अलघुकरणीय घटक

बीजगणितीय ज्यामिति में अलघुकरणीय बीजगणितीय समुच्चय या अलघुकरणीय विविधता एक बीजगणितीय समुच्चय है जिसे दो उचित उपसमुच्चय बीजगणितीय उपसमुच्चयों के संघ (समुच्चय सिद्धांत) के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। अलघुकरणीय घटक एक बीजगणितीय उपसमुच्चय है जो इस संपत्ति के लिए अप्रासंगिक और अधिकतम (समुच्चय समावेशन के लिए) है। उदाहरण के लिए, समीकरण के समाधान का समुच्चय $xy = 0$ अलघुकरणीय नहीं है और इसके अलघुकरणीय घटक समीकरण $x = 0$ और $y =0$ की दो पंक्तियाँ हैं।

शास्त्रीय बीजगणितीय ज्यामिति का यह एक महत्वपूर्ण प्रमेय है कि प्रत्येक बीजगणितीय समुच्चय को एक पृथक तरीके से अलघुकरणीय घटकों के परिमित संघ के रूप में लिखा जा सकता है।

ज़रिस्की सांस्थिति का उपयोग करते हुए इन अवधारणाओं को विशुद्ध रूप से सांस्थिति के संदर्भ में सुधारा जा सकता है, जिसके लिए संवृत उपसमुच्चय बीजगणितीय उपसमुच्चय हैं: एक संस्थानिक स्पेस अलघुकरणीय है यदि यह दो उचित संवृत प्रविष्टियों का एक साथ नहीं है और अलघुकरणीय घटक एक अधिकतम अंतराल है जो प्रेरित सांस्थिति के लिए अप्रासंगिक है, हालांकि इन अवधारणाओं को हर संस्थानिक स्पेस के लिए माना जा सकता है यह शायद ही कभी बीजगणितीय ज्यामिति के बाहर किया जाता है, क्योंकि अधिकांश सामान्य संस्थानिक स्पेस हॉसडॉर्फ स्पेस होते हैं और हॉसडॉर्फ स्पेस में अलघुकरणीय घटक सिंगलटन (गणित) होते हैं।

सांस्थिति में
एक संस्थानिक स्पेस X को कम किया जा सकता है यदि इसे दो संवृत उचित उपसमुच्चयों के संघ $$X = X_1 \cup X_2$$ के रूप में लिखा जा सकता है $$X_1$$, $$X_2$$ का $$X.$$

एक संस्थानिक स्पेस अलघुकरणीय (या हाइपरकनेक्टेड स्पेस) है अगर यह रूपांतरित होने योग्य नहीं है। समान रूप से X अप्रासंगिक है यदि X के सभी गैर विवृत खुले उपसमुच्चय घने हैं या यदि कोई दो गैर-खाली खुले सेटों में गैर-खाली चौराहा है।

एक संस्थानिक स्पेस 'X' के उप-समूचय 'F' को अलघुकरणीय या रूपांतरित होने योग्य कहा जाता है, अगर 'F' को सबस्पेस सांस्थिति के माध्यम से एक संस्थानिक स्पेस के रूप में माना जाता है, तो उपरोक्त अर्थ में संबंधित लक्षण होते है अर्थात्, $$F$$ कम हो जाता है यदि इसे संघ के रूप में लिखा जा सकता है $$F = (G_1\cap F)\cup(G_2\cap F),$$ जहाँ $$G_1,G_2$$ संवृत उपसमुच्चय हैं $$X$$ इनमें से किसी में भी $$F.$$नहीं है।

एक संस्थानिक स्पेस का अलघुकरणीय घटक एक अधिकतम अलघुकरणीय उपसमुच्चय है यदि एक उपसमुच्चय अलघुकरणीय है, तो इसका समापन (टोपोलॉजी) भी अलघुकरणीय है इसलिए अलघुकरणीय घटक संवृत हो जाते हैं।

स्थान X का प्रत्येक अलघुकरणीय उपसमुच्चय X के एक अलघुकरणीय घटक में समाहित है प्रत्येक बिंदु $$x\in X$$ X के अलघुकरणीय घटक में समाहित है।

बीजगणितीय ज्यामिति में
प्रत्येक संबंध या प्रक्षेपी बीजगणितीय समुच्चय को बहुपद वलय में शून्य आइडियल के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है। अलघुकरणीय बीजगणितीय समुच्चय जिसे सामान्यतौर पर बीजगणितीय विविधता के रूप में जाना जाता है, एक बीजगणितीय समुच्चय है जिसे दो छोटे बीजगणितीय समुच्चयों के मिलन के रूप में विघटित नहीं किया जा सकता है। लास्कर-नोथेर प्रमेय का तात्पर्य है कि प्रत्येक बीजगणितीय समुच्चय विशिष्ट रूप से परिभाषित बीजगणितीय समुच्चयों की एक परिमित संख्या का मिलन होता है, जिसे इसके अलघुकरणीय घटक कहा जाता है। जब ज़रिस्की सांस्थिति पर विचार किया जाता है, तो अलघुकरणीयता और अलघुकरणीय घटकों की ये धारणाएँ ठीक ऊपर परिभाषित हैं, क्योंकि बीजगणितीय समुच्चय इस सांस्थिति के संवृत समुच्चय हैं।

रिंग का संस्थानिक एक संस्थानिक स्पेस है जिसके बिंदु प्रमुख आइडियल हैं और संवृत समुच्चय सभी प्रमुख आइडियलों के समुच्चय हैं जिनमें एक निश्चित आइडियल होता है। इस सांस्थिति के लिए संवृत समुच्चय अप्रासंगिक है यदि यह सभी प्रमुख आइडियलों का समुच्चय है जिसमें कुछ प्रधान आइडियल होते हैं और अलघुकरणीय घटक न्यूनतम प्रमुख आइडियलो के अनुरूप होते हैं। नोथेरियन रिंग की स्थिति में अलघुकरणीय घटकों की संख्या परिमित है।

रिंगों के वर्णक्रम को एक साथ जोड़कर एक योजना उसी तरह से प्राप्त की जाती है जिस तरह से चार्ट को एक साथ जोड़कर कई गुना प्राप्त किया जाता है, तो अलघुकरणीयता और अलघुकरणीय घटकों की परिभाषा तुरंत योजनाओं तक फैली हुई है।

उदाहरण
हॉसडॉर्फ स्पेस में अलघुकरणीय उपसमुच्चय और अलघुकरणीय घटक सिंगलटन (गणित) है, यह विशेष रूप से वास्तविक संख्याओं की स्थिति में है। वास्तव में अगर $X$ वास्तविक संख्याओं का एक समूह है जो एक सिंगलटन नहीं है, ऐसी तीन वास्तविक संख्याएँ हैं $x ∈ X$, $y ∈ X$ और $x < a < y$। $X$ संग्रह तब तक अप्रासंगिक नहीं हो सकता जब तक  $$X=(X\cap \,]{-\infty}, a]) \cup (X\cap [a, \infty[).$$

अखंडनीय घटक की धारणा बीजगणितीय ज्यामिति में महत्वपूर्ण है और गणित के इस क्षेत्र के बाहर शायद ही कभी माना जाता है: सतह के बीजगणितीय उपसमुच्चय पर विचार करें

ज़ारिस्की सांस्थिति के लिए इसके संवृत उपसमुच्चय ही हैं, खाली सम्मुचय फिर सिंगलटन और $X = \{1=(x, y) | xy = 0\}$ और $x = 0$ द्वारा परिभाषित दो पंक्तियाँ $X$ संग्रह इस प्रकार इन दो पंक्तियों के साथ अप्रासंगिक घटकों के रूप में कम किया जा सकता है।

विनिमेय रिंग का संस्थानिक रिंग के प्रमुख आइडियलों का समुच्चय है, जो ज़रिस्की सांस्थिति से संपन्न है जिसके लिए अभाज्य आइडियलों का एक सम्मुचय संवृत है और केवल यह सभी प्रमुख आइडियलों का समुच्चय है जिसमें एक निश्चित आइडियल (रिंग थ्योरी) होता है। इस स्थिति में एक अलघुकरणीय उपसमुच्चय उन सभी प्रमुख आइडियलों का समुच्चय है जिनमें एक निश्चित सर्व-श्रेष्ठ आइडियल होता है।

टिप्पणियाँ
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