वृत्त

{सामान्य ज्यामिति}} एक सर्कल एक विमान में सभी बिंदुओं से युक्त एक आकृति है जो किसी दिए गए बिंदु से दी गई दूरी पर है,केंद्र।समान रूप से, यह एक बिंदु से बाहर निकलने वाला वक्र है जो एक विमान में चलता है ताकि किसी दिए गए बिंदु से इसकी दूरी स्थिर हो।सर्कल और केंद्र के किसी भी बिंदु के बीच की दूरी को त्रिज्या कहा जाता है।आमतौर पर, त्रिज्या को एक सकारात्मक संख्या होने की आवश्यकता होती है।के साथ एक सर्कल $$r=0$$ एक पतित मामला है।यह लेख यूक्लिडियन ज्यामिति में हलकों के बारे में है, और, विशेष रूप से, यूक्लिडियन विमान, जहां अन्यथा उल्लेख किया गया है।

विशेष रूप से, एक सर्कल एक साधारण बंद वक्र है जो विमान को दो क्षेत्रों में विभाजित करता है: एक आंतरिक और एक बाहरी।रोजमर्रा के उपयोग में, शब्द सर्कल का उपयोग या तो आकृति की सीमा को संदर्भित करने के लिए या इसके इंटीरियर सहित पूरे आंकड़े को संदर्भित करने के लिए किया जा सकता है;सख्त तकनीकी उपयोग में, सर्कल केवल सीमा है और पूरे आंकड़े को डिस्क कहा जाता है।

एक सर्कल को एक विशेष प्रकार के दीर्घवृत्त के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है जिसमें दो foci संयोग हैं, सनकीता 0 है, और अर्ध-मेजर और अर्ध-खनिज कुल्हाड़ी समान हैं;या दो-आयामी आकृति प्रति यूनिट परिधि के सबसे अधिक क्षेत्र को घेरने के लिए, भिन्नताओं की पथरी का उपयोग करते हुए।

टोपोलॉजिकल परिभाषा
टोपोलॉजी के क्षेत्र में, एक सर्कल ज्यामितीय अवधारणा तक सीमित नहीं है, बल्कि इसके सभी होमोमोर्फिज्म तक सीमित है।दो टोपोलॉजिकल सर्कल समतुल्य हैं यदि एक को आर के विरूपण के माध्यम से दूसरे में बदल दिया जा सकता है3खुद पर (एक परिवेशी आइसोटोपी के रूप में जाना जाता है)।

शब्दावली
सभी निर्दिष्ट क्षेत्रों को खुले के रूप में माना जा सकता है, अर्थात्, उनकी सीमाओं से युक्त नहीं, या उनके संबंधित सीमाओं सहित बंद के रूप में।
 * एनलस: एक अंगूठी के आकार की वस्तु, दो संकेंद्रित सर्कल से बंधे क्षेत्र।
 * चाप: एक सर्कल का कोई भी जुड़ा हुआ हिस्सा। एक आर्क और एक केंद्र के दो अंत बिंदुओं को निर्दिष्ट करना दो आर्क्स के लिए अनुमति देता है जो एक साथ एक पूर्ण चक्र बनाते हैं।
 * केंद्र: सर्कल पर सभी बिंदुओं से बिंदु समीकरण।
 * कॉर्ड: एक लाइन सेगमेंट जिसका समापन बिंदु सर्कल पर स्थित है, इस प्रकार एक सर्कल को दो खंडों में विभाजित करता है।
 * परिधि: वृत्त के साथ एक सर्किट की लंबाई, या सर्कल के चारों ओर की दूरी।
 * व्यास: एक लाइन खंड जिसका समापन बिंदु सर्कल पर स्थित है और जो केंद्र से होकर गुजरता है; या इस तरह के एक लाइन खंड की लंबाई। यह सर्कल पर किसी भी दो बिंदुओं के बीच सबसे बड़ी दूरी है। यह एक कॉर्ड का एक विशेष मामला है, अर्थात् किसी दिए गए सर्कल के लिए सबसे लंबा राग, और इसकी लंबाई एक त्रिज्या की लंबाई से दोगुना है।
 * डिस्क: एक सर्कल से बंधे विमान का क्षेत्र।
 * लेंस: दो ओवरलैपिंग डिस्क के लिए सामान्य क्षेत्र (चौराहा)।
 * पासेंट: एक कोपलानर स्ट्रेट लाइन जिसका सर्कल के साथ कोई मतलब नहीं है।
 * RADIUS: एक लाइन सेगमेंट जो सर्कल के किसी भी एक बिंदु के साथ एक सर्कल के केंद्र में शामिल होता है; या इस तरह के एक खंड की लंबाई, जो एक व्यास की आधी (लंबाई) है।
 * सेक्टर: एक सामान्य केंद्र के साथ समान लंबाई के दो रेडी से घिरा एक क्षेत्र और या तो दो संभावित आर्क्स में से, इस केंद्र और रेडी के समापन बिंदुओं द्वारा निर्धारित किया गया है।
 * खंड: एक कॉर्ड द्वारा बंधे एक क्षेत्र और कॉर्ड के समापन बिंदुओं को जोड़ने वाले आर्क्स में से एक। कॉर्ड की लंबाई संभावित आर्क्स के व्यास पर एक कम सीमा थोपती है। कभी -कभी शब्द खंड का उपयोग केवल उन क्षेत्रों के लिए किया जाता है, जिनमें सर्कल के केंद्र से युक्त नहीं होते हैं, जिनसे उनका चाप होता है।
 * सेकंट: एक विस्तारित कॉर्ड, एक कोपलानर स्ट्रेट लाइन, दो बिंदुओं में एक सर्कल को काटता है।
 * अर्धवृत्त: एक व्यास के समापन बिंदुओं द्वारा निर्धारित दो संभावित आर्क्स में से एक, इसके मध्य बिंदु को केंद्र के रूप में ले जाता है। गैर-तकनीकी सामान्य उपयोग में इसका मतलब यह हो सकता है कि एक व्यास और इसके एक आर्क्स से बंधे दो आयामी क्षेत्र का इंटीरियर, जिसे तकनीकी रूप से एक आधा-डिस्क कहा जाता है। एक आधा-डिस्क एक खंड का एक विशेष मामला है, अर्थात् सबसे बड़ा।
 * स्पर्शरेखा: एक कोपलानर स्ट्रेट लाइन जिसमें एक सर्कल के साथ एक ही बिंदु होता है (इस बिंदु पर सर्कल को छूता है)।

इतिहास
वर्ड सर्कल ग्रीक κίρ a/ύκκκκκκκλλος (Kirkos/Kuklos) से निकला है, जो स्वयं होमेरिक ग्रीक κρίκος (Krikros) के मेटथेसिस है, जिसका अर्थ है हूप या रिंग शब्द सर्कस और विकट की उत्पत्ति: सर्किट | सर्किट निकट से संबंधित हैं। रिकॉर्ड किए गए इतिहास की शुरुआत से पहले सर्कल को जाना जाता है।प्राकृतिक घेरे देखे गए होंगे, जैसे कि चंद्रमा, सूरज, और रेत पर हवा में एक छोटा पौधे का डंठल, जो रेत में एक सर्कल आकार बनाता है।सर्कल पहिया के लिए आधार है, जो संबंधित आविष्कारों जैसे गियर के साथ, आधुनिक मशीनरी के अधिकांश को संभव बनाता है।गणित में, सर्कल के अध्ययन ने ज्यामिति, खगोल विज्ञान और पथरी के विकास को प्रेरित करने में मदद की है।

प्रारंभिक विज्ञान, विशेष रूप से ज्यामिति और ज्योतिष और खगोल विज्ञान, अधिकांश मध्ययुगीन विद्वानों के लिए दिव्य से जुड़ा था, और कई लोगों का मानना था कि कुछ आंतरिक रूप से दिव्य या परिपूर्ण था जो हलकों में पाया जा सकता था।

सर्कल के इतिहास में कुछ हाइलाइट्स हैं: [[Image:Toghrol Tower looking up.jpg|left|thumb|200px|[अंदर से तुगरुल टॉवर]]
 * 1700 ईसा पूर्व - Rhind papyrus एक गोलाकार क्षेत्र के क्षेत्र को खोजने के लिए एक विधि देता है।परिणाम मेल खाता है $256⁄81$ (3.16049 ...) के अनुमानित मूल्य के रूप में$\pi$.
 * 300 ईसा पूर्व - यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक 3 | यूक्लिड के तत्व हलकों के गुणों से संबंधित हैं।
 * प्लेटो के सातवें पत्र में सर्कल की एक विस्तृत परिभाषा और स्पष्टीकरण है।प्लेटो सही सर्कल की व्याख्या करता है, और यह किसी भी ड्राइंग, शब्दों, परिभाषा या स्पष्टीकरण से अलग कैसे है।
 * 1880 सीई - लिंडमैन साबित करता है π पारलौकिक है, प्रभावी रूप से सर्कल को स्क्वायर करने की सहस्राब्दी-पुरानी समस्या को सुलझा रहा है।

परिधि
इसके व्यास के लिए एक सर्कल की परिधि का अनुपात है π (पीआई), एक तर्कहीन स्थिरांक लगभग 3.141592654 के बराबर है।इस प्रकार परिधि c त्रिज्या r और व्यास d से संबंधित है:
 * $$C = 2\pi r = \pi d.\,$$

क्षेत्र संलग्न


जैसा कि आर्किमिडीज द्वारा साबित किया गया है, एक सर्कल के माप में, एक सर्कल द्वारा संलग्न क्षेत्र एक त्रिभुज के बराबर होता है जिसका आधार सर्कल की परिधि की लंबाई है और जिसकी ऊंचाई सर्कल के त्रिज्या के बराबर है, जो आता है π त्रिज्या वर्ग द्वारा गुणा:
 * $$\mathrm{Area} = \pi r^2.\,$$

समान रूप से, डी द्वारा व्यास को दर्शाते हुए,
 * $$\mathrm{Area} = \frac{\pi d^2}{4} \approx 0{.}7854d^2,$$

अर्थात्, लगभग 79% परिधीय वर्ग वर्ग (जिसका पक्ष लंबाई डी का है)।

सर्कल एक दिए गए आर्क लंबाई के लिए अधिकतम क्षेत्र को घेरने वाला विमान वक्र है।यह सर्कल को एक समस्या से संबंधित है, जो कि विविधता की गणना में है, अर्थात् isoperimetric असमानता।

कार्टेशियन निर्देशांक
, एक सर्कल का समीकरण एक एक्स -वाई कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, केंद्र निर्देशांक (ए, बी) और त्रिज्या आर के साथ सर्कल सभी बिंदुओं (एक्स, वाई) का सेट है
 * $$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2.$$

यह समीकरण, जिसे सर्कल के समीकरण के रूप में जाना जाता है, पाइथागोरियन प्रमेय से सर्कल पर किसी भी बिंदु पर लागू होता है: जैसा कि आसन्न आरेख में दिखाया गया है, त्रिज्या एक दाएं-कोण त्रिकोण का सम्मोहन है, जिसके अन्य पक्ष लंबाई के हैं।- ए |और | y - b |यदि सर्कल मूल (0, & nbsp; 0) पर केंद्रित है, तो समीकरण को सरल बनाता है
 * $$x^2 + y^2 = r^2.$$

समीकरण को त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन साइन और कोसाइन के रूप में पैरामीट्रिक रूप में लिखा जा सकता है
 * पैरामीट्रिक फॉर्म
 * $$x = a + r\,\cos t,$$
 * $$y = b + r\,\sin t,$$

जहां t 0 से 2 की सीमा में एक पैरामीट्रिक चर हैπ, ज्यामितीय रूप से कोण के रूप में व्याख्या की गई है कि किरण से (a, & nbsp; b) से (x, & nbsp; y) सकारात्मक x & nbsp; अक्ष के साथ बनाता है।

सर्कल का एक वैकल्पिक पैरामीटर है
 * $$x = a + r \frac{1 - t^2}{1 + t^2},$$
 * $$y = b + r \frac{2t}{1 + t^2}.$$

इस पैरामीटर में, टी से आर के अनुपात को ज्यामितीय रूप से एक्स & एनबीएसपी के समानांतर केंद्र के माध्यम से गुजरने वाली रेखा के स्टीरिगोग्राफिक प्रक्षेपण के रूप में व्याख्या किया जा सकता है; अक्ष (स्पर्शरेखा आधा-कोण प्रतिस्थापन देखें)।हालांकि, यह पैरामीटर केवल तभी काम करता है जब टी को न केवल सभी वास्तविकों के माध्यम से बल्कि अनंत के एक बिंदु पर भी बनाया जाता है;अन्यथा, सर्कल के सबसे बाएं बिंदु को छोड़ दिया जाएगा।

तीन बिंदुओं द्वारा निर्धारित सर्कल का समीकरण $$(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$$ एक लाइन पर नहीं एक सर्कल समीकरण के 3-बिंदु रूप के रूपांतरण द्वारा प्राप्त किया जाता है:
 * 3-बिंदु रूप
 * $$\frac{({\color{green}x} - x_1)({\color{green}x} - x_2) + ({\color{red}y} - y_1)({\color{red}y} - y_2)}

{({\color{red}y} - y_1)({\color{green}x} - x_2) - ({\color{red}y} - y_2)({\color{green}x} - x_1)} = \frac{(x_3 - x_1)(x_3 - x_2) + (y_3 - y_1)(y_3 - y_2)} {(y_3 - y_1)(x_3 - x_2) - (y_3 - y_2)(x_3 - x_1)}.$$ सजातीय निर्देशांक में, एक सर्कल के समीकरण के साथ प्रत्येक शंकु वर्ग का रूप है
 * सजातीय रूप
 * $$x^2 + y^2 - 2axz - 2byz + cz^2 = 0.$$

यह साबित किया जा सकता है कि एक शंकुधारी अनुभाग एक सर्कल है जब इसमें शामिल होता है (जब जटिल प्रोजेक्टिव प्लेन तक विस्तारित होता है) अंक I (1: i: 0) और j (1: & nbsp; −i: & nbsp; 0)।इन बिंदुओं को अनंत पर परिपत्र अंक कहा जाता है।

ध्रुवीय निर्देशांक
ध्रुवीय निर्देशांक में, एक सर्कल का समीकरण है
 * $$r^2 - 2 r r_0 \cos(\theta - \phi) + r_0^2 = a^2,$$

जहां एक सर्कल का त्रिज्या है, $$(r, \theta)$$ सर्कल पर एक सामान्य बिंदु के ध्रुवीय निर्देशांक हैं, और $$(r_0, \phi)$$ सर्कल के केंद्र के ध्रुवीय निर्देशांक हैं (यानी, आर0 is the distance from the origin to the centre of the circle, and φ is the anticlockwise angle from the positive x axis to the line connecting the origin to the centre of the circle). For a circle centred on the origin, i.e., this reduces to simply. When, या जब मूल सर्कल पर स्थित होता है, तो समीकरण बन जाता है
 * $$r = 2 a\cos(\theta - \phi).$$

सामान्य मामले में, समीकरण को आर के लिए हल किया जा सकता है, देते हुए
 * $$r = r_0 \cos(\theta - \phi) \pm \sqrt{a^2 - r_0^2 \sin^2(\theta - \phi)}.$$

ध्यान दें कि, चिन्ह के बिना, समीकरण कुछ मामलों में केवल आधा सर्कल का वर्णन करेगा।

जटिल विमान
जटिल विमान में, C और RADIUS R के केंद्र के साथ एक सर्कल में समीकरण होता है


 * $$|z - c| = r.$$

पैरामीट्रिक रूप में, इसे के रूप में लिखा जा सकता है


 * $$z = re^{it} + c.$$

थोड़ा सामान्यीकृत समीकरण
 * $$pz\overline{z} + gz + \overline{gz} = q$$

वास्तविक पी के लिए, क्यू और कॉम्प्लेक्स जी को कभी -कभी एक सामान्यीकृत सर्कल कहा जाता है।यह एक सर्कल के लिए उपरोक्त समीकरण बन जाता है $$p = 1,\ g = -\overline{c},\ q = r^2 - |c|^2$$, जबसे $$|z - c|^2 = z\overline{z} - \overline{c}z - c\overline{z} + c\overline{c}$$।सभी सामान्यीकृत सर्कल वास्तव में सर्कल नहीं हैं: एक सामान्यीकृत सर्कल या तो एक (सच) सर्कल या एक लाइन है।

स्पर्शरेखा रेखाएँ
सर्कल पर एक बिंदु P के माध्यम से स्पर्शरेखा रेखा पी के माध्यम से गुजरने वाले व्यास के लंबवत है and the circle has centre (a, b) and radius r, then the tangent line is perpendicular to the line from (a, b) to (x1, y1), so it has the form (x1 − a)x + (y1 – b)y = c. Evaluating at (x1, y1 सी के मूल्य को निर्धारित करता है, और परिणाम यह है कि स्पर्शरेखा का समीकरण है
 * $$(x_1 - a)x + (y_1 - b)y = (x_1 - a)x_1 + (y_1 - b)y_1,$$

या
 * $$(x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = r^2.$$

यदि y1 ≠ b, फिर इस लाइन का ढलान है
 * $$\frac{dy}{dx} = -\frac{x_1 - a}{y_1 - b}.$$

यह अंतर्निहित भेदभाव का उपयोग करके भी पाया जा सकता है।

जब सर्कल का केंद्र मूल में होता है, तो स्पर्शरेखा रेखा का समीकरण हो जाता है
 * $$x_1 x + y_1 y = r^2,$$

और इसकी ढलान है
 * $$\frac{dy}{dx} = -\frac{x_1}{y_1}.$$

गुण

 * सर्कल परिधि की दी गई लंबाई के लिए सबसे बड़े क्षेत्र के साथ आकार है (देखें isoperimetric असमानता)।
 * सर्कल एक अत्यधिक सममित आकार है: केंद्र के माध्यम से हर पंक्ति प्रतिबिंब समरूपता की एक पंक्ति बनाती है, और इसमें प्रत्येक कोण के लिए केंद्र के चारों ओर घूर्णी समरूपता होती है।इसका समरूपता समूह ऑर्थोगोनल ग्रुप ओ (2, आर) है।अकेले घुमाव का समूह सर्कल समूह 'टी' है।
 * सभी मंडल समान हैं।
 * एक सर्कल परिधि और त्रिज्या आनुपातिक हैं।
 * संलग्न क्षेत्र और इसके त्रिज्या का वर्ग आनुपातिक हैं।
 * आनुपातिकता के स्थिरांक 2 हैंπ तथा π क्रमश।
 * त्रिज्या 1 के साथ मूल में केंद्रित सर्कल को यूनिट सर्कल कहा जाता है।
 * यूनिट क्षेत्र के एक महान चक्र के रूप में सोचा, यह रीमैनियन सर्कल बन जाता है।
 * किसी भी तीन बिंदुओं के माध्यम से, सभी एक ही पंक्ति पर नहीं, एक अद्वितीय सर्कल है।कार्टेशियन निर्देशांक में, तीन दिए गए बिंदुओं के निर्देशांक के संदर्भ में सर्कल के केंद्र और त्रिज्या के निर्देशांक के लिए स्पष्ट सूत्र देना संभव है।खतना देखें।

कॉर्ड

 * Chords एक सर्कल के केंद्र से समान हैं यदि और केवल अगर वे लंबाई में बराबर हैं।
 * एक कॉर्ड का लंबवत द्विभाजक एक सर्कल के केंद्र से होकर गुजरता है; लंबवत द्विभाजक की विशिष्टता से उपजी समकक्ष बयान हैं:
 * एक सर्कल के केंद्र से एक लंबवत रेखा कॉर्ड को काटती है।
 * एक कॉर्ड को काटने वाले केंद्र के माध्यम से लाइन खंड कॉर्ड के लंबवत है।
 * यदि एक केंद्रीय कोण और एक सर्कल का एक खुदा हुआ कोण एक ही कॉर्ड द्वारा और कॉर्ड के एक ही तरफ घटाया जाता है, तो केंद्रीय कोण दो बार अंकित कोण है।
 * यदि दो कोणों को एक ही कॉर्ड पर और कॉर्ड के एक ही तरफ अंकित किया जाता है, तो वे समान हैं।
 * यदि दो कोणों को एक ही कॉर्ड पर और कॉर्ड के विपरीत किनारों पर अंकित किया जाता है, तो वे पूरक हैं।
 * एक चक्रीय चतुर्भुज के लिए, बाहरी कोण आंतरिक विपरीत कोण के बराबर है।
 * एक व्यास द्वारा घटाया एक खुदा हुआ कोण एक समकोण है (देखें थेल्स 'प्रमेय)।
 * व्यास सर्कल का सबसे लंबा राग है।
 * आम तौर पर एक कॉर्ड एब के साथ सभी हलकों में, न्यूनतम त्रिज्या वाला सर्कल व्यास एबी के साथ एक है।
 * यदि किसी भी दो कॉर्ड्स का चौराहा एक कॉर्ड को लंबाई ए और बी में विभाजित करता है और दूसरे कॉर्ड को लंबाई सी और डी में विभाजित करता है, तो ।
 * यदि किसी भी दो लंबवत chords का चौराहा एक कॉर्ड को लंबाई A और B में विभाजित करता है और दूसरे कॉर्ड को लंबाई C और D में विभाजित करता है, तो a2 + b2 + c2 + d2 व्यास के वर्ग के बराबर होता है।
 * किसी दिए गए बिंदु पर समकोण पर किसी भी दो chords की चुकता लंबाई का योग एक ही बिंदु पर किसी भी अन्य दो लंबवत chords के समान होता है और 8r द्वारा दिया जाता है।2 − 4p2 जहां आर सर्कल त्रिज्या है, और पी केंद्र बिंदु से चौराहे के बिंदु तक की दूरी है।
 * सर्कल पर एक बिंदु से किसी दिए गए कॉर्ड समय तक की दूरी सर्कल का व्यास बिंदु से लेकर कॉर्ड के सिरों तक की दूरी के उत्पाद के बराबर होती है। }

स्पर्शरेखा

 * सर्कल पर पड़े त्रिज्या के अंत बिंदु के माध्यम से एक त्रिज्या के लिए लंबवत खींची गई एक रेखा सर्कल के लिए एक स्पर्शरेखा है।
 * एक सर्कल के केंद्र के माध्यम से गुजरती एक सर्कल के साथ संपर्क के बिंदु के माध्यम से एक स्पर्शरेखा के लिए लंबवत खींची गई एक रेखा।
 * दो स्पर्शरेखाओं को हमेशा सर्कल के बाहर किसी भी बिंदु से एक सर्कल में खींचा जा सकता है, और ये स्पर्शरेखा लंबाई में समान हैं।
 * यदि एक पर एक स्पर्शरेखा और बाहरी बिंदु P पर B प्रतिच्छेदन पर एक स्पर्शरेखा, तो केंद्र को O के रूप में दर्शाता है, कोण ∠BOA और ∠BPA पूरक हैं।
 * यदि AD A पर सर्कल के लिए स्पर्शरेखा है और यदि AQ सर्कल का एक कॉर्ड है, तो ∠DAQ = $1⁄2$आर्क (aq)।

प्रमेय



 * कॉर्ड प्रमेय में कहा गया है कि यदि दो कॉर्ड, सीडी और ईबी, एक पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो AC × AD = Ab × ae।
 * यदि दो सेकेंट्स, एई और एडी, भी क्रमशः बी और सी पर सर्कल को काटते हैं, तो AC × AD = Ab × ae (कॉर्ड प्रमेय का कोरोलरी)।
 * {एंकर | स्पर्शरेखा-धर्मनिरपेक्ष प्रमेय}} एक स्पर्शरेखा को एक सेकेंड का एक सीमित मामला माना जा सकता है जिसके छोर संयोग हैं।यदि किसी बाहरी बिंदु से एक स्पर्शरेखा f पर सर्कल से मिलता है और बाहरी बिंदु से एक सेकंड क्रमशः C और D पर सर्कल से मिलता है, तो (स्पर्शरेखा -असंगत प्रमेय)।
 * इसके समापन बिंदुओं में से एक कॉर्ड और स्पर्शरेखा के बीच का कोण, कॉर्ड के विपरीत दिशा में, सर्कल के केंद्र में एक आधे कोण के बराबर है (स्पर्शरेखा कॉर्ड कोण)।
 * यदि केंद्र में कॉर्ड द्वारा घटाया गया कोण 90 ° है, तो {Nowrap | ℓ = r} 2}}, जहां ℓ chord की लंबाई है, और r सर्कल का त्रिज्या है।
 * यदि दो सेकेंट्स को सर्कल में अंकित किया जाता है जैसा कि दाईं ओर दिखाया गया है, तो कोण A का माप संलग्न आर्क्स के माप के एक आधे के अंतर के बराबर है ($$\overset{\frown}{DE}$$ तथा $$\overset{\frown}{BC}$$)।वह है, $$2\angle{CAB} = \angle{DOE} - \angle{BOC}$$, जहां ओ सर्कल का केंद्र है (सेकेंट -कट्टर प्रमेय)।

अंकित कोण
एक उत्कीर्ण कोण (उदाहरण आकृति में नीले और हरे कोण हैं) ठीक आधा केंद्रीय कोण (लाल) है।इसलिए, सभी उत्कीर्ण कोण जो एक ही चाप (गुलाबी) को घटाते हैं, वे समान हैं।चाप (भूरे) पर अंकित कोण पूरक हैं।विशेष रूप से, प्रत्येक उत्कीर्ण कोण जो एक व्यास को घटाता है, एक समकोण है (चूंकि केंद्रीय कोण 180 ° है)।

तीर धनु (वर्सिन के रूप में भी जाना जाता है) एक लाइन खंड है जो उस कॉर्ड के मध्य बिंदु और सर्कल के आर्क के बीच एक कॉर्ड के लंबवत खींचा जाता है।

एक कॉर्ड की लंबाई y और धनु की लंबाई x को देखते हुए, पाइथागोरियन प्रमेय का उपयोग अद्वितीय सर्कल के त्रिज्या की गणना करने के लिए किया जा सकता है जो दो लाइनों के आसपास फिट होगा:
 * $$r = \frac{y^2}{8x} + \frac{x}{2}.$$

इस परिणाम का एक और प्रमाण, जो केवल ऊपर दिए गए दो कॉर्ड गुणों पर निर्भर करता है, इस प्रकार है।लंबाई y और लंबाई x के धनु के साथ एक कॉर्ड को देखते हुए, चूंकि धनु कॉर्ड के मध्य बिंदु को प्रतिच्छेद करता है, हम जानते हैं कि यह सर्कल के व्यास का एक हिस्सा है।चूंकि व्यास त्रिज्या से दोगुना है, व्यास का लापता हिस्सा है (2r − x) लंबाई में।इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि एक कॉर्ड बार का एक हिस्सा दूसरा भाग एक ही उत्पाद के बराबर होता है, जो पहले कॉर्ड को एक कॉर्ड के साथ लिया जाता है, हम पाते हैं कि2r − x)x = (y / 2)2।आर के लिए हल, हम आवश्यक परिणाम पाते हैं।

कम्पास और स्ट्रेटेज कंस्ट्रक्शन
कई कम्पास-एंड-स्ट्रेटडेज निर्माण हैं, जिसके परिणामस्वरूप सर्कल हैं।

सबसे सरल और सबसे बुनियादी निर्माण सर्कल के केंद्र और सर्कल पर एक बिंदु दिया गया है।केंद्र बिंदु पर कम्पास के निश्चित पैर को, सर्कल पर बिंदु पर चल पैर और कम्पास को घुमाएं।

दिए गए व्यास के साथ निर्माण

 * मिडपॉइंट का निर्माण करें $O(2)$ व्यास का।
 * केंद्र के साथ सर्कल का निर्माण करें $πR^{2}$ व्यास के समापन बिंदुओं में से एक से गुजरना (यह अन्य समापन बिंदु से भी गुजर जाएगा)।

[[File:Circunferencia 10.svg|thumb|त्रिभुज (नीला) के किनारों के लंबवत द्विभाजक (छुटकारा) खोजकर अंक ए, बी और सी के माध्यम से एक सर्कल का निर्माण करें।केंद्र को खोजने के लिए तीन में से केवल दो द्विभाजकों की आवश्यकता होती है।]

तीन नॉनकोलिनियर पॉइंट्स के माध्यम से निर्माण

 * अंक का नाम बताइए $C = 2πR$, $M$ तथा $M$,
 * खंड के लंबवत द्विभाजक का निर्माण करें $P$।
 * खंड के लंबवत द्विभाजक का निर्माण करें $Q$।
 * इन दो लंबवत द्विभाजकों के चौराहे के बिंदु को लेबल करें $R$।(वे मिलते हैं क्योंकि अंक कोलेनियर नहीं हैं)।
 * केंद्र के साथ सर्कल का निर्माण करें $\overline{PQ}$ बिंदुओं में से एक से गुजरना $\overline{PR}$, $M$ या $M$ (यह अन्य दो बिंदुओं से भी गुजरेंगे)।

एपोलोनियस का चक्र
पेर्गा के अपोलोनियस ने दिखाया कि एक सर्कल को एक विमान में बिंदुओं के सेट के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, जिसमें दो निश्चित foci, ए और बी की दूरी के निरंतर अनुपात (1 के अलावा), ए और बी। <रेफ> सी।स्टेनली ओगिल्वी | ओगिल्वी, सी। स्टेनली, ज्यामिति में भ्रमण, डोवर, 1969, 14-17। (उन बिंदुओं का सेट जहां दूरियां समान हैं, खंड एबी, एक लाइन के लंबवत द्विभाजक हैं।) उस सर्कल को कभी -कभी दो बिंदुओं के बारे में कहा जाता है।

प्रमाण दो भागों में है।सबसे पहले, किसी को यह साबित करना होगा कि, दो foci a और b और दूरी के अनुपात को देखते हुए, किसी भी बिंदु p को संतुष्ट करने वाले किसी भी स्थान पर एक विशेष सर्कल पर गिरना चाहिए।चलो सी एक और बिंदु हो, अनुपात को संतुष्ट करना और खंड एबी पर झूठ बोलना।कोण द्विभाजक प्रमेय द्वारा लाइन सेगमेंट पीसी आंतरिक कोण एपीबी को द्विभाजित करेगा, क्योंकि सेगमेंट समान हैं:
 * $$\frac{AP}{BP} = \frac{AC}{BC}.$$

अनुरूप रूप से, एबी पर कुछ बिंदु डी के माध्यम से एक लाइन सेगमेंट पीडी इसी बाहरी कोण बीपीक्यू को बढ़ाता है जहां क्यू एपी विस्तारित है।चूंकि आंतरिक और बाहरी कोण 180 डिग्री तक योग करते हैं, एंगल सीपीडी बिल्कुल 90 डिग्री है;वह है, एक समकोण।अंक p का सेट जैसे कि कोण CPD एक समकोण है जो एक सर्कल बनाता है, जिसमें से सीडी एक व्यास है।

दूसरा, देखें इस प्रमाण के लिए कि संकेतित सर्कल पर हर बिंदु दिए गए अनुपात को संतुष्ट करता है।

क्रॉस-रैटियोस
हलकों की एक निकट से संबंधित संपत्ति में जटिल विमान में बिंदुओं के क्रॉस-अनुपात की ज्यामिति शामिल है।यदि A, B, और C ऊपर के रूप में हैं, तो इन तीन बिंदुओं के लिए Apollonius का चक्र बिंदु P का संग्रह है, जिसके लिए क्रॉस-अनुपात का निरपेक्ष मूल्य एक के बराबर है:
 * $$\big|[A, B; C, P]\big| = 1.$$

एक और तरीका है, पी अपोलोनियस के सर्कल पर एक बिंदु है यदि और केवल अगर क्रॉस-रैटियो [A, B; C, P] जटिल विमान में यूनिट सर्कल पर है।

सामान्यीकृत सर्कल
यदि C सेगमेंट AB का मध्य बिंदु है, तो Apollonius स्थिति को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं का संग्रह P का संग्रह है
 * $$\frac{|AP|}{|BP|} = \frac{|AC|}{|BC|}$$

एक सर्कल नहीं है, बल्कि एक लाइन है।

इस प्रकार, यदि A, B, और C को विमान में अलग -अलग बिंदु दिए जाते हैं, तो उपरोक्त समीकरण को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं के स्थान को एक सामान्यीकृत सर्कल कहा जाता है।यह या तो एक सच्चा सर्कल या एक लाइन हो सकती है।इस अर्थ में एक रेखा अनंत त्रिज्या का एक सामान्यीकृत चक्र है।

अन्य आंकड़ों के बारे में या परिधि में शिलालेख
प्रत्येक त्रिभुज में एक अद्वितीय सर्कल, जिसे इंकिरल कहा जाता है, को इस तरह से अंकित किया जा सकता है कि यह त्रिभुज के तीन पक्षों में से प्रत्येक के लिए स्पर्शरेखा है।

हर त्रिभुज को एक अद्वितीय सर्कल, जिसे खतना कहा जाता है, को इस तरह से परिचालित किया जा सकता है कि यह त्रिभुज के तीन वर्टिस में से प्रत्येक से गुजरता है।

स्पर्शरेखा बहुभुज, जैसे कि एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज, कोई भी उत्तल बहुभुज है जिसके भीतर एक सर्कल को अंकित किया जा सकता है जो बहुभुज के प्रत्येक पक्ष के लिए स्पर्शरेखा है। हर नियमित बहुभुज और हर त्रिभुज एक स्पर्शरेखा बहुभुज है।

एक चक्रीय बहुभुज कोई भी उत्तल बहुभुज है जिसके बारे में एक सर्कल को परिचालित किया जा सकता है, प्रत्येक शीर्ष से गुजरता है।एक अच्छी तरह से अध्ययन किया गया उदाहरण चक्रीय चतुर्भुज है।हर नियमित बहुभुज और हर त्रिभुज एक चक्रीय बहुभुज है।एक बहुभुज जो कि चक्रीय और स्पर्शरेखा दोनों है, को एक बाइसेन्ट्रिक बहुभुज कहा जाता है।

एक हाइपोसाइक्लॉइड एक वक्र है जो किसी दिए गए सर्कल में एक छोटे सर्कल पर एक निश्चित बिंदु को ट्रेस करके अंकित होता है जो दिए गए सर्कल के भीतर और स्पर्शरेखा के भीतर रोल करता है।

अन्य आंकड़ों का सीमित मामला
सर्कल को विभिन्न अन्य आंकड़ों में से प्रत्येक के एक सीमित मामले के रूप में देखा जा सकता है:
 * एक कार्टेशियन अंडाकार बिंदुओं का एक सेट है जैसे कि अपने किसी भी बिंदु से दो निश्चित बिंदुओं (FOCI) तक की दूरी का भारित योग एक स्थिर है।एक दीर्घवृत्त वह मामला है जिसमें वजन समान है।एक सर्कल शून्य की विलक्षणता के साथ एक दीर्घवृत्त है, जिसका अर्थ है कि दो foci सर्कल के केंद्र के रूप में एक दूसरे के साथ मेल खाते हैं।एक सर्कल एक कार्टेशियन अंडाकार का एक अलग विशेष मामला भी है जिसमें वजन में से एक शून्य है।
 * एक सुपरलिप्स में फॉर्म का एक समीकरण होता है $$\left|\frac{x}{a}\right|^n\! + \left|\frac{y}{b}\right|^n\! = 1$$ सकारात्मक ए, बी, और एन के लिए।एक सुपरकिरल है ।एक सर्कल एक सुपरकिरकल का विशेष मामला है जिसमें ।
 * एक कैसिनी ओवल ऐसे बिंदुओं का एक सेट है जैसे कि अपने किसी भी बिंदु से दो निश्चित बिंदुओं तक की दूरी का उत्पाद एक स्थिर है।जब दो निश्चित बिंदु मेल खाते हैं, तो एक सर्कल का परिणाम होता है।
 * निरंतर चौड़ाई का एक वक्र एक ऐसा आंकड़ा है, जिसकी चौड़ाई, दो अलग -अलग समानांतर रेखाओं के बीच लंबवत दूरी के रूप में परिभाषित की जाती है, जो प्रत्येक एक बिंदु में अपनी सीमा को प्रतिच्छेद करती है, उन दो समानांतर रेखाओं की दिशा की परवाह किए बिना समान है।सर्कल इस प्रकार के आंकड़े का सबसे सरल उदाहरण है।

अन्य पी-नॉर्म्स
में एक बिंदु से एक निश्चित दूरी के साथ बिंदुओं के सेट के रूप में एक सर्कल को परिभाषित करते हुए, अलग -अलग आकृतियों को दूरी की विभिन्न परिभाषाओं के तहत हलकों को माना जा सकता है।पी-नॉर्म में | पी-नॉर्म, दूरी द्वारा निर्धारित की जाती है
 * $$ \left\| x \right\| _p = \left( |x_1|^p + |x_2|^p + \dotsb + |x_n|^p \right) ^{1/p} .$$

यूक्लिडियन ज्यामिति में, पी = 2, परिचित देना
 * $$ \left\| x \right\| _2 = \sqrt{ |x_1|^2 + |x_2|^2 + \dotsb + |x_n|^2 } .$$

टैक्सी ज्यामिति में, पी = 1. टैक्सी मंडलियों को समन्वित अक्षों के लिए 45 ° कोण पर उन्मुख पक्षों के साथ वर्ग होते हैं।जबकि प्रत्येक पक्ष की लंबाई होगी $$\sqrt{2}r$$ एक यूक्लिडियन मीट्रिक का उपयोग करना, जहां आर सर्कल की त्रिज्या है, टैक्सी ज्यामिति में इसकी लंबाई 2r है।इस प्रकार, एक सर्कल की परिधि 8r है।इस प्रकार, एक ज्यामितीय एनालॉग का मूल्य $$\pi $$ इस ज्यामिति में 4 है।टैक्सी ज्यामिति में यूनिट सर्कल के लिए सूत्र है $$|x| + |y| = 1$$ कार्टेशियन निर्देशांक में और


 * $$r = \frac{1}{| \sin \theta| + |\cos\theta|}$$

ध्रुवीय निर्देशांक में।

त्रिज्या 1 का एक सर्कल (इस दूरी का उपयोग करके) अपने केंद्र का वॉन न्यूमैन पड़ोस है।

Chebyshev दूरी (l) के लिए RADIUS R का एक सर्कल∞ metric]]) on a plane is also a square with side length 2r parallel to the coordinate axes, so planar Chebyshev distance can be viewed as equivalent by rotation and scaling to planar taxicab distance. However, this equivalence between L1 and L∞मैट्रिक्स उच्च आयामों को सामान्य नहीं करता है।

निरंतर योग का स्थान
के एक परिमित सेट पर विचार करें $$n$$ विमान में अंक।बिंदुओं का स्थान ऐसा है कि दिए गए बिंदुओं के लिए दूरी के वर्गों का योग स्थिर है, एक सर्कल है, जिसका केंद्र दिए गए बिंदुओं के सेंट्रोइड पर है। दूरी की उच्च शक्तियों के लिए एक सामान्यीकरण प्राप्त किया जाता है अगर के तहत प्राप्त किया जाता है $$n$$ नियमित बहुभुज के कोने को इंगित करता है $$P_n$$ लिए गए हैं। बिंदुओं का स्थान ऐसा है कि योग $$(2m)$$दूरियों की शक्ति $$d_i$$ सर्कराडियस के साथ दिए गए नियमित बहुभुज के कोने के लिए $$R$$ स्थिर है एक सर्कल है, अगर


 * $$\sum_{i=1}^n d_i^{2m}> nR^{2m}$$, कहाँ पे $$m$$= 1,2,…, $$n$$-1;

जिसका केंद्र का केंद्र है $$P_n$$। समबाहु त्रिभुज के मामले में, दूसरी और चौथी शक्तियों के निरंतर रकम के लोकी सर्कल हैं, जबकि वर्ग के लिए, लोकी दूसरे, चौथी और छठी शक्तियों के निरंतर रकम के लिए सर्कल हैं।नियमित पेंटागन के लिए दूरी की आठवीं शक्तियों का निरंतर योग जोड़ा जाएगा और इसके बाद।

सर्कल को स्क्वायर करना
सर्कल को स्क्वायर करना समस्या है, जो प्राचीन जियोमेटरों द्वारा प्रस्तावित है, एक समान क्षेत्र के साथ एक वर्ग के निर्माण के लिए एक दिए गए सर्कल के रूप में केवल एक परिमित संख्या का उपयोग करके कम्पास और स्ट्रेटेज के साथ।

1882 में, यह कार्य असंभव साबित हुआ था, लिंडमैन -वेयरस्ट्रास प्रमेय के परिणामस्वरूप, जो कि पीआई को साबित करता हैπ) एक बीजीय तर्कहीन संख्या के बजाय एक पारलौकिक संख्या है;यही है, यह तर्कसंगत गुणांक के साथ किसी भी बहुपद की जड़ नहीं है।असंभवता के बावजूद, यह विषय छद्म उत्साही लोगों के लिए रुचि का है।

कला और प्रतीकवाद में महत्व
जल्द से जल्द ज्ञात सभ्यताओं के समय से - जैसे कि असीरियन और प्राचीन मिस्र के लोग, सिंधु घाटी में और चीन में पीली नदी के साथ, और शास्त्रीय पुरातनता के दौरान प्राचीन ग्रीस और रोम की पश्चिमी सभ्यताओं - सर्कल का सीधे उपयोग किया गया है या कलाकार के संदेश को व्यक्त करने और कुछ विचारों को व्यक्त करने के लिए अप्रत्यक्ष रूप से दृश्य कला में। हालांकि, विश्वदृष्टि (विश्वासों और संस्कृति) में अंतर कलाकारों की धारणाओं पर बहुत प्रभाव पड़ा। जबकि कुछ ने अपने लोकतांत्रिक अभिव्यक्ति को प्रदर्शित करने के लिए सर्कल की परिधि पर जोर दिया, अन्य लोगों ने कॉस्मिक एकता की अवधारणा का प्रतीक करने के लिए इसके केंद्र पर ध्यान केंद्रित किया। रहस्यमय सिद्धांतों में, सर्कल मुख्य रूप से अस्तित्व की अनंत और चक्रीय प्रकृति का प्रतीक है, लेकिन धार्मिक परंपराओं में यह स्वर्गीय निकायों और दिव्य आत्माओं का प्रतिनिधित्व करता है। सर्कल कई पवित्र और आध्यात्मिक अवधारणाओं को दर्शाता है, जिसमें एकता, अनंतता, पूर्णता, ब्रह्मांड, दिव्यता, संतुलन, स्थिरता और पूर्णता शामिल हैं। इस तरह की अवधारणाओं को दुनिया भर में संस्कृतियों में प्रतीकों के उपयोग के माध्यम से व्यक्त किया गया है, उदाहरण के लिए, एक कम्पास, एक प्रभामंडल, वेसिका पिस्किस और इसके डेरिवेटिव (मछली, आंख, ऑरोल, मंडोरला, आदि), ऑरोबोरोस, धर्म व्हील, ए इंद्रधनुष, मंडलों, गुलाब की खिड़कियां और आगे।

यह भी देखें

 * Affine Sphere
 * Apeirogon
 * सर्कल फिटिंग
 * एक सर्कल में उलटा
 * सर्कल विषयों की सूची
 * वृत्त
 * तीन बिंदु एक सर्कल निर्धारित करते हैं
 * कुल्हाड़ियों का अनुवाद

विशेष रूप से नामित सर्कल

 * अपोलोनियन सर्कल
 * आर्किमेडियन सर्कल
 * आर्किमिडीज ट्विन सर्कल
 * बैंकऑफ सर्कल
 * कार्लाइल सर्कल
 * क्रोमेटिक सर्कल
 * एंटीसिमिलिट्यूड का चक्र
 * फोर्ड सर्कल
 * जियोडेसिक सर्कल
 * जॉनसन सर्कल
 * शोक सर्कल
 * वू सर्कल

एक त्रिभुज का ==== ====
 * एक्साइकर्स के अपोलोनियस सर्कल
 * ब्रोकार्ड सर्कल
 * Excircle
 * Incircle
 * लेमोइन सर्कल
 * लेस्टर सर्कल
 * मालफट्टी सर्कल
 * मंडार्ट सर्कल
 * नौ-बिंदु सर्कल
 * Orthocentroidal सर्कल
 * पैरी सर्कल
 * ध्रुवीय सर्कल (ज्यामिति)
 * स्पाइकर सर्कल
 * वैन लामोएन सर्कल

कुछ चतुर्भुज का

 * एक ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज के आठ-बिंदु सर्कल

एक शंकु खंड का

 * निर्देशक सर्कल
 * डायरेक्ट्रिक्स सर्कल

एक टोरस का ==== =====
 * विल्को सर्कल

अग्रिम पठन

 * "Circle" in The MacTutor History of Mathematics archive
 * "Circle" in The MacTutor History of Mathematics archive