बॉर्न श्रृंखला

बॉर्न श्रृंखला क्वांटम प्रकीर्णन सिद्धांत में अंतःक्रियात्मक क्षमता की शक्तियों में विभिन्न प्रकीर्णन मात्राओं का विस्तार $$ V $$ (अधिक त्रुटिहीन रूप से की शक्तियों में $$ G_0 V, $$ जहां $$ G_0 $$ मुक्त कण ग्रीन की संचालिका है) है । यह बॉर्न सन्निकटन से निकटता से संबंधित है, जो कि बॉर्न श्रृंखला का प्रथम क्रम पद है। श्रृंखला को औपचारिक रूप से प्रतिस्थापन द्वारा युग्मन स्थिरांक को प्रस्तुत करने वाली शक्ति श्रृंखला के रूप में $$ V \to \lambda V $$ समझा जा सकता है। बॉर्न श्रृंखला के अभिसरण की गति और अभिसरण की त्रिज्या ऑपरेटर के आइगेनमान ​$$ G_0 V $$ से संबंधित हैं। सामान्यतः बॉर्न श्रृंखला के प्रथम कुछ पद कमजोर अंतःक्रिया के लिए विस्तारित मात्रा $$ V $$ और बड़ी टक्कर ऊर्जा के अच्छे सन्निकटन हैं।

प्रकीर्णन अवस्थाओं के लिए उत्पन्न हुई श्रृंखला
प्रकीर्णन अवस्थाओं के लिए बॉर्न श्रृंखला में लिखा है:
 * $$ |\psi\rangle = |\phi \rangle + G_0(E) V |\phi\rangle + [G_0(E) V]^2 |\phi\rangle + [G_0(E) V]^3 |\phi\rangle + \dots $$

इसे लिपमैन-श्विंगर समीकरण को दोहराकर प्राप्त किया जा सकता है:
 * $$ |\psi\rangle = |\phi \rangle + G_0(E) V |\psi\rangle. $$

ध्यान दें कि ग्रीन का ऑपरेटर $$ G_0 $$ मुक्त कण के लिए मंद/उन्नत या मंद के लिए स्थायी तरंग ऑपरेटर $$ |\psi^{(+)}\rangle $$ विकसित $$ |\psi^{(-)}\rangle $$ या स्थायी तरंग प्रकीर्णन अवस्थाएँ $$ |\psi^{(P)}\rangle $$ हो सकती है। प्रथम पुनरावृत्ति पूर्ण प्रकीर्णन विलयन को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है $$ |\psi\rangle $$ मुक्त कण तरंग समारोह के साथ $$ |\phi\rangle $$ लिपमैन-श्विंगर समीकरण के दाहिने हाथ की ओर और यह प्रथम बॉर्न सन्निकटन देता है। दूसरी पुनरावृत्ति दाहिने हाथ की ओर प्रथम बॉर्न सन्निकटन को प्रतिस्थापित करता है और परिणाम को दूसरा बॉर्न सन्निकटन कहा जाता है। सामान्यतः n-वें बॉर्न सन्निकटन श्रृंखला के n-पदों को ध्यान में रखता है। दूसरे बॉर्न सन्निकटन का उपयोग कभी-कभी किया जाता है, जब प्रथम बॉर्न सन्निकटन विलुप्त हो जाता है, किन्तु उच्च पदों का उपयोग संभवतः कभी किया जाता है। बॉर्न श्रृंखला को औपचारिक रूप से ऑपरेटर के समान सामान्य अनुपात के साथ ज्यामितीय श्रृंखला $$ G_0 V $$ के रूप में अभिव्यक्त किया जा सकता है, लिपमैन-श्विंगर समीकरण का औपचारिक समाधान इस रूप में दे रहा है:
 * $$ |\psi\rangle = [I - G_0(E) V]^{-1} |\phi \rangle = [V - VG_0(E) V]^{-1} V |\phi \rangle . $$

टी-मैट्रिक्स के लिए बॉर्न श्रृंखला
बॉर्न श्रृंखला को टी-मैट्रिक्स जैसी अन्य प्रकीर्णन मात्राओं के लिए भी लिखा जा सकता है जो प्रकीर्णन आयाम से निकटता से संबंधित है। टी-मैट्रिक्स के लिए लिपमैन-श्विंगर समीकरण को दोहराते हुए हमें प्राप्त होता है:
 * $$ T(E) = V + V G_0(E) V + V [G_0(E) V]^2 + V [G_0(E) V]^3  + \dots $$

टी-मैट्रिक्स के लिए $$ G_0 $$ केवल मंदबुद्धि ग्रीन ऑपरेटर $$ G_0^{(+)}(E) $$ है। स्टैंडिंग वेव ग्रीन का ऑपरेटर इसके अतिरिक्त K-मैट्रिक्स देगा।

फुल ग्रीन के ऑपरेटर के लिए बॉर्न श्रृंखला
ग्रीन के संचालक के लिए लिपमैन-श्विंगर समीकरण रिज़ॉल्वेंट औपचारिकता कहा जाता है,
 * $$ G(E) = G_0(E) + G_0(E) V G(E). $$

पुनरावृत्ति द्वारा इसका समाधान पूर्ण ग्रीन के ऑपरेटर के लिए बॉर्न श्रृंखला $$ G(E)=(E-H+i\epsilon)^{-1} $$ की ओर जाता है:
 * $$ G(E) = G_0(E) + G_0(E) V G_0(E) + [G_0(E) V]^2 G_0(E) + [G_0(E) V]^3 G_0(E) + \dots $$