अध:पतन (बीजगणितीय ज्यामिति)

बीजगणितीय ज्यामिति में, एक अध:पतन (या विशेषज्ञता) किस्मों के एक परिवार की सीमा लेने का कार्य है। सटीक रूप से, एक रूपवाद दिया गया है
 * $$\pi: \mathcal{X} \to C,$$

मूल 0 (जैसे, एफ़िन या प्रोजेक्टिव लाइन) के साथ एक वक्र सी के लिए एक किस्म (या एक योजना), फाइबर
 * $$\pi^{-1}(t)$$

सी पर किस्मों का एक परिवार बनाएं। फिर फाइबर $$\pi^{-1}(0)$$ की सीमा के रूप में सोचा जा सकता है $$\pi^{-1}(t)$$ जैसा $$t \to 0$$. एक तो कहता है परिवार $$\pi^{-1}(t), t \ne 0$$ विशेष फाइबर में परिवर्तित हो जाता है $$\pi^{-1}(0)$$. सीमित करने की प्रक्रिया तब अच्छा व्यवहार करती है $$\pi$$ एक सपाट रूपवाद है और, उस स्थिति में, अध:पतन को समतल अध:पतन कहा जाता है। कई लेखक पतन को सपाट मानते हैं।

जब परिवार $$\pi^{-1}(t)$$ एक विशेष फाइबर से दूर तुच्छ है; अर्थात।, $$\pi^{-1}(t)$$ से स्वतंत्र है $$t \ne 0$$ (सुसंगत) समरूपता तक, $$\pi^{-1}(t), t \ne 0$$ सामान्य रेशा कहा जाता है।

वक्रों का अध:पतन
वक्रों के मापांक के अध्ययन में, महत्वपूर्ण बिंदु मापांक की सीमाओं को समझना है, जो वक्रों के अध:पतन को समझने के समान है।

अपरिवर्तनीयों की स्थिरता
शासन करने में माहिर हैं. सटीक रूप से, मात्सुसाका प्रमेय कहता है
 * मान लीजिए कि एक्स एक असतत मूल्यांकन रिंग पर एक सामान्य योजना अपरिवर्तनीय प्रक्षेप्य योजना है। यदि सामान्य फाइबर पर शासन किया जाता है, तो विशेष फाइबर के प्रत्येक अपरिवर्तनीय घटक पर भी शासन किया जाता है।

अनंतिमल विकृतियाँ
मान लीजिए कि D = k[ε] फ़ील्ड k के ऊपर दोहरी संख्याओं का वलय है और Y, k के ऊपर परिमित प्रकार की एक योजना है। परिभाषा के अनुसार, Y की एक बंद उपयोजना' Y × काSpec(k) Spec(D) ऐसा कि प्रक्षेपण X' → स्पेक डी सपाट है और इसमें विशेष फाइबर के रूप में एक्स है।

यदि Y = Spec A और' का A[ε] ऐसा कि A[ε]/ I' D और I की छवि के ऊपर समतल है' में A = A[ε]/ε I है।

सामान्य तौर पर, एक इंगित योजना (एस, 0) और एक योजना एक्स, योजनाओं का एक रूपवाद दिया जाता है $\pi$: एक्स' → S को किसी योजना X का विरूपण (बीजीय ज्यामिति) कहा जाता है यदि यह समतल है और S के विशिष्ट बिंदु 0 पर इसका फाइबर एम्बेडिंग का कुछ विकल्प है. <!--TODO: पूर्ण होना। == ग्राफ़ निर्माण == समतल अध:पतन के निर्माण की एक विधि.

यह भी देखें

 * विरूपण सिद्धांत
 * डिफरेंशियल ग्रेडेड लाई बीजगणित
 * कोडैरा-स्पेंसर मानचित्र
 * फ्रोबेनियस विभाजन
 * सापेक्ष प्रभावी कार्टियर विभाजक

संदर्भ

 * M. Artin, Lectures on Deformations of Singularities – Tata Institute of Fundamental Research, 1976
 * E. Sernesi: Deformations of algebraic schemes
 * M. Gross, M. Siebert, An invitation to toric degenerations
 * M. Kontsevich, Y. Soibelman: Affine structures and non-Archimedean analytic spaces, in: The unity of mathematics (P. Etingof, V. Retakh, I.M. Singer, eds.), 321–385, Progr. Math. 244, Birkh ̈auser 2006.
 * Karen E Smith, Vanishing, Singularities And Effective Bounds Via Prime Characteristic Local Algebra.
 * V. Alexeev, Ch. Birkenhake, and K. Hulek, Degenerations of Prym varieties, J. Reine Angew. Math. 553 (2002), 73–116.
 * V. Alexeev, Ch. Birkenhake, and K. Hulek, Degenerations of Prym varieties, J. Reine Angew. Math. 553 (2002), 73–116.

बाहरी संबंध

 * http://mathoverflow.net/questions/88552/when-do-infinitesimal-deformations-lift-to-global-deformations