डायनामिक परफेक्ट हैशिंग

कंप्यूटर विज्ञान में, डायनामिक परफेक्ट हैशिंग हैश तालिका डेटा संरचना में विखंडन को समाधान करने के लिए प्रोग्रामिंग तकनीक है। जबकि इसके हैश टेबल समकक्षों की तुलना में अधिक मेमोरी-सघन है, यह तकनीक उन स्थितियों के लिए उपयोगी है जहां एलिमेंट्स के बड़े समूह पर शीघ्र क्वेरी, सम्मिलन और विलोपन किया जाना चाहिए।

एफकेएस योजना
इष्टतम स्थैतिक हैशिंग की समस्या को सबसे पहले सामान्यतः फ्रेडमैन, कोमलोस और ज़ेमेरेडी द्वारा समाधान किया गया था। उनके 1984 के पेपर में, वे दो-स्तरीय हैश तालिका योजना का विवरण देते हैं जिसमें (प्रथम-स्तर) हैश तालिका की प्रत्येक बकेट विभिन्न दूसरे-स्तरीय हैश तालिका से युग्मित होती है। कुंजियाँ दो बार हैश की जाती हैं—प्रथम हैश मान प्रथम-स्तरीय हैश तालिका में निश्चित बकेट में मैप होता है; दूसरा हैश मान उस बकेट की दूसरी-स्तरीय हैश तालिका में उस प्रविष्टि की स्थिति बताता है। दूसरे स्तर की तालिका के निर्माण पर विखंडन-मुक्त (अर्थात सही हैशिंग) होने का आश्वासन है। परिणाम स्वरुप, सबसे व्यर्थ स्थिति में लुक-अप व्यय O(1) होने का आश्वासन है।

स्थैतिक स्तिथि में, हमें समय से पहले, कुल $x$ प्रविष्टियों के साथ सेट दिया जाता है, प्रत्येक में अद्वितीय कुंजी होती है। फ़्रेडमैन, कोमलोस और ज़ेमेरेडी आकार के साथ प्रथम-स्तरीय हैश तालिका का चयन $$s = 2(x-1)$$ करते हैं।

निर्माण के लिए, $x$ प्रविष्टियों को शीर्ष-स्तरीय हैशिंग फ़ंक्शन द्वारा $s$ बकेट में भिन्न किया जाता है, जहाँ $$s = 2(x-1)$$ फिर $k$ प्रविष्टियों वाली प्रत्येक बकेट के लिए, एक दूसरे स्तर की तालिका आवंटित की जाती है $$k^2$$ स्लॉट, और इसके हैश फंकशन को सार्वभौमिक हैश फ़ंक्शन सेट से यादृच्छिक रूप से चयन किया जाता है जिससे यह विखंडन-मुक्त हो (अर्थात परफेक्ट हैश फ़ंक्शन) और हैश तालिका के साथ संग्रहीत हो। यदि यादृच्छिक रूप से चयनित यूनिवर्सल हैश फ़ंक्शन विखंडन-मुक्त तालिका का आश्वासन होने तक नया हैश फ़ंक्शन यादृच्छिक रूप से चयन किया जाता है। अंत में, विखंडन-मुक्त हैश के साथ, $k$ प्रविष्टियों को दूसरे स्तर की तालिका में हैश किया जाता है।

द्विघात आकार $$k^2$$ स्पेस यह सुनिश्चित करता है कि विखंडन के साथ अव्यवस्थित रूप से तालिका बनाना दुर्लभ है और $k$, के आकार से स्वतंत्र है, जो रैखिक परिशोधन निर्माण समय प्रदान करता है। यद्यपि प्रत्येक दूसरे स्तर की तालिका में द्विघात स्थान की आवश्यकता होती है, यदि प्रथम स्तर की हैश तालिका में उत्पन्न की गई कुंजियाँ समान रूप से वितरित की जाती हैं, तो समग्र रूप से संरचना अपेक्षित स्थान लेती है $$O(n)$$ स्थान, चूंकि बकेट का आकार छोटा है और इसकी संभावना अधिक है।

प्रथम-स्तरीय हैश फ़ंक्शन को विशेष रूप से चयन किया जाता है, जिससे $x$ अद्वितीय कुंजी मानों के विशिष्ट सेट के लिए, सभी दूसरे-स्तरीय हैश तालिकाओं द्वारा उपयोग की जाने वाली कुल स्थान $T$ अपेक्षित हो $$O(n)$$ स्थान, और अधिक विशेष रूप से $$T < s + 4 \cdot x$$ फ्रेडमैन, कोमलोस और ज़ेमेरेडी ने दिखाया कि हैश फ़ंक्शंस के सार्वभौमिक हैशिंग सदस्य को देखते हुए, उनमें से कम से कम अर्ध फ़ंक्शंस में वह गुण होता है।

डायनामिक केस

डिट्ज़फेलबिंगर एट अल डायनामिक शब्दकोश एल्गोरिथ्म प्रस्तुत करते है, जब n आइटमों का सेट शब्दकोष में क्रमिक रूप से जोड़ा जाता है, तो सदस्यता क्वेरी सदैव निरंतर समय में चलती हैं और इसलिए $$O(1)$$ सबसे व्यर्थ स्थिति में, आवश्यक कुल भंडारण है $$O(n)$$ (रैखिक), और $$O(1)$$ अपेक्षित परिशोधन सम्मिलन और विलोपन समय (परिशोधन स्थिर समय) है।

डायनामिक स्तिथि में, जब कुंजी को हैश तालिका में डाला जाता है, यदि उसके संबंधित उप-तालिका में उसकी प्रविष्टि पर प्रभुत्व कर लिया जाता है, तो विखंडन होता है और उप-तालिका को उसकी नई कुल प्रविष्टि की गणना करना और यादृच्छिक रूप से चयनित हैश फ़ंक्शन के आधार पर फिर से बनाया जाता है। क्योंकि द्वितीय स्तर के टेबल का लोड फैक्टर कम रखा जाता है $$1/k$$, पुनर्निर्माण दुर्लभ है, और सम्मिलन की परिशोधन विश्लेषण अपेक्षित व्यय है $$O(1)$$ इसी प्रकार, विलोपन की परिशोधित अपेक्षित व्यय है।

इसके अतिरिक्त, डायनामिक स्तिथि में शीर्ष-स्तरीय तालिका या किसी उप-सारणी का अंतिम आकार अज्ञात है। आशा बनाए रखने की विधि $$O(n)$$ स्थान पर्याप्त संख्या में सम्मिलन और विलोपन होने पर पूर्ण पुनर्निर्माण का संकेत देता है। डाइट्ज़फेलबिंगर एट अल के परिणामों के आधार पर, जब तक सम्मिलन या विलोपन की कुल संख्या पिछले निर्माण के समय एलिमेंट्स की संख्या से अधिक हो जाती है, तब तक सम्मिलन और विलोपन की परिशोधित अपेक्षित व्यय बनी रहती है $$O(1)$$ पूर्ण पुनर्रचना को ध्यान में रखते है।

डाइट्ज़फेलबिंगर एट अल द्वारा डायनामिक परफेक्ट हैशिंग का कार्यान्वयन है। इन अवधारणाओं का उपयोग करता है, साथ ही लेज़ी विलोपन भी करता है, और नीचे छद्म कोड में दिखाया गया है।

लोकेट
function Locate(x) is j := h(x) if (position hj(x) of subtable Tj contains x (not deleted)) return (x is in S) end if else return (x is not in S) end else end

इन्सर्ट
j पर नई प्रविष्टि x को सम्मिलित करने के समय, वैश्विक संचालन काउंटर, गिनती, बढ़ जाती है।

यदि x, j पर उपस्थित है, किन्तु विस्थापित किये गए के रूप में चिह्नित है, तो प्रतीक विस्थापित कर दिया जाता है।

यदि x, j या उपसारणी Tj पर उपस्थित है, और विस्थापित किये गए के रूप में चिह्नित नहीं किया गया है, तो कहा जाता है कि विखंडन होता है और jth बकेट की दूसरी-स्तरीय तालिका Tj को भिन्न यादृच्छिक रूप से चयनित हैश फ़ंक्शन hj के साथ फिर से बनाया गया है।

function Insert(x) is count = count + 1; if (count > M) FullRehash(x); end if else j = h(x); if (Position hj(x) of subtable Tj contains x) if (x is marked deleted) remove the delete marker; end if end if else bj = bj + 1; if (bj <= mj) if position hj(x) of Tj is empty store x in position hj(x) of Tj; end if else Put all unmarked elements of Tj in list Lj; Append x to list Lj; bj = length of Lj; repeat hj = randomly chosen function in Hsj; until hj is injective on the elements of Lj; for all y on list Lj store y in position hj(y) of Tj; end for end else end if else mj = 2 * max{1, mj}; sj = 2 * mj * (mj - 1); if the sum total of all sj ≤ 32 * M2 / s(M) + 4 * M Allocate sj cells for Tj; Put all unmarked elements of Tj in list Lj; Append x to list Lj; bj = length of Lj; repeat hj = randomly chosen function in Hsj; until hj is injective on the elements of Lj; for all y on list Lj store y in position hj(y) of Tj; end for end if

else FullRehash(x); end else end else end else end else end

डिलीट
x का विलोपन केवल x को डिलीट किये बिना और वेतन वृद्धि की गिनती के रूप में चिह्नित करता है। सम्मिलन और विलोपन दोनों की स्तिथि में, यदि गिनती सीमा M तक पहुंचती है तो पूर्ण तालिका फिर से बनाई जाती है, जहां M नए चरण के प्रारंभ में S के आकार का कुछ स्थिर गुणक है। यहां चरण का तात्पर्य पूर्ण पुनर्निर्माण के मध्य के समय से है। ध्यान दें कि यहां Delete(x) में -1 ऐसे तत्व का प्रतिनिधित्व है जो सभी संभावित एलिमेंट्स U के सेट में नहीं है।

function Delete(x) is count = count + 1;

j = h(x); if position hj(x) of subtable Tj contains x mark x as deleted; end if else return (x is not a member of S); end else if (count >= M) FullRehash(-1); end if end

पूर्ण पुनर्निर्माण
S की तालिका का पूर्ण पुनर्निर्माण सबसे पहले विस्थापित किये गए के रूप में चिह्नित सभी एलिमेंट्स को विस्थापित करके प्रारंभ होता है और फिर अगले थ्रेशोल्ड मान M को S के आकार के कुछ स्थिर गुणक पर सेट करता है। हैश फ़ंक्शन, जो S को s(M) उपसमुच्चय में विभाजित करता है, जहां उपसमुच्चय j का आकार sj है, इसे तब तक बार-बार यादृच्छिक रूप से चयन किया जाता है:

$$\sum_{0\le j\le s(M)} s_j \le \frac{32M^2}{s(M)} + 4M.$$

अंत में, प्रत्येक उपसारणी Tj के लिए हैश फ़ंक्शन Hj को Hsj से बार-बार यादृच्छिक रूप से चयन किया जाता है जब तक hj ,Tj के तत्वों पर प्रवेश न हो जाए। आकार n के साथ S की तालिका के पूर्ण पुनर्निर्माण के लिए अपेक्षित समय O(n) है। function FullRehash(x) is Put all unmarked elements of T in list L; if (x is in U) append x to L; end if count = length of list L; M = (1 + c) * max{count, 4}; repeat h = randomly chosen function in Hs(M); for all j < s(M) form a list Lj for h(x) = j; bj = length of Lj; mj = 2 * bj; sj = 2 * mj * (mj - 1); end for until the sum total of all sj ≤ 32 * M2 / s(M) + 4 * M for all j < s(M) Allocate space sj for subtable Tj; repeat hj = randomly chosen function in Hsj; until hj is injective on the elements of list Lj; end for for all x on list Lj store x in position hj(x) of Tj;

end for

end

यह भी देखें

 * परफेक्ट हैशिंग