पॉइसन वितरण

संभाव्यता सिद्धांत और आंकड़ों में, पॉइसन वितरण एक असतत संभाव्यता वितरण है जो समय या स्थान के एक निश्चित अंतराल में होने वाली घटनाओं की दी गई संख्या की संभावना को व्यक्त करता है यदि ये घटनाएं एक ज्ञात निरंतर औसत दर के साथ और स्वतंत्र रूप से समय से घटित होती हैं। अंतिम घटना इसका नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ शिमोन डेनिस पॉइसन के नाम पर रखा गया है। पॉइसन वितरण का उपयोग अन्य निर्दिष्ट अंतराल प्रकारों जैसे दूरी, क्षेत्र या आयतन में घटनाओं की संख्या के लिए भी किया जा सकता है। यह असतत-स्थिर वितरण के लिए एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

उदाहरण के लिए, एक कॉल सेंटर को प्रतिदिन 24 घंटे प्रति घंटे औसतन 180 कॉल प्राप्त होती हैं। कॉल स्वतंत्र हैं; एक प्राप्त करने से अगला कब आएगा इसकी संभावना नहीं बदलती है। किसी भी मिनट के समय प्राप्त कॉलों की संख्या में माध्य 3 के साथ पॉइसन संभाव्यता वितरण होता है: सबसे अधिक संभावित संख्याएं 2 और 3 हैं किंतु 1 और 4 भी संभावित हैं और इसके शून्य के समान होने की बहुत कम संभावना है और बहुत कम संभावना है यह 10 हो सकता है.

एक अन्य उदाहरण एक परिभाषित अवलोकन अवधि के समय रेडियोधर्मी स्रोत से होने वाली क्षय घटनाओं की संख्या है।

इतिहास
वितरण पहली बार शिमोन डेनिस पॉइसन (1781-1840) द्वारा प्रस्तुत किया गया था और आपराधिक और नागरिक स्थितियों में निर्णय की संभावना पर उनके कार्य अनुसंधान (1837) में उनके संभाव्यता सिद्धांत के साथ प्रकाशित किया गया था। इस कार्य ने कुछ यादृच्छिक चर पर $k$ ध्यान केंद्रित करके किसी दिए गए देश में गलत सजाओं की संख्या के बारे में सिद्धांत दिया गया है जो अन्य बातों के अतिरिक्त दी गई लंबाई के समय-अंतराल के समय होने वाली अलग-अलग घटनाओं (कभी-कभी घटनाएँ या आगमन भी कहा जाता है) की संख्या की गणना करता है। परिणाम पहले ही 1711 में अब्राहम डी मोइवरे द्वारा डी मेन्सुरा सॉर्टिस सेउ में दिया जा चुका था; लुडिस ए कैसु फोर्टुइटो पेंडेंटिबस में डी प्रोबेबिलिटेट इवेंटम है। यह इसे स्टिगलर के नियम का एक उदाहरण बनाता है और इसने कुछ लेखकों को यह तर्क देने के लिए प्रेरित किया जाता है कि पॉइसन वितरण पर डी मोइवर का नाम होना चाहिए।

1860 में, साइमन न्यूकॉम्ब ने अंतरिक्ष की एक इकाई में पाए जाने वाले तारों की संख्या के लिए पॉइसन वितरण को फिट किया गया था। इस वितरण का एक और वास्तविक अनुप्रयोग 1898 में लैडिस्लॉस बोर्टकिविज़ द्वारा किया गया था जब उन्हें प्रशिया सेना में घोड़े की लात से दुर्घटनावश मारे गए सैनिकों की संख्या की जांच करने का काम दिया गया था; इस प्रयोग ने पॉइसन वितरण को विश्वसनीयता इंजीनियरिंग के क्षेत्र में प्रस्तुत किया था ।

प्रायिकता द्रव्यमान फलन
एक असतत यादृच्छिक चर $λ$ को पॉइसन वितरण कहा जाता है पैरामीटर $$\lambda>0,$$ के साथ यदि इसमें संभाव्यता द्रव्यमान कार्य दिया गया है:
 * $$f(k; \lambda) = \Pr(X{=}k)= \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!},$$

जहाँ
 * $k$ घटनाओं की संख्या ($$k = 0, 1, 2, \ldots$$) है
 * $λ$ई (गणितीय स्थिरांक) यूलर की संख्या ($$e = 2.71828\ldots$$) है|
 * $!$ भाज्य फलन है.

सकारात्मक वास्तविक संख्या $k$ $k$ के अपेक्षित मान और इसके विचरण के समान है।
 * $$\lambda = \operatorname{E}(X) = \operatorname{Var}(X).$$

पॉइसन वितरण को बड़ी संख्या में दुर्लभ घटनाओं वाले सिस्टम पर प्रयुक्त किया जा सकता है | इस प्रकार बड़ी संख्या में संभावित घटनाएं, जिनमें से प्रत्येक दुर्लभ है। एक निश्चित समय अंतराल के समय होने वाली ऐसी घटनाओं की संख्या, सही परिस्थितियों में पॉइसन वितरण के साथ एक यादृच्छिक संख्या होती है।

समीकरण को अनुकूलित किया जा सकता है यदि, घटनाओं की औसत संख्या $$\lambda,$$ के अतिरिक्त हमें वह औसत दर $$r$$ दी जाए जिस पर घटनाएं घटित होती हैं। फिर $$\lambda = r t,$$ और:


 * $$P(k \text{ events in interval } t) = \frac{(rt)^k e^{-rt}}{k!}.$$

उदाहरण
पॉइसन वितरण निम्नलिखित घटनाओं को मॉडल करने के लिए उपयोगी हो सकता है:
 * एक वर्ष में पृथ्वी से टकराने वाले 1 मीटर से अधिक व्यास वाले उल्कापिंडों की संख्या;
 * एक विशेष समय अंतराल में डिटेक्टर से टकराने वाले लेजर फोटॉनों की संख्या; और
 * किसी परीक्षा में निम्न और उच्च अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या।

मान्यताएँ और वैधता
यदि निम्नलिखित धारणाएँ सत्य हैं तो पॉइसन वितरण एक उपयुक्त मॉडल है:
 * $k$ एक अंतराल में एक घटना घटित होने की संख्या है $N$ मान 0, 1, 2,... ले सकते हैं।
 * एक घटना के घटित होने से दूसरी घटना घटित होने की संभावना प्रभावित नहीं होती। अर्थात् घटनाएँ स्वतंत्र रूप से घटित होती हैं।
 * घटनाएँ घटित होने की औसत दर किसी भी घटना से स्वतंत्र होती है। सरलता के लिए, इसे आमतौर पर स्थिर माना जाता है, किंतु व्यवहार में समय के साथ इसमें बदलाव हो सकता है।
 * दो घटनाएँ बिल्कुल एक ही क्षण में घटित नहीं हो सकतीं; इसके अतिरिक्त, प्रत्येक बहुत छोटे उप-अंतराल पर, या तो बिल्कुल एक घटना घटती है, या कोई घटना नहीं घटती है।

यदि ये स्थितियाँ सत्य हैं, तो $X$ एक पॉइसन यादृच्छिक चर है, और का वितरण $k$ एक पॉइसन वितरण है।

पॉइसन वितरण एक द्विपद वितरण की सीमा (गणित) भी है, जिसके लिए प्रत्येक परीक्षण की सफलता की संभावना समान होती है $e$ परीक्षणों की संख्या से विभाजित किया जाता है, क्योंकि परीक्षणों की संख्या अनंत तक पहुंचती है (#संबंधित वितरण देखें)।

पॉइसन वितरण के लिए संभाव्यता के उदाहरण
किसी विशेष नदी पर, अतिप्रवाह बाढ़ औसतन हर 100 वर्ष में एक बार आती है। की संभावना की गणना करें $λ$ = 100 वर्ष के अंतराल में 0, 1, 2, 3, 4, 5, या 6 अतिप्रवाह बाढ़, यह मानते हुए कि पॉइसन मॉडल उपयुक्त है।

चूँकि औसत घटना दर प्रति 100 वर्ष में एक अतिप्रवाह बाढ़ है, $X$ = 1


 * $$ P(k \text{ overflow floods in 100 years}) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} = \frac{1^k e^{-1}}{k!}$$
 * $$ P(k = 0 \text{ overflow floods in 100 years}) = \frac{1^0 e^{-1}}{0!} = \frac{e^{-1}}{1} \approx 0.368 $$
 * $$ P(k = 1 \text{ overflow flood in 100 years}) = \frac{1^1 e^{-1}}{1!} = \frac{e^{-1}}{1} \approx 0.368 $$
 * $$ P(k = 2 \text{ overflow floods in 100 years}) = \frac{1^2 e^{-1}}{2!} = \frac{e^{-1}}{2} \approx 0.184 $$


 * {| class="wikitable"

! $k$ !! $k$($k$ overflow floods in 100 years) 100 वर्ष की अवधि में 0 से 6 अतिप्रवाह बाढ़ की संभावना।
 * 0|| 0.368
 * 1|| 0.368
 * 2|| 0.184
 * 3|| 0.061
 * 4|| 0.015
 * 5|| 0.003
 * 6|| 0.0005
 * }
 * 4|| 0.015
 * 5|| 0.003
 * 6|| 0.0005
 * }
 * 6|| 0.0005
 * }
 * }

मारिया डोलोरेस उगार्टे और सहकर्मियों की रिपोर्ट है कि विश्व कप फुटबॉल मैच में गोलों की औसत संख्या लगभग 2.5 है और पॉइसन मॉडल उपयुक्त है। क्योंकि औसत इवेंट दर 2.5 गोल प्रति मैच है, $k$ = 2.5 .


 * $$ P(k \text{ goals in a match}) = \frac{2.5^k e^{-2.5}}{k!}$$
 * $$ P(k = 0 \text{ goals in a match}) = \frac{2.5^0 e^{-2.5}}{0!} = \frac{e^{-2.5}}{1} \approx 0.082 $$
 * $$ P(k = 1 \text{ goal in a match}) = \frac{2.5^1 e^{-2.5}}{1!} = \frac{2.5 e^{-2.5}}{1} \approx 0.205 $$
 * $$ P(k = 2 \text{ goals in a match}) = \frac{2.5^2 e^{-2.5}}{2!} = \frac{6.25 e^{-2.5}}{2} \approx 0.257 $$


 * {| class="wikitable"

! $λ$ !! $k$($λ$ goals in a World Cup soccer match) एक मैच में 0 से 7 गोल की संभावना.
 * 0|| 0.082
 * 1|| 0.205
 * 2|| 0.257
 * 3|| 0.213
 * 4|| 0.133
 * 5|| 0.067
 * 6|| 0.028
 * 7|| 0.010
 * }
 * 4|| 0.133
 * 5|| 0.067
 * 6|| 0.028
 * 7|| 0.010
 * }
 * 7|| 0.010
 * }
 * }

अंतराल में एक बार होने वाली घटनाएँ: का विशेष मामला $k$=1 और $P$ = 0
मान लीजिए कि खगोलविदों का अनुमान है कि बड़े उल्कापिंड (एक निश्चित आकार से ऊपर) औसतन हर 100 साल में एक बार पृथ्वी से टकराते हैं ($k$ = 1 घटना प्रति 100 वर्ष), और यह कि उल्कापिंड हिट की संख्या पॉइसन वितरण के अनुसार होती है। की सम्भावना क्या है $λ$ = 0 अगले 100 वर्षों में उल्कापात?


 * $$ P(k = \text{0 meteorites hit in next 100 years}) = \frac{1^0 e^{-1}}{0!} = \frac{1}{e} \approx 0.37.$$

इन धारणाओं के तहत, संभावना है कि अगले 100 वर्षों में कोई बड़ा उल्कापिंड पृथ्वी से नहीं टकराएगा, लगभग 0.37 है। शेष 1 − 0.37 = 0.63 अगले 100 वर्षों में 1, 2, 3 या अधिक बड़े उल्कापिंडों के टकराने की संभावना है। उपरोक्त उदाहरण में, हर 100 साल में एक बार अतिप्रवाह बाढ़ आती है ($k$ = 1). इसी गणना के अनुसार, 100 वर्षों में अतिप्रवाह बाढ़ न आने की संभावना लगभग 0.37 थी।

सामान्य तौर पर, यदि कोई घटना प्रति अंतराल में औसतन एक बार घटित होती है ($P$ = 1), और घटनाएँ पॉइसन वितरण का अनुसरण करती हैं $k$(0 events in next interval) = 0.37. इसके साथ ही, $λ$(exactly one event in next interval) = 0.37, जैसा कि अतिप्रवाह बाढ़ के लिए तालिका में दिखाया गया है।

उदाहरण जो पॉइसन मान्यताओं का उल्लंघन करते हैं
प्रति मिनट छात्र केंद्र पर पहुंचने वाले छात्रों की संख्या संभवतः पॉइसन वितरण का पालन नहीं करेगी, क्योंकि दर स्थिर नहीं है (कक्षा समय के समय कम दर, कक्षा समय के बीच उच्च दर) और व्यक्तिगत छात्रों का आगमन स्वतंत्र नहीं है (छात्र समूहों में आते हैं)। गैर-निरंतर आगमन दर को मिश्रित पॉइसन वितरण के रूप में और व्यक्तिगत छात्रों के अतिरिक्त समूहों के आगमन को मिश्रित पॉइसन प्रक्रिया के रूप में तैयार किया जा सकता है।

किसी देश में प्रति वर्ष 5 तीव्रता वाले भूकंपों की संख्या पॉइसन वितरण के अनुरूप नहीं हो सकती है, यदि एक बड़ा भूकंप समान तीव्रता के झटकों की संभावना को बढ़ा देता है।

ऐसे उदाहरण जिनमें कम से कम एक घटना की गारंटी है, पॉइसन वितरित नहीं हैं; किंतु इसे शून्य-ट्रंकेटेड पॉइसन वितरण का उपयोग करके मॉडल किया जा सकता है।

ऐसे वितरणों की गणना करें जिनमें शून्य घटनाओं वाले अंतरालों की संख्या पॉइसन मॉडल द्वारा अनुमानित की तुलना में अधिक है, शून्य-फुलाए गए मॉडल का उपयोग करके मॉडलिंग की जा सकती है।

वर्णनात्मक आँकड़े

 * पॉइसन-वितरित यादृच्छिक चर का अपेक्षित मान और विचरण दोनों समान हैं $k$.
 * भिन्नता का गुणांक है $ \lambda^{-1/2},$ जबकि फैलाव का सूचकांक 1 है।
 * माध्य के सापेक्ष माध्य निरपेक्ष विचलन है $$\operatorname{E}[\ |X-\lambda|\ ]= \frac{2 \lambda^{\lfloor\lambda\rfloor + 1} e^{-\lambda}}{\lfloor\lambda\rfloor!}.$$
 * गैर-पूर्णांक के साथ पॉइसन-वितरित यादृच्छिक चर का मोड (सांख्यिकी)। $λ$ के समान है $$\lfloor \lambda \rfloor,$$ जो इससे कम या इसके समान का सबसे बड़ा पूर्णांक है$k$. इसे फर्श समारोह के रूप में भी लिखा जाता है($λ$). कब $λ$ एक धनात्मक पूर्णांक है, बहुलक हैं $P$ और $P$ − 1.
 * पॉइसन वितरण के सभी संचयक अपेक्षित मूल्य के समान हैं$λ$. वह $λ$ पॉइसन वितरण का वां तथ्यात्मक क्षण है $λ$$λ$.
 * पॉइसन प्रक्रिया का अपेक्षित मूल्य कभी-कभी तीव्रता और एक्सपोज़र के उत्पाद में विघटित हो जाता है (या आमतौर पर समय या स्थान पर तीव्रता कार्य के अभिन्न अंग के रूप में व्यक्त किया जाता है, जिसे कभी-कभी एक्सपोज़र के रूप में वर्णित किया जाता है)।

माध्यिका
माध्यिका के लिए सीमा ($$\nu$$) के वितरण ज्ञात हैं और गणितीय शब्दजाल # तीव्र हैं: $$\lambda - \ln 2 \le \nu < \lambda + \frac{1}{3}.$$

उच्चतर क्षण
उच्चतर गैर-केन्द्रित क्षण (गणित), $λ$$λ$ पॉइसन वितरण में, टचर्ड बहुपद हैं $λ$: $$ m_k = \sum_{i=0}^k \lambda^i \begin{Bmatrix} k \\ i \end{Bmatrix},$$ जहां {ब्रेसिज़} दूसरी तरह की स्टर्लिंग संख्याओं को दर्शाते हैं। बहुपदों के गुणांकों का एक संयोजक अर्थ होता है। वास्तव में, जब पॉइसन वितरण का अपेक्षित मूल्य 1 है, तो डोबिंस्की का सूत्र कहता है कि $λ$‑वां क्षण आकार के सेट के विभाजन की संख्या के समान है $n$.

एक साधारण बंधन है $$m_k = E[X^k] \le \left(\frac{k}{\log(k/\lambda+1)}\right)^k \le \lambda^k \exp\left(\frac{k^2}{2\lambda}\right).$$

पॉइसन-वितरित यादृच्छिक चर का योग
अगर $$X_i \sim \operatorname{Pois}(\lambda_i)$$ के लिए $$i=1,\dotsc,n$$ तो, सांख्यिकीय स्वतंत्रता हैं $\sum_{i=1}^n X_i \sim \operatorname{Pois}\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i\right).$ एक व्युत्क्रम रायकोव का प्रमेय है, जो कहता है कि यदि दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर का योग पॉइसन-वितरित है, तो उन दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर में से प्रत्येक भी वैसा ही है।

अन्य गुण

 * पॉइसन वितरण अनंत विभाज्यता (संभावना) संभाव्यता वितरण हैं।
 * निर्देशित कुल्बैक-लीब्लर विचलन $$\operatorname{Pois}(\lambda_0)$$ से $$\operatorname{Pois}(\lambda)$$ द्वारा दिया गया है $$\operatorname{D}_{\text{KL}}(\lambda\mid\lambda_0) = \lambda_0 - \lambda + \lambda \log \frac{\lambda}{\lambda_0}.$$
 * अगर $$\lambda \geq 1$$ तो, एक पूर्णांक है $$Y\sim \operatorname{Pois}(\lambda)$$ संतुष्ट $$\Pr(Y \geq E[Y]) \geq \frac{1}{2}$$ और $$\Pr(Y \leq E[Y]) \geq \frac{1}{2}.$$
 * पॉइसन यादृच्छिक चर की अंतिम संभावनाओं के लिए सीमाएं $$ X \sim \operatorname{Pois}(\lambda)$$ चेर्नॉफ़ बाध्य तर्क का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। $$P(X \geq x) \leq \frac{(e \lambda)^x e^{-\lambda}}{x^x}, \text{ for } x > \lambda,$$ $$P(X \leq x) \leq \frac{(e \lambda)^x e^{-\lambda} }{x^x}, \text{ for } x < \lambda.$$
 * ऊपरी पूंछ की संभावना को निम्नानुसार कड़ा किया जा सकता है (कम से कम दो के कारक द्वारा): $$P(X \geq x) \leq \frac{e^{-\operatorname{D}_{\text{KL}}(x\mid\lambda)}}{\max{(2, \sqrt{4\pi\operatorname{D}_{\text{KL}}(x\mid\lambda)}})}, \text{ for } x > \lambda,$$ जहाँ $$\operatorname{D}_{\text{KL}}(x\mid\lambda)$$ जैसा कि ऊपर वर्णित है, निर्देशित कुल्बैक-लीब्लर विचलन है।
 * असमानताएं जो पॉइसन यादृच्छिक चर के वितरण कार्य से संबंधित हैं $$ X \sim \operatorname{Pois}(\lambda)$$ मानक सामान्य वितरण कार्य के लिए $$ \Phi(x) $$ निम्नानुसार हैं: $$ \Phi\left(\operatorname{sign}(k-\lambda)\sqrt{2\operatorname{D}_{\text{KL}}(k\mid\lambda)}\right) < P(X \leq k) < \Phi\left(\operatorname{sign}(k-\lambda+1)\sqrt{2\operatorname{D}_{\text{KL}}(k+1\mid\lambda)}\right), \text{ for } k > 0,$$ जहाँ $$\operatorname{D}_{\text{KL}}(k\mid\lambda)$$ यह फिर से निर्देशित कुल्बैक-लीब्लर विचलन है।

पॉइसन दौड़
होने देना $$X \sim \operatorname{Pois}(\lambda)$$ और $$Y \sim \operatorname{Pois}(\mu)$$ स्वतंत्र यादृच्छिक चर बनें, साथ में $$ \lambda < \mu,$$ तो वह हमारे पास है $$ \frac{e^{-(\sqrt{\mu} -\sqrt{\lambda})^2 }}{(\lambda + \mu)^2} - \frac{e^{-(\lambda + \mu)}}{2\sqrt{\lambda \mu}} - \frac{e^{-(\lambda + \mu)}}{4\lambda \mu} \leq P(X - Y \geq 0) \leq e^{- (\sqrt{\mu} -\sqrt{\lambda})^2} $$ ऊपरी सीमा को मानक चेर्नॉफ़ बाउंड का उपयोग करके सिद्ध किया जाता है।

निचली सीमा को नोट करके सिद्ध किया जा सकता है $$ P(X-Y\geq0\mid X+Y=i)$$ संभावना यह है कि $Z \geq \frac{i}{2},$ जहाँ  $Z \sim \operatorname{Bin}\left(i, \frac{\lambda}{\lambda+\mu}\right),$  जो नीचे से घिरा हुआ है $ \frac{1}{(i+1)^2} e^{-iD\left(0.5 \| \frac{\lambda}{\lambda+\mu}\right)},$  जहाँ  $$D$$ कुल्बैक-लीबलर विचलन है (विवरण के लिए द्विपद वितरण#टेल सीमा पर प्रविष्टि देखें)। आगे ध्यान दें कि $$ X+Y \sim \operatorname{Pois}(\lambda+\mu),$$ और बिना शर्त संभाव्यता पर निचली सीमा की गणना करने से परिणाम मिलता है। अधिक विवरण कामथ एट अल के परिशिष्ट में पाया जा सकता है।

अनंत समय-चरणों के साथ एक द्विपद वितरण के रूप में
पॉइसन वितरण को द्विपद वितरण के लिए एक सीमित मामले के रूप में प्राप्त किया जा सकता है क्योंकि परीक्षणों की संख्या अनंत हो जाती है और सफलताओं की अपेक्षित मूल्य संख्या निश्चित रहती है - नीचे दुर्लभ घटनाओं का #नियम देखें। इसलिए, इसका उपयोग द्विपद वितरण के सन्निकटन के रूप में किया जा सकता है यदि $λ$ पर्याप्त रूप से बड़ा है और p पर्याप्त रूप से छोटा है। पॉइसन वितरण द्विपद वितरण का एक अच्छा सन्निकटन है यदि $n$ कम से कम 20 है और पी 0.05 से छोटा या उसके समान है, और एक उत्कृष्ट सन्निकटन है यदि $m$ ≥ 100 और $k$ ≤ 10. $$F_\mathrm{Binomial}(k;n, p) \approx F_\mathrm{Poisson}(k;\lambda=np)$$

सामान्य

 * अगर $$X_1 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_1)\,$$ और $$X_2 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_2)\,$$ स्वतंत्र हैं, फिर फर्क $$ Y = X_1 - X_2$$ स्केलम वितरण का अनुसरण करता है।
 * अगर $$X_1 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_1)\,$$ और $$X_2 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_2)\,$$ स्वतंत्र हैं, तो का वितरण $$X_1$$ सशर्त $$X_1+X_2$$ एक द्विपद वितरण है. विशेष रूप से, यदि $$X_1+X_2=k,$$ तब $$X_1| X_1+X_2=k\sim \mathrm{Binom}(k, \lambda_1/(\lambda_1+\lambda_2)).$$  अधिक सामान्यतः, यदि X1, एक्स2, ..., एक्स$λ$ मापदंडों के साथ स्वतंत्र पॉइसन यादृच्छिक चर हैं $n$1, $n$2, ..., $n$$n$ तब
 * दिया गया $$\sum_{j=1}^n X_j=k,$$ यह इस प्रकार है कि $$X_i\Big|\sum_{j=1}^n X_j=k \sim \mathrm{Binom}\left(k, \frac{\lambda_i}{\sum_{j=1}^n \lambda_j}\right).$$ वास्तव में, $$\{X_i\} \sim \mathrm{Multinom}\left(k, \left\{\frac{\lambda_i}{\sum_{j=1}^n\lambda_j}\right\}\right).$$
 * अगर $$X \sim \mathrm{Pois}(\lambda)\,$$ और का वितरण $$Y$$ X= पर सशर्त$n$ एक द्विपद वितरण है, $$Y \mid (X = k) \sim \mathrm{Binom}(k, p),$$ तब Y का वितरण पॉइसन वितरण का अनुसरण करता है $$Y \sim \mathrm{Pois}(\lambda \cdot p).$$ वास्तव में, यदि, सशर्त पर $$\{X = k\},$$ $$\{Y_i\}$$ बहुपद वितरण का अनुसरण करता है, $$\{Y_i\} \mid (X = k) \sim \mathrm{Multinom}\left(k, p_i\right),$$ फिर प्रत्येक $$Y_i$$ एक स्वतंत्र पॉइसन वितरण का अनुसरण करता है $$Y_i \sim \mathrm{Pois}(\lambda \cdot p_i), \rho(Y_i, Y_j) = 0.$$
 * पॉइसन वितरण केवल एक पैरामीटर के साथ असतत यौगिक पॉइसन वितरण (या हकलाना पॉइसन वितरण) का एक विशेष मामला है। असतत यौगिक पॉइसन वितरण को अविभाज्य बहुपद वितरण के सीमित वितरण से निकाला जा सकता है। यह एक यौगिक पॉइसन वितरण भी है#यौगिक पॉइसन वितरण के विशेष मामले।
 * पर्याप्त रूप से बड़े मूल्यों के लिए $n p$, (कहना $n$>1000), माध्य के साथ सामान्य वितरण $λ$ और विचरण $λ$ (मानक विचलन $$\sqrt{\lambda}$$) पॉइसन वितरण का एक उत्कृष्ट सन्निकटन है। अगर $λ$ लगभग 10 से अधिक है, तो यदि उचित निरंतरता सुधार किया जाता है, तो सामान्य वितरण एक अच्छा अनुमान है, अर्थात, यदि $P(X ≤ x)$, जहां x एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $P(X ≤ x + 0.5)$. $$F_\mathrm{Poisson}(x;\lambda) \approx F_\mathrm{normal}(x;\mu=\lambda,\sigma^2=\lambda)$$
 * विचरण-स्थिरीकरण परिवर्तन: यदि $$X \sim \mathrm{Pois}(\lambda),$$ तब $$Y = 2 \sqrt{X} \approx \mathcal{N}(2\sqrt{\lambda};1),$$ और $$Y = \sqrt{X} \approx \mathcal{N}(\sqrt{\lambda};1/4).$$ इस परिवर्तन के तहत, सामान्यता की ओर अभिसरण (जैसे $$\lambda$$ बढ़ता है) अपरिवर्तित चर की तुलना में कहीं अधिक तेज़ है। अन्य, थोड़े अधिक जटिल, विचरण को स्थिर करने वाले परिवर्तन उपलब्ध हैं, जिनमें से एक Anscombe परिवर्तन है। परिवर्तनों के अधिक सामान्य उपयोग के लिए डेटा परिवर्तन (सांख्यिकी) देखें।
 * यदि प्रत्येक t > 0 के लिए समय अंतराल में आगमन की संख्या $n$ माध्य λt के साथ पॉइसन वितरण का अनुसरण करता है, फिर अंतर-आगमन समय का क्रम स्वतंत्र होता है और समान रूप से वितरित घातीय वितरण यादृच्छिक चर होते हैं जिनका माध्य 1/ होता है$k$.
 * पॉइसन और ची-वर्ग वितरण के संचयी वितरण कार्य निम्नलिखित तरीकों से संबंधित हैं: $$F_\text{Poisson}(k;\lambda) = 1-F_{\chi^2}(2\lambda;2(k+1)) \quad\quad \text{ integer } k,$$ और $$P(X=k)=F_{\chi^2}(2\lambda;2(k+1)) -F_{\chi^2}(2\lambda;2k).$$

पॉइसन सन्निकटन
मान लीजिए $$X_1\sim\operatorname{Pois}(\lambda_1), X_2\sim\operatorname{Pois}(\lambda_2), \dots, X_n\sim\operatorname{Pois}(\lambda_n)$$ जहाँ $$\lambda_1 + \lambda_2 + \dots + \lambda_n=1,$$ तब $$(X_1, X_2, \dots, X_n)$$ बहुपद वितरण है $$(X_1, X_2, \dots, X_n) \sim \operatorname{Mult}(N, \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$$ पर वातानुकूलित $$N = X_1 + X_2 + \dots X_n.$$ इसका मतलब यह है, अन्य बातों के अतिरिक्त, किसी भी गैर-नकारात्मक कार्य के लिए $$f(x_1, x_2, \dots, x_n),$$ अगर $$(Y_1, Y_2, \dots, Y_n)\sim\operatorname{Mult}(m, \mathbf{p})$$ तब बहुराष्ट्रीय रूप से वितरित किया जाता है $$ \operatorname{E}[f(Y_1, Y_2, \dots, Y_n)] \le e\sqrt{m}\operatorname{E}[f(X_1, X_2, \dots, X_n)] $$ जहाँ $$(X_1, X_2, \dots, X_n)\sim\operatorname{Pois}(\mathbf{p}).$$ का कारक $$e\sqrt{m}$$ यदि 2 से प्रतिस्थापित किया जा सकता है $$f$$ आगे यह माना जाता है कि यह नीरस रूप से बढ़ रहा है या घट रहा है।

द्विचर पॉइसन वितरण
इस वितरण को संयुक्त संभाव्यता वितरण मामले तक बढ़ा दिया गया है। इस वितरण के लिए जनरेटिंग कार्य है $$ g( u, v ) = \exp[ ( \theta_1 - \theta_{12} )( u - 1 ) + ( \theta_2 - \theta_{12} )(v - 1) + \theta_{12} ( uv - 1 ) ] $$ साथ $$ \theta_1, \theta_2 > \theta_{ 12 } > 0 $$ सीमांत वितरण पॉइसन(θ) हैं1) और पॉइसन(i2) और सहसंबंध गुणांक सीमा तक सीमित है $$ 0 \le \rho \le \min\left\{ \sqrt{ \frac{ \theta_1 }{ \theta_2 } }, \sqrt{ \frac{ \theta_2 }{ \theta_1 } } \right\}$$ द्विचर पॉइसन वितरण उत्पन्न करने का एक सरल तरीका $$X_1,X_2$$ तीन स्वतंत्र पॉइसन वितरण लेना है $$Y_1,Y_2,Y_3$$ साधन के साथ $$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$$ और फिर सेट करें $$X_1 = Y_1 + Y_3, X_2 = Y_2 + Y_3.$$ द्विचर पॉइसन वितरण का संभाव्यता फलन है $$ \Pr(X_1=k_1,X_2=k_2) = \exp\left(-\lambda_1-\lambda_2-\lambda_3\right) \frac{\lambda_1^{k_1}}{k_1!} \frac{\lambda_2^{k_2}}{k_2!} \sum_{k=0}^{\min(k_1,k_2)} \binom{k_1}{k} \binom{k_2}{k} k! \left( \frac{\lambda_3}{\lambda_1\lambda_2}\right)^k $$

मुफ्त पॉइसन वितरण
निःशुल्क पॉइसन वितरण छलांग के आकार के साथ $$\alpha$$ और दर $$\lambda$$ मुक्त संभाव्यता सिद्धांत में बार-बार मुक्त कनवल्शन की सीमा के रूप में उत्पन्न होता है $$\left( \left(1-\frac{\lambda}{N}\right)\delta_0 + \frac{\lambda}{N}\delta_\alpha\right)^{\boxplus N}$$ जैसा $N → ∞$.

दूसरे शब्दों में, चलो $$X_N$$ यादृच्छिक चर बनें ताकि $$X_N$$ मूल्य है $$\alpha$$ संभाव्यता के साथ $\frac{\lambda}{N}$ और शेष प्रायिकता के साथ मान 0 है। यह भी मान लें कि परिवार $$X_1, X_2, \ldots$$ स्वतंत्र स्वतंत्रता हैं. फिर सीमा के रूप में $$N \to \infty$$ के कानून का $$X_1 + \cdots +X_N$$ फ्री पॉइसन कानून द्वारा मापदंडों के साथ दिया गया है $$\lambda,\alpha.$$ यह परिभाषा उन तरीकों में से एक के अनुरूप है जिसमें शास्त्रीय पॉइसन वितरण (शास्त्रीय) पॉइसन प्रक्रिया से प्राप्त किया जाता है।

मुक्त पॉइसन नियम से संबंधित माप किसके द्वारा दिया गया है? $$\mu=\begin{cases} (1-\lambda) \delta_0 + \nu,& \text{if } 0\leq \lambda \leq 1 \\ \nu, & \text{if }\lambda >1, \end{cases}$$ जहाँ $$\nu = \frac{1}{2\pi\alpha t}\sqrt{4\lambda \alpha^2 - ( t - \alpha (1+\lambda))^2} \, dt$$ और समर्थन है $$[\alpha (1-\sqrt{\lambda})^2,\alpha (1+\sqrt{\lambda})^2].$$ यह कानून मार्चेंको-पास्टूर कानून के रूप में यादृच्छिक मैट्रिक्स सिद्धांत में भी उत्पन्न होता है। इसके Cumulant#Free Cumulant समान होते हैं $$\kappa_n=\lambda\alpha^n.$$

इस कानून के कुछ परिवर्तन
हम मुक्त पॉइसन कानून के कुछ महत्वपूर्ण परिवर्तनों के मूल्य देते हैं; गणना उदाहरण के लिए पाई जा सकती है ए. नीका और आर. स्पीचर द्वारा लिखित पुस्तक लेक्चर्स ऑन द कॉम्बिनेटरिक्स ऑफ फ्री प्रोबेबिलिटी में मुक्त पॉइसन कानून का आर-रूपांतरण किसके द्वारा दिया गया है? $$R(z)=\frac{\lambda \alpha}{1-\alpha z}. $$ कॉची ट्रांसफॉर्म (जो स्टिल्टजेस परिवर्तन का नकारात्मक है) द्वारा दिया गया है $$ G(z) = \frac{ z + \alpha - \lambda \alpha - \sqrt{ (z-\alpha (1+\lambda))^2 - 4 \lambda \alpha^2}}{2\alpha z} $$ एस-परिवर्तन द्वारा दिया गया है $$S(z) = \frac{1}{z+\lambda}$$ उस मामले में $$\alpha = 1.$$

वेइबुल और स्थिर गिनती
पॉइसन की संभाव्यता द्रव्यमान फलन $$ f(k; \lambda)$$ वेइबुल वितरण के उत्पाद वितरण के समान रूप और स्थिर गणना वितरण के एक भिन्न रूप में व्यक्त किया जा सकता है। परिवर्तनशील $$ (k+1) $$ स्थिर गणना वितरण में लेवी के स्थिरता पैरामीटर के विपरीत माना जा सकता है: $$   f(k; \lambda) = \displaystyle\int_0^\infty \frac{1}{u} \, W_{k+1}(\frac{\lambda}{u}) \left[ \left(k+1\right) u^k \, \mathfrak{N}_{\frac{1}{k+1}}\left(u^{k+1}\right) \right] \, du , $$ जहाँ $$\mathfrak{N}_{\alpha}(\nu)$$ आकृति का एक मानक स्थिर गणना वितरण है $$ \alpha = 1/\left(k+1\right),$$ और $$W_{k+1}(x)$$ आकार का एक मानक वेइबुल वितरण है $$k+1.$$

पैरामीटर अनुमान
का एक नमूना दिया गया है $λ$ माप मूल्यों $$k_i \in \{0,1,\dots\},$$ के लिए $i = 1, ..., n$, हम पैरामीटर के मान का अनुमान लगाना चाहते हैं $λ$ पॉइसन आबादी का जिससे नमूना लिया गया था। अधिकतम संभावना अनुमान है
 * $$\widehat{\lambda}_\mathrm{MLE}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n k_i\ .$$

चूँकि प्रत्येक अवलोकन में अपेक्षा होती है $λ$ तो नमूने का मतलब है। इसलिए, अधिकतम संभावना अनुमान एक निष्पक्ष अनुमानक है $λ$. यह एक कुशल अनुमानक भी है क्योंकि इसका विचरण क्रैमर-राव निचली सीमा (सीआरएलबी) को प्राप्त करता है। इसलिए यह न्यूनतम-विचरण निष्पक्ष अनुमानक है | न्यूनतम-विचरण निष्पक्ष। यह भी सिद्ध किया जा सकता है कि योग (और इसलिए नमूना का मतलब है क्योंकि यह योग का एक-से-एक कार्य है) एक पूर्ण और पर्याप्त आँकड़ा है $λ$.

पर्याप्तता साबित करने के लिए हम पर्याप्त आँकड़े का उपयोग कर सकते हैं। नमूने के लिए संयुक्त पॉइसन वितरण की संभाव्यता द्रव्यमान कार्य को दो भागों में विभाजित करने पर विचार करें: एक जो पूरी तरह से नमूने पर निर्भर करता है $$\mathbf{x}$$ (बुलाया $$h(\mathbf{x})$$) और एक जो पैरामीटर पर निर्भर करता है $$\lambda$$ और नमूना $$\mathbf{x}$$ केवल कार्य के माध्यम से $$T(\mathbf{x}).$$ तब $$T(\mathbf{x})$$ के लिए पर्याप्त आँकड़ा है $$\lambda.$$
 * $$ P(\mathbf{x})=\prod_{i=1}^n\frac{\lambda^{x_i} e^{-\lambda}}{x_i!}=\frac{1}{\prod_{i=1}^n x_i!} \times \lambda^{\sum_{i=1}^n x_i}e^{-n\lambda} $$

पहला पद, $$h(\mathbf{x},$$ पर ही निर्भर करता है $$\mathbf{x}.$$ दूसरा कार्यकाल, $$g(T(\mathbf{x})|\lambda),$$ के माध्यम से ही नमूने पर निर्भर करता है $T(\mathbf{x})=\sum_{i=1}^n x_i.$ इस प्रकार, $$T(\mathbf{x})$$ काफी है।

पैरामीटर खोजने के लिए $[0, t]$ जो पॉइसन आबादी के लिए संभाव्यता कार्य को अधिकतम करता है, हम संभावना कार्य के लघुगणक का उपयोग कर सकते हैं:


 * $$ \begin{align}

\ell(\lambda) & = \ln \prod_{i=1}^n f(k_i \mid \lambda) \\ & = \sum_{i=1}^n \ln\!\left(\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k_i}}{k_i!}\right) \\ & = -n\lambda + \left(\sum_{i=1}^n k_i\right) \ln(\lambda) - \sum_{i=1}^n \ln(k_i!). \end{align} $$ हम इसका व्युत्पन्न लेते हैं $$\ell$$ इसके संबंध में $λ$ और इसकी तुलना शून्य से करें:


 * $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda} \ell(\lambda) = 0 \iff -n + \left(\sum_{i=1}^n k_i\right) \frac{1}{\lambda} = 0. \!$$

के लिए समाधान $n$ एक स्थिर बिंदु देता है।


 * $$ \lambda = \frac{\sum_{i=1}^n k_i}{n}$$

इसलिए $λ$ का औसत है $λ$i मूल्य. स्थिर बिंदु पर L के दूसरे अवकलज का चिन्ह प्राप्त करने से यह निर्धारित होगा कि किस प्रकार का चरम मान है $λ$ है।


 * $$\frac{\partial^2 \ell}{\partial \lambda^2} = -\lambda^{-2}\sum_{i=1}^n k_i $$

स्थिर बिंदु पर दूसरे व्युत्पन्न का मूल्यांकन करने पर यह मिलता है:


 * $$\frac{\partial^2 \ell}{\partial \lambda^2} = - \frac{n^2}{\sum_{i=1}^n k_i} $$

जो कि नकारात्मक है $λ$ k के औसत के व्युत्क्रम का गुनाi. औसत सकारात्मक होने पर यह अभिव्यक्ति नकारात्मक होती है। यदि यह संतुष्ट है, तो स्थिर बिंदु संभाव्यता कार्य को अधिकतम करता है।

पूर्णता (सांख्यिकी) के लिए, वितरण के एक परिवार को पूर्ण कहा जाता है यदि और केवल यदि $$ E(g(T)) = 0$$ इसका आशय है $$P_\lambda(g(T) = 0) = 1$$ सभी के लिए $$\lambda.$$ यदि व्यक्ति $$X_i$$ आईआईडी हैं $$\mathrm{Po}(\lambda),$$ तब $T(\mathbf{x})=\sum_{i=1}^n X_i\sim \mathrm{Po}(n\lambda).$ जिस वितरण की हम जांच करना चाहते हैं उसे जानने से यह देखना आसान है कि आँकड़ा पूरा हो गया है।


 * $$E(g(T))=\sum_{t=0}^\infty g(t)\frac{(n\lambda)^te^{-n\lambda}}{t!} = 0$$

इस समानता को कायम रखने के लिए, $$g(t)$$ 0 होना चाहिए। यह इस तथ्य से पता चलता है कि अन्य कोई भी पद सभी के लिए 0 नहीं होगा $$t$$ योग में और सभी संभावित मूल्यों के लिए $$\lambda.$$ इस तरह, $$E(g(T)) = 0$$ सभी के लिए $$\lambda$$ इसका आशय है $$P_\lambda(g(T) = 0) = 1,$$ और आँकड़ा पूर्ण दिखाया गया है।

आत्मविश्वास अंतराल
पॉइसन वितरण के माध्य के लिए विश्वास अंतराल को पॉइसन और ची-स्क्वायर वितरण के संचयी वितरण कार्यों के बीच संबंध का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है। ची-वर्ग वितरण स्वयं गामा वितरण से निकटता से संबंधित है, और यह एक वैकल्पिक अभिव्यक्ति की ओर ले जाता है। एक अवलोकन दिया गया $λ$ माध्य μ के साथ पॉइसन वितरण से, आत्मविश्वास स्तर के साथ μ के लिए एक विश्वास अंतराल $1 – α$ है


 * $$\tfrac {1}{2}\chi^{2}(\alpha/2; 2k) \le \mu \le \tfrac {1}{2} \chi^{2}(1-\alpha/2; 2k+2), $$

या समकक्ष,


 * $$F^{-1}(\alpha/2; k,1) \le \mu \le F^{-1}(1-\alpha/2; k+1,1),$$

जहाँ $$\chi^{2}(p;n)$$ ची-वर्ग वितरण का मात्रात्मक कार्य (निचले पूंछ क्षेत्र पी के अनुरूप) है $λ$ स्वतंत्रता की डिग्री और $$F^{-1}(p;n,1)$$ आकार पैरामीटर n और स्केल पैरामीटर 1 के साथ गामा वितरण का मात्रात्मक कार्य है। यह अंतराल इस अर्थ में 'सटीक आँकड़े' है कि इसकी कवरेज संभावना कभी भी नाममात्र से कम नहीं होती है $1 – α$.

जब गामा वितरण की मात्राएँ उपलब्ध नहीं होती हैं, तो इस सटीक अंतराल का एक सटीक अनुमान प्रस्तावित किया गया है (विल्सन-हिल्फ़र्टी परिवर्तन के आधार पर):
 * $$k \left( 1 - \frac{1}{9k} - \frac{z_{\alpha/2}}{3\sqrt{k}}\right)^3 \le \mu \le (k+1) \left( 1 - \frac{1}{9(k+1)} + \frac{z_{\alpha/2}}{3\sqrt{k+1}}\right)^3, $$

जहाँ $$z_{\alpha/2}$$ ऊपरी पूंछ क्षेत्र के साथ मानक सामान्य विचलन को दर्शाता है $α / 2$.

उपरोक्त के समान संदर्भ में इन सूत्रों के अनुप्रयोग के लिए (एक नमूना दिया गया है)। $λ$ माप मूल्यों $λ$i प्रत्येक माध्य के साथ पॉइसन वितरण से लिया गया है $k$), एक सेट होगा


 * $$k=\sum_{i=1}^n k_i ,$$

के लिए एक अंतराल की गणना करें $λ$ = $n$, और फिर इसके लिए अंतराल प्राप्त करें $k$.

बायेसियन अनुमान
बायेसियन अनुमान में, दर पैरामीटर के लिए संयुग्म पूर्व $n$पॉइसन वितरण का गामा वितरण है। होने देना


 * $$\lambda \sim \mathrm{Gamma}(\alpha, \beta) $$

उसे निरूपित करें $n$ को गामा संभाव्यता घनत्व कार्य जी के अनुसार आकार पैरामीटर α और व्युत्क्रम स्केल पैरामीटर β के संदर्भ में वितरित किया जाता है:


 * $$ g(\lambda \mid \alpha,\beta) = \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} \; \lambda^{\alpha-1} \; e^{-\beta\,\lambda} \qquad \text{ for } \lambda>0 \,\!.$$

फिर, का वही नमूना दिया गया $k$ माप मूल्यों $λ$i #अधिकतम संभावना, और गामा(α, β) से पहले, पश्च वितरण है


 * $$\lambda \sim \mathrm{Gamma}\left(\alpha + \sum_{i=1}^n k_i, \beta + n\right).$$

ध्यान दें कि पिछला माध्य रैखिक है और इसके द्वारा दिया गया है
 * $$ E[ \lambda | k_1, \ldots, k_n ] = \frac{\alpha + \sum_{i=1}^n k_i}{\beta + n}.$$

यह दिखाया जा सकता है कि गामा वितरण ही एकमात्र पूर्व है जो सशर्त माध्य की रैखिकता को प्रेरित करता है। इसके अतिरिक्त, एक विपरीत परिणाम मौजूद है जो बताता है कि यदि सशर्त माध्य एक रैखिक कार्य के करीब है $$L_2$$ के पूर्व वितरण की तुलना में दूरी $μ$ लेवी मीट्रिक में गामा वितरण के करीब होना चाहिए। पश्च माध्य E[$n λ$] अधिकतम संभावना अनुमान के करीब पहुंचता है $$\widehat{\lambda}_\mathrm{MLE}$$ के रूप में सीमा में $$\alpha\to 0, \beta \to 0,$$ जो गामा वितरण के माध्य की सामान्य अभिव्यक्ति से तुरंत अनुसरण करता है।

एकल अतिरिक्त अवलोकन के लिए पश्च भविष्य कहनेवाला वितरण एक नकारात्मक द्विपद वितरण है,कभी-कभी इसे गामा-पॉइसन वितरण भी कहा जाता है।

एकाधिक पॉइसन का एक साथ अनुमान का अर्थ है
कल्पना करना $$X_1, X_2, \dots, X_p$$ के एक सेट से स्वतंत्र यादृच्छिक चर का एक सेट है $$p$$ पॉइसन वितरण, प्रत्येक एक पैरामीटर के साथ $$\lambda_i,$$ $$i=1,\dots, p,$$ और हम इन मापदंडों का अनुमान लगाना चाहेंगे। फिर, क्लीवेन्सन और ज़िडेक दिखाते हैं कि सामान्यीकृत वर्ग त्रुटि हानि के तहत $L(\lambda,{\hat \lambda})=\sum_{i=1}^p \lambda_i^{-1} ({\hat \lambda}_i-\lambda_i)^2,$ कब $$p>1,$$ फिर, सामान्य साधनों के लिए स्टीन के उदाहरण के समान, एमएलई अनुमानक $${\hat \lambda}_i = X_i$$ स्वीकार्य निर्णय नियम है.

इस मामले में, किसी के लिए मिनिमैक्स अनुमानकों का एक परिवार दिया गया है $$0 < c \leq 2(p-1)$$ और $$b \geq (p-2+p^{-1})$$ जैसा
 * $${\hat \lambda}_i = \left(1 - \frac{c}{b + \sum_{i=1}^p X_i}\right) X_i, \qquad i=1,\dots,p.$$

घटना और अनुप्रयोग
पॉइसन वितरण के अनुप्रयोग कई क्षेत्रों में पाए जा सकते हैं जिनमें शामिल हैं:
 * सामान्य रूप से डेटा की गणना करें
 * दूरसंचार उदाहरण: एक सिस्टम में आने वाली टेलीफोन कॉलें।
 * खगोल विज्ञान उदाहरण: दूरबीन पर आने वाले फोटॉन।
 * रसायन विज्ञान उदाहरण: जीवित पोलीमराइज़ेशन का दाढ़ द्रव्यमान वितरण।
 * जीवविज्ञान उदाहरण: प्रति इकाई लंबाई डीएनए के एक स्ट्रैंड पर उत्परिवर्तन की संख्या।
 * प्रबंधन उदाहरण: काउंटर या कॉल सेंटर पर पहुंचने वाले ग्राहक।
 * वित्त और बीमा उदाहरण: किसी निश्चित समयावधि में होने वाले नुकसान या दावों की संख्या।
 * भूकंप भूकंप विज्ञान उदाहरण: बड़े भूकंपों के लिए भूकंपीय जोखिम का एक स्पर्शोन्मुख पॉइसन मॉडल।
 * रेडियोधर्मिता उदाहरण: रेडियोधर्मी नमूने में एक निश्चित समय अंतराल में क्षय की संख्या।
 * प्रकाशिकी उदाहरण: एक लेजर पल्स में उत्सर्जित फोटॉन की संख्या। यह अधिकांश क्वांटम कुंजी वितरण प्रोटोकॉल के लिए एक प्रमुख भेद्यता है जिसे फोटॉन नंबर स्प्लिटिंग (पीएनएस) के रूप में जाना जाता है।

पॉइसन वितरण पॉइसन प्रक्रियाओं के संबंध में उत्पन्न होता है। यह असतत गुणों की विभिन्न घटनाओं पर प्रयुक्त होता है (अर्थात्, जो किसी निश्चित अवधि के समय या किसी दिए गए क्षेत्र में 0, 1, 2, 3, ... बार घटित हो सकती हैं) जब भी घटना के घटित होने की संभावना समय में स्थिर होती है या अंतरिक्ष। घटनाओं के उदाहरण जिन्हें पॉइसन वितरण के रूप में तैयार किया जा सकता है, उनमें शामिल हैं:

पैट्रिक एक्स. गैलाघेर ने 1976 में दिखाया कि छोटे अंतरालों में अभाज्य संख्याओं की गिनती पॉइसन वितरण का पालन करती है अप्रमाणित दूसरे हार्डी-लिटलवुड अनुमान का एक निश्चित संस्करण प्रदान किया गया | हार्डी-लिटलवुड का प्राइम आर-टुपल अनुमान क्या सच है।
 * प्रशिया की घुड़सवार सेना में प्रत्येक कोर में हर साल घोड़े की लात से मारे गए सैनिकों की संख्या। इस उदाहरण का उपयोग लैडिस्लॉस बोर्टकिविज़ (1868-1931) की एक पुस्तक में किया गया था।
 * गिनीज बियर बनाते समय उपयोग की जाने वाली यीस्ट कोशिकाओं की संख्या। इस उदाहरण का उपयोग विलियम सीली गॉसेट (1876-1937) द्वारा किया गया था।
 * एक मिनट के भीतर कॉल सेंटर पर आने वाली फ़ोन कॉल की संख्या। इस उदाहरण का वर्णन एग्नर क्ररुप एरलांग|ए.के. द्वारा किया गया था। एरलांग (1878-1929)।
 * इंटरनेट ट्रैफिक.
 * दो प्रतिस्पर्धी टीमों से जुड़े खेलों में लक्ष्यों की संख्या।
 * किसी दिए गए आयु वर्ग में प्रति वर्ष होने वाली मौतों की संख्या।
 * एक निश्चित समय अंतराल में स्टॉक मूल्य में उछाल की संख्या।
 * पॉइसन प्रक्रिया#सजातीय की एक धारणा के तहत, प्रति मिनट एक वेब सर्वर तक पहुंचने की संख्या।
 * विकिरण की एक निश्चित मात्रा के बाद डीएनए के एक निश्चित विस्तार में उत्परिवर्तन की संख्या।
 * कोशिकाओं (जीव विज्ञान) का अनुपात जो संक्रमण की दी गई बहुलता पर संक्रमित होगा।
 * द्रव की एक निश्चित मात्रा में जीवाणुओं की संख्या।
 * एक निश्चित रोशनी और एक निश्चित समय अवधि में पिक्सेल सर्किट पर फोटॉन का आगमन।
 * द्वितीय विश्व युद्ध के समय लंदन पर वी-1 उड़ने वाले बमों को निशाना बनाने की जांच 1946 में आर. डी. क्लार्क द्वारा की गई।

दुर्लभ घटनाओं का नियम
किसी घटना की दर किसी छोटे उपअंतराल (समय, स्थान या अन्य) में घटित होने वाली घटना की संभावना से संबंधित होती है। पॉइसन वितरण के मामले में, कोई यह मानता है कि एक छोटा पर्याप्त उपअंतराल मौजूद है जिसके लिए किसी घटना के दो बार घटित होने की संभावना नगण्य है। इस धारणा के साथ कोई भी द्विपद वितरण से पॉइसन वितरण प्राप्त कर सकता है, केवल पूरे अंतराल में कुल घटनाओं की अपेक्षित संख्या की जानकारी दी गई है।

मान लीजिए कि पूरे अंतराल में घटनाओं की कुल संख्या को निरूपित किया जाता है $$\lambda.$$ पूरे अंतराल को इसमें विभाजित करें $$n$$ उपअंतराल $$I_1,\dots,I_n$$ समान आकार का, ऐसा कि $$n > \lambda$$ (चूँकि हम अंतराल के केवल बहुत छोटे हिस्से में रुचि रखते हैं, यह धारणा सार्थक है)। इसका मतलब है कि प्रत्येक में घटनाओं की अपेक्षित संख्या $λ$ उपअंतराल समान है $$\lambda/n.$$ अब हम यह मान लेते हैं कि पूरे अंतराल में किसी घटना के घटित होने को एक क्रम के रूप में देखा जा सकता है $λ$ बर्नौली परीक्षण, जहां $$i$$-वां बर्नौली परीक्षण यह देखने से मेल खाता है कि क्या कोई घटना उप-अंतराल पर होती है $$I_i$$ संभाव्यता के साथ $$\lambda/n.$$ कुल घटनाओं की अपेक्षित संख्या $$n$$ ऐसे परीक्षण होंगे $$\lambda,$$ पूरे अंतराल में कुल घटनाओं की अपेक्षित संख्या। इसलिए अंतराल के प्रत्येक उपखंड के लिए हमने बर्नौली प्रक्रिया के रूप में घटना की घटना का अनुमान लगाया है $$\textrm{B}(n,\lambda/n).$$ जैसा कि हमने पहले नोट किया है, हम केवल बहुत छोटे उपअंतरालों पर विचार करना चाहते हैं। इसलिए, हम सीमा को इस प्रकार लेते हैं $$n$$ अनंत तक जाता है.

इस मामले में द्विपद वितरण पॉइसन सीमा प्रमेय द्वारा पॉइसन वितरण के रूप में जाना जाता है।

उपरोक्त कई उदाहरणों में - जैसे, डीएनए के दिए गए अनुक्रम में उत्परिवर्तन की संख्या - गिनाई जा रही घटनाएं वास्तव में अलग-अलग परीक्षणों के परिणाम हैं, और अधिक सटीक रूप से द्विपद वितरण का उपयोग करके मॉडलिंग की जाएगी, अर्थात $$X \sim \textrm{B}(n,p).$$ इस तरह के स्थितियों में $λ$ बहुत बड़ा है और $n$ बहुत छोटा है (और इसलिए अपेक्षा भी $k$ मध्यवर्ती परिमाण का है)। तब वितरण का अनुमान कम बोझिल पॉइसन वितरण द्वारा लगाया जा सकता है $$X \sim \textrm{Pois}(np).$$ इस सन्निकटन को कभी-कभी दुर्लभ घटनाओं के नियम के रूप में जाना जाता है, प्रत्येक के बाद से $λ$ व्यक्तिगत बर्नौली वितरण शायद ही कभी होता है।

दुर्लभ घटनाओं का नाम कानून भ्रामक हो सकता है क्योंकि पॉइसन प्रक्रिया में सफलता की घटनाओं की कुल गिनती दुर्लभ होने की आवश्यकता नहीं है यदि पैरामीटर $λ$ छोटा नहीं है. उदाहरण के लिए, एक घंटे में एक व्यस्त स्विचबोर्ड पर टेलीफोन कॉल की संख्या पॉइसन वितरण के अनुसार होती है, जिसमें घटनाएँ ऑपरेटर को बार-बार दिखाई देती हैं, किंतु वे आबादी के औसत सदस्य के दृष्टिकोण से दुर्लभ हैं, जो करने की बहुत संभावना नहीं है उस घंटे में उस स्विचबोर्ड पर एक कॉल।

द्विपद वितरण का प्रसरण पॉइसन वितरण का 1 - पी गुना है, इसलिए जब पी बहुत छोटा है तो लगभग समान है।

कानून शब्द का प्रयोग कभी-कभी संभाव्यता वितरण के पर्याय के रूप में किया जाता है, और कानून में अभिसरण का अर्थ वितरण में अभिसरण है। तदनुसार, पॉइसन वितरण को कभी-कभी छोटी संख्याओं का नियम कहा जाता है क्योंकि यह किसी घटना की घटनाओं की संख्या का संभाव्यता वितरण है जो शायद ही कभी घटित होती है किंतु जिसके घटित होने के बहुत अधिक अवसर होते हैं। द लॉ ऑफ़ स्मॉल नंबर्स पॉइसन वितरण के बारे में लैडिस्लॉस बोर्टकिविज़ की एक पुस्तक है, जो 1898 में प्रकाशित हुई थी।

पॉइसन बिंदु प्रक्रिया
पॉइसन वितरण किसी परिमित क्षेत्र में स्थित पॉइसन बिंदु प्रक्रिया के बिंदुओं की संख्या के रूप में उत्पन्न होता है। अधिक विशेष रूप से, यदि D कुछ क्षेत्रीय स्थान है, उदाहरण के लिए यूक्लिडियन स्थान 'R'd, जिसके लिए |D|, क्षेत्र, आयतन या, अधिक सामान्यतः, क्षेत्र का लेबेस्ग माप सीमित है, और यदि $N(D)$ फिर, डी में अंकों की संख्या को दर्शाता है


 * $$ P(N(D)=k)=\frac{(\lambda|D|)^k e^{-\lambda|D|}}{k!} .$$

पॉइसन प्रतिगमन और नकारात्मक द्विपद प्रतिगमन
पॉइसन प्रतिगमन और नकारात्मक द्विपद प्रतिगमन उन विश्लेषणों के लिए उपयोगी हैं जहां आश्रित (प्रतिक्रिया) चर गिनती है (0, 1, 2, ... ) किसी अंतराल में घटनाओं या घटनाओं की संख्या।

विज्ञान में अन्य अनुप्रयोग
पॉइसन प्रक्रिया में, देखी गई घटनाओं की संख्या इसके माध्य के बारे में उतार-चढ़ाव करती है $n$ मानक विचलन के साथ $$\sigma_k =\sqrt{\lambda}.$$ इन उतार-चढ़ावों को पॉइसन शोर या (विशेष रूप से विद्युत प्रवाह) शॉट शोर के रूप में दर्शाया जाता है।

स्वतंत्र असतत घटनाओं की गणना में माध्य और मानक विचलन का सहसंबंध वैज्ञानिक रूप से उपयोगी है। माध्य संकेत के साथ उतार-चढ़ाव कैसे भिन्न होता है, इसकी निगरानी करके, कोई एक घटना के योगदान का अनुमान लगा सकता है, भले ही वह योगदान सीधे तौर पर पता लगाने के लिए बहुत छोटा हो। उदाहरण के लिए, एक इलेक्ट्रॉन पर चार्ज ई का अनुमान विद्युत धारा के परिमाण को उसके शॉट शोर के साथ सहसंबंधित करके लगाया जा सकता है। यदि N इलेक्ट्रॉन किसी निश्चित समय t में औसतन एक बिंदु से गुजरते हैं, तो औसत विद्युत धारा होती है $$I=eN/t$$; चूँकि वर्तमान उतार-चढ़ाव क्रम का होना चाहिए $$\sigma_I = e\sqrt{N}/t$$ (अर्थात्, पॉइसन प्रक्रिया का मानक विचलन), आवेश $$e$$ अनुपात से अनुमान लगाया जा सकता है $$t\sigma_I^2/I.$$

इसका एक रोजमर्रा का उदाहरण वह दानेदारपन है जो तस्वीरों को बड़ा करने पर दिखाई देता है; दानेदारपन कम चांदी के दानों की संख्या में पॉइसन के उतार-चढ़ाव के कारण होता है, न कि व्यक्तिगत दानों के कारण। वृद्धि की डिग्री के साथ दानेदारता को सहसंबंधित करके, एक व्यक्तिगत दाने के योगदान का अनुमान लगाया जा सकता है (जो अन्यथा बिना सहायता के देखे जाने के लिए बहुत छोटा है)। पॉइसन शोर के कई अन्य आणविक अनुप्रयोग विकसित किए गए हैं, उदाहरण के लिए, कोशिका झिल्ली में रिसेप्टर (जैव रसायन) अणुओं की संख्या घनत्व का अनुमान लगाना।
 * $$ \Pr(N_t=k) = f(k;\lambda t) = \frac{(\lambda t)^k e^{-\lambda t}}{k!}.$$

कारण सेट सिद्धांत में स्पेसटाइम के अलग-अलग तत्व वॉल्यूम में पॉइसन वितरण का पालन करते हैं।

कम्प्यूटेशनल तरीके
पॉइसन वितरण समर्पित सॉफ़्टवेयर पुस्तकालयों के लिए दो अलग-अलग कार्य प्रस्तुत करता है: वितरण का मूल्यांकन करना $$P(k;\lambda)$$, और उस वितरण के अनुसार यादृच्छिक संख्याएँ बनाना।

पॉइसन वितरण का मूल्यांकन
कम्प्यूटिंग $$P(k;\lambda)$$ माफ़ कर दिया $$k$$ और $$\lambda$$ एक तुच्छ कार्य है जिसे की मानक परिभाषा का उपयोग करके पूरा किया जा सकता है $$P(k;\lambda)$$ घातांकीय, शक्ति और तथ्यात्मक कार्यों के संदर्भ में। हालाँकि, पॉइसन वितरण की पारंपरिक परिभाषा में दो शब्द शामिल हैं जो कंप्यूटर पर आसानी से बह सकते हैं: $n$$n$और $k!$. का अंश $k$$n$को $n$! एक पूर्णांकन त्रुटि भी उत्पन्न हो सकती है जो ई की तुलना में बहुत बड़ी है−$n$, और इसलिए एक ग़लत परिणाम दें। इसलिए संख्यात्मक स्थिरता के लिए पॉइसन संभाव्यता द्रव्यमान कार्य का मूल्यांकन इस प्रकार किया जाना चाहिए
 * $$\!f(k; \lambda)= \exp \left[ k\ln \lambda - \lambda  - \ln \Gamma (k+1) \right],$$

जो गणितीय रूप से समतुल्य है किंतु संख्यात्मक रूप से स्थिर है। गामा कार्य का प्राकृतिक लघुगणक का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है  C (प्रोग्रामिंग भाषा) मानक लाइब्रेरी (C99 संस्करण) या R (प्रोग्रामिंग भाषा) में कार्य   MATLAB या SciPy में फ़ंक्शन, या   फोरट्रान 2008 और बाद में कार्य।

कुछ कंप्यूटिंग भाषाएं पॉइसन वितरण का मूल्यांकन करने के लिए अंतर्निहित कार्य प्रदान करती हैं
 * आर (प्रोग्रामिंग भाषा): कार्य ;
 * Microsoft Excel : कार्य, संचयी वितरण को निर्दिष्ट करने के लिए एक ध्वज के साथ;
 * गणितज्ञ: अविभाज्य पॉइसन वितरण के रूप में, द्विचर पॉइसन वितरण के रूप में  ,.

यादृच्छिक भिन्न पीढ़ी
कम तुच्छ कार्य दिए गए पॉइसन वितरण से पूर्णांक यादृच्छिक चर निकालना है $$\lambda.$$ समाधान इनके द्वारा प्रदान किए जाते हैं:
 * आर (प्रोग्रामिंग भाषा): कार्य ;
 * जीएनयू वैज्ञानिक पुस्तकालय (जीएसएल): कार्य gsl_ran_poisson

डोनाल्ड नुथ द्वारा यादृच्छिक पॉइसन-वितरित संख्याएं (छद्म-यादृच्छिक संख्या नमूनाकरण) उत्पन्न करने के लिए एक सरल एल्गोरिदम दिया गया है:

एल्गोरिथम पॉइसन यादृच्छिक संख्या (नुथ): इस में: मान लीजिए L ← e−λ, k ← 0 और p ← 1. करना: क ← क + 1. [0,1] में एक समान यादृच्छिक संख्या यू उत्पन्न करें और पी ← पी × यू दें। जबकि पी > एल. वापसी क − 1.

लौटाए गए मान में जटिलता रैखिक है $n$, जो है $p$ औसत पर। इसे सुधारने के लिए कई अन्य एल्गोरिदम हैं। कुछ अहरेंस और डाइटर में दिए गए हैं, देखें नीचे।

के बड़े मूल्यों के लिए $n p$, का मान है $n$ = और−$n p$इतना छोटा हो सकता है कि उसका प्रतिनिधित्व करना कठिन हो। इसे एल्गोरिदम में बदलाव करके हल किया जा सकता है जो एक अतिरिक्त पैरामीटर STEP का उपयोग करता है जैसे कि ई−STEP कम प्रवाहित नहीं होता:

एल्गोरिथम पॉइसन यादृच्छिक संख्या (जुनहाओ, नुथ पर आधारित): इस में: होने देना $λ$बाएं ← $λ$, k ← 0 और p ← 1. करना: क ← क + 1. (0,1) में एक समान यादृच्छिक संख्या u उत्पन्न करें और p ← p × u दें। जबकि पी <1 और $k$बाएं > 0: अगर $λ$बाएं > चरण: पी ← पी × ईकदम $k$बाएं ← $k$बाएँ - कदम अन्य: पी ← पी × ई$λ$बाएं $k$बाएं ← 0 जबकि पी > 1. वापसी क − 1.

STEP का चुनाव अतिप्रवाह की सीमा पर निर्भर करता है। दोहरे परिशुद्धता फ़्लोटिंग पॉइंट प्रारूप के लिए सीमा ई के करीब है700, इसलिए 500 एक सुरक्षित कदम होना चाहिए।

के बड़े मूल्यों के लिए अन्य समाधान $λ$ अस्वीकृति नमूनाकरण और गाऊसी सन्निकटन का उपयोग करना शामिल करें।

छोटे मानों के लिए व्युत्क्रम परिवर्तन नमूनाकरण सरल और कुशल है $λ$, और प्रति नमूने केवल एक समान यादृच्छिक संख्या यू की आवश्यकता होती है। संचयी संभावनाओं की बारी-बारी से जांच की जाती है जब तक कि कोई यू से अधिक न हो जाए।

अनुक्रमिक खोज द्वारा व्युत्क्रम पर आधारित 'एल्गोरिदम' पॉइसन जनरेटर: इस में: मान लीजिए x ← 0, p ← e−λ, s ← p.        [0,1] में एक समान यादृच्छिक संख्या यू उत्पन्न करें। जबकि आप ऐसा करते हैं: एक्स ← एक्स + 1. पी ← पी × $L$ / एक्स। s ← s + p.    वापसी एक्स.

यह भी देखें

 * द्विपद वितरण
 * यौगिक पॉइसन वितरण
 * कॉनवे-मैक्सवेल-पॉइसन वितरण
 * एर्लांग वितरण
 * गामा वितरण
 * हर्मिट वितरण
 * फैलाव का सूचकांक
 * नकारात्मक द्विपद वितरण
 * पॉइज़न क्लंपिंग
 * पॉइसन बिंदु प्रक्रिया
 * पॉइसन प्रतिगमन
 * पॉइसन नमूनाकरण
 * पॉइसन वेवलेट
 * कतारबद्ध सिद्धांत
 * नवीकरण सिद्धांत
 * रॉबिन्स लेम्मा
 * स्केलम वितरण
 * ट्वीडी वितरण
 * शून्य-फुलाया हुआ मॉडल
 * शून्य-छंटाई वाला पॉइसन वितरण

स्रोत


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