प्रसंभाव्यता अस्थिरता

आंकड़ों में, स्टोकेस्टिक अस्थिरता मॉडल वे होते हैं जिनमें स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का विचरण स्वयं यादृच्छिक रूप से वितरित होता है। इनका उपयोग गणितीय वित्त के क्षेत्र में विकल्प (वित्त) जैसी व्युत्पन्न (वित्त) प्रतिभूतियों का मूल्यांकन करने के लिए किया जाता है। यह नाम एक यादृच्छिक प्रक्रिया के रूप में अंतर्निहित सुरक्षा की अस्थिरता (वित्त) के मॉडल के उपचार से लिया गया है, जो राज्य चर द्वारा शासित होता है जैसे कि अंतर्निहित सुरक्षा का मूल्य स्तर, कुछ दीर्घकालिक औसत मूल्य पर वापस लौटने के लिए अस्थिरता की प्रवृत्ति, और दूसरों के बीच में अस्थिरता प्रक्रिया का विचरण।

ब्लैक-स्कोल्स मॉडल की कमी को हल करने के लिए स्टोकेस्टिक अस्थिरता मॉडल एक दृष्टिकोण है। विशेष रूप से, ब्लैक-स्कोल्स पर आधारित मॉडल मानते हैं कि अंतर्निहित अस्थिरता डेरिवेटिव के जीवन भर स्थिर रहती है, और अंतर्निहित सुरक्षा के मूल्य स्तर में बदलाव से अप्रभावित रहती है। हालाँकि, ये मॉडल अंतर्निहित अस्थिरता सतह की लंबे समय से देखी गई विशेषताओं जैसे कि अस्थिरता मुस्कान और तिरछापन की व्याख्या नहीं कर सकते हैं, जो इंगित करता है कि अंतर्निहित अस्थिरता स्ट्राइक मूल्य और समाप्ति के संबंध में भिन्न होती है। यह मानकर कि अंतर्निहित कीमत की अस्थिरता एक स्थिरांक के बजाय एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है, डेरिवेटिव को अधिक सटीक रूप से मॉडल करना संभव हो जाता है।

नंगे ब्लैक-स्कोल्स मॉडल और स्टोकेस्टिक अस्थिरता मॉडल के बीच का मध्य मैदान स्थानीय अस्थिरता द्वारा कवर किया गया है। इन मॉडलों में अंतर्निहित अस्थिरता में कोई नई यादृच्छिकता नहीं है लेकिन यह स्थिर भी नहीं है। स्थानीय अस्थिरता मॉडल में अस्थिरता बिना किसी अतिरिक्त यादृच्छिकता के, अंतर्निहित परिसंपत्ति का एक गैर-तुच्छ कार्य है। इस परिभाषा के अनुसार, विचरण की निरंतर लोच जैसे मॉडल स्थानीय अस्थिरता मॉडल होंगे, हालांकि उन्हें कभी-कभी स्टोकेस्टिक अस्थिरता मॉडल के रूप में वर्गीकृत किया जाता है। कुछ मामलों में वर्गीकरण थोड़ा अस्पष्ट हो सकता है।

स्टोकेस्टिक अस्थिरता के प्रारंभिक इतिहास की कई जड़ें हैं (यानी स्टोकेस्टिक प्रक्रिया, विकल्प मूल्य निर्धारण और अर्थमिति), इसकी समीक्षा नील शेफर्ड (2005) स्टोकेस्टिक वोलैटिलिटी, ऑक्सफोर्ड यूनिवर्सिटी प्रेस के अध्याय 1 में की गई है।

मूल मॉडल
निरंतर अस्थिरता दृष्टिकोण से शुरू करते हुए, मान लें कि व्युत्पन्न की अंतर्निहित परिसंपत्ति कीमत ज्यामितीय ब्राउनियन गति के लिए एक मानक मॉडल का पालन करती है:


 * $$ dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t \, $$

कहाँ $$\mu \,$$ सुरक्षा मूल्य का निरंतर बहाव (यानी अपेक्षित रिटर्न) है $$S_t \,$$, $$\sigma \,$$ निरंतर अस्थिरता है, और $$dW_t \,$$ शून्य माध्य और विचरण की इकाई दर वाली एक मानक वीनर प्रक्रिया है। इस स्टोकेस्टिक विभेदक समीकरण का स्पष्ट समाधान है


 * $$S_t= S_0 e^{(\mu- \frac{1}{2} \sigma^2) t+ \sigma W_t}. $$

निरंतर अस्थिरता का अनुमान लगाने की अधिकतम संभावना $$\sigma \,$$ दिए गए स्टॉक मूल्यों के लिए $$S_t \,$$ अलग अलग समय पर $$t_i \,$$ है



\begin{align} \widehat{\sigma}^2 &= \left(\frac 1 n \sum_{i=1}^n \frac{(\ln S_{t_i}- \ln S_{t_{i-1}})^2}{t_i-t_{i-1}} \right) - \frac 1 n \frac{(\ln S_{t_n}- \ln S_{t_0})^2}{t_n-t_0}\\ & = \frac 1 n \sum_{i=1}^n (t_i-t_{i-1})\left(\frac{\ln \frac{S_{t_i}}{S_{t_{i-1}}}}{t_i-t_{i-1}} - \frac{\ln \frac{S_{t_n}}{S_{t_0}}}{t_n-t_0}\right)^2; \end{align} $$ इसका अपेक्षित मूल्य है $$\operatorname E \left[ \widehat{\sigma}^2\right]= \frac{n-1}{n} \sigma^2.$$ निरंतर अस्थिरता वाला यह बुनियादी मॉडल $$\sigma \,$$ ब्लैक-स्कोल्स मॉडल और कॉक्स-रॉस-रुबिनस्टीन मॉडल जैसे गैर-स्टोकेस्टिक अस्थिरता मॉडल के लिए शुरुआती बिंदु है।

स्टोकेस्टिक अस्थिरता मॉडल के लिए, निरंतर अस्थिरता को बदलें $$\sigma$$ एक समारोह के साथ $$\nu_t$$ जो कि भिन्नता का मॉडल प्रस्तुत करता है $$S_t$$. इस विचरण फ़ंक्शन को ब्राउनियन गति और के रूप में भी तैयार किया गया है $$\nu_t$$ अध्ययन के तहत विशेष एसवी मॉडल पर निर्भर करता है।
 * $$ dS_t = \mu S_t\,dt + \sqrt{\nu_t} S_t\,dW_t \,$$
 * $$ d\nu_t = \alpha_{\nu,t}\,dt + \beta_{\nu,t}\,dB_t \,$$

कहाँ $$\alpha_{\nu,t} $$ और $$\beta_{\nu,t} $$ के कुछ कार्य हैं $$\nu $$, और $$dB_t $$ एक अन्य मानक गाऊशियन है जो सहसंबद्ध है $$dW_t $$ निरंतर सहसंबंध कारक के साथ $$\rho $$.

हेस्टन मॉडल
लोकप्रिय हेस्टन मॉडल आमतौर पर इस्तेमाल किया जाने वाला एसवी मॉडल है, जिसमें विचरण प्रक्रिया की यादृच्छिकता विचरण के वर्गमूल के रूप में भिन्न होती है। इस मामले में, विचरण के लिए विभेदक समीकरण रूप लेता है:


 * $$ d\nu_t = \theta(\omega - \nu_t)\,dt + \xi \sqrt{\nu_t}\,dB_t \,$$

कहाँ $$\omega$$ औसत दीर्घकालिक विचरण है, $$\theta$$ वह दर है जिस पर विचरण अपने दीर्घकालिक माध्य की ओर लौटता है, $$\xi$$ विचरण प्रक्रिया की अस्थिरता है, और $$dB_t$$ की तरह है कि $$dW_t$$, शून्य माध्य वाला एक गाऊसी और $$dt$$ विचरण. हालाँकि, $$dW_t$$ और $$dB_t$$ निरंतर सहसंबंध मूल्य के साथ सहसंबद्ध हैं $$\rho$$.

दूसरे शब्दों में, हेस्टन एसवी मॉडल मानता है कि विचरण एक यादृच्छिक प्रक्रिया है
 * 1) दीर्घकालिक माध्य की ओर लौटने की प्रवृत्ति प्रदर्शित करता है $$\omega$$ एक दर पर $$\theta$$,
 * 2) अपने स्तर के वर्गमूल के अनुपात में अस्थिरता प्रदर्शित करता है
 * 3) और जिसकी यादृच्छिकता का स्रोत सहसंबद्ध है (सहसंबंध के साथ)। $$\rho$$) अंतर्निहित मूल्य प्रक्रियाओं की यादृच्छिकता के साथ।

अस्थिरता सतह के कुछ पैरामीट्रिज़ेशन, जैसे 'एसवीआई', हेस्टन मॉडल पर आधारित हैं।

सीईवी मॉडल
सीईवी मॉडल स्टोकेस्टिक अस्थिरता का परिचय देते हुए अस्थिरता और कीमत के बीच संबंध का वर्णन करता है:


 * $$dS_t=\mu S_t \, dt + \sigma S_t^{\, \gamma} \, dW_t$$

वैचारिक रूप से, कुछ बाजारों में कीमतें बढ़ने पर अस्थिरता बढ़ जाती है (उदाहरण के लिए वस्तुएं)। $$\gamma > 1$$. अन्य बाज़ारों में, कीमतें गिरने के साथ-साथ अस्थिरता बढ़ने लगती है $$\gamma < 1$$.

कुछ लोगों का तर्क है कि क्योंकि सीईवी मॉडल अस्थिरता के लिए अपनी स्वयं की स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को शामिल नहीं करता है, यह वास्तव में एक स्टोकेस्टिक अस्थिरता मॉडल नहीं है। इसके बजाय, वे इसे स्थानीय अस्थिरता मॉडल कहते हैं।

एसएबीआर अस्थिरता मॉडल
एसएबीआर मॉडल (स्टोकेस्टिक अल्फा, बीटा, आरएचओ), हेगन एट अल द्वारा पेश किया गया। एक एकल फॉरवर्ड का वर्णन करता है $$F$$ (किसी परिसंपत्ति से संबंधित जैसे सूचकांक, ब्याज दर, बांड, मुद्रा या इक्विटी) स्टोकेस्टिक अस्थिरता के तहत $$\sigma$$:


 * $$dF_t=\sigma_t F^\beta_t\, dW_t,$$
 * $$d\sigma_t=\alpha\sigma_t\, dZ_t,$$

प्रारंभिक मान $$F_0$$ और $$\sigma_0$$ जबकि वर्तमान अग्रिम मूल्य और अस्थिरता हैं $$W_t$$ और $$Z_t$$ सहसंबंध गुणांक के साथ दो सहसंबंधित वीनर प्रक्रियाएं (यानी ब्राउनियन गति) हैं $$-1<\rho<1$$. स्थिर पैरामीटर $$\beta,\;\alpha$$ ऐसे हैं $$0\leq\beta\leq 1,\;\alpha\geq 0$$.

SABR मॉडल की मुख्य विशेषता अस्थिरता वाली मुस्कान के मुस्कान प्रभाव को पुन: उत्पन्न करने में सक्षम होना है।

गार्च मॉडल
सामान्यीकृत ऑटोरेग्रेसिव कंडीशनल हेटेरोस्केडैस्टिसिटी (GARCH) मॉडल स्टोकेस्टिक अस्थिरता का अनुमान लगाने के लिए एक और लोकप्रिय मॉडल है। यह मानता है कि विचरण प्रक्रिया की यादृच्छिकता विचरण के साथ बदलती रहती है, हेस्टन मॉडल की तरह विचरण के वर्गमूल के विपरीत। मानक GARCH(1,1) मॉडल में निरंतर विचरण अंतर के लिए निम्नलिखित रूप हैं:
 * $$ d\nu_t = \theta(\omega - \nu_t)\,dt + \xi \nu_t\,dB_t \,$$

GARCH मॉडल को कई प्रकारों के माध्यम से विस्तारित किया गया है, जिनमें NGARCH, TGARCH, IGARCH, LGARCH, EGARCH, GJR-GARCH, आदि शामिल हैं। हालाँकि, GARCH मॉडल से सशर्त अस्थिरताएं स्टोकेस्टिक नहीं हैं क्योंकि समय-समय पर पिछले मूल्यों को देखते हुए अस्थिरता पूरी तरह से पूर्व-निर्धारित (नियतात्मक) होती है।

3/2 मॉडल
3/2 मॉडल हेस्टन मॉडल के समान है, लेकिन यह मानता है कि विचरण प्रक्रिया की यादृच्छिकता भिन्न होती है $$\nu_t^{3/2}$$. विचरण विभेदक का रूप है:


 * $$ d\nu_t = \nu_t(\omega - \theta\nu_t)\,dt + \xi \nu_t^{3/2} \,dB_t. \,$$

हालाँकि मापदंडों का अर्थ हेस्टन मॉडल से भिन्न है। इस मॉडल में, विचरण मापदंडों का माध्य प्रत्यावर्तन और अस्थिरता दोनों स्टोकेस्टिक मात्राएँ हैं $$ \theta\nu_t$$ और $$ \xi\nu_t$$ क्रमश।

कठिन अस्थिरता मॉडल
उच्च आवृत्ति डेटा से अस्थिरता के अनुमान का उपयोग करके, अस्थिरता प्रक्रिया की सहजता पर सवाल उठाया गया है। यह पाया गया है कि लॉग-अस्थिरता क्रम के हर्स्ट प्रतिपादक के साथ एक भिन्नात्मक ब्राउनियन गति के रूप में व्यवहार करती है $$H = 0.1$$, किसी भी उचित समयसीमा पर। इसके कारण फ्रैक्शनल स्टोकेस्टिक अस्थिरता (एफएसवी) मॉडल को अपनाया गया, एक समग्र रफ एफएसवी (आरएफएसवी) की ओर ले जाना, जहां रफ को उजागर करना है $$H < 1/2$$. आरएफएसवी मॉडल समय श्रृंखला डेटा के अनुरूप है, जो वास्तविक अस्थिरता के बेहतर पूर्वानुमान की अनुमति देता है।

अंशांकन और अनुमान
एक बार एक विशेष एसवी मॉडल चुने जाने के बाद, इसे मौजूदा बाजार डेटा के अनुसार कैलिब्रेट किया जाना चाहिए। कैलिब्रेशन मॉडल मापदंडों के सेट की पहचान करने की प्रक्रिया है जो देखे गए डेटा को दिए जाने की सबसे अधिक संभावना है। एक लोकप्रिय तकनीक अधिकतम संभावना (एमएलई) का उपयोग करना है। उदाहरण के लिए, हेस्टन मॉडल में, मॉडल मापदंडों का सेट $$\Psi_0 = \{\omega, \theta, \xi, \rho\} \,$$ ऐतिहासिक अंतर्निहित सुरक्षा कीमतों के अवलोकन के लिए पॉवेल निर्देशित सेट  विधि  जैसे एमएलई एल्गोरिदम को लागू करने का अनुमान लगाया जा सकता है।

इस मामले में, आप एक अनुमान के साथ शुरुआत करते हैं $$\Psi_0 \,$$, परिणामी मॉडल पर ऐतिहासिक मूल्य डेटा लागू करते समय अवशिष्ट त्रुटियों की गणना करें, और फिर समायोजित करें $$\Psi \,$$ इन त्रुटियों को कम करने का प्रयास करना। एक बार अंशांकन निष्पादित हो जाने के बाद, मॉडल को समय-समय पर पुन: अंशांकित करना मानक अभ्यास है।

अंशांकन का एक विकल्प सांख्यिकीय अनुमान है, जिससे पैरामीटर अनिश्चितता का हिसाब लगाया जाता है। कई बारंबारतावादी और बायेसियन तरीकों को प्रस्तावित और कार्यान्वित किया गया है, विशेष रूप से उपर्युक्त मॉडलों के सबसेट के लिए। निम्नलिखित सूची में ओपन सोर्स सांख्यिकीय सॉफ़्टवेयर आर (प्रोग्रामिंग भाषा) के लिए एक्सटेंशन पैकेज शामिल हैं जिन्हें विशेष रूप से हेटेरोस्केडैस्टिसिटी अनुमान के लिए डिज़ाइन किया गया है। पहले तीन नियतात्मक अस्थिरता वाले GARCH-प्रकार के मॉडल को पूरा करते हैं; चौथा स्टोकेस्टिक अस्थिरता अनुमान से संबंधित है। समय के साथ कई संख्यात्मक तरीके विकसित किए गए हैं और वित्तीय परिसंपत्तियों के मूल्य निर्धारण को हल किया है जैसे कि स्टोकेस्टिक अस्थिरता मॉडल वाले विकल्प। हाल ही में विकसित एक एप्लिकेशन स्थानीय स्टोकेस्टिक अस्थिरता मॉडल है। यह स्थानीय स्टोकेस्टिक अस्थिरता मॉडल विदेशी मुद्रा विकल्प जैसी नई वित्तीय परिसंपत्तियों के मूल्य निर्धारण में बेहतर परिणाम देता है।
 * rugarch: ARFIMA, इन-मीन, बाहरी रजिस्ट्रार और विभिन्न GARCH फ्लेवर, फिट, पूर्वानुमान, सिमुलेशन, अनुमान और प्लॉटिंग के तरीकों के साथ।
 * fGarch: वित्तीय इंजीनियरिंग और कम्प्यूटेशनल वित्त पढ़ाने के लिए Rmetrics वातावरण का हिस्सा।
 * BayesGARCH: स्टूडेंट के इनोवेशन के साथ GARCH(1,1) मॉडल का बायेसियन अनुमान।
 * Stochvol: मार्कोव श्रृंखला मोंटे कार्लो (एमसीएमसी) विधियों के माध्यम से स्टोकेस्टिक अस्थिरता (एसवी) मॉडल के पूरी तरह से बायेसियन अनुमान के लिए कुशल एल्गोरिदम।

पायथन जैसी अन्य भाषाओं में भी वैकल्पिक सांख्यिकीय अनुमान पुस्तकालय हैं:


 * PyFlux इसमें GARCH और बीटा-t-EGARCH मॉडल के लिए बायेसियन और शास्त्रीय अनुमान समर्थन शामिल है।

यह भी देखें

 * ब्लैक-स्कोल्स मॉडल
 * हेस्टन मॉडल
 * स्थानीय अस्थिरता
 * मार्कोव स्विचिंग मल्टीफ्रैक्टल
 * जोखिम-तटस्थ उपाय
 * एसएबीआर अस्थिरता मॉडल
 * स्टोकेस्टिक अस्थिरता कूद
 * अधीनस्थ (गणित)
 * अस्थिरता (वित्त)
 * अस्थिरता क्लस्टरिंग
 * अस्थिरता, अनिश्चितता, जटिलता और अस्पष्टता

स्रोत

 * स्टोकेस्टिक अस्थिरता और माध्य-विचरण विश्लेषण, ह्युंगसोक आह्न, पॉल विल्मोट, (2006)।
 * स्टोकेस्टिक अस्थिरता वाले विकल्पों के लिए एक बंद-फॉर्म समाधान, एसएल हेस्टन, (1993)।
 * इनसाइड वोलैटिलिटी आर्बिट्रेज, अलीरेज़ा जावाहेरी, (2005)।
 * स्टोकेस्टिक अस्थिरता मॉडल के अंशांकन को तेज करना, किलिन, फियोडर (2006)।

श्रेणी:गणितीय वित्त श्रेणी:विकल्प (वित्त) श्रेणी:डेरिवेटिव (वित्त)