असतत ज्यामिति

असतत ज्यामिति और संयुक्त ज्यामिति की शाखाएँ हैं जो मिश्रित गुणों और असतत गणित ज्यामितीय ऑब्जेक्ट के रचनात्मक विधियों का अध्ययन करती हैं। असतत ज्यामिति के अधिकांश प्रश्नों में मूल ज्यामितीय ऑब्जेक्ट जैसे बिंदु (ज्यामिति), रेखाएँ (ज्यामिति), समतलीय (ज्यामिति), वृत्त, गोले, बहुभुज आदि के परिमित समुच्चय या असतत समुच्चय (गणित) सम्मिलित होते हैं। विषय इन वस्तुओं के संयोजक गुणों पर ध्यान केंद्रित करता है, जैसे कि वे एक दूसरे को कैसे प्रतिच्छेद करते हैं (सेट सिद्धांत), या किसी बड़े ऑब्जेक्ट का आच्छादन करने के लिए उन्हें कैसे व्यवस्थित किया जा सकता है।

असतत ज्यामिति में उत्तल ज्यामिति और अभिकलनात्मक ज्यामिति के साथ एक बड़ा अधिव्यापन होता है और यह परिमित ज्यामिति, संयुक्त इष्टतमीकरण, डिजिटल ज्यामिति, असतत अवकल ज्यामिति, ज्यामितीय आलेख सिद्धांत, टोरिक ज्यामिति और संयुक्त सांस्थितिकी जैसे विषयों से निकटता से संबंधित है।

इतिहास
यद्यपि जोहान्स केप्लर और ऑगस्टिन-लुई कॉची जैसे व्यक्तियों द्वारा अनेक वर्षों तक बहुकोणीय आकृति और चौखानों की रचना का अध्ययन किया गया था, किन्तु आधुनिक असतत ज्यामिति की उत्पत्ति 19वीं सदी के अंत में हुई थी। अध्ययन किए गए प्रारंभिक विषय एक्सल थ्यू द्वारा सर्कल पैकिंग का घनत्व, रेये और अर्नेस्ट स्टीनिट्ज़ द्वारा प्रक्षेपी विन्यास, मिंकोव्स्की द्वारा संख्याओं की ज्यामिति और टैट, हेवुड और हैडविगर द्वारा मानचित्र रंग थे।

लेज़्लो फेजेस टोथ, एच.एस.एम. कॉक्सेटर और पॉल एर्डोस ने असतत ज्यामिति की नींव रखी।

पॉलीहेड्रा और पॉलीटोप्स
एक पॉलीटॉप एक ज्यामितीय वस्तु है जिसमें सपाट पक्ष होते हैं, जो किसी भी सामान्य संख्या में आयामों में मौजूद होते हैं। एक बहुभुज दो आयामों में एक पॉलीटॉप है, तीन आयामों में एक बहुतल  है, और इसी तरह उच्च आयामों में (जैसे चार आयामों में  4-पॉलीटॉप )। कुछ सिद्धांत आगे इस तरह की वस्तुओं को शामिल करने के विचार को सामान्यीकृत करते हैं जैसे कि अनबाउंड पॉलीटोप्स (एपिरोटोप्स और टेसेलेशन), और  सार पॉलीटॉप

असतत ज्यामिति में अध्ययन किए गए पॉलीटोप्स के कुछ पहलू निम्नलिखित हैं:
 * पॉलीहेड्रल कॉम्बिनेटरिक्स
 * उत्तल जाली पॉलीटोप
 * एहरहार्ट बहुपद
 * चयन प्रमेय
 * हिर्श अनुमान

पैकिंग, कवरिंग और टाइलिंग
पैकिंग, कवरिंग और टाइलिंग एक सतह या कई गुना पर नियमित रूप से समान वस्तुओं (आमतौर पर सर्कल, गोले या टाइल) की व्यवस्था करने के सभी तरीके हैं।

स्फेयर पैकिंग एक स्थान के भीतर गैर-अतिव्यापी क्षेत्रों की व्यवस्था है। माने जाने वाले गोले आमतौर पर सभी समान आकार के होते हैं, और अंतरिक्ष आमतौर पर त्रि- आयाम ी यूक्लिडियन स्थान होता है। हालांकि, गोलाकार पैकिंग की समस्या ओं को असमान क्षेत्रों पर विचार करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, एन-डायमेंशनल  यूक्लिडियन स्पेस  (जहां समस्या दो आयामों में सर्कल पैकिंग बन जाती है, या उच्च आयामों में  अति क्षेत्र  पैकिंग हो जाती है) या  गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति |गैर-यूक्लिडियन  अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान  जैसे स्पेस।

एक सपाट सतह का टेसलेशन एक या एक से अधिक ज्यामितीय आकृतियों का उपयोग करके एक समतल (गणित) की टाइलिंग है, जिसे टाइल कहा जाता है, जिसमें कोई ओवरलैप नहीं होता है और कोई अंतराल नहीं होता है। गणित में, टेसलेशन को उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

इस क्षेत्र में विशिष्ट विषयों में शामिल हैं:
 * सर्किल पैकिंग
 * क्षेत्र पैकिंग
 * केप्लर अनुमान
 * क्वासिक क्रिस्टल
 * एपेरियोडिक टाइलिंग
 * आवधिक ग्राफ (ज्यामिति)
 * परिमित उपखंड नियम

संरचनात्मक कठोरता और लचीलापन
लचीले लिंकेज (मैकेनिकल) या हिंज से जुड़े कठोर शरीर  द्वारा गठित पहनावा के लचीलेपन की भविष्यवाणी करने के लिए संरचनात्मक कठोरता एक कॉम्बिनेटरिक्स है।

इस क्षेत्र के विषयों में शामिल हैं:
 * कॉची की प्रमेय (ज्यामिति)|कॉची की प्रमेय
 * लचीला पॉलीहेड्रॉन

घटना संरचनाएं
घटना संरचनाएं विमानों को सामान्यीकृत करती हैं (जैसे कि एफ़िन प्लेन (घटना ज्यामिति), प्रक्षेप्य विमान  और मोबियस प्लेन) जैसा कि उनकी स्वयंसिद्ध परिभाषाओं से देखा जा सकता है। घटना संरचनाएं उच्च-आयामी एनालॉग्स को भी सामान्यीकृत करती हैं और परिमित संरचनाओं को कभी-कभी परिमित ज्यामिति कहा जाता है।

औपचारिक रूप से, एक घटना संरचना एक तिहाई है
 * $$C=(P,L,I).\,$$

जहाँ P बिंदुओं का एक समूह है, L रेखाओं का एक समूह है और $$I \subseteq P \times L$$ घटना (ज्यामिति)  संबंध है। के तत्व $$I$$ झंडे कहलाते हैं। यदि
 * $$(p,l) \in I,$$

हम कहते हैं कि बिंदु p रेखा पर स्थित है $$l$$.

इस क्षेत्र के विषयों में शामिल हैं:
 * विन्यास (ज्यामिति)
 * पंक्तियों की व्यवस्था
 * हाइपरप्लेन की व्यवस्था
 * भवन (गणित)

ओरिएंटेड मैट्रोइड्स
एक ओरिएंटेड मैट्रोइड एक गणितीय संरचना  है जो  निर्देशित ग्राफ ़ के गुणों और एक आदेशित फ़ील्ड (विशेष रूप से आदेशित वेक्टर रिक्त स्थान के लिए) पर एक सदिश स्थान में वैक्टर की व्यवस्था का सार करता है। इसकी तुलना में, एक साधारण (यानी, गैर-उन्मुख)  मैट्रोइड   रैखिक स्वतंत्रता  गुणों को सार करता है जो ग्राफ़ (असतत गणित) दोनों के लिए सामान्य हैं, जो आवश्यक रूप से निर्देशित नहीं हैं, और  क्षेत्र (गणित)  पर वैक्टर की व्यवस्था के लिए, जो नहीं हैं अनिवार्य रूप से आदेश दिया।

ज्यामितीय ग्राफ सिद्धांत
एक ज्यामितीय ग्राफ एक ग्राफ (असतत गणित) है जिसमें वर्टेक्स (ग्राफ सिद्धांत)  या एज (ग्राफ सिद्धांत) ज्यामिति वस्तुओं से जुड़े होते हैं। उदाहरणों में यूक्लिडियन ग्राफ़, पॉलीहेड्रॉन या  पॉलीटोप  का 1- कंकाल (टोपोलॉजी), यूनिट डिस्क ग्राफ़ और  दृश्यता ग्राफ ़ शामिल हैं।

इस क्षेत्र में विषयों में शामिल हैं:
 * ग्राफ ड्राइंग
 * बहुफलकीय रेखांकन
 * यादृच्छिक ज्यामितीय रेखांकन
 * वोरोनोई आरेख और डेलाउने त्रिभुज

सरल परिसर
एक साधारण परिसर एक निश्चित प्रकार का एक स्थलीय स्थान है, जो एक साथ बिंदु (ज्यामिति), रेखा खंड,  त्रिकोण , और उनके सिंप्लेक्स |एन-आयामी समकक्षों (चित्रण देखें) को जोड़कर बनाया गया है। सरलीकृत परिसरों को आधुनिक साधारण होमोटोपी सिद्धांत में प्रकट होने वाले  सरल सेट  की अधिक सारगर्भित धारणा के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। एक साधारण जटिल के लिए विशुद्ध रूप से संयोजी समकक्ष एक  सार सरल जटिल  है। विएटोरिस-रिप्स_कॉम्प्लेक्स भी देखें।

टोपोलॉजिकल कॉम्बिनेटरिक्स
कॉम्बिनेटरियल टोपोलॉजी  के अनुशासन ने टोपोलॉजी में कॉम्बिनेटरियल अवधारणाओं का इस्तेमाल किया और 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में यह बीजगणितीय टोपोलॉजी के क्षेत्र में बदल गया।

1978 में, स्थिति उलट गई थी - बीजगणितीय टोपोलॉजी से विधियों का उपयोग कॉम्बिनेटरिक्स में एक समस्या को हल करने के लिए किया गया था - जब लेज़्लो लोवाज़ ने केनेसर ग्राफ  को सिद्ध किया, इस प्रकार टोपोलॉजिकल कॉम्बिनेटरिक्स के नए अध्ययन की शुरुआत हुई। लोवाज़ के प्रमाण ने  बोरसुक-उलम प्रमेय  का उपयोग किया और यह प्रमेय इस नए क्षेत्र में एक प्रमुख भूमिका रखता है। इस प्रमेय के कई समकक्ष संस्करण और अनुरूप हैं और इसका उपयोग उचित विभाजन समस्याओं के अध्ययन में किया गया है।

इस क्षेत्र के विषयों में शामिल हैं:
 * स्पर्नर की लेम्मा
 * नियमित नक्शा (ग्राफ सिद्धांत)

जाली और असतत समूह
एक असतत समूह एक समूह (गणित)  जी होता है जो  असतत टोपोलॉजी  से सुसज्जित होता है। इस टोपोलॉजी के साथ जी एक टोपोलॉजिकल ग्रुप बन जाता है। एक  टोपोलॉजिकल समूह  जी का असतत  उपसमूह  एक उपसमूह एच होता है जिसका  सापेक्ष टोपोलॉजी  असतत होता है। उदाहरण के लिए,  पूर्णांक, Z,  वास्तविक संख्या ओं का एक  असतत उपसमूह  बनाते हैं, R (मानक  मीट्रिक स्थान  के साथ), लेकिन  परिमेय संख्या एँ, Q, नहीं हैं।

स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल समूह में एक जाली संपत्ति के साथ एक असतत उपसमूह है जो कि  भागफल स्थान (टोपोलॉजी)  में परिमित अपरिवर्तनीय माप है। R. के उपसमूहों के विशेष मामले मेंn, यह एक जाली (समूह)  की सामान्य ज्यामितीय धारणा के बराबर है, और जाली की बीजगणितीय संरचना और सभी जालकों की समग्रता की ज्यामिति अपेक्षाकृत अच्छी तरह से समझी जाती है।  आर्मंड बोरेली,  हरीश-चंद्र ,  जॉर्ज मोस्टो ,  सुनाओ तमागावा , एम.एस. रघुनाथन, ग्रिगोरी मार्गुलिस,  रॉबर्ट ज़िमर (गणितज्ञ)  के गहन परिणाम 1950 से 1970 के दशक तक प्राप्त हुए और नीलपोटेंट समूह लाई समूहों की स्थापना के लिए अधिकांश सिद्धांत को सामान्यीकृत किया। और एक  स्थानीय क्षेत्र  में अर्ध-सरल बीजीय समूह। 1990 के दशक में,  हाइमन बास  और  एलेक्ज़ेंडर लुबोट्ज़की  ने पेड़ की जाली का अध्ययन शुरू किया, जो एक सक्रिय अनुसंधान क्षेत्र बना हुआ है।

इस क्षेत्र के विषयों में शामिल हैं:
 * प्रतिबिंब समूह
 * त्रिकोण समूह

डिजिटल ज्यामिति
डिजिटल ज्यामिति असतत अंतरिक्ष सेट (आमतौर पर असतत बिंदु (ज्यामिति) सेट) से संबंधित है, जिसे 2 डी या 3 डी यूक्लिडियन अंतरिक्ष की वस्तुओं के डिजिटल मॉडल या छवि यों को डिजिटाइज़ करना माना जाता है।

सीधे शब्दों में कहें, अंकीयकरण  किसी वस्तु को उसके बिंदुओं के असतत सेट द्वारा प्रतिस्थापित कर रहा है। टीवी स्क्रीन, कंप्यूटर के  रेखापुंज ग्राफिक्स  डिस्प्ले या समाचार पत्रों में हम जो छवियां देखते हैं, वे वास्तव में डिजिटल डेटा छवियां हैं।

इसके मुख्य अनुप्रयोग क्षेत्र कंप्यूटर ग्राफिक्स  और  छवि विश्लेषण  हैं।

असतत अंतर ज्यामिति
असतत डिफरेंशियल ज्योमेट्री डिफरेंशियल ज्योमेट्री में धारणाओं के असतत समकक्षों का अध्ययन है। चिकने वक्रों और सतहों के बजाय, बहुभुज, जाल  और सरल परिसर हैं। इसका उपयोग कंप्यूटर ग्राफिक्स और  टोपोलॉजिकल कॉम्बिनेटरिक्स  के अध्ययन में किया जाता है।

इस क्षेत्र में विषयों में शामिल हैं:


 * असतत लाप्लास ऑपरेटर
 * असतत बाहरी कलन
 * असतत कलन
 * असतत मोर्स सिद्धांत
 * टोपोलॉजिकल कॉम्बिनेटरिक्स
 * वर्णक्रमीय आकार विश्लेषण
 * सार [[ अंतर ज्यामिति ]]
 * भग्न पर विश्लेषण

यह भी देखें

 * असतत और कम्प्यूटेशनल ज्यामिति (पत्रिका)
 * गणित पृथक करें
 * पॉल ​​एर्दोसी

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक कड़ियों की सूची

 * घेरा
 * यूनिट डिस्क ग्राफ
 * गणित पृथक करें
 * मिश्रित टोपोलॉजी
 * चौराहा (सेट सिद्धांत)
 * संयोजन अनुकूलन
 * साहचर्य
 * समतल ज्यामिति)
 * उत्तल जाली पॉलीटॉप
 * अनंतता
 * quasicrystal
 * विविध
 * अंक शास्त्र
 * विमान (गणित)
 * लिंकेज (यांत्रिक)
 * काज
 * affine विमान (घटना ज्यामिति)
 * लाइनों की व्यवस्था
 * सदिश स्थल
 * वेक्टर स्थान का आदेश दिया
 * आदेशित क्षेत्र
 * ग्राफ (असतत गणित)
 * पॉलीहेड्रल ग्राफ
 * Delaunay त्रिभुज
 * किनारा (ग्राफ सिद्धांत)
 * यादृच्छिक ज्यामितीय ग्राफ
 * टोपोलॉजिकल स्पेस
 * बीजीय टोपोलॉजी
 * निष्पक्ष विभाजन
 * अपरिवर्तनीय उपाय
 * त्रिभुज समूह
 * निलपोटेंट समूह
 * झूठ समूह
 * अर्धसरल बीजगणितीय समूह
 * डिजिटल डाटा
 * पैमाना मॉडल
 * सरल परिसरों