अदिश क्षेत्र सिद्धांत

सैद्धांतिक भौतिकी में अदिश क्षेत्र सिद्धांत अदिश क्षेत्रों के सापेक्षिक रूप से अपरिवर्तनीय चिरसम्मत क्षेत्र सिद्धांत या क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत का उल्लेख कर सकता है। किसी भी लोरेंत्ज़ रूपांतरण के अंतर्गत अदिश क्षेत्र अपरिवर्तनीय होता है।

प्रकृति में देखा गया एकमात्र मौलिक अदिश क्वांटम क्षेत्र हिग्स क्षेत्र है। हालांकि कई भौतिक घटनाओं के प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत विवरण में अदिश क्वांटम क्षेत्र की विशेषता है। एक उदाहरण 'पाइऑन' है जो वास्तव में एक छद्म अदिश है।

चूँकि उनमें ध्रुवीकरण की समिश्रताएँ सम्मिलित नहीं होती हैं इसलिए अदिश क्षेत्र प्रायः दूसरे परिमाणीकरण का मूल्यांकन करने के लिए सबसे आसान होते हैं। इस कारण से अदिश क्षेत्र सिद्धांतों का प्रयोग प्रायः नवीन अवधारणाओं और तकनीकों के प्रारम्भिक उद्देश्यों के लिए किया जाता है। जिसका नियोजित मापीय चिन्ह $(0, 0)$ है।

चिरसम्मत अदिश क्षेत्र सिद्धांत
इस खंड के लिए एक सामान्य संदर्भ रामोंड, पियरे (2001-12-21) है। अदिश क्षेत्र सिद्धांत का ए.मॉडर्न प्राइमर द्वितीय संस्करण है और यूएसए वेस्टव्यू संस्करण ISBN 0-201-30450-3, सीएच-1 है।

रेखीय सिद्धांत
सबसे सामान्य अदिश क्षेत्र सिद्धांत रेखीय सिद्धांत है। क्षेत्र सिद्धांत के फूरियर रूपांतरण के माध्यम से यह युग्मित दोलक की अनंतता के सामान्य मोड का प्रतिनिधित्व करता है। जहां दोलित्र सूचकांक i की नियमित सीमा x द्वारा निरूपित की जाती है। तब मुक्त आपेक्षिकीय अदिश क्षेत्र सिद्धांत के लिए फलन है:
 * $$\begin{align}

\mathcal{S} &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \mathrm{d}t \mathcal{L} \\ &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \mathrm{d}t \left[\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi - \frac{1}{2} m^2\phi^2\right] \\[6pt] &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \mathrm{d}t \left[\frac{1}{2}(\partial_t\phi)^2 - \frac{1}{2}\delta^{ij}\partial_i\phi \partial_j\phi -\frac{1}{2} m^2\phi^2\right], \end{align}$$ जहां $$\mathcal{L}$$ लाग्रंगियन घनत्व को $(+, −, −, −)$ के रूप में जाना जाता है। तीन स्थानिक निर्देशांक के लिए $d^{4&minus;1}x ≡ dx ⋅ dy ⋅ dz ≡ dx^{1} ⋅ dx^{2} ⋅ dx^{3}$ क्रोनकर डेल्टा फलन, $δ^{ij}$ और $ρ$-वें समन्वय फलन के लिए $∂_{ρ} = ∂/∂x^{ρ}$ है।

यह द्विघात फलन का एक उदाहरण है क्योंकि प्रत्येक पद क्षेत्र में द्विघात है, $φ$ कण द्रव्यमान के संदर्भ में इस सिद्धांत के राशित्मक संस्करण में m2 के आनुपातिक शब्द को कभी-कभी इसके बाद की व्याख्या के कारण द्रव्यमान शब्द के रूप में जाना जाता है।

इस सिद्धांत के लिए गति का समीकरण उपरोक्त फलन को विस्तृत करके प्राप्त किया जाता है। यह φ में निम्नलिखित रूप रैखिक रूप प्राप्त करता है:


 * $$\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu\phi+m^2\phi=\partial^2_t\phi-\nabla^2\phi+m^2\phi=0 ~,$$

जहाँ ∇2 लाप्लास संक्रियक है। यह क्लेन-गॉर्डन समीकरण है, जिसकी व्याख्या क्वांटम-यांत्रिक तरंग समीकरण के अतिरिक्त चिरसम्मत क्षेत्र समीकरण के रूप में की जाती है।

अरेखीय सिद्धांत
ऊपर दिए गए रैखिक सिद्धांत का सबसे सामान्य सामान्यीकरण लाग्रंगियन यांत्रिकी में एक अदिश क्षमता $x^{ρ}$) जोड़ना है, जहां सामान्यतः द्रव्यमान शब्द के अतिरिक्त V $Φ$ में एक बहुपद है। इस प्रकार के सिद्धांत को कभी-कभी अंतःक्रियात्मक कहा जाता है, क्योंकि यूलर-लग्रेंज समीकरण अब अरैखिक है। अर्थात अंतःक्रिया का अर्थ है कि इस प्रकार के सबसे सामान्य सिद्धांत के लिए फलन है:


 * $$\begin{align}

\mathcal{S} &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \, \mathrm{d}t \mathcal{L} \\[3pt] &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \mathrm{d}t \left[\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi - V(\phi) \right] \\[3pt] &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \, \mathrm{d}t \left[ \frac{1}{2}(\partial_t\phi)^2 - \frac{1}{2}\delta^{ij}\partial_i\phi\partial_j\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2 - \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n!} g_n\phi^n \right] \end{align}$$ विस्तार में n कारक प्रस्तुत किए गए हैं क्योंकि वे क्वांटम सिद्धांत के रिचर्ड फेनमैन विस्तार में उपयोगी हैं, जैसा कि नीचे वर्णित है।

गति का संगत यूलर-लैग्रेंज समीकरण है:
 * $$\eta^{\mu\nu} \partial_\mu \partial_\nu\phi + V'(\phi) = \partial^2_t \phi - \nabla^2 \phi + V'(\phi) = 0.$$

आयामी विश्लेषण और प्रवर्धन
इन अदिश क्षेत्र सिद्धांतों में भौतिक राशियों में लंबाई, समय या द्रव्यमान या तीनों के कुछ संयोजन के आयाम हो सकते हैं।

हालांकि, एक सापेक्षवादी सिद्धांत में समय के आयामों के साथ किसी भी राशि $t$ को प्रकाश की गति $c$ का उपयोग करके आसानी से लंबाई $V(Φ)$ में परिवर्तित किया जा सकता है। इसी प्रकार कोई भी लम्बाई $l$ प्लैंक स्थिरांक $ħ$ का उपयोग करते हुए एक व्युत्क्रम द्रव्यमान $l =ct$ के बराबर है। प्राकृतिक इकाइयों में समय को लंबाई के रूप में या समय और लंबाई को व्युत्क्रम द्रव्यमान के रूप में माना जाता है।

संक्षेप में, कोई भी किसी भी भौतिक राशि के आयामों के विषय में सोच सकता है। जैसा कि तीनों के अतिरिक्त केवल एक स्वतंत्र आयाम के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। इसे प्रायः राशि का द्रव्यमान आयाम कहा जाता है। प्रत्येक राशि के आयामों को जानने के बाद आयामी स्थिरता के लिए आवश्यक $ħ$ और $c$ की आवश्यक ऊर्जा को पुन: स्थापित करके इस द्रव्यमान आयाम के संदर्भ में प्राकृतिक इकाइयों की अभिव्यक्ति से पारंपरिक आयामों को विशिष्ट रूप से पुनर्स्थापित करने की स्वीकृति प्राप्त होती है।

एक बोधगम्य विशेषता यह है कि यह सिद्धांत चिरसम्मत है और इसलिए यह स्पष्ट नहीं है कि प्लैंक स्थिरांक सिद्धांत का एक भाग कैसा होना चाहिए। यदि वांछित है, तो वास्तव में द्रव्यमान आयामों के अतिरिक्त सिद्धांत को पुनः तैयार किया जा सकता है। हालांकि, यह क्वांटम अदिश क्षेत्र के साथ संबंध को अपेक्षाकृत अस्पष्ट करने की कीमत पर हो सकता है। यह देखते हुए कि किसी के पास द्रव्यमान के आयाम हैं, प्लैंक के स्थिरांक को यहां एक अनिवार्य रूप से अपेक्षाकृत निश्चित संदर्भ राशि के रूप में माना जाता है, जो आवश्यक रूप से परिमाणीकरण से संबद्ध नहीं है। इसलिए द्रव्यमान और व्युत्क्रम लंबाई के बीच परिवर्तित करने के लिए उपयुक्त आयाम हैं।

प्रवर्धन आयाम
चिरसम्मत प्रवर्धन आयाम या द्रव्यमान आयाम $Δ$, $φ$ को निर्देशांक के पुनर्विक्रय के अंतर्गत क्षेत्र के परिवर्तन का वर्णन करता है:
 * $$x\rightarrow\lambda x$$
 * $$\phi\rightarrow\lambda^{-\Delta}\phi ~.$$

संक्रियक की इकाइयां $ħ$ की इकाइयों के समान होती हैं और इसलिए संक्रियक में शून्य द्रव्यमान आयाम होता है। यह क्षेत्र $φ$ होने के प्रवर्धन आयाम को प्रयुक्त करता है:
 * $$\Delta =\frac{D-2}{2}.$$

अनुमापीय अपरिवर्तनीयता
एक विशिष्ट अर्थ है जिसमें कुछ अदिश क्षेत्र सिद्धांत अनुमापीय रूप से अपरिवर्तनीय हैं। जबकि उपरोक्त सभी फलन शून्य द्रव्यमान आयाम के लिए बनाए गए हैं। प्रवर्धन रूपांतरण के अंतर्गत सभी फलन अपरिवर्तनीय नहीं हैं:
 * $$x\rightarrow\lambda x $$
 * $$\phi\rightarrow\lambda^{-\Delta}\phi ~.$$

सभी फलन अपरिवर्तनीय नहीं होने का कारण यह है कि सामान्यतः पैरामीटर m और $ħ=lmc$ को निश्चित राशि के रूप में माना जाता है, जो उपरोक्त परिवर्तन के अंतर्गत पुन: अनुमापीय नहीं किए जाते हैं। अदिश क्षेत्र सिद्धांत के अनुमापीय अपरिवर्तनीयता होने की स्थिति तब स्पष्ट होती है जब संक्रियक में दिखाई देने वाले सभी पैरामीटर आयाम रहित राशि में होते है। दूसरे शब्दों में, एक पैमाना अपरिवर्तनीय सिद्धांत वह है जिसमें सिद्धांत में कोई निश्चित लंबाई का पैमाना (या समतुल्य द्रव्यमान पैमाना) नहीं है।

दिक्-काल आयाम $g_{n}$ के साथ अदिश क्षेत्र सिद्धांत के लिए एकमात्र आयाम रहित पैरामीटर $D$, $n$ = $g_{n}$ को संतुष्ट करता है। उदाहरण के लिए, $2D⁄(D − 2)$ = 4 में केवल $D$ चिरसम्मत आयाम रहित है। इसलिए $g_{4}$ = 4 में एकमात्र चिरसम्मत अनुमापीय-अपरिवर्तनीयता अदिश क्षेत्र सिद्धांत द्रव्यमान रहित $φ$ सिद्धांत है।

हालांकि चिरसम्मत अनुमापीय अपरिवर्तनीयता सामान्य रूप से क्वांटम अनुमापीय अपरिवर्तनीयता का अर्थ नहीं है, क्योंकि यह पुनर्सामान्यीकरण समूह में सम्मिलित है। जिसके लिए नीचे बीटा फलन की चर्चा देखें।

अनुरूप आक्रमण
एक रूपांतरण $$x\rightarrow \tilde{x}(x)$$ यदि परिवर्तन यह संतुष्ट करता है तो इसे अनुरूप समरूपता कहा जाता है:
 * $$\frac{\partial\tilde{x^\mu}}{\partial x^\rho}\frac{\partial\tilde{x^\nu}}{\partial

x^\sigma}\eta_{\mu\nu}=\lambda^2(x)\eta_{\rho\sigma}$$ किसी फलन के लिए $D$ अनुरूप समूह में उपसमूहों के रूप में आव्यूह $$\eta_{\mu\nu}$$ (पॉइनकेयर समूह) के दोलक और ऊपर दिए गए प्रवर्धन रूपांतरण (या विस्फारण) भी सम्मिलित हैं। वास्तव में, पिछले खंड में अनुमापीय-अपरिवर्तनीयता सिद्धांत भी अनुरूप-अपरिवर्तनीय हैं।

$φ$4 सिद्धांत
बड़े पैमाने पर $φ$4 सिद्धांत अदिश क्षेत्र सिद्धांत में कई रोचक घटनाओं को दर्शाता है।

लाग्रंगियन घनत्व है:
 * $$\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_t\phi)^2 -\frac{1}{2}\delta^{ij}\partial_i\phi\partial_j\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2-\frac{g}{4!}\phi^4.$$

स्वतःस्फूर्त समरूपता विभाजन
इस लाग्रंगियन में रूपांतरण $λ(x)$ के अंतर्गत एक ℤ₂ समरूपता है। यह समष्टिटाइम समरूपता के विपरीत आंतरिक समरूपता का एक उदाहरण है।

यदि $φ→ −φ$ धनात्मक है, तो क्षमता $$V(\phi)=\frac{1}{2}m^2\phi^2 +\frac{g}{4!}\phi^4$$ मूल में एक न्यूनतम है। समाधान φ = 0 ℤ₂ समरूपता के अंतर्गत स्पष्ट रूप से अपरिवर्तनीय है।

इसके विपरीत यदि $m^{2}$ ऋणात्मक है, तो कोई भी आसानी से देख सकता है कि क्षमता $$\, V(\phi)=\frac{1}{2}m^2\phi^2+\frac{g}{4!}\phi^4\!$$ दो न्यूनतम हैं। इसे एक दोहरी अच्छी क्षमता के रूप में जाना जाता है, और इस प्रकार के सिद्धांत में सबसे कम ऊर्जा अवस्था (क्वांटम क्षेत्र सैद्धांतिक भाषा में निर्वात के रूप में जाना जाता है) फलन ℤ₂ समरूपता के अंतर्गत अपरिवर्तनीय नहीं हैं वास्तव में यह दो फलन में से प्रत्येक को चित्रित करता है। इस स्थिति में ℤ₂ समरूपता को स्वतः विभाजन कहा जाता है।

गुत्थी समाधान
एक ऋणात्मक $m$2 के साथ $φ|4$4 सिद्धांत का एक किंक समाधान है, जो सॉलिटॉन का एक विहित उदाहरण है। ऐसा समाधान रूप का है:
 * $$\phi(\vec{x}, t) = \pm\frac{m}{2\sqrt{\frac{g}{4!}}}\tanh\left[\frac{m(x - x_0)}{\sqrt{2}}\right]$$

जहाँ x स्थानिक चरों में से एक है जिसको $φ$ को $t$ और शेष स्थानिक चरों से स्वतंत्र माना जाता है। समाधान दोहरे फलन की क्षमता के दो अलग-अलग रिक्तिका के बीच प्रक्षेपित करता है। अपरिमित ऊर्जा के विलयन से गुजरे बिना किंक को निरंतर विलयन में रूपांतरण संभव नहीं है और इसी कारण से किंक को D>2 के लिए स्थिर कहा जाता है। अर्थात एक से अधिक स्थानिक आयाम वाले सिद्धांत को समाधान डोमेन वॉल फलन कहा जाता है।

गुत्थी समाधान के साथ अदिश क्षेत्र सिद्धांत का एक अन्य प्रसिद्ध उदाहरण साइन-गॉर्डन सिद्धांत है।

समिश्र अदिश क्षेत्र सिद्धांत
समिश्र अदिश क्षेत्र सिद्धांत में अदिश क्षेत्र वास्तविक संख्याओं के अतिरिक्त समिश्र संख्याओं में मान लेता है। समिश्र अदिश क्षेत्र आवेश के साथ घूर्णन 0 कण और प्रतिकण का प्रतिनिधित्व करता है। सामान्य रूप से मानी जाने वाली प्रतिक्रिया रूप है:
 * $$\mathcal{S}=\int \mathrm{d}^{D-1}x \, \mathrm{d}t

\mathcal{L} = \int \mathrm{d}^{D-1}x \, \mathrm{d}t \left[\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi^*\partial_\nu\phi -V(|\phi|^2)\right]$$ इसमें U(1) समतुल्य O(2) समरूपता है, जिसके अदिश क्षेत्र के स्थान पर घूमती है $$\phi\rightarrow e^{i\alpha}\phi$$, कुछ वास्तविक चरण कोण के लिए $α$.

इसमें U(1) समतुल्य O(2) समरूपता है। जो अदिश क्षेत्र के स्थान पर $$\phi\rightarrow e^{i\alpha}\phi$$ कुछ वास्तविक फेज कोण α के लिए घूर्णित है।

जहां तक ​​वास्तविक अदिश क्षेत्र की बात है यदि m2 ऋणात्मक है तो स्वत: सममिति का विभाजन पाया जाता है। यह गोल्डस्टोन की मैक्सिकन हैट क्षमता को जन्म देता है जो $$ (\phi) $$ अक्ष के विषय में 2π रेडियन द्वारा वास्तविक अदिश क्षेत्र की द्वि-वेल क्षमता का घूर्णन है। समरूपता विभाजन एक उच्च आयाम में होता है, अर्थात निर्वात का चुनाव असतत के अतिरिक्त नियमित U(1) समरूपता को विभाजित करता है। अदिश क्षेत्र के दो घटकों को बड़े पैमाने पर मोड और द्रव्यमान रहित गोल्डस्टोन बोसोन के रूप में पुन: रूपांतरित किया गया है।

O(N) सिद्धांत
समिश्र अदिश क्षेत्र सिद्धांत को दो वास्तविक क्षेत्रों φ1 = Re φ और φ2 = Im φ के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, जो U(1) = O(2) आंतरिक समरूपता के सदिश प्रतिनिधित्व में रूपांतरित होते हैं। हालांकि इस प्रकार के क्षेत्र आंतरिक समरूपता के अंतर्गत एक सदिश के रूप में परिवर्तित होते हैं फिर भी वे लोरेंत्ज़ अदिश होते हैं।

यह O(N) समरूपता के सदिश प्रतिनिधित्व में परिवर्तित होने वाले N अदिश क्षेत्रों के सिद्धांत के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। O(N) अपरिवर्तनीयता अदिश क्षेत्र सिद्धांत के लिए सामान्यतः लाग्रंगियन रूप होती है:
 * $$\mathcal{L}=\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi\cdot\partial_\nu\phi -V(\phi\cdot\phi)$$

उपयुक्त O(N)-अपरिवर्तनीयता आंतरिक उत्पाद का उपयोग करके लाग्रंगियन सिद्धांत को समिश्र सदिश क्षेत्रों के लिए भी व्यक्त किया जा सकता है। अर्थात $$\phi\in\Complex^n$$ के लिए जिस स्थिति में सममिति समूह लाई समूह SU(N) है।

गेज-क्षेत्र युग्मक
जब अदिश क्षेत्र सिद्धांत को यांग-मिल्स सिद्धांत के लिए गेज अपरिवर्तनीय प्रकार से संबद्ध किया जाता है तो अतिसंवाहक के गिन्ज़बर्ग-लैंडौ सिद्धांत को प्राप्त किया जाता है। उस सिद्धांत के टोपोलॉजिकल सॉलिटॉन एक अतिसंवाहक में चक्रवात के अनुरूप हैं। मैक्सिकन टोपी की न्यूनतम क्षमता अतिसंवाहक के अनुक्रम पैरामीटर के अनुरूप है।

क्वांटम अदिश क्षेत्र सिद्धांत
इस खंड के लिए एक सामान्य संदर्भ रामोंड, पियरे (2001-12-21) है। अदिश क्षेत्र सिद्धांत का ए.मॉडर्न प्राइमर द्वितीय संस्करण है और यूएसए वेस्टव्यू संस्करण ISBN 0-201-30450-3, सीएच-1 है।

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में क्षेत्र और उनसे निर्मित सभी प्रेक्षणीयता को हिल्बर्ट समष्टि पर क्वांटम संक्रियकों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यह हिल्बर्ट समष्टि एक निर्वात स्थिति पर बनाया गया है और गतिशीलता एक क्वांटम हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) द्वारा नियंत्रित होती है। जो एक धनात्मक-निश्चित संक्रियक है जो निर्वात को नष्ट कर देता है। क्वांटम अदिश क्षेत्र सिद्धांत का निर्माण विहित परिमाणीकरण लेख में विस्तृत है, जो क्षेत्रों के बीच विहित कम्यूटेशन संबंधों पर निर्भर करता है। अनिवार्य रूप से चिरसम्मत दोलित्र की अनन्तता को अदिश क्षेत्र में इसके (अलग) सामान्य मोड्स के रूप में पुन: व्यवस्थित किया गया है या मानक तरीके से परिमाणित किया गया है। इसलिए संबंधित क्वांटम संक्रियक क्षेत्र संबंधित फ़ॉक समष्टि पर कार्य करने वाले क्वांटम हार्मोनिक दोलित्र की अनंतता का वर्णन करता है।

संक्षेप में आधारित चर क्वांटम क्षेत्र $φ$ और इसकी विहित गति π हैं। ये दोनों संक्रियक-मूल्यवान क्षेत्र हर्मिटियन संक्रियक हैं। स्थानिक बिंदुओं पर $x$, $y$ और समान समय पर उनके विहित रूपान्तरण संबंध द्वारा दिए गए हैं:


 * $$\begin{align}

\left[\phi\left(\vec{x}\right), \phi\left(\vec{y}\right)\right] = \left[\pi\left(\vec{x}\right), \pi\left(\vec{y}\right)\right] &= 0,\\ \left[\phi\left(\vec{x}\right), \pi\left(\vec{y}\right)\right] &= i \delta\left(\vec{x} - \vec{y}\right), \end{align}$$ जबकि मुक्त हैमिल्टनियन (क्वांटम सिद्धांत) ऊपर के समान है:
 * $$H = \int d^3x \left[{1 \over 2}\pi^2 + {1 \over 2}(\nabla \phi)^2 + {m^2 \over 2}\phi^2\right].$$

एक स्थानिक फूरियर :रूपांतरण गति समष्टि क्षेत्रों की ओर जाती है:
 * $$\begin{align}

\widetilde{\phi}(\vec{k}) &= \int d^3x e^{-i\vec{k}\cdot\vec{x}}\phi(\vec{x}),\\ \widetilde{\pi}(\vec{k}) &= \int d^3x e^{-i\vec{k}\cdot\vec{x}}\pi(\vec{x}) \end{align}$$ जो रूपांतरण और निर्माण संचालकों का विश्लेषण करते हैं:
 * $$\begin{align}

a(\vec{k}) &= \left(E\widetilde{\phi}(\vec{k}) + i\widetilde{\pi}(\vec{k})\right),\\ a^\dagger(\vec{k}) &= \left(E\widetilde{\phi}(\vec{k}) - i\widetilde{\pi}(\vec{k})\right), \end{align}$$ जहाँ $$E = \sqrt{k^2 + m^2}$$.

ये संक्रियक कम्यूटेशन संबंधों को पूरा करते हैं:
 * $$\begin{align}

\left[a(\vec{k}_1), a(\vec{k}_2)\right] = \left[a^\dagger(\vec{k}_1), a^\dagger(\vec{k}_2)\right] &= 0,\\ \left[a(\vec{k}_1), a^\dagger(\vec{k}_2)\right] &= (2\pi)^3 2E \delta(\vec{k}_1 - \vec{k}_2). \end{align}$$ स्थिति $$| 0\rangle$$ को सभी संक्रियकों द्वारा समाप्त कर दिया जाता है जिसे नग्न वैक्यूम के रूप में पहचाना जाता है और संवेग $k$ वाला एक कण निर्वात में $$a^\dagger(\vec{k})$$ लगाकर बनाया जाता है।

निर्माण संचालकों के सभी संभावित संयोजनों को वैक्यूम में प्रयुक्त करने से संबंधित हिल्बर्ट समष्टि का निर्माण होता है। इस निर्माण को फॉक समष्टि कहा जाता है। हैमिल्टनियन द्वारा निर्वात को नष्ट कर दिया जाता है:
 * $$H = \int {d^3k\over (2\pi)^3}\frac{1}{2} a^\dagger(\vec{k}) a(\vec{k}), $$

जहां विक अनुक्रम द्वारा शून्य-बिंदु ऊर्जा को हटा दिया गया है। जिसके लिए विहित परिमाणीकरण देखें।

अंतःक्रिया हैमिल्टनियन को जोड़कर पारस्परिक प्रभाव को सम्मिलित किया जा सकता है। φ4 सिद्धांत के लिए यह एक विक अनुक्रमित शब्द g:φ4:/4 हैमिल्टनियन के लिए और x पर एकीकृत करना अंतःक्रिया छवि में इस हैमिल्टनियन से विस्तृत आयाम की गणना की जा सकती है। ये डायसन श्रृंखला के माध्यम से अस्तव्यस्तता सिद्धांत में निर्मित होते हैं जो समय अनुक्रम उत्पाद, या n-कण ग्रीन फलन $$\langle 0|\mathcal{T}\{\phi(x_1) \cdots \phi(x_n)\}|0\rangle$$ जैसा डायसन श्रृंखला के लेख में बताया गया है। ग्रीन के फलनों को श्विंगर-डायसन समीकरण के समाधान के रूप में निर्मित फलन से भी प्राप्त किया जा सकता है।

फेनमैन पथ समाकलन
फेनमैन आरेख विस्तार फेनमैन पथ समाकलन सूत्रीकरण से भी प्राप्त किया जा सकता है। $φ$ में बहुपदों के समय क्रमित निर्वात प्रत्याशा मान जिसे n-कण मे ग्रीन फलन के रूप में जाना जाता है। सभी संभावित क्षेत्रों को एकीकृत करके निर्मित किया जाता है, बिना किसी बाहरी क्षेत्र के निर्वात अपेक्षा मान द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है:


 * $$\langle 0|\mathcal{T}\{\phi(x_1)\cdots \phi(x_n)\}|0\rangle =

\frac {\int \mathcal{D}\phi \phi(x_1) \cdots \phi(x_n) e^{i\int d^4x \left({1 \over 2}\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi - {m^2 \over 2}\phi^2 - {g \over 4!}\phi^4\right)}} {\int \mathcal{D}\phi e^{i\int d^4x \left({1 \over 2}\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi - {m^2 \over 2}\phi^2 - {g \over 4!}\phi^4\right)}}. $$ इन सभी ग्रीन फलानो को निर्मित फलन J(x)φ(x) में घातांक का विस्तार करके प्राप्त किया जा सकता है:

Z[J] = \int \mathcal{D}\phi e^{i\int d^4x \left({1 \over 2}\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi - {m^2 \over 2}\phi^2 - {g \over 4!}\phi^4 + J\phi\right)} = Z[0] \sum_{n=0}^{\infty} \frac{i^n}{n!} J(x_1) \cdots J(x_n) \langle 0|\mathcal{T}\{\phi(x_1) \cdots \phi(x_n)\}|0\rangle. $$ समय को काल्पनिक बनाने के लिए एक विक घूर्णन सिद्धान्त को प्रयुक्त किया जा सकता है। जिसको चिन्ह (++++) में परिवर्तित करना फिर फेनमैन समाकल को यूक्लिडियन समष्टि में एक सांख्यिकीय यांत्रिकी विभाजन फलन में परिवर्तित कर देता है:
 * $$Z[J] = \int \mathcal{D}\phi e^{-\int d^4x \left[{1 \over 2}(\nabla\phi)^2 + {m^2 \over 2}\phi^2 + {g \over 4!}\phi^4 + J\phi\right]}.$$

सामान्यतः यह नियत संवेग वाले कणों के प्रकीर्णन पर प्रयुक्त होता है, जिस स्थिति में फूरियर रूपांतरण उपयोगी होता है जो निम्न परिवर्तन देता है:
 * $$\tilde{Z}[\tilde{J}]=\int \mathcal{D}\tilde\phi e^{-\int {d^4p \over (2\pi)^4} \left({1\over 2}(p^2+m^2)\tilde\phi^2-\tilde{J}\tilde\phi+{g \over 4!}{\int {d^4p_1 \over (2\pi)^4}{d^4p_2 \over (2\pi)^4}{d^4p_3 \over (2\pi)^4}\delta(p-p_1-p_2-p_3)\tilde\phi(p)\tilde\phi(p_1)\tilde\phi(p_2)\tilde\phi(p_3)}\right)}.$$

जहाँ $$\delta(x)$$ डिराक डेल्टा फलन है।

सामान्यतः इस कार्यात्मक समाकल का मूल्यांकन करने के लिए मानक चाल इसे घातीय कारकों के उत्पाद के रूप में लिखना है:
 * $$\tilde{Z}[\tilde{J}]=\int \mathcal{D}\tilde\phi \prod_p \left[e^{-(p^2+m^2)\tilde\phi^2/2} e^{-g/4!\int {d^4p_1 \over (2\pi)^4}{d^4p_2 \over (2\pi)^4}{d^4p_3 \over (2\pi)^4}\delta(p-p_1-p_2-p_3)\tilde\phi(p)\tilde\phi(p_1)\tilde\phi(p_2)\tilde\phi(p_3)} e^{\tilde{J}\tilde\phi}\right].$$

दूसरे दो घातीय कारकों को घात श्रृंखला के रूप में विस्तारित किया जा सकता है और इस विस्तार के साहचर्य को क्वार्टिक प्रभाव के फेनमैन आरेख के माध्यम से आरैखिक रूप से प्रदर्शित किया जा सकता है। g = 0 के साथ समाकल को अनंत रूप से कई प्राथमिक गॉसियन समाकलन के उत्पाद के रूप में माना जा सकता है। परिणाम को फेनमैन आरेखों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसकी गणना निम्नलिखित फेनमैन नियमों का उपयोग करके की जाती है:
 * प्रत्येक क्षेत्र $~ φ$(p) के n बिंदु यूक्लिडियन ग्रीन फलन को आरेख में एक बाहरी रेखा (अर्ध-शीर्ष) द्वारा दर्शाया गया है जो गति p के साथ संबद्ध है।
 * प्रत्येक शीर्ष को गुणक g द्वारा दर्शाया जाता है।
 * किसी दिए गए क्रम gk पर n बाहरी रेखाओं और k शीर्षों वाले सभी आरेख इस प्रकार निर्मित होते हैं कि प्रत्येक शीर्ष में प्रवाह संवेग शून्य होता है। प्रत्येक आंतरिक रेखा को प्रचारक 1/(q2 + m2) द्वारा दर्शाया जाता है, जहां q उस रेखा के माध्यम से प्रवाहित गति है।
 * कोई भी अप्रतिबंधित संवेग सभी मान पर एकीकृत होता है।
 * परिणाम को एक समरूपता कारक द्वारा विभाजित किया जाता है जो कि इसकी सहसंबद्धता को परिवर्तित किए बिना आरेख की रेखाओं और शीर्षों को पुनर्व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या है।
 * रिक्त समष्टि वाले आरेख को सम्मिलित न करें, जो अतिरिक्त किसी बाहरी रेखा के सम्बद्ध उप आरेख हैं।

अंतिम नियम [0] से विभाजित करने के प्रभाव को ध्यान में रखता है। जो मिन्कोव्स्की-समष्टि फेनमैन नियम के समान हैं। इसके अतिरिक्त प्रत्येक शीर्ष को −ig द्वारा दर्शाया गया है जबकि प्रत्येक आंतरिक रेखा को एक प्रचारकi/(q2−m2+iε) द्वारा दर्शाया गया है, जहां ε शब्द मिन्कोव्स्की-समष्टि गॉसियन समाकल अभिसरण बनाने के लिए आवश्यक छोटे विक आवर्त का प्रतिनिधित्व करता है।

नवीनीकरण
अप्रतिबंधित संवेग पर समाकल, जिसे "लूप समाकलन" कहा जाता है। फेनमैन आरेख में सामान्यतः अलग हो जाते हैं। इसे सामान्यतः पुनर्सामान्यीकरण द्वारा नियंत्रित किया जाता है, जो लैग्रैन्जियन में अलग-अलग प्रति-अवधि को इस समय से जोड़ने की एक प्रक्रिया है कि मूल लैग्रेंजियन और प्रति-अवधि से निर्मित आरेख परिमित हैं। प्रक्रिया में एक पुनर्सामान्यीकरण पैमाना प्रस्तुत किया जाता है। जिससे युग्मन स्थिरांक और द्रव्यमान इस पर निर्भर हो जाते हैं।

अनुमापीय λ पर युग्मन स्थिरांक $g$ की निर्भरता $λ$ को बीटा फलन (भौतिकी) $m^{2}$ द्वारा परिभाषित किया गया है:
 * $$\beta(g) = \lambda\,\frac{\partial g}{\partial \lambda} ~.$$

ऊर्जा पैमाने पर इस निर्भरता को युग्मन पैरामीटर के रूप में जाना जाता है और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में इस व्यवस्थित पैमाने के निर्भरता के सिद्धांत को पुनर्संरचना समूह द्वारा वर्णित किया गया है।

बीटा-फलन की गणना सामान्यतः एक सन्निकटन योजना में की जाती है, सबसे सामान्य रूप से अस्तव्यस्तता सिद्धांत, जहां कोई यह मानता है कि युग्मन स्थिरांक छोटा है। इसके बाद कोई युग्मन पैरामीटर को ऊर्जा में विस्तार कर सकता है। और उच्च-क्रम शर्तों को अपेक्षाकृत कम कर सकता है। इसी फेनमैन आरेख को लूप की संख्या के कारण उच्च लूप योगदान के रूप में भी जाना जाता है।

$φ$4 सिद्धांत के लिए एक लूप पर β-फलन है:


 * $$\beta(g) = \frac{3}{16\pi^2}g^2 + O\left(g^3\right) ~.$$

तथ्य यह है कि निम्नतम-क्रम अवधि के सामने संकेत धनात्मक है जो कि यह बताता है कि युग्मन स्थिरांक ऊर्जा के साथ बढ़ता है। यदि यह अनुक्रम बड़े युग्मों पर बना रहता है, तो यह क्वांटम तुच्छता से उत्पन्न होने वाली परिमित ऊर्जा पर लैंडौ ध्रुव की उपस्थिति का संकेत देता है। हालाँकि प्रश्न का उत्तर केवल गैर-विक्षोभ रूप से दिया जा सकता है, क्योंकि इसमें समिश्र युग्मन सम्मिलित है।

एक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत को तुच्छ कहा जाता है, जब इसके बीटा फलन के माध्यम से गणना किए जाना वाला पुनर्सामान्यीकृत युग्मन शून्य हो जाता है। जब पराबैंगनी कटऑफ़ हटा दी जाती है। जिसके परिणाम स्वरूप प्रचारक एक मुक्त कण बन जाता है और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत परस्पर क्रिया नहीं करता है।

$φ$4 सिद्धांत अंतःक्रिया के लिए माइकल आइज़ेनमैन ने सिद्ध किया कि समष्टि समय आयाम $D$ ≥ 5 के लिए सिद्धांत वास्तव में तुच्छ है। $4 d$ = 4 के लिए, तुच्छता को अभी तक जटिलता से सिद्ध किया जाना है, लेकिन समस्त गणनाओ ने इसके लिए जटिल प्रमाण प्रदान किए हैं। यह तथ्य महत्वपूर्ण है क्योंकि क्वांटम तुच्छता का उपयोग हिग्स बॉसन द्रव्यमान जैसे मापदंडों को बाध्य करने या पूर्वानुमानित करने के लिए भी किया जा सकता है। यह स्पर्शोन्मुख सुरक्षा परिदृश्यों में एक अनुमानित हिग्स द्रव्यमान भी उत्पन्न कर सकता है।

यह भी देखें

 * पुनर्सामान्यीकरण
 * क्वांटम तुच्छता
 * लैंडौ पोल
 * अनुमापीय अपरिवर्तनीयता (सीएफटी विवरण)
 * अदिश विद्युत् गतिकी

बाहरी संबंध

 * The Conceptual Basis of Quantum Field Theory Click on the link for Chap. 3 to find an extensive, simplified introduction to scalars in relativistic quantum mechanics and quantum field theory.