समष्टि प्रक्षेप्य समिष्ट

गणित में, जटिल प्रक्षेप्य स्थान जटिल संख्याओं के क्षेत्र के संबंध में प्रक्षेप्य स्थान है। सादृश्य द्वारा, जबकि एक वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान के बिंदु एक वास्तविक यूक्लिडियन अंतरिक्ष की उत्पत्ति के माध्यम से रेखाओं को लेबल करते हैं, एक जटिल प्रक्षेप्य स्थान के बिंदु एक जटिल यूक्लिडियन अंतरिक्ष की उत्पत्ति के माध्यम से जटिल समतल रेखाओं को लेबल करते हैं (देखें # एक सहज ज्ञान युक्त खाते के लिए परिचय)। औपचारिक रूप से, एक जटिल प्रक्षेप्य स्थान एक (n+1)-आयामी जटिल सदिश स्थल की उत्पत्ति के माध्यम से जटिल रेखाओं का स्थान है। स्थान को विभिन्न प्रकार से P(C) के रूप में दर्शाया जाता हैn+1), 'पी'n(सी) या सीपीn. कब, जटिल प्रक्षेप्य स्थान CP1रीमैन क्षेत्र है, और कब , सी.पी2जटिल प्रक्षेप्य तल है (अधिक प्रारंभिक चर्चा के लिए वहां देखें)।

जटिल प्रक्षेप्य स्थान सबसे पहले किसके द्वारा प्रस्तुत किया गया था? जिसे उस समय स्थिति की ज्यामिति के रूप में जाना जाता था, एक उदाहरण के रूप में, यह धारणा मूल रूप से लज़ारे कार्नोट के कारण थी, एक प्रकार की सिंथेटिक ज्यामिति जिसमें अन्य प्रक्षेप्य ज्यामिति भी शामिल थीं। इसके बाद, 20वीं शताब्दी के अंत में बीजगणितीय ज्यामिति के इतालवी स्कूल के लिए यह स्पष्ट हो गया कि जटिल प्रक्षेप्य स्थान बहुपद समीकरणों के समाधान पर विचार करने के लिए सबसे प्राकृतिक डोमेन थे - बीजगणितीय विविधता. आधुनिक समय में, जटिल प्रक्षेप्य स्थान की टोपोलॉजी और ज्यामिति दोनों को अच्छी तरह से समझा जाता है और एन-क्षेत्र से निकटता से संबंधित है। वास्तव में, एक निश्चित अर्थ में (2n+1)-गोले को 'CP' द्वारा पैरामीट्रिज्ड वृत्तों के एक परिवार के रूप में माना जा सकता है।n: यह हॉफ फ़िब्रेशन है। जटिल प्रक्षेप्य स्थान में एक (काहलर मीट्रिक | काहलर) मीट्रिक टेंसर होता है, जिसे फ़ुबिनी-स्टडी मीट्रिक कहा जाता है, जिसके संदर्भ में यह रैंक 1 का एक हर्मिटियन सममित स्थान है।

जटिल प्रक्षेप्य स्थान के गणित और क्वांटम भौतिकी दोनों में कई अनुप्रयोग हैं। बीजगणितीय ज्यामिति में, जटिल प्रक्षेप्य स्थान प्रक्षेप्य विविधता का घर है, जो बीजगणितीय विविधता का एक अच्छा व्यवहार वाला वर्ग है। टोपोलॉजी में, जटिल प्रक्षेप्य स्थान जटिल रेखा बंडलों के लिए वर्गीकृत स्थान के रूप में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है: किसी अन्य स्थान द्वारा पैरामीट्रिज्ड जटिल रेखाओं के परिवार। इस संदर्भ में, प्रक्षेप्य स्थानों का अनंत संघ (प्रत्यक्ष सीमा), जिसे 'सीपी' कहा जाता है∞, वर्गीकरण स्थान K(Z,2) है। क्वांटम भौतिकी में, क्वांटम मैकेनिकल सिस्टम की शुद्ध अवस्था से जुड़ा तरंग फ़ंक्शन एक संभाव्यता आयाम है, जिसका अर्थ है कि इसमें इकाई मानक है, और एक अनिवार्य समग्र चरण है: अर्थात, शुद्ध अवस्था का तरंग फ़ंक्शन स्वाभाविक रूप से एक बिंदु है राज्य स्थान के प्रक्षेप्य हिल्बर्ट स्थान में।

परिचय
प्रक्षेप्य विमान की धारणा ज्यामिति और कला में परिप्रेक्ष्य के विचार से उत्पन्न होती है: कभी-कभी यूक्लिडियन विमान में एक अतिरिक्त काल्पनिक रेखा को शामिल करना उपयोगी होता है जो उस क्षितिज का प्रतिनिधित्व करता है जिसे विमान को चित्रित करने वाला एक कलाकार देख सकता है। मूल से प्रत्येक दिशा का अनुसरण करते हुए, क्षितिज पर एक अलग बिंदु होता है, इसलिए क्षितिज को मूल से सभी दिशाओं के समुच्चय के रूप में माना जा सकता है। यूक्लिडियन तल को, उसके क्षितिज सहित, वास्तविक प्रक्षेप्य तल कहा जाता है, और क्षितिज को कभी-कभी अनंत पर एक रेखा भी कहा जाता है। उसी निर्माण से, प्रक्षेप्य स्थानों को उच्च आयामों में माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, वास्तविक प्रक्षेप्य 3-स्पेस अनंत पर एक विमान के साथ एक यूक्लिडियन स्पेस है जो उस क्षितिज का प्रतिनिधित्व करता है जिसे एक कलाकार (जिसे आवश्यक रूप से चार आयामों में रहना चाहिए) देखेगा।

इन वास्तविक प्रक्षेप्य स्थानों का निर्माण निम्नानुसार थोड़े अधिक कठोर तरीके से किया जा सकता है। यहाँ, चलो आरn+1n+1 आयामों के वास्तविक समन्वय स्थान को दर्शाता है, और इस स्थान में चित्रित परिदृश्य को हाइपरप्लेन के रूप में मानता है। मान लीजिए कि कलाकार की आंख 'आर' में मूल हैn+1. फिर उसकी आंख के माध्यम से प्रत्येक रेखा के साथ, परिदृश्य का एक बिंदु या उसके क्षितिज पर एक बिंदु होता है। इस प्रकार वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान 'आर' में मूल बिंदु से होकर गुजरने वाली रेखाओं का स्थान हैn+1. निर्देशांक के संदर्भ के बिना, यह (n+1)-आयामी वास्तविक वेक्टर स्थान में मूल बिंदु से होकर गुजरने वाली रेखाओं का स्थान है।

जटिल प्रक्षेप्य स्थान का समान तरीके से वर्णन करने के लिए वेक्टर, रेखा और दिशा के विचार के सामान्यीकरण की आवश्यकता होती है। कल्पना करें कि कलाकार वास्तविक यूक्लिडियन स्थान में खड़े होने के बजाय एक जटिल यूक्लिडियन स्थान 'सी' में खड़ा है।n+1 (जिसका वास्तविक आयाम 2n+2 है) और परिदृश्य एक जटिल हाइपरप्लेन है (वास्तविक आयाम 2n का)। वास्तविक यूक्लिडियन अंतरिक्ष के मामले के विपरीत, जटिल मामले में ऐसी दिशाएँ होती हैं जिनमें कलाकार देख सकता है जो परिदृश्य को नहीं देखता है (क्योंकि इसमें पर्याप्त उच्च आयाम नहीं है)। हालाँकि, एक जटिल स्थान में, एक बिंदु के माध्यम से दिशाओं से जुड़ा एक अतिरिक्त चरण होता है, और इस चरण को समायोजित करके कलाकार यह गारंटी दे सकता है कि वह आम तौर पर परिदृश्य को देखता है। क्षितिज तब दिशाओं का स्थान है, लेकिन ऐसा कि दो दिशाओं को एक ही माना जाता है यदि वे केवल एक चरण से भिन्न होते हैं। जटिल प्रक्षेप्य स्थान तब परिदृश्य है ('सी'n) अनंत पर जुड़े क्षितिज के साथ। वास्तविक मामले की तरह, जटिल प्रक्षेप्य स्थान 'सी' की उत्पत्ति के माध्यम से दिशाओं का स्थान हैn+1, जहां दो दिशाओं को एक ही माना जाता है यदि वे एक चरण से भिन्न होती हैं।

निर्माण
जटिल प्रक्षेप्य स्थान एक जटिल विविधता है जिसे n+1 जटिल निर्देशांक द्वारा वर्णित किया जा सकता है


 * $$Z=(Z_1,Z_2,\ldots,Z_{n+1}) \in \mathbb{C}^{n+1},

\qquad (Z_1,Z_2,\ldots,Z_{n+1})\neq (0,0,\ldots,0)$$ जहां समग्र पुनर्स्केलिंग द्वारा भिन्न टुपल्स की पहचान की जाती है:


 * $$(Z_1,Z_2,\ldots,Z_{n+1}) \equiv

(\lambda Z_1,\lambda Z_2, \ldots,\lambda Z_{n+1}); \quad \lambda\in \mathbb{C},\qquad \lambda \neq 0.$$ अर्थात्, ये प्रक्षेप्य ज्यामिति के पारंपरिक अर्थ में सजातीय निर्देशांक हैं। बिंदु सेट सीपीnपैचों से ढका हुआ है $$U_i=\{ Z \mid Z_i\ne0\}$$. यू मेंi, कोई एक समन्वय प्रणाली को परिभाषित कर सकता है
 * $$z_1 = Z_1/Z_i, \quad z_2=Z_2/Z_i, \quad \dots, \quad z_{i-1}=Z_{i-1}/Z_i, \quad z_i = Z_{i+1}/Z_i, \quad \dots, \quad z_n=Z_{n+1}/Z_i.$$

ऐसे दो अलग-अलग चार्टों के बीच समन्वय परिवर्तन यूi और आपj होलोमोर्फिक फ़ंक्शन हैं (वास्तव में वे भिन्नात्मक रैखिक परिवर्तन हैं)। इस प्रकार सी.पीn जटिल आयाम n के एक जटिल मैनिफोल्ड की संरचना को वहन करता है, और एक फोर्टियोरी वास्तविक आयाम 2n के एक वास्तविक भिन्न मैनिफोल्ड की संरचना को वहन करता है।

कोई 'सीपी' भी मान सकता हैn 'सी' में इकाई 2n+1 क्षेत्र के भागफल स्थान (टोपोलॉजी) के रूप मेंn+1एकात्मक समूह की कार्रवाई के तहत|U(1):
 * 'सीपी'n = एस2n+1/U(1).

ऐसा इसलिए है क्योंकि 'सी' में प्रत्येक पंक्तिn+1 इकाई गोले को एक वृत्त में काटता है। पहले इकाई क्षेत्र में प्रक्षेपित करके और फिर यू(1) की प्राकृतिक क्रिया के तहत पहचान करके व्यक्ति 'सीपी' प्राप्त करता हैn. n = 1 के लिए यह निर्माण शास्त्रीय हॉपफ बंडल उत्पन्न करता है $$S^3\to S^2$$. इस दृष्टिकोण से, सीपी पर विभेदक संरचनाn S से प्रेरित है2n+1, एक कॉम्पैक्ट समूह द्वारा उत्तरार्द्ध का भागफल होना जो ठीक से कार्य करता है।

टोपोलॉजी
सीपी की टोपोलॉजीn को निम्नलिखित CW कॉम्प्लेक्स द्वारा आगमनात्मक रूप से निर्धारित किया जाता है। मान लीजिए H 'C' में मूल बिंदु से होकर गुजरने वाला एक निश्चित हाइपरप्लेन हैn+1. प्रक्षेपण मानचित्र के अंतर्गत Cn+1\{0} &rarr; CPn, एच एक उप-स्थान में जाता है जो 'सीपी' के लिए समरूप हैn−1. 'सीपी' में एच की छवि का पूरकn 'C' का समरूपी हैn. इस प्रकार 'सी.पी.'n 'CP' में 2n-सेल संलग्न करने से उत्पन्न होता हैn−1:
 * $$\mathbf{CP}^n = \mathbf{CP}^{n-1}\cup \mathbf{C}^n.$$

वैकल्पिक रूप से, यदि 2n-सेल को 'C' में खुली यूनिट बॉल के रूप में माना जाता हैn, तो संलग्न मानचित्र सीमा का हॉपफ फ़िब्रेशन है। एक अनुरूप आगमनात्मक कोशिका अपघटन सभी प्रक्षेप्य स्थानों के लिए सत्य है; देखना.

सीडब्ल्यू-अपघटन
जटिल प्रक्षेप्य स्थानों के निर्माण का एक उपयोगी तरीका $$\mathbf{CP}^n$$ सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स|सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्स का उपयोग करके एक पुनरावर्ती निर्माण के माध्यम से है। याद रखें कि एक होमोमोर्फिज्म है $$\mathbf{CP}^1 \cong S^2$$ 2-गोले को, पहला स्थान देते हुए। फिर हम पुशआउट (श्रेणी सिद्धांत) प्राप्त करने के लिए कोशिकाओं को शामिल कर सकते हैं $$\begin{matrix} S^3 & \hookrightarrow & D^4 \\ \downarrow & & \downarrow \\ \mathbf{CP}^1 & \to & \mathbf{CP}^2 \end{matrix}$$ कहाँ $$D^4$$ चार गेंद है, और $$S^3 \to \mathbf{CP}^1$$ में जनरेटर का प्रतिनिधित्व करता है $$\pi_3(S^2)$$ (इसलिए यह हॉपफ फ़िब्रेशन के समतुल्य होमोटॉपी है)। फिर हम प्रेरक रूप से रिक्त स्थान को पुशआउट आरेख के रूप में बना सकते हैं $$\begin{matrix} S^{2n-1} & \hookrightarrow & D^{2n} \\ \downarrow & & \downarrow \\ \mathbf{CP}^{n-1} & \to & \mathbf{CP}^n \end{matrix}$$ कहाँ $$S^{2n-1} \to \mathbf{CP}^{n-1}$$ में एक तत्व का प्रतिनिधित्व करता है $$\begin{align} \pi_{2n-1}(\mathbf{CP}^{n-1}) &\cong \pi_{2n-1}(S^{2n-2}) \\ &\cong \mathbb{Z}/2 \end{align}$$ समरूप समूहों की समरूपता का वर्णन नीचे किया गया है, और समरूप समूहों की समरूपता स्थिर समरूपता सिद्धांत में एक मानक गणना है (जिसे सेरे वर्णक्रमीय अनुक्रम, फ्रायडेन्थल निलंबन प्रमेय और पोस्टनिकोव टावर के साथ किया जा सकता है)। नक्शा फाइबर बंडल से आता है $$S^1 \hookrightarrow S^{2n-1} \twoheadrightarrow \mathbf{CP}^{n-1}$$ एक गैर-अनुबंध योग्य मानचित्र दे रहा है, इसलिए यह जनरेटर का प्रतिनिधित्व करता है $$\mathbb{Z}/2$$. अन्यथा, एक समरूप समतुल्यता होगी $$\mathbf{CP}^n \simeq \mathbf{CP}^{n-1}\times D^n$$, लेकिन तब यह समरूपता के समतुल्य होगा $$S^2$$, एक विरोधाभास जिसे अंतरिक्ष के समरूप समूहों को देखकर देखा जा सकता है।

प्वाइंट-सेट टोपोलॉजी
कॉम्प्लेक्स प्रोजेक्टिव स्पेस सघन स्थान  और  जुड़ा हुआ स्थान  है, जो कॉम्पैक्ट, कनेक्टेड स्पेस का भागफल है।

समरूप समूह
फ़ाइबर बंडल से
 * $$S^1 \hookrightarrow S^{2n+1} \twoheadrightarrow \mathbf{CP}^n$$

या अधिक विचारोत्तेजक
 * $$U(1) \hookrightarrow S^{2n+1} \twoheadrightarrow \mathbf{CP}^n$$

सीपीn बस जुड़ा हुआ है। इसके अलावा, लंबे सटीक समरूप अनुक्रम द्वारा, दूसरा समरूप समूह है π2(CPn) ≅ Z, और सभी उच्च समरूप समूह एस से सहमत हैंवह+1: πk(CP n) ≅ πk(S2n+1) सभी k > 2 के लिए।

होमोलॉजी
सामान्य तौर पर, सीपी की बीजगणितीय टोपोलॉजीnहोमोलॉजी समूहों की रैंक विषम आयामों में शून्य होने पर आधारित है; भी एच2i(सीपीn, 'Z') i = 0 से n के लिए अनंत चक्रीय है। इसलिए, बेटी नंबर चलते हैं
 * 1, 0, 1, 0, ..., 0, 1, 0, 0, 0, ...

अर्थात्, विषम आयामों में 0, सम आयामों में 1 0 से 2n तक। 'सीपी' की यूलर विशेषताn इसलिए n + 1 है। पोंकारे द्वंद्व के अनुसार, कोहोलॉजी समूहों के रैंक के लिए भी यही सच है। कोहॉमोलॉजी के मामले में, कोई आगे बढ़ सकता है, और कप उत्पाद के लिए श्रेणीबद्ध रिंग संरचना की पहचान कर सकता है; एच का जनरेटर2(सीपीn, Z) एक हाइपरप्लेन से जुड़ा वर्ग है, और यह एक रिंग जनरेटर है, ताकि रिंग आइसोमॉर्फिक हो
 * Z[T]/(Tn+1),

टी के साथ एक डिग्री दो जनरेटर। इसका तात्पर्य यह भी है कि हॉज संख्या hi,i = 1, और अन्य सभी शून्य हैं। देखना.

K-सिद्धांत
यह प्रेरण और बोतल आवधिकता से निम्नानुसार है


 * $$K_\mathbf{C}^*(\mathbf{CP}^n) = K_\mathbf{C}^0(\mathbf{CP}^n) = \mathbf{Z}[H]/(H-1)^{n+1}.$$

स्पर्शरेखा बंडल संतुष्ट करता है


 * $$T\mathbf{CP}^n \oplus \vartheta^1 = H^{\oplus n+1},$$

कहाँ $$\vartheta^1$$ यूलर अनुक्रम से, तुच्छ रेखा बंडल को दर्शाता है। इससे, चेर्न वर्गों और विशेषता संख्याओं की स्पष्ट रूप से गणना की जा सकती है।

स्थान का वर्गीकरण
वहाँ एक जगह है $$\mathbf{CP}^\infty$$ जो, एक अर्थ में, की आगमनात्मक सीमा है $$\mathbf{CP}^n$$ जैसा $$n \to \infty$$. यह बीयू(1) है, जो होमोटॉपी सिद्धांत के अर्थ में, यू(1) का वर्गीकरण स्थान, वृत्त समूह है, और इसलिए जटिल रेखा बंडलों को वर्गीकृत करता है। समान रूप से यह प्रथम चेर्न वर्ग के लिए जिम्मेदार है। इसे फ़ाइबर बंडल मानचित्रों को देखकर अनुमानतः देखा जा सकता है $$S^1 \hookrightarrow S^{2n+1} \twoheadrightarrow \mathbf{CP}^n$$ और $$n \to \infty$$. यह एक फाइबर बंडल देता है (जिसे <यूनिवर्सल सर्कल बंडल कहा जाता है) $$S^1 \hookrightarrow S^\infty \twoheadrightarrow \mathbf{CP}^\infty$$ इस स्थान का निर्माण. हमारे पास समरूप समूहों के लंबे सटीक अनुक्रम का उपयोग करने पर ध्यान दें $$\pi_2(\mathbf{CP}^\infty) = \pi_1(S^1)$$ इस तरह $$\mathbf{CP}^\infty$$ एक ईलेनबर्ग-मैकलेन स्थान है, ए $$K(\mathbb{Z},2)$$. इस तथ्य और ब्राउन के निरूपण प्रमेय के कारण, हमारे पास निम्नलिखित समरूपता है $$H^2(X;\mathbb{Z}) \cong [X,\mathbf{CP}^\infty]$$ किसी भी अच्छे सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्स के लिए $$X$$. इसके अलावा, चेर्न वर्ग के सिद्धांत से, प्रत्येक जटिल रेखा बंडल $$L \to X$$ इसे यूनिवर्सल लाइन बंडल के पुलबैक के रूप में दर्शाया जा सकता है $$\mathbf{CP}^\infty$$, मतलब एक पुलबैक स्क्वायर है $$\begin{matrix} L & \to & \mathcal{L} \\ \downarrow & &\downarrow \\ X & \to & \mathbf{CP}^\infty \end{matrix}$$ कहाँ $$\mathcal{L} \to \mathbf{CP}^\infty$$ प्रिंसिपल का संबद्ध वेक्टर बंडल है $$U(1)$$-बंडल $$S^\infty \to \mathbf{CP}^\infty$$. उदाहरण के लिए देखें, और.

विभेदक ज्यामिति
सीपी पर प्राकृतिक मीट्रिक n फ़ुबिनी-अध्ययन मीट्रिक है, और इसका होलोमोर्फिक आइसोमेट्री समूह प्रक्षेप्य एकात्मक समूह PU(n+1) है, जहां एक बिंदु का स्टेबलाइज़र है


 * $$\mathrm{P}(1\times \mathrm{U}(n)) \cong \mathrm{PU}(n).$$

यह एक हर्मिटियन सममित स्थान है, कोसेट स्पेस के रूप में दर्शाया गया है


 * $$U(n+1)/(U(1) \times U(n)) \cong SU(n+1)/S(U(1) \times U(n)).$$

एक बिंदु पी पर जियोडेसिक समरूपता एकात्मक परिवर्तन है जो पी को ठीक करता है और पी द्वारा दर्शाई गई रेखा के ऑर्थोगोनल पूरक पर नकारात्मक पहचान है।

जियोडेसिक्स
जटिल प्रक्षेप्य स्थान में किन्हीं दो बिंदुओं p, q से होकर, एक अद्वितीय जटिल रेखा (एक 'CP') गुजरती है1). इस जटिल रेखा का एक बड़ा वृत्त जिसमें p और q शामिल हैं, फ़ुबिनी-स्टडी मीट्रिक के लिए एक जियोडेसिक है। विशेष रूप से, सभी जियोडेसिक्स बंद हैं (वे वृत्त हैं), और सभी की लंबाई समान है। (यह रैंक 1 के रीमानियन विश्व स्तर पर सममित स्थानों के लिए हमेशा सच है।)

किसी भी बिंदु पी का लोकस को काटें  हाइपरप्लेन 'सीपी' के बराबर हैn−1. यह पी (पी से कम) पर जियोडेसिक समरूपता के निश्चित बिंदुओं का सेट भी है। देखना.

अनुभागीय वक्रता पिंचिंग
इसमें अनुभागीय वक्रता 1/4 से 1 तक होती है, और यह सबसे गोल मैनिफोल्ड है जो एक गोला नहीं है (या एक गोले से ढका हुआ है): रीमैनियन ज्यामिति द्वारा#पिंच्ड अनुभागीय वक्रता|1/4-पिंच्ड क्षेत्र प्रमेय, कोई भी पूर्ण, 1/4 और 1 के बीच सख्ती से वक्रता के साथ रीमैनियन मैनिफोल्ड से जुड़ा हुआ क्षेत्र गोले के लिए अलग-अलग है। जटिल प्रक्षेप्य स्थान दर्शाता है कि 1/4 तीव्र है। इसके विपरीत, यदि पूरी तरह से जुड़े हुए रीमैनियन मैनिफोल्ड में बंद अंतराल [1/4,1] में अनुभागीय वक्रता है, तो यह या तो गोले के लिए भिन्न है, या जटिल प्रक्षेप्य स्थान, चतुर्धातुक प्रक्षेप्य स्थान, या फिर केली के लिए आइसोमेट्रिक है। विमान एफ4/स्पिन(9); देखना.

स्पिन संरचना
विषम-आयामी प्रक्षेप्य स्थानों को एक स्पिन संरचना दी जा सकती है, सम-आयामी वाले नहीं।

बीजगणितीय ज्यामिति
जटिल प्रक्षेप्य स्थान ग्रासमैनियन का एक विशेष मामला है, और विभिन्न लाई समूहों के लिए एक सजातीय स्थान है। यह फ़ुबिनी-स्टडी मीट्रिक ले जाने वाला काहलर मैनिफोल्ड है, जो अनिवार्य रूप से समरूपता गुणों द्वारा निर्धारित होता है। यह बीजगणितीय ज्यामिति में भी केंद्रीय भूमिका निभाता है; बीजगणितीय ज्यामिति और विश्लेषणात्मक ज्यामिति द्वारा#Chow.27s प्रमेय|Chow's प्रमेय, CP का कोई भी कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स सबमैनिफोल्डnबहुपदों की एक सीमित संख्या का शून्य स्थान है, और इस प्रकार यह एक प्रक्षेप्य बीजगणितीय विविधता है। देखना

ज़ारिस्की टोपोलॉजी
बीजगणितीय ज्यामिति में, जटिल प्रक्षेप्य स्थान को एक अन्य टोपोलॉजी से सुसज्जित किया जा सकता है जिसे ज़ारिस्की टोपोलॉजी के रूप में जाना जाता है. होने देना (n+1) चर Z में बहुपदों के क्रमविनिमेय वलय को निरूपित करें0,...,साथn. यह वलय प्रत्येक बहुपद की कुल डिग्री के आधार पर वलय को वर्गीकृत किया गया है:
 * $$S = \bigoplus_{n=0}^\infty S_n.$$

सीपी के एक उपसमुच्चय को परिभाषित करेंn को बंद कर दिया जाएगा यदि यह सजातीय बहुपदों के संग्रह का एक साथ समाधान सेट है। बंद सेटों के पूरकों को खुला घोषित करते हुए, यह 'सीपी' पर एक टोपोलॉजी (ज़ारिस्की टोपोलॉजी) को परिभाषित करता है।n.

एक योजना के रूप में संरचना
सीपी का एक और निर्माणn (और इसकी ज़ारिस्की टोपोलॉजी) संभव है। आइए एस+⊂ एस सकारात्मक डिग्री के सजातीय बहुपदों द्वारा फैलाया गया आदर्श (रिंग सिद्धांत) हो:
 * $$\bigoplus_{n>0}S_n.$$

प्रोज को एस में सभी सजातीय आदर्श अभाज्य आदर्शों के सेट के रूप में परिभाषित करें जिनमें एस शामिल नहीं है+. प्रोज एस के एक सबसेट को बंद कहें यदि उसके पास फॉर्म है
 * $$V(I) = \{ p\in \operatorname{Proj} S\mid p\supseteq I\}$$

एस में कुछ आदर्श I के लिए। इन बंद सेटों के पूरक प्रोज एस पर एक टोपोलॉजी को परिभाषित करते हैं। रिंग एस, एक रिंग के स्थानीयकरण द्वारा, प्रोज एस पर स्थानीय रिंगों का एक शीफ (गणित) निर्धारित करता है। अंतरिक्ष प्रोज एस, साथ में इसकी टोपोलॉजी और स्थानीय रिंगों का समूह, एक योजना (गणित) है। प्रोज एस के बंद बिंदुओं का उपसमुच्चय 'सीपी' के लिए समरूप हैnअपनी ज़ारिस्की टोपोलॉजी के साथ। शीफ़ के स्थानीय खंडों की पहचान 'सीपी' पर कुल डिग्री शून्य के तर्कसंगत कार्यों से की जाती हैn.

लाइन बंडल
जटिल प्रक्षेप्य स्थान पर सभी लाइन बंडल निम्नलिखित निर्माण द्वारा प्राप्त किए जा सकते हैं। एक समारोह f : Cn+1\{0} &rarr; C को डिग्री k का सजातीय फलन कहा जाता है यदि
 * $$f(\lambda z) = \lambda^k f(z)$$

सभी के लिए λ &isin; C\{0} और z &isin; Cn+1\{0}. अधिक सामान्यतः, यह परिभाषा शंकु (रैखिक बीजगणित) में समझ में आती है Cn+1\{0}. एक सेट V &sub; Cn+1\{0} को शंकु कहा जाता है यदि, जब भी v &isin; V, तब λv &isin; V सभी के लिए λ &isin; C\{0}; अर्थात्, एक उपसमुच्चय एक शंकु है यदि इसमें इसके प्रत्येक बिंदु से होकर गुजरने वाली जटिल रेखा शामिल है। अगर U &sub; CPn एक खुला सेट है (विश्लेषणात्मक टोपोलॉजी या ज़ारिस्की टोपोलॉजी में), चलो V &sub; Cn+1\{0} U के ऊपर शंकु बनें: प्रक्षेपण के तहत U की पूर्वछवि Cn+1\{0} &rarr; CPn. अंत में, प्रत्येक पूर्णांक k के लिए, मान लें कि O(k)(U) उन कार्यों का समूह है जो V में डिग्री k के सजातीय हैं। यह एक निश्चित लाइन बंडल के अनुभागों के एक शीफ (गणित) को परिभाषित करता है, जिसे O(k) द्वारा दर्शाया जाता है।.

विशेष मामले में, बंडल O(−1) को टॉटोलॉजिकल लाइन बंडल कहा जाता है। इसे समान रूप से उत्पाद के उप-बंडल के रूप में परिभाषित किया गया है
 * $$\mathbf{C}^{n+1}\times\mathbf{CP}^n\to \mathbf{CP}^n$$

जिसका फाइबर खत्म हो गया L &isin; CPn सेट है
 * $$\{(x,L)\mid x\in L\}.$$

इन रेखा बंडलों को भाजक (बीजगणितीय ज्यामिति) की भाषा में भी वर्णित किया जा सकता है। माना H = 'CP'n−1 'CP' में एक दिया गया जटिल हाइपरप्लेन होn. 'सीपी' पर मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन का स्थानnH के साथ अधिकतम एक सरल ध्रुव (और कहीं नहीं) एक एक-आयामी स्थान है, जिसे O(H) द्वारा दर्शाया जाता है, और हाइपरप्लेन बंडल कहा जाता है। दोहरे बंडल को O(−H) और k से दर्शाया गया है O(H) की टेंसर शक्ति को O(kH) द्वारा दर्शाया जाता है। यह एच के साथ ऑर्डर के ध्रुव के साथ मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन के होलोमोर्फिक गुणकों द्वारा उत्पन्न शीफ है। यह पता चला है कि
 * $$O(kH) \cong O(k).$$

वास्तव में, यदि H, फिर L के लिए एक रैखिक परिभाषित कार्य है−k O(k) का एक मेरोमोर्फिक अनुभाग है, और स्थानीय रूप से O(k) के अन्य अनुभाग इस अनुभाग के गुणज हैं।

तब से H1(CPn,Z) = 0, लाइन सीपी पर बंडल होती हैn को उनके चेर्न वर्गों द्वारा समरूपता तक वर्गीकृत किया गया है, जो पूर्णांक हैं: वे झूठ बोलते हैं H2(CPn,Z) = Z. वास्तव में, जटिल प्रक्षेप्य स्थान के पहले चेर्न वर्ग पॉइंकेरे द्वैत के तहत हाइपरप्लेन एच से जुड़े होमोलॉजी वर्ग द्वारा उत्पन्न होते हैं। लाइन बंडल ओ (केएच) में चेर्न वर्ग के है। इसलिए 'सीपी' पर प्रत्येक होलोमोर्फिक लाइन बंडलn O(H) या O(−H) की एक टेंसर शक्ति है। दूसरे शब्दों में, 'सीपी' का पिकार्ड समूहn को हाइपरप्लेन वर्ग [H] द्वारा एबेलियन समूह के रूप में उत्पन्न किया जाता है.

यह भी देखें

 * जटिल प्रक्षेप्य स्थान के लिए ग्रोमोव की असमानता
 * प्रक्षेप्य हिल्बर्ट स्थान
 * चतुर्धातुक प्रक्षेप्य स्थान
 * वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान
 * जटिल एफ़िन स्थान
 * K3 सतह