अपूर्ण गामा फलन



गणित में, ऊपरी और निचले अपूर्ण गामा फलन विशेष प्रकार के फलन होते हैं जो विभिन्न गणितीय समस्याओं जैसे कि कुछ समाकलन के समाधान के रूप में उत्पन्न होते हैं।

उनके संबंधित नाम उनकी अभिन्न परिभाषाओं से उपजे हैं, जिन्हें गामा फलन के समान परिभाषित किया गया है लेकिन अलग-अलग या "अपूर्ण" अभिन्न सीमाओं के साथ। गामा फलन को शून्य से अनंत तक के अभिन्न अंग के रूप में परिभाषित किया गया है। यह निचले अपूर्ण गामा फलन के विपरीत है, जिसे शून्य से एक चर ऊपरी सीमा तक एक अभिन्न अंग के रूप में परिभाषित किया गया है। इसी प्रकार, ऊपरी अपूर्ण गामा फलन को एक चर निचली सीमा से अनंत तक एक अभिन्न अंग के रूप में परिभाषित किया गया है।

परिभाषा
ऊपरी अपूर्ण गामा फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: $$ \Gamma(s,x) = \int_x^{\infty} t^{s-1}\,e^{-t}\, dt ,$$ जबकि निचले अपूर्ण गामा फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: $$ \gamma(s,x) = \int_0^x t^{s-1}\,e^{-t}\, dt .$$ दोनों स्थितियों में $s$ एक समिश्र पैरामीटर है, जैसे कि $s$ का वास्तविक भाग धनात्मक है।

गुण
भागों द्वारा एकीकरण से हम पुनरावृत्ति संबंध पाते हैं

$$\Gamma(s+1,x)= s\Gamma(s,x) + x^{s} e^{-x}$$ और $$ \gamma(s+1,x) =s\gamma(s,x) - x^{s} e^{-x}.$$ चूंकि साधारण गामा फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: $$ \Gamma(s) = \int_0^{\infty} t^{s-1}\,e^{-t}\, dt$$ अपने पास $$ \Gamma(s) = \Gamma(s,0) = \lim_{x\to \infty} \gamma(s,x)$$ और $$ \gamma(s,x) + \Gamma(s,x) = \Gamma(s).$$

समिश्र मानों की निरंतरता
निचला अधूरा गामा और ऊपरी अधूरा गामा फलन, जैसा कि वास्तविक धनात्मक $s$ और $x$ के लिए ऊपर परिभाषित किया गया है, को पूर्णसममितिक फलन में विकसित किया जा सकता है, $x$ और $s$ दोनों के संबंध में, समिश्र $x$ और $s$ के लगभग सभी संयोजनों के लिए परिभाषित किया गया है। समिश्र विश्लेषण से पता चलता है कि वास्तविक अपूर्ण गामा फलन के गुण उनके पूर्णसममितिक समकक्षों तक कैसे विस्तारित होते हैं।

पूर्णसममितिक विस्तारण
निचले अपूर्ण गामा फलन के लिए पुनरावृत्ति संबंध को बार-बार लागू करने से पावर श्रृंखला का विस्तार होता है:

$$\gamma(s, x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^s e^{-x} x^k}{s(s+1)\cdots(s+k)} = x^s \, \Gamma(s) \, e^{-x} \sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{\Gamma(s+k+1)}.$$ $Γ(z + k)$ के पूर्ण मान में तेजी से वृद्धि को देखते हुए जब $k → ∞$ और यह तथ्य कि $Γ(z)$ का व्युत्क्रम एक संपूर्ण फलन है, सबसे दाहिने योग में गुणांक अच्छी तरह से परिभाषित हैं, और स्थानीय रूप से योग सभी कॉम्प्लेक्स $s$ और $x$ के लिए समान रूप से अभिसरण होता है। वीएरस्ट्रा ß के एक प्रमेय द्वारा सीमित कार्य, जिसे कभी-कभी ∗$$\gamma^*$$ के रूप में दर्शाया जाता है, $$\gamma^*(s, z) := e^{-z}\sum_{k=0}^\infty\frac{z^k}{\Gamma(s+k+1)}$$

दोनों $z$ (निश्चित $s$ के लिए) और $s$ (निश्चित $z$ के लिए) के संबंध में संपूर्ण है, और, इस प्रकार, हार्टोग के प्रमेय द्वारा $C × C$ पर पूर्णसममितिक है। इसलिए निम्नलिखित अपघटन


 * $$\gamma(s,z) = z^s \, \Gamma(s) \, \gamma^*(s,z)$$ ,

वास्तविक निचले अपूर्ण गामा फलन को पूर्णसममितिक फलन के रूप में विस्तारित करता है, दोनों संयुक्त रूप से और अलग-अलग $z$ और $s$ में यह $$z^s$$ और Γ-फलन के गुणों से पता चलता है, कि पहले दो कारक $$\gamma(s,z)$$ की विलक्षणताओं को पकड़ते हैं $z = 0$ या $s$ एक गैर-धनात्मक पूर्णांक पर), जबकि अंतिम कारक इसके शून्य में योगदान देता है।

बहु-मूल्यांकन
समिश्र लघुगणक $log z = log |z| + i arg z$ केवल $2πi$ के गुणज तक निर्धारित होता है, जो इसे बहु-मूल्यवान बनाता है। समिश्र लघुगणक से जुड़े कार्य सामान्यतः इस संपत्ति को प्राप्त करते हैं। इनमें से समिश्र शक्ति हैं, और चूंकि $z^{s}$ इसके अपघटन में $γ$-फलन भी प्रकट होता है।

बहु-मूल्यवान फलनों की अनिश्चितता समिश्रताओं का परिचय देती है, क्योंकि यह बताया जाना चाहिए कि मूल्य का चयन कैसे किया जाए। इसे संभालने की रणनीतियाँ हैं:
 * (सबसे सामान्य तरीका) बहु-मूल्यवान फलनों के डोमेन सी को रीमैन सतह नामक $C × C$ में एक उपयुक्त मैनिफोल्ड से बदलें। हालाँकि यह बहु-मूल्यांकन को दूर करता है, लेकिन इसके पीछे के सिद्धांत को जानना होगा
 * डोमेन को इस प्रकार प्रतिबंधित करें कि एक बहु-मूल्यवान फलन अलग-अलग एकल-मूल्यवान शाखाओं में विघटित हो जाए जिन्हें व्यक्तिगत रूप से नियंत्रित किया जा सके।

इस अनुभाग में सूत्रों की सही व्याख्या करने के लिए नियमों के निम्नलिखित सेट का उपयोग किया जा सकता है। यदि अन्यथा उल्लेख नहीं किया गया है, तो निम्नलिखित मान लिया गया है:

सेक्टर
$C$ में सेक्टर जिनका शीर्ष $z = 0$ पर है, अक्सर समिश्र अभिव्यक्तियों के लिए उपयुक्त डोमेन साबित होते हैं। एक सेक्टर $D$ में कुछ $α$ और $0 < δ ≤ π$ के साथ $z ≠ 0$ और $α − δ < arg z < α + δ$ को पूरा करने वाले सभी समिश्र $z$ शामिल हैं। अक्सर, α को मनमाने ढंग से चुना जा सकता है और तब निर्दिष्ट नहीं किया जाता है। यदि $δ$ नहीं दिया गया है, तो इसे $\pi$ माना जाता है, और सेक्टर वास्तव में संपूर्ण विमान $C$ है, $z = 0$ पर उत्पन्न होने वाली और $−α$ की दिशा की ओर इशारा करने वाली एक अर्ध-रेखा के अपवाद के साथ, सामान्यतः एक के रूप में कार्य करता है शाखा काटना. नोट: कई अनुप्रयोगों और ग्रंथों में,$α$ को चुपचाप 0 के रूप में लिया जाता है, जो क्षेत्र को धनात्मक वास्तविक अक्ष के आसपास केंद्रित करता है।

शाखाएँ
विशेष रूप से, ऐसे किसी भी सेक्टर डी पर एक एकल-मूल्यवान और पूर्णसममितिक लघुगणक मौजूद होता है, जिसका काल्पनिक भाग सीमा $(α − δ, α + δ)$ से बंधा होता है। ऐसे प्रतिबंधित लघुगणक के आधार पर, $z^{s}$ और अपूर्ण गामा फलन बदले में $D$ (या $C×D$) पर एकल-मूल्यवान, पूर्णसममितिक फलन में बदल जाते हैं, जिन्हें D पर उनके बहु-मूल्यवान समकक्षों की शाखाएं कहा जाता है। $α$ में $2π$ का गुणज जोड़ना एक ही सेट डी पर सहसंबद्ध शाखाओं का एक अलग सेट उत्पन्न होता है। हालाँकि, यहां किसी भी संदर्भ में, $α$ को निश्चित माना जाता है और इसमें शामिल सभी शाखाएं इससे जुड़ी होती हैं। यदि $|α| < δ$ शाखाओं को प्रिंसिपल कहा जाता है, क्योंकि वे धनात्मक वास्तविक अक्ष पर अपने वास्तविक एनालॉग के बराबर होती हैं। ध्यान दें: कई अनुप्रयोगों और ग्रंथों में, सूत्र केवल प्रमुख शाखाओं के लिए होते हैं।

शाखाओं के बीच संबंध
समिश्र पावर फलन और निचले अपूर्ण गामा फलन दोनों की विभिन्न शाखाओं के मान एक उपयुक्त पूर्णांक k के लिए $$e^{2\pi iks}$$ के गुणन द्वारा एक दूसरे से प्राप्त किए जा सकते हैं।

शाखा बिंदु के निकट व्यवहार
ऊपर दिए गए अपघटन से पता चलता है कि γ, $z = 0$ के निकट स्पर्शोन्मुख रूप से व्यवहार करता है: $$\gamma(s, z) \asymp z^s \, \Gamma(s) \, \gamma^*(s, 0) = z^s \, \Gamma(s)/\Gamma(s+1) = z^s/s.$$ धनात्मक वास्तविक $x$, $y$ और $s$ के लिए $x^{y}/y → 0$, जब $(x, y) → (0, s)$ ऐसा लगता है कि यह वास्तविक $s > 0$ के लिए $γ(s, 0) = 0$ की सेटिंग को उचित ठहराता है। हालाँकि, समिश्र क्षेत्र में मामले कुछ अलग हैं। केवल यदि (ए) एस का वास्तविक हिस्सा धनात्मक है, और (बी) मान यूवी शाखाओं के एक सीमित सेट से लिया गया है, तो उन्हें $(u, v) → (0, s)$ के रूप में शून्य में परिवर्तित होने की गारंटी है, और तो $γ(u, v)$ भी करता है। $γ(b)$ की एक ही शाखा पर स्वाभाविक रूप से पूर्ति होती है, इसलिए धनात्मक वास्तविक भाग के साथ $s$ के लिए $γ(s, 0) = 0$ एक सतत सीमा है। यह भी ध्यान दें कि ऐसी निरंतरता किसी भी तरह से विश्लेषणात्मक नहीं है।

बीजगणितीय संबंध
वास्तविक $γ(s, z)$ द्वारा देखे गए सभी बीजगणितीय संबंध और अंतर समीकरण इसके पूर्णसममितिक समकक्ष के लिए भी मान्य हैं। यह पहचान प्रमेय का परिणाम है, जिसमें कहा गया है कि वास्तविक अंतराल पर मान्य पूर्णसममितिक फलनों के बीच समीकरण हर जगह लागू होते हैं। विशेष रूप से, पुनरावृत्ति संबंध और $∂γ(s, z)/∂z = z^{s−1} e^{−z}$ संबंधित शाखाओं पर संरक्षित हैं।

अभिन्न प्रतिनिधित्व
अंतिम संबंध हमें बताता है कि निश्चित $s$ के लिए, $γ$ पूर्णसममितिक फलन $z^{s−1} e^{−z}$ का एक आदिम या प्रतिअवकलन है, परिणामस्वरूप किसी भी समिश्र $u, v ≠ 0$ के लिए,$$\int_u^v t^{s-1}\,e^{-t}\, dt = \gamma(s,v) - \gamma(s,u)$$

तब तक धारण करता है, जब तक एकीकरण का मार्ग पूरी तरह से इंटीग्रैंड की एक शाखा के डोमेन में समाहित है। यदि, इसके अतिरिक्त, s का वास्तविक भाग धनात्मक है, तो सीमा $γ(s, u) → 0$ के लिए $u → 0$ लागू होती है, अंततः $γ$ की समिश्र अभिन्न परिभाषा पर पहुंचती है:

$$\gamma(s, z) = \int_0^z t^{s-1}\,e^{-t}\, dt, \, \Re(s) > 0. $$ एकीकरण का कोई भी पथ जिसमें शुरुआत में केवल 0 होता है, अन्यथा इंटीग्रैंड की एक शाखा के डोमेन तक सीमित होता है, उदाहरण के लिए $0$ और $z$ को जोड़ने वाली सीधी रेखा यहां मान्य है।

वास्तविक मूल्य
$z → +∞$ की एक प्रमुख शाखा के अभिन्न प्रतिनिधित्व को देखते हुए, निम्नलिखित समीकरण सभी धनात्मक वास्तविक $s$, $x$ के लिए मान्य है: $$\Gamma(s) = \int_0^\infty t^{s-1}\,e^{-t}\, dt = \lim_{x \to \infty} \gamma(s, x)$$

s समिश्र
यह परिणाम कॉम्प्लेक्स $s$ तक फैला हुआ है, पहले $γ$ और $1 ≤ Re(s) ≤ 2$. मान लें। तब$$|\gamma(s, b) - \gamma(s, a)| \le \int_a^b |t^{s-1}| e^{-t}\, dt = \int_a^b t^{\Re s-1} e^{-t}\, dt \le \int_a^b t e^{-t}\, dt$$

जहां $$|z^s| = |z|^{\Re s}\,e^{-\Im s\arg z}$$ बीच में प्रयोग किया गया है. चूंकि अंतिम समाकलन मनमाने ढंग से छोटा हो जाता है यदि केवल $a$ काफी बड़ा है, $1 < a < b$ एक पूर्णसममितिक फलन की ओर स्ट्रिप $γ(s, x)$ पर $1 ≤ Re(s) ≤ 2$ के लिए समान रूप से परिवर्तित होता है जो Γ होना चाहिए s) पहचान प्रमेय के कारण। पुनरावृत्ति संबंध $x → ∞$ में सीमा लेते हुए और ध्यान दें कि $γ(s, x) = (s − 1) γ(s − 1, x) − x^{s − 1} e^{−x}$ के लिए lim $x → ∞$ और सभी $n$, दर्शाता है कि $x^{n} e^{−x} = 0$ पट्टी के बाहर भी, Γ-फलन के पुनरावृत्ति संबंध का पालन करने वाले फलन की ओर अभिसरण करता है। यह इस प्रकार है$$\Gamma(s) = \lim_{x \to \infty} \gamma(s, x)$$सभी सम्मिश्रों के लिए $s$ एक गैर-धनात्मक पूर्णांक नहीं है,$x$ वास्तविक और $γ(s, x)$ मूलधन है।

क्षेत्रवार अभिसरण
अब आप सेक्टर $u$ से हैं $γ$ कुछ निश्चित $δ$ ($|arg z| < δ < π/2$) के साथ, $α = 0$ इस क्षेत्र की प्रमुख शाखा बनें, और देखें $$\Gamma(s) - \gamma(s, u) = \Gamma(s) - \gamma(s, |u|) + \gamma(s, |u|) - \gamma(s, u).$$ जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, पहला अंतर मनमाने ढंग से छोटा किया जा सकता है, यदि $γ$ पर्याप्त रूप से बड़ा है. दूसरा अंतर निम्नलिखित अनुमान की अनुमति देता है:

$$|\gamma(s, |u|) - \gamma(s, u)| \le \int_u^{|u|} |z^{s-1} e^{-z}|\, dz = \int_u^{|u|} |z|^{\Re s - 1}\,e^{-\Im s\,\arg z}\,e^{-\Re z} \, dz,$$ जहां हमने $|u|$ के अभिन्न प्रतिनिधित्व और $γ$ के सूत्र का उपयोग किया ऊपर। यदि हम त्रिज्या $|z^{s}|$ के साथ चाप को एकीकृत करते हैं $u$ और $R = |u|$ को जोड़ने वाला लगभग 0 है, तो अंतिम समाकलन है:

$$\le R \left|\arg u\right| R^{\Re s - 1}\, e^{\Im s\,|\arg u|}\,e^{-R\cos\arg u} \le \delta\,R^{\Re s}\,e^{\Im s\,\delta}\,e^{-R\cos\delta} = M\,(R\,\cos\delta)^{\Re s}\,e^{-R\cos\delta}$$ जहां $|u|$, $u$ या $R$ से एक स्थिर स्वतंत्र है। फिर से बड़े $x$ के लिए $M = δ(cos δ)^{−Re s} e^{Im sδ}$ के व्यवहार का जिक्र करते हुए, हम देखते हैं कि अंतिम अभिव्यक्ति 0 के करीब पहुंचती है क्योंकि $R$ $x^{n} e^{−x}$ की ओर बढ़ता है। कुल मिलाकर अब हमारे पास है:

$$\Gamma(s) = \lim_{|z| \to \infty} \gamma(s, z), \quad \left|\arg z\right| < \pi/2 - \epsilon,$$यदि $s$ एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक नहीं है, तो $∞$ मनमाने ढंग से छोटा है, लेकिन निश्चित है, और $0 < ε < π/2$ इस डोमेन पर प्रमुख शाखा को दर्शाता है।

अवलोकन
$$\gamma(s, z)$$ है:
 * निश्चित धनात्मक पूर्णांक $s$ के लिए $z$ में संपूर्ण
 * निश्चित $s$ के लिए $z$ में बहु-मूल्यवान पूर्णसममितिक $γ$ पर एक शाखा बिंदु के साथ एक पूर्णांक नहीं है
 * निश्चित $z = 0$ के लिए $s$ में प्रत्येक शाखा मेरोमोर्फिक पर, गैर-धनात्मक पूर्णांक s पर सरल ध्रुवों के साथ।

ऊपरी अपूर्ण गामा फलन
ऊपरी अपूर्ण गामा फलन के लिए $z$ या $s$ के संबंध में एक पूर्णसममितिक विस्तार, द्वारा दिया गया है $$\Gamma(s,z) = \Gamma(s) - \gamma(s, z)$$ बिंदुओं $z ≠ 0$ पर, जहां दाहिना पक्ष मौजूद है। चूंकि $$\gamma$$ बहु-मूल्यवान है, यही बात $$\Gamma$$ के लिए भी लागू होती है, लेकिन प्रमुख मानों पर प्रतिबंध से केवल $$\Gamma$$ की एकल-मूल्यवान प्रमुख शाखा प्राप्त होती है।

जब उपरोक्त समीकरण में $s$ एक गैर-धनात्मक पूर्णांक है, तो अंतर का कोई भी भाग परिभाषित नहीं किया गया है, और एक सीमित प्रक्रिया, यहां $(s, z)$ के लिए विकसित की गई है, लुप्त मानों को भरती है। समिश्र विश्लेषण होलोमोर्फिसिटी की गारंटी देता है, क्योंकि $$\Gamma(s,z)$$ एक निश्चित z के लिए उस सीमा के पड़ोस में घिरा हुआ साबित होता है।

सीमा निर्धारित करने के लिए, $s → 0$ पर $$\gamma^*$$ की शक्ति श्रृंखला उपयोगी है। $$\gamma$$ की अभिन्न परिभाषा में इसकी शक्ति श्रृंखला द्वारा $$e^{-x}$$ को प्रतिस्थापित करने पर एक प्राप्त होता है (अभी के लिए $x$,$s$ धनात्मक वास्तविक मान लें)

$$\gamma(s, x) = \int_0^x t^{s-1} e^{-t} \, dt = \int_0^x \sum_{k=0}^\infty (-1)^k\,\frac{t^{s+k-1}}{k!} \, dt = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k\,\frac{x^{s+k}}{k!(s+k)} = x^s\,\sum_{k=0}^\infty \frac{(-x)^k}{k!(s+k)}$$ या $$\gamma^*(s,x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-x)^k}{k!\,\Gamma(s)(s+k)}.$$ जो, संपूर्ण $$\gamma^*$$ फलन के श्रृंखला प्रतिनिधित्व के रूप में, सभी कॉम्प्लेक्स $x$ (और सभी कॉम्प्लेक्स $s$ एक गैर-धनात्मक पूर्णांक नहीं) के लिए अभिसरण करता है।

वास्तविक मानों पर प्रतिबंध हटने के साथ, श्रृंखला विस्तार की अनुमति देती है:

$$\gamma(s, z) - \frac{1}{s} = -\frac{1}{s} + z^s\,\sum_{k=0}^\infty \frac{(-z)^k}{k!(s+k)} = \frac{z^s-1}{s} + z^s\, \sum_{k=1}^\infty \frac{(-z)^k}{k!(s+k)},\quad \Re(s) > -1, \,s \ne 0.$$ जब $z = 0$: $$\frac{z^s-1}{s} \to \ln(z),\quad \Gamma(s) - \frac{1}{s} = \frac{1}{s} - \gamma + O(s) - \frac{1}{s} \to -\gamma,$$ ($$\gamma$$ यहाँ यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है), इसलिए, $$\Gamma(0,z) = \lim_{s \to 0}\left(\Gamma(s) - \tfrac{1}{s} - (\gamma(s, z) - \tfrac{1}{s})\right) = -\gamma-\ln(z) - \sum_{k=1}^\infty \frac{(-z)^k}{k\,(k!)}$$ ऊपरी अपूर्ण गामा फलन के लिए $s → 0$ के रूप में सीमित फलन है, जिसे घातीय समाकलन $$E_1(z)$$ के रूप में भी जाना जाता है। पुनरावृत्ति संबंध के माध्यम से, धनात्मक पूर्णांक n के लिए $$\Gamma(-n, z)$$ का मान इस परिणाम से प्राप्त किया जा सकता है

$$\Gamma(-n, z) = \frac{1}{n!} \left(\frac{e^{-z}}{z^n} \sum_{k = 0}^{n - 1} (-1)^k (n - k - 1)! \, z^k + (-1)^n \Gamma(0, z)\right)$$ इसलिए सभी s और $s → 0$ के लिए $z$ और $s$ दोनों के संबंध में, ऊपरी अधूरा गामा फलन अस्तित्व में है और पूर्णसममितिक साबित होता है।

$$\Gamma(s, z)$$ है:
 * निश्चित धनात्मक अभिन्न $s$ के लिए $z$ में संपूर्ण
 * निश्चित $s$ के लिए $z$ में बहु-मूल्यवान पूर्णसममितिक, $z ≠ 0$ पर एक शाखा बिंदु के साथ गैर-शून्य और एक धनात्मक पूर्णांक नहीं
 * धनात्मक वास्तविक भाग और $z = 0$ के साथ s के लिए $$\Gamma(s)$$ के बराबर (सीमा जब $$(s_i,z_i) \to (s, 0)$$ लेकिन यह एक सतत विस्तार है, नहीं विश्लेषणात्मक एक (वास्तविक $z = 0$ के लिए मान्य नहीं है!)
 * प्रत्येक शाखा पर निश्चित $s < 0$ के लिए संपूर्ण $s$ में।

विशेष मूल्य

 * $$\Gamma(s+1,1) = \frac{\lfloor es! \rfloor}{e} $$ यदि $s$ एक धनात्मक पूर्णांक है,
 * $$\Gamma(s,x) = (s-1)!\, e^{-x} \sum_{k=0}^{s-1} \frac{x^k}{k!}$$ यदि $s$ एक धनात्मक पूर्णांक है,
 * $$ \Gamma(s,0) = \Gamma(s), \Re(s) > 0$$,
 * $$\Gamma(1,x) = e^{-x}$$,
 * $$\gamma(1,x) = 1 - e^{-x}$$,
 * $$\Gamma(0,x) = -\operatorname{Ei}(-x)$$ के लिए $$x>0$$,
 * $$\Gamma(s,x) = x^s \operatorname{E}_{1-s}(x)$$,
 * $$\Gamma\left(\tfrac{1}{2}, x\right) = \sqrt\pi \operatorname{erfc}\left(\sqrt x\right)$$,
 * $$\gamma\left(\tfrac{1}{2}, x\right) = \sqrt\pi \operatorname{erf}\left(\sqrt x\right)$$.

यहां $$\operatorname{Ei}$$ घातीय समाकलन है $$\operatorname{E}_n$$ सामान्यीकृत घातीय समाकलन है $$\operatorname{erf}$$ त्रुटि फलन है और $$\operatorname{erfc}$$ पूरक त्रुटि फलन $$\operatorname{erfc}(x) = 1 - \operatorname{erf}(x)$$ है।

स्पर्शोन्मुख व्यवहार

 * $$\frac{\gamma(s,x)}{x^s} \to \frac{1}{s}$$ जैसा $$x \to 0$$,
 * $$\frac{\Gamma(s,x)}{x^s} \to -\frac{1}{s}$$ जैसा $$x \to 0$$ और $$\Re (s) < 0$$ (वास्तव में $z ≠ 0$, की त्रुटि $s$ के आदेश पर है $Γ(s, x) ~ −x^{s} / s$ अगर $O(x^{min{s + 1, 0}})|undefined$ और $s ≠ −1$ यदि $O(ln(x))$),
 * $$\Gamma(s,x) \sim \Gamma(s) - \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{s+n}}{n!(s+n)}$$ एक स्पर्शोन्मुख श्रृंखला के रूप में जहां $$x\to0^+$$ और $$s\neq 0,-1,-2,\dots$$.
 * $$\Gamma(-N,x) \sim C_N + \frac{(-1)^{N+1}}{N!} \ln x - \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{n-N}}{n!(n-N)}$$ एक स्पर्शोन्मुख श्रृंखला के रूप में जहां $$x \to 0^+$$ और $$N = 1, 2, \dots$$, कहाँ $C_N = \frac{(-1)^{N+1}}{N!} \left( \gamma - \sum_{n=1}^N \frac{1}{n} \right)$, कहाँ $$\gamma$$ यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है।
 * $$\gamma(s,x) \to \Gamma(s)$$ जैसा $$x \to \infty$$,
 * $$\frac{\Gamma(s,x)}{x^{s-1} e^{-x}} \to 1$$ जैसा $$x \to \infty$$,
 * $$\Gamma(s,z) \sim z^{s-1} e^{-z} \sum_{k=0} \frac {\Gamma(s)} {\Gamma(s-k)} z^{-k}$$ एक स्पर्शोन्मुख श्रृंखला के रूप में जहां $$|z| \to \infty$$ और $$\left|\arg z\right| < \tfrac{3}{2} \pi$$.

मूल्यांकन सूत्र
निम्न गामा फलन का मूल्यांकन पावर श्रृंखला विस्तार का उपयोग करके किया जा सकता है: $$\gamma(s, z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^s e^{-z} z^k}{s (s+1) \dots (s+k)}=z^s e^{-z}\sum_{k=0}^\infty\dfrac{z^k}{s^{\overline{k+1}}}$$ जहां $$s^{\overline{k+1}}$$ पोचहैमर प्रतीक है।

एक वैकल्पिक विस्तार है $$\gamma(s,z)= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} \frac{z^{s+k}}{s+k}= \frac{z^s}{s} M(s, s+1,-z),$$ जहां $s = −1$ कुमेर का संगम हाइपरजियोमेट्रिक फलन है।

कुमेर के संगम हाइपरजियोमेट्रिक फलन के साथ संबंध
जब $z$ का वास्तविक भाग धनात्मक हो$$\gamma(s,z) = s^{-1} z^s e^{-z} M(1,s+1,z)$$

जहाँ $$ M(1, s+1, z) = 1 + \frac{z}{(s+1)} + \frac{z^2}{(s+1)(s+2)} + \frac{z^3}{(s+1)(s+2)(s+3)} + \cdots$$ अभिसरण की अनंत त्रिज्या है।

फिर से मिश्रित हाइपरज्यामितीय फलनों के साथ और कुमेर की पहचान को नियोजित करते हुए, $$\begin{align} \Gamma(s,z) &= e^{-z} U(1-s,1-s,z) = \frac{z^s e^{-z}}{\Gamma(1-s)} \int_0^\infty \frac{e^{-u}}{u^s (z+u)} du \\ &= e^{-z} z^s U(1,1+s,z) = e^{-z} \int_0^\infty e^{-u} (z+u)^{s-1} du = e^{-z} z^s \int_0^\infty e^{-z u} (1+u)^{s-1} du. \end{align}$$ संख्यात्मक मानों की वास्तविक गणना के लिए, गॉस का निरंतर अंश एक उपयोगी विस्तार प्रदान करता है:

$$ \gamma(s, z) = \cfrac{z^s e^{-z}}{s - \cfrac{s z}{s+1 + \cfrac{z}{s+2 - \cfrac{(s+1)z} {s+3 + \cfrac{2z}{s+4 - \cfrac{(s+2)z}{s+5 + \cfrac{3z}{s+6 - \ddots}}}}}}}. $$ यह निरंतर अंश सभी कॉम्प्लेक्स के लिए अभिसरण करता है $z$, केवल वही प्रदान किया गया $s$ एक ऋणात्मक पूर्णांक नहीं है.

ऊपरी गामा फलन में निरंतर अंश होता है $$ \Gamma(s, z) = \cfrac{z^s e^{-z}}{z+\cfrac{1-s}{1 + \cfrac{1}{z + \cfrac{2-s} {1 + \cfrac{2}{z+ \cfrac{3-s}{1+ \ddots}}}}}} $$ और $$ \Gamma(s, z)= \cfrac{z^s e^{-z}}{1+z-s+ \cfrac{s-1}{3+z-s+ \cfrac{2(s-2)}{5+z-s+ \cfrac{3(s-3)} {7+z-s+ \cfrac{4(s-4)}{9+z-s+ \ddots}}}}} $$

गुणन प्रमेय
निम्नलिखित गुणन प्रमेय सत्य है: $$\Gamma(s,z) = \frac 1 {t^s} \sum_{i=0}^{\infty} \frac{\left(1-\frac 1 t \right)^i}{i!} \Gamma(s+i,t z) = \Gamma(s,t z) -(t z)^s e^{-t z} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{\left(\frac 1 t-1 \right)^i}{i} L_{i-1}^{(s-i)}(t z).$$

सॉफ़्टवेयर कार्यान्वयन
अपूर्ण गामा फलन विभिन्न कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों में उपलब्ध हैं।

हालाँकि, सीधे तौर पर अनुपलब्ध होने पर भी, अपूर्ण फलन मानों की गणना सामान्यतः स्प्रेडशीट (और कंप्यूटर बीजगणित पैकेज) में शामिल फलन का उपयोग करके की जा सकती है। उदाहरण के लिए, Microsoft Excel में, इनकी गणना गामा वितरण फलन के साथ संयुक्त गामा फलन का उपयोग करके की जा सकती है। ये गामा वितरण के संचयी वितरण फलन की परिभाषा से अनुसरण करते हैं।
 * निचला अपूर्ण कार्य: $$ \gamma(s, x) $$.
 * ऊपरी अधूरा कार्य: $$ \Gamma(s, x) $$.

पायथन में, हालांकि scipy.special के तहत अपूर्ण गामा फलन का कार्यान्वयन प्रदान करता है, यह पहले तर्क के लिए ऋणात्मक मानों का समर्थन नहीं करता है। ऐसे स्थितियों में एक समाधान लाइब्रेरी "mpmath" से फलन "gammainc" का उपयोग करना है।

नियमित गामा फलन और पॉइसन यादृच्छिक चर
दो संबंधित कार्य नियमित गामा कार्य हैं:

$$P(s,x)=\frac{\gamma(s,x)}{\Gamma(s)},$$ $$Q(s,x)=\frac{\Gamma(s,x)}{\Gamma(s)} = 1 - P(s,x).$$

$$P(s,x)$$ आकार पैरामीटर $$s$$ और स्केल पैरामीटर 1 के साथ गामा यादृच्छिक चर के लिए संचयी वितरण फलन है।

जब $$s$$ एक पूर्णांक है $$Q(s, \lambda)$$ पॉइसन यादृच्छिक चर के लिए संचयी वितरण फलन है यदि $$X$$ एक $$\mathrm{Poi}(\lambda)$$ यादृच्छिक चर है तो।

$$ \Pr(X 1) $$जहां $$\mathfrak{N}_{\alpha}(\nu)$$ आकार $$ \alpha = 1/s < 1$$ का एक मानक स्थिर गणना वितरण है।

$$P(s,x)$$ और $$Q(s, x)$$ को scipy में  और   के रूप में कार्यान्वित किया जाता है।

व्युत्पन्न
उपरोक्त अभिन्न प्रतिनिधित्व का उपयोग करते हुए, ऊपरी अपूर्ण गामा फलन का व्युत्पन्न $$ \Gamma (s,x) $$ इसके संबंध में $x$ है $$ \frac{\partial \Gamma (s,x) }{\partial x} = - x^{s-1} e^{-x}$$ इसके पहले तर्क के संबंध में व्युत्पन्न $$s$$ द्वारा दिया गया है $$\frac{\partial \Gamma (s,x) }{\partial s} = \ln x \Gamma (s,x) + x\,T(3,s,x)$$ और दूसरा व्युत्पन्न द्वारा $$\frac{\partial^2 \Gamma (s,x) }{\partial s^2} = \ln^2 x \Gamma (s,x) + 2 x[\ln x\,T(3,s,x) + T(4,s,x) ]$$ जहां समारोह $$T(m,s,x)$$ मीजर जी-फलन का एक विशेष मामला है $$T(m,s,x) = G_{m-1,\,m}^{\,m,\,0} \!\left( \left. \begin{matrix} 0, 0, \dots, 0 \\ s-1, -1, \dots, -1 \end{matrix} \; \right| \, x \right).$$ इस विशेष विशेष मामले में अपने स्वयं के आंतरिक समापन गुण हैं क्योंकि इसका उपयोग सभी क्रमिक डेरिवेटिव को व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है। सामान्य रूप में, $$\frac{\partial^m \Gamma (s,x) }{\partial s^m} = \ln^m x \Gamma (s,x) + m x\,\sum_{n=0}^{m-1} P_n^{m-1} \ln^{m-n-1} x\,T(3+n,s,x)$$ कहाँ $$ P_j^n $$ पोचहैमर प्रतीक द्वारा परिभाषित क्रमपरिवर्तन है: $$P_j^n = \binom{n}{j} j! = \frac{n!}{(n-j)!}.$$ ऐसे सभी व्युत्पन्न क्रमिक रूप से उत्पन्न किए जा सकते हैं: $$\frac{\partial T (m,s,x) }{\partial s} = \ln x ~ T(m,s,x) + (m-1) T(m+1,s,x)$$ और $$\frac{\partial T (m,s,x) }{\partial x} = -\frac{1}{x} [T(m-1,s,x) + T(m,s,x)]$$ यह फलन $$T(m,s,x)$$ इसके लिए मान्य श्रृंखला प्रतिनिधित्व से गणना की जा सकती है $$ |z| < 1 $$, $$T(m,s,z) = - \frac{(-1)^{m-1} }{(m-2)! } \left.\frac{d^{m-2} }{dt^{m-2} } \left[\Gamma (s-t) z^{t-1}\right]\right|_{t=0} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n z^{s-1+n}}{n! (-s-n)^{m-1} }$$ इस समझ के साथ कि $s$ कोई ऋणात्मक पूर्णांक या शून्य नहीं है। ऐसे में व्यक्ति को एक सीमा का उपयोग करना चाहिए। $$ |z| \ge 1 $$ के लिए परिणाम को विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। इस फलन के कुछ विशेष स्थितियों को सरल बनाया जा सकता है. उदाहरण के लिए $$T(2,s,x)=\Gamma(s,x)/x$$, $$x\,T(3,1,x) = \mathrm{E}_1(x)$$, जहां $$\mathrm{E}_1(x)$$ घातांकीय समाकलन है। ये व्युत्पन्न और फलन $$T(m,s,x)$$ ऊपरी अपूर्ण गामा फलन की अभिन्न परिभाषा के बार-बार विभेदन द्वारा कई अभिन्नों का सटीक समाधान प्रदान करते हैं।

उदाहरण के लिए, $$ \int_{x}^{\infty} \frac{t^{s-1} \ln^m t}{e^t} dt= \frac{\partial^m}{\partial s^m} \int_{x}^{\infty} \frac{t^{s-1}}{e^t} dt = \frac{\partial^m}{\partial s^m} \Gamma (s,x)$$ इस सूत्र को लाप्लास परिवर्तनों और मेलिन परिवर्तनों के एक विशाल वर्ग के लिए और अधिक बढ़ाया या सामान्यीकृत किया जा सकता है। जब कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली के साथ जोड़ा जाता है, तो विशेष फलनों का शोषण निश्चित समाकलन्स को हल करने के लिए एक शक्तिशाली तरीका प्रदान करता है, विशेष रूप से व्यावहारिक इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों द्वारा सामना किए जाने वाले (अधिक विवरण के लिए प्रतीकात्मक एकीकरण देखें)।

अनिश्चित और निश्चित समाकलन
भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके निम्नलिखित अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग आसानी से प्राप्त किए जा सकते हैं (दोनों स्थितियों में एकीकरण के स्थिरांक को छोड़ दिया गया है):

$$\int x^{b-1} \gamma(s,x) dx = \frac{1}{b} \left( x^b \gamma(s,x) - \gamma(s+b,x) \right),$$ $$\int x^{b-1} \Gamma(s,x) dx = \frac{1}{b} \left( x^b \Gamma(s,x) - \Gamma(s+b,x) \right).$$ निचले और ऊपरी अपूर्ण गामा फलन फूरियर रूपांतरण के माध्यम से जुड़े हुए हैं:

$$\int_{-\infty}^\infty \frac {\gamma\left(\frac s 2, z^2 \pi \right)} {(z^2 \pi)^\frac s 2} e^{-2 \pi i k z} dz = \frac {\Gamma\left(\frac {1-s} 2, k^2 \pi \right)} {(k^2 \pi)^\frac {1-s} 2}.$$ यह, उदाहरण के लिए की उपयुक्त विशेषज्ञता द्वारा अनुसरण करता है।.

संदर्भ

 * §6.5.
 * G. Arfken and H. Weber. Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000. (See Chapter 10.)
 * (See also www.netlib.org/toms/654).
 * G. Arfken and H. Weber. Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000. (See Chapter 10.)
 * (See also www.netlib.org/toms/654).
 * (See also www.netlib.org/toms/654).
 * (See also www.netlib.org/toms/654).
 * (See also www.netlib.org/toms/654).
 * (See also www.netlib.org/toms/654).

बाहरी संबंध

 * $$P(a,x)$$ — Regularized Lower Incomplete Gamma Function Calculator
 * $$Q(a,x)$$ — Regularized Upper Incomplete Gamma Function Calculator
 * $$\gamma(a,x)$$ — Lower Incomplete Gamma Function Calculator
 * $$\Gamma(a,x)$$ — Upper Incomplete Gamma Function Calculator
 * formulas and identities of the Incomplete Gamma Function functions.wolfram.com