माप (गणित)

गणित में माप की अवधारणा ज्यामित या लंबाई क्षेत्रफल और आयतन (लंबाई क्षेत्रफल आयतन) और अन्य सामान्य धारणाओं जैसे द्रव्यमान और घटनाओं की संभावना का सामान्यीकरण और औपचारिकता है। इन प्रतीत होने वाली विशिष्ट अवधारणाओं में कई समानताएँ हैं और अधिकांशतः एक ही गणितीय संदर्भ में एक साथ व्यवहार किया जा सकता है। उपाय संभाव्यता सिद्धांत अभिन्न में मूलभूत हैं और विद्युत आवेश के साथ हस्ताक्षरित माप ग्रहण करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। माप के दूरगामी सामान्यीकरण (जैसे वर्णक्रमीय उपाय और प्रक्षेपण-मूल्यवान उपाय) सामान्य रूप से क्वांटम भौतिकी और भौतिकी में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं।

इस अवधारणा के पीछे का अंतर्ज्ञान प्राचीन ग्रीस में वापस आता है जब आर्किमिडीज़ ने वृत्त के क्षेत्रफल की गणना करने की प्रयाश की थी। किंतु 19वीं सदी के अंत और 20वीं सदी की प्रारंभ तक माप सिद्धांत गणित की शाखा नहीं बन पाया आधुनिक माप सिद्धांत की नींव एमिल बोरेल हेनरी लेबेस्ग्यू, निकोलाई लुज़िन जोहान राडॉन कॉन्स्टेंटिन कैराथोडोरी और मौरिस फ्रेचेट के कार्यों में रखी गई थी।

परिभाषा


मान लीजिए कि $$X$$ समुच्चय है और $$\Sigma$$, $$\sigma$$ -बीजगणित $$X.$$ के ऊपर है। $$\Sigma$$ से विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा तक समुच्चय फलन $$\mu$$को माप कहा जाता है यदि निम्नलिखित स्थितियाँ प्रयुक्त होती हैं:

यदि कम से कम समुच्चय $$E$$ में परिमित माप है, तो आवश्यकता $$\mu(\varnothing) = 0$$ गणनीय योगात्मकता के कारण स्वचालित रूप से पूरी हो जाती है: $$\mu(E)=\mu(E \cup \varnothing) = \mu(E) + \mu(\varnothing),$$ और इसीलिए $$\mu(\varnothing)=0.$$
 * गैर-नकारात्मकता: सभी के लिए $$E$$ में $$\Sigma,$$ $$\mu(E) \geq 0.$$
 * $$\mu(\varnothing) = 0.$$
 * गणनीय योगात्मकता (या $$\sigma$$ -योगात्मकता): सभी गणनीय संग्रह $$\{ E_k \}_{k=1}^\infty$$ के लिए Σ में जोड़ीदार असंयुक्त समुच्चय के लिए है $$\mu\left(\bigcup_{k=1}^\infty E_k\right)=\sum_{k=1}^\infty \mu(E_k).$$

यदि गैर-नकारात्मकता की स्थिति को छोड़ दिया जाता है, और $$\mu$$ {$$\pm \infty,$$} के अधिकतम मानों में से एक पर ले लेता है, तो $$\mu$$ को हस्ताक्षरित माप कहा जाता है।

जोड़ा $$(X, \Sigma)$$ औसत श्रेणी का स्थान कहा जाता है, और $$\Sigma$$ के सदस्य मापनीय समुच्चय कहलाते हैं।

ट्रिपल $$(X, \Sigma, \mu)$$ को स्थान माप कहा जाता है। प्रायिकता माप एक माप है, जिसका कुल माप एक – है, जो कि $$\mu(X) = 1.$$ प्रायिकता स्थान प्रायिकता माप वाला माप स्थान है।

माप स्थान के लिए जो टोपोलॉजिकल स्थान भी हैं, माप और टोपोलॉजी के लिए विभिन्न अनुकूलता स्थितियों को रखा जा सकता है। विश्लेषण (गणित) में व्यवहार में मिले अधिकांश उपाय (और कई स्थिति में प्रायिकता सिद्धांत में भी) रेडॉन उपाय हैं। समर्थन (गणित) या कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ निरंतर कार्यों के स्थानीय उत्तल टोपोलॉजिकल सदिश स्थान पर रैडॉन उपायों की रैखिक कार्यात्मकता के संदर्भ में वैकल्पिक परिभाषा है। यह दृष्टिकोण निकोलस बोरबाकी (2004) और कई अन्य स्रोतों द्वारा लिया गया है। अधिक जानकारी के लिए रैडॉन उपायों पर आलेख देखें।

उदाहरण
कुछ महत्वपूर्ण उपाय यहां सूचीबद्ध हैं।


 * गणना माप को $$\mu(S)$$ = $$S.$$ में तत्वों की संख्या द्वारा परिभाषित किया गया है।
 * $$\R$$ पर लेबेस्ग माप σ-बीजगणित पर पूर्ण अनुवाद-अपरिवर्तनीय माप है, जिसमें $$\R$$ में अंतराल होते हैं, जैसे कि $$\mu([0, 1]) = 1$$; और इन गुणों के साथ हर दूसरा माप लेबेस्ग माप का विस्तार करता है।
 * परिपत्र कोण माप घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय है और अतिशयोक्तिपूर्ण कोण माप निचोड़ मानचित्रण के तहत अपरिवर्तनीय है।
 * स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान टोपोलॉजिकल समूह के लिए हार उपाय लेबेस्ग माप (और गिनती माप और परिपत्र कोण माप का भी) का सामान्यीकरण है और इसमें समान विशिष्टता गुण हैं।
 * हॉसडॉर्फ माप गैर-पूर्णांक आयाम, विशेष रूप से फ्रैक्टल समुच्चय के साथ समुच्चय करने के लिए लेबेस्ग माप का सामान्यीकरण है।
 * प्रत्येक संभाव्यता स्थान माप को उत्पन्न करता है, जो पूरे स्थान पर मान 1 लेता है (और इसलिए इकाई अंतराल [0, 1] में इसके सभी मान लेता है)। ऐसे माप को संभाव्यता माप कहा जाता है। संभाव्यता स्वयंसिद्ध देखें।
 * डिराक माप δa (cf. डिराक डेल्टा कार्य ) δa(S) = χS(a), द्वारा दिया जाता है, जहां χS, $$S.$$ का सूचक कार्य है। समुच्चय का माप 1 है यदि इसमें बिंदु $$a$$ और 0 अन्यथा सम्मिलित है।

विभिन्न सिद्धांतों में प्रयुक्त अन्य 'नामित' उपायों में सम्मिलित हैं: बोरेल माप, जॉर्डन माप, एर्गोडिक माप, गॉसियन माप, बेयर माप, रेडॉन माप, युवा माप और लोएब माप। भौतिकी में माप का उदाहरण द्रव्यमान का स्थानिक वितरण है (उदाहरण के लिए, गुरुत्वाकर्षण क्षमता देखें), या अन्य गैर-नकारात्मक व्यापक संपत्ति, संरक्षित मात्रा (इनकी सूची के लिए संरक्षण नियम (भौतिकी) देखें) या नहीं। नकारात्मक मान हस्ताक्षरित उपायों की ओर ले जाते हैं, नीचे सामान्यीकरण देखें।


 * लिउविले का प्रमेय (हैमिल्टनियन) या सहानुभूति ज्यामिति जिसे सहानुभूति बहुविध पर प्राकृतिक आयतन रूप के रूप में भी जाना जाता है मौलिक सांख्यिकीय और हैमिल्टनियन यांत्रिकी में उपयोगी है।
 * गिब्स माप व्यापक रूप से सांख्यिकीय यांत्रिकी में उपयोग किया जाता है जिसे अधिकांशतः विहित पहनावा के नाम से जाना जाता है।

मूल गुण
माना $$\mu$$ माप है।

एकरसता
यदि $$E_1$$ और $$E_2$$ और $$E_1 \subseteq E_2$$के साथ मापने योग्य समुच्चय हैं तो $$\mu(E_1) \leq \mu(E_2).$$

गणनीय उप-विषमता
किसी भी गणनीय अनुक्रम के लिए $$E_1, E_2, E_3, \ldots$$(जरूरी नहीं कि अलग हो) मापने योग्य समुच्चय $$E_n$$, $$\Sigma:$$ में। $$\mu\left( \bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) \leq \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i).$$

निरंतरता नीचे से
यदि $$E_1, E_2, E_3, \ldots$$ मापने योग्य समुच्चय हैं जो बढ़ रहे हैं (जिसका अर्थ है कि $$E_1 \subseteq E_2 \subseteq E_3 \subseteq \ldots$$तो समुच्चयों का मिलन $$E_n$$ औसत श्रेणी का है और$$\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) ~=~ \lim_{i\to\infty} \mu(E_i) = \sup_{i \geq 1} \mu(E_i).$$

ऊपर से निरंतरता
यदि $$E_1, E_2, E_3, \ldots$$ मापने योग्य समुच्चय हैं जो घट रहे हैं (जिसका अर्थ है कि $$E_1 \supseteq E_2 \supseteq E_3 \supseteq \ldots$$) फिर समुच्चय का इंटरसेक्शन (समुच्चय सिद्धांत) $$E_n$$ मापने योग्य है; इसके अतिरिक्त, यदि कम से कम $$E_n$$ तब परिमित उपाय है $$\mu\left(\bigcap_{i=1}^\infty E_i\right) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i) = \inf_{i \geq 1} \mu(E_i).$$ यह संपत्ति इस धारणा के बिना असत्य है कि कम से कम $$E_n$$ परिमित उपाय है। उदाहरण के लिए, प्रत्येक के लिए $$n \in \N,$$ होने देना $$E_n = [n, \infty) \subseteq \R,$$ जिसमें सभी के पास असीमित लेबेस्ग माप है किंतु प्रतिच्छेदन खाली है।

पूर्णता
मापने योग्य समुच्चय $$X$$ अशक्त समुच्चय कहा जाता है यदि $$\mu(X) = 0.$$ शून्य समुच्चय के उपसमुच्चय को नगण्य समुच्चय कहा जाता है। नगण्य समुच्चय को मापने योग्य नहीं होना चाहिए, किंतु प्रत्येक मापने योग्य नगण्य समुच्चय स्वचालित रूप से शून्य समुच्चय होता है। उपाय को पूर्ण कहा जाता है यदि प्रत्येक नगण्य समुच्चय औसत श्रेणी का हो।

उपसमुच्चय $$Y$$ के σ-बीजगणित पर विचार करके उपाय को पूर्ण रूप से बढ़ाया जा सकता है, जो औसत श्रेणी के समुच्चय $$X,$$ से नगण्य समुच्चय द्वारा भिन्न होता है, जैसे कि $$X$$ और $$Y$$ का सममित अंतर शून्य समुच्चय में समाहित है। $$\mu(Y)$$ को $$\mu(X).$$के समान परिभाषित करता है।

μ{x : f(x) ≥ t} = μ{x : f(x) > t} (a.e.)
यदि $$f:X\to[0,+\infty]$$, $$(\Sigma,{\cal B}([0,+\infty]))$$-मापने योग्य है, तो $$\mu\{x\in X: f(x) \geq t\} = \mu\{x\in X: f(x) > t\}$$ लगभग सभी $$t \in X.$$ इस गुण का उपयोग लेबेसेग इंटीग्रल के संबंध में किया जाता है। $$

एडिटिविटी
उपायों को योगात्मक रूप से जोड़ने की आवश्यकता है। चूँकि स्थिति को निम्नानुसार शक्तिशाली किया जा सकता है।

किसी भी समुच्चय के लिए $$I$$ और गैर-नकारात्मक का कोई भी समुच्चय $$r_i,i\in I$$ परिभाषित करना: $$\sum_{i\in I} r_i=\sup\left\lbrace\sum_{i\in J} r_i : |J|<\aleph_0, J\subseteq I\right\rbrace.$$ अर्थात्, हम $$r_i$$ के योग को परिभाषित करते हैं जो उनमें से बहुत से परिमित रूप से सभी योगों का सर्वोच्च है। $$\Sigma$$ पर $$\mu$$, $$\kappa$$ -योगात्मक है यदि किसी $$\lambda<\kappa$$ और अलग सेटों के किसी भी वर्ग के लिए $$X_\alpha,\alpha<\lambda$$ निम्नलिखित होल्ड करता है:$$\bigcup_{\alpha\in\lambda} X_\alpha \in \Sigma$$ $$\mu\left(\bigcup_{\alpha\in\lambda} X_\alpha\right) = \sum_{\alpha\in\lambda}\mu\left(X_\alpha\right).$$ ध्यान दें कि दूसरी स्थिति इस कथन के समतुल्य है कि अशक्त सेटों का आदर्श (समुच्चय सिद्धांत) है $$\kappa$$-पूरा।

सिग्मा-परिमित उपाय
माप स्थान $$(X, \Sigma, \mu)$$ को परिमित कहा जाता है यदि $$\mu(X)$$ परिमित वास्तविक संख्या है ($$\infty$$ के अतिरिक्त ) शून्येतर परिमित उपाय संभाव्यता उपायों के अनुरूप हैं इस अर्थ में कि कोई भी परिमित माप $$\mu$$ प्रायिकता माप के समानुपाती होता है; $$\frac{1}{\mu(X)}\mu$$ जहाँ माप $$\mu$$ कहलाती है, σ-सीमित यदि $$X$$ को परिमित माप के मापने योग्य सेटों के गणनीय संघ में विघटित किया जा सकता है। अनुरूप रूप से माप स्थान में समुच्चय को σ-परिमित माप कहा जाता है यदि यह परिमित माप के साथ सेटों का गणनीय संघ है।

उदाहरण के लिए, मानक लेबेस्ग माप के साथ वास्तविक संख्याएं σ-परिमित हैं किंतु परिमित नहीं हैं। सभी पूर्णांकों के लिए बंद अंतरालों $$[k, k+1]$$ पर विचार करें $$k;$$ ऐसे कई अंतराल हैं, जिनमें से प्रत्येक का माप 1 है, और उनका संयोजन संपूर्ण वास्तविक रेखा है। वैकल्पिक रूप से गिनती माप के साथ वास्तविक संख्याओं पर विचार करें जो वास्तविक के प्रत्येक परिमित समुच्चय को समुच्चय में बिंदुओं की संख्या प्रदान करती है। यह माप स्थान σ-परिमित नहीं है क्योंकि परिमित माप के साथ प्रत्येक समुच्चय में केवल सूक्ष्म रूप से कई बिंदु होते हैं और यह संपूर्ण वास्तविक रेखा को कवर करने के लिए ऐसे कई सेटों को अगणनीय रूप से ले जाएगा। σ-परिमित माप स्थान में कुछ बहुत ही सुविधाजनक गुण होते हैं इस संबंध में σ-परिमितता की तुलना टोपोलॉजिकल स्पेस की लिंडेलोफ संपत्ति से की जा सकती है। उन्हें इस विचार के अस्पष्ट सामान्यीकरण के रूप में भी माना जा सकता है कि माप स्थान में 'अगणनीय माप' हो सकता है।

अर्धसूत्रीय उपाय
मान लें कि $$X$$ समुच्चय है, $${\cal A}$$ को $$X,$$ पर सिग्मा-बीजगणित होने दें, और $$\mu$$ को $${\cal A}.$$ पर माप होने दें। हम $$\mu$$ कहते हैं, इसका अर्थ यह है कि सभी $$A\in\mu^\text{pre}\{+\infty\},$$$${\cal P}(A)\cap\mu^\text{pre}(\R_{>0})\ne\emptyset.$$

सेमीफिनिट उपाय सिग्मा-फिनिट उपायों को इस तरह से सामान्यीकृत करते हैं कि माप सिद्धांत के कुछ बड़े प्रमेय जो सिग्मा-फिनिट के लिए हैं, किंतु मनमाना उपाय नहीं हैं उन्हें सेमीफिनिट उपायों के लिए थोड़े संशोधन के साथ बढ़ाया जा सकता है। (टू-डू: ऐसे प्रमेयों के उदाहरण जोड़ें; cf. वार्ता पृष्ठ।)

मूलभूत उदाहरण

 * प्रत्येक सिग्मा-परिमित माप अर्ध-परिमित होता है।
 * मान लें $${\cal A}={\cal P}(X),$$ let $$f:X\to[0,+\infty],$$ और $$\mu(A)=\sum_{a\in A}f(a)$$ सभी $$A\subseteq X.$$ के लिए है ।
 * हमारे पास यह है कि $$\mu$$ सिग्मा-परिमित है यदि और केवल यदि $$f(x)<+\infty$$ सभी $$x\in X$$ और $$f^\text{pre}(\R_{>0})$$ के लिए गणनीय है। हमारे पास यह है कि $$\mu$$अर्ध-परिमित है यदि और केवल यदि $$f(x)<+\infty$$ सभी $$x\in X.$$के लिए है ।
 * ऊपर $$f=X\times\{1\}$$ लेते हुए (जिससे $$\mu$$, $${\cal P}(X)$$ पर माप की गिनती कर रहा हो), हम $${\cal P}(X)$$ पर गिनती के माप को देखते हैं
 * सिग्मा-परिमित यदि और केवल यदि $$X$$ गणनीय है; और
 * अर्ध-परिमित (बिना इस बात के कि क्या $$X$$ गणनीय है)। (इस प्रकार गणना माप इच्छानुसार से अगणनीय समुच्चय $$X,$$ के पावर समुच्चय $${\cal P}(X)$$ पर, अर्ध-परिमित माप का उदाहरण देता है जो सिग्मा-परिमित नहीं है।)
 * $$d$$ को $$X,$$ पर पूर्ण, अलग करने योग्य मीट्रिक होने दें, $${\cal B}$$ को $$d,$$द्वारा प्रेरित बोरेल सिग्मा-बीजगणित होने दें, और$$s\in\R_{>0}.$$ फिर हॉसडॉर्फ माप $${\cal H}^s|{\cal B}$$ अर्ध-परिमित है।

$$d$$ को $$X,$$पर पूर्ण, अलग करने योग्य मीट्रिक होने दें, $${\cal B}$$ को $$d,$$ द्वारा प्रेरित बोरेल सिग्मा-बीजगणित होने दें, और $$s\in\R_{>0}.$$फिर पैकिंग माप $${\cal H}^s|{\cal B}$$ अर्ध-परिमित है।

सम्मिलित उदाहरण
शून्य माप सिग्मा-परिमित है और इस प्रकार अर्ध-परिमित है। इसके अतिरिक्त शून्य माप स्पष्ट रूप से $$\mu.$$ से कम या उसके समान है। यह दिखाया जा सकता है कि इन दो गुणों के साथ सबसे बड़ा माप है: $$

हम कहते हैं कि $$\mu$$ का अर्ध परिमित भाग जिसका अर्थ उपरोक्त प्रमेय में परिभाषित अर्ध परिमित माप $$\mu_\text{sf}$$ है। हम कुछ अच्छे स्पष्ट सूत्र देते हैं जिन्हें कुछ लेखक परिभाषा के रूप में ले सकते हैं, अर्ध-परिमित भाग के लिए:
 * $$\mu_\text{sf}=(\sup\{\mu(B):B\in{\cal P}(A)\cap\mu^\text{pre}(\R_{\ge0})\})_{A\in{\cal A}}.$$
 * $$\mu_\text{sf}=(\sup\{\mu(A\cap B):B\in\mu^\text{pre}(\R_{\ge0})\})_{A\in{\cal A}}\}.$$
 * $$\mu_\text{sf}=\mu|_{\mu^\text{pre}(\R_{>0})}\cup\{A\in{\cal A}:\sup\{\mu(B):B\in{\cal P}(A)\}=+\infty\}\times\{+\infty\}\cup\{A\in{\cal A}:\sup\{\mu(B):B\in{\cal P}(A)\}<+\infty\}\times\{0\}.$$

चूँकि $$\mu_\text{sf}$$ अर्ध-परिमित है, इसका अर्थ यह है कि यदि $$\mu=\mu_\text{sf}$$ तो $$\mu$$ अर्धशतक है। यह भी स्पष्ट है कि यदि $$\mu$$ अर्ध-परिमित तब $$\mu=\mu_\text{sf}.$$है

गैर-उदाहरण
प्रत्येक $$0-\infty$$ माप जो शून्य माप नहीं है, अर्ध-परिमित नहीं है। (यहाँ, हम कहते हैं कि $$0-\infty$$ माप का अर्थ उस माप से है जिसकी सीमा $$\{0,+\infty\}$$ में है: $$\{0,+\infty\}$$ नीचे हम $$0-\infty$$ उपायों के उदाहरण देते हैं जो शून्य उपाय नहीं हैं।
 * मान लें कि $$X$$ खाली नहीं है, $${\cal A}$$ को $$X,$$ पर $$\sigma$$ -बीजगणित होने दें ,$$f:X\to\{0,+\infty\}$$ को ज़ीरो कार्य न होने दें, और चलो $$\mu=(\sum_{x\in A}f(x))_{A\in{\cal A}}.$$ यह दिखाया जा सकता है कि $$\mu$$ माप है।
 * $$\mu=\{(\emptyset,0)\}\cup({\cal A}\setminus\{\emptyset\})\times\{+\infty\}.$$
 * $$X=\{0\},$$ $${\cal A}=\{\emptyset,X\},$$ $$\mu=\{(\emptyset,0),(X,+\infty)\}.$$

$$X$$ को अगणनीय होने दें, $${\cal A}$$ को X पर $$\sigma$$ -बीजगणित होने दें, $${\cal C}=\{A\in{\cal A}:A\text{ is countable}\}$$ $${\cal A},$$ के गणनीय तत्व हो और $$\mu={\cal C}\times\{0\}\cup({\cal A}\setminus{\cal C})\times\{+\infty\}.$$ यह दिखाया जा सकता है कि $$\mu$$ माप है।

सम्मिलित गैर-उदाहरण
"ऐसे उपाय जो अर्ध-सीमित नहीं हैं, कुछ निश्चित सेटों तक सीमित होने पर बहुत ही जंगली होते हैं। एक बार इसका $0-\infty$ भाग (जंगली भाग) हटा दिए जाने पर प्रत्येक माप, एक अर्थ में, अर्ध-अंतहीन हो जाता है।" $$

हम कहते हैं $$\mathbf{0-\infty}$$ $$\mu$$ का भाग उपरोक्त प्रमेय में परिभाषित माप $$\mu_{0-\infty}$$ का अर्थ है। यहाँ $$\mu_{0-\infty}$$, $$\mu_{0-\infty}=(\sup\{\mu(B)-\mu_\text{sf}(B):B\in{\cal P}(A)\cap\mu_\text{sf}^\text{pre}(\R_{\ge0})\})_{A\in{\cal A}}.$$ के लिए स्पष्ट सूत्र दिया गया है।

अर्धसूक्ष्म उपायों से संबंधित परिणाम

 * $$\mathbb F$$ को $$\R$$ या $$\C,$$ होने दें और $$T:L_\mathbb{F}^\infty(\mu)\to\left(L_\mathbb{F}^1(\mu)\right)^*:g\mapsto T_g=\left(\int fgd\mu\right)_{f\in L_\mathbb{F}^1(\mu)}.$$ तब $$\mu$$ अर्ध-परिमित है यदि और केवल यदि $$T$$अंतःक्षेपी है। (यह परिणाम $$L^1=L_\mathbb{F}^1(\mu)$$ के दोहरे स्थान के अध्ययन में महत्वपूर्ण है।)
 * $$\mathbb F$$ को $$\R$$ या $$\C,$$ होने दें और $${\cal T}$$ को माप में अभिसरण की टोपोलॉजी होने दें $$L_\mathbb{F}^0(\mu).$$ तब $$\mu$$अर्ध-परिमित है यदि और केवल यदि $${\cal T}$$ हौसडॉर्फ है।
 * (जॉनसन) मान लीजिए $$X$$ समुच्चय है, मान लीजिए $${\cal A}$$, $$X,$$ पर सिग्मा-बीजगणित है, मान लीजिए $$\mu$$ $${\cal A},$$पर माप है, मान लीजिए $$Y$$ समुच्चय हो, $${\cal B}$$ को $$Y,$$ पर सिग्मा-बीजगणित होने दें, और $$\nu$$ को $${\cal B}.$$ पर माप होने दें। यदि $$\mu,\nu$$ दोनों $$0-\infty$$ माप नहीं हैं, तो $$\mu$$ और $$\nu$$ दोनों अर्ध-परिमित हैं यदि और केवल यदि $$(\mu\times_\text{cld}\nu)$$$$(A\times B)=\mu(A)\nu(B)$$ सभी के लिए $$A\in{\cal A}$$ और $$B\in{\cal B}.$$ (यहां,$$\mu\times_\text{cld}\nu$$ बर्बेरियन '65 में प्रमेय 39.1 में परिभाषित माप है।

स्थानीयकरण योग्य उपाय
स्थानीयकरण योग्य उपाय अर्ध-परिमित उपायों का विशेष स्थिति है और सिग्मा-परिमित उपायों का सामान्यीकरण है।

$$X$$ को समुच्चय होने दें, $${\cal A}$$ को $$X,$$ पर सिग्मा-बीजगणित होने दें, और $$\mu$$ को $${\cal A}.$$ पर माप होने दें।
 * होने देना $$\mathbb F$$ होना $$\R$$ या $$\C,$$ और जाने $$T : L_\mathbb{F}^\infty(\mu) \to \left(L_\mathbb{F}^1(\mu)\right)^* : g \mapsto T_g = \left(\int fgd\mu\right)_{f\in L_\mathbb{F}^1(\mu)}.$$ फिर $$\mu$$ स्थानीयकरण योग्य है यदि और केवल यदि $$T$$ विशेषण है (यदि और केवल यदि $$L_\mathbb{F}^\infty(\mu)$$ है $$L_\mathbb{F}^1(\mu)^*$$).

$$\mathbb F$$ को $$\R$$ या $$\C,$$ होने दें और $$T : L_\mathbb{F}^\infty(\mu) \to \left(L_\mathbb{F}^1(\mu)\right)^* : g \mapsto T_g = \left(\int fgd\mu\right)_{f\in L_\mathbb{F}^1(\mu)}.$$ तब $$\mu$$ स्थानीयकरण योग्य है यदि और केवल यदि $$T$$ एकात्मक है (यदि और केवल यदि $$L_\mathbb{F}^\infty(\mu)$$, $$L_\mathbb{F}^1(\mu)^*$$ है

एस-सीमित उपाय
माप को परिमित कहा जाता है यदि यह परिबद्ध उपायों का गणनीय योग है। एस-परिमित उपाय सिग्मा-परिमित उपायों की तुलना में अधिक सामान्य हैं और स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं के सिद्धांत में अनुप्रयोग हैं।

गैर-मापने योग्य समुच्चय
यदि चयन के अभिगृहीत को सत्य मान लिया जाए तो यह सिद्ध किया जा सकता है कि यूक्लिडियन स्थान के सभी उपसमुच्चय लेबेस्ग मापने योग्य नहीं हैं; इस तरह के समुच्चय के उदाहरणों में विटाली समुच्चय और गैर-मापने योग्य समुच्चय सम्मिलित हैं जो हॉसडॉर्फ विरोधाभास और बानाच-टार्स्की विरोधाभास द्वारा पोस्ट किए गए हैं।

सामान्यीकरण
कुछ उद्देश्यों के लिए, यह उपाय के लिए उपयोगी होता है जिसका मूल्य गैर-नकारात्मक वास्तविक या अनंत तक सीमित नहीं है। उदाहरण के लिए, (हस्ताक्षरित) वास्तविक संख्याओं में मानों के साथ गणनीय योगात्मक समुच्चय कार्य को हस्ताक्षरित माप कहा जाता है जबकि जटिल संख्याओं में मानों वाले ऐसे कार्य को जटिल माप कहा जाता है। ध्यान दें, चूँकि जटिल माप आवश्यक रूप से परिमित भिन्नता का है इसलिए जटिल उपायों में परिमित माप सम्मिलित है किंतु उदाहरण के लिए लेबेस्ग माप नहीं है

बानाच स्थानों में मान लेने वाले उपायों का बड़े मापदंड पर अध्ययन किया गया है। उपाय जो हिल्बर्ट स्थान पर स्व-संलग्न अनुमानों के समुच्चय में मान लेता है, उसे प्रक्षेपण-मूल्यवान माप कहा जाता है; इनका उपयोग वर्णक्रमीय प्रमेय के कार्यात्मक विश्लेषण में किया जाता है। जब गैर-नकारात्मक मान लेने वाले सामान्य उपायों को सामान्यीकरण से अलग करना आवश्यक होता है, तो 'सकारात्मक माप' शब्द का प्रयोग किया जाता है। शंक्वाकार संयोजन के तहत सकारात्मक उपाय बंद हैं किंतु सामान्य रैखिक संयोजन नहीं हैं जबकि हस्ताक्षरित उपाय सकारात्मक उपायों के रैखिक बंद हैं।

अन्य सामान्यीकरण परिमित योगात्मक उपाय है, जिसे सामग्री के रूप में भी जाना जाता है। यह माप के समान है, सिवाय इसके कि गणनीय योगात्मकता की आवश्यकता के अतिरिक्त हमें केवल परिमित योगात्मकता की आवश्यकता होती है। ऐतिहासिक रूप से इस परिभाषा का सबसे पहले उपयोग किया गया था। यह पता चला है कि सामान्यतः, सूक्ष्म रूप से योज्य उपायों को बनच सीमा, $$L^\infty$$ के दोहरे और स्टोन-सीच कॉम्पैक्टिफिकेशन जैसी धारणाओं से जोड़ा जाता है। ये सभी किसी न किसी तरह से पसंद के स्वयंसिद्ध से जुड़े हुए हैं। ज्यामितीय माप सिद्धांत में कुछ तकनीकी समस्याओं में सामग्री उपयोगी रहती है; यह बनच उपायों का सिद्धांत है।

चार्ज (बहुविकल्पी) दोनों दिशाओं में सामान्यीकरण है: यह सूक्ष्म योगात्मक हस्ताक्षरित उपाय है। (Cf. ba परिबद्ध आवेशों के बारे में जानकारी के लिए स्थान जहाँ हम कहते हैं कि आवेश परिबद्ध है जिसका अर्थ है कि इसकी सीमा R का परिबद्ध उपसमुच्चय है।)

यह भी देखें

 * एबेलियन वॉन न्यूमैन बीजगणित
 * लगभग हर जगह
 * कैराथियोडोरी का विस्तार प्रमेय
 * सामग्री (माप सिद्धांत)
 * फ़ुबिनी की प्रमेय
 * फतौ की लेम्मा
 * फजी माप सिद्धांत
 * ज्यामितीय माप सिद्धांत
 * हॉसडॉर्फ उपाय
 * आंतरिक माप
 * लेबेस्ग एकीकरण
 * लेबेस्गु उपाय
 * लोरेंत्ज़ अंतरिक्ष
 * भारोत्तोलन सिद्धांत
 * मापने योग्य कार्डिनल
 * मापने योग्य कार्य
 * मिन्कोव्स्की सामग्री
 * बाहरी उपाय
 * उत्पाद माप
 * पुश फॉरवर्ड उपाय
 * नियमित उपाय
 * वेक्टर माप
 * मूल्यांकन (माप सिद्धांत)
 * आयतन रूप

ग्रन्थसूची

 * Robert G. Bartle (1995) The Elements of Integration and Lebesgue Measure, Wiley Interscience.
 * Chapter III.
 * R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability. Cambridge University Press.
 * Federer, Herbert. Geometric measure theory. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 153 Springer-Verlag New York Inc., New York 1969 xiv+676 pp.
 * Second printing.
 * R. Duncan Luce and Louis Narens (1987). "measurement, theory of," The New Palgrave: A Dictionary of Economics, v. 3, pp. 428–32.
 * The first edition was published with Part B: Functional Analysis as a single volume:
 * M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley.
 * First printing. Note that there is a later (2017) second printing. Though usually there is little difference between the first and subsequent printings, in this case the second printing not only deletes from page 53 the Exercises 36, 40, 41, and 42 of Chapter 2 but also offers a (slightly, but still substantially) different presentation of part (ii) of Exercise 17.8. (The second printing's presentation of part (ii) of Exercise 17.8 (on the Luther decomposition) agrees with usual presentations, whereas the first printing's presentation provides a fresh perspective.)
 * Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8. Emphasizes the Daniell integral.
 * Second printing.
 * R. Duncan Luce and Louis Narens (1987). "measurement, theory of," The New Palgrave: A Dictionary of Economics, v. 3, pp. 428–32.
 * The first edition was published with Part B: Functional Analysis as a single volume:
 * M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley.
 * First printing. Note that there is a later (2017) second printing. Though usually there is little difference between the first and subsequent printings, in this case the second printing not only deletes from page 53 the Exercises 36, 40, 41, and 42 of Chapter 2 but also offers a (slightly, but still substantially) different presentation of part (ii) of Exercise 17.8. (The second printing's presentation of part (ii) of Exercise 17.8 (on the Luther decomposition) agrees with usual presentations, whereas the first printing's presentation provides a fresh perspective.)
 * Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8. Emphasizes the Daniell integral.
 * The first edition was published with Part B: Functional Analysis as a single volume:
 * M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley.
 * First printing. Note that there is a later (2017) second printing. Though usually there is little difference between the first and subsequent printings, in this case the second printing not only deletes from page 53 the Exercises 36, 40, 41, and 42 of Chapter 2 but also offers a (slightly, but still substantially) different presentation of part (ii) of Exercise 17.8. (The second printing's presentation of part (ii) of Exercise 17.8 (on the Luther decomposition) agrees with usual presentations, whereas the first printing's presentation provides a fresh perspective.)
 * Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8. Emphasizes the Daniell integral.
 * First printing. Note that there is a later (2017) second printing. Though usually there is little difference between the first and subsequent printings, in this case the second printing not only deletes from page 53 the Exercises 36, 40, 41, and 42 of Chapter 2 but also offers a (slightly, but still substantially) different presentation of part (ii) of Exercise 17.8. (The second printing's presentation of part (ii) of Exercise 17.8 (on the Luther decomposition) agrees with usual presentations, whereas the first printing's presentation provides a fresh perspective.)
 * Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8. Emphasizes the Daniell integral.

बाहरी कड़ियाँ

 * Tutorial: Measure Theory for Dummies
 * Tutorial: Measure Theory for Dummies