लैग्रेंज उलटा प्रमेय

गणितीय विश्लेषण में, लैग्रेंज व्युत्क्रम प्रमेय, जिसे लैग्रेंज-बर्मन सूत्र के रूप में भी जाना जाता है, एक विश्लेषणात्मक फलन के व्युत्क्रम फलन का टेलर श्रृंखला विस्तार देता है।

कथन
मान लीजिए z को फॉर्म के समीकरण द्वारा w के एक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया गया है


 * $$z = f(w)$$

जहाँ $f$ एक बिंदु $a$ पर विश्लेषणात्मक है और  $$f'(a)\neq 0.$$ तब के लिए $w$ समीकरण को उलटना या हल करना संभव है, इसे व्यक्त करना $$w=g(z)$$ के रूप में एक शक्ति श्रृंखला द्वारा दिया गया
 * $$ g(z) = a + \sum_{n=1}^{\infty} g_n \frac{(z - f(a))^n}{n!}, $$

जहाँ
 * $$ g_n = \lim_{w \to a} \frac{d^{n-1}}{dw^{n-1}} \left[\left( \frac{w-a}{f(w) - f(a)} \right)^n \right]. $$

प्रमेय आगे कहता है कि इस श्रृंखला में अभिसरण का गैर-शून्य त्रिज्या है, अर्थात, $$g(z)$$ के एक विश्लेषणात्मक फलन का प्रतिनिधित्व करता है $z$ के एक निकट (गणित) में $$z= f(a).$$ इसे श्रृंखला का प्रत्यावर्तन भी कहा जाता है।

यदि विश्लेषणात्मकता के बारे में अभिकथनों को छोड़ दिया जाए, तो सूत्र औपचारिक शक्ति श्रृंखला के लिए भी मान्य है और इसे विभिन्न तरीकों से सामान्यीकृत किया जा सकता है: इसे कई चरों के फलनो के लिए तैयार किया जा सकता है; इसे किसी भी विश्लेषणात्मक फलन F के लिए F(g(z)) के लिए एक तैयार सूत्र प्रदान करने के लिए बढ़ाया जा सकता है और इसे $$f'(a)=0,$$ स्थिति में सामान्यीकृत किया जा सकता है जहां प्रतिलोम g एक बहुमूल्यवान फलन है।

18वीं सदी के अंत में इस प्रमेय को जोसेफ लुइस लाग्रेंज ने सिद्ध किया था और हैंस हेनरिक बर्मन द्वारा सामान्यीकृत किया गया था।   जटिल विश्लेषण और समोच्च एकीकरण का उपयोग करते हुए एक सीधी व्युत्पत्ति है; जटिल औपचारिक शक्ति श्रृंखला संस्करण बहुपदो के सूत्र को जानने का परिणाम है, इसलिए विश्लेषणात्मक फलनो के सिद्धांत को लागू किया जा सकता है। चूंकि, विश्लेषणात्मक फलन सिद्धांत से  यंत्र इस प्रमाण में केवल एक औपचारिक विधि से प्रवेश करती है, जिसमें सामान्यतः आवश्यक है औपचारिक शक्ति श्रृंखला की कुछ गुण है, और एक अधिक प्रत्यक्ष औपचारिक प्रमाण उपलब्ध है।

यदि f एक औपचारिक शक्ति श्रृंखला है, तो उपरोक्त सूत्र श्रृंखला f के गुणांकों के संदर्भ में सीधे संरचनागत व्युत्क्रम श्रृंखला g के गुणांक नहीं देता है। यदि कोई औपचारिक शक्ति श्रृंखला में f और g कार्यों को व्यक्त कर सकता है


 * $$f(w) = \sum_{k=0}^\infty f_k \frac{w^k}{k!} \qquad \text{and} \qquad  g(z) = \sum_{k=0}^\infty g_k \frac{z^k}{k!}$$

$f_{0} = 0$ और $f_{1} ≠ 0$, के साथ, तो प्रतिलोम गुणांकों का एक स्पष्ट रूप बेल बहुपदो के रूप में दिया जा सकता है:
 * $$ g_n = \frac{1}{f_1^n} \sum_{k=1}^{n-1} (-1)^k n^{(k)} B_{n-1,k}(\hat{f}_1,\hat{f}_2,\ldots,\hat{f}_{n-k}), \quad n \geq 2, $$

जहाँ पे
 * $$\begin{align}

\hat{f}_k &= \frac{f_{k+1}}{(k+1)f_{1}}, \\ g_1 &= \frac{1}{f_{1}}, \text{ and} \\ n^{(k)} &= n(n+1)\cdots (n+k-1) \end{align}$$ बढ़ती फैक्टोरियल है।

कब $f_{1} = 1$, अंतिम सूत्र की व्याख्या असोसिएहेड्रोन के चेहरों के संदर्भ में की जा सकती है
 * $$ g_n = \sum_{F \text{ face of } K_n} (-1)^{n-\dim F} f_F, \quad n \geq 2, $$ कहाँ पे $$ f_{F} = f_{i_{1}} \cdots f_{i_{m}} $$ प्रत्येक चेहरे के लिए $$ F = K_{i_1} \times \cdots \times K_{i_m} $$ संघ का $$ K_n .$$

उदाहरण     ASHIF
उदाहरण के लिए, डिग्री का बीजगणितीय समीकरण $p$
 * $$ x^p - x + z= 0$$

के लिए हल किया जा सकता है $x$ फ़ंक्शन के लैग्रेंज उलटा सूत्र के माध्यम से $f(x) = x − x^{p}$, जिसके परिणामस्वरूप औपचारिक श्रृंखला समाधान होता है


 * $$ x = \sum_{k=0}^\infty \binom{pk}{k} \frac{z^{(p-1)k+1} }{(p-1)k+1} . $$

अभिसरण परीक्षणों द्वारा, यह श्रृंखला वास्तव में अभिसारी है $$|z| \leq (p-1)p^{-p/(p-1)},$$ जो सबसे बड़ी डिस्क भी है जिसमें एक स्थानीय व्युत्क्रम होता है $f$ परिभाषित किया जा सकता है।

प्रमाण का रेखाचित्र
सादगी के लिए मान लीजिए $$z=0=f(w=0)$$. हम तब गणना कर सकते हैं

\oint_{w=0} \frac{d w}{2\pi i} \frac{1}{f(w) -z} = \oint_{w=0} \frac{d w}{2\pi i} \frac{1}{f'(g(z)) w + O(w^2)} = \frac{1}{f'(g(z))} = g'(f(w)) = g'(z) . $$ यदि हम ज्यामितीय श्रृंखला का उपयोग करके इंटीग्रैंड का विस्तार करते हैं तो हमें मिलता है

\oint_{w=0} \frac{d w}{2\pi i} \frac{1}{f(w) -z} = \sum_{n=0}^\infty z^n \oint_{w=0} \frac{d w}{2\pi i} \frac{1}{(f(w))^{n+1}} = \sum_{n=0}^\infty z^n \oint_{w=0} \frac{d w}{2\pi i} \frac{1}{w^{n+1}} \left(\frac{w}{f(w)}\right)^{n+1} = \sum_{n=0}^\infty \frac{ z^n }{n!} \left. \frac{d^n}{ d w^n}\left(\frac{w}{f(w)}\right)^{n+1} \right|_{w=0} , $$ जहां अंतिम चरण में हमने इस तथ्य का उपयोग किया कि $$f(w)$$ एक साधारण शून्य है।

अंत में हम एकीकृत कर सकते हैं $$z$$ ध्यान में रखना $$g(0)=0$$

g'(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{ z^n }{n!} \left. \frac{d^n}{ d w^n}\left(\frac{w}{f(w)}\right)^{n+1} \right|_{w=0} \Longrightarrow g(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{ z^{n+1} }{(n+1)!} \left. \frac{d^n}{ d w^n}\left(\frac{w}{f(w)}\right)^{n+1} \right|_{w=0} . $$ योग सूचकांक की पुनर्परिभाषा करने पर हमें कथित सूत्र प्राप्त होता है।

लैग्रेंज-बर्मन फॉर्मूला
लैग्रेंज व्युत्क्रम प्रमेय का एक विशेष मामला है जिसका उपयोग साहचर्य में किया जाता है और जब लागू होता है $$f(w)=w/\phi(w)$$ कुछ विश्लेषणात्मक के लिए $$\phi(w)$$ साथ $$\phi(0)\ne 0.$$ लेना $$a=0$$ प्राप्त करने के लिए $$f(a)=f(0)=0.$$ फिर उलटा के लिए $$g(z)$$ (संतुष्टि देने वाला $$f(g(z))\equiv z$$), अपने पास


 * $$\begin{align}

g(z) &= \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \lim_{w \to 0} \frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}} \left(\left( \frac{w}{w/\phi(w)} \right)^n \right)\right] \frac{z^n}{n!} \\ {} &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \left[\frac{1}{(n-1)!} \lim_{w \to 0} \frac{d^{n-1}}{dw^{n-1}} (\phi(w)^n) \right] z^n, \end{align}$$ जिसे वैकल्पिक रूप से लिखा जा सकता है


 * $$[z^n] g(z) = \frac{1}{n} [w^{n-1}] \phi(w)^n,$$

कहाँ पे $$[w^r]$$ एक ऑपरेटर है जो के गुणांक को निकालता है $$w^r$$ के एक समारोह की टेलर श्रृंखला में $w$.

सूत्र का एक सामान्यीकरण लाग्रेंज-बर्मन सूत्र के रूप में जाना जाता है:
 * $$[z^n] H (g(z)) = \frac{1}{n} [w^{n-1}] (H' (w) \phi(w)^n)$$

कहाँ पे $H$ एक मनमाना विश्लेषणात्मक फलन है।

कभी-कभी व्युत्पन्न $H'(w)$ काफी जटिल हो सकता है। सूत्र का एक सरल संस्करण प्रतिस्थापित करता है $H'(w)$ साथ $H(w)(1 &minus; φ'(w)/φ(w))$ पाने के लिए और


 * $$ [z^n] H (g(z)) = [w^n] H(w) \phi(w)^{n-1} (\phi(w) - w \phi'(w)), $$

कौन शामिल है $φ'(w)$ के बजाय $H'(w)$.

लैम्बर्ट डब्ल्यू फ़ंक्शन
लैम्बर्ट $W$ समारोह समारोह है $$W(z)$$ यह स्पष्ट रूप से समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है


 * $$ W(z) e^{W(z)} = z.$$

हम टेलर श्रृंखला की गणना करने के लिए प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं $$W(z)$$ पर $$z=0.$$ हम लेते हैं $$f(w) = we^w$$ तथा $$a = 0.$$ यह पहचानते हुए


 * $$\frac{d^n}{dx^n} e^{\alpha x} = \alpha^n e^{\alpha x},$$

यह देता है


 * $$\begin{align}

W(z) &= \sum_{n=1}^{\infty} \left[\lim_{w \to 0} \frac{d^{n-1}}{dw^{n-1}} e^{-nw} \right] \frac{z^n}{n!} \\ {} &= \sum_{n=1}^{\infty} (-n)^{n-1} \frac{z^n}{n!} \\ {} &= z-z^2+\frac{3}{2}z^3-\frac{8}{3}z^4+O(z^5). \end{align}$$ इस श्रृंखला की अभिसरण की त्रिज्या है $$e^{-1}$$ (लैम्बर्ट फ़ंक्शन की मुख्य शाखा देते हुए)।

एक श्रृंखला जो बड़े के लिए अभिसरण करती है $z$ (हालांकि सभी के लिए नहीं $z$) श्रृंखला व्युत्क्रम द्वारा भी प्राप्त किया जा सकता है। फलनक्रम $$f(z) = W(e^z) - 1$$ समीकरण को संतुष्ट करता है


 * $$1 + f(z) + \ln (1 + f(z)) = z.$$

फिर $$z + \ln (1 + z)$$ एक शक्ति श्रृंखला में विस्तार किया जा सकता है और उलटा किया जा सकता है। यह के लिए एक श्रृंखला देता है $$f(z+1) = W(e^{z+1})-1\text{:}$$
 * $$W(e^{1+z}) = 1 + \frac{z}{2} + \frac{z^2}{16} - \frac{z^3}{192} - \frac{z^4}{3072} + \frac{13 z^5}{61440} - O(z^6).$$

$$W(x)$$ प्रतिस्थापित करके गणना की जा सकती है $$\ln x - 1$$ के लिये $z$ उपरोक्त श्रृंखला में। उदाहरण के लिए, प्रतिस्थापन $−1$ के लिये $z$ का मान देता है $$W(1) \approx 0.567143.$$

बाइनरी पेड़
विचार करना सेट $$\mathcal{B}$$ बिना लेबल वाले बाइनरी ट्री। का एक तत्व $$\mathcal{B}$$ या तो आकार शून्य का एक पत्ता है, या दो सबट्री के साथ एक रूट नोड है। द्वारा निरूपित करें $$B_n$$ बाइनरी पेड़ों की संख्या पर $$n$$ नोड्स।

जड़ को हटाने से एक बाइनरी ट्री छोटे आकार के दो पेड़ों में टूट जाता है। यह जनरेटिंग फ़ंक्शन पर फलनात्मक समीकरण उत्पन्न करता है $$\textstyle B(z) = \sum_{n=0}^\infty B_n z^n\text{:}$$
 * $$B(z) = 1 + z B(z)^2.$$

दे $$C(z) = B(z) - 1$$, एक इस प्रकार है $$C(z) = z (C(z)+1)^2.$$ के साथ प्रमेय लागू करना $$\phi(w) = (w+1)^2$$ पैदावार
 * $$ B_n = [z^n] C(z) = \frac{1}{n} [w^{n-1}] (w+1)^{2n} = \frac{1}{n} \binom{2n}{n-1} = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n}.$$

यह दर्शाता है कि $$B_n$$ है $n$वें कैटलन संख्या।

इंटीग्रल का एसिम्प्टोटिक सन्निकटन
लाप्लास-एर्डेली प्रमेय में जो लाप्लास-प्रकार के इंटीग्रल के लिए स्पर्शोन्मुख सन्निकटन देता है, फ़ंक्शन व्युत्क्रम को एक महत्वपूर्ण कदम के रूप में लिया जाता है।

यह भी देखें

 * Fa di Bruno's सूत्र उन दो श्रृंखलाओं के गुणांकों के संदर्भ में दो औपचारिक शक्ति श्रृंखलाओं की संरचना के गुणांक देता है। समतुल्य रूप से, यह एक समग्र फलन के n वें व्युत्पन्न के लिए एक सूत्र है।
 * एक अन्य प्रमेय के लिए लैग्रेंज प्रत्यावर्तन प्रमेय जिसे कभी-कभी व्युत्क्रम प्रमेय कहा जाता है
 * औपचारिक शक्ति श्रृंखला# लैग्रेंज उलटा सूत्र

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * उलटा काम करना
 * प्रमुख शाखा

बाहरी संबंध

 * Bürmann–Lagrange series at Springer EOM
 * Bürmann–Lagrange series at Springer EOM
 * Bürmann–Lagrange series at Springer EOM