सघन समूह

गणित में, एक कॉम्पैक्ट (टोपोलॉजिकल) समूह एक टोपोलॉजिकल समूह होता है जिसकी टोपोलॉजी इसे एक सघन स्थान  के रूप में महसूस करती है (जब समूह का एक तत्व संचालित होता है, तो परिणाम भी समूह के भीतर होता है)। सघन समूह असतत टोपोलॉजी के साथ परिमित समूहों का एक प्राकृतिक सामान्यीकरण है और इसमें ऐसे गुण होते हैं जो महत्वपूर्ण फैशन में आगे बढ़ते हैं। समूह कार्रवाई (गणित) और प्रतिनिधित्व सिद्धांत के संबंध में, कॉम्पैक्ट समूहों के पास एक अच्छी तरह से समझा जाने वाला सिद्धांत है।

निम्नलिखित में हम मान लेंगे कि सभी समूह हॉसडॉर्फ़ स्थान हैं।

संक्षिप्त झूठ समूह
झूठ समूह टोपोलॉजिकल समूहों का एक वर्ग बनाते हैं, और कॉम्पैक्ट झूठ समूहों में एक विशेष रूप से अच्छी तरह से विकसित सिद्धांत होता है। कॉम्पैक्ट लाई समूहों के बुनियादी उदाहरणों में शामिल हैं कॉम्पैक्ट लाई समूहों के वर्गीकरण प्रमेय में कहा गया है कि परिमित समूह विस्तार और परिमित कवरिंग समूह तक यह उदाहरणों की सूची को समाप्त कर देता है (जिसमें पहले से ही कुछ अतिरेक शामिल हैं)। इस वर्गीकरण को अगले उपधारा में अधिक विस्तार से वर्णित किया गया है।
 * वृत्त समूह टी और टोरस समूह टीn,
 * ऑर्थोगोनल समूह O(n), विशेष ऑर्थोगोनल समूह SO(n) और इसका कवरिंग स्पिन समूह स्पिन(n),
 * एकात्मक समूह U(n) और विशेष एकात्मक समूह SU(n),
 * असाधारण झूठ समूहों के संक्षिप्त रूप: G2 (गणित)|G2, F4 (गणित)|F4, ई6 (गणित)|ई6, ई7 (गणित)|ई7, और E8 (गणित)|ई8.

वर्गीकरण
किसी भी कॉम्पैक्ट लाई ग्रुप जी को देखते हुए कोई इसका पहचान घटक जी ले सकता है0, जो स्थान से जुड़ा हुआ है। भागफल समूह G/G0 घटकों का समूह है π0(जी) जो परिमित होना चाहिए क्योंकि जी सघन है। इसलिए हमारे पास एक सीमित विस्तार है
 * $$1\to G_0 \to G \to \pi_0(G) \to 1.$$

इस बीच, कनेक्टेड कॉम्पैक्ट लाई समूहों के लिए, हमारे पास निम्नलिखित परिणाम हैं:
 * प्रमेय: प्रत्येक जुड़ा हुआ कॉम्पैक्ट लाई समूह एक सरल रूप से जुड़े कॉम्पैक्ट लाई समूह और एक टोरस के उत्पाद के एक परिमित केंद्रीय उपसमूह द्वारा भागफल है।

इस प्रकार, जुड़े हुए कॉम्पैक्ट लाई समूहों के वर्गीकरण को सैद्धांतिक रूप से उनके केंद्रों के बारे में जानकारी के साथ-साथ बस जुड़े हुए कॉम्पैक्ट लाई समूहों के ज्ञान तक कम किया जा सकता है। (केंद्र के बारे में जानकारी के लिए, मौलिक समूह और केंद्र पर नीचे दिया गया अनुभाग देखें।)

अंत में, प्रत्येक कॉम्पैक्ट, कनेक्टेड, बस-कनेक्टेड लाई समूह के सीमित रूप से कई कॉम्पैक्ट, कनेक्टेड, बस-कनेक्टेड सरल लाई ग्रुप के का एक उत्पाद है।i जिनमें से प्रत्येक बिल्कुल निम्नलिखित में से किसी एक का समरूपी है: या पाँच असाधारण समूहों G2 (गणित)|G में से एक2, F4 (गणित)|F4, ई6 (गणित)|ई6, ई7 (गणित)|ई7, और E8 (गणित)|ई8. n पर प्रतिबंध n के छोटे मूल्यों के लिए विभिन्न परिवारों के बीच विशेष समरूपता से बचने के लिए हैं। इनमें से प्रत्येक समूह के लिए, केंद्र स्पष्ट रूप से जाना जाता है। वर्गीकरण संबंधित जड़ प्रणाली (एक निश्चित अधिकतम टोरस के लिए) के माध्यम से होता है, जिसे बदले में उनके डिनकिन आरेखों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है।
 * द सिंपलेक्टिक ग्रुप#Sp.28n.29 $$\operatorname{Sp}(n),\,n\geq 1$$
 * विशेष एकात्मक समूह $$\operatorname{SU}(n),\,n\geq 3$$
 * स्पिन समूह $$\operatorname{Spin}(n),\,n\geq 7$$

सघन, सरलता से जुड़े लाई समूहों का वर्गीकरण जटिल अर्धसरल लाई बीजगणित के वर्गीकरण के समान है। वास्तव में, यदि K एक सरल रूप से जुड़ा हुआ कॉम्पैक्ट लाई समूह है, तो K के लाई बीजगणित की जटिलता अर्धसरल है। इसके विपरीत, प्रत्येक जटिल अर्धसरल लाई बीजगणित में एक कॉम्पैक्ट, बस जुड़े हुए लाई समूह के लाई बीजगणित के लिए एक कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप आइसोमोर्फिक होता है।

अधिकतम टोरी और रूट सिस्टम
कनेक्टेड कॉम्पैक्ट लाई समूह K के अध्ययन में एक महत्वपूर्ण विचार एक अधिकतम टोरस की अवधारणा है, जो कि K का एक उपसमूह T है जो कि कई प्रतियों के उत्पाद के लिए आइसोमोर्फिक है। $$S^1$$ और वह इस प्रकार के किसी भी बड़े उपसमूह में शामिल नहीं है। एक बुनियादी उदाहरण मामला है $$K = \operatorname{SU}(n)$$, जिस स्थिति में हम ले सकते हैं $$T$$ में विकर्ण तत्वों का समूह होना $$K$$. एक मूल परिणाम टोरस प्रमेय है जो बताता है कि प्रत्येक तत्व $$K$$ अधिकतम टोरस से संबंधित है और सभी अधिकतम टोरी संयुग्मित हैं।

एक कॉम्पैक्ट समूह में अधिकतम टोरस एक जटिल सेमीसिम्पल लाई बीजगणित में सेमीसिम्पल लाई बीजगणित#कार्टन सबलेजेब्रा और रूट सिस्टम के समान भूमिका निभाता है। विशेष रूप से, एक बार अधिकतम टोरस $$T\subset K$$ चुना गया है, कोई एक रूट सिस्टम और एक वेइल समूह को परिभाषित कर सकता है, जैसा कि किसी के पास सेमीसिम्पल लाई अलजेब्रा के लिए होता है। ये संरचनाएं जुड़े हुए कॉम्पैक्ट समूहों (ऊपर वर्णित) के वर्गीकरण और एक निश्चित ऐसे समूह (नीचे वर्णित) के प्रतिनिधित्व सिद्धांत दोनों में एक आवश्यक भूमिका निभाती हैं।

सरल रूप से जुड़े हुए कॉम्पैक्ट समूहों के वर्गीकरण में दिखने वाले सरल कॉम्पैक्ट समूहों से जुड़ी रूट प्रणालियाँ इस प्रकार हैं:
 * विशेष एकात्मक समूह $$\operatorname{SU}(n)$$ जड़ प्रणाली के अनुरूप $$A_{n-1}$$
 * विषम स्पिन समूह $$\operatorname{Spin}(2n+1)$$ जड़ प्रणाली के अनुरूप $$B_{n}$$
 * संहत सहानुभूति समूह $$\operatorname{Sp}(n)$$ जड़ प्रणाली के अनुरूप $$C_{n}$$
 * समान स्पिन समूह $$\operatorname{Spin}(2n)$$ जड़ प्रणाली के अनुरूप $$D_{n}$$
 * असाधारण कॉम्पैक्ट लाई समूह पांच असाधारण रूट सिस्टम जी के अनुरूप हैं2, एफ4, और6, और7, या ई8

मौलिक समूह और केंद्र
यह जानना महत्वपूर्ण है कि क्या एक कनेक्टेड कॉम्पैक्ट लाई समूह बस जुड़ा हुआ है, और यदि नहीं, तो इसके मौलिक समूह को निर्धारित करने के लिए। सघन झूठ समूहों के लिए, मौलिक समूह की गणना करने के लिए मौलिक समूह # झूठ समूह हैं। पहला दृष्टिकोण शास्त्रीय कॉम्पैक्ट समूहों पर लागू होता है $$\operatorname{SU}(n)$$, $$\operatorname{U}(n)$$, $$\operatorname{SO}(n)$$, और $$\operatorname{Sp}(n)$$ और प्रेरण द्वारा आगे बढ़ता है $$n$$. दूसरा दृष्टिकोण रूट सिस्टम का उपयोग करता है और सभी जुड़े कॉम्पैक्ट लाई समूहों पर लागू होता है।

कनेक्टेड कॉम्पैक्ट लाई समूह के केंद्र को जानना भी महत्वपूर्ण है। एक शास्त्रीय समूह का केंद्र $$G$$ आसानी से हाथ से गणना की जा सकती है, और ज्यादातर मामलों में इसमें पहचान की जो भी जड़ें हैं, वे शामिल होती हैं $$G$$. (समूह SO(2) एक अपवाद है - केंद्र पूरा समूह है, भले ही अधिकांश तत्व पहचान की जड़ें नहीं हैं।) इस प्रकार, उदाहरण के लिए, का केंद्र $$\operatorname{SU}(n)$$ एकता गुणा पहचान की nवीं जड़ों से मिलकर बनता है, क्रम का एक चक्रीय समूह $$n$$.

सामान्य तौर पर, केंद्र को अधिकतम टोरस के लिए रूट जाली और घातीय मानचित्र के कर्नेल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सामान्य विधि से पता चलता है कि असाधारण रूट सिस्टम के अनुरूप बस जुड़ा हुआ कॉम्पैक्ट समूह $$G_2$$ तुच्छ केंद्र है. इस प्रकार, G2 (गणित)|कॉम्पैक्ट $$G_2$$ समूह बहुत कम सरल कॉम्पैक्ट समूहों में से एक है जो एक साथ आसानी से जुड़े हुए हैं और केंद्र मुक्त हैं। (अन्य F4 (गणित) हैं|$$F_4$$और E8 (गणित)|$$E_8$$.)

आगे के उदाहरण
उन समूहों में से जो झूठ समूह नहीं हैं, और इसलिए कई गुना की संरचना नहीं रखते हैं, उदाहरण योगात्मक समूह Z हैंp पी-एडिक पूर्णांकों का, और उससे निर्माण। वास्तव में कोई भी अनंत समूह एक सघन समूह होता है। इसका मतलब यह है कि गैलोज़ समूह कॉम्पैक्ट समूह हैं, जो अनंत डिग्री के मामले में बीजगणितीय विस्तार के सिद्धांत के लिए एक बुनियादी तथ्य है।

पोंट्रीगिन द्वंद्व कॉम्पैक्ट कम्यूटेटिव समूहों के उदाहरणों की एक बड़ी आपूर्ति प्रदान करता है। ये एबेलियन असतत समूहों के साथ द्वंद्व में हैं।

उसका माप
सभी सघन समूहों में हार माप होता है, जो बाएँ और दाएँ दोनों अनुवादों द्वारा अपरिवर्तनीय होगा (हार माप सकारात्मक वास्तविकताओं के लिए एक सतत समरूपता होनी चाहिए (आर)+, ×), और इसी प्रकार 1). दूसरे शब्दों में, ये समूह एक-मॉड्यूलर समूह हैं। सर्कल पर dθ/2π के अनुरूप, Haar माप को संभाव्यता माप के रूप में आसानी से सामान्यीकृत किया जाता है।

ऐसे हार माप की गणना कई मामलों में आसान है; उदाहरण के लिए ऑर्थोगोनल समूहों के लिए यह एडॉल्फ हर्विट्ज़ को ज्ञात था, और लाई समूह में मामलों को हमेशा एक अपरिवर्तनीय अंतर रूप द्वारा दिया जा सकता है। अनंत मामले में परिमित सूचकांक के कई उपसमूह होते हैं, और सहसमुच्चय का हार माप सूचकांक का व्युत्क्रम होगा। इसलिए, अभिन्नों की गणना अक्सर सीधे तौर पर की जा सकती है, यह तथ्य संख्या सिद्धांत में लगातार लागू होता है।

अगर $$K$$ एक सघन समूह है और $$m$$ संबंधित हार माप है, पीटर-वेइल प्रमेय का अपघटन प्रदान करता है $$L^2(K,dm)$$ के अघुलनशील अभ्यावेदन के लिए मैट्रिक्स प्रविष्टियों के परिमित-आयामी उप-स्थानों के एक ऑर्थोगोनल प्रत्यक्ष योग के रूप में $$K$$.

प्रतिनिधित्व सिद्धांत
कॉम्पैक्ट समूहों (जरूरी नहीं कि झूठ समूह हों और जरूरी नहीं कि जुड़े हों) का प्रतिनिधित्व सिद्धांत पीटर-वेइल प्रमेय द्वारा स्थापित किया गया था। हरमन वेइल ने अधिकतम टोरस सिद्धांत के आधार पर कॉम्पैक्ट कनेक्टेड लाई समूहों का विस्तृत चरित्र सिद्धांत दिया। परिणामी वेइल चरित्र सूत्र बीसवीं सदी के गणित के प्रभावशाली परिणामों में से एक था। पीटर-वेइल प्रमेय और वेइल चरित्र सूत्र के संयोजन ने वेइल को एक जुड़े हुए कॉम्पैक्ट लाई समूह के अभ्यावेदन के पूर्ण वर्गीकरण के लिए प्रेरित किया; इस सिद्धांत का वर्णन अगले भाग में किया गया है।

वेइल के काम और क्लोज्ड-सबग्रुप प्रमेय का संयोजन | कार्टन का प्रमेय कॉम्पैक्ट समूहों जी के संपूर्ण प्रतिनिधित्व सिद्धांत का एक सर्वेक्षण देता है। यानी, पीटर-वेइल प्रमेय द्वारा जी के अपरिवर्तनीय एकात्मक प्रतिनिधित्व ρ एक एकात्मक समूह (परिमित के) में हैं आयाम) और छवि सघनता द्वारा एकात्मक समूह का एक बंद उपसमूह होगी। कार्टन के प्रमेय में कहा गया है कि Im(ρ) को एकात्मक समूह में स्वयं एक Lie उपसमूह होना चाहिए। यदि G स्वयं एक Lie समूह नहीं है, तो ρ में एक कर्नेल होना चाहिए। इसके अलावा, परिमित-आयामी एकात्मक अभ्यावेदन के छोटे और छोटे ρ के कर्नेल के लिए एक व्युत्क्रम प्रणाली बनाई जा सकती है, जो G को कॉम्पैक्ट लाई समूहों की व्युत्क्रम सीमा के रूप में पहचानती है। यहां यह तथ्य कि सीमा में जी का एक वफादार प्रतिनिधित्व पाया जाता है, पीटर-वेइल प्रमेय का एक और परिणाम है।

इस प्रकार, सघन समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत का अज्ञात भाग, मोटे तौर पर, परिमित समूहों के जटिल निरूपण पर वापस आ जाता है। यह सिद्धांत विस्तार में काफी समृद्ध है, लेकिन गुणात्मक रूप से अच्छी तरह से समझा गया है।

जुड़े हुए सघन झूठ समूह का प्रतिनिधित्व सिद्धांत
कॉम्पैक्ट लाई समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के कुछ सरल उदाहरण हाथ से तैयार किए जा सकते हैं, जैसे कि लाई समूह के प्रतिनिधित्व का प्रतिनिधित्व#एक उदाहरण: रोटेशन समूह SO.283.29|रोटेशन समूह SO(3), प्रतिनिधित्व सिद्धांत SU(2)|विशेष एकात्मक समूह SU(2) का, और SU(3)#SU.283.29 समूह|विशेष एकात्मक समूह SU(3) का प्रतिनिधित्व के लिए क्लेबश-गॉर्डन गुणांक। हम यहां सामान्य सिद्धांत पर ध्यान केंद्रित करते हैं। लाई बीजगणित निरूपण का समानांतर सिद्धांत भी देखें#ली बीजगणित के परिमित-आयामी निरूपण का वर्गीकरण।

इस पूरे खंड में, हम एक कनेक्टेड कॉम्पैक्ट लाई समूह K और K में एक अधिकतम टोरस T को ठीक करते हैं।

टी का प्रतिनिधित्व सिद्धांत
चूँकि T क्रमविनिमेय है, शूर की लेम्मा हमें बताती है कि प्रत्येक अपरिवर्तनीय निरूपण $$\rho$$ T का एक-आयामी है:
 * $$\rho:T\rightarrow GL(1;\mathbb{C})=\mathbb{C}^* .$$

चूँकि, T भी सघन है, $$\rho$$ वास्तव में मैप करना चाहिए $$S^1\subset\mathbb{C}$$.

इन अभ्यावेदनों का ठोस रूप से वर्णन करने के लिए, आइए $$\mathfrak{t}$$ टी का झूठ बीजगणित बनें और हम अंक लिखते हैं $$h\in T$$ जैसा
 * $$h=e^{H},\quad H\in\mathfrak{t} .$$

ऐसे निर्देशांक में, $$\rho$$ फॉर्म होगा
 * $$\rho(e^{H})=e^{i \lambda(H)}$$

कुछ रैखिक कार्यात्मकता के लिए $$\lambda$$ पर $$\mathfrak{t}$$.

अब, घातीय मानचित्र के बाद से $$H\mapsto e^{H}$$ इंजेक्टिव नहीं है, ऐसा हर रैखिक कार्यात्मक नहीं है $$\lambda$$ टी के एक सुपरिभाषित मानचित्र को जन्म देता है $$S^1$$. बल्कि, चलो $$\Gamma$$ घातीय मानचित्र के कर्नेल को निरूपित करें:
 * $$\Gamma = \left\{ H\in\mathfrak{t} \mid e^{2\pi H}=\operatorname{Id} \right\},$$

कहाँ $$\operatorname{Id}$$ टी का पहचान तत्व है। (हम यहां घातीय मानचित्र को एक कारक के आधार पर मापते हैं $$2\pi$$ अन्यत्र ऐसे कारकों से बचने के लिए।) फिर के लिए $$\lambda$$ एक अच्छी तरह से परिभाषित नक्शा देने के लिए $$\rho$$, $$\lambda$$ संतुष्ट होना चाहिए
 * $$\lambda(H)\in\mathbb{Z},\quad H\in\Gamma,$$

कहाँ $$\mathbb{Z}$$ पूर्णांकों का समुच्चय है. एक रैखिक कार्यात्मक $$\lambda$$ इस शर्त को संतुष्ट करने को विश्लेषणात्मक रूप से अभिन्न तत्व कहा जाता है। यह अभिन्नता स्थिति अर्धसरल लाई बीजगणित की सेटिंग में वजन (प्रतिनिधित्व सिद्धांत)#वजन की अवधारणा से संबंधित है, लेकिन इसके समान नहीं है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए, T केवल समूह है $$S^1$$ सम्मिश्र संख्याओं का $$e^{i\theta}$$ निरपेक्ष मान का 1. झूठ बीजगणित विशुद्ध रूप से काल्पनिक संख्याओं का समूह है, $$H=i\theta,\,\theta\in\mathbb{R},$$ और (स्केल्ड) घातीय मानचित्र का कर्नेल फॉर्म की संख्याओं का समूह है $$in$$ कहाँ $$n$$ एक पूर्णांक है. एक रैखिक कार्यात्मक $$\lambda$$ ऐसी सभी संख्याओं पर पूर्णांक मान लेता है यदि और केवल यदि यह फॉर्म का है $$\lambda(i\theta)= k\theta$$ कुछ पूर्णांक के लिए $$k$$. इस मामले में टी के अघुलनशील निरूपण एक-आयामी और रूप के हैं
 * $$\rho(e^{i\theta})=e^{ik\theta},\quad k \in \Z .$$

K का प्रतिनिधित्व सिद्धांत
फ़ाइल:A2example.pdf|thumb|समूह SU(3) के प्रतिनिधित्व के भार का उदाहरण अब हम जाने देते हैं $$\Sigma$$ K (ओवर) के एक परिमित-आयामी अघुलनशील प्रतिनिधित्व को निरूपित करें $$\mathbb{C}$$). फिर हम प्रतिबंध पर विचार करते हैं $$\Sigma$$ टी के लिए। यह प्रतिबंध तब तक अपरिवर्तनीय नहीं है जब तक $$\Sigma$$ एक आयामी है. फिर भी, प्रतिबंध टी के अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व के प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित होता है। (ध्यान दें कि टी का दिया गया अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व एक से अधिक बार हो सकता है।) अब, टी के प्रत्येक अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व को एक रैखिक कार्यात्मक द्वारा वर्णित किया गया है $$\lambda$$ जैसा कि पिछले उपधारा में है। यदि दिया गया $$\lambda$$ के प्रतिबंध के विघटन में कम से कम एक बार होता है $$\Sigma$$ टी को, हम कॉल करते हैं $$\lambda$$ का एक वजन $$\Sigma$$. K के प्रतिनिधित्व सिद्धांत की रणनीति अपरिवर्तनीय अभ्यावेदन को उनके वजन के संदर्भ में वर्गीकृत करना है।

अब हम प्रमेय तैयार करने के लिए आवश्यक संरचनाओं का संक्षेप में वर्णन करते हैं; अधिक विवरण भार (प्रतिनिधित्व सिद्धांत)#वजन इन सेमीसिंपल लाई अलजेब्रा के प्रतिनिधित्व सिद्धांत पर लेख में पाया जा सकता है। हमें K के लिए 'रूट सिस्टम' की धारणा की आवश्यकता है (किसी दिए गए अधिकतम टोरस टी के सापेक्ष)। इस जड़ प्रणाली का निर्माण $$R\subset \mathfrak{t}$$ यह सेमीसिंपल लाई अलजेब्रा#कार्टन सबलेजेब्रा और रूट सिस्टम के काफी समान है। विशेष रूप से, वज़न K के जटिल झूठ बीजगणित पर T की सहायक क्रिया के लिए गैर-शून्य भार हैं। रूट सिस्टम R में रूट सिस्टम के सभी सामान्य गुण होते हैं, सिवाय इसके कि R के तत्व विस्तारित नहीं हो सकते हैं $$\mathfrak{t}$$. फिर हम एक आधार चुनते हैं $$\Delta$$ R के लिए और हम कहते हैं कि एक अभिन्न तत्व $$\lambda$$ यदि प्रभावी है $$\lambda(\alpha)\ge 0$$ सभी के लिए $$\alpha\in\Delta$$. अंत में, हम कहते हैं कि एक वजन दूसरे से अधिक होता है यदि उनके अंतर को तत्वों के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$\Delta$$ गैर-नकारात्मक गुणांक के साथ.

K के अपरिवर्तनीय परिमित-आयामी निरूपण को फिर 'उच्चतम वजन के प्रमेय (प्रतिनिधित्व सिद्धांत)' द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जो लाई बीजगणित प्रतिनिधित्व को वर्गीकृत करने वाले अनुरूप प्रमेय से निकटता से संबंधित है#लाई बीजगणित के परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व को वर्गीकृत करना। परिणाम कहता है कि:
 * 1) प्रत्येक अघुलनशील प्रतिनिधित्व का वजन सबसे अधिक होता है,
 * 2) उच्चतम भार हमेशा एक प्रमुख, विश्लेषणात्मक रूप से अभिन्न तत्व होता है,
 * 3) समान उच्चतम भार वाले दो अपरिवर्तनीय निरूपण आइसोमोर्फिक हैं, और
 * 4) प्रत्येक प्रमुख, विश्लेषणात्मक रूप से अभिन्न तत्व एक अघुलनशील प्रतिनिधित्व के उच्चतम भार के रूप में उत्पन्न होता है।

K के निरूपण के लिए उच्चतम भार का प्रमेय लगभग अर्धसरल लाई बीजगणित के समान ही है, एक उल्लेखनीय अपवाद के साथ: भार (प्रतिनिधित्व सिद्धांत)#अभिन्न वजन की अवधारणा अलग है। वज़न $$\lambda$$ एक प्रतिनिधित्व का $$\Sigma$$ पिछले उपधारा में वर्णित अर्थ में विश्लेषणात्मक रूप से अभिन्न हैं। प्रत्येक विश्लेषणात्मक रूप से अभिन्न तत्व वजन (प्रतिनिधित्व सिद्धांत) #एलजेब्रा अर्थ में अभिन्न वजन है, लेकिन दूसरे तरीके से नहीं। (यह घटना दर्शाती है कि, सामान्य तौर पर, लाई समूह-लाई बीजगणित पत्राचार#लाई बीजगणित का लाई समूह प्रतिनिधित्व $$\mathfrak{k}$$ समूह K के प्रतिनिधित्व से आता है।) दूसरी ओर, यदि K बस जुड़ा हुआ है, तो समूह अर्थ में संभावित उच्चतम वजन का सेट, ली बीजगणित अर्थ में संभावित उच्चतम वजन के सेट के समान है।

वेइल वर्ण सूत्र
अगर $$\Pi:K\to\operatorname{GL}(V)$$ K का प्रतिनिधित्व है, हम 'चरित्र' को परिभाषित करते हैं $$\Pi$$ समारोह होना $$\Chi : K \to \mathbb{C}$$ द्वारा दिए गए
 * $$\Chi(x)=\operatorname{trace}(\Pi(x)),\quad x\in K$$.

यह फ़ंक्शन आसानी से एक क्लास फ़ंक्शन के रूप में देखा जाता है, अर्थात, $$\Chi(xyx^{-1})=\Chi(y)$$ सभी के लिए $$x$$ और $$y$$ के में इस प्रकार, $$\Chi$$ टी पर इसके प्रतिबंध द्वारा निर्धारित किया जाता है।

वर्णों का अध्ययन सघन समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है। एक महत्वपूर्ण परिणाम, जो कि पीटर-वेइल प्रमेय का एक परिणाम है, यह है कि वर्ण K में वर्ग-अभिन्न वर्ग कार्यों के सेट के लिए एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाते हैं। दूसरा मुख्य परिणाम वेइल वर्ण सूत्र है, जो एक स्पष्ट सूत्र देता है चरित्र के लिए - या, बल्कि, प्रतिनिधित्व के उच्चतम भार के संदर्भ में, चरित्र को टी तक सीमित करना।

सेमीसिम्पल लाई अलजेब्रा के निकट से संबंधित प्रतिनिधित्व सिद्धांत में, वेइल चरित्र सूत्र प्रतिनिधित्व को वर्गीकृत करने के बाद स्थापित एक अतिरिक्त परिणाम है। हालांकि, कॉम्पैक्ट समूह मामले के वेइल के विश्लेषण में, वेइल चरित्र सूत्र वास्तव में वर्गीकरण का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है। विशेष रूप से, के के अभ्यावेदन के वेइल के विश्लेषण में, प्रमेय का सबसे कठिन हिस्सा - यह दर्शाता है कि प्रत्येक प्रमुख, विश्लेषणात्मक रूप से अभिन्न तत्व वास्तव में कुछ प्रतिनिधित्व का उच्चतम वजन है - वर्मा का उपयोग करके सामान्य ली बीजगणित निर्माण से पूरी तरह से अलग तरीके से साबित होता है मॉड्यूल. वेइल के दृष्टिकोण में, निर्माण पीटर-वेइल प्रमेय और वेइल चरित्र सूत्र के एक विश्लेषणात्मक प्रमाण पर आधारित है। अंततः, K के अपरिवर्तनीय निरूपण को K पर निरंतर कार्यों के स्थान के अंदर महसूस किया जाता है।

एसयू(2) मामला
अब हम सघन समूह SU(2) के मामले पर विचार करते हैं। अभ्यावेदन को अक्सर एसयू(2) के प्रतिनिधित्व सिद्धांत से माना जाता है, लेकिन हम यहां उन्हें समूह के दृष्टिकोण से देखते हैं। हम अधिकतम टोरस को प्रपत्र के आव्यूहों का समुच्चय मानते हैं
 * $$ \begin{pmatrix}

e^{i\theta} & 0\\ 0 & e^{-i\theta} \end{pmatrix}. $$ टी के निरूपण अनुभाग में ऊपर चर्चा किए गए उदाहरण के अनुसार, विश्लेषणात्मक रूप से अभिन्न तत्वों को पूर्णांकों द्वारा लेबल किया जाता है, ताकि प्रमुख, विश्लेषणात्मक रूप से अभिन्न तत्व गैर-नकारात्मक पूर्णांक हों $$m$$. सामान्य सिद्धांत तो हमें यह बताता है कि प्रत्येक के लिए $$m$$, उच्चतम भार के साथ SU(2) का एक अद्वितीय अघुलनशील प्रतिनिधित्व है $$m$$.

किसी दिए गए प्रतिनिधित्व के बारे में अधिक जानकारी $$m$$ अपने चरित्र में कूटबद्ध है। अब, वेइल चरित्र सूत्र कहता है, वेइल चरित्र सूत्र#एसयू.282.29 मामला, कि चरित्र किसके द्वारा दिया गया है
 * $$\Chi\left(\begin{pmatrix}

e^{i\theta} & 0\\ 0 & e^{-i\theta} \end{pmatrix}\right)=\frac{\sin((m+1)\theta)}{\sin(\theta)}.$$ हम वर्ण को घातांक के योग के रूप में इस प्रकार भी लिख सकते हैं:
 * $$\Chi\left(\begin{pmatrix}

e^{i\theta} & 0\\ 0 & e^{-i\theta} \end{pmatrix}\right)=e^{im\theta}+e^{i(m-2)\theta}+\cdots e^{-i(m-2)\theta}+e^{-im\theta}.$$ (यदि हम उपरोक्त अभिव्यक्ति पर एक परिमित ज्यामितीय श्रृंखला के योग के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं और सरल बनाते हैं, तो हमें पिछली अभिव्यक्ति प्राप्त होती है।)

इस अंतिम अभिव्यक्ति और वेइल वर्ण सूत्र#कॉम्प्लेक्स सेमीसिंपल लाई अलजेब्रा के मानक सूत्र से, हम पढ़ सकते हैं कि प्रतिनिधित्व के वजन हैं
 * $$m,m-2,\ldots,-(m-2),-m,$$

प्रत्येक बहुलता के साथ एक। (भार घातांक के घातांक में आने वाले पूर्णांक हैं और गुणन घातांक के गुणांक हैं।) चूँकि वहाँ हैं $$m+1$$ भार, प्रत्येक बहुलता 1 के साथ, प्रतिनिधित्व का आयाम है $$m+1$$. इस प्रकार, हम अभ्यावेदन के बारे में अधिकांश जानकारी प्राप्त करते हैं जो आमतौर पर ली बीजगणित गणना से प्राप्त होती है।

प्रमाण की एक रूपरेखा
अब हम हरमन वेइल के मूल तर्क का अनुसरण करते हुए उच्चतम भार के प्रमेय के प्रमाण की रूपरेखा तैयार करते हैं। हम जारी रखते हैं $$K$$ एक कनेक्टेड कॉम्पैक्ट लाई समूह बनें और $$T$$ में एक निश्चित अधिकतम टोरस $$K$$. हम प्रमेय के सबसे कठिन भाग पर ध्यान केंद्रित करते हैं, जो दर्शाता है कि प्रत्येक प्रमुख, विश्लेषणात्मक रूप से अभिन्न तत्व कुछ (परिमित-आयामी) अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व का उच्चतम वजन है। प्रमाण के लिए उपकरण निम्नलिखित हैं:
 * मैक्सिमल टोरस#गुण।
 * मैक्सिमल टोरस#वेइल इंटीग्रल फॉर्मूला।
 * पीटर-वेइल प्रमेय#वर्ग कार्यों पर प्रतिबंध|वर्ग कार्यों के लिए पीटर-वेइल प्रमेय, जिसमें कहा गया है कि अपरिवर्तनीय अभ्यावेदन के वर्ण वर्ग पूर्णांक वर्ग कार्यों के स्थान के लिए एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाते हैं $$K$$.

इन उपकरणों को हाथ में लेकर, हम प्रमाण के साथ आगे बढ़ते हैं। तर्क में पहला प्रमुख कदम वेइल चरित्र सूत्र को सिद्ध करना है। सूत्र बताता है कि यदि $$\Pi$$ उच्चतम भार वाला एक अघुलनशील प्रतिनिधित्व है $$\lambda$$, फिर चरित्र $$\Chi$$ का $$\Pi$$ संतुष्ट करता है:
 * $$\Chi(e^H)=\frac{\sum_{w\in W} \det(w) e^{i\langle w\cdot(\lambda+\rho),H\rangle}}{\sum_{w\in W} \det(w) e^{i\langle w\cdot\rho,H\rangle}}$$

सभी के लिए $$H$$ के झूठ बीजगणित में $$T$$. यहाँ $$\rho$$ धनात्मक मूलों का योग आधा है। (नोटेशन वास्तविक वजन के सम्मेलन का उपयोग करता है; इस सम्मेलन के लिए एक स्पष्ट कारक की आवश्यकता होती है $$i$$ प्रतिपादक में।) वेइल के चरित्र सूत्र का प्रमाण प्रकृति में विश्लेषणात्मक है और इस तथ्य पर निर्भर करता है कि $$L^2$$ वर्ण का मानदण्ड 1 है। विशेष रूप से, यदि अंश में कोई अतिरिक्त पद हों, तो वेइल इंटीग्रल सूत्र वर्ण के मानदण्ड को 1 से अधिक होने के लिए बाध्य करेगा।

अगला, हमने जाने दिया $$\Phi_\lambda$$ वर्ण सूत्र के दाहिनी ओर फ़ंक्शन को निरूपित करें। हम वो भी दिखाते हैं $$\lambda$$ किसी प्रतिनिधित्व का उच्चतम महत्व नहीं माना जाता है, $$\Phi_\lambda$$ एक अच्छी तरह से परिभाषित, वेइल-अपरिवर्तनीय फ़ंक्शन है $$T$$, जो इसलिए एक क्लास फ़ंक्शन तक विस्तारित होता है $$K$$. फिर वेइल इंटीग्रल फॉर्मूला का उपयोग करके, कोई इसे इस प्रकार दिखा सकता है $$\lambda$$ प्रमुख, विश्लेषणात्मक रूप से अभिन्न तत्वों, कार्यों के सेट पर श्रेणियाँ $$\Phi_\lambda$$ वर्ग कार्यों का एक असामान्य परिवार बनाएं। हम इस बात पर जोर देते हैं कि हम फिलहाल ऐसा कुछ नहीं जानते हैं $$\lambda$$ प्रतिनिधित्व का उच्चतम भार है; फिर भी, वर्ण सूत्र के दाहिनी ओर के भाव कार्यों का एक अच्छी तरह से परिभाषित सेट देते हैं $$\Phi_\lambda$$, और ये कार्य लम्बवत हैं।

अब निष्कर्ष आता है. सबका सेट $$\Phi_\lambda$$-साथ $$\lambda$$ प्रमुख, विश्लेषणात्मक रूप से अभिन्न तत्वों पर आधारित - वर्ग पूर्णांक वर्ग कार्यों के स्थान में एक ऑर्थोनॉर्मल सेट बनाता है। लेकिन वेइल चरित्र सूत्र के अनुसार, अपरिवर्तनीय अभ्यावेदन के वर्ण एक उपसमूह बनाते हैं $$\Phi_\lambda$$'एस। और पीटर-वेइल प्रमेय के अनुसार, अघुलनशील अभ्यावेदन के वर्ण वर्ग पूर्णांक वर्ग कार्यों के स्थान के लिए एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाते हैं। अगर कुछ होते $$\lambda$$ यह किसी प्रतिनिधित्व का उच्चतम महत्व नहीं है, फिर संगत $$\Phi_\lambda$$ प्रतिनिधित्व का चरित्र नहीं होगा. इस प्रकार, वर्ण समुच्चय का उचित उपसमुच्चय होंगे $$\Phi_\lambda$$'एस। लेकिन तब हमारे सामने एक असंभव स्थिति होती है: एक ऑर्थोनॉर्मल आधार (इरेड्यूसेबल अभ्यावेदन के वर्णों का सेट) एक सख्ती से बड़े ऑर्थोनॉर्मल सेट (सेट) में समाहित होगा $$\Phi_\lambda$$'एस)। इस प्रकार, प्रत्येक $$\lambda$$ वास्तव में प्रतिनिधित्व का उच्चतम भार होना चाहिए।

द्वैत
एक कॉम्पैक्ट समूह को उसके प्रतिनिधित्व सिद्धांत से पुनर्प्राप्त करने का विषय तन्नाका-क्रेन द्वैत का विषय है, जिसे अब अक्सर तन्नाकियन श्रेणी सिद्धांत के संदर्भ में पुनर्गठित किया जाता है।

संहत से गैर-संक्षिप्त समूहों की ओर
गैर-कॉम्पैक्ट समूहों पर कॉम्पैक्ट समूह सिद्धांत का प्रभाव वेइल ने अपनी यूनिटेरियन चाल में तैयार किया था। एक सामान्य अर्धसरल लाई समूह के अंदर एक अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह होता है, और ऐसे समूहों का प्रतिनिधित्व सिद्धांत, जो बड़े पैमाने पर हरीश-चंद्र द्वारा विकसित किया गया है, ऐसे उपसमूह के प्रतिनिधित्व के प्रतिबंध का गहनता से उपयोग करता है, और वेइल के चरित्र सिद्धांत का मॉडल भी।

यह भी देखें

 * पीटर-वेइल प्रमेय
 * अधिकतम टोरस
 * मूल प्रक्रिया
 * स्थानीय रूप से सघन समूह
 * पी-कॉम्पैक्ट ग्रुप|पी-कॉम्पैक्ट ग्रुप
 * प्रोटोरस
 * झूठ बीजगणित निरूपण#झूठे बीजगणित के परिमित-आयामी निरूपणों को वर्गीकृत करना|झूठ बीजगणित के परिमित-आयामी निरूपणों को वर्गीकृत करना
 * वजन (प्रतिनिधित्व सिद्धांत)#अर्धसरल झूठ बीजगणित के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में वजन