समय प्रतिवर्तीता

एक गणितीय या भौतिक प्रक्रिया समय-प्रतिवर्ती होती है यदि समय-राज्यों के अनुक्रम को उलटने पर प्रक्रिया की गतिशीलता अच्छी तरह से परिभाषित रहती है।

एक नियतात्मक प्रणाली समय-प्रतिवर्ती है यदि समय-उलट प्रक्रिया मूल प्रक्रिया के समान गतिशील समीकरण (बहुविकल्पी) को संतुष्ट करती है; दूसरे शब्दों में, समय के चिन्ह (गणित) में परिवर्तन के तहत समीकरण अपरिवर्तनीय (गणित) या समरूपता हैं। एक अनेक संभावनाओं में से चुनी हूई प्रक्रिया प्रतिवर्ती है यदि प्रक्रिया के सांख्यिकीय गुण उसी प्रक्रिया से समय-उलट डेटा के सांख्यिकीय गुणों के समान हैं।

गणित
गणित में, एक गतिशील प्रणाली समय-प्रतिवर्ती होती है यदि आगे का विकास एक-से-एक कार्य | एक-से-एक होता है, ताकि हर राज्य के लिए एक परिवर्तन मौजूद हो (एक उलटाव (गणित)) π जो एक देता है- ऑपरेटर समीकरण द्वारा दिए गए किसी एक राज्य के समय-उलट विकास और किसी अन्य संबंधित राज्य के अग्र-समय के विकास के बीच एक मानचित्रण:


 * $$U_{-t} = \pi \, U_{t}\, \pi$$

किसी भी समय-स्वतंत्र संरचनाएं (जैसे महत्वपूर्ण बिंदु (गणित) या आकर्षित करने वाले) जो गतिकी को जन्म देती हैं, इसलिए या तो स्व-सममित होना चाहिए या इनवोल्यूशन π के तहत सममित छवियां होनी चाहिए।

भौतिकी
भौतिकी में, शास्त्रीय यांत्रिकी की गति के न्यूटन के नियम समय की उत्क्रमणशीलता प्रदर्शित करते हैं, जब तक कि ऑपरेटर π प्रणाली के सभी कणों के संयुग्मित संवेग को उलट देता है, अर्थात। $$\mathbf{p} \rightarrow \mathbf{-p} $$ (टी-समरूपता)।

क्वांटम यांत्रिकी प्रणालियों में, हालांकि, कमजोर परमाणु बल अकेले टी-समरूपता के तहत अपरिवर्तनीय नहीं है; यदि कमजोर अंतःक्रियाएं मौजूद हैं, तो प्रतिवर्ती गतिकी अभी भी संभव है, लेकिन केवल अगर ऑपरेटर π स्थानिक समन्वय (सी-समरूपता और पी-समरूपता) के सभी चार्ज (भौतिकी) और समता (भौतिकी) के संकेतों को भी उलट देता है।. कई जुड़े गुणों की यह प्रतिवर्तीता सीपीटी समरूपता के रूप में जानी जाती है।

प्रक्रिया के दौरान एन्ट्रापी में परिवर्तन के आधार पर थर्मोडायनामिक प्रक्रियाएं प्रतिवर्ती प्रक्रिया (थर्मोडायनामिक्स) या अपरिवर्तनीय प्रक्रिया हो सकती हैं। ध्यान दें, हालांकि, मौलिक कानून जो थर्मोडायनामिक प्रक्रियाओं को रेखांकित करते हैं, वे सभी समय-प्रतिवर्ती हैं (गति के शास्त्रीय नियम और इलेक्ट्रोडायनामिक्स के नियम), जिसका अर्थ है कि सूक्ष्म स्तर पर, यदि कोई सभी कणों और स्वतंत्रता की सभी डिग्री का ट्रैक रखता है, तो कई-शरीर प्रणाली प्रक्रियाएं उलटा हो सकती हैं; हालांकि, ऐसा विश्लेषण किसी भी इंसान (या कृत्रिम बुद्धि) की क्षमता से परे है, और थर्मोडायनामिक राज्य (जैसे एंट्रॉपी और तापमान) कई-निकाय प्रणाली थर्मोडायनामिक संतुलन से केवल राज्य चर हैं। जब हम ऊष्मप्रवैगिकी में ऐसे मैक्रोस्कोपिक गुणों के बारे में बात करते हैं, तो कुछ मामलों में, हम सांख्यिकीय स्तर पर इन मात्राओं के समय के विकास में अपरिवर्तनीयता देख सकते हैं। दरअसल, ऊष्मप्रवैगिकी का दूसरा नियम भविष्यवाणी करता है कि पूरे ब्रह्मांड की एन्ट्रॉपी कम नहीं होनी चाहिए, इसलिए नहीं कि इसकी संभावना शून्य है, बल्कि इसलिए कि यह बहुत कम संभावना है कि यह सभी व्यावहारिक विचारों के लिए एक बड़ा विचलन सिद्धांत है (क्रूक्स उतार-चढ़ाव प्रमेय देखें)।

स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं
एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया समय-प्रतिवर्ती होती है यदि समय वृद्धि के सभी सेटों के लिए आगे और रिवर्स राज्य अनुक्रमों की संयुक्त संभावनाएं समान होती हैं { τs}, s के लिए = 1, ..., k किसी भी k के लिए:
 * $$p(x_t, x_{t+\tau_1}, x_{t+\tau_2}, \ldots, x_{t+\tau_k}) = p(x_{t'}, x_{t'-\tau_1}, x_{t'-\tau_2} , \ldots , x_{t'-\tau_k})$$

एक अविभाजित स्थिर गाऊसी प्रक्रिया समय-प्रतिवर्ती है। मार्कोव प्रक्रियाएं केवल तभी प्रतिवर्ती हो सकती हैं यदि उनके स्थिर वितरण में विस्तृत संतुलन का गुण हो:
 * $$p(x_t=i,x_{t+1}=j) = \,p(x_t=j,x_{t+1}=i)$$

कोलमोगोरोव का मानदंड मार्कोव श्रृंखला या निरंतर-समय मार्कोव श्रृंखला के लिए समय-प्रतिवर्ती होने की स्थिति को परिभाषित करता है।

स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं के कई वर्गों के समय के उत्क्रमण का अध्ययन किया गया है, जिसमें लेवी प्रक्रियाएं शामिल हैं, स्टोकेस्टिक नेटवर्क (केली की लेम्मा), जन्म और मृत्यु की प्रक्रिया, मार्कोव चेन, और टुकड़े-टुकड़े नियतात्मक मार्कोव प्रक्रियाएं।

तरंगें और प्रकाशिकी
टाइम रिवर्सल विधि तरंग समीकरण के रैखिक पारस्परिकता के आधार पर काम करती है, जिसमें कहा गया है कि तरंग समीकरण का समय उलटा समाधान भी तरंग समीकरण का एक समाधान है क्योंकि मानक तरंग समीकरणों में केवल अज्ञात चर के डेरिवेटिव होते हैं। इस प्रकार, तरंग समीकरण समय उत्क्रमण के तहत सममित है, इसलिए किसी भी वैध समाधान का समय उत्क्रमण भी एक समाधान है। इसका मतलब यह है कि किसी भी दिशा में यात्रा करने पर अंतरिक्ष के माध्यम से तरंग का मार्ग मान्य होता है।

टाइम रिवर्सल सिग्नल प्रोसेसिंग एक ऐसी प्रक्रिया है जिसमें इस संपत्ति का उपयोग प्राप्त सिग्नल को उलटने के लिए किया जाता है; यह संकेत फिर से उत्सर्जित होता है और एक अस्थायी संपीड़न होता है, जिसके परिणामस्वरूप प्रारंभिक उत्तेजना तरंग का उलटा प्रारंभिक स्रोत पर खेला जाता है।

यह भी देखें

 * टी-समरूपता
 * स्मृतिहीनता
 * मार्कोव संपत्ति
 * प्रतिवर्ती कंप्यूटिंग

संदर्भ

 * Isham, V. (1991) "Modelling stochastic phenomena". In: Stochastic Theory and Modelling, Hinkley, DV., Reid, N., Snell, E.J. (Eds). Chapman and Hall. ISBN 978-0-412-30590-0.
 * Tong, H. (1990) Non-linear Time Series: A Dynamical System Approach. Oxford UP. ISBN 0-19-852300-9