सुपरएलिप्सॉइड

गणित में, एक सुपरएलिप्सॉइड (या सुपर-एलिप्सॉइड) एक ठोस होता है जिसके क्षैतिज खंड समान वर्ग पैरामीटर के साथ सुपरएलिप्सेज़ (लैम वक्र) होते हैं $$\epsilon_2$$, और जिसके केंद्र से गुजरने वाले ऊर्ध्वाधर खंड वर्गाकार पैरामीटर के साथ सुपरलिप्स हैं। $$\epsilon_1$$ यह एक दीर्घवृत्ताकार का सामान्यीकरण है, जो एक विशेष मामला है $$\epsilon_1=\epsilon_2=1$$.

सुपरएलिप्सॉइड्स को कंप्यूटर ग्राफ़िक्स प्रिमिटिव के रूप में एलन एच. बर्र (जिन्होंने सुपरएलिप्सॉइड्स और सुपरटोरॉयड दोनों को संदर्भित करने के लिए सुपरक्वाड्रिक्स नाम का उपयोग किया था) द्वारा लोकप्रिय बनाया गया था।  आधुनिक कंप्यूटर विज़न और रोबोटिक्स साहित्य में, सुपरक्वाड्रिक्स और सुपरएलिप्सॉइड्स का परस्पर उपयोग किया जाता है, क्योंकि सुपरएलिप्सॉइड्स सभी सुपरक्वाड्रिक्स के बीच सबसे अधिक प्रतिनिधि और व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली आकृति है।

सुपरएलिप्सॉइड्स में एक समृद्ध आकार शब्दावली होती है, जिसमें क्यूबॉइड्स, सिलेंडर, एलीप्सॉइड्स, ऑक्टाहेड्रा और उनके मध्यवर्ती शामिल हैं। यह कंप्यूटर विज़न, रोबोटिक्स, और भौतिक सिमुलेशन में व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय आदिम बन जाता है। सुपरएलिप्सॉइड्स के साथ वस्तुओं और वातावरण का वर्णन करने का मुख्य लाभ इसकी संक्षिप्तता और आकार में अभिव्यक्ति है। इसके अलावा, दो सुपरएलिप्सॉइड्स के बीच मिन्कोव्स्की योग की एक बंद-रूप अभिव्यक्ति उपलब्ध है। यह इसे रोबोट पकड़ने, टकराव का पता लगाने और गति योजना के लिए एक वांछनीय ज्यामितीय आदिम बनाता है। सुपरक्वाड्रिक विज़ुअलाइज़ेशन, सैंपलिंग और रिकवरी के लिए उपयोगी उपकरण और एल्गोरिदम यहां ओपन-सोर्स हैं।

विशेष स्थिति
मूल्यों का सही सेट दिए जाने पर मुट्ठी भर उल्लेखनीय गणितीय आंकड़े सुपरएलिप्सोइड के विशेष मामलों के रूप में सामने आ सकते हैं, जिन्हें उपरोक्त ग्राफ़िक में दर्शाया गया है:


 * सिलेंडर
 * वृत्त
 * स्टाइनमेट्ज़ ठोस
 * बिकोन
 * नियमित अष्टफलक
 * घन, एक सीमित मामले के रूप में जहां घातांक अनंत की ओर प्रवृत्त होते हैं

पीट हेन के सुपरएग्स भी सुपरएलिप्सॉइड्स के विशेष मामले हैं।

मूल (सामान्यीकृत) सुपरएलिप्सॉइड
मूल सुपरलिप्सॉइड को अंतर्निहित फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$ f(x,y,z)=\left(x^{\frac{2}{\epsilon_2}} + y^{\frac{2}{\epsilon_2}} \right)^{\epsilon_2/\epsilon_1} + z^{\frac{2}{\epsilon_1}}$$

पैरामीटर $$ \epsilon_1$$ और $$ \epsilon_2$$ सकारात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं जो आकृति की वर्गाकारता को नियंत्रित करती हैं।

सुपरएलिप्सॉइड की सतह को समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है:

$$ f(x,y,z)=1$$ किसी दिए गए बिंदु के लिए $$ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3$$, बिंदु सुपरएलिप्सॉइड के अंदर स्थित है यदि $$ f(x,y,z)<1$$, और बाहर अगर $$ f(x,y,z)>1$$.

सुपरएलिप्सॉइड के अक्षांश का कोई भी समानांतर (-1 और +1 के बीच किसी भी स्थिरांक z पर एक क्षैतिज खंड) एक सुपरएलिप्से|घातांक वाला लैमे वक्र है $$ 2/\epsilon_2$$, द्वारा स्केल किया गया $$ a = (1 - z^{\frac{2}{\epsilon_1}})^{\frac{\epsilon_1}{2}}$$, जो है


 * $$ \left(\frac{x}{a}\right)^{\frac{2}{\epsilon_2}} + \left(\frac{y}{a}\right)^{\frac{2}{\epsilon_2}} = 1.$$

देशांतर का कोई भी मेरिडियन (मूल के माध्यम से किसी भी ऊर्ध्वाधर विमान द्वारा एक खंड) घातांक के साथ एक लेमे वक्र है $$ 2/\epsilon_1$$, एक कारक w द्वारा क्षैतिज रूप से फैला हुआ है जो सेक्शनिंग विमान पर निर्भर करता है। अर्थात्, यदि $$ x=u\cos\theta$$ और $$ y=u\sin\theta$$, किसी प्रदत्त के लिए $$ \theta$$, तो अनुभाग है


 * $$ \left(\frac{u}{w}\right)^{\frac{2}{\epsilon_1}} + z^{\frac{2}{\epsilon_1}} = 1,$$

कहाँ


 * $$w = (\cos^{\frac{2}{\epsilon_2}}\theta + \sin^{\frac{2}{\epsilon_2}}\theta)^{-\frac{\epsilon_2}{2}}.$$

विशेषकर, यदि $$ \epsilon_2$$ 1 है, क्षैतिज क्रॉस-सेक्शन वृत्त हैं, और क्षैतिज खिंचाव है $$ w$$ सभी तलों के लिए ऊर्ध्वाधर खंड 1 है। उस स्थिति में, सुपरएलिप्सॉइड क्रांति का एक ठोस है, जो घातांक के साथ लैमे वक्र को घुमाकर प्राप्त किया जाता है $$ 2/\epsilon_1$$ ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर.

सुपरएलिप्सॉइड
उपरोक्त मूल आकृति प्रत्येक समन्वय अक्ष के साथ -1 से +1 तक फैली हुई है। सामान्य सुपरलिप्सॉइड को कारकों द्वारा प्रत्येक अक्ष के साथ मूल आकार को स्केल करके प्राप्त किया जाता है $$ a_x$$, $$ a_y$$, $$ a_z$$, परिणामी ठोस का अर्ध-व्यास। अंतर्निहित कार्य है


 * $$ F(x,y,z)=\left( \left(\frac{x}{a_x}\right)^{\frac{2}{\epsilon_2}} + \left(\frac{y}{a_y}\right)^{\frac{2}{\epsilon_2}} \right)^{\frac{\epsilon_2}{\epsilon_1}} + \left(\frac{z}{a_z}\right)^{\frac{2}{\epsilon_1}}$$.

इसी प्रकार, सुपरएलिप्सॉइड की सतह को समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है

$$ F(x,y,z)=1$$ किसी दिए गए बिंदु के लिए $$ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3$$, बिंदु सुपरएलिप्सॉइड के अंदर स्थित है यदि $$ f(x,y,z)<1$$, और बाहर अगर $$ f(x,y,z)>1$$.

इसलिए, अंतर्निहित फ़ंक्शन को सुपरलिप्सॉइड का अंदर-बाहर फ़ंक्शन भी कहा जाता है।

सुपरएलिप्सॉइड में सतह मापदंडों के संदर्भ में एक पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व होता है $$ \eta\in[-\pi/2,\pi/2)$$, $$ \omega\in[-\pi,\pi)$$.


 * $$x(\eta,\omega) = a_x \cos^{\epsilon_1}\eta\cos^{\epsilon_2}\omega$$
 * $$y(\eta,\omega) = a_y \cos^{\epsilon_1}\eta\sin^{\epsilon_2}\omega$$
 * $$z(\eta,\omega) = a_z \sin^{\epsilon_1}\eta$$

सामान्य रूप से प्रस्तुत सुपरएलिप्सॉइड
कंप्यूटर विज़न और रोबोटिक अनुप्रयोगों में, 3डी यूक्लिडियन स्पेस में सामान्य मुद्रा वाला एक सुपरएलिप्सॉइड आमतौर पर अधिक रुचि रखता है।

सुपरएलिप्सॉइड फ्रेम के दिए गए यूक्लिडियन परिवर्तन के लिए $$ g=[\mathbf{R}\in SO(3), \mathbf{t}\in\mathbb{R}^3]\in SE(3)$$ विश्व फ्रेम के सापेक्ष, विश्व फ्रेम को परिभाषित एक सामान्य रूप से प्रस्तुत सुपरलिप्सोइड सतह का अंतर्निहित कार्य है

$$ F\left(g^{-1}\circ(x,y,z)\right)=1$$ कहाँ $$ \circ$$ परिवर्तन ऑपरेशन है जो बिंदु को मैप करता है $$ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3$$ दुनिया के फ्रेम में विहित सुपरएलिप्सॉइड फ्रेम में।

सुपरएलिप्सॉइड का आयतन
सुपरएल्लिप्सॉइड सतह से घिरा आयतन बीटा फ़ंक्शन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है $$ \beta(\cdot,\cdot)$$,

$$ V(\epsilon_1,\epsilon_2,a_x,a_y,a_z)=2a_xa_ya_z\epsilon_1\epsilon_2\beta(\frac{\epsilon_1}{2},\epsilon_1+1)\beta(\frac{\epsilon_2}{2},\frac{\epsilon_2+2}{2}) $$ या गामा फ़ंक्शन के समकक्ष $$ \Gamma(\cdot)$$, तब से

$$ \beta(m,n)=\frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$$

डेटा से पुनर्प्राप्ति
कच्चे डेटा (जैसे, पॉइंट क्लाउड, मेश, इमेज और वोक्सल्स) से सुपरएलिप्सॉइड (या सुपरक्वाड्रिक्स) प्रतिनिधित्व को पुनर्प्राप्त करना कंप्यूटर विज़न में एक महत्वपूर्ण कार्य है,  रोबोटिक्स, और भौतिक अनुकरण. पारंपरिक कम्प्यूटेशनल विधियाँ समस्या को न्यूनतम-वर्ग समस्या के रूप में प्रस्तुत करती हैं। लक्ष्य सुपरएलिप्सॉइड मापदंडों के इष्टतम सेट का पता लगाना है $$ \theta\doteq[\epsilon_1, \epsilon_2, a_x, a_y, a_z, g]$$ वह एक वस्तुनिष्ठ कार्य को छोटा करता है। आकार मापदंडों के अलावा, $$ g\in SE(3)$$ विश्व समन्वय के संबंध में सुपरएलिप्सॉइड फ्रेम की मुद्रा है।

आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले दो वस्तुनिष्ठ कार्य हैं। पहले वाले का निर्माण सीधे अंतर्निहित कार्य के आधार पर किया जाता है

$$ G_1(\theta)=a_xa_ya_z\sum_{i=1}^{N}\left(F^{\epsilon_1}\left(g^{-1}\circ(x_i,y_i,z_i)\right)-1\right)^2$$ ऑब्जेक्टिव फ़ंक्शन का न्यूनतमकरण सभी इनपुट बिंदुओं के जितना संभव हो सके एक पुनर्प्राप्त सुपरलिप्सॉइड प्रदान करता है $$ \{(x_i,y_i,z_i)\in \mathbb{R}^3, i=1,2,...,N\}$$. इस बीच, अदिश मान $$ a_x,a_y,a_z$$ सुपरएलिप्सॉइड के आयतन के सकारात्मक रूप से आनुपातिक है, और इस प्रकार आयतन को कम करने का भी प्रभाव पड़ता है।

अन्य उद्देश्य फ़ंक्शन बिंदुओं और सुपरलिप्सॉइड के बीच रेडियल दूरी को कम करने का प्रयास करता है। वह है

$$ G_2(\theta)=\sum_{i=1}^{N}\left(\left|r_i\right|\left|1-F^{-\frac{\epsilon_1}{2}}\left(g^{-1}\circ (x_i,y_i,z_i)\right)\right|\right)^2$$, कहाँ $$ r_i=\|(x_i,y_i,z_i)\|_2$$ ईएमएस नामक एक संभाव्य विधि को शोर और ग़ैर से निपटने के लिए डिज़ाइन किया गया है। इस पद्धति में, सुपरएलिप्सॉइड पुनर्प्राप्ति को अधिकतम संभावना अनुमान समस्या के रूप में पुन: तैयार किया गया है, और सुपरएलिप्सॉइड्स की ज्यामितीय समानता का उपयोग करके स्थानीय मिनीमा से बचने के लिए एक अनुकूलन विधि प्रस्तावित है।

एक साथ कई सुपरएलिप्सॉइड्स को पुनर्प्राप्त करने के लिए गैर-पैरामीट्रिक बायेसियन तकनीकों के साथ मॉडलिंग द्वारा विधि को आगे बढ़ाया गया है।

ग्रन्थसूची

 * Barr, "Superquadrics and Angle-Preserving Transformations," in IEEE Computer Graphics and Applications, vol. 1, no. 1, pp. 11-23, Jan. 1981, doi: 10.1109/MCG.1981.1673799.
 * Aleš Jaklič, Aleš Leonardis, Franc Solina, Segmentation and Recovery of Superquadrics. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2000.
 * Aleš Jaklič, Franc Solina (2003) Moments of Superellipsoids and their Application to Range Image Registration. IEEE TRANSACTIONS ON SYSTEMS, MAN, AND CYBERNETICS, 33 (4). pp. 648–657
 * W. Liu, Y. Wu, S. Ruan and G. S. Chirikjian, "Robust and Accurate Superquadric Recovery: a Probabilistic Approach," 2022 IEEE/CVF Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR), New Orleans, LA, USA, 2022, pp. 2666-2675, doi: 10.1109/CVPR52688.2022.00270.

बाहरी संबंध

 * Bibliography: SuperQuadric Representations
 * Superquadric Tensor Glyphs
 * SuperQuadric Ellipsoids and Toroids, OpenGL Lighting, and Timing
 * Superquadratics by Robert Kragler, The Wolfram Demonstrations Project.
 * Superquadrics Recovery Algorithm in Python and MATLAB