स्थानीय रूप से बंद उपसमुच्चय

टोपोलॉजी में, गणित की शाखा, उपसमुच्चय टोपोलॉजिकल स्पेस $$E$$, यदि निम्नलिखित में से कोई भी समकक्ष शर्तें पूर्ण होती हैं, तब $$X$$ को स्थानीय रूप से बंद कहा जाता है। दूसरी शर्त स्थानीय रूप से बंद शब्दावली को उचित ठहराती है और बोर्बाकी की स्थानीय रूप से बंद की परिभाषा होती है। यह देखने के लिए कि दूसरी शर्त तीसरी का तात्पर्य होता है, जिससे कि उपसमुच्चय के लिए $$A \subseteq B,$$ तथ्यों का उपयोग करता है, अतः $$A$$ अंदर बंद है $$B$$ और यदि $$A = \overline{A} \cap B$$ और वह उपसमुच्चय के लिए $$E$$ और खुला उपसमुच्चय $$U,$$ $$\overline{E} \cap U = \overline{E \cap U} \cap U.$$ होता है।
 * $$E$$ खुले समूह और $$X.$$ बंद समूह का प्रतिच्छेदन है
 * प्रत्येक बिंदु के लिए $$x\in E,$$ वहाँ पड़ोस है $$U$$ का $$x$$ ऐसा है कि $$E \cap U$$ में बंद है $$U.$$
 * $$E$$ इसके बंद होने का खुला उपसमुच्चय $$\overline{E}.$$ होता है
 * समूह $$\overline{E}\setminus E$$ में बंद $$X.$$ होता है
 * $$E$$ दो बंद समूहों का अंतर $$X.$$ होता है
 * $$E$$ में दो खुले समूहों का अंतर $$X.$$ होता है

उदाहरण
अंतराल $$(0, 1] = (0, 2) \cap [0, 1]$$ का स्थानीय रूप से बंद उपसमुच्चय होता है $$\Reals.$$ दूसरे उदाहरण के लिए, सापेक्ष आंतरिक भाग पर विचार करते है, अतः बंद डिस्क $$D$$ का $$\Reals^3.$$ यह स्थानीय रूप से बंद होता है, जिससे कि यह बंद डिस्क और खुली गेंद का प्रतिच्छेदन होता है।

स्मरण रखें कि परिभाषा के अनुसार, सबमैनिफोल्ड $$E$$ की $$n$$-अनेक गुना प्रत्येक बिंदु के लिए $$M$$ ऐसा उपसमुच्चय होता है $$x$$ इंच $$E,$$ चार्ट होता है $$\varphi : U \to \Reals^n$$ इसके चारों ओर ऐसा है कि $$\varphi(E \cap U) = \Reals^k \cap \varphi(U).$$ इसलिए, सबमैनिफोल्ड स्थानीय रूप से बंद होता है।

यहाँ बीजगणितीय ज्यामिति का उदाहरण दिया गया है। मान लीजिए कि U प्रक्षेप्य वर्ग X (ज़ारिस्की टोपोलॉजी में) पर खुला एफ़िन चार्ट होता है। इस प्रकार फिर यू की प्रत्येक बंद उप-विविधता वाई स्थानीय रूप से एक्स में बंद होती है। अर्थात्, $$Y = U \cap \overline{Y}$$ जहाँ $$\overline{Y}$$ X में Y के बंद होने को दर्शाता है। (अर्ध-प्रोजेक्टिव वर्ग और अर्ध-एफ़िन वर्ग भी देख सकते है।)

गुण
स्थानीय रूप से बंद समूहों के निरंतर मानचित्र के अनुसार परिमित चौराहे और पूर्व-छवि स्थानीय रूप से बंद होती हैं। दूसरी ओर, संघ और स्थानीय रूप से बंद उपसमुच्चय के पूरक को स्थानीय रूप से बंद करने की आवश्यकता नहीं होती है। (यह रचनात्मक समूह (टोपोलॉजी) की धारणा को प्रेरित करता है।)

विशेष रूप से स्तरीकरण सिद्धांत में, स्थानीय रूप से बंद उपसमुच्चय के लिए $$E,$$ पूरक $$\overline{E} \setminus E$$ की सीमा कहलाती है $$E$$ (टोपोलॉजिकल सीमा से भ्रमित नही होते है)। यदि $$E$$ अनेक की बंद सबमैनिफोल्ड-विथ-बाउंड्री है $$M,$$ फिर सापेक्ष आंतरिक (अर्थात्, अनेक गुना के रूप में आंतरिक)। $$E$$ में स्थानीय रूप से बंद होता है अतः $$M$$ और अनेक के रूप में इसकी सीमा स्थानीय रूप से बंद उपसमुच्चय के रूप में इसकी सीमा के समान होती है।

यदि प्रत्येक उपसमुच्चय स्थानीय रूप से बंद होता है, तब टोपोलॉजिकल स्पेस को  कहा जाता है। इस धारणा के बारे में अधिक जानकारी के लिए टोपोलॉजी एस की शब्दावली देख सकते है।

संदर्भ

 * Bourbaki, Topologie générale, 2007.