सदिश बीजगणित संबंध

सदिश बीजगणित में निम्नलिखित महत्वपूर्ण सर्वसमिकाएँ हैं। वे सर्वसमिकाएं जिनमें सदिश का परिमाण $$\|\mathbf A\|$$ सम्मिलित होता है, या दो सदिश A·B का डॉट गुणनफल (अदिश गुणनफल), किसी भी आयाम में सदिशों पर प्रयुक्त होता है। क्रॉस गुणनफल (सदिश गुणनफल) A×B का उपयोग करने वाली पहचान केवल तीन आयामों में परिभाषित की जाती है।

परिमाण
डॉट गुणनफल का उपयोग करके सदिश A का परिमाण व्यक्त किया जा सकता है:


 * $$\|\mathbf A \|^2 = \mathbf {A \cdot A} $$

त्रि-आयामी यूक्लिडियन स्पेस में, सदिश का परिमाण पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके इसके तीन घटकों से निर्धारित किया जाता है:


 * $$\|\mathbf A \|^2 = A_1^2 + A_2^2 +A_3^2 $$

असमानताएं

 * कॉची-श्वार्ज़ असमानता: $$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \le \left\|\mathbf A \right\| \left\|\mathbf B \right\| $$
 * त्रिभुज असमानता: $$\|\mathbf{A + B}\| \le \| \mathbf{A}\| + \|\mathbf{B}\| $$
 * विपरीत त्रिकोण असमानता: $$\|\mathbf{A - B}\| \ge \Bigl| \| \mathbf{A}\| - \|\mathbf{B}\| \Bigr| $$

कोण
सदिश गुणनफल और दो सदिशों के अदिश गुणनफल उनके बीच के कोण को परिभाषित करते हैं, और θ कहते हैं:
 * $$\sin \theta =\frac{\|\mathbf{A} \times \mathbf{B}\|}{\left\|\mathbf A \right\| \left\|\mathbf B \right\|} \quad ( -\pi < \theta \le \pi ) $$

दाहिने हाथ के नियम को संतुष्ट करने के लिए, सकारात्मक θ के लिए, सदिश B, A से वामावर्त है, और ऋणात्मक θ के लिए यह दक्षिणावर्त है।
 * $$\cos \theta = \frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{\left\|\mathbf A \right\| \left\|\mathbf B \right\|} \quad ( -\pi < \theta \le \pi )$$

पायथागॉरियन त्रिकोणमितीय पहचान तब प्रदान करती है:


 * $$ \left\|\mathbf{A \times B}\right\|^2 +(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})^2 = \left\|\mathbf A \right\|^2  \left\|\mathbf B \right\|^2 $$

यदि सदिश A = (Ax, Ay, Az) x-, y- और z-अक्षों के लंबकोणीय समुच्चय के साथ α, β, γ कोण बनाता है, तब:


 * $$ \cos \alpha = \frac{ A_x }{ \sqrt {A_x^2 +A_y^2 +A_z^2} } = \frac {A_x} {\| \mathbf A \|} \, $$

और समान रूप से कोण β, γ के लिए। फलस्वरूप:
 * $$\mathbf A = \left\|\mathbf A \right\|\left( \cos \alpha \ \hat{\mathbf  i}  +  \cos \beta\  \hat{\mathbf  j} +  \cos \gamma \ \hat{\mathbf  k}  \right) ,$$

$$\hat{\mathbf i}, \ \hat{\mathbf  j}, \ \hat{\mathbf  k}$$ अक्ष दिशाओं के साथ इकाई सदिश है।

क्षेत्र और आयतन
भुजाओं A और B वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल Σ जिसमें कोण θ है:
 * $$ \Sigma = AB \sin \theta, $$

जिसे समांतर चतुर्भुज के किनारों पर स्थित सदिश A और B के सदिश क्रॉस गुणनफल के परिमाण के रूप में पहचाना जाएगा। वह है:
 * $$\Sigma = \left\|\mathbf{A} \times \mathbf{B} \right\| = \sqrt{ \left\|\mathbf A\right\|^2 \left\|\mathbf B\right\|^2 - \left(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \right)^2} \ . $$

(यदि A, B द्वि-आयामी सदिश हैं, तो यह पंक्तियों A, B के साथ 2 × 2 आव्यूह के निर्धारक के बराबर है।) इस अभिव्यक्ति का वर्ग है:
 * $$\Sigma^2 = (\mathbf{A \cdot A })(\mathbf{B \cdot B })-(\mathbf{A \cdot B })(\mathbf{B \cdot A })=\Gamma(\mathbf A,\ \mathbf B ) \, $$

जहां Γ (A, B) A और B के ग्राम निर्धारक द्वारा परिभाषित किया गया है:


 * $$\Gamma(\mathbf A,\ \mathbf B )=\begin{vmatrix} \mathbf{A\cdot A} & \mathbf{A\cdot B} \\

\mathbf{B\cdot A} & \mathbf{B\cdot B} \end{vmatrix} \. $$ इसी तरह से, तीन सदिशों ' A ', ' B ', 'C ' द्वारा फैले समांतर चतुर्भुज का वर्गित आयतन तीन सदिशों के ग्राम निर्धारक द्वारा दिया जाता है: :

$$V^2 =\Gamma ( \mathbf A ,\ \mathbf B ,\ \mathbf C ) = \begin{vmatrix} \mathbf{A\cdot A} & \mathbf{A\cdot B} & \mathbf{A\cdot C} \\\mathbf{B\cdot A} & \mathbf{B\cdot B} & \mathbf{B\cdot C}\\ \mathbf{C\cdot A} & \mathbf{C\cdot B} & \mathbf{C\cdot C} \end{vmatrix} \, $$

चूंकि ' A ', ' B ', 'C ' त्रि-आयामी सदिश हैं, यह स्केलर ट्रिपल गुणनफल के वर्ग के बराबर है;

$$\det[\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}] = |\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}|$$

इस प्रक्रिया को n-आयामों तक बढ़ाया जा सकता है।

सदिशों का योग और गुणन
A_{x} & B_{x} & C_{x}\\ A_{y} & B_{y} & C_{y}\\ A_{z} & B_{z} & C_{z}\end{vmatrix}.$$
 * जोड़ की क्रमविनिमेयता: $$\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{B}+\mathbf{A}$$.
 * अदिश गुणनफल की क्रमविनिमेयता: $$\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=\mathbf{B}\cdot\mathbf{A}$$.
 * क्रॉस गुणनफल की एंटीकम्यूटेटिविटी: $$\mathbf{A}\times\mathbf{B}=\mathbf{-B}\times\mathbf{A}$$.
 * जोड़ पर अदिश द्वारा गुणन का वितरण: $$ c (\mathbf{A}+\mathbf{B}) = c\mathbf{A}+c\mathbf{B}$$.
 * अतिरिक्त पर स्केलर गुणनफल का वितरण: $$\left(\mathbf{A}+\mathbf{B}\right)\cdot\mathbf{C}=\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}+\mathbf{B}\cdot\mathbf{C}$$.
 * सदिश गुणनफल का वितरण योग से अधिक: $$(\mathbf{A}+\mathbf{B})\times\mathbf{C} = \mathbf{A}\times\mathbf{C}+\mathbf{B}\times\mathbf{C}$$.
 * स्केलर ट्रिपल गुणनफल: $$\mathbf{A}\cdot (\mathbf{B}\times\mathbf{C})=\mathbf{B}\cdot (\mathbf{C}\times\mathbf{A})=\mathbf{C}\cdot (\mathbf{A}\times\mathbf{B}) = |\mathbf{A}\, \mathbf{B}\,\mathbf{C}|= \begin{vmatrix}
 * सदिश ट्रिपल गुणनफल: $$\mathbf{A}\times (\mathbf{B}\times\mathbf{C}) = (\mathbf{A}\cdot\mathbf{C} )\mathbf{B}- (\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})\mathbf{C}$$.
 * जैकोबी पहचान: $$\mathbf{A}\times (\mathbf{B}\times\mathbf{C} )+\mathbf{C}\times (\mathbf{A}\times\mathbf{B} )+ \mathbf{B}\times (\mathbf{C}\times\mathbf{A} )= \mathbf 0 .$$
 * बिनेट-कॉची पहचान: $$ \mathbf{\left(A\times B\right)\cdot}\left(\mathbf{C}\times\mathbf{D}\right)=\left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}\right) \left(\mathbf{B}\cdot\mathbf{D}\right) - \left(\mathbf{B}\cdot\mathbf{C}\right) \left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{D}\right) .$$
 * लैग्रेंज की पहचान: $$|\mathbf{A} \times \mathbf{B}|^2 =   (\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}) (\mathbf{B} \cdot \mathbf{B})-(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})^2$$.
 * सदिश चौगुनी गुणनफल: $$(\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \times (\mathbf{C} \times \mathbf{D}) \ =\  |\mathbf{A}\,\mathbf{B}\, \mathbf{D}|\,\mathbf{C}\,-\,|\mathbf{A}\,\mathbf{B}\, \mathbf{C}|\,\mathbf{D}\ =\
 * \mathbf{A}\,\mathbf{C}\, \mathbf{D}|\,\mathbf{B}\,-\,|\mathbf{B}\, \mathbf{C}\,\mathbf{D}|\,\mathbf{A}.$$
 * पिछले समीकरण का परिणाम: $$|\mathbf{A}\, \mathbf{B}\,\mathbf{C}|\,\mathbf{D}= (\mathbf{A}\cdot\mathbf{D} )\left(\mathbf{B}\times\mathbf{C}\right)+\left(\mathbf{B}\cdot\mathbf{D}\right)\left(\mathbf{C}\times\mathbf{A}\right)+\left(\mathbf{C}\cdot\mathbf{D}\right)\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right).$$
 * 3 आयामों में, सदिश D को आधार सदिश {A ', ' B ', 'C '} के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: $$\mathbf D \ =\ \frac{\mathbf{D} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C})}{|\mathbf{A}\, \mathbf{B}\,\mathbf{C}|}\ \mathbf A +\frac{\mathbf{D} \cdot (\mathbf{C} \times \mathbf{A})}{|\mathbf{A}\, \mathbf{B}\, \mathbf{C}|}\ \mathbf B + \frac{\mathbf{D} \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B})}{|\mathbf{A}\,\mathbf{B}\, \mathbf{C}|}\ \mathbf C.$$

यह भी देखें

 * सदिश स्पेस
 * ज्यामितीय बीजगणित