होमियोमॉर्फिज़्म

सांस्थिति के गणितीय क्षेत्र में, एक होमोमोर्फिज्म, संस्थानिक समाकृतिकता, या द्विसतत फलन संस्थानिक स्पेस के बीच एक विशेषण और निरंतर कार्य है जिसमें एक निरंतर उलटा कार्य होता है। होमोमोर्फिज्म संस्थानिक स्पेस की श्रेणी में समरूपता हैं- अर्थात्, वे प्रतिचित्रण (गणित) हैं जो किसी दिए गए स्थान के सभी संस्थानिक गुणों को संरक्षित करते हैं। उनके बीच एक होमोमोर्फिज्म वाले दो स्थानों को होमोमोर्फिक कहा जाता है, और एक स्थलीय दृष्टिकोण से वे समान होते हैं। होमियोमोर्फिज्म शब्द ग्रीक भाषा के शब्द ὅμοιος" (होमियोस) = समान या समान और "μορφή" (मोर्फे)  = आकार या रूप, से लिया गया है। 1895 में हेनरी पोंकारे द्वारा गणित से परिचित कराया गया।

बहुत मोटे तौर पर बोलना, एक संस्थानिक स्पेस एक ज्यामितीय वस्तु है, और होमोमोर्फिज्म एक नए आकार में वस्तु का लगातार खिंचाव और झुकना है। इस प्रकार, एक वर्ग (ज्यामिति) और एक वृत्त एक दूसरे के लिए समरूप हैं, लेकिन एक गोला और एक वृतज ठोस वलय नहीं हैं। चूँकि, यह विवरण भ्रामक हो सकता है। कुछ निरंतर विकृतियाँ होमोमोर्फिज़्म नहीं हैं, जैसे कि एक रेखा का एक बिंदु में विरूपण। कुछ होमियोमॉर्फिज्म निरंतर विकृतियां नहीं हैं, जैसे  त्रिपर्ण चाप गाँठ और वृत के बीच होमोमोर्फिज्म।

एक बार-बार दोहराया जाने वाला गणितीय मजाक यह है कि टोपोलॉजिस्ट कॉफी कप और डोनट के बीच अंतर नहीं बता सकते, चूंकि कप के हैंडल में डोनट छेद को संरक्षित करते हुए, पर्याप्त रूप से व्यवहार्य डोनट को एक डिंपल बनाकर और उत्तरोत्तर बढ़ाकर कॉफी कप के रूप में फिर से आकार दिया जा सकता है।

परिभाषा
एक फलन (गणित) $$f : X \to Y$$ दो संस्थानिक रिक्त स्थान के बीच एक होमोमोर्फिज्म है यदि इसमें निम्न गुण हैं:


 * $$f$$ एक आक्षेप (द्विभाजन फ़ंक्शन एक-से-एक और आच्छादक) है,
 * $$f$$ निरंतरता (टोपोलॉजी) है,
 * उलटा कार्य $$f^{-1}$$ निरंतर है ($$f$$ एक खुला मानचित्रण है)।

होमियोमोर्फिज्म को कभी-कभी द्विसतत कार्य भी कहा जाता है। यदि ऐसा कोई कार्य उपस्थित है, $$X$$ तथा $$Y$$ होमियोमॉर्फिक हैं। स्व-होमियोमोर्फिज़्म एक स्थलीय स्थान से स्वयं पर एक होमियोमॉर्फिज़्म है। होमोमॉर्फिक होना संस्थानिक स्पेस पर एक तुल्यता संबंध है। इसके तुल्यता वर्ग को होमोमोर्फिज्म वर्ग कहा जाता है।

उदाहरण
* खुला अंतराल $(a,b)$  किसी भी  $a < b$  वास्तविक संख्याओं के लिए $\mathbf{R}$  होमियोमॉर्फिक है. (इस स्थिति में, $f(x) = \frac{1}{a-x} + \frac{1}{b-x} $  द्वारा एक निरंतर आगे की मैपिंग दी गई है जबकि अन्य मैपिंग tan या arg tanh फलन के स्केल किए गए और अनुवादित संस्करणों द्वारा दी जाती हैं)।
 * इकाई 2-बॉल (गणित) $D^2$ और इकाई वर्ग में $$\mathbf{R}^2$$ होमियोमॉर्फिक हैं; चूंकि इकाई डिस्क को इकाई वर्ग में विकृत किया जा सकता है। वर्ग से डिस्क तक द्विसतत मानचित्रण का एक उदाहरण है, ध्रुवीय निर्देशांकों में, $$(\rho, \theta) \mapsto \left( \frac{\rho}{ \max(|\cos \theta|, |\sin \theta|)}, \theta\right)$$.
 * एक अलग-अलग फ़ंक्शन का ग्राफ़ फ़ंक्शन के डोमेन के लिए होमोमॉर्फिक है
 * वक्र का अवकलनीय प्राचलीकरण समीकरण प्राचलीकरण और वक्र के डोमेन के बीच एक होमोमोर्फिज्म है।
 * विविध का एक चार्ट (टोपोलॉजी) मैनिफोल्ड के खुले उपसमुच्चय और यूक्लिडियन अंतरिक्ष के खुले उपसमुच्चय के बीच एक समरूपता है।
 * त्रिविम प्रक्षेपण $$\mathbf{R}^3$$ इकाई क्षेत्र के बीच एक होमोमोर्फिज्म है जिसमे एक बिंदु को हटा दिया गया है और सभी  $$\mathbf{R}^2$$ बिंदुओं का सेट है। (एक द्वि-आयामी विमान (गणित))।
 * यदि $$G$$ एक सामयिक समूह है, इसका उलटा नक्शा $$x \mapsto x^{-1}$$ एक होमियोमॉर्फिज्म है। साथ ही किसी के लिए $$x \in G$$, बायां अनुवाद $$y \mapsto xy$$, दांया अनुवाद $$y \mapsto yx$$, और आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म $$y \mapsto xyx^{-1}$$ होमियोमॉर्फिज्म हैं।

गैर-उदाहरण

 * m &ne; n.
 * यूक्लिडियन वास्तविक रेखा आर के उप-स्थान के रूप में इकाई वृत के लिए होमोमोर्फिक नहीं है2, चूंकि इकाई वृत यूक्लिडियन 'आर' के उप-स्थान के रूप में कॉम्पैक्ट जगह है2 लेकिन वास्तविक रेखा सघन नहीं है।
 * एक आयामी अंतराल $$[0,1]$$ तथा $$]0,1[$$ होमियोमॉर्फिक नहीं हैं क्योंकि एक कॉम्पैक्ट है जबकि दूसरा नहीं है।

टिप्पणियाँ
The third requirement, that $f^{-1}$ be continuous, is essential. Consider for instance the function $f : [0,2\pi) \to S^1$ (the unit circle in $\mathbf{R}^2$ ) defined by$f(\phi) = (\cos\phi,\sin\phi)$ . This function is bijective and continuous, but not a homeomorphism ($S^1$  is compact but $[0,2\pi)$  is not). The function $f^{-1}$ is not continuous at the point $(1,0)$, because although $f^{-1}$  maps $(1,0)$  to $0$ , any neighbourhood of this point also includes points that the function maps close to $2\pi,$  but the points it maps to numbers in between lie outside the neighbourhood.

Homeomorphisms are the isomorphisms in the category of topological spaces. As such, the composition of two homeomorphisms is again a homeomorphism, and the set of all self-homeomorphisms $X \to X$ forms a group, called the homeomorphism group of X, often denoted $\text{Homeo}(X)$. This group can be given a topology, such as the compact-open topology, which under certain assumptions makes it a topological group.

For some purposes, the homeomorphism group happens to be too big, but by means of the isotopy relation, one can reduce this group to the mapping class group.

Similarly, as usual in category theory, given two spaces that are homeomorphic, the space of homeomorphisms between them, $\text{Homeo}(X,Y),$ is a torsor for the homeomorphism groups $\text{Homeo}(X)$  and $\text{Homeo}(Y)$, and, given a specific homeomorphism between $$X$$ and $$Y$$, all three sets are identified.

गुण

 * दो होमियोमॉर्फिक स्पेस एक ही संस्थानिक प्रॉपर्टी साझा करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि उनमें से एक कॉम्पैक्ट स्पेस है, तो दूसरा भी है; यदि उनमें से एक जुड़ाव है, तो दूसरा भी है; यदि उनमें से एक हौसडॉर्फ स्थान है, तो दूसरा भी है; उनके होमोटॉपी और होमोलॉजी समूह मेल खाएंगे। हालांकि ध्यान दें कि यह मीट्रिक स्थान के माध्यम से परिभाषित गुणों तक विस्तारित नहीं होता है; ऐसे मीट्रिक स्थान हैं जो होमोमोर्फिक हैं, भले ही उनमें से एक पूर्णता (टोपोलॉजी) है और दूसरा नहीं है।
 * होमियोमॉर्फिज़्म एक साथ एक खुली मैपिंग और एक बंद मैपिंग है; यही है, यह खुले सेट को खुले सेट और बंद सेट को बंद सेट पर मैप करता है।
 * प्रत्येक स्व-समरूपता में $$S^1$$ संपूर्ण डिस्क के स्व-समरूपता तक बढ़ाया जा सकता है $$D^2$$ (अलेक्जेंडर की चाल)।

अनौपचारिक चर्चा
खींचने, झुकने, काटने और वापस एक साथ चिपकाने की सहज कसौटी को सही ढंग से लागू करने के लिए एक निश्चित मात्रा में अभ्यास की आवश्यकता होती है - उदाहरण के लिए, ऊपर दिए गए विवरण से यह स्पष्ट नहीं हो सकता है कि एक रेखा खंड को एक बिंदु तक विकृत करना अभेद्य है। इस प्रकार यह महसूस करना महत्वपूर्ण है कि यह ऊपर दी गई औपचारिक परिभाषा है जो मायने रखती है। इस मामले में, उदाहरण के लिए, रेखा खंड में असीम रूप से कई बिंदु होते हैं, और इसलिए एक सेट के साथ एक आक्षेप में नहीं रखा जा सकता है, जिसमें एक बिंदु सहित केवल एक परिमित संख्या होती है।

होमोमोर्फिज्म का यह लक्षण वर्णन अक्सर होमोटोपी की अवधारणा के साथ भ्रम पैदा करता है, जिसे वास्तव में एक निरंतर विरूपण के रूप में परिभाषित किया जाता है, लेकिन एक स्थान से दूसरे स्थान के बजाय एक कार्य से दूसरे तक। एक होमियोमॉर्फिज्म के मामले में, एक निरंतर विरूपण की कल्पना करना एक मानसिक उपकरण है, जो अंतरिक्ष एक्स पर किन बिंदुओं के अनुरूप है, वाई पर कौन से बिंदुओं के अनुरूप है- एक्स विकृत के रूप में उनका अनुसरण करता है। होमोटोपी के मामले में, एक मानचित्र से दूसरे मानचित्र में निरंतर विरूपण सार का है, और यह कम प्रतिबंधात्मक भी है, क्योंकि इसमें शामिल किसी भी मानचित्र को एक-से-एक या आच्छादित करने की आवश्यकता नहीं है। होमोटॉपी रिक्त स्थान पर एक संबंध की ओर ले जाता है: होमोटॉपी तुल्यता।

होमोमोर्फिज्म की कल्पना में शामिल विकृति के प्रकार का एक नाम है। यह एक्स पर पहचान समारोह और एक्स से वाई तक होमोमोर्फिज्म के बीच एक होमोटॉपी है (जब काटने और रेगलिंग की आवश्यकता होती है) को छोड़कर।

यह भी देखें

 * समान स्थानों के बीच एक समरूपता है
 * मीट्रिक रिक्त स्थान के बीच एक समरूपता है
 * (ग्राफ उपखंड से निकटता से संबंधित)
 * मीट्रिक रिक्त स्थान के बीच एक समरूपता है
 * (ग्राफ उपखंड से निकटता से संबंधित)
 * (ग्राफ उपखंड से निकटता से संबंधित)
 * (ग्राफ उपखंड से निकटता से संबंधित)

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 * संस्थानिक संपत्ति
 * उलटा काम करना
 * वर्ग (ज्यामिति)
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 * ओपन मैपिंग
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 * धुवीय निर्देशांक
 * एक समारोह का ग्राफ
 * किसी फ़ंक्शन का डोमेन
 * खुला उपसमुच्चय
 * अलग करने योग्य समारोह
 * संस्थानिक समूह
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 * हॉसडॉर्फ स्पेस
 * समरूपता समूह
 * संयुक्तता
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