डुओडेसिमल

डुओडेसिमल प्रणाली (जिसे आधार 12, दर्जन, या, संभवतः ही कभी, असियल के रूप में भी जाना जाता है) एक स्थितीय अंकन अंक प्रणाली है, जो 12 (संख्या) को आधार के रूप में उपयोग करती है। संख्या बारह (अर्थात्, दशमलव संख्या प्रणाली में 12 के रूप में लिखी गई संख्या) को डुओडेसिमल में 10 के रूप में लिखा जाता है (अर्थात् 1 दस और 0 इकाइयों के अतिरिक्त 1 दर्जन और 0 इकाइयाँ), जबकि अंक स्ट्रिंग 12 का अर्थ है 1 दर्जन और 2 इकाइयां (दशमलव 14)। इसी तरह, डुओडेसिमल में, 100 का अर्थ 1 सकल (इकाई), 1000 का अर्थ 1 बड़ा सकल और 0.1 का अर्थ 1 बारहवां होता है (उनके दशमलव अर्थ क्रमशः 1 सौ, 1 हज़ार, और 1 दसवां होता है)।

डुओडेसिमल नोटेशन में दस और ग्यारह के लिए खड़े होने के लिए विभिन्न प्रतीकों का उपयोग किया गया है; यह पृष्ठ हेक्साडेसिमल के रूप में A और B का उपयोग करते हैं, जो शून्य से बारह, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,, , 10. तक एक डुओडेसिमल गिनती बनाता है। अमेरिका और ग्रेट ब्रिटेन के डोजेनल सोसाइटीज (ड्यूओडेसिमल के उपयोग को बढ़ावा देने वाले संगठन) ने अपनी प्रकाशित सामग्री में दस के लिए ↊ (एक टर्न 2) और ग्यारह के लिए ↋ (3 टर्न) अंकों का उपयोग किया।

संख्या बारह, एक श्रेष्ठ अत्यधिक संमिश्र संख्या, चार गैर-तुच्छ पूर्णांक गुणनखंडों (2, 3, 4, 6) के साथ सबसे छोटी संख्या है, और उपकरना रेंज के अन्दर सभी चार संख्याओं (1 से 4) को कारकों के रूप में सम्मिलित करने के लिए सबसे छोटी संख्या है। और सबसे छोटी 3-चिकनी संख्या के व्युत्क्रम के सभी गुणजों का ($a⁄2^{b}·3^{c}$ कहाँ पे $a,b,c$ पूर्णांक हैं) डुओडेसिमल में एक समाप्ति दशमलव प्रतिनिधित्व है। विशेष रूप से, $undefined 1/4$ (0.3), $undefined 1/3$ (0.4), $undefined 1/2$ (0.6), $undefined 2/3$(0.8), और $undefined 3/4$(0.9) सभी का डुओडेसिमल में शॉर्ट टर्मिनेटिंग रिप्रेजेंटेशन है। डुओडेसिमल गुणन तालिका में भी उच्च नियमितता देखी जा सकती है। परिणामस्वरूप, डुओडेसिमल को इष्टतम संख्या प्रणाली के रूप में वर्णित किया गया है।

इन स्थितियों में, डुओडेसिमल को दशमलव से बेहतर माना जाता है (जिसके कारक के रूप में केवल 2 और 5 हैं) और अन्य प्रस्तावित आधार जैसे अष्टभुजाकार या हेक्साडेसिमल। साठवाँ इस संबंध में और भी बेहतर करता है (सभी 5-नियमित संख्याओं के व्युत्क्रम संख्याएं समाप्त होती हैं), लेकिन अनावश्यक गुणन सारणी और याद रखने के लिए बहुत अधिक संख्या में प्रतीक देता है।

उत्पत्ति

 * इस भाग में अंक दशमलव अंकीय अंक पर आधारित होते हैं। उदाहरण के लिए, 10 का अर्थ 10 (संख्या) और 12 का अर्थ 12 (संख्या) है।

डुओडेसिमल संख्या प्रणाली का उपयोग करने वाली भाषाएँ असामान्य हैं। नाइजीरियाई मध्य बेल्ट में भाषाएँ जैसे जंजी भाषा, गबिरी-निरागु भाषा (गुरे-कहुगु), पिटी भाषा, और ग्वांडारा भाषा की निंबिया बोली; और नेपाल की चेपांग भाषा डुओडेसिमल अंकों का उपयोग करने के लिए जाने जाते हैं।

जर्मनिक भाषाओं में 11 और 12 के लिए विशेष शब्द होते हैं, जैसे अंग्रेजी भाषा में ग्यारह और बारह। वे आद्य-युरोपीय *ऐनलिफ़ और *ट्वालिफ़ (अर्थात् क्रमशः एक बाएँ और दो बाएँ) से आते हैं, जो डुओडेसिमल मूल के अतिरिक्त एक दशमलव का सुझाव देते हैं। चूँकि, प्राचीन नॉर्स ने  "एक सौ अस्सी" के अर्थ 200 और "दो सौ" के अर्थ 240 के लिए इसके शब्दों के साथ एक संकर दशमलव/द्विआदिमल गणना प्रणाली का उपयोग किया। ब्रिटिश द्वीपों पर, गिनती की यह शैली लंबे सौ के रूप में मध्य युग में अच्छी तरह से जीवित रही।

ऐतिहासिक रूप से, कई सभ्यताओं में समय की माप की इकाई डुओडेसिमल है। राशि चक्र के बारह संकेत हैं, एक वर्ष में बारह महीने, और बेबीलोनियों के पास एक दिन में बारह घंटे होते थे (चूंकि किसी समय इसे बदलकर 24 कर दिया गया था)। पारंपरिक चीनी कैलेंडर, घड़ियां और कम्पास बारह सांसारिक शाखाओं या 24 (12×2) सौर शर्तों पर आधारित हैं। एक शाही पैर में 12 इंच, एक ट्रॉय पाउंड में 12 ट्रॉय वजन औंस, एक शिलिंग में 12 प्राचीन ब्रिटिश पेंस, एक पैसा सिक्का (पूर्व-दशमलव), एक दिन में 24 (12×2) घंटे, सकल (इकाई) (144 (संख्या), 12 की वर्ग संख्या), या महान सकल (1728 (संख्या), 12 का घन (अंकगणित) और कई अन्य सामान दर्जन से गिने जाते हैं। रोमनों ने 12 पर आधारित एक अंश प्रणाली का उपयोग किया, जिसमें उनसिया (लंबाई) भी सम्मिलित है, जो अंग्रेजी शब्द औंस और इंच दोनों बन गये थे। पूर्व-दशमलव दिवस, आयरलैंड गणराज्य और यूनाइटेड किंगडम ने एक मिश्रित डुओडेसिमल-विगेसिमल मुद्रा प्रणाली (12 पेंस = 1 शिलिंग, 20 शिलिंग या 240 पेंस पौंड स्टर्लिंग या आयरिश पाउंड) का उपयोग किया, और शारलेमेन ने एक मौद्रिक प्रणाली की स्थापना की जिसमें बारह और बीस का मिश्रित आधार, जिसके अवशेष कई स्थानों पर विद्यमान हैं।

12 के महत्व को एक वर्ष में चंद्र चक्रों की संख्या के साथ-साथ इस तथ्य के लिए जिम्मेदार ठहराया गया है कि मनुष्य के एक हाथ में 12 अंगुलियां (फलांग) होती हैं (चार अंगुलियों में से प्रत्येक में तीन)। 12 तक गिनना संभव है जब अंगूठा एक संकेतक के रूप में कार्य करता है जो प्रत्येक उंगली की हड्डी को बारी-बारी से छूता है। एशिया के कई क्षेत्रों में अभी भी उपयोग की जाने वाली एक पारंपरिक उंगली गिनती प्रणाली इस तरह से काम करती है और 10, 20 और 5 के आधार पर 12 और 60 के आधार पर अंक प्रणालियों की घटना को समझाने में सहायता कर सकती है। इस प्रणाली में, एक ( सामान्यतः) हाथ बार-बार 12 तक गिनता है, दूसरे (आमतौर पर बाएं) पर पुनरावृत्तियों की संख्या प्रदर्शित करता है, जब तक कि पांच दर्जन, अर्थात् 60, पूर्ण नहीं हो जाते थे।

अंकन और उच्चारण
एक नंबरिंग प्रणाली में, आधार (डुओडेसिमल के लिए बारह) को 10 के रूप में लिखा जाना चाहिए, लेकिन मात्राओं (मानों की गणना) को दस और ग्यारह कैसे लिखना है, इसके लिए कई प्रस्ताव हैं।

ट्रांसडेसिमल प्रतीक
टाइपराइटर पर प्रवेश की अनुमति देने के लिए, $⟨A, B⟩$ (हेक्साडेसिमल के रूप में), $⟨T, E⟩$ (दस और ग्यारह के आद्याक्षर), $⟨X, E⟩$ (दस के लिए रोमन अंक से X), या $⟨X, Z⟩$ उपयोग किया जाता है। कुछ यूनानी अक्षरों जैसे कि $⟨δ, ε⟩$ (ग्रीक से δέκα 'दस' और ένδεκα 'ग्यारह'), या $⟨τ, ε⟩$ का प्रयोग करते हैं। डुओडेसिमल के लिए एक शुरुआती अमेरिकी अधिवक्ता फ्रैंक एमर्सन एंड्रयूज ने अपनी पुस्तक न्यू नंबर्स $⟨W, ∂⟩$ (स्क्रिप्ट कैपिटल ई, U+2130) में सुझाव दिया और इसका उपयोग किया।

एडना क्रेमर ने अपनी 1951 की पुस्तक द मेन स्ट्रीम ऑफ मैथमैटिक्स में $⟨X, ℰ⟩$ (सेक्सटाइल या सिक्स-पॉइंटेड एस्टरिस्क, नंबर साइन या ऑक्टोथोरपे) उपयोग किया था। इन प्रतीकों को इसलिए चुना गया क्योंकि वे कुछ टाइपराइटरों पर उपलब्ध थे; वे पुश-बटन टेलीफोन पर भी हैं। 1974 से 2008 तक डोजेनल सोसाइटी ऑफ अमेरिका (डीएसए) के प्रकाशनों में इस संकेतन का उपयोग किया गया था।

2008 से 2015 तक, डीएसए ने, विलियम एडिसन डविगिन्स द्वारा तैयार किए गए प्रतीक $⟨⚹, #⟩$ का उपयोग किया।

डोजेनल सोसायटी ऑफ ग्रेट ब्रिटेन (डीएसजीबी) ने प्रस्तावित प्रतीक $⟨↊, ↋⟩$ ⟨रोटेटिड डिजिट टू, रिवर्स या रोटेट डिजिट थ्री⟩ 180 डिग्री रोटेशन द्वारा अरबी अंकों से प्राप्त यह अंकन, आइजैक पिटमैन द्वारा प्रस्तुत किया गया था। मार्च 2013 में, यूनिकोड में डोजेनल सोसाइटीज द्वारा प्रचारित दस और ग्यारह के लिए अंकों के रूपों को सम्मिलित करने के लिए एक प्रस्ताव प्रस्तुत किया गया था। इनमें से, ब्रिटिश/पिटमैन रूपों को कोड बिंदुओं पर वर्णों के रूप में एन्कोडिंग के लिए स्वीकार किया गया था और. उन्हें यूनिकोड 8.0 (2015) में सम्मिलित किया गया था।

पिटमैन अंकों को यूनिकोड में जोड़े जाने के बाद, डीएसए ने एक वोट लिया और इसके अतिरिक्त पिटमैन अंकों का उपयोग करके सामग्री प्रकाशित करना शुरू किया। वे अभी भी ASCII टेक्स्ट में अक्षर X और E का उपयोग करते हैं। जैसा कि यूनिकोड वर्ण खराब समर्थित हैं, यह पृष्ठ "" और "" का उपयोग करता है।

अन्य प्रस्ताव अधिक रचनात्मक या सौंदर्यवादी हैं; उदाहरण के लिए, कई लोग अलग पहचान के सिद्धांत के अनुसार अरबी अंकों का उपयोग नहीं करते हैं।

आधार अंकन
दशमलव संख्या से डुओडेसिमल संख्या को अलग करने के विधियों के अलग-अलग प्रस्ताव भी हैं। उनमें डुओडेसिमल संख्या 54 = 64 को इटैलिकाइज़ करना सम्मिलित है, डुओडेसिमल संख्या 54;6 = 64.5, या दोनों के कुछ संयोजन में हम्फ्री बिंदु (दशमलव बिंदु के अतिरिक्त एक अर्धविराम) जोड़ना सम्मिलित है। अन्य लोग आधार को निरुपित करने के लिए सबस्क्रिप्ट या चिपकाए गए लेबल का उपयोग करते हैं, जो दशमलव और डुओडेसिमल से अधिक का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देता है (एकल अक्षर 'z' के लिए do'z'enal का उपयोग 'd' के रूप में किया जाता है जिसका अर्थ दशमलव होगा) जैसे 54z = 64d,  5412 = 6410या दर्जन 54 = दिसम्बर 64।

उच्चारण
डोजेनल सोसाइटी ऑफ अमेरिका ने दस और ग्यारह के उच्चारण को डेक और एल के रूप में सुझाया। बारह की शक्तियों के नाम के लिए दो प्रमुख प्रणालियाँ हैं।

डुओडेसिमल नंबर
इस प्रणाली में, अंशों के लिए उपसर्ग ई- जोड़ा जाता है।

इस श्रंखला में एकाधिक अंकों का उच्चारण अलग-अलग विधियों से किया जाता है: जैसे- 12 "डू टू" है; 30 "तीन दो" है; 100 "ग्रो" है; BA9 "एल ग्रो देक डू नाइन" है; B86 "एल ग्रो आठ डू सिक्स" है; 8BB, 15A "आठ ग्रो एल डू एल, वन ग्रो फाइव डू डेक" एबीए "डेक ग्रो एल डू डेक" बीबीबी "एल ग्रो एल डो एल" है और 0.06 "सिक्स एग्रो" है।

प्रणालीैटिक डोजेनल नोमेनक्लेचर (एसडीएन)
यह प्रणाली 12 की सकारात्मक शक्तियों के लिए -qua समाप्ति और 12 की नकारात्मक शक्तियों के लिए समाप्त होने वाले -cia का उपयोग करती है, और आईयूपीएसी व्यवस्थित तत्व नामों का एक विस्तार (डुओडेसिमल के लिए आवश्यक दो अतिरिक्त अंकों के लिए सिलेबल्स डेक और लेव के साथ) व्यक्त करने के लिए शक्ति का अर्थ है।

वकालत और दर्जनवाद
विलियम जेम्स सैट ने 1906 में अपनी निर्मित भाषा वेंडरगुड के लिए आधार के रूप में 12 का उपयोग किया, यह देखते हुए कि यह चार कारकों और वाणिज्य में इसकी व्यापकता के साथ सबसे छोटी संख्या है।

डुओडेसिमल प्रणाली के स्थितियों को फ्रैंक एमर्सन एंड्रयूज की 1935 की पुस्तक न्यू नंबर्स: हाउ एक्सेप्टेंस ऑफ ए डुओडेसिमल बेस विल सिंप्लिफाई मैथमैटिक्स में विस्तार से प्रस्तुत किया गया था। इमर्सन ने नोट किया कि, वजन और माप की कई पारंपरिक इकाइयों में बारह के कारकों की व्यापकता के कारण, मीट्रिक प्रणाली के लिए प्रमाणित किए गए कई कम्प्यूटेशनल लाभों को या तो दस-आधारित वजन और माप को अपनाने या डुओडेसिमल संख्या प्रणाली को अपनाने से अनुभूत किया जा सकता है।

डोजेनल सोसाइटी ऑफ अमेरिका और डोजेनल सोसाइटी ऑफ ग्रेट ब्रिटेन दोनों आधार-बारह प्रणाली को व्यापक रूप से अपनाने को बढ़ावा देते हैं। अधिक स्पष्ट आधार-दस शब्दावली से बचने के लिए वे डुओडेसिमल के अतिरिक्त दर्जन शब्द का उपयोग करते हैं। चूँकि, डोजेनल की व्युत्पत्ति भी आधार-दस शब्दावली पर आधारित एक अभिव्यक्ति है क्योंकि डज़न फ्रांसीसी शब्द डौज़ाइन की प्रत्यक्ष व्युत्पत्ति है जो बारह के लिए फ्रांसीसी शब्द का व्युत्पन्न है: विक्ट: डौज़, लैटिन डुओडेसिम से निकला है।

चूंकि कम से कम 1945 तक डोजेनल सोसाइटी ऑफ अमेरिका और डोजेनल सोसाइटी ऑफ ग्रेट ब्रिटेन के कुछ सदस्यों ने सुझाव दिया है कि एक अधिक उपयुक्त शब्द अनसियल होगा। अनसियल लैटिन शब्द अनिसया की व्युत्पत्ति है, जिसका अर्थ है एक-बारहवां, और लैटिन शब्द डेसीमा का आधार-बारह एनालॉग भी है, जिसका अर्थ है एक-दसवां।

गणितज्ञ और मानसिक कैलकुलेटर अलेक्जेंडर ऐटकेन डुओडेसिमल के मुखर समर्थक थे: "डुओडेसिमल टेबल मास्टर करना आसान है, दशमलव वाले से आसान है; और प्रारंभिक शिक्षण में वे बहुत अधिक दिलचस्प होंगे, क्योंकि छोटे बच्चों को दस की तुलना में बारह छड़ों या ब्लॉकों के साथ करने के लिए अधिक आकर्षक चीजें मिलेंगी। जिस किसी के भी पास ये तालिकाएँ होंगी, वह इन गणनाओं को दशमलव की तुलना में ग्रहणी के पैमाने में डेढ़ गुना से अधिक तेजी से करेगा। यह मेरा अनुभव है; मुझे यकीन है कि इससे भी ज्यादा यह दूसरों का अनुभव होगा।"

- ए सी एटकेन

"लेकिन अंतिम मात्रात्मक लाभ, मेरे अपने अनुभव में, यह है: एक साधारण और अनावश्यक रूप से जटिल प्रकार की विविध और व्यापक गणनाओं में, कई वर्षों में किए गए, मैं इस निष्कर्ष पर पहुँचता हूँ कि दशमलव प्रणाली की दक्षता का मूल्यांकन किया जा सकता है लगभग 65 या उससे कम, अगर हम डुओडेसिमल को 100 असाइन करते हैं।"

- ए सी एटकेन

मीडिया में
लिटिल ट्वेल्वेटो में, अमेरिकी टेलीविजन श्रृंखला स्कूलहाउस रॉक! आधार-बारह अंकगणित का उपयोग करते हुए एक एलियन को चित्रित किया, दस और ग्यारह के लिए डेक और एल का उपयोग करते हुए, और अंकों के प्रतीकों के लिए एंड्रयूज की स्क्रिप्ट-एक्स और स्क्रिप्ट-ई का उपयोग किया था।

माप की डुओडेसिमल प्रणाली
दर्जनवादियों द्वारा प्रस्तावित मापन प्रणालियों में सम्मिलित हैं:
 * टॉम पेंडलेबरी का टीजीएम प्रणाली
 * ताकाशी सुगा की यूनिवर्सल यूनिट प्रणाली
 * जॉन वोलन की प्रिमल प्रणाली

अन्य संख्या प्रणालियों से तुलना
डोजेनल सोसाइटी ऑफ अमेरिका का तर्क है कि यदि कोई आधार बहुत छोटा है, तो संख्याओं के लिए काफी लंबे विस्तार की आवश्यकता है; और यदि आधार बहुत बड़ा है, तो अंकगणित करने के लिए एक बड़ी गुणन सारणी को याद करना चाहिए। इस प्रकार यह माना जाता है कि एक संख्या आधार को संभवतः 18 और 20 सहित लगभग 7 या 8 से 16 के बीच होना चाहिए।

संख्या 12 के छह कारक हैं, जो 1 (संख्या), 2 (संख्या), 3 (संख्या), 4 (संख्या), 6 (संख्या), और 12 (संख्या) हैं, जिनमें से 2 और 3 अभाज्य संख्याएँ हैं। यह छह गुणनखंड वाली सबसे छोटी संख्या है, सबसे बड़ी संख्या जिसके नीचे भाजक के रूप में कम से कम आधी संख्या है, और 10 से बहुत बड़ी नहीं है। (संख्या 18 और 20 में भी छह गुणनखंड हैं, लेकिन बहुत बड़े हैं। ) दशमलव के केवल चार कारक हैं, जो 1 (संख्या), 2 (संख्या), 5 (संख्या) और 10 (संख्या) हैं, जिनमें से 2 और 5 अभाज्य हैं। सेनानी (आधार 6) प्रमुख कारक 2 और 3 को डुओडेसिमल के साथ साझा करता है, लेकिन दशमलव की तरह इसमें छह के अतिरिक्त केवल चार कारक (1, 2, 3 और 6) हैं, और यह डीएसए की घोषित सीमा से नीचे है।

ऑक्टल (आधार 8) के चार कारक हैं, 1, 2, 4 और 8 (संख्या), लेकिन केवल एक प्रमुख कारक (2) है। हेक्साडेसिमल (आधार 16) पांचवें कारक के रूप में 16 (संख्या) जोड़ता है, लेकिन फिर भी कोई अतिरिक्त अभाज्य नहीं है। ऐसा इसलिए है क्योंकि 16=8×2, और 8 में पहले से ही एक कारक के रूप में 2 है।

ट्राइजेसिमल (आधार 30) सबसे छोटी प्रणाली है जिसमें तीन अलग-अलग प्रमुख कारक हैं (सभी तीन सबसे छोटे अभाज्य: 2, 3 और 5) और इसके कुल आठ कारक हैं (1, 2, 3, 5, 6, 10, 15), और 30)। सेक्सेजिमल - जो प्राचीन सुमेरियन और बेबिलोनिया दूसरों के बीच वास्तव में उपयोग करते थे - इसमें चार सुविधाजनक कारक 4, 12, 20 और 60 जोड़ते हैं लेकिन कोई नया प्रमुख कारक नहीं है। सबसे छोटी प्रणाली जिसमें चार अलग-अलग प्रमुख कारक हैं आधार 210 है और पैटर्न आदिमों का अनुसरण करता है। चूँकि, ये बहुत बड़े आधार हैं।

सभी आधार प्रणालियों में, संख्याओं के गुणकों के प्रतिनिधित्व में समानताएं होती हैं जो आधार से एक कम या एक अधिक होती हैं।

दशमलव से और उससे रूपांतरण तालिकाएँ
आधारों के बीच संख्याओं को परिवर्तित करने के लिए, कोई सामान्य रूपांतरण एल्गोरिथ्म का उपयोग कर सकता है (आधार रूपांतरण के अनुसार संबंधित अनुभाग देखें)। वैकल्पिक रूप से, कोई अंक-रूपांतरण तालिकाओं का उपयोग कर सकता है। नीचे दिए गए लोगों का उपयोग किसी भी डुओडेसिमल संख्या को 0; 01 और बीबीबी, बीबीबी; बीबी से दशमलव में, या किसी भी दशमलव संख्या को 0.01 और 999,999.99 के बीच डुओडेसिमल में बदलने के लिए किया जा सकता है। उनका उपयोग करने के लिए, दी गई संख्या को पहले केवल एक महत्वपूर्ण अंक के साथ संख्याओं के योग में विभाजित किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए:


 * 123,456.78 = 100,000 + 20,000 + 3,000 + 400 + 50 + 6 + 0.7 + 0.08

यह अपघटन उसी तरह से काम करता है, चाहे संख्या किसी भी आधार पर व्यक्त की गई हो। बस प्रत्येक गैर-शून्य अंक को अलग करें, उनके संबंधित स्थान मानों को संरक्षित करने के लिए आवश्यक शून्य के साथ पैडिंग करें। यदि दी गई संख्या में अंकों में शून्य (उदाहरण के लिए, 102,304.05) सम्मिलित हैं, तो ये निश्चित रूप से अंकों के अपघटन (102,304.05 = 100,000 + 2,000 + 300 + 4 + 0.05) में छोड़े गए हैं। फिर प्रत्येक अंक के लिए लक्ष्य आधार में समतुल्य मान प्राप्त करने के लिए अंक रूपांतरण तालिका का उपयोग किया जा सकता है। यदि दी गई संख्या डुओडेसिमल में है और लक्ष्य आधार दशमलव है, तो हम प्राप्त करते हैं:


 * (duodecimal) 100,000 + 20,000 + 3,000 + 400 + 50 + 6 + 0;7 + 0;08 = (decimal) 248,832 + 41,472 + 5,184 + 576 + 60 + 6 + 0.58$⟨Dozenal us 10.svg, Dozenal us 11.svg⟩$333333333... + 0.0$⟨ten, eleven⟩$5555555555...

अब, क्योंकि योग पहले से ही आधार दस में परिवर्तित हो चुके हैं, सामान्य दशमलव अंकगणित का उपयोग रूपांतरण परिणाम पर पहुंचने के लिए जोड़ और संख्या को फिर से करने के लिए किया जाता है: अर्थात्, (duodecimal) 123,456.78 बराबर (decimal) 296,130.63$⟨\textturntwo, \textturnthree⟩$ ≈ 296,130.64 है

यदि दी गई संख्या दशमलव में है और लक्ष्य आधार डुओडेसिमल है, तो विधि मूल रूप से समान है। अंक रूपांतरण तालिकाओं का उपयोग करना:

(decimal) 100,000 + 20,000 + 3,000 + 400 + 50 + 6 + 0.7 + 0.08 = (डुओडेसिमल) 49,54 + ,68 + 1,80 + 294 + 42 + 6 + 0;8$⟨A, B⟩$4972497249724972497... + 0;$⟨T, E⟩$062...

चूँकि, इस योग को करने और संख्या को फिर से बनाने के लिए, अब डुओडेसिमल प्रणाली के लिए अतिरिक्त तालिकाओं का उपयोग करना होगा, दशमलव के लिए अतिरिक्त तालिकाओं के अतिरिक्त अधिकांश लोग पहले से ही परिचित हैं, क्योंकि सारांश अब आधार बारह में हैं और इसलिए उनके साथ अंकगणित भी डुओडेसिमल में होना चाहिए। दशमलव में, 6 + 6 = 12 होता है, लेकिन डुओडेसिमल में यह 10 के बराबर होता है; इसलिए, यदि दशमलव अंकगणित का उपयोग डुओडेसिमल संख्याओं के साथ किया जाता है, तो एक गलत परिणाम आएगा। डुओडेसिमल में अंकगणित को ठीक से करने पर परिणाम मिलता है:

दशमलव -> डुओडेसिमल

100,000 = 49,54   20,000     =      ,68     3,000     =      1,80       400     =        294        50     =         42  +      6     =   +      6         0.7   =          0;8$⟨X, E⟩$4972497249724972497...         0.08  =          0;$⟨X, Z⟩$062...   123,456.78  =     5,540;9$⟨δ, ε⟩$43...

अर्थात्, (decimal) 123,456.78 बराबर (डुओडेसिमल) 5,540;9$⟨τ, ε⟩$... ≈ 5,540;94 है

विभाज्यता नियम
(इस खंड में, सभी संख्याएं डुओडेसिमल के साथ लिखी गई हैं)

यह खंड डुओडेसिमल में विभाज्यता नियमों के बारे में है।

कोई भी पूर्णांक 1 से विभाज्य है।
 * 1

2

यदि कोई संख्या 2 से विभाज्य है तो उस संख्या का इकाई अंक 0, 2, 4, 6, 8 या होगा.

3

यदि कोई संख्या 3 से विभाज्य है तो उस संख्या का इकाई अंक 0, 3, 6 या 9 होगा।

यदि कोई संख्या 4 से विभाज्य है तो उस संख्या का इकाई अंक 0, 4 या 8 होगा।
 * 4

5

5 से विभाज्यता का परीक्षण करने के लिए, इकाई के अंक को दोगुना करें और परिणाम को बाकी अंकों से बनी संख्या से घटाएं। यदि परिणाम 5 से विभाज्य है तो दी गई संख्या 5 से विभाज्य है।

यह नियम 21 से $$5^2$$आता है.

उदाहरण: 13     नियम => $$|1-2\times3|=5$$, जो 5 से विभाज्य है। 25 नियम => $$|2\texttt B\texttt A-2\times5| = 2\texttt B0(5\times70)$$, जो 5 से विभाज्य है (या 2B0 पर नियम प्रायुक्त करें).

या

5 से विभाज्यता की जाँच करने के लिए, इकाई के अंक को घटाएँ और परिणाम के तिगुने को शेष अंकों से बनी संख्या से घटाएँ। यदि परिणाम 5 से विभाज्य है तो दी गई संख्या 5 से विभाज्य है।

यह नियम 13 ($$5\times3$$) से आता है.

उदाहरण:

13     नियम => $$|3-3\times1|=0$$, जो 5 से विभाज्य है।

25 नियम => $$|5-3\times2\texttt B\texttt A|=8\texttt B1(5\times195)$$, जो 5 से विभाज्य है (या 21 पर नियम प्रायुक्त करें).

या

दाएँ से बाएँ दो ब्लॉकों के वैकल्पिक योग का निर्माण करें। यदि परिणाम 5 से विभाज्य है तो दी गई संख्या 5 से विभाज्य है।

यह नियम 101 से आता है, चूंकि $$101=5\times25$$; इस प्रकार, इस नियम को 25 से विभाज्यता के लिए भी देखा जा सकता है।

उदाहरण:

97,374,627 => $$27-46+37-97=-7\texttt B$$, जो 5 से विभाज्य है।

यदि कोई संख्या 6 से विभाज्य है तो उस संख्या का इकाई अंक 0 या 6 होगा।
 * 6

7 से विभाज्यता का परीक्षण करने के लिए, इकाई के अंक को तिगुना करें और परिणाम को शेष अंकों से बनी संख्या में जोड़ें। यदि परिणाम 7 से विभाज्य है तो दी गई संख्या 7 से विभाज्य है।
 * 7

यह नियम 2 से ($$7\times5$$) आता है

उदाहरण:

12     नियम => $$|3\times2+1|=7$$, जो 7 से विभाज्य है।

271नियम => $$|3\times\texttt B+271|=29\texttt A(7\times4\texttt A)$$, जो 7 से विभाज्य है (या 29 पर नियम प्रायुक्त करें).

या

7 से विभाज्यता का परीक्षण करने के लिए, इकाई के अंक को घटाएं और बाकी अंकों से बनी संख्या से परिणाम को दोगुना करें। यदि परिणाम 7 से विभाज्य है तो दी गई संख्या 7 से विभाज्य है।

यह नियम 12 से ($$7\times2$$) आता है.

उदाहरण:

12     नियम => $$|2-2\times1|=0$$, जो 7 से विभाज्य है।

271नियम => $$|\texttt B-2\times271|=513 (7\times89)$$, जो 7 से विभाज्य है (या 513 पर नियम प्रायुक्त करें)।

या

7 से विभाज्यता का परीक्षण करने के लिए, इकाई के अंक को चौगुना करें और परिणाम को बाकी अंकों से बनी संख्या से घटाएं। यदि परिणाम 7 से विभाज्य है तो दी गई संख्या 7 से विभाज्य है।

यह नियम 41 से ($$7^2$$) आता है.

उदाहरण: 12    नियम => $$\mid 4\times2-1=7\mid$$, जो 7 से विभाज्य है।

271B    नियम =>$$\mid4\times8-271\mid=235\bigl(7\times38\bigr)$$, जो 7 से विभाज्य है (या 235 पर नियम प्रायुक्त करें).

या

दाएँ से बाएँ तीन ब्लॉकों के वैकल्पिक योग का निर्माण करें। यदि परिणाम 7 से विभाज्य है तो दी गई संख्या 7 से विभाज्य है।

यह नियम 1001 से आता है, चूंकि $$1001=7\times11\times17$$, इस प्रकार इस नियम को 11 और 17 की विभाज्यता के लिए भी परखा जा सकता है।

उदाहरण:

386,967,443 => $$443-967+386=-168$$, जो 7 से विभाज्य है।

8

यदि दी गई संख्या के अंतिम 2 अंकों से बनी 2 अंकों की संख्या 8 से विभाज्य है तो दी गई संख्या 8 से विभाज्य है।

उदाहरण 148, 4120 9

यदि दी गई संख्या के अंतिम 2 अंकों से बनी 2 अंकों की संख्या 9 से विभाज्य है तो दी गई संख्या 9 से विभाज्य है।

उदाहरण: 7423, 8330 यदि संख्या 2 और 5 से विभाज्य है तो संख्या किससे विभाज्य है.

यदि किसी संख्या के अंकों का योग से विभाज्य हैतो संख्या से विभाज्य है (दशमलव में नाइन निकालने के बराबर)।

उदाहरण: 29, 6113 यदि कोई संख्या 10 से विभाज्य है तो उस संख्या का इकाई अंक 0 होगा।
 * 10

वैकल्पिक अंकों का योग करें और योग घटाएं। यदि परिणाम 11 से विभाज्य है तो संख्या 11 से विभाज्य है (दशमलव में ग्यारह से विभाज्यता के बराबर)।
 * 1 1

उदाहरण: 66, 9427 यदि संख्या 2 और 7 से विभाज्य है तो संख्या 12 से विभाज्य है।
 * 12

13 यदि संख्या 3 और 5 से विभाज्य है तो संख्या 13 से विभाज्य है।

14 यदि दी गई संख्या के अंतिम 2 अंकों से बनी 2 अंकों की संख्या 14 से विभाज्य है तो दी गई संख्या 14 से विभाज्य है।

उदाहरण: 1468, 7394

अंश
डुओडेसिमल फ्रैक्शन (गणित) सरल हो सकता है:
 * $⟨X, ℰ⟩$ = 0;6
 * $⟨⚹, #⟩$ = 0;4
 * $⟨Dozenal us 10.svg, Dozenal us 11.svg⟩$ = 0;3
 * $⟨Dozenal gb 10.svg, Dozenal gb 11.svg⟩$ = 0;2
 * $\overline{3}$ = 0;16
 * $\overline{5}$ = 0;14
 * $\overline{8}$ = 0;1 (यह बारहवां है, $\overline{4972}$ दसवां है)
 * $\overline{0626878105915343}$ = 0;09 (यह सोलहवां है, $\overline{4972}$ चौदहवाँ है)

या जटिल:
 * $\overline{0626878105915343}$ = 0;$\overline{4306268781059153}$... आवर्ती (0;24 तक पूर्णांकित)
 * $\overline{4306268781059153}$ = 0;$\overline{3}$... आवर्ती (0 पर 187 पूर्णांकित )
 * $\overline{4}$ = 0;1$\overline{6}$... आवर्ती (0;125 तक पूर्णांकित)
 * $\overline{8}$ = 0;$\overline{3}$... आवर्ती (0;111 तक पूर्णांकित)
 * $\overline{3}$ = 0;$\overline{7}$... आवर्ती (0; 0 के लिए 1 गोल)
 * $\overline{6}$ = 0;0$\overline{2}$... आवर्ती (0; 0 के लिए 3 गोल)
 * $\overline{6}$ = 0;0$\overline{3}$... आवर्ती (0;097 तक पूर्णांकित)

जैसा कि आवर्ती दशमलव में समझाया गया है, जब भी किसी भी आधार में मूलांक बिंदु नोटेशन में एक अलघुकरणीय अंश लिखा जाता है, तो अंश को त्रुटिहीन रूप से व्यक्त किया जा सकता है (समाप्त) यदि और केवल यदि इसके भाजक के सभी प्रमुख कारक भी आधार के प्रमुख कारक हैं।

क्योंकि $2 × 5 = 10$, दशमलव प्रणाली में, अंश जिनके हर केवल 2 और 5 के गुणकों से बने होते हैं: $\overline{1}$ = $\overline{6}$, $\overline{5}$ = $\overline{3}$ और $\overline{4}$ = $\overline{6}$ क्रमशः 0.125, 0.05 और 0.002 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। $\overline{8}$ और $\overline{2497}$, चूंकि, (0.333... और 0.142857142857...) की पुनरावृत्ति होती है।

क्योंकि $2 × 2 × 3 = 12$डुओडेसिमल प्रणाली में, $\overline{1534306268781059}$ त्रुटिहीन है; $\overline{2497}$ और $\overline{2687810591534306}$ पुनरावृत्ति होती है क्योंकि उनमें एक गुणक के रूप में 5 सम्मिलित होता है; $\overline{7249}$ त्रुटिहीन है; और $\overline{4306268781059153}$ पुनरावर्ती होता है, ठीक वैसे ही जैसे यह दशमलव में होता है।

एक आधार b में अंको की दी गई संख्या, मान लीजिए n के अन्दर सांत भिन्न देने वाले हरों की संख्या, bn के गुणनखंडों (भाजक) की संख्या होती है, आधार b की nवीं शक्ति (चूंकि इसमें भाजक 1 सम्मिलित है, जो भाजक के रूप में उपयोग किए जाने पर भिन्न उत्पन्न नहीं करता है)। bn के कारकों की संख्या इसके अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग करके दिया गया है।

दशमलव के लिए, $10^{n} = 2^{n} × 5^{n}$. भाजक की संख्या प्रत्येक अभाज्य के प्रत्येक घातांक में एक जोड़कर और परिणामी मात्राओं को एक साथ गुणा करके पाई जाती है, इसलिए $(n + 1)(n + 1) = (n + 1)^{2}$ के कारकों की संख्या $10^{n}$ है.

उदाहरण के लिए, संख्या 8 10 का गुणनखंड है3 (1000), इसलिए 1/8 और 8 के हर वाले अन्य भिन्नों को समाप्त करने के लिए 3 भिन्नात्मक 5/8 = 0.62510 दशमलव अंकों से अधिक की आवश्यकता नहीं हो सकती है।

डुओडेसिमल के लिए, $10^{n} = 2^{2n} × 3^{n}$. यह $(2n + 1)(n + 1)$ भाजक है। 8 का नमूना भाजक एक सकल का कारक $(12^{2} = 144$ दशमलव में) है, इसलिए आठवीं $5⁄8 = 0.76_{12}$ को समाप्त करने के लिए दो से अधिक डुओडेसिमल दशमलव स्थानों की आवश्यकता नहीं हो सकती है।

क्योंकि दस और बारह दोनों के दो अद्वितीय अभाज्य गुणनखंड हैं, के विभाजकों की संख्या $b^{n}$ के लिए $b = 10 or 12$ प्रतिपादक n के साथ द्विघात रूप से बढ़ता है (दूसरे शब्दों में, n2 के क्रम में).

आवर्ती अंक
डोजेनल सोसाइटी ऑफ अमेरिका का तर्क है कि 3 के कारक 5 के कारकों की तुलना में वास्तविक जीवन विभाजन (गणित) की समस्याओं में अधिक आम हैं। इस प्रकार, व्यावहारिक अनुप्रयोगों में, डुओडेसिमल नोटेशन का उपयोग करते समय दोहराए जाने वाले दशमलव के उपद्रव का सामना अधिकांश कम होता है। डुओडेसिमल प्रणाली के समर्थकों का तर्क है कि यह वित्तीय गणनाओं के लिए विशेष रूप से सच है, जिसमें वर्ष के बारह महीने अधिकांश गणना में प्रवेश करते हैं।

चूंकि, जब पुनरावर्ती अंश डुओडेसिमल नोटेशन में होते हैं, तो दशमलव नोटेशन की तुलना में उनकी बहुत कम अवधि होने की संभावना कम होती है, क्योंकि 12 (संख्या) (बारह) दो अभाज्य संख्याओं, 11 (संख्या) (ग्यारह) और 13 ( संख्या) (तेरह), जबकि दस संयुक्त संख्या 9 (संख्या) के निकट है। चूंकि, एक छोटी या लंबी अवधि होने से मुख्य असुविधा में सहायता नहीं मिलती है कि किसी को दिए गए आधार में ऐसे अंशों के लिए एक परिमित प्रतिनिधित्व नहीं मिलता है (इसलिए गोलाई, जो कि अशुद्धता का परिचय देती है, उन्हें गणना में संभालने के लिए आवश्यक है), और कुल मिलाकर एक अनंत आवर्ती अंकों से निपटने की संभावना अधिक होती है, जब भिन्नों को डुओडेसिमल की तुलना में दशमलव में व्यक्त किया जाता है, क्योंकि प्रत्येक तीन लगातार संख्याओं में से एक में इसके गुणनखंड में प्रमुख कारक 3 (संख्या) होता है, जबकि प्रत्येक पाँच में से केवल एक में ही होता है अभाज्य कारक 5 (संख्या)। 2 को छोड़कर अन्य सभी अभाज्य गुणनखंड दस या बारह में से किसी में भी नहीं हैं, इसलिए वे ऐसा नहीं करते है

आवर्ती अंकों का सामना करने की सापेक्ष संभावना को प्रभावित करते हैं (कोई भी अप्रासंगिक अंश जिसमें इसके भाजक में इनमें से कोई भी कारक सम्मिलित है, किसी भी आधार में पुनरावृत्ति करेगा)।

साथ ही, अभाज्य गुणनखंड 2 (संख्या) बारह के गुणनखंड में दो बार प्रकट होता है, जबकि दस के गुणनखंड में केवल एक बार; जिसका अर्थ है कि अधिकांश अंश जिनके हर दो की शक्ति हैं, दशमलव की तुलना में डुओडेसिमल में एक छोटा, अधिक सुविधाजनक समाप्ति प्रतिनिधित्व होगा:


 * 1/(22) = 0.2510 = 0.312
 * 1/(23) = 0.12510 = 0.1612
 * 1/(24) = 0.062510 = 0.0912
 * 1/(25) = 0.0312510 = 0.04612

1/n की डुओडेसिमल अवधि की लंबाई (दशमलव में) हैं
 * 0, 0, 0, 0, 4, 0, 6, 0, 0, 4, 1, 0, 2, 6, 4, 0, 16, 0, 6, 4, 6, 1, 11, 0, 20, 2, 0, 6, 4, 4, 30, 0, 1, 16, 12, 0, 9, 6, 2, 4, 40, 6, 42, 1, 4, 11, 23, 0, 42, 20 , 16, 2, 52, 0, 4, 6, 6, 4, 29, 4, 15, 30, 6, 0, 4, 1, 66, 16, 11, 12, 35, 0, ...

1/(nth प्राइम) की डुओडेसिमल अवधि की लंबाई (दशमलव में) हैं
 * 0, 0, 4, 6, 1, 2, 16, 6, 11, 4, 30, 9, 40, 42, 23, 52, 29, 15, 66, 35, 36, 26, 41, 8, 16, 100, 102, 53, 54, 112, 126, 65, 136, 138, 148, 150, 3, 162, 83, 172, 89, 90, 95, 24, 196, 66, 14, 222, 113, 114 , 8, 119, 120, 125, 256, 131, 268, 54, 138, 280, ...

डुओडेसिमल अवधि n के साथ सबसे छोटा अभाज्य हैं (दशमलव में) ।, 79, 306829, 673, 59, 31, 373, 153953, 886381, 2551, 71, 73, ...

अपरिमेय संख्या
किसी भी स्थितीय संख्या प्रणाली (दशमलव और डुओडेसिमल सहित) में अपरिमेय संख्याओं का निरूपण न तो समाप्त होता है और न ही दशमलव को दोहराता है। निम्नलिखित तालिका कुछ महत्वपूर्ण बीजगणितीय संख्या और दशमलव और डुओडेसिमल दोनों में अनुवांशिक संख्या संख्याओं के लिए पहला अंक देती है।

यह भी देखें

 * Vigesimal (बेस 20)
 * सेक्सजेसिमल (बेस 60)

आगे की पढाई

 * (NB. Also has information on duodecimal representations.)
 * (NB. Also has information on duodecimal representations.)

बाहरी कड़ियाँ

 * Dozenal Society of America
 * Dozenal Society of Great Britain
 * Duodecimal calculator
 * Comprehensive Synopsis of Dozenal and Transdecimal Symbologies