रैखिक उपसमष्टि

गणित में, और विशेष रूप से रैखिक बीजगणित में, रैखिक उपसमष्टि या सदिश उपसमष्टि एक सदिश समष्टि है जो किसी बड़े सदिश समष्टि का उपसमुच्चय है। रैखिक उपसमष्टि को साधारण तौर पर केवल उपसमष्टि कहा जाता है जब संदर्भ इसे अन्य प्रकार के उपसमष्टि से अलग करने का कार्य करता है।

परिभाषा
यदि V क्षेत्र (गणित) K पर सदिश समष्टि है और यदि W, V का उपसमुच्चय है, तो W, V का 'रैखिक उपसमष्टि ' है यदि V के संचालन के अनुसार, W, K पर सदिश समष्टि है। समान रूप से, एक रिक्त उपसमुच्चय, V का उपसमष्टि है यदि, जब $w_{1}, w_{2}$W और के अवयव हैं $α, β$ K के अवयव हैं, तो यह $αw_{1} + βw_{2}$ का W में अनुसरण करता है।

परिणाम के रूप में, सभी सदिश समष्टि कम से कम दो (संभवतः भिन्न) रैखिक उपसमष्टियो से सुसज्जित होते हैं: शून्य सदिश समष्टि जिसमें अकेले शून्य सदिश और संपूर्ण सदिश समष्टि सम्मलित होता है। इन्हें सदिश समष्टि की विषम उपसमष्टि कहा जाता है।

उदाहरण I
सदिश समष्टि में V =  'R'3 (वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र R पर वास्तविक समन्वय समष्टि), W को V में सभी सदिशों के समुच्चयों के रूप में लें जिसका अंतिम घटक 0 है। तो W, V का उपसमष्टि है।

सिद्ध:
 * 1) W में u और v दिया गया है तो इन्हें इस प्रकार u = (u1, u2, 0) और v = (v1, v2, 0) से व्यक्त किया जा सकता है। तब u + v = (u1+v1, u2+v2, 0+0) = (u1+v1, u2+v2, 0)। इस प्रकार, u + v, W का भी अवयव है।
 * 2) आपको W में और R में अदिश c दिया गया है, यदि पुनः u = (u1, u2, 0),तो cu = (cu1, cu2, c0) = (cu1, cu2,0) होता हैं। इस प्रकार, c'u', W का भी एक अवयव है।

उदाहरण II
मान लीजिए कि क्षेत्र पुनः R है, लेकिन अब माना की सदिश समष्टि V कार्तीय तल R2 हैं। W को 'R'2 के बिंदुओं (x, y) का समुच्चय मानें जैसे कि x = yहो। तब W 'R'2 का उपसमष्टि हैं।

सिद्ध:
 * 1) माना p = (p1, p2) और q = (q1, q2) W के अवयव हों, अर्थात् समतल में बिंदु p1 = p2 और q1 = q2 हो। तब p + q = (p1+q1, p2+q2); चूंकि p1 = p2 और q1 = q2, फिर p1 + q1 = p2 + q2, इसलिए p + q, W का अवयव है।
 * 2) मान लीजिए p = (p1, पी2) W का अवयव हो, अर्थात, समतल में बिंदु p1 = p2 हो और मान लीजिए कि c 'R' में अदिश राशि है। तब cp = (cp1, cp2); चूंकि p1 = p2, फिर c.p1 = c.p2, इसलिए c'p', W का अवयव है।

सामान्यतया, वास्तविक समन्वय समष्टि 'R' का कोई भी उपसमुच्चयn जिसे सजातीय रैखिक समीकरणों की प्रणाली द्वारा परिभाषित किया गया है, उससे उप-समष्टि प्राप्त होता हैं। (उदाहरण I में समीकरण z = 0 था, और उदाहरण II में समीकरण x = y था।)

उदाहरण III
पुनः क्षेत्र को R मानें, लेकिन अब सदिश समष्टि V को समुच्चय R मानेंR से R तक सभी फलन (गणित) का R। मान लीजिए C(R) सतत फलन से युक्त उपसमुच्चय है। तब C(R), R की उपसमष्टि हैआर.

सिद्ध:
 * 1) अवकलन से हमें पता चलता है की 0 ∈ C(R) ⊂ RR होता हैं।
 * 2) अवकलन से हम जानते हैं कि सतत फलनों का योग सतत होता है।
 * 3) पुनः, हम अवकलन से जानते हैं कि सतत फलन और एक संख्या का गुणनफल सतत होता है।

उदाहरण IV
क्षेत्र और सदिश समष्टि को पहले जैसा ही रखें, लेकिन अब सभी अवकलनीय फलनो के समुच्चय Diff (R) पर विचार किया जाता हैं। पहले जैसे ही तर्क से पता चलता है कि यह भी उपसमष्टि है।

इन विषयों का विस्तार करने वाले उदाहरण फलनात्मक विश्लेषण में साधारण हैं।

उपसमष्टियों के गुण
सदिश रिक्त समष्टि की परिभाषा से, यह निम्नानुसार है कि उप-समष्टियों अरिक्त हैं, और योग के अंतर्गत और अदिश गुणकों के अंतर्गत बंद (गणित) हैं। समान रूप से, उपसमष्टियो को रैखिक संयोजनों के अंतर्गत बंद होने की गुण द्वारा चित्रित किया जा सकता है। अर्थात्, अरिक्त समुच्चय W उपसमष्टि है यदि और केवल यदि W के परिमित समुच्चय के कई अवयवों का प्रत्येक रैखिक संयोजन भी W से संबंधित होते हैं। समतुल्य परिभाषा बताती है कि यह एक समय में दो अवयवों के रैखिक संयोजनों पर विचार करने के भी समतुल्य है।

संश्थितिक सदिश समष्टि उप समष्ट्यि W के सश्थितिक रूप से सिमित होने की कोई आवस्यकता नहीं होती हैं, परन्तु परिमित विमा उपसम्मुचय सदैव सिमित होता हैं। यही बात परिमित सह विमा के उप-समष्टियों के लिए भी सत्य (अर्थात, निरंतर रैखिक फलनों की एक सीमित संख्या द्वारा निर्धारित उप-समष्टि) होता हैं।

विवरण
उप-समष्टियों के विवरण में रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणाली के लिए समुच्चय समाधान, सजातीय रैखिक प्रचलिक समीकरण की प्रणाली द्वारा वर्णित यूक्लिडियन समष्टि का उपसमुच्चय, सदिश के संग्रह की रैखिक अवधि, और शून्य समष्टि, स्तंभ समष्टि और पंक्ति समष्टि सम्मलित हैं। आव्यूह (गणित) का ज्यामितीय रूप से (विशेष रूप से वास्तविक संख्याओं और उसके उप-क्षेत्रों के क्षेत्र में), एक उप-समष्टि n-समष्टि में एक समतल (ज्यामिति) है जो मूल से होकर जाता है।

1-उपसमष्टि का प्राकृतिक वर्णन सभी संभावित अदिश मानों के लिए अयोज्य पहचान सदिश 'v' का अदिश गुणन है। 1-दो सदिशो द्वारा निर्दिष्ट उप-समष्टि बराबर होते हैं यदि और केवल तभी जब एक वेक्टर को अदिश गुणन के साथ दूसरे से प्राप्त किया जा सके:
 * $$\exist c\in K: \mathbf{v}' = c\mathbf{v}\text{ (or }\mathbf{v} = \frac{1}{c}\mathbf{v}'\text{)}$$

इस विचार को रैखिक विस्तार के साथ उच्च विमाओं के लिए सामान्यीकृत किया गया है, लेकिन k सदिश के समुच्चय द्वारा निर्दिष्ट k-समष्टि की समानता (गणित) के मानदंड इतने सरल नहीं हैं।

एक द्वैध (गणित) विवरण रैखिक फलनात्मकताओं (साधारण तौर पर रैखिक समीकरणों के रूप में क्रियान्वित) के साथ प्रदान किया जाता है। एक अयोज्य पहचान रैखिक फलनात्मक 'F ' अपने कर्नेल (रैखिक बीजगणित) सह विमा 1 के उप-समष्टि F = 0 को निर्दिष्ट करता है। दो रैखिक फलात्मकताओं द्वारा निर्दिष्ट सह विमा 1 के उप-समष्टि बराबर होते हैं, यदि और केवल तभी जब एक फलनात्मक अदिश गुणन के साथ (द्वैध समष्टि में) दूसरे से प्राप्त किया जा सकता हैं:
 * $$\exist c\in K: \mathbf{F}' = c\mathbf{F}\text{ (or }\mathbf{F} = \frac{1}{c}\mathbf{F}'\text{)}$$

इसे समीकरणों की एक प्रणाली के साथ उच्च विमाओं के लिए सामान्यीकृत किया गया है। निम्नलिखित दो उपखंड इस बाद के विवरण को विस्तार से प्रस्तुत करते हैं, और शेष चार उपखंड आगे रैखिक विस्तार के विचार का वर्णन करते हैं।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली
n चर वाले रैखिक समीकरणों की किसी भी सजातीय प्रणाली के लिए समुच्चय समाधान निर्देशांक समष्टि Kn में उप-समष्टि हैं : $$\left\{ \left[\!\! \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \!\!\right] \in K^n : \begin{alignat}{6} a_{11} x_1 &&\; + \;&& a_{12} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{1n} x_n &&\; = 0&   \\ a_{21} x_1 &&\; + \;&& a_{22} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{2n} x_n &&\; = 0&   \\ &&    &&            &&              &&                && \vdots\quad& \\ a_{m1} x_1 &&\; + \;&& a_{m2} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{mn} x_n &&\; = 0& \end{alignat} \right\}. $$ उदाहरण के लिए, सभी सदिशों का समुच्चय $(x, y, z)$ (वास्तविक या परिमेय संख्याओ पर) समीकरणों को संतुष्ट करना $$x + 3y + 2z = 0 \quad\text{and}\quad 2x - 4y + 5z = 0$$ एक विमीय उप समष्टि है। अधिक सामान्यतः, कहने का तात्पर्य यह है कि n स्वतंत्र फलनों का एक समुच्चय दिया गया है, Kk में उप-स्थान का विमा n फलन के समग्र आव्यूह, A के शून्य समुच्चय का विमा होता हैं।

आव्यूह का शून्य समष्टि
एक परिमित-विमीय समष्टि में, रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणाली को एकल आव्यूह समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है:


 * $$A\mathbf{x} = \mathbf{0}.$$

इस समीकरण के समाधान के समुच्चय को आव्यूह के शून्य स्थान के रूप में जाना जाता है। उदाहरण के लिए, ऊपर वर्णित उपसमष्टि आव्यूह का शून्य स्थान है


 * $$A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & -4 & 5 \end{bmatrix} .$$

Kn का प्रत्येक उपसमष्टि को कुछ आव्यूह के शून्य स्थान के रूप में वर्णित किया जा सकता है। ( अधिक सुचना के लिए नीचे देखें)।

रैखिक प्राचलिक समीकरण
K का उपसमुच्चयnसजातीय रैखिक प्राचलिक समीकरण की प्रणाली द्वारा वर्णित उप-उपसमष्टि है:


 * $$\left\{ \left[\!\! \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \!\!\right] \in K^n : \begin{alignat}{7}

x_1 &&\; = \;&& a_{11} t_1 &&\; + \;&& a_{12} t_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{1m} t_m &   \\ x_2 &&\; = \;&& a_{21} t_1 &&\; + \;&& a_{22} t_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{2m} t_m &   \\ && \vdots\;\; &&      &&       &&            &&                &&            &    \\ x_n &&\; = \;&& a_{n1} t_1 &&\; + \;&& a_{n2} t_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{nm} t_m &   \\ \end{alignat} \text{ for some } t_1,\ldots,t_m\in K \right\}. $$ उदाहरण के लिए, समीकरणों द्वारा प्राचलयुक्त सभी सदिशों (x,y,z) का समुच्चय


 * $$x = 2t_1 + 3t_2,\;\;\;\;y = 5t_1 - 4t_2,\;\;\;\;\text{and}\;\;\;\;z = -t_1 + 2t_2$$

K3 का द्वि-विमीय उपसमष्टि है, यदि K एक संख्या क्षेत्र है (जैसे वास्तविक या परिमेय संख्याएँ)।

सदिशों का विस्तार
रैखिक बीजगणित में, प्राचलिक समीकरणों की प्रणाली को एकल सदिश समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है:


 * $$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \;=\; t_1 \!\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ -1 \end{bmatrix} + t_2 \!\begin{bmatrix} 3 \\ -4 \\ 2 \end{bmatrix}.$$

दाईं तरफ की अभिव्यक्ति को सदिशों (2, 5, −1) और (3, −4, 2) का रैखिक संयोजन कहा जाता है। बताया जाता है कि ये दोनों सदिशों परिणामी उपसमष्टि विस्तारित करते हैं।

सामान्य तौर पर, सदिशों का एक रैखिक संयोजन v1, v2, ... , vk रूप का कोई सदिश है।


 * $$t_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + t_k \mathbf{v}_k.$$

सभी संभावित रैखिक संयोजनों के समुच्चय का विस्तार कहा जाता है:


 * $$\text{Span} \{ \mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k \}

= \left\{ t_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + t_k \mathbf{v}_k : t_1,\ldots,t_k\in K \right\} .$$ यदि सदिश v1, ..., vk n घटक हैं, तो उनका विस्तार Kn का उपसमष्टि है। ज्यामितीय रूप से, विस्तार मूल बिंदु के माध्यम से n-विमीय समष्टि में समतल है जो बिंदु 'v'1, ... , vk द्वारा निर्धारित होता है।


 * उदाहरण
 * 'R'3 में xz-समतल को समीकरणों द्वारा मानकीकृत किया जा सकता है
 * $$x = t_1, \;\;\; y = 0, \;\;\; z = t_2.$$
 * एक उप-समष्टि के रूप में, xz-समतल सदिश (1,0,0) और (0,0,1) द्वारा विस्तारित हुआ है। xz-तल में प्रत्येक सदिश को इन दोनों के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है:


 * $$(t_1, 0, t_2) = t_1(1,0,0) + t_2(0,0,1)\text{.}$$
 * ज्यामितीय रूप से, यह इस तथ्य से मिलता है कि xz-तल पर प्रत्येक बिंदु तक पहले (1,0,0) की दिशा में कुछ दूरी तय करके और फिर (0,0, 1 की दिशा में कुछ दूरी तय करके) मूल बिंदु से पहुंचा जा सकता है।

स्तंभ समष्टि और पंक्ति समष्टि
परिमित-विमीय समष्टि में रैखिक प्राचलिक समीकरणों की प्रणाली को एकल आव्यूह समीकरण के रूप में भी लिखा जा सकता है:


 * $$\mathbf{x} = A\mathbf{t}\;\;\;\;\text{where}\;\;\;\;A = \left[ \begin{alignat}{2} 2 && 3 & \\ 5 && \;\;-4 & \\ -1 && 2 & \end{alignat} \,\right]\text{.}$$

इस स्थिति में, उप-समष्टि में सदिश x के सभी संभावित मान सम्मलित हैं। रैखिक बीजगणित में, इस उप-समष्टि को आव्यूह A के स्तंभ समष्टि (या चित्र (गणित)) के रूप में जाना जाता है। यह यथार्थतः Kn का उपस्थान हैं जो A के स्तम्भ सदिश द्वारा विस्तारित किया गया हैं।

एक आव्यूह का पंक्ति समष्टि उसके पंक्ति सदिश द्वारा विस्तारित किया गया उपसमष्टि है। पंक्ति समष्टि रोचक है क्योंकि यह शून्य समष्टि का लंबकोणीय पूरक है (नीचे देखें)।

स्वतंत्रता, आधार और आयाम
सामान्य तौर पर, K का एक उप-स्थानnk मापदंडों द्वारा निर्धारित (या k वैक्टर द्वारा फैलाया गया) का आयाम k है। हालाँकि, इस नियम के अपवाद भी हैं। उदाहरण के लिए, K का उपस्थान3 तीन सदिशों (1,0,0), (0,0,1), और (2,0,3) द्वारा फैला हुआ केवल xz-तल है, जिसमें समतल पर प्रत्येक बिंदु का वर्णन अपरिमित रूप से किया गया है के कई अलग-अलग मूल्य t1, t2, t3.

सामान्य तौर पर, वैक्टर वी1, ... , मेंk यदि रैखिकतः स्वतंत्र कहलाते हैं


 * $$t_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + t_k \mathbf{v}_k \;\ne\; u_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + u_k \mathbf{v}_k$$

के लिए (टी1, टी2, ..., टीk) ≠ (में1, में2, ... , मेंk). अगर v1, ..., vk रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, फिर निर्देशांक t1, ..., tk स्पैन में एक वेक्टर के लिए विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है।

उप-स्थान एस का आधार रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर का एक सेट है जिसका विस्तार एस है। किसी आधार में तत्वों की संख्या हमेशा उप-स्थान के ज्यामितीय आयाम के बराबर होती है। किसी उप-स्थान के लिए किसी भी स्पैनिंग सेट को अनावश्यक वैक्टर को हटाकर आधार में बदला जा सकता है (अधिक जानकारी के लिए नीचे #Algorithms|§ एल्गोरिदम देखें)।


 * उदाहरण
 * मान लीजिए S R का उपसमष्टि है4समीकरणों द्वारा परिभाषित
 * $$x_1 = 2 x_2\;\;\;\;\text{and}\;\;\;\;x_3 = 5x_4.$$
 * फिर वेक्टर (2,1,0,0) और (0,0,5,1) एस के लिए आधार हैं। विशेष रूप से, उपरोक्त समीकरणों को संतुष्ट करने वाले प्रत्येक वेक्टर को दोनों के रैखिक संयोजन के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है आधार वैक्टर:


 * $$(2t_1, t_1, 5t_2, t_2) = t_1(2, 1, 0, 0) + t_2(0, 0, 5, 1).$$
 * उपस्थान S द्वि-आयामी है। ज्यामितीय रूप से, यह 'R' में समतल है4 बिंदुओं (0,0,0,0), (2,1,0,0), और (0,0,5,1) से गुजरते हुए।

समावेशन
समावेशन संबंध|सेट-सैद्धांतिक समावेशन बाइनरी संबंध सभी उप-स्थानों (किसी भी आयाम के) के सेट पर एक आंशिक क्रम निर्दिष्ट करता है।

एक उप-स्थान कम आयाम के किसी भी उप-स्थान में स्थित नहीं हो सकता। यदि dim U = k, एक परिमित संख्या है, और U ⊂ W, तो dim W = k यदि और केवल यदि U = W है।

इंटरसेक्शन
सदिश समष्टि V के उप-स्थान U और W दिए गए हैं, तो उनका प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) U ∩ W := {'v' ∈ V : 'v' U और W दोनों का एक तत्व है} भी V का एक उपस्थान है। सबूत:
 * 1) मान लें कि 'v' और 'w' U ∩ W के तत्व हैं। फिर 'v' और 'w' U और W दोनों से संबंधित हैं। क्योंकि U एक उपसमष्टि है, तो 'v' + 'w' U से संबंधित है। इसी प्रकार, चूँकि W एक उपसमष्टि है, तो 'v' + 'w' W से संबंधित है। इस प्रकार, 'v' + 'w' U ∩W से संबंधित है।
 * 2) मान लीजिए 'v' U ∩ W से संबंधित है, और मान लीजिए कि c एक अदिश राशि है। फिर 'v' U और W दोनों से संबंधित है। चूँकि U और W उप-स्थान हैं, c'v' U और W दोनों से संबंधित है।
 * 3) चूँकि U और W सदिश समष्टि हैं, तो '0' दोनों समुच्चयों से संबंधित है। इस प्रकार, '0' U ∩ W से संबंधित है।

प्रत्येक सदिश समष्टि V के लिए, शून्य सदिश समष्टि|सेट {'0'} और V स्वयं V की उपसमष्टि हैं।

योग
यदि U और W उपसमष्टि हैं, तो उनका 'योग' उपसमष्टि है $$U + W = \left\{ \mathbf{u} + \mathbf{w} \colon \mathbf{u}\in U, \mathbf{w}\in W \right\}.$$ उदाहरण के लिए, दो रेखाओं का योग वह तल है जिसमें वे दोनों समाहित हैं। योग का आयाम असमानता को संतुष्ट करता है $$\max(\dim U,\dim W) \leq \dim(U + W) \leq \dim(U) + \dim(W).$$ यहां, न्यूनतम केवल तब होता है जब एक उपस्थान दूसरे में समाहित होता है, जबकि अधिकतम सबसे सामान्य मामला होता है। प्रतिच्छेदन का आयाम और योग निम्नलिखित समीकरण से संबंधित हैं: $$\dim(U+W) = \dim(U) + \dim(W) - \dim(U \cap W).$$ उप-स्थानों का एक सेट स्वतंत्र होता है जब उप-स्थानों के किसी भी जोड़े के बीच एकमात्र प्रतिच्छेदन तुच्छ उप-स्थान होता है। मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग स्वतंत्र उप-स्थानों का योग है, जिसे इस प्रकार लिखा जाता है $$U \oplus W$$. एक समतुल्य पुनर्कथन यह है कि प्रत्यक्ष योग एक उप-समष्टि योग है, इस शर्त के तहत कि प्रत्येक उप-स्थान योग की अवधि में योगदान देता है। प्रत्यक्ष योग का आयाम $$U \oplus W$$ उप-स्थानों के योग के समान है, लेकिन इसे छोटा किया जा सकता है क्योंकि तुच्छ उप-स्थान का आयाम शून्य है।

$$\dim (U \oplus W) = \dim (U) + \dim (W)$$

उपस्थानों की जाली
ऑपरेशन #Intersection और #Sum सभी उप-स्थानों के सेट को एक सीमित मॉड्यूलर जाली बनाते हैं, जहां शून्य वेक्टर स्थान|{0} उप-स्थान, सबसे छोटा तत्व, योग ऑपरेशन का एक पहचान तत्व है, और समान उप-स्थान V, सबसे बड़ा है तत्व, प्रतिच्छेदन ऑपरेशन का एक पहचान तत्व है।

ऑर्थोगोनल पूरक
अगर $$V$$ एक आंतरिक उत्पाद स्थान है और $$N$$ का एक उपसमुच्चय है $$V$$, फिर का ओर्थोगोनल पूरक $$N$$, निरूपित $$N^{\perp}$$, फिर से एक उपस्थान है। अगर $$V$$ परिमित-आयामी है और $$N$$ एक उपस्थान है, फिर के आयाम $$N$$ और $$N^{\perp}$$ पूरक संबंध को संतुष्ट करें $$\dim (N) + \dim (N^{\perp}) = \dim (V) $$. इसके अलावा, कोई भी वेक्टर अपने आप में ऑर्थोगोनल नहीं है $$ N \cap N^\perp = \{ 0 \}$$ और $$V$$ का सीधा योग है $$N$$ और $$N^{\perp}$$. ऑर्थोगोनल पूरकों को दो बार लागू करने से मूल उपस्थान वापस आ जाता है: $$(N^{\perp})^{\perp} = N$$ प्रत्येक उपस्थान के लिए $$N$$. इस ऑपरेशन को निषेध के रूप में समझा जाता है ($$\neg$$), उप-स्थानों की जाली को एक (संभवतः अनंत सेट) ऑर्थोपूरक जाली बनाता है (हालांकि वितरणात्मक जाली नहीं)।

अन्य द्विरेखीय रूपों वाले स्थानों में, इनमें से कुछ नहीं बल्कि सभी परिणाम अभी भी मान्य हैं। उदाहरण के लिए, छद्म-यूक्लिडियन रिक्त स्थान और सिम्प्लेक्टिक वेक्टर स्पेस स्थान में, ऑर्थोगोनल पूरक मौजूद हैं। हालाँकि, इन स्थानों में शून्य वेक्टर हो सकते हैं जो स्वयं के लिए ऑर्थोगोनल हैं, और परिणामस्वरूप उप-स्थान मौजूद हैं $$N$$ ऐसा है कि $$N \cap N^{\perp} \ne \{ 0 \}$$. परिणामस्वरूप, यह ऑपरेशन उप-स्थानों की जाली को बूलियन बीजगणित (न ही हेटिंग बीजगणित) में नहीं बदलता है।

एल्गोरिदम
उप-स्थानों से निपटने के लिए अधिकांश एल्गोरिदम में पंक्ति में कमी शामिल है। यह एक मैट्रिक्स में प्राथमिक पंक्ति संचालन को लागू करने की प्रक्रिया है, जब तक कि यह या तो पंक्ति सोपानक रूप या कम पंक्ति सोपानक रूप तक नहीं पहुंच जाता। पंक्ति कटौती में निम्नलिखित महत्वपूर्ण गुण हैं:
 * 1) कम किए गए मैट्रिक्स में मूल के समान ही शून्य स्थान है।
 * 2) पंक्ति कटौती से पंक्ति सदिशों की अवधि नहीं बदलती है, यानी कम किए गए मैट्रिक्स में मूल के समान पंक्ति स्थान होता है।
 * 3) पंक्ति में कमी कॉलम वैक्टर की रैखिक निर्भरता को प्रभावित नहीं करती है।

पंक्ति स्थान का आधार

 * इनपुट एन एम × एन मैट्रिक्स ए।
 * ए के पंक्ति स्थान के लिए आउटपुट ए आधार।
 * ए को पंक्ति सोपानक रूप में रखने के लिए प्रारंभिक पंक्ति संचालन का उपयोग करें।
 * सोपानक रूप की गैर-शून्य पंक्तियाँ ए की पंक्ति स्थान के लिए आधार हैं।

पंक्ति और स्तंभ स्थानों के लिए पंक्ति स्थान पर आलेख देखें#आधार 2।

यदि हम इसके बजाय मैट्रिक्स ए को कम पंक्ति सोपानक रूप में रखते हैं, तो पंक्ति स्थान के लिए परिणामी आधार विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है। यह जाँचने के लिए एक एल्गोरिदम प्रदान करता है कि क्या दो पंक्ति स्थान समान हैं और, विस्तार से, क्या K के दो उप-स्थान समान हैंnबराबर हैं.

उपस्थान सदस्यता

 * इनपुट ए आधार {बी1, बी2, ..., बीk} K के उप-स्थान S के लिएn, और n घटकों के साथ एक वेक्टर 'v'।
 * 'आउटपुट' यह निर्धारित करता है कि 'v' S का एक तत्व है या नहीं
 * एक (k+1)×n मैट्रिक्स A बनाएं जिसकी पंक्तियाँ वेक्टर 'b' हों1, ..., बीk और वी.
 * ए को पंक्ति सोपानक रूप में रखने के लिए प्रारंभिक पंक्ति संचालन का उपयोग करें।
 * यदि सोपानक रूप में शून्यों की एक पंक्ति है, तो सदिश {b1, ..., bk, v} रैखिक रूप से निर्भर हैं, और इसलिए v ∈ S.

स्तंभ स्थान का आधार

 * इनपुट एन एम × एन मैट्रिक्स ए
 * 'ए'' के कॉलम स्पेस के लिए आउटपुट ए आधार
 * ए को पंक्ति सोपानक रूप में रखने के लिए प्रारंभिक पंक्ति संचालन का उपयोग करें।
 * निर्धारित करें कि सोपानक प्रपत्र के किन स्तंभों में पंक्ति सोपानक रूप है। मूल मैट्रिक्स के संबंधित कॉलम कॉलम स्थान के लिए आधार हैं।

कॉलम स्पेस#आधार के लिए कॉलम स्पेस पर लेख देखें।

यह कॉलम स्पेस के लिए एक आधार तैयार करता है जो मूल कॉलम वैक्टर का एक सबसेट है। यह काम करता है क्योंकि धुरी वाले स्तंभ सोपानक रूप के स्तंभ स्थान के लिए आधार हैं, और पंक्ति में कमी स्तंभों के बीच रैखिक निर्भरता संबंधों को नहीं बदलती है।

एक वेक्टर के लिए निर्देशांक

 * इनपुट ए आधार {बी1, बी2, ..., बीk} K के उप-स्थान S के लिएn, और एक वेक्टर v ∈ S
 * आउटपुट नंबर t1, टी2, ..., टीk ऐसा है कि v = t1b1 + ··· + tkbk
 * एक संवर्धित मैट्रिक्स ए बनाएं जिसके कॉलम 'बी' हैं1,...,बीk, अंतिम कॉलम v है।
 * ए को कम पंक्ति सोपानक रूप में रखने के लिए प्रारंभिक पंक्ति संचालन का उपयोग करें।
 * घटे हुए सोपानक रूप के अंतिम स्तंभ को पहले k स्तंभों के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करें। प्रयुक्त गुणांक वांछित संख्याएँ हैं t1, t2, ..., tk. (ये कम किए गए इकोलोन फॉर्म के अंतिम कॉलम में बिल्कुल पहली k प्रविष्टियाँ होनी चाहिए।)

यदि कम पंक्ति सोपानक प्रपत्र के अंतिम कॉलम में एक धुरी है, तो इनपुट वेक्टर 'v' S में नहीं है।

शून्य स्थान का आधार

 * इनपुट एन एम × एन मैट्रिक्स ए।
 * आउटपुट ए के शून्य स्थान के लिए एक आधार
 * ए को छोटी पंक्ति के सोपानक रूप में रखने के लिए प्रारंभिक पंक्ति संचालन का उपयोग करें।
 * कम पंक्ति सोपानक प्रपत्र का उपयोग करके, निर्धारित करें कि कौन सा चर है x1, x2, ..., xn मुक्त हैं। आश्रित चर के लिए मुक्त चर के संदर्भ में समीकरण लिखें।
 * प्रत्येक निःशुल्क चर x के लिएi, जिसके लिए शून्य स्थान में एक वेक्टर चुनें xi = 1 और शेष मुक्त चर शून्य हैं। सदिशों का परिणामी संग्रह A के शून्य स्थान का आधार है।

कर्नेल (मैट्रिक्स)#आधार के लिए शून्य स्थान पर लेख देखें।

दो उपस्थानों के योग और प्रतिच्छेदन का आधार
दो उपस्थान दिए गए हैं $U$ और $W$ का $V$, योग का एक आधार $$U + W$$ और चौराहा $$U \cap W$$ ज़ैसेनहौस एल्गोरिथ्म का उपयोग करके गणना की जा सकती है।

उपसमष्टि के लिए समीकरण

 * इनपुट ए आधार {बी1, बी2, ..., बीk} K के उप-स्थान S के लिएn
 * 'आउटपुट' एक (n − k) × n मैट्रिक्स जिसका शून्य स्थान S है।
 * एक मैट्रिक्स ए बनाएं जिसकी पंक्तियाँ हैं b1, b2, ..., bk.
 * ए को कम पंक्ति सोपानक रूप में रखने के लिए प्रारंभिक पंक्ति संचालन का उपयोग करें।
 * होने देना c1, c2, ..., cn कम पंक्ति सोपानक प्रपत्र के स्तंभ बनें। धुरी के बिना प्रत्येक स्तंभ के लिए, स्तंभ को धुरी वाले स्तंभों के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करते हुए एक समीकरण लिखें।
 * इसका परिणाम n - k रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली में होता है जिसमें चर 'c' शामिल होते हैं1,...,सीn. (n − k) × n} इस प्रणाली के अनुरूप मैट्रिक्स नलस्पेस एस के साथ वांछित मैट्रिक्स है।


 * उदाहरण
 * यदि A का लघु पंक्ति सोपानक रूप है


 * $$\left[ \begin{alignat}{6}

1 && 0 && -3 && 0 && 2 && 0 \\ 0 && 1 &&  5 && 0 && -1 && 4 \\ 0 && 0 &&  0 && 1 &&  7 && -9 \\ 0 && \;\;\;\;\;0 &&  \;\;\;\;\;0 && \;\;\;\;\;0 &&  \;\;\;\;\;0 && \;\;\;\;\;0 \end{alignat} \,\right] $$
 * फिर कॉलम वैक्टर c1, ..., c6 समीकरणों को संतुष्ट करें


 * $$ \begin{alignat}{1}

\mathbf{c}_3 &= -3\mathbf{c}_1 + 5\mathbf{c}_2 \\ \mathbf{c}_5 &= 2\mathbf{c}_1 - \mathbf{c}_2 + 7\mathbf{c}_4 \\ \mathbf{c}_6 &= 4\mathbf{c}_2 - 9\mathbf{c}_4 \end{alignat}$$
 * इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि A के पंक्ति सदिश समीकरणों को संतुष्ट करते हैं


 * $$ \begin{alignat}{1}

x_3 &= -3x_1 + 5x_2 \\ x_5 &= 2x_1 - x_2 + 7x_4 \\ x_6 &= 4x_2 - 9x_4. \end{alignat}$$
 * विशेष रूप से, ए के पंक्ति वैक्टर संबंधित मैट्रिक्स के शून्य स्थान के लिए आधार हैं।

यह भी देखें

 * चक्रीय उपस्थान
 * अपरिवर्तनीय उपस्थान
 * मल्टीलिनियर सबस्पेस लर्निंग
 * भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित)
 * सिग्नल उपस्थान
 * सबस्पेस टोपोलॉजी