त्रिकोणमितीय कार्यों का विभेदन

त्रिकोणमितीय कार्यों का भेदभाव एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने की गणितीय प्रक्रिया है, या चर के संबंध में इसकी परिवर्तन की दर है। उदाहरण के लिए, साइन फ़ंक्शन का व्युत्पन्न sin′(a) = cos(a) लिखा जाता है, जिसका अर्थ है कि एक विशेष कोण पर sin(x) के परिवर्तन की दर ' 'x = a' उस कोण के कोज्या द्वारा दिया जाता है।

वृत्ताकार त्रिकोणमितीय कार्यों के सभी यौगिक  sin(x) और cos(x) से पाए जा सकते हैं, जैसे tan(x) = sin जैसे कार्यों पर लागू भागफल नियम के माध्यम से (x)/cos(x)। इन व्युत्पत्तियों को जानने के बाद, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के डेरिवेटिव्स निहित भेदभाव का उपयोग करते हुए पाए जाते हैं।

पाप की सीमा(θ)/θ के रूप में θ 0
की ओर जाता है दाईं ओर का आरेख केंद्र O और त्रिज्या r = 1 के साथ एक वृत्त दिखाता है। मान लें कि दो त्रिज्या OA और OB θ रेडियन का एक चाप बनाते हैं। चूंकि हम सीमा पर विचार कर रहे हैं क्योंकि θ शून्य की ओर जाता है, हम मान सकते हैं कि θ एक छोटी सकारात्मक संख्या है, मान लीजिए 0 < θ < ½ π पहले चतुर्थांश में।

आरेख में, चलो आर1 त्रिभुज OAB, R हो2 परिपत्र क्षेत्र OAB, और R3 त्रिकोण ओएसी। त्रिभुज # त्रिभुज OAB के क्षेत्रफल की गणना है:


 * $$ \mathrm{Area}(R_1

) =\tfrac{1}{2} \ |OA| \ |OB| \sin\theta = \tfrac{1}{2}\sin\theta \, . $$ वृत्ताकार सेक्टर#क्षेत्रफल OAB है $$\mathrm{Area}(R_2) =\tfrac{1}{2}\theta$$, जबकि त्रिभुज OAC का क्षेत्रफल इसके द्वारा दिया गया है
 * $$ \mathrm{Area}(R_3

) =\tfrac{1}{2} \ |OA| \ |AC| = \tfrac{1}{2} \tan\theta \, . $$ चूंकि प्रत्येक क्षेत्र अगले में समाहित है, एक के पास:


 * $$\text{Area}(R_1) < \text{Area}(R_2) < \text{Area}(R_3) \implies

\tfrac{1}{2}\sin\theta < \tfrac{1}{2}\theta < \tfrac{1}{2}\tan\theta \,. $$ इसके अलावा, चूंकि sin θ > 0 पहले चतुर्थांश में, हम ½ से विभाजित कर सकते हैं sin θ, देना:
 * $$1 < \frac{\theta}{\sin\theta} < \frac{1}{\cos\theta} \implies 1 > \frac{\sin\theta}{\theta} > \cos\theta \, . $$

अंतिम चरण में हमने असमानताओं को उलटते हुए तीन सकारात्मक शब्दों के व्युत्क्रमों को लिया।

हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि 0 < θ < ½ π के लिए, मात्रा sin(θ)/θ हमेशा 1 से कम होता है और हमेशा cos(θ) से बड़ा होता है। इस प्रकार, जैसे-जैसे θ 0 के करीब आता जाता है, sin(θ)/θ ऊंचाई 1 पर छत और ऊंचाई पर मंजिल के बीच निचोड़ प्रमेय है cos θ, जो 1 की ओर बढ़ता है; इसलिए sin(θ)/θ को 1 की ओर प्रवृत्त होना चाहिए क्योंकि θ धनात्मक पक्ष से 0 की ओर प्रवृत्त होता है:"$\lim_{\theta \to 0^+} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1 \, . $"उस मामले के लिए जहां θ एक छोटी ऋणात्मक संख्या है -½ π < θ < 0, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि ज्या एक विषम फलन है:


 * $$\lim_{\theta \to 0^-}\! \frac{\sin\theta}{\theta}

\ =\ \lim_{\theta\to 0^+}\!\frac{\sin(-\theta)}{-\theta} \ =\ \lim_{\theta \to 0^+}\!\frac{-\sin\theta}{-\theta} \ =\ \lim_{\theta\to 0^+}\!\frac{\sin\theta}{\theta} \ =\ 1 \, . $$

की सीमा (cos(θ)-1)/θ के रूप में θ 0
के लिए जाता है अंतिम खंड हमें अपेक्षाकृत आसानी से इस नई सीमा की गणना करने में सक्षम बनाता है। यह एक साधारण ट्रिक को नियोजित करके किया जाता है। इस गणना में, θ का चिह्न महत्वहीन है।
 * $$ \lim_{\theta \to 0}\, \frac{\cos\theta - 1}{\theta}

\ =\ \lim_{\theta \to 0} \left( \frac{\cos\theta - 1}{\theta} \right)\!\! \left( \frac{\cos\theta + 1}{\cos\theta + 1} \right) \ =\ \lim_{\theta \to 0}\, \frac{\cos^2\!\theta - 1}{\theta\,(\cos\theta + 1)}. $$ का उपयोग करते हुए cos2θ – 1 = –sin2θ, तथ्य यह है कि किसी उत्पाद की सीमा सीमाओं का गुणनफल है, और पिछले अनुभाग से सीमा परिणाम, हम पाते हैं कि:


 * $$ \lim_{\theta \to 0}\,\frac{\cos\theta - 1}{\theta}

\ =\ \lim_{\theta \to 0}\, \frac{-\sin^2\theta}{\theta(\cos\theta+1)} \ =\ \left( -\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta}\right)\! \left( \lim_{\theta \to 0}\,\frac{\sin\theta}{\cos\theta + 1} \right) \ =\ (-1)\left(\frac{0}{2}\right) = 0 \,. $$

tan(θ)/θ की सीमा जब θ 0
की ओर जाता है
 * 1) Limit_of_as फ़ंक्शन के लिए सीमा का उपयोग करते हुए, तथ्य यह है कि स्पर्शरेखा फ़ंक्शन विषम है, और तथ्य यह है कि उत्पाद की सीमा सीमाओं का उत्पाद है, हम पाते हैं:

\lim_{\theta\to 0} \frac{\tan\theta}{\theta} \ =\ \left(\lim_{\theta\to 0} \frac{\sin\theta}{\theta}\right)\! \left( \lim_{\theta\to 0} \frac{1}{\cos\theta}\right) \ =\ (1)(1) \ =\   1 \, . $$

साइन समारोह का व्युत्पन्न
हम व्युत्पन्न # परिभाषा से अंतर उद्धरण के माध्यम से साइन फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करते हैं:
 * $$ \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta = \lim_{\delta \to 0} \frac{\sin(\theta + \delta) - \sin \theta}{\delta} . $$

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची का उपयोग करना#कोण योग और अंतर सर्वसमिका sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α, अपने पास:
 * $$ \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta

= \lim_{\delta \to 0} \frac{\sin\theta\cos\delta + \sin\delta\cos\theta-\sin\theta}{\delta} = \lim_{\delta \to 0} \left( \frac{\sin\delta}{\delta} \cos\theta + \frac{\cos\delta -1}{\delta}\sin\theta \right). $$
 * 1) Limit_of_as और #Limit_of_as_2 फ़ंक्शंस के लिए सीमाओं का उपयोग करना:
 * $$ \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta

= (1)\cos\theta + (0)\sin\theta = \cos\theta \,. $$

व्युत्पन्न की परिभाषा से
हम फिर से सीमा परिभाषा से कोसाइन समारोह के व्युत्पन्न की गणना करते हैं:


 * $$ \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\cos\theta

= \lim_{\delta \to 0} \frac{\cos(\theta+\delta)-\cos\theta}{\delta}. $$ कोण योग सूत्र का उपयोग करना cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β, अपने पास:
 * $$ \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\cos\theta

= \lim_{\delta \to 0} \frac{\cos\theta\cos\delta - \sin\theta\sin\delta-\cos\theta}{\delta} = \lim_{\delta \to 0} \left(\frac{\cos\delta -1}{\delta}\cos\theta \,-\, \frac{\sin\delta}{\delta} \sin\theta \right). $$
 * 1) Limit_of_as और #Limit_of_as_2 फ़ंक्शंस के लिए सीमाओं का उपयोग करना:
 * $$ \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\cos\theta

= (0) \cos\theta - (1) \sin\theta = -\sin\theta \,. $$

श्रृंखला नियम से
श्रृंखला नियम से कोसाइन फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए, पहले निम्नलिखित तीन तथ्यों का पालन करें:
 * $$\cos\theta = \sin\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)$$
 * $$\sin\theta = \cos\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)$$
 * $$\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \sin\theta = \cos\theta$$

पहला और दूसरा त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची#समरूपता है, और तीसरा ऊपर सिद्ध किया गया है। इन तीन तथ्यों का प्रयोग करते हुए हम निम्नलिखित लिख सकते हैं,
 * $$\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \cos\theta = \tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \sin\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)$$

हम श्रृंखला नियम का उपयोग करके इसे अलग कर सकते हैं। दे $$f(x) = \sin x,\ \ g(\theta) =\tfrac{\pi}{2}-\theta$$, अपने पास:


 * $$\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} f\!\left(g\!\left(\theta\right)\right) = f^\prime\!\left(g\!\left(\theta\right)\right) \cdot g^\prime\!\left(\theta\right) = \cos\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right) \cdot (0-1) = -\sin\theta$$.

इसलिए, हमने यह सिद्ध किया है
 * $$\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \cos\theta = -\sin\theta$$.

व्युत्पन्न की परिभाषा से
स्पर्शरेखा फ़ंक्शन tan θ के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए, हम अंतर भागफल के माध्यम से व्युत्पन्न#परिभाषा का उपयोग करते हैं। परिभाषा से:

\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta = \lim_{\delta \to 0} \left( \frac{\tan(\theta+\delta)-\tan\theta}{\delta} \right). $$ प्रसिद्ध कोण सूत्र का उपयोग करना tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β), अपने पास:

\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta = \lim_{\delta \to 0} \left[ \frac{\frac{\tan\theta + \tan\delta}{1 - \tan\theta\tan\delta} - \tan\theta}{\delta} \right] = \lim_{\delta \to 0} \left[ \frac{\tan\theta + \tan\delta - \tan\theta + \tan^2\theta\tan\delta}{\delta \left( 1 - \tan\theta\tan\delta \right)} \right]. $$ इस तथ्य का उपयोग करना कि किसी उत्पाद की सीमा सीमा का उत्पाद है:

\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta = \lim_{\delta \to 0} \frac{\tan\delta}{\delta} \times \lim_{\delta \to 0} \left( \frac{1 + \tan^2\theta}{1 - \tan\theta\tan\delta} \right). $$
 * 1) Limit_of_as_3 फ़ंक्शन के लिए सीमा का उपयोग करना, और तथ्य यह है कि tan δ 0 की ओर जाता है क्योंकि δ 0 की ओर जाता है:

\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta = 1 \times \frac{1 + \tan^2\theta}{1 - 0} = 1 + \tan^2\theta. $$ हम तुरंत देखते हैं कि:

\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta = 1 + \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{\cos^2\theta + \sin^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta} = \sec^2\theta \,. $$

भागफल नियम से
कोई भागफल नियम का उपयोग करके स्पर्शरेखा फलन के अवकलज की गणना भी कर सकता है।
 * $$\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \tan\theta

= \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\left(\sin\theta\right)^\prime \cdot \cos\theta - \sin\theta \cdot \left(\cos\theta\right)^\prime}{ \cos^2 \theta } = \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} $$ त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची #पाइथागोरस की सर्वसमिकाओं द्वारा अंश को 1 तक सरल बनाया जा सकता है, जो हमें देता है,
 * $$\frac{1}{\cos^2 \theta} = \sec^2 \theta$$

इसलिए,
 * $$\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \tan\theta = \sec^2 \theta$$

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के डेरिवेटिव का प्रमाण
निम्नलिखित डेरिवेटिव एक चर (गणित) y को व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के बराबर सेट करके पाया जाता है जिसे हम व्युत्पन्न करना चाहते हैं। अंतर्निहित अवकलन का उपयोग करना और फिर dy/dx के लिए हल करना, व्युत्क्रम फलन का अवकलज y के संदर्भ में पाया जाता है। dy/dx को वापस x के संदर्भ में परिवर्तित करने के लिए, हम यूनिट सर्कल पर एक संदर्भ त्रिकोण बना सकते हैं, जिससे θ y हो। पाइथागोरस प्रमेय और नियमित त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषा का उपयोग करके, हम अंत में x के संदर्भ में dy/dx को व्यक्त कर सकते हैं।

प्रतिलोम ज्या फलन में अंतर करना
हम जाने


 * $$y=\arcsin x\,\!$$

कहाँ


 * $$-\frac{\pi}{2}\le y \le \frac{\pi}{2}$$

तब


 * $$\sin y=x\,\!$$

व्युत्पन्न के संबंध में लेना $$x$$ दोनों तरफ और डीई/डीएक्स के लिए हल करना:


 * $${d \over dx}\sin y={d \over dx}x$$
 * $$\cos y \cdot {dy \over dx} = 1\,\!$$

स्थानापन्न $$ \cos y = \sqrt{1-\sin^2 y}$$ में ऊपर से,


 * $$\sqrt{1-\sin^2 y} \cdot {dy \over dx} =1$$

स्थानापन्न $$x=\sin y$$ में ऊपर से,


 * $$\sqrt{1-x^2} \cdot {dy \over dx} =1$$
 * $${dy \over dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

प्रतिलोम कोज्या फलन में अंतर करना
हम जाने


 * $$y=\arccos x\,\!$$

कहाँ


 * $$0 \le y \le \pi$$

तब


 * $$\cos y=x\,\!$$

व्युत्पन्न के संबंध में लेना $$x$$ दोनों तरफ और डीई/डीएक्स के लिए हल करना:


 * $${d \over dx}\cos y={d \over dx}x$$
 * $$-\sin y \cdot {dy \over dx} =1$$

स्थानापन्न $$\sin y = \sqrt{1-\cos^2 y}\,\!$$ ऊपर से, हम प्राप्त करते हैं


 * $$-\sqrt{1-\cos^2 y} \cdot {dy \over dx} =1$$

स्थानापन्न $$x=\cos y\,\!$$ ऊपर से, हम प्राप्त करते हैं


 * $$-\sqrt{1-x^2} \cdot {dy \over dx} =1$$
 * $${dy \over dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

वैकल्पिक रूप से, एक बार के व्युत्पन्न $$\arcsin x$$ स्थापित है, का व्युत्पन्न है $$\arccos x$$ पहचान को अलग करके तुरंत अनुसरण करता है $$\arcsin x+\arccos x=\pi/2$$ ताकि $$(\arccos x)'=-(\arcsin x)'$$.

प्रतिलोम स्पर्शरेखा फलन में अंतर करना
हम जाने


 * $$y=\arctan x\,\!$$

कहाँ


 * $$-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$

तब


 * $$\tan y=x\,\!$$

व्युत्पन्न के संबंध में लेना $$x$$ दोनों तरफ और डीई/डीएक्स के लिए हल करना:


 * $${d \over dx}\tan y={d \over dx}x$$

बाईं तरफ:



{d \over dx}\tan y = \sec^2 y \cdot {dy \over dx} = (1 + \tan^2 y) {dy \over dx} $$ पायथागॉरियन पहचान का उपयोग करना

दाईं ओर:


 * $${d \over dx}x = 1$$

इसलिए,


 * $$(1+\tan^2 y){dy \over dx}=1$$

स्थानापन्न $$x=\tan y\,\!$$ ऊपर से, हम प्राप्त करते हैं


 * $$(1+x^2){dy \over dx}=1$$
 * $${dy \over dx}=\frac{1}{1+x^2}$$

प्रतिलोम कोटिस्पर्श फलन में अंतर करना
हम जाने


 * $$y=\arccot x$$

कहाँ $$0<y<\pi$$. तब


 * $$\cot y=x$$

व्युत्पन्न के संबंध में लेना $$x$$ दोनों तरफ और डीई/डीएक्स के लिए हल करना:


 * $$\frac{d}{dx}\cot y=\frac{d}{dx}x$$

बाईं तरफ:



{d \over dx}\cot y = -\csc^2 y \cdot {dy \over dx} = -(1 + \cot^2 y) {dy \over dx} $$ पायथागॉरियन पहचान का उपयोग करना

दाईं ओर:


 * $${d \over dx}x = 1$$

इसलिए,


 * $$-(1+\cot^2y)\frac{dy}{dx}=1$$

स्थानापन्न $$x=\cot y$$,


 * $$-(1+x^2)\frac{dy}{dx}=1$$
 * $$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{1+x^2}$$

वैकल्पिक रूप से, के व्युत्पन्न के रूप में $$\arctan x$$ जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, फिर पहचान का उपयोग करके व्युत्पन्न किया गया है $$\arctan x+\arccot x=\dfrac{\pi}{2}$$ उसका तुरंत पालन करता है$$\begin{align} \dfrac{d}{dx}\arccot x &=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\pi}{2}-\arctan x\right)\\ &=-\dfrac{1}{1+x^2} \end{align}$$

अंतर्निहित भेदभाव का उपयोग करना
होने देना


 * $$ y = \arcsec x\ \mid |x| \geq 1$$

तब


 * $$ x = \sec y \mid \ y \in \left [0,\frac{\pi}{2} \right )\cup \left (\frac{\pi}{2},\pi \right]

$$
 * $$ \frac{dx}{dy} = \sec y \tan y = |x|\sqrt{x^2-1}$$

(अभिव्यक्ति में निरपेक्ष मान आवश्यक है क्योंकि y के अंतराल में छेदक और स्पर्शरेखा का गुणनफल हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, जबकि मूलांक $$\sqrt{x^2-1}$$ मुख्य वर्गमूल की परिभाषा के अनुसार हमेशा गैर-नकारात्मक होता है, इसलिए शेष गुणक भी गैर-ऋणात्मक होना चाहिए, जिसे x के निरपेक्ष मान का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है।)


 * $$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$$

शृंखला नियम का उपयोग करना
वैकल्पिक रूप से, चापसेकेंट का व्युत्पन्न श्रृंखला नियम का उपयोग करके आर्ककोसाइन के व्युत्पन्न से प्राप्त किया जा सकता है।

होने देना


 * $$ y = \arcsec x = \arccos \left(\frac{1}{x}\right) $$

कहाँ


 * $$ |x| \geq 1 $$ और $$ y \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right] $$

फिर, चेन नियम को लागू करना $$ \arccos \left(\frac{1}{x}\right) $$:


 * $$ \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{x})^2}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)

= \frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}} = \frac{1}{x^2\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2}}} = \frac{1}{\sqrt{x^2}\sqrt{x^2-1}} = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} $$

अंतर्निहित भेदभाव का उपयोग करना
होने देना


 * $$y = \arccsc x\ \mid |x| \geq 1$$

तब


 * $$ x = \csc y\ \mid \ y \in \left [-\frac{\pi}{2},0 \right )\cup \left (0,\frac{\pi}{2} \right]$$
 * $$ \frac{dx}{dy} = -\csc y \cot y = -|x|\sqrt{x^2-1}$$

(व्यंजक में निरपेक्ष मान आवश्यक है क्योंकि y के अंतराल में cosecant और cotangent का गुणनफल हमेशा गैर-नकारात्मक होता है, जबकि रेडिकल $$\sqrt{x^2-1}$$ मुख्य वर्गमूल की परिभाषा के अनुसार हमेशा गैर-नकारात्मक होता है, इसलिए शेष गुणक भी गैर-ऋणात्मक होना चाहिए, जिसे x के निरपेक्ष मान का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है।)
 * $$ \frac{dy}{dx} = \frac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$$

शृंखला नियम का उपयोग करना
वैकल्पिक रूप से, चापकोसेकेंट का व्युत्पन्न श्रृंखला नियम का उपयोग करके आर्कसीन के व्युत्पन्न से प्राप्त किया जा सकता है।

होने देना


 * $$ y = \arccsc x = \arcsin \left(\frac{1}{x}\right) $$

कहाँ


 * $$ |x| \geq 1 $$ और $$ y \in \left[-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right] $$

फिर, चेन नियम को लागू करना $$ \arcsin \left(\frac{1}{x}\right) $$:


 * $$ \frac{dy}{dx} =\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{x})^2}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)

= -\frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}} = -\frac{1}{x^2\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2}}} = -\frac{1}{\sqrt{x^2}\sqrt{x^2-1}} = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} $$

ग्रन्थसूची

 * Handbook of Mathematical Functions, Edited by Abramowitz and Stegun, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series, 55 (1964)