औपचारिकता (गणित का दर्शन)

गणित की धारणा में, औपचारिकता वह दृष्टिकोण है जो मानता है कि गणित और तर्क के कथन को स्थापित प्रकलन नियमों का उपयोग करके श्रृंखला (प्रतीकों के अक्षरांकीय अनुक्रम, सामान्यतः समीकरणों के रूप में) के प्रकलन के परिणामों के बारे में कथन माना जा सकता है। औपचारिकता का एक केंद्रीय विचार यह है कि गणित वास्तविकता के एक सामान्य क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करने वाले प्रस्तावों का एक समूह नहीं है, बल्कि यह एक खेल के समान है, जो लूडो या शतरंज की तुलना में वस्तुओं या गुणों की तात्विकी के प्रति अधिक प्रतिबद्धता नहीं लाता है। औपचारिकता के अनुसार, तर्क और गणित में व्यक्त सत्य संख्याओं, समुच्चयों, या त्रिकोणों या किसी अन्य व्यापक विषय वस्तु के बारे में नहीं हैं - वास्तव में, वे किसी भी चीज़ के बारे में नहीं हैं। बल्कि, गणितीय कथन वाक्यात्मक रूप हैं जिनके आकार और स्थानों का तब तक कोई अर्थ नहीं होता जब तक कि उन्हें व्याख्या (या शब्दार्थ) न दी जाए। गणितीय यथार्थवाद, तर्कवाद, या अंतर्ज्ञानवाद के विपरीत, व्यापक दृष्टिकोणों के कारण औपचारिकता की रूपरेखा कम परिभाषित होती है जिसे औपचारिकतावादी के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है।

यथार्थवाद और अंतर्ज्ञानवाद के साथ, औपचारिकता गणित के दर्शन में मुख्य सिद्धांतों में से एक है जो उन्नीसवीं सदी के अंत और बीसवीं सदी की प्रारम्भ में विकसित हुई थी। औपचारिकतावादियों में, डेविड हिल्बर्ट सबसे प्रमुख अधिवक्ता थे।

प्रारंभिक औपचारिकता
प्रारंभिक गणितीय औपचारिकतावादियों ने सामान्य वस्तुओं के एक समस्याग्रस्त क्षेत्र के लिए किसी भी सत्तामूलक प्रतिबद्धता को अवरुद्ध करने, टालने, या (किसी तरह) से बचने का प्रयास किया। जर्मन गणितज्ञ एडुआर्ड हेइन और कार्ल जोहान्स थोमे को गणितीय औपचारिकता का प्रारंभिक समर्थक माना जाता है। हेइन और थोमे की औपचारिकता को अंकगणित की नींव में गोटलॉब फ्रेज की आलोचनाओं में पाया जा सकता है।

एलन वियर के अनुसार, हेन और थोमे की औपचारिकता कि फ्रेज के आक्षेप को "औपचारिकता या खेल औपचारिकतावाद" के रूप में वर्णित किया जा सकता है। औपचारिकतावाद शब्द का दृष्टिकोण है कि गणितीय अभिव्यक्तियाँ प्रतीकों को संदर्भित करती हैं, संख्याओं को नहीं। हेइन ने इस विचार को इस प्रकार व्यक्त किया: जब परिभाषा की बात आती है, तो मैं विशुद्ध रूप से औपचारिक स्थिति लेता हूं, जिसमें मैं कुछ वास्तविक संकेतों को संख्याएँ कहता हूँ, ताकि इन संख्याओं के अस्तित्व पर प्रश्नचिह्न न लगे। थोमे को एक खेल औपचारिकतावादी के रूप में चित्रित किया गया है जिन्होंने दावा किया है कि [एफ] या औपचारिकतावादी, अंकगणित एक खेल है जिसमें संकेत होते हैं और जिन्हें खाली कहा जाता है। इसका अर्थ यह है कि उनके पास संयोजन के कुछ नियमों (खेल के नियमों) के संबंध में उनके व्यवहार द्वारा निर्दिष्ट की गई कोई अन्य सामग्री (गणना खेल में) नहीं है। फ्रेज हेइन और थॉमे की औपचारिकता की तीन आलोचनाएँ प्रदान करता है: "वह [औपचारिकता] गणित के अनुप्रयोग के लिए उत्तरदायी नहीं हो सकता; कि यह औपचारिक सिद्धांत को रूपक सिद्धांत के साथ भ्रमित करता है; [और] कि यह अनंत अनुक्रम की अवधारणा का कोई सुसंगत विवरण नहीं दे सकता। हेन की औपचारिकता के बारे में फ्रेज की आलोचना यह है कि उनकी औपचारिकता अनंत अनुक्रमों का विवरण नहीं दे सकती है। डमेट का तर्क है कि हेन के खाते की तुलना में औपचारिकता के अधिक विकसित खाते यह दावा करके फ्रेज की आपत्तियों से बच सकते हैं कि उनका संबंध ठोस वस्तुओं के स्थान पर सामान्य प्रतीकों से है। फ्रेज ने शतरंज जैसे खेल के साथ औपचारिकता की तुलना पर आपत्ति जताई। फ्रेज का तर्क है कि थोमे की औपचारिकता खेल और सिद्धांत के बीच अंतर करने में विफल रहती है।

हिल्बर्ट की औपचारिकता
औपचारिकतावाद का एक प्रमुख व्यक्ति डेविड हिल्बर्ट था,जिनके कार्यक्रम का उद्देश्य संपूर्ण गणित का पूर्ण और सुसंगत स्वयंसिद्धीकरण था। हिल्बर्ट का उद्देश्य गणितीय प्रणालियों की स्थिरता को इस धारणा से दिखाना था कि "परिमित अंकगणित" (सकारात्मक पूर्णांकों के सामान्य अंकगणित का एक उपप्रणाली, जिसे दार्शनिक रूप से निर्विवाद माना जाता है) सुसंगत था (यानी प्रणाली से कोई विरोधाभास नहीं निकाला जा सकता है)।

जिस तरह से डेविड हिल्बर्ट ने यह दिखाने का प्रयास किया कि एक स्वयंसिद्ध प्रणाली सुसंगत थी, उसे एक विशेष भाषा का उपयोग करके औपचारिक रूप दिया गया था। एक स्वयंसिद्ध प्रणाली को औपचारिक रूप देने के लिए, आपको पहले एक ऐसी भाषा चुननी होगी जिसमें आप उस प्रणाली के भीतर संचालन को अभिव्यक्त और निष्पादित कर सकें। इस भाषा में पाँच घटक सम्मिलित होने चाहिए:


 * इसमें x जैसे चर सम्मिलित होने चाहिए, जो किसी संख्या का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं।
 * किसी वस्तु के अस्तित्व के प्रतीक जैसे परिमाणक अवश्य होने चाहिए।
 * इसमें समानता सम्मिलित होनी चाहिए।
 * इसमें "यदि और केवल यदि" के लिए ↔ जैसे संयोजक सम्मिलित होने चाहिए।
 * इसमें कुछ निश्चित अपरिभाषित शब्द सम्मिलित होने चाहिए जिन्हें मापदण्ड कहा जाता है। ज्यामिति के लिए, ये अपरिभाषित शब्द एक बिंदु या रेखा की तरह कुछ हो सकते हैं, जिनके लिए हम अभी भी प्रतीकों का चयन करते हैं।

इस भाषा को अपनाकर, हिल्बर्ट ने सोचा कि हम स्वयंसिद्धों और चुनिंदा औपचारिक भाषा के स्थान पर किसी भी स्वयंसिद्ध प्रणाली के भीतर सभी प्रमेयों को सिद्ध कर सकते हैं।

अपने अपूर्णता प्रमेय में गोडेल का निष्कर्ष यह था कि आप शास्त्रीय अंकगणित को सम्मिलित करने के लिए पर्याप्त समृद्ध किसी सुसंगत स्वयंसिद्ध प्रणाली के भीतर स्थिरता सिद्ध नहीं कर सकते।                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             एक ओर, आपको इस स्वयंसिद्ध प्रणाली को औपचारिक बनाने के लिए चुनी गई औपचारिक भाषा का ही उपयोग करना चाहिए; दूसरी ओर, अपने आप में इस भाषा की एकरूपता को सिद्ध करना असंभव है। हिल्बर्ट मूल रूप से गोडेल के काम से निराश थे क्योंकि इसने संख्या सिद्धांत में हर चीज़ को पूरी तरह से औपचारिक बनाने के उनके जीवन के लक्ष्य को ध्वस्त कर दिया था। हालाँकि, गोडेल को यह महसूस नहीं हुआ कि उन्होंने हिल्बर्ट के औपचारिक दृष्टिकोण के बारे में हर बात का खंडन किया है। गोडेल ने अपना काम प्रकाशित करने के बाद, यह स्पष्ट हो गया कि प्रमाण सिद्धांत का अभी भी कुछ उपयोग है, एकमात्र अंतर यह है कि इसका उपयोग सभी संख्या सिद्धांतों की स्थिरता को सिद्ध करने के लिए नहीं किया जा सकता है जैसा कि हिल्बर्ट ने उम्मीद की थी।

हिल्बर्ट प्रारम्भ में एक निगमनवादी थे, [उद्धरण वांछित] लेकिन उन्होंने आंतरिक रूप से सार्थक परिणाम प्राप्त करने के लिए कुछ मेटामैथमैटिकल प्रणाली पर विचार किया और वित्तीय अंकगणित के संबंध में एक यथार्थवादी थे। बाद में, उनकी राय थी कि व्याख्या की परवाह किए बिना, कोई अन्य सार्थक गणित नहीं था।

आगे के घटनाक्रम
रुडोल्फ कार्नाप जैसे अन्य औपचारिकतावादियों ने गणित को औपचारिक प्रणाली की जांच माना।

हास्केल करी ने गणित को औपचारिक प्रणालियों के विज्ञान के रूप में परिभाषित किया है। करी की औपचारिकता शब्द औपचारिकतावादी, खेल औपचारिकतावादी या हिल्बर्ट की औपचारिकता के विपरीत है। करी के लिए, गणितीय औपचारिकता गणित की औपचारिक संरचना के बारे में है, न कि औपचारिक प्रणाली के बारे में है। स्टीवर्ट शापिरो ने करी की औपचारिकता का वर्णन "ऐतिहासिक थीसिस से प्रारम्भ करते हुए किया है कि जैसे-जैसे गणित की एक शाखा विकसित होती है, यह अपनी कार्यप्रणाली में और अधिक कठोर होती जाती है, जिसका अंतिम परिणाम औपचारिक निगमनात्मक प्रणालियों में शाखा का संहिताकरण होता है।

रीतिवाद की आलोचना
कर्ट गोडेल ने स्वयंसिद्ध प्रणालियों में स्थिरता के प्रश्न को संबोधित करते हुए औपचारिकता के शक्तिहीन बिंदुओं में से एक का संकेत दिया।

बर्ट्रेंड रसेल ने तर्क दिया है कि औपचारिकता यह समझाने में विफल रहती है कि "कमरे में तीन पुरुष हैं" जैसे बयानों में संख्याओं के भाषाई अनुप्रयोग का क्या अर्थ है।

यह भी देखें

 * क्यूईडी परियोजना
 * औपचारिक तार्किक प्रणाली
 * औपचारिक गणित