विभेदन के लिए संकेतन

अवकलन कलन में अवकलन के लिए कोई एकल समरूप संकेतन नहीं होते है। इसके अतिरिक्त विभिन्न गणितज्ञों द्वारा किसी फलन (गणित) या आश्रित चर के अवकलन के लिए विभिन्न संकेतन प्रस्तावित किए गए हैं। प्रत्येक संकेतन की उपयोगिता संदर्भ के साथ भिन्न होती है और कभी-कभी किसी दिए गए संदर्भ में एक से अधिक संकेतन का उपयोग करना लाभ होता है। अवकलन और इसके विपरीत संक्रिया, प्रतिभेदन या अनिश्चितकालीन एकीकरण  संकेतन के रूप में नीचे सूचीबद्ध हैं।

लाइबनिज का अंकन
मुख्य लेख: लीबनिज़ का संकेतन

गॉटफ्राइड लीबनिज द्वारा नियोजित मूल अंकन का उपयोग पूरे गणित में किया जाता है। यह विशेष रूप से सामान्य है, जब समीकरण $y = f(x)$ को आश्रित और स्वतंत्र चर के बीच एक कार्यात्मक संबंध माना जाता है $y$ और $x$. लीबनिज़ का अंकन अवकलन को इस रूप में लिखकर इस संबंध को स्पष्ट करता है


 * $$\frac{dy}{dx}.$$

इसके अतिरिक्त, का अवकलन $f$ पर $x$ इसलिए लिखा है,


 * $$\frac{df}{dx}(x)\text{ or }\frac{d f(x)}{dx}\text{ or }\frac{d}{dx} f(x).$$

उच्चतर अवकलनों को इस प्रकार लिखा जाता है.
 * $$\frac{d^2y}{dx^2}, \frac{d^3y}{dx^3}, \frac{d^4y}{dx^4}, \ldots, \frac{d^ny}{dx^n}.$$

यह एक सूचक संकेतन उपकरण है जो प्रतीकों के औपचारिक परिचालन से आता है, जैसे कि,
 * $$\frac{d\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx} = \left(\frac{d}{dx}\right)^2y = \frac{d^2y}{dx^2}.$$

के अवकलन का मान $y$ एक बिंदु पर $x = a$ लाइबनिज़ के अंकन का उपयोग करके दो विधियों से व्यक्त किया जा सकता है:


 * $$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=a} \text{ or } \frac{dy}{dx}(a)$$.

लीबनिज़ का अंकन किसी को अवकलन(हर में) के लिए चर निर्दिष्ट करने की अनुमति देता है। आंशिक  अवकलनपर विचार करते समय यह विशेष रूप से सहायक होता है। यह श्रृंखला नियम को याद रखना और पहचानना भी सरल बनाता है:


 * $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.$$

अवकलन के लिए लीबनिज़ के संकेतन में dx या dy जैसे प्रतीकों को अपने आप में अर्थ निर्दिष्ट करने की आवश्यकता नहीं होती है और कुछ लेखक इन प्रतीकों को अर्थ बताने का प्रयास नहीं करते हैं। लीबनिज़ ने इन प्रतीकों को अनन्त सूक्ष्म रूप में मान लिया है। पश्चात के लेखकों ने उन्हें अन्य अर्थ दिए हैं, जैसे गैर मानक विश्लेषण या बाहरी अवकलन में इनफिनिटिमल्स करते है.

कुछ लेखक और पत्रिकाएँ अवकलन चिह्न निर्धारित करते हैं $d$ इटैलिक के अतिरिक्त रोमन प्रकार में: $dx$.आईएसओ/आईईसी 80000 वैज्ञानिक शैली मार्गदर्शिका के रूप में इस शैली की अनुशंसा करती है।

एंटीडिफरेंशिएशन के लिए लीबनिज़ का संकेतन
लीबनिज ने अभिन्न प्रतीक प्रस्तुत किया $∫$ एनालिसियोस टेट्रागोनिस्टिके पार्ट सेकुंडा और मेथोडी इनवर्स टैंगेंटी उदाहरण (दोनों 1675 से) में। यह अब अभिन्न के लिए मानक प्रतीक है।
 * $$\begin{align}

\int y'\,dx &= \int f'(x)\,dx = f(x) + C_0 = y + C_0 \\ \int y\,dx &= \int f(x)\,dx = F(x) + C_1 \\ \iint y\,dx^2 &= \int \left ( \int y\,dx \right ) dx = \int_{X\times X} f(x)\,dx = \int F(x)\,dx = g(x) + C_2 \\ \underbrace{\int \dots \int}_{\!\! n} y\,\underbrace{dx \dots dx}_n &= \int_{\underbrace{X\times\cdots\times X}_n} f(x)\,dx = \int s(x)\,dx = S(x) + C_n \end{align}$$

लैग्रेंज का अंकन
विभेदीकरण के लिए सबसे आम आधुनिक संकेतों में से एक का नाम जोसेफ लुई लैग्रेंज के नाम पर रखा गया है, यदि इसका आविष्कार वास्तव में लियोनहार्ड यूलर द्वारा किया गया था और पूर्व द्वारा ही इसे लोकप्रिय बनाया गया था। लैग्रेंज के संकेतन में, एक अभाज्य प्रतीक एक अवकलन को दर्शाता है। यदि f एक फलन  है, तो x पर मूल्यांकन किया गया इसका अवकलन लिखा जाता है.
 * $$f'(x)$$.

यह पहली बार 1749 में छपा था।

उच्चतर अवकलनको अतिरिक्त अभाज्य चिह्नों का उपयोग करके दर्शाया गया है, जैसे कि $$f(x)$$ दूसरे अवकलन के लिए और $$f'(x)$$ तीसरे अवकलन के लिए. बार-बार अभाज्य चिह्नों का उपयोग अंततः अनिष्ट हो जाता है। कुछ लेखक रोमन अंक का प्रयोग जारी रखते हैं, सामान्यतः छोटे अक्षरों, के रूप में होते है.
 * $$f^{\mathrm{iv}}(x), f^{\mathrm{v}}(x), f^{\mathrm{vi}}(x), \ldots,$$

चौथे, पांचवें, छठे और उच्च क्रम के अवकलनको दर्शाने के लिए। अन्य लेखक कोष्ठक में अरबी अंकों का उपयोग करते हैं, जैसे कि
 * $$f^{(4)}(x), f^{(5)}(x), f^{(6)}(x), \ldots.$$

यह अंकन nवें अवकलन का वर्णन करना भी संभव बनाता है, जहां n एक चर है। ये लिखा है
 * $$f^{(n)}(x).$$

लैग्रेंज के संकेतन से संबंधित यूनिकोड वर्ण के रूप में सम्मिलित हैं

जब किसी फलन f(x, y) के लिए दो स्वतंत्र चर होते हैं, तो निम्नलिखित परिपाटी का पालन किया जा सकता है:
 * $$\begin{align}

f^\prime &= \frac{\partial f}{\partial x} = f_x \\[5pt] f_\prime &= \frac{\partial f}{\partial y} = f_y \\[5pt] f^{\prime\prime} &= \frac{\partial ^2 f}{\partial x^2} = f_{xx} \\[5pt] f_\prime^\prime &= \frac{\partial ^2 f}{\partial y \partial x}\ = f_{xy} \\[5pt] f_{\prime\prime} &= \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2} = f_{yy} \end{align}$$

एंटीडिफरेंशिएशन के लिए लैग्रेंज का संकेतन
एंटी अवकलनलेते समय, लैग्रेंज ने लीबनिज़ के संकेतन का पालन किया था:
 * $$f(x) = \int f'(x)\,dx = \int y\,dx.$$

चूंकि, एकीकरण अवकलनका व्युत्क्रम संचालन के रूप में होता है, उच्च क्रम  अवकलनके लिए लैग्रेंज का संकेतन इंटीग्रल तक भी विस्तारित होता है। f के बार-बार समाकलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है
 * $$f^{(-1)}(x)$$ पहले इंटीग्रल के लिए (यह व्युत्क्रम फलन के साथ सरली से भ्रमित हो जाता है $$f^{-1}(x)$$),
 * $$f^{(-2)}(x)$$ दूसरे अभिन्न के लिए,
 * $$f^{(-3)}(x)$$ तीसरे अभिन्न के लिए, और
 * $$f^{(-n)}(x)$$ nवें अभिन्न के लिए.

यूलर का अंकन
लियोनहार्ड यूलर का संकेतन लुई फ्रांकोइस एंटोनी आर्बोगैस्ट द्वारा सुझाए गए एक अंतर ऑपरेटर का उपयोग करता है, जिसे इस प्रकार दर्शाया गया है $D$ (डी ऑपरेटर) या $D̃$ (न्यूटन-लीबनिज़ ऑपरेटर)। जब किसी फलन  पर लागू किया जाता है $f(x)$, द्वारा परिभाषित किया गया है.
 * $$(Df)(x) = \frac{df(x)}{dx}.$$

उच्च अवकलनको डी की शक्तियों के रूप में नोट किया जाता है (जहां सुपरस्क्रिप्ट डी की पुनरावृत्त फलन  संरचना को दर्शाते हैं), जैसा कि :$$D^2f$$ दूसरे अवकलन के लिए होते है.
 * $$D^3f$$ तीसरे अवकलन के लिए, और
 * $$D^nf$$ nवें अवकलन के लिए.

यूलर का अंकन उस चर को अंतर्निहित कर देता है जिसके संबंध में विभेदीकरण किया जा रहा है। चूंकि, इस चर को स्पष्ट रूप से भी नोट किया जा सकता है। जब f एक चर x का एक फलन है, तो इसे लिखकर किया जाता है :$$D_x f$$ प्रथम अवकलन के लिए,
 * $$D^2_x f$$ दूसरे अवकलन के लिए,
 * $$D^3_x f$$ तीसरे अवकलन के लिए, और
 * $$D^n_x f$$ nवें अवकलन के लिए.

जब f कई वेरिएबल्स का एक फलन होता है, तो ∂ का उपयोग करना आम बात है, अतिरिक्त इसके कि एक स्टाइलयुक्त कर्सिव लोअर-केस d$D$. जैसा कि ऊपर बताया गया है, सबस्क्रिप्ट उन अवकलनको दर्शाते हैं जिन्हें लिया जा रहा है। उदाहरण के लिए, किसी फलन का दूसरा आंशिक अवकलन $f(x, y)$ हैं: :$$ \begin{align} & \partial_{xx} f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \\[5pt] & \partial_{xy} f = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}, \\[5pt] & \partial_{yx} f = \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}, \\[5pt] & \partial_{yy} f = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}. \end{align} $$

देखना § आंशिक अवकलनज।

यूलर का संकेतन रैखिक अंतर समीकरण को बताने और हल करने के लिए उपयोगी है, क्योंकि यह अंतर समीकरण की प्रस्तुति को सरल बनाता है, जिससे समस्या के आवश्यक तत्वों को देखना सरल हो सकता है।

एंटीडिफरेंशिएशन के लिए यूलर का संकेतन
यूलर के संकेतन का उपयोग एंटीडिफरेंशिएशन के लिए उसी प्रकार किया जा सकता है जैसे लैग्रेंज के संकेतन का होता है निम्नलिखित नुसार :$$D^{-1}f(x)$$ प्रथम प्रति अवकलन के लिए होते है,
 * $$D^{-2}f(x)$$ दूसरे प्रतिअवकलन के लिए, और
 * $$D^{-n}f(x)$$ nवें प्रति अवकलन के लिए।

न्यूटन का अंकन
अवकलनके लिए आइजैक न्यूटन का संकेतन जिसे डॉट संकेतन प्रवाह या कभी-कभी सामान्यतः फ्लाईस्पेक संकेतन भी कहा जाता है अवकलनके लिए आश्रित चर पर एक बिंदु लगाता है। अर्थात्, यदि y, t का एक फलन है, तो t के संबंध में y का   अवकलन है.
 * $$\dot y$$

उच्चतर अवकलनको कई बिंदुओं का उपयोग करके दर्शाया जाता है, जैसे कि
 * $$\ddot y, \overset{...}{y}$$

न्यूटन ने इस विचार को अधिक आगे तक बढ़ाया:
 * $$\begin{align}

\ddot{y} &\equiv \frac{d^2y}{dt^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dt}\right) = \frac{d}{dt}\Bigl(\dot{y}\Bigr) = \frac{d}{dt}\Bigl(f'(t)\Bigr) = D_t^2 y = f(t) = y_t \\[5pt] \overset{...}{y} &= \dot{\ddot{y}} \equiv \frac{d^3y}{dt^3} = D_t^3 y = f(t) = y_t \\[5pt] \overset{\,4}{\dot{y}} &= \overset{....}{y} = \ddot{\ddot{y}} \equiv \frac{d^4y}{dt^4} = D_t^4 y = f^{\rm IV}(t) = y^{(4)}_t \\[5pt] \overset{\,5}{\dot{y}} &= \ddot{\overset{...}{y}} = \dot{\ddot{\ddot{y}}} = \ddot{\dot{\ddot{y}}} \equiv \frac{d^5y}{dt^5} = D_t^5 y = f^{\rm V}(t) = y^{(5)}_t \\[5pt] \overset{\,6}{\dot{y}} &= \overset{...}{\overset{...}{y}} \equiv \frac{d^6y}{dt^6} = D_t^6 y = f^{\rm VI}(t) = y^{(6)}_t \\[5pt] \overset{\,7}{\dot{y}} &= \dot{\overset{...}{\overset{...}{y}}} \equiv \frac{d^7y}{dt^7} = D_t^7 y = f^{\rm VII}(t) = y^{(7)}_t \\[5pt] \overset{\,10}{\dot{y}} &= \ddot{\ddot{\ddot{\ddot{\ddot{y}}}}} \equiv \frac{d^{10}y}{dt^{10}} = D_t^{10} y = f^{\rm X}(t) = y^{(10)}_t \\[5pt] \overset{\,n}{\dot{y}} &\equiv \frac{d^ny}{dt^n} = D_t^n y = f^{(n)}(t) = y^{(n)}_t \end{align}$$ न्यूटन के अंकन से संबंधित यूनिकोड वर्णों में सम्मिलित हैं:
 * ← डायएरेसिस + उपरोक्त बिंदु के संयोजन द्वारा प्रतिस्थापित।
 * ← डायएरेसिस को दो बार मिलाकर प्रतिस्थापित किया गया।
 * ← डायएरेसिस + उपरोक्त बिंदु के संयोजन द्वारा प्रतिस्थापित।
 * ← डायएरेसिस को दो बार मिलाकर प्रतिस्थापित किया गया।

न्यूटन के अंकन का उपयोग सामान्यतः तब किया जाता है, जब स्वतंत्र चर समय को दर्शाता है। यदि समष्टि  $y$ तो, t का एक फलन है $$\dot y$$ वेग को दर्शाता है और $$\ddot y$$ त्वरण को दर्शाता है. यह अंकन भौतिकी और गणितीय भौतिकी में लोकप्रिय है। यह भौतिकी से जुड़े गणित के क्षेत्रों जैसे अंतर समीकरण के रूप में भी दिखाई देता है।

आश्रित चर y = f(x) का अवकलन लेते समय, एक वैकल्पिक संकेतन उपलब्ध होता है:
 * $$\frac{\dot{y}}{\dot{x}} = \dot{y}:\dot{x} \equiv \frac{dy}{dt}:\frac{dx}{dt} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\Bigl(f(x)\Bigr) = D y = f'(x) = y'.$$

न्यूटन ने घुमावदार X ( ⵋ ) पर साइड-डॉट्स का उपयोग करके निम्नलिखित आंशिक अंतर ऑपरेटरों को विकसित किया। व्हाईटसाइड द्वारा दी गई परिभाषाएँ नीचे हैं:
 * $$\begin{align}

\mathcal{X}                                                           \ &=\  f(x,y) \,, \\[5pt] \cdot\mathcal{X}                                                      \ &=\  x\frac{\partial f}{\partial x} = xf_x\,, \\[5pt] \mathcal{X}\!\cdot                                                    \ &=\  y\frac{\partial f}{\partial y} = yf_y\,, \\[5pt] \colon\!\mathcal{X}\,\text{ or }\,\cdot\!\left(\cdot\mathcal{X}\right) \ &=\ x^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = x^2 f_{xx}\,, \\[5pt] \mathcal{X}\colon\,\text{ or }\,\left(\mathcal{X}\cdot\right)\!\cdot  \ &=\  y^2\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = y^2 f_{yy}\,, \\[5pt] \cdot\mathcal{X}\!\cdot\                                              \ &=\  xy\frac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y} = xy f_{xy}\,, \end{align}$$

एकीकरण के लिए न्यूटन का संकेत
न्यूटन ने अपने क्वाड्रेटुरा कर्वरम (1704) और फ्लक्सियन्स की विधि में इंटीग्रल के लिए कई भिन्न-भिन्न संकेतन विकसित किए: उन्होंने आश्रित चर के ऊपर एक छोटी ऊर्ध्वाधर पट्टी या अभाज्य लिखा ($y̍$ ), एक उपसर्ग आयत ($▭y$), या पद को एक आयत में सम्मिलित करना होता है ($y$ ) फ्लक्सन या टाइम इंटीग्रल ( अनुपस्थिति ) की विधि को दर्शाने के लिए।


 * $$\begin{align}

y &= \Box \dot{y} \equiv \int \dot{y} \,dt = \int f'(t) \,dt = D_t^{-1} (D_t y) = f(t) + C_0 = y_t + C_0 \\ \overset{\,\prime}{y} &= \Box y \equiv \int y \,dt = \int f(t) \,dt = D_t^{-1} y = F(t) + C_1 \end{align}$$ एकाधिक अभिन्नों को दर्शाने के लिए, न्यूटन ने दो छोटी ऊर्ध्वाधर पट्टियों या अभाज्य संख्याओं का उपयोग किया ($y̎$), या पिछले प्रतीकों का एक संयोजन $▭y̍$ <स्पैन स्टाइल= बॉर्डर-स्टाइल: ठोस; बॉर्डर-चौड़ाई: 1.5px 1.5px 1.5px 1.5px; पैडिंग-बाएँ: 4px; पैडिंग-राइट: 4px; >$y̍$, दूसरी बार अभिन्न (अभाव) को दर्शाने के लिए।


 * $$\overset{\,\prime\prime}{y} = \Box \overset{\,\prime}{y} \equiv \int \overset{\,\prime}{y} \,dt = \int F(t) \,dt = D_t^{-2} y = g(t) + C_2$$

उच्च क्रम समय समाकलन इस प्रकार थे:
 * $$\begin{align}

\overset{\,\prime\prime\prime}{y} &= \Box \overset{\,\prime\prime}{y} \equiv \int \overset{\,\prime\prime}{y} \,dt = \int g(t) \,dt = D_t^{-3} y = G(t) + C_3 \\ \overset{\,\prime\prime\prime\prime}{y} &= \Box \overset{\,\prime\prime\prime}{y} \equiv \int \overset{\,\prime\prime\prime}{y} \,dt = \int G(t) \,dt = D_t^{-4} y = h(t) + C_4 \\ \overset{\;n}\overset{\,\prime}{y} &= \Box \overset{\;n-1}\overset{\,\prime}y \equiv \int \overset{\;n-1}\overset{\,\prime}y \,dt = \int s(t) \,dt = D_t^{-n} y = S(t) + C_n \end{align}$$ मुद्रण संबंधी कठिनाइयों और लीबनिज-न्यूटन कैलकुलस विवाद के कारण यह गणितीय संकेतन व्यापक नहीं हो सका।

आंशिक अवकलन
जब अधिक विशिष्ट प्रकार के अवकलनआवश्यक होते हैं, जैसे कि बहुभिन्नरूपी कैलकुलस या टेंसर विश्लेषण में अन्य संकेतन सामान्य होते हैं।

एकल स्वतंत्र चर x के फलन f के लिए, हम स्वतंत्र चर की सबस्क्रिप्ट का उपयोग करके अवकलन को व्यक्त कर सकते हैं:


 * $$\begin{align}

f_x &= \frac{df}{dx} \\[5pt] f_{x x} &= \frac{d^2f}{dx^2}. \end{align}$$ इस प्रकार का अंकन कई चर वाले फलन के आंशिक अवकलन लेने के लिए विशेष रूप से उपयोगी है।

आंशिक अवकलन को सामान्यतः अंतर ऑपरेटर d को ∂ प्रतीक के साथ प्रतिस्थापित करके सामान्य अवकलन से भिन्न किया जाता है। उदाहरण के लिए हम आंशिक अवकलन का संकेत दे सकते हैं f(x,&thinsp;y,&thinsp;z) कई मायनों में x के संबंध में, लेकिन y या z के संबंध में नहीं:
 * $$\frac{\partial f}{\partial x} = f_x = \partial_x f.$$

जो बात इस भेद को महत्वपूर्ण बनाती है, वह यह है कि एक गैर-आंशिक अवकलन जैसे $$\textstyle \frac{df}{dx}$$ संदर्भ के आधार पर, परिवर्तन की दर के रूप में व्याख्या की जा सकती है $$f$$ के सापेक्ष $$x$$ जब सभी चरों को एक साथ बदलने की अनुमति दी जाती है, जबकि आंशिक अवकलन जैसे $$\textstyle \frac{\partial f}{\partial x}$$ यह स्पष्ट है, कि मात्र एक चर में भिन्नता होनी चाहिए।

अन्य संकेतन गणित, भौतिकी और इंजीनियरिंग के विभिन्न उपक्षेत्रों में पाए जा सकते हैं; उदाहरण के लिए ऊष्मागतिकी के मैक्सवेल संबंध देखें। प्रतीक $$\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{\!S} $$ एन्ट्रापी (सबस्क्रिप्ट) S को स्थिर रखते हुए आयतन V के संबंध में तापमान T का अवकलन है $$\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{\!P} $$ दबाव P को स्थिर रखते हुए आयतन के संबंध में तापमान का अवकलन है। यह उन स्थितियों में आवश्यक हो जाता है जहां चर की संख्या स्वतंत्रता की डिग्री से अधिक हो जाती है, इसलिए किसी को यह चुनना होता है कि कौन से अन्य चर को स्थिर रखा जाना है।

एक चर के संबंध में उच्च-क्रम आंशिक अवकलन को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है

\begin{align} & \frac{\partial^2f}{\partial x^2} = f_{xx}, \\[5pt] & \frac{\partial^3f}{\partial x^3} = f_{xxx}, \end{align} $$ और इसी प्रकार। मिश्रित आंशिक अवकलन को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है


 * $$\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = f_{xy}.$$

इस अंतिम स्थिति में चर को दो संकेतन के बीच विपरीत क्रम में लिखा गया है, जिसे निम्नानुसार समझाया गया है:



\begin{align} & (f_x)_y = f_{xy}, \\[5pt] & \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2f}{\partial y \, \partial x}. \end{align} $$ तथाकथित बहु-सूचकांक संकेतन  का उपयोग उन स्थितियों में किया जाता है जब उपरोक्त संकेतन बोझिल या अपर्याप्त रूप से अभिव्यंजक हो जाता है। कार्यों पर विचार करते समय $$\R^n$$, हम एक बहु-सूचकांक को एक क्रमबद्ध सूची के रूप में परिभाषित करते हैं $$n$$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक: $$\alpha = (\alpha_1,\ldots,\alpha_n), \ \alpha_i \in \Z_{\geq 0}$$. फिर हम परिभाषित करते हैं, के लिए $$f:\R^n \to X$$, संकेतन


 * $$\partial^\alpha f = \frac{\partial^{\alpha_1}}{\partial x_1^{\alpha_1}} \cdots \frac{\partial^{\alpha_n}}{\partial x_n^{\alpha_n}} f$$

इस प्रकार से कुछ परिणाम (जैसे कि लाइबनिज़ नियम (सामान्यीकृत उत्पाद नियम)) जिन्हें अन्य विधियों से लिखना कठिन है, उन्हें संक्षेप में व्यक्त किया जा सकता है - कुछ उदाहरण मल्टी-इंडेक्स संकेतन में पाए जा सकते हैं। मल्टी-इंडेक्स पर लेख।

वेक्टर कलन में अंकन
वेक्टर कैलकुलस वेक्टर क्षेत्र या अदिश क्षेत्र के अवकलन और अभिन्न अंग से संबंधित है। त्रि-आयामी यूक्लिडियन समष्टि के स्थिति के लिए विशिष्ट कई संकेतन आम हैं।

ये मान लीजिए $(x, y, z)$ एक दी गई कार्टेशियन समन्वय प्रणाली है, कि ए घटकों के साथ एक वेक्टर क्षेत्र है $$\mathbf{A} = (\mathbf{A}_x, \mathbf{A}_y, \mathbf{A}_z)$$, ओर वो $$\varphi = \varphi(x,y,z)$$ एक अदिश क्षेत्र है.

विलियम रोवन हैमिल्टन द्वारा प्रस्तुत किया गया डिफरेंशियल ऑपरेटर, जिसे नाबला प्रतीक लिखा जाता है|∇ और की  या नाबला कहा जाता है, प्रतीकात्मक रूप से एक वेक्टर के रूप में परिभाषित किया गया है,
 * $$\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right)\!,$$

जहां शब्दावली प्रतीकात्मक रूप से दर्शाती है कि ऑपरेटर ∇ को एक साधारण वेक्टर के रूप में भी माना जाएगा।


 * ग्रेडिएंट : ग्रेडिएंट $$\mathrm{grad\,} \varphi$$ अदिश क्षेत्र का $$\varphi$$ एक वेक्टर है, जिसे प्रतीकात्मक रूप से ∇ और अदिश क्षेत्र के अदिश गुणन द्वारा व्यक्त किया जाता है$$\varphi$$,


 * $$\begin{align}

\operatorname{grad} \varphi &= \left( \frac{\partial \varphi}{\partial x}, \frac{\partial \varphi}{\partial y}, \frac{\partial \varphi}{\partial z} \right) \\ &= \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \varphi \\ &= \nabla \varphi \end{align}$$


 * विचलन: विचलन $$\mathrm{div}\,\mathbf{A}$$ सदिश क्षेत्र A एक अदिश राशि है, जिसे प्रतीकात्मक रूप से ∇ और सदिश A के बिंदु गुणनफल द्वारा व्यक्त किया जाता है,


 * $$\begin{align}

\operatorname{div} \mathbf{A} &= {\partial A_x \over \partial x} + {\partial A_y \over \partial y} + {\partial A_z \over \partial z} \\ &= \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \cdot \mathbf{A} \\ &= \nabla \cdot \mathbf{A} \end{align}$$


 * लाप्लासियन: लाप्लासियन $$\operatorname{div} \operatorname{grad} \varphi$$ अदिश क्षेत्र का $$\varphi$$ एक अदिश राशि है, जिसे प्रतीकात्मक रूप से ∇ के अदिश गुणन द्वारा व्यक्त किया जाता है2और अदिश क्षेत्र φ,


 * $$\begin{align}

\operatorname{div} \operatorname{grad} \varphi &= \nabla \cdot (\nabla \varphi) \\ &= (\nabla \cdot \nabla) \varphi \\ &= \nabla^2 \varphi \\ &= \Delta \varphi \\ \end{align}$$


 * कर्ल (गणित): घूर्णन $$\mathrm{curl}\,\mathbf{A}$$, या $$\mathrm{rot}\,\mathbf{A}$$, सदिश क्षेत्र का A एक सदिश है, जिसे प्रतीकात्मक रूप से ∇ और सदिश A के क्रॉस उत्पाद द्वारा व्यक्त किया जाता है,


 * $$\begin{align}

\operatorname{curl} \mathbf{A} &= \left(        {\partial A_z \over {\partial y} } - {\partial A_y \over {\partial z} },         {\partial A_x \over {\partial z} } - {\partial A_z \over {\partial x} },         {\partial A_y \over {\partial x} } - {\partial A_x \over {\partial y} }       \right) \\ &= \left( {\partial A_z \over {\partial y} } - {\partial A_y \over {\partial z} } \right) \mathbf{i} + \left( {\partial A_x \over {\partial z} } - {\partial A_z \over {\partial x} } \right) \mathbf{j} + \left( {\partial A_y \over {\partial x} } - {\partial A_x \over {\partial y} } \right) \mathbf{k} \\ &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \cfrac{\partial}{\partial x} & \cfrac{\partial}{\partial y} & \cfrac{\partial}{\partial z} \\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix} \\ &= \nabla \times \mathbf{A} \end{align}$$ कार्टेशियन निर्देशांक में ग्रेडिएंट ऑपरेटर द्वारा अवकलनके कई प्रतीकात्मक संचालन को सीधे विधि से सामान्यीकृत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एकल-चर उत्पाद नियम में ग्रेडिएंट ऑपरेटर को लागू करके स्केलर फ़ील्ड के गुणन में एक सीधा एनालॉग होता है, जैसा कि


 * $$(f g)' = f' g+f g' \Longrightarrow  \nabla(\phi \psi) = (\nabla \phi) \psi + \phi (\nabla \psi).$$

एकल चर कैलकुलस के कई अन्य नियमों में वेक्टर कैलकुलस पहचान # ग्रेडिएंट, डाइवर्जेंस, कर्ल और लाप्लासियन के लिए पहली अवकलन पहचान हैं।

अधिक विदेशी प्रकार के समष्टि ों के लिए और संकेतन विकसित किए गए हैं। मिन्कोवस्की  समष्टि  में गणना के लिए, डी'एलेम्बर्ट ऑपरेटर, जिसे डी'एलेम्बर्टियन, वेव ऑपरेटर या बॉक्स ऑपरेटर भी कहा जाता है, को इस प्रकार दर्शाया गया है $$\Box$$, या जैसे $$\Delta$$ जब लाप्लासियन के प्रतीक के साथ टकराव न हो।

यह भी देखें

 * एनालिटिकल सोसाइटी - 19वीं सदी का ब्रिटिश समूह जिसने न्यूटोनियन कैलकुलस के विपरीत लाइबनिज़ियन या विश्लेषणात्मक कैलकुलस के उपयोग को बढ़ावा दिया।
 * अवकलन - परिवर्तन की तात्कालिक दर (गणित)
 * प्रवाह - ऐतिहासिक गणितीय अवधारणा; अवकलन का रूप होता है.
 * हेसियन आव्यूह - (गणितीय) दूसरे अवकलनका आव्यूह
 * जैकोबियन आव्यूह - एक वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन के सभी प्रथम-क्रम आंशिक अवकलनका आव्यूह
 * विषय के अनुसार गणितीय प्रतीकों की सूची
 * परिचालन गणना

बाहरी संबंध

 * Earliest Uses of Symbols of Calculus, maintained by Jeff Miller.