व्यावहारिक गणित

अनुप्रयुक्त या व्यावहारिक गणित (Applied Mathematics) विभिन्न क्षेत्रों, जैसे भौतिकी, अभियांत्रिकी, चिकित्सा, जीव विज्ञान, वित्त, व्यवसाय, कंप्यूटर विज्ञान और उद्योग में गणितीय विधियों का अनुप्रयोग है। इस प्रकार, अनुप्रयुक्त गणित, गणितीय विज्ञान और विशेष ज्ञान का एक संयोजन है। शब्द "अनुप्रयुक्त गणित" ऐसी व्यावसायिक विशेषता का भी वर्णन करता है जिसमें गणितज्ञ गणितीय मॉडल तैयार करके और उनका अध्ययन करके व्यावहारिक समस्याओं पर काम करते हैं।

व्यावहारिक अनुप्रयोगों द्वारा अतीत में गणितीय सिद्धांतों के विकास को प्रेरित किया गया, जो तब शुद्ध गणित में अध्ययन का विषय बन गया, जहाँ अमूर्त (Abstract) अवधारणाओं का अध्ययन उनके स्वयं के लिए किया जाता है। इस प्रकार से अनुप्रयुक्त गणित की सक्रियता शुद्ध गणित में अनुसंधान के साथ घनिष्ठता से जुड़ी हुई है।

इतिहास
ऐतिहासिक रूप से, अनुप्रयुक्त गणित में मुख्य रूप से अनुप्रयुक्त विश्लेषण, विशेषतया अवकल समीकरण; सन्निकटन सिद्धांत (जो कि मोटे तौर पर, निरूपण, स्पर्शोन्मुख विधियों, परिवर्तनशील विधियों और संख्यात्मक विश्लेषण को शामिल करने के लिए उपयोग किया जाता है); और अनुप्रयुक्त प्रायिकता सम्मिलित हैं। गणित के ये क्षेत्र सीधे न्यूटन की भौतिकी के विकास से संबंधित हैं, और वास्तव में, 19 वीं शताब्दी के मध्य से पहले गणितज्ञों और भौतिकविदों के बीच अंतर को गहनता से प्रस्तुत नहीं किया गया था। इस इतिहास ने संयुक्त राज्य अमेरिका में एक शैक्षणिक विरासत को छोड़ दिया, जिससे 20वीं शताब्दी के प्रारंभ तक, अमेरिकी विश्वविद्यालयों में प्रारम्भिक यांत्रिकी जैसे विषयों को अक्सर भौतिकी विभागों के बजाय अनुप्रयुक्त गणित के विभागों में पढ़ाया जाता था, और संभवतः तरल यांत्रिकी विषय अभी भी अनुप्रयुक्त गणित के विभागों में पढ़ाया जा रहा हो। अभियांत्रिकी और कंप्यूटर विज्ञान विभागों ने पारंपरिक रूप से अनुप्रयुक्त गणित का उपयोग किया है।

वर्गीकरण
"अनुप्रयुक्त गणित" शब्द का उपयोग आज व्यापक अर्थों में किया जाता है। इसमें उपरोक्त प्रारम्भिक क्षेत्र और साथ ही कुछ अन्य क्षेत्र भी शामिल हैं, जो अनुप्रयोगों में तेजी से महत्वपूर्ण हो गए हैं। यहाँ तक ​​कि संख्या सिद्धांत जैसे क्षेत्र भी अब क्रिप्टोग्राफी (Cryptography) जैसे अनुप्रयोगों में महत्वपूर्ण हो गए हैं, जो कि शुद्ध गणित का हिस्सा हैं; हालांकि उन्हें साधारणतया अनुप्रयुक्त गणित के क्षेत्र का हिस्सा नहीं माना जाता है।

इस बात पर कोई सहमति नहीं है कि अनुप्रयुक्त गणित की विभिन्न शाखायें क्या हैं। जिस तरह गणित और विज्ञान में समय के साथ परिवर्तन होता रहता है, और विश्वविद्यालय भी विभागों, पाठ्यक्रमों और डिग्री को व्यवस्थित करते हैं उससे इस तरह के वर्गीकरण मुश्किल हो जाते हैं।

कई गणितज्ञ अनुप्रयुक्त गणित के बीच ऐसे अंतर करते हैं, जो गणितीय विधियों और विज्ञान एवं अभियांत्रिकी में "गणित के अनुप्रयोगों" से संबंधित हैं। जनसंख्या मॉडल का उपयोग करने वाला और ज्ञात गणित को लागू करने वाला एक जीवविज्ञानी अनुप्रयुक्त गणित नहीं कर रहा होगा, अपितु इसका उपयोग कर रहा होगा; हालांकि, गणितीय जीवविज्ञानियों ने ऐसी समस्याएँ प्रस्तुत की हैं जिन्होंने शुद्ध गणित के विकास को प्रेरित किया है। पोइंकेरे (Poincaré) और अर्नोल्ड (Arnold) जैसे गणितज्ञों ने अनुप्रयुक्त गणित के अस्तित्व से इनकार किया और गणित के केवल अनुप्रयोगों के होने का दावा किया है। इसी प्रकार, गैर-गणितज्ञ इसे अनुप्रयुक्त गणित और गणित के अनुप्रयोगों का मिश्रण मानते हैं। औद्योगिक समस्याओं को हल करने के लिए गणित के उपयोग और विकास को "औद्योगिक गणित" भी कहा जाता है।

आधुनिक संख्यात्मक गणितीय विधियों और सॉफ्टवेयर की सफलता ने गणनात्मक गणित, गणनात्मक विज्ञान और गणनात्मक अभियांत्रिकी का उदय किया है, जो घटनाओं के अनुकरण और विज्ञान एवं अभियांत्रिकी में समस्याओं के समाधान के लिए उच्च-प्रदर्शक गणना का उपयोग करते हैं। इन्हें अक्सर अंतः विषयक माना जाता है।

प्रयोज्य गणित (Applicable Mathematics)
कभी-कभी, अनुप्रयुक्त गणित शब्द का उपयोग प्रारम्भिक अनुप्रयुक्त गणित के बीच अंतर करने के लिए किया जाता है जो भौतिकी और गणित के कई ऐसे क्षेत्रों के साथ विकसित होते हैं, जो आज वास्तविक दुनिया की समस्याओं पर लागू होते हैं; हालांकि एक यथार्थ परिभाषा के रूप में कोई सर्वसम्मति नहीं है।

गणितज्ञ अक्सर एक ओर "अनुप्रयुक्त गणित" और दूसरी ओर विज्ञान और इंजीनियरिंग के भीतर और बाहर "गणित के अनुप्रयोग" या "प्रयोज्य गणित" के बीच अंतर करते हैं। कुछ गणितज्ञ अनुप्रयुक्त गणित शब्द पर जोर देते हैं, जो पारंपरिक अनुप्रयुक्त क्षेत्रों को उन क्षेत्रों से उत्पन्न होने वाले नए अनुप्रयोगों से अलग करते हैं, जिन्हें पहले शुद्ध गणित के रूप में देखा गया था। उदाहरण के लिए, इस दृष्टिकोण से, जनसंख्या मॉडल का उपयोग करने वाला और ज्ञात गणित को लागू करने वाला एक पारिस्थितिकीविद् या भूगोलवेत्ता लागू नहीं करेगा, बल्कि गणित अनुप्रयुक्त होगी। यहाँ तक ​​​​कि संख्या सिद्धांत जैसे क्षेत्र जो शुद्ध गणित का हिस्सा हैं, अब अनुप्रयोगों (जैसे क्रिप्टोग्राफी) में महत्वपूर्ण हैं, हालांकि उन्हें आम तौर पर अनुप्रयुक्त गणित के क्षेत्र का हिस्सा नहीं माना जाता है। इस तरह के विवरण से अनुप्रयुक्त गणित को वास्तविक विश्लेषण, रैखिक बीजगणित, गणितीय मॉडलिंग, अनुकूलन, संयोजन, संभाव्यता और सांख्यिकी जैसे गणितीय तरीकों के संग्रह के रूप में देखा जा सकता है, जो पारंपरिक गणित के बाहर के क्षेत्रों में उपयोगी हैं और गणितीय भौतिकी के लिए विशिष्ट नहीं हैं।

अन्य लेखक अनुप्रयुक्त गणित को अनुप्रयुक्त गणित के पारंपरिक क्षेत्रों के साथ "नए" गणितीय अनुप्रयोगों के एक संघ के रूप में वर्णित करना पसंद करते हैं। इस दृष्टिकोण के साथ, अनुप्रयुक्त गणित और अनुप्रयुक्त गणित की शर्तें इस प्रकार विनिमेय हैं।

उपयोगिता
ऐतिहासिक रूप से, प्राकृतिक विज्ञान और अभियांत्रिकी में गणित सबसे महत्वपूर्ण विषय था। हालांकि, द्वितीय विश्व युद्ध के बाद से, भौतिक विज्ञान के बाहर के क्षेत्रों ने गणित के नए क्षेत्रों, जैसे खेल सिद्धांत और सामाजिक चयन सिद्धांत के निर्माण को जन्म दिया, जो आर्थिक विचारों से बाहर हो गए। इसके अतिरिक्त, गणितीय विधियों के उपयोग और विकास का विस्तार अन्य क्षेत्रों में भी हुआ, जो गणितीय वित्त और डेटा विज्ञान (Data Science) जैसे नए क्षेत्रों के निर्माण के लिए अग्रणी था।

कंप्यूटर के अविष्कार ने नए अनुप्रयोगों को सक्षम किया है: विज्ञान (गणनात्मक विज्ञान) के अन्य क्षेत्रों में उत्पन्न होने वाली समस्याओं के साथ -साथ गणना की गणित (उदाहरण के लिए, सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान, कंप्यूटर बीजगणित,   संख्यात्मक विश्लेषण   ) का अध्ययन करने के लिए नए कंप्यूटर प्रौद्योगिकी (कंप्यूटर विज्ञान) का अध्ययन और उपयोग करना। सांख्यिकी संभवतः सामाजिक विज्ञान में उपयोग की जाने वाली सबसे व्यापक गणितीय विज्ञान है, लेकिन गणित के अन्य क्षेत्र, विशेष रूप से अर्थशास्त्र, इन विषयों में तेजी से उपयोगी साबित हो रहे हैं।

शैक्षणिक विभागों में स्थिति
शैक्षणिक संस्थायें अनुप्रयुक्त गणित में जिस तरह से पाठ्यक्रम, कार्यक्रम और डिग्री के समूह का निर्धारण और चिन्हांकन करती हैं, उसमें वे सुसंगत नहीं हैं। कुछ स्कूलों में, गणित का एक ही विभाग है, जबकि अन्य स्कूलों के पास अनुप्रयुक्त गणित और शुद्ध गणित के लिए अलग-अलग विभाग हैं। स्कूलों में स्नातक कार्यक्रमों में सांख्यिकी का अलग विभाग होना आम बात है, लेकिन कई संस्थानों, जिनमें केवल स्नातक कार्यक्रम संचालित होते हैं, में सांख्यिकी, गणित विभाग में ही सम्मिलित है।

अनुप्रयुक्त गणित के कई कार्यक्रम (विभागों के विपरीत) मुख्य रूप से क्रॉस-सूचीबद्ध पाठ्यक्रमों और अनुप्रयोगों का प्रतिनिधित्व करने वाले संयुक्त रूप से नियुक्त शिक्षकों से गठित हैं। अनुप्रयुक्त गणित में कुछ पी.एच.डी. में कार्यक्रमों को गणित के बाहर बहुत कम या कोई शोध की आवश्यकता नहीं होती है, जबकि अन्य पाठ्यक्रमों में अनुप्रयोगों के एक विशिष्ट क्षेत्र में पर्याप्त शोध की आवश्यकता होती है। कुछ मामलों में यह अंतर "गणित के अनुप्रयोगों" और "अनुप्रयुक्त गणित" के बीच के अंतर को दर्शाता है।

यूनाइटेड किंगडम (UK) में कुछ विश्वविद्यालय अनुप्रयुक्त गणित और सैद्धांतिक भौतिकी के विभागों,  को संचालित करते हैं, लेकिन अब शुद्ध गणित और अनुप्रयुक्त गणित के  विभागों का अलग-अलग होना दुर्लभ है। इसका एक उल्लेखनीय अपवाद कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय में अनुप्रयुक्त गणित और सैद्धांतिक भौतिकी विभाग है, जिसमें गणित के लुकासियन प्रोफेसर का आवास है, जिसके पूर्व धारकों में आइजैक न्यूटन, चार्ल्स बैबेज, जेम्स लाइटहिल, पॉल डिराक और स्टीफन हॉकिंग शामिल हैं। अनुप्रयुक्त गणित के अलग विभाग वाले स्कूल ब्राउन यूनिवर्सिटी के परिसर से हैं, जिसमें अनुप्रयुक्त गणित का एक बड़ा संकाय है जो डॉक्टरेट के माध्यम से अनुप्रयुक्त गणित में केवल एम.एस. में सांता क्लारा यूनिवर्सिटी से डिग्री प्रदान करता है। अनुसंधान विश्वविद्यालयों ने अपने गणित विभाग को शुद्ध और अनुप्रयुक्त वर्गों में विभाजित किया है, जिनमें एम.आई.टी. सम्मिलित है। इस कार्यक्रम में छात्र अपने लागू गणित कौशल के पूरक के तौर पर एक और कौशल (कंप्यूटर विज्ञान, अभियांत्रिकी, भौतिकी, शुद्ध गणित आदि) भी सीखते हैं।

संबद्ध गणितीय विज्ञान
अनुप्रयुक्त गणित निम्नलिखित गणितीय विज्ञानों से जुड़ा हुआ है:

वैज्ञानिक गणना
वैज्ञानिक गणना में अनुप्रयुक्त गणित (विशेष रूप से संख्यात्मक विश्लेषण, गणना विज्ञान (विशेष रूप से उच्च-प्रदर्शन गणना ), और वैज्ञानिक अनुशासन में गणितीय मॉडलिंग सम्मिलित हैं।

कंप्यूटर विज्ञान
कंप्यूटर विज्ञान तर्क, बीजगणित, असतत गणित जैसे ग्राफ सिद्धांत और कॉम्बीनेटरिक्स पर निर्भर करती है।

संचालन अनुसंधान और प्रबंधन विज्ञान
संचालन अनुसंधान और प्रबंधन विज्ञान को प्रायः अभियांत्रिकी, व्यवसाय और सार्वजनिक नीति के संकायों में पढ़ाया जाता है।

सांख्यिकी
अनुप्रयुक्त गणित में सांख्यिकी के अनुशासन के साथ पर्याप्त ओवरलैप (Overlap) हैं। सांख्यिकीय सिद्धांतकार गणित के साथ सांख्यिकीय प्रक्रियाओं का अध्ययन और सुधार करते हैं, और सांख्यिकीय अनुसंधान प्रायः गणितीय प्रश्न उठाते हैं। सांख्यिकीय सिद्धांत संभावना और निर्णय सिद्धांत पर निर्भर करता है, और वैज्ञानिक गणना, विश्लेषण और अनुकूलन का व्यापक उपयोग करता है; सांख्यिकीविद् प्रयोगों के चित्रण के लिए बीजगणित और कॉम्बिनेटरियल चित्रण का उपयोग करते हैं। अनुप्रयुक्त गणितज्ञ और सांख्यिकीविद् अक्सर गणितीय विज्ञान विभाग (विशेष रूप से कॉलेजों और छोटे विश्वविद्यालयों में) में काम करते हैं ।

बीमा विज्ञान (Actuarial Science)
बीमा विज्ञान बीमा, वित्त और अन्य उद्योगों और व्यवसायों में जोखिम का आकलन करने के लिये प्रायिकता, सांख्यिकी और आर्थिक सिद्धांत को लागू करती है।

गणितीय अर्थशास्त्र
गणितीय अर्थशास्त्र सिद्धांतों का प्रतिनिधित्व करने और अर्थशास्त्र में समस्याओं का विश्लेषण करने के लिए गणितीय तरीकों का अनुप्रयोग है।  अनुप्रयुक्त तरीके आमतौर पर गैर तुच्छ गणितीय तकनीकों या दृष्टिकोणों को संदर्भित करते हैं। गणितीय अर्थशास्त्र सांख्यिकी, प्रायिकता, गणितीय प्रोग्रामन (साथ ही अन्य गणना विधियों), संचालन अनुसंधान, खेल सिद्धांत और गणितीय विश्लेषण से कुछ विधियों पर आधारित है। इस संबंध में, यह वित्तीय गणित से मिलता -जुलता परन्तु भिन्न है, जो कि अनुप्रयुक्त गणित का एक अन्य भाग है।

गणित विषय वर्गीकरण (MSC) के अनुसार, गणितीय अर्थशास्त्र अनुप्रयुक्त गणित के अंतर्गत आता है जो कि श्रेणी 91 का अन्य वर्गीकरण है:
 * खेल सिद्धांत, अर्थशास्त्र, सामाजिक और व्यवहार विज्ञान

91Axx कोड पर 'गेम थ्योरी' और 91Bxx कोड पर 'गणितीय अर्थशास्त्र' के लिए MSC2010 के वर्गीकरण के साथ ।

अध्ययन के अन्य विषय
अनुप्रयुक्त गणित और अनुप्रयोगों के विशिष्ट क्षेत्रों के बीच की रेखा अक्सर धुंधली होती है। कई विश्वविद्यालय व्यवसाय, इंजीनियरिंग, भौतिकी, रसायन विज्ञान, मनोविज्ञान, जीव विज्ञान, कंप्यूटर विज्ञान, वैज्ञानिक गणना और गणितीय भौतिकी सहित विभागों और क्षेत्रों में संबंधित विभागों के बाहर गणितीय और सांख्यिकीय पाठ्यक्रम पढ़ाते हैं।

यह भी देखें

 * अभियांत्रिकी गणित
 * औद्योगिक और अनुप्रयुक्त गणित के लिए संस्था

लागू गणित

 * मोरहेड जर्नल ऑफ़ एपलैक्ट मैथेमेटिक्स मोरहेड स्टेट यूनिवर्सिटी द्वारा होस्ट किया गया
 * श्रृंखला कंक्रीट और लागू गणित पर विश्व वैज्ञानिक द्वारा]
 * हैंडबुक ऑफ़ एपलैम मैथमेटिक्स सीरीज़]

बाहरी संबंध

 * The Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM) is a professional society dedicated to promoting the interaction between mathematics and other scientific and technical communities. Aside from organizing and sponsoring numerous conferences, SIAM is a major publisher of research journals and books in applied mathematics.
 * The Applicable Mathematics Research Group at Notre Dame University
 * Centre for Applicable Mathematics at Liverpool Hope University
 * Applicable Mathematics research group at Glasgow Caledonian University
 * Applicable Mathematics research group at Glasgow Caledonian University