यूलर लाइन

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]]ज्यामिति में, लियोनहार्ड यूलर (/ɔɪlər/) के नाम पर यूलर रेखा, किसी भी त्रिभुज से निर्धारित रेखा है जो समबाहु नहीं है। यह त्रिभुज की एक केंद्रीय रेखा है, और यह त्रिभुज से निर्धारित कई महत्वपूर्ण बिंदुओं से होकर गुजरती है, जिसमें लंब-केंद्र, परिकेन्द्र, केन्द्रक, एक्सेटर बिंदु और त्रिभुज के नौ-बिंदु वृत्त का केंद्र सम्मिलित है। त्रिभुज यूलर रेखा की अवधारणा अन्य आकृतियों की यूलर रेखा जैसे चतुर्भुज और चतुष्फलक तक विस्तृत हुई है।

व्यक्तिगत केंद्र
यूलर ने 1765 में दिखाया कि किसी भी त्रिभुज में, लंबकेन्द्र, परिकेन्द्र और केन्द्रक रेखा (ज्यामिति) होते हैं। यह गुण एक अन्य त्रिभुज केंद्र, नौ-बिंदु केंद्र के लिए भी सही है, हालांकि इसे यूलर के समय में परिभाषित नहीं किया गया था। समबाहु त्रिभुजों में, ये चार बिंदु संपाती होते हैं, लेकिन किसी अन्य त्रिभुज में वे सभी एक दूसरे से भिन्न होते हैं, और यूलर रेखा उनमें से किन्हीं दो द्वारा निर्धारित की जाती है।

अन्य उल्लेखनीय बिंदु जो यूलर रेखा पर स्थित हैं, उनमें डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु, शिफलर बिंदु, एक्सेटर बिंदु और गोस्सार्ड परिप्रेक्ष्य सम्मिलित हैं। हालांकि, अंत:केंद्र सामान्य रूप से यूलर रेखा पर स्थित नहीं होता है; यह यूलर रेखा पर केवल समद्विबाहु त्रिभुजों के लिए है, जिसके लिए यूलर रेखा त्रिभुज की सममिति अक्ष के साथ मिलती है और इसमें सभी त्रिभुज केंद्र होते हैं।

एक संदर्भ त्रिभुज का स्पर्शरेखा त्रिभुज, संदर्भ त्रिभुज के शीर्ष पर बाद वाले परिवृत्त पर स्पर्शरेखा है। स्पर्शरेखा त्रिभुज का परिकेंद्र संदर्भ त्रिभुज की यूलर रेखा पर स्थित है।  ओर्थिक त्रिभुज और स्पर्शरेखा त्रिभुजों की समरूपता का केंद्र भी यूलर रेखा पर है।

वेक्टर प्रमाण
होने देना $$ABC$$ एक त्रिकोण है। इस तथ्य का प्रमाण कि परिकेन्द्र $$O$$, केन्द्रक $$G$$ और लंबकेन्द्र $$H$$ समरेख हैं, मुक्त वेक्टरों पर निर्भर करता है। हम पूर्वापेक्षाएँ बताते हुए प्रारंभ करते हैं। सबसे पहले $$G$$ संबंध को संतुष्ट करता है


 * $$\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=0.$$

यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि $$G$$ के निरपेक्ष बैरेंट्रिक निर्देशांक $$\frac{1}{3}:\frac{1}{3}:\frac{1}{3}$$ इसके अतिरिक्त, सिल्वेस्टर की त्रिकोण समस्या को इस रूप में पढ़ा जाता है


 * $$\vec{OH}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}.$$

अब, वेक्टर योग का उपयोग करके, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं


 * $$\vec{GO}=\vec{GA}+\vec{AO}\,\mbox{(in triangle }AGO\mbox{)},\,\vec{GO}=\vec{GB}+\vec{BO}\,\mbox{(in triangle }BGO\mbox{)},\,\vec{GO}=\vec{GC}+\vec{CO}\,\mbox{(in triangle }CGO\mbox{)}.$$

इन तीन संबंधों को, पद दर पद जोड़कर, हम वह प्राप्त करते हैं


 * $$3\cdot\vec{GO}=\left(\sum\limits_{\scriptstyle\rm cyclic}\vec{GA}\right)+\left(\sum\limits_{\scriptstyle\rm cyclic}\vec{AO}\right)=0-\left(\sum\limits_{\scriptstyle\rm cyclic}\vec{OA}\right)=-\vec{OH}.$$

निष्कर्ष में, $$3\cdot\vec{OG}=\vec{OH}$$, और इसलिए तीन बिंदु $$O$$, $$G$$ और $$H$$ (इस क्रम में) संरेख हैं।

डोरी की पुस्तक में, यूलर रेखा और सिल्वेस्टर की त्रिभुज समस्या को एक साथ समान प्रमाण में रखा गया है। हालांकि, सिल्वेस्टर की समस्या के अधिकांश प्रमाण यूलर रेखा से स्वतंत्र, मुक्त वेक्टरों के मौलिक गुणों पर निर्भर करते हैं।

केंद्रों के बीच की दूरी
यूलर रेखा पर केन्द्रक G, परिकेन्द्र O और लंबकेन्द्र H के बीच में है और यह परिकेन्द्र से जितनी दूर है, उतनी ही लंबकेन्द्र से दुगुनी दूरी पर है:


 * $$GH=2GO;$$
 * $$OH=3GO.$$

खंड GH लंब-केन्द्रीय वृत्त का एक व्यास है।

नौ-बिंदु वृत्त का केंद्र N लंब-केंद्र और परिधि के बीच यूलर रेखा के मध्य में स्थित है:


 * $$ON = NH, \quad OG =2\cdot GN, \quad NH=3GN.$$

इस प्रकार यूलर रेखा को स्थान 0 पर परिधि O के साथ एक संख्या रेखा पर, 2t पर केन्द्रक G, 3t पर नौ-बिंदु केंद्र और कुछ मापन कारक t के लिए लंब-केंद्र H को 6t पर पुनर्स्थापित किया जा सकता है।

इसके अतिरिक्त, केन्द्रक और यूलर रेखा के साथ परिधि के बीच की वर्ग दूरी वर्ग परिधि R2 से कम है भुजा लंबाई a, b, और c के वर्गों के योग के एक-नौवें के बराबर होती है:


 * $$GO^2=R^2-\tfrac{1}{9}(a^2+b^2+c^2).$$

इसके साथ ही,


 * $$OH^2=9R^2-(a^2+b^2+c^2);$$
 * $$GH^2=4R^2-\tfrac{4}{9}(a^2+b^2+c^2).$$

समीकरण
मान लीजिए A, B, C संदर्भ त्रिभुज के शीर्ष कोणों को निरूपित करते हैं, और मान लीजिए कि x : y : z त्रिरेखीय निर्देशांक में एक चर बिंदु है; तो यूलर रेखा के लिए एक समीकरण है


 * $$\sin (2A) \sin(B - C)x + \sin (2B) \sin(C - A)y + \sin (2C) \sin(A - B)z = 0.$$

बेरसेंट्रिक निर्देशांक (गणित) में यूलर रेखा के लिए एक समीकरण $$\alpha :\beta :\gamma$$ है
 * $$(\tan C -\tan B)\alpha +(\tan A -\tan C)\beta + (\tan B -\tan A)\gamma =0.$$

प्राचलिक निरूपण
यूलर रेखा को दर्शाने का एक अन्य तरीका प्राचल t के संदर्भ में है। परिकेंद्र से प्रारंभ (त्रिलरेखीय निर्देशांकों के साथ $$\cos A : \cos B : \cos C$$) और लंब-केंद्र (तीन रेखाओ के साथ $$\sec A : \sec B : \sec C = \cos B \cos C : \cos C \cos A : \cos A \cos B),$$ यूलर रेखा पर हर बिंदु, लंब-केंद्र को छोड़कर, तीन रेखाओ के निर्देशांक द्वारा दिया जाता है
 * $$\cos A + t \cos B \cos C : \cos B + t \cos C \cos A : \cos C + t \cos A \cos B$$

कुछ t के लिए, इन दो बिंदुओं के तीन रेखाओ के रैखिक संयोजन के रूप में बन गया है।

उदाहरण के लिए:
 * परिकेन्द्र में त्रिरेखीय $$\cos A:\cos B:\cos C$$ पैरामीटर मान के अनुरूप $$t=0$$ हैं।
 * केन्द्रक में त्रिरेखीय $$\cos A + \cos B \cos C : \cos B + \cos C \cos A : \cos C + \cos A \cos B,$$ पैरामीटर मान के अनुरूप $$t=1$$ होते हैं।
 * नौ-बिंदु केंद्र में तीन रेखाओ $$\cos A + 2 \cos B \cos C : \cos B + 2 \cos C \cos A : \cos C + 2 \cos A \cos B,$$ पैरामीटर मान के अनुरूप $$t=2$$ के हैं।
 * डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु $$\cos A - \cos B \cos C : \cos B - \cos C \cos A : \cos C - \cos A \cos B,$$ पैरामीटर मान के अनुरूप $$t=-1$$ में त्रिरेखीय हैं

स्लोप (झुकाव)
कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, त्रिकोण के कोरों के स्लोप $$m_1,$$ $$m_2,$$ और $$m_3$$ को निरूपित करें, और इसकी यूलर रेखा के झुकाव $$m_E$$ को निरूपित करें, फिर इन प्रवणता के अनुसार संबंधित हैं


 * $$m_1m_2 + m_1m_3 + m_1m_E + m_2m_3 + m_2m_E + m_3m_E$$
 * $$ + 3m_1m_2m_3m_E + 3 = 0.$$

इस प्रकार यूलर रेखा का स्लोप (यदि परिमित है) पक्षों के समतल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है


 * $$m_E=-\frac{m_1m_2 + m_1m_3 + m_2m_3 + 3}{m_1 + m_2 + m_3 + 3m_1m_2m_3}.$$

इसके अतिरिक्त, यूलर रेखा एक तीव्र त्रिभुज भुजा BC के समानांतर है यदि और केवल यदि $$\tan B \tan C = 3.$$

उत्कीर्ण समबाहु त्रिभुजों से संबंध
किसी दिए गए त्रिभुज में अंकित समबाहु त्रिभुजों के केन्द्रक का स्थान दिए गए त्रिभुज की यूलर रेखा के लंबवत दो रेखाओं से बनता है।

समकोण त्रिभुज
समकोण त्रिभुज में, यूलर रेखा मध्यिका (त्रिकोण) के साथ कर्ण से समान होती है - अर्थात, यह समकोण वाले शीर्ष और उस शीर्ष के विपरीत भुजा के मध्य बिंदु दोनों से होकर जाती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि समकोण त्रिभुज का लंबकेन्द्र, इसकी ऊँचाई (त्रिकोण) का प्रतिच्छेदन, समकोण शीर्ष पर पड़ता है, जबकि इसका परिकेन्द्र, इसके द्विभाजन लम्ब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन, कर्ण के मध्यबिंदु पर पड़ता है।

समद्विबाहु त्रिभुज
समद्विबाहु त्रिभुज की यूलर रेखा समरूपता के अक्ष के साथ अनुरूप होती है। समद्विबाहु त्रिभुज में अंत:केंद्र यूलर रेखा पर पड़ता है।

ऑटोमेडियन त्रिकोण
स्व-मध्यरेखा त्रिभुज की यूलर रेखा (जिसकी माध्यिका (ज्यामिति) समान अनुपात में है, हालांकि विपरीत क्रम में, पक्षों के रूप में) एक माध्यिका के लिए लंबवत है।

समवर्ती यूलर रेखाों के साथ त्रिकोण की प्रणाली
फ़र्मेट-टोरिकेली बिंदुओं F1 और F2 के साथ त्रिभुज ABC पर विचार करें। A, B, C, F1 और F2 में से चुने गए शीर्षों वाले 10 त्रिभुजों की यूलर रेखाएँ त्रिभुज ABC के केन्द्रक पर संगामी हैं

एक लंब केंद्रीय प्रणाली द्वारा गठित चार त्रिकोणों की यूलर रेखाें (चार बिंदुओं का एक सेट जैसे कि प्रत्येक त्रिभुज का लंब-केंद्र अन्य तीन बिंदुओं पर शीर्ष के साथ होता है) सभी त्रिकोणों के लिए सामान्य नौ-बिंदु केंद्र पर समवर्ती होते हैं।

चतुर्भुज
उत्तल चतुर्भुज में अर्ध-लंबकेंद्रीय H, क्षेत्र केन्द्रक G, और अर्धवृत्ताकार केंद्र O यूलर रेखा पर और HG = 2GO इस क्रम में संरेख हैं।

चतुष्फलक
चतुष्फलक एक त्रि-आयामी वस्तु है | त्रि-आयामी वस्तु चार त्रिकोणीय फलक (ज्यामिति) से परिबद्ध है। चतुष्फलक से जुड़ी सात रेखाएँ इसके केन्द्रक पर समवर्ती होती हैं; इसके छह मध्य-तल अपने मोंज बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं; और सभी शीर्षों से गुजरने वाली एक परिधि है, जिसका केंद्र परिकेन्द्र है। ये बिंदु एक त्रिभुज के समान चतुष्फलक की यूलर रेखा को परिभाषित करते हैं। केन्द्रक अपने मोंज बिंदु और इस रेखा के साथ परिधि के बीच का मध्य बिंदु है। बारह-बिंदु क्षेत्र का केंद्र भी यूलर रेखा पर स्थित है।

प्रतिसमुच्‍चीय बहुतलीय
प्रतिसमुच्‍चीय बहुतलीय एक बहुतल है जिसके स्वरूप सभी प्रतिसमुच्‍चीय (संकेतन का मिश्रित) हैं। उदाहरण के लिए, प्रत्येक बहुभुज एक साधारण बहुतल है। इस प्रकार के बहुतल से जुड़ी यूलर रेखा उसके केन्द्रक और द्रव्यमान के परिकेंद्र द्वारा निर्धारित रेखा है। यूलर रेखा की यह परिभाषा ऊपर वाले को सामान्यीकृत करती है।

मान लीजिए कि P एक बहुभुज है। यूलर रेखा E निम्नलिखित तरीकों से P की सममिति के प्रति संवेदनशील है:

1. यदि $$P$$ में प्रतिबिंब सममिति $$L$$,की एक रेखा है, तब $$E$$ या तो $$L$$ है या $$L$$ पर एक बिंदु है।

2. यदि $$P$$ में घूर्णी सममिति $$C$$, का केंद्र है, तब $$E=C$$.

3. यदि $$P$$ की एक भुजा को छोड़कर सभी की लंबाई समान है, तब $$E$$ अंतिम भुजा के लिए लंबकोणीय है।

संबंधित निर्माण
त्रिभुज का कीपर्ट परवलय अद्वितीय परवलय है जो त्रिभुज की भुजाओं (उनमें से दो विस्तारित भुजा) के लिए स्पर्शरेखा है और इसकी वक्र अथवा तल को खींचने में प्रयुक्‍त रेखा (शंक्वाकार खंड) के रूप में यूलर रेखा है।

बाहरी संबंध

 * An interactive applet showing several triangle centers that lies on the Euler line.
 * "Euler Line" and "Non-Euclidean Triangle Continuum" at the Wolfram Demonstrations Project
 * Nine-point conic and Euler line generalization, A further Euler line generalization, and The quasi-Euler line of a quadrilateral and a hexagon at Dynamic Geometry Sketches
 * Bogomolny, Alexander, "Altitudes and the Euler Line" and "Euler Line and 9-Point Circle", Cut-the-Knot
 * Archived at Ghostarchive and the Wayback Machine:
 * Archived at Ghostarchive and the Wayback Machine: