क्लिफोर्ड विश्लेषण

क्लिफोर्ड विश्लेषण, विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड के नाम पर क्लिफोर्ड बीजगणित का उपयोग करते हुए, विश्लेषण और ज्यामिति में डिराक ऑपरेटरों और डिराक प्रकार के ऑपरेटरों का उनके अनुप्रयोगों के साथ अध्ययन है। डिराक प्रकार के ऑपरेटरों के उदाहरणों में हॉज-डिराक ऑपरेटर शामिल हैं, लेकिन ये इन्हीं तक सीमित नहीं हैं, $$d+{\star}d{\star}$$ रीमैनियन मैनिफोल्ड पर, यूक्लिडियन स्पेस में डिराक ऑपरेटर और इसका व्युत्क्रम $$C_{0}^{\infty}(\mathbf{R}^{n})$$ और गोले पर उनके अनुरूप समकक्ष, यूक्लिडियन एन-स्पेस में लाप्लासियन और कई गुना घूमना  पर माइकल अतियाह-सिंगर-डिराक ऑपरेटर, रारिटा-श्विंगर/स्टीन-वीस प्रकार के ऑपरेटर, जटिल स्पिन पर अनुरूप लाप्लाशियन, स्पिनोरियल लाप्लाशियन और डिराक ऑपरेटर संरचना|स्पिनसी मैनिफ़ोल्ड्स, डायराक ऑपरेटरों की प्रणालियाँ, पैनिट्ज़ ऑपरेटर,  अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान  पर डायराक ऑपरेटर, हाइपरबोलिक लाप्लासियन और वीनस्टीन समीकरण।

यूक्लिडियन स्थान
यूक्लिडियन स्पेस में डिराक ऑपरेटर का रूप होता है
 * $$D=\sum_{j=1}^{n}e_{j}\frac{\partial}{\partial x_{j}}$$ कहां ई1, ..., यह हैn क्या r के लिए n लम्बवत् आधार है?n, और 'आर'n को जटिल क्लिफ़ोर्ड बीजगणित, सीएल में अंतर्निहित माना जाता हैn(सी) ताकि ej2 = −1.

यह देता है
 * $$D^{2} = -\Delta_{n}$$ कहां Δn एन-यूक्लिडियन अंतरिक्ष में लाप्लासियन है।

यूक्लिडियन डिराक ऑपरेटर का मौलिक समाधान है
 * $$G(x-y):=\frac{1}{\omega_{n}}\frac{x-y}{\|x-y\|^n}$$

कहां ωn इकाई गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल S हैn−1.

ध्यान दें कि
 * $$D\frac{1}{(n-2)\omega_{n}\|x-y\|^{n-2}}=G(x-y)$$ कहाँ
 * $$\frac{1}{(n-2)\;\omega_{n}\;\|x-y\|^{n-2}}$$ लाप्लास के समीकरण का मूलभूत समाधान है n ≥ 3.

डिराक ऑपरेटर का सबसे बुनियादी उदाहरण कॉची-रीमैन ऑपरेटर है
 * $$\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}$$ जटिल तल में. वास्तव में, चर जटिल विश्लेषण के कई बुनियादी गुण कई प्रथम क्रम डायराक प्रकार ऑपरेटरों के लिए अनुसरण करते हैं। यूक्लिडियन स्पेस में इसमें कॉची का प्रमेय (ज्यामिति), कॉची अभिन्न सूत्र, मोरेरा का प्रमेय, टेलर श्रृंखला, लॉरेंट श्रृंखला और लिउविले का प्रमेय (जटिल विश्लेषण) शामिल हैं। इस मामले में कॉची कर्नेल G(x−y) है। कॉची इंटीग्रल फॉर्मूला का प्रमाण जटिल चर के समान है और इस तथ्य का उपयोग करता है कि यूक्लिडियन स्पेस में प्रत्येक गैर-शून्य वेक्टर x में क्लिफोर्ड बीजगणित में गुणक व्युत्क्रम होता है, अर्थात्
 * $$-\frac{x}{\|x\|^{2}}\in\mathbf{R}^{n}.$$ चिह्न तक यह व्युत्क्रम x का केल्विन व्युत्क्रम है। यूक्लिडियन डिराक समीकरण Df = 0 के समाधान को (बाएं) मोनोजेनिक फ़ंक्शन कहा जाता है। मोनोजेनिक फ़ंक्शंस स्पिन मैनिफोल्ड पर हार्मोनिक स्पिनर्स के विशेष मामले हैं।

3 और 4 आयामों में क्लिफोर्ड विश्लेषण को कभी-कभी चतुर्धातुक विश्लेषण के रूप में जाना जाता है। कब n = 4, डिराक ऑपरेटर को कभी-कभी कॉची-रीमैन-फ्यूटर ऑपरेटर के रूप में जाना जाता है। इसके अलावा क्लिफोर्ड विश्लेषण के कुछ पहलुओं को हाइपरकॉम्प्लेक्स विश्लेषण कहा जाता है।

क्लिफोर्ड विश्लेषण में कॉची परिवर्तन, बर्गमैन कर्नेल, स्ज़ेगो कर्नेल, प्लेमेलज ऑपरेटर्स,  हार्डी रिक्त स्थान , केर्जमैन-स्टीन फॉर्मूला और Π, या बेर्लिंग-अहलफोर्स ट्रांसफॉर्म|बर्लिंग-अहलफोर्स, ट्रांसफॉर्म के एनालॉग हैं। इन सभी में सीमा मूल्य समस्याओं को हल करने में अनुप्रयोग पाए गए हैं, जिनमें चलती सीमा मूल्य समस्याएं, एकल इंटीग्रल और क्लासिक हार्मोनिक विश्लेषण शामिल हैं। विशेष रूप से क्लिफोर्ड विश्लेषण का उपयोग कुछ सोबोलेव स्थानों में, 3डी में पूर्ण जल तरंग समस्या को हल करने के लिए किया गया है। यह विधि 2 से बड़े सभी आयामों में काम करती है।

यदि हम जटिल क्लिफोर्ड बीजगणित को वास्तविक क्लिफोर्ड बीजगणित, सीएल से प्रतिस्थापित करते हैं तो अधिकांश क्लिफोर्ड विश्लेषण काम करता है।n. हालाँकि यह मामला नहीं है जब हमें डिराक ऑपरेटर और फूरियर रूपांतरण के बीच बातचीत से निपटने की आवश्यकता होती है।

फूरियर रूपांतरण
जब हम ऊपरी आधे स्थान R पर विचार करते हैंn,+ सीमा 'R' के साथn−1, e का विस्तार1, ..., यह हैn−1, फूरियर के तहत डिराक ऑपरेटर के प्रतीक को रूपांतरित करें


 * $$D_{n-1} = \sum_{j=1}^{n-1} \frac \partial {\partial x_j}$$

क्या मैं कहां हूं


 * $$\zeta=\zeta_1 e_1 +\cdots+ \zeta_{n-1}e_{n-1}.$$

इस सेटिंग में सोखोटस्की-प्लेमेलज प्रमेय हैं
 * $$\pm\tfrac{1}{2}+G(x-y)|_{\mathbf{R}^{n-1}}$$ और इन ऑपरेटरों के लिए प्रतीक चिह्न तक हैं,
 * $$\frac{1}{2} \left (1\pm i\frac{\zeta}{\|\zeta\|} \right ).$$

ये प्रक्षेपण संचालक हैं, जिन्हें अन्यथा सीएल के स्थान पर पारस्परिक रूप से विनाशकारी निष्क्रियता के रूप में जाना जाता हैn(सी) आर पर मूल्यवान वर्ग पूर्णांक कार्यn−1.

ध्यान दें कि


 * $$G|_{\mathbf{R}^n}=\sum_{j=1}^{n-1} e_j R_j$$

जहां आरjजे-वें रिज़्ज़ क्षमता है,


 * $$\frac{x_j}{\|x\|^n}.$$

के प्रतीक के रूप में $$G|_{\mathbf{R}^{n}}$$ है


 * $$\frac{i\zeta}{\|\zeta\|}$$

यह क्लिफोर्ड गुणन से आसानी से निर्धारित होता है


 * $$\sum_{j=1}^{n-1} R_j^2=1.$$

तो कनवल्शन ऑपरेटर $$G|_{\mathbf{R}^{n}}$$ हिल्बर्ट परिवर्तन के यूक्लिडियन स्थान का प्राकृतिक सामान्यीकरण है।

मान लीजिए U' 'R' में डोमेन हैn−1 और g(x) सीएल हैn(सी) वास्तविक विश्लेषणात्मक कार्य को महत्व दिया। फिर जी में कॉची-कोवालेवस्की प्रमेय है|आर में यू के कुछ पड़ोस पर डायराक समीकरण के लिए कॉची-कोवालेवस्किया विस्तारn. विस्तार स्पष्ट रूप से दिया गया है


 * $$\sum_{j=0}^\infty \left (x_n e_n^{-1}D_{n-1} \right )^j g(x).$$

जब यह एक्सटेंशन वेरिएबल x in पर लागू होता है


 * $$e^{-i\langle x,\zeta\rangle} \left (\tfrac{1}{2} \left (1\pm i\frac{\zeta}{\|\zeta\|} \right ) \right )$$

हमें वह मिल गया


 * $$e^{-i\langle x,\zeta\rangle}$$

आर के लिए प्रतिबंध हैई का n−1++ ई− जहां ई+ ऊपरी आधे स्थान में मोनोजेनिक कार्य है और ई− निचले आधे स्थान में मोनोजेनिक कार्य है।

क्लिफोर्ड विश्लेषण में एन-यूक्लिडियन स्पेस में पैली-वीनर प्रमेय भी सामने आया है।

अनुरूप संरचना
कई डिराक प्रकार के ऑपरेटरों के पास मीट्रिक में अनुरूप परिवर्तन के तहत सहप्रसरण होता है। यह यूक्लिडियन अंतरिक्ष में डिराक ऑपरेटर और मोबियस परिवर्तनों के तहत क्षेत्र पर डिराक ऑपरेटर के लिए सच है। नतीजतन, यह डिराक ऑपरेटरों के लिए अनुरूप रूप से अनुरूप कई गुना और अनुरूप मैनिफोल्ड पर सच है जो साथ स्पिन मैनिफोल्ड हैं।

केली रूपांतरण (स्टीरियोग्राफ़िक प्रक्षेपण)
आर से केली रूपांतरण या त्रिविम प्रक्षेपणn इकाई क्षेत्र S तकn यूक्लिडियन डायराक ऑपरेटर को गोलाकार डायराक ऑपरेटर डी में बदल देता हैS. स्पष्ट रूप से


 * $$D_S=x \left(\Gamma_n + \frac n 2 \right)$$

कहाँ Γn गोलाकार Beltrami-Dirac ऑपरेटर है


 * $$\sum\nolimits_{1\leq i<j\leq n+1}e_{i}e_{j} \left (x_{i}\frac{\partial}{\partial x_{j}}-x_{j}\frac{\partial}{\partial x_{i}} \right )$$

और एस में एक्सn.

एन-स्पेस पर केली रूपांतरण है


 * $$y=C(x)=(e_{n+1}x+1)(x+e_{n+1})^{-1}, \qquad x \in \mathbf{R}^n.$$

इसका उलटा है


 * $$x=(-e_{n+1}+1)(y-e_{n+1})^{-1}.$$

एन-यूक्लिडियन स्पेस में डोमेन यू पर परिभाषित फ़ंक्शन एफ (एक्स) और डायराक समीकरण के समाधान के लिए, फिर


 * $$J(C^{-1},y) f(C^{-1}(y))$$

डी द्वारा नष्ट कर दिया गया हैS, सी(यू) पर जहां


 * $$J(C^{-1},y)=\frac{y-e_{n+1}}{\|y-e_{n+1}\|^n}.$$

आगे


 * $$D_S(D_S-x)=\triangle_S,$$

एस पर कंफर्मल लाप्लासियन या यामाबे ऑपरेटरn. स्पष्ट रूप से


 * $$\triangle_S = -\triangle_{LB}+\tfrac 1 4 n(n-2)$$

कहाँ $$\triangle_{LB}$$ एस पर लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर हैn. परिचालक $$\triangle_S$$ केली ट्रांसफॉर्म के माध्यम से, यूक्लिडियन लाप्लासियन के अनुरूप है। भी


 * $$D_s(D_S-x)(D_S-x)(D_S-2x)$$

पैनिट्ज़ ऑपरेटर है,


 * $$-\triangle_S(\triangle_S+2),$$

n-क्षेत्र पर. केली ट्रांसफॉर्म के माध्यम से यह ऑपरेटर द्वि-लाप्लासियन के अनुरूप है, $$\triangle_n^2$$. ये सभी डिराक प्रकार के ऑपरेटरों के उदाहरण हैं।

मोबियस रूपांतरण
एन-यूक्लिडियन स्थान पर मोबियस परिवर्तन को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है
 * $$\frac{ax+b}{cx+d},$$ जहां ए, बी, सी और डी ∈ सीएलn और कुछ बाधाओं को पूरा करें। जुड़े 2 × 2 मैट्रिक्स को Ahlfors-Vahlen मैट्रिक्स कहा जाता है। अगर
 * $$y=M(x)+\frac{ax+b}{cx+d}$$ और तब Df(y) = 0 $$J(M,x)f(M(x))$$ डिराक समीकरण का समाधान है जहां
 * $$J(M,x)=\frac{\widetilde{cx+d}}{\|cx+d\|^{n}}$$ और ~ क्लिफोर्ड बीजगणित पर कार्य करने वाला बुनियादी एंटीऑटोमोर्फिज्म है। संचालक डीक, या Δnk/2 जब k सम है, तो केली ट्रांसफॉर्म सहित मोबियस ट्रांसफॉर्म के तहत समान सहप्रसरण प्रदर्शित करता है।

जब ax+b और cx+d गैर-शून्य होते हैं तो वे दोनों क्लिफोर्ड समूह के सदस्य होते हैं।

जैसा
 * $$\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{-ax-b}{-cx-d}$$ तब हमारे पास J(M, x) को परिभाषित करने में साइन इन करने का विकल्प होता है। इसका मतलब यह है कि अनुरूप रूप से सपाट मैनिफोल्ड एम के लिए हमें स्पिनर बंडल को परिभाषित करने के लिए एम पर स्पिन संरचना की आवश्यकता होती है, जिसके अनुभागों पर हम डायराक ऑपरेटर को कार्य करने की अनुमति दे सकते हैं। स्पष्ट सरल उदाहरणों में एन-सिलेंडर, एन-यूक्लिडियन अंतरिक्ष से मूल को छोड़कर प्राप्त हॉपफ मैनिफोल्ड, और ऊपरी आधे स्थान पर पूरी तरह से कार्य करने वाले सामान्यीकृत मॉड्यूलर समूहों के कार्यों द्वारा इसे फैक्टरिंग करके ऊपरी आधे स्थान से प्राप्त के-हैंडल टोरस के सामान्यीकरण शामिल हैं। लगातार. इन संदर्भों में डिराक ऑपरेटर को पेश किया जा सकता है। ये डिराक ऑपरेटर अतियाह-सिंगर-डिराक ऑपरेटरों के विशेष उदाहरण हैं।

अतियाह-गायक-डिराक ऑपरेटर
एक स्पिन मैनिफोल्ड एम को स्पिनर बंडल एस और एस में चिकनी खंड एस (एक्स) के साथ दिया गया है, फिर स्थानीय ऑर्थोनॉर्मल आधार ई के संदर्भ में1(एक्स), ..., औरn(x) एम के स्पर्शरेखा बंडल में, एस पर कार्य करने वाले अतियाह-सिंगर-डिराक ऑपरेटर को परिभाषित किया गया है
 * $$Ds(x)=\sum_{j=1}^{n}e_{j}(x)\tilde{\Gamma}_{e_{j}(x)}s(x) ,$$ कहाँ $$\widetilde{\Gamma}$$ स्पिन कनेक्शन है, एम पर लेवी-सिविटा कनेक्शन के एस को उठाना। जब एम एन-यूक्लिडियन स्पेस है तो हम यूक्लिडियन डिराक ऑपरेटर पर लौटते हैं।

अतियाह-सिंगर-डिराक ऑपरेटर डी से हमारे पास लिचनेरोविक्ज़ सूत्र है
 * $$D^{2}=\Gamma^{*}\Gamma+\tfrac{\tau}{4} ,$$ जहां τ कई गुना  पर अदिश वक्रता है, और Γ है∗ Γ का जोड़ है। संचालक डी2स्पिनोरियल लाप्लासियन के नाम से जाना जाता है।

यदि M सघन है और $τ ≥ 0$ और $τ > 0$ कहीं न कहीं मैनिफोल्ड पर कोई गैर-तुच्छ हार्मोनिक स्पिनर नहीं हैं। यह लिचनेरोविक्ज़ प्रमेय है। यह आसानी से देखा जा सकता है कि लिचनेरोविक्ज़ प्रमेय चर जटिल विश्लेषण से लिउविले के प्रमेय (जटिल विश्लेषण) का सामान्यीकरण है। यह हमें यह ध्यान देने की अनुमति देता है कि चिकने स्पिनर अनुभागों के स्थान पर ऑपरेटर डी इस तरह के कई गुना उलटा है।

ऐसे मामलों में जहां अतियाह-सिंगर-डिराक ऑपरेटर कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ चिकनी स्पिनर अनुभागों के स्थान पर उलटा है, कोई भी परिचय दे सकता है
 * $$C(x,y):=D^{-1}*\delta_{y}, \qquad x \neq y \in M,$$ कहां δy डिराक डेल्टा फ़ंक्शन का मूल्यांकन y पर किया गया है। यह कॉची कर्नेल को जन्म देता है, जो इस डिराक ऑपरेटर का मौलिक समाधान है। इससे हार्मोनिक स्पिनरों के लिए कॉची इंटीग्रल फॉर्मूला प्राप्त किया जा सकता है। इस कर्नेल के साथ इस प्रविष्टि के पहले खंड में वर्णित अधिकांश चीजें उल्टे अतियाह-सिंगर-डिराक ऑपरेटरों के लिए होती हैं।

स्टोक्स के प्रमेय का उपयोग करके, या अन्यथा, कोई यह निर्धारित कर सकता है कि मीट्रिक के अनुरूप परिवर्तन के तहत प्रत्येक मीट्रिक से जुड़े डिराक ऑपरेटर दूसरे के लिए आनुपातिक हैं, और परिणामस्वरूप उनके व्युत्क्रम भी हैं, यदि वे मौजूद हैं।

यह सब अतियाह-सिंगर इंडेक्स सिद्धांत और डायराक प्रकार के ऑपरेटरों से जुड़े ज्यामितीय विश्लेषण के अन्य पहलुओं के लिए संभावित लिंक प्रदान करता है।

हाइपरबोलिक डिराक प्रकार ऑपरेटर
क्लिफ़ोर्ड विश्लेषण में हाइपरबोलिक या पोंकारे मीट्रिक के संबंध में ऊपरी आधे स्थान, डिस्क, या हाइपरबोला पर अंतर ऑपरेटरों पर भी विचार किया जाता है।

ऊपरी आधे स्थान के लिए क्लिफोर्ड बीजगणित, सीएल को विभाजित किया जाता हैn सीएल मेंn−1 + सीएलn−1en. तो सीएल में ए के लिएn कोई a को b + CE के रूप में व्यक्त कर सकता हैnसीएल में ए, बी के साथn−1. इसके बाद प्रक्षेपण ऑपरेटरों पी और क्यू को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: पी(ए) = बी और क्यू(ए) = सी। ऊपरी आधे स्थान में हाइपरबोलिक मीट्रिक के संबंध में फ़ंक्शन f पर कार्य करने वाले हॉज-डिराक ऑपरेटर को अब परिभाषित किया गया है
 * $$Mf=Df+\frac{n-2}{x_{n}}Q(f)$$.

इस मामले में
 * $$M^{2}f=-\triangle_{n}P(f)+\frac{n-2}{x_{n}}\frac{\partial P(f)}{\partial x_{n}}- \left (\triangle_{n}Q(f)-\frac{n-2}{x_{n}}\frac{\partial Q(f)}{\partial x_{n}}+ \frac{n-2}{x_{n}^{2}}Q(f) \right )e_{n}$$.

परिचालक
 * $$\triangle_{n}-\frac{n-2}{x_{n}}\frac{\partial}{\partial x_{n}}$$ पोंकारे मीट्रिक के संबंध में लाप्लासियन है जबकि दूसरा ऑपरेटर वेनस्टीन ऑपरेटर का उदाहरण है।

अतिशयोक्तिपूर्ण लाप्लासियन अनुरूप समूह की क्रियाओं के तहत अपरिवर्तनीय है, जबकि हाइपरबोलिक डिराक ऑपरेटर ऐसी क्रियाओं के तहत सहसंयोजक है।

रारिता-श्विंगर/स्टीन-वीस ऑपरेटर
रारिटा-श्विंगर समीकरण|रारिटा-श्विंगर ऑपरेटर, जिन्हें स्टीन-वीस ऑपरेटर के रूप में भी जाना जाता है, स्पिन और पिन समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में उत्पन्न होते हैं। संचालक आरkएक अनुरूप सहसंयोजक प्रथम क्रम विभेदक ऑपरेटर है। यहां k = 0, 1, 2, .... जब k = 0, Rarita-Schwinger ऑपरेटर सिर्फ Dirac ऑपरेटर है। ऑर्थोगोनल समूह, ओ(एन) के लिए प्रतिनिधित्व सिद्धांत में सजातीय हार्मोनिक बहुपद के स्थानों में मान लेने वाले कार्यों पर विचार करना आम बात है। जब कोई इस प्रतिनिधित्व सिद्धांत को ओ (एन) के दोहरे कवरिंग पिन (एन) में परिष्कृत करता है, तो वह सजातीय हार्मोनिक बहुपद के स्थानों को डायराक समीकरण के सजातीय बहुपद समाधानों के स्थानों से बदल देता है, अन्यथा के मोनोजेनिक बहुपद के रूप में जाना जाता है। कोई फ़ंक्शन f(x, u) पर विचार करता है जहां U में x, 'R' में डोमेन हैn, और u 'R' से भिन्न होता हैn. इसके अलावा f(x, u) u में k-मोनोजेनिक बहुपद है। अब डिराक ऑपरेटर डी लागू करेंxx से f(x, u) में। अब चूँकि क्लिफ़ोर्ड बीजगणित क्रमविनिमेय D नहीं हैxf(x, u) तो यह फ़ंक्शन अब k मोनोजेनिक नहीं है बल्कि u में सजातीय हार्मोनिक बहुपद है। अब प्रत्येक हार्मोनिक बहुपद h के लिएkडिग्री k के सजातीय में अलमांसी-फिशर अपघटन होता है
 * $$ h_{k}(x)=p_{k}(x)+xp_{k-1}(x) $$ जहां पीk और पीk−1 क्रमशः k और k−1 मोनिक बहुपद हैं। माना P, h का प्रक्षेपण हैk ऊपरk तब रारिटा-श्विंगर ऑपरेटर को पीडी के रूप में परिभाषित किया गया हैk, और इसे R द्वारा दर्शाया जाता हैk. यूलर लेम्मा का उपयोग करके कोई यह निर्धारित कर सकता है
 * $$D_{u}up_{k-1}(u)=(-n-2k+2)p_{k-1}.$$

इसलिए
 * $$R_{k}=\left(I+\frac{1}{n+2k-2}uD_{u}\right)D_{x}.$$

सम्मेलन और पत्रिकाएँ
क्लिफ़ोर्ड और ज्यामितीय बीजगणित के आसपास अनुप्रयोगों की विस्तृत श्रृंखला के साथ जीवंत और अंतःविषय समुदाय है। इस विषय में मुख्य सम्मेलनों में क्लिफोर्ड बीजगणित और गणितीय भौतिकी में उनके अनुप्रयोगों (ICCA) और पर अंतर्राष्ट्रीय सम्मेलन शामिल हैं। cz/main.php कंप्यूटर विज्ञान और इंजीनियरिंग में ज्यामितीय बीजगणित के अनुप्रयोग (AGACSE) श्रृंखला। मुख्य प्रकाशन आउटलेट स्प्रिंगर जर्नल एप्लाइड क्लिफ़ोर्ड बीजगणित में प्रगति है।

यह भी देखें

 * क्लिफोर्ड बीजगणित
 * जटिल स्पिन संरचना
 * कन्फर्मल मैनिफोल्ड
 * अनुरूप रूप से सपाट मैनिफोल्ड
 * डिराक ऑपरेटर
 * पोंकारे मीट्रिक
 * स्पिन समूह
 * स्पिन संरचना
 * स्पिनर बंडल

बाहरी संबंध

 * Lecture notes on Dirac operators in analysis and geometry