क्वांटम चैनल

क्वांटम सूचना सिद्धांत में, क्वांटम चैनल एक संचार चैनल है जो क्वांटम सूचना, साथ ही शास्त्रीय जानकारी प्रसारित कर सकता है। क्वांटम सूचना का एक उदाहरण qubit की स्थिति है। शास्त्रीय जानकारी का एक उदाहरण इंटरनेट पर प्रसारित एक टेक्स्ट दस्तावेज़ है।

अधिक औपचारिक रूप से, क्वांटम चैनल ऑपरेटरों के स्थानों के बीच पूरी तरह से सकारात्मक (सीपी) ट्रेस-संरक्षित मानचित्र हैं। दूसरे शब्दों में, क्वांटम चैनल सिर्फ एक क्वांटम ऑपरेशन है जिसे न केवल एक सिस्टम की कम गतिशीलता के रूप में देखा जाता है बल्कि क्वांटम जानकारी ले जाने के लिए एक पाइपलाइन के रूप में भी देखा जाता है। (कुछ लेखक क्वांटम ऑपरेशन शब्द का उपयोग सख्ती से ट्रेस-संरक्षित मानचित्रों के लिए क्वांटम चैनल को आरक्षित करते समय ट्रेस-घटते मानचित्रों को भी शामिल करने के लिए करते हैं। )

स्मृतिहीन क्वांटम चैनल
फिलहाल हम यह मान लेंगे कि मानी जाने वाली प्रणालियों के सभी राज्य स्थान, शास्त्रीय या क्वांटम, परिमित-आयामी हैं।

अनुभाग शीर्षक में मेमोरीलेस का वही अर्थ है जो शास्त्रीय सूचना सिद्धांत में है: किसी दिए गए समय में एक चैनल का आउटपुट केवल संबंधित इनपुट पर निर्भर करता है, न कि किसी पिछले इनपुट पर।

श्रोडिंगर चित्र
क्वांटम चैनलों पर विचार करें जो केवल क्वांटम सूचना प्रसारित करते हैं। यह वास्तव में एक क्वांटम ऑपरेशन है, जिसके गुणों का अब हम सारांश प्रस्तुत करते हैं।

होने देना $$H_A$$ और $$H_B$$ एक चैनल के क्रमशः भेजने और प्राप्त करने वाले सिरों के राज्य स्थान (परिमित-आयामी हिल्बर्ट स्थान) बनें। $$L(H_A)$$ पर संचालकों के परिवार को निरूपित करेगा $$H_A.$$ श्रोडिंगर चित्र में, एक विशुद्ध क्वांटम चैनल एक मानचित्र है $$ \Phi$$ घनत्व मैट्रिक्स के बीच कार्य करना $$H_A$$ और $$H_B$$ निम्नलिखित गुणों के साथ:


 * 1) जैसा कि क्वांटम यांत्रिकी के अभिधारणाओं द्वारा आवश्यक है, $$ \Phi$$ रैखिक होने की आवश्यकता है.
 * 2) चूंकि घनत्व मैट्रिक्स सकारात्मक हैं, $$ \Phi$$ सकारात्मक तत्वों के शंकु (रैखिक बीजगणित) को संरक्षित करना चाहिए। दूसरे शब्दों में, $$ \Phi$$ पूरी तरह से सकारात्मक मानचित्रों पर चोई का प्रमेय है।
 * 3) यदि मनमाना परिमित आयाम n का एक एंसीला (क्वांटम कंप्यूटिंग) सिस्टम से जुड़ा है, तो प्रेरित मानचित्र $$I_n \otimes \Phi,$$ जहां मैंn एंसीला पर पहचान मानचित्र है, वह भी सकारात्मक होना चाहिए। अतः यह आवश्यक है $$I_n \otimes \Phi$$ सभी n के लिए सकारात्मक है। ऐसे मानचित्र पूर्णतः सकारात्मक कहे जाते हैं।
 * 4) घनत्व मैट्रिक्स को ट्रेस 1 के लिए निर्दिष्ट किया गया है, इसलिए $$ \Phi$$ निशान को सुरक्षित रखना है.

मानचित्र का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले विशेषण पूरी तरह से सकारात्मक और ट्रेस संरक्षण को कभी-कभी संक्षिप्त रूप में सीपीटीपी कहा जाता है। साहित्य में, कभी-कभी चौथी संपत्ति को कमजोर कर दिया जाता है $$ \Phi$$ केवल ट्रेस-बढ़ाने की आवश्यकता नहीं है। इस आलेख में, यह माना जाएगा कि सभी चैनल सीपीटीपी हैं।

हाइजेनबर्ग चित्र
H पर कार्य करने वाले घनत्व मैट्रिक्सAकेवल H पर ऑपरेटरों का एक उचित उपसमूह बनता हैAऔर सिस्टम बी के लिए भी यही कहा जा सकता है। हालाँकि, एक बार एक रेखीय मानचित्र $$ \Phi$$ घनत्व मैट्रिक्स के बीच निर्दिष्ट किया गया है, एक मानक रैखिकता तर्क, परिमित-आयामी धारणा के साथ, हमें विस्तार करने की अनुमति देता है $$ \Phi$$ ऑपरेटरों के पूर्ण स्थान के लिए विशिष्ट रूप से। यह निकटवर्ती मानचित्र की ओर ले जाता है $$ \Phi^*$$, जो की क्रिया का वर्णन करता है $$ \Phi$$ हाइजेनबर्ग चित्र में:

ऑपरेटरों का स्थान L(HA) और एल(एचB) हिल्बर्ट-श्मिट ऑपरेटर|हिल्बर्ट-श्मिट आंतरिक उत्पाद के साथ हिल्बर्ट स्थान हैं। इसलिए, देख रहे हैं $$\Phi : L(H_A) \rightarrow L(H_B)$$ हिल्बर्ट स्थानों के बीच एक मानचित्र के रूप में, हम इसका जोड़ प्राप्त करते हैं $$ \Phi$$*द्वारा दिया गया


 * $$\langle A, \Phi(\rho) \rangle = \langle \Phi^*(A) , \rho \rangle .$$

जबकि $$ \Phi$$ A पर स्थित राज्यों को B पर स्थित राज्यों पर ले जाता है, $$ \Phi^*$$ सिस्टम बी पर अवलोकन योग्य वस्तुओं को ए पर अवलोकन योग्य वस्तुओं से मैप करता है। यह संबंध गतिशीलता के श्रोडिंगर और हाइजेनबर्ग विवरणों के बीच के समान है। माप के आँकड़े अपरिवर्तित रहते हैं चाहे राज्यों के संचालन के दौरान अवलोकन योग्य वस्तुओं को स्थिर माना जाए या इसके विपरीत।

इसे सीधे चेक किया जा सकता है कि क्या $$ \Phi$$ माना जाता है कि यह ट्रेस संरक्षण है, $$ \Phi^*$$ यूनिटल मानचित्र है, अर्थात,$$ \Phi^*(I) = I$$. भौतिक रूप से कहें तो, इसका मतलब यह है कि, हाइजेनबर्ग चित्र में, चैनल लागू करने के बाद देखने योग्य तुच्छ वस्तु तुच्छ ही रहती है।

शास्त्रीय जानकारी
अभी तक हमने केवल क्वांटम चैनल को परिभाषित किया है जो केवल क्वांटम सूचना प्रसारित करता है। जैसा कि परिचय में कहा गया है, किसी चैनल के इनपुट और आउटपुट में शास्त्रीय जानकारी भी शामिल हो सकती है। इसका वर्णन करने के लिए अब तक दिए गए सूत्रीकरण को कुछ हद तक सामान्यीकृत करने की आवश्यकता है। हाइजेनबर्ग चित्र में एक विशुद्ध क्वांटम चैनल, ऑपरेटरों के स्थानों के बीच एक रैखिक मानचित्र Ψ है:


 * $$\Psi : L(H_B) \rightarrow L(H_A)$$

यह एकात्मक और पूरी तरह से सकारात्मक (सीपी) है। ऑपरेटर रिक्त स्थान को परिमित-आयामी C*-बीजगणित के रूप में देखा जा सकता है। इसलिए, हम कह सकते हैं कि एक चैनल C*-बीजगणित के बीच एक इकाई सीपी मानचित्र है:


 * $$\Psi : \mathcal{B} \rightarrow \mathcal{A}.$$

फिर इस सूत्रीकरण में शास्त्रीय जानकारी को शामिल किया जा सकता है। एक शास्त्रीय प्रणाली के अवलोकनों को क्रमविनिमेय C*-बीजगणित माना जा सकता है, अर्थात निरंतर कार्यों का स्थान $$C(X)$$ किसी सेट पर $$X$$. हम यह मानते है कि $$X$$ इसलिए सीमित है $$C(X)$$ एन-डायमेंशनल यूक्लिडियन स्पेस से पहचाना जा सकता है $$\mathbb{R}^n$$ प्रविष्टि-वार गुणन के साथ।

इसलिए, हाइजेनबर्ग चित्र में, यदि शास्त्रीय जानकारी इनपुट का हिस्सा है, तो हम परिभाषित करेंगे $$\mathcal{B}$$ प्रासंगिक शास्त्रीय अवलोकनों को शामिल करने के लिए। इसका एक उदाहरण एक चैनल होगा


 * $$\Psi : L(H_B) \otimes C(X) \rightarrow L(H_A).$$

सूचना $$L(H_B) \otimes C(X)$$ अभी भी C*-बीजगणित है। तत्व $$a$$ C*-बीजगणित का $$\mathcal{A}$$ यदि सकारात्मक कहा जाता है $$a = x^{*} x$$ कुछ के लिए $$x$$. मानचित्र की सकारात्मकता तदनुसार परिभाषित की जाती है। यह लक्षण वर्णन सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत नहीं है; क्वांटम उपकरण को कभी-कभी क्वांटम और शास्त्रीय जानकारी दोनों को संप्रेषित करने के लिए सामान्यीकृत गणितीय ढांचे के रूप में दिया जाता है। क्वांटम यांत्रिकी के स्वयंसिद्धीकरण में, शास्त्रीय जानकारी को फ्रोबेनियस बीजगणित या फ्रोबेनियस श्रेणी में ले जाया जाता है।

राज्य
एक राज्य, जिसे अवलोकन योग्य वस्तुओं से उनके अपेक्षित मूल्यों के मानचित्रण के रूप में देखा जाता है, एक चैनल का एक तत्काल उदाहरण है।

समय विकास
विशुद्ध रूप से क्वांटम प्रणाली के लिए, समय विकास, निश्चित समय टी पर, द्वारा दिया जाता है


 * $$\rho \rightarrow U \rho \;U^*,$$

कहाँ $$U = e^{-iH t/\hbar}$$ और H हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) है और t समय है। स्पष्ट रूप से यह श्रोडिंगर चित्र में एक सीपीटीपी मानचित्र देता है और इसलिए यह एक चैनल है। हाइजेनबर्ग चित्र में दोहरा मानचित्र है


 * $$A \rightarrow U^* A U.$$

प्रतिबंध
राज्य स्थान के साथ एक समग्र क्वांटम प्रणाली पर विचार करें $$H_A \otimes H_B.$$ एक राज्य के लिए


 * $$\rho \in H_A \otimes H_B,$$

सिस्टम A, ρ पर ρ की कम अवस्थाA, B प्रणाली के संबंध में ρ का आंशिक ट्रेस लेकर प्राप्त किया जाता है:


 * $$ \rho ^A = \operatorname{Tr}_B \; \rho.$$

आंशिक ट्रेस ऑपरेशन एक सीपीटीपी मानचित्र है, इसलिए श्रोडिंगर चित्र में एक क्वांटम चैनल है। हाइजेनबर्ग चित्र में इस चैनल का दोहरा मानचित्र है


 * $$ A \rightarrow A \otimes I_B,$$

जहां ए सिस्टम ए का अवलोकन योग्य है।

अवलोकनीय
एक अवलोकनीय एक संख्यात्मक मान को जोड़ता है $$f_i \in \mathbb{C}$$ एक क्वांटम यांत्रिक प्रभाव के लिए $$F_i$$. $$F_i$$को उपयुक्त राज्य स्थान पर कार्य करने वाले सकारात्मक संचालक माना जाता है $\sum_i F_i = I$. (ऐसे संग्रह को POVM  कहा जाता है।) हाइजेनबर्ग चित्र में, संबंधित अवलोकन योग्य मानचित्र $$\Psi$$ एक शास्त्रीय अवलोकन योग्य मानचित्र


 * $$f = \begin{bmatrix} f_1 \\ \vdots \\ f_n \end{bmatrix} \in C(X)$$

क्वांटम मैकेनिकल एक के लिए


 * $$\; \Psi (f) = \sum_i f_i F_i.$$

दूसरे शब्दों में, क्वांटम मैकेनिकल अवलोकन योग्य प्राप्त करने के लिए एक नैमार्क का फैलाव प्रमेय। इसे आसानी से चेक किया जा सकता है $$\Psi$$ सीपी और यूनिटल है.

संबंधित श्रोडिंगर मानचित्र $$\Psi^*$$ घनत्व मैट्रिक्स को शास्त्रीय अवस्थाओं में ले जाता है:



\Psi (\rho) = \begin{bmatrix} \langle F_1, \rho \rangle \\ \vdots \\ \langle F_n, \rho \rangle \end{bmatrix}, $$ जहां आंतरिक उत्पाद हिल्बर्ट-श्मिट आंतरिक उत्पाद है। इसके अलावा, राज्यों को सामान्यीकृत घनत्व मैट्रिक्स#C*-राज्यों के बीजगणितीय सूत्रीकरण के रूप में देखना, और रिज़्ज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय को लागू करना, हम डाल सकते हैं



\Psi (\rho) = \begin{bmatrix} \rho (F_1) \\ \vdots \\ \rho (F_n) \end{bmatrix}. $$

साधन
श्रोडिंगर चित्र में अवलोकन योग्य मानचित्र में पूरी तरह से शास्त्रीय आउटपुट बीजगणित है और इसलिए केवल माप आंकड़ों का वर्णन किया गया है। स्थिति परिवर्तन को भी ध्यान में रखते हुए, हम परिभाषित करते हैं कि क्वांटम उपकरण क्या कहलाता है। होने देना $$\{ F_1, \dots, F_n \}$$ किसी अवलोकनीय से जुड़े प्रभाव (पीओवीएम) हों। श्रोडिंगर चित्र में, एक उपकरण एक मानचित्र है $$\Phi$$ शुद्ध क्वांटम इनपुट के साथ $$\rho \in L(H)$$ और आउटपुट स्पेस के साथ $$C(X) \otimes L(H)$$:



\Phi (\rho) = \begin{bmatrix} \rho(F_1) \cdot F_1 \\ \vdots \\ \rho(F_n) \cdot F_n \end{bmatrix}. $$ होने देना



f = \begin{bmatrix} f_1 \\ \vdots \\ f_n \end{bmatrix} \in C(X). $$ हाइजेनबर्ग चित्र में दोहरा मानचित्र है



\Psi (f \otimes A) = \begin{bmatrix} f_1 \Psi_1(A) \\ \vdots \\ f_n \Psi_n(A)\end{bmatrix} $$ कहाँ $$\Psi_i$$ निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित किया गया है: कारक $$F_i = M_i ^2$$ (यह हमेशा किया जा सकता है क्योंकि POVM के तत्व सकारात्मक होते हैं) तो $$\; \Psi_i (A) = M_i A M_i$$. हमने देखा कि $$\Psi$$ सीपी और यूनिटल है.

नोटिस जो $$\Psi (f \otimes I)$$ सटीक रूप से देखने योग्य मानचित्र देता है। वो नक्शा


 * $${\tilde \Psi}(A)= \sum_i \Psi_i (A) = \sum _i M_i A M_i$$

समग्र स्थिति परिवर्तन का वर्णन करता है।

चैनल मापें और तैयार करें
मान लीजिए कि दो पक्ष ए और बी निम्नलिखित तरीके से संवाद करना चाहते हैं: ए एक अवलोकन योग्य माप करता है और माप परिणाम को शास्त्रीय रूप से बी को बताता है। प्राप्त संदेश के अनुसार, बी एक विशिष्ट स्थिति में अपना (क्वांटम) सिस्टम तैयार करता है। श्रोडिंगर चित्र में, चैनल का पहला भाग $$ \Phi$$1 बस इसमें A माप लेना शामिल है, यानी यह देखने योग्य मानचित्र है:


 * $$\; \Phi_1 (\rho) = \begin{bmatrix} \rho(F_1) \\ \vdots \\ \rho(F_n)\end{bmatrix}.$$

यदि, i-वें माप परिणाम की स्थिति में, B राज्य R में अपना सिस्टम तैयार करता हैi, चैनल का दूसरा भाग $$ \Phi$$2 उपरोक्त शास्त्रीय अवस्था को घनत्व मैट्रिक्स में ले जाता है



\Phi_2 \left(\begin{bmatrix} \rho(F_1) \\ \vdots \\ \rho(F_n)\end{bmatrix}\right) = \sum _i \rho (F_i) R_i. $$ कुल संक्रिया ही रचना है


 * $$\Phi (\rho)= \Phi_2 \circ \Phi_1 (\rho) = \sum _i \rho (F_i) R_i.$$

इस रूप के चैनलों को माप-और-तैयार या अलेक्जेंडर होलेवो रूप में कहा जाता है।

हाइजेनबर्ग चित्र में, दोहरा मानचित्र $$\Phi^* = \Phi_1^* \circ \Phi_2 ^*$$ द्वारा परिभाषित किया गया है


 * $$\; \Phi^* (A) = \sum_i R_i(A) F_i.$$

माप-और-तैयार चैनल पहचान मानचित्र नहीं हो सकता। यह बिल्कुल कोई टेलीपोर्टेशन प्रमेय नहीं का कथन है, जो कहता है कि शास्त्रीय टेलीपोर्टेशन (क्वांटम टेलीपोर्टेशन के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। उलझाव-सहायता टेलीपोर्टेशन) असंभव है। दूसरे शब्दों में, क्वांटम स्थिति को विश्वसनीय रूप से नहीं मापा जा सकता है।

चैनल-स्टेट द्वंद्व में, एक चैनल को मापना और तैयार करना है यदि और केवल तभी जब संबंधित स्थिति अलग करने योग्य स्थिति हो। दरअसल, माप-और-तैयार चैनल की आंशिक कार्रवाई के परिणामस्वरूप उत्पन्न होने वाली सभी स्थितियां अलग-अलग होती हैं, और इस कारण से माप-और-तैयार चैनल को उलझाव-तोड़ने वाले चैनल के रूप में भी जाना जाता है।

शुद्ध चैनल
विशुद्ध रूप से क्वांटम चैनल के मामले पर विचार करें $$\Psi$$ हाइजेनबर्ग चित्र में. इस धारणा के साथ कि सब कुछ परिमित-आयामी है, $$\Psi$$ मैट्रिक्स के रिक्त स्थान के बीच एक यूनिटल सीपी मानचित्र है


 * $$\Psi : \mathbb{C}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{C}^{m \times m}.$$

पूरी तरह से सकारात्मक मानचित्रों पर चोई के प्रमेय के अनुसार, $$\Psi$$ फॉर्म लेना होगा


 * $$\Psi (A) = \sum_{i = 1}^N K_i A K_i^*$$

जहां एन ≤ एनएम. मैट्रिसेस केi के क्रूस संचालक कहलाते हैं $$\Psi$$ (जर्मन भौतिक विज्ञानी कार्ल क्रॉस (भौतिक विज्ञानी) के बाद, जिन्होंने उन्हें पेश किया)। क्रॉस ऑपरेटरों की न्यूनतम संख्या को क्रॉस रैंक कहा जाता है $$\Psi$$. क्रॉस रैंक 1 वाले चैनल को शुद्ध कहा जाता है। समय विकास शुद्ध चैनल का एक उदाहरण है। यह शब्दावली पुनः चैनल-राज्य द्वैत से आती है। एक चैनल तभी शुद्ध होता है जब उसकी दोहरी अवस्था शुद्ध अवस्था हो।

टेलीपोर्टेशन
क्वांटम टेलीपोर्टेशन में, एक प्रेषक एक कण की एक मनमानी क्वांटम स्थिति को संभवतः दूर के रिसीवर तक पहुंचाना चाहता है। नतीजतन, टेलीपोर्टेशन प्रक्रिया एक क्वांटम चैनल है। प्रक्रिया के लिए उपकरण को रिसीवर तक उलझे हुए राज्य के एक कण के संचरण के लिए एक क्वांटम चैनल की आवश्यकता होती है। टेलीपोर्टेशन भेजे गए कण और शेष उलझे हुए कण के संयुक्त माप से होता है। इस माप के परिणामस्वरूप शास्त्रीय जानकारी प्राप्त होती है जिसे टेलीपोर्टेशन पूरा करने के लिए रिसीवर को भेजा जाना चाहिए। महत्वपूर्ण बात यह है कि क्वांटम चैनल का अस्तित्व समाप्त होने के बाद शास्त्रीय जानकारी भेजी जा सकती है।

प्रायोगिक सेटिंग में
प्रयोगात्मक रूप से, क्वांटम चैनल का एक सरल कार्यान्वयन एकल फोटॉन का फाइबर ऑप्टिक (या उस मामले के लिए मुक्त-स्थान) संचरण है। नुकसान हावी होने से पहले एकल फोटॉन को मानक फाइबर ऑप्टिक्स में 100 किमी तक प्रसारित किया जा सकता है। क्वांटम क्रिप्टोग्राफी जैसे उद्देश्यों के लिए क्वांटम जानकारी को एनकोड करने के लिए फोटॉन के आगमन के समय (टाइम-बिन उलझाव) या ध्रुवीकरण (तरंगों) का उपयोग आधार के रूप में किया जाता है। चैनल न केवल आधार स्थितियों (जैसे |0>, |1>) को प्रसारित करने में सक्षम है, बल्कि उनके सुपरपोजिशन (जैसे |0>+|1>) को भी प्रसारित करने में सक्षम है। चैनल के माध्यम से संचरण के दौरान राज्य की क्वांटम सुसंगतता बनाए रखी जाती है। इसकी तुलना तारों (एक शास्त्रीय चैनल) के माध्यम से विद्युत दालों के संचरण से करें, जहां केवल शास्त्रीय जानकारी (जैसे 0s और 1s) भेजी जा सकती है।

एक चैनल का सीबी-मानदंड
चैनल क्षमता की परिभाषा देने से पहले, किसी चैनल की पूर्ण सीमा या सीबी-मानदंड के मानदंड की प्रारंभिक धारणा पर चर्चा की जानी चाहिए। किसी चैनल की क्षमता पर विचार करते समय $$\Phi$$, हमें इसकी तुलना एक आदर्श चैनल से करने की आवश्यकता है $$\Lambda$$. उदाहरण के लिए, जब इनपुट और आउटपुट बीजगणित समान हों, तो हम चुन सकते हैं $$\Lambda$$ पहचान मानचित्र होना. ऐसी तुलना के लिए चैनलों के बीच एक मीट्रिक (गणित) की आवश्यकता होती है। चूँकि एक चैनल को एक रैखिक ऑपरेटर के रूप में देखा जा सकता है, इसलिए प्राकृतिक ऑपरेटर मानदंड का उपयोग करना आकर्षक है। दूसरे शब्दों में, की निकटता $$\Phi$$ आदर्श चैनल के लिए $$\Lambda$$ द्वारा परिभाषित किया जा सकता है


 * $$\| \Phi - \Lambda \| = \sup \{ \| (\Phi - \Lambda)(A)\| \;|\;  \|A\| \leq 1 \}.$$

हालाँकि, जब हम टेंसर करते हैं तो ऑपरेटर मानदंड बढ़ सकता है $$\Phi$$ कुछ एंसीला पर पहचान मानचित्र के साथ।

ऑपरेटर मानदंड को और भी अधिक अवांछनीय उम्मीदवार बनाने के लिए, मात्रा


 * $$\| \Phi \otimes I_n \|$$

बिना किसी सीमा के बढ़ सकता है $$n \rightarrow \infty.$$ इसका समाधान किसी भी रेखीय मानचित्र के लिए परिचय देना है $$\Phi$$ C*-बीजगणित के बीच, सीबी-मानदंड


 * $$\| \Phi \|_{cb} = \sup _n \| \Phi \otimes I_n \|.$$

चैनल क्षमता की परिभाषा
यहां प्रयुक्त चैनल का गणितीय मॉडल चैनल क्षमता के समान है।

होने देना $$\Psi :\mathcal{B}_1 \rightarrow \mathcal{A}_1$$ हाइजेनबर्ग चित्र में एक चैनल बनें और $$\Psi_{id} : \mathcal{B}_2 \rightarrow \mathcal{A}_2$$ एक चुना हुआ आदर्श चैनल बनें। तुलना को संभव बनाने के लिए, उपयुक्त उपकरणों के माध्यम से Φ को एनकोड और डीकोड करने की आवश्यकता है, यानी हम संरचना पर विचार करते हैं


 * $${\hat \Psi} = D \circ \Phi \circ E : \mathcal{B}_2 \rightarrow \mathcal{A}_2 $$

जहां E एक एनकोडर है और D एक डिकोडर है। इस संदर्भ में, ई और डी उपयुक्त डोमेन वाले यूनिटल सीपी मानचित्र हैं। ब्याज की मात्रा सर्वोत्तम स्थिति है:


 * $$\Delta ({\hat \Psi}, \Psi_{id}) = \inf_{E,D} \| {\hat \Psi} - \Psi_{id} \|_{cb}$$

सभी संभावित एन्कोडर्स और डिकोडर्स पर न्यूनतम नियंत्रण के साथ।

लंबाई n के शब्दों को प्रसारित करने के लिए, आदर्श चैनल को n बार लागू किया जाना है, इसलिए हम टेंसर शक्ति पर विचार करते हैं


 * $$\Psi_{id}^{\otimes n} = \Psi_{id} \otimes \cdots \otimes \Psi_{id}.$$

$$\otimes$$ h> ऑपरेशन ऑपरेशन से गुजरने वाले n इनपुट का वर्णन करता है $$\Psi_{id}$$ स्वतंत्र रूप से और संघनन का क्वांटम यांत्रिक प्रतिरूप है। इसी प्रकार, चैनल का m मंगलाचरण मेल खाता है $${\hat \Psi} ^{\otimes m}$$.

मात्रा


 * $$\Delta ( {\hat \Psi}^{\otimes m}, \Psi_{id}^{\otimes n} )$$

इसलिए यह चैनल की लंबाई n के शब्दों को m बार बुलाए जाने पर ईमानदारी से प्रसारित करने की क्षमता का एक माप है।

इससे निम्नलिखित परिभाषा प्राप्त होती है:


 * एक गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्या r एक 'प्राप्त करने योग्य दर' है $$\Psi$$ इसके संबंध में $$\Psi_{id}$$अगर


 * सभी अनुक्रमों के लिए $$\{ n_{\alpha} \}, \{ m_{\alpha} \} \subset \mathbb{N}$$ कहाँ $$m_{\alpha}\rightarrow \infty$$ और $$\lim \sup _{\alpha} (n_{\alpha}/m_{\alpha}) < r$$, अपने पास


 * $$\lim_{\alpha} \Delta ( {\hat \Psi}^{\otimes m_{\alpha}}, \Psi_{id}^{\otimes n_{\alpha}} ) = 0.$$

एक क्रम $$\{ n_{\alpha} \}$$ संभवतः अनंत शब्दों से युक्त एक संदेश का प्रतिनिधित्व करने के रूप में देखा जा सकता है। परिभाषा में सीमा सर्वोच्च स्थिति कहती है कि, सीमा में, किसी शब्द की लंबाई के r गुना से अधिक चैनल का आह्वान करके वफादार प्रसारण प्राप्त किया जा सकता है। कोई यह भी कह सकता है कि r चैनल के प्रति मंगलाचरण में अक्षरों की संख्या है जिन्हें बिना किसी त्रुटि के भेजा जा सकता है।

'की चैनल क्षमता $$\Psi$$ इसके संबंध में $$\Psi_{id}$$, द्वारा चिह्नित $$\;C(\Psi, \Psi_{id})$$ सभी प्राप्य दरों में सर्वोच्च है।

परिभाषा के अनुसार, यह बिल्कुल सत्य है कि 0 किसी भी चैनल के लिए प्राप्त करने योग्य दर है।

महत्वपूर्ण उदाहरण
जैसा कि पहले कहा गया है, अवलोकन योग्य बीजगणित वाली प्रणाली के लिए $$\mathcal{B}$$, आदर्श चैनल $$\Psi_{id}$$ परिभाषा के अनुसार पहचान मानचित्र है $$I_{\mathcal{B}}$$. इस प्रकार विशुद्ध रूप से एन आयामी क्वांटम प्रणाली के लिए, आदर्श चैनल एन × एन मैट्रिक्स के स्थान पर पहचान मानचित्र है $$\mathbb{C}^{n \times n}$$. संकेतन के थोड़े दुरुपयोग के रूप में, इस आदर्श क्वांटम चैनल को भी निरूपित किया जाएगा $$\mathbb{C}^{n \times n}$$. इसी प्रकार, आउटपुट बीजगणित के साथ एक शास्त्रीय प्रणाली $$\mathbb{C}^m$$ एक ही प्रतीक द्वारा दर्शाया गया एक आदर्श चैनल होगा। अब हम कुछ मूलभूत चैनल क्षमताएं बता सकते हैं।

शास्त्रीय आदर्श चैनल की चैनल क्षमता $$\mathbb{C}^m$$ क्वांटम आदर्श चैनल के संबंध में $$\mathbb{C}^{n \times n}$$ है


 * $$C(\mathbb{C}^m, \mathbb{C}^{n \times n}) = 0.$$

यह नो-टेलीपोर्टेशन प्रमेय के बराबर है: शास्त्रीय चैनल के माध्यम से क्वांटम जानकारी प्रसारित करना असंभव है।

इसके अलावा, निम्नलिखित समानताएँ कायम हैं:



C(\mathbb{C}^m, \mathbb{C}^n) = C(\mathbb{C}^{m \times m}, \mathbb{C}^{n \times n}) = C( \mathbb{C}^{m \times m}, \mathbb{C}^{n} ) = \frac{\log n}{\log m}. $$ उदाहरण के लिए, ऊपर कहा गया है, एक आदर्श क्वांटम चैनल एक आदर्श शास्त्रीय चैनल की तुलना में शास्त्रीय जानकारी प्रसारित करने में अधिक कुशल नहीं है। जब n = m, तो सबसे अच्छा व्यक्ति एक बिट प्रति क्यूबिट प्राप्त कर सकता है।

यहां यह नोट करना प्रासंगिक है कि क्षमताओं पर उपरोक्त दोनों सीमाएं क्वांटम उलझाव की सहायता से तोड़ी जा सकती हैं। क्वांटम टेलीपोर्टेशन|एंटेंगलमेंट-असिस्टेड टेलीपोर्टेशन योजना किसी को शास्त्रीय चैनल का उपयोग करके क्वांटम जानकारी प्रसारित करने की अनुमति देती है। सुपरडेंस कोडिंग. प्रति क्वाइट दो बिट प्राप्त करता है। ये परिणाम क्वांटम संचार में उलझाव द्वारा निभाई गई महत्वपूर्ण भूमिका का संकेत देते हैं।

शास्त्रीय और क्वांटम चैनल क्षमता
पिछले उपधारा के समान संकेतन का उपयोग करते हुए, एक चैनल की शास्त्रीय क्षमता Ψ है


 * $$C(\Psi, \mathbb{C}^2),$$

अर्थात्, यह शास्त्रीय वन-बिट सिस्टम पर आदर्श चैनल के संबंध में Ψ की क्षमता है $$\mathbb{C}^2$$.

इसी प्रकार Ψ की क्वांटम क्षमता है


 * $$C(\Psi, \mathbb{C}^{2 \times 2}),$$

जहां संदर्भ प्रणाली अब वन क्विट प्रणाली है $$\mathbb{C}^{2 \times 2}$$.

चैनल निष्ठा
एक क्वांटम चैनल सूचना को कितनी अच्छी तरह संरक्षित करता है इसका एक और माप चैनल निष्ठा कहा जाता है, और यह क्वांटम राज्यों की निष्ठा से उत्पन्न होता है।

बिस्टोकैस्टिक क्वांटम चैनल
एक बिस्टोकैस्टिक क्वांटम चैनल एक क्वांटम चैनल है $$\Phi(\rho)$$ जो इकाई मानचित्र है, अर्थात। $$\Phi(I) = I$$.

यह भी देखें

 * नो-कम्युनिकेशन प्रमेय
 * आयाम अवमंदन चैनल

संदर्भ

 * M. Keyl and R. F. Werner, How to Correct Small Quantum Errors, Lecture Notes in Physics Volume 611, Springer, 2002.