पिजनहोल सिद्धांत

गणित में, पिजनहोल सिद्धांत कहता है कि यदि $n$ आइटम डाले गए हैं $m$ कंटेनर, के साथ $n = 10$, तो कम से कम एक कंटेनर में एक से अधिक आइटम होने चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि किसी के पास तीन दस्ताने हैं (और उनमें से कोई भी उभयलिंगी/प्रतिवर्ती नहीं है), तो कम से कम दो दाएं हाथ के दस्ताने होने चाहिए, या कम से कम दो बाएं हाथ के दस्ताने होने चाहिए, क्योंकि तीन वस्तुएं हैं, लेकिन हाथ की केवल दो श्रेणियां हैं उन्हें डालने के लिए. यह प्रतीत होता है कि स्पष्ट कथन, एक प्रकार का साहचर्य, का उपयोग संभवतः अप्रत्याशित परिणामों को प्रदर्शित करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यह देखते हुए कि लंदन की जनसांख्यिकी किसी इंसान के सिर पर मौजूद बालों की अधिकतम संख्या से अधिक है, तो पिजनहोल सिद्धांत के अनुसार लंदन में कम से कम दो लोग ऐसे होने चाहिए जिनके सिर पर बालों की संख्या समान हो। सिर.

हालाँकि पिजनहोल सिद्धांत 1624 में जीन लेउरेचॉन की पुस्तक में दिखाई देता है, 1834 में पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट द्वारा सिद्धांत के उपचार के बाद इसे आमतौर पर डिरिचलेट का बॉक्स सिद्धांत या डिरिचलेट का दराज सिद्धांत कहा जाता है। Schubfachprinzip (दराज सिद्धांत या शेल्फ सिद्धांत)। सिद्धांत के कई सामान्यीकरण हैं और इसे विभिन्न तरीकों से कहा जा सकता है। अधिक परिमाणित संस्करण में: प्राकृतिक संख्याओं के लिए $k$ और $m$, अगर $m = 9$वस्तुओं को आपस में वितरित किया जाता है $m$ सेट, तो पिजनहोल सिद्धांत यह दावा करता है कि सेट में से कम से कम एक में कम से कम शामिल होगा $n > m$ वस्तुएं। मनमानी के लिए $n$ और $m$, यह सामान्यीकरण करता है $$k + 1 = \lfloor(n - 1)/m \rfloor + 1 = \lceil n/m\rceil,$$ कहाँ $$\lfloor\cdots\rfloor$$ और $$\lceil\cdots\rceil$$ क्रमशः फर्श का कार्य और छत फ़ंक्शन को निरूपित करें।

यद्यपि सबसे सीधा अनुप्रयोग परिमित सेटों (जैसे कबूतर और बक्से) के लिए है, इसका उपयोग अनंत सेटों के साथ भी किया जाता है जिन्हें एक-से-एक पत्राचार में नहीं रखा जा सकता है। ऐसा करने के लिए पिजनहोल सिद्धांत के औपचारिक कथन की आवश्यकता होती है, जिसका अर्थ है कि कोई इंजेक्शन समारोह मौजूद नहीं है जिसका कोडोमेन किसी फ़ंक्शन के डोमेन से छोटा है। सीगल के लेम्मा जैसे उन्नत गणितीय प्रमाण इस अधिक सामान्य अवधारणा पर आधारित हैं।

व्युत्पत्ति
डिरिचलेट ने जर्मन का उपयोग करते हुए फ्रेंच और जर्मन दोनों में अपनी रचनाएँ प्रकाशित कीं Schubfach या फ़्रेंच tiroir. इन शब्दों का सख्त मूल अर्थ अंग्रेजी wikt:drawer से मेल खाता है, यानी, एक खुला शीर्ष बॉक्स जिसे कैबिनेट के अंदर और बाहर स्लाइड किया जा सकता है। (डिरिचलेट ने दराजों के बीच मोती बांटने के बारे में लिखा था।) इन शब्दों को पत्र या कागजात रखने के लिए डेस्क, कैबिनेट या दीवार में एक छोटी सी खुली जगह के अर्थ में कबूतर-छेद संदेशबॉक्स शब्द में रूपांतरित किया गया था, जो रूपक रूप से उन संरचनाओं में निहित है जहां कबूतर रहते हैं।

क्योंकि पिजनहोल वाले फर्नीचर का उपयोग आमतौर पर चीजों को कई श्रेणियों में संग्रहित करने या क्रमबद्ध करने के लिए किया जाता है (जैसे कि पोस्ट ऑफिस में पत्र या होटल में कमरे की चाबियाँ), अनुवाद पिजनहोल डिरिचलेट के मूल दराज रूपक का बेहतर प्रतिपादन हो सकता है। फर्नीचर की कुछ विशेषताओं को संदर्भित करते हुए पिजनहोल शब्द की समझ कम हो रही है - विशेष रूप से उन लोगों के बीच जो मूल रूप से अंग्रेजी नहीं बोलते हैं, लेकिन वैज्ञानिक दुनिया में एक सामान्य भाषा के रूप में - अधिक सचित्र व्याख्या के पक्ष में, जिसमें वस्तुतः कबूतर और बिल शामिल हैं। दरबा के रूप में पिजनहोल की विचारोत्तेजक (हालांकि भ्रामक नहीं) व्याख्या हाल ही में पिजनहोल सिद्धांत के जर्मन बैक-अनुवाद में वापस आ गई है।Taubenschlagprinzip. मूल शर्तों के अलावाSchubfachprinzip जर्मन में औरPrincipe des tiroirs  फ्रेंच में, अन्य शाब्दिक अनुवाद अभी भी अरबी भाषा में उपयोग में हैं ("مبدأ برج الحمام"), बल्गेरियाई भाषा (принцип на чекмеджетата ), चीनी भाषा (抽屉原理 ), डेनिश भाषा (Skuffeprincippet ), हॉलैंड की भाषा (ladenprincipe ), हंगेरियन भाषा (skatulyaelv ), इतालवी भाषा (principio dei cassetti ), जापानी भाषा (引き出し論法 ), फ़ारसी भाषा (اصل لانه کبوتری ), पोलिश भाषा (zasada szufladkowa ), पुर्तगाली भाषा (Princípio das Gavetas ), स्वीडन की भाषा (Lådprincipen ), तुर्की भाषा (çekmece ilkesi ) और वियतनामी भाषा (nguyên lý hộp ).

जुर्राब चुनना
मान लें कि एक दराज में काले मोजे और नीले मोजे का मिश्रण है, जिनमें से प्रत्येक को किसी भी पैर पर पहना जा सकता है, और आप बिना देखे दराज से कई मोज़े निकाल रहे हैं। एक ही रंग के एक जोड़े की गारंटी के लिए खींचे गए मोज़ों की न्यूनतम संख्या कितनी होनी चाहिए? पिजनहोल सिद्धांत का उपयोग करना $n = km + 1$ मोज़े, प्रति रंग एक पिजनहोल का उपयोग करके), आपको दराज से केवल तीन मोज़े निकालने होंगे $k + 1$ सामान)। या तो आपके पास एक रंग के तीन हैं, या आपके पास एक रंग के दो हैं और दूसरे रंग का एक है।

हाथ मिलाना
अगर वहाँ $(m = 2$ जो लोग एक दूसरे से हाथ मिला सकते हैं (कहां $(n = 3$), पिजनहोल सिद्धांत से पता चलता है कि हमेशा ऐसे लोगों की एक जोड़ी होती है जो समान संख्या में लोगों से हाथ मिलाएंगे। सिद्धांत के इस अनुप्रयोग में, जिस 'छेद' को एक व्यक्ति को सौंपा गया है वह उस व्यक्ति द्वारा हिलाए गए हाथों की संख्या है। चूँकि प्रत्येक व्यक्ति 0 से लेकर कुछ संख्या में लोगों से हाथ मिलाता है $n$, वहाँ हैं $n > 1$ संभव छेद. दूसरी ओर, या तो '0' छेद या $n &minus; 1$ छेद या दोनों खाली होने चाहिए, क्योंकि यह असंभव है (यदि $n$) किसी व्यक्ति के लिए हर किसी से हाथ मिलाना जबकि किसी व्यक्ति के लिए किसी से हाथ नहीं मिलाना। ये चला जाता है $'n &minus; 1'$ अधिक से अधिक लोगों को रखा जाए $n > 1$ गैर-खाली छेद, ताकि सिद्धांत लागू हो।

यह हाथ मिलाने वाला उदाहरण इस कथन के समतुल्य है कि एक से अधिक वर्टेक्स (ग्राफ़ सिद्धांत) वाले किसी भी ग्राफ़ (अलग-अलग गणित) में, कम से कम एक जोड़ी शीर्ष होते हैं जो समान डिग्री (ग्राफ़ सिद्धांत) साझा करते हैं। इसे प्रत्येक व्यक्ति को एक शीर्ष के साथ और प्रत्येक किनारे (ग्राफ़) को हाथ मिलाने के साथ जोड़कर देखा जा सकता है।

बालों की गिनती
कोई यह प्रदर्शित कर सकता है कि लंडन में कम से कम दो लोग ऐसे होने चाहिए जिनके सिर पर समान संख्या में बाल हों। चूँकि एक सामान्य मानव सिर पर औसतन लगभग 150,000 बाल होते हैं, इसलिए यह मान लेना उचित है (ऊपरी सीमा के रूप में) कि किसी के भी सिर पर 1,000,000 से अधिक बाल नहीं होते हैं। $n$ छेद). लंदन में 1,000,000 से अधिक लोग हैं ($n &minus; 1$ 1 मिलियन आइटम से बड़ा है)। किसी व्यक्ति के सिर पर प्रत्येक बाल की संख्या के लिए एक कबूतर का छेद आवंटित करना, और लोगों को उनके सिर पर बालों की संख्या के अनुसार कबूतर का छेद सौंपना, 1,000,001 वें असाइनमेंट तक कम से कम दो लोगों को एक ही कबूतर का काम सौंपा जाना चाहिए (क्योंकि उनके सिर पर बालों की संख्या समान है) (या, $(m = 1 million$). मान लें कि लंदन में 9.002 मिलियन लोग हैं, कोई यह भी कह सकता है कि कम से कम दस लंदनवासियों के बालों की संख्या समान है, क्योंकि 10 लाख कबूतरखानों में से प्रत्येक में नौ लंदनवासियों के बाल केवल 90 लाख लोगों के होते हैं।

औसत मामले के लिए ($n$) बाधा के साथ: सबसे कम ओवरलैप, प्रत्येक कबूतरखाने के लिए अधिकतम एक व्यक्ति को नियुक्त किया जाएगा और 150,001वें व्यक्ति को किसी अन्य व्यक्ति के समान उसी कबूतरखाने को सौंपा जाएगा। इस बाधा के अभाव में, खाली कबूतरखाने हो सकते हैं क्योंकि टक्कर 150,001वें व्यक्ति से पहले होती है। सिद्धांत केवल ओवरलैप के अस्तित्व को साबित करता है; इसमें ओवरलैप्स की संख्या (जो संभाव्यता वितरण के अंतर्गत आती है) के बारे में कुछ नहीं कहा गया है।

ए हिस्ट्री ऑफ द एथेनियन सोसाइटी में सिद्धांत के इस संस्करण के लिए अंग्रेजी में एक व्यंग्यपूर्ण संकेत है, जो एथेनियन ओरेकल के लिए एक पूरक से पहले जुड़ा हुआ है: बीइंग ए कलेक्शन ऑफ द एथेनियन सोसाइटी ओल्ड एथेनियन मर्करीज़ में शेष प्रश्न और उत्तर, (एंड्रयू बेल के लिए मुद्रित, लंदन, 1710)। सवाल यह उठता है कि क्या दुनिया में ऐसे भी दो व्यक्ति थे जिनके सिर पर समान संख्या में बाल हों? 1704 से पहले एथेनियन मर्करी में पाला गया था। शायद पिजनहोल सिद्धांत का पहला लिखित संदर्भ 1622 में फ्रांसीसी जेसुइट जीन लेउरेचोन द्वारा लिखित लैटिन कार्य सिलेक्ट प्रोपोजीशन के एक छोटे वाक्य में दिखाई देता है, जहां उन्होंने लिखा कि यह आवश्यक है कि दो पुरुषों के बाल, बाल या अन्य चीजें एक-दूसरे के समान संख्या में हों। पूरे सिद्धांत को दो साल बाद, अतिरिक्त उदाहरणों के साथ, एक अन्य पुस्तक में वर्णित किया गया था, जिसका श्रेय अक्सर लेउरेचॉन को दिया गया है, लेकिन हो सकता है कि इसे उनके किसी छात्र ने लिखा हो।

जन्मदिन की समस्या
जन्मदिन की समस्या एक सेट के लिए पूछती है $n > m$ यादृच्छिक रूप से चुने गए लोगों की क्या प्रायिकता है कि उनमें से कुछ जोड़े का जन्मदिन एक ही होगा? समस्या स्वयं मुख्य रूप से प्रति-सहज ज्ञान युक्त संभावनाओं से संबंधित है; हालाँकि, हम पिजनहोल सिद्धांत द्वारा यह भी बता सकते हैं कि, यदि कमरे में 367 लोग हैं, तो 100% संभावना के साथ कम से कम एक जोड़ी लोगों का जन्मदिन एक ही है, क्योंकि चुनने के लिए केवल 366 संभावित जन्मदिन हैं ( 29 फरवरी सहित, यदि मौजूद हो)।

टीम टूर्नामेंट
सात लोगों की कल्पना करें जो टीमों के टूर्नामेंट में खेलना चाहते हैं $m = 150,000$ आइटम), केवल चार टीमों की सीमा के साथ $n$ छेद) से चुनने के लिए। पिजनहोल सिद्धांत हमें बताता है कि वे सभी अलग-अलग टीमों के लिए नहीं खेल सकते हैं; कम से कम एक टीम में सात में से कम से कम दो खिलाड़ी होने चाहिए:
 * $$ \left\lfloor \frac{n-1}{m} \right\rfloor + 1 = \left\lfloor \frac{7-1}{4} \right\rfloor + 1 = \left\lfloor \frac64 \right\rfloor + 1 = 1 + 1 = 2 $$

उपसमुच्चय योग
सेट से आकार छह का कोई उपसमूह $(n = 7$ = {1,2,3,...,9} में दो तत्व होने चाहिए जिनका योग 10 है। पिजनहोल को दो तत्व उपसमुच्चय {1,9}, {2,8}, {3,7) द्वारा लेबल किया जाएगा। }, {4,6} और सिंगलटन {5}, कुल मिलाकर पांच कबूतरखाने। जब छह कबूतरों (आकार छह उपसमुच्चय के तत्व) को इन कबूतरखाने में रखा जाता है, तो प्रत्येक कबूतर उस कबूतरखाने में जाता है जिसके लेबल में यह समाहित होता है, दो-तत्व उपसमूह के साथ लेबल किए गए कबूतरखाने में से कम से कम एक में दो कबूतर होंगे यह।

उपयोग और अनुप्रयोग
सिद्धांत का उपयोग यह साबित करने के लिए किया जा सकता है कि कोई भी दोषरहित संपीड़न एल्गोरिथ्म, बशर्ते कि यह कुछ इनपुट को छोटा बनाता है (जैसा कि नाम संपीड़न से पता चलता है), कुछ अन्य इनपुट को भी बड़ा बना देगा। अन्यथा, किसी दी गई लंबाई तक सभी इनपुट अनुक्रमों का सेट $L$ से कम लंबाई के सभी अनुक्रमों के (बहुत) छोटे सेट पर मैप किया जा सकता है $L$ टकराव के बिना (क्योंकि संपीड़न दोषरहित है), एक संभावना जिसे पिजनहोल सिद्धांत बाहर रखता है।

गणितीय विश्लेषण में एक उल्लेखनीय समस्या एक निश्चित अपरिमेय संख्या है $a$, यह दिखाने के लिए कि सेट \{[na]: n \in \Z \} }भिन्नात्मक भागों का } अपने आप में सघन है $(m = 4$. कोई यह पाता है कि पूर्णांकों को स्पष्ट रूप से खोजना आसान नहीं है $n, m$ ऐसा है कि $$|na-m| < e,$$ कहाँ $S$ एक छोटी धनात्मक संख्या है और $a$ कुछ मनमाना अपरिमेय संख्या है। लेकिन अगर कोई लेता है $M$ ऐसा है कि $\tfrac 1 M < e,$ पिजनहोल सिद्धांत के अनुसार अवश्य होना चाहिए $$n_1, n_2 \in \{1, 2, \ldots, M+1\}$$ ऐसा है कि $2n$ और $n &times; n$ आकार के समान पूर्णांक उपखंड में हैं $\tfrac 1 M$ (केवल वहाँ ही $M$ क्रमागत पूर्णांकों के बीच ऐसे उपविभाजन)। विशेष रूप से, कोई भी पा सकता है $[0, 1]$ ऐसा है कि
 * $$n_1 a \in \left(p+\frac k M,\ p + \frac{k+1}{M}\right), \quad n_2 a \in \left(q+ \frac k M,\ q+\frac{k+1}{M}\right),$$

कुछ के लिए $p, q$पूर्णांक और $k$ में $e > 0$. फिर कोई भी इसे आसानी से सत्यापित कर सकता है
 * $$(n_2 - n_1)a \in \left(q-p-\frac 1 M, q-p+\frac 1 M \right).$$

इसका अर्थ यह है कि $[na] < \tfrac 1 M < e,$ कहाँ $n_{1}a$ या $n_{2}a$. इससे पता चलता है कि 0 {[ का एक सीमा बिंदु है$n_{1}, n_{2}$]}. फिर कोई इस तथ्य का उपयोग मामले को साबित करने के लिए कर सकता है $p$ में ${0, 1, ..., M &minus; 1}$: पाना $n$ ऐसा है कि $[na] < \tfrac 1 M < e;$ तो अगर $p \in \bigl(0, \tfrac 1 M \bigr],$ प्रमाण पूर्ण है। अन्यथा
 * $$p \in \left(\frac j M, \frac{j+1}{M}\right],$$

और सेटिंग द्वारा
 * $$k = \sup \left\{r \in N : r[na] < \frac j M \right\},$$ एक प्राप्त होता है
 * $$\Bigl| \bigl[ (k+1)na \bigr] - p \Bigr| < \frac 1 M < e.$$

अनेक प्रमाणों में भिन्नताएँ पाई जाती हैं। नियमित भाषाओं के लिए पंपिंग लेम्मा के प्रमाण में, एक संस्करण जो परिमित और अनंत सेटों को मिलाता है, का उपयोग किया जाता है: यदि अनंत रूप से कई वस्तुओं को सीमित रूप से कई बक्से में रखा जाता है, तो दो वस्तुएं मौजूद होती हैं जो एक बॉक्स साझा करती हैं। आर्ट गैलरी समस्या के फिस्क के समाधान में एक प्रकार का व्युत्क्रम प्रयोग किया जाता है: यदि $n$ वस्तुओं को रखा जाता है $k$ बक्से, तो अधिकतम एक बॉक्स होता है $\tfrac n k$ वस्तुएं।

वैकल्पिक सूत्रीकरण
पिजनहोल सिद्धांत के वैकल्पिक सूत्रीकरण निम्नलिखित हैं।


 * 1) अगर $n = n_{2} &minus; n_{1}$ वस्तुएं वितरित की जाती हैं $n = n_{1} &minus; n_{2}$ स्थान, और यदि $na$, तो किसी स्थान पर कम से कम दो वस्तुएँ प्राप्त होती हैं। #(1 के समतुल्य सूत्रीकरण) यदि $(0, 1]$ वस्तुएं वितरित की जाती हैं $n$ स्थानों को इस प्रकार रखें कि किसी भी स्थान को एक से अधिक वस्तुएँ प्राप्त न हों, तो प्रत्येक स्थान को बिल्कुल एक वस्तु प्राप्त होती है। #अगर $m$ वस्तुएं वितरित की जाती हैं $n > m$ स्थान, और यदि $n$, तो किसी स्थान को कोई वस्तु प्राप्त नहीं होती है।
 * 2) (3 के समतुल्य सूत्रीकरण) यदि $n$ वस्तुएं वितरित की जाती हैं $n$ स्थानों को इस प्रकार रखा जाए कि किसी भी स्थान को कोई वस्तु प्राप्त न हो, तो प्रत्येक स्थान को बिल्कुल एक ही वस्तु प्राप्त होती है।

मजबूत रूप
होने देना $m$ धनात्मक पूर्णांक हों। अगर
 * $$q_1 + q_2 + \cdots + q_n - n + 1$$

वस्तुओं को वितरित किया जाता है $n < m$ बक्से, तो या तो पहले बॉक्स में कम से कम होता है $n$ ऑब्जेक्ट, या दूसरे बॉक्स में कम से कम शामिल है $n$ ऑब्जेक्ट, ..., या $q_{1}, q_{2}, ..., q_{n}$बॉक्स में कम से कम है $n$ वस्तुएं। इसे लेने से सरल रूप प्राप्त होता है $q_{1}$, जो देता है $q_{2}$ वस्तुएं। ले रहा $n$ सिद्धांत का अधिक परिमाणित संस्करण देता है, अर्थात्:

होने देना $q_{n}$ और $q_{1} = q_{2} = ... = q_{n} = 2$ धनात्मक पूर्णांक हों। अगर $n + 1$ वस्तुओं को वितरित किया जाता है $q_{1} = q_{2} = ... = q_{n} = r$ बक्से, तो कम से कम एक बक्से में शामिल है $n$ या अधिक वस्तुएं। इसे इस प्रकार भी कहा जा सकता है, यदि $r$ असतत वस्तुओं को आवंटित किया जाना है $n(r - 1) + 1$कंटेनर, तो कम से कम एक कंटेनर अवश्य रखना चाहिए $$\lceil k/n \rceil$$ वस्तुएं, कहां $$\lceil x\rceil$$ सीलिंग फ़ंक्शन है, जो इससे बड़े या उसके बराबर सबसे छोटे पूर्णांक को दर्शाता है $n$. इसी प्रकार, कम से कम एक कंटेनर में इससे अधिक नहीं होना चाहिए $$\lfloor k/n \rfloor$$ वस्तुएं, कहां $$\lfloor x \rfloor$$ फ़्लोर फ़ंक्शन है, जो इससे छोटे या उसके बराबर सबसे बड़े पूर्णांक को दर्शाता है $r$.

पिजनहोल सिद्धांत का सामान्यीकरण
पिजनहोल सिद्धांत का एक संभाव्य सामान्यीकरण बताता है कि यदि $m = n$कबूतरों को बेतरतीब ढंग से डाला जाता है $k = r − 1$ समान संभावना वाले कबूतरखाने $k$, तो संभावना है कि कम से कम एक कबूतरखाने में एक से अधिक कबूतर होंगे


 * $$1 - \frac{(m)_n}{m^n}, $$

कहाँ $n$ गिरता हुआ भाज्य है $x$. के लिए $x$ और के लिए $n$ (और $m$), वह संभावना शून्य है; दूसरे शब्दों में, यदि केवल एक कबूतर है, तो कोई संघर्ष नहीं हो सकता। के लिए $1/m$ (कबूतर के छेद से अधिक कबूतर) यह एक है, इस मामले में यह सामान्य कबूतर के छेद के सिद्धांत से मेल खाता है। लेकिन भले ही कबूतरों की संख्या कबूतरखानों की संख्या से अधिक न हो ($(m)_{n}$), कबूतरों को कबूतरखाने में नियुक्त करने की यादृच्छिक प्रकृति के कारण अक्सर झड़पें होने की पर्याप्त संभावना होती है। उदाहरण के लिए, यदि 2 कबूतरों को बेतरतीब ढंग से 4 कबूतरखानों को सौंपा गया है, तो 25% संभावना है कि कम से कम एक कबूतरखाने में एक से अधिक कबूतर होंगे; 5 कबूतरों और 10 बिलों के लिए, यह संभावना 69.76% है; और 10 कबूतरों और 20 बिलों के लिए यह लगभग 93.45% है। यदि छिद्रों की संख्या निश्चित रहती है, तो अधिक कबूतर जोड़ने पर एक जोड़े की संभावना हमेशा अधिक होती है। जन्मदिन विरोधाभास में इस समस्या का अधिक विस्तार से इलाज किया जाता है।

एक और संभाव्य सामान्यीकरण यह है कि जब एक वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर होता है $m(m &minus; 1)(m &minus; 2)...(m &minus; n + 1)$ का एक सीमित माध्य है $n = 0$, तो संभावना शून्य नहीं है $n = 1$ से अधिक या बराबर है $m > 0$, और इसी तरह संभावना शून्य नहीं है $n > m$ से कम या बराबर है $n ≤ m$. यह देखने के लिए कि इसका तात्पर्य मानक पिजनहोल सिद्धांत से है, कोई भी निश्चित व्यवस्था लें $X$कबूतरों में $E(X)$ छेद और चलो $X$यादृच्छिक रूप से समान रूप से चुने गए बिल में कबूतरों की संख्या हो। का मतलब $E(X)$ है $X$, इसलिए यदि बिलों से अधिक कबूतर हैं तो माध्य एक से अधिक है। इसलिए, $E(X)$ कभी-कभी कम से कम 2 होता है।

अनंत समुच्चय
पिजनहोल सिद्धांत को कार्डिनल संख्याओं के संदर्भ में वाक्यांशित करके अनंत सेटों तक बढ़ाया जा सकता है: यदि सेट की कार्डिनैलिटी $A$ सेट की कार्डिनैलिटी से अधिक है $B$, तो से कोई इंजेक्शन नहीं है $A$ को $B$. हालाँकि, इस रूप में सिद्धांत टॉटोलॉजी (तर्क) है, क्योंकि कथन का अर्थ यह है कि सेट की कार्डिनैलिटी $A$ सेट की कार्डिनैलिटी से अधिक है $B$ बिल्कुल यही है कि यहां से कोई विशेषण मानचित्र नहीं है $A$ को $B$. हालाँकि, एक सीमित सेट में कम से कम एक तत्व जोड़ना यह सुनिश्चित करने के लिए पर्याप्त है कि कार्डिनैलिटी बढ़े।

परिमित समुच्चयों के लिए पिजनहोल सिद्धांत को वाक्यांशबद्ध करने का दूसरा तरीका इस सिद्धांत के समान है कि परिमित समुच्चय डेडेकाइंड परिमित हैं: चलो $A$ और $B$ परिमित समुच्चय हों। अगर कोई आपत्ति है $A$ को $B$ वह इंजेक्शन नहीं है, तो कोई अनुमान नहीं है $A$ को $B$ इंजेक्शन है. वस्तुतः किसी भी प्रकार का कोई कार्य नहीं $A$ को $B$ इंजेक्शन है. यह अनंत सेटों के लिए सच नहीं है: प्राकृतिक संख्याओं पर फ़ंक्शन पर विचार करें जो 1 और 2 को 1, 3 और 4 से 2, 5 और 6 को 3 भेजता है, और इसी तरह।

अनंत सेटों के लिए एक समान सिद्धांत है: यदि अनगिनत कबूतरों को अनगिनत कबूतरों में भर दिया जाता है, तो कम से कम एक कबूतरखाने में अनगिनत कबूतरों को भरा जाएगा।

हालाँकि, यह सिद्धांत परिमित सेटों के लिए पिजनहोल सिद्धांत का सामान्यीकरण नहीं है: यह परिमित सेटों के लिए सामान्य रूप से गलत है। तकनीकी भाषा में यह कहा जाता है कि यदि $A$ और $B$ परिमित समुच्चय हैं जैसे कि कोई भी विशेषण कार्य करता है $A$ को $B$ इंजेक्शन नहीं है, तो एक तत्व मौजूद है $b$ का $B$ ऐसा कि पूर्वछवि के बीच एक आक्षेप मौजूद है $b$ और $A$. यह एक बिल्कुल अलग कथन है, और बड़ी सीमित प्रमुखताओं के लिए बेतुका है।

क्वांटम यांत्रिकी
याकिर अहरोनोव एट अल। तर्क प्रस्तुत किए हैं कि क्वांटम यांत्रिकी में पिजनहोल सिद्धांत का उल्लंघन किया जा सकता है, और क्वांटम यांत्रिकी में पिजनहोल सिद्धांत का परीक्षण करने के लिए इंटरफेरोमेट्री प्रयोगों का प्रस्ताव रखा है। हालाँकि, बाद के शोध ने इस निष्कर्ष पर प्रश्नचिह्न लगा दिया है। जनवरी 2015 के arXiv प्रीप्रिंट में, बर्मिंघम विश्वविद्यालय के शोधकर्ताओं एलेस्टेयर राय और टेड फोर्गन ने एक इंटरफेरोमीटर के माध्यम से विभिन्न ऊर्जाओं पर इलेक्ट्रॉनों की उड़ान पर मानक कबूतर सिद्धांत को नियोजित करते हुए एक सैद्धांतिक तरंग फ़ंक्शन विश्लेषण किया। यदि इलेक्ट्रॉनों में बिल्कुल भी परस्पर क्रिया शक्ति नहीं होती, तो वे प्रत्येक एक एकल, पूर्णतः वृत्ताकार शिखर उत्पन्न करते। उच्च अंतःक्रिया शक्ति पर, प्रत्येक इलेक्ट्रॉन डिटेक्टर पर कुल 12 चोटियों के लिए चार अलग-अलग चोटियाँ उत्पन्न करता है; ये शिखर चार संभावित अंतःक्रियाओं का परिणाम हैं जिन्हें प्रत्येक इलेक्ट्रॉन अनुभव कर सकता है (अकेले, केवल पहले अन्य कण के साथ, केवल दूसरे अन्य कण के साथ, या तीनों एक साथ)। यदि अंतःक्रिया की ताकत काफी कम थी, जैसा कि कई वास्तविक प्रयोगों में होता है, तो शून्य-अंतःक्रिया पैटर्न से विचलन लगभग अदृश्य होगा, जो ठोस पदार्थों में परमाणुओं के जाली अंतर से बहुत छोटा होगा, जैसे कि इन पैटर्न को देखने के लिए उपयोग किए जाने वाले डिटेक्टर। इससे कमजोर-लेकिन-गैर-शून्य अंतःक्रिया शक्ति को बिना किसी अंतःक्रिया से अलग करना बहुत मुश्किल या असंभव हो जाएगा, और इस प्रकार तीन इलेक्ट्रॉनों का भ्रम पैदा होगा जो तीनों के दो पथों से गुजरने के बावजूद परस्पर क्रिया नहीं करते हैं।

यह भी देखें

 * पसंद का सिद्धांत
 * ब्लिचफेल्ट का प्रमेय
 * संयुक्त सिद्धांत
 * संयुक्त प्रमाण
 * डेडेकाइंड-अनंत सेट
 * डिरिचलेट का सन्निकटन प्रमेय
 * हिल्बर्ट का ग्रैंड होटल का विरोधाभास
 * बहुपद प्रमेय
 * पोचहैमर प्रतीक
 * रैमसे का प्रमेय

बाहरी संबंध

 * "The strange case of The Pigeon-hole Principle"; Edsger Dijkstra investigates interpretations and reformulations of the principle.
 * "The Pigeon Hole Principle"; Elementary examples of the principle in use by Larry Cusick.
 * "Pigeonhole Principle from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles"; basic Pigeonhole Principle analysis and examples by Alexander Bogomolny.
 * "16 fun applications of the pigeonhole principle"; Interesting facts derived by the principle.
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