विशेषण फलन

गणित में, एक विशेषण फलन (जिसे विशेषण के रूप में भी जाना जाता है, या फलन $f$ एक ऐसा फलन है जिससे प्रत्येक तत्व $y$ को तत्व $x$ से मानचित्र किया जा सकता है ताकि $f(x) = y$ हो। दूसरे शब्दों में, फलन के सहकार्यक्षेत्र का प्रत्येक तत्व उसके कार्यक्षेत्र के कम से कम एक तत्व की छवि है। यह आवश्यक नहीं है कि x अद्वितीय हो; फलन f X के एक या अधिक तत्वों को Y के समान तत्व से मानचित्र कर सकता है।

विशेषण शब्द और संबंधित शब्द अंतःक्षेपी फलन और विशेषण फलन निकोलस बॉरबाकी द्वारा प्रस्तुत किए गए थे, मुख्य रूप से 20वीं सदी के फ्रांस के गणितज्ञों का एक समूह, जिन्होंने इस छद्म नाम के अंतर्गत, 1935 से प्रारम्भ होकर, आधुनिक उन्नत गणित की व्याख्या प्रस्तुत करने वाली पुस्तकों की एक श्रृंखला लिखी। फ्रांसीसी शब्द सुर का अर्थ ऊपर है, और इस तथ्य से संबंधित है कि एक विशेषण फलन के कार्यक्षेत्र की छवि फलन के सहकार्यक्षेत्र को पूरी तरह से समाविष्ट करती है।

कोई भी फलन किसी फलन के सहकार्यक्षेत्र को उसके कार्यक्षेत्र की छवि पर प्रतिबंधित करके एक प्रक्षेपण को प्रेरित करता है। पसंद के स्वयंसिद्ध को मानते हुए प्रत्येक विशेषण कार्य में एक सही व्युत्क्रम होता है, और एक सही व्युत्क्रम वाला प्रत्येक कार्य आवश्यक रूप से एक आच्छादान है। विशेषण कार्यों की कार्य संरचना हमेशा विशेषण होती है। किसी भी कार्य को प्रक्षेपण और अंतःक्षेपण में विघटित किया जा सकता है।

परिभाषा
विशेषण फलन एक फलन (गणित) है जिसकी छवि (गणित) इसके सहकार्यक्षेत्र के बराबर है। समतुल्य रूप से, कार्यछेत्र $$X$$ और सहकार्यछेत्र $$Y$$ के साथ एक फलन $$f$$ विशेषण है यदि $$Y$$ में प्रत्येक $$y$$ के लिए $$f(x)=y$$ के साथ $$x$$ में कम से कम एक $$X$$ उपस्थित है आच्छादानों को कभी-कभी दो-सिर वाले दाहिनी ओर तीर द्वारा दर्शाया जाता है, जैसे की $$f\colon X\twoheadrightarrow Y$$.

प्रतीकात्मक रूप से,


 * यदि $$f\colon X \rightarrow Y$$, तब $$f$$ को आच्छादक कहा जाता है यदि


 * $$\forall y \in Y, \, \exists x \in X, \;\; f(x)=y$$.

उदाहरण



 * किसी भी सम्मुच्चय X के लिए, पहचान फलन idX X पर विशेषण है।
 * फलन $f : Z → {0, 1}$ f(n) = n 'प्रमापीय अंकगणितीय' 2 द्वारा परिभाषित (अर्थात, सम संख्या पूर्णांकों को 0 और विषम संख्या पूर्णांकों को 1 पर मानचित्र किया जाता है) विशेषण है।
 * फलन $f : R → R$ f(x) = 2x + 1 द्वारा परिभाषित विशेषण (और यहां तक ​​कि विशेषण फलन भी) है, क्योंकि प्रत्येक वास्तविक संख्या y के लिए, हमारे पास एक x ऐसा है कि f(x) = y: ऐसा उपयुक्त x (y - 1)/ 2 है।
 * फलन $f : R → R$ F (X) = x3 − 3x द्वारा परिभाषित आच्छादक है, क्योंकि किसी भी वास्तविक संख्या y3 − 3x − y = 0 की पूर्व-छवि त्रिविमीय बहुपद समीकरण x का हल सम्मुच्चय है, और वास्तविक गुणांक वाले प्रत्येक घन बहुपद का कम से कम एक वास्तविक मूल होता है। हालाँकि, यह फलन अंतःक्षेपी फलन नहीं है (और इसलिए विशेषण फलन नहीं है), क्योंकि, उदाहरण के लिए, y = 2 की पूर्व-छवि {x = −1, x = 2} है। (वास्तव में, प्रत्येक y, −2 ≤ y ≤ 2 के लिए इस फलन की पूर्व-छवि में एक से अधिक तत्व हैं।)
 * फलन $g : R → R$ द्वारा परिभाषित G (x) = X2 आच्छादी नहीं है, क्योंकि ऐसी कोई वास्तविक संख्या x x 2 = -1 नहीं है। हालाँकि, फलन $g : R → R≥0$ द्वारा परिभाषित $g(x) = x^{2}$ (प्रतिबंधित सहकार्यक्षेत्र के साथ) विशेषण है, क्योंकि गैर-नकारात्मक वास्तविक सहकार्यक्षेत्र Y में प्रत्येक y के लिए, वास्तविक कार्यक्षेत्र X में कम से कम एक x इस प्रकार है कि x2 = y।
 * प्राकृतिक लघुगणक फलन $ln : (0, +∞) → R$ एक विशेषण और विशेषण भी है (सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के सम्मुच्चय से सभी वास्तविक संख्याओं के सम्मुच्चय तक मानचित्रिंग)। इसका व्युत्क्रम, घातीय फलन, यदि कार्यक्षेत्र के रूप में वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के साथ परिभाषित किया जाता है, तो यह आच्छादक नहीं है (क्योंकि इसकी सीमा धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है)।
 * आव्यूह एक्सपोनेंशियल विशेषण नहीं है जब सभी n × n आव्यूह के स्थान से एक मानचित्र के रूप में देखा जाता है। हालाँकि, इसे सामान्यतः सभी n × n आव्यूह के स्थान से एक मानचित्र के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो घात n के सामान्य रैखिक समूह (अर्थात, सभी n × n व्युत्क्रमणीय आव्यूह का समूह) होता है। इस परिभाषा के अंतर्गत, आव्यूह एक्सपोनेंशियल जटिल आव्यूह के लिए विशेषण है, हालांकि वास्तविक आव्यूह के लिए अभी भी विशेषण नहीं है।
 * प्रक्षेपण (सम्मुच्चय सिद्धांत) एक कार्तीय उत्पाद से $A × B$ इसके कारकों में से एक विशेषण है, जब तक कि अन्य कारक खाली न हो।
 * एक 3डी वीडियो गेम में, सदिशों को एक विशेषण कार्य के माध्यम से 2डी समतल प्रपट्ट पर प्रक्षेपित किया जाता है।

गुण
एक फलन विशेषण फलन है यदि और केवल यदि यह आच्छादक और अंतःक्षेपी दोनों फलन है।

यदि (जैसा कि प्रायः किया जाता है) किसी फलन के लेखाचित्र के साथ फलन की पहचान की जाती है, तो विशेषण फलन की विशेषता नहीं है, बल्कि मानचित्र (गणित) की विशेषता है। यह, इसके सहकार्यक्षेत्र के साथ कार्य है। अंतःक्षेपण के विपरीत, प्रक्षेप्यता को अकेले फलन के लेखाचित्र से नहीं पढ़ा जा सकता है।

सही व्युत्क्रमणीय कार्यों के रूप में आच्छादान
फलन g : Y → X, फलन f : X → Y का सही व्युत्क्रम कहलाता है यदि f(g(y)) = y प्रत्येक y के लिए Y में (g को f द्वारा पूर्ववत किया जा सकता है)। दूसरे शब्दों में, g, f का सही व्युत्क्रम है यदि g का संघटन fog और f उसी क्रम में g के प्रांत Y पर तत्समक फलन है। फलन g को f का पूर्ण व्युत्क्रम होना आवश्यक नहीं है क्योंकि अन्य क्रम में संघटन, g o f, f के प्रांत X पर तत्समक फलन नहीं हो सकता है। दूसरे शब्दों में, f, g को पूर्ववत या विपरीत कर सकता है, लेकिन जरूरी नहीं कि इसके द्वारा विपरीत किया जा सके।

सही प्रतिलोम वाला प्रत्येक फलन आवश्यक रूप से एक आच्छादान है। प्रस्ताव है कि प्रत्येक विशेषण फलन में एक सही व्युत्क्रम होता है, पसंद के स्वयंसिद्ध के बराबर होता है।

यदि f : X → Y आच्छादक है और B, Y का उपसमुच्चय है, तब f(f −1(B)) = B होता है। इस प्रकार, B को इसके पूर्व चित्र f−1(B) से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, ऊपर दिए गए पहले दृष्टांत में, कुछ फलन g इस प्रकार हैं कि g(C) = 4। कुछ फलन f भी है जैसे कि f(4) = C। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि g(C) बराबर 3 भी हो सकता है।

एपिमोर्फिज्म के रूप में आच्छादान
एक फलन f : X → Y विशेषण है अगर और केवल अगर यह सही-निरस्तीकरण है: दिया गया कोई फलन g,h : Y → Z, जब भी gof = hof होता है, तब g = h है। यह गुण कार्यों और उनकी कार्य संरचना के संदर्भ में तैयार किया गया है और एक श्रेणी (गणित) और उनकी संरचना के मोर्फिज्म की अधिक सामान्य धारणा के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। यथार्थ-निरस्तीकरण मॉर्फिज्म को एपिमोर्फिज्म कहा जाता है। विशेष रूप से, विशेषण कार्य निश्चित रूप से सम्मुच्चय की श्रेणी में एपिमोर्फिज्म हैं। उपसर्ग एपि ग्रीक पूर्वसर्ग ἐπί से लिया गया है जिसका अर्थ ओवर, अबव, ऑन है।

सही व्युत्क्रम के साथ कोई भी रूपवाद एक एपिमोर्फिज्म है, लेकिन इसका विलोम सामान्य रूप से सत्य नहीं है। आकृतिवाद f के एक सही व्युत्क्रम g को f का एक खंड (श्रेणी सिद्धांत) कहा जाता है। दाएं व्युत्क्रम के साथ एक आकृतिवाद को विभाजित एपिमोर्फिज्म कहा जाता है।

द्विआधारी संबंधों के रूप में आच्छादान
कार्यक्षेत्र X और सहकार्यक्षेत्र Y के साथ कोई भी फलन X और Y के बीच बाएं-कुल और दाएं-अद्वितीय द्विआधारी संबंध के रूप में इसे इसके फलन लेखाचित्र के साथ पहचान कर देखा जा सकता है। कार्यक्षेत्र X और सहकार्यक्षेत्र Y के साथ एक विशेषण कार्य तब F और Y के बीच एक द्विआधारी संबंध है जो दाएं-अद्वितीय है और बाएं-कुल और दाएं-कुल दोनों हैं।

एक आच्छादान के कार्यक्षेत्र की गणनांक
किसी विशेषण फलन के कार्यक्षेत्र की गणनांक उसके सहकार्यक्षेत्र की गणनांक से अधिक या उसके बराबर है: यदि f : X → Y एक आच्छादन फलन है, तो गणनांक संख्या के अर्थ में X में कम से कम उतने ही तत्व हैं जितने कि Y में हैं। (प्रमाण पसंद के स्वयंसिद्ध को दिखाने के लिए अपील करता है कि एक फलन g : Y → X संतोषजनक f(g(y)) = y सभी y के लिए Y में उपस्थित है। g को आसानी से अंतःक्षेपी के रूप में देखा जाता है, इस प्रकार |Y| ≤ |X| की औपचारिक परिभाषा संतुष्ट है।)

विशेष रूप से, यदि X और Y दोनों तत्वों की समान संख्या के साथ परिमित सम्मुच्चय हैं, तो f : X → Y आच्छादक है यदि और केवल यदि f अंतःक्षेपी है।

दो सम्मुच्चय X और Y दिए गए हैं, संकेतन X ≤* Y यह कहने के लिए प्रयोग किया जाता है कि या तो X खाली है या कि Y से X पर एक विशेषण है। पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग करके कोई दिखा सकता है कि X ≤* Y और Y ≤* X एक साथ इसका अर्थ |Y| = |X| है, यह श्रोडर-बर्नस्टीन प्रमेय का एक प्रकार है।

रचना और अपघटन
विशेषण फलनों का फलन संघटन हमेशा विशेषणात्मक होता है: यदि f और g दोनों आच्छादी हैं, और g का सहकार्यक्षेत्र f के प्रांत के बराबर है, तो f o g विशेषण है। इसके विपरीत यदि f o g आच्छादन है, तो h आच्छादक है (लेकिन g, पहले लागू किया गया फलन, होना आवश्यक नहीं है)। ये गुण किसी भी श्रेणी (गणित) में सम्मुच्चय की श्रेणी में आच्छादानों से लेकर किसी भी एपिमोर्फिज्म तक सामान्यीकृत होते हैं।

किसी भी कार्य को एक विशेषण और एक अंतःक्षेपण फलन में विघटित किया जा सकता है: किसी भी कार्य h : X → Z के लिए एक आच्छादान उपस्थित f : X → Y है और एक अंतःक्षेपण g : Y → Z इस प्रकार है कि h = g o f है। इसे देखने के लिए, Y को प्रीइमेज h−1(z) के सम्मुच्चय के रूप में परिभाषित करें जहां z h(X) में है। ये प्रीइमेज अलग हैं और X को विभाजित करते हैं। फिर f प्रत्येक X को Y के तत्व में ले जाता है जिसमें यह सम्मिलित है, और g Y के प्रत्येक तत्व को z में उस बिंदु पर ले जाता है जहां h अपने अंक भेजता है। तब f आच्छादक है क्योंकि यह एक प्रक्षेपण मानचित्र है, और g परिभाषा के अनुसार अंतःक्षेपी है।

प्रेरित आच्छादान और प्रेरित पूर्वाग्रह
कोई भी कार्य अपने सहकार्यक्षेत्र को अपनी सीमा तक सीमित करके एक प्रक्षेपण को प्रेरित करता है। कोई भी विशेषण फलन अपने कार्यक्षेत्र के भागफल सम्मुच्चय पर परिभाषित आक्षेप को प्रेरित करता है, जो किसी निश्चित छवि के लिए सभी तर्कों की मानचित्रण को ढहा देता है। अधिक यथार्थ रूप से, हर आच्छादान f : A → B निम्नानुसार एक प्रक्षेपण के बाद प्रक्षेपण के रूप में तथ्य किया जा सकता है। मान लीजिए A/~ निम्नलिखित तुल्यता संबंध के अंतर्गत A का तुल्यता वर्ग है: x ~ y यदि और केवल यदि f(x) = f(y)। समतुल्य रूप से, A / ~ F के अंतर्गत सभी पूर्व छवियों का सम्मुच्चय है। मान लीजिये P(~) : A → A/~ प्रक्षेपण मानचित्र बनते हैं जो A में प्रत्येक x को उसके समतुल्य वर्ग [x] में भेजता है~, और मान लीजिये fP : A/~ → B, f द्वारा दिया गया सुपरिभाषित फलन fP([x]~) = f(x). Then f = fP o P(~) है।

आच्छादानों का स्थान
नियत A और B दिए हुए हैं, कोई विशेषण A ↠ B का समुच्चय बना सकता है। इस सम्मुच्चय की प्रमुखता रोटा के ट्वेल्वफोल्ड वे के बारह पहलुओं में से एक है, और इसके द्वारा $|B|!\begin{Bmatrix}|A|\\|B|\end{Bmatrix}$ दी गई है, जहाँ $\begin{Bmatrix}|A|\\|B|\end{Bmatrix}$  दूसरी तरह की स्टर्लिंग संख्या को दर्शाता है।

यह भी देखें

 * आपत्ति, अंतःक्षेपण और प्रक्षेपण
 * समाविष्ट (बीजगणित)
 * आच्छादन मानचित्र
 * गणना
 * फाइबर समूह
 * सूचकांक सम्मुच्चय
 * अनुभाग (श्रेणी सिद्धांत)