निर्देशित समुच्चय

गणित में, एक निर्देशित समुच्चय (या निर्देशित पूर्वक्रमी या निस्यंदित समुच्चय) जो प्रतिवर्त और सकर्मक द्विआधारी संबंध $$\,\leq\,$$ (अर्थात, एक पूर्वक्रमी), अतिरिक्त गुण कि अवयवों की प्रत्येक जोड़ी की ऊपरी सीमा होती है, के साथ एक अरिक्त समुच्चय (गणित) $$A$$ है। दूसरे शब्दों में, $$A$$ में किसी $$a$$ और $$b$$ के लिए वहाँ $$a \leq c$$ और $$b \leq c.$$  साथ $$A$$ में $$c$$ उपस्थित होना चाहिए। एक निर्देशित समुच्चय के पूर्वक्रमी को दिशा कहा जाता है।

ऊपर परिभाषित धारणा को कभी-कभी कहा जाता है। को समान रूप से परिभाषित किया गया है, जिसका अर्थ है कि अवयवों की प्रत्येक जोड़ी नीचे परिबद्ध है। कुछ लेखक (और यह लेख) मानते हैं कि एक निर्देशित समुच्चय ऊपर की ओर निर्देशित होता है, जब तक कि अन्यथा न कहा गया हो। अन्य लेखक समुच्चय को निर्देशित केवल तभी कहते हैं यदि यह ऊपर और नीचे दोनों ओर निर्देशित हो।

निर्देशित समुच्चय अरिक्त संपूर्णतया क्रमित समुच्चय का सामान्यीकरण है। अर्थात्, सभी संपूर्णतया क्रमित समुच्चय निर्देशित समुच्चय हैं (अंशतः क्रमित समुच्चय के विपरीत, जिन्हें निर्देशित करने की आवश्यकता नहीं है)। संयुक्त-अर्ध-जाली (जो आंशिक रूप से क्रमित समुच्चय हैं) भी निर्देशित समुच्चय हैं, लेकिन इसके विपरीत नहीं। इसी तरह, जाली ऊपर और नीचे दोनों ओर निर्देशित समुच्चय हैं।

सांस्थिति में, नेट (जालक) को परिभाषित करने के लिए निर्देशित समुच्चय का उपयोग किया जाता है, जो अनुक्रमों को सामान्य करता है और गणितीय विश्लेषण में उपयोग की जाने वाली सीमा (गणित) की विभिन्न धारणाओं को एकजुट करता है। निर्देशित समुच्चय अमूर्त बीजगणित और (अधिक सामान्यतः) श्रेणी सिद्धांत में प्रत्यक्ष सीमा को जन्म देते हैं।

समतुल्य परिभाषा
उपरोक्त परिभाषा के अतिरिक्त, एक समतुल्य परिभाषा भी है। निर्देशित समुच्चय एक पूर्वक्रमी के साथ एक समुच्चय $$A$$ है जैसे कि प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय $$A$$ की एक ऊपरी सीमा है। इस परिभाषा में, रिक्त समुच्चय की ऊपरी सीमा का अर्थ है कि $$A$$ अरिक्त नहीं है।

उदाहरण
प्राकृतिक संख्याओं $$\N$$ का समुच्चय साधारण क्रमित $$\,\leq\,$$ के साथ निर्देशित समुच्चय के सबसे महत्वपूर्ण उदाहरणों में से एक है (और ऐसा ही प्रत्येक पूर्ण क्रमित समुच्चय है)। परिभाषा के अनुसार, नेट एक निर्देशित समुच्चय से एक फलन है और अनुक्रम (गणित) प्राकृतिक संख्याओं $$\N$$ से एक फलन है। $$\N$$ को $$\,\leq\,$$ देकर प्रत्येक अनुक्रम प्रामाणिक रूप से नेट बन जाता है।

आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय का एक (साधारण) उदाहरण जो निर्देशित नहीं है वह समुच्चय $$\{a, b\}$$ है जिसमें सिर्फ़ क्रम संबंध $$a \leq a$$ और $$b \leq b$$ हैं। एक कम साधारण उदाहरण "वास्तविकों को $$x_0$$ की ओर निर्देशित" के पिछले उदाहरण की तरह है, लेकिन जिसमें क्रम नियम केवल $$x_0$$ के एक ही तरफ अवयव के जोड़े पर लागू होता है (अर्थात, यदि कोई अवयव $$a$$ को $$x_0$$ के बाईं ओर ले जाता है, और $$b$$ इसके दाईं ओर हो, तो $$a$$ और $$b$$ तुलनीय नहीं हैं, और उपसमुच्चय $$\{ a, b \}$$ की कोई ऊपरी सीमा नहीं है)।

अगर $$x_0$$ एक वास्तविक संख्या है तो समुच्चय $$I := \R \backslash \lbrace x_0 \rbrace$$ परिभाषित करके एक निर्देशित समुच्चय $$a \leq_I b$$ में परिवर्तित किया जा सकता है अगर $$\left|a - x_0\right| \geq \left|b - x_0\right|$$ (इसलिए "बड़े" अवयव $$x_0$$ के पास हैं )। फिर हम कहते हैं कि वास्तविक को $$x_0$$ की ओर निर्देशित किया गया है। यह एक निर्देशित समुच्चय का उदाहरण है जो जो न तो आंशिक क्रमित और न ही पूर्ण क्रमित किया गया है। ऐसा इसलिए है क्योंकि हर जोड़ी $$a$$ और $$b$$ के लिए प्रतिसममिति टूट जाता है, जो $$x_0$$ से समान दूरी पर है, जहां $$a$$ और $$b$$ $$x_0$$ के विपरीत हैं। स्पष्ट रूप से, ऐसा तब होता है जब $$\{a, b\} = \left\{x_0 - r, x_0 + r\right\}$$ कुछ वास्तविक $$r \neq 0$$ के लिए होता है, जिस स्थिति में $$a \leq_I b$$ और $$b \leq_I a$$ भले ही $$a \neq b$$ हो। अगर इस पूर्व क्रमित को $$\R$$ के बजाय $$\R \backslash \lbrace x_0 \rbrace$$ पर परिभाषित किया गया था तो यह अभी भी निर्देशित समुच्चय बना देगा लेकिन अब इसमें एक (अद्वितीय) सबसे बड़ा अवयव होगा, विशेष रूप से $$x_0$$; फिर भी, यह अभी भी आंशिक रूप से क्रमितित नहीं होगा। इस उदाहरण को $$X$$ या $$X \setminus \left\{x_0\right\}$$ पर परिभाषित करके मीट्रिक स्थान $$(X, d)$$ के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है अग्रिम क्रमित $$a \leq b$$ अगर और केवल अगर $$d\left(a, x_0\right) \geq d\left(b, x_0\right).$$

अधिकतम और सबसे बड़ा अवयव
एक पूर्वक्रमीित समुच्चय $$(I, \leq)$$ का अवयव $$m$$ अधिकतम अवयव है यदि प्रत्येक $$j \in I,$$ $$m \leq j$$ का तात्पर्य है$$j \leq m$$ । यह सबसे बड़ा अवयव है यदि प्रत्येक $$j \in I,$$ के लिए  $$j \leq m$$ है।

सबसे बड़े अवयव के साथ कोई भी पूर्वक्रमी किया गया समुच्चय उसी पूर्वक्रमी के साथ एक निर्देशित समुच्चय है। उदाहरण के लिए, एक आंशिकतः क्रमित समुच्चय $$P$$ में, अवयव का हर निचला संवरण, अर्थात्, $$\{a \in P : a \leq x\}$$ के रूप का प्रत्येक उपसमुच्चय जहाँ $$x$$, $$P$$ से एक स्थिर अवयव है, निर्देशित है।

निर्देशित पूर्वनिर्धारित समुच्चय का प्रत्येक अधिकतम अवयव सबसे बड़ा अवयव है। वास्तव में, एक निर्देशित पूर्ववर्ती समुच्चय अधिकतम और सबसे बड़े अवयवों के (संभवतः खाली) समुच्चयों की समानता की विशेषता है।

निर्देशित समुच्चय का उत्पाद
$$\mathbb{D}_1$$ और $$\mathbb{D}_2$$ को निर्देशित समुच्चय होने दें। फिर कार्तीय उत्पाद समुच्चय $$\mathbb{D}_1 \times \mathbb{D}_2$$ को $$\left(n_1, n_2\right) \leq \left(m_1, m_2\right)$$ अगर और केवल अगर $$n_1 \leq m_1$$ और $$n_2 \leq m_2$$ परिभाषित करके निर्देशित समुच्चय में बनाया जा सकता है। उत्पाद क्रम के अनुरूप यह कार्तीय उत्पाद पर उत्पाद की दिशा है। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं के जोड़े के समुच्चय $$\N \times \N$$ को $$\left(n_0, n_1\right) \leq \left(m_0, m_1\right)$$ को परिभाषित करके निर्देशित समुच्चय में बनाया जा सकता है यदि केवल $$n_0 \leq m_0$$ और $$n_1 \leq m_1$$ हो।

उपसमुच्चय समावेशन
उपसमुच्चय समावेशन संबंध $$\,\subseteq,\,$$ इसके द्वैत (क्रमित सिद्धांत) $$\,\supseteq\,$$ के साथ, समुच्चय के किसी दिए गए वर्ग पर आंशिक क्रमित परिभाषित करता है। आंशिक क्रम $$\,\supseteq\,$$ (क्रमश, $$\,\subseteq\,$$)के संबंध में निर्देशित किया जाता है यदि और केवल यदि के संबंध में समुच्चय का अरिक्त वर्ग एक निर्देशित समुच्चय है अगर और केवल अगर इसके किसी भी दो सदस्यों के प्रतिच्छेदन (क्रमशः, संघ) में किसी तीसरे सदस्य के उपसमुच्चय (क्रमशः, एक उपसमुच्चयके रूप में समिलित है) के रूप में समिलित है। प्रतीकों में, समुच्चयों के एक वर्ग $$I$$ को $$\,\supseteq\,$$ (क्रमश, $$\,\subseteq\,$$) के संबंध में निर्देशित किया जाता है यदि और केवल यदि
 * सभी $$A, B \in I$$ के लिए कुछ $$C \in I$$  ऐसा उपस्थित है कि $$A \supseteq C$$ और $$B \supseteq C$$ (क्रमश, $$A \subseteq C$$ और $$B \subseteq C$$)

या समकक्ष,
 * सभी $$A, B \in I$$ के लिए कुछ $$C \in I$$ ऐसा उपस्थित है कि $$A \cap B \supseteq C$$ (क्रमश, $$A \cap B \subseteq C$$).

इन आंशिक क्रमितों का उपयोग करके निर्देशित समुच्चयों के कई महत्वपूर्ण उदाहरणों को परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, परिभाषा के अनुसार, एक फ़िल्टर (समुच्चय सिद्धांत) या फ़िल्टर बेस समुच्चय का एक अरिक्त वर्ग है जो आंशिक क्रम $$\,\supseteq\,$$ के संबंध में निर्देशित समुच्चय है और उसमें भी खाली समुच्चय नहीं है (यह स्थिति तुच्छता को रोकती है क्योंकि अन्यथा, खाली समुच्चय तब $$\,\supseteq\,$$ के संबंध में सबसे बड़ा अवयव होगा)। हर $\pi$-प्रणाली, जो समुच्चय का अरिक्त वर्ग है जो इसके दो सदस्यों के प्रतिच्छेदन के नीचे बंद है, $$\,\supseteq\,$$ संबंध में एक निर्देशित समुच्चय है। जिसके प्रत्येक λ-प्रणाली$$\,\subseteq\,$$ के संबंध में निर्देशित समुच्चय है। प्रत्येक फ़िल्टर (समुच्चय सिद्धांत), सांस्थिति (संरचना), और σ-बीजगणित $$\,\supseteq\,$$ और $$\,\subseteq\,$$ दोनों के संबंध में एक निर्देशित समुच्चय है। अगर $$x_{\bull} = \left(x_i\right)_{i \in I}$$ एक निर्देशित समुच्चय $$(I, \leq)$$ से कोई नेट (गणित) है फिर किसी भी सूचकांक $$i \in I$$ के लिए समुच्चय $$x_{\geq i} := \left\{x_j : j \geq i \text{ with } j \in I\right\}$$ $$(I, \leq)$$ की पूँछ कहलाती है जो $$i$$ से आरंभ हो। सभी पूंछों के वर्ग $$\operatorname{Tails}\left(x_{\bull}\right) := \left\{x_{\geq i} : i \in I\right\}$$  $$\,\supseteq\,$$ के संबंध में एक निर्देशित समुच्चय है; वास्तव में, यह एक प्रीफ़िल्टर भी है।

अगर $$T$$ एक सांस्थितिक समष्टि है और $$x_0$$ $$T$$ में एक बिंदु है, $$x_0$$ के सभी सांस्थितिक सहवासी का समुच्चय $$U \leq V$$ लिखकर निर्देशित समुच्चय में बदला जा सकता है अगर और केवल अगर $$U$$ में $$V$$ है। हर एक $$U,$$ $$V,$$ और $$W$$ के लिए: समुच्चय $$\operatorname{Finite}(I)$$ एक समुच्चय $$I$$ के सभी परिमित उपसमुच्चय $$\,\subseteq\,$$ के संबंध में निर्देशित किया जाता है क्योंकि कोई भी दो $$A, B \in \operatorname{Finite}(I)$$ दिया गया है, उनका संघ $$A \cup B \in \operatorname{Finite}(I)$$ $$\operatorname{Finite}(I)$$ में $$A$$ और $$B$$ की ऊपरी सीमा है। यह विशेष रूप से निर्देशित समुच्चय का उपयोग संख्या $$\left(r_i\right)_{i \in I}$$ के $$I$$अनुक्रमित संग्रह की सामान्यीकृत श्रृंखला के योग $${\textstyle\sum\limits_{i \in I}} r_i$$ को परिभाषित करने के लिए किया जाता है (या अधिक आम तौर पर, एक एबेलियन सांस्थिति समूह में तत्वों का योग, जैसे कि एक सांस्थिति सदिश स्थान में सदिश) आंशिक योग के नेट की सीमा के रूप में $$F \in \operatorname{Finite}(I) \mapsto {\textstyle\sum\limits_{i \in F}} r_i;$$ वह है: $$\sum_{i \in I} r_i ~:=~ \lim_{F \in \operatorname{Finite}(I)} \ \sum_{i \in F} r_i ~=~ \lim \left\{\sum_{i \in F} r_i \,: F \subseteq I, F \text{ finite }\right\}.$$
 * $$U \leq U$$ जैसा कि $$U$$ खुद को समिलित करता है।
 * अगर $$U \leq V$$ और $$V \leq W,$$ तब $$U \supseteq V$$ और $$V \supseteq W,$$ जो $$U \supseteq W$$ दर्शाता है। इस प्रकार $$U \leq W$$ है।
 * क्योंकि $$x_0 \in U \cap V,$$ और चूँकि $$U \supseteq U \cap V$$ और $$V \supseteq U \cap V$$ दोनों हैं, हमारे पास$$U \leq U \cap V$$ और $$V \leq U \cap V$$ है।

सेमीलेटिस (अर्ध-जाल) के साथ तुलना करें
निर्देशित समुच्चय अर्ध-जाल (ज्वाइन) की तुलना में अधिक सामान्य अवधारणा है: प्रत्येक संयुक्त अर्ध-जाल एक निर्देशित समुच्चय है, क्योंकि दो अवयवों का जुड़ाव या न्यूनतम ऊपरी सीमा अपेक्षित $$c$$ है। लेकिन इसका विपरीत नहीं है, निर्देशित समुच्चय {1000,0001,1101,1011,1111} समन्वय क्रम (जैसे $$1000 \leq 1011$$ है, लेकिन $$0001 \leq 1000$$ नहीं, क्योंकि अंतिम बिट 1 > 0) में, जहां {1000,0001} की तीन ऊपरी सीमाएं हैं लेकिन  ऊपरी सीमा नहीं है, cf. चित्र। (यह भी ध्यान दें कि 1111 के बिना, समुच्चय निर्देशित नहीं है।)

निर्देशित उपसमुच्चय
निर्देशित समुच्चय में क्रमित संबंध को प्रतिसममित होने की आवश्यकता नहीं है, और इसलिए निर्देशित समुच्चय हमेशा आंशिक क्रमित नहीं होते हैं। फिर भी, निर्देशित समुच्चय शब्द का उपयोग आंशिकतः क्रमित समुच्चय के संदर्भ में प्रायः किया जाता है। इस समायोजना में, आंशिक रूप से क्रमित समुच्चय $$(P, \leq)$$ का उपसमुच्चय $$A$$ निर्देशित उपसमुच्चय कहा जाता है यदि यह एक ही आंशिक क्रम के अनुसार निर्देशित समुच्चय है: दूसरे शब्दों में, यह खाली समुच्चय नहीं है, और अवयवों की प्रत्येक जोड़ी की ऊपरी सीमा होती है। यहाँ $$A$$ के अवयवों पर क्रम संबंध $$P$$ से आनुवंसिक है ; इस कारण से, प्रतिवर्तनीयता और सकर्मकता को स्पष्ट होना आवश्यक नहीं है।

किसी आंशिकतः क्रमित समुच्चय के निर्देशित उपसमुच्चय को नीचे की ओर बंद करने की आवश्यकता नहीं है; एक आंशिकतः क्रमित समुच्चय का उपसमुच्चय निर्देशित किया जाता है अगर और केवल अगर इसका डाउनवर्ड संवरण एक आदर्श (ऑर्डर थ्योरी) है। जबकि एक निर्देशित समुच्चय की परिभाषा ऊपर की ओर निर्देशित समुच्चय के लिए है (अवयवों की प्रत्येक जोड़ी की ऊपरी सीमा होती है), नीचे की ओर निर्देशित समुच्चय को परिभाषित करना भी संभव है जिसमें प्रत्येक जोड़ी अवयवों की एक सामान्य निचली सीमा होती है। आंशिकतः क्रमित समुच्चय का उपसमुच्चय नीचे की ओर निर्देशित होता है अगर और केवल अगर इसका ऊपरी संवरण एक फ़िल्टर (निस्यंदक) है।

डोमेन सिद्धांत में निर्देशित उपसमुच्चय का उपयोग किया जाता है, जो निर्देशित-पूर्ण आंशिकतः क्रमित का अध्ययन करता है। ये आंशिकतः क्रमित समुच्चय हैं जिनमें प्रत्येक ऊपर की ओर निर्देशित समुच्चय को न्यूनतम ऊपरी परिबंध होना आवश्यक है। इस संदर्भ में, निर्देशित उपसमुच्चय फिर से अभिसरण अनुक्रमों का सामान्यीकरण प्रदान करते हैं।

यह भी देखें

 * केंद्रित सेट
 * फ़िल्टर की गई श्रेणी
 * टोपोलॉजी में फिल्टर
 * जुड़ा हुआ सम्मुच्य
 * नेट (गणित)

संदर्भ

 * J. L. Kelley (1955), General Topology.
 * Gierz, Hofmann, Keimel, et al. (2003), Continuous Lattices and Domains, Cambridge University Press. ISBN 0-521-80338-1.