एफ़िन ज्यामिति



गणित में, एफाइन ज्यामिति वही है जो यूक्लिडियन ज्यामिति का अवशेष है जब (गणितज्ञ प्रायः कहते हैं "अज्ञात" ) दूरी और कोण की मीट्रिक धारणा।

चूंकि समांतर रेखाओं की धारणा मुख्य गुणों में से एक है जो किसी भी मीट्रिक से स्वतंत्र है, एफाइन ज्यामिति को प्रायः समानांतर रेखाओं का अध्ययन माना जाता है। इसलिए, प्लेफेयर का स्वयंसिद्ध (दिया गया है कि एक रेखा L और एक बिंदु P जो L पर नहीं है, L के समानांतर ठीक एक रेखा है जो P से होकर गुजरती है।) एफाइन ज्यामिति में मूलभूत है। एफाइन ज्यामिति में आंकड़ों की तुलना एफाइन रूपांतरण के साथ की जाती है, जो मैपिंग हैं जो बिंदुओं के संरेखण और रेखाओं के समानांतरवाद को संरक्षित करते हैं।

एफाइन ज्यामिति को दो तरह से विकसित किया जा सकता है जो अनिवार्य रूप से समकक्ष हैं।

सिंथेटिक ज्यामिति में, एक एफाइन समष्टि उन बिंदुओं का एक समुच्चय होता है जो लाइनों के एक समुच्चय से जुड़ा होता है, जो कुछ स्वयंसिद्धों (जैसे कि प्लेफेयर के स्वयंसिद्ध) को संतुष्ट करता है।

रेखीय बीजगणित के आधार पर एफाइन ज्यामिति का भी विकास किया जा सकता है। इस संदर्भ में एक एफाइन समष्टि परिवर्तनों के सेट से सुसज्जित बिंदुओं का एक सेट है (वह विशेषण प्रतिचित्रण (मैपिंग) है), अनुवाद, जो एक सदिश स्थान (किसी दिए गए फील्ड पर, आमतौर पर वास्तविक संख्याएँ) बनाता है, और ऐसा कि किसी दिए गए तर्कसंगत बिंदुओं के जोड़े के लिए पहला बिंदु दूसरे बिंदु पर भेजने वाला एक अद्वितीय अनुवाद है; दो अनुवादों की रचना अनुवादों के सदिश स्थान में उनका योग है।

अधिक ठोस शब्दों में, यह एक ऐसी संक्रिया होने के बराबर है जो किसी भी क्रमित बिंदुओं के युग्म को एक सदिश और अन्य संक्रिया से जोड़ता है जो किसी सदिश द्वारा एक बिंदु के रूपांतरण को एक और बिंदु प्रदान करने की अनुमति प्रदान करता है; इन संक्रियाओं को कई स्वयंसिद्धों को पूरा करने की आवश्यकता होती है (विशेष रूप से दो क्रमिक अनुवादों का योग सदिश द्वारा अनुवाद का प्रभाव होता है)। किसी भी बिंदु को "मूल" के रूप में चुनकर, बिंदु सदिश के साथ एकाकी समतुल्यता में होते हैं, लेकिन मूल के लिए कोई अधिमानित विकल्प नहीं होता है; इस प्रकार मूल (शून्य सदिश) को "अज्ञात" कर संबंधित सदिश स्थान से प्राप्त के रूप में एक संबधित स्थान देखा जा सकता है।

मीट्रिक को अज्ञात होने का विचार मैनिफॉल्ड के सिद्धांत में लागू किया जा सकता है। इसे एफाइन संबंध पर लेख में विकसित किया गया है।

इतिहास
1748 में, लियोनहार्ड यूलर ने अपनी पुस्तक इंट्रोडक्टियो इन एनालिसिस इनफिनिटोरम (भाग 2, अध्याय XVIII) में एफाइन (लैटिन एफिनिटी, "संबंधित") शब्द प्रस्तुत किया। 1827 में, अगस्त मोबियस ने अपने डेर बैरीसेंट्रिशे कैलकुल (अध्याय 3) में एफाइन ज्यामिति पर लिखा।

फेलिक्स क्लेन के एरलांगेन कार्यक्रम के बाद, एफाइन ज्यामिति को यूक्लिडियन ज्यामिति के सामान्यीकरण के रूप में मान्यता दी गई थी।

1918 में, हर्मन वेइल ने अपने टेक्स्ट समष्टि, समय, द्रव्य के लिए एफाइन ज्यामिति का उल्लेख किया। उन्होंने गणितीय भौतिकी के अपने विकास के शुरुआती चरणों में सदिश जोड़ और घटाव को प्रस्तुत करने के लिए एफाइन ज्यामिति का उपयोग किया। बाद में, ई टी व्हिटेकर ने लिखा:
 * वेइल की ज्यामिति ऐतिहासिक रूप से रोचक है क्योंकि विस्तार से काम करने वाली पहली ज्यामिति रही है: यह एक विशेष प्रकार के समानांतर परिवहन पर आधारित है [...चार-विमीय दिक्-काल में प्रकाश-संकेतों की विश्व-रेखाओं का उपयोग करके]। इन विश्व-रेखाओं में से किसी एक के लघु तत्व को शून्य सदिश कहा जा सकता है; तो प्रश्न में समांतर परिवहन ऐसा है कि यह एक बिंदु पर किसी शून्य-सदिश को पड़ोसी बिंदु पर एक शून्य-सदिश की स्थिति में ले जाता है।

स्वयंसिद्ध प्रणालियों
एफाइन ज्यामिति के लिए कई स्वयंसिद्ध दृष्टिकोणों को आगे रखा गया है:

पप्पस का नियम
जैसा कि एफाइन ज्यामिति समानांतर रेखाओं से संबंधित है, अलेक्जेंड्रिया के पप्पस द्वारा नोट किए गए समानांतरों के गुणों में से एक को आधार के रूप में लिया गया है:
 * मान लीजिए कि $$A, B, C$$ एक रेखा पर हैं और $$A', B', C'$$ दूसरी रेखा पर हैं। यदि रेखाएँ $$AB'$$ और $$A'B$$ समानांतर हैं और रेखाएँ $$BC'$$ और $$B'C$$ समानांतर हैं, तो रेखाएँ $$CA'$$ और $$C'A$$ समानांतर हैं।

प्रस्तावित पूर्ण अभिगृहीत प्रणाली में बिंदु, रेखा, और रेखा युक्त बिंदु आदिम धारणाएँ हैं:
 * दो बिंदु केवल एक रेखा में अंतर्विष्ट हैं।
 * किसी भी रेखा l और किसी भी बिंदु P के लिए, l पर नहीं, केवल एक रेखा होती है जिसमें P सम्मिलित होता है और l का कोई बिंदु नहीं होता है। यह रेखा l के समान्तर कहलाती है।
 * प्रत्येक रेखा में कम से कम दो बिंदु होते हैं।
 * कम से कम तीन बिन्दु ऐसे हैं जो एक रेखा से संबंधित नहीं होते हैं।

एच.एस.एम. कॉक्सेटर के अनुसार: इन पांच स्वयंसिद्धों की रुचि इस तथ्य से बढ़ जाती है कि उन्हें तर्कवाक्यों के एक विशाल निकाय में विकसित किया जा सकता है, न केवल यूक्लिडियन ज्यामिति में, बल्कि समय और स्थान की मिन्कोवस्की की ज्यामिति में भी (1 + 1 विमाओं की साधारण स्थिति में, जबकि सापेक्षता के विशेष सिद्धांत को 1 + 3 की आवश्यकता होती है)। यूक्लिडियन या मिन्कोस्कीयन ज्यामिति का विस्तार लंबकोणीयता (ओर्थोगोनैलिटी), आदि के विभिन्न स्वयंसिद्धों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है।

घूर्णन के लिए क्या व्याख्या की जाती है, इसके अनुरूप विभिन्न प्रकार की एफाइन ज्यामिति होती है। यूक्लिडियन ज्यामिति घूर्णन के सामान्य विचार से मेल खाती है, जबकि मिन्कोवस्की की ज्यामिति अतिपरवलयिक घूर्णन से मेल खाती है। लंबवत रेखाओं के संबंध में, जब विमान सामान्य घूर्णन के अधीन होता है तो वे लंबवत रहते हैं। मिन्कोव्स्की ज्यामिति में, अतिपरवलयिक-लंबकोणीय रेखाएँ उस संबंध में बनी रहती हैं जब विमान अतिपरवलयिक घूर्णन के अधीन होता है।

तर्कसंगत संरचना
दो अतिरिक्त स्वयंसिद्धों को जोड़कर तर्कसंगत ज्यामिति के स्वयंसिद्धों से समतल संबधित ज्यामिति का एक स्वयंसिद्ध उपचार बनाया जा सकता है:
 * 1) (समानता का एफाइन स्वयंसिद्ध) एक बिंदु $A$ और एक रेखा $r$ दिए जाने पर, जो $A$ से होकर नहीं जाती, $A$ से होकर जाने वाली अधिक से अधिक एक रेखा होती है, जो $r$ से नहीं मिलती।
 * 2) (डेज़रगेस) सात अलग-अलग बिंदु $$A, A', B, B', C, C', O$$ दिए गए हैं, जैसे कि $$AA'$$, $$BB'$$, और $$CC'$$ $$O$$ के माध्यम से अलग-अलग रेखाएं हैं और $$AB$$ $$A'B'$$ के समानांतर हैं और $$BC$$ $$B'C'$$ के समानांतर हैं, तो $$AC$$ $$A'C'$$ के समानांतर है।

समानता की समानता की अवधारणा रेखाओं पर एक समानता संबंध बनाती है। चूंकि यहां प्रस्तुत किए गए तर्कसंगत ज्यामिति के स्वयंसिद्ध गुणों में ऐसे गुण सम्मिलित हैं जो वास्तविक संख्याओं की संरचना को दर्शाते हैं, वे गुण यहाँ पर आगे स्थानांतरित होते हैं ताकि यह वास्तविक संख्याओं की फील्ड में एफाइन ज्यामिति का स्वयंसिद्ध हो।

त्रिआधारी (टर्नरी) रिंग्स
डेविड हिल्बर्ट ने अपनी ज्यामिति की फ़ाउंडेशन में पहले गैर-डेसार्ग्यूज़ियन समतल को नोट किया था। मौलटन समतल एक मानक उदाहरण है। इस तरह की ज्यामिति के लिए एक संदर्भ प्रदान करने के लिए और साथ ही जहां डेसार्ग्स प्रमेय मान्य है, मार्शल हॉल द्वारा टर्नरी रिंग की अवधारणा को विकसित किया गया था।

इस दृष्टिकोण में टर्नरी रिंग से लिए गए क्रमित युग्मों से एफाइन समतल का निर्माण किया जाता है। एक समतल में "साधारण सम्बन्ध डेज़रगेस गुणधर्म" होते है, जब समानांतर परिप्रेक्ष्य में दो त्रिभुज, दो समांतर पक्षों के साथ, तीसरी भुजाएं भी समानांतर होनी चाहिए। यदि यह गुणधर्म एक टर्नरी रिंग द्वारा परिभाषित परिबंधी तल में धारण करती है, तो समतल से बिंदुओं के युग्मों द्वारा परिभाषित "सदिश" के बीच एक तुल्यता संबंध होता है। इसके अतिरिक्त, सदिश योग के अंतर्गत एक एबेलियन समूह बनाते हैं; टर्नरी रिंग रैखिक है और उचित वितरण को संतुष्ट करता है:
 * (a + b) c = ac + bc

एफाइन रूपांतरण
ज्यामितीय रूप से, एफाइन रूपांतरण (एफिनिटी) संरेखता को संरक्षित करते हैं: इसलिए वे समानांतर रेखाओं को समानांतर रेखाओं में परिवर्तिति करते हैं और समानांतर रेखाओं के साथ दूरी के अनुपात को संरक्षित करते हैं।

हम एफाइन प्रमेय के रूप में किसी भी ज्यामितीय परिणाम की पहचान करते हैं जो एफाइन समूह के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है (फेलिक्स क्लेन के एर्लाँगें कार्यक्रम में यह एफाइन ज्यामिति के लिए सममिति रूपान्तरणों का अंतर्निहित समूह है)। सदिश समष्टि V में, सामान्य रैखिक समूह GL(V) पर विचार करें। यह संपूर्ण एफाइन समूह नहीं है क्योंकि हमें V में सदिश v द्वारा स्थानांतरण की भी अनुमति देनी चाहिए। वास्तव में उनका अर्ध-प्रत्यक्ष गुणन $$V \rtimes \mathrm{GL}(V)$$। (यहाँ हम V को इसके योग की संरकिया के अधीन एक समूह के रूप में विचार करते हैं, और V पर GL(V) के परिभाषित प्रतिनिधित्व का उपयोग सेमीडायरेक्ट गुणन को परिभाषित करने के लिए करते हैं।)

उदाहरण के लिए, प्रत्येक शीर्ष को विपरीत दिशा के मध्यबिंदु (उत्कर्ष बिंदु (सेंट्रोइड) या बैरीसेंटर पर) से जोड़ने वाली रेखाओं की संगमन के बारे में त्रिभुजों के समतल ज्यामिति से प्रमेय, मध्य-बिंदु और उत्कर्ष बिंदु (सेंट्रोइड) की धारणाओं पर निर्भर करता है जैसे कि एफाइन निश्चर। अन्य उदाहरणों में सेवा और मेनेलॉस की प्रमेय सम्मिलित हैं।

एफाइन निश्चर भी गणनाओं में सहायता कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, त्रिभुज के क्षेत्रफल को दो बराबर भागों में विभाजित करने वाली रेखाएँ त्रिभुज के अंदर एक आवरण बनाती हैं। आवरण के क्षेत्रफल और त्रिभुज के क्षेत्रफल का अनुपात परिबद्ध परिवर्तक है, और इसलिए सभी त्रिकोणों के लिए $$\tfrac{3}{4} \log_e(2) - \tfrac{1}{2},$$ अर्थात 0.019860... या 2% से कम देने के लिए इकाई समद्विबाहु समकोण त्रिभुज जैसे साधारण स्थिति से गणना करने की आवश्यकता है।

परिचित सूत्र जैसे त्रिकोण के क्षेत्र के लिए ऊंचाई का अर्ध आधार गुणन, या एक पिरामिड के आयतन के लिए ऊंचाई का आधार गुणा एक तिहाई, इसी तरह परिशोधित अपरिवर्तनीय होते हैं। जबकि उत्तरार्द्ध सामान्य स्थिति के लिए पूर्व की तुलना में कम स्पष्ट है, यह एक फलक (क्षेत्र 1) और घन के मध्य बिंदु (ऊंचाई 1/2) द्वारा गठित इकाई घन के एक-छठे भाग के लिए आसानी से देखा जाता है। इसलिए यह सभी पिरामिडों पर लागू होता है, यहां तक कि तिर्यक पिरामिडों के लिए भी जिनका शीर्ष सीधे आधार के केंद्र के ऊपर नहीं है, और जिनके आधार वर्ग के बजाय एक समांतर चतुर्भुज हैं। सूत्र आगे उन पिरामिडों का सामान्यीकरण करता है जिनके आधार को समांतर चतुर्भुजों में विच्छेदित किया जा सकता है, जिसमें शंकु सहित असीम रूप से कई समांतर चतुर्भुज (अभिसरण पर उचित ध्यान देने के साथ) की अनुमति होती है। एक ही दृष्टिकोण से पता चलता है कि एक चार-विमीय पिरामिड में 4डी हाइपरवॉल्यूम एक चौथाई इसके समानांतर चतुर्भुज आधार के 3डी वॉल्यूम की ऊंचाई से गुणा होता है, और इसी तरह उच्च विमाओं के लिए।

गतिकी
गतिकी में प्राचीन और आधुनिक दोनों प्रकार के एफाइन रूपांतरणों का उपयोग किया जाता है। वेग v को लंबाई और दिशा का उपयोग करते हुए वर्णित किया गया है, जहां लंबाई को असीमित माना जाता है। गैलीलियन या न्यूटोनियन के रूप में स्टाइल की जाने वाली गतिकी की यह विविधता, निरपेक्ष स्थान और समय के निर्देशांक का उपयोग करती है। प्रत्येक के लिए एक अक्ष के साथ एक विमान का अपरूपण प्रतिचित्रण संदर्भ के एक स्थिर निर्देश तंत्र में वेग v के साथ गतिमान होने वाले एक पर्यवेक्षक के लिए समन्वय परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है।

परिमित प्रकाश गति, जिसे सबसे पहले बृहस्पति के उपग्रहों की उपस्थिति में देरी से पहचाना गया, के लिए आधुनिक गतिकी की आवश्यकता होती है। इस पद्धति में वेग के बजाय तीव्रता सम्मिलित है, और पहले उपयोग किए गए अपरूपण प्रतिचित्रण के लिए संकुचन प्रतिचित्रण को प्रतिस्थापित करता है। इस संबधित ज्यामिति को 1912 में कृत्रिम रूप से विकसित किया गया था। सापेक्षता के विशेष सिद्धांत को व्यक्त करने के लिए। 1984 में, "लॉरेंट्ज़ियन सदिश समष्टि L2 से जुड़े एफाइन समतल" का वर्णन ग्रेसिएला बिरमैन और कात्सुमी नोमिज़ु द्वारा "लोरेंट्ज़ियन ज्यामिति में त्रिकोणमिति" नामक एक लेख में किया गया था।

एफाइन समष्टि
एफाइन ज्यामिति को किसी दी गई विमा n के एक एफाइन समष्टि की ज्यामिति के रूप में देखा जा सकता है, जो एक फील्ड K पर समन्वित होता है। सिंथेटिक परिमित ज्यामिति में विकसित के रूप में समन्वयित एफाइन समष्टि का एक संयुक्त सामान्यीकरण (दो विमाओं में) भी है। प्रक्षेपीय (प्रोजेक्टिव) ज्यामिति में, एफाइन समष्टि का अर्थ प्रक्षेपीय समष्टि में अनंत पर एक अति-समतल का पूरक है। एफाइन समष्टि को एक सदिश स्थान के रूप में भी देखा जा सकता है जिसका संचालन उन रैखिक संयोजनों तक सीमित होता है जिनके गुणांक एक के बराबर होते हैं, उदाहरण के लिए 2x − y, x − y + z, (x + y + z)/3, ix + (1 − i)y, आदि।

कृतिम रूप से, एफाइन समतल 2-विमीय एफाइन ज्यामिति हैं जो बिंदुओं और रेखाओं के बीच संबंधों (या कभी-कभी, उच्च विमाओं में, अति-समतल) के संदर्भ में परिभाषित होते हैं। निर्देशांक का उपयोग करने के बजाय बिंदुओं और रेखाओं (या अति-समतल) के विन्यास के रूप में एफाइन (और प्रक्षेपी) ज्यामिति को परिभाषित करते हुए, किसी को समन्वय क्षेत्रों के बिना उदाहरण मिलते हैं। एक प्रमुख गुणधर्म यह है कि ऐसे सभी उदाहरणों में विमा 2 है। विमा 2 में परिमित उदाहरण (परिमित एफाइन समतल) समूह सिद्धांत में, और साहचर्य (कॉम्बिनेटरिक्स) में अनंत एफाइन रिक्त स्थान में विन्यास (कॉन्फ़िगरेशन) के अध्ययन में मूल्यवान रहे हैं।

विन्यासात्मक दृष्टिकोण की तुलना में कम सामान्य होने के बावजूद, जिन अन्य तरीकों पर चर्चा की गई है, वे ज्यामिति के उन भागों को ज्ञानवर्धन में बहुत सफल रहे हैं जो सममिति से संबंधित हैं।

प्रक्षेपी (प्रोजेक्टिव) दृश्य
पारंपरिक ज्यामिति में, एफाइन ज्यामिति को यूक्लिडियन ज्यामिति और प्रक्षेपी ज्यामिति के बीच अध्ययन माना जाता है। एक ओर, एफाइन ज्यामिति यूक्लिडियन ज्यामिति है, जिसमें सर्वांगसमता को छोड़ दिया गया है; दूसरी ओर, अनंत पर बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक विशेष रेखा या विमान के पदनाम से प्रक्षेपी ज्यामिति से संबधित ज्यामिति प्राप्त की जा सकती है। एफाइन ज्यामिति में, कोई मीट्रिक संरचना नहीं होती है, लेकिन समांतर सिद्धांत धारण करता है। एफाइन ज्यामिति यूक्लिडियन संरचना के लिए आधार प्रदान करती है जब लंबवत रेखाएँ परिभाषित होती हैं, या अतिपरवलयिक लंबकोणीयता की धारणा के माध्यम से मिन्कोव्स्की ज्यामिति का आधार। इस दृष्टिकोण में, एक एफाइन रूपांतरण एक प्रक्षेपीय रूपांतरण है जो अनंत बिंदुओं के साथ परिमित बिंदुओं को अनुमति नहीं देता है, और एफाइन रूपांतरण ज्यामिति एफाइन रूपांतरण के समूह की क्रिया के माध्यम से ज्यामितीय गुणों का अध्ययन है।

यह भी देखें

 * गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति

अग्रिम पठन

 * Emil Artin (1957) Geometric Algebra, chapter 2: "एफाइन and projective geometry", via Internet Archive
 * V.G. Ashkinuse & Isaak Yaglom (1962) Ideas and Methods of एफाइन and Projective Geometry (in Russian), Ministry of Education, Moscow.
 * M. K. Bennett (1995) एफाइन and Projective Geometry, John Wiley & Sons ISBN 0-471-11315-8.
 * H. S. M. Coxeter (1955) "The एफाइन Plane", Scripta Mathematica 21:5–14, a lecture delivered before the Forum of the Society of Friends of Scripta Mathematica on Monday, April 26, 1954.
 * Felix Klein (1939) Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Geometry, translated by E. R. Hedrick and C. A. Noble, pp 70–86, Macmillan Company.
 * Bruce E. Meserve (1955) Fundamental Concepts of Geometry, Chapter 5 एफाइन Geometry,, pp 150–84, Addison-Wesley.
 * Peter Scherk & Rolf Lingenberg (1975) Rudiments of Plane एफाइन Geometry, Mathematical Expositions #20, University of Toronto Press.
 * Wanda Szmielew (1984) From एफाइन to Euclidean Geometry: an axiomatic approach, D. Reidel, ISBN 90-277-1243-3.
 * Oswald Veblen (1918) Projective Geometry, volume 2, chapter 3: एफाइन group in the plane, pp 70 to 118, Ginn & Company.

बाहरी कड़ियाँ

 * Peter Cameron's Projective and एफाइन Geometries from University of London.
 * Jean H. Gallier (2001). Geometric Methods and Applications for Computer Science and Engineering, Chapter 2: "Basics of एफाइन Geometry" (PDF), Springer Texts in Applied Mathematics #38, chapter online from University of Pennsylvania.