बानाच समष्टि

गणित में, विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण में, बानाख समष्टि (उच्चारण ) एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि मानक सदिश समष्टि है। इस प्रकार, बानाख समष्टि मीट्रिक (गणित) मीट्रिक के साथ एक सदिश समष्टि है जो सदिश लंबाई और सदिशों के बीच की दूरी की गणना की स्वीकृति देता है और इस अर्थ में पूर्ण है कि सदिशों का कॉची अनुक्रम सदैव एक अच्छी तरह से परिभाषित सीमा में अभिसरण करता है जो समष्टि के अंदर है।

बानाख समष्टि का नाम पोलिश गणितज्ञ स्टीफन बानाच के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इस अवधारणा को प्रस्तुत किया और 1920-1922 में हंस हैन (गणितज्ञ) और एडुआर्ड हेली के साथ व्यवस्थित रूप से इसका अध्ययन किया। मौरिस रेने फ्रेचेट शब्द बानाख समष्टि का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे और बदले में बानाख ने फ्रेचेट समष्टि शब्द नियत किया। बानाख समष्टि मूल रूप से डेविड हिल्बर्ट, मौरिस रेने फ्रेचेट, और फ्रिगियस रिज्ज़ द्वारा शताब्दी में पहले फलन समष्टि के अध्ययन से बाहर हो गए थे। कार्यात्मक विश्लेषण में बानाख समष्टि एक केंद्रीय भूमिका निभाते हैं। विश्लेषण के अन्य क्षेत्रों (गणित) में, अध्ययन के अंतर्गत रिक्त समष्टि प्रायः बानाख समष्टि होते हैं।

परिभाषा
एक बानाख समष्टि एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि मानक समष्टि है और $$(X, \| \cdot \|)$$ मानक समष्टि युग्म है जिसमे $$(X, \| \cdot \|)$$ सदिश क्षेत्र  $$X$$ पर $$\mathbb{K}$$ (जहाँ $$\mathbb{K}$$ सामान्यतः है $$\R$$ या $$\Complex$$) विशिष्ट वेक्टर समष्टि सम्मिलित है। सामान्य (गणित) $$\| \cdot \| : X \to \R$$ मानदंडों की तरह, यह मानक अनुवाद अपरिवर्तनीय और दूरी फलन मीट्रिक (गणित) को प्रेरित करता है, जिसे प्रामाणिक या मानक प्रेरित मीट्रिक कहा जाता है। जिसे इसके द्वारा परिभाषित किया गया है। $$d(x, y) := \|y - x\| = \|x - y\|$$ सभी वैक्टर के लिए $$x, y \in X.$$ यह है $$X$$ एक मीट्रिक समष्टि में $$(X, d).$$ अनुक्रम $$x_{\bull} = \left(x_n\right)_{n=1}^{\infty}$$ बनाता है। को  $(X, d)$ या  में यदि प्रत्येक वास्तविक $$r > 0,$$ वहाँ कुछ सूचकांक $$N$$ सम्मिलित है जैसे कि $$d\left(x_n, x_m\right) = \left\|x_n - x_m\right\| < r$$ जब भी $$m$$ और $$n$$ से $$N$$ अधिक हैं तो प्रामाणिक मीट्रिक $$d$$ को पूर्ण मेट्रिक कहा जाता है यदि युग्म $$(X, d)$$ पूर्ण मेट्रिक समष्टि है, जो परिभाषा के अनुसार प्रत्येक $d$-कॉची अनुक्रम $$x_{\bull} = \left(x_n\right)_{n=1}^{\infty}$$ में $$(X, d)$$ के लिए $$x \in X$$ सम्मिलित है जैसे कि $$\lim_{n \to \infty} \left\|x_n - x\right\| = 0$$ जहाँ क्योंकि $$\left\|x_n - x\right\| = d\left(x_n, x\right),$$ इस क्रम का अभिसरण $$x$$ समान रूप से व्यक्त किया जा सकता है: $$\lim_{n \to \infty} x_n = x \; \text{ in } (X, d).$$ परिभाषा के अनुसार, मानक समष्टि $$(X, \| \cdot \|)$$ बनच समष्टि है, यदि मानक प्रेरित मीट्रिक $$d$$ एक पूर्ण मीट्रिक है, या अलग तरीके से कहा जाता है, यदि $$(X, d)$$ एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि है। नियम $$\| \cdot \|$$ मानक समष्टि का $$(X, \| \cdot \|)$$ को एक पूर्ण मानक कहा जाता है यदि $$(X, \| \cdot \|)$$ बानाख समष्टि है।

L-अर्ध-आंतरिक गुणनफल
किसी भी सामान्य समष्टि के लिए $$(X, \| \cdot \|),$$ एक L-अर्ध-आंतरिक गुणनफल $$\langle \cdot, \cdot \rangle$$ पर $$X$$ सम्मिलित है जैसे कि $\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$ सभी $$x \in X$$; के लिए सामान्य रूप से, असीम रूप से कई L-अर्ध-आंतरिक गुणनफल हो सकते हैं जो इस शर्त को पूरा करते हैं। L-अर्ध-आंतरिक गुणनफल का एक सामान्यीकरण है, जो मूल रूप से हिल्बर्ट रिक्त समष्टि को अन्य सभी बानाच समष्टि से अलग करते हैं। इससे पता चलता है कि सभी मानक समष्टि (और इसलिए सभी बानाख समष्टि) को (पूर्व-) हिल्बर्ट रिक्त समष्टि के सामान्यीकरण के रूप में माना जा सकता है।

श्रृंखला के संदर्भ में विशेषता
सदिश समष्टि संरचना हमें कॉशी अनुक्रमों के व्यवहार को अभिसरण श्रृंखला (गणित) सामान्यीकरण के व्यवहार से संबंधित करने की स्वीकृति देती है। एक मानक समष्टि $$X$$ एक बानाख समष्टि है यदि और केवल यदि $$X$$ प्रत्येक निरपेक्ष अभिसरण श्रृंखला $$X$$ में अभिसरित हो जाता है $$\sum_{n=1}^{\infty} \|v_n\| < \infty \quad \text{ implies that } \quad \sum_{n=1}^{\infty} v_n\ \ \text{ converges in } \ \ X.$$

सांस्थिति
प्रामाणिक मीट्रिक $$d$$ एक मानक समष्टि का $$(X, \|\cdot\|)$$ सामान्य मीट्रिक सांस्थिति $$\tau_d$$ पर $$X$$ को प्रेरित करता है, जिसे प्रामाणिक या मानक प्रेरित सांस्थिति कहा जाता है। जब तक अन्यथा इंगित नहीं किया जाता है, तब तक प्रत्येक मानक समष्टि स्वचालित रूप से इस हॉसडॉर्फ समष्टि सांस्थिति को ले जाने के लिए मान लिया जाता है। इस सांस्थिति के साथ, प्रत्येक बानाख समष्टि एक बायर समष्टि है, हालांकि ऐसे मानक समष्टि सम्मिलित हैं जो बेयर हैं लेकिन बानाख नहीं हैं। नियम $$\|\,\cdot\,\| : \left(X, \tau_d\right) \to \R$$ सांस्थिति के संबंध में सदैव एक सतत फलन होता है जो इसे प्रेरित करता है।

त्रिज्या की विवृत और संवृत गोले $$r > 0$$ बिंदु पर केंद्रित $$x \in X$$ क्रमशः समुच्चय हैं $$B_r(x) := \{z \in X : \|z - x\| < r\} \qquad \text{ and } \qquad C_r(x) := \{z \in X : \|z - x\| \leq r\}.$$ ऐसी कोई भी गोले $$X$$ का एक उत्तल और परिबद्ध उपसमुच्चय है (सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि) है लेकिन एक सुसंहत समष्टि गोले/प्रतिवेश (सांस्थिति) सम्मिलित है यदि और केवल तभी $$X$$ एक परिमित-आयामी वेक्टर समष्टि है। विशेष रूप से, कोई अनंत-आयामी मानक समष्टि स्थानीय रूप से सुसंहत समष्टि नहीं हो सकता है या हेइन-बोरेल गुण हो सकती है। यदि $$x_0$$ वेक्टर है और $$s \neq 0$$ तब एक अदिश है

तब $$x_0 + s B_r(x) = B_{|s| r}\left(x_0 + s x\right) \qquad \text{ and } \qquad x_0 + s C_r(x) = C_{|s| r}\left(x_0 + s x\right).$$ $$s := 1$$ का उपयोग करते हुए दिखाता है कि यह मानक-प्रेरित सांस्थिति अनुवाद अपरिवर्तनीय सांस्थिति है, जिसका अर्थ है कि किसी $$x \in X$$ और $$S \subseteq X$$ के लिए उप-समुच्चय $$S$$ विवृत समुच्चय (क्रमशः, संवृत समुच्चय)  $$X$$ में है यदि और केवल यदि यह इसके अनुवाद $$x + S := \{x + s : s \in S\}$$ के लिए सही है। परिणामस्वरूप, मानक प्रेरित सांस्थिति मूल रूप से किसी भी प्रतिवेश व्यवस्था द्वारा मूल रूप से निर्धारित की जाती है। मूल में कुछ सामान्य प्रतिवेश के आधारों में सम्मिलित हैं: $$\left\{B_r(0) : r > 0\right\}, \qquad \left\{C_r(0) : r > 0\right\}, \qquad \left\{B_{r_n}(0) : n \in \N\right\}, \qquad \text{ or } \qquad \left\{C_{r_n}(0) : n \in \N\right\}$$ जहाँ $$\left(r_n\right)_{n=1}^{\infty}$$ धनात्मक वास्तविक संख्याओं का एक क्रम है जो $$0$$ में $$\R$$ (जैसे कि $$r_n := 1/n$$ या $$r_n := 1/2^n$$ के लिए) अभिसरण करता है। तो उदाहरण के लिए, प्रत्येक विवृत उपसमुच्चय $$U$$ का $$X$$ समूह के रूप में लिखा जा सकता है $$U = \bigcup_{x \in I} B_{r_x}(x) = \bigcup_{x \in I} x + B_{r_x}(0) = \bigcup_{x \in I} x + r_x B_1(0)$$ कुछ उपसमुच्चय द्वारा अनुक्रमित $$I \subseteq U,$$ जहां प्रत्येक $$r_x$$ किसी पूर्णांक $$r_x = \tfrac{1}{n_x}$$ कुछ पूर्णांक के लिए $$n_x > 0$$ स्वरूप का है (संवृत गोले का उपयोग विवृत गोले के अतिरिक्त भी किया जा सकता है, हालांकि अनुक्रमणिका समुच्चय $$I$$ और त्रिज्या $$r_x$$ बदलने की आवश्यकता हो सकती है)। इसके अतिरिक्त, $$I$$ गणनीय समुच्चय होने के लिए सदैव चयन किया जा सकता है यदि $$X$$ है, जिसका परिभाषा के अनुसार तात्पर्य है कि $$X$$ कुछ गणनीय सघन समुच्चय सम्मिलित हैं। एंडरसन-केडेक प्रमेय कहता है कि प्रत्येक अनंत-आयामी वियोज्य फ्रेचेट समष्टि गुणनफल समष्टि के लिए $\prod_{i \in \N} \R$  की अनगिनत प्रतियाँ $$\R$$ (इस होमियोमॉर्फिज़्म को एक रेखीय मानचित्र नहीं होना चाहिए) होमोमोर्फिज्म है। चूँकि प्रत्येक बानाख समष्टि एक फ्रेचेट समष्टि है, यह सभी अनंत-आयामी वियोज्य बानाख समष्टि के लिए भी सही है, जिसमें वियोज्य हिल्बर्ट समष्टि L2-समष्टि $$\ell$$2 अनुक्रम समष्टि $$\ell^2(\N)$$ भी सम्मिलित है। इसका सामान्य मानक $$\|\cdot\|_2,$$ जहां (परिमित-आयामी रिक्त समष्टि के विपरीत) $$\ell^2(\N)$$ इसकी इकाई क्षेत्र $$\left\{x \in \ell^2(\N) : \|x\|_2 = 1\right\}$$होमोमोर्फिज्म भी है।

सघन और उत्तल उपसमुच्चय
$$S$$ का $$\ell^2(\N)$$ सुसंहत उपसमुच्चय है जिसका उत्तल हल $$\operatorname{co}(S)$$ संवृत है और इस प्रकार भी सुसंहत  है (उदाहरण के लिए यह फुटनोट देखें।Let $$H$$ be the separable Hilbert space $\ell^2(\N)$ of square-summable sequences with the usual norm $$\|\cdot\|_2$$ and let $$e_n = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots)$$ be the standard orthonormal basis (that is $$1$$ at the $$n^{\text{th}}$$-coordinate). The closed set $$S = \{0\} \cup \left\{\tfrac{1}{n} e_n : n = 1, 2, \ldots\right\}$$ is compact (because it is sequentially compact) but its convex hull $$\operatorname{co} S$$ is  a closed set because $$h := \sum_{n=1}^{\infty} \tfrac{1}{2^n} \tfrac{1}{n} e_n$$ belongs to the closure of $$\operatorname{co} S$$ in $$H$$ but $$h \not\in\operatorname{co} S$$ (since every sequence $$\left(z_n\right)_{n=1}^\infty \in \operatorname{co} S$$ is a finite convex combination of elements of $$S$$ and so $$z_n = 0$$ for all but finitely many coordinates, which is not true of $$h$$). However, like in all complete Hausdorff locally convex spaces, the convex hull $$K := \overline{\operatorname{co}} S$$ of this compact subset is compact. The vector subspace $$X := \operatorname{span} S = \operatorname{span} \left\{e_1, e_2, \ldots\right\}$$ is a pre-Hilbert space when endowed with the substructure that the Hilbert space $$H$$ induces on it but $$X$$ is not complete and $$h \not\in C := K \cap X$$ (since $$h \not\in X$$). The closed convex hull of $$S$$ in $$X$$ (here, "closed" means with respect to $$X,$$ and not to $$H$$ as before) is equal to $$K \cap X,$$ which is not compact (because it is not a complete subset). This shows that in a Hausdorff locally convex space that is not complete, the closed convex hull of compact subset might to be compact (although it will be precompact/totally bounded). हालाँकि, सभी बानाख समष्टि की तरह, संवृत उत्तल हल  $$\overline{\operatorname{co}} S$$ उप-समुच्चय सुसंहत होगा। लेकिन यदि एक मानक समष्टि पूर्ण नहीं है तो यह सामान्य रूप से  प्रत्याभूति है कि $$\overline{\operatorname{co}} S$$ सुसंहत होगा जब भी $$S$$ होगा; उदाहरण के लिए (गैर-पूर्ण) पूर्व-हिल्बर्ट वेक्टर $$\ell^2(\N)$$ उपसमष्टि में भी पाया जा सकता है

सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि
यह मानक-प्रेरित सांस्थिति $$\left(X, \tau_d\right)$$ को सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि (टीवीएस) के रूप में जाना जाता है, जो परिभाषा के अनुसार एक सांस्थिति के साथ संपन्न एक वेक्टर समष्टि है जो अतिरिक्त और अदिश गुणन के संक्रिया को निरंतर बनाता है। इस बात पर जोर दिया जाता है कि टीवीएस $$\left(X, \tau_d\right)$$ है केवल एक निश्चित प्रकार की सांस्थिति के साथ एक सदिश समष्टि है; अर्थात जब टीवीएस के रूप में माना जाता है, तो यह है के साथ जुड़े कोई भी विशेष मानक या मीट्रिक (जिनमें से दोनों विस्मृत हैं)। यह हॉसडॉर्फ टीवीएस $$\left(X, \tau_d\right)$$ स्थानीय रूप से उत्तल सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि भी है क्योंकि मूल पर केंद्रित सभी विवृत गेंदों का समुच्चय मूल रूप से उत्तल संतुलित समुच्चय विवृत समुच्चय से मिलकर प्रतिवेश का आधार बनाता है। यह टीवीएस भी मानकीय है, जो परिभाषा के अनुसार किसी भी टीवीएस को संदर्भित करता है जिसका सांस्थिति कुछ (संभवतः अज्ञात) मानक (गणित) से प्रेरित है। मानकीय टीवीएस को हॉसडॉर्फ होने और मूल के एक घिरे हुए उत्तल प्रतिवेश के रूप में चित्रित किया गया है।

पूर्ण मेट्रिजेबल (दूरीकनीय) वेक्टर सांस्थिति की तुलना
विवृत प्रतिचित्रण प्रमेय (कार्यात्मक विश्लेषण) का तात्पर्य है कि यदि $$\tau \text{ and } \tau_2$$ सांस्थिति $$X$$ है जो $$(X, \tau)$$ और $$\left(X, \tau_2\right)$$ दोनों बनाते हैं। पूर्ण मेट्रिजेबल TVS में (उदाहरण के लिए, बानाच या फ्रेचेट समष्टि) और यदि एक सांस्थिति दूसरे की तुलना में सांस्थिति की तुलना है तो उन्हें (अर्थात, यदि $$\tau \subseteq \tau_2 \text{ or } \tau_2 \subseteq \tau \text{ then } \tau = \tau_2$$) समान होना चाहिए। तो उदाहरण के लिए, यदि $$(X, p) \text{ and } (X, q)$$ सांस्थिति के साथ $$\tau_p \text{ and } \tau_q$$ बानाख समष्टि हैं यदि इन समष्टि में से एक में कुछ विवृत गोले है जो कि अन्य समष्टि का भी विवृत उपसमुच्चय है (या समकक्ष, यदि इनमें से एक $$p : \left(X, \tau_q\right) \to \R$$ या $$q : \left(X, \tau_p\right) \to \R$$ नियतांक है) तो उनकी सांस्थिति समान हैं और उनके समतुल्य मानक हैं।

पूर्ण मानक और समकक्ष मानक
दो मानक, $$p$$ और $$q,$$ सदिश समष्टि पर मानक (गणित) समतुल्य मानक कहा जाता है यदि वे एक ही सांस्थिति प्रेरित करते हैं; ऐसा तब होता है जब और केवल तभी होता है जब धनात्मक वास्तविक संख्याएं $$c, C > 0$$ जैसे कि $c q(x) \leq p(x) \leq C q(x)$ सभी के लिए $$ x \in X$$ सम्मिलित हों यदि $$p$$ और $$q$$ वेक्टर $$X$$ समष्टि पर दो समान मानक हैं तब $$(X, p)$$ एक बानाख समष्टि है यदि और केवल यदि $$(X, q)$$ एक बानाख समष्टि है। इस फ़ुटनोट को बानाच समष्टि पर एक सतत मानक के उदाहरण के लिए देखें जो उस बानाख समष्टि के दिए गए NOT मानक के बराबर है। परिमित-आयामी सदिश समष्टि पर सभी मानक समतुल्य हैं और प्रत्येक परिमित-आयामी मानक समष्टि एक बानाख समष्टि है।

पूर्ण मानक बनाम पूर्ण मेट्रिक्स
वेक्टर समष्टि पर $$X$$ पर एक मीट्रिक $$D$$, $$X$$ मानक से प्रेरित है यदि और केवल यदि $$D$$ अनुवाद अपरिवर्तनीय है और बिल्कुल सजातीय है जिसका अर्थ है कि $$D(sx, sy) = |s| D(x, y)$$ सभी सदिश $$s$$ और सभी $$x, y \in X,$$ के लिए जिस स्थिति में फलन $$\|x\| := D(x, 0)$$ पर मानक परिभाषित करता है $$X$$ और प्रामाणिक मीट्रिक द्वारा प्रेरित $$\|\cdot\|$$ के $$D$$ बराबर है।

मान लीजिए कि $$(X, \|\cdot\|)$$ मानक समष्टि है और $$\tau$$ मानक सांस्थिति पर प्रेरित है मान लीजिए कि $$D,$$ $$X$$ मीट्रिक (गणित) पर $$X$$ है जैसे कि सांस्थिति कि $$D$$ को $$X$$पर प्रवृत्त करता है जो  $$\tau$$ के बराबर है यदि $$D$$ अनुवाद अपरिवर्तनीय है तब $$(X, \|\cdot\|)$$ एक बानाख समष्टि है यदि और केवल यदि $$(X, D)$$ एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि है। यदि $$D$$,  अनुवाद अपरिवर्तनीय है, तो इसके लिए संभव हो सकता है कि $$(X, \|\cdot\|)$$ एक बानाख समष्टि होने के लिए लेकिन के लिए $$(X, D)$$ को  एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि हो (उदाहरण के लिए यह फुटनोट देखें )। इसके विपरीत, क्ले का एक प्रमेय,  जो सभी दूरीकनीय सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि पर भी प्रयुक्त होता है, इसका तात्पर्य है कि यदि पूर्ण मीट्रिक $$D$$ पर $$X$$ सम्मिलित है जो मानक सांस्थिति $$\tau$$ पर $$X$$ को प्रेरित करता है तब $$(X, \|\cdot\|)$$ बानाख समष्टि है।

एक फ्रेचेट समष्टि स्थानीय रूप से उत्तल सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि है जिसका सांस्थिति कुछ अनुवाद अपरिवर्तनीय पूर्ण मीट्रिक द्वारा प्रेरित होता है। प्रत्येक बानाख समष्टि एक फ्रेचेट समष्टि है लेकिन इसके विपरीत नहीं; वास्तव में, वहाँ भी फ्रेचेट समष्टि सम्मिलित हैं, जिस पर कोई मानक एक सतत फलन नहीं है (जैसे कि वास्तविक अनुक्रमों का समष्टि $\R^{\N} = \prod_{i \in \N} \R$ गुणनफल सांस्थिति के साथ)। हालांकि, प्रत्येक फ्रेचेट समष्टि की सांस्थिति वास्तविक-मूल्यवान (आवश्यक रूप से निरंतर) प्रतिचित्रों के कुछ गणनीय समुच्चय वर्ग से प्रेरित होती है, जिन्हें अर्ध-मानक कहा जाता है, जो मानक (गणित) के सामान्यीकरण हैं। एक फ्रेचेट समष्टि के लिए एक सांस्थिति होना भी संभव है जो मानक गणनीय वर्ग द्वारा प्रेरित है (ऐसे मानक आवश्यक रूप से नियत होंगे)  लेकिन एक बानाख / सामान्य समष्टि NOT होने के कारण इसकी सांस्थिति को किसी एकल मानक के द्वारा परिभाषित नहीं किया जा सकता है। ऐसी समष्टि का एक उदाहरण फ्रेचेट समष्टि $$C^{\infty}(K)$$ है जिसकी परिभाषा लेख में परीक्षण फलनों और वितरण के रिक्त समष्टि पर पाई जा सकती है।

पूर्ण मानक बनाम पूर्ण सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि
मीट्रिक पूर्णता के अतिरिक्त पूर्णता की अन्य धारणा है और वह एक पूर्ण सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि (टीवीएस) या टीवीएस-पूर्णता की धारणा है, जो समान समष्टि के सिद्धांत का उपयोग करती है। विशेष रूप से, टीवीएस-पूर्णता की धारणा एक अद्वितीय अनुवाद-अपरिवर्तनीय एकरूपता (सांस्थिति) का उपयोग करती है, जिसे पूर्ण सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि प्रामाणिक एकरूपता कहा जाता है, जो निर्भर करता है जो केवल वेक्टर घटाव और सांस्थिति पर $$\tau$$ सदिश समष्टि के साथ संपन्न है, और इसलिए विशेष रूप से, टीवीएस पूर्णता की यह धारणा सांस्थिति को प्रेरित करने वाले किसी भी मानक $$\tau$$ से स्वतंत्र है (और यहां तक ​​कि टीवीएस पर भी प्रयुक्त होता है जो ​​कि दूरीकनीय पर नहीं है)। प्रत्येक बानाख समष्टि एक संपूर्ण टीवीएस है। इसके अतिरिक्त, एक मानक समष्टि एक बानाख समष्टि है (अर्थात, इसका मानक-प्रेरित मीट्रिक पूर्ण है) यदि और केवल यदि यह एक सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि के रूप में पूर्ण है। यदि $$(X, \tau)$$ एक दूरीकनीय सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि है (जैसे कि कोई मानक प्रेरित सांस्थिति, उदाहरण के लिए), फिर $$(X, \tau)$$ एक पूर्ण TVS है यदि और केवल यदि यह क्रमिक रूप से पूर्ण टीवीएस, जिसका अर्थ है कि यह यह जाँचने के लिए पर्याप्त है कि $$(X, \tau)$$ में प्रत्येक कॉची अनुक्रम $$(X, \tau)$$ में $$X$$ के किसी बिंदु पर अभिसरण करता है (अर्थात्, एकपक्षीय कॉची मान (गणित) की अधिक सामान्य धारणा पर विचार करने की कोई आवश्यकता नहीं है)।

यदि $$(X, \tau)$$ एक सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि है जिसकी कुछ (संभवत: अज्ञात) मानक सांस्थिति प्रेरित होती है (ऐसे मानकनीय समष्टि कहलाते हैं), तब $$(X, \tau)$$ एक पूर्ण सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि है यदि और केवल यदि $$X$$ एक मानक सौंपा जा सकता है (गणित) $$\|\cdot\|$$ जो $$X$$ पर सांस्थिति $$\tau$$ प्रेरित करता है और एक बानाख समष्टि में $$(X, \|\cdot\|)$$ बनाता भी है। हॉउसडॉर्फ समष्टि स्थानीय रूप से उत्तल सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि $$X$$ सामान्य समष्टि है यदि और केवल यदि इसकी प्रबल द्विक समष्टि $$X^{\prime}_b$$ सामान्य है, जिस स्थिति में $$X^{\prime}_b$$ एक बानाख समष्टि है ($$X^{\prime}_b$$ के $$X$$ प्रबल द्विक समष्टि को दर्शाता है जिसका सांस्थिति निरंतर द्विक समष्टि पर द्विक मानक-प्रेरित सांस्थिति $$X^{\prime}$$ का सामान्यीकरण है; अधिक जानकारी के लिए यह फुटनोट देखें )। यदि $$X$$ स्थानीय रूप से उत्तल TVS, तब एक दूरीकनीय सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि $$X$$ सामान्य है यदि और केवल यदि $$X^{\prime}_b$$ एक फ्रेचेट-उरीसोहन समष्टि है। इससे पता चलता है कि स्थानीय रूप से उत्तल सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि की श्रेणी में, बानाख समष्टि वास्तव में वे पूर्ण समष्टि हैं जो मेट्रिज़ेबल सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि दोनों हैं और मेट्रिज़ेबल प्रबल द्विक रिक्त समष्टि हैं।

समापन
प्रत्येक मानक समष्टि को कुछ बनच समष्टि के सघन सदिश उप-समष्टि पर सममितीय रूप से अंत:स्थापित किया जा सकता है, जहाँ इस बनच समष्टि को मानक समष्टि का पूरा होना कहा जाता है। यह हॉसडॉर्फ समापन सममितीय समाकृतिकता तक अद्वितीय है।

अधिक परिशुद्ध रूप से, प्रत्येक मानक समष्टि $$X$$ के लिए जहाँ $$Y$$ और एक मानचित्रण $$T : X \to Y$$ एक बानाख समष्टि सम्मिलित है जैसे कि $$T$$ एक सममितीय है और $$T(X)$$ में सघन $$Y$$ है यदि $$Z$$ और बानाख समष्टि है जैसे कि एक $$X$$ सममितीय समाकृतिकता के सघन उपसमुच्चय पर $$Z$$ है, तब $$Z$$ सममितीय रूप से समाकृतिक $$Y$$ है, यह बानाख समष्टि $$Y$$ हौसडॉर्फ पूर्ण मेट्रिक मानक समष्टि का $$X$$ के लिए अंतर्निहित मीट्रिक समष्टि $$Y$$ की मीट्रिक पूर्णता $$X$$ से विस्तारित वेक्टर समष्टि संक्रिया के साथ $$X$$ और $$Y$$ के समान है मान लीजिए $$X$$ कभी-कभी $$\widehat{X}$$ द्वारा दर्शाया जाता है।

रैखिक संकारक, समरूपता
यदि $$X$$ और $$Y$$ एक ही जमीनी क्षेत्र में मानक समष्टि हैं $$\mathbb{K},$$ सभी सतत फलन (सांस्थिति) रैखिक परिवर्तन का समुच्चय$$\mathbb{K}$$-रैखिक नक्शे $$T : X \to Y$$ द्वारा निरूपित किया जाता है $$B(X, Y).$$ अनंत-आयामी समष्टि में, सभी रेखीय मानचित्र निरंतर नहीं होते हैं। एक मानक समष्टि से एक रेखीय मानचित्रण $$X$$ किसी अन्य मानक समष्टि के लिए निरंतर है यदि और केवल यदि यह संवृत इकाई क्षेत्र पर परिबद्ध ऑपरेटर है $$X.$$ इस प्रकार, वेक्टर समष्टि $$B(X, Y)$$ ऑपरेटर मानक दिया जा सकता है $$\|T\| = \sup \left\{\|Tx\|_Y \mid x\in X,\ \|x\|_X \leq 1 \right\}.$$ बानाख समष्टि $$Y$$ के लिए, समष्टि $$B(X, Y)$$ इस मानक के संबंध में एक बानाच समष्टि है। स्पष्ट संदर्भों में, कभी-कभी फलन समष्टि को दो बानाख रिक्त समष्टि के बीच केवल छोटे मानचित्रों तक सीमित करना सुविधाजनक होता है; उस स्थिति में समष्टि $$B(X,Y)$$ एक प्राकृतिक द्विभाजक के रूप में फिर से प्रकट होता है।

यदि $$X$$ बानाख समष्टि है, समष्टि $$B(X) = B(X, X)$$ एक इकाई बानाख बीजगणित बनाता है; गुणन संक्रिया रेखीय प्रतिचित्रों के संघटन द्वारा दी जाती है।

यदि $$X$$ और $$Y$$ मानक समष्टि हैं, यदि एक रेखीय आक्षेप सम्मिलित है तो वे समरूपी मानक समष्टि $$T : X \to Y$$ हैंज ैसे कि $$T$$ और इसका प्रतिवर्त $$T^{-1}$$ नियतांक हैं। यदि दो में से एक समष्टि $$X$$ या $$Y$$ पूर्ण है (या प्रतिवर्त समष्टि, वियोज्य समष्टि, आदि) तो अन्य समष्टि भी है। दो मानक समष्टि $$X$$ और $$Y$$ सममितीय रूप से समाकृतिकता हैं यदि इसके अतिरिक्त, $$T$$ सममितीय है, अर्थात $$\|T(x)\| = \|x\|$$ प्रत्येक के लिए $$x$$ में $$X$$ बानाख दूरी $$d(X, Y)$$ दो समाकृतिकता लेकिन सममितीय समष्टि के बीच $$X$$ और $$Y$$ माप देता है कि दो समष्टि $$X$$ और $$Y$$ में कितना अंतर है।

सतत और परिबद्ध रेखीय फलन और अर्ध-मानक
प्रत्येक निरंतर रैखिक संकारक एक परिबद्ध रैखिक संकारक होता है और यदि केवल मानक समष्टि के साथ व्यवहार किया जाता है तो इसका व्युत्क्रम भी सत्य होता है। अर्थात्, दो मानक समष्टि के बीच एक रैखिक संकारक परिबद्ध रैखिक संकारक है यदि और केवल यदि यह एक सतत फलन है। तो विशेष रूप से, क्योंकि अदिश क्षेत्र (जो है $$\R$$ या $$\Complex$$) एक मानक समष्टि है, मानक समष्टि पर परिबद्ध रैखिक कार्यात्मक है यदि और केवल यदि यह एक सतत रैखिक कार्यात्मक है। यह निरंतरता से संबंधित परिणामों (जैसे नीचे दिए गए) को बानाख समष्टि पर प्रयुक्त करने की स्वीकृति देता है। यद्यपि सीमाबद्धता मानक समष्टि के बीच रैखिक मानचित्रों के लिए निरंतरता के समान है, मुख्य रूप से बानाख रिक्त समष्टि के साथ व्यवहार करते समय बाध्य पदों का अधिक उपयोग किया जाता है।

यदि $$f : X \to \R$$ एक उप-योगात्मक फलन है (जैसे कि एक मानक, एक उप-रैखिक फलन, या वास्तविक रैखिक कार्यात्मक), तब $$f$$ एक बिंदु पर निरंतरता है यदि और केवल यदि $$f$$ सभी पर $$X$$ समान रूप से निरंतर है; और यदि इसके अतिरिक्त $$f(0) = 0$$ तब $$f$$ निरंतर है यदि और केवल यदि इसका पूर्ण मूल्य $$|f| : X \to [0, \infty)$$ निरंतर है, जो होता है यदि और केवल यदि $$\{x \in X : |f(x)| < 1\}$$ का विवृत उपसमुच्चय$$X$$ है। और हन-बनाक प्रमेय, एक रैखिक कार्यात्मक को प्रयुक्त करने के लिए बहुत महत्वपूर्ण $$f$$ नियतांक है यदि और केवल यदि यह इसके वास्तविक भाग के लिए सत्य है और इसके अतिरिक्त, $$\|\operatorname{Re} f\| = \|f\|$$ रैखिक कार्यात्मक के वास्तविक और काल्पनिक भाग $$\operatorname{Re} f$$ पूर्णतः निर्धारित करता है यही कारण है कि हैन-बनाक प्रमेय को $$f,$$ प्रायः केवल वास्तविक रैखिक कार्यात्मकताओं के लिए ही कहा जाता है। इसके अतिरिक्त, एक रैखिक कार्यात्मक $$f$$ पर $$X$$ नियत है यदि और केवल यदि अर्ध-मानक $$|f|$$ निरंतर है, जो तभी होता है जब निरंतर अर्ध-मानक $$p : X \to \R$$ सम्मिलित होता हैज ैसे कि $$|f| \leq p$$; यह अंतिम कथन रैखिक कार्यात्मक $$f$$ और अर्ध-मानक $$p$$ को सम्मिलित करता है हैन-बनाक प्रमेय के कई संस्करणों में इसका सामना करना पड़ता है।

मूलभूत धारणाएं
कार्तीय गुणनफल $$X \times Y$$ दो मानक समष्टि प्रामाणिक रूप से एक मानक से सुसज्जित नहीं हैं। हालाँकि, कई समान मानक सामान्य रूप से उपयोग किए जाते हैं, जैसे कि $$\|(x, y)\|_1 = \|x\| + \|y\|, \qquad \|(x, y)\|_\infty = \max (\|x\|, \|y\|)$$ जो (क्रमशः) बानाख समष्टि और लघु मानचित्र (ऊपर चर्चा की गई) की श्रेणी में प्रतिगुणनफल और गुणनफल (श्रेणी सिद्धांत) के अनुरूप हैं। परिमित (सह) गुणनफलों के लिए, ये मानक समाकृतिकता मानक समष्टि $$X \times Y$$ (या प्रत्यक्ष योग $$X \oplus Y$$) और गुणनफल को उत्पन्न करते है जो पूर्ण है यदि और केवल यदि दो कारक पूर्ण हैं।

यदि $$M$$ मानक समष्टि का एक संवृत समुच्चय रैखिक उपसमष्टि $$X$$ है, भागफल समष्टि पर एक प्राकृतिक मानक $$X / M$$ है, $$\|x + M\| = \inf\limits_{m \in M} \|x + m\|.$$ भागफल $$X / M$$ एक बानाख समष्टि है जब $$X$$ पूर्ण है। भागफल मानचित्र से $$X$$ पर $$X / M,$$ देता है इसके वर्ग $$x \in X$$ के लिए $$x + M$$ रैखिक है, और आच्छादक है और इसका मानक $$1$$ है इसके अतिरिक्त जब $$M = X,$$ जिस स्थिति में भागफल रिक्त समष्टि होता है।

संवृत रैखिक उप-समष्टि $$M$$ का $$X$$ की पूरक उपसमष्टि कहा जाता है $$X$$ यदि $$M$$ एक प्रक्षेपण परिबद्ध रैखिक प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित) $$P : X \to M$$ के फलन की सीमा है इस स्थिति में समष्टि $$X$$ के प्रत्यक्ष योग के लिए $$M$$ और $$\ker P,$$ प्रक्षेपण $$P$$ समाकृतिकता है मान लीजिए कि $$X$$ और $$Y$$ बानाख समष्टि हैं और यह $$T \in B(X, Y)$$ का एक प्रामाणिक गुणनखंड सम्मिलित है जैसे $$T$$ $$T = T_1 \circ \pi, \ \ \ T : X \ \overset{\pi}{\longrightarrow}\ X / ker(T) \ \overset{T_1}{\longrightarrow} \ Y$$ जहां पहला मानचित्र $$\pi$$ भागफल मानचित्र है, और दूसरा मानचित्र $$T_1$$ है प्रत्येक वर्ग $$x + \ker T$$ छवि के भागफल में $$T(x)$$ में $$Y$$ प्राप्त है, यह अच्छी तरह से परिभाषित है क्योंकि एक ही वर्ग के सभी तत्वों की एक ही छवि होती है। मानचित्रण $$T_1$$ से एक रैखिक $$X / \ker T$$ सीमा पर $$T(X)$$ आक्षेप है जिनके व्युत्क्रम को बाध्य करने की आवश्यकता नहीं है।

उत्कृष्ट समष्टि
मूलभूत उदाहरण बानाख समष्टि में सम्मिलित हैं: एलपी रिक्त समष्टि $$L^p$$ और उनके विशेष स्थिति $$\ell^p$$ अनुक्रम समष्टि (गणित) जिसमें प्राकृतिक संख्याओं द्वारा अनुक्रमित अदिश अनुक्रम $$\N$$ सम्मिलित हैं; उनमें से, समष्टि $$\ell^1$$ निरपेक्ष अभिसरण अनुक्रम और समष्टि $$\ell^2$$ वर्ग योग्‍य अनुक्रम; समष्टि $$c_0$$ शून्य और समष्टि की ओर जाने वाले अनुक्रमों की $$\ell^{\infty}$$ परिबद्ध अनुक्रमों की; समष्टि $$C(K)$$ सुसंहत हौसडॉर्फ समष्टि पर नियत अदिश फलन $$K,$$ अधिकतम मानक से कम, $$\|f\|_{C(K)} = \max \{ |f(x)| : x \in K \}, \quad f \in C(K).$$ बनच-मजूर प्रमेय के अनुसार, प्रत्येक बानाख समष्टि कुछ के एक उप-समष्टि के लिए सममितीय $$C(K)$$ रूप से समाकृतिकता है। प्रत्येक वियोज्य बानाख समष्टि $$X$$ के लिए संवृत उप-समष्टि $$M$$ का $$\ell^1$$ है जैसे कि $$X := \ell^1 / M.$$ कोई भी हिल्बर्ट समष्टि बानाख समष्टि के उदाहरण के रूप में फलन करता है। हिल्बर्ट समष्टि $$H$$ पर $$\mathbb{K} = \Reals, \Complex$$ प्रपत्र के एक मानक के लिए पूर्ण है $$\|x\|_H = \sqrt{\langle x, x \rangle},$$ जहाँ $$\langle \cdot, \cdot \rangle : H \times H \to \mathbb{K}$$ आंतरिक गुणनफल समष्टि है, इसके पहले तर्क में रैखिक है जो निम्नलिखित को पूरा करता है: $$\begin{align} \langle y, x \rangle &= \overline{\langle x, y \rangle}, \quad \text{ for all } x, y \in H \\ \langle x, x \rangle & \geq 0, \quad \text{ for all } x \in H \\ \langle x,x \rangle = 0 \text{ if and only if } x &= 0. \end{align}$$ उदाहरण के लिए, समष्टि $$L^2$$ एक हिल्बर्ट समष्टि है।

हार्डी समष्टि, सोबोलेव समष्टि, बानाख समष्टि के उदाहरण हैं जो $$L^p$$ इससे संबंधित हैं रिक्त समष्टि और अतिरिक्त संरचना है। वे विश्लेषण की विभिन्न शाखाओं, हार्मोनिक विश्लेषण और दूसरों के बीच आंशिक अंतर समीकरणों में महत्वपूर्ण हैं।

बानाख बीजगणित
बानाख बीजगणित $$A$$ बानाख समष्टि है उपरोक्त $$\mathbb{K} = \R$$ या $$\Complex,$$ साथ में एक क्षेत्र के ऊपर बीजगणित की एक संरचना $$\mathbb{K}$$, जैसे कि गुणनफल का मानचित्र $$A \times A \ni (a, b) \mapsto ab \in A$$ सतत है। एक समकक्ष मानक $$A$$ पाया जा सकता है ताकि $$\|ab\| \leq \|a\| \|b\|$$ सभी के लिए $$a, b \in A.$$

उदाहरण

 * बानाख समष्टि $$C(K)$$ बिंदुवार गुणनफल के साथ, बैनाच बीजगणित है।
 * डिस्क बीजगणित $$A(\mathbf{D})$$ विवृत इकाई डिस्क में होलोमॉर्फिक फलन के फलन होते हैं $$D \subseteq \Complex$$ और इसके संवरक (सांस्थिति) पर निरंतर: $$\overline{\mathbf{D}}.$$ अधिकतम मानक से कम $$\overline{\mathbf{D}},$$ डिस्क बीजगणित $$A(\mathbf{D})$$ का एक संवृत उपबीजीय $$C\left(\overline{\mathbf{D}}\right)$$है।
 * वीनर बीजगणित $$A(\mathbf{T})$$ इकाई वृत्त पर फलनों का $$\mathbf{T}$$ अभिसरण फूरियर श्रृंखला के साथ बीजगणित है। किसी फलन को जोड़ने वाले मानचित्र के माध्यम से $$\mathbf{T}$$ इसके फूरियर गुणांकों के अनुक्रम के अनुसार, यह बीजगणित बानाख बीजगणित $$\ell^1(Z)$$ के लिए समरूप है जहां गुणनफल अनुक्रमों का असतत संवलन है।
 * प्रत्येक बानाख समष्टि के लिए $$X,$$ समष्टि $$B(X)$$ परिबद्ध रैखिक संक्रिया $$X,$$ गुणनफल के रूप में प्रतिचित्रों की संरचना के साथ, बानाख बीजगणित है।
 * A C*-बीजगणित एक जटिल बानाच बीजगणित $$A$$ है गैर-रैखिक मानचित्र अंतर्वलन (गणित) के साथ $$a \mapsto a^*$$ जैसे कि $$\left\|a^* a\right\| = \|a\|^2$$ समष्टि $$B(H)$$ हिल्बर्ट समष्टि पर परिबद्ध रैखिक संक्रिया की संख्या $$H$$ C*-बीजगणित का एक मूलभूत उदाहरण है। गेलफैंड-नैमार्क प्रमेय कहता है कि प्रत्येक C*-बीजगणित कुछ के C*-उप-बीजीय के लिए $$B(H)$$ सममितीय रूप से समाकृतिकता है। समष्टि $$C(K)$$ सुसंहत हौसडॉर्फ समष्टि पर जटिल सतत फलनों का $$K$$ क्रमविनिमेय C*-बीजगणित का एक उदाहरण है, जहां प्रत्येक क्रिया के साथ $$f$$ जुड़ा हुआ है जो इसका $$\overline{f}$$ जटिल संयुग्म है।

द्विक समष्टि
यदि $$X$$ एक मानक समष्टि है और $$\mathbb{K}$$ अंतर्निहित क्षेत्र (गणित) (या तो वास्तविक संख्या या जटिल संख्या), सतत द्विक समष्टि निरंतर रैखिक मानचित्र $$X$$ में $$\mathbb{K},$$ या सतत रैखिक फलन का समष्टि है। इस लेख में नियतांक द्विक समष्टि के लिए संकेत$$X^{\prime} = B(X, \mathbb{K})$$ समष्टि है। तब से $$\mathbb{K}$$ एक बानाख समष्टि है (मानक के रूप में पूर्ण मूल्य का उपयोग करके), द्विक $$X^{\prime}$$ प्रत्येक मानक समष्टि के लिए $$X$$ बानाख समष्टि है।

निरंतर रैखिक क्रियाओं की स्थिति को सिद्ध करने का मुख्य उपकरण हैन-बनाक प्रमेय है।

$$

विशेष रूप से, कार्यात्मक के मानक को बढ़ाए बिना, मानक समष्टि के उप-समष्टि पर प्रत्येक निरंतर रैखिक कार्यात्मक को निरंतर पूरे समष्टि तक बढ़ाया जा सकता है। एक महत्वपूर्ण विशेष स्थिति निम्नलिखित है: प्रत्येक सदिश के लिए $$x$$ मानक समष्टि में $$X,$$ वहाँ $$f$$ पर $$X$$ सतत रैखिक कार्यात्मक सम्मिलित है जैसे कि $$f(x) = \|x\|_X, \quad \|f\|_{X^{\prime}} \leq 1.$$ जब $$x$$ के बराबर $$\mathbf{0}$$ वेक्टर नहीं है कार्यात्मक $$f$$ मानक एक होना चाहिए, और इसके लिए एक मानक कार्यात्मक $$x$$ कहा जाता हैह ैन-बनाक पृथक्करण प्रमेय कहता है कि दो असंयुक्त गैर-रिक्त उत्तल समुच्चय एक वास्तविक बानाच समष्टि में, उनमें से एक विवृत है, एक संवृत एफ़िन समष्टि द्वारा अलग किया जा सकता है। विवृत उत्तल समुच्चय अधिसमतलके एक तरफ दृढ़ता से स्थित है, दूसरा उत्तल समुच्चय दूसरी तरफ स्थित है लेकिन अधिसमतल को स्पर्श कर सकता है। उपसमुच्चय $$S$$ एक बानाख समष्टि में $$X$$ पूर्ण है यदि की रैखिक अवधि $$S$$ सघन रूप से $$X$$ स्थापित है उपसमुच्चय $$S$$ में पूर्ण $$X$$ ैय दि और केवल यदि एकमात्र निरंतर रैखिक कार्यात्मक जो $$S$$ पर कार्यात्मक $$\mathbf{0}$$ है: यह तुल्यता हन-बनाक प्रमेय से आती है।

यदि $$X$$ दो संवृत $$M$$ और $$N$$ रैखिक उपसमष्टियों का प्रत्यक्ष योग है फिर द्वि-द्वैत $$X^{\prime}$$ का $$X$$ के $$M$$ और$$N$$ द्वि-द्वैत के प्रत्यक्ष योग के लिए समरूप है। यदि $$M$$ में एक संवृत $$X$$ रैखिक उपसमष्टि है लम्बवत $$M$$ समष्टि जोड़ सकता है, $$M^{bot} = \left\{ x^{\prime} \in X : x^{\prime}(m) = 0, \ \text{ for all } m \in M \right\}.$$ लम्बवत$$M^{\bot}$$ द्वि-द्वैत की एक संवृत रेखीय उपसमष्टि है। $$M$$ का द्वि-द्वैत $$X' / M^{\bot}$$ सममितीय रूप से समाकृतिक है  $$X / M$$ का द्वि-द्वैत सममितीय रूप से $$M^{\bot}$$ समाकृतिक है।

वियोज्य बानाख समष्टि के द्विक को वियोज्य होने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन:

$$

जब $$X'$$ वियोज्य है, समग्रता के लिए उपरोक्त मानक का उपयोग गणना योग्य $$X$$ कुल उपसमुच्चय की स्थिति को प्रमाणित करने के लिए किया जा सकता है।

दुर्बल सांस्थिति
बानाख समष्टि पर दुर्बल सांस्थिति $$X$$ पर सांस्थिति की तुलना है $$X$$ जिसके लिए सभी तत्व $$x^{\prime}$$ निरंतर द्विक समष्टि में $$X^{\prime}$$ निरंतर हैं। मानक सांस्थिति इसलिए दुर्बल सांस्थिति की तुलना में सांस्थिति की तुलना है। यह हैन-बनाक पृथक्करण प्रमेय से अनुसरण करता है कि दुर्बल सांस्थिति हौसडॉर्फ समष्टि है, और यह कि बानाख समष्टि का एक मानक-संवृत उत्तल समुच्चय भी दुर्बल रूप से संवृत है। दो बानाख समष्टि के बीच एक मानक-सतत रेखीय मानचित्र $$X$$ और $$Y$$ भी दुर्बल रूप से निरंतर है, अर्थात $$X$$ और $$Y$$ के लिए दुर्बल सांस्थिति से निरंतर है यदि $$X$$ अनंत-आयामी है, ऐसे रैखिक मानचित्र सम्मिलित हैं जो निरंतर नहीं हैं। समष्टि $$X^*$$ से सभी रैखिक मानचित्रों का $$X$$ अंतर्निहित क्षेत्र के लिए $$\mathbb{K}$$ (यह समष्टि $$X^*$$ इसे अलग करने के लिए इसे $$X^{\prime}$$ बीजगणितीय द्विक समष्टि कहा जाता है सांस्थिति $$X$$ को भी प्रेरित करता है जो दुर्बल सांस्थिति की तुलना में अधिकतम सांस्थिति है, और कार्यात्मक विश्लेषण में बहुत कम प्रयोग किया जाता है।

द्विक समष्टि पर $$X^{\prime},$$ की दुर्बल सांस्थिति की तुलना में दुर्बल सांस्थिति $$X^{\prime}$$कहा जाता है। यह सबसे सामान्य सांस्थिति $$X^{\prime}$$है जिसके लिए सभी मूल्यांकन मानचित्र $$x^{\prime} \in X^{\prime} \mapsto x^{\prime}(x),$$ जहाँ $$x$$ से अधिक $$X$$ नियतांक हैं। इसका महत्व बानाख-अलाग्लू प्रमेय से आता है।

$$

सुसंहत हौसडॉर्फ रिक्त समष्टि के अनंत गुणनफलों के बारे में टायकोनॉफ़ के प्रमेय का उपयोग करके बानाच-अलाग्लु प्रमेय को सिद्ध किया जा सकता है। जब $$X$$ वियोज्य है, इकाई $$B^{\prime}$$ द्विक दुर्बल * सांस्थिति में दूरीकनीय समष्टि सुसंहत है।

द्विक समष्टि के उदाहरण
$$c_0$$ का द्वि-द्वैत सममितीय रूप से $$\ell^1$$ समाकृतिक है: प्रत्येक परिबद्ध रैखिक कार्यात्मक के लिए $$f$$ पर $$c_0,$$ अद्वितीय तत्व $$y = \left\{ y_n \right\} \in \ell^1$$ है जैसे कि $$f(x) = \sum_{n \in \N} x_n y_n, \qquad x = \{x_n\} \in c_0, \ \ \text{and} \ \ \|f\|_{(c_0)'} = \|y\|_{\ell_1}. $$ $$\ell^1$$ का द्वि-द्वैत सममितीय रूप से $$\ell^{\infty}$$समाकृतिक है लेबेस्ग्यू समष्टि $$L^p([0, 1])$$ सममितीय रूप से $$L^q([0, 1])$$ समाकृतिक है जब $$1 \leq p < \infty$$ और $$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$$ प्रत्येक वेक्टर के लिए $$y$$ एक हिल्बर्ट समष्टि में $$H,$$ मानचित्रण $$x \in H \to f_y(x) = \langle x, y \rangle$$ $$H$$ पर सतत $$f_y$$ रैखिक कार्यात्मक परिभाषित करता है रिज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय के अनुसार प्रत्येक निरंतर रैखिक कार्यात्मक पर $$H$$ का स्वरूप $$f_y$$ है। विशिष्ट रूप से परिभाषित वेक्टर के लिए $$y$$ में $$H$$ मानचित्रण $$y \in H \to f_y$$ एक गैर-रैखिक मानचित्र सममितीय द्विअंत:क्षेपण है $$H$$ इसके द्विक पर $$H'.$$ जब अदिश वास्तविक होते हैं, तो यह मानचित्र एक सममितीय समाकृतिकता है।

जब $$K$$ सुसंहत हॉउसडॉर्फ सांंस्थितिक समष्टि है, द्विक $$M(K)$$ का $$C(K)$$ बॉरबाकी के अर्थ में रेडॉन माप का समष्टि है। उपसमुच्चय $$P(K)$$ का $$M(K)$$ बड़ी संख्या 1 (संभाव्यता माप) के गैर-ऋणात्मक मापों से मिलकर इकाई का उत्तल w*-संवृत $$M(K)$$ के अधिकतम बिंदु $$P(K)$$ डिराक माप $$K$$ उपसमुच्चय है डिराक का समुच्चय $$K,$$ w * - सांस्थिति से कम $$K$$ समरूप है।

$$

परिणाम को अमीर और कैम्बरन द्वारा स्थिति में विस्तारित किया गया है जब $$C(K)$$ और $$C(L)$$ के बीच गुणक बनच-मजूर की दूरी $$< 2$$ प्रमेय है अब सत्य नहीं है जब दूरी $$ = 2$$ है क्रमविनिमेय बानाख बीजगणित में $$C(K),$$ में अधिक से अधिक मानक $$K$$ पर डिराक मापों के परिशुद्ध रूप से कर्नेल हैं $$I_x = \ker \delta_x = \{f \in C(K) : f(x) = 0\}, \quad x \in K.$$ अधिक सामान्य रूप से, गेलफैंड-मजूर प्रमेय द्वारा, एकल क्रमविनिमेय बानाख बीजगणित के अधिकतम मानकों को इसके बानाख बीजगणित मानकों और पात्रों के साथ पहचाना जा सकता है - न केवल समुच्चय के रूप में बल्कि सांंस्थितिक रिक्त समष्टि के रूप में: हल-कर्नेल सांस्थिति के साथ पूर्व और w*-सांस्थिति के साथ बाद वाला सम्मिलित है। इस सर्वसमिका में, अधिकतम मानक समष्टि को द्विक गोले में इकाई गोले के w*-सुसंहत उपसमुच्चय $$A'$$ के रूप में देखा जा सकता है।

$$

प्रत्येक इकाई क्रमविनिमेय बानाख बीजगणित $$C(K)$$ का रूप नहीं है सुसंहत हौसडॉर्फ समष्टि के लिए $$K$$ है। हालाँकि, यह $$C(K)$$ कथन यदि एक समष्टि पर है क्रमविनिमेय C*-बीजगणित की छोटी श्रेणी में सम्मिलित है। गेलफैंड प्रतिनिधित्व क्रमविनिमेय C*-बीजगणित के लिए बताता है कि प्रत्येक क्रमविनिमेय इकाई C*-बीजगणित $$A$$ सममितीय रूप से समाकृतिक $$C(K)$$ समष्टि है। हॉउसडॉर्फ सुसंहत समष्टि $$K$$ यहाँ फिर से अधिकतम मानक समष्टि है, जिसे $$A$$ के उदाहरण C*-बीजगणित संदर्भ में विस्तृत श्रेणी भी कहा जाता है।

द्वैत
यदि $$X$$ एक मानक समष्टि है, (निरंतर) दोहरा $$X''$$ द्वि-द्वैत का $$X'$$ कहा जाता है प्रत्येक सामान्य समष्टि के लिए $$X,$$ एक प्राकृतिक मानचित्र है, $$\begin{cases} F_X : X \to X'' \\ F_X(x) (f) = f(x) & \text{ for all } x \in X, \text{ and for all } f \in X' \end{cases}$$ यह परिभाषित करता है कि $$F_X(x)$$ एक सतत रैखिक कार्यात्मक के रूप में $$X^{\prime}$$ है, का एक तत्व वो मानचित्र $$F_X : x \to F_X(x)$$ से एक रेखीय मानचित्र $$X$$ को $$X^{\prime\prime}$$ बानाख समष्टि है द्विक समष्टि की स्थिति के परिणामस्वरूप $$f$$ प्रत्येक के लिए $$x \in X,$$ यह मानचित्र $$F_X$$ सममितीय है, इस प्रकार अंतःक्षेपक है।

उदाहरण के लिए, $$X = c_0$$ की द्विक समष्टि और द्विक $$\ell^1$$ से पहचाना जाता है परिबद्ध अदिश अनुक्रमों $$\ell^{\infty},$$का समष्टि है। इन सर्वसमिका के अंतर्गत $$F_X$$ से $$c_0$$ को $$\ell^{\infty}$$ समावेशन मानचित्र है यह वास्तव में सममितीय है, लेकिन आच्छादक नहीं है।

यदि $$F_X$$ आच्छादन है, तो मानक समष्टि $$X$$ प्रतिवर्ती कहा जाता है (बानाख समष्टि प्रतिवर्ती देखें)। एक मानक समष्टि के द्विक होने के परिणाम स्वरूप, द्वि-द्वैत $$X''$$ पूर्ण है, इसलिए, प्रत्येक प्रतिवर्ती मानक समष्टि एक बानाख समष्टि है।

$$F_X$$ सममितीय अंत:स्थापन का उपयोग करना यह एक मानक समष्टि पर विचार करने के लिए अभ्यास है और  $$X$$ के उप-समुच्चय के रूप में है। जब $$X$$ एक बानाख समष्टि है, इसे $$X^{\prime\prime}$$ एक संवृत रेखीय उप-समष्टि के रूप में देखा जाता है यदि $$X$$ प्रतिवर्ती नहीं है, की इकाई गेंद $$X$$ की इकाई गोले का एक उपयुक्त उपसमुच्चय $$X^{\prime\prime}$$ है गोल्डस्टाइन प्रमेय में कहा गया है कि एक मानक समष्टि की इकाई गोले की इकाई गोले में दुर्बल*-सघन होती है। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक $$x''$$ के लिए द्वि-द्वैत में $$\left(x_i\right)_{i \in I}$$ शून्य (गणित) सम्मिलित है $$X$$ ताकि $$\sup_{i \in I} \left\|x_i\right\| \leq \|x\|, \ \ x(f) = \lim_i f\left(x_i\right), \quad f \in X'.$$ द्विक होने पर मूल्य को दुर्बल *-अभिसरण अनुक्रम द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है $$X'$$ वियोज्य है। दूसरी ओर, $$\ell^1$$ के तत्व जो अंदर नहीं हैं $$\ell^1$$ दुर्बल नहीं हो सकता* - अनुक्रमों की सीमा $$\ell^1,$$ तब से $$\ell^1$$ बानाच समष्टि है अनुक्रम दुर्बल रूप से क्रमिक रूप से पूर्ण है।

बानाख के प्रमेय
यहां बनच समष्टि के बारे में मुख्य सामान्य परिणाम दिए गए हैं जो बनच की पुस्तक (बनच (1932)) के समय तक वापस जाते हैं और बेयर श्रेणी प्रमेय से संबंधित हैं। इस प्रमेय के अनुसार, एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि (जैसे कि एक बानाच समष्टि, एक फ़्रेचेट समष्टि या एक एफ-समष्टि) रिक्त आंतरिक स्थिति के साथ चयन किए कई संवृत उपसमुच्चयों के समूह के बराबर नहीं हो सकता है। इसलिए, एक बनच समष्टि गणनीयत: के कई संवृत उप-समष्टि का समूह नहीं हो सकता है, जब तक कि यह पहले से ही उनमें से एक के बराबर न हो; एक गणनीय हामेल आधार वाला एक बनच समष्टि परिमित-आयामी है।

$$

बानाख-स्टाइनहॉस प्रमेय बानाख समष्टि तक सीमित नहीं है। इसे उदाहरण के लिए उस स्थिति में बढ़ाया जा सकता है जहां $$X$$ एक फ्रेचेट समष्टि है, बशर्ते निष्कर्ष को निम्नानुसार संशोधित किया जाए: एक ही परिकल्पना के अंतर्गत, $$U$$ का $$\mathbf{0}$$ में $$X$$ एक प्रतिवेश सम्मिलित है जैसे कि सभी $$T$$ में $$F$$ समान रूप से $$U$$ से सीमित है। $$\sup_{T \in F} \sup_{x \in U} \; \|T(x)\|_Y < \infty.$$

$$

$$

$$

यह परिणाम पूर्ववर्ती बानाख समरूपता प्रमेय और सीमित हुए रैखिक मानचित्रों के प्रामाणिक गुणनखंड का प्रत्यक्ष परिणाम है।

$$

यह बानाच के समरूपता प्रमेय का एक और परिणाम है, जो $$M_1 \oplus \cdots \oplus M_n$$ पर $$X$$ के $$m_1, \cdots, m_n$$ परिणाम के लिए $$m_1 + \cdots + m_n$$ निरंतर आक्षेप पर प्रयुक्त होता है।

$$

स्वतुल्यता
मानक समष्टि $$X$$ प्राकृतिक मानचित्र होने पर प्रतिवर्ती समष्टि कहा जाता है $$\begin{cases} F_X : X \to X'' \\ F_X(x) (f) = f(x) & \text{ for all } x \in X, \text{ and for all } f \in X'\end{cases}$$ विशेषण है। प्रतिवर्ती मानक समष्टि बानाख समष्टि हैं।

$$

यह हैन-बनाक प्रमेय का परिणाम है। इसके अतिरिक्त, विवृत प्रतिचित्रण प्रमेय द्वारा, यदि बानाख समष्टि से एक परिबद्ध रैखिक संक्रिया है जो $$X$$ बानाख समष्टि पर $$Y,$$ तब $$Y$$ प्रतिवर्त है।

$$

$$

वास्तव में, यदि द्विक $$Y^{\prime}$$ एक बानाख समष्टि का $$Y$$ वियोज्य है, तो $$Y$$ वियोज्य है। यदि $$X$$ प्रतिवर्त और वियोज्य है, फिर $$X^{\prime}$$ का दोहरा वियोज्य है, इसलिए $$X^{\prime}$$ वियोज्य है।

$$

हिल्बर्ट समष्टि प्रतिवर्ती हैं। $$L^p$$ h> समष्टि प्रतिवर्ती होते हैं जब $$1 < p < \infty$$ अधिक सामान्य रूप से, मिलमैन-पेटिस प्रमेय द्वारा समान रूप से उत्तल रिक्त समष्टि प्रतिवर्ती होते हैं। रिक्त समष्टि $$c_0, \ell^1, L^1([0, 1]), C([0, 1])$$ परावर्तक नहीं हैं। गैर-प्रतिवर्ती समष्टि $$X$$ के इन उदाहरणों में $$X,$$ और $$X$$ से बहुत बड़ा है अर्थात्, प्राकृतिक सममितीय अन्तः स्थापन के अंतर्गत $$X$$ में $$X$$ हन-बानाख प्रमेय द्वारा दिया गया भागफल $$X^{\prime\prime} / X$$ अनंत-आयामी है, और अविभाज्य भी है।हालाँकि, रॉबर्ट सी जेम्स ने एक उदाहरण का निर्माण किया है गैर-प्रतिवर्ती समष्टि, जिसे सामान्य रूप से जेम्स समष्टि कहा जाता है और इसके$$J$$ द्वारा निरूपित किया जाता है। ऐसा भागफल $$J^{\prime\prime} / J$$ आयामी है। इसके अतिरिक्त, यह समष्टि $$J$$ सममितीय रूप से समाकृतिक है जो कि इसका द्वि-द्वैत है।

$$

जब $$X$$ स्वतुल्य है, यह इस प्रकार है कि सभी संवृत और परिबद्ध उत्तल समुच्चय $$X$$ दुर्बल रूप से संकुचित हैं। हिल्बर्ट समष्टि में $$H,$$ इकाई गोले की दुर्बल सघनता का उपयोग प्रायः निम्नलिखित तरीके से किया जाता है: प्रत्येक सीमित क्रम में $$H$$ दुर्बल रूप से अभिसारी परिणाम हैं।

इकाई गोले की दुर्बल सघनता कुछ अनंत-आयामी अनुकूलन के लिए प्रतिवर्ती समष्टि में समाधान खोजने के लिए उपकरण प्रदान करती है। उदाहरण के लिए, प्रत्येक उत्तल इकाई गोले $$B$$ पर सतत फलन $$B$$ मे प्रतिवर्ती समष्टि किसी बिंदु पर न्यूनतम हो जाता है

पूर्ववर्ती परिणाम के एक विशेष स्थिति के रूप में, जब $$X$$ एक प्रतिवर्ती समष्टि पर $$\R$$ है प्रत्येक सतत रैखिक कार्यात्मक $$f$$ में $$X^{\prime}$$, $$\|f\|$$ इकाई गोले पर $$X$$ अधिकतम प्राप्त करता है निम्नलिखित रॉबर्ट सी. जेम्स का प्रमेय विपरीत कथन प्रदान करता है

$$

प्रमेय को दुर्बल रूप से सघन उत्तल समुच्चय का विवरण देने के लिए बढ़ाया जा सकता है।

प्रत्येक गैर-प्रतिवर्ती बानाख समष्टि पर $$X,$$ सतत रेखीय फलन सम्मिलित हैं जो मानक-प्राप्ति नहीं कर रहे हैं। हालांकि, बिशप बचाओ -रॉबर्ट फेल्प्स प्रमेय बताता है कि मानक-प्राप्त करने वाले कार्यात्मक $$X^{\prime}$$ का $$X$$ द्विक सघन मानक हैं।

अनुक्रमों के दुर्बल अभिसरण
क्रम $$\left\{ x_n \right\}$$ बानाख समष्टि में $$X$$ वेक्टर के लिए दुर्बल रूप से अभिसरण $$x \in X$$ है यदि $$\left\{ f\left(x_n\right) \right\}$$ में संयोजन हो जाता है $$f(x)$$ प्रत्येक निरंतर रैखिक कार्यात्मक के लिए $$f$$ द्विक में $$X^{\prime}$$ क्रम $$\left\{ x_n \right\}$$ दुर्बल कॉची अनुक्रम है यदि $$\left\{ f\left(x_n\right) \right\}$$ अदिश सीमा में $$L(f)$$ अभिसरण करता है प्रत्येक के लिए $$f$$ में $$X^{\prime}$$ क्रम $$\left\{ f_n \right\}$$ द्विक में $$X^{\prime}$$ दुर्बल रूप से कार्यात्मक के लिए अभिसरण $$f \in X^{\prime}$$है यदि $$f_n(x)$$ में संयोजन हो जाता है $$f(x)$$ प्रत्येक के लिए $$x$$ में $$X$$ समरूप बाउंडेडनेस सिद्धांत और बानाच-स्टाइनहॉस प्रमेय के परिणामस्वरूप दुर्बल कॉची अनुक्रम, दुर्बल रूप से अभिसरण और दुर्बल रूप से अभिसरण अनुक्रम मानक से परिबद्ध हैं।

जब क्रम $$\left\{ x_n \right\}$$ में $$X$$ एक दुर्बल कॉशी अनुक्रम है, सीमा $$L$$ उपरोक्त द्विक पर एक बाध्य रैखिक $$X^{\prime}$$ कार्यात्मक परिभाषित करता है तत्व $$L$$ की द्वि-द्वैत का $$X,$$ और $$L$$ की सीमा है $$\left\{ x_n \right\}$$ दुर्बल * में - द्वि-द्वैत की सांस्थिति बानाख समष्टि $$X$$ दुर्बल रूप से क्रमिक रूप से पूर्ण होता है यदि प्रत्येक दुर्बल कॉची अनुक्रम में दुर्बल रूप से $$X$$ अभिसरण होता है यह पूर्ववर्ती चर्चा से अनुसरण करता है कि प्रतिवर्ती समष्टि दुर्बल रूप से क्रमिक रूप से पूर्ण होते हैं।

$$

हिल्बर्ट समष्टि में एक प्रसामान्य लांबिक अनुक्रम एक दुर्बल रूप से अभिसरण अनुक्रम का एक सरल उदाहरण है, जिसकी सीमा $$\mathbf{0}$$ वेक्टर के बराबर है। उदाहरण $$\ell^p$$ के लिए $$1 < p < \infty,$$ या का $$c_0,$$ दुर्बल अशक्त अनुक्रम का एक और उदाहरण है, जो कि एक ऐसा क्रम है जो दुर्बल रूप से $$\mathbf{0}$$ अभिसरण करता है बानाच समष्टि में प्रत्येक दुर्बल अशक्त अनुक्रम के लिए, दिए गए अनुक्रम से वैक्टरों के उत्तल संयोजनों का एक क्रम सम्मिलित है जो मानक-अभिसरण $$\mathbf{0}$$ है।

इकाई वेक्टर आधार $$\ell^1$$ दुर्बल कॉची नहीं है। दुर्बल कॉची क्रम में $$\ell^1$$ दुर्बल रूप से अभिसरण हैं, चूंकि $$L^1$$-समष्टि दुर्बल रूप से क्रमिक रूप से पूर्ण हैं। वास्तव में, दुर्बल रूप से अभिसारी अनुक्रम $$\ell^1$$ मानक अभिसरण हैं। इस का तात्पर्य है कि $$\ell^1$$ शूर की गुण को पूरा करता है।

$$\ell^1$$ आधार से जुड़े परिणाम
दुर्बल कॉची अनुक्रम और $$\ell^1$$ आधार H. P. रोसेन्थल के निम्नलिखित गहन परिणाम में स्थापित द्विभाजन के विपरीत स्थिति हैं।

$$

इस परिणाम का पूरक ओडेल और रोसेन्थल (1975) के कारण है।

$$

गोल्डस्टाइन प्रमेय द्वारा, इकाई गोले का प्रत्येक तत्व $$B^{\prime\prime}$$ का $$X^{\prime\prime}$$ दुर्बल है*-$$X$$ की इकाई गोले में नेट की सीमा जब $$X$$ सम्मिलित नहीं है तब $$\ell^1$$ का प्रत्येक तत्व $$B^{\prime\prime}$$ दुर्बल है* -$$X$$ अनुक्रम की सीमा की इकाई गोले में सम्मिलित है।

जब बानाख समष्टि $$X$$ वियोज्य है, द्विक की इकाई गोले $$X^{\prime},$$ दुर्बल *-सांस्थिति से कम, एक दूरीकनीय सुसंहत $$K$$ समष्टि है और प्रत्येक तत्व $$x^{\prime\prime}$$ द्वि-द्वैत में $$X^{\prime\prime}$$ परिबद्ध फलन $$K$$ को परिभाषित करता है : $$x' \in K \mapsto x(x'), \quad \left |x(x')\right| \leq \left \|x''\right \|.$$ यह फलन सुसंहत सांस्थिति $$K$$ के लिए निरंतर है यदि और केवल यदि $$x^{\prime\prime}$$ वास्तव में है तब $$X,$$ का उपसमुच्चय $$X^{\prime\prime}$$ माना जाता है शेष पैराग्राफ$$X$$ के लिए अतिरिक्त मान लें कि $$\ell^1$$ सम्मिलित नहीं है ओडेल और रोसेन्थल के पूर्ववर्ती परिणाम से, फलन $$x^{\prime\prime}$$ बिन्दुवार अभिसरण $$K$$ है क्रम का $$\left\{x_n\right\} \subseteq X$$ सतत फलनों पर $$K,$$ इसलिए यह एक बाहरी फलन $$K$$ है। द्वि-द्वैत की इकाई गोले $$K$$ पहले बायर वर्ग का बिंदुवार सुसंहत उपसमुच्चय है।

अनुक्रम, दुर्बल और दुर्बल * सघनता
जब $$X$$ वियोज्य है, द्विक की इकाई गोले दुर्बल है * - बानाख-अलाग्लु प्रमेय द्वारा सुसंहत और दुर्बल * सांस्थिति के लिए दूरीकनीय, इसलिए द्विक में प्रत्येक परिबद्ध क्रम में दुर्बल रूप से अभिसारी अनुक्रम होते हैं। यह वियोज्य प्रतिवर्ती रिक्त समष्टि पर प्रयुक्त होता है, लेकिन इस स्थिति में अधिक सत्य है, जैसा कि नीचे बताया गया है।

बानाख समष्टि की दुर्बल सांस्थिति $$X$$ दूरीकनीय है यदि और केवल यदि $$X$$ परिमित-आयामी है। यदि द्वि $$X'$$ वियोज्य है, इकाई गोले की दुर्बल सांस्थिति $$X$$ दूरीकनीय है। यह विशेष रूप से अलग करने योग्य प्रतिवर्ती बैनच रिक्त समष्टि पर प्रयुक्त होता है। हालांकि इकाई गोले की दुर्बल सांस्थिति सामान्य रूप से दूरीकनीय नहीं है, लेकिन अनुक्रमों का उपयोग करके दुर्बल सघनता को चिह्नित किया जा सकता है।

$$

बानाख समष्टि $$X$$ प्रतिवर्ती है यदि और केवल यदि प्रत्येक बंधे अनुक्रम में $$X$$ एक दुर्बल अभिसारी परिणाम है। दुर्बल सुसंहत उप-समुच्चय $$A$$ में $$\ell^1$$ मानक-सुसंहत है। विशेष रूप से, प्रत्येक क्रम में $$A$$ एबरलीन-स्मुलियन द्वारा दुर्बल रूप से अभिसारी परिणाम हैं, जो $$\ell^1$$ कि शूर गुण द्वारा मानक अभिसरण हैं।

शाउडर प्रमेय के आधार पर
बानाख क्षेत्र में एक शाउडर का आधार $$X$$ एक क्रम है $$\left\{ e_n \right\}_{n \geq 0}$$ वैक्टर में $$X$$ गुण के साथ कि प्रत्येक वेक्टर के लिए $$x \in X,$$ है विशिष्ट रूप से परिभाषित अदिश $$\left\{ x_n \right\}_{n \geq 0}$$ इस पर निर्भर करते हुए $$x,$$ जैसे कि $$x = \sum_{n=0}^{\infty} x_n e_n, \quad \textit{i.e.,} \quad x = \lim_n P_n(x), \ P_n(x) := \sum_{k=0}^n x_k e_k.$$ शाउडर आधार के साथ बैनच रिक्त समष्टि आवश्यक रूप से वियोज्य समष्टि हैं, क्योंकि तर्कसंगत गुणांक (कहते हैं) के साथ परिमित रैखिक संयोजनों का गणनीय समुच्चय घना है।

यह बानाच-स्टाइनहॉस प्रमेय से आता है जो कि रैखिक मानचित्रण $$\left\{P_n\right\}$$ है समान रूप से कुछ स्थिरांक $$C$$ से बंधे होते हैं मान लीजिए $$\left\{ e_n^* \right\}$$ उन समन्वय फलनों को निरूपित करें जो $$x$$ में $$X$$ समन्वय $$x_n$$ का $$x$$ उपरोक्त विस्तार में प्रत्येक को निर्धारित करते हैं। उन्हें द्विलांबिक फलन कहा जाता है। जब $$1$$ आधार वैक्टर का मानक होता है तब $$\left\{e_n^*\right\}$$ मानक $$\,\leq 2 C$$ के द्विक में $$X$$ समन्वय फलन करता है।

अधिकांश उत्कृष्ट वियोज्य समष्टि में स्पष्ट आधार होते हैं। हार प्रणाली $$\left\{ h_n \right\}$$ का आधार $$L^p([0, 1]), 1 \leq p < \infty$$ के लिए है त्रिकोणमितीय प्रणाली एक आधार $$L^p(\mathbf{T})$$ जब $$1 < p < \infty$$ है। इकाई अंतराल और संबंधित प्रणालियों पर स्कॉडर प्रणाली समष्टि में एक आधार $$C([0, 1])$$ है। सवाल है कि क्या डिस्क बीजगणित $$A(\mathbf{D})$$ का एक आधार है। चालीस से अधिक वर्षों तक खुला रहा, जब तक कि जब तक कि बोकारेव ने 1974 में दिखाया कि $$A(\mathbf{D})$$ फ्रैंकलिन प्रणाली से निर्मित एक आधार को स्वीकार करता है।

चूंकि प्रत्येक वेक्टर $$x$$ बानाख समष्टि में $$X$$ आधार के साथ की सीमा $$P_n(x)$$ साथ $$P_n$$ है, परिमित श्रेणी और समान रूप से परिबद्ध समष्टि $$X$$ सन्निकटन गुण को संतुष्ट करता है। सन्निकटन गुण को विफल करने वाले समष्टि के प्रति एंफ्लो द्वारा पहला उदाहरण एक ही समय में अलग करने योग्य बनच समष्टि का पहला उदाहरण था, जो कि शाउडर आधार के बिना था।

रॉबर्ट सी. जेम्स ने बैनाच समष्टि में एक आधार के साथ स्वतुल्यता की विशेषता बताई: समष्टि $$X$$ एक शाउडर आधार के साथ प्रतिवर्ती है यदि और केवल यदि आधार शाउडर आधार और द्वि-द्वैत दोनों है। इस स्थिति में, द्विलांबिक कार्यात्मकता द्विक $$X$$ के आधार का निर्माण करती है।

टेंसर गुणनफल
मान लीजिए $$X$$ और $$Y$$ दो $$\mathbb{K}$$-वेक्टर रिक्त समष्टि हो। टेंसर गुणनफल $$X \otimes Y$$ का $$X$$ और $$Y$$ एक है $$\mathbb{K}$$-सदिश क्षेत्र $$Z$$ द्वि-रैखिक प्रतिचित्रण के साथ $$T : X \times Y \to Z$$ जिसके पास निम्नलिखित सार्वभौमिक गुण है:


 * यदि $$T_1 : X \times Y \to Z_1$$ क्या कोई द्वि-रैखिक प्रतिचित्रण A में है $$\mathbb{K}$$-सदिश क्षेत्र $$Z_1,$$ तो वहाँ एक अद्वितीय रेखीय मानचित्रण $$f : Z \to Z_1$$ सम्मिलित है जैसे कि $$T_1 = f \circ T.$$

नीचे की छवि $$T$$ युग्म का $$(x, y)$$ में $$X \times Y$$ द्वारा $$x \otimes y$$ निरूपित किया जाता है और एक साधारण टेन्सर कहा जाता है। प्रत्येक तत्व $$z$$ में $$X \otimes Y$$ ऐसे सरल टेंसरों का परिमित योग है।

1955 में ए. ग्रोथेंडिक द्वारा प्रस्तुत किए गए प्रक्षेपीय गुणन-मानक और अंतःक्षेपक गुणन-मानक के बीच, अंतर्निहित वेक्टर स्पेस के टेंसर गुणनफल पर कई मानदंड रखे जा सकते हैं।

सामान्य रूप से, पूर्ण रिक्त समष्टि का टेन्सर गुणनफल फिर से पूर्ण नहीं होता है। बानाख रिक्त समष्टि के साथ काम करते समय, यह कहने की प्रथागत है कि प्रक्षेपी टेंसर गुणनफल दो बानाख समष्टि में से $$X$$ और $$Y$$ पूर्णता $$X \widehat{\otimes}_\pi Y$$ बीजगणितीय टेंसर गुणनफल का $$X \otimes Y$$ प्रक्षेपीय टेंसर मानक से कम है, और इसी तरह अंतःक्षेपक टेंसर गुणनफल के लिए $$X \widehat{\otimes}_\varepsilon Y$$ ग्रोथेंडिक ने विशेष रूप से प्रमाणित किया

$$\begin{align} C(K) \widehat{\otimes}_\varepsilon Y &\simeq C(K, Y), \\ L^1([0, 1]) \widehat{\otimes}_\pi Y &\simeq L^1([0, 1], Y), \end{align}$$ जहाँ $$K$$ सुसंहत हौसडॉर्फ समष्टि $$C(K, Y)$$ से सतत फलनों की बानाख समष्टि $$K$$ को $$Y$$ और $$L^1([0, 1], Y)$$ बोचनर-मापने योग्य और पूर्णांक फलनों का समष्टि $$[0, 1]$$ को $$Y,$$ और जहां समरूपताएं सममितीय हैं। उपरोक्त दो समाकृतिकता टेंसर भेजने वाले मानचित्र $$f \otimes y$$ के संबंधित विस्तार हैं और वेक्टर-मान फलन के लिए $$s \in K \to f(s) y \in Y$$ है।

टेंसर गुणनफल और सन्निकटन गुण
मान लीजिए $$X$$ बानाख समष्टि है। टेंसर गुणनफल $$X' \widehat \otimes_\varepsilon X$$ में संवृत होने के साथ सममितीय रूप से पहचाना जाता है और $$B(X)$$ परिमित क्रम संक्रिया के समुच्चय का समरूप है। जब $$X$$ सन्निकटन गुण है, यह संवरक सुसंहत संक्रिया के समष्टि के साथ $$X$$ समरूप है प्रत्येक बानाख समष्टि के लिए $$Y,$$ एक प्राकृतिक $$1$$ रैखिक मानचित्र मानक है $$Y \widehat\otimes_\pi X \to Y \widehat\otimes_\varepsilon X$$ बीजगणितीय टेन्सर गुणनफल के सर्वसमिका मानचित्र को विस्तारित करके प्राप्त किया गया। ग्रोथेंडिक ने सन्निकटन गुण को इस सवाल से संबंधित किया कि क्या यह मानचित्र एक-से-एक जब $$Y$$ का द्वि-द्वैत $$X$$ है। परिशुद्ध रूप से, प्रत्येक बानाख समष्टि के लिए $$X,$$ वो मानचित्र $$X' \widehat \otimes_\pi X \ \longrightarrow X' \widehat \otimes_\varepsilon X$$ एक-से-एक है यदि और केवल यदि $$X$$ सन्निकटन गुण है।

ग्रोथेंडिक ने अनुमान लगाया था कि $$X \widehat{\otimes}_\pi Y$$ और $$X \widehat{\otimes}_\varepsilon Y$$ जब भी अलग होना चाहिए तब $$X$$ और $$Y$$ अनंत-आयामी बानाख समष्टि हैं। यह 1983 में गाइल्स पिसिएर द्वारा अस्वीकृत किया गया था। पिसिएर ने एक अनंत-आयामी बानाख समष्टि $$X$$ का निर्माण किया। जैसे कि $$X \widehat{\otimes}_\pi X$$ और $$X \widehat{\otimes}_\varepsilon X$$ बराबर हैं। इसके अतिरिक्त, एंफ्लो के उदाहरण के रूप में, यह समष्टि $$X$$ एक हाथ से बनाया गया समष्टि है जो सन्निकटन गुण रखने में विफल रहता है। दूसरी ओर, सज़ांकोव्स्की ने सिद्ध किया कि उत्कृष्ट समष्टि $$B\left(\ell^2\right)$$ सन्निकटन गुण नहीं है।

बानाच समष्टि के बीच हिल्बर्ट समष्टि की विशेषताएं
बानाख समष्टि के मानक के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त $$X$$ एक आंतरिक गुणनफल से जुड़ा होना समांतर चतुर्भुज सर्वसमिका है:

$$

यह इस प्रकार है, उदाहरण के लिए, कि Lp समष्टि $$L^p([0, 1])$$ हिल्बर्ट समष्टि तभी है जब $$p = 2$$ यदि यह सर्वसमिका पूर्ण होती है, तो संबंधित आंतरिक गुणनफल ध्रुवीकरण सर्वसमिका द्वारा दिया जाता है। वास्तविक अदिशों के स्थिति में, यह देता है: $$\langle x, y\rangle = \tfrac{1}{4} \left(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2 \right).$$ जटिल सदिश के लिए, आंतरिक गुणनफल समष्टि को परिभाषित करना ताकि हो सके $$\Complex$$-रैखिक में $$x,$$ गैर-रैखिक मानचित्र में $$y,$$ ध्रुवीकरण सर्वसमिका देता है: $$\langle x,y\rangle = \tfrac{1}{4} \left(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2 + i \left(\|x+iy\|^2 - \|x-iy\|^2\right)\right).$$ यह देखने के लिए कि समांतर चतुर्भुज नियम पर्याप्त है, कोई वास्तविक स्थिति में देखता है कि $$\langle x, y \rangle$$ सममित है, और जटिल स्थिति में, कि यह हर्मिटियन समरूपता गुण को पूर्ण करता है और $$\langle i x, y \rangle = i \langle x, y \rangle$$ समांतर चतुर्भुज नियम का तात्पर्य $$\langle x, y \rangle$$ में योगात्मक $$x$$ है। यह इस प्रकार है कि यह परिमेय पर रैखिक है, इस प्रकार निरंतरता से रैखिक है।

हिल्बर्ट रिक्त समष्टि के लिए समाकृतिकता (सममितीय के अतिरिक्त) रिक्त समष्टि के कई लक्षण उपलब्ध हैं। समांतर चतुर्भुज नियम को दो से अधिक वेक्टरों तक बढ़ाया जा सकता है, और एक स्थिर $$c \geq 1$$ के साथ दो तरफा असमानता के प्रारंभ से दुर्बल हो सकता है: क्वापियन ने प्रमाणित कर दिया कि यदि $$c^{-2} \sum_{k=1}^n \left\|x_k\right\|^2 \leq \operatorname{Ave}_{\pm} \left\|\sum_{k=1}^n \pm x_k\right\|^2 \leq c^2 \sum_{k=1}^n \left\|x_k\right\|^2$$ प्रत्येक पूर्णांक के लिए $$n$$ और वैक्टर के सभी वर्ग$$\left\{ x_1, \ldots, x_n \right\} \subseteq X,$$ फिर बानाख समष्टि $$X$$ हिल्बर्ट समष्टि के लिए समाकृतिकता है। यहाँ, $$\operatorname{Ave}_{\pm}$$ से अधिक औसत दर्शाता $$2^n$$ संकेतों के संभावित विकल्प $$\pm 1$$ है उसी लेख में, क्वापियन ने प्रमाणित किया कि फूरियर रूपांतरण के लिए बैनच-मान पारसेवल के प्रमेय की वैधता बानाख समष्टि समाकृतिकता को हिल्बर्ट समष्टि की विशेषता बताती है।

लिंडेनस्ट्रॉस और ज़फ़रीरी ने प्रमाणित किया कि एक बानाख समष्टि जिसमें प्रत्येक संवृत रैखिक उप-समष्टि पूरक है (अर्थात, एक परिबद्ध रैखिक प्रक्षेपण की सीमा है) एक हिल्बर्ट समष्टि के लिए समाकृतिकता है। प्रमाण उच्च-आयामी केंद्रीय सममित उत्तल पिंडों के यूक्लिडियन वर्गों के बारे में ड्वोरेट्स्की के प्रमेय पर आधारित है। दूसरे शब्दों में, ड्वोरेट्स्की के प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक पूर्णांक के लिए $$n,$$ किसी भी परिमित-आयामी मानक समष्टि की तुलना में पर्याप्त रूप से बड़े आयाम के साथ $$n,$$ से लगभग सममितीय उपसमष्टि $$n$$-आयामी यूक्लिडियन समष्टि समाहित करता है।

अगला परिणाम तथाकथित सजातीय समष्टि समस्या का समाधान देता है। अनंत-आयामी बानाख समष्टि $$X$$ सजातीय कहा जाता है यदि यह अपने सभी अनंत-आयामी संवृत उप-समष्टि के लिए समाकृतिकता है। एक बैनच समष्टि समाकृतिकता से $$\ell^2$$ सजातीय है, और बनच ने इसके विपरीत के लिए कहा है।

$$

अनंत-आयामी बैनच समष्टि आनुवंशिक रूप से अपघटनीय है, जब इसका कोई उपस्थान दो अनंत-आयामी बैनच रिक्त समष्टि के प्रत्यक्ष योग के लिए समरूप नहीं हो सकता है। टिमोथी गोवर्स द्विभाजन प्रमेय दावा करता है कि प्रत्येक अनंत-आयामी बानाख समष्टि $$X$$ सम्मिलित है, या तो एक उप-समष्टि $$Y$$ शाउडरआधार के साथ बिना शर्त, या वंशानुगत रूप से अविभाज्य उप-समष्टि $$Z,$$ विशेष तरीके से, $$Z$$ अपने संवृत अधिसमतल के लिए समाकृतिकता नहीं है। यदि $$X$$ सजातीय है, इसलिए इसका बिना शर्त आधार होना चाहिए। इसके बाद कोमोरोव्स्की और निकोल टोम्ज़ाक-जेगेर्मन द्वारा प्राप्त आंशिक समाधान से अनुसरण किया जाता है। जब $$X$$ के लिए $$\ell^2$$ समाकृतिकता है।

मीट्रिक वर्गीकरण
यदि $$T : X \to Y$$ बानाख समष्टि से एक सममितीय है $$X$$ बानाख समष्टि पर $$Y$$ (जहां दोनों $$X$$ और $$Y$$ सदिश समष्टि $$\R$$ समाप्त हो गए हैं ), तो मजूर-उलम प्रमेय कहता है कि $$T$$ एक एफीन परिवर्तन होना चाहिए। विशेष रूप से, यदि $$T(0_X) = 0_Y,$$ यह है $$T$$ के शून्य को मानचित्र करता है $$X$$ के शून्य तक $$Y,$$ तब $$T$$ रैखिक होना चाहिए। इस परिणाम का अर्थ है कि बानाख रिक्त समष्टि में मीट्रिक, और अधिक सामान्य रूप से मानक समष्टि में, उनकी रैखिक संरचना को पूरी तरह से प्रग्रहण करता है।

सांस्थितिक वर्गीकरण
परिमित आयामी बानाख रिक्त समष्टि स्थलीय रिक्त समष्टि के रूप में होमोमॉर्फिक हैं, यदि और केवल यदि उनके पास वास्तविक वेक्टर रिक्त समष्टि के समान आयाम हैं।

एंडरसन-केडेक प्रमेय (1965-66) प्रमाणित करता है कि कोई भी दो अनंत-आयामी वियोज्य समष्टि बानाख रिक्त समष्टि सामयिक समष्टि के रूप में होमियोमॉर्फिक हैं। कैडेक के प्रमेय को टोरुनज़िक द्वारा बढ़ाया गया था, जो प्रमाणित हुआ कि कोई भी दो बानाख समष्टि होमोमॉर्फिक हैं यदि और केवल यदि उनके पास समान समुच्चय-सैद्धांतिक सांस्थिति प्रमुख फलन हैं, तो सघन उपसमुच्चय की न्यूनतम मूलता होती है।

सतत फलनों के समष्टि
जब दो सुसंहत हॉउसडॉर्फ रिक्त समष्टि $$K_1$$ और $$K_2$$ होमोमोर्फिज्म हैं, बानाख समष्टि $$C\left(K_1\right)$$ और $$C\left(K_2\right)$$ सममितीय हैं। इसके विपरीत जब $$K_1$$ के लिए होमियोमॉर्फिक नहीं है $$K_2,$$ (गुणक) बानाख-मजूर के बीच की दूरी $$C\left(K_1\right)$$ और $$C\left(K_2\right)$$ से अधिक या $$2$$ बराबर होना चाहिए अमीर और कैम्बरन द्वारा ऊपर दिए गए परिणाम देखें। यद्यपि अनंत सुसंहत मीट्रिक रिक्त समष्टि में अलग-अलग होमियोमॉर्फी प्रकार हो सकते हैं, मिलुटिन के कारण निम्नलिखित परिणाम होते हैं:

$$

गणनीय समुच्चय सुसंहत हौसडॉर्फ समष्टि के लिए स्थिति अलग है। प्रत्येक गणनीयत: अनंत सुसंहत $$K$$ क्रमिक संख्याओं के कुछ संवृत अंतराल के लिए होमोमोर्फिक है $$\langle 1, \alpha \rangle = \{ \gamma \ :\ 1 \leq \gamma \leq \alpha\}$$ क्रम सांस्थिति से लैस है, जहां $$\alpha$$ एक गणनीय अनंत क्रमसूचक है। बानाख समष्टि $$C(K)$$ तो $α = ω$ सममितीय है जब $$\alpha, \beta$$ दो अनगिनत अनंत क्रमसूचक हैं, और मानते हैं कि $$\alpha \leq \beta,$$ रिक्त समष्टि $C(⟨1, α⟩)$ और $C(⟨1, α⟩)$ समाकृतिकता हैं यदि और केवल यदि $C(⟨1, β⟩)$ समष्टि है। उदाहरण के लिए, बानाख रिक्त समष्टि $$C(\langle 1, \omega\rangle), \ C(\langle 1, \omega^{\omega} \rangle), \ C(\langle 1, \omega^{\omega^2}\rangle), \ C(\langle 1, \omega^{\omega^3} \rangle), \cdots, C(\langle 1, \omega^{\omega^\omega} \rangle), \cdots$$ परस्पर गैर-समरूपी हैं।

उदाहरण
नीचे दी गई तालिका के लिए प्रतीकों की शब्दावली:

डेरिवेटिव्स
अवकलज की कई अवधारणाओं को बानाच समष्टि पर परिभाषित किया जा सकता है। विवरण के लिए फ्रेचेट अवकलज और गेटॉक्स अवकलज पर लेख देखें। फ़्रेचेट अवकलज बानाख समष्टि के कुल अवकलज की अवधारणा के विस्तार के लिए स्वीकृति देता है। गेटॉक्स अवकलज स्थानीय रूप से उत्तल सांंस्थितिक वेक्टर रिक्त समष्टि के लिए एक दिशात्मक अवकलज के विस्तार की स्वीकृति देता है। गैटॉक्स अवकलन की तुलना में फ्रेचेट अवकलन एक प्रबल स्थिति है। अर्ध-अवकलज दिशात्मक व्युत्पत्ति का एक और सामान्यीकरण है जो गेटॉक्स विभेदीकरण की तुलना में एक प्रबल स्थिति का तात्पर्य है, लेकिन फ्रेचेट अवकलन की तुलना में दुर्बल स्थिति है।

सामान्यीकरण
कार्यात्मक विश्लेषण में कई महत्वपूर्ण समष्टि, उदाहरण के लिए सभी अधिकतम रूप से अलग-अलग फलनों का समष्टि $$\R \to \R,$$ या सभी वितरण (गणित) का समष्टि $$\R,$$ पूर्ण हैं लेकिन मानक सदिश समष्टि नहीं हैं और इसलिए बानाख समष्टि नहीं हैं। फ्रेचेट समष्टि में अभी भी एक पूर्ण मेट्रिक समष्टि है, जबकि वामो-समष्टि पूर्ण एकसमान समष्टि वेक्टर समष्टि हैं जो फ्रेचेट समष्टि की सीमा के रूप में उत्पन्न होते हैं।

यह भी देखें

 * समष्टि (गणित) – कुछ अतिरिक्त संरचना के साथ गणितीय समुच्चय
 * फ्रेचेट समष्टि - स्थानीय रूप से उत्तल सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि जो कि एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि भी है
 * हार्डी समष्टि - जटिल विश्लेषण के अंदर अवधारणा
 * हिल्बर्ट समष्टि - सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि का प्रकार
 * आंतरिक गुणनफलों का सामान्यीकरण जो सभी मानक समष्टि पर प्रयुक्त होता है
 * -परिमित-आयामी p मानक समष्टि को सामान्य बनाने वाले फलन समष्टि
 * सोबोलेव समष्टि - गणित में फलन का वेक्टर समष्टि
 * बनच लैटिस - लैटिस की संगत संरचना के साथ बनच समष्टि
 * बानाच डिस्क
 * बनच समष्टि पर कई गुना मॉडलिंग
 * बनच बंडल - वेक्टर बंडल जिसके तन्तु बनच समष्टि बनाते हैं
 * विरूपण समस्या
 * प्रक्षेप समष्टि
 * स्थानीय रूप से उत्तल सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि - उत्तल विवृत समुच्चय द्वारा परिभाषित सांंस्थिति के साथ एक वेक्टर समष्टि
 * उत्तलता का मापांक और विशेषता
 * स्मिथ समष्टि - एक सार्वभौमिक सुसंहत समुच्चय के साथ पूरी तरह से स्थानीय रूप से उत्पन्न उत्तल समष्टि
 * सांस्थितिक सदिश समष्टि - निकटता की धारणा के साथ सदिश समष्टि