विर्टिंगर डेरिवेटिव

जटिल विश्लेषण और कई जटिल चर में, विर्टिंगर डेरिवेटिव (कभी-कभी विर्टिंगर ऑपरेटर भी कहा जाता है ), विलियम विर्टिंगर के नाम पर रखा गया, जिन्होंने 1927 में उन्हें कई जटिल चर पर अपने अध्ययन के दौरान पेश किया, पहले क्रम के आंशिक अंतर संचालक हैं जो एक वास्तविक के एक कार्य के संबंध में साधारण यौगिक  के समान व्यवहार करते हैं। चर, जब होलोमोर्फिक कार्यों, एंटी[[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन]] या डोमेन (गणितीय विश्लेषण) पर केवल अलग-अलग कार्यों पर लागू होता है। ये ऑपरेटर ऐसे कार्यों के लिए एक अंतर कलन के निर्माण की अनुमति देते हैं जो वास्तविक चर के कार्य के लिए साधारण अंतर कलन के समान है।

शुरुआती दिन (1899-1911): हेनरी पोंकारे का कार्य
विर्टिंगर डेरिवेटिव का उपयोग जटिल विश्लेषण में कम से कम पेपर के रूप में किया गया था, जैसा कि संक्षेप में नोट किया गया है और तक. वास्तव में, उनके 1899 के पेपर के तीसरे पैराग्राफ में, हेनरी पॉइनकेयर पहले जटिल चर को परिभाषित करता है $$\Complex^n$$ और इसका जटिल संयुग्म निम्नानुसार है


 * $$\begin{cases}

x_k+iy_k=z_k\\ x_k-iy_k=u_k \end{cases} \qquad 1 \leqslant k \leqslant n.$$ फिर वह फलनों को परिभाषित करने वाला समीकरण लिखता है $$V$$ वह बिहारमोनिक कहते हैं, वास्तविक संख्या चर (गणित) के संबंध में आंशिक डेरिवेटिव का उपयोग करके पहले लिखा गया $$x_k, y_q$$ साथ $$k, q$$ 1 से लेकर $$n$$, बिल्कुल निम्न तरीके से
 * $$\frac{d^2 V}{dz_k \, du_q}=0$$

इसका तात्पर्य यह है कि उन्होंने अप्रत्यक्ष रूप से उपयोग किया $$ नीचे: इसे देखने के लिए समीकरण 2 और 2' की तुलना करना पर्याप्त है. जाहिर है, इस पेपर को कई जटिल चरों में शुरुआती शोधकर्ताओं द्वारा नहीं देखा गया था: के कागजात में, (और ) और का  सिद्धांत के सभी मौलिक आंशिक अंतर संचालकों को शामिल जटिल चरों के वास्तविक भाग और काल्पनिक भागों के संबंध में आंशिक डेरिवेटिव का उपयोग करके सीधे व्यक्त किया जाता है। द्वारा लंबे सर्वेक्षण पत्र में  (पहली बार 1913 में प्रकाशित), कई जटिल चर के प्रत्येक जटिल चर के संबंध में आंशिक डेरिवेटिव औपचारिक डेरिवेटिव के रूप में प्रतीत होते हैं: तथ्य की बात के रूप में जब विलियम फॉग ऑसगूड प्लुरिहार्मोनिक ऑपरेटर को व्यक्त करता है और लेवी संचालक, वह लुइगी अमोरोसो, यूजेनियो एलिया लेवी और टुल्लियो लेवी-सिविता|लेवी-सिविता की स्थापित प्रथा का पालन करता है।

1912 और 1913 में दिमित्रि पोम्पेउ का कार्य: एक नया सूत्रीकरण
के अनुसार, अवधारणा की परिभाषा में एक नया कदम डेमेट्रियस पॉम्पी द्वारा लिया गया था: पेपर में , एक जटिल चर के एक जटिल संख्या विभेदक कार्य (वास्तविक विश्लेषण के अर्थ में) दिया गया $$g(z)$$ किसी दिए गए बिंदु (गणित) के पड़ोस (गणित) में परिभाषित $$z_0 \in \Complex,$$ वह एरोलर व्युत्पन्न को निम्नलिखित सीमा (गणित) के रूप में परिभाषित करता है


 * $${\frac{\partial g}{\partial \bar{z}}(z_0)}\mathrel{\overset{\mathrm{def}}{=}}\lim_{r \to 0}\frac{1}{2\pi i r^2} \oint_{\Gamma(z_0,r)} g(z)\mathrm{d}z,$$

कहाँ $$\Gamma(z_0,r)=\partial D(z_0,r)$$ त्रिज्या की एक डिस्क (गणित) की सीमा (टोपोलॉजी) है $$r$$ के एक कार्य के डोमेन में पूरी तरह से निहित है $$g(z),$$ यानी उसका बाउंडिंग घेरा यह स्पष्ट रूप से जटिल संयुग्म चर (गणित) के लिए विर्टिंगर व्युत्पन्न सम्मान की एक वैकल्पिक परिभाषा है: यह एक अधिक सामान्य है, क्योंकि, जैसा कि ए द्वारा नोट किया गया है, सीमा उन कार्यों के लिए मौजूद हो सकती है जो यहां तक ​​कि अलग-अलग कार्य नहीं हैं $$z=z_0.$$ के अनुसार , सामान्यीकृत व्युत्पन्न में एक कमजोर व्युत्पन्न के रूप में क्षेत्रीय व्युत्पन्न की पहचान करने वाले पहले उनका वेकुआ  थे। उसके बाद के पेपर में,  इस नई परिभाषित अवधारणा का उपयोग कॉची के अभिन्न सूत्र के अपने सामान्यीकरण को प्रस्तुत करने के लिए करता है, जिसे अब कॉची-पोम्पेउ सूत्र कहा जाता है।

विल्हेम विर्टिंगर का कार्य
विर्टिंगर डेरिवेटिव्स का पहला व्यवस्थित परिचय पेपर में विल्हेम विर्टिंगर के कारण लगता है कई जटिल चरों में होने वाली मात्राओं की गणना को सरल बनाने के लिए: इन अंतर ऑपरेटरों की शुरूआत के परिणामस्वरूप, सिद्धांत में आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले सभी अंतर ऑपरेटरों का रूप, जैसे लेवी ऑपरेटर और कॉची-रीमैन समीकरण | कॉची-रीमैन ऑपरेटर, काफी सरल है और इसके परिणामस्वरूप इसे संभालना आसान है। पेपर को जानबूझकर एक औपचारिक दृष्टिकोण से लिखा गया है, यानी बिना निकाले गए गुणों की कठोर व्युत्पत्ति दिए बिना।

औपचारिक परिभाषा
उनके सर्वव्यापी उपयोग के बावजूद, ऐसा लगता है कि विर्टिंगर डेरिवेटिव्स के सभी गुणों को सूचीबद्ध करने वाला कोई पाठ नहीं है: हालांकि, कई जटिल चरों पर संक्षिप्त पाठ्यक्रम काफी पूर्ण संदर्भ हैं, का प्रबंध  , और का मोनोग्राफ  जिनका उपयोग इस और अगले अनुभागों में सामान्य संदर्भ के रूप में किया गया है।

एक जटिल चर के कार्य
$$ जटिल तल पर विचार करें $$\Complex \equiv \R^2 = \{(x,y) \mid x, y \in \R \}.$$ विर्टिंगर डेरिवेटिव्स को पहले क्रम के निम्नलिखित रैखिक ऑपरेटर आंशिक अंतर ऑपरेटरों के रूप में परिभाषित किया गया है:


 * $$\begin{align}

\frac{\partial}{\partial z} &= \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x} - i \frac{\partial}{\partial y} \right) \\ \frac{\partial}{\partial\bar{z}} &= \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y} \right) \end{align}$$ स्पष्ट रूप से, इन आंशिक अंतर संचालकों की परिभाषा के एक कार्य का प्राकृतिक डोमेन, स्मूथ फ़ंक्शन # डिफरेंशिबिलिटी क्लासेस का स्थान है।$$C^1$$ एक डोमेन पर कार्य (गणितीय विश्लेषण) $$\Omega \subseteq \R^2,$$ लेकिन, चूंकि ये ऑपरेटर रैखिक हैं और निरंतर गुणांक रखते हैं, इसलिए उन्हें सामान्यीकृत कार्यों के हर कार्य स्थान पर आसानी से बढ़ाया जा सकता है।

n > 1 जटिल चर
के कार्य $$ जटिल क्षेत्र पर यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर विचार करें $$\Complex^n = \R^{2n} = \left\{\left( \mathbf{x}, \mathbf{y} \right) = \left(x_1,\ldots,x_n, y_1, \ldots, y_n\right) \mid \mathbf{x},\mathbf{y} \in \R^n \right\}.$$ विर्टिंगर डेरिवेटिव्स को पहले क्रम के निम्नलिखित रैखिक ऑपरेटर आंशिक अंतर ऑपरेटरों के रूप में परिभाषित किया गया है: $$\begin{cases} \frac{\partial}{\partial z_1} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x_1}- i \frac{\partial}{\partial y_1} \right) \\ \qquad \vdots \\ \frac{\partial}{\partial z_n} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x_n}- i \frac{\partial}{\partial y_n} \right) \\ \end{cases}, \qquad

\begin{cases} \frac{\partial}{\partial\bar{z}_1} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x_1}+ i \frac{\partial}{\partial y_1} \right) \\ \qquad \vdots \\ \frac{\partial}{\partial\bar{z}_n} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x_n}+ i \frac{\partial}{\partial y_n} \right) \\ \end{cases}.$$ एक जटिल चर के कार्यों के लिए विर्टिंगर डेरिवेटिव्स के लिए, इन आंशिक अंतर ऑपरेटरों की परिभाषा के एक फ़ंक्शन का प्राकृतिक डोमेन फिर से स्मूथ फ़ंक्शन का स्थान है#भिन्नता वर्ग|$$C^1$$ एक डोमेन पर कार्य (गणितीय विश्लेषण) $$\Omega \subset \R^{2n},$$ और फिर, चूंकि ये ऑपरेटर रैखिक हैं और निरंतर गुणांक रखते हैं, इसलिए उन्हें सामान्यीकृत कार्यों के प्रत्येक कार्य स्थान पर आसानी से बढ़ाया जा सकता है।

मूल गुण
वर्तमान खंड में और निम्नलिखित में यह माना जाता है कि $$z \in \Complex^n$$ एक जटिल वेक्टर है और वह $$z \equiv (x,y) = (x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_n)$$ कहाँ $$x,y$$ वास्तविक सदिश हैं, n ≥ 1 के साथ: यह भी माना जाता है कि उपसमुच्चय $$\Omega$$ वास्तविक संख्या यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक डोमेन (गणितीय विश्लेषण) के रूप में सोचा जा सकता है $$\R^{2n}$$ या इसके समरूपता जटिल क्षेत्र समकक्ष में $$\Complex^n.$$ सभी प्रमाणों के आसान परिणाम हैं $$ और $$ और व्युत्पन्न (गणित) (साधारण या आंशिक व्युत्पन्न) के संबंधित गुणों की।

रैखिकता
$$ अगर $$f,g \in C^1(\Omega)$$ और $$\alpha,\beta$$ सम्मिश्र संख्याएँ हैं, तो for $$i=1,\dots,n$$ निम्नलिखित समानताएं रखती हैं


 * $$\begin{align}

\frac{\partial}{\partial z_i} \left(\alpha f+\beta g\right) &= \alpha\frac{\partial f}{\partial z_i} + \beta\frac{\partial g}{\partial z_i} \\ \frac{\partial}{\partial\bar{z}_i} \left(\alpha f+\beta g\right) &= \alpha\frac{\partial f}{\partial\bar{z}_i} + \beta\frac{\partial g}{\partial\bar{z}_i} \end{align}$$

उत्पाद नियम
$$ अगर $$f,g \in C^1(\Omega),$$ फिर के लिए $$i= 1,\dots,n$$ उत्पाद नियम धारण करता है


 * $$\begin{align}

\frac{\partial}{\partial z_i} (f\cdot g) &= \frac{\partial f}{\partial z_i}\cdot g + f\cdot\frac{\partial g}{\partial z_i} \\ \frac{\partial}{\partial\bar{z}_i} (f\cdot g) &= \frac{\partial f}{\partial\bar{z}_i}\cdot g + f\cdot\frac{\partial g}{\partial\bar{z}_i} \end{align}$$ इस संपत्ति का तात्पर्य है कि विर्टिंगर डेरिवेटिव अमूर्त बीजगणित के दृष्टिकोण से व्युत्पत्ति ([[सार बीजगणित)]] हैं, बिल्कुल सामान्य डेरिवेटिव की तरह।

श्रृंखला नियम
यह संपत्ति एक और कई जटिल चर के कार्यों के लिए क्रमशः दो अलग-अलग रूप लेती है: n > 1 मामले के लिए, श्रृंखला नियम को उसकी पूर्ण व्यापकता में व्यक्त करने के लिए दो डोमेन (गणितीय विश्लेषण) पर विचार करना आवश्यक है। $$\Omega'\subseteq\Complex^m$$ और $$\Omega\subseteq\Complex^p$$ और दो मानचित्र (गणित) $$g: \Omega'\to\Omega $$ और $$f:\Omega \to \Omega$$ प्राकृतिक चिकनी कार्य आवश्यकताओं वाले।

एक जटिल चर के कार्य
$$ अगर $$f,g \in C^1(\Omega),$$ और $$g(\Omega) \subseteq \Omega,$$ तो श्रृंखला नियम धारण करता है


 * $$\begin{align}

\frac{\partial}{\partial z} (f\circ g) &= \left(\frac{\partial f}{\partial z}\circ g \right) \frac{\partial g}{\partial z} + \left(\frac{\partial f}{\partial\bar{z}}\circ g \right) \frac{\partial\bar{g}}{\partial z} \\ \frac{\partial}{\partial\bar{z}} (f\circ g) &= \left(\frac{\partial f}{\partial z}\circ g \right)\frac{\partial g}{\partial\bar{z}}+ \left(\frac{\partial f}{\partial\bar{z}}\circ g \right) \frac{\partial\bar{g}}{\partial\bar{z}} \end{align}$$

n > 1 जटिल चर के कार्य
$$ अगर $$g \in C^1(\Omega',\Omega)$$ और $$f \in C^1(\Omega,\Omega''),$$ फिर के लिए $$i= 1,\dots,m$$ श्रृंखला नियम का निम्नलिखित रूप धारण करता है


 * $$\begin{align}

\frac{\partial}{\partial z_i} \left(f\circ g\right) &= \sum_{j=1}^n\left(\frac{\partial f}{\partial z_j}\circ g \right) \frac{\partial g_j}{\partial z_i} + \sum_{j=1}^n\left(\frac{\partial f}{\partial\bar{z}_j}\circ g \right) \frac{\partial \bar{g}_j}{\partial z_i} \\ \frac{\partial}{\partial\bar{z}_i} \left(f\circ g\right) &= \sum_{j=1}^n\left(\frac{\partial f}{\partial z_j}\circ g \right) \frac{\partial g_j}{\partial\bar{z}_i} + \sum_{j=1}^n\left(\frac{\partial f}{\partial\bar{z}_j}\circ g \right)\frac{\partial \bar{g}_j}{\partial\bar{z}_i} \end{align}$$

संयुग्मन
$$ अगर $$f\in C^1(\Omega),$$ फिर के लिए $$i=1,\dots,n$$ निम्नलिखित समानताएं रखती हैं


 * $$\begin{align}

\overline{\left(\frac{\partial f}{\partial z_i}\right)} &= \frac{\partial \bar{f}}{\partial \bar{z}_i} \\ \overline{\left(\frac{\partial f}{\partial \bar{z}_i}\right)} &= \frac{\partial \bar{f}}{\partial z_i} \end{align}$$

यह भी देखें

 * सीआर-फ़ंक्शन
 * डोलबियॉल्ट कॉम्प्लेक्स
 * डोलबियॉल्ट ऑपरेटर
 * प्लुरिहार्मोनिक फ़ंक्शन

ऐतिहासिक संदर्भ

 * . एक सीमा मूल्य समस्या पर (शीर्षक का मुफ्त अनुवाद) पहला पेपर है जहां कई जटिल चरों के लिए डिरिचलेट समस्या की हल करने की क्षमता के लिए (काफी जटिल) आवश्यक और पर्याप्त शर्तों का एक सेट दिया गया है।
 * . एरोलर डेरिवेटिव और बाउंड वेरिएशन के कार्य (शीर्षक का मुफ्त अंग्रेजी अनुवाद) एरिओलर डेरिवेटिव के सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण संदर्भ पत्र है।
 * . दो या दो से अधिक जटिल चरों (शीर्षक का अंग्रेजी अनुवाद) के विश्लेषणात्मक कार्यों के आवश्यक एकवचन बिंदुओं पर अध्ययन कई जटिल चरों में एक महत्वपूर्ण पेपर है, जहां यह निर्धारित करने की समस्या है कि किस प्रकार की ऊनविम पृष्ठ एक डोमेन की सीमा (टोपोलॉजी) हो सकती है। होलोमॉर्फी का।
 * . 4-आयामी अंतरिक्ष के हाइपरसर्फ्स पर जो दो जटिल चर (शीर्षक का अंग्रेजी अनुवाद) के एक विश्लेषणात्मक कार्य के अस्तित्व के डोमेन की सीमा हो सकती है, कई जटिल चर में एक और महत्वपूर्ण पेपर है, आगे की जांच में सिद्धांत शुरू हुआ.
 * . दो या दो से अधिक जटिल चरों के कार्यों पर (शीर्षक का मुफ्त अंग्रेजी अनुवाद) पहला पेपर है जहां कई जटिल चरों के लिए कॉची समस्या की हल करने की क्षमता के लिए पर्याप्त शर्त दी गई है।
 * , DigiZeitschriften पर उपलब्ध है।
 * , DigiZeitschriften पर उपलब्ध है। इस महत्वपूर्ण पत्र में, विर्टिंगर कई जटिल चरों में कई महत्वपूर्ण अवधारणाओं का परिचय देता है, जैसे कि विर्टिंगर के डेरिवेटिव और स्पर्शरेखा कॉची-रीमैन की स्थिति।
 * , DigiZeitschriften पर उपलब्ध है।
 * , DigiZeitschriften पर उपलब्ध है। इस महत्वपूर्ण पत्र में, विर्टिंगर कई जटिल चरों में कई महत्वपूर्ण अवधारणाओं का परिचय देता है, जैसे कि विर्टिंगर के डेरिवेटिव और स्पर्शरेखा कॉची-रीमैन की स्थिति।
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वैज्ञानिक संदर्भ

 * . जटिल विश्लेषण का परिचय फरवरी 1972 में बेनियामिनो सेग्रे इंटरडिसिप्लिनरी सेंटर फॉर मैथमेटिकल साइंसेज एंड देयर एप्लीकेशन बेनियामिनो सेग्रे में आयोजित कई जटिल चर के कार्यों के सिद्धांत में एक छोटा कोर्स है।
 * . अभिन्न अभ्यावेदन (शीर्षक का अंग्रेजी अनुवाद) के संबंध में विशेष रूप से जटिल चर के कार्यों के सिद्धांत के लिए प्राथमिक परिचय, लिंसी की राष्ट्रीय अकादमी द्वारा प्रकाशित एक पाठ्यक्रम के रूप में नोट्स हैं, जो मार्टिनेली द्वारा आयोजित किया गया था जब वह प्रोफ़ेसर लिन्सेओ थे।
 * ISBN 978-0-387-97195-7. विषय पर कई ऐतिहासिक नोट्स सहित जटिल विश्लेषण पर एक पाठ्यपुस्तक।
 * . Istituto Nazionale di Alta Matematica (जो वर्तमान में उसका नाम रखता है) में फ्रांसेस्को सेवेरी द्वारा आयोजित एक पाठ्यक्रम से नोट्स, जिसमें Enzo Martinelli, Giovanni Battista Rizza और Mario Benedicty के परिशिष्ट शामिल हैं। शीर्षक का एक अंग्रेजी अनुवाद इस प्रकार पढ़ता है: - कई जटिल चर के विश्लेषणात्मक कार्यों पर व्याख्यान - 1956-57 में रोम में इस्टिटूटो नाज़ियोनेल डी अल्टा मेटमैटिका में व्याख्यान।
 * . अभिन्न अभ्यावेदन (शीर्षक का अंग्रेजी अनुवाद) के संबंध में विशेष रूप से जटिल चर के कार्यों के सिद्धांत के लिए प्राथमिक परिचय, लिंसी की राष्ट्रीय अकादमी द्वारा प्रकाशित एक पाठ्यक्रम के रूप में नोट्स हैं, जो मार्टिनेली द्वारा आयोजित किया गया था जब वह प्रोफ़ेसर लिन्सेओ थे।
 * ISBN 978-0-387-97195-7. विषय पर कई ऐतिहासिक नोट्स सहित जटिल विश्लेषण पर एक पाठ्यपुस्तक।
 * . Istituto Nazionale di Alta Matematica (जो वर्तमान में उसका नाम रखता है) में फ्रांसेस्को सेवेरी द्वारा आयोजित एक पाठ्यक्रम से नोट्स, जिसमें Enzo Martinelli, Giovanni Battista Rizza और Mario Benedicty के परिशिष्ट शामिल हैं। शीर्षक का एक अंग्रेजी अनुवाद इस प्रकार पढ़ता है: - कई जटिल चर के विश्लेषणात्मक कार्यों पर व्याख्यान - 1956-57 में रोम में इस्टिटूटो नाज़ियोनेल डी अल्टा मेटमैटिका में व्याख्यान।
 * . अभिन्न अभ्यावेदन (शीर्षक का अंग्रेजी अनुवाद) के संबंध में विशेष रूप से जटिल चर के कार्यों के सिद्धांत के लिए प्राथमिक परिचय, लिंसी की राष्ट्रीय अकादमी द्वारा प्रकाशित एक पाठ्यक्रम के रूप में नोट्स हैं, जो मार्टिनेली द्वारा आयोजित किया गया था जब वह प्रोफ़ेसर लिन्सेओ थे।
 * ISBN 978-0-387-97195-7. विषय पर कई ऐतिहासिक नोट्स सहित जटिल विश्लेषण पर एक पाठ्यपुस्तक।
 * . Istituto Nazionale di Alta Matematica (जो वर्तमान में उसका नाम रखता है) में फ्रांसेस्को सेवेरी द्वारा आयोजित एक पाठ्यक्रम से नोट्स, जिसमें Enzo Martinelli, Giovanni Battista Rizza और Mario Benedicty के परिशिष्ट शामिल हैं। शीर्षक का एक अंग्रेजी अनुवाद इस प्रकार पढ़ता है: - कई जटिल चर के विश्लेषणात्मक कार्यों पर व्याख्यान - 1956-57 में रोम में इस्टिटूटो नाज़ियोनेल डी अल्टा मेटमैटिका में व्याख्यान।
 * . Istituto Nazionale di Alta Matematica (जो वर्तमान में उसका नाम रखता है) में फ्रांसेस्को सेवेरी द्वारा आयोजित एक पाठ्यक्रम से नोट्स, जिसमें Enzo Martinelli, Giovanni Battista Rizza और Mario Benedicty के परिशिष्ट शामिल हैं। शीर्षक का एक अंग्रेजी अनुवाद इस प्रकार पढ़ता है: - कई जटिल चर के विश्लेषणात्मक कार्यों पर व्याख्यान - 1956-57 में रोम में इस्टिटूटो नाज़ियोनेल डी अल्टा मेटमैटिका में व्याख्यान।

श्रेणी:जटिल विश्लेषण श्रेणी:डिफरेंशियल ऑपरेटर्स श्रेणी:गणितीय विश्लेषण