यूलर पद्धति

गणित और कम्प्यूटेशनल विज्ञान में, यूलर विधि (जिसे फॉरवर्ड यूलर विधि भी कहा जाता है) एक प्रारंभिक मूल्य समस्या के साथ सामान्य अंतर समीकरणों (ओडीई) को हल करने के लिए प्रथम क्रम संख्यात्मक विश्लेषण प्रक्रिया है। यह संख्यात्मक साधारण अंतर समीकरण के लिए सबसे मौलिक स्पष्ट और निहित विधि और सबसे सरल रनगे-कुट्टा विधि है। यूलर विधि का नाम लियोनहार्ड यूलर के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने अपनी पुस्तक इंटीग्रल कैलकुस संस्थान (प्रकाशित 1768-1870) में इसके बारे में बताया है। यूलर विधि प्रथम-क्रम विधि होती है, जो स्थानीय त्रुटि (प्रति समीकरण त्रुटि) के समीकरण आकार के वर्ग के समानुपाती होती है, और वैश्विक त्रुटि (किसी निश्चित समय पर त्रुटि) समीकरण आकार के समानुपाती होती है।

यूलर विधि अधिकांशतः अधिक जटिल विधियों के निर्माण के आधार पर कार्य करती है, उदाहरण के लिए, भविष्यवक्ता-सुधारक विधि होती है।

अनौपचारिक ज्यामितीय विवरण
एक अज्ञात वक्र के आकार की गणना करने से होने वाली समस्याओं पर विचार करें जो किसी दिए गए बिंदु से शुरू होती है तथा दिए गए अवकल समीकरण को संतुष्ट करती है। यहाँ, अंतर समीकरण को निम्न सूत्र के रूप में माना जा सकता है जिसके द्वारा उस बिंदु की स्थिति की गणना करने के बाद वक्र पर स्पर्शरेखा रेखा की ढलान की गणना वक्र पर किसी भी बिंदु पर की जा सकती है।

यहाँ मुख्य बात यह है कि वक्र प्रारंभ में अज्ञात रहता है, इसका प्रारंभिक बिंदु जिसे हम $$A_0,$$ से निरूपित करते हैं वह ज्ञात रहता है (शीर्ष दाईं ओर चित्र देखें)। फिर, अंतर समीकरण से, ढलान से वक्र तक $$A_0$$ की गणना की जा सकती है, और फलस्वरूप स्पर्श रेखा को हम देख पाते है।

इस स्पर्श रेखा के साथ एक बिंदु $$A_1.$$ तक एक छोटा कदम उठाया जाता है और इस छोटे कारण ढलान में बहुत कम परिवर्तन होता है, इसलिए $$A_1$$ वक्र के निकट रहता है। अगर हम इसे $$A_1$$से इसे निरूपित करें तो अभी भी यह वक्र पर दिखाई देता है, वही तर्क जो बिंदु $$A_0$$ के लिए है ऊपर उपयोग किया जाता है। इसके कई समीकरणों के बाद, एक बहुभुज वक्र $$A_0A_1A_2A_3\dots$$ की गणना की जाती है। सामान्यतः यह वक्रमूल अज्ञात वक्र से बहुत दूर नहीं जाता है और इस कारण इन दोनों वक्रों के बीच की त्रुटि को छोटा किया जा सकता है यदि समीकरण का आकार बहुत कम है और गणना का अंतराल परिमित है:
 * $$y'(t) = f\bigl(t,y(t)\bigr), \qquad y(t_0)=y_0. $$

$$h$$ के लिए एक मान चुनें और प्रत्येक समीकरण और सेट के आकार के लिए $$t_n = t_0 + nh$$. अब, यूलर विधि के समीकरण $$t_n$$के लिए प्रति $$t_{n+1} = t_n + h$$ है:
 * $$ y_{n+1} = y_n + hf(t_n,y_n).$$

$$y_n$$ का मान समय पर ODE के हल के लिए अनुमानित रहता है जो $$t_n$$: $$y_n \approx y(t_n)$$ है और यूलर विधि स्पष्ट और अंतर्निहित विधि हैं, अर्थात इसके हल के लिए $$y_{n+1}$$ का एक स्पष्ट फंक्शन $$y_i$$ है जहाँ $$y_i$$ के लिये $$i \leq n$$ होता है।

जबकि यूलर विधि पहले क्रम के ODE के किसी भी ODE को एकीकृत करती है तब $$N$$ प्रथम क्रम ODEs की एक प्रणाली के रूप में प्रतिनिधित्व करता है: समीकरण को हल करने के लिए


 * $$ y^{(N)}(t) = f\left(t, y(t), y'(t), \ldots, y^{(N-1)}(t)\right) ,$$

हम सहायक वैरिएबल को इस प्रकार प्रदर्शित करते हैं $$z_1(t)=y(t), z_2(t)=y'(t),\ldots, z_N(t)=y^{(N-1)}(t)$$ और प्राप्त करें

समतुल्य समीकरण:


 * $$ \mathbf{z}'(t)

= \begin{pmatrix} z_1'(t)\\ \vdots\\ z_{N-1}'(t)\\ z_N'(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y'(t)\\ \vdots\\ y^{(N-1)}(t)\\ y^{(N)}(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z_2(t)\\ \vdots\\ z_N(t)\\ f\bigl(t,z_1(t),\ldots,z_N(t)\bigr) \end{pmatrix} $$ यह चर में प्रथम-क्रम प्रणाली है $$\mathbf{z}(t)$$ और यूलर की विधि या, वास्तव में, प्रथम-क्रम प्रणालियों के लिए किसी अन्य योजना द्वारा नियंत्रित किया जा सकता है।

उदाहरण
प्रारंभिक मान के लिए


 * $$y'=y, \quad y(0)=1, $$

अनुमानित $$y(4)$$ का मान प्राप्त करने के लिए यूलर विधि का उपयोग किया जाता है।

1 के बराबर समीकरण आकार का उपयोग करना ($h = 1$)
प्रतिबिम्ब के संख्यात्मक एकीकरण चित्रण के लिए समीकरण =1.svg|right|thumb|समीकरण के लिए संख्यात्मक एकीकरण का चित्रण $$y'=y, y(0)=1.$$ है जहाँ यूलर विधि को नीले रंग से मध्यबिंदु विधि को हरे रंग से; सटीक समाधान के लिए लाल, तथा स्टेप साइज $$y=e^t.$$ है अन्त में $$h=1.0.$$यूलर विधि है


 * $$ y_{n+1} = y_n + hf(t_n,y_n). $$

इसलिए पहले हमें गणना करनी चाहिए $$f(t_0, y_0)$$. इस सरल अंतर समीकरण में, फ़ंक्शन $$f$$ द्वारा परिभाषित किया गया है $$f(t,y) = y$$. इस प्रकार उक्त समीकरण प्राप्त होता है


 * $$ f(t_0,y_0) = f(0,1) = 1. $$

उपरोक्त समीकरण में हमने इस रेखा का ढलान पाया है जो बिंदु $$(0,1)$$. पर हल के लिए वक्र की स्पर्शरेखा है यहाँ याद रखें कि ढलान को परिवर्तित करने के फलस्वरूप परिभाषित किया गया है $$y$$ में परिवर्तन से विभाजित $$t$$, या $ \frac{\Delta y} {\Delta t}$ का प्रयोग किया जाता है।

अगले समीकरण में उपरोक्त मान को $$h$$ के मान से गुणा करना है, जिसका मान एक के बराबर लिया जाता है:


 * $$ h \cdot f(y_0) = 1 \cdot 1 = 1. $$

चूंकि स्टेप साइज में होने वाला परिवर्तन $$t$$ है, जहाँ पर समीकरण के आकार और स्पर्शरेखा के ढलान का गुणा किया जाता हैं, हमें $$y$$ के मान में परिवर्तन मिलता है। यह मान $$y$$ के लिए प्रारंभ में जोड़ा जाता है और गणना के लिए उपयोग किए जाने वाले अगले मान को प्राप्त करने के लिए इसी मान का उपयोग किया जाता है।


 * $$ y_0 + hf(y_0) = y_1 = 1 + 1 \cdot 1 = 2. $$

उपरोक्त समीकरणों को हल करने के लिए $$ y_2$$, $$y_3 $$ तथा $$y_4$$ से दोहराया जाता है।


 * $$ \begin{align}

y_2 &= y_1 + hf(y_1) = 2 + 1 \cdot 2 = 4, \\ y_3 &= y_2 + hf(y_2) = 4 + 1 \cdot 4 = 8, \\ y_4 &= y_3 + hf(y_3) = 8 + 1 \cdot 8 = 16. \end{align} $$ इस एल्गोरिथ्म की दोहरी प्रकृति के कारण, त्रुटियों से बचने के लिए, जैसा कि नीचे देखा गया है, गणनाओं को चार्ट के रूप में व्यवस्थित करना सहायक होता है।


 * {| class="wikitable"

! $$n$$ !! $$y_n$$ !! $$t_n$$ !!$$f(t_n,y_n)$$ !! $$h$$ !! $$\Delta y$$ !! $$y_{n+1}$$ इस गणना का निष्कर्ष यह है कि $$ y_4 = 16 $$. अवकल समीकरण $$ y(t) = e^t $$ का सटीक हल है इसलिए $$ y(4) = e^4 \approx 54.598 $$ मान लिया जाता है, चूंकि इस विशिष्ट स्थिति में यूलर पद्धति का सन्निकटन बहुत सटीक नहीं होता है, विशेष रूप से एक बड़े $$h$$ के मान के लिए समीकरण के आकार के कारण, इस प्रकार गुणात्मक रूप से यह सही है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।
 * 0 || 1 || 0 || 1 || 1 || 1 || 2
 * 1 || 2 || 1 || 2 || 1 || 2 || 4
 * 2 || 4 || 2 || 4 || 1 || 4 || 8
 * 3 || 8 || 3 || 8 || 1 || 8 || 16
 * }
 * 2 || 4 || 2 || 4 || 1 || 4 || 8
 * 3 || 8 || 3 || 8 || 1 || 8 || 16
 * }
 * }

अन्य समीकरण आकारों का उपयोग
प्रतिबिम्ब संख्यात्मक एकीकरण के उदाहरण के लिए समीकरण =0.25.svg|right|thumb|के लिए एक ही दृष्टांत $$h=0.25.$$ पर व्यवस्थित है जैसा कि प्रस्तावना में सुझाया गया है, इस प्रकार आकार के स्थिति में यूलर विधि अधिक सटीक है तथा $$h$$ का मान कम रहता है। नीचे दी गई सारणी में विभिन्न समीकरणों के आकार के साथ परिणाम दिखाई देते हैं। शीर्ष पंक्ति पिछले अनुभाग में उदाहरण से मेल खाती है, और दूसरी पंक्ति चित्र में सचित्र है।


 * {| class="wikitable"

! चरण आकार !! यूलर की विधि का परिणाम !! त्रुटि सारणी के अंतिम कॉलम में त्रुटि सटीक हल प्राप्त करने के लिए $$ t = 4 $$ और यूलर सन्निकटन के बीच का अंतर है। सारणी के निचले भाग में, पिछली पंक्ति में उपयोग किए गए चरण का आकार आधा है, और त्रुटि भी पिछली पंक्ति में त्रुटि का लगभग आधा है। इससे पता चलता है कि त्रुटि समीकरण आकार के लगभग आनुपातिक है, कम से कम इसके चरण के आकार के बहुत कम मान के लिए इसे उपयोग करते हैं, यह व्यापक रूप से अन्य समीकरणों के लिए भी सत्य है; अधिक विवरण के लिए खंड वैश्विक ट्रंकेशन त्रुटि देखें।
 * 1 || 16.00 || 38.60
 * 0.25 || 35.53 || 19.07
 * 0.1 || 45.26 || 9.34
 * 0.05 || 49.56 || 5.04
 * 0.025 || 51.98 || 2.62
 * 0.0125 || 53.26 || 1.34
 * }
 * 0.05 || 49.56 || 5.04
 * 0.025 || 51.98 || 2.62
 * 0.0125 || 53.26 || 1.34
 * }
 * 0.0125 || 53.26 || 1.34
 * }

अन्य विधियाँ भी उपयोग में लाई जाती है जैसे कि मध्यबिंदु विधि जो उक्त आंकड़ों में सचित्र है, और यह विधि अधिक अनुकूलता के साथ कार्य करती है: मध्यबिंदु विधि की वैश्विक त्रुटि लगभग समीकरण आकार के वर्ग के समानुपाती होती है। इस कारण से यूलर विधि को प्रथम कोटि की विधि कहा जाता है, जबकि मध्य बिंदु विधि को दूसरी कोटि की विधि कहा जाता है।

हम उपरोक्त सारणी से बाह्य गणन कर सकते हैं तथा तीन दशमलव स्थानों तक सही उत्तर प्राप्त करने के लिए आवश्यक समीकरण आकार लगभग 0.00001 है, जिसका अर्थ है कि हमें 400,000 समीकरणों की आवश्यकता है। इतनी बड़ी संख्या में समीकरणों में उच्च कम्प्यूटरीकृत उपकरण की लागत होती है। इस कारण से, उच्च-क्रम विधियों को नियोजित किया जाता है जैसे रनगे-कुट्टा विधियों या रैखिक मल्टीस्टेप विधियों, विशेष रूप से यदि उच्च सटीकता वांछित है।

व्युत्पत्ति
यूलर विधि को कई विधियों से प्राप्त किया जा सकता है। सबसे पहले ऊपर इसका ज्यामितीय विवरण है।

फ़ंक्शन $$y$$ और $$t_0$$ के टेलर विस्तार पर विचार करने की एक और संभावना है :


 * $$ y(t_0 + h) = y(t_0) + h y'(t_0) + \tfrac12 h^2 y''(t_0) + O\left(h^3\right). $$

अंतर समीकरण बताता है कि $$y'=f(t,y)$$ है और यदि इसे टेलर विस्तार में प्रतिस्थापित किया जाता है और द्विघात और उच्च-क्रम की शर्तों को अनदेखा किया जाता है, तो यूलर विधि उत्पन्न होती है। यूलर विधि द्वारा की गई त्रुटि का विश्लेषण करने के लिए टेलर विस्तार का उपयोग नीचे किया गया है, और इसे रनगे-कुट्टा विधियों का उत्पादन करने के लिए बढ़ाया जा सकता है।

व्युत्पन्न के लिए आगे परिमित अंतर सूत्र को प्रतिस्थापित करने के लिए एक निकटता से संबंधित व्युत्पत्ति है,


 * $$ y'(t_0) \approx \frac{y(t_0+h) - y(t_0)}{h} $$

अंतर समीकरण में $$y' = f(t,y)$$. दोबारा, यह यूलर विधि उत्पन्न करता है। इसी तरह की गणना मध्यबिंदु विधि और बैकवर्ड यूलर विधि की ओर ले जाती है।

अंत में, कोई अंतर समीकरण को एकीकृत कर सकता है $$t_0$$ प्रति $$t_0 + h$$ और कलन की मौलिक प्रमेय को प्राप्त करने के लिए लागू करें:


 * $$ y(t_0+h) - y(t_0) = \int_{t_0}^{t_0+h} f\bigl(t,y(t)\bigr) \,\mathrm{d}t. $$

अब बाएँ हाथ की आयत विधि (केवल एक आयत के साथ) द्वारा अभिन्न का अनुमान लगाया जाता है


 * $$ \int_{t_0}^{t_0+h} f\bigl(t,y(t)\bigr) \,\mathrm{d}t \approx h f\bigl(t_0, y(t_0)\bigr). $$

दोनों समीकरणों को मिलाकर, फिर से यूलर विधि प्राप्त होती है। विभिन्न रेखीय मल्टीस्टेप विधियों पर पहुंचने के लिए विचार की इस पंक्ति को जारी रखा जा सकता है।

स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि
यूलर विधि की स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि समीकरण में की गई त्रुटि है। यह पहले चरण के बाद संख्यात्मक समाधान के बीच का अंतर है, $$y_1$$ और समय पर सटीक समाधान $$t_1 = t_0+h$$. द्वारा संख्यात्मक समीकरण दिया गया है


 * $$ y_1 = y_0 + h f(t_0, y_0).$$

सही समीकरण प्राप्त करने के लिए, हम ऊपर व्युत्पत्ति भाग में उल्लिखित टेलर विस्तार का उपयोग करते हैं:


 * $$ y(t_0 + h) = y(t_0) + h y'(t_0) + \tfrac12 h^2 y''(t_0) + O\left(h^3\right). $$

यूलर विधि द्वारा प्रारम्भिक स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि (एलटीई) इन समीकरणों के बीच के अंतर से दी गई है:


 * $$ \mathrm{LTE} = y(t_0 + h) - y_1 = \tfrac12 h^2 y''(t_0) + O\left(h^3\right). $$

यह परिणाम मान्य है यदि $$y$$ एक सीमित तीसरा व्युत्पन्न है।

इससे पता चलता है कि छोटे के लिए $$h$$, स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि लगभग आनुपातिक $$h^2$$ है, यह यूलर विधि को कम करके बनाती है (छोटे के लिए $$h$$) रनगे-कुट्टा विधियों और रैखिक मल्टीस्टेप विधियों जैसी अन्य उच्च-क्रम तकनीकों की तुलना में, जिसके लिए स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि समीकरण आकार की उच्च शक्ति के समानुपाती होती है।

टेलर के प्रमेय में शेष अवधि के लिए लैग्रेंज फॉर्म का उपयोग करके स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि के लिए थोड़ा अलग सूत्र प्राप्त किया जाता है। यदि $$y$$ लगातार दूसरा व्युत्पन्न है, तो वहां $$\xi \in [t_0,t_0+h]$$ सम्मलित होता है जो इस प्रकार है

$$ \mathrm{LTE} = y(t_0 + h) - y_1 = \tfrac12 h^2 y''(\xi). $$

त्रुटि के लिए उपरोक्त भावों में, अज्ञात सटीक समाधान का दूसरा व्युत्पन्न $$y$$ अंतर समीकरण के दाईं ओर सम्मलित एक अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। अर्ताथ समीकरण कुछ इस प्रकार होगा

$$y'=f(t,y)$$ वह

$$y''(t_0) = \frac{\partial f}{\partial t}\bigl(t_0, y(t_0)\bigr) + \frac{\partial f}{\partial y}\bigl(t_0, y(t_0)\bigr) \, f\bigl(t_0, y(t_0)\bigr).$$

वैश्विक ट्रंकेशन त्रुटि
वैश्विक ट्रंकेशन त्रुटि $$t$$ एक निश्चित समय पर प्राप्त की गई त्रुटि होती है प्रारंभिक समय से अन्त समय तक पहुंचने के लिए विधि के लिए जितने भी चरण उपयोग करने होंगे, उसके बाद वैश्विक ट्रंकेशन त्रुटि प्रत्येक समीकरण में की गई स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटियों का संचयी प्रभाव है। समीकरणों की संख्या को $\frac{t-t_0}{h}$ द्वारा सरलता से निर्धारित किया जाती है, जो $\frac{1}{h}$  आनुपातिक है , और प्रत्येक समीकरण में की गई त्रुटि $$h^2$$ आनुपातिक है (पिछला भाग देखें)। इस प्रकार, यह वैश्विक ट्रंकेशन त्रुटि $$h$$ आनुपातिक होगी.

इस सहज तर्क को सही बनाया जाता है। यदि समाधान $$y$$ द्वारा बंधे हुए दूसरा व्युत्पन्न है और $$f$$ लिप्सचिट्ज़ निरंतरता अपने दूसरे तर्क में है, तो वैश्विक ट्रंकेशन त्रुटि (जीटीई) से घिरा होता है


 * $$ |\text{GTE}| \le \frac{hM}{2L}\left(e^{L(t-t_0)}-1\right) $$

जहाँ पर $$M$$ के दूसरे व्युत्पन्न पर एक ऊपरी सीमा $$y$$ है दिए गए अंतराल पर $$L$$ का लिपशिट्ज स्थिरांक $$f$$ है.

इस बाउंड का सटीक रूप थोड़ा व्यावहारिक महत्व का है, क्योंकि अधिकतर ऐसी स्थितियों में बाउंड यूलर विधि द्वारा की गई वास्तविक त्रुटि को बहुत अधिक बढ़ा देता है। जो महत्वपूर्ण रूप से यह दर्शाता है कि वैश्विक ट्रंकेशन त्रुटि $$h$$ (लगभग) आनुपातिक है, इस कारण से, यूलर विधि को प्रथम कोटि की विधि कहा जाता है।

संख्यात्मक स्थिरता
यूलर विधि संख्यात्मक रूप से संख्यात्मक स्थिरता भी हो सकती है, विशेष रूप से कठोर समीकरणों के लिए, जिसका अर्थ है कि संख्यात्मक समाधान उन समीकरणों के लिए बहुत बड़ा हो जाता है जहां सटीक समाधान नहीं होता है। इसे रैखिक समीकरण का उपयोग करके चित्रित किया जा सकता है
 * $$ y' = -2.3y, \qquad y(0) = 1. $$

इसका सबसे सही उपाय $$y(t) = e^{-2.3t}$$ है, जो शून्य के रूप में घटता है $$t \to \infty$$, चूंकि, यदि इस समीकरण पर समीकरण $$h=1$$ आकार के साथ यूलर विधि लागू की जाती है, तो संख्यात्मक समाधान गुणात्मक रूप से गलत है: और तब यह दोलन करता है और बढ़ता है (चित्र देखें)। अस्थिर होने का यही अर्थ है। उदाहरण के लिए, यदि छोटे समीकरण $$h = 0.7$$ आकार का उपयोग किया जाता है, तो संख्यात्मक समाधान क्षय से शून्य हो जाता है।

यदि यूलर विधि को रैखिक समीकरण $$y' = k y$$ पर लागू किया जाता है, तो संख्यात्मक समाधान अस्थिर है अगर उत्पाद $$hk$$ क्षेत्र के बाहर है
 * $$ \bigl\{ z \in \mathbf{C} \, \big| \, |z+1| \le 1 \bigr\}, $$

दाईं ओर चित्रित इस क्षेत्र को (रैखिक) स्थिरता क्षेत्र कहा जाता है। उदाहरण में, $$k = -2.3$$, तो $$h = 1$$ फिर $$hk = -2.3$$ जो स्थिरता क्षेत्र के बाहर है, और इस प्रकार संख्यात्मक समाधान अस्थिर है।

यह सीमा - त्रुटि के धीमे अभिसरण के साथ $$h$$ — का अर्थ है कि संख्यात्मक एकीकरण के एक साधारण उदाहरण को छोड़कर, यूलर विधि का अक्सर उपयोग नहीं किया जाता है.

राउंडिंग एरर
समीकरण में $$n$$ यूलर विधि में, गोलाई त्रुटि अधिकांशतः $$\varepsilon y_n$$ परिमाण की है, जहाँ पर $$ \varepsilon $$ मशीन एप्सिलॉन है। यह मानते हुए कि राउंडिंग त्रुटियां स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं, अपेक्षित कुल राउंडिंग त्रुटि $ \frac{\varepsilon}\sqrt{h} $ आनुपातिक है, इस प्रकार, समीकरण आकार के अत्यंत छोटे मानों के लिए ट्रंकेशन त्रुटि छोटी होगी लेकिन राउंडिंग त्रुटि का प्रभाव बड़ा हो सकता है। राउंडिंग एरर के अधिकांशतः इस प्रभाव को सरलता से टाला जा सकता है यदि यूलर विधि के सूत्र में भुगतान के योग का उपयोग किया जाता है।

संशोधन और विस्तार
यूलर विधि का एक सरल संशोधन जो नोट की गई स्थिरता की समस्याओं को समाप्त करता है संख्यात्मक स्थिरता पश्च यूलर विधि है:
 * $$ y_{n+1} = y_n + h f(t_{n+1}, y_{n+1}). $$

यह उस फंक्शन $$f$$ में (मानक, या आगे) यूलर विधि से भिन्न है प्रारंभिक बिंदु के अतिरिक्त समीकरण के अंत बिंदु पर मूल्यांकन किया जाता है। बैकवर्ड यूलर विधि एक स्पष्ट और निहित विधि है, जिसका अर्थ है कि बैकवर्ड यूलर विधि का सूत्र $$ y_{n+1} $$ है जो दोनों तरफ उपयोग किया जाता है, इसलिए पश्चगामी यूलर विधि को लागू करते समय हमें एक समीकरण को हल करना होगा। यह कार्यान्वयन को और अधिक महंगा बनाता है।

यूलर विधि के अन्य संशोधन जो स्थिरता में मदद करते हैं घातीय यूलर विधि विधि या अर्ध-अंतर्निहित यूलर विधि उत्पन्न करते हैं।

अधिक जटिल विधियां उच्च क्रम (और अधिक सटीकता) प्राप्त कर सकती हैं। अधिक फ़ंक्शन मूल्यांकनों का उपयोग करने की एक संभावना है। यह मध्यबिंदु विधि द्वारा सचित्र है जिसका उल्लेख इस लेख में पहले ही किया जा चुका है:
 * $$ y_{n+1} = y_n + h f \left( t_n + \tfrac12 h, y_n + \tfrac12 h f(t_n, y_n) \right)$$.

यह रनगे-कुट्टा विधियों के परिवार की ओर जाता है।

दूसरी संभावना अधिक पिछले मूल्यों का उपयोग करने की है, जैसा कि दो-समीकरणीय एडम्स-बैशफोर्थ विधि द्वारा दिखाया गया है:
 * $$ y_{n+1} = y_n + \tfrac32 h f(t_{n}, y_{n}) - \tfrac12 h f(t_{n-1}, y_{n-1}). $$

यह रैखिक मल्टीस्टेप विधियों के परिवार की ओर जाता है। ऐसे अन्य संशोधन हैं जो मेमोरी उपयोग को कम करने के लिए कंप्रेसिव सेंसिंग की विधियों का उपयोग करते हैं

लोकप्रिय संस्कृति में
फिल्म में छिपे हुए आंकड़ों में, कैथरीन गोबल ने पृथ्वी की कक्षा से अंतरिक्ष यात्री जॉन ग्लेन के पुन: प्रवेश की गणना करने के लिए यूलर विधि का सहारा लिया।

यह भी देखें

 * क्रैंक-निकोलसन विधि
 * ढतला हुआ वंश इसी तरह परिमित समीकरणों का उपयोग करता है, यहाँ कार्यों की न्यूनतमता खोजने के लिए
 * रनगे-कुट्टा विधियों की सूची
 * लीनियर मल्टीस्टेप विधि
 * संख्यात्मक एकीकरण (निश्चित समाकलों की गणना के लिए)
 * साधारण अंतर समीकरणों के लिए संख्यात्मक तरीके

संदर्भ




बाहरी संबंध

 * Euler method implementations in different languages by Rosetta Code
 * Euler method implementations in different languages by Rosetta Code