ऑपरेटरों के साथ समूह

अमूर्त बीजगणित में, गणित की एक शाखा, ऑपरेटरों या Ω-समूह के साथ बीजगणितीय संरचना समूह को एक समूह (गणित) के रूप में एक सेट (गणित) Ω के रूप में देखा जा सकता है जो समूह के तत्वों पर एक विशेष तरीके से संचालित होता है।

1920 के दशक में एमी नोथेर और उनके स्कूल द्वारा ऑपरेटरों के साथ समूहों का व्यापक अध्ययन किया गया था। उसने तीन नोथेर समरूपता प्रमेय के अपने मूल सूत्रीकरण में अवधारणा को नियोजित किया।

परिभाषा
ऑपरेटरों के साथ एक समूह $$(G, \Omega)$$ परिभाषित किया जा सकता एक समूह के रूप में $$G = (G, \cdot)$$ एक साथ एक सेट की एक कार्रवाई के साथ $$\Omega$$ पर $$G$$:
 * $$\Omega \times G \rightarrow G : (\omega, g) \mapsto g^\omega$$

वह समूह कानून के सापेक्ष वितरण संपत्ति है:
 * $$(g \cdot h)^\omega = g^\omega \cdot h^\omega.$$

प्रत्येक के लिए $$\omega \in \Omega $$, आवेदन पत्र $$g \mapsto g^\omega$$ तब जी का एक एंडोमोर्फिज्म है। इससे यह परिणाम मिलता है कि एक Ω-ग्रुप को एक अनुक्रमित परिवार के साथ ग्रुप जी के रूप में भी देखा जा सकता है $$\left(u_\omega\right)_{\omega \in \Omega}$$ जी के एंडोमोर्फिज्म के।

$$\Omega$$ ऑपरेटर डोमेन कहा जाता है। सहयोगी एंडोमोर्फिज्म को जी की समरूपता कहा जाता है।

एक ही ऑपरेटर डोमेन के साथ दो समूह G, H दिए गए हैं $$\Omega$$, ऑपरेटरों के साथ समूहों का एक समरूपता एक समूह समरूपता है $$\phi: G \to H$$ संतुष्टि देने वाला
 * $$\phi\left(g^\omega\right) = (\phi(g))^\omega$$ सभी के लिए $$\omega \in \Omega$$ और $$g \in G.$$

G के एक उपसमूह S को 'स्थिर उपसमूह' कहा जाता है, '$$\Omega$$-उपसमूह या$$\Omega$$-अपरिवर्तनीय उपसमूह यदि यह समरूपता का सम्मान करता है, अर्थात
 * $$s^\omega \in S$$ सभी के लिए $$s \in S$$ और $$\omega \in \Omega.$$

श्रेणी-सैद्धांतिक टिप्पणी
श्रेणी सिद्धांत में, ऑपरेटरों वाले समूह को परिभाषित किया जा सकता है एक functor श्रेणी Grp की वस्तु के रूप मेंएम जहां एम एक मोनोइड है (यानी एक वस्तु (श्रेणी सिद्धांत) के साथ एक श्रेणी (गणित)) और 'जीआरपी' समूहों की श्रेणी को दर्शाता है। यह परिभाषा पिछले एक के बराबर है, बशर्ते $$\Omega$$ एक मोनोइड है (अन्यथा हम पहचान और सभी रचनाओं को शामिल करने के लिए इसका विस्तार कर सकते हैं)।

इस श्रेणी में एक आकारिता दो फंक्शनलर्स (यानी, दो समूहों के बीच एक ही ऑपरेटर डोमेन एम साझा करने वाले ऑपरेटरों) के बीच एक प्राकृतिक परिवर्तन है। फिर से हम संचालकों के साथ समूहों के एक समरूपता की परिभाषा को पुनः प्राप्त करते हैं (f प्राकृतिक परिवर्तन # प्राकृतिक परिवर्तन की परिभाषा के साथ)।

ऑपरेटरों वाला एक समूह भी एक मानचित्रण है
 * $$\Omega \rightarrow \operatorname{End}_\mathbf{Grp}(G),$$ कहाँ $$\operatorname{End}_\mathbf{Grp}(G)$$ जी के समूह एंडोमोर्फिज्म का सेट है।

उदाहरण

 * किसी भी समूह G को देखते हुए, (G, ∅) तुच्छ रूप से ऑपरेटरों वाला एक समूह है
 * एक मॉड्यूल (गणित) एम को एक अंगूठी (गणित) आर पर दिया गया है, आर एम के अंतर्निहित एबेलियन समूह पर स्केलर गुणा द्वारा कार्य करता है, इसलिए (एम, आर) ऑपरेटरों के साथ एक समूह है।
 * उपरोक्त के एक विशेष मामले के रूप में, फ़ील्ड (गणित) k पर प्रत्येक सदिश स्थान ऑपरेटरों (V, k) के साथ एक समूह है।

अनुप्रयोग
जॉर्डन-होल्डर प्रमेय भी ऑपरेटर समूहों के संदर्भ में है। आवश्यकता है कि एक समूह की संरचना श्रृंखला टोपोलॉजी में कॉम्पैक्ट जगह  के अनुरूप है, और कभी-कभी एक आवश्यकता बहुत मजबूत हो सकती है। एक सेट के सापेक्ष कॉम्पैक्टनेस के बारे में बात करना स्वाभाविक है, यानी रचना श्रृंखला के बारे में बात करें जहां प्रत्येक (सामान्य उपसमूह) उपसमूह समूह के ऑपरेटर सेट एक्स के सापेक्ष एक ऑपरेटर-उपसमूह है।

यह भी देखें

 * ग्रुप एक्शन (गणित)