डिफियोमोर्फोमेट्री

डिफियोमोर्फोमेट्री मेडिकल इमेजिंग में कम्प्यूटेशनल एनाटॉमी (सीए) के विधा में इमेजरी, आकार और रूप का मीट्रिक अध्ययन है। कम्प्यूटेशनल एनाटॉमी में छवियों का अध्ययन $$ \varphi \in \operatorname{Diff}_V $$ उच्च-आयामी डिफियोमॉर्फिज्म समूह पर निर्भर करता है जो $$ \mathcal{I} \doteq

\{ \varphi \cdot I \mid \varphi \in \operatorname{Diff}_V \} $$ रूप की कक्षाएँ उत्पन्न करते हैं, जिसमें चित्र $$ I \in \mathcal{I} $$ घने स्केलर चुंबकीय अनुनाद इमेजिंग या गणना अक्षीय टोमोग्राफी छवियां हो सकती हैं। विकृत आकृतियों के लिए $$ \mathcal{M} \doteq

\{ \varphi \cdot M \mid \varphi \in \operatorname{Diff}_V \} $$ ये कई गुना संग्रह हैं, बिंदु, वक्र और सतहें। डिफियोमोर्फिज्म छवियों और आकृतियों को $$(\varphi,I)\mapsto \varphi \cdot I$$ कक्षा के अनुसार स्थानांतरित करता है जिन्हें कम्प्यूटेशनल एनाटॉमी में समूह क्रियाओं के रूप में परिभाषित किया गया है।

आकृतियों और रूपों की कक्षा को डिफियोमोर्फिज्म के समूह पर एक मीट्रिक को प्रेरित करके एक मीट्रिक स्थान बनाया जाता है। डिफियोमोर्फिज्म के समूहों पर मेट्रिक्स का अध्ययन और कई गुना और सतहों के बीच मेट्रिक्स का अध्ययन महत्वपूर्ण जांच का क्षेत्र रहा है।        कम्प्यूटेशनल एनाटॉमी में, डिफियोमोर्फोमेट्री मीट्रिक मापता है कि दो आकार या चित्र एक दूसरे से कितने करीब और दूर हैं। अनौपचारिक रूप से,  मीट्रिक स्थान का निर्माण डिफियोमोर्फिज्म के प्रवाह को परिभाषित करके किया जाता है $$\dot \phi_t, t \in [0,1], \phi_t \in \operatorname{Diff}_V$$ जो समूह तत्वों को एक दूसरे से जोड़ते हैं, इसलिए $$ \varphi,\psi \in \operatorname{Diff}_V $$ तब $$\phi_0 = \varphi , \phi_1=\psi$$. दो समन्वय प्रणालियों या अंतर-रूपताओं के बीच की मीट्रिक तब उन्हें जोड़ने वाली सबसे छोटी लंबाई या जियोडेसिक धारा होती है। जियोडेसिक्स से संबंधित स्पेस पर $$\rho(\varphi,\psi) = \inf_{\phi: \phi_0=\varphi,\phi_1 = \psi} \int_0^1 \| \dot \phi_t \|_{\phi_t} \, dt$$ मीट्रिक द्वारा दिया गया है। कक्षाओं पर मेट्रिक्स $$\mathcal{I},\mathcal{M}$$ डिफोमोर्फिज्म समूह पर प्रेरित मीट्रिक से विरासत में मिला है।

समूह $$ \varphi \in \operatorname{Diff}_V $$ इस प्रकार रीमैनियन मैनिफोल्ड के साथ एक चिकनी रीमैनियन मीट्रिक $ \| \cdot \|_\varphi  $ में बनाया गया है  स्पर्शरेखा रिक्त स्थान $$ \varphi \in\operatorname{Diff}_V $$से बिल्कुल भी जुड़ा हुआ है. रिमेंनियन मीट्रिक मैनिफोल्ड $$ \phi \in \operatorname{Diff}_V $$ के प्रत्येक बिंदु पर संतुष्ट करता है एक आंतरिक उत्पाद स्थान है जो स्पर्शरेखा स्थान $$ \| \dot \phi_t \|_{\phi_t} $$पर एक प्रमाण को प्रेरित करता है जो सुचारू रूप $$ \operatorname{Diff}_V $$ से बदलता रहता है।

प्रायः, परिचित यूक्लिडियन दूरी सीधे तौर पर लागू नहीं होती है क्योंकि आकृतियों और छवियों के आकार सदिश स्थान नहीं बनाते हैं। कम्प्यूटेशनल एनाटॉमी के रिमेंनियन कक्षीय मॉडल में, डिफियोमोर्फिज्म $$\varphi \cdot I \in \mathcal {I}, \varphi \in \operatorname{Diff}_V, M \in \mathcal{M}$$ रूपों पर कार्य करने वाले रैखिक रूप से कार्य नहीं करते हैं। मेट्रिक्स को परिभाषित करने के कई तरीके हैं, और हॉसडॉर्फ मीट्रिक आकृतियों से जुड़े समूह के लिए एक और है। रीमैनियन मीट्रिक को प्रेरित करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधि प्रवाह के डिफियोमॉर्फिक समन्वय प्रणाली परिवर्तनों के बीच मीट्रिक लंबाई के संदर्भ में इसे परिभाषित करके आकृतियों की कक्षा पर मीट्रिक को प्रेरित करना है। आकृतियों की कक्षा में निर्देशांक प्रणालियों के बीच जियोडेसिक प्रवाह की लंबाई मापने को डिफियोमोर्फोमेट्री कहा जाता है।

लैग्रैंगियन और यूलेरियन प्रवाह के रूप में उत्पन्न डिफियोमोर्फिज्म समूह
कम्प्यूटेशनल एनाटॉमी में डिफियोमोर्फिज्म प्रवाह क्षेत्रों के लैग्रैंगियन और यूलेरियन विनिर्देश को पूरा करने के लिए उत्पन्न होती है,$$ \varphi_t, t \in [0,1] $$, साधारण अवकलन समीकरण के माध्यम से उत्पन्न

यूलेरियन सदिश क्षेत्रों के साथ $$ v \doteq (v_1,v_2,v_3) $$ में $$ {\mathbb R}^3   $$ के लिए $$v_t = \dot \varphi_t \circ \varphi_t^{-1}, t \in [0,1]$$. प्रवाह के लिए व्युत्क्रम द्वारा दिया गया है$$ \frac{d}{dt} \varphi_t^{-1} = -(D \varphi_t^{-1}) v_t, \ \varphi_0^{-1} = \operatorname{id}, $$ और यह $$3 \times 3$$ प्रवाह के लिए जेकोबियन मैट्रिक्स $$\mathbb{R}^3$$ के रूप में दिया गया $$ \ D\varphi \doteq \left(\frac{\partial \varphi_i}{\partial x_j}\right). $$ व्युत्क्रम, सदिश क्षेत्रों के साथ डिफियोमोर्फिज्म के सहज प्रवाह को सुनिश्चित करने के लिए $$ {\mathbb R}^3   $$ स्पेस में कम से कम 1 बार निरंतर अवकलनीय होना चाहिए  जिन्हें हिल्बर्ट स्पेस के तत्वों के रूप $$(V, \| \cdot \|_V )$$ में तैयार किया गया है सोबोलेव स्पेस एम्बेडिंग प्रमेयों का उपयोग करना ताकि प्रत्येक तत्व $$v_i \in H_0^3, i=1,2,3,$$ इस प्रकार 3-स्क्वायर-इंटीग्रेबल डेरिवेटिव है $$(V, \| \cdot \|_V )$$ 1-बार लगातार अलग-अलग कार्यों में सुचारू रूप से एम्बेड होता है।   डिफियोमोर्फिज्म समूह सदिश क्षेत्रों के साथ बहता है जो सोबोलेव मानदंड में पूरी तरह से समाकलित होता है:

रीमैनियन कक्षीय मॉडल
कम्प्यूटेशनल एनाटॉमी(सीए) में आकृतियों का अध्ययन संरचनात्मक समन्वय प्रणालियों के बीच पत्राचार स्थापित करने के लिए डिफियोमॉर्फिक मैपिंग के उपयोग के माध्यम से किया जाता है। इस सेटिंग में, 3-आयामी चिकित्सा छवियों को कुछ उदाहरण के डिफेमोर्फिक परिवर्तनों के रूप में तैयार किया जाता है, जिसे टेम्पलेट $$ I_{temp} $$ कहा जाता है, जिसके परिणामस्वरूप देखी गई छवियां यादृच्छिक कम्प्यूटेशनल एनाटॉमी के विकृत टेम्पलेट कक्षीय मॉडल हैं। छवियों के लिए इन्हें परिभाषित किया गया है $$ I \in \mathcal {I}

\doteq \{ I = I_{temp} \circ \varphi, \varphi \in \operatorname{Diff}_V \} $$, सब-मैनिफोल्ड्स का प्रतिनिधित्व करने वाले तालिका $$\mathcal{M} \doteq \{ \varphi \cdot M_{temp} : \varphi \in \operatorname{Diff}_V \}$$के रूप में दर्शाया गया है।

रीमानियन मीट्रिक
कम्प्यूटेशनल एनाटॉमी में आकृतियों और रूपों की कक्षा समूह क्रिया द्वारा उत्पन्न होती है $$\mathcal{I} \doteq \{ \varphi \cdot I : \varphi \in \operatorname{Diff}_V \}$$, $$\mathcal{M} \doteq \{ \varphi \cdot M : \varphi \in \operatorname{Diff}_V \}$$। प्रत्येक बिंदु और संबंधित स्पर्शरेखा स्थान से संबंधित एक मीट्रिक को प्रस्तुत करके इन्हें रिमेंनियन कक्षाओं में बनाया गया है। इसके लिए एक मीट्रिक को उस समूह पर परिभाषित किया जाता है जो मीट्रिक को कक्षा में प्रेरित करता है। स्पर्शरेखा स्थान के प्रत्येक तत्व को कम्प्यूटेशनल एनाटॉमी के लिए मीट्रिक के रूप में लें $$\varphi \in \operatorname{Diff}_V$$ डिफियोमोर्फिज्म के समूह में


 * $$ \| \dot \varphi \|_\varphi \doteq \| \dot \varphi \circ \varphi^{-1} \|_V=\| v \|_V, $$

सदिश क्षेत्र के साथ हिल्बर्ट स्पेस में मानक $(V, \| \cdot \|_V )$के साथ हिल्बर्ट स्पेस में होने के लिए तैयार किए गए हैं। वी मॉडल $$V$$ एक पुनरुत्पादन कर्नेल हिल्बर्ट स्पेस (आरकेएचएस) को 1-1 द्वारा परिभाषित किया गया है, डिफरेंशियल ऑपरेटर $$ A: V \rightarrow V^* $$, कहाँ $$ V^*  $$ द्वैत-स्थान है। सामान्य रूप में,   $$ \sigma \doteq Av \in V^* $$ एक सामान्यीकृत फंक्शन या वितरण है, आंतरिक-उत्पाद से जुड़े रैखिक रूप और सामान्यीकृत कार्यों के लिए मानक के अनुसार भागों द्वारा समाकलन द्वारा व्याख्या की जाती है $$v,w \in V$$,


 * $$ \langle v, w \rangle_V \doteq \int_X A v \cdot w \, dx, \ \| v\|_V^2 \doteq \int_X A v \cdot v \, dx, \ v,w \in V \.

$$ कब $$ Av \doteq \mu \,dx $$, एक सदिश घनत्व, $$\int Av \cdot v \,dx \doteq \int \mu \cdot v \, dx = \sum_{i=1}^3 \mu_i v_i \, dx.$$

डिफरेंशियल ऑपरेटर का चयन इसलिए किया जाता है ताकि व्युत्क्रम से जुड़ा ग्रीन का कर्नेल पर्याप्त रूप से चिकना हो ताकि वेक्टर फ़ील्ड 1-निरंतर व्युत्पन्न का समर्थन कर सकें। सोबोलेव एम्बेडिंग प्रमेय तर्क यह प्रदर्शित करने के लिए किए गए थे कि सुचारू प्रवाह के लिए 1-निरंतर व्युत्पन्न आवश्यक है। डिफरेंशियल ऑपरेटर से जुड़े ग्रीन के फंक्शन(स्केलर केस) से उत्पन्न ग्रीन का ऑपरेटर सुचारू हो जाता है।

सही चुनाव के लिए $$A$$ तब $$ (V,\| \cdot \|_V) $$ ऑपरेटर $$ K = A^{-1}: V^* \rightarrow V $$ के साथ एक आरकेएचएस है। डिफरेंशियल ऑपरेटर से जुड़े ग्रीन के कर्नेल स्क्वायर-इंटीग्रल सेंस कर्नेल$$ k(\cdot,\cdot)

$$ में पर्याप्त डेरिवेटिव को नियंत्रित करने के बाद से सुचारू करते हैं दोनों वेरिएबल में निरंतर अवकलनीय है जिसका अर्थ है


 * $$ K Av (x)_i \doteq \sum_j \int_{{\mathbb R}^3} k_{ij}(x,y) Av_j(y) \,dy \in V \.

$$

डिफियोमॉर्फिज्म पर सही-अचर मीट्रिक
डिफियोमॉर्फिज्म के समूह पर मीट्रिक को दूरी के अनुसार परिभाषित किया जाता है, जैसा कि डिफियोमोर्फिज्म के समूह में तत्वों के जोड़े पर परिभाषित किया गया है यह दूरी डिफियोमॉर्फोमेट्री का सही-इनवेरिएंट मेट्रिक प्रदान करती है, सभी के लिए स्पेस के पुनर्मूल्यांकन $$ \phi \in \operatorname{Diff}_V $$ के लिए अपरिवर्तनीय ,


 * $$ d_{\operatorname{Diff}_V}(\psi, \varphi) = d_{\operatorname{Diff}_V}(\psi \circ \phi, \varphi \circ \phi).$$

आकृतियों और रूपों पर मीट्रिक
छवियों पर दूरी, $$ d_{\mathcal{I}}:\mathcal{I} \times \mathcal{I}\rightarrow \R^+ $$,

आकार और रूपों पर दूरी, $$ d_{\mathcal{M}}:\mathcal{M} \times \mathcal{M}\rightarrow \R^+ $$,

कक्षा के भीतर स्थलों, सतहों, और आयतन के जियोडेसिक प्रवाह पर मीट्रिक
मीट्रिक की गणना के लिए, जियोडेसिक्स एक गतिशील प्रणाली है, निर्देशांक का प्रवाह $$ t \mapsto \phi_t \in \operatorname{Diff}_V $$ और सदिश क्षेत्र $$ t \mapsto v_t \in V$$ को नियंत्रित$$ \dot \phi_t = v_t \cdot \phi_t,\phi_0=\operatorname{id} $$ के माध्यम से संबंधित है। हैमिल्टनियन दृष्टिकोण   संवेग वितरण $$ Av \in V^* $$का हैमिल्टनियन संवेग के संदर्भ में पुनर्मूल्यांकन करता है,  "हैमिल्टनियन  संवेग," एक लैग्रेंज गुणक के संदर्भ में $$ p: \dot \phi \mapsto (p\mid\dot \phi) $$ लैग्रैंगियन वेग $$ \dot \phi_t = v_t \circ \phi_t$$को बाधित करता है। इसलिए:

H(\phi_t,p_t,v_t)=\int_X p_t \cdot (v_t \circ \phi_t) \, dx-\frac{1}{2}\int_X Av_t \cdot v_t \, dx .$$ पोंट्रीगिन अधिकतम सिद्धांत हैमिल्टनियन $$ H(\phi_t,p_t) \doteq \max_v H( \phi_t, p_t,v) \ $$देता है। अनुकूलन सदिश क्षेत्र $$v_t \doteq \operatorname{argmax}_v H(\phi_t,p_t,v)$$ गतिकी के साथ $$ \dot \phi_t = \frac{\partial H( \phi_t, p_t)}{\partial p}, \dot p_t = -\frac{\partial H(\phi_t,p_t)}{\partial \phi} $$। जियोडेसिक के साथ हैमिल्टनियन स्थिर है: $$H(\phi_t,p_t) = H(\operatorname{id},p_0)=\frac{1}{2} \int_X p_0 \cdot v_0 \, dx $$. पहचान और समूह तत्व के बीच प्रेरित दूरी द्वारा निर्धारित जियोडेसिक के माध्यम से जुड़े समन्वय प्रणालियों के बीच मीट्रिक दूरी:
 * $$d_{\mathrm{Diff}_V}(\operatorname{id},\varphi) =\| v_0 \|_V = \sqrt{2H(\operatorname{id},p_0)}$$

लैंडमार्क या पॉइंटसेट जियोडेसिक्स
स्थलों के लिए, $$ x_i, i=1,\dots,n$$, हैमिल्टनियन गति


 * $$ p(i), i=1,\dots,n$$

हैमिल्टनियन गतिकी के रूप लेने के साथ


 * $$ H(\phi_t,p_t) =\frac{1}{2}\textstyle \sum_j \sum_i \displaystyle p_t(i)\cdot K(\phi_t (x_i),\phi_t (x_j)) p_t(j) $$

साथ

\begin{cases} v_t = \textstyle \sum_i \displaystyle  K(\cdot, \phi_t (x_i)) p_t(i) , \ \\ \dot p_t (i) = - (Dv_t)^T_{|_{\phi_t(x_i)}} p_t(i), i=1,2,\dots, n \\ \end{cases} $$ स्थलों के बीच मीट्रिक $$ d^2 =\textstyle \sum_i p_0(i)\cdot \sum_j \displaystyle K(x_i,x_j) p_0(j). $$

इन जियोडेसिक्स से जुड़ी गतिकी को संलग्न चित्र में दिखाया गया है।

भूतल जियोडेसिक्स
सतहों के लिए, हैमिल्टनियन संवेग को परिभाषित किया गया है सतह में हैमिल्टनियन है


 * $$H(\phi_t,p_t) =\frac{1}{2} \int_U \int_U p_t(u)\cdot K(\phi_t (m(u)), \phi_t (m(v))) p_t(v) \, du \, dv $$

और गतिशीलता

\begin{cases} v_t= \textstyle \int_U \displaystyle K(\cdot, \phi_t ( m(u)))p_t(u)\,du \ , \\ \dot p_t(u) = - (Dv_t)^T_{|_{\phi_t(m(u))} } p_t(u), u \in U \end{cases} $$
 * सतह निर्देशांक के बीच मीट्रिक $$d^2 = (p_0 \mid v_0) =\int_U p_0(u) \cdot \int_U K(m(u), m(u^\prime)) p_0(u^\prime) \, du \, du^\prime $$

वॉल्यूम जियोडेसिक्स
वॉल्यूम हैमिल्टनियन के लिए


 * $$ H(\phi_t,p_t) = \frac{1}{2}\int_{{\mathbb R}^3} \int_{{\mathbb R}^3} p_t(x)\cdot K(\phi_t(x),\phi_t(y)) p_t(y) \, dx \, dy \displaystyle $$

गतिकी के साथ



\begin{cases} v_t=\textstyle \int_X \displaystyle K(\cdot, \phi_t(x))p_t(x)\,dx \ , \\ \dot p_t(x) = - (Dv_t)^T_{|_{\phi_t(x)} } p_t(x), x \in {\mathbb R}^3 \end{cases} $$ : वॉल्यूम के बीच मीट्रिक $$ \displaystyle d^2 =(p_0\mid v_0) = \int_{\mathbb R^3}   p_0(x)\cdot \int_{{\mathbb R}^3}  K(x,y) p_0(y)\,dy \, dx.$$

डिफियोमॉर्फिक मैपिंग के लिए सॉफ्टवेयर
विभिन्न प्रकार के डिफियोमॉर्फिक मैपिंग एल्गोरिदम वाले सॉफ्टवेयर सूट में निम्न शामिल हैं:
 * डेफोमेट्रिका
 * चींटियों
 * अँधेरा वोक्सेल-आधारित मॉर्फोमेट्री (वीबीएम)
 * दानव
 * बड़े विरूपण डिफियोमॉर्फिक मीट्रिक मानचित्रण
 * स्टेशनरीएलडीडीएमएम

क्लाउड सॉफ्टवेयर

 * एमआरआई क्लाउड