आदिम तत्व प्रमेय

क्षेत्र सिद्धांत में, आदिम तत्व प्रमेय एक क्षेत्र विस्तार की डिग्री को चिह्नित करने का परिणाम है जो एक तत्व द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है। इस तरह से उत्पन्न करने वाले तत्व को क्षेत्र विस्तार का आदिम तत्व कहा जाता है, और इस सन्दर्भ में विस्तार को एक साधारण विस्तार कहा जाता है। प्रमेय कहता है कि एक परिमित विस्तार सरल है यदि मध्यवर्ती क्षेत्र अत्यधिक् हैं। एक पुराना परिणाम, जिसे प्रायः आदिम तत्व प्रमेय भी कहा जाता है,यह बताता है कि प्रत्येक परिमित वियोज्य विस्तार सरल है; इसे पूर्व प्रमेय परिणाम के रूप में देखा जा सकता है। इन प्रमेयों का विशेष रूप से अर्थ है कि परिमेय संख्याओं पर सभी बीजगणितीय संख्या क्षेत्र और सभी विस्तार जिसमें दोनों क्षेत्र परिमित और सरल हैं।

शब्दावली,
मान लीजिये $$E/F$$ क्षेत्र विस्तार है । तत्व $$\alpha\in E$$ के लिए आदिम तत्व है $$E/F$$ यदि $$E=F(\alpha),$$ यानी यदि सभी तत्व $$E$$ में $$\alpha$$ में गुणांक के साथ $$F$$ एक तर्कसंगत कार्य के रूप में लिखा जा सकता है. यदि ऐसा कोई आदिम तत्व मौजूद है, तो $$E/F$$ को सरल विस्तार कहा जाता है।

यदि क्षेत्र विस्तार $$E/F$$ आदिम तत्व $$\alpha$$ है और $$n = [E:F]$$ परिमित श्रेणीं का है, तब E के प्रत्येक अवयव x को विशिष्ट रूप में लिखा जा सकता है


 * $$x=f_{n-1}{\alpha}^{n-1}+\cdots+f_1{\alpha}+f_0,$$

जहाँ $$f_i\in F$$ सभी के लिए मैं संमुच्चय


 * $$\{1,\alpha,\ldots,{\alpha}^{n-1}\}$$

E के लिए F पर सदिश समष्टि के रूप में आधार है।

उदाहरण
यदि कोई $$F = \mathbb{Q}$$ परिमेय संख्याओं से जुड़ता है और दो अपरिमेय संख्याएँ $$\sqrt{2}$$ और $$\sqrt{3}$$ विस्तार क्षेत्र प्राप्त करने के लिए $$E=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$$ क्षेत्र विस्तार की डिग्री 4 है, तो यह दिखाया जा सकता है कि यह विस्तार सरल है, जिसका अर्थ है $$E=\mathbb{Q}(\alpha)$$ के लिए $$\alpha\in E$$. $$\alpha = \sqrt{2} + \sqrt{3} $$ को संदर्रभित कर रहा, घातांक  1, 1, α , α2, α3   $$\sqrt{2}$$, $$\sqrt{3}$$, $$\sqrt{6}$$  पूर्णांक गुणांक के रैखिक संयोजनों के रूप में विस्तारित किया जा सकता है, । के लिए रैखिक समीकरणों की इस प्रणाली को हल कर सकते हैं $$\sqrt{2}$$ और $$\sqrt{3}$$ ऊपर $$\mathbb{Q}(\alpha)$$, प्राप्त करने के लिए  $$\sqrt{2} = \tfrac12(\alpha^3-9\alpha)$$ और $$\sqrt{3} = -\tfrac12(\alpha^3-11\alpha)$$. इससे पता चलता है α वास्तव में एक आदिम तत्व है:
 * $$\mathbb{Q}(\sqrt 2, \sqrt 3)=\mathbb{Q}(\sqrt2 + \sqrt3).$$

प्रमेय
पारम्परिक आदिम तत्व प्रमेय कहता है:परिमित श्रेणी का प्रत्येक वियोज्य विस्तार क्षेत्र विस्तार सरल है। यह प्रमेय बीजगणितीय संख्या क्षेत्रों पर लागू होता है, अर्थात परिमेय संख्या Q के परिमित विस्तार, चूंकि Q में विशेषता 0 है और इसलिए Q पर प्रत्येक परिमित विस्तार वियोज्य है। निम्नलिखित आदिम तत्व प्रमेय अधिक सामान्य है:एक परिमित क्षेत्र विस्तार $$E/F$$ सरल है यदि वहाँ बहुत से मध्यवर्ती क्षेत्र K के साथ मौजूद हैं $$E\supseteq K\supseteq F$$.

गैलोज़ सिद्धांत के मौलिक प्रमेय का उपयोग करते हुए, पूर्व प्रमेय बाद वाले से तुरंत अनुसरण करता है।

विशेषता पी
एक गैर-वियोज्य विस्तार के लिए $$E/F$$ P की विशेषता, फिर भी एक आदिम तत्व है यद्यपि डिग्री P है: वास्तव में, कोई गैर-तुच्छ मध्यवर्ती उपक्षेत्र नहीं हो सकता है क्योंकि उनकी डिग्री प्रमुख P के कारक होंगे।

जब $$E/F$$ = P2, कोई आदिम तत्व नहीं हो सकता। सबसे सरल उदाहरण है $$E=\mathbb{F}_p(T,U)$$,P तत्वों के साथ परिमित क्षेत्र पर दो अनिश्चित T और U में तर्कसंगत कार्यों का क्षेत्र, और $$F=\mathbb{F}_p(T^p,U^p)$$. वास्तव में, किसी भी α = G के लिए, फ्रोबेनियस एंडोमोर्फिज्म दर्शाता है कि तत्व αp F में स्थित है, इसलिए α का मूल है $$f(X)=X^p-\alpha^p\in F[X]$$, और α आदिम तत्व नहीं हो सकता (डिग्री p2 ओवर F), लेकिन इसकेअतिरिक्त F(α) एक गैर-तुच्छ मध्यवर्ती क्षेत्र है।

रचनात्मक परिणाम
सामान्यतः,परिमित वियोज्य विस्तार E / F के लिए सभी आदिम तत्वों का समुच्चय, E के उचित F-उपस्थानों के परिमित संग्रह का पूरक है, अर्थात् मध्यवर्ती क्षेत्र कथन परिमित क्षेत्रों के संदर्भो में कुछ नहीं कहता है, क्षेत्र के गुणक समूह एक चक्रीय समूह के जनरेटर को खोजने के लिए समर्पित एक संगणनीय सिद्धांत है, जो एक आदिम तत्व है. जहां F अनंत है, एक कोष्ठ सिद्धांत प्रमाण तकनीक दो तत्वों द्वारा उत्पन्न रैखिक उप-स्थान पर विचार करती है और यह प्रमाणित करती है कि केवल बहुत ही रैखिक संयोजन हैं


 * $$\gamma = \alpha + c \beta\ $$

C में F के साथ, जो उपक्षेत्र उत्पन्न करने में विफल रहता है जिसमें दोनों तत्व होते हैं:


 * जैसा $$F(\alpha,\beta)/F(\alpha+c\beta)$$ एक वियोज्य विस्तार है, यदि $$F(\alpha+c\beta) \subsetneq F(\alpha,\beta)$$ एक गैर-तुच्छ एम्बेडिंग उपस्थित है $$\sigma : F(\alpha,\beta)\to \overline{F}$$जिस पर प्रतिबंध $$F(\alpha+c\beta)$$ पहचान है जिसका अर्थ है $$ \sigma(\alpha)+c \sigma(\beta) = \alpha+c \beta$$ और $$\sigma(\beta) \ne \beta$$ ताकि $$ c = \frac{\sigma(\alpha)-\alpha}{\beta-\sigma(\beta)}$$. C के लिए यह अभिव्यक्ति केवल ले सकती है $$[F(\alpha):F] [F(\beta):F]$$ विभिन्न मूल्य के अन्य सभी मूल्यों के लिए $$c\in F$$ तब $$F(\alpha,\beta) = F(\alpha+c\beta)$$.

यह दिखाने के विधि के रूप में लगभगअविलम्ब है कि कैसे स्टीनिट्ज़ का परिणाम पारम्परिक परिणाम का अर्थ है, और मध्यवर्ती क्षेत्रों के परिणामों की संख्या के मामले में असाधारण C की संख्या के लिए एक बाध्यता है यह संख्या कुछ ऐसी है जो स्वयं गैलोइस सिद्धांत से बंधी हो सकती है और संभवतः इस मामले में आदिम तत्वों को खोजने के लिए प्रयोग और त्रुटी एक संभावित व्यावहारिक विधि  है।

इतिहास
इवरिस्ट गैलोइस ने 1831 ई० में अपने पहले संस्मरण में, परिमेय संख्याओं पर एक बहुपद के बंटवारे के क्षेत्र के प्रकरण में पारम्परिक आदिम तत्व प्रमेय का एक प्रमाण तैयार किया। उनके रेखाचित्र में अंतराल को सरलता से भरा जा सकता था जैसा कि रेफरी सिमोन डेनिस पोइसन द्वारा टिप्पणी की गई थी; गाल्वा का संस्मरण 1846 तक प्रकाशित नहीं हुआ था एक प्रमेय का शोषण करके 1771 से जोसेफ-लुई लाग्रेंज का, जिसे गैल्वा निश्चित रूप से जानता था। ऐसा लगता है कि लग्रेंज पहले से ही क्षेत्रों को विभाजित करने के लिए आदिम तत्व प्रमेय के बारे में जानते थे। गैलोज़ ने तब इस प्रमेय का प्रयोग गैलोज़ समूह के अपने विकास में भारी रूप से किया था। तब से इसका उपयोग गैलोज़ सिद्धांत के विकास और गैलोज़ सिद्धांत के मौलिक प्रमेय में किया गया है। 1910 में क्षेत्र सिद्धांत गणित पर एक प्रभावशाली लेख में दो आदिम तत्व प्रमेयों को उनके आधुनिक रूप में अर्न्स्ट स्टीनित्ज़ द्वारा सिद्ध किया गया था; स्टीनिट्ज़ ने पारम्परिक प्रमेय को आदिम तत्वों का और दूसरे को मध्यवर्ती क्षेत्रों का प्रमेय कहा। एमिल आर्टिन ने 1930 के दशक में आदिम तत्व प्रमेयों के उपयोग के बिना गाल्वा सिद्धांत का सुधार किया।

बाहरी संबंध

 * J. Milne's course notes on fields and Galois theory
 * The primitive element theorem at mathreference.com
 * The primitive element theorem at planetmath.org
 * The primitive element theorem on Ken Brown's website (pdf file)