वृद्धि गुणक

एम्बेडिंग का खिंचाव कारक (यानी, लिप्सचिट्ज़ निरंतरता#परिभाषा) उस कारक को मापता है जिसके द्वारा एम्बेडिंग दूरियों को विकृत करता है। मान लीजिए कि एक मीट्रिक स्थान $S$ किसी अन्य मीट्रिक स्थान में एम्बेडेड है $T$ एक मीट्रिक मानचित्र द्वारा, एक सतत एक-से-एक फ़ंक्शन $f$ जो प्रत्येक जोड़ी बिंदुओं के बीच की दूरी को संरक्षित या कम करता है। फिर एम्बेडिंग बिंदुओं के जोड़े के बीच की दूरी की दो अलग-अलग धारणाओं को जन्म देती है $S$. अंकों का कोई भी जोड़ा $(x,y)$ में $S$ में एक आंतरिक मीट्रिक, से दूरी दोनों हैं $x$ को $y$ में $S$, और एक छोटी बाहरी दूरी, से दूरी $f(x)$ को $f(y)$ में $T$. जोड़ी का खिंचाव कारक इन दो दूरियों के बीच का अनुपात है, $d(f(x),f(y))/d(x,y)$. संपूर्ण मानचित्रण का खिंचाव कारक सभी बिंदुओं के जोड़े के खिंचाव कारकों में सर्वोच्च है। खिंचाव कारक को विकृति भी कहा गया है या मैपिंग का फैलाव।

ज्यामितीय स्पैनर, भारित ग्राफ़ के सिद्धांत में खिंचाव कारक महत्वपूर्ण है जो यूक्लिडियन विमान में बिंदुओं के एक सेट के बीच यूक्लिडियन दूरी का अनुमान लगाता है। इस मामले में, एम्बेडेड मीट्रिक $S$ एक परिमित मीट्रिक स्थान है, जिसकी दूरियाँ ग्राफ़ में सबसे छोटी पथ समस्या और मीट्रिक हैं $T$ जिसके अंदर $S$ यूक्लिडियन तल अंतर्निहित है। जब ग्राफ़ और उसकी एम्बेडिंग तय हो जाती है, लेकिन ग्राफ़ के किनारे का वजन अलग-अलग हो सकता है, तो खिंचाव कारक तब कम हो जाता है जब वजन बिल्कुल किनारे के अंतिम बिंदुओं के बीच यूक्लिडियन दूरी के बराबर होता है। इस क्षेत्र में अनुसंधान ने किसी दिए गए बिंदु सेट के लिए विरल ग्राफ़ खोजने पर ध्यान केंद्रित किया है जिनमें कम खिंचाव कारक है। जॉनसन-लिंडेनस्ट्रॉस लेम्मा का दावा है कि किसी भी परिमित सेट के साथ $n$ यूक्लिडियन स्पेस में बिंदुओं को आयाम के यूक्लिडियन स्पेस में एम्बेड किया जा सकता है $O(log n)$ विकृति के साथ $1 + &epsilon;$, किसी भी स्थिरांक के लिए $&epsilon; > 0$, जहां स्थिर कारक है $O$-नोटेशन की पसंद पर निर्भर करता है$&epsilon;$. यह परिणाम, और कम-विरूपण मीट्रिक एम्बेडिंग के निर्माण के संबंधित तरीके, सन्निकटन एल्गोरिदम के सिद्धांत में महत्वपूर्ण हैं। इस क्षेत्र में एक प्रमुख खुली समस्या जीएनआरएस अनुमान है, जो (यदि सत्य है) उन ग्राफ़ों के परिवारों की विशेषता बताएगी जिनमें सीमाबद्ध-खिंचाव एम्बेडिंग है $$\ell_1$$ सभी लघु-बंद ग्राफ़ परिवारों के रूप में रिक्त स्थान।

गाँठ सिद्धांत में, गाँठ की विकृति एक गाँठ अपरिवर्तनीय है, यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक अंतरिक्ष वक्र के रूप में गाँठ के किसी भी एम्बेडिंग का न्यूनतम खिंचाव कारक है। स्नातक शोधकर्ता जॉन पार्डन ने अपने शोध के लिए 2012 मॉर्गन पुरस्कार जीता, जिसमें दिखाया गया कि टोरस गांठों की विकृति पर कोई ऊपरी सीमा नहीं है, जो मूल रूप से मिखाइल लियोनिदोविच ग्रोमोव द्वारा प्रस्तुत समस्या को हल करता है। वक्र-छोटा प्रवाह के अध्ययन में, जिसमें यूक्लिडियन विमान में वक्र का प्रत्येक बिंदु स्थानीय वक्रता के आनुपातिक गति के साथ, वक्र के लंबवत चलता है, साबित हुआ कि किसी भी सरल बंद चिकने वक्र का खिंचाव कारक (चाप की लंबाई द्वारा मापी गई आंतरिक दूरी के साथ) एकरस रूप से बदलता है। अधिक विशेष रूप से, प्रत्येक जोड़ी पर $(x,y)$ जो खिंचाव कारक का एक स्थानीय अधिकतम बनाता है, खिंचाव कारक सख्ती से घट रहा है, सिवाय इसके कि जब वक्र एक वृत्त हो। इस संपत्ति का उपयोग बाद में गेज-हैमिल्टन-ग्रेसन प्रमेय के प्रमाण को सरल बनाने के लिए किया गया था, जिसके अनुसार प्रत्येक सरल बंद चिकना वक्र तब तक सरल और चिकना रहता है जब तक कि वह एक बिंदु पर ढह न जाए, ऐसा करने से पहले एक वृत्त के आकार में परिवर्तित हो जाता है।