आइसोट्रोपिक निर्देशांक

लोरेंट्ज़ियन मैनिफोल्ड्स के सिद्धांत में, गोलाकार रूप से सममित स्पेसटाइम स्थिर गोल क्षेत्रों के परिवार को स्वीकार करते हैं। कई अलग-अलग प्रकार के निर्देशांक तालिका हैं जो स्थिर क्षेत्रों के इस परिवार के अनुकूल हैं; सबसे प्रसिद्ध श्वार्जस्चिल्ड निर्देशांक है, लेकिन 'आइसोट्रोपिक तालिका' भी अक्सर उपयोगी होता है। आइसोट्रोपिक तालिका की परिभाषित विशेषता यह है कि इसका रेडियल निर्देशांक (जो श्वार्ज़स्चिल्ड तालिका के रेडियल निर्देशांक से अलग है) परिभाषित किया गया है ताकि प्रकाश शंकु गोल दिखाई दे। इसका मतलब यह है कि (स्थानीय रूप से फ्लैट मैनिफोल्ड के तुच्छ मामले को छोड़कर), कोणीय आइसोट्रोपिक निर्देशांक स्थिर क्षेत्रों के भीतर दूरियों का ईमानदारी से प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं, न ही रेडियल निर्देशांक रेडियल दूरी का ईमानदारी से प्रतिनिधित्व करते हैं। दूसरी ओर, निरंतर समय के हाइपरस्लाइस में कोणों को विरूपण के बिना दर्शाया जाता है, इसलिए तालिका का नाम।

आइसोट्रोपिक तालिका अक्सर सामान्य सापेक्षता जैसे गुरुत्वाकर्षण के मीट्रिक सिद्धांतों में स्थैतिक अंतरिक्ष समय गोलाकार रूप से सममित स्पेसटाइम पर लागू होते हैं, लेकिन उदाहरण के लिए, गोलाकार रूप से स्पंदित द्रव गेंद को मॉडलिंग में भी इस्तेमाल किया जा सकता है। आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण के पृथक गोलाकार रूप से सममित समाधानों के लिए, बड़ी दूरी पर, आइसोट्रोपिक और श्वार्ज़स्चिल्ड निर्देशांक करता है मिन्कोव्स्की स्पेसटाइम पर सामान्य ध्रुवीय गोलाकार तालिका के समान हो जाते हैं।

परिभाषा
आइसोट्रोपिक तालिका में (स्थिर गोलाकार रूप से सममित स्पेसटाइम पर), स्पेसटाइम मीट्रिक (उर्फ रेखा तत्व) रूप लेता है
 * $$g = -a(r)^2 \, dt^2 + b(r)^2 \, \left( dr^2 + r^2 \, \left( d\theta^2 + \sin(\theta)^2 \, d\varphi^2 \right) \right), $$
 * $$-\infty < t < \infty, \, r_0 < r < r_1, \, 0 < \theta < \pi, \, -\pi < \varphi < \pi$$

संदर्भ के आधार पर, यह विचार करना उचित हो सकता है $$a, \, b$$ रेडियल निर्देशांक के अनिर्धारित कार्यों के रूप में (उदाहरण के लिए, आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण के सटीक स्थिर गोलाकार रूप से सममित समाधान प्राप्त करने में)। वैकल्पिक रूप से, हम विशिष्ट लोरेंट्ज़ियन स्पेसटाइम पर आइसोट्रोपिक निर्देशांक तालिका प्राप्त करने के लिए विशिष्ट कार्यों (संभवतः कुछ मापदंडों के आधार पर) में प्लग कर सकते हैं।

वेक्टर फ़ील्ड्स को मारना
गोलाकार रूप से सममित स्थिर स्पेसटाइम के किलिंग वेक्टर फ़ील्ड्स का लाइ बीजगणित आइसोट्रोपिक तालिका में वैसा ही रूप लेता है जैसा कि श्वार्ज़स्चिल्ड तालिका में होता है। अर्थात्, यह बीजगणित टाइमलाइक तर्कहीन हत्या वेक्टर क्षेत्र द्वारा उत्पन्न होता है
 * $$ \partial_t $$

और तीन स्पेसलाइक किलिंग वेक्टर फ़ील्ड
 * $$ \partial_\varphi$$
 * $$ \sin(\varphi) \, \partial_\theta + \cot(\theta) \, \cos(\varphi) \partial_\varphi$$
 * $$ \cos(\varphi) \, \partial_\theta - \cot(\theta) \, \sin(\varphi) \partial_\varphi$$

इधर, यह कह रहे हैं $$\vec{X} = \partial_t$$ इर्रोटेशनल का अर्थ है कि संगत सर्वांगसमता (सामान्य सापेक्षता) की सर्वांगसमता (सामान्य सापेक्षता) गायब हो जाती है; इस प्रकार, यह किलिंग वेक्टर क्षेत्र सर्वांगसमता (सामान्य सापेक्षता) है। तथ्य यह है कि स्पेसटाइम इर्रोटेशनल टाइमलाइक किलिंग वेक्टर फील्ड को स्वीकार करता है, वास्तव में स्थिर स्पेसटाइम की परिभाषित विशेषता है। तात्कालिक परिणाम यह है कि निरंतर समय सतहों का निर्देशांक करता है $$t=t_0$$ (आइसोमेट्रिक) स्थानिक हाइपरस्लाइस (स्पेसलाइक हाइपरसर्फेस) का परिवार बनाते हैं।

श्वार्ज़स्चिल्ड तालिका के विपरीत, आइसोट्रोपिक तालिका इन हाइपरस्लाइस के एम्बेडिंग आरेखों के निर्माण के लिए उपयुक्त नहीं है।

स्थैतिक स्थिर क्षेत्रों का परिवार
सतहें $$t=t_0, \, r=r_0$$ गोल गोले के रूप में दिखाई देते हैं (जब हम लोकी को ध्रुवीय गोलाकार फैशन में प्लॉट करते हैं), और रेखा तत्व के रूप से, हम देखते हैं कि मीट्रिक इनमें से किसी भी सतह तक सीमित है
 * $$ g|_{t = t_0, r = r_0} = b(r_0)^2 \, r_0^2g_\Omega = b(r_0)^2 \, r_0^2 \, \left( d\theta^2 + \sin(\theta)^2 \, d\varphi^2 \right), \; 0 < \theta < \pi, -\pi < \varphi < \pi $$

कहाँ $$\Omega = (\theta, \varphi)$$ निर्देशांक हैं और $$g_\Omega$$ इकाई त्रिज्या के 2 गोले पर रीमैनियन मीट्रिक है। यही है, ये स्थिर निर्देशांक क्षेत्र वास्तव में ज्यामितीय क्षेत्रों का प्रतिनिधित्व करते हैं, लेकिन की उपस्थिति $$b(r_0) \, r$$ इसके बजाय $$r$$ दिखाता है कि रेडियल निर्देशांक सामान्य यूक्लिडियन अंतरिक्ष में क्षेत्रों के समान क्षेत्र के अनुरूप नहीं है। श्वार्ज़स्चिल्ड निर्देशांकों की तुलना करें, जहां रेडियल निर्देशांक स्थिर क्षेत्रों के संदर्भ में अपनी प्राकृतिक व्याख्या करता है।

निर्देशांक विलक्षणता
ठिकाना $$\varphi=-\pi, \, \pi$$ आइसोट्रोपिक तालिका की सीमाओं को चिह्नित करें, और श्वार्ज़स्चाइल्ड तालिका की तरह ही, हम चुपचाप मान लेते हैं कि इन दो लोकी की पहचान की गई है, ताकि हमारे कल्पित गोल क्षेत्र वास्तव में सामयिक क्षेत्र हों।

श्वार्ज़स्चिल्ड तालिका की तरह ही, रेडियल निर्देशांक की सीमा सीमित हो सकती है यदि इस निर्देशांक के कुछ मान (मानों) के लिए मीट्रिक या इसका व्युत्क्रम ऊपर उठता है।

मीट्रिक Ansatz
ऊपर दिए गए रेखा तत्व, एफ, जी के साथ, आइसोटोपिक निर्देशांक आर के अनिर्धारित कार्यों के रूप में माना जाता है, अक्सर सामान्य सापेक्षता (या गुरुत्वाकर्षण के अन्य मीट्रिक सिद्धांत) में स्थैतिक गोलाकार रूप से सममित समाधान प्राप्त करने में मीट्रिक Ansatz के रूप में उपयोग किया जाता है।

उदाहरण के रूप में, हम कार्टन की बाहरी कैलकुलस विधि का उपयोग करके कनेक्शन और वक्रता की गणना करने के तरीके को स्केच करेंगे। सबसे पहले, हम सामान्य सापेक्षता में रेखा तत्व को कोफ्रेम फ़ील्ड पढ़ते हैं,
 * $$ \sigma^0 = -a(r) \, dt$$
 * $$ \sigma^1 = b(r) \, dr$$
 * $$ \sigma^2 = b(r) \, r \, d\theta$$
 * $$ \sigma^3 = b(r) \, r \, \sin(\theta) \, d\varphi$$

हम कहाँ मानते हैं $$a, \,b$$ के अनिर्धारित सुचारू कार्यों के रूप में $$r$$. (तथ्य यह है कि हमारा स्पेसटाइम इस विशेष त्रिकोणमितीय रूप वाले फ्रेम को स्वीकार करता है, स्थिर, गोलाकार सममित लोरेन्ट्ज़ियन मैनिफोल्ड में आइसोट्रोपिक तालिका की धारणा की और समकक्ष अभिव्यक्ति है)। बाहरी डेरिवेटिव लेना और पहले कार्टन संरचनात्मक समीकरण का उपयोग करना, हम गैर-लुप्त होने वाले कनेक्शन को एक-रूप पाते हैं
 * $${\omega^0}_1 = \frac{f' \, dt}{g}$$
 * $${\omega^1}_2 = -\left( 1 + \frac{r \, b'}{b} \right) \, d\theta$$
 * $${\omega^1}_3 = -\left( 1 + \frac{r \, b'}{b} \right) \, \sin(\theta) \, d\varphi$$
 * $${\omega^2}_3 = -\cos(\theta) \, d\varphi$$

बाहरी डेरिवेटिव्स को फिर से लेना और दूसरे कार्टन संरचनात्मक समीकरण में प्लग करना, हम वक्रता को दो रूपों में पाते हैं।

यह भी देखें

 * स्थिर स्पेसटाइम,
 * गोलाकार रूप से सममित स्पेसटाइम,
 * स्थैतिक गोलाकार सममित परिपूर्ण तरल पदार्थ,
 * श्वार्ज़चाइल्ड निर्देशांक, स्थैतिक गोलाकार सममित स्पेसटाइम के लिए अन्य लोकप्रिय तालिका,
 * फ़्रेम फ़ील्ड्स और कोफ़्रेम फ़ील्ड्स के बारे में अधिक जानकारी के लिए सामान्य सापेक्षता में फ़्रेम फ़ील्ड्स।