सापेक्ष वेग

सापेक्ष वेग $$\vec{v}_{B\mid A}$$ (भी $$\vec{v}_{BA}$$ या $$\vec{v}_{B \operatorname{rel} A}$$) किसी वस्तु या प्रेक्षक B का वेग किसी अन्य वस्तु या प्रेक्षक A के बाकी फ्रेम में है।

एक आयाम में (गैर-सापेक्षतावादी)
हम शास्त्रीय यांत्रिकी में सापेक्ष गति से प्रारंभ करते हैं, (या विशेष सापेक्षता का गैर-परिचय, या शास्त्रीय यांत्रिकी) कि सभी गति प्रकाश की गति से बहुत कम हैं। यह सीमा गैलिलियन परिवर्तन से जुड़ी है। यह आंकड़ा ट्रेन के पिछले किनारे पर एक आदमी को दिखाता है। दोपहर 1:00 बजे वह 10 किमी/घंटा (किलोमीटर प्रति घंटा) की गति से आगे बढ़ना प्रारंभ करता है। ट्रेन 40 किमी/घंटा की गति से चल रही है। यह चित्र आदमी और ट्रेन को दो अलग-अलग समयों पर दर्शाता है: पहला, जब यात्रा प्रारंभ हुई, और एक घंटे बाद दोपहर 2:00 बजे। यह आंकड़ा बताता है कि आदमी एक घंटे की यात्रा (चलने और ट्रेन से) करने के बाद प्रारंभिक बिंदु से 50 किमी दूर है। यह, परिभाषा के अनुसार, 50 किमी/घंटा है, जो बताता है कि इस तरह से सापेक्ष वेग की गणना करने का नुस्खा दो वेगों को जोड़ना है।

चित्र पाठक को यह याद दिलाने के लिए घड़ियों और शासकों को प्रदर्शित करता है कि यद्यपि इस गणना के पीछे का तर्क निर्दोष प्रतीत होता है, यह घड़ियों और शासकों के व्यवहार के बारे में गलत धारणा बनाता है। (एक साथ सापेक्षता देखें या ट्रेन-एंड-प्लेटफ़ॉर्म विचार प्रयोग देखे।) यह पहचानने के लिए कि सापेक्ष गति का यह शास्त्रीय यांत्रिकी मॉडल विशेष सापेक्षता का उल्लंघन करता है, हम उदाहरण को एक समीकरण में सामान्य करते हैं:


 * $$\underbrace{\vec v_{M\mid E}}_\text{50 km/h} = \underbrace{\vec v_{M\mid T}}_\text{10 km/h} + \underbrace{\vec v_{T\mid E}}_\text{40 km/h},$$

जहाँ:
 * $$\vec v_{M\mid E}$$ पृथ्वी के सापेक्ष मनुष्य का वेग है,
 * $$\vec v_{M\mid T}$$ ट्रेन के सापेक्ष मनुष्य का वेग है,
 * $$\vec v_{T\mid E}$$ पृथ्वी के सापेक्ष ट्रेन का वेग है।

बी के सापेक्ष ए के वेग के लिए पूरी तरह से वैध अभिव्यक्ति में बी के संबंध में ए का वेग और समन्वय प्रणाली में ए का वेग सम्मिलित है जहां बी सदैव विराम पर है। विशेष आपेक्षिकता का सिद्धांत इसलिए होता है क्योंकि सापेक्ष वेग के लिए यह समीकरण गलत भविष्यवाणी करता है कि विभिन्न पर्यवेक्षक प्रकाश की गति का अवलोकन करते समय अलग-अलग गति को मापेंगे।

दो आयामों में (गैर-सापेक्षवादी)
चित्र दो वस्तुओं A और B को निरंतर वेग से गतिमान दिखाता है। गति के समीकरण हैं:


 * $$\vec r_A=\vec r_{Ai}+\vec v_A t,$$
 * $$\vec r_B=\vec r_{Bi}+ \vec v_B t,$$

जहां सबस्क्रिप्ट i प्रारंभिक विस्थापन (समय पर शून्य के बराबर) को संदर्भित करता है। दो विस्थापन सदिशों के बीच का अंतर, $$\vec r_B-\vec r_A$$, ए से देखे गए बी के स्थान का प्रतिनिधित्व करता है।


 * $$\vec r_B-\vec r_A= \underbrace{\vec r_{Bi}-\vec r_{Ai}}_\text{initial separation} + \underbrace{(\vec v_B-\vec v_A ) t}_\text{relative velocity}.$$

इस तरह:


 * $$\vec v_{B\mid A}=\vec v_B-\vec v_A.$$

प्रतिस्थापन करने के बाद $$\vec v_{A|C}=\vec v_A$$ और $$\vec v_{B|C}=\vec v_B$$, हमारे पास है:


 * $$\vec v_{B\mid A} = \vec v_{B\mid C}-\vec v_{A\mid C} \Rightarrow $$   $$\vec v_{B\mid C}=\vec v_{B\mid A} +\vec v_{A\mid C}.$$

गैलिलियन परिवर्तन (गैर-सापेक्षतावादी)
विशेष सापेक्षता के सिद्धांत के अनुरूप सापेक्ष गति के सिद्धांत का निर्माण करने के लिए, हमें एक अलग परिपाटी अपनानी होगी। (गैर-सापेक्षवादी) शास्त्रीय यांत्रिकी में काम करना जारी रखते हुए हम एक आयाम में गैलिलियन परिवर्तन के साथ प्रारंभ करते हैं:
 * $$x'=x-vt$$
 * $$t'=t$$

जहां x' स्थिति है जैसा कि एक संदर्भ फ्रेम द्वारा देखा जाता है जो गति से चल रहा है, v, अप्रकाशित (x) संदर्भ फ्रेम में। उपरोक्त दो समीकरणों में से पहले के अंतर को लेते हुए, हमारे पास है, $$dx'=dx-v \, dt$$, और जो स्पष्ट प्रतीत हो सकता है विवरण कि $$dt'=dt$$, अपने पास है:


 * $$\frac{dx'}{dt'}=\frac{dx}{dt}-v$$

सापेक्ष वेग के लिए पिछले भावों को पुनर्प्राप्त करने के लिए, हम मानते हैं कि कण A अप्रमाणित संदर्भ में dx/dt द्वारा परिभाषित पथ का अनुसरण कर रहा है (और इसलिए dx′/dt′ प्राइमेड फ्रेम में)। इस प्रकार $$dx/dt = v_{A\mid O}$$ और $$dx'/dt = v_{A\mid O'}$$, जहाँ $$O$$ और $$O'$$ अप्राइमेड और प्राइमेड फ्रेम में एक प्रेक्षक द्वारा देखे गए ए की गति को देखें। याद रखें कि v प्राइमेड फ्रेम में एक स्थिर वस्तु की गति है, जैसा कि अनप्राइमेड फ्रेम से देखा जाता है। इस प्रकार हमारे पास है $$v=v_{O'\mid O}$$, और:


 * $$ v_{A\mid O'}= v_{A\mid O}-v_{O'\mid O} \Rightarrow v_{A\mid O} = v_{A\mid O'} + v_{O'\mid O},$$

जहां बाद वाले रूप में वांछित (आसानी से सीखी गई) समरूपता है।

विशेष सापेक्षता
शास्त्रीय यांत्रिकी के रूप में, विशेष सापेक्षता में सापेक्ष वेग $$\vec{v}_\mathrm{B|A}$$ किसी अन्य वस्तु या प्रेक्षक ए के बाकी फ्रेम में किसी वस्तु या पर्यवेक्षक बी का वेग है। चूँकि, शास्त्रीय यांत्रिकी की स्थिति के विपरीत, विशेष सापेक्षता में, यह सामान्यतः ऐसा नहीं होता है
 * $$\vec{v}_\mathrm{B|A}=-\vec{v}_\mathrm{A|B}$$

समरूपता की यह विशेषक कमी थॉमस प्रीसेशन से संबंधित है और तथ्य यह है कि लगातार दो लोरेंत्ज़ परिवर्तन समन्वय प्रणाली को घुमाते हैं। इस घुमाव का सदिश के परिमाण पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है, और इसलिए सापेक्ष गति सममित होती है।


 * $$\|\vec{v}_\mathrm{B|A}\|=\|\vec{v}_\mathrm{A|B}\|=v_\mathrm{B|A}=v_\mathrm{A|B}$$

समानांतर वेग
ऐसे स्थिति में जहां दो वस्तुएं समानांतर दिशाओं में यात्रा कर रही हैं, सापेक्ष वेग के लिए सापेक्षतावादी सूत्र सापेक्षतावादी वेगों के योग के सूत्र के समान है।


 * $$\vec{v}_\mathrm{B|A}=\frac{\vec{v}_\mathrm{B}-\vec{v}_\mathrm{A}}{1-\frac{\vec{v}_\mathrm{A}\vec{v}_\mathrm{B}}{c^2}}$$

सापेक्ष गति सूत्र द्वारा दी गई है:


 * $$v_\mathrm{B|A}=\frac{\left | \vec{v}_\mathrm{B}-\vec{v}_\mathrm{A}\right | }{1-\frac{\vec{v}_\mathrm{A}\vec{v}_\mathrm{B}}{c^2}}$$

लंबवत वेग
ऐसे स्थिति में जहां दो वस्तुएं लंबवत दिशाओं में यात्रा कर रही हैं, सापेक्षिक सापेक्ष वेग $$\vec{v}_\mathrm{B|A}$$ सूत्र द्वारा दिया गया है:


 * $$\vec{v}_\mathrm{B|A}={\frac{\vec{v}_\mathrm{B}}{\gamma_\mathrm{A}}}-\vec{v}_\mathrm{A}$$

जहाँ


 * $$\gamma_\mathrm{A}=\frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{v_\mathrm{A}}{c} \right)^2}}$$

सापेक्ष गति सूत्र द्वारा दी गई है


 * $$v_\mathrm{B|A} = \frac{\sqrt{c^4 - \left(c^2-v_\mathrm{A}^2\right) \left(c^2 -v_\mathrm{B}^2\right)}}{c}$$

सामान्य स्थिति
सापेक्ष वेग के लिए सामान्य सूत्र $$\vec{v}_\mathrm{B|A}$$ किसी अन्य वस्तु या प्रेक्षक A के बाकी फ्रेम में किसी वस्तु या पर्यवेक्षक B का सूत्र द्वारा दिया गया है:

\vec{v}_\mathrm{B|A} = \frac 1 {\gamma_\mathrm{A} \left(1-\frac{\vec{v}_\mathrm{A}\vec{v}_\mathrm{B}}{c^2} \right )} \left[ \vec{v}_\mathrm{B}-\vec{v}_\mathrm{A}+\vec{v}_\mathrm{A}(\gamma_\mathrm{A}-1) \left( \frac{\vec{v}_\mathrm{A}\cdot \vec{v}_\mathrm{B}}{v_\mathrm{A}^2}-1 \right) \right] $$ जहाँ



\gamma_\mathrm{A} = \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v_\mathrm{A}}{c}\right)^2}} $$ सापेक्ष गति सूत्र द्वारा दी गई है


 * $$v_\mathrm{B|A}=\sqrt{1-\frac{\left(c^2-v_\mathrm{A}^2\right)\left(c^2 -v_\mathrm{B}^2\right)}{\left(c^2-\vec{v}_\mathrm{A} \cdot \vec{v}_\mathrm{B}\right)^2}} \cdot c$$

यह भी देखें

 * डॉपलर प्रभाव
 * विशेषक वेग
 * उचित गति
 * सीमा दर
 * रेडियल वेग
 * शीघ्रता
 * सापेक्ष गति
 * अंतरिक्ष वेग (खगोल विज्ञान)
 * अंतरिक्ष वेग (खगोल विज्ञान)

अग्रिम पठन

 * Alonso & Finn, Fundamental University Physics ISBN 0-201-56518-8
 * Greenwood, Donald T, Principles of Dynamics.
 * Goodman and Warner, Dynamics.
 * Beer and Johnston, Statics and Dynamics.
 * McGraw Hill Dictionary of Physics and Mathematics.
 * Rindler, W., Essential Relativity.
 * KHURMI R.S., Mechanics, Engineering Mechanics, Statics, Dynamics

बाहरी संबंध

 * Relative Motion at HyperPhysics
 * A Java applet illustrating Relative Velocity, by Andrew Duffy
 * Relatív mozgás (1)...(3) Relative motion of two train (1)...(3). Videos on the portal FizKapu.
 * Sebességek összegzése Relative tranquility of trout in creek. Video on the portal FizKapu.