कृत्रिम विभाजन

बीजगणित में, अवास्तविक विभाजन बहुपदों के यूक्लिडियन विभाजन को हस्तचालित रूप से करने की एक विधि है, जिसमें अल्प अंकन और विस्तृत विभाजन की तुलना में कम गणना होती है।

यह ज्यादातर रैखिक एकगुणांकी बहुपद (रफिनी के नियम के रूप में जाना जाता है) द्वारा विभाजन के लिए सिखाया जाता है, लेकिन विधि को किसी भी बहुपद द्वारा विभाजन के लिए व्यापकीकृत किया जा सकता है।

अवास्तविक विभाजन का लाभ यह है कि यह किसी को चर लिखे बिना गणना करने की अनुमति देता है, यह कुछ गणनाओं का उपयोग करता है, और यह विस्तृत विभाजन की तुलना में कागज पर काफी कम जगह लेता है। इसके अलावा, शुरुआत में ही संकेतों को स्विचन करके विस्तृत विभाजन में व्यवकलन को संकलन में बदल दिया जाता है, जिससे संकेत त्रुटियों को रोकने में मदद मिलती है।

सम अवास्तविक विभाजन
पहला उदाहरण अवास्तविक विभाजन है जिसमें केवल एक एकगुणांकी बहुपद रैखिक हर है $$x-a$$.


 * $$\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x - 3}$$

अंश के रूप में लिखा जा सकता है $$ p(x) = x^3 - 12x^2 + 0x - 42 $$.

हर का शून्य $$g(x)$$ है $$3$$.

के गुणांक $$p(x)$$ को शून्य के साथ निम्नानुसार व्यवस्थित किया जाता हैं $$g(x)$$ बाईं तरफ:


 * $$\begin{array}{cc}

\begin{array}{r} \\ 3 \\ \end{array} &   \begin{array}{|rrrr} \ 1 & -12 & 0 & -42 \\         &     &   &     \\        \hline \end{array} \end{array}$$

स्तम्भ के बाद पहला गुणांक अंतिम पंक्ति में "गिराया" जाता है।
 * $$\begin{array}{cc}

\begin{array}{r} \\ 3 \\ \\ \end{array} &   \begin{array}{|rrrr} \color{blue}1 & -12 & 0 & -42 \\ &    &   &     \\        \hline \color{blue}1 &    &   &     \\ \end{array} \end{array}$$

पतित संख्या को स्तम्भ से पहले की संख्या से गुणा किया जाता है और अगले स्तम्भ में रखा जाता है।
 * $$\begin{array}{cc}

\begin{array}{r} \\ \color{grey}3 \\ \\ \end{array} &   \begin{array}{|rrrr} 1 & -12 & 0 & -42 \\         &   \color{brown}3 &   &     \\ \hline \color{blue}1 &    &   &     \\ \end{array} \end{array}$$ अगले स्तम्भ में एक योग किया जाता है।
 * $$\begin{array}{cc}

\begin{array}{c} \\ 3 \\ \\ \end{array} &   \begin{array}{|rrrr} 1 & \color{green}-12 & 0 & -42 \\ &  \color{green}3 &   &     \\ \hline 1 & \color{green}-9 &   &     \\ \end{array} \end{array}$$ पिछले दो चरणों को दोहराया जाता है और निम्नलिखित प्राप्त होता है:
 * $$\begin{array}{cc}

\begin{array}{c} \\ 3 \\ \\ \end{array} &   \begin{array}{|rrrr} 1 & -12 &  0 & -42 \\          &   3 & -27 & -81 \\        \hline 1 & -9 & -27 & -123    \end{array} \end{array}$$ यहाँ, अंतिम पद (-123) शेषफल है जबकि शेष भागफल के गुणांकों के संगत है। शर्तों को शेष और परिणाम के लिए कोटि शून्य के साथ दाएं से बाएं बढ़ते हुए कोटि के साथ लिखा जाता है।
 * $$	\begin{array}{rrr|r}

1x^2 & -9x & -27 & -123 \end{array}$$ अतः

भागफल और शेषफल हैं:


 * $$q(x) = x^2 - 9x - 27

$$
 * $$r(x) = -123$$

शेषफल प्रमेय द्वारा बहुपदों का मूल्यांकन
अवास्तविक विभाजन का उपरोक्त रूप बहुपद शेषफल प्रमेय के संदर्भ में एकाचर बहुपदों के मूल्यांकन के लिए उपयोगी है। संक्षेप में, का मूल्य $$p(x)$$ पर $$a$$ के विभाजन के शेषफल के बराबर है $$p(x)$$ द्वारा $$x-a.$$    इस तरह से मूल्य की गणना करने का लाभ यह है कि इसके लिए सहज मूल्यांकन के रूप में आधे से अधिक गुणन चरणों की आवश्यकता होती है। एक वैकल्पिक मूल्यांकन विधि हॉर्नर की विधि है।

प्रसारित अवास्तविक विभाजन
यह विधि बोल्ड में परिवर्तन के साथ केवल स्पष्ट आशोधन के साथ किसी भी एकगुणांकी बहुपद द्वारा विभाजन को सामान्यीकृत करती है। पहले के समान चरणों का उपयोग करते हुए, निम्न विभाजन करें:
 * $$\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x^2 + x - 3}$$

हम स्वंय को केवल गुणांकों से संबंध करते हैं। शीर्ष पर विभाजित किए जाने वाले बहुपद के गुणांक लिखिए।
 * $$	\begin{array}{|rrrr}

\    1 & -12 & 0 & -42 \end{array}$$ भाजक के गुणांकों का खंडन करे।
 * $$	\begin{array}{rrr}

-1x^2 &-1x &+3 \end{array}$$ प्रत्येक गुणांक में लिखें लेकिन बाईं ओर पहले वाले को ऊपर की ओर दाएं विकर्ण में लिखें (अगला चित्र देखें)।
 * $$\begin{array}{cc}

\begin{array}{rr} \\ &3 \\ -1& \\ \end{array} &   \begin{array}{|rrrr} \ 1 & -12 & 0 & -42 \\         &     &   &     \\          &     &   &     \\        \hline \end{array} \end{array}$$ 1 से −1 और −3 से 3 में चिन्ह के परिवर्तन पर ध्यान दें। अंतिम पंक्ति में स्तम्भ के बाद पहला गुणांक "छोड़ें"।


 * $$\begin{array}{cc}

\begin{array}{rr} \\ &3 \\ -1& \\ \\ \end{array} &   \begin{array}{|rrrr} 1 & -12 & 0 & -42 \\         &     &   &     \\          &     &   &     \\        \hline 1 &    &   &     \\        \end{array} \end{array}$$ पतित संख्या को स्तम्भ से पहले विकर्ण से गुणा करें, और परिणामी प्रविष्टियों को पतित प्रविष्टि से विकर्ण के दाईं ओर रखें।
 * $$\begin{array}{cc}

\begin{array}{rr} \\ &3 \\ -1& \\ \\ \end{array} &   \begin{array}{|rrrr} 1 & -12 & 0 & -42 \\         &     & 3 &     \\          &  -1 &   &     \\        \hline 1 &    &   &     \\        \end{array} \end{array}$$ अगले स्तंभ में एक योग करें।
 * $$\begin{array}{cc}

\begin{array}{rr} \\ &3 \\ -1& \\ \\ \end{array} &   \begin{array}{|rrrr} 1 & -12 & 0 & -42 \\         &     & 3 &     \\          &  -1 &   &     \\        \hline 1 & -13 &  &     \\        \end{array} \end{array}$$ पिछले दो चरणों को तब तक दोहराएं जब तक आप अगले विकर्ण के साथ शीर्ष पर प्रविष्टियों को पार नहीं कर लेते।
 * $$\begin{array}{cc}

\begin{array}{rr} \\ &3 \\ -1& \\ \\ \end{array} &   \begin{array}{|rrrr} 1 & -12 & 0 & -42 \\          &     &  3 & -39 \\          &  -1 & 13 &     \\        \hline 1 & -13 & 16 &    \\        \end{array} \end{array}$$ फिर बस कोई भी शेष स्तम्भ जोड़ें।
 * $$\begin{array}{cc}

\begin{array}{rr} \\ &3 \\ -1& \\ \\ \end{array} &   \begin{array}{|rrrr} 1 & -12 & 0 & -42 \\          &     &  3 & -39 \\          &  -1 & 13 &     \\        \hline 1 & -13 & 16 & -81 \\       \end{array} \end{array}$$ पदों को स्तम्भ के बाईं ओर गिनें। चूंकि दो हैं, शेषफल की कोटि एक है और यह स्तम्भ के नीचे सबसे दाहिनी ओर दो पद हैं। अलगाव को एक ऊर्ध्वाधर पट्टी के साथ चिह्नित करें।
 * $$	\begin{array}{rr|rr}

1 & -13 & 16 & -81 \end{array}$$ पदों को शेषफल और परिणाम दोनों के लिए कोटि शून्य से दाएं से बाएं बढ़ते हुए कोटि के साथ लिखा जाता है।
 * $$	\begin{array}{rr|rr}

1x & -13 & 16x & -81 \end{array}$$ हमारे विभाजन का परिणाम है:
 * $$\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x^2 + x - 3} = x - 13 + \frac{16x - 81}{x^2 + x - 3}$$

गैर-एकगुणांकी विभाजकों के लिए
थोड़े से उकसावे के साथ, विस्तारित प्रविधि को किसी भी बहुपद के लिए काम करने के लिए और भी सामान्यीकृत किया जा सकता है, न कि केवल एकगुणांकी बहुपद के लिए। ऐसा करने का सामान्य तरीका भाजक को विभाजित करना होगा $$g(x)$$ इसके प्रमुख गुणांक के साथ (इसे संकेत करें):
 * $$h(x) = \frac{g(x)}{a}$$

फिर साथ अवास्तविक विभाजन का उपयोग करना $$h(x)$$ भाजक के रूप में, और फिर मूल विभाजन का भागफल प्राप्त करने के लिए भागफल को a से विभाजित करना (शेषफल समान रहता है)। लेकिन यह अक्सर भद्दे भिन्न की उत्पत्ति करता है जो बाद में हटा दिए जाते हैं, और इस प्रकार त्रुटि के लिए अधिक प्रवण होते हैं। g(x)के गुणांक को कम किए बिना इसे करना संभव है/

जैसा कि इस तरह के एक गैर-एकगुणांकी विभाजक के साथ पहले दीर्घ विभाजन का प्रदर्शन करके देखा जा सकता है, $$f(x)$$ के प्रमुख गुणांक से विभाजित हैं $$g(x)$$ "पातन" के बाद, और गुणा करने से पहले।

आइए निम्नलिखित विभाजन का प्रदर्शन करके वर्णन करें:


 * $$\frac{6x^3+5x^2-7}{3x^2-2x-1}$$

कुछ परिवर्धित तालिका का प्रयोग किया जाता है:


 * $$\begin{array}{cc}

\begin{array}{rrr} \\ &1& \\ 2&& \\ \\&&/3 \\ \end{array} \begin{array}{|rrrr} 6 & 5 & 0 & -7 \\         &     &  &     \\          &    &   &     \\        \hline &    &   &     \\           &     &   &     \\       \end{array} \end{array}$$ आधार पर अतिरिक्त पंक्ति नोट करें। इसका उपयोग प्रमुख गुणांक द्वारा "पतित" मानों को विभाजित करके प्राप्त मूल्यों को लिखने के लिए किया जाता है $$g(x)$$ (इस स्थिति में, /3 द्वारा दर्शाया गया है; ध्यान दें कि, बाकी गुणांकों के विपरीत $$g(x)$$, इस संख्या का चिह्न नहीं बदला गया है)।

बाद में, पहला गुणांक $$f(x)$$ हमेशा की तरह छोड़ दिया जाता है:


 * $$\begin{array}{cc}

\begin{array}{rrr} \\ &1& \\ 2&& \\ \\&&/3 \\ \end{array} \begin{array}{|rrrr} 6 & 5 & 0 & -7 \\         &     &  &     \\          &    &   &     \\        \hline 6 &    &   &     \\           &     &   &     \\       \end{array} \end{array}$$ और फिर छोड़ा हुआ मान 3 से विभाजित किया जाता है और नीचे पंक्ति में रखा जाता है:


 * $$\begin{array}{cc}

\begin{array}{rrr} \\ &1& \\ 2&& \\ \\&&/3 \\ \end{array} \begin{array}{|rrrr} 6 & 5 & 0 & -7 \\         &     &  &     \\          &    &   &     \\        \hline 6 &    &   &     \\         2 &     &   &     \\       \end{array} \end{array}$$ अगला, नया (विभाजित) मान 2 और 1 के गुणकों के साथ शीर्ष पंक्तियों को भरने के लिए उपयोग किया जाता है, जैसा कि विस्तारित प्रविधि में है:


 * $$\begin{array}{cc}

\begin{array}{rrr} \\ &1& \\ 2&& \\ \\&&/3 \\ \end{array} \begin{array}{|rrrr} 6 & 5 & 0 & -7 \\         &   & 2 &     \\          & 4 &   &     \\        \hline 6 &    &   &     \\         2 &     &   &     \\       \end{array} \end{array}$$ इसके बाद 5 को हटा दिया जाता है, इसके नीचे 4 को अनिवार्य रूप से जोड़ दिया जाता है, और उत्तर को फिर से विभाजित कर दिया जाता है:


 * $$\begin{array}{cc}

\begin{array}{rrr} \\ &1& \\ 2&& \\ \\&&/3 \\ \end{array} \begin{array}{|rrrr} 6 & 5 & 0 & -7 \\         &   & 2 &     \\          & 4 &   &     \\        \hline 6 & 9  &   &     \\         2 & 3   &   &     \\       \end{array} \end{array}$$ फिर 3 का उपयोग शीर्ष पंक्तियों को भरने के लिए किया जाता है:


 * $$\begin{array}{cc}

\begin{array}{rrr} \\ &1& \\ 2&& \\ \\&&/3 \\ \end{array} \begin{array}{|rrrr} 6 & 5 & 0 & -7 \\         &   & 2 &  3  \\          & 4 & 6 &     \\        \hline 6 & 9 &  &     \\         2 & 3 &   &     \\       \end{array} \end{array}$$ इस बिंदु पर, यदि तीसरी राशि प्राप्त करने के बाद, हम कोशिश करते हैं और शीर्ष पंक्तियों को भरने के लिए इसका उपयोग करते हैं, तो हम दाईं ओर गिर जाते हैं, इस प्रकार तीसरा योग शेष का पहला गुणांक है, जैसा कि नियमित सिंथेटिक विभाजन में होता है।. लेकिन शेष के मान भाजक के अग्रणी गुणांक से विभाजित नहीं होते हैं:


 * $$\begin{array}{cc}

\begin{array}{rrr} \\ &1& \\ 2&& \\ \\&&/3 \\ \end{array} \begin{array}{|rrrr} 6 & 5 & 0 & -7 \\         &   & 2 &  3  \\          & 4 & 6 &     \\        \hline 6 & 9 & 8 & -4 \\         2 & 3 &   &     \\       \end{array} \end{array}$$ अब हम उत्तर के गुणांकों को पढ़ सकते हैं। विस्तारित सिंथेटिक विभाजन के रूप में, अंतिम दो मान (2 विभाजक की डिग्री है) शेष के गुणांक हैं, और शेष मान भागफल के गुणांक हैं:


 * $$	\begin{array}{rr|rr}

2x & +3 & 8x & -4 \end{array}$$ और परिणाम है


 * $$\frac{6x^3+5x^2-7}{3x^2-2x-1} = 2x + 3 + \frac{8x - 4}{3x^2-2x-1}$$

कॉम्पैक्ट विस्तारित सिंथेटिक डिवीजन
हालाँकि, ऊपर दिया गया विकर्ण प्रारूप कम स्थान-कुशल हो जाता है जब भाजक की डिग्री लाभांश की डिग्री के आधे से अधिक हो जाती है। निम्नलिखित डिवीजन पर विचार करें:


 * $$\dfrac{a_7 x^7 + a_6 x^6 + a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0}{b_4 x^4 - b_3 x^3 - b_2 x^2 - b_1 x - b_0}$$

यह देखना आसान है कि हमें प्रत्येक उत्पाद को किसी भी पंक्ति में लिखने की पूर्ण स्वतंत्रता है जब तक कि वह सही कॉलम में है, इसलिए एल्गोरिथम को लालची रणनीति द्वारा संकुचित किया जा सकता है, जैसा कि नीचे दिए गए विभाजन में दिखाया गया है:


 * $$\begin{array}{cc} \begin{array}{rrrr} \\ \\ \\ \\ b_3 & b_2 & b_1 & b_0 \\ \\ &&&&/b_4 \\ \end{array} \begin{array}{|rrrr|rrrr} & & & & q_0 b_3 & & & \\ & & & q_1 b_3 & q_1 b_2 & q_0 b_2 & & \\ & & q_2 b_3 & q_2 b_2 & q_2 b_1 & q_1 b_1 & q_0 b_1 & \\ & q_3 b_3 & q_3 b_2 & q_3 b_1 & q_3 b_0 & q_2 b_0 & q_1 b_0 & q_0 b_0 \\ a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline a_7 & q_2' & q_1' & q_0' & r_3 & r_2 & r_1 & r_0 \\ q_3 & q_2 & q_1 & q_0 & & & & \\ \end{array} \end{array}$$

निम्नलिखित वर्णन करता है कि एल्गोरिदम कैसे करें; इस एल्गोरिथ्म में गैर-मोनिक विभाजक को विभाजित करने के चरण शामिल हैं:

1. rrrrrrrr} \ a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline \end{array} \end{array}$

2. rrrrrrrr}\ a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline \end{array} \end{array}$

3. rrrr

4. rrrr} a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline & & & & & & & \\ \end{array} \end{array}$

5. rrrr

6. rrrr} a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline a_7 & & & & & & & \\ \end{array} \end{array}$

7. rrrr

8. rrrr} & q_3 b_3 & q_3 b_2 & q_3 b_1 & q_3 b_0 & & & \\ a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline a_7 & q_2' & & & & & & \\ q_3 & & & & & & & \\ \end{array} \end{array}$

9. rrrr

10. rrrr} & & & & q_0 b_3 & & & \\ & & & q_1 b_3 & q_1 b_2 & q_0 b_2 & & \\ & & q_2 b_3 & q_2 b_2 & q_2 b_1 & q_1 b_1 & q_0 b_1 & \\ & q_3 b_3 & q_3 b_2 & q_3 b_1 & q_3 b_0 & q_2 b_0 & q_1 b_0 & q_0 b_0 \\ a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline a_7 & q_2' & q_1' & q_0' & r_3 & r_2 & r_1 & r_0 \\ q_3 & q_2 & q_1 & q_0 & & & & \\ \end{array} \end{array}$

पायथन कार्यान्वयन
निम्नलिखित स्निपेट मनमाना अविभाज्य बहुपदों के लिए पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा) में विस्तारित सिंथेटिक डिवीजन को लागू करता है:

यह भी देखें

 * यूक्लिडियन डोमेन
 * दो बहुपदों का महत्तम समापवर्तक
 * ग्रोबनर आधार
 * हॉर्नर योजना
 * बहुपद शेष प्रमेय
 * रफिनी का नियम