क्लोजर (टोपोलॉजी)

टोपोलॉजी में, एक सबसेट का बंद होना $S$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस में पॉइंट्स में सभी टोपोलॉजी शब्दावली # Ps शामिल हैं $S$ के सभी सीमा बिंदुओं के साथ $S$. का बंद होना $S$ समतुल्य रूप से संघ (सेट सिद्धांत) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $S$ और इसकी सीमा (टोपोलॉजी), और सभी बंद सेटों के प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) के रूप में भी $S$. सहजता से, समापन को उन सभी बिंदुओं के रूप में माना जा सकता है जो या तो अंदर हैं $S$ या निकट $S$. एक बिंदु जो बंद होने में है $S$ का अनुगामी बिन्दु है $S$. बंद होने की धारणा कई तरह से आंतरिक (टोपोलॉजी) की धारणा के लिए द्वैत (गणित) है।

समापन बिंदु
के लिये $$S$$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष के उपसमुच्चय के रूप में, $$x$$ के बंद होने का बिंदु है $$S$$ अगर हर खुली गेंद पर केंद्रित है $$x$$ का एक बिंदु होता है $$S$$ (यह बिंदु हो सकता है $$x$$ अपने आप)।

यह परिभाषा किसी भी उपसमुच्चय के लिए सामान्यीकरण करती है $$S$$ एक मीट्रिक स्थान का $$X.$$ पूरी तरह से व्यक्त, के लिए $$X$$ मीट्रिक के साथ मीट्रिक स्थान के रूप में $$d,$$ $$x$$ के बंद होने का बिंदु है $$S$$ यदि प्रत्येक के लिए $$r > 0$$ कुछ मौजूद है $$s \in S$$ ऐसी कि दूरी $$d(x, s) < r$$ ($$x = s$$ की अनुमति है)। इसे व्यक्त करने का दूसरा तरीका यह कहना है $$x$$ के बंद होने का बिंदु है $$S$$ अगर दूरी $$d(x, S) := \inf_{s \in S} d(x, s) = 0$$ कहाँ पे $$\inf$$ निम्नतम और उच्चतम है।

यह परिभाषा ओपन बॉल या बॉल को टोपोलॉजी शब्दावली #N के साथ बदलकर टोपोलॉजिकल स्पेस का सामान्यीकरण करती है। होने देना $$S$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस का सबसेट बनें $$X.$$ फिर $$x$$ एक है या  का $$S$$ अगर हर पड़ोस $$x$$ का एक बिंदु होता है $$S$$ (फिर से, $$x = s$$ के लिये $$s \in S$$ की अनुमति है)। ध्यान दें कि यह परिभाषा इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि आस-पड़ोस को खुला रखना आवश्यक है या नहीं।

सीमा बिंदु
समापन बिंदु की परिभाषा सेट के सीमा बिंदु की परिभाषा से निकटता से संबंधित है। दो परिभाषाओं के बीच का अंतर सूक्ष्म लेकिन महत्वपूर्ण है - अर्थात्, एक सीमा बिंदु की परिभाषा में $$x$$ एक सेट का $$S$$, के हर पड़ोस $$x$$ प्रश्न में का एक बिंदु होना चाहिए $$S$$. (प्रत्येक पड़ोस $$x$$ हो सकता है $$x$$ लेकिन इसका एक बिंदु होना चाहिए $$S$$ इससे अलग है $$x$$।) एक सेट के सभी सीमा बिंदुओं का सेट $$S$$ कहा जाता है समुच्चय के सीमा बिंदु को समुच्चय का समूह बिंदु या संचय बिंदु भी कहा जाता है।

इस प्रकार, प्रत्येक सीमा बिंदु समापन बिंदु है, लेकिन समापन का प्रत्येक बिंदु सीमा बिंदु नहीं है। बंद होने का बिंदु जो सीमा बिंदु नहीं है, एक पृथक बिंदु है। दूसरे शब्दों में, एक बिंदु $$x$$ का पृथक बिंदु है $$S$$ अगर यह का एक तत्व है $$S$$ और का एक पड़ोस है $$x$$ जिसमें कोई अन्य बिंदु नहीं है $$S$$ बजाय $$x$$ अपने आप। दिए गए सेट के लिए $$S$$ और बिंदु $$x,$$ $$x$$ के बंद होने का बिंदु है $$S$$ अगर और केवल अगर $$x$$ का एक तत्व है $$S$$ या $$x$$ का सीमा बिंदु है $$S$$ (अथवा दोनों)।

एक सेट का बंद होना
}} उपसमुच्चय का $$S$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस का $$(X, \tau),$$ द्वारा चिह्नित $$\operatorname{cl}_{(X, \tau)} S$$ या संभवतः द्वारा $$\operatorname{cl}_X S$$ (यदि $$\tau$$ समझा जाता है), जहां यदि दोनों $$X$$ तथा $$\tau$$ संदर्भ से स्पष्ट हैं तो इसे द्वारा भी निरूपित किया जा सकता है $$\operatorname{cl} S,$$ $$\overline{S},$$ या $$S {}^{-}$$ (इसके अतिरिक्त, $$\operatorname{cl}$$ कभी-कभी पूंजीकृत किया जाता है $$\operatorname{Cl}$$.) निम्नलिखित समकक्ष परिभाषाओं में से किसी का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है:  $$\operatorname{cl} S$$ के सभी अनुगामी बिंदुओं का समुच्चय है $$S.$$ $$\operatorname{cl} S$$ सेट है $$S$$ व्युत्पन्न सेट (गणित) के साथ।  $$\operatorname{cl} S$$ युक्त सभी बंद सेटों का प्रतिच्छेदन है $$S.$$ $$\operatorname{cl} S$$ युक्त सबसे छोटा बंद सेट है $$S.$$ $$\operatorname{cl} S$$ का संघ है $$S$$ और इसकी सीमा (टोपोलॉजी) $$\partial(S).$$ $$\operatorname{cl} S$$ सभी का सेट है $$x \in X$$ जिसके लिए एक नेट (गणित) (मूल्यवान) मौजूद है $$S$$ जो अभिसरण करता है $$x$$ में $$(X, \tau).$$ 

एक सेट के बंद होने के निम्नलिखित गुण हैं। कभी-कभी ऊपर दी गई दूसरी या तीसरी संपत्ति को के रूप में लिया जाता है टोपोलॉजिकल क्लोजर, जो अभी भी अन्य प्रकार के क्लोजर पर लागू होने पर समझ में आता है (नीचे देखें)। पहले गणनीय स्थान में (जैसे मीट्रिक स्थान), $$\operatorname{cl} S$$ अंकों के सभी अभिसरण अनुक्रमों के अनुक्रम की सभी सीमा का सेट है $$S.$$ एक सामान्य टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए, यह कथन सत्य रहता है यदि कोई अनुक्रम को नेट (गणित) या फ़िल्टर (सेट सिद्धांत) द्वारा प्रतिस्थापित करता है (जैसा कि टोपोलॉजी में फ़िल्टर पर आलेख में वर्णित है)।
 * $$\operatorname{cl} S$$ का एक बंद सेट सुपरसेट है $$S$$.
 * सेट $$S$$ बंद है अगर और केवल अगर $$S = \operatorname{cl} S$$.
 * यदि $$S \subseteq T$$ फिर $$\operatorname{cl} S$$ का उपसमुच्चय है $$\operatorname{cl} T.$$
 * यदि $$A$$ एक बंद सेट है, फिर $$A$$ रोकना $$S$$ अगर और केवल अगर $$A$$ रोकना $$\operatorname{cl} S.$$

ध्यान दें कि ये गुण तब भी संतुष्ट होते हैं जब क्लोजर, सुपरसेट, इंटरसेक्शन, सम्‍मिलित/युक्त, सबसे छोटा और बंद को इंटीरियर, सबसेट, यूनियन, में निहित, सबसे बड़ा और ओपन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इस मामले पर अधिक जानकारी के लिए, नीचे क्लोजर (टोपोलॉजी) # क्लोजर ऑपरेटर देखें।

उदाहरण
3 आयामी अंतरिक्ष में एक गोले पर विचार करें। स्पष्ट रूप से इस क्षेत्र द्वारा बनाई गई रुचि के दो क्षेत्र हैं; गोला स्वयं और इसका आंतरिक भाग (जिसे एक खुली 3-गेंद (गणित) कहा जाता है)। गोले के आंतरिक और सतह के बीच अंतर करना उपयोगी है, इसलिए हम खुली 3-गेंद (गोले का आंतरिक भाग) और बंद 3-गेंद - खुली 3-गेंद के बंद होने के बीच अंतर करते हैं ओपन 3-बॉल प्लस सतह (स्वयं गोले के रूप में सतह)।

टोपोलॉजिकल स्पेस में: दे रही है $$\mathbb{R}$$ तथा $$\mathbb{C}$$ मानक टोपोलॉजी | मानक (मीट्रिक) टोपोलॉजी:
 * किसी भी स्थान में, $$\varnothing = \operatorname{cl} \varnothing.$$
 * किसी भी स्थान पर $$X,$$ $$X = \operatorname{cl} X.$$
 * यदि $$X$$ यूक्लिडियन स्थान है $$\mathbb{R}$$ वास्तविक संख्या का, तब $$\operatorname{cl}_X ((0, 1)) = [0, 1].$$
 * यदि $$X$$ यूक्लिडियन स्थान है $$\mathbb{R}$$, फिर सेट का बंद होना $$\mathbb{Q}$$ परिमेय संख्याओं का संपूर्ण स्थान है $$\mathbb{R}.$$ हम कहते हैं $$\mathbb{Q}$$ सघन (टोपोलॉजी) में है $$\mathbb{R}.$$
 * यदि $$X$$ सम्मिश्र संख्या है $$\mathbb{C} = \mathbb{R}^2,$$ फिर $$\operatorname{cl}_X \left( \{ z \in \mathbb{C} : | z | > 1 \} \right) = \{ z \in \mathbb{C} : | z | \geq 1 \}.$$
 * यदि $$S$$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष का एक परिमित सेट उपसमुच्चय है $$X,$$ फिर $$\operatorname{cl}_X S = S.$$ (एक सामान्य टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए, यह गुण T1 स्पेस के बराबर है। T1 स्वयंसिद्ध।)

वास्तविक संख्याओं के सेट पर मानक एक के बजाय अन्य टोपोलॉजी रख सकते हैं। इन उदाहरणों से पता चलता है कि एक सेट का बंद होना अंतर्निहित स्थान की टोपोलॉजी पर निर्भर करता है। पिछले दो उदाहरण निम्नलिखित के विशेष मामले हैं।
 * यदि $$X = \mathbb{R}$$ निचली सीमा टोपोलॉजी के साथ संपन्न है, तब $$\operatorname{cl}_X ((0, 1)) = [0, 1).$$
 * यदि कोई विचार करे $$X = \mathbb{R}$$ असतत टोपोलॉजी जिसमें हर सेट बंद (खुला) है, तब $$\operatorname{cl}_X ((0, 1)) = (0, 1).$$
 * यदि कोई विचार करे $$X = \mathbb{R}$$ तुच्छ टोपोलॉजी जिसमें केवल बंद (खुले) सेट खाली सेट होते हैं और $$\mathbb{R}$$ खुद, फिर $$\operatorname{cl}_X ((0, 1)) = \mathbb{R}.$$


 * किसी भी असतत स्थान में, चूंकि हर सेट बंद है (और खुला भी), हर सेट उसके बंद होने के बराबर है।
 * किसी भी अविच्छिन्न स्थान में $$X,$$ चूँकि केवल बंद समुच्चय ही रिक्त समुच्चय होते हैं और $$X$$ स्वयं, हमारे पास यह है कि खाली सेट का बंद होना खाली सेट है, और प्रत्येक गैर-खाली सबसेट के लिए $$A$$ का $$X,$$ $$\operatorname{cl}_X A = X.$$ दूसरे शब्दों में, अविच्छिन्न स्थान का प्रत्येक अरिक्त उपसमुच्चय सघन समुच्चय होता है।

सेट का बंद होना इस बात पर भी निर्भर करता है कि हम किस जगह पर क्लोजर ले रहे हैं। उदाहरण के लिए, यदि $$X$$ परिमेय संख्याओं का समुच्चय है, यूक्लिडियन अंतरिक्ष द्वारा प्रेरित सामान्य उप-स्थान टोपोलॉजी के साथ $$\mathbb{R},$$ और अगर $$S = \{ q \in \mathbb{Q} : q^2 > 2, q > 0 \},$$ फिर $$S$$ क्लोपेन सेट है $$\mathbb{Q}$$ क्योंकि न तो $$S$$ न ही इसके पूरक समाहित हो सकते हैं $$\sqrt2$$, जिसकी निचली सीमा होगी $$S$$, लेकिन अंदर नहीं हो सकता $$S$$ इसलिये $$\sqrt2$$ तर्कहीन है। इसलिए, $$S$$ सीमा तत्वों के अंदर नहीं होने के कारण कोई अच्छी तरह से परिभाषित बंद नहीं है $$\mathbb{Q}$$. हालांकि, अगर हम इसके बजाय परिभाषित करते हैं $$X$$ वास्तविक संख्याओं का समूह होने के लिए और उसी तरह अंतराल को परिभाषित करने के लिए तो उस अंतराल का बंद होना अच्छी तरह से परिभाषित है और सभी का सेट होगा से अधिक  $$\sqrt2$$.

क्लोजर ऑपरेटर
ए एक सेट पर $$X$$ के शक्ति समुच्चय का मानचित्र (गणित) है $$X,$$ $$\mathcal{P}(X)$$, अपने आप में जो Kuratowski क्लोजर स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है। एक टोपोलॉजिकल स्पेस दिया गया $$(X, \tau)$$, टोपोलॉजिकल क्लोजर एक फंक्शन को प्रेरित करता है $$\operatorname{cl}_X : \wp(X) \to \wp(X)$$ जिसे एक सबसेट भेजकर परिभाषित किया गया है $$S \subseteq X$$ प्रति $$\operatorname{cl}_X S,$$ जहां अंकन $$\overline{S}$$ या $$S^{-}$$ की जगह इस्तेमाल किया जा सकता है। इसके विपरीत यदि $$\mathbb{c}$$ एक सेट पर एक क्लोजर ऑपरेटर है $$X,$$ फिर बंद सेटों को ठीक उन सबसेट के रूप में परिभाषित करके एक टोपोलॉजिकल स्पेस प्राप्त किया जाता है $$S \subseteq X$$ जो संतुष्ट करता है $$\mathbb{c}(S) = S$$ (इसलिए पूरक है $$X$$ इनमें से सबसेट टोपोलॉजी के खुले सेट बनाते हैं)। बंद करने वाला ऑपरेटर $$\operatorname{cl}_X$$ आंतरिक (टोपोलॉजी) ऑपरेटर के लिए द्वैत (गणित) है, जिसे इसके द्वारा निरूपित किया जाता है $$\operatorname{int}_X,$$ इस अर्थ में कि


 * $$\operatorname{cl}_X S = X \setminus \operatorname{int}_X (X \setminus S),$$

और भी


 * $$\operatorname{int}_X S = X \setminus \operatorname{cl}_X (X \setminus S).$$

इसलिए, क्लोजर ऑपरेटरों के अमूर्त सिद्धांत और कुराटोस्की क्लोजर स्वयंसिद्धों को उनके पूरक (सेट सिद्धांत) के साथ सेटों को बदलकर आंतरिक ऑपरेटरों की भाषा में आसानी से अनुवादित किया जा सकता है। $$X.$$ सामान्य तौर पर, क्लोजर ऑपरेटर चौराहों से आवागमन नहीं करता है। हालाँकि, एक पूर्ण मीट्रिक स्थान में निम्नलिखित परिणाम धारण करता है:

$$

क्लोजर के बारे में तथ्य
उपसमुच्चय $$S$$ बंद कर दिया गया है $$X$$ अगर और केवल अगर $$\operatorname{cl}_X S = S.$$ विशेष रूप से:
 * खाली सेट का बंद होना खाली सेट है;
 * बंद होना $$X$$ खुद है $$X.$$
 * समुच्चय के प्रतिच्छेदन (सबसेट सिद्धांत) का समापन हमेशा समुच्चय के संवरण के प्रतिच्छेदन का एक उपसमुच्चय (लेकिन इसके बराबर होने की आवश्यकता नहीं है) होता है।
 * परिमित के एक संघ (सेट सिद्धांत) में कई सेट, संघ के बंद होने और बंद होने के संघ बराबर हैं; शून्य सेट का संघ खाली सेट है, और इसलिए इस कथन में एक विशेष मामले के रूप में खाली सेट को बंद करने के बारे में पहले वाला बयान शामिल है।
 * अपरिमित रूप से कई सेटों के मिलन को बंद करने के लिए संवरणों के मिलन के बराबर होने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन यह हमेशा संवरणों के मिलन का सुपरसेट होता है।

यदि $$S \subseteq T \subseteq X$$ और अगर $$T$$ की एक सांस्थितिकीय उपसमष्टि है $$X$$ (जिसका अर्थ है कि $$T$$ सबस्पेस टोपोलॉजी से संपन्न है $$X$$ उस पर प्रेरित करता है), फिर $$\operatorname{cl}_T S \subseteq \operatorname{cl}_X S$$ और बंद करना $$S$$ में गणना की $$T$$ के प्रतिच्छेदन के बराबर है $$T$$ और बंद करना $$S$$ में गणना की $$X$$: $$\operatorname{cl}_T S ~=~ T \cap \operatorname{cl}_X S.$$

इसलिये $$\operatorname{cl}_X S$$ का बंद उपसमुच्चय है $$X,$$ चौराहा $$T \cap \operatorname{cl}_X S$$ का बंद उपसमुच्चय है $$T$$ (सबस्पेस टोपोलॉजी की परिभाषा के अनुसार), जिसका तात्पर्य है $$\operatorname{cl}_T S \subseteq T \cap \operatorname{cl}_X S$$ (इसलिये $$\operatorname{cl}_T S$$ है का बंद उपसमुच्चय $$T$$ युक्त $$S$$). इसलिये $$\operatorname{cl}_T S$$ का बंद उपसमुच्चय है $$T,$$ सबस्पेस टोपोलॉजी की परिभाषा से, कुछ सेट मौजूद होना चाहिए $$C \subseteq X$$ ऐसा है कि $$C$$ में बंद है $$X$$ तथा $$\operatorname{cl}_T S = T \cap C.$$ इसलिये $$S \subseteq \operatorname{cl}_T S \subseteq C$$ तथा $$C$$ में बंद है $$X,$$ की न्यूनतमता $$\operatorname{cl}_X S$$ इसका आशय है $$\operatorname{cl}_X S \subseteq C.$$ दोनों पक्षों को साथ प्रतिच्छेद करता है $$T$$ दिखाता है $$T \cap \operatorname{cl}_X S \subseteq T \cap C = \operatorname{cl}_T S.$$ $$\blacksquare$$

यह इस प्रकार है कि $$S \subseteq T$$ का सघन उपसमुच्चय है $$T$$ अगर और केवल अगर $$T$$ का उपसमुच्चय है $$\operatorname{cl}_X S.$$ के लिए संभव है $$\operatorname{cl}_T S = T \cap \operatorname{cl}_X S$$ का उचित उपसमुच्चय होना $$\operatorname{cl}_X S;$$ उदाहरण के लिए, ले लो $$X = \R,$$ $$S = (0, 1),$$ तथा $$T = (0, \infty).$$ यदि $$S, T \subseteq X$$ लेकिन $$S$$ अनिवार्य रूप से का उपसमुच्चय नहीं है $$T$$ सिर्फ तभी $$\operatorname{cl}_T (S \cap T) ~\subseteq~ T \cap \operatorname{cl}_X S$$ हमेशा गारंटी दी जाती है, जहां यह रोकथाम सख्त हो सकती है (उदाहरण के लिए विचार करें $$X = \R$$ सामान्य टोपोलॉजी के साथ, $$T = (-\infty, 0],$$ तथा $$S = (0, \infty)$$ ), हालांकि अगर $$T$$ के एक खुले उपसमुच्चय के साथ होता है $$X$$ फिर समानता $$\operatorname{cl}_T (S \cap T) = T \cap \operatorname{cl}_X S$$ धारण करेगा (कोई फर्क नहीं पड़ता के बीच संबंध $$S$$ तथा $$T$$).

होने देना $$S, T \subseteq X$$ और मान लो $$T$$ में खुला है $$X.$$ होने देना $$C := \operatorname{cl}_T (T \cap S),$$ जो बराबर है $$T \cap \operatorname{cl}_X (T \cap S)$$ (इसलिये $$T \cap S \subseteq T \subseteq X$$). पूरक $$T \setminus C$$ में खुला है $$T,$$ कहाँ पे $$T$$ में खुला होना $$X$$ अब इसका तात्पर्य है $$T \setminus C$$ में भी खुला है $$X.$$ फलस्वरूप $$X \setminus (T \setminus C) = (X \setminus T) \cup C$$ का बंद उपसमुच्चय है $$X$$ कहाँ पे $$(X \setminus T) \cup C$$ रोकना $$S$$ एक सबसेट के रूप में (क्योंकि अगर $$s \in S$$ में है $$T$$ फिर $$s \in T \cap S \subseteq \operatorname{cl}_T (T \cap S) = C$$), जिसका तात्पर्य है $$\operatorname{cl}_X S \subseteq (X \setminus T) \cup C.$$ दोनों पक्षों को साथ प्रतिच्छेद करता है $$T$$ यह साबित करता है $$T \cap \operatorname{cl}_X S \subseteq T \cap C = C.$$ रिवर्स समावेशन इस प्रकार है $$C \subseteq \operatorname{cl}_X (T \cap S) \subseteq \operatorname{cl}_X S.$$ $$\blacksquare$$

नतीजतन, अगर $$\mathcal{U}$$ का कोई खुला आवरण है $$X$$ और अगर $$S \subseteq X$$ कोई उपसमुच्चय है तो: $$\operatorname{cl}_X S = \bigcup_{U \in \mathcal{U}} \operatorname{cl}_U (U \cap S)$$ इसलिये $$\operatorname{cl}_U (S \cap U) = U \cap \operatorname{cl}_X S$$ हरएक के लिए $$U \in \mathcal{U}$$ (जहां हर $$U \in \mathcal{U}$$ इसके द्वारा प्रेरित सबस्पेस टोपोलॉजी से संपन्न है $$X$$). यह समानता विशेष रूप से तब उपयोगी होती है जब $$X$$ एक मैनिफोल्ड (गणित) है और खुले आवरण में सेट है $$\mathcal{U}$$ समन्वय चार्ट के डोमेन हैं। शब्दों में, यह परिणाम दर्शाता है कि बंद होने में $$X$$ किसी भी उपसमुच्चय का $$S \subseteq X$$ के किसी भी खुले कवर के सेट में स्थानीय रूप से गणना की जा सकती है $$X$$ और फिर एक साथ संघटित। इस तरह, इस परिणाम को सर्वविदित तथ्य के एनालॉग के रूप में देखा जा सकता है कि एक सबसेट $$S \subseteq X$$ में बंद है $$X$$ अगर और केवल अगर यह स्थानीय रूप से बंद सेट है $$X$$, मतलब अगर $$\mathcal{U}$$ का कोई खुला आवरण है $$X$$ फिर $$S$$ में बंद है $$X$$ अगर और केवल अगर $$S \cap U$$ में बंद है $$U$$ हरएक के लिए $$U \in \mathcal{U}.$$

निरंतरता
एक समारोह $$f : X \to Y$$ टोपोलॉजिकल स्पेस के बीच निरंतर कार्य है अगर और केवल अगर डोमेन में कोडोमेन के हर बंद सबसेट की preimage बंद है; स्पष्ट रूप से, इसका अर्थ है: $$f^{-1}(C)$$ में बंद है $$X$$ जब भी $$C$$ का बंद उपसमुच्चय है $$Y.$$ क्लोजर ऑपरेटर के संदर्भ में, $$f : X \to Y$$ यदि और केवल यदि प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए निरंतर है $$A \subseteq X,$$ $$f\left(\operatorname{cl}_X A\right) ~\subseteq~ \operatorname{cl}_Y (f(A)).$$ यानी किसी भी तत्व को देखते हुए $$x \in X$$ जो एक उपसमुच्चय के बंद होने से संबंधित है $$A \subseteq X,$$ $$f(x)$$ अनिवार्य रूप से बंद करने के अंतर्गत आता है $$f(A)$$ में $$Y.$$ अगर हम इसे एक बिंदु घोषित करते हैं $$x$$ है उपसमुच्चय $$A \subseteq X$$ यदि $$x \in \operatorname{cl}_X A,$$ तो यह शब्दावली निरंतरता के एक सादे अंग्रेजी विवरण की अनुमति देती है: $$f$$ यदि और केवल यदि प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए निरंतर है $$A \subseteq X,$$ $$f$$ मानचित्र बिंदु जो निकट हैं $$A$$ के करीब बिंदुओं के लिए $$f(A).$$ इस प्रकार निरंतर कार्य वास्तव में वे कार्य हैं जो बिंदुओं और सेटों के बीच निकटता संबंध (आगे की दिशा में) को संरक्षित करते हैं: एक फ़ंक्शन निरंतर होता है यदि केवल और जब भी कोई बिंदु किसी सेट के करीब होता है तो उस बिंदु की छवि छवि के करीब होती है उस सेट का। इसी प्रकार, $$f$$ एक निश्चित बिंदु पर निरंतर है $$x \in X$$ अगर और केवल अगर जब भी $$x$$ एक उपसमुच्चय के करीब है $$A \subseteq X,$$ फिर $$f(x)$$ इसके करीब है $$f(A).$$

बंद नक्शे
एक समारोह $$f : X \to Y$$ एक (दृढ़ता से) बंद नक्शा है अगर और केवल जब भी $$C$$ का बंद उपसमुच्चय है $$X$$ फिर $$f(C)$$ का बंद उपसमुच्चय है $$Y.$$ क्लोजर ऑपरेटर के संदर्भ में, $$f : X \to Y$$ एक (दृढ़ता से) बंद नक्शा है अगर और केवल अगर $$\operatorname{cl}_Y f(A) \subseteq f\left(\operatorname{cl}_X A\right)$$ प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए $$A \subseteq X.$$ समान रूप से, $$f : X \to Y$$ एक (दृढ़ता से) बंद नक्शा है अगर और केवल अगर $$\operatorname{cl}_Y f(C) \subseteq f(C)$$ प्रत्येक बंद उपसमुच्चय के लिए $$C \subseteq X.$$

स्पष्ट व्याख्या
यूनिवर्सल एरो के संदर्भ में क्लोजर ऑपरेटर को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है।

एक सेट का सत्ता स्थापित $$X$$ आंशिक क्रम श्रेणी (गणित) के रूप में महसूस किया जा सकता है $$P$$ जिसमें वस्तुएँ उपसमुच्चय हैं और आकारिकी समावेशन मानचित्र हैं $$A \to B$$ जब भी $$A$$ का उपसमुच्चय है $$B.$$ इसके अलावा, एक टोपोलॉजी $$T$$ पर $$X$$ की एक उपश्रेणी है $$P$$ समावेशन कारक के साथ $$I : T \to P.$$ एक निश्चित उपसमुच्चय वाले बंद उपसमुच्चय का समुच्चय $$A \subseteq X$$ अल्पविराम श्रेणी से पहचाना जा सकता है $$(A \downarrow I).$$ यह श्रेणी - आंशिक क्रम भी - फिर प्रारंभिक वस्तु है $$\operatorname{cl} A.$$ इस प्रकार से एक सार्वभौमिक तीर है $$A$$ प्रति $$I,$$ समावेशन द्वारा दिया गया $$A \to \operatorname{cl} A.$$ इसी प्रकार, चूँकि प्रत्येक बंद समुच्चय में $$X \setminus A$$ में निहित एक खुले सेट के अनुरूप है $$A$$ हम श्रेणी की व्याख्या कर सकते हैं $$(I \downarrow X \setminus A)$$ में निहित खुले उपसमुच्चय के सेट के रूप में $$A,$$ टर्मिनल वस्तु के साथ $$\operatorname{int}(A),$$ का आंतरिक (टोपोलॉजी)। $$A.$$ क्लोजर के सभी गुणों को इस परिभाषा और उपरोक्त श्रेणियों के कुछ गुणों से प्राप्त किया जा सकता है। इसके अलावा, यह परिभाषा टोपोलॉजिकल क्लोजर और अन्य प्रकार के क्लोजर (उदाहरण के लिए बीजगणितीय क्लोजर) के बीच सादृश्य को सटीक बनाती है, क्योंकि सभी सार्वभौमिक तीरों के उदाहरण हैं।

यह भी देखें

 * बंद नियमित सेट, उनके इंटीरियर के बंद होने के बराबर सेट
 * बंद नियमित सेट, उनके इंटीरियर के बंद होने के बराबर सेट
 * बंद नियमित सेट, उनके इंटीरियर के बंद होने के बराबर सेट

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * सीमा अंक
 * चौराहा (सेट सिद्धांत)
 * अनुगामी बिंदु
 * द्वंद्व (गणित)
 * इंटीरियर (टोपोलॉजी)
 * एक सेट का सीमा बिंदु
 * प्रथम-गणनीय स्थान
 * अनुक्रम की सीमा
 * टोपोलॉजी में फिल्टर
 * वृत्त
 * जटिल संख्या
 * अंधाधुंध रिक्त स्थान
 * घना सेट
 * सबस्पेस टोपोलॉजी
 * नक्शा (गणित)
 * सत्ता स्थापित
 * कुराटोव्स्की क्लोजर एक्सिओम्स
 * खुला सेट
 * टोपोलॉजिकल सबस्पेस
 * खुला ढक्कन
 * कई गुना (गणित)
 * सामान्य अंग्रेजी
 * आंशिक आदेश
 * समावेशन नक्शा
 * बीजगणितीय समापन