इक्विपोलेंस (ज्यामिति)

यूक्लिडियन ज्यामिति में, समइक्विपोलेंस निर्देशित रेखा खंडों के बीच एक बाइनरी संबंध होता है। बिंदु A से बिंदु B तक एक रेखा खंड AB की दिशा रेखा खंड BA से विपरीत होती है और इस प्रकार दो समानान्तर रेखाखंड ईक्वीपोलेन्ट रूप में होते हैं, जब उनकी लंबाई और दिशा समान होती है।

समानांतर चतुर्भुज गुण
यूक्लिडियन स्पेस का डेफ़िनिटिव फीचर सदिश का समांतर चतुर्भुज गुण होता है, यदि दो खण्ड इक्विपोलेंट के रूप में होते है तो समांतरचतुर्भुज की दो भुजाएँ बनती है

इतिहास
इक्विपोलेंस रेखा खंडों की अवधारणा 1835 में गियसटो बेलावाइटिस द्वारा आगे बढ़ाया गया था। इसके बाद इक्विपोलेंस रेखा खंडों के एक वर्ग के लिए सदिश शब्द को अपनाया गया था और इस प्रकार विभिन्न लेकिन समान वस्तुओं की तुलना करने के संबंध (गणित) में विचार का बेल्लावाइटिस का उपयोग सामान्य गणितीय प्रोद्योगिकीय के रूप में बन गया है और विशेष रूप से ईक्वीपोलेन्ट संबंधों के उपयोग में बेलावाइटिस ने एबी और सीडी खंडों की समरूपता के लिए एक विशेष संकेतन का उपयोग किया है


 * $$AB \bumpeq CD .$$

माइकल जे. क्रो द्वारा अनुवादित निम्नलिखित पैसेज, बेलावाइटिस की यूक्लिडियन सदिश कांसेप्ट की एंटीसिपेशन को दर्शाते हैं,
 * जब कोई उनमें रेखाओं के स्थान पर अन्य रेखाओं को प्रतिस्थापित करता है, जो क्रमशः उनके लिए ईक्वीपोलेंट होती हैं, तब भी समरूपताएँ विद्यमान रहती हैं और इस प्रकार भले ही वे समष्टि के रूप में स्थित होते है। इससे यह समझा जा सकता है कि किसी भी संख्या और किसी भी प्रकार की रेखाओं का योग कैसे किया जा सकता है और इन रेखाओं को जिस भी क्रम में लिया जाता है, वही ईक्वीपोलेंट योग के रूप में होता है...


 * इक्विपोलेंस में, समीकरणों की तरह एक रेखा को एक तरफ से दूसरी तरफ स्थानांतरित किया जा सकता है, बशर्ते कि चिह्न बदल दिया जाए,

इस प्रकार विपरीत दिशा वाले खंड एक दूसरे के ऋणात्मक रूप में होते है $$AB + BA \bumpeq 0 .$$
 * इक्विपोलेंस $$AB \bumpeq n.CD ,$$ जहाँ n एक धनात्मक संख्या को दर्शाता है, यह दर्शाता है कि AB दोनों समानांतर हैं और उनकी दिशा CD के समान है और उनकी लंबाई का संबंध AB = n.CD द्वारा व्यक्त किया जाता है।

A से B तक का खंड एक बाउंड सदिश के रूप में होता है, जबकि इसके समतुल्य खंडों का वर्ग यूक्लिडियन सदिश की भाषा में एक मुक्त सदिश है।

विस्तार
ज्यामितीय समरूपता का उपयोग गोले पर भी किया जाता है।
 * डब्ल्यू. आर.हैमिल्टन की पद्धति की सराहना करने के लिए सबसे पहले यूक्लिडियन त्रि-आयामी क्षेत्र में अनुवाद के एबेलियन समूह के बहुत सरल स्थितियों को याद करते है। प्रत्येक अनुवाद क्षेत्र में एक सदिश के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है, केवल दिशा और परिमाण महत्वपूर्ण होते है और स्थान अप्रासंगिक रूप में होता है। दो अनुवादों की संरचना सदिश जोड़ के हेड-टू-टेल समांतर चतुर्भुज नियम द्वारा दी जाती है और विपरीत दिशा लेने का अर्थ उलटी दिशा लेना है। हैमिल्टन के घुमावों के सिद्धांत में, हमारे पास एबेलियन अनुवाद समूह से गैर-एबेलियन SU(2) तक ऐसी तस्वीर का सामान्यीकरण होता है और इस प्रकार क्षेत्र में सदिशों के अतिरिक्त एक इकाई गोले S2 पर < π लंबाई के निर्देशित बड़े वृत्त चापों से समझौता करते है। ऐसे दो चाप समतुल्य माने जाते हैं यदि एक को उसके बड़े वृत्त के साथ खिसकाकर दूसरे के साथ संपाती बनाया जा सके।

एक गोले के एक बड़े वृत्त पर, दो निर्देशित गोलाकार चाप समध्रुवीय होते हैं, जब वे दिशा और चाप की लंबाई के रूप में सहमत होते हैं। ऐसे चापों का एक इक्विपोलेंस वर्ग एक चतुर्भुज छंद से जुड़ा होता है
 * $$\exp(a r) = \cos a + r \sin a ,$$ जहां a चाप की लंबाई है और r लंबवतता द्वारा बड़े वृत्त के तल को निर्धारित करता है।

संदर्भ

 * Giusto Bellavitis (1835) "Saggio di applicazioni di un nuovo metodo di Geometria Analitica (Calcolo delle equipollenze)", Annali delle Scienze del Regno Lombardo-Veneto, Padova 5: 244–59.
 * Giusto Bellavitis (1854) Sposizione del Metodo della Equipollenze, link from Google Books.
 * Charles-Ange Laisant (1874): French translation with additions of Bellavitis (1854) Exposition de la méthode des equipollences, link from Google Books.


 * Giusto Bellavitis (1858) Calcolo dei Quaternioni di W.R. Hamilton e sua Relazione col Metodo delle Equipollenze, link from HathiTrust.
 * Charles-Ange Laisant (1887) Theorie et Applications des Equipollence, Gauthier-Villars, link from University of Michigan Historical Math Collection.
 * Lena L. Severance (1930) The Theory of Equipollences; Method of Analytical Geometry of Sig. Bellavitis, link from HathiTrust.

बाहरी संबंध

 * Axiomatic definition of equipollence