वेवनंबर

भौतिक विज्ञान में, वेवनंबर (तरंग संख्या) ) को दोहराव के रूप में भी जाना जाता है, जिसे चक्र प्रति इकाई दूरी ('साधारण तरंगांक') या रेडियन प्रति इकाई दूरी ('कोणीय तरंगांक') में मापा जाता है। यह टेम्पोरल आवृति के अनुरूप है, जिसे प्रति यूनिट समय (साधारण आवृत्ति) या रेडियन प्रति यूनिट समय (कोणीय आवृत्ति) के तरंग चक्रों की संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है।

बहुआयामी प्रणालियों में, तरंग संख्या तरंग वेक्टर का परिमाण है। तरंग सदिशों के स्थान को व्युत्क्रम स्थान कहते हैं। तरंग संख्या और तरंग वेक्टर प्रकाशिकी और तरंग प्रकीर्णन की भौतिकी में आवश्यक भूमिका निभाते हैं, जैसे कि एक्स-रे विवर्तन, न्यूट्रॉन विवर्तन, इलेक्ट्रॉन विवर्तन और प्राथमिक कण भौतिकी इत्यादि है | क्वांटम यांत्रिक तरंगों के लिए, कम प्लैंक स्थिरांक से गुणा की गई तरंग संख्या संवेग संवाहक है।

तरंग संख्या का उपयोग स्थानिक आवृत्ति के अतिरिक्त अन्य मात्राओं को निर्दिष्ट करने के लिए किया जा सकता है। प्रकाशिक स्पेक्ट्रोस्कोपी में, इसे अधिकांशतः प्रकाश की निश्चित गति मानकर अस्थायी आवृत्ति की इकाई के रूप में उपयोग किया जाता है।

परिभाषा
तरंग संख्या, जैसा कि स्पेक्ट्रोस्कोपी और अधिकांश रसायन विज्ञान क्षेत्रों में उपयोग किया जाता है, को प्रति इकाई दूरी की तरंग दैर्ध्य की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है, सामान्यतौर पर सेंटीमीटर (cm-1):
 * $$\tilde{\nu} \;=\; \frac{1}{\lambda},$$

जहां तरंग दैर्ध्य है। इसे कभी-कभी स्पेक्ट्रोस्कोपिक तरंग संख्या कहा जाता है। यह स्थानिक आवृत्ति के बराबर है। व्युत्क्रम सेमी में तरंग संख्या को 29.9792458 (सेंटीमीटर प्रति नैनोसेकंड में प्रकाश की गति) से गुणा करके GHz में आवृत्ति में परिवर्तित किया जा सकता है। 29.9792458 गीगाहर्ट्ज़ पर विद्युत चुम्बकीय तरंग की रिक्त जगह में 1 सेमी की तरंग दैर्ध्य होती है।

सैद्धांतिक भौतिकी में, प्रति इकाई दूरी रेडियन की संख्या के रूप में परिभाषित तरंग संख्या, जिसे कभी-कभी कोणीय तरंगांक कहा जाता है, का अत्यधिक बार उपयोग किया जाता है:
 * $$k \;=\; \frac{2\pi}{\lambda}$$

जब तरंग संख्या को $&nu;$ प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है, आवृत्ति अभी भी प्रतिनिधित्व की जा रही है। जैसा कि स्पेक्ट्रोस्कोपी अनुभाग में वर्णित है, यह संबंध $\frac{\nu_{s}}{c} \;=\; \frac{1}{\lambda} \;\equiv\; \tilde{\nu}$ के माध्यम से किया जाता है, जहाँ  पे $&nu;$s हेटर्स में आवृत्ति है। यह सुविधा के लिए किया जाता है क्योंकि आवृत्तियाँ बहुत बड़ी होती हैं। तरंग संख्या में पारस्परिक लंबाई का आयामी विश्लेषण है, इसलिए इसकी इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली (m-1) मीटर का पारस्परिक है। स्पेक्ट्रोस्कोपी में सीजीएस इकाई (अर्थात, पारस्परिक सेंटीमीटर; cm-1) में तरंग संख्या देना सामान्य है; इस संदर्भ में, तरंग संख्या को पूर्व में केसर कहा जाता था, हेनरिक कैसरो के बाद (कुछ पुराने वैज्ञानिक पत्रों ने इस इकाई का उपयोग किया है, जिसे K के रूप में संक्षिप्त किया गया, जहां 1K = 1cm-1) है। कोणीय तरंगांक को रेडियन प्रति मीटर (radim-1.) में व्यक्त किया जा सकता है), या ऊपर के रूप में, क्योंकि रेडियन आयामहीन है।

निर्वात में विद्युत चुम्बकीय विकिरण के लिए, तरंग संख्या आवृत्ति और फोटॉन ऊर्जा के सीधे आनुपातिक होता है। इस प्रकार से, स्पेक्ट्रोस्कोपी में तरंगों का उपयोग ऊर्जा की एक सुविधाजनक इकाई के रूप में किया जाता है।

जटिल
जटिल-मूल्य तरंग संख्या को जटिल-मूल्य सापेक्ष पारगम्यता वाले माध्यम $$\varepsilon_r$$ के लिए परिभाषित किया जा सकता है, सापेक्ष पारगम्यता (विद्युत चुंबकत्व) $$\mu_r$$ और अपवर्तन सूचकांक  n के रूप में:
 * $$k = k_0 \sqrt{\varepsilon_r\mu_r} = k_0 n$$

जहां k0 ऊपर के रूप में, रिक्त-स्थान तरंग संख्या है। तरंग संख्या का काल्पनिक भाग प्रति इकाई दूरी क्षीणन को व्यक्त करता है और तेजी से क्षय होने वाले क्षेत्रों के अध्ययन में उपयोगी है।

रैखिक मीडिया में समतल तरंगें
रैखिक सामग्री में x दिशा में फैलने वाले साइनसॉइडल (ज्यावक्रीय समतल तरंग का प्रसार कारक द्वारा दिया जाता है
 * $$ P = e^{-jkx}  $$

जहाँ पे
 * $$k = k' - jk = \sqrt{-\left(\omega \mu  + j \omega \mu' \right) \left(\sigma + \omega \varepsilon '' + j \omega \varepsilon ' \right) }\;$$
 * $$k' =$$ रेडियन/मीटर. की इकाइयों में चरण स्थिरांक
 * $$k'' =$$ के माध्यम से नेपर्स/मीटर की इकाइयों में क्षीणन स्थिरांक
 * $$\omega =$$ रेडियन/मीटर. की इकाइयों में आवृत्ति
 * $$x =$$ x दिशा में तय की गई दूरी
 * $$\sigma =$$ सीमेंस (इकाई) /मीटर. में  विद्युत प्रतिरोधकता और चालकता
 * $$\varepsilon = \varepsilon' - j\varepsilon'' =$$ जटिल परमिटिटिविटी
 * $$\mu = \mu' - j\mu'' =$$ जटिल पारगम्यता
 * $$j=\sqrt{-1}$$
 * हानिपूर्ण मीडिया में प्रसार के साथ संगति के लिए साइन कन्वेंशन (चिन्ह परिपाटी) का चयन किया जाता है। यदि क्षीणन स्थिरांक धनात्मक है, तो जैसे-जैसे तरंग x दिशा में फैलती है, तरंग का आयाम घटता जाता है।

तरंग दैर्ध्य, चरण वेग, और त्वचा प्रभाव का तरंगांक के घटकों के साथ सरल संबंध हैं:
 * $$ \lambda = \frac {2 \pi} {k'} \qquad v_p = \frac {\omega} {k'}   \qquad  \delta = \frac 1 {k''}  $$

तरंग समीकरणों में
यहाँ हम मानते हैं कि तरंग इस अर्थ में नियमित है कि तरंग का वर्णन करने वाली विभिन्न मात्राएँ जैसे तरंग दैर्ध्य, आवृत्ति और इस प्रकार तरंग संख्या स्थिरांक हैं। कथन को बताने के लिए तरंग पिटक देखें जब ये मात्रा स्थिर नहीं होती है।

सामान्य तौर पर, कोणीय तरंगांक k (अर्थात तरंग सदिश का परिमाण (गणित) द्वारा दिया जाता है
 * $$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi\nu}{v_\mathrm{p}}=\frac{\omega}{v_\mathrm{p}}$$

जहां v तरंग की आवृत्ति है, λ तरंग दैर्ध्य है, ω = 2πν तरंग की कोणीय आवृत्ति है, और vp तरंग का चरण वेग है। तरंग संख्या की आवृत्ति पर निर्भरता (या अत्यधिक सामान्यतः तरंग संख्या पर आवृत्ति) को परिक्षेपण सम्बन्ध के रूप में जाना जाता है।

निर्वात में विद्युत चुम्बकीय तरंग के विशेष कथन के लिए, जिसमें तरंग प्रकाश की गति से फैलती है, k द्वारा दिया जाता है:
 * $$k = \frac{E}{\hbar c}$$

जहां E तरंग की ऊर्जा है, कम प्लैंक स्थिरांक है, और c निर्वात में प्रकाश की गति है।

पदार्थ तरंग के विशेष कथन के लिए, उदाहरण के लिए इलेक्ट्रॉन तरंग, असापेक्ष समीपता में (मुक्त कण के कथन में, अर्थात कण में कोई संभावित ऊर्जा नहीं होती है):
 * $$k \equiv \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{p}{\hbar}= \frac{\sqrt{2 m E }}{\hbar} $$

यहाँ p कण का संवेग है, m कण का द्रव्यमान है, E कण की गतिज ऊर्जा]] है, और घटा हुआ प्लैंक स्थिरांक है।

तरंग संख्या का उपयोग समूह वेग को परिभाषित करने के लिए भी किया जाता है।

स्पेक्ट्रोस्कोपी में
स्पेक्ट्रोस्कोपी में, वेवनंबर $$\tilde{\nu}$$ आवृत्ति को संदर्भित करता है जिसे वैक्यूम में प्रकाश की गति से सामान्यतौर पर सेंटीमीटर प्रति सेकंड (cm.s-1) में विभाजित किया जाता है):
 * $$ \tilde{\nu} = \frac{\nu}{c} = \frac{\omega}{2\pi c}. $$

आवृत्ति के बदले इस स्पेक्ट्रोस्कोपिक तरंग संख्या का उपयोग करने का ऐतिहासिक कारण यह है कि यह एक सुविधाजनक इकाई है जब व्यतिकरणमापी के साथ प्रति सेमी फ्रिंज (सीमांत) की गणना करके परमाणु स्पेक्ट्रा का अध्ययन किया जाता है: स्पेक्ट्रोस्कोपिक तरंग संख्या निर्वात में प्रकाश की तरंग दैर्ध्य का पारस्परिक है:
 * $$\lambda_{\rm vac} = \frac{1}{\tilde \nu},$$

जो हवा में अनिवार्य रूप से समान रहता है, और इसलिए स्पेक्ट्रोस्कोपिक तरंग संख्या विवर्तन ग्रेटिंग से हुए प्रकाश के कोणों और व्यतिकरणमापी में फ्रिंज के बीच की दूरी से सीधे संबंधित होता है, जब वे उपकरण हवा या वैक्यूम में संचालित होते हैं। इस प्रकार की तरंगों का उपयोग पहली बार 1880 के दशक में जोहान्स रिडबर्ग की गणना में किया गया था। 1908 का रिडबर्ग-रिट्ज संयोजन सिद्धांत भी तरंगों के संदर्भ में तैयार किया गया था। कुछ साल बाद क्वांटम यांत्रिकी में वर्णक्रमीय रेखाओं को ऊर्जा स्तरों के बीच अंतर के रूप में समझा जा सकता है, ऊर्जा तरंग संख्या या आवृत्ति के समानुपाती होती है। चूँकि, स्पेक्ट्रोस्कोपिक डेटा को आवृत्ति या ऊर्जा के के स्थान पर स्पेक्ट्रोस्कोपिक तरंग संख्या के संदर्भ में सारणीबद्ध किया जाता रहा है।

उदाहरण के लिए, हाइड्रोजन वर्णक्रमीय श्रृंखला के स्पेक्ट्रोस्कोपिक तरंग संख्या राइडबर्ग सूत्र द्वारा दिए गए हैं:
 * $$ \tilde{\nu} = R\left(\frac{1}{{n_\text{f}}^2} - \frac{1}{{n_\text{i}}^2}\right), $$

जहां R राइडबर्ग स्थिरांक है, और ni और nf क्रमशः प्रारंभिक और अंतिम स्तरों की प्रमुख क्वांटम संख्याएँ हैं (ni nf से बड़ा है उत्सर्जन के लिए)।

प्लैंक के संबंध द्वारा स्पेक्ट्रोस्कोपिक तरंग संख्या को फोटॉन ऊर्जा E में परिवर्तित किया जा सकता है:
 * $$E = hc\tilde{\nu}.$$

इसे प्रकाश की तरंग दैर्ध्य में भी परिवर्तित किया जा सकता है:
 * $$\lambda = \frac{1}{n \tilde \nu},$$

जहाँ n प्रकाशिक माध्यम का अपवर्तनांक है। ध्यान दें कि विभिन्न माध्यमों से गुजरने पर प्रकाश की तरंग दैर्ध्य बदल जाती है, चूँकि, स्पेक्ट्रोस्कोपिक तरंग संख्या (अर्थात, आवृत्ति) स्थिर रहता है।

परंपरागत रूप से, पारस्परिक लंबाई (cm−1) इकाइयों का उपयोग $$\tilde{\nu}$$ के लिए किया जाता है, इतनी बार कि इस तरह की स्थानिक आवृत्तियों को कुछ लेखकों द्वारा तरंगों में कहा जाता है, मात्रा का नाम गलत प्रकार से सीजीएस इकाई cm-1. में स्थानांतरित करना है।

यह भी देखें

 * स्थानिक आवृत्ति
 * अपवर्तक सूचकांक
 * आंचलिक तरंग संख्या