स्थिर-क्रिया सिद्धांत

स्थिर-क्रिया सिद्धांत - जिसे कम से कम क्रिया के सिद्धांत के रूप में भी जाना जाता है - एक भिन्नता सिद्धांत है, जब एक यांत्रिकी प्रणाली के कार्य (भौतिकी) पर लागू किया जाता है, उस प्रणाली के लिए गति के समीकरण उत्पन्न करता है। सिद्धांत बताता है कि प्रक्षेपवक्र (अर्थात गति के समीकरणों के समाधान) सिस्टम के एक्शन फंक्शनल के स्टेशनरी पॉइंट हैं। कम से कम क्रिया शब्द एक ऐतिहासिक मिथ्या नाम है क्योंकि सिद्धांत की कोई न्यूनतम आवश्यकता नहीं है: प्रक्षेपवक्र पर क्रिया कार्यात्मक आवश्यकता का मूल्य न्यूनतम (स्थानीय रूप से भी) नहीं होना चाहिए। इस सिद्धांत का उपयोग न्यूटोनियन यांत्रिकी, लैग्रैंगियन यांत्रिकी और गति के हैमिल्टनियन यांत्रिकी समीकरणों और यहां तक ​​कि सामान्य सापेक्षता (आइंस्टीन-हिल्बर्ट क्रिया देखें) को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। सापेक्षता में, एक अलग क्रिया को न्यूनतम या अधिकतम किया जाना चाहिए।

शास्त्रीय यांत्रिकी और विद्युत चुम्बकीय अभिव्यक्तियाँ क्वांटम यांत्रिकी का परिणाम हैं। स्थिर क्रिया पद्धति ने क्वांटम यांत्रिकी के विकास में मदद की। 1933 में, भौतिक विज्ञानी पॉल डिराक ने प्रदर्शित किया कि कैसे इस सिद्धांत का उपयोग क्वांटम गणनाओं में किया जा सकता है, जिसमें पाथ इंटीग्रल फॉर्मूलेशन#इंटरफेरेंस (वेव प्रोपेगेशन)#क्वांटम इंटरफेरेंस ऑफ एम्पलीट्यूड में सिद्धांत का क्वांटम एक्शन सिद्धांत शामिल है। इसके बाद जूलियन श्विंगर और रिचर्ड फेनमैन ने स्वतंत्र रूप से क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स में इस सिद्धांत को लागू किया। सिद्धांत आधुनिक भौतिकी और गणित में केंद्रीय रहता है, ऊष्मप्रवैगिकी में लागू किया जा रहा है, द्रव यांत्रिकी, सापेक्षता का सिद्धांत, क्वांटम यांत्रिकी, कण भौतिकी, और स्ट्रिंग सिद्धांत और मोर्स थ्योरी में आधुनिक गणितीय जांच का फोकस है। माउपर्टुइस का सिद्धांत और हैमिल्टन का सिद्धांत स्थिर क्रिया के सिद्धांत का उदाहरण देते हैं।

क्रिया सिद्धांत प्रकाशिकी में पहले के विचारों से पहले है। प्राचीन ग्रीस में, यूक्लिड ने अपने कैटोप्ट्रिका में लिखा था कि, एक दर्पण से परावर्तित प्रकाश के पथ के लिए, आपतन कोण (ऑप्टिक्स) परावर्तन के कोण के बराबर होता है। अलेक्जेंड्रिया के हीरो ने बाद में दिखाया कि यह रास्ता सबसे कम लंबाई और सबसे कम समय का था। विद्वान अक्सर कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत को तैयार करने के लिए पियरे लुइस मौपर्टुइस को श्रेय देते हैं क्योंकि उन्होंने इसके बारे में 1744 में लिखा था और 1746। हालांकि, लियोनहार्ड यूलर ने 1744 में इस सिद्धांत पर चर्चा की, और सबूत बताते हैं कि गॉटफ्रीड लीबनिज दोनों से 39 साल पहले थे।

सामान्य कथन
क्रिया (भौतिकी), निरूपित $$ \mathcal{S} $$, एक भौतिक प्रणाली को भौतिक विज्ञान में समय के दो क्षणों के बीच Lagrangian यांत्रिकी L के अभिन्न (गणित) के रूप में परिभाषित किया गया है $t_{1}$ और $t_{2}$ - तकनीकी रूप से एक कार्यात्मक (गणित)। $N$ सामान्यीकृत निर्देशांक $q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{N})$ जो समय के कार्य हैं और सिस्टम के विन्यास स्थान (भौतिकी) को परिभाषित करते हैं:

$$ \mathbf{q} : \mathbf{R} \to \mathbf{R}^N $$ $$ \mathcal{S}[\mathbf{q}, t_1, t_2] = \int_{t_1}^{t_2} L(\mathbf{q}(t),\mathbf{\dot{q}}(t), t) dt $$ जहां बिंदु व्युत्पन्न समय को दर्शाता है, और $t$ समय है।

गणितीय सिद्धांत है $$ \delta \mathcal{S} = 0 ,$$ जहां δ (लोअरकेस ग्रीक डेल्टा (अक्षर)) का अर्थ एक छोटा परिवर्तन है। शब्दों में यह पढ़ता है:

कम से कम कार्रवाई के ऐतिहासिक नाम के बावजूद स्थिर कार्रवाई हमेशा न्यूनतम नहीं होती है। पथ में पर्याप्त रूप से छोटे, परिमित खंडों के लिए यह एक न्यूनतम सिद्धांत है। अनुप्रयोगों में बयान और कार्रवाई की परिभाषा एक साथ ली जाती है: $$ \delta \int_{t_1}^{t_2} L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}},t) dt = 0 .$$ कार्रवाई और Lagrangian दोनों में हमेशा के लिए सिस्टम की गतिशीलता होती है। टर्म पाथ केवल कॉन्फ़िगरेशन स्पेस (भौतिकी) में निर्देशांक के संदर्भ में सिस्टम द्वारा पता लगाए गए एक वक्र को संदर्भित करता है, अर्थात वक्र $t_{1}$, समय के अनुसार पैरामीट्रिक (इस अवधारणा के लिए पैरामीट्रिक समीकरण भी देखें)।

फर्मेट
1600 के दशक में, पियरे डी फर्मेट ने कहा कि प्रकाश कम से कम समय के पथ के साथ दो दिए गए बिंदुओं के बीच यात्रा करता है, जिसे 'न्यूनतम समय का सिद्धांत' या 'फर्मेट का सिद्धांत' के रूप में जाना जाता है।

मौपर्टुइस
कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत के निर्माण का श्रेय आमतौर पर पियरे लुइस मौपर्टियस को दिया जाता है, जिन्होंने महसूस किया कि प्रकृति अपने सभी कार्यों में मितव्ययी है, और सिद्धांत को मोटे तौर पर लागू किया:

"The laws of movement and of rest deduced from this principle being precisely the same as those observed in nature, we can admire the application of it to all phenomena. The movement of animals, the vegetative growth of plants ... are only its consequences; and the spectacle of the universe becomes so much the grander, so much more beautiful, the worthier of its Author, when one knows that a small number of laws, most wisely established, suffice for all movements."

- Pierre Louis Maupertuis

माउपर्टुइस की यह धारणा, हालांकि आज कुछ हद तक नियतात्मक है, यांत्रिकी के अधिकांश सार को ग्रहण करती है।

भौतिक विज्ञान के लिए आवेदन में, मूपर्टुइस ने सुझाव दिया कि मात्रा को कम किया जाना विवा द्वारा एक प्रणाली के भीतर आंदोलन की अवधि (समय) का उत्पाद था,

जो दो बार का अभिन्न अंग है जिसे अब हम प्रणाली की गतिज ऊर्जा T कहते हैं।

यूलर
लिओनहार्ड यूलर ने 1744 में, बहुत पहचानने योग्य शब्दों में, परिशिष्ट 2 में अपने मेथोडस इनवेनिएंडी कर्वा लाइन्स एन्जॉयइंग द मैक्सिमी मिनिव प्रोप्राइटेट में क्रिया सिद्धांत का सूत्रीकरण दिया। दूसरे पैराग्राफ से शुरुआत:

Let the mass of the projectile be M, and let its speed be v while being moved over an infinitesimal distance ds. The body will have a momentum Mv that, when multiplied by the distance ds, will give Mv ds, the momentum of the body integrated over the distance ds. Now I assert that the curve thus described by the body to be the curve (from among all other curves connecting the same endpoints) that minimizes $\int Mv\,ds$ or, provided that M is constant along the path, $M\int v\,ds.$ जैसा कि यूलर कहते हैं, $t_{2}$ तय की गई दूरी पर संवेग का अभिन्न अंग है, जो आधुनिक संकेतन में, संक्षिप्त या घटी हुई क्रिया के बराबर है

इस प्रकार, यूलर ने मौपर्टुइस के रूप में एक ही वर्ष में परिवर्तनशील सिद्धांत का एक समकक्ष और (जाहिरा तौर पर) स्वतंत्र बयान दिया, हालांकि थोड़ा बाद में। अजीब तरह से, यूलर ने किसी भी प्राथमिकता का दावा नहीं किया, जैसा कि निम्नलिखित प्रकरण दिखाता है।

विवादित प्राथमिकता
1751 में गणितज्ञ सैमुएल कोनिग द्वारा माउपर्टुइस की प्राथमिकता पर विवाद किया गया था, जिन्होंने दावा किया था कि इसका आविष्कार 1707 में गॉटफ्राइड लीबनिज द्वारा किया गया था। हालांकि लीबनिज के कई तर्कों के समान, स्वयं सिद्धांत को लीबनिज के कार्यों में प्रलेखित नहीं किया गया है। कोनिग ने खुद लीबनिज से जैकब हर्मन (गणितज्ञ) को सिद्धांत के साथ 1707 पत्र की एक प्रति दिखाई, लेकिन मूल पत्र खो गया है। विवादास्पद कार्यवाही में, कोनिग पर जालसाजी का आरोप लगाया गया, और यहां तक ​​कि फ्रेडरिक द ग्रेट ने मौपर्टुइस (उनकी अकादमी के प्रमुख) का बचाव करते हुए बहस में प्रवेश किया, जबकि वोल्टेयर ने कोनिग का बचाव किया। यूलर, प्राथमिकता का दावा करने के बजाय, मौपर्टुइस का एक कट्टर रक्षक था, और यूलर ने खुद 13 अप्रैल 1752 को बर्लिन अकादमी के सामने कोनिग पर जालसाजी का मुकदमा चलाया। जालसाजी के दावों की 150 साल बाद फिर से जांच की गई और सी.आई. द्वारा अभिलेखीय कार्य किया गया। 1898 में जेरहार्ट और 1913 में डब्ल्यू कबित्ज़ बर्नौली परिवार के अभिलेखागार में पत्र की अन्य प्रतियां, और कोनिग द्वारा उद्धृत तीन अन्य का खुलासा किया।

आगे का विकास
यूलर ने इस विषय पर लिखना जारी रखा; अपने रिफ्लेक्शंस सुर क्वेल्क्स लोइक्स जेनरालेस डे ला नेचर (1748) में, उन्होंने कार्रवाई प्रयास कहा। उनकी अभिव्यक्ति आधुनिक संभावित ऊर्जा से मेल खाती है, और कम से कम कार्रवाई के उनके बयान में कहा गया है कि आराम पर निकायों की एक प्रणाली की कुल संभावित ऊर्जा कम हो जाती है, जो आधुनिक स्थैतिकी का सिद्धांत है।

लैग्रेंज और हैमिल्टन
1760 में जोसफ-लुई लाग्रेंज द्वारा भिन्नताओं की अधिकांश गणनाएं बताई गई थीं और उन्होंने इसे गतिकी की समस्याओं पर लागू करना जारी रखा। मेकैनिक एनालिटिक (1788) में लाग्रेंज ने एक यांत्रिक निकाय की गति के सामान्य लैग्रैंगियन समीकरणों को व्युत्पन्न किया। 1834 और 1835 में विलियम रोवन हैमिल्टन शास्त्रीय Lagrangian यांत्रिकी समारोह (गणित) के लिए भिन्नता सिद्धांत लागू किया $$L = T - V$$ यूलर-लैग्रेंज समीकरणों को उनके वर्तमान रूप में प्राप्त करने के लिए।

जैकोबी, मोर्स और कैराथियोडोरी
1842 में, कार्ल गुस्ताव जैकोबी ने इस समस्या का समाधान निकाला कि क्या परिवर्तनशील सिद्धांत हमेशा अन्य स्थिर बिंदुओं (मैक्सिमा या स्थिर काठी बिंदुओं) के विपरीत मिनीमा पाता है; उनका अधिकांश कार्य द्वि-आयामी सतहों पर भू-भौतिकी पर केंद्रित था। पहला स्पष्ट सामान्य कथन 1920 और 1930 के दशक में मारस्टन मोर्स द्वारा दिया गया था, जिसे अब मोर्स सिद्धांत के रूप में जाना जाता है। उदाहरण के लिए, मोर्स ने दिखाया कि एक प्रक्षेपवक्र में संयुग्मित बिंदुओं की संख्या लैग्रैंगियन की दूसरी भिन्नता में नकारात्मक eigenvalues ​​​​की संख्या के बराबर है। यूलर-लैग्रेंज समीकरण की एक विशेष रूप से सुरुचिपूर्ण व्युत्पत्ति कॉन्स्टेंटिन कैराथियोडोरी द्वारा तैयार की गई थी और 1935 में उनके द्वारा प्रकाशित की गई थी।

गॉस और हर्ट्ज
शास्त्रीय यांत्रिकी के अन्य चरम सिद्धांतों को तैयार किया गया है, जैसे कि गॉस का कम से कम बाधा का सिद्धांत और इसका परिणाम, हर्ट्ज़ का कम से कम वक्रता का सिद्धांत।

संभावित टेलिऑलॉजिकल पहलुओं के बारे में विवाद
गति के अवकल समीकरण समीकरणों की गणितीय तुल्यता और उनका समाकल समीकरण समकक्ष के महत्वपूर्ण दार्शनिक निहितार्थ हैं। अंतर समीकरण अंतरिक्ष में एक बिंदु या समय के एक क्षण के लिए स्थानीयकृत मात्राओं के बारे में कथन हैं। उदाहरण के लिए, न्यूटन के गति के नियम|न्यूटन का दूसरा नियम $$\mathbf{F} = m\mathbf{a}$$ बताता है कि किसी द्रव्यमान m पर लगाया गया तात्क्षणिक बल 'F' उसी क्षण त्वरण 'a' उत्पन्न करता है। इसके विपरीत, क्रिया सिद्धांत एक बिंदु पर स्थानीयकृत नहीं है; बल्कि, इसमें समय के एक अंतराल और (क्षेत्रों के लिए) अंतरिक्ष के एक विस्तारित क्षेत्र में समाकल शामिल हैं। इसके अलावा, शास्त्रीय भौतिकी क्रिया सिद्धांतों के सामान्य सूत्रीकरण में, प्रणाली की प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाएँ निश्चित होती हैं, उदाहरण के लिए,

विशेष रूप से, अंतिम स्थिति के निर्धारण की व्याख्या कार्रवाई सिद्धांत को एक उद्देश्य देने के रूप में की गई है जो ऐतिहासिक रूप से विवादास्पद रहा है। हालांकि, डब्ल्यू. योरग्राउ और एस. मैंडेलस्टम के अनुसार, टेलीऑलॉजिकल दृष्टिकोण... यह मानता है कि परिवर्तनात्मक सिद्धांतों में स्वयं गणितीय विशेषताएँ होती हैं जो वास्तव में उनके पास नहीं होती हैं। इसके अलावा, कुछ आलोचकों का कहना है कि जिस तरह से सवाल पूछा गया था, उसके कारण यह स्पष्ट टेलीोलॉजी उत्पन्न होती है। प्रारंभिक और अंतिम दोनों स्थितियों (स्थितियां लेकिन वेग नहीं) के कुछ लेकिन सभी पहलुओं को निर्दिष्ट करके हम अंतिम स्थितियों से प्रारंभिक स्थितियों के बारे में कुछ अनुमान लगा रहे हैं, और यह पिछड़ा अनुमान है जिसे टेलीलॉजिकल स्पष्टीकरण के रूप में देखा जा सकता है. अगर हम शास्त्रीय वर्णन को पाथ इंटीग्रल फॉर्मूलेशन के क्वांटम यांत्रिकी औपचारिकता के एक सीमित मामले के रूप में मानते हैं, तो दूरदर्शिता पर भी काबू पाया जा सकता है, जिसमें सभी संभावित रास्तों के साथ एम्पलीट्यूड के हस्तक्षेप के परिणामस्वरूप स्थिर पथ प्राप्त होते हैं।

सट्टा कथा लेखक टेड चियांग द्वारा लघु कहानी स्टोरी ऑफ योर लाइफ में फ़र्मेट के सिद्धांत के दृश्य चित्रण के साथ-साथ इसके दूरसंचार आयाम की चर्चा भी शामिल है। कीथ डिवालिन की द मैथ इंस्टिंक्ट में एक अध्याय शामिल है, एल्विस द वेल्श कॉर्गी हू कैन डू कैलकुलस जो कुछ जानवरों में निहित कैलकुलस पर चर्चा करता है क्योंकि वे वास्तविक स्थितियों में कम से कम समय की समस्या को हल करते हैं।

यह भी देखें

 * क्रिया (भौतिकी)
 * पथ अभिन्न सूत्रीकरण
 * श्विंगर का क्वांटम एक्शन सिद्धांत
 * कम से कम प्रतिरोध का रास्ता
 * विश्लेषणात्मक यांत्रिकी
 * विविधताओं की गणना
 * हैमिल्टनियन यांत्रिकी
 * Lagrangian यांत्रिकी
 * ओकाम का उस्तरा

बाहरी कड़ियाँ

 * Interactive explanation of the principle of least action
 * Interactive applet to construct trajectories using principle of least action
 * The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 19: The Principle of Least Action
 * The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 19: The Principle of Least Action
 * The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 19: The Principle of Least Action
 * The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 19: The Principle of Least Action

Prinzip der kleinsten Wirkung Principi i Hamiltonit