Σ- बीजगणित

गणितीय विश्लेषण और संभाव्यता सिद्धांत में, एक सेट (समुच्चय) X पर σ-बीजगणित (σ-फ़ील्ड) भी पूरक, गणनीय संघों और गणनीय प्रतिच्छेदनों के तहत बंद किए गए X के सबसेट का गैर-रिक्त संग्रह Σ है। जोड़ी $$(X, \Sigma)$$ को मापनीय स्थान कहा जाता है।

σ-बीजगणित सेट बीजगणित का सबसेट है; उत्तरार्द्ध के तत्वों को केवल बहुत से उपसमुच्चयों के संघ या चौराहे के तहत बंद करने की आवश्यकता है, जो कमजोर स्थिति है।

σ-बीजगणित का मुख्य उपयोग उपायों की परिभाषा में है; विशेष रूप से, उन उपसमुच्चयों का संग्रह जिसके लिए एक दिया गया माप परिभाषित किया गया है, अनिवार्य रूप से एक σ-बीजगणित है। यह अवधारणा गणितीय विश्लेषण में लेबेस्ग एकीकरण की नींव के रूप में और संभाव्यता सिद्धांत में महत्वपूर्ण है, जहां इसे उन घटनाओं के संग्रह के रूप में व्याख्या किया जाता है जिन्हें संभावनाएं सौंपी जा सकती हैं। साथ ही, संभाव्यता में, सशर्त अपेक्षा की परिभाषा में σ-बीजगणित महत्वपूर्ण हैं।

आँकड़ों में, (उप) σ-अलजेब्रस की आवश्यकता पर्याप्त आँकड़ों की औपचारिक गणितीय परिभाषा के लिए होती है, विशेषकर जब आँकड़ा कार्य या यादृच्छिक प्रक्रिया है और सशर्त घनत्व की धारणा लागू नहीं होती है।

अगर $$X = \{a, b, c, d\}$$ संभव σ-बीजगणित पर $$X$$ है $$\Sigma = \{\varnothing, \{a, b\}, \{c, d\}, \{a, b, c, d\}\},$$ जहाँ $$\varnothing$$ खाली सेट है। सामान्य तौर पर, परिमित बीजगणित हमेशा σ-बीजगणित होता है।

अगर $$\{A_1, A_2, A_3, \ldots\},$$ के सेट का एक गणनीय विभाजन है $$X$$ तो विभाजन में सेट के सभी संघों का संग्रह (खाली सेट सहित) σ-बीजगणित है।

अधिक उपयोगी उदाहरण सभी खुले अंतरालों के साथ शुरू करके और सभी गणनीय संघों, गणनीय चौराहों और सापेक्ष पूरक में जोड़कर बनाई गई वास्तविक रेखा के सबसेट का सेट है और इस प्रक्रिया को जारी रखता है (सभी गणनीय अध्यादेशों के माध्यम से ट्रांसफ़िनिटी पुनरावृत्ति द्वारा) प्रासंगिक बंद होने तक गुण प्राप्त होते हैं (एक निर्माण जिसे बोरेल पदानुक्रम के रूप में जाना जाता है)।

प्रेरणा
σ-अल्जेब्रस (बीजगणित) के लिए कम से कम तीन प्रमुख प्रेरक हैं: उपायों को परिभाषित करना, सेट की सीमाओं में हेरफेर करना और सेट द्वारा विशेषता आंशिक जानकारी का प्रबंधन करना है।

उपाय
$$X$$ पर माप एक ऐसा कार्य है जो $$X;$$ के उपसमुच्चय को गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या निर्दिष्ट करता है; इसे सेट के लिए "आकार" या "वॉल्यूम" की सटीक धारणा बनाने के बारे में सोचा जा सकता है। हम चाहते हैं कि अलग-अलग सेटों के संघ का आकार उनके अलग-अलग आकारों का योग हो, यहां तक कि अलग-अलग सेटों के अनंत अनुक्रम के लिए भी।

कोई $$X$$ के प्रत्येक सबसेट को आकार देना चाहेगा, लेकिन कई प्राकृतिक पतिस्थिति में, यह संभव नहीं है। उदाहरण के लिए, पसंद के स्वयंसिद्ध का अर्थ है कि जब विचाराधीन आकार वास्तविक रेखा के सबसेट के लिए लंबाई की सामान्य धारणा है, तो ऐसे सेट मौजूद हैं जिनके लिए कोई आकार मौजूद नहीं है, उदाहरण के लिए, विटाली सेट। इस कारण से, इसके बजाय विशेषाधिकार प्राप्त सबसेट के एक छोटे संग्रह पर विचार किया जाता है $$X.$$ इन सबसेट को मापने योग्य सेट कहा जाएगा। वे संचालन के तहत बंद हैं जो एक औसत दर्जे के सेट के लिए अपेक्षित होगा, अर्थात, मापने योग्य सेट का पूरक एक औसत दर्जे का सेट है और मापने योग्य सेटों का गणनीय संघ एक औसत दर्जे का सेट है। इन गुणों वाले सेटों के गैर-खाली संग्रह को σ-एलजेब्रा कहा जाता है।

सेट की सीमा
माप के कई उपयोग, जैसे कि यादृच्छिक चर के अभिसरण की संभाव्यता अवधारणा, में सेट-सैद्धांतिक सीमा सम्मिलित है। इसके लिए गणनीय यूनियनों और चौराहों के नीचे बंद करना सर्वोपरि है। सेट सीमा को σ-अल्जेब्रा पर निम्नानुसार परिभाषित किया गया है।

आंतरिक सीमा हमेशा बाहरी सीमा का उपसमुच्चय होती है:$$\liminf_{n\to\infty} A_n ~\subseteq~ \limsup_{n\to\infty} A_n.$$यदि ये दोनों समुच्चय बराबर हों तो उनकी सीमा $$\lim_{n\to\infty} A_n$$ मौजूद है और इस सामान्य सेट के बराबर है:$$\lim_{n\to\infty} A_n := \liminf_{n\to\infty} A_n = \limsup_{n\to\infty} A_n.$$
 * }} या एक क्रम का $$A_1, A_2, A_3, \ldots$$ के सबसेट का $$X$$ है $$\limsup_{n\to\infty} A_n = \bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{m=n}^\infty A_m = \bigcap_{n=1}^\infty A_n \cup A_{n+1} \cup \cdots.$$इसमें सभी बिंदु $$x$$ होते हैं जो इन सेटों में से कई में असीम रूप से होते हैं (या समतुल्य रूप से, जो कि उनमें से बहुत से हैं)। अर्थात्,$$x \in \limsup_{n\to\infty} A_n$$अगर और केवल अगर वहाँ एक अनंत अनुवर्ती अस्तित्व मौजूद (जहाँ $$n_1 < n_2 < \cdots$$) है $$ A_{n_1}, A_{n_2}, \ldots$$ उन सेटों में जिनमें $$x;$$ सम्मिलित है; अर्थात्, ऐसा है कि $$x \in A_{n_1} \cap A_{n_2} \cap \cdots.$$
 * }} या  एक क्रम का $$A_1, A_2, A_3, \ldots$$ के सबसेट का $$X$$ है $$\liminf_{n\to\infty} A_n = \bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{m=n}^\infty A_m = \bigcup_{n=1}^\infty A_n \cap A_{n+1} \cap \cdots.$$ इसमें वे सभी बिंदु सम्मिलित हैं जो सभी में हैं लेकिन इनमें से बहुत से सेट हैं (या समतुल्य, जो हैं  उन सभी में)। वह है, $$x \in \liminf_{n\to\infty} A_n$$ अगर और केवल अगर कोई इंडेक्स मौजूद है $$N \in \N$$ ऐसा है कि $$A_N, A_{N+1}, \ldots$$ सभी सम्मिलित हैं $$x;$$ अर्थात् ऐसा कि $$x \in A_N \cap A_{N+1} \cap \cdots.$$

उप σ-बीजगणित
अधिकतर संभावनाओं में, विशेष रूप से जब सशर्त उम्मीद सम्मिलित होती है, तो एक ऐसे सेट से संबंधित होता है जो सभी संभव जानकारी का केवल एक हिस्सा दर्शाता है जिसे देखा जा सकता है। इस आंशिक जानकारी को एक छोटे σ-बीजगणित के साथ वर्णित किया जा सकता है जो मुख्य σ-बीजगणित का एक सबसेट है; इसमें केवल आंशिक जानकारी के लिए प्रासंगिक और केवल आंशिक जानकारी द्वारा निर्धारित सबसेट का संग्रह होता है। इस विचार को स्पष्ट करने के लिए एक साधारण उदाहरण पर्याप्त है।

कल्पना कीजिए कि आप और कोई अन्य व्यक्ति ऐसे खेल पर दांव लगा रहे हैं जिसमें एक सिक्के को बार-बार उछालना और यह देखना सम्मिलित है कि क्या यह चित आता है ($$H$$) या पूंछ ($$T$$). चूँकि आप और आपके प्रतिद्वंदी असीमित रूप से धनवान हैं, इसलिए खेल कितने समय तक चल सकता है इसकी कोई सीमा नहीं है। इसका मतलब है कि नमूना स्थान Ω में सभी संभावित अनंत क्रम सम्मिलित होने चाहिए $$H$$ या $$T:$$$$\Omega = \{H, T\}^\infty = \{(x_1, x_2, x_3, \dots) : x_i \in \{H, T\}, i \geq 1\}.$$हालाँकि, सिक्के के $$n$$ फ़्लिप के बाद, आप अगले फ़्लिप से पहले अपनी सट्टेबाजी की रणनीति को निर्धारित या संशोधित करना चाह सकते हैं। उस बिंदु पर देखी गई जानकारी को पहले $$n$$ फ़्लिप के लिए 2n संभावनाओं के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है। औपचारिक रूप से, चूंकि आपको Ω के सबसेट का उपयोग करने की आवश्यकता है, यह σ-बीजगणित के रूप में संहिताबद्ध है$$\mathcal{G}_n = \{A \times \{H, T\}^\infty : A \subseteq \{H, T\}^n\}.$$उस पर ध्यान दें$$\mathcal{G}_1 \subseteq \mathcal{G}_2 \subseteq \mathcal{G}_3 \subseteq \cdots \subseteq \mathcal{G}_\infty,$$जहाँ पर $$\mathcal{G}_\infty$$ सबसे छोटा σ-बीजगणित है जिसमें अन्य सभी सम्मिलित हैं।

परिभाषा
होने देना $$X$$ कुछ सेट हो, और रहने दो $$P(X)$$ इसके सत्ता स्थापित का प्रतिनिधित्व करें। फिर एक उपसमुच्चय $$\Sigma \subseteq P(X)$$ σ-बीजगणित कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित तीन गुणों को संतुष्ट करता है: इन गुणों से, यह अनुसरण करता है कि σ-बीजगणित भी काउंटेबल इंटरसेक्शन (सेट थ्योरी) (डी मॉर्गन के नियमों को लागू करके) के तहत बंद है।
 * 1) $$X$$ में है $$ \Sigma,$$ और $$X$$ निम्नलिखित संदर्भ में सार्वभौमिक सेट माना जाता है।
 * 2) $$ \Sigma$$ पूरक के तहत बंद है: यदि $$A$$ में है $$ \Sigma,$$ तो इसका पूरक (सेट सिद्धांत) है, $$X \setminus A.$$
 * 3) $$ \Sigma$$ गणनीय यूनियनों के तहत बंद है: यदि $$A_1, A_2, A_3, \ldots$$ में हैं $$ \Sigma,$$ तो ऐसा है $$A = A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots.$$

यह भी इस प्रकार है कि खाली सेट $$\varnothing$$ में है $$ \Sigma,$$ चूंकि (1) $$X$$ में है $$ \Sigma$$ और (2) दावा करता है कि इसका पूरक, खाली सेट भी अंदर है $$ \Sigma.$$ इसके अलावा, चूंकि $$\{X, \varnothing\}$$ शर्त (3) को भी संतुष्ट करता है, यह उसका अनुसरण करता है $$\{X, \varnothing\}$$ सबसे छोटा संभव σ-बीजगणित है $$X.$$ सबसे बड़ा संभव σ-बीजगणित पर $$X$$ है $$\wp(X).$$

σ-बीजगणित के तत्वों को मापने योग्य सेट कहा जाता है। आदेशित जोड़ी $$(X, \Sigma),$$ जहाँ पर $$X$$ एक सेट है और $$ \Sigma$$ एक σ-बीजगणित ओवर है $$X,$$ मापने योग्य स्थान कहा जाता है। दो मापने योग्य रिक्त स्थान के बीच एक फ़ंक्शन को मापने योग्य फ़ंक्शन कहा जाता है यदि प्रत्येक मापने योग्य सेट की प्रीइमेज मापने योग्य हो। मापने योग्य रिक्त स्थान का संग्रह एक श्रेणी (गणित) बनाता है, जिसमें आकारिकी के रूप में मापने योग्य कार्य होते हैं। माप (गणित) को σ-बीजगणित से कुछ प्रकार के कार्यों के रूप में परिभाषित किया गया है $$[0, \infty].$$

σ-बीजगणित π-सिस्टम और एक डाइंकिन प्रणाली (λ-सिस्टम) दोनों है। डाइंकिन के प्रमेय (नीचे) द्वारा बातचीत भी सच है।

डाइनकिन का π-λ प्रमेय
यह प्रमेय (या संबंधित मोनोटोन वर्ग प्रमेय) विशिष्ट σ-अल्जेब्रस के गुणों के बारे में कई परिणाम साबित करने के लिए आवश्यक उपकरण है। यह समुच्चयों के दो सरल वर्गों की प्रकृति का लाभ उठाता है, अर्थात् निम्नलिखित।
 * π-सिस्टम $$P$$ के उपसमूहों का संग्रह है $$X$$ जो बहुत से चौराहों के नीचे बंद है, और
 * डाइनकिन सिस्टम (या λ-सिस्टम) $$D$$ के उपसमूहों का संग्रह है $$X$$ उसमें सम्मिलित है $$X$$ और पूरक और असंयुक्त उपसमुच्चय के गणनीय संघों के तहत बंद है।

डाइंकिन का π-λ प्रमेय कहता है, अगर $$P$$ π-सिस्टम है और $$D$$ डाइंकिन प्रणाली है जिसमें सम्मिलित है $$P,$$ फिर σ-बीजगणित $$\sigma(P)$$ सिग्मा-बीजगणित σ-बीजगणित यादृच्छिक परिवार द्वारा उत्पन्न $$P$$ में निहित है $$D.$$ चूंकि कुछ π-सिस्टम अपेक्षाकृत सरल वर्ग हैं, इसलिए यह सत्यापित करना कठिन नहीं होगा कि सभी सेट अंदर हैं $$P$$ विचाराधीन संपत्ति का आनंद लें, जबकि दूसरी ओर, यह दर्शाता है कि संग्रह $$D$$ संपत्ति के साथ सभी उपसमुच्चय डाइंकिन प्रणाली भी सीधी हो सकती है। डाइंकिन के π-λ प्रमेय का अर्थ है कि सभी सेट हो जाते हैं $$\sigma(P)$$ संपत्ति का आनंद लें, मनमाने सेट के लिए इसे जाँचने के कार्य से बचें $$\sigma(P).$$

π-λ प्रमेय के सबसे मौलिक उपयोगों में से एक अलग-अलग परिभाषित उपायों या इंटीग्रल की समानता दिखाना है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग यादृच्छिक चर के लिए प्रायिकता की बराबरी करने के लिए किया जाता है $$X$$ लेबेस्ग-स्टिल्टजेस इंटीग्रल के साथ सामान्यतः संभाव्यता की गणना के साथ जुड़ा हुआ है:$$\mathbb{P}(X\in A) = \int_A \,F(dx)$$सभी के लिए $$A$$ बोरेल σ-बीजगणित में $$\Reals,$$

बोरेल σ-बीजगणित में सभी A के लिए R पर, जहाँ $$F(x)$$ $$\Reals,$$ पर परिभाषित x के लिए संचयी वितरण फलन है, जबकि $$\mathbb{P}$$ कुछ नमूना स्थान $$\Omega.$$के सबसेट के σ-बीजगणित $$ \Sigma$$ पर परिभाषित प्रायिकता माप है।

σ-अलजेब्रा का संयोजन
मान लीजिए कि $$\textstyle\left\{\Sigma_\alpha : \alpha \in \mathcal{A}\right\}$$ स्पेस $$X.$$पर σ-अलजेब्रा का एक संग्रह है

σ-बीजगणित के संग्रह का प्रतिच्छेदन σ-बीजगणित है। σ-बीजगणित के रूप में इसके चरित्र पर जोर देने के लिए, इसे प्रायः निम्न द्वारा निरूपित किया जाता है:$$\bigwedge_{\alpha \in \mathcal{A}} \Sigma_\alpha.$$प्रमाण का रेखाचित्र: चलो $$\Sigma^*$$ प्रतिच्छेदन को निरूपित करें। तब से $$X$$ हर में है $$\Sigma_\alpha, \Sigma^*$$ खाली नहीं है। हर के लिए पूरक और गणनीय यूनियनों के तहत बंद $$\Sigma_\alpha$$ का तात्पर्य वही है जिसके लिए सत्य होना चाहिए $$\Sigma^*.$$ इसलिए, $$\Sigma^*$$ एक σ-बीजगणित है।

जोड़ना

σ-बीजगणित के संग्रह का मिलन सामान्यतः σ-बीजगणित या बीजगणित भी नहीं होता है, लेकिन यह सिग्मा-बीजगणित σ-बीजगणित यादृच्छिक परिवार द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित होता है जिसे ज्वाइन (सिग्मा बीजगणित) के रूप में जाना जाता है जो सामान्यतः निरूपित किया जाता है$$\bigvee_{\alpha \in \mathcal{A}} \Sigma_\alpha = \sigma\left(\bigcup_{\alpha \in \mathcal{A}} \Sigma_\alpha\right).$$π-प्रणाली जो जोड़ उत्पन्न करती है वह है$$\mathcal{P} = \left\{\bigcap_{i=1}^n A_i : A_i \in \Sigma_{\alpha_i}, \alpha_i \in \mathcal{A},\ n \geq 1\right\}.$$प्रमाण का रेखाचित्र: केस द्वारा $$n = 1,$$ यह देखा गया है कि प्रत्येक $$\Sigma_\alpha\subset\mathcal{P},$$ इसलिए$$\bigcup_{\alpha \in \mathcal{A}} \Sigma_\alpha \subseteq \mathcal{P}.$$यह संकेत करता है$$\sigma\left(\bigcup_{\alpha \in \mathcal{A}} \Sigma_\alpha\right) \subseteq \sigma(\mathcal{P})$$सबसेट के संग्रह द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित की परिभाषा द्वारा। वहीं दूसरी ओर,$$\mathcal{P} \subseteq \sigma\left(\bigcup_{\alpha \in \mathcal{A}} \Sigma_\alpha\right)$$जो, डाइंकिन के π-λ प्रमेय द्वारा निहित है$$\sigma(\mathcal{P}) \subseteq \sigma\left(\bigcup_{\alpha \in \mathcal{A}} \Sigma_\alpha\right).$$

σ-सबस्पेस के लिए बीजगणित
कल्पना करना $$Y$$ का उपसमुच्चय है $$X$$ और जाने $$(X, \Sigma)$$ मापने योग्य स्थान हो।
 * संग्रह $$\{Y \cap B : B \in \Sigma\}$$ के सबसेट का σ-बीजगणित है $$Y.$$
 * कल्पना करना $$(Y, \Lambda)$$ मापने योग्य स्थान है। संग्रह $$\{A \subseteq X : A \cap Y \in \Lambda\}$$ के सबसेट का σ-बीजगणित है $$X.$$

σ-रिंग से संबंध
σ-बीजगणित $$ \Sigma$$ सिर्फ एक सिग्मा-रिंग|σ-रिंग है जिसमें सार्वभौमिक सेट होता है $$X.$$ एक σ-रिंग को σ-बीजगणित होने की आवश्यकता नहीं है, उदाहरण के लिए वास्तविक रेखा में शून्य Lebesgue माप के औसत दर्जे का उपसमुच्चय एक σ-रिंग है, लेकिन σ-बीजगणित नहीं है क्योंकि वास्तविक रेखा में अनंत माप है और इस प्रकार इसे प्राप्त नहीं किया जा सकता है उनका गणनीय संघ। अगर, शून्य माप के बजाय, परिमित लेबेस्गु माप के मापने योग्य सबसेट लेते हैं, तो वे सेट की रिंग हैं, लेकिन σ-रिंग नहीं हैं, क्योंकि वास्तविक रेखा उनके गणनीय संघ द्वारा प्राप्त की जा सकती है, फिर भी इसकी माप परिमित नहीं है।

टाइपोग्राफिक नोट
σ-अलजेब्रा को कभी-कभी कैलीग्राफ़िक कैपिटल लेटर्स, या फ़्राक्टुर टाइपफेस का उपयोग करके दर्शाया जाता है। इस प्रकार $$(X, \Sigma)$$ को $$\scriptstyle(X,\,\mathcal{F})$$ या $$\scriptstyle(X,\,\mathfrak{F}).$$ के रूप में निरूपित किया जा सकता है।

वियोज्य σ-बीजगणित
वियोज्य $$\sigma$$-बीजगणित (या वियोज्य $$\sigma$$-फ़ील्ड) है $$\sigma$$-बीजगणित $$\mathcal{F}$$ मीट्रिक (गणित) के साथ मीट्रिक स्थान के रूप में माने जाने पर यह वियोज्य स्थान है $$\rho(A,B) = \mu(A \mathbin{\triangle} B)$$ के लिए $$A,B \in \mathcal{F}$$ और दी गई माप (गणित) $$\mu$$ (और साथ $$\triangle$$ सममित अंतर ऑपरेटर होने के नाते)। ध्यान दें कि कोई $$\sigma$$सेट (गणित) के गणनीय संग्रह द्वारा उत्पन्न बीजगणित वियोज्य है, लेकिन बातचीत की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, लेबेसेग $$\sigma$$- बीजगणित वियोज्य है (चूंकि प्रत्येक लेबेस्ग मापने योग्य सेट कुछ बोरेल सेट के बराबर है) लेकिन गिनती योग्य नहीं है (चूंकि इसकी कार्डिनैलिटी सातत्य से अधिक है)।

वियोज्य माप स्थान में एक प्राकृतिक स्यूडोमेट्रिक स्पेस होता है जो इसे अलग करने योग्य स्थान को छद्ममितीय स्थान के रूप में प्रस्तुत करता है। दो सेटों के बीच की दूरी को दो सेटों के सममित अंतर के माप के रूप में परिभाषित किया गया है। ध्यान दें कि दो अलग-अलग सेटों के सममित अंतर का माप शून्य हो सकता है; इसलिए ऊपर परिभाषित स्यूडोमेट्रिक को सही मीट्रिक होने की आवश्यकता नहीं है। हालाँकि, यदि सेट जिनके सममित अंतर में माप शून्य है, को समतुल्य वर्ग में पहचाना जाता है, परिणामी समतुल्यता वर्ग को प्रेरित मीट्रिक द्वारा ठीक से मीट्रिक किया जा सकता है। यदि माप स्थान वियोज्य है, तो यह दिखाया जा सकता है कि संबंधित मीट्रिक स्थान भी है।

सरल सेट-आधारित उदाहरण
मान लीजिए कि X कोई समुच्चय है।
 * केवल रिक्त समुच्चय और समुच्चय $$X,$$ वाले कुल को $$X.$$ पर न्यूनतम या तुच्छ σ-बीजगणित कहा जाता है।
 * का पावर सेट $$X,$$ असतत σ-बीजगणित कहा जाता है।
 * संग्रह $$\{\varnothing, A, X \setminus A, X\}$$एक सरल σ-बीजगणित है जो सबसेट $$A.$$ द्वारा उत्पन्न किया गया है।
 * के सबसेट का संग्रह $$X$$ जो गणनीय हैं या जिनके पूरक गणनीय हैं, एक σ-बीजगणित है (जो की शक्ति सेट से अलग है $$X$$ अगर और केवल अगर $$X$$ बेशुमार है)। यह सिंगलटन (गणित) द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित है $$X.$$ नोट: गणनीय में परिमित या खाली सम्मिलित है।
 * सेट के गणनीय विभाजन में सेट के सभी संघों का संग्रह $$X$$ एक σ-बीजगणित है।

स्टॉपिंग टाइम सिग्मा-अलजेब्रा
स्टॉपिंग टाइम $$\tau$$ एक $$\sigma$$- बीजगणित $$\mathcal{F}_\tau,$$ को परिभाषित कर सकता है, तथाकथित स्टॉपिंग टाइम सिग्मा-बीजगणित, जो फ़िल्टर किया गया प्रायिकता स्थान है जो इस अर्थ में यादृच्छिक समय $$\tau$$ तक की जानकारी का वर्णन करता है, यदि फ़िल्टर किया गया प्रायिकता स्थान है एक यादृच्छिक प्रयोग के रूप में व्याख्या की जाती है, अधिकतम जानकारी जो प्रयोग के बारे में पाई जा सकती है, मनमाने ढंग से प्रायः इसे तब तक दोहराते हैं जब तक कि समय $$\tau$$ $$\mathcal{F}_{\tau}.$$नहीं है।

σ-बीजगणित एक स्वेच्छाचारी परिवार द्वारा उत्पन्न
मान लीजिए कि $$F$$, $$X.$$ के उपसमूह का आदर्श परिवार है फिर अनोखा सबसे छोटा σ-बीजगणित मौजूद है जिसमें हर सेट सम्मिलित है $$F$$ (चाहे $$F$$ σ-बीजगणित हो भी सकता है और नहीं भी)। यह वास्तव में, युक्त सभी σ-अलजेब्रा का प्रतिच्छेदन है $$F.$$ (ऊपर σ-बीजगणित के चौराहों को देखें।) यह σ-बीजगणित निरूपित है $$\sigma(F)$$ और σ-बीजगणित द्वारा उत्पन्न कहा जाता है $$F.$$अगर $$F$$ तो खाली है $$\sigma(\varnothing) = \{\varnothing, X\}.$$ अन्यथा $$\sigma(F)$$ के सभी उपसमुच्चय होते हैं $$X$$ के तत्वों से बनाया जा सकता है $$F$$ पूरक, संघ और प्रतिच्छेदन संचालन की एक गणनीय संख्या द्वारा।

साधारण उदाहरण के लिए, सेट पर विचार करें $$X = \{1, 2, 3\}.$$ तब σ-बीजगणित एकल उपसमुच्चय द्वारा उत्पन्न होता है $$\{1\}$$ है।

$$\sigma(\{1\}) = \{\varnothing, \{1\}, \{2, 3\}, \{1, 2, 3\}\}.$$ अंकन के दुरुपयोग से, जब उपसमुच्चय के संग्रह में केवल एक तत्व होता है, $$A,$$ $$\sigma(A)$$ के स्थान पर लिखा जा सकता है $$\sigma(\{A\});$$ पूर्व उदाहरण में $$\sigma(\{1\})$$ के बजाय $$\sigma(\{\{1\}\}).$$ वास्तव में, का उपयोग करना $$\sigma\left(A_1, A_2, \ldots\right)$$ मतलब निकालना $$\sigma\left(\left\{A_1, A_2, \ldots\right\}\right)$$ भी काफी सामान्य है।

उपसमुच्चय के कई परिवार हैं जो उपयोगी σ-अल्जेब्रा उत्पन्न करते हैं। इनमें से कुछ यहाँ प्रस्तुत हैं।

σ-बीजगणित एक फ़ंक्शन द्वारा उत्पन्न होता है
अगर $$f$$ सेट से एक फंक्शन है $$X$$ एक सेट के लिए $$Y$$ और $$B$$ एक है $$\sigma$$के सबसेट का बीजगणित $$Y,$$ फिर $$\sigma$$फंक्शन द्वारा उत्पन्न बीजगणित $$f,$$ द्वारा चिह्नित $$\sigma (f),$$ सभी उलटी छवियों का संग्रह है $$f^{-1} (S)$$ सेट का $$S$$ में $$B.$$ वह है,$$\sigma (f) = \left\{f^{-1}(S) \, : \, S \in B\right\}. $$एक फंक्शन $$f$$ एक सेट से $$X$$ एक सेट के लिए $$Y$$ σ-बीजगणित के संबंध में मापने योग्य फलन है $$ \Sigma$$ के सबसेट का $$X$$ अगर और केवल अगर $$\sigma(f)$$ का उपसमुच्चय है $$\Sigma.$$

एक सामान्य स्थिति, और यदि डिफ़ॉल्ट रूप से समझी जाती है $$B$$ स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट नहीं है, कब है $$Y$$ एक मीट्रिक स्पेस या टोपोलॉजिकल स्पेस है और $$B$$ बोरेल सेट का कलेक्शन चालू है $$Y.$$ अगर $$f$$ से एक फंक्शन है $$X$$ को $$\Reals^n$$ तब $$\sigma(f)$$ उपसमुच्चयों के परिवार द्वारा उत्पन्न होता है जो अंतरालों/आयतों की उलटी छवियां $$\Reals^n$$ हैं ।$$\sigma(f) = \sigma\left(\left\{f^{-1}(\left[a_1, b_1\right] \times \cdots \times \left[a_n, b_n\right]) : a_i, b_i \in \Reals\right\}\right).$$एक उपयोगी संपत्ति निम्नलिखित है। मान लीजिए $$f$$ से मापने योग्य नक्शा है $$\left(X, \Sigma_X\right)$$ को $$\left(S, \Sigma_S\right)$$ और $$g$$ से मापने योग्य नक्शा है $$\left(X, \Sigma_X\right)$$ को $$\left(T, \Sigma_T\right).$$ यदि कोई औसत दर्जे का नक्शा मौजूद है $$h$$ से $$\left(T, \Sigma_T\right)$$ को $$\left(S, \Sigma_S\right)$$ ऐसा है कि $$f(x) = h(g(x))$$ सभी के लिए $$x,$$ तब $$\sigma(f) \subseteq \sigma(g).$$ अगर $$S$$ परिमित या गणनीय रूप से अनंत है या, अधिक सामान्यतः, $$\left(S, \Sigma_S\right)$$ एक मानक बोरेल स्थान है (उदाहरण के लिए, इसके संबंधित बोरेल सेट के साथ एक वियोज्य पूर्ण मीट्रिक स्थान), तो इसका विलोम भी सत्य है। मानक बोरेल रिक्त स्थान के उदाहरणों में सम्मिलित हैं $$\Reals^n$$ इसके बोरेल सेट के साथ और $$\Reals^\infty$$ नीचे वर्णित सिलेंडर σ-बीजगणित के साथ है।

बोरेल और लेबेस्गुए σ-अलजेब्रा
एक महत्वपूर्ण उदाहरण किसी भी सामयिक स्थान पर बोरेल बीजगणित है: खुले सेटों द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित (या, समतुल्य रूप से, बंद सेटों द्वारा)। ध्यान दें कि यह σ-बीजगणित, सामान्य तौर पर, संपूर्ण शक्ति सेट नहीं है। गैर-तुच्छ उदाहरण के लिए जो बोरेल सेट नहीं है, विटाली सेट या बोरेल सेट#गैर-बोरेल सेट|गैर-बोरेल सेट देखें।

यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर $$\Reals^n,$$ एक और σ-बीजगणित का महत्व है: वह सभी लेबेस्ग माप सेटों का। इस σ-बीजगणित में बोरेल σ-बीजगणित की तुलना में अधिक सेट हैं $$\Reals^n$$ और अभिन्न थ्योरी में पसंद किया जाता है, क्योंकि यह एक पूर्ण माप देता है।

गुणनफल σ-बीजगणित
होने देना $$\left(X_1, \Sigma_1\right)$$ और $$\left(X_2, \Sigma_2\right)$$ दो मापने योग्य स्थान बनें। संबंधित उत्पाद स्थान के लिए σ-बीजगणित $$X_1 \times X_2$$ को गुणनफल σ-बीजगणित कहा जाता है और इसके द्वारा परिभाषित किया जाता है$$\Sigma_1 \times \Sigma_2 = \sigma\left(\left\{B_1 \times B_2 : B_1 \in \Sigma_1, B_2 \in \Sigma_2\right\}\right).$$उसका अवलोकन करो $$\{B_1 \times B_2 : B_1 \in \Sigma_1, B_2 \in \Sigma_2\}$$ एक π-प्रणाली है।

बोरेल σ-बीजगणित के लिए $$\Reals^n$$ अर्ध-अनंत आयतों और परिमित आयतों द्वारा उत्पन्न होता है। उदाहरण के लिए,$$\mathcal{B}(\Reals^n) = \sigma \left(\left\{(-\infty, b_1] \times \cdots \times (-\infty, b_n] : b_i \in \Reals\right\}\right) = \sigma\left(\left\{\left(a_1, b_1\right] \times \cdots \times \left(a_n, b_n\right] : a_i, b_i \in \Reals\right\}\right).$$इन दो उदाहरणों में से प्रत्येक के लिए, जनक परिवार एक π-प्रणाली है।

σ-सिलेंडर सेट द्वारा उत्पन्न बीजगणित
मान लेना$$X \subseteq \Reals^{\mathbb{T}} = \{f : f(t) \in \Reals,\ t \in \mathbb{T}\}$$वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का एक सेट है। होने देना $$\mathcal{B}(\Reals)$$ के बोरेल उपसमुच्चयों को निरूपित करें $$\Reals.$$ का एक सिलेंडर सेट $$X$$ के रूप में परिभाषित एक निश्चित रूप से प्रतिबंधित सेट है$$C_{t_1,\dots,t_n}(B_1,\dots,B_n) = \left\{f \in X : f(t_i) \in B_i, 1 \leq i \leq n\right\}.$$प्रत्येक$$\left\{C_{t_1,\dots,t_n}\left(B_1, \dots, B_n\right) : B_i \in \mathcal{B}(\Reals), 1 \leq i \leq n\right\}$$एक π-सिस्टम है जो σ-बीजगणित उत्पन्न करता है $$\textstyle\Sigma_{t_1, \dots, t_n}.$$ फिर उपसमुच्चय का परिवार$$\mathcal{F}_X = \bigcup_{n=1}^\infty \bigcup_{t_i \in \mathbb{T},i \leq n}\Sigma_{t_1, \dots, t_n}$$एक बीजगणित है जो बेलन σ-बीजगणित उत्पन्न करता है $$X.$$ यह σ-बीजगणित, बोरेल σ-बीजगणित का एक उप-लजेब्रा है, जिसका निर्धारण गुणनफल सांस्थिति द्वारा किया जाता है। $$\Reals^{\mathbb{T}}$$ तक सीमित $$X.$$

एक महत्वपूर्ण विशेष मामला है जब $$\mathbb{T}$$ प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है और $$X$$ वास्तविक-मूल्यवान अनुक्रमों का एक सेट है। इस मामले में, सिलेंडर सेट पर विचार करना पर्याप्त है$$C_n\left(B_1, \dots, B_n\right) = \left(B_1 \times \cdots \times B_n \times \Reals^\infty\right) \cap X = \left\{\left(x_1, x_2, \ldots, x_n,x_{n+1},\ldots\right) \in X : x_i \in B_i ,1 \leq i \leq n\right\},$$जिसके लिए$$\Sigma_n = \sigma\left(\{C_n\left(B_1, \dots, B_n\right) : B_i \in \mathcal{B}(\Reals), 1 \leq i \leq n\}\right)$$

यादृच्छिक चर या सदिश द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित
मान लेना

$$(\Omega, \Sigma, \mathbb{P})$$ संभावना स्थान है। अगर $$\textstyle Y:\Omega\to\Reals^n$$ बोरेल σ-बीजगणित के संबंध में मापने योग्य है $$\Reals^n$$ तब $$Y$$ एक यादृच्छिक चर कहा जाता है ($$n = 1$$) या यादृच्छिक सदिश ($$n > 1$$). σ-बीजगणित द्वारा उत्पन्न $$Y$$ है$$\sigma(Y) = \left\{Y^{-1}(A) : A \in \mathcal{B}\left(\Reals^n\right)\right\}.$$σ-बीजगणित एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया द्वारा उत्पन्न

मान लेना $$(\Omega,\Sigma,\mathbb{P})$$ एक संभावना स्थान है और $$\Reals^\mathbb{T}$$ पर वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का सेट है $$\mathbb{T}.$$ अगर $$\textstyle Y : \Omega\to X \subseteq \Reals^\mathbb{T}$$ बेलन σ-बीजगणित के संबंध में मापने योग्य है $$\sigma\left(\mathcal{F}_X\right)$$ (ऊपर देखें) के लिए $$X$$ तब $$Y$$ एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया या यादृच्छिक प्रक्रिया कहा जाता है। σ-बीजगणित द्वारा उत्पन्न $$Y$$ है$$\sigma(Y) = \left\{Y^{-1}(A) : A \in \sigma\left(\mathcal{F}_X\right)\right\} = \sigma\left(\left\{Y^{-1}(A) : A \in \mathcal{F}_X\right\}\right),$$सिलेंडर सेट के व्युत्क्रम चित्रों द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित।

बाहरी संबंध

 * Sigma Algebra from PlanetMath.
 * Sigma Algebra from PlanetMath.