वुडिन कार्डिनल

समुच्चय सिद्धांत में, एक वुडिन कार्डिनल (डब्ल्यू. ह्यूग वुडिन के नाम पर) एक कार्डिनल संख्या $$\lambda$$ जो कि सभी फलनों के लिए है


 * $$f : \lambda \to \lambda$$

एक कार्डिनल $$\kappa < \lambda$$ निहित है


 * $$\{f(\beta) \mid \beta < \kappa \} \subseteq \kappa$$

और एक प्राथमिक एम्बेडिंग


 * $$j : V \to M$$

वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड $$V$$ से एक सकर्मक आंतरिक मॉडल $$M$$ में महत्वपूर्ण बिंदु $$\kappa$$ और


 * $$V_{j(f)(\kappa)} \subseteq M$$ के साथ है।

एक समतुल्य परिभाषा यह है: $$\lambda$$ वुडिन है अगर और केवल अगर $$\lambda$$ दुर्गम कार्डिनल है और सभी $$A \subseteq V_\lambda$$ के लिए एक $$\lambda_A < \lambda$$ निहित है जो $$<\lambda$$-$$A$$-मज़बूत है।

$$\lambda _A$$ $$<\lambda$$-$$A$$-मजबूत होने का मतलब है कि सभी क्रमिक संख्याओं के लिए  $$\alpha < \lambda $$, वहाँ एक $$j: V \to M$$  निहित है जो महत्वपूर्ण बिंदु $$\lambda _A$$, $$j(\lambda _A) > \alpha$$, $$V_\alpha \subseteq M$$ और $$j(A) \cap V_\alpha = A \cap V_\alpha$$ के साथ एक प्राथमिक एम्बेडिंग है। (मजबूत कार्डिनल भी देखें।)

एक वुडिन कार्डिनल मापने योग्य कार्डिनल्स के एक स्थिर सेट से पहले होता है, और इस प्रकार यह एक महलो कार्डिनल है। हालांकि, पहला वुडिन कार्डिनल कमजोर रूप सघन भी नहीं है।

परिणाम
वर्णनात्मक सेट सिद्धांत में वुडिन कार्डिनल्स महत्वपूर्ण हैं। डोनाल्ड ए. मार्टिन और जॉन आर. स्टील के परिणाम से, असीमित रूप से कई वुडिन कार्डिनल्स का अस्तित्व प्रोजेक्टिव निर्धारणा का तात्पर्य है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक प्रोजेक्टिव सेट लेबेस्ग औसत दर्जे का है, बेयर संपत्ति है (एक अल्प सेट द्वारा एक खुले सेट से अलग है, जो है) , एक सेट जो कहीं भी घने सेटों का एक गणनीय संघ नहीं है), और सही सेट संपत्ति (या तो गणनीय है या एक बिल्कुल सही सेट सबसेट है)।

दृढ़ संकल्प परिकल्पनाओं का उपयोग करके वुडिन कार्डिनल्स के अस्तित्व की स्थिरता साबित की जा सकती है। ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी में कार्य करना + नियतत्व का स्वयंसिद्ध + निर्भर विकल्प का स्वयंसिद्ध सिद्ध कर सकता है कि $$\Theta _0$$ वुडिन आनुवंशिक रूप से क्रमिक-निश्चित सेटों की कक्षा में है। $$\Theta _0$$ पहला क्रमसूचक है जिस पर क्रमसूचक-परिभाषा अनुमान द्वारा सातत्य को प्रतिचित्रित नहीं किया जा सकता है (देखें Θ (सेट सिद्धांत))।

मिशेल और स्टील ने दिखाया कि एक वुडिन कार्डिनल निहित है, एक वुडिन कार्डिनल युक्त एक आंतरिक मॉडल है जिसमें एक है $$\Delta_4^1$$-वास्तविकता का क्रम, हीरा सिद्धांत|◊ धारण करता है, और सामान्यीकृत सातत्य परिकल्पना धारण करता है। सहारों शेलाह ने साबित किया कि यदि वुडिन कार्डिनल का अस्तित्व सुसंगत है तो यह सुसंगत है कि गैर-स्थिर आदर्श $$\omega_1$$ है $$\aleph_2$$-संतृप्त। वुडिन ने असीम रूप से कई वुडिन कार्डिनल्स के अस्तित्व और एक के अस्तित्व की समानता को भी साबित किया $$\aleph_1$$-सघन आदर्श ओवर $$\aleph_1$$.

हाइपर-वुडिन कार्डिनल्स
एक कार्डिनल संख्या $$\kappa$$ हाइपर-वुडिन कहा जाता है यदि कोई सामान्य उपाय निहित हो $$U$$ पर $$\kappa$$ ऐसा कि हर सेट के लिए $$S$$, सेट


 * $$\{\lambda < \kappa \mid \lambda$$ है $$< \kappa$$-$$S$$-मजबूत कार्डिनल$$\}$$

में है $$U$$.

$$\lambda$$ है $$<\kappa$$-$$S$$-मजबूत अगर और केवल अगर प्रत्येक के लिए $$\delta < \kappa$$ एक सकर्मक वर्ग है $$N$$ और एक प्राथमिक एम्बेडिंग


 * $$j : V \to N$$

साथ


 * $$\lambda = \text{crit}(j),$$
 * $$j(\lambda) \geq \delta $$, और


 * $$j(S) \cap H_\delta = S \cap H_\delta$$.

यह नाम शास्त्रीय परिणाम की ओर इशारा करता है कि एक कार्डिनल वुडिन है अगर और केवल अगर हर सेट के लिए $$S$$, सेट


 * $$\{\lambda < \kappa \mid \lambda$$ है $$< \kappa$$-$$S$$-मजबूत कार्डिनल$$\}$$

एक स्थिर सेट है।

पैमाना $$U$$ नीचे सभी शेलाह कार्डिनल्स का सेट होगा $$\kappa$$.

कमजोर हाइपर-वुडिन कार्डिनल्स
एक कार्डिनल संख्या $$\kappa$$ प्रत्येक सेट के लिए कमजोर रूप से हाइपर-वुडिन कहा जाता है $$S$$ एक सामान्य उपाय निहित है $$U$$ पर $$\kappa$$ ऐसा सेट $$\{\lambda < \kappa \mid \lambda$$ है $$< \kappa$$-$$S$$-मजबूत कार्डिनल$$\}$$ में है $$U$$. $$\lambda$$ है $$<\kappa$$-$$S$$-मजबूत अगर और केवल अगर प्रत्येक के लिए $$\delta < \kappa$$ एक सकर्मक वर्ग है $$N$$ और एक प्राथमिक एम्बेडिंग $$j : V \to N$$ साथ $$\lambda = \text{crit}(j)$$, $$j(\lambda) \geq \delta$$, और $$j(S) \cap H_\delta = S \cap H_\delta.$$ यह नाम क्लासिक परिणाम की ओर इशारा करता है कि हर सेट के लिए एक कार्डिनल वुडिन है $$S$$, सेट $$\{\lambda < \kappa \mid \lambda$$ है $$< \kappa$$-$$S$$-मजबूत कार्डिनल$$\}$$ स्थिर है।

हाइपर-वुडिन कार्डिनल्स और कमजोर हाइपर-वुडिन कार्डिनल्स के बीच का अंतर यह है कि किसकी पसंद है $$U$$ सेट की पसंद पर निर्भर नहीं करता है $$S$$ हाइपर-वुडिन कार्डिनल्स के लिए।

अग्रिम पठन

 * For proofs of the two results listed in consequences see Handbook of Set Theory (Eds. Foreman, Kanamori, Magidor) (to appear). Drafts of some chapters are available.
 * Ernest Schimmerling, Woodin cardinals, Shelah cardinals and the Mitchell-Steel core model, Proceedings of the American Mathematical Society 130/11, pp. 3385–3391, 2002, online
 * Ernest Schimmerling, Woodin cardinals, Shelah cardinals and the Mitchell-Steel core model, Proceedings of the American Mathematical Society 130/11, pp. 3385–3391, 2002, online