संवेग

सापेक्षता के सिद्धांत में, सामान्यतः सापेक्षतावादी वेग के लिए उपाय के रूप में तीव्रता का उपयोग किया जाता है। गणितीय रूप से, रैपिडिटी को अतिपरवलयिक कोण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो सापेक्ष गति में संदर्भ के दो फ़्रेमों को अलग करता है, प्रत्येक फ्रेम दूरी और समय निर्देशांक से जुड़ा होता है।

आयामी गति के लिए, तीव्रता योगात्मक होती है जबकि वेग को आइंस्टीन के वेग-जोड़ सूत्र#विशेष सापेक्षता|वेग-जोड़ सूत्र द्वारा संयोजित किया जाना चाहिए। कम गति के लिए, तेज़ी और वेग आनुपातिक होते हैं, किन्तु उच्च वेग के लिए, तेज़ी बड़ा मान लेती है, जिसमें प्रकाश की तेज़ी अनंत होती है।

प्रतिलोम अतिपरवलयिक फलन का उपयोग करना $artanh( v / c )$, तेज़ी $v$ वेग के अनुरूप $c$ है $artanh$ जहाँ c प्रकाश का वेग है। कम गति के लिए, $w$ लगभग है $v$. चूंकि सापेक्षता में कोई भी वेग $w = artanh( v / c )$ अंतराल के लिए विवश है $w$ अनुपात $v / c$ संतुष्ट करता है $v$. व्युत्क्रम अतिपरवलयिक स्पर्शरेखा में इकाई अंतराल होता है $− c < v < c$ किसी फ़ंक्शन के डोमेन और उसकी छवि (गणित) के लिए पूरी वास्तविक रेखा के लिए; अर्थात अंतराल $v / c$ मानचित्र पर $−1 < v / c < 1$.

इतिहास
1908 में हरमन मिन्कोव्स्की ने समझाया कि कैसे लोरेंत्ज़ परिवर्तन को समन्वय समय के अतिशयोक्तिपूर्ण रोटेशन के रूप में देखा जा सकता है, अर्थात काल्पनिक कोण के माध्यम से रोटेशन। यह कोण इसलिए (स्थानिक आयाम में) फ्रेम के बीच वेग का सरल जोड़ माप का प्रतिनिधित्व करता है। 1910 में व्लादिमीर वेरिकैक द्वारा वेग की जगह रैपिडिटी पैरामीटर प्रस्तुत किया गया था और ई.टी. व्हिटेकर द्वारा। पैरामीटर को अल्फ्रेड रॉब (1911) द्वारा रैपिडिटी नाम दिया गया था और इस शब्द को बाद के कई लेखकों द्वारा अपनाया गया, जैसे लुडविग सिल्बरस्टीन (1914), फ्रैंक मॉर्ले (1936) और वोल्फगैंग रिंडलर (2001)।

अतिशयोक्तिपूर्ण क्षेत्र का क्षेत्रफल
सेंट विंसेंट के ग्रेगरी द्वारा हाइपरबोला xy = 1 के चतुर्भुज (गणित) ने हाइपरबोलिक सेक्टर के क्षेत्र के रूप में प्राकृतिक लघुगणक की स्थापना की, या स्पर्शोन्मुख के बराबर क्षेत्र। अंतरिक्ष-समय सिद्धांत में, प्रकाश द्वारा घटनाओं का संबंध ब्रह्मांड को अतीत, भविष्य, या कहीं और यहां और अभी के आधार पर विभाजित करता है।. अंतरिक्ष में किसी भी रेखा पर, प्रकाश किरण को बाएँ या दाएँ निर्देशित किया जा सकता है। एक्स-अक्ष को दाएँ बीम द्वारा पारित घटनाओं के रूप में और वाई-अक्ष को बाएं बीम की घटनाओं के रूप में लें। फिर आराम करने वाले फ्रेम में विकर्ण x = y के साथ समय होता है। आयताकार हाइपरबोला xy = 1 का उपयोग वेगों को नापने के लिए किया जा सकता है (पहले चतुर्थांश में)। शून्य वेग (1,1) से मेल खाता है। हाइपरबोला पर किसी भी बिंदु में प्रकाश-शंकु निर्देशांक होते हैं $$( e^w, \ e^{-w} ) $$ जहां w तीव्रता है, और इन निर्देशांकों के लिए (1,1) से अतिशयोक्तिपूर्ण क्षेत्र के क्षेत्र के बराबर है। इसके अतिरिक्त कई लेखक इकाई अतिपरवलय का उल्लेख करते हैं $$x^2 - y^2 ,$$ पैरामीटर के लिए रैपिडिटी का उपयोग करना, जैसा कि मानक स्पेसटाइम आरेख में है। वहाँ कुल्हाड़ियों को घड़ी और मीटर-स्टिक, अधिक परिचित बेंचमार्क और स्पेसटाइम सिद्धांत के आधार पर मापा जाता है। तो बीम-स्पेस के हाइपरबोलिक पैरामीटर के रूप में रैपिडिटी का चित्रण संदर्भ है सत्रहवीं शताब्दी में हमारे अनमोल पारलौकिक कार्यों की उत्पत्ति, और स्पेसटाइम डायग्रामिंग का पूरक।

लोरेंत्ज़ बूस्ट
शीघ्रता $(−1, 1)$ सदिश-मैट्रिक्स उत्पाद के रूप में लोरेंत्ज़ बूस्ट के रैखिक प्रतिनिधित्व में उत्पन्न होता है

\begin{pmatrix} c t' \\ x' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cosh w & -\sinh w \\ -\sinh w & \cosh w \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct \\ x \end{pmatrix} = \mathbf \Lambda (w) \begin{pmatrix} ct \\ x \end{pmatrix}$$.

गणित का सवाल $− c &lt; v &lt; c$ प्रकार का है $$\begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix} $$ साथ $−∞ &lt; w &lt; ∞$ और $w$ संतुष्टि देने वाला $Λ(w)$, जिससे कि $p$ अतिपरवलय इकाई पर स्थित है। इस तरह के मैट्रिसेस अनिश्चितकालीन ऑर्थोगोनल समूह बनाते हैं | अनिश्चितकालीन ऑर्थोगोनल समूह ओ (1,1) एक-आयामी लाई बीजगणित के साथ एंटी-डायगोनल यूनिट मैट्रिक्स द्वारा फैलाया जाता है, यह दर्शाता है कि रैपिडिटी इस लाई बीजगणित पर समन्वय है। इस क्रिया को स्पेसटाइम आरेख में दर्शाया जा सकता है। मैट्रिक्स घातीय संकेतन में, $q$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$\mathbf \Lambda (w) = e^{\mathbf Z w}$$, कहाँ $p ^{2} – q ^{2} = 1$ प्रति-विकर्ण इकाई मैट्रिक्स का ऋणात्मक है
 * $$ \mathbf Z =

\begin{pmatrix} 0 & -1 \\   -1 & 0  \end{pmatrix}. $$ इसे सिद्ध करना कठिन नहीं है
 * $$\mathbf{\Lambda}(w_1 + w_2) = \mathbf{\Lambda}(w_1)\mathbf{\Lambda}(w_2)$$.

यह तेजी के उपयोगी योगात्मक गुण को स्थापित करता है: यदि $( p, q )$, $Λ(w)$ और $Z$ संदर्भ के फ्रेम हैं, फिर
 * $$ w_{\text{AC}}= w_{\text{AB}} + w_{\text{BC}}$$

कहाँ $A$ संदर्भ के फ्रेम की तेज़ी को दर्शाता है $B$ संदर्भ के फ्रेम के सापेक्ष $C$. इस सूत्र की सरलता संबंधित वेग-जोड़ सूत्र#विशेष सापेक्षता के सिद्धांत|वेग-जोड़ सूत्र की जटिलता के विपरीत है।

जैसा कि हम ऊपर लोरेंत्ज़ परिवर्तन से देख सकते हैं, लोरेंत्ज़ कारक की पहचान होती है $w_{PQ}$


 * $$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}} \equiv \cosh w$$,

इतनी तेज़ी $Q$ का उपयोग करते हुए लोरेंत्ज़ परिवर्तन अभिव्यक्ति में अतिशयोक्तिपूर्ण कोण के रूप में निहित रूप से उपयोग किया जाता है $P$ और β । हम तीव्रता को वेग-जोड़ सूत्र से संबंधित करते हैं#सापेक्षता का विशेष सिद्धांत|वेग-जोड़ सूत्र


 * $$u = \frac{u_1 + u_2}{1 + \frac{u_1 u_2}{c^2}}$$

पहचानने से


 * $$\beta_i = \frac{u_i}{c} = \tanh{w_i} $$

इसलिए



\begin{align} \tanh w &= \frac{\tanh w_1 + \tanh w_2}{1 + \tanh w_1\tanh w_2} \\ &= \tanh(w_1+ w_2) \end{align} $$ उचित त्वरण (त्वरित होने वाली वस्तु द्वारा त्वरण 'महसूस' किया जाता है) उचित समय के संबंध में तीव्रता के परिवर्तन की दर है (समय के रूप में त्वरण से गुजरने वाली वस्तु द्वारा मापा जाता है)। इसलिए, किसी दिए गए फ्रेम में किसी वस्तु की गति को केवल उस वस्तु के वेग के रूप में देखा जा सकता है, जैसा कि गैर-सापेक्ष रूप से वस्तु पर जड़त्वीय मार्गदर्शन प्रणाली द्वारा गणना की जाएगी, यदि वह उस फ्रेम में आराम से अपनी दी गई गति से त्वरित होती है।.

का उत्पाद $cosh w$ और $w$ अधिकांशतः प्रकट होता है, और उपरोक्त तर्कों से होता है


 * $$\begin{align}

\beta \gamma &= \tanh w \cosh w = \sinh w   \end{align} $$

घातीय और लघुगणक संबंध
उपरोक्त अभिव्यक्तियों से हमारे पास है


 * $$e^{w} = \gamma(1 + \beta) = \gamma \left( 1 + \frac{v}{c} \right) = \sqrt \frac{1 + \tfrac{v}{c}}{1 - \tfrac{v}{c}},$$

और इस तरह


 * $$e^{-w} = \gamma(1 - \beta) = \gamma \left( 1 - \frac{v}{c} \right) = \sqrt \frac{1 - \tfrac{v}{c}}{1 + \tfrac{v}{c}}.$$

या स्पष्ट रूप से


 * $$w = \ln \left[\gamma(1 + \beta)\right] = -\ln \left[\gamma(1 - \beta)\right] \, . $$

आपेक्षिक डॉपलर प्रभाव | डॉप्लर-शिफ्ट फैक्टर रैपिडिटी से जुड़ा हुआ है $γ$ है $$k = e^w$$.

प्रायोगिक कण भौतिकी में
शक्ति $β$ और स्केलर गति $γ$ अशून्य (विराम) द्रव्यमान के कण का $w$ द्वारा दिए गए हैं:
 * $$E = \gamma mc^2$$
 * $$| \mathbf p | = \gamma mv.$$

की परिभाषा के साथ $E$
 * $$ w = \operatorname{artanh} \frac{v}{c},$$

और इस प्रकार साथ
 * $$\cosh w = \cosh \left( \operatorname{artanh} \frac{v}{c} \right) = \frac {1}{ \sqrt { 1- \frac{v^2}{c^2} }} = \gamma$$
 * $$\sinh w = \sinh \left( \operatorname{artanh} \frac{v}{c} \right) = \frac {\frac{v}{c}}{ \sqrt { 1- \frac{v^2}{c^2} }} = \beta \gamma ,$$

ऊर्जा और अदिश संवेग को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
 * $$E = m c^2 \cosh w $$
 * $$| \mathbf p | = m c \, \sinh w. $$

तो, रैपिडिटी की गणना मापी गई ऊर्जा और संवेग से की जा सकती है
 * $$ w = \operatorname{artanh} \frac{| \mathbf p | c}{E}= \frac{1}{2} \ln \frac{E + | \mathbf p | c}{E - | \mathbf p | c}= \ln \frac{E + | \mathbf p | c}{ mc^2} ~.$$

चूंकि, प्रायोगिक कण भौतिक विज्ञानी अधिकांशतः बीम अक्ष के सापेक्ष तीव्रता की संशोधित परिभाषा का उपयोग करते हैं
 * $$y = \frac{1}{2} \ln \frac{E + p_z c}{E - p_z c} ,$$

कहाँ $|p|$ बीम अक्ष के साथ संवेग का घटक है। यह बीम अक्ष के साथ बढ़ावा देने की तीव्रता है जो प्रयोगशाला फ्रेम से पर्यवेक्षक को फ्रेम में ले जाता है जिसमें कण केवल बीम के लंबवत चलता है। इससे संबंधित छद्मता की अवधारणा है।

बीम अक्ष के सापेक्ष रैपिडिटी को भी व्यक्त किया जा सकता है
 * $$y = \ln \frac{E + p_z c}{\sqrt{m^2c^4+p_T^2 c^2} } ~.$$

यह भी देखें

 * बौंडी के-कैलकुलस
 * लोरेंत्ज़ परिवर्तन
 * स्यूडोरैपीडिटी
 * उचित वेग
 * सापेक्षता के सिद्धांत

नोट्स और संदर्भ

 * व्लादिमीर Varićak|Varićak V (1910), (1912), (1924) देखें व्लादिमीर Varićak#प्रकाशन
 * एमिल बोरेल (1913) सापेक्षता और कीनेमेटीक्स का सिद्धांत, कॉम्पटेस रेंडस एकेड साइंस पेरिस 156 215-218; 157 703-705
 * व्लादिमीर कारापेटॉफ (1936) रिस्ट्रिक्टेड रिलेटिविटी इन टर्म्स ऑफ हाइपरबोलिक फंक्शन्स ऑफ रैपिडिटीज, अमेरिकी गणितीय मासिक 43:70।
 * फ्रैंक मॉर्ले (1936) व्हेन एंड व्हेयर, द क्राइटेरियन, संपादित द्वारा टी.एस. एलियट, 15:200-2009।
 * वोल्फगैंग रिंडलर (2001) रिलेटिविटी: स्पेशल, जनरल, एंड कॉस्मोलॉजिकल, पेज 53, ऑक्सफोर्ड यूनिवरसिटि प्रेस ।
 * शॉ, रोनाल्ड (1982) रेखीय बीजगणित और समूह प्रतिनिधित्व, वी। 1, पृष्ठ 229, अकादमिक प्रेस ISBN 0-12-639201-3.
 * (ई-लिंक का पेज 17 देखें)
 * वोल्फगैंग रिंडलर (2001) रिलेटिविटी: स्पेशल, जनरल, एंड कॉस्मोलॉजिकल, पेज 53, ऑक्सफोर्ड यूनिवरसिटि प्रेस ।
 * शॉ, रोनाल्ड (1982) रेखीय बीजगणित और समूह प्रतिनिधित्व, वी। 1, पृष्ठ 229, अकादमिक प्रेस ISBN 0-12-639201-3.
 * (ई-लिंक का पेज 17 देखें)

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