ट्रेस क्लास

गणित में, विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण, एक ट्रेसी क्लास ऑपरेटर रैखिक ऑपरेटर होता है, जिसके लिए ट्रेस (रैखिक बीजगणित) परिभाषित किया जा सकता है, इस प्रकार ट्रेस आधार के चयन से स्वतंत्र एक परिमित संख्या है जिसका प्रयोग ट्रेस के गणना हेतु होता है। ट्रेस-क्लास ऑपरेटरों का यह निशान रेखीय बीजगणित में अध्ययन किए गए मेट्रिसेस के ट्रेस को सामान्य करता है, सभी ट्रेस-क्लास ऑपरेटर कॉम्पैक्ट ऑपरेटर हैं।

क्वांटम यांत्रिकी में, मिश्रित अवस्था (भौतिकी) को घनत्व मैट्रिक्स द्वारा वर्णित किया जाता है, जो निश्चित ट्रेस क्लास ऑपरेटर हैं।

ट्रेस-क्लास ऑपरेटर अनिवार्य रूप से परमाणु ऑपरेटरों के समान हैं, चूंकि कई लेखक हिल्बर्ट स्पेस पर परमाणु ऑपरेटरों के विशेष स्थितिे के लिए ट्रेस-क्लास ऑपरेटर शब्द आरक्षित करते हैं और परमाणु ऑपरेटर शब्द का उपयोग अधिक सामान्य टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (जैसे बानाच रिक्त स्थान) में किया जाता है।

ध्यान दें कि आंशिक अंतर समीकरणों में अध्ययन किया गया ट्रेस ऑपरेटर एक असंबंधित अवधारणा है।

परिभाषा
मान लीजिए $$H$$ एक हिल्बर्ट स्पेस है और $$A : H \to H$$, $$H$$ पर एक परिबद्ध रैखिक संचालिका है जो गैर-नकारात्मक ( अर्थात, अर्ध सकारात्मक-डेफिनिट) और स्वयं संलग्न है। जिसमे $$\operatorname{Tr} A,$$ द्वारा निरूपित $$A$$ ट्रेस श्रृंखला का योग होता है$$\operatorname{Tr} A = \sum_k \left\langle A e_k, e_k \right\rangle,$$जहाँ $$\left(e_k\right)_{k}$$ का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार $$H$$ है, यह दिखाया जा सकता है कि यह जटिल संख्याओं की एक पूर्ण अभिसरण श्रृंखला है जिसका योग ऑर्थोनॉर्मल आधार की पसंद पर निर्भर नहीं करता है। $$H,$$ पर मनमाने ढंग से परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर $$T : H \to H$$ के लिए, हम $$|T|$$ द्वारा निरूपित $$T^* T,$$ का सकारात्मक वर्गमूल होने के लिए इसके पूर्ण मान को परिभाषित करते हैं। अर्थात, $$|T| := \sqrt{T^* T}$$ ,$$H$$ पर यूनीक बाउंडेड सकारात्मक ऑपरेटर है जैसे कि $$|T| \circ |T| = T^* \circ T$$ ऑपरेटर $$T : H \to H$$ को ट्रेस क्लास में कहा जाता है यदि $$\operatorname{Tr} (|T|) < \infty$$ है तो हम $H$ पर सभी ट्रेस क्लास रैखिक ऑपरेटरों के स्थान को $$B_1(H)$$ द्वारा निरूपित करते हैं। (कोई दिखा सकता है कि यह वास्तव में एक सदिश स्थान है।)

यदि $$T$$ ट्रेस क्लास में है, तो $$T$$ द्वारा हम ट्रेस को परिभाषित करते हैं, $$\operatorname{Tr} T = \sum_k \left\langle T e_k, e_k \right\rangle,$$जहाँ $$\left(e_k\right)_{k}$$ का एक मनमाना ऑर्थोनॉर्मल आधार $$H$$ है, यह दिखाया जा सकता है कि यह जटिल संख्याओं की एक पूरी प्रकार से अभिसरण श्रृंखला है जिसका योग ऑर्थोनॉर्मल आधार की पसंद पर निर्भर नहीं करता है।

जब $H$ परिमित-आयामी होता है, तो प्रत्येक ऑपरेटर ट्रेस क्लास होता है और $T$ के ट्रेस (मैट्रिक्स) की यह परिभाषा मैट्रिक्स के ट्रेस की परिभाषा के साथ मेल खाती है।

समकक्ष फॉर्मूलेशन
एक सीमित रैखिक ऑपरेटर $$T : H \to H$$ को देखते हुए, निम्न में से प्रत्येक कथन $$T$$ के ट्रेस क्लास में होने के बराबर है:
 * $$\operatorname{Tr} (|T|) < \infty$$
 * $H$ के कुछ ऑर्थोनॉर्मल आधार $$\left(e_k\right)_{k}$$ के लिए, धनात्मक पदों का योग $\sum_k \left\langle |T| \, e_k, e_k \right\rangle$ परिमित है।
 * $H$ के प्रत्येक ऑर्थोनॉर्मल आधार $$\left(e_k\right)_{k}$$ के लिए, धनात्मक पदों का योग $\sum_k \left\langle |T| \, e_k, e_k \right\rangle$ परिमित है।
 * $T$ एक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर है और $\sum_{i=1}^{\infty} s_i < \infty,$ जहां $$s_1, s_2, \ldots$$ हैं $$|T|$$ के आइगेनवैल्यू ($T$ के एकवचन मूल्यों के रूप में भी जाना जाता है) प्रत्येक ईगेनवेल्यू को अधिकांशतः इसकी बहुलता के रूप में दोहराया जाता है।
 * दो ऑर्थोगोनल (गणित) क्रम उपलब्ध हैं $$\left(x_i\right)_{i=1}^{\infty}$$ और $$\left(y_i\right)_{i=1}^{\infty}$$ $$H$$ में और एक क्रम $$\left(\lambda_i\right)_{i=1}^{\infty}$$ $$\ell^1$$ में ऐसा कि सभी के लिए $$x \in H,$$ $T(x) = \sum_{i=1}^{\infty} \lambda_i \left\langle x, x_i \right\rangle y_i$ यहाँ, अनंत योग का अर्थ है कि आंशिक योग का क्रम $\left(\sum_{i=1}^{N} \lambda_i \left\langle x, x_i \right\rangle y_i\right)_{N=1}^{\infty}$  में विलीन $$T(x)$$ में $H$ हो जाता है।
 * $T$ एक परमाणु ऑपरेटर है।
 * $T$ दो हिल्बर्ट-श्मिट ऑपरेटरों की संरचना के बराबर है।
 * $\sqrt{|T|}$ एक हिल्बर्ट-श्मिट ऑपरेटर है।
 * $T$ एक अभिन्न रैखिक ऑपरेटर है।
 * कमजोर रूप से बंद और समान (और इस प्रकार कमजोर रूप से कॉम्पैक्ट) उपसमुच्चय उपलब्ध हैं $$A^{\prime}$$ और $$B^{\prime\prime}$$ का $$H^{\prime}$$ और $$H^{\prime\prime},$$ क्रमशः, और कुछ सकारात्मक रेडॉन माप $$\mu$$ पर $$A^{\prime} \times B^{\prime\prime}$$ कुल द्रव्यमान $$\leq 1$$ ऐसा कि सभी $$x \in H$$ और $$y^{\prime} \in H^{\prime}$$ के लिए:$$y^{\prime} (T(x)) = \int_{A^{\prime} \times B^{\prime\prime}} x^{\prime}(x) \; y^{\prime\prime}\left(y^{\prime}\right) \, \mathrm{d} \mu \left(x^{\prime}, y^{\prime\prime}\right).$$

ट्रेस-मानक
हम ट्रेस क्लास ऑपरेटर $T$ के ट्रेस-मानदंड को मान के रूप में परिभाषित करते हैं $$\|T\|_1 := \operatorname{Tr} (|T|).$$कोई दिखा सकता है कि ट्रेस-मानदंड सभी ट्रेस क्लास ऑपरेटरों के स्थान पर एक मानदंड है $$B_1(H)$$ और वह $$B_1(H)$$, ट्रेस-मानदंड के साथ, बनच स्थान बन जाता है।

यदि $T$ ट्रेस क्लास है तो $$\|T\|_1 = \sup \left\{ |\operatorname{Tr} (C T)| : \|C\| \leq 1 \text{ and } C : H \to H \text{ is a compact operator } \right\}.$$

उदाहरण
परिमित-आयामी सीमा (अर्थात् परिमित-श्रेणी के संचालक) वाले प्रत्येक परिबद्ध रैखिक संचालिका ट्रेस क्लास है; [1] इसके अतिरिक्त, (जब $$\| \cdot \|_1$$ मानदंड से संपन्न हो) सभी परिमित-श्रेणी ऑपरेटरों का स्थान $$B_1(H)$$ का एक सघन उपस्थान है। दो हिल्बर्ट-श्मिट ऑपरेटरों की संरचना एक ट्रेस क्लास ऑपरेटर है।

किसी भी $$x, y \in H,$$ को $$(x \otimes y)(z) := \langle z, y \rangle x$$ द्वारा ऑपरेटर $$ x \otimes y : H \to H$$ को परिभाषित किया जाता है। तब $$x \otimes y$$ श्रेणी 1 का एक सतत रेखीय संकारक है और इस प्रकार ट्रेस वर्ग है; इसके अतिरिक्त, $$H$$ पर (और $$H$$ में) किसी भी परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर A के लिए, $$\operatorname{Tr}(A(x \otimes y)) = \langle A x, y \rangle$$ होता है।

गुण

 * 1) यदि $$A : H \to H$$ एक गैर-नकारात्मक स्व-संबद्ध ऑपरेटर है, तो $$A$$ ट्रेस-क्लास है यदि और मात्र यदि $$\operatorname{Tr} A < \infty$$, इसलिए, एक स्व-संलग्न संचालिका $$A$$ ट्रेस-क्लास है यदि और मात्र यदि इसका सकारात्मक भाग $$A^{+}$$ और नकारात्मक भाग $$A^{-}$$ दोनों ट्रेस-क्लास हैं। (स्व-संलग्न संकारक के सकारात्मक और नकारात्मक भाग निरंतर कार्यात्मक कलन द्वारा प्राप्त किए जाते हैं।)
 * 2) ट्रेस ट्रेस-क्लास ऑपरेटरों के स्थान पर एक रैखिक कार्यात्मक है, अर्थात, $$\operatorname{Tr}(aA + bB) = a \operatorname{Tr}(A) + b \operatorname{Tr}(B)$$द्विरेखीय नक्शा$$\langle A, B \rangle = \operatorname{Tr}(A^* B)$$ट्रेस क्लास पर एक आंतरिक उत्पाद है; इसी मानदंड को हिल्बर्ट-श्मिट मानदंड कहा जाता है। हिल्बर्ट-श्मिट मानदंड में ट्रेस-क्लास ऑपरेटरों को पूरा करने को हिल्बर्ट-श्मिट ऑपरेटर कहा जाता है।
 * 3) $$\operatorname{Tr} : B_1(H) \to \Complex$$ एक धनात्मक रेखीय कार्यात्मक है जो संतुष्ट करता है $$T \geq 0 \text{ औ  र }\operatorname{Tr} T = 0,$$ फिर $$T = 0$$, जैसे कि यदि $$T$$ एक ट्रेस क्लास ऑपरेटर है।
 * 4) यदि $$T : H \to H$$ ट्रेस-क्लास है तो $$T^*$$ और $$\|T\|_1 = \left\|T^*\right\|_1$$.
 * 5) यदि $$A : H \to H$$ बाउंडेड है, और $$T : H \to H$$ ट्रेस-क्लास है, तो $$AT$$ और $$TA$$ भी ट्रेस-क्लास हैं (अर्थात एच पर ट्रेस-क्लास ऑपरेटरों का स्थान $$H$$ पर बंधे हुए रैखिक ऑपरेटरों के बीजगणित में एक आदर्श है), और $$\|A T\|_1 = \operatorname{Tr}(|A T|) \leq \|A\| \|T\|_1, \quad \|T A\|_1 = \operatorname{Tr}(|T A|) \leq \|A\| \|T\|_1$$इसके अतिरिक्त, इसी परिकल्पना के अनुसार, $$\operatorname{Tr}(A T) = \operatorname{Tr}(T A)$$और $$|\operatorname{Tr}(A T)| \leq \|A\| \|T\|$$, अंतिम अभिकथन भी कमजोर परिकल्पना के अनुसार है कि ए और टी हिल्बर्ट-श्मिट हैं।
 * 6) यदि $$\left(e_k\right)_{k}$$ और $$\left(f_k\right)_{k}$$ $$H,$$ के दो ऑर्थोनॉर्मल आधार हैं और यदि $$T$$ ट्रेस क्लास है फिर $\sum_{k} \left| \left\langle T e_k, f_k \right\rangle \right| \leq \|T\|_{1}$  यह होता है।
 * 7) यदि A ट्रेस-क्लास है, तो $$I + A$$ के फ्रेडहोम निर्धारक को परिभाषित किया जा सकता है:$$\det(I + A) := \prod_{n \geq 1}[1 + \lambda_n(A)],$$जहाँ $$\{\lambda_n(A)\}_n$$, $$A$$ का स्पेक्ट्रम है, $$A$$ पर ट्रेस क्लास की स्थिति गारंटी देती है कि अनंत उत्पाद परिमित है: वास्तव में,$$\det(I + A) \leq e^{\|A\|_1}$$इसका तात्पर्य यह भी है कि $$\det(I + A) \neq 0$$ यदि और मात्र यदि $$(I + A)$$ व्युत्क्रमणीय है।
 * 8) यदि $$A : H \to H$$ ट्रेस क्लास है तो किसी भी ऑर्थोनॉर्मल आधार $$\left(e_k\right)_{k}$$ के लिए, $$H$$ सकारात्मक शब्दों का योग $\sum_k \left| \left\langle A \, e_k, e_k \right\rangle \right|$  परिमित है।
 * 9) यदि $$A = B^* C$$ कुछ हिल्बर्ट-श्मिट ऑपरेटरों $$B$$ और $$C$$ फिर किसी सामान्य वेक्टर के लिए $$e \in H,$$ $|\langle A e, e \rangle| = \frac{1}{2} \left(\|B e\|^2 + \|C e\|^2\right)$  होल्ड करता है।

लिडस्की की प्रमेय
मान लीजिये कि $$A$$ भिन्न होने योग्य हिल्बर्ट स्पेस $$H$$ में एक ट्रेस-क्लास ऑपरेटर है, और $$\{\lambda_n(A)\}_{n=1}^N,$$ $$N \leq \infty$$ को A का आइगेनवैल्यू होना चाहिए, आइए मान लें कि $$\lambda_n(A)$$ को बीजगणितीय गुणकों के साथ गणना की जाती है (अर्थात, यदि बीजगणितीय बहुलता $$\lambda$$ $$k,$$ है, तो $$\lambda$$ सूची में $$k$$ बार दोहराया जाता है $$\lambda_1(A), \lambda_2(A), \dots$$ लिडस्की के प्रमेय (विक्टर बोरिसोविच लिडस्की के नाम पर) में कहा गया है, $$\operatorname{Tr}(A)=\sum_{n=1}^N \lambda_n(A)$$ ध्यान दें कि दाईं ओर की श्रृंखला पूरी प्रकार से वेइल की असमानता के कारण अभिसरण करती है, $$\sum_{n=1}^N \left|\lambda_n(A)\right| \leq \sum_{m=1}^M s_m(A)$$ आइगेनवैल्यू $$\{\lambda_n(A)\}_{n=1}^N$$ और विलक्षण मूल्य $$\{s_m(A)\}_{m=1}^M$$ के बीच कॉम्पैक्ट ऑपरेटर $$A$$ होता है।

ऑपरेटरों के सामान्य वर्गों के बीच संबंध
मौलिक अनुक्रम स्थान के नॉनकम्यूटेटिव एनालॉग के रूप में बाउंडेड ऑपरेटर्स के कुछ वर्गों को जिसमें ट्रेस-क्लास ऑपरेटर्स को सीक्वेंस स्पेस $$\ell^1(\N)$$ देखा जा सकता है।

वास्तव में, वर्णक्रमीय प्रमेय को लागू करना संभव है, यह दिखाने के लिए कि भिन्न-भिन्न हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर प्रत्येक सामान्य ट्रेस-क्लास ऑपरेटर को हिल्बर्ट की जोड़ी की कुछ पसंद के संबंध में $$\ell^1$$ अनुक्रम के रूप में एक निश्चित तरीके से अनुभव किया जा सकता है। उसी नस में, बाउंडेड ऑपरेटर्स $$\ell^{\infty}(\N),$$ कॉम्पैक्ट ऑपरेटर्स के गैर-क्रमिक संस्करण हैं जो $$c_0$$ (0 के लिए अभिसरण अनुक्रम), हिल्बर्ट-श्मिट ऑपरेटर $$\ell^2(\N),$$ और परिमित-श्रेणी ऑपरेटरों $$c_{00}$$ के अनुरूप होते हैं (ऐसे अनुक्रम जिनमें मात्र बहुत से गैर-शून्य शब्द होते हैं)। कुछ हद तक, ऑपरेटरों के इन वर्गों के बीच संबंध उनके क्रमविनिमेय समकक्षों के बीच संबंधों के समान हैं।

याद रखें कि प्रत्येक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर $$T$$ एक हिल्बर्ट स्पेस पर निम्नलिखित विहित रूप लेता है: वहाँ अलंकारिक आधार उपलब्ध हैं $$\left(u_i\right)_{i}$$ और $$\left(v_i\right)_{i}$$ और एक क्रम $$\left(\alpha_i\right)_{i}$$ गैर-ऋणात्मक संख्याओं के साथ $$\alpha_i \to 0$$ ऐसा है, $$T x = \sum_{i} \alpha_i \langle x, v_i\rangle u_i \quad \text{ for all } x\in H.$$ उपरोक्त अनुमानी टिप्पणियों को अधिक त्रुटिहीन बनाते हुए, हमारे पास यह है कि $$T$$ ट्रेस-क्लास है यदि श्रृंखला $\sum_i \alpha_i$ अभिसारी है, $$T$$ हिल्बर्ट-श्मिट iff $\sum_i \alpha_i^2$  अभिसरण है, और $$T$$ परिमित-श्रेणी है यदि अनुक्रम $$\left(\alpha_i\right)_{i}$$ में मात्र परिमित रूप से कई अशून्य शर्तें हैं। यह ऑपरेटरों के इन वर्गों को संबंधित करने की अनुमति देता है। जब $$H$$ अनंत-विमीय हो, तो निम्नलिखित समावेशन लागू होते हैं और सभी उचित होते हैं:$$\{ \text{ finite rank } \} \subseteq \{ \text{ trace class } \} \subseteq \{ \text{ Hilbert-Schmidt } \} \subseteq \{ \text{ compact } \}.$$ ट्रेस-क्लास ऑपरेटरों को ट्रेस मानदंड $\|T\|_1 = \operatorname{Tr} \left[\left(T^* T\right)^{1/2}\right] = \sum_i \alpha_i$  दिया जाता है, हिल्बर्ट-श्मिट आंतरिक उत्पाद के अनुरूप मानक है, $$\|T\|_2 = \left[\operatorname{Tr} \left(T^* T\right)\right]^{1/2} = \left(\sum_i \alpha_i^2\right)^{1/2}.$$ $\| T \| = \sup_{i} \left(\alpha_i\right)$ अनुक्रमों के संबंध में मौलिक असमानताओं द्वारा साथ ही, सामान्य ऑपरेटर मानदंड है, $$\|T\| \leq \|T\|_2 \leq \|T\|_1$$ उपयुक्त के लिए $$T$$ यह भी स्पष्ट है कि परिमित-श्रेणी ऑपरेटर ट्रेस-क्लास और हिल्बर्ट-श्मिट दोनों में उनके संबंधित मानदंडों में सघन हैं।

कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों के दोहरे के रूप में ट्रेस क्लास
दोहरा स्थान $$c_0$$, $$\ell^1(\N)$$ है, इसी प्रकार, हमारे पास कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों दोहरे हैं, जिन्हें इसके द्वारा दर्शाया गया $$K(H)^*$$ है, ट्रेस-क्लास ऑपरेटर है, जिसे $$B_1$$ द्वारा निरूपित किया जाता है तर्क, जिसे अब हम स्केच करते हैं, उसी अनुक्रम रिक्त स्थान के लिए याद दिलाता है। मान लीजिये $$f \in K(H)^*,$$ हम $$f$$ की पहचान ऑपरेटर $$T_f$$ द्वारा परिभाषित करते हैं$$\langle T_f x, y \rangle = f\left(S_{x,y}\right),$$जहाँ $$S_{x,y}$$ द्वारा दिया गया श्रेणी-वन ऑपरेटर है$$S_{x,y}(h) = \langle h, y \rangle x.$$यह पहचान काम करती है क्योंकि परिमित-श्रेणी ऑपरेटर मानक-सघन $$K(H)$$ हैं, इस घटना में कि $$T_f$$ एक सकारात्मक ऑपरेटर है, किसी भी ऑर्थोनॉर्मल आधार $$u_i,$$ के लिए,$$\sum_i \langle T_f u_i, u_i \rangle = f(I) \leq \|f\|,$$जहाँ $$I$$ पहचान ऑपरेटर है:$$I = \sum_i \langle \cdot, u_i \rangle u_i.$$लेकिन इसका मतलब यह है $$T_f$$ ट्रेस-क्लास है। ध्रुवीय अपघटन की अपील इसे सामान्य स्थितिे में विस्तारित करती है, जहां $$T_f$$ को सकारात्मक होने की आवश्यकता नहीं है।

परिमित-श्रेणी ऑपरेटरों का उपयोग करते हुए एक सीमित तर्क यह दर्शाता है $$\|T_f\|_1 = \|f\|$$ इस प्रकार $$K(H)^*$$ आइसोमेट्रिक रूप से $$C_1$$आइसोमॉर्फिक है।

बंधे हुए ऑपरेटरों के पूर्ववर्ती के रूप में
याद रखें कि $$\ell^1(\N)$$ का द्वैत $$\ell^{\infty}(\N)$$ है। वर्तमान संदर्भ में, ट्रेस-क्लास ऑपरेटर्स का दोहरा $$B_1$$ बाउंडेड ऑपरेटर्स $$B(H)$$, अधिक त्रुटिहीन रूप से, समुच्चय $$B_1$$ में एक दो-तरफा $$B(H)$$ आदर्श है, इसलिए किसी भी ऑपरेटर $$T \in B(H),$$ को दिए जाने पर हम $$B_1$$ पर $$\varphi_T(A) = \operatorname{Tr} (AT)$$, $$B_1$$ की दोहरी जगह के बाउंडेड रैखिक कार्यात्मक ऑपरेटरों और तत्वों $$\varphi_T$$ के बीच यह पत्राचार एक आइसोमेट्रिक समाकृतिकता है। इससे पता चलता है कि $$B(H)$$, $$C_1$$ की दोहरी जगह है। इसका उपयोग $$B(H)$$ पर कमजोर -* टोपोलॉजी को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * ट्रेस ऑपरेटर
 * ट्रेस ऑपरेटर
 * ट्रेस ऑपरेटर

ग्रन्थसूची

 * Dixmier, J. (1969). Les Algebres d'Operateurs dans l'Espace Hilbertien. Gauthier-Villars.
 * Dixmier, J. (1969). Les Algebres d'Operateurs dans l'Espace Hilbertien. Gauthier-Villars.