विद्युत चुम्बकीय तरंग समीकरण के ज्यावक्रीय समतल-तरंग समाधान

साइनसॉइडल समतल-तरंग समाधान विद्युत चुम्बकीय तरंग समीकरण के विशेष समाधान हैं।

सजातीय, रैखिक, समय-स्वतंत्र मीडिया में विद्युत चुम्बकीय तरंग समीकरण का सामान्य समाधान विभिन्न आवृत्तियों और ध्रुवीकरण (तरंगों) के विमान-तरंगों के सुपरपोजिशन सिद्धांत के रूप में लिखा जा सकता है।

इस लेख में उपचार शास्त्रीय भौतिकी है, लेकिन इलेक्ट्रोडायनामिक्स के लिए मैक्सवेल के समीकरणों की व्यापकता के कारण, उपचार को केवल शास्त्रीय मात्राओं की पुनर्व्याख्या के साथ क्वांटम यांत्रिकी उपचार में परिवर्तित किया जा सकता है (चार्ज और वर्तमान घनत्व के लिए आवश्यक क्वांटम यांत्रिक उपचार के अलावा) ).

पुनर्व्याख्या मैक्स प्लैंक के सिद्धांतों और अल्बर्ट आइंस्टीन की व्याख्याओं पर आधारित है उन सिद्धांतों और अन्य प्रयोगों का। शास्त्रीय उपचार का क्वांटम सामान्यीकरण डबल-स्लिट प्रयोग में फोटॉन ध्रुवीकरण और फोटॉन गतिशीलता पर लेखों में पाया जा सकता है।

स्पष्टीकरण
प्रायोगिक तौर पर, प्रत्येक प्रकाश संकेत को तरंग समीकरण के साइनसॉइडल समाधानों से जुड़ी आवृत्तियों और तरंग दैर्ध्य के विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम में विघटित किया जा सकता है। ध्रुवीकरण फिल्टर का उपयोग प्रकाश को उसके विभिन्न ध्रुवीकरण घटकों में विघटित करने के लिए किया जा सकता है। ध्रुवीकरण घटक रैखिक ध्रुवीकरण, गोलाकार ध्रुवीकरण या अण्डाकार ध्रुवीकरण हो सकते हैं।

विमान तरंगें
Z दिशा में यात्रा करने वाले विद्युत चुम्बकीय तरंग समीकरण के लिए समतल साइन तरंग समाधान है $$ \mathbf{E} ( \mathbf{r}, t ) = \begin{pmatrix} E_x^0 \cos \left ( kz-\omega t + \alpha_x \right ) \\ E_y^0 \cos \left ( kz-\omega t + \alpha_y \right ) \\ 0 \end{pmatrix} = E_x^0 \cos \left ( kz-\omega t + \alpha_x \right ) \hat  {\mathbf{x}} \; + \; E_y^0 \cos \left ( kz-\omega t + \alpha_y \right ) \hat  {\mathbf{y}} $$ विद्युत क्षेत्र के लिए और $$ c \, \mathbf{B} ( \mathbf{r}, t ) = \hat { \mathbf{z} } \times \mathbf{E} ( \mathbf{r} , t ) = \begin{pmatrix} -E_y^0 \cos \left ( kz-\omega t + \alpha_y \right ) \\ E_x^0 \cos \left ( kz-\omega t + \alpha_x \right ) \\ 0 \end{pmatrix} = -E_y^0 \cos \left ( kz-\omega t + \alpha_y \right ) \hat  {\mathbf{x}} \; + \; E_x^0 \cos \left ( kz-\omega t + \alpha_x \right ) \hat  {\mathbf{y}} $$ चुंबकीय क्षेत्र के लिए, जहां k तरंग संख्या है, $$ \omega = c k$$ $$ \omega$$ तरंग की कोणीय आवृत्ति है, और $$ c $$ प्रकाश की गति है. वेक्टर (ज्यामितीय) पर टोपियाँ x, y और z दिशाओं में इकाई वैक्टर को दर्शाती हैं। $r = (x, y, z)$ स्थिति वेक्टर (मीटर में) है।

समतल तरंग को आयामों द्वारा मानकीकृत किया जाता है

$$ E_x^0 = \left| \mathbf{E} \right| \cos \theta $$ $$ E_y^0 = \left|\mathbf{E} \right| \sin \theta $$ और चरण (तरंगें) $$ \alpha_x, \alpha_y $$ कहाँ $$ \theta \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \tan^{-1} \left ( { E_y^0 \over E_x^0 } \right )  .$$ और $$ \left| \mathbf{E} \right|^2 \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \left ( E_x^0 \right )^2 + \left ( E_y^0 \right )^2 .$$

जोन्स वेक्टर
सभी ध्रुवीकरण सूचनाओं को x-y तल में एक एकल वेक्टर, जिसे जोन्स वेक्टर कहा जाता है, में घटाया जा सकता है। यह वेक्टर, ध्रुवीकरण के विशुद्ध शास्त्रीय उपचार से उत्पन्न होने पर, क्वांटम राज्य वेक्टर के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। क्वांटम यांत्रिकी के साथ संबंध फोटॉन ध्रुवीकरण पर लेख में बनाया गया है।

वेक्टर समतल-तरंग समाधान से निकलता है। विद्युत क्षेत्र समाधान को जटिल संख्या संकेतन में फिर से लिखा जा सकता है $$ \mathbf{E} ( \mathbf{r}, t ) = |\mathbf{E}| \, \operatorname\mathcal{R_e}\left[ |\psi\rangle e^{ i ( kz - \omega t ) } \right] $$ कहाँ $$ |\psi\rangle \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \begin{pmatrix} \psi_x \\ \psi_y   \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\theta) e^{i \alpha_x} \\ \sin(\theta) e^{i \alpha_y} \end{pmatrix} $$ x-y तल में जोन्स वेक्टर है। इस वेक्टर के लिए नोटेशन पॉल डिराक का ब्रा-केट नोटेशन है, जो आम तौर पर क्वांटम संदर्भ में उपयोग किया जाता है। क्वांटम नोटेशन का उपयोग यहां क्वांटम स्टेट वेक्टर के रूप में जोन्स वेक्टर की व्याख्या की प्रत्याशा में किया जाता है।

डुअल जोन्स वेक्टर
जोन्स वेक्टर में एक दोहरा स्थान दिया गया है $$ \langle \psi | \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \begin{pmatrix} \psi_x^* & \psi_y^*   \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\theta) e^{-i \alpha_x} & \sin(\theta) e^{-i \alpha_y} \end{pmatrix}.$$

जोन्स वेक्टर का सामान्यीकरण
जोन्स वेक्टर एक विशिष्ट चरण, आयाम और ध्रुवीकरण की स्थिति के साथ एक विशिष्ट तरंग का प्रतिनिधित्व करता है। जब कोई ध्रुवीकरण की स्थिति को इंगित करने के लिए जोन्स वेक्टर का उपयोग कर रहा है, तो यह सामान्यीकृत तरंग फ़ंक्शन होने के लिए प्रथागत है। इसके लिए आवश्यक है कि वेक्टर का आंतरिक उत्पाद स्वयं एकता हो: $$ \langle \psi | \psi \rangle = \begin{pmatrix} \psi_x^* & \psi_y^* \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \psi_x \\ \psi_y \end{pmatrix} = 1. $$ इस संपत्ति को प्राप्त करने के लिए एक मनमाना जोन्स वेक्टर को आसानी से स्केल किया जा सकता है। सभी सामान्यीकृत जोन्स वैक्टर समान तीव्रता (एक विशेष आइसोट्रोपिक माध्यम के भीतर) की लहर का प्रतिनिधित्व करते हैं। यहां तक ​​कि एक सामान्यीकृत जोन्स वेक्टर दिए जाने पर भी, शुद्ध चरण कारक द्वारा गुणा करने पर ध्रुवीकरण की समान स्थिति का प्रतिनिधित्व करने वाला एक अलग सामान्यीकृत जोन्स वेक्टर प्राप्त होगा।

रैखिक ध्रुवीकरण
सामान्य तौर पर, चरण कोण होने पर तरंग रैखिक रूप से ध्रुवीकृत होती है $$ \alpha_x, \alpha_y $$ बराबर हैं, $$ \alpha_x = \alpha_y \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   \alpha .$$ यह एक कोण पर ध्रुवीकृत तरंग का प्रतिनिधित्व करता है $$ \theta $$ एक्स अक्ष के संबंध में. उस स्थिति में जोन्स वेक्टर लिखा जा सकता है $$ |\psi\rangle =   \begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta   \end{pmatrix} e^{i \alpha} .$$

अण्डाकार और गोलाकार ध्रुवीकरण
सामान्य स्थिति जिसमें विद्युत क्षेत्र एक दिशा तक सीमित नहीं होता बल्कि x-y तल में घूमता है, अण्डाकार ध्रुवीकरण कहलाता है। राज्य वेक्टर द्वारा दिया गया है $$ |\psi\rangle = \begin{pmatrix} \psi_x \\ \psi_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\theta) e^{i \alpha_x} \\ \sin(\theta) e^{i \alpha_y} \end{pmatrix} = e^{i \alpha} \begin{pmatrix} \cos(\theta) \\ \sin(\theta) e^{i \Delta \alpha} \end{pmatrix} .$$ के विशेष मामले में $$\Delta\alpha = 0$$, इससे रैखिक ध्रुवीकरण कम हो जाता है।

वृत्ताकार ध्रुवीकरण के विशेष मामलों से मेल खाता है $$\theta=\pm\pi/4$$ साथ $$\Delta\alpha=\pi/2$$. दो गोलाकार ध्रुवीकरण अवस्थाएँ इस प्रकार जोन्स वैक्टर द्वारा दी गई हैं: $$ |\psi\rangle =  \begin{pmatrix} \psi_x \\ \psi_y \end{pmatrix} = e^{i \alpha} \frac 1 \sqrt{2} \begin{pmatrix} 1 \\ \pm i \end{pmatrix}. $$

यह भी देखें

 * फोरियर श्रेणी
 * अनुप्रस्थ मोड
 * अनुप्रस्थ तरंग
 * श्रोडिंगर समीकरण के लिए सैद्धांतिक और प्रयोगात्मक औचित्य
 * मैक्सवेल के समीकरण
 * विद्युत चुम्बकीय तरंग समीकरण
 * विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का गणितीय विवरण
 * परमाणु संक्रमण से ध्रुवीकरण: रैखिक और परिपत्र