परिवर्तनशील असमानता

गणित में, एक परिवर्तनशील असमानता एक असमानता (गणित) है जिसमें एक कार्यात्मक (गणित) शामिल है, जिसे असमानता (गणित) होना चाहिए किसी दिए गए चर (गणित) के सभी संभावित मूल्यों के लिए असमानताओं को हल करना, सामान्यतयः एक उत्तल सेट से संबंधित होता है। परिवर्तनशील असमानताओं के गणितीय सिद्धांत को शुरू में संतुलन बिंदु समस्याओं से निपटने के लिए विकसित किया गया था, ठीक सिग्नोरिनी समस्या: उस मॉडल समस्या में, शामिल कार्यात्मक को शामिल सिग्नोरिनी समस्या  संभावित ऊर्जा की पहली भिन्नता के रूप में प्राप्त किया गया था। इसलिए, इसमें भिन्नता की गणना सम्मिलित है, जिसे सामान्य अमूर्त समस्या के नाम से याद किया जाता है। अर्थशास्त्र, वित्त, अनुकूलन (गणित) और खेल सिद्धांत से समस्याओं को शामिल करने के लिए सिद्धांत की प्रयोज्यता का विस्तार किया गया है।

इतिहास
भिन्नात्मक असमानता से जुड़ी पहली समस्या सिग्नोरिनी समस्या थी, जिसे 1959 में एंटोनियो सिग्नोरिनी (भौतिक विज्ञानी) द्वारा प्रस्तुत किया गया था और सन्दर्भों के अनुसार गेटानो फिचेरा द्वारा 1963 में हल किया गया था। और : थ्योरी के पहले पेपर थे  और,. बाद में, गुइडो स्टैम्पाचिया ने लैक-मिलग्राम प्रमेय में अपने सामान्यीकरण को साबित कर दिया आंशिक अंतर समीकरणों के लिए नियमितता की समस्या का अध्ययन करने के लिए और इस तरह की असमानता (गणित) से जुड़ी सभी समस्याओं के लिए परिवर्तनशील असमानता का नाम गढ़ा। 1965 में ब्रिक्सन में एक सम्मेलन में भाग लेने के बाद जॉर्जेस डुवॉल्ट ने अपने स्नातक छात्रों को फिचेरा के काम का अध्ययन करने और विस्तार करने के लिए प्रोत्साहित किया, जहां फिचेरा ने सिग्नोरिनी समस्या का अपना अध्ययन प्रस्तुत किया, जैसा कि  रिपोर्ट: इस प्रकार सिद्धांत पूरे फ्रांस में व्यापक रूप से जाना जाता है। इसके अलावा 1965 में, स्टैम्पाचिया और जैक्स-लुई लायंस ने (स्टैम्पेचिया 1964) के पहले के परिणामों को आगे बढ़ाया, उन्हें पेपर में घोषित किया : उनके परिणामों का पूरा प्रमाण बाद में पेपर में दिखाई दिया |

परिभाषा
अगले, परिवर्तनशील असमानता की परिभाषा निम्नलिखित है।

$$ एक बनच स्थान दिया $$\boldsymbol{E}$$, उपसमुच्चय $$\boldsymbol{K}$$ का $$\boldsymbol{E}$$, और एक कार्यात्मक $$F\colon \boldsymbol{K}\to \boldsymbol{E}^{\ast}$$ से $$\boldsymbol{K}$$ दोहरी जगह के लिए $$\boldsymbol{E}^{\ast}$$ अंतरिक्ष का $$\boldsymbol{E}$$,

परिवर्तनीय असमानता समस्या असमानता की समस्या है (गणित) असमानताओं को हल करना चर के लिए (गणित) $$x$$ से संबंधित $$\boldsymbol{K}$$ निम्नलिखित असमानता (गणित):


 * $$\langle F(x), y-x \rangle \geq 0\qquad\forall y \in \boldsymbol{K}$$

कहाँ $$\langle\cdot,\cdot\rangle\colon \boldsymbol{E}^{\ast}\times\boldsymbol{E}\to \mathbb{R}$$ दोहरी जगह है।

समानताय, परिवर्तनशील असमानता समस्या को किसी भी परिमित सेट - या अनंत सेट-आयामी बैनच स्थान पर तैयार किया जा सकता है। समस्या के अध्ययन के तीन स्पष्ट चरण निम्नलिखित हैं:
 * 1) समाधान के अस्तित्व को साबित करें: यह कदम समस्या की गणितीय शुद्धता को दर्शाता है, यह दर्शाता है कि कम से कम एक समाधान है।
 * 2) दिए गए समाधान की विशिष्टता को साबित करें: यह चरण समस्या की भौतिक शुद्धता का तात्पर्य है, यह दर्शाता है कि भौतिक घटना का प्रतिनिधित्व करने के लिए समाधान का उपयोग किया जा सकता है। यह एक विशेष रूप से महत्वपूर्ण अवसर है क्योंकि परिवर्तनशील असमानताओं द्वारा प्रतिरूपित अधिकांश समस्याएँ भौतिक मूल की हैं।
 * 3) समाधान खोजो या उसकी नियमितता सिद्ध करो।

उदाहरण
वास्तविक चर के वास्तविक-मूल्यवान फलन का न्यूनतम मान ज्ञात करने की समस्या

यह एक मानक उदाहरण समस्या है, एंटमैन द्वारा रिपोर्ट की गई : अवकलनीय फलन का न्यूनतम ज्ञात करने की समस्या पर विचार करें $$f$$ एक बंद अंतराल पर $$I = [a,b]$$. होने देना $$x^{\ast}$$ में एक बिंदु हो $$I$$ जहां न्यूनतम होता है। तीन मामले हो सकते हैं:

इन आवश्यक नियम को $$x^{\ast}\in I$$ खोजने की समस्या के रूप में सारांशित किया जा सकता है जैसे कि
 * 1) अगर $$a<x^{\ast}< b,$$ तब $$f^{\prime}(x^{\ast}) = 0;$$
 * 2) अगर $$x^{\ast}=a,$$ तब $$f^{\prime}(x^{\ast}) \ge 0;$$
 * 3) अगर $$x^{\ast}=b,$$ तब $$f^{\prime}(x^{\ast}) \le 0.$$


 * $$f^{\prime}(x^{\ast})(y-x^{\ast}) \geq 0\quad$$ के लिए $$\quad\forall y \in I.$$

पूर्ववर्ती असमानता (गणित) के समाधान (यदि एक से अधिक हैं) के बीच पूर्ण न्यूनतम खोजा जाना चाहिए: ध्यान दें कि समाधान एक वास्तविक संख्या है, इसलिए यह एक परिमित आयाम (गणित) परिवर्तनशील असमानता है।

सामान्य परिमित-आयामी परिवर्तनशील असमानता
$$\mathbb{R}^{n}$$ में सामान्य समस्या का सूत्रीकरण निम्नलिखित है: $$\mathbb{R}^{n}$$ का एक उपसमुच्चय K दिया गया है और एक मानचित्रण  $${\displaystyle F\colon K\to \mathbb {R} ^{n}}$$, परिमित सेट-डायमेंशनल वेरिएबल असमानता समस्या से संबंधित है $$K$$ एक आयाम खोजने से मिलकर बनता है |$$n$$-आयामी यूक्लिडियन वेक्टर $$x$$ से संबंधित है $$K$$ ऐसा है कि
 * $$\langle F(x), y-x \rangle \geq 0\qquad\forall y \in K$$

कहाँ $$\langle\cdot,\cdot\rangle\colon\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$$ सदिश स्थान पर मानक आंतरिक उत्पाद है $$\mathbb{R}^{n}$$.

सिग्नोरिनी समस्या के लिए परिवर्तनशील असमानता
ऐतिहासिक सर्वेक्षण में, गेटानो फिचेरा सिग्नोरिनी समस्या के अपने समाधान की उत्पत्ति का वर्णन करता है: समस्या लोचदार संतुलन विन्यास $$\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}) =\left(u_1(\boldsymbol{x}),u_2(\boldsymbol{x}),u_3(\boldsymbol{x})\right)$$ खोजने में शामिल है। अनिसोट्रोपिक गैर-समरूप लोचदार शरीर का है जो त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष के एक उपसमुच्चय A में स्थित है जिसकी सीमा (टोपोलॉजी) ∂ A \ है आंशिक रूप से A एक कठोर घर्षण रहित सतह (टोपोलॉजी) पर आराम कर रहा है और केवल इसके द्रव्यमान बलों के अधीन है। समस्या का समाधान U मौजूद है और स्वीकार्य विस्थापन के सेट (गणित) में अद्वितीय (सटीक मान्यताओं के तहत) है  $$\mathcal{U}_\Sigma$$ यानी सिग्नोरिनी समस्या की प्रणाली को संतुष्ट करने वाले विस्थापन वैक्टर का सेट  अस्पष्ट सीमा की स्थिति यदि और केवल यदि
 * $$B(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v} - \boldsymbol{u}) - F(\boldsymbol{v} - \boldsymbol{u}) \geq 0 \qquad \forall \boldsymbol{v} \in \mathcal{U}_\Sigma $$

कहाँ $$B(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}) $$ और $$F(\boldsymbol{v}) $$ निम्नलिखित कार्यात्मक (गणित) हैं, आइंस्टीन संकेतन का उपयोग करके लिखा गया


 * $$B(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}) = -\int_A \sigma_{ik}(\boldsymbol{u})\varepsilon_{ik}(\boldsymbol{v})\,\mathrm{d}x$$,    $$F(\boldsymbol{v}) = \int_A v_i f_i\,\mathrm{d}x + \int_{\partial A\setminus\Sigma}\!\!\!\!\! v_i g_i \,\mathrm{d}\sigma$$,     $$\boldsymbol{u},\boldsymbol{v} \in \mathcal{U}_\Sigma $$

जहाँ, सभी के लिए $$\boldsymbol{x}\in A$$,
 * $$\Sigma$$ संपर्क (यांत्रिकी) सतह (टोपोलॉजी) है (या अधिक सामान्यतः एक संपर्क सेट (गणित)),
 * $$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) = \left( f_1(\boldsymbol{x}), f_2(\boldsymbol{x}), f_3(\boldsymbol{x}) \right)$$ क्या शरीर बल शरीर पर लागू होता है,
 * $$\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})=\left(g_1(\boldsymbol{x}),g_2(\boldsymbol{x}),g_3(\boldsymbol{x})\right)$$ सतही बल लगाया जाता है $$\partial A\!\setminus\!\Sigma$$,
 * $$\boldsymbol{\varepsilon}=\boldsymbol{\varepsilon}(\boldsymbol{u})=\left(\varepsilon_{ik}(\boldsymbol{u})\right)=\left(\frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_k} + \frac{\partial u_k}{\partial x_i} \right)\right)$$ है इनफिनिटिमल स्ट्रेन इनफिनिटिमल स्ट्रेन टेन्सर,
 * $$\boldsymbol{\sigma}=\left(\sigma_{ik}\right)$$ कॉची तनाव टेंसर है, जिसे परिभाषित किया गया है
 * $$\sigma_{ik}= - \frac{\partial W}{\partial \varepsilon_{ik}} \qquad\forall i,k=1,2,3$$
 * जहाँ $${\displaystyle W({\boldsymbol {\varepsilon }})=a_{ikjh}({\boldsymbol {x}})\varepsilon _{ik}\varepsilon _{jh}}$$ लोचदार संभावित ऊर्जा है और $$\boldsymbol{a}(\boldsymbol{x})=\left(a_{ikjh}(\boldsymbol{x})\right)$$ लोच टेंसर है।

यह भी देखें

 * पूरक सिद्धांत
 * विभेदक परिवर्तनशील असमानता
 * विस्तारित गणितीय प्रोग्रामिंग (ईएमपी)#संतुलन समस्याएं
 * संतुलन बाधाओं के साथ गणितीय प्रोग्रामिंग
 * बाधा समस्या
 * अनुमानित गतिशील प्रणाली
 * सिग्नोरिनी समस्या
 * एकतरफा संपर्क

ऐतिहासिक संदर्भ

 * . लोच सिद्धांत और गणितीय विश्लेषण की उपयोगी बातचीत के बारे में एक ऐतिहासिक पेपर: गेटानो फिचेरा द्वारा परिवर्तनशील असमानताओं के सिद्धांत का निर्माण §5, पृष्ठ 282-284 में वर्णित है।
 * . भिन्नतात्मक असमानताओं के क्षेत्र का वर्णन करने वाला एक संक्षिप्त शोध सर्वेक्षण, एकतरफा बाधाओं के साथ निरंतर यांत्रिकी समस्याओं का उप-क्षेत्र।
 * . परिवर्तनशील असमानताओं के सिद्धांत का जन्म तीस साल बाद याद किया गया (शीर्षक का अंग्रेजी अनुवाद) एक ऐतिहासिक पत्र है जो इसके संस्थापक के दृष्टिकोण से परिवर्तनशील असमानताओं के सिद्धांत की शुरुआत का वर्णन करता है।

वैज्ञानिक कार्य

 * . सिग्नोरिनी समस्या के समाधान की घोषणा और वर्णन (बिना प्रमाण के) एक लघु शोध नोट।
 * . पहला पेपर जहां सिग्नोरिनी समस्या के लिए एक अस्तित्व प्रमेय और विशिष्टता प्रमेय सिद्ध होता है।
 * . का अंग्रेजी अनुवाद.
 * , फ्रेंच में उपलब्ध है। पेपर के परिणामों की घोषणा.
 * . परिवर्तनशील असमानताओं के सिद्धांत के लिए लेखकों के अमूर्त दृष्टिकोण का वर्णन करने वाला एक महत्वपूर्ण पेपर।
 * , गैलिका में उपलब्ध है। लैक-मिलग्राम प्रमेय के स्टैम्पेचिया के सामान्यीकरण वाला पेपर।
 * , फ्रेंच में उपलब्ध है। पेपर के परिणामों की घोषणा.
 * . परिवर्तनशील असमानताओं के सिद्धांत के लिए लेखकों के अमूर्त दृष्टिकोण का वर्णन करने वाला एक महत्वपूर्ण पेपर।
 * , गैलिका में उपलब्ध है। लैक-मिलग्राम प्रमेय के स्टैम्पेचिया के सामान्यीकरण वाला पेपर।
 * , गैलिका में उपलब्ध है। लैक-मिलग्राम प्रमेय के स्टैम्पेचिया के सामान्यीकरण वाला पेपर।
 * , गैलिका में उपलब्ध है। लैक-मिलग्राम प्रमेय के स्टैम्पेचिया के सामान्यीकरण वाला पेपर।

बाहरी संबंध

 * Alessio Figalli, On global homogeneous solutions to the Signorini problem,
 * Alessio Figalli, On global homogeneous solutions to the Signorini problem,