वर्णक्रमीय आकार विश्लेषण

स्पेक्ट्रल शेप एनालिसिस (डिजिटल ज्यामिति) ज्यामितीय आकृतियों की तुलना और विश्लेषण करने के लिए लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर के स्पेक्ट्रम (ईजेन-वैल्यू और ईजेन-फलन) पर निर्भर करता है। चूंकि लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर का स्पेक्ट्रम आइसोमेट्री के अनुसार अपरिवर्तनीय है। इसलिए यह गैर-कठोर आकृतियों के विश्लेषण या पुनर्प्राप्ति के लिए उपयुक्त है। अर्थात् मनुष्यों, जानवरों, पौधों आदि जैसे मोड़ने योग्य वस्तुएं के लिये यह गुण प्रमुख है।

लाप्लास
लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर कई महत्वपूर्ण अंतर समीकरणों में सम्मिलित है। जैसे हीट समीकरण और तरंग समीकरण आदि इनमें सम्मिलित हैं। इसे एक रीमैनियन मैनीफोल्ड पर परिभाषित किया जा सकता है। जो वास्तविक-मूल्यवान फलन f के ढाल के विचलन के रूप में होता है:
 * $$\Delta f := \operatorname{div} \operatorname{grad} f.$$

इसके वर्णक्रमीय घटकों की गणना हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण (या लाप्लासियन ईजेनवेल्यू समस्या) को हल करके प्राप्त की जा सकती है:

\Delta \varphi_i + \lambda_i \varphi_i = 0. $$ समाधान ईजेन-फलन $$\varphi_i$$ (मोड) हैं और संबंधित ईजेन-वैल्यू $$\lambda_i$$, धनात्मक वास्तविक संख्याओं के अपसारी अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करता है। बंद डोमेन के लिए या न्यूमैन बाउन्ड्री की स्थिति का उपयोग करते समय प्रथम ईगनवैल्यू शून्य है। कुछ आकृतियों के लिए स्पेक्ट्रम की गणना विश्लेषणात्मक रूप से की जा सकती है (जैसे आयत, फ्लैट टोरस, सिलेंडर, डिस्क या गोला)। गोले के लिए उदाहरण, जिसमें कि ईजेनफलन गोलाकार हार्मोनिक्स हैं।

ईजेनवैल्यू ​​​​और ईजेन-फलन के सबसे महत्वपूर्ण गुण यह प्रदर्शित होता हैं कि वे आइसोमेट्री इनवेरिएंट हैं। दूसरे शब्दों में, यदि आकार फैला हुआ नहीं है (उदाहरण के लिए कागज की एक शीट तीसरे आयाम में मुड़ी हुई है), जिससे वर्णक्रमीय मान कभी-भी नहीं बदलेगा। मुड़ने योग्य वस्तुएं, जैसे जानवर, पौधे और मनुष्य, जोड़ों में केवल न्यूनतम खिंचाव के साथ विभिन्न शारीरिक स्थितियों में स्थानांतरित हो सकते हैं। परिणामी आकृतियों को निकट-सममितीय कहा जाता है और वर्णक्रमीय आकार विश्लेषण का उपयोग करके इसकी तुलना की जा सकती है।

डिसक्रिटाईजेशन
ज्यामितीय आकृतियों को प्रायः 2D मोड़दार सतहों, 2D बहुभुज जाल (सामान्यथऋ त्रिकोण जाल) या 3D ठोस वस्तुओं (जैसे वॉक्सेल या चतुर्पाश्वीय जालों का उपयोग करके) के रूप में दर्शाया जाता है। इन सभी स्थितियों के लिए हेल्महोल्त्ज़ समीकरण को प्राप्त किया जा सकता है। यदि कोई बाउन्ड्री उपस्थित है, उदा एक वर्ग, किसी भी 3D ज्यामितीय आकार का आयतन, बाउन्ड्री नियमों को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता होती है।

विभिन्न प्रकार के ज्यामिति निरूपण के लिए लाप्लॉस ऑपरेटर के कई डिसक्रिटाईजेशन उपस्थित हैं (असतत लाप्लास ऑपरेटर देखें)। इनमें से कई ऑपरेटर अंतर्निहित निरंतर ऑपरेटर के विषय में अच्छी प्रकार से अनुमान नहीं लगाते हैं।

शेप-डीएनए और इसके प्रकार
शेपडीएनए पहले स्पेक्ट्रल शेप डिस्क्रिप्टर में से एक है। यह लाप्लास-बेल्ट्रामी संचालिका के ईगेन-वैल्यू ​​​​का सामान्यीकृत प्रारंभिक क्रम है।  इसका मुख्य लाभ सरल प्रतिनिधित्व (संख्याओं का एक वेक्टर) और तुलना, स्केल इनवेरियन और इसकी सरलता के बाद गैर-कठोर आकृतियों के आकार की पुनर्प्राप्ति के लिए एक बहुत अच्छा प्रदर्शन प्राप्त होता है। शेप-डीएनए के प्रतिस्पर्धियों में जियोडेसिक डिस्टेंस मैट्रिक्स (एसडी-जीडीएम) के विलक्षण मूल्य सम्मिलित हैं और कम बाई-हारमोनिक दूरी मैट्रिक्स (आर-बीआईएचडीएम)।

चूंकि ईजेनवैल्यू ​​​​वैश्विक वर्णनकर्ता हैं। इसलिए स्थानीय या आंशिक आकार विश्लेषण के लिए आकार डीएनए और अन्य वैश्विक वर्णक्रमीय वर्णनकर्ताओं का उपयोग नहीं किया जा सकता है।

वैश्विक बिंदु हस्ताक्षर (जीपीएस)
वैश्विक बिंदु हस्ताक्षर एक बिंदु $$x$$ पर परिकलित लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर के स्केल किए गए ईजन फेलेपश फलन $$x$$ का एक वेक्टर है (अर्थात आकृति का वर्णक्रमीय एम्बेडिंग)। जीपीएस इस अर्थ में एक वैश्विक विशेषता है कि इसका उपयोग आंशिक आकार के मिलान के लिए नहीं प्रयोग किया जा सकता है।

हीट कर्नेल सिग्नेचर (एचकेएस)
हीट कर्नेल हस्ताक्षर ऊष्मा कर्नेल के ईजन-अपघटन का उपयोग करता है:

h_t(x,y) = \sum_{i=0}^\infty \exp(-\lambda_i t) \varphi_i(x) \varphi_i(y). $$ सतह पर प्रत्येक बिंदु के लिए ऊष्मा कर्नेल का विकर्ण $$h_t(x,x)$$ विशिष्ट समय मूल्यों $$t_j$$ पर नमूना लिया जाता है और एक स्थानीय हस्ताक्षर उत्पन्न करता है। जिसका उपयोग आंशिक मिलान या समरूपता का पता लगाने के लिए भी किया जा सकता है।

वेव कर्नेल सिग्नेचर (डब्लूकेएस)
डब्लूकेएस श्रोडिंगर तरंग समीकरण के साथ हीट समीकरण के स्थान पर एचकेएस के समान विचार का पालन करता है।

बेहतर वेव कर्नेल सिग्नेचर (आईडब्लूकेएस)
आईडब्ल्यूकेएस ईजेनवैल्यू ​​​​के लिए एक नया स्केलिंग फलन प्रारम्भ करने और एक नया वक्रता शब्द एकत्र करके गैर-कठोर आकार पुनर्प्राप्ति के लिए डब्लूकेएस में सुधार करता है।

स्पेक्ट्रल ग्राफ वेवलेट सिग्नेचर (एसजीडब्लूएस)
एसजीडब्लूएस एक स्थानीय डिस्क्रिप्टर है, जो न केवल आइसोमेट्रिक इनवेरिएंट है। बल्कि कॉम्पैक्ट गणना करने में सरल और बैंड-पास और लो-पास फिल्टर दोनों के लाभों को जोड़ता है। एसजीडब्लूएस का एक महत्वपूर्ण पहलू डब्लूजीएस और एचकेएस के लाभों को एक ही हस्ताक्षर में संयोजित करने की क्षमता है। जबकि आकृतियों के बहु-रिज़ॉल्यूशन प्रतिनिधित्व की अनुमति देता है।

स्पेक्ट्रल मिलान
जटिल आकृतियों से जुड़े ग्राफ लाप्लासियन का वर्णक्रमीय अपघटन (असतत लाप्लास ऑपरेटर देखें) ईजेनफंक्शन (मोड) प्रदान करता है। जो आइसोमेट्री के लिए अपरिवर्तनीय हैं। आकृति पर प्रत्येक शीर्ष को विशिष्ट रूप से प्रत्येक बिंदु पर ईजेनमोडल मानों के संयोजन के साथ प्रदर्शित किया जा सकता है। जिसे सामान्यतः वर्णक्रमीय निर्देशांक कहा जाता है:

s(x) = (\varphi_1(x), \varphi_2(x), \ldots, \varphi_N(x)) \text{ for vertex } x.$$ स्पेक्ट्रल को मिलान करने में सबसे समान वर्णक्रमीय निर्देशांक वाले विभिन्न आकृतियों पर वर्टिकल जोड़कर बिंदु पत्राचार स्थापित करना सम्मिलित है।  स्टीरियोस्कोपी के लिए विरल पत्राचार पर केंद्रित है। कम्प्यूटेशनल दक्षता अब पूर्ण जाल पर घने पत्राचार को सक्षम करती है। उदाहरण के लिए कॉर्टिकल सतहों के बीच की जानकारी प्राप्त करती हैं।