गतिशील मोड अपघटन

गतिशील मोड अपघटन (डीएमडी) आयामिकता घटाने का एल्गोरिदम है जिसका विकास 2008 में पीटर जे. श्मिड और जोर्न सेस्टरहेन ने किया था। डेटा की समय श्रृंखला के आधार पर, डीएमडी सेट के मोड की गणना करता है, जिनमें से प्रत्येक निश्चित दोलन आवृत्ति और क्षय/विकास दर से जुड़ा संबंधित होती है। विशेष रूप से रैखिक प्रणालियों के लिए, ये मोड और आवृत्तियाँ सिस्टम के सामान्य मोड के समानांतर होते हैं, लेकिन अधिक सासामान्य रूप से, वे रचना संचालक (जिसे कोपमैन ऑपरेटर भी कहा जाता है) के मोड और आइगेनवैल्यू के अनुमान होते हैं। प्रत्येक मोड से जुड़े आंतरिक अस्थायी व्यवहारों के कारण, डीएमडी प्रमुख घटक विश्लेषण जैसे आयामी कमी के तरीकों से भिन्न होता है, जो प्राधिकृती प्रतिस्थापन विधियों (प्रिंसिपल कॉम्पोनेंट एनालिसिस) के अलावा होते हैं। क्योंकि इसके मोड ऑर्थोगोनल नहीं हैं, डीएमडी-आधारित अभ्यावेदन पीसीए द्वारा उत्पन्न किए गए अभ्यावेदन की तुलना में कम सरल हो सकते हैं। हालाँकि, वे अधिक शारीरिक रूप से सार्थक भी हो सकते हैं क्योंकि प्रत्येक मोड समय में नम (या संचालित) साइनसॉइडल व्यवहार से जुड़ा होता है।

अवलोकन
डायनेमिक मोड अपघटन को पहली बार श्मिड द्वारा फ्लो डेटा से गतिजंक्य विशेषताएं निकालने के लिए संख्यात्मक प्रक्रिया के रूप में पेश किया गया था।

डेटा स्नैपशॉट अनुक्रम के रूप में प्राप्त होता है, जहां वी1 से एन तक के लिए:
 * $$ V_1^N = \{v_1, v_2, \dots, v_N\}, $$

यहाँ $$ v_i\in \mathbb{R}^M$$ व्युत्पन्न फ्लो फ़ील्ड की $$i$$-प्रवाह स्नैपशॉट है, और $$V_1^N\in\mathbb{R}^{M\times N}$$ डेटा मैट्रिक्स है जिसके कॉलम व्यक्तिगत स्नैपशॉट होते हैं। इन स्नैपशॉट कोरैखिक गणना के माध्यम से संबंधित होते हैं जो रैखिक गतिजंकीय प्रणाली को परिभाषित करता है:
 * $$ v_{i+1} = A v_i, $$जो समय के सैंपलिंग अवधि के दौरान लगभग समान रहता है। मैट्रिक्स रूप में लिखें, इससे यह सिद्ध होता है कि:
 * $$ V_{2}^N = A V_{1}^{N-1} + re_{N-1}^T,$$

यहाँ $$r$$ अवशेषों का वेक्टर है जो ऐसे व्यवहारों का कारण बनता है जिनका पूरी तरह से $$A$$वर्णन नहीं किया जा सकता, $$e_{N-1}=\{0,0,\ldots,1\}\in\mathbb{R}^{N-1}$$है, $$V_1^{N-1}=\{v_1, v_2, \dots, v_{N-1}\}$$, और $$V_2^{N}=\{v_2, v_3, \dots, v_{N}\}$$ चाहे किसी भी दृष्टिकोण से, डीएमडी का आउटपुट $$A$$, के इगेनवैल्यूज और इगेनवेक्टर होते हैं, जिन्हें डीएमडी इगेनवैल्यूज और डीएमडी मोड के रूप में संदर्भित किया जाता है।

एल्गोरिथम
इन इगेनवैल्यूज ​​​​और मोड्स को प्राप्त करने की दो विधियाँ हैं। पहला विधि अर्नोल्डी जैसा है, जो सिद्धांतिक विश्लेषण के लिए उपयुक्त है क्योंकि इसका क्रायलोव विधियों से संबंध होता है। दूसरा सिंगुलर वैल्यू विचलन (एसवीडी) पर आधारित विधि है जो डेटा में शोर से अधिक ट्रुटियों और संख्यात्मक त्रुटियों के प्रति मजबूत है।

अर्नोल्डी दृष्टिकोण
तरल पदार्थ अनुप्रयोगों में, स्नैपशॉट का आकार, $$M$$, स्नैपशॉट की संख्या $$N$$ से बहुत अधिक बड़ा माना जाता है, इसलिए समान रूप से कई वैध विकल्प $$A$$ मौजूद हैं। मूल डीएमडी एल्गोरिदम $$A$$ चुनता है ताकि प्रत्येक स्नैपशॉट में $$V_2^N$$ में $$V_1^{N-1}$$के स्नैपशॉटों के रूप में लिनियर संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। क्योंकि अधिकांश स्नैपशॉट दोनों डेटा सेट में दिखाई देते हैं, इस प्रतिनिधित्व को स्नैपशॉट $$v_N$$, को छोड़कर सभी स्नैपशॉटों के लिए त्रुटिरहित बनाता है, जो इस तरह से लिखा जाता है:
 * $$ v_N = a_1 v_1 + a_2 v_2 + \dots + a_{N-1}v_{N-1} + r = V_1^{N-1}a + r,$$

यहाँ $$a={a_1, a_2, \dots, a_{N-1}}$$ गुणांकों का सेट है जिसे डीएमडी को पहचानना चाहिए और $$r$$ अवशेष है।

पूरे मिलाकर,
 * $$ V_{2}^N = A V_1^{N-1} + re_{N-1}^T = V_1^{N-1} S + re_{N-1}^T, $$

यहाँ $$S$$ साथी मैट्रिक्स है
 * $$S=\begin{pmatrix}

0 & 0 & \dots & 0 & a_1 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & a_2 \\ 0 & 1 & \dots & 0 & a_3 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 & a_{N-1} \end{pmatrix}.$$ सदिश $$a$$ न्यूनतम वर्ग समस्या को हल करके गणना की जा सकती है, जो समग्र अवशिष्ट को न्यूनतम करती है। विशेष रूप से यदि हम $$V_1^{N-1} = QR$$ का QR विचलन लें, तो $$a = R^{-1}Q^Tv_N$$ होता है।

इस रूप में, डीएमडी प्रकार का अर्नोल्डी पुनरावृत्ति है, और इसलिए $$S$$ के इगेनवैल्यूज ​​​​के $$A$$ अनुमान होते हैं। इसके अलावा, अगर $$y$$, $$S$$ का इगेनवेक्टर है, तब $$V_1^{N-1}y$$, $$A$$ का अउपस्थित इगेनवेक्टर होता है। यहां इगेनवैल्यूज विचलन $$A$$ के बजाए $$S$$ पर किया जाता है क्योंकि $$S$$, $$A$$ से काफी छोटा होता है, इसलिए डीएमडी की संगणना लागत स्नैपशॉट के आकार के बजाय स्नैपशॉट की संख्या से निर्धारित होती है।

एसवीडी-आधारित दृष्टिकोण
साथी मैट्रिक्स की गणना करने के बजाय $$ S $$, एसवीडी-आधारित दृष्टिकोण मैट्रिक्स उत्पन्न करता है $$\tilde S$$ वह संबंधित है $$A$$ समानता परिवर्तन के माध्यम से. ऐसा करने के लिए, मान लें कि हमारे पास एसवीडी है $$V_1^{N-1} = U\Sigma W^T$$. तब
 * $$ V_{2}^N = A V_1^{N-1} + re_{N-1}^T = AU\Sigma W^T + re_{N-1}^T.$$

अर्नोल्डी-आधारित दृष्टिकोण द्वारा बनाई गई धारणा के बराबर, हम $$A$$ चुनते हैं जैसे कि $$V_2^N$$ स्नैपशॉट में $$U$$ में स्तंभों के रैखिक सुपरपोजिशन के रूप में लिखा जा सकता है, जो इस आवश्यकता के बराबर है कि उन्हें प्रमुख घटक विश्लेषण के सुपरपोजिशन के रूप में लिखा जा सकता है। इस प्रतिबंध के साथ, अवशिष्ट को कम करने के लिए आवश्यक है कि यह POD आधार पर ऑर्थोगोनल हो (अर्थात्, $$U^Tr = 0$$)। फिर समीकरण को $$U^T$$ से दोनों तरफ़ से गुणा करने से इसे मिलाया जा सकता है: $$ U^TV_2^N = U^T A U\Sigma W^T $$, जिसे स्पष्ट किया जा सकता है:
 * $$ U^T A U = U^TV_2^N W \Sigma^{-1} \equiv \tilde S. $$

क्योंकि $$A$$ और $$\tilde S$$ समानता संवेदी रूप से जुड़े हुए हैं, इसलिए $$S$$ के इगेनवैल्यूज $$A$$ ​​के इगेनवैल्यूज होते हैं, और अगर $$y$$, $$\tilde S$$ का इगेनवेक्टर है, तब $$Uy$$, $$A$$ का इगेनवेक्टर होता है।.

संक्षेप में, एसवीडी-आधारित तकनीक का अनुसरण निम्नलिखित तरीके से किया जाता है:
 * 1) डेटा की समय श्रृंखला को विभाजित करें $$V_1^N$$ दो आव्यूहों में $$V_1^{N-1}$$ और $$V_2^N$$.
 * 2) के एसवीडी की गणना करें $$V_1^{N-1} = U\Sigma W^T$$.
 * 3) मैट्रिक्स बनाएं $$\tilde S =  U^TV_2^N W \Sigma^{-1}$$, और इसके इगेनवैल्यूज ​​​​की गणना करें $$\lambda_i$$ और इगेनवेक्टर्स $$y_i$$.
 * 4) $$i$$th>-th डीएमडी इगेनवैल्यूज है $$\lambda_i$$ और $$i$$-वें डीएमडी मोड है $$Uy_i$$.

अर्नोल्डी-जैसे दृष्टिकोण पर एसवीडी-आधारित दृष्टिकोण का लाभ यह है कि डेटा में शोर और संख्यात्मक ट्रंकेशन मुद्दों की भरपाई एसवीडी को काटकर की जा सकती है। $$V_1^{N-1}$$. जैसा कि उल्लेख किया गया है इस ट्रंकेशन चरण के बिना प्रयोगात्मक डेटा सेट पर पहले जोड़े मोड और आइगेनवैल्यू से अधिक की सटीक गणना करना मुश्किल हो सकता है।

सैद्धांतिक और एल्गोरिथम प्रगति
इसकी प्रारंभिकता से 2010 में, डीएमडी को समझने और सुधारने पर काफी काम किया गया है। Rowley एवं उनके सहयोगियों ने डीएमडी का पहला विश्लेषण किया जिसमें डीएमडी और Koopman ऑपरेटर के बीच संबंध स्थापित किया गया और यह समझने में मदद की जब डीएमडी को गैर-लीनियर प्रणालियों पर लागू किया गया। इसके बाद से, कई संशोधन विकसित किए गए हैं जो इस संबंध को और मज़बूत करते हैं या इस दृष्टिकोन को अधिक उत्कृष्ट और व्यापक बनाने में मदद करते हैं।

यहां सूचीबद्ध एल्गोरिदम के अलावा, समान एप्लिकेशन-विशिष्ट तकनीकें विकसित की गई हैं। उदाहरण के लिए, डीएमडी की तरह, प्रोनी की विधि नम साइनसॉइड के सुपरपोजिशन के रूप में सिग्नल का प्रतिनिधित्व करती है। जलवायु विज्ञान में, रैखिक व्युत्क्रम मॉडलिंग भी डीएमडी के साथ दृढ़ता से जुड़ा हुआ है। अधिक विस्तृत सूची के लिए, तू एट अल देखें।
 * अनुकूलित डीएमडी: अनुकूलित डीएमडी मूल डीएमडी एल्गोरिदम का संशोधन है जिसे उस दृष्टिकोण की दो सीमाओं का समाधान करने के लिए डिज़ाइन किया गया है: (i) डीएमडी मोड चयन की कठिनाई, और (ii) डीएमडी की संवेदनशीलता शोर या समय शृंखला के अंतिम स्नैपशॉट में अन्य त्रुटियों के प्रति। ऑप्टिमाइज़्ड डीएमडी डीएमडी प्रक्रिया को अनुकूलन समस्या के रूप में पुनर्स्थापित करता है जहाँ पहचानी गई लीनियर ऑपरेटर की निश्चित श्रेणी होती है। इसके अलावा, जिस तरह डीएमडी ने पिछले सभी स्नैपशॉट को पूरी तरह से पुनर्जन्मित किया है, ऑप्टिमाइज़्ड डीएमडी द्वारा रीकंस्ट्रक्शन त्रुटियों को डेटा सेट में वितरित किया जा सकता है, जिससे यह तरीका व्यावसायिक रूप से अधिक मजबूत दिखता है।
 * इष्टतम मोड अपघटन: इष्टतम मोड अपघटन (ओएमडी) डीएमडी प्रक्रिया को अनुकूलन समस्या के रूप में पुनर्गठित करता है और उपयोगकर्ता को सीधे पहचाने गए सिस्टम की रैंक लागू करने की अनुमति देता है। यदि यह श्रेणी योग्य ढंग से चुनी जाए, तो OMD सांदर्भिक और प्रायोगिक डेटा सेटों पर छोटे शेष त्रुटि और अधिक सटीक इजेनवैल्यूज़ के साथ लीनियर मॉडल उत्पन्न कर सकता है।
 * सटीक डीएमडी: सटीक डीएमडी एल्गोरिदम मूल डीएमडी एल्गोरिदम को दो तरीकों से सामान्यीकृत करता है। सबसे पहले, मूल डीएमडी एल्गोरिदम में डेटा स्नैपशॉट की समय श्रृंखला होनी चाहिए, लेकिन सटीक डीएमडी स्नैपशॉट जोड़े के डेटा सेट को स्वीकार करता है। जोड़ी में स्नैपशॉट को निश्चित $$\Delta t$$ द्वारा अलग किया जाना चाहिए, लेकिन ही समय श्रृंखला से निकालने की आवश्यकता नहीं है। विशेष रूप से, सटीक डीएमडी कई प्रयोगों के डेटा को ही डेटा सेट में एकत्रित करने की अनुमति दे सकता है। दूसरा, मूल डीएमडी एल्गोरिदम पीओडी मोड के सेट पर प्रोजेक्ट करके डेटा को प्रभावी ढंग से प्री-प्रोसेस करता है। सटीक डीएमडी एल्गोरिदम इस प्री-प्रोसेसिंग चरण को हटा देता है, और डीएमडी मोड का उत्पादन कर सकता है जिसे पीओडी मोड के सुपरपोजिशन के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।
 * स्पार्सिटी प्रमोशन डीएमडी: स्पार्सिटी प्रोमोटिंग डीएमडी, डीएमडी मोड और इजेनवैल्यू चयन के लिए पोस्ट प्रोसेसिंग प्रक्रिया है। स्पार्सिटी प्रोमोटिंग डीएमडी $$\ell_1$$ पेनल्टी का उपयोग करता है जो महत्वपूर्ण डीएमडी मोड्स का छोटा सेट पहचानने के लिए उपयुक्त होता है, और यह डीएमडी मोड चयन समस्या के वैकल्पिक दृष्टिकोन है जिसे संवर्धित लैग्रेंजियन विधि का उपयोग करके कुशलतापूर्वक हल किया जा सकता है।
 * मल्टी-रिज़ॉल्यूशन डीएमडी: मल्टी-रिज़ॉल्यूशन डीएमडी (एमआरडीएमडी) सटीक डीएमडी के साथ मल्टी-रिज़ॉल्यूशन विश्लेषण में उपयोग की जाने वाली तकनीकों का संयोजन है, जिसे कई टाइमस्केल वाले डेटा सेट से डीएमडी मोड और आइजेनवैल्यू को मजबूत करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। एमआरडीएमडी दृष्टिकोण वैश्विक सतह तापमान डेटा पर लागू किया गया था, और एल नीनो वर्षों के दौरान दिखाई देने वाले डीएमडी मोड की पहचान करता है।
 * विस्तारित डीएमडी: विस्तारित डीएमडी सटीक डीएमडी का संशोधन है जो डीएमडी और कूपमैन ऑपरेटर के बीच संबंध को मजबूत करता है। जैसा कि नाम से पता चलता है, विस्तारित डीएमडी डीएमडी का विस्तार है जो कोपमैन ऑपरेटर के अधिक सटीक अनुमान उत्पन्न करने के लिए अवलोकन योग्य कार्यों के समृद्ध सेट का उपयोग करता है। इस विस्तारित सेट को प्राथमिकता से चुना जा सकता है या डेटा से सीखा जा सकता है। इसने यह भी प्रदर्शित किया कि डीएमडी और संबंधित विधियाँ अधिक सामान्यतः उपयोग किए जाने वाले आइगेनवैल्यू और मोड के अलावा कोपमैन आइजेनफंक्शन के सन्निकटन का उत्पादन करती हैं।
 * नियंत्रण के साथ डीएमडी: नियंत्रण के साथ डायनामिक मोड अपघटन (डीएमडीसी) इनपुट आउटपुट सिस्टम से प्राप्त डेटा के लिए डिज़ाइन की गई डीएमडी प्रक्रिया का संशोधन है। डीएमडीसी की अनूठी विशेषता ओपन लूप डायनेमिक्स से सिस्टम एक्चुएशन के प्रभावों को स्पष्ट करने की क्षमता है, जो तब उपयोगी होती है जब एक्चुएशन की उपस्थिति में डेटा प्राप्त किया जाता है।
 * कुल न्यूनतम वर्ग डीएमडी: कुल न्यूनतम वर्ग डीएमडी हाल ही की बदलाव है जो एक्सैक्ट डीएमडी की संशोधन है, जिसका उद्देश्य डेटा में मापन शोर के प्रति स्थायित्व से संबंधित मुद्दों का सामना करना है। में, लेखक एक्सैक्ट डीएमडी को प्रेक्षण समस्या के रूप में व्याख्या करते हैं जो साधारण लीस्ट स्क्वेयर्स (ओएलएस) का उपयोग करके हल किया जाता है, जो इसमें अनुमानित करता है कि प्रेक्षक ध्वनियुक्त मुक्त हैं। यह धारणा डीएमडी आइगेनवैल्यू में पूर्वाग्रह पैदा करती है जब इसे प्रयोगात्मक डेटा सेट पर लागू किया जाता है जहां सभी अवलोकन शोर होते हैं। कुल न्यूनतम वर्ग डीएमडी ओएलएस समस्या को कुल न्यूनतम वर्ग से प्रतिस्थापित करता है, जो इस पूर्वाग्रह को समाप्त करता है।
 * गतिशील वितरण अपघटन: डीडीडी निरंतर समय में आगे की समस्या, यानी स्थानांतरण ऑपरेटर पर ध्यान केंद्रित करता है। हालाँकि विकसित विधि का उपयोग निरंतर समय में डीएमडी समस्याओं को ठीक करने के लिए भी किया जा सकता है।

प्रोफ़ाइल का पिछला किनारा
प्रवाह में किसी बाधा के पीछे कार्मन वर्टेक्स स्ट्रीट विकसित हो सकता है। चित्र 1 में प्रोफ़ाइल के पीछे वर्टेक्स के बिछले समाप्ति का दृश्य दिखाया गया है। डीएमडी विश्लेषण को 90 क्रमिक Entropy फ़ील्ड्स (animated gif (1.9MB)) पर लागू किया गया और इससे अनुमानित इज़नवैल्यू-स्पेक्ट्रम प्राप्त हुआ है जैसा कि नीचे चित्रित है। इस विश्लेषण को संख्यात्मक परिणामों पर लागू किया गया था, सरकारी समीक्षा से किसी संबंधित इकाइयों का संदर्भ नहीं किया गया था। प्रोफ़ाइल सफेद रंग में दिखाई देती है। सफेद वृत्ताकार हड्डियाँ प्रोसेसर सीमाएँ हैं क्योंकि गणना पैरलेल कंप्यूटर पर विभिन्न गणनात्मक ब्लॉक्स का उपयोग करके किया गया था। स्पेक्ट्रम का लगभग तिहाई भाग अत्यधिक नम (बड़ा, नकारात्मक$$\lambda_r$$ ) और उसे दिखाया नहीं गया है।प्रमुख वर्टेक्स शेडिंग मोड निम्नलिखित तस्वीरों में दिखाया गया है। बाईं तस्वीर वास्तविक भाग है, दाईं तस्वीर भावित भाग है।

फिर से, इस चित्र में एन्ट्रॉपी-ईजेनवेक्टर दिखाया गया है। इसी मोड की ध्वनिक सामग्री अगले प्लॉट के नीचे के आधार में दिखाई देती है। शीर्ष भाग ऊपर के भाग के समान एंट्रोपी मोड से संबंधित है।

यात्रा पैटर्न का सिंथेटिक उदाहरण
डीएमडी विश्लेषण मानता है कि ऐसे पैटर्न की संरचना होती है जिसका रूप है$$ q(x_1,x_2,x_3, \ldots)=e^ {c x_1 }\hat q(x_2,x_3,\ldots) $$

यहाँ $$ x_1 $$ समस्या के किसी भी स्वतंत्र चर हो सकता है, लेकिन इसे पहले से चुना जाना होता है। उदाहरण के रूप में इस पैटर्न को ले:

q(x,y,t)=e^{-i \omega t} \hat q (x,t) e^{-(y/b)^2} \Re \left\{ e^{i (k x - \omega t)}    \right\} + \text{random noise} $$ यहाँ समय को पूर्व-चयनित घनांकीय कारक माना जाता है।

निम्नलिखित चित्र में नमूना दिया गया है जहाँ $$ \omega = 2\pi /0.1 $$, $$ b=0.02 $$ और $$ k = 2\pi/ b $$हैं। बाईं तस्वीर बिना पैटर्न के दिखाती है, जबकि दाएं चित्र में शोर जोड़ा गया है। रैंडम शोर का अधिकार के अम्पलीट्यूड नमूने के अम्पलीट्यूड के बराबर है।

समय डीएमडी विश्लेषण 21 सिंथेटिक रूप से उत्पन्न क्षेत्रों के साथ किया जाता है, जिसमें समय अंतराल$$ \Delta t =1/90\text{ s}$$है, और विश्लेषण को सीमित किया जाता है $$ f =45\text{ Hz}$$।

स्पेक्ट्रम सममित है और तीन लगभग अवमंदित मोड (छोटा नकारात्मक वास्तविक भाग) दिखाता है,जबकि अन्य मोड गहरे रूप से अवकाशित होते हैं। उनके अंकीय मान निम्नलिखित हैं: $$ \omega_1=-0.201, \omega_{2/3}=-0.223 \pm i 62.768$$ यहाँ, वास्तविक मोड में माध्यम है जो क्षेत्र का औसत है, जबकि $$ \omega_{2/3}$$ निर्दिष्ट पैटर्न से मेल खाता है जिसमें $$ f = 10\text{ Hz} $$ है। इससे अधिकतम त्रुटि का मात्रांशीय त्रुटि है -1/1000। शोर को दस गुना बढ़ाकर भी लगभग ही त्रुटि होती है। निम्नलिखित चित्र में दोनों में से नीचे दिए गए मोड के वास्तविक और काल्पनिक भाग दिखाए गए हैं।

यह भी देखें
प्रायोगिक डेटा के कई अन्य अपघटन मौजूद हैं। यदि शासी समीकरण उपलब्ध हैं, तो आइगेनवैल्यू अपघटन संभव हो सकता है।
 * आइगेनवैल्यू अपघटन
 * अनुभवजन्य मोड अपघटन
 * वैश्विक मोड
 * सामान्य मोड
 * उचित ओर्थोगोनल अपघटन
 * विलक्षण मान अपघटन

संदर्भ

 * Schmid, P. J. & Sesterhenn, J. L. 2008 Dynamic mode decomposition of numerical and experimental data. In Bull. Amer. Phys. Soc., 61st APS meeting, p. 208. San Antonio.
 * Hasselmann, K., 1988. POPs and PIPs. The reduction of complex dynamical systems using principal oscillation and interaction patterns. J. Geophys. Res., 93(D9): 10975–10988.