स्टोलार्स्की माध्य

गणित में, स्टोलार्स्की माध्य लघुगणकीय माध्य का सामान्यीकरण है। इसे 1975 में केनेथ बी. स्टोलार्स्की द्वारा पेश किया गया था।

परिभाषा
दो सकारात्मक वास्तविक संख्याओं x,y के लिए स्टोलार्स्की माध्य को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:



\begin{align} S_p(x,y) & = \lim_{(\xi,\eta)\to(x,y)} \left({\frac{\xi^p-\eta^p}{p (\xi-\eta)}}\right)^{1/(p-1)} \\[10pt] & = \begin{cases} x & \text{if }x=y \\ \left({\frac{x^p-y^p}{p (x-y)}}\right)^{1/(p-1)} & \text{else} \end{cases} \end{align} $$

व्युत्पत्ति
यह माध्य मान प्रमेय से लिया गया है, जो बताता है कि विभेदक फ़ंक्शन फ़ंक्शन के ग्राफ़ को काटने वाली छेदक रेखा $$f$$ पर $$( x, f(x) )$$ और $$( y, f(y) )$$, किसी बिंदु पर ग्राफ़ की स्पर्श रेखा के समान ढलान है $$\xi$$ अंतराल में (गणित) $$[x,y]$$.
 * $$ \exists \xi\in[x,y]\ f'(\xi) = \frac{f(x)-f(y)}{x-y} $$

स्टोलार्स्की माध्य किसके द्वारा प्राप्त किया जाता है?
 * $$ \xi = f'^{-1}\left(\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right) $$

चुनते समय $$f(x) = x^p$$.

विशेष मामले

 * $$\lim_{p\to -\infty} S_p(x,y)$$ न्यूनतम है.
 * $$S_{-1}(x,y)$$ ज्यामितीय माध्य है.
 * $$\lim_{p\to 0} S_p(x,y)$$ लघुगणक माध्य है. इसे माध्य मान प्रमेय से चुनकर प्राप्त किया जा सकता है $$f(x) = \ln x$$.
 * $$S_{\frac{1}{2}}(x,y)$$ घातांक के साथ घात माध्य है $$\frac{1}{2}$$.
 * $$\lim_{p\to 1} S_p(x,y)$$ समरूप माध्य है. इसे माध्य मान प्रमेय से चुनकर प्राप्त किया जा सकता है $$f(x) = x\cdot \ln x$$.
 * $$S_2(x,y)$$ अंकगणित माध्य है.
 * $$S_3(x,y) = QM(x,y,GM(x,y))$$ द्विघात माध्य और ज्यामितीय माध्य का संबंध है।
 * $$\lim_{p\to\infty} S_p(x,y)$$ अधिकतम है.

सामान्यीकरण
nवें व्युत्पन्न के लिए विभाजित अंतरों के लिए माध्य मान प्रमेय पर विचार करके n + 1 चर के माध्य को सामान्यीकृत किया जा सकता है। प्राप्त होता है
 * $$S_p(x_0,\dots,x_n) = {f^{(n)}}^{-1}(n!\cdot f[x_0,\dots,x_n])$$ के लिए $$f(x)=x^p$$.

यह भी देखें

 * अर्थ