अल्पकालीन फूरियर रूपांतरण

शॉर्ट-टाइम फूरियर ट्रांसफॉर्म (एसटीएफटी), फूरियर-संबंधित परिवर्तनों की एक सूची है | फूरियर-संबंधित ट्रांसफॉर्म का उपयोग सिग्नल के स्थानीय खंडों की साइनसोइडल आवृत्ति और चरण सामग्री को निर्धारित करने के लिए किया जाता है क्योंकि यह समय के साथ बदलता है। व्यवहार में, एसटीएफटी की गणना करने की प्रक्रिया एक लंबे समय के सिग्नल को समान लंबाई के छोटे खंडों में विभाजित करना है और फिर प्रत्येक छोटे खंड पर फूरियर रूपांतरण की अलग से गणना करना है। इससे प्रत्येक छोटे खंड पर फूरियर स्पेक्ट्रम का पता चलता है। फिर आमतौर पर बदलते स्पेक्ट्रा को समय के एक फ़ंक्शन के रूप में प्लॉट किया जाता है, जिसे spectrogram  या वॉटरफॉल प्लॉट के रूप में जाना जाता है, जैसे कि आमतौर पर  सॉफ्टवेयर परिभाषित रेडियो  (एसडीआर) आधारित स्पेक्ट्रम डिस्प्ले में उपयोग किया जाता है। एसडीआर की पूरी रेंज को कवर करने वाले पूर्ण बैंडविड्थ डिस्प्ले आमतौर पर डेस्कटॉप कंप्यूटर पर 2^24 पॉइंट के साथ फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म (एफएफटी) का उपयोग करते हैं।



सतत-समय एसटीएफटी
बस, निरंतर-समय के मामले में, रूपांतरित किए जाने वाले फ़ंक्शन को एक विंडो फ़ंक्शन से गुणा किया जाता है जो केवल थोड़े समय के लिए गैर-शून्य होता है। परिणामी सिग्नल का फूरियर रूपांतरण (एक आयामी फ़ंक्शन) लिया जाता है, फिर विंडो को समय अक्ष के साथ अंत तक स्लाइड किया जाता है जिसके परिणामस्वरूप सिग्नल का दो-आयामी प्रतिनिधित्व होता है। गणितीय रूप से, इसे इस प्रकार लिखा गया है:


 * $$\mathbf{STFT}\{x(t)\}(\tau,\omega) \equiv X(\tau, \omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) w(t-\tau) e^{-i \omega t} \, d t $$

कहाँ $$w(\tau)$$ विंडो फ़ंक्शन है, आमतौर पर एक विंडो फ़ंक्शन#हैन और हैमिंग विंडोज़ या विंडो फ़ंक्शन#गॉसियन विंडो शून्य के आसपास केंद्रित है, और $$x(t)$$ रूपांतरित होने वाला संकेत है (विंडो फ़ंक्शन के बीच अंतर पर ध्यान दें $$w$$ और आवृत्ति $$\omega$$). $$X(\tau, \omega)$$ मूलतः फूरियर रूपांतरण है $$x(t)w(t-\tau)$$, समय और आवृत्ति के साथ सिग्नल के चरण और परिमाण का प्रतिनिधित्व करने वाला एक जटिल कार्य। अक्सर चरण खोलना का उपयोग किसी एक या दोनों समय अक्ष के साथ किया जाता है, $$\tau$$, और आवृत्ति अक्ष, $$\omega$$, एसटीएफटी के चरण परिणाम के किसी भी जम्प असंततता को दबाने के लिए। समय सूचकांक $$\tau$$ इसे आमतौर पर धीमा समय माना जाता है और आमतौर पर इसे समय के समान उच्च रिज़ॉल्यूशन में व्यक्त नहीं किया जाता है $$t$$. यह देखते हुए कि एसटीएफटी अनिवार्य रूप से एक फूरियर ट्रांसफॉर्म बार एक विंडो फ़ंक्शन है, एसटीएफटी को विंडोड फूरियर ट्रांसफॉर्म या समय-निर्भर फूरियर ट्रांसफॉर्म भी कहा जाता है।

असतत-समय एसटीएफटी
असतत समय के मामले में, रूपांतरित किए जाने वाले डेटा को टुकड़ों या फ़्रेमों में तोड़ा जा सकता है (जो आमतौर पर सीमा पर कलाकृतियों को कम करने के लिए एक-दूसरे को ओवरलैप करते हैं)। प्रत्येक भाग को फूरियर रूपांतरित किया जाता है, और जटिल परिणाम को एक मैट्रिक्स में जोड़ा जाता है, जो समय और आवृत्ति में प्रत्येक बिंदु के लिए परिमाण और चरण को रिकॉर्ड करता है। इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:


 * $$\mathbf{STFT}\{x[n]\}(m,\omega)\equiv X(m,\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]w[n-m]e^{-i \omega n} $$

इसी तरह, सिग्नल x[n] और विंडो w[n] के साथ। इस मामले में, m असतत है और ω निरंतर है, लेकिन अधिकांश विशिष्ट अनुप्रयोगों में STFT को फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म का उपयोग करके कंप्यूटर पर निष्पादित किया जाता है, इसलिए दोनों चर असतत और क्वांटाइज़ेशन (सिग्नल प्रोसेसिंग) हैं।

एसटीएफटी का परिमाण (गणित) वर्ग फ़ंक्शन की शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व का स्पेक्ट्रोग्राम प्रतिनिधित्व प्राप्त करता है:


 * $$\operatorname{spectrogram}\{x(t)\}(\tau, \omega) \equiv |X(\tau, \omega)|^2 $$

संशोधित असतत कोसाइन ट्रांसफॉर्म (एमडीसीटी) भी देखें, जो एक फूरियर-संबंधित ट्रांसफॉर्म भी है जो ओवरलैपिंग विंडो का उपयोग करता है।

स्लाइडिंग डीएफटी
यदि केवल ω की एक छोटी संख्या वांछित है, या यदि विंडो के प्रत्येक शिफ्ट एम के लिए एसटीएफटी का मूल्यांकन करना वांछित है, तो स्लाइडिंग डीएफटी एल्गोरिदम का उपयोग करके एसटीएफटी का अधिक कुशलता से मूल्यांकन किया जा सकता है।

व्युत्क्रम एस.टी.एफ.टी.
एसटीएफटी व्युत्क्रमणीय कार्य है, अर्थात व्युत्क्रम एस.टी.एफ.टी. द्वारा परिवर्तन से मूल सिग्नल को पुनः प्राप्त किया जा सकता है। एसटीएफटी को उलटने का सबसे व्यापक रूप से स्वीकृत तरीका ओवरलैप-ऐड विधि | ओवरलैप-ऐड (ओएलए) विधि का उपयोग करना है, जो एसटीएफटी जटिल स्पेक्ट्रम में संशोधन की भी अनुमति देता है। यह एक बहुमुखी सिग्नल प्रोसेसिंग विधि बनाता है, ओवरलैप और संशोधन विधि के साथ जोड़ें के रूप में जाना जाता है।

सतत-समय एसटीएफटी
विंडो फ़ंक्शन w(t) की चौड़ाई और परिभाषा को देखते हुए, हमें प्रारंभ में विंडो फ़ंक्शन के क्षेत्र को स्केल करने की आवश्यकता होती है ताकि


 * $$ \int_{-\infty}^{\infty} w(\tau) \, d\tau = 1.$$

यह आसानी से उसका पालन करता है


 * $$ \int_{-\infty}^{\infty} w(t-\tau) \, d\tau = 1 \quad \forall \ t $$

और


 * $$ x(t) = x(t) \int_{-\infty}^{\infty} w(t-\tau) \, d\tau = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) w(t-\tau) \, d\tau. $$

सतत फूरियर रूपांतरण है


 * $$ X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-i \omega t} \, dt. $$

ऊपर से x(t) प्रतिस्थापित करने पर:


 * $$ X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} x(t) w(t-\tau) \, d\tau \right] \, e^{-i \omega t} \, dt $$
 * $$ = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x(t) w(t-\tau) \, e^{-i \omega t} \, d\tau \, dt. $$

एकीकरण का अदला-बदली क्रम:


 * $$ X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x(t) w(t-\tau) \, e^{-i \omega t} \, dt \, d\tau $$
 * $$ = \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} x(t) w(t-\tau) \, e^{-i \omega t} \, dt \right] \, d\tau $$
 * $$ = \int_{-\infty}^{\infty} X(\tau, \omega) \, d\tau. $$

तो फूरियर रूपांतरण को x(t) के सभी STFTs के एक प्रकार के चरण सुसंगत योग के रूप में देखा जा सकता है। चूँकि व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण है


 * $$ x(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\omega) e^{+i \omega t} \, d\omega, $$

तब x(t) को X(τ,ω) से इस प्रकार पुनर्प्राप्त किया जा सकता है


 * $$ x(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} X(\tau, \omega) e^{+i \omega t} \, d\tau \, d\omega. $$

या


 * $$ x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\tau, \omega) e^{+i \omega t} \, d\omega \right] \, d\tau. $$

ऊपर से तुलना करने पर यह देखा जा सकता है कि x(t) का विंडोड ग्रेन या वेवलेट है


 * $$ x(t) w(t-\tau) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\tau, \omega) e^{+i \omega t} \, d\omega. $$

τ के लिए X(τ,ω) का व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण निश्चित है।

एक वैकल्पिक परिभाषा जो केवल τ के आसपास के क्षेत्र में मान्य है, उलटा परिवर्तन है:
 * $$x(t) = \frac{1}{w(t-\tau)}\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\tau, \omega) e^{+i \omega t} \, d\omega.$$

सामान्य तौर पर, विंडो फ़ंक्शन $$w(t)$$ निम्नलिखित गुण हैं:


 * (ए) सम समरूपता: $$w(t) = w(-t)$$;
 * (बी) गैर-बढ़ती (सकारात्मक समय के लिए): $$w(t) \geq w(s)$$ अगर $$|t| \leq |s|$$;
 * (सी) कॉम्पैक्ट समर्थन: $$w(t)$$ शून्य के बराबर है जब |t| बड़ी है।

समाधान मुद्दे
एसटीएफटी का एक नुकसान यह है कि इसका एक निश्चित रिज़ॉल्यूशन है। विंडोिंग फ़ंक्शन की चौड़ाई इस बात से संबंधित है कि सिग्नल का प्रतिनिधित्व कैसे किया जाता है - यह निर्धारित करता है कि क्या अच्छा आवृत्ति रिज़ॉल्यूशन है (एक साथ बंद आवृत्ति घटकों को अलग किया जा सकता है) या अच्छा समय रिज़ॉल्यूशन (वह समय जिस पर आवृत्तियों में बदलाव होता है)। एक विस्तृत विंडो बेहतर आवृत्ति रिज़ॉल्यूशन देती है लेकिन खराब समय रिज़ॉल्यूशन देती है। एक संकरी विंडो अच्छा समय रिज़ॉल्यूशन देती है लेकिन ख़राब आवृत्ति रिज़ॉल्यूशन देती है। इन्हें क्रमशः नैरोबैंड और वाइडबैंड ट्रांसफॉर्म कहा जाता है।

यह तरंगिका परिवर्तन और मल्टीरिज़ॉल्यूशन विश्लेषण के निर्माण के कारणों में से एक है, जो उच्च-आवृत्ति घटनाओं के लिए अच्छा समय रिज़ॉल्यूशन और कम-आवृत्ति घटनाओं के लिए अच्छा आवृत्ति रिज़ॉल्यूशन दे सकता है, यह संयोजन कई वास्तविक संकेतों के लिए सबसे उपयुक्त है।

यह संपत्ति वर्नर हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत से संबंधित है, लेकिन सीधे तौर पर नहीं - चर्चा के लिए गैबोर सीमा देखें। समय और आवृत्ति में मानक विचलन का उत्पाद सीमित है। अनिश्चितता सिद्धांत की सीमा (दोनों का सबसे अच्छा एक साथ समाधान) गॉसियन विंडो फ़ंक्शन (या मास्क फ़ंक्शन) के साथ पहुंच जाती है, क्योंकि गॉसियन फूरियर अनिश्चितता सिद्धांत को कम करता है। इसे गैबोर परिवर्तन कहा जाता है (और मल्टीरिज़ॉल्यूशन के लिए संशोधनों के साथ यह मोरलेट वेवलेट ट्रांसफॉर्म बन जाता है)।

कोई अलग-अलग विंडो आकार के लिए एसटीएफटी को दो-आयामी डोमेन (समय और आवृत्ति) के रूप में मान सकता है, जैसा कि नीचे दिए गए उदाहरण में दिखाया गया है, जिसकी गणना विंडो आकार को अलग करके की जा सकती है। हालाँकि, यह अब सख्ती से समय-आवृत्ति प्रतिनिधित्व नहीं है - कर्नेल पूरे सिग्नल पर स्थिर नहीं है।

उदाहरण
जब मूल कार्य है: :$$X(t,f) = \int^\infty_{-\infty}w(t-\tau) x(\tau) e^{-j 2 \pi f \tau} d\tau$$ हमारे पास एक सरल उदाहरण हो सकता है:

w(t) = 1 |t| के लिए B से छोटा या बराबर

w(t) = 0 अन्यथा

बी = खिड़की

अब शॉर्ट-टाइम फूरियर ट्रांसफॉर्म के मूल कार्य को इस प्रकार बदला जा सकता है


 * $$X(t,f) = \int^{t+B}_{t-B}x(\tau) e^{-j 2 \pi f \tau} d\tau$$

एक और उदाहरण:

निम्नलिखित नमूना संकेत का उपयोग करना $$x(t)$$ यह क्रम में एक साथ जुड़े हुए चार साइनसोइडल तरंग रूपों के एक सेट से बना है। प्रत्येक तरंगरूप केवल चार आवृत्तियों (10, 25, 50, 100 हेटर्स ़) में से एक से बना होता है। की परिभाषा $$x(t)$$ है:


 * $$x(t)=\begin{cases}

\cos (2 \pi 10 t) & 0\,\mathrm{s}  \le t < 5  \,\mathrm{s} \\ \cos (2 \pi 25 t) & 5\,\mathrm{s}  \le t < 10\,\mathrm{s} \\ \cos (2 \pi 50 t) & 10\,\mathrm{s} \le t < 15\,\mathrm{s} \\ \cos (2 \pi 100 t) & 15\,\mathrm{s} \le t < 20\,\mathrm{s} \\ \end{cases}$$ फिर इसका नमूना 400 हर्ट्ज़ पर लिया जाता है। निम्नलिखित स्पेक्ट्रोग्राम तैयार किए गए:

25 एमएस विंडो हमें सटीक समय की पहचान करने की अनुमति देती है जिस पर सिग्नल बदलते हैं लेकिन सटीक आवृत्तियों की पहचान करना मुश्किल होता है। पैमाने के दूसरे छोर पर, 1000 एमएस विंडो आवृत्तियों को सटीक रूप से देखने की अनुमति देती है लेकिन आवृत्ति परिवर्तनों के बीच का समय धुंधला हो जाता है।

अन्य उदाहरण: :$$w(t) = exp(\sigma-t^{2})$$ आम तौर पर हम कॉल करते हैं $$exp(\sigma-t^{2})$$ एक गाऊसी फ़ंक्शन या गैबोर फ़ंक्शन। जब हम इसका उपयोग करते हैं, तो कम समय के फूरियर ट्रांसफॉर्म को गैबर ट्रांसफॉर्म कहा जाता है।

स्पष्टीकरण
इसे नमूनाकरण और नाइक्विस्ट आवृत्ति के संदर्भ में भी समझाया जा सकता है।

नमूना दर f पर एक मनमाना वास्तविक-मूल्य वाले सिग्नल से एन नमूनों की एक विंडो लेंs. फूरियर रूपांतरण लेने से एन जटिल गुणांक उत्पन्न होता है। इन गुणांकों में से केवल आधे ही उपयोगी हैं (अंतिम N/2 विपरीत क्रम में पहले N/2 का जटिल संयुग्म है, क्योंकि यह एक वास्तविक मूल्यवान संकेत है)।

ये N/2 गुणांक 0 से f तक की आवृत्तियों का प्रतिनिधित्व करते हैंs/2 (नाइक्विस्ट) और दो लगातार गुणांक अलग-अलग दूरी पर हैं एफs/एन हर्ट्ज.

विंडो के फ़्रीक्वेंसी रिज़ॉल्यूशन को बढ़ाने के लिए गुणांकों की फ़्रीक्वेंसी रिक्ति को कम करने की आवश्यकता है। केवल दो चर हैं, लेकिन एफ घट रहा हैs (और N को स्थिर रखने से) विंडो का आकार बढ़ जाएगा - क्योंकि अब प्रति यूनिट समय में कम नमूने हैं। दूसरा विकल्प एन को बढ़ाना है, लेकिन इससे विंडो का आकार फिर से बढ़ जाता है। इसलिए फ़्रीक्वेंसी रिज़ॉल्यूशन को बढ़ाने का कोई भी प्रयास विंडो के बड़े आकार का कारण बनता है और इसलिए समय रिज़ॉल्यूशन में कमी आती है - और इसके विपरीत।

रेले आवृत्ति
जैसे नाइक्विस्ट आवृत्ति अधिकतम आवृत्ति में एक सीमा है जिसका सार्थक विश्लेषण किया जा सकता है, वैसे ही रेले आवृत्ति न्यूनतम आवृत्ति पर एक सीमा है।

रेले आवृत्ति वह न्यूनतम आवृत्ति है जिसे एक सीमित अवधि समय विंडो द्वारा हल किया जा सकता है। Τ सेकंड लंबी समय विंडो को देखते हुए, हल की जा सकने वाली न्यूनतम आवृत्ति 1/Τ हर्ट्ज है।

रेलेघ आवृत्ति कम समय के फूरियर ट्रांसफॉर्म (एसटीएफटी) के अनुप्रयोगों के साथ-साथ परिमित रिकॉर्ड-लंबाई के सिग्नल पर हार्मोनिक विश्लेषण की किसी भी अन्य विधि में एक महत्वपूर्ण विचार है।

आवेदन
संगीत का विश्लेषण करने के लिए एसटीएफटी के साथ-साथ मानक फूरियर ट्रांसफॉर्म और अन्य उपकरण अक्सर उपयोग किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, स्पेक्ट्रोग्राम क्षैतिज अक्ष पर आवृत्ति दिखा सकता है, बाईं ओर सबसे कम आवृत्तियों के साथ, और दाईं ओर उच्चतम आवृत्तियों के साथ। प्रत्येक बार की ऊंचाई (रंग द्वारा संवर्धित) उस बैंड के भीतर आवृत्तियों के आयाम को दर्शाती है। गहराई आयाम समय का प्रतिनिधित्व करता है, जहां प्रत्येक नई पट्टी एक अलग विशिष्ट परिवर्तन थी। ऑडियो इंजीनियर किसी ऑडियो नमूने के बारे में जानकारी प्राप्त करने के लिए इस प्रकार के दृश्य का उपयोग करते हैं, उदाहरण के लिए, विशिष्ट शोर की आवृत्तियों का पता लगाने के लिए (विशेषकर जब अधिक आवृत्ति रिज़ॉल्यूशन के साथ उपयोग किया जाता है) या उन आवृत्तियों को खोजने के लिए जो उस स्थान पर कम या ज्यादा गुंजायमान हो सकती हैं। सिग्नल रिकॉर्ड किया गया. इस जानकारी का उपयोग बराबरी (ऑडियो)ऑडियो) या अन्य ऑडियो प्रभावों को ट्यून करने के लिए किया जा सकता है।

कार्यान्वयन
मूल कार्य


 * $$X(t,f) = \int^\infty_{-\infty}w(t-\tau) x(\tau) e^{-j 2 \pi f \tau} d\tau$$

असतत रूप में परिवर्तित करना:


 * $$t = n\Delta_t, f=m\Delta_f, \tau =p\Delta_t$$
 * $$X(n\Delta_t, m\Delta_f)=\sum^\infty_{-\infty}w((n-p)\Delta_t)x(p\Delta_t)e^{-j 2 \pi p m \Delta_t \Delta_f}\Delta_t$$

लगता है कि


 * $$w(t) \cong 0 \text{ for } |t|>B, \frac{B}{\Delta_t}=Q$$

फिर हम मूल फ़ंक्शन को इसमें लिख सकते हैं


 * $$X(n\Delta_t, m\Delta_f)= \sum^{n+Q}_{p=n-Q}w((n-p)\Delta_t)x(p\Delta_t)e^{-j 2 \pi p m \Delta_t \Delta_f}\Delta_t$$

बाधाएँ
एक। नाइक्विस्ट मानदंड (अलियासिंग प्रभाव से बचना):


 * $$\Delta_t < \frac{1}{2\Omega}$$, कहाँ $$\Omega$$ की बैंडविड्थ है $$x(\tau) w(t-\tau)$$

बाधा
एक। $$\Delta_t \Delta_f = \tfrac{1}{N}$$, कहाँ $$N$$ एक पूर्णांक है

बी। $$N \geq 2Q+1$$ सी। नाइक्विस्ट मानदंड (अलियासिंग प्रभाव से बचना):


 * $$\Delta_t < \frac{1}{2\Omega}$$, $$\Omega$$ की बैंडविड्थ है $$x(\tau) w(t-\tau)$$
 * $$X(n\Delta_t, m\Delta_f) = \sum_{p=n-Q}^{n+Q} w((n - p)\Delta_t)x(p\Delta_t) e^{-\frac{2\pi jpm}{N}}\Delta_t$$
 * $$\text{if we have } q = p - (n - Q), \text{ then } p = (n - Q) + q$$
 * $$ X(n\Delta_t, m\Delta_f) = \Delta_t e^{\frac{2\pi j(Q - n)m}{N}} \sum_{q=0}^{N-1} x_1(q)e^{-\frac{2\pi jqm}{N}}$$
 * $$\text{where } x_1(q) = \begin{cases} w((Q - q)\Delta_t)x((n - Q + q)\Delta_t) & 0 \leq q \leq 2Q\\ 0 & 2Q < q < N \end{cases}$$

बाधा
एक। $$\Delta_t \Delta_f = \tfrac{1}{N}$$, कहाँ $$N$$ एक पूर्णांक है

बी। $$N \geq 2Q+1$$ सी। नाइक्विस्ट मानदंड (अलियासिंग प्रभाव से बचना):


 * $$\Delta_t < \frac{1}{2\Omega}$$, $$\Omega$$ की बैंडविड्थ है $$x(\tau) w(t-\tau)$$

डी। केवल आयताकार मुखौटा अल्पकालिक फूरियर रूपांतरण|रेक्टेंगुलर-एसटीएफटी को लागू करने के लिए

आयताकार खिड़की बाधा उत्पन्न करती है
 * $$w((n - p)\Delta_t) = 1 $$

प्रतिस्थापन देता है:

\begin{align} X(n\Delta_t, m\Delta_f) &= \sum_{p=n-Q}^{n+Q} w((n - p)\Delta_t)&x(p\Delta_t) e^{-\frac{j2\pi pm}{N}}\Delta_t \\ &= \sum_{p=n-Q}^{n+Q}                  &x(p\Delta_t) e^{-\frac{j2\pi pm}{N}}\Delta_t \\ \end{align} $$ चर का परिवर्तन $n-1$ के लिए $n$:

X((n-1)\Delta_t, m\Delta_f) = \sum_{p=n-1-Q}^{n-1+Q} x(p\Delta_t) e^{-\frac{j2\pi pm}{N}}\Delta_t $$ गणना $$X(\min{n}\Delta_t, m\Delta_f)$$ एन-पॉइंट एफएफटी द्वारा:


 * $$X(n_0\Delta_t, m\Delta_f) = \Delta_t e^{\frac{j 2\pi(Q-n_0)m}{N}} \sum_{q=0}^{N-1} x_1(q) e^{-j\frac{2\pi qm}{N}}, \qquad n_0=\min{(n)}$$

कहाँ


 * $$ x_1(q) = \begin{cases} x((n - Q + q)\Delta_t) & q \leq 2Q\\ 0 & q >2Q \end{cases}$$

गणना करने के लिए पुनरावर्ती सूत्र को लागू करना $$X(n\Delta_t, m\Delta_f)$$
 * $$X(n\Delta_t, m\Delta_f) = X((n-1)\Delta_t, m\Delta_f) - x((n - Q -1)\Delta_t) e^{-\frac{j 2\pi(n-Q-1)m}{N}}\Delta_t + x((n+Q)\Delta_t)e^{-\frac{j 2\pi(n+Q)m}{N}}\Delta_t$$

बाधा

 * $$\exp{(-j2\pi pm\Delta_t\Delta_f)} = \exp{(-j\pi p^2\Delta_t\Delta_f)} \cdot \exp{(j\pi(p-m)^2\Delta_t\Delta_f)}\cdot \exp{(-j\pi m^2\Delta_t\Delta_f)}$$

इसलिए


 * $$X(n\Delta_t, m\Delta_f) = \Delta_t \sum_{p=n-Q}^{n+Q} w((n-p)\Delta_t)x(p\Delta_t)e^{-j2\pi pm\Delta_t\Delta_f}$$
 * $$X(n\Delta_t, m\Delta_f) = \Delta_t e^{-j2\pi m^2\Delta_t\Delta_f} \sum_{p=n-Q}^{n+Q} w((n-p)\Delta_t)x(p\Delta_t)e^{-j\pi p^2\Delta_t\Delta_f} e^{j\pi (p-m)^2\Delta_t\Delta_f} $$

यह भी देखें

 * न्यूनतम-वर्ग वर्णक्रमीय विश्लेषण
 * वर्णक्रमीय घनत्व अनुमान
 * समय-आवृत्ति विश्लेषण
 * समय-आवृत्ति प्रतिनिधित्व
 * पुनर्असाइनमेंट विधि

अन्य समय-आवृत्ति परिवर्तन:
 * शंकु-आकार वितरण फ़ंक्शन
 * लगातार-क्यू परिवर्तन
 * फ्रैक्शनल फूरियर रूपांतरण
 * गैबोर परिवर्तन
 * न्यूलैंड परिवर्तन
 * एस परिवर्तन
 * तरंगिका परिवर्तन
 * चिरप्लेट परिवर्तन

बाहरी संबंध

 * DiscreteTFDs – software for computing the short-time Fourier transform and other time-frequency distributions
 * Singular Spectral Analysis – MultiTaper Method Toolkit – a free software program to analyze short, noisy time series
 * kSpectra Toolkit for Mac OS X from SpectraWorks
 * Time stretched short time Fourier transform for time frequency analysis of ultra wideband signals
 * A BSD-licensed Matlab class to perform STFT and inverse STFT
 * LTFAT – A free (GPL) Matlab / Octave toolbox to work with short-time Fourier transforms and time-frequency analysis
 * Sonogram visible speech – A free (GPL)Freeware for short-time Fourier transforms and time-frequency analysis
 * National Taiwan University, Time-Frequency Analysis and Wavelet Transform 2021, Professor of Jian-Jiun Ding, Department of Electrical Engineering