फ़ुबिनी-अध्ययन मीट्रिक

गणित में, फ़ुबिनी-स्टडी मीट्रिक प्रक्षेप्य हिल्बर्ट स्थान पर एक काहलर मीट्रिक है, जो कि एक जटिल प्रक्षेप्य स्थान सीपी पर है।nहर्मिटियन रूप से संपन्न। इस मीट्रिक (गणित) का वर्णन मूल रूप से 1904 और 1905 में गुइडो फ़ुबिनी और एडवर्ड अध्ययन  द्वारा किया गया था। (वेक्टर स्पेस) सी में एक हर्मिटियन फॉर्मn+1 GL(n+1,'C') में एक एकात्मक उपसमूह U(n+1) को परिभाषित करता है। एक फ़ुबिनी-अध्ययन मीट्रिक को ऐसी यू(एन+1) कार्रवाई के तहत अपरिवर्तनीयता द्वारा समरूपता (समग्र स्केलिंग) तक निर्धारित किया जाता है; इस प्रकार यह सजातीय स्थान है। फ़ुबिनी-अध्ययन मीट्रिक से सुसज्जित, 'सीपी'nएक सममित स्थान है। मीट्रिक पर विशेष सामान्यीकरण अनुप्रयोग पर निर्भर करता है। रीमैनियन ज्यामिति में, कोई सामान्यीकरण का उपयोग करता है ताकि फ़ुबिनी-अध्ययन मीट्रिक केवल एन-क्षेत्र पर मानक मीट्रिक से संबंधित हो|(2n+1)-क्षेत्र। बीजगणितीय ज्यामिति में, कोई सामान्यीकरण का उपयोग करके 'सीपी' बनाता हैnएक हॉज मैनिफ़ोल्ड ।

निर्माण
फ़ुबिनी-अध्ययन मीट्रिक जटिल प्रक्षेप्य स्थान के कोटिएंट स्पेस (टोपोलॉजी) निर्माण में स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होता है।

विशेष रूप से, कोई सीपी को परिभाषित कर सकता हैn 'सी' में सभी जटिल रेखाओं से युक्त स्थान होनाn+1, यानी, 'सी' का भागफलn+1\{0} प्रत्येक बिंदु के सभी जटिल गुणजों को एक साथ जोड़ने वाले तुल्यता संबंध द्वारा। यह गुणक समूह 'सी' के विकर्ण समूह क्रिया (गणित) द्वारा भागफल से सहमत है* = C \ {0}:


 * $$\mathbf{CP}^n = \left\{ \mathbf{Z} = [Z_0,Z_1,\ldots,Z_n] \in {\mathbf C}^{n+1}\setminus\{0\}\, \right\} / \{ \mathbf{Z} \sim c\mathbf{Z}, c \in \mathbf{C}^* \}.$$

यह भागफल C का बोध कराता हैn+1\{0} आधार स्थान 'CP' पर एक जटिल रेखा बंडल के रूप मेंn. (वास्तव में यह 'सीपी' पर तथाकथित टॉटोलॉजिकल बंडल हैn.) 'सीपी' का एक बिंदुn को इस प्रकार (n+1)-टुपल्स [Z.'' के समतुल्य वर्ग के साथ पहचाना जाता है0,...,साथn] मॉड्यूलो नॉनज़रो कॉम्प्लेक्स रीस्केलिंग; ज़ेडi बिंदु के सजातीय निर्देशांक कहलाते हैं।

इसके अलावा, कोई इस भागफल मानचित्रण को दो चरणों में महसूस कर सकता है: चूँकि एक गैर-शून्य जटिल अदिश z = R e द्वारा गुणा करनाiθ को विशिष्ट रूप से मापांक आर द्वारा फैलाव की संरचना के रूप में सोचा जा सकता है जिसके बाद एक कोण द्वारा मूल के बारे में वामावर्त घुमाव होता है $$\theta$$, भागफल मानचित्रण सीn+1 → 'सीपी' nदो टुकड़ों में बंट जाता है।


 * $$\mathbf{C}^{n+1}\setminus\{0\} \stackrel{(a)}\longrightarrow S^{2n+1} \stackrel{(b)}\longrightarrow \mathbf{CP}^n$$

जहां चरण (ए) R ∈R के लिए फैलाव Z ~RZ द्वारा एक भागफल है+, सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का गुणक समूह, और चरण (बी) घूर्णन Z ~e द्वारा एक भागफल हैमैंθZ.

(ए) में भागफल का परिणाम वास्तविक हाइपरस्फेयर एस है2n+1 समीकरण |'Z'| द्वारा परिभाषित2 = |Z0|2 + ...+ |Zn|2 = 1. (बी) में भागफल सीपी का एहसास करता हैn = S2n+1/S1, जहां एस1घूर्णन के समूह का प्रतिनिधित्व करता है। यह भागफल प्रसिद्ध हॉफ फ़िब्रेशन एस द्वारा स्पष्ट रूप से महसूस किया जाता है1 → एस2n+1  → 'सीपी'n, जिसके रेशे बड़े वृत्तों में से हैं $$S^{2n+1}$$.

मीट्रिक भागफल के रूप में
जब एक भागफल रीमैनियन मैनिफोल्ड (या सामान्य रूप से मीट्रिक स्थान) से लिया जाता है, तो यह सुनिश्चित करने के लिए ध्यान रखा जाना चाहिए कि भागफल स्थान एक रीमैनियन मीट्रिक से संपन्न है जो अच्छी तरह से परिभाषित है। उदाहरण के लिए, यदि कोई समूह G रीमैनियन मैनिफोल्ड (X,g) पर कार्य करता है, तो कक्षा स्थान X/G के लिए एक प्रेरित मीट्रिक प्राप्त करने के लिए, $$g$$ जी-कक्षाओं के साथ इस अर्थ में स्थिर होना चाहिए कि किसी भी तत्व एच∈जी और वेक्टर फ़ील्ड की जोड़ी के लिए $$X,Y$$ हमारे पास g(Xh,Yh)=g(X,Y) होना चाहिए।

'सी' पर मानक हर्मिटियन मीट्रिकn+1 द्वारा मानक आधार पर दिया गया है


 * $$ds^2 = d\mathbf{Z} \otimes d\bar{\mathbf{Z}} = dZ_0 \otimes d\bar{Z}_0 + \cdots + dZ_n \otimes d\bar{Z}_n$$

जिसकी प्राप्ति आर पर मानक यूक्लिडियन मीट्रिक है2n+2. यह मीट्रिक 'सी' की विकर्ण कार्रवाई के तहत अपरिवर्तनीय नहीं है*, इसलिए हम इसे सीधे सीपी तक पहुंचाने में असमर्थ हैंnभागफल में. हालाँकि, यह मीट्रिक S की विकर्ण क्रिया के तहत अपरिवर्तनीय है1= U(1), घूर्णनों का समूह। इसलिए, चरण (ए) पूरा होने के बाद उपरोक्त निर्माण में चरण (बी) संभव है।

फ़ुबिनी-स्टडी मीट्रिक भागफल सीपी पर प्रेरित मीट्रिक हैn = S2n+1/S1, कहाँ $$S^{2n+1}$$ यूनिट हाइपरस्फीयर के लिए मानक यूक्लिडियन मीट्रिक के प्रतिबंध द्वारा उस पर संपन्न तथाकथित गोल मीट्रिक वहन करता है।

स्थानीय एफ़िन निर्देशांक में
सीपी में एक बिंदु के अनुरूपnसजातीय निर्देशांक के साथ [Z0:...:साथn], n निर्देशांक (z) का एक अद्वितीय सेट है1,...,साथn) ऐसा है कि
 * $$[Z_0:\dots:Z_n] \sim [1,z_1,\dots,z_n],$$

ज़ेड प्रदान किया गया0≠0; विशेष रूप से, zj= Zj/साथ0. (जेड1,...,साथn) सीपी के लिए एक एफ़िन निर्देशांक बनाएंnनिर्देशांक पैच U में0 = {जेड0≠0}. कोई भी किसी भी समन्वय पैच यू में एक एफ़िन समन्वय प्रणाली विकसित कर सकता हैi= {Zi≠0} को Z से विभाजित करकेi स्पष्ट तरीके से. n+1 समन्वय पैच Ui कवर सीपीn, और एफ़िन निर्देशांक (z) के संदर्भ में मीट्रिक को स्पष्ट रूप से देना संभव है1,...,साथn) वह यूi. निर्देशांक व्युत्पन्न एक फ़्रेम को परिभाषित करते हैं $$\{\partial_1,\ldots,\partial_n\}$$ सीपी के होलोमोर्फिक स्पर्शरेखा बंडल काn, जिसके संदर्भ में फ़ुबिनी-स्टडी मीट्रिक में हर्मिटियन घटक हैं


 * $$g_{i\bar{j}} = h(\partial_i,\bar{\partial}_j) = \frac{\left(1+|\mathbf{z}|^2\right)\delta_{i\bar{j}} - \bar{z}_i z_j}{\left(1+|\mathbf{z}|^2\right)^2}.$$

कहाँ |z|2= |z1|2 + ...+ |zn|2. यानी, इस फ्रेम में फ़ुबिनी-स्टडी मेट्रिक का हर्मिटियन मैट्रिक्स है


 * $$ \bigl[g_{i\bar{j}}\bigr] = \frac{1}{\left(1+|\mathbf{z}|^2\right)^2}

\left[ \begin{array}{cccc} 1+|\mathbf{z}|^2 - |z_1|^2 & -\bar{z}_1 z_2 & \cdots & -\bar{z}_1 z_n \\ -\bar{z}_2 z_1 & 1 + |\mathbf{z}|^2 - |z_2|^2 & \cdots & -\bar{z}_2 z_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -\bar{z}_n z_1 & -\bar{z}_n z_2 & \cdots & 1 + |\mathbf{z}|^2 - |z_n|^2 \end{array} \right] $$ ध्यान दें कि प्रत्येक मैट्रिक्स तत्व एकात्मक-अपरिवर्तनीय है: विकर्ण क्रिया $$\mathbf{z} \mapsto e^{i\theta}\mathbf{z}$$ इस मैट्रिक्स को अपरिवर्तित छोड़ देंगे.

तदनुसार, रेखा तत्व द्वारा दिया गया है
 * $$\begin{align}

ds^2 &= g_{i\bar{j}} \, dz^i \, d\bar{z}^j \\[4pt] &= \frac{\left(1+|\mathbf{z}|^2\right)|d\mathbf{z}|^2 - (\bar{\mathbf{z}}\cdot d\mathbf{z})(\mathbf{z}\cdot d\bar{\mathbf{z}})}{\left(1+|\mathbf{z}|^2\right)^2} \\[4pt] &= \frac{(1+z_i\bar{z}^i)\,dz_j\,d\bar{z}^j - \bar{z}^j z_i\,dz_j\,d\bar{z}^i}{\left(1+z_i\bar{z}^i\right)^2}. \end{align} $$ इस अंतिम अभिव्यक्ति में, योग सम्मेलन का उपयोग लैटिन सूचकांकों i,j का योग करने के लिए किया जाता है जो 1 से n तक की सीमा में होते हैं।

मीट्रिक को निम्नलिखित काहलर क्षमता से प्राप्त किया जा सकता है:

K = \ln(1 + z_i \bar{z}^i) = \ln(1 + \delta_{i\bar{j}} z^i \bar{z}^j) $$ जैसा

g_{i\bar{j}}=K_{i\bar{j}}=\frac{\partial^2}{\partial z^i \, \partial\bar{z}^j} K $$

सजातीय निर्देशांक का उपयोग करना
सजातीय निर्देशांक के अंकन में एक अभिव्यक्ति भी संभव है, जिसका उपयोग आमतौर पर बीजगणितीय ज्यामिति की प्रक्षेप्य किस्मों का वर्णन करने के लिए किया जाता है: Z==[Z0:...:साथn]. औपचारिक रूप से, इसमें शामिल अभिव्यक्तियों की उपयुक्त व्याख्या के अधीन, किसी के पास है


 * $$\begin{align}

ds^2 &= \frac{|\mathbf{Z}|^2|d\mathbf{Z}|^2 - (\bar{\mathbf{Z}}\cdot d\mathbf{Z})(\mathbf{Z}\cdot d\bar{\mathbf{Z}})}{|\mathbf{Z}|^4}\\ &=\frac{Z_\alpha\bar{Z}^\alpha dZ_\beta d\bar{Z}^\beta - \bar{Z}^\alpha Z_\beta dZ_\alpha d\bar{Z}^\beta}{\left(Z_\alpha\bar{Z}^\alpha\right)^2}\\ &= \frac {2Z_{[\alpha}\,dZ_{\beta]} \bar{Z}^{[\alpha}\,\overline{dZ}^{\beta]}} {\left( Z_\alpha \bar{Z}^\alpha \right)^2}. \end{align}$$ यहां योग सम्मेलन का उपयोग ग्रीक सूचकांकों α β को 0 से n तक के योग के लिए किया जाता है, और अंतिम समानता में एक टेंसर के तिरछे भाग के लिए मानक संकेतन का उपयोग किया जाता है:


 * $$Z_{[\alpha}W_{\beta]} = \frac {1}{2} \left(

Z_{\alpha} W_{\beta} - Z_{\beta} W_{\alpha} \right).$$ अब, डीएस के लिए यह अभिव्यक्ति2स्पष्ट रूप से टॉटोलॉजिकल बंडल सी के कुल स्थान पर एक टेंसर को परिभाषित करता हैn+1\{0}. इसे 'सीपी' पर एक टेंसर के रूप में ठीक से समझा जाना चाहिएn इसे 'सीपी' के टॉटोलॉजिकल बंडल के होलोमोर्फिक सेक्शन σ के साथ वापस खींचकरn. फिर यह सत्यापित करना बाकी है कि पुलबैक का मूल्य अनुभाग की पसंद से स्वतंत्र है: यह प्रत्यक्ष गणना द्वारा किया जा सकता है।

इस मीट्रिक का काहलर रूप है


 * $$\omega = \frac{i}{2}\partial\bar{\partial}\log |\mathbf{Z}|^2$$

जहां $$\partial, \bar\partial$$ डॉल्बॉल्ट संचालक हैं। इसका पुलबैक स्पष्ट रूप से होलोमोर्फिक अनुभाग की पसंद से स्वतंत्र है। मात्रा लॉग|Z|2सीपी का काहलर विभव (जिसे कभी-कभी काहलर अदिश भी कहा जाता है) हैn.

ब्रा-केट निर्देशांक संकेतन में
क्वांटम यांत्रिकी में, फ़ुबिनी-स्टडी मीट्रिक को ब्यूर्स मीट्रिक के रूप में भी जाना जाता है। हालाँकि, ब्यूर्स मेट्रिक को आमतौर पर मिश्रित अवस्था (भौतिकी) के अंकन में परिभाषित किया गया है, जबकि नीचे दी गई व्याख्या शुद्ध अवस्था के संदर्भ में लिखी गई है। मीट्रिक का वास्तविक भाग फिशर सूचना मीट्रिक (चार गुना) है।

फ़ुबिनी-स्टडी मीट्रिक आमतौर पर क्वांटम यांत्रिकी में उपयोग किए जाने वाले ब्रा-केट नोटेशन का उपयोग करके लिखा जा सकता है। इस अंकन को ऊपर दिए गए सजातीय निर्देशांक के साथ स्पष्ट रूप से बराबर करने के लिए, आइए


 * $$\vert \psi \rangle = \sum_{k=0}^n Z_k \vert e_k \rangle = [Z_0:Z_1:\ldots:Z_n]$$

कहाँ $$\{\vert e_k \rangle\}$$ हिल्बर्ट स्थान  के लिए ऑर्थोनॉर्मल आधार वैक्टर का एक सेट है $$Z_k$$ सम्मिश्र संख्याएँ हैं, और $$Z_\alpha = [Z_0:Z_1:\ldots:Z_n]$$ प्रक्षेप्य स्थान में एक बिंदु के लिए मानक संकेतन है $$\mathbb{C}P^n$$ सजातीय निर्देशांक में. फिर, दो अंक दिए $$\vert \psi \rangle = Z_\alpha$$ और $$\vert \varphi \rangle = W_\alpha$$ अंतरिक्ष में, उनके बीच की दूरी (एक जियोडेसिक की लंबाई) है


 * $$\gamma (\psi, \varphi) = \arccos

\sqrt \frac {\langle \psi \vert \varphi \rangle \; \langle \varphi \vert \psi \rangle } {\langle \psi \vert \psi \rangle \; \langle \varphi \vert \varphi \rangle} $$ या, समकक्ष, प्रक्षेप्य विविधता संकेतन में,


 * $$\gamma (\psi, \varphi) =\gamma (Z,W) =

\arccos \sqrt {\frac {Z_\alpha \bar{W}^\alpha \; W_\beta \bar{Z}^\beta} {Z_\alpha \bar{Z}^\alpha \; W_\beta \bar{W}^\beta}}. $$ यहाँ, $$\bar{Z}^\alpha$$ का जटिल संयुग्म है $$Z_\alpha$$. निम्न का प्रकटन $$\langle \psi \vert \psi \rangle$$ हर में एक अनुस्मारक है कि $$\vert \psi \rangle$$ और इसी तरह $$\vert \varphi \rangle$$ इकाई लंबाई तक सामान्यीकृत नहीं किया गया; इस प्रकार सामान्यीकरण को यहाँ स्पष्ट किया गया है। हिल्बर्ट स्पेस में, मीट्रिक को दो वैक्टरों के बीच के कोण के रूप में बल्कि तुच्छ रूप से व्याख्या किया जा सकता है; इस प्रकार इसे कभी-कभी क्वांटम कोण भी कहा जाता है। कोण वास्तविक-मूल्यवान है, और 0 से चलता है $$\pi/2$$.

इस मीट्रिक का अतिसूक्ष्म रूप शीघ्रता से प्राप्त किया जा सकता है $$\varphi =  \psi+\delta\psi$$, या समकक्ष, $$W_\alpha = Z_\alpha + dZ_\alpha$$ प्राप्त करने के लिए


 * $$ds^2 = \frac{\langle \delta \psi \vert \delta \psi \rangle}

{\langle \psi \vert \psi \rangle} - \frac {\langle \delta \psi \vert \psi \rangle \; \langle \psi \vert \delta \psi \rangle} {{\langle \psi \vert \psi \rangle}^2}. $$ क्वांटम यांत्रिकी के संदर्भ में, सी.पी1को बलोच क्षेत्र कहा जाता है; फ़ुबिनी-अध्ययन मीट्रिक क्वांटम यांत्रिकी के ज्यामितिकरण के लिए प्राकृतिक मीट्रिक (गणित) है। क्वांटम उलझाव और बेरी चरण प्रभाव सहित क्वांटम यांत्रिकी के अधिकांश अजीब व्यवहार को फ़ुबिनी-स्टडी मीट्रिक की ख़ासियत के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है।

एन = 1 मामला
जब n = 1 होता है, तो भिन्नता होती है $$S^2\cong \mathbb{CP}^1$$ त्रिविम प्रक्षेपण द्वारा दिया गया। यह विशेष हॉफ फ़िब्रेशन एस की ओर ले जाता है1 → एस3 → एस2. जब फ़ुबिनी-अध्ययन मीट्रिक सीपी पर निर्देशांक में लिखा जाता है1, वास्तविक स्पर्शरेखा बंडल पर इसका प्रतिबंध एस पर त्रिज्या 1/2 (और गाऊसी वक्रता 4) के सामान्य गोल मीट्रिक की अभिव्यक्ति उत्पन्न करता है2.

अर्थात्, यदि z = x + iy रीमैन क्षेत्र 'सीपी' पर मानक एफ़िन समन्वय चार्ट है1 और x = r cos θ, y = r sin θ 'C' पर ध्रुवीय निर्देशांक हैं, तो एक नियमित गणना से पता चलता है


 * $$ds^2= \frac{\operatorname{Re}(dz \otimes d\bar{z})}{\left(1+|\mathbf{z}|^2\right)^2}

= \frac{dx^2+dy^2}{ \left(1+r^2\right)^2 } = \frac{1}{4}(d\varphi^2 + \sin^2 \varphi\,d\theta^2) = \frac{1}{4} \, ds^2_{us} $$ कहाँ $$ds^2_{us}$$ इकाई 2-गोले पर गोल मीट्रिक है। यहाँ φ, θ S पर गणितज्ञ के गोलाकार निर्देशांक हैं2 स्टीरियोग्राफ़िक प्रक्षेपण r tan(φ/2) = 1, tan θ = y/x से आ रहा है। (कई भौतिकी संदर्भ φ और θ की भूमिकाओं को आपस में बदल देते हैं।)

काहलर रूप है


 * $$K=\frac{i}{2}\frac{dz\wedge d\bar{z}}{\left(1+z\bar{z}\right)^2}

= \frac{dx\wedge dy}{\left(1+x^2+y^2\right)^2}$$ चार पैरों वाले के रूप में चुनना $$e^1=dx/(1+r^2)$$ और $$e^2=dy/(1+r^2)$$, काहलर फॉर्म को सरल बनाता है
 * $$K=e^1 \wedge e^2$$

हॉज सितारा को काहलर फॉर्म में लगाने से, एक प्राप्त होता है
 * $$*K = 1$$

इसका तात्पर्य यह है कि K हार्मोनिक रूप है।

एन = 2 मामला
जटिल प्रक्षेप्य तल 'सीपी' पर फ़ुबिनी-अध्ययन मीट्रिक2 को एक गुरुत्वाकर्षण एक पल  के रूप में प्रस्तावित किया गया है, एक इंस्टेंटन का गुरुत्वाकर्षण एनालॉग। एक बार उपयुक्त वास्तविक 4डी निर्देशांक स्थापित हो जाने पर मीट्रिक, कनेक्शन फॉर्म और वक्रता की गणना आसानी से की जाती है। लिखना $$(x,y,z,t)$$ वास्तविक कार्टेशियन निर्देशांक के लिए, कोई एन-गोले|4-गोले (चतुर्धातुक प्रक्षेप्य रेखा) पर ध्रुवीय निर्देशांक को एक-रूप में परिभाषित करता है


 * $$\begin{align}

r\,dr &= +x\,dx+y\,dy+z\,dz+t\,dt \\ r^2\sigma_1 &= -t\,dx-z\,dy+y\,dz+x\,dt \\ r^2\sigma_2 &= +z\,dx-t\,dy-x\,dz+y\,dt \\ r^2\sigma_3 &= -y\,dx+x\,dy-t\,dz+z\,dt \end{align}$$ $$\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$$ h> ली समूह पर मानक बाएँ-अपरिवर्तनीय एक-रूप समन्वय फ़्रेम हैं $$SU(2)=S^3$$; अर्थात् वे आज्ञापालन करते हैं $$d\sigma_i=2\sigma_j\wedge\sigma_k$$ के लिए $$i,j,k=1,2,3$$ चक्रीय.

संबंधित स्थानीय एफ़िन निर्देशांक हैं $$z_1=x+iy$$ और $$z_2=z+it$$ फिर प्रदान करें
 * $$\begin{align}

z_1\bar{z}_1+z_2\bar{z}_2 &= r^2 = x^2+y^2+z^2+t^2 \\ dz_1\,d\bar{z}_1 + dz_2\,d\bar{z}_2 &= dr^2 + r^2(\sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2) \\ \left(\bar{z}_1\,dz_1 + \bar{z}_2\,dz_2 \right)^2 &= r^2 \left(dr^2 + r^2 \sigma_3^2 \right) \end{align}$$ सामान्य संक्षिप्ताक्षरों के साथ $$dr^2=dr\otimes dr$$ और $$\sigma_k^2=\sigma_k\otimes\sigma_k$$.

पहले दिए गए अभिव्यक्ति से शुरू होने वाला रेखा तत्व, द्वारा दिया गया है
 * $$\begin{align}

ds^2 &= \frac{dz_j\,d\bar{z}^j}{1+z_i\bar{z}^i} - \frac{\bar{z}^j z_i\,dz_j\,d\bar{z}^i}{(1+z_i\bar{z}^i)^2} \\[5pt] &= \frac{dr^2+r^2 (\sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2)}{1+r^2} - \frac{r^2 \left(dr^2 + r^2 \sigma_3^2 \right)}{\left(1+r^2\right)^2} \\[4pt] &= \frac{dr^2+r^2\sigma_3^2}{\left(1+r^2\right)^2} + \frac{r^2\left(\sigma_1^2+\sigma_2^2\right)}{1+r^2} \end{align}$$ विएर्बिन्स को अंतिम अभिव्यक्ति से तुरंत पढ़ा जा सकता है:
 * $$\begin{align}

e^0 = \frac{dr}{1+r^2} & & & e^3 = \frac{r\sigma_3}{1+r^2} \\[5pt] e^1 = \frac{r\sigma_1}{\sqrt{1+r^2}} & & & e^2 = \frac{r\sigma_2}{\sqrt{1+r^2}} \end{align}$$ अर्थात्, विएरबीन समन्वय प्रणाली में, रोमन-अक्षर सबस्क्रिप्ट का उपयोग करते हुए, मीट्रिक टेंसर यूक्लिडियन है:


 * $$ds^2=\delta_{ab} e^a\otimes e^b =

e^0 \otimes e^0 + e^1 \otimes e^1 + e^2 \otimes e^2 + e^3 \otimes e^3.$$ वायरबीन को देखते हुए, एक स्पिन कनेक्शन की गणना की जा सकती है; लेवी-सिविटा स्पिन कनेक्शन एक अनूठा कनेक्शन है जो मरोड़ रूप है | मरोड़ मुक्त और सहसंयोजक स्थिरांक, अर्थात्, यह एक-रूप है $$\omega^a_{\;\;b}$$ जो मरोड़-मुक्त स्थिति को संतुष्ट करता है
 * $$de^a + \omega^a_{\;\;b} \wedge e^b = 0$$

और सहसंयोजक रूप से स्थिर है, जो स्पिन कनेक्शन के लिए, इसका मतलब है कि यह विएर्बिन इंडेक्स में एंटीसिमेट्रिक है:
 * $$\omega_{ab} = -\omega_{ba}$$

उपरोक्त को आसानी से हल किया जा सकता है; एक प्राप्त होता है
 * $$\begin{align}

\omega^0_{\;\;1} &= - \omega^2_{\;\;3} = -\frac{e^1}{r} \\ \omega^0_{\;\;2} &= - \omega^3_{\;\;1} = -\frac{e^2}{r} \\ \omega^0_{\;\;3} &= \frac{r^2-1}{r} e^3 \quad\quad \omega^1_{\;\;2} = \frac{1+2r^2}{r} e^3 \\ \end{align}$$ रीमैन वक्रता टेंसर|वक्रता 2-रूप को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 * $$R^a_{\;\,b} = d\omega^a_{\;\,b} + \omega^a_{\;c} \wedge \omega^c_{\;\,b}$$

और स्थिर है:
 * $$\begin{align}

R_{01} &= -R_{23} = e^0\wedge e^1 - e^2\wedge e^3 \\ R_{02} &= -R_{31} = e^0\wedge e^2 - e^3\wedge e^1 \\ R_{03} &= 4 e^0\wedge e^3 + 2 e^1\wedge e^2 \\ R_{12} &= 2 e^0\wedge e^3 + 4 e^1\wedge e^2 \end{align}$$ वीरबीन इंडेक्स में रिक्की टेंसर द्वारा दिया गया है


 * $$\operatorname{Ric}^a_{\;\;c}=R^a_{\;\,bcd} \delta^{bd}$$

जहां वक्रता 2-रूप को चार-घटक टेंसर के रूप में विस्तारित किया गया था:
 * $$R^a_{\;\,b} = \frac{1}{2}R^a_{\;\,bcd}e^c\wedge e^d$$

परिणामी रिक्की टेंसर स्थिर है
 * $$\operatorname{Ric}_{ab}=6\delta_{ab}$$

ताकि परिणामी आइंस्टीन समीकरण
 * $$\operatorname{Ric}_{ab} - \frac{1}{2}\delta_{ab}R + \Lambda\delta_{ab} = 0$$

ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक से हल किया जा सकता है $$\Lambda=6$$.

सामान्य तौर पर फ़ुबिनी-स्टडी मेट्रिक्स के लिए वेइल टेंसर दिया जाता है
 * $$W_{abcd}=R_{abcd} - 2\left(\delta_{ac}\delta_{bd} - \delta_{ad}\delta_{bc}\right)$$

n = 2 मामले के लिए, दो-रूप
 * $$W_{ab}=\frac{1}{2}W_{abcd} e^c \wedge e^d$$

स्व-द्वैत हैं:


 * $$\begin{align}

W_{01} &= W_{23} = -e^0\wedge e^1 - e^2\wedge e^3 \\ W_{02} &= W_{31} = -e^0\wedge e^2 - e^3\wedge e^1 \\ W_{03} &= W_{12} = 2 e^0\wedge e^3 + 2 e^1\wedge e^2 \end{align}$$

वक्रता गुण
n = 1 विशेष मामले में, फ़ुबिनी-स्टडी मीट्रिक में निरंतर अनुभागीय वक्रता होती है जो समान रूप से 4 के बराबर होती है, 2-गोले के गोल मीट्रिक के साथ समतुल्यता के अनुसार (जिसमें त्रिज्या R दिया गया है, अनुभागीय वक्रता होती है) $$1/R^2$$). हालाँकि, n > 1 के लिए, फ़ुबिनी-स्टडी मीट्रिक में निरंतर वक्रता नहीं है। इसके बजाय इसकी अनुभागीय वक्रता समीकरण द्वारा दी गई है
 * $$K(\sigma) = 1 + 3\langle JX,Y \rangle^2$$

कहाँ $$\{X,Y\} \in T_p \mathbf{CP}^n$$ 2-प्लेन σ, J : T'CP' का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार हैn → टी'सीपी'n 'सीपी' पर रैखिक जटिल संरचना हैn, और $$\langle \cdot, \cdot \rangle$$ फ़ुबिनी-अध्ययन मीट्रिक है।

इस सूत्र का एक परिणाम यह है कि अनुभागीय वक्रता संतुष्ट होती है $$1 \leq K(\sigma) \leq 4$$ सभी 2-विमानों के लिए $$\sigma$$. अधिकतम अनुभागीय वक्रता (4) एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन 2-प्लेन पर प्राप्त की जाती है - एक जिसके लिए J(σ) ⊂ σ - जबकि न्यूनतम अनुभागीय वक्रता (1) 2-प्लेन पर प्राप्त की जाती है जिसके लिए J(σ) ऑर्थोगोनल है से σ. इस कारण से, फ़ुबिनी-स्टडी मीट्रिक को अक्सर 4 के बराबर निरंतर होलोमोर्फिक अनुभागीय वक्रता कहा जाता है।

इससे 'सीपी' बनता हैn एक (गैर-सख्त) क्वार्टर-पिंच क्षेत्र प्रमेय; एक प्रसिद्ध प्रमेय से पता चलता है कि एक कड़ाई से चौथाई-चुटकी से जुड़ा हुआ एन-मैनिफोल्ड एक गोले के लिए होमियोमोर्फिक होना चाहिए।

फ़ुबिनी-स्टडी मीट्रिक भी एक आइंस्टीन मीट्रिक है जिसमें यह अपने स्वयं के रिक्की टेंसर के समानुपाती होता है: इसमें एक स्थिरांक मौजूद होता है $$\Lambda$$; ऐसा कि हमारे पास जो कुछ भी i,j है उसके लिए


 * $$\operatorname{Ric}_{ij} = \Lambda g_{ij}.$$

इसका तात्पर्य, अन्य बातों के अलावा, फ़ुबिनी-स्टडी मीट्रिक रिक्की प्रवाह के तहत एक अदिश गुणक तक अपरिवर्तित रहता है। यह सीपी भी बनाता है सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत के लिए अपरिहार्य, जहां यह निर्वात आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के लिए एक गैर-तुच्छ समाधान के रूप में कार्य करता है।

ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक $$\Lambda$$ सीपी के लिएnस्थान के आयाम के संदर्भ में दिया गया है:
 * $$\operatorname{Ric}_{ij} = 2(n+1) g_{ij}.$$

उत्पाद मीट्रिक
पृथक्करण की सामान्य धारणाएँ फ़ुबिनी-अध्ययन मीट्रिक के लिए लागू होती हैं। अधिक सटीक रूप से, मीट्रिक प्रक्षेप्य स्थानों के प्राकृतिक उत्पाद, सेग्रे एम्बेडिंग पर अलग किया जा सकता है। अर्थात यदि $$\vert\psi\rangle$$ एक पृथक्करणीय अवस्था है, इसलिए इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है $$\vert\psi\rangle=\vert\psi_A\rangle\otimes\vert\psi_B\rangle$$, तो मीट्रिक उप-स्थानों पर मीट्रिक का योग है:


 * $$ds^2 = {ds_A}^2+{ds_B}^2$$

कहाँ $${ds_A}^2$$ और $${ds_B}^2$$ उप-स्थान ए और बी पर क्रमशः मेट्रिक्स हैं।

कनेक्शन और वक्रता
तथ्य यह है कि मीट्रिक को काहलर क्षमता से प्राप्त किया जा सकता है, इसका मतलब है कि क्रिस्टोफेल प्रतीकों और वक्रता टेंसर में बहुत सारी समरूपताएं होती हैं, और उन्हें विशेष रूप से सरल रूप दिया जा सकता है: क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक, स्थानीय एफ़िन निर्देशांक में, द्वारा दिए गए हैं

\Gamma^i_{\;jk}=g^{i\bar{m}}\frac{\partial g_{k\bar{m}}}{\partial z^j} \qquad \Gamma^\bar{i}_{\;\bar{j}\bar{k}}=g^{\bar{i}m}\frac{\partial g_{\bar{k}m}}{\partial \bar{z}^\bar{j}} $$ रीमैन टेंसर भी विशेष रूप से सरल है:

R_{i\bar{j}k\bar{l}}=g^{i\bar{m}}\frac{\partial \Gamma^\bar{m}_{\;\;\bar{j}\bar{l}}}{\partial z^k} $$ रिक्की टेंसर है

R_{\bar{i}j}= R^{\bar{k}}_{\; \bar{i}\bar{k} j} = - \frac{\partial \Gamma^\bar{k}_{\;\bar{i}\bar{k}}}{\partial z^j} \qquad R_{i\bar{j}}= R^k_{\; ik \bar{j}} = - \frac{\partial \Gamma^k_{\;ik}}{\partial \bar{z}^\bar{j}} $$

उच्चारण
विशेष रूप से देशी अंग्रेजी बोलने वालों द्वारा की जाने वाली एक सामान्य उच्चारण गलती यह मान लेना है कि अध्ययन का उच्चारण अध्ययन करने की क्रिया के समान ही किया जाता है। चूँकि यह वास्तव में एक जर्मन नाम है, स्टडी में यू का उच्चारण करने का सही तरीका फ़ुबिनी में यू के समान है। इसके अलावा, स्टडी में एस का उच्चारण फिशर में श की तरह किया जाता है। ध्वन्यात्मकता के संदर्भ में: ʃtuːdi।

यह भी देखें

 * गैर-रैखिक सिग्मा मॉडल
 * कलुज़ा-क्लेन सिद्धांत
 * अरकेलोव ऊंचाई