न्यूमार्क-बीटा विधि

न्यूमार्क-बीटा विधि संख्यात्मक एकीकरण की एक समय एकीकरण विधि है जिसका उपयोग कुछ अंतर समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है। इसका व्यापक रूप से संरचनाओं और ठोस पदार्थों की गतिशील प्रतिक्रिया के संख्यात्मक मूल्यांकन में उपयोग किया जाता है जैसे संरचनात्मक यांत्रिकी में गतिशील प्रणालियों को मॉडल करने के लिए परिमित तत्व विधि में। इस विधि का नाम नाथन एम. न्यूमार्क के नाम पर रखा गया है, अर्बाना-शैंपेन में इलिनोइस विश्वविद्यालय में सिविल इंजीनियरिंग के पूर्व प्रोफेसर, जिन्होंने इसे संरचनात्मक गतिशीलता में उपयोग के लिए 1959 में विकसित किया था। अर्ध-विवेकाधीन संरचनात्मक समीकरण एक दूसरे क्रम का साधारण अंतर समीकरण प्रणाली है,

$$M\ddot{u} + C\dot{u} + f^{\textrm{int}}(u) = f^{\textrm{ext}} \,$$ यहाँ $$M$$ द्रव्यमान मैट्रिक्स है, $$C$$ अवमंदन मैट्रिक्स है, $$f^{\textrm{int}}$$ और $$f^{\textrm{ext}}$$ क्रमशः प्रति इकाई विस्थापन आंतरिक बल और बाह्य बल हैं।

विस्तारित माध्य मान प्रमेय का उपयोग करते हुए, न्यूमार्क-$$\beta$$ विधि बताती है कि पहली बार व्युत्पन्न (गति के समीकरण में वेग) को इस प्रकार हल किया जा सकता है,


 * $$\dot{u}_{n+1}=\dot{u}_n+ \Delta t~\ddot{u}_\gamma \,$$

कहाँ


 * $$\ddot{u}_\gamma = (1 - \gamma)\ddot{u}_n + \gamma \ddot{u}_{n+1}~0\leq \gamma \leq 1$$

इसलिए


 * $$\dot{u}_{n+1}=\dot{u}_n + (1 - \gamma) \Delta t~\ddot{u}_n + \gamma \Delta t~\ddot{u}_{n+1}.$$

चूँकि त्वरण भी समय के साथ बदलता रहता है, हालाँकि, सही विस्थापन प्राप्त करने के लिए विस्तारित माध्य मान प्रमेय को दूसरी बार व्युत्पन्न तक भी बढ़ाया जाना चाहिए। इस प्रकार,


 * $$u_{n+1}=u_n + \Delta t~\dot{u}_n+\begin{matrix} \frac 1 2 \end{matrix} \Delta t^2~\ddot{u}_\beta $$

फिर कहाँ


 * $$\ddot{u}_\beta = (1 - 2\beta)\ddot{u}_n + 2\beta\ddot{u}_{n+1}~0\leq 2\beta\leq 1$$

विवेकाधीन संरचनात्मक समीकरण बन जाता है

$$\begin{aligned} &\dot{u}_{n+1}=\dot{u}_n + (1 - \gamma) \Delta t~\ddot{u}_n + \gamma \Delta t~\ddot{u}_{n+1}\\ &u_{n+1}=u_n + \Delta t~\dot{u}_n + \frac{\Delta t^2}{2}\left((1 - 2\beta)\ddot{u}_n + 2\beta\ddot{u}_{n+1}\right)\\ &M\ddot{u}_{n+1} + C\dot{u}_{n+1} + f^{\textrm{int}}(u_{n+1}) = f_{n+1}^{\textrm{ext}} \, \end{aligned}$$ स्पष्ट केंद्रीय अंतर योजना सेटिंग द्वारा प्राप्त की जाती है $$\gamma=0.5 $$ और $$\beta=0 $$ औसत स्थिर त्वरण (मध्य बिंदु नियम) सेटिंग द्वारा प्राप्त किया जाता है $$\gamma=0.5 $$ और $$\beta=0.25 $$

स्थिरता विश्लेषण
यदि एकीकरण समय-चरण मौजूद है तो एक समय-एकीकरण योजना को स्थिर कहा जाता है $$\Delta t_0 > 0$$ ताकि किसी के लिए भी $$\Delta t \in (0, \Delta t_0]$$, राज्य वेक्टर का एक सीमित रूपांतर $$q_n$$ समय पर $$t_n$$ राज्य-वेक्टर में केवल एक गैर-बढ़ती भिन्नता उत्पन्न होती है $$q_{n+1}$$ बाद के समय में गणना की गई $$t_{n+1}$$. मान लें कि समय-एकीकरण योजना है

$$q_{n+1} = A(\Delta t) q_n + g_{n+1}(\Delta t)$$ रैखिक स्थिरता के बराबर है $$\rho(A(\Delta t)) \leq 1$$, यहाँ $$\rho(A(\Delta t))$$ अद्यतन मैट्रिक्स का वर्णक्रमीय त्रिज्या है $$A(\Delta t)$$.

रैखिक संरचनात्मक समीकरण के लिए

$$M\ddot{u} + C\dot{u} + K u = f^{\textrm{ext}} \,$$ यहाँ $$K$$ कठोरता मैट्रिक्स है. होने देना $$q_n = [\dot{u}_n, u_n]$$, अद्यतन मैट्रिक्स है $$A = H_1^{-1}H_0$$, और

$$\begin{aligned} H_1 = \begin{bmatrix} M + \gamma\Delta tC & \gamma \Delta t K\\ \beta \Delta t^2 C & M + \beta\Delta t^2 K \end{bmatrix}\qquad H_0 = \begin{bmatrix} M - (1-\gamma)\Delta tC & -(1 -\gamma) \Delta t K\\ -(\frac{1}{2} - \beta) \Delta t^2 C +\Delta t M & M - (\frac{1}{2} - \beta)\Delta t^2 K \end{bmatrix} \end{aligned}$$ अनडैम्प्ड केस के लिए ($$C = 0$$), अद्यतन मैट्रिक्स को eigenmodes को शुरू करके अलग किया जा सकता है $$u = e^{i \omega_i t} x_i$$ संरचनात्मक प्रणाली का, जिसे सामान्यीकृत आइगेनवेल्यू समस्या द्वारा हल किया जाता है

$$\omega^2 M x = K x  \,$$ प्रत्येक ईजेनमोड के लिए, अद्यतन मैट्रिक्स बन जाता है

$$\begin{aligned} H_1 = \begin{bmatrix} 1 & \gamma \Delta t \omega_i^2\\ 0 & 1 + \beta\Delta t^2 \omega_i^2 \end{bmatrix}\qquad H_0 = \begin{bmatrix} 1 & -(1 -\gamma) \Delta t \omega_i^2\\ \Delta t & 1 - (\frac{1}{2} - \beta)\Delta t^2 \omega_i^2 \end{bmatrix} \end{aligned}$$ अद्यतन मैट्रिक्स की विशेषता समीकरण है

$$\lambda^2 - \left(2 - (\gamma + \frac{1}{2})\eta_i^2\right)\lambda + 1 - (\gamma - \frac{1}{2})\eta_i^2 = 0 \,\qquad \eta_i^2 = \frac{\omega_i^2\Delta t^2}{1 + \beta\omega_i^2\Delta t^2}$$ जहां तक ​​स्थिरता की बात है तो हमारे पास है

स्पष्ट केंद्रीय अंतर योजना ($$\gamma=0.5 $$ और $$\beta=0 $$) स्थिर है जब $$\omega \Delta t \leq 2$$.

औसत स्थिर त्वरण (मध्य बिंदु नियम) ($$\gamma=0.5 $$ और $$\beta=0.25 $$) बिना शर्त स्थिर है।