निरपेक्ष ज्यामिति

निरपेक्ष ज्यामिति यूक्लिडियन ज्यामिति के लिए स्वयंसिद्ध प्रणाली पर आधारित एक ज्यामिति है, जिसमें समानांतर स्वसिद्ध या इसके कोई विकल्प नहीं हैं। परंपरागत रूप से इसका अर्थ केवल यूक्लिड की अभिधारणाओं में से केवल पहले चार का उपयोग करना है लेकिन ये यूक्लिडियन ज्यामिति के आधार के रूप में पर्याप्त नहीं हैं, अन्य प्रणालियां जैसे समानांतर स्वयंसिद्ध के बिना हिल्बर्ट के अभिगृहीत का उपयोग किया जाता है। यह शब्द 1832 में जानोस बोल्याई द्वारा प्रस्तुत किया गया था। इसे कभी-कभी तटस्थ ज्यामिति के रूप में संदर्भित किया जाता है क्योंकि यह समानांतर अवधारणा के संबंध में तटस्थ है।

गुण
यह कल्पना की जा सकती है कि निरपेक्ष ज्यामिति एक कमजोर प्रणाली है, लेकिन ऐसा नहीं है। वास्तव में यूक्लिड के तत्वों में पहले 28 प्रस्ताव और प्रस्ताव 31 समानांतर अवधारणा का उपयोग करने से बचते हैं इसलिए पूर्ण ज्यामिति में मान्य हैं। कोई भी निरपेक्ष ज्यामिति में बाहरी कोण प्रमेय (त्रिभुज का बाहरी कोण दूरस्थ कोणों में से किसी एक से बड़ा होता है) के साथ-साथ सैचेरी-लीजेंड्रे प्रमेय को भी साबित कर सकता है, जिसमें कहा गया है कि कोणों के उपायों का योग त्रिभुज का अधिकतम 180° होता है।

प्रस्ताव 31 दी गई रेखा पर नहीं दिए गए बिंदु के माध्यम से दी गई रेखा के समानांतर रेखा का निर्माण है। सबूत के रूप में केवल प्रस्ताव 27 (वैकल्पिक आंतरिक कोण प्रमेय) के उपयोग की आवश्यकता है यह पूर्ण ज्यामिति में एक वैध निर्माण है, अधिक उचित रूप से दी गई कोई रेखा l और कोई बिंदु P जो l पर नहीं है, P से होकर जाने वाली कम से कम एक रेखा है जो l के समानांतर है। यह एक परिचित निर्माण का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है: एक रेखा l और एक बिंदु P दिया गया है जो l पर नहीं है, P से l पर लंब m गिराएं फिर P से होकर m पर लंब n खड़ा करे, वैकल्पिक आंतरिक कोण प्रमेय द्वारा l समानांतर है n के लिए (एकांतर आंतरिक कोण प्रमेय में कहा गया है कि यदि रेखाओं a और b को एक तिर्यक रेखा t द्वारा काटा जाता है जैसे कि सर्वांगसम वैकल्पिक आंतरिक कोणों की एक जोड़ी होती है तो a और b समानांतर होते हैं।) पूर्वगामी निर्माण और वैकल्पिक आंतरिक कोण प्रमेय समानांतर अभिधारणा पर निर्भर नहीं होते हैं इसलिए निरपेक्ष ज्यामिति में मान्य होते हैं।

निरपेक्ष ज्यामिति में यह भी सिद्ध किया जा सकता है कि एक ही रेखा के लंबवत दो रेखाएँ प्रतिच्छेद नहीं कर सकती हैं (जो समानांतर रेखाओं की परिभाषा के अनुसार दो रेखाओं को समानांतर बनाता है) यह साबित करता है कि सैचेरी चतुर्भुज का शिखर कोण अधिक कोण नहीं हो सकता है और गोलाकार ज्यामिति पूर्ण ज्यामिति नहीं है।

अन्य ज्यामिति से संबंध
निरपेक्ष ज्यामिति के प्रमेय अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति में मान्य हैं, जो एक गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति है साथ ही यूक्लिडियन ज्यामिति में भी है।

निरपेक्ष ज्यामिति अण्डाकार ज्यामिति के साथ असंगत है: उस सिद्धांत में कोई समानांतर रेखाएँ नहीं हैं, लेकिन यह निरपेक्ष ज्यामिति का एक प्रमेय है कि समानांतर रेखाएँ उपस्थित हैं हालांकि, स्वयंसिद्ध प्रणाली को संशोधित करना संभव है ताकि संशोधित प्रणाली द्वारा परिभाषित पूर्ण ज्यामिति में गोलाकार और दीर्घवृत्तीय ज्यामिति सम्मिलित हों जिनमें कोई समानांतर रेखा न हो।

निरपेक्ष ज्यामिति क्रमबद्ध ज्यामिति का एक विस्तार है और इस प्रकार क्रमबद्ध ज्यामिति में सभी प्रमेय निरपेक्ष ज्यामिति में हैं इसका उलट सत्य नहीं है। निरपेक्ष ज्यामिति यूक्लिड के अभिगृहीत (या उनके समतुल्य) के पहले चार को ग्रहण करती है, जो एफाइन ज्यामिति के विपरीत है जो यूक्लिड के तीसरे और चौथे अभिगृहीत को नहीं मानता है।

(3: किसी भी केंद्र और दूरी त्रिज्या के साथ एक वृत्त का वर्णन करने के लिए।

4: सभी समकोण एक दूसरे के बराबर होते हैं। )

आदेशित ज्यामिति निरपेक्ष और सदृश ज्यामिति दोनों का एक सामान्य आधार है।

विशेष आपेक्षिकता की ज्यामिति को नौ अभिगृहीतों और निरपेक्ष ज्यामिति के ग्यारह प्रस्तावों से प्रारंभ करके विकसित किया गया है। लेखक एडविन बी. विल्सन और गिल्बर्ट एन. लुईस तब निरपेक्ष ज्यामिति से आगे बढे़ हैं जब वे संदर्भ के दो फ़्रेमों से संबंधित परिवर्तन के रूप में अतिशयोक्तिपूर्ण रोटेशन का परिचय देते हैं।

हिल्बर्ट तल
एक तल जो हिल्बर्ट के आपतन, बीच और सर्वांगसमता के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है, हिल्बर्ट तल कहलाता है। हिल्बर्ट तल निरपेक्ष ज्यामिति के प्रतिरूप हैं।

अपूर्णता
निरपेक्ष ज्यामिति एक अपूर्णता स्वयंसिद्ध प्रणाली है, इस अर्थ में कि स्वयंसिद्ध प्रणाली को असंगत बनाए बिना अतिरिक्त स्वतंत्र स्वयंसिद्धों को जोड़ा जा सकता है। समांतर रेखाओं के बारे में अलग-अलग स्वयंसिद्धों को जोड़कर पूर्ण ज्यामिति का विस्तार किया जा सकता है और यूक्लिडियन या अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति को जन्म देते हुए असंगत लेकिन सुसंगत स्वयंसिद्ध प्रणालियों को प्राप्त किया जा सकता है। इस प्रकार निरपेक्ष ज्यामिति का प्रत्येक प्रमेय अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति और यूक्लिडियन ज्यामिति का एक प्रमेय है हालाँकि, इसका विलोम सत्य नहीं है।

यह भी देखें

 * एफ़िन ज्यामिति
 * एर्लांगेन फंक्शन
 * ज्यामिति की नींव
 * घटना ज्यामिति
 * गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति

संदर्भ

 * Pambuccain, Victor Axiomatizations of hyperbolic and absolute geometries, in: Non-Euclidean geometries (A. Prékopa and E. Molnár, eds.). János Bolyai memorial volume. Papers from the international conference on hyperbolic geometry, Budapest, Hungary, July 6–12, 2002. New York, NY: Springer, 119–153, 2006.
 * Pambuccain, Victor Axiomatizations of hyperbolic and absolute geometries, in: Non-Euclidean geometries (A. Prékopa and E. Molnár, eds.). János Bolyai memorial volume. Papers from the international conference on hyperbolic geometry, Budapest, Hungary, July 6–12, 2002. New York, NY: Springer, 119–153, 2006.
 * Pambuccain, Victor Axiomatizations of hyperbolic and absolute geometries, in: Non-Euclidean geometries (A. Prékopa and E. Molnár, eds.). János Bolyai memorial volume. Papers from the international conference on hyperbolic geometry, Budapest, Hungary, July 6–12, 2002. New York, NY: Springer, 119–153, 2006.
 * Pambuccain, Victor Axiomatizations of hyperbolic and absolute geometries, in: Non-Euclidean geometries (A. Prékopa and E. Molnár, eds.). János Bolyai memorial volume. Papers from the international conference on hyperbolic geometry, Budapest, Hungary, July 6–12, 2002. New York, NY: Springer, 119–153, 2006.
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