जैव-एलजीसीए

कम्प्यूटेशनल जीवविज्ञान और गणितीय और सैद्धांतिक जीवविज्ञान में, एक जैविक जाली-गैस सेलुलर ऑटोमेटन (बीआईओ-एलजीसीए) जैविक एजेंटों को स्थानांतरित करने और बातचीत करने के लिए एक अलग मॉडल है, एक प्रकार का सेलुलर ऑटोमेटन। बीआईओ-एलजीसीए द्रव गतिशीलता में उपयोग किए जाने वाले जाली गैस ऑटोमेटन |लैटिस-गैस सेलुलर ऑटोमेटन (एलजीसीए) मॉडल पर आधारित है। एक बीआईओ-एलजीसीए मॉडल कोशिकाओं और अन्य गतिशील जैविक एजेंटों को एक अलग जाली पर चलने वाले बिंदु कणों के रूप में वर्णित करता है, जिससे आस-पास के कणों के साथ बातचीत होती है। क्लासिक सेलुलर ऑटोमेटन मॉडल के विपरीत, BIO-LGCA में कणों को उनकी स्थिति और वेग से परिभाषित किया जाता है। यह मुख्य रूप से घनत्व के बजाय गति में परिवर्तन के माध्यम से सक्रिय तरल पदार्थों और सामूहिक प्रवासन का मॉडल और विश्लेषण करने की अनुमति देता है। BIO-LGCA अनुप्रयोगों में कैंसर आक्रमण शामिल है और कैंसर.

मॉडल परिभाषा
जैसा कि सभी सेलुलर ऑटोमेटन मॉडल हैं, एक BIO-LGCA मॉडल को एक जाली द्वारा परिभाषित किया गया है $$\mathcal{L}$$, एक राज्य स्थान $$\mathcal{E}$$, पड़ोस $$\mathcal{N}$$, और एक नियम $$\mathcal{R}$$.
 * जाली ($$\mathcal{L}$$) सभी संभावित कण स्थितियों के सेट को परिभाषित करता है। कण केवल कुछ निश्चित स्थानों पर कब्जा करने के लिए प्रतिबंधित हैं, जो आमतौर पर अंतरिक्ष के नियमित और आवधिक चौकोर के परिणामस्वरूप होते हैं। गणितीय रूप से, $$\mathcal{L}\subset\mathbb{R}^d$$ का एक पृथक उपसमुच्चय है $$d$$-आयामी स्थान.
 * राज्य स्थान ($$\mathcal{E}$$) प्रत्येक जाली स्थल के भीतर कणों की संभावित अवस्थाओं का वर्णन करता है $$\mathbf{r}\in\mathcal{L}$$. बीआईओ-एलजीसीए में, क्लासिक सेलुलर ऑटोमेटन मॉडल के विपरीत, अलग-अलग वेग वाले कई कण एक ही जाली साइट पर कब्जा कर सकते हैं, जहां आम तौर पर केवल एक ही कोशिका प्रत्येक जाली नोड में एक साथ रह सकती है। यह राज्य स्थान को क्लासिक सेलुलर ऑटोमेटन मॉडल (नीचे देखें) की तुलना में थोड़ा अधिक जटिल बनाता है।
 * पड़ोस ($$\mathcal{N}$$) जाली साइटों के सबसेट को इंगित करता है जो जाली में किसी दिए गए साइट की गतिशीलता को निर्धारित करता है। कण केवल अपने पड़ोस के अन्य कणों के साथ परस्पर क्रिया करते हैं। परिमित जालक की सीमा पर जालक स्थलों के पड़ोस के लिए सीमा की स्थिति का चयन किया जाना चाहिए। पड़ोस और सीमा की स्थितियों को नियमित सेलुलर ऑटोमेटा के लिए समान रूप से परिभाषित किया गया है (सेलुलर ऑटोमेटन#अवलोकन देखें)।
 * नियम ($$\mathcal{R}$$) यह तय करता है कि कण समय के साथ कैसे चलते हैं, बढ़ते हैं या मर जाते हैं। प्रत्येक सेलुलर ऑटोमेटन की तरह, BIO-LGCA अलग-अलग समय चरणों में विकसित होता है। सिस्टम की गतिशीलता का अनुकरण करने के लिए, नियम को प्रत्येक समय चरण पर प्रत्येक जाली साइट पर समकालिक रूप से लागू किया जाता है। नियम अनुप्रयोग एक जाली साइट की मूल स्थिति को एक नई स्थिति में बदल देता है। नियम अद्यतन की जाने वाली जाली साइट के इंटरेक्शन पड़ोस में जाली साइटों की स्थिति पर निर्भर करता है। बीआईओ-एलजीसीए में, नियम को दो चरणों में विभाजित किया गया है, एक संभाव्य इंटरैक्शन चरण जिसके बाद एक नियतात्मक परिवहन चरण होता है। इंटरेक्शन चरण पुनर्अभिविन्यास, जन्म और मृत्यु प्रक्रियाओं का अनुकरण करता है, और विशेष रूप से मॉडलिंग प्रक्रिया के लिए परिभाषित किया गया है। परिवहन चरण कणों को उनके वेग की दिशा में पड़ोसी जाली नोड्स में स्थानांतरित करता है। विवरण के लिए नीचे देखें.

स्थान बताएं
कण वेगों को स्पष्ट रूप से मॉडलिंग करने के लिए, जाली साइटों को एक विशिष्ट उपसंरचना माना जाता है। प्रत्येक जाली साइट $$\mathbf{r}\in\mathcal{L}$$ वेग चैनल नामक वैक्टर के माध्यम से अपने पड़ोसी जाली स्थलों से जुड़ा हुआ है, $$\mathbf{c}_i$$, $$i\in\{1,2,\ldots,b\}$$, जहां वेग चैनलों की संख्या $$b$$ निकटतम पड़ोसियों की संख्या के बराबर है, और इस प्रकार जाली ज्यामिति पर निर्भर करता है ($$b=2$$ एक आयामी जाली के लिए, $$b=6$$ द्वि-आयामी हेक्सागोनल जाली के लिए, और इसी तरह)। दो आयामों में, वेग चैनलों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है $$\mathbf{c}_i=\left(\cos\frac{2\pi i}{b},\sin\frac{2\pi i}{b}\right)$$. इसके अतिरिक्त, एक मनमाना संख्या $$a$$ तथाकथित विश्राम चैनलों को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है $$\mathbf{c}_i=(0,0)$$, $$i\in\{b+1,b+2,\ldots,b+a\}$$. एक चैनल को व्यस्त कहा जाता है यदि जाली स्थल में वेग चैनल के बराबर वेग वाला एक कण होता है। चैनल पर कब्ज़ा $$\mathbf{c}_i$$ व्यवसाय संख्या द्वारा दर्शाया गया है $$s_i$$. आमतौर पर, कणों को पाउली अपवर्जन सिद्धांत का पालन करना माना जाता है, जैसे कि एक से अधिक कण एक जाली स्थल पर एक ही वेग चैनल पर एक साथ कब्जा नहीं कर सकते हैं। इस मामले में, व्यवसाय संख्याएँ बूलियन चर हैं, अर्थात। $$s_i\in\mathcal{S}=\{0,1\}$$, और इस प्रकार, प्रत्येक साइट की अधिकतम वहन क्षमता होती है $$K=a+b$$. चूंकि सभी चैनल व्यवसाय संख्याओं का संग्रह प्रत्येक जाली साइट में कणों की संख्या और उनके वेग को परिभाषित करता है, इसलिए वेक्टर $$\mathbf{s}=\left(s_1,s_2,\ldots,s_{K}\right)$$ एक जाली स्थल की स्थिति का वर्णन करता है, और राज्य स्थान इसके द्वारा दिया जाता है $$\mathcal{E}=\mathcal{S}^K$$.

नियम और मॉडल गतिशीलता
मॉडल की गतिशीलता को अनुकरण करने के लिए जाली में प्रत्येक साइट की स्थिति को अलग-अलग समय चरणों में समकालिक रूप से अद्यतन किया जाता है। नियम को दो चरणों में बांटा गया है. संभाव्य अंतःक्रिया चरण कण अंतःक्रिया का अनुकरण करता है, जबकि नियतात्मक परिवहन चरण कण गति का अनुकरण करता है।

इंटरेक्शन चरण
विशिष्ट अनुप्रयोग के आधार पर, इंटरेक्शन चरण प्रतिक्रिया और/या पुनर्अभिविन्यास ऑपरेटरों से बना हो सकता है।

प्रतिक्रिया संचालिका $$\mathcal{A}$$ एक नोड की स्थिति को प्रतिस्थापित करता है $$ \mathbf{s}$$ एक नये राज्य के साथ $$\mathbf{s}^{\mathcal{A}}$$ मार्कोव श्रृंखला का अनुसरण करते हुए $$P\left(\left. \mathbf{s}\rightarrow \mathbf{s}^{\mathcal{A}}\right| \mathbf{s}_{\mathcal{N}} \right)$$, जो पड़ोसी जाली स्थलों की स्थिति पर निर्भर करता है $$\mathbf{s}_{\mathcal{N}}$$प्रतिक्रियाशील प्रक्रिया पर पड़ोसी कणों के प्रभाव का अनुकरण करने के लिए। प्रतिक्रिया ऑपरेटर कण संख्या को संरक्षित नहीं करता है, इस प्रकार व्यक्तियों के जन्म और मृत्यु का अनुकरण करने की अनुमति देता है। प्रतिक्रिया संचालक की संक्रमण संभाव्यता को आमतौर पर घटनात्मक टिप्पणियों के रूप में तदर्थ रूप में परिभाषित किया जाता है।

पुनर्अभिविन्यास संचालक $$\mathcal{O}$$ एक राज्य को भी प्रतिस्थापित करता है $$\mathbf{s}$$ एक नये राज्य के साथ $$\mathbf{s}^{\mathcal{O}}$$ संभाव्यता के साथ $$P\left(\left. \mathbf{s}\rightarrow \mathbf{s}^{\mathcal{O}}\right| \mathbf{s}_{\mathcal{N}} \right)$$. हालाँकि, यह ऑपरेटर कण संख्या को संरक्षित करता है और इसलिए केवल मॉडल वेग चैनलों के बीच कणों को पुनर्वितरित करके कण वेग में परिवर्तन करता है। इस ऑपरेटर के लिए संक्रमण संभावना सांख्यिकीय अवलोकनों (अधिकतम कैलिबर के सिद्धांत का उपयोग करके) या ज्ञात एकल-कण गतिशीलता (फोककर-प्लैंक समीकरण द्वारा दिए गए विवेकाधीन, स्थिर-राज्य कोणीय संभाव्यता वितरण का उपयोग करके) से निर्धारित की जा सकती है। पुनर्अभिविन्यास गतिशीलता का वर्णन करने वाले लैंग्विन समीकरण से संबंधित समीकरण), और आम तौर पर रूप ले लेता है $$P\left(\left. \mathbf{s}\rightarrow \mathbf{s}^{\mathcal{O}}\right| \mathbf{s}_{\mathcal{N}} \right) =\frac{1}{Z}e^{-\beta H\left(\mathbf{s}_{\mathcal{N}}\right)} \delta_{n\left(\mathbf{s}\right),n\left(\mathbf{s}^{\mathcal{O}}\right)}$$ कहाँ $$Z$$ एक सामान्यीकरण स्थिरांक है (जिसे विभाजन फलन (गणित) के रूप में भी जाना जाता है), $$H\left(\mathbf{s}_{\mathcal{N}}\right)$$ एक ऊर्जा जैसा कार्य है जिसे कण अपनी गति की दिशा बदलते समय संभवतः न्यूनतम कर देंगे, $$\beta$$ कण पुनर्अभिविन्यास की यादृच्छिकता के विपरीत आनुपातिक एक स्वतंत्र पैरामीटर है (थर्मोडायनामिक्स में थर्मोडायनामिक बीटा के अनुरूप), और $$\delta_{n\left(\mathbf{s}\right),n\left(\mathbf{s}^{\mathcal{O}}\right)}$$ एक क्रोनकर डेल्टा है जो उस कण संख्या को पहले सुनिश्चित करता है $$n\left(\mathbf{s}\right)$$ और पुनर्अभिविन्यास के बाद $$n\left(\mathbf{s}^{\mathcal{O}}\right)$$ अपरिवर्तित है.

प्रतिक्रिया और पुनर्अभिविन्यास ऑपरेटर को लागू करने वाला राज्य परिणामी रूप $$\mathbf{s}^{\mathcal{O}\circ\mathcal{A}}$$ इसे पोस्ट-इंटरैक्शन कॉन्फ़िगरेशन के रूप में जाना जाता है और इसे इसके द्वारा दर्शाया जाता है $$\mathbf{s}^{\mathcal{I}}:=\mathbf{s}^{\mathcal{O}\circ\mathcal{A}}$$.

परिवहन चरण
इंटरेक्शन चरण के बाद, नियतात्मक परिवहन चरण को सभी जाली साइटों पर समकालिक रूप से लागू किया जाता है। परिवहन चरण जीवित जीवों के सक्रिय पदार्थ|स्व-प्रणोदन के कारण एजेंटों की गति को उनके वेग के अनुसार अनुकरण करता है।

इस चरण के दौरान, पोस्ट-इंटरैक्शन राज्यों की व्यवसाय संख्या को वेग चैनल की दिशा में पड़ोसी जाली साइट के एक ही चैनल के नए व्यवसाय राज्यों के रूप में परिभाषित किया जाएगा, यानी। $$s_i(\mathbf{r}+\mathbf{c}_i)=s_i^{\mathcal{I}}(\mathbf{r})$$.

एक नया समय कदम तब शुरू होता है जब बातचीत और परिवहन चरण दोनों घटित हो जाते हैं। इसलिए, BIO-LGCA की गतिशीलता को स्टोकेस्टिक पुनरावृत्ति संबंध | परिमित-अंतर माइक्रोडायनामिक समीकरण के रूप में संक्षेपित किया जा सकता है $$s_i(\mathbf{r}+\mathbf{c}_i,k+1)=s_i^{\mathcal{I}}(\mathbf{r},k)$$

उदाहरण इंटरैक्शन डायनेमिक्स
प्रतिक्रिया और/या पुनर्अभिविन्यास ऑपरेटर के लिए संक्रमण संभावना को मॉडल किए गए सिस्टम को उचित रूप से अनुकरण करने के लिए परिभाषित किया जाना चाहिए। कुछ प्राथमिक इंटरैक्शन और संबंधित संक्रमण संभावनाएं नीचे सूचीबद्ध हैं।

यादृच्छिक चलना
किसी बाहरी या आंतरिक उत्तेजना के अभाव में, कोशिकाएँ बिना किसी दिशात्मक प्राथमिकता के बेतरतीब ढंग से घूम सकती हैं। इस मामले में, पुनर्अभिविन्यास ऑपरेटर को एक संक्रमण संभावना के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है$$P\left(\left.\mathbf{s}\rightarrow\mathbf{s}^{\mathcal{O}}\right|\mathbf{s}_{\mathcal{N}}\right) =\frac{\delta_{n(\mathbf{s}),n\left(\mathbf{s}^{\mathcal{O}}\right)}}{Z}$$ कहाँ $$Z=\sum_{\mathbf{s}^{\mathcal{O}}}\delta_{n\left(\mathbf{s}\right),n\left(\mathbf{s}^{\mathcal{O}}\right)}$$. ऐसी संक्रमण संभावना किसी भी पोस्ट-पुनर्अभिविन्यास कॉन्फ़िगरेशन की अनुमति देती है $$\mathbf{s}^\mathcal{O}$$ पूर्व-पुनर्अभिविन्यास विन्यास के समान कणों की संख्या के साथ $$\mathbf{s}$$, चुना जाना चाहिए असतत समान वितरण।

सरल जन्म एवं मृत्यु प्रक्रिया
यदि जीव अन्य व्यक्तियों से स्वतंत्र रूप से प्रजनन करते हैं और मर जाते हैं (सीमित वहन क्षमता को छोड़कर), तो एक साधारण जन्म/मृत्यु प्रक्रिया का अनुकरण किया जा सकता है द्वारा दी गई संक्रमण संभावना के साथ$$P\left(\left.\mathbf{s}\rightarrow\mathbf{s}^\mathcal{A}\right|\mathbf{s}_{\mathcal{N}}\right)= \left[r_b\delta_{n\left(\mathbf{s}^{\mathcal{A}}\right),n\left(\mathbf{s}\right)+1} +r_d\delta_{n\left(\mathbf{s}^{\mathcal{A}}\right),n\left(\mathbf{s}\right) - 1}\right] \Theta\left[n\left(\mathbf{s}^{\mathcal{A}}\right)\right] \Theta\left[n\left( K-\mathbf{s}^{\mathcal{A}}\right)\right]$$ कहाँ $$r_b,r_d\in[0,1]$$, $$r_b+r_d\leq 1$$ क्रमशः जन्म और मृत्यु की संभावनाएँ निरंतर हैं, $$\delta_{i,j}$$ क्रोनेकर डेल्टा है जो यह सुनिश्चित करता है कि हर कदम पर केवल एक जन्म/मृत्यु की घटना घटित हो, और $$\Theta(x)$$ हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन है, जो यह सुनिश्चित करता है कि कण संख्या सकारात्मक हैं और वहन क्षमता से बंधी हैं $$K$$.

चिपकने वाली बातचीत
कोशिकाएं कोशिका की सतह पर कैडेरिन अणुओं द्वारा एक दूसरे से चिपक सकती हैं। कैडरिन इंटरैक्शन कोशिकाओं को समुच्चय बनाने की अनुमति देता है। चिपकने वाले बायोमोलेक्युलस के माध्यम से सेल समुच्चय के गठन का मॉडल तैयार किया जा सकता है एक पुनर्अभिविन्यास ऑपरेटर द्वारा संक्रमण संभावनाओं के साथ परिभाषित किया गया है$$P\left(\left.\mathbf{s}\rightarrow\mathbf{s}^{\mathcal{O}}\right|\mathbf{s}_{\mathcal{N}}\right) =\frac{1}{Z}\exp\left[\beta\mathbf{G}\left(\mathbf{s}_{\mathcal{N}}\right)\cdot\mathbf{J}\left(\mathbf{s}^{\mathcal{O}}\right)\right]$$ कहाँ $$\mathbf{G}\left(\mathbf{s}_{\mathcal{N}}\right)$$ अधिकतम सेल घनत्व की दिशा में इंगित करने वाला एक वेक्टर है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है $$\mathbf{G}\left(\mathbf{s}_{\mathcal{N}}\right)= \sum_{\mathbf{r}'\in\mathcal{N}}\left(\mathbf{r}'-\mathbf{r}\right)n\left(\mathbf{s}_{\mathcal{N}}^{\mathbf{r}'}\right)$$, कहाँ $$\mathbf{s}_{\mathcal{N}}^{\mathbf{r}'}$$जाली स्थल का विन्यास है $$\mathbf{r}'$$ पड़ोस के भीतर $$\mathcal{N}$$, और $$\mathbf{J}\left(\mathbf{s}^{\mathcal{O}}\right)$$ पोस्ट-रीओरिएंटेशन कॉन्फ़िगरेशन की गति है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है $$\mathbf{J}\left(\mathbf{s}^{\mathcal{O}}\right)=\sum_{j=1}^bs_j^{\mathcal{O}}\mathbf{c}_j$$. यह संक्रमण संभावना सेल घनत्व ढाल की ओर बढ़ने वाली कोशिकाओं के साथ पोस्ट-रीओरिएंटेशन कॉन्फ़िगरेशन का पक्ष लेती है।

गणितीय विश्लेषण
चूंकि सभी एजेंटों के बीच उच्च-क्रम सहसंबंध और निर्भरता के कारण स्टोकेस्टिक एजेंट-आधारित मॉडल का सटीक उपचार जल्दी ही असंभव हो जाता है, बीआईओ-एलजीसीए मॉडल का विश्लेषण करने की सामान्य विधि इसे जनसंख्या की अपेक्षित मूल्य गतिशीलता का वर्णन करने वाले अनुमानित, नियतात्मक पुनरावृत्ति संबंध (एफडीई) में डालना है, फिर इस अनुमानित मॉडल का गणितीय विश्लेषण करना और परिणामों की तुलना मूल से करना है बायो-एलजीसीए मॉडल।

सबसे पहले, माइक्रोडायनामिकल समीकरण का अपेक्षित मूल्य $$s_m(\mathbf{r}+\mathbf{c}_m,k+1)=s_m^{\mathcal{I}}(\mathbf{r},k)$$ प्राप्त होना$$f_m\left(\mathbf{r}+\mathbf{c}_m,k+1\right)= \left\langle s_m^{\mathcal{I}}\left(\mathbf{r},k\right)\right\rangle$$ कहाँ $$\langle\cdot\rangle$$ अपेक्षित मूल्य को दर्शाता है, और $$f_m\left(\mathbf{r},k\right):=\left\langle s_m\left(\mathbf{r},k\right)\right\rangle$$ का अपेक्षित मूल्य है $$m$$-वें चैनल पर जाली स्थल का व्यवसाय क्रमांक $$\mathbf{r}$$ समय कदम पर $$k$$. हालाँकि, दाईं ओर शब्द, $$\left\langle s_m^{\mathcal{I}}\left(\mathbf{r},k\right)\right\rangle$$ दोनों जाली स्थल की व्यवसाय संख्या पर अत्यधिक अरैखिक है $$\mathbf{r}$$ और अंतःक्रिया पड़ोस के भीतर जाली स्थल $$\mathcal{N}$$, संक्रमण संभावना के रूप के कारण $$P\left(\left.\mathbf{s}\rightarrow\mathbf{s}^{\mathcal{I}}\right|\mathbf{s}_{\mathcal{N}}\right)$$ और वेग चैनलों के भीतर कण प्लेसमेंट के आँकड़े (उदाहरण के लिए, चैनल व्यवसायों पर लगाए गए बहिष्करण सिद्धांत से उत्पन्न)। इस गैर-रैखिकता के परिणामस्वरूप इसमें शामिल सभी चैनल व्यवसायों के बीच उच्च-क्रम सहसंबंध और क्षण होंगे। इसके बजाय, आमतौर पर एक माध्य-क्षेत्र सन्निकटन मान लिया जाता है, जिसमें सभी सहसंबंधों और उच्च क्रम के क्षणों की उपेक्षा की जाती है, जैसे कि प्रत्यक्ष कण-कण इंटरैक्शन को संबंधित अपेक्षित मूल्यों के साथ इंटरैक्शन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। दूसरे शब्दों में, यदि $$X_1,X_2,\ldots,X_n$$ यादृच्छिक चर हैं, और $$F:\mathbb{R}^n\mapsto\mathbb{R}$$ तो फिर, यह एक फ़ंक्शन है$$\left\langle F\left(X_1,X_2,\ldots,X_n\right)\right\rangle\approx F\left(\left\langle X_1\right\rangle,\left\langle X_2\right\rangle,\ldots,\left\langle X_n\right\rangle\right)$$ इस सन्निकटन के तहत. इस प्रकार, हम समीकरण को सरल बना सकते हैं$$f_m\left(\mathbf{r}+\mathbf{c}_m,k+1\right)= \mathcal{C}\left(\mathbf{f}\left(\mathbf{r},k\right),\mathbf{f}_{\mathcal{N}}\left(\mathbf{r},k\right)\right)$$ कहाँ $$\mathcal{C}\left(\mathbf{f}\left(\mathbf{r},k\right),\mathbf{f}_{\mathcal{N}}\left(\mathbf{r},k\right)\right)$$ अपेक्षित जाली साइट कॉन्फ़िगरेशन का एक अरेखीय कार्य है $$\mathbf{f}\left(\mathbf{r},k\right)$$ और अपेक्षित पड़ोस विन्यास $$\mathbf{f}_{\mathcal{N}}\left(\mathbf{r},k\right)$$ संक्रमण संभावनाओं और इन-नोड कण सांख्यिकी पर निर्भर।

इस अरेखीय FDE से, कोई कई सजातीय संतुलन बिंदु, या स्थिरांक की पहचान कर सकता है $$\bar{f}_m$$ स्वतंत्र $$\mathbf{r}$$ और $$k$$ जो एफडीई के समाधान हैं। इन स्थिर अवस्थाओं की स्थिरता स्थितियों और मॉडल की पैटर्न निर्माण क्षमता का अध्ययन करने के लिए, एक रैखिक स्थिरता का प्रदर्शन किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, अरेखीय FDE को इस प्रकार रैखिकीकृत किया जाता है$$f_m\left(\mathbf{r}+\mathbf{c}_m,k+1\right)= \sum_{j=1}^K\left.\frac{\partial\mathcal{C}}{\partial f_j\left(\mathbf{r},k\right)}\right|_{\mathrm{ss}}f_j\left(\mathbf{r},k\right)+ \sum_{j=1}^K\sum_{p=1}^K\left.\frac{\partial\mathcal{C}}{\partial f_j\left(\mathbf{r}+\mathbf{c}_p,k\right)}\right|_{\mathrm{ss}}f_j\left(\mathbf{r}+\mathbf{c}_p,k\right)$$ कहाँ $$\mathrm{ss}$$ सजातीय स्थिर अवस्था को दर्शाता है $$f_m\left(\mathbf{r},k\right)=\bar{f}_m,m\in\{1,\ldots,K\}$$, और एक वॉन न्यूमैन पड़ोस मान लिया गया था। इसे केवल अस्थायी वृद्धि के साथ अधिक परिचित परिमित अंतर समीकरण में डालने के लिए, समीकरण के दोनों तरफ एक अलग फूरियर रूपांतरण लागू किया जा सकता है। असतत फूरियर ट्रांसफ़ॉर्म#शिफ्ट प्रमेय को लागू करने और बाईं ओर अस्थायी वृद्धि के साथ शब्द को अलग करने के बाद, व्यक्ति को जाली-बोल्ट्ज़मैन समीकरण प्राप्त होता है $$\hat{f}_m\left(\mathbf{q},k+1\right)=e^{-\frac{2 \pi i}{L}\mathbf{q}\cdot\mathbf{c}_m} \left\{\sum_{j=1}^K\left[\left.\frac{\partial\mathcal{C}}{\partial f_j\left(\mathbf{r},k\right)}\right|_{\mathrm{ss}}+\sum_{p=1}^K\left.\frac{\partial\mathcal{C}}{\partial f_j\left(\mathbf{r}+\mathbf{c}_p,k\right)}\right|_{\mathrm{ss}}e^{\frac{2\pi i}{L}\mathbf{q}\cdot\mathbf{c}_p}\right]\hat{f}_j\left(\mathbf{q},k\right)\right\}$$ कहाँ $$i=\sqrt{-1}$$ काल्पनिक इकाई है, $$L$$ एक आयाम के साथ जाली का आकार है, $$\mathbf{q}\in\{1,2,\ldots,L\}^d$$ फूरियर वेवनंबर है, और $$\hat{\cdot}=\mathcal{F}\{\cdot\}$$ असतत फूरियर रूपांतरण को दर्शाता है। मैट्रिक्स नोटेशन में, इस समीकरण को सरल बनाया गया है $$\hat{\mathbf{f}}\left(\mathbf{q},k+1\right)=\Gamma\hat{\mathbf{f}}\left(\mathbf{q},k\right)$$, जहां मैट्रिक्स $$\Gamma$$ बोल्ट्ज़मैन प्रचारक कहा जाता है और इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है$$\Gamma_{m,j}=e^{-\frac{2\pi i}{L}\mathbf{q}\cdot\mathbf{c}_m} \left[\left.\frac{\partial\mathcal{C}}{\partial f_j\left(\mathbf{r},k\right)}\right|_{\mathrm{ss}}+\sum_{p=1}^K\left.\frac{\partial\mathcal{C}}{\partial f_j\left(\mathbf{r}+\mathbf{c}_p,k\right)}\right|_{\mathrm{ss}}e^{\frac{2\pi i}{L}\mathbf{q}\cdot \mathbf{c}_p}\right].$$ आइगेनवैल्यूज़ एवं आइगेनवेक्टर्स $$\lambda\left(\mathbf{q}\right)$$ बोल्ट्ज़मैन प्रचारक स्थिर अवस्था की स्थिरता गुणों को निर्देशित करते हैं:


 * अगर $$\left|\lambda\left(\mathbf{q}\right)\right|>1$$, कहाँ $$|\cdot|$$ जटिल संख्या#ध्रुवीय जटिल तल को दर्शाता है, फिर तरंग संख्या के साथ गड़बड़ी $$\mathbf{q}$$ समय के साथ बढ़ें. अगर $$\left|\lambda\left(\mathbf{q}_{\mathrm{max}}\right)\right|>1$$, और $$\left|\lambda\left(\mathbf{q}_{\mathrm{max}}\right)\right|\geq\left|\lambda\left(\mathbf{q}\right)\right|\forall\mathbf{q}\in\{1,2,\ldots,L\}^d$$, फिर तरंग संख्या के साथ गड़बड़ी $$\mathbf{q}_{\mathrm{max}}$$ हावी हो जाएगा और स्पष्ट तरंग दैर्ध्य वाले पैटर्न देखे जाएंगे। अन्यथा, स्थिर स्थिति स्थिर है और कोई भी गड़बड़ी क्षय हो जाएगी।
 * अगर $$\mathrm{arg}\left[\lambda\left(q\right)\right]\neq 0$$, कहाँ $$\mathrm{arg}(\cdot)$$ सम्मिश्र संख्या#ध्रुवीय सम्मिश्र तल को दर्शाता है, तब विक्षोभ का परिवहन होता है और गैर-स्थिर जनसंख्या व्यवहार देखा जाता है। अन्यथा, जनसंख्या स्थूल स्तर पर स्थिर दिखाई देगी।

अनुप्रयोग
जैविक घटनाओं के अध्ययन के लिए बीआईओ-एलजीसीए के निर्माण में मुख्य रूप से इंटरेक्शन ऑपरेटर के लिए उचित संक्रमण संभावनाओं को परिभाषित करना शामिल है, हालांकि राज्य स्थान की सटीक परिभाषा (उदाहरण के लिए कई सेलुलर फेनोटाइप पर विचार करने के लिए), सीमा की स्थिति (सीमित परिस्थितियों में मॉडलिंग घटना के लिए), पड़ोस (मात्रात्मक रूप से प्रयोगात्मक इंटरैक्शन रेंज से मेल खाने के लिए), और वहन क्षमता (दिए गए सेल आकार के लिए भीड़ प्रभाव का अनुकरण करने के लिए) विशिष्ट अनुप्रयोगों के लिए महत्वपूर्ण हो सकते हैं। जबकि पुनर्अभिविन्यास ऑपरेटर का वितरण उपरोक्त सांख्यिकीय और बायोफिजिकल तरीकों के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, प्रतिक्रिया ऑपरेटरों के वितरण का अनुमान इन विट्रो प्रयोगों के आंकड़ों से लगाया जा सकता है। BIO-LGCA मॉडल का उपयोग कई सेलुलर, बायोफिजिकल और चिकित्सा घटनाओं का अध्ययन करने के लिए किया गया है। कुछ उदाहरणों में शामिल हैं:


 * एंजियोजिनेसिस : एंजियोजेनेसिस के दौरान शामिल प्रक्रियाओं और उनके वजन को निर्धारित करने के लिए एंडोथेलियल कोशिकाओं और बीआईओ-एलजीसीए सिमुलेशन वेधशालाओं के साथ एक इन विट्रो प्रयोग की तुलना की गई। उन्होंने पाया कि आसंजन, संरेखण, संपर्क मार्गदर्शन और कोशिकी साँचा  रीमॉडलिंग सभी एंजियोजेनेसिस में शामिल हैं, जबकि लंबी दूरी की बातचीत प्रक्रिया के लिए महत्वपूर्ण नहीं है।
 * सक्रिय तरल पदार्थ: ध्रुवीय संरेखण इंटरैक्शन के माध्यम से बातचीत करने वाले कणों की आबादी के स्थूल भौतिक गुणों की जांच BIO-LGCA मॉडल का उपयोग करके की गई थी। यह पाया गया कि प्रारंभिक कण घनत्व और अंतःक्रिया शक्ति बढ़ने से दूसरे क्रम के चरण में एक सजातीय, अव्यवस्थित अवस्था से एक क्रमबद्ध, प्रतिरूपित, गतिमान अवस्था में संक्रमण होता है।
 * महामारी विज्ञान: एक स्थानिक एसआईआर मॉडल बीआईओ-एलजीसीए मॉडल का उपयोग विभिन्न टीकाकरण रणनीतियों के प्रभाव और एक गैर-स्थानिक मॉडल के साथ एक स्थानिक महामारी का अनुमान लगाने के प्रभाव का अध्ययन करने के लिए किया गया था। उन्होंने पाया कि बाधा-प्रकार की टीकाकरण रणनीतियाँ स्थानिक रूप से समान टीकाकरण रणनीतियों की तुलना में बहुत अधिक प्रभावी हैं। इसके अलावा, उन्होंने पाया कि गैर-स्थानिक मॉडल संक्रमण की दर को बहुत अधिक आंकते हैं।
 * सेल जैमिंग (भौतिकी): स्तन कैंसर में रूप-परिवर्तन  व्यवहार का अध्ययन करने के लिए इन विट्रो और बायो-एलजीसीए मॉडल का उपयोग किया गया था। बीआईओ-एलजीसीए मॉडल से पता चला कि मेटास्टेसिस अलग-अलग व्यवहार प्रदर्शित कर सकता है, जैसे कि यादृच्छिक गैस जैसा, जाम ठोस जैसा, और सहसंबद्ध तरल पदार्थ जैसी स्थिति, जो कोशिकाओं के बीच चिपकने के स्तर, ईसीएम घनत्व और सेल-ईसीएम इंटरैक्शन पर निर्भर करता है।

बाहरी संबंध

 * Bio-LGCA Simulator - An online simulator with elementary interactions with personalizable parameter values.
 * BIO-LGCA Python Package - An open source Python package for implementing BIO-LGCA model simulations.