स्थानीय भिन्नता

गणित में, अधिक विशेष रूप से विभेदक टोपोलॉजी, एक स्थानीय भिन्नता सहज रूप से एक फ़ंक्शन (गणित) है जो चिकनी मैनिफोल्ड्स के बीच है जो स्थानीय विभेदक संरचना को संरक्षित करता है। स्थानीय भिन्नता की औपचारिक परिभाषा नीचे दी गई है।

औपचारिक परिभाषा
होने देना $$X$$ और $$Y$$ अलग-अलग कई गुना हो। एक समारोह (गणित) $$f : X \to Y$$ एक स्थानीय भिन्नता है, यदि प्रत्येक बिंदु के लिए $$x \in X$$ एक खुला सेट मौजूद है $$U$$ युक्त $$x,$$ ऐसा है कि $$f(U)$$ में खुला है $$Y$$ और $$f\vert_U : U \to f(U)$$ डिफियोमोर्फिज्म है।

एक स्थानीय भिन्नता विसर्जन (गणित) का एक विशेष मामला है $$f : X \to Y,$$ जहां छवि (गणित) $$f(U)$$ का $$U$$ अंतर्गत $$f$$ स्थानीय रूप से सबमेनिफोल्ड की अलग-अलग संरचना होती है $$Y.$$ तब $$f(U)$$ और $$X$$ से कम आयाम हो सकता है $$Y.$$

लक्षण वर्णन
एक नक्शा एक स्थानीय भिन्नतावाद है अगर और केवल अगर यह एक चिकनी विसर्जन (गणित) (चिकनी स्थानीय एम्बेडिंग) और एक खुला नक्शा है।

उलटा कार्य प्रमेय का अर्थ है कि एक चिकना नक्शा $$f : M \to N$$ एक स्थानीय भिन्नता है अगर और केवल अगर पुशफॉरवर्ड (अंतर) $$D f_p : T_p M \to T_{f(p)} N$$ सभी बिंदुओं के लिए एक रेखीय समरूपता है $$p \in M.$$ इसका अर्थ यह है कि $$M$$ और $$N$$ समान आयाम होना चाहिए।

नक्षा $$f : X \to Y$$ समान आयाम के दो जुड़े कई गुना के बीच ($$\operatorname{dim} X = \operatorname{dim} Y$$) एक स्थानीय भिन्नतावाद है अगर और केवल अगर यह एक चिकनी विसर्जन (गणित) (चिकनी स्थानीय एम्बेडिंग) है, या समकक्ष, अगर और केवल अगर यह एक चिकनी पनडुब्बी (गणित) है। ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रत्येक सुचारू विसर्जन एक स्थानीय रूप से इंजेक्शन का कार्य है, जबकि डोमेन का व्युत्क्रम यह गारंटी देता है कि समान आयामों के कई गुना के बीच कोई भी निरंतर इंजेक्शन कार्य आवश्यक रूप से एक खुला नक्शा है।

चर्चा
उदाहरण के लिए, भले ही सभी मैनिफोल्ड स्थानीय रूप से समान दिखते हों (as $$\R^n$$ कुछ के लिए $$n$$) टोपोलॉजिकल अर्थ में, यह पूछना स्वाभाविक है कि क्या उनकी अलग-अलग संरचनाएं स्थानीय स्तर पर समान तरीके से व्यवहार करती हैं। उदाहरण के लिए, दो अलग-अलग अलग-अलग संरचनाओं को लगाया जा सकता है $$\R^4$$ कि मेकअप $$\R^4$$ एक अलग-अलग कई गुना में, लेकिन दोनों संरचनाएं स्थानीय रूप से भिन्न नहीं हैं (नीचे देखें)। हालांकि स्थानीय भिन्नता स्थानीय रूप से अलग-अलग संरचना को संरक्षित करती है, यह सुनिश्चित करने के लिए कि डोमेन संपूर्ण (चिकनी) चिकनी कई गुना है, इन (स्थानीय) भिन्नताओं को पैच करने में सक्षम होना चाहिए। उदाहरण के लिए, Sphere|2-sphere से Euclidean space|Euclidean 2-space तक कोई वैश्विक भिन्नता नहीं हो सकती है, हालांकि उनके पास वास्तव में एक ही स्थानीय भिन्न संरचना है। ऐसा इसलिए है क्योंकि सभी स्थानीय भिन्नताएं सतत कार्य (टोपोलॉजी) हैं, एक कॉम्पैक्ट जगह  की निरंतर छवि कॉम्पैक्ट है, गोला कॉम्पैक्ट है जबकि यूक्लिडियन 2-स्पेस नहीं है।

गुण
यदि दो कई गुना के बीच एक स्थानीय भिन्नता मौजूद है तो उनके आयाम बराबर होना चाहिए। प्रत्येक स्थानीय भिन्नता भी एक स्थानीय होमोमोर्फिज्म है और इसलिए एक स्थानीय रूप से इंजेक्टिव फंक्शन ओपन मैप है। एक स्थानीय डिफियोमोर्फिज्म का निरंतर रैंक (अंतर टोपोलॉजी)  होता है $$n.$$

उदाहरण
एक भिन्नता एक विशेषण स्थानीय भिन्नता है। मानचित्र को कवर करने वाले मैनिफोल्ड्स पर और उनके बीच एक स्मूथनेस # स्मूथ फ़ंक्शंस एक स्थानीय भिन्नता है जैसे कि लक्ष्य के प्रत्येक बिंदु में एक पड़ोस (गणित) है जो है मानचित्र द्वारा।