वक्र-रेखी निर्देश तन्त्र

ज्यामिति में, घुमावदार निर्देशांक यूक्लिडियन अंतरिक्ष के लिए एक समन्वय प्रणाली है जिसमें समन्वय रेखाएं घुमावदार हो सकती हैं। ये निर्देशांक कार्टेशियन निर्देशांक के एक सेट से एक परिवर्तन का उपयोग करके प्राप्त किए जा सकते हैं जो प्रत्येक बिंदु पर उलटा (एक-से-एक नक्शा) है। इसका मतलब यह है कि एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में दिए गए बिंदु को उसके घुमावदार निर्देशांक और पीछे परिवर्तित कर सकता है। फ्रांसीसी गणितज्ञ गेब्रियल लैम | लैम द्वारा गढ़ा गया 'वक्रीय निर्देशांक' नाम इस तथ्य से निकला है कि वक्रीय प्रणालियों की समन्वय सतहें घुमावदार हैं।

त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष (आर3) बेलनाकार निर्देशांक प्रणाली और गोलीय निर्देशांक निर्देशांक हैं। इस अंतरिक्ष में एक कार्टेशियन समन्वय सतह एक समन्वय विमान है; उदाहरण के लिए z = 0 x-y तल को परिभाषित करता है। एक ही स्थान में, गोलाकार निर्देशांक में समन्वय सतह आर = 1 एक इकाई क्षेत्र की सतह है, जो घुमावदार है। घुमावदार निर्देशांक की औपचारिकता मानक समन्वय प्रणालियों का एक एकीकृत और सामान्य विवरण प्रदान करती है।

कर्विलीनियर निर्देशांक अक्सर भौतिक मात्रा के स्थान या वितरण को परिभाषित करने के लिए उपयोग किए जाते हैं, उदाहरण के लिए, स्केलर (गणित), वेक्टर (ज्यामितीय) या टेन्सर। सदिश कैलकुलस और टेन्सर विश्लेषण (जैसे ढाल, विचलन, कर्ल (गणित), और लाप्लासियन) में इन राशियों को शामिल करने वाले गणितीय भावों को स्केलर, वैक्टर और टेन्सर के परिवर्तन नियमों के अनुसार एक समन्वय प्रणाली से दूसरे में बदला जा सकता है। ऐसे व्यंजक तब किसी भी वक्रीय निर्देशांक तंत्र के लिए मान्य हो जाते हैं।

कुछ अनुप्रयोगों के लिए कार्टेशियन समन्वय प्रणाली की तुलना में एक घुमावदार समन्वय प्रणाली का उपयोग करना आसान हो सकता है। केंद्रीय बलों के प्रभाव में कणों की गति आमतौर पर कार्टेशियन निर्देशांक की तुलना में गोलाकार निर्देशांक में हल करना आसान होता है; यह 'आर' में परिभाषित परिपत्र समरूपता के साथ कई भौतिक समस्याओं का सच है 3। किसी विशेष घुमावदार समन्वय प्रणाली के लिए समन्वय सतहों का पालन करने वाली सीमा स्थितियों वाले समीकरणों को उस प्रणाली में हल करना आसान हो सकता है। जबकि कोई कार्टेशियन निर्देशांक का उपयोग करके एक आयताकार बॉक्स में एक कण की गति का वर्णन कर सकता है, गोलाकार निर्देशांक के साथ एक क्षेत्र में गति का वर्णन करना आसान है। गोलाकार निर्देशांक सबसे आम वक्रीय समन्वय प्रणाली हैं और इसका उपयोग पृथ्वी विज्ञान, नक्शानवीसी, क्वांटम यांत्रिकी, सापेक्षता के सिद्धांत और अभियांत्रिकी में किया जाता है।

निर्देशांक, आधार और सदिश
[[File:Spherical coordinate elements.svg|thumb|upright=1.35|चित्र 2 - गोलीय निर्देशांकों की निर्देशांक सतहें, निर्देशांक रेखाएँ और निर्देशांक अक्ष। सतहें: आर - गोले, θ - शंकु, φ - अर्ध-तल; रेखाएँ: आर - सीधे बीम, θ - ऊर्ध्वाधर अर्धवृत्त, φ - क्षैतिज वृत्त;

अक्ष: आर - सीधे बीम, θ - ऊर्ध्वाधर अर्धवृत्त के लिए स्पर्शरेखा, φ - क्षैतिज मंडल के लिए स्पर्शरेखा]]अभी के लिए, त्रि-आयामी अंतरिक्ष | 3-डी अंतरिक्ष पर विचार करें। 3डी स्पेस (या इसकी स्थिति वेक्टर 'आर') में एक बिंदु पी को कार्टेशियन निर्देशांक (एक्स, वाई, जेड) का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है [समकक्ष रूप से लिखा गया (एक्स1, एक्स 2, एक्स 3)], द्वारा $$\mathbf{r} = x \mathbf{e}_x + y\mathbf{e}_y + z\mathbf{e}_z$$, जहां ईx, तथाy, तथाz मानक आधार वैक्टर हैं।

इसे इसके 'वक्रीय निर्देशांक' द्वारा भी परिभाषित किया जा सकता है (q1, क्यू 2, क्यू 3) यदि संख्याओं का यह त्रिक एक एकल बिंदु को एक स्पष्ट तरीके से परिभाषित करता है। निर्देशांकों के बीच संबंध तब व्युत्क्रमणीय परिवर्तन कार्यों द्वारा दिया जाता है:


 * $$ x = f^1(q^1, q^2, q^3),\, y = f^2(q^1, q^2, q^3),\, z = f^3(q^1, q^2, q^3)$$
 * $$ q^1 = g^1(x,y,z),\, q^2 = g^2(x,y,z),\, q^3 = g^3(x,y,z)$$

सतहें क्यू1 = स्थिरांक, क्ष2 = स्थिरांक, क्ष3 = स्थिरांक को निर्देशांक सतहें कहा जाता है; और जोड़े में उनके प्रतिच्छेदन द्वारा गठित अंतरिक्ष वक्र को समन्वय वक्र कहा जाता है। निर्देशांक अक्षों को तीन सतहों के प्रतिच्छेदन पर निर्देशांक वक्रों की स्पर्श रेखाओं द्वारा निर्धारित किया जाता है। वे अंतरिक्ष में सामान्य निश्चित दिशाओं में नहीं होते हैं, जो सरल कार्टेशियन निर्देशांक के मामले में होता है, और इस प्रकार आमतौर पर घुमावदार निर्देशांक के लिए कोई प्राकृतिक वैश्विक आधार नहीं होता है।

कार्तीय प्रणाली में, स्थानीय समन्वय के संबंध में बिंदु 'पी' के स्थान के व्युत्पन्न से मानक आधार वैक्टर प्राप्त किए जा सकते हैं


 * $$\mathbf{e}_x = \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial x}; \;

\mathbf{e}_y = \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial y}; \; \mathbf{e}_z = \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial z}.$$ बिंदु P पर स्थानीय रूप से वक्रीय प्रणाली के समान डेरिवेटिव को लागू करना प्राकृतिक आधार वैक्टर को परिभाषित करता है:


 * $$\mathbf{h}_1 = \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial q^1}; \;

\mathbf{h}_2 = \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial q^2}; \; \mathbf{h}_3 = \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial q^3}.$$ ऐसे आधार, जिनके सदिश एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर अपनी दिशा और/या परिमाण बदलते हैं, स्थानीय आधार कहलाते हैं। घुमावदार निर्देशांक से जुड़े सभी आधार आवश्यक रूप से स्थानीय हैं। बेसिस वैक्टर जो सभी बिंदुओं पर समान हैं, वैश्विक आधार हैं, और केवल रैखिक या एफ़िन समन्वय प्रणालियों से जुड़े हो सकते हैं।

इस लेख के लिए ई मानक आधार (कार्टेशियन) के लिए आरक्षित है और एच या बी वक्रीय आधार के लिए है।

इनमें इकाई लंबाई नहीं हो सकती है, और ये ऑर्थोगोनल भी नहीं हो सकते हैं। इस मामले में कि वे सभी बिंदुओं पर ऑर्थोगोनल हैं जहां डेरिवेटिव अच्छी तरह से परिभाषित हैं, हम #Relation to Laméगुणकों को परिभाषित करते हैं|Lameगुणांक (गेब्रियल लेमे के बाद) द्वारा


 * $$h_1 = |\mathbf{h}_1|; \; h_2 = |\mathbf{h}_2|; \; h_3 = |\mathbf{h}_3|$$

और कर्विलिनियर ऑर्थोनॉर्मल आधार वैक्टर द्वारा


 * $$\mathbf{b}_1 = \dfrac{\mathbf{h}_1}{h_1}; \;

\mathbf{b}_2 = \dfrac{\mathbf{h}_2}{h_2}; \; \mathbf{b}_3 = \dfrac{\mathbf{h}_3}{h_3}.$$ ये आधार सदिश P की स्थिति पर निर्भर हो सकते हैं; इसलिए यह आवश्यक है कि उन्हें एक क्षेत्र पर स्थिर न माना जाए। (वे तकनीकी रूप से स्पर्शरेखा बंडल के लिए आधार बनाते हैं $$\mathbb{R}^3$$ P पर, और इसलिए P के लिए स्थानीय हैं।)

सामान्य तौर पर, वक्रीय निर्देशांक प्राकृतिक आधार सदिश 'h' की अनुमति देते हैंi सभी एक दूसरे के लिए परस्पर लंबवत नहीं हैं, और इकाई लंबाई के होने की आवश्यकता नहीं है: वे मनमाना परिमाण और दिशा के हो सकते हैं। ऑर्थोगोनल आधार का उपयोग गैर-ऑर्थोगोनल की तुलना में वेक्टर जोड़तोड़ को सरल बनाता है। हालांकि, भौतिकी और इंजीनियरिंग के कुछ क्षेत्रों, विशेष रूप से द्रव यांत्रिकी और सातत्य यांत्रिकी में, भौतिक मात्राओं की जटिल दिशात्मक निर्भरता के लिए विकृति और द्रव परिवहन का वर्णन करने के लिए गैर-ऑर्थोगोनल आधारों की आवश्यकता होती है। इस पृष्ठ पर बाद में सामान्य मामले की चर्चा दिखाई देती है।

विभेदक तत्व
ऑर्थोगोनल वक्रीय निर्देशांक में, चूंकि आर में कुल अंतर परिवर्तन है


 * $$d\mathbf{r}=\dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial q^1}dq^1 + \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial q^2}dq^2 + \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial q^3}dq^3 = h_1 dq^1 \mathbf{b}_1 + h_2 dq^2 \mathbf{b}_2 + h_3 dq^3 \mathbf{b}_3 $$

तो पैमाने कारक हैं $$h_i = \left|\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q^i}\right|$$ गैर-ऑर्थोगोनल निर्देशांक में की लंबाई $$d\mathbf{r}= dq^1 \mathbf{h}_1 + dq^2 \mathbf{h}_2 + dq^3 \mathbf{h}_3 $$ का धनात्मक वर्गमूल है $$d\mathbf{r} \cdot d\mathbf{r} = dq^i dq^j \mathbf{h}_i \cdot \mathbf{h}_j $$ (आइंस्टीन योग सम्मेलन के साथ)। छह स्वतंत्र स्केलर उत्पाद gij= 'एच'i।एचj प्राकृतिक आधार वाले वैक्टर ऑर्थोगोनल निर्देशांक के लिए ऊपर परिभाषित तीन पैमाने के कारकों का सामान्यीकरण करते हैं। नौ जीijमीट्रिक टेंसर के घटक हैं, जिनमें ऑर्थोगोनल निर्देशांक में केवल तीन गैर शून्य घटक हैं: जी11= ज1h1, जी22= ज2h2, जी33= ज3h3.

सहपरिवर्ती और प्रतिपरिवर्ती आधार
[[File:Vector 1-form.svg|upright=1.5|thumb| एक वेक्टर v ( red ) द्वारा दर्शाया गया

• एक सदिश आधार (पीला, बाएँ: e1, तथा2, तथा3), टेंगेंट वैक्टर घटता समन्वय करने के लिए (काला) और

• कोवेक्टर आधार या कोबेसिस ( blue, right: e1, और2, और3), सतहों को समन्वयित करने के लिए सामान्य वैक्टर ( धूसर )

सामान्य में (आवश्यक रूप से ऑर्थोगोनल निर्देशांक नहीं) वक्रीय निर्देशांक (q1, क्यू 2, क्यू 3). आधार और कोबासिस तब तक मेल नहीं खाते जब तक कि समन्वय प्रणाली ऑर्थोगोनल न हो। ]]स्थानिक ग्रेडियेंट, दूरी, समय डेरिवेटिव और स्केल कारक आधार वैक्टर के दो समूहों द्वारा समन्वय प्रणाली के भीतर परस्पर जुड़े हुए हैं:


 * 1) आधार सदिश जो स्थानीय रूप से उनके संबंधित समन्वय पथ के लिए स्पर्शरेखा हैं: $$\mathbf{b}_i=\dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial q^i}$$ सदिशों के सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण हैं (निम्न सूचकांकों द्वारा चिह्नित), और
 * 2) आधार सदिश जो स्थानीय रूप से अन्य निर्देशांक द्वारा बनाए गए आइसोसफेस के लिए सामान्य हैं: $$\mathbf{b}^i=\nabla q^i $$ सदिशों के सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण हैं (बढ़े हुए सूचकांकों द्वारा निरूपित), ∇ डेल रैखिक संकारक है।

ध्यान दें कि, आइंस्टीन के संकलन परिपाटी के कारण, सदिशों के सूचकांकों की स्थिति निर्देशांकों के विपरीत है।

नतीजतन, एक सामान्य घुमावदार समन्वय प्रणाली में प्रत्येक बिंदु के लिए आधार वैक्टर के दो सेट होते हैं: {बी1, बी2, बी3} प्रतिपरिवर्ती आधार है, और {b1, बी 2, बी3} सहपरिवर्ती (उर्फ पारस्परिक) आधार है। सहपरिवर्ती और प्रतिपरिवर्ती आधार सदिश प्रकार के लम्बकोणीय वक्ररेखीय समन्वय प्रणालियों के लिए समान दिशा होती है, लेकिन हमेशा की तरह एक दूसरे के संबंध में उलटी इकाइयाँ होती हैं।

निम्नलिखित महत्वपूर्ण समानता पर ध्यान दें: $$ \mathbf{b}^i\cdot\mathbf{b}_j = \delta^i_j $$ जिसमें $$ \delta^i_j $$ क्रोनकर डेल्टा # क्रोनकर डेल्टा के सामान्यीकरण को दर्शाता है।

$$

एक सदिश v को किसी भी आधार पर निर्दिष्ट किया जा सकता है, अर्थात,

गणित> \mathbf{v} = v^1\mathbf{b}^1 + v^2\mathbf{b}_2 + v^3\mathbf{b}_3 = v_1\mathbf{b}^1 + v_2\mathbf {b}^2 + v_3\mathbf{b}^3

आइंस्टीन सारांश सम्मेलन का उपयोग करते हुए, आधार वैक्टर घटकों से संबंधित होते हैं
 * $$ \mathbf{v}\cdot\mathbf{b}^i = v^k\mathbf{b}_k\cdot\mathbf{b}^i = v^k\delta^i_k = v^i $$
 * $$ \mathbf{v}\cdot\mathbf{b}_i = v_k\mathbf{b}^k\cdot\mathbf{b}_i = v_k\delta_i^k = v_i $$

तथा
 * $$ \mathbf{v}\cdot\mathbf{b}_i = v^k\mathbf{b}_k\cdot\mathbf{b}_i = g_{ki}v^k $$
 * $$ \mathbf{v}\cdot\mathbf{b}^i = v_k\mathbf{b}^k\cdot\mathbf{b}^i = g^{ki}v_k $$

जहाँ g मीट्रिक टेन्सर है (नीचे देखें)।

एक वेक्टर को सहसंयोजक निर्देशांक (कम किए गए सूचकांक, लिखित v.) के साथ निर्दिष्ट किया जा सकता हैk) या प्रतिपरिवर्ती निर्देशांक (बढ़े हुए सूचकांक, लिखित v के ). उपरोक्त सदिश योगों से, यह देखा जा सकता है कि प्रतिपरिवर्ती निर्देशांक सहपरिवर्ती आधार सदिशों से जुड़े होते हैं, और सहपरिवर्ती निर्देशांक प्रतिपरिवर्ती आधार सदिशों से जुड़े होते हैं।

अनुक्रमित घटकों और आधार वैक्टरों के संदर्भ में वैक्टर और टेन्सर के प्रतिनिधित्व की एक प्रमुख विशेषता इस अर्थ में अपरिवर्तनीय है कि वेक्टर घटक जो सहसंयोजक तरीके (या कॉन्ट्रावेरिएंट तरीके) में बदलते हैं, आधार वैक्टर के साथ जोड़े जाते हैं जो एक विपरीत तरीके से बदलते हैं (या सहसंयोजक तरीके)।

एक आयाम में एक सहपरिवर्ती आधार का निर्माण
चित्र 3 में दिखाए गए एक-आयामी वक्र पर विचार करें। बिंदु P पर, उत्पत्ति (गणित) के रूप में लिया गया, x कार्तीय निर्देशांक में से एक है, और q1 वक्रीय निर्देशांकों में से एक है। स्थानीय (गैर-इकाई) आधार वेक्टर बी है1 (अंकित एच1 ऊपर, बी के साथ यूनिट वैक्टर के लिए आरक्षित है) और यह क्यू पर बनाया गया है1 अक्ष जो बिंदु P पर उस निर्देशांक रेखा की स्पर्श रेखा है। अक्ष q1 और इस प्रकार वेक्टर बी1 एक कोण बनाओ $$\alpha$$ कार्तीय x अक्ष और कार्तीय आधार सदिश 'e' के साथ1.

यह त्रिभुज PAB से देखा जा सकता है कि
 * $$ \cos \alpha = \cfrac{|\mathbf{e}_1|}{|\mathbf{b}_1|} \quad \Rightarrow \quad |\mathbf{e}_1| = |\mathbf{b}_1|\cos \alpha$$

जहां | ई1|, |बी1| दो आधार वैक्टरों के परिमाण हैं, यानी, स्केलर पीबी और पीए को रोकता है। पीए भी 'बी' का प्रक्षेपण है1 एक्स अक्ष पर।

हालांकि, दिशात्मक कोसाइन का उपयोग करके आधार वेक्टर परिवर्तनों के लिए यह विधि निम्न कारणों से वक्रीय निर्देशांक के लिए अनुपयुक्त है:
 * 1) P से दूरी बढ़ाने पर वक्र रेखा q के बीच का कोण1 और कार्तीय अक्ष x उत्तरोत्तर विचलन करता है $$\alpha$$.
 * 2) दूरी PB पर सच्चा कोण वह है जो x अक्ष के साथ स्पर्शरेखा 'बिंदु C' बनाता है और बाद वाला कोण स्पष्ट रूप से अलग है $$\alpha$$.

वे कोण जो q1 रेखा और एक्स अक्ष के साथ वह अक्ष रूप मूल्य में करीब हो जाता है, करीब एक बिंदु P की ओर बढ़ता है और P पर बिल्कुल बराबर हो जाता है।

बता दें कि बिंदु E, P के बहुत करीब स्थित है, इतना करीब कि दूरी PE असीम रूप से छोटी है। फिर पीई को क्यू पर मापा गया1 अक्ष q पर मापे गए PE के साथ लगभग मेल खाता है1 पंक्ति। इसी समय, अनुपात पीडी/पीई (पीडी एक्स अक्ष पर पीई का प्रक्षेपण है) लगभग बराबर हो जाता है $$\cos\alpha$$.

बता दें कि असीम रूप से छोटे इंटरसेप्ट पीडी और पीई को क्रमशः डीएक्स और डीक्यू के रूप में लेबल किया जाता है 1। फिर
 * $$\cos \alpha = \cfrac{dx}{dq^1} = \frac{|\mathbf{e}_1|}{|\mathbf{b}_1|}$$.

इस प्रकार, दिशात्मक कोसाइन को ट्रांसफ़ॉर्मेशन में प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जिसमें असीम रूप से छोटे निर्देशांक इंटरसेप्ट्स के बीच अधिक सटीक अनुपात होते हैं। यह इस प्रकार है कि बी का घटक (प्रक्षेपण)।1 एक्स अक्ष पर है


 * $$p^1 = \mathbf{b}_1\cdot\cfrac{\mathbf{e}_1}{|\mathbf{e}_1|} = |\mathbf{b}_1|\cfrac{|\mathbf{e}_1|}{|\mathbf{e}_1|}\cos\alpha = |\mathbf{b}_1|\cfrac{dx}{dq^1} \quad \Rightarrow \quad \cfrac{p^1}{|\mathbf{b}_1|} = \cfrac{dx}{dq^1}$$.

अगर क्यूमैं  = क्यू मैं(एक्स1, एक्स2, एक्स3) और एक्सi= एक्सi(क्यू1, क्यू 2, क्यू 3) चिकना कार्य (लगातार अलग-अलग) फ़ंक्शन हैं, परिवर्तन अनुपात को इस रूप में लिखा जा सकता है $$\cfrac{\partial q^i}{\partial x_j}$$ तथा $$\cfrac{\partial x_i}{\partial q^j}$$. अर्थात्, वे अनुपात दूसरे सिस्टम से संबंधित निर्देशांक के संबंध में एक प्रणाली से संबंधित निर्देशांक के आंशिक डेरिवेटिव हैं।

तीन आयामों में एक सहपरिवर्ती आधार का निर्माण
अन्य 2 आयामों में निर्देशांक के लिए ऐसा ही करना, b1 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

\mathbf{b}_1 = p^1\mathbf{e}_1 + p^2\mathbf{e}_2 + p^3\mathbf{e}_3 = \cfrac{\partial x_1}{\partial q^1} \mathbf{e}_1 + \cfrac{\partial x_2}{\partial q^1} \mathbf{e}_2 + \cfrac{\partial x_3}{\partial q^1} \mathbf{e}_3 $$ समान समीकरण b के लिए हैं2 और बी3 ताकि मानक आधार {ई1, तथा2, तथा3} एक स्थानीय (आदेशित और सामान्यीकृत) के आधार पर परिवर्तित हो जाता है {बी1, बी2, बी3} समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली द्वारा:


 * $$\begin{align}

\mathbf{b}_1 & = \cfrac{\partial x_1}{\partial q^1} \mathbf{e}_1 + \cfrac{\partial x_2}{\partial q^1} \mathbf{e}_2 + \cfrac{\partial x_3}{\partial q^1} \mathbf{e}_3 \\ \mathbf{b}_2 & = \cfrac{\partial x_1}{\partial q^2} \mathbf{e}_1 + \cfrac{\partial x_2}{\partial q^2} \mathbf{e}_2 + \cfrac{\partial x_3}{\partial q^2} \mathbf{e}_3 \\ \mathbf{b}_3 & = \cfrac{\partial x_1}{\partial q^3} \mathbf{e}_1 + \cfrac{\partial x_2}{\partial q^3} \mathbf{e}_2 + \cfrac{\partial x_3}{\partial q^3} \mathbf{e}_3 \end{align}$$ अनुरूप तर्क से, कोई स्थानीय आधार से मानक आधार पर उलटा परिवर्तन प्राप्त कर सकता है:
 * $$\begin{align}

\mathbf{e}_1 & = \cfrac{\partial q^1}{\partial x_1} \mathbf{b}_1 + \cfrac{\partial q^2}{\partial x_1} \mathbf{b}_2 + \cfrac{\partial q^3}{\partial x_1} \mathbf{b}_3 \\ \mathbf{e}_2 & = \cfrac{\partial q^1}{\partial x_2} \mathbf{b}_1 + \cfrac{\partial q^2}{\partial x_2} \mathbf{b}_2 + \cfrac{\partial q^3}{\partial x_2} \mathbf{b}_3 \\ \mathbf{e}_3 & = \cfrac{\partial q^1}{\partial x_3} \mathbf{b}_1 + \cfrac{\partial q^2}{\partial x_3} \mathbf{b}_2 + \cfrac{\partial q^3}{\partial x_3} \mathbf{b}_3 \end{align}$$

रूपांतरण का याकूबियन
रैखिक समीकरणों की उपरोक्त प्रणालियों को आइंस्टीन के योग सम्मेलन के रूप में मैट्रिक्स रूप में लिखा जा सकता है
 * $$\cfrac{\partial x_i}{\partial q^k} \mathbf{e}_i = \mathbf{b}_k, \quad \cfrac{\partial q^i}{\partial x_k} \mathbf{b}_i = \mathbf{e}_k$$.

रैखिक प्रणाली का यह गुणांक मैट्रिक्स परिवर्तन का जैकबियन मैट्रिक्स (और इसका व्युत्क्रम) है। ये ऐसे समीकरण हैं जिनका उपयोग कार्तीय आधार को वक्रीय आधार में बदलने के लिए किया जा सकता है, और इसके विपरीत।

तीन आयामों में, इन मैट्रिसेस के विस्तारित रूप हैं

\mathbf{J} = \begin{bmatrix} \cfrac{\partial x_1}{\partial q^1} & \cfrac{\partial x_1}{\partial q^2} & \cfrac{\partial x_1}{\partial q^3} \\ \cfrac{\partial x_2}{\partial q^1} & \cfrac{\partial x_2}{\partial q^2} & \cfrac{\partial x_2}{\partial q^3} \\ \cfrac{\partial x_3}{\partial q^1} & \cfrac{\partial x_3}{\partial q^2} & \cfrac{\partial x_3}{\partial q^3} \\ \end{bmatrix},\quad \mathbf{J}^{-1} = \begin{bmatrix} \cfrac{\partial q^1}{\partial x_1} & \cfrac{\partial q^1}{\partial x_2} & \cfrac{\partial q^1}{\partial x_3} \\ \cfrac{\partial q^2}{\partial x_1} & \cfrac{\partial q^2}{\partial x_2} & \cfrac{\partial q^2}{\partial x_3} \\ \cfrac{\partial q^3}{\partial x_1} & \cfrac{\partial q^3}{\partial x_2} & \cfrac{\partial q^3}{\partial x_3} \\ \end{bmatrix} $$ व्युत्क्रम परिवर्तन (द्वितीय समीकरण प्रणाली) में, अज्ञात वक्रीय आधार वैक्टर हैं। किसी भी विशिष्ट स्थान के लिए केवल एक और केवल आधार वैक्टर का एक सेट मौजूद हो सकता है (अन्यथा आधार उस बिंदु पर अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है)। यह स्थिति तभी संतुष्ट होती है जब समीकरण प्रणाली का एक ही समाधान हो। रेखीय बीजगणित में, एक रेखीय समीकरण प्रणाली का एक एकल समाधान (गैर-तुच्छ) होता है, यदि इसके सिस्टम मैट्रिक्स का निर्धारक गैर-शून्य होता है:
 * $$ \det(\mathbf{J}^{-1}) \neq 0$$

जो व्युत्क्रम जेकोबियन निर्धारक से संबंधित उपरोक्त आवश्यकता के पीछे के तर्क को दर्शाता है।

एन आयामों के लिए सामान्यीकरण
औपचारिकता निम्नानुसार किसी परिमित आयाम तक फैली हुई है।

वास्तविक संख्या यूक्लिडियन स्पेस एन-डायमेंशनल स्पेस पर विचार करें, जो 'आर' हैn = 'R' × 'R' × ... × 'R' (n बार) जहां 'R' वास्तविक संख्याओं का समुच्चय (गणित) है और × कार्तीय गुणनफल को दर्शाता है, जो एक सदिश स्थान है.

इस स्थान के निर्देशांक को निम्न द्वारा निरूपित किया जा सकता है: 'x' = (x1, एक्स2,...,एक्सn). चूँकि यह एक सदिश (सदिश स्थान का एक तत्व) है, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:


 * $$ \mathbf{x} = \sum_{i=1}^n x_i\mathbf{e}^i $$

जहां ई1 = (1,0,0...,0), और2 = (0,1,0...,0), और3 = (0,0,1...,0),...,औरn = (0,0,0...,1) स्थान 'R' के लिए सदिशों का मानक आधार सेट हैn, और i = 1, 2,...n एक अनुक्रमणिका लेबलिंग घटक है। प्रत्येक वेक्टर के प्रत्येक आयाम (या अक्ष) में बिल्कुल एक घटक होता है और वे पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल वेक्टर (लंबवत) और सामान्यीकृत (इकाई वेक्टर होते हैं)।

अधिक आम तौर पर, हम आधार वैक्टर 'बी' को परिभाषित कर सकते हैंi ताकि वे q = (q पर निर्भर हों1, क्यू2,...,क्यूn), यानी वे बिंदु से बिंदु में बदलते हैं: 'बी'i = खi(क्यू)। किस मामले में इस वैकल्पिक आधार के संदर्भ में एक ही बिंदु x को परिभाषित करना है: इस आधार के संबंध में 'समन्वय वेक्टर' 'v'iभी आवश्यक रूप से 'x' पर भी निर्भर करता है, अर्थात vi= विi('एक्स')। फिर इस स्थान में एक वेक्टर 'v', इन वैकल्पिक निर्देशांक और आधार वैक्टर के संबंध में, इस आधार में एक रैखिक संयोजन के रूप में विस्तारित किया जा सकता है (जिसका अर्थ है प्रत्येक आधार कोऑर्डिनेट वेक्टर 'ई' को गुणा करना)i संख्या वी द्वाराi - स्केलर गुणज):


 * $$ \mathbf{v} = \sum_{j=1}^n \bar{v}^j\mathbf{b}_j = \sum_{j=1}^n \bar{v}^j(\mathbf{q})\mathbf{b}_j(\mathbf{q}) $$

नए आधार में v का वर्णन करने वाला सदिश योग विभिन्न सदिशों से बना है, हालाँकि योग स्वयं समान रहता है।

निर्देशांक का परिवर्तन
अधिक सामान्य और अमूर्त दृष्टिकोण से, एक वक्रीय समन्वय प्रणाली अलग-अलग कई गुना ई पर बस एक एटलस (टोपोलॉजी) हैn (एन-डायमेंशनल यूक्लिडियन स्पेस) जो कार्तीय समन्वय प्रणाली के लिए डिफियोमोर्फिज्म है जो कई गुना पर पैच को समन्वयित करता है। डिफरेंशियल मैनिफोल्ड पर दो डिफियोमॉर्फिक कोऑर्डिनेट पैच को अलग-अलग ओवरलैप करने की आवश्यकता नहीं है। एक घुमावदार समन्वय प्रणाली की इस सरल परिभाषा के साथ, नीचे आने वाले सभी परिणाम केवल अंतर टोपोलॉजी में मानक प्रमेय के अनुप्रयोग हैं।

परिवर्तन कार्य ऐसे होते हैं कि पुराने और नए निर्देशांक में बिंदुओं के बीच एक-से-एक संबंध होता है, अर्थात, वे कार्य द्विअर्थी होते हैं, और कार्यों के अपने डोमेन के भीतर निम्नलिखित आवश्यकताओं को पूरा करते हैं:

तीन आयामी वक्रीय निर्देशांक में वेक्टर और टेन्सर बीजगणित
घुमावदार निर्देशांक में प्राथमिक वेक्टर और टेन्सर बीजगणित यांत्रिकी और भौतिकी में कुछ पुराने वैज्ञानिक साहित्य में उपयोग किया जाता है और 1900 के दशक के आरंभ और मध्य से काम को समझने के लिए अपरिहार्य हो सकता है, उदाहरण के लिए ग्रीन और ज़र्ना द्वारा पाठ। सदिशों के बीजगणित और वक्रीय निर्देशांकों में दूसरे क्रम के टेंसरों में कुछ उपयोगी संबंध इस खंड में दिए गए हैं। अंकन और सामग्री मुख्य रूप से ओग्डेन से हैं, हम खिलाते हैं, साइमंड्स, हरा और ज़र्ना, बाजार और वीचर्ट, और सियारलेट।

वक्रीय निर्देशांक में टेन्सर
एक दूसरे क्रम के टेंसर को व्यक्त किया जा सकता है

\boldsymbol{S} = S^{ij}\mathbf{b}_i\otimes\mathbf{b}_j = S^i{}_j\mathbf{b}_i\otimes\mathbf{b}^j = S_i{}^j\mathbf{b}^i\otimes\mathbf{b}_j = S_{ij}\mathbf{b}^i\otimes\mathbf{b}^j $$ कहाँ पे $$\scriptstyle\otimes$$ टेंसर उत्पाद को दर्शाता है। घटक एसij को 'प्रतिपरिवर्ती' घटक कहा जाता है, Sमैं j'मिश्रित दाएँ-सहसंयोजक' घटक, एसi j 'मिक्स्ड लेफ्ट-कोवैरिएंट' घटक, और Sijदूसरे क्रम के टेंसर के 'सहसंयोजक' घटक। दूसरे क्रम के टेन्सर के घटक किसके द्वारा संबंधित हैं


 * $$ S^{ij} = g^{ik}S_k{}^j = g^{jk}S^i{}_k = g^{ik}g^{j\ell}S_{k\ell} $$

लम्बवत वक्रीय निर्देशांकों में मीट्रिक टेन्सर
प्रत्येक बिंदु पर, एक छोटी रेखा तत्व का निर्माण किया जा सकता है $dx$, इसलिए रेखा तत्व की लंबाई का वर्ग अदिश गुणनफल dx • dx होता है और इसे अंतरिक्ष का मीट्रिक (गणित) कहा जाता है, जिसके द्वारा दिया गया है:


 * $$d\mathbf{x}\cdot d\mathbf{x} = \cfrac{\partial x_i}{\partial q^j}\cfrac{\partial x_i}{\partial q^k}dq^jdq^k

$$.

उपरोक्त समीकरण का निम्नलिखित भाग
 * $$ \cfrac{\partial x_k}{\partial q^i}\cfrac{\partial x_k}{\partial q^j} = g_{ij}(q^i,q^j) = \mathbf{b}_i\cdot\mathbf{b}_j $$

एक सममित टेन्सर है जिसे वक्रीय निर्देशांक में यूक्लिडियन स्पेस का 'मीट्रिक टेन्सर|फंडामेंटल (या मैट्रिक) टेन्सर' कहा जाता है।

संकेतक मीट्रिक द्वारा सूचकांकों को बढ़ा और घटा सकते हैं:
 * $$ v^i = g^{ik}v_k $$

लेमे गुणांकों से संबंध
स्केल कारकों को परिभाषित करना एचiद्वारा


 * $$ h_ih_j = g_{ij} = \mathbf{b}_i\cdot\mathbf{b}_j \quad \Rightarrow \quad h_i =\sqrt{g_{ii}}= \left|\mathbf{b}_i\right|=\left|\cfrac{\partial\mathbf{x}}{\partial q^i}\right| $$

मीट्रिक टेन्सर और लेमे गुणांकों के बीच एक संबंध देता है, और


 * $$ g_{ij} = \cfrac{\partial\mathbf{x}}{\partial q^i}\cdot\cfrac{\partial\mathbf{x}}{\partial q^j}

= \left( h_{ki}\mathbf{e}_k\right)\cdot\left( h_{mj}\mathbf{e}_m\right) = h_{ki}h_{kj} $$ जहां एचijलमे गुणांक हैं। ऑर्थोगोनल आधार के लिए हमारे पास भी है:


 * $$ g = g_{11}g_{22}g_{33} = h_1^2h_2^2h_3^2 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{g} = h_1h_2h_3 = J $$

उदाहरण: ध्रुवीय निर्देशांक
यदि हम R के लिए ध्रुवीय निर्देशांकों पर विचार करें 2,
 * $$ (x, y)=(r \cos \theta, r \sin \theta) $$

(r, θ) घुमावदार निर्देशांक हैं, और रूपांतरण (r,θ) → (r cos θ, r sin θ) का जैकबियन निर्धारक r है।

ओर्थोगोनल आधार वैक्टर 'बी' हैंr = (cos θ, sin θ), खθ = (−r sin θ, r cos θ). स्केल कारक एच हैंr = 1 और एचθ= आर। मौलिक टेंसर जी है11 =1, जी22 = आर2, जी12 = जी21 =0.

वैकल्पिक टेंसर
एक असामान्य दाएं हाथ के आधार पर, तीसरे क्रम के लेवी-सिविता प्रतीक को इस रूप में परिभाषित किया गया है


 * $$ \boldsymbol{\mathcal{E}} = \varepsilon_{ijk}\mathbf{e}^i\otimes\mathbf{e}^j\otimes\mathbf{e}^k $$

एक सामान्य वक्रीय आधार में उसी टेन्सर को व्यक्त किया जा सकता है



\boldsymbol{\mathcal{E}} = \mathcal{E}_{ijk}\mathbf{b}^i\otimes\mathbf{b}^j\otimes\mathbf{b}^k = \mathcal{E}^{ijk}\mathbf{b}_i\otimes\mathbf{b}_j\otimes\mathbf{b}_k $$ यह भी दिखाया जा सकता है

\mathcal{E}^{ijk} = \cfrac{1}{J}\varepsilon_{ijk} = \cfrac{1}{+\sqrt{g}}\varepsilon_{ijk} $$

क्रिस्टोफेल प्रतीक
पहली तरह के क्रिस्टोफेल प्रतीक $$\Gamma_{kij}$$:



\mathbf{b}_{i,j} = \frac{\partial \mathbf{b}_i}{\partial q^j} = \mathbf{b}^k \Gamma_{kij} \quad \Rightarrow \quad \mathbf{b}_k \cdot \mathbf{b}_{i,j}  = \Gamma_{kij} $$ जहां अल्पविराम एक आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाता है (रिक्की कलन देखें)। जी व्यक्त करने के लिएkij जी के संदर्भ मेंij,



\begin{align} g_{ij,k} & = (\mathbf{b}_i\cdot\mathbf{b}_j)_{,k} = \mathbf{b}_{i,k}\cdot\mathbf{b}_j + \mathbf{b}_i\cdot\mathbf{b}_{j,k} = \Gamma_{jik} + \Gamma_{ijk}\\ g_{ik,j} & = (\mathbf{b}_i\cdot\mathbf{b}_k)_{,j} = \mathbf{b}_{i,j}\cdot\mathbf{b}_k + \mathbf{b}_i\cdot\mathbf{b}_{k,j} = \Gamma_{kij} + \Gamma_{ikj}\\ g_{jk,i} & = (\mathbf{b}_j\cdot\mathbf{b}_k)_{,i} = \mathbf{b}_{j,i}\cdot\mathbf{b}_k + \mathbf{b}_j\cdot\mathbf{b}_{k,i} = \Gamma_{kji} + \Gamma_{jki} \end{align} $$ तब से
 * $$\mathbf{b}_{i,j} = \mathbf{b}_{j,i}\quad\Rightarrow\quad\Gamma_{kij} = \Gamma_{kji}$$

उपरोक्त संबंधों को पुनर्व्यवस्थित करने के लिए इनका उपयोग करना देता है


 * $$\Gamma_{kij} = \frac{1}{2}(g_{ik,j} + g_{jk,i} - g_{ij,k}) = \frac{1}{2}[(\mathbf{b}_i\cdot\mathbf{b}_k)_{,j} + (\mathbf{b}_j\cdot\mathbf{b}_k)_{,i} - (\mathbf{b}_i\cdot\mathbf{b}_j)_{,k}]

$$ दूसरी तरह के क्रिस्टोफेल प्रतीक $$\Gamma^k{}_{ji}$$:


 * $$\Gamma^k{}_{ij} = g^{kl}\Gamma_{lij} = \Gamma^k{}_{ji},\quad \cfrac{\partial \mathbf{b}_i}{\partial q^j} = \mathbf{b}_k \Gamma^k{}_{ij} $$

यह बताता है कि
 * $$ \Gamma^k{}_{ij} = \cfrac{\partial \mathbf{b}_i}{\partial q^j}\cdot\mathbf{b}^k = -\mathbf{b}_i\cdot\cfrac{\partial \mathbf{b}^k}{\partial q^j}\quad $$ जबसे $$ \quad\cfrac{\partial}{\partial q^j}(\mathbf{b}_i\cdot\mathbf{b}^k)=0$$.

अन्य संबंध जो अनुसरण करते हैं

\cfrac{\partial \mathbf{b}^i}{\partial q^j} = -\Gamma^i{}_{jk}\mathbf{b}^k,\quad \boldsymbol{\nabla}\mathbf{b}_i = \Gamma^k{}_{ij}\mathbf{b}_k\otimes\mathbf{b}^j,\quad \boldsymbol{\nabla}\mathbf{b}^i = -\Gamma^i{}_{jk}\mathbf{b}^k\otimes\mathbf{b}^j $$

तीन आयामी वक्रीय निर्देशांक में वेक्टर और टेन्सर कैलकुलस
रेखा अभिन्न, सतह अभिन्न और मात्रा अभिन्न इंटीग्रेशन (गणित) की गणना में समायोजन करने की आवश्यकता है। सरलता के लिए, निम्नलिखित तीन आयामों और लंबकोणीय वक्रीय निर्देशांकों तक सीमित है। हालांकि, वही तर्क एन-आयामी रिक्त स्थान के लिए लागू होते हैं। जब निर्देशांक प्रणाली लंबकोणीय नहीं होती है, तो व्यंजकों में कुछ अतिरिक्त पद होते हैं।

साइमंड्स, टेंसर विश्लेषण पर अपनी पुस्तक में, अल्बर्ट आइंस्टीन को उद्धृत करते हुए कहते हैं  इस सिद्धांत का जादू शायद ही किसी ऐसे व्यक्ति पर थोपने में असफल होगा जिसने इसे सही मायने में समझा हो; यह गॉस, रीमैन, रिक्की और लेवी-सिविता द्वारा स्थापित पूर्ण अंतर कलन की विधि की वास्तविक विजय का प्रतिनिधित्व करता है।  सामान्य वक्रीय निर्देशांक में वेक्टर और टेन्सर कैलकुलस का उपयोग सामान्य सापेक्षता में चार-आयामी वक्रीय कई गुना पर टेंसर विश्लेषण में किया जाता है, घुमावदार प्लेट सिद्धांत के ठोस यांत्रिकी में, मैक्सवेल के समीकरणों के अपरिवर्तनीय (गणित) गुणों की जांच करने में जो metamaterials में रुचि रखते हैं और कई अन्य क्षेत्रों में।

वक्रीय निर्देशांकों में सदिशों और दूसरे क्रम के टेंसरों की गणना में कुछ उपयोगी संबंध इस खंड में दिए गए हैं। अंकन और सामग्री मुख्य रूप से ओग्डेन से हैं, साइमंड्स, हरा और ज़र्ना, बाजार और वीचर्ट, और सियारलेट।

चलो φ = φ(x) एक अच्छी तरह से परिभाषित अदिश क्षेत्र और v = v(x) एक अच्छी तरह से परिभाषित सदिश क्षेत्र है, और λ1, एल2... निर्देशांक के पैरामीटर बनें

ज्यामितीय तत्व
1. {\partial \mathbf{x} \over \partial \lambda} \right

2. = \sqrt{h_{ki}h_{kj}\cfrac{\partial q^i}{\partial \lambda}\cfrac{\partial q^j}{\partial \lambda}} = \sqrt{g_{ij}\cfrac{\partial q^i}{\partial \lambda}\cfrac{\partial q^j}{\partial \lambda}} = \sqrt{h_{i}^2\ बायां (\cfrac{\partial q^i}{\partial \lambda}\right)^2} $
 * 2= स्पर्शरेखा समतल अवयव: यदि x(λ1, एल2) कार्टेशियन निर्देशांक में एक सतह एस को पैरामीट्रिज करता है, तो टेंगेंट वैक्टरों का निम्नलिखित क्रॉस उत्पाद एक सामान्य वेक्टर है जो एस के लिए इन्फिनिटिमल विमान तत्व की परिमाण के साथ घुमावदार निर्देशांक में होता है। उपरोक्त परिणाम का उपयोग करते हुए,


 * $ {\partial \mathbf{x} \over \partial \lambda_1}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial \lambda_2} =\left({\partial \mathbf{x} \over \partial q^i}{\partial q^i \over \partial \lambda_1}\right) \times \left({\partial \mathbf{x} \over \partial q^j}{\partial q^j \over \partial \lambda_2}\right) = \mathcal{E}_{kmp}\left( h_{ki}{\partial q^i \over \partial \lambda_1}\right)\left(h_{mj}{\partial q^j \over \partial \lambda_2}\right) \mathbf{b}_p $

कहाँ पे $\mathcal{E}$ क्रमपरिवर्तन प्रतीक है। निर्धारक रूप में:


 * ${\partial \mathbf{x} \over \partial \lambda_1}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial \lambda_2}

=\begin{vmatrix} \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \mathbf{e}_3 \\ h_{1i} \dfrac{\partial q^i}{\partial \lambda_1} & h_{2i} \dfrac{\partial q^i}{\partial \lambda_1} & h_{3i} \dfrac{\partial q^i }{\partial \lambda_1} \\ h_{1j} \dfrac{\partial q^j}{\partial \lambda_2} & h_{2j} \dfrac{\partial q^j}{\partial \lambda_2} & h_{3j} \dfrac{\partial q^j }{\partial \lambda_2} \end{vmatrix}$
 * undefined

एकीकरण

 * {| class="wikitable"

!scope=col width="10px"| Operator !scope=col width="200px"| Scalar field !scope=col width="200px"| Vector field
 * Line integral
 * $$ \int_C \varphi(\mathbf{x}) ds = \int_a^b \varphi(\mathbf{x}(\lambda))\left|{\partial \mathbf{x} \over \partial \lambda}\right| d\lambda$$
 * $$ \int_C \mathbf{v}(\mathbf{x}) \cdot d\mathbf{s} = \int_a^b \mathbf{v}(\mathbf{x}(\lambda))\cdot\left({\partial \mathbf{x} \over \partial \lambda}\right) d\lambda$$
 * Surface integral
 * $$\int_S \varphi(\mathbf{x}) dS = \iint_T \varphi(\mathbf{x}(\lambda_1, \lambda_2)) \left|{\partial \mathbf{x} \over \partial \lambda_1}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial \lambda_2}\right| d\lambda_1 d\lambda_2$$
 * $$\int_S \mathbf{v}(\mathbf{x}) \cdot dS = \iint_T \mathbf{v}(\mathbf{x}(\lambda_1, \lambda_2)) \cdot\left({\partial \mathbf{x} \over \partial \lambda_1}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial \lambda_2}\right) d\lambda_1 d\lambda_2$$
 * Volume integral
 * $$\iiint_V \varphi(x,y,z) dV = \iiint_V \chi(q_1,q_2,q_3) Jdq_1dq_2dq_3 $$
 * $$\iiint_V \mathbf{u}(x,y,z) dV = \iiint_V \mathbf{v}(q_1,q_2,q_3) Jdq_1dq_2dq_3 $$
 * }
 * $$\iiint_V \varphi(x,y,z) dV = \iiint_V \chi(q_1,q_2,q_3) Jdq_1dq_2dq_3 $$
 * $$\iiint_V \mathbf{u}(x,y,z) dV = \iiint_V \mathbf{v}(q_1,q_2,q_3) Jdq_1dq_2dq_3 $$
 * }
 * }

भेद
ग्रेडिएंट, डायवर्जेंस और लाप्लासियन के भावों को सीधे n-आयामों तक बढ़ाया जा सकता है, हालांकि कर्ल को केवल 3D में परिभाषित किया गया है।

सदिश क्षेत्र 'बी'i q की स्पर्शरेखा हैi वक्र का समन्वय करता है और वक्र के प्रत्येक बिंदु पर एक 'प्राकृतिक आधार' बनाता है। यह आधार, जैसा कि इस लेख की शुरुआत में चर्चा की गई है, को 'सहसंयोजक' वक्रीय आधार भी कहा जाता है। हम एक 'पारस्परिक आधार', या 'प्रतिपरिवर्ती' वक्रीय आधार, 'बी' को भी परिभाषित कर सकते हैं। मैं । आधार सदिशों के बीच सभी बीजगणितीय संबंध, जैसा कि टेन्सर बीजगणित पर अनुभाग में चर्चा की गई है, प्रत्येक बिंदु 'x' पर प्राकृतिक आधार और इसके व्युत्क्रम के लिए लागू होते हैं।


 * {| class="wikitable"

!scope=col width="10px"| Operator !scope=col width="200px"| Scalar field !scope=col width="200px"| Vector field !scope=col width="200px"| 2nd order tensor field (\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{S})\cdot\mathbf{a} = \boldsymbol{\nabla}\cdot(\boldsymbol{S}\cdot\mathbf{a}) $$ where a is an arbitrary constant vector. In curvilinear coordinates,
 * Gradient
 * $$ \nabla\varphi = \cfrac{1}{h_i}{\partial\varphi \over \partial q^i} \mathbf{b}^i $$
 * $$\nabla\mathbf{v} = \cfrac{1}{h_i^2}{\partial \mathbf{v} \over \partial q^i}\otimes\mathbf{b}_i $$
 * $$\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{S} = \cfrac{\partial \boldsymbol{S}}{\partial q^i}\otimes\mathbf{b}^i$$
 * Divergence
 * N/A
 * $$ \nabla \cdot \mathbf{v} = \cfrac{1}{\prod_j h_j} \frac{\partial }{\partial q^i}(v^i\prod_{j\ne i} h_j) $$
 * N/A
 * $$ \nabla \cdot \mathbf{v} = \cfrac{1}{\prod_j h_j} \frac{\partial }{\partial q^i}(v^i\prod_{j\ne i} h_j) $$

$$\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{S} = \left[\cfrac{\partial S_{ij}}{\partial q^k} - \Gamma^l_{ki}S_{lj} - \Gamma^l_{kj}S_{il}\right]g^{ik}\mathbf{b}^j $$ \nabla^2 \varphi = \cfrac{1}{\prod _j h_j}\frac{\partial }{\partial q^i}\left(\cfrac{\prod _j h_j}{h_i^2}\frac{\partial \varphi}{\partial q^i}\right) $$
 * Laplacian
 * Laplacian

$$ \nabla\times\mathbf{v} = \frac{1}{h_1h_2h_3} \mathbf{e}_i \epsilon_{ijk} h_i \frac{\partial (h_k v_k)}{\partial q^j} $$
 * Curl
 * N/A
 * For vector fields in 3D only,
 * N/A
 * For vector fields in 3D only,

where $$\epsilon_{ijk}$$ is the Levi-Civita symbol.
 * See Curl of a tensor field
 * }

सामान्य वक्रीय निर्देशांक में काल्पनिक बल
परिभाषा के अनुसार, यदि कोई कण जिस पर कोई बल कार्य नहीं करता है, उसकी स्थिति एक जड़त्वीय समन्वय प्रणाली में व्यक्त की जाती है, (x1, एक्स2, एक्स3, टी), तो वहां इसका कोई त्वरण नहीं होगा (डी2xj/ डीटी2 = 0). इस संदर्भ में, एक समन्वय प्रणाली गैर-सीधे समय अक्ष या गैर-सीधे अंतरिक्ष अक्ष (या दोनों) के कारण "जड़त्वीय" होने में विफल हो सकती है। दूसरे शब्दों में, निर्देशांक के आधार वैक्टर निश्चित स्थिति में समय के साथ भिन्न हो सकते हैं, या वे निश्चित समय पर स्थिति के साथ भिन्न हो सकते हैं, या दोनों। जब गति के समीकरण किसी गैर-जड़त्वीय समन्वय प्रणाली (इस अर्थ में) के संदर्भ में व्यक्त किए जाते हैं, तो अतिरिक्त शब्द दिखाई देते हैं, जिन्हें क्रिस्टोफेल प्रतीक कहा जाता है। सख्ती से बोलते हुए, ये शब्द पूर्ण त्वरण (शास्त्रीय यांत्रिकी में) के घटकों का प्रतिनिधित्व करते हैं, लेकिन हम डी के संबंध में जारी रखना भी चुन सकते हैं2xj/ डीटी2 त्वरण के रूप में (जैसे कि निर्देशांक जड़त्वीय थे) और अतिरिक्त शर्तों को मानते हैं जैसे कि वे बल थे, जिस स्थिति में उन्हें काल्पनिक बल कहा जाता है। कण के पथ के सामान्य और पथ के वक्रता के समतल में किसी भी ऐसे काल्पनिक बल का घटक तब केन्द्रापसारक बल कहलाता है। यह अधिक सामान्य संदर्भ घूर्णन संदर्भ फ्रेम और स्थिर घुमावदार समन्वय प्रणालियों में केन्द्रापसारक बल की अवधारणाओं के बीच पत्राचार को स्पष्ट करता है। (ये दोनों अवधारणाएँ साहित्य में अक्सर दिखाई देती हैं।  ) एक सरल उदाहरण के लिए, द्रव्यमान m के एक कण पर कोणीय गति w के साथ घूमते हुए ध्रुवीय निर्देशांक की एक प्रणाली के सापेक्ष कोणीय गति w के साथ त्रिज्या r के एक चक्र पर विचार करें। गति का रेडियल समीकरण mr” = F हैr+ श्री (डब्ल्यू + डब्ल्यू)2</उप>। इस प्रकार केन्द्रापसारक बल कण की पूर्ण घूर्णी गति A = w + W के वर्ग का mr गुना है। यदि हम कण की गति से घूमने वाली एक समन्वय प्रणाली चुनते हैं, तो W=A और w=0, इस मामले में केन्द्रापसारक बल mrA है 2, जबकि अगर हम एक स्थिर समन्वय प्रणाली चुनते हैं तो हमारे पास W = 0 और w = A होता है, इस मामले में केन्द्रापसारक बल फिर से mrA होता है 2</उप>। परिणामों की इस समानता का कारण यह है कि दोनों ही मामलों में कण के स्थान पर आधार सदिश समय के साथ ठीक उसी तरह बदल रहे हैं। इसलिए ये वास्तव में एक ही चीज़ का वर्णन करने के दो अलग-अलग तरीके हैं, एक विवरण घूर्णन निर्देशांक के संदर्भ में है और दूसरा स्थिर घुमावदार निर्देशांक के संदर्भ में है, जो दोनों उस शब्द के अधिक अमूर्त अर्थ के अनुसार गैर-जड़त्वीय हैं.

सामान्य गति का वर्णन करते समय, एक कण पर कार्य करने वाली वास्तविक शक्तियों को अक्सर गति के पथ पर तात्कालिक दोलन चक्र स्पर्शरेखा के रूप में संदर्भित किया जाता है, और सामान्य मामले में यह चक्र एक निश्चित स्थान पर केंद्रित नहीं होता है, और इसलिए केन्द्रापसारक और कोरिओलिस में अपघटन घटक लगातार बदल रहे हैं। यह इस बात पर ध्यान दिए बिना सत्य है कि गति को स्थिर या घूर्णन निर्देशांक के संदर्भ में वर्णित किया गया है या नहीं।

यह भी देखें

 * सहप्रसरण और सदिशों का प्रतिप्रसरण
 * सामान्य सापेक्षता के गणित का परिचय
 * विशेष स्थितियां:
 * ओर्थोगोनल निर्देशांक
 * तिरछा निर्देशांक
 * वक्रीय निर्देशांक में टेन्सर
 * फ्रेनेट-सीरेट सूत्र
 * सहपरिवर्ती व्युत्पन्न
 * टेंसर व्युत्पन्न (सातत्य यांत्रिकी)
 * वक्रीय दृष्टिकोण
 * डेल बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * कार्तिजीयन समन्वय
 * निर्देशांक तरीका
 * उलटी
 * सतहों का समन्वय करें
 * वेक्टर पथरी
 * टेंसर विश्लेषण
 * कार्तिकये निर्देशांक
 * बेलनाकार समन्वय प्रणाली
 * गोलाकार समरूपता
 * अदिश (गणित)
 * वृत्त
 * सीमा की स्थिति
 * सापेक्षता का सिद्धांत
 * त्रि-आयामी स्थान
 * स्पर्शरेखा
 * एफ़िन समन्वय प्रणाली
 * भौतिक विज्ञान
 * तरल यांत्रिकी
 * सातत्यक यांत्रिकी
 * सहप्रसरण और सदिशों का प्रतिप्रसरण
 * रैखिक ऑपरेटर
 * आंशिक व्युत्पन्न
 * रैखिक समीकरणों की प्रणाली
 * लीनियर अलजेब्रा
 * COORDINATES
 * सदिश स्थल
 * सेट (गणित)
 * सीधा
 * अलग करने योग्य कई गुना
 * द्विभाजन
 * किसी फ़ंक्शन का डोमेन
 * सूचकांकों को ऊपर उठाना और घटाना
 * लेवी-Civita प्रतीक
 * क्रिस्टोफर प्रतीक
 * घुंघराले पथरी
 * एकीकरण (गणित)
 * विविध
 * स्पर्शरेखा विमान
 * Del बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में

बाहरी संबंध

 * Planetmath.org Derivation of Unit vectors in curvilinear coordinates
 * MathWorld's page on Curvilinear Coordinates
 * Prof. R. Brannon's E-Book on Curvilinear Coordinates
 * Introduction to Elasticity/Tensors – Wikiversity, Introduction to Elasticity/Tensors.