डार्सी घर्षण कारक सूत्र

द्रव गतिकी में, डार्सी घर्षण कारक सूत्र ऐसे समीकरण हैं जो की डार्सी घर्षण कारक की गणना की अनुमति देते हैं, जो पाइप प्रवाह के साथ-साथ संवृत-चैनल प्रवाह में घर्षण हानि के विवरण के लिए डार्सी-वेसबैक समीकरण में उपयोग की जाने वाली आयामहीन मात्रा है।

इस प्रकार से डार्सी घर्षण कारक को डार्सी-वेस्बैक घर्षण कारक, प्रतिरोध गुणांक या बस घर्षण कारक के रूप में भी जाना जाता है; अतः परिभाषा के अनुसार यह फैनिंग घर्षण कारक से चार गुना उच्च है।

नोटेशन
इस लेख में, निम्नलिखित सम्मेलनों और परिभाषाओं को दर्शाया गया है:
 * रेनॉल्ड्स संख्या Re को Re = V D / ν माना जाता है, जहां V द्रव प्रवाह का औसत वेग है, D पाइप का व्यास है, और जहां ν गतिक विस्कोसिटी μ / ρ है, μ द्रव की गतिशील विस्कोसिटी है, और ρ द्रव का घनत्व है।
 * पाइप की सापेक्ष रौगनेस ε / D, जहां ε पाइप की प्रभावी रौगनेस ऊंचाई है और D पाइप (अंदर) व्यास है।
 * f का अर्थ डार्सी घर्षण कारक है। इसका मान प्रवाह के रेनॉल्ड्स संख्या Re और पाइप की सापेक्ष रौगनेस ε / D पर निर्भर करता है।
 * लॉग फलन को आधार-10 समझा जाता है (जैसा कि इंजीनियरिंग क्षेत्रों में प्रथागत है): यदि x = लॉग(y), तो y = 10x.
 * ln फलन को आधार-ई समझा जाता है: यदि x = ln(y), तो y = ex.

प्रवाह व्यवस्था
अतः कौन सा घर्षण कारक सूत्र प्रयुक्त हो सकता है यह उपस्तिथ प्रवाह के प्रकार पर निर्भर करता है:
 * लामिना का प्रवाह
 * लैमिनर और अशांत प्रवाह के मध्य संक्रमण
 * स्मूथ पाइपलाइन में पूर्ण रूप से अशांत प्रवाह
 * रफ़ पाइपलाइन में पूर्ण रूप से अशांत प्रवाह
 * मुक्त सतह प्रवाह.

संक्रमण प्रवाह
इस प्रकार से संक्रमण (न तो पूर्ण रूप से लामिना और न ही पूर्ण रूप से अशांत) प्रवाह 2300 और 4000 के मध्य रेनॉल्ड्स संख्या की सीमा में होता है। और डार्सी घर्षण कारक का मूल्य इस प्रवाह शासन में उच्च अनिश्चितताओं के अधीन होती है।

स्मूथ पाइपलाइन में अशांत प्रवाह
अतः डार्सी घर्षण की गणना के लिए ब्लैसियस सहसंबंध अधिक सरल समीकरण है। क्योंकि ब्लैसियस सहसंबंध में पाइप रौगनेस के लिए कोई शब्द नहीं है, यह

केवल स्मूथ पाइपों के लिए मान्य है। चूंकि, ब्लैसियस सहसंबंध कभी-कभी होता है इसकी सरलता के कारण इसका उपयोग रफ़ पाइपों में किया जाता है। ब्लैसियस रेनॉल्ड्स संख्या 100000 तक सहसंबंध मान्य है.

रफ़ पाइपलाइन में अशांत प्रवाह
किसी न किसी पाइपलाइन में पूर्ण रूप से अशांत प्रवाह (रेनॉल्ड्स संख्या 4000 से अधिक) के लिए डार्सी घर्षण कारक को कोलेब्रुक-व्हाइट समीकरण द्वारा मॉडल किया जा सकता है।

मुक्त सतह प्रवाह
इस आलेख के कोलब्रुक समीकरण अनुभाग में अंतिम सूत्र मुक्त सतह प्रवाह के लिए है। इस आलेख में अन्यत्र अनुमान इस प्रकार के प्रवाह के लिए प्रयुक्त नहीं हैं।

सूत्र चुनना
फॉर्मूला चुनने से पहले यह जानना आवश्यक है कि मूडी चार्ट पर पेपर में मूडी ने बताया कि स्मूथ पाइपों के लिए स्पष्टतः लगभग ±5% और रफ़ पाइपों के लिए ±10% है। यदि विचाराधीन प्रवाह व्यवस्था में से अधिक सूत्र प्रयुक्त होते हैं, तो सूत्र का चुनाव निम्नलिखित में से या अधिक से प्रभावित हो सकता है:
 * आवश्यक स्पष्टतः
 * गणना की गति आवश्यक
 * उपलब्ध कम्प्यूटेशनल तकनीक:
 * कैलकुलेटर (कीस्ट्रोक कम से कम करें)
 * स्प्रेडशीट (एकल-कोशिका सूत्र)
 * प्रोग्रामिंग/स्क्रिप्टिंग भाषा (सबरूटीन)।

कोलब्रुक-श्वेत समीकरण
इस प्रकार से घटनात्मक कोलब्रुक-व्हाइट समीकरण (या कोलब्रुक समीकरण) डार्सी घर्षण कारक एफ को रेनॉल्ड्स संख्या Re और पाइप सापेक्ष रौगनेस ε / Dh, फलन के रूप में व्यक्त करता है। स्मूथ और रफ़ पाइप (सामग्री) में अशांत प्रवाह के प्रायोगिक अध्ययन के डेटा को फिट करना है।

किन्तु समीकरण का उपयोग (पुनरावृत्त रूप से) डार्सी-वेस्बैक समीकरण को हल करने के लिए किया जा सकता है डार्सी-वेस्बैक घर्षण कारक f को हल करने के लिए किया जा सकता है।

अतः 4000 से अधिक रेनॉल्ड्स संख्या पर पूर्ण रूप से तरल पदार्थ से भरी हुई बहने वाली पाइपलाइन के लिए, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:


 * $$ \frac{1}{\sqrt{f}}= -2 \log \left( \frac { \varepsilon} {3.7 D_\mathrm{h}} + \frac {2.51} {\mathrm{Re} \sqrt{f}} \right)$$

या


 * $$ \frac{1}{\sqrt{f}}= -2 \log \left( \frac{\varepsilon}{14.8 R_\mathrm{h}} + \frac{2.51}{\mathrm{Re}\sqrt{f}} \right)$$

जहाँ :


 * हाइड्रोलिक व्यास, $$D_\mathrm{h}$$ (m, फीट) - द्रव से भरे, वृत्ताकार पाइपलाइन के लिए, $$D_\mathrm{h}$$ = D = आंतरिक व्यास
 * हाइड्रोलिक त्रिज्या, $$R_\mathrm{h}$$ (m, फीट) - द्रव से भरे, वृत्ताकार पाइपलाइन के लिए, $$R_\mathrm{h}$$ = D/4 = (अंदर का व्यास)/4

नोट: कुछ स्रोत उपरोक्त प्रथम समीकरण में रौगनेस पद के लिए हर में 3.71 के स्थिरांक का उपयोग करते हैं।

समाधान
इस प्रकार से कोलब्रुक समीकरण को इसकी अंतर्निहित प्रकृति के कारण सामान्यतः संख्यात्मक रूप से हल किया जाता है। वर्तमान में, लैम्बर्ट डब्ल्यू फलन को कोलब्रुक समीकरण का स्पष्ट पुनर्रचना प्राप्त करने के लिए नियोजित किया गया है।

$$x=\frac{1}{\sqrt{f}}, b=\frac{\varepsilon}{14.8R_h},  a= \frac{2.51}{Re} $$

$$ x=-2\log(ax+b) $$

या

$$ 10^{-\frac{x}{2}}= ax+b $$

$$ p=10^{-\frac{1}{2}} $$

प्राप्त होगा::
 * $$ p^x = ax + b $$
 * $$ x = -\frac{W\left(-\frac{\ln p}{a}\,p^{-\frac{b}{a}}\right)}{\ln p} - \frac{b}{a} $$

जब:


 * $$ f = \frac{1}{\left(\dfrac{2W\left(\frac{\ln 10}{2a}\,10^{\frac{b}{2a}}\right)}{\ln 10} - \dfrac{b}{a}\right)^2} $$

विस्तृत रूप
इसके अतिरिक्त, कोलब्रुक समीकरण के गणितीय रूप से समतुल्य रूप हैं:
 * $$ \frac{1}{\sqrt{f}}= 1.7384\ldots -2 \log \left( \frac { 2 \varepsilon} {D_\mathrm{h}} + \frac {18.574} {\mathrm{Re} \sqrt{f}} \right)$$
 * जहाँ :
 * 1.7384... = 2 लॉग (2 × 3.7) = 2 लॉग (7.4)
 * 18.574 = 2.51 × 3.7 × 2

और
 * $$ \frac{1}{\sqrt{f}}= 1.1364\ldots + 2 \log\left (D_\mathrm{h} / \varepsilon\right) -2 \log \left( 1 + \frac { 9.287} {\mathrm{Re} (\varepsilon/D_\mathrm{h}) \sqrt{f}} \right)$$
 * या
 * $$ \frac{1}{\sqrt{f}}= 1.1364\ldots -2 \log \left( \frac {\varepsilon}{D_\mathrm{h}} + \frac {9.287} {\mathrm{Re} \sqrt{f}} \right) $$
 * जहाँ :
 * 1.1364... = 1.7384... - 2 लॉग (2) = 2 लॉग (7.4) - 2 लॉग (2) = 2 लॉग (3.7)
 * 9.287 = 18.574/2 = 2.51 × 3.7.

इस प्रकार से उपरोक्त अतिरिक्त समतुल्य प्रपत्र मानते हैं कि इस खंड के शीर्ष पर सूत्र में स्थिरांक 3.7 और 2.51 स्पष्ट हैं। स्थिरांक संभवतः वे मान हैं जिन्हें कोलब्रुक ने अपनी वक्र फिटिंग के समय पूर्णांकित किया था; किन्तु कोलब्रुक के अंतर्निहित समीकरण के माध्यम से गणना किए गए घर्षण कारक के साथ स्पष्ट सूत्रों (जैसे कि इस लेख में कहीं और पाए गए) के परिणामों की तुलना (अनेक दशमलव स्थानों पर) करने पर उन्हें प्रभावी रूप से स्पष्ट माना जाता है।

चूंकि उपरोक्त अतिरिक्त रूपों के समान समीकरण (स्थिरांक को कम दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित किया गया है, या समग्र पूर्णांकन त्रुटियों को कम करने के लिए इसके अतिरिक्त थोड़ा स्थानांतरित किया गया है) विभिन्न संदर्भों में पाए जा सकते हैं। यह ध्यान रखना उपयोगी हो सकता है कि वे मूलतः ही समीकरण हैं।

मुक्त सतह प्रवाह
कोलब्रुक-व्हाइट समीकरण का द्वतीय रूप मुक्त सतहों के लिए उपस्तिथ है। इस प्रकार की स्थिति उस पाइप में हो सकती है जो की आंशिक रूप से तरल पदार्थ से भरा और बहता हुआ है। मुक्त सतह प्रवाह के लिए:
 * $$\frac{1}{\sqrt{f}} = -2 \log \left(\frac{\varepsilon}{12R_\mathrm{h}} + \frac{2.51}{\mathrm{Re}\sqrt{f}}\right).$$

अतः उपरोक्त समीकरण केवल अशांत प्रवाह के लिए मान्य है। और मुक्त सतह प्रवाह में f का आकलन करने के लिए और दृष्टिकोण, जो सभी प्रवाह व्यवस्थाओं (लैमिनर, संक्रमण और अशांत) के अधीन मान्य है, निम्नलिखित है:

$$f=\left ( \frac{24}{Re_h} \right ) \left [ \frac{0.86e^{W(1.35Re_h)}} {Re_h} \right ]^{2(1-a)b} \left \{ \frac{1.34}{\left [ \ln{12.21\left ( \frac{R_h}{\epsilon} \right )} \right ]^2} \right \}^{(1-a)(1-b)} $$

जहाँ a है:

$$a= \frac{1}{1+\left ( \frac{Re_h}{678} \right )^{8.4}} $$

और b है:

$$b=\frac{1}{1+\left ( \frac{Re_h}{150\left ( \frac{R_h}{\epsilon} \right )} \right )^{1.8}} $$

जहां Reh रेनॉल्ड्स संख्या है जहां h विशेषता हाइड्रोलिक लंबाई है (1D प्रवाह के लिए हाइड्रोलिक त्रिज्या या 2D प्रवाह के लिए जल की गहराई) और Rh हाइड्रोलिक त्रिज्या (1D प्रवाह के लिए) या जल की गहराई (2D प्रवाह के लिए) है। लैम्बर्ट डब्ल्यू फलन की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:

$$W(1.35Re_h)=\ln{1.35Re_h}-\ln{\ln{1.35Re_h}}+\left ( \frac{\ln{\ln{1.35Re_h}}}{\ln{1.35Re_h}} \right )+ \left ( \frac{\ln{[\ln{1.35Re_h}]^2-2\ln{\ln{1.35Re_h}}}}{2[\ln{1.35Re_h}]^2} \right ) $$

हालैंड समीकरण
हालैंड समीकरण 1983 में प्रोफेसर S.E. द्वारा प्रस्तावित किया गया था। इस प्रकार से नॉर्वेजियन यूनिवर्सिटी ऑफ साइंस एंड टेक्नोलॉजी के हालैंड है। इसका उपयोग पूर्ण-प्रवाहित वृत्ताकार पाइप के लिए डार्सी-वेस्बैक समीकरण डार्सी-वेस्बैक घर्षण कारक f को सीधे हल करने के लिए किया जाता है। यह अंतर्निहित कोलब्रुक-व्हाइट समीकरण का अनुमान है, किन्तु प्रायोगिक डेटा से विसंगति डेटा की स्पष्टतः के अन्दर है।

और हालैंड समीकरण व्यक्त किया गया है:
 * $$ \frac{1}{\sqrt {f}} = -1.8 \log \left[ \left( \frac{\varepsilon/D}{3.7} \right)^{1.11} + \frac{6.9}{\mathrm{Re}} \right] $$

स्वामी-जैन समीकरण
इस प्रकार से स्वामी-जैन समीकरण का उपयोग पूर्ण-प्रवाहित वृत्ताकार पाइप के लिए डार्सी-वेस्बैक समीकरण डार्सी-वेस्बैक घर्षण कारक f को सीधे हल करने के लिए किया जाता है। यह अंतर्निहित कोलब्रुक-व्हाइट समीकरण का अनुमान है।
 * $$ f = \frac{0.25}{\left[\log\left (\frac{\varepsilon/D}{3.7} + \frac{5.74}{\mathrm{Re}^{0.9}}\right)\right]^2}$$

सेरघाइड्स समाधान
सेरघाइड्स के समाधान का उपयोग पूर्ण-प्रवाह वाले वृत्ताकार पाइप के लिए सीधे डार्सी-वेस्बैक समीकरण डार्सी-वेस्बैक घर्षण कारक f को हल करने के लिए किया जाता है। यह अंतर्निहित कोलब्रुक-व्हाइट समीकरण का अनुमान है। इसे स्टीफ़ेंसन विधि का उपयोग करके प्राप्त किया गया था।

समाधान में तीन मध्यवर्ती मानों की गणना करना और फिर उन मानों को अंतिम समीकरण में प्रतिस्थापित करना सम्मिलित है।


 * $$ A = -2\log\left( \frac{\varepsilon/D}{3.7} + {12\over \mathrm{Re}}\right) $$
 * $$ B = -2\log \left(\frac{\varepsilon/D}{3.7} + {2.51 A \over \mathrm{Re}}\right) $$
 * $$ C = -2\log \left(\frac{\varepsilon/D}{3.7} + {2.51 B \over \mathrm{Re}}\right) $$
 * $$ \frac{1}{\sqrt{f}} = A - \frac{(B - A)^2}{C - 2B + A} $$

सात रेनॉल्ड्स संख्याओं (2500 से 108) द्वारा दस सापेक्ष रौगनेस मान (0.00004 से 0.05 की सीमा में) वाले 70-बिंदु आव्यूह वाले परीक्षण समुच्चय के लिए समीकरण 0.0023% के अन्दर कोलब्रुक-व्हाइट समीकरण से मेल खाता हुआ पाया गया।).

गौदर-सोनाड समीकरण
डार्सी-वीसबैक समीकरण के लिए सीधे हल करने के लिए गौडर समीकरण अधिक स्पष्ट अनुमान है | इस प्रकार पूर्ण-प्रवाह वाले वृत्ताकार पाइप के लिए डार्सी-वीसबैक घर्षण कारक f अनुमान है। यह अंतर्निहित कोलब्रुक-व्हाइट समीकरण का निम्न रूप है
 * $$ a = {2 \over \ln(10)}$$
 * $$ b = \frac{\varepsilon/D}{3.7} $$
 * $$ d = {\ln(10)\mathrm{Re}\over 5.02} $$
 * $$ s = {bd + \ln(d)} $$
 * $$ q = {{s}^{s/(s+1)}} $$
 * $$ g = {bd + \ln{d \over q}} $$
 * $$ z = {\ln{q \over g}} $$
 * $$ D_{LA} = z $$
 * $$ D_{CFA} = D_{LA} \left(1 + \frac{z/2}{(g+1)^2+(z/3)(2g-1)}\right) $$
 * $$   \frac{1}{\sqrt {f}} = {a\left[ \ln\left( d / q \right) + D_{CFA} \right] } $$

ब्रिक समाधान
ब्रिक लैम्बर्ट डब्ल्यू-फलन के आधार पर कोलब्रुक समीकरण का अनुमान दर्शाता है
 * $$ S = \ln\frac{\mathrm{Re}}{\mathrm{1.816\ln\frac{1.1\mathrm{Re}}{ \ln\left( 1+1.1\mathrm{Re} \right) }}}$$
 * $$ \frac{1}{\sqrt {f}} = -2\log \left(\frac{\varepsilon/D}{3.71} + {2.18 S \over \mathrm{Re}}\right) $$

यह समीकरण 3.15% के अन्दर कोलब्रुक-व्हाइट समीकरण से मेल खाता हुआ पाया गया है।

ब्रिकिक-प्रैक्स समाधान
ब्रिकिक और प्रैक्स राइट पर आधारित कोलब्रुक समीकरण का अनुमान दिखाते हैं यदि $$\omega$$-फलन, लैम्बर्ट डब्ल्यू-फलन का सजातीय है
 * $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{f}}\approx 0.8686\cdot \left[ B-C+\displaystyle\frac{1.038\cdot C}{\mathrm{0.332+}\,x}\right] \,$
 * $A\approx \displaystyle \frac{Re\cdot \epsilon/D }{8.0884}$, $B\approx \mathrm{ln}\,\left( Re\right) -0.7794$ , $C=$ $$\mathrm{ln}\,\left( x\right)$$, और $x=A+B$

यह समीकरण 0.0497% के अन्दर कोलब्रुक-व्हाइट समीकरण से मेल खाता हुआ पाया गया।

प्रैक्स-ब्रिक समाधान
प्रैक्स और ब्रिक राइट पर आधारित कोलब्रुक समीकरण का अनुमान दर्शाता हैं $$\omega$$-फलन, लैम्बर्ट डब्ल्यू-फलन का सजातीय है
 * $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{f}}\approx 0.8685972\cdot \left[ B-C+\displaystyle\frac{C}{x-0.5588\cdot C+1.2079}\, \right]$
 * $A\approx \displaystyle \frac{Re\cdot \epsilon/D }{8.0897}$, $B\approx \mathrm{ln}\,\left( Re\right) -0.779626$ , $C=$ $$\mathrm{ln}\,\left( x\right)$$, और $x=A+B$

यह समीकरण 0.0012% के अन्दर कोलब्रुक-व्हाइट समीकरण से मेल खाता हुआ पाया गया।

नियाज़कर का समाधान
चूंकि सेरघाइड्स का समाधान अंतर्निहित कोलब्रुक-व्हाइट समीकरण के अधिक स्पष्ट अनुमानों में से पाया गया था, इस प्रकार से नियाज़कर ने पूर्ण-प्रवाह वाले वृत्ताकार पाइप के लिए सीधे डार्सी-वीसबैक घर्षण कारक f को हल करने के लिए सेरघाइड्स के समाधान को संशोधित किया है।

नियाज़कर का समाधान निम्नलिखित में दिखाया गया है:


 * $$ A = -2\log\left( \frac{\varepsilon/D}{3.7} + {4.5547\over \mathrm{Re^{0.8784}}}\right) $$
 * $$ B = -2\log \left(\frac{\varepsilon/D}{3.7} + {2.51 A \over \mathrm{Re}}\right) $$
 * $$ C = -2\log \left(\frac{\varepsilon/D}{3.7} + {2.51 B \over \mathrm{Re}}\right) $$
 * $$ \frac{1}{\sqrt{f}} = A - \frac{(B - A)^2}{C - 2B + A} $$

कोलब्रुक घर्षण कारक का अनुमान लगाने के लिए 42 अलग-अलग स्पष्ट समीकरणों के मध्य साहित्य में किए गए तुलनात्मक विश्लेषण के आधार पर नियाज़कर का समाधान अधिक स्पष्ट सहसंबंध पाया गया है।

ब्लासियस सहसंबंध
इस प्रकार से स्मूथ पाइपों के लिए प्रारंभिक अनुमान है। जो की पॉल रिचर्ड हेनरिक ब्लेज़ द्वारा डार्सी-वीस्बैक घर्षण कारक के संदर्भ में 1913 के लेख में दिए गए हैं:
 * $$f = 0.3164 \mathrm{Re}^{-{1 \over 4}}$$.

अतः 1932 में जोहान निकुराडसे ने प्रस्तावित किया कि यह द्रव वेग प्रोफ़ाइल के लिए पॉवर नियम सहसंबंध से मेल खाता है।

मिश्रा और गुप्ता ने 1979 में समतुल्य वक्र त्रिज्या, Rc को ध्यान में रखते हुए घुमावदार या हेलिकली कुंडलित ट्यूबों के लिए सुधार का प्रस्ताव रखा है।
 * $$f = 0.316 \mathrm{Re}^{-{1 \over 4}} + 0.0075\sqrt{\frac {D}{2 R_c}}$$,

साथ,
 * $$R_c = R\left[1 + \left(\frac{H}{2 \pi R} \right)^2\right]$$

जहां f इसका फलन है:
 * पाइप व्यास, D (m, फीट)
 * वक्र त्रिज्या, R (m, फीट)
 * हेलिकॉइडल पिच, H (m, फीट)
 * रेनॉल्ड्स संख्या Re, पुनः (आयाम रहित)

के लिए मान्य:


 * Retr < Re < 105
 * 6.7 < 2Rc/D < 346.0
 * 0 < H/D < 25.4

अनुमानों की तालिका
निम्नलिखित तालिका कोलब्रुक-व्हाइट संबंध के ऐतिहासिक अनुमानों को सूचीबद्ध करती है और दबाव चालित प्रवाह के लिए. चर्चिल समीकरण है इस प्रकार से (1977) एकमात्र समीकरण है जिसका मूल्यांकन अधिक धीमे प्रवाह (रेनॉल्ड्स संख्या <1) के लिए किया जा सकता है, किन्तु चेंग (2008), और बेलोस एट अल (2018) है। अतः समीकरण लैमिनर प्रवाह क्षेत्र (रेनॉल्ड्स संख्या <2300) में घर्षण कारक के लिए लगभग सही मान भी लौटाते हैं। अन्य सभी केवल संक्रमणकालीन और अशांत प्रवाह के लिए हैं।

अग्रिम पठन

 * ब्रिकिक, Dejan; Praks, Pavel (2019). "Accurate and efficient explicit approximations of the Colebrook flow friction equation based on the Wright ω-function". Mathematics 7 (1): article 34. https://doi.org/10.3390/math7010034. ISSN 2227-7390
 * Praks, Pavel; ब्रिकिक, Dejan (2020). "Review of new flow friction equations: Constructing Colebrook’s explicit correlations accurately". Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería 36 (3): article 41. https://doi.org/10.23967/j.rimni.2020.09.001. ISSN 1886-158X (online version) - ISSN 0213-1315 (printed version)
 * ब्रिकिक, Dejan; Praks, Pavel (2019). "Accurate and efficient explicit approximations of the Colebrook flow friction equation based on the Wright ω-function". Mathematics 7 (1): article 34. https://doi.org/10.3390/math7010034. ISSN 2227-7390
 * Praks, Pavel; ब्रिकिक, Dejan (2020). "Review of new flow friction equations: Constructing Colebrook’s explicit correlations accurately". Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería 36 (3): article 41. https://doi.org/10.23967/j.rimni.2020.09.001. ISSN 1886-158X (online version) - ISSN 0213-1315 (printed version)
 * ब्रिकिक, Dejan; Praks, Pavel (2019). "Accurate and efficient explicit approximations of the Colebrook flow friction equation based on the Wright ω-function". Mathematics 7 (1): article 34. https://doi.org/10.3390/math7010034. ISSN 2227-7390
 * Praks, Pavel; ब्रिकिक, Dejan (2020). "Review of new flow friction equations: Constructing Colebrook’s explicit correlations accurately". Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería 36 (3): article 41. https://doi.org/10.23967/j.rimni.2020.09.001. ISSN 1886-158X (online version) - ISSN 0213-1315 (printed version)

बाहरी संबंध

 * Web-based calculator of Darcy friction factors by सेरघाइड्स' solution.
 * Open source pipe friction calculator.

Équation de Darcy-Weisbach Equazione di Colebrook Equações explícitas para o fator de atrito de Darcy-Weisbach