परकोलेशन सिद्धांत

सांख्यिकीय भौतिकी और गणित में, टपकन सिद्धांत नेटवर्क के व्यवहार का वर्णन करता है जब नोड्स या लिंक जोड़े जाते हैं। यह  ज्यामितीय प्रकार का चरण संक्रमण है, क्योंकि जोड़ के  महत्वपूर्ण अंश पर छोटे, डिस्कनेक्ट किए गए समूहों का नेटवर्क ग्राफ सिद्धांत के तथाकथित बड़े शब्दकोष में विलीन हो जाता है, तथाकथित फैले हुए समूह के लिए सामग्री विज्ञान और कई अन्य विषयों में परकोलेशन सिद्धान्त के अनुप्रयोगों पर यहां और लेखों में नेटवर्क सिद्धांत और परकोलेशन पर चर्चा की गई है।

परिचय
प्रतिनिधि प्रश्न (और नाम की व्युत्पत्ति) इस प्रकार है। मान लें कि कुछ सरंध्रता सामग्री के ऊपर कुछ तरल डाला जाता है। क्या तरल छेद से छेद तक अपना रास्ता बनाने और नीचे तक पहुंचने में सक्षम होगा? यह भौतिक प्रश्न गणितीय प्रारूप है जो गणितीय रूप से ग्रिड ग्राफ | के त्रि-आयामी नेटवर्क के रूप में है $n × n × n$ ग्राफ़ (असतत गणित), जिसे सामान्यतः साइट कहा जाता है, जिसमें प्रत्येक दो पड़ोसियों के बीच ग्राफ़ (असतत गणित) या बंधन खुले हो सकते हैं (तरल के माध्यम से) संभावना के साथ $p$, या संभाव्यता के साथ बंद $1 – p$, और उन्हें स्वतंत्र माना जाता है। इसलिए, दिए गए के लिए $p$, इसकी क्या प्रायिकता है कि खुला पथ (मतलब  पथ, जिसका प्रत्येक लिंक  खुला बंधन है) ऊपर से नीचे तक सम्मलित है? बड़े के लिए व्यवहार$n$ प्राथमिक हित का है। यह समस्या, जिसे अब बॉन्ड परकोलेशन कहा जाता है, को गणित साहित्य में किसके द्वारा पेश किया गया था, और तब से गणितज्ञों और भौतिकविदों द्वारा गहन अध्ययन किया गया है।

यादृच्छिक ग्राफ प्राप्त करने के लिए थोड़ा अलग गणितीय प्रारूप में, साइट प्रायिकता के साथ व्याप्त है $p$ या खाली (जिस स्थिति में इसके किनारों को हटा दिया जाता है) प्रायिकता के साथ $1 – p$; संबंधित समस्या को साइट परकोलेशन कहा जाता है। प्रश्न वही है: किसी दिए गए 'पी' के लिए, क्या संभावना है कि ऊपर और नीचे के बीच  पथ सम्मलित है? इसी तरह, कोई यह पूछ सकता है कि किस अंश पर जुड़ा हुआ ग्राफ दिया गया है $1 – p$ असफलताओं का ग्राफ डिस्कनेक्ट हो जाएगा (कोई बड़ा घटक नहीं)। किसी भी जाली आयाम के लिए वही प्रश्न पूछे जा सकते हैं। जैसा कि काफी विशिष्ट है, केवल बड़े लोगों की तुलना में अनंत ग्राफ नेटवर्क की जांच करना वास्तव में आसान है। इस मामले में संबंधित प्रश्न है: क्या अनंत खुला क्लस्टर सम्मलित है? अर्थात्, क्या नेटवर्क के माध्यम से अनंत लंबाई के जुड़े बिंदुओं का मार्ग है? कोलमोगोरोव के शून्य- नियम द्वारा, किसी दिए गए के लिए $p$, संभावना है कि अनंत क्लस्टर सम्मलित है या तो शून्य या  है। चूंकि यह संभावना  बढ़ता हुआ कार्य है $p$ (युग्मन (संभावना) तर्क के माध्यम से सबूत),  महत्वपूर्ण होना चाहिए $p$ (द्वारा चिह्नित$p_{c}$) जिसके नीचे प्रायिकता हमेशा 0 होती है और जिसके ऊपर प्रायिकता हमेशा 1 होती है। व्यवहार में, इस गंभीरता का निरीक्षण करना बहुत आसान है। यहां तक ​​के लिए $n$ 100 जितना छोटा, ऊपर से नीचे तक  खुले रास्ते की संभावना तेजी से शून्य के बहुत निकट से बढ़कर मूल्यों की $p$ छोटी अवधि में  के बहुत निकट हो जाती है।



इतिहास
फ्लोरी-स्टॉकमेयर सिद्धांत पहला सिद्धांत था जो परकोलेशन प्रक्रियाओं की जांच कर रहा था। परकोलेशन प्रारूप का इतिहास, जैसा कि हम जानते हैं, इसकी जड़ें कोयला उद्योग में हैं। औद्योगिक क्रांति के बाद से, ऊर्जा के इस स्रोत के आर्थिक महत्व ने इसकी संरचना को समझने और इसके उपयोग को अनुकूलित करने के लिए कई वैज्ञानिक अध्ययनों को बढ़ावा दिया। 30' और 40' के समय, कार्बनिक रसायन द्वारा गुणात्मक विश्लेषण ने अधिक से अधिक मात्रात्मक अध्ययनों के लिए जगह छोड़ी गई।

इस संदर्भ में, 1938 में ब्रिटिश कोल यूटिलाइजेशन रिसर्च एसोसिएशन (BCURA) बनाया गया था। यह कोयला खदानों के मालिकों द्वारा वित्त पोषित शोध संघ है। 1942 में, रोजालिंड फ्रैंकलिन, जिन्होंने हाल ही में कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय से रसायन विज्ञान में स्नातक किया, बीकूरा में सम्मलित हुए। उन्होंने कोयले के घनत्व और सरंध्रता पर शोध शुरू किया। द्वितीय विश्व युद्ध के समय, कोयला  महत्वपूर्ण रणनीतिक संसाधन था। इसका उपयोग ऊर्जा के स्रोत के रूप में किया जाता था, लेकिन यह गैस मास्क का मुख्य घटक भी था।

कोयला झरझरा माध्यम है। इसके 'वास्तविक' घनत्व को मापने के लिए, इसे  तरल या गैस में डुबोना था, जिसके अणु इतने छोटे होते हैं कि इसके सूक्ष्म छिद्र भर जाते हैं। कई गैसों (हीलियम, मेथनॉल, हेक्सेन, बेंजीन) का उपयोग करके कोयले के घनत्व को मापने की प्रयास करते हुए और जैसा कि उसने उपयोग की गई गैस के आधार पर अलग-अलग मान पाए, रोज़ालिंड फ्रैंकलिन ने दिखाया कि कोयले के छिद्र विभिन्न लंबाई के माइक्रोस्ट्रक्चर से बने होते हैं जो कार्य करते हैं गैसों में विभेद करने के लिए  सूक्ष्म छलनी। उसने यह भी पता लगाया कि इन संरचनाओं का आकार कोयला उत्पादन के समय कार्बनीकरण के तापमान पर निर्भर करता है। इन शोधों के साथ, उन्होंने पीएचडी की डिग्री प्राप्त की और उन्होंने 1946 में बीसीयूआरए छोड़ दिया।

मध्य अर्द्धशतक में, साइमन ब्रॉडबेंट ने बीसीयूआरए में सांख्यिकीविद् के रूप में काम किया। अन्य रुचियों के बीच, उन्होंने गैस मास्क में कोयले के उपयोग का अध्ययन किया।  प्रश्न यह समझना है कि कोयले के छिद्रों में तरल पदार्थ कैसे फैल सकता है, खुले या बंद सुरंगों की यादृच्छिक भूलभुलैया के रूप में तैयार किया गया। 1954 में मोंटे कार्लो विधि पद्धति पर  संगोष्ठी के समय, उन्होंने इस प्रारूप का विश्लेषण करने के लिए संख्यात्मक विधियों के उपयोग पर जॉन हैमरस्ले से प्रश्न पूछे गए।

ब्रॉडबेंट और हैमरस्ले ने 1957 के अपने लेख में इस घटना को प्रारूप करने के लिए गणितीय प्रारूप पेश किया, जो कि परकोलेशन है।

क्रिटिकल पैरामीटर की गणना
अधिकांश अनंत जाली ग्राफ के लिए, $p = 0.51$ हालांकि कुछ स्थितियों में सटीक गणना नहीं की जा सकती है $p_{c}$ सटीक मान होता है। उदाहरण के लिए:

* यादृच्छिक पेड़ (ग्राफ सिद्धांत) के लिए | डिग्री-डिग्री सहसंबंध के बिना पेड़ जैसा नेटवर्क, यह दिखाया जा सकता है कि इस तरह के नेटवर्क में  विशाल घटक हो सकता है, और रिसाव की प्रारंभिक स्थिति (संचरण संभावना) द्वारा दिया जाता है $$p_c = \frac{1}{g_1'(1)}$$,  कहां $$g_1(z)$$ डिग्री वितरण है डिग्री वितरण के अनुरूप जनरेटिंग फ़ंक्शंस विधि#जेनरेटिंग फ़ंक्शंस विधि। तो, यादृच्छिक इरदौस-रेनयी प्रारूप के लिए या औसत डिग्री के इरदौस-रेनयी नेटवर्क $$\langle k\rangle$$, $p_{c}$. 0 < C \ll 1 $$, महत्वपूर्ण बिंदु द्वारा स्केल किया जाता है $$ (1-C)^{-1} $$ ऐसा है कि:
 * वर्गाकार जाली के लिए $ℤ^{2}$ दो आयामों में, $p_{c} = 1⁄2$ बॉन्ड परकोलेशन के लिए, तथ्य जो 20 से अधिक वर्षों के लिए  खुला प्रश्न था और अंततः 1980 के दशक की शुरुआत में हैरी चेस्टनट द्वारा हल किया गया था, देखें . साइट परकोलेशन के लिए, का मूल्य $p_{c}$ विश्लेषणात्मक व्युत्पत्ति से नहीं जाना जाता है, लेकिन केवल बड़े जाली के सिमुलेशन के माध्यम से।
 * बेथे जाली द्वारा उच्च आयामों में जाली के लिए सीमा का स्थिति दिया गया है, जिसकी दहलीज पर है $p_{c} = 1⁄z − 1$  समन्वय संख्या के लिए$z$. दूसरे शब्दों में: डिग्री के नियमित वृक्ष (ग्राफ सिद्धांत) के लिए $$z$$, $$p_c$$ के बराबर है $$1/(z-1)$$.
 * कम क्लस्टरिंग गुणांक वाले नेटवर्क में, $$

$$p_c = \frac{1}{1-C}\frac{1}{g_1'(1)}.$$ यह इंगित करता है कि किसी दिए गए डिग्री वितरण के लिए, क्लस्टरिंग बड़े परकोलेशन थ्रेशोल्ड की ओर जाता है, मुख्य रूप से लिंक की  निश्चित संख्या के कारण, क्लस्टरिंग संरचना वैश्विक कनेक्शन को कमजोर करने की कीमत के साथ नेटवर्क के मूल को मजबूत करती है। उच्च क्लस्टरिंग वाले नेटवर्क के लिए, मजबूत क्लस्टरिंग कोर-परिधि संरचना को प्रेरित कर सकती है, जिसमें कोर और परिधि अलग-अलग महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फैल सकती हैं, और उपरोक्त अनुमानित उपचार लागू नहीं होता है।

सार्वभौमिकता
सार्वभौमिकता (गतिशील प्रणाली) बताती है कि का संख्यात्मक मान $p_{c} = 1⁄&lang;k&rang;$ ग्राफ की स्थानीय संरचना द्वारा निर्धारित किया जाता है, जबकि महत्वपूर्ण सीमा के पास व्यवहार, $p_{c}$, सार्वभौमिक महत्वपूर्ण घातांक की विशेषता है। उदाहरण के लिए क्रांतिकता पर समूहों के आकार का वितरण शक्ति नियम के रूप में सभी 2d जाली के लिए समान घातांक के साथ घटता है। इस सार्वभौमिकता का अर्थ है कि किसी दिए गए आयाम के लिए, विभिन्न महत्वपूर्ण घातांक, समूहों के फ्रैक्टल आयाम पर $p_{c}$ जाली प्रकार और अंतःस्रवण प्रकार (जैसे, बंधन या साइट) से स्वतंत्र है। हालांकि, हाल ही में वेटेड प्लानर स्टोचैस्टिक जाली (डब्ल्यूपीएसएल) पर परकोलेशन किया गया है और पाया गया है कि हालांकि डब्ल्यूपीएसएल का आयाम उस स्थान के आयाम के साथ मेल खाता है जहां यह एम्बेडेड है, इसकी सार्वभौमिकता वर्ग सभी ज्ञात प्लानर लैटिस से अलग है।

सबक्रिटिकल और सुपरक्रिटिकल
सबक्रिटिकल चरण में मुख्य तथ्य घातीय क्षय है। तभी $p_{c}$, संभावना है कि विशिष्ट बिंदु (उदाहरण के लिए, मूल) आकार के  खुले क्लस्टर (मतलब ग्राफ़ के खुले किनारों का  अधिकतम जुड़ा हुआ सेट) में समाहित है $p < p_{c}$ शून्य बिग ओ नोटेशन का क्षय # सामान्य कार्यों के आदेश में$r$. यह द्वारा तीन या अधिक आयामों में अंतःस्रवण के लिए सिद्ध किया गया था और स्वतंत्र रूप से. दो आयामों में, यह केस्टन के प्रमाण का हिस्सा बन गया $r$. चौकोर जाली का दोहरा ग्राफ $p_{c} = 1⁄2$ वर्गाकार जाली भी है। यह इस प्रकार है कि, दो आयामों में, सुपरक्रिटिकल चरण सबक्रिटिकल परकोलेशन प्रक्रिया के लिए दोहरी है। यह सुपरक्रिटिकल प्रारूप के बारे में अनिवार्य रूप से पूरी जानकारी प्रदान करता है $ℤ^{2}$. तीन या अधिक आयामों में सुपरक्रिटिकल चरण के लिए मुख्य परिणाम यह है कि, पर्याप्त रूप से बड़े के लिए$d = 2$, वहाँ है द्वि-आयामी स्लैब में अनंत खुला समूह $N$. द्वारा यह सिद्ध किया गया के साथ दो आयामों में $ℤ^{2} × [0, N]^{d − 2}$, संभावना के साथ  अद्वितीय अनंत बंद क्लस्टर है ( बंद क्लस्टर ग्राफ के बंद किनारों का अधिकतम जुड़ा हुआ सेट है)। इस प्रकार सबक्रिटिकल चरण को अनंत बंद महासागर में सीमित खुले द्वीपों के रूप में वर्णित किया जा सकता है। कब $p < 1⁄2$ बिल्कुल विपरीत होता है, अनंत खुले समुद्र में परिमित बंद द्वीपों के साथ। चित्र अधिक जटिल है जब $p > 1⁄2$ जबसे $d ≥ 3$, और इसके लिए अनंत खुले और बंद समूहों का सह-अस्तित्व है $p_{c} < 1⁄2$ के बीच $p$ और$p_{c}$.

आलोचनात्मकता
परकोलेशन में महत्वपूर्ण बिंदु पर गणितीय विलक्षणता है $1 − p_{c}$ और कई गुण  शक्ति-नियम के रूप में व्यवहार करते हैं $$p-p_c$$, पास $$p_c$$. गंभीर स्केलिंग आयामों की संख्या d के आधार पर क्रिटिकल कंपोनेंट्स के अस्तित्व की भविष्यवाणी करता है, जो कि विलक्षणता के वर्ग को निर्धारित करता है। कब $p = p_{c}$ इन भविष्यवाणियों को अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत और श्रैम-लोवेनर विकास के तर्कों द्वारा समर्थित किया गया है, और इसमें प्रतिपादकों के लिए अनुमानित संख्यात्मक मान सम्मलित हैं। इनमें से अधिकतर भविष्यवाणियां अनुमानित हैं, जब संख्या $d = 2$ आयामों को संतुष्ट करता है $d$ या $d = 2$. वे सम्मिलित करते हैं:


 * कोई अनंत समूह नहीं हैं (खुले या बंद)
 * संभावना है कि कुछ निश्चित बिंदु (मूल कहते हैं) से की दूरी तक खुला रास्ता है $d ≥ 6$ बहुपद रूप से घटता है, अर्ताथ बिग ओ नोटेशन है $r$ कुछ $r^{α}$ के लिए
 * $α$ चुने गए विशेष जाली या अन्य स्थानीय मापदंडों पर निर्भर नहीं करता है। यह केवल आयाम पर निर्भर करता है $α$ (यह सार्वभौमिकता (गतिशील प्रणाली) सिद्धांत का उदाहरण है)।
 * $d$ से घटता है $α_{d}$ तक $d = 2$ और फिर स्थिर रहता है।
 * दो आयामों में बड़े क्लस्टर का आकार अनुरूप मानचित्र है।
 * दो आयामों में बड़े क्लस्टर का आकार अनुरूप मानचित्र है।
 * दो आयामों में बड़े क्लस्टर का आकार अनुरूप मानचित्र है।

देखो. 11 या अधिक आयामों में, इन तथ्यों को बड़े पैमाने पर फीता विस्तार के रूप में जाना जाने वाली तकनीक का उपयोग करके सिद्ध किया जाता है। ऐसा माना जाता है कि फीता विस्तार का संस्करण 7 या अधिक आयामों के लिए मान्य होना चाहिए, शायद 6 आयामों के दहलीज मामले के लिए निहितार्थ भी। परस्त्रवण का फीता  ने विस्तार से संबंध पाया जाता है

दो आयामों में, पहला तथ्य (महत्वपूर्ण चरण में कोई रिसाव नहीं) द्वैत का उपयोग करते हुए, कई जाली के लिए सिद्ध होता है। ओडेड श्राम के अनुमान के माध्यम से द्वि-आयामी छिद्रण पर पर्याप्त प्रगति की गई है कि बड़े क्लस्टर की स्केलिंग सीमा को स्क्रैम-लोवेनर विकास के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है। यह अनुमान द्वारा सिद्ध किया गया था  त्रिकोणीय जाली पर साइट अंतःस्रवण के विशेष मामले में यह पाया जाता है।

विभिन्न प्रारूप

 * निर्देशित रिसाव कि गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव को प्रारूप में भी पेश किया गया था, और संपर्क प्रक्रिया (गणित) के साथ संबंध रखता है।
 * अध्ययन किया गया पहला प्रारूप बर्नोली परकोलेशन था। आइसिंग प्रारूप में सभी बंधन स्वतंत्र होते हैं। भौतिकविदों द्वारा इस प्रारूप को बॉन्ड परकोलेशन कहा जाता है।
 * सामान्यीकरण अगली बार रैंडम क्लस्टर प्रारूप के रूप में पेश किया गया था | फॉर्च्यून-कास्टेलिन रैंडम क्लस्टर प्रारूप, जिसमें ईज़िंग प्रारूप और अन्य पॉट्स प्रारूप के साथ कई कनेक्शन हैं।
 * पूरे ग्राफ़ पर बर्नौली (बांड) अंतःस्रवण यादृच्छिक ग्राफ का उदाहरण है। महत्वपूर्ण संभावना है$d = 6$, कहां $α_{2} = −5⁄48$ ग्राफ के शीर्षों (साइटों) की संख्या है।
 * बूटस्ट्रैप परकोलेशन सक्रिय कोशिकाओं को समूहों से हटा देता है जब उनके पास बहुत कम सक्रिय निकटतम होते हैं, और शेष कोशिकाओं की कनेक्टिविटी को देखते हैं।
 * पहला मार्ग अंत:स्रवण।
 * आक्रमण रिसाव।

जीव विज्ञान में, जैव रसायन, और भौतिक वायरोलॉजी
परकोलेशन सिद्धांत का उपयोग जैविक वायरस के गोले (कैप्सिड्स) के विखंडन की सफलतापूर्वक भविष्यवाणी करने के लिए किया गया है, हेपेटाइटिस बी वायरस कैप्सिड के विखंडन की सीमा के साथ भविष्यवाणी की और प्रयोगात्मक रूप से पता चला। जब सूक्ष्म संख्या में सबयूनिट्स को नैनोस्कोपिक खोल से बेतरतीब ढंग से हटा दिया जाता है, तो यह खंडित हो जाता है और अन्य ल-कण तकनीकों के बीच चार्ज डिटेक्शन मास स्पेक्ट्रोस्कोपी (सीडीएमएस) का उपयोग करके इस विखंडन का पता लगाया जा सकता है। यह सामान्य बोर्ड गेम जेंगा का आणविक एनालॉग है, और वायरस डिसअसेंबली के व्यापक अध्ययन के लिए इसकी प्रासंगिकता है। मुख्य बात यह है कि अधिक स्थिर वायरल कण (अधिक विखंडन थ्रेसहोल्ड के साथ झुकाव) प्रकृति में अधिक बहुतायत में पाए जाते हैं।

पारिस्थितिकी में
परकोलेशन सिद्धांत को इस बात के अध्ययन के लिए लागू किया गया है कि कैसे पर्यावरण विखंडन जानवरों के आवासों को प्रभावित करता है और प्लेग जीवाणु येर्सिनिया पेस्टिस कैसे फैलता है इसके प्रारूप।

बाहरी कड़ियाँ

 * PercoVIS: a Mac OS X program to visualize percolation on networks in real time
 * Interactive Percolation
 * Nanohub online course on Percolation Theory