पैरेटो फ्रंट

बहुउद्देश्यीय अनुकूलन में, पैरेटो फ्रंट (जिसे पेरेटो फ्रंटियर या पारेतो वक्र भी कहा जाता है) सभी पारेटो कुशल समाधानों का सेट है। अवधारणा का व्यापक रूप से अभियांत्रिकी में उपयोग किया जाता है। यह डिज़ाइनर को प्रत्येक पैरामीटर की पूरी श्रृंखला पर विचार करने के बजाय कुशल विकल्पों के सेट पर ध्यान केंद्रित करने और इस सेट के भीतर व्यापार-बंद करने की अनुमति देता है।

परिभाषा
पेरेटो फ्रंटियर, पी (वाई), को अधिक औपचारिक रूप से निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है। कार्य के साथ एक प्रणाली पर विचार करें $$f: X \rightarrow \mathbb{R}^m$$, जहाँ X मीट्रिक स्थान में व्यवहार्य निर्णयों का एक कॉम्पैक्ट जगह है $$\mathbb{R}^n$$, और Y में कसौटी वैक्टर का व्यवहार्य सेट है $$\mathbb{R}^m$$, ऐसा है कि $$Y = \{ y \in \mathbb{R}^m:\; y = f(x), x \in X\;\}$$.

हम मानते हैं कि मापदंड मानों की पसंदीदा दिशाएँ ज्ञात हैं। एक बिंदु $$y^{\prime\prime} \in \mathbb{R}^m$$ एक और बिंदु के लिए (सख्ती से हावी) पसंद किया जाता है $$y^{\prime} \in \mathbb{R}^m$$, के रूप में लिखा गया है $$y^{\prime\prime} \succ y^{\prime}$$. पेरेटो सीमांत इस प्रकार लिखा गया है:


 * $$P(Y) = \{ y^\prime \in Y: \; \{y^{\prime\prime} \in Y:\; y^{\prime\prime} \succ y^{\prime}, y^\prime \neq y^{\prime\prime} \; \} = \empty \}. $$

प्रतिस्थापन की सीमांत दर
अर्थशास्त्र में पैरेटो फ्रंटियर का एक महत्वपूर्ण पहलू यह है कि पारेतो-कुशल आवंटन पर, प्रतिस्थापन की सीमांत दर सभी उपभोक्ताओं के लिए समान होती है। एम उपभोक्ताओं और एन वस्तुओं के साथ एक प्रणाली और प्रत्येक उपभोक्ता के उपयोगिता समारोह के रूप में विचार करके एक औपचारिक बयान प्राप्त किया जा सकता है $$z_i=f^i(x^i)$$ कहाँ $$x^i=(x_1^i, x_2^i, \ldots, x_n^i)$$ माल का सदिश है, सभी के लिए i. व्यवहार्यता बाधा है $$\sum_{i=1}^m x_j^i = b_j$$ के लिए $$j=1,\ldots,n$$. पेरेटो इष्टतम आवंटन खोजने के लिए, हम लैग्रैंगियन यांत्रिकी को अधिकतम करते हैं:


 * $$L_i((x_j^k)_{k,j}, (\lambda_k)_k, (\mu_j)_j)=f^i(x^i)+\sum_{k=2}^m \lambda_k(z_k- f^k(x^k))+\sum_{j=1}^n \mu_j \left( b_j-\sum_{k=1}^m x_j^k \right)$$

कहाँ $$(\lambda_k)_k$$ और $$(\mu_j)_j$$ गुणक के वैक्टर हैं। प्रत्येक अच्छे के संबंध में Lagrangian का आंशिक व्युत्पन्न लेना $$x_j^k$$ के लिए $$j=1,\ldots,n$$ और $$k=1,\ldots, m$$ और प्रथम-क्रम स्थितियों की निम्नलिखित प्रणाली देता है:


 * $$\frac{\partial L_i}{\partial x_j^i} = f_{x^i_j}^1-\mu_j=0\text{ for }j=1,\ldots,n,$$
 * $$\frac{\partial L_i}{\partial x_j^k} = -\lambda_k f_{x^k_j}^i-\mu_j=0 \text{ for }k= 2,\ldots,m \text{ and }j=1,\ldots,n,$$

कहाँ $$f_{x^i_j}$$ के आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाता है $$f$$ इसके संबंध में $$x_j^i$$. अब, कोई भी ठीक करें $$k\neq i$$ और $$j,s\in \{1,\ldots,n\}$$. उपरोक्त प्रथम-क्रम की स्थिति का अर्थ है


 * $$\frac{f_{x_j^i}^i}{f_{x_s^i}^i}=\frac{\mu_j}{\mu_s}=\frac{f_{x_j^k}^k}{f_{x_s^k}^k}.$$

इस प्रकार, पारेतो-इष्टतम आवंटन में, प्रतिस्थापन की सीमांत दर सभी उपभोक्ताओं के लिए समान होनी चाहिए।

गणना
कंप्यूटर विज्ञान और पावर इंजीनियरिंग में विकल्पों के एक सीमित सेट के पैरेटो फ्रंटियर की गणना के लिए कलन विधि का अध्ययन किया गया है। वे सम्मिलित करते हैं:


 * अधिकतम वेक्टर समस्या या स्काईलाइन ऑपरेटर।
 * स्केलराइजेशन एल्गोरिदम या भारित रकम की विधि।
 * $$\epsilon$$वें>-प्रतिबंध विधि।

अनुमान
चूंकि पूरे पारेटो फ्रंट को उत्पन्न करना अक्सर कम्प्यूटेशनल रूप से कठिन होता है, एक अनुमानित पारेटो-फ्रंट की गणना के लिए एल्गोरिदम होते हैं। उदाहरण के लिए, लेग्रियल एट अल। एक समुच्चय S को परेटो-फ्रंट P का 'ε-सन्निकटन' कहते हैं, यदि S और P के बीच हॉसडॉर्फ की निर्देशित दूरी अधिक से अधिक ε है। वे देखते हैं कि d आयामों में किसी भी पेरेटो फ्रंट P का ε-अनुमानन (1/ε) का उपयोग करके पाया जा सकता है।d प्रश्न।

Zitzler, नोल्स और थिएले विभिन्न मानदंडों पर पारेटो-सेट सन्निकटन के लिए कई एल्गोरिदम की तुलना करें, जैसे स्केलिंग, मोनोटोनिसिटी और कम्प्यूटेशनल जटिलता के लिए व्युत्क्रम।

बाहरी संबंध

 * Code to compute the Pareto front of a finite set of points in Julia: https://github.com/cossio/ParetoEfficiency.jl.