अनुभाग (फाइबर बंडल)

टोपोलॉजी के गणितीय क्षेत्र में, एक खंड (या क्रॉस सेक्शन) एक फाइबर बंडल की $$E$$ एक निरंतर उलटा कार्य है # प्रोजेक्शन (गणित) के बाएँ और दाएँ व्युत्क्रम $$\pi$$. दूसरे शब्दों में, अगर $$E$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस पर एक फाइबर बंडल है, $$B$$:
 * $$ \pi \colon E \to B$$

फिर उस फाइबर बंडल का एक भाग एक निरंतर मानचित्र है,
 * $$ \sigma \colon B \to E $$

ऐसा है कि
 * $$ \pi(\sigma(x)) = x $$ सभी के लिए $$x \in B $$.

एक अनुभाग एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ होने का क्या मतलब है इसका एक अमूर्त लक्षण वर्णन है। किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ $$ g\colon B \to Y $$ कार्टेशियन उत्पाद में इसके मान लेने वाले फ़ंक्शन के साथ पहचाना जा सकता है $$ E = B \times Y $$, का $$ B $$ और $$ Y $$:
 * $$\sigma\colon B\to E, \quad \sigma(x) = (x,g(x)) \in E. $$

होने देना $$ \pi\colon E \to B $$ पहले कारक पर प्रक्षेपण हो: $$ \pi(x,y) = x $$. फिर एक ग्राफ कोई भी कार्य है $$ \sigma $$ जिसके लिए $$ \pi(\sigma(x)) = x $$.

फाइबर बंडलों की भाषा एक खंड की इस धारणा को उस मामले में सामान्यीकृत करने की अनुमति देती है जब $$E$$ जरूरी नहीं कि कार्टेशियन उत्पाद हो। अगर $$ \pi\colon E \to B $$ एक फाइबर बंडल है, तो एक खंड बिंदु का विकल्प है $$ \sigma(x) $$ प्रत्येक फाइबर में। स्थिति $$ \pi(\sigma(x)) = x $$ इसका सीधा सा मतलब है कि एक बिंदु पर खंड $$ x $$ लेटना चाहिए $$ x $$. (छवि देखें।)

उदाहरण के लिए, कब $$E$$ एक सदिश बंडल का एक भाग है $$E$$ वेक्टर अंतरिक्ष का एक तत्व है $$ E_x $$ प्रत्येक बिंदु पर झूठ बोलना $$x \in B$$. विशेष रूप से, एक चिकनी कई गुना पर एक सदिश क्षेत्र $$M$$ के प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा सदिश का एक विकल्प है $$M$$: यह स्पर्शरेखा बंडल का एक खंड है $$M$$. इसी तरह, 1-रूप ऑन $$M$$ स्पर्शरेखा बंडल का एक भाग है।

खंड, विशेष रूप से प्रधान बंडल  और वेक्टर बंडल,  अंतर ज्यामिति  में भी बहुत महत्वपूर्ण उपकरण हैं। इस सेटिंग में, बेस स्पेस $$B$$ एक चिकना बहुरूपी है $$M$$, और $$E$$ एक चिकना फाइबर बंडल ओवर माना जाता है $$M$$ (अर्थात।, $$E$$ एक चिकनी कई गुना है और $$\pi\colon E\to M$$ एक चिकना नक्शा है)। इस मामले में, कोई चिकने वर्गों के स्थान पर विचार करता है $$E$$ एक खुले सेट पर $$U$$, निरूपित $$C^{\infty}(U,E)$$. यह मध्यवर्ती नियमितता वाले वर्गों के रिक्त स्थान पर विचार करने के लिए ज्यामितीय विश्लेषण में भी उपयोगी है (उदाहरण के लिए, $$C^k$$ सेक्शन, या होल्डर स्थितियों या सोबोलेव स्पेस के अर्थ में नियमितता वाले सेक्शन)।

स्थानीय और वैश्विक खंड
फाइबर बंडलों में सामान्य रूप से ऐसे वैश्विक खंड नहीं होते हैं (उदाहरण के लिए, फाइबर बंडल ओवर $$S^1$$ फाइबर के साथ $$F = \mathbb{R} \setminus \{0\}$$ मोबियस स्ट्रिप | मोबियस बंडल और शून्य खंड को हटाकर प्राप्त किया जाता है), इसलिए यह केवल स्थानीय रूप से अनुभागों को परिभाषित करने के लिए उपयोगी है। फाइबर बंडल का एक स्थानीय खंड एक सतत नक्शा है $$s \colon U \to E$$ कहाँ $$U$$ में एक खुला सेट है $$B$$ और $$\pi(s(x))=x$$ सभी के लिए $$x$$ में $$U$$. अगर $$(U, \varphi)$$ का एक स्थानीय तुच्छीकरण है $$E$$, कहाँ $$\varphi$$ से होमियोमॉर्फिज्म है $$\pi^{-1}(U)$$ को $$U\times F$$ (कहाँ $$F$$ फाइबर बंडल है), तो स्थानीय खंड हमेशा मौजूद रहते हैं $$U$$ से निरंतर नक्शे के साथ विशेषण पत्राचार में $$U$$ को $$F$$. एक शीफ (गणित) से (स्थानीय) खंड $$B$$ के वर्गों का पुलिंदा कहलाता है $$E$$.

एक फाइबर बंडल के निरंतर वर्गों का स्थान $$E$$ ऊपर $$U$$ कभी-कभी निरूपित किया जाता है $$C(U,E)$$, जबकि वैश्विक वर्गों का स्थान $$E$$ अक्सर निरूपित किया जाता है $$\Gamma(E)$$ या $$\Gamma(B,E)$$.

वैश्विक वर्गों तक विस्तार
अनुभागों का अध्ययन होमोटॉपी सिद्धांत और बीजगणितीय टोपोलॉजी में किया जाता है, जहां वैश्विक वर्गों के अस्तित्व या गैर-अस्तित्व के लिए मुख्य लक्ष्यों में से एक है। एक बाधा सिद्धांत वैश्विक वर्गों के अस्तित्व से इनकार करता है क्योंकि अंतरिक्ष बहुत मुड़ा हुआ है। अधिक सटीक रूप से, अंतरिक्ष के मुड़ने के कारण अवरोध एक स्थानीय खंड को एक वैश्विक खंड तक विस्तारित करने की संभावना को बाधित करते हैं। बाधाओं को विशेष विशेषता वर्गों द्वारा इंगित किया जाता है, जो कोहोमोलॉजिकल वर्ग हैं। उदाहरण के लिए, एक प्रमुख बंडल में एक वैश्विक खंड होता है यदि और केवल यदि यह तुच्छ बंडल है। दूसरी ओर, एक वेक्टर बंडल में हमेशा एक वैश्विक खंड होता है, जिसका नाम शून्य खंड होता है। हालांकि, यह कहीं न मिलने वाले खंड को तभी स्वीकार करता है जब इसका यूलर वर्ग शून्य हो।

सामान्यीकरण
स्थानीय वर्गों को विस्तारित करने में बाधाओं को निम्नलिखित तरीके से सामान्यीकृत किया जा सकता है: एक स्थलीय स्थान लें और एक श्रेणी (गणित) बनाएं, जिनकी वस्तुएं खुले उपसमुच्चय हैं, और आकारिकी समावेशन हैं। इस प्रकार हम एक टोपोलॉजिकल स्पेस को सामान्य बनाने के लिए एक श्रेणी का उपयोग करते हैं। हम एबेलियन समूहों के ढेरों का उपयोग करके एक स्थानीय खंड की धारणा को सामान्य करते हैं, जो प्रत्येक वस्तु को एक एबेलियन समूह (स्थानीय वर्गों के अनुरूप) प्रदान करता है।

यहां एक महत्वपूर्ण अंतर है: सहज रूप से, स्थानीय खंड एक टोपोलॉजिकल स्पेस के खुले उपसमुच्चय पर सदिश क्षेत्रों की तरह हैं। तो प्रत्येक बिंदु पर, एक निश्चित सदिश स्थान का एक तत्व निर्दिष्ट किया जाता है। हालांकि, ढेर सदिश स्थान (या अधिक आम तौर पर एबेलियन समूह) को लगातार बदल सकते हैं।

यह पूरी प्रक्रिया वास्तव में वैश्विक खंड functor  है, जो प्रत्येक शीफ को इसके ग्लोबल सेक्शन को असाइन करती है। तब शेफ कोहोलॉजी हमें एबेलियन समूह को लगातार बदलते हुए एक समान विस्तार समस्या पर विचार करने में सक्षम बनाती है। चारित्रिक वर्गों का सिद्धांत हमारे विस्तार में अवरोधों के विचार का सामान्यीकरण करता है।

यह भी देखें

 * कंपन
 * गेज सिद्धांत
 * प्रधान बंडल
 * पुलबैक बंडल
 * वेक्टर बंडल

संदर्भ

 * Norman Steenrod, The Topology of Fibre Bundles, Princeton University Press (1951). ISBN 0-691-00548-6.
 * David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles, Addison-Wesley publishing, Reading, Mass (1981). ISBN 0-201-10096-7.

बाहरी संबंध

 * Fiber Bundle, PlanetMath