घन हर्माइट स्पलाइन

संख्यात्मक विश्लेषण में, एक क्यूबिक हरमाइट स्पलाइन या क्यूबिक हर्मिट इंटरपोलेटर एक स्पलाइन (गणित) है, जहां प्रत्येक टुकड़ा सन्यासी के बीच में निर्दिष्ट एक तीसरी-डिग्री बहुपद है, जो कि इसके मूल्यों और पहले व्युत्पन्न (गणित) के अंत बिंदुओं पर है। एक समारोह अंतराल के संगत डोमेन। क्यूबिक हर्मिट स्प्लाइन का उपयोग आमतौर पर दिए गए तर्क मानों पर निर्दिष्ट संख्यात्मक डेटा के इंटरपोलेशन के लिए किया जाता है $$x_1,x_2,\ldots,x_n$$, एक सतत कार्य प्राप्त करने के लिए। डेटा में वांछित फ़ंक्शन मान और प्रत्येक पर डेरिवेटिव शामिल होना चाहिए $$x_k$$. (यदि केवल मान प्रदान किए गए हैं, तो उनसे डेरिवेटिव का अनुमान लगाया जाना चाहिए।) हर्मिट फॉर्मूला प्रत्येक अंतराल पर लागू होता है $$(x_k, x_{k+1})$$ अलग से। परिणामी तख़्ता निरंतर होगा और निरंतर पहला व्युत्पन्न होगा।

घन बहुपद splines अन्य तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है, Bezier घन सबसे आम है। हालाँकि, ये दो विधियाँ स्प्लिन का एक ही सेट प्रदान करती हैं, और डेटा को बेज़ियर और हर्मिट रूपों के बीच आसानी से परिवर्तित किया जा सकता है; इसलिए नामों का अक्सर उपयोग किया जाता है जैसे कि वे पर्यायवाची हों।

घन बहुपद splines बड़े पैमाने पर कंप्यूटर ग्राफिक्स और ज्यामितीय मॉडलिंग में घटता या गति प्रक्षेपवक्र प्राप्त करने के लिए उपयोग किया जाता है जो विमान (ज्यामिति) या त्रि-आयामी अंतरिक्ष (ज्यामिति) के निर्दिष्ट बिंदुओं से गुजरता है। इन अनुप्रयोगों में, समतल या स्थान के प्रत्येक निर्देशांक को एक अलग पैरामीटर t के क्यूबिक स्पलाइन फ़ंक्शन द्वारा अलग से प्रक्षेपित किया जाता है। क्यूबिक बहुपद विभाजन का उपयोग संरचनात्मक विश्लेषण अनुप्रयोगों में बड़े पैमाने पर किया जाता है, जैसे यूलर-बर्नौली बीम सिद्धांत।

क्यूबिक स्प्लाइन को कई तरीकों से दो या दो से अधिक पैरामीटर के कार्यों तक बढ़ाया जा सकता है। बाइबिक स्प्लाइन्स (बाईक्यूबिक इंटरपोलेशन) का उपयोग अक्सर एक नियमित आयताकार ग्रिड पर डेटा को प्रक्षेपित करने के लिए किया जाता है, जैसे कि डिजिटल छवि में पिक्सेल मान या भू-भाग पर ऊंचाई डेटा। बेज़ियर पैच, जिसे तीन बाइबिक स्प्लाइन द्वारा परिभाषित किया गया है, कंप्यूटर ग्राफ़िक्स में एक आवश्यक उपकरण है।

क्यूबिक स्प्लाइन्स को अक्सर 'csplines' कहा जाता है, खासकर कंप्यूटर ग्राफिक्स में। हर्मिट स्प्लिन्स का नाम चार्ल्स हर्मिट के नाम पर रखा गया है।

इकाई अंतराल (0, 1)
इकाई अंतराल पर $$(0,1)$$, एक शुरुआती बिंदु दिया $$\boldsymbol{p}_0$$ पर $$t = 0$$ और एक समापन बिंदु $$\boldsymbol{p}_1$$ पर $$t = 1$$ स्पर्शरेखा शुरू करने के साथ $$\boldsymbol{m}_0$$ पर $$t = 0$$ और स्पर्शरेखा समाप्त $$\boldsymbol{m}_1$$ पर $$t = 1$$, बहुपद को परिभाषित किया जा सकता है
 * $$\boldsymbol{p}(t) = (2t^3 - 3t^2 + 1)\boldsymbol{p}_0 + (t^3 - 2t^2 + t)\boldsymbol{m}_0 + (-2t^3 + 3t^2)\boldsymbol{p}_1 + (t^3 - t^2)\boldsymbol{m}_1,$$

जहां टी ∈ [0, 1]।

मनमाना अंतराल पर इंटरपोलेशन
प्रक्षेपित करना $$x$$ एक मनमाना अंतराल में $$(x_k, x_{k+1})$$ को मैप करके किया जाता है $$[0, 1]$$ एक affine फ़ंक्शन (डिग्री -1) चर के परिवर्तन के माध्यम से। सूत्र है
 * $$\boldsymbol{p}(x) = h_{00}(t)\boldsymbol{p}_k + h_{10}(t)(x_{k+1} - x_k)\boldsymbol{m}_k + h_{01}(t)\boldsymbol{p}_{k+1} + h_{11}(t)(x_{k+1} - x_k)\boldsymbol{m}_{k+1},$$

कहाँ पे $$t = (x - x_k)/(x_{k+1} - x_k)$$, तथा $$h$$ आधार कार्यों को संदर्भित करता है, परिभाषित #प्रतिनिधित्व। ध्यान दें कि स्पर्शरेखा मूल्यों को स्केल किया गया है $$x_{k+1} - x_k$$ इकाई अंतराल पर समीकरण की तुलना में।

विशिष्टता
ऊपर निर्दिष्ट सूत्र दिए गए स्पर्शरेखा वाले दो बिंदुओं के बीच अद्वितीय तृतीय-डिग्री बहुपद पथ प्रदान करता है।

सबूत। होने देना $$P, Q$$ दी गई सीमा स्थितियों को संतुष्ट करने वाले दो तिहाई-डिग्री वाले बहुपद हों। परिभाषित करना $$R = Q - P,$$ फिर:
 * $$R(0) = Q(0)-P(0) = 0,$$
 * $$R(1) = Q(1) - P(1) = 0.$$

चूंकि दोनों $$Q$$ तथा $$P$$ तीसरी डिग्री के बहुपद हैं, $$R$$ अधिक से अधिक एक तृतीय-डिग्री बहुपद है। इसलिए $$R$$ रूप का होना चाहिए
 * $$R(x) = ax(x - 1)(x - r).$$

व्युत्पन्न की गणना देता है
 * $$R'(x) = ax(x - 1) + ax(x - r) + a(x - 1)(x - r).$$

हम यह भी जानते हैं


 * $$R'(0) = Q'(0) - P'(0) = 0,$$


 * $$R'(1) = Q'(1) - P'(1) = 0,$$

डालना ($$) तथा ($$) एक साथ, हम इसे घटाते हैं $$a = 0$$, और इसीलिए $$R = 0,$$ इस प्रकार $$P = Q.$$

प्रतिनिधित्व
हम प्रक्षेप बहुपद को इस प्रकार लिख सकते हैं
 * $$\boldsymbol{p}(t) = h_{00}(t)\boldsymbol{p}_0 + h_{10}(t)(x_{k+1}-x_k)\boldsymbol{m}_0 + h_{01}(t)\boldsymbol{p}_1 + h_{11}(t)(x_{k+1}-x_k)\boldsymbol{m}_1$$

कहाँ पे $$h_{00}$$, $$h_{10}$$, $$h_{01}$$, $$h_{11}$$ हर्मिट आधार कार्य हैं। इन्हें अलग-अलग तरीकों से लिखा जा सकता है, प्रत्येक तरीके से अलग-अलग गुण प्रकट होते हैं:

विस्तारित स्तंभ उपरोक्त परिभाषा में प्रयुक्त प्रतिनिधित्व को दर्शाता है। गुणनखंडित स्तंभ तुरंत दिखाता है $$h_{10}$$ तथा $$h_{11}$$ सीमा पर शून्य हैं। आप आगे यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं $$h_{01}$$ तथा $$h_{11}$$ 0 पर एक बहुगुण_(गणित)#Multiplicity_of_a_zero_of_a_function है, और $$h_{00}$$ तथा $$h_{10}$$ 1 पर ऐसा शून्य है, इस प्रकार उन सीमाओं पर उनका ढलान 0 है। बर्नस्टीन कॉलम क्रम 3 के बर्नस्टीन बहुपदों में हर्मिट आधार कार्यों के अपघटन को दर्शाता है:


 * $$B_k(t) = \binom{3}{k} \cdot t^k \cdot (1 - t)^{3-k}.$$

इस कनेक्शन का उपयोग करके आप चार मानों के संबंध में क्यूबिक बेजियर कर्व्स के संदर्भ में क्यूबिक हर्मिट इंटरपोलेशन को व्यक्त कर सकते हैं $$\boldsymbol{p}_0, \boldsymbol{p}_0 + \frac{\boldsymbol{m}_0}{3}, \boldsymbol{p}_1 - \frac{\boldsymbol{m}_1}{3}, \boldsymbol{p}_1$$ और de Casteljau एल्गोरिथम का उपयोग करके Hermite इंटरपोलेशन करें। यह दर्शाता है कि एक क्यूबिक बेज़ियर पैच में मध्य में दो नियंत्रण बिंदु संबंधित बाहरी बिंदुओं पर इंटरपोलेशन कर्व की स्पर्शरेखा निर्धारित करते हैं।

हम बहुपद को मानक रूप में भी लिख सकते हैं
 * $$\boldsymbol{p}(t) = (2\boldsymbol{p}_0 + \boldsymbol{m}_0 - 2\boldsymbol{p}_1 + \boldsymbol{m}_1)t^3 + (-3\boldsymbol{p}_0 + 3\boldsymbol{p}_1 - 2\boldsymbol{m}_0 - \boldsymbol{m}_1)t^2 + (\boldsymbol{m}_0)t + \boldsymbol{p}_0$$

जहां नियंत्रण बिंदु और स्पर्शरेखा गुणांक हैं। यह टी के विभिन्न मूल्यों पर बहुपद के कुशल मूल्यांकन की अनुमति देता है क्योंकि निरंतर गुणांक की गणना एक बार की जा सकती है और पुन: उपयोग की जा सकती है।

डेटा सेट को इंटरपोल करना
एक डेटा सेट, $$(x_k,\boldsymbol{p}_k)$$ के लिये $$k=1,\ldots,n$$, प्रत्येक अंतराल पर उपरोक्त प्रक्रिया को लागू करके प्रक्षेपित किया जा सकता है, जहाँ स्पर्शरेखाओं को एक समझदार तरीके से चुना जाता है, जिसका अर्थ है कि अंत बिंदुओं को साझा करने वाले अंतराल के लिए स्पर्शरेखाएँ समान हैं। प्रक्षेपित वक्र में तब टुकड़े के रूप में क्यूबिक हर्मिट स्प्लिन होते हैं और यह विश्व स्तर पर निरंतर भिन्न होता है $$(x_1, x_n)$$.

स्पर्शरेखाओं का चुनाव अद्वितीय नहीं है, और कई विकल्प उपलब्ध हैं।

परिमित अंतर
सबसे सरल विकल्प तीन-बिंदु अंतर है, जिसके लिए निरंतर अंतराल की लंबाई की आवश्यकता नहीं होती है:
 * $$\boldsymbol{m}_k = \frac{1}{2} \left(\frac{\boldsymbol{p}_{k+1} - \boldsymbol{p}_k}{x_{k+1} - x_k} + \frac{\boldsymbol{p}_k - \boldsymbol{p}_{k-1}}{x_k - x_{k-1}}\right)$$

आंतरिक बिंदुओं के लिए $$k = 2, \dots, n - 1$$, और डेटा सेट के अंतिम बिंदुओं पर एक तरफा अंतर।

कार्डिनल स्पलाइन
कार्डिनल स्पलाइन, जिसे कभी-कभी कैनोनिकल स्पलाइन कहा जाता है, पाया जाता है यदि
 * $$\boldsymbol{m}_k = (1 - c) \frac{\boldsymbol{p}_{k+1} - \boldsymbol{p}_{k-1}}{x_{k+1} - x_{k-1}}$$

स्पर्शरेखाओं की गणना के लिए प्रयोग किया जाता है। पैरामीटर $$ एक तनाव पैरामीटर है जो अंतराल में होना चाहिए $[0, 1]$. एक मायने में, इसे स्पर्शरेखा की लंबाई के रूप में समझा जा सकता है। का चयन $c = 1$ सभी शून्य स्पर्शरेखा उत्पन्न करता है, और चुनता है $c = 0.5$ कैटमुल–रोम स्पलाइन देता है।

कैटमुल-रोम स्पलाइन
होने के लिए चुने गए स्पर्शरेखाओं के लिए
 * $$\boldsymbol{m}_k = \frac{1}{2} \frac{\boldsymbol{p}_{k+1} - \boldsymbol{p}_{k-1}}{x_{k+1} - x_{k-1}}$$

कैटमुल-रोम स्पलाइन प्राप्त की जाती है, जो कार्डिनल स्पलाइन का एक विशेष मामला है। यह एक समान पैरामीटर रिक्ति मानता है।

वक्र का नाम एडविन कैटमुल और राफेल रोम के नाम पर रखा गया है। इस तकनीक का मुख्य लाभ यह है कि बिंदुओं के मूल सेट के साथ बिंदु भी तख़्ता वक्र के लिए नियंत्रण बिंदु बनाते हैं। वक्र के दोनों सिरों पर दो अतिरिक्त बिंदुओं की आवश्यकता होती है। समान कैटमुल-रोम कार्यान्वयन लूप और स्व-चौराहों का उत्पादन कर सकता है। कॉर्डल और सेंट्रीपेटल कैटमुल–रोम स्पलाइन|सेंट्रीपेटल कैटमुल–रोम कार्यान्वयन इस समस्या को हल करें, लेकिन थोड़ी अलग गणना का उपयोग करें। कंप्यूटर ग्राफ़िक्स में, कैटमुल-रोम स्प्लिन्स का उपयोग अक्सर कुंजी फ़्रेमों के बीच चिकनी प्रक्षेपित गति प्राप्त करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, असतत कुंजी-फ़्रेम से उत्पन्न अधिकांश कैमरा पथ एनिमेशन को कैटमुल-रोम स्प्लिन्स का उपयोग करके नियंत्रित किया जाता है। वे मुख्य रूप से गणना करने में अपेक्षाकृत आसान होने के लिए लोकप्रिय हैं, यह गारंटी देते हैं कि प्रत्येक कुंजी फ्रेम स्थिति सटीक रूप से हिट हो जाएगी, और यह भी गारंटी है कि उत्पन्न वक्र के स्पर्शक कई खंडों पर निरंतर हैं।

प्रेमी-बार्टेल्स पट्टी
डेटा बिंदुओं को दिए गए स्पर्शरेखाओं को कैसे चुनना है, इस पर एक कोचनेक-बार्टेल्स स्पलाइन एक और सामान्यीकरण है $$\boldsymbol{p}_{k-1}$$, $$\boldsymbol{p}_k$$ तथा $$\boldsymbol{p}_{k+1}$$, तीन संभावित मापदंडों के साथ: तनाव, पूर्वाग्रह और एक निरंतरता पैरामीटर।

मोनोटोन क्यूबिक इंटरपोलेशन
यदि उपरोक्त सूचीबद्ध प्रकारों में से किसी एक क्यूबिक हर्मिट स्पलाइन का उपयोग मोनोटोनिक फ़ंक्शन डेटा सेट के इंटरपोलेशन के लिए किया जाता है, तो इंटरपोलेटेड फ़ंक्शन मोनोटोनिक नहीं होगा, लेकिन स्पर्शरेखाओं को समायोजित करके मोनोटोनिकिटी को संरक्षित किया जा सकता है।

एंडपॉइंट्स
पर मिलान किए गए डेरिवेटिव के साथ यूनिट अंतराल पर इंटरपोलेशन बिंदुओं के एकल निर्देशांक पर विचार करें $$\boldsymbol{p}_{n-1}, \boldsymbol{p}_n, \boldsymbol{p}_{n+1}$$ तथा $$\boldsymbol{p}_{n+2}$$ उन मानों के रूप में जो फ़ंक्शन f(x) पूर्णांक निर्देशांक x = n − 1, n, n + 1 और n + 2 पर लेता है,


 * $$p_n = f(n) \quad \forall n \in \mathbb{Z}.$$

इसके अलावा, मान लें कि अंत बिंदुओं पर स्पर्शरेखाओं को आसन्न बिंदुओं के केंद्रित अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है:


 * $$m_n = \frac{f(n + 1) - f(n - 1)}{2} = \frac{p_{n+1} - p_{n-1}}{2} \quad \forall n \in \mathbb{Z}.$$

वास्तविक x के लिए प्रक्षेपित f(x) का मूल्यांकन करने के लिए, पहले x को पूर्णांक भाग n और भिन्नात्मक भाग u में अलग करें:


 * $$x = n + u,$$
 * $$n = \lfloor x \rfloor = \operatorname{floor}(x),$$
 * $$u = x - n = x - \lfloor x \rfloor,$$
 * $$0 \le u < 1,$$

कहाँ पे $$\lfloor x \rfloor$$ फ़्लोर फ़ंक्शन को दर्शाता है, जो x से बड़ा नहीं सबसे बड़ा पूर्णांक लौटाता है।

फिर कैटमुल-रोम स्पलाइन है : $$\begin{align} f(x) = f(n + u) &= \text{CINT}_u(p_{n-1}, p_n, p_{n+1}, p_{n+2}) \\ &= \begin{bmatrix} 1 & u & u^2 & u^3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\  -\tfrac12 & 0 & \tfrac12 & 0 \\ 1 & -\tfrac52 & 2 & -\tfrac12 \\ -\tfrac12 & \tfrac32 & -\tfrac32 & \tfrac12 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} p_{n-1} \\ p_n \\ p_{n+1} \\ p_{n+2} \end{bmatrix} \\ &= \frac 12 \begin{bmatrix} -u^3 +2u^2 - u \\ 3u^3 - 5u^2 + 2 \\ -3u^3 + 4u^2 + u \\ u^3 - u^2 \end{bmatrix}^\mathrm{T} \cdot \begin{bmatrix} p_{n-1} \\ p_n \\ p_{n+1} \\ p_{n+2} \end{bmatrix} \\ &= \frac 12 \begin{bmatrix} u\big((2 - u)u - 1\big) \\ u^2(3u - 5) + 2 \\ u\big((4 - 3u)u + 1\big) \\ u^2(u - 1) \end{bmatrix}^\mathrm{T} \cdot \begin{bmatrix} p_{n-1} \\ p_n \\ p_{n+1} \\ p_{n+2} \end{bmatrix} \\ &= \tfrac12 \Big(\big(u^2(2 - u) - u\big) p_{n-1} + \big(u^2(3u - 5) + 2\big) p_n + \big(u^2(4 - 3u) + u\big) p_{n+1} + u^2(u - 1) p_{n+2}\Big) \\ &= \tfrac12 \big((-u^3 + 2u^2 - u) p_{n-1} + (3u^3 - 5u^2 + 2) p_n + (-3u^3 + 4u^2 + u) p_{n+1} + (u^3 - u^2) p_{n+2}\big) \\ &= \tfrac12 \big((-p_{n-1} + 3p_n - 3p_{n+1} + p_{n+2}) u^3 + (2p_{n-1} - 5p_n + 4p_{n+1} - p_{n+2})u^2 + (-p_{n-1} + p_{n+1}) u + 2p_n\big) \\ &= \tfrac12 \Big(\big((-p_{n-1} + 3p_n - 3p_{n+1} + p_{n+2}) u + (2p_{n-1} - 5p_n + 4p_{n+1} - p_{n+2})\big)u + (-p_{n-1} + p_{n+1})\Big)u + p_n, \end{align}$$ कहाँ पे $$\mathrm{T}$$ मैट्रिक्स स्थानान्तरण को दर्शाता है। नीचे की समानता हॉर्नर की विधि के अनुप्रयोग को दर्शा रही है।

यह लेखन ट्रिक्यूबिक इंटरपोलेशन के लिए प्रासंगिक है, जहां एक ऑप्टिमाइज़ेशन के लिए सीआईएनटी कंप्यूटिंग की आवश्यकता होती हैu सोलह बार एक ही यू और अलग पी के साथ।

यह भी देखें

 * बाइबिक इंटरपोलेशन, दो आयामों का सामान्यीकरण
 * ट्राइक्यूबिक इंटरपोलेशन, तीन आयामों का सामान्यीकरण
 * हर्मिट इंटरपोलेशन
 * बहुभिन्नरूपी प्रक्षेप
 * तख़्ता प्रक्षेप
 * असतत तख़्ता प्रक्षेप

बाहरी संबंध

 * Spline Curves, Prof. Donald H. House Clemson University
 * Multi-dimensional Hermite Interpolation and Approximation, Prof. Chandrajit Bajaj, Purdue University
 * Introduction to Catmull–Rom Splines, MVPs.org
 * Interpolating Cardinal and Catmull–Rom splines
 * Interpolation methods: linear, cosine, cubic and hermite (with C sources)
 * Common Spline Equations