व्युत्पन्न

गणित में, व्युत्पन्न एक प्रस्तावित संरचना है पृष्ठ 190-195 समरूप बीजगणित के लिए एबेलियन और गैर-अबेलियन समरूप बीजगणित और इसके विभिन्न सामान्यीकरण दोनों के लिए आधार प्रदान करते है। उन्हें व्युत्पन्न श्रेणी (जैसे शंकु निर्माण की गैर-कार्यक्षमता) की कमियों को दूर करने के लिए प्रस्तुत किया गया था और एक ही समय में समरूपीय बीजगणित के लिए भाषा प्रदान की गई थी।

व्युत्पन्न को पहली बार अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक ने अपनी लंबी अप्रकाशित 1983 की पांडुलिपि अनुसरण चिति में प्रस्तुत किया था। इसके बाद उनके द्वारा लगभग 2000 पृष्ठों की विशाल अप्रकाशित 1991 पांडुलिपि लेस व्युत्पन्न में विकसित किया गया। अनिवार्य रूप से एक ही अवधारणा को एलेक्स हेलर द्वारा (प्रत्यक्ष स्पष्ट रूप से स्वतंत्र रूप से) प्रस्तुत किया गया था।

पाण्डुलिपि को जार्ज माल्टसिनियोटिस द्वारा ऑनलाइन प्रकाशन के लिए संपादित किया गया है। सिद्धांत को कई अन्य लोगों द्वारा विकसित किया गया है, जिनमें हेलर, जेन्स फ्रांके, केलर और ग्रोथ सम्मिलित हैं।

प्रेरणा
व्युत्पन्न पर विचार करने के प्रेरक कारणों में से त्रिकोणीय श्रेणी के साथ शंकु निर्माण के साथ कार्यात्मकता की कमी है। व्युत्पन्न इस समस्या को हल करने में सक्षम हैं, और एक श्रेणी के स्थानीयकरण और एक दूसरे के बीच उनके संबंधों के साथ श्रेणी में सभी संभावित आरेखों का पद चिन्ह रखकर, सामान्य समस्थेयता सह सीमा को सम्मिलित करने का हल करते हैं। अनुमान के अनुसार, आरेख"$\bullet \to \bullet$"दिया गया है जो दो वस्तुओं और असर्वसमता वाले तीर के साथ श्रेणी है, और वर्ग $$A$$ के लिए एक प्रकार्यक"$F:(\bullet \to \bullet) \to A$"निर्बल समकक्षों के एक वर्ग के साथ $$W$$ (और उचित परिकल्पना को संतुष्ट करता है), हमारे निकट संबद्ध प्रकार्यक होना चाहिए

$$C(F): \bullet \to A[W^{-1}]$$

जहां लक्ष्य वस्तु $$\mathcal{C}[W^{-1}]$$ निर्बल समतुल्यता तक अद्वितीय है। व्युत्पन्न इस प्रकार की सूचना को कोडन करने में सक्षम हैं और व्युत्पन्न श्रेणी और समस्थेयता सिद्धांत में उपयोग करने के लिए आरेख कलन प्रदान करते हैं।

पूर्व व्युत्पन्न
औपचारिक रूप से, एक पूर्ववर्ती $$\mathbb{D}$$ उपयुक्त 2-श्रेणी के सूचकांकों से श्रेणियों की श्रेणी के लिए एक 2- प्रकार्यक $$\mathbb{D}: \text{Ind}^{op} \to \text{CAT}$$ है। सामान्यतः ऐसे 2-प्रकार्यक श्रेणियों $$\underline{\text{Hom}}(I^{op}, A)$$ पर विचार करने से आते हैं जहां $$A$$ को गुणांक की श्रेणी कहा जाता है। उदाहरण के लिए, $$\text{Ind}$$ निस्यंदित की गई छोटी श्रेणियों की श्रेणी हो सकती है, जिनकी वस्तुओं को निस्यंदित किए गए सह सीमा के लिए अनुक्रमणीकरण समुच्चय के रूप में माना जा सकता है। फिर, आरेखों की आकृति दी गई है

$$f:I \to J$$,

$$f^*$$ को $$f^*:\mathbb{D}(J) \to \mathbb{D}(I)$$

द्वारा निरूपित करता है इसे व्युत्क्रम प्रतिरूप प्रकार्यक कहा जाता है। प्रेरक उदाहरण में, यह मात्र पूर्वसम्मिलन है, इसलिए एक प्रकार्यक $$F_I \in \underline{\text{Hom}}(I^{op}, A)$$ दिया गया है जिसमें एक संबद्ध कारक $$F_J = F_I \circ f$$ है। ध्यान दें कि इन 2-प्रकार्यकों को $$\underline{\text{Hom}}(-,A[W^{-1}])$$ के रूप में लिया जा सकता है जहां $$W$$ श्रेणी $$A$$ में निर्बल समकक्षों का उपयुक्त वर्ग है।

अनुक्रमण श्रेणियां
अनुक्रमणन श्रेणियों के अनेक उदाहरण हैं जिनका उपयोग इस निर्माण में किया जा सकता है


 * परिमित श्रेणियों की 2-श्रेणी $$\text{FinCat}$$, इसलिए वस्तुएं ऐसी श्रेणियां हैं जिनके वस्तुओं का संग्रह परिमित समुच्चय हैं।
 * क्रमिक श्रेणी $$\Delta$$ को दो श्रेणी में वर्गीकृत किया जा सकता है, जहाँ वस्तुएँ एक वस्तु के साथ श्रेणियाँ होती हैं, और प्रकार्यक क्रमिक श्रेणी में तीर बनाते हैं।
 * अन्य विकल्प मात्र छोटी श्रेणियों की श्रेणी का उपयोग करना है।
 * इसके अतिरिक्त, किसी भी सांस्थितिक समष्टि से जुड़ा $$X$$ श्रेणी $$\text{Open}(X)$$ है जिसे अनुक्रमणीकरण श्रेणी के रूप में उपयोग किया जा सकता है।
 * इसके अतिरिक्त, किसी योजना (गणित) के लिए जरिस्की सांस्थिति, एटाले, आदि $$(X)_\tau$$ के सांस्थितिक के या बीजगणितीय स्थान $$X$$ के साथ-साथ उनकी आकारिकी के साथ अंतर्निहित ग्रोथेंडिक साइट का उपयोग अनुक्रमण श्रेणी के लिए किया जा सकता है।
 * इसे किसी भी सांस्थितिक $$T$$ के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, इसलिए अनुक्रमण श्रेणी अंतर्निहित साइट है।

व्युत्पन्न
व्युत्पन्न तब पूर्व व्युत्पन्नों का स्वयंसिद्धीकरण है जो आसन्न प्रकार्यक


 * $$f^? \dashv f_! \dashv f^* \dashv f_* \dashv f^!$$

सुसज्जित होता है जहां $$f_!$$ को $$f^*$$ से संलग्न छोड़ दिया जाता है और इसी प्रकार। अनुमान के अनुसार, $$f_*$$ व्युत्क्रम सीमाओं के अनुरूप होना चाहिए, $$f_!$$ को सह सीमा के अनुरूप होना चाहिए।

बाहरी संबंध

 * derivator in nLab
 * Subtopoi, open subtopos and closed subtopos
 * https://golem.ph.utexas.edu/category/2018/03/stabilization_of_derivators.html