ऑप्टिक समीकरण



संख्या सिद्धांत में, ऑप्टिक समीकरण एक समीकरण है जिसके लिए दो धनात्मक पूर्णांक a और b के गुणक व्युत्क्रम के योग की आवश्यकता होती है, जो तीसरे धनात्मक पूर्णांक c के व्युत्क्रम के बराबर होता है:
 * $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}.$$

एबीसी द्वारा दोनों पक्षों को गुणा करने से पता चलता है कि ऑप्टिक समीकरण एक डायोफैंटिन समीकरण (एकाधिक पूर्णांक चर में एक बहुपद समीकरण) के बराबर है।

समाधान
पूर्णांक ए, बी, सी में सभी समाधान सकारात्मक पूर्णांक पैरामीटर एम, एन, के द्वारा दिए गए हैं


 * $$a=km(m+n), \quad b=kn(m+n), \quad c=kmn$$

जहाँ m और n सह अभाज्य पूर्णांक हैं।

ज्यामिति में प्रकटन
ऑप्टिक समीकरण, अनुमति देता है लेकिन पूर्णांक समाधानों की आवश्यकता नहीं है, ज्यामिति में कई संदर्भों में प्रकट होता है।

एक द्विकेन्द्रीय चतुर्भुज में अंतःत्रिज्या r, परित्रिज्या R, और अंत:केन्द्र और परिकेन्द्र के बीच की दूरी x, फुस्स प्रमेय के अनुसार संबंधित हैं


 * $$\frac{1}{(R-x)^2}+\frac{1}{(R+x)^2}=\frac{1}{r^2},$$

और शीर्ष A, B, C, D से केंद्र I की दूरी अंतःत्रिज्या से संबंधित है


 * $$\frac{1}{IA^2}+\frac{1}{IC^2}=\frac{1}{IB^2}+\frac{1}{ID^2}=\frac{1}{r^2}.$$

पार सीढ़ी समस्या में, ऊर्ध्वाधर दीवारों के तल पर बंधी हुई दो सीढ़ियाँ ऊँचाई h पर पार करती हैं और A और B की ऊँचाई पर विपरीत दीवारों के विरुद्ध झुकती हैं। हमारे पास है $$\tfrac{1}{h}=\tfrac{1}{A}+\tfrac{1}{B}.$$ इसके अलावा, यदि दीवारें झुकी हुई हैं और तीनों माप दीवारों के समानांतर बनाए गए हैं, तो सूत्र धारण करना जारी रखता है।

मान लीजिए P एक समबाहु त्रिभुज ABC के परिवृत्त पर, चाप (ज्यामिति) AB पर एक बिंदु है। मान लीजिए a, P से A की दूरी है और b, P से B की दूरी है। P और दूर शीर्ष C से गुजरने वाली रेखा पर, मान लीजिए कि P से त्रिभुज की भुजा AB की दूरी है। फिर $$\tfrac{1}{a}+\tfrac{1}{b}=\tfrac{1}{c}.$$ एक समलम्ब में, दो समानांतर भुजाओं के समानांतर एक खंड बनाएं, जो विकर्णों के चौराहे से होकर गुजरे और गैर-समानांतर पक्षों पर अंत बिंदु हों। फिर अगर हम समानांतर भुजाओं की लंबाई को a और b के रूप में निरूपित करते हैं और विकर्ण चौराहे के माध्यम से खंड की आधी लंबाई को c के रूप में निरूपित करते हैं, तो a और b के व्युत्क्रम का योग c के व्युत्क्रम के बराबर होता है। विशेष स्थिति जिसमें वे पूर्णांक जिनके व्युत्क्रमों को लिया गया है, वर्ग संख्याएँ होनी चाहिए, समकोण त्रिभुजों के संदर्भ में दो तरह से प्रकट होती हैं। सबसे पहले, पैरों से ऊँचाई के वर्गों के व्युत्क्रम का योग (समरूप रूप से, स्वयं पैरों के वर्गों का) कर्ण से ऊँचाई के वर्ग के व्युत्क्रम के बराबर होता है। यह मानता है कि संख्याएँ पूर्णांक हैं या नहीं; एक सूत्र है (कर्ण से पूर्णांक ऊंचाई के साथ पूर्णांक त्रिकोण # पायथागॉरियन त्रिकोण देखें) जो सभी पूर्णांक मामलों को उत्पन्न करता है। दूसरा, एक समकोण त्रिभुज में भी दो खुदे हुए वर्गों में से एक की भुजा के व्युत्क्रम के वर्ग का योग और कर्ण के वर्ग के व्युत्क्रम का योग दूसरे खुदे हुए वर्ग की भुजा के व्युत्क्रम के वर्ग के बराबर होता है।

एक सातकोणकल त्रिभुज के पक्ष, जो नियमित हेप्टागोन के साथ अपने शिखर साझा करते हैं, ऑप्टिक समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

पतला लेंस समीकरण
नगण्य मोटाई और फोकल लंबाई f के लेंस के लिए, लेंस से किसी वस्तु की दूरी, S1, और लेंस से इसकी छवि तक, एस2, लेंस_(ऑप्टिक्स)#इमेजिंग गुणों से संबंधित हैं:
 * $$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}=\frac{1}{f} $$.

इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग
विद्युत परिपथ या इलेक्ट्रॉनिक परिपथ के घटकों को एक श्रृंखला और समानांतर परिपथ विन्यास कहा जाता है, जिसमें जोड़ा जा सकता है। उदाहरण के लिए, कुल विद्युत प्रतिरोध मान Rtप्रतिरोध R वाले दो प्रतिरोधों के1 और आर2 समानांतर में जुड़ा हुआ ऑप्टिक समीकरण का अनुसरण करता है:
 * $$\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{R_t} $$.

इसी प्रकार, कुल अधिष्ठापन एलtअधिष्ठापन एल के साथ दो प्रेरकों की1 और मैं2 समानांतर में जुड़ा हुआ है:
 * $$\frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} = \frac{1}{L_t} $$

और कुल धारिता Ctधारिता वाले दो संधारित्रों की C1 और सी2 श्रृंखला में जुड़ा इस प्रकार है:
 * $$\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{C_t} $$.

कागज मोड़ना
क्रास्ड लैडर प्रॉब्लम के ऑप्टिक समीकरण को आयताकार कागज को तीन बराबर भागों में मोड़ने पर लागू किया जा सकता है। एक तरफ (यहाँ दिखाया गया बायाँ हिस्सा) आंशिक रूप से आधे में मुड़ा हुआ है और एक निशान छोड़ने के लिए पिंच किया गया है। इस निशान से एक विकर्ण के साथ एक विपरीत कोने तक एक रेखा का चौराहा नीचे के किनारे से ठीक एक तिहाई है। शीर्ष किनारे को फिर चौराहे से मिलने के लिए मोड़ा जा सकता है।

अनुकूल माध्य
ए और बी का हार्मोनिक माध्य है $$\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$$ या 2सी। दूसरे शब्दों में, c, a और b का आधा हार्मोनिक माध्य है।

फर्मेट के अंतिम प्रमेय से संबंध
फर्मेट के अंतिम प्रमेय में कहा गया है कि दो पूर्णांकों का योग एक ही पूर्णांक शक्ति n के बराबर नहीं हो सकता है, यदि n > 2 है तो शक्ति n तक बढ़ाए गए पूर्णांक के बराबर नहीं हो सकता है। इसका तात्पर्य है कि ऑप्टिक समीकरण के किसी भी समाधान में सभी तीन पूर्णांक पूर्ण शक्तियों के बराबर नहीं हैं समान शक्ति n > 2. यदि के लिए $$\tfrac{1}{x^n}+\tfrac{1}{y^n}=\tfrac{1}{z^n},$$ फिर से गुणा करना $$(xyz)^n$$ देना होगा $$(yz)^n+(xz)^n=(xy)^n, $$ जो Fermat's Last Theorem द्वारा असंभव है।

यह भी देखें

 * एर्दोस-स्ट्रॉस अनुमान, एक अलग डायोफैंटाइन समीकरण जिसमें पूर्णांकों के व्युत्क्रमों का योग शामिल है
 * व्युत्क्रम का योग

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 * गुणात्मक प्रतिलोम
 * डायोफैंटाइन समीकरण
 * कोप्राइम पूर्णांक
 * इसके विपरीत पाइथागोरस प्रमेय
 * से कम
 * द्विकेंद्रित चतुर्भुज
 * केंद्र में
 * सीढ़ी पार करने की समस्या
 * समभुज त्रिकोण
 * सही त्रिकोण
 * सप्तकोणीय त्रिकोण
 * विद्युतीय प्रतिरोध
 * श्रृंखला और समानांतर सर्किट
 * अवरोध
 * प्रारंभ करनेवाला
 * समाई