स्मूथनेस

गणितीय विश्लेषण में, किसी फलन की स्मूथता एक ऐसा गुण है जिसे उसके किसी प्रक्षेत्र पर सतत अवकलज की संख्या से मापा जाता है, जिसे अवकलनीयता वर्ग कहा जाता है। यदि यह हर जगह अलग-अलग हो तो बहुत कम ही,(इसलिए सतत) एक फलन को स्मूथ माना जा सकता है। दूसरे छोर पर, यह अपने प्रक्षेत्र में सभी अनुक्रमो के अवकलज भी रख सकता है, जिस स्थिति में इसे असीम रूप से भिन्न कहा जाता है और इसे C-अनंत फलन (या $$C^{\infty}$$ फलन ) के रूप में संदर्भित किया जाता है।

विभेदीकरण वर्ग
अवकलनीयता वर्ग उनके अवकलज के गुणों के अनुसार फलनो का वर्गीकरण है। यह अवकलज के उच्चतम क्रम का एक माप है जो उपलब्ध है और एक फलन के लिए सतत है।

वास्तविक रेखा पर एक खुले समुच्चय $$U$$ पर विचार करें और वास्तविक मानों के साथ $$U$$ पर परिभाषित फलन $$f$$ पर विचार करें। मान लीजिए k एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है। यदि अवकलज $$f',f,\dots,f^{(k)}$$ उपलब्ध हैं और $$U$$ पर सतत है, तो फलन $$f$$ को $$C^k$$ का अवकालनीयता वर्ग कहा जाता है। यदि $$f$$, $$U$$ पर $$k$$ अवकलनीय है, तो यह कम से कम श्रेणी $$C^{k-1}$$ में है क्योंकि  $$f',f,\dots,f^{(k-1)}$$, $$U$$ सतत हैं। यदि इसमें $$U$$ पर सभी क्रम के अवकलज हैं, तो फलन $$f$$ को अपरिमित अवकलनीय, स्मूथ या वर्ग  $$C^\infty$$ कहा जाता है। (इसलिए ये सभी अवकलज $$U$$ पर सतत फलन हैं ।) फलन $$f$$ को वर्ग $$C^\omega$$ या विश्लेषणात्मक कहा जाता है, यदि $$f$$ स्मूथ है (अर्थात, $$f$$ वर्ग $$C^\infty$$ में है ) और इसके प्रक्षेत्र में किसी भी बिंदु के चारों ओर इसकी टेलर श्रृंखला विस्तार बिंदु के किसी सन्निकट फलन में परिवर्तित हो जाती है, इस प्रकार $$C^\omega$$ सख्ती से $$C^\infty$$ में निहित है। बम्प फलन $$C^\infty$$ में फलन के उदाहरण हैं  लेकिन $$C^\omega$$ नहीं है।

इसे अलग तरीके से रखने के लिए, वर्ग $$C^0$$ में सभी सतत फलन होते है। वर्ग $$C^1$$ में सभी अवकलनीय फलन सम्मिलित हैं जिनका अवकलज सतत है, ऐसे फलनों को सतत अवकलनीय कहा जाता है। इस प्रकार, एक $$C^1$$ फलन वास्तव में एक फलन है जिसका अवकलज उपलब्ध है और वर्ग $$C^0$$ का है। सामान्य तौर पर, वर्ग $$C^k$$ को पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया जा सकता है $$C^0$$ को सभी सतत फलनों का समुच्चय घोषित करके,और  किसी सकारात्मक पूर्णांक $$k$$ के लिए $$C^k$$ को सभी अलग-अलग फलनों का समुच्चय घोषित किया जा सकता है, जिसका अवकलज $$C^{k-1}$$में है। विशेष रूप से, $$C^k$$ प्रत्येक $$k>0$$ ,के लिए  $$C^{k-1}$$  में निहित है, और यह दिखाने के लिए उदाहरण हैं कि यह नियंत्रण सख्त ($$C^k \subsetneq C^{k-1}$$) है। असीम रूप से भिन्न फलनों का वर्ग $$C^\infty$$वर्ग $$C^k$$ का प्रतिच्छेदन है  क्योंकि $$k$$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों पर भिन्न होता है।

उदाहरण, सतत(C0) लेकिन अवकलनीय नहीं
फलन$$f(x) = \begin{cases}x & \mbox{if } x \geq 0, \\ 0 &\text{if } x < 0\end{cases}$$ सतत है, लेकिन $f$ = 0 पर अवकलनीय नहीं है,इसलिए यह वर्ग C0 का है, लेकिन वर्ग C1  का नहीं है।

उदाहरण, परिमित-बार अवकलनीय (Ck)
प्रत्येक सम पूर्णांक k के लिए, फलन $$f(x)=|x|^{k+1}$$ निरंतर है और सभी $x$ पर $x$ बार अवकलनीय है। हालाँकि, $x$ = 0 पर,  $x$  $x$  ($k$ + 1) गुणा अवकलनीय नहीं है, इसलिए  $x$  $f$  वे वर्ग C$f$  का है, लेकिन वर्ग C$k$ का नहीं है जहाँ $f$ > $f$ ।

उदाहरण, अवकलनीय लेकिन निरंतर अवकलनीय नहीं (C1नहीं)
फलन $$g(x) = \begin{cases}x^2\sin{\left(\tfrac{1}{x}\right)} & \text{if }x \neq 0, \\ 0 &\text{if }x = 0\end{cases}$$

अवकलनीय है, अवकलज$$g'(x) = \begin{cases}-\mathord{\cos\left(\tfrac{1}{x}\right)} + 2x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right) & \text{if }x \neq 0, \\ 0 &\text{if }x = 0.\end{cases}$$

के साथ क्योंकि $$\cos(1/x)$$ $k$ → 0, के रूप में दोलन करता है,  $$g'(x)$$ शून्य पर सतत नहीं है।  इसलिए, $$g(x)$$ अवकलनीय है लेकिन वर्ग C 1 का नहीं है।

उदाहरण, अवकलनीय लेकिन लिपशिट्ज सतत नहीं
फलन

$$h(x) = \begin{cases}x^{4/3}\sin{\left(\tfrac{1}{x}\right)} & \text{if }x \neq 0, \\ 0 &\text{if }x = 0\end{cases}$$अवकलनीय है लेकिन इसका अवकलज संहतसमुच्चय पर असीमित है। इसलिए, $j$ एक ऐसे फलन का उदाहरण है जो अवकलनीय है लेकिन स्थानीय रूप से लिप्सचिट्ज़ सतत नहीं है।

उदाहरण, विश्लेषणात्मक (Cω)
चरघातांकी फलन ex विश्लेषणात्मक है, और इसलिए वर्ग Cω में आता है। त्रिकोणमितीय फलन भी विश्लेषणात्मक होते हैं जहाँ उन्हें परिभाषित किया जाता है क्योंकि वे जटिल घातीय फलनो eixऔर e-ix के रैखिक संयोजन होते हैं।

उदाहरण, स्मूथ (C∞) लेकिन विश्लेषणात्मक नहीं (Cω)
बंप फलन$$f(x) = \begin{cases}e^{-\frac{1}{1-x^2}} & \text{ if } |x| < 1, \\ 0 &\text{ otherwise }\end{cases}$$स्मूथ है, इसलिए वर्ग C∞ का है, लेकिन यह है $j$ = ±1 पर विश्लेषणात्मक नहीं है, और इसलिए वर्ग Cω का नहीं है। फलन $k$ सघन समर्थन के साथ एक स्मूथ फलन का एक उदाहरण है।

बहुभिन्नरूपी विभेदीकरण वर्ग
$$\mathbb{R}^n$$ के खुले समुच्चय $$U$$ पर परिभाषित एक फलन $$f:U\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$$, $$U$$ पर एक धनात्मक पूर्णांक के $$k$$ के लिए वर्ग $$C^k$$ का कहा जाता है यदि सभी आंशिक अवकलज$$\frac{\partial^\alpha f}{\partial x_1^{\alpha_1} \, \partial x_2^{\alpha_2}\,\cdots\,\partial x_n^{\alpha_n}}(y_1,y_2,\ldots,y_n)$$ मौजूद हैं और सतत हैं, तो प्रत्येक $$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$$ गैर-नकारात्मक पूर्णांक के लिए, जैसे कि $$\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n\leq k$$, और प्रत्येक $$(y_1,y_2,\ldots,y_n)\in U$$। समान रूप से, $$f$$, $$U$$ पर वर्ग $$C^k$$ का है यदि  $$f$$ का $$k$$-वें क्रम के फ्रेचेट अवकलज उपलब्ध है और $$U$$ के हर बिंदु पर सतत है। फलन $$f$$ वर्ग का $$C$$ या $$C^0$$ कहा जाता है यदि यह $$U$$ पर सतत है। वर्ग $$C^1$$ के फलनो को भी सतत अवकलनीय भी कहा जाता है।

एक फलन $$f:U\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$$, $$\mathbb{R}^n$$के खुले समुच्चय $$U$$ पर परिभाषित, एक धनात्मक पूर्णां $$k$$ के लिए, $$U$$ पर वर्ग $$C^k$$ का कहा जाता है, एक सकारात्मक पूर्णांक के लिए, यदि इसके सभी घटक $$f_i(x_1,x_2,\ldots,x_n)=(\pi_i\circ f)(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\pi_i(f(x_1,x_2,\ldots,x_n)) \text{ for } i=1,2,3,\ldots,m$$ वर्ग के हैं $$C^k$$, जहां $$\pi_i$$, $$\pi_i:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}$$ ,$$\pi_i(x_1,x_2,\ldots,x_m)=x_i$$ द्वारा परिभाषित प्राकृतिक प्रक्षेपण हैं। यह वर्ग $$C$$ या $$C^0$$ का कहा जाता है यदि यह सतत है, या समतुल्य है, यदि सभी घटक $$f_i$$, $$U$$सतत हैं।

C k फलनो का समष्टि
बता दें कि $$D$$ वास्तविक रेखा का एक खुला उपसमुच्चय है। सभी का समुच्चय $$C^k$$ वास्तविक-मूल्यवान फलनों को परिभाषित किया गया है $$D$$ सेमिनोर्म्स के गणनीय परिवार के साथ एक फ्रेचेट स्पेस|फ्रेचेट वेक्टर स्पेस है $$p_{K, m}=\sup_{x\in K}\left|f^{(m)}(x)\right|$$ कहाँ पे $$K$$ सघन समुच्चयों के बढ़ते क्रम में भिन्न होता है जिसका संघ(समुच्चय सिद्धांत) है $$D$$, तथा $$m=0,1,\dots,k$$.

के समुच्चय $$C^\infty$$ फलन समाप्त $$D$$ एक फ्रेचेट स्पेस भी बनाता है। सिवाय इसके कि ऊपर के समान सेमिनोर्म का उपयोग किया जाता है $$m$$ सभी गैर-नकारात्मक पूर्णांक मानों की सीमा की अनुमति है।

उपरोक्त रिक्त स्थान उन अनुप्रयोगों में स्वाभाविक रूप से होते हैं जहां कुछ क्रम के अवकलज वाले फलन आवश्यक होते हैं; हालाँकि, विशेष रूप से आंशिक अंतर समीकरणों के अध्ययन में, कभी-कभी सोबोलेव रिक्त स्थान के बजाय काम करना अधिक उपयोगी हो सकता है।

सततता
प्राचलिक सततता(Ck) और ज्यामितीय सततता(Gn) शब्द ब्रायन बार्स्की द्वारा पेश किए गए थे, यह दिखाने के लिए वक्र की स्मूथनेस गति पर प्रतिबंधों को हटाकर मापी जा सकती है, जिसके साथ पैरामीटर वक्र का पता लगाया जा सकता है।

प्राचलिक सततता
प्राचलिक सततता(Ck) प्राचलिक वक्रों पर लागू एक अवधारणा है, जो वक्र के साथ दूरी के साथ पैरामीटर के मान की स्मूथनेस का वर्णन करती है। A(प्राचलिक) वक्र $$s:[0,1]\to\mathbb{R}^n$$ को वर्ग Ck का कहा जाता है, यदि $$\textstyle \frac{d^ks}{dt^k}$$ उपलब्ध है और $$[0,1]$$ पर सतत है, जहां अंत-बिंदुओं पर अवकलज$$0,1\in[0,1]$$ को एक पक्षीय अवकलजके रूप में लिया जाता हैै।(अर्थात्, दाईं ओर से $$0$$ और बाएँ से $$1$$ पर)।

इस अवधारणा के व्यावहारिक अनुप्रयोग के रूप में, समय के एक पैरामीटर के साथ किसी वस्तु की गति का वर्णन करने वाले वक्र में C1 सततता होनी चाहिए और इसका पहला व्युत्पन्न, वस्तु के परिमित त्वरण के लिए अवकलनीय है। स्मूथ गति के लिए, जैसे फिल्म बनाते समय कैमरे के पथ के लिए, प्राचलिक सततता के उच्च क्रम की आवश्यकता होती है।

प्राचलिक सततता का क्रम
प्राचलिक सततता के विभिन्न क्रम को निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है,
 * $$C^0$$, शून्य अवकलज सतत है(वक्र सतत हैं)
 * $$C^1$$, शून्यवाँ और प्रथम अवकलज संतत हैं
 * $$C^2$$, शून्य, पहला और दूसरा अवकलज सतत हैं
 * $$C^n$$, 0-वें के माध्यम से $$n$$-वें अवकलज सतत हैं

ज्यामितीय सततता
[[File:Kegelschnitt-Schar.svg|upright=1.2|thumb|$$(1-\varepsilon^2) x^2 -2px+y^2=0, \ p>0 \ , \varepsilon\ge 0$$

जी के साथ शांकव वर्गों की पेंसिल2-संपर्क: पी फिक्स, $$\varepsilon$$ चर

($$\varepsilon=0$$: घेरा,$$\varepsilon=0.8$$: अंडाकार, $$\varepsilon=1$$: परवलय, $$\varepsilon=1.2$$: हाइपरबोला)]]ज्यामितीय सततता या ज्यामितीय सततता की अवधारणा(Gn)की अवधारणा मुख्य रूप से गॉटफ्रीड लीबनिज, जोहान्स केप्लर और जीन-विक्टर पोंसेलेट जैसे गणितज्ञों द्वारा शंकु वर्गों(और संबंधित आकृतियों) पर लागू की गई थी। अवधारणा बीजगणित के बजाय ज्यामिति के माध्यम से, एक प्राचलिक फलन के माध्यम से व्यक्त सतता फलन की अवधारणा का वर्णन करने का एक प्रारंभिक प्रयास था।

ज्यामितीय सततता के पीछे मूल विचार यह था कि पांच शंकु खंड वास्तव में एक ही आकार के पांच अलग-अलग संस्करण थे। एक दीर्घवृत्त एक वृत्त की ओर जाता है क्योंकि विलक्षणता(गणित) शून्य तक पहुँचती है, या एक परवलय के रूप में यह एक तक पहुँचती है, और एक अतिपरवलय एक परवलय की ओर जाता है क्योंकि सनकीपन एक की ओर गिरता है, यह प्रतिच्छेदी रेखाओं(ज्यामिति) की ओर भी प्रवृत्त हो सकता है। इस प्रकार, शंकु वर्गों के बीच सततता थी। इन विचारों ने सततता की अन्य अवधारणाओं को जन्म दिया। उदाहरण के लिए, यदि एक वृत्त और एक सीधी रेखा एक ही आकार की दो अभिव्यक्तियाँ हैं, तो शायद एक रेखा को अनंत त्रिज्या के एक वृत्त के रूप में सोचा जा सकता है। ऐसा मामला होने के लिए,  बिंदु को अनुमति देकर लाइन को बंद $$x =\infty$$ को वृत्त पर एक बिंदु बनाकर और $$x =+\infty$$ तथा $$x =\neg\infty$$ को एक समान होने की अनुमति देकर रेखा को बंद करना होगा। इस तरह के विचार आधुनिक, बीजगणितीय रूप से परिभाषित, एक फलन के सतत और $$\infty$$ के विचार को तैयार करने में उपयोगी थे(अधिक जानकारी के लिए अनुमानित रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा देखें)।

ज्यामितीय सततता का क्रम
एक वक्र या सतह(टोपोलॉजी) को $$G^n$$ सततता होने के रूप में वर्णित करता है, जिसमें $$n$$ स्मूथ का बढ़ता माप है। एक वक्र पर एक बिंदु के दोनों ओर खंडों पर विचार करें,


 * $$G^0$$, वक्र जोड़ बिंदु पर स्पर्श करते हैं।
 * $$G^1$$, वक्र भी जुड़ने के बिंदु पर एक सामान्य स्पर्शरेखा दिशा साझा करते हैं।
 * $$G^2$$, वक्र भी जुड़ने के बिंदु पर वक्रता का एक सामान्य केंद्र साझा करते हैं।

सामान्य तौर पर, $$G^n$$ सततता उपलब्ध होती है यदि वक्रों को $$C^n$$(प्राचलिक) सततता रखने के लिए पुनर्मूल्यांकित किया जा सकता है। वक्र का एक पुनर्मूल्यांकन ज्यामितीय रूप से मूल के समान है.जिसमे केवल पैरामीटर प्रभावित होता है।

समतुल्य रूप से, दो सदिश फलन $$f(t)$$ तथा $$g(t)$$ में $$G^n$$ सततता है यदि $$f^{(n)}(t)\neq0$$ तथा $$f^{(n)}(t)\equiv kg^{(n)}(t)$$, एक अदिश $$k>0$$ के लिए सततता है(अर्थात, यदि दो सदिशों की दिशा समान हो, लेकिन जरूरी नहीं कि परिमाण बराबर हो)।

हालांकि यह स्पष्ट हो सकता है कि एक वक्र को स्मूथ दिखने के लिए $$G^1$$सततता की आवश्यकता होगी, अच्छे सौंदर्यशास्त्र के लिए, जैसे कि वास्तुकला और स्पोर्ट्स कार डिजाइन में इच्छुक लोगों के लिए, ज्यामितीय सततता के उच्च स्तर की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, कार की बॉडी में प्रतिबिंब तब तक स्मूथ नहीं दिखेंगे जब तक कि बॉडी में $$G^2$$ सततता न हो।

ए (चारों कोनों पर नब्बे डिग्री के वृत्ताकार चापों के साथ) $$G^1$$ सततता है, लेकिन $$G^2$$ सततता नहीं है। एक   के लिए भी यही सच है, कि इसके कोनों पर एक गोले के अष्टक और इसके किनारों के साथ चतुर्थाँश-सिलेंडर हैं। यदि  $$G^2$$ सततता के साथ एक संपादन योग्य वक्र की आवश्यकता होती है, तो  घन स्प्लाइन  आमतौर पर चुने जाते हैं, ये वक्र अक्सर औद्योगिक डिजाइन में उपयोग किए जाते हैं।

विश्लेषणात्मकता से संबंध
जबकि सभी विश्लेषणात्मक फलन स्मूथ होते हैं(अर्थात सभी अवकलज सतत हैं) उस समुच्चय जिस पर वे विश्लेषणात्मक होते हैं, उभार फलन(ऊपर उल्लिखित) जैसे उदाहरण दिखाते हैं जैसे कि बातचीत वास्तविक फलनो के लिए सही नहीं है, वहाँ स्मूथ वास्तविक फलन उपलब्ध हैं जो विश्लेषणात्मक नहीं हैं। फलनो के सरल उदाहरण जो गैर-विश्लेषणात्मक स्मूथ फलन हैं लेकिन किसी भी बिंदु पर विश्लेषणात्मक नहीं हैं, फोरियर श्रेणी के माध्यम से बनाए जा सकते हैं, फैबियस फलन एक अन्य उदाहरण है। हालांकि ऐसा लग सकता है कि ऐसे फलन नियम के बजाय अपवाद हैं, यह पता चला है कि विश्लेषणात्मक फलन स्मूथ लोगों के बीच बहुत कम बिखरे हुए हैं, अधिक सख्ती से, विश्लेषणात्मक फलन स्मूथ फलनों का एक छोटा उपसमुच्चय बनाते हैं। इसके अलावा, वास्तविक रेखा के प्रत्येक खुले उपसमुच्चय A के लिए, ऐसे स्मूथ फलन उपलब्ध हैं जो A पर विश्लेषणात्मक हैं और कहीं नहीं ।.

वास्तविक रेखा पर पारलौकिक संख्याओं की सर्वव्यापकता से स्थिति की तुलना करना उपयोगी है। वास्तविक रेखा और स्मूथ फलनों के समुच्चय दोनों पर, उदाहरण हम पहले विचार(बीजगणितीय/तर्कसंगत संख्या और विश्लेषणात्मक फलनों) के साथ आते हैं, अधिकांश मामलों की तुलना में कहीं बेहतर व्यवहार किया जाता है, पारलौकिक संख्याएँ और कहीं भी विश्लेषणात्मक फलनों का पूर्ण माप नहीं है(उनके पूरक अल्प हैं)।

इस प्रकार वर्णित स्थिति जटिल भिन्नात्मक फलनों के विपरीत है। यदि एक जटिल फलन एक खुले समुच्चय पर केवल एक बार अलग-अलग होता है, तो यह उस समुच्चय पर असीम रूप से भिन्न और विश्लेषणात्मक दोनों होता है.

एकता के स्मूथ विभाजन
दिए गए बंद समर्थन(गणित) के साथ स्मूथ फलनो का उपयोग एकता के स्मूथ विभाजन के निर्माण में किया जाता है(देखें एकता का विभाजन और टोपोलॉजी शब्दावली), ये स्मूथ बहुसंख्यक के अध्ययन में आवश्यक हैं, उदाहरण के लिए यह दिखाने के लिए कि रिमेंनियन मापीय को उनके स्थानीय अस्तित्व से शुरू करते हुए विश्व स्तर पर परिभाषित किया जा सकता है। एक साधारण मामला वास्तविक रेखा पर एक उभार(बम्प) फलन का है,अर्थात एक स्मूथ फलन f, जो एक अंतराल [a,b] के बाहर मान 0 लेता है ,ठीक ऐसा$$f(x) > 0 \quad \text{ for } \quad a < x < b.\,$$लाइन पर कई अतिव्यापी अंतराल दिए गए हैं, उनमें से प्रत्येक पर उभार फलन का निर्माण किया जा सकता है,और अर्ध-अनंत अंतरालों $$(-\infty, c]$$ तथा $$[d, +\infty)$$ पर पूरी लाइन को कवर करने के लिए, जैसे कि फलनो का योग हमेशा 1 होता है।

जो अभी कहा गया है, एकता के विभाजन पूर्णसममितिक फलन पर लागू नहीं होते हैं, अस्तित्व और विश्लेषणात्मक सततता के सापेक्ष उनका अलग व्यवहार शीफ(गणित) सिद्धांत की जड़ों में से एक है। इसके विपरीत, स्मूथ फलनो के शीशों में अधिक सामयिक जानकारी नहीं होती है।

बहुसंख्यक और उनके बीच में स्मूथ फलन
आयाम का $$m,$$ और एक एटलस(टोपोलॉजी) $$\mathfrak{U} = \{(U_\alpha,\phi_\alpha)\}_\alpha$$  का एक स्मूथ बहुसंख्यक $$M$$ दिया गया ,तो एक मानचित्र $$f:M\to \R$$ पर स्मूथ है यदि सभी  $$M$$ के लिए एक तालिका $$p \in M$$ उपलब्ध है $$(U, \phi) \in \mathfrak{U},$$ जैसे कि $$p \in U,$$ तथा $$f \circ \phi^{-1} : \phi(U) \to \R$$ ,$$\phi(p)$$ में $$\R^m$$ से $$\R$$ के प्रतिवैस से एक स्मूथ फलन है(दिए गए क्रम तक सभी आंशिक अवकलज सतत हैं)। एटलस के किसी भी तालिका(टोपोलॉजी) के संबंध में स्मूथनेस की जाँच की जा सकती है जिसमें  $$p$$ शामिल है, क्योंकि तालिका के बीच संक्रमण फलनों पर स्मूथनेस की आवश्यकता यह सुनिश्चित करती हैं कि यदि $$f$$ एक  तालिका  $$p$$ के पास स्मूथ है तो यह किसी अन्य तालिका में  $$p$$ के पास स्मूथ होगा।

यदि $$F : M \to N$$, $$M$$ से एक $$n$$-आयामी अनेक $$N$$ का मानचित्र है, तो $$F$$ स्मूथ है यदि, प्रत्येक $$p \in M$$ के लिए, एक तालिका $$(U,\phi)$$ है जिसमें $$p,$$ और एक तालिका $$(V, \psi)$$ है जिसमें $$F(p)$$ ऐसा है जैसे कि $$F(U) \subset V,$$ तथा $$\psi \circ F \circ \phi^{-1} : \phi(U) \to \psi(V)$$, $$\R^n$$ से एक स्मूथ फलन है।

बहुसंख्यक के बीच स्मूथ मानचित्र स्पर्शरेखा समष्टियो के बीच रैखिक मानचित्रों को प्रेरित करते हैं, $$F : M \to N$$ के लिए, प्रत्येक बिंदु पर पुशफॉरवर्ड(अंतर)(या अवकलन) $$p$$ पर स्पर्शरेखा सदिशों $$F(p)$$$$F_{*,p} : T_p M \to T_{F(p)}N$$, पर स्पर्शरेखा सदिशों में मानचित्रित करता है, और स्पर्शरेखा समूह के स्तर पर, पुशफॉरवर्ड एक सदिश समूह समरूपता $$F_* : TM \to TN$$ है। पुशफॉरवर्ड के लिए दोहरी पुलबैक(डिफरेंशियल ज्योमेट्री) है, जो $$N$$ पर कोसदिशो को खींचता है, $$M$$ कोसदिशो पर वापस जाता है, तथा $$k$$-रूप को इस $$F^* : \Omega^k(N) \to \Omega^k(M)$$$$k$$-रूप में। इस तरह बहुसंख्यक के बीच स्मूथ फलन  स्थानीय डेटा को परिवहन कर सकते हैं, जैसे सदिश क्षेत्र और अवकलन रूप, एक बहुसंख्यक से दूसरे तक, या नीचे यूक्लिडियन समष्टि तक, जहाँ एकीकरण जैसी संगणनाएँ अच्छी तरह से समझी जाती हैं।

स्मूथ फलनो के साथ प्रीइमेज और पुशफॉरवर्ड, सामान्य रूप से, अतिरिक्त धारणाओं के बिना बहुसंख्यक नहीं होते हैं। नियमित बिंदुओं की प्रीइमेज(अर्थात, यदि प्रीइमेज पर अवकलन गायब नहीं होता है) बहुसंख्यक हैं, यह प्रीइमेज प्रमेय है। इसी तरह, अंत: स्थापन के साथ पुशफॉरवर्ड बहुसंख्यक होते हैं।

बहुसंख्यक के उपसमुच्चय के बीच स्मूथ फलन
बहुसंख्यक के यादृच्छिक उपसमुच्चय के लिए स्मूथ मानचित्र की एक समान धारणा है। यदि $$f : X \to Y$$ एक फलन(गणित) है जिसका प्रक्षेत्र और क्षेत्र क्रमशः बहुसंख्यक $$X \subseteq M$$ और$$Y \subseteq N$$  के उपसमुच्चय हैं । फलन $$f$$ को स्मूथ कहा जाता है यदि सभी $$x \in X$$  के लिए $$x \in U$$ के साथ एक खुला समुच्चय $$U \subseteq M$$ है और एक स्मूथ फलन  $$F : U \to N$$ ऐसा है कि सभी $$F(p) = f(p)$$ तथा  $$p \in U \cap X$$ के लिए खुला समुच्चय है।

यह भी देखें

 * अंतराल
 * हैडमार्ड का स्वीकृत सिद्धांत
 * - गणितीय फलन जो स्मूथ हैं लेकिन विश्लेषणात्मक नहीं हैं
 * - वह बिंदु जहां एक फलन, एक वक्र या अन्य गणितीय वस्तु नियमित रूप से व्यवहार नहीं करती है
 * विलक्षणता(गणित)
 * बल-तरंग-समान फलन पर दो बिंदुओं के बीच चाप की लंबाई और सीधी-रेखा की दूरी का अनुपात
 * स्मूथ योजना
 * (संख्या सिद्धांत)-केवल छोटे अभाज्य गुणक वाले पूर्णांक(संख्या सिद्धांत)
 * समरेखण
 * पट्टी-बहुपदों द्वारा परिभाषित गणितीय फलन
 * सोबोलेव मानचित्रण