वर्णक्रमीय सूचकांक

खगोल विज्ञान में, एक स्रोत का वर्णक्रमीय सूचकांक आवृत्ति पर विकिरण प्रवाह घनत्व (यानी, आवृत्ति की प्रति इकाई विकिरण प्रवाह) की निर्भरता का एक उपाय है। दी गई आवृत्ति $$\nu$$ और विकिरण प्रवाह घनत्व $$S_\nu$$, वर्णक्रमीय सूचकांक $$\alpha$$ द्वारा परोक्ष रूप से दिया गया है
 * $$S_\nu\propto\nu^\alpha.$$

ध्यान दें कि यदि प्रवाह आवृत्ति में एक शक्ति कानून का पालन नहीं करता है, तो वर्णक्रमीय सूचकांक ही आवृत्ति का एक कार्य है। उपरोक्त को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हम देखते हैं कि वर्णक्रमीय सूचकांक किसके द्वारा दिया गया है
 * $$\alpha \! \left( \nu \right) = \frac{\partial \log S_\nu \! \left( \nu \right)}{\partial \log \nu}.$$

स्पष्ट रूप से बिजली कानून केवल आवृत्ति की एक निश्चित सीमा पर ही लागू हो सकता है क्योंकि अन्यथा सभी आवृत्तियों पर अभिन्न अनंत होगा।

स्पेक्ट्रल इंडेक्स को कभी-कभी तरंग दैर्ध्य के संदर्भ में भी परिभाषित किया जाता है $$\lambda$$. इस मामले में, वर्णक्रमीय सूचकांक $$\alpha$$ द्वारा परोक्ष रूप से दिया गया है
 * $$S_\lambda\propto\lambda^\alpha,$$

और दी गई आवृत्ति पर, व्युत्पन्न लेकर वर्णक्रमीय सूचकांक की गणना की जा सकती है
 * $$\alpha \! \left( \lambda \right) =\frac{\partial \log S_\lambda \! \left( \lambda \right)}{\partial \log \lambda}.$$

वर्णक्रमीय सूचकांक का उपयोग करना $$S_\nu$$, जिसे हम कह सकते हैं $$\alpha_\nu,$$ सूचकांक से भिन्न है $$\alpha_\lambda$$ का उपयोग करके परिभाषित किया गया है $$S_\lambda.$$ दो आवृत्तियों या तरंग दैर्ध्य के बीच कुल प्रवाह है
 * $$S=C_1(\nu_2^{\alpha_\nu+1}-\nu_1^{\alpha_\nu+1})=C_2(\lambda_2^{\alpha_\lambda+1}-\lambda_1^{\alpha_\lambda+1})=c^{\alpha_\lambda+1}C_2(\nu_2^{-\alpha_\lambda-1}-\nu_1^{-\alpha_\lambda-1})$$

जिसका तात्पर्य है
 * $$\alpha_\lambda=-\alpha_\nu-2.$$

कभी-कभी विपरीत चिह्न परिपाटी का प्रयोग किया जाता है, जिसमें वर्णक्रमीय सूचकांक द्वारा दिया गया है
 * $$S_\nu\propto\nu^{-\alpha}.$$

किसी स्रोत का वर्णक्रमीय सूचकांक उसके गुणों का संकेत दे सकता है। उदाहरण के लिए, धनात्मक चिन्ह परिपाटी का उपयोग करते हुए, वैकल्पिक रूप से पतले तापीय प्लाज्मा से उत्सर्जन का वर्णक्रमीय सूचकांक -0.1 है, जबकि वैकल्पिक रूप से मोटे प्लाज्मा के लिए यह 2 है। इसलिए, रेडियो आवृत्तियों पर -0.1 से 2 का वर्णक्रमीय सूचकांक अक्सर इंगित करता है थर्मल उत्सर्जन, जबकि एक तेज नकारात्मक वर्णक्रमीय सूचकांक आमतौर पर सिंक्रोट्रॉन उत्सर्जन को इंगित करता है। यह ध्यान देने योग्य है कि देखा गया उत्सर्जन कई अवशोषण प्रक्रियाओं से प्रभावित हो सकता है जो निम्न-आवृत्ति उत्सर्जन को सबसे अधिक प्रभावित करते हैं; कम आवृत्तियों पर देखे गए उत्सर्जन में कमी के परिणामस्वरूप सकारात्मक वर्णक्रमीय सूचकांक हो सकता है, भले ही आंतरिक उत्सर्जन में नकारात्मक सूचकांक हो। इसलिए, सकारात्मक वर्णक्रमीय सूचकांकों को थर्मल उत्सर्जन के साथ जोड़ना सीधा नहीं है।

तापीय उत्सर्जन का वर्णक्रमीय सूचकांक
रेडियो फ्रीक्वेंसी पर (यानी कम आवृत्ति, लंबी तरंग दैर्ध्य सीमा में), जहां रेले-जीन्स कानून थर्मल विकिरण के स्पेक्ट्रम के लिए एक अच्छा सन्निकटन है, तीव्रता द्वारा दी गई है
 * $$B_\nu(T) \simeq \frac{2 \nu^2 k T}{c^2}.$$

प्रत्येक पक्ष का लघुगणक लेना और इसके संबंध में आंशिक अवकलज लेना $$\log \, \nu$$ पैदावार
 * $$\frac{\partial \log B_\nu(T)}{\partial \log \nu} \simeq 2.$$

धनात्मक चिह्न परिपाटी का उपयोग करते हुए, तापीय विकिरण का वर्णक्रमीय सूचकांक इस प्रकार है $$\alpha \simeq 2$$ रेले-जीन्स शासन में। वर्णक्रमीय सूचकांक कम तरंग दैर्ध्य पर इस मान से हट जाता है, जिसके लिए रेले-जीन्स कानून एक तेजी से गलत सन्निकटन बन जाता है, शून्य की ओर प्रवृत्त होता है क्योंकि तीव्रता वीन के विस्थापन कानून # आवृत्ति-निर्भर सूत्रीकरण द्वारा दी गई आवृत्ति पर चरम पर पहुंच जाती है। वीन का विस्थापन कानून। रेले-जीन्स शासन में विकिरण प्रवाह की साधारण तापमान-निर्भरता के कारण, रेडियो वर्णक्रमीय सूचकांक को निम्न द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$S \propto \nu^{\alpha} T.$$