एप्सिलॉन नंबर

गणित में, एप्सिलॉन नंबर ट्रांसफ़िनाइट संख्या का एक संग्रह है, जिसकी संपत्ति को परिभाषित करना है कि वे निश्चित बिंदु (गणित) हैं घातीय मानचित्र।नतीजतन, वे चुने हुए घातीय मानचित्र के अनुप्रयोगों की एक परिमित श्रृंखला के माध्यम से 0 से उपलब्ध नहीं हैं और अतिरिक्त और गुणा जैसे कमजोर संचालन के।ऑर्डिनल अंकगणित के संदर्भ में जॉर्ज कैंटर द्वारा मूल एप्सिलॉन नंबर पेश किए गए थे;वे क्रमसूचक संख्या   'हैं जो समीकरण को संतुष्ट करते हैं


 * $$\varepsilon = \omega^\varepsilon, \, $$

जिसमें are सबसे छोटा अनंत अध्यादेश है।

कम से कम इस तरह के अध्यादेश                             '0(उच्चारण एप्सिलॉन शून्य या एप्सिलॉन ज़ीरो), जिसे छोटे सीमा क्रम के अनुक्रम से ट्रांसफ़िनाइट पुनरावृत्ति द्वारा प्राप्त सीमा के रूप में देखा जा सकता है:


 * $$\varepsilon_0 = \omega^{\omega^{\omega^{\cdot^{\cdot^\cdot}}}} = \sup \{ \omega, \omega^{\omega}, \omega^{\omega^{\omega}}, \omega^{\omega^{\omega^\omega}}, \dots \}\,,$$

कहाँ $sup$ अंतिम फ़ंक्शन है, जो वॉन न्यूमैन प्रतिनिधित्व के मामले में संघ को सेट करने के बराबर है।

घातीय मानचित्र के बड़े क्रमिक निश्चित बिंदुओं को क्रमबद्ध सदस्यता द्वारा अनुक्रमित किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप $$\varepsilon_1, \varepsilon_2,\ldots,\varepsilon_\omega, \varepsilon_{\omega+1}, \ldots, \varepsilon_{\varepsilon_0}, \ldots, \varepsilon_{\varepsilon_1}, \ldots, \varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_{\cdot_{\cdot_{\cdot}}}}},\ldots$$. अध्यादेश ε0 अभी भी गिनती योग्य है, जैसा कि कोई भी एप्सिलॉन नंबर है जिसका सूचकांक गिनती योग्य है (बेशुमार ऑर्डिनल मौजूद हैं, और बेशुमार एप्सिलॉन नंबर जिनका सूचकांक एक बेशुमार ऑर्डिनल है)।

सबसे छोटा एप्सिलॉन नंबर ε0 कई गणितीय प्रेरण प्रमाणों में दिखाई देता है, क्योंकि कई उद्देश्यों के लिए, ट्रांसफ़िनाइट इंडक्शन केवल ε तक आवश्यक है0 (जैसा कि हम वास्तविक हैं की संगति प्रमाण और गुडस्टीन के प्रमेय के प्रमाण में है)।गेंटज़ेन द्वारा इसका उपयोग मीनो अंकगणित की स्थिरता को साबित करने के लिए, गोडेल के दूसरे अपूर्णता प्रमेय के साथ, दिखाते हैं कि मीनो अंकगणित अच्छी तरह से स्थापित संबंध साबित नहीं कर सकता है।जैसे, प्रूफ-थ्योरिटिक ऑर्डिनल विश्लेषण में, मीनो अंकगणित के सिद्धांत की ताकत के उपाय के रूप में उपयोग किया जाता है)।

कई बड़े एप्सिलॉन संख्याओं को वेबलेन समारोह का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है।

एप्सिलॉन नंबरों के एक अधिक सामान्य वर्ग की पहचान जॉन हॉर्टन कॉनवे और डोनाल्ड नुथ द्वारा वास्तविक संख्या प्रणाली में की गई है, जिसमें सभी सर्जरी शामिल हैं जो आधार के निश्चित बिंदु हैं।x।

परिभाषित GAMMA संख्याएं (Additively Indecompopopopable ordinal देखें) γ> 0 होने के लिए जैसे कि α+γ = γ जब भी α <γ, और डेल्टा संख्या (देखें additively indecomposable ordinal#multivically indecomposable देखें) Δ> 1 ऐसा है कि αΔ = Δजब भी 0 <α <Δ, और एप्सिलॉन संख्या संख्या ε> 2 हो जैसे कि αundefined, और उसके डेल्टा संख्याएँ फॉर्म ω के हैंω B ।

ऑर्डिनल ε संख्या
आधार α के साथ क्रमिक घातांक की मानक परिभाषा है:
 * $$\alpha^0 = 1 \,,$$
 * $$\alpha^\beta = \alpha^{\beta-1} \cdot \alpha \,,$$ कब $$\beta$$ एक तत्काल पूर्ववर्ती है $$\beta - 1$$।
 * $$\alpha^\beta=\sup \lbrace\alpha^\delta \mid 0 < \delta < \beta\rbrace$$, जब कभी भी $$\beta$$ एक सीमा अध्यादेश है।

इस परिभाषा से, यह इस प्रकार है कि किसी भी निश्चित अध्यादेश के लिए α > 1, मानचित्र (गणित) $$\beta \mapsto \alpha^\beta$$ एक सामान्य कार्य है, इसलिए यह सामान्य कार्यों के लिए निश्चित बिंदु लेम्मा द्वारा मनमाने ढंग से बड़े निश्चित बिंदु (गणित) है।कब $$\alpha = \omega$$, ये निश्चित बिंदु ठीक से ऑर्डिनल एप्सिलॉन नंबर हैं।
 * $$\varepsilon_0 = \sup \lbrace 1, \omega, \omega^\omega, \omega^{\omega^\omega}, \omega^{\omega^{\omega^\omega}}, \ldots\rbrace \,,$$
 * $$\varepsilon_\beta = \sup \lbrace {\varepsilon_{\beta-1}+1}, \omega^{\varepsilon_{\beta-1}+1}, \omega^{\omega^{\varepsilon_{\beta-1}+1}}, \omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_{\beta-1}+1}}}, \ldots\rbrace \,,$$ कब $$\beta$$ एक तत्काल पूर्ववर्ती है $$\beta - 1$$।
 * $$\varepsilon_\beta=\sup \lbrace \varepsilon_\delta \mid \delta < \beta \rbrace$$, जब कभी भी $$\beta$$ एक सीमा अध्यादेश है।

क्योंकि
 * $$\omega^{\varepsilon_0 + 1} = \omega^{\varepsilon_0} \cdot \omega^1 = \varepsilon_0 \cdot \omega \,,$$
 * $$\omega^{\omega^{\varepsilon_0 + 1}} = \omega^{(\varepsilon_0 \cdot \omega)} = {(\omega^{\varepsilon_0})}^\omega = \varepsilon_0^\omega \,,$$
 * $$\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0 + 1}}} = \omega^{{\varepsilon_0}^\omega} = \omega^{{\varepsilon_0}^{1+\omega}} = \omega^{(\varepsilon_0\cdot{\varepsilon_0}^\omega)} = {(\omega^{\varepsilon_0})}^{{\varepsilon_0}^\omega} = {\varepsilon_0}^{{\varepsilon_0}^\omega} \,,$$

एक ही सुप्रीम के साथ एक अलग अनुक्रम, $$\varepsilon_1$$, 0 से शुरू करके प्राप्त किया जाता है और आधार के साथ घातांक होता है0 बजाय:
 * $$\varepsilon_1 = \sup\{1, \varepsilon_0, {\varepsilon_0}^{\varepsilon_0}, {\varepsilon_0}^{{\varepsilon_0}^{\varepsilon_0}}, \ldots\},$$

आम तौर पर, एप्सिलॉन संख्या $$\varepsilon_{\beta}$$ किसी भी अध्यादेश द्वारा अनुक्रमित जो एक तत्काल पूर्ववर्ती है $$\beta-1$$ इसी तरह का निर्माण किया जा सकता है।
 * $$\varepsilon_{\beta} = \sup\{1, \varepsilon_{\beta-1}, \varepsilon_{\beta-1}^{\varepsilon_{\beta-1}}, \varepsilon_{\beta-1}^{\varepsilon_{\beta-1}^{\varepsilon_{\beta-1}}}, \dots\}$$

विशेष रूप से, सूचकांक β एक सीमा अध्यादेश है या नहीं, $$\varepsilon_\beta$$ एक निश्चित बिंदु है न केवल आधार ω घातांक का बल्कि सभी ऑर्डिनल्स के लिए आधार of घातांक का भी $$1 < \delta < \varepsilon_\beta$$।

चूंकि एप्सिलॉन नंबर ऑर्डिनल नंबरों का एक अनबाउंड सबक्लास हैं, इसलिए वे स्वयं क्रमिक संख्याओं का उपयोग करके गणना की जाती हैं।किसी भी अध्यादेश संख्या के लिए $$\beta$$, $$\varepsilon_\beta$$ क्या कम से कम एप्सिलॉन नंबर (घातीय मानचित्र का निश्चित बिंदु) पहले से ही सेट में नहीं है $$\{ \varepsilon_\delta\mid \delta < \beta \}$$।ऐसा प्रतीत हो सकता है कि यह पुनरावृत्त घातांक का उपयोग करके रचनात्मक परिभाषा के गैर-निर्माण समतुल्य है;लेकिन दो परिभाषाएँ सीमा अध्यादेशों द्वारा अनुक्रमित चरणों में समान रूप से गैर-कंस्ट्रक्टिव हैं, जो एक घातीय श्रृंखला के सुप्रीम को लेने की तुलना में एक उच्च क्रम के ट्रांसफ़िनाइट पुनरावृत्ति का प्रतिनिधित्व करती हैं।

एप्सिलॉन संख्याओं के बारे में निम्नलिखित तथ्य साबित करने के लिए सीधे हैं:
 * हालांकि यह काफी बड़ी संख्या है, $$\varepsilon_0$$ अभी भी गिनती करने योग्य है, गणना योग्य अध्यादेशों का एक गिनती करने योग्य संघ है;वास्तव में, $$\varepsilon_\beta$$ यदि और केवल अगर और केवल अगर $$\beta$$ गिनती योग्य है।
 * एप्सिलॉन नंबरों के किसी भी गैर -रिक्त सेट का संघ (या सुप्रीम) एक एप्सिलॉन नंबर है;उदाहरण के लिए
 * $$\varepsilon_\omega = \sup\{\varepsilon_0, \varepsilon_1, \varepsilon_2, \ldots\}$$
 * एक एप्सिलॉन नंबर है।इस प्रकार, मानचित्रण $$\beta \mapsto \varepsilon_\beta$$ एक सामान्य कार्य है।


 * किसी भी बेशुमार सेट बुनियादी संख्या का वॉन न्यूमैन कार्डिनल असाइनमेंट एक एप्सिलॉन नंबर है।
 * $$\alpha \ge 1 \Rightarrow \varepsilon_{\omega_{\alpha}} = \omega_{\alpha} \,.$$

ε का प्रतिनिधित्व0 जड़ित पेड़ों द्वारा
किसी भी एप्सिलॉन नंबर ε में कैंटर सामान्य रूप है $$\varepsilon =\omega ^{\varepsilon }$$, जिसका अर्थ है कि कैंटर सामान्य रूप एप्सिलॉन संख्याओं के लिए बहुत उपयोगी नहीं है।Ε से कम क्रम0, हालांकि, उनके कैंटर सामान्य रूपों द्वारा उपयोगी रूप से वर्णित किया जा सकता है, जो ε का प्रतिनिधित्व करता है0 के रूप में सभी पेड़ (ग्राफ सिद्धांत) #Rooted पेड़ के आदेशित सेट के रूप में, निम्नानुसार है।किसी भी अध्यादेश $$\alpha<\varepsilon_0$$ कैंटर सामान्य रूप है $$\alpha=\omega^{\beta_1}+\omega^{\beta_2}+\cdots+\omega^{\beta_k}$$ जहां k एक प्राकृतिक संख्या है और $$\beta_1,\ldots,\beta_k$$ के साथ अध्यादेश हैं $$\alpha>\beta_1\geq\cdots\geq\beta_k$$, विशिष्ट रूप से निर्धारित किया गया $$\alpha$$।प्रत्येक अध्यादेश $$\beta_1,\ldots,\beta_k$$ बदले में एक समान कैंटर सामान्य रूप है।हम परिमित रूट किए गए पेड़ को प्राप्त करते हैं जो α का प्रतिनिधित्व करते हैं, जो पेड़ों की जड़ों में शामिल होकर प्रतिनिधित्व करते हैं $$\beta_1,\ldots,\beta_k$$ एक नई जड़ के लिए।(इसका परिणाम यह है कि नंबर 0 को एक ही रूट द्वारा दर्शाया गया है जबकि संख्या $$1=\omega^0$$ एक जड़ और एक पत्ती युक्त एक पेड़ द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है।) परिमित रूट किए गए पेड़ों के सेट पर एक आदेश को पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया गया है: हम पहले आदेश घटाने के क्रम में जड़ में शामिल हो गए, और फिर इन आदेशित अनुक्रमों पर लेक्सिकोग्राफिकल ऑर्डर का उपयोग करेंउपप्रकार।इस तरह से सभी परिमित रूट किए गए पेड़ों का सेट एक अच्छी तरह से ऑर्डर बन जाता है। अच्छी तरह से ऑर्डर किया गया सेट जो ऑर्डर-आइसोमॉर्फिक है0।

यह प्रतिनिधित्व गुडस्टीन के प्रमेय के प्रमाण से संबंधित है, जो एक ग्राफ-थ्योरिटिक गेम के रूप में ऑर्डिनल्स के घटते दृश्यों का प्रतिनिधित्व करता है।

वेबलन पदानुक्रम
एप्सिलॉन मैपिंग के निश्चित बिंदु $$x \mapsto \varepsilon_x$$ एक सामान्य फ़ंक्शन बनाते हैं, जिनके निश्चित बिंदु एक सामान्य कार्य बनाते हैं;इसे वेबलन फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है (वेबलन फ़ंक्शन के साथ φ0(α) & nbsp; = & nbsp; ωα)।वेलब्लेन पदानुक्रम के अंकन में, एप्सिलॉन मैपिंग φ है1, और इसके निश्चित बिंदुओं को φ द्वारा गणना की जाती है2।

इस नस में जारी रखते हुए, कोई भी नक्शे को परिभाषित कर सकता हैα उत्तरोत्तर बड़े ऑर्डिनल्स α के लिए (सहित, इस दुर्लभ रूप से ट्रांसफ़िनेट पुनरावृत्ति के रूप में, सीमाएँ सीमाएँ), उत्तरोत्तर बड़े कम से कम निश्चित बिंदुओं के साथ φα+1(०)।इस प्रक्रिया से 0 से कम से कम क्रमिक नहीं - मैं।ई।, कम से कम ऑर्डिनल α जिसके लिए φα(0) = α, या समकक्ष रूप से नक्शे का पहला निश्चित बिंदु $$\alpha \mapsto \varphi_\alpha(0)$$—इस फफर्मन - शेट्टे ऑर्डिनल γ0।एक सेट सिद्धांत में जहां इस तरह के एक अध्यादेश का अस्तित्व साबित हो सकता है, एक का नक्शा है, जो निश्चित बिंदुओं को दर्शाता है γ0, सी1, सी2, ... का $$\alpha \mapsto \varphi_\alpha(0)$$;ये सभी अभी भी एप्सिलॉन नंबर हैं, क्योंकि वे φ की छवि में झूठ बोलते हैंβ हर γ γ के लिए0, नक्शे के साथ,1 यह एप्सिलॉन संख्याओं की गणना करता है।

असली ε संख्याएँ
संख्या और खेलों में, वास्तविक संख्या पर क्लासिक प्रदर्शनी, जॉन हॉर्टन कॉनवे ने अवधारणाओं के कई उदाहरण प्रदान किए, जिनमें ऑर्डिनल्स से लेकर सरेल तक प्राकृतिक एक्सटेंशन थे।ऐसा ही एक कार्य है।$$\omega$$-नक्शा $$n \mapsto \omega^n$$;यह मैपिंग स्वाभाविक रूप से एक फ़ंक्शन के अपने डोमेन में सभी वास्तविक संख्याओं को शामिल करने के लिए सामान्य रूप से सामान्यीकरण करता है, जो बदले में सर्जरी संख्या के लिए क्रमिक अंकगणित#कैंटर सामान्य रूप का एक प्राकृतिक सामान्यीकरण प्रदान करता है।

इस विस्तारित नक्शे के किसी भी निश्चित बिंदु पर एक एप्सिलॉन नंबर पर विचार करना स्वाभाविक है, चाहे वह कड़ाई से एक क्रमिक संख्या हो या नहीं।गैर-ऑर्डिनल एप्सिलॉन नंबरों के कुछ उदाहरण हैं


 * $$\varepsilon_{-1} = \{0, 1, \omega, \omega^\omega, \ldots \mid \varepsilon_0 - 1, \omega^{\varepsilon_0 - 1}, \ldots\}$$

और


 * $$\varepsilon_{1/2} = \{\varepsilon_0 + 1, \omega^{\varepsilon_0 + 1}, \ldots \mid \varepsilon_1 - 1, \omega^{\varepsilon_1 - 1}, \ldots\}.$$

परिभाषित करने का एक स्वाभाविक तरीका है $$\varepsilon_n$$ प्रत्येक वास्तविक संख्या n के लिए, और नक्शा ऑर्डर-संरक्षण रहता है।कॉनवे ने इरेड्यूसिबल वास्तविक संख्याओं के एक व्यापक वर्ग को परिभाषित किया है जिसमें विशेष रूप से दिलचस्प उपक्लास के रूप में एप्सिलॉन नंबर शामिल हैं।

यह भी देखें

 * अध्यादेश अंकगणित
 * बड़े गिनती योग्य अध्यादेश

संदर्भ

 * J.H. Conway, On Numbers and Games (1976) Academic Press ISBN 0-12-186350-6
 * Section XIV.20 of