हेरोनियन त्रिकोण

ज्यामिति में, हेरोनियन त्रिभुज (या हेरोन त्रिकोण) एक त्रिभुज है जिसकी भुजाओं की लंबाई $a$, $b$, और $c$ है और क्षेत्रफल $A$ सभी पूर्णांक हैं। हेरोनियन त्रिकोणों का नाम अलेक्जेंड्रिया के हेरॉन के नाम पर रखा गया है, जो हेरोन के सूत्र के संबंध पर आधारित है, जिसे हेरोन ने भुजाओं $13, 14, 15$ और क्षेत्रफल $84$ के उदाहरण त्रिकोण के साथ प्रदर्शित किया।

हीरोन के सूत्र का अर्थ है कि हेरोनियन त्रिकोण डायोफैंटाइन समीकरण के बिल्कुल धनात्मक पूर्णांक समाधान हैं
 * $$16\,A^2=(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b);$$ अर्थात्, यह किसी भी हेरोनियन त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई और क्षेत्रफल समीकरण को संतुष्ट करते हैं, और समीकरण का कोई भी धनात्मक पूर्णांक हल एक हेरोनियन त्रिभुज का वर्णन करता है।

यदि तीन भुजाओं की लंबाई पदशः सह-अभाज्य है, तो हेरोनियन त्रिभुज को अभाज्य कहा जाता है।

ऐसे त्रिभुज जिनकी भुजाओं की लंबाई और क्षेत्रफल सभी परिमेय संख्याएँ हैं (उपरोक्त समीकरण के धनात्मक परिमेय समाधान) को कभी-कभी हेरोनियन त्रिभुज या परिमेय त्रिभुज भी कहा जाता है; इस लेख में, इन अधिक सामान्य त्रिभुजों को परिमेय हेरोनियन त्रिभुज कहा जाएगा। प्रत्येक (अभिन्न) हेरोनियन त्रिभुज एक परिमेय हेरोनियन त्रिभुज है। इसके विपरीत, प्रत्येक परिमेय हेरोनियन त्रिभुज ठीक एक अभाज्य हेरोनियन त्रिभुज के समान (ज्यामिति) होता है।

किसी भी परिमेय हेरोनियन त्रिकोण में, तीन ऊंचाई (त्रिकोण), परित्रिज्या, अंतः त्रिज्या और ब्राहात्रिज्या, और तीन कोणों की साइन और कोसाइन भी सभी परिमेय संख्याएं हैं।

अभाज्य त्रिभुजों में स्केलिंग
$s$ के एक गुणक के साथ त्रिभुज को मापने में इसकी भुजाओं की लंबाई को $s$ से गुणा करना समिलित है; यह क्षेत्रफल को $$s^2$$ से गुणा करता है और एक समानता (ज्यामिति) त्रिभुज का निर्माण करता है। एक परिमेय संख्या गुणनखंड द्वारा एक परिमेय हेरोनियन त्रिभुज को मापन करना एक और परिमेय हेरोनियन त्रिकोण पैदा करता है।

पार्श्व लंबाई के एक परिमेय हेरोनियन त्रिभुज को देखते हुए $\frac pd, \frac qd,\frac rd,$  सोपानी गुणक $\frac d{\gcd(p,q,r)}$  एक परिमेय हेरोनियन त्रिभुज का निर्माण करें जैसे कि इसकी भुजा की लंबाई $a, b,c$  पदशः सह-अभाज्य संख्या हैं। नीचे यह सिद्ध किया गया है कि क्षेत्रफल $A$ एक पूर्णांक है, और इस प्रकार त्रिभुज एक हेरोनियन त्रिभुज है। ऐसे त्रिभुज को प्राय: अभाज्य हेरोनियन त्रिभुज कहा जाता है।

सारांश में, परिमेय हेरोनियन त्रिभुजों के प्रत्येक समानता तुल्यता वर्ग में ठीक एक अभाज्य हेरोनियन त्रिभुज होता है। प्रमाण का एक उपोत्पाद यह है कि अभाज्य हेरोनियन त्रिभुज की भुजाओं में से एक एक सम पूर्णांक है।

प्रमाण: सिद्ध करना होगा कि, यदि एक परिमेय हेरोनियन त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाई $a, b,c$   सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, तो क्षेत्रफल $A$ भी एक पूर्णांक है और ठीक एक भुजा की लंबाई सम संख्या है।

परिचय में दिए गए डायोफैंटाइन समीकरण तुरंत यह दर्शाता है कि $$16A^2$$ एक पूर्णांक है। इसका वर्गमूल $$4A$$ भी एक पूर्णांक है, क्योंकि पूर्णांक का वर्गमूल या तो एक पूर्णांक या एक अपरिमेय संख्या होता है।

यदि किसी एक भुजा की लंबाई सम है, तो समीकरण के दाहिने पक्ष के सभी गुणनखंड सम होते हैं, और, समीकरण को $16$ से विभाजित करके हमे यह प्राप्त होता है कि $$A^2$$ और $$A$$ पूर्णांक हैं।

जैसा कि भुजाओं की लंबाई को सह-अभाज्य माना जाता है, एक स्थिति को छोड़ दिया जाता है जहां एक या तीन भुजाओं की लंबाई विषम होती है। मान लीजिए कि $c$ विषम है, डायोफैंटाइन समीकरण के दाहिने हाथ को फिर से लिखा जा सकता है
 * $$((a+b)^2-c^2)(c^2-(a-b)^2),$$

$$a+b$$ और $$a-b$$ सम के साथ है। चूंकि एक विषम पूर्णांक का वर्ग  $$1$$सापेक्ष अंकगणित $4$ के सर्वांगसम होता है, समीकरण का दाहिना पक्ष $$-1$$ सापेक्ष $4$ के अनुरूप होना चाहिए। इस प्रकार यह असंभव है, कि किसी के पास डायोफैंटिन समीकरण का समाधान है, क्योंकि $$16A^2$$ पूर्णांक का वर्ग होना चाहिए, और पूर्णांक का वर्ग $0$ या $1$ सापेक्ष $4$ के सर्वांगसम होता है।

उदाहरण
कोई भी पाइथागोरस त्रिभुज एक हेरोनियन त्रिभुज है। परिभाषा के अनुसार, ऐसे त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई पूर्णांक होती है। ऐसे किसी त्रिभुज में, दो छोटी भुजाओं में से एक की लंबाई समान होती है, इसलिए क्षेत्रफल (इन दोनों भुजाओं का गुणनफल, दो से विभाजित) भी एक पूर्णांक होता है।

हेरोनियन त्रिभुजों के उदाहरण जो समकोण नहीं हैं, समद्विबाहु त्रिभुज हैं जो एक पाइथागोरस त्रिभुज और उसकी दर्पण छवि को समकोण की भुजाओं को जोड़कर प्राप्त किया जाता है। पायथागॉरियन त्रिक $3, 4, 5$ से शुरू होकर यह दो हेरोनियन त्रिभुज देता है जिसकी भुजाओं की लंबाई $(5, 5, 6)$ और $(5, 5, 8)$ और क्षेत्रफल $12$ है।

अधिक समान्यतः, दो पाइथागोरस त्रिक $$(a,b,c)$$ और $$(a,d,e)$$ सबसे बड़ी प्रविष्टियों $c$ और $e$ के साथ दिए गए हैं, भुजाओं की लंबाई$$c,e,b+d$$ और क्षेत्रफल $$\tfrac12a(b+d)$$ वाला हेरोनियन त्रिभुज प्राप्त करने के लिए लंबाई $$a$$ की भुजाओं के साथ संगत त्रिभुजों को जोड़ा जा सकता हैं (आकृति देखें) (यह एक पूर्णांक है, क्योंकि पायथागॉरियन त्रिभुज का क्षेत्रफल पूर्णांक है)।

ऐसे हेरोनियन त्रिभुज हैं जिन्हें पायथागॉरियन त्रिभुजों में समिलित होने से प्राप्त नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, भुजाओं की लंबाई$$5, 29, 30$$ और क्षेत्रफल 72 वाला हेरोनियन त्रिभुज, क्योंकि इसकी कोई भी ऊँचाई पूर्णांक नहीं है। ऐसे हेरोनियन त्रिभुज अविभाज्य कहलाते हैं. हालांकि, प्रत्येक हेरोनियन त्रिभुज को समकोण त्रिभुजों से परिमेय भुजाओं की लंबाई के साथ बनाया जा सकता है, और इस प्रकार यह एक विघटित हेरोनियन त्रिभुज के समान है। वास्तव में, त्रिभुज की कम से कम एक ऊँचाई त्रिभुज के अंदर होती है, और इसे दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करती है। इन त्रिभुजों के परिमेय भुजाएँ होती हैं, क्योंकि हेरोनियन त्रिभुज के कोणों की कोज्या और ज्या परिमेय संख्याएँ हैं, और, आकृति के अंकन के साथ, एक के पास है $$a=c\sin \alpha$$ और $$b=c\cos\alpha,$$ जहाँ $$\alpha$$ त्रिभुज का सबसे बायाँ कोण है।

परिमेयता गुण
एक हेरोनियन त्रिभुज से संबंधित कई मात्राएँ परिमेय संख्याएँ होती हैं। विशेष रूप से:


 * एक हेरोनियन त्रिभुज के सभी शीर्ष परिमेय होते हैं। इसे इस तथ्य से देखा जा सकता है कि एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उस ओर से उसकी ऊंचाई के एक भुजा के गुना का आधा होता है, और एक हेरोनियन त्रिभुज में पूर्णांक भुजाएँ और क्षेत्रफल होता है। कुछ हेरोनियन त्रिकोणों में तीन गैर-पूर्णांक ऊंचाई होती है, उदाहरण के लिए क्षेत्र 252 के साथ (15, 34, 35) और क्षेत्रफल 72 के साथ (5, 29, 30)। कोई भी हेरोनियन त्रिकोण एक या अधिक गैर-पूर्णांक ऊंचाई के साथ हो सकता है। समानता (ज्यामिति) हेरोनियन त्रिकोण को तीन पूर्णांक ऊंचाई के साथ प्राप्त करने के लिए ऊंचाई के हर के कम से कम सामान्य गुणक के बराबर एक गुणनखंड द्वारा बढ़ाया जा सकता है।
 * एक हेरोनियन त्रिभुज की सभी अंत्रिक भुजाएँ समद्विभाजक परिमेय होते हैं: किसी भी त्रिभुज के लिए ये निम्नलिखित हैं $$p_a=\tfrac{2aA}{a^2+b^2-c^2},$$ $$p_b=\tfrac{2bA}{a^2+b^2-c^2},$$ और $$p_c=\tfrac{2cA}{a^2-b^2+c^2},$$ जहाँ भुजाएँ a ≥ b ≥ c हैं और क्षेत्रफल A है; एक हेरोनियन त्रिभुज में सभी a, b, c और A पूर्णांक हैं।
 * एक हेरोनियन त्रिभुज के प्रत्येक आंतरिक कोण में एक परिमेय ज्या होती है। यह क्षेत्रफल सूत्र से निम्नानुसार है $Area = (1/2)ab sin C$, जिसमें क्षेत्रफल और भुजाएँ a और b पूर्णांक हैं, और समान रूप से अन्य आंतरिक कोणों के लिए भी।
 * एक हेरोनियन त्रिभुज के प्रत्येक आंतरिक कोण में एक परिमेय कोसाइन होता है। यह कोसाइन के नियम से अनुसरण करता है, $c^{2} = a^{2} + b^{2} − 2ab cos C$, जिसमें भुजाएँ a, b, और c पूर्णांक हैं, और समान रूप से अन्य आंतरिक कोणों के लिए भी।
 * चूंकि सभी हेरोनियन त्रिभुजों में सभी आंतरिक कोणों की ज्या और कोसाइन परिमेय होते हैं, इसका तात्पर्य है कि प्रत्येक आंतरिक कोण की स्पर्शरेखा, कर्ण, छेदक और कोसाइन या तो परिमेय या अनंत है।
 * प्रत्येक आंतरिक कोण के आधे अंश में एक परिमेय स्पर्शरेखा होती है क्योंकि $tan C/2 = sin C / (1 + cos C)$, और समान रूप से अन्य आंतरिक कोणों के लिए। इन आधे-कोण स्पर्शरेखा मूल्यों का ज्ञान एक अभाज्य हेरोनियन त्रिकोण (नीचे देखें) की भुजाओं की लंबाई को फिर से बनाने के लिए पर्याप्त है।
 * किसी भी त्रिभुज के लिए, परिवृत्त के परिकेंद्र से देखे जाने पर एक भुजा द्वारा फैला हुआ कोण भुजा के विपरीत त्रिभुज के शीर्ष के आंतरिक कोण का दुगुना होता है। क्योंकि एक हेरोनियन त्रिभुज के प्रत्येक आंतरिक कोण के लिए अर्ध-कोण स्पर्शरेखा परिमेय है, यह इस प्रकार है कि एक हेरोनियन त्रिभुज के ऐसे प्रत्येक केंद्रीय कोण का चौथाई-कोण स्पर्शरेखा परिमेय है। (साथ ही, ब्रह्मगुप्त चतुर्भुज के केंद्रीय कोणों के लिए चौथाई-कोण स्पर्शरेखा परिमेय हैं, लेकिन यह एक अनसुलझी समस्या है कि क्या यह सभी रॉबिन्स पंचभुज के लिए सही है।) समान्यतः सभी चक्रीय बहुभुजों के लिए विपरीत सच है; यदि ऐसे सभी केंद्रीय कोणों में उनके चौथाई कोणों के लिए परिमेय स्पर्शरेखाएँ हैं, तो चक्रीय बहुभुज को एक साथ पूर्णांक भुजा लंबाई और पूर्णांक क्षेत्र तक बढ़ाया जा सकता है।
 * ऐसे कोई हेरोनियन त्रिभुज नहीं हैं जिनके तीन आंतरिक कोण अंकगणितीय प्रगति बनाते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि अंकगणितीय प्रगति में आंतरिक कोण वाले सभी समतल त्रिभुजों में 60° का एक आंतरिक कोण होना चाहिए, जिसमें परिमेय ज्या नहीं होती है।
 * हेरोनियन त्रिभुज में उत्कीर्ण किसी भी वर्ग में परिमेय भुजाएँ होती हैं: एक सामान्य त्रिभुज के लिए लंबाई a की भुजा पर त्रिभुज में अंकित आकृतियों की लंबाई होती है $$\tfrac{2Aa}{a^2+2A}$$ जहाँ A त्रिभुज का क्षेत्रफल है; एक हेरोनियन त्रिभुज में, A और a दोनों पूर्णांक हैं।
 * प्रत्येक हेरोनियन त्रिभुज में एक परिमेय अंतर्त्रिज्या (इसके उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या) होती है: एक सामान्य त्रिभुज के लिए अंतःत्रिज्या आधे परिधि के क्षेत्रफल का अनुपात होता है, और ये दोनों एक हेरोनियन त्रिभुज में परिमेय होते हैं।
 * प्रत्येक हेरोनियन त्रिभुज में एक परिमेय परित्रिज्या (इसके परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या) होती है: एक सामान्य त्रिभुज के लिए परित्रिज्या क्षेत्रफल द्वारा विभाजित भुजाओं के गुणनफल के एक-चौथाई के बराबर होती है; एक हेरोनियन त्रिभुज में भुजाएँ और क्षेत्रफल पूर्णांक होते हैं।
 * एक हेरोनियन त्रिभुज में केन्द्रक से प्रत्येक पक्ष की दूरी परिमेय है क्योंकि, सभी त्रिभुजों के लिए, यह दूरी क्षेत्रफल के दोगुने से भुजा की लंबाई के तीन गुना के अनुपात में होती है। यह कहते हुए सामान्यीकृत किया जा सकता है कि हेरोनियन त्रिभुजों से जुड़े सभी केंद्र जिनके बेरिकेंट्रिक समन्वय निर्देशांक परिमेय अनुपात हैं, प्रत्येक पक्ष के लिए एक परिमेय दूरी है। इन केंद्रों में परिकेन्द्र, लंबकेन्द्र, नौ-बिंदु केंद्र, सिम्मेडियन बिंदु, गेर्गोन बिंदु और नागल बिंदु समिलित हैं।
 * प्रत्येक हेरोनियन त्रिभुज को एक इकाई-पक्षीय वर्ग जालक पर रखा जा सकता है, जिसमें प्रत्येक शीर्ष एक जालक बिंदु पर होता है। एक उपप्रमेय के रूप में, प्रत्येक परिमेय हेरोनियन त्रिभुज को सभी परिमेय-मूल्यवान निर्देशांकों के साथ द्वि-आयामी कार्तीय समन्वय निर्देशांक में रखा जा सकता है।

भुजाओं की लंबाई के गुण
यहाँ हेरोनियन त्रिभुजों की भुजाओं की लंबाई के कुछ गुण हैं, जिनकी भुजाएँ हैं $a, b, c$ और क्षेत्रफल $A$ है।
 * प्रत्येक अभाज्य हेरोनियन त्रिभुज हेरोनियन त्रिभुज में एक सम और दो विषम भुजाएँ होती हैं (देखें ). इससे पता चलता है कि हेरोनियन त्रिभुज की एक या तीन भुजाएँ सम लंबाई की होती हैं, और यह कि अभाज्य हेरोनियन त्रिभुज की परिधि हमेशा एक सम संख्या होती है।
 * कोई समबाहु हेरोनियन त्रिभुज नहीं हैं, क्योंकि अभाज्य हेरोनियन त्रिभुज की एक सम भुजा लंबाई और दो विषम भुजा लंबाई होती है।
 * एक हेरोनियन त्रिभुज का क्षेत्रफल हमेशा 6 से विभाज्य होता है।
 * 1 या 2 भुजाओं वाली कोई हेरोनियन त्रिभुज नहीं हैं। दिए गए $$a$$ के बराबर एक भुजा की लंबाई के साथ अभाज्य हेरोनियन त्रिभुजों की अनंत संख्या स्थित हैं,

.
 * एक हेरोनियन त्रिभुज का अर्धपरिमाप अभाज्य नहीं हो सकता (जैसे कि $$s(s-a)(s-b)(s-c)$$ क्षेत्रफल का वर्ग है, और क्षेत्रफल एक पूर्णांक है, यदि $c$ अभाज्य होगा, इसे दूसरे गुणनखंड को विभाजित करना चाहिए; यह असंभव है क्योंकि ये सभी गुणनखंड $8$ से कम हैं).
 * हेरोनियन त्रिकोण जिनमें कोई पूर्णांक ऊंचाई नहीं है (अविघटनीय और गैर-पाइथागोरस) की भुजाएँ जो सभी $64$ के अभाज्य द्वारा विभाजित है।. हालाँकि विघटित हेरोनियन त्रिभुजों में दो भुजाएँ होनी चाहिए जो पाइथागोरस त्रिभुजों का कर्ण हैं। इसलिए सभी हेरोनियन त्रिभुज जो पाइथागोरस के नहीं हैं, उनकी कम से कम दो भुजाएँ होती हैं जो $3$ रूप की अभाज्य संख्याओं से विभाजित होती हैं. जो बचा है वह पायथागॉरियन त्रिभुज हैं। इसलिए, सभी हेरोनियन त्रिभुजों में कम से कम एक भुजा होती है जो $3$ के रूप की अभाज्य संख्याओं से विभाज्य होती है। अंत में यदि हेरोनियन त्रिभुज का केवल एक भुजा $s$ के रूप के अभाज्य संख्यों से विभाजित होती है, तो यह पाइथागोरस की भुजा के साथ कर्ण के रूप में होना चाहिए और कर्ण को 5 से विभाजित होना चाहिए।
 * ऐसे कोई हेरोनियन त्रिभुज नहीं हैं जिनकी भुजाओं की लंबाई एक ज्यामितीय प्रगति बनाती है।
 * यदि किसी हेरोनियन त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं (लेकिन तीन नहीं) में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है, तो वह गुणनखंड दो वर्गों का योग होना चाहिए।

पैरामीट्रिजेशन
पैरामीट्रिक समीकरण या हेरोनियन त्रिभुजों के पैरामीट्रिजेशन में एक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई और क्षेत्रफल की अभिव्यक्ति होती है जैसे कि कुछ मापदंडों के फलन— समान्यतः बहुपद फलन - जैसे कि त्रिकोण हेरोनियन है अगर और केवल परिमाप कुछ बाधाओं को पूरा करते हैं—समान्यतः, धनात्मक पूर्णांक होने के लिए कुछ असमानताओं को संतुष्ट करते हैं। समान्यतः यह भी जरूरी है कि सभी हेरोनियन त्रिकोण परिमाप के कुछ मूल्यों के लिए मापन

प्राप्त किए जा सकते हैं, और ये मान अद्वितीय हैं, यदि त्रिकोण के भुजाओं पर एक आदेश निर्दिष्ट किया गया है।

इस तरह के पहले पैरामीट्रिजेशन की खोज ब्रह्मगुप्त (598-668 A.D.) ने की थी, जिन्होंने यह सिद्ध नहीं किया कि सभी हेरोनियन त्रिकोण पैरामीट्रिजेशन द्वारा उत्पन्न किए जा सकते हैं। 18वीं शताब्दी में, लियोनार्ड यूलर ने एक और पैरामीट्रिजेशन प्रदान किया और सिद्ध किया कि यह सभी हेरोनियन त्रिकोण उत्पन्न करता है। इन पैरामीट्रिजेशन का वर्णन अगले दो उपखंडों में किया गया है।

तीसरे उपखंड में, एक परिमेय पैरामीट्रिजेशन— जो पैरामीट्रिजेशन है जहां परिमाप धनात्मक परिमेय संख्याएं हैं— स्वाभाविक रूप से यह हेरोनियन त्रिभुजों के गुणों से प्राप्त होता है। ब्रह्मगुप्त और यूलर के पैरामीट्रिजेशन दोनों को इस परिमेय पैरामीट्रिजेशन से समाशोधन हर द्वारा पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। यह एक प्रमाण प्रदान करता है कि ब्रह्मगुप्त और यूलर के पैरामीट्रिजेशन सभी हेरोनियन त्रिकोण उत्पन्न करते हैं।

ब्रह्मगुप्त का पैरामीट्रिक समीकरण
भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त (598-668 A.D.) ने हेरोनियन त्रिकोण बनाने के लिए निम्नलिखित पैरामीट्रिक समीकरणों की खोज की, लेकिन यह सिद्ध नहीं किया कि हेरोनियन त्रिभुजों की प्रत्येक समरूपता (ज्यामिति) वर्ग को इस प्रकार प्राप्त किया जा सकता है।

तीन धनात्मक पूर्णांकों के लिए $A$, $c$ और $3$ जो कि सह-अभाज्य पूर्णांक हैं ($$\gcd(m,n,k)=1$$) और संतुष्ट $$mn > k^2$$ (धनात्मक पक्ष की लंबाई की गारंटी के लिए) और $m \ge n$ (विशिष्टता के लिए):


 * $$\begin{align}

a &= n(m^2 + k^2), & s - a &= \tfrac12(b + c - a) = n(mn - k^2), \\ b &= m(n^2 + k^2), & s - b &= \tfrac12(c + a - b) = m(mn - k^2), \\ c &= (m + n)(mn - k^2), & s - c &= \tfrac12(a + b - c) = (m + n)k^2, \\ && s &= \tfrac12(a + b + c) = mn(m + n), \\ A &= mnk(m+n)(mn-k^{2}), & r &= k(mn - k^2), \\ \end{align}$$ जहाँ $3$ अर्ध परिमाप है, $3$ क्षेत्रफल है, और $3$ अंतःत्रिज्या है।

परिणामी हेरोनियन त्रिकोण हमेशा अभाज्य नहीं होता है, और संबंधित अभाज्य त्रिकोण प्राप्त करने के लिए मापन की आवश्यकता हो सकती है। उदाहरण के लिए, माना $4k+1$, $4k+1$ और $4k+1$ एक त्रिकोण बनाता है $4k+1$, $m = 36$ और $n = 4$, जो $k = 3$ हेरोनियन त्रिभुज के समान है, जिसका अनुपातिक गुणक $a = 5220$. है।

तथ्य यह है कि उत्पन्न त्रिभुज अभाज्य नहीं है, इस पैरामीट्रिजेशन का उपयोग सभी हेरोनियन त्रिकोणों को एक निश्चित सीमा से कम लंबाई के आकार के साथ उत्पन्न करने के लिए एक बाधा है क्योंकि $$\gcd(a,b,c)$$ की भविष्यवाणी नहीं की जा सकती।

यूलर का पैरामीट्रिक समीकरण
लियोनार्ड यूलर द्वारा सभी हेरोनियन त्रिभुजों को उत्पन्न करने की निम्नलिखित विधि की खोज की गई थी, जो ऐसे सभी त्रिभुजों को सिद्ध करने वाले पहले व्यक्ति थे।

चार धनात्मक पूर्णांकों के लिए $3$, $s$ के लिए सह-अभाज्य और $m$, $n$ के लिए सह-अभाज्य ($\gcd{(m, n)} = \gcd{(p, q)} = 1$) संतुष्टि देने वाला $$mp > nq$$ (धनात्मक पक्ष की लंबाई की गारंटी के लिए):


 * $$\begin{align}

a &= mn(p^2 + q^2),     & s - a &= mq(mp - nq), \\ b &= pq(m^2 + n^2),     & s - b &= np(mp - nq), \\ c &= (mq + np)(mp - nq), & s - c &= nq(mq + np), \\ &                       &     s &= mp(mq + np), \\ A &= mnpq(mq + np)(mp - nq), & r &= nq(mp - nq), \\ \end{align}$$

जहाँ $k$ अर्ध परिमाप है, $s$ क्षेत्र है, और $A$ अंतःत्रिज्या है।

यहां तक ​​कि जब $r$, $m$, $n$, और $p$ जोड़ीवार सहअभाज्य हैं, परिणामी हेरोनियन त्रिभुज अभाज्य नहीं हो सकता है। विशेष रूप से, अगर $q$, $s$, $A$, और $r$ सभी विषम हैं, तीनों भुजाएँ सम हैं। तो यह भी संभव है $m$, $n$, और $p$ के अतिरिक्त एक सामान्य विभाजक $b = 900$ है। उदाहरण के लिए, $c = 5400$, $(5, 29, 30)$, $180$, और $2$, के साथ हमे $m = 2$ प्राप्त होता है, जहां प्रत्येक भुजा की लंबाई का गुणक $n = 1$ है संबंधित अभाज्य त्रिक $p = 7$ है, जिसे $q = 4$ से उत्पन्न त्रिक को दो से विभाजित करके भी प्राप्त किया जा सकता है, फिर $(a, b, c) = (130, 140, 150)$ और $10$.का आदान-प्रदान किया जा सकता है।

आधा कोण स्पर्शरेखा पैरामीट्रिजेशन
माना कि $$a, b, c$$ त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई है, मान लीजिए $$\alpha, \beta, \gamma$$ इन भुजाओं के विपरीत आंतरिक कोण बनें, और मान लें $t = \tan\frac\alpha2,$ $u = \tan\frac\beta2,$  और  आधा कोण स्पर्शरेखा हो। मान $$t, u, v$$ सभी धनात्मक और संतुष्ट $$tu + uv + vt = 1$$ है; यह "त्रिक स्पर्शरेखा पहचान" मूल त्रिकोण पहचान के आधे कोण स्पर्शरेखा संस्करण के रूप में लिखी गई है $\frac\alpha 2 + \frac\beta 2 + \frac\gamma 2 = \frac\pi 2$  रेडियन (अर्थात, 90°), जैसा कि कोण योग सूत्रों का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है। साइन्स सिद्धांत और कोसाइन सिद्धांत के द्वारा, सभी साइन्स और कोसाइन्स के $$\alpha, \beta, \gamma$$ परिमेय संख्याएँ हैं यदि त्रिभुज एक परिमेय हेरोनियन त्रिभुज है और इस प्रकार यह इस स्थिति में अनुसरण करता है कि अर्ध-कोण स्पर्शरेखा भी परिमेय हैं।

इसके विपरीत यदि $$t, u, v$$ धनात्मक परिमेय संख्याएँ हैं जैसे कि $$tu + uv + vt = 1,$$ वे समान हेरोनियन त्रिभुजों के एक वर्ग के आंतरिक कोणों की अर्ध-कोण स्पर्शरेखाएँ हैं। स्थिति $$tu + uv + vt = 1$$ को $v = \frac{1-tu}{t+u},$ में नर्व्यवस्थित किया जा सकता है और प्रतिबंध $$v > 0$$ के लिए $$tu < 1.$$ की आवश्यकता है। इस प्रकार परिमेय हेरोनियन त्रिभुजों के समानता वर्गों और धनात्मक परिमेय संख्याओं के युग्मों $$(t, u)$$ जिनका गुणनफल $(13, 14, 15)$ से कम है।

इस द्विभाजन को स्पष्ट करने के लिए, समानता वर्ग के एक विशिष्ट सदस्य के रूप में, एक इकाई-व्यास वृत्त में अंकित त्रिकोण को विपरीत कोणों की साइन के बराबर लंबाई के साथ चुन सकते हैं:
 * $$\begin{align}

a &= \sin\alpha = \frac{2t}{1+t^2}, & s - a = \frac{2u(1-tu)}{(1+t^2)(1+u^2)}, \\[5mu] b &= \sin\beta = \frac{2u}{1+u^2}, & s - b = \frac{2t(1-tu)}{(1+t^2)(1+u^2)}, \\[5mu] c &= \sin\gamma = \frac{2(t+u)(1-tu)}{(1+t^2)(1+u^2)}, & s - c = \frac{2tu(t+u)}{(1+t^2)(1+u^2)}, \\[5mu] &                                      &     s = \frac{2(t+u)}{(1+t^2)(1+u^2)}, \\ A &= \frac{4tu(t+u)(1-tu)}{(1+t^2)^2(1+u^2)^2}, & r = \frac{2tu(1-tu)}{(1+t^2)(1+u^2)}, \end{align}$$ जहाँ $$s = \tfrac12(a + b + c)$$ अर्ध परिमाप है, $$A = \tfrac12 ab \sin \gamma$$ क्षेत्रफल है, $$r = \sqrt{\tfrac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}$$ अंतःत्रिज्या है, और ये सभी मान परिमेय हैं क्योंकि $$t$$ और $$u$$ परिमेय हैं।

एक (अभिन्न) हेरोनियन त्रिभुज प्राप्त करने के लिए, $q$, $m$, और $n$ के हर को साफ किया चाहिए। इसे करने के बहुत सारे प्रकार हैं। अगर $$t = m/n$$ और $$u = p/q,$$ के साथ $$\gcd(m, n) = \gcd(p,q) = 1$$ (अलघुकरणीय भिन्न), और त्रिभुज को $$\tfrac12(m^2 + n^2)(p^2 + q^2),$$ द्वारा बढ़ाया जाता है, इसका परिणाम यूलर का पैरामीट्रिजेशन है। अगर $$t = m/k$$ और $$u = n/k$$ के साथ $$\gcd(m, n, k) = 1$$ (न्यूत्रिकोण भाजक), और त्रिकोण को $$(k^2 + m^2)(k^2 + n^2)/2k,$$ द्वारा बढ़ाया गया है, परिणाम समान है लेकिन ब्रह्मगुप्त के पैरामीट्रिजेशन के समान नहीं है। अगर, इसके विपरीत, $$1/t$$ और $$1/u$$ जो निम्नतम सामान्य भाजक तक कम हो जाते हैं, अर्थात यदि $$t = k/m$$ और $$u = k/n$$ के साथ $$\gcd(m, n, k) = 1,$$ तब किसी को त्रिभुज को मापन करके ब्रह्मगुप्त का पैरामीट्रिजेशन $$(k^2 + m^2)(k^2 + n^2)/2k.$$ मिलता है।

यह साबित करता है कि या तो पैरामीट्रिजेशन सभी हेरोनियन त्रिकोण उत्पन्न करता है।

अन्य परिणाम
ने हेरोनियन त्रिकोण उत्पन्न करने के लिए तेज़ कलन विधि प्राप्त की है।

अपरिमित रूप से कई अभाज्य और अविघटनीय गैर-पाइथागोरियन हेरोनियन त्रिभुज हैं, जो अंतःत्रिज्या $$r$$ के लिए पूर्णांक मानों के साथ और तीनों l अंतःत्रिज्या $$(r_a, r_b, r_c)$$, सहित उत्पन्न किए जाते है


 * $$\begin{align}

a &= 5(5n^2 + n - 1),              & r_a &= 5n+3,     \\ b &= (5n + 3)(5n^2 - 4n + 1),      & r_b &= 5n^2+n-1, \\ c &= (5n - 2)(5n^2 + 6n + 2),      & r_c &= (5n - 2)(5n + 3)(5n^2 + n - 1), \\ &                                  & r &= 5n - 2, \\ A &= (5n - 2)(5n + 3)(5n^2 + n - 1) = r_c. \end{align}$$ अपरिमित रूप से कई हेरोनियन त्रिकोण हैं जिन्हें एक जालक पर रखा जा सकता है जैसे कि सभी हेरोनियन त्रिकोणों के लिए न केवल जालक बिंदुओं पर भुजाओं के लिए, बल्कि इसके अतिरिक्त अंतःवृत्त और बहिर्वृत्त के केंद्र जालक बिंदुओं पर हैं। कुछ प्रकार के हेरोनियन त्रिभुजों के पैरामीट्रिजेशन के लिए पूर्णांक त्रिभुज भी देखे।

उदाहरण
अभाज्य पूर्णांक हेरोनियन त्रिकोणों की सूची, क्षेत्रफल द्वारा क्रमबद्ध और यदि यह समान है,

परिमाप के अनुसार, निम्न तालिका के अनुसार शुरू होता है। अभाज्य का अर्थ है कि तीन भुजाओं की लंबाई का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक 1 के बराबर है।

अभाज्य हेरोनियन त्रिभुजों की सूची जिनकी भुजाएँ 6,000,000 से अधिक नहीं हैं, में पाई जा सकती है

पूर्ण वर्ग भुजाओं के साथ हेरोनियन त्रिकोण
पूर्ण वर्ग भुजाओं वाले हेरोनियन त्रिभुज पूर्ण घनाभ समस्या से संबंधित हैं। फरवरी 2021 तक, पूर्ण वर्ग भुजाओं वाले केवल दो अभाज्य हेरोनियन त्रिभुज ज्ञात हैं:

(1853², 4380², 4427², क्षेत्रफल=32918611718880), 2013 में प्रकाशित।

(11789², 68104², 68595², क्षेत्रफल=284239560530875680), 2018 में प्रकाशित।

समान त्रिभुज
एक आकृति को सम आकार कहा जाता है यदि उसका क्षेत्रफल उसके परिमाप के बराबर हो। वास्तव में पाँच समान हेरोनियन त्रिभुज हैं : भुजाओं की लंबाई वाले (5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20), और (9,10), 17), हालांकि उनमें से केवल चार ही अभाज्य हैं।

लगभग-समबाहु हेरोनियन त्रिकोण
चूँकि परिमेय भुजाओं वाले एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल एक अपरिमेय संख्या है, कोई भी समबाहु त्रिभुज हेरोनियन नहीं है। हालाँकि, समद्विबाहु हेरोनियन त्रिभुजों का एक क्रम जो "लगभग समबाहु" हैं, को समकोण त्रिभुजों के दोहराव से विकसित किया जा सकता है, जिसमें कर्ण पैरों में से एक से लगभग दोगुना लंबा होता है। इन लगभग-समबाहु त्रिभुजों के पहले कुछ उदाहरण निम्न तालिका में सूचीबद्ध हैं : हेरोनियन त्रिभुजों का एक अनूठा क्रम है जो "लगभग समबाहु" हैं क्योंकि तीन भुजाएँ n − 1, n, n +1 के रूप में हैं। निरंतर भिन्नों के आधार पर इस समस्या के सभी समाधानों को उत्पन्न करने के लिए एक विधि का वर्णन 1864 में एडवर्ड कंपनी  द्वारा किया गया था, और 1880 में रेनहोल्ड हॉपी ने समाधान के लिए एक बंद रूप अभिव्यक्ति दी। इन लगभग-समबाहु त्रिभुजों के पहले कुछ उदाहरण निम्न तालिका में सूचीबद्ध हैं : n के बाद के मान पिछले मान को 4 से गुणा करके, फिर उससे पहले के मान को घटाकर (52 = 4 × 14 - 4, 194 = 4 × 52 - 14, आदि) द्वारा प्राप्त किए जा सकते है, इस प्रकार:


 * $$n_t = 4n_{t-1} - n_{t-2} \, ,$$

जहाँ t तालिका में किसी भी पंक्ति को दर्शाता है। यह एक लुकास क्रम है। वैकल्पिक रूप से, सूत्र $$(2 + \sqrt{3})^t + (2 - \sqrt{3})^t$$ धनात्मक पूर्णांक t के लिए सभी n उत्पन्न करता है। समतुल्य रूप से, माना A = क्षेत्रफल और y = अंतःत्रिज्या, फिर,


 * $$\big((n-1)^2+n^2+(n+1)^2\big)^2-2\big((n-1)^4+n^4+(n+1)^4\big) = (6n y)^2 = (4A)^2$$

जहां {n, y} n2 − 12y2 = 4 के समाधान हैं। एक छोटा परिवर्तन n = 2x एक पारंपरिक पेल समीकरण x2 − 3y2 = 1 देता है, जिसके समाधान के लिए $p$ निरंतर अंश विस्तार से प्राप्त किया जा सकता है।

चर n $$n=\sqrt{2 + 2 k}$$ के रूप का है, जहां k7, 97, 1351, 18817, … है। इस क्रम की संख्याओं में यह गुण है कि k क्रमागत पूर्णांकों में समाकल मानक विचलन होता है।

यह भी देखें

 * हेरोनियन टेट्राहेड्रॉन
 * ब्रह्मगुप्त चतुर्भुज
 * रॉबिन्स पेंटागन
 * पूर्णांक त्रिभुज # हेरोनियन त्रिभुज

बाहरी संबंध

 * Online Encyclopedia of Integer Sequences Heronian
 * Online Encyclopedia of Integer Sequences Heronian