त्रिकोणीय वितरण

संभाव्यता सिद्धांत और आंकड़ों में, त्रिकोणीय वितरण निचली सीमा ए, ऊपरी सीमा बी और मोड सी के साथ एक सतत संभाव्यता वितरण है, जहां ए <बी और ए ≤ सी ≤ बी।

सीमा पर मोड
जब c = a या c = b होता है तो वितरण सरल हो जाता है। उदाहरण के लिए, यदि a = 0, b = 1 और c = 1, तो संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन और संचयी वितरण फ़ंक्शन बन जाते हैं:


 * $$ \left.\begin{array}{rl} f(x) &= 2x \\[8pt]

F(x) &= x^2 \end{array}\right\} \text{ for } 0 \le x \le 1 $$
 * $$ \begin{align}

\operatorname E(X) & = \frac{2}{3} \\[8pt] \operatorname{Var}(X) &= \frac{1}{18} \end{align} $$

दो मानक समान चरों के पूर्ण अंतर का वितरण
a = 0, b = 1 और c = 0 के लिए यह वितरण X = |X का वितरण है1−एक्स2|, जहां एक्स1, एक्स2 मानक समान वितरण (निरंतर) के साथ दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं।



\begin{align} f(x) & = 2 -2x \text{ for } 0 \le x < 1 \\[6pt] F(x) & = 2x - x^2 \text{ for } 0 \le x < 1 \\[6pt] E(X) & = \frac{1}{3} \\[6pt] \operatorname{Var}(X) & = \frac{1}{18} \end{align} $$

सममित त्रिकोणीय वितरण
सममित स्थिति तब उत्पन्न होती है जब c = (a + b) / 2. इस मामले में, वितरण फ़ंक्शन का एक वैकल्पिक रूप है:


 * $$ \begin{align}

f(x) &= \frac{(b-c)-|c-x|}{(b-c)^2} \\[6pt] \end{align} $$

दो मानक समान चरों के माध्य का वितरण
a = 0, b = 1 और c = 0.5 के लिए यह वितरण - मोड (यानी, शिखर) अंतराल के ठीक बीच में है - दो मानक समान चर के माध्य के वितरण से मेल खाता है, अर्थात वितरण एक्स का = (एक्स1+ एक्स2)/2, जहां एक्स1, एक्स2 [0,1] में मानक समान वितरण (निरंतर) के साथ दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं। यह दो चरों के लिए बेट्स वितरण का मामला है।



f(x) = \begin{cases} 4x  & \text{for }0 \le x < \frac{1}{2}   \\ 4(1-x) & \text{for }\frac{1}{2} \le x \le 1 \end{cases} $$

F(x) = \begin{cases} 2x^2      & \text{for }0 \le x < \frac{1}{2} \\ 2x^2-(2x-1)^2 & \text{for }\frac{1}{2} \le x \le 1 \end{cases} $$

\begin{align} E(X) & = \frac{1}{2} \\[6pt] \operatorname{Var}(X) & = \frac{1}{24} \end{align} $$

त्रिकोणीय-वितरित यादृच्छिक चर उत्पन्न करना
अंतराल (0,1) में समान वितरण (निरंतर) से निकाला गया एक यादृच्छिक चर U दिया गया है, तो चर



X = \begin{cases} a + \sqrt{U(b-a)(c-a)} & \text{ for } 0 < U < F(c) \\ & \\ b - \sqrt{(1-U)(b-a)(b-c)} & \text{ for } F(c) \le U < 1 \end{cases} $$ कहाँ $$F(c) = (c-a)/(b-a)$$, मापदंडों के साथ एक त्रिकोणीय वितरण है $$a, b$$ और $$c$$. इसे संचयी वितरण फ़ंक्शन से प्राप्त किया जा सकता है।

वितरण का उपयोग
त्रिकोणीय वितरण का उपयोग आम तौर पर जनसंख्या के व्यक्तिपरक विवरण के रूप में किया जाता है जिसके लिए केवल सीमित नमूना डेटा होता है, और विशेष रूप से ऐसे मामलों में जहां चर के बीच संबंध ज्ञात होता है लेकिन डेटा दुर्लभ होता है (संभवतः संग्रह की उच्च लागत के कारण)। यह न्यूनतम और अधिकतम के ज्ञान और एक प्रेरित अनुमान पर आधारित है मोडल मान के संबंध में. इन्हीं कारणों से त्रिकोण वितरण को ज्ञान वितरण का अभाव कहा गया है।

व्यावसायिक सिमुलेशन
इसलिए त्रिकोणीय वितरण का उपयोग अक्सर निर्णय लेने#व्यवसाय और प्रबंधन में निर्णय लेने में किया जाता है, विशेष रूप से सिमुलेशन#कंप्यूटर सिमुलेशन में। आम तौर पर, जब किसी परिणाम के संभाव्यता वितरण (जैसे, केवल इसके सबसे छोटे और सबसे बड़े मान) के बारे में बहुत कुछ ज्ञात नहीं होता है, तो समान वितरण (निरंतर) का उपयोग करना संभव है। लेकिन यदि सबसे संभावित परिणाम भी ज्ञात है, तो परिणाम को त्रिकोणीय वितरण द्वारा अनुकरण किया जा सकता है। उदाहरण के लिए कॉर्पोरेट वित्त#मात्रा निर्धारण अनिश्चितता के अंतर्गत देखें।

परियोजना प्रबंधन
त्रिकोणीय वितरण, पीईआरटी वितरण के साथ, न्यूनतम और अधिकतम मूल्य द्वारा परिभाषित अंतराल के भीतर होने वाली घटनाओं को मॉडल करने के लिए परियोजना प्रबंधन (पीईआरटी में इनपुट और इसलिए महत्वपूर्ण पथ विधि (सीपीएम) के रूप में) में भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

ऑडियो तड़पना िंग
सममित त्रिकोणीय वितरण आमतौर पर डिथर में उपयोग किया जाता है, जहां इसे टीपीडीएफ (त्रिकोणीय संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन) कहा जाता है।

बीमफॉर्मिंग
त्रिकोणीय वितरण का अनुप्रयोग बीम निर्माण और पैटर्न संश्लेषण में होता है।

यह भी देखें

 * ट्रैपेज़ॉइडल वितरण
 * थॉमस सिम्पसन
 * तीन-बिंदु अनुमान
 * पांच-संख्या सारांश
 * सात-संख्या सारांश
 * त्रिकोणीय कार्य
 * केंद्रीय सीमा प्रमेय - त्रिकोण वितरण अक्सर दो समान यादृच्छिक चर को एक साथ जोड़ने के परिणामस्वरूप होता है। दूसरे शब्दों में, त्रिकोण वितरण अक्सर (हमेशा नहीं) केंद्रीय सीमा प्रमेय योग प्रक्रिया के पहले पुनरावृत्ति का परिणाम होता है (यानी) $n = 2$ ). इस अर्थ में, त्रिभुज वितरण कभी-कभी स्वाभाविक रूप से हो सकता है। यदि अधिक यादृच्छिक चरों को एक साथ जोड़ने की यह प्रक्रिया जारी रहती है (अर्थात $n \geq 3$ ), तो वितरण तेजी से घंटी के आकार का हो जाएगा।
 * इरविन-हॉल वितरण - इरविन-हॉल वितरण का उपयोग करना त्रिकोण वितरण उत्पन्न करने का एक आसान तरीका है।
 * बेट्स वितरण - इरविन-हॉल वितरण के समान, लेकिन मानों को 0 से 1 की सीमा में वापस लाया गया। एक त्रिभुज वितरण की गणना के लिए उपयोगी जिसे बाद में 0 से 1 सीमा के बाहर अन्य त्रिभुज वितरण बनाने के लिए पुन: स्केल और स्थानांतरित किया जा सकता है।

बाहरी संबंध

 * Triangle Distribution, decisionsciences.org
 * Triangular Distribution, brighton-webs.co.uk
 * Proof for the variance of triangular distribution, math.stackexchange.com
 * Proof for the variance of triangular distribution, math.stackexchange.com