आंशिक रूप से आदेशित समूह

अमूर्त बीजगणित में, एक आंशिक रूप से क्रमबद्ध समूह एक समूह (गणित) (G, +) है जो एक आंशिक आदेश ≤ से सुसज्जित है जो अनुवाद-अपरिवर्तनीय है; दूसरे शब्दों में, ≤ के पास वह गुण है जो सभी a, b, और g के लिए G में है, यदि a ≤ b तो ए + जी ≤ बी + जी और जी + ए ≤ जी + बी।

G का एक अवयव x धनात्मक कहलाता है यदि 0 ≤ x। तत्वों का सेट 0 ≤ x को अक्सर G से दर्शाया जाता है+, और G का धनात्मक शंकु कहलाता है।

अनुवाद अपरिवर्तनीयता से, हमारे पास a ≤ b अगर और केवल अगर 0 ≤ -a + b है। तो हम आंशिक आदेश को एक राक्षसी संपत्ति में कम कर सकते हैं: अगर और केवल अगर सामान्य समूह जी के लिए, एक सकारात्मक शंकु का अस्तित्व जी पर एक आदेश निर्दिष्ट करता है। एक समूह जी आंशिक रूप से आदेश देने योग्य समूह है अगर और केवल अगर एक उपसमूह एच मौजूद है (जो जी है+) G का ऐसा है कि:
 * 0 ∈ एच
 * यदि a ∈ H और b ∈ H तो a + b ∈ H
 * यदि a ∈ H तो -x + a + x ∈ H G के प्रत्येक x के लिए
 * यदि a ∈ H और -a ∈ H तो a = 0

सकारात्मक शंकु जी के साथ आंशिक रूप से आदेशित समूह जी+ यदि n · g ∈ G है तो इसे अछिद्रित कहा जाता है+ किसी धनात्मक पूर्णांक n के लिए g ∈ G का अर्थ है+. अछिद्रित होने का अर्थ है धनात्मक शंकु G में कोई अंतराल नहीं है+.

यदि समूह पर क्रम एक रेखीय क्रम है, तो इसे एक रैखिक रूप से आदेशित समूह कहा जाता है। यदि समूह पर क्रम एक जाली क्रम है, यानी किसी भी दो तत्वों में कम से कम ऊपरी सीमा होती है, तो यह एक जाली-आदेशित समूह होता है (शीघ्र ही एल-समूह, हालांकि आमतौर पर एक स्क्रिप्ट टाइपफेस एल: ℓ-समूह के साथ टाइपसेट होता है)।

एक फ्रिगियस रिज्ज़ समूह एक छिद्रित आंशिक रूप से आदेशित समूह है जिसकी संपत्ति जाली-आदेशित समूह की तुलना में थोड़ी कमजोर है। अर्थात्, एक रिज़ समूह रिज़ इंटरपोलेशन संपत्ति को संतुष्ट करता है: यदि x1, एक्स2, वाई1, वाई2 G और x के अवयव हैंi≤ औरj, तो वहाँ z ∈ G का अस्तित्व है जैसे कि xi≤ जेड ≤ वाईj.

यदि जी और एच दो आंशिक रूप से आदेशित समूह हैं, तो जी से एच तक का नक्शा आंशिक रूप से आदेशित समूहों का एक रूपवाद है यदि यह एक समूह समरूपता और एक मोनोटोनिक फ़ंक्शन दोनों है। आकृतिवाद की इस धारणा के साथ आंशिक रूप से आदेशित समूह, एक श्रेणी सिद्धांत बनाते हैं।

आंशिक रूप से आदेशित समूहों का उपयोग फ़ील्ड (गणित) के मूल्यांकन (बीजगणित) की परिभाषा में किया जाता है।

उदाहरण

 * पूर्णांक अपने सामान्य क्रम के साथ
 * एक आदेशित सदिश स्थान आंशिक रूप से क्रमबद्ध समूह है
 * रिज स्पेस एक लैटिस-ऑर्डर्ड ग्रुप है
 * आंशिक रूप से आदेशित समूह का एक विशिष्ट उदाहरण पूर्णांक हैn, जहां समूह संचालन घटकवार जोड़ है, और हम लिखते हैं (a1,...,एकn) ≤ (बी1,...,बीn) अगर और केवल अगर एi ≤ बीi (पूर्णांकों के सामान्य क्रम में) सभी i = 1,..., n के लिए।
 * अधिक आम तौर पर, यदि जी आंशिक रूप से आदेशित समूह है और एक्स कुछ सेट है, तो एक्स से जी तक के सभी कार्यों का सेट फिर से आंशिक रूप से आदेशित समूह है: सभी संचालन घटकवार किए जाते हैं। इसके अलावा, G का प्रत्येक उपसमूह आंशिक रूप से क्रमबद्ध समूह है: यह G से क्रम प्राप्त करता है।
 * यदि A एक लगभग परिमित-आयामी C*-बीजगणित है, या अधिक सामान्यतः, यदि A एक स्थायी रूप से परिमित इकाई C*-बीजगणित है, तो लगभग परिमित-आयामी C*-algebra#K0|K0(ए) आंशिक रूप से आदेशित एबेलियन समूह है। (इलियट, 1976)

आर्किमिडीज़
आंशिक रूप से आदेशित समूहों के लिए वास्तविक संख्याओं की आर्किमिडीयन संपत्ति को सामान्यीकृत किया जा सकता है।


 * संपत्ति: एक आंशिक रूप से क्रमित समूह G को 'आर्किमिडीयन' कहा जाता है जब an ≤ b सभी प्राकृतिक n के लिए तो a = e. समान रूप से, जब a≠e, तो किसी भी b∈G के लिए कुछ होता है $$n\in \mathbb{Z}$$ ऐसा है कि बी <एएन.

एकीकृत रूप से बंद
एक आंशिक रूप से आदेशित समूह G को 'पूर्ण रूप से बंद' कहा जाता है यदि G के सभी तत्वों a और b के लिए, यदि an ≤ b सभी प्राकृतिक n के लिए फिर a ≤ 1। यह संपत्ति इस तथ्य से कुछ हद तक मजबूत है कि एक आंशिक रूप से आदेशित समूह आर्किमिडीयन संपत्ति है, हालांकि एक जाली-आदेशित समूह के लिए एकीकृत रूप से बंद होना और आर्किमिडीज़ होना समतुल्य है। एक प्रमेय है कि प्रत्येक अभिन्न रूप से बंद निर्देशित सेट समूह पहले से ही एबेलियन समूह है। इसका इस तथ्य से लेना-देना है कि एक निर्देशित समूह एक पूर्ण जाली जाली-आदेशित समूह में एम्बेड करने योग्य है यदि और केवल अगर यह अभिन्न रूप से बंद है।

संदर्भ

 * M. Anderson and T. Feil, Lattice Ordered Groups: an Introduction, D. Reidel, 1988.
 * M. R. Darnel, The Theory of Lattice-Ordered Groups, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics 187, Marcel Dekker, 1995.
 * L. Fuchs, Partially Ordered Algebraic Systems, Pergamon Press, 1963.
 * V. M. Kopytov and A. I. Kokorin (trans. by D. Louvish), Fully Ordered Groups, Halsted Press (John Wiley & Sons), 1974.
 * V. M. Kopytov and N. Ya. Medvedev, Right-ordered groups, Siberian School of Algebra and Logic, Consultants Bureau, 1996.
 * R. B. Mura and A. Rhemtulla, Orderable groups, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics 27, Marcel Dekker, 1977.
 * , chap. 9.
 * V. M. Kopytov and N. Ya. Medvedev, Right-ordered groups, Siberian School of Algebra and Logic, Consultants Bureau, 1996.
 * R. B. Mura and A. Rhemtulla, Orderable groups, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics 27, Marcel Dekker, 1977.
 * , chap. 9.
 * , chap. 9.