अपेक्षित न्यूनता

अपेक्षित कमी (ईएस) एक जोखिम माप है - एक अवधारणा जिसका उपयोग वित्तीय जोखिम माप के क्षेत्र में किसी पोर्टफोलियो के बाजार जोखिम या क्रेडिट जोखिम का मूल्यांकन करने के लिए किया जाता है। Q% स्तर पर अपेक्षित कमी सबसे खराब $$q\%$$ स्थिति में पोर्टफोलियो पर अपेक्षित रिटर्न है ईएस जोखिम मूल्य का एक विकल्प है जो हानि वितरण की पूंछ के आकार के प्रति अधिक संवेदनशील होता है।

अपेक्षित कमी को जोखिम पर सशर्त मूल्य (सीवीएआर) भी कहा जाता है, जोखिम पर औसत मूल्य (एवीएआर), अपेक्षित पूंछ हानि (ईटीएल), और सुपरक्वांटाइल भी कहा जाता है।

अपेक्षित घाटा एक निवेश के जोखिम का सत्यापान्ती विधि से मूल्यांकन करता है, जिसमें न्यूनतम लाभदायक परिणामों पर ध्यान केंद्रित होता है। उच्च q मानों के लिए, यह सबसे लाभदायक परंतु असंभावित संभावनाओं को अनदेखा करता है, जबकि छोटे q मानों के लिए यह सबसे बड़े हानियों पर ध्यान केंद्रित होता है। दूसरी ओर, छोटे q मानों के लिए भी अपेक्षित घाटा केवल एक ही सबसे प्रलयांकारी परिणाम को ही नहीं ध्यान में लेता है, जिसमें अधिकतम छूट होती है। अधिकांश परिस्थितियों में प्रयुक्त q मान 5% होता है।

अपेक्षित घाटा को वीएआर की तुलना में एक अधिक उपयोगी जोखिम माप हो सकता हैं, क्योंकि यह वित्तीय पोर्टफोलियो जोखिम का एक सुसंगठित स्पेक्ट्रल माप है। इसे एक निर्धारित क्वांटाइल स्तर q के लिए गणना की जाती है और यह पोर्टफोलियो मान की औसत हानि को परिभाषित करता है जब एक हानि $$q$$-मात्रा पर या उससे न्यूनतम हो रही होती हैं।.

औपचारिक परिभाषा
अगर $$X \in L^p(\mathcal{F})$$ (एक एलपी स्पेस) भविष्य के कुछ समय में एक पोर्टफोलियो का भुगतान है $$0 < \alpha < 1$$ तब हम अपेक्षित कमी को इस प्रकार परिभाषित करते हैं


 * $$ \operatorname{ES}_\alpha(X) = -\frac{1}{\alpha} \int_0^\alpha \operatorname{VaR}_\gamma(X) \, d\gamma$$

जहाँ $$\operatorname{VaR}_\gamma$$ जोखिम का मूल्य है. इसे समतुल्य रूप में लिखा जा सकता है


 * $$\operatorname{ES}_\alpha(X) = -\frac{1}{\alpha} \left(\operatorname E[X \ 1_{\{X \leq x_{\alpha}\}}] + x_\alpha(\alpha - P[X \leq x_\alpha])\right)$$

जहाँ $$x_\alpha = \inf\{x \in \mathbb{R}: P(X \leq x) \geq \alpha\}$$ निम्नतम है $$\alpha$$-क्वांटाइल और $$1_A(x) = \begin{cases}1 &\text{if }x \in A\\ 0 &\text{else}\end{cases}$$ सूचक कार्य है. दोहरा प्रतिनिधित्व है


 * $$ \operatorname {ES}_\alpha(X) = \inf_{Q \in \mathcal{Q}_\alpha} E^Q[X]$$

जहाँ $$\mathcal{Q}_\alpha$$ संभाव्यता मापों का समूह है जो भौतिक माप के लिए बिल्कुल निरंतर है $$P$$ ऐसा है कि $$\frac{dQ}{dP} \leq \alpha^{-1}$$ लगभग निश्चित रूप से. ध्यान दें कि $$\frac{dQ}{dP}$$ रेडॉन-निकोडिम का व्युत्पन्न है $$Q$$ इसके संबंध में $$P$$.

अपेक्षित कमी को सुसंगत जोखिम उपायों के एक सामान्य वर्ग में सामान्यीकृत किया जा सकता है $$L^p$$ रिक्त स्थान (एलपी स्पेस) संबंधित दोहरे लक्षण वर्णन के साथ $$L^q$$ एलपी स्पेस#डुअल स्पेस। डोमेन को अधिक सामान्य ऑर्लिक्ज़ हार्ट्स के लिए बढ़ाया जा सकता है।

यदि अंतर्निहित वितरण के लिए $$X$$ एक सतत वितरण है तो अपेक्षित कमी परिभाषित पूंछ सशर्त अपेक्षा के बराबर है $$\operatorname{TCE}_{\alpha}(X) = E[-X\mid X \leq -\operatorname{VaR}_{\alpha}(X)]$$.

अनौपचारिक रूप से, और गैर-कठोरता से, यह समीकरण यह कहने जैसा है कि नुकसान इतना गंभीर है कि वे केवल अल्फा प्रतिशत समय में होते हैं, हमारा औसत नुकसान क्या है।

अपेक्षित कमी को विरूपण फलन द्वारा दिए गए विरूपण जोखिम माप के रूप में भी लिखा जा सकता है


 * $$g(x) = \begin{cases}\frac{x}{1-\alpha} & \text{if }0 \leq x < 1-\alpha,\\ 1 & \text{if }1-\alpha \leq x \leq 1.\end{cases} \quad$$

उदाहरण
उदाहरण 1. यदि हम मानते हैं कि हमारे पोर्टफोलियो के संभावित परिणामों में से सबसे खराब 5% पर हमारा औसत नुकसान EUR 1000 है, तो हम कह सकते हैं कि 5% पूंछ के लिए हमारी अपेक्षित कमी EUR 1000 है।

उदाहरण 2. एक पोर्टफोलियो पर विचार करें जिसमें अवधि के अंत में निम्नलिखित संभावित मूल्य होंगे:

अब मान लीजिए कि हमने इस पोर्टफोलियो के लिए अवधि की शुरुआत में 100 का भुगतान किया। फिर प्रत्येक मामले में लाभ (अंतिम मूल्य−100) या है:

आइए इस तालिका से अपेक्षित कमी की गणना करें $$\operatorname{ES}_q$$ के कुछ मूल्यों के लिए $$q$$:

यह देखने के लिए कि इन मानों की गणना कैसे की गई, की गणना पर विचार करें $$\operatorname{ES}_{0.05}$$, सबसेट खराब 5% परिस्थितियों में अपेक्षा। ये मामले लाभ तालिका में पंक्ति 1 से संबंधित हैं, जिनका लाभ -100 (निवेशित 100 का कुल नुकसान) है। इन परिस्थितियों के लिए अपेक्षित लाभ -100 है।

अब की गणना पर विचार करें $$\operatorname{ES}_{0.20}$$, 100 में से सबसे खराब 20 परिस्थितियों में उम्मीद। ये मामले इस प्रकार हैं: पंक्ति एक से 10 मामले, और पंक्ति दो से 10 मामले (ध्यान दें कि 10+10 वांछित 20 परिस्थितियों के बराबर है)। पंक्ति 1 के लिए -100 का लाभ है, जबकि पंक्ति 2 के लिए -20 का लाभ है। अपेक्षित मूल्य सूत्र का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं


 * $$\frac{ \frac{10}{100}(-100)+\frac{10}{100}(-20) }{ \frac{20}{100}} = -60.$$

इसी प्रकार किसी भी मूल्य के लिए $$q$$. हम ऊपर से शुरू करते हुए उतनी पंक्तियों का चयन करते हैं जितनी संचयी संभावना देने के लिए आवश्यक हैं $$q$$ और फिर उन परिस्थितियों पर एक अपेक्षा की गणना करें। सामान्य तौर पर, चयनित अंतिम पंक्ति का पूरी तरह से उपयोग नहीं किया जा सकता है (उदाहरण के लिए गणना में)। $$-\operatorname{ES}_{0.20}$$ हमने पंक्ति 2 द्वारा प्रदान किए गए प्रति 100 30 परिस्थितियों में से केवल 10 का उपयोग किया)।

अंतिम उदाहरण के रूप में, गणना करें $$-\operatorname{ES}_1$$. सभी परिस्थितियों में यही अपेक्षा है, या


 * $$0.1(-100)+0.3(-20)+0.4\cdot 0+0.2\cdot 50 = -6. \, $$

जोखिम का मूल्य (VaR) तुलना के लिए नीचे दिया गया है।

गुण
अपेक्षित कमी $$\operatorname{ES}_q$$ के रूप में बढ़ता है $$q$$ घट जाती है.

100%-मात्रात्मक अपेक्षित कमी $$\operatorname{ES}_{1}$$ पोर्टफोलियो के अपेक्षित मूल्य के नकारात्मक के बराबर है।

किसी दिए गए पोर्टफोलियो के लिए, अपेक्षित कमी $$\operatorname{ES}_q$$ जोखिम वाले मूल्य से अधिक या उसके बराबर है $$\operatorname{VaR}_q$$ उसी में $$q$$ स्तर।

अपेक्षित कमी का अनुकूलन
अपेक्षित कमी, अपने मानक रूप में, आम तौर पर गैर-उत्तल अनुकूलन समस्या को जन्म देने के लिए जानी जाती है। हालाँकि, समस्या को रैखिक प्रोग्रामिंग में बदलना और वैश्विक समाधान खोजना संभव है। यह संपत्ति अपेक्षित कमी को आधुनिक पोर्टफोलियो सिद्धांत | माध्य-विचरण पोर्टफोलियो अनुकूलन के विकल्पों की आधारशिला बनाती है, जो रिटर्न वितरण के उच्च क्षणों (जैसे, तिरछापन और कर्टोसिस) के लिए जिम्मेदार है।

मान लीजिए कि हम किसी पोर्टफोलियो की अपेक्षित कमी को कम करना चाहते हैं। अपने 2000 के पेपर में रॉकफेलर और उरीसेव का मुख्य योगदान सहायक कार्य का परिचय देना है $$F_{\alpha}(w,\gamma)$$ अपेक्षित कमी के लिए:$$ F_\alpha(w,\gamma) = \gamma + {1\over{1-\alpha}} \int_{\ell(w,x)\geq \gamma} \left[\ell(w,x)-\gamma\right] p(x) \, dx$$कहाँ $$\gamma = \operatorname{VaR}_\alpha(X)$$ और $$\ell(w,x)$$ पोर्टफोलियो भार के एक सेट के लिए एक हानि फलन है $$w\in\mathbb{R}^p$$ रिटर्न पर लागू किया जाएगा। रॉकफेलर/यूर्यासेव ने यह साबित किया $$F_\alpha(w,\gamma)$$ के संबंध में उत्तल कार्य है $$\gamma$$ और न्यूनतम बिंदु पर अपेक्षित कमी के बराबर है। पोर्टफोलियो रिटर्न के एक सेट के लिए अपेक्षित कमी की संख्यात्मक गणना करने के लिए, इसे उत्पन्न करना आवश्यक है $$J$$ पोर्टफोलियो घटकों का अनुकरण; यह अक्सर कोपुला (संभावना सिद्धांत) का उपयोग करके किया जाता है। हाथ में इन सिमुलेशन के साथ, सहायक फलन का अनुमान लगाया जा सकता है:$$\widetilde{F}_\alpha(w,\gamma) = \gamma + {1\over{(1-\alpha)J}}\sum_{j=1}^J [\ell(w,x_j) - \gamma]_{+}$$यह सूत्रीकरण के बराबर है:$$\min_{\gamma,z,w} \; \gamma + {1\over{(1-\alpha)J}} \sum_{j=1}^J z_j, \quad \text{s.t. } z_j \geq \ell(w,x_j)-\gamma,\; z_j \geq 0$$ अंत में, एक रैखिक हानि फलन का चयन करना $$\ell(w,x_{j}) = -w^T x_j$$ अनुकूलन समस्या को एक रैखिक कार्यक्रम में बदल देता है। मानक तरीकों का उपयोग करके, उस पोर्टफोलियो को ढूंढना आसान है जो अपेक्षित कमी को कम करता है।

सतत संभाव्यता वितरण के लिए सूत्र
किसी पोर्टफोलियो के भुगतान के समय अपेक्षित कमी की गणना के लिए बंद-फ़ॉर्म सूत्र मौजूद हैं $$X$$ या तदनुरूप हानि $$L = -X$$ एक विशिष्ट सतत वितरण का अनुसरण करता है। पहले मामले में, अपेक्षित कमी नीचे बाईं-पूंछ सशर्त अपेक्षा की विपरीत संख्या से मेल खाती है $$-\operatorname{VaR}_\alpha (X)$$:


 * $$\operatorname {ES}_\alpha(X) = E[-X\mid X \leq -\operatorname{VaR}_\alpha(X)] = -\frac{1}{\alpha}\int_0^\alpha \operatorname{VaR}_\gamma(X) \, d\gamma = -\frac{1}{\alpha} \int_{-\infty}^{-\operatorname{VaR}_\alpha(X)} xf(x) \, dx.$$

के विशिष्ट मूल्य $\alpha$ इस मामले में 5% और 1% हैं।

इंजीनियरिंग या बीमांकिक अनुप्रयोगों के लिए घाटे के वितरण पर विचार करना अधिक आम है $$L = -X$$, इस मामले में अपेक्षित कमी उपरोक्त दाएँ-पूंछ सशर्त अपेक्षा से मेल खाती है $$\operatorname{VaR}_\alpha (L)$$ और के विशिष्ट मूल्य $$\alpha$$ 95% और 99% हैं:


 * $$\operatorname {ES}_\alpha(L)

= \operatorname E[L\mid L \geq \operatorname{VaR}_\alpha(L)] = \frac{1}{1-\alpha} \int^1_\alpha \operatorname{VaR}_\gamma(L)d\gamma = \frac{1}{1-\alpha} \int^{+\infty}_{\operatorname{VaR}_\alpha(L)} yf(y) \, dy.$$ चूँकि नीचे दिए गए कुछ सूत्र बाएँ-पूंछ वाले मामले के लिए और कुछ दाएँ-पूंछ वाले मामले के लिए निकाले गए थे, इसलिए निम्नलिखित समाधान उपयोगी हो सकते हैं:


 * $$ \operatorname {ES}_\alpha(X)

= -\frac{1}{\alpha} \operatorname E[X] + \frac{1-\alpha}{\alpha} \operatorname {ES}_\alpha(L) \text{ and } \operatorname{ES}_\alpha(L) = \frac{1}{1-\alpha} \operatorname E[L]+\frac{\alpha}{1-\alpha} \operatorname {ES}_\alpha(X).$$

सामान्य वितरण
यदि किसी पोर्टफोलियो का भुगतान $$X$$ पी.डी.एफ. के साथ सामान्य वितरण|सामान्य (गाऊसी) वितरण का अनुसरण करता है। $$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$ तो अपेक्षित कमी बराबर है $$\operatorname{ES}_\alpha(X) = -\mu+\sigma\frac{\varphi(\Phi^{-1}(\alpha))}{\alpha}$$, कहाँ $$\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$$ मानक सामान्य पीडीएफ है, $$\Phi(x)$$ मानक सामान्य सी.डी.एफ. है, इसलिए $$\Phi^{-1}(\alpha)$$ मानक सामान्य मात्रा है. यदि किसी पोर्टफोलियो का नुकसान हो $$L$$ सामान्य वितरण का अनुसरण करता है, अपेक्षित कमी के बराबर है $$\operatorname{ES}_\alpha(L) = \mu+\sigma\frac{\varphi(\Phi^{-1}(\alpha))}{1-\alpha}$$.

सामान्यीकृत विद्यार्थी का टी-वितरण
यदि किसी पोर्टफोलियो का भुगतान $$X$$ पीडीएफ के साथ सामान्यीकृत छात्र के टी-वितरण का अनुसरण करता है। $$f(x) = \frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\nu}{2} \right) \sqrt{\pi\nu} \sigma} \left(1+\frac{1}{\nu}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}$$ तो अपेक्षित कमी बराबर है $$\operatorname{ES}_\alpha(X) = \mu+\sigma\frac{\nu+(\Tau^{-1}(\alpha))^2}{\nu-1}\frac{\tau(\Tau^{-1}(\alpha))}{1-\alpha}$$, कहाँ $$\tau(x)=\frac{\Gamma\bigl(\frac{\nu+1}{2}\bigr)}{\Gamma\bigl(\frac{\nu}{2}\bigr)\sqrt{\pi\nu}}\Bigl(1+\frac{x^2}{\nu}\Bigr)^{-\frac{\nu+1}{2}}$$ मानक टी-वितरण पीडीएफ है, $$\Tau(x)$$ मानक टी-वितरण सी.डी.एफ. है, इसलिए $$\Tau^{-1}(\alpha)$$ मानक टी-वितरण मात्रा है।

यदि किसी पोर्टफोलियो का नुकसान हो $$L$$ सामान्यीकृत छात्र के टी-वितरण का अनुसरण करता है, अपेक्षित कमी के बराबर है $$\operatorname{ES}_\alpha(L) = \mu+\sigma\frac{\nu+(\Tau^{-1}(\alpha))^2}{\nu-1}\frac{\tau(\Tau^{-1}(\alpha))}{1-\alpha}$$.

लाप्लास वितरण
यदि किसी पोर्टफोलियो का भुगतान $$X$$ पी.डी.एफ. के साथ लाप्लास वितरण का अनुसरण करता है।


 * $$f(x) = \frac{1}{2b}e^{-|x-\mu|/b}$$

और सी.डी.एफ.


 * $$F(x) = \begin{cases}

1 - \frac{1}{2} e^{-(x-\mu)/b} & \text{if }x \geq \mu,\\[4pt] \frac{1}{2} e^{(x-\mu)/b} & \text{if }x < \mu. \end{cases}$$ तो अपेक्षित कमी बराबर है $$\operatorname{ES}_\alpha(X) = -\mu + b(1 - \ln 2\alpha)$$ के लिए $$\alpha \le 0.5$$.

यदि किसी पोर्टफोलियो का नुकसान हो $$L$$ लाप्लास वितरण का अनुसरण करते हुए, अपेक्षित कमी बराबर है


 * $$\operatorname{ES}_\alpha(L) = \begin{cases}

\mu + b \frac{\alpha}{1-\alpha} (1-\ln2\alpha) & \text{if }\alpha < 0.5,\\[4pt] \mu + b[1 - \ln(2(1-\alpha))] & \text{if }\alpha \ge 0.5. \end{cases}$$

लॉजिस्टिक वितरण
यदि किसी पोर्टफोलियो का भुगतान $$X$$ पी.डी.एफ. के साथ लॉजिस्टिक वितरण का अनुसरण करता है। $$f(x) = \frac{1}{s} e^{-\frac{x-\mu}{s}}\left(1+e^{-\frac{x-\mu}{s}}\right)^{-2}$$ और सी.डी.एफ. $$F(x) = \left(1+e^{-\frac{x-\mu}{s}}\right)^{-1}$$ तो अपेक्षित कमी बराबर है $$\operatorname{ES}_\alpha(X) = -\mu + s \ln\frac{(1-\alpha)^{1-\frac{1}{\alpha}}}{\alpha}$$.

यदि किसी पोर्टफोलियो का नुकसान हो $$L$$ लॉजिस्टिक वितरण का अनुसरण करते हुए, अपेक्षित कमी के बराबर है $$\operatorname{ES}_\alpha(L) = \mu + s\frac{-\alpha\ln\alpha-(1-\alpha)\ln(1-\alpha)}{1-\alpha}$$.

घातीय वितरण
यदि किसी पोर्टफोलियो का नुकसान हो $$L$$ पी.डी.एफ. के साथ घातांकीय वितरण का अनुसरण करता है। $$f(x) = \begin{cases}\lambda e^{-\lambda x} & \text{if }x \geq 0,\\ 0 & \text{if }x < 0.\end{cases}$$ और सी.डी.एफ. $$F(x) = \begin{cases}1 - e^{-\lambda x} & \text{if }x \geq 0,\\ 0 & \text{if }x < 0.\end{cases}$$ तो अपेक्षित कमी बराबर है $$\operatorname{ES}_\alpha(L) = \frac{-\ln(1-\alpha)+1}{\lambda}$$.

पेरेटो वितरण
यदि किसी पोर्टफोलियो का नुकसान हो $$L$$ पी.डी.एफ. के साथ पेरेटो वितरण का अनुसरण करता है। $$f(x) = \begin{cases} \frac{a x_m^a}{x^{a+1}} & \text{if }x \geq x_m,\\ 0 & \text{if }x < x_m. \end{cases}$$ और सी.डी.एफ. $$F(x) = \begin{cases} 1 - (x_m/x)^a & \text{if }x \geq x_m,\\ 0 & \text{if }x < x_m. \end{cases}$$ तो अपेक्षित कमी बराबर है $$\operatorname{ES}_\alpha(L) = \frac{x_m a}{(1-\alpha)^{1/a}(a-1)}$$.

सामान्यीकृत पेरेटो वितरण (जीपीडी)
यदि किसी पोर्टफोलियो का नुकसान हो $$L$$ पी.डी.एफ. के साथ सामान्यीकृत पेरेटो वितरण का अनुसरण करता है।


 * $$f(x) = \frac{1}{s} \left( 1+\frac{\xi (x-\mu)}{s} \right)^{\left(-\frac{1}{\xi}-1\right)}$$

और सी.डी.एफ.


 * $$F(x) = \begin{cases}

1 - \left(1+\frac{\xi(x-\mu)}{s}\right)^{-1 /\xi} & \text{if }\xi \ne 0,\\ 1-\exp \left( -\frac{x-\mu}{s} \right) & \text{if }\xi = 0. \end{cases}$$ तो अपेक्षित कमी बराबर है


 * $$\operatorname{ES}_\alpha(L) = \begin{cases}

\mu + s \left[ \frac{(1-\alpha)^{-\xi}}{1-\xi}+\frac{(1-\alpha)^{-\xi}-1}{\xi} \right] & \text{if }\xi \ne 0,\\ \mu + s \left[1 - \ln(1-\alpha) \right] & \text{if }\xi = 0, \end{cases}$$ और VaR के बराबर है


 * $$ \operatorname{VaR}_\alpha(L) = \begin{cases}

\mu + s \frac{(1-\alpha)^{-\xi}-1}{\xi} & \text{if }\xi \ne 0,\\ \mu - s \ln(1-\alpha) & \text{if }\xi = 0. \end{cases}$$

वेइबुल वितरण
यदि किसी पोर्टफोलियो का नुकसान हो $$L$$ पीडीएफ के साथ वेइबुल वितरण का अनुसरण करता है। $$f(x) = \begin{cases} \frac{k}{\lambda} \left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1} e^{-(x/\lambda)^k} & \text{if }x \geq 0,\\ 0 & \text{if }x < 0. \end{cases}$$ और सी.डी.एफ. $$F(x) = \begin{cases} 1 - e^{-(x/\lambda)^k} & \text{if }x \geq 0,\\ 0 & \text{if }x < 0. \end{cases}$$ तो अपेक्षित कमी बराबर है $$\operatorname{ES}_\alpha(L) = \frac{\lambda}{1-\alpha} \Gamma\left(1+\frac{1}{k},-\ln(1-\alpha)\right)$$, कहाँ $$\Gamma(s,x)$$ ऊपरी अधूरा गामा फलन है।

सामान्यीकृत चरम मूल्य वितरण (जीईवी)
यदि किसी पोर्टफोलियो का भुगतान $$X$$ पीडीएफ के साथ सामान्यीकृत चरम मूल्य वितरण का अनुसरण करता है। $$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\sigma} \left( 1+\xi \frac{ x-\mu}{\sigma} \right)^{-\frac{1}{\xi}-1} \exp\left[-\left( 1 + \xi \frac{x-\mu}{\sigma} \right)^{-{1}/{\xi}}\right] & \text{if } \xi \ne 0,\\ \frac{1}{\sigma}e^{-\frac{x-\mu}{\sigma}}e^{-e^{-\frac{x-\mu}{\sigma}}} & \text{if } \xi = 0. \end{cases}$$ और सी.डी.एफ. $$F(x) = \begin{cases} \exp\left(-\left(1+\xi\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{-{1}/{\xi}}\right) & \text{if }\xi \ne 0,\\ \exp\left(-e^{-\frac{x-\mu}{\sigma}}\right) & \text{if }\xi = 0. \end{cases}$$ तो अपेक्षित कमी बराबर है $$\operatorname{ES}_\alpha(X) = \begin{cases} -\mu - \frac{\sigma}{\alpha \xi} \big[ \Gamma(1-\xi,-\ln\alpha)-\alpha \big] & \text{if }\xi \ne 0,\\ -\mu - \frac{\sigma}{\alpha} \big[ \text{li}(\alpha) - \alpha \ln(-\ln \alpha) \big] & \text{if }\xi = 0. \end{cases}$$ और VaR के बराबर है $$\operatorname{VaR}_\alpha(X) = \begin{cases} -\mu - \frac{\sigma}{\xi} \left[(-\ln \alpha)^{-\xi}-1 \right] & \text{if }\xi \ne 0,\\ -\mu + \sigma \ln(-\ln\alpha) & \text{if }\xi = 0. \end{cases}$$, कहाँ $$\Gamma(s,x)$$ ऊपरी अधूरा गामा फलन है, $$\mathrm{li}(x) = \int \frac{dx}{\ln x}$$ लघुगणकीय अभिन्न फलन है. यदि किसी पोर्टफोलियो का नुकसान हो $$L$$ सामान्यीकृत चरम मूल्य वितरण का अनुसरण करता है, तो अपेक्षित कमी बराबर होती है $$\operatorname{ES}_\alpha(X) = \begin{cases} \mu + \frac{\sigma}{(1-\alpha) \xi} \bigl[ \gamma(1-\xi,-\ln\alpha)-(1-\alpha) \bigr] & \text{if }\xi \ne 0,\\ \mu + \frac{\sigma}{1-\alpha} \bigl[y - \text{li}(\alpha) + \alpha \ln(-\ln \alpha) \bigr] & \text{if }\xi = 0. \end{cases}$$, कहाँ $$\gamma(s,x)$$ निम्न अपूर्ण गामा फलन है, $$y$$ यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक है|यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक।

सामान्यीकृत हाइपरबोलिक सेकेंट (जीएचएस) वितरण
यदि किसी पोर्टफोलियो का भुगतान $$X$$ पी.डी.एफ. के साथ हाइपरबोलिक सेकेंट वितरण का अनुसरण करता है। $$f(x) = \frac{1}{2 \sigma} \operatorname{sech}\left(\frac{\pi}{2} \frac{x-\mu}{\sigma}\right)$$और सी.डी.एफ. $$F(x) = \frac{2}{\pi}\arctan\left[\exp\left(\frac{\pi}{2}\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\right]$$ तो अपेक्षित कमी बराबर है $$\operatorname{ES}_\alpha(X) = - \mu - \frac{2\sigma}{\pi} \ln\left( \tan \frac{\pi\alpha}{2} \right) - \frac{2\sigma}{\pi^2\alpha}i\left[\operatorname{Li}_2\left(-i\tan\frac{\pi\alpha}{2}\right)-\operatorname{Li}_2\left(i\tan\frac{\pi\alpha}{2}\right)\right]$$, कहाँ $$\operatorname{Li}_2$$ स्पेंस का कार्य है, $$i=\sqrt{-1}$$ काल्पनिक इकाई है.

जॉनसन का एसयू-वितरण
यदि किसी पोर्टफोलियो का भुगतान $$X$$ सी.डी.एफ. के साथ जॉनसन के एसयू-वितरण का अनुसरण करता है। $$F(x) = \Phi\left[\gamma+\delta\sinh^{-1}\left(\frac{x-\xi}{\lambda}\right)\right]$$ तो अपेक्षित कमी बराबर है $$\operatorname{ES}_\alpha(X) = -\xi - \frac{\lambda}{2\alpha} \left[ \exp\left(\frac{1-2\gamma\delta}{2\delta^2}\right) \; \Phi\left(\Phi^{-1}(\alpha)-\frac{1}{\delta}\right) - \exp\left(\frac{1+2\gamma\delta}{2\delta^2}\right) \; \Phi\left(\Phi^{-1}(\alpha)+\frac{1}{\delta}\right) \right]$$, कहाँ $$\Phi$$ सी.डी.एफ. है मानक सामान्य वितरण का.

गड़गड़ाहट प्रकार XII वितरण
यदि किसी पोर्टफोलियो का भुगतान $$X$$ बर्र टाइप XII वितरण का अनुसरण करता है पी.डी.एफ. $$f(x) = \frac{ck}{\beta} \left(\frac{x-\gamma}{\beta}\right)^{c-1} \left[1+\left(\frac{x-\gamma}{\beta} \right)^c\right]^{-k-1}$$ और सी.डी.एफ. $$F(x) = 1-\left[1+\left(\frac{x-\gamma}{\beta} \right)^c \right]^{-k}$$, अपेक्षित कमी के बराबर है $$\operatorname{ES}_\alpha(X) = - \gamma - \frac{\beta}{\alpha} \left( (1-\alpha)^{-1/k}-1 \right)^{1/c} \left[ \alpha -1+{_2F_1}\left(\frac{1}{c},k;1+\frac{1}{c};1-(1-\alpha)^{-1/k}\right) \right]$$, कहाँ $$_2F_1$$ हाइपरजियोमेट्रिक फलन है. वैकल्पिक रूप से, $$\operatorname{ES}_\alpha(X) = - \gamma - \frac{\beta}{\alpha} \frac{ck}{c+1} \left( (1-\alpha)^{-1/k}-1 \right)^{1+\frac{1}{c}} {_2F_1}\left(1+\frac{1}{c}, k+1;2+\frac{1}{c};1-(1-\alpha)^{-1/k}\right) $$.

सुई वितरण
यदि किसी पोर्टफोलियो का भुगतान $$X$$ पीडीएफ के साथ डैगम वितरण का अनुसरण करता है। $$f(x) = \frac{ck}{\beta} \left(\frac{x-\gamma}{\beta}\right)^{ck-1} \left[1+\left(\frac{x-\gamma}{\beta}\right)^c\right]^{-k-1}$$ और सी.डी.एफ. $$F(x) = \left[1+\left(\frac{x-\gamma}{\beta}\right)^{-c}\right]^{-k}$$, अपेक्षित कमी के बराबर है $$\operatorname{ES}_\alpha(X) = - \gamma - \frac{\beta}{\alpha} \frac{ck}{ck+1} \left( \alpha^{-1/k}-1 \right)^{-k-\frac{1}{c}} {_2F_1}\left(k+1,k+\frac{1}{c};k+1+\frac{1}{c};-\frac{1}{\alpha^{-1/k}-1}\right) $$, कहाँ $$_2F_1$$ हाइपरजियोमेट्रिक फलन है.

लॉगनॉर्मल वितरण
यदि किसी पोर्टफोलियो का भुगतान $$X$$ लॉग-सामान्य वितरण, यानी यादृच्छिक चर का अनुसरण करता है $$\ln(1+X)$$ पी.डी.एफ. के साथ सामान्य वितरण का अनुसरण करता है। $$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$, तो अपेक्षित कमी के बराबर है $$\operatorname{ES}_\alpha(X) = 1 - \exp\left(\mu+\frac{\sigma^2}{2}\right) \frac{\Phi\left(\Phi^{-1}(\alpha)-\sigma\right)}{\alpha}$$, कहाँ $$\Phi(x)$$ मानक सामान्य सी.डी.एफ. है, इसलिए $$\Phi^{-1}(\alpha)$$ मानक सामान्य मात्रा है.

लॉग-लॉजिस्टिक वितरण
यदि किसी पोर्टफोलियो का भुगतान $$X$$ लॉग-लॉजिस्टिक वितरण, यानी यादृच्छिक चर का अनुसरण करता है $$\ln(1+X)$$ पी.डी.एफ. के साथ लॉजिस्टिक वितरण का अनुसरण करता है। $$f(x) = \frac{1}{s} e^{-\frac{x-\mu}{s}} \left(1+e^{-\frac{x-\mu}{s}}\right)^{-2}$$, तो अपेक्षित कमी के बराबर है $$\operatorname{ES}_\alpha(X) = 1-\frac{e^\mu}{\alpha}I_\alpha(1+s,1-s)\frac{\pi s}{\sin\pi s}$$, कहाँ $$I_\alpha$$ अपूर्ण बीटा फलन है, $$I_\alpha(a,b)=\frac{\Beta_\alpha(a,b)}{\Beta(a,b)}$$.

चूँकि अपूर्ण बीटा फलन को केवल सकारात्मक तर्कों के लिए परिभाषित किया गया है, अधिक सामान्य मामले के लिए अपेक्षित कमी को हाइपरजियोमेट्रिक फलन के साथ व्यक्त किया जा सकता है: $$\operatorname{ES}_\alpha(X) = 1-\frac{e^\mu \alpha^s}{s+1} {_2F_1}(s,s+1;s+2;\alpha)$$.

यदि किसी पोर्टफोलियो का नुकसान हो $$L$$ पीडीएफ के साथ लॉग-लॉजिस्टिक वितरण का अनुसरण करता है। $$f(x) = \frac{\frac{b}{a}(x/a)^{b-1}}{(1+(x/a)^b)^2}$$ और सी.डी.एफ. $$F(x) = \frac{1}{1+(x/a)^{-b}}$$, तो अपेक्षित कमी के बराबर है $$\operatorname{ES}_\alpha(L) = \frac{a}{1-\alpha} \left[ \frac{\pi}{b} \csc\left(\frac{\pi}{b}\right) - \Beta_\alpha \left(\frac{1}{b}+1,1-\frac{1}{b}\right) \right]$$, कहाँ $$B_\alpha$$ अधूरा बीटा फलन है.

लॉग-लाप्लास वितरण
यदि किसी पोर्टफोलियो का भुगतान $$X$$ लॉग-लाप्लास वितरण, यानी यादृच्छिक चर का अनुसरण करता है $$\ln(1+X)$$ पी.डी.एफ. लाप्लास वितरण का अनुसरण करता है। $$f(x) = \frac{1}{2b}e^{-\frac{|x-\mu|}{b}}$$, तो अपेक्षित कमी के बराबर है $$\operatorname{ES}_\alpha(X) = \begin{cases} 1 - \frac{e^\mu (2\alpha)^b}{b+1} & \text{if }\alpha \le 0.5,\\ 1 - \frac{e^\mu 2^{-b}}{\alpha(b-1)} \left[(1-\alpha)^{(1-b)}-1\right] & \text{if } \alpha > 0.5. \end{cases}$$.

लॉग-सामान्यीकृत हाइपरबोलिक सेकेंट (लॉग-जीएचएस) वितरण
यदि किसी पोर्टफोलियो का भुगतान $$X$$ लॉग-जीएचएस वितरण, यानी यादृच्छिक चर का अनुसरण करता है $$\ln(1+X)$$ पी.डी.एफ. के साथ हाइपरबोलिक सेकेंट वितरण का अनुसरण करता है। $$f(x) = \frac{1}{2 \sigma} \operatorname{sech} \left(\frac{\pi}{2}\frac{x-\mu}{\sigma}\right)$$, तो अपेक्षित कमी के बराबर है $$\operatorname{ES}_\alpha(X) = 1 - \frac{1}{\alpha(\sigma+{\pi/2})} \left(\tan\frac{\pi \alpha}{2}\exp\frac{\pi \mu}{2\sigma}\right)^{2\sigma/\pi} \tan\frac{\pi \alpha}{2} {_2F_1}\left(1,\frac{1}{2}+\frac{\sigma}{\pi};\frac{3}{2}+\frac{\sigma}{\pi};-\tan\left(\frac{\pi \alpha}{2}\right)^2\right)$$, कहाँ $$_2F_1$$ हाइपरजियोमेट्रिक फलन है.

गतिशील अपेक्षित कमी
समय t पर अपेक्षित कमी का सशर्त जोखिम माप संस्करण द्वारा परिभाषित किया गया है


 * $$\operatorname{ES}_\alpha^t(X) = \operatorname{ess\sup}_{Q \in \mathcal{Q}_{\alpha}^t} E^Q[-X \mid \mathcal{F}_t]$$

कहाँ $$\mathcal{Q}_{\alpha}^t = \left\{Q = P\,\vert_{\mathcal{F}_t}: \frac{dQ}{dP} \leq \alpha_t^{-1} \text{ a.s.}\right\} $$. यह समय-संगत जोखिम उपाय नहीं है। समय-संगत संस्करण द्वारा दिया गया है
 * $$\rho_{\alpha}^t(X) = \operatorname{ess\sup}_{Q \in \tilde{\mathcal{Q}}_{\alpha}^t} E^Q[-X\mid\mathcal{F}_t]$$

ऐसा है कि
 * $$\tilde{\mathcal{Q}}_{\alpha}^t = \left\{Q \ll P: \operatorname{E}\left[\frac{dQ}{dP} \mid \mathcal{F}_{\tau+1} \right] \leq \alpha_t^{-1} \operatorname{E}\left[\frac{dQ}{dP} \mid \mathcal{F}_{\tau}\right] \; \forall \tau \geq t \text{ a.s.}\right\}.$$

यह भी देखें

 * सुसंगत जोखिम उपाय
 * स्टोकेस्टिक प्रोग्रामिंग के लिए विस्तारित गणितीय प्रोग्रामिंग (ईएमपी) #ईएमपी - ईएस और वीएआर से जुड़ी अनुकूलन समस्याओं के लिए समाधान प्रौद्योगिकी
 * एन्ट्रोपिक मूल्य खतरे में है
 * किसी चुनौती के आधार पर उसकी कीमत

वीएआर और ईएस के सांख्यिकीय अनुमान के विधि एम्ब्रेच्ट्स एट अल में पाए जा सकते हैं। और नोवाक. वीएआर और ईएस का पूर्वानुमान लगाते समय, या टेल जोखिम को कम करने के लिए पोर्टफोलियो को अनुकूलित करते समय, ऑटो-रिग्रेशन, असममित अस्थिरता, तिरछापन और कर्टोसिस जैसे स्टॉक रिटर्न के वितरण में असममित निर्भरता और गैर-सामान्यताओं को ध्यान में रखना महत्वपूर्ण है।

बाहरी संबंध

 * Rockafellar, Uryasev: Optimization of conditional Value-at-Risk, 2000.
 * C. Acerbi and D. Tasche: On the Coherence of Expected Shortfall, 2002.
 * Rockafellar, Uryasev: Conditional Value-at-Risk for general loss distributions, 2002.
 * Acerbi: Spectral measures of risk, 2005
 * Phi-Alpha optimal portfolios and extreme risk management, Best of Wilmott, 2003
 * "Coherent measures of Risk", Philippe Artzner, Freddy Delbaen, Jean-Marc Eber, and David Heath