कॉन्फ़्रेंस आव्यूह

गणित में, एक अधिवेशन आव्यूह (जिसे C-आव्यूह भी कहा जाता है) एक वर्ग आव्यूह (गणित) C है, जिसमें विकर्ण पर 0 और विकर्ण पर +1 और -1 है, जैसे कि CTC तत्समक आव्यूह का गुणक है। इस प्रकार, यदि आव्यूह का क्रम n, CTC = (n−1)I हैI कुछ लेखक अधिक सामान्य परिभाषा का उपयोग करते हैं, जिसके लिए आवश्यक है कि प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ में एक 0 हो, लेकिन आवश्यक नहीं कि विकर्ण पर हो।

दूरभाषण में एक समस्या के संबंध में सबसे पहले अधिवेशन आव्यूह सामने आए। उन्हें सबसे पहले विटोल्ड बेलेविच ने वर्णित किया, जिन्होंने उन्हें अपना नाम भी दिया। बेलेविच को आदर्श परिणामित्र से आदर्श टेलीफोन वार्ता संजाल बनाने में संबद्ध थी और उन्होंने पाया कि इस तरह के संजाल को अधिवेशन आव्यूह द्वारा दर्शाया गया था अन्य अनुप्रयोग सांख्यिकी में हैं, और दूसरा अण्डाकार ज्यामिति में है।

n > 1 के लिए, अधिवेशन आव्यूह दो तरह के होते हैं। आइए C को सामान्य करें, पहले (यदि अधिक सामान्य परिभाषा का उपयोग किया जाता है), पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करें ताकि सभी शून्य विकर्ण पर हों, और फिर किसी भी पंक्ति या स्तंभ को अस्वीकार कर दें जिसकी पहली प्रविष्टि नकारात्मक है। (ये संचालन नहीं बदलते हैं कि आव्यूह एक अधिवेशन आव्यूह है या नहीं।)

इस प्रकार, सामान्यीकृत अधिवेशन आव्यूह में शीर्ष बाएं कोने में 0 को छोड़कर, इसकी पहली पंक्ति और स्तम्भ में सभी 1 हैं, और विकर्ण पर 0 है। S को वह आव्यूह होने दें जो C की पहली पंक्ति और स्तंभ को हटा दिए जाने पर बना रहता है। फिर या तो n एकल और दोगुना सम (4 का एक गुणक) है, और S प्रतिसममित आव्यूह है (जैसा कि सामान्यीकृत C है यदि इसकी पहली पंक्ति को नकारा गया है), या n एकल और दोगुना भी है (2 सापेक्ष 4 के अनुरूप) और S सममित आव्यूह है (जैसा सामान्यीकृत C है)।

सममित सम्मेलन आव्यूह
यदि C क्रम n > 1 का एक सममित अधिवेशन आव्यूह है, तो n को न केवल 2 (mod 4) के अनुरूप होना चाहिए, बल्कि n − 1 को भी दो वर्ग पूर्णांकों का योग होना चाहिए; वैन लिंट और सेडेल में प्राथमिक आव्यूह सिद्धांत द्वारा एक चतुर प्रमाण है। n हमेशा दो वर्गों का योग होगा यदि n − 1 एक अभाज्य शक्ति है। एक सममित अधिवेशन आव्यूह को देखते हुए, आव्यूह S को लेखाचित्र (असतत गणित) के सेडेल आसन्न आव्यूह के रूप में देखा जा सकता है। लेखाचित्र में n − 1 शीर्ष हैं, जो S की पंक्तियों और स्तंभों के अनुरूप हैं, और यदि S में संगत प्रविष्टि ऋणात्मक है, तो दो शीर्ष आसन्न हैं। यह लेखाचित्र सम्मेलन लेखाचित्र (आव्यूह के बाद) नामक प्रकार का अधिवेशन लेखाचित्र है।

उपरोक्त प्रतिबंधों द्वारा अनुमत अनुक्रम n के अधिवेशन आव्यूह का अस्तित्व केवल n के कुछ मानों के लिए जाना जाता है। उदाहरण के लिए, यदि n = q + 1 जहां q 1 (मॉड 4) के अनुरूप एक प्रमुख शक्ति है, तो पाले लेखाचित्र S को पाले लेखाचित्र के सेडेल आव्यूह होने के लिए अनुक्रम n के सममित सम्मेलन आव्यूह के उदाहरण प्रदान करते हैं। एक सममित अधिवेशन आव्यूह के पहले कुछ संभावित अनुक्रम n = 2, 6, 10, 14, 18, (22 नहीं, क्योंकि 21 दो वर्गों का योग नहीं है), 26, 30, (34 नहीं क्योंकि 33 दो वर्गों का योग नहीं है), 38, 42, 46, 50, 54, (58 नहीं), 62 हैं; इनमें से प्रत्येक के लिए, यह ज्ञात है कि उस क्रम का एक सममित सम्मेलन आव्यूह उपस्थित है। अनुक्रम 66 एक अनिर्णित समस्या प्रतीत होती है।

उदाहरण
अनुक्रम 6 का अनिवार्य रूप से अद्वितीय सम्मेलन आव्यूह द्वारा दिया गया है
 * $$\begin{pmatrix}0 &+1 &+1 &+1 &+1& +1\\+1& 0 &+1 &-1 &-1& +1\\+1& +1& 0 &+1 &-1& -1\\+1& -1& +1& 0 &+1& -1\\+1& -1& -1& +1& 0& +1\\+1& +1& -1& -1& +1& 0 \end{pmatrix}$$,

अनुक्रम 6 के अन्य सभी अधिवेशन आव्यूह कुछ पंक्ति और/या स्तम्भ के संकेतों को प्रतिवर्न करके (और उपयोग में परिभाषा के अनुसार पंक्तियों और/या स्तम्भ के क्रमपरिवर्तन लेकर) प्राप्त किए जाते हैं।

प्रतिसममित अधिवेशन आव्यूह
पाले निर्माण द्वारा प्रतिसममित आव्यूह भी तैयार किए जा सकते हैं। मान लीजिये Q अवशेष 3 (मॉड 4) के साथ एक प्रमुख शक्ति है। फिर अनुक्रम q का एक पाले लेखाचित्र है जो अनुक्रम n = q + 1 के एक प्रतिसममित अधिवेशन आव्यूह की ओर जाता है। आव्यूह S के लिए q × q आव्यूह ले कर प्राप्त किया जाता है जिसकी स्थिति (i, j) में +1 है और (j,i) स्थिति में −1। यदि i से j तक डिग्राफ का एक चाप है, और शून्य विकर्ण है। फिर C का निर्माण S से ऊपर के रूप में किया गया है, लेकिन पहली पंक्ति के साथ सभी नकारात्मक, एक प्रतिसममित अधिवेशन आव्यूह है।

यह निर्माण निर्णय लेने की समस्या का केवल एक छोटा सा हिस्सा हल करता है जिसके लिए समान रूप से n संख्याएँ n क्रम के प्रतिसममित अधिवेशन आव्यूह उपस्थित हैं।

सामान्यीकरण
कभी-कभी क्रम n के अधिवेशन आव्यूह को केवल W(n, n−1) के रूप के भार आव्यूह के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहां W(n,w) को भार w>0 और क्रम n का कहा जाता है, यदि यह आकार n का एक स्क्वायर आव्यूह है जिसमें {−1, 0, +1} की प्रविष्टियाँ W Wt = w I को संतुष्ट करती हैं। इस परिभाषा का उपयोग करते हुए, शून्य तत्व को विकर्ण पर होने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन यह देखना आसान है कि फिर भी प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ में ठीक एक शून्य तत्व होना चाहिए। उदाहरण के लिए, आव्यूह
 * $$\begin{pmatrix}1& 0& 1& 1\\0& -1& -1& 1\\ 1& -1& 0& -1\\ 1& 1& -1& 0 \end{pmatrix}$$

इस शिथिल परिभाषा को संतुष्ट करेगा, लेकिन अधिक यथार्थ नहीं, जिसके लिए शून्य तत्वों को विकर्ण पर होना आवश्यक है।

अधिवेशन अभिकल्पना गैर-आयताकार आव्यूह के लिए अधिवेशन आव्यूह का सामान्यीकरण है। सम्मेलन अभिकल्पना C एक $$N \times k$$ आव्यूह है, {-1, 0, +1} से प्रविष्टियों के साथ संतोषजनक $$W^T W = (N-1) I_k$$, जहाँ $$I_k$$ $$k \times k$$ तत्समक आव्यूह और प्रत्येक पंक्ति में अधिकतम एक शून्य है। अधिवेशन अभिकल्पनाओं के फोल्डओवर अभिकल्पनाओं को निश्चित प्रतिच्छादन अभिकल्पनाओं के रूप में उपयोग किया जा सकता है।

टेलीफोन अधिवेशन परिपथ
बेलेविच ने 38 तक n के सभी मूल्यों के लिए अधिवेशन आव्यूह के लिए पूर्ण समाधान प्राप्त किया और कुछ छोटे आव्यूह के लिए परिपथ प्रदान किए। एक आदर्श अधिवेशन संजाल वह है जहां संकेत का हानि पूरी तरह से कई अधिवेशन अनुमोदनकर्ता प्रद्वार के बीच संकेत के विभाजन के कारण होता है। यही है, संजाल के भीतर कोई अपव्यय हानि नहीं होती है। संजाल में केवल आदर्श परिवर्तक होने चाहिए और कोई प्रतिरोध नहीं होना चाहिए। एक n-प्रद्वार आदर्श अधिवेशन संजाल उपस्थित है अगर और केवल तभी अनुक्रम n के अधिवेशन आव्यूह उपस्थित हैं। उदाहरण के लिए, दूरभाष हैंडसेट और लाइन पुनरावर्तक में 2-तंत्रिका से 4-तंत्रिका रूपांतरण के लिए उपयोग किए जाने वाले प्रसिद्ध संकर परिवर्तक परिपथ के साथ 3-प्रद्वार अधिवेशन संजाल का निर्माण किया जा सकता है। हालाँकि, कोई अनुक्रम 3 अधिवेशन आव्यूह नहीं है और यह परिपथ एक आदर्श अधिवेशन संजाल नहीं बनाता है। सुमेलन के लिए एक प्रतिरोधक क्षमता की आवश्यकता होती है जो संकेत को खत्म कर देता है, वरना अवतरण के कारण संकेत खो जाता है।

जैसा ऊपर बताया गया है, सम्मेलन आव्यूह के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक स्तिथि यह है कि n−1 दो वर्गों का योग होना चाहिए। जहां n-1 के लिए दो वर्गों का एक से अधिक संभावित योग है, वहां संबंधित अधिवेशन संजाल के लिए कई अनिवार्य रूप से अलग-अलग समाधान उपस्थित होंगे। यह स्थिति 26 और 66 के n पर होती है। संजाल विशेष रूप से सरल होते हैं जब n−1 एक पूर्ण वर्ग (n = 2, 10, 26, ...) होता है।

संदर्भ

 * Seidel, J.J. (1991), ed. D.G. Corneil and R. Mathon, Geometry and Combinatorics: Selected Works of J.J. Seidel . Boston: Academic Press.  Several of the articles are related to conference matrices and their graphs.
 * Colbourn, Charles J.; Dinitz, Jeffrey H. (2007) Handbook of Combinatorial Designs, Boca Raton, Florida: Chapman and Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-506-8.
 * वैन लिंट, जेकोबस हेंड्रिकस, विल्सन, रिचर्ड माइकल (2001) ए कोर्स इन कॉम्बिनेटरिक्स, कैम्ब्रिज: कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, ISBN 0-521-00601-5.
 * स्टिन्सन, डगलस रॉबर्ट (2004) मिश्रित डिजाइन: निर्माण और विश्लेषण, न्यूयॉर्क: स्प्रिंगर, ISBN 0-387-95487-2.
 * Colbourn, Charles J.; Dinitz, Jeffrey H. (2007) Handbook of Combinatorial Designs, Boca Raton, Florida: Chapman and Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-506-8.
 * वैन लिंट, जेकोबस हेंड्रिकस, विल्सन, रिचर्ड माइकल (2001) ए कोर्स इन कॉम्बिनेटरिक्स, कैम्ब्रिज: कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, ISBN 0-521-00601-5.
 * स्टिन्सन, डगलस रॉबर्ट (2004) मिश्रित डिजाइन: निर्माण और विश्लेषण, न्यूयॉर्क: स्प्रिंगर, ISBN 0-387-95487-2.

अग्रिम पठन

 * N. A. Balonin, Jennifer Seberry, "A Review and New Symmetric Conference Matrices", Research Online, University of Wollongong, 2014. Appendix lists all known and possible conference matrices up to 1002.