क्लोपेन सेट

टोपोलॉजी में, एक टोपोलॉजिकल स्पेस में एक क्लॉपेन सेट (बंद-खुले सेट का एक बंदरगाह) एक सेट है जो दोनों खुले सेट और बंद सेट है। यह संभव है, के सामान्य अर्थों के रूप में प्रति-सहज लग सकता है और  विलोम हैं, लेकिन उनकी गणितीय परिभाषाएँ परस्पर अनन्य नहीं हैं। एक सेट बंद है यदि इसका पूरक (सेट सिद्धांत) खुला है, जो एक खुले सेट की संभावना को छोड़ देता है जिसका पूरक भी खुला है, दोनों सेटों को खुला बनाता है  बंद, और इसलिए बंद। जैसा कि टोपोलॉजिस्ट जेम्स मुनक्रेस द्वारा वर्णित है, एक दरवाजे के विपरीत, एक सेट खुला, या बंद, या दोनों, या दोनों में से कोई भी नहीं हो सकता है! इस बात पर जोर देते हुए कि खुले / बंद का अर्थ है के लिए उनके अर्थ से संबंधित नहीं है  (और इसलिए खुला/बंद दरवाजा द्विभाजन खुले/बंद सेट में स्थानांतरित नहीं होता है)। दरवाजों के इस विपरीत ने टोपोलॉजिकल स्पेस के वर्ग को दरवाजे की जगह के नाम से जाना जाता है।

उदाहरण
किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस में $$X,$$ खाली सेट और पूरी जगह $$X$$ दोनों क्लोपेन हैं। अब अंतरिक्ष पर विचार करें $$X$$ जिसमें दो खुले अंतराल (गणित) का मिलन होता है $$(0, 1)$$ और $$(2, 3)$$ का $$\R.$$ टोपोलॉजी चालू है $$X$$ वास्तविक रेखा पर साधारण टोपोलॉजी से टोपोलॉजिकल सबस्पेस के रूप में विरासत में मिला है $$\R.$$ में $$X,$$ सेट $$(0, 1)$$ क्लोपेन है, जैसा कि सेट है $$(2, 3).$$ यह एक काफी विशिष्ट उदाहरण है: जब भी कोई स्थान इस तरह से असंयुक्त कनेक्टेड रिक्त स्थान की एक सीमित संख्या से बना होता है, तो घटक क्लोपेन होंगे।

अब चलो $$X$$ असतत मीट्रिक के तहत एक अनंत सेट हो – यानी दो बिंदु $$p, q \in X$$ दूरी 1 है यदि वे समान बिंदु नहीं हैं, और 0 अन्यथा। परिणामी मीट्रिक स्थान के तहत, कोई भी सिंगलटन सेट खुला है; इसलिए कोई भी सेट, एकल बिंदुओं का संघ होने के नाते खुला है। चूँकि कोई भी समुच्चय खुला होता है, किसी भी समुच्चय का पूरक भी खुला होता है, और इसलिए कोई भी समुच्चय बंद होता है। तो, इस मीट्रिक स्पेस में सभी सेट क्लोपेन हैं।

कम तुच्छ उदाहरण के रूप में, अंतरिक्ष पर विचार करें $$\Q$$ सभी परिमेय संख्याओं की उनकी साधारण टोपोलॉजी और सेट के साथ $$A$$ सभी धनात्मक परिमेय संख्याओं का जिनका वर्ग 2 से बड़ा है। इस तथ्य का प्रयोग करके कि $$\sqrt 2$$ इसमें नहीं है $$\Q,$$ कोई इसे बहुत आसानी से दिखा सकता है $$A$$ का एक क्लोपेन उपसमुच्चय है $$\Q.$$ ($$A$$ है वास्तविक रेखा का एक क्लोपेन उपसमुच्चय $$\R$$; यह न तो खुला है और न ही अंदर बंद है $$\R.$$)

गुण

 * एक टोपोलॉजिकल स्पेस $$X$$ कनेक्टेड स्पेस है अगर और केवल अगर केवल क्लोपेन सेट खाली सेट हैं और $$X$$ अपने आप।
 * एक सेट क्लोपेन है अगर और केवल अगर उसकी सीमा (टोपोलॉजी) खाली है।
 * कोई भी क्लोपेन सेट कनेक्टेड स्पेस (संभवतः असीम रूप से कई) का एक संघ है।
 * यदि सभी जुड़े हुए घटक (टोपोलॉजी) के $$X$$ खुले हैं (उदाहरण के लिए, if $$X$$ केवल बहुत से घटक हैं, या यदि $$X$$ स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ है), तो एक सेट क्लोपेन इन है $$X$$ अगर और केवल अगर यह जुड़े हुए घटकों का एक संघ है।
 * एक टोपोलॉजिकल स्पेस $$X$$ असतत स्थान है अगर और केवल अगर इसके सभी उपसमुच्चय क्लोपेन हैं।
 * यूनियन (सेट थ्योरी) और इंटरसेक्शन (सेट थ्योरी) को संचालन के रूप में उपयोग करना, किसी दिए गए टोपोलॉजिकल स्पेस के क्लोपेन सबसेट $$X$$ एक बूलियन बीजगणित (संरचना) बनाएं। बूलियन बीजगणित को एक उपयुक्त टोपोलॉजिकल स्पेस से इस तरह से प्राप्त किया जा सकता है: बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन का प्रतिनिधित्व प्रमेय देखें।