गोल्डबैक का अनुमान

गोल्डबैक का अनुमान संख्या सिद्धांत और संपूर्ण गणित में सबसे पुरानी और सबसे प्रसिद्ध अनसुलझी समस्याओं में से एक है। इसमें कहा गया है कि 2 से बड़ी प्रत्येक सम प्राकृतिक संख्या दो अभाज्य संख्याओं का योग होती है।

अनुमान को $4,000,000,000,000,000,000$ से कम सभी पूर्णांकों के लिए मान्य दिखाया गया है, लेकिन काफी प्रयास के बावजूद अप्रमाणित है।

इतिहास
7 जून 1742 को, जर्मन गणितज्ञ क्रिश्चियन गोल्डबैक ने लियोनहार्ड यूलर (पत्र XLIII) को एक पत्र लिखा, जिसमें उन्होंने निम्नलिखित अनुमान प्रस्तावित किया:

गोल्डबैक 1 को एक अभाज्य संख्या मानने की अब परित्यक्त परंपरा का पालन कर रहे थे, ताकि इकाइयों का योग वास्तव में अभाज्य संख्याओं का योग हो। फिर उन्होंने अपने पत्र के भाग में दूसरा अनुमान प्रस्तावित किया, जिसका तात्पर्य पहले से है: "... eine jede Zahl, die grösser ist als 2, ein aggregatum trium numerorum primorum sey.

2 से बड़े प्रत्येक पूर्णांक को तीन अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में लिखा जा सकता है।"

यूलर ने 30 जून 1742 को लिखे एक पत्र में उत्तर दिया और गोल्डबैक को उनके बीच हुई पिछली बातचीत की याद दिलाई ("... so Ew vormals mit mir communicirt haben ..."), जिसमें गोल्डबैक ने टिप्पणी की थी कि उन दो अनुमानों में से पहला कथन अनुसरण करेगा

यह वास्तव में उनके दूसरे, सीमांत अनुमान के बराबर है। 30 जून 1742 को लिखे पत्र में यूलर ने कहा: "Dass ... ein jeder numerus par eine summa duorum primorum sey, halte ich für ein ganz gewisses theorema, ungeachtet ich dasselbe nicht demonstriren kann. यह कि ... प्रत्येक सम पूर्णांक दो अभाज्य संख्याओं का योग है, मैं इसे पूरी तरह से निश्चित प्रमेय मानता हूं, हालांकि मैं इसे प्रमाणित नहीं कर सकता।"

उपरोक्त तीन अनुमानों में से प्रत्येक में अभाज्य की आधुनिक परिभाषा के संदर्भ में एक प्राकृतिक एनालॉग है, जिसके अंतर्गत 1 को बाहर रखा गया है। पहले अनुमान का एक आधुनिक संस्करण है:

सीमांत अनुमान का एक आधुनिक संस्करण है:

और गोल्डबैक के पुराने अनुमान का एक आधुनिक संस्करण जो यूलर ने उसे याद दिलाया था:

ये आधुनिक संस्करण पूरी तरह से संबंधित मूल कथनों के समकक्ष नहीं हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि $p$ एक अभाज्य के लिए 4 से बड़ा कोई सम पूर्णांक $N = p + 1$, होता, जिसे आधुनिक अर्थों में दो अभाज्य अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, तो यह तीसरे अनुमान के आधुनिक संस्करण का एक प्रतिउदाहरण होगा (मूल संस्करण का प्रतिउदाहरण न होते हुए)। इस प्रकार आधुनिक संस्करण संभवतः अधिक मजबूत है (लेकिन इसकी पुष्टि करने के लिए, किसी को यह प्रमाणित करना होगा कि पहला संस्करण, किसी भी सकारात्मक सम पूर्णांक $n$ पर स्वतंत्र रूप से लागू किया गया है), संभवतः ऐसे विशिष्ट प्रतिउदाहरण $N$ के अस्तित्व से इंकार नहीं किया जा सकता)। किसी भी स्थिति में, आधुनिक कथनों का एक-दूसरे के साथ वही संबंध है जो पुराने कथनों का था। अर्थात्, दूसरा और तीसरा आधुनिक कथन समतुल्य हैं, और या तो पहला आधुनिक कथन दर्शाता है।

तीसरा आधुनिक कथन (दूसरे के समतुल्य) वह रूप है जिसमें अनुमान प्रायः आज व्यक्त किया जाता है। इसे "मजबूत", "सम", या "बाइनरी" गोल्डबैक अनुमान के रूप में भी जाना जाता है। दूसरे आधुनिक कथन का एक कमजोर रूप, जिसे "गोल्डबैक का कमजोर अनुमान", "विषम गोल्डबैक अनुमान", या "टर्नरी गोल्डबैक अनुमान" के रूप में जाना जाता है, यह दावा करता है कि

कमजोर अनुमान के लिए एक प्रमाण 2013 में हेराल्ड हेल्फ़गॉट द्वारा प्रस्तावित किया गया था। हेल्फ़गॉट का प्रमाण अभी तक किसी सहकर्मी-समीक्षा प्रकाशन में प्रकाशित नहीं हुआ है, हालांकि 2015 में एनल्स ऑफ मैथमेटिक्स स्टडीज श्रृंखला में प्रकाशन के लिए स्वीकार कर लिया गया था और तब से आगे की समीक्षा और संशोधन चल रहा है। कमजोर अनुमान मजबूत अनुमान का परिणाम होगा: यदि $n − 3$ दो अभाज्य संख्याओं का योग है,  $n$ तीन अभाज्य संख्याओं का योग है। हालाँकि, विपरीत निहितार्थ और इस प्रकार मजबूत गोल्डबैक अनुमान अप्रमाणित है।

सत्यापित परिणाम
$n$ के छोटे मानों के लिए, मजबूत गोल्डबैक अनुमान (और इसलिए कमजोर गोल्डबैक अनुमान) को सीधे सत्यापित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 1938 में, निल्स पिपिंग ने अनुमान को परिश्रमपूर्वक $n = 100,000$ तक सत्यापित किया। कंप्यूटर के आगमन के साथ, $n$ के कई और मानों की जाँच की गई है; टी. ओलिविरा ई सिल्वा ने एक वितरित कंप्यूटर खोज चलाई जिसने 2013 तक $n ≤ 4,000,000,000,000,000,000$ के अनुमान को सत्यापित किया है (और $400,000,000,000,000,000$ तक दोबारा जांच की गई )। इस खोज से एक रिकॉर्ड यह है $3,325,581,707,333,960,528$ वह सबसे छोटी संख्या है जिसे दो अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में नहीं लिखा जा सकता है, जहां एक संख्या 9781 से छोटी है।

अनुमानी प्रामाणिकता
सांख्यिकीय विचार जो अभाज्य संख्याओं के संभाव्य वितरण पर ध्यान केंद्रित करते हैं, पर्याप्त रूप से बड़े पूर्णांकों के लिए अनुमान (कमजोर और मजबूत दोनों रूपों में) के पक्ष में अनौपचारिक साक्ष्य प्रस्तुत करते हैं: पूर्णांक जितना बड़ा होगा, उस संख्या को प्रस्तुत करने के लिए उतने ही अधिक तरीके उपलब्ध होंगे, दो या तीन अन्य संख्याओं का योग के रूप में, और अधिक "संभावना" यह हो जाती है कि इनमें से कम से कम एक निरूपण पूरी तरह से अभाज्य संख्या से बना हो।

अनुमानी संभाव्य तर्क का एक बहुत ही अपरिष्कृत संस्करण (गोल्डबैक अनुमान के मजबूत रूप के लिए) इस प्रकार है। अभाज्य संख्या प्रमेय का दावा है कि यादृच्छिक रूप से चुने गए पूर्णांक $n$ में अभाज्य होने की लगभग $1⁄ln m$ संभावना है। इस प्रकार यदि $m$ एक बड़ा सम पूर्णांक है और $n$, 3 और $n⁄2$ के बीच की एक संख्या है, तो कोई $m$ और $n − m$ के एक साथ अभाज्य होने की संभावना $1⁄ln m ln(n − m)$ होने की उम्मीद कर सकता है। यदि कोई इस अनुमान का अनुसरण करता है, तो वह दो विषम अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में एक बड़े सम पूर्णांक $m$ को लिखने के तरीकों की कुल संख्या की उम्मीद कर सकता है


 * $$\sum_{m=3}^\frac{n}{2} \frac{1}{\ln m} \frac{1}{\ln(n - m)} \approx \frac{n}{2 (\ln n)^2}.$$

चूँकि $ln n ≪ √n$, यह मात्रा $n$ बढ़ने पर अनंत तक चली जाती है, और कोई यह उम्मीद कर सकता है कि प्रत्येक बड़े सम पूर्णांक में दो अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में केवल एक प्रतिनिधित्व नहीं है, बल्कि वास्तव में ऐसे बहुत से प्रतिनिधित्व हैं।

यह अनुमानी तर्क वास्तव में कुछ हद तक गलत है, क्योंकि यह मानता है कि $n$ और $n − m$ के अभाज्य होने की घटनाएँ सांख्यिकीय रूप से एक दूसरे से स्वतंत्र हैं। उदाहरण के लिए, यदि $m$ विषम है, $n − m$ भी विषम है, और यदि $m$ सम है $n − m$ सम है, एक गैर-तुच्छ संबंध क्योंकि, संख्या 2 के अलावा, केवल विषम संख्याएँ ही अभाज्य हो सकती हैं। इसी प्रकार, यदि $m$ 3 से विभाज्य है, और $n$ पहले से ही 3 के अलावा पहले से ही एक अभाज्य संख्या थी, तो $n − m$ भी 3 का सहअभाज्य होगा और इस प्रकार सामान्य संख्या की तुलना में अभाज्य होने की संभावना थोड़ी अधिक संभावना होगी। इस प्रकार के विश्लेषण को अधिक सावधानी से करते हुए, जी.एच. हार्डी और जॉन एडेंसर लिटिलवुड ने 1923 में अनुमान लगाया (उनके हार्डी-लिटलवुड प्राइम टपल अनुमान के भाग के रूप में) कि किसी भी निश्चित $c ≥ 2$ के लिए, एक बड़े पूर्णांक $m$ के प्रतिनिधित्व की संख्या के योग के रूप में के निरूपण की संख्या के योग के रूप में $n$ अभाज्य संख्याएँ $n = p_{1} + ⋯ + p_{c}$ साथ $p_{1} ≤ ⋯ ≤ p_{c}$ एसिम्प्टोटिक विश्लेषण बराबर होना चाहिए


 * $$\left(\prod_p \frac{p \gamma_{c,p}(n)}{(p - 1)^c}\right)

\int_{2 \leq x_1 \leq \cdots \leq x_c: x_1 + \cdots + x_c = n} \frac{dx_1 \cdots dx_{c-1}}{\ln x_1 \cdots \ln x_c},$$ जहां उत्पाद सभी अभाज्य संख्याओं $c$ पर है, और $γ_{c,p}(n)$ मॉड्यूलर अंकगणित में समीकरण $n = q_{1} + ⋯ + q_{c} mod p$ के समाधानों की संख्या है, जो बाधाओं $q_{1}, …, q_{c} ≠ 0 mod p$ के अधीन है। इस सूत्र को इवान मतवेयेविच विनोग्रादोव के काम से $c ≥ 3$ के लिए स्पर्शोन्मुख रूप से मान्य प्रमाणित किया गया है, लेकिन अभी भी केवल एक अनुमान है जब $c = 2$. बाद वाले मामले में, उपरोक्त सूत्र 0 तक सरल हो जाता है $p$ विषम है, और



2 \Pi_2 \left(\prod_{p \mid n; p \geq 3} \frac{p - 1}{p - 2}\right) \int_2^n \frac{dx}{(\ln x)^2} \approx 2 \Pi_2 \left(\prod_{p \mid n; p \geq 3} \frac{p - 1}{p - 2}\right) \frac{n}{(\ln n)^2} $$ जब $n$ सम है, जहां $Π_{2}$ हार्डी-लिटलवुड का जुड़वां अभाज्य स्थिरांक है


 * $$\Pi_2 := \prod_{p\;{\rm prime} \ge 3} \left(1 - \frac{1}{(p-1)^2}\right) \approx 0.66016\,18158\,46869\,57392\,78121\,10014\dots$$

इसे कभी-कभी विस्तारित गोल्डबैक अनुमान के रूप में जाना जाता है। मजबूत गोल्डबैक अनुमान वास्तव में ट्विन प्राइम अनुमान के समान है, और माना जाता है कि दोनों अनुमान लगभग तुलनीय कठिनाई वाले हैं।

गोल्डबैक विभाजन फ़ंक्शन वह फ़ंक्शन है जो प्रत्येक सम पूर्णांक को दो अभाज्य संख्याओं के योग में विघटित करने के तरीकों की संख्या से जोड़ता है। इसका ग्राफ धूमकेतु जैसा दिखता है, इसलिए इसे गोल्डबैक धूमकेतु कहा जाता है। गोल्डबैक का धूमकेतु दो अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में एक सम संख्या के निरूपण की संख्या पर कड़ी ऊपरी और निचली सीमा का सुझाव देता है, और यह भी कि इन निरूपणों की संख्या के मान मॉड्यूलो 3 पर दृढ़ता से निर्भर करती है।

कठोर परिणाम
मजबूत गोल्डबैक अनुमान कमजोर गोल्डबैक अनुमान से कहीं अधिक कठिन है। विनोग्रादोव की विधि का उपयोग करते हुए, निकोलाई चुडाकोव, जॉन वैन डेर कॉर्पुट, और थियोडोर एस्टरमन  ने दिखाया कि लगभग सभी सम संख्याओं को दो अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में लिखा जा सकता है (इस अर्थ में कि कुछ $n$ तक सम संख्याओं का अंश, तक सम संख्याओं का अंश, $N$ बढ़ने पर 1 की ओर प्रवृत्त होता है)। 1930 में, लेव श्निरेलमैन ने प्रमाणित किया कि 1 से बड़ी किसी भी प्राकृतिक संख्या को $N$ से अधिक अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ $C$ एक प्रभावी रूप से गणना योग्य स्थिरांक है; श्निरेलमैन घनत्व देखें।  इस गुण के साथ श्निरेलमैन का स्थिरांक सबसे कम संख्या $C$ है।  श्निरेलमैन ने स्वयं $C < 800,000$ प्राप्त किया। इस परिणाम को बाद में ओलिवियर रामारे जैसे कई गणितज्ञों ने बढ़ाया, जिन्होंने 1995 में दिखाया कि प्रत्येक सम संख्या $n ≥ 4$ वास्तव में अधिकतम 6 अभाज्य संख्याओं का योग है। वर्तमान में सबसे अच्छा ज्ञात परिणाम हेराल्ड हेल्फ़गॉट द्वारा कमजोर गोल्डबैक अनुमान के प्रमाण से उत्पन्न होता है, जिसका सीधा तात्पर्य यह है कि प्रत्येक सम संख्या $n ≥ 4$ अधिकतम 4 अभाज्य संख्याओं का योग है।

1924 में, हार्डी और लिटिलवुड ने सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना की धारणा के तहत दिखाया कि गोल्डबैक अनुमान का उल्लंघन करने वाले $C$ तक की सम संख्याओं की संख्या छोटे $X$ के लिए $X^{{{1/2}} + c}$ से बहुत कम है।

1948 में, छलनी सिद्धांत का उपयोग करते हुए, अल्फ्रेड रेनी ने दिखाया कि प्रत्येक पर्याप्त बड़ी सम संख्या को अधिकतम $c$ के साथ एक अभाज्य और लगभग अभाज्य के योग के रूप में लिखा जा सकता है। चेन जिंगरुन ने 1973 में छलनी सिद्धांत के तरीकों का उपयोग करके दिखाया कि प्रत्येक पर्याप्त बड़ी सम संख्या को या तो दो अभाज्य, या एक अभाज्य और एक अर्धअभाज्य (दो अभाज्य अभाज्य का गुणनफल) के योग के रूप में लिखा जा सकता है। अधिक जानकारी के लिए चेन का प्रमेय देखें।

1975 में, ह्यू मोंटगोमरी और रॉबर्ट चार्ल्स वॉन ने दिखाया कि "अधिकांश" सम संख्याएँ दो अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त की जा सकती हैं। अधिक सटीक रूप से, उन्होंने दिखाया कि सकारात्मक स्थिरांक $K$ और $c$ मौजूद हैं, जैसे कि सभी पर्याप्त बड़ी संख्याओं $C$ के लिए, $N$ से कम प्रत्येक सम संख्या दो अभाज्य संख्याओं का योग है, अधिकतम $CN^{1 − c}$ पवादों के साथ है। विशेष रूप से, सम पूर्णांकों का समुच्चय जो दो अभाज्य संख्याओं का योग नहीं है, उसका घनत्व शून्य होता है।

1951 में, यूरी लिन्निक ने एक स्थिरांक $N$ के अस्तित्व को प्रमाणित किया, जैसे कि प्रत्येक पर्याप्त बड़ी सम संख्या दो अभाज्य संख्याओं का योग होती है और अधिकतम $K$ की घात 2 है। जानोस पिंट्ज़ और इमरे ज़ेड रुज़सा ने 2020 में पाया कि $K = 8$ काम करता है. सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना को मानते हुए, $K = 7$ भी काम करता है, जैसा कि 2002 में रोजर हीथ-ब्राउन और जान-क्रिस्टोफ स्लेज-पुच्टा द्वारा दिखाया गया था।

संबंधित समस्याएँ
हालाँकि गोल्डबैक के अनुमान का तात्पर्य है कि एक से बड़े प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक को अधिकतम तीन अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में लिखा जा सकता है, एक लालची एल्गोरिदम का उपयोग करके ऐसा योग प्राप्त करना हमेशा संभव नहीं होता है जो प्रत्येक चरण में सबसे बड़े संभावित अभाज्य का उपयोग करता है। पिल्लई अनुक्रम उन संख्याओं को ट्रैक करता है जिनके लालची प्रतिनिधित्व में सबसे बड़ी संख्या में अभाज्य संख्याओं की आवश्यकता होती है। गोल्डबैक के अनुमान के समान समस्याएँ मौजूद हैं जिनमें अभाज्य संख्याओं को संख्याओं के अन्य विशेष सेटों, जैसे कि वर्गों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है:
 * जोसेफ लुई लैग्रेंज द्वारा लैग्रेंज के चार-वर्ग प्रमेय को सिद्ध किया गया था। अभाज्य संख्याओं की घातों के योग पर वारिंग की समस्या और संबंधित वारिंग-गोल्डबैक समस्या देखें।
 * हार्डी और लिटिलवुड को उनके अनुमान I के रूप में सूचीबद्ध किया गया है: प्रत्येक बड़ी विषम संख्या ($n > 5$) एक अभाज्य का योग और एक अभाज्य का दोगुना है। इस अनुमान को लेमोइन अनुमान के नाम से जाना जाता है और इसे लेवी का अनुमान भी कहा जाता है।
 * व्यावहारिक संख्याओं के लिए गोल्डबैक अनुमान, पूर्णांकों का एक अभाज्य-सदृश अनुक्रम, 1984 में मार्गेनस्टर्न द्वारा बताया गया था, और 1996 में ग्यूसेप मेल्फ़ी द्वारा सिद्ध किया गया: प्रत्येक सम संख्या दो व्यावहारिक संख्याओं का योग होती है।
 * डबनेर का अनुमान हार्वे डबनेर द्वारा प्रस्तावित बताता है कि 4208 से बड़ा प्रत्येक सम पूर्णांक दो जुड़वां अभाज्य संख्याओं का योग है। 4208 से कम केवल 34 सम पूर्णांक दो जुड़वां अभाज्य संख्याओं का योग नहीं हैं। डबनेर ने कम्प्यूटेशनल रूप से सत्यापित किया है कि यह सूची पूर्ण है $K$. इस मजबूत अनुमान का प्रमाण न केवल गोल्डबैक के अनुमान को दर्शाता है, बल्कि जुड़वां प्रधान अनुमान को भी दर्शाता है।

लोकप्रिय संस्कृति में
गोल्डबैक का अनुमान जू ची द्वारा लिखित चीनी गणितज्ञ और संख्या सिद्धांतकार चेन जिंगरुन की जीवनी का शीर्षक है।

यह अनुमान यूनानी लेखक एपोस्टोलोस डॉक्सियाडिस के 1992 के उपन्यास अंकल पेट्रोस और गोल्डबैक के अनुमान के कथानक में एक केंद्रीय बिंदु है, इसहाक असिमोव की लघु कहानी साठ मिलियन ट्रिलियन संयोजन में और मिशेल रिचमंड के 2008 के रहस्यमय उपन्यास नो वन यू नो में भी। गोल्डबैक का अनुमान 2007 की स्पेनिश फिल्म फ़र्मेट्स रूम की कहानी का हिस्सा है।

अग्रिम पठन

 * Terence Tao proved that all odd numbers are at most the sum of five primes.
 * Goldbach Conjecture at MathWorld.
 * Terence Tao proved that all odd numbers are at most the sum of five primes.
 * Goldbach Conjecture at MathWorld.

बाहरी संबंध

 * Goldbach's original letter to Euler &mdash; PDF format (in German and Latin)
 * Goldbach's conjecture, part of Chris Caldwell's Prime Pages.
 * Goldbach conjecture verification, Tomás Oliveira e Silva's distributed computer search.
 * Goldbach's conjecture, part of Chris Caldwell's Prime Pages.
 * Goldbach conjecture verification, Tomás Oliveira e Silva's distributed computer search.