डोमेन का व्युत्क्रम

यूक्लिडियन अंतरिक्ष के समरूपी उपसमुच्चय के बारे में संस्थित विज्ञान में डोमेन की एक प्रमेय है
 * अगर $$U$$ का एक खुला समूह $$\R^n$$ है और $$f : U \rarr \R^n$$ एक अंतक्षेपण निरंतर नक्शा है फिर $$V := f(U)$$ में खुला है तथा $$\R^n$$ और $$f$$ के बीच एक समंलैंगिगता के प्रति प्रबल घृणा $$U$$ और $$V$$ है।

प्रमेय और इसका प्रमाण 1912 में प्रकाशित हुआ बीजगणितीय उपसमुच्चय के उपकरण का उपयोग ब्रौवर निश्चित बिंदु प्रमेय के रूप में प्रयोग करता है।

टिप्पणियाँ
प्रमेय का निष्कर्ष समान रूप से तैयार किया जा सकता है जैसे एक खुला नक्शा

सामान्य तौर पर यह जांचने के लिए एक समलैंगिकता को यह सत्यापित करना होगा कि दोनों कार्य निरंतर हैं तो प्रमेय कहता है कि यदि डोमेन का एक खुला उपसमुच्चय और छवि अंदर है तथा निरंतरता स्वचालित हैं यदि दो उपसमुच्चय हैं।

परिणाम
डोमेन अपरिवर्तनीय प्रमेय का एक महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि $$\R^n$$ के लिए उपसमुच्चय नहीं हो सकता यदि $$\R^m$$ तथा $$m \neq n.$$ कोई गैर-रिक्त खुला उपसमुच्चय नहीं है $$\R^n$$ के किसी भी खुले उपसमुच्चय के लिए यह समरूपी भी हो सकता है ।

सामान्यीकरण
डोमेन अपरिवर्तनीय प्रमेय को कई गुना सामान्यीकृत किया जा सकता है यदि $$M$$ और $$N$$ संस्थिति विज्ञान हैं तो $n$-कई गुना $$f : M \to N$$ एक सतत नक्शा है जो स्थानीय रूप से अंतःक्षेपण है

कुछ प्रकार के निरंतर नक्शों के लिए यह सामान्यीकरण भी हैं।

यह भी देखें

 * अन्य शर्तों के लिए जो यह सुनिश्चित करती हैं कि दिया गया निरंतर नक्शा खुला है।

संदर्भ

 * (see p. 72–73 for Hirsch's proof utilizing non-existence of a differentiable retraction)
 * (see p. 72–73 for Hirsch's proof utilizing non-existence of a differentiable retraction)
 * (see p. 72–73 for Hirsch's proof utilizing non-existence of a differentiable retraction)
 * (see p. 72–73 for Hirsch's proof utilizing non-existence of a differentiable retraction)
 * (see p. 72–73 for Hirsch's proof utilizing non-existence of a differentiable retraction)
 * (see p. 72–73 for Hirsch's proof utilizing non-existence of a differentiable retraction)