क्रमविनिमेय बीजगणित

क्रमविनिमेय बीजगणित, जिसे पहले आदर्श सिद्धांत के रूप में जाना जाता था, बीजगणित की वह शाखा है जो क्रमविनिमेय वलयों, उनके आदर्श (अंगूठी सिद्धांत) और ऐसे वलयों पर मॉड्यूल (गणित) का अध्ययन करती है। बीजगणितीय ज्यामिति और बीजगणितीय संख्या सिद्धांत दोनों क्रमविनिमेय बीजगणित पर निर्मित होते हैं। क्रमविनिमेय वलयों के प्रमुख उदाहरणों में बहुपद वलय शामिल हैं; साधारण पूर्णांकों सहित बीजगणितीय पूर्णांकों के वलय $$\mathbb{Z}$$; और p-adic संख्या|p-adic पूर्णांक। योजना (गणित) के स्थानीय अध्ययन में क्रमविनिमेय बीजगणित मुख्य तकनीकी उपकरण है।

उन वलयों का अध्ययन जो आवश्यक रूप से क्रमविनिमेय नहीं हैं, गैर क्रमविनिमेय बीजगणित के रूप में जाना जाता है; इसमें अंगूठी सिद्धांत, प्रतिनिधित्व सिद्धांत और बनच बीजगणित का थ्योरी शामिल है।

सिंहावलोकन
क्रमविनिमेय बीजगणित अनिवार्य रूप से बीजगणितीय संख्या सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति में होने वाले छल्लों का अध्ययन है।

बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में, बीजगणितीय पूर्णांकों के वलय डेडेकिंड वलय हैं, जो इसलिए क्रमविनिमेय छल्लों का एक महत्वपूर्ण वर्ग है। मॉड्यूलर अंकगणित से संबंधित विचारों ने मूल्यांकन की अंगूठी की धारणा को जन्म दिया है। सबरिंग्स के लिए बीजगणितीय क्षेत्र के विस्तार के प्रतिबंध ने अभिन्न विस्तार और अभिन्न रूप से बंद डोमेन के साथ-साथ वैल्यूएशन रिंग के विस्तार के रैमिफिकेशन (गणित) की धारणा को जन्म दिया है।

स्थानीय अंगूठी के स्थानीयकरण की धारणा (विशेष रूप से एक प्रमुख आदर्श के संबंध में स्थानीयकरण, एक तत्व और कुल भागफल की अंगूठी को बदलने में शामिल स्थानीयकरण) क्रमविनिमेय बीजगणित और गैर-कम्यूटेटिव रिंगों के सिद्धांत के बीच मुख्य अंतरों में से एक है।. यह विनिमेय छल्लों के एक महत्वपूर्ण वर्ग की ओर ले जाता है, स्थानीय वलय जिनमें केवल एक अधिकतम आदर्श होता है। एक क्रमविनिमेय अंगूठी के प्रमुख आदर्शों का सेट स्वाभाविक रूप से एक टोपोलॉजिकल स्पेस, जरिस्की टोपोलॉजी से सुसज्जित है। इन सभी धारणाओं का व्यापक रूप से बीजगणितीय ज्यामिति में उपयोग किया जाता है और योजना सिद्धांत की परिभाषा के लिए बुनियादी तकनीकी उपकरण हैं, ग्रोथेंडिक द्वारा बीजगणितीय ज्यामिति का एक सामान्यीकरण।

क्रमविनिमेय बीजगणित की कई अन्य धारणाएँ बीजगणितीय ज्यामिति में होने वाली ज्यामितीय धारणाओं के प्रतिरूप हैं। यह क्रुल आयाम, प्राथमिक अपघटन, नियमित वलय, कोहेन-मैकाले वलय, गोरेंस्टीन वलय और कई अन्य धारणाओं का मामला है।

इतिहास
विषय, जिसे पहले आदर्श सिद्धांत के रूप में जाना जाता था, रिचर्ड डेडेकिंड के आइडियल (रिंग थ्योरी) पर काम के साथ शुरू हुआ, जो खुद गंभीर दु:ख और लियोपोल्ड क्रोनकर के पहले के काम पर आधारित था। बाद में, डेविड हिल्बर्ट ने पहले शब्द संख्या रिंग को सामान्य बनाने के लिए रिंग शब्द की शुरुआत की। हिल्बर्ट ने जटिल विश्लेषण और शास्त्रीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत जैसी चीजों पर आधारित अधिक ठोस और कम्प्यूटेशनल रूप से उन्मुख तरीकों को बदलने के लिए एक अधिक अमूर्त दृष्टिकोण पेश किया। बदले में, हिल्बर्ट ने एम्मी नोथेर को दृढ़ता से प्रभावित किया, जिन्होंने आरोही श्रृंखला की स्थिति के संदर्भ में पहले के कई परिणामों को फिर से तैयार किया, जिसे अब नोथेरियन स्थिति के रूप में जाना जाता है। एक और महत्वपूर्ण मील का पत्थर हिल्बर्ट के छात्र एमानुएल लस्कर का काम था, जिन्होंने प्राथमिक आदर्शों को पेश किया और लास्कर-नोथेर प्रमेय के पहले संस्करण को साबित किया।

एक परिपक्व विषय के रूप में क्रमविनिमेय बीजगणित के जन्म के लिए जिम्मेदार मुख्य व्यक्ति वोल्फगैंग क्रुल थे, जिन्होंने एक अंगूठी के स्थानीयकरण और एक अंगूठी के समापन (रिंग सिद्धांत) के साथ-साथ नियमित स्थानीय छल्ले के मूलभूत विचारों को पेश किया। उन्होंने सामान्य मूल्यांकन के छल्ले और क्रुल के छल्ले को कवर करने के लिए अपने सिद्धांत का विस्तार करने के लिए आगे बढ़ने से पहले एक अंगूठी के क्रुल आयाम की अवधारणा की स्थापना की। आज तक, क्रुल के प्रमुख आदर्श प्रमेय को व्यापक रूप से क्रमविनिमेय बीजगणित में एकल सबसे महत्वपूर्ण मूलभूत प्रमेय माना जाता है। इन परिणामों ने बीजगणितीय ज्यामिति में क्रमविनिमेय बीजगणित की शुरूआत का मार्ग प्रशस्त किया, एक ऐसा विचार जो बाद के विषय में क्रांति लाएगा।

क्रमविनिमेय बीजगणित के अधिकांश आधुनिक विकास मॉड्यूल (गणित) पर जोर देते हैं। एक अंगूठी आर और आर-बीजगणित के दोनों आदर्श आर-मॉड्यूल के विशेष मामले हैं, इसलिए मॉड्यूल सिद्धांत में आदर्श सिद्धांत और रिंग एक्सटेंशन के सिद्धांत दोनों शामिल हैं। हालांकि यह लियोपोल्ड क्रोनकर | क्रोनकर के काम में पहले से ही प्रारंभिक था, मॉड्यूल सिद्धांत का उपयोग करके क्रमविनिमेय बीजगणित के लिए आधुनिक दृष्टिकोण को आमतौर पर वोल्फगैंग क्रुल रिंग एमी नोथेर को श्रेय दिया जाता है।

नोथेरियन रिंग्स
गणित में, विशेष रूप से सार बीजगणित के क्षेत्र में जिसे रिंग (गणित) के रूप में जाना जाता है, एक नोथेरियन रिंग, जिसका नाम एमी नोथर के नाम पर रखा गया है, एक रिंग है जिसमें आदर्श (रिंग थ्योरी) के प्रत्येक गैर-खाली सेट में अधिकतम तत्व होता है। समतुल्य रूप से, एक अंगूठी नोथेरियन है यदि यह आदर्शों पर आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करती है; अर्थात्, कोई भी श्रृंखला दी गई है:


 * $$I_1\subseteq\cdots I_{k-1}\subseteq I_{k}\subseteq I_{k+1}\subseteq\cdots$$

वहाँ एक n मौजूद है कि:


 * $$I_{n}=I_{n+1}=\cdots$$

एक क्रमविनिमेय वलय के लिए नोएदरियन होने के लिए यह पर्याप्त है कि वलय का प्रत्येक प्रधान आदर्श परिमित रूप से उत्पन्न होता है। (परिणाम आई.एस. कोहेन के कारण है।)

एक अंगूठी की आदर्श संरचना को सरल बनाने में भूमिका निभाने के कारण नोथेरियन अंगूठी की धारणा कम्यूटेटिव और गैर-अनुमेय अंगूठी सिद्धांत दोनों में मौलिक महत्व है। उदाहरण के लिए, एक फ़ील्ड (गणित) पर पूर्णांकों की अंगूठी और बहुपद की अंगूठी दोनों नोथेरियन रिंग हैं, और इसके परिणामस्वरूप, लास्कर-नोएदर प्रमेय, क्रुल चौराहा प्रमेय और हिल्बर्ट के आधार प्रमेय जैसे प्रमेय उनके लिए मान्य हैं। इसके अलावा, यदि कोई वलय नोथेरियन है, तो यह प्रमुख आदर्शों पर अवरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करता है। यह संपत्ति क्रुल आयाम की धारणा से शुरू होने वाले नोथेरियन रिंगों के लिए आयाम के एक गहरे सिद्धांत का सुझाव देती है।

हिल्बर्ट का आधार प्रमेय
$$ हिल्बर्ट के आधार प्रमेय के कुछ तात्कालिक परिणाम हैं:


 * 1) प्रेरण से हम देखते हैं $$R[X_0, \dotsc, X_{n-1}]$$ नोथेरियन भी होंगे।
 * 2) चूंकि कोई भी अफिन वैरायटी खत्म हो गई है $$R^n$$ (यानी बहुपदों के संग्रह का एक लोकस-सेट) एक आदर्श के ठिकाने के रूप में लिखा जा सकता है $$\mathfrak a\subset R[X_0, \dotsc, X_{n-1}]$$ और आगे इसके जनरेटर के स्थान के रूप में, यह अनुसरण करता है कि प्रत्येक संबधित विविधता सूक्ष्म रूप से कई बहुपदों का स्थान है - अर्थात अति सूक्ष्म रूप से कई ऊनविम पृष्ठ का प्रतिच्छेदन।
 * 3) यदि $$A$$ एक अंतिम रूप से उत्पन्न है $$R$$-बीजगणित, तो हम उसे जानते हैं $$A \simeq R[X_0, \dotsc, X_{n-1}] / \mathfrak a$$, कहां $$\mathfrak a$$ एक आदर्श है। आधार प्रमेय का तात्पर्य है $$\mathfrak a$$ अंतिम रूप से उत्पन्न होना चाहिए, कहते हैं $$\mathfrak a = (p_0, \dotsc, p_{N-1})$$, अर्थात। $$A$$ रिंग थ्योरी की शब्दावली है#अंतिम रूप से प्रस्तुत बीजगणित।

प्राथमिक अपघटन
एक वलय की आदर्श Q को प्राथमिक आदर्श कहा जाता है यदि Q उचित उपसमुच्चय है और जब भी xy ∈ Q, या तो x ∈ Q या yn ∈ Q किसी धनात्मक पूर्णांक n के लिए। 'जेड' में, प्राथमिक आदर्श ठीक रूप के आदर्श हैं (पीe) जहां p अभाज्य है और e एक धनात्मक पूर्णांक है। इस प्रकार, (n) का एक प्राथमिक अपघटन (n) को बहुत से प्राथमिक आदर्शों के प्रतिच्छेदन के रूप में प्रस्तुत करने के अनुरूप है।

यहां दिए गए लास्कर-नोथेर प्रमेय को अंकगणित के मौलिक प्रमेय के एक निश्चित सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है:

$$ I के किसी भी प्राथमिक अपघटन के लिए, सभी रेडिकल्स का सेट, यानी सेट {Rad(Q1), ..., रेड (क्यूt)} लस्कर-नोथेर प्रमेय द्वारा समान रहता है। वास्तव में, यह पता चला है कि (नोथेरियन रिंग के लिए) सेट मॉड्यूल R/I का संबद्ध प्राइम है; अर्थात्, R/I के सभी विनाशक (रिंग थ्योरी) का सेट (R पर एक मॉड्यूल के रूप में देखा गया) जो प्रमुख हैं।

स्थानीयकरण
स्थानीयकरण (बीजगणित) किसी दिए गए वलय या मॉड्यूल में भाजक का परिचय कराने का एक औपचारिक तरीका है। यही है, यह मौजूदा से एक नया अंगूठी/मॉड्यूल पेश करता है ताकि इसमें बीजगणितीय अंश हो
 * $$\frac{m}{s}$$.

जहां denominators आर के दिए गए सबसेट एस में रेंज करते हैं। आर्केटीपल उदाहरण पूर्णांक के अंगूठी 'जेड' से तर्कसंगत संख्याओं के अंगूठी 'क्यू' का निर्माण है।

समापन
एक समापन (रिंग थ्योरी) रिंग (गणित) और मॉड्यूल (गणित) पर कई संबंधित फ़ैक्टरों में से एक है जिसके परिणामस्वरूप पूर्ण टोपोलॉजिकल रिंग और मॉड्यूल होते हैं। पूर्णता एक रिंग के स्थानीयकरण के समान है, और साथ में वे कम्यूटेटिव रिंगों के विश्लेषण में सबसे बुनियादी उपकरणों में से हैं। पूर्ण क्रमविनिमेय वलयों में सामान्य वलयों की तुलना में सरल संरचना होती है और हेन्सेल की प्रमेयिका उन पर लागू होती है।

प्रमुख आदर्शों पर ज़ारिस्की टोपोलॉजी
ज़ारिस्की टोपोलॉजी एक रिंग के स्पेक्ट्रम (प्राइम आइडियल्स के सेट) पर एक टोपोलॉजिकल स्पेस को परिभाषित करती है। इस सूत्रीकरण में, ज़ारिस्की-बंद सेटों को सेट माना जाता है


 * $$V(I) = \{P \in \operatorname{Spec}\,(A) \mid I \subseteq P\}$$

जहाँ A एक नियत क्रमविनिमेय वलय है और I एक गुणज है। इसे शास्त्रीय ज़ारिस्की टोपोलॉजी के अनुरूप परिभाषित किया गया है, जहां एफ़िन स्पेस में बंद सेट बहुपद समीकरणों द्वारा परिभाषित होते हैं। शास्त्रीय चित्र के साथ संबंध देखने के लिए, ध्यान दें कि बहुपदों के किसी भी सेट S के लिए (बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर), यह हिल्बर्ट के नलस्टेलेंसैट्ज़ से अनुसरण करता है कि V(S) के बिंदु (पुराने अर्थ में) वास्तव में ट्यूपल्स हैं (a1, ..., एकn) ऐसा है कि (एक्स1- एक1, ..., एक्सn- एकn) में एस शामिल है; इसके अलावा, ये अधिक से अधिक आदर्श हैं और कमजोर नलस्टेलेंसैट्स द्वारा, किसी भी एफ़िन समन्वय अंगूठी का आदर्श अधिकतम है अगर और केवल अगर यह इस रूप का है। इस प्रकार, वी (एस) अधिकतम आदर्शों के समान है जिसमें एस। ग्रोथेंडिक के नवाचार को परिभाषित करने में नवीनता सभी प्रमुख आदर्शों के साथ अधिकतम आदर्शों को बदलना था; इस सूत्रीकरण में एक रिंग के स्पेक्ट्रम में एक बंद सेट की परिभाषा के लिए इस अवलोकन को सामान्य बनाना स्वाभाविक है।

उदाहरण
क्रमविनिमेय बीजगणित में मूलभूत उदाहरण पूर्णांकों का वलय है $$\mathbb{Z}$$. प्राइम्स का अस्तित्व और अद्वितीय गुणनखंडन प्रमेय ने नोथेरियन रिंग्स और प्राथमिक अपघटन जैसी अवधारणाओं की नींव रखी।

अन्य महत्वपूर्ण उदाहरण हैं:
 * बहुपद के छल्ले $$R[x_1,...,x_n]$$
 * पी-एडिक पूर्णांक
 * बीजगणितीय पूर्णांकों के वलय।

बीजगणितीय ज्यामिति के साथ संबंध
क्रमविनिमेय बीजगणित (बहुपद के छल्ले और उनके भागफल के रूप में, बीजगणितीय किस्मों की परिभाषा में प्रयुक्त) हमेशा बीजगणितीय ज्यामिति का एक हिस्सा रहा है। हालाँकि, 1950 के दशक के अंत में, बीजगणितीय किस्मों को एक योजना (गणित) की अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक की अवधारणा में शामिल किया गया था। उनकी स्थानीय वस्तुएँ एफाइन स्कीम या प्राइम स्पेक्ट्रा हैं, जो स्थानीय रूप से रिंग वाले स्थान हैं, जो एक श्रेणी बनाते हैं जो कि कम्यूटिव यूनिटल रिंग की श्रेणी के लिए एंटीइक्विवेलेंट (दोहरी) है, जो एफाइन बीजगणितीय किस्मों की श्रेणी के बीच द्वैत (श्रेणी सिद्धांत) का विस्तार करती है। क्षेत्र k, और सूक्ष्म रूप से उत्पन्न कम k-अल्जेब्रा की श्रेणी। ग्लूइंग ज़रिस्की टोपोलॉजी के साथ है; कोई स्थानीय रूप से चक्राकार रिक्त स्थान की श्रेणी के भीतर गोंद कर सकता है, लेकिन योनेदा एम्बेडिंग का उपयोग करते हुए, एफाइन योजनाओं की श्रेणी पर सेट के प्रीशेव की अधिक सार श्रेणी के भीतर भी। सेट-सैद्धांतिक अर्थ में ज़ारिस्की टोपोलॉजी को फिर ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी के अर्थ में ज़ारिस्की टोपोलॉजी द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। ग्रोथेंडिक ने क्रूड ज़ारिस्की टोपोलॉजी की तुलना में अधिक विदेशी लेकिन ज्यामितीय रूप से बेहतर और अधिक संवेदनशील उदाहरणों को ध्यान में रखते हुए ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी पेश की, अर्थात् एटेल टोपोलॉजी, और दो फ्लैट ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी: एफपीपीएफ और एफपीक्यूसी। आजकल कुछ अन्य उदाहरण प्रमुख हो गए हैं, जिनमें निस्नेविच टोपोलॉजी भी शामिल है। इसके अलावा ढेरों को ग्रोथेंडिक के अर्थ में स्टैक के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, आमतौर पर कुछ अतिरिक्त प्रतिनिधित्व स्थितियों के साथ, आर्टिन स्टैक और इससे भी बेहतर, डेलिग्ने-ममफोर्ड स्टैक, दोनों को अक्सर बीजगणितीय स्टैक कहा जाता है।

यह भी देखें

 * क्रमविनिमेय बीजगणित विषयों की सूची
 * क्रमविनिमेय बीजगणित की शब्दावली
 * कॉम्बिनेटरियल कम्यूटेटिव बीजगणित
 * ग्रोबनेर आधार
 * सजातीय बीजगणित

संदर्भ

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