कर्ल (गणित)

सदिश कलन में, कर्ल एक ऐसा सदिश संकारक (ऑपरेटर) है जो त्रि-विमीय यूक्लिडीय अंतरिक्ष में एक सदिश क्षेत्र के अतिसूक्ष्म (अवकल) परिसंचरण का वर्णन करता है। किसी क्षेत्र में एक बिंदु के कर्ल को एक सदिश द्वारा दर्शाया जाता है जिसकी लंबाई और दिशा अधिकतम परिसंचरण के परिमाण और अक्ष को दर्शाती है। किसी क्षेत्र के कर्ल को औपचारिक रूप से क्षेत्र के प्रत्येक बिंदु पर संचलन घनत्व के रूप में परिभाषित किया जाता है।

शून्य कर्ल वाले एक सदिश क्षेत्र को अघूर्णी कहा जाता है। कर्ल सदिश क्षेत्रों के लिए अवकलन का एक रूप है। स्टोक्स की प्रमेय कलन की मूलभूत प्रमेय का संगत रूप है, जो सदिश क्षेत्र के कर्ल के सतही समाकल को सीमा वक्र के चारों ओर सदिश क्षेत्र के रेखा समाकल से संबंधित करता है।

$Curl F$ आज संयुक्त राज्य और अमेरिका के लिए एक सामान्य संकेत है। कई यूरोपीय देशों में, विशेष रूप से चिरसम्मत वैज्ञानिक शास्त्र में, पारंपरिक रूप से वैकल्पिक संकेत $rot F$ का उपयोग किया जाता है, जिसे "रोटर" के रूप में लिखा जाता है, जो उस "रोटर की दर" से व्युत्पन्न हुआ है, जिसे यह निरूपित करता है। आधुनिक लेखक भ्रम से बचने के लिए डेल (नाबला) ऑपरेटर $∇ × F$ के साथ क्रॉस गुणन संकेतन का उपयोग करते हैं, जो कर्ल (रोटर), डाइवर्जेंस और ग्रेडिएंट ऑपरेटरों के बीच के संबंध को भी प्रदर्शित करता है।

ग्रेडिएंट और डाइवर्जेंस के विपरीत, सदिश कलन में निर्मित कर्ल केवल अन्य विमाओं के लिए सामान्यीकृत नहीं होता है, बल्कि केवल त्रि-विमीय में सदिश क्षेत्र का ज्यामितीय रूप से परिभाषित कर्ल पुनः एक सदिश क्षेत्र होता है; हालाँकि कुछ सामान्यीकरण संभव हैं। यह कमी सदिश कलन की सीमाओं का प्रत्यक्ष परिणाम है; दूसरी ओर, जब इसे ज्यामितीय कलन के वेज ऑपरेटर के माध्यम से एक प्रतिसममित प्रदिश क्षेत्र के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो कर्ल सभी विमाओं को सामान्यीकृत करता है। यह दुर्भाग्यपूर्ण परिस्थिति त्रि-विमीय क्रॉस गुणन करने के समान है, और वास्तव में संयोजन, कर्ल के लिए $∇×$ संकेतन में परिलक्षित होता है।

वर्ष 1871 में जेम्स क्लर्क मैक्सवेल द्वारा पहली बार "कर्ल" नाम को प्रस्तावित किया गया था, लेकिन इस अवधारणा का स्पष्ट रूप से उपयोग पहली बार वर्ष 1839 में जेम्स मैककुलघ द्वारा एक प्रकाशिक क्षेत्र सिद्धांत के निर्माण में किया गया था।

परिभाषा
सदिश क्षेत्र $F$ का कर्ल एक ऐसा ऑपरेटर है जो $r$ में $C$ फलनों को $C$ में $F$ फलनों में प्रतिचित्रित करता है, और विशेष रूप से, यह सतत अवकलनीय फलन $R^{3}$ को सतत फलनों $C^{k}$ में प्रतिचित्रित करता है; इसे $R^{3}$, या $C^{k−1}$, या $R^{3} → R^{3}$ द्वारा निरूपित किया जाता है। इसे कई प्रकार से परिभाषित किया जा सकता है, जिसका उल्लेख नीचे किया गया है:

सदिश क्षेत्र के कर्ल को निहित रूप से एक बिंदु पर परिभाषित करने की एक विधि, इस बिंदु से गुजरने वाले विभिन्न अक्षों पर इसके प्रक्षेपों के माध्यम से है: यदि $$\mathbf{\hat{u}}$$ कोई इकाई सदिश है, तब $$\mathbf{\hat{u}}$$ पर $R^{3} → R^{3}$ के कर्ल के प्रक्षेप को संलग्न क्षेत्र से विभाजित $$\mathbf{\hat{u}}$$ पर लम्ब एक समतल में विवृत रेखा समाकल के सीमांत मान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, क्योंकि समाकलन का पथ बिंदु के चारों ओर अनंत रूप से संकुचित होता है।

अधिक विशेष रूप से, कर्ल को किसी बिंदु $curl F$ पर इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 * $$(\nabla \times \mathbf{F})(p)\cdot \mathbf{\hat{u}} \ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{{}={}} \lim_{A \to 0}\frac{1}{|A|}\oint_C \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$$

जहाँ प्रश्न में रेखा समाकल की गणना क्षेत्र $∇ × F$ की सीमा $rot F$ के अनुदिश की जाती है, $F$ क्षेत्र का परिमाण होता है। यह समीकरण $$\mathbf{\hat{u}}$$ पर $p$ के कर्ल के प्रक्षेपण को परिभाषित करती है। $$\mathbf{\hat{u}}$$, $A$ से घिरी अनंत सतहों पर एक लम्ब सदिश है। $C$ दाएँ हाथ के नियम के माध्यम से दिष्ट है।

उपरोक्त सूत्र का अर्थ है कि एक निश्चित अक्ष के अनुदिश एक सदिश क्षेत्र के कर्ल का प्रक्षेप, उस अक्ष के लंबवत समतल पर प्रक्षेपित क्षेत्र के परिसंचरण का अतिसूक्ष्म क्षेत्र घनत्व है। यह सूत्र एक निगमनात्मक वैध सदिश क्षेत्र को परिभाषित नहीं करता है, विभिन्न अक्षों के संबंध में व्यक्तिगत परिसंचरण घनत्व के लिए एक निगमन एक दूसरे से उसी प्रकार संबंधित नहीं होता है, जैसा एक सदिश के घटकों के साथ होता है; कि ये वास्तव में परस्पर इस यथार्थ तरीके से संबंधित हैं, कि इन्हें अलग से सिद्ध किया जाना चाहिए।

इस परिभाषा के लिए केल्विन-स्टोक्स प्रमेय, परिभाषा के सापेक्ष स्वाभाविक रूप से एक वैश्विक सूत्र के अनुरूप है। यह सदिश क्षेत्र के कर्ल के सतही समाकल को सतह की सीमा के चारों ओर लिए गए उपरोक्त रेखा समाकलन के बराबर करता है।

एक और विधि, एक बिंदु पर एक फलन $|A|$ के कर्ल सदिश को स्पष्ट रूप से परिबद्ध आयतन से विभाजित $F$ को परिबद्ध करने वाले एक कोश के चारों ओर एक सदिश-मान वाले सतही समाकल के सीमांत मान के रूप में परिभाषित कर सकती है, क्योंकि कोश $C$ के चारों ओर अनंत रूप से संकुचित होता है।

अधिक विशेष रूप से, कर्ल को निम्न सदिश सूत्र द्वारा परिभाषित किया जा सकता है


 * $$(\nabla \times \mathbf{F})(p) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{{}={}} \lim_{V \to 0}\frac{1}{|V|}\oint_S \mathbf{\hat{n}} \times \mathbf{F} \ \mathrm{d}S$$

जहाँ सतही समाकल की गणना आयतन $C$ की सीमा $F$ के अनुदिश की जाती है, $p$ आयतन का परिमाण है, और $$\mathbf{\hat{n}}$$, सतह $p$ से बाहर की ओर दिष्ट है, जो $V$ के प्रत्येक बिंदु पर लम्ब है।

इस सूत्र में, समाकल्य में क्रॉस गुणनफल सतह $S$ के सापेक्ष, सतह $|V|$ के प्रत्येक बिंदु पर $S$ के स्पर्शरेखीय घटकों को इन स्पर्शरेखा घटकों के दिष्टकरण के साथ मापता है। इस प्रकार, सतही समाकल अंतरिक्ष में इस परिसंचरण के कुल दिष्टकरण के साथ उस समग्र सीमा को मापता है जिस तक $S$, $S$ के चारों ओर परिसंचरित होता है। तब एक बिंदु पर एक सदिश क्षेत्र का कर्ल, बिंदु के चारों ओर क्षेत्र के कुल सदिश परिसंचरण (अर्थात्, परिमाण और स्थानिक अभिविन्यास दोनों) का अतिसूक्ष्म आयतन घनत्व होता है।

इस परिभाषा के लिए एक अन्य वैश्विक सूत्र (केल्विन-स्टोक्स प्रमेय के समान) स्वाभाविक रूप से अनुरूप है जो एक सदिश क्षेत्र के कर्ल के आयतन समाकल को आयतन की सीमा पर लिए गए उपरोक्त सतही समाकल के बराबर करता है।

जबकि कर्ल की उपरोक्त दो परिभाषाएँ निर्देशांक मुक्त हैं, फिर भी कार्तीय निर्देशांक, गोलाकार निर्देशांक, बेलनाकार निर्देशांक में या यहाँ तक कि दीर्घवृत्तीय निर्देशांक या परवलयिक निर्देशांक जैसे वक्ररेखीय लम्बकोणीय निर्देशांक में कर्ल की एक और "याद रखने के लिए आसान" परिभाषा है $$\begin{align} & (\operatorname{curl}\mathbf F)_1=\frac{1}{h_2h_3}\left (\frac{\partial (h_3F_3)}{\partial u_2}-\frac{\partial (h_2F_2)}{\partial u_3}\right ), \\[5pt] & (\operatorname{curl}\mathbf F)_2=\frac{1}{h_3h_1}\left (\frac{\partial (h_1F_1)}{\partial u_3}-\frac{\partial (h_3F_3)}{\partial u_1}\right ), \\[5pt] & (\operatorname{curl}\mathbf F)_3=\frac{1}{h_1h_2}\left (\frac{\partial (h_2F_2)}{\partial u_1}-\frac{\partial (h_1F_1)}{\partial u_2}\right ). \end{align}$$ चक्रीय क्रमपरिवर्तन 1 → 2, 2 → 3, और 3 → 1 (जहाँ सबस्क्रिप्ट प्रासंगिक सूचकांकों को निरूपित करते हैं) में एक सबस्क्रिप्ट 1, 2, 3 की प्रत्येक घटना का विनिमय करके प्रत्येक घटक $S$ के लिए समीकरण प्राप्त किया जा सकता है:

यदि $F$ कार्तीय निर्देशांक और $F$ लम्बकोणीय निर्देशांक हैं, तब$$h_i = \sqrt{\left (\frac{\partial x_1}{\partial u_i} \right )^2 + \left (\frac{\partial x_2}{\partial u_i} \right )^2 + \left (\frac{\partial x_3}{\partial u_i} \right )^2}$$$S$ के संगत निर्देशांक सदिश की लंबाई है। कर्ल के शेष दो घटक सूचकांकों के चक्रीय क्रमपरिवर्तन 3,1,2 → 1,2,3 → 2,3,1 से उत्पन्न होते हैं।

सहज व्याख्या
माना सदिश क्षेत्र एक द्रव प्रवाह (जैसे द्रव या गैस का एक बड़ा टैंक) के वेग क्षेत्र का वर्णन करता है और एक छोटी गेंद द्रव या गैस के भीतर स्थित है (गेंद का केंद्र एक निश्चित बिंदु पर स्थिर है)। यदि गेंद की सतह असमतल है, तो इससे गुजरने वाला द्रव इसे घुमाएगा। घूर्णन अक्ष (दाएँ हाथ के नियम के अनुसार दिष्ट) गेंद के केंद्र पर क्षेत्र के कर्ल की दिशा में दिष्ट है, और घूर्णन की कोणीय गति इस बिंदु पर कर्ल के परिमाण का आधा है।

किसी भी बिंदु पर सदिश का कर्ल xy-समतल (कर्ल के z-अक्ष घटक के लिए), zx-समतल (कर्ल के y-अक्ष घटक के लिए) और yz-समतल (कर्ल सदिश के एक्स-अक्ष घटक के लिए) में एक अति-सूक्ष्म क्षेत्र के घूर्णन द्वारा दिया जाता है। इसे नीचे दिए गए उदाहरणों में स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है।

उपयोग
व्यवहार में, ऊपर वर्णित दो निर्देशांक-मुक्त परिभाषाओं का उपयोग संभवतः ही कभी किया जाता है क्योंकि वस्तुतः सभी स्थितियों में, वक्रीय निर्देशांकों के कुछ समुच्चयों का उपयोग करके कर्ल ऑपरेटर को प्रयुक्त किया जा सकता है, जिसके लिए सरल निरूपण प्राप्त किए गए हैं।

संकेतन $(curl F)_{k}$ की उत्पत्ति 3-विमीय क्रॉस गुणनफल की समरूपता में निहित है, और यह कार्तीय निर्देशांक में एक स्मरक के रूप में उपयोगी है यदि ∇ को सदिश अवकल ऑपरेटर डेल के रूप में लिया जाता है। भौतिकी और बीजगणित में ऑपरेटरों को सम्मिलित करने वाले ऐसे संकेतन सामान्य हैं। $(x_{1}, x_{2}, x_{3})$, त्रि-विमीय कार्तीय निर्देशांक में (गोलाकार और बेलनाकार निर्देशांक निरूपणों के लिए बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में डेल देखें), $(u_{1}, u_{2}, u_{3})$ से निर्मित $u_{i}$ के लिए विस्तारित है (जहाँ सबस्क्रिप्ट सदिश के घटकों को इंगित करते हैं, न कि आंशिक अवकलों को):



\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{\hat\imath} & \boldsymbol{\hat\jmath} & \boldsymbol{\hat k} \\[5pt] {\dfrac{\partial}{\partial x}} & {\dfrac{\partial}{\partial y}} & {\dfrac{\partial}{\partial z}} \\[10pt] F_x & F_y & F_z \end{vmatrix} $$ जहाँ $∇ × F$, $∇ × F$, और $[F_{x}, F_{y}, F_{z}]$ क्रमशः $F$-, $i$-, और $j$-अक्षों के लिए इकाई सदिश हैं। इसका विस्तार इस प्रकार होता है:

\nabla \times \mathbf{F} = \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \boldsymbol{\hat\imath} + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right) \boldsymbol{\hat\jmath} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \boldsymbol{\hat k} = \begin{bmatrix}\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \\ \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \\ \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\end{bmatrix}$$ हालांकि इसे निर्देशांकों के पदों में व्यक्त किया गया है, तथापि इसका परिणाम निर्देशांक अक्षों के उचित घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय है, लेकिन प्रतिबिंबन के तहत यह परिणाम उलट जाता है।

एक सामान्य निर्देशांक प्रणाली में, कर्ल निम्न द्वारा परिभाषित होता है
 * $$(\nabla \times \mathbf{F} )^k = \frac{1}{\sqrt{g}} \varepsilon^{k\ell m} \nabla_\ell F_m$$

जहाँ $ε$ लेवी-सीविटा प्रदिश को, $k$ सहपरिवर्ती अवकलज को, $$ g$$ मीट्रिक प्रदिश का सारणिक है और आइंस्टीन संकलन पद्धति इंगित करती है कि पुनरावृत्त सूचकांकों का योग किया गया है। सहपरिवर्ती अवकलज में भाग लेने वाले क्रिस्टोफेल प्रतीकों की सममिति के कारण, यह व्यंजक निम्न आंशिक अवकलज के रूप में परिवर्तित हो जाता है:


 * $$(\nabla \times \mathbf{F} ) = \frac{1}{\sqrt{g}} \mathbf{R}_k\varepsilon^{k\ell m} \partial_\ell F_m$$

जहाँ $x$ स्थानीय आधार सदिश हैं। समतुल्य रूप से, बाह्य अवकलजों का उपयोग करके कर्ल को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:


 * $$ \nabla \times \mathbf{F} = \left( \star \big( {\mathrm d} \mathbf{F}^\flat \big) \right)^\sharp $$

यहाँ ♭ और ♯ संगीतात्मक समरूपताएँ हैं, और ★ हॉज स्टार ऑपरेटर है। यह सूत्र दर्शाता है कि किसी भी निर्देशांक प्रणाली में $y$ के कर्ल की गणना कैसे करें, और कर्ल को किसी भी दिष्ट त्रि-विमीय रीमैनियन मैनिफोल्ड में कैसे विस्तारित किया जाए। चूँकि यह अभिविन्यास के चयन पर निर्भर करता है, अतः कर्ल एक चिरल संक्रिया है। दूसरे शब्दों में, यदि अभिविन्यास को उत्क्रमित कर दिया जाता है, तो कर्ल की दिशा भी उत्क्रमित हो जाती है।

उदाहरण 1
सदिश क्षेत्र


 * $$\mathbf{F}(x,y,z)=y\boldsymbol{\hat{\imath}}-x\boldsymbol{\hat{\jmath}}$$

के रूप में विघटित किया जा सकता है


 * $$F_x =y, F_y = -x, F_z =0.$$

दृश्य निरीक्षण पर, क्षेत्र को "घूर्णित" के रूप में वर्णित किया जा सकता है। यदि क्षेत्र के सदिश उस बिंदु पर उपस्थित पिंडों पर कार्य करने वाले एक रैखिक बल को निरूपित करते हैं, और एक पिंड को क्षेत्र के अंदर रखा गया है, तो पिंड अपने चारों ओर दक्षिणावर्त दिशा में घूर्णन करना प्रारंभ कर देता है। यह इसकी उपेक्षा के साथ सत्य है कि पिंड को कहाँ रखा गया है।

कर्ल की गणना:


 * $$\nabla \times \mathbf{F} =0\boldsymbol{\hat{\imath}}+0\boldsymbol{\hat{\jmath}}+ \left({\frac{\partial}{\partial x}}(-x) -{\frac{\partial}{\partial y}} y\right)\boldsymbol{\hat{k}}=-2\boldsymbol{\hat{k}}

$$$z$

कर्ल का वर्णन करने वाला परिणामी सदिश क्षेत्र ऋणात्मक z-दिशा में इंगित सभी बिंदुओं पर होता है। इस समीकरण के परिणाम उस तथ्य के साथ संरेखित होते हैं जिसका पूर्वानुमान दाएँ हाथ की निर्देशांक प्रणाली के उपयोग के साथ दाएँ हाथ के नियम का उपयोग करके किया जा सकता था। एकसमान सदिश क्षेत्र होने के कारण पूर्व में वर्णित पिंड की घूर्णी तीव्रता समान होती है, यद्यपि उसे कहीं भी रखा गया हो।

उदाहरण 2
सदिश क्षेत्र के लिए


 * $$\mathbf{F}(x,y,z)=-x^2\boldsymbol{\hat{\jmath}}$$

कर्ल, ग्राफ से उतना स्पष्ट नहीं है। हालाँकि, पिछले उदाहरण में पिंड को लेते हुए, और इसे रेखा $∇$ पर कहीं भी रखने पर, दाईं ओर आरोपित बल बाईं ओर आरोपित बल से थोड़ा अधिक होता है, जिससे यह दक्षिणावर्त दिशा में घूर्णन करता है। दाएँ हाथ के नियम का उपयोग करके, यह अनुमान लगाया जा सकता है कि परिणामी कर्ल ऋणात्मक $R_{k}$-दिशा में सीधा होगा। व्युत्क्रम रूप से, यदि पिंड को $F$ पर रखा जाता है, तो वस्तु वामावर्त दिशा में घूर्णन करेगी और दाएँ हाथ के नियम का परिणाम धनात्मक $z$-दिशा में होगा।

कर्ल की गणना:


 * $${\nabla} \times \mathbf{F} = 0 \boldsymbol{\hat{\imath}} + 0\boldsymbol{\hat{\jmath}} + {\frac{\partial}{\partial x}}\left(-x^2\right) \boldsymbol{\hat{k}} = -2x\boldsymbol{\hat{k}}.$$

जब $x = 3$ धनात्मक होता है, तो कर्ल ऋणात्मक $z$-दिशा में इंगित होता है और इसके विपरीत भी। इस क्षेत्र में, घूर्णन की तीव्रता अधिक होगी, क्योंकि पिंड समतल $x = −3$ से दूर जाता है।

वर्णनात्मक उदाहरण

 * घूर्णन डिस्क के प्रत्येक भाग के रैखिक वेगों का वर्णन करने वाले सदिश क्षेत्र में, कर्ल का मान सभी बिंदुओं पर समान होता है, और यह मान डिस्क (सामान्य रूप से दाएँ हाथ के नियम द्वारा दिष्ट) के सदिश कोणीय वेग का ठीक दो गुना होता है। अधिक सामान्यतः, किसी भी प्रवाहित द्रव्यमान के लिए द्रव्यमान प्रवाह के प्रत्येक बिंदु पर रैखिक वेग सदिश क्षेत्र में एक ऐसा कर्ल (उस बिंदु पर प्रवाह की वर्टिसिटी) होता है, जिसका मान उस बिंदु के परितः द्रव्यमान के स्थानीय सदिश कोणीय वेग का ठीक दो गुना होता है।
 * किसी बाह्य भौतिक बल (जैसे गुरुत्वाकर्षण या विद्युत चुम्बकीय बल) के अधीन किसी भी ठोस पिंड के लिए, वस्तु के प्रत्येक बिंदु पर कार्य करने वाले अतिसूक्ष्म बल-प्रति-इकाई-आयतन योगदान को निरूपित करने वाले सदिश क्षेत्र पर विचार किया जा सकता है। यह बल क्षेत्र अपने द्रव्यमान केंद्र के परितः पिंड पर एक शुद्ध बल-आघूर्ण बना सकता है, और यह बल-आघूर्ण पूरे आयतन पर बल क्षेत्र के कर्ल के (सदिश-मान) समाकल के समानुपाती और सदिश रूप से समानांतर होता है।
 * मैक्सवेल के चार समीकरणों में से दो, फैराडे का नियम और एम्पीयर का नियम, को कर्ल का उपयोग करके संक्षिप्त रूप से व्यक्त किया जा सकता है। फैराडे का नियम कहता है कि विद्युत क्षेत्र का कर्ल चुंबकीय क्षेत्र के परिवर्तन की समय दर के विपरीत के बराबर होता है, जबकि एम्पीयर का नियम चुंबकीय क्षेत्र के कर्ल को विद्युत धारा और विद्युत क्षेत्र के परिवर्तन की समय दर से संबंधित करता है।

सर्वसमिकाएँ
सामान्य वक्ररेखीय निर्देशांकों (न केवल कार्तीय निर्देशांक में) में, सदिश क्षेत्र $z$ और $x$ के क्रॉस गुणनफल के कर्ल को निम्न प्रकार दर्शाया जा सकता है


 * $$\nabla \times \left( \mathbf{v \times F} \right) = \Big( \left( \mathbf{ \nabla \cdot F } \right) + \mathbf{F \cdot \nabla} \Big) \mathbf{v}- \Big( \left( \mathbf{ \nabla \cdot v } \right) + \mathbf{v \cdot \nabla} \Big) \mathbf{F} \ . $$

सदिश क्षेत्र $z$ और $x = 0$ ऑपरेटर का परस्पर विनिमय करते हुए, हमें सदिश क्षेत्र और एक सदिश क्षेत्र के कर्ल का क्रॉस गुणनफल प्राप्त होता है:


 * $$ \mathbf{v \ \times } \left( \mathbf{ \nabla \times F} \right) =\nabla_\mathbf{F} \left( \mathbf{v \cdot F } \right) - \left( \mathbf{v \cdot \nabla } \right) \mathbf{ F} \, $$

जहाँ $v$ फेनमैन सबस्क्रिप्ट संकेत है, जो केवल सदिश क्षेत्र $F$ के कारण भिन्नता पर विचार करता है (अर्थात्, इस स्थिति में, $v$ को अंतरिक्ष में स्थिर होने के रूप में माना जाता है)।

एक अन्य उदाहरण सदिश क्षेत्र के कर्ल का कर्ल है। यह दिखाया जा सकता है कि सामान्य निर्देशांक में


 * $$ \nabla \times \left( \mathbf{\nabla \times F} \right) = \mathbf{\nabla}(\mathbf{\nabla \cdot F}) - \nabla^2 \mathbf{F} \, $$

और यह सर्वसमिका $∇$ के सदिश लाप्लास ऑपरेटर को परिभाषित करती है, जिसे $∇_{F}$ के रूप में प्रदर्शित किया जाता है।

किसी भी अदिश क्षेत्र $φ$ की ग्रेडिएंट का कर्ल सदैव एक शून्य सदिश क्षेत्र होता है


 * $$\nabla \times ( \nabla \varphi ) = \boldsymbol{0}$$

जो कर्ल की परिभाषा में प्रतिसममिति और दूसरे अवकलों की सममिति का अनुसरण करता है।

यदि $φ$ एक अदिश मान फलन और $F$ एक सदिश क्षेत्र है, तब


 * $$\nabla \times ( \varphi \mathbf{F}) = \nabla \varphi \times \mathbf{F} + \varphi \nabla \times \mathbf{F} $$

सामान्यीकरण
ग्रेडिएंट, कर्ल और विचलन की सदिश कलन संक्रियाओं को अवकल रूपों के संदर्भ में सबसे आसानी से सामान्यीकृत किया जाता है, जिसमें कई चरण सम्मिलित होते हैं। संक्षेप में, ये क्रमशः 0-रूपों, 1-रूपों और 2-रूपों के अवकलजों के अनुरूप हैं। घूर्णन के रूप में कर्ल की ज्यामितीय व्याख्या अतिसूक्ष्म घूर्णनों (निर्देशांक में, विषम-सममित 3 × 3 आव्यूह) के विशिष्ट लम्बकोणीय लाई बीजगणित $v$ के साथ 3 विमाओं में द्विसदिश (2-सदिशों) की पहचान के संगत है, जबकि सदिशों द्वारा घूर्णन का निरूपण, 1-सदिश (समतुल्य रूप से, 2-सदिशों) और $F$ के संगत है, ये सभी 3-विमीय अंतरिक्ष हैं।

अवकल रूप
3 विमाओं में, एक अवकल 0-रूप केवल एक फलन $∇^{2}F$ है; एक अवकल 1-रूप निम्नलिखित व्यंजक है, जहाँ गुणांक, फलन हैं:
 * $$a_1\,dx + a_2\,dy + a_3\,dz;$$

एक अवकल 2-रूप पुनः फलन गुणांकों के साथ औपचारिक योग है:
 * $$a_{12}\,dx\wedge dy + a_{13}\,dx\wedge dz + a_{23}\,dy\wedge dz;$$

और एक अवकल 3-रूप को गुणांक के रूप में एक फलन के साथ एक पद द्वारा परिभाषित किया गया है:
 * $$a_{123}\,dx\wedge dy\wedge dz.$$

(यहाँ $a$-गुणांक तीन चरों वाले वास्तविक फलन हैं; "वेज गुणनफल", जैसे $F$, की व्याख्या कुछ प्रकार के दिष्ट क्षेत्र तत्वों, $$\mathfrak{so}$(3)$ आदि के रूप में की जा सकती है।)

$$\mathfrak{so}$(3)$ में $f(x, y, z)$-रूप के बाह्य अवकलज को ऊपर से $dx ∧ dy$-रूप के रूप में परिभाषित किया गया है, और $dx ∧ dy = −dy ∧ dx$ में यदि, उदाहरण के लिए,


 * $$\omega^{(k)}=\sum_{\scriptstyle{i_1<i_2<\cdots<i_k} \atop \forall \scriptstyle{i_\nu\in 1,\ldots,n}} a_{i_1,\ldots,i_k}\,dx_{i_1}\wedge \cdots\wedge dx_{i_k},$$

तब बाह्य अवकलज $R^{3}$ निम्न की ओर अग्रसर होता है


 * $$ d\omega^{(k)}=\sum_{\scriptstyle{j=1} \atop \scriptstyle{i_1<\cdots<i_k}}^n\frac{\partial a_{i_1,\ldots,i_k}}{\partial x_j}\,dx_j \wedge dx_{i_1}\wedge \cdots \wedge dx_{i_k}.$$

इसलिए, 1-रूप का बाह्य अवकलज 2-रूप, और 2-रूप का बाह्य अवकलज 3-रूप है। दूसरी ओर, मिश्रित अवकलज की विनिमेयता के कारण, उदाहरणː


 * $$\frac{\partial^2}{\partial x\,\partial y}=\frac{\partial^2}{\partial y\,\partial x},$$

के कारण बाह्य अवकलज का दोहरा अनुप्रयोग 0 की ओर अग्रसर होता है।

इस प्रकार, $k$-रूपों के अंतरिक्ष को $(k + 1)$ और बाह्य अवकलज को $R^{n}$ से निरूपित करने पर एक अनुक्रम प्राप्त होता है:


 * $$0 \, \overset{d}{\longrightarrow} \;

\Omega^0\left(\mathbb{R}^3\right) \, \overset{d}{\longrightarrow} \; \Omega^1\left(\mathbb{R}^3\right) \, \overset{d}{\longrightarrow} \; \Omega^2\left(\mathbb{R}^3\right) \, \overset{d}{\longrightarrow} \; \Omega^3\left(\mathbb{R}^3\right) \, \overset{d}{\longrightarrow} \, 0.$$ यहाँ $d$, $k$ पर बाह्य बीजगणित $Ω^{k}(R^{3})$ सदिश बंडल के अनुभागों का अंतरिक्ष है, जिसका विमा द्विपद गुणांक $d$ है, ध्यान दें कि $Ω^{k}(R^{n})$ या $R^{n}$ के लिए $Λ^{k}(R^{n})$। केवल विमाओं को लिखने पर, पास्कल के त्रिभुज की एक पंक्ति प्राप्त होती है:


 * 0 → 1 → 3 → 3 → 1 → 0;

1-विमीय फाइबर, अदिश क्षेत्रों के और 3-विमीय फाइबर सदिश क्षेत्रों के अनुरूप होते हैं, जैसा कि नीचे वर्णित है। मापांक उपयुक्त पहचानें, बाह्य अवकलजों की तीन गैर-तुच्छ घटनाएँ, ग्रेडिएंट, कर्ल और विचलन के अनुरूप हैं।

अवकल रूपों और अवकलों को किसी भी यूक्लिडीय अंतरिक्ष पर, या वास्तव में किसी भी मैनिफोल्ड पर, रीमैनियन मीट्रिक की किसी भी धारणा के बिना परिभाषित किया जा सकता है। एक रीमैनियन मैनिफोल्ड, या अधिक सामान्यतः स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड पर, $( n k )$-रूपों की पहचान $k > 3$-सदिश क्षेत्रों के साथ की जा सकती है ($k < 0$-रूप $Ω^{k}(R^{3}) = 0$-उपसदिश क्षेत्र हैं, और एक स्यूडो-रीमैनियन मीट्रिक, सदिशों और उपसदिशों के बीच एक समरूपता प्रदान करता है), और एक गैर-विकृत रूप (सदिशों और उपसदिशों के बीच एक समरूपता) वाले एक दिष्ट सदिश अंतरिक्ष पर, $k$-सदिशों और $k$ -सदिशों के बीच, विशेष रूप से (स्पर्शरेखा स्थान) एक दिष्ट स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड पर एक समरूपता होती है। इस प्रकार एक दिष्ट स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड पर, $k$-रूप, $k$-सदिश क्षेत्रों, $k$ -रूप, और $(n − k)$ -सदिश क्षेत्रों का परस्पर विनिमय किया जा सकता हैं; इसे हॉज द्वैतता के रूप में जाना जाता है। दृढ़ रूप से, इसे $k$ पर निम्न द्वारा परिभाषित किया गया है:
 * 1-रूप और 1-सदिश क्षेत्र: 1-रूप $k$ सदिश क्षेत्र $(n − k)$ के संगत है।
 * 1-रूप और 2-रूप: $(n − k)$ को दोहरी राशि $R^{3}$ (अर्थात्, $a_{x} dx + a_{y} dy + a_{z} dz$ को छोड़ दें) से और इसी प्रकार, अभिविन्यास का ध्यान रखते हुए: $(a_{x}, a_{y}, a_{z})$ को $dx$ से और $dy ∧ dz$ को $dx$ से प्रतिस्थापित किया जाता है। इस प्रकार $dy$ रूप, "दोहरे रूप" $dz ∧ dx = −dx ∧ dz$ के संगत है।

इस प्रकार, अदिश क्षेत्रों के साथ 0-रूपों और 3-रूपों की पहचान, और सदिश क्षेत्रों के साथ 1-रूपों और 2-रूपों की पहचान:
 * ग्रेडिएंट एक सदिश क्षेत्र (1-रूप) के लिए एक अदिश क्षेत्र (0-रूप) को लेता है;
 * कर्ल स्यूडोसदिश क्षेत्र (2-रूप) के लिए एक सदिश क्षेत्र (1-रूप) को लेता है;
 * विचलन स्यूडोअदिश क्षेत्र (3-रूप) के लिए एक स्यूडोसदिश क्षेत्र (2-रूप) को लेता है

दूसरी ओर, यह तथ्य कि d2 = 0 निम्न सर्वसमिकाओं के संगत है
 * $$\nabla\times(\nabla f) = 0$$

किसी अदिश क्षेत्र $f$ के लिए, और
 * $$\nabla \cdot (\nabla \times\mathbf v)=0$$

किसी सदिश क्षेत्र $dz$ के लिए,

ग्रेडिएंट और विचलन समान ज्यामितीय व्याख्या के साथ सभी दिष्ट स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड के लिए सामान्यीकरण करते हैं, क्योंकि प्रत्येक बिंदु पर 0-रूप और $dx ∧ dy$-रूप के अंतरिक्ष सदैव 1-विमीय होते हैं और अदिश क्षेत्र के साथ पहचाने जा सकते हैं, जबकि 1-रूप और $a_{x} dx + a_{y} dy + a_{z} dz$-रूप के अंतरिक्ष सदैव फाइबरवार $a_{z} dx ∧ dy + a_{y} dz ∧ dx + a_{x} dy ∧ dz$-विमीय होते हैं और इन्हें सदिश क्षेत्रों के साथ पहचाना जा सकता है।

कर्ल इस प्रकार से 4 या अधिक विमाओं (या 2 या इससे कम विमाओं तक) को सामान्यीकृत नहीं करता है; 4-विमीय में विमाएँ इस प्रकार हैं


 * 0 → 1 → 4 → 6 → 4 → 1 → 0;

इसलिए 1-सदिश क्षेत्र (फाइबरवार 4-विमीय) का कर्ल एक 2-सदिश क्षेत्र है, जो प्रत्येक बिंदु पर 6-विमीय सदिश अंतरिक्ष से संबंधित है, और इसलिए


 * $$\omega^{(2)}=\sum_{i<k=1,2,3,4}a_{i,k}\,dx_i\wedge dx_k,$$

जो छह स्वतंत्र पदों का योग प्रदान करता है, और 1-सदिश क्षेत्र के साथ निर्धारित नहीं किया जा सकता है। न ही कोई सार्थक रूप से 1-सदिश क्षेत्र से 2-सदिश क्षेत्र से 3-सदिश क्षेत्र (4 → 6 → 4) में जा सकता है, क्योंकि अवकलों को दो बार लेने पर शून्य (d2 = 0) प्राप्त होता है। इस प्रकार इस तरह से उत्पन्न होने वाली अन्य विमाओं में सदिश क्षेत्रों से सदिश क्षेत्रों तक कोई कर्ल फलन नहीं होता है।

हालाँकि, एक सदिश क्षेत्र के कर्ल को सामान्य रूप से 2-सदिश क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जैसा कि नीचे वर्णित है।

ज्यामितीय रूप से कर्ल
2-सदिश एक आंतरिक गुणनफल की उपस्थिति में बाह्य घात $v$ के अनुरूप होते हैं; निर्देशांकों में ये ऐसे विषम-सममित आव्यूह होते हैं, जिन्हें ज्यामितीय रूप से अतिसूक्ष्म घूर्णनों की विशेष लम्बकोणीय लाई बीजगणित $n$ के रूप में माना जाता है। इसमें $(n − 1)$ विमाएँ होती हैं, और यह 1-सदिश क्षेत्र के अवकल को इसके अतिसूक्ष्म घूर्णनों के रूप में व्याख्या करने की अनुमति प्रदान करता है। केवल 3 विमीय में (या तुच्छ रूप से 0 विमीय में) $n$ विमाएँ होती हैं, जो सबसे सहज और सामान्य स्थिति है। 2 विमीय में एक सदिश क्षेत्र का कर्ल एक सदिश क्षेत्र नहीं लेकिन एक फलन होता है, क्योंकि 2-विमीय घूर्णन एक कोण (एक अदिश - इसके चयन के लिए एक अभिविन्यास आवश्यक है कि दक्षिणावर्त या वामावर्त घूर्णनों को धनात्मक के रूप में गिना जाता है) द्वारा दिया जाता है; यह विचलन नहीं है, बल्कि इसके लंबवत है। 3 विमीय में सदिश क्षेत्र का कर्ल एक सदिश क्षेत्र होता है जैसा कि ज्ञात है (1 और 0 विमीय में सदिश क्षेत्र का कर्ल 0 होता है, क्योंकि इसमें कोई गैर-तुच्छ 2-सदिश नहीं होता है), जबकि 4 विमीय में एक सदिश क्षेत्र का कर्ल, ज्यामितीय रूप से, प्रत्येक बिंदु पर 6-विमीय लाई बीजगणित $$\mathfrak{so}(4)$$ का एक तत्व होता है।

एक ऐसे 3-विमीय सदिश क्षेत्र का कर्ल केवल एक ऊर्ध्वाधर सदिश क्षेत्र ($Λ^{2}V$ दिशा में) होता है, जो केवल 2 निर्देशांकों (माना $$\mathfrak{so}$(V)$ और $( n 2 )  = 1⁄2n(n − 1)$) पर निर्भर करता है, जिसका परिमाण 2-विमीय सदिश क्षेत्र का कर्ल होता है, जैसा कि इस पृष्ठ पर उदाहरणों में है।

कर्ल को 2-सदिश क्षेत्र (एक प्रतिसममित 2-प्रदिश) के रूप में मानते हुए सदिश कलन और संबद्ध भौतिकी को उच्च विमाओं में सामान्यीकृत करने के लिए उपयोग किया गया है।

व्युत्क्रम
ऐसी स्थितियों में, जहाँ सदिश क्षेत्र $n = 1⁄2n(n − 1)$ का विचलन शून्य है, एक ऐसे सदिश क्षेत्र $z$ का अस्तित्व होता है, कि $x$। यही कारण है कि शून्य विचलन द्वारा विशेषीकृत चुंबकीय क्षेत्र को एक चुंबकीय सदिश विभव के कर्ल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

यदि $y$, कर्ल $V$ वाला एक सदिश क्षेत्र है, तो किसी भी ग्रेडिएंट सदिश क्षेत्र $W$ को $V = curl(W)$ में जोड़ने से एक और ऐसा सदिश क्षेत्र $W$ प्राप्त होता है, कि $curl(W) = V$। इसे यह कहकर संक्षेपीकृत किया जा सकता है कि एक त्रि-विमीय सदिश क्षेत्र के व्युत्क्रम कर्ल को बायोट-सेवर्ट नियम के साथ एक अज्ञात अघूर्णन क्षेत्र तक प्राप्त किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन
 * डेल बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में
 * भ्रमिलता

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