वोल्टेरा श्रृंखला

वोल्टेरा श्रृंखला टेलर श्रृंखला के समान गैर-रेखीय व्यवहार का एक मॉडल है। यह स्मृति प्रभावों को पकड़ने की क्षमता में टेलर श्रृंखला से भिन्न है। टेलर श्रृंखला का उपयोग किसी दिए गए इनपुट पर एक गैर-रेखीय प्रणाली की प्रतिक्रिया का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है यदि सिस्टम का आउटपुट उस विशेष समय पर इनपुट पर सख्ती से निर्भर करता है। वोल्टेरा श्रृंखला में, अरेखीय  सिस्टम का आउटपुट अन्य सभी समयों पर सिस्टम के इनपुट पर निर्भर करता है। यह  संधारित्र  और  प्रारंभ करनेवाला ्स जैसे उपकरणों के मेमोरी प्रभाव को पकड़ने की क्षमता प्रदान करता है।

इसे चिकित्सा ( जैवचिकित्सा अभियांत्रिकी ) और जीव विज्ञान, विशेषकर तंत्रिका विज्ञान के क्षेत्र में लागू किया गया है। इसका उपयोग इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में पावर एम्पलीफायरों और आवृत्ति मिक्सर सहित कई उपकरणों में इंटरमॉड्यूलेशन विरूपण को मॉडल करने के लिए भी किया जाता है। इसका मुख्य लाभ इसकी सामान्यीकरण में निहित है: यह प्रणालियों की एक विस्तृत श्रृंखला का प्रतिनिधित्व कर सकता है। इस प्रकार, इसे कभी-कभी एक गैर पैरामीट्रिक मॉडल माना जाता है। गणित में, वोल्टेरा श्रृंखला एक गतिशील, गैर-रेखीय, समय-अपरिवर्तनीय कार्यात्मक (गणित) के कार्यात्मक विस्तार को दर्शाती है। वोल्टेरा श्रृंखला का उपयोग अक्सर सिस्टम पहचान में किया जाता है। वोल्टेरा श्रृंखला, जिसका उपयोग वोल्टेरा प्रमेय को सिद्ध करने के लिए किया जाता है, बहुआयामी दृढ़ अभिन्नों का एक अनंत योग है।

इतिहास
वोल्टेरा श्रृंखला इतालवी गणितज्ञ वीटो वोल्टेरा के 1887 के काम के विश्लेषणात्मक कार्यात्मकता के सिद्धांत का एक आधुनिक संस्करण है। 1920 के दशक में वोल्टेरा के छात्र पॉल लेवी (गणितज्ञ)|पॉल लेवी के संपर्क के कारण नॉर्बर्ट वीनर की इस सिद्धांत में रुचि हो गई। वीनर ने वोल्टेरा विश्लेषणात्मक कार्यात्मकताओं के एकीकरण के लिए एक प्रकार कि गति के अपने सिद्धांत को लागू किया। सिस्टम विश्लेषण के लिए वोल्टेरा श्रृंखला का उपयोग 1942 की एक प्रतिबंधित युद्धकालीन रिपोर्ट से शुरू हुआ वीनर के, जो उस समय मैसाचुसेट्स की तकनीकी संस्था में गणित के प्रोफेसर थे। उन्होंने नॉनलाइनियर रिसीवर सर्किट में रडार शोर के प्रभाव का अनुमानित विश्लेषण करने के लिए श्रृंखला का उपयोग किया। युद्ध के बाद रिपोर्ट सार्वजनिक हो गई। नॉनलाइनर सिस्टम के विश्लेषण की एक सामान्य विधि के रूप में, वोल्टेरा श्रृंखला लगभग 1957 के बाद एमआईटी और अन्य जगहों से निजी तौर पर प्रसारित रिपोर्टों की एक श्रृंखला के परिणामस्वरूप उपयोग में आई। वोल्टेरा श्रृंखला नाम ही कुछ वर्षों बाद प्रयोग में आया।

गणितीय सिद्धांत
वोल्टेरा श्रृंखला के सिद्धांत को दो अलग-अलग दृष्टिकोणों से देखा जा सकता है:
 * दो कार्य स्थान (वास्तविक या जटिल) के बीच एक ऑपरेटर सिद्धांत मैपिंग
 * फ़ंक्शन स्पेस से वास्तविक या जटिल संख्याओं में वास्तविक या जटिल कार्यात्मक मानचित्रण

सिस्टम के अनुमानित समय-अपरिवर्तनीयता के कारण बाद वाले कार्यात्मक मानचित्रण परिप्रेक्ष्य का अधिक बार उपयोग किया जाता है।

निरंतर समय
इनपुट के रूप में x(t) और आउटपुट के रूप में y(t) के साथ एक सतत समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली को वोल्टेरा श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है



y(t) = h_0 + \sum_{n=1}^N \int_a^b \cdots \int_a^b h_n(\tau_1, \dots, \tau_n) \prod^n_{j=1} x(t - \tau_j) \,d\tau_j. $$ यहाँ स्थिर पद है $$h_0$$ आउटपुट स्तर के उपयुक्त विकल्प द्वारा दाईं ओर आमतौर पर शून्य माना जाता है $$y$$. कार्यक्रम $$h_n(\tau_1, \dots, \tau_n)$$ एन-वें-ऑर्डर 'वोल्टेरा इंटीग्रल कर्नेल' कहा जाता है। इसे सिस्टम की उच्च-क्रम आवेग प्रतिक्रिया के रूप में माना जा सकता है। प्रतिनिधित्व अद्वितीय होने के लिए, कर्नेल को n चर में सममित होना चाहिए $$\tau$$. यदि यह सममित नहीं है, तो इसे एक सममित कर्नेल द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जो n पर औसत है! इन n चरों का क्रमपरिवर्तन $$\tau$$.

यदि N परिमित है, तो श्रृंखला को छोटा कहा जाता है। यदि a, b, और N परिमित हैं, तो श्रृंखला को दोगुना परिमित कहा जाता है।

कभी-कभी एन-वें-ऑर्डर शब्द को एन द्वारा विभाजित किया जाता है!, एक सम्मेलन जो एक वोल्टेरा सिस्टम के आउटपुट को दूसरे (कैस्केडिंग) के इनपुट के रूप में लेते समय सुविधाजनक होता है।

कार्य-कारण की स्थिति: चूँकि किसी भी भौतिक रूप से साकार प्रणाली में आउटपुट केवल इनपुट के पिछले मानों पर निर्भर हो सकता है, कर्नेल $$h_n(t_1, t_2, \ldots, t_n)$$ यदि कोई भी चर हो तो शून्य होगा $$t_1, t_2, \ldots, t_n$$ नकारात्मक हैं. फिर इंटीग्रल्स को शून्य से अनंत तक की आधी सीमा पर लिखा जा सकता है। तो यदि ऑपरेटर कारणात्मक है, $$a \geq 0$$.

फ़्रेचेट का सन्निकटन प्रमेय: समय-अपरिवर्तनीय कार्यात्मक संबंध का प्रतिनिधित्व करने के लिए वोल्टेरा श्रृंखला का उपयोग अक्सर मौरिस रेने फ़्रेचेट|फ़्रेचेट के कारण एक प्रमेय की अपील करके उचित ठहराया जाता है। इस प्रमेय में कहा गया है कि एक समय-अपरिवर्तनीय कार्यात्मक संबंध (कुछ बहुत ही सामान्य शर्तों को पूरा करना) को पर्याप्त रूप से उच्च परिमित-क्रम वोल्टेरा श्रृंखला द्वारा समान रूप से और सटीकता की मनमानी डिग्री तक अनुमानित किया जा सकता है। अन्य शर्तों के अलावा, स्वीकार्य इनपुट फ़ंक्शंस का सेट $$x(t)$$ जिसके लिए सन्निकटन धारण करेगा, उसके लिए सघन स्थान होना आवश्यक है। इसे आम तौर पर एक समान निरंतरता, समान रूप से बंधे हुए कार्यों का सेट माना जाता है, जो अर्ज़ेला-एस्कोली प्रमेय द्वारा कॉम्पैक्ट है। कई भौतिक स्थितियों में, इनपुट सेट के बारे में यह धारणा उचित है। हालाँकि, प्रमेय इस बात का कोई संकेत नहीं देता है कि एक अच्छे सन्निकटन के लिए कितने शब्दों की आवश्यकता है, जो अनुप्रयोगों में एक आवश्यक प्रश्न है।

अलग समय
यह निरंतर-समय के मामले के समान है:



y(n) = h_0 + \sum_{p=1}^P \sum_{\tau_1=a}^b \cdots \sum_{\tau_p=a}^b h_p(\tau_1, \dots, \tau_p) \prod^p_{j=1} x(n - \tau_j), $$
 * $$h_p(\tau_1, \dots, \tau_p)$$ असतत-समय वोल्टेरा कर्नेल कहलाते हैं।

यदि P परिमित है, तो श्रृंखला संचालिका को काट दिया गया कहा जाता है। यदि a, b और P परिमित हैं, तो श्रृंखला संचालक को दोगुनी परिमित वोल्टेरा श्रृंखला कहा जाता है। अगर $$a \geq 0$$, संचालिका को कारण कहा गया है।

हम व्यापकता को खोए बिना, कर्नेल पर हमेशा विचार कर सकते हैं $$h_p(\tau_1, \dots, \tau_p)$$ सममित के रूप में. वास्तव में, गुणन की क्रमपरिवर्तनशीलता के लिए चर के सभी क्रमपरिवर्तन के लिए कर्नेल के औसत के रूप में ली गई एक नई कर्नेल बनाकर इसे सममित करना हमेशा संभव होता है $$\tau_1, \dots, \tau_p$$.

सममित गुठली के साथ एक कारण प्रणाली के लिए हम n-वें पद को लगभग त्रिकोणीय रूप में फिर से लिख सकते हैं

\sum_{\tau_1=0}^M \sum_{\tau_2=\tau_1}^M \cdots \sum_{\tau_p=\tau_{p-1}}^M h_p(\tau_1, \dots, \tau_p) \prod^p_{j=1} x(n - \tau_j). $$

कर्नेल गुणांक का अनुमान लगाने के तरीके
वोल्टेरा गुणांकों का व्यक्तिगत रूप से अनुमान लगाना जटिल है, क्योंकि वोल्टेरा श्रृंखला के आधार कार्य सहसंबद्ध हैं। इससे गुणांकों के लिए अभिन्न समीकरणों के एक सेट को एक साथ हल करने की समस्या उत्पन्न होती है। इसलिए, वोल्टेरा गुणांक का अनुमान आम तौर पर एक ऑर्थोगोनलाइज्ड श्रृंखला के गुणांक का अनुमान लगाकर किया जाता है, उदाहरण के लिए। वीनर श्रृंखला, और फिर मूल वोल्टेरा श्रृंखला के गुणांकों की पुनः गणना करना। ऑर्थोगोनलाइज्ड श्रृंखला की तुलना में वोल्टेरा श्रृंखला की मुख्य अपील इसकी सहज, विहित संरचना में निहित है, यानी इनपुट के सभी इंटरैक्शन में एक निश्चित डिग्री होती है। ऑर्थोगोनलाइज्ड आधार कार्यप्रणाली आम तौर पर काफी जटिल होगी।

एक महत्वपूर्ण पहलू, जिसके संबंध में निम्नलिखित विधियाँ भिन्न हैं, वह यह है कि क्या आधार कार्यात्मकताओं का ऑर्थोगोनलाइज़ेशन इनपुट सिग्नल (जैसे गाऊसी, सफेद शोर) के आदर्श विनिर्देश पर किया जाना है या इनपुट की वास्तविक प्राप्ति पर (यानी छद्म-यादृच्छिक, घिरा हुआ, गाऊसी सफेद शोर का लगभग-सफेद संस्करण, या कोई अन्य उत्तेजना)। गणितीय लालित्य की कमी के बावजूद, बाद के तरीकों को अधिक लचीला दिखाया गया है (क्योंकि मनमाना इनपुट आसानी से समायोजित किया जा सकता है) और सटीक (इस प्रभाव के कारण कि इनपुट सिग्नल का आदर्श संस्करण हमेशा साकार नहीं होता है)।

अंतरसंबंध विधि
ली और शेटज़ेन द्वारा विकसित यह विधि, सिग्नल के वास्तविक गणितीय विवरण के संबंध में ऑर्थोगोनलाइज़ करती है, यानी नए आधार कार्यात्मकताओं पर प्रक्षेपण यादृच्छिक सिग्नल के क्षणों के ज्ञान पर आधारित है।

हम वोल्टेरा श्रृंखला को सजातीय फ़ंक्शन ऑपरेटरों के संदर्भ में लिख सकते हैं



y(n) = h_0 + \sum_{p=1}^P H_p x(n), $$ कहाँ



H_p x(n) = \sum_{\tau_1=a}^b \cdots \sum_{\tau_p=a}^b h_p(\tau_1, \dots, \tau_p) \prod^p_{j=1} x(n - \tau_j). $$ पहचान ऑर्थोगोनलाइज़ेशन की अनुमति देने के लिए, वोल्टेरा श्रृंखला को ऑर्थोगोनल गैर-सजातीय जी ऑपरेटरों (वीनर श्रृंखला) के संदर्भ में पुनर्व्यवस्थित किया जाना चाहिए:



y(n) = \sum_p H_p x(n) \equiv \sum_p G_p x(n). $$ G ऑपरेटरों को निम्नलिखित द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:



E\{H_i x(n) G_j x(n)\} = 0; \quad i < j, $$

E\{G_i x(n) G_j x(n)\} = 0; \quad i \neq j, $$ जब कभी भी $$H_i x(n)$$ मनमाना सजातीय वोल्टेरा है, x(n) शून्य माध्य और विचरण A के साथ कुछ स्थिर सफेद शोर (SWN) है।

यह याद करते हुए कि प्रत्येक वोल्टेरा फ़ंक्शनल अधिक क्रम के सभी वीनर फ़ंक्शनल के लिए ऑर्थोगोनल है, और निम्नलिखित वोल्टेरा फ़ंक्शनल पर विचार करें:



H^*_{\overline{p}} x(n) = \prod^{\overline{p}}_{j=1} x(n - \tau_j), $$ हम लिख सकते हैं



E\left\{y(n) H^*_{\overline{p}} x(n)\right\} = E\left\{\sum_{p=0}^\infty G_p x(n) H^*_{\overline{p}} x(n)\right\}. $$ यदि x SWN है, $$\tau_1 \neq \tau_2 \neq \ldots \neq \tau_P$$ और देने से $$A = \sigma^2_x$$, अपने पास



E\left\{y(n) \prod^{\overline{p}}_{j=1} x(n - \tau_j)\right\} = E\left\{G_{\overline{p}} x(n) \prod^{\overline{p}}_{j=1} x(n - \tau_j)\right\} = \overline{p}! A^{\overline{p}} k_{\overline{p}}(\tau_1, \dots, \tau_{\overline{p}}). $$ इसलिए यदि हम विकर्ण तत्वों को हटा दें, $${\tau_i \neq \tau_j,\ \forall i, j}$$, यह है



k_p(\tau_1, \dots, \tau_p) = \frac{E\left\{y(n) x(n - \tau_1) \cdots x(n - \tau_p)\right\}}{p! A^p}. $$ यदि हम विकर्ण तत्वों पर विचार करना चाहते हैं, तो ली और शेटज़ेन द्वारा प्रस्तावित समाधान है



k_p(\tau_1, \dots, \tau_p) = \frac{E\left\{\left(y(n) - \sum\limits_{m=0}^{p-1} G_m x(n)\right) x(n - \tau_1) \cdots x(n - \tau_p)\right\}}{p! A^p}. $$ इस तकनीक का मुख्य दोष यह है कि निचले क्रम के कर्नेल के सभी तत्वों पर की गई अनुमान त्रुटियां, क्रम पी के प्रत्येक विकर्ण तत्व को योग के माध्यम से प्रभावित करेंगी $$\sum\limits_{m=0}^{p-1} G_m x(n)$$, स्वयं विकर्ण तत्वों के अनुमान के समाधान के रूप में कल्पना की गई है। इस खामी से बचने के लिए कुशल सूत्र और विकर्ण कर्नेल तत्व अनुमान के संदर्भ मौजूद हैं एक बार वीनर गुठली की पहचान हो जाने के बाद, वोल्टेरा गुठली को वीनर-टू-वोल्टेरा फ़ार्मुलों का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, पांचवें क्रम की वोल्टर्रा श्रृंखला के लिए निम्नलिखित रिपोर्ट में:



h_5 = k_5, $$

h_4 = k_4, $$

h_3 = k_3 - 10 A \sum_{\tau_4} k_5(\tau_1, \tau_2, \tau_3, \tau_4, \tau_4), $$

h_2 = k_2 - 6 A \sum_{\tau_3} k_4(\tau_1, \tau_2, \tau_3, \tau_3), $$

h_1 = k_1 - 3 A \sum_{\tau_2} k_3(\tau_1, \tau_2, \tau_2) + 15 A^2 \sum_{\tau2} \sum_{\tau_3} k_5(\tau_1, \tau_2, \tau_2, \tau_3, \tau_3), $$

h_0 = k_0 - A \sum_{\tau_1} k_2(\tau_1, \tau_1) + 3 A^2 \sum_{\tau_1} \sum_{\tau_2} k_4(\tau_1, \tau_1, \tau_2, \tau_2). $$

बहु-विचरण विधि
पारंपरिक ऑर्थोगोनल एल्गोरिदम में, उच्च के साथ इनपुट का उपयोग करना $$\sigma_x$$ उच्च-क्रम गैर-रैखिकता को उत्तेजित करने का लाभ है, ताकि अधिक सटीक उच्च-क्रम कर्नेल पहचान प्राप्त की जा सके। एक कमी के रूप में, उच्च का उपयोग $$\sigma_x$$ मान निचले क्रम की गुठली में उच्च पहचान त्रुटि का कारण बनते हैं, मुख्य रूप से इनपुट की गैर-आदर्शता और ट्रंकेशन त्रुटियों के कारण।

इसके विपरीत, निम्न का उपयोग $$\sigma_x$$ पहचान प्रक्रिया में निचले-क्रम कर्नेल का बेहतर अनुमान लगाया जा सकता है, लेकिन उच्च-क्रम गैर-रैखिकता को प्रोत्साहित करने के लिए अपर्याप्त हो सकता है।

इस घटना को, जिसे काटे गए वोल्टेरा श्रृंखला का स्थानीयता कहा जा सकता है, इनपुट के विभिन्न भिन्नताओं के एक फ़ंक्शन के रूप में श्रृंखला की आउटपुट त्रुटि की गणना करके प्रकट किया जा सकता है। इस परीक्षण को अलग-अलग इनपुट भिन्नताओं के साथ पहचानी गई श्रृंखला के साथ दोहराया जा सकता है, अलग-अलग वक्र प्राप्त किए जा सकते हैं, प्रत्येक में पहचान में उपयोग किए गए भिन्नता के न्यूनतम पत्राचार के साथ।

इस सीमा को पार करने के लिए, एक निम्न $$\sigma_x$$ निम्न-क्रम कर्नेल के लिए मूल्य का उपयोग किया जाना चाहिए और उच्च-क्रम कर्नेल के लिए धीरे-धीरे बढ़ाया जाना चाहिए। वीनर कर्नेल पहचान में यह कोई सैद्धांतिक समस्या नहीं है, क्योंकि वीनर फ़ंक्शनल एक-दूसरे के लिए ऑर्थोगोनल हैं, लेकिन विभिन्न भिन्नताओं के उपयोग को ध्यान में रखने के लिए वीनर-टू-वोल्टेरा रूपांतरण फ़ार्मुलों में उचित सामान्यीकरण की आवश्यकता है। इसके अलावा, नए वीनर से वोल्टेरा रूपांतरण फ़ार्मुलों की आवश्यकता है।

पारंपरिक वीनर कर्नेल पहचान को निम्नानुसार बदला जाना चाहिए:



k_0^{(0)} = E\{y^{(0)}(n)\}, $$

k_1^{(1)}(\tau_1) = \frac{1}{A_1} E\left\{y^{(1)}(n) x^{(1)}(n - \tau_1)\right\}, $$

k_2^{(2)}(\tau_1, \tau_2) = \frac{1}{2! A_2^2} \left\{E\left\{y^{(2)}(n) \prod_{i=1}^2 x^{(2)}(n - \tau_i)\right\} - A_2 k_0^{(2)} \delta_{\tau_1 \tau_2}\right\}, $$

k_3^{(3)}(\tau_1, \tau_2, \tau_3) = \frac{1}{3! A_3^3} \left\{E\left\{y^{(3)}(n) \prod_{i=1}^3 x^{(3)}(n - \tau_i)\right\} - A_3^2 \left[k_1^{(3)}(\tau_1) \delta_{\tau_2 \tau_3} + k_1^{(3)}(\tau_2) \delta_{\tau_1 \tau_3} + k_1^{(3)}(\tau_3) \delta_{\tau_1 \tau_2}\right]\right\}. $$ उपरोक्त सूत्रों में विकर्ण कर्नेल बिंदुओं की पहचान के लिए आवेग फ़ंक्शन पेश किए गए हैं। यदि वीनर कर्नेल को नए फ़ार्मुलों के साथ निकाला जाता है, तो निम्नलिखित वीनर-टू-वोल्टेरा फ़ार्मुलों (पांचवें क्रम तक स्पष्ट) की आवश्यकता होती है:



h_5 = k_5^{(5)}, $$

h_4 = k_4^{(4)}, $$

h_3 = k_3^{(3)} - 10 A_3 \sum_{\tau_4} k_5^{(5)}(\tau_1, \tau_2, \tau_3, \tau_4, \tau_4), $$

h_2 = k_2^{(2)} - 6 A_2 \sum_{\tau_3} k_4^{(4)}(\tau_1, \tau_2, \tau_3, \tau_3), $$

h_1 = k_1^{(1)} - 3 A_1 \sum_{\tau_2} k_3^{(3)}(\tau_1, \tau_2, \tau_2) + 15 A_1^2 \sum_{\tau2} \sum_{\tau_3} k_5^{(5)}(\tau_1, \tau_2, \tau_2, \tau_3, \tau_3), $$

h_0 = k_0^{(0)} - A_0 \sum_{\tau_1} k_2^{(2)}(\tau_1, \tau_1) + 3 A_0^2 \sum_{\tau_1} \sum_{\tau_2} k_4^{(4)}(\tau_1, \tau_1, \tau_2, \tau_2). $$ जैसा कि देखा जा सकता है, पिछले फॉर्मूले के संबंध में खामी है यह है कि एन-वें-ऑर्डर कर्नेल की पहचान के लिए, सभी निचले कर्नेल को उच्च विचरण के साथ फिर से पहचाना जाना चाहिए। हालाँकि, यदि वीनर और वोल्टेरा कर्नेल नए फ़ार्मुलों के साथ प्राप्त किए जाते हैं, तो आउटपुट एमएसई में एक उत्कृष्ट सुधार प्राप्त किया जाएगा।

फीडफॉरवर्ड नेटवर्क
यह विधि रे और ग्रीन (1994) द्वारा विकसित की गई थी और इस तथ्य का उपयोग करती है कि एक सरल 2-पूरी तरह से जुड़ा परत तंत्रिका नेटवर्क (यानी, एक बहुपरत परसेप्ट्रॉन) कम्प्यूटेशनल रूप से वोल्टेरा श्रृंखला के बराबर है और इसलिए इसकी वास्तुकला में छिपे हुए कर्नेल शामिल हैं। ऐसे नेटवर्क को सिस्टम की वर्तमान स्थिति और मेमोरी के आधार पर आउटपुट की सफलतापूर्वक भविष्यवाणी करने के लिए प्रशिक्षित किए जाने के बाद, कर्नेल की गणना उस नेटवर्क के वजन और पूर्वाग्रह से की जा सकती है।

एन-वें-क्रम वोल्टेरा कर्नेल के लिए सामान्य संकेतन इसके द्वारा दिया गया है



h_n(\tau_1, \dots, \tau_n) = \sum_{i=1}^M (c_i a_{ni} \omega_{\tau_1 i} \dots \omega_{\tau_n i}), $$ कहाँ $$n$$ आदेश है, $$c_i$$ रैखिक आउटपुट नोड का भार, $$a_{ji}$$ छिपे हुए नोड्स के आउटपुट फ़ंक्शन के बहुपद विस्तार के गुणांक, और $$\omega_{ji}$$ इनपुट परत से गैर-रेखीय छिपी हुई परत तक का भार है। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यह विधि नेटवर्क के आर्किटेक्चर में इनपुट विलंब की संख्या तक कर्नेल निष्कर्षण की अनुमति देती है। इसके अलावा, नेटवर्क इनपुट परत के आकार का सावधानीपूर्वक निर्माण करना महत्वपूर्ण है ताकि यह सिस्टम की प्रभावी मेमोरी का प्रतिनिधित्व कर सके।

सटीक ऑर्थोगोनल एल्गोरिदम
इस विधि और इसके अधिक कुशल संस्करण (फास्ट ऑर्थोगोनल एल्गोरिदम) का आविष्कार कोरेनबर्ग द्वारा किया गया था। इस विधि में ऑर्थोगोनलाइज़ेशन वास्तविक इनपुट पर अनुभवजन्य रूप से किया जाता है। इसे क्रॉससहसंबंध विधि की तुलना में अधिक सटीक रूप से कार्यान्वित करते हुए दिखाया गया है। एक अन्य लाभ यह है कि ऑर्थोगोनलाइज़ेशन के लिए मनमाने इनपुट का उपयोग किया जा सकता है और सटीकता के वांछित स्तर तक पहुंचने के लिए कम डेटा बिंदु पर्याप्त हैं। साथ ही, कुछ मानदंड पूरा होने तक अनुमान क्रमिक रूप से लगाया जा सकता है।

रैखिक प्रतिगमन
रैखिक प्रतिगमन रैखिक विश्लेषण का एक मानक उपकरण है। इसलिए, इसका एक मुख्य लाभ रैखिक प्रतिगमन को कुशलतापूर्वक हल करने के लिए मानक उपकरणों का व्यापक अस्तित्व है। इसका कुछ शैक्षिक मूल्य है, क्योंकि यह वोल्टेरा श्रृंखला की मूल संपत्ति पर प्रकाश डालता है: गैर-रेखीय आधार-कार्यात्मक का रैखिक संयोजन। अनुमान के लिए, मूल का क्रम ज्ञात होना चाहिए, क्योंकि वोल्टेरा आधार कार्यात्मकता ऑर्थोगोनल नहीं है, और इस प्रकार अनुमान वृद्धिशील रूप से नहीं किया जा सकता है।

कर्नेल विधि
इस विधि का आविष्कार फ्रांज और स्कोल्कोफ ने किया था और सांख्यिकीय शिक्षण सिद्धांत पर आधारित है। नतीजतन, यह दृष्टिकोण भी अनुभवजन्य त्रुटि को कम करने पर आधारित है (जिसे अक्सर अनुभवजन्य जोखिम न्यूनतमकरण कहा जाता है)। फ्रांज और स्कोल्कोफ ने प्रस्तावित किया कि कर्नेल विधि अनिवार्य रूप से वोल्टेरा श्रृंखला प्रतिनिधित्व को प्रतिस्थापित कर सकती है, हालांकि यह ध्यान में रखते हुए कि बाद वाला अधिक सहज है।

विभेदक नमूनाकरण
यह विधि वैन हेमेन और सहकर्मियों द्वारा विकसित की गई थी और वोल्टेरा गुणांक का नमूना लेने के लिए डिराक डेल्टा फ़ंक्शन का उपयोग करता है।

यह भी देखें

 * वीनर श्रृंखला
 * बहुपद सिग्नल प्रोसेसिंग

अग्रिम पठन

 * Barrett J.F: Bibliography of Volterra series, Hermite functional expansions, and related subjects. Dept. Electr. Engrg, Univ.Tech. Eindhoven, NL 1977, T-H report 77-E-71. (Chronological listing of early papers to 1977) URL: http://alexandria.tue.nl/extra1/erap/publichtml/7704263.pdf
 * Bussgang, J.J.; Ehrman, L.; Graham, J.W: Analysis of nonlinear systems with multiple inputs, Proc. IEEE, vol.62, no.8, pp. 1088–1119, Aug. 1974
 * Giannakis G.B & Serpendin E: A bibliography on nonlinear system identification. Signal Processing, 81 2001 533–580. (Alphabetic listing to 2001) www.elsevier.nl/locate/sigpro
 * Korenberg M.J. Hunter I.W: The Identification of Nonlinear Biological Systems: Volterra Kernel Approaches, Annals Biomedical Engineering (1996), Volume 24, Number 2.
 * Kuo Y L: Frequency-domain analysis of weakly nonlinear networks, IEEE Trans. Circuits & Systems, vol.CS-11(4) Aug 1977; vol.CS-11(5) Oct 1977 2–6.
 * Rugh W J: Nonlinear System Theory: The Volterra–Wiener Approach. Baltimore 1981 (Johns Hopkins Univ Press) http://rfic.eecs.berkeley.edu/~niknejad/ee242/pdf/volterra_book.pdf
 * Schetzen M: The Volterra and Wiener Theories of Nonlinear Systems, New York: Wiley, 1980.