संपर्क गतिकी

संपर्क गतिशीलता एकतरफा संपर्कों और घर्षण के अधीन मल्टीबॉडी सिस्टम की गति से संबंधित है। ऐसी प्रणालियाँ कई मल्टीबॉडी डायनेमिक्स अनुप्रयोगों में सर्वव्यापी हैं। उदाहरण के लिए विचार करें
 * वाहन की गतिशीलता में पहियों और जमीन के बीच संपर्क
 * घर्षण प्रेरित दोलनों के कारण ब्रेकों की चीख़
 * कई कणों की गति, गोले जो एक फ़नल में गिरते हैं, मिश्रण प्रक्रियाएं (दानेदार मीडिया)
 * घड़ी का काम
 * चलने वाली मशीनें
 * सीमा स्टॉप, घर्षण वाली मनमानी मशीनें।
 * शारीरिक ऊतक (त्वचा, परितारिका/लेंस, पलकें/पूर्वकाल नेत्र सतह, संयुक्त उपास्थि, संवहनी एन्डोथेलियम/रक्त कोशिकाएं, मांसपेशियां/कण्डरा, वगैरह)

निम्नलिखित में यह चर्चा की गई है कि एकतरफा संपर्क और घर्षण वाली ऐसी यांत्रिक प्रणालियों को कैसे मॉडल किया जा सकता है और संख्यात्मक साधारण अंतर समीकरणों द्वारा ऐसी प्रणालियों का समय विकास कैसे प्राप्त किया जा सकता है। इसके अलावा कुछ उदाहरण भी दिए गए हैं.

मॉडलिंग
एकतरफा संपर्क और घर्षण के साथ यांत्रिक प्रणालियों के मॉडलिंग के लिए दो मुख्य दृष्टिकोण नियमित और गैर-सुचारू दृष्टिकोण हैं। निम्नलिखित में, दो दृष्टिकोणों को एक सरल उदाहरण का उपयोग करके प्रस्तुत किया गया है। एक ऐसे ब्लॉक पर विचार करें जो टेबल पर फिसल सकता है या चिपक सकता है (चित्र 1ए देखें)। ब्लॉक की गति को गति के समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है, जबकि घर्षण बल अज्ञात है (चित्र 1 बी देखें)। घर्षण बल प्राप्त करने के लिए, एक अलग बल कानून निर्दिष्ट किया जाना चाहिए जो घर्षण बल को ब्लॉक के संबंधित वेग से जोड़ता है।



गैर-सुचारू दृष्टिकोण
एक अधिक परिष्कृत दृष्टिकोण गैर-सुचारू दृष्टिकोण है, जो एकतरफा संपर्कों और घर्षण के साथ यांत्रिक प्रणालियों को मॉडल करने के लिए सेट-वैल्यू बल कानूनों का उपयोग करता है। उस ब्लॉक पर फिर से विचार करें जो मेज पर फिसलता या चिपकता है। Sgn प्रकार के संबंधित सेट-वैल्यू घर्षण कानून को चित्र 3 में दर्शाया गया है। स्लाइडिंग केस के संबंध में, घर्षण बल दिया गया है। चिपके हुए मामले के संबंध में, घर्षण बल को एक अतिरिक्त बीजगणितीय बाधा (गणित) के अनुसार निर्धारित और निर्धारित किया जाता है।

निष्कर्ष निकालने के लिए, यदि आवश्यक हो तो गैर-सुचारू दृष्टिकोण अंतर्निहित गणितीय संरचना को बदल देता है और एकतरफा संपर्क और घर्षण के साथ यांत्रिक प्रणालियों का उचित विवरण देता है। बदलती गणितीय संरचना के परिणामस्वरूप, प्रभाव बल उत्पन्न हो सकता है, और स्थिति और वेग के समय विकास को अब सुचारू कार्य नहीं माना जा सकता है। परिणामस्वरूप, अतिरिक्त प्रभाव समीकरणों और प्रभाव कानूनों को परिभाषित करना होगा। बदलती गणितीय संरचना को संभालने के लिए, सेट-वैल्यू बल कानूनों को आमतौर पर असमानता (गणित) या समावेशन (सेट सिद्धांत) समस्याओं के रूप में लिखा जाता है। इन असमानताओं/समावेशनों का मूल्यांकन आम तौर पर रैखिक (या गैर-रेखीय) रैखिक संपूरकता समस्या को हल करके, द्विघात प्रोग्रामिंग द्वारा या असमानता/समावेशन समस्याओं को प्रोजेक्टिव समीकरणों में परिवर्तित करके किया जाता है जिसे जैकोबी विधि या गॉस-सीडेल विधि द्वारा पुनरावृत्त रूप से हल किया जा सकता है। -सीडेल तकनीक. गैर-सुचारू दृष्टिकोण एकतरफा संपर्क और घर्षण के साथ यांत्रिक प्रणालियों के लिए एक नया मॉडलिंग दृष्टिकोण प्रदान करता है, जिसमें द्विपक्षीय बाधाओं के अधीन संपूर्ण शास्त्रीय यांत्रिकी भी शामिल है। यह दृष्टिकोण शास्त्रीय विभेदक बीजीय समीकरण सिद्धांत से जुड़ा है और मजबूत एकीकरण योजनाओं की ओर ले जाता है।

संख्यात्मक एकीकरण
नियमित मॉडलों का एकीकरण साधारण अंतर समीकरणों के लिए मानक कठोर सॉल्वरों द्वारा किया जा सकता है। हालाँकि, नियमितीकरण से प्रेरित दोलन हो सकते हैं। एकतरफा संपर्क और घर्षण के साथ यांत्रिक प्रणालियों के गैर-सुचारू मॉडल को ध्यान में रखते हुए, इंटीग्रेटर्स के दो मुख्य वर्ग मौजूद हैं, इवेंट-संचालित और तथाकथित टाइम-स्टेपिंग इंटीग्रेटर्स।

इवेंट-संचालित इंटीग्रेटर्स
इवेंट-संचालित इंटीग्रेटर्स गति के सुचारू हिस्सों के बीच अंतर करते हैं जिसमें अंतर समीकरणों की अंतर्निहित संरचना नहीं बदलती है, और घटनाओं या तथाकथित स्विचिंग बिंदुओं में जहां यह संरचना बदलती है, यानी समय के क्षण जिस पर एकतरफा संपर्क बंद हो जाता है या ए स्टिक स्लिप संक्रमण होता है। इन स्विचिंग बिंदुओं पर, एक नई अंतर्निहित गणितीय संरचना प्राप्त करने के लिए सेट-वैल्यू बल (और अतिरिक्त प्रभाव) कानूनों का मूल्यांकन किया जाता है, जिस पर एकीकरण जारी रखा जा सकता है। इवेंट-संचालित इंटीग्रेटर्स बहुत सटीक हैं लेकिन कई संपर्कों वाले सिस्टम के लिए उपयुक्त नहीं हैं।

टाइम-स्टेपिंग इंटीग्रेटर्स
टाइम-स्टेपिंग इंटीग्रेटर्स कई संपर्कों के साथ यांत्रिक प्रणालियों के लिए समर्पित संख्यात्मक योजनाएं हैं। पहला टाइम-स्टेपिंग इंटीग्रेटर जे.जे. द्वारा पेश किया गया था। मोरो. इंटीग्रेटर्स का लक्ष्य स्विचिंग बिंदुओं को हल करना नहीं है और इसलिए वे अनुप्रयोग में बहुत मजबूत हैं। चूँकि इंटीग्रेटर्स संपर्क बलों के अभिन्न अंग के साथ काम करते हैं, न कि स्वयं बलों के साथ, विधियाँ गति और प्रभाव जैसी आवेगपूर्ण घटनाओं दोनों को संभाल सकती हैं। एक कमी के रूप में, टाइम-स्टेपिंग इंटीग्रेटर्स की सटीकता कम है। इसे स्विचिंग बिंदुओं पर चरण-आकार परिशोधन का उपयोग करके ठीक किया जा सकता है। गति के सुचारू भागों को बड़े चरण आकारों द्वारा संसाधित किया जाता है, और एकीकरण क्रम को बढ़ाने के लिए उच्च क्रम एकीकरण विधियों का उपयोग किया जा सकता है।

उदाहरण
यह खंड एकतरफा संपर्क और घर्षण वाले यांत्रिक प्रणालियों के कुछ उदाहरण देता है। परिणाम टाइम-स्टेपिंग इंटीग्रेटर्स का उपयोग करके एक गैर-सुचारू दृष्टिकोण द्वारा प्राप्त किए गए हैं।

दानेदार सामग्री
समय-चरण विधियाँ विशेष रूप से दानेदार सामग्रियों के अनुकरण के लिए उपयुक्त हैं। चित्र 4 में 1000 डिस्क के मिश्रण का अनुकरण दर्शाया गया है।



बिलियर्ड
बिलियर्ड खेल में दो टकराने वाले गोले पर विचार करें। चित्र 5ए दो टकराते हुए गोले के कुछ स्नैपशॉट दिखाता है, चित्र 5बी संबंधित प्रक्षेप पथ को दर्शाता है।



मोटरसाइकिल का पहिया
यदि किसी मोटरसाइकिल को बहुत तेज गति से चलाया जाए, तो वह व्हीली हो जाती है। चित्र 6 एक सिमुलेशन के कुछ स्नैपशॉट दिखाता है।



कठफोड़वा खिलौने की गति
कठफोड़वा खिलौना संपर्क गतिशीलता में एक प्रसिद्ध बेंचमार्क समस्या है। खिलौने में एक खंभा, एक आस्तीन जिसमें एक छेद होता है जो खंभे के व्यास से थोड़ा बड़ा होता है, एक स्प्रिंग और कठफोड़वा का शरीर होता है। ऑपरेशन में, कठफोड़वा किसी प्रकार की पिचिंग गति करते हुए खंभे से नीचे की ओर बढ़ता है, जिसे आस्तीन द्वारा नियंत्रित किया जाता है। चित्र 7 एक सिमुलेशन के कुछ स्नैपशॉट दिखाता है।

एक सिमुलेशन और विज़ुअलाइज़ेशन https://github.com/gabyx/Woodpecker पर पाया जा सकता है।

यह भी देखें

 * मल्टीबॉडी सिस्टम
 * संपर्क यांत्रिकी: एकतरफा संपर्क और घर्षण वाले अनुप्रयोग। स्थैतिक अनुप्रयोग (विकृत निकायों के बीच संपर्क) और गतिशील अनुप्रयोग (संपर्क गतिशीलता)।
 * कठोर कणों के बड़े संयोजनों के संपीड़न का अनुकरण करने के लिए लुबाचेव्स्की-स्टिलिंगर एल्गोरिदम

अग्रिम पठन

 * Acary V. and Brogliato, B. Numerical Methods for Nonsmooth Dynamical Systems. Applications in Mechanics and Electronics. Springer Verlag, LNACM 35, Heidelberg, 2008.
 * Brogliato B. Nonsmooth Mechanics. Models, Dynamics and Control Communications and Control Engineering Series Springer-Verlag, London, 2016 (third Ed.)
 * Drumwright, E. and Shell, D. Modeling Contact Friction and Joint Friction in Dynamic Robotic Simulation Using the Principle of Maximum Dissipation. Springer Tracks in Advanced Robotics: Algorithmic Foundations of Robotics IX, 2010
 * Glocker, Ch. Dynamik von Starrkoerpersystemen mit Reibung und Stoessen, volume 18/182 of VDI Fortschrittsberichte Mechanik/Bruchmechanik. VDI Verlag, Düsseldorf, 1995
 * Glocker Ch. and Studer C. Formulation and preparation for Numerical Evaluation of Linear Complementarity Systems. Multibody System Dynamics 13(4):447-463, 2005
 * Jean M. The non-smooth contact dynamics method. Computer Methods in Applied mechanics and Engineering 177(3-4):235-257, 1999
 * Moreau J.J.  Unilateral Contact and Dry Friction in Finite Freedom Dynamics, volume 302 of  Non-smooth Mechanics and Applications, CISM Courses and Lectures. Springer, Wien, 1988
 * Pfeiffer F., Foerg M. and Ulbrich H. Numerical aspects of non-smooth multibody dynamics. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg 195(50-51):6891-6908, 2006
 * Potra F.A., Anitescu M., Gavrea B. and Trinkle J. A linearly implicit trapezoidal method for integrating stiff multibody dynamics with contacts, joints and friction. Int. J. Numer. Meth. Engng 66(7):1079-1124, 2006
 * Stewart D.E. and Trinkle J.C. An Implicit Time-Stepping Scheme for Rigid Body Dynamics with Inelastic Collisions and Coulomb Friction. Int. J. Numer. Methods Engineering 39(15):2673-2691, 1996
 * Studer C. Augmented time-stepping integration of non-smooth dynamical systems, PhD Thesis ETH Zurich, ETH E-Collection, to appear 2008
 * Studer C. Numerics of Unilateral Contacts and Friction—Modeling and Numerical Time Integration in Non-Smooth Dynamics, Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics, Volume 47, Springer, Berlin, Heidelberg, 2009

बाहरी संबंध

 * Multibody research group, Center of Mechanics, ETH Zurich.
 * Lehrstuhl für angewandte Mechanik TU Munich.
 * BiPoP Team, INRIA Rhone-Alpes, France,
 * Siconos software. An open-source software dedicated to the modeling and the simulation or nonsmooth dynamical systems, especially mechanical systems with contact and Coulomb's friction
 * Multibody dynamics, Rensselaer Polytechnic Institute.
 * dynamY software
 * LMGC90 software
 * MigFlow software
 * Solfec software
 * GRSFramework Granular Rigid Body Simulation Framework developed at IMES in Ch. Glocker's group (High-Performance Computing with MPI), 2016
 * Chrono, an open source multi-physics simulation engine, see also project website 2017