बा स्पेस

गणित में, बा समष्टि $$ba(\Sigma)$$ सम्मुच्चय के एक क्षेत्र का $$\Sigma$$ बानाच स्थान है जिसमें सभी बंधे हुए माप और अंतिम रूप से योगात्मक हस्ताक्षरित माप $$\Sigma$$ सम्मिलित हैं। मानक को माप भिन्नता, अर्थात $$\|\nu\|=|\nu|(X)$$ के रूप में परिभाषित किया गया है।

यदि Σ एक सिग्मा-बीजगणित है, तो स्थान $$ca(\Sigma)$$ के उपसमुच्चय सिग्मा-योजक से मिलकर $$ba(\Sigma)$$ के रूप में परिभाषित किया गया है। संकेतन बा बंधित योगज के लिए एक स्मरक है और सीए गणनीय योगज के लिए छोटा है।

यदि X एक सांस्थितिक समष्टि है, और Σ X में बोरेल सम्मुच्चय का सिग्मा-बीजगणित है, तो $$rca(X)$$ का उपस्थान $$ca(\Sigma)$$ X पर सभी नियमित माप बोरेल माप सम्मिलित है।

गुण
कुल भिन्नता द्वारा परिभाषित समान मानदंड के संबंध में सभी तीन स्थान पूर्ण हैं (वे बानाच स्थान हैं), और इस प्रकार $$ca(\Sigma)$$ का एक बंद उपसमुच्चय $$ba(\Sigma)$$, और $$rca(X)$$ का एक बंद सम्मुच्चय $$ca(\Sigma)$$ Σ के लिए बोरेल का बीजगणित X पर सम्मुच्चय होता है। सरल कार्यों का स्थान $$\Sigma$$ सघन सम्मुच्चय $$ba(\Sigma)$$ है।

प्राकृतिक संख्याओं के घात समुच्चय का बा स्थान, ba(2N), को प्रायः $$ba$$ सरलता से दर्शाया जाता है और एलपी समष्टि के दोहरे स्थान के लिए ℓ∞स्थान समरूपी है।

B(Σ) का द्वैध
मान लीजिए कि B(Σ) परिबद्ध Σ-मापने योग्य कार्यों का स्थान है, जो समान मानदंड से सुसज्जित है। फिर ba(Σ) = B(Σ)* B(Σ) का सतत द्वैध स्थान है। यह हिल्डेब्रांट और फिचटेनहोल्ट्ज़ और कांटोरोविच के कारण है। यह एक प्रकार का रीज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय है जो मापने योग्य कार्यों पर एक माप को रैखिक कार्यात्मक के रूप में प्रस्तुत करने की अनुमति देता है। विशेष रूप से, यह समरूपता किसी को एक सीमित योगात्मक माप के संबंध में अभिन्न को परिभाषित करने की अनुमति देती है (ध्यान दें कि सामान्य लेबेसेग अभिन्न को गणनीय योगात्मकता की आवश्यकता होती है)। यह डनफोर्ड और श्वार्ट्ज के कारण है,  और इसका उपयोग प्रायः सदिश उपायों के संबंध में अभिन्न को परिभाषित करने के लिए किया जाता है,  और विशेष रूप से सदिश-मूल्यवान रेडॉन माप है।

सांस्थितिक द्वंद्व ba(Σ) = B(Σ)* देखना आसान है। Σ पर सभी परिमित योगात्मक मापों के सदिश समष्टि और सरल कार्यों के सदिश समष्टि के बीच एक स्पष्ट बीजगणितीय द्वंद्व $$\mu(A)=\zeta\left(1_A\right)$$ है। यह जांचना आसान है कि यदि σ परिबद्ध है तो σ द्वारा प्रेरित रैखिक रूप सुपर-मानदंड में निरंतर है, और परिणाम इस प्रकार है क्योंकि सरल कार्यों के घने उप-स्थान पर एक रैखिक रूप B(Σ)* के एक तत्व तक विस्तारित होता है यदि यह सुपर-मानदंड में निरंतर है।

L का द्वैध∞(μ)
यदि Σ एक सिग्मा-बीजगणित है और μ Σ पर एक सिग्मा-योज्य सकारात्मक माप है तो एलपी समष्टि L∞(μ) आवश्यक सर्वोच्च मानदंड से संपन्न है, परिभाषा के अनुसार परिबद्ध μ-शून्य कार्यों के बंद उपस्थान द्वारा B(Σ) का अनुपात स्थान (सांस्थिति) है:
 * $$N_\mu:=\{f\in B(\Sigma) : f = 0 \ \mu\text{-लगभग हर जगह} \}.$$

दोहरी बानाच समष्टि L∞(μ)* इस प्रकार समरूपी है
 * $$N_\mu^\perp=\{\sigma\in ba(\Sigma) : \mu(A)=0\Rightarrow \sigma(A)= 0 \text{ for any }A\in\Sigma\},$$

यानी Σ पर अंतिम रूप से योगात्मक हस्ताक्षरित मापों का स्थान जो μ (संक्षेप में μ-a.c.) के संबंध में बिल्कुल निरंतर हैं।

जब माप स्थान इसके अतिरिक्त सिग्मा-परिमित होता है तो L∞(μ) बदले में L1(μ) द्वैध है, जिसे रैडॉन-निकोडिम प्रमेय द्वारा सभी गणनीय योगात्मक μ-a.c के सम्मुच्चय के साथ पहचाना जाता है।

दूसरे शब्दों में, बाईड्यूल में समावेशन
 * $$L^1(\mu)\subset L^1(\mu)^{**}=L^{\infty}(\mu)^*$$

गणनीय रूप से योगात्मक μ-a.c के स्थान को सम्मिलित करने के लिए समरूपी है। सभी सूक्ष्म रूप से योगात्मक μ-a.c सीमित उपाय के स्थान के अंदर बंधे हुए माप हैं।