अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य

गणित में, अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य सामान्य त्रिकोणमितीय कार्यों के अनुरूप होते हैं, लेकिन घेरा के बजाय हाइपरबोला का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है। बिंदुओं के रूप में $(cos t, sin t)$ एक यूनिट सर्कल बनाएं, अंक $(cosh t, sinh t)$ इकाई अतिपरवलय का दाहिना आधा भाग बनाते हैं। इसके अलावा, इसी तरह के डेरिवेटिव कैसे $sin(t)$ तथा $cos(t)$ हैं $cos(t)$ तथा $–sin(t)$ क्रमशः, के डेरिवेटिव $sinh(t)$ तथा $cosh(t)$ हैं $cosh(t)$ तथा $+sinh(t)$ क्रमश।

अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति में कोणों और दूरियों की गणना में अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य होते हैं। वे कई रेखीय अंतर समीकरणों के समाधान में भी पाए जाते हैं (जैसे कि एक ज़ंजीर का को परिभाषित करने वाला समीकरण), घन समीकरण # एक वास्तविक जड़ के लिए अतिशयोक्तिपूर्ण समाधान, और कार्तीय निर्देशांक में लाप्लास का समीकरण। लाप्लास के समीकरण भौतिकी के कई क्षेत्रों में महत्वपूर्ण हैं, जिनमें विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत, गर्मी हस्तांतरण, द्रव गतिकी और विशेष सापेक्षता शामिल हैं।

बुनियादी अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य हैं: जिनसे व्युत्पन्न हैं: व्युत्पन्न त्रिकोणमितीय कार्यों के अनुरूप।
 * अतिशयोक्तिपूर्ण ज्या$sinh$,
 * अतिशयोक्तिपूर्ण कोसाइन$cosh$,
 * अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शरेखा$tanh$,
 * अतिशयोक्तिपूर्ण व्युत्क्रमज्या$csch$या$cosech$(
 * अतिशयोक्तिपूर्ण छेदक$sech$,
 * अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शरेखा$coth$,

प्रतिलोम अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य हैं:
 * क्षेत्र अतिशयोक्तिपूर्ण साइन$arsinh$(भी दर्शाया गया है$sinh^{−1}$,$asinh$या कभी कभी$arcsinh$)
 * क्षेत्र अतिशयोक्तिपूर्ण कोसाइन$arcosh$(भी दर्शाया गया है$cosh^{−1}$,$acosh$या कभी कभी$arccosh$)
 * और इसी तरह।

Hyperbolic functions-2.svgअतिशयोक्तिपूर्ण कार्य एक वास्तविक संख्या लेते हैं जिसे अतिशयोक्तिपूर्ण कोण कहा जाता है। एक अतिशयोक्तिपूर्ण कोण का आकार उसके अतिशयोक्तिपूर्ण क्षेत्र के क्षेत्रफल का दोगुना है। अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों को इस क्षेत्र को कवर करने वाले अतिशयोक्तिपूर्ण क्षेत्र # अतिशयोक्तिपूर्ण त्रिकोण के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है।

जटिल विश्लेषण में, काल्पनिक कोण पर साधारण साइन और कोसाइन फ़ंक्शंस लागू करते समय अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य उत्पन्न होते हैं। हाइपरबोलिक साइन और हाइपरबोलिक कोसाइन संपूर्ण कार्य हैं। नतीजतन, अन्य अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य पूरे जटिल विमान में मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन हैं।

लिंडमैन-वीयरस्ट्रास प्रमेय द्वारा, अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों में तर्क के प्रत्येक गैर-शून्य बीजगणितीय संख्या के लिए एक पारलौकिक संख्या होती है। 1760 के दशक में स्वतंत्र रूप से विन्सेंट रिकाती और जोहान हेनरिक लैम्बर्ट द्वारा हाइपरबॉलिक फ़ंक्शंस पेश किए गए थे। रिकाटी ने प्रयोग किया $x^{2} − y^{2} = 1$ तथा $(cosh a, sinh a)$ (साइनस/कोसिनस सर्कुलर) परिपत्र कार्यों को संदर्भित करने के लिए और $Sc.$ तथा $Cc.$ (sinus/cosinus hyperbolico) अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों को संदर्भित करने के लिए। लैम्बर्ट ने नामों को अपनाया, लेकिन आज इस्तेमाल होने वाले संक्षिप्त रूपों को बदल दिया। संक्षिप्ताक्षर $Sh.$, $Ch.$, $sh$, $ch$ व्यक्तिगत वरीयता के आधार पर वर्तमान में भी उपयोग किए जाते हैं।

परिभाषाएँ
अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों को परिभाषित करने के लिए कई समान तरीके हैं।

घातीय परिभाषाएँ
घातीय कार्य के संदर्भ में:

= \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1}.$$ = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1}.$$ = \frac{2e^x} {e^{2x} + 1}.$$ = \frac{2e^x} {e^{2x} - 1}.$$
 * हाइपरबोलिक साइन: एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन के फ़ंक्शन का विषम भाग, अर्थात, $$ \sinh x = \frac {e^x - e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} - 1} {2e^x} = \frac {1 - e^{-2x}} {2e^{-x}}.$$
 * अतिपरवलयिक कोसाइन: घातीय फलन के एक फलन का सम भाग, अर्थात, $$ \cosh x = \frac {e^x + e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} + 1} {2e^x} = \frac {1 + e^{-2x}} {2e^{-x}}.$$
 * अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शरेखा: $$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}}
 * अतिशयोक्तिपूर्ण कोस्पर्शज्या: के लिए $th$, $$\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}}
 * अतिशयोक्तिपूर्ण छेदक: $$ \operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x} = \frac {2} {e^x + e^{-x}}
 * अतिशयोक्तिपूर्ण व्युत्क्रमज्या: के लिए $cth$, $$ \operatorname{csch} x = \frac{1}{\sinh x} = \frac {2} {e^x - e^{-x}}

विभेदक समीकरण परिभाषाएँ
अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों को अंतर समीकरणों के समाधान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है: अतिपरवलयिक साइन और कोसाइन समाधान हैं $sinh x$ प्रणाली में $$\begin{align} c'(x)&=s(x),\\ s'(x)&=c(x),\\ \end{align} $$ प्रारंभिक शर्तों के साथ $$s(0) = 0, c(0) = 1.$$ प्रारंभिक स्थितियाँ समाधान को विशिष्ट बनाती हैं; उनके बिना कार्यों की कोई जोड़ी $$(a e^x + b e^{-x}, a e^x - b e^{-x})$$ एक समाधान होगा।

$e^{x}$ तथा $e^{−x}$ समीकरण के अद्वितीय हल भी हैं $cosh x$, ऐसा है कि $e^{x}$, $e^{−x}$ अतिशयोक्तिपूर्ण कोसाइन के लिए, और $x ≠ 0$, $x ≠ 0$ अतिशयोक्तिपूर्ण साइन के लिए।

जटिल त्रिकोणमितीय परिभाषाएँ
अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों को जटिल संख्या तर्कों के साथ त्रिकोणमितीय कार्यों से भी घटाया जा सकता है:

कहाँ पे $a$ के साथ काल्पनिक इकाई है $(s, c)$.
 * अतिशयोक्तिपूर्ण ज्या: $$\sinh x = -i \sin (i x).$$
 * अतिशयोक्तिपूर्ण कोसाइन: $$\cosh x = \cos (i x).$$
 * अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शरेखा: $$\tanh x = -i \tan (i x).$$
 * अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शरेखा: $$\coth x = i \cot (i x).$$
 * अतिशयोक्तिपूर्ण छेदक: $$ \operatorname{sech} x = \sec (i x).$$
 * अतिशयोक्तिपूर्ण व्युत्क्रमज्या:$$\operatorname{csch} x = i \csc (i x).$$

उपरोक्त परिभाषाएँ यूलर के सूत्र के माध्यम से घातीय परिभाषाओं से संबंधित हैं (देखें नीचे)।

हाइपरबोलिक कोसाइन
यह दिखाया जा सकता है कि हाइपरबोलिक कोसाइन (एक परिमित अंतराल पर) के वक्र के नीचे का क्षेत्र हमेशा उस अंतराल के अनुरूप चाप की लंबाई के बराबर होता है: $$\text{area} = \int_a^b \cosh x \,dx = \int_a^b \sqrt{1 + \left(\frac{d}{dx} \cosh x \right)^2} \,dx = \text{arc length.}$$

अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शरेखा
अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शरेखा अंतर समीकरण का (अद्वितीय) समाधान है $sinh(x)$, साथ $cosh(x)$.

उपयोगी संबंध
अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य कई सर्वसमिकाओं को संतुष्ट करते हैं, वे सभी त्रिकोणमितीय पहचान के रूप में समान हैं। वास्तव में, ओसबोर्न का नियम बताता है कि कोई भी त्रिकोणमितीय पहचान को परिवर्तित कर सकता है $$\theta$$, $$2\theta$$, $$3\theta$$ या $$\theta$$ तथा $$\varphi$$ एक अतिपरवलयिक पहचान में, साइन और कोसाइन की अभिन्न शक्तियों के संदर्भ में इसे पूरी तरह से विस्तारित करके, साइन को साइन और कोसाइन को कोश में बदलकर, और दो साइन के उत्पाद वाले प्रत्येक शब्द के चिह्न को स्विच करके।

विषम और सम कार्य: $$\begin{align} \sinh (-x) &= -\sinh x \\ \cosh (-x) &= \cosh x \end{align}$$ अत: $$\begin{align} \tanh (-x) &= -\tanh x \\ \coth (-x) &= -\coth x \\ \operatorname{sech} (-x) &= \operatorname{sech} x \\ \operatorname{csch} (-x) &= -\operatorname{csch} x \end{align}$$ इस प्रकार, $f&thinsp;″(x) = f&thinsp;(x)$ तथा $f&thinsp;(0) = 1$ कार्य भी हैं; अन्य विषम कार्य हैं।

$$\begin{align} \operatorname{arsech} x &= \operatorname{arcosh} \left(\frac{1}{x}\right) \\ \operatorname{arcsch} x &= \operatorname{arsinh} \left(\frac{1}{x}\right) \\ \operatorname{arcoth} x &= \operatorname{artanh} \left(\frac{1}{x}\right) \end{align}$$ अतिशयोक्तिपूर्ण ज्या और कोसाइन संतुष्ट: $$\begin{align} \cosh x + \sinh x &= e^x \\ \cosh x - \sinh x &= e^{-x} \\ \cosh^2 x - \sinh^2 x &= 1 \end{align}$$ जिनमें से अंतिम पायथागॉरियन त्रिकोणमितीय पहचान के समान है।

एक के पास भी है $$\begin{align} \operatorname{sech} ^{2} x &= 1 - \tanh^{2} x \\ \operatorname{csch} ^{2} x &= \coth^{2} x - 1 \end{align}$$ अन्य कार्यों के लिए।

तर्कों का योग
$$\begin{align} \sinh(x + y) &= \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y \\ \cosh(x + y) &= \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y \\[6px] \tanh(x + y) &= \frac{\tanh x +\tanh y}{1+ \tanh x \tanh y } \\ \end{align}$$ विशेषतया $$\begin{align} \cosh (2x) &= \sinh^2{x} + \cosh^2{x} = 2\sinh^2 x + 1 = 2\cosh^2 x - 1\\ \sinh (2x) &= 2\sinh x \cosh x \\ \tanh (2x) &= \frac{2\tanh x}{1+ \tanh^2 x } \\ \end{align}$$ भी: $$\begin{align} \sinh x + \sinh y &= 2 \sinh \left(\frac{x+y}{2}\right) \cosh \left(\frac{x-y}{2}\right)\\ \cosh x + \cosh y &= 2 \cosh \left(\frac{x+y}{2}\right) \cosh \left(\frac{x-y}{2}\right)\\ \end{align}$$

घटाव सूत्र
$$\begin{align} \sinh(x - y) &= \sinh x \cosh y - \cosh x \sinh y \\ \cosh(x - y) &= \cosh x \cosh y - \sinh x \sinh y \\ \tanh(x - y) &= \frac{\tanh x -\tanh y}{1- \tanh x \tanh y } \\ \end{align}$$ भी: $$\begin{align} \sinh x - \sinh y &= 2 \cosh \left(\frac{x+y}{2}\right) \sinh \left(\frac{x-y}{2}\right)\\ \cosh x - \cosh y &= 2 \sinh \left(\frac{x+y}{2}\right) \sinh \left(\frac{x-y}{2}\right)\\ \end{align}$$

आधा तर्क सूत्र
$$\begin{align} \sinh\left(\frac{x}{2}\right) &= \frac{\sinh x}{\sqrt{2 (\cosh x + 1)} } &&= \sgn x \, \sqrt \frac{\cosh x - 1}{2} \\[6px] \cosh\left(\frac{x}{2}\right) &= \sqrt \frac{\cosh x + 1}{2}\\[6px] \tanh\left(\frac{x}{2}\right) &= \frac{\sinh x}{\cosh x + 1} &&= \sgn x \, \sqrt \frac{\cosh x-1}{\cosh x+1} = \frac{e^x - 1}{e^x + 1} \end{align}$$ कहाँ पे $f&thinsp;′(0) = 0$ साइन समारोह है।

यदि $f&thinsp;(0) = 0$, फिर

$$ \tanh\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cosh x - 1}{\sinh x} = \coth x - \operatorname{csch} x $$

वर्ग सूत्र
$$\begin{align} \sinh^2 x &= \tfrac{1}{2}(\cosh 2x - 1) \\ \cosh^2 x &= \tfrac{1}{2}(\cosh 2x + 1) \end{align}$$

असमानताएं
निम्नलिखित असमानता सांख्यिकी में उपयोगी है: $$\operatorname{cosh}(t) \leq e^{t^2 /2}$$ यह दो कार्यों की टेलर श्रृंखला की शर्तों की तुलना करके सिद्ध किया जा सकता है।

लघुगणक
के रूप में उलटा कार्य करता है

$$\begin{align} \operatorname {arsinh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right) \\ \operatorname {arcosh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} - 1} \right) && x \geq 1 \\ \operatorname {artanh} (x) &= \frac{1}{2}\ln \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right) && | x | < 1 \\ \operatorname {arcoth} (x) &= \frac{1}{2}\ln \left( \frac{x + 1}{x - 1} \right) && |x| > 1 \\ \operatorname {arsech} (x) &= \ln \left( \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} - 1}\right) = \ln \left( \frac{1+ \sqrt{1 - x^2}}{x} \right) && 0 < x \leq 1 \\ \operatorname {arcsch} (x) &= \ln \left( \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} +1}\right) && x \ne 0 \end{align}$$

डेरिवेटिव्स
$$\begin{align} \frac{d}{dx}\sinh x &= \cosh x \\ \frac{d}{dx}\cosh x &= \sinh x \\ \frac{d}{dx}\tanh x &= 1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x} \\ \frac{d}{dx}\coth x &= 1 - \coth^2 x = -\operatorname{csch}^2 x = -\frac{1}{\sinh^2 x} && x \neq 0 \\ \frac{d}{dx}\operatorname{sech} x &= - \tanh x \operatorname{sech} x \\ \frac{d}{dx}\operatorname{csch} x &= - \coth x \operatorname{csch} x && x \neq 0 \end{align}$$ $$\begin{align} \frac{d}{dx}\operatorname{arsinh} x &= \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \\ \frac{d}{dx}\operatorname{arcosh} x &= \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} && 1 < x \\ \frac{d}{dx}\operatorname{artanh} x &= \frac{1}{1-x^2} && |x| < 1 \\ \frac{d}{dx}\operatorname{arcoth} x &= \frac{1}{1-x^2} && 1 < |x| \\ \frac{d}{dx}\operatorname{arsech} x &= -\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}} && 0 < x < 1 \\ \frac{d}{dx}\operatorname{arcsch} x &= -\frac{1}{|x|\sqrt{1+x^2}} && x \neq 0 \end{align}$$

दूसरा डेरिवेटिव
प्रत्येक कार्य $f&thinsp;′(0) = 1$ तथा $i^{2} = −1$ इसके दूसरे व्युत्पन्न के बराबर है, जो है: $$ \frac{d^2}{dx^2}\sinh x = \sinh x $$ $$ \frac{d^2}{dx^2}\cosh x = \cosh x \, .$$ इस गुण वाले सभी फलन के रैखिक संयोजन हैं $f&thinsp;′ = 1 − f&thinsp;^{2}$ तथा $f&hairsp;(0) = 0$, विशेष रूप से घातीय कार्य $$ e^x $$ तथा $$ e^{-x} $$.

मानक अभिन्न
$$\begin{align} \int \sinh (ax)\,dx &= a^{-1} \cosh (ax) + C \\ \int \cosh (ax)\,dx &= a^{-1} \sinh (ax) + C \\ \int \tanh (ax)\,dx &= a^{-1} \ln (\cosh (ax)) + C \\ \int \coth (ax)\,dx &= a^{-1} \ln \left|\sinh (ax)\right| + C \\ \int \operatorname{sech} (ax)\,dx &= a^{-1} \arctan (\sinh (ax)) + C \\ \int \operatorname{csch} (ax)\,dx &= a^{-1} \ln \left| \tanh \left( \frac{ax}{2} \right) \right| + C = a^{-1} \ln\left|\coth \left(ax\right) - \operatorname{csch} \left(ax\right)\right| + C = -a^{-1}\operatorname{arcoth} \left(\cosh\left(ax\right)\right) +C \end{align}$$ अतिशयोक्तिपूर्ण प्रतिस्थापन का उपयोग करके निम्नलिखित अभिन्न सिद्ध किए जा सकते हैं: $$\begin{align} \int {\frac{1}{\sqrt{a^2 + u^2}}\,du} & = \operatorname{arsinh} \left( \frac{u}{a} \right) + C \\ \int {\frac{1}{\sqrt{u^2 - a^2}}\,du} &= \sgn{u} \operatorname{arcosh} \left| \frac{u}{a} \right| + C \\ \int {\frac{1}{a^2 - u^2}}\,du & = a^{-1}\operatorname{artanh} \left( \frac{u}{a} \right) + C && u^2 < a^2 \\ \int {\frac{1}{a^2 - u^2}}\,du & = a^{-1}\operatorname{arcoth} \left( \frac{u}{a} \right) + C && u^2 > a^2 \\ \int {\frac{1}{u\sqrt{a^2 - u^2}}\,du} & = -a^{-1}\operatorname{arsech}\left| \frac{u}{a} \right| + C \\ \int {\frac{1}{u\sqrt{a^2 + u^2}}\,du} & = -a^{-1}\operatorname{arcsch}\left| \frac{u}{a} \right| + C \end{align}$$ जहाँ C समाकलन का स्थिरांक है।

टेलर श्रृंखला के भाव
उपरोक्त कार्यों के टेलर श्रृंखला को स्पष्ट रूप से शून्य (या लॉरेंट श्रृंखला, यदि फ़ंक्शन शून्य पर परिभाषित नहीं है) पर स्पष्ट रूप से व्यक्त करना संभव है।

$$\sinh x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ यह श्रृंखला प्रत्येक सम्मिश्र संख्या मान के लिए अभिसरण श्रृंखला है $x$. समारोह के बाद से $cosh x$ विषम कार्य है, के लिए केवल विषम घातांक $sech x$ इसकी टेलर श्रृंखला में होता है।

$$\cosh x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}$$ यह श्रृंखला प्रत्येक सम्मिश्र संख्या मान के लिए अभिसरण श्रृंखला है $x$. समारोह के बाद से $sgn$ सम फलन है, केवल घातांक के लिए $i$ इसकी टेलर श्रृंखला में होता है।

सिंह और कोश श्रृंखला का योग घातीय फलन की अनंत श्रृंखला अभिव्यक्ति है।

निम्नलिखित श्रृंखला उनके अभिसरण के डोमेन के उपसमुच्चय के विवरण के बाद होती है, जहां श्रृंखला अभिसरण होती है और इसका योग फलन के बराबर होता है। $$\begin{align}

\tanh x &= x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \qquad \left |x \right | < \frac {\pi} {2} \\

\coth x &= x^{-1} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, \qquad 0 < \left |x \right | < \pi \\

\operatorname{sech} x &= 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!}, \qquad \left |x \right | < \frac {\pi} {2} \\

\operatorname{csch} x &= x^{-1} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{ 2 (1-2^{2n-1}) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \qquad 0 < \left |x \right | < \pi

\end{align}$$ कहाँ पे:
 * $$B_n $$ nवीं बर्नौली संख्या है
 * $$E_n $$ nवां यूलर संख्या है

अनंत उत्पाद और निरंतर अंश
निम्नलिखित विस्तार पूरे जटिल विमान में मान्य हैं:
 * $$\sinh x = x\prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right) =

\cfrac{x}{1 - \cfrac{x^2}{2\cdot3+x^2 - \cfrac{2\cdot3 x^2}{4\cdot5+x^2 - \cfrac{4\cdot5 x^2}{6\cdot7+x^2 - \ddots}}}} $$
 * $$\cosh x = \prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{x^2}{(n-1/2)^2\pi^2}\right) = \cfrac{1}{1 - \cfrac{x^2}{1 \cdot 2 + x^2 - \cfrac{1 \cdot 2x^2}{3 \cdot 4 + x^2 - \cfrac{3 \cdot 4x^2}{5 \cdot 6 + x^2 - \ddots}}}}$$
 * $$\tanh x = \cfrac{1}{\cfrac{1}{x} + \cfrac{1}{\cfrac{3}{x} + \cfrac{1}{\cfrac{5}{x} + \cfrac{1}{\cfrac{7}{x} + \ddots}}}}$$

परिपत्र कार्यों के साथ तुलना
अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य परिपत्र कार्यों से परे त्रि[[कोणमिति]] के विस्तार का प्रतिनिधित्व करते हैं। दोनों प्रकार किसी फ़ंक्शन के तर्क पर निर्भर करते हैं, या तो कोण या अतिशयोक्तिपूर्ण कोण।

चूंकि वृत्ताकार त्रिज्यखंड#त्रिज्या वाला क्षेत्रफल $x$ और कोण $x$ (रेडियन में) है $x ≠ 0$, के बराबर होगा $x$ जब $sinh$. आरेख में, ऐसा वृत्त अतिपरवलय xy = 1 पर (1,1) पर स्पर्शरेखा है। पीला क्षेत्र एक क्षेत्र और कोण परिमाण दर्शाता है। इसी तरह, पीले और लाल क्षेत्र एक साथ एक क्षेत्र और अतिशयोक्तिपूर्ण क्षेत्र को दर्शाते हैं।

कोणों को परिभाषित करने वाली किरण पर कर्ण के साथ दो समकोण त्रिभुजों के पैर लंबाई के होते हैं $u$ परिपत्र और अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों का समय।

अतिशयोक्तिपूर्ण कोण निचोड़ मानचित्रण के संबंध में एक अपरिवर्तनीय उपाय है, जिस तरह परिपत्र कोण रोटेशन के तहत अपरिवर्तनीय है। गुडरमैनियन फ़ंक्शन वृत्तीय फलनों और अतिपरवलयिक फलनों के बीच सीधा संबंध देता है जिसमें सम्मिश्र संख्याएं शामिल नहीं होतीं।

समारोह का ग्राफ $cosh$ कैटेनरी है, एक समान लचीली श्रृंखला द्वारा गठित वक्र, समान गुरुत्व के तहत दो निश्चित बिंदुओं के बीच स्वतंत्र रूप से लटका हुआ है।

एक्सपोनेंशियल फंक्शन से संबंध
इसके सम-विषम अपघटन में घातांक फलन का अपघटन सर्वसमिका देता है $$e^x = \cosh x + \sinh x,$$ तथा $$e^{-x} = \cosh x - \sinh x.$$ यूलर के सूत्र के साथ संयुक्त $$e^{ix} = \cos x + i\sin x,$$ यह देता है $$e^{x+iy}=(\cosh x+\sinh x)(\cos y+i\sin y)$$ घातीय फलन#जटिल तल के लिए।

इसके अतिरिक्त, $$e^x = \sqrt{\frac{1 + \tanh x}{1 - \tanh x}} = \frac{1 + \tanh \frac{x}{2}}{1 - \tanh \frac{x}{2}}$$

सम्मिश्र संख्याओं के लिए अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य
चूँकि चरघातांकी फलन को किसी सम्मिश्र संख्या तर्क के लिए परिभाषित किया जा सकता है, हम अतिपरवलयिक फलनों की परिभाषाओं को जटिल तर्कों तक भी बढ़ा सकते हैं। कार्य $sinh$ तथा $cosh$ होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन हैं।

जटिल संख्याओं के लिए यूलर के सूत्र द्वारा सामान्य त्रिकोणमितीय कार्यों के संबंध दिए गए हैं: $$\begin{align} e^{i x} &= \cos x + i \sin x \\ e^{-i x} &= \cos x - i \sin x \end{align}$$ इसलिए: $$\begin{align} \cosh(ix) &= \frac{1}{2} \left(e^{i x} + e^{-i x}\right) = \cos x \\ \sinh(ix) &= \frac{1}{2} \left(e^{i x} - e^{-i x}\right) = i \sin x \\ \cosh(x+iy) &= \cosh(x) \cos(y) + i \sinh(x) \sin(y) \\ \sinh(x+iy) &= \sinh(x) \cos(y) + i \cosh(x) \sin(y) \\ \tanh(ix) &= i \tan x \\ \cosh x &= \cos(ix) \\ \sinh x &= - i \sin(ix) \\ \tanh x &= - i \tan(ix) \end{align}$$ इस प्रकार, अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य काल्पनिक घटक के संबंध में आवधिक कार्य हैं, अवधि के साथ $$2 \pi i$$ ($$\pi i$$ अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शरेखा और cotangent के लिए)।

यह भी देखें

 * ई (गणितीय स्थिरांक)
 * सिंह पर आधारित समान अंतःवृत्त प्रमेय
 * अतिशयोक्तिपूर्ण विकास
 * व्युत्क्रम अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य
 * अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के इंटीग्रल की सूची
 * पॉइन्सॉट के सर्पिल
 * सिग्मॉइड फ़ंक्शन
 * सोबोलेवा संशोधित अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शरेखा
 * त्रिकोणमितीय फलन

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * त्रिकोणमितीय समारोह
 * अंक शास्त्र
 * गर्मी का हस्तांतरण
 * द्रव गतिविज्ञान
 * भौतिक विज्ञान
 * उलटा अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य
 * संपूर्ण समारोह
 * अंकगणित औसत
 * घातांक प्रकार्य
 * किसी समारोह का विषम भाग
 * एक समारोह का हिस्सा भी
 * यहां तक ​​कि समारोह
 * दूसरा व्युत्पन्न
 * एकीकरण की निरंतरता
 * पुराना फंक्शन
 * अभिसरण का डोमेन
 * बरनौली संख्या
 * एक वृत्त का क्षेत्र
 * एक समारोह का तर्क
 * गोलाकार समारोह
 * सही त्रिकोण
 * आवधिक समारोह
 * उलटा अतिशयोक्तिपूर्ण समारोह

बाहरी संबंध

 * Hyperbolic functions on PlanetMath
 * GonioLab: Visualization of the unit circle, trigonometric and hyperbolic functions (Java Web Start)
 * Web-based calculator of hyperbolic functions
 * Web-based calculator of hyperbolic functions