प्रक्षेपीय रेखा

गणित में, एक प्रक्षेपी रेखा, मोटे तौर पर बोल रही है, एक सामान्य रेखा (ज्यामिति) का विस्तार एक बिंदु से होता है जिसे अनंत पर एक बिंदु कहा जाता है। विशेष मामलों के परिणामी विलोपन द्वारा ज्यामिति के कई प्रमेयों के कथन और प्रमाण को सरल किया जाता है; उदाहरण के लिए, एक प्रक्षेपी तल में दो अलग-अलग प्रक्षेपी रेखाएँ बिल्कुल एक बिंदु पर मिलती हैं (कोई "समानांतर" स्थिति नहीं है)।

प्रक्षेपी रेखा को औपचारिक रूप से परिभाषित करने के लिए कई समतुल्य तरीके हैं; सबसे आम में से एक क्षेत्र (गणित) K पर एक प्रक्षेपी रेखा को परिभाषित करना है, जिसे व्यापक रूप से P1 (K) के रूप में निरूपित किया जाता है, एक द्वि-आयामी K-वेक्टर स्थान के एक-आयामी उप-स्थान के सेट के रूप में। यह परिभाषा प्रक्षेपी स्थान की सामान्य परिभाषा का एक विशेष उदाहरण है।

वास्तविक संख्या पर प्रक्षेपी रेखा कई गुना है; विवरण के लिए वास्तविक प्रक्षेपी रेखा देखें।

सजातीय निर्देशांक
प्रोजेक्टिव लाइन पी 1 (K) में एक मनमानी बिंदु समरूप निर्देशांक के समतुल्य वर्ग द्वारा दर्शाया जा सकता है, जो एक जोड़ी का रूप लेता है।
 * $$[x_1 : x_2]$$

K के तत्वों की संख्या जो दोनों शून्य नहीं हैं। ऐसे दो जोड़े तुल्यता संबंध हैं यदि वे एक समग्र अशून्य कारक λ द्वारा भिन्न होते हैं:
 * $$[x_1 : x_2] \sim [\lambda x_1 : \lambda x_2].$$

अनंत पर एक बिंदु द्वारा विस्तारित रेखा
प्रक्षेपी रेखा को अनंत पर एक बिंदु द्वारा विस्तारित रेखा K से पहचाना जा सकता है। अधिक सही रूप से, रेखा K की पहचान P1(K) के उपसमुच्चय से की जा सकती है
 * $$\left\{[x : 1] \in \mathbf P^1(K) \mid x \in K\right\}.$$

यह उपसमुच्चय P1(K) में एक को छोड़कर सभी बिंदुओं को शामिल करता है, जिसे अनंत पर बिंदु कहा जाता है:
 * $$\infty = [1 : 0].$$

यह सूत्र द्वारा K से P1(K) तक अंकगणित का विस्तार करने की अनुमति देता है।
 * $$\frac {1}{0}=\infty,\qquad \frac {1}{\infty}=0,$$
 * $$x\cdot \infty = \infty \quad \text{if}\quad x\not= 0$$
 * $$x+ \infty = \infty \quad \text{if}\quad x\not= \infty$$

सजातीय निर्देशांक के संदर्भ में इस अंकगणित का अनुवाद करने पर, जब [0 : 0] नहीं होता है:
 * $$[x_1 : x_2] + [y_1 : y_2] = [(x_1 y_2 + y_1 x_2) : x_2 y_2],$$
 * $$[x_1 : x_2] \cdot [y_1 : y_2] = [x_1 y_1 : x_2 y_2],$$
 * $$[x_1 : x_2]^{-1} = [x_2 : x_1].$$

वास्तविक प्रक्षेपी रेखा
वास्तविक संख्याओं पर प्रक्षेपी रेखा वास्तविक प्रक्षेपी रेखा कहलाती है। इसे अनंत ∞ पर एक आदर्श बिंदु के साथ मिलकर रेखा K के रूप में भी सोचा जा सकता है; बिंदु K के दोनों सिरों से जुड़कर एक बंद लूप या सांस्थितिक वृत्त का निर्माण करता है।

यूनिट सर्कल R2 में बिंदुओं को प्रोजेक्ट करके एक उदाहरण प्राप्त किया जाता है और फिर बिल्कुल विपरीत बिंदुओं की पहचान की जाती है। समूह सिद्धांत के संदर्भ में हम उपसमूह  {1, −1}.द्वारा भागफल ले सकते हैं। विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा की तुलना करें, जो ∞ और −∞ के बीच अंतर करती है।

जटिल प्रक्षेपी रेखा: रीमैन क्षेत्र
अनंत पर एक बिंदु को जटिल तल में जोड़ने से एक ऐसा स्थान बनता है जो स्थलीय रूप से एक गोला है। इसलिए जटिल प्रक्षेपी रेखा को रीमैन क्षेत्र (या कभी-कभी गॉस क्षेत्र) के रूप में भी जाना जाता है। कॉम्पैक्ट रीमैन सतह का सबसे सरल उदाहरण के रूप में, यह जटिल विश्लेषण, बीजगणितीय ज्यामिति और जटिल कई गुना सिद्धांत में निरंतर उपयोग में है।

एक परिमित क्षेत्र के लिए
Q तत्वों के एक परिमित क्षेत्र Fq पर प्रक्षेपी रेखा में q + 1 बिंदु होते हैं। अन्य सभी मामलों में यह अन्य प्रकार के क्षेत्रों पर परिभाषित प्रक्षेपी रेखाओं से अलग नहीं है। सजातीय निर्देशांक [x : y] के संदर्भ में, इन बिंदुओं में से q का रूप है:
 * $[a : 1]$ प्रत्येक के लिए $a$ में $F_{q}$,

और अनंत पर शेष बिंदु [1 : 0] के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है।

समरूपता समूह
व्यापक रूप से, K में गुणांक वाले होमोग्राफी का समूह प्रक्षेपी रेखा P1(K) पर कार्य करता है।1 यह समूह क्रिया सकर्मक है, इसलिए P1(K) समूह के लिए एक सजातीय स्थान है, जिसे अक्सर इन परिवर्तनों की अनुमानित प्रकृति पर जोर देने के लिए PGL2(K) लिखा जाता है। ट्रांज़िटिविटी का कहना है कि एक होमोग्राफी मौजूद है जो किसी बिंदु क्यू को किसी अन्य बिंदु आर में बदल देगी। पी 1 (के) पर अनंतता पर बिंदु इसलिए निर्देशांक की पसंद का एक आर्टिफैक्ट है: सजातीय निर्देशांक:


 * $$[X : Y] \sim [\lambda X : \lambda Y]$$

इसमें स्थित एक गैर-शून्य बिंदु (X, Y) द्वारा एक-आयामी उप-स्थान व्यक्त करें, लेकिन प्रक्षेप्य रेखा की समरूपता बिंदु ∞ = [1: 0] को किसी अन्य में स्थानांतरित कर सकती है, और यह किसी भी तरह से अलग नहीं है।

इसमें कुछ रूपांतरण किसी भी दिए गए अलग-अलग बिंदु क्यूई को i = 1, 2, 3 के लिए अलग-अलग बिंदुओं (ट्रिपल ट्रांज़िटिविटी) के किसी अन्य 3-ट्यूपल री में ले जा सकते हैं। विशिष्टता की यह मात्रा PGL2(K) के तीन आयामों का 'उपयोग' करती है; दूसरे शब्दों में, समूह क्रिया तीव्र रूप से 3-सकर्मक होती है। इसका संगणनात्मक पहलू क्रॉस-अनुपात है। वास्तव में, एक सामान्यीकृत आक्षेप सत्य है: एक तीव्र 3-संक्रमणीय समूह क्रिया हमेशा (आइसोमोर्फिक) एक प्रक्षेपी रेखा पर PGL2(K) क्रिया का एक सामान्यीकृत रूप है, "फ़ील्ड" को "केटी-फ़ील्ड" से प्रतिस्थापित करती है (प्रतिलोम को सामान्यीकृत करती है) एक कमजोर प्रकार के समावेशन के लिए), और "पीजीएल" प्रक्षेपी रैखिक मानचित्रों के एक समान सामान्यीकरण द्वारा।

बीजगणितीय वक्र के रूप में
प्रक्षेपी रेखा एक बीजगणितीय वक्र का एक मौलिक उदाहरण है। बीजगणितीय ज्यामिति के दृष्टिकोण से, P1(K) जीनस (गणित) 0 का एक गैर-एकवचन वक्र है। यदि Kबीजगणितीय रूप से बंद है, तो यह K पर अद्वितीय ऐसा वक्र है, जो परिमेय तुल्यता तक है। सामान्य तौर पर जीनस 0 का एक (गैर-एकवचन) वक्र तर्कसंगत रूप से K से एक शांकव C के समतुल्य होता है, जो स्वयं द्विभाजित रूप से प्रक्षेपी रेखा के समतुल्य होता है और यदि  केवल C में K पर परिभाषित बिंदु हो; ज्यामितीय रूप से इस तरह के एक बिंदु पी को मूल के रूप में उपयोग किया जा सकता है ताकि स्पष्ट द्विवार्षिक समानता हो सके।

प्रक्षेपी रेखा का एक बीजगणितीय विविधता का कार्य क्षेत्र, K पर तर्कसंगत कार्यों का का क्षेत्र K(T) है, एक अनिश्चित T में। K(T) के क्षेत्र automorphisms K(T) ऊपर चर्चा किए गए समूह PGL2(K) हैं।

किसी एकल बिंदु के अलावा बीजगणितीय किस्म V ओवर K के किसी भी फ़ंक्शन फ़ील्ड K(V) में K(T) के साथ एक सबफ़ील्ड आइसोमॉर्फिक है। द्विभाजित ज्यामिति के दृष्टिकोण से, इसका अर्थ है कि V से P1(K) तक एक परिमेय मानचित्र होगा, जो स्थिर नहीं है। छवि केवल P1 (K) के बहुत से बिंदुओं को छोड़ देगी, और एक विशिष्ट बिंदु P की व्युत्क्रम छवि का आयाम मंद V - 1 होगा। यह बीजगणितीय ज्यामिति में उन विधियों की शुरुआत है जो आयाम पर आगमनात्मक हैं। तर्कसंगत मानचित्र जटिल विश्लेषण के मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन के अनुरूप भूमिका निभाते हैं, और वास्तव में कॉम्पैक्ट रीमैन सतहों के मामले में दो अवधारणाएं मेल खाती हैं।

यदि V को अब आयाम 1 के रूप में लिया जाता है, तो हमें P1(K) पर 'ओवर' प्रस्तुत एक विशिष्ट बीजगणितीय वक्र C का चित्र मिलता है। मान लें कि सी गैर-एकवचन है (जो कि के (सी) से शुरू होने वाली सामान्यता का कोई नुकसान नहीं है), यह दिखाया जा सकता है कि सी से पी 1 (के) के लिए इस तरह के तर्कसंगत मानचित्र वास्तव में हर जगह परिभाषित होंगे। (यदि विलक्षणताएं हैं तो ऐसा नहीं है, उदाहरण के लिए एक दोहरा बिंदु जहां एक वक्र स्वयं को पार करता है, तर्कसंगत मानचित्र के बाद एक अनिश्चित परिणाम दे सकता है।) यह एक तस्वीर देता है जिसमें मुख्य ज्यामितीय विशेषता शाखा है।

कई वक्र, उदाहरण के लिए हाइपरेलिप्टिक वक्र, प्रक्षेपी रेखा के शाखायुक्त आवरण के रूप में, अमूर्त रूप से प्रस्तुत किए जा सकते हैं। रिमेंन-हर्वित्ज़ सूत्र के अनुसार, जीनस तब केवल शाखा के प्रकार पर निर्भर करता है।

एक परिमेय वक्र एक ऐसा वक्र है जो द्विभाजित रूप से प्रक्षेपी रेखा के समतुल्य होता है (तर्कसंगत विविधता देखें); इसका जीनस 0 है। प्रक्षेपी स्थान Pn में एक परिमेयतर्कसंगत सामान्य वक्रएक परिमेय वक्र है जो किसी उचित रेखीय उपस्थान में स्थित नहीं है; यह ज्ञात है कि केवल एक उदाहरण है (प्रक्षेपी तुल्यता तक), सजातीय निर्देशांक में पैरामीट्रिक रूप से दिया गया:


 * [1 : टी : टी2 : ... : टीएन]।

पहले रोचक मामले के लिए मुड़ घन देखें।

यह भी देखें

 * बीजगणितीय वक्र
 * क्रॉस-अनुपात
 * मोबियस परिवर्तन
 * रिंग के ऊपर प्रोजेक्टिव लाइन
 * अनुमानित रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा
 * प्रोजेक्टिव रेंज

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