सापेक्षिक ऊष्मा चालन

सापेक्षतावादी ऊष्मा चालन से तात्पर्य विशेष सापेक्षता के अनुकूल एक तरह से ऊष्मा चालन (और समान प्रसार प्रक्रियाओं) के मॉडलिंग से है। विशेष सापेक्षता (और सामान्य सापेक्षता) सापेक्षता में, गैर-सापेक्षतावादी गर्मी चालन के लिए सामान्य गर्मी समीकरण को संशोधित किया जाना चाहिए, क्योंकि यह प्रकाश से भी तेज सिग्नल प्रसार की ओर जाता है। इसलिए, सापेक्षतावादी ऊष्मा चालन में निरंतर मीडिया (ठोस, तरल पदार्थ, गैस) में गर्मी के प्रसार के लिए मॉडलों का एक सेट शामिल होता है जो सापेक्षतावादी कारणता (भौतिकी) के अनुरूप होता है, अर्थात् सिद्धांत कि एक प्रभाव प्रकाश शंकु के भीतर होना चाहिए। प्रकाश-शंकु इसके कारण से जुड़ा हुआ है। गर्मी संचालन के लिए कोई भी उचित सापेक्षतावादी मॉडल भी ल्यपुनोव स्थिरता होना चाहिए, इस अर्थ में कि तापमान में अंतर प्रकाश की तुलना में धीमी गति से फैलता है और समय के साथ नम हो जाता है (यह स्थिरता संपत्ति सापेक्षतावादी कारणता के साथ घनिष्ठ रूप से जुड़ी हुई है) ).

परवलयिक मॉडल (गैर-सापेक्षतावादी)
न्यूटोनियन संदर्भ में ऊष्मा चालन ऊष्मा समीकरण द्वारा प्रतिरूपित होता है, अर्थात् इस प्रकार का एक परवलयिक आंशिक अवकल समीकरण:


 * $$\frac{\partial\theta}{\partial t}~=~\alpha~\nabla^2\theta ,$$

जहां θ तापमान है, भौतिकी में t समय है, α = k/(ρ c) तापीय प्रसार है, k तापीय चालकता है, ρ घनत्व है, और c विशिष्ट ताप क्षमता है। लाप्लास ऑपरेटर,$$\scriptstyle\nabla^2$$, को कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में परिभाषित किया गया है


 * $$\nabla^2~=~\frac{\partial^2}{\partial x^2}~+~\frac{\partial^2}{\partial y^2}~+~\frac{\partial^2}{\partial z^2} .$$

यह फूरियर समीकरण ताप प्रवाह वेक्टर, q के फूरियर के रैखिक सन्निकटन को तापमान प्रवणता के एक फलन के रूप में प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जा सकता है,


 * $$\mathbf{q}~=~-k~\nabla\theta ,$$

ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम में


 * $$\rho~c~\frac{\partial \theta}{\partial t}~+ ~\nabla \cdot \mathbf{q}~=~ 0 ,$$

जहां की  ऑपरेटर, ∇ को 3D में परिभाषित किया गया है


 * $$\nabla ~=~\frac{\partial}{\partial x}~\mathbf{i}~+~\frac{\partial}{\partial y}~\mathbf{j}~+~\frac{\partial}{\partial z}~\mathbf{k} .$$

यह दिखाया जा सकता है कि ऊष्मा प्रवाह वेक्टर की यह परिभाषा ऊष्मागतिकी के दूसरे नियम को भी संतुष्ट करती है,
 * $$\nabla\cdot\left(\frac{\mathbf{q}}{\theta}\right)~+~\rho~\frac{\partial s}{\partial t}~=~\sigma,$$

जहां s विशिष्ट एन्ट्रापी है और σ एन्ट्रापी उत्पादन है। यह गणितीय मॉडल विशेष सापेक्षता के साथ असंगत है: गर्मी समीकरण (जिसे गरम गिरी के रूप में भी जाना जाता है) से जुड़े ग्रीन फ़ंक्शन का समर्थन प्रकाश शंकु के बाहर तक फैला हुआ है, जिससे जानकारी का प्रकाश से भी तेज प्रसार होता है। उदाहरण के लिए, मूल बिंदु पर ऊष्मा के स्पंदन पर विचार करें; फिर फूरियर समीकरण के अनुसार, इसे किसी भी दूर बिंदु पर तुरंत महसूस किया जाता है (यानी तापमान में परिवर्तन)। ऊष्मा के प्रसार की गति निर्वात में प्रकाश की गति से तेज़ होती है, जो सापेक्षता के ढांचे के भीतर अस्वीकार्य है।

अतिशयोक्तिपूर्ण मॉडल (सापेक्षतावादी)
ऊपर चर्चा की गई ऊष्मा चालन के लिए परवलयिक मॉडल से पता चलता है कि फूरियर समीकरण (और अधिक सामान्य फ़िक का प्रसार का नियम) सापेक्षता के सिद्धांत के साथ असंगत है कम से कम एक कारण से: यह सातत्य क्षेत्र (भौतिकी) के प्रसार की अनंत गति को स्वीकार करता है (इस मामले में: गर्मी, या तापमान प्रवणता)। इस विरोधाभास को दूर करने के लिए कार्लो कट्टानियो (गणितज्ञ) जैसे कार्यकर्ताओं ने वर्नोट, चेस्टर, और दूसरे प्रस्तावित किया गया कि फूरियर समीकरण को परवलयिक आंशिक अंतर समीकरण से हाइपरबोलिक आंशिक अंतर समीकरण रूप में उन्नत किया जाना चाहिए, जहां n, तापमान क्षेत्र $$\theta$$ द्वारा शासित है:


 * $$\frac{1}{C^2}~\frac{\partial^2\theta}{\partial t^2}~+~\frac{1}{\alpha}~\frac{\partial\theta}{\partial t}~=~\nabla^2\theta$$.

इस समीकरण में, C को दूसरी ध्वनि की गति कहा जाता है (जो कि उत्तेजित अवस्था और फोनन की तरह अर्धकण  से संबंधित है)। समीकरण को हाइपरबोलिक आंशिक अंतर समीकरण ऊष्मा चालन (एचसीसी) समीकरण के रूप में जाना जाता है। गणितीय रूप से, उपरोक्त समीकरण को टेलीग्राफ समीकरण कहा जाता है, क्योंकि यह औपचारिक रूप से टेलीग्राफर के समीकरणों के बराबर है, जिसे मैक्सवेल के इलेक्ट्रोडायनामिक्स के समीकरणों से प्राप्त किया जा सकता है।

एचएचसी समीकरण को थर्मोडायनामिक्स के पहले नियम के साथ संगत बनाए रखने के लिए, ताप प्रवाह वेक्टर, क्यू की परिभाषा को संशोधित करना आवश्यक है।


 * $$\tau_{_0}~\frac{\partial\mathbf{q}}{\partial t}~+~\mathbf{q}~=~-k~\nabla\theta,$$ कहाँ $$\scriptstyle\tau_{_0}$$ विश्राम का समय है, ऐसा कि $$\scriptstyle C^2~=~ \alpha/ \tau_{_0} .$$ ऊष्मा प्रवाह के इस समीकरण को अक्सर मैक्सवेल-कैटेनियो समीकरण के रूप में जाना जाता है। हाइपरबोलिक समीकरण का सबसे महत्वपूर्ण निहितार्थ यह है कि परवलयिक (अपव्यय) से हाइपरबोलिक (एक संरक्षण कानून शब्द शामिल) आंशिक अंतर समीकरण में स्विच करने से, थर्मल अनुनाद जैसी घटनाओं की संभावना होती है  और थर्मल शॉक तरंगें।

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