प्रभाग बीजगणित

गणित के क्षेत्र में जिसे अमूर्त बीजगणित कहा जाता है, विभाजन बीजगणित, मोटे तौर पर कहा जाए तो, क्षेत्र पर बीजगणित है जिसमें विभाजन (गणित), शून्य को छोड़कर, हमेशा संभव होता है।

परिभाषाएँ
औपचारिक रूप से, हम शून्य वस्तु (बीजगणित)|एक क्षेत्र डी पर क्षेत्र (गणित) पर गैर-शून्य बीजगणित से शुरू करते हैं। हम D को 'विभाजन बीजगणित' कहते हैं यदि D में किसी भी तत्व a और D में किसी भी गैर-शून्य तत्व b के लिए D में = bx के साथ सटीक रूप से तत्व x मौजूद है और D में ठीक तत्व y मौजूद है जैसे कि a = yb.

साहचर्य बीजगणित के लिए, परिभाषा को निम्नानुसार सरल बनाया जा सकता है: क्षेत्र पर गैर-शून्य साहचर्य बीजगणित विभाजन बीजगणित है यदि और केवल यदि इसमें गुणक पहचान तत्व 1 है और प्रत्येक गैर-शून्य तत्व ए में गुणक है उलटा (यानी तत्व x के साथ ax = xa = 1).

साहचर्य विभाजन बीजगणित
साहचर्य विभाजन बीजगणित के सबसे प्रसिद्ध उदाहरण परिमित-आयामी वास्तविक हैं (अर्थात, वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र आर पर बीजगणित, जो वास्तविक पर सदिश स्थल के रूप में परिमित-हैमेल आयाम हैं)। फ्रोबेनियस प्रमेय (वास्तविक विभाजन बीजगणित) बताता है कि समरूपता तक तीन ऐसे बीजगणित हैं: वास्तविक स्वयं (आयाम 1), जटिल संख्याओं का क्षेत्र (आयाम 2), और चतुर्भुज (आयाम 4)।

वेडरबर्न के छोटे प्रमेय में कहा गया है कि यदि डी सीमित विभाजन बीजगणित है, तो डी सीमित क्षेत्र है। बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड K (उदाहरण के लिए जटिल संख्या 'C') पर, K को छोड़कर, कोई परिमित-आयामी साहचर्य विभाजन बीजगणित नहीं है। साहचर्य विभाजन बीजगणित में कोई शून्य भाजक नहीं होता है। परिमित-आयामी इकाई बीजगणित साहचर्य बीजगणित (किसी भी क्षेत्र पर) विभाजन बीजगणित है यदि और केवल तभी जब इसमें कोई शून्य विभाजक न हो।

जब भी A क्षेत्र (गणित) F पर सहयोगी इकाई बीजगणित है और S, A पर सरल मॉड्यूल है, तो S की एंडोमोर्फिज्म रिंग F पर विभाजन बीजगणित है; F पर प्रत्येक साहचर्य विभाजन बीजगणित इसी प्रकार उत्पन्न होता है।

क्षेत्र K पर साहचर्य विभाजन बीजगणित D का केंद्र (रिंग सिद्धांत) K युक्त क्षेत्र है। इसके केंद्र पर ऐसे बीजगणित का आयाम, यदि परिमित है, वर्ग संख्या है: यह के आयाम के वर्ग के बराबर है केंद्र के ऊपर D का अधिकतम उपक्षेत्र। फ़ील्ड F को देखते हुए, सरल (केवल तुच्छ दो-तरफा आदर्शों वाले) साहचर्य विभाजन बीजगणित के Brauer समतुल्य वर्ग, जिनका केंद्र F है और जो F पर परिमित-आयामी हैं, को समूह में बदल दिया जा सकता है, फ़ील्ड F का Brauer समूह।

मनमाने क्षेत्रों पर परिमित-आयामी सहयोगी विभाजन बीजगणित का निर्माण करने का तरीका चार का समुदाय बीजगणित द्वारा दिया गया है (क्वाटरनियन भी देखें)।

अनंत-आयामी साहचर्य विभाजन बीजगणित के लिए, सबसे महत्वपूर्ण मामले वे हैं जहां स्थान में कुछ उचित टोपोलॉजी है। उदाहरण के लिए मानक विभाजन बीजगणित और बानाच बीजगणित देखें।

जरूरी नहीं कि साहचर्य विभाजन बीजगणित
यदि विभाजन बीजगणित को साहचर्य नहीं माना जाता है, तो आमतौर पर इसके बजाय कुछ कमजोर स्थिति (जैसे वैकल्पिकता या शक्ति साहचर्य) लगाई जाती है। ऐसी स्थितियों की सूची के लिए किसी फ़ील्ड पर बीजगणित देखें।

वास्तविकताओं पर (समरूपता तक) केवल दो एकात्मक क्रमविनिमेय परिमित-आयामी विभाजन बीजगणित हैं: स्वयं वास्तविक, और जटिल संख्याएँ। निःसंदेह ये दोनों सहयोगी हैं। गैर-सहयोगी उदाहरण के लिए, सामान्य गुणन के जटिल संयुग्म को लेकर परिभाषित गुणन वाली जटिल संख्याओं पर विचार करें:
 * $$a*b=\overline{ab}.$$

एक गैर-सहयोगी बीजगणित का उदाहरण वास्तविकताओं पर आयाम 2 का क्रमविनिमेय, गैर-सहयोगी विभाजन बीजगणित है, और इसमें कोई इकाई तत्व नहीं है। अनंत रूप से कई अन्य गैर-समरूपी क्रमविनिमेय, गैर-सहयोगी, परिमित-आयामी वास्तविक प्रभागीय बीजगणित हैं, लेकिन उन सभी का आयाम 2 है।

वास्तव में, प्रत्येक परिमित-आयामी वास्तविक क्रमविनिमेय विभाजन बीजगणित या तो 1- या 2-आयामी होता है। इसे हेंज होपफ|हॉपफ प्रमेय के रूप में जाना जाता है, और 1940 में सिद्ध किया गया था। प्रमाण टोपोलॉजी के तरीकों का उपयोग करता है। हालाँकि बाद में बीजगणितीय ज्यामिति का उपयोग करते हुए प्रमाण पाया गया, लेकिन कोई प्रत्यक्ष बीजगणितीय प्रमाण ज्ञात नहीं है। बीजगणित का मौलिक प्रमेय हॉपफ के प्रमेय का परिणाम है।

क्रमविनिमेयता की आवश्यकता को त्यागते हुए, हॉपफ ने अपने परिणाम को सामान्यीकृत किया: किसी भी परिमित-आयामी वास्तविक विभाजन बीजगणित का आयाम 2 की शक्ति होना चाहिए।

बाद के काम से पता चला कि वास्तव में, किसी भी परिमित-आयामी वास्तविक विभाजन बीजगणित का आयाम 1, 2, 4, या 8 होना चाहिए। इसे 1958 में मिशेल केर्वैरे और जॉन मिल्नोर ने स्वतंत्र रूप से सिद्ध किया था, विशेष रूप से के में बीजगणितीय टोपोलॉजी की तकनीकों का उपयोग करके। -लिखित। एडॉल्फ हर्विट्ज़ ने 1898 में यह पहचान दिखायी थी $$q\overline{q} = \text{sum of squares}$$ केवल आयाम 1, 2, 4 और 8 के लिए आयोजित किया गया। (हर्विट्ज़ का प्रमेय (मानक विभाजन बीजगणित) देखें|हर्विट्ज़ का प्रमेय।) तीन आयामों के विभाजन बीजगणित के निर्माण की चुनौती को कई प्रारंभिक गणितज्ञों द्वारा निपटाया गया था। केनेथ ओ. मे ने 1966 में इन प्रयासों का सर्वेक्षण किया। कोई वास्तविक परिमित-आयामी विभाजन बीजगणित वास्तविकता से अधिक होना चाहिए
 * R या C के समरूपी यदि एकात्मक और क्रमविनिमेय (समतुल्य: साहचर्य और क्रमविनिमेय)
 * चतुष्कोणों के लिए समरूपी यदि गैर-विनिमेय लेकिन साहचर्य
 * यदि गैर-सहयोगी लेकिन वैकल्पिक बीजगणित है तो Octonions के लिए समरूपी।

फ़ील्ड K पर परिमित-आयामी विभाजन बीजगणित ए के आयाम के बारे में निम्नलिखित ज्ञात है:
 * मंद ए = 1 यदि के बीजगणितीय रूप से बंद है,
 * मंद ए = 1, 2, 4 या 8 यदि के वास्तव में बंद है, और
 * यदि K न तो बीजगणितीय रूप से और न ही वास्तविक रूप से बंद है, तो ऐसे अनंत कई आयाम हैं जिनमें K पर विभाजन बीजगणित मौजूद हैं।

यह भी देखें

 * सामान्य विभाजन बीजगणित
 * प्रभाग (गणित)
 * विभाजन की अंगूठी
 * सेमीफ़ील्ड
 * केली-डिक्सन निर्माण