समतल ज्यामिति

गणित में यूक्लिडियन समतल, दो आयामी सतह के रूप में होती है जो अनिश्चित समय तक फैली होती है। समतल बिंदु शून्य आयाम, रेखा ज्यामिति एक आयामी और त्रि-आयामी क्षेत्र के दो आयामी एनालॉग होते है। समतल उच्च-आयामी क्षेत्र के यूक्लिडियन उप-स्थान के रूप में उत्पन्न होते हैं, जैसे कि कमरे की दीवारों में अधिकतम रूप से विस्तारित है या जो दो आयामी यूक्लिडियन ज्यामिति की सेटिंग में अपने आप में एक स्वतंत्र अस्तित्व का आनंद ले सकते हैं। कभी-कभी दो-आयामी सतह (गणित) का वर्णन करने के लिए समतल शब्द का अधिक सामान्य रूप से उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए हाइपरबॉलिक समतल और वलयाकार तल के रूप में उपयोग किया जाता है।

द्वि-आयामी यूक्लिडियन क्षेत्र में विशेष रूप से काम करते समय निश्चित लेख का उपयोग किया जाता है, इसलिए समतल पूरे स्थान को संदर्भित करता है। गणित, ज्यामिति, त्रिकोणमिति, ग्राफ सिद्धांत और फलन के ग्राफ में कई मौलिक कार्य दो-आयामी क्षेत्र में अधिकांशतः समतल में किए जाते हैं।

यूक्लिडियन ज्यामिति
यूक्लिड ने ज्यामिति के एक्सिओम्स प्रणाली के रूप में गणितीय अवधारणा का पहला मील का पत्थर स्थापित किया। उन्होंने अपरिभाषित शब्दों के एक छोटे से कोर का चयन किया, जिसे सामान्य धारणाएं और अभिधारणाएं या एक्सिओम्स कहा जाता है, जिसका उपयोग उन्होंने विभिन्न ज्यामितीय कथनों को एक्सिओम्स करने के लिए किया जाता है। यद्यपि अपने आधुनिक अर्थों में समतल को यूक्लिड के तत्वों में कहीं भी सीधे ढंग से कोई परिभाषा नहीं दी गई है, इसे सामान्य धारणाओं के हिस्से के रूप में जाना जाता है। यूक्लिड ने कभी भी लंबाई, कोण या क्षेत्र को मापने के लिए संख्याओं का उपयोग नहीं किया। एक चुने हुए कार्टेशियन समन्वय प्रणाली से सुसज्जित यूक्लिडियन तल को कार्टेशियन तल कहा जाता है; ध्रुवीय समन्वय प्रणाली से लैस गैर-कार्टेशियन यूक्लिडियन समतल को ध्रुवीय समतल कहा जाता है।

एक समतल रेखज सतह के रूप में होती है।

प्रतिनिधित्व
यह खंड विशेष रूप से $R^{3}$ में तीन आयामों में एम्बेडेड समतल से संबंधित है।

निहित बिंदुओं और रेखाओं द्वारा निर्धारण
किसी भी आयाम के यूक्लिडियन क्षेत्र में, समतल निम्नलिखित में से किसी एक द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है
 * तीन असंरेख बिंदु एक रेखा पर नहीं होते है।
 * पंक्ति तथा बिंदु उस रेखा पर नहीं होते है।
 * दो अलग-अलग लेकिन प्रतिच्छेद करने वाली रेखाएँ होती है।
 * दो अलग लेकिन समानांतर ज्यामिति रेखाएँ होती है।

गुण
निम्नलिखित बयान त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में हैं लेकिन उच्च आयामों में नहीं हैं, चूँकि उनके उच्च आयामी एनालॉग के रूप में होते है।


 * दो भिन्न तल या तो समानांतर हैं या वे एक रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं।
 * एक रेखा या तो समतल के समानांतर होती है और इसे एक बिंदु पर काटती है या समतल में समाहित होती है।
 * एक ही तल पर लंबवत दो अलग-अलग रेखाएँ एक दूसरे के समानांतर होती है।
 * एक ही रेखा के लंबवत दो अलग-अलग तल एक दूसरे के समानांतर रूप में होते है।

बिंदु–समीकरण का सामान्य रूप और समतल का सामान्य रूप
जिस प्रकार से दो-आयामी क्षेत्र में रेखाओं को उनके समीकरणों के लिए बिंदु-ढलान रूप का उपयोग करके वर्णित किया जाता है, त्रि-आयामी क्षेत्र के समतल में एक बिंदु का उपयोग करके एक प्राकृतिक विवरण होता है और इसके लिए एक सदिश ऑर्थोगोनल होता है। जो इसके झुकाव को इंगित करने के लिए सामान्य सदिश के रूप में होता है।

विशेष रूप से $r_{0}$ को किसी बिंदु $P_{0} = (x_{0}, y_{0}, z_{0})$, का स्थिति सदिश के रूप में हैऔर $n = (a, b, c)$ एक अशून्य सदिश के रूप में होते है। बिंदु $P_{0}$ और सदिश $n$ द्वारा निर्धारित समतल में स्थिति सदिश $r$,के साथ वे बिंदु $P$ होते हैं जैसे कि $P_{0}$ से $P$ तक खींचा जाता है सदिश $n$ के लंबवत होता है। यह रिकॉलीग दो वैक्टर लंबवत के रूप में होती है और यदि केवल उनका डॉट उत्पाद शून्य होता है, तो वांछित समतल को सभी बिंदुओं के $r$ सेट के रूप में वर्णित किया जा सकता है।$$\boldsymbol{n} \cdot (\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_0)=0.$$

यहां डॉट का मतलब डॉट अदिश उत्पाद होता है। यह विस्तारित हो जाता है $$ a (x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0,$$ जो एक समतल के समीकरण का बिंदु-सामान्य रूप है। यह सिर्फ एक रेखीय समीकरण के रूप में है $$ ax + by + cz + d = 0,$$ जहाँ पे $$ d = -(ax_0 + by_0 + cz_0),$$ जो $$- \boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{r}_0.$$का विस्तारित रूप है।

गणित में सामान्य को इकाई सदिश के रूप में व्यक्त करना एक सामान्य परिपाटी है लेकिन उपरोक्त तर्क किसी भी गैर शून्य लंबाई के सामान्य सदिश के लिए मान्य होता है।

इसके विपरीत, यह आसानी से दिखाया जाता है कि यदि $a$, $b$, $c$, तथा $d$ स्थिरांक हैं और $a$, $b$, तथा $c$ सभी शून्य नहीं हैं, तो समीकरण के ग्राफ को इस प्रकार दर्शाया जाता है। $$ ax + by + cz + d = 0,$$ एक सामान्य रूप में सदिश $n = (a, b, c)$ वाला एक तल है। तल के लिए यह परिचित समीकरण तल के समीकरण का व्यापक रूप कहा जाता है।

इस प्रकार उदाहरण के लिए फॉर्म का एक प्रतिगमन समीकरण $y = d + ax + cz$ (साथ $b = −1$) दो व्याख्यात्मक चर होने पर त्रि-आयामी क्षेत्र में एक सर्वोत्तम फिट समतल स्थापित करता है।

एक बिंदु के साथ एक समतल का वर्णन करना और उस पर स्थित दो वैक्टर
वैकल्पिक रूप से, एक समतल को पैरामीट्रिक रूप से फॉर्म के सभी बिंदुओं के सेट के रूप में वर्णित किया जा सकता है $$\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}_0 + s \boldsymbol{v} + t \boldsymbol{w},$$

जहाँ पे $s$ तथा $t$ सभी वास्तविक संख्याओं पर सीमा, $v$ तथा $w$ समतल को परिभाषित करने वाले रैखिक स्वतंत्र सदिश ज्यामिति के रूप में दिए होते है और $r_{0}$ सदिश समतल पर एक यादृच्छिक बिंदु की स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है। वैक्टर $v$ तथा $w$ से प्रारंभ होने वाले सदिशों के रूप में देखे जा सकते हैं $r_{0}$ और समतल के साथ अलग-अलग दिशाओं में निर्देश करते है। वैक्टर $v$ तथा $w$ लंबवत हो सकता है, लेकिन समानांतर रूप में नहीं हो सकता।

तीन बिंदुओं के माध्यम से समतल का वर्णन
माना $p_{1} = (x_{1}, y_{1}, z_{1})$, $p_{2} = (x_{2}, y_{2}, z_{2})$, तथा $p_{3} = (x_{3}, y_{3}, z_{3})$ असंरेख बिंदु हैं।

विधि 1
$p_{1}$, $p_{2}$, तथा $p_{3}$ से गुजरने वाले समतल को सभी बिंदुओं (x,y,z) के समुच्चय के रूप में वर्णित किया जा सकता है जो निम्नलिखित निर्धारक समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। $$\begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x - x_2 & y - y_2 & z - z_2 \\ x - x_3 & y - y_3 & z - z_3 \end{vmatrix} = 0. $$

विधि 2
प्रपत्र के समीकरण द्वारा समतल का वर्णन करने के लिए $$ ax + by + cz + d = 0 $$ समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करते है $$ ax_1 + by_1 + cz_1 + d = 0$$ $$ ax_2 + by_2 + cz_2 + d = 0$$ $$ ax_3 + by_3 + cz_3 + d = 0.$$ क्रैमर के नियम और मौलिक आव्यूह परिचालन का उपयोग करके इस प्रणाली को हल किया जाता है। $$D = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{vmatrix}.$$

यदि $D$ गैर-शून्य है, तो मूल के माध्यम से नहीं जाने वाले समतलो के लिए $a$, $b$ तथा $c$ के मूल्यों की गणना निम्नानुसार की जाती है। $$a = \frac{-d}{D} \begin{vmatrix} 1 & y_1 & z_1 \\ 1 & y_2 & z_2 \\ 1 & y_3 & z_3 \end{vmatrix}$$ $$b = \frac{-d}{D} \begin{vmatrix} x_1 & 1 & z_1 \\ x_2 & 1 & z_2 \\ x_3 & 1 & z_3 \end{vmatrix}$$ $$c = \frac{-d}{D} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}.$$ ये समीकरण d में पैरामीट्रिक रूप में होते है। किसी भी गैर-शून्य संख्या के बराबर d सेट करना और इसे इन समीकरणों में प्रतिस्थापित करने से एक समाधान सेट प्राप्त होता है।

विधि 3
इस तल को बिंदु और ऊपर दिए गए सामान्य सदिश विधि द्वारा भी वर्णित किया जा सकता है। क्रॉस उत्पाद द्वारा एक उपयुक्त सामान्य सदिश दिया जाता है। $$\boldsymbol n = ( \boldsymbol p_2 - \boldsymbol p_1 ) \times ( \boldsymbol p_3 - \boldsymbol p_1 ), $$ और बिंदु $r_{0}$ को दिए गए बिंदुओं $p_{1}$, $p_{2}$ या $p_{3}$ या समतल में किसी अन्य बिंदु के रूप में लिया जा सकता है।

एक बिंदु से एक समतल की दूरी
समतल के लिए $$\Pi : ax + by + cz + d = 0$$ और एक बिंदु $$\boldsymbol p_1 = (x_1,y_1,z_1) $$ जरूरी नहीं कि समतल से ही सबसे कम दूरी पर स्थित होता है $$\boldsymbol p_1$$ समतल के लिए है।
 * $$ D = \frac{\left | a x_1 + b y_1 + c z_1+d \right |}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}. $$

यह इस प्रकार है कि $$\boldsymbol p_1$$ तल में स्थित है यदि और केवल यदि D = 0 है।

यदि $$a^2+b^2+c^2=1$$, जिसका अर्थ है कि a, b, और c सामान्यीकृत हैं, तो समीकरण इस प्रकार बन जाता है
 * $$ D = \left| a x_1 + b y_1 + c z_1+d \right|.$$

एक समतल के समीकरण के लिए एक अन्य सदिश रूप में है, जिसे हेस्से सामान्य रूप में जाना जाता है, यह पैरामीटर d पर निर्भर करता है। इसे इस प्रकार से दर्शाया जाता है



जहाँ पे $$\boldsymbol{n}$$ समतल के लिए इकाई सामान्य सदिश है, $$\boldsymbol{r}$$ समतल के एक बिंदु की स्थिति सदिश और D0 मूल से समतल की दूरी है।

सदिश संकेतन का उपयोग करके उच्च आयामों के लिए सामान्य सूत्र जल्दी से प्राप्त किया जा सकता है। माना हाइपरप्लेन का समीकरण इस प्रकार से है $$ \boldsymbol{n} \cdot (\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_0) = 0 $$, जहां $$\boldsymbol{n}$$ एक सामान्य सदिश होती है और $$\boldsymbol{r}_0 = (x_{10}, x_{20}, \dots, x_{N0})$$ हाइपरप्लेन में एक बिंदु के लिए एक स्थिति सदिश के रूप में है। हम बिंदु से लंबवत दूरी चाहते हैं $$\boldsymbol{r}_1 = (x_{11}, x_{21}, \dots, x_{N1})$$. हाइपरप्लेन को अदिश समीकरण द्वारा भी दर्शाया जा सकता है $\sum_{i=1}^N a_i x_i = -a_0$, स्थिरांक के लिए $$\{a_i\}$$. इसी प्रकार, एक संगत $$\boldsymbol{n}$$ रूप में दर्शाया जाता है $$(a_1,a_2, \dots, a_N)$$. हम सदिश के अदिश प्रोजेक्शन की इच्छा रखते हैं $$\boldsymbol{r}_1 - \boldsymbol{r}_0$$ की दिशा में $$\boldsymbol{n}$$. यह देखते हुए कि $$\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{r}_0 = \boldsymbol{r}_0 \cdot \boldsymbol{n} = -a_0$$ जैसा $$\boldsymbol{r}_0$$ हाइपरप्लेन के समीकरण को संतुष्ट करता है।
 * $$\begin{align}

D &= \frac{|(\boldsymbol{r}_1 - \boldsymbol{r}_0) \cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|} \\ &= \frac{|\boldsymbol{r}_1\cdot \boldsymbol{n} - \boldsymbol{r}_0 \cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|} \\ &= \frac{|\boldsymbol{r}_1\cdot \boldsymbol{n} + a_0|}{|\boldsymbol{n}|} \\ &= \frac{|a_1x_{11} + a_2x_{21} + \dots + a_Nx_{N1} + a_0|}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_N^2}}. \end{align}$$

लाइन-प्लेन प्रतिच्छेदन
विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, रेखा गणित और त्रि-आयामी क्षेत्र में समतल का प्रतिच्छेदन खाली सेट एक बिंदु ज्यामिति या एक रेखा हो सकता है।

दो समतलो के बीच प्रतिच्छेदन की रेखा
दो समतलो के बीच प्रतिच्छेदन की रेखा $$\Pi_1 : \boldsymbol {n}_1 \cdot \boldsymbol r = h_1$$ तथा $$\Pi_2 : \boldsymbol {n}_2 \cdot \boldsymbol r = h_2$$ जहाँ पे $$\boldsymbol {n}_i$$ द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है
 * $$ \boldsymbol {r} = (c_1 \boldsymbol {n}_1 + c_2 \boldsymbol {n}_2) + \lambda (\boldsymbol {n}_1 \times \boldsymbol {n}_2) $$

जहाँ पे
 * $$ c_1 = \frac{ h_1 - h_2(\boldsymbol {n}_1 \cdot \boldsymbol {n}_2) }{ 1 - (\boldsymbol {n}_1 \cdot \boldsymbol {n}_2)^2 } $$
 * $$ c_2 = \frac{ h_2 - h_1(\boldsymbol {n}_1 \cdot \boldsymbol {n}_2) }{ 1 - (\boldsymbol {n}_1 \cdot \boldsymbol {n}_2)^2 }.$$

यह देखते हुए पाया जाता है कि रेखा दोनों समतल मानदंडों के लंबवत होती है और इसलिए उनके क्रॉस उत्पाद के समानांतर $$\boldsymbol {n}_1 \times \boldsymbol {n}_2$$ होनी चाहिए यह क्रॉस उत्पाद शून्य है और यदि केवल समतल समानांतर रूप में है और इसलिए गैर-प्रतिच्छेदन या पूरी तरह से संपाती हैं।

व्यंजक का शेष भाग रेखा पर यादृच्छिक बिंदु ज्ञात करके प्राप्त किया जाता है। ऐसा करने के लिए विचार करते हैं कि किसी भी बिंदु को इस रूप में लिखा जा सकता है $$\boldsymbol r = c_1\boldsymbol {n}_1 + c_2\boldsymbol {n}_2 + \lambda(\boldsymbol {n}_1 \times \boldsymbol {n}_2)$$, जबसे $$\{ \boldsymbol {n}_1, \boldsymbol {n}_2, (\boldsymbol {n}_1 \times \boldsymbol {n}_2) \}$$ एक आधार है रैखिक बीजगणित हम एक ऐसा बिंदु खोजना चाहते हैं जो दोनों तलों पर हो अर्थात उनके प्रतिच्छेदन के रूप में होते है, इसलिए इस समीकरण को दो समकालिक समीकरण प्राप्त करने के लिए समतलों के प्रत्येक समीकरण में सम्मिलित करते है जिसे $$c_1$$ तथा $$c_2$$. के लिए हल किया जा सकता है।

यदि हम आगे यह मान लें कि $$\boldsymbol {n}_1$$ तथा $$\boldsymbol {n}_2$$ ऑर्थोनॉर्मल हैं तो प्रतिच्छेदन की रेखा पर मूल बिंदु का निकटतम बिंदु $$\boldsymbol r_0 = h_1\boldsymbol {n}_1 + h_2\boldsymbol {n}_2$$.है, यदि ऐसा नहीं होता है, तो अधिक जटिल प्रक्रिया का उपयोग किया जाना चाहिए।

द्वितल कोण
$$\Pi_1 : a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0$$ तथा $$\Pi_2 : a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0$$, द्वारा वर्णित दो प्रतिच्छेदी तलों को देखते हुए उनके बीच के द्वितल कोण को कोण के रूप में परिभाषित किया गया है $$\alpha$$ उनकी सामान्य दिशाओं के बीच स्थित होता है।


 * $$\cos\alpha = \frac{\hat n_1\cdot \hat n_2}{|\hat n_1||\hat n_2|} = \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}. $$

गणित के विभिन्न क्षेत्रों में समतल
इसकी परिचित ज्यामितीय संरचना के अतिरिक्त समरूपता के साथ जो सामान्य आंतरिक उत्पाद के संबंध में आइसोमोफिज़्म के संयोजन से समतल को अमूर्तता गणित के रूप में करने के विभिन्न अन्य स्तरों पर देखा जाता है। अमूर्तता का प्रत्येक स्तर एक विशिष्ट श्रेणी गणित के अनुरूप होता है।

एक चरम पर, सभी ज्यामितीय और मीट्रिक (गणित) अवधारणाओं को टोपोलॉजिकल तल को छोड़ने के लिए छोड़ दिया जा सकता है, जिसे एक आदर्श होमोटॉपी तुच्छ अनंत रबर शीट के रूप में माना जाता है, जो निकटता की धारणा को निरंतर रखता है, लेकिन इसकी कोई दूरी नहीं होती है। टोपोलॉजिकल तल में एक रेखीय पथ की अवधारणा होती है, लेकिन एक सीधी रेखा की कोई अवधारणा नहीं होती है। टोपोलॉजिकल तल या इसके समकक्ष ओपन डिस्क, निम्न-आयामी टोपोलॉजी में वर्गीकृत सतह टोपोलॉजी या 2-मैनिफोल्ड के निर्माण के लिए उपयोग किया जाने वाला मूल टोपोलॉजिकल निकटतम रूप में होते है। टोपोलॉजिकल तल के आइसोमॉर्फिज्म सभी निरंतर फलन बायजेक्शन रूप में होते है। टोपोलॉजिकल समतल ग्राफ सिद्धांत की उस शाखा के लिए प्राकृतिक संदर्भ है जो प्लानर ग्राफ से संबंधित होता है और परिणाम जैसे कि चार रंग प्रमेय के रूप में होता है।

समतल को एफ़िन स्पेस के रूप में भी देखा जा सकता है, जिसका समरूपता अनुवाद और गैर-एकवचन रैखिक मानचित्रों का संयोजन होता है। इस दृष्टिकोण से कोई दूरियां नहीं हैं, लेकिन किसी भी रेखा पर संरेखता और दूरियों के अनुपात संरक्षित होते है।

अवकलन ज्यामिति तल को 2-आयामी रियल मैनिफोल्ड के रूप में देखती है, टोपोलॉजिकल तल जो अवकलन संरचना के साथ प्रदान किया जाता है। फिर से इस स्थिति में दूरी की कोई धारणा नहीं होती है, लेकिन अब नक्शे की चिकनाई की एक अवधारणा है, उदाहरण के लिए लागू अंतर संरचना के प्रकार के आधार पर एक भिन्न या सुगम पथ के रूप में होता है। इस स्थिति में तुल्याकारिता अवकलनीयता की चुनी हुई डिग्री के साथ आक्षेप रूप में होते है।

अमूर्तता की विपरीत दिशा में, हम ज्यामितीय तल पर एक संगत क्षेत्र संरचना लागू करते हैं, जिससे जटिल तल और जटिल विश्लेषण के प्रमुख क्षेत्र को जन्म दिया जाता है। जटिल क्षेत्र में केवल दो समरूपताएं होती हैं जो वास्तविक रेखा को स्थिर छोड़ देती हैं, पहचान और जटिल संयुग्मन के रूप में होती है।

उसी प्रकार जैसे वास्तविक स्थिति में, समतल को सबसे सरल, एक-आयामी जटिल संख्याओं पर जटिल मैनिफोल्ड के रूप में भी देखा जा सकता है, जिसे कभी-कभी जटिल रेखा भी कहा जाता है। चूँकि यह दृष्टिकोण समतल के स्थिति में 2-आयामी वास्तविक मैनिफोल्ड के रूप में तेजी से विपरीत है। समरूपता जटिल समतल के सभी अनुरूप मानचित्र विभाजन होता है, लेकिन केवल संभावनाएं नक्शे हैं जो एक जटिल संख्या और एक अनुवाद द्वारा गुणन की संरचना के अनुरूप होती है।

इसके अतिरिक्त, यूक्लिडियन ज्यामिति जिसमें हर जगह शून्य वक्रता है, वह एकमात्र ज्यामिति नहीं है जो समतल में हो सकती है। त्रिविम प्रक्षेपण का उपयोग करके समतल को एक गोलाकार ज्यामिति दी जाती है। इसके बारे में सोचा जा सकता है कि शीर्ष बिंदु को हटाते हुए फर्श पर एक गेंद की तरह और इस बिंदु से गोले को समतल पर प्रक्षेपित करने के लिए समतल पर एक गोले को रखने के बारे में सोचा जा सकता है। यह उन अनुमानों में से एक है जिसका उपयोग पृथ्वी की सतह के एक हिस्से का समतल नक्शा बनाने में किया जा सकता है। परिणामी ज्यामिति में निरंतर सकारात्मक वक्रता होती है।

वैकल्पिक रूप से, समतल को एक मीट्रिक भी दिया जा सकता है जो इसे निरंतर ऋणात्मक वक्रता देता है जिससे हाइपरबोलिक तल बनता है। बाद की संभावना सरलीकृत स्थिति में विशेष सापेक्षता के सिद्धांत में एक अनुप्रयोग पाती है जहां दो स्थानिक आयाम और एक समय आयाम होते हैं। हाइपरबोलिक तल त्रि-आयामी मिन्कोवस्की क्षेत्र में एक समयबद्ध ऊनविम पृष्ठ के रूप में होते है।

टोपोलॉजिकल और अवकलन ज्योमेट्रिक थ्योरी
समतल का एक-बिंदु संघनन एक क्षेत्र के लिए होमोमोर्फिक के रूप में होते है, स्टीरियोग्राफिक प्रोजेक्शन देखें ओपन डिस्क उत्तरी ध्रुव गायब होने के साथ एक गोले के लिए होमियोमॉर्फिक होते है; उस बिंदु को जोड़ने से कॉम्पैक्ट क्षेत्र पूरा हो जाता है। इस संघनन का परिणाम कई गुना है जिसे रीमैन क्षेत्र या जटिल प्रक्षेपी रेखा के रूप में जाना जाता है। यूक्लिडियन तल से एक बिंदु के बिना एक क्षेत्र में प्रक्षेपण एक भिन्नता है और यहां तक ​​​​कि एक अनुरूप मानचित्र भी है।

एक ओपन डिस्क (गणित) के लिए समतल ही होमोमोर्फिक और डिफोमोर्फिक होता है। अतिपरवलयिक ज्यामिति के लिए इस प्रकार की भिन्नता अनुरूप है, लेकिन यूक्लिडियन समतल के लिए यह नहीं है।

यह भी देखें

 * फेस (ज्यामिति)
 * समतल (ज्यामिति)
 * अर्ध समतल
 * अधिसमतल
 * समतल रेखा के प्रतिच्छेदन
 * समतल निर्देशांक
 * घटना का तल
 * घूर्णन का समतल
 * बिंदु मूल के निकटतम तल पर
 * बहुभुज
 * प्रोजेक्टिव समतल

बाहरी संबंध

 * "Easing the Difficulty of Arithmetic and Planar Geometry" is an Arabic manuscript, from the 15th century, that serves as a tutorial about plane geometry and arithmetic.
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