कम्यूटेटर उपसमूह

गणित में, विशेष रूप से अमूर्त बीजगणित में, कम्यूटेटर उपसमूह या एक समूह (गणित) का व्युत्पन्न उपसमूह समूह के सभी कम्यूटेटरों द्वारा एक समूह का उपसमूह (गणित) उत्पन्न करता है। कम्यूटेटर उपसमूह महत्वपूर्ण है क्योंकि यह सार्वभौमिक संपत्ति सामान्य उपसमूह है जैसे कि इस उपसमूह द्वारा मूल समूह का अंश समूह एबेलियन समूह है। दूसरे शब्दों में, $$G/N$$ एबेलियन है अगर और केवल अगर $$N$$ का कम्यूटेटर उपसमूह शामिल है $$G$$. तो कुछ अर्थों में यह एक उपाय प्रदान करता है कि समूह अबेलियन होने से कितनी दूर है; कम्यूटेटर उपसमूह जितना बड़ा होता है, समूह उतना ही कम एबेलियन होता है।

कम्यूटेटर
तत्वों के लिए $$g$$ और $$h$$ एक समूह G का, का कम्यूटेटर $$g$$ और $$h$$ है $$[g,h] = g^{-1}h^{-1}gh$$. कम्यूटेटर $$[g,h]$$ पहचान तत्व ई के बराबर है अगर और केवल अगर $$gh = hg$$, यानी, अगर और केवल अगर $$g$$ और $$h$$ आना-जाना। सामान्य रूप में, $$gh = hg[g,h]$$.

हालांकि, संकेतन कुछ हद तक मनमाना है और कम्यूटेटर के लिए एक गैर-समतुल्य संस्करण परिभाषा है जिसमें समीकरण के दाहिने हाथ की ओर व्युत्क्रम हैं: $$[g,h] = ghg^{-1}h^{-1}$$ किस स्थिति में $$gh \neq hg[g,h]$$ लेकिन इसके बजाय $$gh = [g,h]hg$$.

फॉर्म के जी का एक तत्व $$[g,h]$$ कुछ के लिए g और h को कम्यूटेटर कहा जाता है। पहचान तत्व ई = [ई, ई] हमेशा एक कम्यूटेटर है, और यह एकमात्र कम्यूटेटर है अगर और केवल अगर जी एबेलियन है।

यहां कुछ सरल लेकिन उपयोगी कम्यूटेटर पहचान हैं, समूह जी के किसी भी तत्व एस, जी, एच के लिए सच है:

पहली और दूसरी पहचान का अर्थ है कि G में कम्यूटेटर का सेट (गणित) व्युत्क्रम और संयुग्मन के तहत बंद है। यदि तीसरी पहचान में हम एच = जी लेते हैं, तो हम पाते हैं कि जी के किसी भी एंडोमोर्फिज्म के तहत कम्यूटेटर का सेट स्थिर है। यह वास्तव में दूसरी पहचान का एक सामान्यीकरण है, क्योंकि हम जी पर संयुग्मन automorphism  होने के लिए एफ ले सकते हैं, $$ x \mapsto x^s $$, दूसरी पहचान पाने के लिए।
 * $$[g,h]^{-1} = [h,g],$$
 * $$[g,h]^s = [g^s,h^s],$$ कहाँ $$g^s = s^{-1}gs$$ (या, क्रमशः, $$ g^s = sgs^{-1}$$) का संयुग्मी वर्ग है $$g$$ द्वारा $$s,$$
 * किसी भी समूह समरूपता के लिए $$f: G \to H $$, $$f([g, h]) = [f(g), f(h)].$$

हालाँकि, दो या दो से अधिक कम्यूटेटर के उत्पाद को कम्यूटेटर होने की आवश्यकता नहीं है। ए, बी, सी, डी पर मुक्त समूह में एक सामान्य उदाहरण [ए, बी] [सी, डी] है। यह ज्ञात है कि परिमित समूह का कम से कम क्रम जिसके लिए दो कम्यूटेटर मौजूद हैं जिनका उत्पाद कम्यूटेटर नहीं है 96 है; वास्तव में इस संपत्ति के साथ क्रम 96 के दो गैर-समरूपी समूह हैं।

परिभाषा
यह कम्यूटेटर उपसमूह की परिभाषा को प्रेरित करता है $$[G, G]$$ (जिसे व्युत्पन्न उपसमूह भी कहा जाता है, और निरूपित किया जाता है $$G'$$ या $$G^{(1)}$$) G का: यह सभी कम्यूटेटर द्वारा एक समूह का उपसमूह जनरेटिंग सेट है।

यह इस परिभाषा से इस प्रकार है कि कोई भी तत्व $$[G, G]$$ स्वरूप का है


 * $$[g_1,h_1] \cdots [g_n,h_n] $$

कुछ प्राकृतिक संख्या के लिए $$n$$, जहां जीi और वहi जी के तत्व हैं। इसके अलावा, चूंकि $$([g_1,h_1] \cdots [g_n,h_n])^s = [g_1^s,h_1^s] \cdots [g_n^s,h_n^s]$$, जी में कम्यूटेटर उपसमूह सामान्य है। किसी भी समरूपता के लिए f: G → H,


 * $$f([g_1,h_1] \cdots [g_n,h_n]) = [f(g_1),f(h_1)] \cdots [f(g_n),f(h_n)]$$,

ताकि $$f([G,G]) \subseteq [H,H]$$.

इससे पता चलता है कि कम्यूटेटर उपसमूह को समूहों की श्रेणी पर एक ऑपरेटर के रूप में देखा जा सकता है, जिसके कुछ निहितार्थ नीचे दिए गए हैं। इसके अलावा, जी = एच लेने से पता चलता है कि जी के प्रत्येक एंडोमोर्फिज्म के तहत कम्यूटेटर उपसमूह स्थिर है: यानी, [जी, जी] जी का एक पूरी तरह से विशिष्ट उपसमूह है, जो सामान्यता से काफी मजबूत है।

कम्यूटेटर उपसमूह को समूह के तत्वों जी के सेट के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है जिसमें उत्पाद जी = जी के रूप में अभिव्यक्ति होती है1 g2 ... जीk जिसे पहचान देने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।

व्युत्पन्न श्रृंखला
इस निर्माण को पुनरावृत्त किया जा सकता है:
 * $$G^{(0)} := G$$
 * $$G^{(n)} := [G^{(n-1)},G^{(n-1)}] \quad n \in \mathbf{N}$$

समूह $$G^{(2)}, G^{(3)}, \ldots$$ दूसरे व्युत्पन्न उपसमूह, तीसरे व्युत्पन्न उपसमूह, और आगे, और अवरोही सामान्य श्रृंखला कहलाते हैं
 * $$\cdots \triangleleft G^{(2)} \triangleleft G^{(1)} \triangleleft G^{(0)} = G$$

व्युत्पन्न श्रृंखला कहलाती है। इसे निचली केंद्रीय श्रृंखला के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जिसकी शर्तें हैं $$G_n := [G_{n-1},G]$$.

एक परिमित समूह के लिए, व्युत्पन्न श्रृंखला एक पूर्ण समूह में समाप्त होती है, जो तुच्छ हो भी सकती है और नहीं भी। एक अनंत समूह के लिए, व्युत्पन्न श्रृंखला को एक परिमित अवस्था में समाप्त करने की आवश्यकता नहीं होती है, और कोई भी इसे अनंत क्रमिक संख्याओं के लिए ट्रांसफिनिट रिकर्सन के माध्यम से जारी रख सकता है, जिससे ट्रांसफिनिट व्युत्पन्न श्रृंखला प्राप्त होती है, जो अंततः समूह के सही कोर पर समाप्त हो जाती है।

एबेलियनाइजेशन
एक समूह दिया $$G$$, एक भागफल समूह $$G/N$$ एबेलियन है अगर और केवल अगर $$[G, G]\subseteq N$$.

भागफल $$G/[G, G]$$ एक एबेलियन समूह है जिसे का एबेलियनाइजेशन कहा जाता है $$G$$ या $$G$$ एबेलियन बनाया। इसे आमतौर पर द्वारा दर्शाया जाता है $$G^{\operatorname{ab}}$$ या $$G_{\operatorname{ab}}$$.

मानचित्र की एक उपयोगी श्रेणीबद्ध व्याख्या है $$\varphi: G \rightarrow G^{\operatorname{ab}}$$. यानी $$\varphi$$ से समरूपता के लिए सार्वभौमिक है $$G$$ एक एबेलियन समूह के लिए $$H$$: किसी भी एबेलियन समूह के लिए $$H$$ और समूहों की समरूपता $$f: G \to H$$ एक अद्वितीय समरूपता मौजूद है $$F: G^{\operatorname{ab}}\to H$$ ऐसा है कि $$f = F \circ \varphi$$. सार्वभौमिक मैपिंग गुणों द्वारा परिभाषित वस्तुओं के लिए हमेशा की तरह, यह एबेलियनाइजेशन की विशिष्टता को दर्शाता है $$G^{\operatorname{ab}}$$ विहित समरूपता तक, जबकि स्पष्ट निर्माण $$G\to G/[G, G]$$ अस्तित्व दर्शाता है।

एबेलियनाइजेशन फ़ंक्टर, एबेलियन समूहों की श्रेणी से समूहों की श्रेणी में शामिल किए जाने वाले फ़ंक्टर का सहायक फ़ंक्टर है। एबेलियनाइज़ेशन फ़ंक्टर Grp → Ab का अस्तित्व श्रेणी Ab को समूहों की श्रेणी की एक चिंतनशील उपश्रेणी बनाता है, जिसे एक पूर्ण उपश्रेणी के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसके समावेशन फ़ंक्टर के पास एक बायाँ जोड़ है।

की एक और महत्वपूर्ण व्याख्या $$G^{\operatorname{ab}}$$ के रूप में है $$H_1(G, \mathbb{Z})$$, का पहला समूह समरूपता $$G$$ अभिन्न गुणांक के साथ।

समूहों के वर्ग
एक समूह $$G$$ एक एबेलियन समूह है अगर और केवल अगर व्युत्पन्न समूह छोटा है: [जी,जी] = {ई}। समतुल्य रूप से, अगर और केवल अगर समूह अपने अपमान के बराबर है। समूह के अपमान की परिभाषा के लिए ऊपर देखें।

एक समूह $$G$$ एक आदर्श समूह है अगर और केवल अगर व्युत्पन्न समूह समूह के बराबर है: [G,G] = G। समान रूप से, अगर और केवल अगर समूह का अपमान तुच्छ है। यह एबेलियन के विपरीत है।

के साथ एक समूह $$G^{(n)}=\{e\}$$ कुछ n के लिए 'N' में 'सुलझाने योग्य समूह' कहा जाता है; यह एबेलियन से कमजोर है, जो मामला n = 1 है।

के साथ एक समूह $$G^{(n)} \neq \{e\}$$ सभी n के लिए 'N' में एक 'अघुलनशील समूह' कहा जाता है।

के साथ एक समूह $$G^{(\alpha)}=\{e\}$$ किसी क्रमसूचक संख्या के लिए, संभवतः अनंत, पूर्ण मूलक कहलाती है; यह सॉल्व करने योग्य से कमजोर है, जो कि मामला है α परिमित (एक प्राकृतिक संख्या) है।

परफेक्ट ग्रुप
जब भी कोई समूह $$G$$ व्युत्पन्न उपसमूह स्वयं के बराबर है, $$G^{(1)} =G$$, इसे एक पूर्ण समूह कहा जाता है। इसमें नॉन-एबेलियन साधारण समूह  और  विशेष रैखिक समूह  शामिल हैं $$\operatorname{SL}_n(k)$$ एक निश्चित क्षेत्र के लिए $$k$$.

उदाहरण

 * किसी एबेलियन समूह का कम्यूटेटर उपसमूह तुच्छ समूह है।
 * सामान्य रैखिक समूह का कम्यूटेटर उपसमूह $$\operatorname{GL}_n(k)$$ एक फील्ड (गणित) या एक विभाजन की अंगूठी  के ऊपर k विशेष रैखिक समूह के बराबर होता है $$\operatorname{SL}_n(k)$$ उसे उपलब्ध कराया $$n \ne 2$$ या k परिमित क्षेत्र नहीं है।
 * प्रत्यावर्ती समूह A का कम्यूटेटर उपसमूह4 क्लेन चार समूह है।
 * सममित समूह S का कम्यूटेटर उपसमूहnवैकल्पिक समूह ए हैn.
 * चतुर्भुज समूह Q = {1, -1, i, -i, j, -j, k, -k} का कम्यूटेटर उपसमूह [Q,Q] = {1, -1} है।

बाहर से मानचित्र
चूँकि व्युत्पन्न उपसमूह अभिलक्षणिक उपसमूह है, इसलिए G का कोई भी स्वरूपवाद अपभ्रंशीकरण के स्वारूपवाद को प्रेरित करता है। चूँकि एबेलियनाइज़ेशन एबेलियन है, आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म तुच्छ रूप से कार्य करते हैं, इसलिए यह एक मानचित्र उत्पन्न करता है
 * $$\operatorname{Out}(G) \to \operatorname{Aut}(G^{\mbox{ab}})$$

यह भी देखें

 * समाधान करने योग्य समूह
 * निलपोटेंट समूह
 * उपसमूह H/H ' का एबेलियनाइज़ेशन उपसमूह H < G उपसमूह (G:H) के परिमित सूचकांक का आर्टिन स्थानांतरण (समूह सिद्धांत)#Artin स्थानांतरण T(G,H) है।