प्रवर्तक तरंग सिद्धांत

सैद्धांतिक भौतिकी में, पायलट तरंग सिद्धांत, जिसे बोहमियन यांत्रिकी के रूप में भी जाना जाता है, एक छिपे हुए चर सिद्धांत का पहला ज्ञात उदाहरण था, जिसे 1927 में लुई डी ब्रोगली द्वारा प्रस्तुत किया गया था। इसका अधिक आधुनिक संस्करण, डी ब्रोगली-बोहम सिद्धांत, [[क्वांटम यांत्रिकी की व्याख्या]] करता है एक नियतिवादी सिद्धांत के रूप में, तरंग-कण द्वंद्व, तात्कालिक तरंग फ़ंक्शन पतन और श्रोडिंगर की बिल्ली के विरोधाभास जैसी परेशान करने वाली धारणाओं से बचना। इन समस्याओं को हल करने के लिए, सिद्धांत स्वाभाविक रूप से क्वांटम गैर-स्थानीयता है।

डी ब्रोगली-बोहम पायलट तरंग सिद्धांत क्वांटम यांत्रिकी (गैर-सापेक्षवादी) क्वांटम यांत्रिकी की कई व्याख्याओं में से एक है।

डी ब्रोगली-बोहम सिद्धांत #स्पिन के साथ सापेक्षता का विस्तार 1990 के दशक से विकसित किया गया है।

इतिहास
पायलट तरंग सिद्धांत पर लुईस डी ब्रोगली के शुरुआती परिणाम उनकी थीसिस (1924) में परमाणु कक्षाओं के संदर्भ में प्रस्तुत किए गए थे जहां तरंगें स्थिर हैं। सापेक्षतावादी तरंग समीकरण के संदर्भ में इन मार्गदर्शक तरंगों की गतिशीलता के लिए एक सामान्य सूत्रीकरण विकसित करने के शुरुआती प्रयास तब तक असफल रहे जब तक कि 1926 में इरविन श्रोडिंगर|श्रोडिंगर ने अपना श्रोडिंगर समीकरण|गैर-सापेक्षतावादी तरंग समीकरण विकसित नहीं कर लिया। उन्होंने आगे सुझाव दिया कि चूंकि समीकरण विन्यास स्थान में तरंगों का वर्णन करता है, इसलिए कण मॉडल को छोड़ दिया जाना चाहिए। उसके बाद शीघ्र ही, मैक्स बोर्न ने सुझाव दिया कि श्रोडिंगर के तरंग समीकरण का तरंग फ़ंक्शन एक कण को ​​खोजने की संभावना घनत्व का प्रतिनिधित्व करता है। इन परिणामों के बाद, डी ब्रोगली ने अपने पायलट तरंग सिद्धांत के लिए गतिशील समीकरण विकसित किए। प्रारंभ में, डी ब्रोगली ने एक दोहरे समाधान दृष्टिकोण का प्रस्ताव रखा, जिसमें क्वांटम वस्तु में वास्तविक अंतरिक्ष में एक भौतिक तरंग (यू-वेव) होती है जिसमें एक गोलाकार एकवचन क्षेत्र होता है जो कण-समान व्यवहार को जन्म देता है; अपने सिद्धांत के इस प्रारंभिक रूप में उन्हें क्वांटम कण के अस्तित्व की परिकल्पना नहीं करनी पड़ी। बाद में उन्होंने इसे एक सिद्धांत के रूप में तैयार किया जिसमें एक कण के साथ एक पायलट तरंग होती है।

डी ब्रोगली ने 1927 के सोल्वे सम्मेलन में पायलट तरंग सिद्धांत प्रस्तुत किया। हालाँकि, वोल्फगैंग पाउली ने सम्मेलन में इस पर आपत्ति जताते हुए कहा कि यह बेलोचदार बिखराव के मामले से ठीक से नहीं निपटता है। डी ब्रोगली को इस आपत्ति का कोई जवाब नहीं मिला और उन्होंने पायलट-वेव दृष्टिकोण को त्याग दिया। वर्षों बाद डेविड बोहम के विपरीत, डी ब्रोगली ने कई-कण मामले को शामिल करने के लिए अपने सिद्धांत को पूरा नहीं किया। कई-कण का मामला गणितीय रूप से दर्शाता है कि अकुशल प्रकीर्णन में ऊर्जा अपव्यय को छिपे हुए चर के सिद्धांत के एक अभी तक अज्ञात तंत्र द्वारा आसपास के क्षेत्र संरचना में वितरित किया जा सकता है।

1932 में, जॉन वॉन न्यूमैन ने एक पुस्तक प्रकाशित की, जिसके एक भाग में यह साबित करने का दावा किया गया कि सभी छिपे हुए चर सिद्धांत असंभव थे। इस परिणाम को तीन साल बाद ग्रेटे हरमन द्वारा त्रुटिपूर्ण पाया गया, हालांकि पचास वर्षों से अधिक समय तक भौतिकी समुदाय द्वारा इस पर ध्यान नहीं दिया गया।

1952 में, प्रचलित रूढ़िवाद से असंतुष्ट डेविड बोहम ने डी ब्रोगली के पायलट वेव सिद्धांत को फिर से खोजा। बोहम ने पायलट तरंग सिद्धांत को विकसित किया जिसे अब डी ब्रोगली-बोहम सिद्धांत कहा जाता है। डी ब्रोगली-बोहम सिद्धांत स्वयं अधिकांश भौतिकविदों द्वारा ध्यान नहीं दिया गया होता, यदि जॉन स्टीवर्ट बेल ने इसका समर्थन नहीं किया होता, जिन्होंने इस पर आपत्तियों का भी प्रतिकार किया होता। 1987 में, जॉन बेल ने ग्रेटे हरमन के काम को फिर से खोजा, और इस प्रकार भौतिकी समुदाय को दिखाया गया कि पाउली और वॉन न्यूमैन की आपत्तियों से केवल यह पता चला कि पायलट तरंग सिद्धांत में स्थानीयता का सिद्धांत नहीं था।

यवेस कूडर और सहकर्मियों ने 2010 में चलने वाली बूंदों के रूप में एक मैक्रोस्कोपिक पायलट तरंग प्रणाली की सूचना दी। कहा जाता है कि यह प्रणाली एक पायलट तरंग के व्यवहार को प्रदर्शित करती है, जिसे अब तक सूक्ष्म घटनाओं के लिए आरक्षित माना जाता था। हालाँकि, बोह्र परिवार (नील्स बोह्र के पोते) के नेतृत्व में दो अमेरिकी समूहों और एक डेनिश टीम द्वारा 2015 से अधिक सावधानीपूर्वक द्रव गतिशीलता प्रयोग किए गए हैं। इन नए प्रयोगों ने 2018 तक 2010 के प्रयोग के परिणामों को दोहराया नहीं है।

सिद्धांत
पायलट तरंग सिद्धांत एक छिपा हुआ-परिवर्तनीय सिद्धांत है। फलस्वरूप:
 * सिद्धांत में यथार्थवाद है (जिसका अर्थ है कि इसकी अवधारणाएं पर्यवेक्षक से स्वतंत्र रूप से मौजूद हैं);
 * सिद्धांत में नियतिवाद है।

कणों की स्थिति को छिपे हुए चर माना जाता है। प्रेक्षक को इन चरों का सटीक मान नहीं पता होता है; वे उन्हें सटीक रूप से नहीं जान सकते क्योंकि कोई भी माप उन्हें परेशान करता है। दूसरी ओर, पर्यवेक्षक को उनके अपने परमाणुओं के तरंग कार्य से नहीं बल्कि परमाणुओं की स्थिति से परिभाषित किया जाता है। तो कोई अपने चारों ओर जो देखता है वह भी आस-पास की चीज़ों की स्थिति है, न कि उनकी तरंग क्रियाएँ।

कणों के संग्रह में एक संबद्ध पदार्थ तरंग होती है जो श्रोडिंगर समीकरण के अनुसार विकसित होती है। प्रत्येक कण एक नियतात्मक प्रक्षेपवक्र का अनुसरण करता है, जो तरंग फ़ंक्शन द्वारा निर्देशित होता है; सामूहिक रूप से, कणों का घनत्व तरंग फ़ंक्शन के परिमाण के अनुरूप होता है। तरंग फ़ंक्शन कण से प्रभावित नहीं होता है और #खाली तरंग फ़ंक्शन के रूप में भी मौजूद हो सकता है। सिद्धांत क्वांटम गैर-स्थानीयता को प्रकाश में लाता है जो क्वांटम यांत्रिकी के गैर-सापेक्षवादी सूत्रीकरण में निहित है और बेल के प्रमेय को संतुष्ट करने के लिए इसका उपयोग करता है। इन गैर-स्थानीय प्रभावों को नो-कम्युनिकेशन प्रमेय के साथ संगत दिखाया जा सकता है, जो प्रकाश से भी तेज़ संचार के लिए उनके उपयोग को रोकता है, और इसलिए अनुभवजन्य रूप से सापेक्षता के साथ संगत है।

मैक्रोस्कोपिक एनालॉग
कूडर, फोर्ट, एट अल। दिखाया है कंपनशील द्रव स्नान पर स्थूल तेल की बूंदों का उपयोग पायलट तरंगों के एनालॉग मॉडल के रूप में किया जा सकता है; एक स्थानीयकृत बूंद अपने चारों ओर एक आवधिक तरंग क्षेत्र बनाती है। बूंद और उसके स्वयं के तरंग क्षेत्र के बीच गुंजयमान संपर्क क्वांटम कणों के अनुरूप व्यवहार प्रदर्शित करता है: डबल-स्लिट प्रयोग में हस्तक्षेप, अप्रत्याशित सुरंग खोदना (जटिल तरीके से क्षेत्र की व्यावहारिक रूप से छिपी स्थिति पर निर्भर करता है), कक्षा परिमाणीकरण (कि एक कण को ​​उसके द्वारा उत्पन्न क्षेत्र गड़बड़ी के साथ 'प्रतिध्वनि ढूंढनी होती है' - एक कक्षा के बाद, उसके आंतरिक चरण को प्रारंभिक स्थिति में वापस आना होता है) और ज़ीमन प्रभाव। अन्य सिंगल और डबल स्लिट प्रयोग दिखाया गया है कि पायलट तरंग के विवर्तन या हस्तक्षेप के बजाय दीवार-बूंद की बातचीत देखी गई हाइड्रोडायनामिक पैटर्न के लिए जिम्मेदार हो सकती है, जो क्वांटम कणों द्वारा प्रदर्शित स्लिट-प्रेरित हस्तक्षेप पैटर्न से भिन्न हैं।

गणितीय आधार
एक इलेक्ट्रॉन के लिए डी ब्रोगली-बोहम पायलट-वेव प्राप्त करने के लिए, क्वांटम लैग्रेंजियन यांत्रिकी


 * $$L(t)={\frac{1}{2}}mv^2-(V+Q),$$

कहाँ $$V$$ संभावित ऊर्जा है, $$v$$ वेग है और $$Q$$ क्वांटम बल (तरंग फ़ंक्शन द्वारा धकेले जा रहे कण) से जुड़ी क्षमता है, जो ठीक एक पथ (जिसका इलेक्ट्रॉन वास्तव में अनुसरण करता है) के साथ एकीकृत होता है। इससे बोहम प्रचारक के लिए निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होता है:


 * $$K^Q(X_1, t_1; X_0, t_0) = \frac{1}{J(t)^ {\frac{1}{2}} } \exp\left[\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^{t_1}L(t)\,dt\right].$$

यह प्रचारक क्वांटम क्षमता के प्रभाव में समय के साथ इलेक्ट्रॉन को सटीक रूप से ट्रैक करने की अनुमति देता है $$Q$$.

श्रोडिंगर समीकरण की व्युत्पत्ति
पायलट तरंग सिद्धांत हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण पर आधारित है|हैमिल्टन-जैकोबी गतिकी, लैग्रेंजियन यांत्रिकी या हैमिल्टनियन गतिशीलता के बजाय। हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण का उपयोग करना


 * $$ H\left(\,\vec{x}\,, \;\vec{\nabla}_{\!x}\, S\,, \;t \,\right) + {\partial S \over \partial t}\left(\,\vec{x},\, t\,\right) = 0$$

श्रोडिंगर समीकरण प्राप्त करना संभव है:

एक शास्त्रीय कण पर विचार करें - जिसकी स्थिति निश्चित रूप से ज्ञात नहीं है। हमें इससे सांख्यिकीय रूप से निपटना चाहिए, इसलिए केवल संभाव्यता घनत्व $$\rho (\vec{x},t)$$ ज्ञात है। संभाव्यता को संरक्षित किया जाना चाहिए, अर्थात $$\int\rho\,\mathrm{d}^3\vec{x} = 1$$ प्रत्येक के लिए $$t$$. इसलिए, इसे निरंतरता समीकरण को संतुष्ट करना होगा


 * $$\frac{\, \partial \rho \,}{ \partial t } = - \vec{\nabla} \cdot (\rho \,\vec{v} ) \qquad\qquad (1)$$

कहाँ $$\,\vec{v}(\vec{x},t)\,$$ कण का वेग है.

शास्त्रीय यांत्रिकी के हैमिल्टन-जैकोबी सूत्रीकरण में, वेग किसके द्वारा दिया जाता है $$\; \vec{v}(\vec{x},t) = \frac{1}{\,m\,} \, \vec{\nabla}_{\!x} S(\vec{x},\,t) \;$$ कहाँ $$\, S(\vec{x},t) \,$$ हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण का एक समाधान है


 * $$- \frac{\partial S}{\partial t} = \frac{\;\left|\,\nabla S\,\right|^2\,}{2m} + \tilde{V} \qquad\qquad (2)$$

$$\,(1)\,$$ और $$\,(2)\,$$ जटिल फ़ंक्शन को प्रस्तुत करके एकल जटिल समीकरण में जोड़ा जा सकता है $$\; \psi = \sqrt{\rho\,} \, e^\frac{\,i\,S\,}{\hbar} \;,$$ तो दोनों समीकरण समतुल्य हैं


 * $$i\, \hbar\, \frac{\,\partial \psi\,}{\partial t} = \left( - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 +\tilde{V} - Q \right)\psi \quad$$

साथ
 * $$ \; Q = - \frac{\;\hbar^2\,}{\,2m\,} \frac{\nabla^2 \sqrt{\rho\,}}{\sqrt{\rho\,}}~.$$

यदि हम शुरुआत करें तो समय-निर्भर श्रोडिंगर समीकरण प्राप्त होता है $$\;\tilde{V} = V + Q \;,$$ अतिरिक्त क्वांटम क्षमता के साथ सामान्य क्षमता $$Q$$. क्वांटम क्षमता क्वांटम बल की क्षमता है, जो तरंग फ़ंक्शन के आयाम के एक फ़ंक्शन के वक्रता # ग्राफ़ के लिए आनुपातिक (अनुमान में) है।

ध्यान दें कि यह क्षमता वही है जो मैडेलुंग समीकरण में दिखाई देती है, जो श्रोडिंगर समीकरण का एक शास्त्रीय एनालॉग है।

एकल कण के लिए गणितीय सूत्रीकरण
डी ब्रोगली की पदार्थ तरंग का वर्णन समय-निर्भर श्रोडिंगर समीकरण द्वारा किया गया है:


 * $$ i\, \hbar\, \frac{\,\partial \psi\,}{\partial t} = \left( - \frac{\hbar^2}{\,2m\,} \nabla^2 + V \right)\psi \quad$$

जटिल तरंग फ़ंक्शन को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

$$\psi = \sqrt{\rho\,} \; \exp \left( \frac{i \, S}{\hbar} \right) ~$$ इसे श्रोडिंगर समीकरण में जोड़कर, कोई वास्तविक चर के लिए दो नए समीकरण प्राप्त कर सकता है। पहला क्वांटम यांत्रिकी के लिए संभाव्यता धारा#निरंतरता समीकरण है $$\,\rho\,:$$


 * $$\frac{\, \partial \rho \,}{\, \partial t \,} + \vec{\nabla} \cdot \left( \rho\, \vec{v} \right) = 0 ~ ,$$

जहां वेग क्षेत्र "मार्गदर्शन समीकरण" द्वारा निर्धारित किया जाता है


 * $$\vec{v}\left(\,\vec{r},\,t\,\right) = \frac{1}{\,m\,} \, \vec{\nabla} S\left(\, \vec{r},\, t \,\right) ~ .$$

पायलट तरंग सिद्धांत के अनुसार, बिंदु कण और पदार्थ तरंग दोनों वास्तविक और विशिष्ट भौतिक संस्थाएं हैं (मानक क्वांटम यांत्रिकी के विपरीत, जहां कणों और तरंगों को एक ही इकाई माना जाता है, जो तरंग-कण द्वैत से जुड़े होते हैं)। पायलट तरंग मार्गदर्शन समीकरण द्वारा वर्णित बिंदु कणों की गति का मार्गदर्शन करती है।

साधारण क्वांटम यांत्रिकी और पायलट तरंग सिद्धांत समान आंशिक अंतर समीकरण पर आधारित हैं। मुख्य अंतर यह है कि सामान्य क्वांटम यांत्रिकी में, श्रोडिंगर समीकरण बोर्न पोस्टुलेट द्वारा वास्तविकता से जुड़ा होता है, जिसमें कहा गया है कि कण की स्थिति की संभाव्यता घनत्व द्वारा दी गई है $$\; \rho = |\psi|^2 ~ .$$ पायलट तरंग सिद्धांत मार्गदर्शन समीकरण को मौलिक कानून मानता है, और बोर्न नियम को एक व्युत्पन्न अवधारणा के रूप में देखता है।

दूसरा समीकरण क्रिया के लिए संशोधित हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण है $S$:


 * $$- \frac{\partial S}{\partial t} = \frac{\;\left|\, \vec{\nabla} S \,\right|^2\,}{\,2m\,} + V + Q ~ ,$$

कहाँ $Q$ द्वारा परिभाषित क्वांटम क्षमता है


 * $$ Q = - \frac{\hbar^2}{\,2m\,} \frac{\nabla^2 \sqrt{\rho \,} }{\sqrt{ \rho \,} } ~.$$

यदि हम उपेक्षा करना चुनते हैं $Q$, हमारा समीकरण एक शास्त्रीय बिंदु कण के हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण में कम हो गया है। तो, क्वांटम क्षमता क्वांटम यांत्रिकी के सभी रहस्यमय प्रभावों के लिए जिम्मेदार है।

गति का अर्ध-न्यूटोनियन समीकरण प्राप्त करने के लिए संशोधित हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण को मार्गदर्शन समीकरण के साथ भी जोड़ा जा सकता है


 * $$m \, \frac{d}{dt} \, \vec{v} = - \vec{\nabla}( V + Q ) ~ ,$$

जहां हाइड्रोडायनामिक समय व्युत्पन्न को परिभाषित किया गया है


 * $$\frac{d}{dt} = \frac{ \partial }{\, \partial t \,} + \vec{v} \cdot \vec{\nabla} ~ .$$

एकाधिक कणों के लिए गणितीय सूत्रीकरण
अनेक-निकाय तरंग फ़ंक्शन के लिए श्रोडिंगर समीकरण $$ \psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \cdots, t) $$ द्वारा दिया गया है


 * $$ i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} =\left( -\frac{\hbar^2}{2} \sum_{i=1}^{N} \frac{\nabla_i^2}{m_i} + V(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\cdots\mathbf{r}_N) \right) \psi $$

जटिल तरंग फ़ंक्शन को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:


 * $$\psi = \sqrt{\rho\,} \; \exp \left( \frac{i \, S}{\hbar} \right) $$

पायलट तरंग कणों की गति का मार्गदर्शन करती है। जेवें कण के लिए मार्गदर्शन समीकरण है:


 * $$ \vec{v}_j = \frac{\nabla_j S}{m_j}\; .$$

जेवें कण का वेग स्पष्ट रूप से अन्य कणों की स्थिति पर निर्भर करता है। इसका मतलब यह है कि सिद्धांत गैर-स्थानीय है।

खाली तरंग फ़ंक्शन
लुसिएन हार्डी और जॉन स्टीवर्ट बेल इस बात पर जोर दिया गया है कि क्वांटम यांत्रिकी के डी ब्रोगली-बोहम चित्र में खाली तरंगें मौजूद हो सकती हैं, जो अंतरिक्ष और समय में फैलने वाले तरंग कार्यों द्वारा दर्शायी जाती हैं, लेकिन ऊर्जा या गति नहीं ले जाती हैं, और किसी कण से संबद्ध नहीं है। इसी अवधारणा को अल्बर्ट आइंस्टीन ने भूत तरंगें (या गेस्पेंस्टरफेल्डर, भूत क्षेत्र) कहा था। खाली तरंग फ़ंक्शन धारणा पर विवादास्पद रूप से चर्चा की गई है।  इसके विपरीत, क्वांटम यांत्रिकी की कई-दुनिया की व्याख्या खाली तरंग कार्यों की मांग नहीं करती है।

यह भी देखें

 * हाइड्रोडायनामिक क्वांटम एनालॉग्स
 * क्वांटम क्षमता

बाहरी संबंध

 * "Pilot waves, Bohmian metaphysics, and the foundations of quantum mechanics", lecture course on pilot wave theory by Mike Towler, Cambridge University (2009).
 * Klaus von Bloh’s Bohmian mechanics demonstrations in: Wolfram Demonstrations Project
 * Klaus von Bloh’s Bohmian mechanics demonstrations in: Wolfram Demonstrations Project