विषमकोण

समतल यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक समचतुर्भुज (बहुवचन समचतुर्भुज या समचतुर्भुज) एक चतुर्भुज होता है जिसकी चारों भुजाओं की लंबाई समान होती है। एक अन्य नाम समबाहु चतुर्भुज है, क्योंकि समभुज का अर्थ है कि इसकी सभी भुजाएँ लंबाई में समान हैं। समचतुर्भुज को अक्सर हीरा कहा जाता है, ताश खेलने में डायमंड्स (सूट) सूट के बाद जो एक ऑक्टाहेड्रॉन#ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन डायमंड, या लोजेंज (आकार) के प्रक्षेपण जैसा दिखता है, हालांकि पूर्व कभी-कभी विशेष रूप से 60 डिग्री के साथ एक रोम्बस को संदर्भित करता है। कोण (जिसे कुछ लेखक कैलिसन के बाद कैलिसन कहते हैं - पॉलीयामोंड भी देखें), और बाद वाला कभी-कभी विशेष रूप से 45 डिग्री के कोण के साथ एक रोम्बस को संदर्भित करता है।

प्रत्येक समचतुर्भुज सरल बहुभुज (गैर-स्व-प्रतिच्छेदी) है, और एक समांतर चतुर्भुज और पतंग (ज्यामिति) का एक विशेष मामला है। समकोण वाला एक समचतुर्भुज एक वर्ग होता है।

व्युत्पत्ति
रोम्बस शब्द आया है ῥόμβος, मतलब कुछ ऐसा जो घूमता है, जो क्रिया से निकला है, romanized: rhémbō, जिसका अर्थ है गोल-गोल घूमना। इस शब्द का प्रयोग यूक्लिड और आर्किमिडीज़ दोनों द्वारा किया गया था, जिन्होंने एक द्विकोन के लिए ठोस समचतुर्भुज शब्द का प्रयोग किया था, एक सामान्य आधार साझा करने वाले दो दाएँ वृत्ताकार शंकु। आज हम जिस सतह को समचतुर्भुज कहते हैं, वह दो शंकुओं के शीर्षों से होते हुए एक समतल पर बाइकोन का अनुप्रस्थ काट (ज्यामिति) है।

लक्षण वर्णन
एक साधारण बहुभुज (स्व-प्रतिच्छेदी बहुभुजों की गैर-सूची|स्व-प्रतिच्छेदी) चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है यदि और केवल यदि यह निम्न में से कोई एक है:
 * एक समांतर चतुर्भुज जिसमें एक विकर्ण एक आंतरिक और बाहरी कोण को समद्विभाजित करता है
 * एक समांतर चतुर्भुज जिसमें कम से कम दो लगातार भुजाएँ लंबाई में बराबर हों
 * एक समांतर चतुर्भुज जिसमें विकर्ण लंबवत होते हैं (एक ओर्थोडायगोनल समांतर चतुर्भुज)
 * समान लंबाई की चार भुजाओं वाला चतुर्भुज (परिभाषा के अनुसार)
 * एक चतुर्भुज जिसमें विकर्ण लंबवत हैं और एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं
 * एक चतुर्भुज जिसमें प्रत्येक विकर्ण दो विपरीत आंतरिक कोणों को समद्विभाजित करता है
 * एक चतुर्भुज ABCD जिसके तल में एक बिंदु P इस प्रकार है कि चारों त्रिभुज ABP, BCP, CDP, और DAP सभी सर्वांगसम हैं (ज्यामिति)
 * एक चतुर्भुज एबीसीडी जिसमें त्रिकोण एबीसी, बीसीडी, सीडीए और डीएबी में त्रिकोण के अंतःवृत्त और बहिष्कृत एक सामान्य बिंदु हैं

मूल गुण
प्रत्येक समचतुर्भुज में दो विकर्ण होते हैं जो विपरीत शीर्षों के युग्मों को जोड़ते हैं, और समानांतर भुजाओं के दो युग्म होते हैं। सर्वांगसमता (ज्यामिति) त्रिभुजों का उपयोग करके, गणितीय प्रमाण दिया जा सकता है कि समचतुर्भुज इन विकर्णों में से प्रत्येक में सममिति है। यह इस प्रकार है कि किसी भी समचतुर्भुज में निम्नलिखित गुण होते हैं:
 * समचतुर्भुज के सम्मुख कोणों का माप बराबर होता है।
 * एक समचतुर्भुज के दो विकर्ण लंबवत होते हैं; अर्थात्, एक समचतुर्भुज एक समकोणीय चतुर्भुज है।
 * इसके विकर्ण सम्मुख कोणों को समद्विभाजित करते हैं।

प्रथम गुण का अर्थ है कि प्रत्येक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है। एक समचतुर्भुज में सभी समांतर चतुर्भुज # गुण होते हैं: उदाहरण के लिए, विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं; आसन्न कोण संपूरक कोण हैं; दो विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं; मध्यबिंदु से होकर जाने वाली कोई भी रेखा क्षेत्र को समद्विभाजित करती है; और भुजाओं के वर्गों का योग विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है (समांतर चतुर्भुज नियम)। इस प्रकार प्रत्येक समचतुर्भुज में उभयनिष्ठ भुजा को a और विकर्णों को p और q के रूप में निरूपित करते हैं
 * $$\displaystyle 4a^2=p^2+q^2.$$

प्रत्येक समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज नहीं है, हालांकि लंबवत विकर्णों (दूसरी संपत्ति) के साथ कोई समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है। सामान्य तौर पर, लंबवत विकर्णों वाला कोई भी चतुर्भुज, जिसमें से एक सममित रेखा है, पतंग (ज्यामिति) है। प्रत्येक समचतुर्भुज एक पतंग है, और कोई भी चतुर्भुज जो पतंग और समांतर चतुर्भुज दोनों है, एक समचतुर्भुज है।

एक रोम्बस एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज है। अर्थात इसमें एक खुदी हुई आकृति है जो चारों दिशाओं को स्पर्श करती है।



विकर्ण
विकर्णों की लंबाई p = AC और q = BD को समचतुर्भुज भुजा a और एक शीर्ष कोण α के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
 * $$p=a\sqrt{2+2\cos{\alpha}}$$

और
 * $$q=a\sqrt{2-2\cos{\alpha}}.$$

ये सूत्र कोसाइन के नियम का प्रत्यक्ष परिणाम हैं।

इन्रेडियस
अंतःत्रिज्या (समचतुर्भुज में अंकित एक वृत्त की त्रिज्या), द्वारा निरूपित $r$, विकर्णों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है $p$ और $q$ जैसा :$$r = \frac{p \cdot q}{2\sqrt{p^2+q^2}},$$ या पक्ष की लंबाई के संदर्भ में $a$ और कोई शीर्ष कोण $α$ या $β$ जैसा
 * $$r = \frac{a\sin\alpha}{2} = \frac{a\sin\beta}{2}.$$

क्षेत्र
सभी समांतर चतुर्भुजों के लिए, एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल K उसके आधार (ज्यामिति) और उसकी ऊँचाई (h) का गुणनफल होता है। आधार बस किसी भी तरफ की लंबाई है:
 * $$K = a \cdot h .$$

क्षेत्र को किसी भी कोण की ज्या के किनारे (ज्यामिति) वर्ग (बीजगणित) के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$K = a^2 \cdot \sin \alpha = a^2 \cdot \sin \beta ,$$

या ऊंचाई और वर्टेक्स (ज्यामिति) कोण के संदर्भ में:
 * $$K=\frac{h^2}{\sin\alpha} ,$$

या विकर्णों p, q के आधे गुणनफल के रूप में:
 * $$K = \frac{p \cdot q}{2} ,$$

या अर्धपरिधि के रूप में वृत्त की त्रिज्या के रूप में समचतुर्भुज (अंतर्त्रिज्या) में खुदी हुई आकृति:
 * $$K = 2a \cdot r .$$

एक अन्य तरीका, समांतर चतुर्भुजों के साथ आम तौर पर, दो आसन्न पक्षों को वैक्टर के रूप में माना जाता है, जो एक बायवेक्टर बनाता है, इसलिए क्षेत्र bivector  का परिमाण है (दो वैक्टर के वेक्टर उत्पाद का परिमाण), जो दो का निर्धारक है सदिशों के कार्तीय निर्देशांक: K = x1y2 - एक्स2y1.

द्वैत गुण
एक समचतुर्भुज का दोहरा बहुभुज एक आयत होता है:
 * एक समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, जबकि एक आयत के सभी कोण बराबर होते हैं।
 * एक समचतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं, जबकि आयत की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
 * एक समचतुर्भुज में एक खुदा हुआ वृत्त होता है, जबकि एक आयत में एक परिवृत्त होता है।
 * एक रोम्बस में विपरीत शीर्ष कोणों की प्रत्येक जोड़ी के माध्यम से समरूपता का एक अक्ष होता है, जबकि एक आयत में विपरीत पक्षों के प्रत्येक जोड़े के माध्यम से समरूपता का एक अक्ष होता है।
 * समचतुर्भुज के विकर्ण समान कोणों पर प्रतिच्छेद करते हैं, जबकि आयत के विकर्ण लंबाई में बराबर होते हैं।
 * एक समचतुर्भुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने से बनी आकृति एक आयत होती है, और इसके विपरीत।

कार्तीय समीकरण
एक समचतुर्भुज की भुजाएँ मूल बिंदु पर केंद्रित होती हैं, प्रत्येक विकर्ण एक अक्ष पर गिरता है, जिसमें सभी बिंदु (x, y) संतोषजनक होते हैं


 * $$\left|\frac{x}{a}\right|\! + \left|\frac{y}{b}\right|\! = 1.$$

शिखर पर हैं $$(\pm a, 0)$$ और $$(0, \pm b).$$ यह प्रतिपादक 1 के साथ superellipse  का एक विशेष मामला है।

अन्य गुण

 * पांच 2D जालक (समूह) प्रकारों में से एक समचतुर्भुज जालक है, जिसे केन्द्रित आयताकार जालक भी कहा जाता है।
 * समान समचतुर्भुज 2डी समतल को तीन अलग-अलग तरीकों से टाइल कर सकता है, जिसमें 60° समचतुर्भुज, समचतुर्भुज टाइलिंग शामिल है।
 * एक रोम्बस के त्रि-आयामी एनालॉग्स में क्रांति की सतह के रूप में द्विपिरामिड और बाइकोन शामिल हैं।
 * एक रोम्बस के त्रि-आयामी एनालॉग्स में क्रांति की सतह के रूप में द्विपिरामिड और बाइकोन शामिल हैं।

एक बहुफलक के चेहरों के रूप में
रॉम्बी के साथ उत्तल पॉलीहेड्रा में रम्बिक ज़ोनोहेड्रॉन का अनंत सेट शामिल है, जिसे अतिविम  के प्रक्षेपी लिफाफे के रूप में देखा जा सकता है।


 * एक समचतुर्भुज (जिसे समचतुर्भुज हेक्साहेड्रॉन भी कहा जाता है) घनाभ (जिसे एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज भी कहा जाता है) की तरह एक त्रि-आयामी आकृति है, सिवाय इसके कि इसके समानांतर चेहरों के 3 जोड़े आयतों के बजाय 3 प्रकार के समचतुर्भुज हैं।
 * समचतुर्भुज द्वादशफलक एक उत्तल बहुफलक है जिसके फलक (ज्यामिति) के रूप में 12 सर्वांगसमता (ज्यामिति) समचतुर्भुज है।
 * समचतुर्भुज त्रिकोणाफलक एक उत्तल बहुफलक है जिसके फलक के रूप में 30 स्वर्ण समचतुर्भुज (रम्बी जिसके विकर्ण सुनहरे अनुपात में हैं) हैं।
 * द ग्रेट रोम्बिक ट्राईकॉन्टाहेड्रोन एक गैर-उत्तल आइसोहेड्रल आकृति, आइसोटॉक्सल बहुतल  है जिसमें 30 इंटरसेक्टिंग रोम्बिक चेहरे हैं।
 * रोम्बिक हेक्सेकोंटाहेड्रोन, रोम्बिक आइकोसैहेड्रोन का एक तारांकन है। यह आइकोसाहेड्रल समरूपता के साथ 60 सुनहरे समचतुर्भुज चेहरों के साथ गैर-उत्तल है।
 * समचतुर्भुज enneacontahedron प्रत्येक शीर्ष पर तीन, पांच, या छह rhombi बैठक के साथ 90 समचतुर्भुज चेहरों से बना एक बहुफलक है। इसमें 60 चौड़े रोम्बी और 30 पतले हैं।
 * समचतुर्भुज icosahedron 20 समचतुर्भुज चेहरों से बना एक पॉलीहेड्रॉन है, जिनमें से तीन, चार, या पाँच प्रत्येक शीर्ष पर मिलते हैं। भूमध्य रेखा के बाद 10 चेहरों के साथ ध्रुवीय अक्ष पर इसके 10 चेहरे हैं।

यह भी देखें

 * मर्केल हीरा
 * मानव शरीर रचना विज्ञान में माइकलिस का रोम्बस
 * Rhomboid, या तो एक समांतर चतुर्भुज या एक समांतर चतुर्भुज जो न तो समचतुर्भुज है और न ही आयत
 * रोम्बिक एंटीना
 * रोम्बिक शतरंज
 * कोलम्बिया के उत्तरी सेंटेंडर विभाग का ध्वज, जिसमें समचतुर्भुज के आकार में चार तारे हैं
 * सुपरलिप्स (गोलाकार कोनों के साथ एक रोम्बस शामिल है)

बाहरी संबंध

 * Parallelogram and Rhombus - Animated course (Construction, Circumference, Area)
 * Rhombus definition, Math Open Reference with interactive applet.
 * Rhombus area, Math Open Reference - shows three different ways to compute the area of a rhombus, with interactive applet