संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या

गणित में, संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या मैट्रिक्स के सेट के लिए मैट्रिक्स के वर्णक्रमीय त्रिज्या की शास्त्रीय धारणा का सामान्यीकरण है। हाल के वर्षों में इस धारणा को बड़ी संख्या में इंजीनियरिंग क्षेत्रों में अनुप्रयोग मिला है और यह अभी भी सक्रिय शोध का विषय है।

सामान्य विवरण
मैट्रिक्स के सेट की संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या उस सेट में लिए गए मैट्रिक्स के उत्पादों की अधिकतम स्पर्शोन्मुख वृद्धि दर है। मैट्रिक्स के सीमित (या अधिक सामान्यतः कॉम्पैक्ट) सेट के लिए $$\mathcal M=\{A_1,\dots, A_m\} \subset \mathbb R^{n \times n},$$ संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:


 * $$\rho (\mathcal M)= \lim_{k \to

\infty}\max{\{ \|A_{i_1}\cdots A_{i_k}\|^{1/k}:A_i\in\mathcal M\}}. \, $$ यह साबित किया जा सकता है कि सीमा मौजूद है और मात्रा वास्तव में चुने गए मैट्रिक्स मानदंड पर निर्भर नहीं करती है (यह किसी भी मानक के लिए सच है लेकिन यह देखना विशेष रूप से आसान है कि क्या मानदंड मैट्रिक्स मानदंड | उप-गुणक है)। संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या की शुरुआत 1960 में जियान-कार्लो रोटा और गिल्बर्ट स्ट्रैंग द्वारा की गई थी, मैसाचुसेट्स की तकनीकी संस्था के दो गणितज्ञ, लेकिन इंग्रिड डौबेचीज़ और जेफ़री लागरियास के काम से ध्यान आकर्षित करना शुरू कर दिया। उन्होंने दिखाया कि संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या का उपयोग कुछ वेवलेट#वेवलेट फ़ंक्शन की चिकनाई गुणों का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है। तब से बड़ी संख्या में आवेदन प्रस्तावित किए गए हैं। यह ज्ञात है कि संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या मात्रा एनपी-गणना या अनुमानित करने के लिए कठिन है, भले ही सेट हो $$\mathcal M$$ इसमें केवल दो मैट्रिक्स होते हैं जिनमें दोनों की सभी गैर-शून्य प्रविष्टियाँ होती हैं आव्यूह जो समान होने के लिए बाध्य हैं। इसके अलावा, सवाल$$\rho\leq 1 ?$$एक अनिर्णीत समस्या है. फिर भी, हाल के वर्षों में इसकी समझ पर बहुत प्रगति हुई है, और ऐसा प्रतीत होता है कि व्यवहार में संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या की गणना अक्सर संतोषजनक परिशुद्धता के साथ की जा सकती है, और यह इंजीनियरिंग और गणितीय समस्याओं में दिलचस्प अंतर्दृष्टि भी ला सकती है।

सन्निकटन एल्गोरिदम
संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या संगणना पर नकारात्मक सैद्धांतिक परिणामों के बावजूद, ऐसे तरीके प्रस्तावित किए गए हैं जो व्यवहार में अच्छा प्रदर्शन करते हैं। एल्गोरिदम भी ज्ञात हैं, जो प्रारंभिक गणना योग्य समय में मनमानी सटीकता तक पहुंच सकते हैं। इन एल्गोरिदम को विशेष वेक्टर मानदंड की यूनिट बॉल का अनुमान लगाने की कोशिश के रूप में देखा जा सकता है, जिसे चरम मानदंड कहा जाता है। आम तौर पर ऐसे एल्गोरिदम के दो परिवारों के बीच अंतर किया जाता है: पहला परिवार, जिसे पॉलीटोप मानक विधियां कहा जाता है, बिंदुओं के लंबे प्रक्षेपवक्र की गणना करके चरम मानदंड का निर्माण करता है। इन तरीकों का फायदा यह है कि अनुकूल मामलों में यह संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या का सटीक मान पा सकता है और प्रमाण पत्र प्रदान कर सकता है कि यह सटीक मान है।

तरीकों का दूसरा परिवार आधुनिक अनुकूलन तकनीकों के साथ चरम मानदंड का अनुमान लगाता है, जैसे कि दीर्घवृत्ताकार मानदंड सन्निकटन, अर्धनिश्चित प्रोग्रामिंग, बहुपद एसओएस, और शंकु अनुकूलन. इन विधियों का लाभ यह है कि इन्हें लागू करना आसान है, और व्यवहार में, वे आम तौर पर संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या पर सर्वोत्तम सीमाएं प्रदान करते हैं।

परिमितता अनुमान
संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या की संगणना से संबंधित निम्नलिखित अनुमान है: मैट्रिक्स के किसी भी सीमित सेट के लिए $$\mathcal M \subset \mathbb R^{n \times n},$$ उत्पाद है $$ A_1\dots A_t$$ इस सेट में मैट्रिक्स की संख्या इस प्रकार है
 * $$\rho(\mathcal M) = \rho(A_1 \dots A_t)^{1/t}.$$उपरोक्त समीकरण में$$ \rho(A_1 \dots A_t)$$मैट्रिक्स की शास्त्रीय वर्णक्रमीय त्रिज्या को संदर्भित करता है $$A_1 \dots A_t.$$

1995 में प्रस्तावित यह अनुमान 2003 में ग़लत साबित हुआ। उस संदर्भ में प्रदान किया गया प्रति-उदाहरण उन्नत माप-सैद्धांतिक विचारों का उपयोग करता है। इसके बाद, कई अन्य प्रति-उदाहरण प्रदान किए गए हैं, जिसमें प्राथमिक प्रति-उदाहरण भी शामिल है जो सरल संयोजन गुण मैट्रिक्स का उपयोग करता है और गतिशील सिस्टम गुणों पर आधारित प्रति-उदाहरण। हाल ही में स्पष्ट प्रति उदाहरण प्रस्तावित किया गया है। इस अनुमान से संबंधित कई प्रश्न अभी भी खुले हैं, उदाहरण के लिए यह जानने का प्रश्न कि क्या यह बाइनरी मैट्रिक्स के जोड़े के लिए मान्य है।

अनुप्रयोग
संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या को अलग-अलग समय स्विचिंग गतिशील प्रणालियों के लिए स्थिरता की स्थिति के रूप में इसकी व्याख्या के लिए पेश किया गया था। दरअसल, समीकरणों द्वारा परिभाषित प्रणाली
 * $$x_{t+1}=A_tx_{t}, \quad A_t\in \mathcal M \, \forall t$$

ल्यपुनोव स्थिरता है यदि और केवल यदि $$\rho(\mathcal M)<1.$$ संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या तब लोकप्रिय हो गई जब इंग्रिड ड्यूबेचिस और जेफरी लागरियास ने दिखाया कि यह कुछ तरंगिका कार्यों की निरंतरता को नियंत्रित करता है। तब से, इसे कई अनुप्रयोग मिले हैं, जिनमें संख्या सिद्धांत से लेकर सूचना सिद्धांत, स्वायत्त एजेंट सर्वसम्मति, शब्दों पर संयोजकता,... शामिल हैं।

संबंधित धारणाएँ
संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या कई मैट्रिक्स के सेट के लिए मैट्रिक्स के वर्णक्रमीय त्रिज्या का सामान्यीकरण है। हालाँकि, मैट्रिक्स के सेट पर विचार करते समय बहुत अधिक मात्राएँ परिभाषित की जा सकती हैं: संयुक्त वर्णक्रमीय सबरेडियस द्वारा उत्पन्न अर्धसमूह में उत्पादों की वृद्धि की न्यूनतम दर की विशेषता है $$\mathcal M$$. पी-त्रिज्या इसकी वृद्धि दर को दर्शाता है $$L_p$$ अर्धसमूह में उत्पादों के मानदंडों का औसत। मैट्रिक्स के सेट के लायपुनोव प्रतिपादक ज्यामितीय औसत की वृद्धि दर की विशेषता बताते हैं।

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