हाइपोसाइक्लॉइड

ज्यामिति में, एक हाइपोसायक्लाइड एक छोटे वृत्त पर एक निश्चित बिंदु के निशान से उत्पन्न एक विशेष समतल वक्र होता है जो एक बड़े वृत्त के भीतर लुढ़कता है। जैसे-जैसे बड़े वृत्त की त्रिज्या बढ़ती है, वैसे-वैसे हाइपोचक्रज निर्मित साइक्लोइड की तरह हो जाता है एक रेखा पर एक वृत्त घुमाकर।

गुण
यदि छोटे वृत्त की त्रिज्या r है, और बड़े वृत्त की त्रिज्या R = kr है, तो वक्र के लिए पैरामीट्रिक समीकरण या तो द्वारा दिया जा सकता है:
 * $$x (\theta) = (R - r) \cos \theta + r \cos \left(\frac{R-r}{r} \theta \right)$$
 * $$y (\theta) = (R - r) \sin \theta - r \sin \left( \frac{R - r}{r} \theta \right),$$

या:
 * $$x (\theta) = r (k - 1) \cos \theta + r \cos \left( (k - 1) \theta \right) \,$$
 * $$y (\theta) = r (k - 1) \sin \theta - r \sin \left( (k - 1) \theta \right). \,$$

यदि k एक पूर्णांक है, तो वक्र बंद है, और k कस्प (विलक्षणता) है (अर्थात, तीखे कोने, जहाँ वक्र नहीं है विभेदक कार्य)। विशेष रूप से k = 2 के लिए वक्र एक सीधी रेखा है और वृत्तों को कार्डानो वृत्त कहा जाता है। जेरोम कार्डानो इन हाइपोसाइक्लोइड्स और हाई-स्पीड छापाखाना में उनके अनुप्रयोगों का वर्णन करने वाले पहले व्यक्ति थे। यदि k एक परिमेय संख्या है, मान लीजिए k = p/q सरल शब्दों में व्यक्त किया गया है, तो वक्र में p cusps है।

यदि k एक अपरिमेय संख्या है, तो वक्र कभी बंद नहीं होता है, और बड़े वृत्त और त्रिज्या R - 2r के वृत्त के बीच की जगह भरता है।

प्रत्येक हाइपोसाइक्लॉइड (आर के किसी भी मूल्य के लिए) त्रिज्या आर के एक सजातीय क्षेत्र के अंदर गुरुत्वाकर्षण क्षमता के लिए एक brachistochron है। एक हाइपोक्यक्लॉइड से घिरा क्षेत्र निम्न द्वारा दिया जाता है:
 * $$A = \frac {(k - 1)(k - 2)} {k^2} \pi R^2 = (k - 1)(k - 2) \pi r^2 $$

एक हाइपोक्यक्लॉइड की चाप लंबाई निम्न द्वारा दी गई है:


 * $$s = \frac {8(k - 1)} {k} R = 8(k - 1) r $$

उदाहरण
हाइपोसाइक्लॉइड एक विशेष प्रकार का हाइपोट्रोकॉइड है, जो एक विशेष प्रकार का रूलेट (वक्र) है।

तीन क्यूप्स वाले एक हाइपोसाइक्लोइड को डेल्टॉइड वक्र के रूप में जाना जाता है।

चार कूप्स वाले एक हाइपोसाइक्लॉइड वक्र को एस्ट्रोइड के रूप में जाना जाता है।

दो क्यूप्स वाला हाइपोसाइक्लॉइड एक पतित लेकिन फिर भी बहुत दिलचस्प मामला है, जिसे तुसी युगल के रूप में जाना जाता है।

समूह सिद्धांत से संबंध
k के अभिन्न मूल्य के साथ कोई भी हाइपोसाइक्लॉइड, और इस प्रकार k cusps, k+1 cusps के साथ एक और हाइपोसाइक्लॉइड के अंदर चुपके से जा सकता है, जैसे कि छोटे हाइपोसाइक्लॉइड के बिंदु हमेशा बड़े के संपर्क में रहेंगे। यह गति 'रोलिंग' की तरह दिखती है, हालांकि शास्त्रीय यांत्रिकी के अर्थ में यह तकनीकी रूप से रोलिंग नहीं है, क्योंकि इसमें फिसलन शामिल है।

हाइपोसाइक्लॉइड आकार विशेष एकात्मक समूहों से संबंधित हो सकते हैं, जिन्हें SU(k) के रूप में चिह्नित किया गया है, जिसमें निर्धारक 1 के साथ k × k एकात्मक मैट्रिसेस शामिल हैं। उदाहरण के लिए, SU(3) में एक मैट्रिक्स के लिए विकर्ण प्रविष्टियों के योग के अनुमत मान हैं। तीन क्यूप्स (एक डेल्टॉइड) के हाइपोसाइक्लॉइड के अंदर स्थित जटिल तल में सटीक बिंदु। इसी तरह, SU(4) मेट्रिसेस की विकर्ण प्रविष्टियों को जोड़ने से एक एस्ट्रोइड के अंदर अंक मिलते हैं, और इसी तरह।

इस परिणाम के लिए धन्यवाद, कोई इस तथ्य का उपयोग कर सकता है कि SU(k) उपसमूह के रूप में SU(k+1) के अंदर फिट बैठता है यह साबित करने के लिए कि k cusps वाला एक एपिसाइक्लोइड k+1 cusps के साथ एक के अंदर चुपके से चलता है।

व्युत्पन्न घटता
एक हाइपोक्यक्लॉइड का विकास स्वयं हाइपोक्यक्लॉइड का एक बड़ा संस्करण है, जबकि एक हाइपोसाइक्लॉइड का समावेश स्वयं की एक कम प्रति है। हाइपोसाइक्लॉइड के केंद्र में ध्रुव के साथ एक हाइपोसायक्लाइड का पेडल वक्र एक गुलाब वक्र है।

एक हाइपोक्यक्लॉइड का समस्थानिक एक हाइपोक्यक्लॉइड है।

लोकप्रिय संस्कृति में हाइपोसाइक्लोइड्स
स्पाइरोग्राफ खिलौने के साथ हाइपोसाइक्लोइड्स के समान घटता खींचा जा सकता है। विशेष रूप से, स्पाइरोग्राफ हाइपोट्रोकोइड्स और एपिट्रोकॉइड को आकर्षित कर सकता है।

पिट्सबर्ग स्टीलर्स का लोगो, जो स्टीलमार्क पर आधारित है, में तीन एस्ट्रोइड्स (चार कस्प (एकवचन) के हाइपोसाइक्लोइड्स) शामिल हैं। अपने साप्ताहिक NFL.com कॉलम मंगलवार मॉर्निंग क्वार्टरबैक में, ग्रेग ईस्टरब्रुक अक्सर स्टीलर्स को हाइपोसाइक्लोइड्स के रूप में संदर्भित करता है। चिली की फ़ुटबॉल टीम सीडी हुआचीपाटो स्टीलर्स के लोगो पर अपना क्रेस्ट आधारित करती है, और इस तरह की विशेषताओं में हाइपोसाइक्लोइड्स होते हैं।

द प्राइस इज राइट (यू.एस. गेम शो) के पहले ड्रयू कैरी सीज़न के सेट में तीन मुख्य दरवाजों, विशाल मूल्य टैग और टर्नटेबल क्षेत्र पर एस्ट्रोइड्स हैं। 2008 में शुरू होने वाले उच्च परिभाषा टेलीविजन प्रसारणों पर शो स्विच होने पर दरवाजे और टर्नटेबल पर एस्ट्रोइड हटा दिए गए थे, और केवल विशाल मूल्य टैग प्रोप अभी भी उन्हें दिखाता है।

यह भी देखें

 * रूले (वक्र)
 * विशेष मामले: तुसी युगल, एस्ट्रॉइड, डेल्टॉइड वक्र
 * आवधिक कार्यों की सूची
 * चक्रवात
 * एपिसाइक्लॉइड
 * हाइपोट्रोकॉइड
 * एपिट्रोकॉइड
 * स्पाइरोग्राफ
 * पोर्टलैंड, ऑरेगॉन का ध्वज, जिसमें एक हाइपोसाइक्लॉइड है
 * मुर्रे का हाइपोसाइक्लाइडल इंजन, क्रैंक (तंत्र) के विकल्प के रूप में तुसी युगल का उपयोग

बाहरी संबंध

 * A free Javascript tool for generating Hypocyloid curves
 * Animation of Epicycloids, Pericycloids and Hypocycloids
 * Plot Hypcycloid &mdash; GeoFun
 * Iterative demonstration showing the brachistochrone property of Hypocycloid
 * Animation of Epicycloids, Pericycloids and Hypocycloids
 * Plot Hypcycloid &mdash; GeoFun
 * Iterative demonstration showing the brachistochrone property of Hypocycloid