बहुरेखीय रूप

अमूर्त बीजगणित और बहुरेखीय बीजगणित में, एक सदिश स्थान पर एक बहुरेखीय रूप $$V$$ एक क्षेत्र पर (गणित) $$K$$ एक मानचित्र (गणित) है


 * $$f\colon V^k \to K$$

वह अलग है $$K$$इसके प्रत्येक में रैखिक $$k$$ तर्क। अधिक आम तौर पर, एक मॉड्यूल (गणित) पर एक क्रमविनिमेय अंगूठी  पर बहु-रेखीय रूपों को परिभाषित किया जा सकता है। हालाँकि, इस लेख के बाकी हिस्से में केवल आयाम (वेक्टर स्पेस)|परिमित-आयामी वेक्टर स्पेस पर बहुरेखीय रूपों पर विचार किया जाएगा।

एक बहुरेखीय $$k$$-फॉर्म ऑन $$V$$ ऊपर $$\R$$ एक (सहसंयोजक) कहा जाता है$$\boldsymbol{k}$$-टेंसर, और ऐसे रूपों के वेक्टर स्थान को आमतौर पर निरूपित किया जाता है $$\mathcal{T}^k(V)$$ या $$\mathcal{L}^k(V)$$.

टेंसर उत्पाद
ए दिया $$k$$-टेंसर $$f\in\mathcal{T}^k(V)$$ और एक $$\ell$$-टेंसर $$g\in\mathcal{T}^\ell(V)$$, एक उत्पाद $$f\otimes g\in\mathcal{T}^{k+\ell}(V)$$, टेंसर उत्पाद के रूप में जाना जाता है, जिसे संपत्ति द्वारा परिभाषित किया जा सकता है


 * $$(f\otimes g)(v_1,\ldots,v_k,v_{k+1},\ldots, v_{k+\ell})=f(v_1,\ldots,v_k)g(v_{k+1},\ldots, v_{k+\ell}),$$

सभी के लिए $$v_1,\ldots,v_{k+\ell}\in V$$. बहुरेखीय रूपों का टेन्सर उत्पाद क्रमविनिमेय नहीं है; हालाँकि यह द्विरेखीय और साहचर्य है:


 * $$f\otimes(ag_1+bg_2)=a(f\otimes g_1)+b(f\otimes g_2)$$, $$(af_1+bf_2)\otimes g=a(f_1\otimes g)+b(f_2\otimes g),$$

और


 * $$(f\otimes g)\otimes h=f\otimes (g\otimes h).$$

अगर $$(v_1,\ldots, v_n)$$ एक के लिए एक आधार बनाता है $$n$$-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष $$V$$ और $$(\phi^1,\ldots,\phi^n)$$ दोहरे स्थान के लिए संगत दोहरा आधार है $$V^*=\mathcal{T}^1(V)$$, फिर उत्पाद $$\phi^{i_1}\otimes\cdots\otimes\phi^{i_k}$$, साथ $$1\le i_1,\ldots,i_k\le n$$ के लिए एक आधार तैयार करें $$\mathcal{T}^k(V)$$. फलस्वरूप, $$\mathcal{T}^k(V)$$ आयाम है $$n^k$$.

बिलिनियर रूप
अगर $$k=2$$, $$f:V\times V\to K$$ द्विरेखीय रूप कहा जाता है। एक (सममित) द्विरेखीय रूप का एक परिचित और महत्वपूर्ण उदाहरण वैक्टर का डॉट उत्पाद (डॉट उत्पाद) है।

वैकल्पिक बहुरेखीय रूप
बहुरेखीय रूपों का एक महत्वपूर्ण वर्ग वैकल्पिक बहुरेखीय रूप हैं, जिनके पास अतिरिक्त संपत्ति है
 * $$f(x_{\sigma(1)},\ldots, x_{\sigma(k)}) = \sgn(\sigma)f(x_1,\ldots, x_k), $$

कहाँ $$\sigma:\mathbf{N}_k\to\mathbf{N}_k$$ एक क्रमपरिवर्तन है और $$\sgn(\sigma)$$ एक क्रमचय के अपने चिह्न को दर्शाता है (+1 यदि सम है, -1 यदि विषम है)। परिणामस्वरूप, वैकल्पिक बहुरेखीय मानचित्र बहुरेखीय रूप किसी भी दो तर्कों की अदला-बदली के संबंध में विषम हैं (अर्थात, $$\sigma(p)=q,\sigma(q)=p $$ और $$\sigma(i)=i, 1\le i\le k, i\neq p,q $$):


 * $$f(x_1,\ldots, x_p,\ldots, x_q,\ldots, x_k) = -f(x_1,\ldots, x_q,\ldots, x_p,\ldots, x_k). $$

अतिरिक्त परिकल्पना के साथ कि विशेषता (फ़ील्ड) $$K$$ 2 नहीं है, सेटिंग $$x_p=x_q=x $$ एक परिणाम के रूप में तात्पर्य है कि $$f(x_1,\ldots, x,\ldots, x,\ldots, x_k) = 0 $$; अर्थात, जब भी इसके दो तर्क बराबर होते हैं, तो प्रपत्र का मान 0 होता है। हालाँकि, ध्यान दें कि कुछ लेखक वैकल्पिक रूपों की परिभाषित संपत्ति के रूप में इस अंतिम स्थिति का उपयोग करें। इस परिभाषा का तात्पर्य खंड की शुरुआत में दी गई संपत्ति से है, लेकिन जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, विपरीत निहितार्थ तभी होता है जब $$\operatorname{char}(K)\neq 2 $$.

एक वैकल्पिक बहुरेखीय $$k$$-फॉर्म ऑन $$V$$ ऊपर $$\R$$ डिग्री का बहुवेक्टर कहलाता है $$\boldsymbol{k}$$या$$\boldsymbol{k}$$-वेक्टर, और ऐसे वैकल्पिक रूपों का वेक्टर स्थान, एक उप-स्थान $$\mathcal{T}^k(V)$$, आम तौर पर निरूपित किया जाता है $$\mathcal{A}^k(V)$$, या, की तुल्याकारी kth बाह्य शक्ति के लिए संकेतन का उपयोग करना $$V^*$$(दोहरी जगह $$V$$), $\bigwedge^k V^*$. ध्यान दें कि रैखिक कार्यात्मक (बहुरेखीय 1-रूप ओवर $$\R$$) तुच्छ रूप से वैकल्पिक हैं, ताकि $$\mathcal{A}^1(V)=\mathcal{T}^1(V)=V^*$$, जबकि, परिपाटी के अनुसार, 0-रूपों को अदिश राशि के रूप में परिभाषित किया जाता है: $$\mathcal{A}^0(V)=\mathcal{T}^0(V)=\R$$.

निर्धारक चालू $$n\times n$$ मेट्रिसेस, एक के रूप में देखा $$n$$ स्तंभ वैक्टर का तर्क कार्य, एक वैकल्पिक बहुरेखीय रूप का एक महत्वपूर्ण उदाहरण है।

बाहरी उत्पाद
वैकल्पिक बहुरेखीय रूपों का टेन्सर उत्पाद, सामान्य रूप से, अब वैकल्पिक नहीं है। हालाँकि, टेन्सर उत्पाद के सभी क्रमपरिवर्तनों का योग करके, प्रत्येक शब्द की समानता को ध्यान में रखते हुए, बाहरी उत्पाद ($$\wedge$$, जिसे वेज उत्पाद के रूप में भी जाना जाता है) को मल्टीकोक्टर्स के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, ताकि यदि $$f\in\mathcal{A}^k(V)$$ और $$g\in\mathcal{A}^\ell(V)$$, तब $$f\wedge g\in\mathcal{A}^{k+\ell}(V)$$:


 * $$(f\wedge g)(v_1,\ldots, v_{k+\ell})=\frac{1}{k!\ell!}\sum_{\sigma\in S_{k+\ell}} (\sgn(\sigma)) f(v_{\sigma(1)}, \ldots, v_{\sigma(k)})g(v_{\sigma(k+1)}

,\ldots,v_{\sigma(k+\ell)}),$$ जहां सभी क्रमपरिवर्तनों के सेट पर योग लिया जाता है $$k+\ell$$ तत्व, $$S_{k+\ell}$$. बाहरी उत्पाद बिलिनियर, साहचर्य और श्रेणीबद्ध-वैकल्पिक है: यदि $$f\in\mathcal{A}^k(V)$$ और $$g\in\mathcal{A}^\ell(V)$$ तब $$f\wedge g=(-1)^{k\ell}g\wedge f$$.

एक आधार दिया $$(v_1,\ldots, v_n)$$ के लिए $$V$$ और दोहरे आधार $$(\phi^1,\ldots,\phi^n)$$ के लिए $$V^*=\mathcal{A}^1(V)$$, बाहरी उत्पाद $$\phi^{i_1}\wedge\cdots\wedge\phi^{i_k}$$, साथ $$1\leq i_1<\cdots<i_k\leq n$$ के लिए एक आधार तैयार करें $$\mathcal{A}^k(V)$$. इसलिए, की आयामीता $$\mathcal{A}^k(V)$$ एन-आयामी के लिए $$V$$ है $\tbinom{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)!\,k!}$.

विभेदक रूप
विभेदक रूप गणितीय वस्तुएं हैं जो स्पर्शरेखा रिक्त स्थान और बहु-रेखीय रूपों के माध्यम से निर्मित होती हैं, जो कई तरह से व्यवहार करती हैं, जैसे शास्त्रीय अर्थों में एक फ़ंक्शन का अंतर। हालांकि संकल्पनात्मक और कम्प्यूटेशनल रूप से उपयोगी, अंतर कलन के इतिहास में प्रारंभिक रूप से विकसित अपरिमित मात्राओं की अ-परिभाषित धारणाओं पर आधारित हैं। विभेदक रूप लंबे समय से चले आ रहे इस विचार को आधुनिक बनाने के लिए गणितीय रूप से कठोर और सटीक रूपरेखा प्रदान करते हैं। विभेदक रूप विशेष रूप से बहुभिन्नरूपी कैलकुलस (विश्लेषण) और विभेदक ज्यामिति में उपयोगी होते हैं क्योंकि उनके पास परिवर्तन गुण होते हैं जो उन्हें घटता, सतहों और उनके उच्च-आयामी एनालॉग्स (भिन्नात्मक कई गुना) पर एकीकृत करने की अनुमति देते हैं। एक दूरगामी अनुप्रयोग स्टोक्स प्रमेय का आधुनिक कथन है, उच्च आयामों के लिए कलन के मौलिक प्रमेय का एक व्यापक सामान्यीकरण।

नीचे दिया गया सार मुख्य रूप से स्पिवक (1965) पर आधारित है। और तू (2011)।

विभेदक k- रूपों की परिभाषा और 1-रूपों का निर्माण
खुले उपसमुच्चय पर विभेदक रूपों को परिभाषित करने के लिए $$U\subset\R^n$$, हमें पहले की स्पर्शरेखा स्थान की धारणा की आवश्यकता है $$\R^n$$पर $$p$$, आमतौर पर निरूपित $$T_p\R^n$$ या $$\R^n_p$$. वेक्टर स्थान $$\R^n_p$$ तत्वों के सेट के रूप में सबसे आसानी से परिभाषित किया जा सकता है $$v_p$$ ($$v\in\R^n$$, साथ $$p\in\R^n$$ फिक्स्ड) वेक्टर जोड़ और स्केलर गुणा द्वारा परिभाषित किया गया है $$v_p+w_p:=(v+w)_p$$ और $$a\cdot(v_p):=(a\cdot v)_p$$, क्रमश। इसके अलावा, अगर $$(e_1,\ldots,e_n)$$ का मानक आधार है $$\R^n$$, तब $$((e_1)_p,\ldots,(e_n)_p)$$ के अनुरूप मानक आधार है $$\R^n_p$$. दूसरे शब्दों में, प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान $$\R^n_p$$ की नकल ही माना जा सकता है $$\R^n$$ (स्पर्शरेखा सदिशों का एक समूह) बिंदु पर आधारित है $$p$$. के स्पर्शरेखा रिक्त स्थान का संग्रह (विच्छेद संघ)। $$\R^n$$ बिलकुल $$p\in\R^n$$ के स्पर्शरेखा बंडल के रूप में जाना जाता है $$\R^n$$ और आमतौर पर निरूपित किया जाता है $T\R^n:=\bigcup_{p\in\R^n}\R^n_p$. जबकि यहाँ दी गई परिभाषा स्पर्शरेखा स्थान का एक सरल विवरण प्रदान करती है $$\R^n$$, अन्य, अधिक परिष्कृत निर्माण हैं जो सामान्य रूप से अलग-अलग मैनिफोल्ड के स्पर्शरेखा रिक्त स्थान को परिभाषित करने के लिए बेहतर अनुकूल हैं (विवरण के लिए स्पर्शरेखा स्थान पर लेख देखें)।

एक 'अंतर $$\boldsymbol{k}$$-फॉर्म ऑन $$U\subset\R^n$$ एक समारोह के रूप में परिभाषित किया गया है $$\omega$$ जो प्रत्येक को आवंटित करता है $$p\in U$$ a $$k$$-covector के स्पर्शरेखा स्थान पर $$\R^n$$पर $$p$$, आमतौर पर निरूपित $$\omega_p:=\omega(p)\in\mathcal{A}^k(\R^n_p)$$. संक्षेप में, एक अंतर $$k$$-रूप है $$k$$-वेक्टर क्षेत्र। का स्थान $$k$$-फॉर्म चालू है $$U$$ सामान्यतया निरूपित किया जाता है $$\Omega^k(U)$$; इस प्रकार यदि $$\omega$$ एक अंतर है $$k$$-फॉर्म, हम लिखते हैं $$\omega\in\Omega^k(U)$$. कन्वेंशन द्वारा, पर एक सतत कार्य $$U$$ एक अंतर 0-रूप है: $$f\in C^0(U)=\Omega^0(U)$$.

हम पहले 0-रूपों से विभेदक 1-रूपों का निर्माण करते हैं और उनके कुछ मूलभूत गुणों को निकालते हैं। नीचे दी गई चर्चा को सरल बनाने के लिए, हम केवल चिकनेपन से निर्मित चिकनाई अंतर रूपों पर विचार करेंगे ($$C^\infty$$) कार्य करता है। होने देना $$f:\R^n\to\R$$ एक सुचारू कार्य हो। हम 1-रूप को परिभाषित करते हैं $$df$$ पर $$U$$ के लिए $$p\in U$$ और $$v_p\in\R^n_p$$ द्वारा $$(df)_p(v_p):=Df|_p(v)$$, कहाँ $$Df|_p:\R^n\to\R$$ का कुल योग है $$f$$ पर $$p$$. (याद रखें कि कुल व्युत्पन्न एक रैखिक परिवर्तन है।) विशेष रुचि के प्रक्षेपण मानचित्र हैं (जिन्हें समन्वय कार्यों के रूप में भी जाना जाता है) $$\pi^i:\R^n\to\R$$, द्वारा परिभाषित $$x\mapsto x^i$$, कहाँ $$x^i$$ का i मानक निर्देशांक है $$x\in\R^n$$. 1-रूप $$d\pi^i$$ बुनियादी 1-रूपों के रूप में जाने जाते हैं; वे पारंपरिक रूप से निरूपित हैं $$dx^i$$. यदि मानक निर्देशांक $$v_p\in\R^n_p$$ हैं $$(v^1,\ldots, v^n)$$, फिर की परिभाषा का अनुप्रयोग $$df$$ पैदावार $$dx^i_p(v_p)=v^i$$, ताकि $$dx^i_p((e_j)_p)=\delta_j^i$$, कहाँ $$\delta^i_j$$ क्रोनकर डेल्टा है। इस प्रकार, के लिए मानक आधार के दोहरे के रूप में $$\R^n_p$$, $$(dx^1_p,\ldots,dx^n_p)$$ का आधार बनता है $$\mathcal{A}^1(\R^n_p)=(\R^n_p)^*$$. फलस्वरूप यदि $$\omega$$ 1-फॉर्म ऑन है $$U$$, तब $$\omega$$ रूप में लिखा जा सकता है $\sum a_i\,dx^i$ सुचारू कार्यों के लिए $$a_i:U\to\R$$. इसके अलावा, हम के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकते हैं $$df$$ कुल अंतर के लिए शास्त्रीय अभिव्यक्ति के साथ मेल खाता है:


 * $$df=\sum_{i=1}^n D_i f\; dx^i={\partial f\over\partial x^1} \, dx^1+\cdots+{\partial f\over\partial x^n} \, dx^n.$$

[नोटेशन पर टिप्पणियाँ: इस लेख में, हम टेंसर कैलकुलेशन और डिफरेंशियल ज्योमेट्री के कन्वेंशन का पालन करते हैं जिसमें मल्टीवैक्टर और मल्टीकोवेक्टर क्रमशः निचले और ऊपरी सूचकांकों के साथ लिखे जाते हैं। चूंकि विभेदक रूप बहुवेक्टर क्षेत्र हैं, इसलिए उन्हें अनुक्रमित करने के लिए ऊपरी सूचकांकों को नियोजित किया जाता है। विपरीत नियम मल्टीवैक्टर और मल्टीकोक्टर के घटकों पर लागू होता है, जो क्रमशः ऊपरी और निचले सूचकांकों के साथ लिखे जाते हैं। उदाहरण के लिए, हम वेक्टर के मानक निर्देशांक का प्रतिनिधित्व करते हैं $$v\in\R^n$$ जैसा $$(v^1,\ldots,v^n)$$, ताकि $v=\sum_{i=1}^n v^ie_i$  मानक आधार के संदर्भ में $$(e_1,\ldots,e_n)$$. इसके अलावा, एक अभिव्यक्ति के भाजक में दिखाई देने वाली सुपरस्क्रिप्ट (जैसा कि $\frac{\partial f}{\partial x^i}$ ) को इस परिपाटी में निम्न सूचकांकों के रूप में माना जाता है। जब सूचकांकों को इस तरीके से लागू और व्याख्या किया जाता है, तो ऊपरी सूचकांकों की संख्या घटाकर एक अभिव्यक्ति के प्रत्येक शब्द में निचले सूचकांकों की संख्या को संरक्षित किया जाता है, योग के भीतर और एक समान चिह्न के भीतर, एक सुविधा जो एक उपयोगी स्मरक उपकरण के रूप में कार्य करती है और मैन्युअल संगणना के दौरान की गई त्रुटियों को इंगित करने में मदद करता है।]

अंतर के-रूपों पर बुनियादी संचालन
बाहरी उत्पाद ($$\wedge$$) और बाहरी व्युत्पन्न ($$d$$) विभेदक रूपों पर दो मूलभूत संक्रियाएँ हैं। ए का बाहरी उत्पाद $$k$$-रूप और एक $$\ell$$-रूप है $$(k+\ell)$$-फॉर्म, जबकि ए के बाहरी व्युत्पन्न $$k$$-रूप है $$(k+1)$$-प्रपत्र। इस प्रकार, दोनों संक्रियाएँ निम्न कोटि के उच्चतर कोटि के विभेदक रूपों को उत्पन्न करती हैं।

बाहरी उत्पाद $$\wedge:\Omega^k(U)\times\Omega^\ell(U)\to\Omega^{k+\ell}(U)$$ विभेदक रूपों का सामान्य रूप से बहुसंवाहकों के बाहरी उत्पाद का एक विशेष मामला है (ऊपर देखें)। जैसा कि बाहरी उत्पाद के लिए सामान्य रूप से सच है, अंतर रूपों का बाहरी उत्पाद द्विरेखीय, साहचर्य है, और वैकल्पिक बीजगणित है। श्रेणीबद्ध-वैकल्पिक।

अधिक ठोस रूप से, यदि $$\omega=a_{i_1\ldots i_k} \, dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}$$ और $$\eta=a_{j_1\ldots i_{\ell}} dx^{j_1}\wedge\cdots\wedge dx^{j_{\ell}}$$, तब


 * $$\omega\wedge\eta=a_{i_1\ldots i_k}a_{j_1\ldots j_\ell} \, dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}\wedge dx^{j_1} \wedge \cdots\wedge dx^{j_\ell}.$$

इसके अलावा, सूचकांकों के किसी भी सेट के लिए $$\{\alpha_1\ldots,\alpha_m\}$$,


 * $$dx^{\alpha_1} \wedge\cdots\wedge dx^{\alpha_p} \wedge \cdots \wedge dx^{\alpha_q} \wedge\cdots\wedge dx^{\alpha_m} = -dx^{\alpha_1} \wedge\cdots\wedge dx^{\alpha_q} \wedge \cdots\wedge dx^{\alpha_p}\wedge\cdots\wedge dx^{\alpha_m}.$$

अगर $$I=\{i_1,\ldots,i_k\}$$, $$J=\{j_1,\ldots,j_{\ell}\}$$, और $$I\cap J=\varnothing$$, फिर के सूचकांक $$\omega\wedge\eta$$ ऐसे स्वैप के एक (सीमित) अनुक्रम द्वारा आरोही क्रम में व्यवस्थित किया जा सकता है। तब से $$dx^\alpha\wedge dx^\alpha=0$$, $$I\cap J\neq\varnothing$$ इसका आशय है $$\omega\wedge\eta=0$$. अंत में, द्विरेखीयता के परिणामस्वरूप, यदि $$\omega$$ और $$\eta$$ कई शब्दों का योग है, उनका बाहरी उत्पाद इनमें से प्रत्येक पद के संबंध में वितरण का पालन करता है।

बुनियादी 1-रूपों के बाहरी उत्पादों का संग्रह $$\{dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k} \mid 1\leq i_1<\cdots< i_k\leq n\}$$ अंतर के-रूपों के स्थान के लिए एक आधार का गठन करता है। इस प्रकार, कोई $$\omega\in\Omega^k(U)$$ रूप में लिखा जा सकता है


 * $$\omega=\sum_{i_1<\cdots<i_k} a_{i_1\ldots i_k} \, dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}, \qquad (*)$$

कहाँ $$a_{i_1\ldots i_k}:U\to\R$$ चिकने कार्य हैं। सूचकांकों के प्रत्येक सेट के साथ $$\{i_1,\ldots,i_k\}$$ आरोही क्रम में रखा, (*) की मानक प्रस्तुति कहा जाता है$$\omega$$.

पिछले अनुभाग में, 1-फ़ॉर्म $$df$$ 0-फॉर्म (निरंतर कार्य) के बाहरी व्युत्पन्न को ले कर परिभाषित किया गया था $$f$$. अब हम एक्सटीरियर डेरिवेटिव ऑपरेटर को परिभाषित करके इसका विस्तार करते हैं $$d:\Omega^k(U)\to\Omega^{k+1}(U)$$ के लिए $$k\geq1$$. यदि की मानक प्रस्तुति $$k$$-प्रपत्र $$\omega$$ (*) द्वारा दिया गया है $$(k+1)$$-प्रपत्र $$d\omega$$ द्वारा परिभाषित किया गया है


 * $$d\omega:=\sum_{i_1<\ldots <i_k} da_{i_1\ldots i_k}\wedge dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}.$$

की संपत्ति $$d$$ जो सभी चिकने रूपों के लिए है, वह किसी का दूसरा बाहरी व्युत्पन्न है $$\omega$$ समान रूप से गायब हो जाता है: $$d^2\omega=d(d\omega)\equiv 0$$. इसे सीधे की परिभाषा से स्थापित किया जा सकता है $$d$$ और दूसरे डेरिवेटिव की समरूपता | के मिश्रित दूसरे क्रम के आंशिक डेरिवेटिव की समानता $$C^2$$ कार्य (विवरण के लिए बंद और सटीक अंतर रूपों पर आलेख देखें)।

जंजीरों के लिए अंतर रूपों और स्टोक्स प्रमेय का एकीकरण
एक पैरामिट्रीकृत डोमेन पर डिफरेंशियल फॉर्म को एकीकृत करने के लिए, हमें सबसे पहले डिफरेंशियल फॉर्म के पुलबैक की धारणा को पेश करने की आवश्यकता है। मोटे तौर पर बोलते हुए, जब एक विभेदक प्रपत्र एकीकृत होता है, तो पुलबैक को लागू करने से यह एक तरह से बदल जाता है जो सही ढंग से समन्वय के परिवर्तन के लिए खाता है।

एक अवकलनीय फलन दिया है $$f:\R^n\to\R^m$$ और $$k$$-प्रपत्र $$\eta\in\Omega^k(\R^m)$$, हम बुलाते है $$f^*\eta\in\Omega^k(\R^n)$$ पुलबैक (डिफरेंशियल ज्योमेट्री) का $$\eta$$ द्वारा $$f$$ और इसे के रूप में परिभाषित करें $$k$$- ऐसा रूप


 * $$(f^*\eta)_p(v_{1p},\ldots, v_{kp}):=\eta_{f(p)}(f_*(v_{1p}),\ldots,f_*(v_{kp})),$$

के लिए $$v_{1p},\ldots,v_{kp}\in\R^n_p$$, कहाँ $$f_*:\R^n_p\to\R^m_{f(p)}$$ नक्शा है $$v_p\mapsto(Df|_p(v))_{f(p)}$$.

अगर $$\omega=f\, dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n$$ एक $$n$$-फॉर्म ऑन $$\R^n$$ (अर्थात।, $$\omega\in\Omega^n(\R^n)$$), हम इकाई पर इसके अभिन्न को परिभाषित करते हैं $$n$$-सेल पुनरावृत्त रीमैन के अभिन्न अंग के रूप में $$f$$:


 * $$\int_{[0,1]^n} \omega = \int_{[0,1]^n} f\,dx^1\wedge\cdots \wedge dx^n:= \int_0^1\cdots\int_0^1 f\, dx^1\cdots dx^n.$$

अगला, हम एक अलग-अलग फ़ंक्शन द्वारा मानकीकृत एकीकरण के एक डोमेन पर विचार करते हैं $$c:[0,1]^n\to A\subset\R^m$$, जिसे n-घन के रूप में जाना जाता है। के अभिन्न को परिभाषित करने के लिए $$\omega\in\Omega^n(A)$$ ऊपर $$c$$, हम से वापस खींचते हैं $$A$$ यूनिट एन-सेल के लिए:


 * $$\int_c \omega :=\int_{[0,1]^n}c^*\omega.$$

अधिक सामान्य डोमेन पर एकीकृत करने के लिए, हम परिभाषित करते हैं$$\boldsymbol{n}$$-ज़ंजीर $C=\sum_i n_ic_i$ के औपचारिक योग के रूप में $$n$$-क्यूब्स और सेट


 * $$\int_C \omega :=\sum_i n_i\int_{c_i} \omega.$$

की उपयुक्त परिभाषा $$(n-1)$$-चेन (बीजगणितीय टोपोलॉजी) $$\partial C$$की सीमा के रूप में जाना जाता है $$C$$, हमें स्टोक्स के प्रमेय (स्टोक्स-कार्टन प्रमेय) को एक सबसेट में जंजीरों के लिए बताने की अनुमति देता है $$\R^m$$: "अगर $\omega$ एक चिकना है $(n-1)$-एक खुले सेट पर फॉर्म $A\subset\R^m$और $C$एक चिकना है $n$-श्रृंखला में $A$, तब$\int_C d\omega=\int_{\partial C} \omega$"अधिक परिष्कृत मशीनरी (जैसे, जर्म (गणित) और व्युत्पत्ति (अंतर बीजगणित)) का उपयोग करके, स्पर्शरेखा स्थान $$T_p M$$ किसी भी चिकनी कई गुना $$M$$ (जरूरी नहीं कि इसमें एम्बेड किया गया हो $$\R^m$$) परिभाषित किया जा सकता। अनुरूप रूप से, एक विभेदक रूप $$\omega\in\Omega^k(M)$$ सामान्य स्मूथ मैनिफोल्ड पर एक नक्शा है $$\omega:p\in M\mapsto\omega_p\in \mathcal{A}^k(T_pM)$$. स्टोक्स की प्रमेय को सीमा के साथ मनमाना कई गुना और यहां तक ​​कि कुछ कच्चे डोमेन के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है (विवरण के लिए स्टोक्स के प्रमेय पर लेख देखें)।

यह भी देखें

 * बिलिनियर नक्शा
 * बाहरी बीजगणित
 * सजातीय बहुपद
 * रेखीय रूप
 * बहुरेखीय नक्शा