गणितीय विश्लेषण



विश्लेषण गणित की शाखा है जो निरंतर कार्यों, सीमा (गणित) और संबंधित सिद्धांतों, जैसे व्युत्पन्न, अभिन्न, माप, अनंत अनुक्रम, श्रृंखला (गणित), और विश्लेषणात्मक कार्यों से संबंधित है।

इन सिद्धांतों का अध्ययन आमतौर पर वास्तविक संख्या, जटिल संख्या और फलन के संदर्भ में किया जाता है। विश्लेषण गणना से विकसित हुआ, जिसमें प्राथमिक अवधारणाएं और विश्लेषण की तकनीकें सम्मिलित हैं।                                                                                     विश्लेषण को ज्यामिति से अलग किया जा सकता है; हालाँकि, इसे गणितीय वस्तुओं के किसी भी स्थान पर लागू किया जा सकता है, जिसकी मंहगाई (एक स्थलीय स्थान) या वस्तुओं के बीच विशिष्ट दूरी (एक मीट्रिक स्थान) की परिभाषा है।

प्राचीन
वैज्ञानिक क्रांति के दौरान 17वीं शताब्दी में औपचारिक रूप से गणितीय विश्लेषण विकसित हुआ, लेकिन इसके कई विचार पहले के गणितज्ञों के लिए खोजे जा सकते हैं। ग्रीक गणित के शुरुआती दिनों में विश्लेषण के शुरुआती परिणाम स्पष्ट रूप से मौजूद थे। उदाहरण के लिए, एक अनंत ज्यामितीय योग ज़ेनो के द्विभाजन के विरोधाभास में निहित है। (विरोधाभास का बिंदु इस बात से इनकार करना है कि अनंत राशि मौजूद है) बाद में, कनिडस का यूडोक्सस और आर्किमिडीज़ जैसे यूनानी गणित ने सीमा और अभिसरण की अवधारणाओं का अधिक स्पष्ट, सीमा और अभिसरण की अवधारणाओं का उपयोग जब उन्होंने क्षेत्र और क्षेत्रों और ठोस पदार्थों की मात्रा की गणना करने के लिए क्षय विधि का उपयोग किया। आर्किमिडीज की यांत्रिक प्रमेयों की विधि में इनफिनिटिमल्स का स्पष्ट उपयोग दिखाई देता है, जिसे 20वीं शताब्दी में फिर से खोजा गया था। एशिया में, चीनी गणित एल आईयू हुई ने तीसरी शताब्दी ईस्वी में एक वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए क्षय विधि का उपयोग किया। जैन साहित्य से, ऐसा प्रतीत होता है कि हिंदुओं के पास अंकगणित श्रृंखला और ज्यामितीय श्रृंखला के योग के सूत्र चौथी शताब्दी ईसा पूर्व के रूप में थे।                                                                                   आचार्य भद्रबाहु 433 ईसा पूर्व में अपने कल्पसूत्र में ज्यामितीय श्रृंखला के योग का उपयोग करते हैं। भारतीय गणित में, अंकगणित श्रृंखला के विशेष उदाहरण वैदिक साहित्य में 2000 ईसा पूर्व के रूप में निहित रूप से पाए गए हैं।

मध्यकालीन
जेड यूसी होंग्ज़ी ने एक विधि की स्थापना की जिसे बाद में 5वीं शताब्दी में गोले का आयतन ज्ञात करने के लिए कैवलियरी का सिद्धांत कहा जाएगा। 12वीं शताब्दी में, भारतीय गणित भास्कर II ने डेरिवेटिव का उदाहरण दिया और उसका उपयोग किया जिसे अब रोले के प्रमेय के रूप में जाना जाता है।                                                                                                                                       14वीं शताब्दी में, संगमग्राम के माधव ने त्रिकोणमितीय कार्यों और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों जैसे श्रृंखला विस्तार विकसित किया, जिसे अब टेलर श्रृंखला कहा जाता है। त्रिकोणमितीय कार्यों की टेलर श्रृंखला के अपने विकास के साथ-साथ, उन्होंने इन श्रृंखलाओं को काट-छाँट करने के परिणामस्वरूप होने वाली त्रुटि शर्तों के परिमाण का भी अनुमान लगाया, और कुछ अनंत श्रृंखलाओं का तर्कसंगत सन्निकटन दिया। केरल स्कूल ऑफ एस्ट्रोनॉमी एंड मैथमेटिक्स में उनके अनुयायियों ने 16 वीं शताब्दी तक उनके कार्यों का और विस्तार किया।

नींव
गणितीय विश्लेषण की आधुनिक नींव 17वीं सदी के यूरोप में स्थापित की गई थी। यह तब प्रारंभ हुआ जब फ़र्मेट और डेसकार्टेस ने विश्लेषणात्मक ज्यामिति विकसित की, जो आधुनिक कलन का अग्रदूत है। फर्मेट की पर्याप्तता की विधि ने उन्हें कार्यों के मैक्सिमा और मिनिमा और घटता के स्पर्शकों को निर्धारित करने की अनुमति दी। डेसकार्टेस का 1637 में ला जियोमेट्री का प्रकाशन, जिसने कार्तीय समन्वय प्रणाली की शुरुआत की, को गणितीय विश्लेषण की स्थापना माना जाता है। कुछ दशकों बाद आइजैक न्यूटन और गॉटफ्रीड लीबनिज ने स्वतंत्र रूप से अतिसूक्ष्म कलन विकसित किया, जो 18 वीं शताब्दी के माध्यम से जारी होने वाले अनुप्रयुक्त कार्य की उत्तेजना के साथ विविधताओं के कलन, सामान्य अंतर समीकरण और आंशिक अंतर जैसे विश्लेषण विषयों में विकसित हुआ। समीकरण, फूरियर विश्लेषण और सृजन कार्य। इस अवधि के दौरान, कैलकुलस तकनीकों को निरंतर वाले द्वारा अनुमानित असतत गणित पर लागू किया गया था।

आधुनिकीकरण
18वीं शताब्दी में, लियोनहार्ड यूलर ने फलन की धारणा पेश की। वास्तविक विश्लेषण स्वतंत्र विषय के रूप में उभरना प्रारंभ हुआ जब बर्नार्ड बोलजानो ने 1816 में निरंतरता की आधुनिक परिभाषा पेश की, लेकिन 1870 के दशक तक बोलजानो का काम व्यापक रूप से ज्ञात नहीं हुआ। 1821 में, ऑगस्टिन लुइस कॉची ने बीजगणित की व्यापकता के सिद्धांत को खारिज करते हुए, विशेष रूप से यूलर द्वारा पहले के काम में व्यापक रूप से इस्तेमाल किए गए कैलकुलस को दृढ़ तार्किक आधार पर रखना प्रारंभ  किया। इसके बजाय, कॉची ने ज्यामितीय विचारों और बहुत छोता के संदर्भ में कैलकुलस तैयार किया। इस प्रकार, निरंतरता की उनकी परिभाषा के लिए x में अतिसूक्ष्म परिवर्तन की आवश्यकता है जो कि y में अतिसूक्ष्म परिवर्तन के अनुरूप हो। उन्होंने कॉशी अनुक्रम की अवधारणा को भी पेश किया और जटिल विश्लेषण के औपचारिक सिद्धांत की शुरुआत की। सिमोन डेनिस पोइसन, जोसेफ लिउविल, जोसेफ फूरियर और अन्य ने आंशिक अंतर समीकरणों और हार्मोनिक विश्लेषण का अध्ययन किया। इन गणितज्ञों और अन्य लोगों के योगदान, जैसे कि कार्ल वीयरस्ट्रास, ने (ε, δ) - सीमा दृष्टिकोण की परिभाषा विकसित की, इस प्रकार गणितीय विश्लेषण के आधुनिक क्षेत्र की स्थापना की। लगभग उसी समय, बर्नहार्ड रीमैन ने अभिन्न के अपने सिद्धांत को पेश किया, और जटिल विश्लेषण में महत्वपूर्ण प्रगति की।

19 वीं सदी के अंत में, गणितज्ञों को यह चिंता सताने लगी कि वे बिना प्रमाण के वास्तविक संख्याओं के एक सातत्य के अस्तित्व को मान रहे हैं। डेडेकाइंड ने फिर डेडेकिंड कट्स द्वारा वास्तविक संख्याओं का निर्माण किया, जिसमें अपरिमेय संख्याओं को औपचारिक रूप से परिभाषित किया गया है, जो परिमेय संख्याओं के बीच "अंतराल" को भरने का काम करती हैं, जिससे पूर्ण सेट का निर्माण होता है: वास्तविक संख्याओं की निरंतरता, जो पहले से ही साइमन स्टीविन द्वारा विकसित की गई थी। दशमलव विस्तार के संदर्भ में । उस समय के आसपास, रीमैन एकीकरण के प्रमेयों को परिष्कृत करने का प्रयास किया गयावास्तविक कार्यों के असंतुलन के सेट के "आकार" के अध्ययन का नेतृत्व किया ।

साथ ही, विभिन्न पैथोलॉजिकल (गणित), (जैसे कि कहीं भी निरंतर कार्य, निरंतर लेकिन वीयरस्ट्रैस समारोह, और जगह भरने वाला कर्व्स), जिन्हें आमतौर पर राक्षसों के रूप में जाना जाता है, की जांच की जाने लगी। इस संदर्भ में, केमिली जॉर्डन माप जॉर्डन के माप के अपने सिद्धांत को विकसित किया, जॉर्ज कैंटर ने विकसित किया जिसे अब सरलमति सेट सिद्धांत कहा जाता है, और रेने-लुई बेयर ने बेयर श्रेणी प्रमेय को साबित किया। 20वीं शताब्दी की शुरुआत में, स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत का उपयोग करके कलन को औपचारिक रूप दिया गया। हेनरी लेबेस्ग्यू ने माप सिद्धांत में बहुत सुधार किया, और एकीकरण के अपने सिद्धांत को पेश किया, जिसे अब लेबेसेग एकीकरण के रूप में जाना जाता है, जो रीमैन के ऊपर बड़ा सुधार साबित हुआ। डेविड हिल्बर्ट ने अभिन्न समीकरणों को हल करने के लिए हिल्बर्ट अंतरिक्ष की शुरुआत की थी। मानक सदिश स्थान का विचार हवा में था, और 1920 के दशक में स्टीफन बानाच ने कार्यात्मक विश्लेषण बनाया।

मीट्रिक रिक्त स्थान
गणित में, मीट्रिक स्थान सेट (गणित) है जहां सेट के तत्वों के बीच दूरी की धारणा [जिसे मीट्रिक (गणित) कहा जाता है] परिभाषित की जाती है।

अधिकांश विश्लेषण कुछ मीट्रिक स्थान में होता है; सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली वास्तविक रेखा, जटिल तल, यूक्लिडियन अंतरिक्ष, अन्य सदिश स्थान और पूर्णांक हैं। मीट्रिक के बिना विश्लेषण के उदाहरणों में माप सिद्धांत (जो दूरी के बजाय आकार का वर्णन करता है) और कार्यात्मक विश्लेषण (जो टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस स्थान का अध्ययन करता है, जिसमें दूरी की कोई समझ नहीं है) सम्मिलित हैं।

औपचारिक रूप से, मीट्रिक स्थान एक आदेशित जोड़ी है $$(M,d)$$ कहाँ पे $$M$$ एक सेट है और $$d$$ मीट्रिक (गणित) है, $$M$$ यानी, एक फ़ंक्शन है


 * $$d \colon M \times M \rightarrow \mathbb{R}$$

ऐसा कि किसी के लिए $$x, y, z \in M$$, निम्नलिखित धारण करता है:


 * 1) $$d(x,y) \geq 0$$, समानता के साथ अगर और केवल अगर $$x = y$$ (अविवेकी की पहचान),
 * 2) $$d(x,y) = d(y,x)$$ (समरूपता), और
 * 3) $$d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$$ (असमानित त्रिकोण)।

तीसरी संपत्ति लेकर और दे कर $$z=x$$, यह दिखाया जा सकता है $$d(x,y) \ge 0$$ (गैर-नकारात्मक)।

अनुक्रम और सीमाएं
अनुक्रम आदेशित सूची है। सेट की तरह, इसमें तत्व (गणित) (जिसे 'तत्व' या 'शब्द' भी कहा जाता है) सम्मिलित हैं। सेट के विपरीत, क्रम मायने रखता है, और ठीक वही तत्व अनुक्रम में विभिन्न स्थितियों में कई बार प्रकट हो सकते हैं। सटीक रूप से, अनुक्रम को फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसका डोमेन (गणनीय) पूरी तरह से आदेशित सेट है, जैसे प्राकृतिक संख्याएं।

अनुक्रम के सबसे महत्वपूर्ण गुणों में से 'अभिसरण' है। अनौपचारिक रूप से, एक क्रम अभिसरण करता है यदि इसकी सीमा हो। अनौपचारिक रूप से जारी रखते हुए, एक ( एकल-अनंत ) अनुक्रम की सीमा होती है यदि यह किसी बिंदु x तक पहुंचता है, जिसे सीमा कहा जाता है, क्योंकि n बहुत बड़ा हो जाता है। अर्थात्, अमूर्त अनुक्रम ( a n ) के लिए ( n के साथ 1 से अनंत तक चलने के साथ) n और x के बीच की दूरी n → ∞ के रूप में 0 तक पहुंचती है, निरूपित
 * $$\lim_{n\to\infty} a_n = x.$$

वास्तविक विश्लेषण
वास्तविक विश्लेषण (पारंपरिक रूप से, वास्तविक चर के कार्यों का सिद्धांत) गणितीय विश्लेषण की शाखा है जो वास्तविक चर के वास्तविक संख्याओं और वास्तविक-मूल्यवान कार्यों से संबंधित है। विशेष रूप से, यह वास्तविक फ़ंक्शन और अनुक्रमों के विश्लेषणात्मक गुणों से संबंधित है, जिसमें अनुक्रम की सीमा और वास्तविक संख्याओं के अनुक्रमों के फ़ंक्शन की सीमा, वास्तविक संख्याओं की गणना, और निरंतर कार्य, सुचारू कार्य और संबंधित गुण सम्मिलित  हैं। वास्तविक मूल्यवान कार्यों की।

जटिल विश्लेषण
जटिल विश्लेषण (पारंपरिक रूप से जटिल चर के कार्यों के सिद्धांत के रूप में जाना जाता है) गणितीय विश्लेषण की शाखा है जो जटिल संख्याओं के कार्य की जांच करती है। यह गणित की कई शाखाओं में उपयोगी है, जिसमें बीजगणितीय ज्यामिति, संख्या सिद्धांत, अनुप्रयुक्त गणित सम्मिलित हैं; साथ ही भौतिकी में, जल-गत्यात्मकता, ऊष्मप्रवैगिकी, मैकेनिकल इंजीनियरिंग, विद्युत अभियन्त्रण और विशेष रूप से, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत सहित।

जटिल विश्लेषण विशेष रूप से जटिल चर (या, अधिक सामान्यतः, मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन) के विश्लेषणात्मक कार्यों से संबंधित है। क्योंकि किसी भी विश्लेषणात्मक कार्य के अलग-अलग वास्तविक संख्या और काल्पनिक संख्या भागों को लाप्लास के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए, भौतिकी में द्वि-आयामी समस्याओं के लिए जटिल विश्लेषण व्यापक रूप से लागू होता है।

कार्यात्मक विश्लेषण
कार्यात्मक विश्लेषण गणितीय विश्लेषण की शाखा है, जिसका मूल वेक्टर रिक्त स्थान के अध्ययन से बनता है जो किसी प्रकार की सीमा-संबंधित संरचना (जैसे आंतरिक उत्पाद, मानदंड, टोपोलॉजी, आदि) से संपन्न होता है और रैखिक परिवर्तन इन रिक्त स्थानों पर कार्य करता है और इन संरचनाओं का उचित अर्थ में सम्मान करता है।  कार्यात्मक विश्लेषण की ऐतिहासिक जड़ें कार्य स्थान के अध्ययन और कार्यों के परिवर्तनों के गुणों के निर्माण में निहित हैं जैसे कि फुरियर रूपांतरण निरंतर फ़ंक्शन, एकात्मक ऑपरेटर आदि को फ़ंक्शन रिक्त स्थान के बीच ऑपरेटरों को परिभाषित करता है। यह दृष्टिकोण अंतर समीकरणों और अभिन्न समीकरणों के अध्ययन के लिए विशेष रूप से उपयोगी निकला।

हार्मोनिक विश्लेषण
हार्मोनिक विश्लेषण गणितीय विश्लेषण की शाखा है जो मूल तरंगों के सुपरपोजिशन के रूप में फ़ंक्शनऔर संकेतों के प्रतिनिधित्व से संबंधित है। इसमें फूरियर श्रृंखला और फूरियर रूपांतरण (फूरियर विश्लेषण) और उनके सामान्यीकरण की धारणाओं का अध्ययन सम्मिलित है। हार्मोनिक विश्लेषण में संगीत सिद्धांत, संख्या सिद्धांत, प्रतिनिधित्व सिद्धांत, संकेत का प्रक्रमण, क्वांटम यांत्रिकी, ज्वारीय विश्लेषण और तंत्रिका विज्ञान जैसे विविध क्षेत्रों में अनुप्रयोग हैं।

डिफरेंशियल इक्वेशन
अंतर समीकरण या चर (गणित) एक अज्ञात फ़ंक्शन के लिए गणित समीकरण है जो फ़ंक्शन के मूल्यों और विभिन्न उच्च डेरिवेटिव से संबंधित है। डिफरेंशियल इक्वेशन इंजीनियरिंग, फिजिक्स, अर्थशास्त्र, जीवविज्ञान और अन्य विषयों में प्रमुख भूमिका निभाते हैं।

विज्ञान और प्रौद्योगिकी के कई क्षेत्रों में विभेदक समीकरण उत्पन्न होते हैं, विशेष रूप से जब भी नियतात्मक प्रणाली (गणित) संबंध में कुछ लगातार बदलती मात्राएं (फ़ंक्शंस द्वारा प्रतिरूपित) और अंतरिक्ष या समय में परिवर्तन की उनकी दरें (डेरिवेटिव के रूप में व्यक्त) ज्ञात या अभिगृहीत होती हैं। यह शास्त्रीय यांत्रिकी में चित्रित किया गया है, जहां किसी पिंड की गति को उसकी स्थिति और वेग द्वारा वर्णित किया जाता है क्योंकि समय मान भिन्न होता है। न्यूटन के गति नियम किसी को (स्थिति, वेग, त्वरण और शरीर पर कार्य करने वाली विभिन्न शक्तियों को देखते हुए) इन चरों को समय के कार्य के रूप में शरीर की अज्ञात स्थिति के लिए अंतर समीकरण के रूप में गतिशील रूप से व्यक्त करने की अनुमति देते हैं। कुछ मामलों में, यह अवकल समीकरण (जिसे गति का समीकरण कहा जाता है) स्पष्ट रूप से हल किया जा सकता है।

माप सिद्धांत
सबसेट (गणित) पर माप उस सेट के प्रत्येक उपयुक्त उपसमुच्चय को संख्या निर्दिष्ट करने का व्यवस्थित तरीका है, जिसे सहज रूप से इसके आकार के रूप में व्याख्या किया जाता है। इस अर्थ में, माप लंबाई, क्षेत्रफल और आयतन की अवधारणाओं का सामान्यीकरण है। विशेष रूप से महत्वपूर्ण उदाहरण यूक्लिडियन स्थान पर लेबेस्ग माप है, जो यूक्लिडियन ज्यामिति की पारंपरिक लंबाई, क्षेत्र और मात्रा को उपयुक्त सबसेट के लिए निर्दिष्ट करता है। उदाहरण के लिए, उपाय के अंतराल $$\left[0, 1\right]$$.

तकनीकी रूप से, माप ऐसा कार्य है जो गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या या विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा निर्दिष्ट करता है| +∞ सेट के (निश्चित) सबसेट के लिए $$X$$ इस खाली सेट (0)को निर्दिष्ट करना चाहिए और (गिनती योग्य) योगात्मक होना चाहिए: 'बड़े' उपसमुच्चय का माप जिसे 'छोटे' असम्बद्ध उपसमुच्चय की परिमित (या गणनीय) संख्या में विघटित किया जा सकता है, के उपायों का योग है छोटे उपसमुच्चय। सामान्य तौर पर, यदि कोई किसी माप के अन्य स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करते हुए किसी दिए गए सेट के प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए सुसंगत आकार को जोड़ना चाहता है, तो केवल गिनती के माप जैसे तुच्छ उदाहरण मिलते हैं। इस समस्या को केवल सभी उपसमुच्चयों के उप-संग्रह पर माप को परिभाषित करके हल किया गया था; तथाकथित मापने योग्य उपसमुच्चय, जो सिग्मा-बीजगणित ($$\sigma$$-बीजगणित) बनाने के लिए आवश्यक हैं। इसका अर्थ है कि मापने योग्य उपसमुच्चयों के गणनीय संघ (सेट सिद्धांत), गणनीय प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) और पूरक (सेट सिद्धांत) मापने योग्य हैं। यूक्लिडियन अंतरिक्ष में गैर-मापने योग्य सेट, जिस पर लेबेस्ग माप को लगातार परिभाषित नहीं किया जा सकता है, उनके पूरक के साथ बुरी तरह मिश्रित होने के अर्थ में जटिल हैं। वास्तव में, उनका अस्तित्व पसंद के स्वयंसिद्ध का गैर-तुच्छ परिणाम है।

संख्यात्मक विश्लेषण
संख्यात्मक विश्लेषण कलन विधि का अध्ययन है जो गणितीय विश्लेषण की समस्याओं के लिए संख्यात्मक सन्निकटन (सामान्य प्रतीकात्मक संगणना के विपरीत) का उपयोग करता है (जैसा कि असतत गणित से अलग है)।

आधुनिक संख्यात्मक विश्लेषण सटीक उत्तरों की तलाश नहीं करता है, क्योंकि व्यवहार में सटीक उत्तर प्राप्त करना बहुधा असंभव होता है। इसके बजाय, अधिकांश संख्यात्मक विश्लेषण त्रुटियों पर उचित सीमा बनाए रखते हुए अनुमानित समाधान प्राप्त करने से संबंधित हैं।

संख्यात्मक विश्लेषण स्वाभाविक रूप से इंजीनियरिंग और भौतिक विज्ञान के सभी क्षेत्रों में आवेदन पाता है, लेकिन 21वीं सदी में, जीवन विज्ञान और यहां तक ​​कि कलाओं ने भी वैज्ञानिक संगणना के तत्वों को अपनाया है। आकाशीय यांत्रिकी (ग्रहों, तारों और आकाशगंगाओं) में साधारण अंतर समीकरण दिखाई देते हैं; डेटा विश्लेषण के लिए संख्यात्मक रैखिक बीजगणित महत्वपूर्ण है; दवा और जीव विज्ञान के लिए जीवित कोशिकाओं का अनुकरण करने के लिए स्टोचैस्टिक अंतर समीकरण और मार्कोव श्रृंखला आवश्यक हैं।

वेक्टर विश्लेषण
वेक्टर विश्लेषण गणितीय विश्लेषण की शाखा है जो मूल्यों से संबंधित है जिसमें परिमाण और दिशा दोनों हैं। सदिशों के कुछ उदाहरणों में वेग, बल और विस्थापन सम्मिलित हैं। वेक्टर आमतौर पर स्केलर राशियों से जुड़े होते हैं, वे मान जो परिमाण का वर्णन करते हैं।

स्केलर विश्लेषण
स्केलर विश्लेषण गणितीय विश्लेषण की शाखा है जो दिशा के विपरीत पैमाने से संबंधित मूल्यों से संबंधित है। तापमान जैसे मान अदिश होते हैं क्योंकि वे दिशा, बल या विस्थापन की परवाह किए बिना किसी मान के परिमाण का वर्णन करते हैं जो मान हो भी सकता है और नहीं भी।

अन्य विषय

 * भिन्नरूपों की कलन चरम कार्यात्मक (गणित) से संबंधित है, सामान्य कलन के विपरीत जो कार्य (गणित) से संबंधित है।
 * हार्मोनिक विश्लेषण बुनियादी तरंगों के सुपरपोजिशन सिद्धांत के रूप में फ़ंक्शन (गणित) या संकेतों के प्रतिनिधित्व से संबंधित है।
 * ज्यामितीय विश्लेषण में आंशिक अंतर समीकरणों के अध्ययन में ज्यामितीय विधियों का उपयोग और आंशिक अंतर समीकरणों के सिद्धांत को ज्यामिति में लागू करना सम्मिलित है।
 * क्लिफर्ड विश्लेषण, क्लिफर्ड मूल्यवान कार्यों का अध्ययन जो डायराक या डिराक जैसे ऑपरेटरों द्वारा नष्ट कर दिया जाता है, जिसे सामान्य रूप से मोनोजेनिक या क्लिफर्ड विश्लेषणात्मक कार्यों के रूप में कहा जाता है।
 * p-adic विश्लेषण, p-adic संख्या के संदर्भ में विश्लेषण का अध्ययन, जो अपने वास्तविक और जटिल समकक्षों से कुछ दिलचस्प और आश्चर्यजनक तरीके से अलग है।
 * गैर-मानक विश्लेषण, जो अति वास्तविक संख्या और उनके कार्यों की जांच करता है और इनफिनिटिमल्स और असीम रूप से बड़ी संख्याओं का गणितीय कठोरता उपचार देता है।
 * संगणनीय विश्लेषण, विश्लेषण के किन भागों का अध्ययन संगणनीयता सिद्धांत तरीके से किया जा सकता है।
 * स्टोचैस्टिक कैलकुलस - स्टोचैस्टिक प्रक्रियाओं के लिए विकसित विश्लेषणात्मक धारणाएँ।
 * सेट-वैल्यू विश्लेषण - विश्लेषण और टोपोलॉजी से विचारों को सेट-वैल्यू फ़ंक्शंस पर लागू करता है।
 * उत्तल विश्लेषण, उत्तल सेट और कार्यों का अध्ययन।
 * निष्काम विश्लेषण - एक निष्पाप सेमिरिंग के संदर्भ में विश्लेषण, जहां एक योगात्मक व्युत्क्रम की कमी की भरपाई कुछ हद तक निष्काम नियम A + A = A द्वारा की जाती है।


 * उष्णकटिबंधीय विश्लेषण - उदासीन सेमिरिंग का विश्लेषण जिसे उष्णकटिबंधीय सेमिरिंग (या मैक्स-प्लस बीजगणित/न्यूनतम-प्लस बीजगणित) कहा जाता है।


 * रचनात्मक विश्लेषण, जो शास्त्रीय, तर्क और सेट सिद्धांत के बजाय रचनात्मक तर्क की नींव पर बनाया गया है।
 * अंतर्ज्ञानवादी विश्लेषण, जो रचनात्मक तर्क जैसे रचनात्मक विश्लेषण से विकसित किया गया है, लेकिन इसमें पसंद के क्रम भी सम्मिलित हैं।
 * पारसंगत विश्लेषण, जो शास्त्रीय, तर्कशास्त्र और सेट सिद्धांत के बजाय परासंगत तर्क की नींव पर बनाया गया है।
 * चिकना अतिसूक्ष्म विश्लेषण, जो चिकने शीर्षों में विकसित किया गया है।

अनुप्रयोग
विश्लेषण से तकनीकें अन्य क्षेत्रों में भी पाई जाती हैं जैसे:

भौतिक विज्ञान
शास्त्रीय यांत्रिकी, सापेक्षता के सिद्धांत और क्वांटम यांत्रिकी का विशाल बहुमत लागू विश्लेषण और विशेष रूप से अंतर समीकरणों पर आधारित है। महत्वपूर्ण अंतर समीकरणों के उदाहरणों में न्यूटन का दूसरा नियम, श्रोडिंगर समीकरण और आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण सम्मिलित हैं।

क्वांटम यांत्रिकी में कार्यात्मक विश्लेषण भी प्रमुख कारक है।

सिग्नल प्रोसेसिंग
ध्वनि, रेडियो तरंगों, प्रकाश तरंगों, भूकंपीय तरंगों और यहां तक ​​कि छवियों जैसे संकेतों को संसाधित करते समय, फूरियर विश्लेषण एक यौगिक तरंग के अलग-अलग घटकों को अलग कर सकता है, उन्हें आसानी से पहचानने या हटाने के लिए ध्यान केंद्रित कर सकता है। सिग्नल प्रोसेसिंग तकनीकों के एक बड़े परिवार में फूरियर-ट्रांसफॉर्मिंग सिग्नल, फूरियर-रूपांतरित डेटा को सरल तरीके से हेरफेर करना और परिवर्तन को उलटना सम्मिलित है।

गणित के अन्य क्षेत्र
गणित के कई क्षेत्रों में विश्लेषण की तकनीकों का उपयोग किया जाता है, जिनमें सम्मिलित हैं:
 * विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत
 * विश्लेषणात्मक संयोजन
 * सतत संभावना
 * सूचना सिद्धांत में विभेदक एन्ट्रापी
 * विभेदक खेल
 * विभेदक ज्यामिति, विविध के रूप में जाने जाने वाले विशिष्ट गणितीय स्थानों के लिए कैलकुलस का अनुप्रयोग जिसमें एक जटिल आंतरिक संरचना होती है लेकिन स्थानीय रूप से सरल तरीके से व्यवहार करता है।
 * विभेदक कई गुना
 * विभेदक टोपोलॉजी
 * आंशिक अंतर समीकरण

प्रसिद्ध पाठ्यपुस्तकें

 * विश्लेषण का आधार: एडमंड लैंडौ द्वारा संपूर्ण परिमेय, अपरिमेय और जटिल संख्याओं का अरिमेथिक
 * परिचयात्मक वास्तविक विश्लेषण, एंड्री कोलमोगोरोव, सेर्गी फोमिन द्वारा
 * डिफरेंशियल एंड इंटीग्रल कैलकुलस (3 खंड), ग्रिगोरी स्प्रूस की लकड़ी द्वारा
 * गणितीय विश्लेषण के मूल सिद्धांत (2 खंड), ग्रिगोरि फिचटेनहोल्ज़ द्वारा
 * गणितीय विश्लेषण का एक कोर्स (2 खंड), सर्गेई निकोल्स्की द्वारा
 * गणितीय विश्लेषण (2 खंड), व्लादिमीर ए ज़ोरिच द्वारा
 * उच्च गणित का एक कोर्स (5 खंड, 6 भाग), व्लादिमीर स्मिरनोव (गणितज्ञ) द्वारा
 * डिफरेंशियल एंड इंटीग्रल कैलकुलस, निकोलाई पिस्कुनोव द्वारा
 * अलेक्जेंडर खिनचिन द्वारा गणितीय विश्लेषण का एक कोर्स
 * गणितीय विश्लेषण: जॉर्जी शिलोव द्वारा एक विशेष पाठ्यक्रम
 * एक वास्तविक चर के कार्यों का सिद्धांत (2 खंड), इसिडोर नटसन द्वारा
 * गणितीय विश्लेषण में समस्याएं, बोरिस डेमिडोविच द्वारा
 * विश्लेषण में समस्याएं और प्रमेय (2 खंड), जॉर्ज पोल्या द्वारा, गैबोर स्जेगो|गैबोर स्जेगो
 * गणितीय विश्लेषण: उन्नत पथरी के लिए एक आधुनिक दृष्टिकोण, टॉम एम. एपोस्टोल द्वारा
 * गणितीय विश्लेषण के सिद्धांत, वाल्टर रुडिन द्वारा
 * वास्तविक विश्लेषण: एलियास एम. स्टीन द्वारा सिद्धांत, एकीकरण और हिल्बर्ट स्पेस को मापें
 * जटिल विश्लेषण, एलियास एम. स्टीन द्वारा
 * कार्यात्मक विश्लेषण: एलियास एम. स्टीन द्वारा विश्लेषण में आगे के विषयों का परिचय
 * विश्लेषण (2 खंड), टेरेंस ताओ द्वारा
 * विश्लेषण (3 खंड), हर्बर्ट अमन, जोआचिम एस्चर द्वारा
 * वास्तविक और कार्यात्मक विश्लेषण, व्लादिमीर बोगाचेव, ओलेग स्मोल्यानोव द्वारा
 * वास्तविक और कार्यात्मक विश्लेषण, सर्ज लैंग द्वारा

यह भी देखें

 * रचनात्मक विश्लेषण
 * कलन का इतिहास
 * हाइपरकॉम्प्लेक्स विश्लेषण
 * बहुभिन्नरूपी पथरी
 * परासंगत तर्क
 * चिकना अतिसूक्ष्म विश्लेषण
 * कलन और गणितीय विश्लेषण की समयरेखा

अग्रिम पठन

 * (NB. 3 softcover volumes in slipcase. Original Russian title in March 1956: Математика, ее содержание, методы и значение . First English edition in 6 volumes by AMS in 1962/1963, revised English edition in 3 volumes by MIT Press in August 1964:, 2nd printing by MIT Press in April 1965. First MIT paperback edition in March 1969. Reprinted in one volume by Dover.)
 * (vi+608 pages) (reprinted: 1935, 1940, 1946, 1950, 1952, 1958, 1962, 1963, 1992)
 * (vi+608 pages) (reprinted: 1935, 1940, 1946, 1950, 1952, 1958, 1962, 1963, 1992)
 * (vi+608 pages) (reprinted: 1935, 1940, 1946, 1950, 1952, 1958, 1962, 1963, 1992)
 * (vi+608 pages) (reprinted: 1935, 1940, 1946, 1950, 1952, 1958, 1962, 1963, 1992)
 * (vi+608 pages) (reprinted: 1935, 1940, 1946, 1950, 1952, 1958, 1962, 1963, 1992)
 * (vi+608 pages) (reprinted: 1935, 1940, 1946, 1950, 1952, 1958, 1962, 1963, 1992)
 * (vi+608 pages) (reprinted: 1935, 1940, 1946, 1950, 1952, 1958, 1962, 1963, 1992)
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 * Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Calculus & Analysis
 * Basic Analysis: Introduction to Real Analysis by Jiri Lebl (Creative Commons BY-NC-SA)
 * Mathematical Analysis-Encyclopædia Britannica
 * Calculus and Analysis