न्यूनतम-वर्ग वर्णक्रमीय विश्लेषण

न्यूनतम-वर्ग वर्णक्रमीय विश्लेषण (एलएसएसए) फूरियर विश्लेषण के समान, डेटा नमूनों में साइन तरंगों के न्यूनतम-वर्ग फिट के आधार पर वर्णक्रमीय घनत्व अनुमान या अवलोकन का आकलन करने की विधि है। फूरियर विश्लेषण, विज्ञान में सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली वर्णक्रमीय विधि, सामान्यतः लंबे और गैप वाले रिकॉर्ड में लंबी-आवधिक ध्वनि को बढ़ाती है; एलएसएसए ऐसी समस्याओं को कम करता है। जो की फूरियर विश्लेषण के विपरीत, एलएसएसए का उपयोग करने के लिए डेटा को समान रूप से स्थान देने की आवश्यकता नहीं है।

इस प्रकार से 1969 में विकसित किया गया है और 1971, एलएसएसए को वानीसेक विधि के रूप में भी जाना जाता है और गॉस-वानीसेक विधि पेट्र वानीसेक के पश्चात, और लोम्ब विधि के रूप में या लोम्ब-स्कार्गल पेरियोडोग्राम, निकोलस आर. लोम्ब द्वारा प्रथम सरलीकरण पर आधारित हैं और फिर जेफरी डी. स्कार्गल द्वारा व्यक्त किया गया है ।

ऐतिहासिक पृष्ठभूमि
फूरियर विश्लेषण, पेरिओडोग्राम और साइनसोइड्स की न्यूनतम-वर्ग फिटिंग के मध्य घनिष्ठ संबंध लंबे समय से ज्ञात हैं। चूंकि, अधिकांश विकास समान दूरी वाले नमूनों के पूर्ण डेटा समुच्चय तक ही सीमित हैं।किन्तु 1963 में, सेंट्रम विस्कुंडे और इंफॉर्मेटिका, एम्स्टर्डम के फ्रीक जे. एम. बार्निंग ने समान विधियों द्वारा असमान दूरी वाले डेटा को संभाला गया, और वर्तमान समय में जिसे लोम्ब विधि कहा गया है उसके समतुल्य पीरियोडोग्राम विश्लेषण और ऐसे पीरियोडोग्राम से निर्धारित साइनसोइड्स की चयनित आवृत्तियों की न्यूनतम-वर्ग फिटिंग दोनों को सम्मिलित करना - और प्रक्रिया द्वारा जुड़ा हुआ है जिसे आज पोस्ट-बैक फिटिंग के साथ मिलान खोज के रूप में जाना जाता है। या ऑर्थोगोनल मिलान खोज की गयी थी ।

इस प्रकार से न्यू ब्रंसविक विश्वविद्यालय के कनाडाई भूभौतिकी और भूगणित विशेषज्ञ पेट्र वानीसेक ने 1969 में समान और असमान स्थान वाले डेटा के लिए मिलान-अनुसंधान दृष्टिकोण का प्रस्ताव रखा, जिसे उन्होंने क्रमिक वर्णक्रमीय विश्लेषण और परिणाम को न्यूनतम-वर्ग आवर्त सारणी कहा गया । उन्होंने साधारण माध्य से परे किसी भी व्यवस्थित घटक, जैसे कि अज्ञात परिमाण की अनुमानित रैखिक (द्विघात, घातीय, ...) धर्मनिरपेक्ष प्रवृत्ति को ध्यान में रखते हुए इस विधि को सामान्यीकृत किया, और इसे 1971 में विभिन्न नमूनों पर प्रयुक्त किया।

किन्तु वानीसेक की न्यूनतम-वर्ग विधि को 1976 में सिडनी विश्वविद्यालय के निकोलस आर. लोम्ब द्वारा सरल बनाया गया, जिन्होंने पीरियोडोग्राम विश्लेषण के साथ इसके घनिष्ठ संबंध की ओर संकेत किया गया । इसके अतिरिक्त, नासा एम्स रिसर्च सेंटर के जेफरी डी. स्कार्गल द्वारा असमान दूरी वाले डेटा के पीरियडोग्राम की परिभाषा को संशोधित और विश्लेषण किया गया था । जिन्होंने दिखाया कि, कुछ परिवर्तनों के साथ, यह व्यक्तिगत साइनसॉइड आवृत्तियों को फिट करने के लिए लोम्ब के न्यूनतम-वर्ग सूत्र के समान हो जाता है।

चूंकि स्कार्गल का विचार इस प्रकार से है कि उनका पेपर किसी नई पहचान विधि का परिचय नहीं देता है, किन्तु सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली विधि, पीरियोडोग्राम के साथ पता लगाने की विश्वसनीयता और दक्षता का अध्ययन करता है, ऐसे स्तिथियों में जहां अवलोकन समय असमान रूप से फैली हुई समय श्रृंखला है, और इसके अतिरिक्त व्यक्त किया हैं की पेरियोडोग्राम विश्लेषण की तुलना में साइनसोइड्स की न्यूनतम-वर्ग फिटिंग, कि उनका पेपर स्पष्ट रूप से प्रथम बार स्थापित किया गया है, कि (प्रस्तावित संशोधनों के साथ) ये दो विधियां बिल्कुल समान हैं।

प्रेस विकास को इस प्रकार सारांशित करता है:

"असमान रूप से नमूना किए गए डेटा के लिए वर्णक्रमीय विश्लेषण की एक पूर्ण रूप से अलग विधि, जो इन कठिनाइयों को कम करती है और इसमें कुछ अन्य बहुत ही वांछनीय गुण हैं, लोम्ब द्वारा विकसित किया गया था, जो आंशिक रूप से बार्निंग और वेनिसेक के प्रथम कार्य पर आधारित था, और इसके अतिरिक्त स्कार्गल द्वारा विस्तृत किया गया था।"

चूंकि 1989 में, किंग्स्टन में क्वींस यूनिवर्सिटी के माइकल जे. कोरेनबर्ग|किंग्स्टन, ओन्टारियो में क्वींस यूनिवर्सिटी ने स्पेक्ट्रा या अन्य समस्याओं के निकट-इष्टतम अपघटन को अधिक तीव्र ी से ढूंढने के लिए तीव्र ऑर्थोगोनल खोज विधि विकसित की, उस विधि के समान जिसे बाद में ऑर्थोगोनल मिलान खोज के रूप में जाना जाने लगा।

वैनिसेक विधि
वानीसेक विधि में, अलग डेटा समुच्चय को मानक रैखिक प्रतिगमन या न्यूनतम-वर्ग फिट का उपयोग करके उत्तरोत्तर निर्धारित आवृत्तियों के साइनसॉइड के भारित योग द्वारा अनुमानित किया जाता है। आवृत्तियों को बार्निंग के समान विधि का उपयोग करके चुना जाता है, किन्तु आवृत्ति को चुनकर प्रत्येक क्रमिक नई आवृत्ति की पसंद को अनुकूलित करने में आगे बढ़ते हुए, जो कम से कम वर्ग फिटिंग के बाद अवशिष्ट को कम करता है (फिटिंग विधि के समान जिसे अब प्री- के साथ मिलान खोज के रूप में जाना जाता है बैकफ़िटिंग ). साइनसॉइड की संख्या डेटा नमूनों की संख्या से कम या उसके समान होनी चाहिए (समान आवृत्ति के साइन और कोसाइन को अलग-अलग साइनसॉइड के रूप में गिनना)।

जिससे डेटा वेक्टर Φ को साइनसॉइडल आधार फलन के भारित योग के रूप में दर्शाया जाता है, जिसे वेट वेक्टर x के साथ नमूना समय पर प्रत्येक फलन का मूल्यांकन करके मैट्रिक्स 'A ' में सारणीबद्ध किया जाता है:


 * $$\phi \approx \textbf{A}x$$,

जहां वेट वेक्टर x को अनुमानित Φ में वर्ग त्रुटियों के योग को कम करने के लिए चुना जाता है। मानक रैखिक प्रतिगमन का उपयोग करते हुए, x का समाधान बंद-रूप में है:


 * $$x = (\textbf{A}^{\mathrm{T}}\textbf{A})^{-1}\textbf{A}^{\mathrm{T}}\phi.$$

जहाँ मैट्रिक्स ए नमूना समय पर मूल्यांकन किए जाने पर पारस्परिक रूप से स्वतंत्र (आवश्यक नहीं कि ऑर्थोगोनल) फलन के किसी भी समुच्चय पर आधारित हो सकता है; वर्णक्रमीय विश्लेषण के लिए उपयोग किए जाने वाले फलन सामान्यतः साइन और कोसाइन होते हैं जो ब्याज की आवृत्ति सीमा पर समान रूप से वितरित होते हैं। यदि हम बहुत संकीर्ण आवृत्ति रेंज में बहुत अधिक आवृत्तियों का चयन करते हैं, तो फलन अपर्याप्त रूप से स्वतंत्र होंगे, मैट्रिक्स व्यर्थ स्थिति में होगा, और परिणामी स्पेक्ट्रम अर्थहीन होता है ।

किन्तु जब A में आधार फलन ऑर्थोगोनल होते हैं (अर्थात, सहसंबद्ध नहीं होते हैं, जिसका अर्थ है कि कॉलम में शून्य जोड़ी-वार डॉट उत्पाद हैं), मैट्रिक्स ATA विकर्ण है; जब सभी स्तंभों की पॉवर (तत्वों के वर्गों का योग) समान होती है, तो वह मैट्रिक्स पहचान मैट्रिक्स गुणा स्थिरांक होता है, इसलिए व्युत्क्रम तुच्छ होता है। उत्तरार्द्ध वह स्तिथि होती है जब नमूना समय समान दूरी पर होते हैं और साइनसॉइड को साइन और कोसाइन के रूप में चुना जाता है जो आवृत्ति अंतराल 0 से आधे चक्र प्रति नमूना पर जोड़े में समान दूरी पर होते हैं (प्रति नमूना 1/N चक्र द्वारा अंतर किया जाता है, साइन वेरिएबल णों को 0 पर छोड़ दिया जाता है) और अधिकतम आवृत्ति जहां वे समान रूप से शून्य हैं)। इस स्तिथियों को असतत फूरियर रूपांतरण के रूप में जाना जाता है, जिसे माप और गुणांक के संदर्भ में थोड़ा फिर से लिखा गया है।


 * $$x = \textbf{A}^{\mathrm{T}}\phi$$ - अदिश कारक के अन्दर N समान दूरी वाले नमूनों और आवृत्तियों के लिए डीएफटी स्तिथि है ।

लोम्ब विधि
इस प्रकार से 1976 में वानीसेक पद्धति के कम्प्यूटेशनल बोझ को कम करने की प्रयास की जा रही थी (अब कोई मुद्दा नहीं), लोम्ब ने समान आवृत्ति के साइन और कोसाइन आधारों के मध्य जोड़ी-वार सहसंबंधों को छोड़कर, सामान्य रूप से उपरोक्त सरलीकरण का उपयोग करने का प्रस्ताव दिया, क्योंकि साइनसोइड्स के जोड़े के मध्य सहसंबंध सदैव छोटे होते हैं, कम से कम जब वे कसकर नहीं होते हैं दूरी यह सूत्रीकरण अनिवार्य रूप से पारंपरिक पीरियडोग्राम जैसा है किन्तु असमान दूरी वाले नमूनों के साथ उपयोग के लिए अनुकूलित किया गया है। वेक्टर x अंतर्निहित स्पेक्ट्रम का अधिक अच्छा अनुमान है, किन्तु चूंकि हम किसी भी सहसंबंध को नहीं देखते हैं, 'A'x अब सिग्नल के लिए अच्छा सन्निकटन नहीं है, और यह विधि अब न्यूनतम-वर्ग विधि नहीं है - फिर भी साहित्य में अभी भी इसी रूप में संदर्भित किया जाता है।

सीधे साइन और कोसाइन तरंगों के साथ डेटा के डॉट उत्पादों को लेने के अतिरिक्त, स्कार्गल ने समय विलंब का पता लगाने के लिए मानक पीरियडोग्राम फॉर्मूला $$\tau$$ को संशोधित किया गया । सबसे पहले, जैसे कि साइनसोइड्स की यह जोड़ी नमूना समय $$t_j$$पर पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल होगी और आवृत्ति पर पॉवर का बेहतर अनुमान प्राप्त करने के लिए, इन दो आधार फलन की संभावित असमान पॉवर यों के लिए भी समायोजित किया गया है। इस प्रक्रिया ने उनकी संशोधित आवर्तलेख विधि को बिल्कुल लोम्ब की विधि के समकक्ष बना दिया। समय विलंब $$\tau$$ परिभाषा के अनुसार के समान है


 * $$\tan{2 \omega \tau} = \frac{\sum_j \sin 2 \omega t_j}{\sum_j \cos 2 \omega t_j}.

$$ फिर आवृत्ति पर पीरियडोग्राम $$\omega$$ इस प्रकार अनुमानित है:


 * $$P_x(\omega) = \frac{1}{2}

\left( \frac { \left[ \sum_j X_j \cos \omega ( t_j - \tau ) \right] ^ 2}        { \sum_j \cos^2 \omega ( t_j - \tau ) } + \frac {\left[ \sum_j X_j \sin \omega ( t_j - \tau ) \right] ^ 2}        { \sum_j \sin^2 \omega ( t_j - \tau ) } \right) $$,

जिसका, स्कार्गल की रिपोर्ट के अनुसार, समान रूप से नमूने वाले स्तिथियों में पीरियोडोग्राम के समान सांख्यिकीय वितरण है।

किसी भी व्यक्तिगत आवृत्ति पर $$\omega$$, यह विधि वही पॉवर देती है जो न्यूनतम-वर्ग उस आवृत्ति और रूप के साइनसोइड्स में फिट होती है:


 * $$\phi(t) = A \sin \omega t + B \cos \omega t.$$

वास्तविक रूओप में, यह तय करना सदैव कठिन होता है कि दिया गया लोम्ब शिखर महत्वपूर्ण है या नहीं, महत्वपूर्ण रूप से जब ध्वनि की प्रकृति अज्ञात है, इसलिए उदाहरण के लिए ध्वनि आवधिक संकेत के लोम्ब पीरियोडोग्राम विश्लेषण में गलत-अलार्म वर्णक्रमीय शिखर का परिणाम हो सकता है अशांति डेटा में शोर. पैच-अप या अन्यथा संपादित डेटा का विश्लेषण करते समय फूरियर विधियां असत्य वर्णक्रमीय चोटियों की रिपोर्ट भी कर सकती हैं।

सामान्यीकृत लोम्ब-स्कार्गल पीरियडोग्राम
मानक लोम्ब-स्कार्गल पीरियोडोग्राम केवल शून्य माध्य वाले मॉडल के लिए मान्य है। सामान्यतः, इसका अनुमान लगाया जाता है - आवर्त सारणी की गणना करने से प्रतःम डेटा का माध्य घटाकर। चूंकि , यह असत्य धारणा है जब मॉडल (फिट किए गए साइनसॉइड) का माध्य गैर-शून्य है। सामान्यीकृत लोम्ब-स्कार्गल पीरियडोग्राम इस धारणा को हटा देता है और माध्य के लिए स्पष्ट रूप से हल करता है। इस स्तिथियों में, फलन फिट है


 * $$\phi(t) = A \sin \omega t + B \cos \omega t + C.$$

सामान्यीकृत लोम्ब-स्कार्गल पेरियोडोग्राम को साहित्य में फ्लोटिंग माध्य पेरियोडोग्राम के रूप में भी संदर्भित किया गया है।

कोरेनबर्ग की तीव्र ऑर्थोगोनल खोज विधि
किंग्स्टन में क्वींस यूनिवर्सिटी के माइकल कोरेनबर्ग|किंग्स्टन, ओंटारियो में क्वींस यूनिवर्सिटी ने अति-पूर्ण समुच्चय से घटकों के विरल समुच्चय को चुनने के लिए विधि विकसित की - जैसे कि वर्णक्रमीय विश्लेषण के लिए साइनसॉइडल घटक - जिसे फास्ट ऑर्थोगोनल सर्च (एफओएस) कहा जाता है। गणितीय रूप से, एफओएस माध्य-वर्ग त्रुटि कटौती (एमएसईआर) प्रक्रिया में थोड़ा संशोधित चोल्स्की अपघटन का उपयोग करता है, जिसे विरल मैट्रिक्स व्युत्क्रम के रूप में कार्यान्वित किया जाता है। अन्य एलएसएसए विधियों की तरह, एफओएस असतत फूरियर विश्लेषण की बड़ी कमी से बचाता है, इसलिए यह एम्बेडेड आवधिकों की स्पष्ट पहचान कर सकता है और असमान स्थान वाले डेटा के साथ उत्कृष्टता प्राप्त कर सकता है। तीव्र ऑर्थोगोनल खोज पद्धति को अन्य समस्याओं, जैसे नॉनलाइनियर प्रणाली पहचान, पर भी प्रयुक्त किया गया था।

पामर की ची-वर्ग विधि
पामर ने हार्मोनिक्स की किसी भी चुनी हुई संख्या के लिए सबसे उपयुक्त फलन खोजने के लिए विधि विकसित की है, जिससे गैर-साइनसॉइडल हार्मोनिक फलन को खोजने में अधिक स्वतंत्रता मिलती है। गैर-समान मानक त्रुटियों के साथ मनमाने ढंग से दूरी वाले डेटा पर न्यूनतम-वर्ग विश्लेषण या भारित न्यूनतम-वर्ग भारित न्यूनतम-वर्ग विश्लेषण के लिए उनकी तीव्र (फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म-आधारित) विधि है। इस विधि को प्रयुक्त करने वाला स्रोत कोड उपलब्ध किया गया है।

क्योंकि डेटा को सदैव समान रूप से अलग-अलग समय पर नमूना नहीं लिया जाता है, यह विधि नमूना समय पर समय श्रृंखला सरणी को कम भरकर डेटा को ग्रिड करती है। सभी मध्यवर्ती ग्रिड बिंदुओं को शून्य सांख्यिकीय भार प्राप्त होता है, जो नमूनों के मध्य कई बार अनंत त्रुटि पट्टियों के समान होता है।

अनुप्रयोग
इस प्रकार से एलएसएसए की सबसे अधिक उपयोगी विशेषता अपूर्ण रिकॉर्ड को आवृत्ति स्पेक्ट्रम विश्लेषण करने में सक्षम बनाना है - डेटा हेरफेर डेटा की आवश्यकता के बिना या अन्यथा गैर-उपस्तिथ डेटा का आविष्कार करने की आवश्यकता के बिना किया जाता है ।

जिससे एलएसएसए आवृत्ति स्पेक्ट्रम में परिमाण (गणित) समय श्रृंखला के विवेरिएबल ण में आवृत्ति या अवधि के योगदान को दर्शाता है। सामान्यतः, इस प्रकार परिभाषित वर्णक्रमीय परिमाण आउटपुट के सीधे महत्व स्तर शासन को सक्षम करते हैं। वैकल्पिक रूप से, वानीसेक स्पेक्ट्रम में वर्णक्रमीय परिमाण को डेसिबल में भी व्यक्त किया जा सकता है। ध्यान दें कि वानीसेक स्पेक्ट्रम में वर्णक्रमीय परिमाण बीटा वितरण β-वितरण का अनुसरण करते हैं।

वानीसेक के एलएसएसए का व्युत्क्रम परिवर्तन संभव है, जैसा कि फॉरवर्ड ट्रांसफॉर्म को मैट्रिक्स के रूप में लिखकर सबसे सरलता से देखा जा सकता है; मैट्रिक्स व्युत्क्रम (जब मैट्रिक्स एकवचन नहीं है) या छद्म-व्युत्क्रम तब व्युत्क्रम परिवर्तन होगा; यदि चयनित साइनसॉइड नमूना बिंदुओं पर परस्पर स्वतंत्र हैं और उनकी संख्या डेटा बिंदुओं की संख्या के समान है, तो व्युत्क्रम मूल डेटा से सही मेल रखता है । पीरियोडोग्राम विधि के लिए ऐसी कोई व्युत्क्रम प्रक्रिया ज्ञात नहीं है।

कार्यान्वयन
एलएसएसए को एमएटीएलएबी कोड के पेज से भी कम समय में प्रयुक्त किया जा सकता है। संक्षेप में: न्यूनतम-वर्ग स्पेक्ट्रम की गणना करने के लिए हमें m वर्णक्रमीय मानों की गणना करनी चाहिए ... जिसमें प्रत्येक बार अलग आवृत्ति के लिए [वर्णक्रमीय पॉवर ] प्राप्त करने के लिए न्यूनतम-वर्ग सन्निकटन m बार निष्पादित करना सम्मिलित है। अर्थात, आवृत्तियों के वांछित समुच्चय में प्रत्येक आवृत्ति के लिए, डेटा नमूनों के अनुरूप समय पर उन लोगों के और कोज्या फलन का मूल्यांकन किया जाता है, और साइनसॉइड वैक्टर के साथ डेटा समन्वय वेक्टर के डॉट उत्पादों को लिया जाता है और उचित रूप से सामान्यीकृत किया जाता है; लोम्ब/स्कार्गल पीरियोडोग्राम के रूप में जानी जाने वाली विधि का पालन करते हुए, डॉट उत्पाद से पहले साइन और कोसाइन घटकों को ऑर्थोगोनलाइज़ करने के लिए प्रत्येक आवृत्ति के लिए समय परिवर्तन की गणना की जाती है; अंततः, उन दो आयाम घटकों से पॉवर की गणना की जाती है। यही प्रक्रिया असतत फूरियर रूपांतरण को कार्यान्वित करती है जब डेटा समय में समान रूप से दूरी पर होता है और चुनी गई आवृत्तियाँ परिमित डेटा रिकॉर्ड पर चक्रों की पूर्णांक संख्याओं के अनुरूप होती हैं।

यह विधि प्रत्येक साइनसॉइडल घटक का स्वतंत्र रूप से या संदर्भ से बाहर वास्तविक करती है, भले ही वे डेटा बिंदुओं के लिए ऑर्थोगोनल न हों; यह वानीसेक की मूल विधि है। इसके अतिरिक्त, मैट्रिक्स समीकरण को हल करके और निर्दिष्ट साइनसॉइड आवृत्तियों के मध्य कुल डेटा विवेरिएबल ण को विभाजित करके पूर्ण साथ या संदर्भ में न्यूनतम-वर्ग फिट करना संभव है। ऐसा मैट्रिक्स न्यूनतम-वर्ग समाधान एमएटीएलएबी में बैकस्लैश ऑपरेटर के रूप में मूल रूप से उपलब्ध किये जाते है।

इसके अतिरिक्त, साथ या इन-संदर्भ विधि, स्वतंत्र या आउट-ऑफ-संदर्भ संस्करण (साथ ही लोम्ब के कारण पीरियडोग्राम संस्करण) के विपरीत, डेटा नमूनों की तुलना में अधिक घटकों (साइन और कोसाइन) को फिट नहीं कर सकती है, इसलिए वह:

""... यदि चयनित आवृत्तियों के परिणामस्वरूप कुछ फूरियर घटक (ट्रिग फलन ) एक दूसरे के साथ लगभग रैखिक रूप से निर्भर हो जाते हैं, तो गंभीर परिणाम भी उत्पन्न हो सकते हैं, जिससे एक व्यर्थ स्थिति या एकवचन एन के निकट उत्पादन होता है। ऐसी बीमार कंडीशनिंग से बचने के लिए यह बन जाता है या तो अनुमान लगाने के लिए आवृत्तियों के एक अलग सेट का चयन करना आवश्यक है (उदाहरण के लिए, समान रूप से दूरी वाली आवृत्तियों) या बस एन (अर्थात, ऑफ-विकर्ण ब्लॉक) में सहसंबंधों की उपेक्षा करें और अलग-अलग आवृत्तियों के लिए व्युत्क्रम न्यूनतम वर्गों को अलग-अलग रूपांतरित करने का अनुमान लगाएं... ""

दूसरी ओर, लोम्ब की पीरियोडोग्राम विधि, मानक पीरियोडोग्राम की तरह, आवृत्ति घटकों की मनमाने ढंग से उच्च संख्या या घनत्व का उपयोग कर सकती है; अर्थात्, आवृत्ति डोमेन को मनमाना कारक द्वारा अति-नमूना किया जा सकता है। चूंकि, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, किसी को यह ध्यान में रखना चाहिए कि लोम्ब के सरलीकरण और न्यूनतम वर्ग मानदंड से विचलन ने उनकी विधि को त्रुटियों के गंभीर स्रोतों तक खोल दिया, जिसके परिणामस्वरूप असत्य वर्णक्रमीय चोटियाँ भी सामने आईं थी ।

इस प्रकार से फ़ोरियर विश्लेषण में, जैसे कि फूरियर रूपांतरण और असतत फ़ोरियर ट्रांसफ़ॉर्म, डेटा में फिट किए गए साइनसोइड्स सभी परस्पर ऑर्थोगोनल होते हैं, इसलिए सरल आउट-ऑफ़-संदर्भ डॉट-प्रोडक्ट-आधारित प्रक्षेपण के आधार फलन बनाम इन-फलन के मध्य कोई अंतर नहीं होता है। संदर्भ साथ न्यूनतम-वर्ग फिट; अर्थात्, विभिन्न आवृत्तियों के ऑर्थोगोनल साइनसोइड्स के मध्य विवेरिएबल ण को न्यूनतम-वर्ग विभाजन के लिए किसी मैट्रिक्स व्युत्क्रम की आवश्यकता नहीं होती है। अतीत में, फ़ोरियर अपने प्रसंस्करण-कुशल तीव्र फ़ोरियर रूपांतरण कार्यान्वयन के कारण कई लोगों के लिए पसंद की विधि थी, जब समान दूरी वाले नमूनों के साथ पूर्ण डेटा रिकॉर्ड उपलब्ध होते हैं, और उन्होंने गैप रिकॉर्ड का विश्लेषण करने के लिए विधियों के फ़ोरियर परिवार का भी उपयोग किया, जो, चूंकि, फूरियर-आधारित एल्गोरिदम को चलाने में सक्षम होने के लिए गैर-उपस्तिथ डेटा में हेरफेर और जहाँ तक ​​कि आविष्कार की आवश्यकता होती है।

यह भी देखें

 * गैर-समान असतत फूरियर रूपांतरण
 * ऑर्थोगोनल फलन
 * सिगस्पेक
 * साइनसोइडल मॉडल
 * वर्णक्रमीय घनत्व
 * प्रतिस्पर्धी विकल्पों के लिए वर्णक्रमीय घनत्व अनुमान

बाहरी संबंध

 * एलएसएसए package freeware download, FORTRAN, Vaníček's least-squares spectral analysis method, from the University of New Brunswick.
 * LSWAVE package freeware download, एमएटीएलएबी, includes the Vaníček's least-squares spectral analysis method, from the U.S. National Geodetic Survey.
 * एलएसएसए software freeware download (via ftp), FORTRAN, Vaníček's method, from the Natural Resources Canada.