गाऊसी पूर्णांक

संख्या सिद्धांत में, गॉसियन पूर्णांक एक जटिल संख्या है जिसके वास्तविक और काल्पनिक भाग दोनों पूर्णांक होते हैं। गॉसियन पूर्णांक, सामान्य जोड़ और जटिल संख्याओं के गुणन के साथ, एक अभिन्न डोमेन बनाते हैं, जिसे आमतौर पर इस रूप में लिखा जाता है $$\mathbf{Z}[i]$$ या $$\Z[i].$$ गॉसियन पूर्णांक पूर्णांकों के साथ कई गुण साझा करते हैं: वे एक यूक्लिडियन डोमेन बनाते हैं, और इस प्रकार एक यूक्लिडियन प्रभाग  और एक यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म होता है; इसका तात्पर्य अद्वितीय गुणनखंडन और कई संबंधित गुणों से है। हालाँकि, गॉसियन पूर्णांकों में अंकगणित का सम्मान करने वाला कुल क्रम नहीं होता है।

गाऊसी पूर्णांक बीजगणितीय पूर्णांक होते हैं और द्विघात पूर्णांकों का सबसे सरल वलय बनाते हैं।

गॉसियन पूर्णांकों का नाम जर्मन गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस के नाम पर रखा गया है।



बुनियादी परिभाषाएँ
गाऊसी पूर्णांक समुच्चय हैं :$$\mathbf{Z}[i]=\{a+bi \mid a,b\in \mathbf{Z} \}, \qquad \text{ where } i^2 = -1.$$ दूसरे शब्दों में, गाऊसी पूर्णांक एक जटिल संख्या है, जिसका वास्तविक भाग और काल्पनिक भाग दोनों पूर्णांक होते हैं। चूंकि गॉसियन पूर्णांक जोड़ और गुणा के तहत बंद होते हैं, वे एक क्रमविनिमेय वलय बनाते हैं, जो जटिल संख्याओं के क्षेत्र का एक उप-रिंग है। इस प्रकार यह एक अभिन्न डोमेन है।

जब जटिल विमान के भीतर विचार किया जाता है, तो गॉसियन पूर्णांक का गठन होता है $2$-आयामी पूर्णांक जालक.

गाऊसी पूर्णांक का संयुग्म $a + bi$ गाऊसी पूर्णांक है $a – bi$.

गाऊसी पूर्णांक का क्षेत्र मानदण्ड इसके संयुग्म के साथ इसका गुणनफल है।
 * $$N(a+bi) = (a+bi)(a-bi) = a^2+b^2.$$

इस प्रकार गाऊसी पूर्णांक का मान एक सम्मिश्र संख्या के रूप में उसके निरपेक्ष मान का वर्ग होता है। गॉसियन पूर्णांक का मानदण्ड एक गैरऋणात्मक पूर्णांक है, जो दो वर्ग संख्याओं का योग है। इस प्रकार दो वर्गों का एक मानक योग प्रमेय|रूप का नहीं हो सकता $4k + 3$, साथ $k$ पूर्णांक.

मानदंड पूरी तरह से गुणक कार्य है, अर्थात, एक के पास है
 * $$N(zw) = N(z)N(w),$$

गाऊसी पूर्णांकों के प्रत्येक जोड़े के लिए $z, w$. इसे सीधे या सम्मिश्र संख्याओं के मापांक के गुणन गुण का उपयोग करके दिखाया जा सकता है।

गाऊसी पूर्णांकों के वलय की इकाई (रिंग सिद्धांत) (वह गाऊसी पूर्णांक है जिसका गुणक व्युत्क्रम भी एक गाऊसी पूर्णांक है) मानक 1 के साथ बिल्कुल गाऊसी पूर्णांक हैं, अर्थात 1, -1, $i$ और $–i$.

यूक्लिडियन विभाजन
गॉसियन पूर्णांकों में पूर्णांकों और बहुपदों के समान एक यूक्लिडियन विभाजन (शेषफल के साथ विभाजन) होता है। यह गॉसियन पूर्णांकों को एक यूक्लिडियन डोमेन बनाता है, और इसका तात्पर्य यह है कि गॉसियन पूर्णांक पूर्णांकों और बहुपदों के साथ कई महत्वपूर्ण गुण साझा करते हैं जैसे कि सबसे बड़े सामान्य विभाजक की गणना के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिदम का अस्तित्व, बेज़ाउट की पहचान, प्रमुख आदर्श डोमेन, यूक्लिड का लेम्मा, अद्वितीय गुणनखंडन प्रमेय, और चीनी शेषफल प्रमेय, इन सभी को केवल यूक्लिडियन विभाजन का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है।

एक यूक्लिडियन डिवीजन एल्गोरिदम, गॉसियन पूर्णांकों की रिंग में, एक लाभांश लेता है $a$ और भाजक $b ≠ 0$, और एक भागफल उत्पन्न करता है $q$ और शेष $r$ ऐसा है कि
 * $$a=bq+r\quad \text{and} \quad N(r)<N(b).$$

वास्तव में, कोई शेषफल को छोटा बना सकता है:
 * $$a=bq+r\quad \text{and} \quad N(r)\le \frac{N(b)}{2}.$$

इस बेहतर असमानता के साथ भी, भागफल और शेष आवश्यक रूप से अद्वितीय नहीं हैं, लेकिन विशिष्टता सुनिश्चित करने के लिए व्यक्ति विकल्प को परिष्कृत कर सकता है।

इसे सिद्ध करने के लिए, कोई सम्मिश्र संख्या भागफल पर विचार कर सकता है $x + iy = a⁄b$. अद्वितीय पूर्णांक हैं $m$ और $n$ ऐसा है कि $–1⁄2 < x – m ≤ 1⁄2$ और $–1⁄2 < y – n ≤ 1⁄2$, और इस तरह $N(x – m + i(y – n)) ≤ 1⁄2$. ले रहा $q = m + in$, किसी के पास
 * $$a = bq + r,$$

साथ
 * $$r=b\bigl(x-m+ i(y-n)\bigr), $$

और
 * $$N(r)\le \frac{N(b)}{2}.$$

का चुनाव $x – m$ और y – n}विशिष्टता के लिए अर्ध-खुले अंतराल की आवश्यकता होती है। यूक्लिडियन विभाजन की इस परिभाषा की व्याख्या जटिल तल में ज्यामितीय रूप से की जा सकती है (चित्र देखें), यह टिप्पणी करके कि एक जटिल संख्या से दूरी $ξ$ निकटतम गॉसियन पूर्णांक पर अधिकतम है $√2⁄2$.

प्रधान आदर्श
अंगूठी के बाद से G}गॉसियन पूर्णांकों का } एक यूक्लिडियन डोमेन है, $G$ एक प्रमुख आदर्श डोमेन है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक आदर्श (रिंग सिद्धांत)। $G$ प्रमुख आदर्श है. स्पष्ट रूप से, एक आदर्श (रिंग सिद्धांत) $I$ एक वलय का उपसमुच्चय है $R$ ऐसा कि प्रत्येक तत्व का योग $I$ और के एक तत्व का प्रत्येक उत्पाद $I$ के एक तत्व द्वारा $R$ के संबंधित $I$. एक आदर्श प्रमुख आदर्श होता है यदि इसमें एक ही तत्व के सभी गुणज शामिल हों $g$, अर्थात् इसका स्वरूप है
 * $$\{gx\mid x\in G\}.$$

इस मामले में, कोई कहता है कि आदर्श किसके द्वारा उत्पन्न होता है $g$ या वो $g$ आदर्श का जनक है।

हर आदर्श $I$ गॉसियन पूर्णांकों की रिंग में प्रमुख है, क्योंकि, यदि कोई चुनता है $I$ एक शून्येतर तत्व $g$ प्रत्येक तत्व के लिए न्यूनतम मानदंड $x$ का $I$, यूक्लिडियन विभाजन का शेष भाग $x$ द्वारा $g$ का भी है $I$ और इसका एक मानदंड है जो उससे छोटा है $g$; की पसंद के कारण $g$, यह मानदंड शून्य है, और इस प्रकार शेषफल भी शून्य है। अर्थात् एक के पास है $x = qg$, कहाँ $q$ भागफल है.

किसी के लिए $g$, द्वारा उत्पन्न आदर्श $g$ के किसी सहयोगी द्वारा भी उत्पन्न किया जाता है $g$, वह है, $g, gi, –g, –gi$; कोई अन्य तत्व समान आदर्श उत्पन्न नहीं करता। चूँकि किसी आदर्श के सभी जनरेटरों का मानदंड समान होता है, किसी आदर्श का मानदंड उसके किसी भी जनरेटर का मानक होता है।

कुछ परिस्थितियों में, प्रत्येक आदर्श के लिए हमेशा के लिए एक जनरेटर चुनना उपयोगी होता है। ऐसा करने के दो शास्त्रीय तरीके हैं, दोनों पहले विषम मानदंड के आदर्शों पर विचार करते हैं। यदि $g = a + bi$ का एक अजीब मानदंड है $a^{2} + b^{2}$, फिर एक $a$ और $b$ विषम है, और दूसरा सम है। इस प्रकार $g$ का वास्तविक भाग के साथ बिल्कुल एक ही सहयोगी है $a$ यह अजीब और सकारात्मक है। अपने मूल पेपर में, गॉस ने अद्वितीय सहयोगी को चुनकर एक और विकल्प चुना, ताकि इसके शेष भाग को विभाजित किया जा सके $2 + 2i$ एक है। वास्तव में, जैसे $N(2 + 2i) = 8$, शेषफल का मान 4 से अधिक नहीं है। चूंकि यह मान विषम है, और 3 गाऊसी पूर्णांक का मान नहीं है, शेष का मान एक है, अर्थात शेष एक इकाई है। गुणा $g$ इस इकाई के व्युत्क्रम से, किसी को एक ऐसा सहयोगी मिलता है जिसके पास विभाजित होने पर शेषफल के रूप में एक होता है $2 + 2i$.

यदि का मानदंड $g$ सम है, तो या तो $g = 2^{k}h$ या $g = 2^{k}h(1 + i)$, कहाँ $k$ एक धनात्मक पूर्णांक है, और $N(h)$ अजीब है। इस प्रकार, कोई व्यक्ति अपने सहयोगी को चुनता है $g$ए पाने के लिए $h$ जो विषम मानक के तत्वों के लिए सहयोगियों की पसंद में फिट बैठता है।

गाऊसी अभाज्य
चूंकि गॉसियन पूर्णांक एक प्रमुख आदर्श डोमेन बनाते हैं, इसलिए वे एक अद्वितीय गुणनखंड डोमेन भी बनाते हैं। इसका तात्पर्य यह है कि एक गॉसियन पूर्णांक अपरिवर्तनीय तत्व है (अर्थात, यह दो इकाइयों (रिंग सिद्धांत) | गैर-इकाइयों का उत्पाद नहीं है) यदि और केवल यदि यह प्रधान तत्व है (अर्थात, यह एक प्रमुख आदर्श उत्पन्न करता है)।

के प्रमुख तत्व $Z[i]$ को गाऊसी अभाज्य संख्याएँ भी कहा जाता है। गाऊसी अभाज्य का एक सहयोगी भी गाऊसी अभाज्य है। गाऊसी अभाज्य का संयुग्म भी एक गाऊसी अभाज्य है (इसका तात्पर्य यह है कि गाऊसी अभाज्य वास्तविक और काल्पनिक अक्षों के बारे में सममित हैं)।

एक धनात्मक पूर्णांक एक गॉसियन अभाज्य है यदि और केवल यदि यह एक अभाज्य संख्या है जो कि सर्वांगसमता वर्ग 3 मॉड्यूलो ऑपरेटर 4 है (अर्थात्, इसे लिखा जा सकता है $4n + 3$, साथ $n$ एक अऋणात्मक पूर्णांक). अन्य अभाज्य संख्याएँ गाऊसी अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं, बल्कि प्रत्येक दो संयुग्मी गाऊसी अभाज्य संख्याओं का गुणनफल हैं।

एक गाऊसी पूर्णांक $a + bi$ एक गाऊसी अभाज्य है यदि और केवल यदि या तो:
 * में से एक $a, b$ शून्य है और दूसरे का निरपेक्ष मान रूप की एक अभाज्य संख्या है $4n + 3$ (साथ $n$ एक गैरऋणात्मक पूर्णांक), या
 * दोनों शून्येतर हैं और $a^{2} + b^{2}$ एक अभाज्य संख्या है (जिसका कोई रूप नहीं होगा)। $4n + 3$).

दूसरे शब्दों में, एक गाऊसी पूर्णांक एक गाऊसी अभाज्य है यदि और केवल यदि इसका मानक एक अभाज्य संख्या है, या यह एक इकाई का उत्पाद है ($±1, ±i$) और फॉर्म की एक अभाज्य संख्या $4n + 3$.

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि एक अभाज्य संख्या के गुणनखंडन के लिए तीन स्थितियाँ होती हैं $p$ गाऊसी पूर्णांक में:
 * अगर $p$ 3 मॉड्यूलो 4 के सर्वांगसम है, तो यह एक गाऊसी अभाज्य है; बीजगणितीय संख्या सिद्धांत की भाषा में, $p$ को गॉसियन पूर्णांकों में अक्रिय अभाज्य कहा जाता है।
 * अगर $p$ 1 मॉड्यूलो 4 के सर्वांगसम है, तो यह इसके संयुग्म द्वारा एक गाऊसी अभाज्य का उत्पाद है, जिनमें से दोनों गैर-संबद्ध गाऊसी अभाज्य हैं (न तो एक इकाई द्वारा दूसरे का उत्पाद है); $p$ को गॉसियन पूर्णांकों में एक विघटित अभाज्य कहा जाता है। उदाहरण के लिए, $5 = (2 + i)(2 − i)$ और $13 = (3 + 2i)(3 − 2i)$.
 * अगर $p = 2$, अपने पास $2 = (1 + i)(1 − i) = i(1 − i)^{2}$; अर्थात्, 2 एक इकाई द्वारा गाऊसी अभाज्य के वर्ग का गुणनफल है; यह गॉसियन पूर्णांकों में बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में अद्वितीय प्रभाव (गणित) है।

अद्वितीय गुणनखंडन
प्रत्येक अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन के लिए, प्रत्येक गाऊसी पूर्णांक को एक इकाई (रिंग सिद्धांत) और गाऊसी अभाज्य के उत्पाद के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है, और यह गुणनखंडन कारकों के क्रम तक अद्वितीय है, और किसी भी अभाज्य को उसके किसी भी द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। सहयोगी (इकाई कारक के संगत परिवर्तन के साथ)।

यदि कोई, हमेशा के लिए, संबद्ध अभाज्य संख्याओं के प्रत्येक समतुल्य वर्ग के लिए एक निश्चित गॉसियन अभाज्य चुनता है, और यदि कोई गुणनखंडन में केवल इन चयनित अभाज्य संख्याओं को लेता है, तो उसे एक अभाज्य गुणनखंड प्राप्त होता है जो कारकों के क्रम तक अद्वितीय होता है। #चयनित सहयोगियों के साथ, परिणामी अद्वितीय गुणनखंडन का रूप होता है
 * $$u(1+i)^{e_0}{p_1}^{e_1}\cdots {p_k}^{e_k},$$

कहाँ $u$ एक इकाई है (अर्थात्, $u ∈ {1, –1, i, –i}$), $e_{0}$ और $k$ अऋणात्मक पूर्णांक हैं, $e_{1}, …, e_{k}$ धनात्मक पूर्णांक हैं, और $p_{1}, …, p_{k}$ विशिष्ट गाऊसी अभाज्य संख्याएँ ऐसी हैं, जो चयनित सहयोगियों की पसंद पर निर्भर करती हैं, दूसरी पसंद का एक फायदा यह है कि चयनित सहयोगी विषम मानक के गाऊसी पूर्णांकों के लिए उत्पादों के तहत अच्छा व्यवहार करते हैं। दूसरी ओर, वास्तविक गाऊसी अभाज्य संख्याओं के लिए चयनित सहयोगी ऋणात्मक पूर्णांक हैं। उदाहरण के लिए, पूर्णांकों में 231 का गुणनखंडन, और सहयोगियों की पहली पसंद के साथ है 3 × 7 × 11, जबकि यह है (–1) × (–3) × (–7) × (–11) दूसरी पसंद के साथ.
 * दोनों में से एक $p_{k} = a_{k} + ib_{k}$ साथ $a$ अजीब और सकारात्मक, और $b$ यहां तक ​​की,
 * या यूक्लिडियन प्रभाग का शेष भाग $p_{k}$ द्वारा $2 + 2i$ 1 के बराबर है (यह गॉस की मूल पसंद है ).

गाऊसी परिमेय
गाऊसी परिमेय का क्षेत्र (गणित) गाऊसी पूर्णांकों के वलय के अंशों का क्षेत्र है। इसमें सम्मिश्र संख्याएँ शामिल होती हैं जिनके वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग परिमेय संख्या होते हैं।

गाऊसी पूर्णांकों का वलय गाऊसी परिमेय में पूर्णांकों का अभिन्न समापन है।

इसका तात्पर्य यह है कि गाऊसी पूर्णांक द्विघात पूर्णांक हैं और एक गाऊसी परिमेय एक गाऊसी पूर्णांक है, यदि और केवल यदि यह एक समीकरण का समाधान है
 * $$x^2 +cx+d=0,$$

साथ $c$ और $d$ पूर्णांक. वास्तव में $a + bi$ समीकरण का हल है
 * $$x^2-2ax+a^2+b^2,$$

और इस समीकरण में पूर्णांक गुणांक हैं यदि और केवल यदि $a$ और $b$ दोनों पूर्णांक हैं.

सबसे बड़ा सामान्य भाजक
किसी भी अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन के लिए, दो गाऊसी पूर्णांकों का एक सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी) $a, b$ एक गाऊसी पूर्णांक है $d$ वह एक सामान्य विभाजक है $a$ और $b$, जिसमें सभी सामान्य भाजक हैं $a$ और $b$ भाजक के रूप में. यही है जहां $|$ विभाज्यता संबंध को दर्शाता है),

इस प्रकार, महत्तम का तात्पर्य विभाज्यता संबंध से है, न कि वलय के क्रम से (पूर्णांकों के लिए, महत्तम के दोनों अर्थ मेल खाते हैं)।
 * $d | a$ और $d | b$, और
 * $c | a$ और $c | b$ तात्पर्य $c | d$.

अधिक तकनीकी रूप से, का सबसे बड़ा सामान्य भाजक $a$ और $b$ एक आदर्श (रिंग सिद्धांत) है#आदर्श द्वारा उत्पन्न आदर्श (रिंग सिद्धांत) के एक सेट द्वारा उत्पन्न $a$ और $b$ (यह लक्षण वर्णन प्रमुख आदर्श डोमेन के लिए मान्य है, लेकिन सामान्य तौर पर, अद्वितीय गुणनखंड डोमेन के लिए नहीं)।

दो गॉसियन पूर्णांकों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक अद्वितीय नहीं है, लेकिन एक इकाई (रिंग सिद्धांत) द्वारा गुणा तक परिभाषित किया गया है। अर्थात्, एक सबसे बड़ा सामान्य भाजक दिया गया है $d$ का $a$ और $b$, का सबसे बड़ा सामान्य भाजक $a$ और $b$ हैं $d, –d, id$, और $–id$.

दो गॉसियन पूर्णांकों के सबसे बड़े सामान्य भाजक की गणना करने के कई तरीके हैं $a$ और $b$. जब कोई अभाज्य गुणनखंडन को जानता है $a$ और $b$,
 * $$a = i^k\prod_m {p_m}^{\nu_m}, \quad b = i^n\prod_m {p_m}^{\mu_m},$$

जहां अभाज्य $p_{m}$ जोड़ीवार गैर संबद्ध हैं, और घातांक $μ_{m}$ गैर-संबद्ध, एक सबसे बड़ा सामान्य भाजक है
 * $$\prod_m {p_m}^{\lambda_m},$$

साथ
 * $$\lambda_m = \min(\nu_m, \mu_m).$$

दुर्भाग्य से, साधारण मामलों को छोड़कर, अभाज्य गुणनखंडन की गणना करना कठिन है, और यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म बहुत आसान (और तेज) गणना की ओर ले जाता है। इस एल्गोरिदम में इनपुट को बदलना शामिल है $(a, b)$ द्वारा $(b, r)$, कहाँ $r$ यूक्लिडियन विभाजन का शेष भाग है $a$ द्वारा $b$, और शून्य शेष प्राप्त होने तक इस ऑपरेशन को दोहराते हुए, यह एक जोड़ी है $(d, 0)$. यह प्रक्रिया समाप्त हो जाती है, क्योंकि, प्रत्येक चरण पर, दूसरे गाऊसी पूर्णांक का मान कम हो जाता है। परिणामस्वरूप $d$ सबसे बड़ा सामान्य भाजक है, क्योंकि (प्रत्येक चरण पर) $b$ और $r = a – bq$ के समान भाजक हैं $a$ और $b$, और इस प्रकार वही सबसे बड़ा सामान्य भाजक।

गणना की यह विधि हमेशा काम करती है, लेकिन पूर्णांकों के लिए उतनी सरल नहीं है क्योंकि यूक्लिडियन विभाजन अधिक जटिल है। इसलिए, हस्तलिखित गणनाओं के लिए अक्सर तीसरी विधि को प्राथमिकता दी जाती है। इसमें यह टिप्पणी करना शामिल है कि आदर्श $N(d)$ का सबसे बड़ा सामान्य भाजक $a$ और $b$ का एक सामान्य भाजक है $N(a)$, $N(b)$, और $N(a + b)$. जब सबसे बड़ा सामान्य भाजक $D$इन तीन पूर्णांकों में से कुछ गुणनखंड हैं, तो सामान्य भाजक के लिए, सभी गाऊसी पूर्णांकों को मानक विभाजन के साथ परीक्षण करना आसान है $D$.

उदाहरण के लिए, यदि $a = 5 + 3i$, और $b = 2 – 8i$, किसी के पास $N(a) = 34$, $N(b) = 68$, और $N(a + b) = 74$. चूंकि तीन मानदंडों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 2 है, इसलिए सबसे बड़ा सामान्य भाजक 2 है $a$ और $b$ में मानक के रूप में 1 या 2 है। मानदण्ड 2 का गाऊसी पूर्णांक आवश्यक रूप से जुड़ा हुआ है $1 + i$, और के रूप में $1 + i$ बांटता है $a$ और $b$, तो सबसे बड़ा सामान्य भाजक है $1 + i$.

अगर $b$ को इसके संयुग्म द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $b = 2 + 8i$, तो तीन मानदंडों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 34 है, का मानदंड $a$, इस प्रकार कोई अनुमान लगा सकता है कि सबसे बड़ा सामान्य भाजक है $a$, वह है वह $a | b$. वास्तव में, एक के पास है $2 + 8i = (5 + 3i)(1 + i)$.

सर्वांगसमताएँ और अवशेष वर्ग
एक गाऊसी पूर्णांक दिया गया है $z_{0}$, मापांक कहा जाता है, दो गाऊसी पूर्णांक $z_{1},z_{2}$ मॉड्यूल के साथ संगत हैं $z_{0}$, यदि उनका अंतर एक से अधिक है $z_{0}$, अर्थात यदि कोई गॉसियन पूर्णांक मौजूद है $q$ ऐसा है कि $z_{1} − z_{2} = qz_{0}$. दूसरे शब्दों में, दो गॉसियन पूर्णांक सर्वांगसम मॉड्यूलो हैं $z_{0}$, यदि उनका अंतर उत्पन्न आदर्श (रिंग सिद्धांत) से संबंधित है $z_{0}$. इसे इस प्रकार दर्शाया गया है $z_{1} ≡ z_{2} (mod z_{0})$.

सर्वांगसमता मॉड्यूलो $z_{0}$ एक तुल्यता संबंध है (जिसे सर्वांगसम संबंध भी कहा जाता है), जो गॉसियन पूर्णांकों के एक सेट के विभाजन को तुल्यता वर्गों में परिभाषित करता है, जिसे यहां सर्वांगसमता वर्ग या अवशेष वर्ग कहा जाता है। अवशेष वर्गों का समुच्चय आमतौर पर निरूपित किया जाता है $Z[i]/z_{0}Z[i]$, या $Z[i]/⟨z_{0}⟩$, या केवल $Z[i]/z_{0}$.

गाऊसी पूर्णांक का अवशेष वर्ग $a$ सेट है
 * $$ \bar a := \left\{ z \in \mathbf{Z}[i] \mid z \equiv a \pmod{z_0} \right\}$$

सभी गाऊसी पूर्णांकों का जो सर्वांगसम हैं $a$. यह इस प्रकार है कि $\overline{a} = \overline{b}$ अगर और केवल अगर $a ≡ b (mod z_{0})$.

जोड़ और गुणा सर्वांगसमता के अनुकूल हैं। इस का मतलब है कि $a_{1} ≡ b_{1} (mod z_{0})$ और $a_{2} ≡ b_{2} (mod z_{0})$ मतलब $a_{1} + a_{2} ≡ b_{1} + b_{2} (mod z_{0})$ और $a_{1}a_{2} ≡ b_{1}b_{2} (mod z_{0})$. यह अवशेष वर्गों पर अच्छी तरह से परिभाषित ऑपरेशन (गणित) (जो प्रतिनिधियों की पसंद से स्वतंत्र है) को परिभाषित करता है:
 * $$\bar a + \bar b := \overline{a+b}\quad \text{and}\quad \bar a \cdot\bar b := \overline{ab}.$$

इन परिचालनों के साथ, अवशेष वर्ग एक क्रमविनिमेय वलय बनाते हैं, जो आदर्श द्वारा उत्पन्न गाऊसी पूर्णांकों का भागफल वलय है। $z_{0}$, जिसे परंपरागत रूप से अवशेष वर्ग रिंग मोडुलो भी कहा जाता है$z_{0}$ (अधिक जानकारी के लिए, कोटिएंट रिंग देखें)।

उदाहरण

 * मापांक के लिए बिल्कुल दो अवशेष वर्ग हैं $1 + i$, अर्थात् $\overline{0} = {0, ±2, ±4,…,±1 ± i, ±3 ± i,…}$ (के सभी गुणज $1 + i$), और $\overline{1} = {±1, ±3, ±5,…, ±i, ±2 ± i,…}$, जो जटिल तल में एक बिसात पैटर्न बनाते हैं। ये दो वर्ग इस प्रकार दो तत्वों के साथ एक वलय बनाते हैं, जो वास्तव में, एक क्षेत्र (गणित) है, दो तत्वों वाला अद्वितीय (एक समरूपता तक) क्षेत्र है, और इस प्रकार मॉड्यूलर अंकगणित के साथ पहचाना जा सकता है। इन दो वर्गों को पूर्णांकों के सम और विषम पूर्णांकों में विभाजन के सामान्यीकरण के रूप में माना जा सकता है। इस प्रकार कोई सम और विषम गाऊसी पूर्णांकों की बात कर सकता है (गॉस ने आगे सम गाऊसी पूर्णांकों को सम में विभाजित किया है, जो 2 से विभाज्य है, और अर्ध-सम)।
 * मापांक 2 के लिए चार अवशेष वर्ग हैं, अर्थात् $\overline{0}, \overline{1}, \overline{i}, \overline{1 + i}$. ये चार तत्वों से युक्त एक वलय बनाते हैं, जिसमें $x = –x$ हरएक के लिए $x$. इस प्रकार यह वलय पूर्णांक मॉड्यूलो 4 के वलय के साथ समरूपी नहीं है, चार तत्वों वाला एक अन्य वलय है। किसी के पास $\overline{1 + i}^{2} = \overline{0}$, और इस प्रकार यह वलय चार तत्वों वाला परिमित क्षेत्र नहीं है, न ही पूर्णांक मॉड्यूलो 2 की वलय की दो प्रतियों का प्रत्यक्ष उत्पाद है।
 * मापांक के लिए $2 + 2i = (i − 1)^{3}$ आठ अवशेष वर्ग हैं, अर्थात् $\overline{0}, \overline{±1}, \overline{±i}, \overline{1 ± i}, \overline{2}$, जिनमें से चार में केवल सम गाऊसी पूर्णांक हैं और चार में केवल विषम गाऊसी पूर्णांक हैं।

अवशेष वर्गों का वर्णन
एक मापांक दिया गया $z_{0} = 3 + 2i$, यूक्लिडियन विभाजन के लिए अवशेष वर्ग के सभी तत्वों का शेषफल समान होता है $z = 2 − 4i ≡ −i (mod z_{0})$, बशर्ते कि कोई अद्वितीय भागफल और शेषफल के साथ विभाजन का उपयोग करता है, जिसे #अनूठे शेषफल के रूप में वर्णित किया गया है। इस प्रकार अवशेष वर्गों की गणना करना संभावित अवशेषों की गणना करने के बराबर है। इसे ज्यामितीय रूप से निम्नलिखित तरीके से किया जा सकता है।

जटिल तल में, कोई एक वर्गाकार ग्रिड पर विचार कर सकता है, जिसके वर्ग दो रेखाओं द्वारा सीमांकित होते हैं
 * $$\begin{align}

V_s&=\left\{ \left. z_0\left(s-\tfrac12 +ix\right) \right\vert x\in \mathbf R\right\} \quad \text{and} \\ H_t&=\left\{ \left. z_0\left(x+i\left(t-\tfrac12\right)\right) \right\vert x\in \mathbf R\right\}, \end{align}$$ साथ $z_{0}$ और $z_{0}$ पूर्णांक (आकृति में नीली रेखाएँ)। ये समतल को अर्ध-खुले अंतराल|अर्ध-खुले वर्गों (जहाँ) में विभाजित करते हैं $s$ और $t$ पूर्णांक हैं)
 * $$Q_{mn}=\left\{(s+it)z_0 \left\vert s \in \left [m - \tfrac12, m + \tfrac12\right), t \in \left[n - \tfrac12, n + \tfrac12 \right)\right.\right\}.$$

अर्ध-खुले अंतराल जो की परिभाषा में होते हैं $m$ को इस क्रम में चुना गया है कि प्रत्येक सम्मिश्र संख्या बिल्कुल एक वर्ग से संबंधित हो; वह है, वर्ग $n$ जटिल तल का एक विभाजन (सेट सिद्धांत) बनाएं। किसी के पास
 * $$Q_{mn} = (m+in)z_0+Q_{00}=\left\{(m+in)z_0+z\mid z\in Q_{00}\right\}.$$

इसका तात्पर्य यह है कि प्रत्येक गाऊसी पूर्णांक सर्वांगसम मॉड्यूलो है $Q_{mn}$ एक अद्वितीय गाऊसी पूर्णांक में $Q_{mn}$ (आकृति में हरा वर्ग), जिससे विभाजन के लिए इसका शेषफल है $z_{0}$. दूसरे शब्दों में, प्रत्येक अवशेष वर्ग में बिल्कुल एक तत्व होता है $Q_{00}$.

गाऊसी पूर्णांक में $z_{0}$ (या इसकी सीमा (टोपोलॉजी) में) को कभी-कभी न्यूनतम अवशेष कहा जाता है क्योंकि उनका मानदंड समान अवशेष वर्ग में किसी अन्य गॉसियन पूर्णांक के मानक से अधिक नहीं होता है (गॉस ने उन्हें बिल्कुल सबसे छोटा अवशेष कहा है)।

इससे ज्यामितीय विचारों से यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि गौसियन पूर्णांक मॉड्यूलो अवशेष वर्गों की संख्या $Q_{00}$ इसके मानक के बराबर है $Q_{00}$ (प्रमाण के लिए नीचे देखें; इसी तरह, पूर्णांकों के लिए, अवशेष वर्गों की संख्या मापांक $z_{0} = a + bi$ इसका निरपेक्ष मान है $N(z_{0}) = a^{2} + b^{2}$).

$$

अवशेष वर्ग फ़ील्ड
अवशेष वर्ग वलय मॉड्यूलो एक गाऊसी पूर्णांक $n$ एक क्षेत्र (गणित) है यदि और केवल यदि $$z_0$$ एक गाऊसी अभाज्य है.

अगर $|n|$ एक विघटित अभाज्य या विस्तृत अभाज्य है $Q_{mn} = (m + in)z_{0} + Q_{00}$ (अर्थात्, यदि यह आदर्श है $Q_{mn}$ एक अभाज्य संख्या है, जो या तो 2 है या 1 मॉड्यूलो 4 के लिए एक अभाज्य सर्वांगसम है), तो अवशेष वर्ग क्षेत्र में तत्वों की एक अभाज्य संख्या होती है (अर्थात्, $Q_{00}$). इस प्रकार यह पूर्णांक मॉड्यूलो के क्षेत्र के लिए समरूपी है $Q_{mn}$.

यदि, दूसरी ओर, $N = N(z_{0})$ एक अक्रिय अभाज्य है (अर्थात्, $n_{g}$ एक अभाज्य संख्या का वर्ग है, जो 3 मॉड्यूलो 4 के सर्वांगसम है), फिर अवशेष वर्ग क्षेत्र है $A$ तत्व, और यह प्रधान क्षेत्र के डिग्री 2 (अद्वितीय, एक समरूपता तक) का फ़ील्ड विस्तार है $A + Θ(√A)$ तत्व (पूर्णांक मॉड्यूलो $k × k$).

आदिम अवशेष वर्ग समूह और यूलर का टोटिएंट फ़ंक्शन
पूर्णांकों के मापांक के लिए कई प्रमेय (और उनके प्रमाण) को सीधे गॉसियन पूर्णांकों के मापांक में स्थानांतरित किया जा सकता है, यदि कोई मापांक के निरपेक्ष मान को मानक से बदल देता है। यह विशेष रूप से आदिम अवशेष वर्ग समूह के लिए लागू होता है (जिसे पूर्णांकों मॉड्यूलो का गुणक समूह भी कहा जाता है। n|पूर्णांकों मॉड्यूलो का गुणक समूह $Q_{mn}$) और यूलर का टोटिएंट फ़ंक्शन। मापांक का आदिम अवशेष वर्ग समूह $k^{2}N + O(k√N)$ को इसके अवशेष वर्गों के सबसेट के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसमें सभी अवशेष वर्ग शामिल हैं $k^{2}n_{g} = k^{2}N + Θ(k√N)$ जो सहअभाज्य हैं $n_{g} = N + Θ(√N⁄k)$, अर्थात। $k^{2}$. जाहिर है, यह प्रणाली एक गुणक समूह का निर्माण करती है। इसके तत्वों की संख्या को निरूपित किया जाएगा $k$ (यूलर के टोटिएंट फ़ंक्शन के अनुरूप $n_{g} = N = N(z_{0})$पूर्णांकों के लिए $z_{0}$).

गाऊसी अभाज्य संख्याओं के लिए यह तुरंत उसका अनुसरण करता है $z_{0}$ और मनमाने समग्र गाऊसी पूर्णांकों के लिए
 * $$z = i^k\prod_m {p_m}^{\nu_m}$$

यूलर का टोटिएंट फ़ंक्शन|यूलर का उत्पाद सूत्र इस प्रकार प्राप्त किया जा सकता है
 * $$\phi(z) =\prod_{m\, (\nu_m > 0)} \bigl|{p_m}^{\nu_m}\bigr|^2 \left( 1 - \frac 1{|p_m|{}^2} \right) = |z|^2\prod_{p_m|z}\left( 1 - \frac 1{|p_m|{}^2} \right)$$

जहां उत्पाद को सभी प्रमुख विभाजकों पर निर्माण करना है $1 + i$ का $N(z_{0})$ (साथ $N(z_{0})$). इसके अलावा महत्वपूर्ण यूलर प्रमेय को सीधे स्थानांतरित किया जा सकता है:
 * सभी के लिए $N(z_{0})$ साथ $z_{0}$, यह उसे धारण करता है $N(z_{0}) = p^{2}$.

ऐतिहासिक पृष्ठभूमि
गॉसियन पूर्णांकों का वलय कार्ल फ्रेडरिक गॉस द्वारा चतुर्थक पारस्परिकता (1832) पर अपने दूसरे मोनोग्राफ में प्रस्तुत किया गया था। द्विघात पारस्परिकता का प्रमेय (जिसे वह पहली बार 1796 में सिद्ध करने में सफल हुए थे) सर्वांगसमता की सॉल्वेबिलिटी से संबंधित है $p^{2}$ उसके वहां के लिए $p$. इसी प्रकार, घन पारस्परिकता की सॉल्वेबिलिटी से संबंधित है $p$ उसके वहां के लिए $n$, और द्विघात (या चतुर्थक) पारस्परिकता के बीच एक संबंध है $z$ और $\overline{a}$. गॉस ने पाया कि द्विघात पारस्परिकता का नियम और इसके अनुपूरक सामान्य पूर्ण संख्याओं (अर्थात पूर्णांक) के बारे में कथनों की तुलना में संपूर्ण जटिल संख्याओं (अर्थात गॉसियन पूर्णांकों) के बारे में कथनों के रूप में अधिक आसानी से कहे और सिद्ध किए जाते हैं।

एक फ़ुटनोट में उन्होंने नोट किया कि ईसेनस्टीन पूर्णांक घन पारस्परिकता पर परिणाम बताने और साबित करने के लिए प्राकृतिक डोमेन हैं और इंगित करते हैं कि पूर्णांक के समान विस्तार उच्च पारस्परिकता कानूनों का अध्ययन करने के लिए उपयुक्त डोमेन हैं।

इस पेपर ने न केवल गॉसियन पूर्णांकों को पेश किया और साबित किया कि वे एक अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन हैं, इसने मानदंड, इकाई, प्राथमिक और सहयोगी शब्द भी पेश किए, जो अब बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में मानक हैं।

अनसुलझी समस्याएं
अधिकांश अनसुलझी समस्याएं समतल में गाऊसी अभाज्य संख्याओं के वितरण से संबंधित हैं।


 * गॉस की वृत्त समस्या गॉसियन पूर्णांकों से संबंधित नहीं है, बल्कि मूल बिंदु पर केंद्रित किसी दिए गए त्रिज्या के वृत्त के अंदर जाली बिंदुओं की संख्या पूछती है। यह किसी दिए गए मान से कम मानदंड वाले गॉसियन पूर्णांकों की संख्या निर्धारित करने के बराबर है।

गाऊसी अभाज्य संख्याओं के बारे में अनुमान और अनसुलझी समस्याएं भी हैं। उनमें से दो हैं:
 * वास्तविक और काल्पनिक अक्षों में गॉसियन अभाज्य संख्याओं 3, 7, 11, 19, ... और उनके सहयोगियों का अनंत सेट होता है। क्या ऐसी कोई अन्य रेखाएँ हैं जिन पर अनंत रूप से कई गॉसियन अभाज्य हैं? विशेष रूप से, क्या प्रपत्र के अनंत रूप से कई गाऊसी अभाज्य हैं $z$?
 * क्या गॉसियन अभाज्य संख्याओं को सीढ़ी के रूप में उपयोग करके और समान रूप से बंधी हुई लंबाई के कदम उठाते हुए अनंत तक चलना संभव है? इसे गाऊसी खाई  समस्या के रूप में जाना जाता है; इसे 1962 में तुलसी गॉर्डन द्वारा प्रस्तुत किया गया था और यह अनसुलझा है।

यह भी देखें

 * बीजगणितीय पूर्णांक
 * साइक्लोटोमिक क्षेत्र
 * आइसेनस्टीन पूर्णांक
 * आइज़ेंस्टीन प्राइम
 * हर्विट्ज़ क्वाटरनियन
 * दो वर्गों के योग पर फ़र्मेट के प्रमेय का प्रमाण
 * द्विघात पारस्परिकता का प्रमाण
 * द्विघात पूर्णांक
 * गैलोइस एक्सटेंशन में अभाज्य आदर्शों का विभाजन गॉसियन पूर्णांकों में अभाज्य आदर्शों की संरचना का वर्णन करता है
 * गाऊसी पूर्णांक गुणनखंडों की तालिका

संदर्भ

 * reprinted in Werke, Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1973, pp. 93–148. A German translation of this paper is available online in ″H. Maser (ed.): Carl Friedrich Gauss’ Arithmetische Untersuchungen über höhere Arithmetik. Springer, Berlin 1889, pp. 534″.

बाहरी संबंध

 * IMO Compendium text on quadratic extensions and Gaussian Integers in problem solving
 * Keith Conrad, The Gaussian Integers.