क्लोजर (टोपोलॉजी)

सांस्थिति में, एक सांस्थितिक समष्टि में बिंदुओं के एक उपवर्ग S को संवरण करने में S के सभी सीमा बिंदुओं के साथ S में सभी बिंदु शामिल होते हैं। $S$ का संवरण होना समतुल्य रूप से संघ ( समुच्चय सिद्धांत) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $S$ और इसकी सीमा ( सांस्थिति), और सभी संवरण समुच्चयों के प्रतिच्छेदन ( समुच्चय सिद्धांत) के रूप में भी $S$ सहजता से, समापन को उन सभी बिंदुओं के रूप में माना जा सकता है जो या तो अंदर हैं $S$ या निकट $S$. एक बिंदु जो संवरण होने में है $S$ का अनुगामी बिन्दु है $S$. संवरण होने की धारणा कई तरह से आंतरिक ( सांस्थिति) की धारणा के लिए द्वैत (गणित) है।

समापन बिंदु
$$S$$ के लिये यूक्लिडीय समष्टि के उपसमुच्चय के रूप में, $$x$$ के संवरण होने का बिंदु है $$S$$ यदिहर खुली गेंद  $$x$$ पर केंद्रित है और उसका एक बिंदु $$S$$ होता है  (यह बिंदु $$x$$ स्वयं हो सकता है )।

यह परिभाषा किसी भी उपसमुच्चय $$S$$ मीट्रिक स्थान $$X$$ के लिए सामान्यीकरण करती है । पूरी तरह से व्यक्त, $$X$$ मीट्रिक स्थान के रूप में मीट्रिक $$d,$$ $$S$$ के संवरण होने का बिंदु $$x$$ है  यदि प्रत्येक $$r > 0$$  के लिए कुछ $$s \in S$$ इस तरह उपलब्ध है  कि दूरी $$d(x, s) < r$$ ($$x = s$$ की अनुमति है)। इसे व्यक्त करने का दूसरा तरीका यह कहना है कि $$S$$ के संवरण होने का बिंदु $$x$$ है  यदि दूरी $$d(x, S) := \inf_{s \in S} d(x, s) = 0$$  जहाँ पर  $$\inf$$  निम्नतम और उच्चतम है।

यह परिभाषा खुली गेंद या गेंद को सांस्थिति शब्दावली के साथ बदलकर सांस्थितिक समष्टि का सामान्यीकरण करती है। मान लीजिए कि $$S$$ एक सांस्थितिक समष्टि $$X$$ का उपवर्ग है।  फिर $$S$$ का  या  $$x$$  है  यदिहर प्रतिवैस $$x$$ का एक बिंदु $$S$$ होता है  (फिर से, $$x = s$$ के लिये $$s \in S$$ की अनुमति है)। ध्यान दें कि यह परिभाषा इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि प्रतिवैस को खुला रखना आवश्यक है या नहीं।

सीमा बिंदु
समापन बिंदु की परिभाषा समुच्चय के सीमा बिंदु की परिभाषा से निकटता से संबंधित है। दो परिभाषाओं के बीच का अंतर सूक्ष्म लेकिन महत्वपूर्ण है - अर्थात्, एक सेट S के एक सीमा बिंदु $$x$$ की परिभाषा में $$x$$ के प्रत्येक प्रतिवैस में x के अलावा $$S$$ का एक बिंदु $$x$$ खुद होना चाहिए। (प्रत्येक $$x$$ का प्रतिवैस $$x$$ हो सकता है लेकिन इसका एक बिंदु $$S$$ का होना चाहिए $$x$$ इससे अलग है ।) एक  समुच्चय के सभी सीमा बिंदुओं का समुच्चय $$S$$ कहा जाता है  समुच्चय के सीमा बिंदु को समुच्चय का समूह बिंदु या संचय बिंदु भी कहा जाता है।

इस प्रकार, प्रत्येक सीमा बिंदु समापन बिंदु है, लेकिन समापन का प्रत्येक बिंदु सीमा बिंदु नहीं है। संवरण होने का बिंदु जो सीमा बिंदु नहीं है, एक पृथक बिंदु है। दूसरे शब्दों में, एक बिंदु $$x$$ का पृथक बिंदु $$S$$ है यदियह $$S$$ का एक तत्व है और $$x$$ का प्रतिवैस है  जिसमें  स्वयम् $$x$$ के अतिरिक्त $$S$$ का कोई अन्य बिंदु नहीं है। दिए गए समुच्चय के लिए $$S$$ और बिंदु $$x,$$ $$x$$ के संवरण होने का बिंदु है $$S$$ यदि और केवल यदि $$x$$ का एक तत्व है $$S$$ या $$x$$ का सीमा बिंदु है $$S$$ (अथवा दोनों)।

एक समुच्चय का संवरण होना
}} उपसमुच्चय का $$S$$ एक सांस्थितिक समष्टि का $$(X, \tau),$$ द्वारा चिह्नित $$\operatorname{cl}_{(X, \tau)} S$$ या संभवतः द्वारा $$\operatorname{cl}_X S$$ (यदि $$\tau$$ समझा जाता है), जहां यदि दोनों $$X$$ तथा $$\tau$$ संदर्भ से स्पष्ट हैं तो इसे द्वारा भी निरूपित किया जा सकता है $$\operatorname{cl} S,$$ $$\overline{S},$$ या $$S {}^{-}$$ (इसके अतिरिक्त, $$\operatorname{cl}$$ कभी-कभी पूंजीकृत किया जाता है $$\operatorname{Cl}$$.) निम्नलिखित समकक्ष परिभाषाओं में से किसी का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है:


 * 1) $$\operatorname{cl} S$$  $$S$$ के संवरण होने के सभी बिंदुओं का समुच्चय है।
 * 2) $$\operatorname{cl} S$$ $$S$$ के सभी सीमा बिंदुओं के साथ एक समुच्चय  है।
 * 3) $$\operatorname{cl} S$$ $$S$$ वाले सभी बंद समुच्चय का प्रतिच्छेदन है।
 * 4) $$\operatorname{cl} S$$ सबसे छोटा बंद समुच्चय है जिसमें $$S$$ है।
 * 5) $$\operatorname{cl} S$$ $$S$$ और इसकी सीमा का संघ है।
 * 6) $$\operatorname{cl} S$$ सभी का समुच्चय है जिसके लिए $$S$$ में एक नेट (मूल्यवान) मौजूद है जो $$(X, \tau)$$ में परिवर्तित होता है।

एक समुच्चय के संवरण होने के निम्नलिखित गुण हैं।
 * $$\operatorname{cl} S$$ $$S$$ का एक संवरण समुच्चय अधिसमुच्चय है।
 * समुच्चय $$S$$ संवरण है यदि और केवल यदि$$S = \operatorname{cl} S$$।
 * यदि $$S \subseteq T$$ फिर $$\operatorname{cl} S$$ का उपसमुच्चय $$\operatorname{cl} T$$ है।
 * यदि $$A$$ एक संवरण समुच्चय है, फिर $$A$$ में $$S$$ सम्मिलित है यदि और केवल यदि $$A$$ में $$\operatorname{cl} S$$ सम्मिलित है।

कभी-कभी ऊपर दी गई दूसरी या तीसरी संपत्ति को परिभाषा के रूप में लिया जाता है सांस्थितिक संवरण, जो अभी भी अन्य प्रकार के संवरण पर लागू होने पर समझ में आता है (नीचे देखें)। पहले गणनीय स्थान में (जैसे मीट्रिक स्थान),$$S$$ में $$\operatorname{cl} S$$ अंकों के सभी अभिसरण अनुक्रमों के अनुक्रम की सभी सीमा का समुच्चय है। एक सामान्य सांस्थितिक समष्टि के लिए, यह कथन सत्य रहता है यदि कोई अनुक्रम को किमत(गणित) या निस्यंदक( समुच्चय सिद्धांत) द्वारा प्रतिस्थापित करता है (जैसा कि सांस्थिति में निस्यंदक पर आलेख में वर्णित है)।

ध्यान दें कि ये गुण तब भी संतुष्ट होते हैं जब संवरण, अधिसमुच्चय, प्रतिच्छेदन, सम्‍मिलित/युक्त, सबसे छोटा और संवरण को भीतर, उपवर्ग, एकसंध, में निहित, सबसे बड़ा और स्पष्ट द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इस मामले पर अधिक जानकारी के लिए, नीचे संवरण ( सांस्थिति) संचालक देखें।

उदाहरण
3 आयामी अंतरिक्ष में एक गोले पर विचार करें। स्पष्ट रूप से इस क्षेत्र द्वारा बनाई गई रुचि के दो क्षेत्र हैं; गोला स्वयं और इसका आंतरिक भाग (जिसे एक खुली 3-गेंद (गणित) कहा जाता है)। गोले के आंतरिक और सतह के बीच अंतर करना उपयोगी है, इसलिए हम खुली 3-गेंद (गोले का आंतरिक भाग) और संवरण 3-गेंद - खुली 3-गेंद के संवरण होने के बीच अंतर करते हैं अर्थात खुली 3-गेंद और इसकी अतिरिक्त्त सतह (स्वयं गोले के रूप में सतह) है।

सांस्थितिक समष्टि में: $$\mathbb{R}$$ तथा $$\mathbb{C}$$ को मानक सांस्थिति देना:
 * किसी भी स्थान में, $$\varnothing = \operatorname{cl} \varnothing.$$
 * किसी भी स्थान पर $$X,$$ $$X = \operatorname{cl} X.$$
 * यदि $$X$$ यूक्लिडियन स्थान का $$\mathbb{R}$$ वास्तविक संख्या है, तब $$\operatorname{cl}_X ((0, 1)) = [0, 1].$$
 * यदि $$X$$ यूक्लिडियन स्थान है $$\mathbb{R}$$, फिर समुच्चय का संवरण होना $$\mathbb{Q}$$ परिमेय संख्याओं का संपूर्ण स्थान $$\mathbb{R}$$ है हम कहते हैं $$\mathbb{Q}$$ सघन ( सांस्थिति) में $$\mathbb{R}$$ है
 * यदि $$X$$ सम्मिश्र संख्या $$\mathbb{C} = \mathbb{R}^2$$ है फिर $$\operatorname{cl}_X \left( \{ z \in \mathbb{C} : | z | > 1 \} \right) = \{ z \in \mathbb{C} : | z | \geq 1 \}.$$
 * यदि $$S$$ यूक्लिडीय समष्टि का एक परिमित समुच्चय उपसमुच्चय $$X$$ है फिर $$\operatorname{cl}_X S = S.$$ (एक सामान्य सांस्थितिक समष्टि  के लिए, यह गुण T1 स्वयंसिद्ध जगह के बराबर है। )

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर मानक एक के अपेक्षाकृत अन्य सांस्थिति रख सकते हैं। इन उदाहरणों से पता चलता है कि एक समुच्चय का संवरण होना अंतर्निहित स्थान की सांस्थिति पर निर्भर करता है। पिछले दो उदाहरण निम्नलिखित के विशेष मामले हैं।
 * यदि $$X = \mathbb{R}$$ निचली सीमा सांस्थिति के साथ संपन्न है, तब $$\operatorname{cl}_X ((0, 1)) = [0, 1)$$
 * यदि कोई विचार करे $$X = \mathbb{R}$$ असतत सांस्थिति जिसमें हर समुच्चय संवरण (खुला) है, तब $$\operatorname{cl}_X ((0, 1)) = (0, 1).$$
 * यदि कोई विचार करे $$X = \mathbb{R}$$ तुच्छ सांस्थिति जिसमें केवल संवरण (खुले) समुच्चय खाली समुच्चय होते हैं और $$\mathbb{R}$$ स्वयम्, फिर $$\operatorname{cl}_X ((0, 1)) = \mathbb{R}$$


 * किसी भी असतत स्थान में, चूंकि हर समुच्चय संवरण है (और खुला भी), हर समुच्चय उसके संवरण होने के बराबर है।
 * किसी भी अविच्छिन्न स्थान $$X$$ में चूँकि केवल संवरण समुच्चय ही रिक्त समुच्चय होते हैं और $$X$$ स्वयं, हमारे पास यह है कि खाली समुच्चय का संवरण होना खाली समुच्चय है, और प्रत्येक गैर-खाली उपवर्ग $$A$$ के लिए $$X$$ का $$\operatorname{cl}_X A = X.$$ दूसरे शब्दों में, अविच्छिन्न स्थान का प्रत्येक अरिक्त उपसमुच्चय सघन समुच्चय होता है।

समुच्चय का संवरण होना इस बात पर भी निर्भर करता है कि हम किस जगह पर संवरण ले रहे हैं। उदाहरण के लिए, यदि $$X$$ परिमेय संख्याओं का समुच्चय है, यूक्लिडीय समष्टि $$\mathbb{R}$$ द्वारा प्रेरित सामान्य उप-स्थान सांस्थिति के साथ और यदि$$S = \{ q \in \mathbb{Q} : q^2 > 2, q > 0 \},$$ फिर $$\mathbb{Q}$$ में $$S$$ क्लोपेन समुच्चय है  क्योंकि न तो $$S$$ न ही इसके पूरक में  $$\sqrt2$$ समाहित हो सकते हैं, जो कि $$S$$ निम्न परिबंध होगी , लेकिन $$S$$ के अंदर नहीं हो सकता क्योंकि $$\sqrt2$$ तर्कहीन है। इसलिए, $$S$$ का $$\mathbb{Q}$$ की सीमा तत्वों के अंदर नहीं होने के कारण कोई अच्छी तरह से परिभाषित संवरण नहीं है  हालांकि, यदि हम इसके स्थान पर $$X$$ को  वास्तविक संख्याओं का समूह होने के लिए और उसी तरह अंतराल को परिभाषित करने के लिए तो उस अंतराल का संवरण होना अच्छी तरह से परिभाषित है और सभी का समुच्चय से अधिक अथवा $$\sqrt2$$   होगा।

संवरण संचालक
समुच्चय पर $$X$$ के शक्ति समुच्चय का मानचित्र (गणित) $$X$$, $$\mathcal{P}(X)$$ है, अपने आप में जो कुराटोव्स्की संवरण स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है। एक सांस्थितिक समष्टि $$(X, \tau)$$ दिया गया, सांस्थितिक संवरण एक प्रकार्य $$\operatorname{cl}_X : \wp(X) \to \wp(X)$$ को प्रेरित करता है  जिसे  $$S \subseteq X$$ प्रति $$\operatorname{cl}_X S,$$उपवर्ग भेजकर परिभाषित किया गया है।  जहां अंकन $$\overline{S}$$ या $$S^{-}$$ की जगह इस्तेमाल किया जा सकता है। इसके विपरीत यदि $$\mathbb{c}$$ समुच्चय पर एक संचालक $$X$$ है  फिर संवरण  समुच्चयों को ठीक उन उपवर्ग के रूप में परिभाषित करके एक सांस्थितिक समष्टि प्राप्त किया जाता है $$S \subseteq X$$ जो  $$\mathbb{c}(S) = S$$  को संतुष्ट करता है (इसलिए $$X$$ पूरक है, इनमें से उपवर्ग सांस्थिति के खुले  समुच्चय बनाते हैं)। संवरण करने वाला संचालक $$\operatorname{cl}_X$$ आंतरिक ( सांस्थिति)  संचालक के लिए द्वैत (गणित) है, जिसे इसके द्वारा निरूपित किया जाता है $$\operatorname{int}_X,$$ इस अर्थ में कि


 * $$\operatorname{cl}_X S = X \setminus \operatorname{int}_X (X \setminus S),$$

और भी


 * $$\operatorname{int}_X S = X \setminus \operatorname{cl}_X (X \setminus S).$$

इसलिए, संवरण संचालकों के अमूर्त सिद्धांत और कुराटोस्की संवरण स्वयंसिद्धों को उनके पूरक ( समुच्चय सिद्धांत) के साथ समुच्चयों को बदलकर आंतरिक संचालकों की भाषा में आसानी से अनुवादित किया जा सकता है। $$X.$$ सामान्य तौर पर, संवरण संचालक चौराहों से आवागमन नहीं करता है। हालाँकि, एक पूर्ण मीट्रिक स्थान में निम्नलिखित परिणाम धारण करता है:

$$

संवरण के बारे में तथ्य
उपसमुच्चय $$S$$ संवरण $$X$$ में कर दिया गया है यदि और केवल यदि $$\operatorname{cl}_X S = S.$$ विशेष रूप से:
 * खाली समुच्चय का संवरण होना खाली समुच्चय है;
 * $$X$$ का संवरण होना स्वयं $$X$$ है
 * समुच्चय के प्रतिच्छेदन (उपवर्ग सिद्धांत) का समापन हमेशा समुच्चय के संवरण के प्रतिच्छेदन का एक उपसमुच्चय (लेकिन इसके बराबर होने की आवश्यकता नहीं है) होता है।
 * परिमित के एक संघ (समुच्चय सिद्धांत) में कई समुच्चय, संघ के संवरण होने और संवरण होने के संघ बराबर हैं; शून्य समुच्चय का संघ खाली समुच्चय है, और इसलिए इस कथन में एक विशेष वस्तुस्थिति के रूप में खाली समुच्चय को संवरण करने के बारे में पहले वाला बयान अन्तर्वलित है।
 * अपरिमित रूप से कई समुच्चयों के मिलन को संवरण करने के लिए संवरणों के मिलन के बराबर होने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन यह हमेशा संवरणों के मिलन का अधिसमुच्चय होता है।

यदि $$S \subseteq T \subseteq X$$ और यदि $$T$$ की एक सांस्थितिकीय उपसमष्टि है $$X$$ (जिसका अर्थ है कि $$T$$  उपसमष्‍टि सांस्थिति से संपन्न है $$X$$ उस पर प्रेरित करता है), फिर $$\operatorname{cl}_T S \subseteq \operatorname{cl}_X S$$ और संवरण करना $$S$$ में गणना की $$T$$ के प्रतिच्छेदन के बराबर है $$T$$ और संवरण करना $$S$$ में गणना की $$X$$: $$\operatorname{cl}_T S ~=~ T \cap \operatorname{cl}_X S.$$

इसलिये $$\operatorname{cl}_X S$$ का बंद उपसमुच्चय है $$X,$$ सघन $$T \cap \operatorname{cl}_X S$$ का बंद उपसमुच्चय है $$T$$ (उपसमष्‍टि टोपोलॉजी की परिभाषा के अनुसार), जिसका तात्पर्य है $$\operatorname{cl}_T S \subseteq T \cap \operatorname{cl}_X S$$ (इसलिये $$\operatorname{cl}_T S$$ है  का बंद उपसमुच्चय $$T$$ युक्त $$S$$). इसलिये $$\operatorname{cl}_T S$$ का बंद उपसमुच्चय है $$T,$$ सबस्पेस टोपोलॉजी की परिभाषा से, कुछ सेट मौजूद होना चाहिए $$C \subseteq X$$ ऐसा है कि $$C$$ में बंद है $$X$$ तथा $$\operatorname{cl}_T S = T \cap C.$$ इसलिये $$S \subseteq \operatorname{cl}_T S \subseteq C$$ तथा $$C$$ में बंद है $$X,$$ की न्यूनतमता $$\operatorname{cl}_X S$$ इसका आशय है $$\operatorname{cl}_X S \subseteq C.$$ दोनों पक्षों को साथ प्रतिच्छेद करता है $$T$$ दिखाता है $$T \cap \operatorname{cl}_X S \subseteq T \cap C = \operatorname{cl}_T S.$$ $$\blacksquare$$

यह इस प्रकार है कि $$S \subseteq T$$ का सघन उपसमुच्चय $$T$$ है ,सिर्फ और सिर्फ यदि$$T$$ का उपसमुच्चय $$\operatorname{cl}_X S$$ है। $$\operatorname{cl}_T S = T \cap \operatorname{cl}_X S$$ के लिए  $$\operatorname{cl}_X S$$ का उचित उपसमुच्चय होना संभव है, उदाहरण के लिए,  मान लीजिये $$X = \R,$$ $$S = (0, 1),$$ तथा $$T = (0, \infty).$$

यदि $$S, T \subseteq X$$ लेकिन $$S$$ अनिवार्य रूप से $$T$$ का उपसमुच्चय नहीं है सिर्फ तभी $$\operatorname{cl}_T (S \cap T) ~\subseteq~ T \cap \operatorname{cl}_X S$$ हमेशा दायित्व लिया जाता है, जहां यह परिरोधन कड़ा हो सकता है (उदाहरण के लिए विचार करें $$X = \R$$ सामान्य सांस्थिति के साथ, $$T = (-\infty, 0],$$ तथा $$S = (0, \infty)$$ ), यद्यपि यदि $$T$$ के एक खुले उपसमुच्चय के साथ होता है $$X$$ फिर समानता $$\operatorname{cl}_T (S \cap T) = T \cap \operatorname{cl}_X S$$ धारण करेगा ( $$S$$ तथा $$T$$ के बीच संबंध में कोई भेद नहीं होता)।

आज्ञा दें $$S, T \subseteq X$$ और मान लीजिए $$T$$ में खुला है $$X.$$ आज्ञा दें $$C := \operatorname{cl}_T (T \cap S),$$ जो बराबर है $$T \cap \operatorname{cl}_X (T \cap S)$$ (इसलिये $$T \cap S \subseteq T \subseteq X$$). पूरक $$T \setminus C$$ में खुला है $$T,$$ जहां पर $$T$$ में खुला होना $$X$$ अब इसका तात्पर्य है $$T \setminus C$$ में भी खुला है $$X.$$ फलस्वरूप $$X \setminus (T \setminus C) = (X \setminus T) \cup C$$ का बंद उपसमुच्चय है $$X$$ कहाँ पे $$(X \setminus T) \cup C$$ रोकना $$S$$ एक उपवर्ग के रूप में (क्योंकि अगर $$s \in S$$ में है $$T$$ फिर $$s \in T \cap S \subseteq \operatorname{cl}_T (T \cap S) = C$$), जिसका तात्पर्य है $$\operatorname{cl}_X S \subseteq (X \setminus T) \cup C.$$ दोनों पक्षों को साथ प्रतिच्छेद करता है $$T$$ यह साबित करता है $$T \cap \operatorname{cl}_X S \subseteq T \cap C = C.$$ रिवर्स समावेशन इस प्रकार है $$C \subseteq \operatorname{cl}_X (T \cap S) \subseteq \operatorname{cl}_X S.$$ $$\blacksquare$$

नतीजतन, यदि $$\mathcal{U}$$ का कोई खुला आवरण $$X$$ है और यदि $$S \subseteq X$$ कोई उपसमुच्चय है तो: $$\operatorname{cl}_X S = \bigcup_{U \in \mathcal{U}} \operatorname{cl}_U (U \cap S)$$ इसलिये $$\operatorname{cl}_U (S \cap U) = U \cap \operatorname{cl}_X S$$ हर एक के लिए $$U \in \mathcal{U}$$ (जहां हर $$U \in \mathcal{U}$$ इसके द्वारा प्रेरित उपसमष्‍टि सांस्थिति से संपन्न है $$X$$). यह समानता विशेष रूप से तब उपयोगी होती है जब $$X$$ एक विविध (गणित) है और खुले आवरण में समुच्चय $$\mathcal{U}$$ समन्वय तालिका के प्रांत हैं। शब्दों में, यह परिणाम दर्शाता है कि $$X$$ के संवरण होने में किसी भी उपसमुच्चय का $$S \subseteq X$$ के किसी भी खुले आवरण $$X$$ के समुच्चय में स्थानीय रूप से गणना और फिर एक साथ संघटित की जा सकती है। इस तरह, इस परिणाम को सर्वविदित तथ्य के समधर्मी के रूप में देखा जा सकता है कि $$X$$ एक उपवर्ग $$S \subseteq X$$ में संवरण है  यदि और केवल यदि यह स्थानीय रूप से संवरण समुच्चय है $$X$$, मतलब यदि  $$\mathcal{U}$$ का कोई खुला आवरण है $$X$$ फिर $$S$$ में संवरण है $$X$$  यदि और केवल यदि $$S \cap U$$ में संवरण है $$U$$ हर एक के लिए $$U \in \mathcal{U}$$।

निरंतरता
एक समारोह $$f : X \to Y$$ सांस्थितिक समष्टि के बीच निरंतर कार्य है यदि और केवल यदि कार्यक्षेत्र में सह कार्यक्षेत्र के हर संवरण उपवर्ग की पीृइमेज संवरण है; स्पष्ट रूप से, इसका अर्थ है: $$f^{-1}(C)$$ में $$X$$ संवरण है जब भी $$C$$ का संवरण उपसमुच्चय $$Y$$ है।

संवरण संचालक के संदर्भ में, $$f : X \to Y$$ यदि और केवल यदि प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए $$A \subseteq X$$ निरंतर है। $$f\left(\operatorname{cl}_X A\right) ~\subseteq~ \operatorname{cl}_Y (f(A))$$अर्थात किसी भी तत्व को देखते हुए $$x \in X$$ जो एक उपसमुच्चय के संवरण होने से संबंधित है $$A \subseteq X,$$ $$f(x)$$ अनिवार्य रूप से $$Y$$ में $$f(A)$$ के संवरण करने के अंतर्गत आता है। यदि हम घोषित करते हैं कि एक बिंदु $$x$$ उपसमुच्चय $$A \subseteq X$$ के   है। यदि $$x \in \operatorname{cl}_X A$$ तो यह शब्दावली निरंतरता के एक सादे अंग्रेजी विवरण की अनुमति देती है: $$f$$ यदि और केवल यदि प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए निरंतर $$A \subseteq X$$ है।  $$f$$ मानचित्र बिंदु जो $$A$$ के निकट बिंदुओं के लिए $$f(A)$$है। इस प्रकार निरंतर कार्य वास्तव में वे कार्य हैं जो बिंदुओं और समुच्चयों के बीच निकटता संबंध (आगे की दिशा में) को संरक्षित करते हैं: एक प्रकार्य निरंतर होता है यदि और केवल यदि जब भी कोई बिंदु किसी समुच्चय के करीब होता है तो उस बिंदु की छवि उस  समुच्चय की छवि के करीब होती है। इसी प्रकार, $$f$$ एक निश्चित बिंदु पर निरंतर है $$x \in X$$  यदि और केवल यदि जब भी $$x$$ एक उपसमुच्चय के करीब है $$A \subseteq X,$$ फिर $$f(x)$$ इसके करीब है $$f(A).$$।

संवरण नक्शे
एक समारोह $$f : X \to Y$$ एक (दृढ़ता से) संवरण नक्शा है यदि और केवल यदि जब भी $$C$$ का संवरण उपसमुच्चय $$X$$ है फिर $$Y$$ $$f(C)$$ का संवरण उपसमुच्चय है। संवरण संचालक के संदर्भ में, $$f : X \to Y$$ एक (दृढ़ता से) संवरण नक्शा है यदि और केवल यदि $$\operatorname{cl}_Y f(A) \subseteq f\left(\operatorname{cl}_X A\right)$$ प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए $$A \subseteq X$$ है। समान रूप से, $$f : X \to Y$$ एक (दृढ़ता से) संवरण नक्शा है यदि और केवल यदि $$\operatorname{cl}_Y f(C) \subseteq f(C)$$ प्रत्येक संवरण उपसमुच्चय के लिए $$C \subseteq X$$ है।

स्पष्ट व्याख्या
सार्वभौमिक शर के संदर्भ में संवरण संचालक को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है।

एक समुच्चय का सत्ता स्थापित $$X$$ आंशिक क्रम श्रेणी (गणित) $$P$$ के रूप में महसूस किया जा सकता है जिसमें वस्तुएँ उपसमुच्चय हैं और आकारिकी समावेशन मानचित्र हैं जब भी $$A$$ का उपसमुच्चय है $$B$$ तब $$A \to B$$ इसके अलावा, एक सांस्थिति $$T$$ पर $$X$$ की एक उपश्रेणी है $$P$$ समावेशन कारक के साथ $$I : T \to P.$$ एक निश्चित उपसमुच्चय वाले संवरण उपसमुच्चय का समुच्चय $$A \subseteq X$$ अल्पविराम श्रेणी $$(A \downarrow I)$$ से पहचाना जा सकता है यह श्रेणी - आंशिक क्रम भी - फिर प्रारंभिक वस्तु $$\operatorname{cl} A$$ है। इस प्रकार से एक सार्वभौमिक शर है $$A$$ प्रति $$I,$$ समावेशन द्वारा दिया गया $$A \to \operatorname{cl} A.$$ इसी प्रकार, चूँकि प्रत्येक संवरण समुच्चय में $$X \setminus A$$ में निहित एक खुले समुच्चय के अनुरूप है $$A$$ हम $$(I \downarrow X \setminus A)$$ श्रेणी की व्याख्या कर सकते हैं उपसमुच्चय के निहित खुले समुच्चय $$A,$$ अवसानक वस्तु के रूप में  $$\operatorname{int}(A)$$ के साथ $$A$$ का आंतरिक । संवरण के सभी गुणों को इस परिभाषा और उपरोक्त श्रेणियों के कुछ गुणों से प्राप्त किया जा सकता है। इसके अलावा, यह परिभाषा सांस्थितिक संवरण और अन्य प्रकार के  संवरण (उदाहरण के लिए बीजगणितीय  संवरण) के बीच सादृश्य को सटीक बनाती है, क्योंकि सभी सार्वभौमिक शर के उदाहरण हैं।

यह भी देखें

 * संवरण नियमित समुच्चय, उनके इंटीरियर के संवरण होने के बराबर समुच्चय
 * संवरण नियमित समुच्चय, उनके इंटीरियर के संवरण होने के बराबर समुच्चय
 * संवरण नियमित समुच्चय, उनके इंटीरियर के संवरण होने के बराबर समुच्चय

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * सीमा अंक
 * चौराहा ( समुच्चय सिद्धांत)
 * अनुगामी बिंदु
 * द्वंद्व (गणित)
 * इंटीरियर ( सांस्थिति)
 * एक समुच्चय का सीमा बिंदु
 * प्रथम-गणनीय स्थान
 * अनुक्रम की सीमा
 * सांस्थिति में फिल्टर
 * वृत्त
 * जटिल संख्या
 * अंधाधुंध रिक्त स्थान
 * घना समुच्चय
 * सबस्पेस सांस्थिति
 * नक्शा (गणित)
 * सत्ता स्थापित
 * कुराटोव्स्की संवरण एक्सिओम्स
 * खुला समुच्चय
 * सांस्थितिक सबस्पेस
 * खुला ढक्कन
 * कई गुना (गणित)
 * सामान्य अंग्रेजी
 * आंशिक आदेश
 * समावेशन नक्शा
 * बीजगणितीय समापन