बीजगणितीय टोरस

गणित में, बीजीय टोरस, जहां आयामी टोरस को आम तौर पर निरूपित किया जाता है $$\mathbf G_{\mathbf m}$$, $$\mathbb{G}_m$$, या $$\mathbb{T}$$, प्रकार का क्रमविनिमेय एफ़िन बीजगणितीय समूह है जो आमतौर पर प्रक्षेप्य योजना और टोरिक ज्यामिति में पाया जाता है। उच्च आयामी बीजीय तोरी को बीजगणितीय समूहों के उत्पाद के रूप में तैयार किया जा सकता है $$\mathbf G_{\mathbf m}$$. इन समूह (गणित) को लाई समूह सिद्धांत में तोरी के सिद्धांत के अनुरूप नाम दिया गया था (कार्टन उपसमूह देखें)। उदाहरण के लिए, सम्मिश्र संख्याओं पर $$\mathbb{C}$$ बीजगणितीय टोरस $$\mathbf G_{\mathbf m}$$ समूह योजना के लिए समरूपी है $$\mathbb{C}^* = \text{Spec}(\mathbb{C}[t,t^{-1}])$$, जो लाई समूह का योजना सैद्धांतिक एनालॉग है $$U(1) \subset \mathbb{C}$$. वास्तव में, कोई भी $$\mathbf G_{\mathbf m}$$-एक जटिल वेक्टर स्पेस पर कार्रवाई को वापस खींचा जा सकता है $$U(1)$$-समावेशन से कार्रवाई $$U(1) \subset \mathbb{C}^*$$ वास्तविक अनेक गुना के रूप में।

बीजगणितीय समूहों और लाई समूहों के सिद्धांत और उनसे जुड़ी ज्यामितीय वस्तुओं जैसे सममित स्थान और भवन (गणित) के अध्ययन में टोरी का मौलिक महत्व है।

खेतों पर बीजगणितीय तोरी
अधिकांश स्थानों पर हम मानते हैं कि आधार क्षेत्र पूर्ण क्षेत्र है (उदाहरण के लिए परिमित या विशेषता शून्य)। सुचारु समूह योजना के लिए इस परिकल्पना की आवश्यकता है पृष्ठ 64, चूंकि बीजगणितीय समूह के लिए $$G$$ विशेषता पर सहज होना $$p$$, मानचित्र$$(\cdot)^{p^r}:\mathcal{O}(G) \to \mathcal{O}(G)$$ पर्याप्त बड़े के लिए ज्यामितीय रूप से कम किया जाना चाहिए $$r$$, जिसका अर्थ है संबंधित मानचित्र की छवि $$G$$ काफी बड़े आकार के लिए चिकना है $$r$$.

सामान्यतः बीजगणितीय क्लोजर के स्थान पर पृथक्करणीय क्लोजर का उपयोग करना पड़ता है।

किसी क्षेत्र का गुणक समूह
अगर $$F$$ क्षेत्र है तो गुणक समूह खत्म हो गया $$F$$ बीजगणितीय समूह है $$\mathbf G_{\mathbf m}$$ जैसे कि किसी भी क्षेत्र विस्तार के लिए $$E/F$$ $$E$$-बिंदु समूह के लिए समरूपी हैं $$E^\times$$. इसे बीजगणितीय समूह के रूप में ठीक से परिभाषित करने के लिए समीकरण द्वारा परिभाषित एफ़िन विविधता को लिया जा सकता है $$xy = 1$$ एफ़िन विमान में $$F$$ निर्देशांक के साथ $$x, y$$. फिर नियमित तर्कसंगत मानचित्र को सीमित करके गुणन दिया जाता है $$F^2 \times F^2 \to F^2$$ द्वारा परिभाषित $$((x, y), (x',y')) \mapsto (xx', yy') $$ और इसका उलटा नियमित तर्कसंगत मानचित्र का प्रतिबंध है $$(x, y) \mapsto (y, x)$$.

परिभाषा
होने देना $$F$$ बीजगणितीय समापन वाला क्षेत्र बनें $$\overline F$$. फिर एक$$F$$-टोरस बीजगणितीय समूह है जिसे ऊपर परिभाषित किया गया है $$F$$ जो समरूपी है $$\overline F$$ गुणक समूह की प्रतियों के सीमित उत्पाद के लिए।

दूसरे शब्दों में, यदि $$\mathbf T$$ $$F$$-ग्रुप यह टोरस है यदि और केवल यदि $$\mathbf T(\overline F) \cong (\overline F^\times)^r$$ कुछ के लिए $$r \ge 1$$. टोरी से जुड़ी मूल शब्दावली इस प्रकार है।


 * पूर्णांक $$r$$ टोरस की रैंक या पूर्ण रैंक कहा जाता है $$\mathrm T$$.
 * कहा जाता है कि टोरस क्षेत्र विस्तार में विभाजित है $$E/F$$ अगर $$\mathbf T(E) \cong (E^\times)^r$$. का अद्वितीय न्यूनतम परिमित विस्तार है $$F$$ जिस पर $$\mathbf T$$ विभाजित है, जिसे विभाजन क्षेत्र कहा जाता है $$\mathbf T$$.
 * द$$F$$-रैंक का $$\mathbf T$$ के विभाजित उप-टोरस की अधिकतम रैंक है $$\mathbf T$$. टोरस विभाजित होता है यदि और केवल यदि ऐसा हो $$F$$-रैंक उसकी पूर्ण रैंक के बराबर है।
 * एक टोरस को अनिसोट्रोपिक कहा जाता है यदि यह $$F$$-रैंक शून्य है.

आइसोजेनिज़
बीजगणितीय समूहों के बीच आइसोजेनी परिमित कर्नेल के साथ विशेषण रूपवाद है; दो टोरी को आइसोजेनस कहा जाता है यदि पहले से दूसरे तक आइसोोजेनी मौजूद हो। टोरी के बीच आइसोजेनिज़ विशेष रूप से अच्छी तरह से व्यवहार की जाती हैं: किसी भी आइसोजेनि के लिए $$\phi:\mathbf T \to \mathbf T'$$ वहाँ दोहरी आइसोजेनी मौजूद है $$\psi: \mathbf T' \to \mathbf T$$ ऐसा है कि $$\psi \circ \phi$$ पावर मैप है. विशेष रूप से आइसोजेनस होना टोरी के बीच तुल्यता संबंध है।

बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड पर
किसी भी बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर $$k = \overline{k}$$ समरूपता तक किसी भी रैंक का अद्वितीय टोरस होता है। रैंक के लिए $$n$$ बीजगणितीय टोरस खत्म $$k$$ यह समूह योजना द्वारा दिया गया है $$\mathbf{G}_m = \text{Spec}_k(k[t_1,t_1^{-1},\ldots,t_n,t_n^{-1}])$$ पृष्ठ 230.

वास्तविक संख्याओं से अधिक
वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र पर $$\mathbb R$$ वास्तव में (समरूपता तक) रैंक 1 के दो टोरी हैं: कोई भी वास्तविक टोरस उन दोनों के सीमित योग से समरूप होता है; उदाहरण के लिए असली टोरस $$\mathbb C^\times$$ दोगुना कवर किया गया है (लेकिन समरूपी नहीं) $$\mathbb R^\times \times \mathbb T^1$$. यह आइसोजेनस, गैर-आइसोमोर्फिक टोरी का उदाहरण देता है।
 * विभाजित टोरस $$\mathbb R^\times$$
 * संक्षिप्त रूप, जिसे एकात्मक समूह के रूप में महसूस किया जा सकता है $$\mathbf U(1)$$ या विशेष ऑर्थोगोनल समूह के रूप में $$\mathrm{SO}(2)$$. यह अनिसोट्रोपिक टोरस है। लाई समूह के रूप में, यह 1-टोरस (गणित) के समरूपी भी है $$\mathbf T^1$$, जो तोरी के रूप में विकर्ण बीजगणितीय समूहों की तस्वीर की व्याख्या करता है।

एक परिमित क्षेत्र पर
परिमित क्षेत्र के ऊपर $$\mathbb F_q$$ दो रैंक-1 टोरी हैं: विभाजित एक, कार्डिनैलिटी का $$q-1$$, और अनिसोट्रोपिक कार्डिनैलिटी में से $$q+1$$. उत्तरार्द्ध को मैट्रिक्स समूह के रूप में महसूस किया जा सकता है $$ \left\{ \begin{pmatrix} t & du \\ u & t \end{pmatrix} : t,u \in \mathbb F_q, t^2 - du^2=1 \right\} \subset \mathrm{SL}_2(\mathbb F_q). $$ अधिक सामान्यतः, यदि $$E/F$$ डिग्री का सीमित क्षेत्र विस्तार है $$d$$ फिर वेइल प्रतिबंध से $$E$$ को $$F$$ के गुणक समूह का $$E$$ $$F$$-रैंक का टोरस $$d$$ और $$F$$-रैंक 1 (ध्यान दें कि अविभाज्य क्षेत्र विस्तार पर स्केलर के प्रतिबंध से क्रमविनिमेय बीजगणितीय समूह प्राप्त होगा जो टोरस नहीं है)। गिरी $$N_{E/F}$$ इसके क्षेत्र मानदंड का टोरस भी है, जो अनिसोट्रोपिक और रैंक का है $$d-1$$. कोई $$F$$- रैंक का टोरस द्विघात विस्तार के मानदंड के कर्नेल के लिए या तो विभाजित या आइसोमोर्फिक है। उपरोक्त दो उदाहरण इसके विशेष मामले हैं: कॉम्पैक्ट रियल टोरस फ़ील्ड मानदंड का कर्नेल है $$\mathbb C/\mathbb R$$ और अनिसोट्रोपिक टोरस खत्म $$\mathbb F_q$$ के फ़ील्ड मानदंड का कर्नेल है $$\mathbb F_{q^2} / \mathbb F_q$$.

वजन और भार
एक अलग से बंद क्षेत्र में, टोरस टी दो प्राथमिक अपरिवर्तनीयों को स्वीकार करता है। वजन (प्रतिनिधित्व सिद्धांत) जाली (समूह) $$X^\bullet(T)$$ बीजगणितीय समरूपताओं का समूह है T → 'G'm, और काउवेट जाली $$X_\bullet(T)$$ बीजगणितीय समरूपता जी का समूह हैm→ टी. ये दोनों स्वतंत्र एबेलियन समूह हैं जिनकी रैंक टोरस की है, और उनके पास कैनोनिकल नॉनडीजेनरेट जोड़ी है $$X^\bullet(T) \times X_\bullet(T) \to \mathbb{Z}$$ द्वारा दिए गए $$(f,g) \mapsto \deg(f \circ g)$$, जहां डिग्री संख्या n है जैसे कि संरचना गुणक समूह पर n वें पावर मैप के बराबर है। वजन लेकर दिया गया फ़नकार टोरी और मुक्त एबेलियन समूहों के बीच श्रेणियों की प्रतितुल्यता है, और काउवेट फ़नकार समतुल्य है। विशेष रूप से, टोरी के मानचित्रों को वज़न या सहभार पर रैखिक परिवर्तनों की विशेषता होती है, और टोरस का ऑटोमोर्फिज्म समूह 'Z' पर सामान्य रैखिक समूह होता है। वज़न फ़ैक्टर का अर्ध-व्युत्क्रम मुक्त एबेलियन समूहों से टोरी तक दोहरीकरण फ़ैक्टर द्वारा दिया जाता है, जिसे इसके बिंदुओं के फ़ैक्टर द्वारा परिभाषित किया गया है:


 * $$D(M)_S(X) := \mathrm{Hom}(M, \mathbb{G}_{m,S}(X)).$$

इस तुल्यता को गुणात्मक प्रकार के समूहों (औपचारिक समूहों का विशिष्ट वर्ग) और मनमाने ढंग से एबेलियन समूहों के बीच पारित करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, और यदि कोई अच्छी तरह से व्यवहार वाली श्रेणी में काम करना चाहता है तो ऐसा सामान्यीकरण सुविधाजनक हो सकता है, क्योंकि टोरी की श्रेणी नहीं होती है इसमें गुठली या फ़िल्टर्ड कोलिमिट्स नहीं हैं।

जब फ़ील्ड K को अलग से बंद नहीं किया जाता है, तो K के ऊपर टोरस के वजन और कोवेट लैटिस को अलग करने योग्य क्लोजर पर संबंधित लैटिस के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह जालकों पर K के निरपेक्ष गैलोज़ समूह की विहित निरंतर क्रियाओं को प्रेरित करता है। इस क्रिया द्वारा तय किए गए वज़न और सह-भार बिल्कुल वही मानचित्र हैं जो K के ऊपर परिभाषित हैं। वज़न लेने का फ़ैक्टर बीजगणितीय समरूपताओं के साथ K के ऊपर टोरी की श्रेणी और के साथ अंतिम रूप से उत्पन्न मरोड़ मुक्त एबेलियन समूहों की श्रेणी के बीच प्रतितुल्यता है। K के पूर्ण गैलोज़ समूह की कार्रवाई।

एक परिमित वियोज्य क्षेत्र विस्तार एल/के और एल के ऊपर टोरस टी को देखते हुए, हमारे पास गैलोज़ मापांक समरूपता है


 * $$X^\bullet(\mathrm{Res}_{L/K}T) \cong \mathrm{Ind}_{G_L}^{G_K} X^\bullet(T).$$

यदि टी गुणक समूह है, तो यह अदिशों के प्रतिबंध को क्रमपरिवर्तन मॉड्यूल संरचना देता है। टोरी जिनके भार जालक गैलोज़ समूह के लिए क्रमपरिवर्तन मॉड्यूल हैं, अर्ध-विभाजित कहलाते हैं, और सभी अर्ध-विभाजित टोरी स्केलर के प्रतिबंधों के परिमित उत्पाद हैं।

टोरी का रैखिक निरूपण
जैसा कि ऊपर के उदाहरणों में देखा गया है, तोरी को रैखिक समूहों के रूप में दर्शाया जा सकता है। तोरी की वैकल्पिक परिभाषा है:


 * एक रैखिक बीजगणितीय समूह टोरस है यदि और केवल यदि यह बीजगणितीय समापन पर विकर्णीय है।

टोरस क्षेत्र में विभाजित होता है यदि और केवल तभी जब यह इस क्षेत्र पर विकर्णीय हो।

एक अर्धसरल समूह की विभाजित रैंक
अगर $$\mathbf G$$ क्षेत्र पर अर्धसरल बीजगणितीय समूह है $$F$$ तब: जाहिर तौर पर रैंक इससे बड़ा या उसके बराबर है $$F$$-पद; समूह को विभाजित कहा जाता है यदि और केवल यदि समानता कायम रहती है (अर्थात, इसमें अधिकतम टोरस होता है $$\mathbf G$$ जो बंटा हुआ है $$F$$). समूह को अनिसोट्रोपिक कहा जाता है यदि इसमें कोई विभाजित टोरी नहीं है (अर्थात इसकी $$F$$-रैंक शून्य है)।
 * इसकी रैंक (या पूर्ण रैंक) अधिकतम टोरस उपसमूह की रैंक है $$\mathbf G$$ (ध्यान दें कि सभी अधिकतम टोरी संयुग्मित हैं $$F$$ इसलिए रैंक अच्छी तरह से परिभाषित है);
 * इसका$$F$$-रैंक (कभी-कभी कहा जाता है$$F$$-स्प्लिट रैंक) टोरस उपसमूह की अधिकतम रैंक है $$G$$ जो बंटा हुआ है $$F$$.

अर्धसरल समूहों का वर्गीकरण
जटिल क्षेत्र पर अर्धसरल बीजगणित के शास्त्रीय सिद्धांत में यह उपबीजगणित परीक्षण मूल प्रक्रिया और डायनकिन आरेखों के माध्यम से वर्गीकरण में मौलिक भूमिका निभाते हैं। यह वर्गीकरण जटिल क्षेत्र पर जुड़े बीजगणितीय समूहों के बराबर है, और कार्टन सबलेजेब्रा इनमें अधिकतम टोरी के अनुरूप है। वास्तव में वर्गीकरण इस धारणा के तहत मनमाना आधार क्षेत्र के मामले को आगे बढ़ाता है कि विभाजित अधिकतम टोरस मौजूद है (जो बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर स्वचालित रूप से संतुष्ट है)। विभाजन की धारणा के बिना चीजें बहुत अधिक जटिल हो जाती हैं और अधिक विस्तृत सिद्धांत विकसित करना पड़ता है, जो अभी भी टोरी की सहायक क्रियाओं के अध्ययन पर आधारित है।

अगर $$\mathbf T$$ अर्धसरल बीजगणितीय समूह में अधिकतम टोरस है $$\mathbf G$$ फिर बीजगणितीय समापन पर यह जड़ प्रणाली को जन्म देता है $$\Phi$$ सदिश स्थान में $$V = X^*(\mathbf T) \otimes_{\mathbb Z} \mathbb R$$. दूसरी ओर, यदि $${}_F \mathbf T \subset \mathbf T$$ अधिकतम है $$F$$-स्प्लिट टोरस पर इसकी कार्रवाई $$F$$-झूठ का बीजगणित $$\mathbf G$$ अन्य जड़ प्रणाली को जन्म देता है $${}_F \Phi$$. प्रतिबंध मानचित्र $$X^*(\mathbf T) \to X^*(_F\mathbf T)$$ नक्शा प्रेरित करता है $$\Phi \to {}_F\Phi \cup\{0\}$$ और स्तन सूचकांक इस मानचित्र के गुणों और गैलोज़ समूह की कार्रवाई को एनकोड करने का तरीका है $$\overline F / F$$ पर $$\Phi$$. टिट्स इंडेक्स संबंधित निरपेक्ष डायनकिन आरेख का सापेक्ष संस्करण है $$\Phi$$; जाहिर है, केवल सीमित संख्या में स्तन सूचकांक ही किसी दिए गए डायनकिन आरेख के अनुरूप हो सकते हैं।

स्प्लिट टोरस से जुड़ा और अपरिवर्तनीय $${}_F \mathbf T$$ अनिसोट्रोपिक कर्नेल है: यह अर्धसरल बीजगणितीय समूह है जिसे केंद्रीकरण के व्युत्पन्न उपसमूह के रूप में प्राप्त किया गया है $${}_F \mathbf T$$ में $$\mathbf G$$ (उत्तरार्द्ध केवल रिडक्टिव समूह है)। जैसा कि इसके नाम से संकेत मिलता है कि यह अनिसोट्रोपिक समूह है, और इसका पूर्ण प्रकार विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है $${}_F \Phi$$.

वर्गीकरण की दिशा में पहला कदम निम्नलिखित प्रमेय है }


 * दो अर्धसरल $$F$$-बीजगणितीय समूह समरूपी होते हैं यदि और केवल यदि उनके स्तन सूचकांक और समरूपी अनिसोट्रोपिक गुठली समान हों।

यह अनिसोट्रोपिक समूहों में वर्गीकरण की समस्या को कम करता है, और यह निर्धारित करता है कि किसी दिए गए डायनकिन आरेख के लिए कौन से स्तन सूचकांक हो सकते हैं। बाद वाली समस्या का समाधान हो गया है. पूर्व गैलोइस कोहोमोलॉजी समूहों से संबंधित है $$F$$. अधिक सटीक रूप से प्रत्येक स्तन सूचकांक के ऊपर अद्वितीय अर्ध-विभाजित समूह जुड़ा होता है $$F$$; फिर हर $$F$$-समान सूचकांक वाला समूह इस अर्ध-विभाजित समूह का आंतरिक रूप है, और इन्हें गैलोज़ कोहोमोलॉजी द्वारा वर्गीकृत किया गया है $$F$$ निकटवर्ती समूह में गुणांकों के साथ।

समतल उप-स्थान और सममित स्थानों की रैंक
अगर $$G$$ अर्धसरल झूठ समूह है तो इसकी वास्तविक रैंक है $$\mathbb R$$-रैंक जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है (किसी के लिए)। $$\mathbb R$$-बीजगणितीय समूह जिसका वास्तविक बिंदुओं का समूह समरूपी है $$G$$), दूसरे शब्दों में अधिकतम $$r$$ जैसे कि एम्बेडिंग मौजूद है $$(\mathbb R^\times)^r \to G$$. उदाहरण के लिए, की वास्तविक रैंक $$\mathrm{SL}_n(\mathbb R)$$ के बराबर है $$n-1$$, और की वास्तविक रैंक $$\mathrm{SO}(p,q)$$ के बराबर है $$\min(p,q)$$.

अगर $$X$$ से संबद्ध सममित स्थान है $$G$$ और $$T \subset G$$ अधिकतम विभाजित टोरस है तो अद्वितीय कक्षा मौजूद है $$T$$ में $$X$$ जो पूरी तरह से जियोडेसिक फ्लैट उपस्थान है $$X$$. यह वास्तव में अधिकतम समतल उपस्थान है और सभी अधिकतम इस तरह से विभाजित टोरी की कक्षाओं के रूप में प्राप्त होते हैं। इस प्रकार वास्तविक रैंक की ज्यामितीय परिभाषा है, समतल उपस्थान के अधिकतम आयाम के रूप में $$X$$.

जाली की क्यू-रैंक
यदि झूठ समूह $$G$$ बीजगणितीय समूह के वास्तविक बिंदुओं के रूप में प्राप्त किया जाता है $$\mathbf G$$ तर्कसंगत क्षेत्र पर $$\mathbb Q$$ फिर $$\mathbb Q$$-रैंक का $$\mathbf G$$ इसका ज्यामितीय महत्व भी है। इसे पाने के लिए किसी को अंकगणितीय समूह का परिचय देना होगा $$\Gamma$$ के लिए जुड़े $$\mathbf G$$, जो मोटे तौर पर पूर्णांक बिंदुओं का समूह है $$\mathbf G$$, और भागफल स्थान $$M = \Gamma \backslash X$$, जो रीमैनियन ऑर्बिफोल्ड है और इसलिए मीट्रिक स्थान है। फिर किसी भी स्पर्शोन्मुख शंकु $$M$$ के बराबर आयाम के शीर्ष-आयामी सरलीकरण के साथ परिमित सरलीकृत परिसर के लिए होमोमोर्फिक है $$\mathbb Q$$-रैंक का $$\mathbf G$$. विशेष रूप से, $$M$$ सघन है यदि और केवल यदि $$\mathbf G$$ अनिसोट्रोपिक है.

ध्यान दें कि यह परिभाषित करने की अनुमति देता है $$\mathbf Q$$-अर्धसरल लाई समूह में किसी भी जाली की रैंक, उसके स्पर्शोन्मुख शंकु के आयाम के रूप में।

इमारतें
अगर $$\mathbf G$$ अर्धसरल समूह है $$\mathbb Q_p$$ अधिकतम विभाजन टोरी में $$\mathbf G$$ ब्रुहट-टिट्स बिल्डिंग के अपार्टमेंट के अनुरूप $$X$$ के लिए जुड़े $$\mathbf G$$. विशेष रूप से का आयाम $$X$$ के बराबर है $$\mathbb Q_p$$-rank of $$\mathbf G$$.

परिभाषा
एक आधार योजना (गणित) एस को देखते हुए, एस पर बीजीय टोरस को एस पर समूह योजना के रूप में परिभाषित किया गया है जो कि गुणक समूह योजना 'जी' की प्रतियों के सीमित उत्पाद के लिए फ्लैट टोपोलॉजी आइसोमोर्फिक है।mएस के ऊपर / एस। दूसरे शब्दों में, विश्वसनीय रूप से सपाट नक्शा एक्स → एस मौजूद है जैसे कि एक्स में किसी भी बिंदु पर अर्ध-कॉम्पैक्ट खुला पड़ोस यू है जिसकी छवि एस की खुली एफ़िन उपयोजना है, जैसे कि यू में आधार परिवर्तन उत्पन्न करता है जीएल की प्रतियों का परिमित उत्पाद1,U = जीm/में। विशेष रूप से महत्वपूर्ण मामला तब होता है जब S फ़ील्ड K का स्पेक्ट्रम होता है, जो S पर बीजगणितीय समूह बनाता है जिसका विस्तार कुछ परिमित वियोज्य विस्तार L तक होता है जो 'G' की प्रतियों का सीमित उत्पाद है।m/एल. सामान्य तौर पर, इस उत्पाद की बहुलता (यानी, योजना का आयाम) को टोरस की रैंक (विभेदक टोपोलॉजी) कहा जाता है, और यह एस पर स्थानीय रूप से स्थिर कार्य है।

टोरी ओवर फ़ील्ड्स के लिए परिभाषित अधिकांश धारणाएँ इस अधिक सामान्य सेटिंग पर आधारित हैं।

उदाहरण
बीजगणितीय टोरस का सामान्य उदाहरण एफ़िन शंकु पर विचार करना है $$\text{Aff}(X) \subset \mathbb{A}^{n+1}$$ प्रक्षेपी योजना का $$X \subset \mathbb{P}^n$$. फिर, मूल को हटाकर, प्रेरित प्रक्षेपण मानचित्र $$\pi: (\text{Aff}(X) - \{0\}) \to X$$ एक बीजगणितीय टोरस की संरचना देता है $$X$$.

वजन
एक सामान्य आधार योजना एस के लिए, वजन और सहभार को एस पर मुक्त एबेलियन समूहों के एफपीक्यूसी शीव्स के रूप में परिभाषित किया गया है। ये एफपीक्यूसी टोपोलॉजी के संबंध में आधार के मौलिक ग्रुपॉयड का प्रतिनिधित्व प्रदान करते हैं। यदि ईटेल टोपोलॉजी जैसे कमजोर टोपोलॉजी के संबंध में टोरस स्थानीय रूप से तुच्छ है, तो समूहों के ढेर ही टोपोलॉजी में उतरते हैं और ये प्रतिनिधित्व संबंधित भागफल समूह के माध्यम से कारक होते हैं। विशेष रूप से, ईटेल शीफ़ अर्ध-आइसोट्रिविअल टोरस को जन्म देता है, और यदि एस स्थानीय रूप से नोथेरियन और सामान्य है (अधिक सामान्यतः, यूनीब्रांच स्थानीय रिंग), तो टोरस आइसोट्रिविअल है। आंशिक उलटफेर के रूप में, ग्रोथेंडिक का प्रमेय दावा करता है कि परिमित प्रकार का कोई भी टोरस अर्ध-आइसोट्रिवियल है, यानी, ईटेल प्रक्षेपण द्वारा विभाजित है।

एस के ऊपर रैंक एन टोरस टी दिया गया है, मुड़ा हुआ रूप एस के ऊपर टोरस है जिसके लिए एस का एफपीक्यूसी कवरिंग मौजूद है जिसके लिए उनका आधार विस्तार आइसोमोर्फिक है, यानी, यह उसी रैंक का टोरस है। विभाजित टोरस के मुड़े हुए रूपों की समरूपता कक्षाएं नॉनबेलियन फ्लैट कोहोमोलॉजी द्वारा पैरामीट्रिज्ड हैं $$H^1(S, GL_n(\mathbb{Z}))$$, जहां गुणांक समूह स्थिर शीफ बनाता है। विशेष रूप से, क्षेत्र K के ऊपर विभाजित टोरस T के मुड़े हुए रूप गैलोज़ कोहोमोलॉजी नुकीले सेट के तत्वों द्वारा पैरामीट्रिज़ किए गए हैं $$H^1(G_K, GL_n(\mathbb{Z}))$$ गुणांकों पर तुच्छ गैलोज़ क्रिया के साथ। एक-आयामी मामले में, गुणांक क्रम दो का समूह बनाते हैं, और जी के मुड़ रूपों के समरूपता वर्ग बनाते हैंm K के वियोज्य द्विघात विस्तार के साथ स्वाभाविक आपत्ति में हैं।

चूंकि वज़न जाली लेना श्रेणियों की तुल्यता है, तोरी के छोटे सटीक अनुक्रम संबंधित वज़न जाली के छोटे सटीक अनुक्रमों के अनुरूप होते हैं। विशेष रूप से, टोरी के एक्सटेंशन को एक्सट द्वारा वर्गीकृत किया जाता है1शेव। ये फ्लैट कोहोमोलॉजी समूहों के लिए स्वाभाविक रूप से आइसोमोर्फिक हैं $$H^1(S, \mathrm{Hom}_\mathbb{Z} (X^\bullet(T_1), X^\bullet(T_2)))$$. क्षेत्र में, एक्सटेंशन संबंधित गैलोइस कोहोमोलॉजी समूह के तत्वों द्वारा पैरामीट्रिज्ड होते हैं।

अंकगणितीय अपरिवर्तनीय
तमागावा संख्याओं पर वेइल अनुमान पर अपने काम में, ताकाशी ओनो (गणितज्ञ)|टी. ओनो ने चुने हुए क्षेत्र k के परिमित वियोज्य विस्तारों पर टोरी के प्रकार के फ़ंक्शनोरियल इनवेरिएंट पेश किए। ऐसा अपरिवर्तनीय सकारात्मक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन f का संग्रह हैK K के ऊपर टोरी के समरूपता वर्गों पर, क्योंकि K तीन गुणों को संतुष्ट करते हुए, k के परिमित वियोज्य विस्तारों पर चलता है:
 * 1) गुणात्मकता: दो टोरी टी दिए गए हैं1 और टी2 के के ऊपर, एफK(टी1 × टी2) = एफK(टी1) एफK(टी2)
 * 2) प्रतिबंध: परिमित वियोज्य विस्तार के लिए एल/के, एफL एल टोरस पर मूल्यांकन एफ के बराबर हैK K तक अदिशों के इसके प्रतिबंध पर मूल्यांकन किया गया।
 * 3) प्रक्षेप्य तुच्छता: यदि T, K के ऊपर टोरस है जिसका वजन जाली प्रक्षेप्य गैलोज़ मॉड्यूल है, तो fK(टी) = 1.

टी. ओनो ने दिखाया कि संख्या क्षेत्र पर टोरस की तमागावा संख्या ऐसी अपरिवर्तनीय है। इसके अलावा, उन्होंने दिखाया कि यह दो कोहोमोलॉजिकल इनवेरिएंट्स का भागफल है, अर्थात् समूह का क्रम $$H^1(G_k, X^\bullet(T)) \cong Ext^1(T, \mathbb{G}_m)$$ (कभी-कभी गलती से इसे टी का पिकार्ड समूह कहा जाता है, हालांकि यह 'जी' को वर्गीकृत नहीं करता हैm टी पर टॉर्सर्स), और टेट-शफारेविच समूह का क्रम।

ऊपर दी गई अपरिवर्तनीय की धारणा स्वाभाविक रूप से मनमानी आधार योजनाओं पर टोरी को सामान्यीकृत करती है, जिसमें फ़ंक्शन अधिक सामान्य रिंगों में मान लेते हैं। जबकि विस्तार समूह का क्रम सामान्य अपरिवर्तनीय है, ऊपर दिए गए अन्य दो अपरिवर्तनीयों में एक-आयामी डोमेन के अंश क्षेत्रों और उनकी पूर्णता के दायरे के बाहर दिलचस्प एनालॉग नहीं लगते हैं।

यह भी देखें

 * टोरिक ज्यामिति
 * टोरस्र्स
 * टोरस आधारित क्रिप्टोग्राफी
 * हॉपफ बीजगणित

संदर्भ

 * A. Grothendieck, SGA 3 Exp. VIII–X
 * T. Ono, On Tamagawa Numbers
 * T. Ono, On the Tamagawa number of algebraic tori Annals of Mathematics 78 (1) 1963.