वानियर कार्य

वानियर फलन ठोस-अवस्था भौतिकी में उपयोग किए जाने वाले ऑर्थोगोनल फलन का एक पूरा समूह है। उन्हें 1937 में  ग्रेगरी वन्नियर  द्वारा प्रस्तुत किया गया था।  वेनियर फलन क्रिस्टल प्रणाली के स्थानीयकृत आणविक ऑर्बिटल्स हैं।

एक क्रिस्टल में विभिन्न जालक स्थलों के लिए वानियर कार्य ऑर्थोगोनल हैं जो कुछ व्यवस्थाओं में इलेक्ट्रॉन अवस्थाओ के विस्तार के लिए एक सुविधाजनक आधार की अनुमति देता है। वेनियर फलन का व्यापक उपयोग पाया गया है, उदाहरण के लिए इलेक्ट्रॉनों पर कार्य करने वाली बाध्यकारी शक्तियों के विश्लेषण में; 2006 में इंसुलेटर में घातीय कार्यात्मक रूप से स्थानीयकृत वानियर कार्यों का अस्तित्व सिद्ध हुआ था। विशेष रूप से इन कार्यों का उपयोग एक्सिटन्स और संघनित रिडबर्ग पदार्थ के विश्लेषण में भी किया जाता है।

परिभाषा
चूँकि स्थानीयकृत आणविक कक्षाओं की तरह वानियर कार्यों को कई अलग-अलग विधियों से चुना जा सकता है, मूल, ठोस-अवस्था भौतिकी में सबसे सरल और सबसे समान्य परिभाषा इस प्रकार है। एक पूर्ण क्रिस्टल में एकल इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना चुनें, और इसके बलोच अवस्थाओ को निरूपित करें
 * $$\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}u_\mathbf{k}(\mathbf{r})$$

जहां uk(r)  का आवर्तकाल क्रिस्टल के समान होता है। तब वानियर कार्यों द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$\phi_{\mathbf{R}}(\mathbf{r}) = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{\mathbf{k}} e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}} \psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})$$,

जहाँ
 * R कोई जाली वेक्टर है (जिससे प्रत्येक ब्रावाइस जाली के लिए एक वानियर फलन है);
 * N क्रिस्टल में आदिम कोशिकाओं की संख्या है;
 * K पर योग में ब्रिलौइन ज़ोन (या पारस्परिक जाली के किसी अन्य आदिम सेल) में k के सभी मान सम्मिलित हैं जो क्रिस्टल पर आवधिक सीमा स्थितियों के अनुरूप हैं। इसमें 'N k के विभिन्न मान सम्मिलित हैं, जो ब्रिलौइन ज़ोन के माध्यम से समान रूप से फैले हुए हैं। चूंकि 'N ' सामान्यतः बहुत बड़ा होता है, योग को प्रतिस्थापन नियम के अनुसार एक अभिन्न के रूप में लिखा जा सकता है:
 * $$\sum_{\mathbf{k}} \longrightarrow \frac{N}{\Omega} \int_\text{BZ} d^3\mathbf{k}$$

जहां BZ ब्रिलौइन ज़ोन को दर्शाता है, जिसका आयतन Ω है।

गुण
इस परिभाषा के आधार पर, निम्नलिखित गुणों को धारण करना सिद्ध किया जा सकता है:
 * किसी भी जाली वेक्टर R' के लिए,
 * $$\phi_{\mathbf{R}}(\mathbf{r}) = \phi_{\mathbf{R}+\mathbf{R}'}(\mathbf{r}+\mathbf{R}')$$

दूसरे शब्दों में वानियर फलन केवल मात्रा (r − R) पर निर्भर करता है। परिणाम स्वरुप, इन कार्यों को  अधिकांशतः वैकल्पिक संकेतन में लिखा जाता है
 * $$\phi(\mathbf{r}-\mathbf{R}) := \phi_{\mathbf{R}}(\mathbf{r})$$


 * बलोच कार्यों को वन्नियर कार्यों के संदर्भ में निम्नानुसार लिखा जा सकता है:
 * $$\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{\mathbf{R}} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}} \phi_{\mathbf{R}}(\mathbf{r})$$,

जहां योग क्रिस्टल में प्रत्येक जाली सदिश R के ऊपर है।


 * तरंग क्रिया का समूह $$\phi_{\mathbf{R}}$$ विचाराधीन बैंड के लिए एक अलौकिक आधार है।
 * $$\begin{align}

\int_\text{crystal} \phi_{\mathbf{R}}(\mathbf{r})^* \phi_{\mathbf{R'}}(\mathbf{r}) d^3\mathbf{r} & = \frac{1}{N} \sum_{\mathbf{k,k'}}\int_\text{crystal} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}} \psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})^*  e^{-i\mathbf{k'}\cdot\mathbf{R'}} \psi_{\mathbf{k'}}(\mathbf{r}) d^3\mathbf{r} \\ & = \frac{1}{N} \sum_{\mathbf{k,k'}} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}} e^{-i\mathbf{k'}\cdot\mathbf{R'}} \delta_{\mathbf{k,k'}} \\ & = \frac{1}{N} \sum_{\mathbf{k}} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{(R-R')}} \\ & =\delta_{\mathbf{R,R'}} \end{align} $$ वानियर फलन को लगभग आवधिक क्षमता तक भी बढ़ाया गया है।

स्थानीयकरण
बलोच का कहना है कि ψk(r)  को एक विशेष हैमिल्टनियन के ईजेनफलन के रूप में परिभाषित किया गया है और इसलिए केवल एक समग्र चरण तक ही परिभाषित किया गया है। किसी भी (वास्तविक) फलन θ(k) के लिए फलन ψk(r) में चरण परिवर्तन eiθ(k)  प्रयुक्त करने से, एक समान रूप से मान्य विकल्प पर पहुँचता है। जबकि बलोच स्थिति के गुणों के लिए परिवर्तन का कोई परिणाम नहीं है, इस परिवर्तन से संबंधित वानियर फलन महत्वपूर्ण रूप से बदल गए हैं।

इसलिए वनियर कार्यों का सबसे सुविधाजनक समूह देने के लिए बलोच स्थिति के चरणों को चुनने के लिए स्वतंत्रता का उपयोग किया जाता है। व्यवहार में, यह सामान्यतः अधिकतम-स्थानीयकृत समूह होता है जिसमें वानियर फलन $&varphi;_{R}$ बिंदु R के आसपास स्थानीयकृत होता है और तेज़ी से R से दूर शून्य हो जाता है। एक-आयामी स्थिति के लिए यह कोह्न द्वारा सिद्ध किया गया है कि वहाँ सदैव एक अनूठा विकल्प होता है जो इन गुणों को देता है (कुछ समरूपताओं के अधीन)। इसके परिणामस्वरूप उच्च आयामों में किसी भी वियोज्य क्षमता पर प्रयुक्त होता है; सामान्य स्थितियां स्थापित नहीं हैं और चल रहे शोध का विषय हैं।

वानियर कार्यों को प्राप्त करने के लिए वर्तमान ही में एक पिपेक-मेज़ी शैली स्थानीयकरण योजना भी प्रस्तावित की गई है। अधिकतम स्थानीयकृत वेनियर फलन के विपरीत (जो क्रिस्टलीय प्रणालियों के लिए फोस्टर-बॉयज़ योजना का एक अनुप्रयोग है) पिपेक-मेज़े वेनियर फलन σ और π ऑर्बिटल्स को नहीं मिलाते हैं।

ध्रुवीकरण का आधुनिक सिद्धांत
वानियर फलन ने वर्तमान ही में क्रिस्टल में ध्रुवीकरण घनत्व का वर्णन करने में आवेदन पाया है, उदाहरण के लिए फेरोबिजली ध्रुवीकरण का आधुनिक सिद्धांत राफेल रेस्टा और डेविड वेंडरबिल्ट द्वारा अग्रणी है। उदाहरण के लिए देखें, बर्घोल्ड, और नख्मनसन, और वेंडरबिल्ट द्वारा एक पावर-प्वाइंट परिचय। एक ठोस में प्रति ईकाई सेल ध्रुवीकरण को वानियर चार्ज घनत्व के द्विध्रुवीय पल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:
 * $$\mathbf{p_c} = -e \sum_n \int\ d^3 r \,\, \mathbf{r} |W_n(\mathbf{r})|^2 \, $$

जहां योग अधिकृत वाले बैंड पर है, और डब्ल्यूnबैंड n के लिए सेल में स्थानीयकृत वानियर फलन है। निरंतर भौतिक प्रक्रिया के समय ध्रुवीकरण में परिवर्तन ध्रुवीकरण का समय व्युत्पन्न है और इसे अधिकृत वाले बलोच अवस्थाओ के बेरी चरण के संदर्भ में भी तैयार किया जा सकता है।

जहां योग अधिकृत वाले बैंड पर है, और Wn बैंड n के लिए सेल में स्थानीयकृत वानियर फलन है। निरंतर भौतिक प्रक्रिया के समय ध्रुवीकरण में परिवर्तन ध्रुवीकरण का समय व्युत्पन्न है और इसे अधिकृत वाले बलोच स्थिति के बेरी चरण के संदर्भ में भी तैयार किया जा सकता है।

वानियर इंटरपोलेशन
वानियर फलन का उपयोग अधिकांशतः 'k'-बिंदु के किसी मोटे ग्रिड पर किसी भी इच्छानुसार 'k'-बिंदु पर गणना किए गए बैंडस्ट्रक्चर को प्रक्षेपित करने के लिए किया जाता है। यह विशेष रूप से सघन ग्रिड पर ब्रिलौइन-ज़ोन इंटीग्रल के मूल्यांकन और वेइल बिंदु की खोज के लिए उपयोगी है, और 'के'-स्पेस में डेरिवेटिव भी ले रहा है। यह दृष्टिकोण टाइट बाइंडिंग या कनेक्शन टू वनियर फलन सन्निकटन के समान है, किंतु इसके विपरीत एक निश्चित ऊर्जा सीमा में बैंड के स्पष्ट विवरण की अनुमति देता है। वर्णक्रमीय गुणों, विषम हॉल चालकता, कक्षीय चुंबकत्व, थर्मोइलेक्ट्रिक और इलेक्ट्रॉनिक परिवहन गुण, जाइरोट्रोपिक प्रभाव, शिफ्ट करंट, स्पिन हॉल चालकता के लिए वानियर इंटरपोलेशन योजनाएं प्राप्त की गई हैं। और अन्य प्रभाव है।

यह भी देखें

 * कक्षीय चुंबकीयकरण

बाहरी संबंध

 * Wannier90 computer code that calculates maximally localized वानियर functions
 * वानियर Transport code that calculates maximally localized वानियर functions fit for Quantum Transport applications
 * WannierTools: An open-source software package for novel topological materials
 * WannierBerri - a python code for वानियर interpolation and tight-binding calculations
 * WannierBerri - a python code for वानियर interpolation and tight-binding calculations

यह भी देखें

 * बलोच प्रमेय
 * हन्ने कोण
 * ज्यामितीय चरण

श्रेणी:संघनित पदार्थ भौतिकी