वृत्ताकार झिल्ली कंपन

तनाव के तहत एक द्वि-आयामी ध्वनिक झिल्ली अनुप्रस्थ कंपन का समर्थन कर सकती है। एक आदर्श ढोल पर चढ़ा हुआ चमड़ा  के गुणों को एक कठोर ढांचा से जुड़ी एक समान मोटाई की गोलाकार झिल्ली के कंपन द्वारा तैयार किया जा सकता है। अनुनाद की घटना के कारण, कुछ कंपन आवृत्ति पर, इसकी गुंजयमान आवृत्तियों पर, झिल्ली कंपन ऊर्जा को संग्रहीत कर सकती है, सतह खड़ी तरंगों के एक विशिष्ट पैटर्न में चलती है। इसे सामान्य मोड कहा जाता है। एक झिल्ली में इन सामान्य तरीकों की एक अनंत संख्या होती है, जो सबसे कम आवृत्ति से शुरू होती है जिसे मौलिक मोड कहा जाता है।

झिल्ली में कंपन करने के असीमित तरीके मौजूद होते हैं, प्रत्येक प्रारंभिक समय में झिल्ली के आकार और उस समय झिल्ली पर प्रत्येक बिंदु के अनुप्रस्थ वेग पर निर्भर करता है। झिल्ली के कंपन द्वि-आयामी तरंग समीकरण के समाधान द्वारा डिरिचलेट सीमा स्थितियों के साथ दिए जाते हैं जो फ्रेम की बाधा का प्रतिनिधित्व करते हैं। यह दिखाया जा सकता है कि झिल्ली के किसी भी स्वेच्छया ढंग से जटिल कंपन को झिल्ली के सामान्य तरीकों की संभवतः को अनंत श्रृंखला (गणित) में विघटित किया जा सकता है। यह फूरियर श्रृंखला में समय संकेत के अपघटन के समान है।

ड्रमों पर कंपन के अध्ययन ने गणितज्ञों को एक प्रसिद्ध गणितीय समस्या प्रस्तुत करने के लिए प्रेरित किया कि क्या ड्रम के आकार को सुना जा सकता है, जिसका उत्तर 1992 में द्वि-आयामी सेटिंग में दिया गया था।

प्रेरणा
कंपन ड्रम शीर्ष समस्या का विश्लेषण ड्रम और टिमपनी जैसे टकराव उपकरण की व्याख्या करता है। हालाँकि, कान के परदे के काम करने में एक जैविक अनुप्रयोग भी होता है। एक शैक्षिक दृष्टिकोण से एक द्वि-आयामी वस्तु के मोड मोड, नोड्स, एंटीनोड और यहां तक ​​​​कि क्वांटम संख्याओं के अर्थ को दृष्टिगत रूप से प्रदर्शित करने का एक सुविधाजनक तरीका है। परमाणु की संरचना को समझने के लिए ये अवधारणाएँ महत्वपूर्ण हैं।

समस्या
एक खुली डिस्क पर विचार करें $$\Omega$$ त्रिज्या के $$a$$ मूल पर केंद्रित है, जो "अभी भी" ढोल पर चढ़ा हुआ चमड़ा के आकार का प्रतिनिधित्व करेगा। किसी भी समय $$t,$$ एक बिंदु पर ड्रम हेड आकार की ऊंचाई $$(x, y)$$ में $$\Omega$$ को स्टिल ड्रम हैड आकार से मापा जाता है जिसे इसके द्वारा निरूपित किया जाएगा $$u(x, y, t),$$ जो सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मान ले सकता है। होने देना $$\partial \Omega$$ की सीमा (टोपोलॉजी) को निरूपित करते हैं $$\Omega,$$ अर्थात् त्रिज्या का वृत्त $$a$$ मूल पर केंद्रित है, जो कठोर फ्रेम का प्रतिनिधित्व करता है जिससे ड्रम हेड जुड़ा हुआ है।

ड्रम हेड के कंपन को नियंत्रित करने वाला गणितीय समीकरण शून्य सीमा स्थितियों के साथ तरंग समीकरण है,


 * $$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right) \text{ for }(x, y) \in \Omega \,$$
 * $$u = 0\text{ on }\partial \Omega.\,$$

गोलाकार ज्यामिति के कारण $$\Omega$$, बेलनाकार निर्देशांक का उपयोग करना सुविधाजनक होगा, $$(r, \theta, z).$$ फिर, उपरोक्त समीकरणों को इस प्रकार लिखा जाता है


 * $$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \left(\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}+\frac {1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}\right) \text{ for } 0 \le r < a, 0 \le \theta \le 2\pi\,$$
 * $$u = 0\text{ for } r=a.\,$$

यहाँ, c एक सकारात्मक स्थिरांक है, जो उस गति को बताता है जिस पर अनुप्रस्थ कंपन तरंगें झिल्ली में फैलती हैं। भौतिक मापदंडों के संदर्भ में, तरंग गति, c, द्वारा दी गई है


 * $$ c = \sqrt{\frac{N_{rr}^*}{\rho h}}$$

कहाँ $$N_{rr}^*$$, झिल्ली सीमा पर परिणामी रेडियल झिल्ली है ($$ r = a$$), $$h$$, झिल्ली की मोटाई है, और $$\rho$$ झिल्ली घनत्व है। यदि झिल्ली में समान तनाव है, तो किसी दिए गए दायरे में समान तनाव बल,  $$r$$ लिखा जा सकता है
 * $$F = rN^{r}_{rr}=rN^{r}_{\theta\theta}$$

जहां $$ N^{r}_{\theta\theta} = N^{r}_{rr} $$ दिगंश दिशा में परिणामी झिल्ली है।

अक्षीय मामला
हम पहले एक वृत्ताकार ड्रम हेड के कंपन के संभावित तरीकों का अध्ययन करेंगे जो घूर्णी समरूपता हैं। तब, फलन $$u$$ कोण पर निर्भर नहीं है $$\theta,$$ और तरंग समीकरण को सरल करते है


 * $$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \left(\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}+\frac {1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}\right) .$$

हम अलग-अलग चरों में समाधान खोजेंगे, $$u(r, t) = R(r)T(t).$$ उपरोक्त समीकरण में इसे प्रतिस्थापित करना और दोनों पक्षों को विभाजित करना $$c^2R(r)T(t)$$ द्वारा


 * $$\frac{T(t)}{c^2T(t)} = \frac{1}{R(r)}\left(R(r) + \frac{1}{r}R'(r)\right).$$

इस समानता का वाम पक्ष निर्भर नहीं करता है $$r,$$ और दाएँ हाथ की ओर निर्भर नहीं करता है $$t,$$ यह इस प्रकार है कि दोनों पक्षों को कुछ स्थिरांक के बराबर होना चाहिए $$K.$$ के लिए अलग-अलग समीकरण प्राप्त होते हैं$$T(t)$$ और $$R(r)$$:


 * $$T''(t) = Kc^2T(t) \,$$
 * $$rR''(r)+R'(r)-KrR(r)=0.\,$$

के लिए समीकरण $$T(t)$$ में ऐसे समाधान हैं जो तेजी से बढ़ते या घटते हैं $$K>0,$$ के लिए रैखिक या स्थिर हैं $$K=0$$ और के लिए आवधिक हैं $$K<0$$. शारीरिक रूप से यह उम्मीद की जाती है कि हिलने वाले ड्रम हेड की समस्या का समाधान समय में दोलनशील होगा, और यह केवल तीसरा मामला छोड़ता है, $$K<0,$$ इसलिए हम चुनते हैं $$K=-\lambda^2$$ सुविधा के लिए। तब, $$T(t)$$ साइन और कोसाइन फलन का एक रैखिक संयोजन है,


 * $$T(t)=A\cos c\lambda t + B\sin c \lambda t.\, $$

के लिए समीकरण की ओर मुड़ना $$R(r),$$ अवलोकन के साथ कि $$K=-\lambda^2,$$ इस दूसरे क्रम के अवकल समीकरण के सभी समाधान 0 क्रम के बेसेल फलनों का एक रैखिक संयोजन हैं, क्योंकि यह बेसेल के अवकल समीकरण का एक विशेष मामला है:


 * $$R(r) = c_1 J_0(\lambda r)+ c_2 Y_0(\lambda r).\,$$

बेसेल फलनों $$Y_0$$ के लिए असीमित है $$r\to 0,$$ जिसके परिणामस्वरूप कंपन ड्रम हेड समस्या का अभौतिक समाधान होता है, इसलिए स्थिर $$c_2$$ शून्य होना चाहिए। हम भी मानेंगे $$c_1=1,$$ अन्यथा इस स्थिरांक को बाद में स्थिरांकों में अवशोषित किया जा सकता है $$A$$ और $$B$$ से आ रहा है $$T(t).$$ यह इस प्रकार है कि


 * $$R(r) = J_0(\lambda r).$$

आवश्यकता है कि ऊंचाई ड्रम हेड की सीमा पर $$u$$ शून्य होने से स्थिति उत्पन्न होती है


 * $$R(a) = J_0(\lambda a) = 0.$$

बेसेल फलन $$J_0$$ के अनंत सकारात्मक मूल हैं,


 * $$0< \alpha_{01} < \alpha_{02} < \cdots$$

हमें वह मिल गया $$\lambda a=\alpha_{0n},$$ के लिए $$n=1, 2, \dots, $$ इसलिए


 * $$R(r) = J_0\left(\frac{\alpha_{0n}}{a}r\right).$$

इसलिए, अक्षीय समाधान $$u$$ कंपन ड्रम हेड की समस्या जिसे अलग-अलग चर में दर्शाया जा सकता है


 * $$u_{0n}(r, t) = \left(A\cos c\lambda_{0n} t + B\sin c\lambda_{0n} t\right)J_0\left(\lambda_{0n} r\right)\text{ for }n=1, 2, \dots, \, $$

जहां $$\lambda_{0n} = \alpha_{0n}/a.$$

सामान्य मामला
सामान्य मामला, जब $$u$$ कोण पर भी निर्भर हो सकता है $$\theta,$$ समान व्यवहार किया जाता है। हम अलग-अलग चरों में एक समाधान मानते हैं,


 * $$u(r, \theta, t) = R(r)\Theta(\theta)T(t).\,$$

इसे तरंग समीकरण में प्रतिस्थापित करना और चरों को अलग करने पर, देता है


 * $$\frac{T(t)}{c^2T(t)} = \frac{R(r)}{R(r)}+\frac{R'(r)}{rR(r)} + \frac{\Theta''(\theta)}{r^2\Theta(\theta)}=K$$

जहां $$K$$ एक स्थिरांक है। पहले की तरह, के लिए समीकरण से $$T(t)$$ यह इस प्रकार है कि $$K=-\lambda^2$$ साथ $$\lambda>0$$ और


 * $$T(t)=A\cos c\lambda t + B\sin c \lambda t.\, $$

समीकरण से


 * $$\frac{R(r)}{R(r)}+\frac{R'(r)}{rR(r)} + \frac{\Theta(\theta)}{r^2\Theta(\theta)}=-\lambda^2$$

हम दोनों पक्षों को $$r^2$$ से गुणा करके प्राप्त करते हैं और अलग करने वाले चर, वह


 * $$\lambda^2r^2+\frac{r^2R''(r)}{R(r)}+\frac{rR'(r)}{R(r)}=L$$

और


 * $$-\frac{\Theta''(\theta)}{\Theta(\theta)}=L,$$

कुछ स्थिरांक के लिए $$L.$$ तब $$\Theta(\theta)$$ आवधिक है, अवधि के साथ $$2\pi,$$ $$\theta$$ एक कोणीय चर होने के नाते, यह उसी का अनुसरण करता है


 * $$\Theta(\theta)=C\cos m\theta + D \sin m\theta,\, $$

जहां $$m=0, 1, \dots $$ और $$C$$ और $$D$$ कुछ स्थिरांक हैं। इसका तात्पर्य यह भी है $$L=m^2.$$

के लिए समीकरण पर वापस जा रहे हैं $$R(r),$$ इसका समाधान बेसेल फलनों का एक रैखिक संयोजन है $$J_m$$ और $$Y_m.$$ पिछले अनुभाग के समान तर्क के साथ, हम पहुँचते हैं


 * $$R(r) = J_m(\lambda_{mn}r),\,$$ $$m=0, 1, \dots,$$ $$n=1, 2, \dots,$$

जहां $$\lambda_{mn}=\alpha_{mn}/a,$$ साथ $$\alpha_{mn}$$ $$n$$-वें का सकारात्मक मूल $$J_m.$$

हमने दिखाया कि कंपन ड्रम हेड समस्या के अलग-अलग चर में सभी समाधान से हैं


 * $$u_{mn}(r, \theta, t) = \left(A\cos c\lambda_{mn} t + B\sin c\lambda_{mn} t\right)J_m\left(\lambda_{mn} r\right)(C\cos m\theta + D \sin m\theta)$$

के लिए $$m=0, 1, \dots, n=1, 2, \dots$$

कई कंपन मोड के एनिमेशन
नीचे अनेक विधाओं को उनकी क्वांटम संख्याओं के साथ दिखाया गया है। हाइड्रोजन परमाणु के अनुरूप तरंग फलन के साथ-साथ संबद्ध कोणीय आवृत्तियों को भी दर्शाया गया है $$\omega_{mn}=\lambda_{mn}c=\dfrac{\alpha_{mn}}{a}c=\alpha_{mn}c/a$$. के मान $$\alpha_{mn}$$ बेसेल फलन के मूल हैं $$J_m$$. यह सीमा स्थिति से निकाला जाता है $$\forall \theta \in [0,2\pi], \forall t, \ u_{mn}(r=a, \theta, t) = 0$$ जो यील्ड करता है $$J_m(\lambda_{mn}a) = J_m(\alpha_{mn}) = 0$$.

के अधिक मूल्य $$\alpha_{mn}$$ की गणना आसानी से निम्नलिखित पायथन कोड का उपयोग करके की जा सकती है:  पुस्तकालय:

<वाक्यविन्यास लैंग = पायथन लाइन = 1> scipy आयात विशेष से sc के रूप में एम = 0 # बेसेल फ़ंक्शन का क्रम (यानी गोलाकार झिल्ली के लिए कोणीय मोड) nz = 3 # जड़ों की वांछित संख्या alpha_mn = sc.jn_zeros(m, nz) # Jm का NZ शून्य आउटपुट करता है 

यह भी देखें

 * कंपन स्ट्रिंग, एक आयामी मामला
 * कूल पैटर्न, एक संबंधित घटना का प्रारंभिक विवरण, विशेष रूप से संगीत वाद्ययंत्रों के साथ; cymatics भी देखें
 * ड्रम के आकार को सुनना, झिल्ली के आकार के संबंध में विधाओं की विशेषता
 * परमाणु कक्षीय, एक संबंधित क्वांटम-मैकेनिकल और त्रि-आयामी समस्या