पूर्णता (आदेश सिद्धांत)

ऑर्डर सिद्धांत के गणित क्षेत्र में, पूर्णता गुण किसी दिए गए आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट (पोसेट) के कुछ निश्चित या सर्वोच्च के अस्तित्व पर जोर देते हैं। सबसे परिचित उदाहरण वास्तविक संख्याओं की पूर्णता है। शब्द का एक विशेष उपयोग पूर्ण आंशिक ऑर्डर या पूर्ण लैटिस को संदर्भित करता है। हालाँकि, पूर्णता की कई अन्य दिलचस्प धारणाएँ मौजूद हैं।

पूर्णता गुणों पर विचार करने की प्रेरणा सर्वोच्चता (न्यूनतम ऊपरी सीमा, सम्मिलित हों (गणित)) के महान महत्व से प्राप्त होती है।$$\vee$$) और सबसे कम (सबसे बड़ी निचली सीमाएं, मिलती हैं (गणित),$$\wedge$$) आंशिक आदेशों के सिद्धांत के लिए। सर्वोच्च खोजने का अर्थ ऊपरी सीमाओं के सेट (गणित) से एक विशिष्ट न्यूनतम तत्व को अलग करना है। एक ओर, ये विशेष तत्व अक्सर कुछ ठोस गुणों को अपनाते हैं जो दिए गए अनुप्रयोग के लिए दिलचस्प होते हैं (जैसे कि संख्याओं के समूह का सबसेट छोटा सामान्य गुणक या सेटों के संग्रह का संघ (सेट सिद्धांत))। दूसरी ओर, यह ज्ञान कि कुछ प्रकार के उपसमुच्चय में सुप्रीमा या इन्फिमा होने की गारंटी है, हमें आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट पर कुल संचालन के रूप में इन तत्वों की गणना पर विचार करने में सक्षम बनाता है। इस कारण से, कुछ पूर्णता गुणों वाले पोसेट्स को अक्सर एक निश्चित प्रकार की बीजगणितीय संरचनाओं के रूप में वर्णित किया जा सकता है। इसके अलावा, नए प्राप्त ऑपरेशनों के गुणों का अध्ययन करने से और भी दिलचस्प विषय सामने आते हैं।

पूर्णता गुणों के प्रकार
सभी पूर्णता गुणों को एक समान योजना के अनुसार वर्णित किया गया है: एक आंशिक रूप से आदेशित सेट के उपसमुच्चय के एक निश्चित वर्ग (सेट सिद्धांत) का वर्णन करता है जिनके लिए एक सुप्रीमम होना आवश्यक है या एक इन्फ़िमम होना आवश्यक है। इसलिए प्रत्येक पूर्णता गुण का अपना द्वैत (आदेश सिद्धांत) होता है, जो दिए गए कथन में क्रम-निर्भर परिभाषाओं को उलट कर प्राप्त किया जाता है। कुछ धारणाएँ आमतौर पर दोहरी नहीं होती हैं जबकि अन्य स्व-दोहरी हो सकती हैं (अर्थात उनके दोहरे बयानों के बराबर)।

सबसे छोटा और सबसे बड़ा तत्व
सुप्रीम का सबसे आसान उदाहरण खाली सेट का सुप्रीम है, यानी खाली सेट का सुप्रीम। परिभाषा के अनुसार, यह सभी तत्वों में सबसे छोटा तत्व है जो खाली सेट के प्रत्येक सदस्य से बड़ा है। लेकिन यह पूरे पोसेट का सबसे छोटा तत्व है, अगर इसमें एक है, क्योंकि पोसेट पी के खाली उपसमुच्चय को परंपरागत रूप से ऊपर और नीचे दोनों से घिरा हुआ माना जाता है, पी के प्रत्येक तत्व ऊपरी और निचले दोनों तरफ से घिरा हुआ है। खाली उपसमुच्चय का. सबसे छोटे तत्व के अन्य सामान्य नाम बॉटम और शून्य (0) हैं। दोहरी धारणा, खाली निचली सीमा, सबसे बड़ा तत्व, शीर्ष या इकाई (1) है।

जिन पोसेट्स में तल होता है उन्हें कभी-कभी नुकीला कहा जाता है, जबकि शीर्ष वाले पोसेट्स को यूनिटल या टॉपेड कहा जाता है। वह क्रम जिसमें न्यूनतम और अधिकतम दोनों तत्व होते हैं, परिबद्ध होता है। हालाँकि, इसे नीचे दी गई सीमित पूर्णता की धारणा के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए।

परिमित पूर्णता
इसके अलावा सभी गैर-रिक्त परिमित सेटों पर विचार करने से सरल पूर्णता की स्थितियाँ उत्पन्न होती हैं। वह क्रम जिसमें सभी गैर-रिक्त परिमित सेटों में एक सर्वोच्च और एक अनंत दोनों होते हैं, एक जाली (आदेश) कहलाता है। सभी गैर-रिक्त परिमित तत्वों को प्राप्त करने के लिए यह आवश्यक है कि दो तत्वों के सभी सुप्रीमा और इनफिमा मौजूद हों; एक सीधा गणितीय प्रेरण तर्क दर्शाता है कि प्रत्येक परिमित गैर-रिक्त सुप्रीम/इन्फ़िमम को बाइनरी सुप्रीमा/इन्फ़िमा की एक सीमित संख्या में विघटित किया जा सकता है। इस प्रकार जालकों की केंद्रीय संक्रियाएँ द्विआधारी सर्वोच्च हैं $$\vee$$ और इन्फिमा यह इस संदर्भ में है कि शर्तें मिलती हैं $$\wedge$$ और शामिल हों $$\vee$$ सबसे आम हैं.

एक पोसेट जिसमें केवल गैर-खाली परिमित सुप्रीमा का अस्तित्व ज्ञात होता है, उसे अर्ध-लेटेक्स|जॉइन-सेमिलैटिस कहा जाता है। दोहरी धारणा सेमीलैटिस|मीट-सेमिलैटिस है।

आगे पूर्णता की शर्तें
पूर्णता का सबसे मजबूत रूप सभी सर्वोच्च और सभी अनंत का अस्तित्व है। इस गुण वाले पोसेट पूर्ण जालक हैं। हालाँकि, दिए गए आदेश का उपयोग करके, कोई (संभवतः अनंत) उपसमुच्चय की आगे की कक्षाओं तक सीमित कर सकता है, जो एक ही बार में इस मजबूत पूर्णता को प्राप्त नहीं करते हैं।

यदि किसी पोसेट के सभी निर्देशित सेट में सर्वोच्चता है, तो ऑर्डर एक निर्देशित पूर्ण आंशिक ऑर्डर | निर्देशित-पूर्ण आंशिक ऑर्डर (डीसीपीओ) है। ये डोमेन सिद्धांत में विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं। डीसीपीओ के लिए शायद ही कभी मानी जाने वाली दोहरी धारणा फ़िल्टर्ड-पूर्ण पोसेट है। कम से कम तत्व वाले डीसीपीएस (नुकीले डीसीपीएस) वाक्यांश पूर्ण आंशिक क्रम (सीपीओ) के संभावित अर्थों में से एक हैं।

यदि प्रत्येक उपसमुच्चय जिसमें कुछ ऊपरी सीमा होती है, उसकी न्यूनतम ऊपरी सीमा भी होती है, तो संबंधित स्थिति को परिबद्ध पूर्ण कहा जाता है। इस परिभाषा के साथ इस शब्द का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है जो सुप्रीमा पर केंद्रित है और दोहरी संपत्ति के लिए कोई सामान्य नाम नहीं है। हालाँकि, बंधी हुई पूर्णता को अन्य पूर्णता स्थितियों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है जिन्हें आसानी से दोहरीकृत किया जा सकता है (नीचे देखें)। यद्यपि पूर्ण और परिबद्ध नामों वाली अवधारणाओं को पहले से ही परिभाषित किया गया था, भ्रम उत्पन्न होने की संभावना नहीं है क्योंकि कोई शायद ही कभी एक परिबद्ध पूर्ण स्थिति के बारे में बात करेगा जब इसका अर्थ एक परिबद्ध सीपीओ (जो कि सबसे बड़े तत्व के साथ एक सीपीओ है) होता है। इसी प्रकार, परिबद्ध पूर्ण जालक लगभग असंदिग्ध है, क्योंकि कोई भी पूर्ण जालक के लिए परिबद्धता गुण नहीं बता सकता, जहां यह वैसे भी निहित है। यह भी ध्यान दें कि खाली सेट में आमतौर पर ऊपरी सीमा होती है (यदि पॉसेट गैर-रिक्त है) और इस प्रकार एक बाउंड-पूर्ण पॉसेट में कम से कम तत्व होता है।

कोई किसी पोसेट के उपसमुच्चय पर भी विचार कर सकता है जो कुल ऑर्डर है, यानी कुल ऑर्डर#चेन। यदि सभी श्रृंखलाओं में सर्वोच्चता है, तो क्रम को श्रृंखला पूर्ण कहा जाता है। फिर, इस अवधारणा की दोहरे रूप में शायद ही कभी आवश्यकता होती है।

पूर्णता गुणों के बीच संबंध
यह पहले से ही देखा गया था कि बाइनरी मीट/जॉइन से सभी गैर-रिक्त परिमित मीट/जॉइन मिलते हैं। इसी प्रकार, उपरोक्त शर्तों के कई अन्य (संयोजन) समतुल्य हैं।


 * सबसे प्रसिद्ध उदाहरण सभी सुप्रीमों का अस्तित्व है, जो वास्तव में सभी इन्फ़िमाओं के अस्तित्व के बराबर है। वास्तव में, किसी स्थिति के किसी उपसमुच्चय X के लिए, कोई इसकी निचली सीमा B के समुच्चय पर विचार कर सकता है। एक्स के सभी तत्व, यानी सुपर बी बी में है। यह बी का सबसे बड़ा तत्व है और इसलिए एक्स का न्यूनतम है। दोहरे तरीके से, सभी इनफिमा का अस्तित्व सभी सुप्रीमा के अस्तित्व को दर्शाता है।
 * बंधी हुई पूर्णता को अलग ढंग से भी चित्रित किया जा सकता है। उपरोक्त के समान एक तर्क से, कोई यह पाता है कि ऊपरी सीमा वाले समुच्चय का सर्वोच्च, ऊपरी सीमा वाले समुच्चय का न्यूनतम होता है। नतीजतन, बंधी हुई पूर्णता सभी गैर-रिक्त इन्फिमा के अस्तित्व के बराबर है।
 * एक पोसेट एक पूर्ण जाली है यदि और केवल यदि यह एक सीपीओ और एक जॉइन-सेमिलैटिस है। वास्तव में, किसी भी उपसमुच्चय उपरोक्त अवलोकन से हमारे पास एक पूर्ण जाली है। प्रमाण की दूसरी दिशा तुच्छ है।
 * पसंद के सिद्धांत को मानते हुए, एक पॉसेट श्रृंखला पूर्ण है यदि और केवल यदि वह एक डीसीपीओ है।

सार्वभौमिक बीजगणित के संदर्भ में संपूर्णता
जैसा कि ऊपर बताया गया है, कुछ पूर्णता स्थितियों की उपस्थिति आंशिक रूप से आदेशित सेट के कुल संचालन के रूप में कुछ सुप्रीमा और इन्फिमा के गठन पर विचार करने की अनुमति देती है। यह पता चला है कि कई मामलों में सार्वभौमिक बीजगणित के अर्थ में उपयुक्त बीजगणितीय संरचनाओं पर विचार करके पूर्णता को चिह्नित करना संभव है, जो जैसे संचालन से सुसज्जित हैं $$\vee$$ या $$\wedge$$. इन संक्रियाओं पर अतिरिक्त शर्तें (उपयुक्त पहचान (गणित) के रूप में) लगाकर, कोई वास्तव में ऐसी बीजगणितीय संरचनाओं से विशेष रूप से अंतर्निहित आंशिक क्रम प्राप्त कर सकता है। इस लक्षण वर्णन पर विवरण जाली जैसी संरचनाओं पर लेखों में पाया जा सकता है जिसके लिए इसे आम तौर पर माना जाता है: सेमीलैटिस, जाली (ऑर्डर), हेटिंग बीजगणित, और बूलियन बीजगणित (संरचना) देखें। ध्यान दें कि बाद की दो संरचनाएं निषेध की एक अतिरिक्त कार्रवाई शुरू करके इन सिद्धांतों के अनुप्रयोग को केवल पूर्णता आवश्यकताओं से परे बढ़ाती हैं।

संयोजन के संदर्भ में पूर्णता
पूर्णता गुणों को चिह्नित करने का एक और दिलचस्प तरीका (मोनोटोन) गैलोइस कनेक्शन की अवधारणा के माध्यम से प्रदान किया गया है, यानी आंशिक आदेशों के बीच संयोजन। वास्तव में यह दृष्टिकोण कई पूर्णता गुणों की प्रकृति और ऑर्डर सिद्धांत के लिए गैलोज़ कनेक्शन के महत्व दोनों में अतिरिक्त अंतर्दृष्टि प्रदान करता है। सामान्य अवलोकन जिस पर पूर्णता का यह सुधार आधारित है, वह यह है कि कुछ सुप्रिमा या इन्फिमा का निर्माण उपयुक्त गैलोज़ कनेक्शन के बाएँ या दाएँ सहायक भाग प्रदान करता है।

आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट (X, ≤) पर विचार करें। पहले सरल उदाहरण के रूप में, 1 = {*} को केवल संभावित आंशिक क्रम के साथ एक निर्दिष्ट एक-तत्व सेट होने दें। एक स्पष्ट मैपिंग j है: X → 1, j(x) = * के साथ, X में सभी x के लिए।*: 1 → X. वास्तव में गैलोज़ कनेक्शन की परिभाषा से पता चलता है कि इस मामले में j*(*) ≤ x यदि और केवल यदि * ≤ j(x), जहां दाहिना हाथ स्पष्ट रूप से किसी भी x के लिए है। दोहरी दृष्टि से, j के लिए एक ऊपरी जोड़ का अस्तित्व X के सबसे बड़े तत्व के बराबर है।

एक और सरल मैपिंग फ़ंक्शन q: X → X × X है जो q(x) = (x, x) द्वारा दिया गया है। स्वाभाविक रूप से, X × X के लिए इच्छित ऑर्डर संबंध केवल सामान्य उत्पाद ऑर्डर है। q का निचला जोड़ q है* यदि और केवल यदि X में सभी बाइनरी जॉइन मौजूद हैं। इसके विपरीत, जॉइन ऑपरेशन $$\vee$$: X × X → X हमेशा q के लिए (आवश्यक रूप से अद्वितीय) निचला जोड़ प्रदान कर सकता है। दोहरी रूप से, q एक ऊपरी जोड़ की अनुमति देता है यदि और केवल तभी जब X में सभी बाइनरी मिलते हों। इस प्रकार मीट ऑपरेशन $$\wedge$$, यदि यह मौजूद है, तो हमेशा एक ऊपरी जोड़ है। अगर दोनों $$\vee$$ और $$\wedge$$ अस्तित्व में है और, इसके अलावा, $$\wedge$$ यह एक निचला जोड़ भी है, तो पॉसेट एक्स एक हेटिंग बीजगणित है - आंशिक आदेशों का एक और महत्वपूर्ण विशेष वर्ग।

उपयुक्त पूर्णता (आदेश सिद्धांत) प्रक्रियाओं का उपयोग करके आगे पूर्णता विवरण प्राप्त किए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, यह सर्वविदित है कि पोसेट एक्स के सभी निचले सेटों का संग्रह, सबसेट द्वारा क्रमबद्ध, एक पूर्ण जाली 'डी' (एक्स) (डाउनसेट-जाली) उत्पन्न करता है। इसके अलावा, एक स्पष्ट एम्बेडिंग ई: एक्स → 'डी' (एक्स) है जो एक्स के प्रत्येक तत्व एक्स को उसके आदर्श (ऑर्डर सिद्धांत) {वाई इन एक्स | y ≤ x}. अब थोड़ा प्रतिबिंब से पता चलता है कि ई का निचला जोड़ केवल तभी है जब एक्स एक पूर्ण जाली है। वास्तव में, यह निचला जोड़, कोई सत्ता स्थापित  2 से सामान्य सर्वोच्च मानचित्र प्राप्त करता है एक्स से एक्स। पहले की तरह, एक और महत्वपूर्ण स्थिति तब होती है जब यह सर्वोच्च मानचित्र भी एक ऊपरी सहायक होता है: इस मामले में पूर्ण जाली एक्स रचनात्मक रूप से पूरी तरह से वितरणात्मक है। पूरी तरह से वितरणात्मक जाली और वितरणशीलता (आदेश सिद्धांत) पर लेख भी देखें।

इस खंड में दिए गए विचार श्रेणी सिद्धांत के संदर्भ में आदेश सिद्धांत के (भागों के) पुनर्रचना का सुझाव देते हैं, जहां गुणों को आमतौर पर वस्तुओं की आंतरिक संरचना पर विचार करने के बजाय, वस्तुओं के बीच संबंधों (रूपवाद, अधिक विशेष रूप से: संयोजन) के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है। इस संबंध पर अधिक विस्तृत विचार के लिए ऑर्डर सिद्धांत के श्रेणीबद्ध सूत्रीकरण पर लेख देखें।

यह भी देखें

 * सीमा-संरक्षण कार्य (आदेश सिद्धांत)|मौजूदा सुप्रीमा/इन्फिमा के संरक्षण पर सीमा-संरक्षण कार्य।
 * सीमा-संरक्षण कार्य (आदेश सिद्धांत)|मौजूदा सुप्रीमा/इन्फिमा के संरक्षण पर सीमा-संरक्षण कार्य।

संदर्भ

 * G. Markowsky and B.K. Rosen. Bases for chain-complete posets IBM Journal of Research and Development.  March 1976.
 * Stephen Bloom. Varieties of ordered algebras Journal of Computer and System Sciences. October 1976.
 * Michael Smyth. Power domains  Journal of Computer and System Sciences.  1978.
 * Daniel Lehmann. On the algebra of order Journal of Computer and System Sciences.  August 1980.