योजना (गणित)

गणित में, एक योजना एक गणितीय संरचना  है जो कई तरीकों से बीजगणितीय विविधता की धारणा को विस्तृत करती है, जैसे कि गुणनखंडों को ध्यान मे रखते हुए समीकरण x = 0 और x2 = 0 एक ही बीजगणितीय विविधता  लेकिन विभिन्न योजनाओं को परिभाषित करता है और किसी भी  क्रमविनिमेय वलय पर परिभाषित विविधताओ की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, फर्मेट वक्र  पूर्णांक पर परिभाषित होते हैं।

योजना सिद्धांत को अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक ने 1960 में अपने ग्रंथ  एलिमेंट्स डी जियोमेट्री एल्जेब्रिक  में पेश किया था; इसका एक उद्देश्य बीजगणितीय ज्यामिति  की गहरी समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक औपचारिकता विकसित करना था, जैसे कि वेइल अनुमान जिनमें से अंतिम पियरे डेलिग्ने द्वारा सिद्ध किया गया था। क्रमविनिमेय बीजगणित पर दृढ़ता से आधारित, योजना सिद्धांत टोपोलॉजी और होमोलॉजिकल बीजगणित के तरीकों के व्यवस्थित उपयोग की अनुमति देता है। योजना सिद्धांत बीजगणितीय ज्यामिति को बहुत अधिक संख्या सिद्धांत के साथ एकीकृत करता है, जो अंततः विल्स के फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के प्रमाण का नेतृत्व करता है।

औपचारिक रूप से, एक योजना अपने सभी विवृत समुच्चय के लिए क्रमविनिमय वलय के साथ एक सांस्थितिक समष्टि है, जो उनके विवृत उपसमुच्चय के साथ क्रमविनिमेय वलय के वर्णक्रम ( अभाज्य काल्पनिक के स्थान) को एक साथ जोड़ने से उत्पन्न होती है। दूसरे शब्दों में, यह एक वलयाकार स्थान है जो स्थानीय रूप से क्रमविनिमेय वलय का एक वर्णक्रम है।

ग्रोथेंडिक का सापेक्षिक दृष्टिकोण यह है कि अधिकांश बीजगणितीय ज्यामिति को आकारिकी X → Y योजनाओं के लिए विकसित किया जाना चाहिए (जिसे योजना X 'के ऊपर' Y कहा जाता है), न कि किसी विशिष्ट योजना के लिए। उदाहरण के लिए, बीजगणितीय सतहो का अध्ययन करने में, किसी योजना Y पर बीजगणितीय सतहों के वर्गों पर विचार करना उपयोगी हो सकता है। कई स्थितियों में, किसी दिए गए प्रकार की सभी विविधताओ के वर्गों  को ही एक विविधता या योजना के रूप में देखा जा सकता है, जिसे सापेक्ष स्थान के रूप में जाना जाता है।

योजनाओं के सिद्धांत की कुछ विस्तृत परिभाषाओं के लिए, योजना सिद्धांत की शब्दावली देखें।

विकास
बीजगणितीय ज्यामिति की उत्पत्ति अधिकतम वास्तविक संख्याओं पर बहुपद समीकरणों के अध्ययन में निहित है। 19वीं शताब्दी तक, यह स्पष्ट हो गया (विशेष रूप से  जीन-विक्टर पोंसलेट  और  बर्नहार्ड रीमैन  के काम में) कि बीजगणितीय ज्यामिति को  सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र पर काम करके सरल बनाया गया था, जिसका बीजगणितीय रूप से सीमित होने का लाभ है। 20वीं शताब्दी की शुरुआत में दो मुद्दों ने धीरे-धीरे ध्यान आकर्षित किया, संख्या सिद्धांत में समस्याओं से प्रेरित होकर बीजगणितीय ज्यामिति को किसी भी बीजगणितीय रूप से सीमित क्षेत्र में कैसे विकसित किया जा सकता है, विशेष रूप से सकारात्मक  विशेषताओ में? और क्या एकपक्षीय क्षेत्र पर बीजगणितीय ज्यामिति के बारे में ? सम्मिश्र विविधताओ का अध्ययन करने के लिए प्रयुक्त टोपोलॉजी और सम्मिश्र विश्लेषण के उपकरण यहां लागू नहीं होते हैं।

हिल्बर्ट का शून्य स्थान प्रमेय किसी भी बीजगणितीय रूप से सीमित क्षेत्र k पर बीजगणितीय ज्यामिति के लिए एक दृष्टिकोण का सुझाव देते हैं: बहुपद वलय में अधिकतम काल्पनिक k[x1,...,xn] kn के तत्वों के n-टपल के समुच्चय के साथ,प्रत्येक के लिए अलग-अलग समानता मे है, और रूढ आदर्श kn में असमानेय  बीजगणितीय समुच्चय के अनुरूप हैं, एफीन विविधताओ के रूप में जाना जाता है। इन विचारों से प्रेरित होकर,  एमी नोथेर  और  वोल्फगैंग क्रूल ने 1920 और 1930 के दशक में  'क्रमविनिमेय  बीजगणित' का विषय विकसित किया। उनका काम बीजगणितीय ज्यामिति को विशुद्ध रूप से बीजगणितीय दिशा में सामान्यीकृत करता है: एक बहुपद वलय  में प्रमुख आदर्शों का अध्ययन करने के बजाय, किसी भी क्रमविनिमेय वलय में प्रमुख आदर्शों का अध्ययन किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, क्रुल ने प्रमुख आदर्शों के संदर्भ में किसी भी क्रमविनिमेय वलय के क्रुल आयाम को परिभाषित किया। कम से कम जब नोथेरियन वलय है, तो उन्होंने कई गुणों को सिद्ध किया जो कि आयाम की ज्यामितीय धारणा से हैं।

नोथेर और क्रुल के क्रमविनिमेय बीजगणित को एफीन बीजगणितीय विविधताओ के दृष्टिकोण के रूप में देखा जा सकता है। हालांकि, बीजगणितीय ज्यामिति में कई तर्क प्रक्षेपीय विविधताओ के लिए बेहतर काम करते हैं, क्योंकि अनिवार्य रूप से प्रक्षेपीय विविधताए संक्षिप्त होती हैं। 1920 के दशक से 1940 के दशक तक, बार्टेल लिंडर्ट वैन डेर वेर्डन,आंद्रे वेइल और ऑस्कर ज़ारिस्की ने प्रक्षेपी (या  अर्ध-प्रक्षेपी) विविधताओ की समृद्ध स्थापना में बीजगणितीय ज्यामिति के लिए एक नई नींव के रूप में क्रमविनिमेय बीजगणित लागू किया। विशेष रूप से,  ज़ारिस्की टोपोलॉजी  किसी भी बीजगणितीय रूप से सीमित क्षेत्र पर  विविधता पर एक उपयोगी टोपोलॉजी है, जो कुछ हद तक एक सम्मिश्र विविधता (सम्मिश्र संख्याओं के टोपोलॉजी के आधार पर) पर उत्कृष्ट टोपोलॉजी की जगह लेती है।

संख्या सिद्धांत के अनुप्रयोगों के लिए, वैन डेर वेर्डन और वील ने किसी भी क्षेत्र पर बीजगणितीय ज्यामिति तैयार की, जरूरी नहीं कि बीजगणितीय रूप से सीमित हो। टोपोलॉजी में विविध मॉडल पर विवृत उपसमुच्चय के साथ एफ़िन विविधताओ को चिपकाकर, एक अमूर्त विविधता ( प्रक्षेप्य स्थान में अंतर्निहित नहीं) को परिभाषित करने वाला वेल पहला व्यक्ति था। किसी भी क्षेत्र में वक्र की जैकोबियन विविधता के अपने निर्माण के लिए उन्हें इस व्यापकता की आवश्यकता थी। बाद में, जेकोबियंस को वेइल, वी-एल इयान जीसी कैसे और तेरुहिसा मात्सुजाका द्वारा प्रक्षेपी विविधताओ के रूप में दिखाया गया।

इटालियन स्कूल के बीजगणितीय ज्यामितियो ने प्रायः बीजगणितीय विविधता के सामान्य बिंदु की कुछ अस्पष्ट अवधारणा का उपयोग करते थे। सामान्य बिंदु के लिए जो सत्य है वह विविधता के अधिकांश बिंदुओं के लिए सत्य है। बीजगणितीय ज्यामिति (1946) की वेइल की नींव में, एक बहुत बड़े बीजगणितीय रूप से सीमित क्षेत्र में बिंदुओं को लेकर सामान्य बिंदुओं का निर्माण किया जाता है, जिसे एक सार्वभौमिक डोमेन कहा जाता है। हालांकि यह नींव के रूप में काम करता था, यह अजीब था: एक ही विविधता के लिए कई अलग-अलग सामान्य बिंदु थे। (योजनाओं के बाद के सिद्धांत में, प्रत्येक बीजगणितीय विविधता का एक सामान्य बिंदु होता है।)

1950 के दशक में, क्लाउड चेवेली, न्यायमूर्ति नागता और जीन पियरे सेरे, संख्या सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति से संबंधित वेइल अनुमानों से प्रेरित होकर, बीजगणितीय ज्यामिति की वस्तुओं को आगे बढ़ाया, उदाहरण के लिए आधार के छल्ले को सामान्य बनाने की अनुमति दी गई। योजना शब्द का प्रयोग पहली बार 1956 के शेवेली संगोष्ठी में किया गया था, जिसमें शेवेली ज़ारिस्की के विचारों का अनुसरण कर रहे थे।  पियरे कार्टियर (गणितज्ञ)  के अनुसार, यह आंद्रे मार्टिन्यू थे जिन्होंने सेरे को बीजगणितीय ज्यामिति की नींव के रूप में एकपक्षीय ढंग से क्रमविनिमेय वलय वर्णक्रम का उपयोग करने की संभावना का सुझाव दिया था।

योजनाओं की उत्पत्ति
ग्रोथेंडिक ने तब एक योजना की निर्णायक परिभाषा दी, जिससे प्रायोगिक सुझावों और आंशिक विकास की एक पीढ़ी का निष्कर्ष निकला। उन्होंने एक प्राकृतिक टोपोलॉजी (ज़ारिस्की टोपोलॉजी के रूप में जाना जाता है) के साथ आर के प्रमुख आदर्शों के स्थान के रूप में एक क्रमविनिमेय वलय आर के एक वलय एक्स के वर्णक्रम को परिभाषित किया, लेकिन इसे वलयो के एक शीफ के साथ संवर्धित किया: प्रत्येक विवृत उपसमुच्चय U के लिए उसने क्रमविनिमेय वलय OX(U) नियत किया, ये वस्तु युक्ति(R) एफीन योजना हैं; एक सामान्य योजना तब एक साथ जोड़कर एफीन योजनाओं द्वारा प्राप्त की जाती है।

अधिकांश बीजगणितीय ज्यामिति एक क्षेत्र k पर प्रक्षेपी या अर्ध-प्रक्षेपी किस्मों पर केंद्रित है; वास्तव में, k को प्रायः सम्मिश्र संख्या के रूप में लिया जाता है। एकपक्षीय योजनाओं की तुलना में उस तरह की योजनाएं बहुत खास हैं; नीचे दिए गए उदाहरणों की तुलना करें। बहरहाल, यह सुविधाजनक है कि ग्रोथेंडिक ने एकपक्षीय योजनाओं के लिए सिद्धांत का एक बड़ा निकाय विकसित किया। उदाहरण के लिए, एक योजना के रूप में पहले एक सापेक्ष स्थान का निर्माण करना आम है, और केवल बाद में अध्ययन करें कि क्या यह एक अधिक ठोस वस्तु है जैसे कि प्रक्षेपी विविधता। इसके अलावा, संख्या सिद्धांत के लिए अनुप्रयोग शीघ्रता से उन पूर्णांकों पर योजनाओं की ओर ले जाते हैं जो किसी भी क्षेत्र में परिभाषित नहीं होते हैं।

परिभाषा
एक एफीन योजना एक स्थानीय रूप से वलय किए हुए आकारिकी स्थान है जो एक क्रमविनिमेय वलय R के वलय स्थान (R) के वर्णक्रम के लिए है। एक योजना एक स्थानीय रूप से घेरा हुआ स्थान X है जो विवृत समुच्चय Ui,द्वारा आवरण को स्वीकार करता है ऐसा है कि प्रत्येक Ui (स्थानीय रूप से वलय किए गए स्थान के रूप में) एक संबद्ध योजना है। विशेष रूप से, X एक शीफ OX के साथ आता है जो प्रत्येक विवृत उपसमुच्चय U को एक क्रमविनिमेय वलय OX(U) प्रदान करता है जिसे U पर 'नियमित कार्यों का वलय' कहा जाता है। एक योजना के बारे मे सोच सकते है कि समन्वय आरेख द्वारा कवर किया जा रहा है जो कि योजनाएं हैं। परिभाषा का प्रत्येक दृष्टि से तात्पर्य है कि योजनाओं को ज़ारिस्की टोपोलॉजी का उपयोग करके एक साथ जोड़ने वाली योजनाओं को प्राप्त करके प्राप्त किया जाता है।

प्रारम्भिक दिनों में, इसे एक पूर्व योजना कहा जाता था, और एक योजना को एक अलग योजना  पूर्व योजना के रूप में परिभाषित किया गया था। पूर्वयोजना शब्द उपयोग से बाहर हो गया है, लेकिन अभी भी पुरानी किताबों में पाया जा सकता है, जैसे कि ग्रोथेंडिक के एलीमेंट्स डे जियोमेट्री अल्जेब्रिक और  डेविड ममफोर्ड  की रेड बुक।

प्राकृतिक संख्या n के लिए एक एफीन योजना का एक मूल उदाहरण है एफीन n - एक क्षेत्र 'k' पर स्थान है। परिभाषा के अनुसार, A बहुपद वलय k[x1,...Xn] का वर्णक्रम है। योजना सिद्धांत के अर्थ में, एफीन n-स्थान वास्तव में किसी भी क्रमविनिमेय वलय R पर परिभाषित किया जा सकता है, जिसका अर्थ है युक्ति (R[x)1,...,Xn]).

योजनाओं की श्रेणी
योजनाएँ एक श्रेणी सिद्धांत  बनाती हैं, जिसमें आकारिकी को स्थानीय रूप से घेरे हुए स्थानों के आकारिकी के रूप में परिभाषित किया जाता है। (यह भी देखें: योजनाओं की रूपरेखा।) एक योजना वाई के लिए, एक योजना एक्स 'ओवर' वाई (या एक वाई-'योजना') का अर्थ है योजनाओं का एक आकारिकी एक्स → वाई है। क्रमविनिमेय वलय R के ऊपर एक योजना X का अर्थ आकारिकी एक्स → युक्ति(आर) है।

क्षेत्र k पर एक बीजगणितीय विविधता को कुछ गुणों के साथ k पर एक योजना के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। वास्तव में किन योजनाओं को विविधताओ कहा जाना चाहिए, इसके बारे में अलग-अलग परंपराएँ हैं। एक मानक विकल्प यह है कि k पर एक 'विविधता' का अर्थ परिमित रूपात्मकता की बीजगणितीय ज्यामिति योजना की शब्दावली है #k पर परिमित प्रकार के आकारिकी। योजनाओं का एक आकारिकी f: X → Y नियमित कार्यों के छल्ले पर एक 'पुलबैक होमोमोर्फिज्म' निर्धारित करता है, f*: O(Y) → O(X)। एफ़िन योजनाओं के मामले में, यह निर्माण योजनाओं के आकारिकी युक्ति (ए) → युक्ति (बी) और अंगूठी समरूपता बी → ए के बीच एक-से-एक पत्राचार देता है। इस अर्थ में, योजना सिद्धांत पूरी तरह से कम्यूटेटिव रिंगों के सिद्धांत को समाहित करता है।

चूंकि Z कम्यूटेटिव रिंगों की श्रेणी में एक प्रारंभिक वस्तु  है, योजनाओं की श्रेणी में एक  टर्मिनल वस्तु  के रूप में Spec(Z) है।

एक योजना X के लिए एक कम्यूटेटिव रिंग R पर, एक R-'X के बिंदु का अर्थ है morphism X का एक सेक्शन (श्रेणी सिद्धांत) → Spec( आर)। एक X(R) R के सेट के लिए लिखता है - X के प्‍वाइंट्स। उदाहरण के लिए, यह परिभाषा 'R' में मानों के साथ 'X के परिभाषित समीकरणों के समाधान के सेट की पुरानी धारणा का पुनर्निर्माण करती है। जब R एक क्षेत्र k हो, X(k) को k का समुच्चय भी कहा जाता है - X के परिमेय बिंदु।

आम तौर पर, एक योजना X के लिए एक कम्यूटेटिव रिंग R पर और किसी भी कम्यूटेटिव R-बीजगणित रिंग S पर, एक S- पॉइंट ऑफ  X का अर्थ है एक morphism Spec(S) → X over R। एक X(S) S के सेट के लिए लिखता है - X के प्‍वाइंट्स। (यह पुराने अवलोकन का सामान्यीकरण करता है जिसमें 'k फ़ील्ड पर कुछ समीकरण दिए गए हैं, कोई भी 'k के किसी भी फील्ड एक्सटेंशन  E में समीकरणों के समाधान के सेट पर विचार कर सकता है।) एक योजना के लिए ' 'R के ऊपर 'X, असाइनमेंट S X(S) कम्यूटेटिव R-बीजगणित से सेट तक एक फ़नकार है। यह एक महत्वपूर्ण अवलोकन है कि एक योजना X R से अधिक अंक के इस गुणक द्वारा निर्धारित की जाती है। योजनाओं का फाइबर उत्पाद हमेशा मौजूद रहता है। यही है, किसी भी योजना X और Z के लिए एक योजना Y, फाइबर उत्पाद X× के आकारिकी के साथYZ ( पुलबैक (श्रेणी सिद्धांत) के अर्थ में) योजनाओं की श्रेणी में मौजूद है। यदि X और Z एक क्षेत्र k पर योजनाएँ हैं, तो Spec (k) पर उनके फाइबर उत्पाद को k-योजनाओं की श्रेणी में 'उत्पाद' X × Z कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए, एफाइन स्पेस ए का उत्पादमी और एn over k, affine space A हैएम+एन ओवर के.

चूंकि योजनाओं की श्रेणी में फाइबर उत्पाद हैं और एक टर्मिनल ऑब्जेक्ट स्पेक ('जेड') भी है, इसमें सभी परिमित सीमा (श्रेणी सिद्धांत)  हैं।

उदाहरण

 * हर affine स्कीम Spec(R) एक स्कीम है। (यहाँ और नीचे, माने गए सभी छल्ले क्रमविनिमेय हैं।)
 * फ़ील्ड k पर एक बहुपद f, $f ∈ k[x_{1}, ..., x_{n}]$, एक बंद उपयोजना निर्धारित करता है $f = 0$ एफ़िन स्पेस में एn k के ऊपर, जिसे एफ़िन ऊनविम पृष्ठ  कहा जाता है। औपचारिक रूप से, इसे परिभाषित किया जा सकता है $$ \operatorname{Spec} k[x_1, \ldots, x_n]/(f).$$ उदाहरण के लिए, k को सम्मिश्र संख्याएँ, समीकरण के रूप में लेना  $x^{2} = y^{2}(y+1)$ affine तल A में एक विलक्षण वक्र को परिभाषित करता है, बीजगणितीय किस्म का एक विलक्षण बिंदु#परिभाषा कहलाता है।
 * किसी भी क्रमविनिमेय वलय R और प्राकृतिक संख्या n के लिए, 'प्रक्षेपी स्थान' 'P' खुले उपसमुच्चय के साथ R के ऊपर affine n-space की n + 1 प्रतियों को चिपकाकर एक योजना के रूप में निर्मित किया जा सकता है। यह मौलिक उदाहरण है जो एफ़िन योजनाओं से परे जाने के लिए प्रेरित करता है। प्रक्षिप्त स्थान की तुलना में प्रक्षेपी स्थान का मुख्य लाभ यह है कि 'P' आर पर उचित आकारिकी है; यह कॉम्पैक्टनेस का बीजगणित-ज्यामितीय संस्करण है। एक संबंधित प्रेक्षण यह है कि जटिल प्रक्षेपी स्थान 'सीपी'n शास्त्रीय टोपोलॉजी ('सी' की टोपोलॉजी पर आधारित) में एक कॉम्पैक्ट स्पेस है, जबकि 'सी'n नहीं है (n > 0 के लिए)।
 * बहुपद वलय में सकारात्मक डिग्री का एक सजातीय बहुपद  f $R[x_{0}, ..., x_{n}]$ एक बंद उपयोजना निर्धारित करता है $f = 0$ प्रोजेक्टिव स्पेस में पीn ओवर R, जिसे  प्रक्षेपी हाइपरसफेस  कहा जाता है। परियोजना निर्माण के संदर्भ में, इस उपयोजना को इस प्रकार लिखा जा सकता है $$ \operatorname{Proj} R[x_0,\ldots,x_n]/(f).$$ उदाहरण के लिए, बंद उपयोजना $x^{3} + y^{3} = z^{3}$ पी. का  परिमेय संख्या ओं पर एक  अण्डाकार वक्र  है।
 * दो मूल के साथ लाइन (एक क्षेत्र के पर) के पर एफाइन लाइन की दो प्रतियों के साथ शुरू करके परिभाषित योजना है, और दो खुले उपसमुच्चय को एक साथ जोड़कर ए1 − 0 पहचान मानचित्र द्वारा। यह एक गैर-पृथक योजना का एक सरल उदाहरण है। विशेष रूप से, यह एफ़िन नहीं है।
 * एफ़िन योजनाओं से परे जाने का एक सरल कारण यह है कि एक एफ़िन योजना के एक खुले उपसमुच्चय को एफ़िन होने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, चलो $X = A^{n} − 0$, सम्मिश्र संख्या C पर कहें; तब X n 2 के लिए affine नहीं है। ('n'' पर प्रतिबंध आवश्यक है: affine रेखा ऋणात्मक मूल affine योजना के लिए समरूप है $Spec(C[x, x^{−1}])$. यह दिखाने के लिए कि एक्स एफ़िन नहीं है, एक गणना करता है कि एक्स पर प्रत्येक नियमित फ़ंक्शन ए पर एक नियमित फ़ंक्शन तक विस्तारित होता हैn, जब n ≥ 2. (यह जटिल विश्लेषण में हार्टोग्स के लेम्मा के अनुरूप है, हालांकि साबित करना आसान है।) यानी समावेशन $f: X → A^{n}$ से एक आइसोमोर्फिज्म प्रेरित करता है $O(A^{n}) = C[x_{1}, ...., x_{n}]$ प्रति $O(X)$. यदि X सजातीय थे, तो यह अनुसरण करेगा कि f एक तुल्याकारिता थी। लेकिन f आच्छादक नहीं है और इसलिए एक तुल्याकारिता नहीं है। इसलिए, योजना X एफ़िन नहीं है।
 * मान लीजिए k एक क्षेत्र है। फिर योजना $\operatorname{Spec}\left(\prod_{n=1}^\infty k\right)$ एक एफ़िन योजना है जिसका अंतर्निहित टोपोलॉजिकल स्पेस सकारात्मक पूर्णांकों (असतत टोपोलॉजी के साथ) का स्टोन-ईच कॉम्पैक्टीफिकेशन है। वास्तव में, इस वलय के प्रमुख आदर्श सकारात्मक पूर्णांक पर  ultrafilter  के साथ एक-से-एक पत्राचार में हैं, आदर्श के साथ $\prod_{m \neq n} k$  सकारात्मक पूर्णांक n से जुड़े प्रमुख अल्ट्राफिल्टर के अनुरूप। यह टोपोलॉजिकल स्पेस क्रुल डायमेंशन | जीरो-डायमेंशनल है, और विशेष रूप से, प्रत्येक बिंदु एक इरेड्यूसेबल घटक है। चूँकि affine योजनाएँ  अर्ध-कॉम्पैक्ट  होती हैं, यह एक अर्ध-सम्बद्ध योजना का एक उदाहरण है जिसमें असीम रूप से कई इर्रिड्यूसिबल घटक होते हैं। (इसके विपरीत, एक  नोथेरियन योजना  में केवल बहुत से अप्रासंगिक घटक होते हैं।)

आकारिकी के उदाहरण
आकारिकी के उदाहरणों पर योजना के उदाहरण के रूप में विचार करना भी उपयोगी है क्योंकि वे बीजगणितीय और अंकगणितीय ज्यामिति में अध्ययन की कई वस्तुओं को समाहित करने के लिए अपनी तकनीकी प्रभावशीलता प्रदर्शित करते हैं।

अंकगणितीय सतह
यदि हम एक बहुपद पर विचार करें $$f \in \mathbb{Z}[x,y]$$ तो affine योजना $$X = \operatorname{Spec}(\mathbb{Z}[x,y]/(f))$$ करने के लिए एक विहित आकारिकी है $$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$$ और  अंकगणितीय सतह  कहलाती है। सूत्र  $$X_p = X \times_{\operatorname{Spec}(\mathbb{Z})}\operatorname{Spec}(\mathbb{F}_p)$$ फिर परिमित क्षेत्रों पर बीजगणितीय वक्र हैं $$\mathbb{F}_p$$. यदि $$f(x,y) = y^2 - x^3 + ax^2 + bx + c$$ एक अर्धवृत्ताकार वक्र है तो उसके द्वारा उत्पन्न विवेचक स्थान पर सूत्र $$\Delta_f$$ जहां $$\Delta_f = -4a^3c + a^2b^2 + 18abc - 4b^3 - 27c^2$$ सभी विलक्षण योजनाएँ हैं। उदाहरण के लिए, यदि $$p$$ एक अभाज्य संख्या है और $$X = \operatorname{Spec}\left(    \frac{\mathbb{Z}[x,y]}{(y^2 - x^3 - p)} \right)$$ तो इसका विवेचक है $$-27p^2$$. विशेष रूप से, यह वक्र अभाज्य संख्याओं पर विलक्षण है $$3, p$$.

योजनाओं के लिए प्रेरणा
यहाँ कुछ ऐसे तरीके दिए गए हैं जिनमें योजनाएँ बीजगणितीय किस्मों की पुरानी धारणाओं और उनके महत्व से परे जाती हैं।


 * फील्ड एक्सटेंशन। फ़ील्ड k पर n वेरिएबल्स में कुछ बहुपद समीकरणों को देखते हुए, उत्पाद सेट k में समीकरणों के समाधान के सेट X(k) का अध्ययन किया जा सकता है। 'एन. यदि फ़ील्ड k बीजगणितीय रूप से बंद है (उदाहरण के लिए जटिल संख्या), तो कोई भी X(k) जैसे सेट पर बीजगणितीय ज्यामिति को आधार बना सकता है: X(k) पर ज़ारिस्की टोपोलॉजी को परिभाषित करें, इस प्रकार के विभिन्न समुच्चय के बीच बहुपद मानचित्रण पर विचार करें, और इसी तरह। लेकिन अगर k बीजगणितीय रूप से बंद नहीं है, तो सेट X(k) पर्याप्त समृद्ध नहीं है। वास्तव में, दिए गए समीकरणों के समाधान X(E) का अध्ययन k के किसी भी क्षेत्र विस्तार E में किया जा सकता है, लेकिन ये सेट किसी भी उचित अर्थ में X(k) द्वारा निर्धारित नहीं किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, x . द्वारा परिभाषित वास्तविक संख्याओं पर समतल वक्र X2 + y2 = -1 में X('R') खाली है, लेकिन X('C') खाली नहीं है। (वास्तव में, एक्स ('सी') को 'सी' - 0 के साथ पहचाना जा सकता है।) इसके विपरीत, क्षेत्र K पर एक योजना एक्स में प्रत्येक विस्तार के लिए ई-तर्कसंगत बिंदुओं के सेट एक्स (ई) को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त जानकारी है। कश्मीर के क्षेत्र ई। (विशेष रूप से, ए की बंद उपयोजना एक्स द्वारा परिभाषित2 + और2 = -1 एक गैर-खाली स्थलीय स्थान है।)
 * सामान्य बिंदु। एफ़िन लाइन ए के बिंदु, एक योजना के रूप में, इसके जटिल बिंदु हैं (प्रत्येक जटिल संख्या के लिए एक) एक साथ एक सामान्य बिंदु (जिसका समापन पूरी योजना है)। सामान्य बिंदु एक प्राकृतिक आकृतिवाद की छवि है Spec(C(x)) → A, जहाँ C(x) एक चर में तर्कसंगत कार्य ों का क्षेत्र है। यह देखने के लिए कि योजना में वास्तविक सामान्य बिंदु होना क्यों उपयोगी है, निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें।
 * मान लें कि X समतल वक्र y है2 = x(x−1)(x−5) सम्मिश्र संख्याओं पर। यह A की एक बंद उपयोजना है. इसे एफ़िन लाइन ए के डबल कवर को कवर करने वाले एक बड़े आकार के रूप में देखा जा सकता है x-निर्देशांक को प्रक्षेपित करके। आकारिकी का तंतु X → A1 A . के सामान्य बिंदु पर1 वास्तव में X का सामान्य बिंदु है, जो आकारिकी प्रदान करता है $$\operatorname{Spec} \mathbf{C}(x) \left (\sqrt{x(x-1)(x-5)} \right )\to \operatorname{Spec}\mathbf{C}(x).$$ यह बदले में फील्ड एक्सटेंशन -2 फील्ड्स के विस्तार की डिग्री के बराबर है $$\mathbf{C}(x) \subset \mathbf{C}(x) \left (\sqrt{x(x-1)(x-5)} \right ).$$ इस प्रकार, एक किस्म का वास्तविक सामान्य बिंदु होने से बीजगणितीय किस्मों के डिग्री -2 आकारिकी और बीजीय किस्म के कार्य क्षेत्र के संबंधित डिग्री -2 विस्तार के बीच एक ज्यामितीय संबंध उत्पन्न होता है। यह मौलिक समूह  (जो टोपोलॉजी में रिक्त स्थान को वर्गीकृत करता है) और गैलोइस समूह (जो कुछ फ़ील्ड एक्सटेंशन को वर्गीकृत करता है) के बीच संबंध को सामान्य करता है। दरअसल, ग्रोथेंडिक का एटले मौलिक समूह का सिद्धांत मौलिक समूह और गैलोइस समूह को एक ही पायदान पर मानता है।


 * नीलपोटेंट तत्व। चलो X affine लाइन A . की बंद उपयोजना है एक्स द्वारा परिभाषित2 = 0, जिसे कभी-कभी फैट पॉइंट कहा जाता है। X पर नियमित कार्यों की अंगूठी है C[x]/(x2); विशेष रूप से, X पर नियमित फलन x शून्य-शक्ति है लेकिन शून्य नहीं है। इस योजना के अर्थ को इंगित करने के लिए: एफ़िन लाइन पर दो नियमित कार्यों में एक्स के लिए समान प्रतिबंध होता है यदि और केवल तभी उनका मूल्य समान होता है और मूल में पहला व्युत्पन्न होता है। ऐसी गैर-'घटित योजना' योजनाओं को अनुमति देने से गणना  और  बहुत छोता  के विचार बीजगणितीय ज्यामिति में आ जाते हैं।
 * एक अधिक विस्तृत उदाहरण के लिए, एक चिकनी योजना  जटिल किस्म वाई में डिग्री 2 के सभी शून्य-आयामी बंद उप-योजनाओं का वर्णन कर सकते हैं। इस तरह की एक उप-योजना में वाई के दो अलग-अलग जटिल बिंदु होते हैं, या फिर एक्स = स्पेक के लिए एक उप-योजना आइसोमोर्फिक होती है। 'सी' [एक्स]/(एक्स2) पिछले पैराग्राफ की तरह। बाद वाले प्रकार की उप-योजनाएँ Y के एक जटिल बिंदु y द्वारा  स्पर्शरेखा स्थान  T में एक रेखा के साथ निर्धारित की जाती हैंyवाई यह फिर से इंगित करता है कि गैर-कम उप-योजनाओं का ज्यामितीय अर्थ है, डेरिवेटिव और स्पर्शरेखा वैक्टर से संबंधित है।

सुसंगत शीशे
योजना सिद्धांत का एक केंद्रीय हिस्सा सुसंगत शीफ  की धारणा है, जो (बीजीय)  वेक्टर बंडल ों की धारणा को सामान्य करता है। एक योजना X के लिए, एक 'मॉड्यूल के शीफ' की एबेलियन श्रेणी पर विचार करके प्रारंभ होता हैX-मॉड्यूल्स, जो X पर एबेलियन समूहों के ढेर हैं जो नियमित कार्यों O के शीफ के ऊपर एक  मॉड्यूल (गणित)  बनाते हैंX. विशेष रूप से, एक मॉड्यूल एम एक क्रमविनिमेय वलय आर पर मॉड्यूल ओ से जुड़े एक शीफ को निर्धारित करता हैX-मापांक $~ M$ एक्स = स्पेक (आर) पर। योजना X पर ' अर्ध-सुसंगत शीफ ' का अर्थ है OX-मॉड्यूल जो एक्स के प्रत्येक एफाइन ओपन सबसेट पर एक मॉड्यूल से जुड़ा शीफ ​​है। अंत में, एक 'सुसंगत शीफ' (नोथेरियन स्कीम एक्स पर, कहते हैं) एक ओ हैX-मॉड्यूल जो एक्स के प्रत्येक एफ़िन विवृत उपसमुच्चय पर एक अंतिम रूप से प्रतिस्थापित किए गए मॉड्यूल से जुड़ा शीफ ​​है।

सुसंगत शीव में 'वेक्टर बंडलों' का महत्वपूर्ण वर्ग सम्मिलित है, जो कि वे शीव हैं जो स्थानीय रूप से अंतिम रूप से उत्पन्न मुक्त मॉड्यूल से आते हैं। एक क्षेत्र के ऊपर एक सरल विविध का स्पर्शरेखा बंडल  एक उदाहरण है। हालांकि, सुसंगत शीव अधिक समृद्ध हैं; उदाहरण के लिए, एक्स के बंद उप-योजना वाई पर एक वेक्टर बंडल को एक्स पर एक सुसंगत शीफ के रूप में देखा जा सकता है जो वाई के बाहर शून्य है ( प्रत्यक्ष छवि  निर्माण द्वारा)। इस तरह, योजना X पर सुसंगत शीव में एक्स की सभी बंद उप-योजनाओं के बारे में जानकारी सम्मिलित है। इसके अलावा,  शेफ कोहोलॉजी  में सुसंगत (और अर्ध-सुसंगत) शीव के लिए अच्छे गुण हैं।  सुसंगत शीफ कोहोलॉजी  का परिणामी सिद्धांत शायद बीजीय ज्यामिति में मुख्य तकनीकी उपकरण है।

सामान्यीकरण
बिन्दुओ के इसके कारक के रूप में माना जाता है, एक योजना एक कारक है जो कर्मवनिमे वलय की श्रेणी पर ज़ारिस्की टोपोलॉजी के लिए समुच्चय का एक समूह है, और जो स्थानीय रूप से ज़ारिस्की टोपोलॉजी में, एक एफ़िन योजना है। इसे कई तरीकों से सामान्यीकृत किया जा सकता है। एक एटेल टोपोलॉजी का उपयोग करना है। माइकल आर्टिन  ने एक  बीजगणितीय स्थान  को एक अवच्छेदक के रूप में परिभाषित किया है जो कि एटेल टोपोलॉजी में एक शीफ है और जो स्थानीय रूप से एटल टोपोलॉजी में एक एफ़िन योजना है। समान रूप से, एक बीजगणितीय स्थान एक एटेल तुल्यता संबंध द्वारा एक योजना का भागफल है। एक शक्तिशाली परिणाम, आर्टिन प्रतिनिधित्व योग्यता प्रमेय, एक अवच्छेदक के लिए बीजीय स्थान द्वारा प्रतिनिधित्व करने के लिए सरल स्थितियां देता है।

एक और सामान्यीकरण एक राशि का विचार है। अपरिष्कृत के अनुरूप, बीजगणितीय राशि प्रत्येक बिंदु से जुड़े बीजगणितीय समूह के द्वारा बीजगणितीय रिक्त स्थान को सामान्यीकृत करते हैं, जिसे उस बिंदु के प्रतिधारण समूह के रूप में देखा जाता है। उदाहरण के लिए, बीजगणितीय समूह G की कोई भी समूह क्रिया बीजगणितीय विविधता X पर एक भागफल राशि [X/G] निर्धारित करती है, जो G की क्रिया के लिए  स्थायीकारक उपसमूह को याद रखता है '। अधिक  सामान्य तौर पर, बीजगणितीय ज्यामिति में सापेक्ष रिक्त स्थान को प्रायः राशि के रूप में देखा जाता है, जिससे वस्तुओं के प्रतिधारण समूहों को वर्गीकृत किया जाता है।

ग्रोथेंडिक ने मूल रूप से वंश (गणित) के सिद्धांत के लिए एक उपकरण के रूप में राशि प्रारंभ की। उस फॉर्मूलेशन में, राशि (अनौपचारिक रूप से बोल रहे हैं) श्रेणियों की राशि हैं। इस सामान्य धारणा से, आर्टिन ने बीजगणितीय राशि (या आर्टिन स्टैक्स) के संकुचित वर्ग को परिभाषित किया, जिसे ज्यामितीय वस्तुएं माना जा सकता है। इनमें डेलिग्ने-ममफोर्ड स्टैक्स (टोपोलॉजी में  ऑर्बिफोल्ड ्स के समान) शामिल हैं, जिसके लिए स्थायीकारक समूह परिमित हैं, और बीजीय रिक्त स्थान, जिसके लिए स्थायीकारक समूह तुच्छ हैं। कील-मोरी प्रमेय का कहना है कि परिमित स्थायीकारक समूहों के साथ एक बीजीय स्टैक में एक मोटे प्रक्षेपीय स्थान होता है जो एक बीजीय स्थान होता है।

एक अन्य प्रकार का सामान्यीकरण संरचना शीफ ​​को समृद्ध करना है, बीजगणितीय ज्यामिति को समरूप सिद्धांत के करीब लाना। इस सेटिंग में, व्युत्पन्न बीजगणितीय ज्यामिति या वर्णक्रमीय बीजगणितीय ज्यामिति के रूप में जाना जाता है, संरचना शीफ ​​को क्रमविनिमेय वलय के एक शीफ के समस्थानिक एनालॉग द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है (उदाहरण के लिए, अत्यधिक संरचित रिंग स्पेक्ट्रम का एक शीफ | ई-इन्फिनिटी रिंग स्पेक्ट्रा)। ये शीव बीजगणितीय संक्रियाओं को स्वीकार करते हैं जो केवल एक तुल्यता संबंध तक ही साहचर्य और क्रमविनिमेय हैं। इस तुल्यता संबंध से भागफल लेने पर एक साधारण योजना का संरचना पुच्छ प्राप्त होता है। हालांकि, भागफल को नहीं लेने से एक सिद्धांत की ओर जाता है जो उच्च जानकारी को याद रख सकता है, उसी तरह जो कि होमोलॉजिकल बीजगणित में व्युत्पन्न फ़ैक्टर  टेंसर उत्पाद और मॉड्यूल पर होम फ़नकार जैसे संचालन के बारे में उच्च जानकारी प्राप्त करते हैं।

यह भी देखें

 * चपटा रूपवाद, चिकना आकारवाद, उचित आकारवाद, परिमित रूपवाद, कथा रूपवाद
 * स्थिर वक्र
 * बायरेशनल ज्यामिति
 * एटेल कोहोलॉजी, चाउ ग्रुप,  हॉज सिद्धांत
 * समूह योजना, एबेलियन किस्म ,  रैखिक बीजगणितीय समूह , रिडक्टिव समूह
 * बीजगणितीय वक्रों का माड्यूल
 * चिपकने वाली योजनाएं

संदर्भ




बाहरी संबंध

 * David Mumford, Can one explain schemes to biologists?
 * https://quomodocumque.wordpress.com/2012/09/03/mochizuki-on-abc/ - the comment section contains some interesting discussion on scheme theory (including the posts from Terence Tao).
 * https://quomodocumque.wordpress.com/2012/09/03/mochizuki-on-abc/ - the comment section contains some interesting discussion on scheme theory (including the posts from Terence Tao).