वोरोनोई आरेख

गणित में, एक वोरोनोई आरेख एक समतल (ज्यामिति) के एक सेट का एक विभाजन है जो वस्तुओं के दिए गए प्रत्येक सेट के करीब के क्षेत्रों में होता है। सबसे सरल मामले में, ये वस्तुएं विमान में बहुत ही सूक्ष्म बिंदु हैं (जिन्हें बीज, साइट या जनरेटर कहा जाता है)। प्रत्येक बीज के लिए एक संबंधित क्षेत्र (गणित) होता है, जिसे वोरोनोई सेल कहा जाता है, जिसमें विमान के सभी बिंदु किसी अन्य की तुलना में उस बीज के करीब होते हैं। बिंदुओं के एक समूह का वोरोनोई आरेख उस सेट के डेलाउने त्रिभुज के लिए द्वैत (गणित) है।

वोरोनोई आरेख का नाम गणितज्ञ जॉर्जी वोरोनॉय के नाम पर रखा गया है, और इसे वोरोनोई टेस्सेलेशन, वोरोनोई अपघटन, वोरोनोई विभाजन, या डिरिचलेट टेसेलेशन (पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट के बाद) भी कहा जाता है। वोरोनोई कोशिकाओं को थिएसेन बहुभुज के रूप में भी जाना जाता है।  वोरोनोई आरेखों के कई क्षेत्रों में व्यावहारिक और सैद्धांतिक अनुप्रयोग हैं, मुख्य रूप से विज्ञान और प्रौद्योगिकी में, बल्कि दृश्य कला में भी।

सबसे सरल मामला
सबसे सरल मामले में, पहली तस्वीर में दिखाया गया है, हमें बिंदुओं का एक सीमित सेट दिया गया है {p1, ..., पीn} यूक्लिडियन विमान में। इस मामले में प्रत्येक साइट पीk बस एक बिंदु है, और इसकी संबंधित वोरोनोई सेल आरk यूक्लिडियन तल में प्रत्येक बिंदु से मिलकर बनता है जिसकी दूरी p से हैk किसी अन्य पी से इसकी दूरी से कम या उसके बराबर हैk. ऐसा प्रत्येक सेल हाफ-स्पेस (ज्योमेट्री)|हाफ-स्पेस के इंटरसेक्शन से प्राप्त किया जाता है, और इसलिए यह एक उत्तल पॉलीटॉप|(उत्तल) पॉलीहेड्रॉन है। वोरोनोई आरेख के रेखा खंड विमान के सभी बिंदु हैं जो दो निकटतम साइटों के समान हैं। वोरोनोई कोने (नोड (ग्राफ़ सिद्धांत) एस) तीन (या अधिक) साइटों के समतुल्य बिंदु हैं।

औपचारिक परिभाषा
होने देना $ X $ दूरी समारोह के साथ एक मीट्रिक स्थान बनें $d$. होने देना $K$ सूचकांकों का एक सेट बनें और दें $(P_k)_{k \in K}$  अंतरिक्ष में गैर-खाली सबसेट (साइटों) का एक टपल (आदेशित संग्रह) बनें $ X$. वोरोनोई सेल, या वोरोनोई क्षेत्र, $ R_k$, साइट से जुड़ा हुआ है $P_k$  में सभी बिंदुओं का समुच्चय है $X$  किससे दूरी $ P_k$  अन्य स्थलों से उनकी दूरी से अधिक नहीं है $P_j$ , कहाँ पे $j$  क्या कोई इंडेक्स इससे अलग है $k$. दूसरे शब्दों में, अगर $ d(x,\, A) = \inf\{d(x,\, a) \mid a \in A\}$ बिंदु के बीच की दूरी को दर्शाता है $x$  और सबसेट $A$, फिर

$$ R_k = \{x \in X \mid d(x, P_k) \leq d(x, P_j)\; \text{for all}\; j \neq k\}$$ वोरोनोई आरेख केवल कोशिकाओं का टपल है $(R_k)_{k \in K} $. सिद्धांत रूप में, कुछ साइटें एक दूसरे को काट सकती हैं और यहां तक ​​​​कि मेल भी खा सकती हैं (दुकानों का प्रतिनिधित्व करने वाली साइटों के लिए एक आवेदन नीचे वर्णित है), लेकिन आमतौर पर उन्हें अलग माना जाता है। इसके अलावा, परिभाषा में असीम रूप से कई साइटों की अनुमति है (इस सेटिंग में संख्याओं और क्रिस्टलोग्राफी की ज्यामिति में अनुप्रयोग हैं), लेकिन फिर से, कई मामलों में केवल बहुत सी साइटों पर विचार किया जाता है।

विशेष मामले में जहां अंतरिक्ष एक परिमित-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष है, प्रत्येक साइट एक बिंदु है, वहाँ बहुत सारे बिंदु हैं और वे सभी अलग-अलग हैं, फिर वोरोनोई कोशिकाएं उत्तल पॉलीटॉप हैं और उन्हें संयोजन के तरीके से प्रदर्शित किया जा सकता है उनके कोने, भुजाएँ, द्वि-आयामी चेहरे आदि। कभी-कभी प्रेरित संयोजन संरचना को वोरोनोई आरेख के रूप में संदर्भित किया जाता है। सामान्य तौर पर, वोरोनोई कोशिकाएं उत्तल या जुड़ी भी नहीं हो सकती हैं।

सामान्य यूक्लिडियन स्थान में, हम औपचारिक परिभाषा को सामान्य शब्दों में फिर से लिख सकते हैं। प्रत्येक वोरोनोई बहुभुज $R_k$ एक जनरेटर बिंदु से जुड़ा हुआ है  $P_k$. होने देना $X$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष में सभी बिंदुओं का सेट हो। होने देना $P_1$  एक बिंदु बनें जो अपना वोरोनोई क्षेत्र उत्पन्न करता है  $R_1$, $P_2$  जो उत्पन्न करता है  $R_2$ , तथा $P_3$  जो उत्पन्न करता है  $R_3$ , और इसी तरह।  फिर, जैसा कि ट्रान एट अल द्वारा व्यक्त किया गया है, यूक्लिडियन विमान में वोरोनोई आरेख में किसी भी अन्य जनरेटर बिंदु की तुलना में वोरोनोई बहुभुज के सभी स्थान उस बहुभुज के जनरेटर बिंदु के करीब हैं।

चित्रण
एक साधारण उदाहरण के रूप में, एक शहर में दुकानों के समूह पर विचार करें। मान लीजिए हम किसी दुकान के ग्राहकों की संख्या का अनुमान लगाना चाहते हैं। अन्य सभी समान (कीमत, उत्पाद, सेवा की गुणवत्ता, आदि) होने के साथ, यह मान लेना उचित है कि ग्राहक अपनी पसंदीदा दुकान को केवल दूरी के आधार पर चुनते हैं: वे अपने निकटतम स्थित दुकान पर जाएंगे। इस मामले में वोरोनोई सेल $$R_k$$ किसी दिए गए दुकान का $$P_k$$ इस दुकान पर जाने वाले संभावित ग्राहकों की संख्या पर एक मोटा अनुमान देने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है (जो हमारे शहर में एक बिंदु द्वारा तैयार किया गया है)।

अधिकांश शहरों के लिए, परिचित का उपयोग करके बिंदुओं के बीच की दूरी को मापा जा सकता है यूक्लिडियन दूरी:


 * $$\ell_2 = d\left[\left(a_1, a_2\right), \left(b_1, b_2\right)\right] = \sqrt{\left(a_1 - b_1\right)^2 + \left(a_2 - b_2\right)^2}$$

या मैनहट्टन दूरी:


 * $$d\left[\left(a_1, a_2\right), \left(b_1, b_2\right)\right] = \left|a_1 - b_1\right| + \left|a_2 - b_2\right|$$.

अलग-अलग दूरी के मेट्रिक्स के लिए संबंधित वोरोनोई आरेख अलग-अलग दिखते हैं।

गुण

 * वोरोनोई आरेख के लिए दोहरा ग्राफ (बिंदु स्थलों के साथ एक यूक्लिडियन अंतरिक्ष के मामले में) बिंदुओं के समान सेट के लिए डेलाउने त्रिभुज से मेल खाता है।
 * बिंदुओं की निकटतम जोड़ी वोरोनोई आरेख में दो आसन्न कोशिकाओं से मेल खाती है।
 * मान लें कि सेटिंग यूक्लिडियन विमान है और बिंदुओं का असतत सेट दिया गया है। तब सेट के दो बिंदु उत्तल पतवार पर आसन्न होते हैं यदि और केवल अगर उनकी वोरोनोई कोशिकाएं एक असीम रूप से लंबी भुजा साझा करती हैं।
 * यदि अंतरिक्ष एक मानक स्थान है और प्रत्येक साइट की दूरी प्राप्त की जाती है (उदाहरण के लिए, जब साइट एक कॉम्पैक्ट सेट या बंद गेंद होती है), तो प्रत्येक वोरोनोई सेल को साइटों से निकलने वाली रेखा खंडों के संघ के रूप में दर्शाया जा सकता है। जैसा कि वहां दिखाया गया है, यह संपत्ति सामान्य रूप से पकड़ में नहीं आती है, भले ही अंतरिक्ष द्वि-आयामी (लेकिन गैर-समान रूप से उत्तल, और, विशेष रूप से, गैर-यूक्लिडियन) हो और साइट बिंदु हों।

इतिहास और अनुसंधान
वोरोनोई आरेखों के अनौपचारिक उपयोग को 1644 में डेसकार्टेस में खोजा जा सकता है। पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट ने 1850 में द्विघात रूपों के अपने अध्ययन में द्वि-आयामी और तीन-आयामी वोरोनोई आरेखों का उपयोग किया। ब्रिटिश चिकित्सक जॉन स्नो (चिकित्सक) ने 1854 में एक वोरोनोई-जैसे आरेख का उपयोग यह बताने के लिए किया कि कैसे 1854 ब्रॉड स्ट्रीट हैजा के प्रकोप में मरने वाले अधिकांश लोग संक्रमित सोहो#ब्रॉड स्ट्रीट पंप के करीब किसी अन्य पानी के पंप की तुलना में रहते थे।

वोरोनोई आरेखों का नाम जार्ज वोरोनॉय के नाम पर रखा गया है जिन्होंने 1908 में सामान्य एन-आयामी मामले को परिभाषित और अध्ययन किया था। भौगोलिक रूप से वितरित डेटा (जैसे वर्षा माप) का विश्लेषण करने के लिए भूभौतिकी और मौसम विज्ञान में उपयोग किए जाने वाले वोरोनोई आरेखों को अमेरिकी मौसम विज्ञानी अल्फ्रेड एच। थिएसेन के बाद थिएसेन पॉलीगॉन कहा जाता है। इस अवधारणा के लिए अन्य समकक्ष नाम (या इसके विशेष महत्वपूर्ण मामले): वोरोनोई पॉलीहेड्रा, वोरोनोई पॉलीगॉन, प्रभाव के डोमेन, वोरोनोई अपघटन, वोरोनोई टेसलेशन (एस), डिरिचलेट टेसेलेशन (एस)।

उदाहरण
दो या तीन आयामों में बिंदुओं के नियमित जाली (समूह) के वोरोनोई टेसेलेशन कई परिचित टेसेलेशन को जन्म देते हैं।
 * एक 2डी जाली बिंदु समरूपता के साथ समान हेक्सागोन्स के साथ एक अनियमित छत्ते का टेसलेशन देती है; नियमित त्रिकोणीय जाली के मामले में यह नियमित है; एक आयताकार जाली के मामले में हेक्सागोन पंक्तियों और स्तंभों में आयतों में कम हो जाते हैं; एक स्क्वायर (ज्यामिति) जाली वर्गों का नियमित रूप से टेसलेशन देती है; ध्यान दें कि आयत और वर्ग अन्य जाली द्वारा भी उत्पन्न किए जा सकते हैं (उदाहरण के लिए वैक्टर (1,0) और (1/2,1/2) द्वारा परिभाषित जाली वर्ग देता है)।
 * एक साधारण घन जाली घन मधुकोश देती है।
 * एक हेक्सागोनल क्लोज-पैक जाली ट्रैपेज़-रोम्बिक डोडेकाहेड्रॉन के साथ अंतरिक्ष का एक टेसलेशन देती है|ट्रेपेज़-रोम्बिक डोडेकाहेड्रा।
 * एक फलक-केन्द्रित घनीय जालक समचतुर्भुज द्वादशफलक के साथ अंतरिक्ष का एक पुंज बनाता है।
 * एक शरीर-केंद्रित क्यूबिक जाली काटे गए ऑक्टाहेड्रॉन के साथ अंतरिक्ष का एक टेसलेशन देता है।
 * एक दूसरे के केंद्रों के साथ संरेखित नियमित त्रिकोणीय जाली वाले समानांतर विमान हेक्सागोनल प्रिज्मीय मधुकोश देते हैं।
 * कुछ शरीर-केन्द्रित चतुष्कोणीय जालक रोम्बो-हेक्सागोनल डोडेकाहेड्रॉन|रहोमो-हेक्सागोनल डोडेकाहेड्रा के साथ अंतरिक्ष का एक पुंज बनाते हैं।

असतत सेट X में x के साथ बिंदुओं (x, y) के सेट के लिए और असतत सेट Y में y के लिए, हमें आयताकार टाइलें मिलती हैं जिनके केंद्र आवश्यक नहीं हैं।

उच्च-क्रम वोरोनोई आरेख
हालांकि एक सामान्य वोरोनोई सेल को एस में एक बिंदु के निकटतम बिंदुओं के सेट के रूप में परिभाषित किया गया है, एक nवें-क्रम वोरोनोई सेल को बिंदुओं के सेट के रूप में परिभाषित किया गया है, जो एस में अपने निकटतम पड़ोसियों के रूप में एन बिंदुओं का एक विशेष सेट है। उच्च-क्रम वाले वोरोनोई आरेख भी अंतरिक्ष को विभाजित करते हैं।

उच्च-क्रम वाले वोरोनोई आरेखों को पुनरावर्ती रूप से उत्पन्न किया जा सकता है। एन उत्पन्न करने के लिएवां-सेट S से वोरोनोई डायग्राम ऑर्डर करें, (n − 1) से शुरू करेंवां-आदेश आरेख और X={x1, एक्स2, ..., एक्सn−1} सेट S − X पर उत्पन्न वोरोनोई आरेख के साथ।

सबसे दूर-बिंदु वोरोनोई आरेख
n बिंदुओं के एक सेट के लिए (n − 1) वें-क्रम वोरोनोई आरेख को सबसे दूर-बिंदु वोरोनोई आरेख कहा जाता है।

बिंदुओं के दिए गए सेट के लिए S = {p1, पी2, ..., पीn} सबसे दूर का बिंदु वोरोनोई आरेख विमान को कोशिकाओं में विभाजित करता है जिसमें P का वही बिंदु सबसे दूर का बिंदु है। पी के एक बिंदु में सबसे दूर-बिंदु वोरोनोई आरेख में एक सेल है अगर और केवल अगर यह पी के उत्तल पतवार का शीर्ष है। एच = {एच1, एच2, ..., एचk} P का उत्तल पतवार हो; फिर सबसे दूर का बिंदु वोरोनोई आरेख विमान के k कोशिकाओं में एक उपखंड है, H में प्रत्येक बिंदु के लिए एक, इस संपत्ति के साथ कि एक बिंदु q एक साइट h के अनुरूप सेल में स्थित है।i अगर और केवल अगर डी (क्यू, एचi)> डी (क्यू, पीj) प्रत्येक पी के लिएj∈ एस एच के साथi ≠ पीj, जहां d(p, q) दो बिंदुओं p और q के बीच यूक्लिडियन दूरी है। सबसे दूर-बिंदु वोरोनोई आरेख में कोशिकाओं की सीमाओं में एक वास्तविक वृक्ष की संरचना होती है, जिसके पत्तों के रूप में अनंत रे (गणित) होते हैं। हर परिमित पेड़ एक दूर-बिंदु वोरोनोई आरेख से इस तरह से बने पेड़ के लिए आइसोमोर्फिक है।

सामान्यीकरण और विविधताएं
परिभाषा के अनुसार, वोरोनोई कोशिकाओं को यूक्लिडियन के अलावा अन्य मेट्रिक्स के लिए परिभाषित किया जा सकता है, जैसे महालनोबिस दूरी या मैनहट्टन दूरी। हालांकि, इन मामलों में वोरोनोई कोशिकाओं की सीमाएं यूक्लिडियन मामले की तुलना में अधिक जटिल हो सकती हैं, क्योंकि दो बिंदुओं के लिए समदूरस्थ स्थान द्वि-आयामी मामले में भी कोडिमेंशन 1 के उप-स्थान होने में विफल हो सकता है।

एक भारित वोरोनोई आरेख वह है जिसमें वोरोनोई सेल को परिभाषित करने के लिए बिंदुओं की एक जोड़ी का कार्य जेनरेटर पॉइंट्स को असाइन किए गए गुणक या योगात्मक भार द्वारा संशोधित एक दूरी फ़ंक्शन है। दूरी का उपयोग करके परिभाषित वोरोनोई कोशिकाओं के मामले के विपरीत जो एक मीट्रिक (गणित) है, इस मामले में कुछ वोरोनोई कोशिकाएं खाली हो सकती हैं। एक शक्ति आरेख एक प्रकार का वोरोनोई आरेख है जो एक बिंदु की शक्ति का उपयोग करके हलकों के एक सेट से परिभाषित होता है; इसे भारित वोरोनोई आरेख के रूप में भी माना जा सकता है जिसमें प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या से परिभाषित भार को वृत्त के केंद्र से वर्गित यूक्लिडियन दूरी में जोड़ा जाता है। का वोरोनोई आरेख $$n$$ में इंगित करता है $$d$$-आयामी स्थान हो सकता है $O(n^{\lceil d/2 \rceil})$ कोने, इसके स्पष्ट विवरण को संग्रहीत करने के लिए आवश्यक मेमोरी की मात्रा के लिए समान सीमा की आवश्यकता होती है। इसलिए, वोरोनोई आरेख अक्सर मध्यम या उच्च आयामों के लिए संभव नहीं होते हैं। अनुमानित वोरोनोई आरेखों का उपयोग करने के लिए एक अधिक स्थान-कुशल विकल्प है। वोरोनोई आरेख अन्य ज्यामितीय संरचनाओं से भी संबंधित हैं जैसे कि औसत दर्जे का अक्ष (जिसने छवि विभाजन, ऑप्टिकल वर्ण पहचान और अन्य कम्प्यूटेशनल अनुप्रयोगों में आवेदन पाया है), सीधे कंकाल और ज़ोन आरेख।

मौसम विज्ञान / जल विज्ञान
इसका उपयोग मौसम विज्ञान और इंजीनियरिंग जल विज्ञान में एक क्षेत्र (वाटरशेड) पर स्टेशनों के अवक्षेपण डेटा के भार का पता लगाने के लिए किया जाता है। बहुभुज उत्पन्न करने वाले बिंदु वे विभिन्न स्टेशन हैं जो वर्षा डेटा रिकॉर्ड करते हैं। लम्ब समद्विभाजक किन्हीं दो स्टेशनों को मिलाने वाली रेखा पर खींचे जाते हैं। इसके परिणामस्वरूप स्टेशनों के चारों ओर बहुभुज बन जाते हैं। क्षेत्र $$(A_i)$$ स्पर्श करने वाले स्टेशन बिंदु को स्टेशन के प्रभाव क्षेत्र के रूप में जाना जाता है। औसत वर्षा की गणना सूत्र द्वारा की जाती है $$\bar{P}=\frac{\sum A_i P_i}{\sum A_i}$$

मानविकी

 * शास्त्रीय पुरातत्व में, विशेष रूप से कला के इतिहास में, मूर्ति के सिरों की समरूपता का विश्लेषण किया जाता है ताकि यह निर्धारित किया जा सके कि किस प्रकार की मूर्ति एक अलग सिर से संबंधित हो सकती है। इसका एक उदाहरण जिसने वोरोनोई कोशिकाओं का उपयोग किया, वह सबौरॉफ सिर की पहचान थी, जिसने एक उच्च-रिज़ॉल्यूशन बहुभुज जाल का उपयोग किया। * डायलेक्टोमेट्री में, सर्वेक्षण बिंदुओं के बीच कथित भाषाई निरंतरता को इंगित करने के लिए वोरोनोई कोशिकाओं का उपयोग किया जाता है।

प्राकृतिक विज्ञान
* जीव विज्ञान में, वोरोनोई आरेखों का उपयोग सेल (जीव विज्ञान) सहित कई विभिन्न जैविक संरचनाओं के मॉडल के लिए किया जाता है। और कैंसेलस बोन | बोन माइक्रोआर्किटेक्चर। दरअसल, वोरोनोई टेसेलेशन जैविक ऊतकों के संगठन को संचालित करने वाले भौतिक अवरोधों को समझने के लिए एक ज्यामितीय उपकरण के रूप में काम करते हैं।  रेफरी> अन्य अनुप्रयोगों में, अणु में नाभिक की स्थिति द्वारा परिभाषित वोरोनोई कोशिकाओं का उपयोग आंशिक आवेशों की गणना के लिए किया जाता है। यह वोरोनोई विरूपण घनत्व विधि का उपयोग करके किया जाता है। रेफरी>
 * जल विज्ञान में, बिंदु माप की एक श्रृंखला के आधार पर, वोरोनोई आरेखों का उपयोग किसी क्षेत्र की वर्षा की गणना के लिए किया जाता है। इस प्रयोग में, उन्हें आम तौर पर थिएसेन बहुभुज के रूप में जाना जाता है।
 * पारिस्थितिकी में, वोरोनोई आरेखों का उपयोग वनों और वन छतरियों के विकास पैटर्न का अध्ययन करने के लिए किया जाता है, और यह जंगल की आग के लिए पूर्वानुमानित मॉडल विकसित करने में भी सहायक हो सकता है।
 * कम्प्यूटेशनल रसायन विज्ञान में, लिगैंड-बाइंडिंग साइट्स को मशीन लर्निंग एप्लिकेशन (जैसे, प्रोटीन में बाइंडिंग पॉकेट्स को वर्गीकृत करने के लिए) के लिए वोरोनोई डायग्राम में बदल दिया जाता है।
 * खगोलभौतिकी में, वोरोनोई आरेखों का उपयोग छवियों पर अनुकूली चौरसाई क्षेत्रों को उत्पन्न करने के लिए किया जाता है, प्रत्येक पर सिग्नल फ्लक्स जोड़ते हैं। इन प्रक्रियाओं का मुख्य उद्देश्य सभी छवियों पर अपेक्षाकृत स्थिर सिग्नल-टू-शोर अनुपात बनाए रखना है।
 * कम्प्यूटेशनल द्रव गतिकी में, बिंदुओं के एक सेट के वोरोनोई टेसलेशन का उपयोग परिमित मात्रा विधियों में उपयोग किए जाने वाले कम्प्यूटेशनल डोमेन को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है, उदा। जैसा कि मूविंग-मेश कॉस्मोलॉजी कोड AREPO में है। रेफरी>
 * कम्प्यूटेशनल भौतिकी में, उच्च ऊर्जा घनत्व भौतिकी में एक्स-रे फ़ोटो और प्रोटॉन रेडियोग्राफी के साथ किसी वस्तु के प्रोफाइल की गणना करने के लिए वोरोनोई आरेख का उपयोग किया जाता है।

स्वास्थ्य

 * चिकित्सीय निदान में, वोरोनोई आरेखों पर आधारित मांसपेशी ऊतक के मॉडल का उपयोग स्नायुपेशीय रोगों का पता लगाने के लिए किया जा सकता है।
 * महामारी विज्ञान में, वोरोनोई आरेखों का उपयोग महामारी में संक्रमण के स्रोतों को सहसंबंधित करने के लिए किया जा सकता है। वोरोनोई आरेखों के शुरुआती अनुप्रयोगों में से एक जॉन स्नो (चिकित्सक) द्वारा सोहो, इंग्लैंड में 1854 ब्रॉड स्ट्रीट हैजा के प्रकोप का अध्ययन करने के लिए लागू किया गया था। उन्होंने मध्य लंदन के मानचित्र पर आवासीय क्षेत्रों के बीच संबंध दिखाया, जिनके निवासी एक विशिष्ट जल पंप का उपयोग कर रहे थे, और प्रकोप के कारण सबसे अधिक मौतों वाले क्षेत्र।

इंजीनियरिंग
रेफरी> रेफरी> रेफरी>मल्टी-एजेंट सिस्टम के 
 * बहुलक भौतिकी में, वोरोनोई आरेखों का उपयोग पॉलिमर की मुक्त मात्रा का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जा सकता है।
 * सामग्री विज्ञान में, धातु मिश्र धातुओं में पॉलीक्रिस्टलाइन माइक्रोस्ट्रक्चर को आमतौर पर वोरोनोई टेसेलेशन का उपयोग करके दर्शाया जाता है। द्वीप विकास में, वोरोनोई आरेख का उपयोग व्यक्तिगत द्वीपों की विकास दर का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है।    ठोस-अवस्था भौतिकी में, विग्नर-सेट्ज़ कोशिका एक ठोस का वोरोनोई टेसलेशन है, और ब्रिलौइन क्षेत्र क्रिस्टल के पारस्परिक (yahoo) स्थान का वोरोनोई टेसलेशन है जिसमें एक अंतरिक्ष समूह की समरूपता होती है।
 * विमानन में, वोरोनोई आरेखों को इन-फ़्लाइट डायवर्जन (ETOPS देखें) के लिए निकटतम हवाई क्षेत्र की पहचान करने के लिए समुद्री प्लॉटिंग चार्ट पर आरोपित किया जाता है, क्योंकि एक विमान अपनी उड़ान योजना के माध्यम से आगे बढ़ता है।
 * वास्तुकला में, वोरोनोई पैटर्न कला केंद्र गोल्ड कोस्ट के पुनर्विकास के लिए विजेता प्रविष्टि का आधार थे। रेफरी>
 * शहरी नियोजन में, फ्रेट लोडिंग जोन सिस्टम का मूल्यांकन करने के लिए वोरोनोई आरेखों का उपयोग किया जा सकता है।
 * खनन में, वोरोनोई पॉलीगॉन का उपयोग मूल्यवान सामग्रियों, खनिजों या अन्य संसाधनों के भंडार का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है। अन्वेषणात्मक ड्रिलहोल्स का उपयोग वोरोनोई बहुभुजों में बिंदुओं के सेट के रूप में किया जाता है।
 * भूतल मेट्रोलॉजी में, सतह खुरदरापन मॉडलिंग के लिए वोरोनोई टेसलेशन का उपयोग किया जा सकता है।
 * रोबोटिक्स में, कुछ नियंत्रण रणनीतियाँ और पथ नियोजन एल्गोरिदम

ज्यामिति

 * निकटतम पड़ोसी खोज प्रश्नों का उत्तर देने के लिए वोरोनोई आरेख के शीर्ष पर एक बिंदु स्थान डेटा संरचना बनाई जा सकती है, जहां कोई उस वस्तु को खोजना चाहता है जो किसी दिए गए क्वेरी बिंदु के सबसे करीब हो। निकटतम पड़ोसी प्रश्नों में कई अनुप्रयोग होते हैं। उदाहरण के लिए, कोई डेटाबेस में निकटतम अस्पताल या सबसे समान वस्तु खोजना चाह सकता है। एक बड़ा अनुप्रयोग वेक्टर परिमाणीकरण है, जो आमतौर पर डेटा संपीड़न में उपयोग किया जाता है।
 * ज्यामिति में, वोरोनोई आरेखों का उपयोग बिंदुओं के एक सेट के बीच और एक संलग्न बहुभुज में सबसे बड़े खाली क्षेत्र को खोजने के लिए किया जा सकता है; उदा. एक निश्चित शहर में पड़े सभी मौजूदा सुपरमार्केट से यथासंभव एक नया सुपरमार्केट बनाने के लिए।
 * वोरोनोई डायग्राम, सबसे दूर-बिंदु वोरोनोई डायग्राम के साथ बिंदुओं के एक सेट की गोलाई (ऑब्जेक्ट) की गणना करने के लिए कुशल एल्गोरिदम के लिए उपयोग किया जाता है। समन्वय-मापने वाली मशीन से डेटासेट का आकलन करते समय वोरोनोई दृष्टिकोण को गोलाकार/गोलाई (ऑब्जेक्ट) के मूल्यांकन में भी उपयोग में लाया जाता है।

सूचना विज्ञान

 * कंप्यूटर नेटवर्क में, बेतार तंत्र की क्षमता के व्युत्पत्ति में वोरोनोई आरेख का उपयोग किया जा सकता है।
 * कंप्यूटर ग्राफिक्स में, वोरोनोई आरेखों का उपयोग 3डी बिखरने/फ्रैक्चरिंग ज्यामिति पैटर्न की गणना के लिए किया जाता है। इसका उपयोग प्रक्रियात्मक पीढ़ी जैविक या लावा दिखने वाले बनावट के लिए भी किया जाता है।
 * स्वायत्त रोबोट नेविगेशन में, स्पष्ट मार्ग खोजने के लिए वोरोनोई आरेखों का उपयोग किया जाता है। यदि बिंदु बाधाएँ हैं, तो ग्राफ़ के किनारे बाधाओं (और सैद्धांतिक रूप से किसी भी टकराव) से सबसे दूर के मार्ग होंगे।
 * मशीन लर्निंग में, वोरोनोई आरेखों का उपयोग के-निकटतम पड़ोसी एल्गोरिथम|1-एनएन वर्गीकरण करने के लिए किया जाता है।
 * वैश्विक दृश्य पुनर्निर्माण में, जिसमें रैंडम सेंसर साइट्स और अस्थिर वेक फ्लो, भूभौतिकीय डेटा और 3डी अशांति डेटा शामिल हैं, वोरोनोई टेसलेशन का उपयोग गहन शिक्षा के साथ किया जाता है।
 * उपयोगकर्ता इंटरफ़ेस के विकास में, वोरोनोई पैटर्न का उपयोग किसी दिए गए बिंदु के लिए सर्वश्रेष्ठ होवर स्थिति की गणना करने के लिए किया जा सकता है।

नागरिक शास्त्र और योजना

 * मेलबोर्न में, सरकारी स्कूल के छात्र हमेशा निकटतम प्राथमिक स्कूल या हाई स्कूल में भाग लेने के पात्र होते हैं, जहाँ वे रहते हैं, जैसा कि एक सीधी रेखा की दूरी से मापा जाता है। स्कूल जोन का नक्शा इसलिए वोरोनोई आरेख है।

बेकरी

 * यूक्रेनी पेस्ट्री शेफ दिनारा कास्को अपने मूल केक को आकार देने के लिए 3डी प्रिंटर से बने सिलिकॉन मोल्ड बनाने के लिए वोरोनोई आरेख के गणितीय सिद्धांतों का उपयोग करते हैं।

एल्गोरिदम
कई कुशल एल्गोरिदम वोरोनोई आरेखों के निर्माण के लिए जाने जाते हैं, या तो प्रत्यक्ष रूप से (आरेख के रूप में) या अप्रत्यक्ष रूप से डेलाउने त्रिभुज से शुरू करके और फिर इसकी दोहरी प्राप्त करते हुए। डायरेक्ट एल्गोरिदम में फॉर्च्यून का एल्गोरिदम शामिल है, एक विमान में बिंदुओं के एक सेट से वोरोनोई आरेख उत्पन्न करने के लिए एक बड़ा ओ नोटेशन (एन लॉग (एन)) एल्गोरिदम। बाउयर-वाटसन एल्गोरिथम, बिग ओ नोटेशन (एन लॉग (एन)) टू बिग ओ नोटेशन (एन2) किसी भी संख्या में आयामों में डेलाउने त्रिभुज उत्पन्न करने के लिए एल्गोरिदम, वोरोनोई आरेख के लिए अप्रत्यक्ष एल्गोरिदम में उपयोग किया जा सकता है। जंप फ्लडिंग एल्गोरिथम निरंतर समय में अनुमानित वोरोनोई आरेख उत्पन्न कर सकता है और कमोडिटी ग्राफिक्स हार्डवेयर पर उपयोग के लिए अनुकूल है। लिंडे-बुज़ो-ग्रे एल्गोरिथम (उर्फ k-मतलब क्लस्टरिंग) के माध्यम से लॉयड्स एल्गोरिथम और इसका सामान्यीकरण, सबरूटीन के रूप में वोरोनोई आरेखों के निर्माण का उपयोग करते हैं। ये विधियाँ उन चरणों के बीच वैकल्पिक होती हैं जिनमें बीज बिंदुओं के एक सेट के लिए वोरोनोई आरेख का निर्माण होता है, और ऐसे चरण जिनमें बीज बिंदुओं को नए स्थानों पर ले जाया जाता है जो उनकी कोशिकाओं के भीतर अधिक केंद्रीय होते हैं। इन विधियों का उपयोग मनमाना आयाम के रिक्त स्थान में किया जा सकता है ताकि वोरोनोई आरेख के एक विशेष रूप की ओर अभिसरण किया जा सके, जिसे सेंट्रोइडल वोरोनोई टेसलेशन कहा जाता है, जहां साइटों को उन बिंदुओं पर ले जाया गया है जो उनकी कोशिकाओं के ज्यामितीय केंद्र भी हैं।

यह भी देखें

 * डेलाउने त्रिभुज
 * नक्शा विभाजन
 * प्राकृतिक तत्व विधि
 * प्राकृतिक पड़ोसी प्रक्षेप
 * निकटतम-पड़ोसी प्रक्षेप
 * पावर आरेख
 * वोरोनी शहर

संदर्भ

 * Includes a description of Fortune's algorithm.
 * Includes a description of Fortune's algorithm.
 * Includes a description of Fortune's algorithm.

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 * समतल ज्यामिति)
 * एक सेट का विभाजन
 * Delaunay त्रिभुज
 * अंक शास्त्र
 * तकनीकी
 * आधा स्थान (ज्यामिति)
 * नोड (ग्राफ सिद्धांत)
 * परिमित आयामी
 * संख्याओं की ज्यामिति
 * नॉर्म्ड स्पेस
 * जॉन हिमपात (चिकित्सक)
 * 1854 ब्रॉड स्ट्रीट हैजा का प्रकोप
 * अंतरिक्ष-विज्ञान
 * वर्ग (ज्यामिति)
 * कटा हुआ ऑक्टाहेड्रॉन
 * सरल घन जाली
 * चेहरा केंद्रित घन
 * शरीर केंद्रित घन
 * असली पेड़
 * महालनोबिस डिस्टेंस
 * चुकता यूक्लिडियन दूरी
 * ऑप्टिकल कैरेक्टर मान्यता
 * जोन आरेख
 * सीधा कंकाल
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 * भौतिक विज्ञान की ठोस अवस्था
 * खुदाई
 * आधार - सामग्री संकोचन
 * गोलाई (वस्तु)
 * सबसे बड़ा खाली गोला
 * नियामक माप मशीन
 * k-निकटतम पड़ोसी एल्गोरिथम
 * ध्यान लगा के पढ़ना या सीखना
 * प्रयोक्ता इंटरफ़ेस

बाहरी संबंध

 * Voronoi Diagrams in CGAL, the Computational Geometry Algorithms Library
 * Voronoi Diagrams in CGAL, the Computational Geometry Algorithms Library