समुच्चय का विभाजन

गणित में, किसी समुच्चय का विभाजन उसके तत्वों को रिक्त समुच्चय|गैर-रिक्त उपसमुच्चयों में इस प्रकार समूहित करना है कि प्रत्येक तत्व ठीक एक उपसमुच्चय में शामिल हो जाए।

एक सबसेट (गणित) पर प्रत्येक समतुल्य संबंध इस सेट के एक विभाजन को परिभाषित करता है, और प्रत्येक विभाजन एक समतुल्य संबंध को परिभाषित करता है। तुल्यता संबंध या विभाजन से सुसज्जित सेट को कभी-कभी setoid  कहा जाता है, आमतौर पर प्रकार सिद्धांत और प्रमाण सिद्धांत में।

परिभाषा और संकेतन
समुच्चय (अर्थात्, उपसमुच्चय परस्पर असंयुक्त समुच्चय हैं)।

समान रूप से, समुच्चय P का एक परिवार X का एक विभाजन है यदि और केवल यदि निम्नलिखित सभी शर्तें पूरी होती हैं:
 * परिवार P में खाली सेट नहीं है (अर्थात $$\emptyset \notin P$$).
 * P में समुच्चयों का संघ (सेट सिद्धांत) X के बराबर है (अर्थात $$\textstyle\bigcup_{A\in P} A = X$$). पी में सेट को 'एग्जॉस्ट' या 'कवर' एक्स कहा जाता है। सामूहिक रूप से संपूर्ण घटनाओं और कवर (टोपोलॉजी) को भी देखें।
 * पी में किन्हीं दो अलग-अलग सेटों का प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) खाली है (अर्थात $$(\forall A,B \in P)\; A\neq B \implies A \cap B = \emptyset$$). P के तत्वों को जोड़ीवार असंयुक्त या परस्पर अपवर्जी कहा जाता है। पारस्परिक विशिष्टता भी देखें।

में सेट $$P$$ विभाजन के ब्लॉक, भाग या सेल कहलाते हैं। अगर $$a\in X$$ तब हम युक्त सेल का प्रतिनिधित्व करते हैं $$a$$ द्वारा $$[a]$$. यानी, $$[a]$$ में सेल के लिए संकेतन है $$P$$ जिसमें है $$a$$.

हर विभाजन $$P$$ पर समतुल्य संबंध से पहचाना जा सकता है $$X$$, अर्थात् संबंध $$\sim_{\!P}$$ ऐसा कि किसी के लिए भी $$a,b\in X$$ अपने पास $$a\sim_{\!P} b$$ अगर और केवल अगर $$a\in [b]$$ (समकक्ष रूप से, यदि और केवल यदि $$b\in [a]$$). संकेतन $$\sim_{\!P}$$ इस विचार को उद्घाटित करता है कि तुल्यता संबंध का निर्माण विभाजन से किया जा सकता है। इसके विपरीत प्रत्येक समतुल्य संबंध को एक विभाजन के साथ पहचाना जा सकता है। यही कारण है कि कभी-कभी अनौपचारिक रूप से कहा जाता है कि समतुल्य संबंध विभाजन के समान है। यदि P किसी दिए गए तुल्यता संबंध से पहचाना गया विभाजन है $$\sim$$, फिर कुछ लेखक लिखते हैं $$P = X/\sim$$. यह संकेतन इस विचार का सूचक है कि विभाजन सेट एक्स है जो कोशिकाओं में विभाजित है। अंकन इस विचार को भी उद्घाटित करता है कि, तुल्यता संबंध से कोई विभाजन का निर्माण कर सकता है।

का 'रैंक' $$P$$ है $$|X|-|P|$$, अगर $$X$$ परिमित समुच्चय है.

उदाहरण

 * खाली सेट $$\emptyset$$ अर्थात् बिल्कुल एक ही विभाजन है $$\emptyset$$. (नोट: यह विभाजन है, विभाजन का सदस्य नहीं।)
 * किसी भी गैर-रिक्त सेट के लिए एक्स, पी = $\{ X \}$ X का एक विभाजन है, जिसे 'तुच्छ विभाजन' कहा जाता है।
 * विशेष रूप से, प्रत्येक सिंगलटन सेट {x} में बिल्कुल एक विभाजन होता है $\{ \{x\} \}$.
 * सेट यू के किसी भी गैर-रिक्त उचित उपसमुच्चय ए के लिए, सेट ए अपने पूरक (सेट सिद्धांत) के साथ मिलकर यू का एक विभाजन बनाता है, अर्थात्, $\{ A, U &setminus; A \}$.
 * सेट $\{1, 2, 3\}$ में ये पाँच विभाजन हैं (प्रति आइटम एक विभाजन):
 * $\{ {1}, {2}, {3} \}$, कभी-कभी 1 | लिखा जाता है 2 | 3.
 * $\{ {1, 2}, {3} \}$, या 1 2 | 3.
 * $\{ {1, 3}, {2} \}$, या 1 3 | 2.
 * $\{ {1}, {2, 3} \}$, या 1 | 2 3.
 * $\{ {1, 2, 3} \}$, या 123 (संदर्भों में जहां संख्या के साथ कोई भ्रम नहीं होगा)।
 * निम्नलिखित के विभाजन नहीं हैं $\{1, 2, 3\}$:
 * $\{ {}, {1, 3}, {2} \}$ एक विभाजन नहीं है (किसी भी सेट का) क्योंकि इसका एक तत्व खाली सेट है।
 * $\{ {1, 2}, {2, 3} \}$ एक विभाजन नहीं है (किसी भी सेट का) क्योंकि तत्व 2 एक से अधिक ब्लॉक में समाहित है।
 * $\{ {1}, {2} \}$ का विभाजन नहीं है $\{1, 2, 3\}$ क्योंकि इसके किसी भी ब्लॉक में 3 नहीं है; हालाँकि, यह का एक विभाजन है $\{1, 2\}$.

विभाजन और तुल्यता संबंध
समुच्चय X पर किसी समतुल्य संबंध के लिए, इसके समतुल्य वर्गों का समुच्चय X का एक विभाजन है। इसके विपरीत, x ~ y ठीक तब जब x और y P में एक ही भाग में हों। इस प्रकार तुल्यता संबंध और विभाजन की धारणाएं अनिवार्य रूप से समतुल्य हैं।

पसंद का सिद्धांत सेट एक्स के किसी भी विभाजन के लिए एक्स के एक उपसमुच्चय के अस्तित्व की गारंटी देता है जिसमें विभाजन के प्रत्येक भाग से बिल्कुल एक तत्व होता है। इसका तात्पर्य यह है कि एक सेट पर एक समतुल्य संबंध दिए जाने पर प्रत्येक समतुल्य वर्ग से एक प्रतिनिधि (गणित) का चयन किया जा सकता है।

विभाजन का परिशोधन
समुच्चय अनौपचारिक रूप से, इसका मतलब है कि α, ρ का एक और विखंडन है। उस स्थिति में, यह लिखा है कि α ≤ ρ.

एक्स के विभाजनों के सेट पर यह बेहतर संबंध आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट है (इसलिए अंकन ≤ उपयुक्त है)। तत्वों के प्रत्येक सेट में कम से कम ऊपरी सीमा (उनका जुड़ाव) और सबसे बड़ी निचली सीमा (उनका मिलन) होती है, जिससे यह एक जाली (क्रम) बनाता है, और अधिक विशेष रूप से (एक परिमित सेट के विभाजन के लिए) यह एक ज्यामितीय जाली है। 4-तत्व सेट के विभाजन जाली में 15 तत्व हैं और इसे बाईं ओर हासे आरेख में दर्शाया गया है।

विभाजन α और ρ के मिलन और जुड़ाव को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है। मिलन' $$\alpha \wedge \rho$$ वह विभाजन है जिसके ब्लॉक खाली सेट को छोड़कर, α के ब्लॉक और ρ के ब्लॉक के प्रतिच्छेदन हैं। दूसरे शब्दों में, का एक ब्लॉक $$\alpha \wedge \rho$$ α के एक ब्लॉक और ρ के एक ब्लॉक का प्रतिच्छेदन है जो एक दूसरे से अलग नहीं हैं। 'जॉइन' को परिभाषित करने के लिए $$\alpha \vee \rho$$, यदि A और B असंयुक्त नहीं हैं, तो α के ब्लॉक A और ρ के ब्लॉक B पर A ~ B द्वारा संबंध बनाएं। तब $$\alpha \vee \rho$$ वह विभाजन है जिसमें प्रत्येक ब्लॉक C इस संबंध से जुड़े ब्लॉकों के एक परिवार का मिलन है।

ज्यामितीय जालकों और matroid्स के बीच समानता के आधार पर, एक परिमित सेट के विभाजन की यह जाली एक मैट्रोइड से मेल खाती है जिसमें मैट्रोइड के आधार सेट में जाली के परमाणु (क्रम सिद्धांत) होते हैं, अर्थात्, विभाजन के साथ $$n-2$$ सिंगलटन सेट और एक दो-तत्व सेट। ये परमाणु विभाजन पूर्ण ग्राफ़ के किनारों के साथ एक-के-एक मेल खाते हैं। परमाणु विभाजनों के एक सेट का मैट्रोइड#क्लोजर ऑपरेटर उन सभी में सबसे अच्छा सामान्य मोटेपन है; ग्राफ़-सैद्धांतिक शब्दों में, यह संपूर्ण ग्राफ़ के वर्टेक्स (ग्राफ़ सिद्धांत) का किनारों के दिए गए सेट द्वारा गठित उपग्राफ़ के कनेक्टेड घटक (ग्राफ़ सिद्धांत) में विभाजन है। इस प्रकार, विभाजन की जाली संपूर्ण ग्राफ़ के ग्राफ़िक मैट्रोइड के फ्लैटों की जाली से मेल खाती है।

एक अन्य उदाहरण तुल्यता संबंधों के परिप्रेक्ष्य से विभाजनों के परिशोधन को दर्शाता है। यदि D मानक 52-कार्ड डेक में कार्डों का सेट है, तो D पर समान-रंग-जैसा संबंध - जिसे दर्शाया जा सकता है ~C - इसके दो समतुल्य वर्ग हैं: सेट {लाल कार्ड} और {काले कार्ड}। ~ के अनुरूप 2-भाग वाला विभाजनC इसमें एक परिशोधन है जो समान-सूट-जैसा संबंध उत्पन्न करता है ~S, जिसमें चार समतुल्य वर्ग {हुकुम}, {हीरे}, {दिल}, और {क्लब} हैं।

नॉनक्रॉसिंग विभाजन
समुच्चय N = {1, 2, ..., n} का संगत समतुल्य संबंध ~ वाला एक विभाजन 'नॉनक्रॉसिंग विभाजन' है यदि इसमें निम्नलिखित गुण हैं: यदि N के चार तत्व a, b, c और d में < है b < c < d a ~ c और b ~ d को संतुष्ट करता है, तो a ~ b ~ c ~ d। नाम निम्नलिखित समतुल्य परिभाषा से आता है: कल्पना करें कि N के तत्व 1, 2, ..., n को एक नियमित n-गॉन के n शीर्षों के रूप में खींचा गया है (वामावर्त क्रम में)। फिर प्रत्येक ब्लॉक को बहुभुज (जिसके शीर्ष ब्लॉक के तत्व हैं) के रूप में चित्रित करके एक विभाजन की कल्पना की जा सकती है। विभाजन तब गैर-क्रॉसिंग होता है यदि और केवल यदि ये बहुभुज प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।

एक परिमित सेट के गैर-क्रॉसिंग विभाजनों की जाली सभी विभाजनों की जाली का एक उपसमूह बनाती है, लेकिन एक उप-जालक नहीं, क्योंकि दो जाली के जुड़ने के संचालन सहमत नहीं होते हैं।

मुक्त संभाव्यता सिद्धांत में अपनी भूमिका के कारण नॉनक्रॉसिंग विभाजन जाली को हाल ही में महत्व दिया गया है।

विभाजनों की गिनती
एन-तत्व सेट के विभाजन की कुल संख्या बेल संख्या बी हैn. पहले कई बेल नंबर बी हैं0 = 1, बी1 = 1, बी2 = 2, बी3 = 5, बी4 = 15, बी5 = 52, और बी6 = 203. बेल नंबर प्रत्यावर्तन  को संतुष्ट करते हैं


 * $$B_{n+1}=\sum_{k=0}^n {n\choose k} B_k$$

और जनरेटिंग फ़ंक्शन है


 * $$\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n}{n!}z^n=e^{e^z-1}.$$

बेल संख्याओं की गणना बेल त्रिकोण का उपयोग करके भी की जा सकती है जिसमें प्रत्येक पंक्ति में पहला मान पिछली पंक्ति के अंत से कॉपी किया जाता है, और बाद के मानों की गणना दो संख्याओं को जोड़कर की जाती है, बाईं ओर की संख्या और स्थिति के ऊपर बाईं ओर की संख्या। इस त्रिभुज के दोनों किनारों पर घंटी संख्याएँ दोहराई जाती हैं। त्रिभुज के भीतर की संख्याएँ उन विभाजनों को गिनती हैं जिनमें दिया गया तत्व सबसे बड़ा सिंगलटन (गणित) होता है।

बिल्कुल k (गैर-रिक्त) भागों में सेट किए गए n-तत्व के विभाजनों की संख्या दूसरे प्रकार S(n, k) की स्टर्लिंग संख्या है।

एन-तत्व सेट के गैर-क्रॉसिंग विभाजन की संख्या कैटलन संख्या है
 * $$C_n={1 \over n+1}{2n \choose n}.$$

यह भी देखें

 * सटीक कवर
 * ब्लॉक डिज़ाइन
 * क्लस्टर विश्लेषण
 * विभाजन विषयों की सूची
 * लेमिनेशन (टोपोलॉजी)
 * एमईसीई सिद्धांत
 * आंशिक तुल्यता संबंध
 * विभाजन बीजगणित
 * विभाजन शोधन
 * बिंदु-परिमित संग्रह
 * v: सेट विभाजन द्वारा कविता योजनाएं
 * कमजोर क्रम (आदेशित सेट विभाजन)