सघन रूप से परिभाषित ऑपरेटर

गणित में - विशेष रूप से, ऑपरेटर सिद्धांत में - एक सघन रूप से परिभाषित ऑपरेटर या आंशिक रूप से परिभाषित ऑपरेटर एक प्राथमिकता और एक पश्चवर्ती से परिभाषित फ़ंक्शन (गणित) है। टोपोलॉजी के अर्थ में, यह एक रैखिक ऑपरेटर है जिसे लगभग हर जगह परिभाषित किया जाता है। सघन रूप से परिभाषित ऑपरेटर अक्सर कार्यात्मक विश्लेषण में उन ऑपरेशनों के रूप में सामने आते हैं जिन्हें कोई उन वस्तुओं की तुलना में वस्तुओं के एक बड़े वर्ग पर लागू करना चाहता है जिनके लिए वे प्रायोरी और पोस्टीरियोरी समझ में आते हैं।

परिभाषा
सघन रूप से परिभाषित रैखिक संचालिका $$T$$ एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस से, $$X,$$ दूसरे को, $$Y,$$ एक रैखिक संचालिका है जिसे सघन सेट रैखिक उपस्थान पर परिभाषित किया गया है $$\operatorname{dom}(T)$$ का $$X$$ और मूल्यों को अंदर लेता है $$Y,$$ लिखा हुआ $$T : \operatorname{dom}(T) \subseteq X \to Y.$$ कभी-कभी इसे इस प्रकार संक्षिप्त किया जाता है $$T : X \to Y$$ जब सन्दर्भ यह स्पष्ट करता है $$X$$ किसी फ़ंक्शन का सेट-सैद्धांतिक डोमेन नहीं हो सकता है $$T.$$

उदाहरण
स्थान पर विचार करें $$C^0([0, 1]; \R)$$ इकाई अंतराल पर परिभाषित सभी वास्तविक संख्या|वास्तविक-मूल्यवान, निरंतर कार्यों का; होने देना $$C^1([0, 1]; \R)$$ सभी सुचारू कार्य से युक्त उप-स्थान को निरूपित करें। लैस $$C^0([0, 1]; \R)$$ सर्वोच्च मानदंड के साथ $$\|\,\cdot\,\|_\infty$$; यह बनाता है $$C^0([0, 1]; \R)$$ एक वास्तविक बनच स्थान में। विभेदक संचालिका  $$D$$ द्वारा दिए गए $$(\mathrm{D} u)(x) = u'(x)$$ से सघन रूप से परिभाषित ऑपरेटर है $$C^0([0, 1]; \R)$$ स्वयं के लिए, घने उपस्थान पर परिभाषित $$C^1([0, 1]; \R).$$ परिचालक $$\mathrm{D}$$ चूंकि, यह एक असीमित रैखिक संचालिका का एक उदाहरण है $$u_n (x) = e^{- n x} \quad \text{ has } \quad \frac{\left\|\mathrm{D} u_n\right\|_{\infty}}{\left\|u_n\right\|_\infty} = n.$$ यदि कोई किसी तरह विभेदन संचालिका का लगातार विस्तार करना चाहता है तो यह असीमितता समस्याएँ पैदा करती है $$D$$ संपूर्ण को $$C^0([0, 1]; \R).$$ दूसरी ओर, पैली-वीनर इंटीग्रल, सघन रूप से परिभाषित ऑपरेटर के निरंतर विस्तार का एक उदाहरण है। किसी अमूर्त वीनर स्थान में $$i : H \to E$$ एक ऑपरेटर के सहायक के साथ $$j := i^* : E^* \to H,$$ एक प्राकृतिक निरंतर रैखिक ऑपरेटर है (वास्तव में यह समावेशन है, और एक आइसोमेट्री है) से $$j\left(E^*\right)$$ को $$L^2(E, \gamma; \R),$$ जिसके अंतर्गत $$j(f) \in j\left(E^*\right) \subseteq H$$ समतुल्य वर्ग में जाता है $$[f]$$ का $$f$$ में $$L^2(E, \gamma; \R).$$ ऐसा दिखाया जा सकता है $$j\left(E^*\right)$$ में सघन है $$H.$$ चूंकि उपरोक्त समावेशन निरंतर है, इसलिए एक अद्वितीय निरंतर रैखिक विस्तार है $$I : H \to L^2(E, \gamma; \R)$$ समावेशन का $$j\left(E^*\right) \to L^2(E, \gamma; \R)$$ संपूर्ण को $$H.$$ यह विस्तार पैली-वीनर मानचित्र है।