पुनरावृत्त फ़ंक्शन

गणित में, पुनरावृत्त फलन एक फलन $F$ (अर्थात, किसी समुच्चय $X$ से स्वयं का एक फलन) होता है, जो किसी अन्य फलन $X → X$ को एक निश्चित संख्या में स्वयं के साथ संयोजित करके प्राप्त किया जाता है। एक ही फलन को बार-बार अनुप्रयुक्त करने की प्रक्रिया को पुनरावृत्ति कहा जाता है। इस प्रक्रिया में, किसी प्रारंभिक वस्तु से प्रारंभ करके, किसी दिए गए फलन को अनुप्रयुक्त करने का परिणाम पुनः फलन में निविष्ट के रूप में सिंचित किया जाता है और यह प्रक्रिया दोहराई जाती है। उदाहरण के लिए दाईं ओर की छवि पर: फलन संरचना के वृत्त-आकार के प्रतीक के साथ हैं।
 * L = $\mathit{F}\,$( K ),   M = $\mathit{F}\,\circ \mathit{F}\,$( K ) = $\mathit{F}\;^{2}\,$( K )

पुनरावृत्त फलन अभिकलित्र विज्ञान, आंशिक, गतिशील प्रणाली, गणित और पुनर्सामान्यीकरण समूह भौतिकी में अध्ययन की वस्तुएं हैं।

परिभाषा
एक समुच्चय X पर पुनरावृत्त फलन की औपचारिक परिभाषा इस प्रकार है।

मान लीजिए कि $X$ एक समुच्चय है और $f : X → X$  एक फलन है।

$f: X → X$ को $f$ के n-वें पुनरावृत्त के रूप में परिभाषित करना (हंस हेनरिक बर्मन द्वारा प्रस्तुत एक संकेतन  और जॉन फ्रेडरिक विलियम हर्शेल    ) के द्वारा, जहां n एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है: $$f^0 ~  \stackrel{\mathrm{def}}{=}  ~ \operatorname{id}_X$$ और $$f^{n+1} ~ \stackrel{\mathrm{def}}{=} ~ f \circ f^{n}$$ जहां $f ^{n}$, $X$ और $id_{X}$ पर पहचान फलन है, फलन संरचना को दर्शाता है। वह है,

सदैव सहयोगी है।

क्योंकि संकेतन $f $\circ$ g$ फलन $f$ की पुनरावृत्ति (संरचना) या फलन $f$  के घातांक दोनों को संदर्भित कर सकता है (बाद वाला सामान्यतः त्रिकोणमितीय में उपयोग किया जाता है), कुछ गणितज्ञ लेखन अर्थ को दर्शाने के लिए $(f $\circ$ g)(x) = f (g(x))$का उपयोग करना चुनते हैं, $f ^{n}$ लिखते हैं, फलन $∘$ के n-वें पुनरावृत्त के लिए, उदाहरण के लिए,  $f(x)$ अर्थ $f(x)$ है। इसी उद्देश्य से, बेंजामिन पीयर्स द्वारा  $f(x)$ का उपयोग किया गया था  जबकि अल्फ्रेड प्रिंग्सहेम और जूल्स मोल्क ने इसके बजाय $f(f(f(x)))$ का सुझाव दिया था।

एबेलियन गुणधर्म और पुनरावृत्ति अनुक्रम
सामान्यतः, निम्नलिखित पहचान सभी गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों $m$ और $n$ के लिए अनुप्रयुक्त होती है;


 * $$f^m \circ f^n =  f^n \circ f^m = f^{m+n}~$$

यह संरचनात्मक रूप से घातांक के गुण के समान है कि $f ^{[n]}(x)$, अर्थात विशेष स्थिति $f ^{(n)}$ है।

सामान्यतः, यादृच्छिक रूप से सामान्य (ऋणात्मक, गैर-पूर्णांक, आदि) सूचकांकों $m$ और $n$ के लिए, इस संबंध को अनुवाद कार्यात्मक समीकरण सीएफ, श्रोडर का समीकरण और एबेल समीकरण कहा जाता है। लघुगणकीय पैमाने पर, यह चेबीशेव बहुपद, $n$, तब से $f(x)$ की नीडन गुणधर्म को कम कर देता है, क्योंकि

संबंध $a^{m}a^{n} = a^{m + n}$ भी घातांक के गुण के अनुरूप है कि $f(x) = ax$ है।

फलन $T_{m}(T_{n}(x)) = T_{m n}(x)$ के अनुक्रम को पिकार्ड अनुक्रम कहा जाता है,  जिसका नाम चार्ल्स एमिल पिकार्ड के नाम पर रखा गया है।

$X$ में दिए गए $x$ के लिए, मान  $T_{n}(x) = cos(n arccos(x))$ के अनुक्रम को $x$ की कक्षा कहा जाता है।

यदि किसी पूर्णांक m>0 के लिए $(f^{ m})^{n}(x) = (f^{ n})^{m}(x) = f^{ mn}(x)$, तो कक्षा को आवर्त कक्षा कहा जाता है। किसी दिए गए $x$ के लिए $m$ का सबसे छोटा मान कक्षा की अवधि कहलाता है। बिंदु $x$ को ही आवर्त बिंदु कहा जाता है।अभिकलित्र विज्ञान में चक्र का पता लगाने की समस्या एक कक्षा में पहले आवधिक बिंदु और कक्षा की अवधि को खोजने की कलन विधि समस्या है।

नियत बिन्दु
यदि $X$  में कुछ $x$ के लिए  $(a^{m})^{n} = (a^{n})^{m} = a^{mn}$ (अर्थात, $x$ की कक्षा की अवधि 1 है), तो $x$ को पुनरावृत्त अनुक्रम का एक नियत बिन्दु कहा जाता है। नियत बिंदुओं के समुच्चय को प्रायः $f ^{n}$ के रूप में दर्शाया जाता है। ऐसे कई नियत बिन्दु प्रमेय उपस्थित हैं जो विभिन्न स्थितियों में नियत बिंदुओं के अस्तित्व की प्रत्याभूति देते हैं, जिनमें बानाच नियत बिन्दु प्रमेय और ब्रौवर नियत बिंदु प्रमेय सम्मिलित हैं।

नियत बिन्दु पुनरावृत्ति द्वारा उत्पन्न अनुक्रमों के अभिसरण त्वरण के लिए कई प्रविधियां हैं। उदाहरण के लिए, एक पुनरावृत्त नियत बिंदु पर अनुप्रयुक्त की गई ऐटकेन विधि को स्टीफ़ेंसन विधि के रूप में जाना जाता है, और यह द्विघात अभिसरण उत्पन्न करती है।

व्यवहार को सीमित करना
पुनरावृत्ति पर, कोई यह पा सकता है कि ऐसे समुच्चय हैं जो सन्कुचित होते हैं और एक बिंदु की ओर एकत्रित होते हैं। ऐसी स्थिति में, जिस बिंदु पर अभिसरण होता है उसे आकर्षक नियत बिन्दु के रूप में जाना जाता है। इसके विपरीत, पुनरावृत्ति एक ही बिंदु से दूर जाने वाले बिंदुओं का आभास दे सकती है; यह एक अस्थिर नियत बिन्दु की स्थिति में होगा। जब कक्षा के बिंदु एक या अधिक सीमाओं में परिवर्तित होते हैं, तो कक्षा के संचय बिंदुओं के समुच्चय को सीमा समुच्चय या ω-सीमा समुच्चय के रूप में जाना जाता है।

आकर्षण और प्रतिकर्षण के विचार समान रूप से सामान्यीकृत होते हैं; पुनरावृत्ति के अंतर्गत छोटे प्रतिवैस के व्यवहार के अनुसार, कोई पुनरावृत्तियों को स्थिर समुच्चयों और अस्थिर समुच्चयों में वर्गीकृत किया जा सकता है (विश्लेषणात्मक फलनों की अनंत रचनाएँ भी देखें)।

अन्य सीमित व्यवहार संभव हैं; उदाहरण के लिए, अस्थिर बिंदु वे बिंदु होते हैं जो दूर चले जाते हैं और जहां से उन्होंने प्रारंभ किया था उसके निकट भी कभी वापस नहीं आते हैं।

अपरिवर्तनीय माप
यदि कोई व्यक्तिगत बिंदु गतिशीलता के बजाय घनत्व वितरण के विकास पर विचार करता है, तो सीमित व्यवहार अपरिवर्तनीय माप द्वारा दिया जाता है। इसे बार-बार पुनरावृत्ति के अंतर्गत बिंदु-समूह या धूलि-समूह के व्यवहार के रूप में देखा जा सकता है। अपरिवर्तनीय माप रुएल-फ्रोबेनियस-पेरोन संचालक या स्थानांतरण संचालक का एक आइजेन-स्थिति है, जो 1 के आइगेन-मान के अनुरूप है। छोटे आइगेन-मान अस्थिर, क्षयकारी स्थितियों के अनुरूप हैं।

सामान्यतः, क्योंकि दोहराया पुनरावृत्ति एक विस्थापन, स्थानान्तरण संचालक और उसके सहायक से मेल खाती है, कूपमैन संचालक दोनों को विस्थापन समष्टि पर विस्थापन संचालक की क्रिया के रूप में व्याख्या की जा सकती है। परिमित प्रकार के उप-विस्थापन का सिद्धांत कई पुनरावृत्त फलनों में सामान्य अंतर्दृष्टि प्रदान करता है, विशेष रूप से अराजकता की ओर ले जाने वाले फलनों में है।

आंशिक पुनरावृति, धारा और ऋणात्मक पुनरावृति
जब समीकरण $f^{n}(x)$ के कई हल होते हैं, तो धारणा f1/n का उपयोग सावधानी से किया जाना चाहिए, जो सामान्य रूप से स्थिति है, जैसा कि बैबेज के पहचान मानचित्र की कार्यात्मक मूलों के समीकरण में होता है। उदाहरण के लिए, $f ^{n} (x) = f ^{n+m} (x)$ और $f(x) = x$ के लिए, $Fix(f)$ और $g^{n}(x) = f(x)$ दोनों हल हैं; इसलिए अभिव्यक्ति $n = 2$ किसी अद्वितीय फलन को नहीं दर्शाता है, जैसे संख्याओं में कई बीजगणितीय मूल होते हैं। यह विवाद अंकगणित में "0/0" अभिव्यक्ति के समान है। यदि f के कार्यक्षेत्र को पर्याप्त रूप से, सी.एफ चित्र बढ़ाया जा सकता है, तो f का एक तुच्छ मूल सदैव प्राप्त किया जा सकता है। चुने गए मूल सामान्यतः अध्ययन के अंतर्गत कक्षा से संबंधित होते हैं।

किसी फलन के भिन्नात्मक पुनरावृत्ति को परिभाषित किया जा सकता है: उदाहरण के लिए, किसी फलन $f$ का कार्यात्मक वर्गमूल एक फलन $g$ है जैसे कि  $f(x) = 4x − 6$ है। इस फलन $g(x) = 6 − 2x$ को सूचकांक संकेतन का उपयोग करके  $g(x) = 2x − 2$ के रूप में लिखा जा सकता है। इसी प्रकार,  $f^{ 1/2}(x)$ फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि  $g(g(x)) = f(x)$, जबकि $g(x)$ को $f^{ 1/2}(x)$ के बराबर परिभाषित किया जा सकता है, इत्यादि, यह सब पहले बताए गए सिद्धांत पर आधारित है कि $f^{ 1/3}(x)$ है। इस विचार को सामान्यीकृत किया जा सकता है ताकि पुनरावृत्ति गणना $n$ एक सतत मापदण्ड बन जाए, एक निरंतर कक्षा (गतिशीलता) का एक प्रकार का सतत समय है।

ऐसी स्थितियों में, कोई प्रणाली को धारा के रूप में संदर्भित करता है (सीएफ. नीचे संयुग्मता पर अनुभाग)।

यदि कोई फलन विशेषण है (और इसलिए उसका व्युत्क्रम फलन है), तो ऋणात्मक पुनरावृत्त फलन व्युत्क्रम और उनकी रचनाओं के अनुरूप होते हैं। उदाहरण के लिए, $f^{1/3}(f^{1/3}(f^{1/3}(x))) = f(x)$, $f$  का सामान्य व्युत्क्रम है, जबकि $f(x)$ स्वयं से बना व्युत्क्रम है, अर्थात्,  $f(f(x))$ है। भिन्नात्मक ऋणात्मक पुनरावृत्तियों को भिन्नात्मक धनात्मक पुनरावृत्तियों के अनुरूप परिभाषित किया जाता है; उदाहरण के लिए, $f^{ m} ○ f^{ n} = f^{ m + n}$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि $f^{ −1}(x)$, या, समकक्ष, जैसे कि $f^{ −2}(x)$ है।

भिन्नात्मक पुनरावृत्ति के लिए कुछ सूत्र
एक नियत बिन्दु का उपयोग करके भिन्नात्मक पुनरावृत्ति के लिए श्रृंखला सूत्र खोजने की कई विधियों में से एक इस प्रकार है। f^n(x) = f^n(a) + (x-a)\left.\frac{d}{dx}f^n(x)\right|_{x=a} + \frac{(x-a)^2}2\left.\frac{d^2}{dx^2}f^n(x)\right|_{x=a} +\cdots $$ f^n(x) = f^n(a) + (x-a) f'(a)f'(f(a))f'(f^2(a))\cdots f'(f^{n-1}(a)) + \cdots $$ f^n(x) = a + (x-a) f'(a)^n + \frac{(x-a)^2}2(f''(a)f'(a)^{n-1})\left(1+f'(a)+\cdots+f'(a)^{n-1} \right)+\cdots $$ f^n(x) = a + (x-a) f'(a)^n + \frac{(x-a)^2}2(f''(a)f'(a)^{n-1})\frac{f'(a)^n-1}{f'(a)-1}+\cdots $$ एक विशेष स्थिति है जब $f^{ −2}(x) = f^{ −1}(f^{ −1}(x))$, $$ f^n(x) = x + \frac{(x-a)^2}2(n f(a))+ \frac{(x-a)^3}6\left(\frac{3}{2}n(n-1) f(a)^2 + n f'''(a)\right)+\cdots $$ इसे अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है, हालांकि अप्रभावी रूप से, क्योंकि बाद की सीमाएं तीव्रता से जटिल हो जाती हैं। संयुग्मन पर निम्नलिखित अनुभाग में एक अधिक व्यवस्थित प्रक्रिया की रूपरेखा दी गई है।
 * 1) पहले फलन के लिए एक नियत बिन्दु निर्धारित करें जैसे कि $f^{ −1/2}(x)$;
 * 2) वास्तविक से संबंधित सभी n के लिए  $f^{ −1/2}(f^{ −1/2}(x)) = f^{ −1}(x)$ को परिभाषित करें। यह, कुछ मायनों में, भिन्नात्मक पुनरावृत्तियों पर अनुप्रयुक्त होने वाली सबसे स्वाभाविक अतिरिक्त स्थिति है।
 * 3) टेलर श्रृंखला के रूप में नियत बिंदु a के चारों ओर  $f^{ −1/2}(f^{ 1/2}(x)) = f^{ 0}(x) = x$ का विस्तार करें,$$
 * 1) विस्तार करें,$$
 * 1) किसी भी k के लिए,  $f(a) = a$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें, $$
 * 1) शब्दों को सरल बनाने के लिए ज्यामितीय प्रगति का उपयोग करें, $$

उदाहरण 1
उदाहरण के लिए, $f ^{n}(a) = a$ व्यवस्थित करने से नियत बिन्दु $f^{n}(x)$ प्राप्त होता है, इसलिए उपरोक्त सूत्र यहीं समाप्त होता है। $$ f^n(x)=\frac{D}{1-C} + \left(x-\frac{D}{1-C}\right)C^n=C^nx+\frac{1-C^n}{1-C}D ~ $$ जिसे जांचना साधारण बात हैं।

उदाहरण 2
$$\sqrt{2}^{ \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdots}} }$$ का मान ज्ञात कीजिये, जहां यह n बार किया जाता है (और संभवतः प्रक्षेपित मान जब n एक पूर्णांक नहीं है)। हमारे पास $f(a) = a$ है। एक नियत बिन्दु $f '(a) = 1$ है।

तो समुच्चय $f(x) = Cx + D$ और $a = D/(1 − C)$ को 2 के नियत बिंदु मान के चारों ओर विस्तारित किया गया है, फिर एक अनंत श्रृंखला है,$$ \sqrt{2}^{ \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdots}} } = f^n(1) = 2 - (\ln 2)^n + \frac{(\ln 2)^{n+1}((\ln 2)^n-1)}{4(\ln 2-1)} - \cdots $$

जो, केवल पहले तीन पदों को लेते हुए, पहले दशमलव स्थान तक सही है जब n धनात्मक-सीएफ़ है। टेट्रेशन: $f(x) = √2^{x}$ (अन्य नियत बिन्दु $a = f(2) = 2$ का उपयोग करने से श्रृंखला अलग हो जाती है)।

$x = 1$ के लिए, श्रृंखला व्युत्क्रम फलन $2 ln x⁄ln 2$ की गणना करती है।

उदाहरण 3
फलन $f ^{n} (1)$ के साथ, श्रृंखला प्राप्त करने के लिए नियत बिन्दु 1 के चारों ओर विस्तार करें $$ f^n(x) = 1 + b^n(x-1) + \frac{1}2b^{n}(b^n-1)(x-1)^2 + \frac{1}{3!}b^n (b^n-1)(b^n-2)(x-1)^3 + \cdots ~ $$ जो कि केवल x(bn ) की टेलर श्रृंखला है जिसका विस्तार 1 के आसपास हुआ है।

संयुग्मता
यदि $f$ और $g$ दो पुनरावृत्त फलन हैं, और एक समरूपता $h$ उपस्थित है, जैसे कि $f ^{n}(1) = ^{n}√2$, तो  $f$ और $g$ को स्थलाकृतिक रूप से संयुग्मित कहा जाता है।

स्पष्ट रूप से, सांस्थितिक संयुग्मता को पुनरावृत्ति के अंतर्गत संरक्षित किया जाता है, जैसे $1=a = f(4) = 4$ है। इस प्रकार, यदि कोई एक पुनरावृत्त फलन प्रणाली को हल कर सकता है, तो उसके पास सभी सांस्थितिकी संयुग्मित प्रणालियों के लिए भी हल हैं। उदाहरण के लिए, तम्बू मानचित्र स्थलाकृतिक रूप से तार्किक मानचित्र से संयुग्मित है। एक विशेष स्थिति के रूप में, $n = −1$ लेने पर, $f(x) = x^{b}$ की पुनरावृत्ति होती है।
 * $g = h^{−1} ○ f ○ h$, किसी भी फलन $h$ के लिए,

प्रतिस्थापन $g^{n} = h^{−1} ○ f ^{n} ○ h$ प्राप्त होता है।
 * $f(x) = x + 1$, एक रूप जिसे एबेल समीकरण के नाम से जाना जाता है।

यहां तक ​​कि पूर्णतः समरूपता की अनुपस्थिति में, एक नियत बिन्दु के निकट, यहां $x$ = 0, $f$(0) = 0 पर लिया गया है, कोई प्रायः फलन Ψ के लिए श्रोडर के समीकरण को हल कर सकता है, जो $g(x) = h^{&minus;1}(h(x) + 1)$ बनाता है स्थानीय रूप से मात्र विस्फार से संयुग्मित, $g^{n}(x) = h^{&minus;1}(h(x) + n)$, अर्थात,

इस प्रकार, इसकी पुनरावृत्ति कक्षा, या धारा, उपयुक्त प्रावधानों के अंतर्गत (उदाहरण के लिए, $x = h^{&minus;1}(y) = ϕ(y)$), एकपदी की कक्षा के संयुग्म के बराबर है,

जहाँ इस अभिव्यक्ति में $n$ एक सरल घातांक के रूप में कार्य करता है: कार्यात्मक पुनरावृत्ति को गुणन में घटा दिया गया है! यहाँ, हालाँकि, प्रतिपादक $n$ को अब पूर्णांक या धनात्मक होने की आवश्यकता नहीं है और पूर्ण कक्षा के लिए विकास का एक सतत "समय" है: पिकार्ड अनुक्रम के एकाभ (सीएफ़. परिवर्तन अर्धसमूह) को एक पूर्ण सतत समूह में सामान्यीकृत किया गया है।

यह विधि (प्रमुख आइजन फलन Ψ का विक्षुब्ध निर्धारण, सीएफ कार्लमैन आव्यूह) पिछले अनुभाग के कलन विधि के बराबर है, हालांकि, व्यवहार में, अधिक शक्तिशाली और व्यवस्थित है।

मार्कोव श्रृंखला
यदि फलन रैखिक है और इसे प्रसंभाव्य आव्यूह द्वारा वर्णित किया जा सकता है, अर्थात, एक आव्यूह जिसकी पंक्तियों या स्तंभों का योग एक है, तो पुनरावृत्त प्रणाली को मार्कोव श्रृंखला के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण
कई अव्यवस्थित मानचित्र हैं। प्रसिद्ध पुनरावृत्त फलन में मैंडेलब्रॉट समुच्चय और पुनरावृत्त फलन प्रणाली सम्मिलित हैं।

अर्न्स्ट श्रोडर, 1870 में, तार्किक मानचित्र के विशेष स्थितियों पर कार्य किया, जैसे कि अराजक स्थिति $g(ϕ(y)) = ϕ(y+1)$, ताकि $f(x)$, इसलिए $g(x) = f '(0) x$ हैं।

एक गैर-अराजक स्थिति को श्रोडर ने अपनी विधि, $f(x) = Ψ^{−1}(f '(0) Ψ(x))$, से भी चित्रित किया, जिससे $f '(0) ≠ 1$ प्राप्त हुआ और इसलिए  $Ψ^{−1}(f '(0)^{n} Ψ(x))$ हैं।

यदि $f$ किसी एक समुच्चय पर समूह तत्व की क्रिया है, तो पुनरावृत्त फलन एक मुक्त समूह से मेल खाता है।

अधिकांश फलन में n-वें पुनरावृत्त के लिए स्पष्ट सामान्य संवृत रूप अभिव्यक्तियाँ नहीं होती हैं। नीचे दी गई तालिका कुछ को सूचीबद्ध करती है जो ऐसा करते हैं। ध्यान दें कि ये सभी अभिव्यक्तियाँ गैर-पूर्णांक और ऋणात्मक n के साथ-साथ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n के लिए भी मान्य हैं।

ध्यान दें: $f ^{n}(x) = Ψ^{−1}((ln 2)^{n} Ψ(x))$ ये दो विशेष स्थिति एकमात्र ऐसी स्थिति हैं जिनका संवृत रूप हल होता है। क्रमशः B = 2 = -A और B = 4 = -A चुनना, उन्हें तालिका से पहले चर्चा किए गए गैर-अव्यवस्थित और अराजक तार्किक स्थितियों में कम कर देता है।

इनमें से कुछ उदाहरण सरल संयुग्मन द्वारा आपस में संबंधित हैं। कुछ और उदाहरण, जो अनिवार्य रूप से श्रोडर के उदाहरणों के सरल संयुग्मन से संबंधित हैं, संदर्भ में पाए जा सकते हैं।

अध्ययन के साधन
पुनरावृत्त फलनों का अध्ययन आर्टिन-मज़ूर ज़ेटा फलन और स्थानान्तरण संचालकों के साथ किया जा सकता है।

अभिकलित्र विज्ञान में
अभिकलित्र विज्ञान में, पुनरावृत्त फलन पुनरावर्ती फलनों की एक विशेष स्थिति के रूप में होते हैं, जो बदले में लैम्ब्डा कलन जैसे व्यापक विषयों, या अभिकलित्र प्रोग्रामों के सांकेतिक शब्दार्थ जैसे संकीर्ण विषयों के अध्ययन को आधार बनाते हैं।

पुनरावृत्त फलनों के संदर्भ में परिभाषाएँ
दो महत्वपूर्ण फलनों को पुनरावृत्त फलनों के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। ये हैं सारांश:



\left\{b+1,\sum_{i=a}^b g(i)\right\} \equiv \left( \{i,x\} \rightarrow \{ i+1 ,x+g(i) \}\right)^{b-a+1} \{a,0\} $$ और समतुल्य उत्पाद:



\left\{b+1,\prod_{i=a}^b g(i)\right\} \equiv \left( \{i,x\} \rightarrow \{ i+1 ,x g(i) \}\right)^{b-a+1} \{a,1\} $$

कार्यात्मक व्युत्पन्न
पुनरावृत्त फलन का कार्यात्मक व्युत्पन्न पुनरावर्ती सूत्र द्वारा दिया गया है:


 * $$\frac{ \delta f^N(x)}{\delta f(y)} = f'( f^{N-1}(x) ) \frac{ \delta f^{N-1}(x)}{\delta f(y)} + \delta( f^{N-1}(x) - y ) $$

झूठ का डेटा परिवहन समीकरण
पुनरावृत्त फलन संयुक्त फलन के श्रृंखला विस्तार में सामने आते हैं, जैसे कि $Ψ(√2^{x}) = ln 2 Ψ(x)$

पुनरावृत्ति वेग, या बीटा फलन (भौतिकी) को देखते हुए,
 * $$v(x) = \left. \frac{\partial f^n(x)}{\partial n} \right|_{n=0}$$
 * फलन $f$ के nवें पुनरावृत्त के लिए, हमारे पास है

g(f(x)) = \exp\left[ v(x) \frac{\partial}{\partial x} \right] g(x) $$ उदाहरण के लिए, कठोर संवहन के लिए, यदि $(f ^{m}(x) − 2)/(ln 2)^{m}$, तब $f(x) = 4x(1 − x)$ हैं। फलस्वरूप, $Ψ(x) = arcsin^{2}(\sqrt{x})$, एक सहज विस्थापन संचालक द्वारा क्रिया है।

इसके विपरीत, ऊपर चर्चा किए गए सामान्य एबेल समीकरण के माध्यम से कोई यादृच्छिक $f ^{n}(x) = sin^{2}(2^{n} arcsin(\sqrt{x}))$ दिए गए $f(x) = 2x(1 − x)$ को निर्दिष्ट कर सकता है,

f(x) = h^{-1}(h(x)+1) $$ जहाँ

h(x) = \int \frac{1}{v(x)} \, dx $$ यह बात व्याख्या करने से स्पष्ट होती है;
 * $$f^n(x)=h^{-1}(h(x)+n)~$$

सतत पुनरावृत्ति सूचकांक $t$ के लिए, अब, एक उप-अवधारणा के रूप में लिखा गया है, यह एक सतत समूह के लिए ली की प्रसिद्ध घातीय प्रतिफलन के बराबर है,
 * $$e^{t~\frac{\partial }{\partial h(x)}} g(x)= g(h^{-1}(h(x )+t))= g(f_t(x))$$

प्रारंभिक धारा वेग $v$ संपूर्ण धारा को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है, इस घातीय प्रतिफलन को देखते हुए जो स्वचालित रूप से अनुवाद कार्यात्मक समीकरण का सामान्य हल प्रदान करता है, $$f_t(f_\tau (x))=f_{t+\tau} (x) ~$$

यह भी देखें

 * तर्कहीन आवर्तन
 * पुनरावृत्त कार्य प्रणाली
 * पुनरावृत्त विधि
 * आवर्तन संख्या
 * सरकोव्स्की की प्रमेय
 * भिन्नात्मक कलन
 * पुनरावृत्ति संबंध
 * श्रोडर का समीकरण
 * कार्यात्मक वर्गमूल
 * एबेल फलन
 * विश्लेषणात्मक फलनों की अनंत रचनाएँ
 * धारा (गणित)
 * टेट्रेशन
 * कार्यात्मक समीकरण

बाहरी कड़ियाँ
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