फ़ज़ी समुच्चय संक्रिया

फजी सेट संचालन फ़ज़ी सेट के क्रिस्प सेट संचालन (गणित) का एक सामान्यीकरण होता है। वास्तव में एक से अधिक संभावित सामान्यीकरण होते है। सबसे व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले संचालन को मानक फ़ज़ी सेट संचालन कहा जाता है, इनमें सम्मलित होते है: फ़ज़ी पूरक, फ़ज़ी प्रतिच्छेदन और फ़ज़ी संघ।

मानक फ़ज़ी सेट संचालन
मान लेते है कि ए और बी फज़ी सेट करते है कि ए, बी ⊆ यू, यू स्थान में कोई तत्व (जैसे मूल्य) है: यू ∈ यू।

मानक पूरक है

 * $$\mu_{\lnot{A}}(u) = 1 - \mu_A(u)$$

पूरक को कभी-कभी ∁A या AN द्वारा दर्शाया जाता है

मानक प्रतिच्छेदन

 * $$\mu_{A \cap B}(u) = \min\{\mu_A(u), \mu_B(u)\}$$

मानक संघ

 * $$\mu_{A \cup B}(u) = \max\{\mu_A(u), \mu_B(u)\}$$

सामान्यतः, तिहरा (i,u,n) को डी मॉर्गन ट्रिपलेट iff कहा जाता है जिससे कि सभी x,y ∈ [0, 1] के लिए निम्नलिखित सत्य है:
 * आई एक टी-मानक है,
 * यू एक टी-कॉनर्म (एक एस-नॉर्म) है,
 * एन एक मजबूत नकारात्मक है,
 * u(x,y) = n( i( n(x), n(y) ) )

(सामान्यीकृत डी मॉर्गन संबंध)। इसका तात्पर्य विस्तार से नीचे दिए गए स्वयंसिद्धों से है।

फजी पूरक
μA(x) को उस डिग्री के रूप में परिभाषित किया गया है जिससे x A से संबंधित है। मान लीजिए कि ∁A प्रकार c के A के अस्पष्ट पूरक को दर्शाता है। फिर μ∁A(x) वह डिग्री है जिससे x का संबंध ∁A से है, और वह डिग्री जिससे x का संबंध A से नहीं है। (μA(x) इसलिए वह डिग्री है जिससे x ∁A से संबंधित नहीं है।) एक पूरक '∁'A को एक फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित किया जाना चाहिए


 * सी : [0,1] → [0,1]


 * सभी के लिए x ∈ यू: μ∁A(एक्स) = सी (एमA(एक्स))

फ़ज़ी पूरकों के लिए अभिगृहीत
अभिगृहीत c1. सीमारेखा की हालत
 * c(0) = 1 और c(1) = 0

अभिगृहीत सी2. दिष्टता
 * सभी a, b ∈ [0, 1] के लिए, यदि a < b, तो c(a) > c(b)

अभिगृहीत c3. निरंतरता
 * c निरंतर कार्य है।

स्वयंसिद्ध सी 4। निवेश
 * c एक इनवोल्यूशन (गणित) है, जिसका अर्थ है कि c(c(a)) = a प्रत्येक a ∈ [0,1] के लिए

c एक मजबूत टी-मानक # गैर-मानक नकारात्मक (उर्फ फ़ज़ी पूरक) है।

एक फलन c संतोषजनक अभिगृहीत c1 और c3 में कम से कम एक निश्चित बिन्दु a होता है* साथ में सी(ए*) = ए *, और यदि अभिगृहीत c2 भी पूरा होता है तो ठीक ऐसा ही एक निश्चित बिंदु है। मानक नकारात्मक सी (एक्स) = 1-एक्स के लिए अद्वितीय फिक्सपॉइंट एक है* = 0.5.

फजी प्रतिच्छेदन
दो फ़ज़ी सेट ए और बी के चौराहे को सामान्य रूप से यूनिट अंतराल पर बाइनरी संचालन द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है, फॉर्म का एक फ़ंक्शन
 * i:[0,1]×[0,1] → [0,1]।


 * सभी के लिए x ∈ यू: μA ∩ B(एक्स) = मैं [एमA(एक्स), एमB(एक्स)]।

फ़ज़ी चौराहों के लिए अभिगृहीत
अभिगृहीत i1. सीमारेखा की हालत
 * मैं (ए, 1) = ए

स्वयंसिद्ध i2। दिष्टता
 * b ≤ d का अर्थ है i(a, b) ≤ i(a, d)

स्वयंसिद्ध i3। क्रमविनिमेयता
 * मैं (ए, बी) = मैं (बी, ए)

स्वयंसिद्ध i4। संबद्धता
 * मैं (ए, मैं (बी, डी)) = मैं (मैं (ए, बी), डी)

स्वयंसिद्ध i5। निरंतरता
 * मैं एक सतत कार्य है

स्वयंसिद्ध i6। सबडिमपोटेंसी
 * i(a, a) <a सबके लिए 0 <a <1

स्वयंसिद्ध i7। सख्त एकरसता
 * मैं एक1, बी1) <मैं (ए2, बी2) यदि एक1 <ए2 और बी1 < ख2

अभिगृहीत i1 से i4 तक एक टी-मानदंड (उर्फ फ़ज़ी इंटरसेक्शन) को परिभाषित करते है। मानक टी-मानदंड न्यूनतम एकमात्र आदर्श टी-मानदंड है (अर्थात, i (a1, ए1) = सभी के लिए एक ∈ [0,1])।

फजी यूनियन्स
दो फ़ज़ी सेट ए और बी का संघ सामान्य रूप से फॉर्म के यूनिट अंतराल फ़ंक्शन पर बाइनरी संचालन द्वारा निर्दिष्ट किया गया है


 * यू: [0,1] × [0,1] → [0,1]।


 * सभी के लिए x ∈ यू: μA ∪ B(एक्स) = यू [एमA(एक्स), एमB(एक्स)]।

फ़ज़ी यूनियन के लिए अभिगृहीत
अभिगृहीत u1. सीमारेखा की हालत
 * यू (ए, 0) = यू (0, ए) = ए

अभिगृहीत u2. दिष्टता
 * बी ≤ डी का अर्थ है यू (ए, बी) ≤ यू (ए, डी)

स्वयंसिद्ध यू3. क्रमविनिमेयता
 * यू (ए, बी) = यू (बी, ए)

अभिगृहीत यू4. संबद्धता
 * यू (ए, यू (बी, डी)) = यू (यू (ए, बी), डी)

अभिगृहीत u5. निरंतरता
 * यू एक निरंतर कार्य है

अभिगृहीत u6. अतिशयोक्ति
 * यू (ए, ए)> ए सभी 0 <ए <1 के लिए


 * स्वयंसिद्ध u7. सख्त एकरसता
 * ए1 <ए2 और बी1 < ख2 मतलब आप (ए1, बी1) <यू (ए2, बी2)

अभिगृहीत u1 से u4 तक एक टी-कॉनर्म (उर्फ s-नॉर्म या फ़ज़ी यूनियन) को परिभाषित करते है। मानक t-conorm max ही एकमात्र idempotent t-conorm है (यानी u (a1, a1) = a सभी a ∈ [0,1] के लिए)।

एकत्रीकरण संचालन
फ़ज़ी सेट पर एग्रीगेशन ऑपरेशंस ऐसे ऑपरेशंस है जिनके द्वारा एक फ़ज़ी सेट बनाने के लिए कई फ़ज़ी सेटों को वांछित तरीके से जोड़ा जाता है।

n फ़ज़ी सेट (2 ≤ n) पर एकत्रीकरण संचालन एक फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित किया गया है


 * एच: [0,1]एन → [0,1]

एग्रीगेशन ऑपरेशंस फजी सेट के लिए स्वयंसिद्ध
स्वयंसिद्ध h1। सीमारेखा की हालत
 * एच (0, 0, ..., 0) = 0 और एच (1, 1, ..., 1) = एक

स्वयंसिद्ध h2। दिष्टता
 * किसी भी जोड़ी के लिए  और <बी1, बी2, ..., बीn> एन-टुपल्स जैसे कि ai, बीi ∈ [0,1] सभी i ∈ N के लिएn, यदि एकi ≤ बीi सभी के लिए मैं ∈ एनn, फिर एच (ए1, ए2, ...,एn) ≤ एच (बी1, बी2, ..., बीn); यानी, एच अपने सभी तर्कों में मोनोटोनिक बढ़ रहा है।

स्वयंसिद्ध h3। निरंतरता
 * h एक सतत कार्य है।

यह भी देखें

 * फजी लॉजिक
 * फजी सेट
 * टी-मानदंड
 * टाइप -2 फ़ज़ी सेट और सिस्टम
 * डी मॉर्गन बीजगणित

संदर्भ

 * L.A. Zadeh. Fuzzy sets. Information and Control, 8:338–353, 1965