लचीलापन (गणित)

गणितीय मॉडलिंग में, लचीलापन एक प्रणाली की गड़बड़ी से उबरने और अपनी मूल स्थिरता (गणित) स्थिर स्थिति में लौटने की क्षमता को संदर्भित करता है। यह परिवर्तन या गड़बड़ी की स्थिति में किसी प्रणाली की स्थिरता और शक्तिशाली ी का माप है। यदि कोई प्रणाली पर्याप्त रूप से लचीली नहीं है, तो यह गड़बड़ी के प्रति अधिक संवेदनशील है और अधिक आसानी से एक महत्वपूर्ण परिवर्तन से गुजर सकती है। संतुलन के लचीलेपन की अवधारणा को समझाने के लिए उपयोग की जाने वाली एक सामान्य सादृश्य घाटी में एक गेंद है। एक लचीली स्थिर स्थिति एक गहरी घाटी में एक गेंद से मेल खाती है, इसलिए कोई भी धक्का या गड़बड़ी गेंद को बहुत जल्दी आराम बिंदु पर वापस ले जाएगी जहां से यह प्रारंभ हुई थी। दूसरी ओर, एक कम लचीली स्थिर अवस्था एक उथली घाटी में एक गेंद से मेल खाती है, इसलिए गेंद को गड़बड़ी के बाद संतुलन में लौटने में बहुत अधिक समय लगेगा।

लचीलेपन की अवधारणा उन प्रणालियों में विशेष रूप से उपयोगी है जो जलवायु प्रणाली #गणितीय सिद्धांत में टिपिंग बिंदुओं को प्रदर्शित करती हैं, जिनके अध्ययन का एक लंबा इतिहास है जिसे आपदा सिद्धांत में खोजा जा सकता है। चूँकि इस सिद्धांत को प्रारंभ में अत्यधिक प्रचारित किया गया था और समर्थन से बाहर हो गया था, इसकी गणितीय नींव शक्तिशाली बनी हुई है और अब इसे कई अलग-अलग प्रणालियों के लिए प्रासंगिक माना जाता है।

इतिहास
1973 में, कनाडाई पारिस्थितिकीविज्ञानी सी.एस. हॉलिंग ने पारिस्थितिक प्रणालियों के संदर्भ में लचीलेपन की एक परिभाषा प्रस्तावित की। हॉलिंग के अनुसार, लचीलापन प्रणालियों की दृढ़ता और परिवर्तन और अशांति को अवशोषित करने की उनकी क्षमता का एक माप है और फिर भी जनसंख्या या राज्य चर के बीच समान संबंध बनाए रखता है। हॉलिंग ने दो प्रकार के लचीलेपन को प्रतिष्ठित किया: इंजीनियरिंग लचीलापन और पारिस्थितिक लचीलापन। इंजीनियरिंग लचीलापन किसी गड़बड़ी के बाद किसी सिस्टम की अपनी मूल स्थिति में लौटने की क्षमता को संदर्भित करता है, जैसे कि एक पुल जिसे भूकंप के बाद मरम्मत किया जा सकता है। दूसरी ओर, पारिस्थितिक लचीलापन, किसी गड़बड़ी के अतिरिक्त अपनी पहचान और कार्य को बनाए रखने की प्रणाली की क्षमता को संदर्भित करता है, जैसे कि एक जंगल जो अपनी जैव विविधता और पारिस्थितिकी तंत्र सेवाओं को बनाए रखते हुए जंगल की आग के बाद पुनर्जीवित हो सकता है। समय के साथ, लचीलेपन की एक बार अच्छी तरह से परिभाषित और स्पष्ट अवधारणा ने अपनी स्पष्टता में क्रमिक क्षरण का अनुभव किया है, जो एक विशिष्ट ठोस उपाय की तुलना में अधिक अस्पष्ट और एक छत्र शब्द के करीब हो गया है।

परिभाषा
गणितीय रूप से, लचीलेपन का अनुमान संतुलन पर लौटने के समय के व्युत्क्रम से लगाया जा सकता है  द्वारा दिए गए

$$\text{resilience} \equiv -\text{Re}(\lambda_1(\textbf{A})))$$ कहाँ $\lambda_1$ मैट्रिक्स का अधिकतम eigenvalue है $\textbf{A}$.

यह मान जितना बड़ा होता है, सिस्टम उतनी ही तेजी से मूल स्थिर स्थिर स्थिति में लौटता है, या दूसरे शब्दों में, उतनी ही तेजी से गड़बड़ी का क्षय होता है।

अनुप्रयोग और उदाहरण
सैद्धांतिक पारिस्थितिकी में, लचीलापन आग, सूखा, या आक्रामक प्रजातियों की प्रारंभआत जैसी गड़बड़ी से उबरने के लिए पारिस्थितिकी तंत्र की क्षमता को संदर्भित कर सकता है। एक लचीला पारिस्थितिकी तंत्र वह होगा जो इन परिवर्तनों को अनुकूलित करने और कार्य करना जारी रखने में सक्षम है, जबकि एक कम लचीला पारिस्थितिकी तंत्र अपरिवर्तनीय क्षति या पतन का अनुभव कर सकता है। लचीलेपन की त्रुटिहीन परिभाषा व्यावहारिक स्थितियोंके लिए अस्पष्ट बनी हुई है, जिसके कारण पारिस्थितिक तंत्र के प्रबंधन के लिए इसकी अंतर्दृष्टि का धीमा और उचित अनुप्रयोग हुआ है। गणितीय महामारी विज्ञान में, लचीलापन एक स्वस्थ समुदाय की संक्रमित व्यक्तियों के आने से उबरने की क्षमता को संदर्भित कर सकता है।

जटिल प्रणालियों के अध्ययन में लचीलापन एक महत्वपूर्ण अवधारणा है, जहां कई परस्पर क्रिया करने वाले घटक होते हैं जो अप्रत्याशित तरीकों से एक दूसरे को प्रभावित कर सकते हैं। ऐसी प्रणालियों के लचीलेपन का पता लगाने और पर्यावरण या अन्य परिवर्तनों की स्थिति में उनके लचीलेपन में सुधार के लिए रणनीतियों की पहचान करने के लिए गणितीय मॉडल का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, जटिल नेटवर्क  की मॉडलिंग करते समय नोड्स के हानि के लिए नेटवर्क लचीलापन, या नेटवर्क साइंस#नेटवर्क शक्तिशाली को मापने में सक्षम होना अधिकांशतः महत्वपूर्ण होता है। स्केल-मुक्त नेटवर्क विशेष रूप से लचीले होते हैं चूँकि उनके अधिकांश नोड्स में कुछ लिंक हैं। इसका कारणयह है कि यदि कुछ नोड्स को यादृच्छिक रूप से हटा दिया जाता है, तो यह अधिक संभावना है कि कम कनेक्शन वाले नोड्स को हटा दिया जाता है, इस प्रकार नेटवर्क के प्रमुख गुणों को संरक्षित किया जाता है।

यह भी देखें

 * लचीलापन (इंजीनियरिंग और निर्माण)
 * पारिस्थितिक लचीलापन
 * गंभीर संक्रमण
 * द्विभाजन सिद्धांत