प्राइमोरियल

गणित में, और विशेष रूप से संख्या सिद्धांत में, प्राइमोरियल, जिसे # द्वारा निरूपित किया जाता है, कारख़ाने का  फ़ंक्शन के समान प्राकृतिक संख्याओं से प्राकृतिक संख्याओं तक एक फ़ंक्शन (गणित) है, लेकिन सकारात्मक पूर्णांकों को क्रमिक रूप से गुणा करने के बजाय, फ़ंक्शन केवल अभाज्य संख्याओं को गुणा करता है।

हार्वे डबनेर द्वारा गढ़ा गया प्राइमोरियल नाम, प्राइम्स के साथ एक सादृश्य बनाता है, ठीक उसी तरह जैसे फैक्टोरियल नाम कारकों से संबंधित है।

अभाज्य संख्याओं की परिभाषा
के लिए $n$वाँ अभाज्य संख्या $p_{n}$, आदिम $p_{n}#$ को पहले के उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है $n$ अभाज्य:
 * $$p_n\# = \prod_{k=1}^n p_k$$,

कहाँ $p_{k}$ है $k$वाँ अभाज्य संख्या. उदाहरण के लिए, $n$ पहले 5 अभाज्य संख्याओं के गुणनफल को दर्शाता है:


 * $$p_5\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 = 2310.$$

प्रथम पाँच आदिम $p_{n}#$ हैं:


 * 2 (संख्या), 6 (संख्या), 30 (संख्या), 210 (संख्या), 2310 (संख्या).

क्रम भी शामिल है $p_{5}#$खाली उत्पाद के रूप में। असम्बद्ध रूप से, आदिम $p_{n}#$इसके अनुसार बढ़ें:


 * $$p_n\# = e^{(1 + o(1)) n \log n},$$

कहाँ $p_{0}# = 1$ लिटिल ओ अंकन है।

प्राकृत संख्याओं की परिभाषा
सामान्य तौर पर, एक सकारात्मक पूर्णांक के लिए $n$, यह आदिम है, $p_{n}#$, उन अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है जो इससे बड़े नहीं हैं $n$; वह है,
 * $$n\# = \prod_{p \le n\atop p \text{ prime}} p = \prod_{i=1}^{\pi(n)} p_i = p_{\pi(n)}\# $$,

कहाँ $o$ अभाज्य-गिनती कार्य है, जो अभाज्य संख्या ≤ देता है $n$. यह इसके बराबर है:


 * $$n\# =

\begin{cases} 1 & \text{if }n = 0,\ 1 \\ (n-1)\# \times n & \text{if } n \text{ is prime} \\ (n-1)\# & \text{if } n \text{ is composite}. \end{cases}$$ उदाहरण के लिए, 12# उन अभाज्य संख्याओं के गुणनफल को दर्शाता है ≤ 12:


 * $$12\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11= 2310.$$

तब से $n!$, इसकी गणना इस प्रकार की जा सकती है:


 * $$12\# = p_{\pi(12)}\# = p_5\# = 2310.$$

के पहले 12 मानों पर विचार करें $n$:


 * 1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310।

हम इसे समग्र के लिए देखते हैं $n$ प्रत्येक पद $n#$ बस पिछले शब्द की नकल करता है $n#$, जैसा कि परिभाषा में दिया गया है। उपरोक्त उदाहरण में हमारे पास है $π(n)$ चूँकि 12 एक भाज्य संख्या है।

प्रिमोरियल पहले लिखे गए चेबीशेव समारोह से संबंधित हैं $π(12) = 5$ or $n#$ के अनुसार:


 * $$\ln (n\#) = \vartheta(n).$$

तब से $n#$ स्पर्शोन्मुख रूप से दृष्टिकोण $(n − 1)#$ के बड़े मूल्यों के लिए $12# = p_{5}# = 11#$, प्राइमोरियल्स इसलिए बढ़ते हैं:
 * $$n\# = e^{(1+o(1))n}.$$

सभी ज्ञात अभाज्य संख्याओं को गुणा करने का विचार अभाज्य संख्याओं की अनंतता के कुछ प्रमाणों में होता है, जहाँ इसका उपयोग किसी अन्य अभाज्य संख्या के अस्तित्व को प्राप्त करने के लिए किया जाता है।

विशेषताएँ

 * होने देना $p$ और $q$ दो आसन्न अभाज्य संख्याएँ हों। कोई भी दिया गया $$n \in \mathbb{N}$$, कहाँ $$p\leq n<q$$:
 * $$n\#=p\#$$


 * प्राइमोरियल के लिए, निम्नलिखित सन्निकटन ज्ञात है:
 * $$n\#\leq 4^n$$.

टिप्पणियाँ:
 * 1) प्रारंभिक विधि का प्रयोग करते हुए गणितज्ञ डेनिस हैन्सन ने यह दर्शाया $$n\#\leq 3^n$$
 * 2) अधिक उन्नत तरीकों का उपयोग करके, रोसेर और स्कोनफेल्ड ने दिखाया $$n\#\leq (2.763)^n$$
 * 3) प्रमेय 4, सूत्र 3.14 में रोसेर और स्कोनफेल्ड ने इसे दिखाया $$n \ge 563$$, $$n\#\geq (2.22)^n$$


 * आगे:
 * $$\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n\#} = e $$
 * के लिए $$n<10^{11}$$, मान e (गणितीय स्थिरांक)| से छोटे हैं$e$, लेकिन बड़े के लिए $k$, फ़ंक्शन का मान सीमा से अधिक है $n$ और चारों ओर अनंत रूप से दोलन करता हूँ $n$ बाद में।


 * होने देना $$p_k$$ हो $e$-वाँ अभाज्य, फिर $$p_k\#$$ बिलकुल है $$2^k$$ विभाजक. उदाहरण के लिए, $$2\#$$ 2 भाजक हैं, $$3\#$$ 4 भाजक हैं, $$5\#$$ 8 भाजक हैं और $$97\#$$ पहले से है $$2^{25}$$ भाजक, क्योंकि 97 25वाँ अभाज्य है।
 * एक स्थिरांक की ओर प्राइमोरियल कन्वर्जेंट श्रृंखला के पारस्परिक मूल्यों का योग
 * $$\sum_{p\,\in \,\mathbb{P}} {1 \over p\#} = {1 \over 2} + {1 \over 6} + {1 \over 30} + \ldots = 0{.}7052301717918\ldots$$
 * इस संख्या का एंगेल विस्तार अभाज्य संख्याओं के अनुक्रम में परिणत होता है (देखें)। )


 * यूक्लिड के प्रमेय के अनुसार, $$p\# +1$$ अभाज्य संख्याओं की अनंतता को सिद्ध करने के लिए उपयोग किया जाता है।

अनुप्रयोग और गुण
अंकगणितीय प्रगति में प्राइमोरियल प्राइम की खोज में भूमिका निभाते हैं। उदाहरण के लिए, $e$ + 23# का परिणाम एक अभाज्य में होता है, बार-बार 23# जोड़ने से प्राप्त तेरह अभाज्यों का एक क्रम शुरू होता है, और इसके साथ समाप्त होता है $k$. 23# पंद्रह और सोलह अभाज्य संख्याओं की अंकगणितीय प्रगति में भी सामान्य अंतर है।

प्रत्येक उच्च भाज्य संख्या आदिमों का गुणनफल है (जैसे 360 (संख्या) = 2 × 6 × 30). प्राइमोरियल सभी वर्ग-मुक्त पूर्णांक होते हैं, और प्रत्येक में उससे छोटी किसी भी संख्या की तुलना में अधिक विशिष्ट अभाज्य गुणनखंड होते हैं। प्रत्येक आदिम के लिए $2,236,133,941$, अंश $ϑ(n)$ किसी भी छोटे पूर्णांक से छोटा है, जहां $5,136,341,251$ यूलर का टोटिएंट फ़ंक्शन है।

किसी भी पूर्ण गुणक फलन को प्राइमोरियल पर उसके मानों द्वारा परिभाषित किया जाता है, क्योंकि इसे प्राइम पर उसके मानों द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिसे आसन्न मानों के विभाजन द्वारा पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।

प्राइमोरियल के अनुरूप बेस सिस्टम (जैसे कि बेस 30, मिश्रित मूलांक#प्राइमोरियल नंबर सिस्टम के साथ भ्रमित न हों) में किसी भी छोटे बेस की तुलना में दोहराए जाने वाले अंशों का अनुपात कम होता है।

प्रत्येक आदिम एक विरल योग संख्या है।

$n$-एक भाज्य संख्या का समायोजक $φ$ तक और सम्मिलित सभी भाज्य संख्याओं का गुणनफल है $n}|n$. $n$-कंपोजिटोरियल के बराबर है $n$-फैक्टोरियल को प्राइमोरियल से विभाजित किया जाता है $θ(n)$. कंपोज़िटोरियल हैं
 * 1 (संख्या), 4 (संख्या), 24 (संख्या), 192 (संख्या), 1728, $n}|n$, $n$, $17,280$, $207,360$, $2,903,040$, ...

रूप
रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन को एक से अधिक धनात्मक पूर्णांकों पर व्यक्त किया जा सकता है प्राइमोरियल फ़ंक्शन और जॉर्डन के टोटिएंट फ़ंक्शन का उपयोग करके $ϑ(n)$:
 * $$ \zeta(k)=\frac{2^k}{2^k-1}+\sum_{r=2}^\infty\frac{(p_{r-1}\#)^k}{J_k(p_r\#)},\quad k=2,3,\dots $$

यह भी देखें

 * बोन्से की असमानता
 * चेबीशेव फ़ंक्शन
 * मिश्रित मूलांक#प्राइमोरियल संख्या प्रणाली
 * आदिम प्रधान

संदर्भ

 * Spencer, Adam "Top 100" Number 59 part 4.
 * Spencer, Adam "Top 100" Number 59 part 4.