लैग्रेंज बहुपद

संख्यात्मक विश्लेषण में, लैग्रेंज अंतर्वेशन बहुपद की निम्नतम श्रेणी का अद्वितीय बहुपद है जो बहुपद डेटा के  समुच्चय को अंतर्वेशनित करता है।

किसी फलन के ग्राफ़ के डेटा समुच्चय को देखते हुए $$(x_j, y_j)$$ साथ $$0 \leq j \leq k,$$ $$x_j$$ नोड कहलाते हैं और $$y_j$$ मान कहलाते हैं। लैग्रेंज बहुपद $$L(x)$$ श्रेणी है $\leq k$  और प्रत्येक मान को संबंधित नोड पर मानता है, $$L(x_j) = y_j.$$ हालांकि इसका नाम जोसेफ-लुई लाग्रेंज के नाम पर रखा गया, जिन्होंने इसे 1795 में प्रकाशित किया था, विधि पहली बार 1779 में एडवर्ड वारिंग द्वारा खोजी गई थी। यह लियोनहार्ड यूलर द्वारा 1783 में प्रकाशित एक सूत्र का भी आसान परिणाम है। लैग्रेंज बहुपदों के उपयोग में न्यूटन-कोट्स सूत्र शामिल हैं। न्यूटन-कोट्स संख्यात्मक एकीकरण की विधि और शमीर की गुप्त साझाकरण। क्रिप्टोग्राफी में शमीर की गुप्त साझाकरण योजना।

समस्थानिक नोड्स के लिए, लैग्रेंज अंतर्वेशन बड़े दोलन की रूंज की घटना के लिए अतिसंवेदनशील है।

परिभाषा
का एक समुच्चय दिया $k + 1$ नोड्स $$\{x_0, x_1, \ldots, x_k\}$$, जो सभी अलग-अलग होने चाहिए, $$x_j \neq x_m$$ सूचकांकों के लिए $$j \neq m$$, श्रेणी के बहुपदों के लिए लैग्रेंज आधार $\leq k$  उन नोड्स के लिए बहुपदों का समूह है $\{\ell_0(x), \ell_1(x), \ldots, \ell_k(x)\}$  प्रत्येक श्रेणी $k$  जो मान लेते हैं $\ell_j(x_m) = 0$  अगर $m \neq j$  और $\ell_j(x_j) = 1$. क्रोनकर डेल्टा का उपयोग करके इसे लिखा जा सकता है $\ell_j(x_m) = \delta_{jm}.$ प्रत्येक आधार बहुपद को उत्पाद द्वारा स्पष्ट रूप से वर्णित किया जा सकता है:

$$\begin{aligned} \ell_j(x) &= \frac{(x-x_0)}{(x_j-x_0)} \cdots \frac{(x-x_{j-1})}{(x_j-x_{j - 1})} \frac{(x-x_{j+1})}{(x_j-x_{j+1})} \cdots \frac{(x-x_k)}{(x_j-x_k)} \\[10mu] &= \prod_{\begin{smallmatrix}0\le m\le k\\ m\neq j\end{smallmatrix}} \frac{x-x_m}{x_j-x_m}. \end{aligned}$$ ध्यान दें कि अंश $\prod_{m \neq j}(x - x_m)$ है $k$  नोड्स पर जड़ें $\{x_m\}_{m \neq j}$  जबकि भाजक $\prod_{m \neq j}(x_j - x_m)$  परिणामी बहुपद को स्केल करता है ताकि $\ell_j(x_j) = 1.$ संबंधित मानों के माध्यम से उन नोड्स के लिए लैग्रेंज अंतर्वेशन बहुपद $$\{y_0, y_1, \ldots, y_k\}$$ रैखिक संयोजन है:

$$L(x) = \sum_{j=0}^{k} y_j \ell_j(x).$$ प्रत्येक आधार बहुपद की श्रेणी होती है $k$, तो योग $L(x)$ श्रेणी है $\leq k$ , और यह डेटा को अंतर्वेशनित करता है क्योंकि $L(x_m) = \sum_{j=0}^{k} y_j \ell_j(x_m) = \sum_{j=0}^{k} y_j \delta_{mj} = y_m.$ अंतर्वेशन बहुपद अद्वितीय है। सबूत: बहुपद मान लें $M(x)$ श्रेणी का $\leq k$  डेटा को इंटरपोलेट करता है। फिर फर्क $M(x) - L(x)$  पर शून्य है $k + 1$  विशिष्ट नोड्स $\{x_0, x_1, \ldots, x_k\}.$  लेकिन श्रेणी का एकमात्र बहुपद $\leq k$  से अधिक के साथ $k$  जड़ें निरंतर शून्य कार्य है, इसलिए $M(x) - L(x) = 0,$  या $M(x) = L(x).$

बैरीसेंट्रिक रूप
प्रत्येक लाग्रेंज आधार बहुपद $\ell_j(x)$ तीन भागों, एक समारोह के उत्पाद के रूप में फिर से लिखा जा सकता है $\ell(x) = \prod_m (x - x_m)$  हर आधार बहुपद के लिए सामान्य, एक नोड-विशिष्ट स्थिरांक $w_j = \prod_{m\neq j}(x_j - x_m)^{-1}$  (बैरीसेंट्रिक वजन कहा जाता है), और विस्थापन का प्रतिनिधित्व करने वाला एक हिस्सा $x_j$  को $x$ :

$$\ell_j(x) = \ell(x) \dfrac{w_j}{x - x_j}$$ फैक्टरिंग करके $\ell(x)$ योग से बाहर, हम लैग्रेंज बहुपद को तथाकथित प्रथम बेरिकेंट्रिक रूप में लिख सकते हैं:


 * $$L(x) = \ell(x) \sum_{j=0}^k \frac{w_j}{x-x_j}y_j.$$

अगर वजन $$w_j$$ पूर्व-गणना की गई है, इसके लिए केवल आवश्यकता है $$\mathcal O(k)$$ संचालन की तुलना में $$\mathcal O(k^2)$$ प्रत्येक लाग्रेंज आधार बहुपद का मूल्यांकन करने के लिए $$\ell_j(x)$$ व्यक्तिगत रूप से।

एक नया नोड शामिल करने के लिए बैरीसेंट्रिक अंतर्वेशन फॉर्मूला को भी आसानी से अपडेट किया जा सकता है $$x_{k+1}$$ प्रत्येक को विभाजित करके $$w_j$$, $$j=0 \dots k$$ द्वारा $$(x_j - x_{k+1})$$ और नया निर्माण $$w_{k+1}$$ ऊपरोक्त अनुसार।

किसी के लिए $x,$ $\sum_{j=0}^k \ell_j(x) = 1$  क्योंकि निरंतर कार्य $g(x) = 1$  श्रेणी का अद्वितीय बहुपद है $$\leq k$$ डेटा अंतर्वेशनित करना $\{(x_0, 1), (x_1, 1), \ldots, (x_k, 1) \}.$  इस प्रकार हम विभाजित करके बैरेंट्रिक सूत्र को और सरल बना सकते हैं $$L(x) = L(x) / g(x)\colon$$
 * $$\begin{aligned}

L(x) &= \ell(x) \sum_{j=0}^k \frac{w_j}{x-x_j}y_j \Bigg/ \ell(x) \sum_{j=0}^k \frac{w_j}{x-x_j} \\[10mu] &= \sum_{j=0}^k \frac{w_j}{x-x_j}y_j \Bigg/ \sum_{j=0}^k \frac{w_j}{x-x_j}. \end{aligned}$$ इसे बेरसेंट्रिक अंतर्वेशन फॉर्मूला का दूसरा रूप या सही रूप कहा जाता है।

गणना लागत और सटीकता में इस दूसरे रूप के फायदे हैं: यह मूल्यांकन से बचा जाता है $$\ell(x)$$; भाजक में प्रत्येक शब्द की गणना करने का कार्य $$w_j/(x-x_j)$$ कंप्यूटिंग में किया जा चुका है $$\bigl(w_j/(x-x_j)\bigr)y_j$$ और इसलिए हर में योग की गणना करने में केवल लागत आती है $k-1$ अतिरिक्त संचालन; मूल्यांकन बिंदुओं के लिए $x$  जो एक नोड के करीब हैं $x_j$, भयावह रद्दीकरण आमतौर पर मूल्य के लिए एक समस्या होगी $(x-x_j)$ , हालांकि यह मात्रा अंश और हर दोनों में दिखाई देती है और अंतिम परिणाम में अच्छी सापेक्ष सटीकता छोड़ते हुए दोनों रद्द हो जाते हैं।

मूल्यांकन करने के लिए इस सूत्र का उपयोग करना $$L(x)$$ नोड्स में से एक पर $$x_j$$ अनिश्चित रूप में परिणाम होगा $$\infty y_j/\infty$$; कंप्यूटर कार्यान्वयन को ऐसे परिणामों को प्रतिस्थापित करना चाहिए $$L(x_j) = y_j.$$ प्रत्येक लाग्रेंज आधार बहुपद को बेरिकेंट्रिक रूप में भी लिखा जा सकता है:



\ell_j(x) = \frac{w_j}{x-x_j} \Bigg/ \sum_{m=0}^k \frac{w_m}{x-x_m}. $$

रैखिक बीजगणित
से एक परिप्रेक्ष्य

एक बहुपद अंतर्वेशन को हल करना # अंतर्वेशन पॉलीनोमियल का निर्माण रैखिक बीजगणित में मैट्रिक्स के व्युत्क्रम की समस्या की ओर ले जाता है। हमारे अंतर्वेशन बहुपद के लिए एक मानक एकपदी आधार का उपयोग करना $L(x) = \sum_{j=0}^k x^j m_j$, हमें वैंडरमोंड मैट्रिक्स को उल्टा करना चाहिए $$(x_i)^j$$ समाधान करना $$L(x_i) = y_i$$ गुणांक के लिए $$m_j$$ का $$L(x)$$. एक बेहतर आधार चुनकर, लैग्रेंज आधार, $L(x) = \sum_{j=0}^k l_j(x) y_j$, हम केवल पहचान मैट्रिक्स, क्रोनकर डेल्टा प्राप्त करते हैं$$\delta_{ij}$$, जो इसका अपना प्रतिलोम है: लैग्रेंज आधार स्वचालित रूप से वैंडरमोंड मैट्रिक्स के एनालॉग को उलट देता है।

यह निर्माण चीनी शेष प्रमेय के अनुरूप है। पूर्णांक मॉडुलो अभाज्य संख्याओं के अवशेषों की जाँच करने के बजाय, हम रैखिकों द्वारा विभाजित किए जाने पर बहुपदों के अवशेषों की जाँच कर रहे हैं।

इसके अलावा, जब ऑर्डर बड़ा होता है, तो इंटरपोलेटेड बहुपद के गुणांकों को हल करने के लिए फास्ट फूरियर रूपांतरण का उपयोग किया जा सकता है।

उदाहरण
हम इंटरपोलेट करना चाहते हैं $$f(x) = x^2$$ डोमेन के ऊपर $$1 \leq x \leq 3$$ तीन नोड्स पर $\{1,\, 2,\, 3\}$:



\begin{align} x_0 & = 1, & & & y_0 = f(x_0) & = 1, \\[3mu] x_1 & = 2, & & & y_1 = f(x_1) & = 4, \\[3mu] x_2 & = 3, & & & y_2 = f(x_2) & =9. \end{align} $$ नोड बहुपद $$\ell$$ है
 * $$\ell(x) = (x-1)(x-2)(x-3) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6.$$

बैरीसेंट्रिक भार हैं
 * $$\begin{align}

w_0 &= (1-2)^{-1}(1-3)^{-1} = \tfrac12, \\[3mu] w_1 &= (2-1)^{-1}(2-3)^{-1} = -1, \\[3mu] w_2 &= (3-1)^{-1}(3-2)^{-1} = \tfrac12. \end{align}$$ लाग्रेंज आधार बहुपद हैं


 * $$\begin{align}

\ell_0(x) &= \frac{x - 2}{1 - 2}\cdot\frac{x - 3}{1 - 3} = \tfrac12x^2 - \tfrac52x + 3, \\[5mu] \ell_1(x) &= \frac{x - 1}{2 - 1}\cdot\frac{x - 3}{2 - 3} = -x^2 + 4x - 3, \\[5mu] \ell_2(x) &= \frac{x - 1}{3 - 1}\cdot\frac{x - 2}{3 - 2} = \tfrac12x^2 - \tfrac32x + 1. \end{align}$$ लैग्रेंज इंटरपोलिंग बहुपद है:
 * $$ \begin{align}

L(x) &= 1\cdot\frac{x - 2}{1 - 2}\cdot\frac{x - 3}{1 - 3} + 4\cdot\frac{x - 1}{2 - 1}\cdot\frac{x - 3}{2 - 3} + 9\cdot\frac{x - 1}{3 - 1}\cdot\frac{x - 2}{3 - 2} \\[6mu] &= x^2. \end{align} $$ (द्वितीय) बेरसेंट्रिक रूप में,



L(x) = \frac {\displaystyle \sum_{j=0}^2 \frac{w_j}{x-x_j}y_j} {\displaystyle \sum_{j=0}^2 \frac{w_j}{x-x_j}} = \frac {\displaystyle \frac{\tfrac12}{x - 1} + \frac{-4}{x - 2} + \frac{\tfrac92}{x - 3}} {\displaystyle \frac{\tfrac12}{x - 1} + \frac{-1}{x - 2} + \frac{\tfrac12}{x - 3}}. $$

टिप्पणियाँ


अंतर्वेशन बहुपद का लैग्रेंज रूप बहुपद अंतर्वेशन के रैखिक चरित्र और अंतर्वेशन बहुपद की विशिष्टता को दर्शाता है। इसलिए, इसे प्रमाणों और सैद्धांतिक तर्कों में पसंद किया जाता है। वैंडरमोंड निर्धारक के गायब न होने के कारण, वैंडरमोंड मैट्रिक्स की व्युत्क्रमणीयता से विशिष्टता भी देखी जा सकती है।

लेकिन, जैसा कि निर्माण से देखा जा सकता है, हर बार एक नोड xk बदलता है, सभी लैग्रेंज आधार बहुपदों को पुनर्गणना करना पड़ता है। व्यावहारिक (या कम्प्यूटेशनल) उद्देश्यों के लिए अंतर्वेशन बहुपद का एक बेहतर रूप लैग्रेंज अंतर्वेशन (नीचे देखें) या न्यूटन बहुपदों का बेरिकेंट्रिक रूप है।

लैग्रेंज और अन्य अंतर्वेशन समान दूरी वाले बिंदुओं पर, जैसा कि ऊपर के उदाहरण में है, वास्तविक कार्य के ऊपर और नीचे एक बहुपद दोलन करता है। यह व्यवहार अंकों की संख्या के साथ बढ़ने लगता है, जिससे विचलन होता है जिसे रन्ज की घटना के रूप में जाना जाता है; चेबीशेव नोड्स पर अंतर्वेशन बिंदु चुनकर समस्या को समाप्त किया जा सकता है।

न्यूटन-कोट्स सूत्र प्राप्त करने के लिए लाग्रेंज आधार बहुपदों का संख्यात्मक एकीकरण में उपयोग किया जा सकता है।

लैग्रेंज अंतर्वेशन फॉर्मूला में अवशेष
किसी दिए गए फलन f को श्रेणी के बहुपद द्वारा अंतर्वेशनित करते समय $k$ नोड्स पर $$x_0,...,x_k$$ हमें शेष मिलता है $$R(x) = f(x) - L(x)$$ जिसे व्यक्त किया जा सकता है
 * $$ R(x) = f[x_0,\ldots,x_k,x] \ell(x) = \ell(x) \frac{f^{(k+1)}(\xi)}{(k+1)!}, \quad \quad x_0 < \xi < x_k,$$

कहाँ $$f[x_0,\ldots,x_k,x]$$ विभाजित मतभेदों के लिए अंकन है। वैकल्पिक रूप से, शेष को जटिल डोमेन में समोच्च अभिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है


 * $$R(x) = \frac{\ell(x)}{2\pi i} \int_C \frac{f(t)}{(t-x)(t-x_0) \cdots (t-x_k)} dt = \frac{\ell(x)}{2\pi i} \int_C \frac{f(t)}{(t-x)\ell(t)} dt.$$

शेष के रूप में बाध्य किया जा सकता है


 * $$|R(x)| \leq \frac{(x_k-x_0)^{k+1}}{(k+1)!}\max_{x_0 \leq \xi \leq x_k} |f^{(k+1)}(\xi)|. $$

व्युत्पत्ति
स्पष्ट रूप से, $$R(x) $$ नोड्स पर शून्य है। ढूँढ़ने के लिए $$R(x)$$ एक बिंदु पर $$x_p $$, एक नया कार्य परिभाषित करें $$F(x)=R(x)-\tilde{R}(x)=f(x)-L(x)-\tilde{R}(x)$$ और चुनें $\tilde{R}(x)=C\cdot\prod_{i=0}^k(x-x_i)$  कहाँ $$C$$ वह स्थिरांक है जिसे हमें दिए गए के लिए निर्धारित करना है $$x_p$$. हम चुनते हैं $$C$$ ताकि $$F(x)$$ है $$k+2$$ शून्य (सभी नोड्स पर और $$x_p$$) बीच में $$x_0$$ और $$x_k$$ (अंतिम बिंदुओं सहित)। ये मानते हुए $$f(x)$$ है $$k+1$$-समय अलग-अलग, के बाद से $$L(x)$$ और $$\tilde{R}(x)$$ बहुपद हैं, और इसलिए, असीम रूप से भिन्न हैं, $$F(x)$$ होगा $$k+1$$-समय अलग करने योग्य। रोले के प्रमेय द्वारा, $$F^{(1)}(x)$$ है $$k+1$$ शून्य, $$F^{(2)}(x)$$ है $$k$$ शून्य... $$F^{(k+1)}$$ 1 शून्य है, कहते हैं $$\xi,\, x_0<\xi<x_k$$. स्पष्ट रूप से लिख रहा हूँ $$F^{(k+1)}(\xi)$$:


 * $$F^{(k+1)}(\xi)=f^{(k+1)}(\xi)-L^{(k+1)}(\xi)-\tilde{R}^{(k+1)}(\xi)$$
 * $$L^{(k+1)}=0,\tilde{R}^{(k+1)}=C\cdot(k+1)!$$ (क्योंकि उच्चतम शक्ति $$x$$ में $$\tilde{R}(x)$$ है $$k+1$$)


 * $$0=f^{(k+1)}(\xi)-C\cdot(k+1)!$$

समीकरण के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है


 * $$C=\frac{f^{(k+1)}(\xi)}{(k+1)!}$$

तब से $$F(x_p) = 0$$ अपने पास $$R(x_p)=\tilde{R}(x_p) = \frac{f^{k+1}(\xi)}{(k+1)!}\prod_{i=0}^k(x_p-x_i)$$

डेरिवेटिव्स
$d}|d$एक लाग्रेंज अंतर्वेशी बहुपद के वें व्युत्पन्न आधार बहुपद के डेरिवेटिव के संदर्भ में लिखा जा सकता है,


 * $$L^{(d)}(x) := \sum_{j=0}^{k} y_j \ell_j^{(d)}(x).$$

स्मरण (देखें ऊपर) कि प्रत्येक लाग्रेंज आधार बहुपद है

$$\begin{aligned} \ell_j(x) &= \prod_{\begin{smallmatrix}m = 0\\ m\neq j\end{smallmatrix}}^k \frac{x-x_m}{x_j-x_m}. \end{aligned}$$ उत्पाद नियम # दो से अधिक कारकों के उत्पाद का उपयोग करके पहला व्युत्पन्न पाया जा सकता है:


 * $$\begin{align}

\ell_j'(x) &= \sum_{\begin{smallmatrix}i=0 \\ i\not=j\end{smallmatrix}}^k \Biggl[ \frac{1}{x_j-x_i}\prod_{\begin{smallmatrix}m=0 \\ m\not = (i, j)\end{smallmatrix}}^k \frac{x-x_m}{x_j-x_m} \Biggr] \\[5mu] &= \ell_j(x)\sum_{\begin{smallmatrix}i=0 \\i\not=j\end{smallmatrix}}^k \frac{1}{x-x_i}. \end{align}$$ दूसरा व्युत्पन्न है


 * $$\begin{align}

\ell_j''(x) &= \sum_{\begin{smallmatrix}i=0 \\ i\ne j\end{smallmatrix}}^{k} \frac{1}{x_j-x_i} \Biggl[ \sum_{\begin{smallmatrix}m=0 \\ m\ne(i,j)\end{smallmatrix}}^{k} \Biggl( \frac{1}{x_j-x_m}\prod_{\begin{smallmatrix}n=0 \\ n\ne(i,j,m)\end{smallmatrix}}^{k} \frac{x-x_n}{x_j-x_n} \Biggr) \Biggr] \\[10mu] &= \ell_j(x) \sum_{0 \leq i < m \leq k} \frac{2}{(x-x_i)(x - x_m)} \\[10mu] &= \ell_j(x)\Biggl[\Biggl(\sum_{\begin{smallmatrix}i=0 \\i\not=j\end{smallmatrix}}^k \frac{1}{x-x_i}\Biggr)^2-\sum_{\begin{smallmatrix}i=0 \\i\not=j\end{smallmatrix}}^k \frac{1}{(x-x_i)^2}\Biggr]. \end{align}$$ तीसरा व्युत्पन्न है


 * $$\begin{align}

\ell_j'''(x) &= \ell_j(x) \sum_{0 \leq i < m < n \leq k} \frac{3!}{(x-x_i)(x - x_m)(x - x_n)} \end{align}$$ और इसी तरह उच्च डेरिवेटिव के लिए।

परिमित क्षेत्र
लाग्रेंज बहुपद की गणना परिमित क्षेत्रों में भी की जा सकती है। इसमें क्रिप्टोग्राफी में अनुप्रयोग हैं, जैसे शमीर की गुप्त साझाकरण योजना में।

यह भी देखें

 * नेविल का एल्गोरिदम
 * अंतर्वेशन बहुपद का न्यूटन बहुपद
 * बर्नस्टीन बहुपद
 * कार्लसन की प्रमेय
 * लेबेस्ग स्थिरांक (अंतर्वेशन)
 * चेबफन
 * न्यूटोनियन श्रृंखला की तालिका
 * फ्रोबेनियस सहसंयोजक
 * सिल्वेस्टर का सूत्र
 * परिमित अंतर गुणांक
 * हर्मिट अंतर्वेशन

बाहरी संबंध

 * ALGLIB has an implementations in C++ / C# / VBA / Pascal.
 * GSL has a polynomial interpolation code in C
 * SO has a MATLAB example that demonstrates the algorithm and recreates the first image in this article
 * लाग्रेंज Method of Interpolation &mdash; Notes, PPT, Mathcad, Mathematica, MATLAB, Maple at Holistic Numerical Methods Institute
 * लाग्रेंज interpolation polynomial on www.math-linux.com
 * लाग्रेंज interpolation polynomial on www.math-linux.com


 * Dynamic Lagrange interpolation with JSXGraph
 * Numerical computing with functions: The Chebfun Project
 * Excel Worksheet Function for Bicubic Lagrange Interpolation
 * Lagrange polynomials in Python