अभिगृहीत विभाजन

टोपोलॉजी और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, कई प्रतिबंध हैं जो अधिकांशतः उन प्रकार के टोपोलॉजिकल स्पेस पर लगाए जाते हैं जिन पर कोई विचार करना चाहता है। इनमें से कुछ प्रतिबंध पृथक्करण अभिगृहीतों द्वारा दिए गए हैं। एंड्री टाइकोनॉफ के बाद, इन्हें कभी-कभी टाइकोनॉफ़ पृथक्करण सिद्धांत कहा जाता है।

पृथक्करण अभिगृहीत स्वयंसिद्ध सिद्धांत की तरह मौलिक अभिगृहीत नहीं हैं, किंतु गुणों को परिभाषित करते हैं जिन्हें कुछ प्रकार के स्थलीय स्थानों को अलग करने के लिए निर्दिष्ट किया जा सकता है। जुदाई स्वयंसिद्धों को जर्मन भाषा ट्रेन्नुंगसैक्सिओम (''पृथक्करण स्वयंसिद्ध) के बाद अक्षर टी से निरूपित किया जाता है, और बढ़ती संख्यात्मक सदस्यताएं मजबूत और मजबूत गुणों को दर्शाती हैं।

पृथक्करण स्वयंसिद्धों के इतिहास की त्रुटिहीन परिभाषाएँ। विशेष रूप से पुराने साहित्य में, अलग-अलग लेखकों की प्रत्येक स्थिति की अलग-अलग परिभाषाएँ हो सकती हैं।

प्रारंभिक परिभाषाएँ
इससे पहले कि हम स्वयं पृथक्करण अभिगृहीतों को परिभाषित करें, हम सांस्थितिकीय स्थानों में पृथक समुच्चयों (और बिंदुओं) की अवधारणा को ठोस अर्थ देते हैं। (पृथक समुच्चय अलग-अलग रिक्त स्थान के समान नहीं हैं, जिसे अगले खंड में परिभाषित किया गया है।)

अलग-अलग समुच्चय और डिस्टिक्ट (गणित) बिंदुओं को अलग करने के लिए अलग-अलग स्वयंसिद्ध सांस्थितिक साधनों के उपयोग के बारे में हैं। किसी टोपोलॉजिकल स्पेस के तत्वों के लिए यह पर्याप्त नहीं है कि वे अलग हों (अर्थात, समानता (गणित)); हम चाहते हैं कि वे स्थैतिक रूप से अलग-अलग हों। इसी तरह, किसी टोपोलॉजिकल स्पेस के सबसमुच्चय  का असंयुक्त होना ही अधिक नहीं है; हम चाहते हैं कि उन्हें अलग किया जाए (किसी भी तरह से)। जुदाई स्वयंसिद्ध सभी कहते हैं, एक या दूसरे तरीके से, कि बिंदु या समुच्चय  जो अलग-अलग हैं या कुछ कमजोर अर्थों में अलग-अलग हैं, उन्हें भी कुछ मजबूत अर्थों में अलग-अलग किया जाना चाहिए।

एक्स को टपॉलजी का मूल्य रहने दें। तब एक्स में दो बिंदु एक्स और वाई 'टोपोलॉजिकल रूप से अलग-अलग' होते हैं यदि उनके पास बिल्कुल समान निकटतम(गणित) नहीं है (या समान रूप से समान खुले निकटतम); अर्थात्, उनमें से कम से कम एक का ऐसा निकटतम हो जो दूसरे का निकटतम नहीं है (या समतुल्य रूप से खुला समुच्चय है जो एक बिंदु का है किन्तु दूसरा बिंदु का नहीं है)। अर्थात कम से कम एक बिंदु दूसरे के क्लोजर (टोपोलॉजी) से संबंधित नहीं है।

दो बिंदु एक्स और वाई 'पृथक' हैं यदि उनमें से प्रत्येक का निकटतम है जो दूसरे का निकटतम नहीं है; अर्थात न तो दूसरे के क्लोजर (टोपोलॉजी) से संबंधित है। अधिक सामान्यतः, एक्स के दो सबसमुच्चय A और B 'अलग' होते हैं यदि प्रत्येक दूसरे के बंद होने से अलग होता है। (संवरणों को खुद को अलग करने की ज़रूरत नहीं है।) सिंगलटन समुच्चय का उपयोग करके समुच्चय  को अलग करने के लिए शेष सभी शर्तों को बिंदुओं (या एक बिंदु और समुच्चय ) पर भी प्रयुक्त किया जा सकता है। अंक एक्स और वाई को आस-पड़ोस द्वारा, बंद निकटतम द्वारा, निरंतर कार्य द्वारा, फ़ंक्शन द्वारा त्रुटिहीन रूप से अलग माना जाएगा, यदि और केवल यदि उनके सिंगलटन समुच्चय  {एक्स} और {वाई} को संबंधित मानदंड के अनुसार अलग किया जाता है।

सबसमुच्चय A और B 'निकटतम से अलग' हैं यदि उनके निकटतम अलग हैं। यदि वे बंद निकटतम से अलग हैं तो वे 'बंद निकटतम से अलग' हैं। वे 'निरंतर कार्य द्वारा अलग' होते हैं यदि अंतरिक्ष एक्स से वास्तविक रेखा 'आर' तक निरंतर कार्य f उपस्थित होता है, जैसे कि A प्रीइमेज f−1 का सबसमुच्चय है ({0}) और B प्रीइमेज f−1 का उपसमुच्चय है ({1})। अंत में, वे निरंतर कार्य द्वारा ठीक से अलग हो जाते हैं यदि एक्स से आर तक निरंतर कार्य f उपस्थित होता है, जैसे किAप्रीइमेज f−1 के बराबर होता है ({0}) औरBबराबर f−1 है ({1})।

बढ़ती ताकत के क्रम में ये स्थितियां दी गई हैं: किसी भी दो स्थलीय रूप से अलग-अलग बिंदुओं को अलग-अलग होना चाहिए, और किसी भी दो अलग-अलग बिंदुओं को स्थलीय रूप से अलग-अलग होना चाहिए। किन्हीं भी दो अलग-अलग समुच्चय को अलग होना चाहिए, आस-पड़ोस से अलग किए गए किन्हीं भी दो समुच्चय को अलग-अलग किया जाना चाहिए, और इसी तरह।

मुख्य परिभाषाएँ
ये सभी परिभाषाएँ उपरोक्त प्रारंभिक परिभाषाओं का अनिवार्य रूप से उपयोग करती हैं।

इनमें से कई नामों का पृथक्करण स्वयंसिद्धों का इतिहास है; उदाहरण के लिए, सामान्य और T4 के अर्थ कभी-कभी आपस में बदल जाते हैं, इसी तरह नियमित और T3, आदि। कई अवधारणाओं के भी कई नाम हैं; यद्यपि, पहले सूचीबद्ध के अस्पष्ट होने की संभावना हमेशा कम से कम होती है।

इनमें से अधिकांश अभिगृहीतों की समान अर्थ वाली वैकल्पिक परिभाषाएँ हैं; यहाँ दी गई परिभाषाएँ सुसंगत नमूने में आती हैं जो पिछले खंड में परिभाषित अलगाव की विभिन्न धारणाओं से संबंधित हैं। अन्य संभावित परिभाषाएँ अलग-अलग लेखों में पाई जा सकती हैं।

निम्नलिखित सभी परिभाषाओं में, एक्स फिर से सामयिक स्थान है।


 * एक्स 'T0 स्पेस है|T0, या कोल्मोगोरोव, यदि एक्स में कोई दो अलग-अलग बिंदु स्थलीय भिन्नता हैं। (यह अलग-अलग स्वयंसिद्धों के बीच सामान्य विषय होगा जिसमें स्वयंसिद्ध का संस्करण होगा जिसके लिए T0 की आवश्यकता होती है और एक संस्करण जो नहीं करता है।)
 * एक्स 'R0 स्पेस है | R0, या सममित, यदि एक्स में कोई भी दो स्थलीय रूप से अलग-अलग बिंदुओं को अलग किया जाता है।
 * एक्स T1 स्पेस है|T1, या सुलभ या फ़्रेचेट, यदि एक्स में कोई दो अलग-अलग बिंदु अलग किए गए हैं। समान रूप से, प्रत्येक एकल-बिन्दु समुच्चय संवृत समुच्चय होता है। इस प्रकार, ' एक्स ' T1 है यदि और केवल यदि यह दोनों T0 है और R0. (यद्यपि कोई ऐसी बातें कह सकता है जैसे T1 अंतरिक्ष, फ्रेचेट टोपोलॉजी, और मान लीजिए कि स्थलीय अंतरिक्ष एक्स फ्रेचेट है; इस संदर्भ में फ्रेचेट स्पेस कहने से बचना चाहिए, क्योंकि कार्यात्मक विश्लेषण में फ्रेचेट स्पेस की एक और पूरी तरह से अलग धारणा है।)
 * एक्स 'R1 स्पेस है|R1, या प्रीरेगुलर, यदि एक्स में कोई दो टोपोलॉजिकल रूप से अलग-अलग बिंदुओं को निकट से अलग किया जाता है। हर R1 अंतरिक्ष भी R0 है.
 * एक्स 'हॉसडॉर्फ स्पेस' है, या T2या अलग, यदि एक्स में किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं को पड़ोस द्वारा अलग किया जाता है। इस प्रकार, एक्स हौसडॉर्फ है यदि और केवल यदि यह दोनों T0 है और R1. प्रत्येक हॉसडॉर्फ स्थान भी T1 है.
 * एक्स 'यूरीसोहन' है और पूरी तरह से हॉसडॉर्फ स्पेस|T2½, या उरीसोहन, यदि एक्स में दो अलग-अलग बिंदु बंद पड़ोस से अलग होते हैं। हर T2½ अंतरिक्ष हॉसडॉर्फ भी है।
 * एक्स 'पूरी तरह से हौसडॉर्फ स्पेस' है, या पूरी तरह से T2, यदि एक्स में किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं को निरंतर कार्य द्वारा अलग किया जाता है। हर पूरी तरह से हौसडॉर्फ स्पेस भी T2½ है.
 * एक्स 'नियमित स्थान' है, यदि कोई बिंदु एक्स दिया गया है और एक्स में बंद समुच्चय एफ ऐसा है कि एक्स, एफ से संबंधित नहीं है, तो वे निकटतम से अलग हो जाते हैं। (वास्तव में, नियमित स्थान में, ऐसे किसी भी एक्स और F को भी बंद पड़ोस द्वारा अलग किया जाएगा।) प्रत्येक नियमित स्थान भी R1 है.
 * एक्स 'नियमित हौसडॉर्फ स्पेस' है, या T3, यदि यह दोनों T0 और नियमित। हर नियमित हौसडॉर्फ स्थान भी T2½ है.
 * एक्स 'पूरी तरह से नियमित स्थान' है, यदि कोई बिंदु एक्स दिया गया है और एक्स में बंद समुच्चय एफ ऐसा है कि x, एफ से संबंधित नहीं है, तो वे निरंतर कार्य द्वारा अलग हो जाते हैं।  हर पूरी तरह से नियमित स्थान भी नियमित है।
 * एक्स 'टायचोनॉफ स्पेस' है, या T3½, पूरी तरह से T3, या पूरी तरह से नियमित हौसडॉर्फ, यदि यह दोनों T0 है और पूरी तरह से नियमित। प्रत्येक टाइकोनॉफ़ स्थान नियमित हॉसडॉर्फ और पूरी तरह हॉसडॉर्फ दोनों है।
 * एक्स 'सामान्य स्थान' है यदि एक्स के दो अलग-अलग बंद उपसमुच्चय निकटतम से अलग हो जाते हैं। (वास्तव में, स्थान सामान्य है यदि दो अलग-अलग बंद समुच्चय को निरंतर कार्य से अलग किया जा सकता है; यह उरीसोहन का लेम्मा है।)
 * एक्स 'सामान्य नियमित स्थान' है यदि यह दोनों R0 है और सामान्य। हर सामान्य नियमित स्थान भी पूरी तरह से नियमित है।
 * एक्स 'सामान्य हौसडॉर्फ स्पेस' है, या T4, यदि यह दोनों T1 और सामान्य। प्रत्येक सामान्य हौसडॉर्फ स्थान टाइकोनॉफ़ और सामान्य नियमित दोनों ही है।
 * एक्स 'पूरी तरह से सामान्य स्थान' है यदि किन्हीं भी दो अलग-अलग समुच्चय को पास-पड़ोस द्वारा अलग किया जाता है। हर पूरी तरह से सामान्य स्थान भी सामान्य होता है।
 * एक्स 'पूरी तरह से सामान्य हौसडॉर्फ स्पेस' है, या T5 या पूरी तरह से T4, यदि यह पूरी तरह से सामान्य है और T1. हर पूरी तरह से सामान्य हॉउसडॉर्फ स्पेस भी सामान्य हॉसडॉर्फ होता है।
 * एक्स 'पूरी तरह से सामान्य स्थान' है यदि कोई भी दो अलग-अलग बंद समुच्चय निरंतर कार्य से ठीक से अलग हो जाते हैं। हर पूरी तरह से सामान्य स्थान भी पूरी तरह से सामान्य और पूरी तरह से नियमित दोनों होता है।
 * एक्स 'पूरी तरह से सामान्य हौसडॉर्फ स्पेस' है, या T6 या पूरी तरह से T4, यदि यह पूरी तरह से सामान्य और T0 दोनों है. हर पूरी तरह से सामान्य हॉउसडॉर्फ स्पेस भी पूरी तरह से सामान्य हॉसडॉर्फ है।

निम्न तालिका पृथक्करण अभिगृहीतों के साथ-साथ उनके बीच निहितार्थों को संक्षेप में प्रस्तुत करती है: कोशिकाएँ जो मर्ज की जाती हैं समतुल्य गुणों का प्रतिनिधित्व करती हैं, प्रत्येक अभिगृहीत का तात्पर्य इसके बाईं ओर की कोशिकाओं से है, और यदि हम T1 मानते हैं अभिगृहीत, तो प्रत्येक अभिगृहीत का तात्पर्य इसके ऊपर की कोशिकाओं में भी होता है (उदाहरण के लिए, सभी सामान्य T1 रिक्त स्थान भी पूरी तरह से नियमित हैं)।

स्वयंसिद्धों के बीच संबंध
T0 स्वयंसिद्ध इस मायने में खास है कि इसे न केवल संपत्ति में जोड़ा जा सकता है (जिससे पूरी तरह से नियमित प्लस T0 टाइकोनॉफ है) किन्तु संपत्ति से भी घटाया जा सकता है (जिससे हौसडॉर्फ माइनस T0 R1 है), अधिक त्रुटिहीन अर्थों में; अधिक जानकारी के लिए कोलमोगोरोव भागफल देखें। पृथक्करण स्वयंसिद्धों पर प्रयुक्त होने पर, यह तालिका में संबंधों को नीचे बाईं ओर ले जाता है। इस तालिका में T0 की आवश्यकता को जोड़कर दाईं ओर से बाईं ओर जाता है, और कोलमोगोरोव भागफल ऑपरेशन का उपयोग करके, उस आवश्यकता को हटाकर बाईं ओर से दाईं ओर जाता है। (इस तालिका के बाईं ओर दिए गए कोष्ठकों में नाम सामान्यतः अस्पष्ट या कम से कम कम प्रसिद्ध हैं, किन्तु उनका उपयोग नीचे दिए गए चित्र में किया गया है।)



T0 के समावेश या बहिष्करण के अतिरिक्त, पृथक्करण अभिगृहीतों के बीच संबंधों को आरेख में दाईं ओर इंगित किया गया है। इस आरेख में, गैर-T0 स्थिति का संस्करण स्लैश के बाईं ओर है, और T0 संस्करण दाईं ओर है। संक्षिप्त नाम के लिए अक्षरों का प्रयोग इस प्रकार किया जाता है: पी = पूरी तरह से, सी = पूरी तरह से, एन = सामान्य, और आर (सबस्क्रिप्ट के बिना) = नियमित। गोली इंगित करती है कि उस स्थान पर किसी स्थान के लिए कोई विशेष नाम नहीं है। नीचे डैश कोई शर्त नहीं दर्शाता है।

जब तक दोनों शाखाएं मिलती हैं तब तक ऊपर की ओर आरेख का पालन करके इस आरेख का उपयोग करके दो गुणों को जोड़ा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि कोई स्थान पूरी तरह से सामान्य (CN) और पूरी तरह से हौसडॉर्फ (CT2), दोनों शाखाओं के बाद, स्थान पाता है •/T5.

चूंकि पूरी तरह से हौसडॉर्फ रिक्त स्थान T0 हैं (भले संभवतः ही पूरी तरह से सामान्य स्थान न हो), कोई T0 लेता है स्लैश के किनारे, इसलिए पूरी तरह से सामान्य हॉसडॉर्फ स्थान T5 के समान है अंतरिक्ष (कम अस्पष्ट रूप से पूरी तरह से सामान्य हौसडॉर्फ अंतरिक्ष के रूप में जाना जाता है, जैसा कि उपरोक्त तालिका में देखा जा सकता है)।

जैसा कि आरेख, सामान्य और R0 से देखा जा सकता है एक साथ अन्य गुणों के मेजबान का अर्थ है, क्योंकि दो गुणों के संयोजन से दाईं ओर की शाखा पर कई नोड्स होते हैं। चूँकि नियमितता इनमें से सबसे प्रसिद्ध है, ऐसे स्थान जो सामान्य और R0 दोनों हैं सामान्यतः सामान्य नियमित स्थान कहलाते हैं। कुछ इसी तरह से, रिक्त स्थान जो सामान्य और T1 दोनों हैं अस्पष्ट टी नोटेशन से बचने की इच्छा रखने वाले लोगों द्वारा अधिकांशतः सामान्य हौसडॉर्फ रिक्त स्थान कहा जाता है। इन सम्मेलनों को अन्य नियमित स्थानों और हॉसडॉर्फ स्थानों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

[एनबी: यह आरेख यह नहीं दर्शाता है कि पूरी तरह से सामान्य स्थान हमेशा नियमित होते हैं; संपादक अब इस पर काम कर रहे हैं।]

अन्य पृथक्करण स्वयंसिद्ध
टोपोलॉजिकल स्पेस पर कुछ अन्य शर्तें हैं जिन्हें कभी-कभी पृथक्करण स्वयंसिद्धों के साथ वर्गीकृत किया जाता है, किन्तु ये सामान्य पृथक्करण स्वयंसिद्धों के साथ पूरी तरह से फिट नहीं होते हैं। उनकी परिभाषाओं के अतिरिक्त, यहां उनकी चर्चा नहीं की गई है; उनके व्यक्तिगत लेख देखें।


 * एक्स 'सोबर स्पेस' है, यदि प्रत्येक बंद समुच्चय C के लिए, जो दो छोटे बंद समुच्चय का (संभवतः अविच्छिन्न) मिलन नहीं है, एक अद्वितीय बिंदु p है, जैसे कि {p} का समापन C के बराबर है। अधिक संक्षेप में, प्रत्येक इरेड्यूसिबल बंद समुच्चय का अनूठा सामान्य बिंदु है। हौसडॉर्फ का कोई भी स्थान शांत होना चाहिए, और कोई भी शांत स्थान T0 होना चाहिए.
 * एक्स 'कमजोर हॉसडॉर्फ स्पेस' है, यदि कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस से एक्स के प्रत्येक सतत मानचित्र के लिए, f की छवि एक्स में बंद है। किसी कमजोर हौसडॉर्फ स्थान को हौसडॉर्फ कमजोर होना चाहिए, और कोई कमजोर हौसडॉर्फ स्पेस T1 होना चाहिए.
 * एक्स 'अर्ध-नियमित स्थान' है यदि नियमित खुले समुच्चय एक्स के खुले समुच्चय  के लिए आधार (टोपोलॉजी) बनाते हैं। कोई भी नियमित स्थान भी अर्ध-नियमित होना चाहिए।
 * एक्स 'क्वैसी-रेगुलर स्पेस|क्वैसी-रेगुलर' है यदि किसी भी गैर-खाली ओपन समुच्चय G के लिए, नॉन-रिक्त ओपन समुच्चय H है जैसे कि H का क्लोजर G में समाहित है।
 * एक्स 'पूरी तरह से सामान्य स्थान' है यदि प्रत्येक खुले आवरण में खुला तारा शोधन है। एक्स 'पूरी तरह से T4 स्पेस है|पूरी तरह से T4, या पूरी तरह से सामान्य हौसडॉर्फ, यदि यह दोनों T1 है और पूरी तरह से सामान्य। हर पूरी तरह से सामान्य स्थान सामान्य है और हर पूरी तरह से T4 अंतरिक्ष T4 है. इसके अतिरिक्त, कोई यह दिखा सकता है कि हर पूरी तरह से T4 अंतरिक्ष परा-सुसंहत है। वास्तव में, पूरी तरह से सामान्य स्थान वास्तव में सामान्य पृथक्करण स्वयंसिद्धों की तुलना में पैराकॉम्पैक्टनेस के साथ अधिक होते हैं।
 * सिद्धांत है कि सभी कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय बंद हैं, सख्ती से T1 के बीच है और T2 (हॉसडॉर्फ) ताकत में। इस अभिगृहीत को संतुष्ट करने वाला स्थान आवश्यक रूप से T1 है क्योंकि प्रत्येक एकल-बिंदु समुच्चय आवश्यक रूप से कॉम्पैक्ट है और इस प्रकार बंद है, किन्तु आवश्यक नहीं कि रिवर्स सच हो; असीम रूप से कई बिंदुओं पर सहसंबद्ध टोपोलॉजी के लिए, जो कि T1 है, हर सबसमुच्चय  कॉम्पैक्ट है किन्तु हर सबसमुच्चय  बंद नहीं है। इसके अतिरिक्त, हर T2 (हॉसडॉर्फ) स्थान उस स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करता है कि सभी कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय बंद हैं, किन्तु आवश्यक नहीं कि विपरीत सच हो; बेशुमार बिंदुओं पर गणना योग्य टोपोलॉजी के लिए, कॉम्पैक्ट समुच्चय  सभी परिमित हैं और इसलिए सभी बंद हैं किन्तु स्थान T2 नहीं है (हॉसडॉर्फ)।

यह भी देखें

 * सामान्य टोपोलॉजी

संदर्भ

 * (has Ri axioms, among others)
 * (has all of the non-Ri axioms mentioned in the Main Definitions, with these definitions)
 * (gives a readable introduction to the separation axioms with an emphasis on finite spaces)

बाहरी संबंध

 * Separation Axioms at ProvenMath
 * Table of separation and metrisability axioms from Schechter