क्वांटम त्रुटि सुधार

क्वांटम त्रुटि सुधार (क्यूईसी) का उपयोग एक क्वांटम कंप्यूटर  में क्वांटम जानकारी को विघटन और अन्य क्वांटम शोर के कारण होने वाली त्रुटियों से बचाने के लिए किया जाता है। क्वांटम त्रुटि सुधार को क्वांटम थ्रेशोल्ड प्रमेय को प्राप्त करने के लिए आवश्यक माना जाता है जो संग्रहीत क्वांटम जानकारी, दोषपूर्ण क्वांटम गेट्स, दोषपूर्ण क्वांटम तैयारी और दोषपूर्ण माप पर शोर के प्रभाव को कम कर सकता है। यह अधिक सर्किट जटिलता के एल्गोरिदम की अनुमति देगा। शास्त्रीय त्रुटि सुधार अतिरेक (सूचना सिद्धांत) को नियोजित करता है। सबसे सरल यद्यपि अकुशल दृष्टिकोण पुनरावृत्ति कोड है। विचार यह है कि जानकारी को कई बार संग्रहीत किया जाए, और - यदि बाद में ये प्रतियां असहमत पाई जाती हैं - तो बहुमत से वोट लें; जैसे मान लीजिए कि हम एक ही अवस्था में तीन बार कुछ कॉपी करते हैं। आगे मान लीजिए कि एक शोर त्रुटि तीन-बिट स्थिति को दूषित कर देती है ताकि कॉपी किए गए बिट्स में से एक शून्य के बराबर हो लेकिन अन्य दो एक के बराबर हों। यह मानते हुए कि शोर संबंधी त्रुटियां स्वतंत्र हैं और कुछ पर्याप्त रूप से कम संभावना पी के साथ होती हैं, यह सबसे अधिक संभावना है कि त्रुटि एक एकल-बिट त्रुटि है और प्रेषित संदेश तीन है। यह संभव है कि एक डबल-बिट त्रुटि होती है और प्रेषित संदेश तीन शून्य के बराबर होता है, लेकिन यह परिणाम उपरोक्त परिणाम की तुलना में कम होने की संभावना है। इस उदाहरण में, तार्किक जानकारी एक राज्य में एक बिट थी, भौतिक जानकारी तीन कॉपी किए गए बिट्स हैं, और यह निर्धारित करना कि भौतिक स्थिति में कौन सी तार्किक स्थिति एन्कोड की गई है, डिकोडिंग कहलाती है। शास्त्रीय त्रुटि सुधार के समान, क्यूईसी कोड हमेशा तार्किक क्वैबिट को सही ढंग से डिकोड नहीं करते हैं, लेकिन उनका उपयोग शोर के प्रभाव को कम करता है।

नो-क्लोनिंग प्रमेय के कारण क्वांटम जानकारी की प्रतिलिपि बनाना संभव नहीं है। यह प्रमेय क्वांटम त्रुटि सुधार के सिद्धांत को तैयार करने में बाधा उत्पन्न करता प्रतीत होता है। लेकिन एक qubit  की (तार्किक) जानकारी को कई (भौतिक) क्यूबिट की अत्यधिक उलझी हुई स्थिति में फैलाना संभव है। पीटर शोर ने सबसे पहले एक क्विबिट की जानकारी को नौ क्विबिट की अत्यधिक उलझी हुई स्थिति में संग्रहीत करके क्वांटम त्रुटि सुधार कोड तैयार करने की इस विधि की खोज की।

शास्त्रीय त्रुटि सुधार कोड एक सिंड्रोम माप का उपयोग करते हैं ताकि यह पता लगाया जा सके कि कौन सी त्रुटि एन्कोडेड स्थिति को दूषित करती है। सिंड्रोम के आधार पर सुधारात्मक ऑपरेशन लागू करके त्रुटि को उलटा किया जा सकता है। क्वांटम त्रुटि सुधार भी सिंड्रोम मापन को नियोजित करता है। यह एक मल्टी-क्यूबिट माप करता है जो एन्कोडेड स्थिति में क्वांटम जानकारी को परेशान नहीं करता है लेकिन त्रुटि के बारे में जानकारी पुनर्प्राप्त करता है। उपयोग किए गए क्यूईसी कोड के आधार पर, सिंड्रोम माप त्रुटियों की घटना, स्थान और प्रकार निर्धारित कर सकता है। अधिकांश क्यूईसी कोड में, त्रुटि का प्रकार या तो थोड़ा फ्लिप होता है, या एक संकेत (चरण (तरंगों) का) फ्लिप होता है, या दोनों (पॉल के मैट्रिक्स एक्स, जेड और वाई के अनुरूप)। सिंड्रोम के माप में क्वांटम माप का प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित) प्रभाव होता है, इसलिए भले ही शोर के कारण त्रुटि मनमाना हो, इसे आधार (रैखिक बीजगणित) संचालन के संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जिसे त्रुटि आधार कहा जाता है (जो पाउली मैट्रिसेस और पहचान (गणित) द्वारा दिया गया है। त्रुटि को ठीक करने के लिए, त्रुटि के प्रकार के अनुरूप पाउली ऑपरेटर का उपयोग त्रुटि के प्रभाव को वापस करने के लिए दूषित क्वबिट पर किया जाता है।

सिंड्रोम माप उस त्रुटि के बारे में जानकारी प्रदान करता है जो घटित हुई है, लेकिन उस जानकारी के बारे में नहीं जो तार्किक क्वैबिट में संग्रहीत है - अन्यथा माप क्वांटम कंप्यूटर में अन्य क्वैबिट के साथ इस तार्किक क्वैबिट के किसी भी जितना कि सुपरइम्पोज़िशन  को नष्ट कर देगा, जो इसे रोक देगा। क्वांटम जानकारी संप्रेषित करने के लिए उपयोग किए जाने से।

बिट फ्लिप कोड
दोहराव कोड एक शास्त्रीय चैनल में काम करता है, क्योंकि शास्त्रीय बिट्स को मापना और दोहराना आसान होता है। यह दृष्टिकोण क्वांटम चैनल के लिए काम नहीं करता है, जिसमें नो-क्लोनिंग प्रमेय के कारण, एक क्वबिट को तीन बार दोहराना संभव नहीं है। इसे दूर करने के लिए, एक अलग विधि का उपयोग करना होगा, जैसे कि 1985 में एशर पेरेस द्वारा पहली बार प्रस्तावित तीन-क्विबिट बिट फ्लिप कोड। यह तकनीक क्वांटम उलझाव और सिंड्रोम माप का उपयोग करती है और पुनरावृत्ति कोड के साथ प्रदर्शन में तुलनीय है।

उस स्थिति पर विचार करें जिसमें हम एक एकल कक्षा की स्थिति को प्रसारित करना चाहते हैं $$\vert\psi\rangle$$ एक शोरगुल वाले चैनल के माध्यम से $$\mathcal E$$. आइए हम यह भी मान लें कि यह चैनल या तो संभावना के साथ क्वबिट की स्थिति को पलट देता है $$p$$, या इसे अपरिवर्तित छोड़ देता है। की कार्रवाई $$\mathcal E$$ सामान्य इनपुट पर $$\rho$$ इसलिए इस प्रकार लिखा जा सकता है $$\mathcal E(\rho) = (1-p) \rho + p\ X\rho X$$.

होने देना $$|\psi\rangle = \alpha_0|0\rangle + \alpha_1|1\rangle$$ संचरित होने वाली क्वांटम अवस्था हो। प्रोटोकॉल में कोई त्रुटि सुधार नहीं होने से, संचरित स्थिति को संभाव्यता के साथ सही ढंग से प्रसारित किया जाएगा $$1-p$$. हालाँकि, हम राज्य को अधिक संख्या में क्वैबिट में एन्कोड करके इस संख्या में सुधार कर सकते हैं, इस तरह से कि संबंधित तार्किक क्वैबिट में त्रुटियों का पता लगाया जा सके और उन्हें ठीक किया जा सके। सरल तीन-क्विबिट दोहराव कोड के मामले में, एन्कोडिंग मैपिंग में शामिल होती है $$\vert0\rangle\rightarrow\vert0_{\rm L}\rangle\equiv\vert000\rangle$$ और $$\vert1\rangle\rightarrow\vert1_{\rm L}\rangle\equiv\vert111\rangle$$. इनपुट स्थिति $$\vert\psi\rangle$$ राज्य में एन्कोड किया गया है $$\vert\psi'\rangle = \alpha_0 \vert000\rangle + \alpha_1 \vert111\rangle$$. इस मैपिंग को उदाहरण के लिए दो सीएनओटी गेट्स का उपयोग करके महसूस किया जा सकता है, जो सिस्टम को राज्य में आरंभ किए गए दो एंसीला बिट#एंसीला क्वैबिट के साथ उलझाता है। $$\vert0\rangle$$. एन्कोडेड अवस्था $$\vert\psi'\rangle$$ वह है जो अब शोरगुल वाले चैनल से होकर गुजरा है।

चैनल पर कार्रवाई होती है $$\vert\psi'\rangle$$ इसके क्वैबिट के कुछ उपसमुच्चय (संभवतः खाली) को फ़्लिप करके। किसी भी क्वबिट को प्रायिकता के साथ फ़्लिप नहीं किया जाता है $$(1-p)^3$$, एक एकल क्वबिट को प्रायिकता के साथ फ़्लिप किया जाता है $$3p(1-p)^2$$, दो क्वैबिट को प्रायिकता के साथ फ़्लिप किया जाता है $$3p^2(1-p)$$, और सभी तीन क्वैबिट संभाव्यता के साथ फ़्लिप किए गए हैं $$p^3$$. ध्यान दें कि चैनल के बारे में एक और धारणा यहां बनाई गई है: हम यह मानते हैं $$\mathcal E$$ उन तीन क्वैबिटों में से प्रत्येक पर समान रूप से और स्वतंत्र रूप से कार्य करता है जिसमें राज्य अब एन्कोड किया गया है। अब समस्या यह है कि प्रेषित स्थिति को दूषित किए बिना ऐसी त्रुटियों का पता कैसे लगाया जाए और उन्हें कैसे ठीक किया जाए।

आइए सरलता के लिए मान लें कि $$p$$ यह इतना छोटा है कि एक से अधिक क्वैबिट फ़्लिप होने की संभावना नगण्य है। इसके बाद कोई यह पता लगा सकता है कि क्या एक क्वबिट फ़्लिप किया गया था, बिना प्रसारित किए जा रहे मानों के लिए पूछताछ किए बिना, यह पूछकर कि क्या एक क्वबिट दूसरों से अलग है। यह निम्नलिखित चार प्रक्षेप्य मापों के अनुरूप, चार अलग-अलग परिणामों के साथ माप करने के बराबर है:$$\begin{align} P_0 &=|000\rangle\langle000|+|111\rangle\langle111|, \\ P_1 &=|100\rangle\langle100|+|011\rangle\langle011|, \\ P_2 &=|010\rangle\langle010|+|101\rangle\langle101|, \\ P_3 &=|001\rangle\langle001|+|110\rangle\langle110|. \end{align}$$इससे पता चलता है कि कौन से क्वैब दूसरों से अलग हैं, साथ ही क्वैब की स्थिति के बारे में जानकारी दिए बिना। यदि परिणाम के अनुरूप है $$P_0$$ प्राप्त किया जाता है, कोई सुधार लागू नहीं किया जाता है, जबकि यदि परिणाम के अनुरूप है $$P_i$$ देखा जाता है, तो पाउली एक्स गेट को लागू किया जाता है $$i$$-वें क्वबिट. औपचारिक रूप से, यह सुधार प्रक्रिया चैनल के आउटपुट के लिए निम्नलिखित मानचित्र के अनुप्रयोग से मेल खाती है: $$\mathcal E_{\operatorname{corr}}(\rho)=P_0\rho P_0 + \sum_{i=1}^3 X_i P_i \rho\, P_i X_i.$$ ध्यान दें कि, जबकि यह प्रक्रिया चैनल द्वारा शून्य या एक फ़्लिप पेश किए जाने पर आउटपुट को पूरी तरह से सही कर देती है, यदि एक से अधिक क्विबिट फ़्लिप किया जाता है तो आउटपुट ठीक से ठीक नहीं होता है। उदाहरण के लिए, यदि पहली और दूसरी क्वैबिट फ़्लिप की जाती है, तो सिंड्रोम माप परिणाम देता है $$P_3$$, और पहले दो के बजाय तीसरा क्वबिट फ़्लिप किया गया है। सामान्य इनपुट के लिए इस त्रुटि-सुधार योजना के प्रदर्शन का आकलन करने के लिए हम क्वांटम राज्यों की निष्ठा का अध्ययन कर सकते हैं $$F(\psi')$$ इनपुट के बीच $$\vert\psi'\rangle$$ और आउटपुट $$\rho_{\operatorname{out}}\equiv\mathcal E_{\operatorname{corr}}(\mathcal E(\vert\psi'\rangle\langle\psi'\vert))$$. आउटपुट स्थिति होना $$\rho_{\operatorname{out}}$$ सही तब होता है जब एक से अधिक क्वबिट फ़्लिप नहीं किया जाता है, जो संभाव्यता के साथ होता है $$(1-p)^3 + 3p(1-p)^2$$, हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं $$[(1-p)^3+3p(1-p)^2]\,\vert\psi'\rangle\langle\psi'\vert + (...)$$, जहां बिंदु इसके घटकों को दर्शाते हैं $$\rho_{\operatorname{out}}$$ प्रोटोकॉल द्वारा ठीक से ठीक न की गई त्रुटियों के परिणामस्वरूप। यह इस प्रकार है कि $$F(\psi')=\langle\psi'\vert\rho_{\operatorname{out}}\vert\psi'\rangle\ge (1-p)^3 + 3p(1-p)^2=1-3p^2+2p^3.$$क्वांटम अवस्थाओं की इस निष्ठा की तुलना तब प्राप्त संगत निष्ठा से की जानी चाहिए जब कोई त्रुटि-सुधार प्रोटोकॉल का उपयोग नहीं किया जाता है, जिसे पहले बराबर दिखाया गया था $${1-p}$$. थोड़ा बीजगणित से पता चलता है कि त्रुटि सुधार के बाद निष्ठा बिना फॉर की तुलना में अधिक है $$p<1/2$$. ध्यान दें कि यह उस कामकाजी धारणा के अनुरूप है जो प्रोटोकॉल प्राप्त करते समय बनाई गई थी $$p$$ काफी छोटा होना)।

फ़्लिप कोड पर हस्ताक्षर करें
शास्त्रीय कंप्यूटर में फ़्लिप्ड बिट्स एकमात्र प्रकार की त्रुटि है, लेकिन क्वांटम कंप्यूटरों में त्रुटि की एक और संभावना है, साइन फ़्लिप। एक चैनल में संचरण के माध्यम से के बीच सापेक्ष संकेत $$|0\rangle$$ और $$|1\rangle$$ उलटा हो सकता है. उदाहरण के लिए, राज्य में एक qubit $$|-\rangle=(|0\rangle-|1\rangle)/\sqrt{2}$$ इसका चिन्ह फ्लिप हो सकता है $$|+\rangle=(|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt{2}.$$ क्वबिट की मूल स्थिति $$|\psi\rangle = \alpha_0|0\rangle+\alpha_1|1\rangle$$ राज्य में बदल दिया जाएगा $$|\psi'\rangle = \alpha_0|{+}{+}{+}\rangle+\alpha_1|{-}{-}{-}\rangle.$$ हैडामर्ड आधार पर, बिट फ्लिप्स साइन फ्लिप्स बन जाते हैं और साइन फ्लिप्स बिट फ्लिप्स बन जाते हैं। होने देना $$E_\text{phase}$$ एक क्वांटम चैनल बनें जो अधिकतम एक चरण फ्लिप का कारण बन सकता है। फिर ऊपर से बिट फ्लिप कोड रिकवर हो सकता है $$|\psi\rangle$$ संचरण से पहले और बाद में हैडमार्ड आधार में परिवर्तित होकर $$E_\text{phase}$$.

शोर कोड
त्रुटि चैनल या तो थोड़ा फ़्लिप, एक साइन फ़्लिप (यानी, एक चरण फ़्लिप), या दोनों को प्रेरित कर सकता है। QEC कोड का उपयोग करके किसी एक क्वबिट पर दोनों प्रकार की त्रुटियों को ठीक करना संभव है, जो 1995 में प्रकाशित शोर कोड का उपयोग करके किया जा सकता है।  यह कहने के बराबर है कि शोर कोड मनमानी सिंगल-क्विबिट त्रुटियों को ठीक करता है।

होने देना $$E$$ एक क्वांटम चैनल बनें जो मनमाने ढंग से एकल क्वबिट को भ्रष्ट कर सकता है। पहली, चौथी और सातवीं क्वैबिट साइन फ्लिप कोड के लिए हैं, जबकि क्वैबिट के तीन समूह (1,2,3), (4,5,6), और (7,8,9) बिट फ्लिप के लिए डिज़ाइन किए गए हैं। कोड. शोर कोड के साथ, एक qubit राज्य $$|\psi\rangle=\alpha_0|0\rangle+\alpha_1|1\rangle$$ 9 qubits के गुणनफल में परिवर्तित हो जाएगा $$|\psi'\rangle=\alpha_0|0_S\rangle+\alpha_1|1_S\rangle$$, कहाँ $$|0_{\rm S}\rangle=\frac{1}{2\sqrt{2}}(|000\rangle + |111\rangle) \otimes (|000\rangle + |111\rangle ) \otimes (|000\rangle + |111\rangle)$$ $$|1_{\rm S}\rangle=\frac{1}{2\sqrt{2}}(|000\rangle - |111\rangle) \otimes (|000\rangle - |111\rangle) \otimes (|000\rangle - |111\rangle)$$ यदि किसी क्वबिट में थोड़ी फ्लिप त्रुटि होती है, तो उसका पता लगाने और उसे ठीक करने के लिए क्वबिट (1,2,3), (4,5,6), और (7,8,9) के प्रत्येक ब्लॉक पर सिंड्रोम विश्लेषण किया जाएगा। प्रत्येक ब्लॉक में अधिकांश एक बिट फ्लिप त्रुटि।

यदि तीन बिट फ्लिप समूह (1,2,3), (4,5,6), और (7,8,9) को तीन इनपुट माना जाता है, तो शोर कोड सर्किट को साइन फ्लिप कोड के रूप में कम किया जा सकता है। इसका मतलब यह है कि शोर कोड एक क्वैबिट के लिए साइन फ्लिप त्रुटि को भी सुधार सकता है।

शोर कोड किसी भी मनमानी त्रुटि (बिट फ्लिप और साइन फ्लिप दोनों) को एक ही क्वबिट में ठीक कर सकता है। यदि किसी त्रुटि को एकात्मक रूपांतरण यू द्वारा प्रतिरूपित किया जाता है, जो एक क्वैबिट पर कार्य करेगा $$|\psi\rangle$$, तब $$U$$ रूप में वर्णित किया जा सकता है $$U = c_0 I + c_1 X + c_2 Y + c_3 Z$$ कहाँ $$c_0$$,$$c_1$$,$$c_2$$, और $$c_3$$ जटिल स्थिरांक हैं, I पहचान है, और पाउली मैट्रिक्स द्वारा दिए गए हैं $$\begin{align} X &= \begin{pmatrix} 0&1\\1&0 \end{pmatrix} ; \\ Y &= \begin{pmatrix} 0&-i\\i&0 \end{pmatrix} ; \\ Z &= \begin{pmatrix} 1&0\\0&-1 \end{pmatrix}. \end{align}$$ यदि U, I के बराबर है, तो कोई त्रुटि नहीं होती है। अगर $$U=X$$, थोड़ी फ्लिप त्रुटि होती है। अगर $$U=Z$$, एक साइन फ़्लिप त्रुटि उत्पन्न होती है। अगर $$U=iY$$ तब बिट फ्लिप त्रुटि और साइन फ्लिप त्रुटि दोनों होती हैं। दूसरे शब्दों में, शोर कोड एक ही क्वबिट पर बिट या चरण त्रुटियों के किसी भी संयोजन को ठीक कर सकता है।

बोसोनिक कोड
बोसोनिक मोड में त्रुटि-सुधार योग्य क्वांटम जानकारी संग्रहीत करने के लिए कई प्रस्ताव बनाए गए हैं। दो-स्तरीय प्रणाली के विपरीत, एक क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर में एक ही भौतिक प्रणाली में अनंत रूप से कई ऊर्जा स्तर होते हैं। इन प्रणालियों के कोड में बिल्ली,  गोट्समैन-किताएव-प्रीस्किल (जीकेपी), और द्विपद कोड। इन कोडों द्वारा दी गई एक अंतर्दृष्टि कई दो-स्तरीय क्वैबिट की नकल करने के बजाय एक ही सिस्टम के भीतर अतिरेक का लाभ उठाना है।

द्विपद कोड
फॉक राज्य के आधार पर लिखा गया, सबसे सरल द्विपद एन्कोडिंग है $$|0_{\rm L}\rangle=\frac{|0\rangle+|4\rangle}{\sqrt{2}},\quad |1_{\rm L}\rangle=|2\rangle,$$ जहां सबस्क्रिप्ट एल तार्किक रूप से एन्कोडेड स्थिति को इंगित करता है। फिर यदि सिस्टम का प्रमुख त्रुटि तंत्र बोसोनिक कम करने वाला ऑपरेटर का स्टोकेस्टिक अनुप्रयोग है $$\hat{a},$$ संगत त्रुटि स्थितियाँ हैं $$|3\rangle$$ और $$|1\rangle,$$ क्रमश। चूँकि कोडवर्ड में केवल सम फोटॉन संख्या शामिल होती है, और त्रुटि स्थिति में केवल विषम फोटॉन संख्या शामिल होती है, सिस्टम की फोटॉन संख्या समता को मापकर त्रुटियों का पता लगाया जा सकता है। विषम समता को मापने से क्वैबिट की विशिष्ट तार्किक स्थिति के ज्ञान के बिना उचित एकात्मक ऑपरेशन के अनुप्रयोग द्वारा सुधार की अनुमति मिल जाएगी। हालाँकि, उपरोक्त विशेष द्विपद कोड दो-फोटॉन हानि के लिए मजबूत नहीं है।

बिल्ली कोड
कैट स्टेट|श्रोडिंगर कैट स्टेट्स, सुसंगत राज्यों के सुपरपोजिशन, का उपयोग त्रुटि सुधार कोड के लिए तार्किक राज्यों के रूप में भी किया जा सकता है। कैट कोड, ओफ़ेक एट अल द्वारा महसूस किया गया। 2016 में, तार्किक अवस्थाओं के दो सेट परिभाषित किए गए: $$\{|0^+_L\rangle, |1^+_L\rangle\} $$ और $$\{|0^-_L\rangle, |1^-_L\rangle\} $$, जहां प्रत्येक राज्य निम्नानुसार सुसंगत राज्य का एक सुपरपोजिशन है

$$\begin{aligned} |0^+_L\rangle& \equiv |\alpha\rangle + |-\alpha\rangle, \\ |1^+_L\rangle& \equiv |i\alpha\rangle + |-i\alpha\rangle, \\ |0^-_L\rangle& \equiv |\alpha\rangle - |-\alpha\rangle, \\ |1^-_L\rangle& \equiv |i\alpha\rangle - |-i\alpha\rangle. \end{aligned}$$ राज्यों के वे दो सेट फोटॉन संख्या समता से भिन्न हैं, जैसा कि राज्यों से दर्शाया गया है $$^+$$ केवल सम फोटॉन संख्या वाले राज्यों और राज्यों पर कब्जा करें $$^-$$ इंगित करें कि उनमें विषम समानता है। द्विपद कोड के समान, यदि सिस्टम का प्रमुख त्रुटि तंत्र बोसोनिक लोअरिंग ऑपरेटर का स्टोकेस्टिक अनुप्रयोग है $$\hat{a}$$, त्रुटि तार्किक स्थितियों को सम समता उपस्थान से विषम तक ले जाती है, और इसके विपरीत। इसलिए फोटॉन संख्या समता ऑपरेटर को मापकर एकल-फोटॉन-हानि त्रुटियों का पता लगाया जा सकता है $$\exp(i\pi \hat{a}^\dagger\hat{a}) $$ एक विसरित रूप से युग्मित सहायक क्वबिट का उपयोग करना।

फिर भी, कैट क्वैबिट दो-फोटॉन हानि से सुरक्षित नहीं हैं $$\hat{a}^2$$, शोर को कम करना $$\hat{a}^\dagger\hat{a}$$, फोटॉन-लाभ त्रुटि $$\hat{a}^\dagger$$, वगैरह।

सामान्य कोड
सामान्य तौर पर, क्वांटम चैनल के लिए एक क्वांटम कोड $$\mathcal{E}$$ एक उपस्थान है $$\mathcal{C} \subseteq \mathcal{H}$$, कहाँ $$\mathcal{H}$$ राज्य हिल्बर्ट स्पेस है, जैसे कि एक और क्वांटम चैनल मौजूद है $$\mathcal{R}$$ साथ $$ (\mathcal{R} \circ \mathcal{E})(\rho) = \rho \quad \forall \rho = P_{\mathcal{C}}\rho P_{\mathcal{C}},$$ कहाँ $$P_{\mathcal{C}}$$ पर ओर्थोगोनल प्रक्षेपण है $$\mathcal{C}$$. यहाँ $$\mathcal{R}$$ सुधार ऑपरेशन के रूप में जाना जाता है।

एक गैर-अपक्षयी कोड वह होता है जिसके लिए सुधार योग्य त्रुटियों के सेट के विभिन्न तत्व कोड के तत्वों पर लागू होने पर रैखिक रूप से स्वतंत्र परिणाम उत्पन्न करते हैं। यदि सुधार योग्य त्रुटियों के सेट में से अलग-अलग ऑर्थोगोनल परिणाम उत्पन्न करते हैं, तो कोड को शुद्ध माना जाता है।

मॉडल
समय के साथ, शोधकर्ता कई कोड लेकर आए हैं:


 * पीटर शोर का 9-क्विबिट-कोड, जिसे शोर कोड भी कहा जाता है, 1 तार्किक क्वबिट को 9 भौतिक क्वबिट में एनकोड करता है और एक ही क्वबिट में मनमानी त्रुटियों को ठीक कर सकता है।
 * एंड्रयू स्टेन को एक कोड मिला जो 9 क्विबिट के बजाय 7 के साथ समान करता है,  स्थायी कोड  देखें।
 * रेमंड लाफलाम और सहयोगियों ने 5-क्विबिट कोड का एक वर्ग पाया जो ऐसा ही करता है, जिसमें दोष-सहिष्णु होने का गुण भी है। पांच-क्विबिट त्रुटि सुधार कोड|5-क्विबिट कोड सबसे छोटा संभव कोड है जो एकल-क्विबिट त्रुटियों के खिलाफ एकल तार्किक क्वबिट की रक्षा करता है।
 * हैमिंग(7,4)|शास्त्रीय [7,4] हैमिंग कोड से स्टीन कोड|7-क्विबिट कोड विकसित करने के लिए एंड्रयू स्टीन द्वारा इस्तेमाल की गई तकनीक का एक सामान्यीकरण, जिससे कोड के एक महत्वपूर्ण वर्ग का निर्माण हुआ जिसे कहा जाता है सीएसएस कोड, उनके आविष्कारकों के नाम पर: रॉबर्ट कैल्डरबैंक, पीटर शोर और एंड्रयू स्टीन। क्वांटम हैमिंग बाउंड के अनुसार, एक एकल तार्किक क्वबिट को एन्कोड करने और एक एकल क्वबिट में मनमाने ढंग से त्रुटि सुधार प्रदान करने के लिए न्यूनतम 5 भौतिक क्वबिट की आवश्यकता होती है।
 * कोड का एक अधिक सामान्य वर्ग (पूर्व को शामिल करते हुए) डेनियल गॉट्समैन और रॉबर्ट काल्डरबैंक, एरिक रेन्स, पीटर शोर और एन.जे.ए. स्लोएन द्वारा खोजे गए स्टेबलाइजर कोड हैं; इन्हें योगात्मक कोड भी कहा जाता है।
 * दो आयामी बेकन-शोर कोड पूर्णांक एम और एन द्वारा मानकीकृत कोड का एक परिवार है। एक वर्गाकार जाली में nm qubits व्यवस्थित हैं। * एक नया विचार एलेक्सी किताएव का टोरिक कोड और टोपोलॉजिकल क्वांटम कंप्यूटर का अधिक सामान्य विचार है।
 * टॉड ब्रून, इगोर डेवेटक और कामुक परिष्कार ने मानक स्टेबलाइजर औपचारिकता के विस्तार के रूप में उलझाव-सहायता प्राप्त स्टेबलाइजर औपचारिकता का भी निर्माण किया, जिसमें एक प्रेषक और एक रिसीवर के बीच साझा क्वांटम उलझाव शामिल होता है।

ये कोड वास्तव में मनमानी लंबाई की क्वांटम गणना के लिए अनुमति देते हैं, यह माइकल बेन-ओर और डोरिट अहरोनोव द्वारा पाए गए क्वांटम थ्रेशोल्ड प्रमेय की सामग्री है, जो दावा करता है कि यदि आप सीएसएस कोड जैसे क्वांटम कोड को जोड़ते हैं तो आप सभी त्रुटियों को सही कर सकते हैं- अर्थात। प्रत्येक तार्किक क्वबिट को उसी कोड द्वारा फिर से एनकोड करें, और इसी तरह, लघुगणकीय रूप से कई स्तरों पर - बशर्ते कि व्यक्तिगत क्वांटम गेट्स की त्रुटि दर एक निश्चित सीमा से नीचे हो; अन्यथा, सिंड्रोम को मापने और त्रुटियों को ठीक करने के प्रयास उनके द्वारा सुधारे जाने की तुलना में अधिक नई त्रुटियाँ प्रस्तुत करेंगे।

2004 के अंत तक, इस सीमा के अनुमान से संकेत मिलता है कि यह 1-3% तक हो सकता है, बशर्ते कि पर्याप्त मात्रा में क्वैबिट उपलब्ध हों।

प्रायोगिक अनुभूति
सीएसएस-आधारित कोड के कई प्रायोगिक कार्यान्वयन हुए हैं। पहला प्रदर्शन परमाणु चुंबकीय अनुनाद क्वांटम कंप्यूटर के साथ था। इसके बाद, रैखिक प्रकाशिकी के साथ प्रदर्शन किए गए हैं, फंसे हुए आयन, और सुपरकंडक्टिंग (ट्रांसमोन) क्वैबिट्स। 2016 में पहली बार QEC कोड का उपयोग करके क्वांटम बिट का जीवनकाल बढ़ाया गया था। त्रुटि-सुधार प्रदर्शन बिल्ली अवस्था  पर किया गया था। श्रोडिंगर-कैट स्टेट्स को एक सुपरकंडक्टिंग रेज़ोनेटर में एन्कोड किया गया था, और एक क्वांटम नियंत्रक को नियोजित किया गया था जो क्वांटम जानकारी को पढ़ने, उसके विश्लेषण और सुधार सहित वास्तविक समय प्रतिक्रिया संचालन करने में सक्षम था। इसकी त्रुटियों का पता चला। कार्य ने प्रदर्शित किया कि कैसे क्वांटम-त्रुटि-सुधारित प्रणाली ब्रेक-ईवन बिंदु तक पहुंचती है, जिस पर एक तार्किक क्वैबिट का जीवनकाल सिस्टम के अंतर्निहित घटकों (भौतिक क्वैबिट्स) के जीवनकाल से अधिक हो जाता है।

अन्य त्रुटि सुधार कोड भी लागू किए गए हैं, जैसे कि फोटॉन हानि को ठीक करने के उद्देश्य से, फोटोनिक क्वबिट योजनाओं में प्रमुख त्रुटि स्रोत। 2021 में, टोरिक कोड | टोपोलॉजिकल क्वांटम त्रुटि-सुधार कोड में एन्कोड किए गए दो लॉजिकल क्वैबिट के बीच एक नियंत्रित नॉट गेट को पहली बार ट्रैप्ड आयन क्वांटम कंप्यूटर | ट्रैप्ड-आयन क्वांटम कंप्यूटर में 10 आयनों का उपयोग करके महसूस किया गया है। 2021 में ट्रैप्ड-आयन सिस्टम के एकल लॉजिकल क्वैबिट में दोष-सहिष्णु बेकन-शोर कोड का पहला प्रायोगिक प्रदर्शन भी देखा गया, यानी एक ऐसा प्रदर्शन जिसके लिए त्रुटि सुधार को जोड़ने से ओवरहेड की तुलना में अधिक त्रुटियों को दबाने में सक्षम है। त्रुटि सुधार के साथ-साथ दोष-सहिष्णु स्टीन कोड को लागू करने के लिए। 2022 में, इंसब्रुक विश्वविद्यालय के शोधकर्ताओं ने ट्रैप्ड-आयन क्वांटम कंप्यूटर में दो लॉजिकल क्वैबिट पर गेट्स के दोष-सहिष्णु सार्वभौमिक सेट का प्रदर्शन किया है। उन्होंने सात-क्विबिट रंग कोड के दो उदाहरणों के बीच एक तार्किक दो-क्विबिट नियंत्रित-नॉट गेट का प्रदर्शन किया है, और गलती-सहिष्णुता से एक तार्किक जादू राज्य आसवन तैयार किया है। फरवरी 2023 में Google के शोधकर्ताओं ने प्रयोगों में क्वबिट संख्या बढ़ाकर क्वांटम त्रुटियों को कम करने का दावा किया, उन्होंने दूरी-3 क्वबिट सरणी और दूरी-5 क्वबिट के लिए 3.028% और 2.914% की त्रुटि दर मापने वाले एक दोष-सहिष्णु सतह कोड का उपयोग किया। क्रमशः सरणी.

एन्कोडिंग और समता-जांच के बिना क्वांटम त्रुटि-सुधार
इसके अलावा 2022 में, यूनिवर्सिटी ऑफ इंजीनियरिंग एंड टेक्नोलॉजी लाहौर के शोध ने सुपरकंडक्टर क्वांटम सर्किट के रणनीतिक रूप से चुने गए स्थानों में सिंगल-क्विबिट जेड-अक्ष रोटेशन गेट्स डालकर त्रुटि-रद्दीकरण का प्रदर्शन किया। इस योजना को त्रुटियों को प्रभावी ढंग से ठीक करने के लिए दिखाया गया है जो अन्यथा सुसंगत शोर के रचनात्मक हस्तक्षेप के तहत तेजी से बढ़ जाएंगी। यह एक सर्किट-स्तरीय अंशांकन योजना है जो सुसंगत त्रुटि का पता लगाने और स्थानीयकरण करने के लिए डिकोहेरेंस वक्र में विचलन (जैसे तेज डिप्स या नॉच) का पता लगाती है, लेकिन एन्कोडिंग या समता माप की आवश्यकता नहीं होती है। हालाँकि, असंगत शोर के लिए इस पद्धति की प्रभावशीलता स्थापित करने के लिए आगे की जांच की आवश्यकता है।

यह भी देखें

 * त्रुटि का पता लगाना और सुधार करना
 * नरम त्रुटि

बाहरी संबंध

 * Error-check breakthrough in quantum computing