अंतःवृत्त या उत्कीर्ण वृत्त

[[Image:Incircle and Excircles.svg|right|thumb|300px|एक त्रिभुज का अंतवृत्त और बाह्यवृत्त।

]]ज्यामिति में, त्रिभुज का अंतःवृत्त या उत्कीर्ण वृत्त सबसे बड़ा वृत्त होता है जिसे त्रिभुज में अन्तर्विष्ट किया जा सकता है; यह तीनों पक्षों को स्पर्श करता है (स्पर्शरेखा है)। अंतःवृत्त का केंद्र त्रिभुज केंद्र होता है जिसे त्रिभुज का अंतःकेंद्र कहा जाता है। एक बाह्य वृत्त या उत्कीर्ण वृत्त त्रिभुज का वृत्त त्रिभुज के बाहर स्थित है, जो इसकी भुजा पर स्पर्शरेखा है और विस्तारित भुजा पर स्पर्शरेखा है। प्रत्येक त्रिभुज में तीन अलग-अलग बाह्यवृत्त होते हैं, जिनमें से प्रत्येक त्रिभुज की किसी भुजा पर स्पर्शरेखा होता है। अंतःवृत्त का केंद्र, जिसे अंत:केंद्र कहा जाता है, तीन आंतरिक और बाह्य कोण कोण समद्विभाजकों के प्रतिच्छेदन के रूप में पाया जा सकता है। बाह्यवृत्त का केंद्र कोण के आंतरिक समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन होता है (शीर्ष पर) $ABC$, उदाहरण के लिए) और अन्य दो के आंतरिक और बाह्य कोण समद्विभाजक इस बाह्यवृत्त के केंद्र  $I$, या  $JA$ को शीर्ष के सापेक्ष बाह्यकेन्द्र कहा जाता है. क्योंकि किसी कोण का आंतरिक समद्विभाजक उसके बाहरी समद्विभाजक के लंबवत होता है, इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि अंतःवृत्त का केंद्र तीन बाह्यवृत्त केंद्रों के साथ मिलकर ऑर्थोसेंट्रिक प्रणाली बनाता है। किन्तु सभी बहुभुज ऐसा नहीं करते है; जो ऐसा करते हैं वे स्पर्शरेखीय बहुभुज हैं। वृत्तों की स्पर्शरेखा रेखाएँ भी देखें।

अन्तर्वृत्त और अन्तःकेन्द्र
मान लीजिए $$\triangle ABC $$ में त्रिज्या $$r$$ और केंद्र $$I$$ के साथ एक अंतःवृत्त है। मान लीजिए $$a$$, $$AC$$ की लंबाई $$BC$$ $$b$$ की लंबाई है, और $$AB$$ की लंबाई $$T_A$$ है। यह भी मान लें कि $$T_B$$ और $$T_C$$ वे स्पर्श बिंदु हैं जहां अंतःवृत्त $$BC$$, $$AC$$, और $$AB$$. को स्पश करता है

अंत:केंद्र
अंत:केंद्र वह बिंदु है जहां $$\angle ABC, \angle BCA, \text{ and } \angle BAC$$ के आंतरिक कोण समद्विभाजक मिलते हैं।

शीर्ष से दूरी $$A$$ केंद्र की ओर $$I$$ है:

d(A, I)  = c \frac{\sin\left(\frac{B}{2}\right)}{\cos\left(\frac{C}{2}\right)} = b \frac{\sin\left(\frac{C}{2}\right)}{\cos\left(\frac{B}{2}\right)}. $$

त्रिरेखीय निर्देशांक
त्रिभुज में बिंदु के लिए त्रिरेखीय निर्देशांक त्रिभुज की भुजाओं की सभी दूरियों का अनुपात है। क्योंकि अंतःकेन्द्र त्रिभुज की सभी भुजाओं से समान दूरी पर है, अन्तःकेन्द्र के लिए त्रिरेखीय निर्देशांक हैं
 * $$\ 1 : 1 : 1.$$

बैरीसेंट्रिक निर्देशांक
त्रिभुज में बिंदु के लिए बैरीसेंट्रिक निर्देशांक (गणित) इस प्रकार वजन देते हैं कि बिंदु त्रिभुज शीर्ष स्थितियों का भारित औसत होता है। अंतःकेंद्र के लिए बैरीसेंट्रिक निर्देशांक द्वारा दिए गए हैं
 * $$\ a : b : c$$

जहाँ $$a$$, $$b$$, और $$c$$ त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई, या समकक्ष (साइन के नियम का उपयोग करके) हैं
 * $$\sin(A):\sin(B):\sin(C)$$

जहाँ $$A$$, $$B$$, और $$C$$ तीन शीर्षों पर कोण हैं।

कार्टेशियन निर्देशांक
केंद्र के कार्तीय निर्देशांक, परिधि के सापेक्ष त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई का उपयोग करके तीन शीर्षों के निर्देशांक का भारित औसत है (अर्थात, ऊपर दिए गए बैरीसेंट्रिक निर्देशांक का उपयोग करके, एकता के योग के लिए सामान्यीकृत) वजन के रूप में वजन धनात्मक हैं इसलिए जैसा कि ऊपर बताया गया है, अंतःकेन्द्र त्रिभुज के अंदर स्थित है। यदि तीन शीर्ष $$(x_a,y_a)$$, $$(x_b,y_b)$$, और $$(x_c,y_c)$$ पर स्थित हैं, और इन शीर्षों के विपरीत भुजाओं की लंबाई  $$a$$, $$b$$, और $$c$$, संगत होती है तो अंतःकेन्द्र पर है



\left(\frac{a x_a + b x_b + c x_c}{a + b + c}, \frac{a y_a + b y_b + c y_c}{a + b + c}\right) = \frac{a\left(x_a, y_a\right) + b\left(x_b, y_b\right) + c\left(x_c, y_c\right)}{a + b + c}. $$

त्रिज्या
अंतःत्रिज्या $$r$$ लंबाई की भुजाओं वाले त्रिभुज में अंतःवृत्त का $$a$$, $$b$$, $$c$$ द्वारा दिया गया है
 * $$r = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}},$$

जहाँ $$s = \tfrac12(a + b + c)$$ अर्धपरिधि है.

वृत्त के स्पर्शरेखा बिंदु भुजाओं को लंबाई के खंडों $$s-a,$$ $$s-b,$$ और $$s-c.$$ में विभाजित करते हैं

हेरॉन का सूत्र देखें.

शीर्षों से दूरियाँ
त्रिभुज $$\triangle ABC $$ के अंत:केंद्र को $$I $$ के रूप में निरूपित करते हुए, त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई के साथ संयुक्त केंद्र से शीर्ष तक की दूरी समीकरण का पालन करती है
 * $$\frac{IA \cdot IA}{CA \cdot AB} + \frac{IB \cdot IB}{AB \cdot BC} + \frac{IC \cdot IC}{BC \cdot CA} = 1.$$

इसके अतिरिक्त,
 * $$IA \cdot IB \cdot IC = 4Rr^2,$$

जहाँ $$R $$ और $$r $$ त्रिभुज की क्रमशः परित्रिज्या और अंत:त्रिज्या हैं।

अन्य गुण
त्रिरेखीय निर्देशांकों के निर्देशांक-वार गुणन के अंतर्गत त्रिभुज केंद्रों के संग्रह को समूह (गणित) की संरचना दी जा सकती है; इस समूह में, अंतःकेन्द्र पहचान अवयव बनाता है।

शीर्ष और निकटतम टचप्वाइंट के बीच की दूरी
एक शीर्ष से दो निकटतम संपर्क बिंदुओं की दूरी समान होती है; उदाहरण के लिए:
 * $$d\left(A, T_B\right) = d\left(A, T_C\right) = \frac{1}{2}(b + c - a) = s - a.$$

अन्य गुण
यदि लंबाई $$a$$, $$b$$, और $$c$$ की भुजाओं से ऊंचाई  $$h_a$$, $$h_b$$, और$$h_c$$ है, तो अंतःत्रिज्या $$r$$ इन ऊंचाईयों के हार्मोनिक माध्य का एक तिहाई है; अर्थात्,
 * $$ r = \frac{1}{\frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}}.$$

$$a$$, $$b$$, और $$c$$ भुजाओं वाले त्रिभुज के परिवृत्त त्रिज्या $$r $$ और परिवृत्त त्रिज्या $$R $$ का गुणनफल है
 * $$rR = \frac{abc}{2(a + b + c)}.$$

भुजाओं, अंतःवृत्त त्रिज्या और परिवृत्त त्रिज्या के बीच कुछ संबंध हैं: :

$$\begin{align} ab + bc + ca &= s^2 +  (4R + r)r, \\ a^2 + b^2 + c^2 &= 2s^2 - 2(4R + r)r. \end{align}$$

त्रिभुज से होकर जाने वाली कोई भी रेखा जो त्रिभुज के क्षेत्रफल और उसकी परिधि दोनों को अर्ध में विभाजित करती है, त्रिभुज के अंतःकेंद्र (इसके अंतःवृत्त के केंद्र) से होकर जाती है। किसी भी त्रिभुज के लिए इनमें से एक, दो या तीन होते हैं।

त्रिभुज $$\triangle ABC $$ के अंतःवृत्त के केंद्र को $$I $$ के रूप में निरूपित करते है, हमारे पास है
 * $$\frac{IA \cdot IA}{CA \cdot AB} + \frac{IB \cdot IB}{AB \cdot BC} + \frac{IC \cdot IC}{BC\cdot CA} = 1$$

और
 * $$IA \cdot IB \cdot IC = 4Rr^2.$$

वृत्त की त्रिज्या ऊंचाई के योग के नौवें भाग से अधिक नहीं है।

केंद्र से वर्ग दूरी $$I $$ परिधि के लिए $$O $$ द्वारा दिया गया है
 * $$OI^2 = R(R - 2r)$$,

और केंद्र से केंद्र की दूरी $$N $$ नौ बिंदु वृत्त का है
 * $$IN = \frac{1}{2}(R - 2r) < \frac{1}{2}R.$$

अंतःकेन्द्र मध्य त्रिभुज में स्थित है (जिसके शीर्ष भुजाओं के मध्यबिंदु हैं)।

त्रिभुज के क्षेत्रफल से संबंध
अंतःवृत्त की त्रिज्या त्रिभुज के क्षेत्रफल से संबंधित है। वृत्त के क्षेत्रफल का त्रिभुज के क्षेत्रफल $$\tfrac{\pi}{3\sqrt{3}}$$से अनुपात कम या समान होता है केवल समबाहु त्रिभुजों के लिए समानता रखते हुए।

मान लीजिए $$\triangle ABC$$ में त्रिज्या $$r $$ और केंद्र $$I $$ के साथ एक अंतःवृत्त है। मान लीजिए $$I $$, $$AC$$ की लंबाई $$BC$$ $$b$$ की लंबाई है, और $$AB$$ की लंबाई $$c$$ है। अब, अंतःवृत्त किसी बिंदु $$T_C$$ पर $$AB$$ की स्पर्शरेखा है, और इसलिए $$\angle AT_CI$$ सही है। इस प्रकार, त्रिज्या $$T_CI$$ की ऊंचाई है। इसलिए, $$\triangle IAB$$ की आधार लंबाई $$c$$ और ऊंचाई $$r $$ है, और इसी प्रकार इसका क्षेत्रफल भी $$\tfrac{1}{2}cr$$ है। इसी प्रकार, $$\triangle IAC$$ का क्षेत्रफल $$\tfrac{1}{2}br$$ है और $$\triangle IBC$$ का क्षेत्रफल $$\tfrac{1}{2}ar$$ है। चूँकि ये तीन त्रिभुज त्रिभुज $$\triangle ABC$$ को विघटित करते हैं, हम देखते हैं कि क्षेत्रफल$$\Delta \text{ of } \triangle ABC$$ है:
 * $$\Delta = \frac{1}{2} (a + b + c)r = sr,$$    और     $$r = \frac{\Delta}{s},$$

जहां $$\Delta$$ $$\triangle ABC$$ का क्षेत्रफल है और $$s = \tfrac{1}{2}(a + b + c)$$ इसका अर्धपरिमाप है।

वैकल्पिक सूत्र के लिए, $$\triangle IT_CA$$ पर विचार करें। यह एक समकोण त्रिभुज है जिसकी एक भुजा $$r$$ के समान है और दूसरी भुजा $$r \cot\left(\frac{A}{2}\right)$$ के समान है। इस प्रकार $$\triangle IB'A $$ के लिए भी यही सत्य है। बड़ा त्रिभुज ऐसे छह त्रिभुजों से बना है और कुल क्षेत्रफल है:
 * $$\Delta = r^2 \left(\cot\left(\frac{A}{2}\right) + \cot\left(\frac{B}{2}\right) + \cot\left(\frac{C}{2}\right)\right).$$

जर्गोन त्रिभुज और बिंदु


गेर्गोन त्रिभुज ($$\triangle ABC$$) को तीन पक्षों पर अंतःवृत्त के तीन स्पर्श बिंदुओं द्वारा परिभाषित किया गया है। $$A$$ के विपरीत टचप्वाइंट को $$T_A $$ आदि से दर्शाया जाता है।

यह गेरगोन त्रिकोण,$$\triangle T_AT_BT_C$$, को 'संपर्क त्रिकोण' या 'इनटच त्रिकोण $$\triangle ABC$$' के रूप में भी जाना जाता है. इसका क्षेत्रफल है
 * $$K_T = K\frac{2r^2 s}{abc}$$

जहां $$K$$, $$r$$, और $$s$$ मूल त्रिभुज का क्षेत्रफल, अंतःवृत्त की त्रिज्या और अर्धपरिधि हैं, और $$a$$, $$b$$, और $$c$$ मूल त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई हैं। यह एक्सटच त्रिकोण के समान क्षेत्र है।

तीन रेखाएँ $$AT_A $$,$$BT_B $$और $$CT_C $$ एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं जिसे गेर्गोन बिंदु कहा जाता है, जिसे $$G_e $$ (या त्रिकोण केंद्र X7) के रूप में दर्शाया जाता है। गेर्गोन बिंदु अपने केंद्र में छिद्रित विवृत ऑर्थोसेंट्रोइडल डिस्क में स्थित है, और उसमें कोई भी बिंदु हो सकता है।

किसी त्रिभुज के गेर्गोन बिंदु में कई गुण होते हैं, जिसमें यह भी सम्मिलित है कि यह गेर्गोन त्रिभुज का सिमेडियन बिंदु है। स्पर्श त्रिभुज के शीर्षों के लिए त्रिरेखीय निर्देशांक इस प्रकार दिए गए हैं

गेर्गोन बिंदु के लिए त्रिरेखीय निर्देशांक दिए गए हैं
 * $$ \text{vertex}\, T_A = 0 : \sec^2 \left(\frac{B}{2}\right) : \sec^2\left(\frac{C}{2}\right)$$
 * $$ \text{vertex}\, T_B = \sec^2 \left(\frac{A}{2}\right) : 0 : \sec^2\left(\frac{C}{2}\right)$$
 * $$ \text{vertex}\, T_C = \sec^2 \left(\frac{A}{2}\right) : \sec^2\left(\frac{B}{2}\right) : 0.$$
 * $$\sec^2\left(\frac{A}{2}\right) : \sec^2 \left(\frac{B}{2}\right) : \sec^2\left(\frac{C}{2}\right),$$

या, समकक्ष, ज्या के नियम द्वारा,
 * $$\frac{bc}{b + c - a} : \frac{ca}{c + a - b} : \frac{ab}{a + b - c}.$$

बहृदय और बाह्यकेन्द्र
एक बाह्य वृत्त या उत्कीर्ण वृत्त त्रिभुज का वृत्त त्रिभुज के बाहर स्थित है, जो इसकी भुजा पर स्पर्शरेखा है और विस्तारित भुजा पर स्पर्शरेखा है। प्रत्येक त्रिभुज में तीन अलग-अलग बाह्यवृत्त होते हैं, जिनमें से प्रत्येक त्रिभुज की किसी भुजा पर स्पर्शरेखा होता है। एक बाह्यवृत्त का केंद्र कोण के आंतरिक समद्विभाजक $$A$$ का प्रतिच्छेदन होता है और अन्य दो के आंतरिक और बाह्य कोण समद्विभाजक इस बाह्यवृत्त के केंद्र $$A$$, या का केंद्र $$A$$ को शीर्ष के सापेक्ष बाह्यकेन्द्र कहा जाता है. क्योंकि किसी कोण का आंतरिक समद्विभाजक उसके बाहरी समद्विभाजक के लंबवत होता है, इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि अंतःवृत्त का केंद्र तीन बाह्यवृत्त केंद्रों के साथ मिलकर ऑर्थोसेंट्रिक प्रणाली बनाता है।

उत्केंद्रों के त्रिरेखीय निर्देशांक
जबकि $$\triangle ABC$$ के अंतःकेंद्र में त्रिरेखीय निर्देशांक $$1 : 1 : 1$$ हैं, बाह्यकेंद्रों में त्रिरेखीय निर्देशांक $$-1 : 1 : 1$$, $$1 : -1 : 1$$, और $$1 : 1 : -1$$ हैं

एक्सरेडी
बाह्यवृत्तों की त्रिज्याएँ बाह्य त्रिज्याएँ कहलाती हैं।

$$A$$ के विपरीत वृत्त की त्रिज्या (इसलिए $$BC$$ को स्पर्श करते हुए, $$J_A$$ पर केन्द्रित है)।

$$r_a = \frac{rs}{s - a} = \sqrt{\frac{s(s - b)(s - c)}{s - a}},$$ जहाँ $$s = \tfrac{1}{2}(a + b + c).$$ बगुला का सूत्र देखें.

एक्सरेडी सूत्र की व्युत्पत्ति
मान लीजिए कि भुजा $$AB$$ पर स्थित बाह्य वृत्त, $$G$$ पर विस्तारित भुजा $$AC$$ को स्पर्श करता है, और माना कि इस बाह्य वृत्त की त्रिज्या $$r_c$$ है और इसका केंद्र $$J_c$$ है

तब $$J_c G $$ की ऊंचाई होती है, इसलिए $$\triangle ACJ_c$$ का क्षेत्रफल होता है। इसी तरह के तर्क से, $$\triangle ACJ_c$$ का क्षेत्रफल $$\tfrac{1}{2}br_c$$ है और $$ \triangle BCJ_c $$ का एरिया $$\tfrac{1}{2}ar_c$$ है। इस प्रकार त्रिभुज $$\triangle ABJ_c$$ का क्षेत्रफल $$\Delta$$ है


 * $$\Delta = \frac{1}{2}(a + b - c)r_c = (s - c)r_c$$.

अत: समरूपता द्वारा निरूपित करते है वृत्त की त्रिज्या $$r$$ के रूप में,
 * $$\Delta = sr = (s - a)r_a = (s - b)r_b = (s - c)r_c$$.

कोसाइन के नियम के अनुसार, हमारे पास है
 * $$\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$

इसे पहचान $$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$$ के साथ जोड़ना, अपने पास
 * $$\sin(A) = \frac{\sqrt{-a^4 - b^4 - c^4 + 2a^2 b^2 + 2b^2 c^2 + 2 a^2 c^2}}{2bc}$$

किन्तु $$\Delta = \tfrac{1}{2}bc \sin(A)$$, इसलिए
 * $$\begin{align}

\Delta &= \frac{1}{4} \sqrt{-a^4 - b^4 - c^4 + 2a^2b^2 + 2b^2 c^2 + 2 a^2 c^2} \\ &= \frac{1}{4} \sqrt{(a + b + c)(-a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)} \\ & = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}, \end{align}$$ जो हेरॉन का सूत्र है.

इसे साथ मिलाकर $$sr = \Delta$$, अपने पास
 * $$r^2 = \frac{\Delta^2}{s^2} = \frac{(s - a)(s - b)(s - c)}{s}.$$

इसी प्रकार, $$(s - a)r_a = \Delta$$ देता है
 * $$r_a^2 = \frac{s(s - b)(s - c)}{s - a}$$

और
 * $$r_a = \sqrt{\frac{s(s - b)(s - c)}{s - a}}.$$

अन्य गुण
ऊपर दिए गए सूत्रों से यह देखा जा सकता है कि बाह्यवृत्त सदैव अंतःवृत्त से बड़े होते हैं और सबसे बड़ा बाह्यवृत्त सबसे लंबी भुजा की स्पर्शरेखा होता है और सबसे छोटा बहिर्वृत्त सबसे छोटी भुजा की स्पर्शरेखा होता है। इसके अतिरिक्त, इन सूत्रों के संयोजन से प्राप्त होता है:
 * $$\Delta = \sqrt{r r_a r_b r_c}.$$

अन्य बाह्य वृत्त गुण
बाह्यवृत्तों का वृत्ताकार उत्तल पतवार प्रत्येक बाह्यवृत्त के लिए आंतरिक रूप से स्पर्शरेखा है और इस प्रकार अपोलोनियस की समस्या है। इस अपोलोनियस वृत्त की त्रिज्या है $$\tfrac{r^2 + s^2}{4r}$$ जहाँ $$r$$ अंतःवृत्त त्रिज्या है और $$s$$ त्रिभुज का अर्धपरिमाप है. इनरेडियस के बीच निम्नलिखित संबंध हैं$$r$$, परित्रिज्या $$R$$, अर्धपरिधि$$s$$, और बाह्य वृत्त त्रिज्या$$r_a$$,$$r_b$$,$$r_c$$:
 * $$\begin{align}

r_a + r_b + r_c &= 4R + r, \\ r_a r_b + r_b r_c + r_c r_a &= s^2, \\ r_a^2 + r_b^2 + r_c^2 &= \left(4R + r\right)^2 - 2s^2. \end{align}$$ तीनों बाह्यवृत्तों के केन्द्रों से गुजरने वाले वृत्त की त्रिज्या होती है $$2R$$.

अगर$$H$$का ऑर्थोसेंटर है$$\triangle ABC$$, तब :

$$\begin{align} r_a + r_b + r_c + r &= AH + BH + CH + 2R, \\ r_a^2 + r_b^2 + r_c^2 + r^2 &= AH^2 + BH^2 + CH^2 + (2R)^2. \end{align}$$

नगेल त्रिकोण और नगेल बिंदु
'' का नागेल त्रिकोण या एक्सटच त्रिकोण$$\triangle ABC$$शीर्षों द्वारा निरूपित किया जाता है $$T_A$$, $$T_B$$, और $$T_C$$ ये तीन बिंदु हैं जहां बाह्यवृत्त संदर्भ को स्पर्श करते हैं$$\triangle ABC$$और जहाँ$$T_A$$के विपरीत है$$A$$, आदि। यह$$\triangle T_AT_BT_C$$के 'एक्सटच ट्राइएंगल' के नाम से भी जाना जाता है$$\triangle ABC$$. बहिःस्पर्श का परिवृत्त$$\triangle T_AT_BT_C$$'मांडार्ट सर्कल' कहा जाता है।''

तीन पंक्तियाँ $$AT_A$$, $$BT_B$$ और $$CT_C$$ त्रिभुज के स्प्लिटर (ज्यामिति) कहलाते हैं; उनमें से प्रत्येक त्रिभुज की परिधि को समद्विभाजित करता है,
 * $$AB + BT_A = AC + CT_A = \frac{1}{2}\left( AB + BC + AC \right).$$

विभाजक ही बिंदु, त्रिभुज के नागेल बिंदु, पर प्रतिच्छेद करते हैं $$N_a$$ (या त्रिभुज केंद्र X8).

एक्सटच त्रिभुज के शीर्षों के लिए त्रिरेखीय निर्देशांक इस प्रकार दिए गए हैं नागेल बिंदु के लिए त्रिरेखीय निर्देशांक दिए गए हैं
 * $$\text{vertex} \, T_A = 0 : \csc^2\left(\frac{B}{2}\right) : \csc^2\left(\frac{C}{2}\right)$$
 * $$\text{vertex} \, T_B = \csc^2\left(\frac{A}{2}\right) : 0 : \csc^2\left(\frac{C}{2}\right)$$
 * $$\text{vertex} \, T_C = \csc^2\left(\frac{A}{2}\right) : \csc^2\left(\frac{B}{2}\right) : 0.$$
 * $$\csc^2\left(\frac{A}{2}\right) : \csc^2 \left(\frac{B}{2}\right) : \csc^2\left(\frac{C}{2}\right),$$

या, समकक्ष, ज्या के नियम द्वारा,
 * $$\frac{b + c - a}{a} : \frac{c + a - b}{b} : \frac{a + b - c}{c}.$$

नागल बिंदु गेरगोन बिंदु का समस्थानिक संयुग्म है।

नौ-बिंदु वृत्त और फ़्यूरबैक बिंदु
ज्यामिति में, नौ-बिंदु वृत्त वृत्त है जिसे किसी भी त्रिभुज के लिए बनाया जा सकता है। इसका यह नाम इसलिए रखा गया है क्योंकि यह त्रिभुज से परिभाषित नौ महत्वपूर्ण चक्रीय बिंदुओं से होकर गुजरता है। ये नौ बिंदु (ज्यामिति) हैं:
 * त्रिभुज की प्रत्येक भुजा का मध्यबिंदु
 * प्रत्येक ऊँचाई का लम्ब (त्रिकोण)
 * त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष (ज्यामिति) से लंबकेंद्र तक रेखा खंड का मध्यबिंदु (जहां तीन ऊंचाईयां मिलती हैं; ये रेखा खंड अपनी-अपनी ऊंचाई पर स्थित हैं)।

1822 में, कार्ल फ़्यूरबैक ने पाया कि किसी भी त्रिभुज का नौ-बिंदु वृत्त बाह्य रूप से उस त्रिभुज के तीन बाह्यवृत्तों का स्पर्शरेखा वृत्त होता है और आंतरिक रूप से उसके अंतःवृत्त का स्पर्शरेखा होता है; इस परिणाम को फ्यूअरबैक प्रमेय के रूप में जाना जाता है। उन्होंने यह साबित किया:
 * ... त्रिभुज की ऊंचाई के चरणों से होकर गुजरने वाला वृत्त सभी चार वृत्तों पर स्पर्शरेखा होता है जो बदले में त्रिभुज की तीनों भुजाओं पर स्पर्शरेखा होते हैं...

त्रिभुज का केंद्र जिस पर अंतवृत्त और नौ-बिंदु वाला वृत्त स्पर्श करते हैं, फ्यूअरबैक बिंदु कहलाता है।

अंत:केंद्र और बाह्यकेन्द्र
के आंतरिक कोण के समद्विभाजक के प्रतिच्छेदन बिंदु$$\triangle ABC$$खंडों के साथ$$BC$$, $$CA$$, और$$AB$$'अकेंद्रीय त्रिभुज' के शीर्ष हैं। अंतर्केंद्रीय त्रिभुज के शीर्षों के लिए त्रिरेखीय निर्देशांक इस प्रकार दिए गए हैं एक संदर्भ त्रिभुज के बाह्यत्रिभुज के शीर्ष संदर्भ त्रिभुज के बाह्यवृत्तों के केंद्रों पर होते हैं। इसकी भुजाएँ संदर्भ त्रिभुज के बाह्य कोण समद्विभाजक पर हैं (#शीर्ष पर चित्र देखें)। बाह्यत्रिभुज के शीर्षों के लिए त्रिरेखीय निर्देशांक इस प्रकार दिए गए हैं
 * $$\ \left( \text{vertex opposite} \, A\right) = 0 : 1 : 1$$
 * $$\ \left( \text{vertex opposite} \, B\right) = 1 : 0 : 1$$
 * $$\ \left( \text{vertex opposite} \, C\right) = 1 : 1 : 0.$$
 * $$(\text{vertex opposite} \, A) = -1 : 1 :  1$$
 * $$(\text{vertex opposite} \, B) = 1 : -1 :  1$$
 * $$(\text{vertex opposite} \, C) = 1 :  1 : -1.$$

चार वृत्तों के लिए समीकरण
होने देना$$x:y:z$$त्रिरेखीय निर्देशांक में परिवर्तनशील बिंदु बनें, और चलो$$u=\cos^2\left ( A/2 \right )$$,$$v=\cos^2\left ( B/2 \right )$$,$$w=\cos^2\left ( C/2 \right )$$. ऊपर वर्णित चार वृत्त दिए गए दो समीकरणों में से किसी द्वारा समान रूप से दिए गए हैं: u^2 x^2 + v^2 y^2 + w^2 z^2 - 2vwyz - 2wuzx - 2uvxy &= 0 \\ \pm\sqrt{x}\cos\left(\frac{A}{2}\right) \pm \sqrt{y}\cos\left(\frac{B}{2}\right) \pm \sqrt{z}\cos\left(\frac{C}{2}\right) &= 0 \end{align}$$ u^2 x^2 + v^2 y^2 + w^2 z^2 - 2vwyz + 2wuzx + 2uvxy &= 0 \\ \pm\sqrt{-x}\cos\left(\frac{A}{2}\right) \pm \sqrt{y}\cos\left(\frac{B}{2}\right) \pm \sqrt{z}\cos\left(\frac{C}{2}\right) &= 0 \end{align}$$ u^2 x^2 + v^2 y^2 + w^2 z^2 + 2vwyz - 2wuzx + 2uvxy &= 0 \\ \pm\sqrt{x}\cos\left(\frac{A}{2}\right) \pm \sqrt{-y}\cos\left(\frac{B}{2}\right) \pm \sqrt{z}\cos\left(\frac{C}{2}\right) &= 0 \end{align}$$ u^2 x^2 + v^2 y^2 + w^2 z^2 + 2vwyz + 2wuzx - 2uvxy &= 0 \\ \pm\sqrt{x}\cos\left(\frac{A}{2}\right) \pm \sqrt{y}\cos\left(\frac{B}{2}\right) \pm \sqrt{-z}\cos\left(\frac{C}{2}\right) &= 0 \end{align}$$
 * घेरा:
 * $$\begin{align}
 * $$A$$-एक्ससर्कल:
 * $$\begin{align}
 * $$B$$-एक्ससर्कल:
 * $$\begin{align}
 * $$C$$-एक्ससर्कल:
 * $$\begin{align}

यूलर का प्रमेय
ज्यामिति में यूलर का प्रमेय|यूलर का प्रमेय बताता है कि त्रिभुज में:
 * $$(R - r)^2 = d^2 + r^2,$$

जहाँ$$R$$और$$r$$क्रमशः परित्रिज्या और अंत:त्रिज्या हैं, और$$d$$परिकेन्द्र और अन्तःकेन्द्र के बीच की दूरी है।

बाह्यवृत्तों के लिए समीकरण समान है:
 * $$\left(R + r_\text{ex}\right)^2 = d_\text{ex}^2 + r_\text{ex}^2,$$

जहाँ$$r_\text{ex}$$बाह्यवृत्तों में से की त्रिज्या है, और$$d_\text{ex}$$परिकेंद्र और उस बाह्यवृत्त के केंद्र के बीच की दूरी है।

अन्य बहुभुजों का सामान्यीकरण
कुछ (किन्तु सभी नहीं) चतुर्भुजों में अंतवृत्त होता है। इन्हें स्पर्शरेखा चतुर्भुज कहा जाता है। उनके कई गुणों में से शायद सबसे महत्वपूर्ण यह है कि उनकी विपरीत भुजाओं के दो युग्मों का योग समान होता है। इसे पिटोट प्रमेय कहा जाता है। अधिक सामान्यतः, किसी भी संख्या में भुजाओं वाला बहुभुज जिसमें उत्कीर्ण वृत्त होता है (अर्थात्, जो प्रत्येक पक्ष पर स्पर्शरेखा होता है) स्पर्शरेखीय बहुभुज कहलाता है।

यह भी देखें

 * त्रिभुज शंकु
 * त्रिभुज शंकु
 * त्रिभुज शंकु
 * त्रिभुज शंकु
 * त्रिभुज शंकु
 * त्रिभुज शंकु
 * त्रिभुज शंकु
 * त्रिभुज शंकु
 * त्रिभुज शंकु
 * त्रिभुज शंकु

बाहरी संबंध

 * Derivation of formula for radius of incircle of a triangle

इंटरैक्टिव

 * त्रिभुज अंत:केंद्र त्रिभुज अंतर्वृत्त·अंतर्वृत्त नियमित बहुभुज का इंटरैक्टिव एनिमेशन के साथ
 * कम्पास और स्ट्रेटएज के साथ त्रिकोण के अंत:केंद्र/अंतरवृत्त का निर्माण इंटरैक्टिव एनिमेटेड प्रदर्शन
 * ].org/Curriculum/Geometry/AdjacentIncircles.shtml समान अंतःवृत्त प्रमेय] कट-द-नॉट पर
 * फाइव इनसर्कल्स प्रमेय कट-द-नॉट पर
 * एक चतुर्भुज में अंतःवृत्तों के जोड़े कट-द-नॉट पर
 * इनसेंटर के लिए इंटरैक्टिव जावा एप्लेट

श्रेणी:त्रिभुज के लिए परिभाषित वृत्त