द्वैत संख्या

बीजगणित में, दोहरी संख्या एक हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्या है जिसे पहली बार 19वीं शताब्दी में पेश किया गया था। वे रूप की अभिव्यक्ति (गणित) हैं $a + bε$, कहाँ $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ हैं, और $ε$ संतुष्ट करने के लिए लिया गया प्रतीक है $$\varepsilon^2 = 0$$ साथ $$\varepsilon\neq 0$$.

दोहरी संख्याओं को घटक-वार जोड़ा जा सकता है, और सूत्र द्वारा गुणा किया जा सकता है
 * $$ (a+b\varepsilon)(c+d\varepsilon) = ac + (ad+bc)\varepsilon, $$

जो संपत्ति से आता है $ε2 = 0$ और यह तथ्य कि गुणन एक बिलिनियर संक्रिया है।

दोहरी संख्या वास्तविक से दो आयाम (रैखिक बीजगणित) का एक क्रमविनिमेय बीजगणित (संरचना) बनाती है, और एक आर्टिनियन स्थानीय रिंग भी। वे एक अंगूठी के सबसे सरल उदाहरणों में से एक हैं जिसमें नॉनज़रो निलपोटेंट तत्व है।

इतिहास
1873 में विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड द्वारा दोहरे नंबर पेश किए गए थे, और बीसवीं शताब्दी की शुरुआत में जर्मन गणितज्ञ एडवर्ड स्टडी  द्वारा उपयोग किए गए थे, जिन्होंने उन्हें दोहरे कोण का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया था जो अंतरिक्ष में दो तिरछी रेखाओं की सापेक्ष स्थिति को मापता है। अध्ययन ने एक दोहरे कोण को परिभाषित किया $θ + dε$, कहाँ $θ$ त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो रेखाओं की दिशाओं के बीच का कोण है और $d$ उनके बीच की दूरी है। वह $n$-विमीय सामान्यीकरण, ग्रासमान संख्या, 19वीं शताब्दी के अंत में हरमन ग्रासमैन द्वारा पेश किया गया था।

सार बीजगणित
में परिभाषा

अमूर्त बीजगणित में, दोहरी संख्याओं के बीजगणित को अक्सर वास्तविक संख्याओं पर एक बहुपद वलय के भागफल वलय के रूप में परिभाषित किया जाता है। $$(\mathbb{R})$$ अनिश्चित (चर) के वर्ग (बीजगणित) द्वारा उत्पन्न प्रमुख आदर्श द्वारा, अर्थात
 * $$\mathbb{R}[X]/\left\langle X^2 \right\rangle.$$

मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व
दोहरी संख्या $$a + b \epsilon$$ स्क्वायर मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जा सकता है $$\begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}$$. इस प्रतिनिधित्व में मैट्रिक्स $$\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ वर्ग शून्य मैट्रिक्स के लिए, दोहरी संख्या के अनुरूप $$\varepsilon$$.

दोहरी संख्याओं को वर्ग आव्यूहों के रूप में प्रदर्शित करने के अन्य तरीके हैं। वे दोहरी संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं $$1$$ पहचान मैट्रिक्स द्वारा, और $$\epsilon$$ किसी मैट्रिक्स द्वारा जिसका वर्ग शून्य मैट्रिक्स है; यानी के मामले में $2×2$ मेट्रिसेस, फॉर्म का कोई भी नॉनजेरो मैट्रिक्स
 * $$\begin{pmatrix}a & b \\ c & -a \end{pmatrix}$$ साथ $$a^2+bc=0.$$

भेद
दोहरी संख्याओं का एक अनुप्रयोग स्वचालित विभेदीकरण है। उपरोक्त वास्तविक दोहरी संख्याओं पर विचार करें। कोई वास्तविक बहुपद दिया गया है $P(x) = p_{0} + p_{1}x + p_{2}x^{2} + ... + p_{n}x^{n}$, इस बहुपद के डोमेन को वास्तविक से दोहरी संख्या तक विस्तारित करना सीधा है। तब हमारे पास यह परिणाम है:
 * $$\begin{align}

P(a + b\varepsilon) ={} &p_0 + p_1(a + b\varepsilon) + \cdots + p_n(a + b\varepsilon)^n\\ ={} &p_0 + p_1 a + p_2 a^2 + \cdots + p_n a^n + p_1 b\varepsilon + 2 p_2 a b\varepsilon + \cdots + n p_n a^{n-1} b\varepsilon\\[3pt] ={} &P(a) + bP^\prime(a)\varepsilon, \end{align}$$ कहाँ $P$ का व्युत्पन्न है $P$.

अधिक सामान्यतः, हम किसी भी (विश्लेषणात्मक) वास्तविक कार्य को उसकी टेलर श्रृंखला को देखकर दोहरी संख्याओं तक बढ़ा सकते हैं:


 * $$f(a + b\varepsilon) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)} (a)b^n \varepsilon^n}{n!} = f(a) + bf'(a)\varepsilon,$$

शामिल होने की सभी शर्तों के बाद से $ε^{2}$ या अधिक की परिभाषा के अनुसार तुच्छ रूप से 0 हैं $ε$.

दोहरी संख्याओं पर इन कार्यों की रचनाओं की गणना करके और के गुणांक की जांच करके $ε$ परिणाम में हम पाते हैं कि हमने रचना के व्युत्पन्न की स्वचालित रूप से गणना की है।

के बहुपदों के लिए भी यही विधि काम करती है $n$ चर, एक के बाहरी बीजगणित का उपयोग कर $n$-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष।

ज्यामिति
दोहरी संख्या के यूनिट सर्कल में वे होते हैं $a = ±1$ चूंकि ये संतुष्ट करते हैं $zz* = 1$ कहाँ $z* = a − bε$. हालाँकि, ध्यान दें
 * $$ e^{b \varepsilon} = \sum^\infty_{n=0} \frac{\left(b\varepsilon\right)^n}{n!} = 1 + b \varepsilon,$$

तो घातीय मानचित्र (झूठ सिद्धांत) पर लागू होता है $ε$-अक्ष केवल आधे वृत्त को ढकता है।

होने देना $z = a + bε$. अगर $a ≠ 0$ और $m = b⁄a$, तब $z = a(1 + mε)$ ध्रुवीय अपघटन # दोहरी संख्या का वैकल्पिक प्लानर अपघटन है $z$, और ढलान $m$ इसका कोणीय भाग है। दोहरी संख्या वाले विमान में रोटेशन की अवधारणा वर्टिकल कतरनी मानचित्रण के बराबर है $(1 + pε)(1 + qε) = 1 + (p + q)ε$.

पूर्ण स्थान और समय में गैलीलियन परिवर्तन
 * $$\left(t', x'\right) = (t, x)\begin{pmatrix} 1 & v \\0 & 1 \end{pmatrix}\,,$$

वह है
 * $$t' = t,\quad x' = vt + x,$$

स्थिर निर्देशांक प्रणाली को वेग के संदर्भ के एक गतिमान फ्रेम से संबंधित करता है $v$. दोहरी संख्या के साथ $t + xε$ एक अंतरिक्ष आयाम और समय के साथ घटना (सापेक्षता) का प्रतिनिधित्व करते हुए, उसी परिवर्तन को गुणा के साथ प्रभावित किया जाता है $1 + vε$.

साइकिल
दो दोहरी संख्याएँ दी गई हैं $p$ और $q$, वे का सेट निर्धारित करते हैं $z$ जैसे ढलानों में अंतर (गैलीलियन कोण) से लाइनों के बीच $z$ को $p$ और $q$ स्थिर है। यह समुच्चय द्वैत संख्या तल में एक चक्र है; चूँकि रेखाओं के ढलानों में अंतर को एक स्थिरांक पर सेट करने वाला समीकरण वास्तविक भाग में एक द्विघात समीकरण है $z$, एक चक्र एक परवलय है। दोहरी संख्या वाले विमान का चक्रीय घुमाव #प्रक्षेपी रेखा की गति के रूप में होता है। इसहाक याग्लोम के अनुसार, चक्र $Z = {z : y = αx^{2} }$ कतरनी की संरचना के तहत अपरिवर्तनीय है
 * $$x_1 = x ,\quad y_1 = vx + y $$

अनुवाद के साथ (ज्यामिति)
 * $$x' = x_1 = \frac{v}{2a} ,\quad  y' = y_1 + \frac{v^2}{4a}. $$

विभाग
दोहरी संख्याओं का विभाजन तब परिभाषित किया जाता है जब भाजक का वास्तविक भाग गैर-शून्य होता है। विभाजन प्रक्रिया जटिल संख्या के अनुरूप है जिसमें अवास्तविक भागों को रद्द करने के लिए भाजक को इसके संयुग्म से गुणा किया जाता है।

इसलिए, प्रपत्र के एक समीकरण को विभाजित करने के लिए
 * $$\frac{a + b\varepsilon}{c + d\varepsilon}$$

हम हर के संयुग्म द्वारा ऊपर और नीचे गुणा करते हैं:
 * $$\begin{align}

\frac{a + b\varepsilon}{c + d\varepsilon} &= \frac{(a + b\varepsilon)(c - d\varepsilon)}{(c + d\varepsilon)(c - d\varepsilon)}\\[5pt] &= \frac{ac - ad\varepsilon + bc\varepsilon - bd\varepsilon^2}{c^2 + cd\varepsilon - cd\varepsilon - d^2\varepsilon^2}\\[5pt] &= \frac{ac - ad\varepsilon + bc\varepsilon - 0}{c^2 - 0}\\[5pt] &= \frac{ac + \varepsilon(bc - ad)}{c^2}\\[5pt] &= \frac{a}{c} + \frac{bc - ad}{c^2}\varepsilon \end{align}$$ जिसे शून्य द्वारा परिभाषित किया गया है | जब $c$ शून्य नहीं है।

यदि, दूसरी ओर, $c$ शून्य है जबकि $d$ नहीं है, तो समीकरण
 * $${a + b\varepsilon = (x + y\varepsilon) d\varepsilon} = {xd\varepsilon + 0}$$

इसका मतलब यह है कि भागफल का गैर-वास्तविक हिस्सा मनमाना है और विभाजन इसलिए विशुद्ध रूप से अवास्तविक दोहरी संख्याओं के लिए परिभाषित नहीं है। वास्तव में, वे (तुच्छ रूप से) शून्य विभाजक हैं और स्पष्ट रूप से दोहरी संख्याओं के एक क्षेत्र (और इस प्रकार रिंग (गणित)) पर साहचर्य बीजगणित का एक आदर्श (रिंग थ्योरी) बनाते हैं।
 * 1) कोई समाधान नहीं है अगर $a$ अशून्य है
 * 2) अन्यथा फॉर्म के किसी भी दोहरी संख्या से हल किया जाता है $b⁄d + yε$.

यांत्रिकी में अनुप्रयोग
दोहरी संख्याएं यांत्रिकी में अनुप्रयोगों को ढूंढती हैं, विशेष रूप से कीनेमेटिक संश्लेषण के लिए। उदाहरण के लिए, दोहरी संख्याएँ चार-बार गोलाकार लिंकेज के इनपुट/आउटपुट समीकरणों को बदलना संभव बनाती हैं, जिसमें केवल रोटॉइड जोड़ शामिल हैं, चार-बार स्थानिक तंत्र (रोटॉइड, रोटॉइड, रोटॉइड, बेलनाकार) में। दोहरे कोण एक आदिम भाग, कोण और एक दोहरे भाग से बने होते हैं, जिसमें लंबाई की इकाइयाँ होती हैं। अधिक के लिए पेंच सिद्धांत देखें।

सामान्यीकरण
यह निर्माण अधिक सामान्यतः किया जा सकता है: एक क्रमविनिमेय अंगूठी  के लिए $R$ कोई दोहरी संख्या को परिभाषित कर सकता है $R$ बहुपद वलय के भागफल वलय के रूप में $R[X]$ आदर्श (अंगूठी सिद्धांत) द्वारा $(X^{2})$: की छवि $X$ तो वर्ग शून्य के बराबर है और तत्व से मेल खाता है $ε$ उपर से।

शून्य वर्ग
के तत्वों का मनमाना मॉड्यूल दोहरी संख्याओं का एक अधिक सामान्य निर्माण है। क्रमविनिमेय वलय दिया है $$R$$ और एक मॉड्यूल $$M$$, एक अंगूठी है $$R[M]$$ दोहरी संख्याओं का वलय कहा जाता है जिसमें निम्नलिखित संरचनाएँ होती हैं:

यह है $$R$$-मापांक $$R \oplus M$$ द्वारा परिभाषित गुणन के साथ $$(r, i) \cdot \left(r', i'\right) = \left(rr', ri' + r'i\right)$$ के लिए $$r, r' \in R$$ और $$i, i' \in I.$$ दोहरी संख्या का बीजगणित विशेष मामला है जहां $$M = R$$ और $$\varepsilon = (0, 1).$$

superspace
दोहरे अंक भौतिकी में अनुप्रयोग पाते हैं, जहां वे सुपरस्पेस के सबसे सरल गैर-तुच्छ उदाहरणों में से एक का गठन करते हैं। समान रूप से, वे सिर्फ एक जनरेटर के साथ ग्रासमान संख्या हैं; सुपरनंबर इस अवधारणा को सामान्यीकृत करते हैं $n$ अलग जनरेटर $ε$, प्रत्येक विरोधी आने-जाने वाला, संभवतः ले रहा है $n$ अनंत की ओर। सुपरस्पेस कई आने-जाने वाले आयामों की अनुमति देकर, सुपरनंबरों को थोड़ा सामान्य करता है।

भौतिकी में दोहरी संख्याओं को शामिल करने की प्रेरणा पाउली अपवर्जन सिद्धांत से मिलती है। साथ में दिशा $ε$ को फर्मीओनिक दिशा कहा जाता है, और वास्तविक घटक को बोसोनिक दिशा कहा जाता है। फर्मीओनिक दिशा इस नाम को इस तथ्य से अर्जित करती है कि फर्मियन पाउली अपवर्जन सिद्धांत का पालन करते हैं: निर्देशांक के आदान-प्रदान के तहत, क्वांटम यांत्रिक तरंग फ़ंक्शन संकेत बदलता है, और इस प्रकार गायब हो जाता है यदि दो निर्देशांक एक साथ लाए जाते हैं; यह भौतिक विचार बीजगणितीय संबंध द्वारा कब्जा कर लिया गया है$ε^{2} = 0$.

प्रोजेक्टिव लाइन
ग्रुन्वाल्ड द्वारा दोहरी संख्याओं पर एक अनुमानित रेखा का विचार उन्नत किया गया था और कॉनराड सेग्रे । जिस तरह रीमैन क्षेत्र को जटिल प्रक्षेपी रेखा को बंद करने के लिए अनंत पर एक उत्तरी ध्रुव बिंदु की आवश्यकता होती है, उसी तरह अनंत पर एक रेखा दोहरी संख्या के विमान को एक सिलेंडर (ज्यामिति) तक बंद करने में सफल होती है।

कल्पना करना $D$ दोहरी संख्याओं का वलय है $x + yε$ और $U$ के साथ सबसेट है $x ≠ 0$. तब $U$ की इकाइयों का समूह है $D$. होने देना $B = {(a, b) ∈ D × D : a ∈ U or b ∈ U }$. एक संबंध (गणित) को B पर इस प्रकार परिभाषित किया गया है: $(a, b) ~ (c, d)$ जब वहाँ एक है $u$ में $U$ ऐसा है कि $ua = c$ और $ub = d$. यह संबंध वास्तव में एक तुल्यता संबंध है। प्रक्षेप्य रेखा के बिंदु $D$ समकक्ष वर्ग हैं $B$ इस संबंध के तहत: $P(D) = B/~$. उन्हें प्रोजेक्टिव निर्देशांक के साथ दर्शाया गया है $[a, b]$.

एम्बेडिंग पर विचार करें $D → P(D)$ द्वारा $z → [z, 1]$. फिर अंक $[1, n]$, के लिए $n^{2} = 0$, में हैं $P(D)$ लेकिन एम्बेडिंग के तहत किसी बिंदु की छवि नहीं हैं। $P(D)$ को प्रोजेक्शन (गणित) द्वारा एक सिलेंडर (ज्यामिति) पर मैप किया जाता है: लाइन पर डबल नंबर प्लेन के लिए एक सिलेंडर स्पर्शरेखा लें ${yε : y ∈ $\mathbb{R}$ }$, $ε^{2} = 0$. अब समतलों की पेंसिल (गणित) के अक्ष के लिए बेलन पर विपरीत रेखा लें। दोहरी संख्या वाले विमान और सिलेंडर को काटने वाले विमान इन सतहों के बीच बिंदुओं का एक पत्राचार प्रदान करते हैं। दोहरी संख्या वाले विमान के समानांतर विमान बिंदुओं से मेल खाता है $[1, n]$, $n^{2} = 0$ दोहरी संख्याओं पर प्रक्षेपी रेखा में।

यह भी देखें

 * चिकना अतिसूक्ष्म विश्लेषण
 * व्यवधान सिद्धांत
 * अनंत
 * पेंच सिद्धांत
 * दोहरी जटिल संख्या
 * लैगुएरे परिवर्तन
 * ग्रासमैन संख्या
 * स्वचालित भेदभाव # दोहरी संख्या का उपयोग करके स्वचालित भेदभाव

अग्रिम पठन

 * From Cornell Historical Mathematical Monographs at Cornell University.
 * From Cornell Historical Mathematical Monographs at Cornell University.
 * From Cornell Historical Mathematical Monographs at Cornell University.
 * From Cornell Historical Mathematical Monographs at Cornell University.
 * From Cornell Historical Mathematical Monographs at Cornell University.