सामान्य सापेक्षता में द्रव्यमान

विशेष सापेक्षता में द्रव्यमान की अवधारणा की तुलना में सामान्य सापेक्षता (जीआर) में द्रव्यमान की अवधारणा परिभाषित करने के लिए अधिक सूक्ष्म है। वास्तव में, सामान्य सापेक्षता द्रव्यमान शब्द की एक परिभाषा प्रदान नहीं करती है, लेकिन कई अलग-अलग परिभाषाएं प्रदान करती है जो विभिन्न परिस्थितियों में लागू होती हैं। कुछ परिस्थितियों में, सामान्य सापेक्षता में किसी प्रणाली के द्रव्यमान को परिभाषित भी नहीं किया जा सकता है।

इस सूक्ष्मता का कारण यह है कि गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में ऊर्जा और संवेग को स्पष्ट रूप से स्थानीयकृत नहीं किया जा सकता है। (अध्याय 20 देखें ।) इसलिए, सामान्य सापेक्षता में द्रव्यमान की कठोर परिभाषाएँ स्थानीय नहीं हैं, जैसा कि शास्त्रीय यांत्रिकी या विशेष सापेक्षता में है, लेकिन अंतरिक्ष-समय की स्पर्शोन्मुख प्रकृति का संदर्भ देती हैं। द्रव्यमान की एक अच्छी तरह से परिभाषित धारणा असम्बद्ध रूप से फ्लैट अंतरिक्ष-समय के लिए और असम्बद्ध रूप से एंटी-डी सिटर स्पेस के लिए मौजूद है। हालाँकि, इन परिभाषाओं का उपयोग अन्य सेटिंग्स में सावधानी के साथ किया जाना चाहिए।

सामान्य सापेक्षता में द्रव्यमान को परिभाषित करना: अवधारणाएं और बाधाएं
विशेष सापेक्षता में, किसी कण के शेष द्रव्यमान को उसकी ऊर्जा और संवेग के संदर्भ में स्पष्ट रूप से परिभाषित किया जा सकता है जैसा कि विशेष सापेक्षता में द्रव्यमान पर लेख में वर्णित है। हालांकि, सामान्य सापेक्षता के लिए ऊर्जा और संवेग की धारणा को सामान्य बनाना सूक्ष्म है। इसका मुख्य कारण यह है कि गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र ही ऊर्जा और संवेग में योगदान देता है। हालाँकि, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र ऊर्जा ऊर्जा-संवेग टेंसर का हिस्सा नहीं है; इसके बजाय, जिसे कुल ऊर्जा में गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के योगदान के रूप में पहचाना जा सकता है, आइंस्टीन के समीकरण के दूसरी तरफ आइंस्टीन टेंसर का हिस्सा है (और, जैसे, इन समीकरणों की गैर-रैखिकता का परिणाम)। जबकि कुछ स्थितियों में समीकरणों को फिर से लिखना संभव है ताकि गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा का हिस्सा तनाव-ऊर्जा-संवेग स्यूडोटेन्सर के रूप में अन्य स्रोत शर्तों के साथ खड़ा हो, यह अलगाव सभी पर्यवेक्षकों के लिए सही नहीं है, और कोई नहीं है इसे प्राप्त करने की सामान्य परिभाषा। फिर, कोई अवधारणा को सिस्टम के कुल द्रव्यमान के रूप में कैसे परिभाषित करता है – जिसे शास्त्रीय यांत्रिकी में आसानी से परिभाषित किया गया है? जैसा कि यह पता चला है, कम से कम अंतरिक्ष-समय के लिए जो विषम रूप से सपाट अंतरिक्ष-समय है (मोटे तौर पर बोलना, जो अन्यथा खाली और गुरुत्वाकर्षण-मुक्त अनंत अंतरिक्ष में कुछ पृथक गुरुत्वाकर्षण प्रणाली का प्रतिनिधित्व करता है), एडीएम औपचारिकता 3+1 विभाजन एक समाधान की ओर ले जाता है: जैसा कि सामान्य हैमिल्टनियन यांत्रिकी, उस विभाजन में उपयोग की जाने वाली समय दिशा में एक संबद्ध ऊर्जा होती है, जिसे ADM औपचारिकता #ADM ऊर्जा और द्रव्यमान (या, समतुल्य, ADM ऊर्जा) के रूप में ज्ञात वैश्विक मात्रा प्राप्त करने के लिए एकीकृत किया जा सकता है। वैकल्पिक रूप से, एक स्थिर अंतरिक्ष समय के लिए द्रव्यमान को परिभाषित करने की संभावना है, दूसरे शब्दों में, एक जिसमें समय-जैसा हत्या वेक्टर क्षेत्र है (जो, समय के लिए एक उत्पादक क्षेत्र के रूप में, कैनोनिक रूप से ऊर्जा के लिए संयुग्मित है); परिणाम तथाकथित द्रव्यमान को लौटें  है हालांकि पूरी तरह से अलग तरीके से परिभाषित किया गया है, इसे स्थिर स्पेसटाइम के लिए एडीएम द्रव्यमान के बराबर दिखाया जा सकता है। कोमार अभिन्न परिभाषा को गैर-स्थिर क्षेत्रों के लिए भी सामान्यीकृत किया जा सकता है जिसके लिए कम से कम एक स्पर्शोन्मुख समय अनुवाद समरूपता है; एक निश्चित गेज स्थिति को थोपते हुए, #ADM और बौंडी द्रव्यमान को शून्य अनन्तता पर स्पर्शोन्मुख रूप से फ्लैट स्पेस-टाइम में परिभाषित किया जा सकता है। एक तरह से, ADM औपचारिकता #ADM ऊर्जा और द्रव्यमान अंतरिक्ष-समय में निहित सभी ऊर्जा को मापता है, जबकि बौंडी ऊर्जा गुरुत्वाकर्षण तरंगों द्वारा अनंत तक ले जाने वाले भागों को बाहर करती है।  जनता के लिए सकारात्मकता प्रमेयों को साबित करने के लिए बहुत प्रयास किए गए हैं, कम से कम नहीं क्योंकि सकारात्मकता, या कम से कम एक निचली सीमा का अस्तित्व, नीचे से बाध्यता के अधिक मौलिक प्रश्न पर असर डालता है: यदि कोई निचली सीमा नहीं थी ऊर्जा, तो कोई पृथक प्रणाली बिल्कुल स्थिर नहीं होगी; इससे भी कम कुल ऊर्जा की स्थिति में क्षय की संभावना हमेशा बनी रहेगी। ADM द्रव्यमान और बौंडी द्रव्यमान दोनों के वास्तव में सकारात्मक होने के कई प्रकार के प्रमाण मौजूद हैं; विशेष रूप से, इसका अर्थ है कि मिन्कोव्स्की स्थान (जिसके लिए दोनों शून्य हैं) वास्तव में स्थिर है। जबकि यहां ऊर्जा पर ध्यान दिया गया है, वैश्विक गति के लिए अनुरूप परिभाषाएं मौजूद हैं; कोणीय किलिंग वैक्टर के क्षेत्र को देखते हुए और कोमार तकनीक का पालन करते हुए, वैश्विक कोणीय गति को भी परिभाषित किया जा सकता है।

अर्ध-स्थानीय मात्राएँ
अब तक उल्लिखित सभी परिभाषाओं का नुकसान यह है कि उन्हें केवल (शून्य या स्थानिक) अनंत पर परिभाषित किया गया है; 1970 के दशक के बाद से, भौतिकविदों और गणितज्ञों ने उपयुक्त अर्ध-स्थानीय मात्राओं को परिभाषित करने के अधिक महत्वाकांक्षी प्रयास पर काम किया है, जैसे कि एक पृथक प्रणाली के द्रव्यमान को केवल उस प्रणाली वाले अंतरिक्ष के परिमित क्षेत्र के भीतर परिभाषित मात्राओं का उपयोग करके परिभाषित किया गया है। हालाँकि, हॉकिंग ऊर्जा, गेरोच ऊर्जा या रोजर पेनरोज़ | पेनरोज़ की अर्ध-स्थानीय ऊर्जा-संवेग जैसे ट्विस्टर सिद्धांत विधियों पर आधारित विभिन्न प्रकार की प्रस्तावित परिभाषाएँ हैं, लेकिन क्षेत्र अभी भी प्रवाह में है। आखिरकार, उम्मीद है कि घेरा अनुमान का अधिक सटीक सूत्रीकरण देने के लिए एक उपयुक्त परिभाषित अर्ध-स्थानीय द्रव्यमान का उपयोग किया जाए, ब्लैक होल के लिए तथाकथित पेनरोज़ असमानता को साबित करें (ब्लैक होल के द्रव्यमान को क्षितिज क्षेत्र से संबंधित) और अर्ध-स्थानीय द्रव्यमान का पता लगाएं। -ब्लैक होल यांत्रिकी के नियमों का स्थानीय संस्करण।

स्थिर स्पेसटाइम में कोमार मास
एक स्थिर स्पेसटाइम की एक गैर-तकनीकी परिभाषा एक स्पेसटाइम है जहां कोई भी मीट्रिक गुणांक नहीं है $$g_{\mu\nu}\,$$ समय के कार्य हैं। एक ब्लैक होल की श्वार्जस्चिल्ड मीट्रिक और एक घूर्णन ब्लैक होल की केर मीट्रिक  स्थिर स्पेसटाइम के सामान्य उदाहरण हैं।

परिभाषा के अनुसार, एक स्थिर स्पेसटाइम समय अनुवाद समरूपता प्रदर्शित करता है। इसे तकनीकी रूप से टाइम-लाइक हत्या वेक्टर  कहा जाता है। क्योंकि सिस्टम में समय अनुवाद समरूपता है, नोएदर का प्रमेय गारंटी देता है कि इसमें एक संरक्षित ऊर्जा है। क्योंकि एक स्थिर प्रणाली में एक अच्छी तरह से परिभाषित आराम फ्रेम भी होता है जिसमें इसकी गति को शून्य माना जा सकता है, सिस्टम की ऊर्जा को परिभाषित करना भी इसके द्रव्यमान को परिभाषित करता है। सामान्य सापेक्षता में, इस द्रव्यमान को तंत्र का कोमार द्रव्यमान कहा जाता है। कोमार द्रव्यमान को केवल स्थिर प्रणालियों के लिए परिभाषित किया जा सकता है।

कोमार मास को फ्लक्स इंटीग्रल द्वारा भी परिभाषित किया जा सकता है। यह उस तरह से है जैसे गॉस का नियम एक सतह से घिरे चार्ज को क्षेत्र द्वारा गुणा किए गए सामान्य विद्युत बल के रूप में परिभाषित करता है। हालांकि, कोमार द्रव्यमान को परिभाषित करने के लिए इस्तेमाल किया जाने वाला फ्लक्स इंटीग्रल विद्युत क्षेत्र को परिभाषित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले से थोड़ा अलग है – सामान्य बल वास्तविक बल नहीं है, बल्कि अनंत पर बल है। अधिक विस्तार के लिए कोमार मास देखें।

दो परिभाषाओं में से, समय अनुवाद समरूपता के संदर्भ में कोमार मास का विवरण गहन अंतर्दृष्टि प्रदान करता है।

ADM और बौंडी द्रव्यमान असमान रूप से फ्लैट स्पेस-टाइम
में

यदि गुरुत्वाकर्षण स्रोतों वाली एक प्रणाली एक अनंत निर्वात क्षेत्र से घिरी हुई है, तो अंतरिक्ष-समय की ज्यामिति अनंत पर विशेष सापेक्षता के समतल मिन्कोस्की स्थान की ओर रुख करेगी। ऐसे स्पेस-टाइम्स को विषम रूप से सपाट स्पेस-टाइम्स के रूप में जाना जाता है।

उन प्रणालियों के लिए जिनमें अंतरिक्ष-समय असमान रूप से सपाट है, ADM द्रव्यमान और बौंडी ऊर्जा, संवेग और द्रव्यमान को परिभाषित किया जा सकता है। नोएदर के प्रमेय के संदर्भ में, ADM ऊर्जा, संवेग और द्रव्यमान को अनुरूप अनंत पर स्पर्शोन्मुख समरूपता द्वारा परिभाषित किया जाता है, और बॉन्डी ऊर्जा, संवेग और द्रव्यमान को अनुरूप अनंत पर स्पर्शोन्मुख समरूपता द्वारा परिभाषित किया जाता है। ध्यान दें कि द्रव्यमान की गणना ऊर्जा-संवेग चार-वेक्टर की लंबाई के रूप में की जाती है, जिसे अनंत पर सिस्टम की ऊर्जा और गति के रूप में माना जा सकता है।

ADM ऊर्जा को अनंत पर निम्नलिखित फ्लक्स इंटीग्रल के माध्यम से परिभाषित किया गया है। यदि एक स्पेसटाइम असमान रूप से फ्लैट है तो इसका मतलब है कि अनंत के पास मीट्रिक फ्लैट स्पेस की ओर जाता है। समतल स्थान से दूर मीट्रिक के स्पर्शोन्मुख विचलन को इसके द्वारा पैरामीट्रिज किया जा सकता है
 * $$g_{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu} + h_{\mu \nu}

$$ कहाँ $$\eta_{\mu \nu}$$ समतल स्थान मीट्रिक है। एडीएम ऊर्जा तब सतह पर एक अभिन्न द्वारा दी जाती है, $$S$$ अनंत पर

P^0 = {1 \over 16 \pi G} \int \left(\partial^k h_{j k} - \partial^j h_{k k} \right) d^2 S_j, $$ कहाँ $$ S_j $$ के लिए जावक-इंगित सामान्य है $$S$$. आइंस्टाइन योग सम्मेलन को बार-बार सूचकांकों के लिए माना जाता है लेकिन k और j पर योग केवल स्थानिक दिशाओं में चलता है। उपरोक्त सूत्र में सहसंयोजक डेरिवेटिव के बजाय साधारण डेरिवेटिव का उपयोग इस धारणा के कारण उचित है कि स्पर्शोन्मुख ज्यामिति समतल है।

उपरोक्त सूत्र के लिए कुछ अंतर्ज्ञान निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है। कल्पना कीजिए कि हम सतह, एस, को एक गोलाकार सतह के रूप में लेते हैं ताकि सामान्य बिंदु रेडियल रूप से बाहर की ओर हों। ऊर्जा के स्रोत से बड़ी दूरी पर, आर, टेंसर $$h_{i j}$$ के रूप में गिरने की उम्मीद है $$r^{-1}$$ और r के संबंध में व्युत्पन्न इसे रूपांतरित करता है $$r^{-2}$$ बड़े दायरे में गोले का क्षेत्रफल भी ठीक उसी तरह बढ़ता है $$r^2$$ और इसलिए ऊर्जा के लिए एक परिमित मूल्य प्राप्त होता है।

स्पर्शोन्मुख रूप से फ्लैट स्पेसटाइम में गति के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त करना भी संभव है। ऐसी अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए परिभाषित करता है

H^{\mu \alpha \nu \beta} = -\bar{h}^{\mu \nu} \eta^{\alpha \beta} - \eta^{\mu \nu} \bar{h}^{\alpha \beta} + \bar{h}^{\alpha \nu} \eta^{\mu \beta} + \bar{h}^{\mu \beta} \eta^{\alpha \nu} $$ कहाँ

\bar{h}_{\mu \nu} = h_{\mu \nu} - {1 \over 2} \eta_{\mu \nu} h^{\alpha}_{\alpha} $$ तब संवेग को स्पर्शोन्मुख रूप से समतल क्षेत्र में एक फ्लक्स इंटीग्रल द्वारा प्राप्त किया जाता है

P^{\mu} = {1 \over 16 \pi G}\int \partial_{\alpha} H^{\mu \alpha 0 j} d^2 S_j $$ ध्यान दें कि के लिए अभिव्यक्ति $$P^0$$ उपरोक्त सूत्र से प्राप्त ऊपर दिए गए ADM ऊर्जा के लिए अभिव्यक्ति के साथ मेल खाता है जिसे H के लिए स्पष्ट अभिव्यक्ति का उपयोग करके आसानी से जांचा जा सकता है।

लगभग फ्लैट स्पेस-टाइम
के लिए न्यूटोनियन सीमा न्यूटोनियन सीमा में, अर्ध-स्थैतिक प्रणालियों के लिए लगभग फ्लैट स्पेस-टाइम में, सिस्टम की ऊर्जा के गैर-गुरुत्वाकर्षण घटकों को एक साथ जोड़कर और फिर न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण बंधन ऊर्जा को घटाकर सिस्टम की कुल ऊर्जा का अनुमान लगाया जा सकता है।

उपरोक्त कथन का सामान्य सापेक्षता की भाषा में अनुवाद करते हुए, हम कहते हैं कि लगभग सपाट अंतरिक्ष-समय में एक प्रणाली में कुल गैर-गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा E और संवेग P होता है:


 * $$E = \int_v T_{00} dV \qquad P^i = \int_V T_{0i} dV $$

जब सिस्टम के संवेग वेक्टर के घटक शून्य होते हैं, अर्थात पीi = 0, सिस्टम का अनुमानित द्रव्यमान ठीक है (E+Ebinding)/सी2, औरbinding न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण आत्म-बाध्यकारी ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करने वाली ऋणात्मक संख्या होने के नाते।

इसलिए जब कोई मानता है कि प्रणाली अर्ध-स्थैतिक है, तो कोई मानता है कि गुरुत्वाकर्षण तरंगों के रूप में कोई महत्वपूर्ण ऊर्जा मौजूद नहीं है। जब कोई मानता है कि सिस्टम लगभग-फ्लैट स्पेस-टाइम में है, तो यह माना जाता है कि स्वीकार्य प्रायोगिक त्रुटि के भीतर मीट्रिक गुणांक अनिवार्य रूप से मिंकोवस्कीयन हैं।

इस सीमा में स्वाभाविक रूप से कुल ऊर्जा और संवेग के सूत्र इस प्रकार उत्पन्न होते देखे जा सकते हैं। रैखिककृत सीमा में, सामान्य सापेक्षता के समीकरणों को रूप में लिखा जा सकता है

\partial_{\alpha} \partial_{\beta} H^{\mu \alpha \nu \beta} = 16 \pi G T^{\mu \nu} $$ इस सीमा में, सिस्टम की कुल ऊर्जा-संवेग केवल स्पेस-लाइक स्लाइस पर तनाव-टेंसर को एकीकृत करके दिया जाता है।

P^{\mu} = \int T^{\mu 0} d^3 x $$ लेकिन गति के समीकरणों का उपयोग करके इसे इस रूप में भी लिखा जा सकता है

P^{\mu} = {1 \over 16 \pi G} \int \partial_{\alpha} \partial_{\beta} H^{\mu \alpha 0 \beta} d^3 x = {1 \over 16 \pi G} \int \partial_{\alpha} \partial_j H^{\mu \alpha 0 j} d^3 x $$ जहाँ j पर योग केवल स्थानिक दिशाओं पर चलता है और दूसरी समानता इस तथ्य का उपयोग करती है कि $$H^{\mu \alpha \nu \beta}$$ में विरोधी सममित है $$\nu$$ और $$ \beta $$. अंत में, गॉसियन क्षेत्र पर एक अभिन्न में स्थानिक स्लाइस पर एक विचलन के अभिन्न अंग को परिवर्तित करने के लिए गॉस कानून का उपयोग करता है

{1 \over 16 \pi G} \int \partial_{\alpha} \partial_j H^{\mu \alpha 0 j} d^3 x = {1 \over 16 \pi G} \int \partial_{\alpha} H^{\mu \alpha 0 j} d^2 S_j $$ जो ऊपर दिए गए कुल संवेग के सूत्र के साथ ठीक मेल खाता है।

इतिहास
1918 में, डेविड हिल्बर्ट ने फेलिक्स क्लेन के साथ एक पत्राचार में एक क्षेत्र को ऊर्जा प्रदान करने में कठिनाई और ऊर्जा प्रमेय की विफलता के बारे में लिखा। इस पत्र में, हिल्बर्ट ने अनुमान लगाया कि यह विफलता सामान्य सिद्धांत की एक विशेषता है, और यह कि उचित ऊर्जा प्रमेयों के बजाय 'अनुचित ऊर्जा प्रमेय' थे।

यह अनुमान जल्द ही हिल्बर्ट के करीबी सहयोगियों में से एक एमी नोथेर द्वारा सही साबित हुआ। नोएदर का प्रमेय किसी भी प्रणाली पर लागू होता है जिसे क्रिया (भौतिकी) द्वारा वर्णित किया जा सकता है। नोएदर की प्रमेय संरक्षित ऊर्जा को समय-अनुवाद समरूपता से जोड़ती है। जब समय-अनुवाद समरूपता एक परिमित पैरामीटर झूठ समूह है, जैसे पॉइंकेयर समूह, नोएदर के प्रमेय प्रश्न में प्रणाली के लिए एक स्केलर संरक्षित ऊर्जा को परिभाषित करता है। हालाँकि, जब समरूपता एक अनंत पैरामीटर निरंतर समूह है, तो संरक्षित ऊर्जा के अस्तित्व की गारंटी नहीं है। इसी तरह, नोएदर के प्रमेय संरक्षित संवेग को अंतरिक्ष-अनुवाद के साथ जोड़ता है, जब अनुवादों का समरूपता समूह परिमित-आयामी होता है। क्योंकि सामान्य सापेक्षता एक भिन्नतावादी अपरिवर्तनीय सिद्धांत है, इसमें समरूपता के परिमित-पैरामीटर समूह के बजाय समरूपता का एक अनंत निरंतर समूह है, और इसलिए एक संरक्षित ऊर्जा की गारंटी देने के लिए गलत समूह संरचना है। सामान्य सापेक्षता में द्रव्यमान, सिस्टम ऊर्जा, और सिस्टम गति के विभिन्न विचारों को प्रेरित करने और एकीकृत करने में नोएदर का प्रमेय बेहद प्रभावशाली रहा है।

नोएदर के प्रमेय के अनुप्रयोग के एक उदाहरण के रूप में स्थिर स्थान-समय और उनके संबंधित कोमार मास का उदाहरण है। (कोमार 1959)। जबकि सामान्य स्पेस-टाइम में परिमित-पैरामीटर टाइम-ट्रांसलेशन समरूपता का अभाव होता है, स्थिर स्पेस-टाइम में ऐसी समरूपता होती है, जिसे किलिंग वेक्टर के रूप में जाना जाता है। नोएदर की प्रमेय यह साबित करती है कि इस तरह के स्थिर अंतरिक्ष-समय में एक संबद्ध संरक्षित ऊर्जा होनी चाहिए। यह संरक्षित ऊर्जा एक संरक्षित द्रव्यमान, कोमार द्रव्यमान को परिभाषित करती है।

ADM द्रव्यमान को सामान्य सापेक्षता के प्रारंभिक-मूल्य सूत्रीकरण से पेश किया गया था (अर्नोविट एट अल।, 1960)। इसे बाद में विभिन्न लेखकों द्वारा स्थानिक अनंतता, एसपीआई समूह में एसिम्प्टोटिक समरूपता के समूह के संदर्भ में सुधार किया गया था। (आयोजित, 1980)। इस सुधार ने सिद्धांत को स्पष्ट करने के लिए बहुत कुछ किया, जिसमें एडीएम गति और एडीएम ऊर्जा को 4-वेक्टर (हेल्ड, 1980) के रूप में बदलना शामिल है। ध्यान दें कि एसपीआई समूह वास्तव में अनंत-आयामी है। संरक्षित मात्राओं का अस्तित्व इसलिए है क्योंकि सुपर-अनुवाद के एसपीआई समूह में शुद्ध अनुवादों का पसंदीदा 4-पैरामीटर उपसमूह है, जो नोएदर के प्रमेय द्वारा संरक्षित 4-पैरामीटर ऊर्जा-संवेग उत्पन्न करता है। इस 4-पैरामीटर ऊर्जा-संवेग का मानदंड ADM द्रव्यमान है।

बॉन्डी द्रव्यमान को एक पेपर में पेश किया गया था (बॉन्डी, 1962) जिसमें गुरुत्वाकर्षण विकिरण के माध्यम से भौतिक प्रणालियों के द्रव्यमान के नुकसान का अध्ययन किया गया था। बोंडी द्रव्यमान स्पर्शोन्मुख समरूपता के एक समूह के साथ भी जुड़ा हुआ है, बोंडी-मेटज़नर-सैक्स समूह अशक्त अनंत पर। स्थानिक अनन्तता पर एसपीआई समूह की तरह, शून्य अनन्तता पर बीएमएस समूह अनंत-आयामी है, और इसमें शुद्ध अनुवादों का पसंदीदा 4-पैरामीटर उपसमूह भी है।

सामान्य सापेक्षता में ऊर्जा की समस्या के लिए एक अन्य दृष्टिकोण स्यूडोटेन्सर्स का उपयोग है जैसे कि लैंडौ-लिफ्शिट्ज़ स्यूडोटेन्सर। (लैंडौ और लाइफशिट्ज, 1962)। स्यूडोटेंसर गेज इनवेरिएंट नहीं हैं – इस वजह से, वे केवल कुल ऊर्जा के लिए लगातार गेज-स्वतंत्र उत्तर देते हैं जब अतिरिक्त बाधाएं (जैसे स्पर्शोन्मुख समतलता) मिलती हैं। स्यूडोटेन्सर्स की गेज निर्भरता भी स्थानीय ऊर्जा घनत्व की किसी भी गेज-स्वतंत्र परिभाषा को रोकती है, क्योंकि हर अलग गेज विकल्प के परिणामस्वरूप एक अलग स्थानीय ऊर्जा घनत्व होता है।

यह भी देखें

 * विशेष सापेक्षता में द्रव्यमान
 * सामान्य सापेक्षता
 * ऊर्जा संरक्षण
 * कोमार द्रव्यमान
 * हॉकिंग ऊर्जा
 * एडीएम द्रव्यमान
 * धनात्मक द्रव्यमान प्रमेय

संदर्भ

 * "If you go too fast, do you become a black hole?" Updated by Don Koks 2008. Original by Philip Gibbs 1996. The Original Usenet Physics FAQ
 * "If you go too fast, do you become a black hole?" Updated by Don Koks 2008. Original by Philip Gibbs 1996. The Original Usenet Physics FAQ
 * "If you go too fast, do you become a black hole?" Updated by Don Koks 2008. Original by Philip Gibbs 1996. The Original Usenet Physics FAQ
 * "If you go too fast, do you become a black hole?" Updated by Don Koks 2008. Original by Philip Gibbs 1996. The Original Usenet Physics FAQ
 * "If you go too fast, do you become a black hole?" Updated by Don Koks 2008. Original by Philip Gibbs 1996. The Original Usenet Physics FAQ
 * "If you go too fast, do you become a black hole?" Updated by Don Koks 2008. Original by Philip Gibbs 1996. The Original Usenet Physics FAQ
 * "If you go too fast, do you become a black hole?" Updated by Don Koks 2008. Original by Philip Gibbs 1996. The Original Usenet Physics FAQ
 * "If you go too fast, do you become a black hole?" Updated by Don Koks 2008. Original by Philip Gibbs 1996. The Original Usenet Physics FAQ
 * "If you go too fast, do you become a black hole?" Updated by Don Koks 2008. Original by Philip Gibbs 1996. The Original Usenet Physics FAQ
 * "If you go too fast, do you become a black hole?" Updated by Don Koks 2008. Original by Philip Gibbs 1996. The Original Usenet Physics FAQ
 * "If you go too fast, do you become a black hole?" Updated by Don Koks 2008. Original by Philip Gibbs 1996. The Original Usenet Physics FAQ
 * "If you go too fast, do you become a black hole?" Updated by Don Koks 2008. Original by Philip Gibbs 1996. The Original Usenet Physics FAQ

बाहरी संबंध

 * "Is energy conserved in General Relativity?