निहित सतह

गणित में, एक निहित सतह एक समीकरण द्वारा परिभाषित यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक सतह है
 * $$F(x,y,z)=0.$$

एक निहित सतह तीन चरों के एक फलन के शून्यों का समूह है। निहित का अर्थ है कि समीकरण x या y या z के लिए हल नहीं किया गया है।

किसी फलन का ग्राफ़ प्रायः एक समीकरण $$z=f(x,y)$$ द्वारा वर्णित किया जाता है और इसे एक स्पष्ट निरूपण कहा जाता है। सतह का तीसरा आवश्यक विवरण पैरामीट्रिक है: $$(x(s,t),y(s,t), z(s,t))$$, जहां सतह बिंदुओं के $x$-, $y$- और $z$- निर्देशांक सामान्य पैरामीटर $$s,t$$ के आधार पर तीन फलन $$x(s,t)\,, y(s,t)\, , z(s,t)$$ द्वारा दर्शाए जाते हैं। प्रायः अभ्यावेदन का परिवर्तन केवल तभी सरल होता है जब स्पष्ट निरूपण $$z=f(x,y)$$ दिया जाता है: $$z-f(x,y)=0$$ (निहित ),$$ (s,t,f(s,t)) $$ (पैरामीट्रिक)।

उदाहरण: समतल, वृत्तऔर टोरस के लिए सरल पैरामीट्रिक निरूपण मौजूद हैं। यह चौथे उदाहरण के लिए सही नहीं है।
 * 1) समतल (ज्यामिति) $$ x+2y-3z+1=0.$$
 * 2) वृत्त (ज्यामिति) $$ x^2+y^2+z^2-4=0.$$
 * 3) द टोरस (गणित) $$(x^2+y^2+z^2+R^2-a^2)^2-4R^2(x^2+y^2)=0. $$
 * 4) जीनस (गणित) की एक सतह 2: $$2y(y^2-3x^2)(1-z^2)+(x^2+y^2)^2-(9z^2-1)(1-z^2)=0$$ (रेखाचित्र देखें)।
 * 5) परिक्रमण की सतह $$ x^2+y^2-(\ln(z+3.2))^2-0.02=0$$ (वाइनग्लास रेखाचित्र देखें)।

निहित फलन प्रमेय (implicit function theorem) उन स्थितियों का वर्णन करता है जिसके तहत एक समीकरण $$F(x,y,z)=0$$ को $x$, $y$ या $z$ के लिए (कम से कम निहित रूप से) हल किया जा सकता है। लेकिन सामान्य तौर पर, समाधान स्पष्ट नहीं किया जा सकता है। यह प्रमेय एक सतह की आवश्यक ज्यामितीय विशेषताओं की गणना की कुंजी है: स्पर्शरेखा समतल, सतह सामान्य और वक्रता (नीचे देखें)। लेकिन उनमें एक आवश्यक कमी है: उनका प्रत्योक्षकरण कठिन है।

यदि $$F(x,y,z)$$ $x$, $y$ और $z$ में बहुपद है, तो सतह को बीजगणितीय कहा जाता है। उदाहरण 5 गैर-बीजीय है।

प्रत्योक्षकरण की कठिनाई के बावजूद, निहित सतहें सैद्धांतिक रूप से (जैसे स्टेनर सतह) और व्यावहारिक रूप से (नीचे देखें) दिलचस्प सतहों को उत्पन्न करने के लिए अपेक्षाकृत सरल तकनीक प्रदान करती हैं।

सूत्र
निम्नलिखित विचारों के दौरान, निहित सतह को एक समीकरण $$F(x,y,z)=0$$ द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ फलन $$F$$ अवकलनीयता की आवश्यक शर्तों को पूरा करता है।

$$F$$ के आंशिक अवकलज $$F_x,F_y,F_z,F_{xx},\ldots$$ हैं

स्पर्शरेखा समतल (प्लेन) और सामान्य वेक्टर
एक सतह बिंदु $$(x_0, y_0,z_0)$$ नियमित कहा जाता है अगर और केवल अगर की ढाल $$F$$ पर $$(x_0, y_0,z_0)$$ शून्य सदिश नहीं है $$(0, 0, 0)$$, जिसका अर्थ है
 * $$ (F_x(x_0,y_0,z_0),F_y(x_0,y_0,z_0),F_z(x_0,y_0,z_0))\ne (0,0,0)$$.

यदि सतह बिंदु $$(x_0, y_0,z_0)$$ नियमित नहीं है, उसे 'एकवचन ' कहते हैं।

एक नियमित बिंदु पर स्पर्शरेखा समतल का समीकरण $$(x_0,y_0,z_0)$$ है
 * $$F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0,$$

और एक सामान्य वेक्टर है
 * $$ \mathbf n(x_0,y_0,z_0)=(F_x(x_0,y_0,z_0),F_y(x_0,y_0,z_0),F_z(x_0,y_0,z_0))^T.$$

सामान्य वक्रता
सूत्र को सरल रखने के लिए तर्क $$(x_0,y_0,z_0)$$ छोड़े गए हैं:


 * $$\kappa_n = \frac{\mathbf v^\top H_F\mathbf v}{\|\operatorname{grad} F\|}$$

इकाई स्पर्शरेखा दिशा $$ \mathbf v$$ के लिए एक नियमित बिंदु पर सतह की सामान्य वक्रता है। $$H_F$$, $$F$$ का हेसियन मैट्रिक्स है (दूसरा डेरिवेटिव का मैट्रिक्स)।

इस सूत्र का प्रमाण निहित फलन प्रमेय और एक पैरामीट्रिक सतह के सामान्य वक्रता के सूत्र पर निर्भर करता है (जैसा कि एक निहित वक्र के मामले में)।

निहित सतहों के अनुप्रयोग
निहित वक्रों के मामले में सरल आदिम पर बीजगणितीय संक्रियाओं (जोड़, गुणन) को लागू करके वांछित आकृतियों के साथ निहित सतहों को उत्पन्न करना एक आसान काम है।

बिन्दु आवेशों की समविभव सतह
बिंदु $$\mathbf p_i=(x_i,y_i,z_i)$$ पर एक बिंदु आवेश $$q_i$$ की विद्युत क्षमता बिंदु $$ \mathbf p=(x,y,z)$$ पर उत्पन्न होती है, संभावित (भौतिक स्थिरांक को छोड़कर)
 * $$F_i(x,y,z)=\frac{q_i}{\|\mathbf p -\mathbf p_i\|}.$$

संभावित मान $$c$$ के लिए समविभव सतह निहित सतह $$ F_i(x,y,z)-c=0 $$ है जो बिंदु $$\mathbf p_i$$ पर केंद्र के साथ एक गोला है।

4 बिंदु आवेशों की क्षमता को$$F(x,y,z)=\frac{q_1}{\|\mathbf p -\mathbf p_1\|}+ \frac{q_2}{\|\mathbf p -\mathbf p_2\|}+ \frac{q_3}{\|\mathbf p -\mathbf p_3\|}+\frac{q_4}{\|\mathbf p -\mathbf p_4\|}$$ द्वारा दर्शाया जाता है।

रेखाचित्र के लिए, चार आवेश 1 के बराबर हैं और बिंदुओं $$(\pm 1,\pm 1,0)$$ पर स्थित हैं। प्रदर्शित सतह समविभव सतह (निहित सतह) $$F(x,y,z)-2.8=0$$ है।

लगातार दूरी उत्पाद सतह
एक कैसिनी अंडाकार को उस बिंदु सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसके लिए दो दिए गए बिंदुओं की दूरी का गुणनफल स्थिर होता है (इसके विपरीत, दीर्घवृत्त के लिए, योग स्थिर होता है)। इसी तरह, निहित सतहों को निरंतर दूरी उत्पाद द्वारा कई निश्चित बिंदुओं पर परिभाषित किया जा सकता है।

रेखाचित्र में रूपांतरित ऊपरी बाएँ सतह इस नियम द्वारा उत्पन्न होती है: $$ \begin{align} F(x,y,z) = {} & \Big( \sqrt{(x-1)^2+y^2+z^2}\cdot \sqrt{(x+1)^2+y^2+z^2} \\ & \qquad \cdot \sqrt{x^2+(y-1)^2+z^2}\cdot\sqrt{x^2+(y+1)^2+z^2} \Big) \end{align} $$ के साथ स्थिर दूरी उत्पाद सतह $$F(x,y,z)-1.1=0$$ प्रदर्शित होती है।



निहित सतहों का कायांतरण
नई निहित सतहों को उत्पन्न करने के लिए एक और सरल विधि को निहित सतहों का कायापलट कहा जाता है:

दो निहित सतहों के लिए $$F_1(x,y,z)=0, F_2(x,y,z)=0$$ (रेखाचित्र में: एक निरंतर दूरी उत्पाद सतह और एक टोरस) डिजाइन पैरामीटर $$ \mu \in [0,1]$$ का उपयोग करके नई सतहों को परिभाषित करता है:

$$F(x,y,z)=\mu F_1(x,y,z)+(1-\mu)F_2(x,y,z)=0$$

रेखाचित्र में डिज़ाइन पैरामीटर क्रमिक रूप से $$\mu=0, \, 0.33, \, 0.66, \, 1$$ है।

कई निहित सतहों का चिकना अनुमान
$$\Pi$$-सतहों का उपयोग $$R^3$$ में किसी भी चिकनी और बंधी हुई वस्तु का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है, जिसकी सतह को सहायक बहुपदों के उत्पाद के रूप में एकल बहुपद द्वारा परिभाषित किया गया है। दूसरे शब्दों में, हम किसी भी चिकनी वस्तु को एक बीजगणितीय सतह के साथ डिज़ाइन कर सकते हैं। परिभाषित बहुपदों को $$f_i\in\mathbb{R}[x_1,\ldots,x_n](i=1,\ldots,k)$$ के रूप में निरूपित करते हैं। फिर, अनुमानित वस्तु को बहुपद $$F(x,y,z) = \prod_i f_i(x,y,z) - r$$ द्वारा परिभाषित किया जाता है जहाँ $$r\in\mathbb{R}$$ सम्मिश्रण पैरामीटर के लिए है जो अनुमान त्रुटि को नियंत्रित करता है।

निहित वक्रों के साथ सहज सन्निकटन के अनुरूप, समीकरण
 * $$F(x,y,z)=F_1(x,y,z)\cdot F_2(x,y,z)\cdot F_3(x,y,z) -r= 0$$

उपयुक्त मापदंडों के लिए प्रतिनिधित्व करता है $$c$$ समीकरणों के साथ तीन अन्तर्विभाजक तोरी का सहज सन्निकटन



\begin{align} F_1=(x^2+y^2+z^2+R^2-a^2)^2-4R^2(x^2+y^2)=0, \\[3pt] F_2=(x^2+y^2+z^2+R^2-a^2)^2-4R^2(x^2+z^2)=0, \\[3pt] F_3=(x^2+y^2+z^2+R^2-a^2)^2-4R^2(y^2+z^2)=0. \end{align} $$ (रेखाचित्र में पैरामीटर $$ R=1, \, a=0.2, \, r=0.01$$ हैं)

निहित सतहों का प्रत्योक्षकरण
निहित सतहों को प्रतिपादन करने के लिए विभिन्न एल्गोरिदम हैं, मार्चिंग क्यूब्स एल्गोरिदम सहित। अनिवार्य रूप से एक निहित सतह को देखने के लिए दो विचार हैं: एक बहुभुज का एक जाल उत्पन्न करता है जिसे देखा जाता है (सतह त्रिभुज देखें) और दूसरा किरण अनुरेखण पर निर्भर करता है जो सतह के साथ किरणों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को निर्धारित करता है। सतह की दूरी का पता लगाने के लिए एक हस्ताक्षरित दूरी फलन का उपयोग करके, चौराहे के बिंदुओं को गोलाकार अनुरेखण द्वारा अनुमानित किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * निहित वक्र

अग्रिम पठन

 * Gomes, A., Voiculescu, I., Jorge, J., Wyvill, B., Galbraith, C.: Implicit Curves and Surfaces: Mathematics, Data Structures and Algorithms, 2009, Springer-Verlag London, ISBN 978-1-84882-405-8
 * Thorpe: Elementary Topics in Differential Geometry, Springer-Verlag, New York, 1979, ISBN 0-387-90357-7

बाहरी संबंध

 * Sultanow: Implizite Flächen
 * Hartmann: Geometry and Algorithms for COMPUTER AIDED DESIGN
 * GEOMVIEW
 * K3Dsurf: 3d surface generator
 * SURF: Visualisierung algebraischer Flächen