दाहिने हाथ का नियम

गणित एवं भौतिकी में, दाहिने हाथ का नियम त्रि-आयामी अंतरिक्ष में कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के अभिविन्यास (वेक्टर स्थान) का ज्ञान प्राप्त के लिए सामान्य स्मरक है। यह दो सदिशों के क्रॉस उत्पाद की दिशा को शीघ्रता से अवलोकित के लिए भी सुविधाजनक उपाय है।

बाएं हाथ एवं दाएं हाथ के अधिकांश नियम इस तथ्य से उत्पन्न होते हैं कि त्रि-आयामी अंतरिक्ष के तीन अक्षों में दो संभावित अभिविन्यास हैं। अपने हाथों को बाहर की ओर एवं साथ पकड़कर, हथेलियों को ऊपर करके, अंगूठे को दाहिनी एवं बाईं ओर फैलाकर, एवं उँगलियों को सीधे बाहर की ओर घुमाकर ऊपर की ओर दर्शाया जाता है। (ध्यान दें कि दाईं ओर दी गई चित्र इसका उदाहरण नहीं है।) उंगलियों की कर्लिंग गति प्रथम (x-अक्ष) से ​​दूसरी (y-अक्ष) तक की गति का प्रतिनिधित्व करती है; तीसरा (z-अक्ष) किसी भी अंगूठे के साथ प्रदर्शित कर सकता है। समन्वय अक्षों के साथ व्यवहार करते समय बाएँ हाथ एवं दाएँ हाथ के नियम उत्पन्न होते हैं। नियम का उपयोग गणित एवं रसायन विज्ञान में चुंबकीय क्षेत्र, घूर्णन, सर्पिल, विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र, दर्पण छवियों एवं एनेंटिओमर की दिशा के अवलोकन के लिए किया जा सकता है।

अनुक्रम प्रायः तर्जनी, मध्यमा, अंगूठा होता है। दो अन्य क्रम भी कार्य करते हैं क्योंकि वे चक्र को संरक्षित करते हैं:
 * मध्यमा, अंगूठा, तर्जनी है।
 * अंगूठा, तर्जनी, मध्यमा (उदाहरण के लिए, स्विस दो सौ-फ़्रैंक बैंकनोट की नौवीं श्रृंखला देखें)।

वक्र अभिविन्यास एवं सामान्य वैक्टर
सदिश कलन में, सामान्य (ज्यामिति) सदिश को सतह से संबंधित वक्र से बांधना आवश्यक है। सकारात्मक उन्मुख वक्र के लिए C, सतह को बांधना S, सतह के लिए सामान्य $n̂$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि दाहिना अंगूठा $n̂$ दिशा में प्रदर्शित करता है, एवं उंगलियां बाउंडिंग कर्व के ओरिएंटेशन के साथ कर्ल करती हैं |

निर्देशांक
निर्देशांक सामान्यतः दाएं हाथ के होते हैं।

दाएं हाथ के निर्देशांक के लिए, दाहिना अंगूठा सकारात्मक दिशा में z-अक्ष के साथ प्रदर्शित करता है एवं दाहिने हाथ की उंगलियों की कर्लिंग गति पूर्व या x-अक्ष से गति का प्रतिनिधित्व करती है। z-अक्ष से देखा जाता है तो प्रणाली वामावर्त होती है।

बाएं हाथ के निर्देशांक के लिए, बायां अंगूठा सकारात्मक दिशा में z-अक्ष के साथ प्रदर्शित करता है एवं बाएं हाथ की उंगलियों की कर्लिंग गति पूर्व या x-अक्ष एवं दूसरा या y-अक्ष से गति का प्रतिनिधित्व करती है। जब ऊपर या z-अक्ष से देखा जाता है तो प्रणाली दक्षिणावर्त होता है।

किन्हीं भी दो अक्षों के लेबलों को आपस में परिवर्तित करने से हठधर्मिता विपरीत हो जाती है। अक्ष (या सभी तीन अक्षों) की दिशा को परिवर्तित करने से भी हठधर्मिता विपरीत हो जाती है। (यदि अक्षों की सकारात्मक या नकारात्मक दिशा नहीं है, तो हस्ताचरण का कोई अर्थ नहीं है।) दो अक्षों को विपरीत करने से शेष अक्ष के चारों ओर 180° घूर्णन होता है।

घूमता हुआ शरीर
गणित में, घूर्णन पिंड को सामान्यतः स्थिर अक्ष के चारों ओर घूर्णन के अक्ष के साथ स्यूडोवेक्टर द्वारा दर्शाया जाता है। वेक्टर की लंबाई कोणीय वेग देती है एवं अक्ष की दिशा दाएं हाथ के नियम के अनुसार घूर्णन की दिशा प्रदर्शित करती है: दाहिनी उंगलियां घूर्णन की दिशा में घुमावदार होती हैं एवं दायां अंगूठा धुरी की सकारात्मक दिशा को प्रदर्शित करता है। यह वेक्टर क्रॉस उत्पाद का उपयोग करके कुछ सरल गणनाओं की अनुमति प्रदान करता है। शरीर का कोई अंग अक्षीय तीर की दिशा में नहीं घूम रहा है। संयोग से, यदि अंगूठा उत्तर की ओर प्रदर्शित कर रहा है, तो पृथ्वी का घूर्णन दाहिने हाथ के नियम के अनुसार प्रतिगामी एवं आगे बढ़ने की गति की दिशा में है। यह बाएं हाथ के नियम के अनुसार सूर्य, चंद्रमा एवं तारे को पश्चिम की ओर दैनिक गति का कारण बनता है।

हेलिस एवं पेंच
कुंडलित वक्रता घुमावदार रेखा है जो केंद्र के चारों ओर घूमने वाले बिंदु से बनती है इसके विपरीत केंद्र z-अक्ष के ऊपर या नीचे चलता है। हेलिस या तो दाएं या बाएं हाथ के होते हैं, मुड़ी हुई उंगलियां घूर्णन की दिशा देती हैं एवं अंगूठा z-अक्ष के साथ आगे बढ़ने की दिशा प्रदान करता है।

स्क्रू के धागे हेलिक्स होते हैं एवं इस कारण स्क्रू दाएं या बाएं हाथ के हो सकते हैं। नियम यह है: यदि कोई स्क्रू दाएं हाथ का है (अधिकांश स्क्रू हैं) तो अपने दाहिने अंगूठे को उस दिशा में प्रदर्शित करें, जिस दिशा में आप चाहते हैं।

विद्युत चुंबकत्व

 * जब विद्युत (करंट) लंबे सीधे तार में प्रवाहित होती है, तो यह दाहिने हाथ के नियम के अनुसार तार के चारों ओर गोलाकार या बेलनाकार चुंबकीय क्षेत्र बनाता है। धारा, जो इलेक्ट्रॉनों के वास्तविक प्रवाह के विपरीत है, धनात्मक z-अक्ष के साथ धनात्मक आवेशों का  निर्माण करता है। चुंबकीय रेखा की दिशा कंपास सुई द्वारा दी जाती है।
 * विद्युत चुंबक तार के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र अधिक शक्तिहीन होता है। यदि तार को हेलिक्स में कुंडलित किया जाता है, तो हेलिक्स के अंदर की सभी क्षेत्र रेखाएँ दिशा में प्रदर्शित होती हैं एवं प्रत्येक क्रमिक कॉइल दूसरों को पुष्ट करती है। कुण्डलि का आगे बढ़ना, धारा का गैर-गोलाकार भाग, एवं क्षेत्र रेखाएँ सभी धनात्मक z दिशा में प्रदर्शित करती हैं। चूँकि कोई चुंबकीय मोनोपोल नहीं है, क्षेत्र रेखाएँ +z सीरे से बाहर निकलती हैं, हेलिक्स के बाहर चारों ओर लूप करती हैं, एवं -z सिरे पर फिर से प्रवेश करती हैं। +z अंत जहाँ रेखाएँ बाहर निकलती हैं उसे उत्तरी ध्रुव के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि दाहिने हाथ की अंगुलियां धारा के वृत्ताकार घटक की दिशा में मुड़ी हुई हैं, तो दाहिना अंगूठा उत्तरी ध्रुव की ओर प्रदर्शित करता है।
 * लोरेंत्ज़ बल: यदि सकारात्मक विद्युत आवेश चुंबकीय क्षेत्र में चलता है, तो यह लोरेंत्ज़ बल के अनुसार बल का अनुभव करता है, जिसकी दिशा दाहिने हाथ के नियम द्वारा दी गई है। यदि दाहिनी उंगलियों का कर्ल चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में आवेश की गति की दिशा से घूर्णन का प्रतिनिधित्व करता है, तो बल दाहिने अंगूठे की दिशा में है। क्योंकि आवेश गतिमान है, बल कण पथ को मोड़ने का कारण बनता है। झुकने वाले बल की गणना वेक्टर क्रॉस उत्पाद द्वारा की जाती है। इसका तात्पर्य यह है कि झुकने वाला बल कण के वेग एवं चुंबकीय क्षेत्र के बल के साथ बढ़ता है। बल तब अधिकतम होता है जब कण की दिशा एवं चुंबकीय क्षेत्र समकोण पर होते हैं, किसी अन्य कोण पर बल कम होता है एवं जब कण क्षेत्र के समानांतर चलता है तो बल शून्य होता है।

एम्पीयर का दाहिना हाथ पकड़ने का नियम
एम्पीयर का दाहिना हाथ पकड़ने का नियम (जिसे राइट-हैंड स्क्रू रूल, कॉफ़ी-मग रूल या कॉर्कस्क्रू-रूल भी कहा जाता है) का उपयोग या तो तब किया जाता है जब यूक्लिडियन वेक्टर (जैसे कि यूलर वेक्टर) का शरीर का घूर्णन, चुंबकीय क्षेत्र, या द्रव का प्रतिनिधित्व करने के लिए परिभाषित किया जाना चाहिए। तरल पदार्थ, या इसके विपरीत, जब घूर्णन वेक्टर को परिभाषित करना आवश्यक होता है, यह समझने के लिए कि घूर्णन कैसे होता है। यह वर्तमान द्वारा बनाए गए चुंबकीय क्षेत्र में वर्तमान एवं चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं के मध्य संबंध को प्रकट करता है।

फ्रांसीसी भौतिक विज्ञानी एवं गणितज्ञ आंद्रे-मैरी एम्पीयर, जिनके लिए नियम का नाम रखा गया था, अन्य भौतिक विज्ञानी हैंस क्रिश्चियन ओर्स्टेड से प्रेरित थे, जिन्होंने चुंबक सुइयों के साथ प्रयोग किया था। ओर्स्टेड ने देखा कि विद्युत के प्रवाह वाले तार की निकटता में सुइयां घूमती हैं, एवं निष्कर्ष निकाला कि विद्युत चुंबकीय क्षेत्र का निर्माण कर सकती है।

आवेदन
इस नियम का उपयोग एम्पीयर के परिपथीय नियम के दो भिन्न-भिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है:
 * 1) विद्युत धारा सीधे तार से होकर निकलती है। जब अंगूठे को धारा (सकारात्मक से नकारात्मक) की दिशा में प्रदर्शित किया जाता है, तब मुड़ी हुई उंगलियां सुचालक के चारों ओर चुंबकीय प्रवाह रेखाओं की दिशा में प्रदर्शित करेंगी। चुंबकीय क्षेत्र की दिशा (अंगूठे की नोक को देखने पर दक्षिणावर्त के अतिरिक्त वामावर्त घुमाव) इस सम्मेलन का परिणाम है, न कि अंतर्निहित भौतिक घटना है |
 * 2) विद्युत प्रवाह सोलेनोइड से होकर निकलता है, जिसके परिणामस्वरूप चुंबकीय क्षेत्र का निर्माण होता है। दाहिने हाथ को परिनालिका के चारों ओर धारा की दिशा में उँगलियों से लपेटते समय, अंगूठा चुंबकीय उत्तरी ध्रुव की दिशा में प्रदर्शित करता है।

क्रॉस उत्पाद
भौतिकी एवं इंजीनियरिंग में प्रायः दो सदिशों का क्रॉस उत्पाद लिया जाता है। उदाहरण के लिए, स्थिति-विज्ञान एवं डायनामिक्स (यांत्रिकी) में, टॉर्क लीवर की लंबाई एवं बल (भौतिकी) का क्रॉस उत्पाद है, जबकि कोणीय गति दूरी कोनेदार गति का क्रॉस उत्पाद है। विद्युत एवं चुंबकत्व में, चुंबकीय क्षेत्र B में गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला बल निम्न द्वारा दिया जाता है:


 * $$\mathbf{F} = q\mathbf{v} \times \mathbf{B}$$

क्रॉस उत्पाद की दिशा को दाहिने हाथ के नियम के द्वारा निम्नानुसार पाया जा सकता है:
 * 1) तर्जनी वेग सदिश v की दिशा में प्रदर्शित करती है।
 * 2) मध्यमा चुंबकीय क्षेत्र सदिश B की दिशा में प्रदर्शित करती है।
 * 3) अंगूठा क्रॉस उत्पाद F की दिशा में प्रदर्शित करता है।

उदाहरण के लिए, सकारात्मक रूप से आवेशित कण उत्तर की ओर बढ़ने के लिए, ऐसे क्षेत्र में जहां चुंबकीय क्षेत्र पश्चिम की ओर प्रदर्शित करता है, परिणामी बल ऊपर की ओर प्रदर्शित करता है।

अनुप्रयोग
दाहिने हाथ के नियम का भौतिकी में व्यापक उपयोग है। उन भौतिक राशियों की सूची जिनकी दिशाएँ दाएँ हाथ के नियम से संबंधित हैं, नीचे दी गई हैं। (इनमें से कुछ केवल अप्रत्यक्ष रूप से क्रॉस उत्पादों से संबंधित हैं, एवं दूसरे रूप का उपयोग करते हैं।)


 * घूमती हुई वस्तु के लिए, यदि दाहिने हाथ की उंगलियां वस्तु पर बिंदु के वक्र का अनुसरण करती हैं, तो अंगूठा कोणीय वेग सदिश की दिशा में घूर्णन के अक्ष के साथ प्रदर्शित करता है।
 * बलाघूर्ण, बल (भौतिकी) जो इसका कारण बनता है, एवं बल के अनुप्रयोग के बिंदु की स्थिति है।
 * चुंबकीय क्षेत्र, उस बिंदु की स्थिति जहां यह निर्धारित होता है, एवं विद्युत प्रवाह (या विद्युत प्रवाह में परिवर्तन) जो इसका कारण बनता है।
 * तार की कुंडली में चुंबकीय क्षेत्र एवं तार में विद्युत धारा है।
 * आवेशित कण पर चुंबकीय क्षेत्र का बल, स्वयं चुंबकीय क्षेत्र एवं वस्तु का वेग है।
 * तरल पदार्थ के प्रवाह के क्षेत्र में किसी भी बिंदु पर वोर्टिसिटी है।
 * चुंबकीय क्षेत्र में गति से प्रेरित धारा (मोटरों के लिए फ्लेमिंग के बाएं हाथ के नियम के रूप में जाना जाता है।
 * कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में x, y एवं z इकाई सदिशों को दाएँ हाथ के नियम का पालन करने के लिए चयन किया जा सकता है। दाएं हाथ की समन्वय प्रणाली का उपयोग प्रायः कठोर शरीर एवं गतिकी में किया जाता है।

यह भी देखें

 * चिरायता (गणित)
 * कर्ल (गणित)
 * मोटरों के लिए फ्लेमिंग का वामहस्त नियम
 * अनुचित घूर्णन
 * आईएसओ सेकंड
 * ओर्स्टेड का नियम
 * पॉयंटिंग वेक्टर
 * स्यूडोवेक्टर
 * प्रतिबिंब (गणित)

बाहरी संबंध

 * Feynman's lecture on the right-hand rule
 * Right and Left Hand Rules - Interactive Java Tutorial National High Magnetic Field Laboratory
 * Christian Moser : right-hand-rule : wpftutorial.net
 * Christian Moser : right-hand-rule : wpftutorial.net