पेडल वक्र

गणित में, दिए गए वक्र का एक पेडल वक्र इस वक्र की स्पर्श रेखाओं पर एक निश्चित बिंदु के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण से उत्पन्न होता है। अधिक सटीक रूप से, समतल वक्र C और दिए गए निश्चित पेडल बिंदु P के लिए, C का पेडल वक्र बिंदु X का बिंदुपथ (गणित) है ताकि रेखा (ज्यामिति) PX बिंदु X से गुजरने वाले वक्र के स्पर्शरेखा T के लंबवत हो। इसके विपरीत, वक्र C पर किसी भी बिंदु R पर, T को उस बिंदु R पर स्पर्श रेखा होने दें; तब स्पर्शरेखा T पर एक अद्वितीय बिंदु X होता है जो पेडल बिंदु P के साथ स्पर्शरेखा T के लंबवत रेखा बनाता है (विशेष मामले के लिए जब निश्चित बिंदु P स्पर्शरेखा T पर स्थित है, अंक X और P संयोग करते हैं) - पेडल वक्र ऐसे बिंदुओं का सेट है X, जिसे  कहा जाता है निश्चित बिंदु P से स्पर्शरेखा T के लम्बवत् का पाद, क्योंकि चर बिंदु R वक्र C'' पर स्थित है।

पैडल कर्व को पूरक करते हुए, R पर C के सामान्य रेखा पर एक अनूठा बिंदु Y है, ताकि PY सामान्य के लंबवत हो, इसलिए PXRY एक (संभवतः पतित) आयत है। बिंदुओं 'Y' के स्थान को कॉन्ट्रापेडल वक्र कहा जाता है।

वक्र का ओर्थोटोमिक इसका पैडल 2 के गुणक द्वारा आवर्धित होता है ताकि समानता का केंद्र P हो। यह स्पर्शरेखा T के माध्यम से P के प्रतिबिंब का बिंदुपथ है।

पैडल कर्व C कर्व्स की श्रृंखला में पहला है1, सी2, सी3आदि, जहां सी1 C, C का पैडल है2 C का पैडल है1, और इसी तरह। इस योजना में सी1 सी, सी के पहले सकारात्मक पेडल के रूप में जाना जाता है2 सी का दूसरा सकारात्मक पेडल है, और इसी तरह। दूसरी दिशा में जाने पर, C, C1 का पहला नकारात्मक पैडल है, C2 का दूसरा नकारात्मक पेडल, वगैरह।

कार्तीय समीकरण से
P को मूल मान लीजिए। समीकरण F(x, y)=0 द्वारा दिए गए वक्र के लिए, यदि R=(x पर स्पर्श रेखा का समीकरण0, और0) के रूप में लिखा गया है
 * $$\cos \alpha x + \sin \alpha y = p$$

तो वेक्टर (cos α, sin α) सेगमेंट पीएक्स के समानांतर है, और पीएक्स की लंबाई, जो स्पर्शरेखा रेखा से मूल तक की दूरी है, पी है। तो X को ध्रुवीय निर्देशांक (p, α) द्वारा दर्शाया गया है और (p, α) को (r, θ) द्वारा प्रतिस्थापित करने से पेडल वक्र के लिए एक ध्रुवीय समीकरण उत्पन्न होता है।

उदाहरण के लिए, दीर्घवृत्त के लिए
 * $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

पर स्पर्शरेखा रेखा R=(x0, और0) है
 * $$\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1$$

और इसे ऊपर दिए गए फॉर्म में लिखने की आवश्यकता है
 * $$\frac{x_0}{a^2}=\frac{\cos \alpha}{p},\,\frac{y_0}{b^2}=\frac{\sin \alpha}{p}.$$

दीर्घवृत्त के समीकरण का उपयोग x को समाप्त करने के लिए किया जा सकता है0 और वाई0 दे रही है
 * $$a^2 \cos^2 \alpha + b^2 \sin^2 \alpha = p^2,\,$$

और (r, θ) में बदलने से प्राप्त होता है
 * $$a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta = r^2,\,$$

पेडल के लिए ध्रुवीय समीकरण के रूप में। यह आसानी से कार्टेशियन समीकरण में परिवर्तित हो जाता है
 * $$a^2 x^2 + b^2 y^2 = (x^2+y^2)^2.\,$$

ध्रुवीय समीकरण से
पी के लिए मूल और सी ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में r = f(θ) द्वारा दिया गया है। चलो R=(r, θ) वक्र पर एक बिंदु बनें और X=(p, α) पेडल वक्र पर संबंधित बिंदु बनें। चलो ψ स्पर्शरेखा रेखा और त्रिज्या वेक्टर के बीच के कोण को दर्शाता है, जिसे कभी-कभी स्पर्शरेखा कोण#ध्रुवीय के रूप में जाना जाता है। द्वारा दिया गया है
 * $$r=\frac{dr}{d\theta}\tan \psi.$$

तब
 * $$p=r\sin \psi$$

और
 * $$\alpha = \theta + \psi - \frac{\pi}{2}.$$

इन समीकरणों का उपयोग p और α में एक समीकरण उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है, जो r और θ में अनुवादित होने पर पेडल वक्र के लिए एक ध्रुवीय समीकरण देता है। उदाहरण के लिए, वक्र को r = a cos θ द्वारा दिया गया वृत्त होने दें। तब
 * $$a \cos \theta = -a \sin \theta \tan \psi$$

इसलिए
 * $$\tan \psi = -\cot \theta,\, \psi = \frac{\pi}{2} + \theta, \alpha = 2 \theta.$$

भी
 * $$p=r\sin \psi\ = r \cos \theta = a \cos^2 \theta = a \cos^2 {\alpha \over 2}.$$

तो पेडल का ध्रुवीय समीकरण है
 * $$r = a \cos^2 {\theta \over 2}.$$

पेडल समीकरण से
एक वक्र और उसके पेडल के पेडल समीकरण निकट से संबंधित हैं। यदि P को पेडल बिंदु और मूल बिंदु के रूप में लिया जाता है, तो यह दिखाया जा सकता है कि बिंदु R पर वक्र और त्रिज्या वेक्टर के बीच का कोण बिंदु X पर पेडल वक्र के संगत कोण के बराबर है। यदि p है P से वक्र की स्पर्शरेखा (यानी PX) तक खींचे गए लंब की लंबाई और q, P से स्पर्शरेखा से पैडल तक खींचे गए संगत लंब की लंबाई है, फिर समान त्रिभुजों द्वारा
 * $$\frac{p}{r}=\frac{q}{p}.$$

यह तुरंत अनुसरण करता है कि यदि वक्र का पेडल समीकरण f(p,r)=0 है तो पेडल वक्र के लिए पेडल समीकरण है
 * $$f(r,\frac{r^2}{p})=0$$

इससे सभी सकारात्मक और नकारात्मक पैडल की गणना आसानी से की जा सकती है यदि वक्र का पेडल समीकरण ज्ञात हो।

पैरामीट्रिक समीकरणों से
होने देना $$\vec{v} = P - R$$ R से P के लिए सदिश बनें और लिखें
 * $$\vec{v} = \vec{v}_{\parallel}+\vec{v}_\perp$$,

के स्पर्शरेखा और सामान्य घटक $$\vec{v}$$ वक्र के संबंध में। तब $$\vec{v}_{\parallel}$$ R से X तक का सदिश है जिससे X की स्थिति की गणना की जा सकती है।

विशेष रूप से, यदि c वक्र का पैरामीट्रिक वक्र है तो
 * $$t\mapsto c(t)+{ c'(t) \cdot (P-c(t))\over|c'(t)|^2} c'(t)$$

पैडल वक्र को पैरामीट्रिसेस करता है (उन बिंदुओं की अवहेलना करता है जहां c' शून्य या अपरिभाषित है)।

पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित वक्र के लिए, पेडल बिंदु (0; 0) के साथ इसका पेडल वक्र परिभाषित किया गया है
 * $$X[x,y]=\frac{(xy'-yx')y'}{x'^2 + y'^2}$$
 * $$Y[x,y]=\frac{(yx'-xy')x'}{x'^2 + y'^2}.$$

कॉन्ट्रापेडल वक्र द्वारा दिया गया है:
 * $$t\mapsto P-{ c'(t) \cdot (P-c(t))\over|c'(t)|^2} c'(t)$$

समान पेडल बिंदु के साथ, कॉन्ट्रापेडल वक्र दिए गए वक्र के विकास का पेडल वक्र है।

ज्यामितीय गुण
एक समकोण पर सख्ती से चलते हुए विचार करें ताकि एक पैर बिंदु P पर बना रहे और दूसरा पैर वक्र के स्पर्शरेखा पर रहे। फिर इस कोण का शीर्ष X है और पेडल वक्र का पता लगाता है। जैसे-जैसे कोण चलता है, P पर इसकी गति की दिशा PX के समानांतर होती है और R पर इसकी गति की दिशा स्पर्शरेखा T = RX के समानांतर होती है। इसलिए, रोटेशन का तत्काल केंद्र पीएक्स पर पीएक्स के लंबवत और आरएक्स पर लंबवत रेखा का चौराहे है, और यह बिंदु वाई है। यदि इस प्रकार है कि एक्स पर पेडल के स्पर्शरेखा XY के लंबवत है।

व्यास PR के साथ एक वृत्त खींचिए, फिर यह आयत PXRY को परिगत करता है और XY एक अन्य व्यास है। वृत्त और पैडल दोनों XY के लंबवत हैं इसलिए वे X पर स्पर्शरेखा हैं। इसलिए पैडल PR व्यास वाले वृत्तों का आवरण (गणित) है जहाँ R वक्र पर स्थित है।

रेखा YR वक्र के लिए सामान्य है और ऐसे मानदंडों का लिफाफा इसका विकास है। इसलिए, YR एवोल्यूशन के लिए स्पर्शरेखा है और बिंदु Y, P से इस स्पर्शरेखा के लंबवत का पैर है, दूसरे शब्दों में Y इवोल्यूशन के पैडल पर है। यह इस प्रकार है कि एक वक्र का कॉन्ट्रापेडल इसके उत्थान का पेडल है।

मान लीजिए कि C' को P की ओर 2 के कारक द्वारा C को सिकोड़ने से प्राप्त वक्र है। तब R के संगत बिंदु R' आयत PXRY का केंद्र है, और R' पर C' की स्पर्श रेखा इस आयत को PY के समानांतर समद्विभाजित करती है और एक्सआर। प्रकाश की एक किरण P से शुरू होती है और C' द्वारा R' पर परावर्तित होकर फिर Y से होकर गुजरेगी। परावर्तित किरण, जब विस्तारित होती है, वह रेखा XY होती है जो C के पैडल के लंबवत होती है। पैडल के लंबवत रेखाओं का आवरण है फिर परावर्तित किरणों का लिफाफा या C' का प्रलय। यह साबित करता है कि एक वक्र का प्रलय उसके ऑर्थोटोमिक का विकास है।

जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, व्यास PR वाला वृत्त पैडल को स्पर्श करता है। इस वृत्त का केंद्र R' है जो वक्र C' का अनुसरण करता है।

मान लीजिए D', C' के अनुरूप एक वक्र है और D' को बिना फिसले लुढ़कने दें, जैसा कि रूलेट (वक्र) की परिभाषा में C' पर है, ताकि D' हमेशा उस रेखा के संबंध में C' का प्रतिबिंब हो, जिस पर वे परस्पर स्पर्शरेखा हैं। फिर जब वक्र R' पर स्पर्श करते हैं तो गतिमान तल पर P के अनुरूप बिंदु X होता है, और इसलिए रूलेट पेडल वक्र है। समतुल्य रूप से, एक वक्र का ऑर्थोटोमिक उसकी दर्पण छवि पर वक्र का रूलेट है।

उदाहरण
जब C एक वृत्त है तो उपरोक्त चर्चा से पता चलता है कि लिमाकॉन की निम्नलिखित परिभाषाएँ समतुल्य हैं:
 * यह एक वृत्त का पैडल है।
 * यह उन वृत्तों का आवरण है जिनके व्यास का एक अंत बिंदु एक निश्चित बिंदु पर होता है और दूसरा अंत बिंदु जो एक वृत्त का अनुसरण करता है।
 * यह एक निश्चित बिंदु के माध्यम से मंडलियों का लिफाफा है जिसका केंद्र एक चक्र का अनुसरण करता है।
 * यह रूलेट (वक्र) है जो समान त्रिज्या वाले वृत्त के चारों ओर घूमने वाले वृत्त द्वारा बनता है।

हमने यह भी दिखाया है कि एक वृत्त का प्रलय एक लिमाकॉन का विकास है।

विशिष्ट वक्रों के पैडल
कुछ विशिष्ट वक्रों के पैडल हैं:

यह भी देखें

 * वक्रों की सूची

संदर्भ
Notes

Sources





अग्रिम पठन

 * Differential and integral calculus: with applications by George Greenhill (1891) p326 ff. (Internet Archive)
 * "Note on the Problem of Pedal Curves" by Arthur Cayley
 * "Note on the Problem of Pedal Curves" by Arthur Cayley