जीनस (गणित)

गणित में, जीनस (बहुवचन जेनेरा) के कुछ भिन्न, किन्तु निकट से संबंधित अर्थ होते हैं। सहज रूप से, जीनस सतह (टोपोलॉजी) के छिद्रों की संख्या है। गोले में जीनस 0 होता है, जबकि टोरस टोरस में जीनस 1 होता है।

समायोज्य सतह
जुड़ा हुआ समिष्ट ओरिएंटेबल सतह का जीनस पूर्णांक है जो परिणामी मैनिफोल्ड को डिस्कनेक्ट किए बिना अप्रतिच्छेदी विवृत सरल वक्रों के साथ कटिंग की अधिकतम संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। यह उस पर लगे हैंडल (गणित) की संख्या के समान है। वैकल्पिक रूप से, इसे विवृत सतहों के लिए संबंध χ = 2 − 2g के माध्यम से यूलर विशेषता χ के संदर्भ में, में परिभाषित किया जा सकता है, जहां g जीनस है। b सीमा (टोपोलॉजी) घटकों वाली सतहों के लिए, समीकरण χ = 2 − 2g − b पढ़ता है। साधारण शब्दों में, यह किसी वस्तु में उपस्थित "छिद्रों" की संख्या है ("छिद्र" की व्याख्या डोनट छिद्र के अर्थ में की जाती है; टोरस गोले को इस अर्थ में शून्य छिद्र वाला माना जाएगा)। टोरस में 1 ऐसा छिद्र होता है, जबकि गोले में 0 ऊपर चित्रित हरे सतह में संबंधित प्रकार के 2 छेद होते हैं।

उदाहरण के लिए:
 * गोला S2और डिस्क (गणित) दोनों में जीनस शून्य है।
 * टोरस में जीनस होता है, जैसे हैंडल के साथ कॉफी मग की सतह होती है। यह जोक का स्रोत है टोपोलॉजिस्ट वे लोग हैं जो अपने कॉफी मग से अपने डोनट को ज्ञात नहीं कर सकता हैं।

मौलिक बहुभुज पर लेख में जीनस g की सतहों का स्पष्ट निर्माण दिया गया है।

सरल शब्दों में, उन्मुख सतह के जीनस का मान उसमें उपस्थित छिद्रों की संख्या के समान होता है।

गैर-अभिमुख सतहें

किसी जुड़े हुए, गैर-उन्मुखता विवृत सतह का गैर-ओरिएंटेबल जीनस, डेमिजेनस या यूलर जीनस सकारात्मक पूर्णांक है जो गोले से जुड़े क्रॉस-कैप्स की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। वैकल्पिक रूप से, इसे यूलर विशेषता χ के संदर्भ में, संबंध χ = 2 - k के माध्यम से विवृत सतह के लिए परिभाषित किया जा सकता है, जहां k गैर-उन्मुख जीनस है।

उदाहरण के लिए:
 * वास्तविक प्रक्षेप्य तल में गैर-उन्मुख जीनस 1 होता है।
 * क्लेन बोतल में नॉन-ओरिएंटेबल जीनस 2 होता है।

कनॉट
कनॉट K के जीनस को K के लिए सभी सीफ़र्ट सतहों के न्यूनतम जीनस के रूप में परिभाषित किया गया है। चूँकि, कनॉट की सीफर्ट सतह सीमा के साथ कई गुना होती है, सीमा कनॉट होती है, अर्थात इकाई वृत के लिए होमियोमोर्फिक ऐसी सतह के जीनस को टू-मैनिफोल्ड के जीनस के रूप में परिभाषित किया गया है, जो सीमा के साथ इकाई डिस्क को चिपकाकर प्राप्त किया जाता है।

हैंडलबॉडी
3-आयामी हैंडलबॉडी का जीनस पूर्णांक है जो परिणामी मैनिफोल्ड को डिस्कनेक्ट किए बिना एम्बेडेड डिस्क (गणित) के साथ कटिंग की अधिकतम संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। यह उस पर लगे हैंडल की संख्या के समान है।

उदाहरण के लिए:
 * गेंद (गणित) का जीनस 0 है।
 * ठोस टोरस D2 × S1 में जीनस 1 है।

ग्राफ़ सिद्धांत
ग्राफ़ का जीनस (असतत गणित) न्यूनतम पूर्णांक n है, जिससे ग्राफ़ को n हैंडल (अर्थात जीनस n की उन्मुख सतह) गोले पर स्वयं को पार किए बिना खींचा जा सके। इस प्रकार, समतल ग्राफ़ का जीनस 0 होता है, क्योंकि इसे स्व-क्रॉसिंग के बिना गोले पर खींचा जा सकता है।

ग्राफ़ (असतत गणित) का गैर-उन्मुख जीनस न्यूनतम पूर्णांक n है, जैसे कि ग्राफ़ को n क्रॉस-कैप्स (अर्थात गैर-उन्मुख सतह) जीनस n की (गैर-उन्मुख सतह) के साथ गोले पर स्वयं को पार किए बिना खींचा जा सके। (इस संख्या को डेमिजेनस भी कहा जाता है।)

यूलर जीनस न्यूनतम पूर्णांक n है, जिससे ग्राफ को n क्रॉस-कैप वाले गोले पर या n/2 हैंडल वाले गोले पर स्वयं को क्रॉस किए बिना खींचा जा सकता है।

टोपोलॉजिकल ग्राफ़ सिद्धांत में समूह (गणित) के जीनस की कई परिभाषाएँ हैं। आर्थर टी. व्हाइट ने निम्नलिखित अवधारणा प्रस्तुत की। समूह G का जीनस G के लिए (जुड़े, अप्रत्यक्ष) केली ग्राफ का न्यूनतम जीनस है।

ग्राफ एम्बेडिंग#कम्प्यूटेशनल जटिलता एनपी-पूर्ण है।

बीजगणितीय ज्यामिति
किसी भी प्रक्षेपी बीजगणितीय योजना (गणित) X के जीनस की दो संबंधित परिभाषाएँ हैं: अंकगणितीय जीनस और ज्यामितीय जीनस। जब X जटिल संख्याओं की परिभाषा के क्षेत्र (गणित) के साथ बीजगणितीय वक्र है, और यदि उदाहरण के लिए, बीजीय ज्यामिति से अण्डाकार वक्र की परिभाषा जीनस 1 के गैर-एकवचन प्रक्षेप्य वक्र से उस पर दिए गए तर्कसंगत बिंदु से जुड़ी होती है।

रीमैन-रोच प्रमेय द्वारा, डिग्री का अप्रासंगिक समतल वक्र $$d$$ अनुभाग के लुप्त समिष्ट द्वारा दिया गया $$s \in \Gamma(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(d))$$ में ज्यामितीय जीनस है:


 * $$g=\frac{(d-1)(d-2)}{2}-s,$$

जहां ठीक से गणना करने पर s विलक्षणताओं की संख्या है।

विभेदक ज्यामिति
विभेदक ज्यामिति में, उन्मुख कई गुना का  जीनस $$M$$  सम्मिश्र संख्या के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$\Phi(M)$$ शर्तों के अधीन
 * $$\Phi(M_{1}\amalg M_{2})=\Phi(M_{1})+\Phi(M_{2})$$
 * $$\Phi(M_{1}\times M_{2})=\Phi(M_{1})\cdot \Phi(M_{2})$$
 * $$\Phi(M_{1})=\Phi(M_{2})$$ अगर $$M_{1}$$ और $$M_{2}$$ सहसंबद्ध हैं.

दूसरे शब्दों में, $$\Phi$$ वलय समरूपता है $$R\to\mathbb{C}$$, कहाँ $$R$$ थॉम्स ओरिएंटेड कोबॉर्डिज्म रिंग है। जीनस $$\Phi$$ यदि कनेक्टेड कॉम्पैक्ट संरचना के साथ स्पिनर मैनिफोल्ड पर सभी बंडलों के लिए गुणक है $$\log_{\Phi}$$ जैसे अण्डाकार अभिन्न अंग है $$\log_{\Phi}(x)=\int^{x}_{0}(1-2\delta t^{2}+\varepsilon t^{4})^{-1/2}dt$$ कुछ के लिए $$\delta,\varepsilon\in\mathbb{C}.$$ इस जीनस को अण्डाकार जीनस कहा जाता है।

यूलर विशेषता $$\chi(M)$$ इस अर्थ में यह जीनस नहीं है क्योंकि यह सह-बॉर्डिज्म के संबंध में अपरिवर्तनीय नहीं है।

जीव विज्ञान
जीनस की गणना न्यूक्लिक एसिड या प्रोटीन में रासायनिक अंतःक्रियाओं के जाल द्वारा फैलाए गए ग्राफ के लिए भी की जा सकती है। विशेष रूप से, कोई श्रृंखला के साथ जीनस की वृद्धि का अध्ययन कर सकता है। ऐसा फ़ंक्शन (जिसे जीनस ट्रेस कहा जाता है) बायोमोलेक्यूल्स की टोपोलॉजिकल जटिलता और डोमेन संरचना को दर्शाता है।

यह भी देखें

 * समूह (गणित)
 * अंकगणित जाति
 * ज्यामितीय जाति
 * गुणात्मक अनुक्रम का जीनस
 * द्विघात रूप की जाति
 * स्पिनर जाति