बहु-मापदंड निर्णय विश्लेषण

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यह भी देखें: बहुउद्देश्यीय अनुकूलन

बहु-मापदंड निर्णय-निर्माण (एमसीडीएम) या बहु-मापदंड निर्णय विश्लेषण (एमसीडीए) संचालन अनुसंधान का एक उप-अनुशासन है जो स्पष्ट रूप से कई परस्पर विरोधी विकट का मूल्यांकन करता है: निर्णय लेने में मानदंड (दैनिक जीवन में और व्यवसाय, सरकार जैसी सेटिंग्स में दोनों) और दवा)। परस्पर विरोधी मानदंड विकल्पों के मूल्यांकन में विशिष्ट हैं: लागत या कीमत आमतौर पर मुख्य मानदंडों में से एक है, और गुणवत्ता के कुछ उपाय आम तौर पर लागत के साथ संघर्ष में आसानी से एक और मानदंड है। एक कार खरीदने में, लागत, आराम, सुरक्षा और ईंधन बचत कुछ मुख्य मानदंड हो सकते हैं जिन पर हम विचार करते हैं - यह असामान्य है कि सबसे सस्ती कार सबसे आरामदायक और सबसे सुरक्षित है। निवेश प्रबंधन में, प्रबंधक जोखिमों को कम करने के साथ-साथ उच्च प्रतिफल प्राप्त करने में रुचि रखते हैं; हालाँकि, जिन शेयरों में उच्च रिटर्न लाने की क्षमता होती है, उनमें आमतौर पर पैसे खोने का उच्च जोखिम होता है। एक सेवा उद्योग में, ग्राहकों की संतुष्टि और सेवा प्रदान करने की लागत मूलभूत परस्पर विरोधी मानदंड हैं।

अपने दैनिक जीवन में, लोग आमतौर पर कई मानदंडों को अंतर्निहित रूप से तौलते हैं और ऐसे निर्णयों के परिणामों से सहज हो सकते हैं जो केवल अंतर्ज्ञान (मनोविज्ञान) पर आधारित होते हैं। दूसरी ओर, जब दांव ऊंचे होते हैं, तो समस्या को ठीक से संरचित करना और कई मानदंडों का स्पष्ट रूप से मूल्यांकन करना महत्वपूर्ण होता है। परमाणु ऊर्जा संयंत्र का निर्माण करना है या नहीं, और इसे कहां बनाना है, इसका निर्णय लेने में, न केवल बहुत ही जटिल मुद्दे हैं जिनमें कई मानदंड शामिल हैं, बल्कि ऐसे कई पक्ष भी हैं जो परिणामों से गहराई से प्रभावित हैं।

जटिल समस्याओं को अच्छी तरह से संरचित करना और कई मानदंडों पर स्पष्ट रूप से विचार करना अधिक सूचित और बेहतर निर्णयों की ओर ले जाता है। 1960 के दशक की शुरुआत में आधुनिक बहु-मापदंड निर्णय लेने वाले अनुशासन की शुरुआत के बाद से इस क्षेत्र में महत्वपूर्ण प्रगति हुई है। विभिन्न प्रकार के दृष्टिकोण और तरीके, कई विशेष निर्णय लेने वाले सॉफ़्टवेयर द्वारा कार्यान्वित किए जाते हैं, राजनीति और व्यापार से लेकर पर्यावरण और ऊर्जा तक, विषयों की एक श्रृंखला में उनके आवेदन के लिए विकसित किया गया है।

नींव, अवधारणाएं, परिभाषाएं
बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण या बहु-मापदंड निर्णय विश्लेषण बहु-मापदंड निर्णय लेने और बहु-मापदंड निर्णय विश्लेषण के लिए प्रसिद्ध परिवर्णी शब्द हैं; स्टेनली ज़ायंट्स ने अपने 1979 के लेख बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण - इफ नॉट ए रोमन न्यूमेरल, इफ नॉट ए रोमन न्यूमेरल, व्हाट? , एक उद्यमी दर्शकों के लिए अभिप्रेत है।

बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण कई मानदंडों को शामिल करने वाले निर्णय और नियोजन समस्याओं की संरचना और समाधान से संबंधित है। इसका उद्देश्य ऐसी समस्याओं का सामना कर रहे निर्णयकर्ताओं का समर्थन करना है। आमतौर पर, ऐसी समस्याओं के लिए कोई अद्वितीय इष्टतम समाधान मौजूद नहीं होता है और समाधानों के बीच अंतर करने के लिए निर्णयकर्ताओं की प्राथमिकताओं का उपयोग करना आवश्यक होता है।

हल करने की व्याख्या अलग-अलग तरीकों से की जा सकती है। यह उपलब्ध विकल्पों के एक सेट से सर्वोत्तम विकल्प चुनने के अनुरूप हो सकता है (जहाँ सर्वोत्तम को निर्णयकर्ता के सबसे पसंदीदा विकल्प के रूप में व्याख्या किया जा सकता है)। हल करने की एक और व्याख्या यह हो सकती है कि अच्छे विकल्पों के एक छोटे समूह का चयन किया जाए, या विकल्पों को अलग-अलग वरीयता सेटों में समूहित किया जाए। सभी कुशल या गैर-प्रभुत्व वाले विकल्पों को खोजने के लिए एक चरम व्याख्या हो सकती है (जिसे हम जल्द ही परिभाषित करेंगे)।

समस्या की कठिनाई एक से अधिक कसौटियों की उपस्थिति से उत्पन्न होती है। बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण समस्या का अब कोई अनूठा इष्टतम समाधान नहीं है जिसे वरीयता जानकारी शामिल किए बिना प्राप्त किया जा सकता है। एक इष्टतम समाधान की अवधारणा को अक्सर गैर-प्रभुत्व वाले समाधानों के सेट से बदल दिया जाता है। एक समाधान को गैर-प्रभुत्व कहा जाता है यदि किसी भी मानदंड में इसे दूसरे में बलिदान किए बिना सुधार करना संभव नहीं है। इसलिए, निर्णय लेने वाले के लिए गैर-प्रभुत्व वाले सेट से समाधान चयन समझ में आता है। अन्यथा, वह कुछ या सभी मानदंडों के संदर्भ में बेहतर कर सकता/सकती है, और उनमें से किसी में भी बुरा नहीं कर सकता/सकती। आम तौर पर, हालांकि, गैर-प्रभुत्व वाले समाधानों का सेट अंतिम विकल्प के लिए निर्णयकर्ता को प्रस्तुत करने के लिए बहुत बड़ा होता है। इसलिए हमें ऐसे उपकरणों की आवश्यकता है जो निर्णयकर्ता को पसंदीदा समाधान (या विकल्प) पर ध्यान केंद्रित करने में मदद करें। आम तौर पर किसी को दूसरों के लिए कुछ मानदंडों का व्यापार करना पड़ता है।

बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण 1970 के दशक से अनुसंधान का एक सक्रिय क्षेत्र रहा है। कई बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण से संबंधित संगठन हैं जिनमें इंटरनेशनल सोसाइटी ऑन मल्टी-क्राइटेरिया डिसीजन मेकिंग, बहु-मापदंड निर्णय विश्लेषण पर यूरो वर्किंग ग्रुप, और बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण पर सूचना अनुभाग। इतिहास के लिए देखें: कोकसालन, वालेनियस और ज़ियोनट्स (2011)। बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण सहित कई क्षेत्रों में ज्ञान प्राप्त करता है:


 * अंक शास्त्र
 * निर्णय विश्लेषण
 * अर्थशास्त्र
 * कंप्यूटर प्रौद्योगिकी
 * सॉफ्टवेयर इंजीनियरिंग
 * जानकारी के सिस्टम

एक टाइपोलॉजी
बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण समस्याओं और विधियों के विभिन्न वर्गीकरण हैं। बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण समस्याओं के बीच एक प्रमुख अंतर इस बात पर आधारित है कि क्या समाधान स्पष्ट रूप से या निहित रूप से परिभाषित हैं।


 * बहु-मापदंड मूल्यांकन समस्याएं: इन समस्याओं में सीमित संख्या में विकल्प होते हैं, जिन्हें समाधान प्रक्रिया की शुरुआत में स्पष्ट रूप से जाना जाता है। प्रत्येक विकल्प को कई मानदंडों में इसके प्रदर्शन द्वारा दर्शाया जाता है। समस्या को एक निर्णयकर्ता (डीएम) के लिए सबसे अच्छा विकल्प खोजने या अच्छे विकल्पों का एक सेट खोजने के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। किसी की रुचि विकल्पों को छाँटने या वर्गीकृत करने में भी हो सकती है। छँटाई वरीयता-क्रमित वर्गों (जैसे देशों को क्रेडिट-रेटिंग निर्दिष्ट करना) के एक सेट में विकल्प रखने को संदर्भित करता है, और वर्गीकृत करने का अर्थ है गैर-आदेशित सेटों के विकल्प निर्दिष्ट करना (जैसे कि उनके लक्षणों के आधार पर रोगियों का निदान करना)। इस विषय पर 2000 की ट्रायंताफिलौ की किताब में इस श्रेणी की कुछ बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण विधियों का तुलनात्मक तरीके से अध्ययन किया गया है।
 * बहु-मापदंड डिजाइन समस्याएं (बहुउद्देश्यीय गणितीय प्रोग्रामिंग समस्याएं): इन समस्याओं में, विकल्प स्पष्ट रूप से ज्ञात नहीं हैं। एक गणितीय मॉडल को हल करके एक विकल्प (समाधान) पाया जा सकता है। विकल्पों की संख्या या तो अनंत (गिनने योग्य या नहीं) या परिमित है, लेकिन आम तौर पर घातीय रूप से बड़ी होती है (परिमित डोमेन को लेकर चर की संख्या में।)

चाहे वह मूल्यांकन समस्या हो या डिज़ाइन समस्या, समाधानों के बीच अंतर करने के लिए डीएम की वरीयता जानकारी आवश्यक है। बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण समस्याओं के समाधान के तरीकों को आमतौर पर डीएम से प्राप्त वरीयता सूचना के समय के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है।

ऐसी विधियाँ हैं जिनके लिए प्रक्रिया की शुरुआत में DM की वरीयता जानकारी की आवश्यकता होती है, समस्या को अनिवार्य रूप से एकल मानदंड समस्या में बदलना। कहा जाता है कि इन विधियों को वरीयताओं के पूर्व अभिव्यक्ति द्वारा संचालित किया जाता है। वैल्यू फ़ंक्शन का आकलन करने या आउटरैंकिंग संबंधों, विश्लेषणात्मक पदानुक्रम प्रक्रिया, और कुछ नियम-आधारित निर्णय विधियों की अवधारणा का उपयोग करने के आधार पर विधियों को प्राथमिकता के पूर्व अभिव्यक्ति का उपयोग करके कई मानदंड मूल्यांकन समस्याओं को हल करने का प्रयास किया जाता है। इसी तरह, मूल्य फ़ंक्शन का निर्माण करके वरीयताओं की पूर्व अभिव्यक्ति का उपयोग करके बहु-मानदंड डिजाइन समस्याओं को हल करने के लिए विकसित तरीके हैं। शायद इन विधियों में सबसे प्रसिद्ध लक्ष्य प्रोग्रामिंग है। एक बार वैल्यू फ़ंक्शन का निर्माण हो जाने के बाद, परिणामी एकल उद्देश्य गणितीय प्रोग्राम को पसंदीदा समाधान प्राप्त करने के लिए हल किया जाता है।

कुछ विधियों के लिए समाधान प्रक्रिया के दौरान DM से वरीयता जानकारी की आवश्यकता होती है। इन्हें इंटरएक्टिव विधियों या विधियों के रूप में संदर्भित किया जाता है जिनके लिए वरीयताओं की प्रगतिशील अभिव्यक्ति की आवश्यकता होती है। इन विधियों को बहु मानदंड मूल्यांकन दोनों के लिए अच्छी तरह से विकसित किया गया है (उदाहरण के लिए देखें, जियोफ्रीयन, डायर और फ़िनबर्ग, 1972, और कोकसलान और सागला, 1995 ) और डिजाइन की समस्याएं (स्टीयर, 1986 देखें ).

बहु-मापदंड डिजाइन समस्याओं को आमतौर पर गणितीय प्रोग्रामिंग मॉडल की एक श्रृंखला के समाधान की आवश्यकता होती है ताकि स्पष्ट रूप से परिभाषित समाधानों को प्रकट किया जा सके। इन समस्याओं के लिए, कुशल समाधानों का प्रतिनिधित्व या अनुमान भी रुचि का हो सकता है। इस श्रेणी को वरीयताओं के पश्चवर्ती अभिव्यक्ति के रूप में संदर्भित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि डीएम की भागीदारी दिलचस्प समाधानों के स्पष्ट रहस्योद्घाटन के बाद से शुरू होती है (उदाहरण के लिए करासाकल और कोक्सलन, 2009 देखें) ).

जब गणितीय प्रोग्रामिंग मॉडल में पूर्णांक चर होते हैं, तो डिज़ाइन की समस्याओं को हल करना कठिन हो जाता है। मल्टीऑब्जेक्टिव कॉम्बिनेटोरियल ऑप्टिमाइज़ेशन (एमओसीओ) ऐसी समस्याओं की एक विशेष श्रेणी का गठन करता है जो पर्याप्त कम्प्यूटेशनल कठिनाई उत्पन्न करता है (देखें एहरगोट और गैंडिबलक्स, 2002, एक समीक्षा के लिए)।

प्रतिनिधित्व और परिभाषाएं
बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण समस्या को मानदंड स्थान या निर्णय स्थान में दर्शाया जा सकता है। वैकल्पिक रूप से, यदि भारित रैखिक फ़ंक्शन द्वारा विभिन्न मानदंडों को जोड़ा जाता है, तो भार स्थान में समस्या का प्रतिनिधित्व करना भी संभव है। नीचे कसौटी और वजन रिक्त स्थान के प्रदर्शन के साथ-साथ कुछ औपचारिक परिभाषाएँ भी दी गई हैं।

कसौटी स्थान प्रतिनिधित्व
आइए मान लें कि हम कई मानदंडों का उपयोग करके एक विशिष्ट समस्या की स्थिति में समाधान का मूल्यांकन करते हैं। आइए हम आगे मान लें कि प्रत्येक मानदंड में अधिक बेहतर है। फिर, सभी संभावित समाधानों के बीच, हम आदर्श रूप से उन समाधानों में रुचि रखते हैं जो सभी माने गए मानदंडों में अच्छा प्रदर्शन करते हैं। हालाँकि, यह संभावना नहीं है कि इसका कोई एक समाधान हो जो सभी माने गए मानदंडों में अच्छा प्रदर्शन करता हो। विशिष्ट रूप से, कुछ समाधान कुछ मानदंडों में अच्छा प्रदर्शन करते हैं और कुछ दूसरों में अच्छा प्रदर्शन करते हैं। मानदंड के बीच व्यापार करने का एक तरीका खोजना बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण साहित्य में मुख्य प्रयासों में से एक है।

गणितीय रूप से, उपरोक्त तर्कों के अनुरूप बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण समस्या को इस रूप में दर्शाया जा सकता है




 * का विषय है



कहाँ $"max" q$ k मानदंड कार्यों (उद्देश्य कार्यों) का वेक्टर है और $q ∈ Q$ साध्य समुच्चय है, $q$.

अगर $Q$ को स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है (विकल्पों के एक सेट द्वारा), परिणामी समस्या को बहु-मापदंड मूल्यांकन समस्या कहा जाता है।

अगर $Q ⊆ R^{k}$ को निहित रूप से परिभाषित किया गया है (बाधाओं के एक सेट द्वारा), परिणामी समस्या को बहु-मापदंड डिज़ाइन समस्या कहा जाता है।

उद्धरण चिह्नों का उपयोग यह इंगित करने के लिए किया जाता है कि वेक्टर का अधिकतमकरण एक अच्छी तरह से परिभाषित गणितीय संक्रिया नहीं है। यह इस तर्क से मेल खाता है कि जब सभी मानदंडों में अच्छा प्रदर्शन करने वाला समाधान मौजूद नहीं है, तो हमें मानदंडों के बीच व्यापार-बंद को हल करने का एक तरीका खोजना होगा (आमतौर पर एक निर्णय निर्माता की प्राथमिकताओं पर आधारित)।

निर्णय स्थान प्रतिनिधित्व
निर्णय स्थान हमारे लिए उपलब्ध संभावित निर्णयों के सेट से मेल खाता है। मापदंड मान हमारे द्वारा लिए गए निर्णयों के परिणाम होंगे। इसलिए, हम निर्णय स्थान में संबंधित समस्या को परिभाषित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, किसी उत्पाद को डिजाइन करने में, हम डिजाइन मापदंडों (निर्णय चर) पर निर्णय लेते हैं, जिनमें से प्रत्येक प्रदर्शन उपायों (मापदंडों) को प्रभावित करता है जिसके साथ हम अपने उत्पाद का मूल्यांकन करते हैं।

गणितीय रूप से, एक बहु-मानदंड डिजाइन समस्या को निर्णय स्थान में निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:



\begin{align} \max q & = f(x) = f(x_1,\ldots,x_n) \\ \text{subject to} \\ q\in Q & = \{f(x) : x\in X,\, X\subseteq \mathbb R^n\} \end{align} $$ कहाँ $Q$ साध्य समुच्चय है और $Q$ आकार n का निर्णय चर वेक्टर है।

एक अच्छी तरह से विकसित विशेष मामला तब प्राप्त होता है जब $X$ रेखीय असमानताओं और समानता द्वारा परिभाषित एक पॉलीहेड्रॉन है। यदि निर्णय चर के संदर्भ में सभी उद्देश्य कार्य रैखिक हैं, तो यह भिन्नता बहुउद्देश्यीय रैखिक प्रोग्रामिंग (MOLP) की ओर ले जाती है, जो बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण समस्याओं का एक महत्वपूर्ण उपवर्ग है।

ऐसी कई परिभाषाएँ हैं जो बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण में केंद्रीय हैं। दो बारीकी से संबंधित परिभाषाएँ गैर-प्रभुत्व (मानदंड स्थान प्रतिनिधित्व के आधार पर परिभाषित) और दक्षता (निर्णय चर प्रतिनिधित्व के आधार पर परिभाषित) हैं।

परिभाषा 1. $x$ गैर-प्रभुत्व है यदि कोई अन्य मौजूद नहीं है $X$ ऐसा है कि $q* ∈ Q$ और $q ∈ Q$.

मोटे तौर पर कहा जाए तो एक समाधान तब तक गैर-प्रभुत्व वाला होता है जब तक कि वह सभी माने गए मानदंडों में किसी भी अन्य उपलब्ध समाधान से नीचा न हो।

परिभाषा 2। $q ≥ q*$ कुशल है अगर कोई दूसरा मौजूद नहीं है $q ≠ q*$ ऐसा है कि $x* ∈ X$ और $x ∈ X$.

यदि एक बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण समस्या एक निर्णय स्थिति का अच्छी तरह से प्रतिनिधित्व करती है, तो डीएम का सबसे पसंदीदा समाधान निर्णय स्थान में एक कुशल समाधान होना चाहिए, और इसकी छवि मानदंड स्थान में एक गैर-प्रभुत्व बिंदु है। निम्नलिखित परिभाषाएँ भी महत्वपूर्ण हैं।

परिभाषा 3। $f(x) ≥ f(x*)$ कमजोर रूप से गैर-प्रभुत्व वाला है यदि कोई अन्य मौजूद नहीं है $f(x) ≠ f(x*)$ ऐसा है कि $q* ∈ Q$.

परिभाषा 4। $q ∈ Q$ कमजोर रूप से कुशल है अगर कोई दूसरा मौजूद नहीं है $q > q*$ ऐसा है कि $x* ∈ X$.

कमजोर गैर-प्रभुत्व वाले बिंदुओं में सभी गैर-प्रभुत्व वाले बिंदु और कुछ विशेष वर्चस्व वाले बिंदु शामिल हैं। इन विशेष प्रभुत्व वाले बिंदुओं का महत्व इस तथ्य से आता है कि वे आमतौर पर व्यवहार में दिखाई देते हैं और उन्हें गैर-प्रभुत्व वाले बिंदुओं से अलग करने के लिए विशेष देखभाल आवश्यक है। यदि, उदाहरण के लिए, हम एक ही उद्देश्य को अधिकतम करते हैं, तो हम एक कमजोर गैर-प्रभुत्व वाले बिंदु के साथ समाप्त हो सकते हैं जो हावी है। कमजोर गैर-प्रभुत्व वाले सेट के प्रभुत्व वाले बिंदु कसौटी स्थान में या तो ऊर्ध्वाधर या क्षैतिज विमानों (हाइपरप्लेन) पर स्थित हैं।

आदर्श बिंदु: (मानदंड स्थान में) प्रत्येक उद्देश्य फ़ंक्शन के सर्वोत्तम (अधिकतमकरण समस्याओं के लिए अधिकतम और न्यूनीकरण समस्याओं के लिए न्यूनतम) का प्रतिनिधित्व करता है और आमतौर पर एक अक्षम समाधान के अनुरूप होता है।

नादिर बिंदु: (मानदंड स्थान में) गैर-प्रभुत्व वाले सेट में बिंदुओं के बीच प्रत्येक उद्देश्य फ़ंक्शन के सबसे विकृत (अधिकतमकरण समस्याओं के लिए न्यूनतम और न्यूनतमकरण समस्याओं के लिए अधिकतम) का प्रतिनिधित्व करता है और आमतौर पर एक हावी बिंदु है।

समाधान की श्रेणी का अनुभव प्राप्त करने के लिए डीएम के लिए आदर्श बिंदु और नादिर बिंदु उपयोगी होते हैं (हालांकि यह दो से अधिक मानदंड वाली डिज़ाइन समस्याओं के लिए नादिर बिंदु खोजने के लिए सीधा नहीं है)।

निर्णय और मानदंड रिक्त स्थान के उदाहरण
निर्णय चर स्थान में निम्नलिखित दो-चर MOLP समस्या कुछ प्रमुख अवधारणाओं को रेखांकन के रूप में प्रदर्शित करने में मदद करेगी।

\max f_1(\mathbf{x}) & = -x_1 + 2x_2 \\ \max f_2(\mathbf{x}) & = 2x_1 - x_2 \\ \text{subject to} \\ x_1 & \le 4 \\ x_2 & \le 4 \\ x_1+x_2 & \le 7 \\ -x_1+x_2 & \le 3 \\ x_1 - x_2 & \le 3 \\ x_1, x_2 & \ge 0 \end{align} $$ चित्रा 1 में, चरम बिंदु ई और बी क्रमशः पहले और दूसरे उद्देश्यों को अधिकतम करते हैं। उन दो चरम बिंदुओं के बीच की लाल सीमा कुशल सेट का प्रतिनिधित्व करती है। यह आंकड़ा से देखा जा सकता है कि, कुशल सेट के बाहर किसी भी व्यवहार्य समाधान के लिए, कुशल सेट पर कुछ बिंदुओं से दोनों उद्देश्यों में सुधार करना संभव है। इसके विपरीत, कुशल सेट पर किसी भी बिंदु के लिए, किसी अन्य व्यवहार्य समाधान पर जाकर दोनों उद्देश्यों में सुधार करना संभव नहीं है। इन समाधानों में, दूसरे उद्देश्य को बेहतर बनाने के लिए किसी एक उद्देश्य से त्याग करना पड़ता है।

इसकी सरलता के कारण, उपरोक्त समस्या को मानदंड स्थान में प्रतिस्थापित करके प्रदर्शित किया जा सकता है $x ∈ X$ साथ $f(x) > f(x*)$ निम्नलिखित नुसार:






 * का विषय है















हम चित्र 2 में मानदंड स्थान को रेखांकन के रूप में प्रस्तुत करते हैं। मानदंड स्थान में गैर-प्रभुत्व वाले बिंदुओं (निर्णय स्थान में कुशल समाधान के अनुरूप) का पता लगाना आसान है। व्यवहार्य स्थान का उत्तर-पूर्व क्षेत्र गैर-प्रभुत्व वाले बिंदुओं (अधिकतम समस्याओं के लिए) के सेट का गठन करता है।

गैर-प्रभुत्व वाले समाधान उत्पन्न करना
गैर-प्रभुत्व वाले समाधान उत्पन्न करने के कई तरीके हैं। हम इनमें से दो पर चर्चा करेंगे। पहला दृष्टिकोण गैर-प्रभुत्व वाले समाधानों का एक विशेष वर्ग उत्पन्न कर सकता है जबकि दूसरा दृष्टिकोण कोई भी गैर-प्रभुत्व समाधान उत्पन्न कर सकता है।


 * भारित रकम (गैस एंड सैटी, 1955 )

यदि हम प्रत्येक कसौटी को एक सकारात्मक वजन के साथ गुणा करके और भारित मानदंडों को जोड़ कर एक मानदंड में कई मानदंडों को जोड़ते हैं, तो परिणामी एकल मानदंड समस्या का समाधान एक विशेष कुशल समाधान है। ये विशेष कुशल समाधान उपलब्ध समाधानों के सेट के कोने बिंदुओं पर दिखाई देते हैं। कुशल समाधान जो कोने के बिंदुओं पर नहीं हैं, उनकी विशेष विशेषताएं हैं और यह विधि ऐसे बिंदुओं को खोजने में सक्षम नहीं है। गणितीय रूप से, हम इस स्थिति का प्रतिनिधित्व इस रूप में कर सकते हैं




 * का विषय है



वज़न को अलग-अलग करके, डिज़ाइन समस्याओं के लिए कुशल चरम बिंदु समाधान उत्पन्न करने के लिए भारित रकम का उपयोग किया जा सकता है, और मूल्यांकन समस्याओं के लिए समर्थित (उत्तल गैर-प्रमुख) बिंदु।


 * अचीवमेंट स्केलेराइजिंग फंक्शन (विर्जबिक्की, 1980 )

अचीवमेंट स्केलेराइजिंग फ़ंक्शंस भी कई मानदंडों को एक ही मानदंड में एक बहुत ही खास तरीके से भारित करके जोड़ते हैं। वे उपलब्ध कुशल समाधानों की ओर एक संदर्भ बिंदु से दूर जाकर आयताकार आकृति बनाते हैं। यह विशेष संरचना किसी भी कुशल समाधान तक पहुँचने के लिए उपलब्धि स्केलराइजिंग कार्यों को सशक्त बनाती है। यह एक शक्तिशाली संपत्ति है जो इन कार्यों को बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण समस्याओं के लिए बहुत उपयोगी बनाती है।

गणितीय रूप से, हम संगत समस्या को इस रूप में निरूपित कर सकते हैं




 * का विषय है



उपलब्धि स्केलराइजिंग फ़ंक्शन का उपयोग कुशल सीमा पर किसी भी बिंदु (व्यवहार्य या अक्षम्य) को प्रोजेक्ट करने के लिए किया जा सकता है। किसी भी बिंदु (समर्थित या नहीं) पर पहुंचा जा सकता है। अकुशल समाधान उत्पन्न करने से बचने के लिए उद्देश्य समारोह में दूसरा पद आवश्यक है। चित्र 3 दर्शाता है कि कैसे एक व्यवहार्य बिंदु, $x 's$, और एक अव्यवहार्य बिंदु, $f 's$, गैर-प्रभुत्व वाले बिंदुओं पर प्रक्षेपित किया जाता है, $Max f_{1}$ और $Max f_{2}$, क्रमशः, दिशा के साथ $f_{1} + 2f_{2} ≤ 12$ उपलब्धि स्केलराइजिंग फ़ंक्शन का उपयोग करना। धराशायी और ठोस आकृतियाँ क्रमशः वस्तुनिष्ठ फलन के दूसरे पद के साथ और उसके बिना वस्तुनिष्ठ फलन रूपरेखाओं के अनुरूप हैं।

बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण समस्याओं का समाधान
बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण समस्याओं (डिजाइन और मूल्यांकन प्रकार दोनों) को हल करने के लिए विचार के विभिन्न स्कूल विकसित हुए हैं। समय के साथ उनके विकास को दर्शाने वाले ग्रंथमितीय अध्ययन के लिए, ब्रैग, कोरहोनेन, एच. वालेनियस और जे. वालेनियस [2010] देखें। बहुउद्देश्यीय गणितीय प्रोग्रामिंग स्कूल

(1) 'वेक्टर अधिकतमकरण': वेक्टर अधिकतमकरण का उद्देश्य गैर-प्रभुत्व वाले सेट का अनुमान लगाना है; मूल रूप से बहुउद्देश्यीय रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं के लिए विकसित (इवांस और स्टीयर, 1973; यू और ज़ेलेनी, 1975 ).

(2) इंटरएक्टिव प्रोग्रामिंग: निर्णय लेने के चरणों के साथ गणना के चरण वैकल्पिक (बेनाउन एट अल।, 1971; ज्योफ्रीओन, डायर और फ़िनबर्ग, 1972; ज़ायंट्स और वालेनियस, 1976; कोरहोनेन और वालेनियस, 1988 ). डीएम के मूल्य समारोह का कोई स्पष्ट ज्ञान नहीं माना जाता है।

लक्ष्य प्रोग्रामिंग

इसका उद्देश्य लक्ष्यों के लिए प्राथमिक लक्ष्य मान निर्धारित करना और इन लक्ष्यों से भारित विचलन को कम करना है। दोनों महत्वपूर्ण भारों के साथ-साथ कोश संबंधी पूर्व-खाली भार का उपयोग किया गया है (चार्न्स और कूपर, 1961 ).

फ़ज़ी-सेट सिद्धांतवादी

फ़ज़ी सेट ज़ादेह (1965) द्वारा पेश किए गए थे सेट की शास्त्रीय धारणा के विस्तार के रूप में। इस विचार का उपयोग कई बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण एल्गोरिदम में फ़ज़ी समस्याओं को मॉडल करने और हल करने के लिए किया जाता है।

साधारण डेटा आधारित तरीके

वास्तविक दुनिया की स्थितियों में साधारण डेटा का व्यापक अनुप्रयोग है। इस संबंध में, कुछ बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण विधियों को क्रमसूचक डेटा को इनपुट डेटा के रूप में संभालने के लिए डिज़ाइन किया गया था। उदाहरण के लिए, क्रमिक प्राथमिकता दृष्टिकोण और क्वालिफ़्लेक्स विधि।

बहु-विशेषता उपयोगिता सिद्धांतवादी

मल्टी-एट्रिब्यूट यूटिलिटी या वैल्यू फ़ंक्शंस को प्राप्त किया जाता है और सबसे पसंदीदा विकल्प की पहचान करने या विकल्पों को रैंक करने के लिए उपयोग किया जाता है। विस्तृत साक्षात्कार तकनीकें, जो लीनियर एडिटिव यूटिलिटी फ़ंक्शंस और मल्टीप्लिकेटिव नॉनलाइनियर यूटिलिटी फ़ंक्शंस के लिए मौजूद हैं, का उपयोग किया जा सकता है (कीनी और रैफ़ा, 1976) ). एक अन्य दृष्टिकोण निर्णय लेने वाले से अप्रत्यक्ष रूप से काल्पनिक विकल्पों (पीएपीआरआईकेए; हैनसेन और ओम्बलर, 2008) के बीच चयन करने वाले जोड़ीदार श्रेणीकरण प्रश्नों की एक श्रृंखला पूछकर अप्रत्यक्ष रूप से मूल्य कार्यों को प्राप्त करना है। ).

फ्रांसीसी स्कूल

फ्रांसीसी स्कूल निर्णय सहायता पर ध्यान केंद्रित करता है, विशेष रूप से 1960 के दशक के मध्य में फ़्रांस में उत्पन्न आउटरैंकिंग विधियों के इलेक्ट्रा परिवार। विधि पहली बार बर्नार्ड रॉय (रॉय, 1968) द्वारा प्रस्तावित की गई थी ).

इवोल्यूशनरी मल्टीऑब्जेक्टिव ऑप्टिमाइज़ेशन स्कूल (ईएमओ)

ईएमओ एल्गोरिदम एक प्रारंभिक आबादी के साथ शुरू होते हैं, और एक पीढ़ी से दूसरी पीढ़ी तक औसत आबादी में सुधार करने के लिए प्राकृतिक उत्तरजीविता के सिद्धांतों और आनुवंशिक विविधता ऑपरेटरों की नकल करने के लिए डिज़ाइन की गई प्रक्रियाओं का उपयोग करके इसे अपडेट करते हैं। लक्ष्य उन समाधानों की आबादी में अभिसरण करना है जो गैर-प्रभुत्व वाले सेट का प्रतिनिधित्व करते हैं (शेफ़र, 1984; श्रीनिवास और देब, 1994 ). हाल ही में, ईएमओ एल्गोरिदम की समाधान प्रक्रिया में वरीयता जानकारी को शामिल करने के प्रयास किए गए हैं (देखें देब और कोक्सलान, 2010 ).

 धूसर सिस्टम सिद्धांत आधारित तरीके

1980 के दशक में, डेंग जूलॉन्ग ने धूसर सिस्टम थ्योरी (जीएसटी) और इसके पहले बहु-विशेषता निर्णय लेने वाले मॉडल को प्रस्तावित किया, जिसे डेंग का धूसर संबंधपरक विश्लेषण (जीआरए) मॉडल कहा जाता है। बाद में, धूसर सिस्टम के विद्वानों ने  एल आईयू एसआई सील  के एब्सोल्यूट जीआरए मॉडल जैसे कई जीएसटी आधारित तरीकों का प्रस्ताव दिया। धूसर लक्ष्य निर्णय लेना (जीटीडीएम) और धूसर निरपेक्ष निर्णय विश्लेषण (GADA)। विश्लेषणात्मक पदानुक्रम प्रक्रिया|विश्लेषणात्मक पदानुक्रम प्रक्रिया (एएचपी)

एएचपी पहले निर्णय समस्या को उप-समस्याओं के पदानुक्रम में विघटित करता है। फिर निर्णयकर्ता जोड़ीदार तुलना द्वारा इसके विभिन्न तत्वों के सापेक्ष महत्व का मूल्यांकन करता है। AHP इन मूल्यांकनों को संख्यात्मक मानों (भार या प्राथमिकताओं) में परिवर्तित करता है, जिनका उपयोग प्रत्येक विकल्प के लिए स्कोर की गणना करने के लिए किया जाता है (Saaty, 1980 ). एक निरंतरता सूचकांक उस सीमा को मापता है जिस तक निर्णयकर्ता अपनी प्रतिक्रियाओं में सुसंगत रहा है। AHP यहां सूचीबद्ध अधिक विवादास्पद तकनीकों में से एक है, जिसे बहु-मापदंड निर्णय विश्लेषण समुदाय के कुछ शोधकर्ता इसे त्रुटिपूर्ण मानते हैं। अंतर्निहित गणित भी अधिक जटिल है और इसके लिए तर्कसंगत विश्लेषण की आवश्यकता है, हालांकि इसे व्यावसायिक रूप से उपलब्ध सॉफ़्टवेयर के परिणामस्वरूप कुछ लोकप्रियता प्राप्त हुई है।

कई पत्रों ने विभिन्न विषयों जैसे फ़ज़ी बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण, में बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण तकनीकों के अनुप्रयोग की समीक्षा की। क्लासिक बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण, टिकाऊ और नवीकरणीय ऊर्जा, तकनीकी विकोर, परिवहन प्रणाली, सेवा गुणवत्ता, टॉप्सिस विधि, ऊर्जा प्रबंधन की समस्याएं ई-लर्निंग, पर्यटन और आतिथ्य, स्वरा और WASPAS विधियाँ।

बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण तरीके
निम्नलिखित बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण विधियाँ उपलब्ध हैं, जिनमें से कई विशेष निर्णय-निर्धारण वाले सॉफ़्टवेयर द्वारा कार्यान्वित की जाती हैं:


 * एकत्रित सूचकांक यादृच्छिककरण विधि (एआईआरएम)
 * विश्लेषणात्मक पदानुक्रम प्रक्रिया (एएचपी)
 * विश्लेषणात्मक नेटवर्क प्रक्रिया (एएनपी)
 * तुला दंड प्रक्रिया
 * सबसे विकृत तरीका (बीडब्ल्यूएम)
 * ब्राउन-गिब्सन मॉडल
 * विशेषता वस्तु विधि (सीओएमईटी)
 * लाभ द्वारा चयन (सीबीए)
 * संयुक्त मूल्य पदानुक्रम (सीवीए)
 * डेटा आवरण विश्लेषण
 * निर्णय विशेषज्ञ (डीईएक्स)
 * पृथक्करण - एकत्रीकरण दृष्टिकोण (यूटीए *, यूटीएआईआई, यूटीएडीआईएस)
 * अनुमानित समूह (अनुमानित समूह दृष्टिकोण)
 * प्रभुत्व आधारित अनुमानित समूह दृष्टिकोण (डीआरएसए)
 * विद्युत (आउटरैंकिंग)
 * औसत समाधान से दूरी के आधार पर मूल्यांकन (ईडीएएस)
 * साक्ष्यपूर्ण तर्क दृष्टिकोण (ईआर)
 * लक्ष्य प्रोग्रामिंग (जीपी)
 * धूसर संबंधपरक विश्लेषण (जीआरए)
 * सदिशों का आंतरिक गुणन (आईपीवी)
 * एक श्रेणी आधारित मूल्यांकन तकनीक (मैकबेथ) द्वारा आकर्षण को मापना
 * गुणवत्‍ता की बहु-विशेषता वैश्विक अनुमान (एमएजीआईक्यू)
 * बहु-विशेषता उपयोगिता सिद्धांत (एमएयूटी)
 * बहु-गुण मान सिद्धांत (एमएवीटी)
 * मार्कोवियन बहु मानदंड निर्णय निर्धारण
 * मूल्यांकन के लिए नया दृष्टिकोण (एनएटीए)
 * गैर-संरचनात्मक अस्पष्ट निर्णय समर्थन प्रणाली (एनएसएफडीएसएस)
 * साधारण प्राथमिकता दृष्टिकोण (ओपीए)
 * सभी संभव विकल्पों की संभावित रूप से सभी युग्‍मानूसार श्रेणीकरण (पीएपीआरआईकेए)
 * प्रोमेथी (आउटरैंकिंग)
 * सरल बहु-विशेषता दर तकनीक (एसएमएआरटी)
 * स्तरीकृत बहु मानदंड निर्णय निर्धारण (एसएमसीडीएम)
 * प्रसंभाव्य बहुमानदंड स्वीकार्यता विश्लेषण (एसएमएए)
 * श्रेष्ठता और हीनता श्रेणीकरण पद्धति (एसआईआर विधि)
 * साझा मूल्य बनाने के लिए सिस्टम को नया स्वरूप देना (एसवाईआरसीएस)
 * आदर्श समाधान की समानता (टॉपसिस) द्वारा प्राथमिकता के क्रम के लिए तकनीक
 * मूल्य विश्लेषण (वीए)
 * मूल्य अभियांत्रिक (वीई)
 * वीआईकेओआर विधि
 * भारित उत्पाद मॉडल (डब्ल्यूपीएम)
 * भारित योग मॉडल (डब्ल्यूएसएम)

यह भी देखें

 * संरचना ट्रेडऑफ़ विश्लेषण विधि
 * निर्णय-निर्धारण
 * निर्णय-निर्धारण सॉफ्टवेयर
 * निर्णय-निर्धारण का विरोधाभास
 * निर्णयात्मक तुलन पत्र
 * बहु मानदंड वर्गीकरण समस्याएं
 * निर्णय लेने में श्रेणी उत्क्रमण
 * श्रेष्ठता और हीनता की श्रेणीकरण पद्धति

अग्रिम पठन

 * A Brief History prepared by Steuer and Zionts
 * Malakooti, B. (2013). Operations and Production Systems with Multiple Objectives. John Wiley & Sons.
 * A Brief History prepared by Steuer and Zionts
 * Malakooti, B. (2013). Operations and Production Systems with Multiple Objectives. John Wiley & Sons.
 * Malakooti, B. (2013). Operations and Production Systems with Multiple Objectives. John Wiley & Sons.

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