एंडरसन स्थानीयकरण

संघनित पदार्थ भौतिकी में, एंडरसन स्थानीयकरण (मजबूत स्थानीयकरण के रूप में भी जाना जाता है) अव्यवस्थित माध्यम में तरंगों के प्रसार की अनुपस्थिति है। इस घटना का नाम अमेरिकी भौतिक विज्ञानी पी. डब्ल्यू. एंडरसन के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने सबसे पहले सुझाव दिया था कि एक जाली क्षमता में इलेक्ट्रॉन स्थानीयकरण संभव है, बशर्ते कि जाली में भौतिक विज्ञान (विकार) में यादृच्छिकता की डिग्री पर्याप्त रूप से बड़ी हो, जैसा कि हो सकता है उदाहरण के लिए अशुद्धियों या क्रिस्टलोग्राफिक दोष वाले अर्धचालक में महसूस किया जा सकता है।

एंडरसन स्थानीयकरण एक सामान्य तरंग घटना है जो विद्युत चुम्बकीय तरंगों, ध्वनिक तरंगों, क्वांटम तरंगों, स्पिन तरंगों आदि के परिवहन पर लागू होती है। इस घटना को कमजोर स्थानीयकरण से अलग किया जाना है, जो एंडरसन स्थानीयकरण का अग्रदूत प्रभाव है (नीचे देखें), और मॉट संक्रमण से, जिसका नाम सर नेविल मॉट के नाम पर रखा गया है, जहां धातु से इन्सुलेशन व्यवहार में संक्रमण विकार के कारण नहीं होता है, बल्कि इलेक्ट्रॉनों के मजबूत पारस्परिक कूलम्ब प्रतिकर्षण के कारण होता है।

परिचय
मूल एंडरसन टाइट-बाइंडिंग मॉडल में, डी-आयामी जाली जेड पर तरंग फ़ंक्शन ψ का विकासdश्रोडिंगर समीकरण द्वारा दिया गया है


 * $$ i \hbar \frac{d\psi}{dt} = H \psi~, $$

जहां हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) एच द्वारा दिया गया है


 * $$ H \psi_j = E_j \psi_j + \sum_{k \neq j} V_{jk} \psi_k~, $$

ई के साथj यादृच्छिक और स्वतंत्र, और संभावित V(r) r की तुलना में तेजी से गिर रहा है−3अनंत पर। उदाहरण के लिए, कोई ई ले सकता हैj [−W, +W], और में समान रूप से वितरित


 * $$ V(|r|) = \begin{cases} 1, & |r|=|j-k| = 1 \\ 0, &\text{otherwise.} \end{cases} $$

ψ से शुरू0 मूल में स्थानीयकृत, किसी की रुचि इस बात में है कि संभाव्यता वितरण कितनी तेजी से होता है $$|\psi|^2$$ फैलता है. एंडरसन का विश्लेषण निम्नलिखित दर्शाता है:


 * यदि d 1 या 2 है और W मनमाना है, या यदि d ≥ 3 और W/ħ पर्याप्त रूप से बड़ा है, तो संभाव्यता वितरण स्थानीयकृत रहता है:


 * $$ \sum_{n \in \mathbb{Z}^d} |\psi(t,n)|^2 |n| \leq C $$
 * समान रूप से टी में। इस घटना को 'एंडरसन स्थानीयकरण' कहा जाता है।


 * यदि d ≥ 3 और W/ħ छोटा है,


 * $$ \sum_{n \in \mathbb{Z}^d} |\psi(t,n)|^2 |n| \approx D \sqrt{t}~, $$
 * जहाँ D प्रसार स्थिरांक है।

विश्लेषण
एंडरसन स्थानीयकरण की घटना, विशेष रूप से कमजोर स्थानीयकरण की घटना, बहु-प्रकीर्णन पथों के बीच तरंग हस्तक्षेप में अपनी उत्पत्ति पाती है। मजबूत प्रकीर्णन सीमा में, गंभीर हस्तक्षेप अव्यवस्थित माध्यम के अंदर तरंगों को पूरी तरह से रोक सकता है।

गैर-अंतःक्रियात्मक इलेक्ट्रॉनों के लिए, अब्राहम्स एट अल द्वारा 1979 में अत्यधिक सफल दृष्टिकोण सामने रखा गया था। स्थानीयकरण की यह स्केलिंग परिकल्पना बताती है कि शून्य चुंबकीय क्षेत्र में और स्पिन-ऑर्बिट युग्मन की अनुपस्थिति में तीन आयामों (3 डी) में गैर-अंतःक्रियात्मक इलेक्ट्रॉनों के लिए विकार-प्रेरित धातु-इन्सुलेटर संक्रमण (एमआईटी) मौजूद है। बाद में बहुत से कार्यों ने विश्लेषणात्मक और संख्यात्मक रूप से इन स्केलिंग तर्कों का समर्थन किया है (ब्रैंडेस एट अल., 2003; आगे की पढ़ाई देखें)। 1डी और 2डी में, एक ही परिकल्पना दर्शाती है कि कोई विस्तारित अवस्था नहीं है और इस प्रकार कोई एमआईटी या केवल स्पष्ट एमआईटी नहीं है। हालाँकि, चूँकि 2 स्थानीयकरण समस्या का निचला महत्वपूर्ण आयाम है, 2D मामला अर्थ में 3D के करीब है: राज्यों को केवल कमजोर विकार के लिए मामूली रूप से स्थानीयकृत किया जाता है और छोटा स्पिन-ऑर्बिट युग्मन विस्तारित राज्यों के अस्तित्व को जन्म दे सकता है और इस प्रकार एमआईटी. नतीजतन, संभावित-विकार के साथ 2डी प्रणाली की स्थानीयकरण लंबाई काफी बड़ी हो सकती है ताकि संख्यात्मक दृष्टिकोण में कोई भी हमेशा स्थानीयकरण-डेलोकलाइज़ेशन संक्रमण पा सके जब या तो निश्चित विकार के लिए सिस्टम का आकार घट रहा हो या निश्चित सिस्टम आकार के लिए विकार बढ़ रहा हो।

स्थानीयकरण समस्या के अधिकांश संख्यात्मक दृष्टिकोण ऑनसाइट-संभावित विकार के साथ मानक टाइट-बाइंडिंग एंडरसन हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) का उपयोग करते हैं। सटीक विकर्णीकरण, मल्टीफ्रैक्टल गुणों, स्तर के आँकड़ों और कई अन्य द्वारा प्राप्त भागीदारी संख्याओं के अध्ययन द्वारा इलेक्ट्रॉनिक अपना राज्य की विशेषताओं की जांच की जाती है। स्थानांतरण-मैट्रिक्स विधि (टीएमएम) विशेष रूप से उपयोगी है जो स्थानीयकरण लंबाई की सीधी गणना की अनुमति देती है और एक-पैरामीटर स्केलिंग फ़ंक्शन के अस्तित्व के संख्यात्मक प्रमाण द्वारा स्केलिंग परिकल्पना को और अधिक मान्य करती है। प्रकाश के एंडरसन स्थानीयकरण को प्रदर्शित करने के लिए मैक्सवेल समीकरणों का प्रत्यक्ष संख्यात्मक समाधान लागू किया गया है (कोंटी और फ्रैटालोची, 2008)।

हाल के काम से पता चला है कि गैर-इंटरेक्टिंग एंडरसन स्थानीयकृत प्रणाली कमजोर इंटरैक्शन की उपस्थिति में भी कई-निकाय स्थानीयकरण कई-शरीर स्थानीयकृत बन सकती है। इस परिणाम को 1डी में कठोरता से सिद्ध किया गया है, जबकि परेशान करने वाले तर्क दो और तीन आयामों के लिए भी मौजूद हैं।

प्रयोगात्मक साक्ष्य
एंडरसन स्थानीयकरण को विकृत आवधिक क्षमता में देखा जा सकता है जहां प्रकाश का अनुप्रस्थ स्थानीयकरण एक फोटोनिक जाली पर यादृच्छिक उतार-चढ़ाव के कारण होता है। 2डी जाली (श्वार्ट्ज एट अल., 2007) और 1डी जाली (लाहिनी एट अल., 2006) के लिए अनुप्रस्थ स्थानीयकरण की प्रायोगिक प्राप्ति की सूचना दी गई थी। प्रकाश के अनुप्रस्थ एंडरसन स्थानीयकरण को ऑप्टिकल फाइबर माध्यम (करबासी एट अल., 2012) और एक जैविक माध्यम (चोई एट अल., 2018) में भी प्रदर्शित किया गया है, और इसका उपयोग फाइबर के माध्यम से छवियों को परिवहन करने के लिए भी किया गया है (करबासी एट अल. ., 2014). इसे 1डी अव्यवस्थित ऑप्टिकल क्षमता (बिली एट अल., 2008; रोआटी एट अल., 2008) में बोस-आइंस्टीन कंडेनसेट के स्थानीयकरण द्वारा भी देखा गया है।

3डी में, अवलोकन अधिक दुर्लभ हैं। 3डी अव्यवस्थित माध्यम में लोचदार तरंगों के एंडरसन स्थानीयकरण की सूचना दी गई है (हू एट अल., 2008)। एमआईटी के अवलोकन को परमाणु पदार्थ तरंगों के साथ 3डी मॉडल में रिपोर्ट किया गया है (चाबे एट अल., 2008)। गैर-प्रचारक इलेक्ट्रॉन तरंगों से जुड़े एमआईटी को सेमी-आकार के क्रिस्टल (यिंग एट अल।, 2016) में रिपोर्ट किया गया है। यादृच्छिक लेजर इस घटना का उपयोग करके काम कर सकते हैं।

3डी में प्रकाश के लिए एंडरसन स्थानीयकरण के अस्तित्व पर वर्षों से बहस चल रही थी (स्किपेट्रोव एट अल., 2016) और आज भी अनसुलझा है। 3डी यादृच्छिक मीडिया में प्रकाश के एंडरसन स्थानीयकरण की रिपोर्ट अवशोषण के प्रतिस्पर्धी/मास्किंग प्रभावों (वाइर्स्मा एट अल., 1997; स्टोर्ज़र एट अल., 2006; शेफ़ोल्ड एट अल., 1999; आगे की पढ़ाई देखें) और/या प्रतिदीप्ति से जटिल थी। (स्पर्लिंग एट अल., 2016)। हाल के प्रयोग (नाराघी एट अल., 2016; कोबस एट अल., 2023) सैद्धांतिक भविष्यवाणियों का समर्थन करते हैं कि प्रकाश की वेक्टर प्रकृति एंडरसन स्थानीयकरण में संक्रमण को रोकती है (जॉन, 1992; स्किपेट्रोव एट अल., 2019)।

प्रसार के साथ तुलना
क्वांटम भविष्यवाणियों से असहमत होने के कारण, मानक प्रसार में कोई स्थानीयकरण गुण नहीं होता है। हालाँकि, यह पता चला है कि यह अधिकतम एन्ट्रापी के सिद्धांत के सन्निकटन पर आधारित है, जो कहता है कि संभाव्यता वितरण जो ज्ञान की वर्तमान स्थिति का सबसे अच्छा प्रतिनिधित्व करता है वह सबसे बड़ी एन्ट्रापी वाला है। इस सन्निकटन को अधिकतम एन्ट्रापी रैंडम वॉक में दुरुस्त किया जाता है, साथ ही असहमति को भी दुरुस्त किया जाता है: यह अपने मजबूत स्थानीयकरण गुणों के साथ बिल्कुल क्वांटम ग्राउंड स्टेट स्थिर संभाव्यता वितरण की ओर ले जाता है।

यह भी देखें

 * ऑब्री-आंद्रे मॉडल

अग्रिम पठन




बाहरी संबंध

 * Fifty years of Anderson localization, Ad Lagendijk, Bart van Tiggelen, and Diederik S. Wiersma, Physics Today 62(8), 24 (2009).
 * Example of an electronic eigenstate at the MIT in a system with 1367631 atoms Each cube indicates by its size the probability to find the electron at the given position. The color scale denotes the position of the cubes along the axis into the plane
 * Videos of multifractal electronic eigenstates at the MIT
 * Anderson localization of elastic waves
 * Popular scientific article on the first experimental observation of Anderson localization in matter waves