चिरसम्मत क्षेत्र सिद्धांत

शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत एक भौतिक सिद्धांत है जो क्वांटम यांत्रिकी पर विचार किए बिना भविष्यवाणी करता है कि कैसे एक या अधिक क्षेत्र (भौतिकी) क्षेत्र समीकरणों के माध्यम से पदार्थ के साथ वार्तालाप करते हैं; सिद्धांत जो क्वांटम यांत्रिकी को सम्मिलित करते हैं उन्हें क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत कहा जाता है। अधिकांश संदर्भों में, 'शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत' का उद्देश्य विशेष रूप से विद्युत चुंबकत्व और गुरुत्वाकर्षण, प्रकृति की दो मूलभूत शक्तियों का वर्णन करना है।

भौतिक क्षेत्र को अंतरिक्ष और समय के प्रत्येक बिंदु पर भौतिक मात्रा के असाइनमेंट के रूप में माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, मौसम पूर्वानुमान में, एक देश में एक दिन के समय हवा के वेग को अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु पर वेक्टर (गणित और भौतिकी) निर्दिष्ट करके वर्णित किया जाता है। प्रत्येक वेक्टर उस बिंदु पर हवा की गति की दिशा का प्रतिनिधित्व करता है, इसलिए एक निश्चित समय पर एक क्षेत्र में सभी पवन वैक्टरों का सेट वेक्टर क्षेत्र का गठन करता है। जैसे-जैसे दिन बढ़ता है, वैसे-वैसे दिशाएँ परिवर्तित हो जाती हैं, और हवा की दिशा परिवर्तित हो जाती है।

1905 में सापेक्षता सिद्धांत के आगमन से पहले प्रथम क्षेत्र सिद्धांत, न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण और विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के मैक्सवेल के समीकरणों को शास्त्रीय भौतिकी में विकसित किया गया था, और उस सिद्धांत के अनुरूप होने के लिए संशोधित किया जाना था। परिणामस्वरूप, शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांतों को सामान्यतः 'गैर-सापेक्षवादी' और 'सापेक्षवादी' के रूप में वर्गीकृत किया जाता है। आधुनिक क्षेत्र सिद्धांतों को सामान्यतः टेंसर कैलकुलेशन के गणित का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है। एक और हालिया वैकल्पिक गणितीय औपचारिकता शास्त्रीय क्षेत्रों को गणितीय वस्तुओं के खंडों के रूप में वर्णित करती है जिन्हें फाइबर बंडल कहा जाता है।

गैर-सापेक्ष क्षेत्र सिद्धांत
कुछ सबसे सरल भौतिक क्षेत्र सदिश बल क्षेत्र हैं। ऐतिहासिक रूप से, पहली बार फ़ील्ड्स को गंभीरता से लिया गया था जब विद्युत क्षेत्र का वर्णन करते समय माइकल फैराडे की बल की रेखाएं थीं। गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र को तब इसी तरह वर्णित किया गया था।

न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण
गुरुत्वाकर्षण का पहला क्षेत्र सिद्धांत (भौतिकी) न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण का सिद्धांत था जिसमें दो द्रव्यमान के बीच परस्पर क्रिया व्युत्क्रम वर्ग नियम का पालन करती है। सूर्य के चारों ओर ग्रहों की गति की भविष्यवाणी करने के लिए यह बहुत उपयोगी था।

किसी भी विशाल पिंड M में गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र 'g' होता है जो अन्य विशाल पिंडों पर इसके प्रभाव का वर्णन करता है। अंतरिक्ष में एक बिंदु 'r' पर M का गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र 'F' बल का निर्धारण करके पाया जाता है जो M, 'r' पर स्थित एक छोटे परीक्षण द्रव्यमान m पर लगाता है, और फिर m से विभाजित होता है: $$ \mathbf{g}(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r})}{m}.$$ यह निर्धारित करना कि m, M से बहुत छोटा है, यह सुनिश्चित करता है कि m की उपस्थिति का M के व्यवहार पर नगण्य प्रभाव पड़ता है।

न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार, 'F'('r') द्वारा दिया जाता है $$\mathbf{F}(\mathbf{r}) = -\frac{G M m}{r^2}\hat{\mathbf{r}},$$ यहाँ पर $$\hat{\mathbf{r}}$$ M से m तक की रेखा के साथ इंगित करने वाला इकाई वेक्टर है, और G न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है। इसलिए, M का गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र है $$\mathbf{g}(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r})}{m} = -\frac{G M}{r^2}\hat{\mathbf{r}}.$$ प्रायोगिक अवलोकन कि जड़त्वीय द्रव्यमान और गुरुत्वाकर्षण द्रव्यमान सटीकता के अभूतपूर्व स्तर के बराबर हैं, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के बल की पहचान एक कण द्वारा अनुभव किए गए त्वरण के समान होती है। यह तुल्यता सिद्धांत का प्रारंभिक बिंदु है, जो सामान्य सापेक्षता की ओर ले जाता है।

द्रव्यमान के असतत संग्रह के लिए, Mi, बिंदुओं पर स्थित, ri, द्रव्यमान के कारण बिंदु r पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र है $$\mathbf{g}(\mathbf{r})=-G\sum_i \frac{M_i(\mathbf{r}-\mathbf{r_i})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|^3} \,, $$ यदि हमारे पास निरंतर द्रव्यमान वितरण ρ है, तो योग को एक अभिन्न द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, $$\mathbf{g}(\mathbf{r})=-G \iiint_V \frac{\rho(\mathbf{x})d^3\mathbf{x}(\mathbf{r}-\mathbf{x})}{|\mathbf{r}-\mathbf{x}|^3} \,, $$ ध्यान दें कि क्षेत्र की दिशा स्थिति r से द्रव्यमान ri की स्थिति की ओर इंगित करती है, यह माइनस साइन द्वारा सुनिश्चित किया जाता है। संक्षेप में, इसका अर्थ है कि सभी द्रव्यमान आकर्षित होते हैं।

अभिन्न रूप में गुरुत्वाकर्षण के लिए गॉस का नियम है $$\iint\mathbf{g}\cdot d \mathbf{S} = -4\pi G M$$ जबकि अवकल रूप में है $$\nabla \cdot\mathbf{g} = -4\pi G\rho_m $$ इसलिए, गुरुत्वीय क्षेत्र g को गुरुत्वीय विभव की प्रवणता के रूप में लिखा जा सकता है $φ(r)$: $$\mathbf{g}(\mathbf{r}) = -\nabla \phi(\mathbf{r}).$$ यह गुरुत्वाकर्षण बल F के रूढ़िवादी क्षेत्र होने का परिणाम है।

इलेक्ट्रोस्टैटिक्स
आवेश q के साथ एक परीक्षण आवेश केवल अपने आवेश पर आधारित एक बल 'F' का अनुभव करता है। इसी प्रकार हम स्रोत आवेश Q द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र 'E' का वर्णन कर सकते हैं जिससे $F = qE$: $$ \mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r})}{q}.$$ इसका और कूलम्ब के नियम का उपयोग करने पर एक आवेशित कण के कारण विद्युत क्षेत्र होता है $$\mathbf{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r^2} \hat{\mathbf{r}} \,. $$ विद्युत क्षेत्र रूढ़िवादी क्षेत्र है, और इसलिए एक स्केलर क्षमता के ढाल द्वारा दिया जाता है, $V(r)$ $$ \mathbf{E}(\mathbf{r}) = -\nabla V(\mathbf{r}) \,. $$ विद्युत के लिए गॉस का नियम अभिन्न रूप में है $$\iint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$$ जबकि विभेदक रूप में $$\nabla \cdot\mathbf{E} = \frac{\rho_e}{\varepsilon_0} \,. $$

मैग्नेटोस्टैटिक्स
पथ ℓ के साथ बहने वाली एक स्थिर धारा I पास के आवेशित कणों पर बल लगाती है जो ऊपर वर्णित विद्युत क्षेत्र बल से मात्रात्मक रूप से भिन्न होता है। वेग 'v' के साथ पास के आवेश q पर लगाया गया बल है $$\mathbf{F}(\mathbf{r}) = q\mathbf{v} \times \mathbf{B}(\mathbf{r}),$$ जहां B (r) चुंबकीय क्षेत्र है, जो बायोट-सावर्ट कानून द्वारा I से निर्धारित होता है: $$\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \int \frac{d\boldsymbol{\ell} \times d\hat{\mathbf{r}}}{r^2}.$$ चुंबकीय क्षेत्र सामान्य रूप से रूढ़िवादी नहीं है, और इसलिए सामान्यतः स्केलर क्षमता के संदर्भ में नहीं लिखा जा सकता है। चूँकि, इसे एक चुंबकीय सदिश क्षमता, A(r) के संदर्भ में लिखा जा सकता है: $$ \mathbf{B}(\mathbf{r}) = \nabla \times \mathbf{A}(\mathbf{r}) $$ समाकलित रूप में चुम्बकत्व के लिए गाउस का नियम है $$\iint\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S} = 0, $$ जबकि अवकल रूप में है $$\nabla \cdot\mathbf{B} = 0. $$ भौतिक व्याख्या यह है कि यहाँ कोई चुंबकीय मोनोपोल नहीं हैं।

इलेक्ट्रोडायनामिक्स
सामान्य तौर पर, आवेश घनत्व ρ(r, t) और धारा घनत्व J(r, t) दोनों की उपस्थिति में, विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र दोनों होंगे, और दोनों समय के साथ अलग-अलग होंगे। वे मैक्सवेल के समीकरणों द्वारा निर्धारित होते हैं, अंतर समीकरणों का एक सेट जो सीधे E और B को विद्युत चार्ज घनत्व (चार्ज प्रति इकाई मात्रा) ρ और वर्तमान घनत्व (विद्युत वर्तमान प्रति इकाई क्षेत्र) J से संबंधित करता है।

वैकल्पिक रूप से, कोई सिस्टम को उसके स्केलर और वेक्टर क्षमता V और A के संदर्भ में वर्णित कर सकता है। मंद क्षमता के रूप में जाने जाने वाले अभिन्न समीकरणों का एक सेट, ρ और J से V और A की गणना करने की अनुमति देता है, और वहां से संबंधों के माध्यम से विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र निर्धारित किए जाते हैं $$ \mathbf{E} = -\nabla V - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$$$$ \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}.$$

द्रव गतिकी
द्रव गतिकी में दबाव, घनत्व और प्रवाह दर के क्षेत्र होते हैं जो ऊर्जा और संवेग के लिए संरक्षण कानूनों से जुड़े होते हैं। द्रव्यमान निरंतरता समीकरण एक निरंतरता समीकरण है, जो द्रव्यमान के संरक्षण का प्रतिनिधित्व करता है $$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf u) = 0 $$ और नेवियर-स्टोक्स समीकरण द्रव में संवेग के संरक्षण का प्रतिनिधित्व करते हैं, जो तरल पर लागू न्यूटन के नियमों से प्राप्त होता है, $$\frac {\partial}{\partial t} (\rho \mathbf u) + \nabla \cdot (\rho \mathbf u \otimes \mathbf u + p \mathbf I) = \nabla \cdot \boldsymbol \tau + \rho \mathbf b $$ अगर घनत्व $ρ$, दबाव $p$, विचलित तनाव टेंसर $τ$ तरल पदार्थ के साथ-साथ बाहरी शरीर बल b, सभी दिए गए हैं। वेग क्षेत्र u समाधान करने के लिए सदिश क्षेत्र है।

अन्य उदाहरण
1839 में, जेम्स मैककुलघ ने क्रिस्टलीय प्रतिबिंब और अपवर्तन के गतिशील सिद्धांत की ओर एक निबंध में प्रतिबिंब (भौतिकी) और अपवर्तन का वर्णन करने के लिए क्षेत्र समीकरण प्रस्तुत किए।

संभावित सिद्धांत
संभावित सिद्धांत शब्द इस तथ्य से उत्पन्न होता है कि, 19वीं सदी के भौतिकी में, प्रकृति की मूलभूत शक्तियों को स्केलर क्षमता से प्राप्त माना जाता था जो लाप्लास के समीकरण को संतुष्ट करती थी। पोइसन ने ग्रहों की कक्षाओं की स्थिरता के प्रश्न को संबोधित किया, जो पहले से ही लाग्रेंज द्वारा गड़बड़ी बलों से सन्निकटन की पहली डिग्री तक तय किया गया था, और उसके नाम पर पॉइसन के समीकरण को व्युत्पन्न किया। इस समीकरण का सामान्य रूप है

$$\nabla^2 \phi = \sigma $$ जहां σ एक स्रोत फलन है (घनत्व के रूप में, एक मात्रा प्रति इकाई आयतन) और φ के लिए समाधान करने के लिए अदिश क्षमता है।

न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण में; द्रव्यमान क्षेत्र के स्रोत हैं जिससे क्षेत्र रेखाएं द्रव्यमान वाली वस्तुओं पर समाप्त हो जाएं। इसी तरह, आवेश इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्रों के स्रोत और सिंक हैं: सकारात्मक आवेश विद्युत क्षेत्र रेखाएँ उत्पन्न करते हैं, और क्षेत्र रेखाएँ ऋणात्मक आवेशों पर समाप्त होती हैं। इन क्षेत्र अवधारणाओं को सामान्य विचलन प्रमेय में भी चित्रित किया गया है, विशेष रूप से गुरुत्वाकर्षण और विद्युत के लिए गॉस के नियम। समय-स्वतंत्र गुरुत्वाकर्षण और विद्युत चुंबकत्व के स्थितियों के लिए, क्षेत्र इसी क्षमता के ढाल हैं $$\mathbf{g} = - \nabla \phi_g \,,\quad \mathbf{E} = - \nabla \phi_e $$ इसलिए इन्हें प्रत्येक स्थिति के लिए गॉस के कानून में प्रतिस्थापित करना प्राप्त होता है $$\nabla^2 \phi_g = 4\pi G \rho_g \,, \quad \nabla^2 \phi_e = 4\pi k_e \rho_e = - {\rho_e \over \varepsilon_0}$$ जहां ρg द्रव्यमान घनत्व है, ρeआवेश घनत्व, G गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक और ke = 1/4πε0 विद्युत बल स्थिरांक।

संयोग से, यह समानता न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम और कूलम्ब के नियम के बीच समानता से उत्पन्न होती है।

ऐसे स्थिति में जहां कोई स्रोत शब्द नहीं है (जैसे निर्वात, या युग्मित शुल्क), ये क्षमताएँ लाप्लास के समीकरण का पालन करती हैं: $$\nabla^2 \phi = 0.$$ द्रव्यमान (या आवेश) के वितरण के लिए, संभावित को गोलाकार हार्मोनिक्स की एक श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है, और श्रृंखला में nवें पद को 2n-क्षणों से उत्पन्न होने वाली क्षमता के रूप में देखा जा सकता है।

(मल्टीपोल विस्तार देखें)। कई उद्देश्यों के लिए गणना में केवल एकध्रुव, द्विध्रुव और चतुष्कोणीय शब्दों की आवश्यकता होती है।

सापेक्षवादी क्षेत्र सिद्धांत
शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांतों के आधुनिक सूत्रीकरण के लिए सामान्यतः लोरेंत्ज़ सहप्रसरण की आवश्यकता होती है क्योंकि इसे अब प्रकृति के एक मूलभूत पहलू के रूप में मान्यता दी गई है। लैग्रैंजियन (क्षेत्र सिद्धांत) का उपयोग करके क्षेत्र सिद्धांत को गणितीय रूप से व्यक्त किया जाता है। यह एक कार्य है, जब क्रिया सिद्धांत के अधीन, सिद्धांत के लिए क्षेत्र समीकरण और संरक्षण कानून (भौतिकी) को जन्म देता है। क्रिया (भौतिकी) एक लोरेंत्ज़ अदिश है, जिससे क्षेत्र समीकरण और समरूपता आसानी से प्राप्त की जा सकती है।

पूरे समय हम इकाइयों का उपयोग इस प्रकार करते हैं कि निर्वात में प्रकाश की गति 1 है, अर्थात c = 1।

लैग्रैंजियन गतिशीलता
फील्ड टेन्सर दिया $$\phi$$, एक अदिश जिसे लैग्रैंजियन घनत्व कहा जाता है$$\mathcal{L}(\phi,\partial\phi,\partial\partial\phi, \ldots ,x)$$से बनाया जा सकता है $$\phi$$ और इसके डेरिवेटिव। इस घनत्व से, स्पेसटाइम पर एकीकृत करके एक्शन फंक्शनल का निर्माण किया जा सकता है, $$\mathcal{S} = \int{\mathcal{L}\sqrt{-g}\, \mathrm{d}^4x}.$$ जहाँ $$\sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4x$$ घुमावदार स्पेसटाइम में वॉल्यूम रूप है। $$(g\equiv \det(g_{\mu\nu}))$$

इसलिए, लैग्रैंजियन ही पूरे स्थान पर लैग्रैंजियन घनत्व के अभिन्न के बराबर है।

फिर क्रिया (भौतिकी) को लागू करके, यूलर-लैग्रेंज समीकरण प्राप्त किए जाते हैं

$$\frac{\delta \mathcal{S}}{\delta\phi} = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} -\partial_\mu \left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right)+ \cdots +(-1)^m\partial_{\mu_1} \partial_{\mu_2} \cdots \partial_{\mu_{m-1}} \partial_{\mu_m} \left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu_1} \partial_{\mu_2}\cdots\partial_{\mu_{m-1}}\partial_{\mu_m} \phi)}\right) = 0.$$

सापेक्ष क्षेत्र
दो सबसे प्रसिद्ध लोरेंत्ज़-सहसंयोजक शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांतों का अब वर्णन किया गया है।

विद्युत चुंबकत्व
ऐतिहासिक रूप से, पहले (शास्त्रीय) क्षेत्र सिद्धांत वे थे जो विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र (अलग-अलग) का वर्णन करते थे। कई प्रयोगों के पश्चात, यह पाया गया कि ये दो क्षेत्र संबंधित थे, या, वास्तव में, एक ही क्षेत्र के दो पहलू: विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र। जेम्स क्लर्क मैक्सवेल का विद्युत चुंबकत्व का सिद्धांत विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के साथ आवेशित पदार्थ की परस्पर क्रिया का वर्णन करता है। इस क्षेत्र सिद्धांत के पहले सूत्रीकरण ने विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों का वर्णन करने के लिए सदिश क्षेत्रों का उपयोग किया। विशेष आपेक्षिकता के आगमन के साथ, टेन्सर क्षेत्रों का उपयोग करते हुए अधिक पूर्ण सूत्रीकरण पाया गया। विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों का वर्णन करने वाले दो सदिश क्षेत्रों का उपयोग करने के अतिरिक्त, इन दो क्षेत्रों का एक साथ प्रतिनिधित्व करने वाले टेंसर क्षेत्र का उपयोग किया जाता है।

विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता को परिभाषित किया गया है $A_{a} = (−φ, A)$, और चार-धारा | विद्युत-चुंबकीय चार-धारा $j_{a} = (−ρ, j)$. स्पेसटाइम में किसी भी बिंदु पर विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र को एंटीसिमेट्रिक (0,2)-रैंक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र टेंसर द्वारा वर्णित किया गया है $$F_{ab} = \partial_a A_b - \partial_b A_a.$$

लैग्रैंगियन
इस क्षेत्र के लिए गतिकी प्राप्त करने के लिए, हम प्रयत्न करते हैं और क्षेत्र से एक अदिश का निर्माण करते हैं। निर्वात में, हमारे पास है $$\mathcal{L} = -\frac{1}{4\mu_0}F^{ab}F_{ab}\,.$$ हम इंटरेक्शन शब्द प्राप्त करने के लिए गेज क्षेत्र सिद्धांत का उपयोग कर सकते हैं, और यह हमें देता है $$\mathcal{L} = -\frac{1}{4\mu_0}F^{ab}F_{ab} - j^aA_a\,.$$

समीकरण
क्षेत्र समीकरणों को प्राप्त करने के लिए, लैग्रैंजियन घनत्व में विद्युत चुम्बकीय टेंसर को 4-संभाव्य A के संदर्भ में इसकी परिभाषा से प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है, और यह वह क्षमता है जो यूलर-लैग्रेंज समीकरणों में प्रवेश करती है। EM फ़ील्ड F, EL समीकरणों में भिन्न नहीं है। इसलिए, $$\partial_b\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\left(\partial_b A_a\right)}\right)=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A_a} \,.$$ क्षेत्र घटकों के संबंध में लैग्रैंजियन घनत्व के व्युत्पन्न का मूल्यांकन $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A_a} = \mu_0 j^a \,, $$ और क्षेत्र घटकों के डेरिवेटिव $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_b A_a)} = F^{ab} \,, $$ निर्वात में मैक्सवेल के समीकरण प्राप्त करता है। स्रोत समीकरण (विद्युत के लिए गॉस का नियम और मैक्सवेल-एम्पीयर का नियम) हैं $$\partial_b F^{ab}=\mu_0 j^a \,. $$ जबकि अन्य दो (चुंबकत्व के लिए गॉस का नियम और फैराडे का नियम) इस तथ्य से प्राप्त होते हैं कि F, A का 4-कर्ल है, या, दूसरे शब्दों में, इस तथ्य से कि बियांची पहचान विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र टेंसर के लिए है। $$6F_{[ab,c]} \, = F_{ab,c} + F_{ca,b} + F_{bc,a} = 0. $$ जहां अल्पविराम आंशिक व्युत्पन्न इंगित करता है।

गुरुत्वाकर्षण
न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण को विशेष सापेक्षता के साथ असंगत पाए जाने के पश्चात, अल्बर्ट आइंस्टीन ने गुरुत्वाकर्षण का एक नया सिद्धांत तैयार किया जिसे सामान्य सापेक्षता कहा जाता है। यह गुरुत्वाकर्षण को एक ज्यामितीय घटना ('घुमावदार अंतरिक्ष समय') के रूप में मानता है जो द्रव्यमान के कारण होता है और मीट्रिक टेन्सर (सामान्य सापेक्षता) नामक टेंसर क्षेत्र द्वारा गणितीय रूप से गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है। आइंस्टीन फील्ड समीकरण बताते हैं कि यह वक्रता कैसे उत्पन्न होती है। न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण अब आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत से आगे निकल गया है, जिसमें गुरुत्वाकर्षण को एक घुमावदार स्पेसटाइम के कारण माना जाता है, जो द्रव्यमान के कारण होता है। आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण, $$G_{ab} = \kappa T_{ab} $$ वर्णन करें कि यह वक्रता पदार्थ और विकिरण द्वारा कैसे उत्पन्न होती है, जहाँ Gab आइंस्टीन टेंसर है, $$G_{ab} \, = R_{ab}-\frac{1}{2} R g_{ab}$$ रिक्की टेंसर Rab के संदर्भ में लिखा गया है और रिक्की अदिश $R = R_{ab}g^{ab}$, $T_{ab}$ तनाव-ऊर्जा टेन्सर है और $κ = 8πG/c^{4}$ एक स्थिरांक है। पदार्थ और विकिरण (स्रोतों सहित) की अनुपस्थिति में निर्वात क्षेत्र समीकरण $$G_{ab} = 0 $$ आइंस्टीन-हिल्बर्ट क्रिया को परिवर्तित कर प्राप्त किया जा सकता है, $$ S = \int R \sqrt{-g} \, d^4x $$ मीट्रिक के संबंध में, जहाँ g मीट्रिक टेन्सर (सामान्य सापेक्षता) gab का निर्धारक है, निर्वात क्षेत्र समीकरणों के समाधान निर्वात विलयन कहलाते हैं। आर्थर एडिंगटन के कारण वैकल्पिक व्याख्या यह है $$R$$ मौलिक है, $$T$$ का पहलू मात्र है $$R$$, और $$\kappa$$ इकाइयों की पसंद से मजबूर है।

आगे के उदाहरण
लोरेंत्ज़-सहसंयोजक शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांतों के और उदाहरण हैं
 * वास्तविक या जटिल अदिश क्षेत्रों के लिए क्लीन-गॉर्डन सिद्धांत
 * डायराक स्पिनर क्षेत्र के लिए डिराक समीकरण सिद्धांत
 * गैर-अबेलियन गेज क्षेत्र के लिए यांग-मिल्स सिद्धांत

एकीकरण के प्रयास
शास्त्रीय भौतिकी पर आधारित एकीकृत क्षेत्र सिद्धांत बनाने का प्रयास शास्त्रीय एकीकृत क्षेत्र सिद्धांत हैं। दो विश्व युद्धों के बीच के वर्षों के समय, अल्बर्ट आइंस्टीन, हरमन वेइल, आर्थर एडिंगटन, गुस्ताव मी अर्न्स्ट रीचेनबैकर और थिओडोर कलुजा जैसे कई गणितज्ञों और भौतिकविदों द्वारा विद्युत चुंबकत्व के साथ गुरुत्वाकर्षण के एकीकरण के विचार को सक्रिय रूप से आगे बढ़ाया गया था।

इस तरह के सिद्धांत को बनाने के प्रारंभिक प्रयास विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र को सामान्य सापेक्षता की ज्यामिति में सम्मिलित करने पर आधारित थे। 1918 में, 1918 में हर्मन वेइल द्वारा विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के पहले ज्यामितीयकरण का प्रसंग प्रस्तावित किया गया था।

1919 में, थिओडोर कलुजा द्वारा पांच-आयामी दृष्टिकोण का विचार सुझाया गया था। उसी से, कलुजा-क्लेन थ्योरी नामक सिद्धांत विकसित किया गया था। यह पांच आयामी अंतरिक्ष-समय में गुरुत्वाकर्षण और विद्युत चुंबकत्व को एकजुट करने का प्रयास करता है।

एकीकृत क्षेत्र सिद्धांत के लिए प्रतिनिधित्वात्मक ढांचे को विस्तारित करने की कई विधियाँ हैं जिन पर आइंस्टीन और अन्य शोधकर्ताओं ने विचार किया है। सामान्य तौर पर ये एक्सटेंशन दो विकल्पों पर आधारित होते हैं। पहला विकल्प मूल सूत्रीकरण पर लगाई गई आधारों को शिथिल करने पर आधारित है, और दूसरा सिद्धांत में अन्य गणितीय वस्तुओं को सम्मिलित करने पर आधारित है। पहले विकल्प का उदाहरण उच्च-आयामी अभ्यावेदन पर विचार करके चार-आयामी स्थान-समय के प्रतिबंधों को शिथिल कर रहा है। इसका उपयोग कलुजा-क्लेन थ्योरी में किया जाता है। दूसरे के लिए, सबसे प्रमुख उदाहरण अफ्फिने कनेक्शन की अवधारणा से उत्पन्न होता है जिसे मुख्य रूप से टुल्लियो लेवी-सिविता और हरमन वेइल के काम के माध्यम से सामान्य सापेक्षता में प्रस्तुत किया गया था।

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के आगे के विकास ने एकीकृत क्षेत्र सिद्धांत की खोज के फोकस को क्लासिकल से क्वांटम विवरण में परिवर्तित कर दिया। उसके कारण, कई सैद्धांतिक भौतिकविदों ने शास्त्रीय एकीकृत क्षेत्र सिद्धांत की खोज छोड़ दी। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में दो अन्य मूलभूत अंतःक्रियाओं का एकीकरण सम्मिलित होगा, मजबूत परमाणु बल और कमजोर परमाणु बल जो उपपरमाण्विक स्तर पर कार्य करते हैं।

यह भी देखें

 * आपेक्षिक तरंग समीकरण
 * क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत
 * शास्त्रीय एकीकृत क्षेत्र सिद्धांत
 * सामान्य सापेक्षता में परिवर्तनशील विधि
 * हिग्स फील्ड (शास्त्रीय)
 * लैग्रेंजियन (क्षेत्र सिद्धांत)
 * हैमिल्टनियन क्षेत्र सिद्धांत
 * सहसंयोजक हैमिल्टनियन क्षेत्र सिद्धांत