संवलन प्रमेय

गणित में, संवलन प्रमेय में कहा गया है कि उपयुक्त परिस्थितियों में दो फलनों (या  संकेत ) के संवलन का फूरियर रूपांतरण उनके फूरियर रूपांतरण का  बिंदुवार उत्पाद  है। सामान्यतः, एक डोमेन (जैसे, समय डोमेन) में संवलन दूसरे डोमेन (जैसे,  आवृत्ति डोमेन ) में क्रमवार बिंदुओं के गुणन के बराबर होता है। संवलन प्रमेय के अन्य संस्करण फूरियर से संबंधित परिवर्तनों की विभिन्न सूची पर लागू होते हैं |

एक सतत चर के फलन
दो फलनों पर विचार करें $$g(x)$$ तथा $$h(x)$$ फूरियर रूपांतरण के साथ $$G$$ तथा $$H$$: $$\begin{align} G(f) &\triangleq \mathcal{F}\{g\}(f) = \int_{-\infty}^{\infty}g(x) e^{-i 2 \pi f x} \, dx, \quad f \in \mathbb{R}\\ H(f) &\triangleq \mathcal{F}\{h\}(f) = \int_{-\infty}^{\infty}h(x) e^{-i 2 \pi f x} \, dx, \quad f \in \mathbb{R} \end{align}$$ जहाँ पे $$\mathcal{F}$$ फूरियर रूपांतरण ऑपरेटर (गणित)  को दर्शाता है। परिवर्तन को अन्य पद्यतियों से सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिस स्थिति में निरंतर स्केलिंग कारक (सामान्यतः $$2\pi$$ या $$\sqrt{2\pi}$$) नीचे दिए गए संवलन  प्रमेय में दिखाई देगा। का संवलन $$g$$ तथा $$h$$ द्वारा परिभाषित किया गया है: $$r(x) = \{g*h\}(x) \triangleq \int_{-\infty}^{\infty} g(\tau) h(x-\tau)\, d\tau = \int_{-\infty}^{\infty} g(x-\tau) h(\tau)\, d\tau.$$ इस संदर्भ में, तारांकन  मानक गुणन के अतिरिक्त दृढ़ संवलन को दर्शाता है।  टेंसर उत्पाद  प्रतीक $$\otimes$$ इसके अतिरिक्त कभी-कभी उपयोग किया जाता है।

संवलन प्रमेय कहता है कि:

उलटा फूरियर रूपांतरण लागू करना $$\mathcal{F}^{-1}$$, परिणाम उत्पन्न करता है:

प्रमेय सामान्यतः बहु-आयामी फलनों पर भी लागू होता है। $$ यह प्रमेय लाप्लास रूपांतरण, को  दो तरफा लाप्लास परिवर्तन  और उपयुक्त रूप से संशोधित किया जाता है, जो  मध्य परिवर्तन  और  हार्टले रूपांतरण ( मध्य उलटा प्रमेय  देखें) के लिए भी है। इसे  स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट एबेलियन समूह  पर आधारित  सार हार्मोनिक विश्लेषण  के फूरियर रूपांतरण तक बढ़ाया जा सकता है।

आवधिक संवलन(फूरियर श्रृंखला गुणांक)
विचार करना $$P$$-आवधिक फलन $$g_{_P}$$ तथा $$h_{_P},$$ जिसे आवधिक योग  के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: $$g_{_P}(x)\ \triangleq \sum_{m=-\infty}^{\infty} g(x-mP)$$ तथा $$h_{_P}(x)\ \triangleq \sum_{m=-\infty}^{\infty} h(x-mP).$$ व्यवहार में घटकों के गैर-शून्य भाग $$g$$ तथा $$h$$ यद्यपि अवधि तक सीमित होते हैं $$P,$$ लेकिन प्रमेय में कुछ भी इसकी आवश्यकता नहीं है। फूरियर श्रृंखला गुणांक हैं: $$\begin{align} G[k] &\triangleq \mathcal{F}\{g_{_P}\}[k] = \frac{1}{P} \int_P g_{_P}(x) e^{-i 2\pi k x/P} \, dx, \quad k \in \mathbb{Z}; \quad \quad \scriptstyle \text{integration over any interval of length } P\\ H[k] &\triangleq \mathcal{F}\{h_{_P}\}[k] = \frac{1}{P} \int_P h_{_P}(x) e^{-i 2\pi k x/P} \, dx, \quad k \in \mathbb{Z} \end{align}$$ जहाँ पे $$\mathcal{F}$$ फूरियर श्रृंखला अभिन्न को दर्शाता है। \{g_{_P} * h\}(x)\ &\triangleq \int_{-\infty}^{\infty} g_{_P}(x-\tau)\cdot h(\tau)\ d\tau\\ &\equiv \int_P g_{_P}(x-\tau)\cdot h_{_P}(\tau)\ d\tau; \quad \quad \scriptstyle \text{integration over any interval of length } P \end{align}$$ई आल्सो $$P$$-आवधिक, और इसे आवर्ती संवलन कहा जाता है। संगत संवलन प्रमेय है:
 * बिंदुवार उत्पाद: $$g_{_P}(x)\cdot h_{_P}(x)$$ ई आल्सो $$P$$-आवधिक, और इसके फूरियर श्रृंखला गुणांक संवलन #डिस्क्रिट संवलन  द्वारा दिए गए हैं $$G$$ तथा $$H$$ क्रम: $$\mathcal{F}\{g_{_P}\cdot h_{_P}\}[k] = \{G*H\}[k].$$
 * संवलन : $$\begin{align}

$$

एक असतत चर के कार्य (अनुक्रम)
समीकरण 1 के समान एक व्युत्पत्ति द्वारा, अनुक्रमों के लिए एक समान प्रमेय है, जैसे कि दो निरंतर कार्यों के नमूने, जहां अब $$\mathcal{F}$$ असतत-समय फूरियर ट्रांसफॉर्म (DTFT) ऑपरेटर को दर्शाता है। दो अनुक्रमों पर विचार करें $$g[n]$$ तथा $$h[n]$$ परिवर्तन के साथ $$G$$ तथा $$H$$: $$\begin{align} G(f) &\triangleq \mathcal{F}\{g\}(f) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} g[n]\cdot e^{-i 2\pi f n}\;, \quad f \in \mathbb{R}\\ H(f) &\triangleq \mathcal{F}\{h\}(f) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} h[n]\cdot e^{-i 2\pi f n}\;. \quad f \in \mathbb{R} \end{align}$$

}} का $$g$$ तथा $$h$$ द्वारा परिभाषित किया गया है: $$r[n] \triangleq (g * h)[n] = \sum_{m=-\infty}^\infty g[m]\cdot h[n - m] = \sum_{m=-\infty}^\infty g[n-m]\cdot h[m].$$ संवलन #असतत अनुक्रमों के लिए असतत संवलन है:

आवर्त संवलन
$$G(f)$$ तथा $$H(f),$$ जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, आवधिक हैं, 1 की अवधि के साथ। विचार करें $$N$$-आवधिक अनुक्रम $$g_{_N}$$ तथा $$h_{_N}$$: $$g_{_N}[n]\ \triangleq \sum_{m=-\infty}^{\infty} g[n-mN]$$ तथा $$h_{_N}[n]\ \triangleq \sum_{m=-\infty}^{\infty} h[n-mN], \quad n \in \mathbb{Z}.$$ ये फलन नमूने के परिणाम के रूप में होते हैं $$G$$ तथा $$H$$ के अंतराल पर $$1/N$$ और एक व्युत्क्रम असतत फूरियर रूपांतरण  (DFT) पर प्रदर्शन कर रहा है $$N$$ नमूने (देखें ) असतत संवलन: $$\{g_{_N} * h\}[n]\ \triangleq \sum_{m=-\infty}^{\infty} g_{_N}[m]\cdot h[n-m] \equiv \sum_{m=0}^{N-1} g_{_N}[m]\cdot h_{_N}[n-m]$$ $$N$$-आवधिक, और इसे आवर्त संवलन कहा जाता है फिर से परिभाषित करना $$\mathcal{F}$$ ऑपरेटर के रूप में $$N$$-लंबाई डीएफटी, संबंधित प्रमेय है:

और इसीलिए:

सही परिस्थितियों में, इस एन-लंबाई अनुक्रम के लिए ए. का विरूपण-मुक्त खंड सम्मिलित करना संभव है $$g*h$$ दृढ़ संवलन लेकिन गैर-शून्य भाग $$g(n)$$ या $$h(n)$$ अनुक्रम बराबर या उससे लंबा है $$N,$$ कुछ विकृति अपरिहार्य है। ऐसी ही परिस्थिति है जब $$H(k/N)$$ अनंत लंबे. के डीटीएफटी को सीधे नमूना करके अनुक्रम प्राप्त किया जाता है आवेग प्रतिक्रिया के लिये $$g$$ तथा $$h$$ अनुक्रम जिनकी गैर-शून्य अवधि से कम या उसके बराबर है $$N,$$ एक अंतिम सरलीकरण है:

इस फॉर्म का उपयोग यद्यपि कंप्यूटर द्वारा संख्यात्मक संवलन को कुशलता से लागू करने के लिए किया जाता है। (देखना  तथा )

आंशिक पारस्परिक के रूप में, यह दिखाया गया है कि कोई भी रैखिक परिवर्तन जो संवलन को बिंदुवार उत्पाद में बदल देता है, वह DFT (गुणांक के क्रमपरिवर्तन तक) है।

$$

प्रतिलोम फूरियर रूपांतरण के लिए संवलन प्रमेय
प्रतिलोम फूरियर रूपांतरण के लिए एक संवलन प्रमेय भी है: $$\mathcal{F}\{g*h\} = \mathcal{F}\{g\} \cdot \mathcal{F}\{h\}$$ $$\mathcal{F}\{g \cdot h\}= \mathcal{F}\{g\}*\mathcal{F}\{h\}$$ ताकि $$g*h= \mathcal{F}^{-1}\left\{\mathcal{F}\{g\}\cdot\mathcal{F}\{h\}\right\}$$ $$g \cdot h= \mathcal{F}^{-1}\left\{\mathcal{F}\{g\}*\mathcal{F}\{h\}\right\}$$

संतुलित वितरण के लिए संवलन प्रमेय
संवलन प्रमेय का विस्तार वितरण (गणित) # संवलन बनाम गुणन तक है। यहां, $$g$$ एक स्वभाव वितरण है (जैसे डिराक कंघी ) $$\mathcal{F}\{f*g\} = \mathcal{F}\{f\} \cdot \mathcal{F}\{g\}$$ $$\mathcal{F}\{\alpha \cdot g\}= \mathcal{F}\{\alpha\}*\mathcal{F}\{g\}$$ लेकिन जब $$f = F\{\alpha\}$$ की ओर तेजी से घट रहा होगा $$-\infty$$ तथा $$+\infty$$ संवलन और गुणन उत्पाद दोनों के अस्तित्व की गारंटी देने के लिए समान रूप से $$\alpha = F^{-1}\{f\}$$ एक सुचारू रूप से धीरे-धीरे बढ़ने वाला सामान्य फलन है, यह गुणन और संवलन उत्पाद दोनों के अस्तित्व की गारंटी देता है। विशेष रूप से, प्रत्येक कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित संतुलित वितरण, जैसे कि डिराक डेल्टा फ़ंक्शन, तेजी से घट रहा है। समान रूप से,  बैंडलिमिटिंग , जैसे कि फ़ंक्शन जो लगातार होता है $$1$$ सुचारू रूप से धीरे-धीरे बढ़ रहे सामान्य फलन हैं। यदि, उदाहरण के लिए, $$g\equiv\operatorname{III}$$ डिराक कंघी है, दोनों समीकरण  पॉइसन योग सूत्र  उत्पन्न करते हैं और यदि, इसके अलावा, $$f\equiv\delta$$ तब डिराक डेल्टा है $$\alpha \equiv 1$$ लगातार एक है और इन समीकरणों से Dirac-comb पहचान मिलती है।

यह भी देखें

 * एक यादृच्छिक चर का क्षण उत्पन्न करने वाला फलन

अतिरिक्त संसाधन
सिग्नल प्रोसेसिंग में संवलन प्रमेय के उपयोग के दृश्य प्रतिनिधित्व के लिए, देखें:


 * जॉन्स हॉपकिन्स विश्वविद्यालय का  जावा (सॉफ्टवेयर प्लेटफॉर्म) -सहायता प्राप्त सिमुलेशन: http://www.jhu.edu/signals/convolve/index.html

श्रेणी:फूरियर विश्लेषण में प्रमेय श्रेणी:सबूत युक्त लेख

डे:फाल्टुंग (गणित)#फाल्टुंग्सथियोरम 2 fr:उत्पाद डी संवलन