तात्कालिक चरण और आवृत्ति

संकेत आगे बढ़ाना में तात्कालिक चरण और आवृत्ति महत्वपूर्ण अवधारणाएं हैं जो समय-भिन्न कार्यों के प्रतिनिधित्व और विश्लेषण के संदर्भ में होती हैं। कॉम्प्लेक्स-वैल्यूड फंक्शन s(t) का तात्क्षणिक फेज (स्थानीय फेज या केवल फेज के रूप में भी जाना जाता है), रियल-वैल्यूड फंक्शन है:
 * $$\varphi(t) = \arg\{s(t)\},$$

जहां आर्ग तर्क (जटिल विश्लेषण) है। तात्कालिक आवृत्ति तात्कालिक चरण के परिवर्तन की अस्थायी दर है।

और रियल-वैल्यूड फंक्शन s(t) के लिए, यह फंक्शन के विश्लेषणात्मक संकेत, s से निर्धारित होता हैa(टी):
 * $$\begin{align}

\varphi(t) &= \arg\{s_\mathrm{a}(t)\} \\[4pt] &= \arg\{s(t) + j \hat{s}(t)\}, \end{align}$$ कहाँ $$\hat{s}(t)$$ एस (टी) के हिल्बर्ट परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है।

जब φ(t) इसके प्रमुख मान तक सीमित है, या तो अंतराल $(−π, π]$ या $[0, 2π)$, इसे लपेटा हुआ चरण कहा जाता है। अन्यथा इसे अलिखित चरण कहा जाता है, जो तर्क टी का निरंतर कार्य है, एस मानते हुएa(टी) टी का निरंतर कार्य है। जब तक अन्यथा संकेत न दिया जाए, निरंतर रूप का अनुमान लगाया जाना चाहिए।

फ़ाइल:तात्कालिक (लिपटे) चरण; एक 360 डिग्री plot stacked 3 times vertically.jpg|thumb|400px|आवृत्ति-संग्राहक तरंग का तात्कालिक चरण: MSK (न्यूनतम शिफ्ट कुंजीयन)। एक 360° लपेटे हुए प्लॉट को केवल दो बार लंबवत रूप से दोहराया जाता है, जो एक अलिखित प्लॉट का भ्रम पैदा करता है, लेकिन ऊर्ध्वाधर अक्ष के केवल 3x360° का उपयोग करता है।

उदाहरण 1

 * $$s(t) = A \cos(\omega t + \theta),$$

जहां ω > 0.
 * $$\begin{align}

s_\mathrm{a}(t) &= A e^{j(\omega t + \theta)}, \\ \varphi(t) &= \omega t + \theta. \end{align}$$ इस सरल साइनसोइडल उदाहरण में, स्थिर θ को आमतौर पर चरण या चरण ऑफसेट के रूप में भी जाना जाता है। φ(टी) समय का एक फलन है; θ नहीं है। अगले उदाहरण में, हम यह भी देखते हैं कि जब तक कोई संदर्भ (sin या cos) निर्दिष्ट नहीं किया जाता है, तब तक वास्तविक-मूल्यवान साइनसॉइड का चरण ऑफ़सेट अस्पष्ट होता है। φ(t) स्पष्ट रूप से परिभाषित है।

उदाहरण 2

 * $$s(t) = A \sin(\omega t) = A \cos\left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right),$$

जहां ω > 0.
 * $$\begin{align}

s_\mathrm{a}(t) &= A e^{j \left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right)}, \\ \varphi(t) &= \omega t - \frac{\pi}{2}. \end{align}$$ दोनों उदाहरणों में s(t) का स्थानीय उच्चिष्ठ φ(t) = 2 के संगत है{{pi}एन के पूर्णांक मानों के लिए एन। इसमें कंप्यूटर दृष्टि के क्षेत्र में अनुप्रयोग हैं।

तात्कालिक आवृत्ति
तात्कालिक कोणीय आवृत्ति को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
 * $$\omega(t) = \frac{d\varphi(t)}{dt},$$

और तात्कालिक (साधारण) आवृत्ति को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
 * $$f(t) = \frac{1}{2\pi} \omega(t) = \frac{1}{2\pi} \frac{d\varphi(t)}{dt}$$

जहां φ(t) 'अलिखित चरण' होना चाहिए; अन्यथा, यदि φ(t) लपेटा जाता है, तो φ(t) में विच्छिन्नता का परिणाम f(t) में डिराक डेल्टा आवेगों में होगा।

उलटा ऑपरेशन, जो हमेशा चरण को खोल देता है, है:
 * $$\begin{align}

\varphi(t) &= \int_{-\infty}^t \omega(\tau)\, d\tau = 2 \pi \int_{-\infty}^t f(\tau)\, d\tau\\[5pt] &= \int_{-\infty}^0 \omega(\tau)\, d\tau + \int_0^t \omega(\tau)\, d\tau\\[5pt] &= \varphi(0) + \int_0^t \omega(\tau)\, d\tau. \end{align}$$ यह तात्क्षणिक आवृत्ति, ω(t), सीधे s की सम्मिश्र संख्या से प्राप्त की जा सकती हैa(टी), चरण खोलने की चिंता के बिना तर्क (जटिल विश्लेषण) के बजाय।


 * $$\begin{align}

\varphi(t) &= \arg\{s_\mathrm{a}(t)\} \\[4pt] &= \operatorname{atan2}(\mathcal{Im}[s_\mathrm{a}(t)],\mathcal{Re}[s_\mathrm{a}(t)]) + 2 m_1 \pi \\[4pt] &= \arctan\left( \frac{\mathcal{Im}[s_\mathrm{a}(t)]}{\mathcal{Re}[s_\mathrm{a}(t)]} \right) + m_2 \pi \end{align}$$ मां1$\pi$ और एम2π के पूर्णांक गुणक हैं π चरण को खोलने के लिए जोड़ना आवश्यक है। समय के मानों पर, t, जहाँ पूर्णांक m में कोई परिवर्तन नहीं होता है2, φ(t) का व्युत्पन्न है


 * $$\begin{align}

\omega(t) = \frac{d\varphi(t)}{dt} &= \frac{d}{dt} \arctan\left( \frac{\mathcal{Im}[s_\mathrm{a}(t)]}{\mathcal{Re}[s_\mathrm{a}(t)]} \right) \\[3pt] &= \frac{1}{1 + \left(\frac{\mathcal{Im}[s_\mathrm{a}(t)]}{\mathcal{Re}[s_\mathrm{a}(t)]} \right)^2} \frac{d}{dt} \left( \frac{\mathcal{Im}[s_\mathrm{a}(t)]}{\mathcal{Re}[s_\mathrm{a}(t)]} \right) \\[3pt] &= \frac{\mathcal{Re}[s_\mathrm{a}(t)] \frac{d\mathcal{Im}[s_\mathrm{a}(t)]}{dt} - \mathcal{Im}[s_\mathrm{a}(t)] \frac{d\mathcal{Re}[s_\mathrm{a}(t)]}{dt} }{(\mathcal{Re}[s_\mathrm{a}(t)])^2 + (\mathcal{Im}[s_\mathrm{a}(t)])^2 } \\[3pt] &= \frac{1}{|s_\mathrm{a}(t)|^2} \left(\mathcal{Re}[s_\mathrm{a}(t)] \frac{d\mathcal{Im}[s_\mathrm{a}(t)]}{dt} - \mathcal{Im}[s_\mathrm{a}(t)] \frac{d\mathcal{Re}[s_\mathrm{a}(t)]}{dt} \right) \\[3pt] &= \frac{1}{(s(t))^2 + \left(\hat{s}(t)\right)^2} \left(s(t) \frac{d\hat{s}(t)}{dt} - \hat{s}(t) \frac{ds(t)}{dt} \right) \end{align}$$ असतत-समय के कार्यों के लिए, इसे पुनरावर्तन के रूप में लिखा जा सकता है:
 * $$\begin{align}

\varphi[n] &= \varphi[n - 1] + \omega[n] \\ &= \varphi[n - 1] + \underbrace{\arg\{s_\mathrm{a}[n]\} - \arg\{s_\mathrm{a}[n - 1]\}}_{\Delta \varphi[n]} \\ &= \varphi[n - 1] + \arg\left\{\frac{s_\mathrm{a}[n]}{s_\mathrm{a}[n - 1]}\right\} \\ \end{align}$$ फिर 2 जोड़कर विसंगतियों को हटाया जा सकता हैπ जब भी Δφ[n] ≤ -π, और घटाना 2π जब भी Δφ[n] >π. यह φ[n] को बिना किसी सीमा के संचित करने की अनुमति देता है और एक अलिखित तात्कालिक चरण उत्पन्न करता है। मॉड्यूलो 2 को बदलने वाला एक समतुल्य फॉर्मूलेशनπ एक जटिल गुणा के साथ ऑपरेशन है:
 * $$\varphi[n] = \varphi[n - 1] + \arg\{s_\mathrm{a}[n] \, s_\mathrm{a}^*[n - 1]\},$$

जहां तारांकन जटिल संयुग्म को दर्शाता है। असतत-समय की तात्कालिक आवृत्ति (प्रति नमूना रेडियन की इकाइयों में) उस नमूने के लिए केवल चरण की उन्नति है
 * $$\omega[n] = \arg\{s_\mathrm{a}[n] \, s_\mathrm{a}^*[n - 1]\}.$$

जटिल प्रतिनिधित्व
कुछ अनुप्रयोगों में, जैसे समय के कई क्षणों में चरण के मूल्यों का औसत, प्रत्येक मान को एक जटिल संख्या या वेक्टर प्रतिनिधित्व में परिवर्तित करना उपयोगी हो सकता है:

e^{i\varphi(t)} = \frac{s_\mathrm{a}(t)}{|s_\mathrm{a}(t)|} = \cos(\varphi(t)) + i \sin(\varphi(t)). $$ यह प्रतिनिधित्व लपेटे हुए चरण प्रतिनिधित्व के समान है जिसमें यह 2 के गुणकों के बीच अंतर नहीं करता हैπ चरण में, लेकिन अलिखित चरण प्रतिनिधित्व के समान है क्योंकि यह निरंतर है। रैप-अराउंड की चिंता किए बिना जटिल संख्याओं के योग के तर्क (जटिल विश्लेषण) के रूप में एक सदिश-औसत चरण प्राप्त किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * विश्लेषणात्मक संकेत
 * आवृति का उतार - चढ़ाव
 * समूह विलंब
 * तात्कालिक आयाम
 * नकारात्मक आवृत्ति