बाइहार्मोनिक समीकरण

गणित में, द्वि हरात्मक समीकरण एक चौथा क्रम आंशिक अंतर समीकरण है जो सातत्य यांत्रिकी के क्षेत्रों में उत्पन्न होता है, जिसमें रैखिक प्रत्यास्थ सिद्धांत और स्टोक्स प्रवाह का समाधान सम्मलित है। विशेष रूप से, इसका उपयोग संकीर्ण संरचनाओं के निर्माण में किया जाता है जो बाह्य बलों के लिए प्रत्यास्थ (भौतिकी) पर प्रतिक्रिया देता है।

नोटेशन
के रूप में लिखा गया है


 * $$\nabla^4\varphi=0$$

या


 * $$\nabla^2\nabla^2\varphi=0$$

या


 * $$\Delta^2\varphi=0$$

कहाँ $$\nabla^4$$, जो डेल ऑपरेटर की चौथी शक्ति और लाप्लासियन ऑपरेटर का वर्ग है $$\nabla^2$$ (या $$\Delta$$), बिहारमोनिक ऑपरेटर या बिलाप्लासियन ऑपरेटर के रूप में जाना जाता है। कार्टेशियन निर्देशांक में, इसे लिखा जा सकता है $$n$$ आयाम के रूप में:



\nabla^4\varphi=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\partial_i\partial_i\partial_j\partial_j \varphi =\left(\sum_{i=1}^n\partial_i\partial_i\right)\left(\sum_{j=1}^n \partial_j\partial_j\right) \varphi. $$ क्योंकि यहाँ सूत्र में सूचकांकों का योग है, कई गणितज्ञ अंकन को पसंद करते हैं $$\Delta^2$$ ऊपर $$\nabla^4$$ क्योंकि पूर्व स्पष्ट करता है कि चार नाबला ऑपरेटरों में से कौन से सूचकांक अनुबंधित हैं।

उदाहरण के लिए, तीन आयामी कार्टेशियन निर्देशांक में बिहारमोनिक समीकरण का रूप है



{\partial^4 \varphi\over \partial x^4 } + {\partial^4 \varphi\over \partial y^4 } + {\partial^4 \varphi\over \partial z^4 }+ 2{\partial^4 \varphi\over \partial x^2\partial y^2}+ 2{\partial^4 \varphi\over \partial y^2\partial z^2}+ 2{\partial^4 \varphi\over \partial x^2\partial z^2} = 0. $$ एक अन्य उदाहरण के रूप में, एन-डायमेंशनल रियल में मूल के बिना अंतरिक्ष का समन्वय होता है $$\left( \mathbb{R}^n \setminus \mathbf 0 \right) $$,


 * $$\nabla^4 \left({1\over r}\right)= {3(15-8n+n^2)\over r^5}$$

कहाँ


 * $$r=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}.$$

जो दर्शाता है, केवल n=3 और n=5 के लिए, $$\frac{1}{r}$$ बिहारमोनिक समीकरण का समाधान है।

बिहारमोनिक समीकरण के समाधान को एक बिहारमोनिक फ़ंक्शन कहा जाता है। कोई भी हार्मोनिक फ़ंक्शन बिहारमोनिक है, लेकिन इसका विलोम हमेशा सत्य नहीं होता है।

द्वि-आयामी ध्रुवीय निर्देशांक में, बिहारमोनिक समीकरण है



\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(r \frac{\partial}{\partial r} \left(\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(r \frac{\partial \varphi}{\partial r}\right)\right)\right) + \frac{2}{r^2} \frac{\partial^4 \varphi}{\partial \theta^2 \partial r^2} + \frac{1}{r^4} \frac{\partial^4 \varphi}{\partial \theta^4} - \frac{2}{r^3} \frac{\partial^3 \varphi}{\partial \theta^2 \partial r} + \frac{4}{r^4} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial \theta^2} = 0 $$ जिसे चरों को अलग करके हल किया जा सकता है। नतीजा मिशेल समाधान है।

द्वि-आयामी स्थान
2-आयामी मामले का सामान्य समाधान है



x v(x,y) - y u(x,y) + w(x,y) $$ कहाँ $$u(x,y)$$, $$v(x,y)$$ और $$w(x,y)$$ हार्मोनिक कार्य हैं और $$v(x,y)$$ का एक हार्मोनिक संयुग्म है $$u(x,y)$$.

जिस तरह 2 वेरिएबल्स में हार्मोनिक फ़ंक्शंस जटिल विश्लेषणात्मक फ़ंक्शंस से निकटता से संबंधित हैं, उसी तरह 2 वेरिएबल्स में बिहार्मोनिक फ़ंक्शंस हैं। 2 चरों में एक बिहारमोनिक फ़ंक्शन का सामान्य रूप भी लिखा जा सकता है



\operatorname{Im}(\bar{z}f(z) + g(z)) $$ कहाँ $$f(z)$$ और $$g(z)$$ विश्लेषणात्मक कार्य हैं।

यह भी देखें

 * हार्मोनिक फ़ंक्शन

संदर्भ

 * Eric W Weisstein, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-347-2.
 * S I Hayek, Advanced Mathematical Methods in Science and Engineering, Marcel Dekker, 2000. ISBN 0-8247-0466-5.