फेजर

भौतिकी और अभियांत्रिकी में, एक चरण (चरण सदिश का एक पोर्टमैंटू ) साइन लहर का प्रतिनिधित्व करने वाली एक जटिल संख्या है जिसका आयाम ($ω$), कोणीय आवृत्ति ($A$), और चरण (तरंगें) ($ω$) समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली हैं| समय-अपरिवर्तनीय हैं। यह विश्लेषणात्मक संकेत नामक एक अधिक सामान्य अवधारणा से संबंधित है, जो समय और आवृत्ति के आधार पर एक जटिल स्थिरांक और एक कारक के उत्पाद में एक साइनसॉइड को विघटित करता है। जटिल स्थिरांक, जो आयाम और चरण पर निर्भर करता है, को फेजर या जटिल आयाम के रूप में जाना जाता है,  और (पुराने ग्रंथों में) सिनर या यहां तक ​​कि जटिल कहा जाता है। यह विश्लेषणात्मक संकेत नामक एक अधिक सामान्य अवधारणा से संबंधित है, जो समय और आवृत्ति के आधार पर एक जटिल स्थिरांक और एक कारक के उत्पाद में एक साइनसॉइड को विघटित करता है। जटिल स्थिरांक, जो आयाम और चरण पर निर्भर करता है, को फेजर या जटिल आयाम के रूप में जाना जाता है,  और (पुराने ग्रंथों में) सिनर या यहां तक ​​कि जटिल कहा जाता है।  प्रत्यावर्ती धारा द्वारा संचालित विद्युत नेटवर्क में एक सामान्य स्थिति एक ही आवृत्ति के साथ कई साइनसोइड्स का अस्तित्व है, लेकिन विभिन्न आयाम और चरण हैं। उनके विश्लेषणात्मक अभ्यावेदन में एकमात्र अंतर जटिल आयाम (फासर) है। ऐसे कार्यों के एक रैखिक संयोजन को चरणों के एक रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है (जिसे चरण अंकगणित या चरण बीजगणित के रूप में जाना जाता है) और समय आवृत्ति पर निर्भर कारक जो उन सभी में समान है।

फेजर शब्द की उत्पत्ति ठीक ही बताती है कि यूक्लिडियन वेक्टर के लिए संभव के समान एक (डायग्रामेटिक) कैलकुलस फेजर के लिए भी संभव है। फेजर ट्रांसफॉर्म की एक महत्वपूर्ण अतिरिक्त विशेषता यह है कि साइनसॉइडल संकेत के व्युत्पन्न और अभिन्न (स्थिर आयाम, अवधि और चरण वाले) फेजर्स पर सरल बीजगणितीय संचालन से मेल खाते हैं; चरण रूपांतरण इस प्रकार आरएलसी सर्किट के वैकल्पिक वर्तमान स्थिर स्थिति (इलेक्ट्रॉनिक्स) के नेटवर्क विश्लेषण (विद्युत सर्किट) (गणना) को अंतर समीकरण को हल करने के अतिरिक्त फेजर डोमेन में सरल बीजगणितीय समीकरण (यद्यपि जटिल गुणांक के साथ) को हल करके (वास्तविक के साथ) की अनुमति देता है। संख्या गुणांक समय डोमेन में।   चरण परिवर्तन के प्रवर्तक 19वीं शताब्दी के अंत में सामान्य विद्युतीय में काम कर रहे चार्ल्स प्रोटियस स्टेनमेट्ज़ थे।

कुछ गणितीय विवरणों पर प्रकाश डालते हुए, चरण परिवर्तन को लाप्लास रूपांतरण के एक विशेष स्थितियों के रूप में भी देखा जा सकता है, जिसका अतिरिक्त रूप से उपयोग किया जा सकता है (एक साथ) एक आरएलसी सर्किट की क्षणिक प्रतिक्रिया प्राप्त करने के लिए। चुकीं ,लाप्लास परिवर्तन गणितीय रूप से लागू करने के लिए अधिक कठिन है और यदि केवल स्थिर स्थिति विश्लेषण की आवश्यकता है तो प्रयास अनुचित हो सकता है।



नोटेशन
फेजर नोटेशन (एंगल नोटेशन के रूप में भी जाना जाता है) इलेक्ट्रॉनिक्स इंजीनियरिंग और विद्युत अभियन्त्रण में प्रयोग होने वाला एक गणितीय संकेतन है। $$1 \angle \theta$$ यूक्लिडियन वेक्टर का प्रतिनिधित्व कर सकता है $$(\cos \theta,\, \sin \theta)$$ या जटिल संख्या $$\cos \theta + i \sin \theta = e^{i\theta}$$, साथ $$i^2 = -1$$, दोनों में 1 का परिमाण (गणित) है। एक सदिश जिसका ध्रुवीय निर्देशांक जटिल संख्याएं परिमाण हैं $$A$$ और कोण $$\theta$$ लिखा है $$A \angle \theta.$$

कोण को डिग्री (कोण) में डिग्री से कांति में निहित रूपांतरण के साथ कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए $$1 \angle 90$$ माना जाएगा $$1 \angle 90^\circ,$$ जो वेक्टर है $$(0,\, 1)$$ या संख्या $$e^{i\pi/2} = i.$$

परिभाषा
निरंतर आयाम, आवृत्ति और चरण के साथ वास्तविक मूल्यवान साइनसॉइड का रूप है:


 * $$A\cos(\omega t + \theta),$$

जहां केवल पैरामीटर $$t$$ समय-भिन्न है। एक काल्पनिक भाग का समावेश:


 * $$i \cdot A\sin(\omega t + \theta)$$

यूलर के सूत्र के अनुसार, लेड पैराग्राफ में वर्णित फैक्टरिंग संपत्ति देता है:


 * $$A\cos(\omega t + \theta) + i\cdot A\sin(\omega t + \theta) = A e^{i(\omega t + \theta)} = A e^{i \theta} \cdot e^{i\omega t},$$

जिसका वास्तविक भाग मूल साइनसॉइड है। जटिल प्रतिनिधित्व का लाभ यह है कि अन्य जटिल प्रस्तुतियों के साथ रैखिक संचालन एक जटिल परिणाम उत्पन्न करता है जिसका वास्तविक भाग अन्य जटिल साइनसॉइड के वास्तविक भागों के साथ समान रैखिक संचालन को दर्शाता है। इसके अतिरिक्त, सभी गणित सिर्फ चरणों के साथ किया जा सकता है $$A e^{i \theta},$$ और सामान्य कारक $$e^{i\omega t}$$ परिणाम के वास्तविक भाग से पहले पुन: सम्मिलित किया जाता है।

कार्यक्रम $$Ae^{i(\omega t + \theta)}$$ का विश्लेषणात्मक निरूपण कहा जाता है $$A\cos(\omega t + \theta).$$ चित्र 2 इसे जटिल तल में घूमते हुए सदिश के रूप में दर्शाता है। कभी-कभी संपूर्ण कार्य को चरण के रूप में संदर्भित करना सुविधाजनक होता है, जैसा कि हम अगले भाग में करते हैं। लेकिन फेजर शब्द का अर्थ सामान्यतः पर केवल स्थिर जटिल संख्या होता है $$A e^{i\theta}.$$

एक स्थिर (अदिश) द्वारा गुणा
चरण का गुणन $$A e^{i\theta} e^{i\omega t}$$ एक जटिल स्थिरांक द्वारा, $$B e^{i\phi}$$, एक और चरण पैदा करता है। इसका अर्थ है कि इसका एकमात्र प्रभाव अंतर्निहित साइनसॉइड के आयाम और चरण को बदलना है: $$\begin{align} &\operatorname{Re}\left( \left(A e^{i\theta} \cdot B e^{i\phi}\right) \cdot e^{i\omega t} \right) \\ ={} &\operatorname{Re}\left( \left(AB e^{i(\theta + \phi)}\right) \cdot e^{i\omega t} \right) \\ ={} &AB \cos(\omega t + (\theta + \phi)). \end{align}$$ इलेक्ट्रॉनिक्स में, $$B e^{i\phi}$$ एक विद्युत प्रतिबाधा का प्रतिनिधित्व करेगा, जो समय से स्वतंत्र है। विशेष रूप से यह किसी अन्य चरण के लिए आशुलिपि संकेतन नहीं है। फेजर धारा को प्रतिबाधा से गुणा करने पर फेजर वोल्टेज उत्पन्न होता है। लेकिन दो फेजर्स (या फेजर को स्क्वायर करना) का उत्पाद दो साइनसोइड्स के उत्पाद का प्रतिनिधित्व करेगा, जो एक गैर-रैखिक ऑपरेशन है जो नए आवृत्ति घटकों का उत्पादन करता है। फेजर नोटेशन केवल एक आवृत्ति वाले सिस्टम का प्रतिनिधित्व कर सकता है, जैसे साइनसॉइड द्वारा प्रेरित एक रैखिक प्रणाली।

जोड़
एकाधिक चरणों का योग एक और चरण उत्पन्न करता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि समान आवृत्ति वाले साइनसोइड्स का योग भी उस आवृत्ति के साथ एक साइनसॉइड होता है: $$\begin{align} &A_1\cos(\omega t + \theta_1) + A_2\cos(\omega t + \theta_2) \\[3pt] ={} &\operatorname{Re}\left( A_1 e^{i\theta_1}e^{i\omega t} \right) + \operatorname{Re}\left( A_2 e^{i\theta_2}e^{i\omega t} \right) \\[3pt] ={} &\operatorname{Re}\left( A_1 e^{i\theta_1}e^{i\omega t} + A_2 e^{i\theta_2} e^{i\omega t} \right) \\[3pt] ={} &\operatorname{Re}\left( \left(A_1 e^{i\theta_1} + A_2 e^{i\theta_2}\right) e^{i\omega t} \right) \\[3pt] ={} &\operatorname{Re}\left( \left(A_3 e^{i\theta_3}\right) e^{i\omega t} \right) \\[3pt] ={} &A_3 \cos(\omega t + \theta_3), \end{align}$$ कहाँ: $$A_3^2 = (A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos \theta_2)^2 + (A_1 \sin\theta_1 + A_2 \sin\theta_2)^2,$$ और, अगर हम लेते हैं $ \theta_3 \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$, तब $$\theta_3$$ है:
 * $\sgn(A_1 \sin(\theta_1) + A_2 \sin(\theta_2)) \cdot \frac{\pi}{2},$  अगर $$A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos\theta_2 = 0,$$ साथ $$\sgn$$ साइन समारोह;
 * $$\arctan\left(\frac{A_1 \sin\theta_1 + A_2 \sin\theta_2}{A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos\theta_2}\right),$$ अगर $$A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos\theta_2 > 0$$;
 * $$\pi + \arctan\left(\frac{A_1 \sin\theta_1 + A_2 \sin\theta_2}{A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos\theta_2}\right),$$ अगर $$A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos\theta_2 < 0$$.

या, जटिल तल पर कोसाइन के कानून के माध्यम से (या त्रिकोणमितीय पहचान # कोण योग और अंतर पहचान): $$ A_3^2 = A_1^2 + A_2^2 - 2 A_1 A_2 \cos(180^\circ - \Delta\theta) = A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos(\Delta\theta), $$ जहाँ $$\Delta\theta = \theta_1 - \theta_2.$$

एक जरुरी बात यह है कि ए3 और θ3 ω या t पर निर्भर न हों, जो फेजर नोटेशन को संभव बनाता है। समय और आवृत्ति निर्भरता को दबाया जा सकता है और परिणाम में फिर से सम्मिलित किया जा सकता है जब तक कि बीच में उपयोग किए जाने वाले एकमात्र संचालन वे होते हैं जो एक और चरण उत्पन्न करते हैं। कोण संकेतन में, ऊपर दिखाए गए ऑपरेशन को लिखा गया है: $$A_1 \angle \theta_1 + A_2 \angle \theta_2 = A_3 \angle \theta_3.$$ जोड़ देखने का दूसरी विधि यह है कि निर्देशांक वाले दो वैक्टर $t = 0$ और $t = n 2π/ω$ वेक्टर हैं (ज्यामितीय)#जोड़ और घटाव निर्देशांक के साथ एक परिणामी वेक्टर का उत्पादन करने के लिए $[A_{1} cos(ωt + θ_{1}), A_{1} sin(ωt + θ_{1})]$ (एनीमेशन देखें)।

भौतिकी में, इस प्रकार का जोड़ तब होता है जब साइनसॉइड हस्तक्षेप (तरंग प्रसार) एक दूसरे के साथ, रचनात्मक या विनाशकारी रूप से होता है। स्थैतिक वेक्टर अवधारणा इस तरह के प्रश्नों में उपयोगी अंतर्दृष्टि प्रदान करती है: पूर्ण रद्दीकरण के लिए तीन समान साइनसोइड्स के बीच किस चरण के अंतर की आवश्यकता होगी? इस स्थितियों में, बस समान लंबाई के तीन वैक्टर लेने की कल्पना करें और उन्हें सिर से पूंछ तक इस तरह रखें कि आखिरी सिर पहली पूंछ से जोड़ खाता हो। स्पष्ट रूप से, जो आकृति इन शर्तों को संतुष्ट करती है वह एक समबाहु त्रिभुज है, इसलिए प्रत्येक चरण से अगले चरण के बीच का कोण 120° ($θ$रेडियन), या तरंग दैर्ध्य का एक तिहाई $n$. तो प्रत्येक तरंग के बीच का चरण अंतर भी 120 ° होना चाहिए, जैसा कि तीन चरण की शक्ति में होता है।

दूसरे शब्दों में, यह क्या दर्शाता है कि: $$\cos(\omega t) + \cos\left(\omega t + \frac{2\pi}{3}\right) + \cos\left(\omega t - \frac{2\pi}{3}\right) = 0.$$ तीन तरंगों के उदाहरण में, पहली और आखिरी लहर के बीच चरण अंतर 240 डिग्री था, जबकि दो तरंगों के लिए विनाशकारी हस्तक्षेप 180 डिग्री पर होता है। कई तरंगों की सीमा में, फेजर्स को विनाशकारी हस्तक्षेप के लिए एक चक्र बनाना चाहिए, चुकीं पहला फेजर अंतिम के साथ लगभग समानांतर हो। इसका अर्थ  यह है कि कई स्रोतों के लिए विनाशकारी हस्तक्षेप तब होता है जब पहली और आखिरी लहर 360 डिग्री, एक पूर्ण तरंग दैर्ध्य से भिन्न होती है $$\lambda$$. यही कारण है कि एकल भट्ठा विवर्तन में, मिनिमा तब होता है जब दूर किनारे से प्रकाश निकट किनारे से प्रकाश की तुलना में पूर्ण तरंग दैर्ध्य यात्रा करता है।

चूंकि एकल वेक्टर वामावर्त दिशा में घूमता है, बिंदु A पर इसकी नोक 360° या 2 की एक पूर्ण क्रांति को घुमाएगीπरेडियंस एक पूर्ण चक्र का प्रतिनिधित्व करते हैं। यदि इसकी गतिमान नोक की लंबाई समय में अलग-अलग कोणीय अंतरालों पर एक ग्राफ में स्थानांतरित की जाती है, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, तो एक साइनसॉइडल तरंग को शून्य समय के साथ बाईं ओर से खींचा जाएगा। क्षैतिज अक्ष के साथ प्रत्येक स्थिति उस समय को इंगित करती है जो शून्य समय से बीत चुका है, $[A_{2} cos(ωt + θ_{2}), A_{2} sin(ωt + θ_{2})]$. जब वेक्टर क्षैतिज होता है तो वेक्टर की नोक 0°, 180° और 360° पर कोणों का प्रतिनिधित्व करती है।

इसी तरह, जब वेक्टर की नोक लंबवत होती है तो यह सकारात्मक शिखर मान का प्रतिनिधित्व करती है, ($[A_{3} cos(ωt + θ_{3}), A_{3} sin(ωt + θ_{3})]$) 90° पर या $2\pi/3$ और ऋणात्मक शिखर मान, ($t = 0$) 270° पर या $λ/3$. तब तरंग का समय अक्ष या तो डिग्री या रेडियन में कोण का प्रतिनिधित्व करता है जिसके माध्यम से फेजर चला गया है। तो हम कह सकते हैं कि फेजर एक स्केल्ड वोल्टेज या घूर्णन वेक्टर के वर्तमान मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है जो किसी समय में जमे हुए हैं, ($\pi/2$) और ऊपर हमारे उदाहरण में, यह 30° के कोण पर है।

कभी-कभी जब हम प्रत्यावर्ती तरंगों का विश्लेषण कर रहे होते हैं, तो हमें फेजर की स्थिति जानने की आवश्यकता हो सकती है, जो समय में किसी विशेष क्षण में वैकल्पिक मात्रा का प्रतिनिधित्व करती है, खासकर जब हम एक ही अक्ष पर दो अलग-अलग तरंगों की तुलना करना चाहते हैं। उदाहरण के लिए, वोल्टेज और करंट। हमने ऊपर तरंग रूप में मान लिया है कि तरंग समय पर शुरू होती है $+A_{max}$ डिग्री या रेडियन में संबंधित चरण कोण के साथ होती है ।

लेकिन अगर एक दूसरी तरंग इस शून्य बिंदु के बाईं ओर या दाईं ओर शुरू होती है, या यदि हम दो तरंगों के बीच के संबंध को फेजर टिप्पणी में प्रस्तुत करना चाहते हैं, तो हमें इस चरण के अंतर को ध्यान में रखना होगा, Φ तरंग का। पिछले चरण अंतर ट्यूटोरियल से नीचे दिए गए आरेख पर विचार करें।

विभेदीकरण और एकीकरण
फेजर का समय व्युत्पन्न या अभिन्न एक और फेजर पैदा करता है। उदाहरण के लिए: $$\begin{align} &\operatorname{Re}\left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \mathord\left(A e^{i\theta} \cdot e^{i\omega t}\right) \right) \\ ={} &\operatorname{Re}\left( A e^{i\theta} \cdot i\omega e^{i\omega t} \right) \\ ={} &\operatorname{Re}\left( A e^{i\theta} \cdot e^{i\pi/2} \omega e^{i\omega t} \right) \\ ={} &\operatorname{Re}\left( \omega A e^{i(\theta + \pi/2)} \cdot e^{i\omega t} \right) \\ ={} &\omega A \cdot \cos\left(\omega t + \theta + \frac{\pi}{2}\right). \end{align}$$ इसलिए, चरण प्रतिनिधित्व में, एक साइनसॉइड का व्युत्पन्न समय स्थिरांक से गुणा हो जाता है $i \omega = e^{i\pi/2} \cdot \omega$.

इसी प्रकार, एक फेजर को एकीकृत करना गुणा से मेल खाता है $\frac{1}{i\omega} = \frac{e^{-i\pi/2}}{\omega}.$ समय-निर्भर कारक, $$e^{i\omega t},$$ अप्रभावित है।

जब हम फेजर अंकगणित के साथ एक रेखीय अंतर समीकरण को हल करते हैं, तो हम केवल गुणनखण्ड कर रहे होते हैं $$e^{i\omega t}$$ समीकरण की सभी शर्तों से बाहर, और इसे उत्तर में पुनः सम्मिलित करना। उदाहरण के लिए, आरसी सर्किट में संधारित्र के पार वोल्टेज के लिए निम्नलिखित अंतर समीकरण पर विचार करें: $$\frac{\mathrm{d}\, v_\text{C}(t)}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{RC}v_\text{C}(t) = \frac{1}{RC} v_\text{S}(t).$$ जब इस सर्किट में वोल्टेज स्रोत साइनसोइडल होता है: $$v_\text{S}(t) = V_\text{P} \cdot \cos(\omega t + \theta),$$ हम स्थानापन्न कर सकते हैं $$v_\text{S}(t) = \operatorname{Re}\left( V_\text{s} \cdot e^{i \omega t} \right).$$

$$v_\text{C}(t) = \operatorname{Re}\left(V_\text{c} \cdot e^{i \omega t} \right),$$ जहां चरण $$V_\text{s} = V_\text{P} e^{i\theta},$$ और चरण $$V_\text{c}$$ निर्धारित की जाने वाली अज्ञात मात्रा है।

फेजर शॉर्टहैंड नोटेशन में, डिफरेंशियल इक्वेशन कम हो जाता है: $$i \omega V_\text{c} + \frac{1}{RC} V_\text{c} = \frac{1}{RC}V_\text{s}.$$

$3\pi/2$

फेजर कैपेसिटर वोल्टेज के लिए समाधान देता है: $$V_\text{c} = \frac{1}{1 + i \omega RC} \cdot V_\text{s} = \frac{1 - i\omega R C}{1 + (\omega RC)^2} \cdot V_\text{P} e^{i\theta}.$$ जैसा कि हमने देखा है, गुणक गुणन करता है $$V_\text{s}$$ के आयाम और चरण के अंतर का प्रतिनिधित्व करता है $$v_\text{C}(t)$$ के सापेक्ष $$V_\text{P}$$ और $$\theta.$$ ध्रुवीय निर्देशांक रूप में, अंतिम व्यंजक का पहला पद है: $$\frac{1 - i\omega R C}{1 + (\omega RC)^2}=\frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}\cdot e^{-i \phi(\omega)},$$ कहाँ $$\phi(\omega) = \arctan(\omega RC)$$.

इसलिए: $$v_\text{C}(t) =\operatorname{Re}\left(V_\text{c} \cdot e^{i \omega t} \right)= \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}\cdot V_\text{P} \cos(\omega t + \theta - \phi(\omega)).$$

चरणों का अनुपात
जटिल विद्युत प्रतिबाधा नामक एक मात्रा दो फेजर्स का अनुपात है, जो फेजर नहीं है, क्योंकि यह साइनसोइडली भिन्न फ़ंक्शन के अनुरूप नहीं है।

सर्किट कानून
फेजर्स के साथ, एकदिश धारा सर्किट को हल करने की विधि को रैखिक एसी सर्किट को हल करने के लिए लागू किया जा सकता है।
 * प्रतिरोधों के लिए ओम का नियम: एक प्रतिरोधक के पास समय की देरी नहीं होती है और इसलिए संकेत के चरण को नहीं बदलता है $−A_{max}$ वैध रहता है।
 * प्रतिरोधों, प्रेरकों और संधारित्रों के लिए ओम का नियम: $t = 0$ कहाँ $t$ जटिल विद्युत प्रतिबाधा है।
 * किरचॉफ के सर्किट नियम: वोल्टेज और करंट के साथ जटिल फेजर्स के रूप में कार्य करें।

एसी सर्किट में हमारे पास वास्तविक शक्ति होती है ($$) जो सर्किट और प्रतिक्रियाशील शक्ति (क्यू) में औसत शक्ति का प्रतिनिधित्व है जो आगे और पीछे बहने वाली शक्ति को इंगित करता है। हम जटिल शक्ति को भी परिभाषित कर सकते हैं $V = IR$ और स्पष्ट शक्ति जो की परिमाण है $Z$. फेजर्स में व्यक्त एसी सर्किट के लिए शक्ति कानून तब है $V = IZ$ (कहाँ $S = P + jQ$ का जटिल संयुग्म है $S = VI^{*}$, और वोल्टेज और वर्तमान चरण के परिमाण $I^{*}$ और का $I$ वोल्टेज और करंट के मूल माध्य वर्ग परिभाषा मान क्रमशः हैं)।

इसे देखते हुए हम रेसिस्टर्स, कैपेसिटर और प्रारंभ करनेवाला ्युक्त सिंगल आवृत्ति  लीनियर एसी सर्किट का विश्लेषण करने के लिए फेजर्स के साथ रेसिस्टिव सर्किट के विश्लेषण की विधि को लागू कर सकते हैं। बहु आवृत्ति रैखिक एसी सर्किट और विभिन्न तरंगों के साथ एसी सर्किट का विश्लेषण वोल्टेज और धाराओं को खोजने के लिए किया जा सकता है, सभी तरंगों को परिमाण और चरण के साथ साइन वेव घटकों (फूरियर श्रृंखला का उपयोग करके) में परिवर्तित करके, फिर प्रत्येक आवृत्ति का अलग-अलग विश्लेषण किया जा सकता है, जैसा कि सुपरपोजिशन प्रमेय द्वारा अनुमत है। यह समाधान विधि केवल उन इनपुटों पर लागू होती है जो ज्यावक्रीय हैं और उन समाधानों के लिए जो स्थिर अवस्था में हैं, अर्थात, सभी ट्रांज़िएंट के समाप्त हो जाने के बाद।

अवधारणा अधिकांशतः  एक विद्युत प्रतिबाधा का प्रतिनिधित्व करने में सम्मिलित    होती है। इस स्थितियों  में, चरण कोण प्रतिबाधा पर लागू वोल्टेज और इसके माध्यम से संचालित वर्तमान के बीच का चरण अंतर है।

पावर इंजीनियरिंग
तीन चरण एसी बिजली प्रणालियों के विश्लेषण में, सामान्यतः पर फेजर्स का एक सेट एकता के तीन जटिल घन जड़ों के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो ग्राफिक रूप से 0, 120 और 240 डिग्री के कोण पर इकाई परिमाण के रूप में दर्शाया जाता है। पॉलीपेज़ एसी सर्किट मात्राओं को फ़ैसर के रूप में उपचार करके, संतुलित सर्किट को सरल बनाया जा सकता है और असंतुलित सर्किट को सममित घटक के बीजगणितीय संयोजन के रूप में माना जा सकता है। यह दृष्टिकोण वोल्टेज ड्रॉप, पावर फ्लो और शॉर्ट-सर्किट धाराओं की विद्युत गणना में आवश्यक कार्य को बहुत सरल करता है। पावर सिस्टम विश्लेषण के संदर्भ में, चरण कोण अधिकांशतः   डिग्री (कोण) में दिया जाता है, और साइनसॉइड के शिखर आयाम के अतिरिक्त  वर्गमूल औसत का वर्ग मूल्य में परिमाण है ।

तुल्यकालिक की विधि  ट्रांसमिशन नेटवर्क में व्यापक बिंदुओं पर ट्रांसमिशन सिस्टम वोल्टेज का प्रतिनिधित्व करने वाले चरणों को मापने के लिए डिजिटल उपकरणों का उपयोग करती है। फेजर्स के बीच अंतर शक्ति प्रवाह और सिस्टम स्थिरता का संकेत देते हैं।

दूरसंचार: अनुरूप मॉडुलन
फेजर का उपयोग कर घूर्णन फ्रेम चित्र एनालॉग मॉड्यूलेशन जैसे आयाम मॉड्यूलेशन (और इसके वेरिएंट) को समझने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण हो सकता है ) और आवृत्ति मॉडुलन।

$$x(t) = \operatorname{Re}\left( A e^{i \theta} \cdot e^{i 2\pi f_0 t} \right),$$ जहां कोष्ठक में शब्द जटिल विमान में घूर्णन वेक्टर के रूप में देखा जाता है।

फेजर की लंबाई होती है $$A$$, की दर से वामावर्त घुमाता है $$f_0$$ प्रति सेकंड और समय पर क्रांतियाँ $$t = 0$$ का कोण बनाता है $$\theta$$ सकारात्मक वास्तविक अक्ष के संबंध में।

तरंग $$x(t)$$ फिर वास्तविक अक्ष पर इस सदिश के प्रक्षेपण के रूप में देखा जा सकता है। इस फेजर (वाहक) और दो अतिरिक्त फेजर्स (मॉड्यूलेशन फेजर्स) द्वारा एक संग्राहक तरंग का प्रतिनिधित्व किया जाता है। यदि मॉड्यूलेटिंग संकेत फॉर्म का सिंगल टोन है $$Am \cos{2\pi f_m t} $$, कहाँ $$m$$ मॉडुलन गहराई है और $$f_m$$ मॉडुलक संकेत  की आवृत्ति है, तो आयाम मॉडुलन के लिए दो मॉडुलन चरणों द्वारा दिया जाता है,

$${1 \over 2} Am e^{i \theta} \cdot e^{i 2\pi (f_0+f_m) t}$$, और

$${1 \over 2} Am e^{i \theta} \cdot e^{i 2\pi (f_0-f_m) t}$$.

दो मॉडुलन चरणों को चरणबद्ध किया जाता है जैसे कि उनका वेक्टर योग हमेशा वाहक चरण के साथ चरण में होता है। एक वैकल्पिक प्रतिनिधित्व एक दर पर वाहक चरण के अंत के चारों ओर घूमने वाले दो चरण हैं $$f_m$$ वाहक चरण के सापेक्ष। वह है,

$${1 \over 2} Am e^{i \theta} \cdot e^{i 2\pi f_m t}$$, और

$${1 \over 2} Am e^{i \theta} \cdot e^{-i 2\pi f_m t}$$.

फ़्रीक्वेंसी मॉड्यूलेशन एक समान प्रतिनिधित्व है, अतिरिक्त इसके कि नियमन चरण वाहक के साथ चरण में नहीं हैं। इस स्थितियों में मॉड्यूलेटिंग फेजर्स का वेक्टर योग वाहक चरण से 90 डिग्री स्थानांतरित हो जाता है। कड़ाई से, आवृत्ति मॉडुलन प्रतिनिधित्व के लिए अतिरिक्त छोटे मॉडुलन चरणों की आवश्यकता होती है $$2f_m, 3f_m$$ आदि, लेकिन अधिकांश व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए इनकी उपेक्षा की जाती है क्योंकि इनका प्रभाव बहुत कम होता है।

यह भी देखें

 * इन-फेज और क्वाडरेचर घटक
 * नक्षत्र आरेख
 * विश्लेषणात्मक संकेत, समय-भिन्न आयाम, चरण और आवृत्ति के लिए चरणों का एक सामान्यीकरण।
 * जटिल लिफाफा
 * चरण कारक, इकाई परिमाण का एक चरण

बाहरी संबंध

 * Phasor Phactory
 * Visual Representation of Phasors
 * Polar and Rectangular Notation
 * Phasor in Telecommunication