श्रृंखला (बीजगणितीय टोपोलॉजी)

बीजगणितीय टोपोलॉजी में, k-श्रृंखला एक कक्ष  परिसर में k-कक्षIओं  का औपचारिक रैखिक संयोजन कहलाता  है। और  सरल कॉम्प्लेक्स (क्रमशः, क्यूबिकल कॉम्प्लेक्स) में,  k -चेन के-सिंप्लिस (क्रमशः,  k -क्यूब्स)    k संयोजन किये जाते  हैं, किन्तु आवश्यक  नहीं है, कि जुड़े हुए हों। इस प्रकार से  चेन  का उपयोग समरूपता में किया जाता है; और समरूपता समूह के तत्व श्रृंखलाओं के समतुल्य वर्ग  का उपयोग किया जाता  हैं।

परिभाषा
सरल परिसर के लिए $$X$$, समूह $$C_n(X)$$ का $$n$$-चेन की $$X$$ द्वारा दिया गया है:

$$C_n(X) = \left\{ \sum\limits_i m_i \sigma_i | m_i \in \mathbb{Z} \right\}$$

जहाँ $$\sigma_i$$ एकवचन $$n$$-$$X$$ समरूपता एकवचन हैं सरल का. ध्यान दें कि $$C_n(X)$$ कोई भी तत्व जुड़ा हुआ सरलीकृत परिसर होना आवश्यक नहीं है।

चेन पर एकीकरण
इस प्रकार से एकीकरण को श्रृंखला में गुणांकों (जो सामान्यतः पूर्णांक होते हैं) के साथ सरलताओं पर अभिन्नों के रैखिक संयोजन को समिल्लित कर के परिभाषित किया जाता है।

सभी k-चेन का समुच्चय समूह बनाता है और इन समूहों के अनुक्रम को श्रृंखला जटिल कहा जाता है।

चेन पर सीमा संचालक
किन्तु श्रृंखला की सीमा श्रृंखला में सरलताओं की सीमाओं का रैखिक संयोजन है। k-श्रृंखला की सीमा (k−1)-श्रृंखला है। ध्यान दें कि सिंप्लेक्स की सीमा सिंप्लेक्स नहीं है, किन्तु गुणांक 1 या −1 के साथ श्रृंखला है - इस प्रकार श्रृंखलाएं सीमा ऑपरेटर के तहत सिंप्लेक्स का समापन हैं।

इस प्रकार से 'उदाहरण 1:' पथ की सीमा (टोपोलॉजी) इसके अंतिम बिंदुओं का औपचारिक अंतर पाया जाता  है: यह दूरबीन योग माना जाता  है। इस तरह से  उदाहरण के लिए, यदि 1-श्रृंखला $$c = t_1 + t_2 + t_3\,$$ बिंदु  से पथ है $$v_1\,$$ इंगित करने के लिए $$v_4\,$$, जहाँ $$t_1=[v_1, v_2]\,$$, $$t_2=[v_2, v_3]\,$$ और

$$t_3=[v_3, v_4]\,$$ तो, इसके घटक 1-सिम्प्लेक्स हैं

$$\begin{align} \partial_1 c &= \partial_1(t_1 + t_2 + t_3)\\ &= \partial_1(t_1) + \partial_1(t_2) + \partial_1(t_3)\\ &= \partial_1([v_1, v_2]) + \partial_1([v_2, v_3]) + \partial_1([v_3, v_4]) \\ &= ([v_2]-[v_1]) + ([v_3]-[v_2]) + ([v_4]-[v_3]) \\ &= [v_4]-[v_1]. \end{align} $$

इस प्रकार से उदाहरण 2: त्रिभुज की सीमा उसके किनारों का औपचारिक योग होते है जिसमें सीमा को वामावर्त बनाने के लिए चिह्नों का उपयोग किया गया है।

अतः श्रृंखला को चक्र कहा जाता है जब उसकी सीमा शून्य होती है। और शृंखला जो दूसरी शृंखला की सीमा होती है, सीमा कहलाती है। सीमाएँ चक्र होती हैं,

इसलिए श्रृंखलाएं श्रृंखला परिसर बनाती हैं, जिनके समरूपता समूह (चक्र मॉड्यूलो सीमाएं) को सरल समरूपता (गणित) समूह कहा जाता है।

अतः उदाहरण 3: मूल बिंदु पर छिद्रित विमान में गैर-तुच्छ 1-होमोलॉजी समूह है क्योंकि इकाई वृत्त चक्र है, किन्तु सीमा नहीं होती है।

विभेदक ज्यामिति में, चेन पर सीमा ऑपरेटर और बाहरी व्युत्पन्न के बीच द्वंद्व सामान्य स्टोक्स प्रमेय द्वारा व्यक्त किया जाता है।