदों के रूप में दिया जा सकता है
 * $$ g_n = \frac{1}{f_1^n} \sum_{k=1}^{n-1} (-1)^k n^{\bar{k}} B_{n-1,k}(\hat{f}_1,\hat{f}_2,\ldots,\hat{f}_{n-k}), \qquad n \geq 2, $$

साथ $$ \hat{f}_k = \frac{f_{k+1}}{(k+1)f_{1}},$$ और $$n^{\bar{k}} = n(n+1)\cdots (n+k-1) $$ बढ़ती फैक्टोरियल है, और $$g_1 = \frac{1}{f_{1}}. $$

लाप्लास-प्रकार के इंटीग्रल का स्पर्शोन्मुख विस्तार
फॉर्म के इंटीग्रल पर विचार करें


 * $$I(\lambda) = \int_a^b e^{-\lambda f(x)} g(x) \, \mathrm{d}x, $$

जहां (ए, बी) एक वास्तविक (परिमित या अनंत) अंतराल है, λ एक बड़ा सकारात्मक पैरामीटर है और कार्य एफ और जी निरंतर हैं। मान लीजिए f का [a,b] में एक न्यूनतम है जो x = a पर होता है। मान लें कि x → a के रूप में+,


 * $$ f(x) \sim f(a) + \sum_{k=0}^\infty a_k (x-a)^{k+\alpha}, $$
 * $$ g(x) \sim \sum_{k=0}^\infty b_k (x-a)^{k+\beta-1}, $$

α > 0, Re(β) > 0 के साथ; और यह कि f के विस्तार को शब्दवार विभेदित किया जा सकता है। फिर, लाप्लास-एर्डेली प्रमेय में कहा गया है कि इंटीग्रल I(λ) का स्पर्शोन्मुख विस्तार इसके द्वारा दिया गया है


 * $$ I(\lambda) \sim e^{-\lambda f(a)} \sum_{n=0}^\infty \Gamma \Big(\frac{n+\beta}{\alpha} \Big) \frac{c_n}{\lambda^{(n+\beta)/\alpha}} \qquad \text{as} \quad \lambda \rightarrow \infty, $$

जहां गुणांक सीna के रूप में अभिव्यक्त होते हैंnऔर बीnआंशिक साधारण बेल बहुपदों का उपयोग करते हुए, जैसा कि कैंपबेल-फ्रोमन-वॉल्स-वोज्डाइलो सूत्र द्वारा दिया गया है:


 * $$ c_n = \frac{1}{\alpha a_0^{(n+\beta)/\alpha}} \sum_{k=0}^n b_{n-k} \sum_{j=0}^k \binom{-\frac{n+\beta}{\alpha}}{j} \frac{1}{a_0^j} \hat{B}_{k,j}(a_1,a_2,\ldots,a_{k-j+1}). $$

सममित बहुपद
प्राथमिक सममित बहुपद $$e_n$$ और घात योग सममित बहुपद $$p_n$$ बेल बहुपदों का उपयोग करके एक दूसरे से संबंधित हो सकते हैं:

\begin{align} e_n & = \frac{1}{n!}\; B_{n}(p_1, -1! p_2, 2! p_3, -3! p_4, \ldots, (-1)^{n-1}(n-1)! p_n ) \\ & = \frac{(-1)^n}{n!}\; B_{n}(-p_1, -1! p_2, -2! p_3, -3! p_4, \ldots, -(n-1)! p_n ), \end{align} $$

\begin{align} p_n & = \frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!} \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} (k-1)!\; B_{n,k}(e_1,2! e_2, 3! e_3,\ldots,(n-k+1)! e_{n-k+1}) \\ & = (-1)^n\; n\; \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \; \hat{B}_{n,k}(-e_1,\dots,-e_{n-k+1}). \end{align} $$ ये सूत्र किसी को अपने शून्य के बेल बहुपदों के संदर्भ में मोनिक बहुपदों के गुणांकों को व्यक्त करने की अनुमति देते हैं। उदाहरण के लिए, केली-हैमिल्टन प्रमेय के साथ वे अपनी शक्तियों के निशान के संदर्भ में एक n × n वर्ग मैट्रिक्स A के निर्धारक की अभिव्यक्ति की ओर ले जाते हैं:
 * $$ \det (A) = \frac{(-1)^{n}}{n!} B_n(s_1, s_2, \ldots, s_n), ~\qquad \text{where } s_k = - (k - 1)! \operatorname{tr}(A^k).$$

सममित समूहों का चक्र सूचकांक
सममित समूह का चक्र सूचकांक $$S_n$$ पूर्ण बेल बहुपदों के संदर्भ में निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$ Z(S_n) = \frac{B_n(0!\,a_1, 1!\,a_2, \dots, (n-1)!\,a_n)}{n!}.$$

क्षण और संचयी
योग


 * $$\mu_n' = B_n(\kappa_1,\dots,\kappa_n)=\sum_{k=1}^n B_{n,k}(\kappa_1,\dots,\kappa_{n-k+1})$$

संभाव्यता बंटन का nवां कच्चा क्षण (गणित) है जिसके पहले n संचयी κ हैं1, ..., कn. दूसरे शब्दों में, nवाँ क्षण nवाँ पूर्ण बेल बहुपद है जिसका मूल्यांकन पहले n संचयी पर किया जाता है। इसी प्रकार, nवें संचयी को क्षणों के रूप में दिया जा सकता है


 * $$\kappa_n = \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} (k-1)! B_{n,k}(\mu'_1,\ldots,\mu'_{n-k+1}).$$

हर्मिट बहुपद
हर्मिट बहुपदों को बेल बहुपदों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है


 * $$\operatorname{He}_n(x) = B_n(x,-1,0,\ldots,0),$$

जहां एक्सi = 0 सबके लिए i > 2; इस प्रकार हर्मिट बहुपदों के गुणांकों की एक संयुक्त व्याख्या की अनुमति देता है। इसे हर्मिट बहुपदों के जनक फलन की तुलना करके देखा जा सकता है


 * $$\exp \left(xt-\frac{t^2}{2} \right) = \sum_{n=0}^\infty \operatorname{He}_n(x) \frac {t^n}{n!}$$

बेल बहुपदों के साथ।

द्विपद प्रकार के बहुपद अनुक्रमों का प्रतिनिधित्व
किसी भी क्रम के लिए ए1, ए2, …, एn अदिश राशि, चलो


 * $$p_n(x)=\sum_{k=1}^n B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) x^k.$$

तब यह बहुपद अनुक्रम द्विपद प्रकार का होता है, अर्थात यह द्विपद सर्वसमिका को संतुष्ट करता है


 * $$p_n(x+y)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} p_k(x) p_{n-k}(y).$$
 * उदाहरण: ए के लिए1 = … = एn = 1, बहुपद $$p_n(x)$$ Touchard बहुपदों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

अधिक सामान्यतः, हमारे पास यह परिणाम है:


 * प्रमेय: द्विपद प्रकार के सभी बहुपद अनुक्रम इस रूप के होते हैं।

यदि हम एक औपचारिक शक्ति श्रृंखला को परिभाषित करते हैं


 * $$h(x)=\sum_{k=1}^\infty {a_k \over k!} x^k,$$

फिर सभी एन के लिए,


 * $$h^{-1}\left( {d \over dx}\right) p_n(x) = n p_{n-1}(x).$$

सॉफ्टवेयर
बेल बहुपद प्रयुक्त होते हैं:
 * गणित के रूप में BellY
 * मेपल (सॉफ्टवेयर) IncompleteBellB के रूप में
 * सेजमैथ bell_polynomial के रूप में

यह भी देखें

 * बेल मैट्रिक्स
 * घातीय सूत्र

संदर्भ

 * (contains also elementary review of the concept Bell-polynomials)
 * (contains also elementary review of the concept Bell-polynomials)
 * (contains also elementary review of the concept Bell-polynomials)
 * (contains also elementary review of the concept Bell-polynomials)
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