रुद्धोष्म क्वांटम गणना

रुद्धोष्म क्वांटम संगणना (AQC) क्वांटम कम्प्यूटिंग  का एक रूप है जो गणना करने के लिए रुद्धोष्म प्रमेय पर निर्भर करता है और क्वांटम एनीलिंग से निकटता से संबंधित है।

विवरण
सबसे पहले, एक (संभावित रूप से जटिल) हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) पाया जाता है जिसकी जमीनी स्थिति रुचि की समस्या के समाधान का वर्णन करती है। इसके बाद, एक सरल हैमिल्टनियन वाला एक सिस्टम तैयार किया जाता है और उसे जमीनी स्थिति में आरंभ किया जाता है। अंत में, सरल हैमिल्टनियन को रुद्धोष्म रूप से वांछित जटिल हैमिल्टनियन में विकसित किया जाता है। रुद्धोष्म प्रमेय के अनुसार, सिस्टम जमीनी अवस्था में रहता है, इसलिए अंत में सिस्टम की स्थिति समस्या के समाधान का वर्णन करती है। एडियाबेटिक क्वांटम कंप्यूटिंग को सर्किट मॉडल में पारंपरिक क्वांटम कंप्यूटिंग के बहुपद के बराबर दिखाया गया है। रुद्धोष्म एल्गोरिथ्म के लिए समय जटिलता रुद्धोष्म विकास को पूरा करने में लगने वाला समय है जो हैमिल्टनियन के ऊर्जा eigenvalues ​​​​(वर्णक्रमीय अंतराल) में अंतर पर निर्भर है। विशेष रूप से, यदि सिस्टम को जमीनी अवस्था में रखा जाना है, तो जमीनी अवस्था और पहली उत्तेजित अवस्था के बीच ऊर्जा अंतर $$H(t)$$ उस दर पर एक ऊपरी सीमा प्रदान करता है जिस पर हैमिल्टनियन को समय पर विकसित किया जा सकता है $t$. जब वर्णक्रमीय अंतर छोटा होता है, तो हैमिल्टनियन को धीरे-धीरे विकसित करना पड़ता है। संपूर्ण एल्गोरिदम के लिए रनटाइम को निम्न द्वारा सीमित किया जा सकता है:

$$T = O\left(\frac{1}{g_{min}^2}\right)$$ कहाँ $$g_{min}$$ के लिए न्यूनतम वर्णक्रमीय अंतराल है $H(t)$.

क्वांटम अपव्यय की समस्या से निजात पाने के लिए AQC एक संभावित तरीका है। चूँकि क्वांटम प्रणाली जमीनी अवस्था में है, बाहरी दुनिया के साथ हस्तक्षेप इसे निचली अवस्था में नहीं ले जा सकता है। यदि बाहरी दुनिया की ऊर्जा (अर्थात्, स्नान का तापमान) को जमीनी अवस्था और अगली उच्च ऊर्जा अवस्था के बीच ऊर्जा अंतर से कम रखा जाता है, तो सिस्टम में उच्च ऊर्जा अवस्था में जाने की आनुपातिक रूप से कम संभावना होती है। इस प्रकार सिस्टम जब तक आवश्यकता हो तब तक एकल सिस्टम ईजेनस्टेट में रह सकता है।

रुद्धोष्म मॉडल में सार्वभौमिकता के परिणाम क्वांटम जटिलता और क्यूएमए-कठिन समस्याओं से जुड़े हैं। k-स्थानीय हैमिल्टनियन, k ≥ 2 के लिए QMA-पूर्ण है। क्यूएमए-कठोरता परिणाम क्वैबिट के भौतिक रूप से यथार्थवादी जाली मॉडल के लिए जाने जाते हैं

$$ H = \sum_{i}h_i Z_i + \sum_{i<j}J^{ij}Z_iZ_j + \sum_{i<j}K^{ij}X_iX_j $$ कहाँ $$Z, X$$ पॉल के मैट्रिक्स का प्रतिनिधित्व करें $\sigma_z, \sigma_x$. ऐसे मॉडल का उपयोग सार्वभौमिक रुद्धोष्म क्वांटम गणना के लिए किया जाता है। क्यूएमए-संपूर्ण समस्या के लिए हैमिल्टनवासियों को क्वैबिट के दो आयामी ग्रिड पर कार्य करने के लिए भी प्रतिबंधित किया जा सकता है या प्रति कण 12 अवस्थाओं वाले क्वांटम कणों की एक पंक्ति। यदि ऐसे मॉडल भौतिक रूप से साकार होने योग्य पाए जाते हैं, तो उनका उपयोग सार्वभौमिक एडियाबेटिक क्वांटम कंप्यूटर के निर्माण खंड बनाने के लिए भी किया जा सकता है।

व्यवहार में, गणना के दौरान समस्याएँ आती हैं। जैसे-जैसे हैमिल्टनियन को धीरे-धीरे बदला जाता है, दिलचस्प हिस्से (शास्त्रीय के विपरीत क्वांटम व्यवहार) तब घटित होते हैं जब कई क्वैबिट एक टिपिंग बिंदु के करीब होते हैं। यह ठीक इसी बिंदु पर है जब जमीनी स्थिति (क्विबिट ओरिएंटेशन का एक सेट) पहली ऊर्जा स्थिति (ओरिएंटेशन की एक अलग व्यवस्था) के बहुत करीब हो जाती है। थोड़ी मात्रा में ऊर्जा जोड़ने से (बाहरी स्नान से, या हैमिल्टनियन को धीरे-धीरे बदलने के परिणामस्वरूप) सिस्टम को जमीनी स्थिति से बाहर ले जाया जा सकता है, और गणना बर्बाद हो सकती है। गणना को अधिक तेजी से करने का प्रयास करने से बाहरी ऊर्जा बढ़ जाती है; क्वैबिट की संख्या को स्केल करने से टिपिंग बिंदुओं पर ऊर्जा अंतर कम हो जाता है।

संतोषजनक समस्याओं में रुद्धोष्म क्वांटम गणना
रुद्धोष्म क्वांटम संगणना संतुष्टि समस्याओं और अन्य संयोजन खोज समस्याओं को हल करती है। विशेष रूप से, इस प्रकार की समस्याएँ एक ऐसी स्थिति की तलाश करती हैं जो संतुष्ट हो $$	C_1 \wedge C_2 \wedge \cdots \wedge C_M $$. इस अभिव्यक्ति में एम खंड की संतुष्टि शामिल है, जिसके लिए खंड $$C_i$$ इसका मान सही या गलत है, और इसमें n बिट्स शामिल हो सकते हैं। प्रत्येक बिट एक चर है $$x_j\in \{ 0,1\}$$ ऐसा है कि $$C_i$$ का एक बूलियन मान फ़ंक्शन है $$x_1, x_2, \dots, x_n$$. QAA क्वांटम एडियाबेटिक इवोल्यूशन का उपयोग करके इस प्रकार की समस्या का समाधान करता है। इसकी शुरुआत प्रारंभिक हैमिल्टनियन से होती है $$H_B$$:

$$	H_B=H_{B_1}+H_{B_2}+\dots+H_{B_M} $$ कहाँ $$H_{B_i}$$ खंड के अनुरूप हैमिल्टनियन को दर्शाता है $$C_i$$. आमतौर पर, की पसंद $$H_{B_i}$$ विभिन्न खंडों पर निर्भर नहीं होगा, इसलिए सभी खंडों में प्रत्येक बिट के शामिल होने की कुल संख्या ही मायने रखती है। इसके बाद, यह रुद्धोष्म विकास से होकर गुजरता है और समस्या हैमिल्टनियन में समाप्त होता है $$H_P$$:

$$	H_P=\sum\limits_{C}^{} H_{P,C} $$ कहाँ $$H_{P,C}$$ खंड सी का संतोषजनक हैमिल्टनियन है।

इसके eigenvalues ​​हैं:

$$	h_C(z_{1C},z_{2C}\dots z_{nC})= \begin{cases} 0 & \mbox{clause } C \mbox{ satisfied} \\ 1 & \mbox{clause } C \mbox{ violated} \end{cases} $$ रन टाइम टी के साथ रुद्धोष्म विकास के सरल मार्ग के लिए, इस पर विचार करें:

$$	H(t)=(1-t/T)H_{B}+(t/T)H_{P} $$ और जाने $$s=t/T$$. फिर हमारे पास है

$$	\tilde{H}(s)=(1-s)H_{B}+sH_{P} $$, जो हमारे एल्गोरिदम का रुद्धोष्म विकास हैमिल्टनियन है।

रुद्धोष्म प्रमेय के अनुसार, हम हैमिल्टनियन की जमीनी अवस्था से शुरू करते हैं $$H_B$$ शुरुआत में, रुद्धोष्म प्रक्रिया के माध्यम से आगे बढ़ें, और समस्या हैमिल्टनियन की जमीनी स्थिति में समाप्त करें $$H_P$$.

फिर हम अंतिम अवस्था में प्रत्येक n स्पिन के z-घटक को मापते हैं। इससे एक स्ट्रिंग बनेगी $$z_1,z_2,\dots,z_n$$ जो हमारी संतुष्टि समस्या का परिणाम होने की अत्यधिक संभावना है। परिणाम की शुद्धता सुनिश्चित करने के लिए रन टाइम टी पर्याप्त रूप से लंबा होना चाहिए। रुद्धोष्म प्रमेय के अनुसार, T के बारे में है $$\varepsilon/g_\mathrm{min}^{2}$$, कहाँ $$	g_\mathrm{min}=\min_{0\le s\le 1}(E_1(s)-E_0(s)) $$ जमीनी अवस्था और प्रथम उत्तेजित अवस्था के बीच न्यूनतम ऊर्जा अंतर है।

गेट-आधारित क्वांटम कंप्यूटिंग से तुलना
रुद्धोष्म क्वांटम कंप्यूटिंग मानक गेट-आधारित क्वांटम कंप्यूटिंग की शक्ति के बराबर है जो मनमाने ढंग से एकात्मक संचालन को लागू करता है। हालाँकि, गेट-आधारित क्वांटम उपकरणों पर मैपिंग चुनौती क्वांटम एनीलर से काफी भिन्न होती है क्योंकि तार्किक चर केवल एकल क्यूबिट में मैप किए जाते हैं, श्रृंखलाओं में नहीं।

डी-वेव क्वांटम प्रोसेसर
डी-वेव वन कनाडाई कंपनी डी-वेव सिस्टम्स द्वारा बनाया गया एक उपकरण है, जो दावा करता है कि यह अनुकूलन समस्याओं को हल करने के लिए क्वांटम एनीलिंग का उपयोग करता है। 25 मई 2011 को, लॉकहीड मार्टिन  ने लगभग 10 मिलियन अमेरिकी डॉलर में डी-वेव वन खरीदा।  मई 2013 में, Google ने 512 क्यूबिट डी-वेव टू खरीदा। यह सवाल कि क्या डी-वेव प्रोसेसर क्लासिकल प्रोसेसर की तुलना में स्पीडअप प्रदान करते हैं, अभी भी अनुत्तरित है। क्वांटम आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस लैब (NASA), दक्षिणी कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय, ETH ज्यूरिख और Google के शोधकर्ताओं द्वारा किए गए परीक्षणों से पता चलता है कि 2015 तक, क्वांटम लाभ का कोई सबूत नहीं है।

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