फ्रैक्टल



गणित में, एक फ्रैक्टल एक ज्यामितीय आकार होता है जिसमें मनमाने ढंग से छोटे पैमाने पर विस्तृत संरचना होती है, आमतौर पर एक फ्रैक्टल आयाम सख्ती से स्थलीय आयाम से अधिक होता है। कई भग्न विभिन्न पैमानों पर समान दिखाई देते हैं, जैसा कि मैंडलब्रॉट सेट के क्रमिक आवर्धन में दिखाया गया है।   तेजी से छोटे पैमाने पर समान पैटर्न की इस प्रदर्शनी को स्व-समानता कहा जाता है, जिसे विस्तारित समरूपता या अनफोल्डिंग समरूपता के रूप में भी जाना जाता है; यदि यह प्रतिकृति बिल्कुल हर पैमाने पर समान है, जैसे कि  मेरा स्पंज  में, आकृति को एफ़िन सेल्फ-समान कहा जाता है।  फ्रैक्टल ज्यामिति  माप सिद्धांत  की गणितीय शाखा के भीतर है।

एक तरीका है कि फ्रैक्टल परिमित ज्यामितीय आंकड़ों से भिन्न होते हैं कि वे कैसे स्केलिंग (ज्यामिति) करते हैं। एक भरे हुए बहुभुज  के किनारे की लंबाई को दोगुना करने से उसका क्षेत्रफल चार से गुणा हो जाता है, जो दो (नए से पुराने पक्ष की लंबाई का अनुपात) को दो की शक्ति (भरे हुए बहुभुज के पारंपरिक आयाम) तक बढ़ा दिया जाता है। इसी तरह, यदि एक भरे हुए गोले की त्रिज्या को दोगुना कर दिया जाता है, तो इसका आयतन आठ से बढ़ जाता है, जो तीन की शक्ति (भरे हुए गोले का पारंपरिक आयाम) के लिए दो (नए से पुराने त्रिज्या का अनुपात) है। हालांकि, अगर एक फ्रैक्टल की एक-आयामी लंबाई सभी दोगुनी हो जाती है, तो फ्रैक्टल स्केल की स्थानिक सामग्री एक ऐसी शक्ति से होती है जो आवश्यक रूप से एक  पूर्णांक  नहीं होती है और सामान्य रूप से इसके पारंपरिक आयाम से अधिक होती है। इस शक्ति को ज्यामितीय वस्तु का भग्न आयाम कहा जाता है, इसे पारंपरिक आयाम (जिसे औपचारिक रूप से टोपोलॉजिकल आयाम कहा जाता है) से अलग करने के लिए। विश्लेषणात्मक रूप से, कई फ्रैक्टल कहीं भी अवकलनीय कार्य नहीं हैं। एक अनंत  भग्न वक्र  को एक साधारण रेखा से अलग अंतरिक्ष के माध्यम से घुमावदार के रूप में माना जा सकता है - हालांकि यह अभी भी टोपोलॉजिकल आयाम है | टोपोलॉजिकल रूप से 1-आयामी, इसका फ्रैक्टल आयाम इंगित करता है कि यह स्थानीय रूप से एक साधारण रेखा की तुलना में अधिक कुशलता से अंतरिक्ष को भरता है। 17वीं शताब्दी में पुनरावर्तन की धारणाओं के साथ शुरू होकर, 19वीं शताब्दी में बर्नार्ड बोलजानो,  बर्नहार्ड रिमेंन , और  कार्ल वीयरस्ट्रास  के मौलिक कार्य द्वारा फ्रैक्टल  निरंतर कार्य  के अध्ययन के लिए तेजी से कठोर गणितीय उपचार के माध्यम से चले गए हैं, लेकिन अलग-अलग फ़ंक्शन फ़ंक्शन नहीं हैं, और 20वीं शताब्दी में विकट: फ्रैक्टल शब्द के गढ़ने के साथ-साथ 20वीं शताब्दी में फ्रैक्टल्स और कंप्यूटर-आधारित मॉडलिंग में रुचि बढ़ने के साथ।

फ्रैक्टल की अवधारणा को औपचारिक रूप से कैसे परिभाषित किया जाना चाहिए, इस बारे में गणितज्ञों के बीच कुछ असहमति है। मंडेलब्रॉट ने खुद इसे सुंदर, बहुत कठिन, तेजी से उपयोगी के रूप में संक्षेप में प्रस्तुत किया। वह भग्न है। अधिक औपचारिक रूप से, 1982 में मैंडेलब्रॉट ने फ्रैक्टल को निम्नानुसार परिभाषित किया: एक फ्रैक्टल परिभाषा के अनुसार एक सेट है जिसके लिए हॉसडॉर्फ आयाम | हॉसडॉर्फ-बेसिकोविच आयाम सख्ती से टोपोलॉजिकल आयाम से अधिक है। बाद में, इसे बहुत अधिक प्रतिबंधात्मक के रूप में देखते हुए, उन्होंने इस परिभाषा को सरल और विस्तारित किया: एक फ्रैक्टल एक मोटा या खंडित आकार है जिसे भागों में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक (कम से कम लगभग) पूरे की एक कम आकार की प्रति है। फिर भी बाद में, मंडेलब्रॉट ने सभी प्रकारों पर लागू होने वाले सामान्य शब्द के रूप में फ्रैक्टल आयाम का उपयोग करने के लिए, पांडित्य परिभाषा के बिना फ्रैक्टल का उपयोग करने का प्रस्ताव रखा। गणितज्ञों के बीच आम सहमति यह है कि सैद्धांतिक भग्न असीम रूप से स्व-समान पुनरावृत्ति और विस्तृत गणितीय निर्माण हैं, जिनमें से हॉसडॉर्फ आयाम द्वारा फ्रैक्टल की कई सूची तैयार की गई है और उनका अध्ययन किया गया है। भग्न केवल ज्यामितीय पैटर्न तक ही सीमित नहीं हैं, बल्कि समय में प्रक्रियाओं का वर्णन भी कर सकते हैं।     आत्म-समानता की विभिन्न डिग्री के साथ फ्रैक्टल पैटर्न को दृश्य, भौतिक और कर्ण मीडिया में प्रस्तुत या अध्ययन किया गया है और प्रकृति में #भग्न में पाया जाता है,  #प्रौद्योगिकी में भग्न,   #रचनात्मक कार्यों में,   वास्तुकला  और #फ्रैक्टल इन लॉ।  अराजकता सिद्धांत  के क्षेत्र में भग्न विशेष रूप से प्रासंगिक हैं क्योंकि वे अधिकांश अराजक प्रक्रियाओं के ज्यामितीय चित्रण में दिखाई देते हैं (आमतौर पर या तो आकर्षित करने वाले या आकर्षण के घाटियों के बीच की सीमाओं के रूप में)।

व्युत्पत्ति
फ्रैक्टल शब्द 1975 में गणितज्ञ बेनोइट मैंडलब्रॉट द्वारा गढ़ा गया था। मंडेलब्रॉट ने इसे लैटिनो पर आधारित किया frāctus, जिसका अर्थ है टूटा हुआ या खंडित, और इसका उपयोग सैद्धांतिक भिन्नात्मक फ्रैक्टल आयाम की अवधारणा को प्रकृति में ज्यामितीय पैटर्न तक विस्तारित करने के लिए किया जाता है।

परिचय


फ्रैक्टल शब्द में अक्सर गणितज्ञों के विपरीत आम जनता के लिए अलग-अलग अर्थ होते हैं, जहां जनता गणितीय अवधारणा की तुलना में फ्रैक्टल कला से परिचित होने की अधिक संभावना रखती है। गणितीय अवधारणा को औपचारिक रूप से परिभाषित करना मुश्किल है, यहां तक ​​कि गणितज्ञों के लिए भी, लेकिन प्रमुख विशेषताओं को थोड़ी गणितीय पृष्ठभूमि के साथ समझा जा सकता है।

उदाहरण के लिए, स्व-समानता की विशेषता को लेंस या अन्य डिवाइस के साथ ज़ूम इन करने के सादृश्य द्वारा आसानी से समझा जा सकता है जो बेहतर, पहले अदृश्य, नई संरचना को उजागर करने के लिए डिजिटल छवियों पर ज़ूम इन करता है। यदि यह भग्न कला  किया जाता है, हालांकि, कोई नया विवरण प्रकट नहीं होता है; कुछ भी नहीं बदलता है और वही पैटर्न बार-बार दोहराता है, या कुछ फ्रैक्टल के लिए, लगभग वही पैटर्न बार-बार प्रकट होता है। आत्म-समानता स्वयं आवश्यक रूप से प्रति-अंतर्ज्ञानी नहीं है (उदाहरण के लिए, लोगों ने अनौपचारिक रूप से आत्म-समानता पर विचार किया है जैसे समानांतर दर्पण में अनंत प्रतिगमन में या  homunculus, सिर के अंदर छोटे आदमी के सिर के अंदर छोटा आदमी ...). फ्रैक्टल के लिए अंतर यह है कि पुनरुत्पादित पैटर्न विस्तृत होना चाहिए।

विस्तृत होने का यह विचार एक अन्य विशेषता से संबंधित है जिसे बिना किसी गणितीय पृष्ठभूमि के समझा जा सकता है: उदाहरण के लिए, इसके टोपोलॉजिकल आयाम से अधिक फ्रैक्टल आयाम होने से, यह दर्शाता है कि ज्यामितीय आकृतियों को आमतौर पर कैसे माना जाता है, इसकी तुलना में फ्रैक्टल स्केल कैसे होते हैं। उदाहरण के लिए, एक सीधी रेखा को पारंपरिक रूप से एक-आयामी समझा जाता है; यदि ऐसी आकृति को मूल की प्रत्येक 1/3 लंबाई के टुकड़ों में पुन: टाइल किया जाता है, तो हमेशा तीन बराबर टुकड़े होते हैं। एक ठोस वर्ग को द्वि-आयामी समझा जाता है; यदि इस तरह की आकृति को दोनों आयामों में 1/3 के कारक से घटाकर टुकड़ों में फिर से टाइल किया जाता है, तो कुल 3 होते हैं2 = 9 टुकड़े।

हम देखते हैं कि सामान्य स्व-समान वस्तुओं के लिए, n-आयामी होने का अर्थ है कि जब इसे 1/r के स्केल-फैक्टर द्वारा छोटे-छोटे टुकड़ों में पुन: टाइल किया जाता है, तो कुल r होते हैंn टुकड़े। अब, कोच वक्र  पर विचार करें। इसे चार उप-प्रतियों में पुन: टाइल किया जा सकता है, प्रत्येक को 1/3 के पैमाने-कारक द्वारा छोटा किया जाता है। तो, सादृश्य द्वारा कड़ाई से, हम कोच वक्र के आयाम को अद्वितीय वास्तविक संख्या डी के रूप में मान सकते हैं जो 3 को संतुष्ट करता हैD = 4. इस संख्या को गणितज्ञ कोच वक्र का फ्रैक्टल आयाम कहते हैं; यह निश्चित रूप से वह नहीं है जिसे पारंपरिक रूप से एक वक्र के आयाम के रूप में माना जाता है (यह संख्या एक पूर्णांक भी नहीं है!) सामान्य तौर पर, फ्रैक्टल की एक प्रमुख संपत्ति यह है कि फ्रैक्टल आयाम पारंपरिक रूप से समझे जाने वाले आयाम (औपचारिक रूप से टोपोलॉजिकल आयाम कहा जाता है) से भिन्न होता है।

यह एक तीसरी विशेषता को भी समझने की ओर ले जाता है, कि गणितीय समीकरणों के रूप में फ्रैक्टल कहीं भी अवकलनीय कार्य नहीं हैं। एक ठोस अर्थ में, इसका मतलब है कि फ्रैक्टल को पारंपरिक तरीकों से नहीं मापा जा सकता है।  विस्तृत करने के लिए, एक लहरदार गैर-फ्रैक्टल वक्र की लंबाई खोजने की कोशिश में, किसी को मापने के उपकरण के सीधे खंड मिल सकते हैं जो लहरों पर अंत तक ले जाने के लिए पर्याप्त छोटे होते हैं, जहां टुकड़े इतने छोटे हो सकते हैं कि उन्हें अनुरूप माना जा सके टेप माप के साथ  सुधार योग्य वक्र  के सामान्य तरीके से वक्र। लेकिन कोच स्नोफ्लेक जैसे असीम रूप से विगली फ्रैक्टल वक्र को मापने में, किसी को वक्र के अनुरूप एक छोटा पर्याप्त सीधा खंड कभी नहीं मिलेगा, क्योंकि दांतेदार पैटर्न हमेशा मनमाने ढंग से छोटे पैमाने पर फिर से प्रकट होगा, अनिवार्य रूप से थोड़ा अधिक खींच रहा है टेप की माप कुल लंबाई में मापी जाती है, हर बार जब कोई इसे वक्र के लिए कड़ा और कड़ा फिट करने का प्रयास करता है। नतीजा यह है कि पूरे वक्र को पूरी तरह से कवर करने के लिए अनंत टेप की आवश्यकता होती है, यानी बर्फ के टुकड़े की अनंत परिधि होती है।

इतिहास
फ्रैक्टल्स का इतिहास मुख्य रूप से सैद्धांतिक अध्ययन से लेकर कंप्यूटर ग्राफिक्स  में आधुनिक अनुप्रयोगों तक के मार्ग का पता लगाता है, जिसमें कई उल्लेखनीय लोग कैनोनिकल फ्रैक्टल रूपों में योगदान करते हैं।  अफ्रीका के पारंपरिक वास्तुकला में एक सामान्य विषय फ्रैक्टल स्केलिंग का उपयोग होता है, जिससे संरचना के छोटे हिस्से बड़े हिस्सों के समान दिखते हैं, जैसे गोलाकार घरों से बना एक गोलाकार गांव। क्लिफर्ड ए. पिकओवर के अनुसार, भग्न के पीछे का गणित 17वीं शताब्दी में आकार लेना शुरू किया जब गणितज्ञ और दार्शनिक गॉटफ्राइड लाइबनिज़ो  ने पुनरावर्तन आत्म-समानता पर विचार किया (हालांकि उन्होंने यह सोचने की गलती की कि केवल सीधी रेखा ही इसमें स्व-समान थी) विवेक)। अपने लेखन में, लाइबनिज़ ने भिन्नात्मक घातांक शब्द का इस्तेमाल किया, लेकिन अफसोस जताया कि ज्यामिति अभी तक उनके बारे में नहीं जानती थी।  वास्तव में, विभिन्न ऐतिहासिक खातों के अनुसार, उस बिंदु के बाद कुछ गणितज्ञों ने मुद्दों और उन लोगों के काम का सामना किया जो इस तरह की अपरिचित उभरती अवधारणाओं के प्रतिरोध के कारण बड़े पैमाने पर अस्पष्ट रहे, जिन्हें कभी-कभी गणितीय राक्षस कहा जाता था।   इस प्रकार, यह तब तक नहीं था जब तक कि दो शताब्दियां 18 जुलाई, 1872 को कार्ल वीयरस्ट्रैस ने एक फ़ंक्शन के ग्राफ के साथ एक वीयरस्ट्रैस फ़ंक्शन की पहली परिभाषा प्रस्तुत की जिसे आज एक फ्रैक्टल माना जाएगा, जिसमें गैर- अंतर्ज्ञान (ज्ञान)  संपत्ति है हर जगह निरंतर कार्य किया जा रहा है लेकिन रॉयल प्रशिया एकेडमी ऑफ साइंसेज में कहीं भी भिन्न नहीं है।

इसके अलावा, योग सूचकांक बढ़ने पर भागफल अंतर मनमाने ढंग से बड़ा हो जाता है। इसके कुछ ही समय बाद, 1883 में, जॉर्ज कैंटोर, जिन्होंने वीयरस्ट्रैस के व्याख्यान में भाग लिया, वास्तविक रेखा के उपसमुच्चय के प्रकाशित उदाहरण, जिन्हें  कैंटर सेट  के रूप में जाना जाता है, जिनमें असामान्य गुण थे और अब उन्हें फ्रैक्टल के रूप में पहचाना जाता है।  साथ ही उस शताब्दी के अंतिम भाग में,  फेलिक्स क्लेन  और हेनरी पोंकारे ने फ्रैक्टल की एक श्रेणी की शुरुआत की, जिसे सेल्फ-इनवर्स फ्रैक्टल्स कहा जाने लगा।

अगले मील के पत्थर में से एक 1904 में आया, जब हेलगे वॉन कोचू, पोंकारे के विचारों का विस्तार करते हुए और वीयरस्ट्रैस की अमूर्त और विश्लेषणात्मक परिभाषा से असंतुष्ट, एक समान फ़ंक्शन की हाथ से खींची गई छवियों सहित एक अधिक ज्यामितीय परिभाषा दी, जिसे अब कोच स्नोफ्लेक कहा जाता है।  एक और मील का पत्थर एक दशक बाद 1915 में आया, जब वाक्ला सिएरपिंस्की ने अपने प्रसिद्ध सिएरपिंस्की त्रिकोण का निर्माण किया, फिर एक साल बाद, अपने सिएरपिंस्की कालीन। 1918 तक, दो फ्रांसीसी गणितज्ञ,  पियरे फतौ  और  गैस्टन जूलिया , हालांकि स्वतंत्र रूप से काम कर रहे थे, अनिवार्य रूप से एक साथ परिणामों पर पहुंचे, जो वर्णन करते हैं कि अब जटिल संख्याओं और पुनरावृत्त कार्यों के मानचित्रण से जुड़े फ्रैक्टल व्यवहार के रूप में क्या देखा जाता है और अजीब आकर्षित करने वालों (यानी, अंक) के बारे में और विचारों की ओर अग्रसर होता है। जो अन्य बिंदुओं को आकर्षित या प्रतिकर्षित करते हैं), जो भग्न के अध्ययन में बहुत महत्वपूर्ण हो गए हैं।

उस कार्य को प्रस्तुत करने के कुछ ही समय बाद, मार्च 1918 तक, फ़ेलिक्स हॉसडॉर्फ़  ने आयाम की परिभाषा का विस्तार किया, महत्वपूर्ण रूप से फ्रैक्टल्स की परिभाषा के विकास के लिए, सेट को गैर-पूर्णांक आयामों की अनुमति देने के लिए। पॉल लेवी (गणितज्ञ) पॉल लेवी द्वारा स्व-समान वक्रों के विचार को आगे बढ़ाया गया था, जिन्होंने अपने 1938 के पेपर प्लेन या स्पेस कर्व्स एंड सर्फेस कंसिस्टिंग ऑफ पार्ट्स सिमिलर टू द होल में, एक नए फ्रैक्टल कर्व, लेवी सी कर्व का वर्णन किया था।.

विभिन्न शोधकर्ताओं ने यह माना है कि आधुनिक कंप्यूटर ग्राफिक्स की सहायता के बिना, प्रारंभिक जांचकर्ता मैन्युअल चित्रों में जो चित्रित कर सकते थे, उस तक सीमित थे, इसलिए सुंदरता की कल्पना करने और उनके द्वारा खोजे गए कई पैटर्न के कुछ प्रभावों की सराहना करने के साधनों की कमी थी। उदाहरण के लिए, जूलिया सेट को केवल कुछ पुनरावृत्तियों के माध्यम से बहुत ही सरल चित्र के रूप में देखा जा सकता है)। हालाँकि, यह बदल गया, हालाँकि, 1960 के दशक में, जब  बेनोइट मंडेलब्रोट  ने ब्रिटेन के हाउ लॉन्ग इज़ द कोस्ट जैसे पत्रों में आत्म-समानता के बारे में लिखना शुरू किया? सांख्यिकीय स्व-समानता और भिन्नात्मक आयाम,  जो  लुईस फ्राई रिचर्डसन  द्वारा पहले के काम पर बनाया गया था।

1975 में मैंडलब्रॉट ने फ्रैक्टल शब्द को गढ़ने में सैकड़ों वर्षों के विचार और गणितीय विकास को मजबूत किया और अपनी गणितीय परिभाषा को हड़ताली कंप्यूटर-निर्मित विज़ुअलाइज़ेशन के साथ चित्रित किया। इन छवियों, जैसे कि उनके विहित मैंडलब्रॉट सेट ने, लोकप्रिय कल्पना पर कब्जा कर लिया; उनमें से कई रिकर्सन पर आधारित थे, जिससे फ्रैक्टल शब्द का लोकप्रिय अर्थ निकला।

1980 में, लॉरेन बढ़ई  ने SIGGRAPH में एक प्रेजेंटेशन दिया जहां उन्होंने फ्रैक्टली जेनरेटेड लैंडस्केप बनाने और रेंडर करने के लिए अपना सॉफ्टवेयर पेश किया।

परिभाषा और विशेषताएँ
एक अक्सर उद्धृत वर्णन है कि मैंडेलब्रॉट ने ज्यामितीय फ्रैक्टल का वर्णन करने के लिए प्रकाशित किया है जो एक मोटा या खंडित आकार है जिसे भागों में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक (कम से कम लगभग) पूरे की एक कम आकार की प्रतिलिपि है; यह आम तौर पर सहायक है लेकिन सीमित है। लेखक फ्रैक्टल की सटीक परिभाषा पर असहमत हैं, लेकिन आमतौर पर आत्म-समानता के मूल विचारों पर विस्तार से बताते हैं और असामान्य संबंध फ्रैक्टल में उस स्थान के साथ होते हैं जिसमें वे अंतर्निहित होते हैं। एक बिंदु पर सहमति यह है कि फ्रैक्टल पैटर्न को फ्रैक्टल आयामों की विशेषता होती है, लेकिन ये संख्याएं जटिलता  को मापती हैं (यानी, बदलते पैमाने के साथ विवरण बदलना), वे न तो विशिष्ट रूप से वर्णन करते हैं और न ही विशेष फ्रैक्टल पैटर्न के निर्माण का विवरण निर्दिष्ट करते हैं। 1975 में जब मंडेलब्रॉट ने फ्रैक्टल शब्द गढ़ा, तो उन्होंने ऐसा एक ऐसी वस्तु को निरूपित करने के लिए किया, जिसका हॉसडॉर्फ-बेसिकोविच आयाम इसके  लेबेस्ग्यू कवरिंग आयाम  से अधिक है। हालांकि, इस आवश्यकता को  हिल्बर्ट वक्र  जैसे अंतरिक्ष-भरने वाले वक्रों से पूरा नहीं किया जाता है।

भग्न के लिए एक परिभाषा खोजने में शामिल परेशानी के कारण, कुछ लोगों का तर्क है कि भग्न को बिल्कुल भी परिभाषित नहीं किया जाना चाहिए। केनेथ फाल्कनर (गणितज्ञ)  के अनुसार, फ्रैक्टल को केवल सामान्य रूप से निम्नलिखित विशेषताओं के एक विकट: जेस्टाल्ट द्वारा चित्रित किया जाना चाहिए;


 * स्व-समानता, जिसमें शामिल हो सकते हैं:
 * सटीक आत्म-समानता: सभी पैमानों पर समान, जैसे #koch
 * अर्ध स्व-समानता: विभिन्न पैमानों पर समान पैटर्न का अनुमान लगाता है; विकृत और पतित रूपों में संपूर्ण भग्न की छोटी प्रतियां हो सकती हैं; उदाहरण के लिए, मंडेलब्रॉट सेट के उपग्रह पूरे सेट के अनुमान हैं, लेकिन सटीक प्रतियां नहीं हैं।
 * सांख्यिकीय स्व-समानता: एक पैटर्न को स्टोकेस्टिक रूप से दोहराता है ताकि संख्यात्मक या सांख्यिकीय उपायों को तराजू में संरक्षित किया जा सके; उदाहरण के लिए, ब्रिटेन का तट कितना लंबा है? के प्रसिद्ध उदाहरण की तरह #random? सांख्यिकीय स्व-समानता और भिन्नात्मक आयाम जिसके लिए कोई एक खंड को बड़े करीने से और दोहराया इकाई के रूप में बड़े करीने से खोजने की उम्मीद नहीं करेगा जो कोच स्नोफ्लेक जैसे फ्रैक्टल को परिभाषित करता है। :* गुणात्मक आत्म-समानता: जैसा कि एक समय श्रृंखला में है
 * मल्टीफ्रैक्टल स्केलिंग: एक से अधिक फ्रैक्टल आयाम या स्केलिंग नियम द्वारा विशेषता


 * मनमाने ढंग से छोटे पैमाने पर बारीक या विस्तृत संरचना। इस संरचना का एक परिणाम यह है कि भग्न में आकस्मिक गुण हो सकते हैं (इस सूची में अगले मानदंड से संबंधित)।
 * स्थानीय और विश्व स्तर पर अनियमितता जिसे आसानी से पारंपरिक यूक्लिडियन ज्यामिति  की भाषा में वर्णित नहीं किया जा सकता है सिवाय चरणों के एक पुनरावर्तन परिभाषित अनुक्रम की सीमा के रूप में। भग्न पैटर्न की छवियों के लिए, यह वाक्यांशों द्वारा व्यक्त किया गया है जैसे कि सतहों को आसानी से जमा करना और ज़ुल्फ़ों पर घूमना; #एल्गोरिदम देखें।

एक समूह के रूप में, ये मानदंड कुछ मामलों को बाहर करने के लिए दिशानिर्देश बनाते हैं, जैसे कि वे जो अन्य आम तौर पर फ्रैक्टल विशेषताओं के बिना स्वयं-समान हो सकते हैं। एक सीधी रेखा, उदाहरण के लिए, स्व-समान है, लेकिन भग्न नहीं है क्योंकि इसमें विस्तार की कमी है, और आसानी से यूक्लिडियन भाषा में पुनरावृत्ति की आवश्यकता के बिना वर्णित है।

भग्न उत्पन्न करने की सामान्य तकनीक


फ्रैक्टल-जनरेटिंग सॉफ्टवेयर द्वारा फ्रैक्टल की छवियां बनाई जा सकती हैं।  तितली प्रभाव  के कारण, एकल चर में एक छोटे से परिवर्तन का पूर्वानुमेयता परिणाम हो सकता है।


 * पुनरावृत्त फ़ंक्शन सिस्टम (IFS) - निश्चित ज्यामितीय प्रतिस्थापन नियमों का उपयोग करें; स्टोकेस्टिक या नियतात्मक हो सकता है; उदाहरण के लिए, कोच स्नोफ्लेक, कैंटर सेट, हैफ़रमैन कालीन, सिएरपिंस्की कालीन, सिएरपिंस्की गैस्केट, पीनो कर्व्स,  ड्रैगन वक्र |हार्टर-हेघवे ड्रैगन कर्व, टी-स्क्वायर (फ्रैक्टल)|टी-स्क्वायर,  मेरा स्पंज
 * अजीब आकर्षित करने वाले - एक मानचित्र के पुनरावृत्तियों या प्रारंभिक-मूल्य अंतर या अंतर समीकरणों की प्रणाली के समाधान का उपयोग करें जो अराजकता प्रदर्शित करते हैं (उदाहरण के लिए, #मल्टीफ्रैक्टल छवि, या लॉजिस्टिक मानचित्र देखें)
 * ए एल प्रणाली - स्ट्रिंग पुनर्लेखन का उपयोग करें; पौधों, जैविक कोशिकाओं (जैसे, न्यूरॉन्स और प्रतिरक्षा प्रणाली कोशिकाओं) जैसे शाखाओं के पैटर्न के समान हो सकते हैं ), रक्त वाहिकाओं, फुफ्फुसीय संरचना, आदि या टर्टल ग्राफिक्स पैटर्न जैसे स्पेस-फिलिंग कर्व्स और टिलिंग
 * एस्केप-टाइम फ्रैक्टल्स - एक स्पेस में प्रत्येक बिंदु पर एक सूत्र  या  पुनरावृत्ति संबंध  का उपयोग करें (जैसे कि  जटिल विमान ); आमतौर पर अर्ध-स्व-समान; कक्षा भग्न के रूप में भी जाना जाता है; उदाहरण के लिए, मैंडलब्रॉट सेट, जूलिया सेट,  जलता हुआ जहाज भग्न,  फ्रैक्टल नोवा  और  ल्यपुनोव फ्रैक्टल  एस्केप-टाइम फ़ार्मुलों के एक या दो पुनरावृत्तियों द्वारा उत्पन्न 2d वेक्टर फ़ील्ड भी एक फ्रैक्टल रूप को जन्म देते हैं जब अंक (या पिक्सेल डेटा) इस फ़ील्ड से बार-बार गुजरते हैं।
 * यादृच्छिक भग्न - स्टोकेस्टिक नियमों का उपयोग करें; उदाहरण के लिए, लेवी फ़्लाइट, परकोलेशन थ्योरी, सेल्फ-एविडेंस वॉक,  भग्न परिदृश्य ,  ब्राउनियन गति  के प्रक्षेपवक्र और  ब्राउनियन पेड़  (यानी,  प्रसार-सीमित एकत्रीकरण  या रिएक्शन-लिमिटेड एग्रीगेशन क्लस्टर मॉडलिंग द्वारा उत्पन्न डेंड्राइटिक फ्रैक्टल्स)।

*परिमित उपखंड नियम - रिफाइनिंग टाइलिंग के लिए एक पुनरावर्ती टोपोलॉजिकल एल्गोरिदम का उपयोग करें और वे कोशिका विभाजन  की प्रक्रिया के समान हैं। कैंटर सेट और सिएरपिंस्की कालीन बनाने में उपयोग की जाने वाली पुनरावृत्ति प्रक्रियाएं परिमित उपखंड नियमों के उदाहरण हैं, जैसा कि  बैरीसेंट्रिक उपखंड  है।

नकली भग्न
भौतिक समय और स्थान की व्यावहारिक सीमाओं के कारण, फ्रैक्टल पैटर्न को बड़े पैमाने पर तैयार किया गया है, हालांकि अनंत के बजाय कई पैमानों के भीतर। मॉडल प्रकृति में सैद्धांतिक फ्रैक्टल या #फ्रैक्टल का अनुकरण कर सकते हैं। मॉडलिंग प्रक्रिया के आउटपुट अत्यधिक कलात्मक प्रस्तुतिकरण, जांच के लिए आउटपुट, या फ्रैक्टल विश्लेषण के लिए बेंचमार्क हो सकते हैं। प्रौद्योगिकी में फ्रैक्टल के कुछ विशिष्ट अनुप्रयोगों को प्रौद्योगिकी में #फ्रैक्टल सूचीबद्ध किया गया है। छवियों और मॉडलिंग के अन्य आउटपुट को आम तौर पर फ्रैक्टल के रूप में संदर्भित किया जाता है, भले ही उनके पास सख्ती से फ्रैक्टल विशेषताएं न हों, जैसे कि फ्रैक्टल छवि के क्षेत्र में ज़ूम करना संभव है जो किसी भी फ्रैक्टल गुण प्रदर्शित नहीं करता है। इसके अलावा, इनमें गणना या प्रदर्शन विरूपण साक्ष्य (त्रुटि)  शामिल हो सकते हैं जो वास्तविक भग्न की विशेषता नहीं हैं।

प्रतिरूपित भग्न ध्वनि हो सकते हैं, डिजिटल इमेज, इलेक्ट्रोकेमिकल पैटर्न, सर्कैडियन रिदम, आदि। भौतिक 3-आयामी अंतरिक्ष में फ्रैक्टल पैटर्न का पुनर्निर्माण किया गया है और वस्तुतः, अक्सर सिलिको मॉडलिंग में कहा जाता है। फ्रैक्टल के मॉडल आम तौर पर फ्रैक्टल-जनरेटिंग सॉफ़्टवेयर का उपयोग करके बनाए जाते हैं जो ऊपर उल्लिखित तकनीकों को लागू करते हैं।   एक उदाहरण के रूप में, पेड़, फर्न, तंत्रिका तंत्र की कोशिकाएं, रक्त और फेफड़े की वाहिका, और प्रकृति में अन्य शाखाओं के पैटर्न को पुनरावर्ती  कलन विधि  और एल-सिस्टम तकनीकों का उपयोग करके कंप्यूटर पर मॉडल किया जा सकता है।

कुछ पैटर्नों की पुनरावर्ती प्रकृति कुछ उदाहरणों में स्पष्ट है- एक पेड़ से एक शाखा या एक फ़र्न  से एक  फॉण्ड  पूरे की एक लघु प्रतिकृति है: समान नहीं, लेकिन प्रकृति में समान है। इसी तरह, कई अत्यधिक अनियमित वास्तविक दुनिया की वस्तुओं का वर्णन/निर्माण करने के लिए यादृच्छिक भग्न का उपयोग किया गया है। मॉडलिंग फ्रैक्टल्स की एक सीमा यह है कि एक प्राकृतिक घटना के लिए एक फ्रैक्टल मॉडल की समानता यह साबित नहीं करती है कि मॉडलिंग की जा रही घटना मॉडलिंग एल्गोरिदम के समान प्रक्रिया द्वारा बनाई गई है।

भग्न विशेषताओं के साथ प्राकृतिक घटनाएं
प्रकृति में पाए जाने वाले अनुमानित फ्रैक्टल विस्तारित, लेकिन परिमित, स्केल रेंज पर आत्म-समानता प्रदर्शित करते हैं। उदाहरण के लिए, फ्रैक्टल और पत्तियों के बीच संबंध का उपयोग वर्तमान में यह निर्धारित करने के लिए किया जा रहा है कि पेड़ों में कितना कार्बन है। भग्न विशेषताओं के लिए जानी जाने वाली घटना में शामिल हैं:


 * एक्टिन साइटोस्केलेटन
 * शैवाल
 * पशु रंगाई पैटर्न
 * रक्त वाहिकाओं और फुफ्फुसीय वाहिकाओं  *बादल और वर्षा क्षेत्र
 * तटरेखा
 * प्रभाव गड्ढा
 * क्रिस्टल
 * डीएनए
 * भूकंप
 * गलत लाइनें
 * ज्यामितीय प्रकाशिकी
 * ह्रदय दर
 * दिल की आवाज़
 * झील के किनारे और क्षेत्र
 * विद्युत तीर
 * पहाड़ बकरी के सींग
 * पॉलिमर
 * परकोलेशन
 * पर्वत
 * हवा की लहर*
 * अनन्नास
 * प्रोटीन
 * साइकेडेलिक अनुभव
 * शनि के छल्ले
 * नदी
 * रोमनस्को ब्रोकोली
 * बर्फ के टुकड़े
 * मिट्टी के छिद्र
 * अशांति प्रवाह में सतहें
 * पेड़
 * धूल के दाने
 * ब्राउनियन गति (एक आयामी वीनर प्रक्रिया द्वारा उत्पन्न)।

कोशिका जीव विज्ञान में भग्न
भग्न अक्सर जीवित जीवों के दायरे में दिखाई देते हैं जहां वे शाखाओं की प्रक्रियाओं और अन्य जटिल पैटर्न गठन के माध्यम से उत्पन्न होते हैं। इयान वोंग और सहकर्मियों ने दिखाया है कि माइग्रेटिंग सेल क्लस्टरिंग और ब्रांचिंग प्रक्रिया द्वारा फ्रैक्टल बना सकते हैं। कोशिका की सतह पर प्रक्रियाओं के माध्यम से न्यूरॉन  कार्य करता है, जो कि सतह से आयतन अनुपात में बड़े पैमाने पर वृद्धि करके बढ़ाया जाता है। परिणामस्वरूप तंत्रिका कोशिकाएं अक्सर फ्रैक्टल पैटर्न में बनती पाई जाती हैं। सेल  शरीर क्रिया विज्ञान  और विभिन्न  विकृति विज्ञान  में ये प्रक्रियाएं महत्वपूर्ण हैं। बहुकोशिकीय संरचनाएँ भी भग्न में एकत्रित होती पाई जाती हैं। डिएगो क्रैफ  ने दिखाया है कि ब्रांचिंग प्रक्रियाओं के माध्यम से मानव कोशिकाओं में  एक्टिन  फिलामेंट्स फ्रैक्टल पैटर्न में इकट्ठे होते हैं। इसी तरह मैथियास वीस ने दिखाया कि  अन्तः प्रदव्ययी जलिका  भग्न विशेषताओं को प्रदर्शित करता है। वर्तमान समझ यह है कि कोशिका जीव विज्ञान में  प्रोटीन  से लेकर  ऑर्गेनेल  तक, संपूर्ण कोशिकाओं तक फ्रैक्टल सर्वव्यापी हैं।

रचनात्मक कार्यों में
1999 के बाद से कई वैज्ञानिक समूहों ने सीधे क्षैतिज कैनवस पर पेंट डालकर जैक्सन पोलक  (1912-1956) द्वारा बनाई गई 50 से अधिक पेंटिंग्स पर फ्रैक्टल विश्लेषण किया है। हाल ही में, नकली पोलक से वास्तविक को अलग करने में 93% सफलता दर प्राप्त करने के लिए फ्रैक्टल विश्लेषण का उपयोग किया गया है। संज्ञानात्मक तंत्रिका विज्ञानियों ने दिखाया है कि पोलक के भग्न प्रेक्षकों में कंप्यूटर जनित भग्न और प्रकृति के भग्न के समान तनाव-कमी को प्रेरित करते हैं। डेकल कोमेनिया, मैक्स अर्नेस्ट  जैसे कलाकारों द्वारा इस्तेमाल की जाने वाली तकनीक, फ्रैक्टल-जैसे पैटर्न का उत्पादन कर सकती है। इसमें दो सतहों के बीच पेंट को दबाना और उन्हें अलग करना शामिल है।

साइबरनेटिसिस्ट रॉन एग्लैश ने सुझाव दिया है कि अफ्रीकी कला, खेल,  अटकल , व्यापार और वास्तुकला में फ्रैक्टल ज्यामिति और गणित प्रचलित हैं। वृत्ताकार घर वृत्तों के वृत्तों में, आयताकार घर आयतों के आयतों में, इत्यादि में दिखाई देते हैं। इस तरह के स्केलिंग पैटर्न अफ्रीकी वस्त्रों, मूर्तिकला और यहां तक ​​​​कि कॉर्नो हेयर स्टाइल में भी पाए जा सकते हैं।  होक्की सितुंगकिरो  ने पारंपरिक घरों में पाए जाने वाले इंडोनेशियाई पारंपरिक कला,  बाटिक  और  आभूषण (कला)  में भी इसी तरह के गुणों का सुझाव दिया। नृवंशविज्ञानी रॉन एग्लाश ने न केवल शहर और गांवों में बल्कि घरों के कमरों में भी आधार के रूप में फ्रैक्टल का उपयोग करके बेनिन शहर  के नियोजित लेआउट पर चर्चा की है। उन्होंने टिप्पणी की कि जब यूरोपीय पहली बार अफ्रीका आए, तो उन्होंने वास्तुकला को बहुत अव्यवस्थित और इस प्रकार आदिम माना। उनके साथ ऐसा कभी नहीं हुआ कि अफ्रीकियों ने गणित के एक ऐसे रूप का उपयोग किया होगा जिसे उन्होंने अभी तक खोजा भी नहीं था। माइकल सिल्वरब्लाट के साथ 1996 के एक साक्षात्कार में,  डेविड फोस्टर वालेस  ने स्वीकार किया कि उन्होंने अपने संपादक माइकल पिएत्श को दिए गए अनंत जेस्ट के पहले मसौदे की संरचना फ्रैक्टल्स से प्रेरित थी, विशेष रूप से सिएरपिंस्की त्रिकोण (उर्फ सिएरपिंस्की गैस्केट), लेकिन संपादित उपन्यास है अधिक एकतरफा Sierpinsky Gasket की तरह। डच कलाकार एम. सी. एस्चर की कुछ कृतियों में, जैसे कि सर्कल लिमिट III, में अनंत तक दोहराए गए आकार होते हैं जो किनारों के पास आने पर छोटे और छोटे हो जाते हैं, एक पैटर्न में जो ज़ूम इन करने पर हमेशा एक जैसा दिखता है।

शारीरिक प्रतिक्रियाएं
1.3 और 1.5 के बीच डी मानों के साथ फ्रैक्टल पैटर्न को संसाधित करने के लिए मनुष्य विशेष रूप से अच्छी तरह से अनुकूलित प्रतीत होते हैं। जब मनुष्य 1.3 और 1.5 के बीच डी मानों के साथ फ्रैक्टल पैटर्न देखते हैं, तो यह शारीरिक तनाव को कम करता है।

प्रौद्योगिकी में अनुप्रयोग

 * भग्न एंटीना
 * फ्रैक्टल ट्रांजिस्टर
 * फ्रैक्टल हीट एक्सचेंजर्स
 * डिजिटल इमेजिंग
 * आर्किटेक्चर * शहरी विकास
 * ऊतकविकृतिविज्ञानी स्लाइड्स का  वर्गीकरण
 * भग्न परिदृश्य या  तट रेखा जटिलता
 * भग्न विश्लेषण द्वारा 'जीवन का पता लगाना जैसा कि हम इसे नहीं जानते'
 * एंजाइम ( माइकलिस-मेंटेन कैनेटीक्स )
 * एल्गोरिदमिक रचना
 * सिग्नल (सूचना सिद्धांत) और फ्रैक्टल संपीड़न
 * डिजिटल फोटोग्राफिक इज़ाफ़ा का निर्माण
 * मृदा यांत्रिकी में भग्न
 * खेल का प्रारूप
 * कंप्यूटर ग्राफिक्स
 * जीवन का वातावरण
 * प्रक्रियात्मक पीढ़ी
 * फ्रैक्टोग्राफी और  फ्रैक्चर यांत्रिकी
 * सैक्स
 * टी-शर्ट और अन्य फैशन
 * छलावरण के लिए पैटर्न का निर्माण, जैसे MARPAT
 * डिजिटल धूपघड़ी
 * मूल्य श्रृंखला का तकनीकी विश्लेषण
 * नेटवर्क पर फ्रैक्टल आयाम
 * दवा * तंत्रिका विज्ञान   *  बीमारी के इलाज़ के लिए तस्वीरें लेना  * विकृति विज्ञान
 * भूगर्भशास्त्र
 * भूगोल
 * पुरातत्व
 * सोइल मकैनिक्स * भूकंप विज्ञान * खोज और बचाव
 * तकनीकी विश्लेषण
 * मॉर्टन ऑर्डर # टेक्सचर मैपिंग में GPU   कैश सुसंगतता  के लिए एप्लिकेशन स्पेस फिलिंग कर्व्स,    रास्टराइज़ेशन   और अशांति डेटा का अनुक्रमण।

यह भी देखें

 * बनच निश्चित बिंदु प्रमेय
 * द्विभाजन सिद्धांत *
 * बॉक्स गिनती
 * सिमेटिक्स
 * निर्धारणवाद
 * डायमंड-स्क्वायर एल्गोरिदम
 * सूखा प्रभाव
 * अंजीर का पेड़ समारोह
 * फॉर्म स्थिरांक
 * फ्रैक्टल ब्रह्मांड विज्ञान
 * फ्रैक्टल व्युत्पन्न
 * फ्रैक्टलग्रिड
 * भग्न स्ट्रिंग
 * फ्रैक्टन
 * भ्रष्टाचार
 * ग्रीबल
 * अनंत वापसी
 * लैकुनैरिटी
 * हौसडॉर्फ आयाम द्वारा भग्नों की सूची
 * मंडेलबुलबी
 * मंडेलबॉक्स
 * स्थूल जगत और सूक्ष्म जगत
 * मैत्रियोष्का गुड़िया
 * मेंजर स्पंज
 * मल्टीफ्रैक्टल सिस्टम
 * न्यूटन फ्रैक्टल
 * छिड़काव
 * शक्ति नियम
 * गणित में महत्वपूर्ण प्रकाशनों की सूची#फ्रैक्टल ज्यामिति
 * यादृच्छिक चाल
 * स्व-संदर्भ
 * स्व-समानता
 * सिस्टम थ्योरी
 * अजीब लूप
 * अशांति
 * वीनर प्रक्रिया

अग्रिम पठन

 * Barnsley, Michael F.; and Rising, Hawley; Fractals Everywhere. Boston: Academic Press Professional, 1993. ISBN 0-12-079061-0
 * Duarte, German A.; Fractal Narrative. About the Relationship Between Geometries and Technology and Its Impact on Narrative Spaces. Bielefeld: Transcript, 2014. ISBN 978-3-8376-2829-6
 * Falconer, Kenneth; Techniques in Fractal Geometry. John Wiley and Sons, 1997. ISBN 0-471-92287-0
 * Jürgens, Hartmut; Peitgen, Heinz-Otto; and Saupe, Dietmar; Chaos and Fractals: New Frontiers of Science. New York: Springer-Verlag, 1992. ISBN 0-387-97903-4
 * Mandelbrot, Benoit B.; The Fractal Geometry of Nature. New York: W. H. Freeman and Co., 1982. ISBN 0-7167-1186-9
 * Peitgen, Heinz-Otto; and Saupe, Dietmar; eds.; The Science of Fractal Images. New York: Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-96608-0
 * Pickover, Clifford A.; ed.; Chaos and Fractals: A Computer Graphical Journey – A 10 Year Compilation of Advanced Research. Elsevier, 1998. ISBN 0-444-50002-2
 * Jones, Jesse; Fractals for the Macintosh, Waite Group Press, Corte Madera, CA, 1993. ISBN 1-878739-46-8.
 * Lauwerier, Hans; Fractals: Endlessly Repeated Geometrical Figures, Translated by Sophia Gill-Hoffstadt, Princeton University Press, Princeton NJ, 1991. ISBN 0-691-08551-X, cloth. ISBN 0-691-02445-6 paperback. "This book has been written for a wide audience..." Includes sample BASIC programs in an appendix.
 * Wahl, Bernt; Van Roy, Peter; Larsen, Michael; and Kampman, Eric; Exploring Fractals on the Macintosh, Addison Wesley, 1995. ISBN 0-201-62630-6
 * Lesmoir-Gordon, Nigel; The Colours of Infinity: The Beauty, The Power and the Sense of Fractals. 2004. ISBN 1-904555-05-5 (The book comes with a related DVD of the Arthur C. Clarke documentary introduction to the fractal concept and the Mandelbrot set.)
 * Liu, Huajie; Fractal Art, Changsha: Hunan Science and Technology Press, 1997, ISBN 9787535722348.
 * Gouyet, Jean-François; Physics and Fractal Structures (Foreword by B. Mandelbrot); Masson, 1996. ISBN 2-225-85130-1, and New York: Springer-Verlag, 1996. ISBN 978-0-387-94153-0. Out-of-print. Available in PDF version at.
 * Gouyet, Jean-François; Physics and Fractal Structures (Foreword by B. Mandelbrot); Masson, 1996. ISBN 2-225-85130-1, and New York: Springer-Verlag, 1996. ISBN 978-0-387-94153-0. Out-of-print. Available in PDF version at.

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक कड़ियों की सूची

 * अंक शास्त्र
 * भग्न आयाम
 * affine
 * RADIUS
 * ज्यामितीय आंकड़े
 * विभेदक कार्य
 * प्रत्यावर्तन
 * यात्रा
 * हॉसडॉर्फ आयाम द्वारा भग्नों की सूची
 * प्रकृति में पैटर्न
 * अनंत वापसी
 * रेप-टाइल
 * अफ्रीका की वास्तुकला
 * एक समारोह का ग्राफ
 * कहीं अलग नहीं है
 * जटिल आंकड़े
 * पुनरावृत्त कार्य प्रणाली
 * अनपेक्षित विशेषताएं
 * पूर्वानुमान
 * रसद नक्शा
 * भग्न विश्लेषण
 * जानवरों का रंग
 * नस
 * दोष लाइन
 * दिल लगता है
 * बिजली चमकना
 * शाखाओं में बंटी प्रक्रिया
 * रॉन एग्लाश
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 * भग्न संपीड़न
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 * मृदा यांत्रिकी में फ्रैक्टल
 * एल्गोरिथम रचना
 * पुरातत्त्व
 * भग्न ब्रह्मांड विज्ञान
 * ग्राफ्टल
 * यह सिद्धांत कि मनुष्य के कार्य स्वतंत्र नहीं होते
 * टपकन
 * मैत्रियोश्का डॉलर
 * लापरवाही

बाहरी संबंध

 * Hunting the Hidden Dimension, PBS NOVA, first aired August 24, 2011
 * Benoit Mandelbrot: Fractals and the Art of Roughness, TED, February 2010
 * Technical Library on Fractals for controlling fluid
 * Equations of self-similar fractal measure based on the fractional-order calculus（2007）
 * Equations of self-similar fractal measure based on the fractional-order calculus（2007）