स्थिर अक्ष में घूर्णन

निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमना घूर्णी गति की विशेष स्थिति है। तय अक्ष परिकल्पना धुरी के अपने अभिविन्यास को परिवर्तित करने की संभावना को बाहर करती है और इस प्रकार की घटनाओं को पुरस्सरण के रूप में वर्णित नहीं कर सकती है। यूलर के घूर्णन प्रमेय के अनुसार, समय में कई स्थिर अक्षों के साथ-साथ घूर्णन असंभव है; यदि किसी समय में दो घूर्णन को विवश किया जाता है, तो घूर्णन की नई धुरी दिखाई देगी।

यह लेख मानता है कि घूर्णन भी स्थिर है, जैसे कि इसे प्रस्तावित रखने के लिए किसी टॉर्क की आवश्यकता नहीं होती है। कठोर पिंड के स्थिर अक्ष के चारों ओर घूर्णन की गतिकी, कठोर पिंड के मुक्त घूर्णन की तुलना में गणितीय रूप से अधिक सरल हैं; वे सम्पूर्ण रूप से निश्चित दिशा के साथ रैखिक गति के अनुरूप होते हैं, जो कठोर पिंड के मुक्त घूर्णन के लिए सही नहीं है वस्तु की गतिज ऊर्जा के लिए भाव, और वस्तु के भाग पर बलों के लिए, सामान्य घूर्णी गति की तुलना में निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन के लिए भी सरल होते हैं। इन कारणों से, छात्रों द्वारा रैखिक गति में दक्षता प्राप्त करने के पश्चात निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमना सामान्यता प्रारंभिक भौतिकी पाठ्यक्रमों में पढ़ाया जाता है; घूर्णी गति की पूर्ण व्यापकता सामान्यता प्रारंभिक भौतिकी कक्षाओं में नहीं सिखाई जाती है।

अनुवाद और घूर्णन
दृढ़ पिंड परिमित सीमा की वस्तु है जिसमें घटक कणों के मध्य की सभी दूरियां स्थिर होती हैं। वास्तव में कोई कठोर पिंड उपस्तिथ नहीं होते है; बाह्य बल किसी भी ठोस को विकृत कर सकते हैं। हमारे उद्देश्यों के लिए, कठोर पिंड ठोस है जिसके लिए बड़ी शक्तियो को इसे सराहनीय रूप से विकृत करने की आवश्यकता होती है।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में कण की स्थिति में परिवर्तन को तीन निर्देशांकों द्वारा पूर्ण रूप से निर्दिष्ट किया जा सकता है। कठोर पिंड की स्थिति में परिवर्तन का वर्णन करना अधिक जटिल है। इसे दो भिन्न-भिन्न प्रकार की गति के संयोजन के रूप में माना जा सकता है: अनुवाद संबंधी गति और परिपत्र गति।

विशुद्ध रूप से स्थानांतरणीय गति तब होती है जब पिंड के प्रत्येक कण में अन्य सभी कणों के समान तत्कालिक वेग होता है; तब किसी भी कण द्वारा निकाला गया पथ पिंड में सभी दूसरे कण द्वारा निकाले गए पथ के समानांतर होता है। अनुवाद की गति के अनुसार, कठोर पिंड की स्थिति में परिवर्तन को तीन निर्देशांक जैसे कि x,y और z द्वारा पूर्ण रूप से निर्दिष्ट किया जाता है, जो किसी भी बिंदु का विस्थापन देता है, जैसे द्रव्यमान का केंद्र, कठोर पिंड के लिए निश्चित होता है।

विशुद्ध रूप से घूर्णी गति तब होती है जब पिंड का प्रत्येक कण रेखा के चारों ओर चक्र में घूमता है। इस रेखा को घूर्णन अक्ष कहते हैं। फिर धुरी से सभी कणों के सदिश ( त्रिज्या) समय में कोणीय विस्थापन से गुजरते हैं। घूर्णन की धुरी को पिंड से निकलने की आवश्यकता नहीं होती है। सामान्यतः किसी भी घूर्णन को आयताकार-समन्वय अक्षों X, Y और Z के संबंध में तीन कोणीय विस्थापनों द्वारा पूर्ण रूप से निर्दिष्ट किया जा सकता है। कठोर पिंड की स्थिति में कोई भी परिवर्तन इस प्रकार पूर्ण रूप से तीन स्थानान्तरण और तीन घूर्णी निर्देशांक द्वारा वर्णित होता है।

कठोर पिंड के किसी भी विस्थापन को पूर्व पिंड के विस्थापन के पश्चात घूर्णन, या इसके विपरीत, विस्थापन के पश्चात घूर्णन के आश्रित द्वारा पहुँचा जा सकता है। हम पूर्व से ही जानते हैं कि कणों के किसी भी संग्रह के लिए - चाहे वे एक दूसरे के संबंध में स्थिर हों, जैसे कठोर पिंड में, या सापेक्ष गति में, जैसे कि खोल के फटने वाले भाग, द्रव्यमान के केंद्र का त्वरण द्वारा दिया जाता है
 * $$F_{\mathrm{net}} = M a_{\mathrm{cm}}\;\!$$

जहां M प्रणाली का कुल द्रव्यमान है और acm द्रव्यमान के केंद्र का त्वरण है। द्रव्यमान के केंद्र के विषय में पिंड के घूर्णन का वर्णन करने और इस पिंड पर कार्य करने वाली बाह्य शक्तियो से संबंधित करने की बात बनी हुई है। एकल अक्ष के चारों ओर घूर्णी गति की गतिकी और गतिशीलता अनुवादकीय गति से मिलती जुलती है; एकल अक्ष के चारों ओर घूर्णी गति में कण गतिकी के समान कार्य-ऊर्जा प्रमेय भी होता है।

कोणीय विस्थापन
$$r$$ कण दिया गया है जो त्रिज्या के वृत्त की परिधि के साथ चलता है, $$s$$ चाप लंबाई तक गया है, इसकी कोणीय स्थिति $$\theta$$ है और इसकी प्रारंभिक स्थिति के सापेक्ष, जहां $$\theta=\frac{s}{r}$$।

गणित और भौतिकी में यह रेडियन, समतल कोण की इकाई, 1 को प्रायः विस्थापित कर देता है। इकाइयों को निम्नानुसार परिवर्तित किया जाता है:


 * $$\begin{align}

360^\circ &= 2\pi \text{ rad} \\ 1 \text{ rad} &= \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57.27^\circ. \end{align}$$ कोणीय विस्थापन कोणीय स्थिति में परिवर्तन है:
 * $$ \Delta \theta = \theta_{2} - \theta_{1} ,$$

जहां $$\Delta \theta$$ कोणीय विस्थापन है, $$\theta_1$$ प्रारंभिक कोणीय स्थिति है और $$\theta_2$$ अंतिम कोणीय स्थिति है।

कोणीय वेग
प्रति इकाई समय में कोणीय विस्थापन में परिवर्तन को घूर्णन अक्ष के अनुदिश दिशा के साथ कोणीय वेग कहते हैं। कोणीय वेग का प्रतीक $$\omega$$ है और इकाइयां सामान्यतः रेड s-1 हैं। कोणीय गति कोणीय वेग का परिमाण है।



तात्कालिक कोणीय वेग किसके द्वारा दिया जाता है



कोणीय स्थिति के लिए सूत्र का उपयोग करना $$v = \frac{ds}{dt}$$, हमारे पास यह भी है



जहाँ $$v$$ कण की स्थानांतरणीय गति है।

कोणीय वेग और आवृत्ति संबंधित हैं



कोणीय त्वरण
परिवर्तन होते हुए कोणीय वेग कठोर पिंड में कोणीय त्वरण की उपस्थिति को संकेतिक करता है, जिसे सामान्यतः रेड s−2 में मापा जाता है। औसत कोणीय त्वरण $$\overline{\alpha}$$  समय के अंतराल से अधिक Δt द्वारा दिया जाता है

तात्क्षणिक त्वरण α (t) द्वारा दिया जाता है

इस प्रकार, कोणीय त्वरण कोणीय वेग के परिवर्तन की दर है, जिस प्रकार त्वरण वेग के परिवर्तन की दर है।

घूर्णन वाली वस्तु पर बिंदु का स्थानांतरीय त्वरण किसके द्वारा दिया जाता है
 * $$a = r\alpha,\!$$

जहां R घूर्णन के अक्ष से त्रिज्या या दूरी है। यह त्वरण का स्पर्शरेखा घटक भी है: यह बिंदु गति की दिशा के स्पर्शरेखा है। यदि यह घटक 0 है, तो गति वृत्त के समान गति है, और वेग केवल दिशा में परिवर्तित होता है। रेडियल त्वरण (गति की दिशा के लंबवत) द्वारा दिया जाता है
 * $$a_{\mathrm{R}} = \frac{v^2}{r} = \omega^2r\!$$।

यह घूर्णी गति के केंद्र की ओर निर्देशित होता है, और इसे प्रायः केन्द्रपसारक त्वरण कहा जाता है।

कोणीय त्वरण बलाघूर्ण के कारण होता है, जो सकारात्मक और नकारात्मक कोणीय आवृत्ति के सम्मेलन के अनुसार हो सकता है। बलाघूर्ण और कोणीय त्वरण के मध्य संबंध (घूर्णन को आरम्भ करना, रोकना अन्यथा परिवर्तन करना कितना कठिन है) जड़ता के क्षण द्वारा दिया जाता है: $$T = I\alpha$$

गतिकी के समीकरण
जब कोणीय त्वरण स्थिर होता है, तो पाँच मात्राएँ कोणीय विस्थापन होती हैं $$\theta$$, प्रारंभिक कोणीय वेग $$\omega_1$$, अंतिम कोणीय वेग $$\omega_2$$, कोणीय त्वरण $$\alpha$$, और समय $$t$$ गतिकी के चार समीकरणों से संबंधित हो सकता है:


 * $$\begin{align}

\omega_2 &= \omega_1 + \alpha t \\ \theta &= \omega_1 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 \\ \omega_2^2 &= \omega_1^2 + 2 \alpha\theta \\ \theta &= \frac{1}{2} \left(\omega_2 + \omega_1\right) t \end{align}$$

जड़ता का क्षण
किसी वस्तु की जड़ता का क्षण, जिसका प्रतीक $$I$$ है, वस्तु के घूर्णन में परिवर्तन के प्रतिरोध का उपाय है। जड़त्व आघूर्ण को (kg m2) में मापा जाता है। यह वस्तु के द्रव्यमान पर निर्भर करता है: किसी वस्तु का द्रव्यमान बढ़ने से जड़ता का क्षण बढ़ जाता है। यह द्रव्यमान के वितरण पर भी निर्भर करता है: द्रव्यमान को घूर्णन के केंद्र से आगे वितरित करने से जड़ता का क्षण अधिक मात्रा में बढ़ जाता है। द्रव्यमान के कण के लिए $$m$$ दूरी $$r$$ घूर्णन के अक्ष से, जड़ता के क्षण द्वारा दिया जाता है


 * I = mr^2.

बलाघूर्ण
बलाघूर्ण $$\boldsymbol{\tau}$$ घूर्णन वाली वस्तु पर लगाए गए बल F का घुमावदार प्रभाव है जो अपने घूर्णन के अक्ष से r स्थिति पर है। गणितीय रूप से,

जहाँ × क्रॉस उत्पाद को दर्शाता है। किसी वस्तु पर कार्य करने वाला शुद्ध बलाघूर्ण वस्तु के अनुसार कोणीय त्वरण उत्पन्न करेगा

रैखिक गतिकी में F = ma के रूप में।

किसी वस्तु पर कार्य करने वाले बलाघूर्ण द्वारा किया गया कार्य बलाघूर्ण के परिमाण के कोण के बराबर होता है जिसके माध्यम से बलाघूर्ण लगाया जाता है:
 * $$W = \tau\theta. \!$$

बलाघूर्ण की शक्ति प्रति इकाई समय बलाघूर्ण द्वारा किए गए कार्य के बराबर होती है, इसलिए::
 * $$P = \tau\omega. \!$$

कोणीय गति
कोणीय गति $$\mathbf{L}$$ घूमती हुई वस्तु को आराम करने में कठिनाई का उपाय है। द्वारा दिया गया है
 * जहाँ वस्तु के सभी कणों का योग लिया जाता है।

कोणीय संवेग जड़त्व आघूर्ण और कोणीय वेग का गुणनफल है:

रैखिक गतिशीलता में p =  mv के रूप में।

घूर्णी गति में रैखिक संवेग का अनुरूप कोणीय संवेग है। घूमती हुई वस्तु का कोणीय संवेग जितना अधिक होता है, जैसे कि कोई शीर्ष, घूमने की प्रवृत्ति उतनी ही अधिक होती है।

घूर्णन हुए पिंड का कोणीय संवेग उसके द्रव्यमान के समानुपाती होता है और यह कितनी तेजी से मुड़ता है। इसके अतिरिक्त,कोणीय गति इस बात पर निर्भर करती है कि द्रव्यमान को घुमाव के अक्ष के सापेक्ष कैसे वितरित किया जाता है: जितना अधिक द्रव्यमान घूर्णन के अक्ष से स्थित होता है, कोणीय गति उतनी ही अधिक होती है। फ्लैट डिस्क जैसे रिकॉर्ड टर्नटेबल में समान द्रव्यमान और घूर्णन के वेग के खोखले सिलेंडर की तुलना में कम कोणीय गति होती है।

रैखिक गति की तरह, कोणीय गति सदिश मात्रा है,और इसके संरक्षण का अर्थ है कि स्पिन अक्ष की दिशा अपरिवर्तित रहती है। इस कारण कताई लट्टू सीधा रहता है जबकि स्थिर लट्टू गिर जाता है।

कोणीय संवेग समीकरण का उपयोग किसी पिंड पर परिणामी बल के क्षण को अक्ष (कभी-कभी टॉर्क कहा जाता है) और उस अक्ष के चारों ओर घूमने की दर से संबंधित करने के लिए किया जा सकता है।

बलाघूर्ण और कोणीय गति के अनुसार संबंधित हैं

रैखिक गतिकी में F = dp/dt के रूप में बाहरी बलाघूर्ण की अनुपस्थिति में, पिंड का कोणीय संवेग स्थिर रहता है। फिगर स्केटिंग में कोणीय संवेग के संरक्षण को विशेष रूप से प्रदर्शित किया जाता है: घूर्णन के स्तिथि में भुजाओं को पिंड के निकट खींचते समय, जड़ता का क्षण कम हो जाता है, और इसलिए कोणीय वेग बढ़ जाता है।

काइनेटिक ऊर्जा
गतिज ऊर्जा $$K_\text{rot}$$ पिंड के घूर्णन के कारण दिया जाता है
 * $$K_\text{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2,$$

बस के रूप में $$K_\text{trans} = \tfrac{1}{2}mv^2$$ रैखिक गतिशीलता में।

गतिज ऊर्जा गति की ऊर्जा है। दो चरों में पाई जाने वाली अनुवादिक गतिज ऊर्जा की मात्रा: वस्तु का द्रव्यमान ($$m$$) और वस्तु की गति ($$v$$) जैसा कि ऊपर समीकरण में दिखाया गया है। गतिज ऊर्जा सदैव या तो शून्य या धनात्मक मान होनी चाहिए। जबकि वेग का या तो धनात्मक या ऋणात्मक मान हो सकता है, वेग का वर्ग सदैव धनात्मक होगा।

सदिश अभिव्यक्ति
उपरोक्त विकास सामान्य घूर्णी गति का विशेष विषय है। सामान्य स्थिति में, कोणीय विस्थापन, कोणीय वेग, कोणीय त्वरण और टार्क को सदिश माना जाता है।

कोणीय विस्थापन को सदिश माना जाता है, जो अक्ष के साथ इंगित करता है, $$\Delta \theta$$ के बराबर परिमाण का दाएँ हाथ के नियम का उपयोग यह पता लगाने के लिए किया जाता है कि यह अक्ष के साथ किस दिशा में इंगित करता है; यदि दाहिने हाथ की अंगुलियों को इस तरह मोड़ा जाता है कि वस्तु घूम चुकी है, तो दाहिने हाथ का अंगूठा सदिश की दिशा में इंगित करता है।

कोणीय वेग सदिश भी घूर्णन की धुरी के साथ-साथ उसी तरह इंगित करता है जिस तरह कोणीय विस्थापन का कारण बनता है। यदि कोई डिस्क वामावर्त घूर्णन है, जैसा कि ऊपर से देखा गया है, तो इसका कोणीय वेग सदिश ऊपर की ओर इंगित करता है। इसी प्रकार, कोणीय त्वरण सदिश घूर्णन की धुरी के साथ उसी दिशा में इंगित करता है जिस दिशा में कोणीय त्वरण लंबे समय तक बनाए रखा जाता है। टार्क सदिश उस अक्ष के साथ इंगित करता है जिसके चारों ओर टार्क घूर्णन का कारण बनता है। निश्चित धुरी के चारों ओर घूर्णन बनाए रखने के लिए, कुल टोक़ सदिश को धुरी के साथ होना चाहिए, जिससे यह केवल परिमाण को परिवर्तित कर सके और कोणीय वेग सदिश की दिशा नहीं काज के स्थिति में, अक्ष के साथ टोक़ सदिश के केवल घटक का घूर्णन पर प्रभाव पड़ता है, अन्य बलों और टोक़ को संरचना द्वारा प्रतिदान दिया जाता है

निरंतर कोणीय गति
निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन का सबसे सरल स्थिति स्थिर कोणीय गति की है। फिर कुल टोक़ शून्य है। पृथ्वी के अपनी धुरी पर घूर्णन के उदाहरण के लिए, बहुत कम घर्षण होता है। पंखे (यांत्रिक) के समान, बड़े स्तर पर उत्पादन निर्माण उद्योग में पाए जाने वाले उपकरण निश्चित अक्ष के चारों ओर प्रभावी रूप से घूर्णन प्रदर्शित करते हैं। उदाहरण के लिए, मल्टी-स्पिंडल खराद का उपयोग सामग्री को अपनी धुरी पर घूर्णन के लिए किया जाता है जिससे कटिंग, विरूपण और टर्निंग ऑपरेशन की उत्पादकता को प्रभावी रूप से बढ़ाया जा सके। घूर्णन का कोण समय का रेखीय फलन है, जो सापेक्ष 360° आवर्त फलन है।

इसका उदाहरण वृत्ताकार कक्षाओं के साथ द्वि-निकाय समस्या है।

सेंट्रिपेटल बल
आंतरिक तन्यता तनाव केंद्रीय बल प्रदान करता है जो कताई वस्तु को साथ रखता है। तनाव (सामग्री विज्ञान) की उपेक्षा करता है। यदि पिंड कठोर नहीं है तो यह खिंचाव इसके आकार को परिवर्तित करने का कारण बनेगा। इसे "केन्द्रापसारक बल" के कारण आकार परिवर्तित होने वाली वस्तु के रूप में व्यक्त किया जाता है।

एक दूसरे के चारों ओर घूर्णन वाले आकाशीय पिंडों में प्रायः अण्डाकार कक्षाएँ होती हैं। वृत्ताकार कक्षाओं का विशेष विषय निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन का उदाहरण है: यह अक्ष द्रव्यमान के केंद्र के माध्यम से गति के तल के लंबवत रेखा है। केन्द्रापसारक बल गुरुत्वाकर्षण द्वारा प्रदान किया जाता है, दो-पिंड की समस्या भी देखें। यह सामान्यतः घूर्णन हुए खगोलीय पिंड के लिए भी लागू होता है, इसलिए इसे साथ रखने के लिए ठोस होने की आवश्यकता नहीं है जब तक कि इसके घनत्व के संबंध में कोणीय गति बहुत अधिक न हो। ( चूंकि,यह तिरछा हो जाएगा।) उदाहरण के लिए, पानी के घूर्णन हुए आकाशीय पिंड को घूर्णन में कम से कम 3 घंटे और 18 मिनट का समय लगना चाहिए, आकार का ध्यान किए बिना, या पानी अलग हो जाएगा। यदि द्रव का घनत्व अधिक है तो समय कम हो सकता है कक्षीय अवधि देखें।

यह भी देखें

 * गति की संरचनात्मक शर्तें
 * घूर्णन द्वारा कृत्रिम गुरुत्वाकर्षण
 * धुरा
 * अक्षीय पुरस्सरण
 * अक्षीय झुकाव
 * अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व
 * हिंडोला, फेरिस व्हील
 * केंद्र पिन
 * अपकेन्द्रीय बल
 * अपकेंद्रित्र
 * केन्द्राभिमुख शक्ति
 * परिपत्र गति
 * कॉरिओलिस प्रभाव
 * काल्पनिक बल
 * चक्का
 * परिचलन
 * घूर्णन का तत्काल केंद्र
 * रैखिक-घूर्णी अनुरूप
 * प्रति मिनट घूर्णन
 * ऑप्टिकल अक्ष
 * परिक्रामी दरवाजा
 * कठोर शरीर कोणीय गति
 * घूर्णन आव्यूह
 * घूर्णन गति
 * घूर्णी समरूपता
 * रन आउट
 * चक्रण (भौतिकी)

संदर्भ

 * Fundamentals of Physics Extended 7th Edition by Halliday, Resnick and Walker. ISBN 0-471-23231-9
 * Concepts of Physics Volume 1, by H. C. Verma, 1st edition, ISBN 81-7709-187-5