क्लोपेन सेट

टोपोलॉजी में, एक टोपोलॉजिकल स्पेस में क्लॉपेन सेट (बंद-खुले सेट का एक प्रतिकृति) एक सेट है जो दोनों खुले सेट और बंद सेट है। यह संभव है कि यह प्रति-सहज ज्ञान युक्त लग सकता है क्योंकि और   के सामान्य अर्थ विलोम हैं, किन्तु उनकी गणितीय परिभाषाएँ परस्पर अनन्य नहीं हैं। एक सेट बंद है यदि इसका पूरक (सेट सिद्धांत) खुला है, जो खुले सेट की संभावना को छोड़ देता है जिसका पूरक भी खुला है, जिससे दोनों सेट खुले और बंद हो जाते हैं   इसलिए बंद हो जाते हैं। जैसा कि टोपोलॉजिस्ट जेम्स मुनक्रेस द्वारा वर्णित है, डोर्स के विपरीत, एक सेट खुला, या बंद, या दोनों, या दोनों में से कोई भी हो सकता है! इस बात पर जोर देते हुए कि खुले / बंद का अर्थ  के लिए उनके अर्थ से संबंधित नहीं है (और इसलिए खुला/बंद डोर द्विभाजन खुले/बंद सेट में स्थानांतरित नहीं होता है)।   के इस विपरीत ने टोपोलॉजिकल स्पेस के वर्ग को डोर स्पेस के नाम से जाना जाता है।

उदाहरण
किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस में $$X,$$ खाली सेट और पूरे स्थान $$X$$ दोनों क्लोपेन हैं।

अब अंतरिक्ष $$X$$ पर विचार करें जिसमें दो खुले अंतराल (गणित) $$(0, 1)$$ और $$(2, 3)$$ का $$\R$$ का मिलन होता है $$X$$ पर टोपोलॉजी वास्तविक रेखा $$\R$$ पर साधारण टोपोलॉजी से टोपोलॉजिकल उपस्पेस के रूप में विरासत में मिला है $$X$$ में, सेट $$(0, 1)$$ क्लोपेन है, जैसा कि सेट $$(2, 3)$$है  यह एक अधिक विशिष्ट उदाहरण है: जब भी कोई स्थान इस प्रकार से असंयुक्त संबंधित रिक्त स्थान की सीमित संख्या से बना होता है, तो घटक क्लोपेन होंगे।

अब $$X$$ को असतत मापीय के अनुसार एक अनंत सेट होने दे – अर्थात् दो बिंदु $$p, q \in X$$ दूरी 1 है यदि वे समान बिंदु नहीं हैं, तो वह 0 होंगे। परिणामी मापीय स्थान के अनुसार, कोई भी सिंगलटन सेट खुला है; इसलिए कोई भी सेट, एकल बिंदुओं का मिलन होने के कारण खुला है। चूँकि कोई भी समुच्चय खुला होता है, किसी भी समुच्चय का पूरक भी खुला होता है, और इसलिए कोई भी समुच्चय बंद होता है। तो, इस मापीय स्पेस में सभी सेट क्लोपेन हैं।

कम तुच्छ उदाहरण के रूप में, अंतरिक्ष $$\Q$$ पर विचार करें सभी परिमेय संख्याओं की उनकी साधारण टोपोलॉजी और सेट के साथ $$A$$ सभी धनात्मक परिमेय संख्याओं का जिनका वर्ग 2 से बड़ा है। इस तथ्य का प्रयोग करके कि $$\sqrt 2$$ इसमें $$\Q$$ नहीं है, कोई इसे बहुत आसानी से दिखा सकता है $$A$$ का क्लोपेन उपसमुच्चय $$\Q$$ ($$A$$ वास्तविक रेखा $$\R$$ का क्लोपेन उपसमुच्चय  हैं; यह $$\R$$ में न तो खुला है और न ही अंदर बंद है) हैं।

गुण

 * टोपोलॉजिकल स्पेस $$X$$ जुड़ा हुआ है अयदि और केवल यदि क्लॉपेन सेट खाली सेट और $$X$$ ही हैं।
 * एक सेट क्लोपेन है यदि और केवल यदि उसकी सीमा (टोपोलॉजी) खाली है।
 * कोई भी क्लोपेन सेट संबंधित स्पेस (संभवतः असीम रूप से कई) का एक मिलन है।
 * यदि $$X$$ के सभी जुड़े हुए घटक (टोपोलॉजी) के खुले हैं (उदाहरण के लिए, यदि $$X$$ केवल सूक्ष्म रूप से कई घटक हैं, या यदि $$X$$ स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ है), तो सेट $$X$$ क्लोपेन है यदि और केवल यदि यह जुड़े हुए घटकों का मिलन है।
 * टोपोलॉजिकल स्पेस $$X$$ असतत स्थान है यदि और केवल यदि इसके सभी उपसमुच्चय क्लोपेन हैं।
 * यूसंचालन के रूप में संघ और प्रतिच्छेदन का उपयोग करते हुए, किसी दिए गए स्थलीय स्थान $$X$$ के क्लोपेन उपसमुच्चय बूलियन बीजगणित (संरचना) बनाते हैं। बूलियन बीजगणित को उपयुक्त टोपोलॉजिकल स्पेस से इस तरह से प्राप्त किया जा सकता है: बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन का प्रतिनिधित्व प्रमेय देखें।