सार्वभौमिक परिमाणीकरण

गणितीय तर्क में, एक सार्वभौमिक परिमाणीकरण एक प्रकार का परिमाणीकरण (तर्क) है, एक तार्किक स्थिरांक है जो किसी भी या सभी के लिए दी गई व्याख्या (तर्क) है। यह अभिव्यक्त करता है कि वाद-विवाद के क्षेत्र के प्रत्येक सदस्य द्वारा एक विधेय को संतुष्ट किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, यह किसी संपत्ति या डोमेन के प्रत्येक सदस्य के संबंध की भविष्यवाणी है। यह तार्किक दावा करता है कि एक सार्वभौमिक परिमाणक के दायरे में एक विधेय एक विधेय चर के प्रत्येक मूल्यांकन के लिए सही है।

इसे आम तौर पर मुड़े हुए A (∀) तार्किक संकारक प्रतीक (औपचारिक) द्वारा दर्शाया जाता है, जिसे जब एक विधेय चर के साथ प्रयोग किया जाता है, तो इसे एक सार्वभौमिक क्वांटिफायर ($∀x$ ,$∀(x)$ या कभी-कभी $(x)$ कहा जाता है। सार्वभौम परिमाणीकरण अस्तित्वपरक परिमाणीकरण (वहाँ मौजूद है) से अलग है, जो केवल यह दावा करता है कि संपत्ति या संबंध डोमेन के कम से कम एक सदस्य के लिए है।

परिमाणीकरण (तर्क) पर लेख में सामान्य रूप से परिमाणीकरण को शामिल किया गया है। यूनिवर्सल क्वांटिफायर को यूनिकोड में के रूप में एन्कोड किया गया है और as   LaTeX और संबंधित सूत्र संपादकों में।

मूल बातें
मान लीजिए कि दिया गया है "2·0 = 0 + 0, और 2·1 = 1 + 1, और 2·2 = 2 + 2, आदि।" "एन्ड" के बार-बार उपयोग के कारण यह एक तार्किक संयोजन प्रतीत होगा। हालाँकि, "etc" को औपचारिक तर्क में एक संयोजन के रूप में व्याख्या नहीं किया जा सकती है। इसके बजाय, कथन को फिर से लिखा जाना चाहिए: "सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए, किसी के पास 2·n = n + n होता है।" यह सार्वभौमिक परिमाणीकरण का उपयोग करते हुए एकल कथन है।

यह कथन मूल कथन से अधिक सटीक कहा जा सकता है। जबकि आदि में अनौपचारिक रूप से प्राकृतिक संख्याएँ शामिल हैं, और कुछ नहीं, यह सख्ती से नहीं दिया गया था। दूसरी ओर, सार्वभौमिक परिमाणीकरण में, प्राकृतिक संख्याओं का स्पष्ट रूप से उल्लेख किया गया है।

यह विशेष उदाहरण सत्य है, क्योंकि किसी भी प्राकृतिक संख्या को n के स्थान पर प्रतिस्थापित किया जा सकता है और कथन 2·n = n + n सत्य होगा। इसके विपरीत, "सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए, एक के पास 2·n > 2 + n होता हैं।" होता है असत्य है, क्योंकि यदि n को प्रतिस्थापित किया जाता है, उदाहरण के लिए, 1, कथन 2·1 > 2 + 1 असत्य है। यह सारहीन है कि 2·n > 2 + n अधिकांश प्राकृतिक संख्याओं n के लिए सत्य है: यहां तक ​​कि एक एकल प्रतिउदाहरण का अस्तित्व भी सार्वभौमिक परिमाणीकरण को गलत साबित करने के लिए पर्याप्त है।

वहीं दूसरी ओर, सभी भाज्य संख्याओं n के लिए, एक के पास 2·n > 2 + n सत्य है, क्योंकि कोई भी प्रति उदाहरण भाज्य संख्या नहीं है। यह संवाद के क्षेत्र के महत्व को इंगित करता है, जो निर्दिष्ट करता है कि n कौन से मान ले सकता है। इसके लिए एक तार्किक स्थिति की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, "सभी मिश्रित संख्याओं n के लिए, एक के पास 2·n > 2 + n" होता है तार्किक रूप से समकक्ष है "सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए, यदि n संमिश्र है, तो 2·n > 2 + n।" यहाँ if ... तो निर्माण तार्किक स्थिति को इंगित करता है।

अंकन
प्रथम क्रम तर्क में, सार्वभौमिक क्वांटिफायर प्रतीक $$ \forall $$ (एक सेन्स-सेरिफ़ फ़ॉन्ट, यूनिकोड यू+2200 में "ए" बदल गया) का उपयोग सार्वभौमिक परिमाणीकरण को इंगित करने के लिए किया जाता है। इसे पहली बार 1935 में गेरहार्ड जेंटजन द्वारा ज्यूसेप पीनो के अनुरूप इस्तेमाल किया गया था। $$\exists$$ अस्तित्वगत परिमाणीकरण के लिए (ई) संकेतन और बाद में बर्ट्रेंड रसेल द्वारा पीनो संकेतन के उपयोग के लिए इस्तेमाल किया गया था।

उदाहरण के लिए, यदि P(n) विधेय 2·n > 2 + n है और 'N' प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय (गणित) है, तो
 * $$ \forall n\!\in\!\mathbb{N}\; P(n) $$

(झूठा) कथन है
 * सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए, एक के पास 2·n > 2 + n होता है।

इसी प्रकार, यदि Q(n) विधेय n सम्मिश्र है, तो
 * $$ \forall n\!\in\!\mathbb{N}\; \bigl( Q(n) \rightarrow P(n) \bigr) $$

(सत्य) कथन है
 * सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए, यदि n संमिश्र है, तो 2·n > 2 + n.

क्वांटिफ़ायर लेख में क्वांटिफ़िकेशन (जो सभी रूपों पर लागू होता है) के लिए संकेतन में कई भिन्नताएँ पाई जा सकती हैं।

निषेध
सार्वभौमिक क्वांटिफायर को अस्तित्वगत क्वांटिफायर में बदलकर और क्वांटिफाइड फॉर्मूला को अस्वीकार करके सार्वभौमिक क्वांटिफाइड फ़ंक्शन की अस्वीकृति प्राप्त की जाती है। वह है,
 * $$\lnot \forall x\; P(x)\quad\text {is equivalent to}\quad \exists x\;\lnot P(x) $$

जहाँ $$\lnot$$ निषेध को दर्शाता है।

उदाहरण के लिए, यदि $P(x)$ प्रस्तावक कार्य $x$ विवाहित है, तो सभी जीवित मनुष्यों के सेट X के लिए सार्वभौमिक परिमाणीकरण "किसी भी जीवित व्यक्ति $x$ को देखते हुए, वह व्यक्ति विवाहित है" लिखा है
 * $$\forall x \in X\, P(x)$$

यह कथन असत्य है। सच तो यह कहा गया है "ऐसा नहीं है कि, किसी भी जीवित व्यक्ति $x$ को देखते हुए वह व्यक्ति विवाहित है" या, प्रतीकात्मक रूप से:
 * $$\lnot\ \forall x \in X\, P(x)$$.

यदि फलन $P(x)$ के प्रत्येक अवयव के लिए सत्य नहीं है $X$, तो कम से कम एक अवयव होना चाहिए जिसके लिए कथन गलत हो, निषेध $$\forall x \in X\, P(x)$$ तार्किक रूप से एक जीवित व्यक्ति के अस्तित्व के बराबर है $x$ जो विवाहित नहीं है या:
 * $$\exists x \in X\, \lnot P(x)$$

यह भ्रमित करना गलत है कि सभी व्यक्ति विवाहित नहीं हैं (अर्थात ऐसा कोई व्यक्ति मौजूद नहीं है जो विवाहित है) सभी व्यक्ति विवाहित नहीं हैं (अर्थात एक ऐसा व्यक्ति मौजूद है जो विवाहित नहीं है):
 * $$\lnot\ \exists x \in X\, P(x) \equiv\ \forall x \in X\, \lnot P(x) \not\equiv\ \lnot\ \forall x\in X\, P(x) \equiv\ \exists x \in X\, \lnot P(x)$$

अन्य संयोजक
सार्वभौमिक (और अस्तित्वगत) क्वांटिफायर तार्किक संयोजनों में अपरिवर्तित चलता है तार्किक संयोजन|∧, तार्किक संयोजन|∨, भौतिक सशर्त|→, और विलोम गैर-प्रत्यारोपण|↚, जब तक अन्य संकार्य प्रभावित नहीं होता है वह है:


 * $$\begin{align}

P(x) \land (\exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) &\equiv\ \exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \land Q(y)) \\ P(x) \lor (\exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) &\equiv\ \exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \lor Q(y)),& \text{provided that } \mathbf{Y}\neq \emptyset \\ P(x) \to  (\exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) &\equiv\ \exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \to Q(y)),& \text{provided that } \mathbf{Y}\neq \emptyset \\ P(x) \nleftarrow (\exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) &\equiv\ \exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \nleftarrow Q(y)) \\ P(x) \land (\forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) &\equiv\ \forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \land Q(y)),& \text{provided that } \mathbf{Y}\neq \emptyset \\ P(x) \lor (\forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) &\equiv\ \forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \lor Q(y)) \\ P(x) \to  (\forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) &\equiv\ \forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \to Q(y)) \\ P(x) \nleftarrow (\forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) &\equiv\ \forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \nleftarrow Q(y)),& \text{provided that } \mathbf{Y}\neq \emptyset \end{align}$$ इसके विपरीत, तार्किक संयोजकों के लिए शेफर स्ट्रोक|↑, तार्किक NOR|↓, सामग्री गैर-अनुप्रयोग|↛, और विलोम निहितार्थ|← के लिए क्वांटिफायर फ़्लिप करते हैं:


 * $$\begin{align}

P(x) \uparrow (\exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) & \equiv\ \forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \uparrow Q(y)) \\ P(x) \downarrow (\exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) & \equiv\ \forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \downarrow Q(y)),& \text{provided that } \mathbf{Y}\neq \emptyset \\ P(x) \nrightarrow (\exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) & \equiv\ \forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \nrightarrow Q(y)),& \text{provided that } \mathbf{Y}\neq \emptyset \\ P(x) \gets (\exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) & \equiv\ \forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \gets Q(y)) \\ P(x) \uparrow (\forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) & \equiv\ \exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \uparrow Q(y)),& \text{provided that } \mathbf{Y}\neq \emptyset \\ P(x) \downarrow (\forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) & \equiv\ \exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \downarrow Q(y)) \\ P(x) \nrightarrow (\forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) & \equiv\ \exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \nrightarrow Q(y)) \\ P(x) \gets (\forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) & \equiv\ \exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \gets Q(y)),& \text{provided that } \mathbf{Y}\neq \emptyset \\ \end{align}$$

अनुमान के नियम
अनुमान का नियम वह नियम है जो परिकल्पना से निष्कर्ष तक एक तार्किक कदम को सही ठहराता है। अनुमान के कई नियम हैं जो सार्वभौम परिमाणक का उपयोग करते हैं।

सार्वभौम इन्स्टेन्शियशन का निष्कर्ष है कि, यदि प्रस्तावनात्मक फलन सार्वभौमिक रूप से सत्य के रूप में जाना जाता है, तो यह प्रवचन के ब्रह्मांड के किसी भी विवेकाधीन तत्व के लिए सत्य होना चाहिए। प्रतीकात्मक रूप से इसे इस रूप में दर्शाया गया है


 * $$ \forall{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x) \to P(c)$$

जहाँ c प्रवचन के ब्रह्मांड का एक पूरी तरह से विवेकाधीन तत्व है।

सार्वभौम सामान्यीकरण निष्कर्ष निकालता है कि प्रवचन के ब्रह्मांड के किसी भी विवेकाधीन तत्व के लिए अगर यह सच है तो प्रस्तावित कार्य सार्वभौमिक रूप से सत्य होना चाहिए। सांकेतिक रूप से विवेकाधीन c के लिए,


 * $$ P(c) \to\ \forall{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x).$$

तत्व c पूरी तरह से विवेकाधीन होना चाहिए अन्यथा तर्क का पालन नहीं होता है: यदि c विवेकाधीन नहीं है और इसके बजाय प्रवचन के ब्रह्मांड का एक विशिष्ट तत्व है, तो p (c) केवल प्रस्तावात्मक कार्य के एक अस्तित्वगत परिमाण का तात्पर्य है।

खाली सेट
सम्मेलन द्वारा, सूत्र $$\forall{x}{\in}\emptyset \, P(x)$$ सूत्र P(x) पर ध्यान दिए बिना सूत्र हमेशा सत्य होता है।

सार्वभौमिक क्लोजर
सूत्र φ का सार्वभौमिक समापन सूत्र है जिसमें φ में प्रत्येक मुक्त चर के लिए एक सार्वभौमिक क्वांटिफायर जोड़कर कोई मुक्त चर प्राप्त नहीं होता है। उदाहरण के लिए, का सार्वभौमिक क्लोजर
 * $$P(y) \land \exists x Q(x,z)$$

है
 * $$\forall y \forall z ( P(y) \land \exists x Q(x,z))$$

सटे के रूप में
श्रेणी सिद्धांत और प्राथमिक टोपोस के सिद्धांत में, सार्वभौमिक क्वांटिफायर को सत्ता स्थापित  के बीच एक  ऑपरेटर  के सही आसन्न के रूप में समझा जा सकता है, सेट के बीच एक समारोह के उलटा छवि फ़ैक्टर; इसी तरह, अस्तित्वगत परिमाणक बायाँ सन्निकट है। एक सेट के लिए $$X$$, होने देना $$\mathcal{P}X$$ इसके सत्ता स्थापित  को निरूपित करें। किसी समारोह के लिए $$f:X\to Y$$ सेट के बीच $$X$$ और $$Y$$, एक व्युत्क्रम छवि फ़ैक्टर है $$f^*:\mathcal{P}Y\to \mathcal{P}X$$ पॉवरसेट के बीच, जो f के कोडोमेन के सबसेट को उसके डोमेन के सबसेट में वापस ले जाता है। इस फ़ंक्टर का बायाँ सन्निकट अस्तित्वगत परिमाणक है $$\exists_f$$ और दायां सन्निकट सार्वत्रिक परिमाणक है $$\forall_f$$.

वह है, $$\exists_f\colon \mathcal{P}X\to \mathcal{P}Y$$ एक कारक है कि, प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए $$S \subset X$$, सबसेट देता है $$\exists_f S \subset Y$$ द्वारा दिए गए
 * $$\exists_f S =\{ y\in Y \;|\; \exists x\in X.\ f(x)=y \quad\land\quad x\in S \},$$

वे $$y$$ की छवि में $$S$$ अंतर्गत $$f$$. इसी प्रकार, सार्वभौमिक क्वांटिफायर $$\forall_f\colon \mathcal{P}X\to \mathcal{P}Y$$ एक कारक है कि, प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए $$S \subset X$$, सबसेट देता है $$\forall_f S \subset Y$$ द्वारा दिए गए
 * $$\forall_f S =\{ y\in Y \;|\; \forall x\in X.\ f(x)=y \quad\implies\quad x\in S \},$$

वे $$y$$ जिसके तहत प्रीइमेज है $$f$$ में निहित है $$S$$.

क्वांटिफायर का अधिक परिचित रूप, जैसा कि प्रथम-क्रम तर्क में उपयोग किया जाता है, फ़ंक्शन f को अद्वितीय फ़ंक्शन के रूप में ले कर प्राप्त किया जाता है। $$!:X \to 1$$ ताकि $$\mathcal{P}(1) = \{T,F\}$$ मान को सही और गलत रखने वाला दो-तत्व सेट है, एक उपसमुच्चय S वह उपसमुच्चय है जिसके लिए विधेय (गणितीय तर्क) $$S(x)$$ रखता है, और
 * $$\begin{array}{rl}\mathcal{P}(!)\colon \mathcal{P}(1) & \to \mathcal{P}(X)\\ T &\mapsto X \\ F &\mapsto \{\}\end{array}$$
 * $$\exists_! S = \exists x. S(x),$$

जो सच है अगर $$S$$ खाली नहीं है, और
 * $$\forall_! S = \forall x. S(x),$$

जो असत्य है यदि S, X नहीं है।

ऊपर दिए गए सार्वभौमिक और अस्तित्वगत क्वांटिफायर्स प्रीशेफ श्रेणी को सामान्यीकृत करते हैं।

यह भी देखें

 * अस्तित्वगत परिमाणीकरण
 * पहले क्रम का तर्क
 * तर्क प्रतीकों की सूची - यूनिकोड प्रतीक ∀ के लिए

संदर्भ

 * (ch. 2)
 * (ch. 2)