अर्नोल्ड टंग्स

गणित में, विशेष रूप से गतिशील प्रणालियों में, अर्नोल्ड टंग्स (व्लादिमीर अर्नोल्ड के नाम पर) एक सचित्र घटना है जो यह कल्पना करते समय होती है कि कैसे एक गतिशील प्रणाली की घूर्णन संख्या, या अन्य संबंधित अपरिवर्तनीय गुण इसके दो या अधिक मापदंडों के अनुसार बदलते हैं। कुछ गतिशील प्रणालियों के लिए निरंतर घूर्णन संख्या के क्षेत्रों को देखा गया है, जो टंग्स के समान ज्यामितीय आकृतियों का निर्माण करते हैं, इस स्थिति में उन्हें अर्नोल्ड टंग्स कहा जाता है।

अर्नोल्ड टंग्स को प्राकृतिक घटनाओं की एक विशाल विविधता में देखा जाता है जिसमें जैविक प्रक्रियाएं और कार्डियक विद्युत तरंगों में एंजाइमों और कार्यद्रव की सांद्रता जैसी दोलन मात्रा सम्मिलित होती है। कभी-कभी दोलन की आवृत्ति कुछ मात्रा के आधार पर निर्भर करती है, या सीमित (अर्थात, कुछ संदर्भों में, कलाबद्ध या मोड-लॉक) होती है और इस संबंध का अध्ययन करना प्रायः रुचिकर होता है। उदाहरण के लिए, ट्यूमर का प्रारम्भ उस क्षेत्र में पदार्थ (मुख्य रूप से प्रोटीन) दोलनों की श्रृंखला को प्रेरित करता है जो एक दूसरे के साथ परस्पर क्रिया करते हैं अनुरूपण से पता चलता है कि इन अंतःक्रियाओं के कारण अर्नोल्ड टंग्स दिखाई देती है, अर्थात, कुछ दोलनों की आवृत्ति दूसरों को सीमित करती है, और इसका उपयोग ट्यूमर के विकास को नियंत्रित करने के लिए किया जा सकता है।

अन्य उदाहरण जहां अर्नोल्ड टंग्स पाए जा सकते हैं, उनमें संगीत वाद्ययंत्रों की धार्मिकता, कक्षीय अनुनाद और परिक्रमा करने वाले चंद्रमाओं की ज्वारीय लॉकिंग, तंतु प्रकाशिकी में मोड-लॉकिंग और कलाबद्ध लूप और अन्य विद्युत दोलक, साथ ही हृदय लय, हृदय अतालता और कोशिका चक्र सम्मिलित हैं।

मोड-लॉकिंग प्रदर्शित करने वाले सबसे सरल भौतिक मॉडलों में से एक में कमजोर स्प्रिंग से जुड़े दो घूर्णन डिस्क होते हैं। एक डिस्क को स्वतंत्र रूप से चक्रण की अनुमति है, और दूसरी मोटर द्वारा संचालित होती है। मोड लॉकिंग तब होती है जब मुक्त-चक्रण डिस्क आवृत्ति पर मुड़ती है जो संचालित घूर्णी की तर्कसंगत गुणज होती है।

मोड-लॉकिंग प्रदर्शित करने वाला सबसे सरल गणितीय मॉडल वृत्त मानचित्र है, जो अलग-अलग समय अंतराल पर प्रचक्रण डिस्क की गति को पकड़ने का प्रयास करता है।

मानक वृत्त मानचित्र
दोलक के बीच परस्पर क्रिया का अध्ययन करते समय अर्नोल्ड टंग्स सबसे अधिक बार दिखाई देती हैं, विशेषतः उस स्थिति में जहां एक दोलक दूसरे को चलाता है। अर्थात्, एक दोलक दूसरे पर निर्भर करता है, लेकिन दूसरे तरीके से नहीं, इसलिए वे एक-दूसरे को परस्पर प्रभावित नहीं करते हैं, जैसा कि कुरामोटो मॉडल में होता है, उदाहरण के लिए। यह संचालित दोलकों की विशेष स्थिति है, जिसमें प्रेरक बल होता है जिसका आवधिक व्यवहार होता है। व्यावहारिक उदाहरण के रूप में, हृदय कोशिकाएं (बाह्य दोलक) हृदय के संकुचन (संचालित दोलक) को उत्तेजित करने के लिए आवधिक विद्युत संकेत उत्पन्न करती हैं यहां, संभवतः बेहतर कृत्रिम गतिचालक डिजाइन करने के लिए दोलकों की आवृत्ति के बीच संबंध निर्धारित करने में उपयोगी हो सकता है। वृत्त मानचित्रों का समूह इस जैविक घटना के साथ-साथ कई अन्य के लिए एक उपयोगी गणितीय मॉडल के रूप में कार्य करता है।

वृत्त मानचित्रों के समूह स्वयं वृत्त के फलन (या अंतःरूपांतरण) हैं। वृत्त में बिंदु को वास्तविक रेखा में बिंदु $$x$$ के रूप में मानना ​​गणितीय रूप से सरल है, जिसे मॉडुलो $$2 \pi$$ की व्याख्या की जानी चाहिए, उस कोण का प्रतिनिधित्व करता है जिस पर बिंदु वृत्त में स्थित है। जब मॉड्यूलो को $$2 \pi$$ के अलावा किसी अन्य मान के साथ लिया जाता है, तो परिणाम अभी भी कोण का प्रतिनिधित्व करता है, लेकिन इसे सामान्यीकृत किया जाना चाहिए ताकि पूरी क्षेत्र $$[0, 2 \pi]$$ का प्रतिनिधित्व किया जा सके। इसे ध्यान में रखते हुए, वृत्त मानचित्रों का समूह निम्न द्वारा दिया गया है-
 * $$\theta_{i+1} = g(\theta_i) + \Omega$$

जहां $$\Omega$$ दोलक की "प्राकृतिक" आवृत्ति है और $$g$$ आवधिक फलन है जो बाहरी दोलक के कारण होने वाले प्रभाव को उत्पन्न करता है। ध्यान दें कि यदि सभी $$\theta$$ के लिए $$g(\theta) = \theta$$ तो कण एक समय में $$\Omega$$ इकाइयों पर सिर्फ वृत्त के चारों ओर चलता है विशेष रूप से, यदि $$\Omega$$ अपरिमेय है तो मानचित्र अपरिमेय घूर्णन को कम कर देता है।

मूल रूप से अर्नोल्ड द्वारा अध्ययन किया गया विशेष वृत्त मानचित्र है, और जो आजकल भी उपयोगी सिद्ध हो रहा है, वह है-


 * $$\theta_{i+1} = \theta_i + \Omega + \frac{K}{2 \pi} \sin(2 \pi \theta_i)$$

जहाँ $$K$$ को युग्मन दृढ़ता कहा जाता है, और $$\theta_i$$ को मॉडुलो $$1$$ की व्याख्या करनी चाहिए। यह मानचित्र पैरामीटर $$K$$ और $$\Omega$$ के आधार पर बहुत विविध व्यवहार प्रदर्शित करता है यदि हम $$\Omega = 1/3$$ को ठीक करते हैं और $$K$$ को बदलते हैं, तो इस अनुच्छेद के चारों ओर द्विभाजन आरेख प्राप्त होता है, जहाँ हम आवधिक कक्षाएँ, अवधि-दोहरीकरण द्विभाजन और साथ ही संभावित अराजक व्यवहार देख सकते हैं।

वृत्त मानचित्र व्युत्पन्न करना
वृत्त मानचित्र को देखने का दूसरा तरीका इस प्रकार है। फलन $$y(t)$$ पर विचार करें जो ढलान $$a$$ के साथ रैखिक रूप से घट जाता है।

एक बार जब यह शून्य पर पहुंच जाता है, तो इसका मान फलन $$z(t) = c + b \sin(2 \pi t)$$ द्वारा वर्णित निश्चित दोलन मान पर पुनःस्थापित हो जाता है। अब हम समय के क्रम $$\{ t_n \}$$ में रुचि रखते हैं जिस पर y(t) शून्य तक पहुंचता है।

यह मॉडल हमें बताता है कि समय $$t_{n-1}$$ पर यह मान्य है कि $$y(t_{n-1}) = c + b \sin(2 \pi t_{n-1})$$। इस बिंदु से, $$y$$ फिर $$t_n$$ तक रैखिक रूप से घटेगा, जहां फलन $$y$$ शून्य है, इस प्रकार अनुवर्ती-

\begin{align} 0 &= y(t_{n-1}) - a \cdot (t_{n} - t_{n-1}) \\[0.5em] 0 &= \left[ c + b \sin(2 \pi t_{n-1}) \right] - a t_n + a t_{n-1} \\[0.5em] t_n &= \frac{1}{a} \left[ c + b \sin(2 \pi t_{n-1}) \right] + t_{n-1} \\[0.5em] t_n &= t_{n-1} + \frac{c}{a} + \frac{b}{a} \sin(2 \pi t_{n-1}) \end{align} $$ और $$\Omega = c/a$$ और $$K = 2 \pi b/a$$ को चुनकर हम पहले चर्चा किए गए वृत्त मानचित्र को प्राप्त करते हैं-

t_n = t_{n-1} + \Omega + \frac{K}{2\pi} \sin(2 \pi t_{n-1}). $$

का तर्क है कि यह सरल मॉडल कुछ जैविक प्रणालियों पर लागू होता है, जैसे कि कोशिकाओं या रक्त में पदार्थ की सान्द्रता का नियमन, ऊपर दिए गए $$y(t)$$ के साथ निश्चित पदार्थ की सान्द्रता का प्रतिनिधित्व करता है।

इस मॉडल में, $$N:M$$ के चरण-लॉकिंग का अर्थ होगा कि $$y(t)$$ ज्यावक्रीय $$z(t)$$ के प्रत्येक $$M$$ अवधि में बिल्कुल $$N$$ बार पुनःस्थापित किया जाता है। परिणामस्वरूप, घूर्णन संख्या भागफल $$N/M$$ होगी।

गुण
वृत्त अंतःरूपांतरण के सामान्य समूह पर विचार करें-

\theta_{i+1} = g(\theta_i) + \Omega $$ जहां, मानक वृत्त मानचित्र के लिए, हमारे पास $$g(\theta) = \theta + (K / 2 \pi) \sin(2 \pi \theta)$$ है। कभी-कभी मानचित्रण $$f(\theta)$$ के संदर्भ में वृत्त मानचित्र का प्रतिनिधित्व करना भी सुविधाजनक होगा-

\theta_{i+1} = f(\theta_i) = \theta_i + \Omega + \frac{K}{2 \pi} \sin(2 \pi \theta_i). $$ अब हम इन वृत्त अंतःरूपांतरण के कुछ रोचक गुणों को सूचीबद्ध करना प्रारम्भ करते हैं।

P1. $$f$$ $$K < 1$$ के लिए नीरस रूप से बढ़ रहा है, इसलिए $$K$$ के इन मानों के लिए $$\theta_i$$ केवल वृत्त में आगे बढ़ता है, कभी पीछे नहीं बढ़ता है। इसे देखने के लिए, ध्यान दें कि $$f$$ का व्युत्पन्न है-

f'(\theta) = 1 + K \cos(2 \pi \theta) $$ जो $$K < 1$$ तक धनात्मक है।

P2. पुनरावृत्ति संबंध का विस्तार करते समय $$\theta_n$$ के लिए सूत्र प्राप्त होता है-

\theta_n = \theta_0 + n \Omega + \frac{K}{2 \pi} \sum_{i = 0}^n \sin(2 \pi \theta_i). $$ P3. मान लीजिए कि $$\theta_n = \theta_0 \bmod 1$$, तो वे अवधि $$n$$ के आवधिक नियत बिंदु हैं। चूंकि ज्या आवृत्ति 1 हर्ट्ज (Hz) पर दोलन करती है, $$\theta_i$$ के प्रति चक्र साइन के दोलनों की संख्या $$M = (\theta_n - \theta_0) \cdot 1$$ होगी, इस प्रकार $$n : M$$ के चरण-लॉकिंग की विशेषता है।

P4. किसी भी $$p \in \mathbb{N}$$ के लिए, यह सत्य है कि $$f(\theta + p) = f(\theta) + p$$, जिसका अर्थ $$f(\theta + p) = f(\theta) \bmod{1}$$ है। इस वजह से, कई उद्देश्यों के लिए इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि पुनरावृत्त $$\theta_i$$ मापांक $$1$$ लिया जाता है या नहीं।

P5 (स्थानांतरीय समरूपता). मान लीजिए कि दिए गए $$\Omega$$ के लिए प्रणाली में एक $$n : M$$ चरण-लॉकिंग है। फिर, पूर्णांक $$p$$ के साथ $$\Omega' = \Omega + p$$ के लिए, $$n : (M + np)$$ चरण-लॉकिंग होगा। इसका अर्थ यह भी है कि यदि $$\theta_0, \dots, \theta_n$$ पैरामीटर $$\Omega$$ के लिए आवधिक कक्षा है, तो यह किसी $$\Omega' = \Omega + p, p \in \mathbb{N}$$ के लिए भी आवधिक कक्षा है।

इसे देखने के लिए, ध्यान दें कि गुण 2 में पुनरावृत्ति संबंध बन जाएगा-

\begin{align} \theta_n' &= \theta_0 + n \Omega' + \frac{K}{2 \pi} \sum_{i = 0}^n \sin(2 \pi \theta_i) \\ &= \theta_0 + n (\Omega + p) + \frac{K}{2 \pi} \sum_{i = 0}^n \sin(2 \pi \theta_i) \\ &= \theta_n + np, \end{align} $ इसलिए चूंकि $\theta_n - \theta_0 = M$ मूल चरण-लॉकिंग के कारण, अब हमारे पास $\theta_n' - \theta_0 = \theta_n + np - \theta_0 = M + np$ होगा।

P6. $$K = 0$$ के लिए चरण-लॉकिंग होगी जब भी $$\Omega$$ परिमेय होगा। इसके अलावा, मान लें कि $$\Omega = p/q \in \mathbb{Q}$$, तो चरण-लॉकिंग $$q : p$$ है।

गुण 2 में पुनरावृत्ति संबंध को ध्यान में रखते हुए, परिमेय $\Omega = p/q$ का तात्पर्य है-

\theta_n = \theta_0 + n \frac{p}{q} $ और समानता मापांक $1$ तभी मान्य होगा जब $n (p/q)$ एक पूर्णांक हो, और इसे संतुष्ट करने वाला प्रथम $n$ $n = q$ हो।फलस्वरूप-

\theta_q = \theta_0 + p $

(\theta_q - \theta_0) = p $ जिसका अर्थ है $q : p$ चरण-लॉकिंग।

अपरिमेय $\Omega$ (जो अपरिमेय घूर्णन की ओर जाता है) के लिए, पूर्णांक $n$ और $k$ के लिए $n \Omega = k$ होना आवश्यक होगा, लेकिन तब $\Omega = k / n$ और $\Omega$ परिमेय है, जो प्रारंभिक परिकल्पना के विपरीत है।

मोड लॉकिंग
K के छोटे से मध्यवर्ती मानों के लिए (अर्थात, K = 0 से लगभग K = 1 की सीमा में), और Ω के कुछ मानों के लिए, मानचित्र मोड लॉकिंग या चरण लॉकिंग नामक घटना को प्रदर्शित करता है। चरण-बंद क्षेत्र में, मान θn अनिवार्य रूप से n के परिमेय गुणक के रूप में आगे बढ़ता है, हालांकि वे छोटे पैमाने पर अव्यवस्थित तरीके से ऐसा कर सकते हैं।

मोड-लॉक किए गए क्षेत्रों में सीमित व्यवहार घूर्णन संख्या द्वारा दिया गया है।


 * $$\omega=\lim_{n\to\infty}\frac{\theta_n}{n}.$$

जिसे कभी-कभी मानचित्र कुंडलन संख्या भी कहा जाता है।

चरण-बंद क्षेत्रों, या अर्नोल्ड टंग्स को दाईं ओर की आकृति में पीले रंग में चित्रित किया गया है। ऐसा प्रत्येक वी-आकार का क्षेत्र K → 0 की सीमा में एक परिमेय मान Ω = $K⁄2\pi$ को स्पर्श करता है। इनमें से किसी एक क्षेत्र में (K,Ω) के मान एक गति में परिणत होंगे जैसे कि घूर्णन संख्या ω = $p⁄q$। उदाहरण के लिए, आंकड़े के निचले-केंद्र में बड़े वी-आकार वाले क्षेत्र में (K,Ω) के सभी मान ω = $p⁄q$ के घूर्णन संख्या के अनुरूप हैं। "लॉकिंग" शब्द का उपयोग करने का एक कारण यह है कि सीमित घूर्णन संख्या को परेशान किए बिना व्यक्तिगत मानों θn को बड़ी यादृच्छिक गड़बड़ी (टंग्स की चौड़ाई तक, K के दिए गए मान के लिए) से परेशान किया जा सकता है। यही है, श्रृंखला θn में महत्वपूर्ण ध्वनि के बावजूद, अनुक्रम संकेत पर "लॉक ऑन" रहता है। ध्वनि की उपस्थिति में "लॉक ऑन" करने की यह क्षमता चरण-लॉक लूप विद्युत परिपथ की उपयोगिता के लिए केंद्रीय है।

प्रत्येक परिमेय संख्या $1⁄2$ के लिए एक मोड-लॉक क्षेत्र होता है। कभी-कभी यह कहा जाता है कि वृत्त मानचित्र परिमेय को K = 0 पर माप शून्य के समुच्चय को K ≠ 0 के लिए गैर-शून्य माप के समुच्चय पर मैप करता है। सबसे बड़ा टंग्स, आकार के अनुसार आदेशित, फारे भिन्नों में होता है। K को निर्धारित करना और इस चित्र के माध्यम से अनुप्रस्थकाट लेना, ताकि ω को Ω के फलन के रूप में प्लॉट किया जा सके, "डेविल के तरंगरूप" को एक आकार देता है जो सामान्य रूप से कैंटर फलन के समान होता है। कोई यह दिखा सकता है कि K<1 के लिए, वृत्त मानचित्र भिन्नता है, केवल स्थिर समाधान उपस्थित है। हालाँकि K>1 के रूप में यह अब नहीं रहता है, और कोई दो अतिव्यापी लॉकिंग क्षेत्रों के क्षेत्रों को खोज सकता है। वृत्त मानचित्र के लिए यह दिखाया जा सकता है कि इस क्षेत्र में, दो से अधिक स्थिर मोड लॉकिंग क्षेत्र अतिव्याप्‍त नहीं हो सकते हैं, लेकिन यदि सामान्य समकालिक प्रणाली के लिए अतिव्यापी अर्नोल्ड टंग्स की संख्या की कोई सीमा ज्ञात नहीं है।

वृत्त मानचित्र अव्यवस्था के लिए अवसंनादी मार्गों को भी प्रदर्शित करता है, अर्थात, 3, 6, 12, 24,.... के रूप में अवधि दोहरीकरण।

चिरिकोव मानक मानचित्र
चिरिकोव मानक मानचित्र वृत्त मानचित्र से संबंधित है, जिसके समान पुनरावृत्ति संबंध हैं, जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है
 * $$\begin{align}

\theta_{n+1} &= \theta_n + p_n + {\frac K {2\pi}} \sin(2\pi\theta_n)\\ p_{n+1} &= \theta_{n+1} - \theta_n \end{align}$$ दोनों पुनरावृत्तियों के साथ मापांक 1 लिया गया। संक्षेप में, मानक मानचित्र संवेग pn का परिचय देता है, जिसे गतिशील रूप से भिन्न होने की अनुमति दी जाती है, बजाय इसके कि यह वृत्त मानचित्र में है। भौतिक विज्ञानमें मानक मानचित्र का अध्ययन किक रोटर हैमिल्टनियन के माध्यम से किया जाता है।

अनुप्रयोग
के अध्ययन के लिए अर्नोल्ड टंग्स का प्रयोग किया गया है
 * हृदय लय - और  देखें।
 * अनुनादी टनलिंग डायोड दोलकों का तुल्यकालन

संदर्भ

 * - Provides a brief review of basic facts in section 2.12.
 * - Performs a detailed analysis of heart cardiac rhythms in the context of the circle map.
 * - Provides a brief review of basic facts in section 2.12.
 * - Performs a detailed analysis of heart cardiac rhythms in the context of the circle map.