स्थानांतरण-मैट्रिक्स विधि (प्रकाशिकी)

स्थानांतरण-आव्यूह विधि स्तरीकृत माध्यम के माध्यम से विद्युत चुम्बकीय तरंग या ध्वनिक तरंगों के संचरण का विश्लेषण करने के लिए प्रकाशिकी और ध्वनिकी में उपयोग की जाने वाली विधि है। यह, उदाहरण के लिए, विरोधी-चिंतनशील लेपन और अचालक दर्पणों के डिजाइन के लिए प्रासंगिक है।

इस प्रकार से दो माध्यमों (प्रकाशिक) के बीच एकल अंतरापृष्ठ से प्रकाश का परावर्तन (भौतिकी) फ्रेस्नेल समीकरणों द्वारा वर्णित है। यद्यपि, जब कई विकिपीडिया: अंतरापृष्ठ होते हैं, जैसे कि चित्र में, प्रतिबिंब स्वयं भी आंशिक रूप से संचरित होते हैं और फिर आंशिक रूप से परिलक्षित होते हैं। यथार्थ पथ लंबाई के आधार पर, ये प्रतिबिंब विनाशकारी या रचनात्मक रूप से व्यतिकरण (तरंग संचरण) कर सकते हैं। परत संरचना का समग्र प्रतिबिंब प्रतिबिंबों की अनंत संख्या का योग है।

अतः स्थानांतरण-आव्यूह विधि इस तथ्य पर आधारित है कि, मैक्सवेल के समीकरणों के अनुसार, विद्युत क्षेत्र के लिए माध्यम से दूसरे माध्यम की सीमाओं के पार सरल निरंतरता की स्थिति होती है। इस प्रकार से यदि क्षेत्र परत के प्रारंभ में जाना जाता है, तो परत के अंत में क्षेत्र को साधारण आव्यूह (गणित) संक्रिया से प्राप्त किया जा सकता है। अतः परतों के स्तंभ को तब प्रणाली आव्यूह के रूप में दर्शाया जा सकता है, जो व्यक्तिगत परत आव्यूह का उत्पाद है। विधि के अंतिम चरण में प्रणाली आव्यूह को प्रतिबिंब और संचरण गुणांक में परिवर्तित करना सम्मिलित है।

विद्युत चुम्बकीय तरंगों के लिए औपचारिकता
इस प्रकार से नीचे वर्णित किया गया है कि सतह के सामान्य पर परतों के स्तंभ के माध्यम से संचरित आवृत्ति के विद्युत चुम्बकीय तरंगों (उदाहरण के लिए प्रकाश) पर स्थानांतरण आव्यूह कैसे लागू होता है। यह कोण, अवशोषण (विद्युत चुम्बकीय विकिरण), और पारगम्यता (विद्युत चुंबकत्व) के साथ मीडिया पर घटना से निपटने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। अतः हम मानते हैं कि स्तंभ परतें $$z\,$$, सामान्य हैं अक्ष के लिए सामान्य हैं और एक परत के भीतर के क्षेत्र को तरंग संख्या $$k\,$$,
 * $$E(z) = E_r e^{ikz} + E_l e^{-ikz}\,$$ के साथ बाएं और दाएं यात्रा करने वाली तरंग के अधिस्थापन के रूप में दर्शाया जा सकता है।

क्योंकि मैक्सवेल के समीकरण से यह पता चलता है कि विद्युत क्षेत्र $$E\,$$ और चुंबकीय क्षेत्र (इसका सामान्यीकृत व्युत्पन्न) $H=\frac{1}{ik} Z_c \frac{dE}{dz}\,$ एक सीमा के पार निरंतर होना चाहिए, क्षेत्र को सदिश $(E(z),H(z))\,$  के रूप में प्रस्तुत करना सुविधाजनक है, जहाँ
 * $$H(z) = \frac{1}{Z_c} E_r e^{ikz} - \frac{1}{Z_c} E_l e^{-ikz}\,$$।

चूंकि $$E\,$$ और $$H\,$$ से $$E_r\,$$ और $$E_l\,$$ से संबंधित दो समीकरण हैं, ये दोनों निरूपण समतुल्य हैं। इस प्रकार से नवीन प्रतिनिधित्व में, दूरी $$L\,$$ पर $$z\,$$ की धनात्मक दिशा में संचरण,विशेष रैखिक समूह SL(2, C)
 * $$M = \left( \begin{array}{cc} \cos kL & i Z_c \sin kL \\ \frac{i}{Z_c} \sin kL & \cos kL \end{array} \right),$$

और
 * $$\left(\begin{array}{c} E(z+L) \\ H(z+L) \end{array} \right) =

M\cdot \left(\begin{array}{c} E(z) \\ H(z) \end{array} \right)$$ से संबंधित आव्यूह द्वारा वर्णित किया गया है। ऐसा आव्यूह परत के माध्यम से संचरण का प्रतिनिधित्व कर सकता है यदि $$k\,$$ माध्यम में तरंग संख्या है और $$L\,$$, परत की मोटाई है: $$N\,$$ परतों वाले प्रणाली के लिए, प्रत्येक परत $$j\,$$ में स्थानांतरण आव्यूह $$M_j\,$$ होता है, जहां $$j\,$$ उच्चतर $$z\,$$ मान की ओर बढ़ता है। इस प्रकार से प्रणाली स्थानांतरण आव्यूह तब
 * $$M_s = M_N \cdot \ldots \cdot M_2 \cdot M_1$$ है।

सामान्यतः, कोई भी परत संरचना के परावर्तकता और संप्रेषण को जानना चाहेगा। इस प्रकार से यदि परत स्तंभ $$z=0\,$$से प्रारंभ होता है, तो ऋणात्मक $$z\,$$ के लिए, क्षेत्र को
 * $$E_L(z) = E_0 e^{ik_Lz} + r E_0 e^{-ik_Lz},\qquad z<0,$$

जहाँ $$E_0\,$$ आगामी तरंग का आयाम है, $$k_L\,$$ बाएं माध्यम में तरंग संख्या है, और $$r\,$$ परत संरचना का आयाम (तीव्रता नहीं!) परावर्तन गुणांक है। इस प्रकार से परत संरचना के दूसरी ओर, क्षेत्र में एक दाएँ-प्रसारित संचारित क्षेत्र
 * $$E_R(z) = t E_0 e^{ik_R z},\qquad z>L'$$

होता है, जहाँ $$t\,$$ आयाम संप्रेषण है, $$k_R\,$$, सबसे दाहिने माध्यम में तरंग संख्या है, और $$L'$$ कुल मोटाई है। इस प्रकार से यदि $H_L = \frac{1}{ik} Z_c \frac{dE_L}{dz}\,$ और $H_R = \frac{1}{ik} Z_c \frac{dE_R}{dz}\,$, तो कोई प्रणाली आव्यूह $$M_s\,$$के आव्यूह अवयवों $$M_{mn}\,$$ के संदर्भ में
 * $$\left(\begin{array}{c} E(z_R) \\ H(z_R) \end{array} \right) =

M\cdot \left(\begin{array}{c} E(0) \\ H(0) \end{array} \right)$$ को हल कर सकता है, और


 * $$t = 2 i k_L e^{-i k_R L}\left[\frac{1}{-M_{21} + k_L k_R M_{12} + i(k_R M_{11} + k_L M_{22})}\right]$$

और


 * $$r = \left[\frac{ (M_{21} + k_L k_R M_{12}) + i(k_L M_{22} - k_R M_{11})}{(-M_{21} + k_L k_R M_{12}) + i(k_L M_{22} + k_R M_{11})}\right]$$ प्राप्त कर सकता है।

अतः संप्रेषण और परावर्तन (अर्थात, घटना की तीव्रता $\left|E_0\right|^2$ के अंश परत द्वारा संचरित और परावर्तित होते हैं) प्रायः अधिक व्यावहारिक उपयोग के होते हैं और क्रमशः (सामान्य घटना पर) $T=\frac{k_R}{k_L}|t|^2\,$  और $$R=|r|^2\,$$ के द्वारा दिए जाते हैं।

उदाहरण
एक उदाहरण के रूप में, अपवर्तक सूचकांक n और मोटाई d के साथ कांच की परत पर विचार करें जो तरंग संख्या k (वायु में) पर वायु में निलंबित है। इस प्रकार से कांच में तरंग संख्या $$k'=nk\,$$ होती है। स्थानांतरण आव्यूह
 * $$M=\left(\begin{array}{cc}\cos k'd & \sin(k'd)/k' \\ -k' \sin k'd & \cos k'd \end{array}\right)$$ है।

इस प्रकार से आयाम प्रतिबिंब गुणांक
 * $$r = \frac{(1/n - n) \sin(k'd)}{(n+1/n)\sin(k'd) + 2 i \cos(k'd)}$$ को सरल बनाया जा सकता है।

अतः यह विन्यास प्रभावी रूप से फैब्री-पेरोट इंटरफेरोमीटर या एटलॉन का $k'd=0, \pi, 2\pi, \cdots\,$ के लिए वर्णन करता है, प्रतिबिम्ब लुप्त हो जाता है।

ध्वनिक तरंगें
ध्वनि तरंगों के लिए स्थानांतरण-आव्यूह विधि लागू करना संभव है। इस प्रकार से विद्युत क्षेत्र E और इसके व्युत्पन्न F के अतिरिक्त, विस्थापन u और तनाव (भौतिकी) $$\sigma=C du/dz$$, जहाँ $$C$$ पी तरंग मापांक है, इसका उपयोग किया जाना चाहिए।

एबेल्स आव्यूह औपचारिकता
अतः एबेल्स आव्यूह विधि  स्तरीकृत अंतरापृष्ठ से नियमित परावर्तकता की गणना करने के लिए संगणनात्मक रूप से तीव्र और सरल विधि है, लम्बवत संवेग संचरण के एक फलन के रूप में, Qz:
 * $$Q_z=\frac{4\pi}{\lambda}\sin\theta=2k_z$$

जहाँ θ आपतित विकिरण का आपतन/परावर्तन कोण है और λ विकिरण की तरंगदैर्घ्य है। मापी गई परावर्तनता अंतरापृष्ठ के लंबवत प्रकीर्णन लंबाई घनत्व (एसएलडी) प्रोफ़ाइल, ρ(z) में भिन्नता पर निर्भर करती है। यद्यपि प्रकीर्णन लंबाई घनत्व प्रोफ़ाइल सामान्यतः निरंतर भिन्न फलन है, अंतरापृष्ठीय संरचना को प्रायः ठीक रूप से अनुमानित किया जा सकता है एक स्लैब मॉडल द्वारा जिसमें मोटाई की परतें (dn), प्रकीर्णन लंबाई घनत्व (ρn) और रूक्षता (σn,n+1) सुपर- और उप-चरणों के बीच मध्यवर्ती हैं। इस प्रकार से प्रत्येक परत का वर्णन करने वाले मापदंडों को परिवर्तित कर, सैद्धांतिक और मापा परावर्तकता घटता के बीच अंतर को कम करने के लिए शोधन प्रक्रिया का उपयोग करता है।

इस विवरण में अंतरापृष्ठ को n परतों में विभाजित किया गया है। घटना के बाद से न्यूट्रॉन किरण पुंज तरंगसदिश, k, परत n में प्रत्येक परत द्वारा अपवर्तित होता है, इस प्रकार दिया जाता है:
 * $$k_n=\sqrt{{k_z}^2-4\pi({\rho}_n-{\rho}_0)}$$

परत n और n+1 के बीच फ्रेस्नेल समीकरण गुणांक तब दिया जाता है:
 * $$ r_{n,n+1} = \frac{k_{n}-k_{n+1}}{k_{n}+k_{n+1}} $$

चूंकि प्रत्येक परत के बीच अंतरापृष्ठ पूर्ण रूप से चिकनी होने की संभावना नहीं है, इसलिए प्रत्येक अंतरापृष्ठ की रूक्षता/फैलाना फ़्रेस्नेल गुणांक को संशोधित करता है और इसे त्रुटि फलन द्वारा उत्तरदायी ठहराया जाता है, जैसा कि नेवोट और क्रोस (1980) द्वारा वर्णित है।


 * $$r_{n,n+1} = \frac{k_{n}-k_{n+1}}{k_{n}+k_{n+1}}\exp(-2k_{n}k_{n+1}{\sigma_{n,n+1}}^2) $$

इस प्रकार से एक चरण कारक, β, पूर्ण प्रस्तुत किया जाता है, जो प्रत्येक परत की मोटाई के लिए उत्तरदायी होता है।
 * $$\beta_{0} = 0$$
 * $$\beta_{n} = i k_{n}d_{n}$$

जहाँ $$i^2 = -1$$ है। एक विशेषता आव्यूह, cn फिर प्रत्येक परत के लिए गणना की जाती है।
 * $$c_{n}=\left[\begin{array}{cc}

\exp\left(\beta_{n}\right) & r_{n,n+1}\exp\left(\beta_{n}\right)\\ r_{n,n+1}\exp\left(-\beta_{n}\right) & \exp\left(-\beta_{n}\right)\end{array}\right]$$ इस प्रकार से परिणामी आव्यूह को इन विशिष्ट आव्यूह
 * $$M=\prod_{n}c_{n}$$

के क्रमित उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है, जिससे परावर्तन की गणना इस प्रकार से की जाती है:
 * $$R=\left|\frac{M_{10}}{M_{00}}\right|^{2}$$

यह भी देखें

 * न्यूट्रॉन परावर्तक
 * दीर्घवृत्तमिति
 * जोन्स गणना
 * एक्स-किरण परावर्तकता


 * प्रकीर्णित-आव्यूह विधि

अग्रिम पठन

 * Multilayer Reflectivity: first-principles derivation of the transmission and reflection probabilities from a multilayer with complex indices of refraction.
 * Layered Materials and Photonic Band Diagrams (Lecture 23) in MIT Open Course Electronic, Optical and Magnetic Properties of Materials.
 * EM Wave Propagation Through Thin Films & Multilayers (Lecture 13) in MIT Open Course Nano-to-Macro Transport Processes. Includes short discussion acoustic waves.

बाहरी संबंध
There are a number of computer programs that implement this calculation:
 * FreeSnell is a stand-alone computer program that implements the transfer-matrix method, including more advanced aspects such as granular films.
 * Thinfilm is a web interface that implements the transfer-matrix method, outputting reflection and transmission coefficients, and also ellipsometric parameters Psi and Delta.
 * Luxpop.com is another web interface that implements the transfer-matrix method.
 * Transfer-matrix calculating programs in Python and in Mathematica.
 * EMPy ("Electromagnetic Python") software.
 * motofit is a program for analysing neutron and X-ray reflectometry data.
 * OpenFilters is a program for designing optical filters.
 * Py_matrix is an open source Python code that implements the transfer-matrix method for multilayers with arbitrary dielectric tensors. It was especially created for plasmonic and magnetoplasmonic calculations.
 * In-browser calculator and fitter Javascript interactive reflectivity calculator using matrix method and Nevot-Croce roughness approximation (calculation kernel converted from C via Emscripten)