बृहत दीर्घवृत्त

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एक महान दीर्घवृत्त एक अंडाकार  होता है जो गोलाकार पर दो  बिंदु (ज्यामिति)  से गुजरता है और गोलाकार के समान  केंद्र (ज्यामिति)  होता है। समान रूप से, यह एक गोलाकार की  सतह (ज्यामिति)  पर एक दीर्घवृत्त है और  मूल (ज्यामिति)  पर केंद्रित है, या इसके केंद्र के माध्यम से एक विमान द्वारा गोलाकार को काटकर बनने वाला वक्र है। उन बिंदुओं के लिए जो पृथ्वी की परिधि  के लगभग एक चौथाई से भी कम दूरी पर हैं, लगभग $$10\,000\,\mathrm{km}$$, बिंदुओं को जोड़ने वाले महान दीर्घवृत्त की लंबाई  एक दीर्घवृत्त पर भूगणित  के करीब (500,000 में एक भाग के भीतर) है। इसलिए महान दीर्घवृत्त को कभी-कभी समुद्री नेविगेशन के लिए उपयुक्त मार्ग के रूप में प्रस्तावित किया जाता है। महान दीर्घवृत्त एक पृथ्वी खंड पथ  का विशेष मामला है।

परिचय
मान लें कि गोलाकार, क्रांति का एक दीर्घवृत्ताभ, एक भूमध्यरेखीय त्रिज्या है $$a$$ और ध्रुवीय अर्ध-अक्ष $$b$$. समतल को परिभाषित करें $$f=(a-b)/a$$, विलक्षणता $$e=\sqrt{f(2-f)}$$, और दूसरी विलक्षणता $$e'=e/(1-f)$$. दो बिंदुओं पर विचार करें: $$A$$ (भौगोलिक) अक्षांश पर $$\phi_1$$ और देशांतर $$\lambda_1$$ तथा $$B$$ अक्षांश पर $$\phi_2$$ और देशांतर $$\lambda_2$$. कनेक्टिंग ग्रेट एलिप्से (से $$A$$ प्रति $$B$$) लंबाई है $$s_{12}$$ और दिगंश  है $$\alpha_1$$ तथा $$\alpha_2$$ दो समापन बिंदुओं पर।

एक दीर्घवृत्त को त्रिज्या के एक गोले में मैप करने के कई तरीके हैं $$a$$ इस तरह से महान दीर्घवृत्त को एक महान वृत्त में मैप करने के लिए, ग्रेट-सर्कल नेविगेशन  के तरीकों का उपयोग करने की अनुमति देता है:
 * दीर्घवृत्त को घूर्णन की धुरी के समानांतर एक दिशा में बढ़ाया जा सकता है; यह अक्षांश के एक बिंदु को मैप करता है $$\phi$$ दीर्घवृत्त पर अक्षांश के साथ गोले पर एक बिंदु पर $$\beta$$, अक्षांश#पैरामीट्रिक अक्षांश।
 * दीर्घवृत्त पर एक बिंदु को दीर्घवृत्त के केंद्र से जोड़ने वाली रेखा के साथ गोले पर रेडियल रूप से मैप किया जा सकता है; यह अक्षांश के एक बिंदु को मैप करता है $$\phi$$ दीर्घवृत्त पर अक्षांश के साथ गोले पर एक बिंदु पर $$\theta$$, अक्षांश#भूकेंद्रीय अक्षांश।
 * दीर्घवृत्त को ध्रुवीय अर्ध-अक्ष के साथ एक लम्बी दीर्घवृत्त में खींचा जा सकता है $$a^2/b$$ और फिर गोले पर रेडियल रूप से मैप किया गया; यह अक्षांश को सुरक्षित रखता है—गोले पर अक्षांश है $$\phi$$, अक्षांश#भूकेंद्रीय अक्षांश।

अंतिम विधि दो ज्ञात बिंदुओं को जोड़ने वाले महान दीर्घवृत्त पर मार्ग-बिंदुओं के उत्तराधिकार को उत्पन्न करने का एक आसान तरीका देती है $$A$$ तथा $$B$$. के बीच के बड़े वृत्त का समाधान करें $$(\phi_1,\lambda_1)$$ तथा $$(\phi_2,\lambda_2)$$ और ग्रेट-सर्कल नेविगेशन खोजें#वे-पॉइंट्स|वे-पॉइंट्स को ग्रेट सर्कल पर खोजें। ये मानचित्र संबंधित महान दीर्घवृत्त पर मार्ग-बिंदुओं में हैं।

महान दीर्घवृत्त को एक महान वृत्त में मैप करना
यदि दूरियों और शीर्षकों की आवश्यकता है, तो पहले मानचित्रण का उपयोग करना सबसे सरल है। विस्तार से, मानचित्रण इस प्रकार है (यह विवरण से लिया गया है ):

\begin{align} \tan\alpha &= \frac{\tan\gamma}{\sqrt{1-e^2\cos^2\beta}}, \\ \tan\gamma &= \frac{\tan\alpha}{\sqrt{1+e'^2\cos^2\phi}}, \end{align} $$ और के चतुर्थांश $$\alpha$$ तथा $$\gamma$$ समान हैं।
 * भौगोलिक अक्षांश $$\phi$$ दीर्घवृत्ताभ मानचित्रों पर पैरामीट्रिक अक्षांश तक $$\beta$$ गोले पर, जहाँ"$a\tan\beta = b\tan\phi.$"
 * देशांतर $$\lambda$$ अपरिवर्तित है।
 * अज़ीमुथ $$\alpha$$ दीर्घवृत्ताकार मानचित्रों पर अज़ीमुथ के लिए $$\gamma$$ उस गोले पर जहां $$
 * त्रिज्या के बड़े वृत्त पर स्थितियाँ $$a$$ चाप लंबाई द्वारा पैरामीट्रिज्ड हैं $$\sigma$$ भूमध्य रेखा के उत्तर की ओर क्रॉसिंग से मापा जाता है। महान दीर्घवृत्त में अर्ध-अक्ष होता है $$a$$ तथा $$a \sqrt{1 - e^2\cos^2\gamma_0}$$, कहाँ पे $$\gamma_0$$ उत्तर की ओर भूमध्य रेखा के क्रॉसिंग पर ग्रेट-सर्कल अज़ीमुथ है, और $$\sigma$$ दीर्घवृत्त पर पैरामीट्रिक कोण है।

(एक सहायक क्षेत्र के लिए एक समान मानचित्रण एक दीर्घवृत्त पर भूगणित के समाधान में किया जाता है। अंतर यह है कि अज़ीमुथ $$\alpha$$ मानचित्रण में संरक्षित है, जबकि देशांतर $$\lambda$$ एक गोलाकार देशांतर के नक्शे $$\omega$$. दूरी की गणना के लिए उपयोग किए जाने वाले समतुल्य दीर्घवृत्त में अर्ध-अक्ष होते हैं $$b \sqrt{1 + e'^2\cos^2\alpha_0}$$ तथा $$b$$.)

उलटा समस्या हल करना
व्युत्क्रम समस्या का निर्धारण है $$s_{12}$$, $$\alpha_1$$, तथा $$\alpha_2$$, के पदों को देखते हुए $$A$$ तथा $$B$$. यह कंप्यूटिंग द्वारा हल किया जाता है $$\beta_1$$ तथा $$\beta_2$$ और ग्रेट-सर्कल नेविगेशन के लिए हल करना|ग्रेट-सर्कल बीच $$(\beta_1,\lambda_1)$$ तथा $$(\beta_2,\lambda_2)$$.

गोलाकार दिगंश को के रूप में पुनः लेबल किया गया है $$\gamma$$ (से $$\alpha$$) इस प्रकार $$\gamma_0$$, $$\gamma_1$$, तथा $$\gamma_2$$ और भूमध्य रेखा पर गोलाकार दिगंश और at $$A$$ तथा $$B$$. महान दीर्घवृत्त के अंतिम बिंदुओं के दिगंश, $$\alpha_1$$ तथा $$\alpha_2$$, से गणना की जाती है $$\gamma_1$$ तथा $$\gamma_2$$.

महान दीर्घवृत्त के अर्ध-अक्ष को के मान का उपयोग करके पाया जा सकता है $$\gamma_0$$.

बड़े वृत्त की समस्या के समाधान के भाग के रूप में भी निर्धारित चाप की लंबाई हैं, $$\sigma_{01}$$ तथा $$\sigma_{02}$$, भूमध्य रेखा को पार करने से मापा जाता है $$A$$ तथा $$B$$. दूरी $$s_{12}$$ पैरामीट्रिक अक्षांश के संदर्भ में मेरिडियन चाप # श्रृंखला देने वाले सूत्र का उपयोग करके अंडाकार के परिधि के एक हिस्से की लंबाई की गणना करके पाया जाता है। इस सूत्र को लागू करने में, महान दीर्घवृत्त के लिए अर्ध-अक्ष का उपयोग करें (मेरिडियन के बजाय) और स्थानापन्न करें $$\sigma_{01}$$ तथा $$\sigma_{02}$$ के लिये $$\beta$$.

प्रत्यक्ष समस्या का समाधान, की स्थिति का निर्धारण $$B$$ दिया गया $$A$$, $$\alpha_1$$, तथा $$s_{12}$$, इसी तरह पाया जा सकता है (इसके लिए, इसके अलावा, मेरिडियन चाप#दीर्घवृत्त के लिए व्युत्क्रम मेरिडियन समस्या की आवश्यकता होती है)। यह व्युत्क्रम समस्या के समाधान में मार्ग-बिंदुओं (जैसे, समान दूरी वाले मध्यवर्ती बिंदुओं की एक श्रृंखला) को भी सक्षम बनाता है।

यह भी देखें

 * पृथ्वी खंड पथ
 * ग्रेट-सर्कल नेविगेशन
 * एक दीर्घवृत्त पर जियोडेसिक्स
 * मेरिडियन आर्क
 * रंब लाइन

बाहरी संबंध

 * Matlab implementation of the solutions for the direct and inverse problems for great ellipses.