फ़ज़ी समुच्चय संक्रिया

फजी समुच्चय संक्रिया फ़ज़ी समुच्चय के सुस्पष्टता समुच्चय संक्रिया (गणित) का एक सामान्यीकरण होता है। वास्तव में एक से अधिक संभावित सामान्यीकरण होते है। सबसे व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले संक्रिया को मानक फ़ज़ी समुच्चय संक्रिया कहा जाता है, इनमें सम्मलित होते है: फ़ज़ी पूरक, फ़ज़ी प्रतिच्छेदन और फ़ज़ी संघ।

मानक फ़ज़ी समुच्चय संक्रिया
मान लेते है कि A और B फज़ी समुच्चय है, A,B ⊆ U स्थान में कोई तत्व u (जैसे मूल्य) है: u ∈ U

मानक पूरक है

 * $$\mu_{\lnot{A}}(u) = 1 - \mu_A(u)$$

पूरक को कभी-कभी ∁A या AN द्वारा दर्शाया जाता है

मानक प्रतिच्छेदन

 * $$\mu_{A \cap B}(u) = \min\{\mu_A(u), \mu_B(u)\}$$

मानक संघ

 * $$\mu_{A \cup B}(u) = \max\{\mu_A(u), \mu_B(u)\}$$

सामान्यतः, तिहरा (i,u,n) को डी मॉर्गन तिहरा iff कहा जाता है जिससे कि सभी x,y ∈ [0, 1] के लिए निम्नलिखित सत्य है:
 * i एक t-मानक है,
 * u एक t-कॉनर्म (एक s-नॉर्म) है,
 * n एक मजबूत नकारात्मक है,
 * u(x,y) = n( i( n(x), n(y) ) )

(सामान्यीकृत डी मॉर्गन संबंध)। इसका तात्पर्य विस्तार से नीचे दिए गए स्वयंसिद्धों से है।

फजी पूरक
μA(x) को उस डिग्री के रूप में परिभाषित किया गया है जिससे x A से संबंधित है। मान लेते है कि ∁A प्रकार c के A के अस्पष्ट पूरक को दर्शाता है। फिर μ∁A(x) वह डिग्री है जिससे x का संबंध ∁A से है, और वह डिग्री जिससे x का संबंध A से नहीं है। (μA(x) इसलिए वह डिग्री है जिससे x ∁A से संबंधित नहीं है। एक पूरक '∁'A को एक फलन द्वारा परिभाषित किया गया है


 * c : [0,1] → [0,1]


 * सभी x ∈ U के लिए: μ∁A(x) = c(μA(x))

स्वयंसिद्ध c1. सीमारेखा की स्थिति

 * c(0) = 1 और c(1) = 0

स्वयंसिद्ध c2. दिष्टता

 * सभी a, b ∈ [0, 1] के लिए, यदि a < b, तो c(a) > c(b)

स्वयंसिद्ध c3. निरंतरता

 * c निरंतर फलन है।

स्वयंसिद्ध c4. निवेश

 * c एक विकास (गणित) है, जिसका अर्थ है कि c(c(a)) = a प्रत्येक a ∈ [0,1] के लिए है

c एक मजबूत टी-मानक गैर-मानक नकारात्मक (एक फ़ज़ी पूरक) है।

एक फलन c जो सिद्धांतों को संतुष्ट करता है c1 और c3 में c(a*) = a* के साथ कम से कम एक निश्चित बिंदु a* होता है, और यदि स्वयंसिद्ध c2 भी पूरा होता है तो ठीक ऐसा ही एक निर्धारण बिंदु होता है। मानक नकारात्मक c(x) = 1-x के लिए अद्वितीय निर्धारण बिंदु a* = 0.5 है।

फजी प्रतिच्छेदन
दो फ़ज़ी समुच्चय A और B के प्रतिच्छेदन को सामान्य रूप से इकाई अंतराल पर द्विआधारी संक्रिया द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है,
 * i:[0,1]×[0,1] → [0,1]।


 * सभी x ∈ U के लिए: μ∁A(x) = c(μA(x))

स्वयंसिद्ध i1. सीमारेखा की स्थिति

 * i(a, 1) = a

स्वयंसिद्ध i2. दिष्टता

 * b ≤ d का अर्थ है i(a, b) ≤ i(a, d)

स्वयंसिद्ध i3. क्रमविनिमेयता

 * i(a, b) = i(b, a)

स्वयंसिद्ध i4. संबद्धता

 * i(a, i(b, d)) = i(i(a, b), d)

स्वयंसिद्ध i5. निरंतरता

 * i एक सतत फलन है

स्वयंसिद्ध i6. सबडिमपोटेंसी

 * i(a, a) <a सबके लिए 0 <a <1

स्वयंसिद्ध i7. सख्त एकरसता

 * i (a1, b1) <i (a2, b2) यदि a1 <a2 और b1 <b2

स्वयंसिद्ध i1 से i4 तक एक टी-मानदंड (एक फ़ज़ी प्रतिच्छेदन) को परिभाषित करते है। मानक टी-मानदंड न्यूनतम एकमात्र आदर्श टी-मानदंड है (अर्थात, i (a1, a1) = सभी के लिए एक ∈ [0,1])।

फजी संघ
दो फ़ज़ी समुच्चय A और B का संघ सामान्य रूप से इकाई अंतराल फलन पर द्विआधारी संक्रिया द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है


 * u:[0,1]×[0,1] → [0,1]


 * सभी x ∈ U के लिए: μA ∪ B(x) = u[μA(x), μB(x)]।

स्वयंसिद्ध u1. सीमारेखा की स्थिति

 * u(a, 0) =u(0 ,a) = a

स्वयंसिद्ध u2. दिष्टता

 * b ≤ d का अर्थ है u(a, b) ≤ u(a, d)

स्वयंसिद्ध u3. क्रमविनिमेयता

 * u(a, b) = u(b, a)

स्वयंसिद्ध u4. संबद्धता

 * u(a, u(b, d)) = u(u(a, b), d)

स्वयंसिद्ध u5. निरंतरता

 * u एक निरंतर फलन है

स्वयंसिद्ध u6. अतिशयोक्ति

 * u(a, a) > a सभी 0 < a < 1 के लिए है


 * स्वयंसिद्ध u7. सख्त एकरसता
 * a1 <a2 और b1 <b2 का अर्थ है u(a1, b1) <u(a2, b2)

स्वयंसिद्ध u1 से u4 तक एक टी-कॉनर्म (एक एस-नॉर्म या फ़ज़ी संघ) को परिभाषित करते है। मानक टी-कॉनर्म ही एकमात्र आदर्श टी-कॉनर्म है (अर्थात u (a1, a1) = a सभी a ∈ [0,1] के लिए है)।

एकत्रीकरण संक्रिया
फ़ज़ी समुच्चय पर एकत्रीकरण संक्रिया एसी संक्रिया है जिनके द्वारा एक फ़ज़ी समुच्चय बनाने के लिए कई फ़ज़ी समुच्चयों को वांछित विधि से जोड़ा जाता है।

n फ़ज़ी समुच्चय (2 ≤ n) पर एकत्रीकरण संक्रिया एक फलन द्वारा परिभाषित किया जाता है


 * h:[0,1]n → [0,1]

स्वयंसिद्ध h1. सीमारेखा की स्थिति

 * h(0, 0, ..., 0) = 0 और h(1, 1, ..., 1) = 1

स्वयंसिद्ध h2. दिष्टता

 * n-टुपल्स की किसी भी समरूप  और  के लिए जैसे कि ai, bi ∈ [0,1] सभी i ∈ Nn के लिए, यदि ai ≤ b1 सबके लिए i ∈ Nn, फिर h(a1, a2, ...,an) ≤ h(b1, b2, ..., bn), अर्थात, h अपने सभी तर्कों में दिष्टता बढ़ाता है।

स्वयंसिद्ध h3. निरंतरता

 * h एक सतत फलन है।

यह भी देखें

 * फजी लॉजिक
 * फजी समुच्चय
 * टी-मानदंड
 * टाइप -2 फ़ज़ी समुच्चय और सिस्टम
 * डी मॉर्गन बीजगणित

संदर्भ

 * L.A. Zadeh. Fuzzy sets. Information and Control, 8:338–353, 1965