घन समतल वक्र

गणित में, घन समतल वक्र एक समतल बीजीय वक्र है $C$ घन समीकरण द्वारा परिभाषित



सजातीय निर्देशांक के लिए लागू $F(x, y, z) = 0$ प्रक्षेप्य विमान के लिए; या सेटिंग द्वारा निर्धारित affine स्थान के लिए अमानवीय संस्करण $z = 1$ ऐसे समीकरण में। यहां $(x:y:z)$ तृतीय-डिग्री मोनोमियल का एक गैर-शून्य रैखिक संयोजन है



ये संख्या में दस हैं; इसलिए घन वक्र किसी दिए गए क्षेत्र (गणित) पर आयाम 9 का एक प्रक्षेपी स्थान बनाते हैं। $F$. प्रत्येक बिंदु $x^3, y^3, z^3, x^2 y, x^2 z, y^2 x, y^2 z, z^2 x, z^2 y, xyz$ पर एक एकल रैखिक शर्त लगाता है $K$, अगर हम यह पूछें कि $P$ निकासी $F$. इसलिए, हम किन्हीं नौ बिंदुओं के माध्यम से कुछ घन वक्र पा सकते हैं, जो पतित हो सकते हैं, और अद्वितीय नहीं भी हो सकते हैं, लेकिन यदि बिंदु सामान्य स्थिति में हैं तो अद्वितीय और गैर-पतित होंगे; एक रेखा का निर्धारण करने वाले दो बिंदुओं की तुलना करें और पांच बिंदु एक शंकु को कैसे निर्धारित करते हैं। यदि दो घन नौ बिंदुओं के दिए गए सेट से गुजरते हैं, तो वास्तव में घन का एक पेंसिल (गणित) करता है, और अंक अतिरिक्त गुणों को संतुष्ट करते हैं; केली-बचारच प्रमेय देखें।

एक घन वक्र में एक बीजीय किस्म का एक विलक्षण बिंदु हो सकता है, जिस स्थिति में इसमें प्रक्षेप्य रेखा के संदर्भ में एक पैरामीट्रिक समीकरण होता है। अन्यथा एक गैर-एकवचन घन वक्र को जटिल संख्या जैसे बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर, विभक्ति बिंदु के नौ अंक के लिए जाना जाता है। यह हेसियन मैट्रिक्स के सजातीय संस्करण को लेकर दिखाया जा सकता है, जो फिर से एक क्यूबिक को परिभाषित करता है, और इसके साथ प्रतिच्छेद करता है $C$; तब चौराहों की गिनती बेज़ाउट के प्रमेय द्वारा की जाती है। हालाँकि, इनमें से केवल तीन बिंदु वास्तविक हो सकते हैं, ताकि अन्य को वक्र खींचकर वास्तविक प्रक्षेप्य तल में न देखा जा सके। एक गैर-एकवचन घन के नौ विभक्ति बिंदुओं में यह गुण होता है कि उनमें से दो से गुजरने वाली प्रत्येक रेखा में ठीक तीन विभक्ति बिंदु होते हैं।

आइजैक न्यूटन द्वारा घन वक्रों के वास्तविक बिंदुओं का अध्ययन किया गया था। एक गैर-एकवचन प्रक्षेप्य घन के वास्तविक बिंदु एक या दो 'अंडाकार' में आते हैं। इन अंडाकारों में से एक प्रत्येक वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा को पार करता है, और इस प्रकार जब यूक्लिडियन तल में घन खींचा जाता है तो यह कभी भी बाध्य नहीं होता है; यह एक या तीन अनंत शाखाओं के रूप में प्रकट होता है, जिसमें तीन वास्तविक विभक्ति बिंदु होते हैं। अन्य अंडाकार, यदि यह मौजूद है, में कोई वास्तविक विभक्ति बिंदु नहीं है और या तो अंडाकार या दो अनंत शाखाओं के रूप में प्रकट होता है। शंकु वर्गों की तरह, एक रेखा इस अंडाकार को अधिकतम दो बिंदुओं पर काटती है।

एक गैर-एकवचन समतल घन किसी भी क्षेत्र के ऊपर एक अण्डाकार वक्र को परिभाषित करता है $P$ जिसके लिए एक बिंदु निर्धारित किया गया है। अण्डाकार वक्रों का अब सामान्य रूप से वीयरस्ट्रैस के अण्डाकार कार्यों के कुछ प्रकारों में अध्ययन किया जाता है, जो एक घन के वर्गमूल को निकालकर बनाए गए तर्कसंगत कार्यों के क्षेत्र के द्विघात विस्तार को परिभाषित करता है। यह एक होने पर निर्भर करता है $C$-तर्कसंगत बिंदु, जो वीयरस्ट्रैस रूप में अनंत पर बिंदु के रूप में कार्य करता है। ऐसे कई घन वक्र हैं जिनमें ऐसा कोई बिंदु नहीं है, उदाहरण के लिए जब $K$ परिमेय संख्या क्षेत्र है।

एक इरेड्यूसिबल प्लेन क्यूबिक कर्व के विलक्षण बिंदु काफी सीमित होते हैं: एक डबल पॉइंट, या एक क्यूस्प (विलक्षण)। एक रिड्यूसिबल प्लेन क्यूबिक कर्व या तो एक शंकु और एक रेखा या तीन रेखाएँ होती हैं, और तदनुसार दो दोहरे बिंदु या एक टैक्नोड (यदि एक शंकु और एक रेखा), या तीन दोहरे बिंदु या एक एकल ट्रिपल बिंदु (समवर्ती रेखाएँ) होते हैं। तीन पंक्तियाँ।

त्रिभुज के तल में घन वक्र
मान लीजिए कि ABC एक त्रिभुज है जिसकी भुजाओं की लंबाई है a = $K$, b = $K$, c = $|BC|$. एबीसी के सापेक्ष, कई नामित क्यूबिक प्रसिद्ध बिंदुओं से गुजरते हैं। नीचे दिखाए गए उदाहरण दो प्रकार के सजातीय निर्देशांक का उपयोग करते हैं: त्रिरेखीय निर्देशांक और बैरीसेंट्रिक निर्देशांक (गणित)।

एक घन समीकरण में त्रिरेखीय से बैरसेंट्रिक में बदलने के लिए, निम्नानुसार स्थानापन्न करें:


 * x bcx, y cay, z abz;

बैरीसेंट्रिक से ट्रिलिनियर में बदलने के लिए, उपयोग करें


 * x कुल्हाड़ी, y by, z cz.

क्यूबिक के लिए कई समीकरणों का रूप है


 * f(a, b, c, x, y, z) + f(b, c, a, y, z, x) + f(c, a, b, z, x, y) = 0.

नीचे दिए गए उदाहरणों में, इस तरह के समीकरण चक्रीय योग संकेतन में अधिक संक्षिप्त रूप से लिखे गए हैं, जैसे:


 * $$\sum_{\text{cyclic}} f(x,y,z,a,b,c) = 0 $$.

नीचे सूचीबद्ध क्यूबिक्स को समभुज संयुग्म के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो एक्स * द्वारा दर्शाया गया है, एक बिंदु एक्स के एबीसी के किनारे पर नहीं। X* की रचना इस प्रकार है। चलो LAकोण A के आंतरिक कोण समद्विभाजक के बारे में रेखा XA का प्रतिबिंब बनें, और L. को परिभाषित करेंBऔर मैंCसमान रूप से। फिर तीन परावर्तित रेखाएँ X* में मिलती हैं। त्रिरेखीय निर्देशांक में, यदि X = x:y:z, तो X* = $|CA|$:$|AB|$:$1⁄x$.

न्यूबर्ग क्यूबिक
त्रिरेखीय समीकरण: $$\sum_{\text{cyclic}} (\cos{A} - 2\cos{B}\cos{C})x(y^2-z^2)= 0 $$ बैरीसेंट्रिक समीकरण: $$\sum_{\text{cyclic}} (a^2(b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2 - 2a^4)x(c^2y^2-b^2z^2) = 0 $$ न्यूबर्ग क्यूबिक (जोसेफ जीन बैप्टिस्ट न्यूबर्ग के नाम पर) एक बिंदु X का स्थान (गणित) है, जैसे कि X * लाइन EX पर है, जहां E त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में यूलर इन्फिनिटी पॉइंट (X (30) है). साथ ही, यह घन X का बिंदुपथ इस प्रकार है कि त्रिभुज XAXBXCएबीसी के लिए परिप्रेक्ष्य है, जहां एक्सAXBXCक्रमशः BC, CA, AB, रेखाओं में X का प्रतिबिंब है

न्यूबर्ग क्यूबिक निम्नलिखित बिंदुओं से होकर गुजरता है: इंसेंटर, परिकेंटर, ऑर्थोसेंटर, दोनों फ़र्मेट पॉइंट, दोनों आइसोडायनामिक पॉइंट, यूलर इनफिनिटी पॉइंट, अन्य त्रिकोण केंद्र, एक्सेंटर, एबीसी के किनारे में ए, बी, सी के प्रतिबिंब, और एबीसी के किनारों पर बने छह समबाहु त्रिभुजों के शीर्ष।

न्यूबर्ग क्यूबिक के गुणों की एक ग्राफिकल प्रतिनिधित्व और विस्तृत सूची के लिए, देखें 'K001' पर बरहार्ड गिबर्ट के 'क्यूबिक्स इन द ट्रायंगल प्लेन'।

थॉमसन क्यूबिक
त्रिरेखीय समीकरण: $$\sum_{\text{cyclic}} bcx(y^2-z^2)= 0 $$ बैरीसेंट्रिक समीकरण: $$\sum_{\text{cyclic}} x(c^2y^2-b^2z^2)= 0 $$ थॉमसन क्यूबिक बिंदु X का स्थान इस प्रकार है कि X* रेखा GX पर है, जहां G केन्द्रक है।

थॉमसन क्यूबिक निम्नलिखित बिंदुओं से होकर गुजरता है: इनसेंटर, सेंट्रोइड, परिकेंटर, ऑर्थोसेंटर, सिमेडियन पॉइंट, अन्य त्रिकोण केंद्र, ए, बी, सी, एक्सेंटर, बीसी, सीए, एबी, और मिडपॉइंट्स के मध्य बिंदु। एबीसी की ऊंचाई घन पर प्रत्येक बिंदु P के लिए लेकिन घन के किनारे पर नहीं, P का समद्विबाहु संयुग्म भी घन पर होता है।

ग्राफ़ और गुणों के लिए, देखें 'K002' at 'Cubics in the Triangle Plane'।

डारबौक्स क्यूबिक
त्रिरेखीय समीकरण:$$\sum_{\text{cyclic}} (\cos{A} - \cos{B}\cos{C})x(y^2-z^2)= 0 $$ बैरीसेंट्रिक समीकरण: $$\sum_{\text{cyclic}} (2a^2(b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2 - 3a^4)x(c^2y^2-b^2z^2) = 0 $$ डारबौक्स क्यूबिक एक बिंदु X का स्थान है जैसे कि X * लाइन LX पर है, जहां L, लॉन्गचैम्प्स बिंदु है। साथ ही, यह घन X का ठिकाना है जैसे कि X का पेडल त्रिकोण किसी बिंदु का सेवियन त्रिभुज है (जो लुकास क्यूबिक पर स्थित है)। साथ ही, यह घन बिंदु X का बिंदुपथ इस प्रकार है कि X का पेडल त्रिभुज और X का एंटीसेवियन त्रिभुज परिप्रेक्ष्य है; परिप्रेक्ष्य थॉमसन क्यूबिक पर स्थित है।

डारबौक्स क्यूबिक इनसेंटर, परिकेंटर, ऑर्थोसेंटर, डे लॉन्गचैम्प्स पॉइंट, अन्य त्रिकोण केंद्रों, ए, बी, सी, एक्सेंटर्स और ए, बी, सी के एंटीपोड से होकर गुजरता है। घन पर प्रत्येक बिंदु P के लिए लेकिन घन के किनारे पर नहीं, P का समद्विबाहु संयुग्म भी घन पर होता है।

ग्राफिक्स और गुणों के लिए, 'K004' 'क्यूबिक्स इन द ट्रायंगल प्लेन' देखें।

नेपोलियन–फ्यूरबैक क्यूबिक
त्रिरेखीय समीकरण: $$\sum_{\text{cyclic}} \cos(B-C)x(y^2-z^2)= 0 $$ बैरीसेंट्रिक समीकरण: $$\sum_{\text{cyclic}} (a^2(b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2)x(c^2y^2-b^2z^2) = 0 $$ नेपोलियन-फ़्यूरबैक क्यूबिक एक बिंदु X* का ठिकाना है जो लाइन NX पर है, जहाँ N नौ-बिंदु केंद्र है, (N = X(5) त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में)।

नेपोलियन-फ़्यूरबैक क्यूबिक इनसेंटर, परिकेंटर, ऑर्थोसेंटर, 1 और 2 नेपोलियन पॉइंट्स, अन्य त्रिकोण केंद्रों, ए, बी, सी, एक्सेंटर्स, ऊंचाई पर सेंट्रोइड के अनुमानों और 6 के केंद्रों से होकर गुजरता है। ABC की भुजाओं पर समबाहु त्रिभुज बनाए गए हैं।

ग्राफिक्स और गुणों के लिए, 'K005' 'क्यूबिक्स इन द ट्रायंगल प्लेन' देखें।

लुकास क्यूबिक
त्रिरेखीय समीकरण: $$\sum_{\text{cyclic}} \cos(A)x(b^2y^2- c^2z^2)= 0 $$ बैरीसेंट्रिक समीकरण: $$\sum_{\text{cyclic}} (b^2+c^2-a^2)x(y^2-z^2)= 0 $$ लुकास क्यूबिक एक बिंदु एक्स का स्थान है जैसे कि एक्स का सेवियन त्रिकोण किसी बिंदु का पेडल त्रिकोण है; बिंदु Darboux घन पर स्थित है।

लुकास क्यूबिक सेंट्रोइड, ऑर्थोसेंटर, गेर्गोन पॉइंट, नागेल पॉइंट, डे लॉन्गचैम्प्स पॉइंट, अन्य त्रिकोण केंद्र, एंटी-पूरक त्रिभुज के कोने और स्टीनर सर्किललिप्स के फॉसी से होकर गुजरता है।

ग्राफिक्स और गुणों के लिए, देखें 'K007' at 'Cubics in the Triangle Plane'।

1पहला ब्रोकेड क्यूबिक
त्रिरेखीय समीकरण:$$\sum_{\text{cyclic}} bc(a^4-b^2c^2)x(y^2+z^2)= 0 $$ बैरीसेंट्रिक समीकरण: $$\sum_{\text{cyclic}} (a^4-b^2c^2)x(c^2y^2+b^2z^2)= 0 $$ माना A′B′C′ पहला ब्रोकार्ड त्रिभुज है। मनमाना बिंदु X के लिए, मान लीजिए XA, एक्सB, एक्सCक्रमशः BC, CA, AB के साथ XA′, XB′, XC′ रेखाओं का प्रतिच्छेदन हो। पहला ब्रोकार्ड क्यूबिक एक्स का स्थान है जिसके लिए बिंदु XA, एक्सB, एक्सCसमरेखीय हैं।

पहला ब्रोकार्ड क्यूब सेंट्रोइड, सिमेडियन पॉइंट, स्टीनर पॉइंट, अन्य त्रिकोण केंद्रों और पहले और तीसरे ब्रोकार्ड त्रिकोण के कोने से होकर गुजरता है।

ग्राफिक्स और गुणों के लिए, देखें 'K017' at 'Cubics in the Triangle समतल'।

दूसरा ब्रोकार्ड क्यूबिक
त्रिरेखीय समीकरण: $$\sum_{\text{cyclic}} bc(b^2-c^2)x(y^2+z^2)= 0 $$ बैरीसेंट्रिक समीकरण: $$\sum_{\text{cyclic}} (b^2-c^2)x(c^2y^2+b^2z^2)= 0 $$ दूसरा ब्रोकार्ड क्यूबिक एक बिंदु X का स्थान है जिसके लिए एक्स और एक्स * के माध्यम से सर्कोनिक में लाइन XX* का ध्रुव परिधि और सिमेडियन बिंदु (यानी ब्रोकार्ड अक्ष) की रेखा पर स्थित है। क्यूबिक केंद्रक, सिमेडियन बिंदु, दोनों फ़र्मेट बिंदुओं, दोनों आइसोडायनामिक बिंदुओं, पैरी बिंदु, अन्य त्रिकोण केंद्रों और दूसरे और चौथे ब्रोकार्ड त्रिकोण के कोने से होकर गुजरता है।

ग्राफिक्स और गुणों के लिए, देखें 'K018' at 'Cubics in the Triangle समतल'।

पहला बराबर क्षेत्रफल घन
त्रिरेखीय समीकरण: $$\sum_{\text{cyclic}} a(b^2-c^2)x(y^2-z^2)= 0 $$ बैरीसेंट्रिक समीकरण: $$\sum_{\text{cyclic}} a^2(b^2-c^2)x(c^2y^2-b^2z^2)= 0 $$ पहला बराबर क्षेत्रफल घन एक बिंदु X का स्थान है जैसे कि X के सेवियन त्रिभुज का क्षेत्रफल X* के सेवियन त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है। साथ ही, यह घन X का स्थान है जिसके लिए X* रेखा S*X पर है, जहां S स्टेनर बिंदु है। (एस = एक्स (99) त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में)।

पहला बराबर क्षेत्र घन केंद्र, स्टीनर बिंदु, अन्य त्रिभुज केंद्रों, पहले और दूसरे ब्रोकार्ड बिंदुओं और उत्सर्जक से होकर गुजरता है।

ग्राफिक्स और गुणों के लिए, 'K021' 'क्यूबिक्स इन द ट्रायंगल प्लेन' देखें।

दूसरा बराबर क्षेत्रफल घन
त्रिरेखीय समीकरण: $$(bz+cx)(cx+ay)(ay+bz) = (bx+cy)(cy +az)(az+bx) $$ बैरीसेंट्रिक समीकरण:$$\sum_{\text{cyclic}} a(a^2-bc)x(c^3y^2 - b^3z^2) = 0 $$ किसी भी बिंदु X = x:y:z (त्रिरेखीय) के लिए, मान लीजिए XY= y:z:x और XZ= जेड: एक्स: वाई। दूसरा बराबर क्षेत्रफल घन, X का बिंदुपथ इस प्रकार है कि X. के सेवियन त्रिभुज का क्षेत्रफलYX. के सीवियन त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबरZ.

दूसरा बराबर क्षेत्र क्यूब एक्स (31), एक्स (105), एक्स (238), एक्स (292), एक्स (365), एक्स के रूप में अनुक्रमित त्रिभुज केंद्रों के इनसेंटर, सेंट्रोइड, सिमेडियन पॉइंट और पॉइंट्स से होकर गुजरता है। (672), एक्स(1453), एक्स(1931), एक्स(2053), और अन्य।

ग्राफिक्स और गुणों के लिए, देखें 'K155' पर 'क्यूबिक्स इन द ट्रायंगल प्लेन'।

यह भी देखें

 * केली-बचारच प्रमेय, दो घन समतल वक्रों के प्रतिच्छेदन पर
 * ट्विस्टेड क्यूबिक, एक क्यूबिक स्पेस कर्व
 * अण्डाकार वक्र
 * एग्नेस की चुड़ैल
 * त्रिभुज घनों की सूची

संदर्भ

 * . See Chapter 8 for cubics.
 * . See Chapter 8 for cubics.
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 * . See Chapter 8 for cubics.
 * . See Chapter 8 for cubics.
 * . See Chapter 8 for cubics.
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 * . See Chapter 8 for cubics.

बाहरी संबंध

 * A Catalog of Cubic Plane Curves (archived version)
 * Points on Cubics
 * Cubics in the Triangle Plane
 * Special Isocubics in the Triangle Plane (pdf), by Jean-Pierre Ehrmann and Bernard Gibert