न्यूनतम-वर्ग समायोजन

न्यूनतम-वर्ग समायोजन, न्यूनतम वर्ग अवलोकन अवशेष के सिद्धांत पर आधारित, समीकरणों की एक अतिनिर्धारित प्रणाली के समाधान हेतु एक प्रारूप है। इसका उपयोग व्यापक रूप से सर्वेक्षण, भूगणित और फोटोग्राममिति में, सर्वसमावेशी रूप से किया जाता है।

सूत्रीकरण
न्यूनतम वर्ग समायोजन के तीन रूप हैं: प्राचलिक, औपबंधिक और संयुक्त: स्पष्ट रूप से, प्राचलिक और औपबंधिक समायोजन अधिक सामान्य संयुक्त परिप्रेक्ष्य के अनुरूप होते हैं जब क्रमशः f(X,Y)=h(X)-Y और f(X,Y)=g(Y)। फिर भी विशेष परिप्रेक्ष्य में सरल समाधान की आवश्यकता होती है, जैसा कि नीचे बताया गया है। प्रायः साहित्य में, Y को L से दर्शाया जा सकता है।
 * 'प्राचलिक समायोजन' में, कोई अवलोकन समीकरण h(X)=Y प्राप्त कर सकता है जो स्पष्ट रूप से मानदंड X के संदर्भ में अवलोकन Y से संबंधित है (जिससे A-मॉडल का निर्माण होता है)।
 * औपबंधिक समायोजन में, एक औपबंधिक समीकरण होता है जिसमें केवल अवलोकन Y संबंधित होते हैं और इसमें कोई पैरामीटर X नहीं होता है, जो इसे g(Y)=0 रूप में प्रकट करता है (जिससे B-मॉडल का निर्माण होता है)।
 * संयुक्त समायोजन में, न सिर्फ पैरामीटर X बल्कि अवलोकन Y भी मिश्रित मॉडल समीकरण f(X,Y)=0 में निहित रूप से सम्मिलित होते हैं। इस समीकरण के माध्यम से दोनों पैरामीटर और अवलोकनों के बीच संबंध का समाधान किया जाता है।

समाधान
उपरोक्त समानताएँ केवल अनुमानित मापदंडों $$\hat{X}$$ और अवलोकन $$\hat{Y}$$ के लिए मान्य हैं। इस प्रकार $$f\left(\hat{X},\hat{Y}\right)=0$$ है। इसके विपरीत, मापे गए अवलोकन $$\tilde{Y}$$ और अनुमानित पैरामीटर $$\tilde{X}$$ एक गैर-शून्य प्रकटीकरण उत्पन्न करता है:
 * $$\tilde{w} = f\left(\tilde{X},\tilde{Y}\right).$$

कोई समीकरणों के टेलर श्रृंखला विस्तार के लिए आगे बढ़ सकता है, जिसके परिणामस्वरूप जैकोबियन आव्यूह और निर्धारक या डिजाइन आव्यूह उत्पन्न होता है: पहला,
 * $$A=\partial{f}/\partial{X};$$

और दूसरा,
 * $$B=\partial{f}/\partial{Y}.$$

रेखीयकृत मॉडल तब:
 * $$\tilde{w} + A \hat{x} + B \hat{y} = 0,$$

जहाँ $$\hat{x}=\hat{X}-\tilde{X}$$ प्राथमिक मानों के लिए अनुमानित पैरामीटर सुधार हैं, और $$\hat{y}=\hat{Y}-\tilde{Y}$$ आँकड़ों में पोस्ट-फिट अवलोकन त्रुटियाँ और अवशेष हैं।

प्राचलिक समायोजन में, दूसरा डिज़ाइन आव्यूह एक इकाई है, और मिसक्लोजर वेक्टर को पूर्व-फिट अवशेषों $$\tilde{y}=\tilde{w}=h(\tilde{X})-\tilde{Y}$$ के रूप में व्याख्या किया जा सकता है, इसलिए तंत्र सरल हो जाता है:
 * $$A \hat{x} = \hat{y} - \tilde{y},$$

जो साधारण न्यूनतम वर्ग के रूप में है।

औपबंधिक समायोजन में, पहला डिज़ाइन आव्यूह, A=0 शून्य है।

अधिक सामान्य विषयों के लिए, लैग्रेंज गुणक को दो जैकोबियन आव्यूह से संबंधित करने के लिए प्रस्तुत किया गया है, और बाधा न्यूनतम वर्ग समस्या को एक अप्रतिबंधित समायोजन में परिवर्तित कर दिया गया है। किसी भी स्थिति में, $$\hat{X}$$ और $$\hat{Y}$$ वैक्टर के साथ-साथ संबंधित पैरामीटर और पोस्टीरियर सहप्रसरण आव्यूह का अवलोकन उनके यादृच्छिकता की ओर प्रवर्धित होता है।

गणना
उपरोक्त आव्यूहों और सदिशों को देखते हुए, उनका समाधान मानक न्यूनतम-वर्ग विधियों के माध्यम से प्राप्त किया जाता है; उदाहरण के लिए, सामान्य आव्यूह का निर्माण और चोलेस्की अपघटन को लागू करना, क्यूआर गुणन को सीधे जैकोबियन आव्यूह पर लागू करना, अत्यधिक दीर्घ प्रणालियों के लिए पुनरावृत्त विधियाँ आदि।

अनुप्रयोग

 * लेवलिंग, ट्रैवर्स (सर्वेक्षण), और नियंत्रण नेटवर्क
 * बंडल समायोजन
 * त्रिकोणीकरण, त्रिपुंजीकरण, विकट:त्रिकोणीकरण
 * जीपीएस / जीएनएसएस स्थिति
 * हेल्मर्ट परिवर्तन

संबंधित अवधारणाएँ

 * प्राचलिक समायोजन अधिकांश प्रतिगमन विश्लेषण के समान है और गॉस-मार्कोव मॉडल के समान है
 * संयुक्त समायोजन, जिसे गॉस-हेल्मर्ट मॉडल के रूप में भी जाना जाता है चर-में-त्रुटि मॉडल और पूर्ण न्यूनतम वर्ग से संबंधित है।
 * प्राथमिक पैरामीटर सहप्रसरण आव्यूह का उपयोग तिखोनोव नियमितीकरण के समान है

एक्सटेंशन
यदि रैंक की कमी का सामना करना पड़ता है, तो इसे प्रायः अतिरिक्त समीकरणों को सम्मिलित करके मापदंडों और/या टिप्पणियों पर बाधाएं डालकर ठीक किया जा सकता है, जिससे न्यूनतम वर्ग सीमित हो जाते हैं।

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