बर्नौली विभेदक समीकरण

गणित में, एक साधारण अवकल समीकरण को बर्नौली अवकल समीकरण कहा जाता है यदि वह इस प्रकार का हो


 * $$y'+ P(x)y = Q(x)y^n,$$

कहाँ $$n$$ एक वास्तविक संख्या है. कुछ लेखक किसी भी वास्तविक की अनुमति देते हैं $$n$$, जबकि दूसरों को इसकी आवश्यकता होती है $$n$$ 0 या 1 न हो. इस समीकरण पर पहली बार 1695 में जैकब बर्नौली के काम में चर्चा की गई थी, जिनके नाम पर इसका नाम रखा गया है। हालाँकि, सबसे पहला समाधान गॉटफ्राइड विल्हेम लीबनिज़ द्वारा प्रस्तुत किया गया था, जिन्होंने उसी वर्ष अपना परिणाम प्रकाशित किया था और जिसकी विधि आज भी उपयोग की जाती है। बर्नौली समीकरण विशेष हैं क्योंकि वे ज्ञात सटीक समाधानों के साथ गैर-रेखीय अंतर समीकरण हैं। बर्नौली समीकरण का एक उल्लेखनीय विशेष मामला लॉजिस्टिक अंतर समीकरण है।

रैखिक अवकल समीकरण में परिवर्तन
कब $$ n = 0$$, अवकल समीकरण रैखिक अवकल समीकरण है। कब $$n = 1$$, यह वियोज्य अवकल समीकरण है। इन मामलों में, उन रूपों के समीकरणों को हल करने के लिए मानक तकनीकों को लागू किया जा सकता है। के लिए $$n \neq 0$$ और $$n \neq  1$$, प्रतिस्थापन $$u  = y^{1-n} $$ किसी भी बर्नौली समीकरण को एक रैखिक अंतर समीकरण में कम कर देता है
 * $$\frac{du}{dx} - (n-1)P(x)u = - (n-1)Q(x).$$

उदाहरण के लिए, मामले में $$n = 2$$, प्रतिस्थापन करना $$u=y^{-1}$$ विभेदक समीकरण में $$ \frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y=xy^2 $$ समीकरण उत्पन्न करता है $$\frac{du}{dx} -\frac{1}{x}u=-x$$, जो एक रैखिक अवकल समीकरण है।

समाधान
होने देना $$x_0 \in (a, b)$$ और
 * $$\left\{\begin{array}{ll}

z: (a,b) \rightarrow (0, \infty)\ ,&\textrm{if}\ \alpha\in \mathbb{R}\setminus\{1,2\},\\ z: (a,b) \rightarrow \mathbb{R}\setminus\{0\}\ ,&\textrm{if}\ \alpha = 2,\\\end{array}\right.$$ रैखिक अवकल समीकरण का समाधान बनें
 * $$z'(x)=(1-\alpha)P(x)z(x) + (1-\alpha)Q(x).$$

फिर हमारे पास वह है $$y(x) := [z(x)]^{\frac{1}{1-\alpha}}$$ का एक समाधान है
 * $$y'(x)= P(x)y(x) + Q(x)y^\alpha(x)\ ,\ y(x_0) = y_0 := [z(x_0)]^{\frac{1}{1-\alpha}}.$$

और ऐसे प्रत्येक विभेदक समीकरण के लिए, सभी के लिए $$\alpha>0$$ अपने पास $$y\equiv 0$$ के लिए समाधान के रूप में $$y_0=0$$.

उदाहरण
बर्नौली समीकरण पर विचार करें
 * $$y' - \frac{2y}{x} = -x^2y^2$$

(इस मामले में, अधिक विशेष रूप से एक रिकाटी समीकरण)। स्थिर कार्य $$y=0$$ एक समाधान है. द्वारा विभाजन $$y^2$$ पैदावार
 * $$y'y^{-2} - \frac{2}{x}y^{-1} = -x^2$$

चर बदलने से समीकरण मिलते हैं
 * $$\begin{align}

u = \frac{1}{y} \; &, ~ u' = \frac{-y'}{y^2} \\ -u' - \frac{2}{x}u &= - x^2 \\ u' + \frac{2}{x}u &= x^2 \end{align}$$ जिसे एकीकृत कारक का उपयोग करके हल किया जा सकता है
 * $$M(x)= e^{2\int \frac{1}{x}\,dx} = e^{2\ln x} = x^2.$$

से गुणा करना $M(x)$,
 * $$u'x^2 + 2xu = x^4.$$

बाईं ओर को व्युत्पन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है $$ux^2$$ उत्पाद नियम को उलट कर. श्रृंखला नियम लागू करना और दोनों पक्षों को सापेक्ष रूप से एकीकृत करना $$x$$ समीकरणों में परिणाम होता है
 * $$\begin{align}

\int \left(ux^2\right)' dx &= \int x^4\,dx \\ ux^2 &= \frac{1}{5}x^5 + C \\ \frac{1}{y}x^2 &= \frac{1}{5}x^5 + C \end{align}$$ के लिए समाधान $$y$$ है
 * $$y = \frac{x^2}{\frac{1}{5}x^5 + C}.$$

संदर्भ

 * . Cited in.

बाहरी संबंध

 * Index of differential equations