कॉन्फिडेंस इंटरवल

फ़्रीक्वेंटिस्ट आँकड़ों में, एक कॉन्फिडेंस इंटरवल (CI) एक अज्ञात सांख्यिकीय पैरामीटर के लिए अनुमानों की एक श्रेणी है। कॉन्फिडेंस इंटरवल की गणना एक निर्धारित कॉन्फिडेंस लेवल पर की जाती है; 95% आत्मविश्वास का स्तर सबसे आम है, लेकिन अन्य स्तर, जैसे 90% या 99%, कभी-कभी उपयोग किए जाते हैं। कॉन्फिडेंस लेवल CI (दिए गए कॉन्फिडेंस लेवल पर) के लॉन्ग-रन आवृति वितरण को दर्शाता है जिसमें सैद्धांतिक रूप से पैरामीटर का सही मान होता है। उदाहरण के लिए, 95% स्तर पर गणना किए गए सभी अंतरालों में से, उनमें से 95% में पैरामीटर का सही मान होना चाहिए। सीआई की चौड़ाई को प्रभावित करने वाले कारकों में नमूना आकार निर्धारण, नमूने में सांख्यिकीय फैलाव और आत्मविश्वास का स्तर शामिल है। अन्य सभी समान होने पर, एक बड़ा नमूना एक संकीर्ण विश्वास अंतराल उत्पन्न करता है, नमूने में अधिक परिवर्तनशीलता एक व्यापक विश्वास अंतराल उत्पन्न करती है, और एक उच्च विश्वास स्तर एक व्यापक विश्वास अंतराल उत्पन्न करता है।

परिभाषा
होने देना $X$ सांख्यिकीय पैरामीटर के साथ संभाव्यता वितरण से एक यादृच्छिक नमूना बनें $θ$, जो अनुमानित मात्रा है, और $φ$, उन मात्राओं का प्रतिनिधित्व करता है जो तत्काल रुचि के नहीं हैं। पैरामीटर के लिए एक विश्वास अंतराल $θ$, विश्वास स्तर या गुणांक के साथ $γ$, एक अंतराल है $$\ (\ u(X), v(X)\ )\ $$ यादृच्छिक चर द्वारा निर्धारित $$\ u(X)\ $$ और $$\ v(X)\ $$ संपत्ति के साथ:
 * $$ \Pr \{\ u(X) < \theta < v(X)\ \}\ =\ \gamma \quad \text{ for every } (\theta,\varphi) ~.$$

जो नंबर $γ$, जिसका विशिष्ट मान करीब है लेकिन 1 से अधिक नहीं है, कभी-कभी फॉर्म में दिया जाता है $$\ 1 - \alpha\ $$ (या प्रतिशत के रूप में $$\ 100%\cdot( 1 - \alpha )\ $$), कहाँ $$\ \alpha\ $$ एक छोटी सकारात्मक संख्या है, अक्सर 0.05 ।

सीमा के लिए यह महत्वपूर्ण है $$\ u(X)\ $$ और $$\ v(X)\ $$ इस तरह से निर्दिष्ट किया जाना है कि जब तक $X$ बेतरतीब ढंग से एकत्र किया जाता है, हर बार जब हम एक विश्वास अंतराल की गणना करते हैं, तो प्रायिकता होती है $γ$ कि इसमें शामिल होगा $θ$, अनुमानित पैरामीटर का सही मान। यह किसी भी वास्तविक के लिए सही होना चाहिए $θ$ और $φ$.

अनुमानित विश्वास अंतराल
कई अनुप्रयोगों में, आत्मविश्वास अंतराल जिनके पास आवश्यक आत्मविश्वास स्तर है, निर्माण करना कठिन होता है, लेकिन अनुमानित अंतराल की गणना की जा सकती है। अंतराल के निर्माण के नियम को स्तर पर विश्वास अंतराल प्रदान करने के रूप में स्वीकार किया जा सकता है $$\gamma$$ अगर


 * $$ \Pr \{\ u(X) < \theta<v(X)\ \}\ \approx\ \gamma \quad \text{ for every }(\theta,\varphi)$$

सन्निकटन के स्वीकार्य स्तर तक। वैकल्पिक रूप से, कुछ लेखक बस इसकी आवश्यकता है


 * $$ \Pr \{\ u(X) < \theta < v(X)\ \}\ \ge\ \gamma \quad \text{ for every }(\theta,\varphi) ~,$$

जो उपयोगी है यदि संभावनाएँ केवल आंशिक पहचान या असंभव संभावना हैं, और संभाव्यता वितरण # असतत संभाव्यता वितरण से निपटने के दौरान भी। फॉर्म की आत्मविश्वास सीमा


 * $$ \Pr \{\ u(X) < \theta\ \}\ \ge\ \gamma ~$$ और $$ \Pr \{\ \theta < v(X)\ \} \ge \gamma ~$$

रूढ़िवादी कहलाते हैं; तदनुसार, एक रूढ़िवादी विश्वास अंतराल और, सामान्य तौर पर, क्षेत्रों की बात करता है।

वांछित गुण
मानक सांख्यिकीय प्रक्रियाओं को लागू करते समय, विश्वास अंतराल के निर्माण के अक्सर मानक तरीके होंगे। इन्हें कुछ वांछनीय गुणों को पूरा करने के लिए तैयार किया गया होगा, जो यह मानते हैं कि जिन मान्यताओं पर प्रक्रिया निर्भर करती है वे सत्य हैं। इन वांछनीय गुणों को इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है: वैधता, इष्टतमता और निश्चरता।

तीनों में से, वैधता सबसे महत्वपूर्ण है, इसके बाद इष्टतमता है। अंतराल के निर्माण के लिए नियम के बजाय, एक विश्वास अंतराल की व्युत्पत्ति की विधि की संपत्ति के रूप में इनवेरियन को माना जा सकता है। गैर-मानक अनुप्रयोगों में, वही वांछनीय गुणों की मांग की जाएगी:

वैधता
इसका मतलब यह है कि कॉन्फिडेंस इंटरवल की नॉमिनल कवरेज प्रायिकता (कॉन्फिडेंस लेवल) या तो बिल्कुल या एक अच्छे सन्निकटन पर होनी चाहिए।

इष्टतमता
इसका मतलब यह है कि विश्वास अंतराल के निर्माण के नियम को डेटा-सेट में जानकारी का जितना संभव हो उतना उपयोग करना चाहिए।

याद रखें कि कोई आधा डेटासेट फेंक सकता है और फिर भी एक वैध विश्वास अंतराल प्राप्त करने में सक्षम हो सकता है। इष्टतमता का आकलन करने का एक तरीका अंतराल की लंबाई से है ताकि विश्वास अंतराल के निर्माण के लिए एक नियम को दूसरे से बेहतर माना जा सके यदि यह उन अंतरालों की ओर जाता है जिनकी लंबाई आम तौर पर कम होती है।

उलटा
कई अनुप्रयोगों में, अनुमानित मात्रा को इस तरह कसकर परिभाषित नहीं किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, एक सर्वेक्षण के परिणामस्वरूप आबादी में औसत आय का अनुमान लगाया जा सकता है, लेकिन इसे समान रूप से औसत आय के लघुगणक का अनुमान प्रदान करने के रूप में माना जा सकता है, यह देखते हुए कि यह ग्राफिकल परिणामों को प्रस्तुत करने का एक सामान्य पैमाना है। यह वांछनीय होगा कि माध्यिका आय के लिए एक विश्वास अंतराल के निर्माण के लिए उपयोग की जाने वाली विधि समान परिणाम देगी जब मध्य आय के लघुगणक के लिए एक विश्वास अंतराल का निर्माण करने के लिए लागू किया जाएगा: विशेष रूप से बाद के अंतराल के अंत में मान लघुगणक होंगे पूर्व अंतराल के अंत में मूल्यों की।

व्युत्पत्ति के तरीके
गैर-मानक अनुप्रयोगों के लिए, विश्वास अंतराल के निर्माण के लिए एक नियम प्राप्त करने के लिए कई मार्ग अपनाए जा सकते हैं। इनमें से कई मार्गों के माध्यम से मानक प्रक्रियाओं के लिए स्थापित नियमों को उचित ठहराया जा सकता है या समझाया जा सकता है। आम तौर पर विश्वास अंतराल के निर्माण के लिए एक नियम माना जा रहा मात्रा के एक बिंदु अनुमान को खोजने के एक विशेष तरीके से निकटता से जुड़ा हुआ है।

सारांश आँकड़े
यह आकलन के लिए क्षणों (सांख्यिकी) की विधि से निकटता से संबंधित है। एक सरल उदाहरण उत्पन्न होता है जहां अनुमानित की जाने वाली मात्रा जनसंख्या माध्य है, इस मामले में एक प्राकृतिक अनुमान नमूना माध्य है। इसी प्रकार, जनसंख्या भिन्नता का अनुमान लगाने के लिए नमूना भिन्नता का उपयोग किया जा सकता है। सच्चे माध्य के लिए एक विश्वास अंतराल का निर्माण नमूना माध्य पर केंद्रित किया जा सकता है, जिसकी चौड़ाई नमूना विचरण के वर्गमूल का एक गुणक है।

संभावना सिद्धांत
अधिकतम संभावना सिद्धांत का उपयोग करके अनुमानों का निर्माण किया जा सकता है, इसके लिए संभावना सिद्धांत अनुमानों के लिए विश्वास अंतराल या विश्वास क्षेत्रों के निर्माण के दो तरीके प्रदान करता है।

समीकरणों का अनुमान लगाना
यहां अनुमान दृष्टिकोण को क्षणों की विधि (सांख्यिकी) के सामान्यीकरण और अधिकतम संभावना दृष्टिकोण के सामान्यीकरण दोनों के रूप में माना जा सकता है। अधिकतम संभावना सिद्धांत के परिणामों के समान सामान्यीकरण हैं जो अनुमानित समीकरणों से प्राप्त अनुमानों के आधार पर विश्वास अंतराल का निर्माण करने की अनुमति देते हैं।

परिकल्पना परीक्षण
यदि किसी पैरामीटर के सामान्य मूल्यों के लिए परिकल्पना परीक्षण उपलब्ध हैं, तो विश्वास अंतराल/क्षेत्रों को शामिल करके बनाया जा सकता है 100 $p$ % आत्मविश्वास क्षेत्र उन सभी बिंदुओं के लिए जिनके लिए शून्य परिकल्पना की परिकल्पना परीक्षण कि सही मान दिया गया मान है, के महत्व स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता है (1 − $p$).

बूटस्ट्रैपिंग
उन स्थितियों में जहां उपरोक्त विधियों के लिए वितरण धारणाएं अनिश्चित या उल्लंघन करती हैं, पुनर्नमूनाकरण विधियां आत्मविश्वास अंतराल या भविष्यवाणी अंतराल के निर्माण की अनुमति देती हैं। देखे गए डेटा वितरण और आंतरिक सहसंबंधों का व्यापक आबादी में सहसंबंधों के लिए सरोगेट के रूप में उपयोग किया जाता है।

केंद्रीय सीमा प्रमेय
केंद्रीय सीमा प्रमेय बड़ी संख्या के कानून का परिशोधन है। बड़ी संख्या में स्वतंत्र समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर के लिए $$\ X_1, ..., X_n\ ,$$ परिमित विचरण के साथ, औसत $$\ \overline{X}_n\ $$ लगभग एक सामान्य वितरण है, चाहे कोई भी वितरण हो $$\ X_i\ $$ के अनुपात में मोटे तौर पर सुधार के साथ है $$\ \sqrt{n\ }.$$

उदाहरण
मान लीजिए {एक्स1, …, एक्सn} एक सामान्य वितरण आबादी से एक सांख्यिकीय स्वतंत्रता नमूना है जिसमें अज्ञात पैरामीटर मतलब μ और विचरण σ है 2। होने देना


 * $$\bar{X}=(X_1+\cdots+X_n)/n\,,$$
 * $$S^2=\frac 1 {n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X}\,)^2.$$

कहाँ नमूना माध्य है, और S2 नमूना प्रसरण है। तब


 * $$T=\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}$$

छात्र का टी-वितरण है | स्वतंत्रता की n − 1 डिग्री के साथ छात्र का टी वितरण। ध्यान दें कि T का वितरण अप्राप्य मापदंडों μ और σ के मूल्यों पर निर्भर नहीं करता है2; यानी, यह एक महत्वपूर्ण मात्रा है। मान लीजिए कि हम μ के लिए 95% कॉन्फिडेंस इंटरवल की गणना करना चाहते हैं। फिर, c को इस वितरण के 97.5वें प्रतिशतक के रूप में दर्शाते हुए,


 * $$\Pr(-c\le T \le c)=0.95$$

ध्यान दें कि पूर्ववर्ती अभिव्यक्तियों में 97.5वां और 0.95 सही हैं। 2.5% संभावना है कि $$T$$ से कम होगा $$-c$$ और 2.5% संभावना है कि यह इससे बड़ा होगा $$+c$$. इस प्रकार, संभावना है कि $$T$$ के बीच होगा $$-c$$ और $$+c$$ 95% है।

फलस्वरूप,


 * $$\Pr\left(\bar{X} - \frac{cS}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{X} + \frac{cS}{\sqrt{n}} \right)=0.95\,$$

और हमारे पास μ के लिए एक सैद्धांतिक (स्टोकेस्टिक) 95% विश्वास अंतराल है।

नमूने का अवलोकन करने के बाद हमें मान मिलते हैं के लिए  और एस के लिए एस, जिससे हम विश्वास अंतराल की गणना करते हैं


 * $$ \left[ \bar{x} - \frac{cs}{\sqrt{n}}, \bar{x} + \frac{cs}{\sqrt{n}} \right]. $$



व्याख्या
कॉन्फिडेंस इंटरवल की विभिन्न व्याख्याएं दी जा सकती हैं (निम्नलिखित में एक उदाहरण के रूप में 95% कॉन्फिडेंस इंटरवल लेते हुए)।
 * विश्वास अंतराल को प्रतिकृति (सांख्यिकी) (या पुनर्नमूनाकरण (सांख्यिकी)) में एक लंबी अवधि की आवृत्ति के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है: क्या इस प्रक्रिया को कई नमूनों पर दोहराया जाना था, परिकलित 95% विश्वास अंतराल का अनुपात जिसमें शामिल थे जनसंख्या पैरामीटर का सही मूल्य 95% की ओर होगा। * विश्वास अंतराल को एक सैद्धांतिक (अभी तक महसूस किया जाना) नमूने के संबंध में संभाव्यता के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: 95% कवरेज की संभावना है कि किसी दिए गए भविष्य के नमूने से गणना की गई 95% विश्वास अंतराल का सही मूल्य शामिल होगा जनसंख्या पैरामीटर। यह अनिवार्य रूप से दोहराए गए नमूनों की व्याख्या को एक आवृत्ति के बजाय संभावना के रूप में दोहराता है। नेमन निर्माण देखें।
 * कॉन्फिडेंस इंटरवल को सांख्यिकीय महत्व के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, उदाहरण: 95% कॉन्फिडेंस इंटरवल उन मूल्यों का प्रतिनिधित्व करता है जो .05 स्तर पर बिंदु अनुमान से सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण नहीं हैं।

आम गलतफहमी


विश्वास अंतराल और स्तरों को अक्सर गलत समझा जाता है, और प्रकाशित अध्ययनों से पता चला है कि पेशेवर वैज्ञानिक भी अक्सर उनकी गलत व्याख्या करते हैं।   <रेफरी नाम= हेल्स्के हेल्स्के कूपर यनरमैन पीपी. 3397–3409 >


 * 95% विश्वास स्तर का मतलब यह नहीं है कि किसी दिए गए अंतराल के लिए 95% संभावना है कि जनसंख्या पैरामीटर अंतराल के भीतर है (यानी, 95% संभावना है कि अंतराल जनसंख्या पैरामीटर को कवर करता है)। सख्त आवृत्तिवादी व्याख्या के अनुसार, एक बार एक अंतराल की गणना हो जाने के बाद, यह अंतराल या तो पैरामीटर मान को कवर करता है या नहीं करता है; यह अब संभावना की बात नहीं है। 95% प्रायिकता अनुमान प्रक्रिया की विश्वसनीयता से संबंधित है, न कि किसी विशिष्ट परिकलित अंतराल से। जॉर्ज नेमन स्वयं (आत्मविश्वास अंतराल के मूल प्रस्तावक) ने इस बिंदु को अपने मूल पेपर में बनाया: "यह देखा जाएगा कि उपरोक्त विवरण में, प्रायिकता कथन अनुमान की समस्याओं को संदर्भित करता है जिसके साथ भविष्य में सांख्यिकीविद् चिंतित होंगे। वास्तव में, मैंने बार-बार कहा है कि सही परिणामों की आवृत्ति α की ओर प्रवृत्त होगी। अब उस मामले पर विचार करें जब एक नमूना पहले ही तैयार किया जा चुका है, और गणनाओं ने [विशेष सीमाएं] दी हैं। क्या हम कह सकते हैं कि इस विशेष मामले में सही मूल्य [इन सीमाओं के बीच गिरने] की संभावना α के बराबर है? उत्तर स्पष्ट रूप से नकारात्मक है। पैरामीटर एक अज्ञात स्थिरांक है, और इसके मान से संबंधित कोई प्रायिकता कथन नहीं बनाया जा सकता है..."


 * दबोरा मेयो ने इस पर और विस्तार किया है: "हालांकि, इस बात पर जोर दिया जाना चाहिए कि मूल्य [डेटा] को देखने के बाद, नेमैन-पियर्सन सिद्धांत कभी भी किसी को यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति नहीं देता है कि गठित विशिष्ट विश्वास अंतराल 0 के सही मान को कवर करता है या तो (1 − α)100 % प्रायिकता या (1 − α)100% विश्वास की डिग्री। सेडेनफेल्ड की टिप्पणी नेमन-पियर्सन विश्वास अंतराल के लिए एक (असामान्य नहीं) इच्छा में निहित है जो कुछ ऐसा प्रदान करने के लिए है जो वे वैध रूप से प्रदान नहीं कर सकते हैं; अर्थात्, संभाव्यता, विश्वास या समर्थन की डिग्री का एक माप जो एक अज्ञात पैरामीटर मान एक विशिष्ट अंतराल में निहित है। सैवेज (1962) के बाद, संभावना है कि एक पैरामीटर एक विशिष्ट अंतराल में निहित है जिसे अंतिम परिशुद्धता के उपाय के रूप में संदर्भित किया जा सकता है। जबकि अंतिम परिशुद्धता का एक उपाय वांछनीय प्रतीत हो सकता है, और जबकि आत्मविश्वास के स्तर को अक्सर (गलत तरीके से) इस तरह के उपाय प्रदान करने के रूप में व्याख्या की जाती है, ऐसी कोई व्याख्या जरूरी नहीं है। बेशक, 'आत्मविश्वास' शब्द से इस तरह की गलत व्याख्या को बढ़ावा मिलता है।"


 * 95% विश्वास स्तर का मतलब यह नहीं है कि नमूना डेटा का 95% विश्वास अंतराल के भीतर है।
 * एक विश्वास अंतराल नमूना पैरामीटर के लिए प्रशंसनीय मूल्यों की एक निश्चित सीमा नहीं है, हालांकि इसे अक्सर प्रशंसनीय मूल्यों की श्रेणी के रूप में लिया जाता है।
 * एक प्रयोग से परिकलित 95% के एक विशेष आत्मविश्वास स्तर का मतलब यह नहीं है कि इस अंतराल के भीतर आने वाले प्रयोग की पुनरावृत्ति से नमूना पैरामीटर की 95% संभावना है।

प्रति उदाहरण
चूंकि विश्वास अंतराल सिद्धांत प्रस्तावित किया गया था, सिद्धांत के लिए कई प्रति-उदाहरण विकसित किए गए हैं यह दिखाने के लिए कि विश्वास अंतराल की व्याख्या कैसे समस्याग्रस्त हो सकती है, कम से कम अगर कोई उन्हें भोलेपन से व्याख्या करता है।

एक समान स्थान के लिए विश्वास प्रक्रिया
वेल्च एक उदाहरण प्रस्तुत किया जो स्पष्ट रूप से विश्वास अंतराल के सिद्धांत और अंतराल अनुमान के अन्य सिद्धांतों के बीच अंतर दिखाता है (फिशर के फिडुशियल अनुमान अंतराल और उद्देश्य बायेसियन अनुमान अंतराल सहित)। रॉबिंसन इस उदाहरण को [पी] संभवतः नेमन के विश्वास अंतराल सिद्धांत के संस्करण के लिए सबसे प्रसिद्ध प्रति उदाहरण कहा जाता है। वेल्च के लिए, इसने कॉन्फिडेंस इंटरवल थ्योरी की श्रेष्ठता दिखाई; सिद्धांत के आलोचकों के लिए, यह कमी दिखाता है। यहां हम एक सरलीकृत संस्करण प्रस्तुत करते हैं।

लगता है कि $$X_1,X_2$$ एक समान वितरण (निरंतर) (θ - 1/2, θ + 1/2) वितरण से स्वतंत्र अवलोकन हैं। फिर के लिए इष्टतम 50% विश्वास प्रक्रिया $$\theta$$ है
 * $$\bar{X} \pm \begin{cases}

\dfrac{|X_1-X_2|}{2} & \text{if } |X_1-X_2| < 1/2 \\[8pt] \dfrac{1-|X_1-X_2|}{2} &\text{if } |X_1-X_2| \geq 1/2. \end{cases} $$ अंतराल अनुमान प्राप्त करने के लिए एक प्रत्ययी या उद्देश्य बायेसियन तर्क का उपयोग किया जा सकता है
 * $$\bar{X} \pm \frac{1-|X_1-X_2|}{4},$$

जो 50% विश्वास प्रक्रिया भी है। वेल्च ने दिखाया कि कॉन्फिडेंस इंटरवल थ्योरी से डेसिडेरेटा के अनुसार, पहली कॉन्फिडेंस प्रक्रिया दूसरे पर हावी है; हरएक के लिए $$\theta_1\neq\theta$$, संभावना है कि पहली प्रक्रिया में शामिल है $$\theta_1$$ दूसरी प्रक्रिया में शामिल होने की संभावना से कम या बराबर है $$\theta_1$$. पहली प्रक्रिया से अंतराल की औसत चौड़ाई दूसरी की तुलना में कम है। इसलिए, शास्त्रीय विश्वास अंतराल सिद्धांत के तहत पहली प्रक्रिया को प्राथमिकता दी जाती है।

हालाँकि, कब $$ |X_1-X_2| \geq 1/2$$, पहली प्रक्रिया से अंतरालों को सही मान रखने की गारंटी दी जाती है $$\theta$$: इसलिए, नाममात्र 50% विश्वास गुणांक उस अनिश्चितता से संबंधित नहीं है जो हमारे पास होनी चाहिए कि एक विशिष्ट अंतराल में सही मूल्य होता है। दूसरी प्रक्रिया में यह संपत्ति नहीं है।

इसके अलावा, जब पहली प्रक्रिया बहुत कम अंतराल उत्पन्न करती है, तो यह इंगित करता है $$X_1,X_2$$ एक साथ बहुत करीब हैं और इसलिए केवल एक ही डेटा बिंदु में जानकारी प्रदान करते हैं। फिर भी पहला अंतराल इसकी कम चौड़ाई के कारण पैरामीटर के लगभग सभी उचित मूल्यों को बाहर कर देगा। दूसरी प्रक्रिया में यह संपत्ति नहीं है।

पहली प्रक्रिया के दो प्रति-सहज गुण - 100% कवरेज कब $$X_1,X_2$$ बहुत दूर हैं और लगभग 0% कवरेज जब $$X_1,X_2$$ एक-दूसरे के करीब हैं—औसतन 50% कवरेज प्राप्त करने के लिए बैलेंस आउट करें। हालाँकि, पहली प्रक्रिया के इष्टतम होने के बावजूद, इसके अंतराल न तो अनुमान की सटीकता का आकलन करते हैं और न ही अनिश्चितता का आकलन करते हैं कि अंतराल में सही मान होना चाहिए।

इस प्रति-उदाहरण का उपयोग कॉन्फिडेंस इंटरवल्स की भोली व्याख्याओं के खिलाफ बहस करने के लिए किया जाता है। यदि एक विश्वास प्रक्रिया में नाममात्र कवरेज से परे गुण होने का दावा किया जाता है (जैसे कि सटीक संबंध, या बायेसियन अनुमान के साथ संबंध), तो उन गुणों को सिद्ध किया जाना चाहिए; वे इस तथ्य का पालन नहीं करते हैं कि एक प्रक्रिया एक विश्वास प्रक्रिया है।

ω के लिए विश्वास प्रक्रिया2
स्टीगर प्रसरण के विश्लेषण में सामान्य प्रभाव आकार#ओमेगा-स्क्वेर्ड (ω2) उपायों के लिए कई विश्वास प्रक्रियाओं का सुझाव दिया। मोरे एट अल। इंगित करें कि इनमें से कई आत्मविश्वास प्रक्रियाएं, जिनमें ω के लिए एक भी शामिल है2, के पास यह गुण है कि जैसे-जैसे F आँकड़ा तेजी से छोटा होता जाता है—ω के सभी संभावित मानों के साथ अनुपयुक्त होने का संकेत देता है2—विश्वास अंतराल सिकुड़ता है और यहां तक ​​कि केवल एक मान ω भी हो सकता है2 = 0; अर्थात्, CI असीम रूप से संकरा है (यह तब होता है जब $$p\geq1-\alpha/2$$ एक के लिए $$100(1-\alpha)\%$$ सीआई)।

यह व्यवहार विश्वास प्रक्रिया और सांख्यिकीय परिकल्पना परीक्षण के बीच संबंध के अनुरूप है: चूंकि एफ इतना छोटा हो जाता है कि समूह का मतलब एक साथ बहुत करीब होता है जितना हम संयोग से अपेक्षा करते हैं, एक महत्वपूर्ण परीक्षण ω के अधिकांश या सभी मूल्यों के लिए अस्वीकृति का संकेत दे सकता है।2। इसलिए अंतराल बहुत संकीर्ण या यहां तक ​​कि खाली होगा (या, स्टीगर द्वारा सुझाए गए सम्मेलन द्वारा, केवल 0 युक्त)। हालाँकि, यह इंगित नहीं करता है कि ω का अनुमान 2 बहुत सटीक है। एक मायने में, यह विपरीत संकेत देता है: कि परिणामों की विश्वसनीयता स्वयं संदेह में हो सकती है। यह विश्वास अंतराल की सामान्य व्याख्या के विपरीत है कि वे अनुमान की सटीकता प्रकट करते हैं।

इतिहास
1937 में जेरी नेमैन द्वारा कॉन्फिडेंस इंटरवल की शुरुआत की गई थी। सांख्यिकीविदों ने जल्दी ही इस विचार को अपना लिया, लेकिन वैज्ञानिकों द्वारा इसे अपनाने की प्रक्रिया अधिक क्रमिक थी। चिकित्सा पत्रिकाओं में कुछ लेखकों ने 1970 के दशक की शुरुआत में कॉन्फिडेंस इंटरवल को बढ़ावा दिया। इसके बावजूद, अगले दशक तक आत्मविश्वास अंतराल का शायद ही कभी उपयोग किया जाता था, जब वे जल्दी से मानक बन गए। 1980 के दशक के अंत तक, चिकित्सा पत्रिकाओं को विश्वास अंतराल की रिपोर्टिंग की आवश्यकता होने लगी।

यह भी देखें

 * 68–95–99.7 नियम
 * विश्वास बैंड, एक वक्र के लिए एक अंतराल अनुमान
 * , एक उच्च आयामी सामान्यीकरण
 * विश्वसनीय अंतराल, अंतराल अनुमान के लिए बायेसियन विकल्प
 * त्रुटि का मार्जिन, CI आधी चौड़ाई
 * भविष्यवाणी अंतराल, एक यादृच्छिक चर के लिए एक अंतराल अनुमान
 * संभावित त्रुटि
 * त्रुटि का मार्जिन, CI आधी चौड़ाई
 * भविष्यवाणी अंतराल, एक यादृच्छिक चर के लिए एक अंतराल अनुमान
 * संभावित त्रुटि
 * त्रुटि का मार्जिन, CI आधी चौड़ाई
 * भविष्यवाणी अंतराल, एक यादृच्छिक चर के लिए एक अंतराल अनुमान
 * संभावित त्रुटि
 * संभावित त्रुटि

विशिष्ट वितरण के लिए विश्वास अंतराल

 * द्विपद अनुपात विश्वास अंतराल
 * पावर लॉ # अनुभवजन्य डेटा से प्रतिपादक का अनुमान लगाना
 * घातीय वितरण#विश्वास अंतराल
 * ज़हर वितरण#आत्मविश्वास अंतराल
 * सामान्य वितरण#आत्मविश्वास अंतराल

ग्रन्थसूची

 * Fisher, R.A. (1956) Statistical Methods and Scientific Inference. Oliver and Boyd, Edinburgh. (See p. 32.)
 * Freund, J.E. (1962) Mathematical Statistics Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ. (See pp. 227–228.)
 * Hacking, I. (1965) Logic of Statistical Inference. Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-05165-7
 * Keeping, E.S. (1962) Introduction to Statistical Inference. D. Van Nostrand, Princeton, NJ.
 * Mayo, D. G. (1981) "In defence of the Neyman–Pearson theory of confidence intervals", Philosophy of Science, 48 (2), 269–280.
 * Neyman, J. (1937) "Outline of a Theory of Statistical Estimation Based on the Classical Theory of Probability" Philosophical Transactions of the Royal Society of London A, 236, 333–380. (Seminal work.)
 * Savage, L. J. (1962), The Foundations of Statistical Inference. Methuen, London.
 * Smithson, M. (2003) Confidence intervals. Quantitative Applications in the Social Sciences Series, No. 140. Belmont, CA: SAGE Publications. ISBN 978-0-7619-2499-9.
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 * Mehta, S. (2014) Statistics Topics ISBN 978-1-4992-7353-3

बाहरी संबंध

 * The Exploratory Software for Confidence Intervals tutorial programs that run under Excel
 * Confidence interval calculators for R-Squares, Regression Coefficients, and Regression Intercepts
 * CAUSEweb.org Many resources for teaching statistics including Confidence Intervals.
 * An interactive introduction to Confidence Intervals
 * Confidence Intervals: Confidence Level, Sample Size, and Margin of Error by Eric Schulz, the Wolfram Demonstrations Project.
 * Confidence Intervals in Public Health. Straightforward description with examples and what to do about small sample sizes or rates near 0.
 * Confidence Intervals in Public Health. Straightforward description with examples and what to do about small sample sizes or rates near 0.