प्वासों बिंदु प्रक्रिया

प्रायिकता, सांख्यिकी और संबंधित क्षेत्रों में, पॉयसन बिंदु प्रक्रिया एक प्रकार का यादृच्छिक गणितीय प्रयोजन है जो गणितीय समष्टि पर यादृच्छिक रूप से स्थानांतरित होने वाले बिन्दुओं से मिलकर बनता है, जहां महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि ये बिन्दु एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से होते हैं। पॉयसन बिंदु प्रक्रिया को सामान्यतः पॉयसन प्रक्रिया कहा जाता है, लेकिन इसे पॉयसन यादृच्छिक माप, पॉयसन यादृच्छिक बिन्दु क्षेत्र या पॉयसन पॉइंट फ़ील्ड भी कहा जाता है। यह बिंदु प्रक्रिया उचित गणितीय गुणों के साथ होती है, जिसके कारण इसे यूक्लिडीयन समष्टि में प्रायः परिभाषित किया जाता है और यह खगोल शास्त्र, जीव-विज्ञान, पारिस्थितिकी, भूविज्ञान, भूकंप विज्ञान, भौतिक विज्ञान, अर्थशास्त्र, छवि प्रसंस्करण, और दूरसंचार जैसे विभिन्न शास्त्रों में आपूर्ति-मांग मॉडल के रूप में उपयोग किया जाता है। यह प्रक्रिया फ्रांसीसी गणितज्ञ शिमोन डेनिस पॉयसन के नाम पर रखी गई है, हालांकि पॉयसन ने कभी इस प्रक्रिया का अध्ययन नहीं किया। इसका नाम इस तथ्य से जुड़ा है कि यदि किसी स्थान में यादृच्छिक बिन्दुओं का संग्रह पॉयसन प्रक्रिया बनाता है, तो एक परिमित आकार क्षेत्र में बिन्दुओं की संख्या यादृच्छिक प्रायस्थानिकी संगणना के साथ पॉयसन बंटन होती है। इस प्रक्रिया की खोज अलग-अलग सेटिंग्स पर स्वतंत्र रूप से और अनेक बार की गई, जिसमें रेडियोधर्मी क्षय, टेलीफोन कॉल आगमन और इनश्योरेंस गणित पर प्रयोग सम्मिलित हैं।

पॉयसन बिंदु प्रक्रिया सामान्यतः वास्तविक रेखा पर परिभाषित की जाती है, जहां इसे प्रसंभाव्य प्रक्रम (स्टोकेस्टिक प्रोसेस) के रूप में माना जा सकता है। इस सेटिंग में, यह उदाहरण के लिए, कतारबद्ध सिद्धांत में उपयोग होती है जहां यादृच्छिक घटनाओं का मॉडलिंग किया जाता है, जैसे कि किसी संग्रहागार में ग्राहकों के आगमन, प्रतिदान में फोन कॉल, या भूकंप की घटना, जो समय के आधार पर वितरित होती हैं। समतल में, बिन्दु प्रक्रिया, जिसे स्थानिक पॉयसन प्रक्रिया भी कहा जाता है, प्रकीर्णित वायरलेस नेटवर्क में प्रेषकों के स्थानों,  संवेदक में टकराने वाले कणों के, या जंगल में पेड़ों के आवास के स्थानों का प्रतिनिधित्व कर सकती है। इस संदर्भ में, प्रक्रिया प्रायः गणितीय मॉडलों में और स्थानिक बिन्दु प्रक्रियाओं, प्रसंभाव्य ज्यामिति, स्थानिक सांख्यिकी और नियतांत्रण प्रक्षेपण सिद्धांत के संबंधित क्षेत्रों में उपयोग होती है। पॉयसन बिंदु प्रक्रिया को अधिक एब्स्ट्रैक्ट समष्टि पर परिभाषित किया जा सकता है। अनुप्रयोगों से परे, पॉयसन बिंदु प्रक्रिया स्वयं में गणितीय अध्ययन का विषय है। सभी सेटिंग में, पॉयसन बिंदु प्रक्रिया का एक मुख्य गुण यह है कि प्रत्येक बिंदु प्रक्रिया में सभी अन्य बिंदुओं के प्रति यादृच्छिक रूप से अव्यवस्थित होता है, इसलिए कभी-कभी इसे पूरी रूप से या पूर्णतः यादृच्छिक प्रक्रिया कहा जाता है। किसी प्रणाली को पॉयसन प्रक्रिया के रूप मॉडलिंग करना पर्याप्त नहीं होता है जब बिंदु से बिंदु के संवेदनशील संबंध अत्यधिक प्रबल होते हैं (अर्थात बिंदु प्रसंभाव्य रूप से स्वतंत्र नहीं हैं)। ऐसी प्रणाली को भिन्न बिंदु प्रक्रिया के साथ अपेक्षाकृत अधिक श्रेष्ठता से मॉडलिंग किया जा सकता है।

बिंदु प्रक्रिया एकल गणितीय प्रयोजन पर निर्भर करती है, जो परिस्थिति के आधार पर किसी स्थिरांक, स्थानिक समाकलित फलन या अधिक सामान्य संदर्भ में रेडॉन माप हो सकती है। प्राथमिक स्थिति में, जिसे दर या इंटेंसिटी कहा जाता है, समष्टि के किसी क्षेत्र में पॉयसन प्रक्रिया के बिंदुओं की औसत घनत्व होती है। इस परिणामक बिंदु प्रक्रिया को समांगी या स्थिर पॉयसन पॉइंट प्रक्रिया कहा जाता है। द्वितीय स्थिति में, बिंदु प्रक्रिया को विषम या असमान पॉयसन बिंदु प्रक्रिया कहा जाता है, और बिंदु प्रक्रिया की मूलभूत स्थान के स्थान पर बिंदुओं की औसत घनत्व पर निर्भर करती है। शब्द "बिंदु" प्रायः छोड़ दिया जाता है, लेकिन वस्तुओं की अन्य पॉयसन प्रक्रियाएं भी होती हैं, जिनमें बिंदुओं की बजाय रेखाएं और बहुभुज जैसी जटिल गणितीय प्रयोजन सम्मिलित होते हैं, और ऐसी प्रक्रियाएं पॉयसन बिंदु प्रक्रिया पर आधारित हो सकती हैं। समघाती और असमघाती पॉयसन बिंदु प्रक्रियाएँ विशेषित मुद्रण प्रक्रिया की विशेष स्थिति हैं।

परिभाषाओं का अवलोकन
सेटिंग के आधार पर, इस प्रक्रिया के कई समकक्ष परिभाषाएं हो सकती हैं, साथ ही इसके कई अनुप्रयोगों और विशेषताओं के कारण विभिन्न व्यापकता की परिभाषाएं भी हो सकती हैं। पॉयसन बिंदु प्रक्रिया को एक विमा में परिभाषित, अध्ययन और उपयोग किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, वास्तविक रेखा पर, जहां इसे गणना प्रक्रिया या कतारबद्ध मॉडल के भाग के रूप में व्याख्या किया जा सकता है; उच्च विमाओं में जैसे कि समतल जहां इसकी प्रसंभाव्य ज्यामिति और स्थानिक सांख्यिकी में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है; या और अधिक सामान्य गणितीय समष्टि पर। इसलिए, पॉयसन बिंदु प्रक्रिया और बिंदु प्रक्रियाओं की परिभाषा और अध्ययन करने के लिए उपयोग की जाने वाली नोटेशन, शब्दावली और गणितीय सावधानी का स्तर आधार के अनुसार भिन्न होते हैं।

इसके अतिरिक्त, पॉयसन बिंदु प्रक्रिया में दो प्रमुख गुण हैं- पॉयसन गुणधर्म और स्वतंत्रता गुणधर्म- जो सभी सेटिंग्स में एक आवश्यक भूमिका निभाती है जहां पॉयसन बिंदु प्रक्रिया का उपयोग किया जाता है। दो गुणधर्म तार्किक रूप से स्वतंत्र नहीं होते हैं; वास्तव में, स्वतंत्रता का तात्पर्य बिंदु गणना के पॉयसन बंटन से है, लेकिन इसके विपरीत नहीं।

बिंदु संख्या का पॉयसन बंटन
पॉयसन बिंदु प्रक्रिया को पॉयसन बंटन के माध्यम से अभिलक्षित किया जाता है। पॉयसन बंटन यादृच्छिक चर $ N$ का (पॉयसन यादृच्छिक चर के नाम से जाना जाता है) प्रायिकता बंटन होता है, जिसमें $$\textstyle N$$ बराबर $$\textstyle n$$ होने की प्रायिकता निम्नलिखित प्राप्त होती है:


 * $$ \Pr \{N=n\}=\frac{\Lambda^n}{n!} e^{-\Lambda} $$

जहाँ $ n!$ गुणांक को क्रमगुणितअ (फैक्टोरियल) को दर्शाने के लिए है और पैरामीटर $ \Lambda$  बंटन के आकार को निर्धारित करता है। (वास्तव में, $ \Lambda$  को $ N$  की प्रत्याशित मान के बराबर होने वाले मान के रूप में लिया जाता है।)

परिभाषा के अनुसार, पॉयसन बिंदु प्रक्रिया का एक गुण है कि प्रक्रिया के अन्तर्निहित समष्टि के सीमित क्षेत्र में बिंदुओं की संख्या पॉयसन बंटन का यादृच्छिक चर होती है।

पूर्ण स्वतंत्रता
अंतर्निहित समष्टि के असंयुक्त और परिबद्ध उपक्षेत्रों के संग्रह पर विचार करें। परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक परिबद्ध उपक्षेत्र में पॉयसन बिंदु प्रक्रिया के बिंदुओं की संख्या सभी अन्य से पूर्णतः स्वतंत्र होगी।

इस गुणधर्म को कई नामों से जाना जाता है जैसे पूर्ण यादृच्छिकता, पूर्ण स्वतंत्रता, या स्वतंत्र प्रकीर्णन और यह सभी पॉयसन बिंदु प्रक्रियाओं में सामान्य होता है। दूसरे शब्दों में, विभिन्न क्षेत्रों और बिंदुओं के बीच परस्पर क्रिया की कमी होती है, जिसके कारण पॉयसन प्रक्रिया को कभी-कभी पूर्णतः या पूर्ण रूप से यादृच्छिक प्रक्रिया कहा जाता है।

समघाती पॉयसन बिंदु प्रक्रिया
यदि किसी पॉयसन बिंदु प्रक्रिया का पैरामीटर $ \Lambda=\nu \lambda$ के रूप में होता है, जहां $ \nu $  लेबेस्ग माप होती है (अर्थात, यह समुच्चय के लिए लम्बाई, क्षेत्रफल या आयतन निर्दिष्ट करता है) और $ \lambda$  एक स्थिरांक होता है, तो बिंदु प्रक्रिया को समघाती या स्थायी पॉयसन बिंदु प्रक्रिया कहा जाता है। इस पैरामीटर को दर या उग्रता कहा जाता है और यह किसी सीमित क्षेत्र में विद्यामान पॉयसन बिंदुओं की अपेक्षित (या औसत) संख्या से संबंधित होता है,  जहां दर उस अंतर्निहित समष्टि के लिए उपयोग होती है जिसके एक विमा होती है। पैरामीटर $ \lambda$  को मानचित्रित किया जा सकता है जैसे कि लंबाई, क्षेत्रफल, आयतन या समय के कुछ इकाई पर प्रति औसत बिंदुओं की औसत संख्या, यहां तक कि इसे माध्य घनत्व या माध्य दर भी कहा जाता है; टर्मिनोलॉजी देखें।

गणना प्रक्रिया के रूप में व्याख्या
धनात्मक अर्ध-रेखा पर विचारित होने पर, समघाती पॉयसन बिंदु प्रक्रिया को गणना प्रक्रिया के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो एक प्रकार की प्रसंभाव्य प्रक्रिया होती है, जिसे $ \{N(t), t\geq 0\}$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।  गणना प्रक्रिया समय $ t$  तक हुए घटनाओं की कुल संख्या का प्रतिनिधित्व करती है। यदि गणना प्रक्रिया में निम्नलिखित तीन गुण हों, तो वह समघाती पॉयसन गणना प्रक्रिया दर $ \lambda>0$  के साथ होती है, तीन गुण निम्नलिखित है:
 * $ N(0)=0;$
 * स्वतंत्र वृद्धि होती है; और
 * लंबाई $ t$ के किसी भी अंतराल में घटनाओं (या अंक) की संख्या पैरामीटर (या माध्य) $ \lambda t$  के साथ पॉयसन यादृच्छिक चर है।

अंतिम गुणधर्म का अर्थ है:


 * $$ \operatorname E[N(t)]=\lambda t. $$

दूसरे शब्दों में, यादृच्छिक चर $ N(t)$ के $ n$  के बराबर होने की प्रायिकता निम्नलिखित प्रकार दी गई है:


 * $$ \Pr \{N(t)=n\}=\frac{(\lambda t)^n}{n!} e^{-\lambda t}. $$

पॉयसन गणना प्रक्रिया को यह कहते हुए भी परिभाषित किया जा सकता है कि गणना प्रक्रिया की घटनाओं के बीच समय का अंतर माध्य $ 1/\lambda$ के साथ घातांकी चर होता हैं। घटनाओं या आमंद के बीच समय के अंतर को अंतर आमंद या अंतःक्रिया समय के रूप में जाना जाता है।

वास्तविक रेखा पर एक बिंदु प्रक्रिया के रूप में व्याख्या
पॉयसन बिंदु प्रक्रिया को वास्तविक रेखा पर परिभाषित किया जा सकता है इस प्रक्रिया के बिंदुओं की संख्या को $ (a,b]$ के अंतराल में विचार करके, बिंदु प्रक्रिया के रूप में व्याख्या किया जाता है। वास्तविक रेखा पर सामान्य पॉयसन बिंदु प्रक्रिया के पैरामीटर $ \lambda>0$  के साथ, इस यादृच्छिक संख्या के बिंदुओं की संख्या, जिसे यहां $ N(a,b]$  के रूप में लिखा गया है, किसी गणना संख्या $ n$  के बराबर होने की प्रायिकता निम्नलिखित रूप में दी गई है:
 * $$ \Pr \{N(a,b]=n\}=\frac{[\lambda(b-a)]^n}{n!} e^{-\lambda (b-a)}, $$

कुछ धनात्मक पूर्णांक 11 के लिए, समघाती पॉयसन बिंदु प्रक्रिया का परिमित-विमीय बंटन होता है:


 * $$ \Pr \{N(a_i,b_i]=n_i, i=1, \dots, k\} = \prod_{i=1}^k\frac{[\lambda(b_i-a_i)]^{n_i}}{n_i!} e^{-\lambda(b_i-a_i)}, $$

जहाँ वास्तविक संख्याएँ $ a_i<b_i\leq a_{i+1}$ हैं।

दूसरे शब्दों में, $ N(a,b]$ माध्य $ \lambda(b-a)$  के साथ पॉयसन यादृच्छिक चर होता है, जहां $ a\le b$  है। इसके अतिरिक्त, किन्हीं दो असंयुक्त अंतरालों में बिंदुओं की संख्या, मान लीजिए, $ (a_1,b_1]$  और $ (a_2,b_2]$, एक-दूसरे के स्वतंत्र हैं, और यह असंयुक्त अंतरालों की किसी भी परिमित संख्या तक विस्तारित होता है। कतारबद्ध सिद्धांत के संदर्भ में, एक बिंदु अस्तित्व (एक अंतराल में) होने को किसी घटना के रूप में विचार किया जा सकता है, लेकिन यह प्रायिकता सिद्धांत के अर्थ में घटना शब्द से भिन्न होता है। यह इस प्रकार है कि $ \lambda$  एराइवल की अपेक्षित संख्या है जो प्रति इकाई समय में होती है।

प्रमुख गुण
पूर्व परिभाषा के अनुसार सामान्यतः पॉयसन बिंदु प्रक्रियाओं के समग्र में दो महत्वपूर्ण विशेषताएं हैं जो निम्नलिखित है:


 * प्रत्येक परिमित अंतराल में होने वाले एराइवल की संख्या में पॉयसन बंटन होता है।
 * असयुंक्त अंतरालों में होने वाले एराइवल की संख्या एक-दूसरे के निर्पेक्ष यादृच्छिक चर होते हैं।

इसके अतिरिक्त, इसमें केवल समान्य पॉयसन बिंदु प्रक्रिया से संबंधित तृतीय विशेषता निम्नलिखित है:


 * प्रत्येक अंतराल $ (a+t,b+t]$ में एराइवल की संख्या का पॉयसन बंटन केवल अंतराल की लंबाई $ b-a$  पर निर्भर करता है।

दूसरे शब्दों में, किसी भी परिमित $ t>0$ के लिए, यादृच्छिक चर $ N(a+t,b+t]$  और $ t$  स्वयं में स्वतंत्र होते हैं, अतः इसे स्थायी पॉयसन प्रक्रिया भी कहा जाता है।

बड़ी संख्याओं का नियम
मात्रा $ \lambda(b_i-a_i)$ की व्याख्या अंतराल $ (a_i,b_i]$  में होने वाली अपेक्षित या औसत बिंदुओं  की संख्या के रूप में की जा सकती है, अर्थात्:


 * $$ \operatorname E[N(a_i,b_i]] =\lambda(b_i-a_i), $$

जहाँ $$\operatorname E$$ अपेक्षाओं के ऑपरेटर को दर्शाता है। दूसरे शब्दों में, पॉयसन प्रक्रिया के पैरामीटर $ \lambda$ बिंदुओं की घनत्व के सामान होता है। इसके अतिरिक्त, समान्य पॉयसन बिंदु प्रक्रिया (प्रबल) बड़े आंकड़ों के नियम का अनुपालन करती है। अधिक विशेष रूप से, एक प्रायिकता के साथ:


 * $$ \lim_{t\rightarrow \infty} \frac{N(t)}{t} =\lambda, $$

जहां $ \lim$ एक फलन की सीमा को दर्शाता है, और $$ \lambda $$ समय की प्रति यूनिट एराइवल अपेक्षित संख्या है।

मेमोरीलेस गुणधर्म
वास्तविक रेखा पर बिंदु प्रक्रिया के दो क्रमागत बिंदुओं के बीच की दूरी घातांकी यादृच्छिक चर होगा जिसका पैरामीटर $ \lambda$ होता है (अथवा समानांतर, औसत $ 1/\lambda$  होता है)। इसका तात्पर्य है कि बिंदुओं का मेमोरीलेस गुणधर्म होता है: किसी परिमित अंतराल में किसी बिंदु का अस्तित्व, अन्य बिंदुओं के अस्तित्व की प्रायिकता (बंटन) प्रासंगिकता को प्रभावित नहीं करता है,  लेकिन जब पॉयसन प्रक्रिया को उच्चतम विमाओं वाले समष्टि पर परिभाषित किया जाता है, अतः इस गुणधर्म का कोई प्राकृतिक समरूपता नहीं होती है।

क्रमबद्धता और सरलता
स्थैतिक वृद्धियों वाली एक बिंदु प्रक्रिया को कभी-कभी क्रमित या नियमित कहा जाता है, यदि:
 * $$ \Pr \{ N(t,t+\delta]>1 \} = o(\delta), $$

यहां छोटे-o संकेतन का उपयोग किया जा रहा है। जब किसी बिंदु प्रक्रिया में दो बिंदुओं का अंतर्निहित समष्टि पर एक ही स्थिति में संयोग की प्रायिकता शून्य होती है, अतः उसे एक साधारण बिंदु प्रक्रिया कहा जाता है। वास्तविक रेखा पर सामान्य बिंदु प्रक्रियाओं के लिए, क्रमबद्धता की गुणवत्ता यह सिद्ध करती है कि प्रक्रिया सरल होती है, जो समघाती पॉयसन बिंदु प्रक्रिया के लिए सत्य होता है।

मार्टिंगेल विशेषण
वास्तविक रेखा पर, समघाती पॉयसन बिंदु प्रक्रिया का मार्टिंगेल सिद्धांत के साथ एक संबंध होता है निम्नलिखित विशेषण के माध्यम से: बिंदु प्रक्रिया समघाती पॉयसन बिंदु प्रक्रिया होती है यदि और केवल यदि


 * $$ N(-\infty,t]-\lambda t, $$

मार्टिंगेल है।

अन्य प्रक्रियाओं से संबंध
वास्तविक रेखा पर, पॉयसन प्रक्रिया एक प्रकार की सतत-समय मार्कोव प्रक्रिया है जिसे जन्म प्रक्रिया के रूप में जाना जाता है, जन्म-मृत्यु प्रक्रिया के एक विशेष प्रकार (केवल जन्म और शून्य मृत्यु के साथ)। मार्कोव गुणधर्म के साथ अधिक जटिल प्रक्रियाएँ, जैसे मार्कोव एराइवल प्रक्रियाएँ, परिभाषित की गई हैं जहां पॉयसन प्रक्रिया एक विशेष स्थिति हैं।

अर्ध-रेखा पर प्रतिबंध
यदि समघाती पॉयसन प्रक्रिया केवल अर्ध-रेखा पर $ [0,\infty)$ के रूप में विचार की जाती है, जब $ t$  समय को दर्शाता है, अतः परिणामस्वरूप प्रक्रिया स्थानांतरण के अंतर्गत वास्तव में स्थानांतरण के प्रति समान नहीं होती है। उस स्थिति में, कुछ स्थानिकता की परिभाषाओं के अनुसार पॉयसन प्रक्रिया स्थायी नहीं रहती है।

अनुप्रयोग
समघाती पॉयसन प्रक्रिया का वास्तविक रेखा पर कई अनुप्रयोग हुए हैं जो प्रतीत होने वाले यादृच्छिक और स्वतंत्र घटनाओं के मॉडलिंग का प्रयास करते हैं। यह कतारबद्ध सिद्धांत में मौलिक भूमिका निभाता है, जो कुछ घटनाओं के यादृच्छिक एराइवल और अपक्रम को प्रतिष्ठानुसार प्रतिष्ठापित करने के लिए उपयुक्त प्रसंभाव्य मॉडल विकसित करने का प्रायिकता क्षेत्र है। उदाहरण के लिए, कतारबद्ध सिद्धांत के तकनीकों का उपयोग करके ग्राहकों के आगमन और सेवा प्राप्ति या फोन कॉल के आगमन का अध्ययन किया जा सकता है जो फोन विनियम में होते हैं।

सामान्यीकरण
वास्तविक रेखा पर, समघाती पॉयसन प्रक्रिया को यादृच्छिक बिंदुओं की संख्या की गणना के लिए सरलतम प्रसंभाव्य प्रक्रियाओं में से एक माना जाता है। इस प्रक्रिया को कई विधियों से सामान्यीकृत किया जा सकता है। संभावित सामान्यीकरण है कि अंतर-आगमन समय के बंटन को घातांकी बंटन से अन्य बंटनों  तक विस्तारित किया जाए, जो पुनर्नवीनीकरण प्रक्रिया के रूप में जानी जाती है। एक अन्य सामान्यीकरण यह है कि पॉयसन बिंदु प्रक्रिया को समतल जैसे उच्च विमीय समष्टियों पर परिभाषित किया जाए।

स्थानिक पॉयसन बिंदु प्रक्रिया
स्थानिक पॉयसन प्रक्रिया समतल $$\textstyle \mathbb{R}^2$$ में परिभाषित पॉयसन पॉइंट प्रक्रिया है। इसकी गणितीय परिभाषा के लिए, सबसे पहले समतल के परिबद्ध, विवृत या संवृत (या अधिक यथार्थ रूप से, बोरेल मापनीय) क्षेत्र $ B$ पर विचार किया जाता है। इस क्षेत्र $$\textstyle B\subset \mathbb{R}^2$$ में विद्यमान बिंदु प्रक्रिया $$\textstyle N$$ के बिंदुओं की संख्या एक यादृच्छिक चर है, जिसे $$\textstyle N(B)$$ द्वारा निरूपित किया जाता है। यदि अंक $$\textstyle \lambda>0$$ के पैरामीटर के साथ एक समघाती पॉयसन प्रक्रिया से संबंधित हैं, तो $$\textstyle B$$ में विद्यमान $$\textstyle n$$ बिंदुओं की प्रायिकता निम्न द्वारा दी गई है:


 * $$ \Pr \{N(B)=n\}=\frac{(\lambda|B|)^n}{n!} e^{-\lambda|B|} $$

जहाँ $$\textstyle |B|$$ के क्षेत्र को दर्शाता है $$\textstyle B$$.

कुछ परिमित पूर्णांक $$\textstyle k\geq 1$$ के लिए, हम पहले असम्बद्ध, परिबद्ध बोरेल (मापने योग्य) सेट $$\textstyle B_1,\dots,B_k$$ के संग्रह पर विचार करके समघाती पॉयसन बिंदु प्रक्रिया का परिमित-विमीय बंटन प्रदान कर सकते हैं। बिंदु प्रक्रिया के बिंदुओं की संख्या $$\textstyle N $$ $$\textstyle B_i$$ में विद्यमान $$\textstyle N(B_i)$$ के रूप में लिखी जा सकती है। अतः पैरामीटर $$\textstyle \lambda>0$$ के साथ समघाती पॉयसन बिंदु प्रक्रिया का परिमित-विमीय बंटन है:
 * $$ \Pr \{N(B_i)=n_i, i=1, \dots, k\}=\prod_{i=1}^k\frac{(\lambda|B_i|)^{n_i}}{n_i!}e^{-\lambda|B_i|}. $$

अनुप्रयोग
स्थानिक पॉयसन बिंदु प्रक्रिया स्थानिक सांख्यिकी में प्रमुखता से दिखाई देती है, प्रसंभाव्य ज्यामिति, और सातत्य सिद्धांत। इस बिंदु प्रक्रिया को विभिन्न भौतिक विज्ञानों में लागू किया जाता है जैसे अल्फा कणों का पता लगाने के लिए विकसित एक मॉडल होता है। हाल के वर्षों में, यह प्रायः कुछ वायरलेस संचार नेटवर्कों के प्रतीत होने वाले अव्यवस्थित स्थानिक विन्यासों के मॉडल के लिए उपयोग किया गया है।  उदाहरण के लिए, सेलुलर या मोबाइल फोन नेटवर्क के मॉडल विकसित किए गए हैं जहां यह माना जाता है कि फोन नेटवर्क ट्रांसमीटर, जिन्हें बेस स्टेशन के रूप में जाना जाता है, समघाती पॉयसन बिंदु प्रक्रिया के अनुसार स्थित हैं।

उच्च विमाओं में परिभाषित
पूर्व समघाती पॉयसन बिंदु प्रक्रिया को क्षेत्र की धारणा को (उच्च विमीय) आयतन के साथ बदलकर उच्च विमाओं में विस्तारित किया जाता है। यदि यूक्लिडियन समष्टि $$\textstyle \mathbb{R}^d$$, के किसी परिबद्ध क्षेत्र $$\textstyle B$$ के बिंदु एक समघाती पॉयसन प्रक्रिया बनाते हैं जिसका पैरामीटर $$\textstyle \lambda>0$$ होता है, अतः $$\textstyle B\subset \mathbb{R}^d$$ में विद्यमान $$\textstyle n$$ बिंदुओं की प्रायिकता निम्नलिखित होती है:


 * $$ \Pr \{N(B)=n\}=\frac{(\lambda|B|)^n}{n!}e^{-\lambda|B|} $$

जहां $$\textstyle |B|$$ अब $$\textstyle B$$ के $$\textstyle d$$-विमीय आयतन को दर्शाता है। इसके अतिरिक्त, असंयुक्त, परिबद्ध बोरेल समुच्चय $$\textstyle B_1,\dots,B_k \subset \mathbb{R}^d$$ के संग्रह के लिए, $$\textstyle N(B_i)$$ को $$\textstyle B_i$$ में विद्यमान $$\textstyle N$$ के बिंदुओं की संख्या को दर्शाता है। फिर पैरामीटर $$\textstyle \lambda>0$$ के साथ संबंधित समघाती पॉयसन बिंदु प्रक्रिया का परिमित-विमीय बंटन होता है:
 * $$ \Pr \{N(B_i)=n_i, i=1, \dots, k\}=\prod_{i=1}^k\frac{(\lambda|B_i|)^{n_i}}{n_i!} e^{-\lambda|B_i|}. $$

समघाती पॉयसन बिंदु प्रक्रियाएँ स्वयं के पैरामीटर $$\textstyle \lambda$$ के माध्यम से अंतर्निहित समष्टि की स्थिति पर निर्भर नहीं होती हैं, जिससे यह स्पष्ट होता है कि यह एक स्थिर प्रक्रिया (स्थानांतरण के लिए अपरिवर्तनीय) और आइसोट्रोपिक (घूर्णन के लिए अपरिवर्तनीय) प्रसंभाव्य प्रक्रिया है। एकल-विमीय स्थिति की तरह, समघाती बिंदु प्रक्रिया को कुछ परिबद्ध उपसमुच्चय $ \mathbb{R}^d$ के लिए प्रतिबंधित किया जाता है, अतः स्थिरता की कुछ परिभाषाओं के अनुसार, प्रक्रिया अब स्थायी नहीं रहती है।

बिंदुओं का समान रूप से बंटन
यदि समघाती बिंदु प्रक्रिया को वास्तविक रेखा पर किसी प्रयोजन की घटनाओं के लिए गणितीय मॉडल के रूप में परिभाषित किया जाता है, अतः इसकी विशेषताऐं इस प्रकार है कि वास्तविक रेखा पर इन घटनाओं की स्थितियों का बंटन समानतापूर्व होता है (जिसे प्रायः समय के रूप में व्याख्या किया जाता है)। विशेष रूप से, यदि किसी घटना (इस प्रक्रिया के अनुसार) किसी अंतराल $$\textstyle (a,b]$$ में होती है जहां $$\textstyle a \leq b$$ है, तो उसकी स्थानांतरिता उस अंतराल पर परिभाषित एक समान यादृच्छिक चर होगा। इसके अतिरिक्त, समघाती बिंदु प्रक्रिया को कभी-कभी समान पॉयसन बिंदु प्रक्रिया भी कहा जाता है (टर्मिनोलॉजी देखें)। यह समानता गुण कार्तीय निर्देशांक में उच्च विमाओं तक विस्तारित होता है, लेकिन उदाहरण के लिए ध्रुवीय निर्देशांक में नहीं होता है।

असमघाती पॉयसन बिंदु प्रक्रिया
विषम या गैर-समरूप पॉइसन बिंदु प्रक्रिया (शब्दावली देखें) एक पॉइसन बिंदु प्रक्रिया है जिसमें पॉइसन पैरामीटर अंतर्निहित स्थान में कुछ स्थान-निर्भर फ़ंक्शन के रूप में सेट किया गया है, जिस पर पॉइसन प्रक्रिया परिभाषित है। यूक्लिडियन समष्टि $$\textstyle \mathbb{R}^d$$ के लिए, यह स्थानीय रूप से पूर्णांक धनात्मक फलन $$\lambda\colon\mathbb{R}^d\to[0,\infty)$$ को शुरू करके प्राप्त किया जाता है, जैसे कि प्रत्येक परिबद्ध क्षेत्र $$\textstyle B$$ के लिए ($$\textstyle d$$-विमीय) आयतन $$\textstyle \lambda (x)$$ से अधिक क्षेत्र $$\textstyle B$$ का समाकल भाग है। दूसरे शब्दों में, यदि यह समाकल, $$\textstyle \Lambda (B)$$ द्वारा निरूपित किया जाता है, अतः यह निम्न प्रकार है:


 * $$ \Lambda (B)=\int_B \lambda(x)\,\mathrm dx < \infty, $$

जहां $$\textstyle{\mathrm dx}$$, ($$\textstyle d$$-विमीय) आयतन अंश है, फिर असंयुक्त परिबद्ध बोरेल मापने योग्य समुच्चयों $$\textstyle B_1,\dots,B_k$$ के प्रत्येक संग्रह के लिए, (इंटेंसिटी) फलन $$\textstyle \lambda(x)$$ के साथ असमघातीय पॉयसन प्रक्रिया का परिमित-विमीय बंटन है:


 * $$ \Pr \{N(B_i)=n_i, i=1, \dots, k\}=\prod_{i=1}^k\frac{(\Lambda(B_i))^{n_i}}{n_i!} e^{-\Lambda(B_i)}. $$

इसके अतिरिक्त, $$\textstyle \Lambda (B)$$ की व्याख्या परिबद्ध क्षेत्र $$\textstyle B$$ में स्थित पॉयसन प्रक्रिया के बिंदुओं की अपेक्षित संख्या होने की है, अर्थात्


 * $$ \Lambda (B)= \operatorname E[N(B)] . $$

वास्तविक रेखा पर परिभाषित
वास्तविक रेखा पर, गैर-समघातीय या असमघातीय पॉयसन बिंदु प्रक्रिया का औसत माप एकल विमीय समाकल योग के द्वारा दी जाती है। दो वास्तविक संख्याओं $$\textstyle a$$ और $$\textstyle b$$ के लिए, जहां $$\textstyle a\leq b$$, $$\textstyle (a,b]$$ में होने वाले असमघातीय पॉयसन प्रक्रिया के संख्या बिंदु को $$\textstyle N(a,b]$$ द्वारा चिह्नित किया जाता है, जिसमें उग्रता फलन $$\textstyle \lambda(t)$$ सम्मिलित होता है।उपरोक्त अंतराल $$\textstyle (a,b]$$ में विद्यमान $$\textstyle n$$ बिंदुओं की प्रायिकता निम्न द्वारा दिया गया है:


 * $$ \Pr \{N(a,b]=n\}=\frac{[\Lambda(a,b)]^n}{n!} e^{-\Lambda(a,b)}. $$

जहां माध्य या इंटेंसिटी माप है:


 * $$ \Lambda(a,b)=\int_a^b \lambda (t)\,\mathrm dt, $$

जिसका अर्थ है कि यादृच्छिक चर $$\textstyle N(a,b]$$ माध्य $$\textstyle \operatorname E[N(a,b]] = \Lambda(a,b)$$ के साथ एक पॉयसन यादृच्छिक चर है।

एक-विमा सेटिंग की एक विशेषता यह है कि किसी असमघातीय पॉयसन प्रक्रिया को एकदिष्ट (मोनोटोन) परिवर्तन या मानचित्रण द्वारा सजातीय में रूपांतरित किया जा सकता है, जिसे $$\textstyle \Lambda $$ के प्रतिलोम के साथ प्राप्त किया जाता है।

गणना प्रक्रिया की व्याख्या
जब धनात्मक अर्ध-रेखा पर विचार किया जाता है, अतः असमघातीय पॉयसन बिंदु प्रक्रिया को कई बार गणना प्रक्रिया के रूप में भी परिभाषित किया जाता है। इस व्याख्यान के साथ, प्रक्रिया, जिसे कभी-कभी $$\textstyle \{N(t), t\geq 0\}$$ के रूप में लिखा जाता है, $$\textstyle t$$ समय तक हुई प्रत्येक घटनाओं की कुल संख्या का प्रतिनिधित्व किया जाता है। गणना प्रक्रिया को असमघातीय पॉयसन गणना प्रक्रिया कहा जाता है यदि इसके चार गुण होते हैं: यहां $$\textstyle o(h)$$, $$\textstyle h\rightarrow 0$$ के लिए $$\textstyle o(h)/h\rightarrow 0$$ के अनन्तस्पर्शी या छोटे-o नोटेशन है। अपवर्तकता के साथ बिंदु प्रक्रियाओं की स्थिति में (जैसे कि न्यूरल स्पाइक ट्रेन), प्रगुण 4 का एक अन्य प्रबल संस्करण लागू होता है: $$\Pr \{N(t+h)-N(t) \ge 2\} = o(h^2)$$.
 * $$\textstyle N(0)=0;$$
 * स्वतंत्र वृद्धि होती है;
 * $$\textstyle \Pr\{ N(t+h) - N(t)=1 \} =\lambda(t)h + o(h);$$ और
 * $$\textstyle \Pr \{ N(t+h) - N(t)\ge 2 \} = o(h),$$

उपरोक्त गुणों का अर्थ है कि $$\textstyle N(t+h) - N(t)$$ पैरामीटर (या माध्य) के साथ एक पॉयसन यादृच्छिक चर है।


 * $$ \operatorname E[N(t+h) - N(t)] = \int_t^{t+h}\lambda (s) \, ds, $$

जो ये दर्शाता हे


 * $$ \operatorname E[N(h)]=\int_0^h \lambda (s) \, ds. $$

स्थानिक पॉयसन प्रक्रिया
समतल $$\textstyle \mathbb{R}^2$$ में परिभाषित असमघातीय पॉयसन प्रक्रिया को स्थानिक पॉयसन प्रक्रिया कहा जाता है इसे तीव्रता फलन के साथ परिभाषित किया जाता है और इसकी तीव्रता की माप कुछ क्षेत्र में इसकी इंटेंसिटी फलन का सतह समाकलन करके प्राप्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, इसका इंटेंसिटी फलन (कार्तीय निर्देशांक $ x$ और $$\textstyle y$$ के एक फलन के रूप में) हो सकता है


 * $$ \lambda(x,y)= e^{-(x^2+y^2)}, $$

इसलिए संगत इंटेंसिटी माप सतह समाकल द्वारा निम्नलिखित रूप दिया जाता है


 * $$ \Lambda(B)= \int_B e^{-(x^2+y^2)}\,\mathrm dx\,\mathrm dy, $$

जहाँ $ B$ समतल $ \mathbb{R}^2$  में कुछ घिरा क्षेत्र है।

उच्च विमाओं में
समतल में, $ \Lambda(B)$ सतह समाकलन के सामान प्रतीत होता है जबकि $ \mathbb{R}^d$  में ($ d$ -विमीय) आयतन समाकलन में परिवर्तित हो जाता है।    (Work done)

अनुप्रयोग
जब वास्तविक रेखा को समय के रूप में व्याख्या किया जाता है, तो गिनती प्रक्रियाओं के क्षेत्र में और क्यूइंग सिद्धांत में अमानवीय प्रक्रिया का उपयोग किया जाता है। घटनाओं के उदाहरण जिन्हें एक विषम पॉयसन बिंदु प्रक्रिया के रूप में दर्शाया गया है या दिखाई देता है उनमें शामिल हैं: समतल में, प्रसंभाव्य ज्यामिति के संबंधित विषयों में पॉयसन बिंदु प्रक्रिया महत्वपूर्ण है और स्थानिक आँकड़े। इस बिंदु प्रक्रिया की इंटेंसिटी माप अंतर्निहित स्थान के स्थान पर निर्भर है, जिसका अर्थ है कि इसका उपयोग घनत्व के साथ घटना को मॉडल करने के लिए किया जा सकता है जो कुछ क्षेत्र में भिन्न होता है। दूसरे शब्दों में, घटना को उन बिंदुओं के रूप में दर्शाया जा सकता है जिनमें स्थान-निर्भर घनत्व होता है। इस प्रक्रिया का उपयोग विभिन्न विषयों में किया गया है और उपयोगों में महासागरों में सामन और समुद्री जूँ का अध्ययन शामिल है, वानिकी, और समस्या खोजें।
 * फ़ुटबॉल के खेल में गोल किए जा रहे हैं।
 * एक सर्किट बोर्ड में दोष

इंटेंसिटी समारोह की व्याख्या
प्वासों इंटेंसिटी समारोह $ \lambda(x)$ एक व्याख्या है, सहज माना जाता है, मात्रा तत्व के साथ $\mathrm dx$  अतिसूक्ष्म अर्थ में: $ \lambda(x)\,\mathrm dx$  आयतन के साथ अंतरिक्ष के एक क्षेत्र में विद्यमान प्वासों बिंदु प्रक्रिया के एक बिंदु की असीम प्रायिकता है $\mathrm dx$  पर स्थित $ x$.

उदाहरण के लिए, वास्तविक रेखा पर एक समघाती पॉयसन बिंदु प्रक्रिया को देखते हुए, चौड़ाई के एक छोटे से अंतराल में प्रक्रिया का एक बिंदु खोजने की प्रायिकता $ \delta$ लगभग है $ \lambda \delta$. वास्तव में, इस तरह के अंतर्ज्ञान से पॉसों बिंदु प्रक्रिया को कभी-कभी पेश किया जाता है और इसका बंटन प्राप्त होता है।

सरल बिंदु प्रक्रिया
यदि पॉसों बिंदु प्रक्रिया में एक इंटेंसिटी माप है जो स्थानीय रूप से परिमित और फैलाना (या गैर-परमाणु) है, तो यह एक सरल बिंदु प्रक्रिया है। एक साधारण बिंदु प्रक्रिया के लिए, अंतर्निहित (राज्य) स्थान में एक बिंदु या स्थान पर विद्यमान बिंदु की प्रायिकता या तो शून्य या एक है। इसका तात्पर्य यह है कि प्रायिकता एक के साथ, प्वासों बिंदु प्रक्रिया के कोई भी दो (या अधिक) बिंदु अंतर्निहित स्थान में स्थान से मेल नहीं खाते हैं।

सिमुलेशन
एक कंप्यूटर पर पॉयसन बिंदु प्रक्रिया का अनुकरण आमतौर पर अंतरिक्ष के एक सीमित क्षेत्र में किया जाता है, जिसे सिमुलेशन विंडो के रूप में जाना जाता है, और इसके लिए दो चरणों की आवश्यकता होती है: उचित रूप से यादृच्छिक संख्या में अंक बनाना और फिर बिंदुओं को यादृच्छिक तरीके से रखना। ये दोनों चरण विशिष्ट पॉयसन बिंदु प्रक्रिया पर निर्भर करते हैं जिसे अनुकरण किया जा रहा है।

चरण 1: अंकों की संख्या
अंकों की संख्या $ N$ विंडो में, यहाँ द्वारा दर्शाया गया है $ W$, अनुकरण करने की आवश्यकता है, जो एक (छद्म) -रैंडम संख्या जनरेटर फलन का उपयोग करके किया जाता है जो पॉयसन यादृच्छिक चर का अनुकरण करने में सक्षम है।

समघाती मामला
निरंतर के साथ समघाती मामले के लिए $ \lambda$, प्वासों यादृच्छिक चर का माध्य $ N$ इसके लिए सेट है $ \lambda |W|$  जहाँ $ |W|$  लंबाई, क्षेत्र या है ($ d$ -आयामी) की मात्रा $ W$.

असमान मामला
विषम मामले के लिए, $ \lambda |W|$ के साथ प्रतिस्थापित किया गया है ($ d$ -आयामी) आयतन अभिन्न


 * $$ \Lambda(W)=\int_W\lambda(x)\,\mathrm dx $$

चरण 2: बिंदुओं की स्थिति
दूसरे चरण में बेतरतीब ढंग से रखने की आवश्यकता होती है $$\textstyle N$$ खिड़की में अंक $$\textstyle W$$.

समघाती मामला
एक आयाम में समघाती मामले के लिए, सभी बिंदु समान रूप से और स्वतंत्र रूप से खिड़की या अंतराल में रखे जाते हैं $$\textstyle W$$. कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में उच्च आयामों के लिए, प्रत्येक समन्वय समान रूप से और स्वतंत्र रूप से खिड़की में रखा जाता है $$\textstyle W$$. यदि खिड़की कार्तीय स्थान की एक उप-स्थान नहीं है (उदाहरण के लिए, एक इकाई क्षेत्र के अंदर या एक इकाई क्षेत्र की सतह पर), तो बिंदुओं को समान रूप से नहीं रखा जाएगा $$\textstyle W$$, और निर्देशांक (कार्टेशियन से) के उपयुक्त परिवर्तन की आवश्यकता है।

असमान मामला
विषम मामले के लिए, इंटेंसिटी समारोह की प्रकृति के आधार पर कुछ अलग-अलग तरीकों का उपयोग किया जा सकता है $$\textstyle \lambda(x)$$. यदि इंटेंसिटी फलन पर्याप्त रूप से सरल है, तो बिंदुओं के स्वतंत्र और यादृच्छिक गैर-समान (कार्टेशियन या अन्य) निर्देशांक उत्पन्न किए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक समदैशिक इंटेंसिटी फलन (ध्रुवीय निर्देशांकों में) के लिए एक वृत्ताकार खिड़की पर प्वासों बिंदु प्रक्रिया का अनुकरण किया जा सकता है $$\textstyle r$$ और $$\textstyle \theta$$), जिसका अर्थ है कि यह घूर्णी रूप से भिन्न या स्वतंत्र है $$\textstyle \theta$$ पर निर्भर है $$\textstyle r$$, चर के परिवर्तन से $$\textstyle r$$ अगर इंटेंसिटी समारोह पर्याप्त रूप से सरल है।

अधिक जटिल इंटेंसिटी कार्यों के लिए, एक अस्वीकृति नमूनाकरण | स्वीकृति-अस्वीकृति विधि का उपयोग कर सकते हैं, जिसमें अनुपात के आधार पर केवल कुछ यादृच्छिक बिंदुओं का उपयोग (या 'स्वीकार') करना और अन्य बिंदुओं का उपयोग नहीं करना (या 'अस्वीकार करना') शामिल है:
 * $$ \frac{\lambda(x_i)}{\Lambda(W)}=\frac{\lambda(x_i)}{\int_W\lambda(x)\,\mathrm dx. } $$

जहाँ $$\textstyle x_i$$ स्वीकृति या अस्वीकृति के लिए विचाराधीन बिंदु है।

सामान्य पॉयसन बिंदु प्रक्रिया
प्वासों बिंदु प्रक्रिया को आगे सामान्यीकृत किया जा सकता है जिसे कभी-कभी सामान्य पॉसों बिंदु प्रक्रिया के रूप में जाना जाता है या सामान्य पॉसों प्रक्रिया रेडॉन माप का उपयोग करके $$\textstyle \Lambda$$, जो स्थानीय-परिमित उपाय है। सामान्य तौर पर, यह रेडॉन उपाय $$\textstyle \Lambda$$ परमाणु हो सकता है, जिसका अर्थ है कि पॉसों बिंदु प्रक्रिया के कई बिंदु अंतर्निहित स्थान के एक ही स्थान पर विद्यमान हो सकते हैं। इस स्थिति में, अंकों की संख्या पर $$\textstyle x $$ माध्य के साथ एक प्वासों यादृच्छिक चर है $$\textstyle \Lambda({x})$$. लेकिन कभी-कभी विपरीत मान लिया जाता है, इसलिए रेडॉन माप $$\textstyle \Lambda$$ विसरित या गैर-परमाणु है।

एक बिंदु प्रक्रिया $$\textstyle {N}$$ इंटेंसिटी के साथ एक सामान्य पॉयसन बिंदु प्रक्रिया है $$\textstyle \Lambda$$ यदि इसमें निम्नलिखित दो गुण हैं:


 * एक बंधे हुए बोरेल सेट में अंकों की संख्या $$\textstyle B$$ माध्य के साथ एक प्वासों यादृच्छिक चर है $$\textstyle \Lambda(B)$$. दूसरे शब्दों में, स्थित बिंदुओं की कुल संख्या को निरूपित करें $$\textstyle B$$ द्वारा $$\textstyle {N}(B)$$, फिर यादृच्छिक चर की प्रायिकता $$\textstyle {N}(B)$$ के बराबर होना $$\textstyle n$$ द्वारा दिया गया है:
 * $$ \Pr \{ N(B)=n\}=\frac{(\Lambda(B))^n}{n!} e^{-\Lambda(B)} $$


 * में अंकों की संख्या $$\textstyle n$$ डिसजॉइंट बोरेल सेट फॉर्म $$\textstyle n$$ स्वतंत्र यादृच्छिक चर।

रेडॉन माप $$\textstyle \Lambda$$ अंकों की अपेक्षित संख्या होने की अपनी पिछली व्याख्या को बनाए रखता है $$\textstyle {N}$$ सीमाबद्ध क्षेत्र में स्थित है $$\textstyle B$$, अर्थात्


 * $$ \Lambda (B)= \operatorname E[N(B)] . $$

इसके अलावा, अगर $$\textstyle \Lambda$$ बिल्कुल निरंतर है जैसे कि इसमें एक घनत्व है (जो कि रेडॉन-निकोडिम प्रमेय है | रेडॉन-निकोडिम घनत्व या व्युत्पन्न) लेबेसेग माप के संबंध में, फिर सभी बोरेल सेटों के लिए $$\textstyle B$$ इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:


 * $$ \Lambda (B)=\int_B \lambda(x)\,\mathrm dx, $$

जहां घनत्व $$\textstyle \lambda(x)$$ अन्य शर्तों के साथ, इंटेंसिटी समारोह के रूप में जाना जाता है।

जहर बंटन
इसके नाम के बावजूद, प्वॉइसन बिंदु प्रक्रिया की न तो खोज की गई और न ही फ्रांसीसी गणितज्ञ शिमोन डेनिस पॉयसन द्वारा इसका अध्ययन किया गया; स्टिग्लर के कानून के उदाहरण के रूप में नाम का हवाला दिया गया है। यह नाम पॉयसन बंटन के अंतर्निहित संबंध से उपजा है, जो पॉयसन द्वारा द्विपद बंटन के एक सीमित मामले के रूप में प्राप्त किया गया है। यह के योग की प्रायिकता का वर्णन करता है $$\textstyle n$$ संभाव्यता के साथ बर्नौली परीक्षण $$\textstyle p$$, अक्सर बाद में सिर (या पूंछ) की संख्या से तुलना की जाती है $$\textstyle n$$ पक्षपाती सिक्का एक सिर (या पूंछ) होने की प्रायिकता के साथ एक सिक्के का उछाल $$\textstyle p$$. कुछ सकारात्मक स्थिरांक के लिए $$\textstyle \Lambda>0$$, जैसा $$\textstyle n$$ अनंत की ओर बढ़ता है और $$\textstyle p$$ शून्य की ओर घटता है जैसे कि उत्पाद $$\textstyle np=\Lambda$$ स्थिर है, प्वासों बंटन द्विपद के अधिक निकटता के समान है। प्वासों ने प्वासों बंटन व्युत्पन्न किया, जो 1841 में प्रकाशित हुआ, इसकी सीमा (गणित) में द्विपद बंटन का परीक्षण करके $$\textstyle p$$ (शून्य) और $$\textstyle n$$ (अनंत की ओर)। पॉयसन के सभी कार्यों में यह केवल एक बार प्रकट होता है, और परिणाम उनके समय के दौरान अच्छी तरह से ज्ञात नहीं था। बाद के वर्षों में कई लोगों ने फिलिप लुडविग वॉन सेडेल और अर्नेस्ट अब्बे सहित पॉयसन का हवाला दिए बिना बंटन का उपयोग किया। 19वीं शताब्दी के अंत में, लैडिसलॉस बोर्टकिविक्ज़ प्रशिया की सेना में हॉर्स किक से होने वाली मौतों की संख्या का अध्ययन करने के लिए वास्तविक डेटा के साथ बंटन का उपयोग करते हुए बंटन का एक अलग सेटिंग (पॉयसन का हवाला देते हुए) में फिर से अध्ययन करेगा।

डिस्कवरी
पॉयसन बिंदु प्रक्रिया के शुरुआती उपयोगों या खोजों के लिए कई दावे हैं। उदाहरण के लिए, पॉसन के जन्म से एक दशक पहले 1767 में जॉन मिशेल, एक तारे के दूसरे तारे के एक निश्चित क्षेत्र के भीतर होने की प्रायिकता में रुचि रखते थे, इस धारणा के तहत कि तारे मात्र संयोग से बिखरे हुए थे, और एक उदाहरण का अध्ययन किया जिसमें छह शामिल थे प्लीएडेस में सबसे चमकीले सितारे, प्वासों बंटन प्राप्त किए बिना। इस काम ने साइमन न्यूकॉम्ब को समस्या का अध्ययन करने और एक के रूप में पॉयसन बंटन की गणना करने के लिए प्रेरित किया 1860 में द्विपद बंटन के लिए सन्निकटन।

20वीं शताब्दी की शुरुआत में पॉयसन प्रक्रिया (एक आयाम में) अलग-अलग स्थितियों में स्वतंत्र रूप से उत्पन्न होगी। स्वीडन 1903 में, फिलिप लुंडबर्ग ने एक थीसिस प्रकाशित की जिसमें काम था, जिसे अब मौलिक और अग्रणी माना जाता है, जहाँ उन्होंने एक समघाती पॉयसन प्रक्रिया के साथ बीमा दावों को मॉडल करने का प्रस्ताव रखा।

1909 में डेनमार्क में एक और खोज हुई जब ए.के. एक सीमित समय अंतराल में आने वाले फोन कॉल की संख्या के लिए गणितीय मॉडल विकसित करते समय एरलांग ने पॉसॉन बंटन प्राप्त किया। एरलांग उस समय पॉयसन के पहले के काम से वाकिफ नहीं थे और यह मान लिया था कि समय के प्रत्येक अंतराल में आने वाले नंबर फोन कॉल एक दूसरे से स्वतंत्र थे। उसके बाद उन्होंने सीमित मामला पाया, जो द्विपद बंटन की सीमा के रूप में प्वासों बंटन को प्रभावी ढंग से पुनर्गठित कर रहा है।

1910 में अर्नेस्ट रदरफोर्ड और हंस गीजर ने अल्फा कणों की गिनती पर प्रायोगिक परिणाम प्रकाशित किए। उनके प्रायोगिक कार्य में हैरी बेटमैन से गणितीय योगदान था, जिन्होंने अंतर समीकरणों के एक परिवार के समाधान के रूप में पॉसॉन प्रायिकताओं को प्राप्त किया, हालांकि समाधान पहले प्राप्त किया गया था, जिसके परिणामस्वरूप पॉसॉन प्रक्रिया की स्वतंत्र खोज हुई। इस समय के बाद पॉयसन प्रक्रिया के कई अध्ययन और अनुप्रयोग हुए, लेकिन इसका प्रारंभिक इतिहास जटिल है, जिसे जीवविज्ञानियों, पारिस्थितिकीविदों, इंजीनियरों और विभिन्न भौतिक वैज्ञानिकों द्वारा कई क्षेत्रों में प्रक्रिया के विभिन्न अनुप्रयोगों द्वारा समझाया गया है।

प्रारंभिक अनुप्रयोग
1909 के बाद के वर्षों में पॉयसन बिंदु प्रक्रिया के कई अध्ययन और अनुप्रयोग हुए, हालाँकि, इसका प्रारंभिक इतिहास जटिल है, जिसे जीव विज्ञानियों, पारिस्थितिकीविदों, इंजीनियरों और अन्य लोगों द्वारा कई क्षेत्रों में प्रक्रिया के विभिन्न अनुप्रयोगों द्वारा समझाया गया है। भौतिक विज्ञान। शुरुआती परिणाम अलग-अलग भाषाओं में और अलग-अलग सेटिंग्स में प्रकाशित किए गए थे, जिसमें कोई मानक शब्दावली और नोटेशन का उपयोग नहीं किया गया था। उदाहरण के लिए, 1922 में स्वीडिश रसायनशास्त्री और नोबेल पुरस्कार विजेता थिओडोर स्वेडबर्ग  ने एक मॉडल प्रस्तावित किया जिसमें एक स्थानिक पॉयसन बिंदु प्रक्रिया यह अध्ययन करने की अंतर्निहित प्रक्रिया है कि पौधों को पौधों के समुदायों में कैसे वितरित किया जाता है। 1930 के दशक की शुरुआत में कई गणितज्ञों ने इस प्रक्रिया का अध्ययन करना शुरू किया, और एंड्री कोलमोगोरोव, विलियम फेलर और अलेक्सांद्र खींचीं द्वारा महत्वपूर्ण योगदान दिया गया। दूसरों के बीच में। टेलीट्रैफिक इंजीनियरिंग के क्षेत्र में, गणितज्ञों और सांख्यिकीविदों ने प्वासों और अन्य बिंदु प्रक्रियाओं का अध्ययन किया और उनका उपयोग किया।

शर्तों का इतिहास
स्वेड कोनी पाम ने अपने 1943 के शोध प्रबंध में समय के बिंदुओं के बीच सांख्यिकीय या प्रसंभाव्य निर्भरता के संदर्भ में एक आयामी सेटिंग में पॉयसन और अन्य बिंदु प्रक्रियाओं का अध्ययन किया। उनके काम में जर्मन में पंकटप्रोज़ेस के रूप में शब्द बिंदु प्रक्रियाओं का पहला ज्ञात रिकॉर्ड विद्यमान है।

माना गया हे 1940 के एक पेपर में विलियम फेलर इसे पॉयसन प्रक्रिया के रूप में संदर्भित करने वाले पहले व्यक्ति थे। हालांकि स्वेड ओवे लुंडबर्ग ने अपने 1940 के पीएचडी शोध प्रबंध में पॉयसन प्रक्रिया शब्द का उपयोग किया था, जिसमें फेलर को एक प्रभाव के रूप में स्वीकार किया गया था, यह दावा किया गया है कि फेलर ने 1940 से पहले यह शब्द गढ़ा था। यह टिप्पणी की गई है कि फेलर और लुंडबर्ग दोनों ने इस शब्द का उपयोग किया था, हालांकि यह प्रसिद्ध था, जिसका अर्थ यह था कि तब तक यह पहले से ही मौखिक उपयोग में था। फेलर ने 1936 से 1939 तक स्टॉकहोम विश्वविद्यालय में हेराल्ड क्रैमर के साथ काम किया, जहां लुंडबर्ग क्रैमर के तहत पीएचडी छात्र थे, जिन्होंने 1936 में समाप्त हुई अपनी पुस्तक में पॉयसन प्रक्रिया शब्द का उपयोग नहीं किया, लेकिन बाद के संस्करणों में किया, जिसके कारण उनका नेतृत्व हुआ अटकलें हैं कि पॉयसन प्रक्रिया शब्द 1936 और 1939 के बीच स्टॉकहोम विश्वविद्यालय में गढ़ा गया था।

शब्दावली
सामान्य रूप से बिंदु प्रक्रिया सिद्धांत की शब्दावली की अत्यधिक विविध होने के लिए आलोचना की गई है। शब्द बिंदु के अलावा अक्सर छोड़ा जा रहा है, समघाती पॉसॉन (बिंदु) प्रक्रिया को स्थिर पॉयसन (बिंदु) प्रक्रिया भी कहा जाता है, साथ ही एकसमान पॉयसन (बिंदु) प्रक्रिया। विषम पॉयसन बिंदु प्रक्रिया, साथ ही गैर-समघाती कहा जा रहा है, इसे गैर-स्थिर पॉयसन प्रक्रिया के रूप में भी जाना जाता है।

शब्द बिंदु प्रक्रिया की आलोचना की गई है, क्योंकि शब्द प्रक्रिया समय और स्थान के साथ सुझाव दे सकती है, इसलिए यादृच्छिक बिंदु क्षेत्र, परिणामस्वरूप पॉयसन यादृच्छिक बिंदु क्षेत्र या पॉयसन बिंदु क्षेत्र का भी उपयोग किया जा रहा है। एक बिंदु प्रक्रिया माना जाता है, और कभी-कभी एक यादृच्छिक गिनती उपाय कहा जाता है, इसलिए पॉयसन बिंदु प्रक्रिया को पॉसों यादृच्छिक माप के रूप में भी जाना जाता है, लेवी प्रक्रियाओं के अध्ययन में प्रयुक्त शब्द, लेकिन कुछ दो अलग-अलग अंतर्निहित स्थानों पर परिभाषित प्वासों बिंदु प्रक्रियाओं के लिए दो शब्दों का उपयोग करना चुनते हैं। प्वासों बिंदु प्रक्रिया के अंतर्निहित गणितीय स्थान को वाहक स्थान कहा जाता है, या राज्य स्थान, हालांकि बाद वाले शब्द का स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के संदर्भ में एक अलग अर्थ है। बिंदु प्रक्रियाओं के संदर्भ में, राज्य स्थान शब्द का अर्थ उस स्थान से हो सकता है जिस पर बिंदु प्रक्रिया को वास्तविक रेखा के रूप में परिभाषित किया गया है,  जो इंडेक्स सेट से मेल खाता है या पैरामीटर सेट स्टोकेस्टिक प्रक्रिया शब्दावली में।

पैमाना $$\textstyle \Lambda$$ इंटेंसिटी माप कहा जाता है, औसत माप, या पैरामीटर माप, क्योंकि कोई मानक शर्तें नहीं हैं। अगर $$\textstyle \Lambda$$ एक व्युत्पन्न या घनत्व है, जिसे निरूपित किया गया है $$\textstyle \lambda(x)$$, पॉसों बिंदु प्रक्रिया का इंटेंसिटी कार्य कहा जाता है। समघाती पॉसों बिंदु प्रक्रिया के लिए, इंटेंसिटी माप का व्युत्पन्न केवल एक स्थिरांक है $$\textstyle \lambda>0$$, जिसे दर के रूप में संदर्भित किया जा सकता है, आमतौर पर जब अंतर्निहित स्थान वास्तविक रेखा या इंटेंसिटी होती है। इसे औसत दर या औसत घनत्व भी कहा जाता है या दर। के लिए $$\textstyle \lambda=1$$, संबंधित प्रक्रिया को कभी-कभी मानक पॉयसन (बिंदु) प्रक्रिया के रूप में संदर्भित किया जाता है। प्वासों बिंदु प्रक्रिया की सीमा को कभी-कभी जोखिम कहा जाता है।

नोटेशन
पॉयसन बिंदु प्रक्रिया का अंकन इसकी सेटिंग और उस क्षेत्र पर निर्भर करता है जिसमें इसे लागू किया जा रहा है। उदाहरण के लिए, वास्तविक रेखा पर, पॉयसन प्रक्रिया, समघाती या विषम दोनों, कभी-कभी एक गिनती प्रक्रिया के रूप में व्याख्या की जाती है, और संकेतन $$\textstyle \{N(t), t\geq 0\}$$ पॉयसन प्रक्रिया का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रयोग किया जाता है।

अलग-अलग अंकन का एक अन्य कारण बिंदु प्रक्रियाओं के सिद्धांत के कारण है, जिसमें कुछ गणितीय व्याख्याएं हैं। उदाहरण के लिए, एक साधारण पॉयसन पॉइंट प्रक्रिया को एक यादृच्छिक सेट माना जा सकता है, जो संकेतन का सुझाव देता है $$\textstyle x\in N$$, जिसका अर्थ है $$\textstyle x$$ पॉयसन बिंदु प्रक्रिया से संबंधित या उसका एक तत्व होने वाला एक यादृच्छिक बिंदु है $$\textstyle N$$. एक और, अधिक सामान्य, व्याख्या एक प्वासों या किसी अन्य बिंदु प्रक्रिया को एक यादृच्छिक गिनती माप के रूप में माना जाता है, इसलिए एक प्वासों बिंदु प्रक्रिया के अंकों की संख्या लिख ​​सकता है $$\textstyle {N}$$ कुछ (बोरेल मापने योग्य) क्षेत्र में पाया या स्थित होना $$\textstyle B$$ जैसा $$\textstyle N(B)$$, जो एक यादृच्छिक चर है। इन विभिन्न व्याख्याओं के परिणामस्वरूप गणितीय क्षेत्रों जैसे माप सिद्धांत और सेट सिद्धांत से संकेतन का उपयोग किया जाता है।

सामान्य बिंदु प्रक्रियाओं के लिए, कभी-कभी बिंदु प्रतीक पर एक सबस्क्रिप्ट, उदाहरण के लिए $$\textstyle x$$, शामिल है इसलिए कोई लिखता है (सेट नोटेशन के साथ) $$\textstyle x_i\in N$$ के बजाय $$\textstyle x\in N$$, और $$\textstyle x$$ यादृच्छिक बिंदुओं को दर्शाने के बजाय कैंपबेल के प्रमेय जैसे अभिन्न अभिव्यक्तियों में बाध्य चर के लिए उपयोग किया जा सकता है। कभी-कभी एक अपरकेस अक्षर बिंदु प्रक्रिया को दर्शाता है, जबकि एक छोटा अक्षर प्रक्रिया से एक बिंदु को दर्शाता है, इसलिए, उदाहरण के लिए, बिंदु $$\textstyle x$$ या $$\textstyle x_i$$ से संबंधित है या बिंदु प्रक्रिया का एक बिंदु है $$\textstyle X$$, और सेट नोटेशन के रूप में लिखा जाए $$\textstyle x\in X$$ या $$\textstyle x_i\in X$$.

इसके अलावा, सेट सिद्धांत और इंटीग्रल या माप सिद्धांत संकेतन का परस्पर उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक बिंदु प्रक्रिया के लिए $$\textstyle N$$ यूक्लिडियन राज्य स्थान पर परिभाषित $$\textstyle {\mathbb{R}^d} $$ और एक (औसत दर्जे का) समारोह $$\textstyle f$$ पर $$\textstyle \mathbb{R}^d$$, इजहार


 * $$ \int_{\mathbb{R}^d} f(x)\,\mathrm dN(x)=\sum\limits_{x_i\in N} f(x_i), $$

एक बिंदु प्रक्रिया पर एक योग लिखने के दो अलग-अलग तरीकों को प्रदर्शित करता है (कैंपबेल की प्रमेय (प्रायिकता) भी देखें)। अधिक विशेष रूप से, बायीं ओर का अभिन्न अंकन बिंदु प्रक्रिया को एक यादृच्छिक गिनती माप के रूप में व्याख्या कर रहा है, जबकि दायीं ओर का योग एक यादृच्छिक सेट व्याख्या का सुझाव देता है।

कार्यात्मक और पल उपाय
संभाव्यता सिद्धांत में, संचालन विभिन्न उद्देश्यों के लिए यादृच्छिक चर पर लागू होते हैं। कभी-कभी ये संक्रियाएँ नियमित अपेक्षाएँ होती हैं जो एक यादृच्छिक चर का औसत या प्रसरण उत्पन्न करती हैं। अन्य, जैसे कि एक यादृच्छिक चर के विशिष्ट कार्य (या लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्म) का उपयोग यादृच्छिक चर की विशिष्ट पहचान या विशेषता के लिए किया जा सकता है और केंद्रीय सीमा प्रमेय जैसे परिणाम साबित कर सकता है। बिंदु प्रक्रियाओं के सिद्धांत में समान गणितीय उपकरण विद्यमान हैं जो आमतौर पर क्रमशः क्षणों और कार्यों के बजाय उपायों और कार्यों के रूप में विद्यमान होते हैं।

लाप्लास कार्यात्मक
पॉसों बिंदु प्रक्रिया के लिए $$\textstyle N$$ इंटेंसिटी माप के साथ $$\textstyle \Lambda$$ किसी जगह पर $$X$$, लाप्लास कार्यात्मक द्वारा दिया गया है:


 * $$ L_N(f)= \mathbb{E} e^{-\int_X f(x)\, N(\mathrm dx)} = e^{-\int_{X}(1-e^{-f(x)})\Lambda(\mathrm dx)}, $$

कैंपबेल के प्रमेय का एक संस्करण (प्रायिकता)#दूसरी परिभाषा: पॉयसन बिंदु प्रक्रिया | कैंपबेल के प्रमेय में पॉयसन बिंदु प्रक्रिया के लाप्लास कार्यात्मक शामिल हैं।

संभाव्यता पैदा करने वाले कार्य
गैर-ऋणात्मक पूर्णांक-मूल्यवान यादृच्छिक चर का संभाव्यता उत्पन्न करने वाला कार्य किसी भी गैर-नकारात्मक बाध्य फलन के संबंध में कार्यात्मक रूप से परिभाषित होने की प्रायिकता उत्पन्न करता है। $$\textstyle v$$ पर $$\textstyle \mathbb{R}^d$$ ऐसा है कि $$\textstyle 0\leq v(x) \leq 1$$. एक बिंदु प्रक्रिया के लिए $$\textstyle {N}$$ संभाव्यता उत्पन्न करने वाले कार्यात्मक को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
 * $$ G(v)=\operatorname E \left[\prod_{x\in N} v(x) \right] $$

जहां उत्पाद सभी बिंदुओं के लिए किया जाता है $ N $. यदि इंटेंसिटी मापी जाती है $$\textstyle \Lambda$$ का $$\textstyle {N}$$ स्थानीय रूप से परिमित है, तो $ G$ किसी भी मापने योग्य कार्य के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है $$\textstyle u$$ पर $$\textstyle \mathbb{R}^d$$. इंटेंसिटी माप के साथ पॉसों बिंदु प्रक्रिया के लिए $$\textstyle \Lambda$$ जनरेटिंग फलन द्वारा दिया गया है:


 * $$ G(v)=e^{-\int_{\mathbb{R}^d} [1-v(x)]\,\Lambda(\mathrm dx)}, $$

जो समघाती मामले में कम हो जाता है


 * $$ G(v)=e^{-\lambda\int_{\mathbb{R}^d} [1-v(x)]\,\mathrm dx}. $$

पल माप
इंटेंसिटी माप के साथ एक सामान्य पॉयसन बिंदु प्रक्रिया के लिए $$\textstyle \Lambda$$ पहला पल माप इसकी इंटेंसिटी माप है:


 * $$ M^1(B)=\Lambda(B), $$

जो गणितीय निरंतर इंटेंसिटी के साथ एक समघाती पॉसों बिंदु प्रक्रिया के लिए है $$\textstyle \lambda$$ साधन:


 * $$ M^1(B)=\lambda|B|, $$

जहाँ $$\textstyle |B|$$ की लंबाई, क्षेत्रफल या आयतन (या अधिक सामान्यतः, लेबेस्ग उपाय) है $$\textstyle B$$.

मेके समीकरण
मेके समीकरण पॉसों बिंदु प्रक्रिया की विशेषता है। होने देना $$\mathbb{N}_\sigma$$ सभी का स्थान हो $$\sigma$$कुछ सामान्य स्थान पर सीमित उपाय $$\mathcal{Q}$$. एक बिंदु प्रक्रिया $$\eta$$ इंटेंसिटी के साथ $$\lambda$$ पर $$\mathcal{Q}$$ यदि और केवल यदि सभी औसत दर्जे के कार्यों के लिए पॉयसन बिंदु प्रक्रिया है $$f:\mathcal{Q}\times\mathbb{N}_\sigma\to \mathbb{R}_+$$ निम्नलिखित धारण करता है
 * $$\Pr \left[\int f(x,\eta)\eta(\mathrm{d}x)\right]=\int \Pr \left[ f(x,\eta+\delta_x) \right] \lambda(\mathrm{d}x)$$

अधिक जानकारी के लिए देखें।

क्रमगुणित आघूर्ण माप
इंटेंसिटी माप के साथ एक सामान्य पॉयसन बिंदु प्रक्रिया के लिए $$\textstyle \Lambda$$ $$\textstyle n$$-वें तथ्यात्मक क्षण माप अभिव्यक्ति द्वारा दिया जाता है:
 * $$ M^{(n)}(B_1\times\cdots\times B_n)=\prod_{i=1}^n[\Lambda(B_i)], $$

जहाँ $$\textstyle \Lambda$$ इंटेंसिटी माप या प्रथम क्षण माप है $$\textstyle {N}$$, जो कुछ बोरेल सेट के लिए $$\textstyle B$$ द्वारा दिया गया है


 * $$ \Lambda(B)=M^1(B)=\operatorname E[N(B)]. $$

एक समघाती पॉसों बिंदु प्रक्रिया के लिए $$\textstyle n$$-वां भाज्य आघूर्ण माप सरल है:


 * $$ M^{(n)}(B_1\times\cdots\times B_n)=\lambda^n \prod_{i=1}^n |B_i|, $$

जहाँ $$\textstyle |B_i|$$ की लंबाई, क्षेत्रफल, या आयतन (या अधिक सामान्यतः, Lebesgue माप) है $$\textstyle B_i$$. इसके अलावा, $$\textstyle n$$-वां फैक्टोरियल पल घनत्व है:


 * $$ \mu^{(n)}(x_1,\dots,x_n)=\lambda^n. $$

परिहार समारोह
परिहार समारोह या शून्य प्रायिकता $$\textstyle v$$ एक बिंदु प्रक्रिया का $$\textstyle {N}$$ कुछ सेट के संबंध में परिभाषित किया गया है $$\textstyle B$$, जो अंतर्निहित स्थान का सबसेट है $$\textstyle \mathbb{R}^d$$, बिना अंक की प्रायिकता के रूप में $$\textstyle {N}$$ में विद्यमान है $$\textstyle B$$. ज्यादा ठीक, एक परीक्षण सेट के लिए $$\textstyle B$$परिहार समारोह द्वारा दिया जाता है:


 * $$ v(B)=\Pr \{N(B)=0\}. $$

एक सामान्य प्वासों बिंदु प्रक्रिया के लिए $$\textstyle {N}$$ इंटेंसिटी माप के साथ $$\textstyle \Lambda$$, इसका परिहार कार्य इसके द्वारा दिया गया है:


 * $$ v(B)=e^{-\Lambda(B)} $$

रेनी की प्रमेय
सरल बिंदु प्रक्रियाओं को उनकी शून्य प्रायिकताओं द्वारा पूरी तरह से चित्रित किया जाता है। दूसरे शब्दों में, एक साधारण बिंदु प्रक्रिया की पूरी जानकारी इसकी शून्य प्रायिकताओं में पूरी तरह से कब्जा कर ली जाती है, और दो सरल बिंदु प्रक्रियाओं में एक ही शून्य प्रायिकताएं होती हैं यदि और यदि केवल वही बिंदु प्रक्रियाएं होती हैं। पॉयसन प्रक्रिया के मामले को कभी-कभी रेनी के प्रमेय के रूप में जाना जाता है, जिसका नाम अल्फ्रेड रेनी के नाम पर रखा गया है जिन्होंने एक-आयाम में एक समघाती बिंदु प्रक्रिया के मामले के परिणाम की खोज की। एक रूप में, रेनी की प्रमेय एक विसरित (या गैर-परमाणु) रेडॉन माप के लिए कहती है $$\textstyle \Lambda$$ पर $$\textstyle \mathbb{R}^d$$ और एक सेट $$\textstyle A$$ आयतों का परिमित संघ है (इसलिए बोरेल नहीं) कि अगर $$\textstyle N$$ का एक गणनीय उपसमुच्चय है $$\textstyle \mathbb{R}^d$$ ऐसा है कि:


 * $$ \Pr \{N(A)=0\} = v(A) = e^{-\Lambda(A)} $$

तब $$\textstyle {N}$$ इंटेंसिटी माप के साथ पॉसों बिंदु प्रक्रिया है $$\textstyle \Lambda$$.

बिंदु प्रक्रिया संचालन
नई बिंदु प्रक्रियाओं को प्राप्त करने और कुछ वस्तुओं के स्थानों के लिए नए गणितीय मॉडल विकसित करने के लिए बिंदु प्रक्रियाओं पर गणितीय संचालन किया जा सकता है। ऑपरेशन के एक उदाहरण को थिनिंग के रूप में जाना जाता है जिसमें एक नियम के अनुसार कुछ बिंदु प्रक्रिया के बिंदुओं को हटाना या हटाना शामिल है, शेष बिंदुओं के साथ एक नई प्रक्रिया बनाना (हटाए गए बिंदु भी एक बिंदु प्रक्रिया बनाते हैं)।

पतला होना
पॉयसन प्रक्रिया के लिए, स्वतंत्र $$\textstyle p(x)$$-थिनिंग ऑपरेशन के परिणामस्वरूप एक और पॉयसन पॉइंट प्रक्रिया होती है। अधिक विशेष रूप से, ए $$\textstyle p(x)$$-थिनिंग ऑपरेशन इंटेंसिटी माप के साथ पॉयसन पॉइंट प्रक्रिया पर लागू होता है $$\textstyle \Lambda$$ हटाए गए बिंदुओं की एक बिंदु प्रक्रिया देता है जो पॉयसन बिंदु प्रक्रिया भी है $$\textstyle {N}_p$$ इंटेंसिटी माप के साथ $$\textstyle \Lambda_p$$, जो एक बंधे हुए बोरेल सेट के लिए है $$\textstyle B$$ द्वारा दिया गया है:


 * $$ \Lambda_p(B)= \int_B p(x)\,\Lambda(\mathrm dx) $$

प्वासों बिंदु प्रक्रिया के इस पतले परिणाम को कभी-कभी प्रीकोपा के प्रमेय के रूप में जाना जाता है। इसके अलावा, एक पॉयसन बिंदु प्रक्रिया को बेतरतीब ढंग से पतला करने के बाद, रखे गए या शेष बिंदु भी एक पॉइज़न बिंदु प्रक्रिया बनाते हैं, जिसमें इंटेंसिटी का माप होता है


 * $$ \Lambda_p(B)= \int_B (1-p(x))\,\Lambda(\mathrm dx). $$

हटाए गए और रखे गए बिंदुओं से क्रमशः बनने वाली दो अलग-अलग पॉयसन बिंदु प्रक्रियाएं एक दूसरे से स्टोकेस्टिक रूप से स्वतंत्र हैं। दूसरे शब्दों में, यदि किसी क्षेत्र को सम्‍मिलित करने के लिए जाना जाता है $$\textstyle n$$ रखे गए बिंदु (मूल पॉयसन बिंदु प्रक्रिया से), तो इसका समान क्षेत्र में हटाए गए बिंदुओं की यादृच्छिक संख्या पर कोई प्रभाव नहीं पड़ेगा। बेतरतीब ढंग से एक से दो स्वतंत्र पॉसों बिंदु प्रक्रियाओं को बनाने की क्षमता को कभी-कभी विभाजन के रूप में जाना जाता है पॉयसन बिंदु प्रक्रिया।

सुपरपोजिशन
यदि बिंदु प्रक्रियाओं का एक गणनीय संग्रह है $$\textstyle N_1,N_2,\dots$$, फिर उनका सुपरपोजिशन, या, सेट थ्योरी लैंग्वेज में, उनका मिलन, जो है
 * $$ N=\bigcup_{i=1}^\infty N_i, $$

एक बिंदु प्रक्रिया भी बनाता है। दूसरे शब्दों में, किसी भी बिंदु प्रक्रिया में स्थित कोई भी बिंदु $$\textstyle N_1,N_2\dots$$ इन बिंदु प्रक्रियाओं के सुपरपोजिशन में भी स्थित होगा $$\textstyle {N}$$.

सुपरपोज़िशन प्रमेय
पॉयसन बिंदु प्रक्रिया का सुपरपोजिशन प्रमेय कहता है कि स्वतंत्र पॉयसन बिंदु प्रक्रियाओं का सुपरपोजिशन $$\textstyle N_1,N_2\dots$$ औसत उपायों के साथ $$\textstyle \Lambda_1,\Lambda_2,\dots$$ माध्य माप के साथ एक पॉयसन पॉइंट प्रक्रिया भी होगी


 * $$ \Lambda=\sum_{i=1}^\infty \Lambda_i. $$

दूसरे शब्दों में, दो (या गणनीय रूप से अधिक) पॉयसन प्रक्रियाओं का मिलन एक अन्य पॉयसन प्रक्रिया है। अगर एक बिंदु $ x$ एक गणनीय से नमूना लिया गया है $ n$  पॉयसन प्रक्रियाओं का संघ, फिर प्रायिकता है कि बिंदु $$\textstyle x$$ के अंतर्गत आता है $ j$ पॉयसन प्रक्रिया $ N_j$  द्वारा दिया गया है:


 * $$ \Pr \{x\in N_j\}=\frac{\Lambda_j}{\sum_{i=1}^n\Lambda_i}. $$

इंटेंसिटी के साथ दो समघाती प्वासों प्रक्रियाओं के लिए $ \lambda_1,\lambda_2\dots$, पिछले दो भाव कम हो जाते हैं


 * $$ \lambda=\sum_{i=1}^\infty \lambda_i, $$

और


 * $$ \Pr \{x\in N_j\}=\frac{\lambda_j}{\sum_{i=1}^n \lambda_i}. $$

क्लस्टरिंग
ऑपरेशन क्लस्टरिंग तब किया जाता है जब प्रत्येक बिंदु $$\textstyle x$$ कुछ बिंदु प्रक्रिया की $$\textstyle {N}$$ एक और (संभवतः भिन्न) बिंदु प्रक्रिया द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यदि मूल प्रक्रिया $$\textstyle {N}$$ एक पॉयसन बिंदु प्रक्रिया है, फिर परिणामी प्रक्रिया $$\textstyle {N}_c$$ एक प्वासों क्लस्टर बिंदु प्रक्रिया कहा जाता है।

यादृच्छिक विस्थापन
एक गणितीय मॉडल को अंतर्निहित गणितीय स्थान पर अन्य स्थानों पर एक बिंदु प्रक्रिया के बेतरतीब ढंग से चलने वाले बिंदुओं की आवश्यकता हो सकती है, जो एक बिंदु प्रक्रिया संचालन को जन्म देती है जिसे विस्थापन के रूप में जाना जाता है। या अनुवाद। पॉयसन बिंदु प्रक्रिया का उपयोग मॉडल के लिए किया गया है, उदाहरण के लिए, विस्थापन प्रमेय के कारण पीढ़ियों के बीच पौधों की गति, जो शिथिल रूप से कहता है कि पॉसों बिंदु प्रक्रिया (उसी अंतर्निहित स्थान पर) के बिंदुओं का यादृच्छिक स्वतंत्र विस्थापन एक और पॉसों बिंदु प्रक्रिया बनाता है।

विस्थापन प्रमेय
विस्थापन प्रमेय का एक संस्करण एक पॉयसन बिंदु प्रक्रिया शामिल है $$\textstyle {N}$$ पर $$\textstyle \mathbb{R}^d$$ इंटेंसिटी समारोह के साथ $$\textstyle \lambda(x)$$. इसके बाद के अंक माने जाते हैं $$\textstyle {N}$$ में बेतरतीब ढंग से विस्थापित हो जाते हैं $$\textstyle \mathbb{R}^d$$ ताकि प्रत्येक बिंदु का विस्थापन स्वतंत्र हो और पूर्व में एक बिंदु का विस्थापन $$\textstyle x$$ संभाव्यता घनत्व वाला एक यादृच्छिक वेक्टर है $$\textstyle \rho(x,\cdot)$$. फिर नई बिंदु प्रक्रिया $$\textstyle N_D$$ इंटेंसिटी फंक्शन के साथ पॉयसन पॉइंट प्रोसेस भी है


 * $$ \lambda_D(y)=\int_{\mathbb{R}^d} \lambda(x) \rho(x,y)\,\mathrm dx. $$

यदि पॉसों प्रक्रिया समघाती है $$\textstyle\lambda(x) = \lambda > 0$$ और अगर $$\rho(x, y)$$ का एक कार्य है $$y-x$$, तब


 * $$ \lambda_D(y)=\lambda. $$

दूसरे शब्दों में, बिंदुओं के प्रत्येक यादृच्छिक और स्वतंत्र विस्थापन के बाद, मूल पॉयसन बिंदु प्रक्रिया अभी भी विद्यमान है।

विस्थापन प्रमेय को इस तरह बढ़ाया जा सकता है कि प्वासों बिंदु एक यूक्लिडियन स्थान से बेतरतीब ढंग से विस्थापित हो जाते हैं $$\textstyle \mathbb{R}^d$$ दूसरे यूक्लिडियन अंतरिक्ष में $$\textstyle \mathbb{R}^{d'}$$, जहाँ $$\textstyle d'\geq 1$$ के बराबर नहीं है $$\textstyle d$$.

मैपिंग
एक और संपत्ति जिसे उपयोगी माना जाता है वह एक पॉसों बिंदु प्रक्रिया को एक अंतर्निहित स्थान से दूसरे स्थान पर मैप करने की क्षमता है।

मैपिंग प्रमेय
यदि मैपिंग (या परिवर्तन) कुछ शर्तों का पालन करता है, तो परिणामस्वरूप मैप किए गए (या रूपांतरित) बिंदुओं का संग्रह भी पॉयसन पॉइंट प्रक्रिया का निर्माण करता है, और इस परिणाम को कभी-कभी मैपिंग प्रमेय के रूप में संदर्भित किया जाता है। प्रमेय में औसत माप के साथ कुछ प्वासों बिंदु प्रक्रिया शामिल है $$\textstyle \Lambda$$ कुछ अंतर्निहित स्थान पर। यदि बिंदुओं के स्थानों को मैप किया जाता है (अर्थात, बिंदु प्रक्रिया को रूपांतरित किया जाता है) किसी कार्य के अनुसार किसी अन्य अंतर्निहित स्थान पर, तो परिणामी बिंदु प्रक्रिया भी एक पॉयसन बिंदु प्रक्रिया है, लेकिन एक अलग माध्य माप के साथ $$\textstyle \Lambda'$$.

अधिक विशेष रूप से, एक (बोरेल मापने योग्य) फलन पर विचार किया जा सकता है $$\textstyle f$$ जो एक बिंदु प्रक्रिया को मैप करता है $$\textstyle {N}$$ इंटेंसिटी माप के साथ $$\textstyle \Lambda$$ एक स्थान से $$\textstyle S$$, दूसरे स्थान पर $$\textstyle T$$ इस तरह से ताकि नई बिंदु प्रक्रिया $$\textstyle {N}'$$ इंटेंसिटी माप है:


 * $$ \Lambda(B)'=\Lambda(f^{-1}(B)) $$

बिना परमाणु के, जहाँ $$\textstyle B$$ एक बोरेल सेट है और $$\textstyle f^{-1}$$ फलन के व्युत्क्रम को दर्शाता है $$\textstyle f$$. अगर $$\textstyle {N}$$ पॉयसन पॉइंट प्रक्रिया है, फिर नई प्रक्रिया $$\textstyle {N}'$$ इंटेंसिटी माप के साथ पॉसों बिंदु प्रक्रिया भी है $$\textstyle \Lambda'$$.

प्वासों बिंदु प्रक्रियाओं के साथ सन्निकटन
पॉयसन प्रक्रिया की सुवाह्यता का मतलब है कि कभी-कभी एक पॉयसन के साथ एक गैर-पॉयसन बिंदु प्रक्रिया का अनुमान लगाना सुविधाजनक होता है। समग्र उद्देश्य किसी बिंदु प्रक्रिया के अंकों की संख्या और प्रत्येक बिंदु के स्थान को एक पॉयसन बिंदु प्रक्रिया द्वारा अनुमानित करना है। ऐसी कई विधियाँ हैं जिनका उपयोग अनौपचारिक रूप से या कठोर रूप से उचित पॉयसन बिंदु प्रक्रियाओं के साथ यादृच्छिक घटनाओं या घटनाओं की घटना का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है। अधिक कठोर तरीकों में पॉसों और गैर-पॉयसन बिंदु प्रक्रियाओं के बीच प्रायिकता मेट्रिक्स पर ऊपरी सीमा प्राप्त करना शामिल है, जबकि अन्य तरीकों को कम औपचारिक अनुमानों द्वारा उचित ठहराया जा सकता है।

क्लंपिंग ह्यूरिस्टिक
पॉयसन प्रक्रियाओं के साथ यादृच्छिक घटनाओं या परिघटनाओं का अनुमान लगाने की एक विधि को क्लंपिंग ह्यूरिस्टिक कहा जाता है। सामान्य हेयुरिस्टिक या सिद्धांत में पॉयसन बिंदु प्रक्रिया (या पॉयसन बंटन) का उपयोग अनुमानित घटनाओं के लिए करना शामिल है, जिन्हें कुछ स्टोकास्टिक प्रक्रिया के दुर्लभ या असंभव माना जाता है। कुछ मामलों में ये दुर्लभ घटनाएँ स्वतंत्र होने के करीब हैं, इसलिए पॉसों बिंदु प्रक्रिया का उपयोग किया जा सकता है। जब घटनाएँ स्वतंत्र नहीं होती हैं, लेकिन समूहों या गुच्छों में घटित होती हैं, तो यदि इन गुच्छों को उपयुक्त रूप से इस तरह परिभाषित किया जाता है कि वे लगभग एक दूसरे से स्वतंत्र हैं, तो घटित होने वाले गुच्छों की संख्या पॉयसन यादृच्छिक चर के करीब होगी और गुच्छों के स्थान पॉयसन प्रक्रिया के करीब होंगे।

स्टीन की विधि
स्टीन की विधि एक गणितीय तकनीक है जिसे मूल रूप से गाऊसी  और पॉयसन चर जैसे यादृच्छिक चर के अनुमान के लिए विकसित किया गया है, जिसे बिंदु प्रक्रियाओं पर भी लागू किया गया है। स्टीन की विधि का उपयोग प्रायिकता मेट्रिक्स पर ऊपरी सीमा को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है, जो यह निर्धारित करने का तरीका देता है कि दो अलग-अलग यादृच्छिक गणितीय वस्तुएं प्रसंभाव्य रूप से भिन्न होती हैं। प्रायिकता मेट्रिक्स जैसे कि कुल भिन्नता और वासेरस्टीन दूरी पर ऊपरी सीमाएं निकाली गई हैं।

शोधकर्ताओं ने स्टीन की विधि को प्वासों बिंदु प्रक्रियाओं में कई तरीकों से लागू किया है, जैसे हथेली की पथरी का उपयोग करना। स्टीन की विधि पर आधारित तकनीकों को ऊपरी सीमा में कारक बनाने के लिए विकसित किया गया है, जैसे कि थिनिंग और सुपरपोज़िशन जैसे कुछ बिंदु प्रक्रिया संचालन के प्रभाव। स्टीन की विधि का उपयोग पॉयसन के मेट्रिक्स और अन्य प्रक्रियाओं जैसे कि कॉक्स प्वाइंट प्रक्रिया पर ऊपरी सीमा को प्राप्त करने के लिए भी किया गया है, जो कि यादृच्छिक इंटेंसिटी माप के साथ पॉयसन प्रक्रिया है।

एक पॉयसन बिंदु प्रक्रिया के लिए अभिसरण
सामान्य तौर पर, जब एक ऑपरेशन को एक सामान्य बिंदु प्रक्रिया पर लागू किया जाता है, तो परिणामी प्रक्रिया आमतौर पर पॉयसन बिंदु प्रक्रिया नहीं होती है। उदाहरण के लिए, यदि पॉयसन के अलावा एक बिंदु प्रक्रिया के अंक यादृच्छिक रूप से और स्वतंत्र रूप से विस्थापित हो जाते हैं, तो प्रक्रिया जरूरी नहीं कि एक पॉयसन बिंदु प्रक्रिया हो। हालाँकि, मूल बिंदु प्रक्रिया और यादृच्छिक विस्थापन दोनों के लिए कुछ गणितीय स्थितियों के तहत, यह सीमा प्रमेय के माध्यम से दिखाया गया है कि यदि एक बिंदु प्रक्रिया के बिंदुओं को बार-बार यादृच्छिक और स्वतंत्र तरीके से विस्थापित किया जाता है, तो बिंदु का परिमित-बंटन प्रक्रिया (कमजोर रूप से) पॉसों बिंदु प्रक्रिया में परिवर्तित हो जाएगी। इसी तरह के अभिसरण परिणाम थिनिंग और सुपरपोजिशन ऑपरेशंस के लिए विकसित किए गए हैं जो दर्शाता है कि बिंदु प्रक्रियाओं पर इस तरह के दोहराए गए संचालन, कुछ शर्तों के तहत, एक पॉयसन बिंदु प्रक्रियाओं में परिवर्तित होने वाली प्रक्रिया में परिणाम कर सकते हैं, बशर्ते कि इंटेंसिटी माप का एक उपयुक्त पुनर्विक्रय किया जाए (अन्यथा परिणामी बिंदु प्रक्रियाओं की इंटेंसिटी माप के मान शून्य तक पहुंच जाएंगे या अनंतता)। इस तरह के अभिसरण कार्य सीधे पाम-खिनचिन के नाम से जाने जाने वाले परिणामों से संबंधित हैं समीकरण, जिसकी उत्पत्ति कोनी पाम और अलेक्सांद्र खिनचिन के कार्यों में हुई है, और यह समझाने में मदद करता है कि पॉसों प्रक्रिया को अक्सर विभिन्न यादृच्छिक घटनाओं के गणितीय मॉडल के रूप में क्यों उपयोग किया जा सकता है।

पॉयसन पॉइंट प्रक्रियाओं का सामान्यीकरण
प्वासों बिंदु प्रक्रिया को सामान्यीकृत किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, इसकी इंटेंसिटी माप को बदलकर या अधिक सामान्य गणितीय रिक्त स्थान पर परिभाषित करके। इन सामान्यीकरणों का गणितीय रूप से अध्ययन किया जा सकता है और साथ ही गणितीय रूप से मॉडल या भौतिक घटनाओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जा सकता है।

पॉयसन-प्रकार के यादृच्छिक उपाय
पॉयसन-प्रकार के यादृच्छिक उपाय (पीटी) तीन यादृच्छिक गणना उपायों का एक परिवार है जो एक उप-स्थान के प्रतिबंध के तहत बंद होते हैं, अर्थात प्वाइंट प्रोसेस ऑपरेशन # थिनिंग के तहत बंद होते हैं। ये यादृच्छिक उपाय मिश्रित द्विपद प्रक्रिया के उदाहरण हैं और पॉयसन यादृच्छिक माप की बंटनात्मक स्व-समानता संपत्ति को साझा करते हैं। वे इस संपत्ति के अधिकारी होने के लिए बंटन के विहित गैर-नकारात्मक शक्ति श्रृंखला परिवार के एकमात्र सदस्य हैं और इसमें पॉसों बंटन, नकारात्मक द्विपद बंटन और द्विपद बंटन शामिल हैं। प्वासों यादृच्छिक माप असम्बद्ध उप-स्थानों पर स्वतंत्र है, जबकि अन्य पीटी यादृच्छिक उपायों (नकारात्मक द्विपद और द्विपद) में धनात्मक और ऋणात्मक सहप्रसरण होते हैं। पीटी यादृच्छिक उपायों पर चर्चा की जाती है और प्वासों यादृच्छिक माप, ऋणात्मक द्विपद यादृच्छिक माप, और द्विपद यादृच्छिक माप शामिल करें।

अधिक सामान्य स्थानों पर पॉयसन बिंदु प्रक्रियाएं
गणितीय मॉडल के लिए प्वासों बिंदु प्रक्रिया को अक्सर यूक्लिडियन अंतरिक्ष में परिभाषित किया जाता है, लेकिन अधिक अमूर्त स्थानों के लिए सामान्यीकृत किया गया है और यादृच्छिक उपायों के अध्ययन में मौलिक भूमिका निभाता है,  जिसके लिए प्रायिकता सिद्धांत, माप सिद्धांत और टोपोलॉजी जैसे गणितीय क्षेत्रों की समझ की आवश्यकता होती है। सामान्य तौर पर, दूरी की अवधारणा अनुप्रयोगों के लिए व्यावहारिक रुचि की है, जबकि पाम बंटन के लिए टोपोलॉजिकल संरचना की आवश्यकता होती है, जिसका अर्थ है कि बिंदु प्रक्रियाओं को आमतौर पर मेट्रिक्स के साथ गणितीय रिक्त स्थान पर परिभाषित किया जाता है। इसके अलावा, एक बिंदु प्रक्रिया की प्राप्ति को गिनती के उपाय के रूप में माना जा सकता है, इसलिए बिंदु प्रक्रियाएं यादृच्छिक उपायों के प्रकार हैं जिन्हें यादृच्छिक गिनती उपायों के रूप में जाना जाता है। इस संदर्भ में, पॉयसन और अन्य बिंदु प्रक्रियाओं का स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट दूसरे गणनीय हौसडॉर्फ स्पेस पर अध्ययन किया गया है।

कॉक्स प्वाइंट प्रक्रिया
एक कॉक्स बिंदु प्रक्रिया, कॉक्स प्रक्रिया या दोगुनी प्रसंभाव्य पॉयसन प्रक्रिया पॉयसन बिंदु प्रक्रिया का एक सामान्यीकरण है जो इसकी इंटेंसिटी माप देती है। $$\textstyle \Lambda$$ अंतर्निहित पॉयसन प्रक्रिया से भी यादृच्छिक और स्वतंत्र होना। इस प्रक्रिया का नाम डेविड कॉक्स (सांख्यिकीविद) के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इसे 1955 में पेश किया था, हालांकि यादृच्छिक इंटेंसिटी वाली अन्य पॉयसन प्रक्रियाओं को स्वतंत्र रूप से पहले लुसिएन ले कैम और मौरिस क्वेनौली द्वारा पेश किया गया था। इंटेंसिटी माप यादृच्छिक चर या यादृच्छिक क्षेत्र का अहसास हो सकता है। उदाहरण के लिए, यदि इंटेंसिटी माप का प्राकृतिक लघुगणक गॉसियन यादृच्छिक क्षेत्र है, तो परिणामी प्रक्रिया को लॉग गॉसियन कॉक्स प्रक्रिया के रूप में जाना जाता है। अधिक आम तौर पर, इंटेंसिटी के उपाय एक गैर-नकारात्मक स्थानीय परिमित यादृच्छिक माप की प्राप्ति है। कॉक्स पॉइंट प्रक्रियाएं बिंदुओं के क्लस्टरिंग को प्रदर्शित करती हैं, जिसे गणितीय रूप से पॉयसन पॉइंट प्रक्रियाओं की तुलना में बड़ा दिखाया जा सकता है। कॉक्स प्रक्रियाओं की व्यापकता और सुवाह्यता के परिणामस्वरूप उन्हें स्थानिक सांख्यिकी जैसे क्षेत्रों में मॉडल के रूप में उपयोग किया जा रहा है और वायरलेस नेटवर्क।

चिह्नित प्वासों बिंदु प्रक्रिया
किसी दिए गए बिंदु प्रक्रिया के लिए, बिंदु प्रक्रिया के प्रत्येक यादृच्छिक बिंदु में एक यादृच्छिक गणितीय वस्तु हो सकती है, जिसे चिह्न के रूप में जाना जाता है, इसे यादृच्छिक रूप से असाइन किया जाता है। ये चिह्न पूर्णांक, वास्तविक संख्या, रेखाएँ, ज्यामितीय वस्तुएँ या अन्य बिंदु प्रक्रियाओं के रूप में विविध हो सकते हैं। बिंदु प्रक्रिया के एक बिंदु और उसके संबंधित चिह्न वाली जोड़ी को एक चिह्नित बिंदु कहा जाता है, और सभी चिह्नित बिंदु एक चिह्नित बिंदु प्रक्रिया बनाते हैं। अक्सर यह माना जाता है कि यादृच्छिक अंक एक दूसरे से स्वतंत्र होते हैं और समान रूप से वितरित होते हैं, फिर भी एक बिंदु का निशान अंतर्निहित (राज्य) स्थान में इसके संबंधित बिंदु के स्थान पर निर्भर हो सकता है। रेफरी नाम= किंगमैन 1992पृष्ठ55 >{{cite book|author=J. F. C. Kingman|title=पोइसन प्रक्रियाएं|url=https://books.google.com/books?id=VEiM-OtwDHkC|date=17 December 1992|publisher=Clarendon Press|isbn=978-0-19-159124-2|page=55} यदि अंतर्निहित बिंदु प्रक्रिया एक प्वॉइसन बिंदु प्रक्रिया है, तो परिणामी बिंदु प्रक्रिया एक चिन्हित पॉइसन बिंदु प्रक्रिया है। रेफ नाम = बेसेलीब्लास्ज़ज़ीस्ज़िन2009पृष्ठ291 >

अंकन प्रमेय
यदि एक सामान्य बिंदु प्रक्रिया को कुछ गणितीय स्थान पर परिभाषित किया जाता है और यादृच्छिक चिह्नों को किसी अन्य गणितीय स्थान पर परिभाषित किया जाता है, तो चिह्नित बिंदु प्रक्रिया को इन दो स्थानों के कार्टेशियन उत्पाद पर परिभाषित किया जाता है। स्वतंत्र और समान रूप से वितरित अंकों के साथ चिन्हित पॉयसन बिंदु प्रक्रिया के लिए, अंकन प्रमेय बताता है कि यह चिह्नित बिंदु प्रक्रिया भी एक (गैर-चिह्नित) पॉयसन बिंदु प्रक्रिया है जो दो गणितीय रिक्त स्थान के पूर्वोक्त कार्तीय उत्पाद पर परिभाषित है, जो सामान्य बिंदु प्रक्रियाओं के लिए सही नहीं है।

कंपाउंड पॉयसन पॉइंट प्रक्रिया
यौगिक पॉयसन बिंदु प्रक्रिया या यौगिक पॉयसन प्रक्रिया कुछ अंतर्निहित स्थान पर परिभाषित पॉयसन बिंदु प्रक्रिया के प्रत्येक बिंदु पर यादृच्छिक मान या भार जोड़कर बनाई जाती है, इसलिए प्रक्रिया एक चिह्नित पॉयसन बिंदु प्रक्रिया से निर्मित होती है, जहां निशान स्वतंत्र का एक संग्रह बनाते हैं। और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर गैर-नकारात्मक यादृच्छिक चर। दूसरे शब्दों में, मूल पॉयसन प्रक्रिया के प्रत्येक बिंदु के लिए, एक स्वतंत्र और समान रूप से वितरित गैर-नकारात्मक यादृच्छिक चर होता है, और फिर पॉसों प्रक्रिया के बिंदुओं के अनुरूप सभी यादृच्छिक चर के योग से यौगिक पॉयसन प्रक्रिया बनती है। अंतर्निहित गणितीय स्थान के कुछ क्षेत्र में।

यदि पॉसों बिंदु प्रक्रिया से गठित एक चिह्नित पॉसॉन बिंदु प्रक्रिया है $$\textstyle N$$ (पर परिभाषित, उदाहरण के लिए, $$\textstyle \mathbb{R}^d$$) और स्वतंत्र और समान रूप से वितरित गैर-नकारात्मक अंकों का संग्रह $$\textstyle \{M_i\}$$ ऐसा है कि प्रत्येक बिंदु के लिए $$\textstyle x_i$$ पॉयसन प्रक्रिया की $$\textstyle N$$ एक गैर-ऋणात्मक यादृच्छिक चर है $$\textstyle M_i$$, परिणामी यौगिक पॉयसन प्रक्रिया तब है:
 * $$ C(B)=\sum_{i=1}^{N(B)} M_i ,$$

जहाँ $$\textstyle B\subset \mathbb{R}^d$$ एक बोरेल मापने योग्य सेट है।

यदि सामान्य यादृच्छिक चर $$\textstyle \{M_i\}$$ मान लें, उदाहरण के लिए, $$\textstyle d$$-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष $$\textstyle \mathbb{R}^d$$, परिणामी यौगिक पॉयसन प्रक्रिया लेवी प्रक्रिया का एक उदाहरण है, बशर्ते कि यह एक समघाती बिंदु प्रक्रिया से बनाई गई हो $$\textstyle N$$ गैर-ऋणात्मक संख्याओं पर परिभाषित $$\textstyle [0, \infty) $$.

इंटेंसिटी कार्यों के घातीय चौरसाई के साथ विफलता प्रक्रिया
इंटेंसिटी कार्यों (एफपी-ईएसआई) के घातीय चौरसाई के साथ विफलता प्रक्रिया गैर-समरूप पॉयसन प्रक्रिया का विस्तार है। FP-ESI का इंटेंसिटी फंक्शन घटना घटित होने के अंतिम समय बिंदुओं पर इंटेंसिटी फंक्शन का एक्सपोनेंशियल स्मूथिंग फंक्शन है और 8 वास्तविक-विश्व विफलता डेटासेट पर अन्य नौ प्रसंभाव्य प्रक्रियाओं को मात देता है जब मॉडल डेटासेट को फिट करने के लिए उपयोग किए जाते हैं, जहां मॉडल के प्रदर्शन को एआईसी (एकाइक सूचना मानदंड) और बीआईसी (बायेसियन सूचना मानदंड) के संदर्भ में मापा जाता है।

यह भी देखें

 * बूलियन मॉडल (संभाव्यता सिद्धांत)
 * सातत्य रिसाव सिद्धांत
 * यौगिक पॉयसन प्रक्रिया
 * कॉक्स प्रक्रिया
 * बिंदु प्रक्रिया
 * स्टोकेस्टिक ज्यामिति
 * वायरलेस नेटवर्क के प्रसंभाव्य ज्यामिति मॉडल
 * मार्कोवियन आगमन प्रक्रियाएं

लेख


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