श्रृंखला नियम (संभावना)

प्रायिकता सिद्धांत में, श्रृंखला नियम (जिसे सामान्य गुणनफल नियम भी कहा जाता है ) यह वर्णन करता है कि सशर्त प्रायिकताओं का उपयोग करके, आवश्यक रूप से स्वतंत्र न होते हुए भी, यह निश्चित करता है कि घटनाओं या क्रमशः यादृच्छिक चर के संयुक्त वितरण के प्रतिच्छेदन की संभावना की गणना कैसे करें। नियम का उपयोग विशेष रूप से असतत प्रसंभाव्यता प्रक्रिया के संदर्भ में और अनुप्रयोगों में किया जाता है, उदाहरण के लिए बायेसियन नेटवर्क का अध्ययन, जो सशर्त प्रायिकताओं के संदर्भ में प्रायिकता वितरण का वर्णन करता है।

दो घटनाएँ
दो घटनाओं $$A$$ और $$B$$ के लिए, श्रृंखला नियम यह बताता है कि


 * $$\mathbb P(A \cap B) = \mathbb P(B \mid A) \mathbb P(A)$$,

जहां $$\mathbb P(A \mid B)$$ दिए गए $$B$$ में से $$A$$ सप्रतिबंधप्रायिकता को दर्शाता है।

उदाहरण
एक कलश A में 1 काली गेंद और 2 सफेद गेंदें हैं और दूसरे कलश B में 1 काली गेंद और 3 सफेद गेंदें हैं। मान लीजिए कि हम यादृच्छिक रूप से एक कलश चुनते हैं और फिर उस कलश से एक गेंद चुनते हैं। मान लीजिए कि घटना $$A$$ कलश चुन रही है, अर्थात $$\mathbb P(A) = \mathbb P(\overline{A}) = 1/2$$, कहाँ $$\overline A$$ $$A$$ की पूरक घटना है। मान लीजिए कि घटना $$B$$ वह संभावना है जब हम एक सफेद गेंद चुनते हैं। सफ़ेद गेंद चुनने की संभावना, यह देखते हुए कि हमने पहला कलश चुना है, जो $$\mathbb P(B|A) = 2/3.$$ है। प्रतिच्छेदन $$A \cap B$$ फिर पहले कलश और उसमें से एक सफेद गेंद को चुनने का वर्णन करता है। प्रायिकता की गणना श्रृंखला नियम द्वारा निम्नानुसार की जा सकती है,


 * $$\mathbb P(A \cap B) = \mathbb P(B \mid A) \mathbb P(A) = \frac 23 \cdot \frac 12 = \frac 13.$$

निश्चित रूप से अनेक घटनाएँ
उन घटनाओं के लिए $$A_1,\ldots,A_n$$ जिनके प्रतिच्छेदन की प्रायिकता शून्य नहीं है, तो श्रृंखला नियम के अनुसार वह इस प्रकार होगा


 * $$\begin{align}

\mathbb P\left(A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_n\right) &= \mathbb P\left(A_n \mid A_1 \cap \ldots \cap A_{n-1}\right) \mathbb P\left(A_1 \cap \ldots \cap A_{n-1}\right) \\ &= \mathbb P\left(A_n \mid A_1 \cap \ldots \cap A_{n-1}\right) \mathbb P\left(A_{n-1} \mid A_1 \cap \ldots \cap A_{n-2}\right) \mathbb P\left(A_1 \cap \ldots \cap A_{n-2}\right) \\ &= \mathbb P\left(A_n \mid A_1 \cap \ldots \cap A_{n-1}\right) \mathbb P\left(A_{n-1} \mid A_1 \cap \ldots \cap A_{n-2}\right) \cdot \ldots \cdot \mathbb P(A_3 \mid A_1 \cap A_2) \mathbb P(A_2 \mid A_1) \mathbb P(A_1)\\ &= \mathbb P(A_1) \mathbb P(A_2 \mid A_1) \mathbb P(A_3 \mid A_1 \cap A_2) \cdot \ldots \cdot \mathbb P(A_n \mid A_1 \cap \dots \cap A_{n-1})\\ &= \prod_{k=1}^n \mathbb P(A_k \mid A_1 \cap \dots \cap A_{k-1})\\ &= \prod_{k=1}^n \mathbb P\left(A_k \,\Bigg|\, \bigcap_{j=1}^{k-1} A_j\right). \end{align}$$

उदाहरण 1
$$n=4$$ के लिए, अर्थात चार घटनाएं हैं, तो श्रृंखला नियम के अनुसार वह इस प्रकार होगा


 * $$\begin{align}

\mathbb P(A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4) &= \mathbb P(A_4 \mid A_3 \cap A_2 \cap A_1)\mathbb P(A_3 \cap A_2 \cap A_1) \\ &= \mathbb P(A_4 \mid A_3 \cap A_2 \cap A_1)\mathbb P(A_3 \mid A_2 \cap A_1)\mathbb P(A_2 \cap A_1) \\ &= \mathbb P(A_4 \mid A_3 \cap A_2 \cap A_1)\mathbb P(A_3 \mid A_2 \cap A_1)\mathbb P(A_2 \mid A_1)\mathbb P(A_1) \end{align}$$

उदाहरण 2
हम 52 पत्तों वाले स्काट के डेक से यादृच्छिक रूप से बिना प्रतिस्थापन के 4 पत्ते निकालते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि हमने 4 इक्के चुने हैं?

सबसे पहले, हम $A_n := \left\{ \text{draw an ace in the } n^{\text{th}} \text{ try} \right\}$ निर्धारित करते हैं। जाहिर है, हमें निम्नलिखित संभावनाएँ मिलती हैं


 * $$\mathbb P(A_1) = \frac 4{52},

\qquad \mathbb P(A_2 \mid A_1) = \frac 3{51}, \qquad \mathbb P(A_3 \mid A_1 \cap A_2) = \frac 2{50}, \qquad \mathbb P(A_4 \mid A_1 \cap A_2 \cap A_3) = \frac 1{49}$$.

श्रृंखला नियम लागू करने पर,


 * $$\mathbb P(A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4)

= \frac 4{52} \cdot \frac 3{51} \cdot \frac 2{50} \cdot \frac 1{49}$$।

प्रमेय का कथन और उपपत्ति
मान लीजिए $$(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)$$ एक प्रायिकता समष्टि है।

याद रखें कि $$A \in \mathcal A$$ दिए गए $$B \in \mathcal A$$ की सशर्त प्रायिकता को

\begin{align} \mathbb P(A \mid B) := \begin{cases} \frac{\mathbb P(A \cap B)}{\mathbb P(B)}, & \mathbb P(B) > 0,\\ 0 & \mathbb P(B) = 0. \end{cases} \end{align} $$ के रूप में परिभाषित किया गया है।

तब हमारे पास निम्नलिखित प्रमेय है।$$

$$

दो यादृच्छिक चर
दो असतत यादृच्छिक चर $$X,Y$$ के लिए, हम उपरोक्त परिभाषा में घटनाओं$$A := \{X = x\}$$और $$B := \{Y = y\}$$का उपयोग करते हैं, और संयुक्त वितरण को


 * $$\mathbb P(X = x,Y = y) = \mathbb P(X = x\mid Y = y) \mathbb P(Y = y),$$
 * के रूप में निर्धारित करते हैं

या


 * $$\mathbb P_{(X,Y)}(x,y) = \mathbb P_{X \mid Y}(x\mid y) \mathbb P_Y(y),$$ जहां $$\mathbb P_X(x) := \mathbb P(X = x)$$ $$X$$ का प्रायिकता वितरण है और  $$\mathbb P_{X \mid Y}(x\mid y)$$ दिए गए $$X$$ का सशर्त प्रायिकता वितरण $$Y$$ है।

बहुत सारे यादृच्छिक चर
माना कि $$X_1, \ldots, X_n$$ और $$x_1, \dots, x_n \in \mathbb R$$ यादृच्छिक चर है। सशर्त प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,


 * $$\mathbb P\left(X_n=x_n, \ldots, X_1=x_1\right) = \mathbb P\left(X_n=x_n | X_{n-1}=x_{n-1}, \ldots , X_1=x_1\right) \mathbb P\left(X_{n-1}=x_{n-1}, \ldots , X_1=x_1\right)$$

और श्रृंखला नियम का उपयोग करके, हम $$A_k := \{X_k = x_k\}$$ को निर्धारित करते हैं और फिर हम संयुक्त वितरण को इस प्रकार निर्धारित कर सकते हैं


 * $$\begin{align}

\mathbb P\left(X_1 = x_1, \ldots X_n = x_n\right) &= \mathbb P\left(X_1 = x_1 \mid X_2 = x_2, \ldots, X_n = x_n\right) \mathbb P\left(X_2 = x_2, \ldots, X_n = x_n\right) \\ &= \mathbb P(X_1 = x_1) \mathbb P(X_2 = x_2 \mid X_1 = x_1) \mathbb P(X_3 = x_3 \mid X_1 = x_1, X_2 = x_2) \cdot \ldots \\ &\qquad \cdot \mathbb P(X_n = x_n \mid X_1 = x_1, \dots, X_{n-1} = x_{n-1})\\ \end{align}$$

उदाहरण
$$n=3$$ के लिए, अर्थात तीन यादृच्छिक चर को ध्यान में रखते हुए। श्रृंखला नियम को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है,


 * $$\begin{align}

\mathbb P_{(X_1,X_2,X_3)}(x_1,x_2,x_3) &= \mathbb P(X_1=x_1, X_2 = x_2, X_3 = x_3)\\ &= \mathbb P(X_3=x_3 \mid X_2 = x_2, X_1 = x_1) \mathbb P(X_2 = x_2, X_1 = x_1) \\ &= \mathbb P(X_3=x_3 \mid X_2 = x_2, X_1 = x_1) \mathbb P(X_2 = x_2 \mid X_1 = x_1) \mathbb P(X_1 = x_1) \\ &= \mathbb P_{X_3\mid X_2, X_1}(x_3 \mid x_2, x_1) \mathbb P_{X_2\mid X_1}(x_2 \mid x_1) \mathbb P_{X_1}(x_1). \end{align}$$

यह भी देखें

 * - जब एक घटना के घटित होने से दूसरी घटना की संभावना प्रभावित नहीं होती

ग्रन्थसूची

 * , p. 496.
 * , p. 496.
 * , p. 496.