अस्थिर-क्षेत्र हॉपिंग

चर-क्षेत्र होपिंग एक ऐसा प्रारूप है जिसका उपयोग विस्तारित तापमान क्षेत्र में होपिंग द्वारा अव्यवस्थित अर्धचालक या अनाकार ठोस में वाहक परिवहन का वर्णन करने के लिए किया जाता है। इसकी एक विशिष्ट तापमान निर्भरता है


 * $$\sigma= \sigma_0e^{-(T_0/T)^\beta}$$

जहाँ $$\sigma$$ चालकता है और $$\beta$$ विचाराधीन प्रारूप पर निर्भर एक मापदण्ड है।

मोट चर-क्षेत्र होपिंग
मोट चरवाहनी का चर विस्तार नियम नीचे तापमान पर प्रतिस्थिति हुए सक्रिय विकिरण प्रणालियों में कमजोरी से व्यापक आवेश वाहक अवस्थाओं के साथ निर्देशांक द्वारा संयोजित किए गए होते हैं। इसमें एक विशेष तापमान आवंटन होता है। और इसकी एक विशिष्ट तापमान निर्भरता है


 * $$\sigma= \sigma_0e^{-(T_0/T)^{1/4}}$$

त्रि-आयामी चालकता के लिए (के साथ $$\beta$$ = 1/4), और d-आयामों के लिए सामान्यीकृत समीकरण निम्नलिखित है


 * $$\sigma= \sigma_0e^{-(T_0/T)^{1/(d+1)}}$$.

यदि अर्धचालक उद्योग एकल-स्फटिक उपकरणों को कांच की परतों के साथ परिवर्तन में सक्षम थे, तो बचत के कारण कम तापमान पर होपिंग चालन अत्यधिक उपयोगी है।

व्युत्पत्ति
मूल एमओटी लेख ने एक सरल धारणा प्रस्तुत की है कि होपिंग ऊर्जा हूपिंग दूरी के घन के व्युत्क्रमानुपाती होती है। बाद में यह दिखाया गया कि यह धारणा अनावश्यक थी, और इस प्रमाण का यहाँ पालन किया गया है। मूल पेपर में, दिए गए तापमान पर हॉपिंग प्रायोजन्यता को दो पैरामीटरों, R (स्थानिक अलगाव स्थानों के बीच) और W (उनके ऊर्जा अलगाव) पर निर्भर होते हुए देखा गया। अपस्ले और ह्यूजेस ने अभिलेखित किया कि वास्तव में अनाकार प्रणाली में, ये चर यादृच्छिक और स्वतंत्र होते हैं और इसलिए इन्हें एक मापदंड में श्रेणी $$\textstyle\mathcal{R}$$ दो साइटों के बीच जोड़ा जा सकता है, जो उनके बीच होपिंग की संभावना निर्धारित करता है।

मोट ने दिखाया कि स्थानिक पृथक्करण के दो स्थितियों के मध्य होपिंग की संभावना $$\textstyle R$$ और ऊर्जा पृथक्करण W का रूप है:
 * $$P\sim \exp \left[-2\alpha R-\frac{W}{kT}\right]$$

जहां α−1 हाइड्रोजन जैसे स्थानीय तरंग-कार्य के लिए क्षीणन लंबाई है। वे यह मानते है कि उच्च ऊर्जा वाले चरण में रूकावट दर सीमित करने की प्रक्रिया है।

अब हम $$\textstyle\mathcal{R} = 2\alpha R+W/kT$$ अर्थात दो चरणों के बीच की सीमा को परिभाषित करते हैं, इसलिए $$\textstyle P\sim \exp (-\mathcal{R})$$. चरणों को चर-आयामी यादृच्छिक सरणी में बिंदुओं के रूप में माना जा सकता है, उनके बीच की दूरी सीमा $$\textstyle\mathcal{R}$$ द्वारा दी गई है.

चालन इस चर-आयामी सरणी के माध्यम से हॉप्स की कई श्रृंखलाओं का परिणाम है और शॉर्ट-रेंज हॉप्स के पक्षधर हैं, यह चरणों के बीच औसत निकटतम दूरी है जो समग्र चालकता को निर्धारित करता है। इस प्रकार चालकता का रूप है
 * $$\sigma \sim \exp (-\overline{\mathcal{R}}_{nn})$$

जहाँ $$\textstyle\overline{\mathcal{R}}_{nn}$$ औसत निकटतम सीमा है। इसलिए मूल समस्या इस मात्रा की गणना करने की है।

समाधान प्राप्त करने के लिए पहला चरण $$\textstyle\mathcal{N}(\mathcal{R})$$ है, एक सीमा के भीतर चरणों की कुल संख्या $$\textstyle\mathcal{R}$$ फर्मी स्तर पर कुछ प्रारंभिक अवस्था में प्रदर्शित की जाती है। डी-आयामों के लिए, और विशेष धारणाओं के अंतर्गत यह निम्नलिखित समीकरण द्वारा प्रदर्शित्र की जाती है
 * $$\mathcal{N}(\mathcal{R}) = K \mathcal{R}^{d+1}$$

जहाँ $$\textstyle K = \frac{N\pi kT}{3\times 2^d \alpha^d}$$.

विशेष धारणाएं बस यही हैं कि $$\textstyle\overline{\mathcal{R}}_{nn}$$ बैंड-चौड़ाई से काफी कम है और सरलता से अंतर आणविक दूरी से बड़ा है।

फिर संभावना है कि एक चरण श्रेणी के साथ $$\textstyle\mathcal{R}$$ चार-आयामी स्थान में निकटतम है या सामान्यतः (d+1)-आयामी स्थान है
 * $$P_{nn}(\mathcal{R}) = \frac{\partial \mathcal{N}(\mathcal{R})}{\partial \mathcal{R}} \exp [-\mathcal{N}(\mathcal{R})]$$

निकटतम वितरण।

डी-आयामी स्थितियों के लिए
 * $$\overline{\mathcal{R}}_{nn} = \int_0^\infty (d+1)K\mathcal{R}^{d+1}\exp (-K\mathcal{R}^{d+1})d\mathcal{R}$$.

गामा समारोह में इसका सरल प्रतिस्थापन करके इसका मूल्यांकन किया जा सकता है $$\textstyle t=K\mathcal{R}^{d+1}$$, $$\textstyle \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\,\mathrm{d}t$$कुछ बीजगणित के बाद यह देता है
 * $$\overline{\mathcal{R}}_{nn} = \frac{\Gamma(\frac{d+2}{d+1})}{K^{\frac{1}{d+1}}}$$

और इसलिए वह
 * $$\sigma \propto \exp \left(-T^{-\frac{1}{d+1}}\right)$$.

चरणों का गैर-निरंतर घनत्व
जब अवस्थाओं का घनत्व स्थिर नहीं होता, मोट चालकता भी पुनः प्राप्त होती है, जैसा कि इस लेख में प्रदर्शित किया गया है।

एफ़्रोस-शक्लोव्स्की चर विस्तार होपिंग
एफ़्रोस-शक्लोव्स्की चर विस्तार होपिंग एक चालन प्रारूप है, जो कूलम्ब दूरी के लिए उत्तरदायी है, स्थानीयकृत इलेक्ट्रॉनों के बीच परस्पर क्रिया के कारण फर्मी स्तर के पास चरणों के घनत्व में एक छोटी सी छलांग उत्तरदायी है। इसका नाम एलेक्सी एल. एफ्रोस और बोरिस श्लोकोवस्की के नाम पर रखा गया था जिन्होंने 1975 में इसे प्रस्तावित किया था।

कूलम्ब दूरी के विचार से तापमान की निर्भरता प्रतिस्थापित हों जाती है


 * $$\sigma= \sigma_0e^{-(T_0/T)^{1/2}}$$

सभी आयामों के लिए (अर्थात $$\beta$$ = 1/2).

यह भी देखें

 * गतिशीलता बढ़त

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