कण संख्या ऑपरेटर

क्वांटम यांत्रिकी में, उन प्रणालियों के लिए जहां कुल कण संख्या को संरक्षित नहीं किया जा सकता है, संख्या संकारक वह प्रेक्षणीय है जो कणों की संख्या की गणना करता है।

नंबर ऑपरेटर फॉक स्पेस पर काम करता है। होने देना


 * $$|\Psi\rangle_\nu=|\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_n\rangle_\nu$$

एकल-कण अवस्थाओ $$|\phi_i\rangle$$ से बना एक फॉक अवस्था हो फॉक स्पेस के अंतर्निहित हिल्बर्ट स्पेस के आधार (रैखिक बीजगणित) से तैयार किया गया। इसी निर्माण और विनाश ऑपरेटरों को देखते हुए $$a^{\dagger}(\phi_i)$$ और $$a(\phi_i)\,$$, हम संख्या ऑपरेटर द्वारा परिभाषित करते हैं


 * $$\hat{N_i} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ a^{\dagger}(\phi_i)a(\phi_i)$$

और हमारे पास है


 * $$\hat{N_i}|\Psi\rangle_\nu=N_i|\Psi\rangle_\nu$$

जहाँ $$N_i$$ अवस्था $$|\phi_i\rangle$$ में कणों की संख्या है। उपरोक्त समानता को नोट करके सिद्ध किया जा सकता है
 * $$\begin{matrix}

a(\phi_i) |\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_{i-1},\phi_i,\phi_{i+1},\cdots,\phi_n\rangle_\nu &=& \sqrt{N_i} |\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_{i-1},\phi_{i+1},\cdots,\phi_n\rangle_\nu \\ a^{\dagger}(\phi_i) |\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_{i-1},\phi_{i+1},\cdots,\phi_n\rangle_\nu &=& \sqrt{N_i}  |\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_{i-1},\phi_{i},\phi_{i+1},\cdots,\phi_n\rangle_\nu \end{matrix}$$ जब
 * $$\begin{matrix}

\hat{N_i}|\Psi\rangle_\nu = a^{\dagger}(\phi_i)a(\phi_i) |\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_{i-1},\phi_i,\phi_{i+1},\cdots,\phi_n\rangle_\nu &=& \sqrt{N_i} a^{\dagger}(\phi_i) |\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_{i-1},\phi_{i+1},\cdots,\phi_n\rangle_\nu \\ &=& \sqrt{N_i} \sqrt{N_i} |\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_{i-1},\phi_{i},\phi_{i+1},\cdots,\phi_n\rangle_\nu \\&=& N_i|\Psi\rangle_\nu\\ \end{matrix}$$

यह भी देखें

 * लयबद्ध दोलक
 * क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर
 * दूसरा परिमाणीकरण
 * क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत
 * ऊष्मप्रवैगिकी
 * फर्मियन नंबर ऑपरेटर
 * (-1)F

संदर्भ

 * Second quantization notes by Fradkin
 * Second quantization notes by Fradkin