डिजिटल बायकाड फिल्टर

संकेत प्रोसेसिंग में एक डिजिटल बायकाड फ़िल्टर एक दूसरे क्रम का पुनरावर्ती रैखिक फ़िल्टर होता है, जिसमें दो ध्रुव और दो शून्य होते हैं। "बिक्वाड" "बायकाड्रैटिक" का एक संक्षिप्त नाम है जो इस तथ्य को संदर्भित करता है कि Z डोमेन में इसका स्थानांतरण कार्य दो द्विघात कार्यों का अनुपात है:


 * $$\ H(z)=\frac{b_0+b_1z^{-1}+b_2z^{-2}} {a_0+a_1z^{-1}+a_2z^{-2} }$$

गुणांकों को अधिकांशतः सामान्यीकृत किया जाता है जैसे कि a0 = 1::


 * $$\ H(z)=\frac{b_0+b_1z^{-1}+b_2z^{-2}} {1+a_1z^{-1}+a_2z^{-2} }$$

उच्च क्रम अनंत आवेग प्रतिक्रिया फ़िल्टर उनके गुणांकों के क्वांटिज़ेशन (संकेत प्रोसेसिंग) के प्रति अत्यधिक संवेदनशील हो सकते हैं और आसानी से बीआईबीओ स्थिरता बन सकते हैं। यह पहले और दूसरे क्रम के फिल्टर के साथ बहुत कम समस्या है; इसलिए, उच्च-क्रम के फ़िल्टर सामान्यतः क्रमिक रूप से कैस्केड किए गए बाइकाड अनुभागों (और यदि आवश्यक हो तो एक प्रथम-क्रम फ़िल्टर) के रूप में कार्यान्वित किए जाते हैं। बाइक्वाड फिल्टर के दो ध्रुव स्थिर होने के लिए ईकाई व्रत के अंदर होने चाहिए। सामान्यतः यह सभी असतत फिल्टरों के लिए सही है अर्थात फिल्टर के स्थिर होने के लिए जेड-डोमेन में सभी ध्रुवों को ईकाई व्रत के अंदर होना चाहिए।

प्रत्यक्ष रूप 1
सबसे सीधा कार्यान्वयन प्रत्यक्ष रूप 1 है जिसमें निम्नलिखित अंतर समीकरण हैं:


 * $$\ y[n] = \frac{1}{a_0} \left ( b_0x[n] + b_1x[n-1] + b_2x[n-2] - a_1y[n-1] - a_2y[n-2] \right )$$

या यदि सामान्यीकृत:


 * $$\ y[n] = b_0x[n] + b_1x[n-1] + b_2x[n-2] - a_1y[n-1] - a_2y[n-2] $$

यहां ही $$b_0$$, $$b_1$$ और $$b_2$$ गुणांक शून्य निर्धारित करते हैं, और $$a_1$$, $$a_2$$ ध्रुवों की स्थिति निर्धारित करें।

द्विक्वाड फिल्टर का प्रवाह ग्राफ प्रत्यक्ष रूप में 1:



जब इन वर्गों को 2 से अधिक क्रम के फिल्टर के लिए कैस्केड किया जाता है, तो कार्यान्वयन की दक्षता में सुधार किया जा सकता है, यह ध्यान में रखते हुए कि $$z^{-1}$$ सेक्शन आउटपुट की देरी अगले सेक्शन इनपुट में क्लोन की जाती है। दो संग्रहण विलंब घटकों को अनुभागों के बीच समाप्त किया जा सकता है।

प्रत्यक्ष रूप 2
प्रत्यक्ष रूप 2 समान सामान्यीकृत स्थानांतरण प्रकार्य को प्रत्यक्ष रूप 1 के रूप में प्रयुक्त करता है, किंतु दो भागों में:


 * $$\ y[n]=b_0 w[n]+b_1 w[n-1]+b_2 w[n-2],$$

और अंतर समीकरण का उपयोग करना:


 * $$\ w[n]=x[n]-a_1 w[n-1]-a_2 w[n-2].$$

प्रत्यक्ष रूप 2 में बायकाड फिल्टर का प्रवाह ग्राफ:



प्रत्यक्ष रूप 2 कार्यान्वयन के लिए केवल N विलंब इकाइयों की आवश्यकता होती है, जहां N फ़िल्टर का क्रम है - संभावित रूप से प्रत्यक्ष रूप 1 जितना आधा यह संरचना प्रत्यक्ष रूप 1 के अंश और भाजक वर्गों के क्रम को विपरीत कर प्राप्त की जाती है, क्योंकि वे वास्तव में दो रैखिक प्रणालियाँ हैं, और क्रमविनिमेयता गुण प्रयुक्त होता है। फिर कोई नोटिस करेगा कि देरी के दो स्तम्भ हैं ($$z^{-1}$$) जो केंद्र नेट को टैप करते हैं और इन्हें जोड़ा जा सकता है क्योंकि वे अनावश्यक हैं जैसा कि दिखाया गया कार्यान्वयन है।

हानि यह है कि प्रत्यक्ष रूप 2 उच्च क्यू या अनुनाद के फिल्टर के लिए अंकगणितीय अतिप्रवाह की संभावना को बढ़ाता है। यह दिखाया गया है कि जैसे-जैसे Q बढ़ता है, दोनों प्रत्यक्ष रूप टोपोलॉजी का राउंड-ऑफ ध्वनी बिना सीमा के बढ़ता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि वैचारिक रूप से संकेत को पहले एक ऑल-पोल फिल्टर (जो सामान्यतः गुंजयमान आवृत्तियों पर लाभ को बढ़ाता है) के माध्यम से पारित किया जाता है इससे पहले कि परिणाम संतृप्त होता है फिर एक ऑल-जीरो फिल्टर के माध्यम से पारित किया जाता है (जो अधिकांशतः बहुत कुछ क्षीण कर देता है) ऑल-पोल हाफ एम्पलीफाई करता है)।

प्रत्यक्ष रूप 2 कार्यान्वयन को विहित रूप कहा जाता है क्योंकि यह न्यूनतम मात्रा में देरी योजक और गुणक का उपयोग करता है प्रत्यक्ष रूप 1 कार्यान्वयन के रूप में एक ही हस्तांतरण कार्य में उपज देता है।

ट्रांसपोज़्ड प्रत्यक्ष रूप
ट्रांसफर कार्य को बदलने के बिना प्रवाह ग्राफ को विपरीत कर दो प्रत्यक्ष रूपों में से प्रत्येक को स्थानांतरित किया जा सकता है। शाखा बिंदुओं को ग्रीष्मकाल में बदल दिया जाता है और ग्रीष्मकाल को शाखा बिंदुओं में बदल दिया जाता है। ये संशोधित कार्यान्वयन प्रदान करते हैं जो समान स्थानांतरण कार्य को पूरा करते हैं जो वास्तविक दुनिया के कार्यान्वयन में गणितीय रूप से महत्वपूर्ण हो सकता है जहां स्थिति संचयन में स्पष्टता खो सकती है।

ट्रांसपोज़्ड प्रत्यक्ष रूप 2 के लिए अंतर समीकरण हैं:


 * $$\ y[n]=b_0 x[n]+s_1[n-1],$$

कहाँ


 * $$\ s_1[n]=s_2[n-1]+b_1 x[n]-a_1 y[n]$$ और
 * $$\ s_2[n]=b_2 x[n]-a_2 y[n].$$

ट्रांसपोज़्ड प्रत्यक्ष रूप 1
प्रत्यक्ष रूप 1में परिणत किया जाता है



ट्रांसपोज़्ड प्रत्यक्ष रूप 2
प्रत्यक्ष रूप 2 में परिणत किया जाता है



ध्वनी मात्रा
जब n बिट्स के नमूने को m बिट्स के गुणांक से गुणा किया जाता है, तो उत्पाद में n+m बिट्स होते हैं। ये उत्पाद सामान्यतः एक डीएसपी रजिस्टर में जमा होते हैं पांच उत्पादों को जोड़ने के लिए 3 अतिप्रवाह बिट्स की आवश्यकता हो सकती है; यह रजिस्टर अधिकांशतः n+m+3 बिट्स रखने के लिए अधिक बड़ा होता है। z−1 एक नमूना समय के लिए एक मान संग्रहीत करके कार्यान्वित किया जाता है; यह संचयन रजिस्टर सामान्यतः n बिट्स होता है, संचायक रजिस्टर को n बिट्स में फिट करने के लिए गोल किया जाता है और यह क्वांटाइजिंग ध्वनी प्रस्तुत करता है।

प्रत्यक्ष रूप 1 व्यवस्था में एकल परिमाणीकरण/पूर्णांक फलन Q(z) है:



प्रत्यक्ष रूप 2 व्यवस्था में एक मध्यवर्ती मान के लिए एक परिमाणीकरण/पूर्णांक कार्य भी होता है। कैस्केड में मान को चरणों के बीच गोल करने की आवश्यकता नहीं हो सकती है किंतु अंतिम आउटपुट को गोल करने की आवश्यकता हो सकती है।



फिक्स्ड पॉइंट डीएसपी सामान्यतः गैर ट्रांसपोज़्ड रूपों को पसंद करता है और इसमें बड़ी संख्या में बिट्स के साथ संचायक होता है और मुख्य मेमोरी में संग्रहीत होने पर इसे गोल किया जाता है। फ़्लोटिंग पॉइंट डीएसपी सामान्यतः ट्रांसपोज़्ड रूप को पसंद करते हैं प्रत्येक गुणन और संभावित रूप से प्रत्येक जोड़ को गोल किया जाता है; जोड़ उच्च परिशुद्धता परिणाम हैं जब दोनों ऑपरेंड में समान परिमाण होता है।

यह भी देखें

 * इलेक्ट्रॉनिक फिल्टर टोपोलॉजी या बिक्वाड फिल्टर टोपोलॉजी
 * डिजिटल फिल्टर

बाहरी संबंध

 * Cookbook formulae for audio EQ biquad filter coefficients
 * Biquad filter
 * JOS BiQuad section
 * https://ccrma.stanford.edu/~jos/fp/Transposed_Direct_Forms.html
 * WikiBook on digital signal processing
 * Matched Second Order Digital Filters