परिमाणीकरण

गणित और अंकीय संकेत प्रसंस्करण में परिमाणीकरण, एक बड़े समुच्चय (अक्सर एक सतत समुच्चय) से निविष्ट मानों को उत्पादित मानों के एक (गणनीय) छोटे समुच्चय में प्रतिचित्रण करने की प्रक्रिया है, अक्सर तत्वों की एक सीमित संख्या के साथ। पूर्णांकन और खंडन परिमाणीकरण प्रक्रियाओं के विशिष्ट उदाहरण हैं। परिमाणीकरण लगभग सभी अंकीय संकेत प्रक्रिया में कुछ हद तक शामिल है, क्योंकि अंकीय रूप में संकेत का प्रतिनिधित्व करने की प्रक्रिया में आमतौर पर पूर्णांकन करना शामिल होता है। परिमाणीकरण अनिवार्य रूप से सभी हानिपूर्ण संपीड़न कलन विधि का मूल है।

निविष्ट मान और उसके परिमाणित मान (जैसे पूर्णांक त्रुटि) के बीच के अंतर को परिमाणीकरण त्रुटि कहा जाता है। एक उपकरण या कलन विधि समीकरण जो परिमाणीकरण करता है उसे परमारीकरण कहा जाता है। एक अनुरूप अंकीय परिवर्तक संपरिवर्तित्र परिमारीकरण का एक उदाहरण है।

उदाहरण
उदाहरण के लिए, एक वास्तविक संख्या $$x$$ को निकटतम पूर्णांक मान में निकटतम पूर्णांक मान पूर्णांकन करने से एक मूल प्रकार का परिमाणक बनाता है - एक समान। कुछ मूल्यों को $$\Delta$$ (डेल्टा) के बराबर परिमाणीकरण चरण आकार के साथ एक विशिष्ट (मध्य-चलने वाले) समान परिमाणीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।


 * $$Q(x) = \Delta \cdot \left\lfloor \frac{x}{\Delta} + \frac{1}{2} \right\rfloor$$,

जहां अंकन $$ \lfloor \ \rfloor $$ फ्लोर फंक्शन (floor function) को दर्शाता है।

परिमाणक की आवश्यक संपत्ति में संभावित उत्पादन मूल्य सदस्यों के एक गणनीय समुच्चय होते हैं जो संभावित निविष्ट मानों के समुच्चय से छोटे होते हैं। उत्पादन मूल्य के समुच्चय के सदस्य पूर्णांक, परिमेय या वास्तविक मान हो सकते हैं। निकटतम पूर्णांक के लिए सरल पूर्णांकन के लिए, चरण आकार $$\Delta$$, 1 के बराबर है। $$\Delta = 1$$ या $$\Delta$$ किसी भी अन्य पूर्णांक मान के बराबर है, इस परिमाणक में वास्तविक-मूल्यवान निविष्ट और पूर्णांक-मूल्यवान उत्पादन (आउटपुट) होता है।

जब परिमाणीकरण चरण का आकार (Δ) संकेत में भिन्नता के सापेक्ष छोटा होता है, तो यह दिखाना अपेक्षाकृत सरल होता है कि इस तरह के पूर्णांकन संचालन द्वारा उत्पादित माध्य वर्ग त्रुटि लगभग $$\Delta^2/ 12$$ होगी।     माध्य वर्ग त्रुटि को परिमाणीकरण ध्वनि पावर भी कहा जाता है। परिमाणक में एक बिट जोड़ने से $$\Delta$$ का मान आधा हो जाता है, जो कारक द्वारा ध्वनि पावर कम कर देता है। डेसिबल के संदर्भ में, ध्वनि पावर परिवर्तन $$\scriptstyle 10\cdot \log_{10}(1/4)\ \approx\ -6\ \mathrm{dB}.$$ है। चूंकि परिमाणक के संभावित उत्पादित मानों का समुच्चय गणनीय है, किसी भी परिमाणक को दो अलग-अलग चरणों में विघटित किया जा सकता है, जिसे वर्गीकरण चरण (या आगे परिमारीकरण चरण) और पुनर्निर्माण चरण (या उलटा परिमारीकरण चरण) के रूप में जाना जाता है, जहां वर्गीकरण चरण निविष्ट को एक पूर्णांक परिमाणीकरण सूचकांक $$k$$ और पुनर्निर्माण चरण सूचकांक को मैप करता है $$k$$ और पुनर्निर्माण चरण अनुक्रमणिका $$y_k$$ यह निविष्ट मान का उत्पादित सन्निकटन है।

उदाहरण के लिए ऊपर वर्णित एकसमान परिमाणक, एक अन्य परिमाणीकरण चरण, के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
 * $$k = \left\lfloor \frac{x}{\Delta} + \frac{1}{2}\right\rfloor$$,

और इस उदाहरण के लिए पुनर्निर्माण चरण केवल परिमाणक है
 * $$y_k = k \cdot \Delta$$।

यह अपघटन परिमाणीकरण व्यवहार के संरचना और विश्लेषण के लिए उपयोगी है, और यह दर्शाता है कि संचार चैनल पर परिमाणित डेटा को कैसे संप्रेषित किया जा सकता है - एक स्रोत एनकोडर आगे की मात्राकरण चरण का प्रदर्शन कर सकता है और एक संचार चैनल और एक डिकोडर के माध्यम से सूचकांक की जानकारी भेज सकता है। मूल निविष्ट डेटा के उत्पादित सन्निकटन का उत्पादन करने के लिए पुनर्निर्माण चरण कर सकते हैं। सामान्य तौर पर, आगे परिमाणीकरण चरण किसी भी समीकरण का उपयोग कर सकता है जो निविष्ट डेटा को परिमाणीकरण सूचकांक डेटा के पूर्णांक स्थान पर मैप करता है, और उलटा परिमाणीकरण चरण प्रत्येक परिमाणीकरण अनुक्रमणिका को मैप करने के लिए अवधारणात्मक (या शाब्दिक रूप से) एक सारणी अवलोकन संचालन हो सकता है। इसी पुनर्निर्माण मूल्य, यह दो-चरण अपघटन वेक्टर के साथ-साथ अदिश परिमाणक पर भी समान रूप से लागू होता है।

गणितीय गुण
चूंकि परिमाणीकरण कई-से-कुछ मानचित्रण है, यह एक स्वाभाविक रूप से गैर-रैखिक और अपरिवर्तनीय प्रक्रिया है (यानी, क्योंकि एक ही उत्पादित मान एकाधिक निविष्ट मानों द्वारा साझा किया जाता है, सामान्य रूप से सटीक निविष्ट मान को पुनर्प्राप्त करना असंभव है जब केवल उत्पादित मान दिया गया)।

संभावित निविष्ट मानों का समुच्चय असीम रूप से बड़ा हो सकता है, और संभवतः निरंतर और बेशुमार हो सकता है (जैसे कि सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय, या कुछ सीमित सीमा के भीतर सभी वास्तविक संख्याएं)। संभावित उत्पादित मानों का समुच्चय परिमित या अनगिनत अनंत हो सकता है। परिमाणीकरण में शामिल निविष्ट और आउटपुट सेट को सामान्य रूप से परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, वेक्टर क्वांटिज़ेशन बहु-आयामी (वेक्टर-मूल्यवान) निविष्ट डेटा के लिए प्रमाणीकरण का अनुप्रयोग है।

अनुरूप से अंकीय रूपांतरण
एक अनुरूप से अंकीय रूपांतरण (एडीसी) को दो प्रक्रियाओं के रूप में तैयार किया जा सकता है:प्रतिदर्श एक समय-भिन्न वोल्टेज संकेत को असतत-समय संकेत, वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम में परिवर्तित करता है। परिमाणीकरण प्रत्येक वास्तविक संख्या को असतत मूल्यों के एक परिमित समुच्चय से सन्निकटन के साथ बदल देता है। आमतौर पर, इन असतत मूल्यों को निश्चित-बिंदु शर्तों के रूप में दर्शाया जाता है। हालांकि परिमाणीकरण स्तरों की कोई भी संख्या संभव है, सामान्य शब्द लंबाई 8-बिट (256 स्तर), 16-बिट (65,536 स्तर) और 24-बिट (16.8 मिलियन स्तर) हैं। संख्याओं के अनुक्रम को परिमाणित करने से परिमाणीकरण त्रुटियों का एक क्रम उत्पन्न होता है जिसे कभी-कभी इसके स्टोकेस्टिक व्यवहार के कारण परिमाणीकरण ध्वनि नामक एक योज्य यादृच्छिक संकेत के रूप में तैयार किया जाता है। एक परिमाणक जितने अधिक स्तरों का उपयोग करता है, उसकी परिमाणीकरण ध्वनि पावर उतनी ही कम होती है।

दर–विरूपण अनुकूलन
क्षतिपूर्ण सांख्यकी संपीड़न कलन विधि के लिए स्रोत कूटलेखन (source coding) में दर-विरूपण अनुकूलित परिमाणीकरण का सामना करना पड़ता है, जहां उद्देश्य संचार चैनल या भंडारण माध्यम द्वारा समर्थित बिट (bit) दर की सीमा के भीतर विकृति का प्रबंधन करना है। इस संदर्भ में परिमाणीकरण के विश्लेषण में सांख्यकी की मात्रा का अध्ययन करना शामिल है (आमतौर पर अंकों या बिट्स या बिट दरों में मापा जाता है) जिसका उपयोग परिमाणक के उत्पादित और प्रमाणीकरण प्रक्रिया द्वारा शुरू की गई सटीकता का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। (अर्थात विकृति) के नुकसान का अध्ययन करता है।

मिड-राइजर और मिड-ट्रेड समरूप परिमाणक
हस्ताक्षरित निविष्ट सांखियकी के लिए अधिकांश समान परिमाणकों को दो प्रकारों में से एक के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है: मिड-राइजर और मिड-ट्रेड।शब्दावली इस बात पर आधारित है कि मान 0 के आसपास क्या होता है और परिमाणक के निविष्ट-आउटपुट फ़ंक्शन को सीढ़ी के रूप में देखने के सादृश्य का उपयोग करता है। मिड-ट्रेड परिमाणक में शून्य-मूल्यवान पुनर्निर्माण स्तर (सीढ़ी चलने के अनुरूप) होता है, जबकि मिड-राइज परिमाणक में शून्य-मूल्यवान वर्गीकरण सीमा होती है (एक सीढ़ी वृद्धि के अनुरूप)। मध्य-चलने वाले प्रमाणीकरण में पूर्णांकन शामिल है। मध्य-व्यापार वर्दी परिमाणीकरण के लिए सूत्र पिछले अनुभाग में प्रदान किए गए हैं।

मिड-राइजर परिमाणीकरण में ट्रंकेशन शामिल है। मिड-ट्रेड समरूप परमणीकरण के लिए सूत्र पिछले अनुभाग में प्रदान किए गए हैं।
 * $$Q(x) = \Delta\cdot\left(\left\lfloor \frac{x}{\Delta}\right\rfloor + \frac1{2}\right)$$,

जहां वर्गीकरण नियम द्वारा दिया गया है
 * $$k = \left\lfloor \frac{x}{\Delta} \right\rfloor$$

और पुनर्निर्माण नियम है
 * $$y_k = \Delta\cdot\left(k+\tfrac1{2}\right)$$।

ध्यान दें कि मिड-राइजर समरूप परिमाणक में शून्य आउटपुट मान नहीं है-उनका न्यूनतम आउटपुट परिमाण आधा चरण आकार है।इसके विपरीत, मिड-ट्रेड परिमाणक में शून्य आउटपुट स्तर होता है।कुछ अनुप्रयोगों के लिए, एक शून्य आउटपुट सिग्नल प्रतिनिधित्व होना एक आवश्यकता हो सकती है।

सामान्य तौर पर, एक मिड-राइजर या मिड-ट्रेड परिमाणक वास्तव में एक समान परिमाणक नहीं हो सकता है- यानी, परिमाणक के वर्गीकरण अंतराल का आकार सभी समान नहीं हो सकता है, या इसके संभावित आउटपुट मूल्यों के बीच रिक्ति सभी समान नहीं हो सकती है। एक मिड-राइजर परिमाणक की विशिष्ट विशेषता यह है कि इसमें एक वर्गीकरण सीमा मान है जो बिल्कुल शून्य है, और मिड-ट्रेड परिमाणक की विशिष्ट विशेषता यह है कि इसका पुनर्निर्माण मूल्य है जो बिल्कुल शून्य है।

अक्रिय क्षेत्र परिमाणक
एक अक्रिय क्षेत्र परिमाणक एक प्रकार का मिड-ट्रेड परिमाणक है जिसमें सममित व्यवहार 0 के आसपास होता है। इस तरह के परिमाणक के शून्य उत्पादित मान के आसपास के क्षेत्र को अक्रिय क्षेत्र या डेडबैंड कहा जाता है। अक्रिय क्षेत्र कभी-कभी ध्वनि गेट या स्क्वेल्च फ़ंक्शन के समान उद्देश्य की पूर्ति कर सकता है।विशेष रूप से संपीड़न अनुप्रयोगों के लिए, मृत-क्षेत्र को अन्य चरणों के लिए एक अलग चौड़ाई दी जा सकती है। विशेष रूप से संपीड़न अनुप्रयोगों के लिए, अक्रिया क्षेत्र को अन्य चरणों की तुलना में एक अलग चौड़ाई दी जा सकती है। अन्यथा-समान परिमाणक के लिए, अक्रिया क्षेत्र  की चौड़ाई को किसी भी मान $$w$$ पर आगे परिमाणीकरण नियम का उपयोग करके सेट किया जा सकता है।
 * $$k = \sgn(x) \cdot \max\left(0, \left\lfloor \frac{\left| x \right|-w/2}{\Delta}+1\right\rfloor\right)$$,

जहाँ फलन साइन फलन है (जिसे साइनम फलन के रूप में भी जाना जाता है)। इस तरह के एक अक्रिय क्षेत्र परिमाणक के लिए सामान्य पुनर्निर्माण नियम द्वारा दिया गया है
 * $$y_k = \sgn(k) \cdot\left(\frac{w}{2}+\Delta\cdot (|k|-1+r_k)\right)$$,

जहाँ $$r_k$$ चरण आकार के एक अंश के रूप में 0 से 1 की सीमा में एक पुनर्निर्माण ऑफसेट मान है। आमतौर पर, $$0 \le r_k \le \tfrac1{2}$$ जब एक विशिष्ट प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन (PDF) के साथ निविष्ट सांख्यिकी की मात्रा निर्धारित करते हैं जो शून्य के आसपास सममित होता है और शून्य (जैसे कि गॉसियन (Gaussian), लाप्लासियन (Laplacian), या सामान्यीकृत गौसियन पीडीएफ (generalized Gaussian) पर इसके शिखर मूल्य तक पहुंचता है। यद्यपि $$r_k$$ पर निर्भर हो सकता है $$k$$ सामान्य तौर पर, और नीचे वर्णित इष्टतमता स्थिति को पूरा करने के लिए चुना जा सकता है, यह अक्सर केवल एक स्थिर के लिए समुच्चय होता है, जैसे कि $$\tfrac1{2}$$। (ध्यान दें कि इस परिभाषा में, $$y_0 = 0$$ की परिभाषा के कारण कार्य, तो $$r_0$$ कोई प्रभाव नहीं है।)

एक बहुत ही सामान्य रूप से इस्तेमाल किया जाने वाला विशेष मामला (उदाहरण के लिए, आमतौर पर वित्तीय लेखांकन और प्राथमिक गणित में उपयोग की जाने वाली योजना) सभी $$r_k=\tfrac1{2}$$के लिए $$w=\Delta$$और $$k$$ सेट करना है। इस मामले में, मृत-क्षेत्र क्वांटिज़र भी एक समान क्वांटिज़र है, क्योंकि केंद्रीय मृत- इस क्वांटिज़र के क्षेत्र की चौड़ाई इसके अन्य सभी चरणों के समान है, और इसके सभी पुनर्निर्माण मूल्य समान रूप से समान रूप से दूरी पर हैं।

योगात्मक ध्वनि प्रतिमान (Additive noise model)
परिमाणीकरण त्रुटि के विश्लेषण के लिए एक सामान्य धारणा यह है कि यह एक संकेत प्रसंस्करण प्रणाली को एक समान तरीके से योगात्मक व्हाइट ध्वनि के समान तरीके से प्रभावित करता है - संकेत के साथ नगण्य सहसंबंध और लगभग फ्लैट पावर वर्णक्रमीय घनत्व।  योगात्मक ध्वनि प्रतिमान का उपयोग आमतौर पर अंकीय निस्पंदन प्रणाली  में परिमाणीकरण त्रुटि प्रभाव के विश्लेषण के लिए किया जाता है, और यह इस तरह के विश्लेषण में बहुत उपयोगी हो सकता है। यह उच्च समाधान परिमाणीकरण (छोटा) के मामलों में एक वैध मॉडल के रूप में दिखाया गया है $$\Delta$$ निर्विघ्ऩ PDF के साथ संकेत शक्ति के सापेक्ष)। योगात्मक ध्वनि  व्यवहार हमेशा एक वैध धारणा नहीं है। परिमाणीकरण त्रुटि (यहां वर्णित परिमाणक के लिए) के लिए निर्धारित रूप से संकेत से संबंधित है और इसके लिए पूरी तरह से स्वतंत्र नहीं है। इस प्रकार, आवधिक संकेत आवधिक परिमाणीकरण ध्वनि पैदा कर सकते हैं, और कुछ मामलों में यह संकेत प्रसंस्करण प्रणाली में सीमा चक्रों को भी प्रदर्शित कर सकता है। सस्रोत संकेत से प्रमाणिकरण त्रुटि की प्रभावी स्वतंत्रता सुनिश्चित करने का एक तरीका डिथर्ड (dithered ) प्रमाणिकरण (कभी-कभी ध्वनि आकार देने के साथ) करना है, जिसमें प्रमाणिकरण से पहले संकेत में यादृच्छिक (या छद्म-यादृच्छिक) ध्वनि  जोड़ना शामिल है।।

परिमाणीकरण त्रुटि प्रतिमान (Quantization error models)
विशिष्ट मामले में, मूल संकेत कम से कम महत्वपूर्ण बिट (LSB ) से बहुत बड़ा है। जब ऐसा होता है, तो परिमाणीकरण त्रुटि संकेत के साथ महत्वपूर्ण रूप से सहसंबद्ध नहीं होती है और इसका वितरण लगभग एक समान होता है। जब पूर्णांकन का उपयोग परिमाणित करने के लिए किया जाता है, तो परिमाणीकरण त्रुटि का माध्य शून्य होता है और मूल का अर्थ वर्ग (RMS) मान इस वितरण का मानक विचलन होता है, जिसे $$\scriptstyle {\frac{1}{\sqrt{12}}}\mathrm{LSB}\ \approx\ 0.289\,\mathrm{LSB}$$ द्वारा दिया जाता है। जब खंडन का उपयोग किया जाता है, तो त्रुटि का एक गैर-शून्य मतलब होता है $$\scriptstyle {\frac{1}{2}}\mathrm{LSB}$$ और RMS मूल्य है $$\scriptstyle {\frac{1}{\sqrt{3}}}\mathrm{LSB}$$। हालांकि पूर्णांकन से कम RMS त्रुटि होती है, जो कि खंडन की तुलना में कम होती है, लेकिन अंतर केवल स्थैतिकी (DC) शब्द के कारण $$\scriptstyle {\frac{1}{2}}\mathrm{LSB}$$ होता है । AC त्रुटि के RMS मूल्य दोनों मामलों में बिल्कुल समान हैं, इसलिए उन स्थितियों में खंडन पर पूर्णांकन का कोई विशेष लाभ नहीं है जहां त्रुटि के DC शब्द को अनदेखा किया जा सकता है (जैसे AC युग्मित सिस्टम में)। या तो मामले में, मानक विचलन, पूर्ण एकल श्रेणी के प्रतिशत के रूप में, मात्राकरण बिट्स की संख्या में प्रत्येक 1-बिट परिवर्तन के लिए 2 के एक कारक द्वारा बदल जाता है। संभावित संकेत-से-परिमाणीकरण-ध्वनि पावर अनुपात इसलिए 4, या $$\scriptstyle 10\cdot \log_{10}(4)$$ होता है, लगभग 6 dB प्रति बिट।

कम आयाम पर परिमाणीकरण त्रुटि निविष्ट संकेत पर निर्भर हो जाती है, जिसके परिणामस्वरूप विरूपण होता है। यह विकृति एंटी-अलियासिंग फ़िल्टर के बाद बनाई गई है, और यदि ये विकृतियाँ नमूना दर 1/2 से ऊपर हैं, तो वे उर्फ ​​ब्याज के बैंड में वापस आ जाएंगे। परिमाणीकरण त्रुटि को निविष्ट संकेत से स्वतंत्र बनाने के लिए, सिग्नल में ध्वनि जोड़कर संकेत को धुंधला कर दिया जाता है। यह संकेत से ध्वनि अनुपात को थोड़ा कम करता है, लेकिन विकृति को पूरी तरह से समाप्त कर सकता है।

परिमाणीकरण ध्वनि प्रतिमान (Quantization noise model)
परिमाणीकरण ध्वनि ADC में परिमाणीकरण द्वारा पेश किए गए परिमाणीकरण त्रुटि का एक मॉडल है। यह ADC के लिए एनालॉग निविष्ट वोल्टेज और आउटपुट डिजीटल मान के बीच एक पूर्णांकन त्रुटि है। ध्वनि गैर-रैखिक और संकेत-निर्भर है। इसे कई अलग -अलग तरीकों से प्रतिमानित किया जा सकता है।

एक आदर्श ADC में, जहां परिमाणीकरण त्रुटि को समान रूप से -1/2 LSB और +1/2 LSB के बीच वितरित किया जाता है, और संकेत में एक समान वितरण होता है, जो सभी परिमाणीकरण स्तरों को आवरण करता है, संकेत-से-परिमाणीकरण-ध्वनि अनुपात (SQNR) कर सकते हैं ।


 * $$\mathrm{SQNR} = 20 \log_{10}(2^Q) \approx 6.02 \cdot Q\ \mathrm{dB} \,\!$$

जहां Q मात्राकरण बिट्स की संख्या है।

सबसे आम परीक्षण संकेत जो इसे पूरा करते हैं, वे पूर्ण आयाम त्रिभुज तरंगें और आरादंती तरंगें हैं।

उदाहरण के लिए, एक 16-बिट ADC में अधिकतम संकेत-से-परिमाणीकरण-ध्वनि अनुपात 6.02 × 16 = 96.3 dB है।

जब निविष्ट संकेत एक पूर्ण-आयाम साइन वेव होता है, तो सिग्नल का वितरण अब समान नहीं होता है, और इसके बजाय संबंधित समीकरण होता है


 * $$ \mathrm{SQNR} \approx 1.761 + 6.02 \cdot Q \ \mathrm{dB} \,\!$$

यहां, परिमाणीकरण ध्वनि को एक बार फिर से समान रूप से वितरित माना जाता है। जब निविष्ट संकेत में एक उच्च आयाम और एक विस्तृत आवृत्ति स्पेक्ट्रम होता है तो यह मामला होता है। इस मामले में 16-बिट ADC में अधिकतम संकेत से ध्वनि अनुपात 98.09 dB है। संकेत से ध्वनि में 1.761 अंतर केवल एक त्रिभुज या आरादंती के बजाय एक पूर्ण पैमाने पर ज्या लहर होने के कारण होता है।

उच्च विश्लेषण ADC में जटिल संकेतों के लिए यह एक सटीक मॉडल है। कम-विश्लेषण ADC के लिए, उच्च-विश्लेषण एडीसी में निम्न-स्तरीय संकेत, और सरल तरंगों के लिए मात्रा का ध्वनि समान रूप से वितरित नहीं किया जाता है, जिससे यह मॉडल गलत हो जाता है। इन मामलों में संकेत के सटीक आयाम से परिमाणीकरण ध्वनि वितरण दृढ़ता से प्रभावित होता है।

गणना पूर्ण पैमाने पर निविष्ट के सापेक्ष हैं। छोटे संकेतों के लिए, सापेक्ष परिमाणीकरण विरूपण बहुत बड़ा हो सकता है। इस समस्या को दूर करने के लिए, अनुरूप संयोजन का उपयोग किया जा सकता है, लेकिन इससे विकृति हो सकती है।

बारीक विरूपण और अधिभार विरूपण
अक्सर परिमाणक के संरचना में संभावित उद्पादित मानों की सीमित सीमा का समर्थन करना और उत्पादित को इस सीमा तक सीमित करने के लिए प्रकर्तन करना शामिल होता है जब भी निविष्ट समर्थित सीमा से अधिक हो। इस प्रकर्तन द्वारा शुरू की गई त्रुटि को अधिभार विकृति कहा जाता है। समर्थित सीमा की चरम सीमाओं के भीतर, परिमाणक के चयन योग्य उत्पादित मानों के बीच रिक्ति की मात्रा को इसकी कणिकता के रूप में जाना जाता है, और इस रिक्ति द्वारा शुरू की गई त्रुटि को दानेदार विकृति के रूप में जाना जाता है। परिमाणक के संरचना के लिए बारीक विरूपण और अधिभार विरूपण के बीच उचित संतुलन निर्धारित करना आम बात है। संभावित उत्पादित मानों की दी गई समर्थित संख्या के लिए, औसत कणात्मक विरूपण को कम करने में औसत अधिभार विरूपण में वृद्धि शामिल हो सकती है, और इसके विपरीत। संकेत के आयाम को नियंत्रित करने के लिए एक तकनीक (या, समतुल्य रूप से, उचित संतुलन प्राप्त करने के लिए परिमाणीकरण चरण आकार $$\Delta$$ स्वचालित लाभ नियंत्रण (AGC ) का उपयोग है। हालांकि, कुछ परिमाणक संरचनाओं में, दानेदार त्रुटि और अधिभार त्रुटि की अवधारणाएं हैं। लागू नहीं हो सकता है (उदाहरण के लिए, निविष्ट सांख्यिकी की सीमित सीमा वाले परिमाणक के लिए या चयन योग्य उत्पादित मानों के एक अनगिनत अनंत समुच्चय के साथ)।

दर-विरूपण परिमाणक संरचना
एक अदिश परिमाणक जो परिमाणीकरण संचालन करता है उसे आम तौर पर दो चरणों में विघटित किया जा सकता है:
 * वर्गीकरण
 * एक प्रक्रिया जो निविष्ट संकेत सीमा को वर्गीकृत करती है $$M$$ अन्वेषण अंतराल $$\{I_k\}_{k=1}^{M}$$, परिभाषित करके $$M-1$$ निर्णय सीमा मूल्य $$ \{b_k\}_{k=1}^{M-1} $$, ऐसा है कि $$ I_k = [b_{k-1}~,~b_k)$$ के लिये $$k = 1,2,\ldots,M$$, द्वारा परिभाषित चरम सीमाओं के साथ $$ b_0 = -\infty$$ तथा $$ b_M = \infty$$। सभी निविष्ट $$x$$ यह एक दिए गए अंतराल सीमा में गिरता है $$I_k$$ एक ही परिमाणीकरण सूचकांक के साथ जुड़े हैं $$k$$।


 * पुनर्निर्माण
 * प्रत्येक अंतराल $$ I_k $$ एक पुनर्निर्माण मूल्य द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है $$ y_k $$ जो मैपिंग को लागू करता है $$ x \in I_k \Rightarrow y = y_k $$।

इन दोनों चरणों में एक साथ गणितीय संचालन शामिल है $$y = Q(x)$$।

एन्ट्रापी कोडिंग तकनीकों को एक स्रोत कूटलेखक से परिमाणीकरण सूचकांकों को संप्रेषित करने के लिए लागू किया जा सकता है जो वर्गीकरण चरण को एक कूटलेखक में करता है जो पुनर्निर्माण चरण करता है। ऐसा करने का एक तरीका प्रत्येक परिमाणीकरण सूचकांक को संबद्ध करना है $$k$$ एक बाइनरी कोडवर्ड के साथ $$c_k$$। एक महत्वपूर्ण विचार यह है कि प्रत्येक कोडवर्ड के लिए उपयोग किए जाने वाले बिट्स की संख्या, यहाँ द्वारा निरूपित की गई है $$\mathrm{length}(c_k)$$।नतीजतन, एक का डिजाइन $$M$$-Level परिमाणक और इसके सूचकांक मूल्यों को संप्रेषित करने के लिए कोडवर्ड के एक संबद्ध सेट के लिए मूल्यों को खोजने की आवश्यकता है $$ \{b_k\}_{k=1}^{M-1} $$, $$\{c_k\}_{k=1}^{M} $$ तथा $$ \{y_k\}_{k=1}^{M} $$ जो बेहतर रूप से डिजाइन की कमी के एक चयनित सेट को संतुष्ट करता है जैसे कि बिट दर $$R$$ और विरूपण $$D$$।

यह मानते हुए कि एक सूचना स्रोत $$S$$ यादृच्छिक चर का उत्पादन करता है $$X$$ एक संबद्ध पीडीएफ के साथ $$f(x)$$, संभावना $$p_k$$ यादृच्छिक चर एक विशेष परिमाणीकरण अंतराल के भीतर आता है $$I_k$$ द्वारा दिया गया है:
 * $$ p_k = P[x \in I_k] = \int_{b_{k-1}}^{b_k} f(x)dx $$।

परिणामी बिट दर $$R$$, औसत बिट्स की इकाइयों में प्रति मात्रात्मक मूल्य, इस परिमाणक के लिए निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:
 * $$ R = \sum_{k=1}^{M} p_k \cdot \mathrm{length}(c_{k}) = \sum_{k=1}^{M} \mathrm{length}(c_k) \int_{b_{k-1}}^{b_k} f(x)dx $$।

यदि यह माना जाता है कि विरूपण को औसत वर्ग त्रुटि से मापा जाता है, विरूपण D, द्वारा दिया गया है:
 * $$ D = E[(x-Q(x))^2] = \int_{-\infty}^{\infty} (x-Q(x))^2f(x)dx = \sum_{k=1}^{M} \int_{b_{k-1}}^{b_k} (x-y_k)^2 f(x)dx $$।

एक प्रमुख अवलोकन वह दर है $$R$$ निर्णय सीमाओं पर निर्भर करता है $$\{b_k\}_{k=1}^{M-1}$$ और कोडवर्ड की लंबाई $$\{\mathrm{length}(c_k)\}_{k=1}^{M}$$, जबकि विरूपण $$D$$ निर्णय सीमाओं पर निर्भर करता है $$\{b_k\}_{k=1}^{M-1}$$ और पुनर्निर्माण का स्तर $$\{y_k\}_{k=1}^{M}$$।

परिमाणक के लिए इन दो प्रदर्शन मेट्रिक्स को परिभाषित करने के बाद, परिमाणक डिजाइन समस्या के लिए एक विशिष्ट दर -विवाद निर्माण दो तरीकों में से एक में व्यक्त किया जा सकता है: अक्सर इन समस्याओं का समाधान समतुल्य (या लगभग) व्यक्त किया जा सकता है और अनियंत्रित समस्या में सूत्रीकरण को परिवर्तित करके हल किया जा सकता है $$\min\left\{ D + \lambda \cdot R \right\}$$ जहां लैग्रेंज गुणक (Lagrange multiplier) $$\lambda$$ एक गैर-नकारात्मक स्थिरांक है जो दर और विरूपण के बीच उचित संतुलन स्थापित करता है। अप्रतिबंधित समस्या को हल करना समस्या के एक समान विवश सूत्रीकरण के लिए समाधान के परिवार के उत्तल पतवार पर एक बिंदु खोजने के बराबर है।हालांकि, एक समाधान खोजना-विशेष रूप से एक बंद-रूप अभिव्यक्ति | बंद-रूप समाधान-इन तीन समस्याओं के योगों में से किसी के लिए भी मुश्किल हो सकता है। जिन समाधानों के लिए बहु-आयामी पुनरावृत्त अनुकूलन तकनीकों की आवश्यकता नहीं होती है, उन्हें केवल तीन PDF के लिए प्रकाशित किया गया है: अपरिवर्तनशील, घातांक, और लाप्लासियन अन्य मामलों में समाधान खोजने के लिए पुनरावृत्त अनुकूलन दृष्टिकोण का उपयोग किया जा सकता है। ध्यान दें कि पुनर्निर्माण मान $$\{y_k\}_{k=1}^{M}$$ केवल विरूपण को प्रभावित करते हैं - वे बिट दर को प्रभावित नहीं करते हैं - और प्रत्येक व्यक्ति $$y_k$$ एक अलग योगदान देता है $$ d_k $$ कुल विरूपण के रूप में नीचे दिखाया गया है:
 * 1) अधिकतम विरूपण बाधा को देखते हुए $$D \le D_\max$$, बिट दर को कम करें $$R$$
 * 2) अधिकतम बिट दर की कमी को देखते हुए $$R \le R_\max$$, विरूपण को कम करें $$D$$
 * $$ D = \sum_{k=1}^{M} d_k $$

जहाँ पर
 * $$ d_k = \int_{b_{k-1}}^{b_k} (x-y_k)^2 f(x)dx $$

इस अवलोकन का उपयोग विश्लेषण को कम करने के लिए किया जा सकता है - दिया गया समुच्चय $$\{b_k\}_{k=1}^{M-1}$$ मान, प्रत्येक का मूल्य $$y_k$$ विरूपण में इसके योगदान को कम करने के लिए अलग से अनुकूलित किया जा सकता है $$D$$।

माध्य-वर्ग त्रुटि विरूपण मानदंड के लिए, यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि पुनर्निर्माण मूल्यों का इष्टतम समुच्चय $$\{y^*_k\}_{k=1}^{M}$$ पुनर्निर्माण मान सेट करके दिया गया है $$y_k$$ प्रत्येक अंतराल के भीतर $$I_k$$ अंतराल के भीतर सशर्त अपेक्षित मूल्य (जिसे सेंट्रोइड के रूप में भी जाना जाता है) के रूप में दिया गया है, के रूप में:
 * $$y^*_k = \frac1{p_k} \int_{b_{k-1}}^{b_k} x f(x)dx$$।

पर्याप्त रूप से अच्छी तरह से डिज़ाइन की गई एन्ट्रापी कोडिंग तकनीकों का उपयोग थोड़ा दर का उपयोग कर सकता है जो सूचकांकों की सही सूचना सामग्री के करीब है$$\{k\}_{k=1}^{M}$$, ऐसा प्रभावी ढंग से
 * $$ \mathrm{length}(c_k) \approx -\log_2\left(p_k\right)$$

और इसीलिए
 * $$ R = \sum_{k=1}^{M} -p_k \cdot \log_2\left(p_k\right) $$।

इस सन्निकटन का उपयोग एन्ट्रापी कोडिंग डिजाइन समस्या को परिमाणक के डिजाइन से अलग करने की अनुमति दे सकता है। आधुनिक एन्ट्रापी कोडिंग तकनीक जैसे कि अंकगणितीय कोडिंग बिट दरों को प्राप्त कर सकती है जो एक स्रोत के वास्तविक एन्ट्रापी के बहुत करीब हैं, जिसे ज्ञात (या अनुकूल रूप से अनुमानित) संभावनाओं का एक सेट दिया गया है$$\{p_k\}_{k=1}^{M}$$।

कुछ डिजाइनों में, वर्गीकरण क्षेत्रों की एक विशेष संख्या के लिए अनुकूलन करने के बजाय $$M$$, परिमाणक डिजाइन समस्या में मूल्य का अनुकूलन शामिल हो सकता है $$M$$ भी। कुछ संभाव्य स्रोत मॉडल के लिए, सबसे अच्छा प्रदर्शन कब प्राप्त किया जा सकता है $$M$$ अनंतता के दृष्टिकोण।

एन्ट्रापी बाधा की उपेक्षा: लॉयड -मैक्स परिमाणीकरण
उपरोक्त सूत्रीकरण में, यदि बिट दर की कमी को सेट करके उपेक्षित किया जाता है $$\lambda$$ 0 के बराबर, या समकक्ष रूप से यदि यह माना जाता है कि एक परिमाणित डेटा (FLC) कातिनिधित्व करने के लिए एक निश्चित-लंबाई कोड का उपयोग किया जाएगा, एक चर-लंबाई कोड (या कुछ अन्य एन्ट्रॉपी कोडिंग तकनीक जैसे अंकगणित कोडिंग जो दर-विरूपण अर्थ में FLC से बेहतर है) का उपयोग करने के बजाय, अनुकूलन समस्या को केवल विरूपण $$D$$ तक घटा दिया गया है।

एक द्वारा उत्पादित सूचकांकों$$M$$-level परिमाणक को एक निश्चित-लंबाई कोड का उपयोग करके कोडित किया जा सकता है $$ R = \lceil \log_2 M \rceil $$ बिट्स/प्रतीक। उदाहरण के लिए, जब $$M=$$256 स्तर, एफएलसी बिट दर $$R$$ 8 बिट्स/प्रतीक है।इस कारण से, इस तरह के परिमाणक को कभी-कभी 8-बिट परिमाणक कहा जाता है। हालांकि एक FLC का उपयोग करने से बेहतर एन्ट्रापी कोडिंग के उपयोग से प्राप्त होने वाले संपीड़न सुधार को समाप्त हो जाता है।

के साथ एक FLC मानते हुए $$M$$ स्तर, दर -विवाद न्यूनतम समस्या को कम करने के लिए कम किया जा सकता है। कम समस्या को निम्नानुसार कहा जा सकता है: एक स्रोत दिया गया $$X$$ PDF के साथ $$f(x)$$ और उस बाधा को जो परिमाणक को केवल उपयोग करना चाहिए $$M$$ वर्गीकरण क्षेत्र, निर्णय सीमाओं का पता लगाएं $$\{b_k\}_{k=1}^{M-1} $$ और पुनर्निर्माण स्तर $$\{y_k\}_{k=1}^M$$ परिणामी विरूपण को कम करने के लिए
 * $$ D=E[(x-Q(x))^2] = \int_{-\infty}^{\infty} (x-Q(x))^2f(x)dx = \sum_{k=1}^{M} \int_{b_{k-1}}^{b_k} (x-y_k)^2 f(x)dx =\sum_{k=1}^{M} d_k $$।

उपरोक्त समस्या के परिणामों के लिए एक इष्टतम समाधान खोजने के लिए एक परिमाणक में कभी-कभी एक MMSQE (minimum mean-square quantization error / न्यूनतम माध्य-वर्ग परिमाणीकरण त्रुटि) समाधान कहा जाता है, और परिणामस्वरूप PDF-अनुकूलित (गैर-समान) परिमाणक को एक लॉयड-मैक्स परिमाणक के रूप में संदर्भित किया जाता है, जिसका नाम दिया गया है। दो लोग जिन्होंने स्वतंत्र रूप से पुनरावृत्त तरीके विकसित किए के परिणामस्वरूप एक साथ समीकरणों के दो समुच्चयों को हल करने के लिए $$ {\partial D / \partial b_k} = 0 $$ तथा $${\partial D/ \partial y_k} = 0 $$, निम्नानुसार है:
 * $$ {\partial D \over\partial b_k} = 0 \Rightarrow b_k = {y_k + y_{k+1} \over 2} $$,

जो प्रत्येक सीमा को पुनर्निर्माण मूल्यों की प्रत्येक जोड़ी के बीच मध्य बिंदु पर रखता है, और
 * $$ {\partial D \over\partial y_k} = 0 \Rightarrow y_k = { \int_{b_{k-1}}^{b_k} x f(x) dx \over \int_{b_{k-1}}^{b_k} f(x)dx } = \frac1{p_k} \int_{b_{k-1}}^{b_k} x f(x) dx $$

जो प्रत्येक पुनर्निर्माण मूल्य को उसके संबद्ध वर्गीकरण अंतराल के सेंट्रोइड (सशर्त अपेक्षित मूल्य) पर रखता है।

लॉयड्स विधि (Lloyd's Method) कलन विधि, जिसे मूल रूप से 1957 में वर्णित किया गया था, को वेक्टर डेटा के लिए आवेदन के लिए एक सीधे तरीके से सामान्यीकृत किया जा सकता है। इस सामान्यीकरण के परिणामस्वरूप लिंडे-बुज़ो-ग्रे (LBG) या k- साधन वर्गीकरण अनुकूलन विधियाँ प्राप्त होती हैं। इसके अलावा, वेक्टर डेटा के लिए एन्ट्रापी बाधा को भी शामिल करने के लिए तकनीक को और अधिक सरल तरीके से सामान्यीकृत किया जा सकता है।

समान परिमाणीकरण और 6 dB/बिट सन्निकटन
लॉयड -मैक्स परिमाणक वास्तव में एक समान परिमाणक है जब निविष्ट PDFको समान रूप से रेंज पर वितरित किया जाता है$$[y_1-\Delta/2,~y_M+\Delta/2)$$। हालांकि, एक स्रोत के लिए जिसमें एक समान वितरण नहीं होता है, न्यूनतम-विकृति परिमाणक एक समान परिमाणक नहीं हो सकता है। एक समान रूप से वितरित स्रोत पर लागू एक समान परिमाणक के विश्लेषण को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है:

एक सममित स्रोत एक्स के साथ प्रतिरूपण की जा सकती है $$ f(x)= \tfrac1{2X_{\max}}$$, के लिये $$x \in [-X_{\max}, X_{\max}]$$ और 0 कहीं और। चरण आकार$$\Delta = \tfrac {2X_{\max}} {M} $$ और परिमाणक का मात्राकरण ध्वनि अनुपात (SQNR) का संकेत है
 * $${\rm SQNR}= 10\log_{10}{\frac {\sigma_x^2}{\sigma_q^2}} = 10\log_{10}{\frac {(M\Delta)^2/12}{\Delta^2/12}}= 10\log_{10}M^2= 20\log_{10}M$$।

एक निश्चित-लंबाई कोड के लिए उपयोग कर $$N$$ बिट्स, $$M=2^N$$, जिसके परिणामस्वरूप $${\rm SQNR}= 20\log_{10}{2^N} = N\cdot(20\log_{10}2) = N\cdot 6.0206\,\rm{dB}$$,

या लगभग 6 db प्रति बिट। उदाहरण के लिए, के लिए $$N$$= 8 बिट्स, $$M$$= 256 स्तर और SQNR= 8 & बार; 6 = 48 db;और के लिए $$N$$= 16 बिट्स, $$M$$= 65536 और SQNR= 16 & बार; 6 = 96  db।  मात्राकरण में उपयोग किए जाने वाले प्रत्येक अतिरिक्त बिट के लिए SQNR में 6 db सुधार की संपत्ति योग्यता का एक प्रसिद्ध आंकड़ा है। हालांकि, इसका उपयोग देखभाल के साथ किया जाना चाहिए: यह व्युत्पत्ति केवल एक समान स्रोत पर लागू एक समान परिमाणक के लिए है। अन्य स्रोत PDFS और अन्य परिमाणक डिजाइनों के लिए, SQNR 6  db/बिट द्वारा भविष्यवाणी की गई PDF के प्रकार, स्रोत के प्रकार, परिमाणक के प्रकार और संचालन की बिट दर सीमा के आधार पर कुछ अलग हो सकता है।

हालांकि, यह मान लेना आम है कि कई स्रोतों के लिए, एक परिमाणक SQNR फ़ंक्शन की ढलान को 6 db/बिट के रूप में अनुमानित किया जा सकता है, जब पर्याप्त रूप से उच्च बिट दर पर काम किया जाता है। असम्बद्ध रूप से उच्च बिट दरों पर, चरण के आकार को आधे में काटने से बिट दर में लगभग 1 बिट प्रति नमूना बढ़ जाता है (क्योंकि 1 बिट को यह इंगित करने की आवश्यकता होती है कि क्या मूल्य पूर्व डबल-आकार के अंतराल के बाएं या दाहिने आधे हिस्से में है) और कम करता है 4 (यानी, 6  db) के एक कारक द्वारा औसत चुकता त्रुटि $$\Delta^2/12$$ सन्निकटन।

असम्बद्ध रूप से उच्च बिट दरों पर, 6 db/बिट सन्निकटन को कठोर सैद्धांतिक विश्लेषण द्वारा कई स्रोत PDFs के लिए समर्थित किया जाता है।    इसके अलावा, इष्टतम अदिश परिमाणक की संरचना (दर -विकृति अर्थ में) इन स्थितियों के तहत एक समान परिमाणक की बात करती है।

अन्य क्षेत्रों में
कई भौतिक मात्रा वास्तव में भौतिक संस्थाओं द्वारा निर्धारित की जाती है। उन क्षेत्रों के उदाहरण जहां इस सीमा पर लागू होती है, उनमें इलेक्ट्रॉनिक्स (इलेक्ट्रॉनों के कारण), ऑप्टिक्स (फोटॉन के कारण), जीव विज्ञान (डीएनए के कारण), भौतिकी (प्लैंक सीमा के कारण) और रसायन विज्ञान (अणुओं के कारण) शामिल हैं।

यह भी देखें

 * बीटा एनकोडर
 * रंग परिमाणीकरण
 * डेटा बिनिंग
 * विवेकाधिकार
 * विवेकाधीन त्रुटि
 * पोस्टराइज़ेशन
 * पल्स कोड मॉडुलेशन
 * क्वांटाइल
 * परिमाणीकरण (छवि प्रसंस्करण)
 * प्रतिगमन कमजोर पड़ने - व्याख्यात्मक या स्वतंत्र चर में परिमाणीकरण जैसी त्रुटियों के कारण पैरामीटर अनुमानों में एक पूर्वाग्रह

अग्रिम पठन


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