संख्यात्मक सापेक्षता

संख्यात्मक सापेक्षता सामान्य सापेक्षता की शाखाओं में से एक है जो समस्याओं का समाधान करने और विश्लेषण करने के लिए संख्यात्मक विश्लेषण और एल्गोरिदम का उपयोग करती है। इसके लिए, आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत द्वारा शासित ब्लैक होल्स, गुरुत्वाकर्षण तरंगों, न्यूट्रॉन तारे और कई अन्य घटनाओं का अध्ययन करने के लिए अधिकांश सुपर कंप्यूटरों को नियोजित किया जाता है। संख्यात्मक सापेक्षता में अनुसंधान का वर्तमान में सक्रिय क्षेत्र सापेक्षवादी बायनेरिज़ और उनके संबंधित गुरुत्वाकर्षण तरंगों का अनुकरण है।

अवलोकन
संख्यात्मक सापेक्षता का एक प्राथमिक लक्ष्य स्पेस-टाइम का अध्ययन करना है जिसका स्पष्ट रूप ज्ञात नहीं है। कम्प्यूटेशनल रूप से पाया जाने वाला स्पेसटाइम या तो पूरी तरह से गतिशील, स्थिर स्पेसटाइम या स्थैतिक स्पेसटाइम हो सकता है और इसमें पदार्थ क्षेत्र या निर्वात हो सकता है। स्थिर और स्थिर समाधानों की स्थिति में, संख्यात्मक विधियों का उपयोग संतुलन के समय-समय की स्थिरता का अध्ययन करने के लिए भी किया जा सकता है। डायनेमिक स्पेसटाइम की स्थिति में, समस्या को प्रारंभिक मूल्य समस्या और विकास में विभाजित किया जा सकता है, और प्रत्येक को अलग-अलग विधियों की आवश्यकता होती है।

उदाहरण के लिए, संख्यात्मक सापेक्षता को कई क्षेत्रों में प्रायुक्त किया जाता है, जैसे कि भौतिक ब्रह्मांड विज्ञान मॉडल (सार), महत्वपूर्ण घटनाएं, विकृत (खगोल विज्ञान) ब्लैक होल और न्यूट्रॉन तारा, और सह-अवधि (मौसम विज्ञान) और न्यूट्रॉन तारे, का सहसंयोजन। इनमें से किसी भी स्थिति में, आइंस्टीन के समीकरणों को कई विधियों से तैयार किया जा सकता है जो हमें गतिकी को विकसित करने की अनुमति देते हैं। जबकि कॉची पद्धतियों ने अधिकांश ध्यान प्राप्त किया है, विशेषता और रेगे कलन आधारित विधियों का भी उपयोग किया गया है। ये सभी विधियाँ कुछ हाइपरसर्फ्स, प्रारंभिक डेटा पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों के एक स्नैपशॉट के साथ प्रारंभ होती हैं, और इन डेटा को पड़ोसी हाइपरसर्फ्स में विकसित करती हैं।

संख्यात्मक विश्लेषण में सभी समस्याओं की तरह, संख्यात्मक स्थिरता और संख्यात्मक साधारण अंतर समीकरणों संख्यात्मक समाधानों के अभिसरण पर सावधानीपूर्वक ध्यान दिया जाता है। इस पंक्ति में, गेज फिक्सिंग, निर्देशांक, और आइंस्टीन समीकरणों के विभिन्न योगों और त्रुटिहीन संख्यात्मक समाधान उत्पन्न करने की क्षमता पर उनके प्रभाव पर अधिक ध्यान दिया जाता है।

संख्यात्मक सापेक्षता अनुसंधान शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत पर काम से अलग है क्योंकि इन क्षेत्रों में प्रायुक्त कई विधिें सापेक्षता में अनुपयुक्त हैं। चूँकि कम्प्यूटेशनल तरल गतिकी, इलेक्ट्रोमैग्नेटिक्स और ठोस यांत्रिकी जैसे अन्य कम्प्यूटेशनल विज्ञानों में कई पक्षों को बड़े पैमाने पर समस्याओं के साथ साझा किया जाता है। संख्यात्मक सापेक्षवादी अधिकांश प्रायुक्त गणितज्ञों के साथ काम करते हैं और विशेषज्ञता के अन्य गणितीय क्षेत्रों के बीच संख्यात्मक विश्लेषण, वैज्ञानिक कंप्यूटिंग, आंशिक अंतर समीकरणों और ज्यामिति से अंतर्दृष्टि प्राप्त करते हैं।

सिद्धांत में आधार
अल्बर्ट आइंस्टीन ने 1915 में सामान्य सापेक्षता के अपने सिद्धांत को प्रकाशित किया था। यह, विशेष सापेक्षता के अपने पहले के सिद्धांत की तरह, अंतरिक्ष और समय को एक एकीकृत स्पेसटाइम विषय के रूप में वर्णित करता है जिसे अब आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण के रूप में जाना जाता है। ये युग्मित अरैखिक आंशिक अवकल समीकरणों (पीडीई) का एक सेट बनाते हैं। सिद्धांत के पहले प्रकाशन के 100 से अधिक वर्षों के बाद, क्षेत्र समीकरणों के लिए अपेक्षाकृत कुछ बंद-रूप समाधान ज्ञात हैं, और उनमें से अधिकांश ब्रह्माण्ड संबंधी समाधान हैं जो समीकरणों की जटिलता को कम करने के लिए विशेष समरूपता मानते हैं।

संख्यात्मक सापेक्षता का क्षेत्र आइंस्टीन के समीकरणों को लगभग संख्यात्मक रूप से हल करके क्षेत्र समीकरणों के अधिक सामान्य समाधानों के निर्माण और अध्ययन की इच्छा से उभरा था। इस प्रकार के प्रयासों के लिए एक आवश्यक अग्रदूत अलग-अलग स्थान और समय में स्पेसटाइम का अपघटन था। यह पहली बार 1950 के दशक के अंत में रिचर्ड अर्नोविट, स्टेनली डेसर और चार्ल्स डब्ल्यू मिस्नर द्वारा प्रकाशित किया गया था, जिसे एडीएम औपचारिकता के रूप में जाना जाता है। यद्यपि विधिी कारणों से मूल एडीएम पेपर में तैयार किए गए त्रुटिहीन समीकरणों का संख्यात्मक सिमुलेशन में संभवतः ही कभी उपयोग किया जाता है, संख्यात्मक सापेक्षता के लिए सबसे व्यावहारिक दृष्टिकोण स्पेस-टाइम के 3+1 अपघटन का उपयोग त्रि-आयामी अंतरिक्ष और एक-आयामी समय में करते हैं जो निकटता से संबंधित है। एडीएम सूत्रीकरण, क्योंकि एडीएम प्रक्रिया आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों को एक विवश (गणित) प्रारंभिक मूल्य समस्या में सुधारती है जिसे कम्प्यूटेशनल गणित का उपयोग करके संबोधित किया जा सकता है।

उस समय जब एडीएम ने अपना मूल पत्र प्रकाशित किया था, तब कंप्यूटर प्रौद्योगिकी किसी भी बड़े आकार की किसी भी समस्या पर उनके समीकरणों के संख्यात्मक समाधान का समर्थन नहीं करती थी। आइंस्टीन क्षेत्र के समीकरणों को संख्यात्मक रूप से हल करने का पहला प्रलेखित प्रयास 1964 में हैन और लिंडक्विस्ट के रूप में प्रतीत होता है, इसके तुरंत बाद लैरी स्मर और एप्ली द्वारा पीछा किया गया था। ये प्रारंभिक प्रयास एक्सिसिमेट्री (जिसे 2+1 डाइमेंशन के रूप में भी जाना जाता है) में मिस्नर डेटा विकसित करने पर केंद्रित थे। लगभग उसी समय तस्वी पिरान ने पहला कोड लिखा जिसने एक बेलनाकार समरूपता का उपयोग करके गुरुत्वाकर्षण विकिरण के साथ एक प्रणाली विकसित किया था। इस गणना में पिरान ने एडीएम समीकरण विकसित करने में आज उपयोग की जाने वाली कई अवधारणाओं की नींव रखी है, जैसे मुक्त विकास बनाम बाधित विकास, जो एडीएम औपचारिकता में उत्पन्न होने वाली बाधा समीकरणों का इलाज करने की मौलिक समस्या से निपटते हैं। समरूपता को प्रायुक्त करने से समस्या से जुड़ी कम्प्यूटेशनल और मेमोरी आवश्यकताओं में कमी आई, जिससे शोधकर्ताओं को उस समय उपलब्ध सुपर कंप्यूटरों पर परिणाम प्राप्त करने की अनुमति मिली थी।

प्रारंभिक परिणाम
घूर्णन पतन की पहली यथार्थवादी गणना अस्सी के दशक के प्रारंभ में रिचर्ड स्टार्क और त्स्वी पिरान द्वारा की गई थी जिसमें पहली बार घूमते हुए ब्लैक होल के निर्माण से उत्पन्न गुरुत्वाकर्षण तरंग रूपों की गणना की गई थी। प्रारंभिक परिणामों के बाद लगभग 20 वर्षों के लिए, संख्यात्मक सापेक्षता में काफी कम अन्य प्रकाशित परिणाम थे, संभवतः समस्या का समाधान करने के लिए पर्याप्त शक्तिशाली कंप्यूटरों की कमी के कारण थे। 1990 के दशक के अंत में, बाइनरी ब्लैक होल ग्रैंड चैलेंज एलायंस ने सफलतापूर्वक बाइनरी ब्लैक होल टक्कर का अनुकरण किया था। प्रसंस्करण के बाद के कदम के रूप में समूह ने स्पेसटाइम के लिए घटना क्षितिज की गणना कीथी। इस परिणाम के लिए अभी भी गणनाओं में एक्सिसिमेट्री को प्रभावित और उसका दोहन करने की आवश्यकता है।

तीन आयामों में आइंस्टीन समीकरणों का समाधान करने के पहले प्रलेखित प्रयासों में से कुछ एक एकल श्वार्जस्चिल्ड मीट्रिक पर केंद्रित थे, जिसे आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के स्थिर और गोलाकार रूप से सममित समाधान द्वारा वर्णित किया गया है। यह संख्यात्मक सापेक्षता में एक उत्कृष्ट परीक्षण मामला प्रदान करता है क्योंकि इसमें एक बंद-रूप समाधान होता है जिससे संख्यात्मक परिणामों की त्रुटिहीन समाधान से तुलना की जा सके, क्योंकि यह स्थिर है, और क्योंकि इसमें सापेक्षता सिद्धांत की सबसे संख्यात्मक रूप से चुनौतीपूर्ण विशेषताओं में से एक है, एक भौतिक गुरुत्वाकर्षण विलक्षणता। इस समाधान का अनुकरण करने का प्रयास करने वाले प्रारंभिक समूहों में से एक एनिनोस एट अल 1995 में था। वे अपने पेपर में इस ओर संकेत करते हैं
 * 3डी स्पेसटाइम की अच्छी तरह से हल की गई गणना करने के लिए पर्याप्त मेमोरी और कम्प्यूटेशनल शक्ति वाले कंप्यूटरों की कमी के कारण तीन आयामी संख्यात्मक सापेक्षता में प्रगति आंशिक रूप से बाधित हुई है।

क्षेत्र की परिपक्वता
इसके बाद के वर्षों में, न केवल कंप्यूटर अधिक शक्तिशाली हो गए, किन्तु विभिन्न शोध समूहों ने गणनाओं की दक्षता में सुधार के लिए वैकल्पिक विधियों का भी विकास किया। विशेष रूप से ब्लैक होल सिमुलेशन के संबंध में, दो विधियों को समीकरणों के समाधान में भौतिक विशिष्टता के अस्तित्व से जुड़ी समस्याओं से बचने के लिए तैयार किया गया था: (1) छांटना, और (2) पंचर विधि। इसके अतिरिक्त लाजर समूह ने गड़बड़ी (गणित) से प्राप्त रैखिक समीकरणों के आधार पर एक अधिक स्थिर कोड के लिए प्रारंभिक डेटा प्रदान करने के लिए गैर-रैखिक एडीएम समीकरणों का समाधान करने के लिए एक अल्पकालिक सिमुलेशन से प्रारंभिक परिणामों का उपयोग करने के लिए विधि विकसित किया था। अधिक सामान्यतः, अनुकूली जाल शोधन विधि, जो पहले से ही कम्प्यूटेशनल द्रव गतिकी में उपयोग की जाती है, को संख्यात्मक सापेक्षता के क्षेत्र में प्रस्तुत किया गया था।

छांटना
छांटने की विधि में, जिसे पहली बार 1990 के दशक के अंत में प्रस्तावित किया गया था, ब्लैक होल की विलक्षणता के आसपास के घटना क्षितिज के अंदर स्पेस-टाइम का एक हिस्सा बस विकसित नहीं हुआ है। सिद्धांत रूप में यह घटना क्षितिज के बाहर के समीकरणों के समाधान को प्रभावित नहीं करना चाहिए क्योंकि घटना क्षितिज के कार्य-कारण और गुणों के सिद्धांत (अर्थात ब्लैक होल के अंदर कुछ भी भौतिक क्षितिज के बाहर किसी भी भौतिकी को प्रभावित नहीं कर सकता है) के कारण ऐसा होता है। इस प्रकार यदि कोई केवल क्षितिज के अंदर समीकरणों का समाधान नहीं करता है, तब भी उसे बाहर वैध समाधान प्राप्त करने में सक्षम होना चाहिए। एक विलक्षणता के आस-पास की सीमा पर किन्तु क्षितिज के अंदर अंतर्गामी सीमा की स्थिति को प्रायुक्त करके इंटीरियर को बढ़ाता है।

जबकि छांटने का कार्यान्वयन बहुत सफल रहा है, विधि में दो छोटी-मोटी समस्याएं हैं। पहला यह है कि समन्वय स्थितियों के बारे में सावधान रहना होगा। जबकि भौतिक प्रभाव अंदर से बाहर तक नहीं फैल सकते हैं, समन्वय प्रभाव हो सकता है। उदाहरण के लिए, यदि समन्वय की स्थिति अण्डाकार होती है, तो समन्वयित परिवर्तन तुरंत क्षितिज के माध्यम से फैल सकता है। इसका अर्थ यह है कि किसी को समन्वय प्रभावों (उदाहरण के लिए, हार्मोनिक निर्देशांक समन्वय स्थितियों का उपयोग करना) के प्रसार के लिए प्रकाश की तुलना में विशेषता वेगों के साथ अतिशयोक्तिपूर्ण प्रकार की समन्वय स्थितियों की आवश्यकता होती है। दूसरी समस्या यह है कि जैसे-जैसे ब्लैक होल चलते हैं, ब्लैक होल के साथ चलने के लिए एक्सिशन क्षेत्र के स्थान को निरंतर समायोजित करना पड़ता है।

एक्सिशन विधि को कई वर्षों में विकसित किया गया था जिसमें नई गेज स्थितियों का विकास सम्मिलित था जो स्थिरता और काम में वृद्धि करता था जिसने कम्प्यूटेशनल ग्रिड के माध्यम से छांटने वाले क्षेत्रों की क्षमता का प्रदर्शन किया था।     इस विधि का उपयोग करके कक्षा का पहला स्थिर, दीर्घकालिक विकास और दो ब्लैक होल का विलय 2005 में प्रकाशित हुआ था।

पंचर
पंचर विधि में समाधान को एक विश्लेषणात्मक भाग में सम्मिलित किया जाता है, जिसमें ब्लैक होल की विलक्षणता और एक संख्यात्मक रूप से निर्मित भाग होता है, जो तब विलक्षणता मुक्त होता है। यह ब्रिल-लिंडक्विस्ट का सामान्यीकरण है जो ब्लैक होल के प्रारंभिक डेटा के लिए बाकी है और इसे बोवेन-यॉर्क के नुस्खे के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जो कि ब्लैक होल के प्रारंभिक डेटा को स्पिन करने और स्थानांतरित करने के लिए है। 2005 तक, पंचर विधि के सभी प्रकाशित उपयोग के लिए आवश्यक था कि सभी पंचर की समन्वय स्थिति अनुकरण के समय स्थिर रहे थे। निश्चित रूप से एक दूसरे के निकट ब्लैक होल गुरुत्वाकर्षण बल के अनुसार आगे बढ़ते हैं, इसलिए तथ्य यह है कि पंचर की समन्वय स्थिति स्थिर बनी हुई है, इसका अर्थ है कि समन्वय प्रणाली स्वयं फैली हुई या मुड़ी हुई है और यह सामान्यतः अनुकरण के कुछ स्तर पर संख्यात्मक अस्थिरता का कारण बनती है।

2005 की सफलता (संख्यात्मक सापेक्षता का एनस मिराबिलिस)
2005 में, शोधकर्ताओं के एक समूह ने पहली बार पंचर को समन्वय प्रणाली के माध्यम से स्थानांतरित करने की क्षमता का प्रदर्शन किया, इस प्रकार विधि के साथ पहले की कुछ समस्याओं को समाप्त कर दिया। इसने ब्लैक होल के त्रुटिहीन दीर्घकालिक विकास की अनुमति दी। उचित समन्वय स्थितियों का चयन करके और विलक्षणता के निकट क्षेत्रों के बारे में अपरिष्कृत विश्लेषणात्मक धारणा बनाकर (चूंकि कोई भौतिक प्रभाव ब्लैक होल से बाहर नहीं फैल सकता है, सन्निकटन की अपरिष्कृतता कोई मायने नहीं रखती), दो ब्लैक की समस्या का संख्यात्मक समाधान प्राप्त किया जा सकता है छेद एक दूसरे की परिक्रमा करते हैं, साथ ही उनके द्वारा उत्सर्जित गुरुत्वाकर्षण तरंग (स्पेसटाइम में तरंग) की त्रुटिहीन गणना करते हैं। विशेष सापेक्षता (1905) के एनस मिराबिलिस के 100 साल बाद 2005 को संख्यात्मक सापेक्षता का एनस मिराबिलिस नाम दिया गया था।

लाजर परियोजना
लाजरस प्रोजेक्ट (1998-2005) को पोस्ट-ग्रैंड चैलेंज विधि के रूप में विकसित किया गया था जिससे बाइनरी ब्लैक होल के अल्पकालिक पूर्ण संख्यात्मक सिमुलेशन से खगोलभौतिकीय परिणाम निकाले जा सकें। यह सामान्य सापेक्षता क्षेत्र समीकरणों का समाधान करने का प्रयास करने वाले पूर्ण संख्यात्मक सिमुलेशन के साथ पहले (न्यूटोनियन प्रक्षेपवक्र के बाद) और बाद में (एकल ब्लैक होल के गड़बड़ी) को संयुक्त करता है। बाइनरी ब्लैक होल के चारों ओर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र का वर्णन करने वाले हिल्बर्ट-आइंस्टीन समीकरणों को सुपरकंप्यूटरों में संख्यात्मक रूप से एकीकृत करने के पिछले सभी प्रयासों के कारण एकल कक्षा पूरी होने से पहले सॉफ्टवेयर विफलता हो गई।

इस बीच, लाजर दृष्टिकोण ने बाइनरी ब्लैक होल समस्या में सबसे अच्छी अंतर्दृष्टि दी और कई और अपेक्षाकृत त्रुटिहीन परिणाम उत्पन्न किए, जैसे कि विकीर्ण ऊर्जा और नवीनतम विलय अवस्था में उत्सर्जित कोणीय गति, असमान द्रव्यमान छिद्रों द्वारा विकीर्ण रैखिक संवेग, और अवशेष ब्लैक होल का अंतिम द्रव्यमान और चक्रण। विधि ने विलय प्रक्रिया द्वारा उत्सर्जित विस्तृत गुरुत्वाकर्षण तरंगों की भी गणना की और भविष्यवाणी की कि ब्रह्मांड में ब्लैक होल की टक्कर सबसे ऊर्जावान एकल घटना है, गुरुत्वाकर्षण विकिरण के रूप में एक सेकंड के एक अंश में अपने जीवनकाल में पूरी आकाशगंगा की तुलना में अधिक ऊर्जा जारी करती हैं।

अनुकूली जाल शोधन
अनुकूली जाल शोधन (एएमआर) एक संख्यात्मक पद्धति के रूप में जड़ें हैं जो संख्यात्मक सापेक्षता के क्षेत्र में अपने पहले आवेदन से परे हैं। स्केलर क्षेत्र (भौतिकी) की महत्वपूर्ण घटनाओं के अपने अध्ययन में चोपटुइक के काम के माध्यम से, मेष शोधन पहली बार 1980 के दशक में संख्यात्मक सापेक्षता साहित्य में दिखाई देता है। मूल कार्य एक आयाम में था, किन्तु बाद में इसे दो आयामों तक बढ़ा दिया गया था। दो आयामों में, एएमआर को असमांगी ब्रह्माण्ड विज्ञान के अध्ययन और श्वार्जस्चिल्ड मीट्रिक के अध्ययन लिए भी प्रायुक्त किया गया है,  विधि अब संख्यात्मक सापेक्षता में एक मानक उपकरण बन गई है और इस प्रकार की खगोलीय घटनाओं से उत्पन्न गुरुत्वाकर्षण तरंग के प्रसार के अतिरिक्त ब्लैक होल और अन्य कॉम्पैक्ट वस्तुओं के विलय का अध्ययन करने के लिए उपयोग किया जाता है।

हाल के घटनाक्रम
पिछले कुछ वर्षों में, सैकड़ों शोध पत्र प्रकाशित किए गए हैं, जो गणितीय सापेक्षता, गुरुत्वाकर्षण तरंग, और ब्लैक होल की कक्षा की समस्या के लिए खगोलीय परिणामों के व्यापक स्पेक्ट्रम के लिए अग्रणी हैं। यह विधि न्यूट्रॉन तारों और ब्लैक होल और कई ब्लैक होल और कई ब्लैक होल से जुड़े एस्ट्रोफिजिकल बाइनरी प्रणाली तक फैली हुई है। सबसे आश्चर्यजनक भविष्यवाणियों में से एक यह है कि दो ब्लैक होल के विलय से अवशेष छिद्र को 4000 km/s तक की गति मिल सकती है जो इसे किसी भी ज्ञात आकाशगंगा से बचने की अनुमति दे सकती है। सिमुलेशन भी इस विलय प्रक्रिया में गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा की एक विशाल रिलीज की भविष्यवाणी करते हैं, जो इसके कुल शेष द्रव्यमान का 8% तक है।

यह भी देखें

 * सामान्य सापेक्षता का गणित
 * पोस्ट-न्यूटोनियन विस्तार
 * स्पिन-फ्लिप
 * कैक्टस फ्रेमवर्क

बाहरी संबंध

 * Initial Data for Numerical Relativity — A review article which includes a technical discussion of numerical relativity.
 * Rotating Stars in Relativity — A technical review article about rotating stars, with a section on numerical relativity applications.
 * A Relativity Tutorial at Caltech — A basic introduction to concepts of Numerical Relativity.