पारस्परिकता (विद्युत चुंबकत्व)

मैक्सवेल के समीकरणों में, पारस्परिकता विभिन्न प्रकार के संबंधित प्रमेयों को संदर्भित करती है जिसमें समय-हार्मोनिक (गणित) विद्युत प्रवाह घनत्व (स्रोत) के आदान-प्रदान और मैक्सवेल के समीकरणों में परिणामी विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों को कुछ बाधाओं के तहत समय-अपरिवर्तनीय रैखिक मीडिया के लिए शामिल किया गया है। पारस्परिकता विद्युत चुंबकत्व पर लागू रैखिक बीजगणित से हर्मिटियन ऑपरेटरों की अवधारणा से निकटता से संबंधित है।

शायद सबसे आम और सामान्य ऐसी प्रमेय लोरेंत्ज़ पारस्परिकता (और इसके विभिन्न विशेष मामले जैसे रेले-कार्सन पारस्परिकता) है, जिसका नाम 1896 में हेंड्रिक लोरेंत्ज़ द्वारा काम के बाद रखा गया था, लॉर्ड रेले द्वारा ध्वनि और हेल्महोल्ट्ज़ द्वारा प्रकाश के अनुरूप परिणामों के बाद (पॉटन, 2004). ढीले ढंग से, यह बताता है कि एक दोलनशील धारा और परिणामी विद्युत क्षेत्र के बीच संबंध अपरिवर्तित रहता है यदि कोई उन बिंदुओं को बदल देता है जहां वर्तमान को रखा गया है और जहां क्षेत्र को मापा जाता है। विद्युत नेटवर्क के विशिष्ट मामले के लिए, इसे कभी-कभी कथन के रूप में अभिव्यक्त किया जाता है कि नेटवर्क में विभिन्न बिंदुओं पर वोल्टेज और वर्तमान (बिजली) का आदान-प्रदान किया जा सकता है। अधिक तकनीकी रूप से, यह अनुसरण करता है कि दूसरे सर्किट के कारण पहले सर्किट का पारस्परिक प्रतिबाधा पहले के कारण दूसरे सर्किट के पारस्परिक प्रतिबाधा के समान होता है।

प्रकाशिकी में पारस्परिकता उपयोगी है, जो (क्वांटम प्रभावों के अलावा) शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व के संदर्भ में व्यक्त की जा सकती है, लेकिन रेडियोमेट्री के संदर्भ में भी।

इलेक्ट्रोस्टाटिक्स में एक समान प्रमेय भी है, जिसे ग्रीन की पारस्परिकता के रूप में जाना जाता है, जो विद्युत क्षमता और विद्युत चार्ज घनत्व के आदान-प्रदान से संबंधित है।

पारस्परिक प्रमेय के रूपों का उपयोग कई विद्युत चुम्बकीय अनुप्रयोगों में किया जाता है, जैसे विद्युत नेटवर्क और एंटीना (रेडियो) सिस्टम का विश्लेषण करना। उदाहरण के लिए, पारस्परिकता का तात्पर्य है कि एंटेना ट्रांसमीटर या रिसीवर के रूप में समान रूप से अच्छी तरह से काम करते हैं, और विशेष रूप से यह कि एंटीना का विकिरण पैटर्न समान होता है। पारस्परिकता भी एक बुनियादी लेम्मा है जिसका उपयोग विद्युत चुम्बकीय प्रणालियों के बारे में अन्य प्रमेयों को साबित करने के लिए किया जाता है, जैसे कि प्रतिबाधा मापदंडों की समरूपता और बिखरने वाले पैरामीटर, क्षणों की विधि (विद्युत चुम्बकीय) में उपयोग के लिए ग्रीन के कार्यों की समरूपता | सीमा-तत्व और स्थानांतरण-मैट्रिक्स कम्प्यूटेशनल तरीके, साथ ही वेवगाइड सिस्टम में हार्मोनिक मोड के ओर्थोगोनालिटी गुण (उन गुणों को सीधे आइगेनवेल्यू, ईजेनवेक्टर और ईजेन-ऑपरेटर्स की समरूपता से साबित करने के विकल्प के रूप में)।

लोरेंत्ज़ पारस्परिकता
विशेष रूप से, मान लीजिए कि किसी के पास वर्तमान घनत्व है $$ \mathbf{J}_1 $$ जो एक विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है $$ \mathbf{E}_1 $$ और एक चुंबकीय क्षेत्र $$ \mathbf{H}_1\, ,$$ जहां तीनों कोणीय आवृत्ति के साथ समय के आवधिक कार्य हैं $ω$, और विशेष रूप से उनके पास समय-निर्भरता है $$ \exp(-i\omega t)\, .$$ मान लीजिए कि हमारे पास इसी तरह दूसरा करंट है $$ \mathbf{J}_2 $$ समान आवृत्ति पर $ω$ जो (स्वयं) खेतों का निर्माण करता है $$ \mathbf{E}_2 $$ और $$ \mathbf{H}_2\, .$$ लोरेंत्ज़ पारस्परिकता प्रमेय तब बताता है, नीचे वर्णित माध्यम की सामग्री पर कुछ सरल शर्तों के तहत, एक मनमाना सतह के लिए $S$ वॉल्यूम संलग्न करना $V$:


 * $$\int_V \left[ \mathbf{J}_1 \cdot \mathbf{E}_2 - \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{J}_2 \right] \mathrm{d}V = \oint_S \left[ \mathbf{E}_1 \times \mathbf{H}_2 - \mathbf{E}_2 \times \mathbf{H}_1 \right] \cdot \mathbf{\mathrm{d}S}\ .$$

समान रूप से, विभेदक रूप में (विचलन प्रमेय द्वारा):


 * $$ \mathbf{J}_1 \cdot \mathbf{E}_2 - \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{J}_2 = \nabla \cdot \left[ \mathbf{E}_1 \times \mathbf{H}_2 - \mathbf{E}_2 \times \mathbf{H}_1 \right]\ .$$

यह सामान्य रूप आमतौर पर कई विशेष मामलों के लिए सरलीकृत होता है। विशेष रूप से, आमतौर पर यह माना जाता है $$\ \mathbf{J}_1\ $$ और $$\mathbf{J}_2$$ स्थानीयकृत हैं (अर्थात कॉम्पैक्ट समर्थन  है), और असीम दूर से कोई आने वाली तरंगें नहीं हैं। इस मामले में, यदि कोई पूरे अंतरिक्ष में एकीकृत करता है तो सतह-अभिन्न शब्द रद्द हो जाते हैं (नीचे देखें) और एक प्राप्त करता है:


 * $$ \int \mathbf{J}_1 \cdot \mathbf{E}_2 \, \mathrm{d}V = \int \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{J}_2 \, \mathrm{d}V\ .$$

इस परिणाम (निम्नलिखित सरलीकरणों के साथ) को कभी-कभी रेले-कार्सन पारस्परिकता प्रमेय कहा जाता है, ध्वनि तरंगों पर लॉर्ड रेले के काम और जॉन आर. कार्सन (1924; 1930) द्वारा आकाशवाणी आवृति  एंटेना के अनुप्रयोगों के लिए एक विस्तार के बाद। अक्सर, एक बिंदु-जैसे द्विध्रुव स्रोतों पर विचार करके इस संबंध को और सरल करता है, जिस स्थिति में अभिन्न गायब हो जाते हैं और किसी के पास विद्युत क्षेत्र का गुणनफल होता है जो धाराओं के संगत द्विध्रुव क्षणों के साथ होता है। या, नगण्य मोटाई के तारों के लिए, एक तार में लागू धारा को दूसरे में परिणामी वोल्टेज से गुणा किया जाता है और इसके विपरीत; नीचे भी देखें।

लोरेंत्ज़ पारस्परिकता प्रमेय का एक और विशेष मामला वॉल्यूम पर लागू होता है $V$ में पूरी तरह से दोनों स्थानीयकृत स्रोत शामिल हैं (या वैकल्पिक रूप से यदि $V$ किसी भी स्रोत को नहीं काटता है)। इस मामले में:


 * $$\ \oint_S (\mathbf{E}_1 \times \mathbf{H}_2) \cdot \mathbf{\mathrm{d}S} = \oint_S (\mathbf{E}_2 \times \mathbf{H}_1) \cdot \mathbf{\mathrm{d}S} \ .$$

विद्युत नेटवर्क के लिए पारस्परिकता
ऊपर, लोरेंत्ज़ पारस्परिकता को बाहरी रूप से लागू वर्तमान स्रोत और परिणामी क्षेत्र के संदर्भ में अभिव्यक्त किया गया था। अक्सर, विशेष रूप से विद्युत नेटवर्क के लिए, इसके बजाय बाहरी रूप से लागू वोल्टेज और परिणामी धाराओं के बारे में सोचना पसंद करते हैं। लोरेंत्ज़ पारस्परिकता प्रमेय इस मामले का भी वर्णन करता है, ओम के नियम को मानते हुए (अर्थात धाराएँ जो लागू क्षेत्र में रैखिक रूप से प्रतिक्रिया करती हैं) 3 × 3 विद्युत चालकता मैट्रिक्स के साथ $σ$ जिसे सममित मैट्रिक्स होना आवश्यक है, जो नीचे दी गई अन्य स्थितियों से निहित है। इस स्थिति का ठीक से वर्णन करने के लिए, बाहरी रूप से लागू क्षेत्रों (ड्राइविंग वोल्टेज से) और परिणामी कुल क्षेत्रों (किंग, 1963) के बीच सावधानीपूर्वक अंतर करना चाहिए।

अधिक विशेष रूप से, $$\ \mathbf{J}\ $$ ऊपर केवल मैक्सवेल के समीकरणों में पेश किए गए बाहरी स्रोत शब्द शामिल हैं। अब हम इसे निरूपित करते हैं $$\ \mathbf{J}^{(e)}\ $$ बाहरी स्रोत और सामग्री में परिणामी विद्युत क्षेत्रों द्वारा उत्पादित कुल वर्तमान से इसे अलग करने के लिए। यदि यह बाह्य धारा चालकता वाले पदार्थ में है $σ$, तो यह बाहरी रूप से लागू विद्युत क्षेत्र से मेल खाता है $$\ \mathbf{E}^{(e)}\ $$ कहाँ, की परिभाषा के द्वारा $σ$:


 * $$\ \mathbf{J}^{(e)}=\sigma\mathbf{E}^{(e)}\ .$$

इसके अलावा, विद्युत क्षेत्र $$\mathbf{E}$$ उपरोक्त में केवल इस धारा की प्रतिक्रिया शामिल थी, और बाहरी क्षेत्र शामिल नहीं था $$\ \mathbf{E}^{(e)}\ .$$ इसलिए, अब हम क्षेत्र को पहले से निरूपित करते हैं $$\ \mathbf{E}^{(r)}\ ,$$ जहां कुल क्षेत्र द्वारा दिया जाता है $$\ \mathbf{E} = \mathbf{E}^{(e)} + \mathbf{E}^{(r)}\ .$$ अब, लोरेंत्ज़ पारस्परिकता प्रमेय के बाईं ओर के समीकरण को स्थानांतरित करके फिर से लिखा जा सकता है $σ$ बाहरी वर्तमान शब्द से $$\mathbf{J}^{(e)}$$ प्रतिक्रिया क्षेत्र की शर्तों के लिए $$\ \mathbf{E}^{(r)}\ ,$$ और जोड़ना और घटाना भी $$\ \sigma\mathbf{E}_1^{(e)}\mathbf{E}_2^{(e)}\ $$ शब्द, बाहरी क्षेत्र को कुल वर्तमान से गुणा करने के लिए $$\ \mathbf{J} = \sigma\mathbf{E}\ :$$
 * $$\begin{align}

&\int_V \left[ \mathbf{J}_1^{(e)} \cdot \mathbf{E}_2^{(r)} - \mathbf{E}_1^{(r)} \cdot \mathbf{J}_2^{(e)} \right] \operatorname{d}V \\ = {} &\int_V \left[ \sigma \mathbf{E}_1^{(e)} \cdot \left(\mathbf{E}_2^{(r)} + \mathbf{E}_2^{(e)}\right) - \left(\mathbf{E}_1^{(r)} + \mathbf{E}_1^{(e)}\right) \cdot \sigma\mathbf{E}_2^{(e)} \right] \operatorname{d}V \\ = {} &\int_V \left[ \mathbf{E}_1^{(e)} \cdot \mathbf{J}_2 - \mathbf{J}_1 \cdot \mathbf{E}_2^{(e)} \right] \operatorname{d}V\. \end{align}$$ पतले तारों की सीमा के लिए, यह बाहरी रूप से लागू वोल्टेज (1) के परिणामस्वरूप परिणामी कुल वर्तमान (2) और इसके विपरीत गुणा करता है। विशेष रूप से, रेले-कार्सन पारस्परिकता प्रमेय एक साधारण योग बन जाता है:


 * $$\ \sum_n \mathcal{V}_1^{(n)} I_2^{(n)} = \sum_n \mathcal{V}_2^{(n)} I_1^{(n)} $$

कहाँ $$\ \mathcal{V}\ $$ और $I$ सर्किट तत्वों के एक सेट में क्रमशः लागू वर्तमान वोल्टेज और परिणामी धाराओं के जटिल आयामों को दर्शाता है (द्वारा अनुक्रमित) $n$) वोल्टेज के दो संभावित सेटों के लिए $$\ \mathcal{V}_1\ $$ और $$\ \mathcal{V}_2\ .$$ आमतौर पर, इसे उस मामले में और सरल किया जाता है जहां प्रत्येक सिस्टम में एक एकल वोल्टेज स्रोत होता है $$\ \mathcal{V}_\text{s}\ ,$$ पर $$\ \mathcal{V}_1^{(1)} = \mathcal{V}_\text{s}\ $$ और $$\ \mathcal{V}_2^{(2)} = \mathcal{V}_\text{s}\ .$$ तब प्रमेय सरल हो जाता है
 * $$ I_1^{(2)} = I_2^{(1)} $$

या शब्दों में:
 * (2) पर वोल्टेज से स्थिति (1) पर वर्तमान, (1) पर समान वोल्टेज से (2) पर वर्तमान के समान है।

लोरेंत्ज़ पारस्परिकता
की शर्तें और प्रमाण लोरेंत्ज़ पारस्परिकता प्रमेय केवल इस तथ्य का प्रतिबिंब है कि रैखिक संकारक $$ \operatorname{\hat{O}} $$ संबंधित $$ \mathbf{J} $$ और $$ \mathbf{E} $$ एक निश्चित आवृत्ति पर $$ \omega $$ (रैखिक मीडिया में): $$ \mathbf{J} = \operatorname{\hat{O}} \mathbf{E} $$ कहाँ $$ \operatorname{\hat{O}} \mathbf{E} \equiv \frac{1}{i\omega} \left[ \frac{1}{\mu} \left( \nabla \times \nabla \times \right) - \; \omega^2 \varepsilon \right] \mathbf{E} $$ आमतौर पर आंतरिक उत्पाद के तहत एक हर्मिटियन ऑपरेटर होता है $ (\mathbf{F}, \mathbf{G}) = \int \mathbf{F} \cdot \mathbf{G} \, \mathrm{d}V$ वेक्टर क्षेत्रों के लिए $$ \mathbf{F} $$ और $$ \mathbf{G}\ .$$ (तकनीकी रूप से, यह जटिल संयुग्म रूप एक सच्चा आंतरिक उत्पाद नहीं है क्योंकि यह जटिल-मूल्यवान क्षेत्रों के लिए वास्तविक-मूल्यवान नहीं है, लेकिन यह यहाँ कोई समस्या नहीं है। इस अर्थ में, ऑपरेटर वास्तव में हर्मिटियन नहीं है, बल्कि जटिल-सममित है ।) यह सच है जब भी अनुमति होती है $ε$ और चुंबकीय पारगम्यता $μ$, दिए गए पर $ω$, सममित मैट्रिक्स 3×3 मैट्रिसेस (सममित रैंक -2 टेंसर) हैं - इसमें सामान्य मामला शामिल है जहां वे स्केलर (भौतिकी) (आइसोट्रोपिक मीडिया के लिए) हैं। उन्हें वास्तविक होने की आवश्यकता नहीं है - जटिल मान नुकसान वाली सामग्री के अनुरूप होते हैं, जैसे परिमित चालकता वाले कंडक्टर $σ$ (जो इसमें शामिल है $ε$ के जरिए $$ \varepsilon \rightarrow \varepsilon + i\sigma/\omega\ $$) - और इस वजह से, पारस्परिकता प्रमेय को समय उत्क्रमण की आवश्यकता नहीं होती है। सममित की स्थिति $ε$ और $μ$ मेट्रिसेस लगभग हमेशा संतुष्ट होते हैं; अपवाद के लिए नीचे देखें।

किसी भी हर्मिटियन ऑपरेटर के लिए $$ \operatorname{\hat{O}} $$ एक आंतरिक उत्पाद के तहत $$(f,g)\!$$, अपने पास $$ (f,\operatorname{\hat{O}}g) = (\operatorname{\hat{O}}f,g) $$ परिभाषा के अनुसार, और रेले-कार्सन पारस्परिकता प्रमेय इस विशेष ऑपरेटर के लिए इस कथन का केवल सदिश संस्करण है $$ \mathbf{J} = \operatorname{\hat{O}} \mathbf{E}\ :$$ वह है, $$ (\mathbf{E}_1, \operatorname{\hat{O}}\mathbf{E}_2) = (\operatorname{\hat{O}} \mathbf{E}_1, \mathbf{E}_2)\ .$$ यहां ऑपरेटर की हर्मिटियन संपत्ति भागों द्वारा एकीकरण द्वारा प्राप्त की जा सकती है। एक परिमित एकीकरण मात्रा के लिए, भागों द्वारा इस एकीकरण से सतह के शब्द ऊपर अधिक सामान्य सतह-अभिन्न प्रमेय उत्पन्न करते हैं। विशेष रूप से, महत्वपूर्ण तथ्य यह है कि, सदिश क्षेत्रों के लिए $$ \mathbf{F} $$ और $$ \mathbf{G}\ ,$$ वॉल्यूम पर भागों (या विचलन प्रमेय) द्वारा एकीकरण $V$ एक सतह से घिरा हुआ है $S$ पहचान देता है: $$\int_V \mathbf{F} \cdot (\nabla\times\mathbf{G}) \, \mathrm{d}V \equiv \int_V (\nabla\times\mathbf{F}) \cdot \mathbf{G} \, \mathrm{d}V - \oint_S (\mathbf{F} \times \mathbf{G}) \cdot \mathrm{d}\mathbf{A}\ .$$ यह पहचान तब दो बार लागू होती है $$ (\mathbf{E}_1, \operatorname{\hat{O}} \mathbf{E}_2) $$ उपज $$ (\operatorname{\hat{O}} \mathbf{E}_1, \mathbf{E}_2) $$ लोरेंत्ज़ पारस्परिकता संबंध देते हुए सतह शब्द को जोड़ दें।

मैक्सवेल के समीकरणों और वेक्टर संचालन का उपयोग करते हुए लोरेंज पारस्परिकता की शर्तें और प्रमाण हम लोरेंज के कारण विद्युत चुम्बकीय पारस्परिकता प्रमेय का एक सामान्य रूप सिद्ध करेंगे जो उस क्षेत्र को बताता है $$\mathbf {E}_1, \mathbf {H}_1$$ और $$\mathbf {E}_2, \mathbf {H}_2$$ क्रमशः दो अलग-अलग साइनसोइडल वर्तमान घनत्वों द्वारा उत्पन्न $$\mathbf {J}_1$$ और $$ \mathbf {J}_2 $$ समान आवृत्ति के, शर्त को पूरा करें $$ \int_V \left[ \mathbf{J}_1 \cdot \mathbf{E}_2 - \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{J}_2 \right] \mathrm{d}V = \oint_S \left[ \mathbf{E}_1 \times \mathbf{H}_2 - \mathbf{E}_2 \times \mathbf{H}_1 \right] \cdot \mathbf{\mathrm{d}S} .$$ आइए एक ऐसा क्षेत्र लें जिसमें परावैद्युतांक और पारगम्यता स्थिति के फलन हो सकते हैं लेकिन समय के नहीं। मैक्सवेल के समीकरण, क्षेत्र के कुल क्षेत्रों, धाराओं और आवेशों के संदर्भ में लिखे गए क्षेत्र के विद्युत चुम्बकीय व्यवहार का वर्णन करते हैं। दो कर्ल समीकरण हैं: $$\begin{array}{ccc} \nabla\times\mathbf E & = & - \frac{\partial}{\partial t}\mathbf B\ ,\\ \nabla\times\mathbf H & = & \mathbf J + \frac{\partial}{\partial t}\mathbf D\. \end{array}$$ स्थिर निरंतर आवृत्ति स्थितियों के तहत हम समय-आवधिक मामले के लिए मैक्सवेल के समीकरण दो कर्ल समीकरणों से प्राप्त करते हैं: $$\begin{array}{ccc} \nabla\times\mathbf E & = & - j\omega\mathbf B\ ,\\ \nabla\times\mathbf H & = & \mathbf J + j\omega\mathbf D\. \end{array}$$ यह माना जाना चाहिए कि इस लेख के समीकरणों में प्रतीक के जटिल गुणकों का प्रतिनिधित्व करते हैं $$ e^{j\omega t} $$, चुने हुए संदर्भ के संबंध में इन-फेज और आउट-ऑफ-फेज भागों को देना। के जटिल वेक्टर गुणक $$ e^{j\omega t} $$ जटिल अदिश राशियों के सादृश्य द्वारा सदिश चरण कहा जा सकता है जिन्हें आमतौर पर चरण कहा जाता है।

वेक्टर संचालन की एक समानता यह दर्शाती है $$ \mathbf H\cdot(\nabla \times \mathbf E) - \mathbf E \cdot (\nabla \times \mathbf H) = \nabla \cdot (\mathbf E \times \mathbf H) $$ प्रत्येक वैक्टर के लिए $$ \mathbf E $$ और $$ \mathbf H\ .$$ यदि हम इस समानता को लागू करते हैं $$ \mathbf {E}_1 $$ और $$ \mathbf {H}_2 $$ हम पाते हैं: $$\mathbf {H}_2 \cdot (\nabla\times\mathbf {E}_1)-\mathbf {E}_1\cdot(\nabla\times\mathbf {H}_2) = \nabla\cdot(\mathbf {E}_1 \times\mathbf {H}_2)\ .$$ यदि समय-आवधिक समीकरणों में उत्पादों को इस अंतिम तुल्यता द्वारा दर्शाए अनुसार लिया जाता है, और जोड़ा जाता है, $$ -\mathbf{H}_2\cdot j\omega \mathbf{B}_1 - \mathbf{E}_1 \cdot j\omega \mathbf{D}_2 - \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{J}_2 = \nabla \cdot(\mathbf{E}_1 \times \mathbf{H}_2)\ .$$ इसे अब चिंता की मात्रा पर एकीकृत किया जा सकता है, $$\int_V \left(\mathbf{H}_2 \cdot j \omega \mathbf{B}_1+\mathbf{E}_1 \cdot j\omega \mathbf{D}_2+\mathbf{E}_1\mathbf{J}_2\right) \mathrm{d}V = -\int_V \nabla \cdot (\mathbf{E}_1 \times \mathbf{H}_2) \mathrm{d}V\ .$$ डायवर्जेंस प्रमेय से आयतन का अभिन्न अंग $$ \operatorname{div}(\mathbf{E}_1\times\mathbf{H}_2) $$ का पृष्ठीय समाकलन के बराबर है $$ \mathbf{E}_1\times\mathbf{H}_2 $$ सीमा के ऊपर। $$\int_V \left(\mathbf{H}_2 \cdot j\omega\mathbf{B}_1+\mathbf{E}_1\cdot j\omega\mathbf{D}_2+\mathbf{E}_1\cdot\mathbf{J}_2\right) \mathrm{d}V = -\oint_S(\mathbf{E}_1 \times \mathbf{H}_2)\cdot \widehat{\mathrm{d}S}\ .$$ यह फॉर्म सामान्य मीडिया के लिए मान्य है, लेकिन रैखिक, आइसोट्रोपिक, समय-अपरिवर्तनीय सामग्री के सामान्य मामले में, $ε$ समय से स्वतंत्र एक अदिश राशि है। फिर आम तौर पर भौतिक परिमाण के रूप में $$ \mathbf D = \epsilon\mathbf E $$ और $$ \mathbf B = \mu \mathbf H\ .$$ अंतिम समीकरण तब बन जाता है $$\int_V \left(\mathbf{H}_2 \cdot j \omega\mu\mathbf{H}_1+\mathbf{E}_1 \cdot j \omega \epsilon\mathbf{E}_2 + \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{J}_2\right) \mathrm{d}V = -\oint_S(\mathbf{E}_1\times\mathbf{H}_2) \cdot \widehat{\mathrm{d}S}\ .$$ सदिशों के लिए बिल्कुल समान तरीके से हम प्राप्त करते हैं $$\mathbf{E}_2$$ और $$\mathbf{H}_1$$ निम्नलिखित अभिव्यक्ति: $$\int_V \left(\mathbf{H}_1 \cdot j \omega \mu \mathbf{H}_2+\mathbf{E}_2 \cdot j \omega \epsilon\mathbf{E}_1 + \mathbf{E}_2 \cdot \mathbf{J}_1\right) \operatorname{d}V = -\oint_S(\mathbf{E}_2\times\mathbf{H}_1) \cdot \widehat{\mathrm{d}S}\ .$$ सदस्यों द्वारा अंतिम दो समीकरणों को घटाने पर हमें प्राप्त होता है $$\int_V \left[ \mathbf{J}_1 \cdot \mathbf{E}_2 - \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{J}_2 \right] \operatorname{d}V = \oint_S \left[ \mathbf{E}_1 \times \mathbf{H}_2 - \mathbf{E}_2 \times \mathbf{H}_1 \right] \cdot \mathbf{\mathrm{d}S}\ .$$ और समान रूप से विभेदक रूप में $$\ \mathbf{J}_1 \cdot \mathbf{E}_2 - \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{J}_2 = \nabla \cdot \left[ \mathbf{E}_1 \times \mathbf{H}_2 - \mathbf{E}_2 \times \mathbf{H}_1 \right]\ $$ Q.E.D.

सतह-अवधि निरस्तीकरण
संपूर्ण स्थान पर एकीकरण के लिए, लोरेंत्ज़ पारस्परिकता प्रमेय के दाईं ओर की सतह की शर्तों को रद्द करना पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है, लेकिन इसे कई तरीकों से प्राप्त किया जा सकता है। सतही अभिन्न का एक कठोर उपचार तरंग क्षेत्र के परस्पर क्रिया के कारण को ध्यान में रखता है: अनंत पर सतह-अभिन्न योगदान केवल दो कारण तरंग क्षेत्रों के समय-संक्रमण के लिए गायब हो जाता है (समय-सहसंबंध बातचीत गैर-शून्य की ओर जाता है) योगदान)। एक और सरल तर्क यह होगा कि एक स्थानीयकृत स्रोत के लिए क्षेत्र अनंत पर शून्य हो जाता है, लेकिन दोषरहित मीडिया के मामले में यह तर्क विफल हो जाता है: अवशोषण की अनुपस्थिति में, विकीर्ण क्षेत्र दूरी के साथ व्युत्क्रमानुपाती क्षय करते हैं, लेकिन अभिन्न का सतह क्षेत्र बढ़ता है दूरी के वर्ग के साथ, इसलिए दो दरें अभिन्न में एक दूसरे को संतुलित करती हैं।

इसके बजाय, यह मान लेना आम है (उदाहरण के लिए किंग, 1963) कि माध्यम सजातीय और आइसोट्रोपिक पर्याप्त रूप से दूर है। इस मामले में, विकीर्ण क्षेत्र असम्बद्ध रूप से रेडियल रूप से बाहर की ओर फैलने वाली समतल तरंगों का रूप ले लेता है (में) $$ \operatorname{\hat{O}}{\mathbf{r}} $$ दिशा) के साथ $$ \operatorname{\hat{O}}{\mathbf{r}} \cdot \mathbf{E} = 0 $$ और $$ \mathbf{H} = \hat{\mathbf{r}} \times \mathbf{E} / Z $$ कहाँ $Z$ अदिश वैद्युत प्रतिबाधा है $ \sqrt{ \mu / \epsilon}$ आसपास के माध्यम का। इसके बाद यह इस प्रकार है $$\ \mathbf{E}_1 \times \mathbf{H}_2 = \frac{ \mathbf{E}_1 \times \hat{\mathbf{r}} \times \mathbf{E}_2 }{Z}\ ,$$ जो एक साधारण क्रॉस उत्पाद द्वारा#ट्रिपल उत्पाद विस्तार के बराबर है $$ \frac{ \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2}{Z}\ \hat{\mathbf{r}}\ .$$ इसी प्रकार, $$ \mathbf{E}_2 \times \mathbf{H}_1 =  \frac{ \mathbf{E}_2 \cdot \mathbf{E}_1 }{Z} \ \hat{\mathbf{r}} $$ और दो शर्तें एक दूसरे को रद्द करती हैं।

उपरोक्त तर्क स्पष्ट रूप से दिखाता है कि सतह की शर्तें क्यों रद्द हो सकती हैं, लेकिन इसमें व्यापकता का अभाव है। वैकल्पिक रूप से, कोई दोषरहित आसपास के मीडिया के मामले को सीमित अवशोषण सिद्धांत के माध्यम से लगाए गए विकिरण सीमा शर्तों के साथ इलाज कर सकता है: सीमा को नुकसान के रूप में लेना (काल्पनिक हिस्सा) $ε$) शून्य पर जाएं। किसी भी गैर-शून्य हानि के लिए, क्षेत्र दूरी के साथ तेजी से क्षय होता है और सतह अभिन्न गायब हो जाती है, भले ही माध्यम सजातीय हो। चूंकि लोरेंत्ज़ पारस्परिकता प्रमेय का बायां हाथ किसी भी गैर-शून्य नुकसान के साथ सभी जगहों पर एकीकरण के लिए गायब हो जाता है, इसलिए इसे सीमा में भी गायब हो जाना चाहिए क्योंकि नुकसान शून्य हो जाता है। (ध्यान दें कि यह दृष्टिकोण अनंत से शून्य आने वाली तरंगों की सोमरफेल्ड विकिरण स्थिति को स्पष्ट रूप से लागू करता है, क्योंकि अन्यथा एक असीम नुकसान भी आने वाली तरंगों को समाप्त कर देगा और सीमा दोषरहित समाधान नहीं देगी।)

पारस्परिकता और ग्रीन का कार्य
ऑपरेटर का उलटा $$ \operatorname{\hat{O}}\ ,$$ यानी, में $$ \mathbf{E} = \operatorname{\hat{O}}^{-1} \mathbf{J} $$ (जिसके लिए दोषरहित प्रणाली में अनंत पर सीमा स्थितियों के विनिर्देशन की आवश्यकता होती है), के समान समरूपता है $$ \operatorname{\hat{O}} $$ और अनिवार्य रूप से एक ग्रीन का फंक्शन कनवल्शन है। तो, लोरेंत्ज़ पारस्परिकता पर एक और परिप्रेक्ष्य यह है कि यह इस तथ्य को दर्शाता है कि इलेक्ट्रोमैग्नेटिक ग्रीन के कार्य के साथ कनवल्शन एक जटिल-सममित (या एंटी-हर्मिटियन, नीचे) रैखिक ऑपरेशन है जो उपयुक्त परिस्थितियों में होता है। $ε$ और $μ$. अधिक विशेष रूप से, ग्रीन के कार्य को इस रूप में लिखा जा सकता है $$ G_{nm}(\mathbf{x}',\mathbf{x}) $$ दे रहा है $n$-वाँ घटक $$ \mathbf{E} $$ पर $$ \mathbf{x}' $$ में एक बिंदु द्विध्रुवीय वर्तमान से $m$-वीं दिशा पर $$ \mathbf{x} $$ (अनिवार्य रूप से, $$ G $$ का मैट्रिक्स तत्व देता है $$ \operatorname{\hat{O}}^{-1} $$), और रेले-कार्सन पारस्परिकता उस कथन के बराबर है $$ G_{nm}(\mathbf{x}',\mathbf{x}) = G_{mn}(\mathbf{x},\mathbf{x}')\ .$$ भिन्न $$ \operatorname{\hat{O}}\ ,$$ ग्रीन के कार्य के लिए एक स्पष्ट सूत्र देना आम तौर पर संभव नहीं है (विशेष मामलों जैसे सजातीय मीडिया को छोड़कर), लेकिन यह संख्यात्मक तरीकों से नियमित रूप से गणना की जाती है।

दोषरहित मैग्नेटो-ऑप्टिक सामग्री
जिसमें एक मामला $ε$ चुंबक ऑप्टिक  सामग्रियों के लिए एक सममित मैट्रिक्स नहीं है, जिस स्थिति में लोरेंत्ज़ पारस्परिकता का सामान्य कथन नहीं है (हालांकि, सामान्यीकरण के लिए नीचे देखें)। यदि हम मैग्नेटो-ऑप्टिक सामग्री की अनुमति देते हैं, लेकिन खुद को उस स्थिति तक सीमित रखते हैं जहां सामग्री का अवशोषण नगण्य है, तो $ε$ और $μ$ सामान्य रूप से 3×3 जटिल हर्मिटियन मेट्रिसेस हैं। इस मामले में, ऑपरेटर $\ \frac{1}{\mu} \left(\nabla \times \nabla \times\right) - \frac{\omega^2}{c^2} \varepsilon $  संयुग्मित आंतरिक उत्पाद के तहत हर्मिटियन है $ (\mathbf{F}, \mathbf{G}) = \int \mathbf{F}^* \cdot \mathbf{G} \, \mathrm{d}V\ ,$  और पारस्परिकता प्रमेय का एक प्रकार अभी भी रखती है: $$ - \int_V \left[ \mathbf{J}_1^* \cdot \mathbf{E}_2 + \mathbf{E}_1^* \cdot \mathbf{J}_2 \right] \mathrm{d}V = \oint_S \left[ \mathbf{E}_1^* \times \mathbf{H}_2 + \mathbf{E}_2 \times \mathbf{H}_1^* \right] \cdot \mathbf{\mathrm{d}A} $$ जहां से संकेत परिवर्तन आते हैं $$ \frac{1}{i\omega} $$ उपरोक्त समीकरण में, जो संकारक बनाता है $$ \operatorname{\hat{O}} $$ एंटी-हर्मिटियन (सतह शर्तों की उपेक्षा)। के विशेष मामले के लिए $$ \mathbf{J}_1 = \mathbf{J}_2\ ,$$ यह ऊर्जा के संरक्षण या पॉयंटिंग के प्रमेय का पुनर्कथन देता है (क्योंकि यहाँ हमने दोषरहित सामग्री ग्रहण की है, ऊपर के विपरीत): वर्तमान द्वारा किए गए कार्य की समय-औसत दर (वास्तविक भाग द्वारा दी गई) $$ - \mathbf{J}^* \cdot \mathbf{E} $$) शक्ति के समय-औसत बाहरी प्रवाह के बराबर है (पोयंटिंग वेक्टर का अभिन्न अंग)। एक ही टोकन के द्वारा, हालांकि, सतही शब्द सामान्य रूप से गायब नहीं होते हैं यदि कोई इस पारस्परिक रूपांतर के लिए सभी जगहों को एकीकृत करता है, इसलिए रेले-कार्सन फॉर्म अतिरिक्त धारणाओं के बिना नहीं होता है।

तथ्य यह है कि मैग्नेटो-ऑप्टिक सामग्री रेले-कार्सन पारस्परिकता को तोड़ती है, फैराडे आइसोलेटर्स और फैलानेवाला जैसे उपकरणों की कुंजी है। फैराडे आइसोलेटर के एक तरफ एक करंट दूसरी तरफ एक फील्ड पैदा करता है लेकिन इसके विपरीत नहीं।

गैर-सममित सामग्री का सामान्यीकरण
हानिपूर्ण और मैग्नेटो-ऑप्टिक सामग्रियों के संयोजन के लिए, और सामान्य तौर पर जब ε और μ टेंसर न तो सममित होते हैं और न ही हर्मिटियन मैट्रिसेस, तब भी लोरेंत्ज़ पारस्परिकता का सामान्यीकृत संस्करण प्राप्त कर सकते हैं। $$ (\mathbf{J}_1, \mathbf{E}_1) $$ और $$ (\mathbf{J}_2, \mathbf{E}_2) $$ विभिन्न प्रणालियों में मौजूद होना।

विशेष रूप से, अगर $$ (\mathbf{J}_1, \mathbf{E}_1) $$ सामग्री के साथ एक प्रणाली के लिए ω पर मैक्सवेल के समीकरणों को संतुष्ट करें $$ (\varepsilon_1, \mu_1)\ ,$$ और $$ (\mathbf{J}_2, \mathbf{E}_2) $$ मैक्सवेल के समीकरणों को संतुष्ट करें $ω$ सामग्री के साथ एक प्रणाली के लिए $$ \left(\varepsilon_1^\mathsf{T}, \mu_1^\mathsf{T} \right)\ ,$$ कहाँ $$ {}^\mathsf{T} $$ स्थानान्तरण को दर्शाता है, तो लोरेंत्ज़ पारस्परिकता का समीकरण धारण करता है। पूर्ण 6×6 संवेदनशीलता टेंसर को स्थानांतरित करके इसे द्वि-अनिसोट्रोपिक सामग्रियों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

पारस्परिकता के अपवाद
गैर-रैखिक प्रकाशिकी के लिए, कोई पारस्परिकता प्रमेय आम तौर पर लागू नहीं होता है। पारस्परिकता भी समय-भिन्न (सक्रिय) मीडिया के लिए आम तौर पर लागू नहीं होती है; उदाहरण के लिए, कब $ε$ किसी बाहरी प्रक्रिया द्वारा समय में संशोधित किया जाता है। (इन दोनों मामलों में, आवृत्ति $ω$ आम तौर पर एक संरक्षित मात्रा नहीं है।)

फेल्ड-ताई पारस्परिकता
1992 में, एक निकट से संबंधित पारस्परिकता प्रमेय स्वतंत्र रूप से वाई.ए. द्वारा व्यक्त किया गया था। फेल्ड और सी.टी. ताई, और फेल्ड-ताई पारस्परिकता या फेल्ड-ताई लेम्मा के रूप में जाना जाता है। टी दो समय-हार्मोनिक स्थानीय वर्तमान स्रोतों और परिणामी चुंबकीय क्षेत्रों से संबंधित है:


 * $$\int \mathbf{J}_1 \cdot \mathbf{H}_2 \, \operatorname{d}V = \int \mathbf{H}_1 \cdot \mathbf{J}_2 \, \operatorname{d}V\ .$$

हालांकि, फेल्ड-ताई लेम्मा लोरेंत्ज़ पारस्परिकता की तुलना में बहुत अधिक प्रतिबंधात्मक स्थितियों के तहत ही मान्य है। इसमें आम तौर पर समय-अपरिवर्तनीय रैखिक मीडिया की आवश्यकता होती है जिसमें एक आइसोटोपिक समरूप विद्युत प्रतिबाधा होती है, यानी एक निरंतर स्केलर (भौतिकी) $μ$/$ε$ अनुपात, पूरी तरह से संचालन सामग्री के क्षेत्रों के संभावित अपवाद के साथ।

अधिक सटीक रूप से, फेल्ड-ताई पारस्परिकता के लिए उपरोक्त विद्युत चुम्बकीय ऑपरेटरों की हर्मिटियन (या बल्कि, जटिल-सममित) समरूपता की आवश्यकता होती है, लेकिन यह इस धारणा पर भी निर्भर करता है कि ऑपरेटर संबंधित है $$\ \mathbf{E}\ $$ और $$\ i \omega \mathbf{J}\ $$ संबंधित संकारक का एक स्थिर अदिश गुणक है $$\ \mathbf{H}\ $$ और $$\ \nabla\times (\mathbf{J}/\varepsilon)\ ,$$ जो सच है जब $ε$ का एक अचर अदिश गुणक है $μ$ (दो ऑपरेटर आम तौर पर एक इंटरचेंज द्वारा भिन्न होते हैं $ε$ और $μ$). ऊपर के रूप में, एक परिमित आयतन पर अभिन्न के लिए एक अधिक सामान्य सूत्रीकरण भी बना सकता है।

रेडियोधर्मी शब्दों में ऑप्टिकल पारस्परिकता
क्वांटल प्रभावों के अलावा, शास्त्रीय सिद्धांत मनमाना समय पाठ्यक्रम के साथ निकट-, मध्य- और दूर-क्षेत्र की विद्युत और चुंबकीय घटनाओं को शामिल करता है। प्रकाशिकी दूर-क्षेत्र के लगभग-साइनसॉइडल दोलन विद्युत चुम्बकीय प्रभावों को संदर्भित करता है। युग्मित विद्युत और चुंबकीय चर के बजाय, प्रकाशिकी, ऑप्टिकल पारस्परिकता सहित, ध्रुवीकरण (तरंगों) -युग्मित रेडियोमेट्रिक चर, जैसे कि वर्णक्रमीय चमक, जिसे पारंपरिक रूप से विशिष्ट विकिरण तीव्रता कहा जाता है, में व्यक्त किया जा सकता है।

1856 में, हरमन वॉन हेल्महोल्ट्ज़ ने लिखा:


 * बिंदु से आगे बढ़ने वाली प्रकाश की किरण $A$ बिंदु पर आता है $B$ कितनी भी संख्या में अपवर्तन, परावर्तन, और c. बिंदु पर $A$ मान लीजिए कि कोई दो लम्बवत तल हैं $a_{1}$, $a_{2}$ किरण की दिशा में ले जाएं; और किरण के कंपन को दो भागों में विभाजित करें, इनमें से प्रत्येक विमान में एक। विमानों की तरह लो $b_{1}$, $b_{2}$ बिंदु पर किरण में $B$; तो निम्नलिखित प्रस्ताव का प्रदर्शन किया जा सकता है। यदि जब प्रकाश की मात्रा $J$ विमान में ध्रुवीकृत $a_{1}$ से आगे बढ़ता है $A$ दी गई किरण की दिशा में, वह भाग $K$ तत्संबंधी प्रकाश में ध्रुवीकृत $b_{1}$ पर आता है $B$, तो, इसके विपरीत, यदि प्रकाश की मात्रा $J$ में ध्रुवीकृत $b_{1}$ से आगे बढ़ता है $B$, प्रकाश की समान मात्रा $K$ में ध्रुवीकृत $a_{1}$ पर पहुंचेगा $A$.

इसे कभी-कभी हेल्महोल्ट्ज़ पारस्परिकता (या प्रत्यावर्तन) सिद्धांत कहा जाता है।    जब तरंग एक लागू चुंबकीय क्षेत्र द्वारा क्रिया की गई सामग्री के माध्यम से फैलती है, तो पारस्परिकता को तोड़ा जा सकता है, इसलिए यह सिद्धांत लागू नहीं होगा। इसी तरह, जब किरण के मार्ग में गतिमान वस्तुएँ होती हैं, तो सिद्धांत पूरी तरह से अनुपयुक्त हो सकता है। ऐतिहासिक रूप से, 1849 में, सर जॉर्ज स्टोक्स, प्रथम बैरोनेट ने ध्रुवीकरण में शामिल हुए बिना अपने ऑप्टिकल प्रत्यावर्तन सिद्धांत को बताया। ऊष्मप्रवैगिकी के सिद्धांतों की तरह, यह सिद्धांत प्रयोगों के सही प्रदर्शन पर एक जांच के रूप में उपयोग करने के लिए पर्याप्त विश्वसनीय है, सामान्य स्थिति के विपरीत जिसमें प्रयोग एक प्रस्तावित कानून के परीक्षण हैं। सिद्धांत का सबसे सरल कथन यह है कि अगर मैं आपको देख सकता हूं, तो आप मुझे देख सकते हैं। इस सिद्धांत का उपयोग गुस्ताव किरचॉफ ने किरचॉफ के तापीय विकिरण के नियम की व्युत्पत्ति में और मैक्स प्लैंक ने प्लैंक के नियम के अपने विश्लेषण में किया था।

रे-ट्रेसिंग वैश्विक रोशनी एल्गोरिदम के लिए, आने वाली और बाहर जाने वाली रोशनी को द्विदिश प्रतिबिंब वितरण समारोह (बीआरडीएफ) परिणाम को प्रभावित किए बिना एक-दूसरे के उलटा माना जा सकता है।

ग्रीन की पारस्परिकता
जबकि उपरोक्त पारस्परिकता प्रमेय दोलनशील क्षेत्रों के लिए थे, ग्रीन की पारस्परिकता इलेक्ट्रोस्टैटिक्स के लिए एक समान प्रमेय है जिसमें विद्युत आवेश का एक निश्चित वितरण होता है (पैनोफ़्स्की और फिलिप्स, 1962)।

विशेष रूप से, चलो $$\phi_1$$ कुल चार्ज घनत्व से उत्पन्न विद्युत क्षमता को निरूपित करें $$\rho_1$$. विद्युत विभव प्वासों के समीकरण को संतुष्ट करता है, $$-\nabla^2 \phi_1 = \rho_1 / \varepsilon_0$$, कहाँ $$\varepsilon_0$$ वैक्यूम परमिटिटिविटी है। इसी तरह, चलो $$\phi_2$$ कुल चार्ज घनत्व से उत्पन्न विद्युत क्षमता को निरूपित करें $$\rho_2$$, संतुष्टि देने वाला $$-\nabla^2 \phi_2 = \rho_2 / \varepsilon_0$$. दोनों ही मामलों में, हम मानते हैं कि चार्ज वितरण स्थानीयकृत हैं, ताकि संभावितों को अनंत पर शून्य पर जाने के लिए चुना जा सके। फिर, ग्रीन के पारस्परिकता प्रमेय में कहा गया है कि, सभी जगहों पर इंटीग्रल के लिए:


 * $$\int \rho_1 \phi_2 dV = \int \rho_2 \phi_1 \operatorname{d}V\ .$$

यह प्रमेय ग्रीन की दूसरी पहचान से आसानी से सिद्ध होता है। समतुल्य, यह कथन है कि
 * $$\int \phi_2 ( \nabla^2 \phi_1 ) dV = \int \phi_1 ( \nabla^2 \phi_2 ) \operatorname{d}V\ ,$$

यानी वह $$\nabla^2$$ एक हर्मिटियन ऑपरेटर है (जैसा कि भागों को दो बार एकीकृत करके)।

यह भी देखें

 * भूतल तुल्यता सिद्धांत

संदर्भ

 * L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Electrodynamics of Continuous Media (Addison-Wesley: Reading, MA, 1960). §89.
 * Ronold W. P. King, Fundamental Electromagnetic Theory (Dover: New York, 1963).  	§IV.21.
 * C. Altman and K. Such, Reciprocity, Spatial Mapping and Time Reversal in Electromagnetics (Kluwer: Dordrecht, 1991).
 * H. A. Lorentz, "The theorem of Poynting concerning the energy in the electromagnetic field and two general propositions concerning the propagation of light," Amsterdammer Akademie der Wetenschappen 4 p. 176 (1896).
 * R. J. Potton, "Reciprocity in optics," Reports on Progress in Physics 67, 717-754 (2004). (A review article on the history of this topic.)
 * J. R. Carson, "A generalization of reciprocal theorem," Bell System Technical Journal 3 (3), 393-399 (1924).
 * J. R. Carson, "The reciprocal energy theorem," ibid. 9 (4), 325-331 (1930).
 * Ya. N. Feld, "On the quadratic lemma in electrodynamics," Sov. Phys&mdash;Dokl. 37, 235-236 (1992).
 * C.-T. Tai, "Complementary reciprocity theorems in electromagnetic theory," IEEE Trans. Antennas Prop. 40 (6), 675-681 (1992).
 * Wolfgang K. H. Panofsky and Melba Phillips, Classical Electricity and Magnetism (Addison-Wesley: Reading, MA, 1962).
 * M. Stumpf, Electromagnetic Reciprocity in Antenna Theory (Wiley-IEEE Press: Piscataway, NJ: 2018).
 * M. Stumpf, Time-Domain Electromagnetic Reciprocity in Antenna Modeling (Wiley-IEEE Press: Piscataway, NJ: 2020).
 * V. S. Asadchy, M. S. Mirmoosa, A. Díaz-Rubio, S. Fan and S. A. Tretyakov, "Tutorial on Electromagnetic Nonreciprocity and its Origins," in Proceedings of the IEEE, vol. 108, no. 10, pp. 1684-1727, Oct. 2020, doi: 10.1109/JPROC.2020.3012381.