आंशिक तरंग विश्लेषण

आंशिक-तरंग विश्लेषण, क्वांटम यांत्रिकी के संदर्भ में, प्रत्येक तरंग को उसके घटक कोणीय संवेग|कोणीय-संवेग घटकों में विघटित करके और सीमा स्थितियों का उपयोग करके हल करके बिखरने की समस्याओं को हल करने के लिए एक तकनीक को संदर्भित करता है।

प्रारंभिक प्रकीर्णन सिद्धांत
निम्नलिखित विवरण प्रारंभिक प्रकीर्णन सिद्धांत को प्रस्तुत करने के विहित तरीके का अनुसरण करता है। कणों की एक स्थिर किरण गोलाकार रूप से सममित क्षमता से बिखर जाती है $$V(r)$$, जो छोटी दूरी की है, ताकि बड़ी दूरी के लिए $$r \to \infty$$, कण मुक्त कणों की तरह व्यवहार करते हैं। सिद्धांत रूप में, किसी भी कण को ​​तरंग पैकेट द्वारा वर्णित किया जाना चाहिए, लेकिन हम इसके बजाय समतल तरंग के प्रकीर्णन का वर्णन करते हैं $$\exp(ikz)$$ z अक्ष के साथ यात्रा करना, क्योंकि तरंग पैकेटों को समतल तरंगों के संदर्भ में विस्तारित किया जा सकता है, और यह गणितीय रूप से सरल है। क्योंकि बिखरने की क्षमता के साथ कणों की बातचीत के समय की तुलना में बीम को लंबे समय तक चालू किया जाता है, एक स्थिर स्थिति मान ली जाती है। इसका मतलब है कि वेव फ़ंक्शन के लिए स्थिर श्रोडिंगर समीकरण $$\Psi(\mathbf r)$$ कण बीम का प्रतिनिधित्व हल किया जाना चाहिए:


 * $$\left[-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(r)\right] \Psi(\mathbf r) = E\Psi(\mathbf r).$$

हम निम्नलिखित ansatz बनाते हैं:


 * $$\Psi(\mathbf r) = \Psi_0(\mathbf r) + \Psi_\text{s}(\mathbf r),$$

कहाँ $$\Psi_0(\mathbf r) \propto \exp(ikz)$$ आने वाली विमान तरंग है, और $$\Psi_\text{s}(\mathbf r)$$ मूल तरंग समारोह को परेशान करने वाला एक बिखरा हुआ हिस्सा है।

का असिम्प्टोटिक रूप है $$\Psi_\text{s}(\mathbf r)$$ यह रुचिकर है, क्योंकि प्रकीर्णन केंद्र (जैसे एक परमाणु नाभिक) के पास अवलोकन अधिकतर संभव नहीं होते हैं, और कणों का पता लगाना मूल से बहुत दूर होता है। अधिक दूरी पर, कणों को मुक्त कणों की तरह व्यवहार करना चाहिए, और $$\Psi_\text{s}(\mathbf r)$$ इसलिए मुक्त श्रोडिंगर समीकरण का समाधान होना चाहिए। इससे पता चलता है कि किसी भी शारीरिक रूप से अर्थहीन भागों को छोड़ते हुए, इसका समतल तरंग के समान रूप होना चाहिए। इसलिए हम विमान-तरंग विस्तार की जांच करते हैं:


 * $$e^{ikz} = \sum_{\ell = 0}^\infty (2 \ell + 1) i^\ell j_\ell(k r) P_\ell(\cos \theta).$$

गोलाकार बेसेल समारोह $$j_\ell(kr)$$ समान रूप से व्यवहार करता है


 * $$j_\ell(kr) \to \frac 1 {2ikr} \big(\exp[i(kr-\ell\pi/2)] - \exp[-i(kr-\ell\pi/2)]\big).$$

यह एक आउटगोइंग और इनकमिंग गोलाकार तरंग से मेल खाती है। बिखरी हुई लहर फ़ंक्शन के लिए, केवल आउटगोइंग भागों की अपेक्षा की जाती है। इसलिए हम उम्मीद करते हैं $$\Psi_\text{s}(\mathbf r) \propto \exp(ikr) / r$$ बड़ी दूरी पर और बिखरी हुई लहर के स्पर्शोन्मुख रूप को सेट करें


 * $$\Psi_\text{s}(\mathbf r) \to f(\theta, k) \frac{\exp(ikr)}{r},$$

कहाँ $$f(\theta, k)$$ तथाकथित प्रकीर्णन आयाम है, जो इस मामले में केवल उन्नयन कोण पर निर्भर है $$\theta$$ और ऊर्जा।

अंत में, यह संपूर्ण तरंग फ़ंक्शन के लिए निम्नलिखित स्पर्शोन्मुख अभिव्यक्ति देता है:


 * $$\Psi(\mathbf r) \to \Psi^{(+)}(\mathbf r) = \exp(ikz) + f(\theta, k) \frac{\exp(ikr)}{r}.$$

आंशिक तरंग विस्तार
गोलाकार रूप से सममित क्षमता के मामले में $$V(\mathbf r) = V(r)$$, स्कैटरिंग वेव फ़ंक्शन को गोलाकार हार्मोनिक्स में विस्तारित किया जा सकता है, जो अज़ीमुथल समरूपता (पर कोई निर्भरता नहीं) के कारण लीजेंड्रे बहुपदों को कम करता है $$\phi$$):


 * $$\Psi(\mathbf r) = \sum_{\ell=0}^{\infty} \frac{u_\ell(r)}{r} P_\ell(\cos\theta).$$

मानक प्रकीर्णन समस्या में, आने वाली किरण को तरंग संख्या के समतल तरंग का रूप लेने के लिए माना जाता है $k$, जो गोलाकार बेसेल कार्यों और लेजेंड्रे बहुपदों के संदर्भ में समतल-तरंग विस्तार का उपयोग करके आंशिक तरंगों में विघटित हो सकता है:


 * $$\psi_\text{in}(\mathbf r) = e^{ikz} = \sum_{\ell = 0}^\infty (2 \ell + 1) i^\ell j_\ell(kr) P_\ell(\cos \theta).$$

यहाँ हमने एक गोलीय निर्देशांक प्रणाली ग्रहण की है जिसमें $z$ अक्ष बीम दिशा के साथ संरेखित है। इस तरंग फ़ंक्शन के रेडियल भाग में केवल गोलाकार बेसेल फ़ंक्शन होता है, जिसे दो गोलाकार हैंकेल फ़ंक्शंस के योग के रूप में फिर से लिखा जा सकता है:


 * $$j_\ell(kr) = \frac{1}{2} \left(h_\ell^{(1)}(kr) + h_\ell^{(2)}(kr)\right).$$

इसका भौतिक महत्व है: $h_{ℓ}^{(2)}$ असम्बद्ध रूप से (यानी बड़े के लिए $r$) के रूप में व्यवहार करता है $i^{−(ℓ+1)}e^{ikr}/(kr)$ और इस प्रकार एक आउटगोइंग वेव है, जबकि $h_{ℓ}^{(1)}$ असम्बद्ध रूप से व्यवहार करता है $i^{ℓ+1}e^{−ikr}/(kr)$ और इस प्रकार एक आने वाली लहर है। आने वाली लहर बिखरने से अप्रभावित है, जबकि बाहर जाने वाली लहर को आंशिक-तरंग एस मैट्रिक्स  तत्व के रूप में जाना जाने वाला कारक द्वारा संशोधित किया जाता है $S_{ℓ}$:


 * $$\frac{u_\ell(r)}{r} \stackrel{r \to \infty}{\longrightarrow} \frac{i^\ell k}{\sqrt{2 \pi}} \left(h_\ell^{(1)}(k r) + S_\ell h_\ell^{(2)}(k r)\right),$$

कहाँ $u_{ℓ}(r)/r$ वास्तविक तरंग फ़ंक्शन का रेडियल घटक है। बिखरने का चरण बदलाव $δ_{ℓ}$ के चरण के आधे के रूप में परिभाषित किया गया है $S_{ℓ}$:


 * $$S_\ell = e^{2 i \delta_\ell}.$$

अगर फ्लक्स नहीं खोया है, तो $|S_{ℓ}| = 1$, और इस प्रकार चरण बदलाव वास्तविक है। यह आम तौर पर मामला है, जब तक कि क्षमता में एक काल्पनिक अवशोषक घटक नहीं होता है, जिसे अक्सर अन्य प्रतिक्रिया चैनलों के कारण नुकसान का अनुकरण करने के लिए घटना संबंधी मॉडल  में उपयोग किया जाता है।

इसलिए, पूर्ण स्पर्शोन्मुख तरंग कार्य है


 * $$\psi(\mathbf r) \stackrel{r \to \infty}{\longrightarrow} \sum_{\ell = 0}^\infty (2 \ell + 1) i^\ell \frac{h_\ell^{(1)}(k r) + S_\ell h_\ell^{(2)}(k r)}{2} P_\ell(\cos \theta).$$

घटाने $ψ_{in}$ एसिम्प्टोटिक आउटगोइंग वेव फंक्शन उत्पन्न करता है:


 * $$\psi_\text{out}(\mathbf r) \stackrel{r \to \infty}{\longrightarrow} \sum_{\ell = 0}^\infty (2 \ell + 1) i^\ell \frac{S_\ell - 1}{2} h_\ell^{(2)}(k r) P_\ell(\cos \theta).$$

गोलाकार हैंकेल कार्यों के स्पर्शोन्मुख व्यवहार का उपयोग करके, एक प्राप्त करता है


 * $$\psi_\text{out}(\mathbf r) \stackrel{r \to \infty}{\longrightarrow} \frac{e^{i k r}}{r} \sum_{\ell = 0}^\infty (2 \ell + 1) \frac{S_\ell - 1}{2 i k} P_\ell(\cos \theta).$$

बिखरने के आयाम के बाद से $f(θ, k)$ से परिभाषित किया गया है


 * $$\psi_\text{out}(\mathbf r) \stackrel{r \to \infty}{\longrightarrow} \frac{e^{i k r}}{r} f(\theta, k),$$

यह इस प्रकार है कि


 * $$f(\theta, k) = \sum_{\ell = 0}^\infty (2 \ell + 1) \frac{S_\ell - 1}{2 i k} P_\ell(\cos \theta) = \sum_{\ell = 0}^\infty (2 \ell + 1) \frac{e^{i \delta_\ell} \sin\delta_\ell}{k} P_\ell(\cos \theta),$$

और इस प्रकार अंतर क्रॉस सेक्शन द्वारा दिया गया है


 * $$\frac{d\sigma}{d\Omega} = |f(\theta, k)|^2 = \frac{1}{k^2} \left| \sum_{\ell=0}^\infty (2\ell+1) e^{i\delta_\ell} \sin \delta_\ell P_\ell(\cos \theta) \right|^2.$$

यह किसी भी शॉर्ट-रेंज इंटरैक्शन के लिए काम करता है। लंबी दूरी की बातचीत के लिए (जैसे कूलम्ब बातचीत), योग समाप्त $ℓ$ अभिसरण नहीं हो सकता है। इस तरह की समस्याओं के लिए सामान्य दृष्टिकोण कूलम्ब इंटरैक्शन को शॉर्ट-रेंज इंटरैक्शन से अलग करने में शामिल है, क्योंकि कूलम्ब समस्या को कूलम्ब कार्यों के संदर्भ में ठीक से हल किया जा सकता है, जो इस समस्या में हैंकेल कार्यों की भूमिका निभाते हैं।

बाहरी संबंध

 * Partial Wave Analysis for Dummies
 * Partial Wave Analysis of Scattering