फ्रैक्शनल प्रोग्रामिंग

गणितीय अनुकूलन में, भिन्नात्मक प्रोग्रामिंग रैखिक-भिन्नात्मक प्रोग्रामिंग का एक सामान्यीकरण है। आंशिक कार्यक्रम में उद्देश्य कार्य दो कार्यों का अनुपात है जो सामान्य गैर-रैखिक हैं। अनुकूलित किया जाने वाला अनुपात अक्सर सिस्टम की किसी प्रकार की दक्षता का वर्णन करता है।

परिभाषा
होने देना $$f, g, h_j, j=1, \ldots, m$$ एक सेट पर परिभाषित वास्तविक-मूल्यवान कार्य हो $$\mathbf{S}_0 \subset \mathbb{R}^n$$. होने देना $$\mathbf{S} = \{\boldsymbol{x} \in \mathbf{S}_0: h_j(\boldsymbol{x}) \leq 0, j=1, \ldots, m\}$$. गैर रेखीय प्रोग्रामिंग



\underset{\boldsymbol{x} \in \mathbf{S}}{\text{maximize}} \quad \frac{f(\boldsymbol{x})}{g(\boldsymbol{x})}, $$ कहाँ $$g(\boldsymbol{x}) > 0$$ पर $$\mathbf{S}$$, एक आंशिक कार्यक्रम कहा जाता है।

अवतल आंशिक कार्यक्रम
एक भिन्नात्मक कार्यक्रम जिसमें f गैर-ऋणात्मक और अवतल है, g धनात्मक और उत्तल है, और 'S' एक उत्तल सेट है जिसे 'अवतल भिन्नात्मक कार्यक्रम' कहा जाता है। यदि g affine है, तो f को चिह्न में प्रतिबंधित करने की आवश्यकता नहीं है। रैखिक भिन्नात्मक कार्यक्रम एक अवतल भिन्नात्मक कार्यक्रम का एक विशेष मामला है जहां सभी कार्य होते हैं $$f, g, h_j, j=1, \ldots, m$$ सम्बन्धी हैं।

गुण
कार्यक्रम $$q(\boldsymbol{x}) = f(\boldsymbol{x}) / g(\boldsymbol{x})$$ एस पर अर्ध-सख्त क्वासिकोनकेव फ़ंक्शन है। यदि एफ और जी अलग-अलग हैं, तो क्यू स्यूडोकोनकेव फ़ंक्शन है। एक रेखीय भिन्नात्मक कार्यक्रम में, उद्देश्य फलन स्यूडोलिनियर फ़ंक्शन होता है।

एक अवतल कार्यक्रम में परिवर्तन
परिवर्तन से $$\boldsymbol{y} = \frac{\boldsymbol{x}}{g(\boldsymbol{x})}; t = \frac{1}{g(\boldsymbol{x})}$$, किसी भी अवतल आंशिक कार्यक्रम को समतुल्य पैरामीटर मुक्त अवतल कार्यक्रम में बदला जा सकता है

\begin{align} \underset{\frac{\boldsymbol{y}}{t} \in \mathbf{S}_0}{\text{maximize}} \quad & t f\left(\frac{\boldsymbol{y}}{t}\right) \\ \text{subject to} \quad & t g\left(\frac{\boldsymbol{y}}{t}\right) \leq 1, \\ & t \geq 0. \end{align} $$ यदि g affine है, तो पहली बाधा को बदल दिया जाता है $$t g(\frac{\boldsymbol{y}}{t}) = 1$$ और यह धारणा कि f अऋणात्मक है, छोड़ा जा सकता है।

द्वैत
समतुल्य अवतल क्रमादेश का लैग्रैन्जियन द्वैत है

\begin{align} \underset{\boldsymbol{u}}{\text{minimize}} \quad & \underset{\boldsymbol{x} \in \mathbf{S}_0}{\operatorname{sup}} \frac{f(\boldsymbol{x}) - \boldsymbol{u}^T \boldsymbol{h}(\boldsymbol{x})}{g(\boldsymbol{x})} \\ \text{subject to} \quad & u_i \geq 0, \quad i = 1,\dots,m. \end{align} $$