कम्प्यूटेशनल द्रव गतिकी

कम्प्यूटेशनल द्रव गतिकी (सीएफडी) द्रव यांत्रिकी  की एक शाखा है जो  तरल  गतिकी से जुड़ी समस्याओं का विश्लेषण और समाधान करने के लिए  संख्यात्मक विश्लेषण  और  डेटा संरचना ओं का उपयोग करती है। कंप्यूटर का उपयोग द्रव के मुक्त-धारा प्रवाह को अनुकरण करने के लिए आवश्यक गणना करने के लिए किया जाता है, और सीमा मूल्य समस्या # सीमा मूल्य स्थितियों द्वारा परिभाषित सतहों के साथ तरल पदार्थ (तरल पदार्थ और  गैस ों) की बातचीत। उच्च गति वाले  सुपर कंप्यूटर ों के साथ, बेहतर समाधान प्राप्त किए जा सकते हैं, और अक्सर सबसे बड़ी और सबसे जटिल समस्याओं को हल करने के लिए इसकी आवश्यकता होती है। चल रहे शोध से सॉफ्टवेयर प्राप्त होता है जो  ट्रांसोनिक  या  अशांति  प्रवाह जैसे जटिल सिमुलेशन परिदृश्यों की सटीकता और गति में सुधार करता है। ऐसे सॉफ़्टवेयर का प्रारंभिक सत्यापन आमतौर पर प्रायोगिक उपकरण जैसे पवन सुरंगों का उपयोग करके किया जाता है। इसके अलावा, किसी विशेष समस्या के पहले किए गए बंद-रूप समाधान या अनुभवजन्य शोध विश्लेषण का उपयोग तुलना के लिए किया जा सकता है।  उड़ान परीक्षण ों जैसे पूर्ण पैमाने पर परीक्षण का उपयोग करके एक अंतिम सत्यापन अक्सर किया जाता है।

सीएफडी अध्ययन और उद्योगों के कई क्षेत्रों में अनुसंधान और इंजीनियरिंग समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला पर लागू होता है, जिसमें वायुगतिकी  और एयरोस्पेस विश्लेषण,  hypersonics,  संख्यात्मक मौसम भविष्यवाणी , प्राकृतिक विज्ञान और पर्यावरण इंजीनियरिंग, औद्योगिक प्रणाली डिजाइन और विश्लेषण,  जैविक इंजीनियरिंग , द्रव प्रवाह और शामिल हैं। गर्मी हस्तांतरण,  इंजन  और  दहन  विश्लेषण, और फिल्म और खेलों के लिए दृश्य प्रभाव।

पृष्ठभूमि और इतिहास
लगभग सभी सीएफडी समस्याओं का मूल आधार नेवियर-स्टोक्स समीकरण है, जो कई एकल-चरण (गैस या तरल, लेकिन दोनों नहीं) द्रव प्रवाह को परिभाषित करता है। इन समीकरणों को यूलर समीकरण (द्रव गतिकी)  प्राप्त करने के लिए चिपचिपी क्रियाओं का वर्णन करने वाले शब्दों को हटाकर सरल बनाया जा सकता है। आगे सरलीकरण,  vorticity  का वर्णन करने वाले शब्दों को हटाकर  पूर्ण संभावित समीकरण  प्राप्त करता है। अंत में, सबसोनिक और  पराध्वनिक  प्रवाह (ट्रांसोनिक या  आवाज़ से जल्द  नहीं) में छोटे  गड़बड़ी सिद्धांत ों के लिए इन समीकरणों को रैखिक रूप से संभावित समीकरण प्राप्त करने के लिए रैखिककरण किया जा सकता है।

ऐतिहासिक रूप से, पहली बार रैखिककृत संभावित समीकरणों को हल करने के लिए विधियों का विकास किया गया था। 1930 के दशक में एक सिलेंडर (ज्यामिति)  के प्रवाह के एक  airfoil  के प्रवाह के प्रवाह के  अनुरूप परिवर्तन ों का उपयोग करते हुए द्वि-आयामी (2 डी) विधियों का विकास किया गया था। आधुनिक सीएफडी के समान प्रारंभिक प्रकार की गणना लुईस फ्राई रिचर्डसन  द्वारा की जाती है, इस अर्थ में कि इन गणनाओं में परिमित अंतर का उपयोग किया जाता है और कोशिकाओं में भौतिक स्थान को विभाजित किया जाता है। हालांकि वे नाटकीय रूप से विफल रहे, रिचर्डसन की पुस्तक वेदर प्रेडिक्शन बाय न्यूमेरिकल प्रोसेस के साथ मिलकर ये गणनाएँ, आधुनिक सीएफडी और संख्यात्मक मौसम विज्ञान के लिए आधार निर्धारित करें। वास्तव में, 1940 के दशक के दौरान  ENIAC  का उपयोग करते हुए प्रारंभिक CFD गणनाओं ने रिचर्डसन की 1922 की पुस्तक के करीब विधियों का उपयोग किया। कंप्यूटर की शक्ति ने त्रि-आयामी अंतरिक्ष के विकास को गति प्रदान की| त्रि-आयामी विधियाँ। संभवत: नवियर-स्टोक्स समीकरणों द्वारा नियंत्रित द्रव प्रवाह को मॉडल करने के लिए कंप्यूटर का उपयोग करने वाला पहला काम, T3 समूह में लॉस अलामोस नेशनल लैब  में किया गया था। इस समूह का नेतृत्व फ्रांसिस एच. हारलो ने किया था, जिन्हें व्यापक रूप से CFD के अग्रदूतों में से एक माना जाता है। 1957 से 1960 के दशक के अंत तक, इस समूह ने क्षणिक द्वि-आयामी द्रव प्रवाह का अनुकरण करने के लिए कई प्रकार की संख्यात्मक विधियों का विकास किया, जैसे कण-इन-सेल  विधि, द्रव-इन-सेल विधि,  वर्टिसिटी स्ट्रीम फ़ंक्शन  विधि, और मार्कर-एंड-सेल विधि । 2डी, क्षणिक, असंपीड़ित प्रवाह के लिए Fromm की वर्टिसिटी-स्ट्रीम-फंक्शन विधि दुनिया में असंपीड्य प्रवाह को दृढ़ता से विकृत करने का पहला उपचार था।

त्रि-आयामी मॉडल वाला पहला पेपर जॉन हेस और ए.एम.ओ. द्वारा प्रकाशित किया गया था। 1967 में डगलस विमान  के स्मिथ। रेफरी> इस पद्धति ने पैनलों के साथ ज्यामिति की सतह को अलग कर दिया, जिससे कार्यक्रमों के इस वर्ग को पैनल पद्धति कहा जाने लगा। उनकी पद्धति ही सरलीकृत थी, जिसमें इसमें भारोत्तोलन प्रवाह शामिल नहीं था और इसलिए मुख्य रूप से जहाज़ के पतवार और विमान फ़्यूज़लेज पर लागू किया गया था। 1968 में बोइंग एयरक्राफ्ट के पॉल रबर्ट और गैरी सारिस द्वारा लिखे गए एक पेपर में पहले लिफ्टिंग पैनल कोड (A230) का वर्णन किया गया था। रेफरी> समय के साथ,  बोइंग  (PANAIR, A502) में अधिक उन्नत त्रि-आयामी पैनल कोड विकसित किए गए, रेफरी>  लॉकहीड कॉर्पोरेशन  (क्वाडपैन), रेफरी>  डगलस विमान कंपनी  (HESS), रेफरी>  मैकडॉनेल विमान  (MACAERO), रेफरी> ब्रिस्टो, डीआर, सबसोनिक विश्लेषण और डिजाइन के लिए पैनल विधियों का विकास,  नासा  सीआर-3234, 1980। नासा (पीएमएआरसी) रेफरी>एशबी, डेल एल.; डुडले, माइकल आर.; इगुची, स्टीव के.; ब्राउन, लिंडसे और काट्ज़, जोसेफ, संभावित प्रवाह सिद्धांत और पैनल कोड PMARC के लिए ऑपरेशन गाइड, NASA NASA- TM-102851 1991. और विश्लेषणात्मक तरीके (WBAERO, संदर्भ>वुडवर्ड, एफए, ड्वोरक, एफए और गेलर, ई.डब्ल्यू., सबसोनिक इनविसिड फ्लो में तीन आयामी भारोत्तोलन निकायों के लिए एक कंप्यूटर प्रोग्राम, यूएसएएएमआरडीएल तकनीकी रिपोर्ट, टीआर 74-18, फीट। यूस्टिस, वर्जीनिया, अप्रैल 1974। USAERO रेफरी> और वीएसएईआरओ रेफरी> ). कुछ (PANAIR, HESS और MACAERO) उच्च क्रम कोड थे, सतह विलक्षणता के उच्च क्रम वितरण का उपयोग करते हुए, जबकि अन्य (Quadpan, PMARC, USAERO और VSAERO) प्रत्येक सतह पैनल पर एकल विलक्षणता का उपयोग करते थे। निचले क्रम के कोड का लाभ यह था कि वे उस समय के कंप्यूटरों पर बहुत तेजी से चलते थे। आज, VSAERO एक बहु-क्रम कोड बन गया है और इस वर्ग का सबसे व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला प्रोग्राम है। इसका उपयोग कई पनडुब्बियों, सतह के जहाजों, ऑटोमोबाइल, हेलीकाप्टरों, विमानों और हाल ही में पवन टर्बाइनों के विकास में किया गया है। इसका सिस्टर कोड, USAERO एक अस्थिर पैनल पद्धति है जिसका उपयोग हाई स्पीड ट्रेनों और रेसिंग  नौका  जैसी चीजों के मॉडलिंग के लिए भी किया गया है। VSAERO के प्रारंभिक संस्करण से NASA PMARC कोड और CMARC नाम से PMARC का व्युत्पन्न, व्यावसायिक रूप से भी उपलब्ध है।

द्वि-आयामी क्षेत्र में, एयरफॉइल विश्लेषण और डिजाइन के लिए कई पैनल कोड विकसित किए गए हैं। कोड में आमतौर पर एक सीमा परत  विश्लेषण शामिल होता है, ताकि विस्कोस प्रभाव को मॉडल किया जा सके। Richard Eppler आंशिक रूप से NASA फंडिंग से PROFILE कोड विकसित किया, जो 1980 के दशक की शुरुआत में उपलब्ध हुआ। इसके तुरंत बाद  मार्क ड्रेला  का  XFOIL  कोड आया। प्रोफाइल और एक्सएफओआईएल दोनों में दो-आयामी पैनल कोड शामिल हैं, जिसमें एयरफॉइल विश्लेषण कार्य के लिए युग्मित सीमा परत कोड शामिल हैं। शख्सियत प्रतिलोम एयरफॉइल डिजाइन के लिए एक अनुरूप रूपांतरण विधि का उपयोग करती है, जबकि एक्सएफओआईएल में अनुरूप परिवर्तन और एयरफॉइल डिजाइन के लिए उलटा पैनल विधि दोनों हैं।

पैनल कोड्स और फुल पोटेंशियल कोड के बीच एक मध्यवर्ती कदम कोड थे जो ट्रांसोनिक स्मॉल डिस्टर्बेंस समीकरणों का उपयोग करते थे। विशेष रूप से, त्रि-आयामी विब्को कोड, 1980 के दशक की शुरुआत में ग्रुम्मन विमान  के चार्ली बोप्पे द्वारा विकसित भारी उपयोग देखा गया है। डेवलपर्स पूर्ण संभावित कोड में बदल गए, क्योंकि पैनल विधियां ट्रांसोनिक गति पर मौजूद गैर-रैखिक प्रवाह की गणना नहीं कर सकीं। पूर्ण संभावित समीकरणों का उपयोग करने के साधनों का पहला विवरण 1970 में बोइंग के अर्ल मुरमन और जूलियन कोल  द्वारा प्रकाशित किया गया था।  न्यूयॉर्क विश्वविद्यालय  (एनवाईयू) में कोर्टेंट इंस्टीट्यूट के फ्रांसिस बाउर,  पॉल गारबेडियन  और  डेविड कॉर्न (कंप्यूटर वैज्ञानिक)  ने व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले द्वि-आयामी पूर्ण संभावित एयरफॉइल कोड की एक श्रृंखला लिखी, सबसे महत्वपूर्ण नाम प्रोग्राम एच। प्रोग्राम एच का एक और विकास बॉब मेलनिक और  ग्रुम्मन एयरोस्पेस  में उनके समूह द्वारा ग्रुमफिल के रूप में विकसित किया गया था।  एंटनी जेमिसन, मूल रूप से ग्रुम्मन एयरक्राफ्ट और एनवाईयू के कोर्टेंट इंस्टीट्यूट में, महत्वपूर्ण त्रि-आयामी पूर्ण संभावित कोड FLO22 विकसित करने के लिए डेविड कैघी के साथ काम किया। 1975 में। इसके बाद कई पूर्ण संभावित कोड सामने आए, जो बोइंग के ट्रैनेयर (A633) कोड में समाप्त हुए, जो अभी भी भारी उपयोग देखता है।

अगला कदम यूलर समीकरण था, जिसने ट्रांसोनिक प्रवाह के अधिक सटीक समाधान प्रदान करने का वादा किया था। जेम्सन द्वारा अपने त्रि-आयामी FLO57 कोड में प्रयुक्त पद्धति (1981) का उपयोग अन्य लोगों द्वारा लॉकहीड के टीम कार्यक्रम जैसे कार्यक्रमों के निर्माण के लिए किया गया था और IAI/Analytical Methods' MGAERO कार्यक्रम। MGAERO एक संरचित कार्टेशियन समन्वय प्रणाली जाल कोड होने में अद्वितीय है, जबकि अधिकांश अन्य ऐसे कोड संरचित बॉडी-फिटेड ग्रिड का उपयोग करते हैं (नासा के अत्यधिक सफल CART3D कोड के अपवाद के साथ, लॉकहीड का स्प्लिटफ्लो कोड और जॉर्जिया तकनीकी संस्थान  का NASCART-GT)। एंटनी जेमिसन ने त्रि-आयामी हवाई जहाज कोड भी विकसित किया जिसने असंरचित टेट्राहेड्रल ग्रिड का उपयोग किया।

द्वि-आयामी क्षेत्र में, मार्क ड्रेला और माइकल जाइल्स, जो तब MIT में स्नातक छात्र थे, ने ISES यूलर कार्यक्रम विकसित किया (वास्तव में कार्यक्रमों का एक सूट) एयरफॉइल डिजाइन और विश्लेषण के लिए। यह कोड पहली बार 1986 में उपलब्ध हुआ था और इसे MSES प्रोग्राम के रूप में सिंगल या मल्टी-एलिमेंट एयरफ़ोइल को डिज़ाइन, विश्लेषण और अनुकूलित करने के लिए विकसित किया गया है। MSES दुनिया भर में व्यापक उपयोग देखता है। एक कैस्केड में एयरफ़ॉइल के डिज़ाइन और विश्लेषण के लिए MSES का व्युत्पन्न, MISES है, हेरोल्ड यंगरेन द्वारा विकसित किया गया था जब वह एमआईटी में स्नातक छात्र थे।

नेवियर-स्टोक्स समीकरण विकास का अंतिम लक्ष्य थे। द्वि-आयामी कोड, जैसे NASA एम्स का ARC2D कोड सबसे पहले उभरा। कई त्रि-आयामी कोड विकसित किए गए (एआरसी3डी, अतिप्रवाह (सॉफ्टवेयर), सीएफएल3डी नासा के तीन सफल योगदान हैं), जिससे कई वाणिज्यिक पैकेज तैयार हुए।

द्रव प्रवाह समीकरणों का पदानुक्रम
सीएफडी को कम्प्यूटेशनल पद्धतियों (नीचे चर्चा की गई) के एक समूह के रूप में देखा जा सकता है जिसका उपयोग तरल प्रवाह को नियंत्रित करने वाले समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है। सीएफडी के आवेदन में, एक महत्वपूर्ण कदम यह तय करना है कि समस्या के लिए भौतिक मान्यताओं और संबंधित समीकरणों के किस सेट का उपयोग करने की आवश्यकता है। इस चरण को स्पष्ट करने के लिए, निम्नलिखित एक प्रवाह के समीकरणों में ली गई भौतिक मान्यताओं / सरलीकरणों को सारांशित करता है जो एकल-चरण ( मल्टीफ़ेज़ प्रवाह और दो-चरण प्रवाह देखें), एकल-प्रजाति (यानी, इसमें एक रासायनिक प्रजाति शामिल है), गैर -प्रतिक्रियाशील, और (जब तक अन्यथा न कहा जाए) संकुचित। थर्मल विकिरण की उपेक्षा की जाती है, और गुरुत्वाकर्षण के कारण शरीर की ताकतों पर विचार किया जाता है (जब तक कि अन्यथा न कहा जाए)। इसके अलावा, इस प्रकार के प्रवाह के लिए, अगली चर्चा CFD के साथ हल किए गए प्रवाह समीकरणों के पदानुक्रम पर प्रकाश डालती है। ध्यान दें कि निम्नलिखित में से कुछ समीकरण एक से अधिक तरीकों से प्राप्त किए जा सकते हैं।


 * संरक्षण कानून (सीएल): ये सीएफडी के साथ माने जाने वाले सबसे मौलिक समीकरण हैं, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित सभी समीकरण उनसे प्राप्त किए जा सकते हैं। एकल-चरण, एकल-प्रजाति, संपीड़ित प्रवाह के लिए द्रव्यमान के संरक्षण, रैखिक गति के संरक्षण और ऊर्जा के संरक्षण पर विचार किया जाता है।


 * सातत्य संरक्षण कानून (सीसीएल): सीएल से शुरू करें। मान लें कि द्रव्यमान, संवेग और ऊर्जा स्थानीय रूप से संरक्षित हैं: ये मात्राएँ संरक्षित हैं और एक स्थान से दूसरे स्थान पर टेलीपोर्ट नहीं कर सकते हैं, लेकिन केवल एक निरंतर प्रवाह द्वारा स्थानांतरित हो सकते हैं (निरंतरता समीकरण देखें)। एक अन्य व्याख्या यह है कि व्यक्ति सीएल से शुरू होता है और एक सातत्य माध्यम ग्रहण करता है (सातत्य यांत्रिकी देखें)। समीकरणों की परिणामी प्रणाली स्पष्ट नहीं है क्योंकि इसे हल करने के लिए आगे के रिश्तों/समीकरणों की आवश्यकता है: (ए) चिपचिपा तनाव टेंसर  के लिए संवैधानिक संबंध; (बी) विसारक गर्मी प्रवाह के लिए संवैधानिक संबंध; (सी) राज्य का एक समीकरण (ईओएस), जैसे कि  आदर्श गैस  कानून; और, (डी)  तापीय धारिता  या  आंतरिक ऊर्जा  जैसी मात्राओं के साथ तापमान से संबंधित स्थिति का कैलोरी समीकरण।
 * कंप्रेसिबल नेवियर-स्टोक्स समीकरण  (C-NS): CCL से शुरू करें। एक न्यूटोनियन विस्कस स्ट्रेस टेन्सर ( न्यूटोनियन द्रव  देखें) और एक फूरियर  गर्मी का प्रवाह  (हीट फ्लक्स देखें) मान लें।  समीकरणों की एक बंद प्रणाली के लिए C-NS को एक EOS और एक कैलोरी EOS के साथ संवर्धित करने की आवश्यकता है।
 * असम्पीडित नेवियर-स्टोक्स समीकरण (I-NS): C-NS से ​​प्रारंभ करें। मान लें कि घनत्व हमेशा और हर जगह स्थिर रहता है। I-NS प्राप्त करने का दूसरा तरीका यह मान लेना है कि मच संख्या बहुत छोटी है और तरल पदार्थ में तापमान का अंतर भी बहुत कम होता है।  नतीजतन, जन-संरक्षण और संवेग-संरक्षण समीकरण ऊर्जा-संरक्षण समीकरण से अलग हो जाते हैं, इसलिए किसी को केवल पहले दो समीकरणों को हल करने की आवश्यकता होती है। * संपीड़ित यूलर समीकरण (द्रव गतिकी) (EE): C-NS से ​​प्रारंभ करें। बिना विसरित ऊष्मा प्रवाह के एक घर्षण रहित प्रवाह मान लें।


 * कमजोर संकुचित नवियर-स्टोक्स समीकरण (डब्ल्यूसी-एनएस): सी-एनएस से शुरू करें। मान लें कि घनत्व भिन्नता केवल तापमान पर निर्भर करती है और दबाव पर नहीं। उदाहरण के लिए, एक आदर्श गैस के लिए, उपयोग करें $$ \rho = p_0 / (R T) $$, कहाँ पे $$ p_0 $$ एक आसानी से परिभाषित संदर्भ दबाव है जो हमेशा और हर जगह स्थिर रहता है, $$ \rho $$ घनत्व है, $$ R $$ विशिष्ट गैस स्थिरांक  है, और $$ T $$ तापमान है। नतीजतन, डब्ल्यूसी-एनएस ध्वनिक तरंगों को पकड़ नहीं पाता है। डब्ल्यूसी-एनएस में ऊर्जा-संरक्षण समीकरण में दबाव-कार्य और विस्कस-हीटिंग शर्तों की उपेक्षा करना भी आम है। WC-NS को लो-मैक-नंबर सन्निकटन के साथ C-NS भी कहा जाता है।
 * Boussinesq समीकरण: C-NS से ​​प्रारंभ करें। मान लें कि संवेग-संरक्षण समीकरण (जहाँ घनत्व गुरुत्वीय त्वरण को गुणा करता है) के गुरुत्व पद को छोड़कर घनत्व भिन्नताएँ हमेशा और हर जगह नगण्य होती हैं। यह भी मान लें कि श्यानता,  ऊष्मीय चालकता  और  ताप की गुंजाइश  जैसे विभिन्न द्रव गुण हमेशा और हर जगह स्थिर होते हैं। Boussinesq समीकरण  सूक्ष्म मौसम विज्ञान  में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं।
 * कंप्रेसिबल रेनॉल्ड्स-एवरेजेड नेवियर-स्टोक्स इक्वेशन और कंप्रेसेबल फेवर-एवरेजेड नेवियर-स्टोक्स इक्वेशन (C-RANS और C-FANS): C-NS से ​​शुरू करें। मान लें कि कोई भी प्रवाह चर $$ f $$, जैसे घनत्व, वेग और दबाव, के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है $$ f = F + f $$, कहाँ पे $$ F $$ पहनावा-औसत है किसी भी प्रवाह चर का, और $$ f $$ इस औसत से गड़बड़ी या उतार-चढ़ाव है। $$ f'' $$ आवश्यक रूप से छोटा नहीं है। यदि $$ F $$ एक क्लासिक पहनावा-औसत है ( रेनॉल्ड्स अपघटन देखें) रेनॉल्ड्स-औसत नेवियर-स्टोक्स समीकरण प्राप्त करता है। और अगर $$ F $$ एक घनत्व-भारित पहनावा-औसत है जो फेवर-औसत नेवियर-स्टोक्स समीकरण प्राप्त करता है।  नतीजतन, और रेनॉल्ड्स संख्या के आधार पर, गति के पैमाने की सीमा बहुत कम हो जाती है, जो सी-एनएस को हल करने की तुलना में बहुत तेज समाधान की ओर ले जाती है। हालांकि, जानकारी खो जाती है, और परिणामी समीकरणों की प्रणाली को विभिन्न खुली शर्तों को बंद करने की आवश्यकता होती है, विशेष रूप से  रेनॉल्ड्स तनाव ।
 * आदर्श प्रवाह या संभावित प्रवाह  समीकरण: EE से प्रारंभ करें। शून्य द्रव-कण रोटेशन (शून्य वर्टिसिटी) और शून्य प्रवाह विस्तार (शून्य विचलन) मान लें।  परिणामी प्रवाह क्षेत्र पूरी तरह से ज्यामितीय सीमाओं द्वारा निर्धारित होता है।  आदर्श प्रवाह आधुनिक सीएफडी में सिमुलेशन आरंभ करने के लिए उपयोगी हो सकता है।
 * लीनियराइज्ड कंप्रेसिबल यूलर इक्वेशन (LEE): ईई से शुरू करें। मान लें कि कोई भी प्रवाह चर $$ f $$, जैसे घनत्व, वेग और दबाव, के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है $$ f = f_0 + f' $$, कहाँ पे $$ f_0 $$ किसी संदर्भ या आधार स्थिति पर प्रवाह चर का मान है, और $$ f' $$ इस अवस्था से एक गड़बड़ी या उतार-चढ़ाव है। इसके अलावा, मान लीजिए कि यह गड़बड़ी $$ f' $$ कुछ संदर्भ मान की तुलना में बहुत छोटा है। अंत में, मान लीजिए $$ f_0 $$ ईई जैसे अपने स्वयं के समीकरण को संतुष्ट करता है। कम्प्यूटेशनल एरोअकॉस्टिक्स  में एलईई और इसके कई रूपों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।
 * ध्वनि तरंग या ध्वनिक तरंग समीकरण : LEE से प्रारंभ करें। के सभी ग्रेडिएंट्स को नज़रअंदाज़ करें $$ f_0 $$ और $$ f' $$, और मान लें कि संदर्भ या आधार स्थिति में मच संख्या बहुत छोटी है।  घनत्व, संवेग और ऊर्जा के परिणामी समीकरणों को एक दबाव समीकरण में हेरफेर किया जा सकता है, जिससे सुप्रसिद्ध ध्वनि तरंग समीकरण प्राप्त होता है।
 * उथले पानी के समीकरण (SW): एक दीवार के पास एक प्रवाह पर विचार करें जहां दीवार-समानांतर लंबाई-माप का ब्याज दीवार-सामान्य लंबाई-पैमाने की तुलना में बहुत बड़ा है। ईई से शुरू करें। मान लें कि घनत्व हमेशा और हर जगह स्थिर है, दीवार के लंबवत वेग घटक की उपेक्षा करें, और दीवार के समानांतर वेग को स्थानिक रूप से स्थिर मानें।
 * सीमा परत समीकरण (बीएल): संपीड़ित (असंपीड़ित) सीमा परतों के लिए सी-एनएस (आई-एनएस) से शुरू करें। मान लें कि दीवारों के बगल में पतले क्षेत्र हैं जहां दीवार के लंबवत स्थानिक ढाल दीवार के समानांतर की तुलना में काफी बड़े हैं। * बरनौली समीकरण: EE से प्रारंभ करें। मान लें कि घनत्व भिन्नता केवल दबाव भिन्नताओं पर निर्भर करती है। बरनौली का सिद्धांत देखें।
 * स्थिर Bernoulli समीकरण: Bernoulli समीकरण के साथ प्रारंभ करें और एक स्थिर प्रवाह मान लें। या ईई के साथ शुरू करें और मान लें कि प्रवाह स्थिर है और परिणामी समीकरण को स्ट्रीमलाइन के साथ एकीकृत करें।  *  स्टोक्स फ्लो  या क्रीपिंग फ्लो इक्वेशन: सी-एनएस या आई-एनएस से शुरू करें। प्रवाह की जड़ता की उपेक्षा करें।    रेनॉल्ड्स संख्या  बहुत कम होने पर ऐसी धारणा को उचित ठहराया जा सकता है। नतीजतन, समीकरणों का परिणामी सेट रैखिक है, कुछ ऐसा जो उनके समाधान को बहुत सरल करता है।
 * द्वि-आयामी चैनल प्रवाह समीकरण: दो अनंत समांतर प्लेटों के बीच प्रवाह पर विचार करें। सी-एनएस से शुरू करें। मान लें कि प्रवाह स्थिर, द्वि-आयामी और पूरी तरह से विकसित है (यानी, वेग प्रोफ़ाइल प्रवाह की दिशा में नहीं बदलता है)। ध्यान दें कि यह व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली पूरी तरह से विकसित धारणा कुछ उदाहरणों में अपर्याप्त हो सकती है, जैसे कि कुछ संपीड़ित, माइक्रोचैनल प्रवाह, जिस स्थिति में इसे स्थानीय रूप से पूर्ण विकसित धारणा द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।
 * एक-आयामी यूलर समीकरण या एक-आयामी गैस-गतिशील समीकरण (1D-EE): EE से प्रारंभ करें। मान लें कि सभी प्रवाह मात्राएँ केवल एक स्थानिक आयाम पर निर्भर करती हैं।
 * फैनो प्रवाह समीकरण: स्थिर क्षेत्र और एडियाबेटिक दीवारों के साथ एक वाहिनी के अंदर प्रवाह पर विचार करें। 1D-EE से प्रारंभ करें। एक स्थिर प्रवाह मान लें, कोई गुरुत्वाकर्षण प्रभाव नहीं है, और गति-संरक्षण समीकरण में दीवार घर्षण (ईई में उपेक्षित) के प्रभाव को ठीक करने के लिए एक अनुभवजन्य शब्द का परिचय दें। फैनो प्रवाह समीकरण को बंद करने के लिए, इस घर्षण अवधि के लिए एक मॉडल की जरूरत है। इस तरह के बंद होने में समस्या-आधारित धारणाएँ शामिल हैं।
 * रेले प्रवाह समीकरण। निरंतर क्षेत्र के साथ एक वाहिनी के अंदर प्रवाह पर विचार करें और या तो वॉल्यूमेट्रिक ताप स्रोतों के बिना गैर-एडियाबेटिक दीवारें या वॉल्यूमेट्रिक ताप स्रोतों के साथ एडियाबेटिक दीवारें। 1D-EE से प्रारंभ करें। एक स्थिर प्रवाह मान लें, कोई गुरुत्वाकर्षण प्रभाव नहीं है, और ऊर्जा-संरक्षण समीकरण में दीवार गर्मी हस्तांतरण या गर्मी स्रोतों के प्रभाव (ईई में उपेक्षित) के प्रभाव को ठीक करने के लिए एक अनुभवजन्य शब्द का परिचय दें।

कार्यप्रणाली
इन सभी दृष्टिकोणों में एक ही मूल प्रक्रिया का पालन किया जाता है।
 * प्रीप्रोसेसर (सीएई) के दौरान
 * कंप्यूटर एडेड डिज़ाइन (CAD) का उपयोग करके समस्या की ज्यामिति  और भौतिक सीमा को परिभाषित किया जा सकता है। वहां से, डेटा को उपयुक्त रूप से संसाधित (क्लीन-अप) किया जा सकता है और द्रव की मात्रा (या द्रव डोमेन) को निकाला जाता है।
 * द्रव द्वारा कब्जा कर लिया गया आयतन  असतत कोशिकाओं (जाल) में विभाजित है। मेष एक समान या गैर-समान, संरचित या असंरचित हो सकता है, जिसमें हेक्साहेड्रल, टेट्राहेड्रल, प्रिज्मीय, पिरामिडल या पॉलीहेड्रल तत्वों का संयोजन होता है।
 * भौतिक मॉडलिंग को परिभाषित किया गया है - उदाहरण के लिए, द्रव गति + एन्थैल्पी + विकिरण + प्रजातियों के संरक्षण के समीकरण
 * सीमा शर्तों को परिभाषित किया गया है। इसमें द्रव डोमेन के सभी बाउंडिंग सतहों पर द्रव व्यवहार और गुणों को निर्दिष्ट करना शामिल है। क्षणिक समस्याओं के लिए, प्रारंभिक शर्तें भी परिभाषित की गई हैं।
 * कंप्यूटर सिमुलेशन शुरू हो गया है और समीकरणों को स्थिर-अवस्था या क्षणिक के रूप में पुनरावृत्त रूप से हल किया जाता है।
 * अंत में परिणामी समाधान के विश्लेषण और विज़ुअलाइज़ेशन के लिए एक पोस्टप्रोसेसर का उपयोग किया जाता है।

विवेक के तरीके
सरल रैखिक समस्याओं के साथ, चयनित विवेक की स्थिरता आमतौर पर विश्लेषणात्मक रूप से संख्यात्मक रूप से स्थापित होती है। यह सुनिश्चित करने के लिए भी विशेष ध्यान रखा जाना चाहिए कि विवेकहीनता बंद समाधानों को इनायत से संभालती है। यूलर समीकरण (द्रव गतिकी) और नेवियर-स्टोक्स समीकरण दोनों झटके और संपर्क सतहों को स्वीकार करते हैं।

उपयोग की जा रही कुछ विवेकाधीन विधियाँ हैं:

परिमित आयतन विधि
परिमित मात्रा विधि (एफवीएम) सीएफडी कोड में उपयोग किया जाने वाला एक सामान्य दृष्टिकोण है, क्योंकि इसमें रैंडम एक्सेस मेमोरी  उपयोग और समाधान की गति में लाभ होता है, विशेष रूप से बड़ी समस्याओं के लिए, उच्च रेनॉल्ड्स संख्या अशांत प्रवाह, और स्रोत शब्द प्रभुत्व प्रवाह (जैसे दहन) ). परिमित आयतन विधि में, नियंत्रित करने वाले आंशिक अंतर समीकरण (आमतौर पर नेवियर-स्टोक्स समीकरण, द्रव्यमान और ऊर्जा संरक्षण समीकरण, और अशांति समीकरण) को एक रूढ़िवादी रूप में पुनर्गठित किया जाता है, और फिर असतत नियंत्रण मात्रा में हल किया जाता है। यह  विवेक  एक विशेष नियंत्रण मात्रा के माध्यम से फ्लक्स के संरक्षण की गारंटी देता है। परिमित आयतन समीकरण के रूप में गवर्निंग समीकरण प्राप्त होता है,
 * $$\frac{\partial}{\partial t}\iiint Q\, dV + \iint F\, d\mathbf{A} = 0,$$

कहाँ पे $$Q$$ संरक्षित चर का वेक्टर है, $$F$$ प्रवाहों का वेक्टर है (यूलर समीकरण (द्रव गतिकी) या नेवियर-स्टोक्स समीकरण देखें), $$V$$ नियंत्रण मात्रा तत्व का आयतन है, और $$\mathbf{A}$$ नियंत्रण मात्रा तत्व का सतह क्षेत्र है।

परिमित तत्व विधि
परिमित तत्व विधि (FEM) का उपयोग ठोस पदार्थों के संरचनात्मक विश्लेषण में किया जाता है, लेकिन यह तरल पदार्थों पर भी लागू होता है। हालांकि, एफईएम फॉर्मूलेशन को रूढ़िवादी समाधान सुनिश्चित करने के लिए विशेष देखभाल की आवश्यकता होती है। FEM सूत्रीकरण को समीकरणों को नियंत्रित करने वाले द्रव गतिकी के साथ उपयोग के लिए अनुकूलित किया गया है। हालांकि FEM को सावधानीपूर्वक रूढ़िवादी होने के लिए तैयार किया जाना चाहिए, यह परिमित मात्रा दृष्टिकोण से कहीं अधिक स्थिर है। हालाँकि, FEM को अधिक मेमोरी की आवश्यकता हो सकती है और FVM की तुलना में धीमी समाधान समय है। इस पद्धति में, एक भारित अवशिष्ट समीकरण बनता है:


 * $$R_i = \iiint W_i Q \, dV^e$$

कहाँ पे $$R_i$$ एक अवयव शीर्ष पर अवशिष्ट समीकरण है $$i$$, $$Q$$ एक तत्व के आधार पर व्यक्त संरक्षण समीकरण है, $$W_i$$ वजन कारक है, और $$V^{e}$$ तत्व का आयतन है।

परिमित अंतर विधि
परिमित अंतर विधि (FDM) का ऐतिहासिक महत्व है और प्रोग्राम करना आसान है। यह वर्तमान में केवल कुछ विशेष कोडों में उपयोग किया जाता है, जो जटिल ज्यामिति को उच्च सटीकता और दक्षता के साथ एम्बेडेड सीमाओं या अतिव्यापी ग्रिड (प्रत्येक ग्रिड में समाधान के साथ) का उपयोग करके संभालते हैं। :$$ \frac{\partial Q}{\partial t}+ \frac{\partial F}{\partial x}+ \frac{\partial G}{\partial y}+ \frac{\partial H}{\partial z}=0 $$ कहाँ पे $$Q$$ संरक्षित चर का वेक्टर है, और $$F$$, $$G$$, और $$H$$ में प्रवाह हैं $$x$$, $$y$$, और $$z$$ निर्देश क्रमशः।

वर्णक्रमीय तत्व विधि
वर्णक्रमीय तत्व विधि एक परिमित तत्व प्रकार विधि है। इसके लिए गणितीय समस्या (आंशिक अंतर समीकरण) को कमजोर फॉर्मूलेशन में डालने की आवश्यकता है। यह आम तौर पर अंतर समीकरण को मनमाने ढंग से परीक्षण फ़ंक्शन द्वारा गुणा करके और पूरे डोमेन पर एकीकृत करके किया जाता है। विशुद्ध रूप से गणितीय रूप से, परीक्षण कार्य पूरी तरह से मनमानी हैं - वे एक अनंत-आयामी कार्य स्थान से संबंधित हैं। स्पष्ट रूप से एक अनंत-आयामी कार्य स्थान को असतत वर्णक्रमीय तत्व जाल पर प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है; यह वह जगह है जहां वर्णक्रमीय तत्व विवेकीकरण शुरू होता है। सबसे महत्वपूर्ण बात इंटरपोलेटिंग और परीक्षण कार्यों का विकल्प है। चतुर्भुज तत्वों के लिए एक मानक, निम्न क्रम FEM में 2D में, सबसे विशिष्ट विकल्प बिलिनियर टेस्ट या फॉर्म का इंटरपोलिंग फ़ंक्शन है $$v(x,y) = ax+by+cxy+d$$. हालांकि वर्णक्रमीय तत्व विधि में, इंटरपोलेटिंग और परीक्षण कार्यों को बहुत उच्च क्रम के बहुपद के रूप में चुना जाता है (आमतौर पर CFD अनुप्रयोगों में 10वें क्रम का उदाहरण)। यह विधि के त्वरित अभिसरण की गारंटी देता है। इसके अलावा, बहुत कुशल एकीकरण प्रक्रियाओं का उपयोग किया जाना चाहिए, क्योंकि संख्यात्मक कोड में किए जाने वाले एकीकरण की संख्या बड़ी है। इस प्रकार, उच्च क्रम गॉस एकीकरण चतुष्कोण नियोजित होते हैं, क्योंकि वे कम से कम संगणनाओं के साथ उच्चतम सटीकता प्राप्त करते हैं। उस समय स्पेक्ट्रल तत्व पद्धति के आधार पर कुछ अकादमिक सीएफडी कोड हैं और कुछ और वर्तमान में विकास के अधीन हैं, क्योंकि वैज्ञानिक दुनिया में नई टाइम-स्टेपिंग योजनाएं उत्पन्न होती हैं।

जाली बोल्ट्जमैन विधि
जाली पर अपनी सरलीकृत गतिज तस्वीर के साथ जाली बोल्टज़मान विधि (एलबीएम) हाइड्रोडायनामिक्स का एक कम्प्यूटेशनल रूप से कुशल विवरण प्रदान करता है। पारंपरिक सीएफडी विधियों के विपरीत, जो मैक्रोस्कोपिक गुणों (यानी, द्रव्यमान, संवेग और ऊर्जा) के संरक्षण समीकरणों को संख्यात्मक रूप से हल करते हैं, एलबीएम नकली कणों से युक्त तरल पदार्थ को मॉडल करता है, और ऐसे कण असतत जाली जाल पर लगातार प्रसार और टकराव की प्रक्रिया करते हैं। इस पद्धति में, व्यक्ति बोल्ट्जमान भटनागर-ग्रॉस-क्रुक ऑपरेटर | भटनागर-ग्रॉस-क्रुक (बीजीके) फॉर्म में गतिज विकास समीकरण के अंतरिक्ष और समय संस्करण में असतत के साथ काम करता है।

भंवर विधि
भंवर विधि, भी Lagrangian भंवर कण विधि, असम्पीडित अशांत प्रवाह के अनुकरण के लिए एक मेशफ्री विधि तकनीक है। इसमें, वर्टिसिटी को फ्लो फील्ड कणों के लैग्रेंजियन और यूलेरियन विनिर्देशन पर अलग किया जाता है, इन कम्प्यूटेशनल तत्वों को वोर्टिस, वोर्टन, या वोर्टेक्स कण कहा जाता है। भंवर विधियों को एक ग्रिड-मुक्त कार्यप्रणाली के रूप में विकसित किया गया था जो कि ग्रिड-आधारित विधियों से जुड़े मौलिक चौरसाई प्रभावों द्वारा सीमित नहीं होगी। व्यावहारिक होने के लिए, हालांकि, भंवर विधियों को भंवर तत्वों से तेजी से कंप्यूटिंग वेगों के साधनों की आवश्यकता होती है - दूसरे शब्दों में उन्हें एन-बॉडी समस्या के एक विशेष रूप के समाधान की आवश्यकता होती है (जिसमें एन वस्तुओं की गति उनके पारस्परिक प्रभाव से बंधी होती है) ). यह सफलता 1980 के दशक में बार्न्स-हट सिमुलेशन | बार्न्स-हट और फास्ट मल्टीपोल विधि  (FMM) एल्गोरिदम के विकास के साथ आई। इनसे भंवर तत्वों से वेगों की व्यावहारिक गणना का मार्ग प्रशस्त हुआ।

भंवर विधि पर आधारित सॉफ्टवेयर न्यूनतम उपयोगकर्ता हस्तक्षेप के साथ कठिन द्रव गतिकी समस्याओं को हल करने के लिए एक नया साधन प्रदान करता है। जो कुछ भी आवश्यक है वह समस्या ज्यामिति का विनिर्देश और सीमा और प्रारंभिक स्थितियों की स्थापना है। इस आधुनिक तकनीक के महत्वपूर्ण लाभों में;
 * यह व्यावहारिक रूप से ग्रिड-मुक्त है, इस प्रकार RANS और LES से जुड़े कई पुनरावृत्तियों को समाप्त करता है।
 * सभी समस्याओं का एक समान इलाज किया जाता है। कोई मॉडलिंग या अंशांकन इनपुट की आवश्यकता नहीं है।
 * समय-श्रृंखला सिमुलेशन, जो ध्वनिकी के सही विश्लेषण के लिए महत्वपूर्ण हैं, संभव हैं।
 * छोटे पैमाने और बड़े पैमाने को एक ही समय में सटीक रूप से अनुकरण किया जाता है।

सीमा तत्व विधि
सीमा तत्व विधि में, द्रव द्वारा कब्जा की गई सीमा को एक सतह जाल में विभाजित किया जाता है।

उच्च-रिज़ॉल्यूशन वाली विवेकाधीन योजनाएँ
उच्च-रिज़ॉल्यूशन योजनाओं का उपयोग किया जाता है जहां झटके या असंतोष मौजूद होते हैं। समाधान में तेज परिवर्तनों को पकड़ने के लिए दूसरी या उच्च-क्रम वाली संख्यात्मक योजनाओं के उपयोग की आवश्यकता होती है जो नकली दोलनों का परिचय नहीं देती हैं। यह आमतौर पर यह सुनिश्चित करने के लिए फ्लक्स लिमिटर्स  के आवेदन की आवश्यकता होती है कि समाधान कुल भिन्नता कम हो रहा है।

अशांति मॉडल
अशांत प्रवाह के कम्प्यूटेशनल मॉडलिंग में, एक सामान्य उद्देश्य एक मॉडल प्राप्त करना है जो मॉडल किए जा रहे सिस्टम के इंजीनियरिंग डिजाइनों में उपयोग के लिए ब्याज की मात्रा, जैसे द्रव वेग, की भविष्यवाणी कर सकता है। विक्षुब्ध प्रवाहों के लिए, विक्षोभ में शामिल घटनाओं की लंबाई के पैमाने और जटिलता की सीमा अधिकांश मॉडलिंग दृष्टिकोणों को निषेधात्मक रूप से महंगा बनाती है; अशांति में शामिल सभी पैमानों को हल करने के लिए आवश्यक संकल्प कम्प्यूटेशनल रूप से संभव नहीं है। ऐसे मामलों में प्राथमिक दृष्टिकोण अनुमानित अनसुलझी घटनाओं के लिए संख्यात्मक मॉडल बनाना है। यह खंड विक्षुब्ध प्रवाहों के लिए आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले कुछ कम्प्यूटेशनल मॉडलों को सूचीबद्ध करता है।

टर्बुलेंस मॉडल को कम्प्यूटेशनल व्यय के आधार पर वर्गीकृत किया जा सकता है, जो मॉडल किए गए स्केल बनाम हल किए गए स्केल की श्रेणी से मेल खाता है (अधिक अशांत स्केल जो हल किए जाते हैं, सिमुलेशन का रिज़ॉल्यूशन बेहतर होता है, और इसलिए कम्प्यूटेशनल लागत अधिक होती है)। यदि बहुसंख्यक या सभी अशांत पैमानों को मॉडल नहीं किया जाता है, तो कम्प्यूटेशनल लागत बहुत कम होती है, लेकिन ट्रेडऑफ़ घटी हुई सटीकता के रूप में आता है।

लंबाई और समय के पैमाने और संबंधित कम्प्यूटेशनल लागत की विस्तृत श्रृंखला के अलावा, द्रव गतिकी के शासी समीकरणों में एक गैर-रेखीय प्रणाली | गैर-रैखिक संवहन शब्द और एक गैर-रैखिक और गैर-स्थानीय दबाव ढाल शब्द शामिल हैं। इन गैर-रैखिक समीकरणों को उचित सीमा और प्रारंभिक स्थितियों के साथ संख्यात्मक रूप से हल किया जाना चाहिए।

रेनॉल्ड्स-औसत नेवियर-स्टोक्स


रेनॉल्ड्स-औसत नवियर-स्टोक्स समीकरण | रेनॉल्ड्स-औसत नेवियर-स्टोक्स (RANS) समीकरण अशांति मॉडलिंग  के लिए सबसे पुराने दृष्टिकोण हैं। शासी समीकरणों का एक समेकित संस्करण हल किया गया है, जो रेनॉल्ड्स तनाव के रूप में जाने वाले नए स्पष्ट तनावों का परिचय देता है। यह अज्ञात के दूसरे क्रम के टेंसर को जोड़ता है जिसके लिए विभिन्न मॉडल क्लोजर के विभिन्न स्तर प्रदान कर सकते हैं। यह एक आम ग़लतफ़हमी है कि RANS समीकरण समय-भिन्न माध्य प्रवाह वाले प्रवाहों पर लागू नहीं होते क्योंकि ये समीकरण 'समय-औसत' हैं। वास्तव में, सांख्यिकीय रूप से अस्थिर (या गैर-स्थिर) प्रवाहों को समान रूप से व्यवहार किया जा सकता है। इसे कभी-कभी URANS के रूप में जाना जाता है। रेनॉल्ड्स में इसे रोकने के लिए औसत में कुछ भी निहित नहीं है, लेकिन समीकरणों को बंद करने के लिए उपयोग किए जाने वाले अशांति मॉडल केवल तब तक मान्य होते हैं जब तक कि औसत में ये परिवर्तन होते हैं, जो अशांत गति के समय के पैमाने की तुलना में बड़े होते हैं जिनमें अधिकांश शामिल होते हैं। शक्ति।

RANS मॉडल को दो व्यापक दृष्टिकोणों में विभाजित किया जा सकता है:


 * अशांति मॉडलिंग: इस पद्धति में रेनॉल्ड्स तनावों के लिए एक बीजगणितीय समीकरण का उपयोग करना शामिल है जिसमें अशांत चिपचिपाहट का निर्धारण करना शामिल है, और मॉडल के परिष्कार के स्तर के आधार पर, अशांत गतिज ऊर्जा और अपव्यय का निर्धारण करने के लिए परिवहन समीकरणों को हल करना शामिल है। मॉडल में के-ε ( ब्रायन लॉन्डर और  ब्रायन स्पाल्डिंग ) शामिल हैं, मिश्रण लंबाई मॉडल ( लुडविग प्रांटल ), और शून्य समीकरण मॉडल (सेबेसी और अपोलो एम.ओ. स्मिथ)। इस दृष्टिकोण में उपलब्ध मॉडलों को अक्सर विधि से जुड़े परिवहन समीकरणों की संख्या से संदर्भित किया जाता है। उदाहरण के लिए, मिश्रण लंबाई मॉडल शून्य समीकरण मॉडल है क्योंकि कोई परिवहन समीकरण हल नहीं होते हैं; $$k-\epsilon$$ एक दो समीकरण मॉडल है क्योंकि दो परिवहन समीकरण (एक के लिए $$k$$ और एक के लिए $$\epsilon$$) हल हो गए हैं।
 * रेनॉल्ड्स तनाव मॉडल (RSM): यह दृष्टिकोण वास्तव में रेनॉल्ड्स तनावों के लिए परिवहन समीकरणों को हल करने का प्रयास करता है। इसका अर्थ है सभी रेनॉल्ड्स तनावों के लिए कई परिवहन समीकरणों का परिचय और इसलिए सीपीयू प्रयास में यह दृष्टिकोण बहुत अधिक महंगा है।

बड़ा एड़ी अनुकरण
बड़े एडी सिमुलेशन (एलईएस) एक ऐसी तकनीक है जिसमें प्रवाह के सबसे छोटे पैमाने को फ़िल्टरिंग ऑपरेशन के माध्यम से हटा दिया जाता है, और सबग्रिड स्केल मॉडल का उपयोग करके उनका प्रभाव तैयार किया जाता है। यह अशांति के सबसे बड़े और सबसे महत्वपूर्ण पैमानों को हल करने की अनुमति देता है, जबकि सबसे छोटे पैमानों द्वारा की गई कम्प्यूटेशनल लागत को बहुत कम कर देता है। इस पद्धति में RANS विधियों की तुलना में अधिक कम्प्यूटेशनल संसाधनों की आवश्यकता होती है, लेकिन यह DNS की तुलना में बहुत सस्ता है।

अलग एड़ी अनुकरण
अलग एड़ी सिमुलेशन (डीईएस) एक आरएएनएस मॉडल का एक संशोधन है जिसमें मॉडल एलईएस गणनाओं के लिए पर्याप्त ठीक क्षेत्रों में सबग्रिड स्केल फॉर्मूलेशन पर स्विच करता है। ठोस सीमाओं के पास के क्षेत्र और जहां अशांत लंबाई का पैमाना अधिकतम ग्रिड आयाम से कम है, उन्हें समाधान का RANS मोड सौंपा गया है। जैसा कि अशांत लंबाई का पैमाना ग्रिड आयाम से अधिक है, क्षेत्रों को एलईएस मोड का उपयोग करके हल किया जाता है। इसलिए, डीईएस के लिए ग्रिड रिज़ॉल्यूशन शुद्ध एलईएस की तरह मांग नहीं है, जिससे गणना की लागत में काफी कमी आई है। हालाँकि DES को शुरू में Spalart-Allmaras मॉडल (Spalart et al., 1997) के लिए तैयार किया गया था, लेकिन इसे अन्य RANS मॉडल (स्ट्रेलेट्स, 2001) के साथ लागू किया जा सकता है, लंबाई के पैमाने को उचित रूप से संशोधित करके जो RANS मॉडल में स्पष्ट रूप से या अंतर्निहित रूप से शामिल है।. इसलिए जबकि स्पालार्ट-अल्मारस मॉडल आधारित डीईएस एक दीवार मॉडल के साथ एलईएस के रूप में कार्य करता है, अन्य मॉडलों पर आधारित डीईएस (जैसे दो समीकरण मॉडल) एक हाइब्रिड RANS-LES मॉडल के रूप में व्यवहार करता है। RANS-LES स्विच के कारण साधारण RANS या LES मामले की तुलना में ग्रिड निर्माण अधिक जटिल है। डीईएस एक गैर-क्षेत्रीय दृष्टिकोण है और समाधान के आरएएनएस और एलईएस क्षेत्रों में एक एकल चिकनी वेग क्षेत्र प्रदान करता है।

प्रत्यक्ष संख्यात्मक अनुकरण
प्रत्यक्ष संख्यात्मक अनुकरण (डीएनएस) अशांत लंबाई के पैमाने की पूरी श्रृंखला को हल करता है। यह मॉडलों के प्रभाव को हाशिए पर रखता है, लेकिन यह बेहद महंगा है। कम्प्यूटेशनल लागत के लिए आनुपातिक है $$Re^{3}$$. डीएनएस जटिल ज्यामिति या प्रवाह विन्यास वाले प्रवाह के लिए अट्रैक्टिव है।

सुसंगत भंवर अनुकरण
सुसंगत भंवर सिमुलेशन दृष्टिकोण अशांत प्रवाह क्षेत्र को एक सुसंगत भाग में विघटित करता है, जिसमें संगठित भंवर गति और असंगत भाग होता है, जो कि यादृच्छिक पृष्ठभूमि प्रवाह होता है। यह अपघटन छोटा लहर  फ़िल्टरिंग का उपयोग करके किया जाता है। एलईएस के साथ दृष्टिकोण में बहुत आम है, क्योंकि यह अपघटन का उपयोग करता है और केवल फ़िल्टर किए गए हिस्से को हल करता है, लेकिन इसमें अलग यह एक रैखिक, कम-पास फ़िल्टर का उपयोग नहीं करता है। इसके बजाय, फ़िल्टरिंग ऑपरेशन तरंगों पर आधारित होता है, और प्रवाह क्षेत्र के विकसित होने पर फ़िल्टर को अनुकूलित किया जा सकता है।  मैरी फार्ज  और श्नाइडर ने दो प्रवाह विन्यासों के साथ सीवीएस विधि का परीक्षण किया और दिखाया कि प्रवाह के सुसंगत भाग ने प्रदर्शित किया $$-\frac{40}{39}$$ कुल प्रवाह द्वारा प्रदर्शित ऊर्जा स्पेक्ट्रम, और सुसंगत संरचनाओं ( भंवर खिंचाव ) के अनुरूप है, जबकि प्रवाह के असंगत भागों ने सजातीय पृष्ठभूमि शोर की रचना की, जिसमें कोई संगठित संरचना प्रदर्शित नहीं हुई। गोल्डस्टीन और वासिलीव ने एफडीवी मॉडल को बड़े एडी सिमुलेशन के लिए लागू किया, लेकिन यह नहीं माना कि वेवलेट फिल्टर ने सबफिल्टर स्केल से सभी सुसंगत गतियों को समाप्त कर दिया। एलईएस और सीवीएस फ़िल्टरिंग दोनों को नियोजित करके, उन्होंने दिखाया कि एसएफएस प्रवाह क्षेत्र के सुसंगत हिस्से में एसएफएस अपव्यय का प्रभुत्व था।

पीडीएफ तरीके
विक्षोभ के लिए प्रायिकता घनत्व फलन (पीडीएफ) विधियाँ, सबसे पहले थॉमस एस. लुंडग्रेन द्वारा प्रस्तुत की गईं, वेग के एक-बिंदु PDF को ट्रैक करने पर आधारित हैं, $$f_{V}(\boldsymbol{v};\boldsymbol{x},t) d\boldsymbol{v}$$, जो बिंदु पर वेग की संभावना देता है $$\boldsymbol{x}$$ के बीच होना $$\boldsymbol{v}$$ और $$\boldsymbol{v}+d\boldsymbol{v}$$. यह दृष्टिकोण गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुरूप है, जिसमें बड़ी संख्या में कणों द्वारा गैस के स्थूल गुणों का वर्णन किया जाता है। पीडीएफ विधियां इस मायने में अनूठी हैं कि उन्हें कई अलग-अलग अशांति मॉडल के ढांचे में लागू किया जा सकता है; मुख्य अंतर पीडीएफ परिवहन समीकरण के रूप में होते हैं। उदाहरण के लिए, बड़े एडी सिमुलेशन के संदर्भ में, पीडीएफ फ़िल्टर्ड पीडीएफ बन जाता है। रासायनिक प्रतिक्रियाओं का वर्णन करने के लिए पीडीएफ विधियों का भी उपयोग किया जा सकता है, और विशेष रूप से रासायनिक रूप से प्रतिक्रियाशील प्रवाह को अनुकरण करने के लिए उपयोगी होते हैं क्योंकि रासायनिक स्रोत शब्द बंद है और मॉडल की आवश्यकता नहीं है। PDF को आमतौर पर Lagrangian कण विधियों का उपयोग करके ट्रैक किया जाता है; जब बड़े एडी सिमुलेशन के साथ जोड़ा जाता है, तो यह सबफ़िल्टर कण विकास के लिए लैंग्विन समीकरण  की ओर जाता है।

वर्टिसिटी एकांतवास विधि
वर्टिसिटी कारावास (वीसी) विधि एक यूलेरियन तकनीक है जिसका उपयोग अशांत तरंगों के अनुकरण में किया जाता है। यह बिना किसी संख्यात्मक प्रसार के एक स्थिर समाधान का उत्पादन करने के लिए एकान्त-लहर जैसे दृष्टिकोण का उपयोग करता है। वीसी छोटे पैमाने की सुविधाओं को 2 ग्रिड कोशिकाओं के रूप में कैप्चर कर सकता है। इन सुविधाओं के भीतर,  परिमित अंतर समीकरण  के विपरीत एक अरेखीय अंतर समीकरण को हल किया जाता है। वीसी शॉक कैप्चरिंग विधियों के समान है, जहां संरक्षण कानून संतुष्ट हैं, ताकि आवश्यक अभिन्न मात्राओं की सही गणना की जा सके।

रेखीय एड़ी मॉडल
रैखिक एड़ी मॉडल एक ऐसी तकनीक है जिसका उपयोग संवहन मिश्रण को अनुकरण करने के लिए किया जाता है जो अशांत प्रवाह में होता है। विशेष रूप से, यह सदिश प्रवाह क्षेत्र के भीतर एक अदिश चर के अंतःक्रियाओं का वर्णन करने के लिए एक गणितीय तरीका प्रदान करता है। यह मुख्य रूप से अशांत प्रवाह के एक आयामी प्रतिनिधित्व में उपयोग किया जाता है, क्योंकि इसे लंबाई के पैमाने और रेनॉल्ड्स संख्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला में लागू किया जा सकता है। यह मॉडल आम तौर पर अधिक जटिल प्रवाह प्रस्तुतियों के लिए बिल्डिंग ब्लॉक के रूप में उपयोग किया जाता है, क्योंकि यह उच्च रिज़ॉल्यूशन की भविष्यवाणी प्रदान करता है जो प्रवाह की स्थिति की एक बड़ी श्रृंखला में होता है।

दो-चरण प्रवाह
दो-चरण प्रवाह की मॉडलिंग अभी भी विकास के अधीन है। द्रव विधि की मात्रा, स्तर-सेट विधि  और  फ्रंट ट्रैकिंग  सहित विभिन्न विधियों का प्रस्ताव किया गया है।  इन विधियों में अक्सर एक तेज इंटरफ़ेस बनाए रखने या बड़े पैमाने पर संरक्षण के बीच एक समझौता शामिल होता है. यह महत्वपूर्ण है क्योंकि घनत्व, चिपचिपाहट और सतह तनाव का मूल्यांकन इंटरफ़ेस पर औसत मूल्यों पर आधारित है।

समाधान एल्गोरिदम
अंतरिक्ष में विवेकहीनता स्थिर समस्याओं के लिए सामान्य अंतर समीकरणों और स्थिर समस्याओं के लिए बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली का निर्माण करती है। अंतर्निहित या अर्ध-अंतर्निहित विधियों का उपयोग आम तौर पर सामान्य अंतर समीकरणों को एकीकृत करने के लिए किया जाता है, जो (आमतौर पर) अरैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली का निर्माण करता है। न्यूटन की विधि को लागू करना#समीकरणों की अरैखिक प्रणाली या निश्चित बिंदु पुनरावृत्ति  पुनरावृत्ति रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का निर्माण करती है जो संवहन की उपस्थिति में असममित है और असंपीड्यता की उपस्थिति में अनिश्चित है। ऐसी प्रणालियाँ, विशेष रूप से 3डी में, प्रत्यक्ष सॉल्वरों के लिए अक्सर बहुत बड़ी होती हैं, इसलिए पुनरावृत्त विधियों का उपयोग किया जाता है, या तो स्थिर विधियाँ जैसे  क्रमिक अति-विश्राम  या  क्रायलोव सबस्पेस  विधियाँ। क्रायलोव विधियाँ जैसे  सामान्यीकृत न्यूनतम अवशिष्ट विधि, आमतौर पर  पूर्व शर्त  के साथ उपयोग की जाती हैं, जो पूर्वानुमेय ऑपरेटर द्वारा उत्पन्न क्रमिक उप-स्थानों पर अवशिष्ट को कम करके संचालित होती हैं।

मल्टीग्रिड पद्धति में कई समस्याओं पर असम्बद्ध रूप से इष्टतम प्रदर्शन का लाभ है। परंपरागत सॉल्वर और प्रीकंडीशनर अवशिष्ट के उच्च-आवृत्ति घटकों को कम करने में प्रभावी होते हैं, लेकिन कम-आवृत्ति वाले घटकों को आमतौर पर कम करने के लिए कई पुनरावृत्तियों की आवश्यकता होती है। कई पैमानों पर संचालन करके, मल्टीग्रिड समान कारकों द्वारा अवशिष्ट के सभी घटकों को कम कर देता है, जिससे पुनरावृत्तियों की जाल-स्वतंत्र संख्या हो जाती है। अनिश्चित प्रणालियों के लिए, पूर्वानुकूलनकर्ता जैसे अपूर्ण LU गुणनखंड, योज्य श्वार्ज विधि, और मल्टीग्रिड विधि खराब प्रदर्शन करते हैं या पूरी तरह से विफल होते हैं, इसलिए प्रभावी पूर्वानुकूलन के लिए समस्या संरचना का उपयोग किया जाना चाहिए। CFD में आमतौर पर उपयोग की जाने वाली विधियाँ SIMPLE एल्गोरिथम और उज़ावा पुनरावृत्ति हैं जो जाल-निर्भर अभिसरण दरों को प्रदर्शित करती हैं, लेकिन परिणामी निश्चित प्रणालियों के लिए मल्टीग्रिड के साथ संयुक्त ब्लॉक LU कारककरण पर आधारित हालिया प्रगति ने प्रीकंडीशनर्स का नेतृत्व किया है जो जाल-स्वतंत्र अभिसरण दर प्रदान करते हैं।

अस्थिर वायुगतिकी
CFD ने 70 के दशक के अंत में LTRAN2 की शुरुआत के साथ एक बड़ी सफलता हासिल की, बॉलहॉस और सहयोगियों द्वारा ट्रांसोनिक छोटे गड़बड़ी सिद्धांत के आधार पर दोलन करने वाले एयरफ़ॉइल के मॉडल के लिए एक 2-डी कोड। यह मूविंग शॉक-वेव्स के मॉडलिंग के लिए मुरमन-कोल स्विच एल्गोरिद्म का उपयोग करता है। बाद में इसे AFWAL/Boeing द्वारा रोटेट डिफरेंस स्कीम के उपयोग के साथ 3-डी तक बढ़ा दिया गया, जिसके परिणामस्वरूप LTRAN3 हुआ।

बायोमेडिकल इंजीनियरिंग
सीएफडी जांच का उपयोग महाधमनी प्रवाह की विशेषताओं को विस्तार से स्पष्ट करने के लिए किया जाता है जो प्रायोगिक माप की क्षमताओं से परे हैं। इन स्थितियों का विश्लेषण करने के लिए, मानव संवहनी तंत्र के सीएडी मॉडल को एमआरआई  या  परिकलित टोमोग्राफी  जैसी आधुनिक इमेजिंग तकनीकों का उपयोग करके निकाला जाता है। इस डेटा से एक 3D मॉडल का पुनर्निर्माण किया जाता है और द्रव प्रवाह की गणना की जा सकती है। घनत्व और चिपचिपाहट, और वास्तविक सीमा स्थितियों (जैसे प्रणालीगत दबाव) जैसे रक्त गुणों को ध्यान में रखा जाना चाहिए। इसलिए, विभिन्न अनुप्रयोगों के लिए हृदय प्रणाली में प्रवाह का विश्लेषण और अनुकूलन करना संभव बनाता है।

सीपीयू बनाम जीपीयू
परंपरागत रूप से, सीएफडी सिमुलेशन सीपीयू पर किए जाते हैं। हाल के एक चलन में, जीपीयू पर सिमुलेशन भी किया जाता है। इनमें आमतौर पर धीमे लेकिन अधिक प्रोसेसर होते हैं। सीएफडी एल्गोरिदम के लिए जो अच्छा समानता प्रदर्शन (यानी अधिक कोर जोड़कर अच्छी गति-अप) पेश करता है, यह सिमुलेशन समय को बहुत कम कर सकता है। द्रव-अंतर्निहित कण और जाली-बोल्ट्जमैन तरीके कोड के विशिष्ट उदाहरण हैं जो जीपीयू पर अच्छी तरह से स्केल करते हैं।

यह भी देखें

 * ब्लेड तत्व सिद्धांत
 * द्रव गतिकी में सीमा की स्थिति
 * गुहिकायन मॉडलिंग
 * केंद्रीय अंतर योजना
 * कम्प्यूटेशनल मैग्नेटोहाइड्रोडायनामिक्स
 * असतत तत्व विधि
 * सीमित तत्व विधि
 * अस्थिर प्रवाह के लिए परिमित मात्रा विधि
 * द्रव एनीमेशन
 * विसर्जित सीमा विधि
 * लैटिस बोल्ट्जमैन के तरीके
 * परिमित तत्व सॉफ्टवेयर पैकेजों की सूची
 * मेशफ्री तरीके
 * मूविंग पार्टिकल सेमी-इंप्लिसिट मेथड
 * बहु-कण टक्कर गतिकी
 * बहुआयामी डिजाइन अनुकूलन
 * द्रव यांत्रिकी में संख्यात्मक तरीके
 * आकार अनुकूलन
 * चिकना-कण हाइड्रोडायनामिक्स
 * स्टोचैस्टिक यूलेरियन लैग्रैंगियन विधि
 * अशांति मॉडलिंग
 * विज़ुअलाइज़ेशन (ग्राफिक्स)
 * हवा सुरंग

बाहरी कड़ियाँ

 * Course: Introduction to CFD – Dmitri Kuzmin (Dortmund University of Technology)
 * Course: Computational Fluid Dynamics – Suman Chakraborty (Indian Institute of Technology Kharagpur)
 * Course: Numerical PDE Techniques for Scientists and Engineers, Open access Lectures and Codes for Numerical PDEs, including a modern view of Compressible CFD