सहज अतिसूक्ष्म विश्लेषण

स्मूथ बहुत छोता विश्लेषण, इनफिनिटिमल के संदर्भ में कलन का एक आधुनिक सुधार है। एफडब्ल्यू लॉवर के विचारों के आधार पर और श्रेणी सिद्धांत के तरीकों को नियोजित करते हुए, यह सभी फ़ंक्शन (गणित) को निरंतर कार्य के रूप में देखता है और असतत गणित इकाइयों के संदर्भ में व्यक्त होने में असमर्थ है। एक सिद्धांत के रूप में, यह सिंथेटिक विभेदक ज्यामिति का एक उपसमूह है।

निलस्क्वेयर या निलपोटेंट इनफिनिटिमल्स संख्याएं ε हैं जहां ε² = 0 सत्य है, लेकिन ε = 0 का एक ही समय में सत्य होना आवश्यक नहीं है।

अवलोकन
यह दृष्टिकोण बहिष्कृत मध्य के नियम को नकारते हुए पारंपरिक गणित में प्रयुक्त शास्त्रीय तर्क से हटकर है, उदाहरण के लिए, NOT (a ≠ b) का अर्थ a = b नहीं है। विशेष रूप से, सहज अतिसूक्ष्म विश्लेषण के सिद्धांत में कोई भी सभी अतिसूक्ष्मों के लिए ε, नहीं (ε ≠ 0) सिद्ध कर सकता है; फिर भी यह सिद्ध रूप से गलत है कि सभी अतिसूक्ष्म शून्य के बराबर होते हैं। कोई यह देख सकता है कि बहिष्कृत मध्य का नियम निम्नलिखित मूल प्रमेय (फिर से, सहज अतिसूक्ष्म विश्लेषण के सिद्धांत के संदर्भ में समझा गया) से मेल नहीं खा सकता है:


 * प्रत्येक फ़ंक्शन जिसके फ़ंक्शन का डोमेन 'R' है, वास्तविक संख्याएं, निरंतर और सुचारू फ़ंक्शन है।

इस तथ्य के बावजूद, कोई व्यक्ति x = 0 के लिए f(x) = 1, और x ≠ 0 के लिए f(x) = 0 निर्दिष्ट करके एक असंतत फलन f(x) को परिभाषित करने का प्रयास कर सकता है। यदि बहिष्कृत मध्य का नियम कायम रहता है, तो यह एक पूर्णतः परिभाषित, असंतत कार्य होगा। हालाँकि, बहुत सारे x हैं, अर्थात् अनंतिम, जैसे कि न तो x = 0 और न ही x ≠ 0 है, इसलिए फ़ंक्शन वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित नहीं है।

सहज अतिसूक्ष्म विश्लेषण के विशिष्ट मॉडल सिद्धांत में, अतिसूक्ष्म उल्टे नहीं होते हैं, और इसलिए सिद्धांत में अनंत संख्याएँ नहीं होती हैं। हालाँकि, ऐसे मॉडल भी हैं जिनमें उलटे इन्फिनिटिमल्स शामिल हैं।

अन्य गणितीय प्रणालियाँ मौजूद हैं जिनमें अमानक विश्लेषण और अतियथार्थवादी संख्याओं सहित अनंतसूक्ष्म शामिल हैं। सहज अतिसूक्ष्म विश्लेषण इस मायने में गैरमानक विश्लेषण की तरह है कि (1) इसका उद्देश्य गणितीय विश्लेषण के लिए आधार के रूप में काम करना है, और (2) अतिसूक्ष्म मात्राओं का ठोस आकार नहीं होता है (अतियथार्थियों के विपरीत, जिसमें एक विशिष्ट अतिसूक्ष्म मात्रा होती है 1/ω, जहां ω एक वॉन न्यूमैन ऑर्डिनल है)। हालाँकि, सहज अतिसूक्ष्म विश्लेषण गैर-शास्त्रीय तर्क के उपयोग और स्थानांतरण सिद्धांत की कमी के कारण गैर-मानक विश्लेषण से भिन्न होता है। मानक और गैर-मानक विश्लेषण के कुछ प्रमेय सहज अनंतिम विश्लेषण में झूठे हैं, जिनमें मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय और बानाच-टार्स्की विरोधाभास शामिल हैं। गैर-मानक विश्लेषण में कथनों को सीमा (गणित) के बारे में कथनों में अनुवादित किया जा सकता है, लेकिन सहज अनंतिम विश्लेषण में यह हमेशा सत्य नहीं होता है।

सहज रूप से, सहज अतिसूक्ष्म विश्लेषण की व्याख्या एक ऐसी दुनिया का वर्णन करने के रूप में की जा सकती है जिसमें रेखाएँ बिन्दुओं से नहीं, बल्कि अतिसूक्ष्म छोटे खंडों से बनी होती हैं। इन खंडों को एक निश्चित दिशा के लिए पर्याप्त लंबा माना जा सकता है, लेकिन घुमावदार होने के लिए पर्याप्त लंबा नहीं। असंतत कार्यों का निर्माण विफल हो जाता है क्योंकि एक फ़ंक्शन की पहचान एक वक्र से की जाती है, और वक्र का निर्माण बिंदुवार नहीं किया जा सकता है। हम मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय की विफलता की कल्पना कर सकते हैं जो एक रेखा को घेरने की एक अतिसूक्ष्म खंड की क्षमता के परिणामस्वरूप हुई है। इसी प्रकार, बानाच-टार्स्की विरोधाभास विफल हो जाता है क्योंकि किसी आयतन को बिंदुओं में विभाजित नहीं किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * श्रेणी सिद्धांत
 * गैर-मानक विश्लेषण
 * सिंथेटिक विभेदक ज्यामिति
 * दोहरी संख्या

अग्रिम पठन

 * John Lane Bell, Invitation to Smooth Infinitesimal Analysis (PDF file)
 * Ieke Moerdijk and Reyes, G.E., Models for Smooth Infinitesimal Analysis, Springer-Verlag, 1991.

बाहरी संबंध

 * Michael O'Connor, An Introduction to Smooth Infinitesimal Analysis