ओवररिंग

गणित में, अभिन्न डोमेन  के ओवररिंग में इंटीग्रल डोमेन होता है, और इंटीग्रल डोमेन के फ्रैक्शंस के क्षेत्र में ओवररिंग होता है। ओवररिंग्स विभिन्न प्रकार के रिंग्स और डोमेन (रिंग थ्योरी) की बेहतर समझ प्रदान करते हैं।

परिभाषा
इस लेख में, सभी रिंग (गणित) क्रमविनिमेय रिंग हैं, और रिंग और ओवररिंग समान पहचान तत्व साझा करते हैं।

होने देना $Q(A)$ एक अभिन्न डोमेन के अंशों के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करते हैं $A$. अँगूठी $B$ अभिन्न डोमेन का एक ओवररिंग है $A$  अगर $A$  का उपसमूह है $B$  और $B$  अंशों के क्षेत्र का एक उपसमूह है $Q(A)$ ; संबंध है $A \subseteq B \subseteq Q(A) $.

अंशों की अंगूठी
छल्ले $R_{A},S_{A},T_{A}$ छल्लों के अंशों का कुल वलय हैं $R,S,T$  स्थानीयकरण (क्रमविनिमेय बीजगणित) द्वारा $A$. मान लीजिए $T$ का ओवररिंग है $R$  और $A$  में एक गुणक सेट है $R$. अंगूठी $T_{A}$ का ओवररिंग है $R_{A}$. अंगूठी $T_{A}$ के अंशों का कुल वलय है $R_{A}$  यदि प्रत्येक इकाई (रिंग थ्योरी) का तत्व है $T_{A}$  एक शून्य भाजक है। का हर ओवररिंग $R_{A}$  में निहित $T_{A}$  एक अंगूठी है $S_{A}$, और $S$  का ओवररिंग है $R$. अँगूठी $R_{A}$ में अभिन्न तत्व है $T_{A}$  अगर $R$  में पूर्ण रूप से बंद है $T$.

परिभाषाएं
एक नोथेरियन रिंग 3 समतुल्य परिमित स्थितियों को संतुष्ट करता है i) आदर्श (रिंग थ्योरी) की प्रत्येक आरोही श्रृंखला की स्थिति परिमित है, ii) आदर्शों के प्रत्येक गैर-रिक्त परिवार का अधिकतम होता है और न्यूनतम तत्व और iii) प्रत्येक आदर्श में हिल्बर्ट का आधार प्रमेय होता है।

एक अभिन्न डोमेन एक Dedekind डोमेन होता है, अगर डोमेन का हर आदर्श आदर्श आदर्शों का एक परिमित उत्पाद है।

रिंग का प्रतिबंधित आयाम  उन सभी प्राइम आइडियल्स के रैंकों के बीच अधिकतम क्रुल आयाम है जिसमें एक नियमित तत्व होता है.

एक अंगूठी $R$ स्थानीय रिंग  nilpotent  फ्री है अगर हर रिंग $R_{M}$  अधिकतम आदर्श के साथ $M$  निलपोटेंट तत्वों से मुक्त है या प्रत्येक गैर इकाई के साथ एक शून्य विभाजक है।

एक एफ़िन रिंग एक फ़ील्ड (गणित) पर एक बहुपद रिंग की समरूपता छवि (गणित) है।

गुण
डेडेकाइंड रिंग का हर ओवररिंग डेडेकाइंड रिंग होता है।

छल्लों के प्रत्यक्ष योग का प्रत्येक ओवररिंग, जिसके गैर-इकाई तत्व सभी शून्य-भाजक हैं, एक नोथेरियन वलय है।

क्रुल डायमेंशन 1-डायमेंशनल नोथेरियन डोमेन का हर ओवररिंग नोथेरियन रिंग है।

ये कथन नोथेरियन वलय के समतुल्य हैं $R$ अभिन्न बंद होने के साथ $\bar{R}$.
 * हर ओवरिंग $R$ एक नोथेरियन रिंग है।
 * प्रत्येक अधिकतम आदर्श के लिए $M$ का $R$, हर ओवरिंग $R_{M}$  एक नोथेरियन रिंग है।
 * अँगूठी $R$ प्रतिबंधित आयाम 1 या उससे कम के साथ स्थानीय रूप से शून्य है।
 * अँगूठी $\bar{R}$ नोथेरियन है, और रिंग $R$  सीमित आयाम 1 या उससे कम है।
 * हर ओवरिंग $\bar{R}$ अभिन्न रूप से बंद है।

ये बयान affine ring के बराबर हैं $R$ अभिन्न बंद होने के साथ $\bar{R}$.
 * अँगूठी $R$ स्थानीय रूप से शून्य है।
 * अँगूठी $\bar{R}$ एक परिमित है $\operatorname{R -}$ मॉड्यूल (गणित)।
 * अँगूठी $\bar{R}$ नोथेरियन है।

एक अभिन्न रूप से बंद स्थानीय रिंग $R$ एक अभिन्न डोमेन या अंगूठी है जिसका गैर-इकाई तत्व सभी शून्य-भाजक हैं।

नोथेरियन इंटीग्रल डोमेन एक डेडेकिंड रिंग है, अगर नोथेरियन रिंग का हर ओवररिंग इंटीग्रेटेड रूप से बंद है।

नोथेरियन इंटीग्रल डोमेन का हर ओवररिंग फ्रैक्शंस का रिंग है यदि नोथेरियन इंटीग्रल डोमेन एक मरोड़ वर्ग समूह के साथ डेडेकिंड रिंग है।

परिभाषाएं
एक सुसंगत वलय क्रमविनिमेय वलय है जिसमें वलय सिद्धांत की प्रत्येक शब्दावली वलय सिद्धांत की आदर्श शब्दावली है। नोथेरियन डोमेन और प्रुफ़र डोमेन सुसंगत हैं।

एक जोड़ी $(R,T)$ रिंग थ्योरी के इंटीग्रल डोमेन ग्लोसरी को इंगित करता है $T$  ऊपर $R$.

अँगूठी $S$ जोड़ी के लिए एक मध्यवर्ती डोमेन है $(R,T)$  अगर $R$  का उपडोमेन है $S$  और $S$  का उपडोमेन है $T$.

गुण
प्रत्येक ओवररिंग सुसंगत होने पर एक नोथेरियन रिंग का क्रुल आयाम 1 या उससे कम होता है।

अभिन्न डोमेन जोड़ी के लिए $(R,T)$, $T$ का ओवररिंग है $R$  यदि प्रत्येक मध्यवर्ती अभिन्न डोमेन अभिन्न रूप से बंद है $T$.

का अभिन्न समापन $R$ एक Prüfer डोमेन है यदि प्रत्येक उपसमुच्चय का ओवररिंग $R$  सुसंगत है।

Prüfer डोमेन और Krull 1-आयामी नोथेरियन डोमेन के ओवररिंग सुसंगत हैं।

गुण
एक रिंग में QR गुण होता है यदि प्रत्येक ओवररिंग गुणक सेट के साथ एक स्थानीयकरण है। QR डोमेन Prüfer डोमेन हैं। मरोड़ पिकार्ड समूह वाला Prüfer डोमेन एक QR डोमेन है। एक Prüfer डोमेन एक QR डोमेन होता है यदि प्रत्येक अंतिम रूप से उत्पन्न आदर्श के रिंग का रेडिकल एक प्रमुख आदर्श द्वारा उत्पन्न रेडिकल के बराबर होता है।

कथन $R$ एक Prüfer डोमेन इसके बराबर है:
 * प्रत्येक ओवररिंग $ R$ के स्थानीयकरणों का प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) है $ R$,   और $ R$  अभिन्न रूप से बंद है।
 * प्रत्येक ओवररिंग $ R$ के अंशों के छल्लों का प्रतिच्छेदन है $ R$,   और $ R$  अभिन्न रूप से बंद है।
 * प्रत्येक ओवररिंग $ R$ प्रमुख आदर्श हैं जो के प्रमुख आदर्शों के विस्तार हैं $ R$, और $ R$  अभिन्न रूप से बंद है।
 * प्रत्येक ओवररिंग $ R$ के किसी भी अभाज्य आदर्श के ऊपर अधिक से अधिक 1 मुख्य आदर्श होता है $ R$,   और $ R$  अभिन्न रूप से बंद है
 * प्रत्येक ओवररिंग $ R$ अभिन्न रूप से बंद है।
 * प्रत्येक ओवररिंग $ R$ सुसंगत है।

कथन $R$ एक Prüfer डोमेन इसके बराबर है:
 * प्रत्येक ओवररिंग S का $R$ एक के रूप में मॉड्यूल (गणित) है $$\operatorname{S-}$$मापांक।
 * प्रत्येक मूल्यांकन की अंगूठी $R$ अंशों का एक वलय है।

परिभाषाएं
ए न्यूनतम रिंग समरूपता $f$ एक इंजेक्शन समारोह विशेषण समारोह होमोमोर्फिज़्म है, और यदि होमोमोर्फिज़्म है $f$  समरूपता की एक रचना है $g$  और $h$  तब $g$  या $h$  एक समरूपता है।

एक उचित न्यूनतम रिंग एक्सटेंशन $T$ सबरिंग का $R$  होता है अगर की अंगूठी शामिल है $R$  में $T$  एक न्यूनतम रिंग समरूपता है। इसका तात्पर्य रिंग जोड़ी से है $(R,T)$  कोई उचित मध्यवर्ती रिंग नहीं है।

एक न्यूनतम ओवररिंग $T$ अंगूठी का $R$  होता है अगर $T$  रोकना $R$  एक सबरिंग और रिंग जोड़ी के रूप में $(R,T)$  कोई उचित मध्यवर्ती रिंग नहीं है।

आदर्श का कप्लैन्स्की आदर्श रूपांतरण ( हेज़ रूपांतरण, S-रूपांतरण ) $I$ अभिन्न डोमेन के संबंध में $R$  अंश क्षेत्र का एक सबसेट है $Q(R)$. इस उपसमुच्चय में तत्व होते हैं $x$ ऐसा है कि प्रत्येक तत्व के लिए $y$  आदर्श का $I$  एक सकारात्मक पूर्णांक है $n$  उत्पाद के साथ $x \cdot y^{n}$  अभिन्न डोमेन में निहित $R$.

गुण
डोमेन के न्यूनतम रिंग एक्सटेंशन से उत्पन्न कोई भी डोमेन $R$ का ओवररिंग है $R$  अगर $R$  एक क्षेत्र नहीं है।

के अंशों का क्षेत्र $R$ न्यूनतम ओवररिंग शामिल है $T$  का $R$  कब $R$  एक क्षेत्र नहीं है।

एक अभिन्न रूप से बंद अभिन्न डोमेन मान लें $R$ एक फ़ील्ड नहीं है, यदि अभिन्न डोमेन का न्यूनतम ओवररिंग है $R$  मौजूद है, यह न्यूनतम ओवररिंग एक अधिकतम आदर्श के कप्लान्स्की परिवर्तन के रूप में होता है $R$.

उदाहरण
बेज़ाउट डोमेन | बेज़ाउट इंटीग्रल डोमेन प्रुफ़र डोमेन का एक प्रकार है; बेज़ाउट डोमेन की पारिभाषिक संपत्ति प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न आदर्श एक प्रमुख आदर्श है। बेज़ाउट डोमेन एक Prüfer डोमेन के सभी ओवररिंग गुणों को साझा करेगा।

पूर्णांक वलय एक प्रुफ़र वलय है, और सभी अधिगम भागफल के वलय हैं। डायाडिक परिमेय एक पूर्णांक अंश और 2 भाजक की शक्ति वाला एक अंश है। डायाडिक परिमेय वलय दो की शक्तियों और पूर्णांक वलय के एक ओवररिंग द्वारा पूर्णांकों का स्थानीयकरण है।

यह भी देखें

 * स्पष्ट अंगूठी
 * अंगूठियों की श्रेणी
 * सुसंगत अंगूठी
 * डेडेकाइंड डोमेन
 * रिंग थ्योरी की शब्दावली
 * अभिन्न तत्व
 * क्रुल आयाम
 * स्थानीय रिंग
 * स्थानीयकरण (कम्यूटेटिव बीजगणित)
 * नीलपोटेंट
 * पिकार्ड समूह
 * प्रधान आदर्श
 * प्रूफर डोमेन
 * नोथेरियन रिंग
 * नियमित तत्व
 * सब्रिंग
 * अंशों का कुल वलय
 * वैल्यूएशन रिंग

संबंधित श्रेणियां
श्रेणी:रिंग थ्योरी श्रेणी:आदर्श (रिंग थ्योरी) श्रेणी:बीजगणितीय संरचनाएं श्रेणी:क्रमविनिमेय बीजगणित