अपकेन्द्रीय बल

न्यूटोनियन मैकेनिक्स में, अपकेन्द्रीय बल एक जड़त्वीय बल है (जिसे एक काल्पनिक या छद्म बल भी कहा जाता है) जो संदर्भ के घूर्णन फ्रेम में देखे जाने पर सभी वस्तुओं पर कार्य करने के लिए प्रकट होता है। यह एक अक्ष से दूर निर्देशित किया जाता है जो एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन के समानांतर होता है और समन्वय प्रणाली के मूल से गुजरता है। यदि घूर्णन की धुरी समन्वय प्रणाली के मूल से गुजरती है, तो अपकेन्द्री बल को उस अक्ष से त्रिज्यीय रूप से निर्देशित किया जाता है। अपकेन्द्रीय बल का परिमाण f द्रव्यमान m की वस्तु पर दूरी r पर कोणीय वेग के साथ घूमने वाले संदर्भ के एक फ्रेम के मूल से $ω$ है: $$F = m\omega^2 r$$ अपकेन्द्री बल ]] की अवधारणा को घूर्णन उपकरणों, जैसे अपकेंद्रित्र, अपकेन्द्री गवर्नर, और अपकेन्द्री चंगुल, और अपकेन्द्री रेलवे, ग्रहों की कक्षाओं और बैंक वक्रों में लागू किया जा सकता है, जब वे एक घूर्णन समन्वय प्रणाली में विश्लेषण करते हैं।

भ्रामक रूप से, इस शब्द का उपयोग कभी-कभी प्रतिक्रियाशील अपकेन्द्री बल के लिए भी किया जाता है, संदर्भ का एक वास्तविक जड़त्वीय-फ्रेम स्वतंत्र न्यूटोनियन बल जो एक अभिकेन्द्र बल की प्रतिक्रिया के रूप में उपस्थित है।



इतिहास
1659 से, नया लैटिन शब्द VI सेंट्रीफूगा (अपकेन्द्रीय बल ) क्रिस्टियन ह्यूजेंस के नोट्स और पत्रों में सत्यापित है। ध्यान दें, कि लैटिन में  मतलब केंद्र और  (से ) का अर्थ है, भागना, बचना। इस प्रकार, सेंट्रीफुगस का अर्थ है एक शाब्दिक अनुवाद में केंद्र से भागना।

1673 में, दोलन घड़ी में, ह्यूजेंस लिखते हैं (जैसा कि रिचर्ड जे. ब्लैकवेल द्वारा अनुवादित): इस बिंदु तक हमने जो जांच की है, उसके अलावा एक और प्रकार का दोलन है, अर्थात्, एक गति जिसमें एक निलंबित वजन एक वृत्त की परिधि के माध्यम से चारों ओर ले जाया जाता है। इससे हमें दूसरी घड़ी के निर्माण के लिए नेतृत्व किया गया था, उसी समय हमने पहले एक का आविष्कार किया था। जैसा कि इसे कहा जा सकता है, एक ऐसा विषय जिसके बारे में मेरे पास कहने के लिए अधिक है कि मैं वर्तमान में मेरी योजना के विपरीत, इस पांचवें भाग को जोड़ने के लिए सक्षम हूं। लेकिन, आदेश में मैंने फैसला किया है कि इन चीजों में रुचि रखने वाले लोग जल्द ही इन नए और बेकार की अटकलों का आनंद ले सकते हैं, और आदेश में कि उनके प्रकाशन को कुछ दुर्घटना से नहीं रोका जाए।

उसी वर्ष, आइजैक न्यूटन ने हेनरी ओल्डेनबर्ग के माध्यम से ह्यूजेंस का काम प्राप्त किया और जवाब दिया कि मैं आपसे प्रार्थना करता हूं, मेरा विनम्र धन्यवाद....मुझे खुशी है कि हम विज़ सेंट्रीफुगा के एक और प्रवचन की प्राकल्पना कर सकते हैं, जो अटकलें प्राकृतिक दर्शन और खगोल विज्ञान, साथ ही यांत्रिकी में अच्छे उपयोग को प्रमाणित कर सकती हैं। 1687 में, दार्शनिक नेचुरलिस प्रिंसिपिया मैथेमेटिका में, न्यूटन ने आगे विज़ सेंट्रीफुगा (अपकेन्द्रीय बल ) विकसित किया। इस समय के आसपास, अवधारणा को न्यूटन, गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज़ और रॉबर्ट हूक द्वारा भी विकसित किया गया है।

18 वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में, अपकेन्द्री बल की आधुनिक अवधारणा एक घूर्णन संदर्भ में उत्पन्न होने वाली काल्पनिक बल के रूप में विकसित हुई। अपकेन्द्रीय बल ने भी पूर्ण गति का पता लगाने के बारे में शास्त्रीय यांत्रिकी में बहस में एक भूमिका निभाई है। न्यूटन ने इस सवाल का जवाब देने के लिए दो तर्कों का सुझाव दिया कि क्या पूर्ण घूर्णन का पता लगाया जा सकता है: घूर्णन बकेट तर्क, और घूर्णन क्षेत्र तर्क। न्यूटन के अनुसार, प्रत्येक परिदृश्य में अपकेन्द्री बल ऑब्जेक्ट के स्थानीय फ्रेम (वह फ्रेम जहां वस्तु स्थिर है) में देखा जाएगा, केवल तभी जब फ्रेम पूर्ण स्थान के संबंध में घूम रहा हो।

1883 के आसपास, मच का सिद्धांत प्रस्तावित किया गया था, जहां पूर्ण घूर्णन के बजाय, स्थानीय जड़त्वीय फ्रेम के सापेक्ष दूर के तारों की गति कुछ (काल्पनिक) भौतिक नियम के माध्यम से अपकेन्द्री बल और अन्य जड़ता प्रभावों के माध्यम से जन्म देती है। आज का दृष्टिकोण संदर्भ के एक जड़त्वीय फ्रेम के विचार पर आधारित है, जो विशेषाधिकार पर्यवेक्षकों के लिए है, जिसके लिए भौतिकी के नियम उनके सरलतम रूप में लेते हैं, और विशेष रूप से, फ्रेम जो गति के अपने समीकरणों में अपकेन्द्री बलों का उपयोग नहीं करते हैं ताकि गति का वर्णन किया जा सकेसही तरीके से।

1914 के आसपास, अपकेन्द्री बल (कभी -कभी कृत्रिम गुरुत्वाकर्षण बनाने के लिए उपयोग किया जाता है) और गुरुत्वाकर्षण बलों के बीच सादृश्यता ने सामान्य सापेक्षता के समतुल्य सिद्धांत का नेतृत्व किया।

परिचय
अपकेन्द्री बल एक घूर्णन संदर्भ फ्रेम में एक बाहरी बल स्पष्ट है। यह तब उपस्थित नहीं होता है जब किसी सिस्टम को संदर्भ के एक जड़त्वीय फ्रेम के सापेक्ष वर्णित किया जाता है।

स्थिति और वेग के सभी मापों को संदर्भ के कुछ फ्रेम के सापेक्ष बनाया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, उड़ान में एक वायु-मार्ग में किसी वस्तु की गति का विश्लेषण वायु-मार्ग के सापेक्ष, पृथ्वी की सतह, या यहां तक कि सूर्य के सापेक्ष बनाया जा सकता है। एक संदर्भ फ्रेम जो सरलता से होता है (या एक जो बिना घूर्णन के साथ चलता है और निरंतर वेग पर होता है) तय तारों के सापेक्ष सामान्यतः एक जड़त्वीय फ्रेम होता है। किसी भी प्रणाली का विश्लेषण एक जड़त्वीय फ्रेम में किया जा सकता है (और इसलिए कोई अपकेन्द्री बल के साथ)। हालांकि, एक घूर्णन फ्रेम का उपयोग करके एक घूर्णन प्रणाली का वर्णन करना प्रायः अधिक सुविधाजनक होता है - गणना सरल होती है, और अधिक सहज ज्ञान युक्त होती है। जब यह विकल्प बनाया जाता है, तो अपकेन्द्री बल सहित काल्पनिक ताकतें उत्पन्न होती हैं। अपने मूल के माध्यम से एक अक्ष के बारे में घूमते हुए एक संदर्भ फ्रेम में, सभी वस्तुएं, उनकी गति की स्थिति की परवाह किए बिना, एक त्रिज्यीय (घूर्णन की धुरी से) बाहरी बल के प्रभाव के तहत दिखाई देती हैं, जो कि उनके द्रव्यमान के लिए आनुपातिक है, दूरी तकफ्रेम के घूर्णन की धुरी से, और फ्रेम के कोणीय वेग के वर्ग तक बल कार्य करता है। यह अपकेन्द्री बल है, जैसा कि मनुष्य सामान्यतः घूर्णन संदर्भ फ्रेम के भीतर से अपकेन्द्री बल का अनुभव करते हैं, उदा के लिए, मीरा-गो-राउंड या वाहन पर, यह अभिकेंद्री बल की तुलना में बहुत अधिक प्रसिद्ध है।

एक घूर्णन फ्रेम के सापेक्ष गति एक और कोरिओलिस बल (काल्पनिक बल) में परिणाम होती है, यदि फ्रेम के घूर्णन की दर बदल जाती है, तो एक तीसरा काल्पनिक बल (यूलर बल) की आवश्यकता होती है। ये काल्पनिक बल एक घूर्णन संदर्भ फ्रेम में गति के सही समीकरणों के निर्माण के लिए आवश्यक हैं और न्यूटन के नियमों को इस तरह के फ्रेम में अपने सामान्य रूप में उपयोग करने की अनुमति दें (एक अपवाद के साथ: काल्पनिक बल न्यूटन के तीसरे नियम का पालन नहीं करते हैं: उनके पास कोई समान और विपरीत समकक्ष नहीं हैं)। न्यूटन के तीसरे नियम के लिए समकक्षों को संदर्भ के एक ही फ्रेम के भीतर उपस्थित होने की आवश्यकता होती है, इसलिए अपकेन्द्री और केन्द्रक बल, जो नहीं करते हैं, वह कार्रवाई और प्रतिक्रिया नहीं हैं (जैसा कि कभी -कभी गलत तरीके से विरोध किया जाता है)।

वाहन ड्राइविंग एक वक्र
एक सामान्य अनुभव जो एक अपकेन्द्री बल के विचार को उत्पन्न करता है, एक वाहन में सवारी करने वाले यात्रियों द्वारा सामना किया जाता है, जैसे कि एक कार, जो दिशा बदल रही है। यदि एक कार एक सीधी सड़क के साथ एक निरंतर गति से यात्रा कर रही है, तो अंदर एक यात्री तेजी से नहीं बढ़ रहा है और न्यूटन के प्रस्ताव के नियम के अनुसार, न्यूटन के गति का दूसरा नियम, उन पर प्रतिक्रिया करने वाला शुद्ध बल शून्य है (सभी बलों पर कार्य करने वाले सभी बल कार्य करते हैं जो प्रतिक्रिया करते हैं जो कार्य कर रहे हैं)। यदि कार एक वक्र में प्रवेश करती है जो बाईं ओर झुकती है, तो यात्री एक स्पष्ट बल का अनुभव करता है जो उन्हें दाईं ओर खींचता हुआ प्रतीत होता है। यह काल्पनिक अपकेन्द्री बल है। कार के सापेक्ष सही होने के लिए तेज करना प्रारम्भ करने के लिए उनकी अचानक प्रवृत्ति को समझाने के लिए यात्रियों के स्थानीय फ्रेम के संदर्भ में यह आवश्यक है - एक प्रवृत्ति जो उन्हें कार के लिए एक सही बल लागू करके विरोध करना चाहिए (उदाहरण के लिए, एक घर्षण बल के विपरीत एक घर्षण बलसीट) एक निश्चित स्थिति में रहने के लिए, चूंकि वे सीट को दाईं ओर धकेलते हैं, इसलिए न्यूटन के तीसरे नियम का कहना है कि सीट उन्हें बाईं ओर धकेलती है। अपकेन्द्री बल को यात्री के संदर्भ फ्रेम में सम्मिलित किया जाना चाहिए (जिसमें यात्री सरलता पर रहता है): यह सीट द्वारा यात्री पर लागू बाईं ओर बल का प्रतिकार करता है, और बताता है कि यह अन्यथा असंतुलित बल में तेजी लाने का कारण क्यों नहीं बनता है। हालांकि, यह एक स्थिर पर्यवेक्षक के लिए स्पष्ट होगा जो ऊपर एक ओवरपास से देख रहा है कि सीट द्वारा यात्री पर लगाए गए घर्षण बल को संतुलित नहीं किया जा रहा है,यह बाईं ओर एक शुद्ध बल का गठन करता है, जिससे यात्री वक्र के अंदर की ओर तेज हो जाता है, क्योंकि उन्हें एक सीधी रेखा में आगे बढ़ने के बजाय कार के साथ आगे बढ़ने के लिए होना चाहिए। इस प्रकार अपकेन्द्री बल वे आभास करते हैं कि जड़ता के कारण होने वाली एक अपकेन्द्री प्रवृत्ति का परिणाम है। हवाई जहाज और रोलर कॉस्टर में इसी तरह के प्रभाव का सामना किया जाता है, जहां स्पष्ट बल की भयावहता प्रायः जी-फोर्स में बताई जाती है।

एक स्ट्रिंग पर पत्थर
यदि एक पत्थर को एक स्ट्रिंग पर गोल किया जाता है, तो एक क्षैतिज विमान में, क्षैतिज विमान में पत्थर पर काम करने वाला एकमात्र वास्तविक बल स्ट्रिंग द्वारा लागू होता है (गुरुत्वाकर्षण लंबवत कार्य करता है)। क्षैतिज विमान में पत्थर पर एक शुद्ध बल है जो केंद्र की ओर काम करता है।

संदर्भ के एक जड़त्वीय फ्रेम में, यह पत्थर पर प्रतिक्रिया करने वाले इस शुद्ध बल के लिए नहीं था, न्यूटन के प्रस्ताव के नियम के अनुसार, पत्थर एक सीधी रेखा में यात्रा करेगा। न्यूटन के मोशन का पहला नियम पत्थर को एक गोलाकार पथ में स्थानांतरित करने के लिए, स्ट्रिंग द्वारा प्रदान किए गए इस प्रकरण में एक अभिकेंद्री बल, को लगातार पत्थर पर लागू किया जाना चाहिए। जैसे ही इसे हटा दिया जाता है (उदाहरण के लिए यदि स्ट्रिंग टूट जाती है) तो पत्थर एक सीधी रेखा में चलता है, जैसा कि ऊपर से देखा गया है। इस जड़त्वीय फ्रेम में, अपकेन्द्री बल की अवधारणा की आवश्यकता नहीं है क्योंकि सभी गति को केवल वास्तविक बलों और न्यूटन के गति के नियमों का उपयोग करके ठीक से वर्णित किया जा सकता है।

पत्थर के रूप में एक ही अक्ष के चारों ओर पत्थर के साथ घूमने वाले संदर्भ के एक फ्रेम में, पत्थर स्थिर है। हालांकि, स्ट्रिंग द्वारा लागू बल अभी भी पत्थर पर काम कर रहा है। यदि कोई न्यूटन के नियमों को अपने सामान्य (जड़त्वीय फ्रेम) रूप में लागू करने के लिए था, तो कोई यह निष्कर्ष निकालता है कि पत्थर को शुद्ध लागू बल की दिशा में तेजी लाना चाहिए - घूर्णन की धुरी को छीनता है - जो यह नहीं करता है। न्यूटन के रोटेटिंग फ्रेम में गति के नियमों को लागू करने के लिए अपकेन्द्रीय बल और अन्य काल्पनिक बलों को वास्तविक बलों के साथ सम्मिलित किया जाना चाहिए।

पृथ्वी
पृथ्वी एक घूर्णन संदर्भ फ्रेम का गठन करती है क्योंकि यह पृथ्वी के घूर्णन को अपनी धुरी के चारों ओर घुमाता है। क्योंकि घूर्णन धीमा होता है, इसलिए जो काल्पनिक ताकतें पैदा करती हैं, वे प्रायः छोटी होती हैं, और रोजमर्रा की स्थितियों में सामान्यतः उपेक्षित हो सकती है। उच्च परिशुद्धता की आवश्यकता वाले गणनाओं में भी, अपकेन्द्री बल को सामान्यतः स्पष्ट रूप से सम्मिलित नहीं किया जाता है, बल्कि गुरुत्वाकर्षण बल के साथ गांठ किया जाता है: पृथ्वी की सतह पर किसी भी बिंदु पर पृथ्वी के स्थानीय गुरुत्वाकर्षण की ताकत और दिशा वास्तव में गुरुत्वाकर्षण और अपकेन्द्री का एक संयोजन है। ताकतों। हालांकि, काल्पनिक बल मनमाने आकार के हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक पृथ्वी-बाउंड संदर्भ प्रणाली में, काल्पनिक बल (कोरिओलिस और अपकेन्द्री बलों का जाल) बहुत बड़ा है और पृथ्वी के चारों ओर (पृथ्वी-बाउंड संदर्भ प्रणाली में) की परिक्रमा करने के लिए उत्तरदायी है। यह सूर्य के बड़े द्रव्यमान और वेग (पृथ्वी के सापेक्ष) के कारण है।

भूमध्य रेखा पर किसी वस्तु का वजन
यदि किसी वस्तु को पृथ्वी के ध्रुवों में से एक पर साधारण स्प्रिंग संतुलन के साथ तौला जाता है, तो वस्तु पर कार्य करने वाली दो ताकतें हैं: पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण, जो नीचे की दिशा में कार्य करता है, और स्प्रिंग में समान और विपरीत बहाल बल, ऊपर की ओर कार्य करता है। चूंकि ऑब्जेक्ट स्थिर है और तेज नहीं है, इसलिए वस्तु पर कोई शुद्ध बल कार्य नहीं होता है और स्प्रिंग से बल ऑब्जेक्ट पर गुरुत्वाकर्षण के बल के बराबर होता है। इस प्रकरण में, संतुलन वस्तु पर गुरुत्वाकर्षण के बल का मूल्य दिखाता है।

जब एक ही वस्तु को भूमध्य रेखा पर तौला जाता है, तो वही दो वास्तविक बल वस्तु पर कार्य करते हैं। हालांकि, वस्तु एक गोलाकार पथ में आगे बढ़ रही है क्योंकि पृथ्वी घूमती है और इसलिए एक अभिकेंद्री त्वरण का अनुभव करती है। जब एक जड़त्वीय फ्रेम में माना जाता है (यह कहना है, एक जो पृथ्वी के साथ नहीं घूम रहा है), गैर-शून्य त्वरण का मतलब है कि गुरुत्वाकर्षण का बल स्प्रिंग से बल के साथ संतुलन नहीं करेगा। एक शुद्ध अभिकेंद्री बल होने के लिए, स्प्रिंग के बहाल बल की भयावहता गुरुत्वाकर्षण के बल की परिमाण से कम होनी चाहिए। स्प्रिंग में कम पुनर्स्थापना बल पैमाने पर कम वजन के रूप में परिलक्षित होता है - ध्रुवों की तुलना में भूमध्य रेखा पर लगभग 0.3% कम। पृथ्वी संदर्भ फ्रेम में (जिसमें वस्तु को तौला जा रहा है), ऑब्जेक्ट में तेजी नहीं दिखाई देती है, हालांकि दो वास्तविक बलों, गुरुत्वाकर्षण और स्प्रिंग से बल, एक ही परिमाण हैं और संतुलन नहीं करते हैं। त्वरण की स्पष्ट कमी से मेल खाने के लिए बलों का योग शून्य बनाने के लिए अपकेन्द्री बल को सम्मिलित किया जाना चाहिए।

Note: ''In fact, the observed weight difference is more — about 0.53%. Earth's gravity is a bit stronger at the poles than at the equator, because the Earth is not a perfect sphere, so an object at the poles is slightly closer to the center of the Earth than one at the equator, this effect combines with the centrifugal force to produce the observed weight difference.''

व्युत्पत्ति
निम्नलिखित औपचारिकता के लिए, संदर्भ के घूर्णन फ्रेम को एक गैर-निरर्थक संदर्भ फ्रेम के एक विशेष प्रकरण के रूप में माना जाता है जो एक जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम के सापेक्ष घूर्णन कर रहा है जो स्थिर फ्रेम को दर्शाता है।

एक घूर्णन फ्रेम में समय डेरिवेटिव
संदर्भ के एक घूर्णन फ्रेम में, किसी भी वेक्टर फ़ंक्शन का समय व्युत्पन्न $P$ समय -जैसे कि किसी वस्तु के वेग और त्वरण वैक्टर - स्थिर फ्रेम में अपने समय डेरिवेटिव से भिन्न होंगे। यदि $P_{1} P_{2}, P_{3}$ के घटक हैं $P$ यूनिट वैक्टर के संबंध में $i, j, k$ घूर्णन फ्रेम की कुल्हाड़ियों के साथ निर्देशित (यानी $P = P_{1} i + P_{2} j +P_{3} k$), फिर पहली बार व्युत्पन्न $[dP/dt]$ का $P$ घूर्णन फ्रेम के संबंध में, परिभाषा के अनुसार, $dP_{1}/dt i + dP_{2}/dt j + dP_{3}/dt k$। यदि घूर्णन फ्रेम का पूर्ण कोणीय वेग है $ω$ फिर व्युत्पन्न $dP/dt$ का $P$ स्थिर फ्रेम के संबंध में संबंधित है $[dP/dt]$ समीकरण द्वारा: $$\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{P}}{\mathrm{d}t} = \left[\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{P}}{\mathrm{d}t}\right] + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{P}\ ,$$ जहाँ पर $$\times$$ वेक्टर क्रॉस उत्पाद को दर्शाता है। दूसरे शब्दों में, परिवर्तन की दर $P$ स्थिर फ्रेम में घूर्णन फ्रेम में परिवर्तन की स्पष्ट दर और घूर्णन की दर का योग है $$\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{P}$$ घूर्णन फ्रेम की गति के लिए उत्तरदायी वेक्टर $ω$ परिमाण है $ω$ घूर्णन की दर के बराबर और दाएं हाथ के नियम के अनुसार घूर्णन की धुरी के साथ निर्देशित किया जाता है।

त्वरण
द्रव्यमान के एक कण के लिए न्यूटन की गति का नियम $m$ वेक्टर रूप में लिखा गया है: $$\boldsymbol{F} = m\boldsymbol{a}\ ,$$ जहाँ पर $F$ कण पर लागू भौतिक बलों का वेक्टर योग है और $a$ कण के पूर्ण त्वरण (अर्थात, एक जड़त्वीय फ्रेम में त्वरण) है, द्वारा दिया गया है: $$ \boldsymbol{a}=\frac{\mathrm{d}^2\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t^2} \, $$ जहाँ पर $r$ कण की स्थिति वेक्टर है।

स्टेशनरी से ऊपर के परिवर्तन को तीन बार घूर्णन फ्रेम में लागू करके (दो बार से दो बार $\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}$ और एक बार करने के लिए $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}\right]$ ), कण के पूर्ण त्वरण के रूप में लिखा जा सकता है: $$\begin{align} \boldsymbol{a} &=\frac{\mathrm{d}^2\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t^2} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \left[\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}\right] + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}\ \right) \\ &= \left[ \frac{\mathrm{d}^2 \boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t^2} \right] + \boldsymbol{\omega}\times \left[ \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t} \right] + \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\omega}}{\mathrm{d}t}\times\boldsymbol{r} + \boldsymbol{\omega} \times \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t} \\ &= \left[ \frac{\mathrm{d}^2 \boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t^2} \right] + \boldsymbol{\omega}\times \left[ \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t} \right] + \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\omega}}{\mathrm{d}t}\times\boldsymbol{r} + \boldsymbol{\omega} \times \left( \left[\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}\right] + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}\ \right) \\ &= \left[ \frac{\mathrm{d}^2 \boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t^2} \right] + \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\omega}}{\mathrm{d}t}\times\boldsymbol{r} + 2 \boldsymbol{\omega}\times \left[ \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t} \right] + \boldsymbol{\omega}\times ( \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}) \. \end{align}$$

बल
घूर्णन फ्रेम में स्पष्ट त्वरण है $$ \left[\frac{\mathrm d^2\boldsymbol{r} }{\mathrm dt^2}\right] $$। घूर्णन से अनभिज्ञ एक पर्यवेक्षक यह प्राकल्पना करेगा कि यह बाहरी बलों की अनुपस्थिति में शून्य होगा। हालांकि, न्यूटन के गति के नियम केवल जड़त्वीय फ्रेम में लागू होते हैं और पूर्ण त्वरण के संदर्भ में गतिशीलता का वर्णन करते हैं $$ \frac{\mathrm d^2\boldsymbol{r} }{\mathrm dt^2} $$। इसलिए, पर्यवेक्षक अतिरिक्त शब्दों को काल्पनिक बलों के कारण योगदान के रूप में मानता है। स्पष्ट त्वरण में ये शब्द द्रव्यमान से स्वतंत्र हैं,तो ऐसा प्रतीत होता है कि इन काल्पनिक बलों में से प्रत्येक, गुरुत्वाकर्षण की तरह, अपने द्रव्यमान के अनुपात में एक वस्तु पर खींचता है। जब इन बलों को जोड़ा जाता है, तो गति के समीकरण का रूप होता है: $$\boldsymbol{F} - m\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\omega}}{\mathrm{d}t}\times\boldsymbol{r} - 2m \boldsymbol{\omega}\times \left[ \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t} \right] - m\boldsymbol{\omega}\times (\boldsymbol{\omega}\times \boldsymbol{r}) = m\left[ \frac{\mathrm{d}^2 \boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t^2} \right] \ .$$ घूर्णन फ्रेम के दृष्टिकोण से, अतिरिक्त बल की शर्तों को वास्तविक बाहरी बलों की तरह ही अनुभव किया जाता है और स्पष्ट त्वरण में योगदान किया जाता है। समीकरण के बल पक्ष पर अतिरिक्त शर्तों को मान्यता दी जा सकती है, बाएं से दाएं, यूलर बल को पढ़ना $$-m \mathrm{d}\boldsymbol{\omega}/\mathrm{d}t \times\boldsymbol{r}$$, कोरिओलिस बल $$-2m \boldsymbol{\omega}\times \left[ \mathrm{d} \boldsymbol{r}/\mathrm{d}t \right]$$, और अपकेन्द्री बल $$-m\boldsymbol{\omega}\times (\boldsymbol{\omega}\times \boldsymbol{r})$$, क्रमश। अन्य दो काल्पनिक बलों के विपरीत, अपकेन्द्री बल हमेशा घूर्णन फ्रेम के घूर्णन की धुरी से बाहर की ओर त्रिज्यीय रूप से इंगित करता है, परिमाण के साथ $mω^{2}r$, और विशेष रूप से कोरिओलिस बल के विपरीत, यह घूर्णन फ्रेम में कण की गति से स्वतंत्र है। जैसा कि अपेक्षित था, संदर्भ के एक गैर-घूर्णन जड़त्वीय फ्रेम के लिए $$(\boldsymbol\omega=0)$$ अपकेन्द्री बल और अन्य सभी काल्पनिक बल गायब हो जाते हैं। इसी तरह, चूंकि अपकेन्द्री बल वस्तु से फ्रेम के घूर्णन की धुरी तक की दूरी के लिए आनुपातिक है, अपकेन्द्री बल उन वस्तुओं के लिए गायब हो जाता है जो अक्ष पर झूठ बोलते हैं।

निरपेक्ष रोटेशन


न्यूटन द्वारा तीन परिदृश्यों का सुझाव दिया गया था कि क्या स्थानीय फ्रेम के पूर्ण घूर्णन का पता लगाया जा सकता है,यही है, यदि कोई पर्यवेक्षक यह तय कर सकता है कि एक मनाया गया वस्तु घूम रही है या यदि पर्यवेक्षक घूम रहा है।
 * पानी की सतह का आकार घूर्णन बाल्टी सतह का आकार तरल पर अन्य बलों के विपरीत अपकेन्द्री बल को संतुलित करने के लिए अवतल हो जाता है।
 * एक स्ट्रिंग में तनाव उनके द्रव्यमान के केंद्र के बारे में दो घूर्णन क्षेत्रों में सम्मिलित होता है। स्ट्रिंग में तनाव प्रत्येक क्षेत्र पर अपकेन्द्री बल के लिए आनुपातिक होगा क्योंकि यह द्रव्यमान के सामान्य केंद्र के चारों ओर घूमता है।

इन परिदृश्यों में, अपकेन्द्री बल के लिए उत्तरदायी प्रभाव केवल स्थानीय फ्रेम (जिस फ्रेम में ऑब्जेक्ट स्थिर है) में देखे जाते हैं, यदि वस्तु एक जड़त्वीय फ्रेम के सापेक्ष पूर्ण घूर्णन से गुजर रही है। इसके विपरीत, एक जड़त्वीय फ्रेम में, अवलोकन प्रभाव जड़ता के परिणामस्वरूप और एक अपकेन्द्री बल को पेश करने की आवश्यकता के बिना ज्ञात बलों के परिणामस्वरूप उत्पन्न होता है। इस तर्क के आधार पर, विशेषाधिकार प्राप्त फ्रेम, जिसमें भौतिकी के नियम सबसे सरल रूप में लेते हैं, एक स्थिर फ्रेम है जिसमें किसी भी काल्पनिक बलों को साधारणंत्रित करने की आवश्यकता नहीं है।

भौतिकी के इस दृष्टिकोण के भीतर, किसी भी अन्य घटना को जो सामान्यतः अपकेन्द्री बल के लिए उत्तरदायी ठहराया जाता है, का उपयोग पूर्ण घूर्णन की पहचान करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, स्वतंत्र रूप से बहने वाली सामग्री के एक क्षेत्र की विस्मरण को प्रायः अपकेन्द्री बल के संदर्भ में समझाया जाता है। ओब्लेट स्पेरॉयड आकार, क्लैयरट के प्रमेय के बाद, गुरुत्वाकर्षण आकर्षण द्वारा रोकथाम और अपकेन्द्री बल द्वारा फैलाव के बीच संतुलन को दर्शाता है। कि पृथ्वी अपने आप में एक अंडाकार आकृति है, भूमध्य रेखा पर उभड़ा हुआ है जहां त्रिज्यीय दूरी और इसलिए अपकेन्द्री बल बड़ा है, इसके पूर्ण घूर्णन के लिए सबूतों में से एक के रूप में लिया जाता है।

अनुप्रयोग
कई सामान्य घूर्णन यांत्रिक प्रणालियों के संचालन को अपकेन्द्री बल के संदर्भ में सबसे आसानी से अवधारणा की जाती है। उदाहरण के लिए:

फिर भी, इन सभी प्रणालियों को मध्यस्थता बल की अवधारणा की आवश्यकता के बिना भी वर्णित किया जा सकता है, एक स्थिर फ्रेम में गतियों और बलों के संदर्भ में, सिस्टम के भीतर बलों और गतियों के विचार में कुछ अधिक देखभाल करने की कीमत पर कार्य करता है।
 * एक अपकेन्द्री गवर्नर कताई द्रव्यमान का उपयोग करके एक इंजन की गति को नियंत्रित करता है जो कि त्रिज्यीय रूप से चलते हैं, गला घोंटना को समायोजित करते हैं, जैसे कि इंजन की गति बदलती है। कताई द्रव्यमान के संदर्भ फ्रेम में, अपकेन्द्री बल त्रिज्यीय गतिविधि का कारण बनता है।
 * एक अपकेन्द्री क्लच का उपयोग छोटे इंजन-संचालित उपकरणों जैसे चेन आरी, गो-कार्ट और मॉडल हेलीकॉप्टरों में किया जाता है। यह इंजन को डिवाइस को चलाए बिना प्रारम्भ करने और निष्क्रिय करने की अनुमति देता है, लेकिन इंजन की गति बढ़ने के साथ स्वचालित रूप से और सुचारू रूप से ड्राइव को संलग्न करता है। सेल्फ-लॉकिंग डिवाइस इन्टेरियल ड्रम ब्रेक एस्केंडर रॉक क्लिंबिंग में उपयोग किया जाता है और कई ऑटोमोबाइल सीट बेल्ट में उपयोग की जाने वाली सीट बेल्ट तकनीक एक ही सिद्धांत पर काम करती है।
 * अपकेन्द्री बलों का उपयोग कृत्रिम गुरुत्वाकर्षण उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है, जैसा कि अंतरिक्ष स्टेशनों को घुमाने के लिए प्रस्तावित डिजाइनों में है। मंगल गुरुत्वाकर्षण बायोसैटेलाइट ने इस तरह से नकली गुरुत्वाकर्षण के साथ चूहों पर मंगल-स्तरीय गुरुत्वाकर्षण के प्रभावों का अध्ययन किया होगा।
 * स्पिन कास्टिंग और अपकेन्द्री कास्टिंग औद्योगिक) उत्पादन विधियां हैं जो एक मोल्ड के नकारात्मक स्थान पर तरल धातु या प्लास्टिक को फैलाने के लिए अपकेन्द्री बल का उपयोग करते हैं।
 * अलग -अलग पदार्थों के लिए विज्ञान और उद्योग में सेंट्रीफ्यूज का उपयोग किया जाता है। सेंट्रीफ्यूज के साथ कताई संदर्भ फ्रेम में, अपकेन्द्री बल तरल पदार्थ से भरे ट्यूबों में एक हाइड्रोस्टेटिक दबाव ढाल को प्रेरित करता है, जो घूर्णन की धुरी के लिए लंबवत उन्मुख होता है, जिससे बड़े उछाल वाले बलों को उत्पन्न करता है जो कम घनत्व वाले कणों को अंदर की ओर धकेलते हैं। तत्व या कण सघनता से द्रव की तुलना में अपकेन्द्रीय बल के प्रभाव के तहत बाहर की ओर बढ़ते हैं। यह प्रभावी रूप से आर्किमिडीज का सिद्धांत है जैसा कि अपकेन्द्रीय बल द्वारा उत्पन्न किया गया है, जैसा कि गुरुत्वाकर्षण द्वारा उत्पन्न होने के विपरीत है।
 * कुछ मनोरंजन की सवारी अपकेन्द्री बलों का उपयोग करती है। उदाहरण के लिए, एक ग्रेविट्रोन का स्पिन एक दीवार के विपरीत सवारों को विवश करता है और सवारों को पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण की अवहेलना में मशीन के फर्श से ऊपर ऊंचा होने की अनुमति देता है।

शब्द के अन्य उपयोग
जबकि अधिकांश वैज्ञानिक साहित्य शब्द अपकेन्द्री बल शब्द का उपयोग विशेष काल्पनिक बल को संदर्भित करने के लिए करता है जो घूमने वाले फ्रेम में उत्पन्न होता है, अन्य विशिष्ट भौतिक अवधारणाओं पर लागू शब्द के साहित्य में कुछ सीमित उदाहरण हैं। इनमें से एक उदाहरण लार्जानियन यांत्रिकी में होता है। लगरंगिआन यांत्रिकी सामान्यीकृत निर्देशांक {q के संदर्भ में यांत्रिकी तैयार करता हैk}, जो सामान्य ध्रुवीय निर्देशांक के रूप में सरल हो सकता है $$(r,\ \theta)$$ या चर की एक अधिक व्यापक सूची निर्धारित की जाती है। इस सूत्रीकरण के भीतर गति को सामान्यीकृत बल के संदर्भ में वर्णित किया गया है, न्यूटन के नियमों के स्थान पर उपयोग करते हुए यूलर -लाग्रेंज समीकरण यूलर और समीकरण सामान्यीकृत बलों के बीच, जो समय डेरिवेटिव के वर्ग को सम्मिलित करते हैं  जिसको कभी -कभी अपकेन्द्री बल कहा जाता है।    एक केंद्रीय क्षमता में गति के प्रकरण में लैग्रैन्जियन अपकेन्द्री बल का एक ही रूप है, जो एक सह-घूर्णन फ्रेम में व्युत्पन्न काल्पनिक अपकेन्द्री बल है। हालांकि, अन्य में अपकेन्द्री बल का लैग्रैन्जियन उपयोग, अधिक सामान्य मामलों में न्यूटोनियन परिभाषा से केवल एक सीमित संबंध है।

एक अन्य उदाहरण में यह शब्द प्रतिक्रिया (भौतिकी) बल को एक अभिकेंद्री बल, या प्रतिक्रियाशील अपकेन्द्री बल को संदर्भित करता है। घुमावदार गति से गुजरने वाला एक निकाय, जैसे कि गोलाकार गति, समय में किसी भी विशेष बिंदु पर एक केंद्र की ओर बढ़ रहा है। यह अभिकेंद्री त्वरण एक अभिकेंद्री बल द्वारा प्रदान किया जाता है, जो निकाय पर कुछ अन्य निकाय द्वारा घुमावदार गति में लगाया जाता है। न्यूटन के मोशन के नियमों के अनुसार#न्यूटन के तीसरे नियम | न्यूटन के गति के तीसरे नियम, घुमावदार मोशन में निकाय दूसरे निकाय पर एक समान और विपरीत बल को बढ़ाता है। यह प्रतिक्रिया (भौतिकी) बल निकाय द्वारा दूसरे निकाय पर घुमावदार गति में निकाला जाता है जो अभिकेंद्री बल प्रदान करता है और इसकी दिशा उस दूसरे निकाय से घुमावदार गति में निकाय की ओर होती है। इस प्रतिक्रिया बल को कभी -कभी एक अपकेन्द्री जड़त्वीय प्रतिक्रिया के रूप में वर्णित किया जाता है, अर्थात्, एक बल जो सेंट्रीफ्यूगली निर्देशित है, जो एक प्रतिक्रियाशील बल है जो अभिकेंद्री बल के बराबर और विपरीत है जो द्रव्यमान के मार्ग को घुमावदार कर रहा है।

प्रतिक्रियाशील अपकेन्द्री बल की अवधारणा का उपयोग कभी -कभी यांत्रिकी और इंजीनियरिंग में किया जाता है। इसे कभी -कभी प्रतिक्रियाशील अपकेन्द्री बल के बजाय सिर्फ अपकेन्द्री बल के रूप में संदर्भित किया जाता है यद्यपि यह उपयोग प्राथमिक यांत्रिकी में पदावनत है।

यह भी देखें

 * घूर्णन जनता का संतुलन
 * त्वरण का अपकेन्द्री तंत्र
 * समतुल्यता सिद्धांत
 * लोक भौतिकी
 * लैग्रैन्जियन प्वाइंट
 * लाम समीकरण