संवृत और विवृत प्रतिचित्र (ओपन एंड क्लोज्ड मैप)

गणित में, विशेष रूप से टोपोलॉजी में, ओपन मानचित्र दो टोपोलॉजिकल स्थानों के मध्य फलन (गणित) है जो ओपन समुच्चय को ओपन समुच्चय में मैप करता है।  अर्थात फलन $$f : X \to Y$$ यदि किसी ओपन समुच्चय के लिए ओपन है $$U$$ में $$X,$$ छवि (गणित) $$f(U)$$ में ओपन है $$Y.$$ इसी प्रकार, बंद मानचित्र ऐसा फलन है जो बंद समुच्चयों को बंद समुच्चयों में मैप करता है। मानचित्र ओपन, बंद, दोनों या एक भी नहीं हो सकता है; विशेष रूप से, इसके विपरीत भी ओपन मानचित्र को बंद करने की आवश्यकता नहीं है।

ओपन और बंद मानचित्र आवश्यक रूप से सतत कार्य (टोपोलॉजी) नहीं हैं। इसके अतिरिक्त, निरंतरता सामान्य स्तिथि में ओपन और बंद से स्वतंत्र है और निरंतर कार्य में दोनों, या कोई भी गुण नहीं हो सकते है; यह तथ्य सत्य है, जब कोई स्वयं को मीट्रिक स्थानों तक सीमित रखता है। चूँकि उनकी परिभाषाएँ अधिक स्वाभाविक लगती हैं, ओपन और बंद मानचित्र निरंतर मानचित्रों की तुलना में अधिक कम महत्वपूर्ण हैं। याद रखें, परिभाषा के अनुसार, फलन $$f : X \to Y$$ यदि प्रत्येक ओपन समुच्चय की पूर्वछवि $$Y$$ निरंतर है और $$Y$$ओपन है $$X.$$ (समान रूप से, यदि प्रत्येक बंद समुच्चय की पूर्वछवि $$Y$$ में बंद $$X$$ है)।

ओपन मानचित्रों का प्रारंभिक अध्ययन सिमिओन स्टोइलो और गॉर्डन थॉमस व्हाईबर्न द्वारा किया गया था।

परिभाषाएँ और लक्षण वर्णन
यदि $$S$$ टोपोलॉजिकल स्थानों का उपसमुच्चय है तो मान लीजिये $$\overline{S}$$ और $$\operatorname{Cl} S$$ (सम्मान $$\operatorname{Int} S$$) के समापन (टोपोलॉजी) (संबंधित आंतरिक (टोपोलॉजी) ) को दर्शाता है मान लीजिये $$S$$ उस स्थान में है, टोपोलॉजिकल स्थान के मध्य $$f : X \to Y$$ फलन हो। यदि $$S$$ कोई समुच्चय है $$f(S) := \left\{ f(s) ~:~ s \in S \cap \operatorname{domain} f \right\}$$ $$S$$ के अंतर्गत $$f.$$ की छवि कहलाती है।

प्रतिस्पर्धी परिभाषाएँ
"" की दो भिन्न-भिन्न प्रतिस्पर्धी, किन्तु सूक्ष्मता से संबंधित परिभाषाएं हैं, जिनका व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, जहां इन दोनों परिभाषाओं को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है: यह वह मानचित्र है जो ओपन समुच्चय को ओपन समुच्चय में भेजता है। निम्नलिखित शब्दावली का उपयोग कभी-कभी दो परिभाषाओं के मध्य अंतर करने के लिए किया जाता है।

मानचित्र $$f : X \to Y$$ को a कहा जाता है।
 * यदि जब भी $$U$$ डोमेन का ओपन उपसमुच्चय है $$X$$ तब $$f(U)$$ का ओपन उपसमुच्चय है $$f$$ का कोडोमेन $$Y.$$ है।
 * यदि जब भी $$U$$ डोमेन का ओपन उपसमुच्चय है $$X$$ तब $$f(U)$$ का ओपन उपसमुच्चय है $$f$$ की छवि (गणित) $$\operatorname{Im} f := f(X),$$ जहां सदैव के जैसे, यह समुच्चय इसके द्वारा प्रेरित उप-स्थान टोपोलॉजी से संपन्न है $$f$$ का कोडोमेन $$Y.$$ है।

प्रत्येक स्थिरता से ओपन मानचित्र अपेक्षाकृत ओपन मानचित्र होता है। चूँकि, ये परिभाषाएँ सामान्य रूप से समकक्ष नहीं हैं।


 * चेतावनी: कई लेखक ओपन मानचित्र को ओपन मानचित्र के रूप में परिभाषित करते हैं (उदाहरण के लिए, गणित का विश्वकोश) जबकि अन्य ओपन मानचित्र को " से ओपन मानचित्र" के रूप में परिभाषित करते हैं। सामान्यतः ये परिभाषाएँ समतुल्य   हैं इसलिए यह विचार दिया जाता है कि सदैव यह परीक्षण करे कि लेखक ओपन मानचित्र की किस परिभाषा का उपयोग कर रहा है।

विशेषण फलन मानचित्र अपेक्षाकृत ओपन होता है यदि केवल यह दृढ़ता से ओपन हो; इसलिए इस महत्वपूर्ण विशेष स्तिथि के लिए परिभाषाएँ समतुल्य हैं। अधिक सामान्यतः, मानचित्र $$f : X \to Y$$ अपेक्षाकृत ओपन है यदि केवल विशेषण फलन $$f : X \to f(X)$$ दृढ़ता से ओपन मानचित्र है।

क्योंकि $$X$$ सदैव ओपन उपसमुच्चय है $$X,$$ छवि $$f(X) = \operatorname{Im} f$$ दृढ़ता से ओपन मानचित्र का $$f : X \to Y$$ को इसके कोडोमेन का ओपन उपसमुच्चय होना चाहिए, $$Y.$$ वास्तव में, अपेक्षाकृत ओपन मानचित्र दृढ़ता से ओपन मानचित्र होता है यदि केवल तभी जब इसकी छवि इसके कोडोमेन का ओपन उपसमुच्चय हो। सारांश,


 * मानचित्र दृढ़ता से ओपन होता है यदि केवल तभी जब वह अपेक्षाकृत ओपन हो और उसकी छवि उसके कोडोमेन का ओपन उपसमुच्चय हो।

इस लक्षण वर्णन का उपयोग करके, ओपन मानचित्र की इन दो परिभाषाओं में से जुड़े परिणामों को दूसरी परिभाषा से जुड़ी स्थिति में प्रारम्भ करना प्रायः सरल होता है।

उपरोक्त वर्णन बंद मानचित्रों पर भी प्रारम्भ होगे यदि ओपन शब्द के प्रत्येक उदाहरण को बंद शब्द से परिवर्तित कर दिया जाए।

ओपन मानचित्र
मानचित्र $$f : X \to Y$$ को  या   से ओपन मानचित्र कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित समकक्ष नियमों में से किसी को संतुष्ट करता है:

 परिभाषा: $$f : X \to Y$$ अपने डोमेन के ओपन उप-समुच्चय को उसके कोडोमेन के ओपन उप-समुच्चय के साथ मैप करता है; अर्थात्, किसी भी ओपन उप-समुच्चय के लिए $$U$$ का $$X$$, $$f(U)$$ का ओपन उपसमुच्चय $$Y.$$ है।  $$f : X \to Y$$ यह अपेक्षाकृत ओपन मानचित्र और उसकी छवि $$\operatorname{Im} f := f(X)$$ है, इसके कोडोमेन का ओपन उपसमुच्चय $$Y.$$ है।  प्रत्येक के लिए $$x \in X$$ और प्रत्येक निकट (टोपोलॉजी) का $$N$$, $$x$$ (चूँकि छोटा), $$f(N)$$ के निकटम $$f(x)$$ है, हम इस स्थिति में निकट शब्द के पहले या दोनों उदाहरणों को ओपन निकटता से परिवर्तित कर सकते हैं और परिणाम की समकक्ष स्थिति होगी: यहाँ $$f\left( \operatorname{Int}_X A \right) \subseteq \operatorname{Int}_Y ( f(A) )$$ सभी उपसमुच्चय के लिए $$A$$ का $$X,$$ जहाँ $$\operatorname{Int}$$ समुच्चय के टोपोलॉजिकल इंटीरियर को दर्शाता है।  जब भी $$C$$ का बंद समुच्चय है $$X$$ फिर समुच्चय $$\left\{ y \in Y ~:~ f^{-1}(y) \subseteq C \right\}$$ का बंद उपसमुच्चय $$Y.$$ है। 
 * प्रत्येक के लिए $$x \in X$$ और प्रत्येक ओपन निकटता $$N$$ का $$x$$, $$f(N)$$ का ओपन निकटता $$f(x)$$ है।
 * प्रत्येक के लिए $$x \in X$$ और प्रत्येक ओपन निकटता $$N$$ का $$x$$, $$f(N)$$ का ओपन निकटता $$f(x)$$ है। 
 * यह निर्धारित पहचान और संबंधों की सूची का परिणाम है $$f(X \setminus R) = Y \setminus \left\{ y \in Y : f^{-1}(y) \subseteq R \right\},$$ जो सभी उपसमुच्चय के लिए $$R \subseteq X.$$ मान्य है। 

यदि $$\mathcal{B}$$ के लिए आधार (टोपोलॉजी) है $$X$$ तो निम्नलिखित को इस सूची में जोड़ा जा सकता है:

6. $$f$$ अपने कोडोमेन में बेसिक ओपन समुच्चय को मैप करता है (अर्थात, किसी भी बेसिक ओपन समुच्चय के लिए $$B \in \mathcal{B},$$ $$f(B)$$ का ओपन उपसमुच्चय $$Y$$ है)।

बंद मानचित्र
मानचित्र $$f : X \to Y$$ को  कहा जाता है यदि जब भी $$C$$ डोमेन का बंद समुच्चय है $$X$$ तब $$f(C)$$ का बंद उपसमुच्चय है $$f$$ की छवि (गणित) $$\operatorname{Im} f := f(X),$$ जहां सदैव के जैसे, यह समुच्चय इसके द्वारा प्रेरित उप-स्थान टोपोलॉजी से संपन्न है $$f$$ का कोडोमेन $$Y.$$ है।

मानचित्र $$f : X \to Y$$ को  या   से बंद मानचित्र कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित समकक्ष नियमों में से किसी को संतुष्ट करता है:

 परिभाषा: $$f : X \to Y$$ इसके डोमेन के बंद उप-समुच्चय को इसके कोडोमेन के बंद उप-समुच्चय से मैप करता है; अर्थात्, किसी भी बंद उप-समुच्चय के लिए $$C$$ का $$X,$$ $$f(C)$$ का बंद उपसमुच्चय $$Y.$$ है।  $$f : X \to Y$$ यह अपेक्षाकृत बंद मानचित्र और उसकी छवि $$\operatorname{Im} f := f(X)$$ है इसके को-डोमेन का बंद उप-समुच्चय $$Y.$$ है। </li> $$\overline{f(A)} \subseteq f\left(\overline{A}\right)$$ प्रत्येक उप-समुच्चय के लिए $$A \subseteq X.$$ है। </li> $$\overline{f(C)} \subseteq f(C)$$ प्रत्येक बंद उप-समुच्चय के लिए $$C \subseteq X.$$ है। </li> $$\overline{f(C)} = f(C)$$ प्रत्येक बंद उप-समुच्चय के लिए $$C \subseteq X.$$  है। </li> जब भी $$U$$ ओपन उपसमुच्चय है $$X$$ फिर समुच्चय $$\left\{y \in Y ~:~ f^{-1}(y) \subseteq U\right\}$$ का ओपन उपसमुच्चय $$Y.$$ है। </li> यदि $$x_{\bull}$$ में नेट (गणित) है $$X$$ और $$y \in Y$$ बिंदु ऐसा है $$f\left(x_{\bull}\right) \to y$$ में $$Y,$$ तब $$x_{\bull}$$ में अभिसरण होता है $$X$$ समुच्चय पर $$f^{-1}(y).$$ है।                                               </li> अभिसरण $$x_{\bull} \to f^{-1}(y)$$ का अर्थ है कि प्रत्येक ओपन उपसमुच्चय $$X$$ जिसमें $$f^{-1}(y)$$ सम्मिलित है $$x_j$$ सभी पर्याप्त बड़े सूचकांकों के लिए $$j.$$ है। </li> </ol>

विशेषण फलन मानचित्र दृढ़ता से बंद होता है यदि केवल यह अपेक्षाकृत बंद होता है। तो इस महत्वपूर्ण विशेष स्तिथि के लिए, दोनों परिभाषाएँ समतुल्य हैं। परिभाषा के अनुसार, मानचित्र $$f : X \to Y$$ अपेक्षाकृत बंद मानचित्र है यदि केवल विशेषण फलन $$f : X \to \operatorname{Im} f$$ दृढ़ता से बंद मानचित्र है।

यदि सतत फलन का ओपन समुच्चय परिभाषा में (जो कि कथन है: ओपन समुच्चय की प्रत्येक पूर्व छवि ओपन है), ओपन शब्द के दोनों उदाहरणों को बंद के साथ परिवर्तित कर दिया जाता है, तो परिणामों का विवरण (बंद समुच्चय की प्रत्येक पूर्व छवि बंद है) निरंतरता के  है। ऐसे ओपन मानचित्र की परिभाषा के साथ ऐसा नहीं होता है (जो है: ओपन समुच्चय की प्रत्येक छवि ओपन है) क्योंकि जो कथन परिणाम देता है (बंद समुच्चय की प्रत्येक छवि बंद है) वह "बंद" की परिभाषा है मानचित्र", जो सामान्यतः ओपन के समकक्ष   है। ऐसे ओपन मानचित्र भी उपस्थित हैं जो बंद नहीं हैं और ऐसे बंद मानचित्र भी उपस्थित हैं जो ओपन नहीं हैं। ओपन/बंद मानचित्रों और सतत मानचित्रों के मध्य यह अंतर अंततः किसी भी समुच्चय के कारण होता है $$S,$$ केवल $$f(X \setminus S) \supseteq f(X) \setminus f(S)$$ सामान्य रूप से आश्वासन दिया जाता है, जबकि पूर्वछवियों के लिए समानता का आश्वासन होता है $$f^{-1}(Y \setminus S) = f^{-1}(Y) \setminus f^{-1}(S)$$ सदैव स्थापित रहता है।.

उदाहरण
प्रोग्राम $$f : \R \to \R$$ द्वारा परिभाषित $$f(x) = x^2$$ निरंतर, बंद और अपेक्षाकृत ओपन है, किन्तु (दृढ़ता से) ओपन नहीं है। इसका कारण यह है कि यदि $$U = (a, b)$$ में कोई ओपन अंतराल है $$f$$ का डोमेन $$\R$$ जिसमें सम्मिलित  है $$0$$ तब $$f(U) = (\min \{ a^2, b^2 \}, \max \{ a^2, b^2 \}),$$ जहां यह ओपन अंतराल दोनों का ओपन उपसमुच्चय $$\R$$ है और $$\operatorname{Im} f := f(\R) = [0, \infty).$$ चूँकि, यदि $$U = (a, b)$$ में कोई ओपन अंतराल है $$\R$$ उसमें सम्मिलित है $$0$$ तब $$f(U) = [0, \max \{ a^2, b^2 \}),$$ जो कि ओपन उपसमुच्चय नहीं है $$f$$ का कोडोमेन $$\R$$ किन्तु  ओपन उपसमुच्चय $$\operatorname{Im} f = [0, \infty).$$ है, क्योंकि सभी ओपन अंतरालों का समुच्चय $$\R$$ यूक्लिडियन टोपोलॉजी के लिए आधार (टोपोलॉजी) है $$\R,$$ इससे ज्ञात होता है कि $$f : \R \to \R$$ अपेक्षाकृत ओपन है किन्तु (दृढ़ता से) ओपन नहीं है।

यदि $$Y$$ में असतत टोपोलॉजी है (अर्थात, सभी उपसमुच्चय ओपन और बंद हैं) फिर प्रत्येक फलन $$f : X \to Y$$ ओपन और बंद दोनों है (किन्तु आवश्यक नहीं कि निरंतर हो)। उदाहरण के लिए,  फ़्लोर फलन से $$\R$$ पूर्णांक से $$\Z$$ ओपन और बंद है, किन्तु निरंतर नहीं है। यह उदाहरण दिखाता है कि ओपन या बंद मानचित्र के अंतर्गत जुड़े स्थान की छवि को कनेक्ट करने की आवश्यकता नहीं है।

जब भी हमारे पास टोपोलॉजिकल स्थानों का उत्पाद टोपोलॉजी होता है $$X=\prod X_i,$$ प्राकृतिक अनुमान $$p_i : X \to X_i$$ ओपन हैं  (साथ ही निरंतर)। चूंकि फाइबर बंडलों और कवरिंग मानचित्रों के प्रक्षेपण उत्पादों के स्थानीय रूप से प्राकृतिक प्रक्षेपण हैं, इसलिए ये ओपन मानचित्र भी हैं। चूँकि अनुमानों को बंद करने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए प्रक्षेपण पर विचार करें $$p_1 : \R^2 \to \R$$ पहले घटक पर $$A = \{(x, 1/x) : x \neq 0\}$$ समुच्चय में बंद है $$\R^2,$$ किन्तु  $$p_1(A) = \R \setminus \{0\}$$ में बंद नहीं किया गया है। $$\R.$$ चूँकि, कॉम्पैक्ट स्थान के लिए $$Y,$$ प्रक्षेपण $$X \times Y \to X$$ बन्द है। यह मूलतः ट्यूब लेम्मा है।

इकाई चक्र के प्रत्येक बिंदु पर सकारात्मक कोण को जोड़ सकते हैं $$x$$-अक्ष बिंदु को मूल बिंदु से जोड़ने वाली किरण के साथ जोड़ा जाता है। इकाई चक्र से अर्ध ओपन अंतराल (गणित) [0,2π) तक यह फलन विशेषण, ओपन और बंद है, किन्तु निरंतर नहीं है। यह दर्शाता है कि ओपन या बंद मानचित्र के नीचे सघन स्थान की छवि को कॉम्पैक्ट होने की आवश्यकता नहीं है। यह भी ध्यान दें कि यदि इसे इकाई वृत्त से वास्तविक संख्याओं तक का फलन मानें, तो यह न तो ओपन है और न ही बंद है। कोडोमेन निर्दिष्ट करना आवश्यक है।

पर्याप्त स्थितियाँ
प्रत्येक होमियोमोर्फिज्म ओपन, बंद और निरंतर है। वास्तव में, विशेषण सतत मानचित्र समरूपता है यदि केवल यह ओपन है, या समकक्ष रूप से, यदि केवल यह बंद है।

दो (दृढ़ता से) ओपन मानचित्रों की कार्यात्मक संरचना ओपन मानचित्र है और दो (दृढ़ता से) बंद मानचित्रों की संरचना बंद मानचित्र है। चूँकि, दो अपेक्षाकृत ओपन मानचित्रों की संरचना को अपेक्षाकृत ओपन होने की आवश्यकता नहीं है और इसी प्रकार, दो अपेक्षाकृत बंद मानचित्रों की संरचना को अपेक्षाकृत बंद करने की आवश्यकता नहीं है। यदि $$f : X \to Y$$ दृढ़ता से ओपन है (क्रमशः, दृढ़ता से बंद) और $$g : Y \to Z$$ तब अपेक्षाकृत ओपन (क्रमशः, अपेक्षाकृत बंद) है $$g \circ f : X \to Z$$ अपेक्षाकृत ओपन है (क्रमशः, अपेक्षाकृत बंद)।

मान लीजिये $$f : X \to Y$$ मानचित्र है। कोई उपसमुच्चय $$T \subseteq Y,$$ दिया गया है, यदि $$f : X \to Y$$ अपेक्षाकृत ओपन (क्रमशः, अपेक्षाकृत बंद, दृढ़ता से ओपन, दृढ़ता से बंद, निरंतर, विशेषण फलन) मानचित्र है तो इसके प्रतिबंध के बारे में भी यही सत्य है:$$f\big\vert_{f^{-1}(T)} ~:~ f^{-1}(T) \to T$$$$f$$ संतृप्त समुच्चय के लिए $$f^{-1}(T).$$ है।

दो ओपन मानचित्रों का स्पष्ट योग ओपन है, या दो बंद मानचित्रों का बंद है। दो ओपन मानचित्रों का श्रेणीबद्ध उत्पाद (टोपोलॉजी) ओपन है, चूँकि, दो बंद मानचित्रों के श्रेणीबद्ध उत्पाद को बंद करने की आवश्यकता नहीं है।

विशेषण मानचित्र तभी ओपन होता है जब वह बंद हो। विशेषण सतत मानचित्र का व्युत्क्रम विशेषण ओपन/बंद मानचित्र है (और इसके विपरीत)। विशेषण ओपन मानचित्र आवश्यक रूप से बंद मानचित्र नहीं होता है, और इसी प्रकार, विशेषण बंद मानचित्र आवश्यक रूप से ओपन मानचित्र नहीं होता है। सभी स्थानीय होमोमोर्फिज्म, जिसमें मैनिफोल्ड्स पर सभी समन्वय चार्ट और सभी कवरिंग मानचित्र सम्मिलित हैं, वह ओपन मानचित्र हैं।

$$

बंद मानचित्र लेम्मा का विशेष प्रकार बताता है कि यदि स्थानीय रूप से सघन स्थान हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान के मध्य सतत कार्य उचित है तो यह भी बंद है।

जटिल विश्लेषण में, समान रूप से नामित ओपन मैपिंग प्रमेय (जटिल विश्लेषण) बताता है कि जटिल विमान के जुड़े ओपन उपसमुच्चय पर परिभाषित प्रत्येक अस्थिर होलोमोर्फिक फलन ओपन मानचित्र है।

डोमेन प्रमेय का अपरिवर्तन बताता है कि दो के मध्य सतत और स्थानीय रूप से फलन $$n$$-डायमेंशनल टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड्स ओपन होने चाहिए।

$$

कार्यात्मक विश्लेषण में, ओपन मैपिंग प्रमेय (कार्यात्मक विश्लेषण) बताता है कि बानाच रिक्त स्थान के मध्य प्रत्येक विशेषण निरंतर रैखिक ऑपरेटर ओपन मानचित्र है। इस प्रमेय को केवल बानाच रिक्त स्थान से परे टोपोलॉजिकल वेक्टर स्थानों के लिए सामान्यीकृत किया गया है।

विशेषण मानचित्र $$f : X \to Y$$ को प्रत्येक के लिए  कहा जाता है $$y \in Y$$ में कुछ उपस्थित है $$x \in f^{-1}(y)$$ ऐसा है कि $$x$$   का बिंदु है $$f,$$ इस परिभाषा के अनुसार अर्थ है कि प्रत्येक ओपन निकट के लिए $$U$$ का $$x,$$ $$f(U)$$ का निकट (टोपोलॉजी) है $$f(x)$$ में $$Y$$ (ध्यान दें कि निकट $$f(U)$$ का  निकट होना आवश्यक नहीं है)। प्रत्येक विशेषण ओपन मानचित्र लगभग ओपन मानचित्र होता है किन्तु सामान्यतः, इसके विपरीत आवश्यक रूप से सत्य नहीं होता है। यदि अनुमान $$f : (X, \tau) \to (Y, \sigma)$$ लगभग ओपन मानचित्र है तो यह  ओपन मानचित्र होगा यदि यह निम्नलिखित नियम को पूर्ण करता है (नियम जो किसी भी प्रकार से निर्भर   करती है $$Y$$की टोपोलॉजी $$\sigma$$) है:
 * जब कभी भी $$m, n \in X$$ के फाइबर (गणित) से संबंधित हैं $$f$$ (अर्थात्, $$f(m) = f(n)$$) तो प्रत्येक निकट के लिए $$U \in \tau$$ का $$m,$$ वहाँ कुछ निकट उपस्थित है $$V \in \tau$$ का $$n$$ ऐसा है कि $$F(V) \subseteq F(U).$$ है।
 * यदि मानचित्र निरंतर है तो मानचित्र के ओपन होने के लिए भी उपरोक्त नियम आवश्यक है। अर्थात यदि $$f : X \to Y$$ सतत प्रक्षेपण है तो यह ओपन मानचित्र है यदि केवल यह लगभग ओपन है और यह उपरोक्त नियम को पूर्ण करता है।

ओपन या बंद मानचित्र जो निरंतर हैं
यदि $$f : X \to Y$$ सतत मानचित्र है जो ओपन भी  बंद भी होता है:
 * यदि $$f$$ अनुमान है तो यह भागफल मानचित्र (टोपोलॉजी) है और यहां तक ​​कि आनुवंशिक रूप से भागफल मानचित्र भी है।
 * विशेषण मानचित्र $$f : X \to Y$$ प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए $$T \subseteq Y,$$ को कहा जाता है यह प्रतिबंध $$f\big\vert_{f^{-1}(T)} ~:~ f^{-1}(T) \to T$$ भागफल मानचित्र है।
 * यदि $$f$$ इंजेक्शन का कार्य है तो यह टोपोलॉजिकल एम्बेडिंग है।
 * यदि $$f$$ आक्षेप है तो यह समरूपता है।

पहले दो स्थितियों में, ओपन या बंद होना आगे आने वाले निष्कर्ष के लिए पर्याप्त नियम मात्र है। तीसरी स्थिति में भी यह आवश्यक नियम है।

निरंतर मानचित्र ओपन
यदि $$f : X \to Y$$ सतत (दृढ़ता से) ओपन मानचित्र है, $$A \subseteq X,$$ और $$S \subseteq Y,$$ जो इस प्रकार है:

<ul> $$f^{-1}\left(\operatorname{Bd}_Y S\right) = \operatorname{Bd}_X \left(f^{-1}(S)\right)$$ जहाँ $$\operatorname{Bd}$$ समुच्चय की सीमा (टोपोलॉजी) को दर्शाता है।                                                                                            $$f^{-1}\left(\overline{S}\right) = \overline{f^{-1}(S)}$$ जहाँ $$\overline{S}$$ किसी समुच्चय के बंद होने को दर्शाता है। यदि $$\overline{A} = \overline{\operatorname{Int}_X A},$$ जहाँ $$\operatorname{Int} $$ तब, समुच्चय के इंटीरियर (टोपोलॉजी) को दर्शाता है:$$\overline{\operatorname{Int}_Y f(A)} = \overline{f(A)} = \overline{f\left(\operatorname{Int}_X A\right)} = \overline{f \left(\overline{\operatorname{Int}_X A}\right)}$$यह समुच्चय कहां है $$\overline{f(A)}$$ यह भी आवश्यक रूप से नियमित बंद समुच्चय (इंच) है) $$Y$$ विशेषकर, यदि $$A$$ नियमित बंद समुच्चय है तो ऐसा ही $$\overline{f(A)}.$$ और यदि $$A$$ नियमित ओपन समुच्चय है तो ऐसा ही $$Y \setminus \overline{f(X \setminus A)}.$$ है। </li> यदि निरंतर ओपन मानचित्र $$f : X \to Y$$ तब यह भी विशेषण है $$\operatorname{Int}_X f^{-1}(S) = f^{-1}\left(\operatorname{Int}_Y S\right)$$ और इसके अतिरिक्त, $$S$$  नियमित ओपन (सम्मानित नियमित बंद) का उप-समुच्चय है $$Y$$ यदि केवल $$f^{-1}(S)$$ का नियमित ओपन (सम्मानित नियमित बंद) उप-समुच्चय $$X.$$ है।   </li> यदि नेट (गणित) $$y_{\bull} = \left(y_i\right)_{i \in I}$$ में अभिसरण होता है $$Y$$ तक $$y \in Y$$ और निरंतर ओपन मानचित्र $$f : X \to Y$$ विशेषण है, फिर किसी के लिए $$x \in f^{-1}(y)$$ वहाँ नेट उपस्थित है $$x_{\bull} = \left(x_a\right)_{a \in A}$$ में $$X$$ (कुछ निर्देशित समुच्चय द्वारा अनुक्रमित $$A$$) ऐसा है कि $$x_{\bull} \to x$$ में $$X$$ और $$f\left(x_{\bull}\right) := \left(f\left(x_a\right)\right)_{a \in A}$$का सबनेट (गणित) $$y_{\bull}.$$ है इसके अतिरिक्त, अनुक्रमण समुच्चय $$A$$ माना जा सकता है $$A := I \times \mathcal{N}_x$$ उत्पाद ऑर्डर के साथ जहां $$\mathcal{N}_x$$ का कोई निकट आधार $$x$$ द्वारा निर्देशक $$\,\supseteq.\,$$है। </li> </ul>