ज्यामितीय माध्यिका

ज्यामिति में, यूक्लिडियन अंतरिक्ष में नमूना बिंदुओं के असतत सेट का ज्यामितीय माध्य वह बिंदु है जो नमूना बिंदुओं की दूरी को कम करता है। यह माध्यिका का सामान्यीकरण करता है, जिसमें एक-आयामी डेटा के लिए दूरियों के योग को कम करने का गुण होता है, और उच्च आयामों में एक केंद्रीय प्रवृत्ति प्रदान करता है। इसे 1-माध्यिका के रूप में भी जाना जाता है, स्थानिक माध्यिका, यूक्लिडियन न्यूनतम बिंदु, या टोरिकेली बिंदु।

ज्यामितीय माध्यिका आंकड़ों में स्थान पैरामीटर का एक महत्वपूर्ण अनुमानक है, जहाँ इसे L के नाम से भी जाना जाता है1 अनुमानक। सुविधा स्थान समस्या में भी यह एक मानक समस्या है, जहां यह परिवहन की लागत को कम करने के लिए एक सुविधा का पता लगाने की समस्या का मॉडल करती है।

विमान में तीन बिंदुओं के लिए समस्या का विशेष मामला (अर्थात, $m$ = 3 और $n$ = 2 नीचे दी गई परिभाषा में) कभी-कभी फर्मेट की समस्या के रूप में भी जाना जाता है; यह न्यूनतम स्टाइनर पेड़ों के निर्माण में उत्पन्न होता है, और मूल रूप से पियरे डी फर्मेट द्वारा एक समस्या के रूप में प्रस्तुत किया गया था और इवेंजलिस्ता टोरिकेली द्वारा हल किया गया था। इसका हल अब तीन प्रतिदर्श बिंदुओं से बने त्रिभुज के फर्मेट बिंदु के रूप में जाना जाता है। सुविधा स्थान पर अपनी 1909 की पुस्तक में अल्फ्रेड वेबर की समस्या की चर्चा के बाद, ज्यामितीय मध्यिका को भारित दूरियों के योग को कम करने की समस्या के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसे वेबर समस्या के रूप में जाना जाता है। इसके बजाय कुछ स्रोत वेबर की समस्या को फ़र्मेट-वेबर समस्या कहते हैं, लेकिन अन्य इस नाम का उपयोग भारित ज्यामितीय मध्यिका समस्या के लिए करते हैं।

ज्यामितीय माध्य समस्या का एक सर्वेक्षण प्रदान करता है। देखना समस्या के सामान्यीकरण के लिए गैर-असतत बिंदु सेट।

परिभाषा
औपचारिक रूप से, m बिंदुओं के दिए गए सेट के लिए $$x_1, x_2, \dots, x_m\,$$ प्रत्येक के साथ $$x_i \in \mathbb{R}^n$$, ज्यामितीय माध्यिका के रूप में परिभाषित किया गया है


 * $$\underset{y \in \mathbb{R}^n}{\operatorname{arg\,min}} \sum_{i=1}^m \left \| x_i-y \right \|_2$$

यहाँ, arg min का अर्थ है तर्क का मान $$y$$ जो राशि को कम करता है। इस मामले में, यह बात है $$y$$ जहाँ से सभी यूक्लिडियन दूरियों का योग $$x_i$$न्यूनतम है।

गुण

 * 1-आयामी मामले के लिए, ज्यामितीय माध्य माध्यिका के साथ मेल खाता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि अविभाजित माध्यिका भी बिंदुओं से दूरियों के योग को कम करती है। (अधिक सटीक रूप से, यदि अंक पी हैं1, …, पीn, उस क्रम में, ज्यामितीय माध्यिका मध्य बिंदु है $$p_{(n+1)/2}$$ यदि n विषम है, लेकिन विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं है यदि n सम है, जब यह दो मध्य बिंदुओं के बीच रेखा खंड में कोई बिंदु हो सकता है $$p_{n/2}$$ और $$p_{(n/2)+1}$$.)
 * जब भी बिंदु रेखा (ज्यामिति)#संरेख बिंदु नहीं होते हैं तो ज्यामितीय माध्य अद्वितीय होता है।
 * ज्यामितीय मध्य यूक्लिडियन समानता (ज्यामिति) के लिए समतुल्य है, जिसमें अनुवाद (ज्यामिति) और रोटेशन (गणित) शामिल हैं। इसका मतलब यह है कि एक ही परिणाम या तो ज्यामितीय माध्यिका को बदलकर, या समान परिवर्तन को नमूना डेटा में लागू करके और रूपांतरित डेटा के ज्यामितीय माध्य को खोजने से प्राप्त होगा। यह संपत्ति इस तथ्य से अनुसरण करती है कि ज्यामितीय मध्यिका केवल जोड़ीदार दूरी से परिभाषित होती है, और यह ऑर्थोगोनल कार्टेशियन निर्देशांक की प्रणाली पर निर्भर नहीं करती है जिसके द्वारा नमूना डेटा का प्रतिनिधित्व किया जाता है। इसके विपरीत, एक बहुभिन्नरूपी डेटा सेट के लिए घटक-वार माध्य सामान्य रोटेशन अपरिवर्तनीय नहीं है, न ही यह निर्देशांक की पसंद से स्वतंत्र है। * ज्यामितीय माध्यिका का ब्रेकडाउन बिंदु 0.5 है। अर्थात्, नमूना डेटा का आधा हिस्सा मनमाने ढंग से दूषित हो सकता है, और नमूनों का माध्य अभी भी अदूषित डेटा के स्थान के लिए एक मजबूत अनुमानक प्रदान करेगा।

विशेष मामले

 * 3 (गैर संरेख) बिंदुओं के लिए, यदि उन बिंदुओं से बने त्रिभुज का कोई कोण 120° या अधिक है, तो ज्यामितीय माध्यिका उस कोण के शीर्ष पर स्थित बिंदु है। यदि सभी कोण 120° से कम हैं, तो ज्यामितीय माध्य त्रिभुज के भीतर का वह बिंदु है जो त्रिभुज के शीर्षों के प्रत्येक तीन युग्मों में 120° का कोण अंतरित करता है। इसे तीन शीर्षों से बने त्रिभुज के फर्मेट बिंदु के रूप में भी जाना जाता है। (यदि तीन बिंदु संरेख हैं तो ज्यामितीय माध्य दो अन्य बिंदुओं के बीच का बिंदु है, जैसा कि एक आयामी माध्यिका के मामले में है।)
 * 4 समतलीय बिंदुओं के लिए, यदि चार बिंदुओं में से एक बिंदु अन्य तीन बिंदुओं से बने त्रिभुज के अंदर है, तो ज्यामितीय माध्यिका वह बिंदु है। अन्यथा, चार बिंदु उत्तल चतुर्भुज बनाते हैं और ज्यामितीय माध्य चतुर्भुज के विकर्णों का क्रॉसिंग बिंदु होता है। चार समतलीय बिंदुओं का ज्यामितीय माध्य चार बिंदुओं के अद्वितीय रेडॉन बिंदु के समान है।

संगणना
ज्यामितीय माध्यिका की आसानी से समझ में आने वाली अवधारणा होने के बावजूद, इसकी गणना करना एक चुनौती है। केंद्रक या द्रव्यमान का केंद्र, जिसे ज्यामितीय माध्यिका के समान परिभाषित किया गया है, प्रत्येक बिंदु के लिए दूरी के वर्गों के योग को कम करने के रूप में, एक सरल सूत्र द्वारा पाया जा सकता है - इसके निर्देशांक बिंदुओं के निर्देशांक के औसत हैं - लेकिन इसमें है दिखाया गया है कि कोई बंद-रूप अभिव्यक्ति नहीं है, न ही एक सटीक एल्गोरिथ्म जिसमें केवल अंकगणितीय संचालन और kth जड़ें शामिल हैं, सामान्य रूप से ज्यामितीय माध्यिका के लिए मौजूद हो सकते हैं। इसलिए, गणना के इस मॉडल के तहत इस समस्या के समाधान के लिए केवल संख्यात्मक या प्रतीकात्मक सन्निकटन संभव हैं। हालांकि, पुनरावृत्त प्रक्रिया का उपयोग करके ज्यामितीय माध्यिका के सन्निकटन की गणना करना सीधा है जिसमें प्रत्येक चरण अधिक सटीक सन्निकटन उत्पन्न करता है। इस प्रकार की प्रक्रियाएं इस तथ्य से प्राप्त की जा सकती हैं कि नमूना बिंदुओं की दूरी का योग एक उत्तल कार्य है, क्योंकि प्रत्येक नमूना बिंदु की दूरी उत्तल है और उत्तल कार्यों का योग उत्तल रहता है। इसलिए, प्रत्येक चरण पर दूरियों के योग को कम करने वाली प्रक्रियाएं स्थानीय इष्टतम में फंस नहीं सकतीं।

इस प्रकार का एक सामान्य दृष्टिकोण, एंड्रे वीज़फेल्ड के काम के बाद वीज़फेल्ड का एल्गोरिथ्म कहलाता है, पुनरावृत्ति पुन: भारित कम से कम वर्गों का एक रूप है। यह एल्गोरिथ्म वजन के एक सेट को परिभाषित करता है जो वर्तमान अनुमान से नमूना बिंदुओं तक की दूरी के व्युत्क्रमानुपाती होता है, और एक नया अनुमान बनाता है जो इन भारों के अनुसार नमूने का भारित औसत होता है। वह है,
 * $$\left. y_{k+1}=\left( \sum_{i=1}^m \frac{x_i}{\| x_i - y_k \|} \right) \right/ \left( \sum_{i=1}^m \frac{1}{\| x_i - y_k \|} \right).$$

यह विधि लगभग सभी प्रारंभिक स्थितियों के लिए अभिसरण करती है, लेकिन जब इसका कोई अनुमान दिए गए बिंदुओं में से किसी एक पर पड़ता है तो यह अभिसरण करने में विफल हो सकता है। इन मामलों को संभालने के लिए इसे संशोधित किया जा सकता है ताकि यह सभी प्रारंभिक बिंदुओं के लिए अभिसरण कर सके।

इस समस्या का लगभग इष्टतम समाधान खोजने के लिए अधिक परिष्कृत ज्यामितीय अनुकूलन प्रक्रियाओं का वर्णन करें। दिखाएँ कि लगभग रेखीय समय में मनमाने ढंग से सटीकता के लिए ज्यामितीय माध्यिका की गणना कैसे करें। यह भी ध्यान दें कि समस्या को दूसरे क्रम के शंकु प्रोग्रामिंग | दूसरे क्रम के शंकु कार्यक्रम के रूप में तैयार किया जा सकता है
 * $$ \underset{y \in \mathbb{R}^n, \ s \in \mathbb{R}^m}{\min} \ \sum_{i=1}^m s_i \text{ subject to } s_i \geq \left \| x_i-y \right \|_2 \text{ for } i=1, \ldots, m,$$

जिसे बहुपद समय में दूसरे क्रम के कोन प्रोग्रामिंग # सॉल्वर और स्क्रिप्टिंग (प्रोग्रामिंग) भाषाओं का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

ज्यामितीय माध्यिका का लक्षण वर्णन
यदि y दिए गए सभी बिंदुओं से भिन्न है, तो xi, तब y ज्यामितीय माध्यिका है यदि और केवल यदि यह संतुष्ट करती है:
 * $$0 = \sum_{i=1}^m \frac {x_i - y} {\left \| x_i - y \right \|}.$$

यह इसके बराबर है:
 * $$\left. y = \left( \sum_{i=1}^m \frac{x_i}{\| x_i - y \|} \right) \right/ \left( \sum_{i=1}^m \frac{1}{\| x_i - y \|} \right),$$

जो वीज़फेल्ड के एल्गोरिथम से निकटता से संबंधित है।

सामान्य तौर पर, y ज्यामितीय माध्यिका है यदि और केवल यदि सदिश u हैंi ऐसा है कि:
 * $$0 = \sum_{i=1}^m u_i $$

जहां एक्स के लिएi ≠ और,
 * $$u_i = \frac {x_i - y} {\left \| x_i - y \right \|}$$

और एक्स के लिएi = और,
 * $$\| u_i \| \leq 1 .$$

इस स्थिति का एक समकक्ष सूत्रीकरण है
 * $$\sum _{1\le i\le m, x_i\ne y}

\frac {x_i - y} {\left \| x_i - y \right \|} \le \left|\{ \,i\mid 1\le i\le m, x_i= y\,\}\right|.$$ इसे माध्यिका संपत्ति के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है, इस अर्थ में कि बिंदुओं के किसी भी विभाजन, विशेष रूप से y के माध्यम से किसी भी हाइपरप्लेन द्वारा प्रेरित के रूप में, प्रत्येक तरफ y से सकारात्मक दिशाओं का समान और विपरीत योग होता है। एक आयामी मामले में, हाइपरप्लेन बिंदु y ही है, और दिशाओं का योग (निर्देशित) गिनती माप को सरल करता है।

सामान्यीकरण
ज्यामितीय माध्यिका को यूक्लिडियन रिक्त स्थान से सामान्य रीमैनियन कई गुना (और यहां तक ​​कि मीट्रिक रिक्त स्थान) तक उसी विचार का उपयोग करके सामान्यीकृत किया जा सकता है जिसका उपयोग रीमैनियन मैनिफोल्ड पर फ्रेचेट माध्य को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। होने देना $$M$$ संबंधित दूरी समारोह के साथ एक रिमेंनियन मैनिफोल्ड बनें $$d(\cdot, \cdot)$$, होने देना $$w_1, \ldots, w_n$$ होना $$n$$ वज़न का योग 1, और चलो $$x_1, \ldots, x_n$$ होना $$n$$ से अवलोकन $$M$$. फिर हम भारित ज्यामितीय माध्यिका को परिभाषित करते हैं $$m$$ (या भारित फ़्रेचेट माध्यिका) डेटा बिंदुओं के रूप में
 * $$ m = \underset{x \in M}{\operatorname{arg\,min}} \sum_{i=1}^n w_i d(x,x_i) $$.

यदि सभी वजन बराबर हैं, तो हम बस यही कहते हैं $$m$$ ज्यामितीय माध्यिका है।

यह भी देखें

 * मेडॉयड
 * मध्य_पूर्ण_विचलन#ज्यामितीय_मध्य_पूर्ण_विचलन

संदर्भ

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