नियंत्रित नॉट गेट

कंप्यूटर विज्ञान में, नियंत्रित नॉट गेट (सी-एनओटी या सीएनओटी भी), नियंत्रित-एक्स गेट, नियंत्रित-बिट-फ्लिप गेट, फेनमैन गेट या नियंत्रित पाउली-एक्स क्वांटम लॉजिक गेट है जो यह कितना घूमता है? गेट-आधारित कंप्यूटर जितना के निर्माण में आवश्यक घटक है। इसका उपयोग क्वांटम उलझाव और बेल अवस्थाओं को सुलझाने के लिए किया जा सकता है। सीएनओटी गेट्स और सिंगल क्यूबिट रोटेशन के संयोजन का उपयोग करके किसी भी क्वांटम सर्किट को सटीकता की अनेैतिक रूप से डिग्री तक सिम्युलेटेड किया जा सकता है। गेट का नाम कभी-कभी रिचर्ड फेनमैन के नाम पर रखा जाता है जिन्होंने 1986 में क्वांटम गेट आरेखों के लिए प्रारंभिक संकेतन विकसित किया था।   सी-एनओटी को पॉल के आव्यूह में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:


 * $$ \mbox{CNOT} = e^{i\frac{\pi}{4}(I_1-Z_1)(I_2-X_2)}= e^{-i\frac{\pi}{4}(I_1-Z_1)(I_2-X_2)}. $$

एकात्मक आव्यूह और हर्मिटियन आव्यूह दोनों होने के कारण, सीएनओटी सिल्वेस्टर का सूत्र $$ e^{i\theta U}=(\cos \theta)I+(i\sin \theta) U$$ और $$ U =e^{i\frac{\pi}{2}(I-U)}=e^{-i\frac{\pi}{2}(I-U)}$$, और अनैच्छिक आव्यूह है।

उदाहरण के लिए, सीएनओटी गेट को क्वांटम लॉजिक गेट्स की सूची रोटेशन ऑपरेटर गेट्स और बिल्कुल क्वांटम लॉजिक गेट्स की सूची दो क्विबिट इंटरेक्शन गेट्स के उत्पादों के रूप में विघटित किया जा सकता है।


 * $$ \mbox{CNOT} =e^{-i\frac{\pi}{4}}R_{y_1}(-\pi/2)R_{x_1}(-\pi/2)R_{x_2}(-\pi/2)R_{xx}(\pi/2)R_{y_1}(\pi/2). $$

सामान्य तौर पर, किसी भी एकल क्वबिट यूनिटरी मैट्रिक्स प्रॉपर्टीज़ को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है $$ U = e^{iH} $$, जहां H हर्मिटियन आव्यूह है, और फिर नियंत्रित U है $$ CU =  e^{i\frac{1}{2}(I_1-Z_1)H_2} $$.

सीएनओटी गेट का उपयोग शास्त्रीय प्रतिवर्ती कंप्यूटिंग में भी किया जाता है।

संचालन
सीएनओटी गेट 2 क्विबिट वाले क्वांटम रजिस्टर पर काम करता है। सीएनओटी गेट दूसरे क्वबिट (लक्ष्य क्वबिट) को फ़्लिप करता है यदि और केवल यदि पहला क्वबिट (नियंत्रण क्वबिट) है $$|1\rangle$$.

अगर $$\{|0\rangle,|1\rangle\}$$ दोनों क्वैबिट के लिए एकमात्र अनुमत इनपुट मान हैं, तो CNOT गेट का TARGET आउटपुट शास्त्रीय XOR गेट के परिणाम से मेल खाता है। नियंत्रण को इस रूप में ठीक करना $$|1\rangle$$, CNOT गेट का TARGET आउटपुट क्लासिकल NOT गेट का परिणाम देता है।

अधिक आम तौर पर, इनपुट को रैखिक सुपरपोजिशन होने की अनुमति होती है $$\{|0\rangle,|1\rangle\}$$. CNOT गेट क्वांटम अवस्था को परिवर्तित करता है:

$$a|00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle + d|11\rangle$$ में:

$$a|00\rangle + b|01\rangle + c|11\rangle + d|10\rangle$$ सीएनओटी गेट की कार्रवाई को आव्यूह (क्रमपरिवर्तन आव्यूह फॉर्म) द्वारा दर्शाया जा सकता है:


 * $$ \operatorname{CNOT} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\  0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}.$$

सीएनओटी गेट का पहला प्रायोगिक कार्यान्वयन 1995 में पूरा किया गया था। यहां, जाल में एकल बेरिलियम आयन का उपयोग किया गया था। दो क्वैबिट को ऑप्टिकल अवस्था में और जाल के भीतर आयन की कंपन अवस्था में एन्कोड किया गया था। प्रयोग के समय, सीएनओटी-ऑपरेशन की विश्वसनीयता 90% के क्रम पर मापी गई थी।

नियमित नियंत्रित NOT गेट के अलावा, कोई फलन -नियंत्रित NOT गेट का निर्माण कर सकता है, जो इनपुट के रूप में क्वैबिट की अनेैतिक रूप से संख्या n+1 को स्वीकार करता है, जहां n+1 2 ( क्वांटम रजिस्टर) से अधिक या उसके बराबर है। यह गेट रजिस्टर के अंतिम क्वबिट को फ़्लिप करता है यदि और केवल तभी जब अंतर्निहित फलन, इनपुट के रूप में पहले एन क्वबिट के साथ, 1 लौटाता है। फलन -नियंत्रित नॉट गेट डॉयच-जोज़ा एल्गोरिथम का अनिवार्य तत्व है।

हैडामर्ड में व्यवहार रूपांतरित आधार
जब केवल कम्प्यूटेशनल आधार पर देखा जाए $$\{|0\rangle,|1\rangle\}$$, सीनॉट का व्यवहार समतुल्य शास्त्रीय द्वार जैसा प्रतीत होता है। चूँकि, क्वबिट पर नियंत्रण और दूसरे पर लक्ष्य को लेबल करने की सरलता दोनों क्वबिट के अधिकांश इनपुट मानों के लिए क्या होता है इसकी जटिलता को प्रतिबिंबित नहीं करती है।

हैडमार्ड रूपांतरित आधार के संबंध में सीएनओटी गेट को व्यक्त करके अंतर्दृष्टि जीती जा सकती है $$\{|+\rangle,|-\rangle\}$$. हैडमार्ड रूपांतरित आधार एक-क्विबिट क्वांटम रजिस्टर द्वारा दिया गया है


 * $$|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle),\qquad |-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - |1\rangle),$$

और 2-क्विबिट रजिस्टर का संगत आधार है


 * $$|++\rangle = |+\rangle\otimes|+\rangle = \frac{1}{2}(|0\rangle + |1\rangle)\otimes(|0\rangle + |1\rangle) = \frac{1}{2}(|00\rangle + |01\rangle + |10\rangle + |11\rangle)$$,

आदि। इस आधार पर सीएनओटी को देखने पर, दूसरी बिट की स्थिति अपरिवर्तित रहती है, और पहली बिट की स्थिति दूसरे बिट की स्थिति के अनुसार फ़्लिप हो जाती है। (विवरण के लिए नीचे देखें।) इस प्रकार, इस आधार पर यह समझ में आता है कि कौन सा बिट नियंत्रण बिट है और कौन सा लक्ष्य बिट उलट गया है। किन्तु हमने परिवर्तन बिल्कुल नहीं बदला है, केवल जिस प्रकार से हम इसके बारे में सोच रहे हैं।

कम्प्यूटेशनल आधार $$\{|0\rangle,|1\rangle\}$$ ज़ेड-दिशा में स्पिन के लिए ईजेनबासिस है, जबकि हैडामर्ड आधार $$\{|+\rangle,|-\rangle\}$$ एक्स-दिशा में स्पिन के लिए आइगेनबेसिस है। X और Z को स्विच करना और 1 और 2 को क्वैबिट करना, फिर, मूल परिवर्तन को पुनः प्राप्त करता है। यह सीएनओटी गेट की मौलिक समरूपता को व्यक्त करता है।

यह अवलोकन महत्वपूर्ण है कि सीनॉट में दोनों क्वबिट (समान रूप से) प्रभावित होते हैं उलझी हुई क्वांटम प्रणालियों में सूचना प्रवाह पर विचार करते समय बातचीत का महत्व है।

गणना का विवरण
अब हम गणना के विवरण देने की ओर बढ़ते हैं। हर हेडमार्ड बेसिस स्थिति के साथ काम करते हुए, पहला क्यूबिट $$|+\rangle$$ और $$|-\rangle$$ के बीच फ्लिप होता है जब दूसरा क्यूबिट $$|-\rangle$$ होता है :

क्वांटम सर्किट जो हैडामर्ड ट्रांसफॉर्म करता है जिसके बाद CNOT को पूरा करता है और फिर और हेडमार्ड ट्रांसफ़ॉर्म को करता है, उसे हेडमार्ड बेसिस में CNOT गेट को पूरा करने के रूप में वर्णित किया जा सकता है (अर्थात बेसिस का परिवर्तन):

$(H_{1} ⊗ H_{1})^{−1}. C_{NOT}. (H_{1} ⊗ H_{1})$

सिंगल-क्विबिट हैडामर्ड ट्रांसफॉर्म, H1, हर्मिटियन आव्यूह होता है और इसलिए इसका अपना व्युत्क्रम है। दो क्विबिट्स पर संचालित (स्वतंत्र रूप से) दो हैडामर्ड ट्रांसफॉर्म के टेंसर उत्पाद को दो क्विबिट पर (स्वतंत्र रूप से) संचालित करते हुए H2 के रूप में लेबल किया जा सकता है। इसलिए हम आव्यूहों को इस प्रकार लिख सकते हैं:

$H_{2}. C_{NOT}. H_{2}$

जब इसे गुना किया जाता है, तो यह आव्युह प्राप्त करता है जो $$|01\rangle$$ और $$|11\rangle$$ के समिष्ट को आपस में बदलता है, जबकि $$|00\rangle$$ और $$|10\rangle$$ के समिष्ट को अकेले छोड़ देता है। यह सी-नॉट गेट के समान है जहाँ क्यूबिट 2 नियंत्रण क्यूबिट है और क्यूबिट 1 लक्ष्य क्यूबिट है।

$$\frac{1}{2} \begin{bmatrix}\begin{array}{rrrr} 1 & 1 &  1 &  1\\    1 & -1 &  1 & -1\\    1 &  1 & -1 & -1\\    1 & -1 & -1 &  1   \end{array}\end{bmatrix} . \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\   0 & 1 & 0 & 0\\    0 & 0 & 0 & 1\\    0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} . \frac{1}{2} \begin{bmatrix}\begin{array}{rrrr} 1 & 1 &  1 &  1\\    1 & -1 &  1 & -1\\    1 &  1 & -1 & -1\\    1 & -1 & -1 &  1   \end{array}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\   0 & 0 & 0 & 1\\    0 & 0 & 1 & 0\\    0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$

बेल स्थिति का निर्माण
CNOT गेट का सामान्य अनुप्रयोग दो क्यूबिट्स को इसमें उलझाना है जो$$|\Phi^+\rangle$$ बेल स्थिति में होते हैं; यह सुपरडेंस कोडिंग, क्वांटम टेलीपोर्टेशन और उलझे हुए क्वांटम क्रिप्टोग्राफी एल्गोरिदम के सेटअप का हिस्सा है।

$$|\Phi^+\rangle$$ को बनाने के लिए, CNOT गेट के लिए इनपुट A (नियंत्रण) और B (लक्ष्य) होते हैं:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)_A$$ और $$|0\rangle_B$$

CNOT गेट को लागू करने के बाद, परिणामक बेल स्थिति $\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle)$ का गुण होता है जिसका यह गुण होता है कि व्यक्तिगत क्वैबिट को किसी भी आधार का उपयोग करके मापा जा सकता है और हमेशा 50/50 अंश के साथ प्रत्येक स्थिति में परिणामित होता है। वास्तव में, व्यक्तिगत क्वैबिट अपरिभाषित स्थिति में होते हैं। दो क्वैबिट के बीच का संबंध दोनों क्वैबिट की स्थिति का संपूर्ण विवरण है; यदि हम दोनों क्वैबिट को मापने और नोट्स की समानता करने के लिए ही आधार चुनते हैं, तो माप पूरी प्रकार से सहसंबंधित होंगे।

कंप्यूटेशनल बेसिस में देखने पर ऐसा लगता है कि क्यूबिट A क्यूबिट B को प्रभावित कर रहा है। हैडामार्ड बेसिस में दृष्टिकोण बदलने से यह दिखता है कि, सममित तरीके से, क्यूबिट B क्यूबिट A को प्रभावित कर रहा है।

इनपुट स्थिति को वैकल्पिक रूप से इस प्रकार से देखा जा सकता है:

$$|+\rangle_A$$ और $$\frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle + |-\rangle)_B$$

हैडामार्ड दृष्टिकोण में, कंट्रोल और टार्गेट क्यूबिट्स का कोन्सेप्चुअली स्वैप हो जाता है और क्यूबिट A को उलट दिया जाता है जब क्यूबिट B $$|-\rangle_B$$होता है। CNOT गेट को लागू करने के बाद, आउटपुट स्थिति $\frac{1}{\sqrt{2}}(|++\rangle + |--\rangle)$ होती है जो कि पूरी तरह से उसी स्थिति का वर्णन करती है जो $\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle)$  है।

सी-आरओटी गेट
सी-आरओटी गेट (नियंत्रित रबी चक्र) को z अक्ष के चारों ओर परमाणु स्पिन का $$\pi /2 $$ घूमना छोड़कर सी-नॉट गेट के बराबर है।

कार्यान्वयन
ट्रैप्ड आयन क्वांटम कंप्यूटर:


 * सिराक-ज़ोलर नियंत्रित-नॉट गेट
 * मोल्मर-सोरेंसन गेट

यह भी देखें

 * टोफोली गेट (नियंत्रित-नियंत्रित-नॉट गेट)

बाहरी संबंध

 * Michael Westmoreland: "Isolation and information flow in quantum dynamics" - discussion around the Cnot gate