हाइपरहोमोलॉजी

होमोलॉजिकल बीजगणित में, हाइपरहोमोलॉजी या हाइपरसहसंगति ($$\mathbb{H}_*(-), \mathbb{H}^*(-)$$) (सह)होमोलॉजी गुणक का एक सामान्यीकरण है जो इनपुट के रूप में एबेलियन श्रेणी में वस्तुओं को नहीं लेता है $$\mathcal{A}$$ लेकिन इसके बजाय वस्तुओं के श्रृंखला परिसरों, इसलिए वस्तुओं में $$\text{Ch}(\mathcal{A})$$. यह किसी वस्तु के व्युत्पन्न फ़ंक्टर सहसंगति और चेन सम्मिश्र की होमोलॉजी के बीच एक प्रकार का क्रॉस है क्योंकि हाइपरकोहोलॉजी व्युत्पन्न वैश्विक अनुभाग गुणक फ़ंक्टर $$\mathbf{R}^*\Gamma(-)$$ से मेल खाती है।.

हाइपरहोमोलॉजी का अब अधिक उपयोग नहीं किया जाता है: लगभग 1970 के बाद से इसे बड़े पैमाने पर व्युत्पन्न श्रेणियों के बीच व्युत्पन्न फ़ंक्टर की लगभग समकक्ष अवधारणा द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है।

प्रेरणा
हाइपरसहसंगति के लिए प्रेरणाओं में से एक इस तथ्य से आती है कि छोटे सटीक अनुक्रमों से जुड़े कोहोमोलॉजिकल लंबे सटीक अनुक्रमों का कोई स्पष्ट सामान्यीकरण नहीं है $$0 \to M' \to M \to M'' \to 0$$

अर्थात. इससे जुड़ा एक लंबा सटीक अनुक्रम है

$$0 \to H^0(M') \to H^0(M) \to H^0(M'')\to H^1(M') \to \cdots $$

यह पता चला है कि हाइपरसहसंगति स्वेच्छया से लंबे सटीक अनुक्रम से एक समान कोहोमोलॉजिकल संबंधित लंबे सटीक अनुक्रम के निर्माण के लिए तकनीक प्रदान करती है$$0 \to M_1 \to M_2\to \cdots \to M_k \to 0$$

चूँकि इसके इनपुट केवल एबेलियन श्रेणी की वस्तुओं के बजाय श्रृंखला परिसरों द्वारा दिए गए हैं। हम इस श्रृंखला परिसर को एक विशिष्ट त्रिभुज में बदल सकते हैं (व्युत्पन्न श्रेणी पर त्रिकोणीय श्रेणियों की भाषा का उपयोग करके)

$$M_1 \to [M_2 \to \cdots \to M_{k-1}] \to M_k[-k+3] \xrightarrow{+1}$$

जिसे हम निरूपित करते हैं

$$\mathcal{M}'_\bullet \to \mathcal{M}_\bullet \to \mathcal{M}''_\bullet \xrightarrow{+1}$$

फिर, व्युत्पन्न वैश्विक अनुभागों को लेते हुए $$\mathbf{R}^*\Gamma(-)$$ एक लंबा सटीक अनुक्रम देता है, जो हाइपरसहसंगति समूहों का एक लंबा सटीक अनुक्रम है।

देता है, जो हाइपरसहसंगति समूहों का एक लंबा सटीक अनुक्रम है।

परिभाषा
हम हाइपरसहसंगति की परिभाषा देते हैं क्योंकि यह अधिक सामान्य है। हमेशा की तरह, हाइपर सहसंगति और हाइपरहोमोलॉजी अनिवार्य रूप से एक ही हैं: एक को दोहरेकरण द्वारा दूसरे में परिवर्तित किया जाता है, यानी सभी तीरों की दिशा बदलकर, इंजेक्टिव ऑब्जेक्ट को प्रोजेक्टिव वाले से बदल दिया जाता है, और इसी तरह है।

मान लीजिए कि A एक एबेलियन श्रेणी है जिसमें पर्याप्त इंजेक्शन हैं और F एक अन्य एबेलियन श्रेणी B के लिए एक बायां सटीक गुणक है। यदि C बाईं ओर से घिरा A की वस्तुओं का एक सम्मिश्र है, तो हाइपरसहसंगति


 * Hi(C)

C की (एक पूर्णांक i के लिए) की गणना निम्नानुसार की जाती है:
 * 1) एक अर्ध-समरूपता लें Φ : C → I, यहां I, A के इंजेक्शन तत्वों का एक सम्मिश्र है।
 * 2) C की हाइपरसहसंगति Hi(C) फिर सम्मिश्र F(I) की सहसंगति Hi(F(I)) है।

C की हाइपरसहसंगति, अद्वितीय समरूपता तक, अर्ध-समरूपता की पसंद से स्वतंत्र है।

हाइपरसहसंगति को व्युत्पन्न श्रेणियों का उपयोग करके भी परिभाषित किया जा सकता है: C की हाइपरसहसंगति सिर्फ RF(C) की सहसंगति है जिसे B की व्युत्पन्न श्रेणी के एक तत्व के रूप में माना जाता है।

ऋणात्मक सूचकांकों के लिए लुप्त हो जाने वाले सम्मिश्र के लिए, हाइपरसहसंगति को H0 = FH0 = H0F के व्युत्पन्न फ़ैनक्टर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

हाइपरसहसंगति वर्णक्रमीय अनुक्रम
दो हाइपरसहसंगति वर्णक्रमीय अनुक्रम हैं; E2 टर्म के साथ एक


 * $$R^iF(H^j(C))$$

और दूसरा E1 टर्म के साथ


 * $$R^jF(C^i)$$

और E2 अवधि


 * $$H^i(R^jF(C))$$ दोनों हाइपरसहसंगति में परिवर्तित हो रहे हैं


 * $$H^{i+j}(RF(C))$$,

जहां RjF, F का दाएँ व्युत्पन्न गुणक है।

अनुप्रयोग
हाइपरसहसंगति वर्णक्रमीय अनुक्रमों का एक अनुप्रयोग गेरबेस के अध्ययन में है। याद रखें कि किसी स्थान पर रैंक n सदिश बंडल हैं $$X$$ सेच सहसंगति समूह के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है $$H^1(X,\underline{GL}_n)$$. गेर्ब्स के पीछे मुख्य विचार इस विचार को कोहोमोलॉजिकल रूप से विस्तारित करना है, इसलिए लेने के बजाय $$H^1(X,\textbf{R}^0F)$$ किसी फॅक्टर के लिए $$F$$, इसके बजाय हम सहसंगति समूह पर विचार करते हैं $$H^1(X,\textbf{R}^1F)$$, इसलिए यह उन वस्तुओं को वर्गीकृत करता है जो मूल वर्गीकरण समूह में वस्तुओं से चिपकी होती हैं। एक निकट से संबंधित विषय जो गेर्ब्स और हाइपरसहसंगति का अध्ययन करता है, डेलिग्ने-सहसंगति है।

उदाहरण
• फ़ील्ड k के ऊपर एक किस्म X के लिए, ऊपर से दूसरा वर्णक्रमीय अनुक्रम बीजगणितीय डी राम कोहोमोलॉजी के लिए हॉज-डी राम वर्णक्रमीय अनुक्रम देता है:
 * $E_1^{p,q}=H^q(X,\Omega_X^p)\Rightarrow \mathbf{H}^{p+q}(X,\Omega_X^{\bullet})=:H_{DR}^{p+q}(X/k)$.

• एक अन्य उदाहरण जटिल मैनिफोल्ड पर होलोमोर्फिक लॉग कॉम्प्लेक्स से आता है। मान लीजिए X एक जटिल बीजगणितीय मैनिफोल्ड है और $ j: X\hookrightarrow Y $ एक अच्छा संकलन है। इसका मतलब यह है कि Y एक सघन बीजगणितीय मैनिफोल्ड है और$ D = Y-X $ पर भाजक $ Y $ साधारण सामान्य क्रॉसिंग के साथ है। शीव्स के परिसरों का प्राकृतिक समावेश
 * $ \Omega^{\bullet}_Y(\log D)\rightarrow j_*\Omega_{X}^{\bullet} $

यह एक अर्ध-समरूपता बन जाता है और एक समरूपता उत्पन्न करता है
 * $ H^k(X;\mathbb{C})\rightarrow \mathbf{H}^k(Y, \Omega^{\bullet}_Y(\log D))$.

यह भी देखें

 * कार्टन-एलेनबर्ग संकल्प
 * टैनिंग

संदर्भ

 * H. Cartan,  S. Eilenberg,   Homological algebra ISBN 0-691-04991-2
 * A. Grothendieck,  Sur quelques points d'algèbre homologique Tohoku Math. J. 9  (1957)  pp. 119-221
 * A. Grothendieck,  Sur quelques points d'algèbre homologique Tohoku Math. J. 9  (1957)  pp. 119-221