त्रिकोणमितीय फलन

गणित में, त्रिकोणमितीय फलन (जिन्हें वृत्तीय फलन, कोण फलन या गोनीमितीय फलन भी कहा जाता है ) वास्तविक फलन होते हैं जो एक समकोण त्रिभुज के कोण को दो भुजाओं की लंबाई के अनुपात से संबंधित करते हैं। वे सभी विज्ञानों में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं जो कि ज्यामिति से संबंधित हैं, जैसे कि नौसंचालन, ठोस यांत्रिकी, खगोलीय यांत्रिकी, भूगणित और कई अन्य। वे सबसे सरल आवर्ती फलनों में से हैं, और जैसे कि फुरिये विश्लेषण के माध्यम से आवर्ती घटनाओं का अध्ययन करने के लिए भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

आधुनिक गणित में सबसे व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले त्रिकोणमितीय फलन ज्या, कोज्या और स्पर्शरेखा हैं। इनके व्युत्क्रम क्रमश: व्युत्क्रमज्या, छेदक रेखा और कोटिस्पर्श रेखा हैं, जिनका प्रयोग कम होता है। इन छह त्रिकोणमितीय फलनों में से प्रत्येक में एक समान प्रतिलोम फलन होता है, और अतिपरवलयिक फलनों के मध्य एक अनुरूप होता है।

समकोण त्रिभुजों से संबंधित त्रिकोणमितीय फलनों की सबसे पुरानी परिभाषाएँ उन्हें केवल न्यून कोणों के लिए परिभाषित करती हैं। ज्या और कोज्या फलन को उन फलन तक विस्तारित करने के लिए जिनका प्रक्षेत्र संपूर्ण वास्तविक रेखा है, मानक इकाई वृत्त (अर्थात, त्रिज्या 1 इकाई वाला एक वृत्त) का उपयोग करते हुए ज्यामितीय परिभाषाएं प्रायः उपयोग की जाती हैं; तो अन्य फलनों का प्रक्षेत्र वास्तविक रेखा है जिसमें कुछ वियुक्त बिंदु अलग कर दिए गए हैं। आधुनिक परिभाषाएँ त्रिकोणमितीय फलनों को अनंत श्रृंखला या अंतर समीकरणों के समाधान के रूप में व्यक्त करती हैं। यह ज्या और कोज्या फलनों के प्रक्षेत्र को पूरे सम्मिश्र समतल में विस्तारित करने की अनुमति देता है, और अन्य त्रिकोणमितीय फलनों के प्रक्षेत्र को कुछ वियुक्त बिंदुओं को अलग करके सम्मिश्र समतल पर ले जाता है।

संकेतन
परंपरागत रूप से, प्रत्येक त्रिकोणमितीय फलन के नाम का एक संक्षिप्त नाम सूत्रों में इसके प्रतीक के रूप में उपयोग किया जाता है। आज, इन संक्षेपों के सबसे सामान्य संस्करण ज्या के लिए सिन है, कोज्या के लिए कॉस, या टीजी स्पर्शरेखा के लिए, छेदक रेखा के लिए सेकंड, व्युत्क्रमज्या के लिए सीएससी या कोसेक, और कोटिस्पर्श रेखा के लिए कॉट या सीटीजी । ऐतिहासिक रूप से, इन संक्षिप्ताक्षरों का उपयोग पहली बार गद्य वाक्यों में उपयोग किया गया था ताकि विशेष रेखा खंडों या उनकी लंबाई को एक स्वेच्छ वृत्त के एक चाप से संबंधित किया जा सके, और बाद में लंबाई के अनुपात को इंगित करने के लिए, लेकिन जैसा कि 17वीं-18वीं शताब्दी में फलन की अवधारणा विकसित हुई, उन्हें वास्तविक-संख्या-मूल्यवान कोण मापक के फलनों के रूप में माना जाने लगा, और फलनात्मक संकेतन के साथ लिखा गया, उदाहरण के लिए $sin(x)$ है। अव्यवस्था को कम करने के लिए कोष्ठक अभी भी प्रायः कम किए जाते हैं, लेकिन कभी-कभी आवश्यक होते हैं; उदाहरण के लिए अभिव्यक्ति $$\sin x+y$$  को विशिष्ट रूप से $$\sin (x)+y,$$ के अर्थ में व्याख्या की जाएगी, इसलिए $$\sin (x+y)$$ को व्यक्त करने के लिए कोष्ठकों की आवश्यकता होती है।

फलन के प्रतीक के बाद एक अधिलेख के रूप में प्रकट होने वाला एक सकारात्मक पूर्णांक घातांक को दर्शाता है, फलन संयोजन को नहीं दर्शाता है। उदाहरण के लिए $$\sin^2 x$$ और $$\sin^2 (x)$$ $$\sin(x) \cdot \sin(x)$$ को दर्शाते हैं, $$\sin(\sin x)$$ को नहीं दर्शाते हैं। यह (ऐतिहासिक रूप से बाद में) सामान्य फलनात्मक संकेतन से भिन्न है जिसमें $$f^2(x) = (f \circ f)(x) = f(f(x))$$ है।

हालाँकि, घातांक $${-1}$$ का प्रयोग सामान्यतः प्रतिलोम फलन को निरूपित करने के लिए किया जाता है, पारस्परिक करने के लिए नहीं किया जाता है। उदाहरण $$\sin^{-1}x$$ और $$\sin^{-1}(x)$$ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन को वैकल्पिक रूप से लिखे गए $$\arcsin x\colon$$ को दर्शाते हैं: समीकरण $$\theta = \sin^{-1}x$$ का तात्पर्य $$\sin \theta = x$$ है, $$\theta \cdot \sin x = 1$$ नहीं हैं। इस प्रकरण में, अधिलेख को एक रचित या पुनरावृत्त फलन को निरूपित करने के रूप में माना जा सकता है, लेकिन $${-1}$$ के अलावा अन्य नकारात्मक अधिलेख सामान्य प्रयोग में नहीं हैं।

समकोण त्रिभुज की परिभाषाएँ
यदि न्यूनकोण $x$ दिया गया है, तो कोई भी समकोण त्रिभुज जिसका कोण $x$ है, एक दूसरे से समरूप होते हैं। इसका अर्थ है कि किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई का अनुपात केवल $θ$ पर निर्भर करता हैं। इस प्रकार ये छह अनुपात $θ$ के छह फलनों को परिभाषित करते हैं, जो कि त्रिकोणमितीय फलन हैं। निम्नलिखित परिभाषाओं में, कर्ण समकोण के विपरीत भुजा की लंबाई है, विपरीत दिए गए कोण $θ$ के विपरीत भुजा का प्रतिनिधित्व करता है, और आसन्न कोण $θ$ और समकोण के मध्य की भुजा का प्रतिनिधित्व करता है। एक समकोण त्रिभुज में, दो न्यून कोणों का योग समकोण होता है, अर्थात, $sin A = a⁄c$ या $cos A = b⁄c$ होता है। इसलिए $$\sin(\theta)$$ और $$\cos(90^\circ - \theta)$$ समान अनुपात का प्रतिनिधित्व करते हैं, और इस प्रकार समान हैं। यह पहचान और अन्य त्रिकोणमितीय फलनों के मध्य समान संबंधों को निम्न तालिका में संक्षेपित किया गया है।



रेडियंस बनाम डिग्री
ज्यामितीय अनुप्रयोगों में, त्रिकोणमितीय फलन का तर्क सामान्यतः एक कोण का माप होता है। इस प्रयोजन के लिए, कोई भी कोणीय इकाई उपयुक्त है। एक सामान्य इकाई डिग्री है, जिसमें एक समकोण 90°और एक पूर्ण घूर्णन 360° होता है (विशेष रूप से प्राथमिक गणित में)।

हालांकि, गणना और गणितीय विश्लेषण में, त्रिकोणमितीय फलनों को सामान्यतः कोणों के बदले वास्तविक संख्या या सम्मिश्र संख्याओं के फलनों के रूप में अधिक अमूर्त माना जाता है। वास्तव में, फलन sin और cos को सभी सम्मिश्र संख्याओं के लिए चरघातांकी फलन के संदर्भ में घात श्रृंखला के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है, या किसी भी ज्यामितीय धारणा के संदर्भ के बिना, विशेष प्रारंभिक मान दिए गए अंतर समीकरणों के समाधान के रूप में (नीचे देखें) किसी भी ज्यामितीय धारणाओं के संदर्भ के बिना है। अन्य चार त्रिकोणमितीय फलनों (tan, cot, sec, csc) को sin और cos के भागफल और व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जा सकता है,अतिरिक्त इसके कि जहाँ भाजक में शून्य होता है। वास्तविक तर्कों के लिए यह सिद्ध किया जा सकता है कि ये परिभाषाएँ प्रारंभिक ज्यामितीय परिभाषाओं के अनुरूप हैं यदि तर्क को रेडियन में दिए गए कोण के रूप में माना जाता है। इसके अलावा, इन परिभाषाओं के परिणामस्वरूप त्रिकोणमितीय फलनों के लिए व्युत्पन्न और अनिशिचित समाकल के लिए सरल अभिव्यक्तियां होती हैं। इस प्रकार, प्रारंभिक ज्यामिति से अतिरिक्त समायोजन में, रेडियंस को कोण मापों का वर्णन करने के लिए गणितीय रूप से प्राकृतिक इकाई माना जाता है।

जब रेडियन (रेड) लगाए जाते हैं, तो कोण को इसके द्वारा अंतरित इकाई वृत्त के चाप (ज्यामिति) की लंबाई के रूप में दिया जाता है: इकाई वृत्त पर लंबाई 1 के चाप को अंतरित करने वाला कोण 1 रेड (≈ 57.3°) और एक पूर्ण घूर्णन (360°) 2$\pi$ (≈ 6.28) रेड का कोण है। वास्तविक संख्या x के लिए, चिह्न sin x, cos x, आदि x रेड के कोण पर मूल्यांकन किए गए त्रिकोणमितीय फलनों के मान को संदर्भित करते हैं। यदि डिग्री की इकाइयों का अभीष्ट है, तो डिग्री चिह्न स्पष्ट रूप से दिखाया जाना चाहिए (उदाहरण के लिए, sin x°, cos x°, आदि)। इस मानक संकेतन का उपयोग करते हुए, त्रिकोणमितीय फलनों के लिए तर्क x संबंध x = (180x/π) °को संतुष्ट करता है, इसलिए, उदाहरण के लिए, sin π = sin 180° जब हम x = π लेते है। इस प्रकार, डिग्री प्रतीक को गणितीय स्थिरांक के रूप में माना जा सकता है जैसे कि 1° = π/180 ≈ 0.0175 है।

इकाई-वृत्त परिभाषाएँ
छह त्रिकोणमितीय फलनों को इकाई-वृत्त से संबंधित यूक्लिडियन समतल बिंदुओं के समन्वय मूल्यों के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो इस समन्वय प्रणाली के मूल $tan A = a⁄b$ पर केंद्रित त्रिज्या का वृत्त है। जबकि समकोण त्रिभुज परिभाषाएँ | समकोण त्रिभुज परिभाषाएँ $θ = 0.7 radians$ और $\frac{\pi}{2}$  रेडियंस $90°$ के मध्य के कोणों के लिए त्रिकोणमितीय फलनों की परिभाषा की अनुमति देती हैं, इकाई वृत्त परिभाषाएं त्रिकोणमितीय फलनों के प्रक्षेत्र को सभी सकारात्मक और नकारात्मक वास्तविक संख्याओं तक विस्तारित करने की अनुमति देती हैं।

$$\mathcal L$$ को $π⁄2 रेडियन$-अक्ष के सकारात्मक आधे कोण $θ$ द्वारा घूर्णन करके प्राप्त रे होने दें ($$\theta > 0,$$ के लिए वामावर्त घूर्णन, और $$\theta < 0$$ के लिए दक्षिणावर्त घूर्णन)। यह रे इकाई वृत्त को बिंदु $$\mathrm{A} = (x_\mathrm{A},y_\mathrm{A})$$ पर प्रतिच्छेद हैं।  रे $$\mathcal L,$$ यदि आवश्यक हो तो एक रेखा विस्तारित, समीकरण $$x=1$$ की रेखा को बिंदु $$\mathrm{B} = (1,y_\mathrm{B})$$पर और समीकरण $$y=1$$ की रेखा को बिंदु $$\mathrm{C} = (x_\mathrm{C},1)$$ प्रतिच्छेद करती है। बिंदु $sin θ$ पर इकाई वृत्त की स्पर्श रेखा, $$\mathcal L$$ के लंबवत है, और $θ$- और $\pi − θ$-अक्षों को बिंदु $$\mathrm{D} = (0,y_\mathrm{D})$$ और $$\mathrm{E} = (x_\mathrm{E},0)$$ प्रतिच्छेद करती है। इन बिंदुओं के निर्देशांक $θ$ के किसी भी स्वेच्छ वास्तविक मूल्य के लिए सभी त्रिकोणमितीय फलनों के मान निम्नलिखित प्रकार से देते हैं।

त्रिकोणमितीय फलन $\pi + θ$ और $2\pi − θ$ को क्रमशः बिंदु $opposite⁄hypotenuse$ के x- और y-निर्देशांक मान के रूप में परिभाषित किया गया हैं। अर्थात्,
 * $$\cos \theta = x_\mathrm{A} \quad$$ और $$\quad \sin \theta = y_\mathrm{A}.$$

$$0 \le \theta \le \pi/2$$, श्रेणी में, यह परिभाषा समकोण त्रिभुज की परिभाषा के अनुरूप है, इकाई त्रिज्या $adjacent⁄hypotenuse$ को कर्ण के रूप में रखने के लिए समकोण त्रिभुज लेकर हैं। समीकरण $$x^2+y^2=1$$ इकाई वृत्त पर सभी बिंदुओं $$\mathrm{P} = (x,y)$$ के लिए है, कोज्या और ज्या की यह परिभाषा पाइथागोरस की पहचान को भी संतुष्ट करती है।
 * $$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1.$$

अन्य त्रिकोणमितीय फलनों को इकाई वृत्त के रूप में पाया जा सकता है
 * $$\tan \theta = y_\mathrm{B} \quad$$ और $$ \quad\cot \theta = x_\mathrm{C},$$
 * $$\csc \theta\ = y_\mathrm{D} \quad$$ और $$ \quad\sec \theta = x_\mathrm{E}.$$

पायथागॉरियन पहचान और ज्यामितीय प्रमाण विधियों को उपयोजित करके, इन परिभाषाओं को ज्या और कोज्या के संदर्भ में स्पर्शरेखा, कोटिस्पर्श, छेदक रेखा और व्युत्क्रमज्या की परिभाषाओं के अनुरूप के लिए आसानी से दिखाया जा सकता है, अर्थात
 * $$\tan \theta =\frac{\sin \theta}{\cos\theta},\quad \cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta},\quad \sec\theta=\frac{1}{\cos\theta},\quad \csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}.$$

क्योंकि $$\pm2\pi$$ के कोण के घूर्णन से आकृति की स्थिति या आकार में कोई परिवर्तन नहीं होता है, बिंदु $opposite⁄adjacent$, $adjacent⁄opposite$, $hypotenuse⁄adjacent$, $hypotenuse⁄opposite$, और $θ$ दो कोणों के लिए समान होते हैं जिनका अंतर $$2\pi$$ का पूर्णांक गुणज होता है। इस प्रकार त्रिकोणमितीय फलन आवर्ती फलन हैं जिनकी अवधि $$2\pi$$ है। अर्थात
 * $$ \sin\theta = \sin\left(\theta + 2 k \pi \right)\quad$$ और $$\quad \cos\theta = \cos\left(\theta + 2 k \pi \right)$$

किसी भी कोण $θ$ और किसी भी पूर्णांक $θ$ के लिए समानताएँ उपयोजित होती हैं। चार अन्य त्रिकोणमितीय फलनों के लिए भी यही यथार्थ है। चार चतुर्भुजों में ज्या, कोज्या, व्युत्क्रमज्या और छेदक रेखा के फलनों के संकेत और एकदिष्टता को देखकर, कोई यह दिखा सकता है कि $$2\pi$$ सबसे छोटा मान है जिसके लिए वे आवर्ती हैं (अर्थात, $$2\pi$$ इन फलनों की मौलिक अवधि है)। हालाँकि, एक कोण $$\pi$$ द्वारा घूर्णन जाने के बाद, बिन्दु $θ$ और $k$ पहले से ही अपनी मूल स्थिति में वापस आ जाते हैं, जिससे कि स्पर्शरेखा फलन और कोटिस्पर्श रेखा फलन में $$\pi$$ की मौलिक अवधि होती हैं। अर्थात्,
 * $$ \tan\theta = \tan(\theta + k\pi) \quad$$ और $$\quad \cot\theta = \cot(\theta + k\pi)$$

किसी भी कोण $B$ और किसी भी पूर्णांक $C$ के लिए समानताएँ उपयोजित होती हैं।

बीजगणितीय मान
सबसे महत्वपूर्ण कोणों के लिए बीजगणितीय व्यंजक इस प्रकार हैं:


 * $$\sin 0 = \sin 0^\circ \quad= \frac{\sqrt0}2 = 0$$ (शून्य कोण)
 * $$\sin \frac\pi6 = \sin 30^\circ = \frac{\sqrt1}2 = \frac{1}{2}$$
 * $$\sin \frac\pi4 = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$
 * $$\sin \frac\pi3 = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
 * $$\sin \frac\pi2 = \sin 90^\circ = \frac{\sqrt4}2 = 1$$ (समकोण)

अंशों को लगातार गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल के रूप में लिखना, 2 के भाजक के साथ, मानों को याद रखने का एक आसान तरीका प्रदान करता है।

ऐसे सरल व्यंजक सामान्यतः अन्य कोणों के लिए उपस्तिथ नहीं होते हैं जो एक समकोण के परिमेय गुणज होते हैं।
 * ऐसे कोण के लिए, जो डिग्री में मापा जाता है, तीन का गुणक है, ज्या और कोज्या के यथार्थ त्रिकोणमितीय मान वर्गमूल के रूप में व्यक्त किए जा सकते हैं। इस प्रकार ज्या और कोज्या के ये मान मापक और परकारइस द्वारा निर्मित किए जा सकते हैं।
 * पूर्णांक संख्या के डिग्री के कोण के लिए, ज्या और कोज्या को वर्गमूल और गैर-वास्तविक सम्मिश्र संख्या के घनमूल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। गाल्वा सिद्धांत एक प्रमाण की अनुमति देता है कि, यदि कोण 3° का गुणक नहीं है, तो गैर-वास्तविक घनमूल अपरिहार्य हैं।
 * एक कोण के लिए, जो डिग्री में व्यक्त किया जाता है, एक परिमेय संख्या है, ज्या और कोज्या बीजगणितीय संख्याएँ हैं, जिन्हें nवें मूल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यह इस तथ्य से परिणामित होता है कि साइक्लोटोमिक बहुपदों के गाल्वा समूह चक्रीय हैं।
 * एक कोण के लिए, जो डिग्री में व्यक्त किया जाता है, एक परिमेय संख्या नहीं है, तब या तो कोण या ज्या और कोज्या दोनों ही पारलौकिक संख्याएँ हैं। यह 1966 में सिद्ध हुई बेकर प्रमेय का परिणाम है।

सरल बीजगणितीय मान
निम्न तालिका 0 से 90 डिग्री तक 15 डिग्री के गुणकों की ज्या, कोज्या और स्पर्शरेखा सूचीबद्ध करती है।

गणना
गणित में आधुनिक प्रवृत्ति विपरीत के बदले गणना से ज्यामिति का गठन करना है। इसलिए, बहुत प्रारंभिक स्तर के अतिरिक्त, त्रिकोणमितीय फलनों को गणना की विधियों का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है।

त्रिकोणमितीय फलन हर उस बिंदु पर अवगणनाीय फलन और विश्लेषणात्मक होते हैं जहां उन्हें परिभाषित किया जाता है; अर्थात्, ज्या और कोज्या के लिए सर्वत्र, और स्पर्शरेखा के लिए, प्रत्येक पूर्णांक $θ$ के लिए $A$ के अतिरिक्त सर्वत्र है।

त्रिकोणमितीय फलन आवर्ती फलन हैं, और उनकी आधारी आवर्तक ज्या और कोज्या के लिए $B$ है, और स्पर्शरेखा के लिए π है, जो प्रत्येक विवृत अंतराल में बढ़ रही है $D$। इन अंतरालों के प्रत्येक अंत बिंदु पर, स्पर्शरेखा फलन में एक ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख होता है।

गणना में, त्रिकोणमितीय फलनों की दो समतुल्य परिभाषाएँ हैं, या तो घात श्रृंखला या अवकल समीकरणों का उपयोग करते हुए। ये परिभाषाएँ समतुल्य हैं, क्योंकि उनमें से एक से प्रारम्भ होकर, दूसरे को गुण के रूप में पुनः प्राप्त करना आसान है। हालाँकि अवकल समीकरणों के माध्यम से परिभाषा किसी तरह अधिक स्वाभाविक है, उदाहरण के लिए, घात श्रृंखला के गुणांकों का चयन अत्यंत स्वेच्छ लग सकता है, और पाइथागोरस की पहचान अवकल समीकरणों से निकालना बहुत आसान है।

अंतर समीकरणों द्वारा परिभाषा
ज्या और कोज्या को प्रारंभिक मूल्य समस्या के अद्वितीय समाधान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:
 * $$\frac{d}{dx}\sin x= \cos x,\ \frac{d}{dx}\cos x= -\sin x,\ \sin(0)=0,\ \cos(0)=1. $$

फिर से भेद करना, $\frac{d^2}{dx^2}\sin x = \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$ और $\frac{d^2}{dx^2}\cos x = -\frac{d}{dx}\sin x = -\cos x$, इसलिए ज्या और कोज्या दोनों साधारण अवकल समीकरण के समाधान हैं
 * $$y''+y=0.$$

स्पर्शरेखा $$\tan x = \sin x / \cos x$$ पर भागफल नियम उपयोजित करके, हम प्राप्त करते हैं
 * $$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = 1+\tan^2 x = \sec^2 x.$$

घात श्रेणी विस्तार
अनिश्चित गुणांकों वाली घात श्रृंखला में अवकल समीकरणों को उपयोजित करने पर, ज्या और कोज्या फलनों की टेलर श्रृंखला के गुणांकों के लिए पुनरावृत्ति संबंध प्राप्त किया जा सकता है। इन पुनरावर्तन संबंधों का समाधान करना आसान है, और श्रृंखला विस्तार प्रदान करते हैं :$$ \begin{align} \sin x & = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \\[6mu] & = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} \\[8pt] \cos x & = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \\[6mu] & = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}. \end{align} $$

इन श्रृंखलाओं के अभिसरण की त्रिज्या अनंत है। इसलिए, ज्या और कोज्या को संपूर्ण फलनों (जिन्हें ज्या और कोज्या भी कहा जाता है) तक विस्तृत किया जा सकता है, जो कि (परिभाषा के अनुसार) सम्मिश्र-मूल्यवान फलन हैं जो पूरे सम्मिश्र समतल पर परिभाषित और पूर्णसममितिक हैं।

संपूर्ण फलनों के अंशों के रूप में परिभाषित होने के कारण, अन्य त्रिकोणमितीय फलनों को मेरोमॉर्फिक फलन तक विस्तृत किया जा सकता है, जो कि ऐसे फलन हैं जो पूरे सम्मिश्र समतल में पूर्णसममितिक होते हैं, कुछ वियुक्त बिंदुओं के अलावा जिन्हें शून्य और ध्रुव कहा जाता है। यहाँ, ध्रुव स्पर्शरेखा और छेदक रेखा के लिए $(2k+1)\frac \pi 2$ के रूप की संख्याएँ हैं, या कोटिस्पर्श रेखा और व्युत्क्रमज्या के लिए $$k\pi$$ हैं, जहाँ $k$ एक स्वेच्छ पूर्णांक है।

अन्य त्रिकोणमितीय फलनों की टेलर श्रृंखला के गुणांकों के लिए पुनरावृत्ति संबंधों की गणना भी की जा सकती है। इन श्रृंखलाओं में अभिसरण की परिमित त्रिज्या होती है। उनके गुणांकों की एक संयोजक व्याख्या है: वे परिमित समुच्चय के वैकल्पिक क्रमपरिवर्तनों की गणना करते हैं।

अधिक यथार्थ, परिभाषित करना
 * $k$, $k$वां ऊपर/नीचे संख्या,
 * $U_{n}$, $n$वां बरनौली संख्या, और
 * $B_{n}$, $n$वां यूलर संख्या,
 * एक में निम्नलिखित श्रृंखला विस्तार हैं:

\begin{align} \tan x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{U_{2n+1}}{(2n+1)!}x^{2n+1} \\[8mu] & {} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} \left(2^{2n}-1\right) B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} \\[5mu] & {} = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \cdots, \qquad \text{for } |x| < \frac{\pi}{2}. \end{align} $$



\begin{align} \csc x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1} 2 \left(2^{2n-1}-1\right) B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} \\[5mu] &= x^{-1} + \frac{1}{6}x + \frac{7}{360}x^3 + \frac{31}{15120}x^5 + \cdots, \qquad \text{for } 0 < |x| < \pi. \end{align} $$

\begin{align} \sec x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{U_{2n}}{(2n)!}x^{2n} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!}x^{2n} \\[5mu] &= 1 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{24}x^4 + \frac{61}{720}x^6 + \cdots, \qquad \text{for } |x| < \frac{\pi}{2}. \end{align} $$

\begin{align} \cot x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} \\[5mu] &= x^{-1} - \frac{1}{3}x - \frac{1}{45}x^3 - \frac{2}{945}x^5 - \cdots, \qquad \text{for } 0 < |x| < \pi. \end{align} $$

निरंतर भिन्न विस्तार
निम्नलिखित विस्तार पूरे सम्मिश्र समतल में मान्य हैं:


 * $$ \sin x =

\cfrac{x}{1 + \cfrac{x^2}{2\cdot3-x^2 + \cfrac{2\cdot3 x^2}{4\cdot5-x^2 + \cfrac{4\cdot5 x^2}{6\cdot7-x^2 + \ddots}}}}$$
 * $$ \cos x = \cfrac{1}{1 + \cfrac{x^2}{1 \cdot 2 - x^2 + \cfrac{1 \cdot 2x^2}{3 \cdot 4 - x^2 + \cfrac{3 \cdot 4x^2}{5 \cdot 6 - x^2 + \ddots}}}}$$
 * $$\tan x = \cfrac{x}{1 - \cfrac{x^2}{3 - \cfrac{x^2}{5 - \cfrac{x^2}{7 - \ddots}}}}=\cfrac{1}{\cfrac{1}{x} - \cfrac{1}{\cfrac{3}{x} - \cfrac{1}{\cfrac{5}{x} - \cfrac{1}{\cfrac{7}{x} - \ddots}}}}$$

अन्तिम वाले का उपयोग ऐतिहासिक रूप से पहले प्रमाण में किया गया था कि π अपरिमेय है।

आंशिक भिन्न विस्तार
आंशिक भिन्न विस्तार के रूप में एक श्रृंखला प्रतिनिधित्व होता है जहां सिर्फ अनुवादित पारस्परिक फलन को अभिव्यक्त किया जाता है, जैसे कि कोटिस्पर्श रेखा फलन के ध्रुव समान होते हैं: : $$ \pi \cot \pi x = \lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^N \frac{1}{x+n}. $$

यह सर्वसमिका को हर्ग्लोट्ज़ युक्ति से सिद्ध किया जा सकता है। $sin θ$वें को nवें पद के साथ मिलाने से पूरी तरह से अभिसारी श्रृंखला बनती है:

\pi \cot \pi x = \frac{1}{x} + 2x\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{x^2-n^2}. $$ इसी प्रकार, छेदक रेखा, व्युत्क्रमज्या और स्पर्शरेखा फलनों के लिए एक आंशिक भिन्न विस्तार कर सकते हैं:

\pi\csc\pi x = \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{(-1)^n}{x+n}=\frac{1}{x} + 2x\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{x^2-n^2}, $$
 * $$\pi^2\csc^2\pi x=\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{1}{(x+n)^2},$$

\pi\sec\pi x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(2n+1)}{(n+\tfrac12)^2 - x^2}, $$

\pi \tan \pi x = 2x\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+\tfrac12)^2 - x^2}. $$

अनंत उत्पाद विस्तार
सम्मिश्र विश्लेषण में ज्या के लिए निम्नलिखित अनंत उत्पाद का बहुत महत्व है:
 * $$\sin z = z \prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z^2}{n^2 \pi^2}\right), \quad z\in\mathbb C.$$

इस विस्तार के प्रमाण के लिए, ज्या देखें। इससे यह अनुमान लगाना जा सकता है
 * $$\cos z = \prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z^2}{(n-1/2)^2 \pi^2}\right), \quad z\in\mathbb C.$$

चरघातांकी फलन से संबंध (यूलर का सूत्र)
यूलर का सूत्र ज्या और कोज्या को घातीय फलन से संबंधित करता है:
 * $$ e^{ix} = \cos x + i\sin x.$$
 * यह सूत्र सामान्यतः $E_{n}$ के वास्तविक मूल्यों के लिए माना जाता है, लेकिन यह सभी सम्मिश्र मूल्यों के लिए सही रहता है।

प्रमाण: अनुमान $$f_1(x)=\cos x + i\sin x,$$ और $$f_2(x)=e^{ix} $$ है। किसी के पास $$df_j(x)/dx= if_j(x)$$ के लिए $tan θ$ है। भागफल नियम का तात्पर्य इस $$d/dx\, (f_1(x)/f_2(x))=0$$ प्रकार है। इसलिए, $$f_1(x)/f_2(x)$$ एक स्थिर फलन है, जो $n$ के समान है, $$f_1(0)=f_2(0)=1$$ के रूप में है। यह सूत्र सिद्ध करता है।

किसी के पास
 * $$\begin{align}

e^{ix} &= \cos x + i\sin x\\[5pt] e^{-ix} &= \cos x - i\sin x. \end{align}$$ ज्या और कोज्या में इस रैखिक प्रणाली का समाधान करते हुए, उन्हें घातीय फलन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$\begin{align}\sin x &= \frac{e^{i x} - e^{-i x}}{2i}\\[5pt]

\cos x &= \frac{e^{i x} + e^{-i x}}{2}. \end{align}$$ कब $x$ वास्तविक हो, तो इसे इस रूप में फिर से लिखा जा सकता है
 * $$\cos x = \operatorname{Re}\left(e^{i x}\right), \qquad \sin x = \operatorname{Im}\left(e^{i x}\right).$$

उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके त्रिकोणमितीय फलनों को सम्मिश्र चरघातांकी फलन के संदर्भ में व्यक्त करके और फिर परिणाम को सरल बनाने के लिए अस्मिता $$e^{a+b}=e^ae^b$$ का उपयोग करके अधिकांश त्रिकोणमितीय सर्वसमिका सिद्ध की जा सकती हैं।

फलनिक समीकरण का उपयोग करके परिभाषाएं
विभिन्न फलनात्मक समीकरणों का उपयोग करके त्रिकोणमितीय फलनों को भी परिभाषित किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, ज्या और कोज्या निरंतर फलनों की अद्वितीय जोड़ी बनाते हैं जो अंतर सूत्र को संतुष्ट करते हैं
 * $$\cos(x- y) = \cos x\cos y + \sin x\sin y\,$$

और अतिरिक्त स्थिति
 * $$0 < x\cos x < \sin x < x\quad\text{ for }\quad 0 < x < 1.$$

सम्मिश्र समतल में
एक सम्मिश्र संख्या $$z=x+iy$$ की ज्या और कोज्या को वास्तविक ज्या, कोज्या और अतिशयोक्तिपूर्ण फलनों के संदर्भ में निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$\begin{align}\sin z &= \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y\\[5pt]

\cos z &= \cos x \cosh y - i \sin x \sinh y\end{align}$$ प्रक्षेत्र रंजक का लाभ उठाते हुए, त्रिकोणमितीय फलनों को सम्मिश्र-मूल्यवान फलनों के रूप में आलेख करना संभव है। आलेख से सम्मिश्र फलनों के लिए अद्वितीय विभिन्न विशेषताओं को देखा जा सकता है; उदाहरण के लिए, ज्या और कोज्या फलनों को अपरिबद्ध देखा जा सकता है क्योंकि $$z$$ का काल्पनिक भाग बड़ा हो जाता है (क्योंकि रंग सफेद अनंतता का प्रतिनिधित्व करता है), और तथ्य यह है कि फलनों में सरल शून्य और ध्रुव होते हैं, इस तथ्य से स्पष्ट है कि रंग प्रत्येक शून्य या ध्रुव के आसपास एक बार चक्कर लगाता है। इन आलेखों की तुलना संबंधित अतिपरवलयिक फलन के साथ करने से दोनों के मध्य संबंधों पर प्रकाश पड़ता है।

मूल सर्वसमिका
कई सर्वसमिकाएं त्रिकोणमितीय फलनों से संबंधित हैं। इस खंड में सबसे आधारिक सम्मिलित हैं; अधिक सर्वसमिकाओं के लिए, त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची देखें। इन सर्वसमिकाओं को इकाई-वृत्त परिभाषाओं या समकोण-त्रिकोण परिभाषाओं से ज्यामितीय रूप से सिद्ध किया जा सकता है (हालांकि, बाद की परिभाषाओं के लिए, उन कोणों का ध्यान रखना चाहिए जो अंतराल $csc θ$ में नहीं हैं, त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के प्रमाण देखें)। गणना के केवल उपकरणों का उपयोग करने वाले गैर-ज्यामितीय प्रमाणों के लिए, सीधे अवकलन समीकरणों का उपयोग किया जा सकता है, जो यूलर की पहचान के उपरोक्त प्रमाण के समान है। सभी त्रिकोणमितीय फलनों को सम्मिश्र घातांकों के रूप में व्यक्त करने और घातीय फलन के गुणों का उपयोग करने के लिए यूलर की पहचान का भी उपयोग किया जा सकता है।

समता
कोज्या और छेदक रेखा सम फलन हैं; अन्य त्रिकोणमितीय फलन विषम फलन हैं। वह है:
 * $$\begin{align}

\sin(-x) &=-\sin x\\ \cos(-x) &=\cos x\\ \tan(-x) &=-\tan x\\ \cot(-x) &=-\cot x\\ \csc(-x) &=-\csc x\\ \sec(-x) &=\sec x. \end{align}$$

अवधि
सभी त्रिकोणमितीय फलन अवधि $A$ के आवर्ती फलन है। स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के अतिरिक्त यह सबसे छोटी अवधि है, जिसमें π सबसे छोटी अवधि है। इसका अर्थ है कि, प्रत्येक पूर्णांक $1$ के लिए, किसी के पास
 * $$\begin{align}

\sin (x+2k\pi) &=\sin x\\ \cos (x+2k\pi) &=\cos x\\ \tan (x+k\pi) &=\tan x\\ \cot (x+k\pi) &=\cot x\\ \csc (x+2k\pi) &=\csc x\\ \sec (x+2k\pi) &=\sec x. \end{align}$$

पायथागॉरियन सर्वसमिका
पायथागॉरियन सर्वसमिका, त्रिकोणमितीय फलनों के संदर्भ में पायथागॉरियन प्रमेय की अभिव्यक्ति है। यह है
 * $$\sin^2 x + \cos^2 x  = 1$$.

$$\cos^2 x$$ या $$\sin^2 x$$ से विभाजित करने पर प्राप्त होता है
 * $$\tan^2 x + 1  = \sec^2 x$$

और
 * $$1 + \cot^2 x  = \csc^2 x$$.

योग और अंतर सूत्र
योग और अंतर सूत्र ज्या, कोज्या, और योग के स्पर्शरेखा या दो कोणों के अंतर को ज्या और कोज्या और स्वयं कोणों की स्पर्शरेखा के संदर्भ में विस्तारित करने की अनुमति देते हैं। टॉलेमी तिथि के तर्कों का उपयोग करके इन्हें ज्यामितीय रूप से प्राप्त किया जा सकता है। यूलर के सूत्र का उपयोग करके बीजगणितीय रूप से भी उनका उत्पादन किया जा सकता है।
 * योग
 * $$\begin{align}

\sin\left(x+y\right)&=\sin x \cos y + \cos x \sin y,\\[5mu] \cos\left(x+y\right)&=\cos x \cos y - \sin x \sin y,\\[5mu] \tan(x + y) &= \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x\tan y}. \end{align}$$
 * अंतर
 * $$\begin{align}

\sin\left(x-y\right)&=\sin x \cos y - \cos x \sin y,\\[5mu] \cos\left(x-y\right)&=\cos x \cos y + \sin x \sin y,\\[5mu] \tan(x - y) &= \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x\tan y}. \end{align}$$ जब दो कोण समान होते हैं, योग सूत्र सरल समीकरणों में परिवर्तित हो जाते हैं जिन्हें द्वि-कोण सूत्र कहा जाता है।


 * $$\begin{align}

\sin 2x &= 2 \sin x \cos x = \frac{2\tan x}{1+\tan^2 x}, \\[5mu] \cos 2x &= \cos^2 x - \sin^2 x = 2 \cos^2 x - 1 = 1 - 2 \sin^2 x = \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x},\\[5mu] \tan 2x &= \frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}. \end{align}$$ इन सर्वसमिका का उपयोग उत्पाद-से-योग सर्वसमिका प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है।

$$t=\tan \tfrac12 \theta$$ समायोजन करके, $$\theta$$ के सभी त्रिकोणमितीय फलन को $$t$$ के तपरिमेय भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है :
 * $$\begin{align}

\sin \theta &= \frac{2t}{1+t^2}, \\[5mu] \cos \theta &= \frac{1-t^2}{1+t^2},\\[5mu] \tan \theta &= \frac{2t}{1-t^2}. \end{align}$$ के साथ साथ
 * $$d\theta = \frac{2}{1+t^2} \, dt,$$

यह स्पर्शरेखा आधा-कोण प्रतिस्थापन है, जो तर्कसंगत अंशों के त्रिकोणमितीय फलनों के पूर्ण और एंटीडेरिवेटिव की गणना को कम करता है।

व्युत्पन्न और एंटीडेरिवेटिव्स
त्रिकोणमितीय फलनों के व्युत्पन्न का परिणाम भागफल नियम उपयोजित करने से ज्या और कोज्या के परिणाम से होता है। निम्नलिखित सारणी में एंटीडेरिवेटिव्स के लिए दिए गए मानों को उनमें विभेद करके सत्यापित किया जा सकता है। संख्या $x$ एकीकरण का एक स्थिरांक है।

वैकल्पिक रूप से, 'सह-फलन' के व्युत्पन्न को त्रिकोणमितीय सर्वसमिका और श्रृंखला नियम का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है:



\begin{align} \frac{d\cos x}{dx} &= \frac{d}{dx}\sin(\pi/2-x)=-\cos(\pi/2-x)=-\sin x \,, \\ \frac{d\csc x}{dx} &= \frac{d}{dx}\sec(\pi/2 - x) = -\sec(\pi/2 - x)\tan(\pi/2 - x) = -\csc x \cot x \,, \\ \frac{d\cot x}{dx} &= \frac{d}{dx}\tan(\pi/2 - x) = -\sec^2(\pi/2 - x) = -\csc^2 x \,. \end{align} $$

प्रतिलोम फलन
त्रिकोणमितीय फलन आवर्ती होते हैं, और इसलिए अंतःक्षेपक नहीं होते हैं, इसलिए कठोरता से बोलते हुए, उनके पास प्रतिलोम फलन नहीं होता है। हालांकि, प्रत्येक अंतराल जिस पर एक त्रिकोणमितीय फलन एकदिष्‍ट होता है, एक प्रतिलोम फलन को परिभाषित कर सकता है, और यह प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन को बहु-मूल्यवान फलन के रूप में परिभाषित करता है। एक सच्चे प्रतिलोम फलन को परिभाषित करने के लिए, किसी को प्रक्षेत्र को एक अंतराल तक सीमित करना चाहिए जहां फलन एकदिष्‍ट है, और इस प्रकार फलन द्वारा इस अंतराल से इसके प्रतिबिंब के लिए विशेषण है। इस अंतराल के लिए सामान्य विकल्प, जिसे प्रमुख मूल्यों का समुच्चय कहा जाता है, निम्नलिखित तालिका में दिया गया है। हमेशा की तरह, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों को फलन के नाम या इसके संक्षिप्त नाम से पहले पूर्वलग्‍न चाप के साथ दर्शाया जाता है। अंकन $C$, $E$आदि प्राय: $cos θ$ और $cot θ$ आदि के लिए उपयोग किए जाते हैं। जब इस संकेतन का उपयोग किया जाता है, तो प्रतिलोम फलनों को गुणात्मक व्युत्क्रमों के साथ अस्पष्ट किया जा सकता है। आर्क पूर्वलग्‍न के साथ अंकन इस तरह के अस्पष्ट से परिहार जाता है, हालांकि आर्कसेकेंट के लिए  आर्कसेक  को आर्कसेकंड के साथ भ्रमित किया जा सकता है।

ज्या और कोज्या की तरह, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों को भी अनंत श्रृंखला के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। उन्हें सम्मिश्र लघुगणक के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।

त्रिभुज के कोण और भुजाएँ
इस अनुभाग में $k$, $C$, $A$ त्रिकोण के तीन (आंतरिक) कोणों को दर्शाते हैं, और $B$, $C$, $a$ संबंधित विपरीत किनारों की लंबाई को दर्शाता है। वे विभिन्न सूत्र से संबंधित हैं, जिन्हें उनके द्वारा सम्मिलित त्रिकोणमितीय फलनों द्वारा नामित किया गया है।

ज्या का नियम
ज्या के नियम में कहा गया है कि $b$, $c$, और $a$ के साथ एक स्वेच्छ त्रिकोण के लिए और उन भुजाओं के विपरीत कोण $b$, $c$ और $A$ के लिए: $$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} = \frac{2\Delta}{abc},$$ जहाँ $sec θ$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है, या, समतुल्य, $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R,$$ जहाँ $B$ त्रिभुज की परित्रिज्या है।

इसे त्रिभुज को दो समकोणों में विभाजित करके और ज्या की उपरोक्त परिभाषा का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है। ज्या का नियम एक त्रिभुज में अज्ञात भुजाओं की लंबाई की गणना करने के लिए उपयोगी होता है यदि दो कोण और एक भुजा ज्ञात हो। यह त्रिकोणासन में होने वाली एक सामान्य स्थिति है, दो कोणों और एक सुलभ संलग्न दूरी को मापकर अज्ञात दूरियों को निर्धारित करने की एक तकनीक है।

कोज्या का नियम
कोज्या का नियम (कोज्या सूत्र या कोज्या नियम के रूप में भी जाना जाता है) पाइथागोरस प्रमेय का एक विस्तार है: $$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C,$$ या समकक्ष, $$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.$$ इस सूत्र में कोण पर $C$ पक्ष के विपरीत है$R$. इस प्रमेय को त्रिभुज को दो समकोण में विभाजित करके और पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है।

कोज्या के नियम का उपयोग त्रिभुज की एक भुजा निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है यदि दो भुजाएँ और उनके मध्य का कोण ज्ञात हो। यदि सभी पक्षों की लंबाई ज्ञात हो तो इसका उपयोग कोण (और इसके परिणामस्वरूप स्वयं कोण) के कोज्या को खोजने के लिए भी किया जा सकता है।

स्पर्शरेखा का नियम
स्पर्शरेखा का नियम कहता है कि:
 * $$\frac{\tan \frac{A-B}{2 }}{\tan \frac{A+B}{2 } } = \frac{a-b}{a+b}$$.

कोटिस्पर्श का नियम
यदि s त्रिभुज का अर्द्धपरिधि है, (a + b + c)/2, और r त्रिभुज के अंत:वृत्त की त्रिज्या है, तो rs त्रिभुज का क्षेत्रफल है। इसलिए हीरोन के सूत्र का तात्पर्य है कि:


 * $$ r = \sqrt{\frac{1}{s} (s-a)(s-b)(s-c)}$$.

कॉटैंगेंट्स का कानून कहता है कि: :$$\cot{ \frac{A}{2}} = \frac{s-a}{r}$$ यह इस प्रकार है कि
 * $$\frac{\cot \dfrac{A}{2}}{s-a}=\frac{\cot \dfrac{B}{2}}{s-b}=\frac{\cot \dfrac{C}{2}}{s-c}=\frac{1}{r}.$$

आवर्ती फलन
भौतिकी में त्रिकोणमितीय फलन भी महत्वपूर्ण हैं। उदाहरण के लिए, ज्या और कोज्या फलन का उपयोग सरल हार्मोनिक गति का वर्णन करने के लिए किया जाता है, जो कई प्राकृतिक घटनाओं को मॉडल करता है, जैसे कि एक स्प्रिंग से जुड़े द्रव्यमान की गति और, छोटे कोणों के लिए, एक लटके हुए द्रव्यमान की पेंडुलर गति। डोरी। ज्या और कोज्या फलन एकसमान वर्तुल गति के एक आयामी प्रक्षेपण हैं।

त्रिकोणमितीय फलन सामान्य आवर्ती फलनों के अध्ययन में भी उपयोगी सिद्ध होते हैं। आवर्ती फलनों के विशिष्ट तरंग पैटर्न आवर्ती घटनाओं जैसे ध्वनि या प्रकाश तरंगों के मॉडलिंग के लिए उपयोगी होते हैं।

बल्कि सामान्य परिस्थितियों में, एक आवर्ती फलन $O$ फुरिये श्रृंखला में ज्या तरंगों या कोज्या तरंगों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। द्वारा ज्या या कोज्या आधार फलनों को नकारना $C$, आवर्ती समारोह का विस्तार $0$ रूप लेता है: $$f(t) = \sum _{k=1}^\infty c_k \varphi_k(t). $$ उदाहरण के लिए, स्क्वायर वेव को फुरिये श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है $$ f_\text{square}(t) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^\infty {\sin \big( (2k-1)t \big) \over 2k-1}.$$ शीर्ष दाईं ओर एक स्क्वायर वेव के एनीमेशन में यह देखा जा सकता है कि केवल कुछ शब्द पहले से ही अत्यंत अच्छा सन्निकटन उत्पन्न करते हैं। एक सॉटूथ वेव के विस्तार में कई पदों के सुपरपोज़िशन को नीचे दिखाया गया है।

इतिहास
जबकि त्रिकोणमिति के प्रारंभिक अध्ययन से पुरातनता का पता लगाया जा सकता है, त्रिकोणमितीय फलनों के रूप में वे आज उपयोग में हैं, मध्यकाल में विकसित किए गए थे। कॉर्ड (ज्यामिति) फलन की खोज इज़निक (180–125 बीसीई) के हिप्पार्कस और मिस्र (रोमन प्रांत) के टॉलेमी (90-165 सीई) ने की थी। ज्या और उसका संस्करण (1 - कोज्या) के फलनों को ज्या, कोटि-ज्या और उत्क्रम-ज्या और कोटि-ज्या फलनों में गुप्त काल भारतीय खगोल विज्ञान (आर्यभटीय, सूर्य सिद्धांत) में इस्तेमाल किया जा सकता है, संस्कृत से अनुवाद के माध्यम से अरबी से और फिर अरबी से लैटिन में। (आर्यभट्ट की ज्या तालिका देखें।)

वर्तमान उपयोग में सभी छह त्रिकोणमितीय फलनों को 9वीं शताब्दी तक इस्लामी गणित में जाना जाता था, जैसा कि त्रिकोणों को हल करने में इस्तेमाल होने वाली ज्याओं का नियम था। ज्या (जो भारतीय गणित से अपनाया गया था) के अपवाद के साथ, अन्य पांच आधुनिक त्रिकोणमितीय फलनों की खोज फ़ारसी और अरब गणितज्ञों द्वारा की गई, जिनमें कोज्या, स्पर्शरेखा, कोटिस्पर्श, छेदक रेखा और व्युत्क्रमज्या सम्मिलित हैं। अल-ख़्वारिज़्मी (सी.-780-850) ने ज्या, कोज्या और स्पर्शरेखाओं की सारणियाँ बनाईं। लगभग 830, हबश अल-हकूब अल-मरवाज़ी ने कोटिस्पर्श रेखा की खोज की, और टेंगेंट और कॉटैंगेंट की टेबल तैयार की। मुहम्मद इब्न जाबिर अल-हररानी अल-बट्टानी (853–929) ने छेदक रेखा और व्युत्क्रमज्या के पारस्परिक फलनों की खोज की, और 1° से 90° तक प्रत्येक डिग्री के लिए व्युत्क्रमज्या की पहली तालिका तैयार की। बाद में ओमर खय्याम, भास्कर II, नासिर अल-दीन अल-तुसी, जमशेद अल-काशी (14वीं सदी), उलूग बेग (14वीं सदी), रेजीओमोंटानस (1464), और जॉर्ज जोआचिम रेटिकस के छात्र सहित गणितज्ञों द्वारा त्रिकोणमितीय फलनों का अध्ययन किया गया। वेलेंटाइन ओथो

संगमग्राम के माधव (सी। 1400) ने श्रृंखला (गणित) के संदर्भ में त्रिकोणमितीय फलनों के गणितीय विश्लेषण में शुरुआती प्रगति की। (माधव श्रृंखला और माधव की ज्या तालिका देखें।)

1467 में Giovanni Bianchini द्वारा तारकीय निर्देशांक की गणना का समर्थन करने के लिए बनाई गई त्रिकोणमिति तालिकाओं में स्पर्शरेखा समारोह यूरोप में लाया गया था। टेंगेंट और सेकेंट शब्द पहली बार डेनिश गणितज्ञ थॉमस फिनके ने अपनी पुस्तक जियोमेट्रिया रोटुंडी (1583) में पेश किए थे।

17वीं सदी के फ्रांसीसी गणितज्ञ अल्बर्ट गिरार्ड ने अपनी पुस्तक त्रिकोणमिति में पाप, कॉस और टैन संक्षिप्त रूपों का पहला प्रकाशित उपयोग किया। 1682 में प्रकाशित एक पत्र में गॉटफ्रीड लीबनिज ने यह साबित किया $(90°)$ का बीजगणितीय फलन नहीं है $c$. यद्यपि एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में पेश किया गया, और इस प्रकार तर्कसंगत फलनों के रूप में प्रकट होता है, लीबनिट्ज परिणाम ने स्थापित किया कि वे वास्तव में उनके तर्क के पारलौकिक फलन हैं। चक्रीय फलनों को बीजगणितीय व्यंजकों में आत्मसात करने का फलन यूलर द्वारा अनंत के विश्लेषण के अपने परिचय (1748) में पूरा किया गया था। उनकी विधि यह दिखाने के लिए थी कि ज्या और कोज्या फलन घातीय फलन के क्रमशः सम और विषम पदों से बनने वाली प्रत्यावर्ती श्रृंखला हैं। उन्होंने यूलर के सूत्र के साथ-साथ निकट-आधुनिक संक्षिप्त रूपों (sin., cos., tang., cot., sec., और cosec.) को प्रस्तुत किया।

कुछ फलन ऐतिहासिक रूप से सामान्य थे, लेकिन अब शायद ही कभी इसका उपयोग किया जाता है, जैसे कि राग (ज्यामिति), छंद (जो सबसे शुरुआती तालिकाओं में दिखाई देता है) ), कवरज्या, haversine, exsecant और excosecant। त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची इन फलनों के मध्य अधिक संबंध दर्शाती है।



व्युत्पत्ति
शब्द sine व्युत्पन्न लैटिन शब्द से: ज्यास, जिसका अर्थ है झुकना; बे, और अधिक विशेष रूप से एक टोगा के ऊपरी हिस्से की लटकती हुई तह, एक परिधान की छाती, जिसे अरबी शब्द जैब के रूप में व्याख्या के रूप में चुना गया था, जिसका अर्थ है कि काम के बारहवीं शताब्दी के अनुवादों में पॉकेट या फोल्ड मध्यकालीन लैटिन में अल-बट्टानी और मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख़्वारिज़्मी द्वारा। यह चुनाव अरबी लिखित रूप j-y-b की गलत व्याख्या पर आधारित था।جيب), जिसकी उत्पत्ति स्वयं संस्कृत से लिप्यंतरण के रूप में हुई थी, जो इसके पर्यायवाची के साथ(ज्या के लिए मानक संस्कृत शब्द) का अनुवाद बॉलिंग में होता है, जिसे प्राचीन ग्रीक भाषा से अपनाया जाता है χορδή डोरी ।

टेंगेंट शब्द लैटिन टैंगेंस से आया है जिसका अर्थ है स्पर्श करना, चूंकि रेखा इकाई त्रिज्या के वृत्त को छूती है, जबकि सेकेंट लैटिन सेकान से उत्पन्न होता है- कटिंग-चूंकि रेखा वृत्त को काटती है। पूर्वलग्‍न सह (फलन प्रीफ़िक्स)|सह- (cosine में, cotangent, cosecant) एडमंड गुंटर के कैनन त्रिकोणीय (1620) में पाया जाता है, जो कोसिनस को ज्यास पूरक (पूरक कोण की ज्या) के संक्षिप्त नाम के रूप में परिभाषित करता है और आगे बढ़ता है cotangens को इसी तरह परिभाषित करें।

यह भी देखें

 * सभी छात्र कैलकुलस लेते हैं - एक कार्तीय तल के एक विशेष चतुर्भुज में त्रिकोणमितीय कार्यों के संकेतों को याद करने के लिए एक स्मरक
 * भास्कर प्रथम का ज्या सन्निकटन सूत्र
 * त्रिकोणमितीय कार्यों का विभेदन
 * सामान्यीकृत त्रिकोणमिति
 * त्रिकोणमितीय तालिकाएँ बनाना
 * अतिशयोक्तिपूर्ण समारोह
 * त्रिकोणमितीय कार्यों के इंटीग्रल की सूची
 * आवधिक कार्यों की सूची
 * त्रिकोणमितीय पहचान की सूची
 * ध्रुवीय ज्या - शीर्ष कोणों के लिए एक सामान्यीकरण
 * त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के प्रमाण
 * वर्साइन - कई कम उपयोग किए जाने वाले त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए

संदर्भ

 * Lars Ahlfors, Complex Analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable, second edition, McGraw-Hill Book Company, New York, 1966.
 * Boyer, Carl B., A History of Mathematics, John Wiley & Sons, Inc., 2nd edition. (1991). ISBN 0-471-54397-7.
 * Gal, Shmuel and Bachelis, Boris. An accurate elementary mathematical library for the IEEE floating point standard, ACM Transactions on Mathematical Software (1991).
 * Joseph, George G., The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics, 2nd ed. Penguin Books, London. (2000). ISBN 0-691-00659-8.
 * Kantabutra, Vitit, "On hardware for computing exponential and trigonometric functions," IEEE Trans. Computers 45 (3), 328–339 (1996).
 * Maor, Eli, Trigonometric Delights, Princeton Univ. Press. (1998). Reprint edition (2002): ISBN 0-691-09541-8.
 * Needham, Tristan, "Preface"" to Visual Complex Analysis. Oxford University Press, (1999). ISBN 0-19-853446-9.
 * O'Connor, J. J., and E. F. Robertson, "Trigonometric functions", MacTutor History of Mathematics archive. (1996).
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 * Pearce, Ian G., "Madhava of Sangamagramma", MacTutor History of Mathematics archive. (2002).
 * Weisstein, Eric W., "Tangent" from MathWorld, accessed 21 January 2006.
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बाहरी कड़ियाँ

 * Visionlearning Module on Wave Mathematics
 * GonioLab Visualization of the unit circle, trigonometric and hyperbolic functions
 * q-Sine Article about the q-analog of sin at MathWorld
 * q-Cosine Article about the q-analog of cos at MathWorld
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