डोर स्पेस

गणित में, विशेष रूप से टोपोलॉजी के क्षेत्र में, एक टोपोलॉजिकल स्पेस को एक डोर स्पेस कहा जाता है यदि प्रत्येक उपसमुच्चय खुला या बंद (या दोनों) हो। यह शब्द परिचयात्मक टोपोलॉजी स्मरक से आया है कि "एक उपसमुच्चय एक डोर की तरह नहीं है: यह खुला, बंद, एक भी या दोनों हो सकता है।"।

गुण और उदाहरण
प्रत्येक दरवाज़े का स्थान T0 है (क्योंकि यदि $$x$$ और $$y$$ दो स्थैतिक रूप से अविभाज्य बिंदु हैं, तो सिंगलटन $$\{x\}$$ न तो खुला है और न ही बंद है)।

दरवाज़े के स्थान का प्रत्येक उपस्थान एक दरवाज़ा स्थान है। दरवाज़े की जगह का हर भाग ऐसा ही है।

प्रत्येक टोपोलॉजी एक सेट पर डोर टोपोलॉजी से अधिक उत्कृष्ट होती है $$X$$ भी एक डोर टोपोलॉजी है।

प्रत्येक पृथक स्थान एक द्वार स्थान है। ये संचय बिंदु रहित रिक्त स्थान हैं अर्थात जिनका प्रत्येक बिंदु एक पृथक बिंदु होता है।

ठीक एक संचय बिंदु (और अन्य सभी बिंदु अलग) के साथ प्रत्येक स्थान $$X$$ एक डोर की जगह है (चूंकि सबसेट जिसमें केवल अलग-अलग बिंदु होते हैं, खुले होते हैं, और संचय बिंदु वाले उपसमुच्चय बंद होते हैं)। कुछ उदाहरण हैं: (1) एक असतत स्थान (जिसे फोर्ट स्पेस भी कहा जाता है) का एक-बिंदु संघनन, जहां इन्फिनिटी का बिंदु संचय बिंदु होता है; (2) अपवर्जित बिंदु टोपोलॉजी वाला एक स्थान, जहां "बहिष्कृत बिंदु" संचय बिंदु है।

प्रत्येक हाउसडॉर्फ डोर की जगह या तो असततत है या ठीक एक संचय बिंदु है। (इसे देखने के लिए, यदि $$X$$ अलग संचय बिंदुओं के साथ एक जगह है $$x$$ और $$y$$ संबंधित संयुक्त पड़ोसी $$U$$ और, $$V,$$ सेट ($$(U\setminus\{x\})\cup\{y\}$$ न तो बंद है और न ही $$X.$$ में खुला है।)

एक से अधिक संचय बिंदु वाले डोर के स्थान का एक उदाहरण सेट $$X$$ पर कम से कम तीन बिंदुओं वाले विशेष बिंदु टोपोलॉजी द्वारा दिया गया है। खुले समुच्चय वे उपसमुच्चय हैं जिनमें रिक्त समुच्चय के साथ एक विशेष बिंदु $$p\in X,$$ होता है। बिन्दु $$p$$ एक पृथक बिन्दु है तथा अन्य सभी बिन्दु संचय बिन्दु हैं। (यह एक द्वार स्थान है क्योंकि $$p$$ युक्त प्रत्येक सेट खुला है और $$p$$ युक्त प्रत्येक सेट बंद है।) एक अन्य उदाहरण विशेष बिंदु टोपोलॉजी और एक अलग स्थान के साथ एक स्थान का टोपोलॉजिकल योग होगा।

बिना किसी पृथक बिंदु वाले दरवाज़े के स्थान $$(X,\tau)$$ बिल्कुल वही होते हैं जिनमें $$X.$$ पर कुछ मुफ्त अल्ट्राफ़िल्टर $$\mathcal U$$ के लिए $$\tau=\mathcal U \cup \{\emptyset\}$$ फॉर्म की टोपोलॉजी होती है। ऐसे स्थान अनिवार्यतः अनंत हैं।

वास्तव में तीन प्रकार के जुड़े हुए दरवाज़े हैं ($$(X,\tau)$$:


 * अपवर्जित बिंदु टोपोलॉजी वाला स्थान;
 * सम्मिलित बिंदु टोपोलॉजी वाला एक स्थान;
 * टोपोलॉजी $$\tau$$ वाला एक स्थान इस प्रकार है कि $$\tau\setminus\{\emptyset\}$$ पर एक निःशुल्क अल्ट्राफ़िल्टर $$X.$$है।