सामान्यीकृत फलन

गणित में, सामान्यीकृत फलन वे वस्तुएँ हैं, जो फलनों की धारणा का विस्तार करती हैं। एक से अधिक मान्यता प्राप्त सिद्धांत होते हैं, उदाहरण के लिए वितरण का सिद्धांत। सामान्यीकृत कार्य विशेष रूप से असतत कार्यों को सुचारू कार्यों की तरह बनाने और बिंदु आवेशों जैसे असतत भौतिक घटनाओं का वर्णन करने में उपयोगी होते हैं। वे बड़े पैमाने पर लागू होते हैं, विशेष रूप से भौतिकी और अभियांत्रिकी में।

कुछ दृष्टिकोणों की एक सामान्य विशेषता यह है कि वे प्रतिदिन के संख्यात्मक कार्यों के परिचालक दृष्टिकोण का निर्माण करते हैं। प्रारंभिक इतिहास परिचालन कैल्कुलस पर कुछ विचारों से जुड़ा हुआ है, और कुछ दिशाओं में अधिक समकालीन विकास मिकियो सातो के विचारों से निकटता से संबंधित हैं, जिसे वे बीजगणितीय विश्लेषण कहते हैं।  इस विषय पर महत्वपूर्ण प्रभाव आंशिक अंतर समीकरणों के सिद्धांतों और समूह प्रतिनिधित्व सिद्धांत की तकनीकी आवश्यकताओं पर होता रहा है।

कुछ प्रारंभिक इतिहास
उन्नीसवीं शताब्दी के गणित में, सामान्यीकृत कार्य सिद्धांत के पहलू दिखाई दिए, उदाहरण के लिए, ग्रीन के कार्य की परिभाषा में, लाप्लास परिवर्तन में, और रीमैन के त्रिकोणमितीय श्रृंखला के सिद्धांत में, जो अनिवार्य रूप से एक समाकलनीय फलन की फूरियर श्रृंखला नहीं थे। ये उस समय गणितीय विश्लेषण के असंबद्ध पहलू थे।

इंजीनियरिंग में लाप्लास परिवर्तन के गहन उपयोग ने सांकेतिक विधियों के अनुमानी उपयोग को प्रेरित किया, जिसे ऑपरेशनल कैलकुलस कहा जाता है। चूंकि अलग-अलग श्रृंखलाओं का उपयोग करने वाले औचित्य दिए गए थे, इसलिए इन विधियों की शुद्ध गणित के दृष्टिकोण से खराब प्रतिष्ठा थी। वे सामान्यीकृत फलन विधियों के बाद के अनुप्रयोग के लिए विशिष्ट होते हैं। ऑपरेशनल कैलकुलस पर एक प्रभावशाली पुस्तक 1899 का ओलिवर हीविसाइड का इलेक्ट्रोमैग्नेटिक थ्योरी थी।

जब लेबेस्ग इंटीग्रल प्रस्तुत किया गया था, तो पहली बार गणित के केंद्र में सामान्यीकृत फलन की धारणा थी। Lebesgue के सिद्धांत में पूर्णांकीय फलन, किसी भी अन्य के समतुल्य होता है जो लगभग हर जगह समान होता है। इसका मतलब है कि किसी दिए गए बिंदु पर इसका मूल्य (एक मायने में) इसकी सबसे महत्वपूर्ण विशेषता नहीं है। प्रकार्यात्मक विश्लेषण में एक समाकलनीय फलन की आवश्यक विशेषता का स्पष्ट सूत्रीकरण दिया जाता है, अर्थात् जिस तरह से यह अन्य कार्यों पर एक रेखीय प्रकार्य को परिभाषित करता है। यह कमजोर व्युत्पन्न की परिभाषा की अनुमति देता है।

1920 के दशक के अंत और 1930 के दशक के समय आगे के लिए कदम उठाए गए, जो भविष्य के काम के लिए बुनियादी थे। डिराक डेल्टा फलन को पॉल डिराक (उनकी वैज्ञानिक औपचारिकता का एक पहलू) द्वारा निर्भीकता से परिभाषित किया गया था; यह वास्तविक कार्यों की तरह घनत्व (जैसे आवेश घनत्व) के रूप में सोचा जाने वाले माप (गणित) को संसाधित करना था। आंशिक अंतर समीकरण सिद्धांत में काम कर रहे सर्गेई सोबोलेव ने आंशिक अंतर समीकरणों के कमजोर समाधानों के साथ काम करने के लिए गणितीय दृष्टिकोण से सामान्यीकृत कार्यों के पहले पर्याप्त सिद्धांत को परिभाषित किया। उस समय संबंधित सिद्धांतों का प्रस्ताव करने वाले अन्य लोग सॉलोमन बोचनर और कर्ट फ्रेडरिक्स थे। लॉरेंट श्वार्ट्ज द्वारा सोबोलेव के काम को एक विस्तारित रूप में और विकसित किया गया था।

श्वार्ट्ज वितरण
इस तरह की अवधारणा की प्राप्ति, जिसे कई उद्देश्यों के लिए निश्चित रूप से स्वीकार किया जाना था, वितरण का सिद्धांत था, जिसे लॉरेंट श्वार्ट्ज द्वारा विकसित किया गया था। इसे सांस्थितिक सदिश समष्टि के लिए द्वैत सिद्धांत पर आधारित एक सैद्धांतिक सिद्धांत कहा जा सकता है। अनुप्रयुक्त गणित में इसका मुख्य प्रतिद्वंद्वी सहज सन्निकटन ('जेम्स लाइटहिल' स्पष्टीकरण) के अनुक्रमों का उपयोग करना है, जो अधिक तदर्थ है। यह अब मोलिफायर सिद्धांत के रूप में सिद्धांत में प्रवेश करता है।

यह सिद्धांत बहुत सफल रहा और अभी भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, किन्तु मुख्य दोष से ग्रस्त है क्योंकी यह केवल रैखिक संचालन की अनुमति देता है। दूसरे शब्दों में, वितरण को गुणा नहीं किया जा सकता है (बहुत विशेष स्थितियों को छोड़कर): अधिकांश क्लासिकल फलन  रिक्त स्थान के विपरीत, वे बीजगणित नहीं हैं। उदाहरण के लिए, डायराक डेल्टा फलन का वर्ग करना अर्थपूर्ण नहीं है। 1954 के आसपास श्वार्ट्ज के कार्य ने दिखाया कि यह एक आंतरिक कठिनाई थी।

गुणन समस्या के कुछ समाधान प्रस्तावित किए गए हैं। एक बहुत ही सरल और सहज परिभाषा पर आधारित है जो यू द्वारा दिया गया एक सामान्यीकृत कार्य है। वी। ईगोरोव (नीचे दी गई पुस्तक सूची में डेमिडोव की पुस्तक में उनका लेख भी देखें) जो सामान्यीकृत कार्यों पर और उनके बीच मनमाना संचालन की अनुमति देता है।

गुणन समस्या का एक अन्य समाधान क्वांटम यांत्रिकी के पथ अभिन्न सूत्रीकरण द्वारा निर्धारित होता है। चूंकि यह क्वांटम यांत्रिकी के श्रोडिंगर सिद्धांत के समतुल्य होना आवश्यक है, जो समन्वय परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय है, इस गुण को पथ अभिन्न द्वारा साझा किया जाना चाहिए। यह सामान्यीकृत कार्यों के सभी उत्पादों को ठीक करता है जैसा कि हेगन क्लेनर्ट द्वारा दिखाया गया है | एच। क्लेनर्ट और ए. चेर्व्याकोव। परिणाम वही है जो इससे प्राप्त किया जा सकता है आयामी नियमितीकरण।

सामान्यीकृत कार्यों के बीजगणित
सामान्यीकृत कार्यों के बीजगणित के कई निर्माण प्रस्तावित किए गए हैं, दूसरों के बीच यू. एम शिरोकोव और वे ई. रोज़िंगर, वाई. एगोरोव और आर. रॉबिन्सन द्वारा। पहले मामले में, सामान्यीकृत फलन के कुछ नियमितीकरण के साथ गुणन निर्धारित किया जाता है। दूसरे मामले में, बीजगणित वितरण के गुणन के रूप में निर्मित होता है। दोनों मामलों पर नीचे चर्चा की गई है।

सामान्यीकृत कार्यों का गैर-कम्यूटेटिव बीजगणित
सामान्यीकृत कार्यों के बीजगणित को एक फलन के प्रक्षेपण की उचित प्रक्रिया के साथ बनाया जा सकता है $$F=F(x)$$ इसके चिकने होने के लिए $$F_{\rm smooth}$$ और यह एकवचन है $$F_{\rm singular}$$ भागों। सामान्यीकृत कार्यों का उत्पाद $$F$$ और $$G$$ रूप में प्रकट होता है

ऐसा नियम मुख्य कार्यों के स्थान और ऑपरेटरों के स्थान दोनों पर लागू होता है जो मुख्य कार्यों के स्थान पर कार्य करते हैं। गुणन की साहचर्यता प्राप्त की जाती है; और फलन साइनम को इस तरह से परिभाषित किया गया है, कि इसका वर्ग हर जगह एकता है (निर्देशांक की उत्पत्ति सहित)। ध्यान दें कि एकवचन भागों का गुणनफल ($$); विशेष रूप से, $$\delta(x)^2=0$$. इस तरह की औपचारिकता में एक विशेष मामले के रूप में सामान्यीकृत कार्यों (उनके उत्पाद के बिना) के पारंपरिक सिद्धांत शामिल हैं। हालांकि, परिणामी बीजगणित गैर-कम्यूटेटिव है: सामान्यीकृत फलन सिग्नम और डेल्टा एंटीकॉम्यूट। बीजगणित के कुछ अनुप्रयोगों का सुझाव दिया गया था।

वितरण का गुणन
वितरण के गुणन की समस्या, श्वार्ट्ज वितरण सिद्धांत की एक सीमा, गैर-रैखिक समस्याओं के लिए गंभीर हो जाती है।

आज विभिन्न तरीकों का उपयोग किया जाता है। सबसे सरल यू द्वारा दिए गए सामान्यीकृत फलन की परिभाषा पर आधारित है। वी। ईगोरोव। साहचर्य अवकल बीजगणित के निर्माण के लिए एक अन्य दृष्टिकोण J.-F पर आधारित है। कोलंबो का निर्माण: कोलंबो बीजगणित देखें। ये कारक स्थान हैं


 * $$G = M / N$$

मध्यम मोडुलो नगण्य कार्यों का जाल, जहां संयम और नगण्यता परिवार के सूचकांक के संबंध में वृद्धि को संदर्भित करता है।

उदाहरण: कोलंबो बीजगणित
एन पर बहुपद पैमाने का उपयोग करके एक सरल उदाहरण प्राप्त किया जाता है, $$s = \{ a_m:\mathbb N\to\mathbb R, n\mapsto n^m ;~ m\in\mathbb Z \}$$. फिर किसी भी अर्ध-मानक बीजगणित (ई, पी) के लिए कारक स्थान होगा


 * $$G_s(E,P)= \frac{

\{ f\in E^{\mathbb N}\mid\forall p\in P,\exists m\in\mathbb Z:p(f_n)=o(n^m)\} }{ \{ f\in E^{\mathbb N}\mid\forall p\in P,\forall m\in\mathbb Z:p(f_n)=o(n^m)\} }.$$ विशेष रूप से, (E, P)=('C',|.|) के लिए (कोलंबो की) सामान्यीकृत संख्या प्राप्त होती है (जो असीम रूप से बड़ी और असीम रूप से छोटी हो सकती है और फिर भी कठोर अंकगणित की अनुमति देती है, जो गैर-मानक विश्लेषणों के समान है). के लिए (ई, पी) = (सी∞('आर'),{पीk}) (जहां पkत्रिज्या k की गेंद पर k से कम या उसके बराबर क्रम के सभी डेरिवेटिव का सर्वोच्च है) कोलंबो बीजगणित प्राप्त होता है|कोलंबो का सरलीकृत बीजगणित।

श्वार्ट्ज वितरण का इंजेक्शन
इस बीजगणित में अंतःक्षेपण के माध्यम से सभी वितरण T का D' शामिल है


 * जे (टी) = (φn ∗ टी)n+ एन,

जहां कनवल्शन ऑपरेशन है, और


 * φn(एक्स) = एन φ (एनएक्स)।

यह इंजेक्शन इस अर्थ में गैर-विहित है कि यह मोलिफायर φ की पसंद पर निर्भर करता है, जो सी होना चाहिए∞, अभिन्न एक का और इसके सभी डेरिवेटिव 0 लुप्त होने पर हैं। एक कैनोनिकल इंजेक्शन प्राप्त करने के लिए, इंडेक्सिंग सेट को 'एन' × डी ('आर') के रूप में संशोधित किया जा सकता है, डी ('आर') पर एक सुविधाजनक फिल्टर बेस के साथ (लुप्त हो जाने वाले क्षण (गणित) के कार्य क्रम क्यू तक ).

शीफ संरचना
अगर (ई, पी) कुछ टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स पर अर्ध-मानक बीजगणित का (पूर्व-) शीफ (गणित) है, तो जीs(ई, पी) के पास भी यह संपत्ति होगी। इसका मतलब यह है कि प्रतिबंध (गणित) की धारणा को परिभाषित किया जाएगा, जो सामान्यीकृत फलन w.r.t के समर्थन (गणित) को परिभाषित करने की अनुमति देता है। एक उपशीर्षक, विशेष रूप से:
 * उपशीर्षक {0} के लिए, किसी को सामान्य समर्थन मिलता है (सबसे बड़े खुले उपसमुच्चय का पूरक जहां फलन शून्य है)।
 * सबशेफ ई के लिए (कैनोनिकल (स्थिर) इंजेक्शन का उपयोग करके एम्बेड किया गया), एक को वह मिलता है जिसे एकवचन समर्थन कहा जाता है, यानी, मोटे तौर पर बोलना, सेट का बंद होना जहां सामान्यीकृत कार्य एक सुचारू कार्य नहीं है (ई = सी के लिए)∞).

माइक्रोलोकल विश्लेषण
फूरियर परिवर्तन (अच्छी तरह से) कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित सामान्यीकृत कार्यों (घटक-वार) के लिए परिभाषित किया गया है, कोई भी वितरण के लिए उसी निर्माण को लागू कर सकता है, और सामान्यीकृत कार्यों के लिए लार्स होर्मेंडर के लहर सामने सेट  को भी परिभाषित कर सकता है।

गणितीय विलक्षणता के तरंग प्रसार के विश्लेषण में इसका विशेष रूप से महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है।

अन्य सिद्धांत
इनमें शामिल हैं: जन मिकुसिंस्की का कनवल्शन कोटिएंट थ्योरी, कनवल्शन बीजगणित के अंशों के क्षेत्र पर आधारित है जो अभिन्न डोमेन हैं; और hyperfunction  के सिद्धांत, विश्लेषणात्मक कार्यों के सीमा मूल्यों पर आधारित (उनकी प्रारंभिक अवधारणा में), और अब शीफ सिद्धांत का उपयोग कर रहे हैं।

सामयिक समूह
ब्रुहाट ने परीक्षण कार्यों की एक श्रेणी पेश की, श्वार्ट्ज-ब्रुहट कार्य, जैसा कि वे अब ज्ञात हैं, स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूहों के एक वर्ग पर हैं जो कई गुना से परे हैं जो विशिष्ट कार्य डोमेन हैं। अनुप्रयोग ज्यादातर संख्या सिद्धांत में हैं, विशेष रूप से एडेलिक बीजगणितीय समूहों के लिए। आंद्रे वेइल ने इस भाषा में टेट की थीसिस को फिर से लिखा, आइडल समूह पर जीटा वितरण (संख्या सिद्धांत) की विशेषता; और इसे एल-फलन के स्पष्ट सूत्र पर भी लागू किया है।

सामान्यीकृत खंड
एक और तरीका जिसमें सिद्धांत को विस्तारित किया गया है वह एक चिकनी सदिश बंडल के सामान्यीकृत वर्गों के रूप में है। यह श्वार्ट्ज पैटर्न पर है, परीक्षण वस्तुओं के लिए दोहरी वस्तुओं का निर्माण, एक बंडल के चिकने खंड जिनमें कॉम्पैक्ट समर्थन है। सबसे विकसित सिद्धांत दे राम धाराओं का है, जो अलग-अलग रूपों के लिए दोहरी है। ये प्रकृति में होमोलॉजिकल हैं, जिस तरह से विभेदक रूप  डॉ कहलमज गर्भाशय को जन्म देते हैं। उनका उपयोग एक बहुत ही सामान्य स्टोक्स प्रमेय तैयार करने के लिए किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * बेप्पो-लेवी स्पेस
 * डिराक डेल्टा फलन
 * सामान्यीकृत ईजेनफंक्शन
 * वितरण (गणित)
 * हाइपरफंक्शन
 * सूचक का लाप्लासियन
 * कठोर हिल्बर्ट अंतरिक्ष
 * वितरण की सीमा

पुस्तकें

 * वॉल्यूम। 2.
 * एच। कोमात्सु, परिचयात्मक और टेलीविजन स्ट्रीम, दूसरा संस्करण, इवानामी शॉटेन, क्यो, 1983।
 * (यहां ऑनलाइन)। सामान्यीकृत कार्यों के उत्पादों के लिए अध्याय 11 देखें।
 * एच। कोमात्सु, परिचयात्मक और टेलीविजन स्ट्रीम, दूसरा संस्करण, इवानामी शॉटेन, क्यो, 1983।
 * (यहां ऑनलाइन)। सामान्यीकृत कार्यों के उत्पादों के लिए अध्याय 11 देखें।
 * (यहां ऑनलाइन)। सामान्यीकृत कार्यों के उत्पादों के लिए अध्याय 11 देखें।
 * (यहां ऑनलाइन)। सामान्यीकृत कार्यों के उत्पादों के लिए अध्याय 11 देखें।
 * (यहां ऑनलाइन)। सामान्यीकृत कार्यों के उत्पादों के लिए अध्याय 11 देखें।
 * (यहां ऑनलाइन)। सामान्यीकृत कार्यों के उत्पादों के लिए अध्याय 11 देखें।
 * (यहां ऑनलाइन)। सामान्यीकृत कार्यों के उत्पादों के लिए अध्याय 11 देखें।
 * (यहां ऑनलाइन)। सामान्यीकृत कार्यों के उत्पादों के लिए अध्याय 11 देखें।
 * (यहां ऑनलाइन)। सामान्यीकृत कार्यों के उत्पादों के लिए अध्याय 11 देखें।
 * (यहां ऑनलाइन)। सामान्यीकृत कार्यों के उत्पादों के लिए अध्याय 11 देखें।
 * (यहां ऑनलाइन)। सामान्यीकृत कार्यों के उत्पादों के लिए अध्याय 11 देखें।