लीजेंड्रे बहुपद

गणित में, एड्रियन मैरी लीजेंड्रे (1782) के नाम पर लिजेंड्रे बहुपद, गणितीय गुणों की बड़ी संख्या और कई अनुप्रयोगों के साथ पूर्ण और ऑर्थोगोनल बहुपदों की एक प्रणाली है। उन्हें कई विधियों से परिभाषित किया जा सकता है, और विभिन्न परिभाषाएँ विभिन्न पहलुओं को प्रकाशित करती हैं और साथ ही विभिन्न गणितीय संरचनाओं और भौतिक और संख्यात्मक अनुप्रयोगों के लिए सामान्यीकरण और सम्बन्ध का सुझाव देती हैं।

लिजेन्ड्रे बहुपदों से निकटता से संबंधित लिजेन्ड्रे बहुपदों, लिजेन्ड्रे फलन, दूसरी तरह के लेजेंड्रे फलन, और संबंधित लेजेन्ड्रे फलन हैं।

ऑर्थोगोनल सिस्टम के रूप में निर्माण द्वारा परिभाषा

इस दृष्टिकोण में, बहुपदों को वजन फलन के संबंध में ऑर्थोगोनल प्रणाली के रूप में परिभाषित किया जाता है $$w(x) = 1$$ अंतराल पर $$ [-1,1]$$. वह है, $$P_n(x)$$ घात $$n$$ का बहुपद है, ऐसा है कि $$\int_{-1}^1 P_m(x) P_n(x) \,dx = 0 \quad \text{if } n \ne m.$$अतिरिक्त मानकीकरण शर्त $$P_n(1) = 1$$ के साथ, सभी बहुपद विशिष्ट रूप से निर्धारित किए जा सकते हैं। फिर हम निर्माण प्रक्रिया शुरू करते हैं : $$P_0(x) = 1$$ घात 0 का एकमात्र सही विधि से मानकीकृत बहुपद है। $$P_1(x)$$ को $$P_0$$ के लिए ऑर्थोगोनल होना चाहिए, $$P_1(x) = x$$, और $$P_2(x)$$ के लिए अग्रणी $$P_0$$ और $$P_1$$ के लिए ऑर्थोगोनलिटी की मांग से निर्धारित होता है। $$P_n$$ के साथ सभी $$P_m$$ के लिए ऑर्थोगोनलिटी की मांग करके $$ m < n $$ तय किया गया हैं। यह देता है यह $$ n $$ स्थितियाँ देता है, जो मानकीकरण $$ P_n(1) = 1$$ के साथ है $$ P_n(x)$$में सभी $$ n+1$$ में गुणांकों को ठीक करता है। काम के साथ, प्रत्येक बहुपद के सभी गुणांकों को व्यवस्थित रूप से निर्धारित किया जा सकता है, जिससे नीचे दिए गए $$x$$ की शक्तियों में स्पष्ट प्रतिनिधित्व हो सके।

यह परिभाषा $$P_n$$सबसे सरल है। यह अंतर समीकरणों के सिद्धांत के लिए अपील नहीं करता है। दूसरा, बहुपदों की पूर्णता घात 1 की पूर्णता के तुरंत बाद आती है, $$ x, x^2, x^3, \ldots$$. अंत में, परिमित अंतराल पर सबसे स्पष्ट वजन फलन के संबंध में उन्हें ऑर्थोगोनलिटी के माध्यम से परिभाषित करके, यह तीन शास्त्रीय ऑर्थोगोनल बहुपदों में से के रूप में लीजेंड्रे बहुपद स्थापित करता है। अन्य दो लैगुएरे बहुपद हैं, जो आधी रेखा $$[0,\infty)$$ पर ओर्थोगोनल हैं, और हर्मिट बहुपद, पूर्ण रेखा पर ओर्थोगोनल $$(-\infty,\infty)$$, वजन फलनों के साथ जो सबसे प्राकृतिक विश्लेषणात्मक फलन हैं जो सभी अभिन्नताओं के अभिसरण को सुनिश्चित करते हैं।

फलन उत्पन्न करने के माध्यम से परिभाषा
लीजेंड्रे बहुपदों को जनरेटिंग फलन के $$t$$ की घातों में एक औपचारिक विस्तार में गुणांकों के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है

$$t^n$$ का गुणांक $$ x $$ में घात $$n$$ वाला एक बहुपद है जिसमें $$|x| \leq 1$$ है। $$t^1$$ तक विस्तार करने पर प्राप्त होता है $$P_0(x) = 1 \,,\quad P_1(x) = x.$$उच्च क्रम में विस्तार तेजी से बोझिल हो जाता है, लेकिन व्यवस्थित रूप से करना संभव है, और फिर से नीचे दिए गए स्पष्ट रूपों में से की ओर जाता है। हालांकि, टेलर श्रृंखला के प्रत्यक्ष विस्तार का सहारा लिए बिना उच्च $$P_n$$प्राप्त करना संभव है। सम $$ को दोनों तरफ $$ के संबंध में विभेदित किया गया है और प्राप्त करने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया गया है $$\frac{x-t}{\sqrt{1-2xt+t^2}} = \left(1-2xt+t^2\right) \sum_{n=1}^\infty n P_n(x) t^{n-1} \,.$$ Eq।$t$ में इसकी परिभाषा के साथ वर्गमूल के भागफल को बदलना, और की शक्तियों के गुणांकों की बराबरी करना $t$ परिणामी विस्तार में बोनट का पुनरावर्तन सूत्र देता है $$ (n+1) P_{n+1}(x) = (2n+1) x P_n(x) - n P_{n-1}(x)\,.$$ यह संबंध, पहले दो बहुपदों के साथ $P_{0}$ और $P_{1}$, बाकी सभी को पुनरावर्ती रूप से उत्पन्न करने की अनुमति देता है।

जनरेटिंग फलन दृष्टिकोण सीधे इलेक्ट्रोस्टैटिक्स में मल्टीपोल विस्तार से जुड़ा हुआ है, जैसा कि नीचे बताया गया है, और यह है कि 1782 में लीजेंड्रे द्वारा बहुपदों को पहली बार कैसे परिभाषित किया गया था।

अंतर समीकरण के माध्यम से परिभाषा
लीजेंड्रे के अंतर समीकरण के समाधान के संदर्भ में तीसरी परिभाषा है:

इस अंतर समीकरण में $x = ±1$ पर नियमित एकवचन बिंदु होते हैं, इसलिए यदि मानक फ्रोबेनियस या पावर श्रृंखला पद्धति का उपयोग करके एक समाधान की मांग की जाती है, तो मूल के बारे में एक श्रृंखला केवल $|x| < 1$ सामान्य रूप में केवल अभिसरण करेगी। जब $n$ पूर्णांक है, समाधान $P_{n}(x)$ जो $x = 1$ पर नियमित है $x = −1$ पर भी नियमित है, और इस समाधान के लिए श्रृंखला समाप्त हो जाती है (अर्थात यह बहुपद है)। इन समाधानों की रूढ़िवादिता और पूर्णता को स्टर्म-लिउविल सिद्धांत के दृष्टिकोण से सबसे अच्छा देखा जाता है। हम अवकल समीकरण को आइगेनवैल्यू समस्या के रूप में फिर से लिखते हैं, $$\frac{d}{dx} \left( \left(1-x^2\right) \frac{d}{dx} \right) P(x) = -\lambda P(x) \,,$$ आइगेनवैल्यू के साथ $$\lambda$$ के एवज $$ n(n+1)$$. अगर हम मांग करते हैं कि समाधान नियमित रूप से हो $$x = \pm 1$$, बायीं ओर अवकल संकारक हर्मिटियन है। आइगेनवैल्यू फॉर्म के पाए जाते हैं $n(n + 1)$, साथ $$n = 0, 1, 2, \ldots$$ और ईजेनफंक्शन हैं $$P_n(x)$$. समाधानों के इस सेट की रूढ़िवादिता और पूर्णता स्टर्म-लिउविल सिद्धांत के बड़े ढांचे से तुरंत अनुसरण करती है।

विभेदक समीकरण एक अन्य, गैर-बहुपद समाधान, दूसरी तरह के (Qn) $$Q_n$$के लीजेंड्रे कार्यों को स्वीकार करता हैं।

दो-पैरामीटर सामान्यीकरण (Eq।$$) को लिजेन्ड्रे का सामान्य अवकल समीकरण कहा जाता है, जिसे एसोसिएटेड लैजेन्ड्रे बहुपदों द्वारा हल किया जाता है। लेजेंड्रे फलन करता है गैर-पूर्णांक मापदंडों के साथ लीजेंड्रे आंशिक विभेदक समीकरण (सामान्यीकृत या नहीं) के समाधान हैं।

भौतिक सेटिंग में, लीजेंड्रे का विभेदक समीकरण स्वाभाविक रूप से तब उत्पन्न होता है जब कोई लाप्लास के समीकरण (और संबंधित आंशिक अवकल समीकरण) को गोलीय निर्देशांकों में चरों के पृथक्करण द्वारा हल करता है। इस दृष्टिकोण से, लाप्लासियन ऑपरेटर के कोणीय भाग के eigenfunctions गोलाकार हार्मोनिक्स हैं, जिनमें से लीजेंड्रे बहुपद (गुणात्मक स्थिरांक तक) सबसेट हैं जो ध्रुवीय अक्ष के बारे में घुमावों द्वारा अपरिवर्तित छोड़ दिया जाता है। बहुपद के रूप में दिखाई देते हैं $$P_n(\cos\theta)$$ जहाँ $$\theta$$ ध्रुवीय कोण है। लीजेंड्रे बहुपदों के लिए यह दृष्टिकोण घूर्णी समरूपता के लिए गहरा संबंध प्रदान करता है। उनके कई गुण जो श्रमपूर्वक विश्लेषण के विधियों के माध्यम से पाए जाते हैं - उदाहरण के लिए जोड़ प्रमेय - समरूपता और समूह सिद्धांत के विधियों का उपयोग करके अधिक आसानी से पाए जाते हैं, और गहरा भौतिक और ज्यामितीय अर्थ प्राप्त करते हैं।

रूढ़िवादिता और पूर्णता
मानकीकरण $$P_n(1) = 1$$ लीजेंड्रे बहुपदों के सामान्यीकरण को ठीक करता है (एल 2-मानदंड के संबंध में$L^{2}$ अंतराल पर मानदंड $−1 ≤ x ≤ 1$). चूंकि वे ही मानदंड, दो बयानों के संबंध में ऑर्थोगोनल फलन भी हैं को समीकरण में जोड़ा जा सकता है, $$\int_{-1}^1 P_m(x) P_n(x)\,dx = \frac{2}{2n + 1} \delta_{mn},$$ (जहाँ $δ_{mn}$ क्रोनकर डेल्टा को दर्शाता है, जो 1 if के बराबर है $m = n$ और 0 अन्यथा)। यह सामान्यीकरण सबसे आसानी से नीचे दिए गए रोड्रिग्स के फार्मूले को लागू करके पाया जाता है।

बहुपद पूर्ण होने का अर्थ निम्नलिखित है। किसी भी टुकड़े के निरंतर फलन को देखते हुए $$ f(x) $$ अंतराल में निश्चित रूप से कई विच्छिन्नता के साथ $$, रकम का क्रम $$ f_n(x) = \sum_{\ell=0}^n a_\ell P_\ell(x)$$ के मध्य में परिवर्तित हो जाता है $$ f(x) $$ जैसा $$ n \to \infty $$, बशर्ते हम लें $$ a_\ell = \frac{2\ell + 1}{2} \int_{-1}^1 f(x) P_\ell(x)\,dx.$$ यह पूर्णता संपत्ति इस लेख में चर्चा किए गए सभी विस्तारों को रेखांकित करती है, और अक्सर इसे रूप में कहा जाता है $$\sum_{\ell=0}^\infty \frac{2\ell + 1}{2} P_\ell(x)P_\ell(y) = \delta(x-y), $$ साथ $−1 ≤ x ≤ 1$ और $−1 ≤ y ≤ 1$.

रोड्रिग्स का सूत्र और अन्य स्पष्ट सूत्र
लीजेंड्रे बहुपदों के लिए विशेष रूप से संक्षिप्त व्यंजक रोड्रिग्स के सूत्र द्वारा दिया गया है: $$P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} (x^2 -1)^n \,.$$ यह सूत्र बड़ी संख्या में गुणों की व्युत्पत्ति को सक्षम बनाता है $$P_n$$'एस। इनमें स्पष्ट अभ्यावेदन जैसे हैं $$\begin{align} P_n(x)&= \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 (x-1)^{n-k}(x+1)^k, \\ P_n(x)&=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \binom{n+k}{k} \left( \frac{x-1}{2} \right)^k, \\ P_n(x)&=\frac1{2^n}\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac n2\right\rfloor}(-1)^k\binom nk\binom{2n-2k}n x^{n-2k},\\ P_n(x)&= 2^n \sum_{k=0}^n x^k \binom{n}{k} \binom{\frac{n+k-1}{2}}{n}. \end{align}$$ तीसरे प्रतिनिधित्व में, ⌊n/2⌋ फर्श फलन n/2 के लिए है। अंतिम प्रतिनिधित्व, जो पुनरावर्तन सूत्र से भी तत्काल है, लेजेंड्रे बहुपदों को सरल मोनोमियल्स द्वारा व्यक्त करता है और द्विपद गुणांक # सामान्यीकरण और द्विपद श्रृंखला से संबंध शामिल करता है।

पहले कुछ लीजेंड्रे बहुपद हैं: इन बहुपदों के रेखांकन (तक $n = 5$) नीचे दिखाए गए हैं:

1/r क्षमता का विस्तार
लीजेंड्रे बहुपदों को पहली बार 1782 में एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे द्वारा पेश किया गया था न्यूटोनियन क्षमता के विस्तार में गुणांक के रूप में $$\frac{1}{\left| \mathbf{x}-\mathbf{x}' \right|} = \frac{1}{\sqrt{r^2+{r'}^2-2r{r'}\cos\gamma}} = \sum_{\ell=0}^\infty \frac{{r'}^\ell}{r^{\ell+1}} P_\ell(\cos \gamma),$$ जहाँ $r$ और $r′$ सदिशों की लंबाई हैं $x$ और $x′$ क्रमशः और $γ$ उन दो सदिशों के बीच का कोण है। श्रृंखला कब अभिसरित होती है $r > r′$. अभिव्यक्ति बिंदु द्रव्यमान से जुड़ी गुरुत्वाकर्षण क्षमता या बिंदु आवेश से जुड़ी कूलम्ब क्षमता देती है। लेजेंड्रे बहुपदों का उपयोग करने वाला विस्तार उपयोगी हो सकता है, उदाहरण के लिए, इस अभिव्यक्ति को निरंतर द्रव्यमान या चार्ज वितरण पर एकीकृत करते समय।

लीजेंड्रे बहुपद लाप्लास के स्थिर विद्युत क्षमता के समीकरण के समाधान में होते हैं, $∇^{2} Φ(x) = 0$, चरों के पृथक्करण की विधि का उपयोग करते हुए अंतरिक्ष के चार्ज-मुक्त क्षेत्र में, जहां सीमा स्थितियों में अक्षीय समरूपता होती है (दिगंश पर कोई निर्भरता नहीं)। जहाँ $ẑ$ समरूपता की धुरी है और $θ$ पर्यवेक्षक की स्थिति और के बीच का कोण है $ẑ$ अक्ष (आंचलिक कोण), विभव का हल होगा $$\Phi(r,\theta) = \sum_{\ell=0}^\infty \left( A_\ell r^\ell + B_\ell r^{-(\ell+1)} \right) P_\ell(\cos\theta) \,.$$

$A_{l}$ और $B_{l}$ प्रत्येक समस्या की सीमा स्थिति के अनुसार निर्धारित किया जाना है। केंद्रीय बल के लिए श्रोडिंगर समीकरण को तीन आयामों में हल करते समय भी वे दिखाई देते हैं।

बहुध्रुव विस्तार में लेजेंड्रे बहुपद
लिजेन्ड्रे बहुपद भी फॉर्म के विस्तार फलनों में उपयोगी होते हैं (यह पहले जैसा ही है, थोड़ा अलग विधि से लिखा गया है): $$\frac{1}{\sqrt{1 + \eta^2 - 2\eta x}} = \sum_{k=0}^\infty \eta^k P_k(x),$$ जो मल्टीपोल विस्तार में स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होता है। समीकरण के बाईं ओर लेजेंड्रे बहुपदों के लिए जनक फलन है।

उदाहरण के रूप में, विद्युत क्षमता $Φ(r,θ)$ (गोलीय निर्देशांक में) पर स्थित बिंदु आवेश के कारण $z$-अक्ष पर $z = a$ (दाईं ओर आरेख देखें) भिन्न होता है $$\Phi (r, \theta ) \propto \frac{1}{R} = \frac{1}{\sqrt{r^2 + a^2 - 2ar \cos\theta}}.$$ यदि त्रिज्या r}अवलोकन बिंदु के } $P$ से बड़ा है $a$, लीजेंड्रे बहुपदों में क्षमता का विस्तार किया जा सकता है $$\Phi(r, \theta) \propto \frac{1}{r} \sum_{k=0}^\infty \left( \frac{a}{r} \right)^k P_k(\cos \theta),$$ जहां हमने परिभाषित किया है $η = a⁄r < 1$ और $x = cos θ$. इस विस्तार का उपयोग सामान्य मल्टीपोल विस्तार को विकसित करने के लिए किया जाता है।

इसके विपरीत, यदि त्रिज्या r}अवलोकन बिंदु के } $P$ की तुलना में छोटा है $a$, जैसा कि ऊपर बताया गया है, लिजेंड्रे बहुपदों में अभी भी क्षमता का विस्तार किया जा सकता है, लेकिन इसके साथ $a$ और $r$ का आदान-प्रदान किया। यह विस्तार आंतरिक मल्टीपोल विस्तार का आधार है।

त्रिकोणमिति में लीजेंड्रे बहुपद
त्रिकोणमितीय फलन $cos nθ$, जिसे चेबीशेव बहुपद भी कहा जाता है $T_{n}(cos θ) ≡ cos nθ$, लीजेन्ड्रे बहुपदों द्वारा बहुध्रुव का विस्तार भी किया जा सकता है $P_{n}(cos θ)$. पहले कई आदेश इस प्रकार हैं: $$\begin{align} T_0(\cos\theta)&=1          &&=P_0(\cos\theta),\\[4pt] T_1(\cos\theta)&=\cos \theta&&=P_1(\cos\theta),\\[4pt] T_2(\cos\theta)&=\cos 2\theta&&=\tfrac{1}{3}\bigl(4P_2(\cos\theta)-P_0(\cos\theta)\bigr),\\[4pt] T_3(\cos\theta)&=\cos 3\theta&&=\tfrac{1}{5}\bigl(8P_3(\cos\theta)-3P_1(\cos\theta)\bigr),\\[4pt] T_4(\cos\theta)&=\cos 4\theta&&=\tfrac{1}{105}\bigl(192P_4(\cos\theta)-80P_2(\cos\theta)-7P_0(\cos\theta)\bigr),\\[4pt] T_5(\cos\theta)&=\cos 5\theta&&=\tfrac{1}{63}\bigl(128P_5(\cos\theta)-56P_3(\cos\theta)-9P_1(\cos\theta)\bigr),\\[4pt] T_6(\cos\theta)&=\cos 6\theta&&=\tfrac{1}{1155}\bigl(2560P_6(\cos\theta)-1152P_4(\cos\theta)-220P_2(\cos\theta)-33P_0(\cos\theta)\bigr). \end{align}$$ अन्य गुण के लिए व्यंजक है $sin (n + 1)θ$, जो है $$\frac{\sin (n+1)\theta}{\sin\theta}=\sum_{\ell=0}^n P_\ell(\cos\theta) P_{n-\ell}(\cos\theta).$$

आवर्तक तंत्रिका नेटवर्क में लेजेंड्रे बहुपद
आवर्ती तंत्रिका नेटवर्क जिसमें ए शामिल है $d$-आयामी मेमोरी वेक्टर, $$\mathbf{m} \in \R^d$$, इस तरह से अनुकूलित किया जा सकता है कि इसकी तंत्रिका गतिविधियाँ निम्नलिखित राज्य-स्थान प्रतिनिधित्व द्वारा दी गई रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली का पालन करती हैं: $$\theta \dot{\mathbf{m}}(t) = A\mathbf{m}(t) + Bu(t),$$ $$\begin{align} A &= \left[ a \right]_{ij} \in \R^{d \times d} \text{,} \quad && a_{ij} = \left(2i + 1\right) \begin{cases} -1 & i < j \\ (-1)^{i-j+1} & i \ge j \end{cases},\\ B &= \left[ b \right]_i \in \R^{d \times 1} \text{,} \quad && b_i = (2i + 1) (-1)^i. \end{align}$$ इस मामले में, की स्लाइडिंग विंडो $$u$$ अतीत भर में $$\theta$$ समय की इकाइयाँ पहले के रेखीय संयोजन द्वारा सन्निकटन सिद्धांत है $$d$$ के तत्वों द्वारा साथ भारित लीजेंड्रे बहुपदों को स्थानांतरित कर दिया $$\mathbf{m}$$ समय पर $$t$$: $$u(t - \theta') \approx \sum_{\ell=0}^{d-1} \widetilde{P}_\ell \left(\frac{\theta'}{\theta} \right) \, m_{\ell}(t), \quad 0 \le \theta' \le \theta .$$ जब गहन शिक्षण विधियों के साथ जोड़ा जाता है, तो इन नेटवर्कों को कम कम्प्यूटेशनल संसाधनों का उपयोग करते हुए लंबी अवधि की स्मृति इकाइयों और संबंधित आर्किटेक्चर से बेहतर प्रदर्शन करने के लिए प्रशिक्षित किया जा सकता है।

लीजेंड्रे बहुपदों के अतिरिक्त गुण
लीजेंड्रे बहुपदों में निश्चित समता होती है। अर्थात्, वे सम और विषम फलन हैं, के अनुसार $$P_n(-x) = (-1)^n P_n(x) \,.$$ अन्य उपयोगी संपत्ति है $$\int_{-1}^1 P_n(x)\,dx = 0 \text{ for } n\ge1,$$ जो ओर्थोगोनलिटी संबंध पर विचार करने के बाद आता है $$P_0(x) = 1$$. यह सुविधाजनक है जब लीजेंड्रे श्रृंखला $\sum_i a_i P_i$ किसी फलन या प्रायोगिक डेटा का अनुमान लगाने के लिए उपयोग किया जाता है: अंतराल पर श्रृंखला का औसत $$ केवल प्रमुख विस्तार गुणांक द्वारा दिया जाता है $$a_0$$.

चूंकि अवकल समीकरण और लांबिकता गुण स्केलिंग से स्वतंत्र हैं, लेजेंड्रे बहुपद की परिभाषाएं मानकीकृत हैं (कभी-कभी सामान्यीकरण कहा जाता है, लेकिन वास्तविक मानदंड 1 नहीं है) स्केल करके ताकि $$P_n(1) = 1 \,.$$ अंत बिंदु पर व्युत्पन्न द्वारा दिया गया है $$P_n'(1) = \frac{n(n+1)}{2} \,. $$ लीजेंड्रे बहुपदों के लिए आस्की-गैस्पर असमानता पढ़ता है $$\sum_{j=0}^n P_j(x) \ge 0 \quad \text{for }\quad x\ge -1 \,.$$ इकाई सदिशों के अदिश गुणनफल के लीजेन्ड्रे बहुपदों को गोलाकार हार्मोनिक्स का उपयोग करके विस्तारित किया जा सकता है $$P_\ell \left(r \cdot r'\right) = \frac{4\pi}{2\ell + 1} \sum_{m=-\ell}^\ell Y_{\ell m}(\theta,\varphi) Y_{\ell m}^*(\theta',\varphi')\,,$$ जहां इकाई वैक्टर $r$ और $r′$ गोलाकार निर्देशांक हैं $(θ, φ)$ और $(θ′, φ′)$, क्रमश।

पुनरावृत्ति संबंध
जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, लीजेंड्रे बहुपद बोनट के पुनरावर्तन सूत्र के रूप में ज्ञात तीन-टर्म पुनरावृत्ति संबंध का पालन करते हैं, जो निम्न द्वारा दिया गया है $$ (n+1) P_{n+1}(x) = (2n+1) x P_n(x) - n P_{n-1}(x)$$ और $$ \frac{x^2-1}{n} \frac{d}{dx} P_n(x) = xP_n(x) - P_{n-1}(x) $$ या, वैकल्पिक अभिव्यक्ति के साथ, जो समापन बिंदुओं पर भी लागू होती है $$ \frac{d}{dx} P_{n+1}(x) = (n+1)P_n(x) + x \frac{d}{dx}P_{n}(x) \,.$$ लीजेंड्रे बहुपदों के एकीकरण के लिए उपयोगी है $$(2n+1) P_n(x) = \frac{d}{dx} \bigl( P_{n+1}(x) - P_{n-1}(x) \bigr) \,.$$ ऊपर वाले से यह भी देखा जा सकता है $$\frac{d}{dx} P_{n+1}(x) = (2n+1) P_n(x) + \bigl(2(n-2)+1\bigr) P_{n-2}(x) + \bigl(2(n-4)+1\bigr) P_{n-4}(x) + \cdots$$ या समकक्ष $$\frac{d}{dx} P_{n+1}(x) = \frac{2 P_n(x)}{\left\| P_n \right\|^2} + \frac{2 P_{n-2}(x)}{\left\| P_{n-2} \right\|^2} + \cdots$$ जहाँ $\|P_{n}\|$ अंतराल पर आदर्श है $−1 ≤ x ≤ 1$ $$\| P_n \| = \sqrt{\int_{-1}^1 \bigl(P_n(x)\bigr)^2 \,dx} = \sqrt{\frac{2}{2 n + 1}} \,.$$

स्पर्शोन्मुख
असम्बद्ध रूप से, के लिए $$\ell \to \infty$$, लीजेंड्रे बहुपदों को इस रूप में लिखा जा सकता है $$\begin{align} P_\ell (\cos \theta) &= \sqrt{\frac{\theta}{\sin \theta}} \, J_0((\ell+1/2)\theta) + \mathcal{O}\left(\ell^{-1}\right) \\ &= \frac{2}{\sqrt{2\pi \ell\sin\theta}}\cos\left(\left(\ell + \tfrac12\right)\theta - \frac{\pi}{4}\right) + \mathcal{O}\left(\ell^{-3/2}\right), \quad \theta \in (0,\pi), \end{align}$$ और 1 से अधिक परिमाण के तर्कों के लिए $$\begin{align} P_\ell \left(\cosh\xi\right) &= \sqrt{\frac{\xi}{\sinh\xi}} I_0\left(\left(\ell+\frac{1}{2}\right)\xi\right)\left(1+\mathcal{O}\left(\ell^{-1}\right)\right)\,,\\ P_\ell \left(\frac{1}{\sqrt{1-e^2}}\right) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi\ell e}} \frac{(1+e)^\frac{\ell+1}{2}}{(1-e)^\frac{\ell}{2}} + \mathcal{O}\left(\ell^{-1}\right) \end{align}$$ जहाँ $J_{0}$ और $I_{0}$ बेसेल फलन हैं।

शून्य
सभी $$ n$$ के शून्य $$P_n(x)$$ वास्तविक हैं, दूसरे से भिन्न हैं, और अन्तराल में स्थित हैं $$(-1,1)$$. इसके अलावा, अगर हम उन्हें अंतराल को विभाजित करने के रूप में मानते हैं $$[-1,1]$$ में $$ n+1 $$ सबइंटरवल, प्रत्येक सबइंटरवल में ठीक शून्य होगा $$P_{n+1}$$. इसे इंटरलेसिंग प्रॉपर्टी के रूप में जाना जाता है। समानता संपत्ति के कारण यह स्पष्ट है कि यदि $$x_k$$ का शून्य है $$P_n(x)$$, ऐसा है $$-x_k$$. गॉसियन चतुर्भुज के आधार पर संख्यात्मक एकीकरण में ये शून्य महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। के आधार पर विशिष्ट चतुर्भुज $$P_n$$गॉस-लेजेंड्रे चतुर्भुज के रूप में जाना जाता है।

इस संपत्ति से और तथ्य यह है कि $$ P_n(\pm 1) \ne 0 $$, यह इस प्रकार है कि $$ P_n(x) $$ है $$ n-1 $$ स्थानीय मिनिमा और मैक्सिमा में $$ (-1,1) $$. समान रूप से, $$ dP_n(x)/dx $$ है $$ n -1 $$ में शून्य $$ (-1,1) $$.

बिंदुवार मूल्यांकन
समता और सामान्यीकरण मूल्यों को सीमाओं पर निहित करते हैं $$ x=\pm 1 $$ होना $$ P_n(1) = 1 \,, \quad P_n(-1) = \begin{cases} 1 & \text{for} \quad n = 2m \\   -1 & \text{for} \quad n = 2m+1 \,. \end{cases} $$ मूल में $$ x=0 $$ कोई दिखा सकता है कि मान किसके द्वारा दिए गए हैं $$ P_n(0) = \begin{cases} \frac{(-1)^{m}}{4^m} \tbinom{2m}{m} = \frac{(-1)^{m}}{2^{2m}} \frac{(2m)!}{\left(m!\right)^2} & \text{for} \quad n = 2m \\   0 & \text{for} \quad n = 2m+1 \,. \end{cases} $$

स्थानांतरित लीजेंड्रे बहुपद
स्थानांतरित लीजेंड्रे बहुपदों को इस रूप में परिभाषित किया गया है $$\widetilde{P}_n(x) = P_n(2x-1) \,.$$ यहां शिफ्टिंग फंक्शन $x ↦ 2x − 1$ affine परिवर्तन है जो अंतराल को आक्षेपित करता है $[−1, 1]$ अंतराल के लिए $[−1, 1]$, जिसका अर्थ है कि बहुपद $P̃_{n}(x)$ ओर्थोगोनल हैं $[0, 1]$: $$\int_0^1 \widetilde{P}_m(x) \widetilde{P}_n(x)\,dx = \frac{1}{2n + 1} \delta_{mn} \,.$$ शिफ्ट किए गए लीजेंड्रे बहुपदों के लिए स्पष्ट अभिव्यक्ति द्वारा दिया गया है $$\widetilde{P}_n(x) = (-1)^n \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \binom{n+k}{k} (-x)^k \,.$$ स्थानांतरित लीजेंड्रे बहुपदों के लिए रोड्रिग्स के सूत्र का अनुरूप है $$\widetilde{P}_n(x) = \frac{1}{n!} \frac{d^n}{dx^n} \left(x^2 -x \right)^n \,.$$ पहले कुछ शिफ्ट किए गए लीजेंड्रे बहुपद हैं:

पौराणिक तर्कसंगत फलन
लीजेंड्रे परिमेय फलन [0, ∞) पर लांबिक फलनों का क्रम है। वे लीजेंड्रे बहुपदों के साथ केली रूपांतरण की रचना करके प्राप्त किए जाते हैं।

घात एन के तर्कसंगत लीजेंड्रे फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: $$R_n(x) = \frac{\sqrt{2}}{x+1}\,P_n\left(\frac{x-1}{x+1}\right)\,.$$ वे विलक्षण स्टर्म-लिउविल समस्या के eigenfunctions हैं: $$(x+1)\partial_x(x\partial_x((x+1)v(x)))+\lambda v(x)=0$$ आइगेनवैल्यू के साथ $$\lambda_n=n(n+1)\,.$$

यह भी देखें

 * गाऊसी चतुर्भुज
 * गेगेनबॉयर बहुपद
 * तुरान की असमानताएँ
 * लीजेंड्रे वेवलेट
 * जैकोबी बहुपद
 * रोमानोव्स्की बहुपद
 * लाप्लास विस्तार (संभावित)

बाहरी संबंध

 * A quick informal derivation of the Legendre polynomial in the context of the quantum mechanics of hydrogen
 * Wolfram MathWorld entry on Legendre polynomials
 * Dr James B. Calvert's article on Legendre polynomials from his personal collection of mathematics
 * The Legendre Polynomials by Carlyle E. Moore
 * Legendre Polynomials from Hyperphysics
 * Legendre Polynomials from Hyperphysics