कार्डिनल बिंदु (प्रकाशिकी)

गाऊसी प्रकाशिकी में, कार्डिनल बिंदुओं में घूर्णी समरूपता, फोकल, ऑप्टिकल प्रणाली के ऑप्टिकल अक्ष पर स्थित बिंदु (ज्यामिति) के तीन जोड़े होते हैं। ये 'फोकस (ऑप्टिक्स)', प्रमुख बिंदु और नोडल बिंदु हैं। आदर्श प्रणालियों के लिए, छवि आकार, स्थान और अभिविन्यास जैसे बुनियादी इमेजिंग गुण पूरी तरह से कार्डिनल बिंदुओं के स्थानों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं; वास्तव में केवल चार बिंदु आवश्यक हैं: केंद्र बिंदु और या तो प्रधान या नोडल बिंदु एकमात्र आदर्श प्रणाली जिसे व्यवहार में प्राप्त किया गया है वह है समतल दर्पण चुकीं कार्डिनल बिंदुओं का व्यापक रूप से वास्तविक ऑप्टिकल प्रणाली के व्यवहार का अनुमान लगाने के लिए उपयोग किया जाता है। कार्डिनल बिंदु कई घटकों के साथ प्रणाली को विश्लेषणात्मक रूप से सरल बनाने की विधि प्रदान करते हैं, जिससे प्रणाली की इमेजिंग विशेषताओं को सरल गणनाओं के साथ लगभग निर्धारित किया जा सकता है।

स्पष्टीकरण
कार्डिनल पॉइंट ऑप्टिकल प्रणाली के ऑप्टिकल अक्ष पर स्थित हैं। प्रत्येक बिंदु को उस प्रभाव से परिभाषित किया जाता है किरण (प्रकाशिकी) प्रणाली में उस किरण (ऑप्टिक्स) पर होता है जो उस बिंदु से होकर निकलती है, पैराएक्सियल सन्निकटन में। पैराएक्सियल सन्निकटन मानता है कि किरणें ऑप्टिकल अक्ष के संबंध में उथले कोणों पर यात्रा करती हैं, जिससे $$\sin\theta\approx\theta$$ और $$\cos\theta\approx 1$$. एपर्चर प्रभाव को अनदेखा कर दिया जाता है: किरणें जो प्रणाली के एपर्चर स्टॉप से ​​​​नहीं निकलती हैं, नीचे की चर्चा में उन पर विचार नहीं किया जाता है।

फोकल बिंदु और प्लेन
ऑप्टिकल प्रणाली के फ्रंट फोकल पॉइंट, परिभाषा के अनुसार, यह प्रॉपर्टी है कि इसके माध्यम से निकलने वाली कोई भी किरण ऑप्टिकल अक्ष के समानांतर प्रणाली से निकल जाएगी। प्रणाली के पीछे (या पीछे) फोकल पॉइंट में रिवर्स प्रॉपर्टी होती है: किरणें जो ऑप्टिकल अक्ष के समानांतर प्रणाली में प्रवेश करती हैं, इस तरह केंद्रित होती हैं कि वे पीछे के फोकल पॉइंट से निकलती हैं।

आगे और पीछे (या पीछे) फोकल प्लेनों को उन प्लेनों के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो ऑप्टिक अक्ष के लंबवत होते हैं, जो आगे और पीछे के फोकल बिंदुओं से निकलते हैं। ऑप्टिकल प्रणाली से असीम रूप से दूर वस्तु पीछे के फोकल तल पर छवि बनाती है। वस्तुओं के लिए परिमित दूरी पर, छवि अलग स्थान पर बनती है, लेकिन किरणें जो वस्तु को एक दूसरे के समानांतर छोड़ती हैं, पीछे के फोकल तल पर क्रॉस करती हैं। डायाफ्राम (ऑप्टिक्स) या रियर फोकल प्लेन पर स्टॉप का उपयोग कोण द्वारा किरणों को फ़िल्टर करने के लिए किया जा सकता है, क्योंकि:
 * 1) यह केवल उन किरणों को पारित करने की अनुमति देता है जो कोण (ऑप्टिकल अक्ष के सापेक्ष) पर उत्सर्जित होती हैं जो पर्याप्त रूप से छोटा होता है। ( असीम रूप से छोटा छिद्र केवल उन किरणों को अनुमति देगा जो ऑप्टिकल अक्ष के साथ उत्सर्जित होती हैं।)
 * 2) कोई फर्क नहीं पड़ता कि वस्तु पर किरण कहाँ से आती है, किरण छिद्र से तब तक निकलेगा जब तक वह कोण जिस पर वह वस्तु से उत्सर्जित होता है वह बहुत छोटा है।

ध्यान दें कि संकेत के अनुसार काम करने के लिए एपर्चर को ऑप्टिकल अक्ष पर केंद्रित होना चाहिए। फोकल प्लेन में पर्याप्त रूप से छोटे एपर्चर का उपयोग करने से लेंस टेलीसेंट्रिक लेंस बन जाएगा।

इसी तरह, लेंस के आउटपुट साइड पर कोणों की अनुमत सीमा को लेंस के फ्रंट फोकल प्लेन (या समग्र लेंस के अन्दर लेंस समूह) पर एपर्चर लगाकर फ़िल्टर किया जा सकता है। चार्ज-युग्मित डिवाइस सेंसर वाले डीएसएलआर कैमरा के लिए यह महत्वपूर्ण है। इन सेंसरों के पिक्सेल उन किरणों के प्रति अधिक संवेदनशील होते हैं जो उन पर सीधे टकराती हैं, अतिरिक्त उन किरणों के जो कोण पर टकराती हैं। लेंस जो डिटेक्टर पर घटना के कोण को नियंत्रित नहीं करता है, छवियों में पिक्सेल विगनेटिंग का उत्पादन करेगा।

प्रमुख प्लेन और अंक
दो प्रमुख तलों में यह गुण होता है पतला लेंस से निकलने वाली किरण पीछे के मुख्य तल को अक्ष से उतनी ही दूरी पर पार करती हुई प्रतीत होती है जितनी कि किरण सामने के मुख्य तल को पार करती हुई प्रतीत होती है, जैसा कि लेंस के सामने से देखा गया है। इसका अर्थ यह है कि लेंस को इस तरह माना जा सकता है जैसे कि सभी अपवर्तन मुख्य तल पर हुआ हो, और मुख्य तल से दूसरे तक रैखिक आवर्धन +1 है। प्रिंसिपल प्लेन प्रणाली के ऑप्टिकल गुणों को परिभाषित करने में महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि यह आगे और पीछे के प्रिंसिपल प्लेन से ऑब्जेक्ट और इमेज की दूरी है जो प्रणाली के आवर्धन को निर्धारित करता है। प्रमुख बिंदु वे बिंदु होते हैं जहां प्रमुख तल प्रकाशीय अक्ष को पार करते हैं।

यदि ऑप्टिकल प्रणाली के आस-पास के माध्यम में 1 (उदाहरण के लिए, वायु या निर्वात) का अपवर्तक सूचकांक है, तो प्रमुख प्लेनों से उनके संबंधित फोकल बिंदुओं की दूरी प्रणाली की फोकल लम्बाई है। अधिक सामान्य स्थिति में, फोकस की दूरी माध्यम के अपवर्तन के सूचकांक से गुणा की गई फोकल लंबाई है।

हवा में पतले लेंस के लिए, मुख्य तल दोनों लेंस के स्थान पर स्थित होते हैं। जिस बिंदु पर वे ऑप्टिकल अक्ष को पार करते हैं, उसे कभी-कभी भ्रामक रूप से लेंस का 'ऑप्टिकल केंद्र' कहा जाता है। चुकीं, ध्यान दें कि वास्तविक लेंस के लिए मुख्य तल आवश्यक रूप से लेंस के केंद्र से नहीं निकलते हैं, और सामान्यतः लेंस के अंदर बिल्कुल भी नहीं हो सकते हैं।

नोडल बिंदु
आगे और पीछे के नोडल बिंदुओं में यह गुण होता है कि उनमें से एक पर लक्षित किरण लेंस द्वारा अपवर्तित हो जाएगी जैसे कि ऐसा प्रतीत होता है कि यह दूसरे से आया है, और ऑप्टिकल अक्ष के संबंध में समान कोण के साथ। (नोडल बिंदुओं के बीच कोणीय आवर्धन +1 है।) इसलिए नोडल बिंदु कोणों के लिए वही करते हैं जो मुख्य तल अनुप्रस्थ दूरी के लिए करते हैं। यदि ऑप्टिकल प्रणाली के दोनों किनारों पर माध्यम समान है (जैसे, वायु), तो आगे और पीछे के नोडल बिंदु क्रमशः आगे और पीछे के प्रमुख बिंदुओं के साथ मेल खाते हैं।

आंख का मूल्यांकन करने के लिए 1845 में जोहान लिस्टिंग द्वारा पहली बार नोडल बिंदुओं का वर्णन किया गया था, जहां तरल पदार्थ में छवि बनती है। समय के साथ यह पाया गया कि यदि दूर की वस्तु के दृश्य कोण पर क्रिस्टलीय लेंस के पीछे के शीर्ष के माध्यम से रेखा खींची जाती है, तो यह बहुत बड़े कोणों के लिए भी, रेटिना पर छवि स्थान को इंगित करेगी। यह रेखा लगभग दूसरे नोडल बिंदु से होकर निकलती है, लेकिन वास्तविक पैराएक्सियल किरण होने के अतिरिक्त, यह किरण बंडलों द्वारा बनाई गई छवि की पहचान करती है जो पुतली के केंद्र से होकर निकलती है। इसका उपयोग आवर्धन खोजने, या रेटिनल स्थानों को स्केल करने के लिए किया जा सकता है। यह आंख के लिए नोडल बिंदु के उपयोग को बढ़ाता है, लेकिन इमेजिंग गुण कॉर्निया और रेटिना से अत्यधिक घुमावदार होते हैं, पैराएक्सियल गुणों के अतिरिक्त, और यह प्रकाशनों में शायद ही कभी स्पष्ट होता है।

फ़ोटोग्राफ़ी में नोडल बिंदुओं को व्यापक रूप से गलत समझा जाता है, जहाँ सामान्यतः यह कहा जाता है कि प्रकाश किरणें नोडल बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, कि लेंस का आईरिस डायाफ्राम वहाँ स्थित है, और यह कि नयनाभिराम [[फोटोग्राफी]] के लिए यह सही धुरी बिंदु है, जिससे लंबन त्रुटि से बचें।  ये दावे सामान्यतः कैमरे के लेंस के प्रकाशिकी के बारे में भ्रम से उत्पन्न होते हैं, साथ ही साथ नोडल बिंदुओं और प्रणाली के अन्य कार्डिनल बिंदुओं के बीच भ्रम की स्थिति होती है। (उस बिंदु का अच्छा विकल्प जिसके बारे में नयनाभिराम फ़ोटोग्राफ़ी के लिए कैमरे को पिवोट करना है, प्रणाली के प्रवेश छात्र का केंद्र दिखाया जा सकता है।   दूसरी ओर, निश्चित फिल्म स्थिति वाले स्विंग-लेंस कैमरे फिल्म पर छवि को स्थिर करने के लिए पीछे के नोडल बिंदु के बारे में लेंस को घुमाते हैं। )

सतह के कोने
प्रकाशिकी में, सतह के शिखर बिंदु होते हैं जहां प्रत्येक ऑप्टिकल सतह ऑप्टिकल अक्ष को पार करती है। वे मुख्य रूप से महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वे ऑप्टिकल तत्वों की स्थिति के लिए शारीरिक रूप से मापने योग्य पैरामीटर हैं, और इसलिए भौतिक प्रणाली का वर्णन करने के लिए कार्डिनल बिंदुओं की स्थिति को कोने के संबंध में जाना जाना चाहिए।

शरीर रचना में, आंख के लेंस (एनाटॉमी) की सतह के कोने लेंस के अग्र और पश्च ध्रुव कहलाते हैं।

गणितीय परिवर्तनों के रूप में ऑप्टिकल प्रणाली की मॉडलिंग करना
ऑप्टिकल प्रणाली में प्रवेश करने वाली प्रत्येक किरण (ऑप्टिक्स) के लिए ज्यामितीय प्रकाशिकी में एकल, अद्वितीय, किरण निकलती है। गणितीय शब्दों में, ऑप्टिकल प्रणाली परिवर्तन (गणित) करता है जो प्रत्येक वस्तु किरण को छवि किरण में मैप करता है। वस्तु किरण और उससे संबंधित छवि किरण को एक दूसरे से संयुग्मित कहा जाता है। यह शब्द वस्तु और छवि बिंदुओं और प्लेनों के संबंधित जोड़े पर भी प्रयुक्त होता है। वस्तु और छवि किरणों और बिंदुओं को दो अलग-अलग ऑप्टिकल स्थान, ऑब्जेक्ट स्पेस और इमेज स्पेस में माना जाता है; अतिरिक्त मध्यवर्ती ऑप्टिकल रिक्त स्थान का भी उपयोग किया जा सकता है।

घूर्णी रूप से सममित ऑप्टिकल प्रणाली; ऑप्टिकल अक्ष, अक्षीय बिंदु, और मध्याह्न तल
ऑप्टिकल प्रणाली घूर्णी रूप से सममित होती है यदि इसके इमेजिंग गुण किसी धुरी के बारे में किसी भी घुमाव से अपरिवर्तित होते हैं। घूर्णन सममिति का यह (अद्वितीय) अक्ष निकाय का प्रकाशिक अक्ष है। समतल दर्पणों का उपयोग करके प्रकाशीय प्रणालियों को मोड़ा जा सकता है; प्रणाली को अभी भी घूर्णी रूप से सममित माना जाता है यदि यह सामने आने पर घूर्णी समरूपता रखता है। ऑप्टिकल अक्ष पर कोई बिंदु (किसी भी स्थान में) अक्षीय बिंदु है।

घूर्णी समरूपता ऑप्टिकल प्रणाली के विश्लेषण को बहुत सरल करती है, जिसे अन्यथा तीन आयामों में विश्लेषण किया जाना चाहिए। घूर्णी समरूपता प्रणाली को ऑप्टिकल अक्ष वाले एकल अनुप्रस्थ तल तक सीमित किरणों पर विचार करके प्रणाली का विश्लेषण करने की अनुमति देती है। ऐसे तल को मध्याह्न तल कहा जाता है; यह क्रॉस सेक्शन (ज्यामिति) है। प्रणाली के माध्यम से क्रॉस-सेक्शन है।

आदर्श, घूर्णी रूप से सममित, ऑप्टिकल इमेजिंग प्रणाली
आदर्श, घूर्णी रूप से सममित, ऑप्टिकल इमेजिंग प्रणाली को तीन मानदंडों को पूरा करना चाहिए:


 * 1) किसी भी वस्तु बिंदु से उत्पन्न होने वाली सभी किरणें छवि बिंदु पर अभिसरित होती हैं (इमेजिंग कलंक है)।
 * 2) ऑब्जेक्ट प्लेन ऑप्टिकल धुरी के लंबवत हैं, इमेज प्लेन संयुग्म छवि प्लेन अक्ष के लंबवत हैं।
 * 3) अक्ष के सामान्य तल पर सीमित किसी वस्तु की छवि ज्यामितीय रूप से वस्तु के समान होती है।

कुछ ऑप्टिकल प्रणाली में इमेजिंग एक या शायद कुछ ऑब्जेक्ट पॉइंट्स के लिए कलंक है, लेकिन आदर्श प्रणाली इमेजिंग होने के लिए हर ऑब्जेक्ट पॉइंट के लिए कलंक होना चाहिए।

रे (गणित) के विपरीत, ऑप्टिकल किरणें दोनों दिशाओं में अनंत तक फैलती हैं। किरणें वास्तविक होती हैं जब वे ऑप्टिकल प्रणाली के उस हिस्से में होती हैं जिस पर वे प्रयुक्त होती हैं, और कहीं और आभासी होती हैं। उदाहरण के लिए, वस्तु किरणें प्रकाशीय प्रणाली के वस्तु पक्ष पर वास्तविक होती हैं। स्टिग्मैटिक इमेजिंग में ऑब्जेक्ट स्पेस में किसी विशिष्ट बिंदु को इंटरसेक्ट करने वाली ऑब्जेक्ट रे को इमेज स्पेस में कॉन्जुगेट पॉइंट को इंटरसेक्ट करने वाली इमेज रे से संयुग्मित होना चाहिए। परिणाम यह है कि वस्तु किरण पर प्रत्येक बिंदु संयुग्मित छवि किरण पर किसी बिंदु से संयुग्मित होता है।

ज्यामितीय समानता का अर्थ है कि छवि वस्तु का स्केल मॉडल है। छवि के उन्मुखीकरण पर कोई प्रतिबंध नहीं है। प्रतिबिम्ब वस्तु के संबंध में उलटा या अन्यथा घुमाया जा सकता है।

फोकल और फोकल प्रणाली, फोकल पॉइंट्स
फोकल प्रणाली में ऑप्टिकल अक्ष के समानांतर वस्तु किरण ऑप्टिकल अक्ष के समानांतर छवि किरण के साथ संयुग्मित होती है। इस तरह के प्रणाली में कोई फोकल पॉइंट नहीं होते हैं (इसलिए एफ़ोकल) और प्रिंसिपल और नोडल पॉइंट्स की भी कमी होती है। प्रणाली फोकल है अगर अक्ष के समानांतर वस्तु किरण छवि किरण के साथ संयुग्मित होती है जो ऑप्टिकल अक्ष को काटती है। ऑप्टिकल अक्ष के साथ छवि किरण का प्रतिच्छेदन छवि स्थान में केंद्र बिंदु F' है। फोकल प्रणाली में अक्षीय वस्तु बिंदु F भी होता है जैसे कि F के माध्यम से कोई भी किरण ऑप्टिकल अक्ष के समानांतर छवि किरण के साथ संयुग्मित होती है। F प्रणाली का ऑब्जेक्ट स्पेस फोकल पॉइंट है।

परिवर्तन
ऑब्जेक्ट स्पेस और इमेज स्पेस के बीच परिवर्तन पूरी तरह से प्रणाली के कार्डिनल बिंदुओं द्वारा परिभाषित किया गया है, और इन बिंदुओं का उपयोग ऑब्जेक्ट पर किसी भी बिंदु को उसके संयुग्मित छवि बिंदु पर मैप करने के लिए किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * फिल्मी प्लेन
 * पिनहोल कैमरा मॉडल
 * वक्रता की त्रिज्या (प्रकाशिकी)
 * वर्जन (ऑप्टिक्स)

नोट्स और संदर्भ
*
 * पृष्ठ 74-76 कार्डिनल बिंदुओं को परिभाषित करते हैं।

बाहरी संबंध

 * Learn to use TEM

Brennebene