रैखिक गुरुत्वाकर्षण

सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत में, रेखीय गुरुत्वाकर्षण मीट्रिक टेन्सर (सामान्य सापेक्षता) के लिए गड़बड़ी सिद्धांत का अनुप्रयोग है जो अंतरिक्ष समय की ज्यामिति का वर्णन करता है। परिणाम स्वरुप, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र कमजोर होने पर गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव को मॉडलिंग करने के लिए रैखिक गुरुत्वाकर्षण एक प्रभावी तरीका है। रेखीय गुरुत्वाकर्षण का उपयोग गुरुत्वाकर्षण तरंगों और कमजोर-क्षेत्र गुरुत्वाकर्षण लेंसिंग के अध्ययन का अभिन्न अंग है।

कमजोर-क्षेत्र सन्निकटन
अंतरिक्ष-समय की ज्यामिति का वर्णन करने वाला आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण (ईएफई) इस प्रकार दिया गया है (प्राकृतिक इकाइयों का उपयोग करके)
 * $$R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu} = 8\pi GT_{\mu\nu}$$

कहाँ $$R_{\mu\nu}$$ रिक्की टेंसर है, $$R$$ रिक्की अदिश है, $$T_{\mu\nu}$$ ऊर्जा-संवेग टेन्सर है, और $$g_{\mu\nu}$$ स्पेसटाइम मीट्रिक टेंसर है जो समीकरण के समाधान का प्रतिनिधित्व करता है।

चूंकि आइंस्टीन संकेतन का उपयोग करते हुए संक्षिप्त, रिक्की टेन्सर और रिक्की स्केलर के भीतर छिपे हुए मीट्रिक पर असाधारण रूप से अरैखिक निर्भरताएं हैं जो अधिकांश प्रणालियों में अव्यावहारिक सामान्य सापेक्षता में सटीक समाधान खोजने की संभावना प्रदान करती हैं। चूंकि, विशेष प्रणालियों का वर्णन करते समय जिनके लिए स्पेसटाइम की वक्रता छोटी होती है (जिसका अर्थ है कि ईएफई में शब्द जो द्विघात कार्य हैं $$g_{\mu\nu}$$ गति के समीकरणों में महत्वपूर्ण योगदान नहीं देते हैं), क्षेत्र समीकरणों के समाधान को मिन्कोव्स्की मीट्रिक के रूप में मॉडल किया जा सकता है $$\eta_{\mu\nu}$$ प्लस एक छोटा गड़बड़ी शब्द $$h_{\mu\nu}$$. दूसरे शब्दों में:
 * $$g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu},\qquad |h_{\mu\nu}| \ll 1.$$

इस शासन में, सामान्य मीट्रिक को प्रतिस्थापित करना $$g_{\mu\nu}$$ रिक्की टेन्सर के लिए एक सरलीकृत अभिव्यक्ति में इस परेशान अनुमान के परिणामस्वरूप:


 * $$R_{\mu\nu} = \frac{1}{2}(\partial_\sigma\partial_\mu h^\sigma_\nu + \partial_\sigma\partial_\nu h^\sigma_\mu - \partial_\mu\partial_\nu h - \square h_{\mu\nu}),$$

कहाँ $$h = \eta^{\mu\nu}h_{\mu\nu}$$ गड़बड़ी का निशान (रैखिक बीजगणित) है, $$\partial_\mu$$ के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाता है $$x^\mu$$ स्पेसटाइम का समन्वय, और $$\square = \eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu$$ डी'अलेम्बर्ट ऑपरेटर है।

रिक्की स्केलर के साथ,
 * $$R = \eta_{\mu\nu}R^{\mu\nu} = \partial_\mu\partial_\nu h^{\mu\nu} - \square h,$$

क्षेत्र समीकरण के बाईं ओर कम हो जाता है
 * $$R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu} = \frac{1}{2}(\partial_\sigma\partial_\mu h^\sigma_\nu + \partial_\sigma\partial_\nu h^\sigma_\mu - \partial_\mu\partial_\nu h - \square h_{\mu\nu} - \eta_{\mu\nu}\partial_\rho\partial_\lambda h^{\rho\lambda} + \eta_{\mu\nu}\square h).$$

और इस प्रकार ईएफई को एक रेखीय, दूसरे क्रम के आंशिक अंतर समीकरण के रूप में घटाया जाता है $$h_{\mu\nu}$$.

गेज इनवेरियन
सामान्य स्पेसटाइम को विघटित करने की प्रक्रिया $$g_{\mu\nu}$$ मिंकोवस्की मेट्रिक प्लस में एक क्षोभ शब्द अद्वितीय नहीं है। यह इस तथ्य के कारण है कि निर्देशांक के लिए अलग-अलग विकल्प अलग-अलग रूप दे सकते हैं $$h_{\mu\nu}$$. इस घटना को पकड़ने के लिए, गेज सिद्धांत का प्रयोग प्रारंभ किया गया है।

गेज समरूपता एक प्रणाली का वर्णन करने के लिए एक गणितीय उपकरण है जो तब नहीं बदलता है जब अंतर्निहित समन्वय प्रणाली को एक अपरिमेय राशि के माध्यम से  स्थानांतरित किया जाता है। तो चूँकि  परेशानी मीट्रिक $$h_{\mu\nu}$$ विभिन्न समन्वय प्रणालियों के बीच लगातार परिभाषित नहीं किया गया है, जो समग्र प्रणाली का वर्णन करता है वह है।

इसे औपचारिक रूप से पकड़ने के लिए, गड़बड़ी की गैर-विशिष्टता $$h_{\mu\nu}$$ अंतरिक्ष-समय पर अलग-अलग विविधताओं के विविध संग्रह के परिणाम के रूप में प्रतिनिधित्व किया जाता है जो छोड़ देता है $$h_{\mu\nu}$$ पर्याप्त छोटा। इसलिए जारी रखने के लिए यह आवश्यक है $$h_{\mu\nu}$$ भिन्नता के एक सामान्य सेट के संदर्भ में परिभाषित किया जाना चाहिए, फिर इनमें से सबसेट का चयन करें जो कमजोर-क्षेत्र सन्निकटन के माध्यम से  आवश्यक छोटे पैमाने को संरक्षित करता है। कोई इस प्रकार परिभाषित कर सकता है $$\phi$$ एक मनमाना भिन्नता को निरूपित करने के लिए जो मीट्रिक  के माध्यम से  दर्शाए गए अधिक सामान्य स्पेसटाइम के लिए फ्लैट मिंकोस्की स्पेसटाइम को मैप करता है $$g_{\mu\nu}$$. इसके साथ, गड़बड़ी मीट्रिक को पुलबैक (अंतर ज्यामिति) के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$g_{\mu\nu}$$ और मिन्कोव्स्की मीट्रिक:
 * $$h_{\mu\nu} = (\phi^*g)_{\mu\nu} - \eta_{\mu\nu}.$$

डिफियोमॉर्फिज्म $$\phi$$ इस प्रकार चुना जा सकता है कि $$|h_{\mu\nu}| \ll 1$$.

दिया तो एक सदिश क्षेत्र $$\xi^\mu$$ फ्लैट पर परिभाषित, बैकग्राउंड स्पेसटाइम, डिफियोमोर्फिज्म का एक अतिरिक्त परिवार $$\psi_\epsilon$$ के माध्यम से  उत्पन्न के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$\xi^\mu$$ और  के माध्यम से  परिचालित किया गया $$\epsilon > 0$$. जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, इन नए अंतर-रूपताओं का उपयोग अत्यल्प पारियों के लिए समन्वय परिवर्तनों का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाएगा। के साथ साथ $$\phi$$, गड़बड़ी का एक परिवार के माध्यम से  दिया गया है
 * $$\begin{align}

h^{(\epsilon)}_{\mu\nu} &= [(\phi\circ\psi_\epsilon)^*g]_{\mu\nu} - \eta_{\mu\nu} \\ &= [\psi^*_\epsilon(\phi^*g)]_{\mu\nu} - \eta_{\mu\nu} \\ &= \psi^*_\epsilon(h + \eta)_{\mu\nu} - \eta_{\mu\nu} \\ &= (\psi^*_\epsilon h)_{\mu\nu} + \epsilon\left[\frac{(\psi^*_\epsilon\eta)_{\mu\nu} - \eta_{\mu\nu}}{\epsilon}\right]. \end{align}$$ इसलिए लिमिट में $$\epsilon\rightarrow 0$$,
 * $$h^{(\epsilon)}_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} + \epsilon\mathcal{L}_\xi\eta_{\mu\nu}$$

कहाँ $$\mathcal{L}_\xi$$ सदिश क्षेत्र के साथ झूठ व्युत्पन्न है $$\xi_\mu$$.

लेट डेरिवेटिव गड़बड़ी मीट्रिक के अंतिम गेज परिवर्तन को प्राप्त करने के लिए काम करता है $$h_{\mu\nu}$$:
 * $$h^{(\epsilon)}_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} + \epsilon(\partial_\mu\xi_\nu + \partial_\nu\xi_\mu),$$

जो समान भौतिक प्रणाली का वर्णन करने वाले गड़बड़ी मेट्रिक्स के सेट को सटीक रूप से परिभाषित करते हैं। दूसरे शब्दों में, यह रेखीय क्षेत्र समीकरणों के गेज समरूपता की विशेषता है।

गेज का विकल्प
गेज इनवेरियन का शोषण करके, उपयुक्त वेक्टर फ़ील्ड चुनकर परेशानी मीट्रिक के कुछ गुणों की गारंटी दी जा सकती है $$\xi^\mu$$.

अनुप्रस्थ गेज
कैसे गड़बड़ी का अध्ययन करने के लिए $$h_{\mu\nu}$$ लंबाई के माप को विकृत करता है, निम्नलिखित स्थानिक टेन्सर को परिभाषित करना उपयोगी है:
 * $$s_{ij} = h_{ij} - \frac{1}{3}\delta^{kl}h_{kl}\delta_{ij}$$

(ध्यान दें कि सूचकांक केवल स्थानिक घटकों को फैलाते हैं: $$i,j\in\{1,2,3\}$$). इस प्रकार, प्रयोग करके $$s_{ij}$$, गड़बड़ी के स्थानिक घटकों को विघटित किया जा सकता है
 * $$h_{ij} = s_{ij} - \Psi\delta_{ij}$$

कहाँ $$\Psi = \frac{1}{3}\delta^{kl}h_{kl}$$.

टेंसर $$s_{ij}$$ निर्माण के माध्यम से, ट्रेस (रैखिक बीजगणित) कम है और इसे तनाव के रूप में संदर्भित किया जाता है क्योंकि यह उस राशि का प्रतिनिधित्व करता है जिसके  के माध्यम से  गुरुत्वाकर्षण तरंग  गुजरने के प्रभाव। गुरुत्वाकर्षण तरंगों का अध्ययन करने के संदर्भ में, अनुप्रस्थ गेज के साथ उपयोग किए जाने पर तनाव विशेष रूप से उपयोगी होता है। के स्थानिक घटकों को चुनकर इस गेज को परिभाषित किया गया है $$\xi^\mu$$ संबंध को संतुष्ट करने के लिए
 * $$\nabla^2\xi^j + \frac{1}{3}\partial_j\partial_i\xi^i = -\partial_i s^{ij},$$

फिर समय घटक चुनना $$\xi^0$$ को पूरा करने के
 * $$\nabla^2\xi^0 = \partial_i h_{0i} + \partial_0\partial_i\xi^i.$$

पिछले अनुभाग में सूत्र का उपयोग करके गेज परिवर्तन करने के बाद, तनाव स्थानिक रूप से अनुप्रस्थ हो जाता है:
 * $$\partial_i s^{ij}_{(\epsilon)} = 0,$$

अतिरिक्त संपत्ति के साथ:
 * $$\partial_i h^{0i}_{(\epsilon)} = 0.$$

तुल्यकालिक गेज
तुल्यकालिक गेज गड़बड़ी मीट्रिक को सरल बनाता है, यह आवश्यक है कि मीट्रिक समय के माप को विकृत न करे। अधिक सटीक रूप से, सिंक्रोनस गेज को इस तरह चुना जाता है कि गैर-स्थानिक घटक $$h^{(\epsilon)}_{\mu\nu}$$ शून्य हैं, अर्थात्
 * $$h^{(\epsilon)}_{0\nu} = 0.$$

यह समय के घटक की आवश्यकता के के माध्यम से  प्राप्त किया जा सकता है $$\xi^\mu$$ को पूरा करने के
 * $$\partial_0\xi^0 = -h_{00}$$

और संतुष्ट करने के लिए स्थानिक घटकों की आवश्यकता होती है
 * $$\partial_0\xi^i = \partial_i\xi^0 - h_{0i}.$$

हार्मोनिक गेज
हार्मोनिक समन्वय स्थिति (जिसे लॉरेंज गेज भी कहा जाता है ) का चयन किया जाता है जब भी संभव हो तो रैखिककृत क्षेत्र समीकरणों को कम करने के लिए आवश्यक होता है। यह किया जा सकता है अगर हालत
 * $$\partial_\mu h^\mu_\nu = \frac{1}{2}\partial_\nu h$$

क्या सच है। इसे पाने के लिये, $$\xi_\mu$$ संबंध को संतुष्ट करने के लिए आवश्यक है
 * $$\square\xi_\mu = -\partial_\nu h^\nu_\mu + \frac{1}{2}\partial_\mu h.$$

नतीजतन, हार्मोनिक गेज, आइंस्टीन टेंसर का उपयोग करके $$G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}$$ कम कर देता है
 * $$G_{\mu\nu} = -\frac{1}{2}\square\left(h^{(\epsilon)}_{\mu\nu} - \frac{1}{2}h^{(\epsilon)}\eta_{\mu\nu}\right).$$

इसलिए, इसे ट्रेस-रिवर्स्ड मेट्रिक के रूप में लिखकर, $$\bar{h}^{(\epsilon)}_{\mu\nu} = h^{(\epsilon)}_{\mu\nu} - \frac{1}{2}h^{(\epsilon)}\eta_{\mu\nu}$$, रैखिक क्षेत्र समीकरण कम हो जाते हैं
 * $$\square \bar{h}^{(\epsilon)}_{\mu\nu} = -16\pi GT_{\mu\nu}.$$

जिसे गुरुत्वीय तरंग को परिभाषित करने वाले तरंग समीकरण का उपयोग करके सटीक रूप से हल किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * पत्राचार सिद्धांत
 * ग्रेविटोइलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म
 * लैंक्ज़ोस टेंशनर
 * पैरामीटरेटेड पोस्ट-न्यूटोनियन औपचारिकता
 * पोस्ट-न्यूटोनियन विस्तार
 * क्वासिनॉर्मल मोड