5 का वर्गमूल

5 का वर्गमूल वह धनात्मक वास्तविक संख्या है, जिसे स्वयं से गुणा करने पर अभाज्य संख्या 5 प्राप्त होती है। इसे अधिक सटीक रूप से 5 का मुख्य वर्गमूल कहा जाता है, ताकि इसे समान गुण वाली ऋणात्मक संख्या से अलग किया जा सके। यह संख्या सुनहरे अनुपात के लिए भिन्नात्मक व्यंजक में दिखाई देती है। इसे मूल रूप में निरूपित किया जा सकता है:

गणित>\sqrt{5}. \, 

यह अपरिमेय संख्या बीजगणितीय संख्या है। इसके दशमलव विस्तार के पहले साठ महत्वपूर्ण अंक हैं:


 * 2.23606 79774  99789  69640  91736  68731  27623  54406  18359  61152  57242  7089....

जिसे 99.99% सटीकता के भीतर 2.236 तक घटाया जा सकता है। सन्निकटन $161⁄72$ (≈ 2.23611) पांच के वर्गमूल के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है। केवल 72 का भाजक होने के बावजूद, यह सही मान में कम से भिन्न होता है $1⁄10,000$ (लगभग। $0$) जनवरी 2022 तक, दशमलव में इसके संख्यात्मक मान की गणना कम से कम 2,250,000,000,000 अंकों तक की गई है।

तर्कसंगत सन्निकटन
5 के वर्गमूल को निरंतर अंश के रूप में व्यक्त किया जा सकता है


 * $$ [2; 4, 4, 4, 4, 4,\ldots] = 2 + \cfrac 1 {4 + \cfrac 1 {4 + \cfrac 1 {4 + \cfrac 1 {4 + {{} \atop \displaystyle\ddots}}}}}. $$

निरंतर अंश का क्रमिक आंशिक मूल्यांकन, जिसे इसके अभिसरण, दृष्टिकोण कहा जाता है $$\sqrt{5}$$:
 * $$\frac{2}{1}, \frac{9}{4}, \frac{38}{17}, \frac{161}{72}, \frac{682}{305}, \frac{2889}{1292}, \frac{12238}{5473}, \frac{51841}{23184}, \dots$$

इनके अंश 2, 9, 38, 161,...(OEIS में अनुक्रम A001077 हैं) और उनके हर 1, 4, 17, 72, ...(OEIS में अनुक्रम A001076) हैं।

इनमें से प्रत्येक का एक सर्वोत्तम तर्कसंगत सन्निकटन है

अभिसरण के रूप में व्यक्त किया गया $x⁄y$, वैकल्पिक रूप से पेल के समीकरणों को संतुष्ट करें
 * $$x^2 - 5y^2 = -1\quad \text{and} \quad x^2 - 5y^2 = 1$$

जब $$\sqrt{5}$$ वर्गमूल बेबीलोनियन पद्धति से अनुमानित किया गया है $x_{0} = 2$ से शुरू होकर $x_{n+1} = 1⁄2(x_{n} + 5⁄x_{n})$, का उपयोग करते हुए $n$वें अनुमानित $x_{n}$ के निरंतर अंश के $2^{n}$ अभिसरण के बराबर है:
 * $$x_0 = 2.0,\quad x_1 = \frac{9}{4} = 2.25,\quad x_2 = \frac{161}{72} = 2.23611\dots,\quad x_3 = \frac{51841}{23184} = 2.2360679779 \ldots,\quad x_4 = \frac{5374978561}{2403763488} = 2.23606797749979 \ldots$$

बेबीलोनियन विधि मूल खोज के लिए न्यूटन की विधि के बराबर है जो बहुपद पर लागू होती है $$x^2-5$$ न्यूटन की विधि अद्यतन, $$x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)$$, के बराबर है $$(x_n + 5/x_n)/2$$ जब $$f(x) = x^2 - 5$$ इसलिए विधि द्विघात रूप से अभिसरण करती है।

सुनहरे अनुपात और फाइबोनैचि संख्या से संबंध
सुनहरा अनुपात $φ$ 1 और का अंकगणितीय माध्य है $$\sqrt{5}$$. के बीच बीजगणितीय संबंध $$\sqrt{5}$$, सुनहरा अनुपात और सुनहरा अनुपात#सुनहरा अनुपात संयुग्म और घात ($Φ = –1⁄φ = 1 − φ$) निम्नलिखित सूत्र में व्यक्त किया गया है:



\begin{align} \sqrt{5} & = \varphi - \Phi = 2\varphi - 1 = 1 - 2\Phi \\[5pt] \varphi & = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \\[5pt] \Phi & = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}. \end{align} $$ (एक के अपघटन के रूप में उनकी ज्यामितीय व्याख्या के लिए नीचे दिया गया अनुभाग देखें $$\sqrt{5}$$ आयत।)

$$\sqrt{5}$$ फिर स्वाभाविक रूप से फाइबोनैचि संख्याओं के लिए बंद रूप अभिव्यक्ति में आंकड़े, एक सूत्र जो आमतौर पर सुनहरे अनुपात के संदर्भ में लिखा जाता है:


 * $$F(n) = \frac{\varphi^n-(1-\varphi)^n}{\sqrt 5}.$$

का भागफल $$\sqrt{5}$$ और $φ$ (या का उत्पाद $$\sqrt{5}$$ और $Φ$), और इसका पारस्परिक, निरंतर अंशों का एक दिलचस्प पैटर्न प्रदान करते हैं और फिबोनैचि संख्याओं और लुकास संख्याओं के बीच के अनुपात से संबंधित हैं:

\begin{align} \frac{\sqrt{5}}{\varphi} = \Phi \cdot \sqrt{5} = \frac{5 - \sqrt{5}}{2} & = 1.3819660112501051518\dots \\ & = [1; 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots] \\[5pt] \frac{\varphi}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\Phi \cdot \sqrt{5}} = \frac{5 + \sqrt{5}}{10} & = 0.72360679774997896964\ldots \\ & = [0; 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots]. \end{align} $$ इन मानों के अभिसरणों की श्रृंखला में फिबोनैचि संख्याओं की श्रृंखला और लुकास संख्याओं की श्रृंखला क्रमशः अंश और हर के रूप में होती है, और इसके विपरीत, क्रमशः:



\begin{align} & {1, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \frac{7}{5}, \frac{11}{8}, \frac{18}{13}, \frac{29}{21}, \frac{47}{34}, \frac{76}{55}, \frac{123}{89}}, \ldots \ldots [1; 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots] \\[8pt] & {1, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{5}{7}, \frac{8}{11}, \frac{13}{18}, \frac{21}{29}, \frac{34}{47}, \frac{55}{76}, \frac{89}{123}}, \dots \dots [0; 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1,\dots]. \end{align} $$ वास्तव में, के भागफल की सीमा $$n^{th}$$ लुकास संख्या $$L_n$$ और यह $$n^{th}$$ फाइबोनैचि संख्या $$F_n$$ के वर्गमूल के सीधे बराबर है $$5$$:
 * $$\lim_{n\to\infty} \frac{L_n}{F_n}=\sqrt{5}.$$

ज्यामिति
ज्यामिति, $$\sqrt{5}$$ एक आयत के विकर्ण से मेल खाता है जिसकी भुजाएँ लंबाई 1 (संख्या) और 2 (संख्या) की हैं, जैसा कि पायथागॉरियन प्रमेय से स्पष्ट है। इस तरह के आयत को एक वर्ग (ज्यामिति) को आधा करके, या दो समान वर्गों को अगल-बगल रखकर प्राप्त किया जा सकता है। इसका उपयोग एक वर्गाकार ग्रिड को झुके हुए वर्गाकार ग्रिड में पाँच गुना अधिक वर्गों के साथ उपविभाजित करने के लिए किया जा सकता है, जो एक उपखंड सतह के लिए आधार बनाता है। बीच बीजगणितीय संबंध के साथ $$\sqrt{5}$$ और $φ$, यह एक वर्ग से एक सुनहरे आयत के ज्यामितीय निर्माण के लिए आधार बनाता है, और एक नियमित पंचकोण के निर्माण के लिए इसकी भुजा दी गई है (चूंकि एक नियमित पेंटागन में साइड-टू-डायगोनल अनुपात है $φ$).

चूंकि एक घन के दो आसन्न फलक 1:2 आयत में खुलेंगे, घन की सतह की यात्रा करते समय घन के किनारे की लंबाई (ज्यामिति) और उसके शीर्ष (ज्यामिति) में से एक से सबसे कम दूरी के बीच का अनुपात, है $$\sqrt{5}$$. इसके विपरीत, घन के अंदर से गुजरते समय सबसे छोटी दूरी घन विकर्ण की लंबाई से मेल खाती है, जो कि किनारे के तीन गुना का वर्गमूल है। पक्ष अनुपात 1 के साथ एक आयत:$$\sqrt{5}$$ मूल-पांच आयत कहा जाता है और मूल आयतों की श्रृंखला का हिस्सा है, जो गतिशील आयतों का एक उपसमूह है, जो आधारित हैं $\sqrt{1}$ (= 1), $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{4}$ (= 2), $\sqrt{5}$... और क्रमिक रूप से पिछले मूल आयत के विकर्ण का उपयोग करके, एक वर्ग से शुरू करते हुए निर्मित किया गया। एक मूल-5 आयत विशेष रूप से उल्लेखनीय है कि इसे एक वर्ग और दो समान सुनहरे आयतों (आयामों के) में विभाजित किया जा सकता है $Φ$ × 1), या विभिन्न आकारों के दो सुनहरे आयतों में (आयामों के $Φ$ × 1 और 1 × $φ$). इसे दो समान सुनहरे आयतों (आयामों के) के मिलन के रूप में भी विघटित किया जा सकता है 1 × $φ$) जिसका चौराहा एक वर्ग बनाता है। यह सब बीजगणितीय संबंधों की ज्यामितीय व्याख्या के रूप में देखा जा सकता है $$\sqrt{5}$$, $φ$ और $Φ$ उपर्युक्त। रूट-5 आयत को 1:2 आयत (रूट-4 आयत) से बनाया जा सकता है, या सीधे एक वर्ग से इस तरह से बनाया जा सकता है जैसे चित्रण में दिखाए गए सुनहरे आयत के लिए, लेकिन लंबाई के चाप का विस्तार $$\sqrt{5}/2$$ दोनों पक्षों को।

त्रिकोणमिति
$$\sqrt{2}$$ और $$\sqrt{3}$$ के जैसे, 5 का वर्गमूल सटीक त्रिकोणमितीय स्थिरांक के सूत्रों में व्यापक रूप से प्रकट होता है, जिसमें प्रत्येक कोण की ज्या और कोज्या सम्मिलित हैं, जिसका माप डिग्री में 3 से विभाज्य है लेकिन 15 से नहीं। इनमें से सबसे सरल हैं
 * $$\begin{align}

\sin\frac{\pi}{10} = \sin 18^\circ &= \tfrac{1}{4}(\sqrt5-1) = \frac{1}{\sqrt5+1}, \\[5pt] \sin\frac{\pi}{5} = \sin 36^\circ &= \tfrac{1}{4}\sqrt{2(5-\sqrt5)}, \\[5pt] \sin\frac{3\pi}{10} = \sin 54^\circ &= \tfrac{1}{4}(\sqrt5+1) = \frac{1}{\sqrt5-1}, \\[5pt] \sin\frac{2\pi}{5} = \sin 72^\circ &= \tfrac{1}{4}\sqrt{2(5+\sqrt5)}\,. \end{align}$$ अत: त्रिकोणमितीय सारणी बनाने के लिए इसके मान की गणना महत्वपूर्ण है। $$\sqrt{5}$$ ज्यामितीय रूप से अर्ध-स्क्वायर आयतों और पेंटागन से जुड़ा हुआ है, यह अक्सर उनसे प्राप्त आंकड़ों के ज्यामितीय गुणों के सूत्रों में भी दिखाई देता है, जैसे कि द्वादशफलक के आयतन के सूत्र में।

डायोफैंटाइन सन्निकटन
हर्विट्ज़ की प्रमेय (संख्या सिद्धांत) | डायोफैंटाइन सन्निकटन में हर्विट्ज़ की प्रमेय बताती है कि प्रत्येक अपरिमेय संख्या $x$ अपरिमित रूप से अनेक परिमेय संख्याओं द्वारा सन्निकटित किया जा सकता है $m⁄n$ सबसे कम शब्दों में इस तरह से कि
 * $$ \left|x - \frac{m}{n}\right| < \frac{1}{\sqrt{5}\,n^2} $$

ओर वो $$\sqrt{5}$$ सबसे अच्छा संभव है, इस अर्थ में कि किसी भी बड़े स्थिरांक के लिए $$\sqrt{5}$$, कुछ अपरिमेय संख्याएँ हैं $x$ जिसके लिए केवल सूक्ष्म रूप से ऐसे बहुत से सन्निकटन मौजूद हैं। इससे निकटता से संबंधित प्रमेय है किन्हीं तीन क्रमागत अभिसारी (निरंतर अंश) का $p_{i}⁄q_{i}$, $p_{i+1}⁄q_{i+1}$, $p_{i+2}⁄q_{i+2}$, किसी संख्या का $α$, तीन असमानताओं में से कम से कम एक रखती है:
 * $$\left|\alpha - {p_i\over q_i}\right| < {1\over \sqrt5 q_i^2}, \qquad

\left|\alpha - {p_{i+1}\over q_{i+1}}\right| < {1\over \sqrt5 q_{i+1}^2}, \qquad \left|\alpha - {p_{i+2}\over q_{i+2}}\right| < {1\over \sqrt5 q_{i+2}^2}.$$ और यह $$\sqrt{5}$$ भाजक में सर्वोत्तम सीमा संभव है क्योंकि सुनहरे अनुपात के अभिसरण बाईं ओर के अंतर को मनमाने ढंग से दाईं ओर के मान के करीब बनाते हैं। विशेष रूप से, चार या अधिक लगातार अभिसरणों के अनुक्रमों पर विचार करके कोई सख्त सीमा प्राप्त नहीं कर सकता है।

बीजगणित
अंगूठी (गणित) $$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$$ फॉर्म की संख्या शामिल है $$a + b\sqrt{-5}$$, कहाँ पे $a$ और $b$ पूर्णांक हैं और $$\sqrt{-5}$$ काल्पनिक संख्या है $$i\sqrt{5}$$. यह वलय एक अभिन्न डोमेन का अक्सर उद्धृत उदाहरण है जो एक अद्वितीय गुणनखंड डोमेन नहीं है। इस वलय के भीतर संख्या 6 के दो असमान कारक हैं:
 * $$6 = 2 \cdot 3 = (1 - \sqrt{-5})(1 + \sqrt{-5}). \, $$

क्षेत्र (गणित) $$\mathbb{Q}[\sqrt{-5}],$$ किसी भी अन्य द्विघात क्षेत्र की तरह, परिमेय संख्याओं का एक एबेलियन विस्तार है। क्रोनकर-वेबर प्रमेय इसलिए गारंटी देता है कि पांच के वर्गमूल को एकता की जड़ों के तर्कसंगत रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है:
 * $$\sqrt5 = e^{\frac{2\pi}{5}i} - e^{\frac{4\pi}{5}i} - e^{\frac{6\pi}{5}i} + e^{\frac{8\pi}{5}i}. \, $$

रामानुजन की पहचान
5 का वर्गमूल श्रीनिवास रामानुजन द्वारा खोजी गई विभिन्न सर्वसमिकाओं में निरंतर अंशों को शामिल करते हुए प्रकट होता है। उदाहरण के लिए, रोजर्स-रामानुजन का यह मामला निरंतर अंश:
 * $$\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi}}{1 + \cfrac{e^{-6\pi}}{1 + { {} \atop \displaystyle \ddots}}}}}

= \left( \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}} - \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \right)e^{\frac{2\pi}{5}} = e^{\frac{2\pi}{5}}\left( \sqrt{\varphi\sqrt{5}} - \varphi \right).$$


 * $$\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi\sqrt{5}}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi\sqrt{5}}}{1 + \cfrac{e^{-6\pi\sqrt{5}}}{1 + { {} \atop \displaystyle \ddots}}}}}

= \left( {\sqrt{5} \over 1 + \sqrt[5]{5^{\frac34}(\varphi - 1)^{\frac52} - 1}} - \varphi \right)e^{\frac{2\pi}{\sqrt{5}}}.$$


 * $$4\int_0^\infty\frac{xe^{-x\sqrt{5}}}{\cosh x}\,dx

= \cfrac{1}{1 + \cfrac{1^2}{1 + \cfrac{1^2}{1 + \cfrac{2^2}{1 + \cfrac{2^2}{1 + \cfrac{3^2}{1 + \cfrac{3^2}{1 + {{} \atop \displaystyle \ddots} }}}}}}}.$$

यह भी देखें

 * सुनहरा अनुपात
 * वर्गमूल
 * 2 का वर्गमूल
 * 3 का वर्गमूल
 * 6 का वर्गमूल
 * 7 का वर्गमूल