क्वांटम कोहोमोलॉजी

गणित में, विशेष रूप से सिंपलेक्टिक टोपोलॉजी और बीजगणितीय ज्यामिति में, क्वांटम कोहोमोलोजी रिंग (गणित) एक सवृत मैनिफोल्ड सिंपलेक्टिक मैनिफ़ोल्ड की सामान्य कोहोमोलॉजी रिंग का विस्तार है। यह दो संस्करणों में आता है, जिन्हें स्मॉल और बिग कहा जाता है; सामान्य तौर पर, बाद वाला अधिक सम्मिश्र होता है और इसमें पहले की तुलना में अधिक जानकारी होती है। प्रत्येक में, गुणांक रिंग (सामान्यतः एक नोविकोव रिंग, जिसका वर्णन नीचे किया गया है) का चुनाव इसकी संरचना को भी महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करता है।

जबकि साधारण कोहोमोलॉजी का कप उत्पाद वर्णन करता है कि कैसे मैनिफोल्ड इंटरसेक्शन के उपमान एक दूसरे को सिद्धांतित करते हैं, क्वांटम कोहोमोलॉजी का क्वांटम कप उत्पाद बताता है कि कैसे उप-स्थान अस्पष्ट, क्वांटम तरीके से प्रतिच्छेद करते हैं। अधिक सटीक रूप से, यदि वे एक या अधिक स्यूडोहोलोमोर्फिक वक्रों के माध्यम से जुड़े हुए हैं तो वे प्रतिच्छेद करते हैं। ग्रोमोव-विटन इनवेरिएंट, जो इन वक्रों की गिनती करते हैं, क्वांटम कप उत्पाद के विस्तार में गुणांक के रूप में दिखाई देते हैं।

क्योंकि यह ग्रोमोव-विटन इनवेरिएंट के लिए एक संरचना या पैटर्न को व्यक्त करता है, क्वांटम कोहोमोलॉजी का गणनात्मक ज्यामिति के लिए महत्वपूर्ण प्रभाव है। यह गणितीय भौतिकी और दर्पण समरूपता (स्ट्रिंग सिद्धांत) में कई विचारों से भी जुड़ता है। विशेष रूप से, यह फ़्लोर समरूपता के लिए वलय-समरूपता है।

इस पूरे लेख में, X सिंपलेक्टिक रूप ω के साथ एक सवृत सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड है।

नोविकोव रिंग
X की क्वांटम कोहोमोलॉजी के लिए गुणांक रिंग के विभिन्न विकल्प संभव हैं। सामान्यतः एक रिंग चुनी जाती है जो X की दूसरी होमोलॉजी (गणित) के बारे में जानकारी को एन्कोड करती है। यह नीचे परिभाषित क्वांटम कप उत्पाद को X में स्यूडोहोलोमोर्फिक वक्रों के बारे में जानकारी रिकॉर्ड करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए


 * $$H_2(X) = H_2(X, \mathbf{Z}) / \mathrm{torsion}$$

दूसरा समरूपता आदर्श (रिंग सिद्धांत) इसका मरोड़ (टॉरशन) उपसमूह हो। मान लीजिए R इकाई के साथ कोई क्रमविनिमेय वलय है और Λ रूप की औपचारिक शक्ति श्रृंखला का वलय है


 * $$\lambda = \sum_{A \in H_2(X)} \lambda_A e^A,$$

जहाँ


 * गुणांक $$\lambda_A$$ R से आता है,
 * $$e^A$$ संबंध के अधीन औपचारिक चर हैं $$e^A e^B = e^{A + B}$$,
 * प्रत्येक वास्तविक संख्या C के लिए, C से कम या उसके बराबर ω(A) वाले केवल बहुत से A में शून्येतर गुणांक होते हैं $$\lambda_A$$.

चर राशि $$e^A$$ डिग्री का माना जाता है $$2 c_1(A)$$, जहाँ $$c_1$$ स्पर्शरेखा बंडल TX का पहला चेर्न वर्ग है, जिसे ω के साथ संगत किसी भी लगभग समिश्र मैनिफोल्ड को चुनकर एक समिश्र संख्या वेक्टर बंडल के रूप में माना जाता है। इस प्रकार Λ एक श्रेणीबद्ध वलय है, जिसे ω के लिए 'नोविकोव वलय' कहा जाता है। (वैकल्पिक परिभाषाएँ आम हैं।)

लघु क्वांटम सहसंगति
होने देना


 * $$H^*(X) = H^*(X, \mathbf{Z}) / \mathrm{torsion}$$

X मोडुलो टोरसन की सहसंरचना हो। Λ में गुणांकों के साथ 'स्मॉल क्वांटम कोहोमोलॉजी' को परिभाषित करें


 * $$QH^*(X, \Lambda) = H^*(X) \otimes_\mathbf{Z} \Lambda.$$

इसके तत्व रूप के परिमित योग हैं


 * $$\sum_i a_i \otimes \lambda_i.$$

स्मॉल क्वांटम कोहोमोलॉजी एक श्रेणीबद्ध R-मॉड्यूल है


 * $$\deg(a_i \otimes \lambda_i) = \deg(a_i) + \deg(\lambda_i).$$

साधारण कोहोमोलोजी H*(X) के माध्यम से QH*(X, Λ) में समाहित हो जाता है $$a \mapsto a \otimes 1$$, और QH*(X, Λ) H*(X) द्वारा Λ-मॉड्यूल के रूप में उत्पन्न होता है।

शुद्ध डिग्री के H*(X) में किन्हीं दो कोहोमोलॉजी वर्गों A, B के लिए, और किसी भी A के लिए $$H_2(X)$$, परिभाषित करें (a∗b)A H*(X) का ऐसा अद्वितीय तत्व होना


 * $$\int_X (a * b)_A \smile c = GW_{0, 3}^{X, A}(a, b, c).$$

(दाहिनी ओर एक जीनस-0, 3-बिंदु ग्रोमोव-विटन अपरिवर्तनीय है।) फिर परिभाषित करें


 * $$a * b := \sum_{A \in H_2(X)} (a * b)_A \otimes e^A.$$

यह रैखिकता द्वारा एक अच्छी तरह से परिभाषित Λ-बिलिनियर मानचित्र तक विस्तारित होता है


 * $$QH^*(X, \Lambda) \otimes QH^*(X, \Lambda) \to QH^*(X, \Lambda)$$

इसे स्मॉलक्वांटम कप उत्पाद कहा जाता है।

ज्यामितीय व्याख्या
वर्ग A = 0 में एकमात्र स्यूडोहोलोमोर्फिक वक्र स्थिर मानचित्र हैं, जिनकी छवियां बिंदु हैं। यह इस प्रकार है कि


 * $$GW_{0, 3}^{X, 0}(a, b, c) = \int_X a \smile b \smile c;$$

दूसरे शब्दों में,


 * $$(a * b)_0 = a \smile b.$$

इस प्रकार क्वांटम कप उत्पाद में साधारण कप उत्पाद सम्मिलित होता है; यह साधारण कप उत्पाद को गैर-शून्य वर्ग A तक विस्तारित करता है।

सामान्य तौर पर, (a∗b)A का पोंकारे दोहरा A और B के पोंकारे दोहरे से गुजरने वाले वर्ग A के स्यूडोहोलोमोर्फिक वक्रों के स्थान से मेल खाता है। इसलिए जबकि सामान्य सह-समरूपता ए और B को तभी प्रतिच्छेद मानती है जब वे एक या अधिक बिंदुओं पर मिलते हैं, क्वांटम सह-समरूपता ए और B के लिए एक गैर-शून्य प्रतिच्छेदन रिकॉर्ड करती है जब भी वे एक या अधिक स्यूडोहोलोमोर्फिक वक्रों से जुड़े होते हैं। नोविकोव रिंग सभी वर्ग A के लिए इस चौराहे की जानकारी को रिकॉर्ड करने के लिए पर्याप्त बिग बहीखाता प्रणाली प्रदान करती है।

उदाहरण
मान लीजिए कि X अपने मानक सहानुभूति रूप (फुबिनी-स्टडी मेट्रिक के अनुरूप) और सम्मिश्र संरचना के साथ एक सम्मिश्र प्रक्षेप्य विमान है। होने देना $$\ell \in H^2(X)$$ फिर एक पंक्ति एल का पोंकारे द्वैत बनें


 * $$H^*(X) \cong \mathbf{Z}[\ell] / \ell^3.$$

एकमात्र गैर-शून्य ग्रोमोव-विटन अपरिवर्तनीय वर्ग A = 0 या A = L के हैं। यह पता चला है कि


 * $$\int_X (\ell^i * \ell^j)_0 \smile \ell^k = GW_{0, 3}^{X, 0}(\ell^i, \ell^j, \ell^k) = \delta(i + j + k,2)$$

और


 * $$\int_X (\ell^i * \ell^j)_L \smile \ell^k = GW_{0, 3}^{X, L}(\ell^i, \ell^j, \ell^k) = \delta(i + j + k, 5),$$

जहां δ क्रोनकर डेल्टा है। इसलिए,


 * $$\ell * \ell = \ell^2 e^0 + 0 e^L = \ell^2,$$
 * $$\ell * \ell^2 = 0 e^0 + 1 e^L = e^L.$$

ऐसे में नाम बदलना सुविधाजनक है $$e^L$$ q के रूप में और सरल गुणांक रिंग 'Z'[q] का उपयोग करें। यह q डिग्री का है $$6 = 2 c_1(L)$$. तब


 * $$QH^*(X, \mathbf{Z}[q]) \cong \mathbf{Z}[\ell, q] / (\ell^3 = q).$$

स्मॉलक्वांटम कप उत्पाद के गुण
शुद्ध डिग्री के a, b के लिए,


 * $$\deg (a * b) = \deg (a) + \deg (b)$$

और


 * $$b * a = (-1)^{\deg (a) \deg (b)} a * b.$$

स्मॉलक्वांटम कप उत्पाद वितरणशीलता और Λ-बिलिनियर है। पहचान तत्व $$1 \in H^0(X)$$ सूक्ष्मक्वांटम कोहोमोलॉजी के लिए पहचान तत्व भी है।

स्मॉलक्वांटम कप उत्पाद भी साहचर्य है। यह ग्रोमोव-विटन इनवेरिएंट्स के लिए ग्लूइंग कानून का एक परिणाम है, जो एक कठिन तकनीकी परिणाम है। यह इस तथ्य के समान है कि ग्रोमोव-विटन क्षमता (जीनस-0 ग्रोमोव-विटन इनवेरिएंट के लिए उत्पन्न करने वाला कार्य) एक निश्चित तीसरे क्रम के अंतर समीकरण को संतुष्ट करता है जिसे डब्ल्यूडीवीवी समीकरण के रूप में जाना जाता है।

एक प्रतिच्छेदन युग्म


 * $$QH^*(X, \Lambda) \otimes QH^*(X, \Lambda) \to R$$

द्वारा परिभाषित किया गया है


 * $$\left\langle \sum_i a_i \otimes \lambda_i, \sum_j b_j \otimes \mu_j \right\rangle = \sum_{i, j} (\lambda_i)_0 (\mu_j)_0 \int_X a_i \smile b_j.$$

(सबस्क्रिप्ट 0 A = 0 गुणांक को इंगित करता है।) यह युग्म साहचर्य गुण को संतुष्ट करता है


 * $$\langle a * b, c \rangle = \langle a, b * c \rangle.$$

डब्रोविन कनेक्शन
जब बेस रिंग R 'C ' है, तो कोई सदिश समष्टि QH*(X, Λ) के समान रूप से वर्गीकृत भाग एच को एक सम्मिश्र मैनिफोल्ड के रूप में देख सकता है। स्मॉलक्वांटम कप उत्पाद H पर एक अच्छी तरह से परिभाषित, क्रमविनिमेय उत्पाद तक सीमित है। हल्की धारणाओं के तहत, H प्रतिच्छेदन युग्मन के साथ $$\langle, \rangle$$ तो यह एक फ्रोबेनियस बीजगणित है।

क्वांटम कप उत्पाद को स्पर्शरेखा बंडल TH पर एक कनेक्शन (गणित) के रूप में देखा जा सकता है, जिसे 'डब्रोविन कनेक्शन ' कहा जाता है। क्वांटम कप उत्पाद की क्रमपरिवर्तनशीलता और संबद्धता इस कनेक्शन पर शून्य-मरोड़ (विभेदक ज्यामिति) और शून्य-वक्रता स्थितियों के अनुरूप होती है।

बिग क्वांटम कोहोमोलॉजी
0 ∈ H के निकटम U इस प्रकार उपस्थित है $$\langle, \rangle$$ और डबरोविन कनेक्शन U को फ्रोबेनियस मैनिफोल्ड की संरचना देता है। U में कोई भी क्वांटम कप उत्पाद को परिभाषित करता है


 * $$*_a : H \otimes H \to H$$

सूत्र द्वारा


 * $$\langle x *_a y, z \rangle := \sum_n \sum_A \frac{1}{n!} GW_{0, n + 3}^{X, A}(x, y, z, a, \ldots, a).$$

सामूहिक रूप से, H पर इन उत्पादों को 'बिग क्वांटम कोहोमोलॉजी ' कहा जाता है। सभी जीनस-0 ग्रोमोव-विटन इनवेरिएंट इससे पुनर्प्राप्त करने योग्य हैं; सामान्य तौर पर, यह बात सरल स्मॉल क्वांटम कोहोमोलॉजी के बारे में सच नहीं है।

स्मॉल क्वांटम कोहोमोलॉजी में केवल 3-पॉइंट ग्रोमोव-विटन इनवेरिएंट की जानकारी होती है, लेकिन बिग क्वांटम कोहोमोलॉजी में सभी (n ≧ 4) n-पॉइंट ग्रोमोव-विटन इनवेरिएंट की जानकारी होती है। कुछ मैनिफोल्ड्स के लिए गणनात्मक ज्यामितीय जानकारी प्राप्त करने के लिए, हमें बिग क्वांटम कोहोमोलॉजी का उपयोग करने की आवश्यकता है। स्मॉल क्वांटम कोहोमोलॉजी भौतिकी में 3-बिंदु सहसंबंध कार्यों के अनुरूप होगी जबकि बिग क्वांटम कोहोमोलॉजी सभी n-बिंदु सहसंबंध कार्यों के अनुरूप होगी।

संदर्भ

 * McDuff, Dusa & Salamon, Dietmar (2004). J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology, American Mathematical Society colloquium publications. ISBN 0-8218-3485-1.
 * Piunikhin, Sergey; Salamon, Dietmar & Schwarz, Matthias (1996). Symplectic Floer–Donaldson theory and quantum cohomology. In C. B. Thomas (Ed.), Contact and Symplectic Geometry, pp. 171–200. Cambridge University Press. ISBN 0-521-57086-7
 * Piunikhin, Sergey; Salamon, Dietmar & Schwarz, Matthias (1996). Symplectic Floer–Donaldson theory and quantum cohomology. In C. B. Thomas (Ed.), Contact and Symplectic Geometry, pp. 171–200. Cambridge University Press. ISBN 0-521-57086-7