समुच्चय (गणित)

समुच्चय मुख्य रूप से पृथक किया जाने वाले विभिन्न वस्तुओं या अवयवों के संग्रह के लिए गणितीय प्रारूप को प्रदर्शित  करता हैं।   इस प्रकार किसी समुच्चय में तत्व या अवयव होते हैं, जो किसी भी प्रकार की गणितीय वस्तुएं हो सकती हैं: जैसे संख्या, प्रतीक, अंतरिक्ष, रेखाओं, अन्य ज्यामितीय आकार, चर, या यहां तक कि अन्य समुच्चय भी इसका उदाहरण हैं। इसके साथ बिना किसी तत्व के जो समुच्चय उपयोग किया जाता हैं, इस प्रकार का समुच्चय रिक्त समुच्चय को प्रदर्शित करता है, इस प्रकार एकल तत्व के साथ समुच्चय सिंगलटन कहलाता है। किसी समुच्चय में तत्वों की सीमित संख्या हो सकती है या अनंत समुच्चय हो सकता है। इसके आधार पर दो समुच्चय समान होते हैं यदि उनके पास ठीक समान तत्व हैं। इस प्रकार आधुनिक गणित में समुच्चय सर्वव्यापी माने जाते हैं। इस प्रकार वास्तव में, समुच्चय सिद्धांत, अधिक विशेष रूप से जेर्मेलो -फ्रैंकेल समुच्चय सिद्धांत, 20 वीं शताब्दी की पहली छमाही के पश्चात गणित की सभी शाखाओं के लिए कठोर नींव प्रदान करने का मानक विधि देता है।

इतिहास
एक समुच्चय की अवधारणा 19 वीं शताब्दी के अंत में गणित में उभरी हैं। इस प्रकार समुच्चय के लिए जर्मन शब्द, मेन्ज, को अनंत के अपने काम के विरोधाभासों में बर्नार्ड बोलजानो द्वारा गढ़ा गया था। इस प्रकार जॉर्ज कैंटर की मूल समुच्चय परिभाषा के अनुवाद के साथ मार्ग को प्रदर्शित करता हैं। इसके आधार पर समुच्चय के लिए जर्मन वर्ड मेन्ज का अनुवाद यहां किया गया है। इस प्रकार समुच्चय सिद्धांत के संस्थापकों में से एक जॉर्ज कैंटर ने अपने बीटेज ज़ुर बेगुंडुंग डेर ट्रांसफिनिटेन मेंगेनलेहे के प्रारंभ में निम्नलिखित परिभाषा दी थी: "एक समुच्चय हमारी धारणा या हमारे विचार की निश्चित, विशिष्ट वस्तुओं को एक साथ एकत्रित करना है - जिन्हें समुच्चय के तत्व कहा जाता है।"

बर्ट्रेंड रसेल ने समुच्चय वर्ग कहा:

"जब गणितज्ञ किसी ऐसी चीज का निवारण करते हैं जिसे वे मैनिफोल्ड, एग्रीगेट, मेन्ज, एन्सेबल या कुछ समकक्ष नाम कहते हैं, तो यह सरल बात है, मुख्यतः जहां इसमें सम्मिलित शब्दों की संख्या सीमित है, प्रश्न में वस्तु (जो वास्तव में एक वर्ग है) को एक वर्ग के रूप में माना जाता है। इसे इसके पदों की गणना द्वारा परिभाषित किया गया है, और संभवतः इसमें एक ही पद उपस्थित होते है, जो उस स्थिति में वर्ग है।"

नेव समुच्चय सिद्धांत
समुच्चय का सबसे महत्वपूर्ण मान यह है कि इसमें तत्व हो सकते हैं, जिसे अवयव भी कहा जाता है। दो समुच्चय समान होते हैं जब उनके समान तत्व होते हैं। इसके अधिक सटीक रूप से, समुच्चय A और B समान हैं यदि A का प्रत्येक तत्व B का तत्व है, और B का प्रत्येक तत्व A का तत्व है, इस संपत्ति को समुच्चय की विस्तारीकरण कहा जाता है। इस प्रकार किसी समुच्चय की सरल अवधारणा गणित में बहुत उपयोगी प्रमाणित हुई है, अपितु: श्रेणी: समुच्चय सिद्धांत के विरोधाभास भी उठते रहते हैं, क्यूंकि यदि कोई प्रतिबंध नहीं रखा जाता है तो समुच्चय कैसे बनाया जा सकता है:
 * रसेल के विरोधाभास से पता चलता है कि सभी समुच्चयों का समुच्चय जो स्वयं नहीं है, अर्थात्, $\{x | x is a set and x ∉ x\}$, इसमें सम्मिलित नहीं हो सकता हैं।
 * कैंटर के विरोधाभास से पता चलता है कि सभी समुच्चयों का समुच्चय सम्मिलित नहीं हो सकता है।

नेव समुच्चय सिद्धांत अलग-अलग तत्वों के किसी भी अच्छी तरह से परिभाषित संग्रह के रूप में समुच्चय को परिभाषित करता है, अपितु समस्याएं अच्छी तरह से परिभाषित शब्द की अस्पष्टता से उत्पन्न होती हैं।

स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत
नेव समुच्चय सिद्धांत के मूल सूत्रीकरण के समय से इन विरोधाभासों को हल करने के पश्चात इसके प्रयासों में, समुच्चय के गुणों को स्वयंसिद्ध द्वारा परिभाषित किया गया है। स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत की धारणा के रूप में समुच्चय की अवधारणा को लेता है। इस प्रकार स्वयंसिद्धों का उद्देश्य मौलिक रूप से इसे एक उचित संरचना प्रदान करना है, जिसमें से पहले-क्रम के तर्क का उपयोग करके समुच्चय के बारे में विशेष गणितीय प्रस्तावों (कथनों) की सच्चाई या मिथ्या को कम करना है। चूंकि, गोडेल के अपूर्णता प्रमेयों के अनुसार, किसी भी विशेष स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत को यह प्रमाणित करने के लिए पहले-क्रम के तर्क का उपयोग करना संभव नहीं है कि वह विरोधाभास से मुक्त होता हैं।

कैसे समुच्चय परिभाषित किए जाते हैं और अंकन समुच्चय करते हैं
गणितीय रूप से सामान्यतः बड़े अक्षरों द्वारा समुच्चय को निरूपित करते हैं इस प्रकार इटैलिक में, जैसे $A$, $B$, $C$. समुच्चय को संग्रह या परिवार भी कहा जा सकता है, खासकर जब इसके तत्व स्वयं समुच्चय होते हैं।

रोस्टर अंकन
रोस्टर या एन्यूमरेशन अंकन समुच्चय को कर्ली कोष्ठक के बीच अपने तत्वों को सूचीबद्ध करके परिभाषित करता है, जिसे कॉमा द्वारा अलग किया जाता हैं:

किसी समुच्चय में, यह सब मायने रखता है कि क्या प्रत्येक तत्व इसमें है या नहीं, इसलिए रोस्टर अंकन में तत्वों का आदेश अप्रासंगिक है, इसके विपरीत, अनुक्रम में, टपल, या समुच्चय का क्रमपरिवर्तन, ऑर्डरिंग के आदेश को उपयोग करते हैं। इस प्रकार उदाहरण के लिए, $A = \{4, 2, 1, 3\}$ तथा $B = \{blue, white, red\}$ ही समुच्चय का प्रतिनिधित्व करते हैं।

यहाँ पर कई तत्वों के साथ समुच्चय के लिए, विशेष रूप से निहित क्रम का पालन करने वाले, अवयवों की सूची को दीर्घवृत्त '$\{2, 4, 6\}$' का उपयोग करके संक्षिप्त किया जा सकता है।  उदाहरण के लिए, पहले हजार धनात्मक पूर्णांक के समुच्चय को रोस्टर अंकन में निर्दिष्ट किया जा सकता है

रोस्टर अंकन में अनंत समुच्चय
एक अनंत समुच्चय तत्वों की अंतहीन सूची के साथ समुच्चय है। रोस्टर अंकन में अनंत समुच्चय का वर्णन करने के लिए एलिप्सिस को सूची के अंत में, या दोनों छोरों पर रखा जाता है, इस प्रकार यह इंगित करने के लिए कि सूची सदैव के लिए जारी रहती है। उदाहरण के लिए, गैर -पूर्णांक का समुच्चय है

और सभी पूर्णांक का समुच्चय है

सिमेंटिक परिभाषा
किसी समुच्चय को परिभाषित करने का तरीका यह है कि तत्व क्या हैं यह निर्धारित करने के लिए नियम का उपयोग करें:

इस तरह की परिभाषा को शब्दार्थ विवरण कहा जाता है।

समुच्चय-बिल्डर अंकन
समुच्चय-बिल्डर अंकन तत्वों पर स्थिति द्वारा निर्धारित बड़े समुच्चय से चयन के रूप में समुच्चय को निर्दिष्ट करता है। जैसे उदाहरण के लिए, समुच्चय $A$ निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है:$$F = \{n \mid n \text{ is an integer, and } 0 \leq n \leq 19\}.$$इस संकेतन में, ऊर्ध्वाधर बार का अर्थ है कि, और विवरण की व्याख्या की जा सकती है, इस प्रकार $B$ सभी नंबरों का समुच्चय है $F$ ऐसा है कि $F$ 0 से 19 समावेशी की सीमा में पूर्णांक है। इसके फलस्वरूप कुछ लेखक बृहदान्त्र का उपयोग करते हैं: ऊर्ध्वाधर बार के अतिरिक्त दिखाई देते हैं।

परिभाषा के तरीकों को वर्गीकृत करना
दर्शन परिभाषाओं के प्रकारों को वर्गीकृत करने के लिए विशिष्ट शब्दों का उपयोग करता है:
 * इसकी विभिन्न परिभाषाओं में इसकी अवयवता निर्धारित करने के लिए नियम का उपयोग करती है। इस प्रकार समुच्चय-बिल्डर अंकन का उपयोग करके सिमेंटिक परिभाषाएँ और परिभाषाएँ उदाहरण हैं।
 * एक व्यापक परिभाषा उसके सभी तत्वों को सूचीबद्ध करके समुच्चय का वर्णन करती है। इस प्रकार की परिभाषाओं को एनुमेरेटिव भी कहा जाता है।
 * एक अस्थिर परिभाषा वह है जो तत्वों के उदाहरण देकर समुच्चय का वर्णन करती है, इस प्रकार एक रोस्टर जिसमें एलिप्सिस सम्मिलित है।

अवयवता
यदि $n$ समुच्चय है और $n$ का तत्व है $B$, यह शॉर्टहैंड में लिखा गया है, यहाँ पर $\{4, 6, 4, 2\}$, जिसे X के रूप में भी पढ़ा जा सकता है, B से संबंधित है, या इस प्रकार जो X B में उपस्थित है। इस कथन के फलस्वरूप y b का तत्व नहीं है, जो $...$ के रूप में लिखा गया है, जिसे y के रूप में भी पढ़ा जा सकता है परन्तु b में नहीं पढ़ा जा सकता है। उदाहरण के लिए, समुच्चय के संबंध में $\{1, 2, 3, ..., 1000\}$, $\{0, 1, 2, 3, 4, ...\}$, तथा $\{..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...\}$,

रिक्त समुच्चय
रिक्त समुच्चय (या अशक्त समुच्चय) अद्वितीय समुच्चय है जिसमें कोई अवयव नहीं है। इसे निरूपित $x ∈ B$ या $$\emptyset$$ या $x$ या $y ∉ B$ (या $B$)। द्वारा किया गया है

सिंगलटन समुच्चय
एक सिंगलटन समुच्चय बिल्कुल तत्व के साथ समुच्चय है,इस तरह के समुच्चय को यूनिट समुच्चय भी कहा जा सकता है। इस प्रकार किसी भी समुच्चय को $\{ \}$, जहां x तत्व के रूप में लिखा जा सकता है । इस समुच्चय $ϕ$ और तत्व x का अर्थ अलग -अलग चीजें हैं, यहाँ पर हल्मोस सादृश्य को खींचता है कि कैप युक्त बॉक्स कैप के समान नहीं है।

उपसमुच्चय
यदि समुच्चय A का प्रत्येक तत्व B में भी है, तो A को B के उपसमुच्चय के रूप में वर्णित किया गया है, या B में निहित है, जहाँ पर A ⊆ B या B ⊇ A में लिखा है।   इस प्रकार इसके पश्चात संकेतन को पढ़ा जा सकता है, जो मुख्य रूप से B में A, B सम्मिलित है, या B सम्मिलित है। यहाँ पर A का सुपरसमुच्चय है। इसके कारण ⊆ द्वारा स्थापित समुच्चयों के बीच संबंध को समावेश या नियंत्रण कहा जाता है। जो इस प्रकार दो समुच्चय समान हैं यदि वे दूसरे को सम्मिलित करते हैं: इसके फलस्वरूप A ⊆ B और B ⊆ A A = B के बराबर है।

यदि A B का उपसमुच्चय है, अपितु A B के बराबर नहीं है, तो A को B का उचित उपसमुच्चय कहा जाता है। इसे ⊊ B. इसी प्रकार लिखा जा सकता है, यहाँ पर B ⊋ A MEANS B का उचित सुपरसमुच्चय है, अर्थात् B इसमें सम्मिलित हैं, और A के बराबर नहीं है।

ऑपरेटरों की तीसरी जोड़ी ⊂ और ⊃ का उपयोग अलग -अलग लेखकों द्वारा अलग -अलग तरीके से किया जाता है: कुछ लेखक ⊂ B और B ⊃ A का अर्थ है, A का अर्थ B का कोई उपसमुच्चय है, और आवश्यक नहीं कि उचित उपसमुच्चय हो, जबकि अन्य उन मामलों के लिए ⊂ B और B ⊃ A को आरक्षित करते हैं, जहां A B का उचित उपसमुच्चय है।

उदाहरण:
 * सभी मनुष्यों का समुच्चय सभी स्तनधारियों के समुच्चय का उचित उपसमुच्चय है।

रिक्त समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय है, और हर समुच्चय अपने आप में उपसमुच्चय है:
 * ∅ ⊆ A. A.
 * ए ⊆ ए।

यूलर और वेन आरेख
यूलर आरेख समुच्चय के संग्रह का चित्रमय प्रतिनिधित्व है, इसके कारण प्रत्येक समुच्चय को लूप द्वारा संलग्न प्लानर क्षेत्र के रूप में दर्शाया गया है, जिसके अंदर उसके तत्व हैं। यदि इस प्रकार $\{x\}$ का उपसमुच्चय $\{x\}$ है, फिर क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करना $\{1, 3\}$ पूर्ण रूप से प्रतिनिधित्व करने वाले क्षेत्र $\{1, 2, 3, 4\}$ के अंदर है। यदि दो समुच्चयों में कोई तत्व सामान्य नहीं है, तो क्षेत्र ओवरलैप नहीं करते हैं।

किसी वेन आरेख के विपरीत, चित्रमय प्रतिनिधित्व है, जो $\{1, 2, 3, 4\}$ समुच्चय का उपयोग करता है, जिसमें $\{1, 2, 3, 4\}$ लूप विमान को विभाजित करें $A = \{1, 2, 3, 4\}$ ऐसे जोन ऐसे हैं कि कुछ का चयन करने के प्रत्येक तरीके के लिए $A$ समुच्चय (संभवतः सभी या कोई भी), उन तत्वों के लिए क्षेत्र है, जो सभी चयनित समुच्चयों से संबंधित हैं और दूसरों में से कोई भी नहीं हैं। उदाहरण के लिए, यदि समुच्चय हैं, इस प्रकार $B$, $A$, तथा $B$, उन तत्वों के लिए क्षेत्र होना चाहिए जो अंदर हैं, तथा $n$ तथा $n$ और बाहर $n$ भले ही ऐसे तत्व सम्मिलित नहीं होता हैं।

गणित में संख्याओं के विशेष समुच्चय
इस प्रकार के गणितीय महत्व के समुच्चय हैं, जिनके लिए गणितज्ञ इतने बार संदर्भित करते हैं, कि उन्होंने उनकी पहचान करने के लिए विशेष नाम और उल्लेखनीय सम्मेलनों का अधिग्रहण किया जाता है।

इनमें से कई महत्वपूर्ण समुच्चयों को गणितीय ग्रंथों में बोल्ड का उपयोग करके दर्शाया गया है, उदाहरण के लिए $$\bold Z$$ या ब्लैकबोर्ड बोल्ड $$\mathbb Z$$ टाइपफेस इसका उदाहरण हैं। इसमे सम्मिलित है
 * $$\bold N$$ या $$\mathbb N$$, सभी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय: $$\bold N=\{0,1,2,3,...\}$$ अधिकांशतः लेखक $B = \{blue, white, red\}$ के बाहर इसका उपयोग करते हैं, इस प्रकार * $$\bold Z$$ या $$\mathbb Z$$, सभी पूर्णांक का समुच्चय (चाहे धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य): $$\bold Z=\{...,-2,-1,0,1,2,3,...\}$$, * $$\bold Q$$ या $$\mathbb Q$$, सभी तर्कसंगत संख्याओं का समुच्चय अर्ताथ, सभी उचित और अनुचित अंशों का समुच्चय: $$\bold Q=\left\{\frac {a}{b}\mid a,b\in\bold Z,b\ne0\right\}$$ हैं। उदाहरण के लिए, $n is an integer, and 0 ≤ n ≤ 19\}$ तथा $4 ∈ A$, * $$\bold R$$ या $$\mathbb R$$, सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय, जिसमें सभी तर्कसंगत संख्या और सभी तर्कहीन संख्याएं सम्मिलित हैं, जिसमें बीजीय संख्या सम्मिलित हैं, जैसे $$\sqrt2$$ इसे अंशों के रूप में फिर से नहीं लिखा जा सकता है, इसके साथ ही ट्रान्सेंडैंटल नंबरों जैसे $A$ तथा $12 ∈ F$, * $$\bold C$$ या $$\mathbb C$$, सभी जटिल संख्याओं का समुच्चय: $20 ∉ F$, उदाहरण के लिए, $green ∉ B$ इसका प्रमुख उदाहरण हैं।

संख्याओं के उपरोक्त समुच्चयों में से प्रत्येक में अनंत संख्या में तत्व होते हैं। इस प्रकार प्रत्येक इसके नीचे सूचीबद्ध समुच्चयों का उपसमुच्चय है।

धनात्मक या ऋणात्मक संख्याओं के समुच्चय को कभी -कभी सुपरस्क्रिप्ट प्लस और माइनस संकेतों द्वारा क्रमशः निरूपित किया जाता है। इस प्रकार उदाहरण के लिए, $$\mathbf{Q}^+$$ धनात्मक तर्कसंगत संख्याओं के समुच्चय का प्रतिनिधित्व करता है।

कार्य
एक समुच्चय से फलन (या मैपिंग) $B$ समुच्चय पर $C$ नियम है, जो प्रत्येक इनपुट तत्व को असाइन करता है, यहाँ पर $A$ आउटपुट जो तत्व $C$ है, इसके लिए अधिक औपचारिक रूप से फलन का विशेष प्रकार का संबंध है, जो प्रत्येक तत्व से संबंधित है $B$ के बिल्कुल तत्व के लिए $π$ का उपयोग करता हैं। इसे इसका प्रमुख फलन कहा जाता है एक इंजेक्शन फलन को इंजेक्शन कहा जाता है, सर्जिकल फलन को अधिसूचना कहा जाता है, और द्विध्र हुए फलन को बायजमेंट या एक-से-एक पत्राचार कहा जाता है।
 * इंजेक्शन (या एक-से-एक) यदि यह किसी भी दो अलग-अलग तत्वों को मैप करता है $A$ के विभिन्न तत्वों के लिए $B$,
 * सर्जिकल (या पर) यदि हर तत्व के लिए $A$, कम से कम तत्व है $B$ कि यह नक्शे, और
 * फाइल जेक्टिव (या एक-से-एक पत्राचार) यदि फलन इंजेक्टिव और सर्जिकल दोनों है- इस स्थिति में, प्रत्येक तत्व का $A$ के अनूठे तत्व के साथ जोड़ा जाता है $B$, और प्रत्येक तत्व $A$ के अनूठे तत्व के साथ जोड़ा जाता है $B$, ताकि कोई अप्रकाशित तत्व न हो।

कार्डिनलिटी
किसी समुच्चय की कार्डिनलिटी $∅$, निरूपित $ϕ$, के अवयवों की संख्या है $2n$. उदाहरण के लिए, यदि $0$, फिर $&minus;7⁄4 ∈ Q$।रोस्टर संकेतन में बार -बार अवयवों की गिनती नहीं की जाती है, इसलिए $5 = 5⁄1 ∈ Q$, भी हैं।

इसे अधिक औपचारिक रूप से, दो समुच्चय ही कार्डिनलिटी साझा करते हैं यदि उनके बीच एक-से-एक पत्राचार सम्मिलित है। इस प्रकार रिक्त समुच्चय की कार्डिनलिटी शून्य है।

अनंत समुच्चय और अनंत कार्डिनलिटी
कुछ समुच्चयों के तत्वों की सूची अंतहीन, या अनंत है। उदाहरण के लिए, समुच्चय $$\N$$ प्राकृतिक संख्याओं का अनंत है। वास्तव में, उपरोक्त अनुभाग में उल्लिखित संख्याओं के सभी विशेष समुच्चय अनंत हैं। इस प्रकार अनंत समुच्चय में अनंत कार्डिनलिटी होती है।

कुछ अनंत कार्डिनल दूसरों की तुलना में अधिक हैं। इस प्रकार संभवतः समुच्चय सिद्धांत से सबसे महत्वपूर्ण परिणामों में से यह है कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय की तुलना में अधिक कार्डिनैलिटी होती है। कार्डिनलिटी के साथ समुच्चय से कम या उसके बराबर $$\N$$ गणना योग्य समुच्चय कहा जाता है,ये या तो परिमित समुच्चय या अनगिनत अनंत समुच्चय हैं, इसके कारण उसी कार्डिनलिटी के समुच्चय $$\N$$ गिनती के लिए गिनती करने योग्य का उपयोग करते हैं। इस प्रकार कार्डिनलिटी के साथ से अधिक से अधिक समुच्चय करता है, जिसमें $$\N$$ प्रसारित समुच्चय कहा जाता है।

चूंकि इस प्रकार यह दिखाया जा सकता है कि सीधी रेखा की कार्डिनलिटी अर्ताथ, लाइन पर बिंदुओं की संख्या को उस लाइन के किसी भी खंड की कार्डिनलिटी के समान है, इस प्रकार इसके पूरे समतल की और वास्तव में किसी भी परिमित-आयामी यूक्लिडियन की अंतरिक्ष उपलब्ध हैं।

कॉन्टिनम परिकल्पना
1878 में जॉर्ज कैंटर द्वारा तैयार की गई निरंतरता परिकल्पना, यह कथन है कि कार्डिनलिटी के साथ से कोई समुच्चय नहीं है, जो प्राकृतिक संख्याओं की कार्डिनलिटी और सीधी रेखा के कार्डिनलिटी के बीच  से समुच्चय है। इस प्रकार 1963 में, पॉल कोहेन ने प्रमाणित किया कि कॉन्टिनम परिकल्पना एक्सिओम सिस्टम ZFC से स्वतंत्र है, जिसमें ज़रमेलो -फ्रेनकेल समुच्चय सिद्धांत से मिलकर पसंद है। इस प्रकार ZFC स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत का सबसे व्यापक रूप से अध्ययन किया गया संस्करण है।

पावर समुच्चय
किसी समुच्चय का पावर समुच्चय $e$ के सभी उपसमुच्चय का समुच्चय $a, b ∈ R\}$ है, इस प्रकार किसी रिक्त समुच्चय और $1 + 2i ∈ C$ स्वयं के पावर समुच्चय के तत्व $S$ हैं, क्योंकि ये दोनों उपसमुच्चय $|S|$ हैं। उदाहरण के लिए, का पावर समुच्चय $S$ है $B = \{blue, white, red\}$ को प्रदर्शित करते हैं। इस प्रकार किसी समुच्चय का पावर समुच्चय $|B| = 3$ सामान्यतः $|\{blue, white, red, blue, white\}| = 3$ या $S$ प्रकार लिखा जाता है।

यदि $S$ है $S$ तत्व, फिर $S$ $S$ तत्व है। उदाहरण के लिए, $\{1, 2, 3\}$ में तीन तत्व हैं, और इसका $\{∅, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}, \{1, 2, 3\}\}$ तत्व पावर समुच्चय है, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है।

यदि $S$ अनंत है, चाहे गिनती योग्य हो या फिर $P(S)$ है। इसके अतिरिक्त, पावर समुच्चय सदैव मूल समुच्चय की तुलना में कड़ाई से बड़ा होता है, इस अर्थ में कि तत्वों को जोड़ने का कोई भी प्रयास $2S$ के तत्वों के साथ $S$ के कुछ तत्व छोड़ देंगे $n$ अप्रकाशित होती हैं। जो कभी भी बायजेक्शन $P(S)$ पर $2n$ नहीं है।

विभाजन
किसी समुच्चय एस का विभाजन एस के गैर -रिक्त उपसमुच्चय का समुच्चय है, जैसे कि एस में प्रत्येक तत्व एक्स इन उपसमुच्चयों में से में है। इस प्रकार किसी उपसमुच्चय पेयरवाइज डिसजॉइंट हैं, जिसका अर्थ है कि विभाजन के किसी भी दो समुच्चय में कोई तत्व नहीं होता है, और विभाजन के सभी उपसमुच्चयों का संघ एस है।

मूल संचालन
इस प्रकार दिए गए समुच्चयों से नए समुच्चय बनाने के लिए कई मौलिक संचालन हैं।

यूनियनों
दो समुच्चय में सम्मिलित हो सकते हैं: संघ $\{1, 2, 3\}$ तथा $23 = 8$, द्वारा चिह्नित $S$, उन सभी चीजों का समुच्चय है जो A या B या दोनों के अवयव हैं।

उदाहरण: यूनियनों के कुछ मौलिक गुण:
 * $P(S)$ यदि $S$
 * $P(S)$ यदि $P(S)$
 * $S$ यदि $P(S)$
 * $A$ यदि $B$
 * $A ∪ B$ यदि $A$
 * $B$ यदि $A ∪ B$

प्रतिच्छेदन
एक नए समुच्चय का निर्माण यह निर्धारित करके भी किया जा सकता है, कि कौन से अवयवों के दो समुच्चय समान हैं। इस प्रकार A और B के प्रतिच्छेदन द्वारा निरूपित किया गया हैं। इस प्रकार A ∩ B, सभी चीजों का समुच्चय है जो A और B दोनों के अवयव हैं, जहाँ पर A ∩ B = ∅, तब A और B को असंतुष्ट कहा जाता है। उदाहरण: प्रतिच्छेदन के कुछ मौलिक गुण:
 * {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}.
 * {1, 2} ∩ {2, 3} = {2}.
 * {1, 2} ∩ {3, 4} = ∅.
 * A ∩ B = B ∩ A.
 * A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
 * A ∩ B ⊆ A.
 * A ∩ A = A.
 * A ∩ ∅ = ∅.
 * A ⊆ B यदि A ∩ B = A.

पूरक
दो समुच्चयों को भी घटाया जा सकता है। इसके आधार पर B के सापेक्ष पूरक के लिए A और B के समुच्चय सिद्धांत अंतर भी कहा जाता है, जिसके द्वारा निरूपित किया गया हैं। A \ B (या A − B), उन सभी तत्वों का समुच्चय है, जो A के अवयव हैं, अपितु B के अवयव नहीं हैं। यह समुच्चय के अवयवों को घटाने के लिए मान्य है जो समुच्चय में नहीं हैं, जैसे कि समुच्चय से तत्व $B$ को हटाने से समुच्चय में तत्वों को प्रभावित नहीं किया जाएगा।

कुछ समुच्चयिंग्स में इस चर्चा के अनुसार सभी समुच्चयों को किसी दिए गए सार्वभौमिक समुच्चय यू के उपसमुच्चय माना जाता है, ऐसी स्थिति में, U \ A निरपेक्ष पूरक या बस के पूरक कहा जाता है, और ′ या द्वारा निरूपित किया जाता है। उदाहरण:
 * A′ = U \ A
 * {1, 2} \ {1, 2} = ∅.
 * {1, 2, 3, 4} \ {1, 3} = {2, 4}.
 * यदि यू पूर्णांक का समुच्चय है, तो E भी पूर्णांक का समुच्चय है, और ओ विषम पूर्णांक का समुच्चय है, तो इस प्रकार u \ e = e ′ = O के समान होगा।

पूरक के कुछ मौलिक गुणों में निम्नलिखित सम्मिलित हैं: पूरक का विस्तार सममित अंतर है, समुच्चय के लिए परिभाषित किया गया है, जिसके लिए B के रूप में इसे इस प्रकार प्रदर्शित करते हैं-$$A\,\Delta\,B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A).$$उदाहरण के लिए, सममित अंतर $A$ तथा $A$ समुच्चय $B$ है। इस प्रकार किसी भी समुच्चय का पावर समुच्चय रिंग के अतिरिक्त के रूप में सममित अंतर के साथ बूलियन रिंग बन जाता है, इसके लिए रिक्त समुच्चय के साथ तटस्थता के लिए उपयुक्त तत्व के रूप में और रिंग के गुणन के रूप में प्रतिच्छेदन करती हैं।
 * A \ B ≠ B \ A के लिये A ≠ B।
 * A ∪ A′ = U.
 * A ∩ A′ = ∅.
 * (A′)′ = A.
 * ∅ \ A = ∅.
 * A \ ∅ = A.
 * A \ A = ∅.
 * A \ U = ∅.
 * A \ A′ = A तथा A′ \ A = A′.
 * U′ = ∅ तथा ∅′ = U.
 * A \ B = A ∩ B′।
 * यदि A ⊆ B फिर A \ B = ∅.

कार्टेशियन उत्पाद
एक नए समुच्चय का निर्माण समुच्चय के प्रत्येक तत्व को दूसरे समुच्चय के प्रत्येक तत्व के साथ जोड़कर किया जा सकता है। इस प्रकार A × B द्वारा निरूपित दो समुच्चय A और B के कार्टेशियन उत्पाद, सभी आदेशित जोड़े (A, B) का समुच्चय है, जैसे कि A A और B का अवयव है। यहाँ पर B का अवयव है।

उदाहरण: कार्टेशियन उत्पादों के कुछ मौलिक गुण: A और B परिमित समुच्चय हो,तब कार्टेशियन उत्पाद की कार्डिनलिटी कार्डिनलिटीज का उत्पाद है:
 * {1, 2} × {red, white, green} = {(1, red), (1, white), (1, green), (2, red), (2, white), (2, green)}.
 * {1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
 * {a, b, c} × {d, e, f} = {(a, d), (a, e), (a, f), (b, d), (b, e), (b, f), (c, d), (c, e), (c, f)}.
 * A × ∅ = ∅.
 * A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C).
 * (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C).
 * | A × B |= | B × A |= | A |× | B | |

अनुप्रयोग
आधुनिक गणित में समुच्चय सर्वव्यापी हैं। उदाहरण के लिए अमूर्त बीजगणित में संरचनाएं जैसे कि समूह, फ़ील्ड और रिंग, या अधिक संचालन के अनुसार संवृत समुच्चय हैं।

समुच्चय सिद्धांत के मुख्य अनुप्रयोगों में से संबंध के निर्माण में है। एक डोमेन से संबंध ${1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}.$ कोडोमैन के लिए ${1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.$ कार्टेशियन उत्पाद का उपसमुच्चय ${1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}.$ है। उदाहरण के लिए, समुच्चय को देखते हुए $A ∪ B = B ∪ A.$ नाम के खेल में आकृतियाँ, संबंध से धड़कता है, जिसके लिए $A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.$ प्रति $A ⊆ (A ∪ B).$ समुच्चय $A ∪ A = A.$ है ,इस प्रकार $A ∪ ∅ = A.$ $A ⊆ B$ के लिए बीट करता हैं, इस खेल में यदि जोड़ी $A ∪ B = B.$ का अवयव  $A$ है। इस प्रकार इसके अन्य उदाहरण समुच्चय $B$ है, जो सभी जोड़े की $A × B$, जहाँ पर $S = \{rock, paper, scissors\}$ यह सचमुच का है। यह संबंध उपसमुच्चय $S$ से है, क्योंकि सभी वर्गों का समुच्चय सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का उपसमुच्चय है। चूंकि हर किसी के लिए $S$ में $B = \{(scissors,paper), (paper,rock), (rock,scissors)\}$, और केवल जोड़ी $x$ में $y$ का मान पाया जाता है, इसे फलन कहा जाता है। इसके कार्यात्मक संकेतन में, इस संबंध को $(x,y)$ के रूप में लिखा जा सकता है।

समावेश और बहिष्करण का सिद्धांत
समावेश -बहिष्करण सिद्धांत गिनती तकनीक है जिसका उपयोग दो समुच्चयों के संघ में तत्वों की संख्या को गिनने के लिए किया जा सकता है - यदि प्रत्येक समुच्चय का आकार और उनके प्रतिच्छेदन के आकार को जाना जाता है। इसे प्रतीकात्मक रूप से व्यक्त किया जा सकता है$$ |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|.$$इस सिद्धांत के अधिक सामान्य रूप का उपयोग समुच्चय के किसी भी परिमित संघ की कार्डिनलिटी को खोजने के लिए किया जा सकता है:$$\begin{align} \left|A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup\ldots\cup A_{n}\right|=& \left(\left|A_{1}\right|+\left|A_{2}\right|+\left|A_{3}\right|+\ldots\left|A_{n}\right|\right) \\ &{} - \left(\left|A_{1}\cap A_{2}\right|+\left|A_{1}\cap A_{3}\right|+\ldots\left|A_{n-1}\cap A_{n}\right|\right) \\ &{} + \ldots \\ &{} + \left(-1\right)^{n-1}\left(\left|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap\ldots\cap A_{n}\right|\right). \end{align}$$

डी मॉर्गन के नियम
ऑगस्टस डी मॉर्गन ने कहा कि डी मॉर्गन के नियम इस समुच्चय के बारे में दो विशेष नियमों को प्रदर्शित करता हैं।

यदि $B$ तथा $A$ फिर भी दो समुच्चय हैं,
 * $B$के पूरक $\{1, 2, 3\}$ संघ $\{7, 8, 9, 10\}$ के पूरक के बराबर है, इस प्रकार $\{9, 10, 11, 12\}$ के पूरक के साथ $\{7, 8, 11, 12\}$ जुड़ा हुआ है।
 * $F$के पूरक $A$ के साथ जुड़ा हुआ है, इस प्रकार $B$ के पूरक के बराबर है, जो $A$ के पूरक के लिए संघ $B$ से जुड़ा हैं।

यह भी देखें

 * समुच्चय बीजगणित
 * वैकल्पिक समुच्चय सिद्धांत
 * समुच्चय की श्रेणी
 * वर्ग (समुच्चय सिद्धांत)
 * सघन समुच्चय
 * समुच्चय समूह
 * फजी समुच्चय
 * आंतरिक समुच्चय
 * मेरोलॉजी
 * मल्टी समुच्चय
 * प्रिंसिपिया मैथेमेटिका
 * रफ समुच्चय

बाहरी संबंध

 * Cantor's "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre" (in German)
 * Cantor's "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre" (in German)