स्रोत क्षेत्र

सैद्धांतिक भौतिकी में, स्रोत फ़ील्ड एक पृष्ठभूमि फ़ील्ड $$J$$ है जो मूल फ़ील्ड $$\phi$$ से जुड़ा हुआ हैː
 * $$ S_{source} = J\phi$$.

यह शब्द फेनमैन के पथ अभिन्न सूत्रीकरण में क्रिया में प्रकट होता है और सिद्धांत अंतःक्रियाओं के लिए उत्तरदायी है। श्विंगर के सूत्रीकरण में स्रोत कणों को बनाने या नष्ट करने (पता लगाने) के लिए उत्तरदायी है। टकराव की प्रतिक्रिया में स्रोत टकराव में अन्य कणों को सम्मिलित कर सकता है। इसलिए, स्रोत सिद्धांत के सहसंबंध फलन (क्वांटम फ़ील्ड सिद्धांत) पर दोनों ओर से अभिनय करने वाले वैक्यूम आयाम में दिखाई देता है।

इस प्रकार से श्विंगर का स्रोत सिद्धांत श्विंगर के क्वांटम क्रिया सिद्धांत से उत्पन्न होता है और पथ अभिन्न सूत्रीकरण से संबंधित हो सकता है क्योंकि प्रति से $$\delta J$$ स्रोत के संबंध में भिन्नता फ़ील्ड $$\phi$$ से मेल खाती है अर्थात।

$$\delta J=\int \mathcal{D}\phi ~ e^{-i\int dt ~ J(t)\phi(t)}$$.

इसके अतिरिक्त, एक स्रोत स्पेसटाइम के क्षेत्र में प्रभावी रूप से कार्य करता है। जैसा कि नीचे दिए गए उदाहरणों में देखा जा सकता है, स्रोत फ़ील्ड $$\phi$$ के लिए गति के समीकरणों (सामान्यतः दूसरे क्रम के आंशिक अंतर समीकरण) के दाईं ओर दिखाई देता है. जब फ़ील्ड $$\phi$$ विद्युत चुम्बकीय क्षमता या मीट्रिक टेंसर है, स्रोत क्षेत्र क्रमशः विद्युत प्रवाह या तनाव-ऊर्जा टेंसर है।

सांख्यिकीय और गैर-सापेक्षतावादी अनुप्रयोगों के संदर्भ में, श्विंगर का स्रोत सूत्रीकरण कई गैर-संतुलन प्रणालियों को समझने में महत्वपूर्ण नियम निभाता है। स्रोत सिद्धांत सैद्धांतिक रूप से महत्वपूर्ण है क्योंकि इसमें न तो विचलन नियमितीकरण और न ही पुनर्सामान्यीकरण की आवश्यकता है।

पथ अभिन्न सूत्रीकरण और स्रोत सूत्रीकरण के बीच संबंध
फेनमैन के पथ में सामान्यीकरण $$\mathcal{N}\equiv Z[J=0]$$ विभाजन फलन (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत) के साथ अभिन्न सूत्रीकरण,

$$Z[J]=\mathcal{N}\int \mathcal{D}\phi ~ e^{-i\int dt ~ [\mathcal{L}(t;\phi,\dot{\phi})+J(t)\phi(t)]}$$

प्रोपेगेटर ग्रीन के कार्य (सहसंबंध कार्य (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत)) उत्पन्न करता हैː

$$G(t_1,\cdots,t_N)=\frac{\delta}{i\delta J(t_1)}\cdots\frac{\delta}{i\delta J(t_N)}Z[J]\Bigg|_{J=0}$$.

यह समझने के लिए कि $$J$$, $$\phi$$ का एक बाहरी ड्राइविंग स्रोत है, क्वांटम वैरिएबल पद्धति को प्रयुक्त करता है। संभाव्यता सिद्धांत के दृष्टिकोण से, $$Z[J] $$ को फलन $$e^{J\phi} $$ के अपेक्षित मूल्य के रूप में देखा जा सकता है। यह एक टॉय मॉडल के रूप में फोर्स्ड हार्मोनिक ऑसिलेटर के हैमिल्टनियन पर विचार करने के लिए प्रेरित करता है।

$$\mathcal{H}=E\hat{a}^{\dagger}\hat{a}-\frac{1}{\sqrt{2E}}(J\hat{a}^{\dagger}+J^{*}a)$$ जहाँ $$E^2=m^2+\vec{p}^2 $$.

वास्तव में, धारा वास्तविक है, अर्थात् $$J=J^{*}$$. और लैग्रेंजियन $$\mathcal{L}=i\hat{a}^{\dagger}\partial_0(\hat{a})-\mathcal{H}$$ है. अब से हम टोपी और तारांकन हटा देते हैं। याद रखें कि विहित परिमाणीकरण या वास्तविक अदिश क्षेत्र $$\phi\sim (a^{\dagger}+a)$$ दर्शाता है. विभाजन फलन और उसके सहसंबंधकों के बीच संबंध के प्रकाश में, निर्वात आयाम की भिन्नता मिलती है

$$\delta_J\langle0,x'_0|0,x_0\rangle_J=i\Big\langle0,x'_0\Big|\int^{x'_0}_{x_0}dx_0 ~ \delta J\Big(a^{\dagger}+a\Big) \Big|0,x_0~\Big\rangle_J$$, जहाँ $$x_0'>x_0> x_0$$.

चूंकि अभिन्न अंग समय क्षेत्र में है, कोई फूरियर इसे निर्माण/विनाश ऑपरेटरों के साथ मिलकर रूपांतरित कर सकता है, जैसे कि आयाम अंततः बन जाता है

$$\langle0,x'_0|0,x''_0\rangle_J=\exp{\Big[\frac{i}{2\pi}\int df ~ J(f)\frac{1}{f-E}J(-f)\Big]}$$.

यह ध्यान करना सरल है कि $$f=E$$ यहां विलक्षणता है. फिर, हम  $$i\epsilon$$-प्रिस्क्रिप्शन इसका फायदा उठा सकते हैं  और पोल $$f-E+i\epsilon$$ को इस तरह स्थानांतरित कर सकते हैं कि $$x_0> x_0'$$ के लिए ग्रीन का कार्य प्राप्त होː

$$\begin{align} \langle 0|0\rangle_{J} &= \exp{\Big[\frac{i}{2}\int dx_0~dx'_0J(x_0)\Delta(x_0-x'_0)J(x'_0)\Big]} \\ &\Delta(x_0-x'_0) =\int \frac{df}{2\pi}\frac{e^{-if(x_0-x'_0)}}{f-E+i\epsilon} \end{align} $$

अंतिम परिणाम अदिश क्षेत्रों की परस्पर क्रिया के लिए श्विंगर का स्रोत सिद्धांत है और इसे किसी भी स्पेसटाइम क्षेत्र में सामान्यीकृत किया जा सकता है। इस प्रकार से नीचे विचार किए गए उदाहरण मीट्रिक $$\eta_{\mu\nu}=\text{diag}(1,-1,-1,-1) $$ का अनुसरण करते हैं.

अदिश क्षेत्रों के लिए स्रोत सिद्धांत
कारण क्षोभ सिद्धांत दर्शाता है कि स्रोत कैसे वीक विधि से कार्य करते हैं। स्पिन-0 कण $$J_e$$ उत्सर्जित करने वाले एक वीक स्रोत के लिए निर्वात अवस्था पर संभाव्यता आयाम $$\langle 0|0\rangle_{J_{e}}\sim1$$ के साथ कार्य करके गति $$p$$ और आयाम $$\langle p|0\rangle_{J_{e}}$$ के साथ एक एकल कण निश्चित स्पेसटाइम क्षेत्र $$x'$$ के अन्दर बनाया जाता है, फिर, एक अन्य वीक स्रोत $$J_a$$ उस एकल कण को दूसरे स्पेसटाइम के अन्दर अवशोषित कर लेता है। क्षेत्र $$x$$ इस प्रकार है कि आयाम $$\langle 0|p\rangle_{J_{a}}$$ हो जाता है इस प्रकार, पूर्ण निर्वात आयाम द्वारा दिया जाता है

$$\langle 0|0\rangle_{J_{e}+J_{a}}\sim1+\frac{i}{2}\int dx~dx'J_a(x)\Delta(x-x')J_e(x') $$

जहाँ $$\Delta(x-x') $$ सूत्रों का प्रचारक (सहसंबंधक) है। अंतिम आयाम का दूसरा पद विभाजन फलन (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत) या मुक्त सिद्धांतों को परिभाषित करता है। और कुछ अंतःक्रिया सिद्धांत के लिए, अदिश क्षेत्र $$\phi$$का धारा $$J$$ से लैग्रेंजियन इस प्रकार दिया जाता हैː

$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}\partial_{\mu}\phi\partial^{\mu}\phi-\frac{1}{2}m^2\phi^2+J\phi.$$

यदि कोई द्रव्यमान पद में $$-i\epsilon$$ जोड़ता है तो फूरियर $$J$$ और $$\phi$$  दोनों को संवेग स्थान में रूपांतरित करता है, निर्वात आयाम बन जाता हैː

$$\langle 0|0\rangle=\exp{\left(\frac{i}{2}\int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\left[\tilde{\phi}(p)(p_{\mu}p^{\mu}-m^2+i\epsilon)\tilde{\phi}(-p)+J(p)\frac{1}{p_{\mu}p^{\mu}-m^2+i\epsilon}J(-p)\right]\right)} $$,

जहाँ $$\tilde{\phi}(p)=\phi(p)+\frac{J(p)}{p_{\mu}p^{\mu}-m^2+i\epsilon}. $$ यह नोटिस करना सरल है कि उपरोक्त आयाम में $$\tilde{\phi}(p)(p_{\mu}p^{\mu}-m^2+i\epsilon)\tilde{\phi}(-p) $$पद फूरियर को  $$\tilde{\phi}(x)(\Box+m^2)\tilde{\phi}(x)=\tilde{\phi}(x)J(x) $$   अर्थात, $$(\Box+m^2)\tilde{\phi}=J $$. में रूपांतरित किया जा सकता है। ,

इस प्रकार, विभाजन फलन (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत)#स्केलर सिद्धांत विभाजन फलन से निम्नानुसार प्राप्त किया जाता है। अंतिम परिणाम हमें विभाजन फलन को इस प्रकार पढ़ने की अनुमति देता है

$$Z[J]=Z[0]e^{\frac{i}{2}\langle J(y)\Delta(y-y')J(y')\rangle} $$, जहाँ $$Z[0]=\int \mathcal{D}\tilde{\phi} ~ e^{-i\int dt ~ [\frac{1}{2}\partial_{\mu}\tilde{\phi}\partial^{\mu}\tilde{\phi}-\frac{1}{2}(m^2-i\epsilon)\tilde{\phi}^2]}$$, और $$\langle J(y)\Delta(y-y')J(y')\rangle $$ स्रोत द्वारा प्राप्त निर्वात आयाम है $$\langle0|0\rangle_{J} $$. नतीजतन, प्रचारक को विभाजन फलन को निम्नानुसार अलग करके परिभाषित किया गया है।

$$\begin{align} \frac{-1}{Z[0]}\frac{\delta^2 Z[J]}{\delta J(x) \delta J(x')} \Bigg\vert_{J=0} &= \frac{-1}{2Z[0]}\frac{\delta}{\delta J(x)} \Bigg\{ Z[J] \left( \int d^4y' \Delta(x'-y') J(y') + \int d^4y J(y) \Delta(y-x') \right) \Bigg\} \Bigg\vert_{J=0} = \frac{Z[J] }{Z[0]} \Delta(x-x') \Bigg\vert_{J=0} \\ \quad\\ &= \Delta(x-x'). \end{align} $$

यह नीचे माध्य क्षेत्र सन्निकटन पर विचार करने को प्रेरित करता है।

प्रभावी क्रिया, माध्य क्षेत्र सन्निकटन, और शीर्ष फलन
श्विंगर के स्रोत सिद्धांत के आधार पर, स्टीवन वेनबर्ग ने प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत की नींव स्थापित की, जिसे भौतिकविदों के बीच व्यापक रूप से सराहा गया है। जूलियन श्विंगर#कैरियर के बावजूद, वेनबर्ग ने इस सैद्धांतिक ढांचे को उत्प्रेरित करने का श्रेय श्विंगर को दिया।

ग्रीन के सभी कार्यों को औपचारिक रूप से विभाजन राशि के टेलर विस्तार के माध्यम से स्रोत क्षेत्रों के फलन के रूप में माना जा सकता है। यह विधि सामान्यतः क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के पथ अभिन्न सूत्रीकरण में उपयोग की जाती है। सामान्य विधि जिसके द्वारा ऐसे स्रोत क्षेत्रों का उपयोग क्वांटम, सांख्यिकीय-यांत्रिकी और अन्य प्रणालियों दोनों में प्रचारक प्राप्त करने के लिए किया जाता है, निम्नानुसार उल्लिखित है। विक-घुमाए गए आयाम के संदर्भ में विभाजन फलन को फिर से परिभाषित करने पर $$W[J]=-i\ln(\langle 0|0 \rangle_{J}) $$, विभाजन फलन बन जाता है $$Z[J]=e^{iW[J]} $$. कोई परिचय करा सकता है $$F[J]=iW[J] $$, जो थर्मल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में मुक्त ऊर्जा के रूप में व्यवहार करता है, जटिल संख्या को अवशोषित करने के लिए, और इसलिए $$\ln Z[J]=F[J] $$. कार्यक्रम $$F[J] $$ इसे घटी हुई क्वांटम क्रिया भी कहा जाता है। और पौराणिक परिवर्तन की मदद से, हम नई प्रभावी ऊर्जा कार्यात्मकता का आविष्कार कर सकते हैं, या प्रभावी कार्रवाई, जैसे

$$\Gamma[\bar{\phi}]=W[J]-\int d^4x J(x)\bar(x) $$, परिवर्तनों के साथ

$$\frac{\delta W}{\delta J} =\bar{\phi}~,~\frac{\delta W}{\delta J}\Bigg|_{J=0} =\langle\phi\rangle~,~\frac{\delta \Gamma[\bar{\phi}]}{\delta \bar{\phi}}\Bigg|_{J} =-J~,~\frac{\delta \Gamma[\bar{\phi}]}{\delta \bar{\phi}}\Bigg|_{\bar{\phi}=\langle\phi\rangle} =0. $$

प्रभावी कार्रवाई की परिभाषा में एकीकरण को सम ओवर से बदलने की अनुमति है $$\phi$$, अर्थात।, $$\Gamma[\bar{\phi}]=W[J]-J_a(x)\bar^a(x) $$.

$$\langle\phi\rangle $$ h> को माध्य-क्षेत्र सिद्धांत स्पष्ट रूप से इसलिए कहा जाता है $$\langle\phi\rangle=\frac{\int \mathcal{D}\phi ~ e^{-i\int dt ~ [\mathcal{L}(t;\phi,\dot{\phi})+J(t)\phi(t)]}~\phi~}{Z[J]/\mathcal{N}}$$, जबकि $$\bar{\phi} $$ पृष्ठभूमि फ़ील्ड विधि है. एक मैदान $$\phi$$ शास्त्रीय भाग में विघटित हो गया है $$\bar{\phi}$$ और उतार-चढ़ाव वाला हिस्सा $$\eta$$, अर्थात।, $$\phi=\bar{\phi}+\eta$$, इसलिए निर्वात आयाम को इस रूप में पुनः प्रस्तुत किया जा सकता है

$$e^{i\Gamma[\bar{\phi}]}=\mathcal{N}\int \exp{\Bigg\{i\Big[S[\phi]-\Big(\frac{\delta}{\delta\bar{\phi}}\Gamma[\bar{\phi}]\Big)\eta\Big]}\Bigg\}~d\phi$$,

और कोई भी फलन $$\mathcal{F}[\phi]$$ परिभाषित किया जाता है

$$\langle\mathcal{F}[\phi]\rangle=e^{-i\Gamma[\bar{\phi}]}~\mathcal{N}\int \mathcal{F}[\phi] ~\exp{\Bigg\{i\Big[S[\phi]-\Big(\frac{\delta}{\delta\bar{\phi}}\Gamma[\bar{\phi}]\Big)\eta\Big]}\Bigg\}~d\phi$$,

जहाँ $$S[\phi]$$ मुक्त लैग्रेन्जियन की क्रिया है। अंतिम दो अभिन्न अंग किसी भी प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत के स्तंभ हैं। यह निर्माण प्रकीर्णन (एलएसजेड कटौती सूत्र), सहज समरूपता टूटने, का अध्ययन करने में अपरिहार्य है। वार्ड पहचान, गैर-रेखीय सिग्मा मॉडल, और प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत#गुरुत्वाकर्षण में प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत|कम-ऊर्जा प्रभावी सिद्धांत। इसके अतिरिक्त, यह सैद्धांतिक ढांचा क्वांटम गुरुत्व के लिए विहित क्वांटम गुरुत्व प्रभावी सिद्धांत विकसित करने पर विचारों की श्रृंखला शुरू करता है, जिसे मुख्य रूप से ब्राइस डेविट द्वारा प्रचारित किया गया था जो श्विंगर के पीएचडी छात्र थे।

क्रियाओं के हरे कार्यों पर वापस जाएँ। तब से $$\Gamma[\bar{\phi}]$$ का लीजेंड्रे रूपांतरण है $$F[J]$$, और $$F[J]$$ एन-पॉइंट उर्सेल समारोह सहसंबंधक को परिभाषित करता है $$G^{N,~c}_{F[J]}=\frac{\delta F[J]}{\delta J(x_1)\cdots \delta J(x_N)}\Big|_{J=0}$$, फिर संबंधित सहसंबंधक से प्राप्त किया गया $$F[J]$$, जिसे शीर्ष फलन के रूप में जाना जाता है, द्वारा दिया जाता है $$G^{N,~c}_{\Gamma[J]}=\frac{\delta \Gamma[\bar{\phi}]}{\delta \bar{\phi}(x_1)\cdots \delta\bar{\phi}(x_N)}\Big|_{\bar{\phi}=\langle\phi\rangle}$$. नतीजतन, कण इरेड्यूसिबल ग्राफ़ (सामान्यतः 1PI के रूप में संक्षिप्त) में, जुड़े हुए 2-बिंदु $$F $$-सहसंबंधक को 2-बिंदु के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया गया है $$\Gamma $$-सहसंबंधक, अर्थात, सामान्य रूप से कम किया गया सहसंबंध है $$G^{(2)}_{F[J]}=\frac{\delta \bar{\phi}(x_1)}{\delta J(x_2)}\Big|_{J=0}=\frac{1}{p_{\mu}p^{\mu}-m^2} $$,

और प्रभावी सहसंबंध है

$$G^{(2)}_{\Gamma[\phi]}=\frac{\delta J(x_1)}{\delta \bar{\phi}(x_2)}\Big|_{\bar{\phi}=\langle\phi\rangle}=p_{\mu}p^{\mu}-m^2 $$.

वेक्टर क्षेत्रों के लिए स्रोत सिद्धांत
एक वीक स्रोत के लिए जो सामान्य धारा के साथ प्रोका क्रिया|मिसिव स्पिन-1 कण उत्पन्न करता है $$J=J_e+J_a$$ विभिन्न कारण अंतरिक्ष-समय बिंदुओं पर कार्य करना $$x_0> x_0'$$, निर्वात आयाम है

$$\langle 0|0\rangle_{J}=\exp{\left(\frac{i}{2}\int dx~dx'\left[J_{\mu}(x)\Delta(x-x')J^{\mu}(x')+\frac{1}{m^2}\partial_{\mu }J^{\mu}(x)\Delta(x-x')\partial'_{\nu}J^{\nu}(x')\right]\right)} $$

संवेग स्थान में, स्पिन-1 कण विश्राम द्रव्यमान के साथ $$m $$ निश्चित गति है $$p_{\mu}=(m,0,0,0) $$ इसके बाकी फ्रेम में, अर्थात $$p_{\mu}p^{\mu}=m^2 $$. फिर, आयाम देता है

$$\begin{alignat}{2} (J_{\mu}(p))^T~J^{\mu}(p)-\frac{1}{m^2}(p_{\mu }J^{\mu}(p))^T~p_{\nu}J^{\nu}(p) & =(J_{\mu}(p))^T~J^{\mu}(p)-(J^{\mu}(p))^T~\frac{p_{\mu }p_{\nu}}{p_{\sigma}p^{\sigma}}\Big|_{on-shell}~J^{\nu}(p) \\ & =(J^{\mu}(p))^T~\left[\eta_{\mu\nu}-\frac{p_{\mu }p_{\nu}}{m^2}\right]~J^{\nu}(p)

\end{alignat} $$

जहाँ $$\eta_{\mu\nu}=\text{diag}(1,-1,-1,-1) $$ और $$(J_{\mu}(p))^T $$ का स्थानांतरण है $$J_{\mu}(p) $$. अंतिम परिणाम कॉन्फ़िगरेशन स्थान में वैक्यूम आयाम में प्रयुक्त प्रोपेगेटर से मेल खाता है, अर्थात,

$$\langle 0|TA_{\mu}(x)A_{\nu}(x')|0\rangle=-i\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\frac{1}{p_{\alpha}p^{\alpha}+i\epsilon}\left[\eta_{\mu\nu}-(1-\xi)\frac{p_{\mu }p_{\nu}}{p_{\sigma}p^{\sigma}-\xi m^2}\right]e^{ip^{\mu}(x_{\mu}-x'_{\mu})} $$.

कब $$\xi=1 $$, चुना हुआ फेनमैन-'टी हूफ्ट प्रोपेगेटर#स्पिन 1|गेज-फिक्सिंग स्पिन-1 को द्रव्यमानहीन बनाता है। और जब $$\xi=0 $$, चयनित लैंडौ गेज फिक्सिंग|गेज-फिक्सिंग स्पिन-1 को बड़े पैमाने पर बनाती है। क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स में अध्ययन के अनुसार द्रव्यमान रहित मामला स्पष्ट है। यह विशाल मामला अधिक दिलचस्प है क्योंकि वर्तमान को संरक्षित करने की मांग नहीं की गई है। हालाँकि, करंट को उसी तरह से सुधारा जा सकता है जैसे बेलिनफेंटे-रोसेनफेल्ड तनाव-ऊर्जा टेंसर|बेलिनफेंटे-रोसेनफेल्ड टेंसर में सुधार किया जाता है ताकि यह संरक्षित रहे। और विशाल वेक्टर के लिए गति का समीकरण प्राप्त करने के लिए, कोई परिभाषित कर सकता है

$$W[J]=-i\ln(\langle 0|0\rangle_{J})=\frac{1}{2}\int dx~dx'\left[J_{\mu}(x)\Delta(x-x')J^{\mu}(x')+\frac{1}{m^2}\partial_{\mu }J^{\mu}(x)\Delta(x-x')\partial'_{\nu}J^{\nu}(x')\right]. $$

कोई दूसरे पद पर भाग द्वारा एकीकरण प्रयुक्त कर सकता है और फिर एकल कर सकता है $$\int dx J_{\mu}(x)$$ विशाल स्पिन-1 क्षेत्र की परिभाषा प्राप्त करने के लिए

$$A_{\mu}(x)\equiv\int dx'\Delta(x-x')J^{\mu}(x')-\frac{1}{m^2}\partial_{\mu }\left[\int dx'\Delta(x-x')\partial'_{\nu}J^{\nu}(x')\right]. $$

इसके अतिरिक्त, उपरोक्त समीकरण यह कहता है $$\partial_{\mu}A^{\mu}=(1/m^2)\partial_{\mu}J^{\mu} $$. इस प्रकार, गति का समीकरण निम्नलिखित में से किसी भी रूप में लिखा जा सकता है

$$\begin{align} (\Box+m^2)A_{\mu}=J_{\mu}+\frac{1}{m^2}\partial_{\nu}\partial_{\mu}J^{\nu},\\ (\Box+m^2)A_{\mu}+\partial_{\nu}\partial_{\mu}A^{\nu}=J_{\mu}. \end{align} $$

बड़े पैमाने पर पूरी तरह से सममित स्पिन-2 फ़ील्ड के लिए स्रोत सिद्धांत
मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष में वीक स्रोत के लिए, सामान्य पुनर्परिभाषित तनाव-ऊर्जा टेंसर|ऊर्जा-गति टेंसर के साथ विशाल गुरुत्वाकर्षण | मिसाइल स्पिन -2 कण को ​​अवशोषित करना, जो वर्तमान के रूप में कार्य करता है, $$\bar{T}^{\mu\nu}=T^{\mu\nu}-\frac{1}{3}\eta_{\mu\alpha}\bar{\eta}_{\nu\beta}T^{\alpha\beta}$$, जहाँ $$\bar{\eta}_{\mu\nu}(p)=(\eta_{\mu\nu}-\frac{1}{m^2}p_{\mu }p_{\nu}) $$ वैक्यूम ध्रुवीकरण#वैक्यूम ध्रुवीकरण टेंसर है, कॉम्पैक्ट रूप में वैक्यूम आयाम है

$$\begin{align} \langle 0|0\rangle_{\bar{T}}=\exp\Big(-\frac{i}{2}\int \Big[\bar{T}_{\mu\nu}(x)\Delta(x-x')\bar{T}^{\mu\nu}(x') &+\frac{2}{m^2}\eta_{\lambda\nu}\partial_{\mu }\bar{T}^{\mu\nu}(x)\Delta(x-x')\partial'_{\kappa}\bar{T}^{\kappa\lambda}(x')\\ &+\frac{1}{m^4}\partial_{\mu }\partial_{\nu }\bar{T}^{\mu\nu}(x)\Delta(x-x')\partial'_{\kappa}\partial'_{\lambda} \bar{T}^{\kappa\lambda}(x')\Big] dx~dx' \Big),

\end{align} $$ या

$$\begin{align} \langle 0|0\rangle_{T}=\exp\Bigg(-\frac{i}{2}\int&\Bigg[T_{\mu\nu}(x)\Delta(x-x')T^{\mu\nu}(x') +\frac{2}{m^2}\eta_{\lambda\nu}\partial_{\mu }T^{\mu\nu}(x)\Delta(x-x')\partial'_{\kappa}T^{\kappa\lambda}(x')\\ &+\frac{1}{m^4}\partial_{\mu }\partial_{\mu }T^{\mu\nu}(x)\Delta(x-x')\partial'_{\kappa}\partial'_{\lambda}T^{\kappa\lambda}(x')\\ & -\frac{1}{3}\left(\eta_{\mu\nu} T^{\mu\nu}(x)-\frac{1}{m^2}\partial_{\mu }\partial_{\nu }T^{\mu\nu}(x)\right)\Delta(x-x')\left(\eta_{\kappa\lambda} T^{\kappa\lambda}(x')-\frac{1}{m^2}\partial'_{\kappa }\partial'_{\lambda }T^{\kappa\lambda}(x')\right) \Bigg]dx~dx' \Bigg). \end{align} $$

संवेग स्थान में यह आयाम देता है (ट्रांसपोज़ अंतर्निहित है)

$$\begin{align} \bar{T}_{\mu\nu}(p)\eta^{\mu\kappa}\eta^{\nu\lambda}\bar{T}_{\kappa\lambda}(p) & -\frac{1}{m^2}\bar{T}_{\mu\nu}(p)\eta^{\mu\kappa}p^{\nu }p^{\lambda}\bar{T}_{\kappa\lambda}(p)\\ &-\frac{1}{m^2}\bar{T}_{\mu\nu}(p)\eta^{\nu\lambda}p^{\mu }p^{\kappa}\bar{T}_{\kappa\lambda}(p)+\frac{1}{m^4}\bar{T}_{\mu\nu}(p)p^{\mu }p^{\nu }p^{\kappa}p^{\lambda}\bar{T}_{\kappa\lambda}(p)= \end{align} $$

$$\begin{align} \eta^{\mu\kappa}\Big( \bar{T}_{\mu\nu}(p)\eta^{\nu\lambda}\bar{T}_{\kappa\lambda}(p)&-\frac{1}{m^2}\bar{T}_{\mu\nu}(p)p^{\nu }p^{\lambda}\bar{T}_{\kappa\lambda}(p)\Big)\\ &-\frac{1}{m^2}p^{\mu }p^{\kappa}\Big(\bar{T}_{\mu\nu}(p)\eta^{\nu\lambda}\bar{T}_{\kappa\lambda}(p)-\frac{1}{m^2}\bar{T}_{\mu\nu}(p)p^{\nu }p^{\lambda}\bar{T}_{\kappa\lambda}(p)\Big)=\\ \Big(\eta^{\mu\kappa}-\frac{1}{m^2}p^{\mu }p^{\kappa}\Big)\Big( & \bar{T}_{\mu\nu}(p)\eta^{\nu\lambda}\bar{T}_{\kappa\lambda}(p)-\frac{1}{m^2}\bar{T}_{\mu\nu}(p)p^{\nu }p^{\lambda}\bar{T}_{\kappa\lambda}(p)\Big)=\\ & \bar{T}_{\mu\nu}(p)\Big(\eta^{\mu\kappa}-\frac{1}{m^2}p^{\mu }p^{\kappa}\Big)\Big(\eta^{\nu\lambda}-\frac{1}{m^2}p^{\nu }p^{\lambda}\Big)\bar{T}_{\kappa\lambda}(p). \end{align} $$

और स्रोत के सममित गुणों की सहायता से, अंतिम परिणाम को इस प्रकार लिखा जा सकता है $$T^{\mu\nu}(p)\Pi_{\mu\nu\kappa\lambda}(p)T^{\kappa\lambda}(p) $$, जहां प्रोजेक्शन ऑपरेटर, या जैकोबी फील्ड ऑपरेटर का फूरियर रूपांतरण श्विंगर के वैरिएबल सिद्धांत पर पीयरल्स ब्रैकेट को प्रयुक्त करके प्राप्त किया गया है, है $$\Pi_{\mu\nu\kappa\lambda}(p)=\frac{1}{2}\Big(\bar{\eta}_{\mu\kappa}(p)\bar{\eta}_{\nu\lambda}(p)+\bar{\eta}_{\mu\lambda}(p)\bar{\eta}_{\nu\kappa}(p)-\frac{2}{3}\bar{\eta}_{\mu\nu}(p)\bar{\eta}_{\kappa\lambda}(p)\Big) $$.

एन-आयामी फ्लैट स्पेसटाइम में, 2/3 को 2/(एन-1) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। और रैखिककृत गुरुत्वाकर्षण|द्रव्यमान रहित स्पिन-2 क्षेत्रों के लिए, प्रोपेगेटर#ग्रेविटॉन प्रोपेगेटर को इस प्रकार परिभाषित किया गया है $$\Pi^{m=0}_{\mu\nu\kappa\lambda}=\frac{1}{2}\Big(\eta_{\mu\kappa}\eta_{\nu\lambda}+\eta_{\mu\lambda}\eta_{\nu\kappa}-\frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}\eta_{\kappa\lambda}\Big) $$.

वार्ड-ताकाहाशी पहचान|वार्ड-ताकाहाशी पहचान की मदद से, प्रोजेक्टर ऑपरेटर क्षेत्र के सममित गुणों, वर्तमान के संरक्षण कानून और स्वतंत्रता की अनुमत भौतिक डिग्री की जांच करने के लिए महत्वपूर्ण है।

यह ध्यान देने योग्य है कि वैक्यूम ध्रुवीकरण टेंसर $$\bar{\eta}_{\nu\beta}$$ और बेहतर ऊर्जा गति टेंसर $$\bar{T}^{\mu\nu}$$ विशाल गुरुत्वाकर्षण के शुरुआती संस्करणों में दिखाई देते हैं। दिलचस्प बात यह है कि दो स्रोतों के बीच एकल स्पिन-2 क्षेत्र के आदान-प्रदान के 1970 के शुरुआती अध्ययनों में प्राप्त स्पष्ट विसंगतियों के कारण बड़े पैमाने पर गुरुत्वाकर्षण सिद्धांतों को हाल तक व्यापक रूप से सराहना नहीं मिली है। लेकिन 2010 में डीआरजीटी दृष्टिकोण स्टुकेलबर्ग कार्रवाई के दोहन से पहले प्राप्त सभी भूतों और असंतोषों से मुक्त लगातार सहसंयोजक बड़े पैमाने पर सिद्धांत का नेतृत्व हुआ।

अगर कोई देखे $$\langle0|0\rangle_{T}$$ और बड़े पैमाने पर स्पिन-1 फ़ील्ड को परिभाषित करने के लिए उपयोग की जाने वाली समान प्रक्रिया का पालन करता है, तो बड़े पैमाने पर स्पिन-2 फ़ील्ड को परिभाषित करना सरल है

$$\begin{align} h_{\mu\nu}(x)&=\int\Delta(x-x')T^{\mu\nu}(x')dx' -\frac{1}{m^2}\partial_{\mu }\int\Delta(x-x')\partial'^{\kappa}T_{\kappa\nu}(x')dx'-\frac{1}{m^2}\partial_{\nu }\int\Delta(x-x')\partial'^{\kappa}T_{\kappa\mu}(x')dx'\\ &+\frac{1}{m^4}\partial_{\mu }\partial_{\mu }\int\Delta(x-x')\partial'_{\kappa}\partial'_{\lambda}T^{\kappa\lambda}(x')dx'\\ & -\frac{1}{3}\left(\eta_{\mu\nu}-\frac{1}{m^2}\partial_{\mu }\partial_{\mu }\right)\int\Delta(x-x')\left[\eta_{\kappa\lambda} T^{\kappa\lambda}(x')-\frac{1}{m^2}\partial'_{\kappa }\partial'_{\lambda }T^{\kappa\lambda}(x')\right] dx'. \end{align} $$

संगत विचलन स्थिति पढ़ी जाती है $$\partial^{\mu}h_{\mu\nu}-\partial_{\nu}h=\frac{1}{m^2}\partial^{\mu}T_{\mu\nu}$$, जहां वर्तमान $$\partial^{\mu}T_{\mu\nu}$$ आवश्यक रूप से संरक्षित नहीं है (यह द्रव्यमान रहित मामले की तरह गेज की स्थिति नहीं है)। लेकिन ऊर्जा-संवेग टेंसर को बेहतर बनाया जा सकता है $$\mathfrak{T}_{\mu\nu}=T_{\mu\nu}-\frac{1}{4}\eta_{\mu\nu}\mathfrak{T}$$ ऐसा है कि $$\partial^{\mu}\mathfrak{T}_{\mu\nu}=0$$ बेलिनफेंटे-रोसेनफेल्ड तनाव-ऊर्जा टेंसर|बेलिनफेंटे-रोसेनफेल्ड निर्माण के अनुसार। इस प्रकार, गति का समीकरण

$$\left( \square+m^{2}\right)  h_{\mu\nu}=T_{\mu\nu}+\dfrac{1}{m^{2}}\left( \partial_{\mu}\partial^{\rho}T_{\rho\nu}+\partial_{\nu}\partial^{\rho} T_{\rho\mu}-\frac{1}{2}~\eta_{\mu\nu}\partial^{\rho}\partial^{\sigma} T_{\rho\sigma}\right)  +\frac{2}{3m^{4}}\left(  \partial_{\mu}\partial_{\nu }-\frac{1}{4}~\eta_{\mu\nu}\square\right)  \partial^{\rho}\partial^{\sigma }T_{\rho\sigma}$$ बन जाता है

$$\left( \square+m^{2}\right)  h_{\mu\nu}=\mathfrak{T}_{\mu\nu}-\frac{1}{4} ~\eta_{\mu\nu}\mathfrak{T}-\dfrac{1}{6m^{4}}\left( \partial_{\mu}\partial_{\nu }-\frac{1}{4}~\eta_{\mu\nu}\square\right)  \left(  \square+3m^{2}\right) \mathfrak{T}.$$

कोई गैर-भौतिक क्षेत्रों को अलग करने के लिए विचलन स्थिति का उपयोग कर सकता है $$\partial^{\mu}h_{\mu\nu}$$ और $$h$$, इसलिए गति के समीकरण को सरल बनाया गया है

$$\left( \square+M^{2}\right) h_{\mu\nu}=\mathfrak{T}_{\mu\nu}-\frac{1}{3} ~\eta_{\mu\nu}\mathfrak{T}-\frac{1}{3m^{2}}~\partial_{\mu}\partial_{\nu} \mathfrak{T}$$.

बड़े पैमाने पर पूरी तरह से सममित मनमाना पूर्णांक स्पिन फ़ील्ड के लिए स्रोत सिद्धांत
कोई सामान्यीकरण कर सकता है $$T^{\mu\nu}(p) $$ बनने का स्रोत $$S^{\mu_1\cdots\mu_{\ell}}(p) $$ उच्च-स्पिन सिद्धांत|उच्च-स्पिन स्रोत जैसे कि $$T^{\mu\nu}(p)\Pi_{\mu\nu\kappa\lambda}(p)T^{\kappa\lambda}(p) $$ बन जाता है $$S^{\mu_1\cdots\mu_{\ell}}(p) \Pi_{\mu_1\cdots\mu_{\ell}\nu_1\cdots\nu_{\ell}}(p) S^{\nu_1\cdots\nu_{\ell}}(p) $$. सामान्यीकृत प्रक्षेपण ऑपरेटर विद्युत चुम्बकीय ध्रुवीकरण वेक्टर को सामान्य बनाने में भी मदद करता है $$e^{\mu}_{m}(p) $$ विद्युतचुंबकीय क्षेत्र #विद्युतचुंबकीय क्षेत्र और वेक्टर क्षमता का परिमाणीकरण इस प्रकार है। स्पेसटाइम पॉइंट के लिए $$x~ \text{and}~ x' $$, गोलाकार हार्मोनिक्स#अतिरिक्त प्रमेय दर्शाता है कि

$$x^{\mu_1}\cdots x^{\mu_{\ell}} \Pi_{\mu_1\cdots\mu_{\ell}\nu_1\cdots\nu_{\ell}}(p) x'^{\nu_1}\cdots x'^{\nu_{\ell}}=\frac{2^\ell(\ell!)^2}{(2\ell) !}\frac{4\pi}{2\ell+ 1}\sum\limits^{\ell}_{m=-\ell}Y_{\ell,m}(x)Y_{\ell,m}^{*}(x') $$.

इसके अतिरिक्त, गोलाकार हार्मोनिक्स#डिग्री के जटिल-मूल्यवान सजातीय बहुपदों के स्थान के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के साथ संबंध $$\ell $$ इकाई (एन-1)-क्षेत्र पर ध्रुवीकरण टेंसर को इस प्रकार परिभाषित करता है $$e_{(m)}(x_1,\dots,x_n) = \sum_{i_1\dots i_\ell} e_{(m)i_1\dots i_\ell}x_{i_1}\cdots x_{i_\ell},~ \forall x_i\in S^{N-1}.$$फिर, सामान्यीकृत ध्रुवीकरण वेक्टर है$$e^{\mu_{1}\cdots\mu_{\ell}}(p)~ x_{\mu_{1}}\cdots x_{\mu_{\ell}}=\sqrt{\frac{2^\ell(\ell!)^2}{(2\ell) !}\frac{4\pi}{2\ell+ 1}}Y_{\ell,m}(x) $$.

और प्रोजेक्शन ऑपरेटर को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है $$\Pi^{\mu_1\cdots\mu_{\ell}\nu_1\cdots\nu_{\ell}}(p)=\sum\limits^{\ell}_{m=-\ell}[e^{\mu_1\cdots \mu_{\ell}}_{m}(p)]~[e^{\nu_1\cdots \nu_{\ell}}_{m}(p)]^* $$.

प्रक्षेपण ऑपरेटर के सममित गुण संवेग स्थान में निर्वात आयाम से निपटना सरल बनाते हैं। इसलिए बल्कि हम इसे सहसंबंधक के रूप में व्यक्त करते हैं $$\Delta(x-x') $$ कॉन्फ़िगरेशन स्थान में, हम लिखते हैं

$$\langle0|0\rangle_S=\exp{\Big[\frac{i}{2}\int\frac{dp^4}{(2\pi)^4}S^{\mu_1\cdots\mu_{\ell}}(-p) \frac{\Pi_{\mu_1\cdots\mu_{\ell}\nu_1\cdots\nu_{\ell}}(p)}{p_{\sigma}p^{\sigma}-m^2+i\epsilon} S^{\nu_1\cdots\nu_{\ell}}(p)\Big]} $$.

मिश्रित सममित मनमाना स्पिन क्षेत्रों के लिए स्रोत सिद्धांत
इसके अतिरिक्त, कल्ब-रेमोंड क्षेत्र और मनमाने आयामों और उच्च-स्पिन सिद्धांत में मिश्रित सममित गुणों के साथ काल्पनिक गेज क्षेत्रों का वर्णन करने के लिए स्रोत सिद्धांत को सामान्य बनाना सैद्धांतिक रूप से सुसंगत है। लेकिन सिद्धांत में स्वतंत्रता की अभौतिक डिग्री का ध्यान रखना चाहिए। उदाहरण के लिए एन-आयामों में और कर्टराइट फ़ील्ड के मिश्रित सममित द्रव्यमान रहित संस्करण के लिए $$T_{[\mu\nu]\lambda}$$ और स्रोत $$S_{[\mu\nu]\lambda}=\partial_{\alpha}\partial^{\alpha}T_{[\mu\nu]\lambda}$$, निर्वात आयाम है$$\langle 0|0\rangle_{S}=\exp{\left(-\frac{1}{2}\int dx~dx'\left[S_{[\mu\nu]\lambda}(x)\Delta(x-x')S_{[\mu\nu]\lambda}(x')+\frac{2}{3-N}S_{[\mu\alpha]\alpha}(x)\Delta(x-x')S_{[\mu\beta]\beta}(x')\right]\right)} $$ जो N=4 में सिद्धांत के लिए स्रोत को अंततः प्रकट करता है कि यह गैर भौतिक क्षेत्र का सिद्धांत है। हालाँकि, दोहरा गुरुत्वाकर्षण N≥5 में जीवित रहता है।

मनमाना अर्ध-पूर्णांक स्पिन फ़ील्ड के लिए स्रोत सिद्धांत
स्पिन के लिए-$$\frac{1}{2}$$ प्रचारक#स्पिन 1⁄2 $$S(x-x')=(p \!\!\!/+m)\Delta(x-x')$$ और वर्तमान $$J=J_e+J_a$$ जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, निर्वात आयाम है

$$\begin{align}

\langle 0|0\rangle_J & =\exp{\Bigg[\frac{i}{2}\int dxdx' ~J(x)~\Big(\gamma^0 S(x-x')\Big)~J(x') \Bigg] }\\

&=\langle 0|0\rangle_{J_e} \exp{\Bigg[ i \int dxdx' ~J_e(x)~\Big(\gamma^0 S(x-x')~\Big) ~J_a(x') \Bigg] }\langle 0|0\rangle_{J_a}.

\end{align}$$ संवेग स्थान में कम आयाम किसके द्वारा दिया जाता है?

$$W^{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{3}\int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}~J(-p)\Big[\gamma^0\frac{p \!\!\!/+m}{p^2-m^2}\Big]~J(p).$$

स्पिन के लिए-$$\frac{3}{2}$$ रारिटा-श्विंगर समीकरण|रारिटा-श्विंगर फर्मियन, $$\Pi_{\mu\nu}=\bar{\eta}_{\mu\nu}-\frac{1}{3}\gamma^{\alpha}\bar{\eta}_{\alpha\mu}\gamma^{\beta}\bar{\eta}_{\beta\nu}.$$ फिर, कोई उपयोग कर सकता है $$\gamma_{\mu}=\eta_{\mu\nu}\gamma^{\nu}$$ और ऑन-शेल $$p\!\!\!/=-m$$ पाने के

$$\begin{align} W^{\frac{3}{2}} &=-\frac{2}{5}\int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}~J^{\mu}(-p)~\Big[\gamma^0\frac{(p\!\!\!/+m)\Big(\bar{\eta}_{\mu\nu}|_{on-shell}-\frac{1}{3}\gamma^{\alpha}\bar{\eta}_{\alpha\mu}|_{on-shell}\gamma^{\beta}\bar{\eta}_{\beta\nu}|_{on-shell}\Big)}{p^2-m^2}\Big]~J^{\nu}(p)\\ &=-\frac{2}{5}\int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}~J^{\mu}(-p)~\Big[\gamma^0\frac{(\eta_{\mu\nu}-\frac{p_{\mu}p_{\nu}}{m^2})(p\!\!\!/+m)-\frac{1}{3}\Big(\gamma_{\mu}+\frac{1}{m}p_{\mu}\Big)\Big(p\!\!\!/+m\Big)\Big(\gamma_{\nu}+\frac{1}{m}p_{\nu}\Big)}{p^2-m^2}\Big]~J^{\nu}(p). \end{align}$$

कोई कम की गई मीट्रिक को प्रतिस्थापित कर सकता है $$\bar{\eta}_{\mu\nu} $$ सामान्य के साथ $$\eta_{\mu\nu} $$ यदि स्रोत $$J_{\mu} $$ से प्रतिस्थापित कर दिया गया है $$\bar{J}_{\mu}(p)=\frac{2}{5}\gamma^{\alpha}\Pi_{\mu\alpha\nu\beta}\gamma^{\beta}J^{\nu}(p). $$ स्पिन के लिए-$$(j+\frac{1}{2}) $$, उपरोक्त परिणामों को सामान्यीकृत किया जा सकता है

$$W^{j+\frac{1}{2}}=-\frac{j+1}{2j+3}\int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}~J^{\mu_1\cdots\mu_j}(-p)~\Big[\gamma^0\frac{~\gamma^{\alpha}~\Pi_{\mu_1\cdots\mu_j\alpha\nu_1\cdots\nu_j\beta}~\gamma^{\beta}}{p^2-m^2}\Big]~J^{\nu_1\cdots\nu_j}(p).$$ कारण $$\frac{j+1}{2j+3}$$ प्रक्षेपण ऑपरेटर के गुणों, धारा की ट्रेसलेसनेस और ऑपरेटर द्वारा प्रक्षेपित किए जाने के बाद धारा के संरक्षण से प्राप्त किया जाता है। ये स्थितियाँ फ़िर्ज़-पॉली से प्राप्त की जा सकती हैं और फैंग-फ्रॉन्सडाल खेतों पर स्थितियाँ स्वयं। विशाल क्षेत्रों के लैग्रेंजियन फॉर्मूलेशन और उनकी स्थितियों का अध्ययन लंबोदर सिंह और सी. आर. हेगन द्वारा किया गया था। प्रोजेक्शन ऑपरेटरों का गैर-सापेक्ष संस्करण, चार्ल्स ज़ेमाच द्वारा विकसित, जो श्विंगर का अन्य छात्र है, हैड्रॉन स्पेक्ट्रोस्कोपी में इसका भारी उपयोग किया जाता है। सहसंयोजक प्रक्षेपण ऑपरेटरों को प्रस्तुत करने के लिए ज़ेमाच की विधि को सापेक्षिक रूप से बेहतर बनाया जा सकता है।

यह भी देखें

 * क्लेडीश औपचारिकता|केल्डीश-श्विंगर औपचारिकता
 * थरथरानवाला समारोह
 * बर्गमैन-विग्नर समीकरण|विग्नर-बार्गमैन समीकरण
 * जोस-वेनबर्ग समीकरण|जूस-वेनबर्ग समीकरण