तार्किक संयोजन

तर्कशास्त्र, गणित और भाषा विज्ञान में, और ($$\wedge$$) तार्किक संयोजन का सत्य-कार्यात्मक संचालिका है; ऑपरेंड के एक सेट का और तभी सत्य है यदि और केवल यदि इसके सभी ऑपरेंड सत्य हैं। इस ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करने वाले तार्किक संयोजक को सामान्यतः $$\wedge$$ या $⋅$के रूप में लिखा जाता है।

$$A \land B$$ सच है अगर और केवल अगर $$A$$ सच है और $$B$$ सत्य है, अन्यथा असत्य है।

एक संयुग्मन का एक संकार्य एक संयोजन है।

तर्क से परे, संयोजन शब्द अन्य क्षेत्रों में समान अवधारणाओं को भी संदर्भित करता है:


 * प्राकृतिक भाषा में, अंग्रेजी भाषा "और" जैसे अभिव्यक्तियों का अर्थ।
 * प्रोग्रामिंग भाषाओं में, लघु-परिपथ मानांकन और नियंत्रण संरचना।
 * समुच्चय सिद्धान्त, प्रतिच्छेदन (समुच्चय सिद्धांत) में।
 * जाली (क्रम) में, तार्किक संयोजन (सबसे बड़ी निचली सीमा)।
 * विधेय तर्क में, सार्वभौमिक परिमाणीकरण।

संकेत पद्धति
और सामान्यतः एक इन्फिक्स ऑपरेटर द्वारा निरूपित किया जाता है: गणित और तर्क में, इसे $$\wedge$$, $&$या$×$; इलेक्ट्रॉनिक्स में,$⋅$; और प्रोग्रामिंग भाषाओं में,, , या निरूपित किया जाता है।  जन लुकासिविक्ज़ के तर्क के लिए उपसर्ग संकेतन में, ऑपरेटर K पोलिश युग्मन के लिए है। विशेष रूप से, माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल में, AND फलन एक प्रत्यय ऑपरेटर है।

परिभाषा
तार्किक संयुग्मन दो तार्किक मानों पर एक तार्किक संचालन है, सामान्यतः दो प्रस्तावों के मान, जो 'सत्य' का मान उत्पन्न करते हैं यदि और केवल यदि इसके दोनों ऑपरेंड सत्य हैं।

संयोजक पहचान तत्व सत्य है, जिसका कहना है कि सत्य के साथ एक अभिव्यक्ति और अभिव्यक्ति के मान को कभी नहीं बदलता हैं। रिक्त सत्य की अवधारणा को ध्यान में रखते हुए, जब संयुग्मन को एक ऑपरेटर या स्वैच्छिक विधि से काम करने के रूप में परिभाषित किया जाता है, खाली संयोजन (ऑपरेंड के खाली सेट पर और-आईएनजी) को अधिकांश परिणाम सत्य होने के रूप में परिभाषित किया जाता है।

सत्य तालिका
$$A \land B$$ की सत्य तालिका:

अन्य ऑपरेटरों द्वारा परिभाषित
उन प्रणालियों में जहां तार्किक संयुग्मन प्राथमिक नहीं है, इसे इस रूप में परिभाषित किया जा सकता है
 * $$A \land B = \neg(A \to \neg B) $$

या
 * $$A \land B = \neg(\neg A \lor \neg B).$$

परिचय और उन्मूलन नियम
अनुमान के नियम के रूप में, संयोजन परिचय मौलिक रूप से वैध (तर्क), सरल तर्क रूप है। तर्क रूप में दो परिसर, A और B हैं। सहज रूप से, यह उनके संयोजन के अनुमान की अनुमति देता है।


 * A,
 * B.
 * इसलिए, A और B।

या तार्किक ऑपरेटर संकेत पद्धति में:
 * $$ A, $$
 * $$ B $$
 * $$ \vdash A \land B $$

यहाँ एक तर्क का उदाहरण दिया गया है जो संयोजन परिचय के रूप में फिट बैठता है:


 * बॉब को सेब पसंद है।
 * बॉब को संतरे पसंद हैं।
 * इसलिए, बॉब सेब पसंद करता है और बॉब संतरे पसंद करता है।

संयोजन विलोपन एक और मौलिक रूप से वैधता (तर्क), सरल तर्क रूप है। सहज रूप से, यह उस संयोजन के किसी भी तत्व के संयोजन से अनुमान की अनुमति देता है।


 * Aऔर बी।
 * इसलिए, ए.

...या वैकल्पिक रूप से,


 * Aऔर B।
 * इसलिए, B.

तार्किक ऑपरेटर संकेत पद्धति में:
 * $$ A \land B $$
 * $$ \vdash A $$

...या वैकल्पिक रूप से,


 * $$ A \land B $$
 * $$ \vdash B $$

परिभाषा
एक संयोजन $$A\land B$$ या तो $$\neg A$$ या $$\neg B$$ स्थापित करके झूठा सिद्ध होता है। वस्तु भाषा के संदर्भ में, यह पढ़ता है


 * $$\neg A\to\neg(A\land B)$$

इस सूत्र को एक विशेष स्थिति के रूप में देखा जा सकता है


 * $$(A\to C) \to ( (A\land B)\to C )$$

तब $$C$$ झूठा प्रस्ताव है।

अन्य सबूत रणनीतियों
अगर $$A$$ तात्पर्य $$\neg B$$, फिर दोनों $$\neg A$$ साथ ही $$A$$ संयोजन झूठा सिद्ध करें:
 * $$(A\to\neg{}B)\to\neg(A\land B)$$

दूसरे शब्दों में, एक संयुग्मन वास्तव में केवल इसके संयोजनों के संबंध के बारे में जानकर झूठा सिद्ध हो सकता है, और उनके सत्य मानों के बारे में आवश्यक नहीं है।

इस सूत्र को एक विशेष स्थिति के रूप में देखा जा सकता है
 * $$(A\to(B\to C))\to ( (A\land B)\to C ) $$

कब $$C$$ झूठा प्रस्ताव है।

उपरोक्त में से कोई भी विरोधाभास द्वारा रचनात्मक रूप से मान्य प्रमाण हैं।

गुण
क्रमविनिमेयता: हाँ साहचर्य: हाँ वितरणशीलता: विभिन्न कार्यों के साथ, विशेष रूप से तार्किक संयोजन के साथ

आलस्य: हाँ $$~A~$$    $$~\land~$$    $$~A~$$      $$\Leftrightarrow$$         $$A~$$

|$$~\land~$$
 * Venn01.svg|    $$\Leftrightarrow$$
 * Venn01.svg

एकदिष्टता फलन: हाँ

$$A \rightarrow B$$  $$\Rightarrow$$                           $$(A \land C)$$  $$\rightarrow$$ $$(B \land C)$$

$$\Rightarrow$$        $$\Leftrightarrow$$     $$\rightarrow$$

सत्य-संरक्षण: हाँ जब सभी इनपुट सत्य होते हैं, तो आउटपुट सत्य होता है।

$$A \land B$$     $$\Rightarrow$$     $$A \land B$$

$$\Rightarrow$$    (परीक्षण करने के लिए)

झूठ-संरक्षण: हाँ जब सभी इनपुट झूठे होते हैं, तो आउटपुट गलत होता है।

$$A \land B$$        $$\Rightarrow$$       $$A \lor B$$

$$\Rightarrow$$

(परीक्षण करने के लिए)

हैडमार्ड रूपांतरण: (1,-1,-1,1)

अरैखिकता: 1 (फलन तुला समारोह है)

यदि सत्य (1) और असत्य (0) के लिए द्विआधारी अंक प्रणाली मान का उपयोग किया जाता है, तो तार्किक संयोजन बिल्कुल सामान्य अंकगणितीय गुणन की तरह काम करता है।

कंप्यूटर इंजीनियरिंग में अनुप्रयोग
उच्च-स्तरीय कंप्यूटर प्रोग्रामिंग और डिजिटल इलेक्ट्रॉनिक्स में, तार्किक संयोजन सामान्यतः एक इन्फिक्स ऑपरेटर द्वारा सामान्यतः, एक बीजगणितीय गुणन, या एम्परसेंड प्रतीक   (कभी-कभी   के रूप में दोगुना हो जाता है) और जैसे कीवर्ड के रूप में दर्शाया जाता है। कई भाषाएँ तार्किक संयोजन के अनुरूप शॉर्ट-सर्किट नियंत्रण संरचनाएँ भी प्रदान करती हैं।

तार्किक कंजंक्शन का उपयोग अधिकांश बिटवाइज़ ऑपरेशंस के लिए किया जाता है, जहाँ  असत्य और से मेल खाता है   सच करने के लिए:



ऑपरेशन को दो बाइनरी शब्दों पर भी लागू किया जा सकता है जिन्हें समान स्थिति में बिट्स की प्रत्येक जोड़ी के बिटवाइज़ और ले कर समान लंबाई के बिटस्ट्रिंग के रूप में देखा जाता है। उदाहरण के लिए:



इसका उपयोग मास्क (कंप्यूटिंग) का उपयोग करके बिटस्ट्रिंग के भाग का चयन करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए,   =    8-बिट बिटस्ट्रिंग का पांचवां बिट निकालता है।

कम्प्यूटर नेट्वर्किंग में, आईपी एड्रेस और सबनेटवर्क मास्क को एंडिंग करके, किसी दिए गए आईपी एड्रेस से वर्तमान नेटवर्क के अन्दर सबनेटवर्क के नेटवर्क पते को प्राप्त करने के लिए बिट मास्क का उपयोग किया जाता है।

तार्किक संयोजन डेटाबेस क्वेरीज़ बनाने के लिए एसक्यूएल ऑपरेशंस में भी उपयोग किया जाता है।

करी-हावर्ड पत्राचार तार्किक संयोजन को उत्पाद प्रकारों से संबंधित करता है।

सेट-सैद्धांतिक पत्राचार
सेट सिद्धांत में एक प्रतिच्छेद (सेट सिद्धांत) के एक तत्व की सदस्यता को एक तार्किक संयोजन: x ∈ A ∩ B अगर और केवल अगर (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) के रूप में परिभाषित किया गया है। इस पत्राचार के माध्यम से, सेट-सैद्धांतिक प्रतिच्छेदन तार्किक संयोजन के साथ कई गुणों को साझा करता है, जैसे कि साहचर्य, क्रमविनिमेयता और निष्क्रियता।

प्राकृतिक भाषा
गणितीय तर्क में औपचारिक रूप से अन्य धारणाओं के साथ, तार्किक संयोजन और संबंधित है, लेकिन व्याकरणिक संयोजन और प्राकृतिक भाषाओं के समान नहीं है।

अंग्रेजी "और" में तार्किक संयोजन द्वारा कब्जा नहीं किए गए गुण हैं। उदाहरण के लिए, "और" कभी-कभी "फिर" की भावना वाले आदेश को दर्शाता है। उदाहरण के लिए, "उन्होंने शादी कर ली और उनका एक बच्चा था" आम प्रवचन में इसका मतलब है कि शादी बच्चे से पहले हुई थी।

यह शब्द और किसी चीज़ को भागों में विभाजित करने का संकेत भी दे सकता है, क्योंकि अमेरिकी ध्वज लाल, सफ़ेद और नीला है। यहाँ, इसका मतलब यह नहीं है कि झंडा एक साथ लाल, सफेद और नीला है, बल्कि यह है कि इसमें प्रत्येक रंग का एक हिस्सा है।

यह भी देखें

 * और-पलटनेवाला ग्राफ
 * और गेट
 * बिटवाइज़ और
 * बूलियन बीजगणित (तर्क)
 * बूलियन बीजगणित विषय
 * बूलियन संयोजक क्वेरी
 * बूलियन डोमेन
 * बूलियन समारोह
 * बूलियन-मूल्यवान फ़ंक्शन
 * संधि विलोपन
 * डी मॉर्गन के कानून
 * पहले क्रम का तर्क
 * फ्रेचेट असमानताएं
 * व्याकरणिक संयोजन
 * तार्किक वियोग
 * तार्किक निषेध
 * तार्किक ग्राफ
 * ऑपरेशन (गणित)
 * पीआनो-रसेल संकेतन
 * प्रस्तावक कलन

बाहरी संबंध

 * Wolfram MathWorld: Conjunction
 * Wolfram MathWorld: Conjunction