सामान्य स्थानिक प्रतिरूप

सामान्य स्थानिक पैटर्न (सीएसपी) गणितीय प्रक्रिया है जिसका उपयोग संकेत आगे बढ़ाना में बहुभिन्नरूपी विश्लेषण सिग्नल को योगात्मक मानचित्र उपघटकों में अलग करने के लिए किया जाता है, जिसमें दो विंडो फ़ंक्शन के बीच भिन्नता में अधिकतम अंतर होता है।

विवरण
होने देना $$\mathbf{X}_1$$ आकार का $$(n,t_1)$$ और $$\mathbf{X}_2$$ आकार का $$(n,t_2)$$ बहुभिन्नरूपी सिग्नल (इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग) की दो खिड़कियां हों, जहां $$n$$ संकेतों की संख्या है और $$t_1$$ और $$t_2$$ नमूनों की संबंधित संख्या हैं।

सीएसपी एल्गोरिदम घटक को निर्धारित करता है $$\mathbf{w}^\text{T}$$ ऐसा कि दो विंडो के बीच विचरण (या दूसरे क्रम के क्षण (गणित)) का अनुपात अधिकतम हो:
 * $$\mathbf{w}={\arg \max}_\mathbf{w} \frac{ \left\| \mathbf{wX}_1 \right\| ^2 } { \left\| \mathbf{wX}_2 \right\| ^2 }$$

समाधान दो सहप्रसरण मैट्रिक्स की गणना करके दिया गया है:


 * $$\mathbf{R}_1=\frac{\mathbf{X}_1\mathbf{X}_1^\text{T}}{t_1}$$
 * $$\mathbf{R}_2=\frac{\mathbf{X}_2\mathbf{X}_2^\text{T}}{t_2}$$

फिर, मैट्रिक्स विकर्णीकरण#उन दो मैट्रिक्स (गणित) का साथ विकर्णीकरण (जिसे मैट्रिक्स का आइगेंडेकंपोजिशन#सामान्यीकृत आइगेनवैल्यू समस्या भी कहा जाता है) का एहसास होता है। हम eigenvalues ​​​​और eigenvectors का मैट्रिक्स ढूंढते हैं $$\mathbf{P}=\begin{bmatrix} \mathbf{p}_1 & \cdots & \mathbf{p}_n \end{bmatrix}$$ और विकर्ण मैट्रिक्स $$\mathbf{D}$$ eigenvalues ​​​​और eigenvectors की $$\{\lambda_1, \cdots, \lambda_n \}$$ घटते क्रम के अनुसार क्रमबद्ध:


 * $$\mathbf{P}^{\mathrm{T}} \mathbf{R}_1 \mathbf{P} = \mathbf{D}$$

और


 * $$\mathbf{P}^{\mathrm{T}} \mathbf{R}_2 \mathbf{P} = \mathbf{I}_n$$

साथ $$\mathbf{I}_n$$ पहचान मैट्रिक्स.

यह के मैट्रिक्स के Eigendecomposition के बराबर है $$\mathbf{R}_2^{-1} \mathbf{R}_1$$:


 * $$\mathbf{R}_2^{-1} \mathbf{R}_1=\mathbf{PDP}^{-1}$$
 * $$\mathbf{w}^\text{T}$$ के प्रथम कॉलम के अनुरूप होगा $$\mathbf{P}$$:


 * $$\mathbf{w}=\mathbf{p}_1^\text{T}$$

विचरण अनुपात और eigenvalue के बीच संबंध
eigenvectors रचना कर रहे हैं $$\mathbf{P}$$ दो विंडो के बीच भिन्नता अनुपात वाले घटक उनके संबंधित eigenvalue के बराबर हैं:


 * $$ \mathbf{\lambda}_i = \frac{ \left\| \mathbf{p}_i^\text{T} \mathbf{X}_1 \right\| ^2 }{ \left\| \mathbf{p}_i^\text{T} \mathbf{X}_2 \right\| ^2 } $$

अन्य घटक
वेक्टर उपस्थान $$E_i$$ द्वारा उत्पन्न $$i$$ पहला आइजेनवेक्टर $$\begin{bmatrix} \mathbf{p}_1 & \cdots & \mathbf{p}_i \end{bmatrix}$$ इससे संबंधित सभी घटकों के विचरण अनुपात को अधिकतम करने वाला उप-स्थान होगा:


 * $$E_i={\arg \max}_{E} \begin{pmatrix}\min_{p \in E} \frac{ \left\| \mathbf{p^\text{T} X}_1 \right\| ^2 }{ \left\| \mathbf{p^\text{T} X}_2 \right\| ^2}\end{pmatrix}$$

उसी तरह, सदिश उप-स्थान $$F_j$$ द्वारा उत्पन्न $$j$$ अंतिम eigenvectors $$\begin{bmatrix} \mathbf{p}_{n-j+1} & \cdots & \mathbf{p}_n \end{bmatrix}$$ इससे संबंधित सभी घटकों के विचरण अनुपात को न्यूनतम करने वाला उपस्थान होगा:


 * $$ F_j = {\arg \min}_{F} \begin{pmatrix}\max_{p \in F} \frac{ \left\| \mathbf{p^\text{T} X}_1 \right\| ^2 }{ \left\| \mathbf{p^\text{T} X}_2 \right\| ^2} \end{pmatrix} $$

भिन्नता या दूसरे क्रम का क्षण
विचरण अनुपात अनुकूलन को साकार करने के लिए संकेतों पर माध्य घटाव (उर्फ माध्य केन्द्रीकरण) के बाद सीएसपी लागू किया जा सकता है। अन्यथा सीएसपी दूसरे क्रम के क्षण के अनुपात को अनुकूलित करता है।

विंडोज़ एक्स का विकल्प1 और एक्स2

 * मानक उपयोग में स्रोतों के अलग-अलग सक्रियण (उदाहरण के लिए आराम के दौरान और किसी विशिष्ट कार्य के दौरान) के साथ समय की दो अवधियों के अनुरूप विंडोज़ का चयन करना शामिल है।
 * विशिष्ट आवृत्ति पैटर्न वाले घटकों को खोजने के लिए दो अलग-अलग आवृत्ति बैंड के अनुरूप दो विंडो को चुनना भी संभव है। वे आवृत्ति बैंड अस्थायी या बारंबार आधार पर हो सकते हैं। मैट्रिक्स के बाद से $$\mathbf{P}$$ केवल सहप्रसरण मैट्रिक्स पर निर्भर करता है, यदि सिग्नल के फूरियर रूपांतरण पर प्रसंस्करण लागू किया जाता है तो वही परिणाम प्राप्त किए जा सकते हैं।
 * वाई. वांग पहली विंडो के लिए विशेष विकल्प का प्रस्ताव दिया है $$\mathbf{X}_1$$ उन घटकों को निकालने के लिए जिनकी विशिष्ट अवधि होती है। $$\mathbf{X}_1$$ जांचे गए संकेतों के लिए विभिन्न अवधियों का माध्य था।
 * यदि केवल ही खिड़की है, $$\mathbf{R}_2$$ पहचान मैट्रिक्स के रूप में माना जा सकता है और फिर सीएसपी प्रमुख घटक विश्लेषण से मेल खाता है।

एलडीए और सीएसपी के बीच संबंध
रैखिक विभेदक विश्लेषण (एलडीए) और सीएसपी विभिन्न परिस्थितियों में लागू होते हैं। एलडीए डेटा के दो सेटों के केंद्रों के बीच (सामान्यीकृत) दूरी को अधिकतम करने वाले रोटेशन को ढूंढकर, अलग-अलग साधनों वाले डेटा को अलग करता है। दूसरी ओर, सीएसपी साधनों की अनदेखी करता है। इस प्रकार सीएसपी अच्छा है, उदाहरण के लिए, घटना-संबंधित क्षमता (ईआरपी) प्रयोग में शोर से सिग्नल को अलग करने में क्योंकि दोनों वितरणों का शून्य माध्य है और एलडीए को अलग करने के लिए कोई अंतर नहीं है। इस प्रकार सीएसपी प्रक्षेपण ढूंढता है जो औसत ईआरपी के घटकों के विचरण को जितना संभव हो उतना बड़ा बनाता है ताकि सिग्नल शोर से ऊपर खड़ा हो।

अनुप्रयोग
सीएसपी विधि को आम तौर पर बहुभिन्नरूपी संकेतों पर लागू किया जा सकता है, यह आमतौर पर इलेक्ट्रोएन्सेफलोग्राफी | इलेक्ट्रोएन्सेफैलोग्राफिक (ईईजी) संकेतों के अनुप्रयोग में पाया जाता है। विशेष रूप से, विधि का उपयोग अक्सर मस्तिष्क-कंप्यूटर इंटरफेस में घटक संकेतों को पुनः प्राप्त करने के लिए किया जाता है जो किसी विशिष्ट कार्य (जैसे हाथ की गति) के लिए मस्तिष्क गतिविधि को सर्वोत्तम रूप से प्रसारित करते हैं। इसका उपयोग ईईजी संकेतों से कलाकृतियों को अलग करने के लिए भी किया जा सकता है।

सीएसपी को घटना-संबंधी संभावनाओं के विश्लेषण के लिए अनुकूलित किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * ब्लाइंड सिग्नल पृथक्करण