S2S (गणित)

गणित में, S2S दो उत्तराधिकारियों वाला मोनैडिक द्वितीय क्रम सिद्धांत होता है। यह ज्ञात सबसे अभिव्यंजक प्राकृतिक निर्णायक सिद्धांतों में से एक होता है, जिसमें S2S में कई निर्णायक सिद्धांतों की व्याख्या की जा सकती है। इसकी निर्णायकता 1969 में माइकल ओ. राबिन द्वारा सिद्ध की गई थी।

मूल गुण
S2S की प्रथम क्रम की वस्तुएं परिमित बाइनरी स्ट्रिंग होती हैं। दूसरे क्रम की वस्तुएं परिमित बाइनरी स्ट्रिंग्स के अनैतिक समुच्चय (या एकात्मक विधेय) होता हैं। S2S में स्ट्रिंग्स पर फलन s→s0 और s→s1होता हैं, और विधेय s∈S (समकक्ष, S(s)) का अर्थ है कि स्ट्रिंग s समुच्चय S से संबंधित होती है।

कुछ गुण और परंपराएँ:
 * डिफ़ॉल्ट रूप से, लोअरकेस अक्षर पहले क्रम की वस्तुओं को संदर्भित करते हैं, औरअपरकेस दूसरे क्रम की वस्तुओं को संदर्भित करते हैं।
 * समुच्चयों का समावेश S2S को दूसरे क्रम का बनाता है, जिसमें k>1 के लिए k-ary विधेय चर की अनुपस्थिति का संकेत मिलता है।
 * स्ट्रिंग्स s और t का संयोजन st द्वारा दर्शाया जाता है, और यह सामान्यतः S2S में उपलब्ध नहीं होता है, यहां तक ​​कि s→0s में भी उपलब्ध नहीं होता है। स्ट्रिंग्स के मध्य स्ट्रिंग ऑपरेशन निश्चित होता है।
 * समानता प्राथमिक होती है, और इसे s = t ⇔ ∀S (S(s) ⇔ S(t)) और S = T ⇔ ∀s (S(s) ⇔ T(s)) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
 * स्ट्रिंग्स के स्थान पर, कोई (उदाहरण के लिए) n→2n+1 और n→2n+2 के साथ प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग कर सकता है, लेकिन कोई अन्य ऑपरेशन नहीं प्रयोग कर सकता है।
 * क्लेन स्टार का उपयोग करते हुए, सभी बाइनरी स्ट्रिंग्स के समुच्चय को {0,1} द्वारा दर्शाया जाता है।
 * {0,1} का अनैतिक उपसमुच्चय* को कभी-कभी ट्री से पहचाना जाता है, विशेष रूप से {0,1}-लेबल वाले ट्री {0,1} के रूप में*; {0,1} एक पूर्ण अनंत बाइनरी ट्री बनाता है।
 * सूत्र जटिलता के लिए, स्ट्रिंग्स पर उपसर्ग संबंध को सामान्यतः पहले क्रम के रूप में माना जाता है। इसके बिना, सभी सूत्र Δ12 के समतुल्य नहीं होंगे।
 * S2S में अभिव्यक्त गुणों के लिए (सभी बाइनरी स्ट्रिंग्स के समुच्चय को एक ट्री के रूप में देखते हुए), प्रत्येक नोड के लिए, मात्र  O(1) बिट्स को बाएं सबट्री और दाएं सबट्री और बाकी के मध्य संचारित किया जा सकता है (संचार जटिलता देखें)।
 * एक निश्चित k के लिए, स्ट्रिंग से k तक एक फलन (अर्थात् k के नीचे की प्राकृतिक संख्या) को एक समुच्चय द्वारा एन्कोड किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, s,t ⇒ s01t जहां T t के प्रत्येक वर्ण को दोगुना कर देता है, और s ⇒ {s01t: t∈{0,1}*} S2S निश्चित होता है। इसके विपरीत, संचार जटिलता युक्ति के अनुसार, S1S (नीचे) में समुच्चय की एक जोड़ी को एक समुच्चय द्वारा एन्कोड करने योग्य नहीं होता है।

S2S की कमजोरियाँ: कमजोर S2S (WS2S) के लिए सभी समुच्चयों का परिमित होना आवश्यक होता है (ध्यान दें कि परिमितता कोनिग के लेम्मा का उपयोग करके S2S में व्यक्त की जा सकती है)। S1S को यह आवश्यक करके प्राप्त किया जा सकता है कि '1' स्ट्रिंग्स में प्रकट न हो, और WS1S को भी परिमितता की आवश्यकता होती है। यहां तक ​​कि WS1S भी 2 की शक्तियों के विधेय के साथ प्रेस्बर्गर अंकगणित की व्याख्या कर सकता है, क्योंकि समुच्चय का उपयोग निश्चित जोड़ के साथ असीमित बाइनरी संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जा सकता है।

निर्णय जटिलता
S2S निर्णय लेने योग्य होते है, और S2S, S1S, WS2S, WS1S में से प्रत्येक में घातांक के रैखिक रूप से बढ़ते संग्रह के अनुरूप एक गैर-प्राथमिक निर्णय जटिलता होती है। निचली सीमा के लिए, Σ11 WS1S सूत्रों पर विचार करना पर्याप्त होता है। अंकगणित (या अन्य) गणना का प्रस्ताव करने के लिए एक दूसरे क्रम के परिमाणक का उपयोग किया जा सकता है, जिसे पहले क्रम परिमाणक का उपयोग करके सत्यापित किया जा सकता है यदि हम परीक्षण कर सकते हैं कि कौन सी संख्याएं बराबर हैं। इसके लिए, यदि हम संख्याओं 1..m को उचित रूप से एन्कोड करते हैं, तो हम बाइनरी प्रतिनिधित्व i1i2...im के साथ एक संख्या को i1 1 i2 2 ... im m के रूप में एन्कोड कर सकते हैं, जिसके पहले एक गार्ड होता है। गार्ड के परीक्षण को मर्ज करने और चर नामों का पुन: उपयोग करने से, बिट्स की संख्या घातांक की संख्या में रैखिक होती है। ऊपरी सीमा के लिए, निर्णय प्रक्रिया (नीचे) का उपयोग करके, के-फोल्ड परिमाणक विकल्प वाले सूत्रों को सूत्र की लंबाई (समान स्थिरांक के साथ) के के + ओ (1)-गुना घातांक के अनुरूप समय में तय किया जा सकता है।

अक्षीयकरण
WS2S को कुछ बुनियादी गुणों और प्रेरण स्कीमा के माध्यम से स्वयंसिद्ध किया जा सकता है।

S2S को आंशिक रूप से स्वयंसिद्ध किया जा सकता है: (1) ∃!s ∀t ( t0≠s ∧ t1≠s) (खाली स्ट्रिंग, जिसे ε द्वारा दर्शाया गया है; ∃!s का अर्थ है कि "अद्वितीय s" होता है) (2) ∀s,t ∀i∈{0,1} ∀j∈{0,1} (si=tj ⇒ s=t ∧ i=j) (i और j का उपयोग एक संक्षिप्त रूप होता है; i= j के लिए, 0, 1 के बराबर नहीं होता है) (3) ∀S (S(ε) ∧ ∀s (S(s) ⇒ S(s0) ∧ S(s1))⇒ ∀s S(s)) (गणितीय प्रेरण) (4) ∃S ∀s (S(s) ⇔ φ(s)) (S φ में मुक्त नहीं होता है)

(4) सूत्र φ पर विनिर्देशन की स्वयंसिद्ध स्कीमा है, जो सदैव दूसरे क्रम के युक्ति के लिए होती है। सदैव की तरह, यदि φ में मुक्त चर नहीं दिखाए देते हैं, तो हम अभिगृहीत का सार्वभौमिक समापन लेते हैं। यदि समानता विधेय के लिए प्राथमिक होती है, तो कोई विस्तारात्मकता S=T ⇔ ∀s (S(s) ⇔ T(s)) का सिद्धांत भी जोड़ता है। चूँकि हमारे पास समझ है, इंडक्शन स्कीमा के अतिरिक्त एकल कथन हो सकता है।

S1S का अनुरूप स्वयंसिद्धीकरण पूरा हो जाता है। यघपि, S2S के लिए, पूर्णता खुली रहती है (2021 तक)। जबकि S1S में एकरूपता है, कोई S2S परिभाषित (यहां तक ​​कि पैरामीटर की अनुमति देने वाला) विकल्प फलन नहीं होता है जो एक गैर-खाली समुच्चय दिखाता है, S, S का एक तत्व लौटाता है, और समझ स्कीमों को सामान्यतः विकल्प के सिद्धांत के विभिन्न रूपों के साथ संवर्धित किया जाता है। यघपि, (1)-(4) कुछ समानता का खेलों के लिए निर्धारण स्कीमा के साथ विस्तारित होने पर पूर्ण हो जाता है।

S2S को Π13 सूत्रों द्वारा भी स्वयंसिद्ध किया जा सकता है (स्ट्रिंग्स पर उपसर्ग संबंध को प्राथमिक के रूप में उपयोग करके)। यघपि, यह अंतिम रूप से स्वयंसिद्ध नहीं होता है, न ही इसे Σ13 सूत्रों द्वारा स्वयंसिद्ध किया जा सकता है, तथापि  हम प्रेरण स्कीमा और अन्य सूत्रों का एक सीमित समुच्चय जोड़ दें (यह Π12-CA0 से सम्बन्धित होता है)

S2S से संबंधित सिद्धांत
प्रत्येक परिमित k के लिए, ट्री-चौड़ाई ≤k (और संबंधित ट्री अपघटन) के साथ गणनीय ग्राफ़ का मोनैडिक द्वितीय क्रम (एमSओ) सिद्धांत S2S में व्याख्या योग्य होता है (कोर्सेल का प्रमेय देखें)। उदाहरण के लिए, ट्री की एमSओ सिद्धांत (ग्राफ़ के रूप में) या श्रृंखला-समानांतर ग्राफ का निर्णय लेने योग्य होता है। यहां (अर्थात् बंधे हुए ट्री की चौड़ाई के लिए), हम शीर्षों (या किनारों) के एक समुच्चय के लिए परिमितता परिमाणक की व्याख्या भी कर सकते हैं, और एक निश्चित पूर्णांक के समुच्चय मॉड्यूलो में शीर्षों (या किनारों) की गिनती भी कर सकते हैं। असंख्य ग्राफ़ की अनुमति देने से सिद्धांत नहीं बदलता है। इसके अतिरिक्त, तुलना के लिए, S1S बंधे हुए पथ-चौड़ाई के जुड़े ग्राफ़ की व्याख्या कर सकता है।

इसके विपरीत, असंबद्ध ट्री -चौड़ाई के ग्राफ़ के प्रत्येक समुच्चय के लिए, इसका अस्तित्व (अर्थात् Σ11) यदि हम शीर्षों और किनारों दोनों पर विधेय की अनुमति देते हैं तो एमSओ सिद्धांत अनिर्णीत होता है। इस प्रकार, एक अर्थ में, S2S की निर्णायकता सर्वोत्तम संभव होती है। असीमित ट्री-चौड़ाई वाले ग्राफ़ में बड़े ग्रिड माइनर होते हैं, जिनका उपयोग ट्यूरिंग मशीन का अनुकरण करने के लिए किया जा सकता है।

S2S में कमी करके, गणनीय आदेशों का एमSओ सिद्धांत निर्णायक होता है, जैसा कि उनके क्लेन-ब्रौवर आदेशों के साथ गणनीय ट्री का एमSओ सिद्धांत होता है। यघपि, एमSओ सिद्धांत ($$\mathbb{R}$$, <) अनिर्णीत होता है। क्रमवाचक संख्या का एमSओ सिद्धांत <ω2 निर्णय योग्य होता है; ω2 के लिए निर्णायकता ZFC से स्वतंत्र होता है (Con(ZFC + कमजोर रूप से कॉम्पैक्ट कार्डिनल मानते हुए))। इसके अतिरिक्त, एक क्रमवाचक संख्या को क्रमवाचक संख्या पर मोनैडिक सेकेंड क्रम युक्ति का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है यदि इसे क्रमवाचक संख्या जोड़ और गुणा द्वारा निश्चित नियमित क्रमवाचक संख्या से प्राप्त किया जा सकता है।

S2S कुछ मोडल युक्ति की निर्णायकता के लिए उपयोगी होता है, क्रिपके शब्दार्थ स्वाभाविक रूप से ट्री की ओर ले जाता है।

S2S+U (या सिर्फ S1S+U) अनिर्णीत होता है यदि U असीम परिमाणक होता है - UX Φ(X) यदि Φ(X) कुछ अनैतिक ढंग से बड़े परिमित X के लिए होता है। यघपि, WS2S+U, अनंत पथों पर परिमाणीकरण के साथ भी, निर्णय लेने योग्य होता है, यहां तक ​​कि S2S उपसूत्रों के साथ भी, जिनमें U सम्मलित नहीं होता है।

सूत्र जटिलता
बाइनरी स्ट्रिंग्स का एक समुच्चय S2S में निश्चित होता है यदि यह नियमित (अर्थात् एक नियमित भाषा बनाता है) होता है। S1S में, समुच्चय पर एक (एकात्मक) विधेय (पैरामीटर-मुक्त) निश्चित होता है यदि यह एक ω-नियमित भाषा होती है। S2S के लिए, उन सूत्रों के लिए जो अपने मुक्त चर का उपयोग मात्र उन स्ट्रिंग्स पर करते हैं जिनमें 1 नहीं होता है, जिसकी अभिव्यक्ति S1S के समान ही होती है।

प्रत्येक S2S सूत्र के लिए φ(S1,...,Sk), (k मुक्त चर के साथ) और बाइनरी स्ट्रिंग्स T के परिमित ट्री के लिए, φ(S1∩T,...,Sk∩T) की गणना रैखिक समय में की जा सकती है (कोर्सेल का प्रमेय देखें), लेकिन जैसा कि ऊपर बताया गया है, ओवरहेड को सूत्र आकार में घातीय रूप से दोहराया जा सकता है (अधिक स्पष्ट रूप से, $$O(|T|k)+2_{O(|\phi|)}^2$$ समय होता है)।

S1S के लिए, प्रत्येक सूत्र Δ11 सूत्र, और Π02 अंकगणितीय सूत्रों के बूलियन संयोजन के बराबर होता है। इसके अतिरिक्त, प्रत्येक S1S सूत्र सूत्र के मापदंडों के संगत ω-ऑटोमेटन द्वारा स्वीकृति के बराबर होते है। ऑटोमेटन एक नियतात्मक समता ऑटोमेटन हो सकता है: एक समता ऑटोमेटन में प्रत्येक राज्य के लिए एक पूर्णांक प्राथमिकता होती है, और यदि अनंत रूप से देखी जाने वाली सर्वोच्च प्राथमिकता अधिकांशतः विषम (वैकल्पिक रूप से, सम) होती है, तो इसे स्वीकार करता है।

S2S के लिए, ट्री ऑटोमेटा (नीचे) का उपयोग करते हुए, प्रत्येक सूत्र Δ12 सूत्र के बराबर होता है। इसके अतिरिक्त, प्रत्येक S2S सूत्र मात्र चार परिमाणक, ∃S∀T∃s∀t ... वाले सूत्र के बराबर होता है (यह मानते हुए कि हमारी औपचारिकता में उपसर्ग संबंध और उत्तराधिकारी कार्य दोनों होते हैं)। S1S के लिए, तीन परिमाणक (∃S∀s∃t) पर्याप्त होते हैं, और WS2S और WS1S के लिए, दो परिमाणक (∃S∀t) पर्याप्त होते हैं; WS2S और WS1S के लिए यहां उपसर्ग संबंध की आवश्यकता नहीं होती है।

यघपि, मुक्त दूसरे क्रम के चर के साथ, प्रत्येक S2S सूत्र को मात्र Π11 के माध्यम से दूसरे क्रम के अंकगणित में व्यक्त नहीं किया जा सकता है (रिवर्स गणित देखें)। RCA0 + (स्कीमा) {τ: τ एक सत्य  S2S सूत्र } (स्कीमा) के बराबर होता है {τ: τ एक Π13 सूत्र है जिसे Π12-CA0 } में सिद्ध किया जा सकता है। आधार सिद्धांत पर, स्कीमा (k पर स्कीमा) ∀S⊆ω ∃α1<....<αk Lα1(S) ≺Σ1 ... ≺Σ1 Lαk(S) के समतुल्य होती है। जहां L रचनात्मक ब्रह्मांड होता है (बड़े गणनीय क्रमसूचक भी देखें)। सीमित प्रेरण के कारण, Π12-CA0 यह सिद्ध नहीं करता कि सब सत्य है (मानक निर्णय प्रक्रिया के अंतर्गत) Π13 S2S कथन वास्तव में सत्य होते हैं, तथापि ऐसा प्रत्येक सूत्र Π12-CA0 सिद्ध करने योग्य होते हो।

इसके अतिरिक्त, बाइनरी स्ट्रिंग S और T के दिए गए समुच्चय, निम्नलिखित समतुल्य होते हैं: (1) T एक S2S होता है जिसे S से गणना योग्य बाइनरी स्ट्रिंग्स बहुपद समय के कुछ समुच्चय से परिभाषित किया जा सकता है। (2) T की गणना कुछ गेम के लिए जीतने की स्थिति के समुच्चय से की जा सकती है जिसका भुगतान Π02(S) समुच्चय का एक सीमित बूलियन संयोजन होता है। (3) T को अंकगणित μ-कैलकुलस में S से परिभाषित किया जा सकता है (अंकगणित सूत्र + निश्चित-बिंदु युक्ति )। (4) T सबसे कम β-प्रतिरूप में होता है (अर्थात् एक ω-प्रतिरूप  जिसका समुच्चय-सैद्धांतिक समकक्ष सकर्मक प्रतिरूप  होता है) जिसमें S सम्मलित है और सभी Π13 Π के Π12-CA0 परिणामो को संतुष्ट करता है।

S1S और S2S के प्रतिरूप
मानक प्रतिरूप (जो S1S और S2S के लिए अद्वितीय एमएसओ प्रतिरूप  होता है) के अतिरिक्त, S1S और S2S के लिए अन्य प्रतिरूप  भी होते हैं, जो कार्यक्षेत्र के सभी सबसमुच्चय के अतिरिक्त कुछ का उपयोग करते हैं (हेनकिन अर्थ विज्ञान देखें)।

प्रत्येक S⊆ω के लिए, S में पुनरावर्ती समुच्चय मानक S1S प्रतिरूप का एक प्राथमिक उपप्रतिरूप  बनाते हैं, और ट्यूरिंग जॉइन और ट्यूरिंग रिड्यूसिबिलिटी के अनुसार बंद किए गए ω के प्रत्येक गैर-रिक्त संग्रह के लिए समान होते हैं।

यह S1S निश्चित समुच्चयों की सापेक्ष पुनरावर्तीता और एकरूपता से निम्नानुसार होता है: - φ(s) (s के एक फलन के रूप में) की गणना φ के मापदंडों और s′ के एक सीमित समुच्चय के लिए φ(s′) के मानों से की जा सकती, (इसका आकार φ के लिए एक नियतात्मक ऑटोमेटन में राज्यों की संख्या से घिरा हुआ होता है)। - ∃S φ(S) के लिए एक k और S के S′ एक सीमित टुकड़ा चुनकर और S′ को बार-बार विस्तारित करके प्राप्त किया जा सकता है, जिससें प्रत्येक विस्तार के समय सर्वोच्च प्राथमिकता k होती है और विस्तार को k से ऊपर की प्राथमिकताओं को प्रभावित किए बिना S को संतुष्ट करते हुए S में पूरा किया जा सकता है (इन्हें मात्र प्रारंभिक S′ के लिए अनुमति दी गई है)। इसके अतिरिक्त, शाब्दिक रूप से कम से कम सबसे छोटे विकल्पों का उपयोग करके, एक S1S सूत्र φ' है, जो कि φ'⇒φ और ∃S φ(S) ⇔∃!S φ'(S) (अर्थात् एकरूपता; φ में मुक्त चर नहीं दिखाए जा सकते हैं; φ' मात्र  सूत्र φ) पर निर्भर करता है।

S2S के न्यूनतम प्रतिरूप में बाइनरी स्ट्रिंग्स पर सभी नियमित भाषाएँ सम्मलित होती हैं। यह मानक प्रतिरूप  का एक प्रारंभिक उपप्रतिरूप होता  है, इसलिए यदि ट्री एक S2S पैरामीटर-मुक्त निश्चित समुच्चय गैर-रिक्त होता है, तो इसमें एक नियमित ट्री सम्मलित होता है। एक नियमित भाषा को एक नियमित {0,1}-लेबल पूर्ण अनंत बाइनरी ट्री (स्ट्रिंग्स पर विधेय के साथ पहचाना गया) के रूप में भी माना जा सकता है। एक लेबल वाला ट्री  नियमित होता है यदि इसे प्रारंभिक शीर्ष के साथ शीर्ष-लेबल वाले परिमित निर्देशित ग्राफ को अनियंत्रित करके प्राप्त किया जा सकता है; प्रारंभिक शीर्ष से पहुंच योग्य ग्राफ़ में एक (निर्देशित) चक्र एक अनंत ट्री देता है। नियमित ट्री की इस व्याख्या और एन्कोडिंग के साथ, प्रत्येक सत्य  S2S सूत्र प्राथमिक फलन अंकगणित में पहले से ही सिद्ध हो सकता है। यह गैर-नियमित ट्री होता  हैं जिन्हें निर्धारण के लिए गैर-विधेयात्मक समझ की आवश्यकता हो सकती है। गणना योग्य संबंध के साथ S1S (और संभवतः S2S) (मानक प्रथम क्रम भाग के साथ और बिना दोनों) के गैर-नियमित (अर्थात् गैर-नियमित भाषाओं वाले) प्रतिरूप होते हैं। यघपि, स्ट्रिंग के पुनरावर्ती समुच्चय का समुच्चय के ज्ञान और निर्धारण की विफलता के कारण S2S का प्रतिरूप नहीं बनाता है।

S2S की निर्णायकता
निर्णायकता का प्रमाण यह प्रदर्शित करता है कि प्रत्येक सूत्र एक गैर-नियतात्मक ट्री ऑटोमेटन द्वारा स्वीकृति के बराबर होता है ( ट्री स्वचालन और अनंत-ट्री ऑटोमेटन देखें)। एक अनंत ट्री  ऑटोमेटन जड़ से प्रारम्भ  होता है और ट्री  की ओर बढ़ता है, और यदि प्रत्येक ट्री  शाखा स्वीकार करती है तो इसे स्वीकार करती है। एक गैर-नियतात्मक ट्री ऑटोमेटन स्वीकार करता है कि क्या खिलाड़ी 1 के पास जीतने की रणनीति है, जहां खिलाड़ी 1 नए राज्यों (पी 0, पी 1) की एक अनुमत (वर्तमान स्थिति और इनपुट के लिए) जोड़ी चुनता है, जबकि खिलाड़ी 2 शाखा चुनता है, यदि पी 0 में संक्रमण होता है 0 चुना गया है और p1 अन्यथा। सह-नॉनडेटर्मिनिस्टिक ऑटोमेटन के लिए, सभी विकल्प प्लेयर 2 द्वारा तय किए जाते हैं, जबकि नियतात्मक के लिए, (p0,p1) राज्य और इनपुट द्वारा तय किया जाता है; और एक गेम ऑटोमेटन के लिए, दो खिलाड़ी शाखा और राज्य को सेट करने के लिए एक सीमित गेम खेलते हैं। किसी शाखा पर स्वीकृति शाखा पर अनंत बार देखी जाने वाली स्थितियों पर आधारित होती है; समता ऑटोमेटा यहाँ पर्याप्त रूप से सामान्य हैं।

सूत्रों को ऑटोमेटा में परिवर्तित करने के लिए, आधार मामला आसान है, और गैर-नियतत्ववाद अस्तित्वगत परिमाणकों के अनुसार समापन देता है, इसलिए हमें मात्र  पूरकता के अनुसार  समापन की आवश्यकता है। समता खेलों की स्थितिगत निर्धारण का उपयोग करते हुए (जहां हमें पूर्वव्यापी समझ की आवश्यकता होती है), खिलाड़ी 1 जीतने वाली रणनीति की गैर-मौजूदगी एक खिलाड़ी 2 जीतने वाली रणनीति S देती है, एक सह-नॉनडेटर्मिनिस्टिक ट्री ऑटोमेटन इसकी सुदृढ़ता की पुष्टि करता है। फिर ऑटोमेटन को नियतिवादी बनाया जा सकता है (जहां हमें राज्यों की संख्या में तेजी से वृद्धि मिलती है), और इस प्रकार S का अस्तित्व एक गैर-नियतात्मक ऑटोमेटन द्वारा स्वीकृति से मेल खाता है।

निश्चयात्मकता: ZFC में, बोरेल खेल निश्चयात्मकता हैं, और Π के बूलियन संयोजनों के लिए निर्धारण प्रमाण हैं02 सूत्र (मनमाने वास्तविक मापदंडों के साथ) यहां एक रणनीति भी देते हैं जो मात्र वर्तमान स्थिति और ट्री  की स्थिति पर निर्भर करती है। इसका प्रमाण प्राथमिकताओं की संख्या पर प्रेरण द्वारा है। मान लें कि k प्राथमिकताएँ हैं, सर्वोच्च प्राथमिकता k है, और k में खिलाड़ी 2 के लिए सही समता है। प्रत्येक स्थिति (ट्री  स्थिति + स्थिति) के लिए कम से कम क्रमसूचक α (यदि कोई हो) निर्दिष्ट करें ताकि खिलाड़ी 1 की जीत हो सभी दर्ज की गई (एक या अधिक चरणों के बाद) प्राथमिकता k स्थितियों (यदि कोई हो) के साथ रणनीति जिसमें लेबल <α हो। यदि प्रारंभिक स्थिति को लेबल किया गया है तो खिलाड़ी 1 जीत सकता है: हर बार प्राथमिकता k स्थिति तक पहुंचने पर, क्रमसूचक कम हो जाता है, और इसके अतिरिक्त घटने के मध्य, खिलाड़ी 1 k-1 प्राथमिकताओं के लिए एक रणनीति का उपयोग कर सकता है। यदि स्थिति लेबल रहित है तो खिलाड़ी 2 जीत सकता है: k-1 प्राथमिकताओं के निर्धारण के अनुसार, खिलाड़ी 2 के पास एक रणनीति होती है जो जीतती है या एक गैर-लेबल प्राथमिकता k स्थिति में प्रवेश करती है, जिस स्थिति में खिलाड़ी 2 फिर से उस रणनीति का उपयोग कर सकता है। रणनीति को स्थितिगत बनाने के लिए (k पर प्रेरण द्वारा), सहायक खेल खेलते समय, यदि दो चुनी गई स्थितीय रणनीतियाँ एक ही स्थिति में ले जाती हैं, तो निम्न α के साथ रणनीति जारी रखें, या उसी α के लिए (या खिलाड़ी 2 के लिए) कम प्रारंभिक स्थिति (ताकि हम एक रणनीति को कई बार सीमित रूप से बदल सकें)।

ऑटोमेटा निर्धारण: सह-नॉनडेटर्मिनिस्टिक ट्री ऑटोमेटा के निर्धारण के लिए, ω-ऑटोमेटा पर विचार करना, शाखा की विकल्प को इनपुट के रूप में मानना, ऑटोमेटन का निर्धारण करना और नियतात्मक ट्री ऑटोमेटन के लिए इसका उपयोग करना पर्याप्त है। ध्यान दें कि यह गैर-नियतात्मक ट्री ऑटोमेटा के लिए काम नहीं करता है क्योंकि बाईं ओर जाने का निर्धारण (अर्थात् s→s0) दाहिनी शाखा की सामग्री पर निर्भर हो सकता है; गैर-नियतिवाद के विपरीत, नियतिवादी ट्री ऑटोमेटा स्पष्ट  रूप से गैर-रिक्त समुच्चयों को भी स्वीकार नहीं कर सकता है। एक गैर-नियतात्मक ω-ऑटोमेटन एम को निर्धारित करने के लिए (सह-नॉनडेटर्मिनिस्टिक के लिए, पूरक लें, यह ध्यान में रखते हुए कि नियतात्मक समता ऑटोमेटा पूरक के अनुसार  बंद हैं), हम प्रत्येक नोड के साथ एम के संभावित राज्यों का एक समुच्चय संग्रहीत करने और नोड निर्माण के लिए एक सफरा ट्री  का उपयोग कर सकते हैं। और उच्च प्राथमिकता वाले राज्यों तक पहुंचने के आधार पर विलोपन। विवरण के लिए देखें या। स्वीकृति की निर्णायकता: खाली ट्री के एक गैर-नियतात्मक समता ऑटोमेटन द्वारा स्वीकृति एक परिमित ग्राफ जी पर एक समता खेल से मेल खाती है। उपरोक्त स्थितीय (जिसे स्मृतिहीन भी कहा जाता है) निर्धारण का उपयोग करते हुए, इसे एक परिमित खेल द्वारा अनुकरण किया जा सकता है जो तब समाप्त होता है जब हम एक तक पहुंचते हैं लूप, लूप में सर्वोच्च प्राथमिकता वाले राज्य के आधार पर जीतने की स्थिति के साथ। एक चतुर अनुकूलन एक अर्धबहुपद समय एल्गोरिथ्म देता है, जो बहुपद समय है जब प्राथमिकताओं की संख्या काफी कम होती है (जो आमतौर पर व्यवहार में होती है)।

ट्री ों का सिद्धांत: ट्री ों पर एमSओ युक्ति की निर्णायकता के लिए (अर्थात् ग्राफ़ जो ट्री  हैं), यहां तक ​​​​कि पहले क्रम की वस्तुओं के लिए परिमितता और मॉड्यूलर गिनती परिमाणक के साथ, हम गणनीय ट्री ों को पूर्ण बाइनरी ट्री  में एम्बेड कर सकते हैं और S 2 S की निर्णायकता का उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक नोड s के लिए, हम उसके बच्चों को s1, s01, s001 इत्यादि द्वारा दर्शा सकते हैं। अनगिनत ट्री ों के लिए, हम शेलह-स्टुप प्रमेय (नीचे) का उपयोग कर सकते हैं। हम कार्डिनलिT ω वाले समुच्चय प्रथम क्रम ऑब्जेक्ट के लिए एक विधेय भी जोड़ सकते हैं1, और कार्डिनैलिT के लिए विधेय ω2, और इसी तरह अनंत नियमित कार्डिनल्स के लिए। बंधे हुए ट्री  की चौड़ाई के ग्राफ़ को ट्री ों का उपयोग करके व्याख्या की जा सकती है, और किनारों पर विधेय के बिना यह बंधे हुए क्लिक चौड़ाई के ग्राफ़ पर भी लागू होता है।

S2S को अन्य निर्णायक सिद्धांतों के साथ जोड़ना
अद्वैत सिद्धांतों के ट्री विस्तार: शेलह-स्टूप प्रमेय द्वारा,  यदि एक मोनैडिक रिलेशनल प्रतिरूप  एम निर्णायक है, तो उसका ट्री  समकक्ष भी ऐसा ही है। उदाहरण के लिए, (औपचारिकरण का मॉड्यूलो विकल्प) S2S, {0,1} का ट्री  समकक्ष है। ट्री समकक्ष में, पहले क्रम की वस्तुएं विस्तार द्वारा क्रमित एम के तत्वों के परिमित अनुक्रम हैं, और एक एम-संबंध पीi पी पर मैप किया गया हैi(सीईओ1,...,सीईओk) ⇔ पीi(डी1,...,डीk) पी के साथi' अन्यथा गलत (डीj∈M, और v, M के तत्वों का एक (संभवतः खाली) अनुक्रम है)। प्रमाण S2S निर्णायकता प्रमाण के समान है। प्रत्येक चरण में, एक (नॉनडेटर्मिनिस्टिक) ऑटोमेटन को इनपुट के रूप में एम ऑब्जेक्ट्स (संभवतः दूसरे क्रम) का एक टुपल मिलता है, और एक एम फॉर्मूला निर्धारित करता है कि किस राज्य संक्रमण की अनुमति है। खिलाड़ी 1 (जैसा कि ऊपर है) एक मैपिंग चाइल्ड⇒स्टेट चुनता है जिसे सूत्र (वर्तमान स्थिति को देखते हुए) द्वारा अनुमति दी जाती है, और खिलाड़ी 2 जारी रखने के लिए चाइल्ड (नोड का) चुनता है। एक गैर-नियतात्मक ऑटोमेटन द्वारा अस्वीकृति देखने के लिए, प्रत्येक (नोड, राज्य) के लिए (बच्चे, राज्य) जोड़े का एक समुच्चय चुनें, जैसे कि हर विकल्प के लिए, कम से कम एक जोड़े को हिट किया जाए, और इस तरह कि सभी परिणामी पथ आगे बढ़ें अस्वीकृति के लिए.

एक मोनैडिक सिद्धांत को प्रथम क्रम सिद्धांत के साथ जोड़ना: फ़ेफ़रमैन-वॉथ प्रमेय निम्नानुसार विस्तारित/लागू होता है। यदि एम एक एमSओ प्रतिरूप है और एन एक प्रथम क्रम प्रतिरूप  है, तो एम एक (थ्योरी (एम), थ्योरी (एन)) ओरेकल मशीन के सापेक्ष निर्णायक रहता है, तथापि   एम को सभी कार्यों एम → एन के साथ संवर्धित किया गया हो जहां एम की पहचान की जाती है इसकी पहली वस्तुएं, और प्रत्येक s∈M के लिए हम N की एक असंयुक्त प्रतिलिपि का उपयोग करते हैं, भाषा को तदनुसार संशोधित किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि N है ($$\mathbb{R}$$,0,+,⋅), हम बता सकते हैं ∀(function f) ∀s ∃r∈Ns एफ(S)+N s आर = 0 उप>एनs. यदि M S2S है (या अधिक सामान्यतः, कुछ मोनैडिक प्रतिरूप का ट्री  समकक्ष), तो ऑटोमेटा अब N-सूत्रों का उपयोग कर सकता है, और इस प्रकार f:M→N को परिवर्तित कर सकता हैkM समुच्चय के टुपल में। असम्बद्धता आवश्यक है क्योंकि अन्यथा समानता वाले प्रत्येक अनंत N के लिए, विस्तारित S2S या मात्र  WS1S अनिर्णीत है। इसके अतिरिक्त, (संभवतः अपूर्ण) सिद्धांत T के लिए, सिद्धांत TT के एम-उत्पादों का एम (थ्योरी (एम), T) ओरेकल के सापेक्ष निर्णय योग्य है, जहां T का एक प्रतिरूप M एक मनमाना असंयुक्त प्रतिरूप  N का उपयोग करता हैs प्रत्येक s∈M के लिए T का (जैसा कि ऊपर बताया गया है, M एक एमSओ प्रतिरूप  है; थ्योरी(Ns) S पर निर्भर हो सकता है)। इसका प्रमाण सूत्र जटिलता पर प्रेरण द्वारा है। चलो वीs निःशुल्क एन की सूची बनेंs यदि फलन  f मुफ़्त है, तो f(s) सहित चर। प्रेरण द्वारा, कोई यह दर्शाता है कि vs इसका उपयोग मात्र  |v के साथ एन-सूत्रों के एक सीमित समुच्चय के माध्यम से किया जाता हैs| मुक्त चर. इस प्रकार, हम जो संभव है उसका उत्तर देने के लिए एन (या T) का उपयोग करके सभी संभावित परिणामों की मात्रा निर्धारित कर सकते हैं, और एक सूची संभावनाओं (या बाधाओं) को देखते हुए, एम में एक संबंधित सूत्र तैयार कर सकते हैं।

S2S के एक्सटेंशन में कोडिंग: स्ट्रिंग्स पर प्रत्येक निर्णायक विधेय को एन्कोडेड विधेय के साथ S2S (यहां तक ​​​​कि उपरोक्त एक्सटेंशन के साथ) की निर्णायकता के लिए एन्कोड किया जा सकता है (रैखिक समय एन्कोडिंग और डिकोडिंग के साथ)। प्रमाण: एक गैर-नियतात्मक अनंत ट्री ऑटोमेटन को देखते हुए, हम परिमित बाइनरी लेबल वाले ट्री ों के समुच्चय को विभाजित कर सकते हैं (जिन पर ऑटोमेटन संचालित हो सकता है) को कई वर्गों में विभाजित किया जा सकता है, जैसे कि यदि एक पूर्ण अनंत बाइनरी ट्री समान श्रेणी के ट्री ों से बना हो सकता है, स्वीकृति मात्र  वर्ग और प्रारंभिक स्थिति पर निर्भर करती है (अर्थात ऑटोमेटन ट्री  में प्रवेश करता है)। ( पम्पिंग लेम्मा के साथ एक मोटे समानता पर ध्यान दें।) उदाहरण के लिए (एक समता ऑटोमेटन के लिए), ट्री ों को एक ही वर्ग में असाइन करें यदि उनके पास एक ही विधेय है जो दिए गए प्रारंभिक_स्टेट और (स्टेट, उच्चतम_प्राथमिकता_पहुंचे हुए) जोड़े का क्यू देता है तो खिलाड़ी 1 ( अर्थात् गैर-नियतिवाद) एक साथ सभी शाखाओं को Q के तत्वों के अनुरूप होने के लिए मजबूर कर सकता है। अब, प्रत्येक k के लिए, ट्री ों का एक सीमित समुच्चय चुनें (कोडिंग के लिए उपयुक्त) जो कि ऑटोमेटा 1-k के लिए एक ही वर्ग से संबंधित है, वर्ग की विकल्प के अनुरूप के पार किसी विधेय को एनकोड करने के लिए, कुछ बिट्स को k=1 का उपयोग करके एनकोड करें, फिर अधिक बिट्स को k=2 का उपयोग करके एनकोड करें, इत्यादि।

संदर्भ
Additional reference: