कुराटोव्स्की क्लोजर एक्सिओम्स

टोपोलॉजी और गणित की संबंधित शाखाओं में, Kuratowski क्लोजर स्वयंसिद्ध स्वयंसिद्धों का एक समूह है जिसका उपयोग एक सेट (गणित) पर एक सांस्थितिकीय संरचना को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। वे अधिक सामान्यतः उपयोग किए जाने वाले खुले सेट की परिभाषा के बराबर हैं। उन्हें सबसे पहले काज़िमिर्ज़ कुराटोव्स्की द्वारा औपचारिक रूप दिया गया था। और इस विचार का आगे गणितज्ञों द्वारा अध्ययन किया गया जैसे वाक्लाव सिएरपिन्स्की और एंटोनियो मोंटेइरो (गणितज्ञ)|एंटोनियो मोंटेइरो, दूसरों के बीच में।

इंटीरियर (टोपोलॉजी) #इंटीरियर ऑपरेटर की केवल दोहरी धारणा का उपयोग करके एक टोपोलॉजिकल संरचना को परिभाषित करने के लिए स्वयंसिद्धों के एक समान सेट का उपयोग किया जा सकता है।

टोपोलॉजी और गणित की संबंधित शाखाओं में, Kuratowski क्लोजर स्वयंसिद्ध स्वयंसिद्धों का एक समूह है जिसका उपयोग एक सेट (गणित) पर एक सांस्थितिकीय संरचना को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। वे अधिक सामान्यतः उपयोग किए जाने वाले खुले सेट की परिभाषा के बराबर हैं। उन्हें सबसे पहले काज़िमिर्ज़ कुराटोव्स्की द्वारा औपचारिक रूप दिया गया था। और इस विचार का आगे गणितज्ञों द्वारा अध्ययन किया गया जैसे वाक्लाव सिएरपिन्स्की और एंटोनियो मोंटेइरो (गणितज्ञ)|एंटोनियो मोंटेइरो, दूसरों के बीच में

कुराटोव्स्की क्लोजर ऑपरेटर्स और कमजोरियाँ
होने देना $$X$$ एक मनमाना सेट हो और $$\wp(X)$$ इसका सत्ता स्थापित एक Kuratowski क्लोजर ऑपरेटर एक एकात्मक ऑपरेशन है $$\mathbf{c}:\wp(X) \to \wp(X)$$ निम्नलिखित गुणों के साथ:

का एक परिणाम $$\mathbf{c}$$ बाइनरी यूनियनों को संरक्षित करना निम्न शर्त है:

वास्तव में अगर हम [K4] में समानता को एक समावेशन के रूप में फिर से लिखते हैं, तो कमजोर स्वयंसिद्ध [K4  ] (subadditivity'') देते हुए:

तो यह देखना आसान है कि अभिगृहीत [K4'] और [K4 '' ] एक साथ [K4] के समतुल्य हैं (नीचे प्रमाण 2 का अगला-से-अंतिम पैराग्राफ देखें)।

एक पाँचवाँ (वैकल्पिक) स्वयंसिद्ध शामिल है जिसके लिए आवश्यक है कि सिंगलटन सेट क्लोजर के तहत स्थिर होना चाहिए: सभी के लिए $$x \in X$$, $$\mathbf{c}(\{x\}) = \{x\}$$. वह टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान को संदर्भित करता है जो सभी पांच सिद्धांतों को टी के रूप में संतुष्ट करता है1अधिक सामान्य स्थानों के विपरीत स्थान जो केवल चार सूचीबद्ध स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करते हैं। वास्तव में, ये रिक्त स्थान बिल्कुल T1 स्थान | टोपोलॉजिकल T के अनुरूप हैं1-सामान्य पत्राचार के माध्यम से रिक्त स्थान (नीचे देखें)।

यदि आवश्यकता [K3] को छोड़ दिया जाता है, तो सिद्धांत एक चेक क्लोजर ऑपरेटर को परिभाषित करते हैं। यदि इसके बजाय [K1] को छोड़ दिया जाता है, तो [K2], [K3] और [K4'] को संतुष्ट करने वाले ऑपरेटर को मूर क्लोजर ऑपरेटर कहा जाता है। एक जोड़ी $$(X, \mathbf{c})$$ से संतुष्ट स्वयंसिद्धों के आधार पर कुराटोस्की, चेक या मूर क्लोजर स्पेस कहा जाता है $$\mathbf{c}$$.

वैकल्पिक स्वयंसिद्धीकरण
चार कुराटोव्स्की क्लोजर स्वयंसिद्धों को एक ही स्थिति से बदला जा सकता है, जिसे पेरविन द्वारा दिया गया है:

अभिगृहीत [K1]-[K4] इस आवश्यकता के परिणामस्वरूप प्राप्त किया जा सकता है:


 * 1) चुनना $$A = B = \varnothing$$. तब $$\varnothing \cup \mathbf{c}(\varnothing) \cup \mathbf{c}(\mathbf{c}(\varnothing)) = \mathbf{c}(\varnothing) \setminus \mathbf{c}(\varnothing) = \varnothing$$, या $$\mathbf{c}(\varnothing) \cup \mathbf{c}(\mathbf{c}(\varnothing)) = \varnothing$$. यह तुरंत [K1] का तात्पर्य है।
 * 2) एक मनमाना चुनें $$A \subseteq X$$ और $$B = \varnothing$$. फिर अभिगृहीत [K1] को लागू करने पर, $$A \cup \mathbf{c}(A) = \mathbf{c}(A)$$, जिसका अर्थ है [के2]।
 * 3) चुनना $$A = \varnothing$$ और एक मनमाना $$B \subseteq X$$. फिर अभिगृहीत [K1] को लागू करने पर, $$\mathbf{c}(\mathbf{c}(B)) = \mathbf{c}(B)$$, जो [K3] है।
 * 4) मनमाना चुनें $$A,B \subseteq X$$. अभिगृहीत [K1]-[K3] को लागू करने पर, [K4] की व्युत्पत्ति होती है।

वैकल्पिक रूप से, एक कमजोर अभिगृहीत का प्रस्ताव किया था जिसमें केवल [K2]-[K4] शामिल है:

आवश्यकता [K1] [M] से स्वतंत्र है: वास्तव में, यदि $$X \neq \varnothing$$, परिचालक $$\mathbf{c}^\star : \wp(X) \to \wp(X)$$ निरंतर असाइनमेंट द्वारा परिभाषित $$A \mapsto \mathbf{c}^\star(A) := X$$ संतुष्ट करता है [एम] लेकिन खाली सेट को संरक्षित नहीं करता है, क्योंकि $$\mathbf{c}^\star(\varnothing) = X$$. ध्यान दें कि, परिभाषा के अनुसार, [एम] को संतुष्ट करने वाला कोई भी ऑपरेटर मूर क्लोजर ऑपरेटर है।

[M] के लिए एक अधिक सममित विकल्प भी M. O. Botelho और M. H. Teixeira द्वारा स्वयंसिद्ध [K2] - [K4] को लागू करने के लिए सिद्ध किया गया था:

आंतरिक, बाहरी और सीमा संचालक
Kuratowski क्लोजर ऑपरेटरों के लिए एक दोहरी धारणा Kuratowski इंटीरियर ऑपरेटर की है, जो एक नक्शा है $$\mathbf{i} : \wp(X) \to \wp(X)$$ निम्नलिखित समान आवश्यकताओं को पूरा करना:

इन ऑपरेटरों के लिए, कोई भी ऐसे निष्कर्ष पर पहुंच सकता है जो पूरी तरह से कुराटोव्स्की बंद होने के अनुमान के अनुरूप है। उदाहरण के लिए, सभी Kuratowski इंटीरियर ऑपरेटर आइसोटोनिक हैं, यानी वे '[K4']' को संतुष्ट करते हैं, और तीव्रता '[I2]' के कारण, '[I3]' में समानता को एक साधारण समावेशन में कमजोर करना संभव है।

Kuratowski क्लोजर और इंटीरियर के बीच का द्वंद्व प्राकृतिक 'पूरक ऑपरेटर' द्वारा प्रदान किया गया है $$\wp(X)$$, वो नक्शा $$\mathbf{n} : \wp(X) \to \wp(X)$$ भेजना $$A \mapsto \mathbf{n}(A):= X \setminus A$$. यह नक्शा पावर सेट जाली पर एक orthocomplementation है, जिसका अर्थ है कि यह डी मॉर्गन के नियमों को संतुष्ट करता है: यदि $$\mathcal{I}$$ सूचकांकों का एक मनमाना सेट है और $$\{A_i\}_{i\in\mathcal I} \subseteq \wp(X)$$, $$ \mathbf{n}\left(\bigcup_{i \in \mathcal I} A_i\right) = \bigcap_{i\in \mathcal I} \mathbf{n}(A_i), \qquad \mathbf{n}\left(\bigcap_{i \in \mathcal I} A_i\right) = \bigcup_{i\in \mathcal I} \mathbf{n}(A_i). $$ के परिभाषित गुणों के साथ, इन कानूनों को नियोजित करके $$\mathbf{n}$$, कोई यह दिखा सकता है कि परिभाषित संबंध के माध्यम से कोई भी Kuratowski इंटीरियर एक Kuratowski क्लोजर (और इसके विपरीत) को प्रेरित करता है $$\mathbf {c} := \mathbf{nin}$$ (और $$\mathbf {i} := \mathbf{ncn}$$). संबंधित हर परिणाम प्राप्त किया $$\mathbf{c}$$ संबंधित परिणाम में परिवर्तित किया जा सकता है $$\mathbf{i}$$ इन संबंधों को orthocomplementation के गुणों के साथ जोड़कर $$\mathbf{n}$$.

आगे Kuratowski बाहरी संचालकों के लिए अनुरूप अभिगृहीत प्रदान करता है और Kuratowski सीमा संचालक, जो संबंधों के माध्यम से कुराटोव्स्की को भी बंद कर देता है $$\mathbf{c} := \mathbf{ne}$$ और $$\mathbf{c}(A):= A \cup \mathbf{b}(A)$$.

सार संचालक
ध्यान दें कि अभिगृहीत [K1]-[K4] को एक अमूर्त एकात्मक संक्रिया को परिभाषित करने के लिए अनुकूलित किया जा सकता है $$\mathbf c : L \to L$$ एक सामान्य परिबद्ध जाली पर $$(L,\land,\lor,\mathbf 0, \mathbf 1)$$, जाली से जुड़े आंशिक क्रम के साथ सेट-सैद्धांतिक समावेशन को औपचारिक रूप से प्रतिस्थापित करके, सेट-सैद्धांतिक संघ को जोड़ने के संचालन के साथ, और सेट-सैद्धांतिक चौराहों को मिलने के संचालन के साथ; इसी प्रकार अभिगृहीतों के लिए [I1]-[I4]। यदि जालक ऑर्थोकम्प्लिमेंटेड है, तो ये दो अमूर्त संक्रियाएँ सामान्य तरीके से एक दूसरे को प्रेरित करती हैं। जाली पर सामान्यीकृत टोपोलॉजी को परिभाषित करने के लिए सार बंद या आंतरिक ऑपरेटरों का उपयोग किया जा सकता है।

चूंकि मूर क्लोजर ऑपरेटर की आवश्यकता में न तो यूनियन और न ही खाली सेट दिखाई देता है, इसलिए परिभाषा को एक अमूर्त यूनरी ऑपरेटर को परिभाषित करने के लिए अनुकूलित किया जा सकता है $$\mathbf{c} : S \to S$$ एक मनमाने ढंग से आंशिक रूप से आदेशित सेट पर $$S$$.

बंद होने से टोपोलॉजी का समावेश
एक क्लोजर ऑपरेटर स्वाभाविक रूप से एक टोपोलॉजिकल स्पेस को निम्नानुसार प्रेरित करता है। होने देना $$X$$ एक मनमाना सेट हो। हम कहेंगे कि एक उपसमुच्चय $$ C\subseteq X $$ Kuratowski क्लोजर ऑपरेटर के संबंध में बंद है $$\mathbf{c} : \wp(X) \to \wp(X)$$ अगर और केवल अगर यह उक्त ऑपरेटर का एक निश्चित बिंदु है, या दूसरे शब्दों में यह स्थिर है $$\mathbf{c}$$, अर्थात। $$ \mathbf{c}(C) = C $$. दावा यह है कि कुल स्थान के सभी उपसमुच्चयों का परिवार जो बंद सेटों का पूरक है, एक टोपोलॉजी के लिए तीन सामान्य आवश्यकताओं को पूरा करता है, या समकक्ष, परिवार $$\mathfrak{S}[\mathbf{c}]$$ सभी बंद सेट निम्नलिखित को संतुष्ट करते हैं:

ध्यान दें कि, आलस्य [K3] द्वारा, कोई संक्षेप में लिख सकता है $$\mathfrak{S}[\mathbf{c}] = \operatorname{im}(\mathbf{c})$$.

[टी1] व्यापकता से [के2], $$ X\subseteq\mathbf{c}(X) $$ और चूंकि क्लोजर के पावर सेट को मैप करता है $$X$$ अपने आप में (अर्थात, किसी उपसमुच्चय की छवि का एक उपसमुच्चय है $$X$$), $$ \mathbf{c}(X)\subseteq X $$ अपने पास $$ X = \mathbf{c}(X)$$. इस प्रकार $$ X \in \mathfrak{S}[\mathbf{c}]$$. रिक्त समुच्चय [K1] के संरक्षण का तत्काल तात्पर्य है $$ \varnothing \in\mathfrak{S}[\mathbf{c}] $$.

[टी2] अगला, चलो $$ \mathcal{I} $$ सूचकांकों का एक मनमाना सेट बनें और दें $$ C_i $$ प्रत्येक के लिए बंद रहेगा $$ i\in\mathcal{I}$$. व्यापकता से [K2], $ \bigcap_{i\in\mathcal{I}}C_i \subseteq \mathbf{c}\left(\bigcap_{i\in\mathcal{I}}C_i\right)$. इसके अलावा, isotonicity [K4'] द्वारा, यदि $\bigcap_{i\in\mathcal I} C_i \subseteq C_i$ सभी सूचकांकों के लिए $$i \in \mathcal I$$, तब $ \mathbf{c}\left(\bigcap_{i\in\mathcal{I}}C_i \right) \subseteq \mathbf{c}(C_i) = C_i$ सभी के लिए $$i \in \mathcal I$$, जो ये दर्शाता हे $\mathbf{c}\left(\bigcap_{i\in\mathcal{I}}C_i \right) \subseteq \bigcap_{i\in\mathcal{I}}C_i$. इसलिए, $ \bigcap_{i\in\mathcal{I}}C_i = \mathbf{c}\left(\bigcap_{i\in\mathcal{I}}C_i\right) $, अर्थ $\bigcap_{i\in\mathcal{I}}C_i \in \mathfrak{S}[\mathbf{c}]$.

[टी3] अंत में, चलो $$ \mathcal{I} $$ सूचकांकों का एक परिमित सेट बनें और दें $$ C_i $$ प्रत्येक के लिए बंद रहेगा $$ i\in\mathcal{I} $$. बाइनरी यूनियनों [K4] के संरक्षण से, और उन उपसमुच्चयों की संख्या पर गणितीय आगमन का उपयोग करते हुए, जिन्हें हम संघ लेते हैं, हमारे पास है $ \bigcup_{i\in\mathcal{I}}C_i = \mathbf{c}\left(\bigcup_{i\in\mathcal{I}}C_i \right) $. इस प्रकार, $ \bigcup_{i\in\mathcal{I}}C_i \in \mathfrak{S}[\mathbf{c}] $.

टोपोलॉजी से क्लोजर का इंडक्शन
इसके विपरीत, एक परिवार दिया $$\kappa$$ संतोषजनक अभिगृहीत [T1]-[T3], निम्नलिखित तरीके से Kuratowski क्लोजर ऑपरेटर का निर्माण संभव है: यदि $$A \in \wp(X)$$ और $$A^\uparrow = \{B \in \wp(X)\ |\ A \subseteq B \}$$ समावेशन का ऊपरी सेट है $$A$$, तब $$\mathbf{c}_\kappa(A) := \bigcap_{B \in (\kappa \cap A^\uparrow)} B$$ Kuratowski क्लोजर ऑपरेटर को परिभाषित करता है $$\mathbf{c}_\kappa$$ पर $$\wp(X)$$.

[के1] चूंकि $$\varnothing^\uparrow = \wp(X)$$, $$\mathbf{c}_\kappa(\varnothing)$$ परिवार में सभी सेटों के प्रतिच्छेदन को कम कर देता है $$\kappa$$; लेकिन $$\varnothing \in \kappa$$ स्वयंसिद्ध [T1] द्वारा, इसलिए चौराहा शून्य सेट तक गिर जाता है और [K1] अनुसरण करता है।

[के2] की परिभाषा के अनुसार $$A^\uparrow$$, हमारे पास वह है $$A \subseteq B$$ सभी के लिए $$B \in \left(\kappa \cap A^\uparrow\right)$$, और इस तरह $$A$$ ऐसे सभी सेटों के प्रतिच्छेदन में समाहित होना चाहिए। इसलिए व्यापकता [K2] का अनुसरण करता है।

[के3] ध्यान दें कि, सभी के लिए $$A \in \wp(X)$$, परिवार $$\mathbf{c}_\kappa(A)^\uparrow \cap \kappa$$ रोकना $$\mathbf{c}_\kappa(A)$$ खुद को एक न्यूनतम तत्व के रूप में w.r.t. समावेश। इस तरह $\mathbf{c}_\kappa^2(A) = \bigcap_{B \in \mathbf{c}_\kappa(A)^\uparrow \cap \kappa}B = \mathbf{c}_\kappa(A)$, जो कि आलस्य [K3] है।

[के4'] चलो $$A \subseteq B \subseteq X$$: तब $$B^\uparrow \subseteq A^\uparrow$$, और इस तरह $$\kappa \cap B^\uparrow \subseteq \kappa \cap A^\uparrow$$. चूंकि बाद वाले परिवार में पूर्व की तुलना में अधिक तत्व हो सकते हैं, हम पाते हैं $$\mathbf{c}_\kappa(A) \subseteq \mathbf{c}_\kappa(B)$$, जो आइसोटोनिकिटी [K4'] है। ध्यान दें कि isotonicity का तात्पर्य है $$\mathbf{c}_\kappa(A) \subseteq \mathbf{c}_\kappa(A\cup B)$$ और $$\mathbf{c}_\kappa(B) \subseteq \mathbf{c}_\kappa(A\cup B)$$, जिसका अर्थ एक साथ है $$\mathbf{c}_\kappa(A) \cup \mathbf{c}_\kappa(B) \subseteq \mathbf{c}_\kappa(A\cup B)$$.

[के4] अंत में, ठीक करें $$A,B \in \wp(X)$$. अभिगृहीत [टी2] का तात्पर्य है $$\mathbf{c}_\kappa(A), \mathbf{c}_\kappa(B) \in \kappa$$; इसके अलावा, अभिगृहीत [T2] का अर्थ है कि $$\mathbf{c}_\kappa(A) \cup \mathbf{c}_\kappa(B) \in \kappa$$. व्यापकता से [K2] किसी के पास है $$\mathbf{c}_\kappa(A) \in A^\uparrow$$ और $$\mathbf{c}_\kappa(B) \in B^\uparrow$$, ताकि $$\mathbf{c}_\kappa(A) \cup \mathbf{c}_\kappa(B) \in \left(A^\uparrow\right) \cap \left(B^\uparrow\right)$$. लेकिन $$\left(A^\uparrow\right) \cap \left(B^\uparrow\right) = (A \cup B)^\uparrow$$, ताकि सब कुछ $$\mathbf{c}_\kappa(A) \cup \mathbf{c}_\kappa(B) \in \kappa\cap (A \cup B)^\uparrow$$. के बाद से $$\mathbf{c}_\kappa(A \cup B)$$ का न्यूनतम तत्व है $$\kappa \cap (A \cup B)^\uparrow$$ w.r.t. समावेशन, हम पाते हैं $$\mathbf{c}_\kappa(A \cup B) \subseteq \mathbf{c}_\kappa(A) \cup \mathbf{c}_\kappa(B)$$. प्वाइंट 4. एडिटिविटी [के 4] सुनिश्चित करता है।

दो संरचनाओं के बीच सटीक पत्राचार
वास्तव में, ये दो पूरक निर्माण एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं: यदि $$\mathrm{Cls}_\text{K}(X)$$ पर सभी Kuratowski क्लोजर ऑपरेटरों का संग्रह है $$X$$, और $$\mathrm{Atp}(X)$$ एक टोपोलॉजी में सभी सेटों के पूरक वाले सभी परिवारों का संग्रह है, यानी सभी परिवारों का संग्रह [T1]-[T3] को संतुष्ट करता है, फिर $$\mathfrak{S} : \mathrm{Cls}_\text{K}(X) \to \mathrm{Atp}(X)$$ ऐसा है कि $$\mathbf{c} \mapsto \mathfrak{S}[\mathbf{c}]$$ एक आक्षेप है, जिसका प्रतिलोम नियतन द्वारा दिया गया है $$\mathfrak{C}: \kappa \mapsto \mathbf{c}_\kappa$$.

पहले हम सिद्ध करते हैं $$\mathfrak{C} \circ \mathfrak{S} = \mathfrak{1}_{\mathrm{Cls}_\text{K}(X)}$$, पहचान ऑपरेटर चालू $$\mathrm{Cls}_\text{K}(X)$$. दिए गए Kuratowski बंद होने के लिए $$\mathbf{c} \in \mathrm{Cls}_\text{K}(X)$$, परिभाषित करना $$\mathbf{c}' := \mathfrak{C}[\mathfrak{S}[\mathbf{c}]]$$; तो अगर $$A \in \wp(X)$$ इसका प्राइमेड क्लोजर $$\mathbf{c}'(A)$$ सभी का चौराहा है $$\mathbf{c}$$-स्थिर सेट जिसमें शामिल हैं $$A$$. इसका नॉन-प्राइमेड क्लोजर $$\mathbf{c}(A)$$ इस विवरण को संतुष्ट करता है: व्यापकता से [K2] हमारे पास है $$A \subseteq \mathbf{c}(A)$$, और आलस्य से [K3] हमारे पास है $$\mathbf{c}(\mathbf{c}(A)) = \mathbf{c}(A)$$, और इस तरह $$\mathbf{c}(A) \in \left(A^\uparrow \cap \mathfrak{S}[\mathbf{c}]\right)$$. अब चलो $$C \in \left(A^\uparrow \cap \mathfrak{S}[\mathbf{c}]\right)$$ ऐसा है कि $$A \subseteq C \subseteq \mathbf{c}(A)$$: isotonicity [K4'] द्वारा हमारे पास है $$\mathbf{c}(A) \subseteq \mathbf{c}(C)$$, और तबसे $$\mathbf{c}(C) = C$$ हम यह निष्कर्ष निकालते हैं $$C = \mathbf{c}(A)$$. इस तरह $$\mathbf{c}(A)$$ का न्यूनतम तत्व है $$A^\uparrow \cap \mathfrak{S}[\mathbf{c}]$$ w.r.t. समावेशन, अर्थ $$\mathbf{c}'(A) = \mathbf{c}(A)$$.

अब हम इसे सिद्ध करते हैं $$\mathfrak{S} \circ \mathfrak{C} = \mathfrak{1}_{\mathrm{Atp}(X)}$$. अगर $$\kappa \in \mathrm{Atp}(X)$$ और $$\kappa':= \mathfrak{S}[\mathfrak{C}[\kappa]]$$ सभी सेटों का परिवार है जो स्थिर हैं $$\mathbf{c}_\kappa$$, परिणाम दोनों का अनुसरण करता है $$\kappa' \subseteq \kappa$$ और $$\kappa \subseteq \kappa'$$. होने देना $$A \in \kappa'$$: इस तरह $$\mathbf{c}_\kappa(A) = A$$. तब से $$\mathbf{c}_\kappa(A)$$ की मनमाना उपपरिवार का प्रतिच्छेदन है $$\kappa$$, और बाद वाला मनमाना चौराहों के तहत [T2] द्वारा पूरा हो जाता है, फिर $$A = \mathbf{c}_\kappa(A) \in \kappa$$. इसके विपरीत यदि $$A \in \kappa$$, तब $$\mathbf{c}_\kappa(A)$$ का न्यूनतम सुपरसेट है $$A$$ जिसमें निहित है $$\kappa$$. लेकिन यह तुच्छ है $$A$$ स्वयं, जिसका अर्थ है $$A \in \kappa'$$.

हम देखते हैं कि कोई आपत्ति का विस्तार भी कर सकता है $$\mathfrak{S}$$ संग्रह के लिए $$\mathrm{Cls}_{\check C}(X)$$ सभी Čech क्लोजर ऑपरेटर्स, जिनमें सख्ती से शामिल हैं $$\mathrm{Cls}_\text{K}(X)$$; यह विस्तार $$\overline{\mathfrak{S}}$$ विशेषण भी है, जो दर्शाता है कि सभी Čech क्लोजर ऑपरेटर चालू हैं $$X$$ एक टोपोलॉजी को भी प्रेरित करें $$X$$. हालाँकि, इसका मतलब यह है $$\overline{\mathfrak{S}}$$ अब आपत्ति नहीं है।

उदाहरण
\varnothing & A = \varnothing, \\ X & A \neq \varnothing, \end{cases} \qquad \mathbf{c}_\bot(A) = A\quad \forall A \in \wp(X),$$Kuratowski क्लोजर हैं। पहले तुच्छ टोपोलॉजी को प्रेरित करता है $$\{\varnothing,X\}$$, जबकि दूसरा असतत टोपोलॉजी को प्रेरित करता है $$\wp(X)$$.
 * जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, एक सामयिक स्थान दिया गया है $$X$$ हम किसी भी सबसेट के समापन को परिभाषित कर सकते हैं $$A \subseteq X$$ सेट होना $$\mathbf{c}(A)=\bigcap\{C\text{ a closed subset of }X| A\subseteq C\}$$, यानी के सभी बंद सेटों का प्रतिच्छेदन $$X$$ किसमें है $$A$$. सेट $$\mathbf{c}(A)$$ का सबसे छोटा बंद सेट है $$X$$ युक्त $$A$$, और ऑपरेटर $$\mathbf{c}:\wp(X) \to \wp(X)$$ एक Kuratowski क्लोजर ऑपरेटर है।
 * अगर $$X$$ कोई सेट है, ऑपरेटर्स $$\mathbf{c}_\top, \mathbf{c}_\bot : \wp(X) \to \wp(X)$$ ऐसा है कि $$\mathbf{c}_\top(A) = \begin{cases}

A & \operatorname{crd}(A) < \lambda, \\ X & \operatorname{crd}(A) \geq \lambda \end{cases}$$सभी चार Kuratowski स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है। अगर $$\lambda = \aleph_0$$, यह ऑपरेटर सहमित टोपोलॉजी को प्रेरित करता है $$X$$; अगर $$\lambda = \aleph_1$$, यह सहगणनीय टोपोलॉजी को प्रेरित करता है।
 * एक मनमाना तय करें $$S \subsetneq X$$, और जाने $$\mathbf{c}_S: \wp(X) \to \wp(X)$$ ऐसा हो कि $$\mathbf{c}_S(A) := A \cup S$$ सभी के लिए $$A \in \wp(X)$$. तब $$\mathbf{c}_S$$ एक Kuratowski समापन को परिभाषित करता है; बंद सेटों का संगत परिवार $$\mathfrak{S}[\mathbf{c}_S]$$ के साथ मेल खाता है $$S^\uparrow$$, सभी उपसमुच्चयों का परिवार जिसमें शामिल है $$S$$. कब $$S = \varnothing$$, हम एक बार फिर असतत टोपोलॉजी को पुनः प्राप्त करते हैं $$\wp(X)$$ (अर्थात। $$\mathbf{c}_{\varnothing}=\mathbf{c}_\bot$$, जैसा कि परिभाषाओं से देखा जा सकता है)।
 * अगर $$\lambda$$ एक अनंत कार्डिनल संख्या है जैसे कि $$\lambda \leq \operatorname{crd}(X)$$, फिर ऑपरेटर $$\mathbf{c}_\lambda : \wp(X) \to \wp(X)$$ ऐसा है कि$$\mathbf{c}_\lambda(A) = \begin{cases}

गुण

 * चूंकि कोई भी कुराटोव्स्की क्लोजर आइसोटोनिक है, और इसलिए स्पष्ट रूप से कोई भी समावेशन मैपिंग है, किसी का (आइसोटोनिक) गाल्वा कनेक्शन है $$\langle \mathbf{c}: \wp(X) \to \mathrm{im}(\mathbf{c});\iota : \mathrm{im}(\mathbf{c}) \hookrightarrow \wp(X) \rangle$$, एक दृश्य प्रदान किया $$\wp(X)$$समावेशन के संबंध में एक पोसेट के रूप में, और $$\mathrm{im}(\mathbf{c})$$ उपसमुच्चय के रूप में $$\wp(X)$$. वास्तव में, यह आसानी से सत्यापित किया जा सकता है कि, सभी के लिए $$A \in \wp(X)$$ और $$C \in \mathrm{im}(\mathbf{c})$$, $$\mathbf{c}(A) \subseteq C$$ अगर और केवल अगर $$A \subseteq \iota(C)$$.
 * अगर $$\{A_i\}_{i\in\mathcal I}$$ का एक उपपरिवार है $$\wp(X)$$, तब $$\bigcup_{i\in\mathcal I} \mathbf{c}(A_i) \subseteq \mathbf{c}\left(\bigcup_{i\in\mathcal I} A_i\right), \qquad \mathbf{c}\left(\bigcap_{i\in\mathcal I} A_i\right) \subseteq \bigcap_{i\in\mathcal I} \mathbf{c}(A_i). $$
 * अगर $$A,B \in \wp(X)$$, तब $$\mathbf{c}(A) \setminus \mathbf{c}(B) \subseteq \mathbf{c}(A\setminus B)$$.

क्लोजर
के संदर्भ में सामयिक अवधारणाएँ

शोधन और उप-स्थान
कुराटोव्स्की की जोड़ी बंद हो जाती है $$\mathbf{c}_1, \mathbf{c}_2 : \wp(X) \to \wp(X)$$ ऐसा है कि $$\mathbf{c}_2(A) \subseteq \mathbf{c}_1(A)$$ सभी के लिए $$A \in \wp(X)$$ टोपोलॉजी प्रेरित करें $$\tau_1,\tau_2$$ ऐसा है कि $$\tau_1 \subseteq \tau_2$$, और इसके विपरीत। दूसरे शब्दों में, $$\mathbf{c}_1$$ हावी $$\mathbf{c}_2$$ यदि और केवल यदि उत्तरार्द्ध द्वारा प्रेरित टोपोलॉजी पूर्व द्वारा प्रेरित या समकक्ष रूप से प्रेरित टोपोलॉजी का परिशोधन है $$\mathfrak{S}[\mathbf{c}_1] \subseteq \mathfrak{S}[\mathbf{c}_2]$$. उदाहरण के लिए, $$\mathbf{c}_\top$$ स्पष्ट रूप से हावी है $$\mathbf{c}_\bot$$(उत्तरार्द्ध सिर्फ पहचान होने पर $$\wp(X)$$). चूँकि एक ही निष्कर्ष को प्रतिस्थापित करके पहुँचा जा सकता है $$\tau_i$$ सपरिवार $$\kappa_i$$ इसके सभी सदस्यों के पूरक शामिल हैं, यदि $$\mathrm{Cls}_\text{K}(X)$$ आंशिक आदेश के साथ संपन्न है $$\mathbf{c} \leq \mathbf{c}' \iff \mathbf{c}(A) \subseteq \mathbf{c}'(A)$$ सभी के लिए $$A \in \wp(X)$$ और $$\mathrm{Atp}(X)$$ परिशोधन क्रम से संपन्न है, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं $$\mathfrak{S}$$ पॉसेट्स के बीच एक एंटीटोनिक मैपिंग है।

किसी भी प्रेरित टोपोलॉजी (सबसेट ए के सापेक्ष) में बंद सेट एक नए क्लोजर ऑपरेटर को प्रेरित करते हैं जो केवल मूल क्लोजर ऑपरेटर है जो ए तक सीमित है: $$ \mathbf{c}_A(B) = A \cap \mathbf{c}_X(B) $$, सभी के लिए $$B \subseteq A$$.

निरंतर नक्शे, बंद नक्शे और होमोमोर्फिज्म
एक समारोह $$f:(X,\mathbf{c})\to (Y,\mathbf{c}')$$ एक बिंदु पर निरंतरता (टोपोलॉजी) है $$p$$ आईएफएफ $$p\in\mathbf{c}(A) \Rightarrow f(p)\in\mathbf{c}'(f(A))$$, और यह iff हर जगह निरंतर है $$f(\mathbf{c}(A)) \subseteq \mathbf{c}'(f(A))$$ सभी उपसमूहों के लिए $$A \in \wp(X)$$. मानचित्रण $$f$$ एक बंद नक्शा है अगर रिवर्स समावेशन धारण करता है, और यह एक समरूपता है अगर यह निरंतर और बंद दोनों है, यानी अगर समानता है।

पृथक्करण स्वयंसिद्ध
होने देना $$(X, \mathbf{c})$$ एक Kuratowski क्लोजर स्पेस बनें। तब


 * $$X$$ एक T0 स्थान है|T0-अंतरिक्ष आईएफ़ $$x \neq y$$ तात्पर्य $$\mathbf{c}(\{x\}) \neq \mathbf{c}(\{y\})$$;
 * $$X$$ एक टी1 स्पेस है|टी1-अंतरिक्ष आईएफ़ $$\mathbf{c}(\{x\})=\{x\}$$ सभी के लिए $$x \in X$$;
 * $$X$$ हॉसडॉर्फ स्पेस है|टी2-अंतरिक्ष आईएफ़ $$x \neq y$$ तात्पर्य है कि एक सेट मौजूद है $$A \in \wp(X)$$ ऐसा कि दोनों $$x \notin \mathbf{c}(A)$$ और $$y \notin \mathbf{c}(\mathbf{n}(A))$$, कहाँ $$\mathbf{n}$$ सेट पूरक ऑपरेटर है।

निकटता और अलगाव
एक बिंदु $$p$$ एक सबसेट के लिए निकटता (टोपोलॉजी) है $$A$$ अगर $$p\in\mathbf{c}(A).$$इसका उपयोग सेट के बिंदुओं और सबसेट पर निकटता स्थान संबंध को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। दो सेट $$A,B \in \wp(X)$$ अलग हो गए हैं $$(A \cap \mathbf{c}(B)) \cup (B \cap \mathbf{c}(A)) = \varnothing$$. अंतरिक्ष $$X$$ जुड़ा हुआ स्थान है अगर इसे दो अलग-अलग उपसमुच्चयों के मिलन के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।

बाहरी संबंध

 * Alternative Characterizations of Topological Spaces