प्रतिस्थापन अभिगृहीत स्कीमा

समुच्चय सिद्धांत में, प्रतिस्थापन की अभिगृहीत स्कीमा ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धान्त में अभिगृहीतों की एक अभिगृहीत स्कीमा है जो यह दावा करती है कि किसी निश्चित कार्यात्मक विधेय के तहत किसी भी समुच्चय की छवि भी एक समुच्चय है। जेडएफ में कुछ अनंत समुच्चयों के निर्माण के लिए यह आवश्यक है।

अभिगृहीत स्कीमा इस विचार से प्रेरित है कि वर्ग समुच्चय सिद्धांत एक समुच्चय है या नहीं, यह केवल वर्ग की प्रमुखता पर निर्भर करता है, इसके तत्वों के स्तर समुच्चय सिद्धांत पर नहीं। इस प्रकार, यदि वर्ग एक समुच्चय होने के लिए अत्यधिक छोटा है, और उस वर्ग से दूसरे वर्ग के लिए एक विशेषण है, तो अभिगृहीत कहता है कि दूसरा वर्ग भी एक समुच्चय है। यद्यपि, क्योंकि जेडएफसी केवल समुच्चयों की बात करता है, उचित वर्गों की नहीं, स्कीमा को केवल निश्चित अनुमानो के लिए कहा गया है, जिन्हें उनके पूर्णतः परिभाषित किए गए सूत्रों से पहचाना जाता है।

कथन
माना $$P$$ एक निश्चित द्विआधारी संबंध है जो एक उचित वर्ग हो सकता है, जैसे कि सभी समुच्चय के लिए $$x$$ एक अनूठा समुच्चय है $$y$$ ऐसा है कि $$P(x,y)$$ रखती है। एक संबंधित निश्चित कार्य है $$F_P$$, जहाँ $$F_P(x)=y$$ यदि केवल $$P(x,y)$$ वर्ग पर विचार करें तो $$B$$ इस तरह परिभाषित किया गया है कि हर समुच्चय के लिए $$y$$, $$y\in B$$ यदि केवल को नोटेशन का उपयोग करके) $$\{F_P(x):x\in A\}$$.

प्रई है $$x\in A$$ साथ $$F_P(x)=y$$. $$B$$ की छवि कहलाती है $$A$$ अंतर्गत $$F_P$$, और निरूपित $$F_P[A]$$ या (समुच्चय-बिल्डरतिस्थापन की अभिगृहीत स्कीमा बताती है कि यदि $$F$$ उपरोक्त के रूप में एक परिभाषित वर्ग कार्य है, और $$A$$ कोई समुच्चय है, तो छवि $$F[A]$$ भी एक समुच्चय है। इसे लघुता के सिद्धांत के रूप में देखा जा सकता है: अभिगृहीत कहता है कि यदि $$A$$ एक समुच्चय होने के लिए अत्यधिक छोटा है, तो $$F[A]$$ एक समुच्चय होने के लिए भी अत्यधिक छोटा है। यह आकार की सीमा के शक्तिशाली अभिगृहीत द्वारा निहित है।

चूंकि प्रथम-क्रम तर्क में निश्चित कार्यों को मापना असंभव है, प्रत्येक सूत्र के लिए स्कीमा का एक उदाहरण अंतर्निहित है $$\phi$$ मुक्त चर के साथ समुच्चय सिद्धांत की भाषा में $$w_1,\dotsc,w_n,A,x,y$$; परन्तु $$B$$ में मुक्त नहीं है $$\phi$$. समुच्चय सिद्धांत की औपचारिक भाषा में, अभिगृहीत स्कीमा है:
 * $$\begin{align}

\forall w_1,\ldots,w_n \, \forall A \, ( [ \forall x \in A &\, \exists ! y \, \phi(x, y, w_1, \ldots, w_n, A) ]\ \Longrightarrow\ \exists B \, \forall y \, [y \in B \Leftrightarrow \exists x \in A \, \phi(x, y, w_1, \ldots, w_n, A) ] ) \end{align}$$ अर्थ के लिए $$\exists!$$, विशिष्टता मात्रा का ठहराव देखें।

स्पष्टता के लिए, कोई चर नहीं होने की स्थिति में $$w_i$$, यह सरल करता है:
 * $$\begin{align}

\forall A \, ( [ \forall x \in A &\, \exists ! y \, \phi(x, y, A) ]\ \Longrightarrow\ \exists B \, \forall y \, [y \in B \Leftrightarrow \exists x \in A \, \phi(x, y, A) ] ) \end{align}$$ तो जब भी $$\phi$$ अद्वितीय निर्दिष्ट करता है $$x$$-को-$$y$$ पत्राचार, एक समारोह के समान $$F$$ पर $$A$$, पुनः सब $$y$$ इस तरह से पहुंचे एक समुच्चय में एकत्र किया जा सकता है $$B$$, के सदृश $$F[A]$$.

अनुप्रयोग
सामान्य गणित के अधिकांश सिद्धांतो के प्रमाण के लिए प्रतिस्थापन की अभिगृहीत योजना आवश्यक नहीं है। वस्तुतः ज़र्मेलो का समुच्चय सिद्धांत (जेड) पहले से ही दूसरे क्रम के अंकगणित की व्याख्या कर सकता है और परिमित प्रकारों में बहुत से प्रकार के सिद्धांत की व्याख्या कर सकता है, जो बदले में गणित के थोक को औपचारिक रूप देने के लिए पर्याप्त हैं। यद्यपि प्रतिस्थापन का अभिगृहीत स्कीमा आज समुच्चय सिद्धांत में एक मानक अभिगृहीत है, यह प्रायः टाइप सिद्धांत के प्रणाली और टोपोस सिद्धान्त में आधारभूत प्रणालियों से छोड़ा जाता है।

किसी भी दर पर, अभिगृहीत स्कीमा जेडएफ की शक्ति को अत्यधिक सीमा तक बढ़ा देती है, दोनों सिद्धांत के संदर्भ में यह सिद्ध कर सकती है - उदाहरण के लिए दिखाए गए समुच्चय उपस्थित हैं - और जेड की तुलना में इसकी प्रमाण-सैद्धांतिक स्थिरता शक्ति के संदर्भ में भी। कुछ महत्वपूर्ण उदाहरणों का पालन करें:


 * जॉन वॉन न्यूमैन की आधुनिक परिभाषा का उपयोग करते हुए, ω से अधिक किसी भी सीमा क्रमसूचक के अस्तित्व को सिद्ध करने के लिए प्रतिस्थापन अभिगृहीत की आवश्यकता होती है। क्रमसूचक संख्या ω·2 = ω + ω ऐसी पहली क्रमसूचक संख्या है। अनंत का अभिगृहीत अनंत समुच्चय ω = {0, 1, 2, ...} के अस्तित्व पर बल देता है। कोई ω·2 को अनुक्रम {ω, ω + 1, ω + 2,...} के संघ के रूप में परिभाषित करने की उम्मीद कर सकता है। यद्यपि, क्रमवाचक संख्या के ऐसे वर्ग के मनमाना समुच्चय होने की आवश्यकता नहीं है - उदाहरण के लिए, सभी क्रमसूचक संख्या का वर्ग समुच्चय नहीं है। प्रतिस्थापन अब ω में प्रत्येक परिमित संख्या n को संगत ω + n से परिवर्तन की अनुमति देता है, और इस प्रकार यह आश्वासन देता है कि यह वर्ग एक समुच्चय है। एक स्पष्टीकरण के रूप में, ध्यान दें कि प्रतिस्थापन का आश्रय लिए बिना आसानी से एक सुव्यवस्थित समुच्चय का निर्माण किया जा सकता है जो ω·2 के लिए समरूप है - केवल ω की दो प्रतियों के असंयुक्त संघ को लें, दूसरी प्रतिलिपि पहली से बड़ी है - परन्तु यह एक क्रमसूचक नहीं है क्योंकि यह समावेशन द्वारा पूरी तरह से आदेशित नहीं है।
 * बड़े अध्यादेश सीधे कम प्रतिस्थापन पर निर्भर करते हैं। उदाहरण के लिए, ω1, पहला अगणनीय क्रमसूचक, निम्नानुसार बनाया जा सकता है - गणनीय आदेशों का समुच्चय उपयुक्त उपसमुच्चय के रूप में उपस्थित है $$P({\mathbb N}\times {\mathbb N})$$ विभाजन के अभिगृहीत और शक्ति समुच्चय के अभिगृहीत द्वारा ए पर एक द्विआधारी संबंध का एक उपसमुच्चय है $$A\times A$$, और इसलिए सत्ता स्थापित का एक तत्व $$P(A\times A)$$. संबंधों का एक समुच्चय इस प्रकार का एक उपसमुच्चय है $$P(A\times A)$$)). प्रत्येक सुव्यवस्थित समुच्चय को उसके क्रमसूचक से परिवर्तित करे। यह गणनीय अध्यादेश ω का समुच्चय है1, जिसे स्वयं अगणनीय प्रदर्शित किया जा सकता है। निर्माण दो बार प्रतिस्थापन का उपयोग करता है; एक बार प्रत्येक सुव्यवस्थित समुच्चय के लिए एक क्रमिक नियत कार्य सुनिश्चित करने के लिए और पुनः उनके आदेश द्वारा अच्छी तरह से आदेशित किए गए समुच्चयों को परिवर्तन के लिए। यह हार्टोग्स संख्या के परिणाम का एक विशेष सन्दर्भ है, और सामान्य संदर्भो को इसी तरह सिद्ध किया जा सकता है।
 * उपरोक्त के आलोक में, प्रत्येक सुव्यवस्थित समुच्चय के लिए एक क्रमसूचक के नियत कार्य के अस्तित्व के लिए भी प्रतिस्थापन की आवश्यकता होती है। इसी तरह वॉन न्यूमैन कार्डिनल नियत कार्य जो प्रत्येक समुच्चय के लिए एक बुनियादी संख्या प्रदान करता है, प्रतिस्थापन की आवश्यकता होती है, साथ ही पसंद का अभिगृहीत भी।
 * पुनरावर्ती रूप से परिभाषित टुपल्स के समुच्चय के लिए $$A^n=A^{n-1}\times A$$ और बड़े के लिए $$A$$, समुच्चय $$\{A^n\mid n\in {\mathbb N}\}$$ सत्ता समुच्चय, पसंद और बिना प्रतिस्थापन के केवल सिद्धांत के साथ समुच्चय सिद्धांत से सिद्ध होने के लिए अपने अस्तित्व के लिए पद का बहुत ऊंचा है।
 * इसी तरह, हार्वे फ्रीडमैन ने दिखाया कि बोरेल समुच्चय निर्धारक हैं, यह दिखाने के लिए प्रतिस्थापन की आवश्यकता है। सिद्ध परिणाम डोनाल्ड ए. मार्टिन की बोरेल निर्धारकता प्रमेय है।
 * ZF प्रतिस्थापन के साथ समुच्चय V के रूप में Z की संगति को सिद्ध करता हैω·2 Z का एक प्रारूप है जिसका अस्तित्व ZF में सिद्ध किया जा सकता है। कार्डिनल संख्या $$\aleph_\omega$$ पहला ऐसा है जिसे ZF में उपस्थित दिखाया जा सकता है परन्तु Z में नहीं। स्पष्टीकरण के लिए, ध्यान दें कि गोडेल की दूसरी अपूर्णता प्रमेय से पता चलता है कि इनमें से प्रत्येक सिद्धांत में एक वाक्य है, जो सिद्धांत की अपनी निरंतरता को व्यक्त करता है, जो उस सिद्धांत में असाध्य है, यदि वह सिद्धांत सुसंगत है - इस परिणाम को प्रायः शिथिल रूप से इस दावे के रूप में व्यक्त किया जाता है कि इनमें से कोई भी सिद्धांत अपनी निरंतरता सप्रमाणित नहीं कर सकता है, यदि यह सुसंगत है।

संग्रह
संग्रह की अभिगृहीत स्कीमा निकटतम रूप से संबंधित है और प्रायः प्रतिस्थापन की अभिगृहीत स्कीमा के साथ भ्रमित होती है। ZF अभिगृहीतों के शेष भाग पर, यह प्रतिस्थापन की अभिगृहीत स्कीमा के समतुल्य है। शक्ति समुच्चय अभिगृहीत या इसके रचनात्मक समुच्चय सिद्धांत के अभाव में संग्रह का अभिगृहीत प्रतिस्थापन से अधिक शक्तिशाली है, परन्तु IZF के ढांचे में दुर्बल है, जिसमें बहिष्कृत मध्य के कानून का अभाव है।

जबकि प्रतिस्थापन को यह कहने के लिए पढ़ा जा सकता है कि किसी फलन की छवि एक समुच्चय है, संग्रह संबंधों की छवियों के विषय में बोलता है और पुनः केवल यह कहता है कि संबंध की छवि का कुछ सुपरसमुच्चय एक समुच्चय है। दूसरे शब्दों में, परिणामी समुच्चय $$B$$ इसकी कोई न्यूनतम आवश्यकता नहीं है, यानी इस संस्करण में विशिष्टता की आवश्यकता भी नहीं है $$\phi$$. अर्थात्, द्वारा परिभाषित संबंध $$\phi$$ एक समारोह होने की आवश्यकता नहीं है - some $$x\in A$$ कई के अनुरूप हो सकता है $$y$$में है $$B$$. इस मामले में, छवि समुच्चय $$B$$ जिनके अस्तित्व पर जोर दिया गया है उनमें कम से कम एक ऐसा होना चाहिए $$y$$ प्रत्येक के लिए $$x$$ मूल समुच्चय में, इस बात की कोई आश्वासन नहीं है कि इसमें केवल एक ही होगा।

मान लीजिए कि के मुक्त चर $$\phi$$ बीच में हैं $$w_1,\dotsc,w_n,x,y$$; परन्तु नहीं $$A$$ और न $$B$$ में मुक्त है $$\phi$$. तब अभिगृहीत स्कीमा है:

\forall w_1,\ldots,w_n \,[(\forall x\, \exists\, y \phi(x, y, w_1, \ldots, w_n)) \Rightarrow \forall A\, \exists B\, \forall x \in A\, \exists y \in B\, \phi(x, y, w_1, \ldots, w_n)] $$ अभिगृहीत स्कीमा को कभी-कभी पूर्व प्रतिबंधों के बिना कहा जाता है (इसके अलावा $$B$$ में मुक्त नहीं हो रहा है $$\phi$$) विधेय पर, $$\phi$$:

\forall w_1,\ldots,w_n \, \forall A\, \exists B\,\forall x \in A\, [ \exists y \phi(x, y, w_1, \ldots, w_n) \Rightarrow \exists y \in B\,\phi(x, y, w_1, \ldots, w_n)] $$ इस मामले में तत्व हो सकते हैं $$x$$ में $$A$$ जो किसी अन्य समुच्चय से संबद्ध नहीं हैं $$\phi$$. यद्यपि, जैसा कि कहा गया है, अभिगृहीत स्कीमा के लिए आवश्यक है कि, यदि कोई तत्व $$x$$ का $$A$$ कम से कम एक समुच्चय से जुड़ा हुआ है $$y$$, पुनः छवि समुच्चय $$B$$ कम से कम एक ऐसा होगा $$y$$. परिणामी अभिगृहीत स्कीमा को परिबद्धता का अभिगृहीत स्कीमा भी कहा जाता है।

विभाजन
विभाजन का अभिगृहीत स्कीमा, ZFC में अन्य अभिगृहीत स्कीमा, प्रतिस्थापन के अभिगृहीत स्कीमा और खाली समुच्चय के अभिगृहीत द्वारा निहित है। याद करें कि विभाजन्करण की अभिगृहीत स्कीमा में अंतर्निहित हैं
 * $$\forall A\, \exists B\, \forall C\, (C \in B \Leftrightarrow [C \in A \land \theta(C)])$$

प्रत्येक सूत्र के लिए $$\theta$$ जिसमें समुच्चय सिद्धांत की भाषा में $$B$$ मुक्त नहीं है।

प्रमाण इस प्रकार है। एक सूत्र से शुरू करें $$\theta(C)$$ जिसका उल्लेख नहीं है $$B$$, और एक समुच्चय $$A$$. यदि कोई तत्व नहीं है $$E$$ का $$A$$ संतुष्ट $$\theta(E)$$ पुनः समुच्चय $$B$$ विभाजन के अभिगृहीत स्कीमा के प्रासंगिक उदाहरण द्वारा वांछित खाली समुच्चय है। अन्यथा, एक निश्चित चुनें $$E$$ में $$A$$ ऐसा है कि $$\theta(E)$$ रखती है। क्लास फलन को परिभाषित कीजिए $$F$$ ऐसा कि, किसी भी तत्व के लिए $$D$$, $$F(D)=D$$ अगर $$\theta(D)$$ रखता है और $$F(D)=E$$ अगर $$\theta(D)$$ गलत है। पुनः की छवि $$A$$ अंतर्गत $$F$$, यानी, समुच्चय $$B = F''A := \{F(x):x\in A\}=A\cap\{x:\theta(x)\}$$, उपस्थित है (प्रतिस्थापन के अभिगृहीत द्वारा) और ठीक समुच्चय है $$B$$ विभाजन के अभिगृहीत के लिए आवश्यक।

इस परिणाम से पता चलता है कि ZFC को एकल अनंत अभिगृहीत स्कीमा के साथ अभिगृहीत करना संभव है। क्योंकि कम से कम एक ऐसी अनंत स्कीमा की आवश्यकता होती है ZFC सूक्ष्म रूप से अभिगृहीत नहीं है, यह दर्शाता है कि यदि वांछित हो तो प्रतिस्थापन का अभिगृहीत स्कीमा ZFC में एकमात्र अनंत अभिगृहीत स्कीमा के रूप में खड़ा हो सकता है। क्योंकि विभाजन की अभिगृहीत योजना स्वतंत्र नहीं है, इसे कभी-कभी ज़र्मेलो-फ्रेंकेल अभिगृहीतों के समकालीन बयानों से हटा दिया जाता है।

विभाजन अभी भी महत्वपूर्ण है, तथापि, ZFC के टुकड़ों में उपयोग के लिए, ऐतिहासिक विचारों के कारण, और समुच्चय सिद्धांत के वैकल्पिक अभिगृहीतों के साथ तुलना के लिए। समुच्चय सिद्धांत का एक सूत्रीकरण जिसमें प्रतिस्थापन के अभिगृहीत को अंतर्निहित नहीं किया गया है, यह सुनिश्चित करने के लिए विभाजन्करण के अभिगृहीत के कुछ रूप अंतर्निहित होंगे, यह सुनिश्चित करने के लिए कि इसके प्रारूप में समुच्चयों का पर्याप्त समृद्ध संग्रह है। समुच्चय सिद्धांत के प्रारूप के अध्ययन में, कभी-कभी प्रतिस्थापन के बिना ZFC के प्रारूप पर विचार करना उपयोगी होता है, जैसे कि प्रारूप $$V_\delta$$ वॉन न्यूमैन के पदानुक्रम में।

उपरोक्त प्रमाण अपवर्जित मध्य के कानून का उपयोग यह मानने में करता है कि यदि $$A$$ अरिक्त है तो इसमें एक तत्व होना चाहिए अंतर्ज्ञानवादी तर्क में, एक समुच्चय खाली है यदि इसमें कोई तत्व नहीं है, और अरिक्त इसका औपचारिक निषेध है, जो तत्व से कमजोर है। विभाजन का अभिगृहीत रचनात्मक समुच्चय सिद्धांत में अंतर्निहित है।

इतिहास
प्रतिस्थापन का अभिगृहीत स्कीमा अर्नेस्ट ज़र्मेलो के 1908 के समुच्चय सिद्धांत के अभिगृहीतीकरण का हिस्सा नहीं था। इसका कुछ अनौपचारिक समीपता जॉर्ज कैंटर के अप्रकाशित कार्यों में उपस्थित था, और यह पुनः अनौपचारिक रूप से मिरीमनॉफ (1917) में दिखाई दिया।

1922 में अब्राहम फ्रेंकेल द्वारा इसका प्रकाशन आधुनिक समुच्चय सिद्धांत ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत ('ZFC') बनाता है। अभिगृहीत स्वतंत्र रूप से उसी वर्ष 1923 में प्रकाशित थोराल्फ़ स्कोलेम द्वारा स्वतंत्र रूप से खोजा और घोषित किया गया था। ज़र्मेलो ने स्वयं फ्रेंकेल के अभिगृहीत को 1930 में प्रकाशित अपनी संशोधित प्रणाली में अंतर्निहित किया, जिसमें नींव के एक नए अभिगृहीत वॉन न्यूमैन के अभिगृहीत के रूप में भी अंतर्निहित था। यद्यपि यह स्कोलेम का अभिगृहीत सूची का पहला क्रम संस्करण है जिसका हम आज उपयोग करते हैं, उन्हें सामान्यतः कोई श्रेय नहीं मिलता है क्योंकि प्रत्येक व्यक्तिगत अभिगृहीत को पहले ज़र्मेलो या फ्रेंकेल द्वारा विकसित किया गया था। वाक्यांश "ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय थ्योरी" का उपयोग पहली बार 1928 में वॉन न्यूमैन द्वारा प्रिंट में किया गया था। ज़र्मेलो और फ्रेंकेल ने 1921 में भारी पत्राचार किया था; प्रतिस्थापन का अभिगृहीत इस आदान-प्रदान का एक प्रमुख विषय था। फ्रेंकेल ने मार्च 1921 में ज़र्मेलो के साथ पत्राचार शुरू किया। 6 मई 1921 से पहले के उनके पत्र यद्यपि खो गए हैं। ज़र्मेलो ने पहली बार 9 मई 1921 को फ्रेंकेल के जवाब में अपने प्रणाली में एक अंतर को स्वीकार किया। 10 जुलाई 1921 को, फ्रेंकेल ने एक पेपर को पूरा किया और प्रकाशन के लिए प्रस्तुत किया, जिसमें उनके अभिगृहीत को मनमाना प्रतिस्थापन की अनुमति देने के रूप में वर्णित किया गया था: यदि एम एक है समुच्चय और M के प्रत्येक तत्व को एक समुच्चय या एक यूरेलेमेंट से बदल दिया जाता है, पुनः M पुनः एक समुच्चय में बदल जाता है। फ्रेंकेल के 1922 के प्रकाशन ने ज़र्मेलो को उपयोगी तर्कों के लिए धन्यवाद दिया। इस प्रकाशन से पूर्व, फ्रेंकेल ने सार्वजनिक रूप से 22 सितंबर 1921 को जेना में आयोजित जर्मन गणितीय सोसायटी की बैठक में अपनी नई अभिगृहीत की घोषणा की। इस बैठक में ज़र्मेलो उपस्थित थे; फ्रेंकेल की चर्चा के बाद की चर्चा में उन्होंने सामान्य शब्दों में प्रतिस्थापन के अभिगृहीत को स्वीकार किया, परन्तु इसकी सीमा के संबंध में संदेह व्यक्त किया।

6 जुलाई 1922 को हेलसिंकी में आयोजित स्कैंडिनेवियाई गणितज्ञों की 5वीं कांग्रेस में दिए गए एक भाषण में थोराल्फ़ स्कोलेम ने जर्मेलो की प्रणाली में अंतराल की अपनी खोज को सार्वजनिक किया (वही अंतर जो फ्रेंकेल ने पाया था); इस कांग्रेस की कार्यवाही 1923 में प्रकाशित हुई थी। स्कोलेम ने प्रथम-क्रम निश्चित प्रतिस्थापन के संदर्भ में एक संकल्प प्रस्तुत किया: चलो यू एक निश्चित प्रस्ताव है जो डोमेन बी में कुछ जोड़े (ए, बी) के लिए है; आगे मान लें कि प्रत्येक a के लिए अधिक से अधिक एक b उपस्थित है जैसे कि U सत्य है। पुनः, समुच्चय एम के तत्वों पर एक सीमा के रूप मेंa, b एक समुच्चय M के सभी तत्वों की श्रेणी में आता हैb. उसी वर्ष, फ्रेंकेल ने स्कोलेम के पेपर की समीक्षा लिखी, जिसमें फ्रेंकेल ने केवल यह कहा कि स्कोलेम के विचार उनके स्वयं के अनुरूप हैं।

ज़र्मेलो ने खुद कभी भी स्कोलेम के प्रतिस्थापन के अभिगृहीत स्कीमा के निर्माण को स्वीकार नहीं किया। एक बिंदु पर उन्होंने स्कोलेम के दृष्टिकोण को "गरीबों का सिद्धांत" कहा। ज़र्मेलो ने एक ऐसी प्रणाली की परिकल्पना की जो बड़े कार्डिनल्स के लिए अनुमति देगी। उन्होंने स्कोलेम के विरोधाभास #गणितीय समुदाय द्वारा स्वागत के दार्शनिक निहितार्थों पर भी कड़ी आपत्ति जताई, जो स्कोलेम के प्रथम-क्रम के अभिगृहीतकरण के बाद आया। हेंज-डाइटर एबिंगहॉस द्वारा ज़र्मेलो की जीवनी के अनुसार, ज़र्मेलो की स्कोलेम के दृष्टिकोण की अस्वीकृति ने समुच्चय सिद्धांत और तर्क के विकास पर ज़र्मेलो के प्रभाव के अंत को चिह्नित किया।