लॉग-लॉजिस्टिक वितरण

प्रायिकता और सांख्यिकी में, लॉग-लॉजिस्टिक वितरण (अर्थशास्त्र में फिस्क वितरण के रूप में जाना जाता है) एक ऋणेतर संख्या यादृच्छिक चर के लिए सतत प्रायिकता वितरण है। इसका उपयोग अतिजीविता रहने के विश्लेषण में उन स्थितियो के लिए एक प्राचलिक मॉडल के रूप में किया जाता है जिनकी दर प्रारंभ में बढ़ती है और बाद में घट जाती है, उदाहरण के लिए, निदान या उपचार के बाद कैंसर से होने वाली मृत्यु दर है। अर्थशास्त्र में धन या आय के वितरण के एक सरल मॉडल के रूप में, और संजाल और सॉफ्टवेयर दोनों पर विचार करने वाले आकड़ो के संचरण समय को मॉडल करने के लिए नेटवर्किंग में मॉडल धारा प्रवाह और अवक्षेपण के लिए भी उपयोग किया जाता है।

लॉग-लॉजिस्टिक वितरण एक यादृच्छिक चर का प्रायिकता वितरण है जिसका लघुगणक एक लॉजिस्टिक वितरण है। यह लॉग-सामान्य वितरण के आकार के समान है लेकिन भारी पृष्ठभाग वाला वितरण है। लॉग-सामान्य के विपरीत, इसके संचयी वितरण फलन को बंद रूप में लिखा जा सकता है।

अभिलक्षणन
उपयोग में वितरण के कई भिन्न पैरामीटर हैं। यहाँ दिखाया गया एक समुचित व्याख्या करने योग्य पैरामीटर और संचयी वितरण फलन के लिए एक सरल रूप देता है। पैरामीटर $$\alpha>0$$ मापक पैरामीटर है और वितरण का औसत भी है। पैरामीटर $$\beta>0$$ एक आकृति पैरामीटर है। वितरण एकरूप होता है जब $$\beta>1$$ और $$\beta$$ बढ़ने पर इसका परिक्षेपण घट जाता है।

संचयी वितरण फलन है
 * $$\begin{align}

F(x; \alpha, \beta) & = {      1         \over 1+(x/\alpha)^{-\beta} } \\[5pt] & = {(x/\alpha)^\beta \over 1+(x/\alpha)^  \beta  } \\[5pt] & = {x^\beta \over \alpha^\beta+x^\beta} \end{align}$$ जहाँ $$x>0$$, $$\alpha>0$$, $$\beta>0$$

प्रायिकता घनत्व फलन है
 * $$f(x; \alpha, \beta) = \frac{ (\beta/\alpha)(x/\alpha)^{\beta-1} }

{ \left( 1+(x/\alpha)^{\beta} \right)^2  }$$

वैकल्पिक प्राचलीकरण
तर्कगणित वितरण के साथ समानता में जोड़ी $$\mu, s$$ द्वारा एक वैकल्पिक प्राचलीकरण दिया गया है:


 * $$\mu = \ln (\alpha)$$
 * $$s = 1 / \beta$$

क्षण
$$k$$वां अपरिष्कृत क्षण तभी उपस्थित होता है जब $$k<\beta,$$ इसके द्वारा दिया जाता है
 * $$\begin{align}

\operatorname{E}(X^k) & = \alpha^k\operatorname{B}(1-k/\beta, 1+k/\beta) \\[5pt] & = \alpha^k\, {k\pi/\beta \over \sin(k\pi/\beta)} \end{align}$$ जहां B बीटा फलन है। माध्य, विचरण, वैषम्य और कुकुदता के लिए अभिव्यक्तियाँ प्राप्त की जा सकती हैं। सुविधा के लिए $$b=\pi/\beta$$, लिखने पर माध्य है
 * $$ \operatorname{E}(X) = \alpha b / \sin b, \quad \beta>1,$$

और प्रसरण है
 * $$ \operatorname{Var}(X) = \alpha^2 \left( 2b / \sin 2b -b^2 / \sin^2 b \right), \quad \beta>2.$$

वैषम्य और कुकुदता के लिए स्पष्ट अभिव्यक्तियाँ लंबी हैं। जब $$\beta$$ अनंत की ओर प्रवृत्त होता है तो माध्य $$\alpha$$ की ओर प्रवृत्त होता है, विचरण और वैषम्य शून्य हो जाते है और अतिरिक्त कुकुदता 6/5 हो जाती है (नीचे संबंधित वितरण भी देखें)।

विभाजक
विभाजक फलन (प्रतिलोम संचयी वितरण फलन) है:
 * $$F^{-1}(p;\alpha, \beta) = \alpha\left( \frac{p}{1-p} \right)^{1/\beta}.$$

इससे पता चलता है कि माध्यिका $$\alpha$$ है, लघु चतुर्थक $$3^{-1/\beta} \alpha $$ है और लघु चतुर्थक $$3^{1/\beta} \alpha$$ है।

अतिजीविता विश्लेषण
लॉग-लॉजिस्टिक वितरण अतिजीविता विश्लेषण के लिए एक प्राचलिक मॉडल प्रदान करता है। अधिक सामान्यतः उपयोग किए जाने वाले वेइबुल वितरण के विपरीत, इसमें एक गैर-मोनोटोनिक हैजार्ड फलन हो सकता है: जब $$\beta>1,$$ हैजार्ड फलन एकरूपात्मक होता है (जब $$\beta$$≤ 1, हैजार्ड मोनोटोनिक रूप से कम होता है)। तथ्य यह है कि संचयी वितरण फलन को बंद रूप में लिखा जा सकता है, सेंसरिंग के साथ अतिजीविता आकड़ो के विश्लेषण के लिए विशेष रूप से उपयोगी है। लॉग-लॉजिस्टिक त्वरित विफल समय मॉडल के आधार के रूप में $$\alpha$$ को समूहों के मध्य अंतर करने की अनुमति देकर उपयोग किए जा सकते हैं, या अधिक सामान्यतः सहप्रसरण को प्रस्तुत करके जो सहप्रसरण के एक रैखिक कार्य के रूप में मॉडल $$\log(\alpha)$$ द्वारा $$\alpha$$ को प्रभावित करते हैं लेकिन $$\beta$$ को प्रभावित नहीं करते हैं।

अतिजीविता फलन है
 * $$S(t) = 1 - F(t) = [1+(t/\alpha)^{\beta}]^{-1},\, $$

और इसलिए हैजार्ड फलन है
 * $$ h(t) = \frac{f(t)}{S(t)} = \frac{(\beta/\alpha)(t/\alpha)^{\beta-1}}

{1+(t/\alpha)^\beta}.$$ आकार पैरामीटर $$\beta = 1$$ के साथ लॉग-लॉजिस्टिक वितरण एक ज्यामितीय-वितरित गणना प्रक्रिया में अंतर-समय का सीमांत वितरण है।

जलविज्ञान
लॉग-लॉजिस्टिक वितरण का उपयोग जलविज्ञान में धारा प्रवाह दर और अवक्षेपण के मॉडलिंग के लिए किया गया है।

प्रति माह या प्रति वर्ष अधिकतम एक दिन वर्षा और नदी के निर्वहन जैसे अत्यधिक मूल्य प्रायः एक लॉग-सामान्य वितरण का अनुकरण करते हैं। लॉग-सामान्य वितरण, तथापि, एक संख्यात्मक सन्निकटन की आवश्यकता है। लॉग-लॉजिस्टिक वितरण के रूप में, जिसे विश्लेषणात्मक रूप से हल किया जा सकता है, लॉग-सामान्य वितरण के समान है, इसका उपयोग इसके बदले में किया जा सकता है।

नीला चित्र अधिकतम एक दिन अक्टूबर में वर्षा के लिए लॉग-लॉजिस्टिक वितरण को उपयुक्त करने का एक उदाहरण दिखाता है और यह द्विपद वितरण के आधार पर 90% विश्वास्यता बेल्ट दिखाता है। संचयी आवृत्ति विश्लेषण के भाग के रूप में वर्षा आकड़े आलेखन स्थिति r/(n+1) द्वारा दर्शाए जाते हैं।

अर्थशास्त्र
लॉग-लॉजिस्टिक का उपयोग अर्थशास्त्र में धन या आय के वितरण के एक सरल मॉडल के रूप में किया गया है, जहां इसे फिस्क वितरण के रूप में जाना जाता है। Its Gini coefficient is $$1/\beta$$.

The Gini coefficient for a continuous probability distribution takes the form:


 * $$G = {1\over{\mu}}\int_{0}^{\infty}F(1-F)dx$$

where $$F$$ is the CDF of the distribution and $$\mu$$ is the expected value. For the log-logistic distribution, the formula for the Gini coefficient becomes:


 * $$G = {\sin(\pi/\beta) \over{\alpha\pi/\beta}} \int_{0}^{\infty}{dx\over{[1+(x/\alpha)^{-\beta}][1+(x/\alpha)^{\beta}]}}$$

Defining the substitution $$z = x/\alpha$$ leads to the simpler equation:


 * $$G = {\sin(\pi/\beta) \over{\pi/\beta}} \int_{0}^{\infty}{dz\over{(1+z^{-\beta})(1+z^{\beta})}}$$

And making the substitution $$u = 1/(1 + z^{\beta})$$ further simplifies the Gini coefficient formula to:


 * $$G = {\sin(\pi/\beta)\over{\pi}} \int_{0}^{1}u^{-1/\beta}(1-u)^{1/\beta}du$$

The integral component is equivalent to the standard beta function $$\text{B}(1-1/\beta,1+1/\beta)$$. The beta function may also be written as:


 * $$\text{B}(x,y) = {\Gamma(x)\Gamma(y)\over{\Gamma(x+y)}}$$

where $$\Gamma(\cdot)$$ is the gamma function. Using the properties of the gamma function, it can be shown that:


 * $$\text{B}(1-1/\beta,1+1/\beta) = {1\over{\beta}}\Gamma(1-1/\beta)\Gamma(1/\beta)$$

From Euler's reflection formula, the expression can be simplified further:


 * $$\text{B}(1-1/\beta,1+1/\beta) = {1\over{\beta}} {\pi\over{\sin(\pi/\beta)}}$$

Finally, we may conclude that the Gini coefficient for the log-logistic distribution $$G = 1/\beta$$.

नेटवर्किंग
लॉग-लॉजिस्टिक का उपयोग उस समय की अवधि के लिए एक मॉडल के रूप में किया गया है जब कुछ डेटा कंप्यूटर में एक सॉफ़्टवेयर उपयोगकर्ता अनुप्रयोग को छोड़ देते है और उसी अनुप्रयोग द्वारा अन्य कंप्यूटरों, अनुप्रयोगों और नेटवर्क के माध्यम से यात्रा करने और संसाधित किए जाने के बाद प्रतिक्रिया प्राप्त करते है। खंड, अधिकांश या उनमें से सभी कठिन वास्तविक समय गारंटी के बिना (उदाहरण के लिए, जब कोई अनुप्रयोग इंटरनेट से जुड़े दूरस्थ संवेदक से आने वाले डेटा को प्रदर्शित कर रहे हो)। यह लॉग-सामान्य वितरण या अन्य की तुलना में अधिक सटीक प्रायिकतात्मक मॉडल के रूप में दिखाए गए है, जब तक कि उस समय के क्रम में शासन के आकस्मिक परिवर्तन का ठीक से पता लगाया जाता है।

संबंधित वितरण

 * अगर $$ X \sim LL(\alpha,\beta)$$ तो $$ kX \sim LL(k \alpha, \beta)$$
 * अगर $$ X \sim LL(\alpha, \beta)$$ तो $$ X^k \sim LL(\alpha^k, \beta/|k|)$$
 * $$ LL(\alpha,\beta) \sim \textrm{Dagum}(1,\alpha,\beta)$$ (दागम वितरण)।
 * $$ LL(\alpha,\beta) \sim \textrm{SinghMaddala}(1,\alpha,\beta)$$ (सिंह-मददला वितरण)।
 * $$\textrm{LL}(\gamma,\sigma) \sim \beta'(1,1,\gamma,\sigma)$$ (बीटा प्राइम वितरण)।
 * यदि X के पास मापक पैरामीटर $$\alpha$$ और आकार पैरामीटर $$\beta$$ के साथ लॉग-लॉजिस्टिक वितरण है तो Y = log(X) में स्थान पैरामीटर $$\log(\alpha)$$ और मापक पैरामीटर $$1/\beta$$ के साथ लॉजिस्टिक वितरण है।
 * जैसे-जैसे लॉग-लॉजिस्टिक वितरण का आकार पैरामीटर $$\beta$$ बढ़ता है, इसका आकार तेजी से एक (बहुत संकीर्ण) लॉजिस्टिक वितरण जैसा दिखता है। अनौपचारिक रूप से:
 * $$LL(\alpha, \beta) \to L(\alpha,\alpha/\beta) \quad \text{as} \quad \beta \to \infty.$$


 * आकार पैरामीटर $$\beta=1$$ और मापक पैरामीटर $$\alpha$$ के साथ लॉग-लॉजिस्टिक वितरण स्थान पैरामीटर $$\mu=0$$, आकार पैरामीटर $$\xi=1$$ और मापक पैरामीटर $$\alpha$$ के साथ सामान्यीकृत पारेटो वितरण के समान है:
 * $$LL(\alpha,1) = GPD(1,\alpha,1).$$


 * एक अन्य पैरामीटर (एक शिफ्ट पैरामीटर) के अतिरिक्त एक स्थानांतरित लॉग-लॉजिस्टिक वितरण में औपचारिक रूप से परिणाम होता है, लेकिन इसे सामान्यतः एक अलग प्राचलीकरण में माना जाता है ताकि वितरण को ऊपर या नीचे बाध्य किया जा सके।

सामान्यीकरण
कई भिन्न वितरणों को कभी-कभी सामान्यीकृत लॉग-लॉजिस्टिक वितरण के रूप में संदर्भित किया जाता है, क्योंकि उनमें लॉग-लॉजिस्टिक एक विशेष प्रकरण के रूप में होते है। इनमें बूर प्रकार XII वितरण (सिंह-मदला वितरण के रूप में भी जाना जाता है) और डगम वितरण सम्मिलित हैं, जिनमें से दोनों में एक दूसरा पैरामीटर आकार सम्मिलित है। बदले में दोनों दूसरे प्रकार के अधिक सामान्य सामान्यीकृत बीटा वितरण के विशेष प्रकरण हैं। लॉग-लॉजिस्टिक का एक और अधिक सरल सामान्यीकरण स्थानांतरित लॉग-लॉजिस्टिक वितरण है।

एक अन्य सामान्यीकृत लॉग-लॉजिस्टिक वितरण मेटलॉग वितरण का लॉग-परिवर्तन है, जिसमें $$p$$ के संदर्भ में घात श्रेणी प्रसार को लॉजिस्टिक वितरण पैरामीटर $$\mu$$ और $$\sigma$$ के लिए प्रतिस्थापित किया जाता है। परिणामी लॉग-मेटलॉग वितरण अत्यधिक आकार का लचीला होता है, साधारण बंद फॉर्म पीडीएफ और क्वांटाइल फलन है, रैखिक कम से कम वर्गों के साथ आकड़ो के लिए अनुरूप हो सकता है, और लॉग-लॉजिस्टिक वितरण विशेष प्रकरण है।

यह भी देखें

 * प्रायिकता वितरण: अर्ध-अनंत अंतराल पर समर्थित महत्वपूर्ण वितरणों की सूची