आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण

आपेक्षिकता के सामान्य सिद्धांत में, आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण (EFE; जिसे आइंस्टीन के समीकरणों के रूप में भी जाना जाता है) समष्टि काल की ज्यामिति को उसके भीतर द्रव्य के वितरण से संबंधित करते हैं।

समीकरणों को अल्बर्ट आइंस्टीन द्वारा 1915 में एक टेंसर समीकरण के रूप में प्रकाशित किया गया था जो स्थानीय समष्टि काल वक्रता (आइंस्टीन टेंसर द्वारा व्यक्त) को उस समष्टि काल के भीतर स्थानीय ऊर्जा, गति और प्रतिबल (प्रतिबल-ऊर्जा टेंसर द्वारा व्यक्त) से संबंधित करता था।

जिस प्रकार से मैक्सवेल के समीकरणों के माध्यम से विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र आवेशों और धाराओं के वितरण से संबंधित होते हैं, उसी प्रकार EFE समष्टि काल ज्यामिति को द्रव्यमान-ऊर्जा, गति और प्रतिबल के वितरण से संबंधित करता है, अर्थात्, वे समष्टि काल में प्रतिबल-ऊर्जा-संवेग की दी गई व्यवस्था के लिए समष्टि काल का मीट्रिक टेंसर निर्धारित करते हैं | मात्रिक टेंसर और आइंस्टीन टेंसर के बीच का संबंध इस प्रकार से उपयोग किए जाने पर EFE को अरैखिक आंशिक अवकल समीकरणों के एक सेट के रूप में लिखने की अनुमति देता है। EFE के समाधान मात्रिक टेंसर के घटक हैं। परिणामी ज्यामिति में कणों और विकिरण (जियोडेसिक्स) के जड़त्वीय प्रक्षेप पथ की गणना जियोडेसिक समीकरण का उपयोग करके की जाती है।

स्थानीय ऊर्जा-संवेग संरक्षण को लागू करने के साथ-साथ, EFE एक दुर्बल गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र और वेग की सीमा में न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम को कम कर देता है जो प्रकाश की गति से बहुत कम है।

EFE के लिए सटीक समाधान केवल सममिति जैसी सरलीकृत धारणाओं के तहत ही पाया जा सकता है। सटीक समाधानों के विशेष वर्गों का अधिकतर अध्ययन किया जाता है क्योंकि वे कई गुरुत्वाकर्षण परिघटनाओं का मॉडल बनाते हैं, जैसे कि घूमते हुए ब्लैक होल और विस्तारित ब्रह्मांड। फ्लैट समष्टि काल से केवल छोटे विचलन के रूप में समष्टि काल का अनुमान लगाने में और सरलीकरण प्राप्त किया जाता है, जिससे रैखिक EFE होता है। इन समीकरणों का उपयोग गुरुत्वाकर्षण तरंगों जैसी परिघटनाओं का अध्ययन करने के लिए किया जाता है।

गणितीय रूप
आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण (ईएफई) को इस रूप में लिखा जा सकता है:


 * $$G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \kappa T_{\mu \nu}$$

जहाँ $$G_{\mu \nu}$$ आइंस्टीन टेंसर है, $$g_{\mu \nu}$$ मात्रिक टेंसर है, $$T_{\mu \nu}$$ प्रतिबल-ऊर्जा टेंसर है, $$\Lambda$$ ब्रह्मांडीकीय नियतांक है और $$\kappa$$ आइंस्टीन गुरुत्वाकर्षण नियतांक है |

आइंस्टीन टेंसर को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 * $$G_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu \nu},$$

जहाँ $Rμν$ रिक्की वक्रता टेंसर है, और $R$ स्केलर वक्रता है | यह एक सममित द्वितीय-कोटि टेंसर है जो केवल मात्रिक टेंसर और इसके पहले और दूसरे डेरिवेटिव पर निर्भर करता है।

आइंस्टीन गुरुत्वाकर्षण नियतांक को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 * $$\kappa = \frac{8 \pi G}{c^4} \approx 2.076647442844\times10^{-43} \, \textrm{N}^{-1} ,$$

जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण न्यूटोनियन नियतांक है और $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है।

इस प्रकार EFE को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है
 * $$R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \kappa T_{\mu \nu}.$$

मानक इकाइयों में, बाईं ओर प्रत्येक पद की इकाइयाँ 1/length2 होती हैं।

बाईं ओर के व्यंजक मात्रिक द्वारा निर्धारित समष्टि काल की वक्रता को दर्शाते है; दाईं ओर के व्यंजक समष्टि काल की प्रतिबल-ऊर्जा-संवेग सामग्री का प्रतिनिधित्व करते है। फिर EFE की व्याख्या समीकरणों के एक सेट के रूप में की जा सकती है जो यह बताता है कि प्रतिबल-ऊर्जा-संवेग समष्टि काल की वक्रता को कैसे निर्धारित करता है।

ये समीकरण, जियोडेसिक समीकरण के साथ, जो यह निर्धारित करते है कि स्वतंत्र रूप से गिरने वाला द्रव समष्टि काल के माध्यम से कैसे चलता है, सामान्य आपेक्षिकता के गणितीय सूत्रीकरण का मूल बनाते हैं।

EFE सममित 4 × 4 टेंसरों के एक सेट से संबंधित एक टेंसर समीकरण है। प्रत्येक टेंसर में 10 स्वतंत्र घटक होते हैं। चार बियांची सर्वसमिकाये स्वतंत्र समीकरणों की संख्या को 10 से घटाकर 6 कर देती हैं, जिससे मात्रिक में स्वतंत्रता की चार गेज-फिक्सिंग कोटि रह जाती हैं, जो एक समन्वय प्रणाली चुनने की स्वतंत्रता के अनुरूप होती हैं।

हालाँकि आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण शुरू में चार-आयामी सिद्धांत के संदर्भ में तैयार किए गए थे, कुछ सिद्धांतकारों ने n आयामों में उनके परिणामों की खोज की है। सामान्य आपेक्षिकता के बाहर के संदर्भों में समीकरणों को अभी भी आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण के रूप में जाना जाता है। निर्वात क्षेत्र समीकरण (तब प्राप्त होते हैं जब $κ = 8πG/c$ हर जगह शून्य होता है) आइंस्टीन मैनिफोल्ड्स को परिभाषित करते हैं।

समीकरण जितने सरल दिखते हैं उससे कहीं अधिक जटिल हैं। प्रतिबल-ऊर्जा टेंसर के रूप में द्रव और ऊर्जा के एक निर्दिष्ट वितरण को देखते हुए, EFE को मात्रिक टेंसर $$g_{\mu \nu}$$ के लिए समीकरण समझा जाता है, क्योंकि रिक्की टेंसर और स्केलर वक्रता दोनों जटिल अरैखिक तरीके से मात्रिक पर निर्भर करते हैं। जब पूर्ण प्रकार से लिखा जाता है, तो EFE दस युग्मित, अरैखिक, अतिपरवलिक-अण्डाकार आंशिक अवकल समीकरणों की एक प्रणाली है।

चिह्न परिपाटी
EFE का उपरोक्त रूप मिस्नर, थॉर्न और व्हीलर (एमटीडब्ल्यू) द्वारा स्थापित मानक है। लेखकों ने उपस्थित कन्वेंशन का विश्लेषण किया और इन्हें तीन संकेतों ([एस1] [एस2] [एस3]) के अनुसार वर्गीकृत किया:

$$\begin{align} g_{\mu \nu} & = [S1] \times \operatorname{diag}(-1,+1,+1,+1) \\[6pt] {R^\mu}_{\alpha \beta \gamma} & = [S2] \times \left(\Gamma^\mu_{\alpha \gamma,\beta} - \Gamma^\mu_{\alpha \beta,\gamma} + \Gamma^\mu_{\sigma \beta}\Gamma^\sigma_{\gamma \alpha} - \Gamma^\mu_{\sigma \gamma}\Gamma^\sigma_{\beta \alpha}\right) \\[6pt] G_{\mu \nu} & = [S3] \times \kappa T_{\mu \nu} \end{align}$$ उपरोक्त तीसरा चिन्ह रिक्की टेंसर के लिए कन्वेंशन की चॉइस से संबंधित है: $$R_{\mu \nu} = [S2] \times [S3] \times {R^\alpha}_{\mu\alpha\nu} $$ इन परिभाषाओं के साथ मिस्नर, थॉर्न और व्हीलर स्वयं को $κ = 8πG/c$ के रूप में वर्गीकृत करते हैं, जबकि वेनबर्ग (1972) $Tμν$, पीबल्स (1980) और एफ़स्टैथिउ एट अल. (1990) $(+ + +)$, रिंडलर (1977), एटवाटर (1974), कोलिन्स मार्टिन एंड स्क्वॉयर (1989) और पीकॉक (1999) $(+ − −)$ हैं |

आइंस्टीन समेत लेखकों ने रिक्की टेंसर के लिए अपनी परिभाषा में एक अलग चिन्ह का उपयोग किया है जिसके परिणामस्वरूप दाईं ओर नियतांक का चिन्ह नकारात्मक होता है:$$R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu \nu} - \Lambda g_{\mu \nu} = -\kappa T_{\mu \nu}.$$यदि यहां अपनाए गए MTW (- + + +) मीट्रिक चिन्ह कन्वेंशन की बजाय (+ − − −) मीट्रिक चिन्ह कन्वेंशन का उपयोग किया जाता है, तो ब्रह्माण्ड संबंधी शब्द का चिन्ह इन दोनों संस्करणों में बदल जाएगा।

समतुल्य सूत्रीकरण
EFE के दोनों पक्षों के मात्रिक के संबंध में ट्रेस लेने पर एक संबंध मिलता है$$R - \frac{D}{2} R + D \Lambda = \kappa T ,$$जहाँ $D$ समष्टि काल आयाम है। $(− + +)$ को हल करने और इसे मूल EFE में प्रतिस्थापित करने पर, निम्नलिखित समतुल्य "ट्रेस-रिवर्स" रूप प्राप्त होता है: $$R_{\mu \nu} - \frac{2}{D-2} \Lambda g_{\mu \nu} = \kappa \left(T_{\mu \nu} - \frac{1}{D-2}Tg_{\mu \nu}\right) .$$ $(− + −)$ आयामों में यह कम हो जाता है $$R_{\mu \nu} - \Lambda g_{\mu \nu} = \kappa \left(T_{\mu \nu} - \frac{1}{2}T\,g_{\mu \nu}\right) .$$ ट्रेस को फिर से उत्क्रमी करने से मूल EFE रिस्टोर हो जाएगा। कुछ स्थितियों में ट्रेस-उत्क्रमी रूप अधिक आसान हो सकता है (उदाहरण के लिए, जब कोई दुर्बल-क्षेत्र सीमा में रुचि रखता है और यथार्थता की महत्वपूर्ण क्षति के बिना मिन्कोव्स्की मीट्रिक के साथ दाईं ओर व्यंजक में $$g_{\mu \nu}$$ को बदल सकता है)।

ब्रह्माण्ड संबंधी नियतांक
आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों में$$G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \kappa T_{\mu \nu} \,,$$ब्रह्मांडीकीय नियतांक $R$ वाला शब्द उस संस्करण से अनुपस्थित था जिसमें उन्होंने मूल रूप से उन्हें प्रकाशित किया था। फिर आइंस्टीन ने एक ऐसे ब्रह्मांड की अनुमति देने के लिए ब्रह्माण्ड संबंधी नियतांक के साथ इस शब्द सम्मिलित किया जो विस्तार या संकुचन नहीं कर रहा है। यह प्रयास असफल रहा क्योंकि:
 * इस समीकरण द्वारा वर्णित कोई भी वांछित नियत अवस्था का समाधान अस्थिर है, और
 * एडविन हबल के अवलोकनों से पता चला कि हमारा ब्रह्माण्ड एक विस्तारित ब्रह्माण्ड है।

इसके बाद आइंस्टीन ने $D = 4$ को त्याग दिया और जॉर्ज गामो से कहा, कि ब्रह्माण्ड संबंधी शब्द का परिचय उनके जीवन की सबसे बड़ी भूल थी ।

इस शब्द के सम्मिलित होने से विसंगतियाँ उत्पन्न नहीं होती हैं। कई वर्षों तक ब्रह्माण्ड संबंधी नियतांक को लगभग सार्वभौमिक रूप से शून्य माना गया था। हाल के खगोलीय अवलोकनों से पता चला है कि ब्रह्मांड का तेजी से विस्तार हो रहा है, और इसे समझाने के लिए $Λ$ के सकारात्मक मान की आवश्यकता है। किसी आकाशगंगा या उससे छोटी आकाशगंगा के पैमाने पर ब्रह्माण्ड संबंधी नियतांक नगण्य है।

आइंस्टीन ने ब्रह्माण्ड संबंधी नियतांक को एक स्वतंत्र पैरामीटर के रूप में सोचा था, लेकिन क्षेत्र समीकरण में इसके शब्द को बीजगणितीय रूप से दूसरी तरफ भी ले जाया जा सकता है और प्रतिबल-ऊर्जा टेंसर के भाग के रूप में सम्मिलित किया जा सकता है: $$T_{\mu \nu}^\mathrm{(vac)} = - \frac{\Lambda}{\kappa} g_{\mu \nu} \,.$$ यह टेंसर ऊर्जा घनत्व $Λ$ और समदैशिक दबाव $Λ$ के साथ एक निर्वात स्थिति का वर्णन करता है जो निश्चित नियतांक हैं और द्वारा दिए गए हैं$$\rho_\mathrm{vac} = - p_\mathrm{vac} = \frac{\Lambda}{\kappa},$$जहाँ यह माना जाता है कि $ρvac$ की SI इकाई m−2 है और $pvac$ को ऊपर बताए अनुसार परिभाषित किया गया है।

इस प्रकार ब्रह्माण्ड संबंधी नियतांक का अस्तित्व निर्वात ऊर्जा और विपरीत चिह्न के दबाव के अस्तित्व के समतुल्य है। इसके कारण सामान्य आपेक्षिकता में ब्रह्मांडीकीय नियतांक और निर्वात ऊर्जा शब्दों का परस्पर उपयोग किया जाने लगा है।

ऊर्जा और संवेग का संरक्षण
सामान्य आपेक्षिकता ऊर्जा और संवेग के स्थानीय संरक्षण के अनुरूप है

$$\nabla_\beta T^{\alpha\beta} = {T^{\alpha\beta}}_{;\beta} = 0.$$

$$

जो प्रतिबल-ऊर्जा के स्थानीय संरक्षण को व्यक्त करता है। यह संरक्षण नियम की एक भौतिक आवश्यकता है। अपने क्षेत्र समीकरणों से आइंस्टीन ने यह सुनिश्चित किया कि सामान्य आपेक्षिकता इस संरक्षण स्थिति के अनुरूप है।

अरैखिकता
EFE की अरैखिकता सामान्य आपेक्षिकता को कई अन्य मौलिक भौतिक सिद्धांतों से अलग करती है। उदाहरण के लिए, मैक्सवेल के विद्युत चुंबकत्व के समीकरण विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों में रैखिक हैं, और आवेश और धारा वितरण (अर्थात दो समाधानों का योग भी एक समाधान है); एक अन्य उदाहरण श्रोडिंगर का क्वांटम यांत्रिकी का समीकरण है, जो तरंग फ़ंक्शन में रैखिक है।

संगति नियम
EFE दुर्बल-क्षेत्र सन्निकटन और धीमी गति सन्निकटन दोनों का उपयोग करके न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम को कम करता है। वास्तव में, EFE में प्रदर्शित होने वाला नियतांक $G$ इन दो सन्निकटनों को बनाकर निर्धारित किया जाता है।

$$

निर्वात क्षेत्र समीकरण
यदि विचाराधीन क्षेत्र में ऊर्जा-संवेग टेंसर Tμν शून्य है, तो क्षेत्र समीकरणों को निर्वात क्षेत्र समीकरण भी कहा जाता है। ट्रेस-उत्कर्मी क्षेत्र समीकरणों में Tμν = 0 सेट करके, निर्वात क्षेत्र समीकरण, जिसे 'आइंस्टीन निर्वात समीकरण' (EVE) के रूप में भी जाना जाता है, को इस प्रकार लिखा जा सकता है$$R_{\mu \nu} = 0 \,.$$शून्येतर ब्रह्माण्ड संबंधी नियतांक की स्थिति में, समीकरण इस प्रकार हैं$$R_{\mu \nu} = \frac{\Lambda}{\frac{D}{2} -1} g_{\mu \nu} \,.$$निर्वात क्षेत्र समीकरणों के समाधानों को निर्वात समाधान कहा जाता है। फ़्लैट मिन्कोव्स्की समष्टि निर्वात समाधान का सबसे सरल उदाहरण है। निरर्थक उदाहरणों में श्वार्ज़स्चिल्ड समाधान और केर समाधान सम्मिलित हैं।

लुप्यमान हो रहे रिक्की टेंसर, $Λ$ वाले मैनिफोल्ड्स को रिक्की-फ्लैट मैनिफोल्ड्स कहा जाता है और आइंस्टीन मैनिफोल्ड्स के रूप में मात्रिक के आनुपातिक रिक्की टेंसर वाले मैनिफोल्ड्स को भी रिक्की-फ्लैट मैनिफोल्ड्स कहा जाता है।

आइंस्टीन-मैक्सवेल समीकरण
यदि ऊर्जा-संवेग टेंसर $Tμν$ मुक्त समष्टि में एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का है, अर्थात यदि विद्युत चुम्बकीय प्रतिबल-ऊर्जा टेंसर$$T^{\alpha \beta} = \, -\frac{1}{\mu_0} \left( {F^\alpha}^\psi {F_\psi}^\beta + \tfrac{1}{4} g^{\alpha \beta} F_{\psi\tau} F^{\psi\tau}\right) $$का प्रयोग किया जाता है, तो आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों को आइंस्टीन-मैक्सवेल समीकरण कहा जाता है (ब्रह्माण्ड संबंधी नियतांक Λ के साथ, पारंपरिक आपेक्षिकता सिद्धांत में शून्य माना जाता है):$$G^{\alpha \beta} + \Lambda g^{\alpha \beta} = \frac{\kappa}{\mu_0} \left( {F^\alpha}^\psi {F_\psi}^\beta + \tfrac{1}{4} g^{\alpha \beta} F_{\psi\tau} F^{\psi\tau}\right).$$

इसके अतिरिक्त, सहसंयोजक मैक्सवेल समीकरण भी मुक्त समष्टि में लागू होते हैं: $$\begin{align} {F^{\alpha\beta}}_{;\beta} &= 0 \\ F_{[\alpha\beta;\gamma]}&=\tfrac{1}{3}\left(F_{\alpha\beta;\gamma} + F_{\beta\gamma;\alpha}+F_{\gamma\alpha;\beta}\right)=\tfrac{1}{3}\left(F_{\alpha\beta,\gamma} + F_{\beta\gamma,\alpha}+F_{\gamma\alpha,\beta}\right)= 0. \end{align}$$ जहां अर्धविराम एक सहसंयोजक डेरिवेटिव का प्रतिनिधित्व करता है, और कोष्ठक प्रति-सममितिकरण को दर्शाता है। पहला समीकरण दावा करता है कि 2-रूप $F$ का 4-अपसरण शून्य है, और दूसरा यह कि इसका बाहरी डेरिवेटिव शून्य है। उत्तरार्द्ध से, यह पोंकारे लेम्मा का अनुसरण करता है कि एक समन्वय चार्ट में एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र क्षमता Aα को प्रस्तुत करना संभव है जैसे कि$$F_{\alpha\beta} = A_{\alpha;\beta} - A_{\beta;\alpha} = A_{\alpha,\beta} - A_{\beta,\alpha}$$जिसमें अल्पविराम आंशिक अवकलज को दर्शाता है। इसे अधिकतर सहसंयोजक मैक्सवेल समीकरण के समतुल्य माना जाता है जिससे यह प्राप्त होता है। हालाँकि, समीकरण के वैश्विक समाधान हैं जिनमें विश्व स्तर पर परिभाषित क्षमता का अभाव हो सकता है।

समाधान
आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के समाधान समष्टि काल के मैट्रिक्स हैं। ये मेट्रिक्स समष्टि काल में वस्तुओं की जड़त्वीय गति सहित समष्टि काल की संरचना का वर्णन करते हैं। चूंकि क्षेत्र समीकरण अरैखिक होते हैं, इसलिए उन्हें निरंतर पूर्ण प्रकार से हल नहीं किया जा सकता है (अर्थात सन्निकटन के बिना)। उदाहरण के लिए, दो विशाल पिंडों वाले समष्टि काल के लिए कोई ज्ञात पूर्ण समाधान नहीं है (उदाहरण के लिए, जो बाइनरी स्टार प्रणाली का एक सैद्धांतिक मॉडल है)। हालाँकि, आमतौर पर इन स्थितियों में सन्निकटन का उपयोग किया जाता है। इन्हें आमतौर पर पोस्ट-न्यूटोनियन सन्निकटन के रूप में जाना जाता है। फिर भी, ऐसी कई स्थितियाँ हैं जहां क्षेत्र समीकरण पूर्ण प्रकार से हल हो गए हैं, और उन्हें सटीक समाधान कहा जाता है।

आइंस्टीन के क्षेत्र समीकरणों के सटीक समाधानों का अध्ययन ब्रह्मांड विज्ञान की गतिविधियों में से एक है। यह ब्लैक होल की भविष्यवाणी और ब्रह्मांड के विकास के विभिन्न मॉडलों की ओर ले जाता है।

एलिस और मैक्कलम द्वारा प्रवर्तित ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम की विधि के माध्यम से आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के नए समाधान भी खोजे जा सकते हैं। इस दृष्टिकोण में, आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण युग्मित, अरेखीय, साधारण अवकल समीकरणों के एक सेट में बदल जाते हैं। जैसा कि Hsu और वेनराइट द्वारा चर्चा की गई है, आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के स्व-समान समाधान परिणामी गतिशील प्रणाली के निश्चित बिंदु हैं। लेब्लांक और कोहली और हसलाम द्वारा इन विधियों का उपयोग करके नए समाधान खोजे गए हैं|

रखीयकृत EFE
EFE अरैखिकता का सटीक समाधान खोजना कठिन बना देता है। क्षेत्र समीकरणों को हल करने का एक तरीका सन्निकटन है, अर्थात्, गुरुत्वाकर्षण द्रव्य के स्रोत (स्रोतों) से दूर, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र बहुत दुर्बल है और समष्टि काल मिन्कोव्स्की समष्टि के पास है। फिर मात्रिक को मिन्कोव्स्की मात्रिक के योग के रूप में लिखा जाता है और उच्च-शक्ति शब्दों को अनदेखा करते हुए, मिन्कोव्स्की मात्रिक से वास्तविक मात्रिक के विचलन का प्रतिनिधित्व करने वाला एक शब्द होता है। इस रैखिककरण प्रक्रिया का उपयोग गुरुत्वाकर्षण विकिरण की परिघटनाओं की जांच के लिए किया जा सकता है।

बहुपद रूप
EFE के लिखित रूप में मात्रिक टेंसर के व्युत्क्रम के बावजूद, उन्हें ऐसे रूप में व्यवस्थित किया जा सकता है जिसमें मात्रिकटेंसर बहुपद रूप में और इसके व्युत्क्रम के बिना होते है। सबसे पहले, 4 आयामों में मात्रिक के निर्धारक को लिखा जा सकता है$$\det(g) = \tfrac{1}{24} \varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} \varepsilon^{\kappa\lambda\mu\nu} g_{\alpha\kappa} g_{\beta\lambda} g_{\gamma\mu} g_{\delta\nu}$$लेवी-सिविटा प्रतीक का उपयोग करना; और 4 आयामों में मात्रिक का व्युत्क्रम इस प्रकार लिखा जा सकता है:$$g^{\alpha\kappa} = \frac{\tfrac{1}{6} \varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} \varepsilon^{\kappa\lambda\mu\nu} g_{\beta\lambda} g_{\gamma\mu} g_{\delta\nu} }{ \det(g)}\,.$$मात्रिक के व्युत्क्रम की इस परिभाषा को समीकरणों में व्युत्क्रमानुपाती करने के बाद इसे हर से हटाने के लिए दोनों पक्षों को det(g) की उपयुक्त शक्ति से गुणा करने पर मात्रिक टेंसर और इसके पहले और दूसरे व्युत्पन्न में बहुपद समीकरण बनते हैं। जिस क्रिया से समीकरण प्राप्त होते हैं उसे क्षेत्रों की उपयुक्त पुनर्परिभाषाओं द्वारा बहुपद रूप में भी लिखा जा सकता है।

यह भी देखें

 * कंफर्मैस्टैटिक समष्टि काल
 * आइंस्टीन-हिल्बर्ट क्रिया
 * तुल्यता सिद्धांत
 * सामान्य आपेक्षिकता में सटीक समाधान
 * सामान्य आपेक्षिकता संसाधन
 * सामान्य आपेक्षिकता का इतिहास
 * हैमिल्टन-जैकोबी-आइंस्टीन समीकरण
 * सामान्य आपेक्षिकता का गणित
 * संख्यात्मक आपेक्षिकता
 * रिक्की कैल्कुलस

संदर्भ
See General relativity resources.

बाहरी संबंध

 * Caltech Tutorial on Relativity — A simple introduction to Einstein's Field Equations.
 * The Meaning of Einstein's Equation — An explanation of Einstein's field equation, its derivation, and some of its consequences
 * Video Lecture on Einstein's Field Equations by MIT Physics Professor Edmund Bertschinger.
 * Arch and scaffold: How Einstein found his field equations Physics Today November 2015, History of the Development of the Field Equations
 * Arch and scaffold: How Einstein found his field equations Physics Today November 2015, History of the Development of the Field Equations

बाहरी छवियाँ

 * डाउनटाउन में संग्रहालय बोएरहावे की दीवार पर आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण लीडेन
 * सुज़ैन इम्बर, अटाकामा रेगिस्तान पर सामान्य आपेक्षिकताका प्रभाव, बोलीविया में एक ट्रेन के किनारे पर आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण।

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