सापेक्ष परिवर्तन और अंतर

किसी भी परिमाणात्मक विज्ञान में, सापेक्ष परिवर्तन और सापेक्ष अंतर शब्दों का उपयोग दो मात्राओं की तुलना करने के लिए किया जाता है, जबकि तुलना की जा रही चीजों के आकार को ध्यान में रखते हुए, अर्थात एक मानक या संदर्भ  या प्रारंभिक मान द्वारा विभाजित किया जाता है। तुलना को अनुपात के रूप में व्यक्त किया जाता है और यह एक इकाई रहित संख्या है। इन अनुपातों को 100 से गुणा करके उन्हें प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जा सकता है इसलिए प्रतिशत परिवर्तन, प्रतिशत (आयु) अंतर, या सापेक्ष प्रतिशत अंतर भी सामान्यतः उपयोग किए जाते हैं। शब्द परिवर्तन और अंतर का परस्पर उपयोग किया जाता है। सापेक्ष परिवर्तन का उपयोग अधिकांश गुणवत्ता आश्वासन और बार-बार माप के लिए गुणवत्ता नियंत्रण के मात्रात्मक संकेतक के रूप में किया जाता है जहां परिणाम समान होने की उम्मीद होती है। प्रतिशत परिवर्तन का एक विशेष स्थिति (सापेक्ष परिवर्तन प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया गया) प्रतिशत त्रुटि कहा जाता है, उन स्थितियों को मापने में होता है जहां संदर्भ मान स्वीकृत या वास्तविक मान (संभवतः सैद्धांतिक रूप से निर्धारित) होता है और इसकी तुलना में मान प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित (माप द्वारा) होता है।

सापेक्ष परिवर्तन सूत्र कई परिस्थितियों में अच्छा व्यवहार नहीं करता है और साहित्य में सापेक्ष अंतर के संकेतक कहे जाने वाले विभिन्न वैकल्पिक सूत्र प्रस्तावित किए गए हैं। कई लेखकों ने लॉग परिवर्तन और 'लॉग पॉइंट्स ' को संतोषजनक संकेतक पाया है, किन्तु इनका व्यापक उपयोग नहीं देखा गया है।

परिभाषा
दो संख्यात्मक मात्राएँ, x और y, y के साथ एक संदर्भ मान (एक सैद्धांतिक/वास्तविक/सही/स्वीकृत/इष्टतम/प्रारंभिक, आदि मान), उनका वास्तविक परिवर्तन, वास्तविक अंतर, या पूर्ण परिवर्तन Δ = x − y दिया गया है। निरपेक्ष अंतर शब्द का प्रयोग कभी-कभी तब भी किया जाता है जब निरपेक्ष मान नहीं लिया जाता है; Δ का चिह्न सामान्यतः एकसमान होता है, उदा. एक बढ़ती हुई डेटा श्रृंखला में। यदि संदर्भ मान के संबंध में मान का संबंध (अर्थात्, बड़ा या छोटा) किसी विशेष अनुप्रयोग में मायने नहीं रखता है, तो उपरोक्त सूत्र में वास्तविक परिवर्तन के स्थान पर पूर्ण मान का उपयोग किया जा सकता है जिससे मान का उत्पादन किया जा सके। सापेक्ष परिवर्तन जो हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है। वास्तविक अंतर सामान्यतः संख्याओं की तुलना करने का एक अच्छी विधि नहीं है, क्योंकि यह माप की इकाई पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, 1 मीटर 100 सेंटीमीटर के बराबर है, किन्तु 2 मीटर और 1 मीटर के बीच का पूर्ण अंतर 1 है, जबकि 200 सेमी और 100 सेमी के बीच का पूर्ण अंतर 100 है, जो एक बड़े अंतर का आभास देता है। xreference के धनात्मक मानों को परिभाषित करके, सम्मिलित मात्राओं के आकार को ध्यान में रखते हुए हम तुलना को समायोजित कर सकते हैं:

$$ \text{Relative change}(x, x_\text{reference}) = \frac{\text{Actual change}}{x_\text{reference}} = \frac{\Delta}{x_\text{reference}} = \frac{x - x_\text{reference}}{x_\text{reference}}.$$ सापेक्ष परिवर्तन नियोजित माप की इकाई से स्वतंत्र है; उदाहरण के लिए 2 मीटर से 1 मीटर में सापेक्ष परिवर्तन -50% वही है जो 200 सेमी से 100 सेमी के लिए है। यदि संदर्भ मान (xreference) शून्य है, और सकारात्मक वृद्धि के लिए ऋणात्मक मान देता है यदि xreference ऋणात्मक है, इसलिए इसे सामान्यतः ऋणात्मक संदर्भ मानों के लिए भी परिभाषित नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए, हम -10 डिग्री सेल्सियस से -6 डिग्री सेल्सियस तक थर्मामीटर के सापेक्ष परिवर्तन की गणना करना चाह सकते हैं। उपरोक्त सूत्र देता है ((−6) − (−10)) / (−10) = 4 / −10 = −0.4 कमी दर्शाता है, फिर भी वास्तविक में पढ़ने में वृद्धि हुई है।

सापेक्ष अंतर के उपाय एक अंश (गणित) के रूप में व्यक्त की जाने वाली इकाई रहित संख्याएँ हैं। इन मानों को 100 से गुणा करके (और% चिह्न जोड़कर यह निरुपित करने के लिए कि मान एक प्रतिशत है) प्रतिशत अंतर के संगत मान प्राप्त होते हैं।

डोमेन
धनात्मक संख्याओं के सापेक्ष परिवर्तन का डोमेन प्रतिबंध अधिकांश बाधा उत्पन्न करता है। इस समस्या से बचने के लिए निरपेक्ष मान लेना सामान्य है, जिससे सापेक्ष परिवर्तन सूत्र xreference के सभी अशून्य मानों के लिए सही विधि से काम करे:

$$ \text{Relative change}(x, x_\text{reference}) = \frac{\text{Actual change}}{|x_\text{reference}|} = \frac{\Delta}{|x_\text{reference}|} = \frac{x - x_\text{reference}}{|x_\text{reference}|}.$$ संदर्भ शून्य होने पर भी यह समस्या का समाधान नहीं करता है। इसके अतिरिक्त सापेक्ष अंतर के संकेतक का उपयोग करना और $$x$$ और $$x_\text{reference}$$ दोनों के पूर्ण मानों को लेना सामान्य बात है। तब एकमात्र समस्याग्रस्त स्थिति $$x=x_\text{reference}=0$$ है, जिसे सामान्यतः संकेतक को उचित रूप से विस्तारित करके संबोधित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, अंकगणितीय माध्य के लिए इस सूत्र का उपयोग किया जा सकता है: $$d_r=\frac{\big||x|-|y|\big|}{\left(\frac{|x|+|y|}{2}\right)}, d_r(0,0)=0$$

प्रतिशत त्रुटि
प्रतिशत त्रुटि प्रयोगात्मक (मापा) और सैद्धांतिक (स्वीकृत) मानों के बीच पूर्ण परिवर्तन से गणना की गई सापेक्ष परिवर्तन के प्रतिशत रूप का एक विशेष स्थिति है, और सैद्धांतिक (स्वीकृत) मान से विभाजित है।

$$\%\text{ Error} = \frac{|\text{Experimental}-\text{Theoretical}|}{|\text{Theoretical}|}\times 100.$$उपर्युक्त समीकरण में प्रयोग किए गए प्रायोगिक और सैद्धांतिक शब्दों को सामान्यतः समान शब्दों से बदल दिया जाता है। प्रायोगिक के लिए उपयोग किए जाने वाले अन्य शब्द माप, गणना, या वास्तविक हो सकते हैं और सैद्धांतिक के लिए उपयोग किया जाने वाला दूसरा शब्द स्वीकार है। प्रायोगिक मान वह है जो गणना और/या माप के उपयोग से प्राप्त किया गया है और सैद्धांतिक मान के विरुद्ध इसकी शुद्धता का परीक्षण किया जा रहा है, एक मान जिसे वैज्ञानिक समुदाय द्वारा स्वीकार किया जाता है या एक मान जिसे एक सफल परिणाम के लिए एक लक्ष्य के रूप में देखा जा सकता है। चूँकि कुछ स्थितियों में प्रतिशत त्रुटि पर चर्चा करते समय सापेक्ष परिवर्तन के निरपेक्ष मान संस्करण का उपयोग करना सामान्य बात है, किन्तु, परिणाम के बारे में अधिक जानकारी प्रदान करने के लिए निरपेक्ष मान निकालना लाभदायक हो सकता है। इस प्रकार, यदि एक प्रायोगिक मान सैद्धांतिक मान से कम है, तो प्रतिशत त्रुटि ऋणात्मक होगी। यह ऋणात्मक परिणाम प्रायोगिक परिणाम के बारे में अतिरिक्त जानकारी प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, प्रयोगात्मक रूप से प्रकाश की गति की गणना करना और ऋणात्मक प्रतिशत त्रुटि के साथ आने का कहना है कि प्रायोगिक मान एक वेग है जो प्रकाश की गति से कम है। यह एक सकारात्मक प्रतिशत त्रुटि प्राप्त करने से एक बड़ा अंतर है, जिसका अर्थ है कि प्रायोगिक मान एक वेग है जो प्रकाश की गति (सापेक्षता के सिद्धांत का उल्लंघन) से अधिक है और एक नया परिणाम है।

प्रतिशत त्रुटि समीकरण, जब निरपेक्ष मानों को हटाकर फिर से लिखा जाता है, बन जाता है: $$\%\text{ Error} = \frac{\text{Experimental}-\text{Theoretical}}{|\text{Theoretical}|}\times100.$$ यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि अंश में दो मान क्रम विनिमेय नहीं हैं। इसलिए, उपरोक्त क्रम को बनाए रखना महत्वपूर्ण है: सैद्धांतिक मान को प्रयोगात्मक मान से घटाएं और इसके विपरीत नहीं होता है।

प्रतिशत परिवर्तन
प्रतिशत परिवर्तन एक चर में परिवर्तन को व्यक्त करने का एक विधि है। यह पुराने मान और नए के बीच सापेक्ष परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है।

उदाहरण के लिए, यदि एक घर का मूल्य आज 100,000 डॉलर है और इसके मान के 110,000 डॉलर तक पहुंचने के एक साल बाद, इसके मान का प्रतिशत परिवर्तन इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$ \frac{110000-100000}{100000} = 0.1 = 10\%.$$ तब यह कहा जा सकता है कि घर के मूल्य में 10% की वृद्धि हुई है।

अधिक सामान्यतः, यदि V1 पुराने मान का प्रतिनिधित्व करता है और V2 नया वाला, $$\text{Percentage change} = \frac{\Delta V}{V_1} = \frac{V_2 - V_1}{V_1} \times100\% .$$ कुछ कैलकुलेटर सीधे %CH या Δ% फलन के माध्यम से इसका समर्थन करते हैं।

जब प्रश्न में चर एक प्रतिशत ही है, तो सापेक्ष अंतर और पूर्ण अंतर के बीच भ्रम से बचने के लिए प्रतिशत बिंदुओं का उपयोग करके इसके परिवर्तन के बारे में बात करना उत्तम है।

प्रतिशत के प्रतिशत का उदाहरण
यदि कोई बैंक बचत खाते पर ब्याज दर 3% से बढ़ाकर 4% कर देता है, तो यह कथन कि ब्याज दर 1% बढ़ा दी गई है, अस्पष्ट होगा। इस स्थिति में पूर्ण परिवर्तन 1 प्रतिशत बिंदु (4% - 3%) है, किन्तु ब्याज दर में सापेक्ष परिवर्तन है: $$\frac{4\% - 3\%}{3\%} = 0.333\ldots = 33\frac{1}{3}\%.$$ सामान्यतः, प्रतिशत बिंदु (ओं) एक पूर्ण परिवर्तन या प्रतिशत के अंतर को निरुपित करता है, जबकि प्रतिशत चिह्न या शब्द प्रतिशत सापेक्ष परिवर्तन या अंतर को संदर्भित करता है।

तुलना
कार M का मूल्य $50,000 है और कार L का मूल्य $40,000 है। हम इन लागतों की तुलना करना चाहते हैं। कार L के संबंध में, पूर्ण अंतर $10,000 = $50,000 − $40,000 है। अर्थात्, कार M का मूल्य कार L से $10,000 अधिक है। सापेक्ष अंतर है, $$\frac{\$10,000}{\$40,000} = 0.25 = 25\%,$$ और हम कहते हैं कि कार M का मूल्य कार L से 25% अधिक है। तुलना को अनुपात के रूप में व्यक्त करना भी सामान्य है, जो इस उदाहरण में है, $$\frac{\$50,000}{\$40,000} = 1.25 = 125\%,$$ और हम कहते हैं कि कार M का मूल्य कार L की लागत का 125% है।

इस उदाहरण में कार एल की लागत को संदर्भ मान माना गया था, किन्तु हम दूसरे विधियों से चुनाव कर सकते थे और कार एम की लागत को संदर्भ मान मान सकते थे। पूर्ण अंतर −$10,000 = $40,000 − $50,000 अब है क्योंकि कार L का मूल्य कार M से $10,000 कम है। सापेक्ष अंतर, $$\frac{-\$10,000}{\$50,000} = -0.20 = -20\%$$ ऋणात्मक भी है क्योंकि कार L का मूल्य कार M से 20% कम है। तुलना का अनुपात रूप, $$\frac{\$40,000}{\$50,000} = 0.8 = 80\%$$ का कहना है कि कार L का मूल्य कार M की लागत का 80% है।

के और उससे कम/अधिक शब्दों के प्रयोग से ही अनुपातों और आपेक्षिक भिन्नताओं में भेद किया जा सकता है।  0$$ आईएफएफ $$x>x_\text{ref}$$, $$C(x_\text{ref},x)= 0$$ आईएफएफ $$x=x_\text{ref}$$, $$C(x_\text{ref},x)< 0$$ आईएफएफ $$x0$$, $$C(ax_\text{ref},ax)=C(x_\text{ref},x)$$.

स्वतंत्रता की स्थिति के कारण, ऐसे प्रत्येक कार्य $$C$$ एकल तर्क फ़ंक्शन के रूप में लिखा जा सकता है $$H$$ अनुपात का $$x/x_\text{ref}$$. यह भी स्पष्ट है कि यदि $$H(x/x_\text{ref})$$ तब अन्य शर्तों को संतुष्ट करता है $$c H(x/x_\text{ref})$$ के रूप में अच्छी तरह से, हर के लिए होगा $$c>0$$. इस प्रकार हम संकेतकों को सामान्यीकृत करने के लिए प्रतिबंधित करते हैं जैसे कि $$H'(1) = 1$$.

आम तौर पर सापेक्ष अंतर का सूचक वास्तविक अंतर के रूप में प्रस्तुत किया जाता है Δ मान x और y के कुछ फ़ंक्शन द्वारा स्केल किया जाता है, कहते हैं f(x, y).

$$ \text{Relative difference}(x, y) = \frac{\text{Absolute difference}\,\Delta}{f(x,y)} = \frac{x - y}{f(x,y)}.$$ सापेक्ष परिवर्तन के साथ, सापेक्ष अंतर अपरिभाषित है यदि f(x, y) शून्य है। समारोह के लिए विभिन्न विकल्प f(x, y) प्रस्तावित किया गया है: एक निश्चित सहिष्णुता के साथ समानता (गणित) के लिए प्रोग्रामिंग भाषाओं में तैरनेवाला स्थल वैल्यू की तुलना करते समय अधिकतम माध्य परिवर्तन की सिफारिश की गई है। एक अन्य अनुप्रयोग सन्निकटन त्रुटियों की गणना में है जब माप की सापेक्ष त्रुटि की आवश्यकता होती है। अर्थमिति में उपयोग के लिए न्यूनतम औसत परिवर्तन की सिफारिश की गई है। लघुगणकीय परिवर्तन की सिफारिश सापेक्ष परिवर्तन के लिए सामान्य प्रयोजन के प्रतिस्थापन के रूप में की गई है और इसकी चर्चा नीचे की गई है।

Tenhunen एक सामान्य सापेक्ष परिवर्तन समारोह को परिभाषित करता है: $$	H(K,L) = \begin{cases} \int_1^{K/L} t^{c-1} dt & \text{when } K>L \\ -\int_{K/L}^1 t^{c-1} dt & \text{when } K 0, L > 0 \end{cases} $$ विशेष रूप से विशेष मामलों के लिए $$c=\pm 1$$,

$$	H(K,L) = \begin{cases} (K-L)/K & c=-1 \\ (K-L)/L & c=1 \end{cases} $$

लघुगणक परिवर्तन
सापेक्ष अंतर के इन संकेतकों में, सबसे स्वाभाविक दो संख्याओं के अनुपात का प्राकृतिक लघुगणक (ln) है, जिसे लॉग परिवर्तन कहा जाता है। वास्तव में, जब $$\left | \frac{V_1 - V_0}{V_0} \right | \ll 1$$, निम्नलिखित सन्निकटन धारण करता है: $$ \ln\frac{V_1}{V_0} = \int_{V_0}^{V_1}\frac{{\mathrm d}V}{V} \approx \int_{V_0}^{V_1}\frac{{\mathrm d}V}{V_0} = \frac{V_1 - V_0}{V_0} = \text{relative change}$$ उसी तरह प्रतिशत प्राप्त करने के लिए सापेक्ष परिवर्तन को 100 से बढ़ाया जाता है, $$\ln\frac{V_1}{V_0}$$ आमतौर पर लॉग पॉइंट कहलाने के लिए 100 से स्केल किया जा सकता है। रूट-पावर मात्राओं के लिए मापे जाने पर लॉग पॉइंट यूनिट द्वारा  (cNp) के बराबर होते हैं। इस मात्रा को लॉग प्रतिशत के रूप में भी संदर्भित किया गया है और L% को निरूपित किया गया है। चूंकि 1 पर प्राकृतिक लॉग का व्युत्पन्न 1 है, छोटे अंतर के लिए लॉग पॉइंट लगभग प्रतिशत अंतर के बराबर होते हैं - उदाहरण के लिए 1% की वृद्धि 0.995 cNp की वृद्धि के बराबर होती है, और 5% की वृद्धि 4.88 cNp की वृद्धि देती है। यह सन्निकटन गुण लघुगणक आधार के अन्य विकल्पों के लिए नहीं है, जो व्युत्पन्न 1 नहीं होने के कारण स्केलिंग कारक का परिचय देता है। इस प्रकार लॉग बिंदुओं को प्रतिशत अंतर के प्रतिस्थापन के रूप में उपयोग किया जा सकता है।

Additivity
सापेक्ष परिवर्तन की तुलना में लॉग परिवर्तन का उपयोग करने से योगात्मकता का लाभ होता है। विशेष रूप से, लॉग परिवर्तन का उपयोग करते समय, परिवर्तनों की एक श्रृंखला के बाद कुल परिवर्तन परिवर्तनों के योग के बराबर होता है। प्रतिशत के साथ, परिवर्तनों का योग केवल एक सन्निकटन है, बड़े परिवर्तनों के लिए बड़ी त्रुटि के साथ। उदाहरण के लिए: ध्यान दें कि उपरोक्त तालिका में, चूंकि सापेक्ष परिवर्तन 0 (क्रमशः सापेक्ष परिवर्तन 1) का संख्यात्मक मान लॉग परिवर्तन 0 (क्रमशः लॉग परिवर्तन 1) के समान है, यह समान भिन्नता के अनुरूप नहीं है। सापेक्ष और लॉग परिवर्तनों के बीच रूपांतरण की गणना इस प्रकार की जा सकती है $$\text{log change} = \ln(1 + \text{relative change})$$.

योगात्मकता से, $$\ln\frac{V_1}{V_0} + \ln\frac{V_0}{V_1} = 0$$, और इसलिए योगात्मकता का तात्पर्य एक प्रकार की समरूपता गुण से है, अर्थात् $$\ln\frac{V_1}{V_0} = - \ln\frac{V_0}{V_1}$$ और इस प्रकार लॉग परिवर्तन में व्यक्त परिवर्तन का पूर्ण मूल्य वही है चाहे वी0 या वी1 संदर्भ के रूप में चुना गया है। इसके विपरीत, सापेक्ष परिवर्तन के लिए, $$\frac{V_1 - V_0}{V_0} \neq - \frac{V_0 - V_1}{V_1}$$, अंतर के साथ $$\frac{(V_1 - V_0)^2}{V_0 V_1}$$ वी के रूप में बड़ा हो रहा है1 या वी0 0 तक पहुंचता है जबकि दूसरा स्थिर रहता है। उदाहरण के लिए: यहाँ 0+ का अर्थ है सीमा को ऊपर से 0 की ओर ले जाना।

विशिष्टता और विस्तार
लॉग परिवर्तन अद्वितीय दो-चर फ़ंक्शन है जो योगात्मक है, और जिसका रेखीयकरण सापेक्ष परिवर्तन से मेल खाता है। योगात्मक अंतर कार्यों का एक परिवार है $$F_\lambda(x,y)$$ किसी के लिए $$\lambda\in\mathbb{R}$$, ऐसा है कि पूर्ण परिवर्तन है $$F_0$$ और लॉग परिवर्तन है $$F_1$$.

यह भी देखें

 * सन्निकटन त्रुटि
 * आँकड़ों में त्रुटियां और अवशेष
 * संबंधी मानक विचलन
 * लघुगणकीय पैमाने