अर्ध-सामान्य वितरण

संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, अर्ध-सामान्य वितरण मुड़े हुए सामान्य वितरण का एक विशेष मामला है।

होने देना $$X$$ सामान्य सामान्य वितरण का पालन करें, $$N(0,\sigma^2)$$. तब, $$Y=|X|$$ अर्ध-सामान्य वितरण का अनुसरण करता है। इस प्रकार, अर्ध-सामान्य वितरण माध्य शून्य के साथ एक सामान्य सामान्य वितरण के माध्य पर एक गुना है।

गुण
का उपयोग $$\sigma$$ सामान्य वितरण का पैरामीट्रिजेशन, अर्ध-सामान्य की संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन (पीडीएफ) द्वारा दिया गया है


 * $$f_Y(y; \sigma) = \frac{\sqrt{2}}{\sigma\sqrt{\pi}}\exp \left( -\frac{y^2}{2\sigma^2} \right) \quad y \geq 0,$$

कहाँ $$E[Y] = \mu = \frac{\sigma\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}$$.

वैकल्पिक रूप से एक स्केल्ड परिशुद्धता (विचरण का व्युत्क्रम) पैरामीट्रिजेशन का उपयोग करना (यदि समस्याओं से बचने के लिए)। $$\sigma$$ शून्य के निकट है), सेटिंग द्वारा प्राप्त किया गया $$\theta=\frac{\sqrt{\pi}}{\sigma\sqrt{2}}$$, संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन द्वारा दिया गया है


 * $$f_Y(y; \theta) = \frac{2\theta}{\pi}\exp \left( -\frac{y^2\theta^2}{\pi} \right) \quad y \geq 0,$$

कहाँ $$E[Y] = \mu = \frac{1}{\theta}$$.

संचयी वितरण फ़ंक्शन (सीडीएफ) द्वारा दिया गया है


 * $$F_Y(y; \sigma) = \int_0^y \frac{1}{\sigma}\sqrt{\frac{2}{\pi}} \, \exp \left( -\frac{x^2}{2\sigma^2} \right)\, dx$$

परिवर्तन-परिवर्तन का उपयोग करना $$z = x/(\sqrt{2}\sigma)$$, सीडीएफ को इस प्रकार लिखा जा सकता है


 * $$F_Y(y; \sigma) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \,\int_0^{y/(\sqrt{2}\sigma)}\exp \left(-z^2\right)dz = \operatorname{erf}\left(\frac{y}{\sqrt{2}\sigma}\right),

$$ जहां ईआरएफ त्रुटि फ़ंक्शन है, कई गणितीय सॉफ़्टवेयर पैकेजों में एक मानक फ़ंक्शन।

क्वांटाइल फ़ंक्शन (या उलटा सीडीएफ) लिखा गया है:
 * $$Q(F;\sigma)=\sigma\sqrt{2} \operatorname{erf}^{-1}(F)$$

कहाँ $$0\le F \le 1$$ और $$\operatorname{erf}^{-1}$$ व्युत्क्रम त्रुटि फलन#व्युत्क्रम फलन है

अपेक्षा तब दी जाती है


 * $$E[Y] = \sigma \sqrt{2/\pi},$$

विचरण द्वारा दिया गया है


 * $$\operatorname{var}(Y) = \sigma^2\left(1 - \frac{2}{\pi}\right). $$

चूँकि यह प्रसरण σ के समानुपाती हैX के 2, σ को नए वितरण के स्केल पैरामीटर के रूप में देखा जा सकता है।

अर्ध-सामान्य वितरण की विभेदक एन्ट्रापी शून्य-माध्य सामान्य वितरण की अंतर एन्ट्रापी से ठीक एक बिट कम है, जिसका दूसरा क्षण लगभग 0 है। इसे सहज रूप से समझा जा सकता है क्योंकि परिमाण ऑपरेटर जानकारी को एक बिट कम कर देता है (यदि संभावना है) इसके इनपुट पर वितरण सम है)। वैकल्पिक रूप से, चूंकि अर्ध-सामान्य वितरण हमेशा सकारात्मक होता है, एक मानक सामान्य यादृच्छिक चर सकारात्मक (मान लीजिए, 1) या नकारात्मक (मान लीजिए, 0) था या नहीं, यह रिकॉर्ड करने के लिए लगने वाला एक बिट अब आवश्यक नहीं है। इस प्रकार,


 * $$ h(Y) = \frac{1}{2} \log_2 \left( \frac{\pi e \sigma^2}{2} \right) = \frac{1}{2}  \log_2 \left( 2\pi e \sigma^2 \right) -1.$$

अनुप्रयोग
अर्ध-सामान्य वितरण का उपयोग आमतौर पर बायेसियन अनुमान अनुप्रयोगों में भिन्नता मापदंडों के लिए पूर्व संभाव्यता वितरण के रूप में किया जाता है।

पैरामीटर अनुमान
दिए गए नंबर $$\{x_i\}_{i=1}^n$$ आधे-सामान्य वितरण से लिया गया, अज्ञात पैरामीटर $$\sigma$$ उस वितरण का अनुमान अधिकतम संभावना की विधि द्वारा दिया जा सकता है


 * $$ \hat \sigma = \sqrt{\frac 1 n \sum_{i=1}^n x_i^2}$$

पूर्वाग्रह बराबर है

b \equiv \operatorname{E}\bigg[\;(\hat\sigma_\mathrm{mle} - \sigma)\;\bigg] = - \frac{\sigma}{4n} $$ जो अधिकतम_संभावना_अनुमान#उच्च-क्रम_गुण|पूर्वाग्रह-संशोधित अधिकतम संभावना अनुमानक उत्पन्न करता है



\hat{\sigma\,}^*_\text{mle} = \hat{\sigma\,}_\text{mle} - \hat{b\,}. $$

संबंधित वितरण

 * वितरण μ = 0 के साथ मुड़े हुए सामान्य वितरण का एक विशेष मामला है।
 * यह नीचे से शून्य पर काटे गए शून्य-माध्य सामान्य वितरण से भी मेल खाता है (काटे गए सामान्य वितरण देखें)
 * यदि Y का वितरण आधा-सामान्य है, तो (Y/σ)2 में 1 डिग्री की स्वतंत्रता के साथ एक ची वर्ग वितरण है, यानी Y/σ में 1 डिग्री की स्वतंत्रता के साथ एक ची वितरण है।
 * अर्ध-सामान्य वितरण d = 1, p = 2, a = के साथ सामान्यीकृत गामा वितरण का एक विशेष मामला है$$\sqrt{2}\sigma$$.
 * यदि Y का वितरण आधा-सामान्य है, तो Y-2में लेवी वितरण है
 * रेले वितरण आधे-सामान्य वितरण का एक क्षण-झुका हुआ और स्केल किया गया सामान्यीकरण है।
 * संशोधित अर्ध-सामान्य वितरण पीडीएफ के साथ $$(0, \infty)$$ के रूप में दिया गया है $$ f(x)= \frac{2\beta^{\frac{\alpha}{2}} x^{\alpha-1} \exp(-\beta x^2+ \gamma x )}{\Psi{\left(\frac{\alpha}{2}, \frac{ \gamma}{\sqrt{\beta}}\right)}}$$, कहाँ $$\Psi(\alpha,z)={}_1\Psi_1\left(\begin{matrix}\left(\alpha,\frac{1}{2}\right)\\(1,0)\end{matrix};z \right)$$ फॉक्स-राइट साई फ़ंक्शन को दर्शाता है।

यह भी देखें

 * आधा-टी वितरण|आधा-टी वितरण
 * सामान्य वितरण को छोटा कर दिया गया
 * मुड़ा हुआ सामान्य वितरण
 * संशोधित गाऊसी वितरण

बाहरी संबंध

 * Half-Normal Distribution at MathWorld
 * (note that MathWorld uses the parameter $$ \theta = \frac{1}{\sigma}\sqrt {\pi/2} $$