हिरज़ेब्रुच सतह

गणित में, हिरज़ेब्रुच सतह प्रक्षेप्य रेखा के ऊपर एक शासित सतह होती है। इनका अध्ययन किया गया.

परिभाषा
हिरज़ेब्रुच सतह $$\Sigma_n$$ है $$\mathbb{P}^1$$-बंडल, जिसे प्रक्षेप्य बंडल  कहा जाता है, खत्म $$\mathbb{P}^1$$ शीफ़ से संबंधित (गणित)$$\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n).$$यहाँ संकेतन का अर्थ है: $$\mathcal{O}(n)$$ है $n$सेरे ट्विस्ट शीफ़ की दसवीं टेंसर शक्ति $$\mathcal{O}(1)$$, संबद्ध कार्टियर विभाजक एक बिंदु के साथ उलटा शीफ ​​या लाइन बंडल। सतह $$\Sigma_0$$ के लिए समरूपी है $P^{1} × P^{1}$, और $$\Sigma_1$$ के लिए समरूपी है $P^{2}$ एक बिंदु पर उड़ा दिया गया इसलिए न्यूनतम नहीं है।

जीआईटी भागफल
हिरज़ेब्रुच सतह के निर्माण की एक विधि जीआईटी भागफल का उपयोग करना है $$\Sigma_n = (\Complex^2-\{0\})\times (\Complex^2-\{0\})/(\Complex^*\times\Complex^*)$$की कार्रवाई कहां है $$\Complex^*\times\Complex^*$$ द्वारा दिया गया है$$(\lambda, \mu)\cdot(l_0,l_1,t_0,t_1) = (\lambda l_0, \lambda l_1, \mu t_0,\lambda^{-n}\mu t_1)$$इस क्रिया को की क्रिया के रूप में समझा जा सकता है $$\lambda$$ पहले दो कारकों पर कार्रवाई से आता है $$\Complex^*$$ पर $$\Complex^2 - \{0\}$$ परिभाषित $$\mathbb{P}^1$$, और दूसरी क्रिया लाइन बंडलों के प्रत्यक्ष योग के निर्माण का एक संयोजन है $$\mathbb{P}^1$$ और उनका प्रक्षेपीकरण। सीधे योग के लिए $$\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n)$$ यह भागफल विविधता द्वारा दिया जा सकता है $$\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n) = (\Complex^2-\{0\})\times \Complex^2/\Complex^*$$की कार्रवाई कहां है $$\Complex^*$$ द्वारा दिया गया है$$\lambda \cdot (l_0,l_1,t_0,t_1) = (\lambda l_0, \lambda l_1,\lambda^a t_0, \lambda^0 t_1 = t_1)$$फिर, प्रक्षेपीकरण $$\mathbb{P}(\mathcal{O}\oplus\mathcal{O}(-n))$$ दूसरे द्वारा दिया गया है $$\Complex^*$$-कार्य एक समतुल्य वर्ग भेजना $$[l_0,l_1,t_0,t_1] \in\mathcal{O}\oplus\mathcal{O}(-n)$$ को$$\mu \cdot [l_0,l_1,t_0,t_1] = [l_0,l_1,\mu t_0,\mu t_1]$$इन दोनों क्रियाओं को मिलाने से मूल भागफल ऊपर आ जाता है।

संक्रमण मानचित्र
इसे बनाने का एक तरीका $$\mathbb{P}^1$$-बंडल संक्रमण कार्यों का उपयोग करके है। चूंकि चार्ट पर एफ़िन वेक्टर बंडल आवश्यक रूप से तुच्छ हैं $$U_0,U_1$$ का $$\mathbb{P}^1$$ द्वारा परिभाषित $$x_i \neq 0 $$ बंडल का स्थानीय मॉडल है$$U_i\times \mathbb{P}^1$$फिर, संक्रमण मानचित्र, संक्रमण मानचित्रों से प्रेरित होते हैं $$\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n)$$ नक्शा दो$$U_0\times\mathbb{P}^1|_{U_1} \to U_1\times\mathbb{P}^1|_{U_0}$$भेजना$$(X_0, [y_0:y_1]) \mapsto (X_1, [y_0:x_0^n y_1])$$कहाँ $$X_i$$ एफ़िन समन्वय फ़ंक्शन चालू है $$U_i$$.

प्रक्षेप्य रैंक 2 बंडल पी के ऊपर1
ध्यान दें कि बिरखॉफ़-ग्रोथेंडिक प्रमेय|ग्रोथेंडिक प्रमेय द्वारा, किसी भी वेक्टर बंडल के लिए $$E$$ पर $$\mathbb P^1$$ संख्याएँ हैं $$a,b \in \mathbb Z$$ ऐसा है कि$$E \cong \mathcal{O}(a)\oplus \mathcal{O}(b).$$चूंकि प्रक्षेप्य बंडल को एक लाइन बंडल द्वारा टेंसरिंग के तहत अपरिवर्तनीय है, शासित सतह से संबंधित $$E = \mathcal O(a) \oplus \mathcal O(b)$$ हिरज़ेब्रुच सतह है $$\Sigma_{b-a}$$ चूँकि इस बंडल को इसके द्वारा तनावग्रस्त किया जा सकता है $$\mathcal{O}(-a)$$.

हिरज़ेब्रुच सतहों की समरूपताएँ
विशेष रूप से, उपरोक्त अवलोकन बीच में एक समरूपता देता है $$\Sigma_n$$ और $$\Sigma_{-n}$$ चूँकि समरूपता सदिश बंडल है$$\mathcal{O}(n)\otimes(\mathcal{O} \oplus \mathcal{O}(-n)) \cong \mathcal{O}(n) \oplus \mathcal{O}$$

संबंधित सममित बीजगणित का विश्लेषण
याद रखें कि प्रोजेक्टिव बंडलों का निर्माण सापेक्ष परियोजना  का उपयोग करके किया जा सकता है, जो कि बीजगणित के श्रेणीबद्ध शीफ से बनता है$$\bigoplus_{i=0}^\infty \operatorname{Sym}^i(\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n))$$पहले कुछ सममित मॉड्यूल विशेष हैं क्योंकि इसमें एक गैर-तुच्छ विरोधी सममित है $$\operatorname{Alt}^2$$-मापांक $$\mathcal{O}\otimes \mathcal{O}(-n)$$. इन ढेरों को तालिका में संक्षेपित किया गया है$$\begin{align} \operatorname{Sym}^0(\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n)) &= \mathcal{O} \\ \operatorname{Sym}^1(\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n)) &= \mathcal{O} \oplus \mathcal{O}(-n) \\ \operatorname{Sym}^2(\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n)) &= \mathcal{O} \oplus \mathcal{O}(-2n) \end{align}$$के लिए $$i > 2$$ सममित शीव्स द्वारा दिए गए हैं$$\begin{align} \operatorname{Sym}^k(\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n)) &= \bigoplus_{i=0}^k \mathcal{O}^{\otimes (n-i)}\otimes \mathcal{O}(-in) \\ &\cong \mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n) \oplus \cdots \oplus \mathcal{O}(-kn) \end{align}$$

प्रतिच्छेदन सिद्धांत
हिरज़ेब्रुच सतहों के लिए $n > 0$ एक विशेष तर्कसंगत वक्र है $C$ उन पर: सतह का प्रक्षेप्य बंडल है $O(−n)$ और वक्र $C$ शून्य खंड है. इस वक्र में प्रतिच्छेदन सिद्धांत|स्व-प्रतिच्छेदन संख्या है $−n$, और नकारात्मक स्व प्रतिच्छेदन संख्या वाला एकमात्र अपरिवर्तनीय वक्र है। शून्य स्व-प्रतिच्छेदन संख्या वाले एकमात्र अघुलनशील वक्र हिरज़ेब्रुच सतह के तंतु हैं (जिन्हें फाइबर बंडल के रूप में माना जाता है) $P^{1}$). पिकार्ड समूह वक्र द्वारा उत्पन्न होता है $C$ और फाइबर में से एक, और इन जनरेटरों में प्रतिच्छेदन मैट्रिक्स (गणित) है$$\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & -n \end{bmatrix}, $$इसलिए द्विरेखीय रूप द्वि-आयामी एक-मॉड्यूलर है, और यह इस पर निर्भर करता है कि यह सम या विषम है $n$ सम या विषम है. हिरज़ेब्रुच सतह $Σ_{n}$ ($n > 1$) विशेष वक्र पर एक बिंदु पर उड़ा दिया गया $C$ समरूपी है $Σ_{n+1}$ विशेष वक्र पर न होकर किसी बिंदु पर उड़ाया गया।

यह भी देखें

 * प्रक्षेप्य बंडल

बाहरी संबंध

 * Manifold Atlas
 * https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/alggeom-2002/alggeom-2002-c10.pdf
 * https://mathoverflow.net/q/122952