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समूह प्रणाली, स्वतंत्र प्रणाली, संकेत प्रणाली, व्हिटनी प्रणाली और अनुरूप हाइपरग्राफ रेखागणितीय टोपोलॉजी और ग्राफ सिद्धांत में निकटता से संबंधित गणितीय वस्तुएं हैं जो प्रत्येक अप्रत्यक्ष ग्राफ के समूह (ग्राफ सिद्धांत) का वर्णन करती हैं।

समूह प्रणाली
अप्रत्यक्ष ग्राफ G की समूह प्रणाली $X(G)$ एक संक्षिप्त सरल प्रणाली है (अर्थात, उपसमुच्चय संचालन के अंतर्गत परिमित समुच्चय की एक श्रेणी) जो $G$ के समूहों में शीर्ष (ग्राफ सिद्धांत) के समुच्चय द्वारा निर्मित है। समूह का कोई भी उपसमुच्चय अपने आप में समूह है, इसलिए उपसमुच्चय की यह श्रेणी एक संक्षिप्त सरल प्रणाली की आवश्यकता को पूरा करता है कि श्रेणी में एक समुच्चय प्रत्येक श्रेणी में होना चाहिए।

समूह प्रणाली को एक रेखागणितीय स्पेस के रूप में भी देखा जा सकता है जिसमें प्रत्येक समूह शीर्ष $k$ को आकार $k – 1$ के संकेतन द्वारा दर्शाया गया है। $X(G)$ जिसे प्रणाली के अंतर्निहित ग्राफ के रूप में भी जाना जाता है वो 1- रूप-रेखा श्रेणी में प्रत्येक 1-तत्व समुच्चय के लिए एक शीर्ष के साथ एक अप्रत्यक्ष ग्राफ है और श्रेणी में प्रत्येक 2-तत्व समुच्चय के लिए परिधि है जहाँ $G$ समरूप है।

नकारात्मक उदाहरण
प्रत्येक समूह प्रणाली एक संक्षिप्त सरल प्रणाली है, लेकिन विपरीत सच नहीं है। उदाहरण के लिए, अधिकतम समुच्चय ${1,2,3},$ ${2,3,4},$ ${4,1 }$ के साथ ${1,2,3,4}$संक्षिप्त सरल प्रणाली पर विचार करें। यदि यह किसी ग्राफ़ G का X ( G ) होता तो G के शीर्ष {1,2}, {1,3}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {4,1} होते इसलिए X ( G ) में भी समूह {1,2,3,4} होना चाहिए।

 स्वतंत्र प्रणाली 

अप्रत्यक्ष ग्राफ $G$ की स्वतंत्र प्रणाली $I(G)$ है जो स्वतंत्र समुच्चयों $G$ के शीर्ष (ग्राफ सिद्धांत) के समुच्चय द्वारा निर्मित एक संक्षिप्त सरल प्रणाली है। समूह प्रणाली का $G$ पूरक ग्राफ के स्वतंत्रता प्रणाली $G$ के बराबर होता है।

संकेत प्रणाली
संकेत प्रणाली "2-निर्धारित" नामक एक अतिरिक्त गुण के साथ एक संक्षिप्त सरल प्रणाली है। प्रत्येक उपसमूह S के शीर्ष के लिए, यदि S में शीर्ष की प्रत्येक जोड़ी प्रणाली में है, तो S स्वयं भी प्रणाली में है।

प्रत्येक समूह प्रणाली एक संकेत प्रणाली है: यदि S में प्रत्येक जोड़ी का आकार 2 का एक समूह है, तो उनके बीच एक शीर्ष है, इसलिए S एक समूह है।

प्रत्येक संकेत प्रणाली एक समूह प्रणाली है: एक संकेत प्रणाली दिया गया है, ग्राफ़ G को सभी शीर्ष के समुच्चय पर परिभाषित करें, जहाँ दो शीर्ष u,v G iff {u,v} में आसन्न हैं (इस ग्राफ को प्रणाली का 1-रूप-रेखा  कहा जाता है)। संकेत प्रणाली की परिभाषा के अनुसार, वर्टिकल का हर समुच्चय जो जोड़े से जुड़ा हुआ है, प्रणाली में है। इसलिए, संकेत प्रणाली 'G ' पर समूह प्रणाली के बराबर है।

इस प्रकार, संकेत प्रणाली और समूह प्रणाली अनिवार्य रूप से एक ही समान हैं। हालांकि, कई स्तिथियों में समूह प्रणाली के रूप में अप्रत्यक्ष रूप से उस डेटा से प्राप्त ग्राफ के बजाय किसी ग्राफ के अलावा अन्य डेटा से सीधे संकेत प्रणाली को परिभाषित करना सुविधाजनक होता है।

मिखाइल लियोनिदोविच ग्रोमोव ने संकेत प्रणाली होने की स्थिति के रूप में नो-Δ स्थिति को परिभाषित किया।

व्हिटनी प्रणाली
हस्लर व्हिटनी के बाद समूह प्रणालीों को व्हिटनी प्रणालीों के रूप में भी जाना जाता है। एक त्रिभुज (टोपोलॉजी) या द्वि-आयामी कई गुना का स्वच्छ त्रिभुज एक ग्राफ का एक ग्राफ एम्बेडिंग है $G$ कई गुना पर इस तरह से कि हर चेहरा एक त्रिकोण है और हर त्रिकोण एक चेहरा है। यदि कोई ग्राफ $G$ में व्हिटनी त्रिभुज है, इसे एक सेल प्रणाली बनाना चाहिए जो कि व्हिटनी प्रणाली के समरूपी है $G$. इस मामले में, प्रणाली (स्थलीय स्थान के रूप में देखा जाता है) अंतर्निहित कई गुना होमियोमोर्फिज्म है। एक ग्राफ $G$ में 2-गुना समूह प्रणाली है, और इसे व्हिटनी त्रिभुज के रूप में एम्बेड किया जा सकता है, अगर और केवल अगर $G$ पड़ोस (ग्राफ सिद्धांत) है; इसका मतलब है कि, हर शीर्ष के लिए $v$ ग्राफ में, के पड़ोसियों द्वारा गठित प्रेरित उपग्राफ $v$ एक चक्र बनाता है।

अनुरूप hypergraph
हाइपरग्राफ का प्राइमल ग्राफ (हाइपरग्राफ) जी (एच) एक ही शीर्ष समुच्चय पर ग्राफ है, जिसके किनारों के रूप में एक ही hyperedge  में एक साथ दिखाई देने वाले जोड़े हैं। एक हाइपरग्राफ को 'अनुरूप' कहा जाता है, यदि इसके प्राइमल ग्राफ का प्रत्येक अधिकतम समूह एक हाइपरेज है, या समकक्ष, यदि इसके प्राइमल ग्राफ का प्रत्येक समूह कुछ हाइपरेज में समाहित है। यदि हाइपरग्राफ को नीचे की ओर बंद करने की आवश्यकता होती है (इसलिए इसमें सभी हाइपरेज होते हैं जो कुछ हाइपरेज में समाहित होते हैं) तो हाइपरग्राफ सटीक रूप से अनुरूप होता है जब यह एक संकेत प्रणाली होता है। यह हाइपरग्राफ की भाषा को साधारण प्रणालीों की भाषा से संबंधित करता है।

उदाहरण और अनुप्रयोग
किसी भी CW प्रणाली C का बैरीसेंट्रिक उपखंड एक सीडब्ल्यू प्रणाली है जिसमें C की प्रति सेल में एक वर्टेक्स होता है। बेरिसेंट्रिक उपडिवीज़न के वर्टिकल का एक संग्रह एक सिम्प्लेक्स बनाता है अगर और केवल अगर C की कोशिकाओं का संबंधित संग्रह एक फ़्लैग (ज्यामिति) बनाता है (ए कोशिकाओं के समावेशन क्रम में श्रृंखला)। विशेष रूप से, 2-मेनिफोल्ड पर एक सेल प्रणाली का बैरीसेंट्रिक उपखंड कई गुना के व्हिटनी त्रिभुज को जन्म देता है।

आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए समुच्चय के आदेश प्रणाली में आंशिक ऑर्डर के चेन (कुल ऑर्डर उपसमुच्चय) होते हैं। यदि कुछ उपसमुच्चय की प्रत्येक जोड़ी स्वयं आदेशित है, तो संपूर्ण उपसमुच्चय एक श्रृंखला है, इसलिए क्रम प्रणाली नो-Δ स्थिति को संतुष्ट करता है। इसे आंशिक क्रम के तुलनात्मक ग्राफ के समूह प्रणाली के रूप में व्याख्या किया जा सकता है।

एक ग्राफ़ के मिलान प्रणाली में किनारों के समुच्चय होते हैं जिनमें से दो एक समापन बिंदु साझा करते हैं; फिर से, समुच्चय का यह परिवार नो-Δ शर्त को पूरा करता है। इसे दिए गए ग्राफ के लाइन ग्राफ के पूरक ग्राफ के समूह प्रणाली के रूप में देखा जा सकता है। जब मिलान प्रणाली को बिना किसी विशेष ग्राफ के संदर्भ के रूप में संदर्भित किया जाता है, तो इसका मतलब है कि एक पूर्ण ग्राफ का मैचिंग प्रणाली। एक पूर्ण द्विदलीय ग्राफ K का मिलान प्रणालीm,n शतरंज की बिसात के रूप में जाना जाता है। यह एक हाथी के ग्राफ के पूरक ग्राफ का समूह ग्राफ है, और इसका प्रत्येक सरलीकरण एम × एन शतरंज बोर्ड पर बदमाशों की नियुक्ति का प्रतिनिधित्व करता है जैसे कि कोई भी दो बदमाश एक दूसरे पर हमला नहीं करते हैं। जब m = n ± 1, शतरंज की बिसात एक छद्म-कई गुना बनाती है।

मीट्रिक स्थान में बिंदुओं के एक समूह का विएटोरिस-रिप्स प्रणाली एक समूह प्रणाली का एक विशेष मामला है, जो बिंदुओं के यूनिट डिस्क ग्राफ़ से बनता है; हालांकि, प्रत्येक समूह प्रणाली एक्स (जी) को अंतर्निहित ग्राफ जी पर सबसे कम पथ मीट्रिक के वीटोरिस-रिप्स प्रणाली के रूप में व्याख्या किया जा सकता है।

संबंधपरक संरचनाओं के तर्कशास्त्र में अनुरूप हाइपरग्राफ के अनुप्रयोग का वर्णन करें। उस संदर्भ में, एक संबंधपरक संरचना का बाधा ग्राफ संरचना का प्रतिनिधित्व करने वाले हाइपरग्राफ के अंतर्निहित ग्राफ के समान होता है, और एक संरचना संरक्षित तर्क है यदि यह एक अनुरूप हाइपरग्राफ से मेल खाती है।

ग्रोमोव ने दिखाया कि एक क्यूबिकल प्रणाली (यानी, आमने-सामने प्रतिच्छेद करने वाले hypercubes का एक परिवार) एक कैट (के) स्पेस बनाता है। सीएटी (0) स्पेस अगर और केवल अगर प्रणाली बस जुड़ा हुआ है और हर वर्टेक्स रूपों का लिंक एक ध्वज प्रणाली। इन स्थितियों को पूरा करने वाले एक क्यूबिकल प्रणाली को कभी-कभी क्यूबिंग (टोपोलॉजी) या दीवारों के साथ स्पेस कहा जाता है।

समरूपता समूह
मेशुलम समूह प्रणाली के होमोलॉजी पर निम्नलिखित प्रमेय को सिद्ध करता है। दिए गए पूर्णांक $$l\geq 1, t\geq 0$$, मान लीजिए कि एक ग्राफ जी नामक संपत्ति को संतुष्ट करता है $$P(l,t)$$, जिसका अर्थ है कि:


 * का हर समुच्चय $$l$$ G में शीर्षों का एक उभयनिष्ठ पड़ोसी है;
 * शीर्षों का एक समुच्चय मौजूद है, जिसमें प्रत्येक समुच्चय के लिए एक सामान्य पड़ोसी होता है $$l$$ शिखर, और इसके अलावा, प्रेरित ग्राफ जी [ए] में एक प्रेरित उपग्राफ के रूप में, टी-आयामी ऑक्टाहेड्रल क्षेत्र के 1-कंकाल की एक प्रति शामिल नहीं है।

फिर समूह प्रणाली एक्स (जी) की जे-वें कम होमोलोजी 0 और के बीच किसी भी जे के लिए तुच्छ है $$\max(l-t, \lfloor {l}/{2}\rfloor)-1$$.

यह भी देखें

 * सिम्पलेक्स ग्राफ, एक प्रकार का ग्राफ जिसमें अंतर्निहित ग्राफ के प्रत्येक समूह के लिए एक नोड होता है
 * विभाजन मेट्रॉइड#समूह प्रणाली, एक प्रकार का मैट्रोइड जिसका [[ matroid चौराहा]] समूह प्रणाली बना सकता है