अभ्यावेदन का टेंसर उत्पाद

गणित में, अभ्यावेदन का टेन्सर प्रतिनिधित्व,   पर कारक-वार समूह कार्रवाई के साथ अंतर्निहित अभ्यावेदन के वेक्टर स्थानों का टेन्सर प्रतिनिधित्व होता  है। यदि कोई पहले से ही कुछ जानता है तो यह इस निर्माण का उपयोग क्लेबश-गॉर्डन प्रक्रिया के साथ मिलकर अतिरिक्त अपरिवर्तनीय अघुलनशील प्रतिनिधित्व उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है।

समूह प्रतिनिधित्व
अगर $$V_1, V_2$$ समूह $$G$$, का रैखिक प्रतिनिधित्व हैं तो उनका टेन्सर  प्रतिनिधित्व  वेक्टर रिक्त स्थान $$V_1 \otimes V_2$$ का टेन्सर  प्रतिनिधित्व  है   जिसमें $$G$$ की रैखिक क्रिया विशिष्ट रूप से इस शर्त से निर्धारित होती है कि
 * $$g \cdot (v_1 \otimes v_2) = (g\cdot v_1) \otimes (g\cdot v_2)$$

सभी के लिए $$v_1\in V_1$$ और $$v_2\in V_2$$. चूँकि $$V_1\otimes V_2$$ इसका हर तत्व नहीं  रूप में अभिव्यक्त होता है,  प्रतिनिधित्व  टेन्सर   प्रतिनिधित्व  संचालन की सार्वभौमिक  संपत्ति गारंटी देती है कि यह $$v_1\otimes v_2$$ क्रिया पूर्ण रूप से परिभाषित किया जाता  है।

समरूपता की भाषा में, यदि $$G$$ की क्रियाएँ पर $$V_1$$ और $$V_2$$ समरूपता द्वारा दिए गए हैं $$\Pi_1:G\rightarrow\operatorname{GL}(V_1)$$ और $$\Pi_2:G\rightarrow\operatorname{GL}(V_2)$$, तो टेन्सर  प्रतिनिधित्व  प्रतिनिधित्व समरूपता द्वारा दिया जाता है $$\Pi_1\otimes\Pi_2:G\rightarrow\operatorname{GL}(V_1\otimes V_2)$$ द्वारा दिए गए

समरूपता की भाषा में, यदि $$G$$ और $$V_1$$ पर $$V_2$$ की क्रियाएं समरूपता $$\Pi_1:G\rightarrow\operatorname{GL}(V_1)$$ और $$\Pi_2:G\rightarrow\operatorname{GL}(V_2)$$ द्वारा दी जाती हैं तो $$\Pi_2:G\rightarrow\operatorname{GL}(V_2)$$ टेंसर उत्पाद प्रतिनिधित्व समरूपता द्वारा दिया जाता है
 * $$\Pi_1\otimes\Pi_2(g)=\Pi_1(g)\otimes\Pi_2(g)$$,

जहाँ $$\Pi_1(g)\otimes\Pi_2(g)$$ रैखिक मानचित्रों का टेन्सर प्रतिनिधित्व या टेन्सर प्रतिनिधित्व  है।

कोई भी टेन्सर प्रतिनिधित्व की धारणा को किसी भी सीमित संख्या में प्रतिनिधित्व तक बढ़ा सकता है। यदि V समूह G का रैखिक प्रतिनिधित्व है, तो उपरोक्त रैखिक क्रिया के साथ, टेन्सर  बीजगणित $$T(V)$$ G का बीजगणितीय निरूपण है; अर्थात, G का प्रत्येक तत्व बीजगणित ऑटोमोर्फिज्म के रूप में कार्य करता है।

बीजगणित निरूपण असत्य
अगर $$(V_1,\pi_1)$$ और $$(V_2,\pi_2)$$ लाई बीजगणित का प्रतिनिधित्व हैं  तो इन अभ्यावेदन का टेन्सर  प्रतिनिधित्व $$\mathfrak g$$, मानचित्र है $$\pi_1\otimes\pi_2:\mathfrak g\rightarrow\operatorname{End}(V_1\otimes V_2)$$ द्वारा दिए गए
 * $$\pi_1\otimes\pi_2(X)=\pi_1(X)\otimes I+I\otimes\pi_2(X)$$,

जहाँ $$I$$ पहचान फलन एंडोमोर्फिज्म है। इसे क्रोनकर योग कहा जाता है, जिसे मैट्रिक्स जोड़#क्रोनेकर_सम और क्रोनकर प्रतिनिधित्व # गुण में परिभाषित किया गया है।

इस प्रकार से यह परिभाषा में क्रोनकर योग $$\pi_1$$ के उपयोग की प्रेरणा उस स्तिथि से आती है  और $$\pi_2$$ अभ्यावेदन से आते हैं $$\Pi_1$$ और $$\Pi_2$$ असत्य  समूह का $$G$$. उस स्तिथि में, साधारण गणना से पता चलता है कि असत्य बीजगणित प्रतिनिधित्व से जुड़ा हुआ है $$\Pi_1\otimes\Pi_2$$ पूर्ववर्ती सूत्र द्वारा दिया गया है।

रेखीय मानचित्रों पर कार्रवाई
अगर $$(V_1,\Pi_1)$$ और $$(V_2,\Pi_2)$$ समूह $$G$$, का प्रतिनिधित्व हैं होने देना $$\operatorname{Hom}(V_1,V_2)$$ से सभी रैखिक मानचित्रों के स्थान को निरूपित करें $$V_1$$ को $$V_2$$. तब $$\operatorname{Hom}(V_1,V_2)$$ परिभाषित करके प्रतिनिधित्व की संरचना दी जा सकती है
 * $$g\cdot A=\Pi_2(g)A\Pi_1(g)^{-1}$$

सभी के लिए $$A\in\operatorname{Hom}(V,W)$$. अब, टेन्सर प्रतिनिधित्व #टेन्सर  प्रतिनिधित्व  बनाम होम है
 * $$\operatorname{Hom}(V, W)\cong V^* \otimes W$$

वेक्टर रिक्त स्थान के रूप में; यह सदिश समष्टि समरूपता वास्तव में अभ्यावेदन की समरूपता है।

क्रियागत उपप्रतिनिधित्व  समतुल्य $$\operatorname{Hom}(V, W)^G$$ मानचित्र से युक्त जी-रेखीय मानचित्र; अर्थात।,
 * $$\operatorname{Hom}_G(V, W) = \operatorname{Hom}(V, W)^G.$$

होने देना $$E = \operatorname{End}(V)$$ V के एंडोमोर्फिज्म बीजगणित को निरूपित करें और A को उपबीजगणित को निरूपित करने दें सममित टेन्सर $$E^{\otimes m}$$ से  मिलकर। अपरिवर्तनीय सिद्धांत का मुख्य प्रमेय बताता है कि आधार क्षेत्र की विशेषता शून्य होने पर A अर्धसरल बीजगणित है।

सामान्य समस्या
दो अघुलनशील अभ्यावेदन का टेन्सर प्रतिनिधित्व  $$V_1,V_2$$ किसी समूह या असत्य  बीजगणित का सामान्तः   अप्रासंगिक नहीं होता है। इसलिए इसे विघटित करने का प्रयास करना रुचिकर है $$V_1\otimes V_2$$ अपरिवर्तनीय टुकड़ों में. इस अपघटन समस्या को क्लेबश-गॉर्डन समस्या के रूप में जाना जाता है।

एसयू(2) स्तिथि
इस समस्या का क्लेबश-गॉर्डन गुणांक रोटेशन समूह SO(3)-या इसके दोहरे आवरण, विशेष एकात्मक समूह या समूह SU(2)|विशेष एकात्मक समूह SU(2) का स्तिथि  है।  के अघुलनशील प्रतिनिधित्व को पैरामीटर  $$\ell$$,  द्वारा वर्णित किया गया है जिसके संभावित मान हैं
 * $$\ell=0, 1/2, 1, 3/2, \ldots.$$

(प्रतिनिधित्व का आयाम तब है $$2\ell+1$$.) आइए दो पैरामीटर लें $$\ell$$ और $$m$$ साथ $$\ell\geq m$$. फिर टेन्सर प्रतिनिधित्व  प्रतिनिधित्व $$V_\ell\otimes V_m$$ फिर इस प्रकार विघटित होता है:
 * $$V_\ell\otimes V_m\cong V_{\ell+m}\oplus V_{\ell+m-1}\oplus\cdots\oplus V_{\ell-m+1}\oplus V_{\ell-m}.$$

इस प्रकार से उदाहरण के तौर पर, चार-आयामी प्रतिनिधित्व $$V_{3/2}$$ के टेन्सर प्रतिनिधित्व  पर विचार करें  और त्रि-आयामी प्रतिनिधित्व $$V_1$$. टेन्सर प्रतिनिधित्व  प्रतिनिधित्व $$V_{3/2}\otimes V_1$$ इसका आयाम 12 है और यह विघटित हो जाता है
 * $$V_{3/2}\otimes V_1\cong V_{5/2}\oplus V_{3/2}\oplus V_{1/2}$$,

जहां दाहिनी ओर के अभ्यावेदन का आयाम क्रमशः 6, 4, और 2 है। हम इस परिणाम को अंकगणितीय रूप से संक्षेप में प्रस्तुत कर सकते हैं $$4\times 3= 6+4+2$$.

एसयू(3) स्तिथि
समूह एसयू(3) के स्तिथि में, सभी असत्य बीजगणित प्रतिनिधित्व  का स्तिथि   मानक 3-आयामी प्रतिनिधित्व और इसके दोहरे से निम्नानुसार उत्पन्न किया जा सकता है। लेबल  $$(m_1,m_2)$$के साथ प्रतिनिधित्व उत्पन्न करने के लिए, कोई टेन्सर  प्रतिनिधित्व  लेता है  मानक प्रतिनिधित्व की प्रतियां $$m_1$$और $$m_2$$ मानक प्रतिनिधित्व के दोहरे की प्रतियां, और फिर उच्चतम वजन वाले वैक्टर के टेन्सर  प्रतिनिधित्व  द्वारा उत्पन्न अपरिवर्तनीय उप-स्थान लेता है।

एसयू(2) के लिए स्थिति $$U\otimes V$$ के विपरीत, एसयू(3) के लिए क्लेबश-गॉर्डन अपघटन में, दिया गया अघुलनशील प्रतिनिधित्व $$W$$ के विघटन में से अधिक बार हो सकता है.

टेन्सर शक्ति
इस प्रकार से वेक्टर रिक्त स्थान की तरह, कोई इसे परिभाषित कर सकता है kप्रतिनिधित्व की टेन्सर शक्ति V सदिश समष्टि होना $V^{\otimes k}$ ऊपर दी गई कार्रवाई के साथ.

सममित और प्रत्यावर्ती वर्ग
विशेषता शून्य के क्षेत्र में, सममित और वैकल्पिक वर्ग दूसरी टेन्सर शक्ति के उप-प्रतिनिधित्व हैं। उनका उपयोग फ्रोबेनियस-शूर संकेतक को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है, जो इंगित करता है कि क्या दिया गया अपरिवर्तनीय चरित्र वास्तविक प्रतिनिधित्व, जटिल प्रतिनिधित्व, या क्वाटरनियोनिक प्रतिनिधित्व है। वे मैं काम कर रहा हूं के उदाहरण हैं।

इन्हें इस प्रकार परिभाषित किया गया है।

होने देना V सदिश समष्टि हो. एंडोमोर्फिज्म को परिभाषित करें (स्व-मानचित्र) T का $$V\otimes V$$ निम्नलिखित नुसार:

\begin{align} T:V\otimes V &\longrightarrow V\otimes V \\ v\otimes w &\longmapsto w\otimes v. \end{align} $$ यह इनवोलुशन (गणित) है (यह अपना स्वयं का उलटा है), और इसी तरह स्वचालितता (स्वयं- समाकृतिकता ) है $$V\otimes V$$.

की दूसरी टेन्सर शक्ति के दो उपसमुच्चय परिभाषित करें V,

\begin{align} \operatorname{Sym}^2(V) &:= \{v\in V\otimes V\mid T(v)=v \} \\ \operatorname{Alt}^2(V) &:= \{v\in V\otimes V\mid T(v)=-v \} \end{align} $$ ये के सममित वर्ग हैं V, $$V\odot V $$, और का वैकल्पिक वर्ग V, $$V\wedge V $$, क्रमश। सममित और प्रत्यावर्ती वर्गों को टेन्सर प्रतिनिधित्व  के सममित भाग और एंटीसिमेट्रिक भाग के रूप में भी जाना जाता है।

गुण
एक रैखिक प्रतिनिधित्व की दूसरी टेन्सर शक्ति V समूह का G सममित और वैकल्पिक वर्गों के प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित होता है:


 * $$V^{\otimes 2}=V\otimes V \cong \operatorname{Sym}^2(V) \oplus \operatorname{Alt}^2(V)$$

अभ्यावेदन के रूप में। विशेष रूप से, दोनों दूसरी टेन्सर शक्ति का उपप्रस्तुतिकरण हैं। समूह रिंग के ऊपर मॉड्यूल (गणित) की भाषा में, सममित और वैकल्पिक वर्ग हैं $$\mathbb{C}[G]$$-के उपमॉड्यूल $$V\otimes V$$.

अगर V का आधार है $$\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$$, तो सममित वर्ग का आधार होता है $$\{v_i\otimes v_j+v_j\otimes v_i\mid 1\leq i\leq j\leq n\}$$ और प्रत्यावर्ती वर्ग का आधार होता है $$\{v_i\otimes v_j-v_j\otimes v_i\mid 1\leq i<j\leq n\}$$. इसलिए,



\begin{align} \dim\operatorname{Sym}^2(V) &= \frac{\dim V(\dim V + 1)}{2}, \\ \dim\operatorname{Alt}^2(V) &= \frac{\dim V(\dim V - 1)}{2}. \end{align} $$

होने देना $$\chi:G\to\mathbb{C}$$ का चरित्र (प्रतिनिधित्व सिद्धांत) हो $$V$$. फिर हम सममित और वैकल्पिक वर्गों के वर्णों की गणना इस प्रकार कर सकते हैं: सभी के लिए g में G,

\begin{align} \chi_{\operatorname{Sym}^2(V)}(g) &= \frac{1}{2}(\chi(g)^2+\chi(g^2)), \\ \chi_{\operatorname{Alt}^2(V)}(g) &= \frac{1}{2}(\chi(g)^2-\chi(g^2)). \end{align} $$

सममित और बाह्य शक्तियां
बहुरेखीय बीजगणित की तरह, विशेषता शून्य के क्षेत्र पर, कोई अधिक सामान्यतः परिभाषित कर सकता है kवेंसममित शक्ति $$\operatorname{Sym}^n(V)$$ और kवेंबाहरी शक्ति $$\Lambda^n(V)$$, जो के उपस्थान हैं kवें टेन्सर पावर (इस निर्माण पर अधिक विवरण के लिए उन पृष्ठों को देखें)। वे भी उप-प्रतिनिधित्व हैं, लेकिन उच्च टेन्सर  शक्तियां अब उनके प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित नहीं होती हैं।

शूर-वेइल द्वंद्व सामान्य रैखिक समूह के अभ्यावेदन की टेन्सर शक्तियों में होने वाले अघुलनशील अभ्यावेदन की गणना करता है $$G = \operatorname{GL}(V)$$. सटीक रूप से, के रूप में $$S_n \times G$$-मापांक
 * $$V^{\otimes n} \simeq \bigoplus_\lambda M_{\lambda} \otimes S^{\lambda}(V)$$

कहाँ
 * $$M_{\lambda}$$ सममित समूह का अघुलनशील प्रतिनिधित्व है $$S_n$$ विभाजन के अनुरूप $$\lambda$$ n का (घटते क्रम में),
 * $$S^{\lambda}(V)$$ युवा सममिति की छवि है $$c_{\lambda}: V^{\otimes n} \to V^{\otimes n}$$.

मानचित्रण $$V \mapsto S^{\lambda}(V)$$ फ़नकार है जिसे शूर फ़नक्टर कहा जाता है। यह सममित और बाहरी शक्तियों के निर्माण का सामान्यीकरण करता है:
 * $$S^{(n)}(V) = \operatorname{Sym}^n V, \,\, S^{(1, 1, \dots, 1)}(V) = \wedge^n V.$$

विशेष रूप से, जी-मॉड्यूल के रूप में, उपरोक्त इसे सरल बनाता है
 * $$V^{\otimes n} \simeq \bigoplus_{\lambda} S^{\lambda}(V)^{\oplus m_{\lambda}}$$

जहाँ $$m_\lambda = \dim M_\lambda$$. इसके अलावा, बहुलता $$m_{\lambda}$$ फ्रोबेनियस सूत्र (या हुक लंबाई सूत्र) द्वारा गणना की जा सकती है। उदाहरण के लिए, लीजिए $$n = 3$$. फिर वास्तव में तीन विभाजन हैं: $$3 = 3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1$$ और, जैसा कि यह पता चला, $$m_{(3)} = m_{(1, 1, 1)} = 1, \, m_{(2, 1)} = 2$$. इस तरह,
 * $$V^{\otimes 3} \simeq \operatorname{Sym}^3 V \bigoplus \wedge^3 V \bigoplus S^{(2, 1)}(V)^{\oplus 2}.$$

शूर फ़ैक्टर्स से जुड़े टेन्सर प्रतिनिधित्व
होने देना $$S^{\lambda}$$ विभाजन के अनुसार परिभाषित शूर फ़ैक्टर को निरूपित करें $$\lambda$$. फिर निम्नलिखित अपघटन होता है:
 * $$S^{\lambda} V \otimes S^{\mu} V \simeq \bigoplus_{\nu} (S^{\nu} V)^{\oplus N_{\lambda \mu \nu}}$$

जहां बहुलता है $$N_{\lambda \mu \nu}$$ लिटिलवुड-रिचर्डसन नियम द्वारा दिए गए हैं।

परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान V, W, शूर फ़ैक्टर्स S दिए गए हैंλविघटन दीजिए
 * $$\operatorname{Sym}(W^* \otimes V) \simeq \bigoplus_{\lambda} S^{\lambda}(W^*) \otimes S^{\lambda}(V)$$

बाईं ओर की पहचान बहुपद फलनों के वलय से की जा सकती है|अंगूठी k[Hom(V, W)] = k[V * ⊗ W] Hom(V, W) पर बहुपद फलनों का और इसलिए उपरोक्त k[Hom(V, W)] का अपघटन भी देता है।

प्रतिनिधित्व समूहों के प्रतिनिधित्व के रूप में टेन्सर प्रतिनिधित्व ों का प्रतिनिधित्व
मान लीजिए G, H दो समूह हैं और मान लीजिए $$(\pi,V)$$ और $$(\rho,W)$$ क्रमशः G और H का प्रतिनिधित्व करें। फिर हम प्रत्यक्ष प्रतिनिधित्व समूह दे सकते हैं $$G\times H$$ टेन्सर  प्रतिनिधित्व  स्थान पर कार्य करें $$V\otimes W$$ सूत्र द्वारा
 * $$(g, h) \cdot (v \otimes w) = \pi(g) v \otimes \rho(h) w.$$

भले ही $$G=H$$, हम अभी भी इस निर्माण को निष्पादित कर सकते हैं, ताकि दो अभ्यावेदन का टेन्सर प्रतिनिधित्व  $$G$$ वैकल्पिक रूप से, के प्रतिनिधित्व के रूप में देखा जा सकता है $$G\times G$$ के प्रतिनिधित्व के बजाय $$G$$. इसलिए यह स्पष्ट करना महत्वपूर्ण है कि क्या दो निरूपणों का टेन्सर प्रतिनिधित्व  है $$G$$ के प्रतिनिधित्व के रूप में देखा जा रहा है $$G$$ या के प्रतिनिधित्व के रूप में $$G\times G$$.

ऊपर चर्चा की गई क्लेबश-गॉर्डन समस्या के विपरीत, दो अपरिवर्तनीय अभ्यावेदन का टेन्सर प्रतिनिधित्व  $$G$$ प्रतिनिधित्व  समूह के प्रतिनिधित्व के रूप में देखे जाने पर यह अप्रासंगिक है $$G\times G$$.

यह भी देखें

 * दोहरा प्रतिनिधित्व
 * हर्माइट पारस्परिकता
 * क्लेबश-गॉर्डन गुणांक
 * असत्य समूह प्रतिनिधित्व
 * असत्य बीजगणित प्रतिनिधित्व
 * क्रोनकर प्रतिनिधित्व
 * हॉपफ बीजगणित

संदर्भ

 * Claudio Procesi (2007) Lie Groups: an approach through invariants and representation, Springer, ISBN 9780387260402.
 * Claudio Procesi (2007) Lie Groups: an approach through invariants and representation, Springer, ISBN 9780387260402.
 * Claudio Procesi (2007) Lie Groups: an approach through invariants and representation, Springer, ISBN 9780387260402.
 * Claudio Procesi (2007) Lie Groups: an approach through invariants and representation, Springer, ISBN 9780387260402.