आंतरिक समुच्चय सिद्धांत

आंतरिक समुच्चय सिद्धांत (आईSटी) एडवर्ड नेल्सन द्वारा विकसित समुच्चय (गणित) का ऐसा गणितीय सिद्धांत है, जो अब्राहम रॉबिन्सन द्वारा प्रस्तुत किए गए गैर-मानक विश्लेषण के भाग के लिए स्वयंसिद्ध आधार प्रदान करता है। इस प्रकार वास्तविक संख्याओं में नए तत्व जोड़ने के अतिरिक्त, नेल्सन का दृष्टिकोण वाक्यात्मक संवर्धन के माध्यम से स्वयंसिद्ध आधारों को संशोधित करता है। इस प्रकार स्वयंसिद्ध से जुड़े नये शब्दों को मानक द्वारा प्रस्तुत किया जाता हैं, जिसका उपयोग पारंपरिक ज़र्मेलो-फ्रेंकेल के लिए स्वयंसिद्ध के अनुसार इस प्रकार के अंतर को संभव नहीं बनाने के लिए उपयोग किया जा सकता है। इस प्रकार आईSटी ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत का संवर्धन है: जिसके आधार पर जेडFसी के सभी स्वयंसिद्ध सभी मौलिक विधेय के लिए संतुष्ट हैं, जबकि इस प्रकार के नये यूनरी विधेय मानक तीन अतिरिक्त स्वयंसिद्ध i, s और t को संतुष्ट करते है। इस प्रकार विशेष रूप से समुच्चय के भीतर उपयुक्त गैरमानक तत्व वास्तविक संख्याओं में ऐसे गुण दिखाए जा सकते हैं जो अतिसूक्ष्म और असीमित तत्वों के गुणों के अनुरूप रहते हैं।

नेल्सन के सूत्रीकरण को मेटा-गणितीय तर्क की कई जटिलताओं को छोड़कर साधारण गणितज्ञों के लिए और अधिक सुलभ बना दिया गया है, जिन्हें प्रारंभ में अनंत तत्वों वाली संख्या प्रणालियों की स्थिरता को सख्ती से उचित ठहराने की आवश्यकता थी।

सहज औचित्य
जबकि आईSटी में पूर्ण रूप से औपचारिक स्वयंसिद्ध की योजना है, जिसका वर्णन नीचे किया गया है, इस प्रकार मानक शब्दों के लिए उक्त अर्थ का सहजका से औचित्य वांछनीय किया गया है। यह औपचारिक सिद्धांत का हिस्सा 'नहीं' है, अपितु शैक्षणिक उपकरण है, जो छात्र को औपचारिकता की व्याख्या करने में सहायता करता है। इस प्रकार आवश्यक अंतर, निश्चित संख्याओं की अवधारणा के समान अवधारणाओं के क्षेत्र की परिमितता के विपरीत है, जिसे हम निर्दिष्ट और चर्चा कर सकते हैं, संख्याओं के समुच्चय की असीमित अनंतता के साथ परिमितवाद के साथ तुलना करते हैं-
 * कोई भी व्यक्ति जिन प्रतीकों से लिखता है उनकी संख्या सीमित है।
 * किसी भी पृष्ठ पर गणितीय प्रतीकों की संख्या सीमित है।
 * गणितज्ञ अपने जीवनकाल में गणित के जितने पृष्ठ तैयार कर सकता है, उनकी संख्या सीमित है।
 * कोई भी व्यावहारिक गणितीय परिभाषा आवश्यक रूप से सीमित है।
 * गणितज्ञ अपने जीवनकाल में विशिष्ट वस्तुओं की केवल सीमित संख्या ही परिभाषित कर सकता है।
 * हमारी (संभवतः सीमित) सभ्यता के समय गणितज्ञों की संख्या सीमित होगी।
 * इसलिए पूर्ण संख्याओं का केवल सीमित समुच्चय है जिस पर हमारी सभ्यता अपने आवंटित जीवन काल में चर्चा कर सकती है।
 * वास्तव में वह सीमा क्या है, कई आकस्मिक सांस्कृतिक कारकों पर निर्भर होने के कारण, हमारे लिए अज्ञात है।
 * यह सीमा अपने आप में गणितीय जांच के लिए अतिसंवेदनशील नहीं है, अपितु ऐसी सीमा है, जबकि पूर्ण संख्याओं का समुच्चय बिना किसी सीमा के हमेशा के लिए जारी रहता है, यह गणितीय सत्य है।

इसलिए मानक शब्द को सहजता के साथ इस रूप में पूर्ण संख्याओं के कुछ आवश्यक सीमित भागों के अनुरूप माना जाता है। इस तर्क को वस्तुओं के किसी भी अनंत समुच्चय पर लागू किया जा सकता है - केवल इतने सारे तत्व हैं, जिन्हें कोई प्रतीकों के सीमित समुच्चय का उपयोग करके सीमित समय में निर्दिष्ट कर सकता है और इस प्रकार जो हमारे धैर्य और सहनशक्ति की सीमा से परे होते हैं, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता हम कैसे दृढ़ रखते हैं। हमें किसी भी अनंत समुच्चय के भीतर गैर-मानक तत्वों की प्रचुरता को स्वीकार करना चाहिए, इसे समझने के लिए बहुत बड़ी विलुप्ति प्राप्त हो गई हैं।

मानक विधेय के सिद्धांत
निम्नलिखित सिद्धांत उपरोक्त सहज प्रेरणा से अनुसरण करते हैं और इसलिए इन्हें औपचारिक सिद्धांतों से समझा जाना चाहिए। इसके लिए हम इस चर्चा के लिए उक्त क्षेत्र को पूर्ण संख्याओं के परिचित समुच्चय के रूप में लेते हैं।
 * कोई भी गणितीय अभिव्यक्ति जो स्पष्ट या अंतर्निहित रूप से नए विधेय मानक का उपयोग नहीं करती है, जो इसका आंतरिक सूत्र है।
 * ऐसा करने वाली कोई भी परिभाषा बाहरी सूत्र है।
 * आंतरिक सूत्र द्वारा विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट कोई भी संख्या मानक इस परिभाषा के अनुसार है।
 * गैरमानक संख्याएँ वे होती हैं जिन्हें आंतरिक सूत्र द्वारा विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट नहीं किया जा सकता हैं जिसे समयानुसार और इस क्षेत्र की सीमाओं के कारण उपयोग किया जाता हैं।
 * गैरमानक संख्याएं काल्पनिक हैं: प्रत्येक संख्या इतनी विशाल है कि उसे दशमलव अंकन या किसी अन्य प्रतिनिधित्व, स्पष्ट या अंतर्निहित, में प्रबंधित करना संभव नहीं है, चाहे आपका अंकन कितना भी सरल क्यों न हो। जो कुछ भी आप उत्पन्न करने में सफल होते हैं, इस प्रकार इस परिभाषा के अनुसार इसे मात्र अन्य मानक संख्याओं के रूप में निर्धारित किया जा सकता है।
 * फिर भी, 'एन' के किसी भी अनंत उपसमुच्चय में (कई) गैरमानक पूर्ण संख्याएँ हैं।
 * गैरमानक संख्याएँ पूर्ण रूप से सामान्य संख्याएँ होती हैं, जिनमें दशमलव निरूपण, अभाज्य गुणनखंड आदि होते हैं। प्राकृतिक संख्याओं पर लागू होने वाला प्रत्येक मौलिक प्रमेय गैरमानक प्राकृतिक संख्याओं पर भी लागू होता है। हमने नई संख्याएँ नहीं, बल्कि इसके लिए वर्तमान संख्याओं के बीच होने वाले अंतर को उपयोग करने की नई विधि बनाई गई है।
 * इसके अतिरिक्त, कोई भी मौलिक प्रमेय जो सभी मानक संख्याओं के लिए सत्य है, आवश्यक रूप से सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए भी सत्य है। अन्यथा सूत्रीकरण सबसे छोटी संख्या जो प्रमेय को संतुष्ट करने में विफल रहती है वह आंतरिक सूत्र होगा जो विशिष्ट रूप से गैरमानक संख्या को परिभाषित करता है।
 * विधेय अमानक बड़ी संख्याओं को अलग करने के लिए तार्किक रूप से सुसंगत विधि है - जो सामान्यतः इस शब्द के लिए असीमित होगा। इन असीमित संख्याओं के व्युत्क्रम आवश्यक रूप से अत्यंत छोटी वास्तविक संख्याएँ होंगी, जिसकी अनंतिम संख्याएँ इस प्रकार हैं। इन शब्दों की अन्य व्याख्याओं के साथ भ्रम से बचने के लिए आईSटी पर नए लेखों में उन शब्दों को आई-लार्ज और आई-स्मॉल से परिवर्तित कर दिया गया है।
 * आवश्यक रूप से केवल सीमित रूप से कई मानक संख्याएँ हैं - अपितु सावधानी आवश्यक है: हम उन्हें साथ इकट्ठा नहीं कर सकते हैं और यह मान सकते हैं कि परिणाम अच्छी तरह से परिभाषित गणितीय समुच्चय है। इसे औपचारिकता द्वारा समर्थित नहीं किया जाएगा, इसके अंतर्ज्ञानात्मक औचित्य यह है कि इस समुच्चय की सटीक सीमाएं समय और इतिहास के साथ परिवर्तित होती रहती हैं। विशेष रूप से हम सबसे बड़ी मानक संख्या, या सबसे छोटी अमानक संख्या के बारे में बात नहीं कर पाएंगे। कुछ परिमित समुच्चय के बारे में बात करना मान्य होगा जिसमें सभी मानक संख्याएँ सम्मिलित हैं - अपितु यह गैर-मौलिक सूत्रीकरण केवल गैर-मानक समुच्चय पर लागू हो सकता है।

आईSटी के लिए औपचारिक स्वयंसिद्ध
आईSटी प्रथम-क्रम तर्क में स्वयंसिद्ध सिद्धांत है जिसमें हस्ताक्षर (तर्क) में समानता होती है जिसमें द्विआधारी विधेय प्रतीक ∈ और यूनरी विधेय प्रतीक st(x) होता है। जिन सूत्रों में st सम्मिलित नहीं है (अर्थात, समुच्चय सिद्धांत की सामान्य भाषा के सूत्र) आंतरिक कहलाते हैं, अन्य सूत्र बाह्य कहलाते हैं। इस प्रकार हम यहाँ पर संक्षिप्ताक्षरों का उपयोग करते हैं जो इस प्रकार हैं-
 * $$\begin{align}\exists^\mathrm{st}x\,\phi(x)&=\exists x\,(\operatorname{st}(x)\land\phi(x)),\\

\forall^\mathrm{st}x\,\phi(x)&=\forall x\,(\operatorname{st}(x)\to\phi(x)).\end{align}$$ आईSटी में इसके सिद्धांत (जेडFसी) के साथ ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत के सभी सिद्धांत सम्मिलित हैं। ध्यान दें कि पृथक्करण के अभिगृहीत और प्रतिस्थापन के अभिगृहीत की ZFC स्कीमाटा को नई भाषा तक विस्तारित नहीं किया गया है, उनका उपयोग केवल आंतरिक सूत्रों के साथ किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, आईSटी में तीन नए स्वयंसिद्ध स्कीमाटा सम्मिलित हैं - सुविधाजनक रूप से इसके नाम के प्रत्येक प्रारंभिक के लिए: 'आई' डीलाइजेशन, 'S' टैंडर्डाइजेशन, और 'टी' ट्रांसफर इसका मुख्य उदाहरण हैं।

I: आदर्शीकरण

 * किसी भी आंतरिक सूत्र के लिए $$\phi$$ z की मुक्त घटना के बिना, निम्नलिखित सूत्र का सार्वभौमिक समापन स्वयंसिद्ध है:
 * $$\forall^\mathrm{st}z\,(z\text{ is finite}\to\exists y\,\forall x\in z\,\phi(x,y,u_1,\dots,u_n))\leftrightarrow\exists y\,\forall^\mathrm{st}x\,\phi(x,y,u_1,\dots,u_n).$$
 * शब्दों में: प्रत्येक आंतरिक संबंध आर के लिए, और अन्य सभी मुक्त चर के लिए उक्त मान के लिए, हमारे पास यह है कि यदि प्रत्येक मानक, परिमित समुच्चय F के लिए, G उपस्थित है जैसे कि आर (जी, F) F में सभी F के लिए रखता है, तब विशेष G होता है जैसे कि किसी भी मानक f के लिए हमारे पास R(G,f) होता है, और इसके विपरीत, यदि G उपस्थित होता है जैसे कि किसी भी मानक f के लिए, हमारे पास R(G, f) होता है, तो प्रत्येक परिमित समुच्चय F के लिए यहाँ पर G उपस्थित है, जैसे कि R(G, F) F में सभी F के लिए धारण करता है।

इस स्वयंसिद्ध कथन में दो निहितार्थ सम्मिलित किया गया हैं। इस प्रकार दाएं से बाएं निहितार्थ को सरल कथन द्वारा पुन: तैयार किया जा सकता है, कि मानक परिमित समुच्चय के तत्व मानक हैं। अधिक महत्वपूर्ण बाएं से दाएं निहितार्थ यह व्यक्त करता है कि सभी मानक समुच्चयों का संग्रह परिमित (गैरमानक) समुच्चय में निहित है, और इसके अतिरिक्त, इस परिमित समुच्चय को सभी मानक परिमित समुच्चयों द्वारा साझा की गई किसी भी आंतरिक संपत्ति को संतुष्ट करने के लिए लिया जा सकता है।

यह सामान्य स्वयंसिद्ध योजना उपयुक्त परिस्थितियों में आदर्श तत्वों के अस्तित्व को उपयोग करती है। इस प्रकार इसके तीन विशेष अनुप्रयोगों के महत्वपूर्ण परिणाम प्रदर्शित करते हैं।

संबंध पर लागू होने वाला ≠
यदि S मानक और परिमित है, तो हम संबंध आर (जी, F) के लिए लेते हैं: G और F बराबर नहीं हैं और G S में है। चूंकि प्रत्येक मानक परिमित समुच्चय F के लिए S में तत्व G है जैसे कि g ≠ f क्योंकि F में सभी f गलत है, जिसके लिए ऐसा कोई g उपस्थित नहीं है। इस प्रकार मान के लिए हम आदर्शीकरण का उपयोग यह बताने के लिए कर सकते हैं, इसके आधार पर S में G उपस्थित रहता है, यहां पर G ≠ f सभी मानक f के लिए भी गलत है, अर्थात S के सभी तत्व मानक हैं।

यदि S अनंत है, तो हम संबंध आर (जी, F) के लिए लेते हैं: इस प्रकार G और F बराबर नहीं हैं और G S में है। चूंकि प्रत्येक मानक परिमित समुच्चय F के लिए S में तत्व G है जैसे कि g ≠ f F में सभी f के लिए (अनंत समुच्चय S, परिमित समुच्चय F का उपसमुच्चय नहीं है), हम यह प्राप्त करने के लिए आदर्शीकरण का उपयोग कर सकते हैं कि S में G है जैसे कि G ≠ f सभी मानक F के लिए। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक अनंत समुच्चय में गैरमानक तत्व (वास्तव में कई) होते हैं।

एक मानक परिमित समुच्चय का पावर समुच्चय मानक (स्थानांतरण द्वारा) और परिमित होता है, इसलिए मानक परिमित समुच्चय के सभी उपसमुच्चय मानक होते हैं।

यदि S अमानक है, तो हम संबंध R(g,f) लेते हैं: g और f बराबर नहीं हैं और g, S में है। चूँकि प्रत्येक मानक परिमित समुच्चय F के लिए S में तत्व g होता है, जिससे g ≠ f F में सभी F के लिए गैरमानक समुच्चय S मानक और परिमित समुच्चय F का उपसमुच्चय नहीं है, इसके आधार पर हम इसे इस प्रकार प्राप्त करने के लिए आदर्शीकरण का उपयोग कर सकते हैं, जहाँ पर S में G है जैसे कि G ≠ f सभी मानक F के लिए दूसरे शब्दों में, प्रत्येक गैरमानक समुच्चय में गैरमानक तत्व होता है।

इन सभी परिणामों के परिणामस्वरूप, समुच्चय S के सभी तत्व मानक हैं यदि और केवल यदि S मानक और परिमित है।

संबंध पर लागू होने वाला < चिह्न
चूँकि प्रत्येक मानक, प्राकृतिक संख्याओं के परिमित समुच्चय F के लिए प्राकृतिक संख्या g होती है g > f F में सभी F के लिए - द्वारा लिखते हैं। इसके आधार पर हम आदर्शीकरण का उपयोग यह प्राप्त करने के लिए कर सकते हैं कि प्राकृतिक संख्या G ऐसी है G > f सभी मानक प्राकृतिक संख्याओं के लिए F। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक मानक प्राकृतिक संख्या से बड़ी प्राकृतिक संख्या उपस्थित होती है।

संबंध पर लागू होने वाला ∈ चिह्न
अधिक सटीक रूप से हम R(g,f) के लिए लेते हैं: g परिमित समुच्चय है, जिसमें तत्व f है। चूँकि प्रत्येक मानक, परिमित समुच्चय F के लिए, परिमित समुच्चय g होता है f ∈ g F में सभी F के लिए - चुनकर कहें को स्वयं हम आदर्शीकरण का उपयोग यह प्राप्त करने के लिए कर सकते हैं, इसका आधार यह हैं कि परिमित समुच्चय G है, इसके लिए f ∈ G सभी मानक F के लिए उपयोग किया जाता हैं। किसी भी समुच्चय S के लिए, समुच्चय G के साथ S का प्रतिच्छेदन S का सीमित उपसमुच्चय है जिसमें S का प्रत्येक मानक तत्व सम्मिलित है। जहाँ पर G आवश्यक रूप से गैरमानक है।

S: मानकीकरण

 * यदि $$\phi$$ क्या कोई भी सूत्र (यह बाहरी हो सकता है) बिना y की मुक्त घटना के, सार्वभौमिक समापन के बिना है
 * $$\forall^\mathrm{st}x\,\exists^\mathrm{st}y\,\forall^\mathrm{st}t\,(t\in y\leftrightarrow(t\in x\land\phi(t,u_1,\dots,u_n)))$$


 * उपयुक्त शब्दों में यदि A मानक समुच्चय है और पी का कोई मान उपयोग किया जाता है, इस स्थिति में आंतरिक रूप से तो A का अद्वितीय, मानक उपसमुच्चय B है, जिसके मानक तत्व बिल्कुल A के मानक तत्व हैं, जो पी को संतुष्ट करते हैं, अपितु B का व्यवहार ' s गैरमानक तत्व निर्धारित नहीं हैं।

टी: स्थानांतरण

 * यदि $$\phi(x,u_1,\dots,u_n)$$ यह आंतरिक सूत्र है जिसमें संकेतित चर के अतिरिक्त कोई अन्य मुक्त चर नहीं है
 * $$\forall^\mathrm{st}u_1\dots\forall^\mathrm{st}u_n\,(\forall^\mathrm{st}x\,\phi(x,u_1,\dots,u_n)\to\forall x\,\phi(x,u_1,\dots,u_n))$$


 * शब्दों में: यदि आंतरिक सूत्र F के सभी पैरामीटर A, B, C, ..., W में मानक मान F(x, A, B,..., W) हैं, इस प्रकार सभी x के लिए धारण करता है, जैसे ही यह सभी मानक x के लिए धारण करता है, इस प्रकार S-जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि मौलिक गणित के भीतर सभी विशिष्ट रूप से परिभाषित अवधारणाएं या वस्तुएं मानक हैं।

स्वसिद्धांतों के लिए औपचारिक औचित्य
ऊपर बताए गए सहज प्रेरणाओं के अतिरिक्त, यह उचित कदम ठहराना आवश्यक है, कि अतिरिक्त आईSटी सिद्धांतों से तर्क में त्रुटियां या विसंगतियां उत्पन्न नहीं होती हैं। इसके आधार पर गॉटफ्राइड लीबनिज, जोहान बर्नौली, लियोनहार्ड यूलर, ऑगस्टिन-लुई कॉची और अन्य के कार्यों में अनंत संख्याओं के बारे में तर्क करने में गलतियाँ और दार्शनिक कमियों का यही कारण थीं कि उन्हें मूल रूप से अधिक भार होने के कारण इसके लिए छोड़ दिया गया था। इस प्रकार वास्तविक संख्या-आधारित तर्क जॉर्ज कैंटर, रिचर्ड डेडेकाइंड और कार्ल वीयरस्ट्रैस द्वारा विकसित किए गए, जिन्हें वीयरस्ट्रैस के अनुयायियों द्वारा अधिक कठोर माना गया हैं।

आंतरिक समुच्चय सिद्धांत के लिए दृष्टिकोण किसी भी नई स्वयंसिद्ध प्रणाली के समान है - हम सरल, अधिक विश्वसनीय, स्वयंसिद्ध योजना के तत्वों का उपयोग करके नए स्वयंसिद्धों के लिए मॉडल सिद्धांत का निर्माण करते हैं। यह अण्डाकार ज्यामिति गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के सिद्धांतों की स्थिरता को उचित ठहराने के समान है, यह ध्यान में रखते हुए कि उन्हें सामान्य 3-स्थान में गोले पर बड़े वृत्तों की उचित व्याख्या द्वारा मॉडल किया जा सकता है।

वास्तव में उपयुक्त मॉडल के माध्यम से ZFC की तुलना में IST की सापेक्ष स्थिरता का प्रमाण दिया जा सकता है: यदि ZFC सुसंगत है, तो IST सुसंगत है। यहाँ पर वास्तव में, इस प्रकार के प्रमाण दिये जाते हैं: इसके आधार पर IST ZFC का रूढ़िवादी विस्तार है: कोई भी आंतरिक सूत्र जिसे आंतरिक समुच्चय सिद्धांत के भीतर सिद्ध किया जा सकता है, उसे अकेले पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सिद्धांतों में सिद्ध किया जा सकता है।

संबंधित सिद्धांत
संबंधित सिद्धांत कारेल हर्बासेक और अन्य द्वारा विकसित किए गए थे।

संदर्भ

 * Robert, Alain (1985). Nonstandard analysis. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-91703-6.
 * Internal Set Theory, a chapter of an unfinished book by Nelson.