ऑर्थोगोनल प्रोक्रस्टेस समस्या

ऑर्थोगोनल प्रोक्रस्टेस समस्या रैखिक बीजगणित में मैट्रिक्स सन्निकटन समस्या है। इसके शास्त्रीय रूप में, एक को दो मैट्रिक्स (गणित) दिए जाते हैं $$A$$ और $$B$$ और एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स खोजने के लिए कहा $$\Omega$$ जो सबसे अधिक बारीकी से मानचित्रण करता है $$A$$ को $$B$$. विशेष रूप से,


 * $$R = \arg\min_\Omega\|\Omega A-B\|_F \quad\mathrm{subject\ to}\quad \Omega^T

\Omega=I,$$ कहाँ $$\|\cdot\|_F$$ फ्रोबेनियस मानदंड को दर्शाता है। यह वहाबा की समस्या का एक विशेष मामला है (समान भार के साथ; दो आव्यूहों पर विचार करने के बजाय, वहाबा की समस्या में आव्यूहों के स्तंभों को अलग-अलग वैक्टर माना जाता है)। एक और अंतर यह है कि वाहबा की समस्या केवल एक ऑर्थोगोनल के बजाय एक उचित रोटेशन मैट्रिक्स खोजने की कोशिश करती है।

प्रोक्रस्टेस नाम ग्रीक पौराणिक कथाओं के एक डाकू को संदर्भित करता है जो अपने पीड़ितों को या तो उनके अंगों को खींचकर या उन्हें काटकर अपने बिस्तर पर फिट कर देता था।

समाधान
इस समस्या को मूल रूप से पीटर शॉनमैन ने 1964 की थीसिस में हल किया था, और कुछ ही समय बाद साइकोमेट्रिका पत्रिका में छपी। यह समस्या किसी दिए गए मैट्रिक्स के निकटतम ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स को खोजने के बराबर है $$M=BA^{T}$$, यानी निकटतम ऑर्थोगोनल सन्निकटन समस्या को हल करना
 * $$\min_R\|R-M\|_F \quad\mathrm{subject\ to}\quad R^T R=I$$.

मैट्रिक्स खोजने के लिए $$R$$, एक एकल मूल्य अपघटन का उपयोग करता है (जिसके लिए की प्रविष्टियाँ $$\Sigma$$ गैर-नकारात्मक हैं)
 * $$M=U\Sigma V^T\,\!$$

लिखना
 * $$R=UV^T.\,\!$$

प्रमाण
एक प्रमाण फ्रोबेनियस आंतरिक उत्पाद के मूल गुणों पर निर्भर करता है जो फ्रोबेनियस मानदंड को प्रेरित करता है:

\begin{align} R &= \arg\min_\Omega ||\Omega A-B\|_F^2 \\ &= \arg\min_\Omega \langle \Omega A-B, \Omega A-B \rangle_F  \\ &= \arg\min_\Omega \|\Omega A\|_F^2 + \|B\|_F^2 - 2 \langle \Omega A, B \rangle_F \\ &= \arg\min_\Omega \|A\|_F^2 + \|B\|_F^2 - 2 \langle \Omega A, B \rangle_F  \\ &= \arg\max_\Omega \langle \Omega, B A^T \rangle_F  \\ &= \arg\max_\Omega \langle \Omega, U\Sigma V^T \rangle_F  \\ &= \arg\max_\Omega \langle U^T \Omega V, \Sigma \rangle_F  \\ &= \arg\max_\Omega \langle S, \Sigma \rangle_F  \quad \text{where } S = U^T \Omega V \\ \end{align} $$
 * यह मात्रा $$S$$ एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है (क्योंकि यह ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स का एक उत्पाद है) और इस प्रकार अभिव्यक्ति अधिकतम हो जाती है जब $$S$$ पहचान मैट्रिक्स के बराबर है $$I$$. इस प्रकार

\begin{align} I &= U^T R V \\ R &= U V^T \\ \end{align} $$ कहाँ $$ R $$ के इष्टतम मूल्य का समाधान है $$ \Omega $$ जो मानक वर्ग को न्यूनतम करता है $$||\Omega A-B\|_F^2 $$.

सामान्यीकृत/विवश प्रोक्रस्टेस समस्याएँ
शास्त्रीय ओर्थोगोनल  प्रोक्रस्ट्स समस्या से संबंधित कई समस्याएं हैं। कोई इसे निकटतम मैट्रिक्स की तलाश करके सामान्यीकृत कर सकता है जिसमें कॉलम ऑर्थोगोनल हैं, लेकिन जरूरी नहीं कि ऑर्थोनॉर्मल हों। वैकल्पिक रूप से, कोई केवल रोटेशन मैट्रिक्स (यानी निर्धारक 1 के साथ ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स, जिसे ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के रूप में भी जाना जाता है) की अनुमति देकर इसे बाधित कर सकता है। इस मामले में, कोई लिख सकता है (उपर्युक्त अपघटन का उपयोग करके $$M=U\Sigma V^T$$)


 * $$R=U\Sigma'V^T,\,\!$$

कहाँ $$\Sigma'\,\!$$ एक संशोधित है $$\Sigma\,\!$$, द्वारा प्रतिस्थापित सबसे छोटा एकवचन मान $$\det(UV^T)$$ (+1 या -1), और अन्य एकवचन मानों को 1 से प्रतिस्थापित किया जाता है, ताकि आर के निर्धारक के सकारात्मक होने की गारंटी हो। अधिक जानकारी के लिए, काब्श एल्गोरिथम देखें।

यह भी देखें

 * प्रोक्रस्टेस विश्लेषण
 * प्रोक्रस्टेस परिवर्तन
 * वहबा की समस्या
 * काब्श एल्गोरिथम
 * प्वाइंट सेट पंजीकरण