अभिविन्यास (ज्यामिति)

ज्यामिति में, किसी वस्तु का अभिविन्यास, कोणीय स्थिति, अभिवृत्ति, व्यवहार या दिशा जैसे कि एक रेखा (ज्यामिति), समतल या ठोस पिंड जैसी वस्तु का विवरण इस बात का भाग है कि इसे  यूक्लिडियन स्पेस  में कैसे रखा जाता है जिस पर यह रहता है अधिक विशेष रूप से, यह उस काल्पनिक घुमाव को संदर्भित करता है जो किसी वस्तु को संदर्भ स्थान से उसके वर्तमान स्थान पर ले जाने के लिए आवश्यक है। लेकिन वर्तमान स्थान तक पहुंचने के लिए घुमाव पर्याप्त नहीं हो सकता है। इस लिये एक अवास्तविक अनुवाद (ज्यामिति)  जोड़ना आवश्यक हो जाता है, जिसे वस्तु का स्थान (या स्थिति, या रैखिक स्थिति) कहा जाता है। वस्तु का अभिविन्यास और स्थान एक साथ पूरी तरह से वर्णन करते हैं कि वस्तु को अंतरिक्ष में कैसे रखा गया है। उपर्युक्त काल्पनिक घुमाव और अनुवाद को किसी भी क्रम में घटित होने के बारे में सोचा जा सकता है, क्योंकि किसी वस्तु का अभिविन्यास अनुवाद करते समय नहीं बदलता है, और जब यह घुर्णन करता है तो इसका स्थान भी नहीं बदलता है।

यूलर के घुमाव प्रमेय से पता चलता है कि तीन आयामों में किसी निश्चित अक्ष के चारों ओर एक ही घुमाव के साथ किसी भी अभिविन्यास तक पहुंचा जा सकता है। यह अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व का प्रयोग करके अभिविन्यास का प्रतिनिधित्व करने का एक सामान्य विधि देता है। अन्य व्यापक रूप से प्रयोग की जाने वाली विधियों में चतुष्कोण और स्थानिक घुमाव, ज्यामितीय बीजगणित,  यूलर कोण  या  घुमाव मैट्रिक्स सम्मालित हैं।  क्रिस्टल विज्ञान में  मिलर सूचकांक, भूविज्ञान में  नतिलंब और गहराई और नक्शे और संकेतों पर  ग्रेड (ढलान) अधिक विशेषज्ञ प्रयोगों में सम्मालित हैं।

इकाई सदिश का प्रयोग वस्तु के  सामान्य सदिश अभिविन्यास या दो बिंदुओं के बीच  सापेक्ष दिशा (ज्यामिति) का प्रतिनिधित्व करने के लिए भी किया जा सकता है।

संरचना के सापेक्ष एक संदर्भ अभिविन्यास दिया जाता है, जिसे सामान्यतः कार्तीय निर्देशांक प्रणाली द्वारा दर्शाया जाता है।

तीन आयाम
सामान्यतः एक ठोस पिंड की स्थिति और अभिविन्यास को मुख्य संदर्भ संरचना के सापेक्ष स्थिति और अभिविन्यास के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो पिंड के सापेक्ष तय होता है, और इसलिए इसके साथ अनुवाद करता है और इसके साथ घुर्णन (पिंड का स्थानीय संदर्भ संरचना, या स्थानीय समन्वय प्रणाली) भी करता है। इसके स्थानीय संरचना के अभिविन्यास का वर्णन करने के लिए कम से कम तीन स्वतंत्र मानो की आवश्यकता है। वस्तु पर एक बिंदु की स्थिति का वर्णन तीन अन्य मान करते हैं।

घूर्णन अक्ष पर स्थित बिंदुओं को छोड़कर पिंड के सभी बिंदु घूर्णन के दौरान अपनी स्थिति बदलते हैं। यदि ठोस पिंड में घुर्णन समान है, तो  इसके सभी अभिविन्यास अलग-अलग नहीं होते हैं, इसके अतिरिक्त कि एक अभिविन्यास का अवलोकन एक ज्ञात प्रारंभिक अभिविन्यास से समय के साथ विकसित होता है। उदाहरण के लिए, एक रेखा (ज्यामिति), रेखा खंड, या  सदिश (ज्यामितीय) के स्थान में अभिविन्यास केवल दो मानों के साथ निर्दिष्ट किया जा सकता है, उदाहरण के लिए दो  दिशा कोसाइन । एक अन्य उदाहरण पृथ्वी पर एक बिंदु की स्थिति है, जिसे हमेशा पृथ्वी के केंद्र से जोड़ने वाली रेखा के अभिविन्यास का प्रयोग करके वर्णित किया जाता है, इसे देशांतर और अक्षांश के दो कोणों का प्रयोग करके मापा जाता है। इसी तरह, एक समतल (ज्यामिति) के अभिविन्यास को दो मानों के साथ भी वर्णित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए  उस समतल के लिए सामान्य रेखा के अभिविन्यास को निर्दिष्ट करके, या नतिलंब और गहराई कोणों का प्रयोग करके।

तीन आयामों में दृढ़ निकायों और समतल के अभिविन्यास का प्रतिनिधित्व करने के लिए गणितीय विधियों के बारे में और विवरण निम्न अनुभागों में दिए गए हैं।

दो आयाम
दो आयामों में किसी भी वस्तु (रेखा, सदिश, या समतल आकृति ) का अभिविन्यास एक ही मान द्वारा दिया जाता है: वह जिस कोण से घुर्णन कर रहा है। स्वाधीनता की केवल एक कोटि है और केवल एक निश्चित बिंदु है जिसमें घुर्णन होती है।

तीन आयामों में ठोस पिंड
तीन आयामों में एक ठोस पिंड के झुकाव का वर्णन करने के लिए कई विधि विकसित की गई हैं। उन्हें निम्नलिखित अनुभागों में संक्षेपित किया गया है।

यूलर कोण
अभिविन्यास का प्रतिनिधित्व करने का पहला प्रयास लियोनहार्ड यूलर  को दिया गया है। उन्होंने तीन संदर्भ संरचना की कल्पना की और अनुभव किया कि एक निश्चित संदर्भ संरचना के साथ शुरू करके और तीन घुमावों का प्रदर्शन करके जो एक को दूसरे के चारों ओर घुम सकते हैं, वह अंतरिक्ष में कोई अन्य संदर्भ संरचना प्राप्त कर सकते हैं (ऊर्ध्वाधर अक्ष को ठीक करने के लिए दो घुमावों का प्रयोग करना और अन्य दो अक्षों को ठीक करने के लिए दूसरा घुमाव का प्रयोग करना)। इन तीन घुमावों के मानो को यूलर कोण कहा जाता है।

टैट-ब्रायन कोण
ये तीन कोण हैं, जिन्हें यव, पिच और रोल, नेविगेशन कोण और कार्डन कोण भी कहा जाता है। गणितीय रूप से वे यूलर कोणों के बारह संभावित समूह के अंदर छह संभावनाओं के एक सेट का गठन करते हैं, जो एक हवाई जहाज जैसे वाहन के उन्मुखीकरण का वर्णन करने के लिए सबसे अच्छा प्रयोग किया जाता है। हवाईअंतरिक्ष इंजीनियरिंग में उन्हें सामान्यतःयूलर कोण कहा जाता है।



ओरिएंटेशन वेक्टर
यूलर ने यह भी अनुभव किया कि दो घुमावों की संरचना एक अलग निश्चित अक्ष (यूलर के घुमाव प्रमेय) के घुमाव के बराबर है। इसलिए, पूर्व के तीन कोणों की संरचना केवल एक घूर्णन के बराबर होनी चाहिए, जिसका अक्ष मैट्रिसेस विकसित होने तक गणना करने के लिए जटिल था।

इस तथ्य के आधार पर उन्होंने घुमाव अक्ष पर एक वेक्टर और कोण के मान के बराबर मॉड्यूल के साथ किसी भी घुमाव का वर्णन करने के लिए एक सदिश विधि पेश किया। इसलिए, किसी भी अभिविन्यास को एक घुमाव सदिश (जिसे यूलर सदिश भी कहा जाता है) द्वारा भी दर्शाया जा सकता है जो इससे संदर्भित संरचना से ले जाता है। जब एक अभिविन्यास का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रयोग किया जाता है, तो घुमाव सदिश को समान्यतः अभिविन्यास सदिश या अभिवृत्ति वेक्टर कहा जाता है।

एक समान विधि, जिसे अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व कहा जाता है, घुमाव अक्ष के साथ संरेखित मात्रा सदिश का प्रयोग करके घुमाव या अभिविन्यास का वर्णन करती है, और कोण को दर्शाने के लिए एक अलग मान (चित्र देखें) है।

अभिविन्यास मैट्रिक्स
आव्यूहों की प्रारंभ के साथ, यूलर प्रमेयों को फिर से लिखा गया। घुमाव को ऑर्थोगोनल आव्यूह द्वारा वर्णित किया गया था जिसे घुमाव आव्यूहों या दिशा कोसाइन आव्यूहों कहा जाता है। जब किसी अभिविन्यास का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रयोग किया जाता है, तो घुमाव आव्यूहों को समान्यतः पर अभिविन्यास आव्यूह या अभिवृत्ति आव्यूह कहा जाता है।

उपर्युक्त यूलर सदिश एक घुमाव आव्यूह का आइजन्सदिश है (एक घुमाव आव्यूहों का एक अद्वितीय वास्तविक आइजमान  है)।

दो घुमाव आव्यूह का उत्पाद घुमाव की संरचना है। इसलिए, पहले की तरह, जिस संरचना का हम वर्णन करना चाहते हैं, उसे प्राप्त करने के लिए प्रारंभिक फ्रेम से घुमाव के रूप में अभिविन्यास दिया जा सकता है।

n-आयामी स्पेस में गैर-सममिति वस्तु का विन्यास स्थान (गणित) गणित)  SO(n) × 'R'एन [सांस्थिति गुणन × यूक्लिडियन स्पेस|] ऑर्थोगोनल समूह  है। . किसी वस्तु के  स्पर्शरेखा स्थान के आधार को जोड़कर अभिविन्यास की कल्पना की जा सकती है। जिस दिशा में प्रत्येक सदिश बिंदु अपना अभिविन्यास निर्धारित करता है।

अभिविन्यास चतुष्कोण
घुमावों का वर्णन करने का एक अन्य विधि क्वाटरनियंस और स्थानिक रोटेशन का प्रयोग कर रहा है, जिसे वर्सर्स भी कहा जाता है। वे रोटेशन मेट्रिसेस और घुमाव सदिश के बराबर हैं। घुमाव सदिश के संबंध में, उन्हें अधिक आसानी से मेट्रिसेस में और से परिवर्तित किया जा सकता है। जब अभिविन्यास का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रयोग किया जाता है, तो घुमाव चतुष्कोण को सामान्यतःअभिविन्यास चतुष्कोण या अभिवृत्ति चतुष्कोण कहा जाता है।

मिलर सूचकांक
एक जालीदार तल का अभिवृत्ति समतल के लिए सामान्य रेखा का अभिविन्यास है, और मिलर के समतल सूचकांकों द्वारा वर्णित है। तीन-अंतरिक्ष में समतलो के एक परिवार (समानांतर समतलो की एक श्रृंखला) को इसके मिलर इंडेक्स (एच के एल) द्वारा दर्शाया जा सकता है। इसलिए समतलो के परिवार का अपने सभी घटक विमानों के लिए एक समान अभिवृत्ति है।

नतिलंब और गहराई
भूविज्ञान में देखी गई कई विशेषताएं समतल या रेखाएँ हैं, और उनके अभिविन्यास को सामान्यतः उनके दृष्टिकोण के रूप में संदर्भित किया जाता है। इन दृष्टिकोणों को दो कोणों से निर्दिष्ट किया गया है।

एक रेखा के लिए, इन कोणों को प्रवृत्ति और गहराई कहा जाता है। प्रवृत्ति रेखा की कम्पास दिशा है, और गहराई एक क्षैतिज तल के साथ नीचे की ओर कोण है।

एक समतल के लिए, दो कोणों को इसका नतिलंब (कोण) और इसका गहराई (कोण) कहा जाता है। एक  नतिलंब लाइन एक क्षैतिज समतल का प्रेक्षित समतल सुविधा (और इसलिए एक क्षैतिज रेखा) के साथ चौराहे है, और  नतिलंब कोण इस रेखा का असर है (जो कि सही उत्तर के सापेक्ष या चुंबकीय गिरावट से है)। गहराई एक क्षैतिज समतल और देखी गई समतलीय विशेषता के बीच का कोण है जैसा कि  नतिलंब रेखा के लंबवत तीसरे ऊर्ध्वाधर समतल में देखा गया है।

ठोस पिंड
एक ठोस पिंड का अभिवृत्ति इसका अभिविन्यास है, जैसा कि वर्णित है, उदाहरण के लिए, एक निश्चित संदर्भ संरचना के सापेक्ष पिंड में तय किए गए संरचना के अभिविन्यास से। अभिवृत्ति को अभिवृत्ति निर्देशांक द्वारा वर्णित किया जाता है, और इसमें कम से कम तीन निर्देशांक होते हैं। ठोस  पिंड को उन्मुख करने की एक योजना पिंड-अक्ष के घूर्णन पर आधारित है; पिंड के निश्चित संदर्भ संरचना के अक्षों के बारे में तीन बार क्रमिक घुमाव, जिससे पिंड के यूलर कोणों की स्थापना होती है।  दूसरा टैट-ब्रायन कोण हवाईजहाज अभिवृत्ति |रोल, पिच और यॉ पर आधारित है, चूकी ये शब्द  उड़ान की गतिशीलता  को भी संदर्भित करते हैं

यह भी देखें

 * कोणीय विस्थापन
 * अभिवृत्ति नियंत्रण
 * दिशात्मक आँकड़े
 * व्यक्तिगत सापेक्ष दिशा
 * रोटेशन का विमान
 * तीन आयामों में रोटेशन औपचारिकता एं
 * त्रिकोण विधि