शियर मैपिंग

विमान ज्यामिति में, कतरनी मानचित्रण रैखिक नक्शा है जो प्रत्येक बिंदु को निश्चित दिशा में विस्थापित करता है, जो उस दिशा के समानांतर (ज्यामिति) सीधी रेखा से उसके हस्ताक्षरित दूरी फ़ंक्शन के आनुपातिक राशि से होता है और मूल के माध्यम से जाता है। इस प्रकार की मैपिंग को कतरनी परिवर्तन, ट्रांसवेक्शन या सिर्फ कतरनी भी कहा जाता है।

एक उदाहरण मैपिंग है जो कार्टेशियन निर्देशांक के साथ कोई बिंदु लेता है $$(x,y)$$ बिंदु पर $$(x + 2y,y)$$. इस स्थिति में, विस्थापन 2 के गुणक द्वारा क्षैतिज होता है जहां स्थिर रेखा है $$x$$-अक्ष, और हस्ताक्षरित दूरी $$y$$ समन्वय है। ध्यान दें कि संदर्भ रेखा के विपरीत पक्षों के बिंदु विपरीत दिशाओं में विस्थापित होते हैं।

कतरनी मैपिंग को रोटेशन (ज्यामिति) के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। समतल के बिंदुओं के सेट पर अपरूपण मानचित्र को लागू करने से उनके बीच के सभी कोण (सीधे कोणों को छोड़कर) और किसी भी रेखा खंड की लंबाई बदल जाएगी जो विस्थापन की दिशा के समानांतर नहीं है। इसलिए, यह सामान्यतः ज्यामितीय आकृति के आकार को विकृत कर देगा, उदाहरण के लिए वर्गों को समांतर चतुर्भुज में बदलना, और वृत्त को दीर्घवृत्त में बदलना। चूँकि कर्तन ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्र और समरेख बिंदुओं के संरेखण और सापेक्ष दूरी को संरक्षित करता है। कतरनी मानचित्रण लैटिन वर्णमाला के ईमानदार और इटैलिक फ़ॉन्ट | तिरछी (या इटैलिक) शैलियों के बीच मुख्य अंतर है।

त्रि-आयामी ज्यामिति में समान परिभाषा का उपयोग किया जाता है, अर्थात इसके कि दूरी को निश्चित तल से मापा जाता है। त्रि-आयामी कर्तन परिवर्तन ठोस आकृतियों की मात्रा को संरक्षित करता है, किंतु समतल आकृतियों के क्षेत्रों को बदलता है (उन लोगों को छोड़कर जो विस्थापन के समानांतर हैं)।

इस परिवर्तन का उपयोग प्लेटों के बीच तरल पदार्थ के लामिनार प्रवाह का वर्णन करने के लिए किया जाता है, जो ऊपर के विमान में चल रहा है और पहले के समानांतर है।

सामान्यतः $$n$$-आयामी कार्टेशियन ज्यामिति $$\mathbb{R}^n$$, दूरी को विस्थापन की दिशा के समानांतर निश्चित हाइपरप्लेन से मापा जाता है। यह ज्यामितीय परिवर्तन $$\mathbb{R}^n$$ का रैखिक परिवर्तन है जो किसी भी सेट के $$n$$ का आयामी माप (गणित) (हाइपरवॉल्यूम) को सुरक्षित रखता है।

विमान का क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर कतरनी
प्लेन में $$\mathbb{R}^2 = \mathbb{R}\times\mathbb{R}$$, क्षैतिज कतरनी (या x अक्ष के समानांतर कतरनी) ऐसा कार्य है जो निर्देशांक के साथ सामान्य बिंदु लेता है $$(x,y)$$ बिंदु पर $$(x + m y,y)$$; जहाँ $$m$$ निश्चित पैरामीटर है, जिसे कतरनी कारक कहा जाता है।

इस मानचित्रण का प्रभाव क्षैतिज रूप से प्रत्येक बिंदु को उसके $$y$$ समन्वय अनुपात में राशि से विस्थापित करना है। ऊपर कोई बिंदु $$x$$-अक्ष को दाईं ओर विस्थापित किया गया है (बढ़ते हुए $$x$$) अगर $$m > 0$$, और बाईं ओर अगर $$m < 0$$. के नीचे अंक $$x$$-अक्ष विपरीत दिशा में चलता है, जबकि अक्ष पर बिंदु स्थिर रहते हैं।

$$x$$-अक्ष के समानांतर सीधी रेखाएँ वहीं रहती है जहां वे हैं, जबकि अन्य सभी रेखाएं उस बिंदु के बारे में (विभिन्न कोणों से) घूमती हैं जहां वे $$x$$-अक्ष पार करते हैं। लंबवत रेखाएँ, विशेष रूप से, कोण या ढलान $$1/m$$ के साथ कोण रेखाओं के प्रकार बन जाती हैं। इसलिए, कतरनी कारक $$m$$ पूर्व वर्टिकल और $$x$$-अक्ष के बीच अपरूपण कोण $$\varphi$$ का कोटिस्पर्श रेखा है। (दाईं ओर के उदाहरण में वर्ग 30° झुका हुआ है, इसलिए अपरूपण कोण 60° है।)

यदि किसी बिंदु के निर्देशांक को कॉलम वेक्टर (एक 2×1 मैट्रिक्स (गणित)) के रूप में लिखा जाता है, तो शीयर मैपिंग को 2×2 मैट्रिक्स द्वारा मैट्रिक्स उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है:

\begin{pmatrix}x^\prime \\y^\prime \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x + m y \\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & m\\0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\y \end{pmatrix}. $$ एक ऊर्ध्वाधर कतरनी (या के समानांतर कतरनी $$y$$-अक्ष) रेखाओं का समान है, अर्थात इसके $$x$$ और $$y$$ कि भूमिकाएँ बदली हैं। यह मैट्रिक्स के स्थानान्तरण द्वारा समन्वयित वेक्टर को गुणा करने के अनुरूप है:



\begin{pmatrix}x^\prime \\y^\prime \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x \\ m x + y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\m & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\y \end{pmatrix}. $$ ऊर्ध्वाधर कतरनी, $$y$$-अक्ष के दाईं ओर ऊपर या नीचे विस्थापित करती है, जो $$m$$ के चिह्न पर निर्भर करता है। यह लंबवत रेखाओं को अपरिवर्तित छोड़ देता है, किंतु अन्य सभी रेखाओं को उस बिंदु के बारे में झुका देता है जहां वे $$y$$-अक्ष से मिलते हैं। क्षैतिज रेखाएँ, विशेष रूप से, अपरूपण कोण $$\varphi$$ द्वारा झुकी हुई होकर $$m$$ ढलान वाली रेखाएँ बन जाती हैं।

सामान्य कतरनी मैपिंग
एक सदिश स्थान V और रैखिक उपस्थान W के लिए, कतरनी स्थिरीकरण W सभी सदिशों को W के समानांतर दिशा में अनुवादित करता है।

अधिक सटीक होने के लिए, यदि V, W और W' की सदिश समष्टियों का प्रत्यक्ष योग है, और हम सदिशों को इस रूप में लिखते हैं


 * v = w + w′

तदनुसार, ठेठ कतरनी एल स्थिरीकरण डब्ल्यू है
 * L(v) = (Lw + Lw') = (w + Mw') + w',

जहाँ M, W' से W में रेखीय मानचित्रण है। इसलिए ब्लॉक मैट्रिक्स शब्दों में L को इस रूप में दर्शाया जा सकता है


 * $$\begin{pmatrix} I & M \\ 0 & I \end{pmatrix}. $$

अनुप्रयोग
विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड द्वारा कतरनी मानचित्रण के निम्नलिखित अनुप्रयोगों को नोट किया गया था:
 * कतरनी का क्रम हमें सीधी रेखाओं से बंधी किसी भी आकृति को समान क्षेत्रफल के त्रिभुज में कम करने में सक्षम करेगा।
 * ... हम किसी भी त्रिभुज को समकोण त्रिभुज में कतरनी कर सकते हैं, और इससे उसका क्षेत्रफल नहीं बदलेगा। इस प्रकार किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल उसी आधार पर बने आयत के क्षेत्रफल का आधा होता है और जिसकी ऊँचाई विपरीत कोण से आधार पर लंब के बराबर होती है।

क्षेत्र से जुड़े परिणामों के लिए कतरनी मानचित्रण की क्षेत्र-संरक्षण संपत्ति का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, पाइथागोरस प्रमेय को अपरूपण मानचित्रण के साथ चित्रित किया गया है साथ ही संबंधित ज्यामितीय माध्य प्रमेय।

एलन डब्ल्यू पेथ के कारण एल्गोरिदम डिजिटल छवि को इच्छानुसार कोण से घुमाने के लिए तीन कतरनी मैपिंग (क्षैतिज, लंबवत, फिर क्षैतिज) के अनुक्रम का उपयोग करता है। एल्गोरिथ्म लागू करने के लिए बहुत सरल है, और बहुत ही कुशल है, क्योंकि प्रत्येक चरण समय में केवल कॉलम या पिक्सेल की पंक्ति को संसाधित करता है।

टाइपोग्राफी में, कतरनी मानचित्रण द्वारा परिवर्तित सामान्य पाठ का परिणाम तिरछा प्रकार होता है।

पूर्व-आइंस्टीनियन गैलिलियन सापेक्षता में, संदर्भ के फ्रेम के बीच परिवर्तन शीयर मैपिंग हैं जिन्हें गैलीलियन परिवर्तन कहा जाता है। इन्हें कभी-कभी पसंदीदा फ्रेम के सापेक्ष चलती संदर्भ फ्रेम का वर्णन करते समय भी देखा जाता है, जिसे कभी-कभी पूर्ण समय और स्थान के रूप में संदर्भित किया जाता है।

यह भी देखें

 * कतरनी मैट्रिक्स
 * परिवर्तन मैट्रिक्स