प्रक्षेपी रैखिक समूह

गणित में, विशेष रूप से बीजगणित क्षेत्र में, प्रक्षेपी रेखीय समूह (जिसे प्रक्षेपी सामान्य रेखीय समूह या PGL के रूप में भी जाना जाता है) संबंधित प्रक्षेपी समष्टि P(V) पर सदिश समष्टि V के सामान्य रेखीय समूह की प्रेरित समूह क्रिया (गणित) है। स्पष्ट रूप से, प्रक्षेपी रेखीय भागफल समूह है
 * PGL(V) = GL(V)/Z(V)

जहाँ GL(V) V का सामान्य रेखीय समूह है और Z(V), V के सभी अशून्य अदिश रूपांतरणों का उपसमूह है| इन्हें उद्धृत किया जाता है क्योंकि वे प्रक्षेपण समष्टि  पर साधारण क्रिया करते हैं और वे क्रिया के कर्नेल (बीजगणित) बनाते हैं, और Z दर्शाता है कि अदिश परिवर्तन सामान्य रैखिक समूह  केंद्र का निर्माण करते हैं।

प्रक्षेपी विशेष रेखीय समूह, PSL, को संबंधित प्रक्षेपी समष्टि पर विशेष रेखीय समूह की प्रेरित क्रिया को समान रूप से परिभाषित किया गया है। स्पष्ट रूप से-
 * PSL(V) = SL(V)/SZ(V)

जहां SL(V), V पर विशेष रैखिक समूह है और SZ(V) इकाई निर्धारक के साथ स्केलर परिवर्तनों का उपसमूह है। यहाँ SZ,SL का केंद्र है, और स्वाभाविक रूप से F में nth मूल के समूह के साथ पहचाना जाता है (जहाँ n,'V' का डायमेंशन (सदिश स्थल) है ' और 'L' आधार क्षेत्र (गणित) है)।

PGL और PSL अध्ययन के कुछ मूलभूत समूह हैं, तथाकथित शास्त्रीय समूहों का हिस्सा हैं, और PGL के एक तत्व को प्रक्षेपी रैखिक परिवर्तन, प्रक्षेपी परिवर्तन या होमोग्राफी कहा जाता है। यदि V क्षेत्र पर nआयाम (वेक्टर समष्टि) है, अर्थात् V = Fn, वैकल्पिक स्तिथि में,PGL (n, F) और PSL (n, F) का भी प्रयोग किया जाता है।

ध्यान दें कि PGL(n, F) और PSL(n, F) समूह समाकृतिकता हैं यदि F के प्रत्येक तत्व का F में nवां मूल है। उदाहरण के रूप में, ध्यान दें कि PGL(2, C) = PSL(2, C), किन्तु उस PGL(2, R) > PSL(2, R); यह वास्तविक प्रक्षेपी रेखा के उन्मुख होने के अनुरूप है, और प्रक्षेपी विशेष रेखीय समूह मात्र अभिविन्यास-संरक्षण परिवर्तन है।

PGL और PSL को रिंग (गणित) पर भी परिभाषित किया जा सकता है, जिसमें महत्वपूर्ण उदाहरण मॉड्यूलर समूह PSL(2, Z) है|

नाम
यह नाम प्रक्षेपी ज्यामिति से लिया गया है, जहाँ सजातीय निर्देशांक पर कार्य करने वाला प्रक्षेपी समूह (x0:x1: ... :xn) ज्यामिति का अंतर्निहित समूह है। अन्य प्रकार से, V पर GL(V) की प्राकृतिक समूह क्रिया (गणित) प्रक्षेपी समष्टि P(V) पर PGL (V) की कार्रवाई के लिए उतरती है।

प्रक्षेपी रेखीय समूह इसलिए मोबियस परिवर्तनों (कभी-कभी मोबियस समूह कहा जाता है) की स्तिथि PGL (2,'C') को सामान्यीकृत करते हैं, जो प्रक्षेपी रेखा पर कार्य करता है।

ध्यान दें कि सामान्य रैखिक समूह के विपरीत, जिसे सामान्यतः स्वयंसिद्ध रूप से रैखिक (वेक्टर स्पेस) संरचना को संरक्षित करने वाले व्युत्क्रमणीय कार्यों के रूप में परिभाषित किया जाता है, प्रक्षेपी रैखिक समूह को संबंधित सदिश समष्टि के सामान्य रैखिक समूह के भागफल के रूप में रचनात्मक रूप से परिभाषित किया गया है, स्वैच्छिक रूप से "प्रक्षेपी रैखिक संरचना को संरक्षित करने वाले व्युत्क्रमणीय कार्यों " के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह संकेतन में परिलक्षित होता है- PGL (एन, एफ) जीएल (एन, एफ) से जुड़ा समूह है, और (एन-1) -डायमेंशनल प्रक्षेपी समष्टि का प्रक्षेपण रेखा समूह है, न कि n-डायमेंशनल प्रक्षेपी समष्टि है।

मिलीभगत
संबंधित समूह समरेखण समूह है, जिसे स्वैच्छिक रूप से परिभाषित किया गया है। संरेखण व्युत्क्रमणीय प्रतिमूर्ति है जो संरेख बिंदुओं को बिंदु भेजता है। आपतन संरचना के संदर्भ में प्रक्षेपी समष्टि को स्वयंसिद्ध रूप से परिभाषित कर सकते हैं (बिंदु P का सेट, रेखाएँ L, और घटना संबंध, निर्दिष्ट करता है कि कौन से बिंदु किस रेखा पर स्थित हैं) जो कुछ स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करते हैं| इस प्रकार परिभाषित प्रक्षेप्य समष्टि का ऑटोमोर्फिज़्म तत्पश्चात बिंदुओं के सेट का ऑटोमोर्फिज्म F और रेखाओं के सेट का ऑटोमोर्फिज्म G होता है जो घटना संबंध को संरक्षित करता है, जो वास्तव में स्वयं समष्टि का संयोजन है। प्रक्षेपी रेखीय रूपांतरण समतलीकरण हैं (सदिश समष्टि में समतल संबंधित प्रक्षेप्य समष्टि में रेखाओं के अनुरूप होते हैं, और रेखीय मानचित्र को समतलों में परिवर्तित कर देता है, इसलिए प्रक्षेपी रैखिक मानचित्र को रेखाओं में परिवर्तित कर देता है), किन्तु सामान्यतः सभी समतलीकरण प्रक्षेपी रैखिक रूपांतरण नहीं होते हैं - PGL सामान्यतः समरेखण समूह का उत्तम उपसमूह है।

विशेष रूप से, n = 2 (प्रक्षेपी रेखा) के लिए, सभी बिंदु समरेख हैं, इसलिए समरेखण समूह वास्तव में प्रक्षेपी रेखा के बिंदुओं का सममित समूह है, और F2और F3 को छोड़कर (जहाँ PGL पूर्ण सममित समूह है), PGL इन बिंदुओं पर पूर्ण सममित समूह का उचित उपसमूह है।

n ≥ 3 के लिए, संरेखन समूह प्रक्षेपी अर्धरैखिक समूह है, PΓL - यह PGL है, जो फील्ड ऑटोमोर्फिज्म द्वारा मुड़ जाता है, औपचारिक रूप से, PΓL ≅ PGL ⋊ Gal(K/k), जहाँ k, K के लिए प्रमुख क्षेत्र है, यह प्रक्षेपी ज्यामिति का मूलभूत प्रमेय है। इस प्रकार K के लिए प्रमुख क्षेत्र ('F'p या Q), PGL = PΓL है, किन्तु K के लिए गैर-तुच्छ गैल्वा ऑटोमोर्फिज्म (जैसे कि $$\mathbf{F}_{p^n}$$ n ≥ 2 या 'C' के लिए), प्रक्षेपी रैखिक समूह, कॉलिनेशन समूह का उत्तम उपसमूह है, जिसे प्रक्षेपी सेमी-रैखिक संरचना को संरक्षित करने वाले रूपांतरण के रूप में माना जा सकता है। इसके अनुरूप, भागफल समूह PΓL/PGL = Gal(K/k) रैखिक संरचना के विकल्पों से समरूप है, जिसमें प्रमाण (आधार बिंदु) रैखिक संरचना है।

स्वयंसिद्ध रूप से परिभाषित प्रक्षेपी रिक्त समष्टि के लिए समरेखण समूहों को भी परिभाषित कर सकता है, जहां प्रक्षेपी रैखिक परिवर्तन की कोई प्राकृतिक धारणा नहीं है। चूँकि, गैर-डिसर्ग्यूसियन समतलों के अपवाद के साथ, सभी प्रक्षेपी रिक्त समष्टि विभाजन वलय पर रैखिक समष्टि का प्रक्षेपीकरण हैं, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, रैखिक संरचना के कई विकल्प हैं, अर्थात् Gal(K/k) पर धड़  (n ≥ 3 के लिए) है।

तत्व
प्रक्षेपी रैखिक समूह के तत्वों को अक्षों में समतल को झुकाव के रूप में समझा जा सकता है, और तत्पश्यात मूल समतल को प्रक्षेपित किया जा सकता है, और इसका आयाम भी n है।

प्रक्षेपी ट्रांसफ़ॉर्म को अध्यन्न करने का ज्यामितीय प्रकार प्रक्षेपी रोटेशन (PSO(n+1) के तत्व) के माध्यम से है, जो यूनिट हाइपरस्फीयर के रोटेशन के त्रिविम प्रक्षेपण से मेल खाता है, और इसका आयाम है $$\textstyle{1+2+\cdots+n=\binom{n+1}{2}}.$$ दृष्टिगत रूप से, यह मूल समष्टि पर खड़े होने (या मूल समष्टि पर कैमरा रखने) और किसी के देखने के कोण को मोड़ने, तत्पश्यात समतल तल पर प्रक्षेपित करने से मेल खाता है। हाइपरप्लेन के लंबवत कुल्हाड़ियों में घुमाव हाइपरप्लेन को संरक्षित करता है और हाइपरप्लेन (SO(n) का तत्व) का रोटेशन उत्पन्न करता है, जिसका आयाम है $$\textstyle{1+2+\cdots+(n-1) =\binom{n}{2}}.$$), जबकि हाइपरप्लेन के समानांतर कुल्हाड़ियों में घुमाव उत्तम प्रक्षेपी मानचित्र हैं, और शेष n आयामों के लिए खाते हैं।

गुण

 * PGL समरेख बिंदुओं को बिंदु भेजता है (यह प्रक्षेपी रेखाओं को संरक्षित करता है), किन्तु यह पूर्ण संरेखन समूह नहीं है, जो या तो PΓL (n > 2 के लिए) या n = 2 (प्रक्षेपी रेखा) के लिए पूर्ण सममित समूह है।
 * प्रक्षेपी समष्टि का प्रत्येक (द्विनियमित) बीजगणितीय ऑटोमोर्फिज्म प्रक्षेपी रैखिक है। बायरेशनल ऑटोमोर्फिज्म बड़ा समूह बनाते हैं, जो क्रेमोना समूह कहलाता है।
 * PGL प्रक्षेपी समष्टि पर ईमानदारी से कार्य करता है, गैर-प्रमाण तत्व गैर-तुच्छ रूप से कार्य करते हैं।
 * ठोस रूप से, प्रक्षेपी समष्टि पर जीएल की कार्रवाई का कर्नेल बिल्कुल स्केलर मैप्स है, जो PGL में उद्धृत किए गए हैं।
 * PGL प्रक्षेपी समष्टि पर 2-सकर्मक रूप से कार्य करता है।
 * ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रक्षेपी समष्टि में 2 भिन्न-भिन्न बिंदु 2 सदिश के अनुरूप होते हैं जो रैखिक समष्टि पर स्थित नहीं होते हैं, और इसलिए रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं, और GL रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिश के k-तत्व सेट पर संक्रमणीय रूप से कार्य करता है।
 * PGL (2,k) प्रक्षेपी रेखा पर तीव्रता से 3-संक्रमणीय रूप से कार्य करता है।
 * 3 मनमाने बिंदु पारंपरिक रूप से [0, 1], [1, 1], [1, 0] पर मैप किए जाते हैं; वैकल्पिक संकेतन में, 0, 1, ∞। भिन्नात्मक रैखिक परिवर्तन संकेतन में, फ़ंक्शन $$\frac{x-a}{x-c}\cdot \frac{b-c}{b-a}$$ मैप्स ए ↦ 0, बी ↦ 1, सी ↦ ∞, और ऐसा करने वाला यह अनूठा मैप है। यह क्रॉस-अनुपात (x, b; a, c) है - विवरण के लिए क्रॉस-अनुपात § परिवर्तनकारी दृष्टिकोण देखें।
 * n ≥ 3 के लिए, PGL(n, K) 3-सकर्मक रूप से कार्य नहीं करता है, क्योंकि इसे 3 समरेख बिंदुओं को 3 अन्य संरेख बिंदुओं को भेजना चाहिए, न कि मनमाने सेट को भेजना चाहिए। n = 2 के लिए समष्टि प्रक्षेपी रेखा है, इसलिए सभी बिंदु संरेख हैं और यह कोई प्रतिबंध नहीं है।
 * PGL(2, K) प्रक्षेपी रेखा पर 4-सकर्मक रूप से कार्य नहीं करता है (PGL(2, 3 को छोड़कर), P1(3) में 3+1=4 अंक हैं, इसलिए 3-सकर्मक का अर्थ 4-सकर्मक है ), अपरिवर्तित जो संरक्षित है वह क्रॉस अनुपात है, और यह निर्धारित करता है कि प्रत्येक दूसरे बिंदु को कहाँ भेजा जाता है| यह निर्दिष्ट करना कि 3 बिंदु कहाँ मैप किए गए हैं, मानचित्र को निर्धारित करता है। इस प्रकार विशेष रूप से यह प्रक्षेपी रेखा का पूर्ण समरेखण समूह नहीं है ( F2 और F3 के अतिरिक्त )|
 * PSL(2, q) और PGL(2, q) (q > 2 के लिए, और q विषम PSL के लिए) ज़ैसेनहॉस समूह के चार परिवारों में से दो हैं।
 * PGL(n, K) आयाम n2−1 का बीजगणितीय समूह है और प्रक्षेपी समष्टि Pn2−1 का खुला उपसमूह है| परिभाषित रूप में, फ़ैक्टर PSL (n, K) बीजगणितीय समूह, या एफपीपीएफ शीफ को परिभाषित नहीं करता है, और एफपीपीएफ टोपोलॉजी में इसकी शेफिफिकेशन वास्तव में PGL (n, K) है।
 * PSL और PGL केंद्रविहीन हैं| इसका कारण यह है कि विकर्ण मेट्रिसेस न मात्र केंद्र हैं, अन्यथा हाइपरसेंटर भी हैं (इसके केंद्र द्वारा समूह का अंश आवश्यक रूप से केंद्रविहीन नहीं है)।

आंशिक रैखिक परिवर्तन
मोबियस परिवर्तनों के लिए, समूह PGL (2,K) को K में गुणांक के साथ आंशिक रैखिक परिवर्तनों के रूप में व्याख्या की जा सकती है। K पर प्रक्षेपी रेखा में अंक K2 से जोड़े के अनुरूप हैं, जब दो जोड़े समानुपाती होते हैं। जब दूसरा निर्देशांक अशून्य होता है, तो बिंदु को [z, 1] द्वारा दर्शाया जा सकता है। तब जब ad-bc ≠ 0, PGL(2, K) की क्रिया रैखिक परिवर्तन द्वारा होती है,
 * $$[z,\ 1]\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \ = \ [az + b,\ cz + d] \ = \ \left [\frac{a z + b}{c z + d},\ 1\right ].$$

इस प्रकार क्रमिक परिवर्तनों को इस प्रकार के आव्यूह द्वारा सही गुणन के रूप में लिखा जा सकता है, और PGL (2, K) में समूह उत्पाद के लिए आव्यूह गुणन का उपयोग किया जा सकता है।

परिमित क्षेत्र
प्रक्षेपी विशेष रेखीय समूह PSL(n, 'F'q) एक परिमित क्षेत्र Fq के लिए अधिकांशतःPSL(n, q) या Ln(q) के रूप में लिखे जाते हैं। जब भी n कम से कम 2 होता है, दो अपवादों के साथ वे परिमित सरल समूह होते हैं| L2(2), जो S3 के लिए समरूपी है, 3 अक्षरों पर सममित समूह और हल करने योग्य समूह है और L2(3), जो A4 के लिए समरूपी है, 4 अक्षरों पर वैकल्पिक समूह और हल करने योग्य भी है। इन असाधारण समरूपताओं को प्रक्षेपी रेखा पर कार्यवाही से उत्पन्न होने के रूप में समझा जा सकता है।

विशेष रैखिक समूह SL(n, q) इस प्रकार अर्धसरल हैं, साधारण समूह के पूर्ण केंद्रीय विस्तार हैं (जब तक कि n = 2 और q = 2 या 3 न हो)।

इतिहास
समूह PSL (2, p) का निर्माण 1830 के दशक में एवरिस्ट गैलोइस द्वारा किया गया था, और वैकल्पिक समूहों के पश्च्यात परिमित सरल समूहों का दूसरा परिवार था। गाल्वा ने उन्हें भिन्नात्मक रेखीय रूपांतरण के रूप में निर्मित किया, और देखा कि p 2 या 3 होने के अतिरिक्त वे सरल थे| यह शेवेलियर को लिखे उनके अंतिम पत्र में निहित है। उसी पत्र और संलग्न पांडुलिपियों में, गैलोज़ ने डिग्री pν के सामान्य समीकरण के गैलोज़ समूह का अध्ययन करने के लिए प्रमुख क्षेत्र, जीएल (ν, p) पर सामान्य रैखिक समूह भी निर्माण किया।.

समूह PSL(n, q) (सामान्य n, सामान्य परिमित क्षेत्र) तब केमिली जॉर्डन द्वारा क्लासिक 1870 के पाठ में बनाए गए थे, गणित में महत्वपूर्ण प्रकाशनों की सूची एट डेस प्रतिस्थापन और बीजगणितीय समीकरणों की संधि है।

क्रम
PGL(n, q) का क्रम है


 * (qn − 1)(qn − q)(qn − q2) ⋅⋅⋅ (qn − qn−1)/(q − 1) = qn2−1 − O(qn2−3),

जो GL(n, q) के क्रम से संबंधित है, प्रक्षेपीकरण के लिए q − 1 द्वारा विभाजित है, ऐसे सूत्रों की चर्चा के लिए q-एनालॉग देखें। ध्यान दें कि डिग्री n2 − 1 है, जो बीजगणितीय समूह के रूप में आयाम से सहमत है। O बड़े संकेतन के लिए है, जिसका अर्थ है- निम्न क्रम वाले शब्द। यह भी SL(n, q) के क्रम के बराबर है, विभाजित q − 1 निर्धारक के कारण है।

PSL(n, q) का क्रम ऊपर है, जो $|SZ(n, q)|$ द्वारा विभाजित है। निर्धारक 1 के साथ अदिश आव्यूहों की संख्या या समतुल्य  $|F^{×}/(F^{×})^{n}|$ द्वारा विभाजित है| तत्वों के वर्गों की संख्या जिनका कोई n मूल नहीं है, या समकक्ष, 'Fq' में n मूल की संख्या से विभाजित है|

असाधारण समरूपता
आइसोमोर्फिज्म के अतिरिक्त
 * L2(2) ≅ S3, L2(3) ≅ A4, और PGL (2, 3) ≅ S4,

प्रक्षेपी विशेष रैखिक समूहों और वैकल्पिक समूहों के मध्य अन्य असाधारण समरूपताएं हैं (ये सभी समूह सरल हैं, क्योंकि वैकल्पिक समूह 5 या उससे अधिक अक्षरों से सरल है):
 * $$L_2(4) \cong A_5$$
 * $$L_2(5) \cong A_5$$ (प्रक्षेपी रैखिक समूह#एक्शन ऑन पी पॉइंट्स पर प्रूफ के लिए देखें)
 * $$L_2(9) \cong A_6$$
 * $$L_4(2) \cong A_8.$$

समरूपता L2(9) ≅ A6 किसी को भी क्षेत्र स्वचलन और आव्यूह संक्रियाओं के संदर्भ में A6 के विदेशी बाहरी स्वारूपवाद को देखने की अनुमति देता है। समरूपता L4(2) ≅ A8 मैथ्यू समूह M24 की संरचना में रूचि रखता है।

संबंधित विस्तार SL(n, q) → PSL(n, q) सार्वभौमिक पूर्ण केंद्रीय विस्तार की विशिष्टता द्वारा A4, A5 के लिए वैकल्पिक समूहों (सार्वभौमिक पूर्ण केंद्रीय विस्तार) को कवर कर रहे हैं, L2(9) ≅ A6 के लिए, संबंधित विस्तार संपूर्ण केंद्रीय विस्तार है, किन्तु सार्वभौमिक नहीं है, 3-गुना शूर गुणक है।

F5 से अधिक समूह कई असाधारण समरूपताएँ हैं:
 * PSL (2, 5) ≅ A5 ≅ I, पांच तत्वों पर वैकल्पिक समूह या समकक्ष आईकोसाहेड्रल समूह हैं;
 * PGL (2, 5) ≅ S5, पांच तत्वों पर सममित समूह हैं;
 * SL (2, 5) ≅ 2 ⋅A5 ≅ 2I प्रत्यावर्ती और सममित समूहों के आवरण समूह हैं| प्रत्यावर्ती समूह A5 का दोहरा आवरण, या समकक्ष रूप बाइनरी इकोसाहेड्रल समूह हैं।

उनका उपयोग विदेशी मानचित्र S5 → S6 के निर्माण के लिए भी किया जा सकता है, जैसा कि नीचे वर्णित है। तथापि ध्यान दें कि GL(2, 5) S5 का दोहरा आवरण नहीं है, बल्कि 4-गुना आवरण है।

दूसरी समरूपता है:
 * L2(7) ≅ L3(2) क्रम 168 का सरल समूह है, दूसरा सबसे छोटा गैर-अबेलियन सरल समूह है और वैकल्पिक समूह नहीं है| PSL (2,7) को देखें।

प्रक्षेपी विशेष रेखीय समूहों को सम्मिलित करने वाले उपरोक्त असाधारण समरूपता परिमित सरल समूहों के परिवारों के मध्य लगभग सभी असाधारण समरूपताएं हैं, मात्र अन्य असाधारण समरूपता PSU (4, 2) ≃ PSP (4, 3) है, प्रक्षेपी विशेष एकात्मक समूह और प्रक्षेपी सहानुभूतिपूर्ण समूह के मध्य है|

प्रक्षेपी रेखा पर कार्रवाई
ऊपर दिए गए कुछ मानचित्रों को सीधे संबंधित प्रक्षेपी रेखा पर PSL और PGL की कार्रवाई के संदर्भ में देखा जा सकता है: PGL(n, q) प्रक्षेपी समष्टि 'Pn−1(q)' पर कार्य करता है, जिसमें (qn−1)/(q−1) अंक और यह प्रक्षेपी रैखिक समूह से (qn−1)/(q−1) पर सममित समूह के लिए मानचित्र उत्पन्न करता है। n = 2 के लिए, यह प्रक्षेपी रेखा 'P1(q)' है जिसमें (q2−1)/(q−1) = q+1 अंक है| इसलिए मानचित्र PGL(2, q) → Sq+1 है|

इन मानचित्रों को समझने के लिए इन तथ्यों को याद करना उपयोगी होगा-
 * PGL(2, q) का क्रम है,
 * $$(q^2-1)(q^2-q)/(q-1)=q^3-q=(q-1)q(q+1);$$
 * PSL(2, q) का क्रम या तो इसके समतुल्य है (यदि विशेषता 2 है), या यह आधा है (यदि विशेषता 2 नहीं है)।

इस प्रकार छवि ज्ञात क्रम का 3-सकर्मक उपसमूह है, जो इसे पहचानने की अनुमति देता है। इससे निम्नलिखित मानचित्र प्राप्त होते हैं:
 * प्रक्षेपी रेखा पर प्रक्षेपी रेखीय समूह की क्रिया तीव्रता से 3-सकर्मक (विश्वसनीय और 3-संक्रमणीय समूह क्रिया) है, इसलिए मानचित्र विभिन्न है और छवि में 3-संक्रमणीय उपसमूह है।
 * PSL(2, 2) = PGL(2, 2) → S3 क्रम 6 का जो तुल्याकारिता है।
 * व्युत्क्रम मानचित्र (S3 का प्रक्षेपी प्रतिनिधित्व) एनार्मोनिक समूह द्वारा अनुभूत किया जा सकता है, और अधिक सामान्यतः एम्बेडिंग उत्पन्न करता है S3 → PGL(2, q) सभी क्षेत्रों के लिए।
 * PSL(2, 3) <PGL(2, 3) → S4 क्रम 12 और 24 का, जिसका उत्तरार्द्ध समरूपता है, जिसमें PSL(2, 3) वैकल्पिक समूह है।
 * एनार्मोनिक समूह विपरीत दिशा में आंशिक मानचित्र देता है, बिंदु -1 के स्थिरक के रूप में S3 → PGL(2, 3) का मानचित्रण करता है।
 * PSL(2, 4) = PGL(2, 4) → S5 क्रम 60 का,जो वैकल्पिक समूह A5 देता है|
 * PSL(2, 5) <PGL(2, 5) → S6, क्रम 60 और 120 का, जो S5 (क्रमशः, A5) को S6 (क्रमशः, A6) के सकर्मक उपसमूह के रूप में एम्बेड करता है| यह विदेशी मानचित्र S5 → S6 का उदाहरण है, और इसका उपयोग S6 के असाधारण बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म के निर्माण के लिए किया जा सकता है। ध्यान दें कि समरूपता PGL(2, 5) ≅ S5 इस प्रस्तुति से पारदर्शी नहीं है| 5 तत्वों का कोई विशेष रूप से प्राकृतिक सेट नहीं है जिस पर PGL(2, 5) कार्य करता है।

पी पॉइंट्स पर कार्रवाई
जबकि PSL(n, q) स्वाभाविक रूप से (qn−1)/(q−1) = 1+q+...+qn−1 बिंदुओं पर कार्य करता है, कम बिंदुओं पर गैर-तुच्छ क्रियाएं दुर्लभ हैं। वास्तव में, PSL(2, p) के लिए p बिंदुओं पर गैर-तुच्छ रूप से कार्य करता है यदि p = 2, 3, 5, 7, या 11; 2 और 3 के लिए समूह सरल नहीं है, जबकि 5, 7 और 11 के लिए, समूह सरल है, यह p बिंदुओं से कम पर गैर-तुच्छ कार्य नहीं करता है। यह पहली बार Évariste Galois द्वारा 1832 में शेवेलियर को लिखे अपने अंतिम पत्र में देखा गया था।

इसका विश्लेषण इस प्रकार किया जा सकता है; ध्यान दें कि 2 और 3 के लिए कार्रवाई विश्वसनीय नहीं है (यह गैर-तुच्छ भागफल है, और PSL समूह सरल नहीं है), जबकि 5, 7 और 11 के लिए कार्रवाई विश्वसनीय है (क्योंकि समूह सरल है और कार्रवाई गैर-तुच्छ है), और Sp में एम्बेडिंग उत्पन्न करता है| अंतिम स्तिथि को छोड़कर सभी स्तिथियों में, PSL(2, 11), यह असाधारण समरूपता से मेल खाता है, जहां उचित समूह की p बिंदुओं पर स्पष्ट कार्रवाई होती है: L2(7) और L2(11) पी बिंदुओं पर दो असमान क्रियाएं हैं| ज्यामितीय रूप से यह बाइप्लेन पर कार्रवाई द्वारा अनुभूत किया जाता है, जिसमें p बिंदु और p ब्लॉक होते हैं - बिंदुओं और ब्लॉक दोनों के p बिंदुओं पर कार्रवाई होती है, किन्तु संयुग्मित नहीं होती है (उनके पास भिन्न-भिन्न बिंदु स्टेबलाइजर्स होते हैं) इसके अतिरिक्त वे समूह के बाहरी ऑटोमोर्फिज्म से संबंधित हैं।
 * $$L_2(2) \cong S_3 \twoheadrightarrow S_2$$ साइन मैप के माध्यम से;
 * $$L_2(3) \cong A_4 \twoheadrightarrow A_3 \cong C_3$$ क्लेन 4-समूह द्वारा भागफल के माध्यम से;
 * $$L_2(5) \cong A_5.$$इस प्रकार की समरूपता का निर्माण करने के लिए, समूह L2(5) गैलोज़ कवर A5 के समूह के रूप में विचार करने की आवश्यकता है: X(5) → X(1) = P1, जहां X(N) स्तर N का मॉड्यूलर वक्र है। यह आवरण 12 बिंदुओं पर विस्तृत हुआ है। मॉड्यूलर वक्र X(5) में जीनस 0 है और सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र में गोले के लिए आइसोमोर्फिक है, और L2(5) की क्रिया इन 12 बिंदुओं पर इकोसाहेड्रल समरूपता बन जाती है। तत्पश्च्यात पांच टेट्राहेड्रा पर आईकोसाहेड्रॉन के समरूपता समूह की कार्रवाई पर विचार करने की आवश्यकता है।
 * L2(7) ≅ L3(2) जो फानो समतल के 1+2+4 = 7 बिंदुओं पर कार्य करता है (F2 पर प्रक्षेपी तल); इसे क्रम 2 बाइप्लेन ज्यामिति पर कार्रवाई के रूप में भी देखा जा सकता है, जो कि पूरक फ़ानो प्लेन है।
 * L2(11) सूक्ष्म है, और नीचे विस्तृत है; यह क्रम 3 बाइप्लेन पर कार्य करता है।

इन अंतिम तीन असाधारण क्रियाओं की व्याख्या ADE वर्गीकरण के उदाहरण के रूप में की गई है| ये क्रियाएं समूहों के उत्पादों (सेट के रूप में, समूहों के रूप में नहीं) के अनुरूप हैं- A4 × Z/5Z, S4 × Z/7Z, और A5 × Z/11Z, जहां समूह A4, S4 और A5 प्लेटोनिक ठोस के आइसोमेट्री समूह हैं, और मैकके पत्राचार के अंतर्गत E6, E7, और E8 के अनुरूप हैं। इन तीन असाधारण स्तिथियों को क्रमशः पॉलीहेड्रा (समतुल्य रूप से, रीमैन सतहों की टाइलिंग) की ज्यामिति के रूप में भी अनुभूत किया जाता है: आईकोसाहेड्रॉन (क्षेत्र, जीनस 0) के अंदर पांच टेट्राहेड्रा का यौगिक, क्लेन क्वार्टिक (जीनस 3) के अंदर क्रम 2 बाइप्लेन (पूरक फ़ानो प्लेन) और बकीबॉल सतह (जीनस 70) के अंदर 3 बाइप्लेन (पाले बाइप्लेन) है।

L2(11) की कार्रवाई को असाधारण समावेशन के कारण बीजगणितीय रूप से देखा जा सकता है $$L_2(5) \hookrightarrow L_2(11)$$ - L2(11) के उपसमूहों के दो संयुग्मन वर्ग हैं, जो L2(5) के लिए समरूपी हैं, प्रत्येक में 11 तत्व हैं| L2(11) की क्रिया इन पर संयुग्मन द्वारा 11 बिंदुओं पर क्रिया होती है और दो संयुग्मन वर्ग L2(11) के बाहरी स्वाकारण से संबंधित होते हैं। (L2(7) समरूपी S4 के उपसमूहों के लिए भी यही सच है और इसमें बाइप्लेन ज्योमेट्री भी है।)

ज्यामितीय रूप से, इस क्रिया को द्विपंखी ज्यामिति के माध्यम से समझा जा सकता है, जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है। बाइप्लेन ज्यामिति सममित डिजाइन है (बिंदुओं का सेट और समान संख्या में रेखाएं, या ब्लॉक) जैसे कि दो बिंदुओं का कोई भी सेट दो पंक्तियों में समाहित होता है, जबकि कोई भी दो रेखाएं दो बिंदुओं में प्रतिच्छेद करती हैं; यह परिमित प्रक्षेपी तल के समान है, अतिरिक्त इसके कि रेखा को निर्धारित करने वाले दो बिंदुओं (और बिंदु को निर्धारित करने वाली दो रेखाएँ) के अतिरिक्त, वे दो रेखाएँ निर्धारित करते हैं (क्रमशः, बिंदु)। इस स्तिथि में (आदेश 11 के पाले डिग्राफ से प्राप्त पाले बाइप्लेन), अंक सजातीय रेखा (परिमित क्षेत्र) 'F11' हैं, जहाँ प्रथम पंक्ति को पाँच गैर-शून्य द्विघात अवशेष (बिंदु जो वर्ग हैं: 1, 3, 4, 5, 9) के रूप में परिभाषित किया गया है, और अन्य पंक्तियाँ इसके एफ़ाइन अनुवाद हैं (सभी में एक स्थिरांक जोड़ें)। L2(11) तब S11 के उपसमूह के लिए समरूपी है जो इस ज्यामिति को संरक्षित करता है (रेखाओं को रेखाएँ भेजता है), 11 बिंदुओं का सेट देता है जिस पर यह कार्य करता है - वास्तव में दो: बिंदु या रेखाएँ, जो बाहरी ऑटोमोर्फिज्म से मेल खाती हैं - जबकि L2(5) किसी दी गई रेखा का स्थिरक है, या किसी दिए गए बिंदु का दोहरा है।

अधिक आश्चर्यजनक रूप से, कोसेट स्पेस L2(11)/Z/11Z, जिसका क्रम 660/11 = 60 है (और जिस पर आइकोसाहेड्रल समूह कार्य करता है) में स्वाभाविक रूप से बकीबॉल की संरचना होती है, जिसका उपयोग बकीबॉल सतह के निर्माण में किया जाता है।

मैथ्यू समूह
समूह PSL (3, 4) का उपयोग मैथ्यू समूह M24 के निर्माण के लिए किया जा सकता है जो सरल समूह है| इस संदर्भ में, कोई PSL (3, 4) को M21 के रूप में संदर्भित करता है, चूँकि यह पूर्ण रूप से मैथ्यू समूह ही नहीं है। चार तत्वों के साथ क्षेत्र के ऊपर प्रक्षेपी तल से प्रारम्भ होता है, जो कि S(2, 5, 21) प्रकार की स्टेनर प्रणाली है - जिसका अर्थ है कि इसमें 21 बिंदु हैं, प्रत्येक पंक्ति (स्टाइनर शब्दावली में ब्लॉक) में 5 बिंदु हैं, और कोई भी 2 बिंदु रेखा निर्धारित करते हैं और जिस पर PSL(3, 4) कार्य करता है। कोई इस स्टेनर प्रणाली को W21 कहता है (W अर्नेस्ट विट के लिए), और फिर इसे बड़े स्टेनर सिस्टम W24 में विस्तारित करता है| प्रक्षेपी सामान्य रैखिक समूह PGL(3, 4) के लिए, फिर प्रक्षेपी सेमीरैखिक समूह PΓL(3, 4) के लिए, और अंत में मैथ्यू समूह M24 के लिए समरूपता समूह को रास्ते में विस्तारित करता है|

M24 में PSL (2, 11) की प्रतियां भी सम्मिलित हैं, जो M22 में अधिकतम है, और PSL (2, 23), जो M24 में अधिकतम है, और M24 बनाने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है|

हर्विट्ज़ सतह


PSL समूह हर्विट्ज समूह (हर्विट्ज सतहों के ऑटोमोर्फिज्म समूह - अधिकतम संभवतः समरूपता समूह के बीजगणितीय वक्र) के रूप में उत्पन्न होते हैं। सबसे कम जीनस की हर्विट्ज़ सतह, क्लेन क्वार्टिक (जीनस 3), ऑटोमोर्फिज़्म समूह आइसोमोर्फिक से PSL (2, 7) (समतुल्य जीएल (3, 2)) है, जबकि दूसरी सबसे कम जीनस की हर्विट्ज़ सतह, मैकबीथ सतह ( जीनस 7), ऑटोमोर्फिज्म समूह आइसोमॉर्फिक टू PSL (2, 8) है।

वास्तव में, सभी सरल समूह हर्विट्ज़ समूह के रूप में उत्पन्न होते हैं, चूँकि PSL ऐसे सबसे छोटे समूहों को सम्मिलित करने के लिए उल्लेखनीय है।

मॉड्यूलर समूह
समूह PSL(2, Z/nZ) मॉड्यूलर समूह, PSL(2, Z) का अध्ययन करने में उत्पन्न होता है, सभी तत्वों mod n को कम करके भागफल के रूप में, गुठली को प्रमुख सर्वांगसम उपसमूह कहा जाता है।

प्रक्षेपी सामान्य रैखिक समूह PGL(2, Z) (और प्रक्षेपी विशेष रैखिक समूह PSL(2, Z[i])) का उल्लेखनीय उपसमूह सेट {0,1, ∞} ⊂ P1(C) की सममिति है| जिसे अनहार्मोनिक समूह के रूप में जाना जाता है, और छह क्रॉस-अनुपातों की समरूपता के रूप में उत्पन्न होता है। उपसमूह को आंशिक रैखिक परिवर्तनों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, या आव्यूह द्वारा प्रतिनिधित्व (गैर-विशिष्ट) के रूप में,
 * {| class="wikitable"

1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 0 & 1\\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ 1 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ -1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 1 & 0\\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ 0 & i\\ i & 0 \end{pmatrix}$$ -i & i\\ 0 & i \end{pmatrix}$$ i & 0\\ i & -i \end{pmatrix}$$ ध्यान दें कि शीर्ष पंक्ति प्रमाण और दो 3-चक्र हैं और अभिविन्यास-संरक्षण कर रहे हैं, PSL (2, Z) में उपसमूह बना रहे हैं, जबकि नीचे की पंक्ति तीन 2-चक्र है, और PGL (2, Z) और PSL(2, Z[i]), किन्तु PSL(2, Z) में नहीं, इसलिए निर्धारक -1 और पूर्णांक गुणांक वाले आव्यूह के रूप में या निर्धारक 1 और गॉसियन पूर्णांक गुणांक वाले आव्यूह के रूप में अनुभूत किया गया है|
 * align="center" | $$x$$
 * align="center" | $$1/(1-x)$$
 * align="center" | $$(x-1)/x$$
 * align="center" | $$\begin{pmatrix}
 * align="center" | $$\begin{pmatrix}
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 * colspan="3" |
 * align="center" | $$1/x$$
 * align="center" | $$1-x$$
 * align="center" | $$x/(x-1)$$
 * align="center" |$$\begin{pmatrix}
 * align="center" | $$x/(x-1)$$
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 * align="center" |$$\begin{pmatrix}
 * }

यह {0, 1, ∞} ⊂ P1(n) की सममितियों को रिडक्शन मॉड n के अंतर्गत मैप करता है| विशेष रूप से, n = 2 के लिए, यह उपसमूह आइसोमॉर्फिक रूप से PGL(2, 'Z'/2'Z') = PSL(2, 'Z'/2'Z') ≅ S3 के लिए मैप करता है, और इस प्रकार विभाजन प्रदान करता है $$\operatorname{PGL}(2,\mathbf{Z}/2) \hookrightarrow \operatorname{PGL}(2,\mathbf{Z})$$ भागफल मानचित्र के लिए $$\operatorname{PGL}(2,\mathbf{Z}) \twoheadrightarrow \operatorname{PGL}(2,\mathbf{Z}/2).$$

दोनों 3-चक्रों के निश्चित बिंदु सबसे सममित क्रॉस-अनुपात हैं, $$e^{\pm i\pi/3} = \tfrac{1}{2} \pm \tfrac{\sqrt{3}}{2}i$$, के समाधान $$x^2 - x + 1$$ (प्रिमिटिव सिक्स्थ रूट्स ऑफ़ यूनिटी ) हैं। 2-चक्र इनका आदान-प्रदान करते हैं, क्योंकि वे अपने निश्चित बिंदुओं के अतिरिक्त कोई भी बिंदु करते हैं, जो इन दो बिंदुओं पर समूह कार्रवाई द्वारा भागफल मानचित्र S3 → S2 को अनुभूत करता है। अर्थात्, उपसमूह C3 <S3 प्रमाण और 3-चक्रों से मिलकर, {, (0 1 ∞), (0 ∞ 1)}, इन दो बिंदुओं को ठीक करता है, जबकि अन्य तत्व उन्हें परिवर्तित करते हैं।

भिन्न-भिन्न 2-चक्रों के निश्चित बिंदु क्रमशः -1, 1/2, 2 हैं, और यह सेट भी 3-चक्रों द्वारा संरक्षित और अनुमत है। यह S3 की कार्रवाई से मेल खाता है संयुग्मन द्वारा 2-चक्रों पर (सिलो 2-उपसमूह) और आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म के समूह के साथ समरूपता का एहसास करता है, $$S_3 \overset{\sim}{\to} \operatorname{Inn}(S_3) \cong S_3.$$

ज्यामितीय रूप से, इसे त्रिकोणीय द्विपिरामिड के घूर्णन समूह के रूप में देखा जा सकता है, जो त्रिभुज के डायहेड्रल समूह के लिए आइसोमोर्फिक है $|μ_{n}|$; एनार्मोनिक समूह देखें।

टोपोलॉजी
वास्तविक और सम्मिश्र संख्याओं पर, PGL और PSL की टोपोलॉजी को उन फाइबर बंडलों से निर्धारित किया जा सकता है जो उन्हें परिभाषित करते हैं-
 * $$\begin{matrix}

\mathrm{ Z} &\cong& K^*   &\to& \mathrm{GL} &\to& \mathrm{PGL} \\ \mathrm{SZ} &\cong& \mu_n &\to& \mathrm{SL} &\to& \mathrm{PSL} \end{matrix}$$ कंपन के लंबे त्रुटिहीन अनुक्रम के माध्यम से हैं।

वास्तविक और सम्मिश्र दोनों के लिए, SL, PSL का आवरण समष्टि है, जिसमें शीट्स की संख्या K में nवें मूल की संख्या के समान होती है| इस प्रकार विशेष रूप से उनके सभी उच्च होमोटॉपी समूह सहमत हैं। वास्तविक के लिए, SL, n सम के लिए PSL का 2-गुना आवरण है, और n विषम के लिए 1-गुना आवरण है, अर्थात समरूपता:
 * {±1} → SL(2n, R) → PSL(2n, R)
 * $$\operatorname{SL}(2n+1, \mathbf{R}) \overset{\sim}{\to} \operatorname{PSL}(2n+1,\mathbf{R})$$

परिसरों के लिए, SL, PSL का n-गुना आवरण है।

PGL के लिए, वास्तविक के लिए, फाइबर 'R'* ≅ {±1} है, इसलिए होमोटॉपी तक, GL → PGL एक 2-गुना कवरिंग स्पेस है, और सभी उच्च होमोटॉपी समूह सहमत हैं।

सम्मिश्र के ऊपर PGL के लिए, फाइबर 'C'* ≅ 'S1' है, इसलिए समरूपता तक, GL → PGL वृत्त बंडल है। वृत्त के उच्च होमोटॉपी समूह अदृश्य हो जाते हैं, इसलिए जीएल (n, C) और PGL (n, C) के होमोटॉपी समूह n ≥ 3 के लिए सहमत होते हैं। वास्तव में, π2 लाई समूहों के लिए सदैव अदृश्य हो जाता है, इसलिए होमोटॉपी समूह n ≥ 2 के लिए सहमत होते हैं। n = 1 के लिए, हमारे पास π1(GL(n, C)) = π1(S1) = Z है| PGL का मूलभूत समूह (2, C) क्रम 2 का परिमित चक्रीय समूह है।

आवरण समूह
वास्तविक और सम्मिश्र संख्याओं पर, प्रक्षेपी विशेष रेखीय समूह विशेष रेखीय लाई बीजगणित के लिए न्यूनतम (केंद्रहीन) झूठ समूह $$\mathfrak{sl}(n)\colon$$अहसास हैं| प्रत्येक जुड़ा लाई समूह जिसका लाई बीजगणित $$\mathfrak{sl}(n)$$ है, PSL (n,F) का आवरण है। इसके विपरीत, इसका सार्वभौमिक आवरण समूह अधिकतम (बस जुड़ा हुआ) तत्व है, और मध्यवर्ती अनुभूत आवरण समूहों की जाली बनाते हैं।

उदाहरण के लिए, SL(2, 'R') का केंद्र {±1} और वास्तविक समूह 'Z' है, और इस प्रकार इसका सार्वभौमिक आवरण है $|(F^{×})^{n}|$ और केंद्र रहित PSL(2, R) को कवर करता है।

प्रक्षेपीय प्रतिनिधित्व
समूह समरूपता G → PGL(V) समूह G से प्रक्षेपी रैखिक समूह के लिए रैखिक प्रतिनिधित्व (समरूपता G → PGL(V)) के साथ सादृश्य द्वारा समूह G का अनुमानित प्रतिनिधित्व कहा जाता है। इस्साई शूर द्वारा इनका अध्ययन किया गया, जिन्होंने दिखाया कि G के प्रक्षेपी निरूपण को G के केंद्रीय विस्तार (गणित) के रैखिक निरूपण के संदर्भ में वर्गीकृत किया जा सकता है। इसने शूर गुणक का नेतृत्व किया, जिसका उपयोग इस प्रश्न को हल करने के लिए किया जाता है।

कम आयाम
प्रक्षेपी रेखीय समूह का अध्ययन ज्यादातर n ≥ 2 के लिए किया जाता है, चूँकि इसे कम आयामों के लिए परिभाषित किया जा सकता है।

N = 0 (या वास्तव में n <0) के लिए K0 का प्रक्षेप्य समष्टि रिक्त है, क्योंकि 0-आयामी समष्टि का कोई 1-आयामी उपसमष्टि नहीं है। इस प्रकार, PGL (0, K) तुच्छ समूह है, जिसमें रिक्त सेट से ही अद्वितीय रिक्त मानचित्र सम्मिलित है। इसके अतिरिक्त, 0-आयामी समष्टि पर स्केलर्स की क्रिया महत्त्वहीन है, इसलिए मानचित्र K* → GL(0, K) समावेशन के अतिरिक्त महत्त्वहीन है, क्योंकि यह उच्च आयामों में है।

N = 1 के लिए, K1 का प्रक्षेपी समष्टि बिंदु है, क्योंकि एकल 1-आयामी उपसमष्टि है। इस प्रकार, PGL(1, K) तुच्छ समूह है, जिसमें सिंगलटन सेट से स्वयं के लिए अद्वितीय मानचित्र सम्मिलित है। इसके अतिरिक्त, 1-आयामी अंतरिक्ष का सामान्य रैखिक समूह बिल्कुल स्केलर है, इसलिए मानचित्र $$K^* \overset{\sim}{\to} \operatorname{GL}(1,K)$$ समरूपता है जो PGL(1, K) := GL(1, K)/K* ≅ {1} के अनुरूप महत्त्वहीन है।

N = 2 के लिए, PGL (2, K) गैर-तुच्छ है, किन्तु यह असामान्य है कि यह 3-सकर्मक है, उच्च आयामों के विपरीत जब यह मात्र 2-संक्रमणीय होता है।

उदाहरण

 * PSL(2,7)
 * मॉड्यूलर समूह, PSL (2, Z)
 * PSL (2, R)
 * मोबियस समूह, PGL(2, C) = PSL(2, C)

उपसमूह

 * प्रक्षेपी ऑर्थोगोनल समूह, PO - ​​PGL का अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह है।
 * प्रक्षेपी एकात्मक समूह, PU है।
 * प्रक्षेपी स्पेशल ऑर्थोगोनल समूह, PSO - PSL का मैक्सिमल कॉम्पैक्ट सबसमूह है।
 * प्रक्षेपी विशेष एकात्मक समूह, PSU है।

बड़े समूह
प्रक्षेपी रेखीय समूह बड़े समूहों में समाहित है, विशेष रूप से:
 * प्रक्षेपी सेमीरैखिक समूह, PΓL, जो फील्ड ऑटोमोर्फिज्म की अनुमति देता है।
 * क्रेमोना समूह, Cr('P'n(k)) बायरेशनल ऑटोमोर्फिज्म; कोई भी बायरेगुलर ऑटोमोर्फिज्म रैखिक है, इसलिए PGL बायरेगुलर ऑटोमोर्फिज्म के समूह के साथ मेल खाता है।

यह भी देखें

 * प्रक्षेपी परिवर्तन
 * इकाई (अंगूठी सिद्धांत)

संदर्भ
Allgemeine lineare Gruppe