पायथागॉरियन प्राइम

एक पाइथागोरस अभाज्य की एक अभाज्य संख्या है form $4n+1$. पाइथागोरस अभाज्य ठीक विषम अभाज्य संख्याएँ हैं जो दो वर्गों का योग हैं; यह लक्षण वर्णन दो वर्गों के योग पर फर्मेट का प्रमेय है।

समतुल्य रूप से, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, वे विषम अभाज्य संख्याएँ हैं $$p$$ जिसके लिए $$\sqrt p$$ पूर्णांक पैरों वाले समकोण त्रिभुज के कर्ण की लंबाई है, और वे अभाज्य संख्याएँ भी हैं $$p$$ जिसके लिए $$p$$ स्वयं आदिम पाइथागोरस त्रिभुज का कर्ण है। उदाहरण के लिए, संख्या 5 पायथागॉरियन प्राइम है; $$\sqrt5$$ पैर 1 और 2 वाले समकोण त्रिभुज का कर्ण है, और 5 स्वयं पैर 3 और 4 वाले समकोण त्रिभुज का कर्ण है।

मान और घनत्व
पहले कुछ पायथागॉरियन अभाज्य हैं

डिरिचलेट के प्रमेय द्वारा अंकगणितीय प्रगति पर, यह क्रम अनंत है। अधिक दृढ़ता से, प्रत्येक के लिए $$n$$, पायथागॉरियन और गैर-पाइथागोरियन प्राइम्स की संख्या $$n$$ लगभग बराबर हैं। हालाँकि, पाइथागोरस की संख्या तक होती है $$n$$ अक्सर गैर-पाइथागोरस प्राइम्स की संख्या से कुछ छोटा होता है; इस घटना के रूप में जाना जाता है Chebyshev's bias. उदाहरण के लिए, के केवल मान $$n$$ 600000 तक जिसके लिए गैर-पाइथागोरस की तुलना में अधिक पायथागॉरियन हैं, n से कम या उसके बराबर विषम अभाज्य 26861 हैं and 26862.

दो वर्गों के योग के रूप में प्रतिनिधित्व
एक विषम वर्ग और एक सम वर्ग का योग 1 mod 4 के बराबर है, लेकिन मिश्रित संख्याएं मौजूद हैं जैसे कि 21 जो हैं 1 mod 4 और अभी तक दो वर्गों के योग के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। दो वर्गों के योग पर फ़र्मेट की प्रमेय बताती है कि दो वर्गों के योग के रूप में दर्शाई जा सकने वाली अभाज्य संख्याएँ वास्तव में 2 हैं और विषम अभाज्य सर्वांगसम हैं 1 mod 4. ऐसी प्रत्येक संख्या का प्रतिनिधित्व अद्वितीय है, दो वर्गों के क्रम तक।

पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करके, इस प्रतिनिधित्व की ज्यामितीय रूप से व्याख्या की जा सकती है: पायथागॉरियन अभाज्य विषम अभाज्य संख्याएँ हैं $$p$$ जैसे कि पूर्णांक पैरों के साथ एक समकोण त्रिभुज मौजूद है, जिसका कर्ण है length $\sqrt p$. वे भी बिल्कुल अभाज्य संख्याएँ हैं $$p$$ जैसे कि पूर्णांक भुजाओं वाला एक समकोण त्रिभुज मौजूद है जिसका कर्ण है length $p$. के लिए, अगर पैरों के साथ त्रिकोण $$x$$ और $$y$$ कर्ण की लंबाई है $$\sqrt p$$ (साथ $$x>y$$), फिर पैरों के साथ त्रिकोण $$x^2-y^2$$ और $$2xy$$ कर्ण है length $p$.

इस प्रतिनिधित्व को दो वर्गों के योग के रूप में समझने का एक अन्य तरीका गॉसियन पूर्णांक शामिल है, जटिल संख्याएँ जिनका वास्तविक भाग और काल्पनिक भाग दोनों हैं integers. गॉसियन पूर्णांक का मानदंड $$x+iy$$ है number $x^2+y^2$. इस प्रकार, पायथागॉरियन प्राइम्स (और 2) गॉसियन पूर्णांकों के मानदंडों के रूप में होते हैं, जबकि अन्य प्राइम्स नहीं होते हैं। गॉसियन पूर्णांकों के भीतर, पायथागॉरियन अभाज्य संख्याओं को अभाज्य संख्याएँ नहीं माना जाता है, क्योंकि उन्हें इस प्रकार गुणनखंडित किया जा सकता है $$p=(x+iy)(x-iy).$$ इसी तरह, उनके वर्गों को उनके पूर्णांक गुणनखंडन की तुलना में एक अलग तरीके से गुणनखंडित किया जा सकता है, जैसे $$ \begin{align} p^2&=(x+iy)^2(x-iy)^2\\ &=(x^2-y^2+2ixy)(x^2-y^2-2ixy).\\ \end{align}$$ इन गुणनखंडों में कारकों के वास्तविक और काल्पनिक भाग दिए गए कर्ण वाले समकोण त्रिभुजों की पैर की लंबाई हैं।

द्विघात अवशेष
द्विघात पारस्परिकता का नियम कहता है कि यदि $$p$$ और $$q$$ विशिष्ट विषम अभाज्य हैं, जिनमें से कम से कम एक पायथागॉरियन है, तब $$p$$ द्विघात अवशेष है mod $q$ अगर और केवल अगर $$q$$ द्विघात अवशेष है mod $p$; इसके विपरीत, यदि कोई नहीं $$p$$ और न $$q$$ पायथागॉरियन है, तो $$p$$ द्विघात अवशेष है mod $q$ अगर और केवल अगर $$q$$ द्विघात अवशेष नहीं है mod $p$.

परिमित क्षेत्र में $$\Z/p$$ साथ $$p$$ एक पायथागॉरियन प्राइम, बहुपद समीकरण $$x^2=-1$$ दो उपाय हैं। यह कहकर व्यक्त किया जा सकता है $$-1$$ द्विघात अवशेष है mod $p$. इसके विपरीत, परिमित क्षेत्रों में इस समीकरण का कोई हल नहीं है $$\Z/p$$ कहाँ $$p$$ एक विषम प्रधान है लेकिन नहीं है Pythagorean.

प्रत्येक पायथागॉरियन प्राइम के लिए $$p$$, के साथ एक पाले ग्राफ मौजूद है $$p$$ कोने, संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं modulo $p$, ग्राफ में आसन्न दो संख्याओं के साथ यदि और केवल यदि उनका अंतर एक द्विघात अवशेष है। यह परिभाषा पाइथागोरियन प्राइम्स की संपत्ति के कारण, उनके अंतर की गणना करने के लिए जिस क्रम में घटाई जाती है, उस क्रम की परवाह किए बिना समान आसन्नता संबंध उत्पन्न करती है $$-1$$ द्विघात है residue.