प्रसार स्थिरांक

साइनसोइडल विद्युत चुम्बकीय तरंग का प्रसार स्थिरांक तरंग के आयाम और चरण (तरंगों) द्वारा किए गए परिवर्तन का एक उपाय है क्योंकि यह किसी दिए गए दिशा में तरंग प्रसार करता है। मापी जाने वाली मात्रा वोल्टेज, विद्युत सर्किट में विद्युत प्रवाह, या विद्युत क्षेत्र शक्ति या फ्लक्स घनत्व जैसे फ़ील्ड वेक्टर हो सकती है। प्रसार स्थिरांक ही प्रति इकाई लंबाई में परिवर्तन को मापता है, लेकिन यह अन्यथा आयामहीन है। दो बंदरगाह नेटवर्क | दो बंदरगाह नेटवर्क और उनके कैस्केड के संदर्भ में, प्रसार निरंतर स्रोत मात्रा से होने वाले परिवर्तन को मापता है क्योंकि यह एक बंदरगाह से दूसरे तक फैलता है।

प्रसार स्थिरांक का मान लॉगरिदमिक रूप से व्यक्त किया जाता है, लगभग सार्वभौमिक रूप से बेस 'ई (गणितीय स्थिरांक)' के बजाय, अन्य स्थितियों में दूरसंचार में उपयोग किए जाने वाले अधिक सामान्य आधार 10 के बजाय। मापी गई मात्रा, जैसे वोल्टेज, को साइनसॉइडल फेजर के रूप में व्यक्त किया जाता है। साइनसॉइड का चरण दूरी के साथ बदलता रहता है जिसके परिणामस्वरूप प्रसार निरंतर एक जटिल संख्या होती है, चरण परिवर्तन के कारण काल्पनिक संख्या का हिस्सा होता है।

वैकल्पिक नाम
प्रसार स्थिरांक कुछ हद तक एक मिथ्या नाम है क्योंकि यह आमतौर पर ω के साथ दृढ़ता से भिन्न होता है। यह शायद सबसे व्यापक रूप से इस्तेमाल किया जाने वाला शब्द है लेकिन इस मात्रा के लिए विभिन्न लेखकों द्वारा उपयोग किए जाने वाले वैकल्पिक नामों की एक विशाल विविधता है। इनमें 'ट्रांसमिशन पैरामीटर', 'ट्रांसमिशन फंक्शन', 'प्रचार पैरामीटर', 'प्रचार गुणांक' और 'ट्रांसमिशन स्थिरांक' शामिल हैं। यदि बहुवचन का उपयोग किया जाता है, तो यह सुझाव देता है कि α और β को अलग-अलग संदर्भित किया जा रहा है, लेकिन सामूहिक रूप से 'ट्रांसमिशन पैरामीटर', 'प्रचार पैरामीटर' आदि के रूप में। ट्रांसमिशन लाइन सिद्धांत में, α और β को द्वितीयक गुणांक में गिना जाता है, द्वितीयक शब्द प्राथमिक रेखा गुणांकों के विपरीत उपयोग किया जा रहा है। प्राथमिक गुणांक लाइन के भौतिक गुण हैं, अर्थात् आर, सी, एल और जी, जिससे टेलीग्राफर के समीकरण का उपयोग करके द्वितीयक गुणांक प्राप्त किए जा सकते हैं। ध्यान दें कि संचरण लाइनों के क्षेत्र में, नाम की समानता के बावजूद शब्द संचरण गुणांक का एक अलग अर्थ है: यह प्रतिबिंब गुणांक का साथी है।

परिभाषा
प्रसार स्थिरांक, प्रतीक $γ$, किसी दिए गए सिस्टम के लिए कुछ दूरी पर जटिल आयाम के लिए तरंग के स्रोत पर फेजर के अनुपात द्वारा परिभाषित किया गया है $x$, ऐसा है कि,


 * $$ \frac{A_0}{A_x} = e^{\gamma x} $$

चूँकि प्रसार स्थिरांक एक जटिल मात्रा है जिसे हम लिख सकते हैं:



कहाँ पे
 * $α$, वास्तविक भाग को #क्षीणन स्थिरांक कहा जाता है
 * $β$, काल्पनिक भाग को #चरण स्थिरांक कहा जाता है
 * $$i \equiv j \equiv \sqrt{ -1\ }\ ;$$ अक्सर $j$ विद्युत सर्किट के लिए प्रयोग किया जाता है।

उस $β$ वास्तव में चरण का प्रतिनिधित्व करता है जिसे यूलर के सूत्र से देखा जा सकता है:


 * $$ e^{i\theta} = \cos{\theta} + i \sin{\theta}\ $$

जो एक साइनसॉइड है जो चरण में भिन्न होता है $θ$ भिन्न होता है लेकिन आयाम में भिन्न नहीं होता क्योंकि


 * $$ \left| e^{i\theta} \right| = \sqrt{ \cos^2{\theta} + \sin^2{\theta}\;} = 1 $$

आधार के उपयोग का कारण $e$ भी अब स्पष्ट हो गया है। काल्पनिक चरण स्थिर, $i β$, सीधे क्षीणन स्थिरांक में जोड़ा जा सकता है, $α$, एक जटिल संख्या बनाने के लिए जिसे एक गणितीय ऑपरेशन में नियंत्रित किया जा सकता है बशर्ते वे एक ही आधार पर हों। रेडियन में मापे गए कोणों को आधार की आवश्यकता होती है $e$, इसलिए क्षीणन इसी तरह आधार में है $e$.

लाइनों के संचालन के लिए प्रसार स्थिरांक की गणना संबंध के माध्यम से प्राथमिक रेखा गुणांक से की जा सकती है


 * $$ \gamma= \sqrt{ Z Y\ }$$

कहाँ पे


 * $$ Z = R + i\ \omega L\ ,$$ प्रति इकाई लंबाई की श्रृंखला विद्युत प्रतिबाधा और,


 * $$ Y = G + i\ \omega C\ ,$$ लाइन प्रति यूनिट लंबाई की शंट प्रवेश।

हवाई जहाज की लहर
एक रेखीय मीडिया में यात्रा करने वाली समतल तरंग का प्रसार कारक $x$ द्वारा दिशा दी जाती है $$ P = e^{-\gamma x} $$ कहाँ पे हानिपूर्ण मीडिया में प्रसार के साथ संगति के लिए साइन कन्वेंशन को चुना गया है। यदि क्षीणन स्थिरांक धनात्मक है, तो तरंग का आयाम कम हो जाता है क्योंकि तरंग का प्रसार होता है $x$ दिशा।
 * $\gamma = \alpha + i\ \beta = \sqrt{i\ \omega\ \mu\ (\sigma + i\ \omega \varepsilon)\ }\ $
 * $$ x = $$ में तय की गई दूरी $x$ दिशा
 * $$ \alpha =\ $$ के माध्यम से्स/मीटर की इकाइयों में क्षीणन स्थिरांक
 * $$ \beta =\ $$ कांति / मीटर की इकाइयों में चरण स्थिरांक
 * $$ \omega=\ $$ रेडियंस/सेकेंड में आवृत्ति
 * $$ \sigma =\ $$ विद्युत प्रतिरोधकता और मीडिया की चालकता
 * $$\varepsilon = \varepsilon' - i\ \varepsilon'' \ $$ = परमिटिटिविटी # मीडिया की कॉम्प्लेक्स परमिटिटिविटी
 * $$\mu = \mu' - i\ \mu'' \;$$ = पारगम्यता (विद्युत चुंबकत्व) # मीडिया की जटिल पारगम्यता
 * $$i \equiv \sqrt{-1\ }$$

तरंग दैर्ध्य, चरण वेग, और त्वचा प्रभाव प्रसार स्थिरांक के घटकों के लिए सरल संबंध हैं: $$ \lambda = \frac {2 \pi}{\beta} \qquad v_p = \frac{\omega}{\beta}  \qquad   \delta =  \frac{1}{\alpha} $$

क्षीणन स्थिरांक
दूरसंचार में, शब्द क्षीणन स्थिरांक, जिसे क्षीणन पैरामीटर या क्षीणन गुणांक भी कहा जाता है, स्रोत से प्रति इकाई दूरी पर एक संचरण माध्यम के माध्यम से प्रसारित विद्युत चुम्बकीय तरंग का क्षीणन है। यह प्रसार स्थिरांक का वास्तविक हिस्सा है और इसे नेपर्स प्रति मीटर में मापा जाता है। एक नीपर लगभग 8.7 डेसिबल होता है। क्षीणन स्थिरांक को आयाम अनुपात द्वारा परिभाषित किया जा सकता है


 * $$\left|\frac{A_0}{A_x}\right|=e^{\alpha x}$$

प्रति इकाई लंबाई प्रसार स्थिरांक को प्रेषण अंत वर्तमान या वोल्टेज प्राप्त करने वाले अंत वर्तमान या वोल्टेज के अनुपात के प्राकृतिक लघुगणक के रूप में परिभाषित किया गया है।

प्रवाहकीय रेखाएँ
प्रवाहकीय लाइनों के लिए क्षीणन स्थिरांक की गणना प्राथमिक रेखा गुणांक से की जा सकती है जैसा कि ऊपर दिखाया गया है। हीविसाइड स्थिति को पूरा करने वाली रेखा के लिए, इन्सुलेटर में एक चालन G के साथ, क्षीणन स्थिरांक द्वारा दिया जाता है


 * $$\alpha=\sqrt{RG}\,\!$$

हालांकि, लोडिंग कॉइल्स के अतिरिक्त के बिना एक वास्तविक रेखा इस स्थिति को पूरा करने की संभावना नहीं है और इसके अलावा, कुछ आवृत्ति निर्भर प्रभाव प्राथमिक स्थिरांक पर काम कर रहे हैं जो नुकसान की आवृत्ति निर्भरता का कारण बनते हैं। इन नुकसानों के दो मुख्य घटक हैं, धातु की हानि और ढांकता हुआ नुकसान।

अधिकांश संचरण लाइनों के नुकसान में धातु के नुकसान का प्रभुत्व होता है, जो धातुओं की परिमित चालकता और कंडक्टर के अंदर त्वचा के प्रभाव के कारण आवृत्ति निर्भरता का कारण बनता है। कंडक्टर के साथ त्वचा का प्रभाव आर के अनुसार लगभग आवृत्ति पर निर्भर करता है


 * $$R \propto \sqrt{\omega}$$

परावैद्युत में हानियाँ संकेत की तरंगदैर्घ्य से विभाजित सामग्री की स्पर्शरेखा (tan δ) की हानि पर निर्भर करती हैं। इस प्रकार वे आवृत्ति के सीधे आनुपातिक हैं।


 * $$\alpha_d={{\pi}\sqrt{\varepsilon_r}\over{\lambda}}{\tan \delta}$$

प्रकाशित तंतु
एक ऑप्टिकल फाइबर में एक विशेष प्रसार मोड के लिए क्षीणन स्थिरांक अक्षीय प्रसार स्थिरांक का वास्तविक भाग है।

चरण स्थिर
विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत में, चरण स्थिरांक, जिसे चरण परिवर्तन स्थिरांक भी कहा जाता है, पैरामीटर या गुणांक एक समतल तरंग के प्रसार स्थिरांक का काल्पनिक घटक है। यह किसी भी क्षण तरंग द्वारा यात्रा किए गए पथ के साथ प्रति इकाई लंबाई में चरण में परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है और तरंग संख्या के वास्तविक भाग के बराबर होता है # तरंग के तरंग समीकरणों में। इसे प्रतीक β द्वारा दर्शाया जाता है और इसे प्रति इकाई लंबाई रेडियन की इकाइयों में मापा जाता है।

दोषरहित मीडिया में टीईएम तरंगों के लिए (कोणीय) तरंग संख्या की परिभाषा से:


 * $$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \beta$$

एक संचरण रेखा के लिए, टेलीग्राफर के समीकरण की हीविसाइड स्थिति हमें बताती है कि तरंग के संचरण के लिए तरंग संख्या आवृत्ति के समानुपाती होनी चाहिए ताकि समय डोमेन में अविकृत हो सके। इसमें दोषरहित रेखा का आदर्श मामला शामिल है, लेकिन यह यहीं तक सीमित नहीं है। इस स्थिति का कारण यह विचार करके देखा जा सकता है कि एक उपयोगी संकेत आवृत्ति डोमेन में कई अलग-अलग तरंग दैर्ध्य से बना है। तरंग रूप में कोई विकृति न हो, इसके लिए इन सभी तरंगों को एक ही वेग से यात्रा करनी चाहिए ताकि वे एक ही समय में एक समूह वेग के रूप में रेखा के दूर के छोर पर पहुंचें। चूंकि तरंग चरण वेग द्वारा दिया जाता है


 * $$v_p = \frac{\lambda}{T} = \frac{f}{\tilde{\nu}} = \frac{\omega}{\beta},$$

यह साबित हो गया है कि β को ω के समानुपातिक होना आवश्यक है। रेखा के प्राथमिक गुणांकों के संदर्भ में, यह टेलीग्राफर के समीकरण से विरूपण रहित रेखा की स्थिति के लिए उत्पन्न होता है


 * $$\beta = \omega \sqrt{LC},$$

जहां एल और सी क्रमशः लाइन की प्रति इकाई लंबाई अधिष्ठापन और समाई हैं। हालाँकि, व्यावहारिक रेखाओं से केवल एक सीमित आवृत्ति बैंड पर लगभग इस स्थिति को पूरा करने की अपेक्षा की जा सकती है।

विशेष रूप से, चरण स्थिर $$ \beta $$ हमेशा तरंग संख्या के समतुल्य नहीं होता है $$k$$. सामान्यतया, निम्नलिखित संबंध


 * $$ \beta = k $$

अनुप्रस्थ मोड तरंग (अनुप्रस्थ विद्युत चुम्बकीय तरंग) के लिए उपयुक्त है जो मुक्त स्थान या टीईएम-उपकरणों जैसे समाक्षीय केबल और जुड़वां सीसा में यात्रा करती है। फिर भी, यह अनुप्रस्थ मोड तरंग (अनुप्रस्थ विद्युत तरंग) और अनुप्रस्थ मोड तरंग (अनुप्रस्थ चुंबकीय तरंग) के लिए अमान्य है। उदाहरण के लिए, एक खोखले वेवगाइड में जहां टीईएम तरंग मौजूद नहीं हो सकती है लेकिन टीई और टीएम तरंगें फैल सकती हैं,


 * $$k=\frac{\omega}{c} $$
 * $$\beta=k\sqrt{1-\frac{\omega_c^2}{\omega^2}}$$

यहां $$ \omega_{c} $$ कटऑफ आवृत्ति है। एक आयताकार वेवगाइड में, कटऑफ आवृत्ति होती है


 * $$ \omega_{c} = c \sqrt{\left(\frac{n \pi}{a}\right)^2 + \left(\frac{m \pi}{b}\right) ^2}, $$

कहाँ पे $$m,n \ge 0$$ आयत की लंबाई की भुजाओं के लिए बहुलक संख्याएँ हैं $$a$$ और $$b$$ क्रमश। टीई मोड के लिए, $$ m,n \ge 0$$ (लेकिन $$ m = n = 0$$ अनुमति नहीं है), जबकि टीएम मोड के लिए $$ m,n \ge 1 $$.

चरण वेग बराबर होता है


 * $$v_p=\frac{\omega}{\beta}=\frac{c}{\sqrt{1-\frac{\omega_\mathrm{c}^2}{\omega^2}}}>c $$

क्वांटम यांत्रिकी में चरण स्थिरांक भी एक महत्वपूर्ण अवधारणा है क्योंकि संवेग $$ p$$ एक मात्रा का इसके सीधे आनुपातिक है,  अर्थात।


 * $$ p = \hbar \beta$$

कहाँ पे $ħ$ कम प्लैंक स्थिरांक कहा जाता है (उच्चारण एच-बार)। यह प्लैंक स्थिरांक से भाग देने के बराबर है $2π$.

फ़िल्टर और दो-पोर्ट नेटवर्क
प्रसार स्थिरांक या प्रचार कार्य शब्द इलेक्ट्रॉनिक फिल्टर और संकेत प्रसंस्करण के लिए उपयोग किए जाने वाले अन्य दो-पोर्ट नेटवर्क पर लागू होता है। हालांकि, इन मामलों में, क्षीणन और चरण गुणांक प्रति यूनिट लंबाई के बजाय प्रति इलेक्ट्रॉनिक फ़िल्टर टोपोलॉजी #निष्क्रिय टोपोलॉजी में नेपर और रेडियन के रूप में व्यक्त किए जाते हैं। कुछ लेखक प्रति इकाई लंबाई माप (जिसके लिए स्थिरांक का उपयोग किया जाता है) और प्रति खंड माप (जिसके लिए फलन का उपयोग किया जाता है) के बीच अंतर करें।

प्रसार स्थिरांक फ़िल्टर डिज़ाइन में एक उपयोगी अवधारणा है जो हमेशा एक कैस्केड सेक्शन इलेक्ट्रॉनिक फिल्टर टोपोलॉजी का उपयोग करता है। एक कैस्केड टोपोलॉजी में, अलग-अलग वर्गों के प्रसार स्थिरांक, क्षीणन स्थिरांक और चरण स्थिरांक को कुल प्रसार स्थिरांक आदि का पता लगाने के लिए जोड़ा जा सकता है।

कैस्केड नेटवर्क
प्रत्येक नेटवर्क के लिए आउटपुट से इनपुट वोल्टेज का अनुपात दिया जाता है
 * $$\frac{V_1}{V_2}=\sqrt{\frac{Z_{I1}}{Z_{I2}}}e^{\gamma_1}$$
 * $$\frac{V_2}{V_3}=\sqrt{\frac{Z_{I2}}{Z_{I3}}}e^{\gamma_2}$$
 * $$\frac{V_3}{V_4}=\sqrt{\frac{Z_{I3}}{Z_{I4}}}e^{\gamma_3}$$

शर्तें $$\sqrt{\frac{Z_{In}}{Z_{Im}}}$$ प्रतिबाधा स्केलिंग शर्तें हैं और उनके उपयोग को इमेज इम्पीडेंस#ट्रांसफर फंक्शन आलेख में समझाया गया है।

समग्र वोल्टेज अनुपात द्वारा दिया जाता है


 * $$\frac{V_1}{V_4}=\frac{V_1}{V_2}\cdot\frac{V_2}{V_3}\cdot\frac{V_3}{V_4}=\sqrt{\frac{Z_{I1}}{Z_{I4}}}e^{\gamma_1+\gamma_2+\gamma_3}$$

इस प्रकार एन कैस्केड वर्गों के लिए सभी एक दूसरे का सामना करने वाले मिलान प्रतिबाधाओं के लिए, समग्र प्रसार स्थिरांक द्वारा दिया जाता है


 * $$\gamma_\mathrm{total}=\gamma_1 + \gamma_2 + \gamma_3 + \cdots + \gamma_n$$

यह भी देखें
प्रवेश गहराई की अवधारणा विद्युत चुम्बकीय तरंगों के अवशोषण का वर्णन करने के कई तरीकों में से एक है। दूसरों और उनके अंतर्संबंधों के लिए, लेख देखें: अपारदर्शिता का गणितीय विवरण।
 * प्रसार गति

संदर्भ

 * Matthaei, Young, Jones Microwave Filters, Impedance-Matching Networks, and Coupling Structures McGraw-Hill 1964.
 * Matthaei, Young, Jones Microwave Filters, Impedance-Matching Networks, and Coupling Structures McGraw-Hill 1964.

बाहरी कड़ियाँ

 * Free PDF download is available. There is an updated version dated August 6, 2002.
 * Free PDF download is available. There is an updated version dated August 6, 2002.
 * Free PDF download is available. There is an updated version dated August 6, 2002.