सहवाद

गणित में, सह-बोर्डिज्म एक ही आयाम कॉम्पैक्ट जगह चिकना [[कई गुना]] के वर्ग पर एक मौलिक तुल्यता संबंध है, जिसे सीमा (टोपोलॉजी) की अवधारणा का उपयोग करके स्थापित किया गया है (फ्रेंच विकट:बॉर्ड#फ्रेंच, कोबार्डिज्म देते हुए ) कई गुना। एक ही आयाम के दो मैनिफोल्ड कोबार्डेंट हैं यदि उनका असम्बद्ध मिलन एक कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड एक डायमेंशन की सीमा है।

एक (n + 1)-आयामी कई गुना W की सीमा एक n-आयामी कई गुना ∂W है जो बंद है, यानी खाली सीमा के साथ। सामान्य तौर पर, एक बंद मैनिफोल्ड को सीमा नहीं होना चाहिए: कोबोर्डिज्म सिद्धांत सभी बंद मैनिफोल्ड और जो सीमाएं हैं, के बीच अंतर का अध्ययन है। सिद्धांत मूल रूप से रेने थॉम द्वारा चिकनी कई गुना (यानी, अलग-अलग) के लिए विकसित किया गया था, लेकिन अब इसके लिए भी संस्करण हैं टुकड़ावार रैखिक मैनिफोल्ड और टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड।

कई गुना एम और एन के बीच एक कोबोर्डिज्म एक कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड डब्ल्यू है, जिसकी सीमा एम और एन का असम्बद्ध मिलन है, $$\partial W=M \sqcup N$$.

सह-बोर्डवादों का अध्ययन उनके द्वारा उत्पन्न तुल्यता संबंध और अपने आप में वस्तुओं के रूप में दोनों के लिए किया जाता है। डिफियोमोर्फिज्म या मैनिफोल्ड्स के होमियोमोर्फिज्म की तुलना में कोबोर्डिज्म एक अधिक मोटे तुल्यता संबंध है, और अध्ययन और गणना करना काफी आसान है। आयाम ≥ 4 में भिन्नता या होमोमोर्फिज्म तक कई गुना वर्गीकृत करना संभव नहीं है - क्योंकि समूहों के लिए शब्द समस्या को हल नहीं किया जा सकता है - लेकिन कई गुना को कोबोर्डिज्म तक वर्गीकृत करना संभव है। ज्यामितीय टोपोलॉजी और बीजगणितीय टोपोलॉजी में सह-बोर्डिज्म अध्ययन की केंद्रीय वस्तुएं हैं। ज्यामितीय टोपोलॉजी में, मोर्स सिद्धांत  के साथ मोर्स थ्योरी के साथ कोबर्डिज़्म #कनेक्शन हैं, और एच-कोबर्डिज़्म | बीजगणितीय टोपोलॉजी में, कोबोर्डिज्म सिद्धांत मौलिक असाधारण कोहोलॉजी सिद्धांत हैं, और कोबोर्डिज्म#श्रेणीबद्ध पहलू  टोपोलॉजिकल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत  के डोमेन हैं।

कई गुना
मोटे तौर पर, एक एन-डायमेंशनल मैनिफोल्ड (गणित) एम एक स्थलीय अंतरिक्ष पड़ोस (गणित) है (अर्थात, प्रत्येक बिंदु के पास) होमोमोर्फिज़्म यूक्लिडियन अंतरिक्ष के एक खुले उपसमुच्चय के लिए $$\R^n.$$ सीमा के साथ मैनिफोल्ड समान है, सिवाय इसके कि एम के एक बिंदु को एक पड़ोस रखने की अनुमति है जो अर्ध-अंतरिक्ष (ज्यामिति) के एक खुले उपसमुच्चय के लिए होमोमोर्फिक है।


 * $$\{(x_1,\ldots,x_n) \in \R^n \mid x_n \geqslant 0\}.$$

यूक्लिडियन अंतरिक्ष के एक खुले उपसमुच्चय के बिना पड़ोस होमियोमॉर्फिक के बिना वे बिंदु सीमा बिंदु हैं $$M$$; की सीमा $$M$$ द्वारा निरूपित किया जाता है $$\partial M$$. अंत में, एक बंद मैनिफोल्ड, परिभाषा के अनुसार, बिना सीमा के एक कॉम्पैक्ट स्पेस मैनिफोल्ड ($$\partial M=\emptyset$$.)

सहकारिता
एक $$(n+1)$$-डायमेंशनल कोबोर्डिज्म एक पंचगुना है $$(W; M, N, i, j)$$ एक से मिलकर $$(n+1)$$सीमा के साथ आयामी कॉम्पैक्ट अलग-अलग कई गुना, $$W$$; बंद किया हुआ $$n$$-कई गुना  $$M$$, $$N$$; और एम्बेडिंग $$i\colon M \hookrightarrow \partial W$$, $$j\colon N \hookrightarrow\partial W$$ असंबद्ध छवियों के साथ जैसे कि


 * $$\partial W = i(M) \sqcup j(N)~.$$

शब्दावली को आमतौर पर संक्षिप्त किया जाता है $$(W; M, N)$$. एम और एन को कोबोर्डेंट कहा जाता है यदि इस तरह के एक कोबोर्डवाद मौजूद है। सभी कई गुना एक निश्चित दिए गए कई गुना एम के लिए कोबोर्डेंट एम के कोबोर्डिज्म वर्ग का निर्माण करते हैं।

प्रत्येक बंद मैनिफोल्ड एम गैर-कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड एम × [0, 1) की सीमा है; इस कारण से हमें आवश्यकता है कि डब्ल्यू को कोबोर्डिज्म की परिभाषा में कॉम्पैक्ट होना चाहिए। हालाँकि ध्यान दें कि W को कनेक्ट करने की आवश्यकता नहीं है; परिणामस्वरूप, यदि M = ∂W1 और एन = ∂डब्ल्यू2, तो M और N सहसमन्वय हैं।

उदाहरण
सह-बोर्डवाद का सबसे सरल उदाहरण इकाई अंतराल है. यह 0-आयामी मैनिफोल्ड {0}, {1} के बीच एक 1-आयामी कोबोर्डिज्म है। अधिक आम तौर पर, किसी भी बंद मैनिफोल्ड एम के लिए, (M × I; M × {0}, M × {1}) M × {0} से M × {1} तक सह-बोर्डवाद है।

यदि M में एक वृत्त है, और N में दो वृत्त हैं, तो M और N मिलकर पैंट (गणित) W की एक जोड़ी की सीमा बनाते हैं (दाईं ओर का चित्र देखें)। इस प्रकार पैंट की जोड़ी एम और एन के बीच एक कोबोर्डिज्म है। एम और एन के बीच एक सरल कोबोर्डिज्म तीन डिस्क के असंयुक्त संघ द्वारा दिया जाता है।

पैंट की जोड़ी एक अधिक सामान्य कोबोर्डिज़्म का एक उदाहरण है: किसी भी दो एन-आयामी मैनिफोल्ड एम, एम' के लिए, अलग संघ $$M \sqcup M'$$ जुड़ी हुई राशि के अनुरूप है $$M\mathbin{\#}M'.$$ जुड़ा योग के बाद से पिछला उदाहरण एक विशेष मामला है $$\mathbb{S}^1\mathbin{\#}\mathbb{S}^1$$ के लिए आइसोमॉर्फिक है $$\mathbb{S}^1.$$ जुड़ा हुआ योग $$M\mathbin{\#}M'$$ असंयुक्त संघ से प्राप्त होता है $$M \sqcup M'$$ के एक एम्बेडिंग पर सर्जरी द्वारा $$\mathbb{S}^0 \times \mathbb{D}^n$$ में $$M \sqcup M'$$, और कोबोर्डिज्म सर्जरी का निशान है।

शब्दावली
एक n-कई गुना M को अशक्त-कोबॉर्डेंट कहा जाता है यदि M और खाली कई गुना के बीच एक सह-संबंध है; दूसरे शब्दों में, यदि M कुछ (n + 1)-कई गुना की संपूर्ण सीमा है। उदाहरण के लिए, सर्कल अशक्त है क्योंकि यह एक डिस्क को बांधता है। अधिक आम तौर पर, एक n-गोला अशक्त-सहवर्ती होता है क्योंकि यह एक (n + 1) -डिस्क को बांधता है। इसके अलावा, प्रत्येक उन्मुख सतह अशक्त-समन्वय है, क्योंकि यह एक android  की सीमा है। दूसरी ओर, 2n-आयामी वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान $$\mathbb{P}^{2n}(\R)$$ एक (कॉम्पैक्ट) बंद मैनिफोल्ड है जो मैनिफोल्ड की सीमा नहीं है, जैसा कि नीचे बताया गया है।

सामान्य सीमावाद की समस्या विभिन्न स्थितियों के अधीन कई गुना के सह-बोर्डवाद वर्गों की गणना करना है।

अतिरिक्त संरचना वाले अशक्त-सह-संबंधों को सहानुभूति भरना कहा जाता है। बोर्डवाद और सह-बोर्डवाद का उपयोग कुछ लेखकों द्वारा परस्पर विनिमय के रूप में किया जाता है; दूसरे उन्हें अलग करते हैं। जब कोई अपने स्वयं के अधिकार में वस्तुओं के रूप में सह-बोर्डवाद वर्गों के अध्ययन से अंतर करना चाहता है, तो वह तुल्यता प्रश्न को कई गुना की सीमावाद कहते हैं, और कई गुना वस्तुओं के रूप में सह-सीमावाद का अध्ययन करता है।

बोर्डिज्म शब्द फ्रेंच से आया है bord, मतलब सीमा। इसलिए सीमावाद सीमाओं का अध्ययन है। कोबोर्डिज्म का अर्थ संयुक्त रूप से बाध्य है, इसलिए एम और एन कोऑर्डेंट हैं यदि वे संयुक्त रूप से कई गुना बाध्य हैं; यानी, अगर उनका असम्बद्ध मिलन एक सीमा है। इसके अलावा, कोबोर्डिज़्म समूह एक असाधारण कोहोलॉजी सिद्धांत बनाते हैं, इसलिए सह-।

प्रकार
उपरोक्त परिभाषा का सबसे बुनियादी रूप है। इसे अनओरिएंटेड बोर्डिज्म भी कहा जाता है। कई स्थितियों में, विचाराधीन कई गुना उन्मुखता है, या कुछ अन्य अतिरिक्त संरचना को जी-संरचना के रूप में संदर्भित किया जाता है। यह #Oriented coboardism| को जन्म देता है क्रमशः जी-संरचना के साथ उन्मुख सह-बोर्डवाद और सह-बोर्डवाद। अनुकूल तकनीकी परिस्थितियों में ये एक वर्गीकृत अंगूठी  बनाते हैं जिसे कोबोर्डिज्म रिंग कहा जाता है $$\Omega^G_*$$, आयाम द्वारा ग्रेडिंग के साथ, अलग संघ द्वारा जोड़ और कार्तीय उत्पाद द्वारा गुणा। कोबोर्डवाद समूह $$\Omega^G_*$$ एक #Cobordism_as_an_extraordinary_cohomology_theory के गुणांक समूह हैं।

जब अतिरिक्त संरचना होती है, तो कोबोर्डिज्म की धारणा को और अधिक सटीक रूप से तैयार किया जाना चाहिए: डब्ल्यू पर एक जी-संरचना एम और एन पर एक जी-संरचना तक सीमित है। मूल उदाहरण गैर-उन्मुख सह-संघवाद के लिए जी = ओ हैं, जी = एसओ उन्मुख सह-संघवाद के लिए, और जी = यू जटिल जटिल मैनिफोल्ड्स का उपयोग करके जटिल सह-वाद के लिए। और भी बहुत कुछ रॉबर्ट एवर्ट स्टोंग |रॉबर्ट ई. स्टोंग द्वारा विस्तृत किया गया है। इसी तरह, शल्य चिकित्सा सिद्धांत में एक मानक उपकरण सामान्य आक्रमणकारियों पर शल्य चिकित्सा है: ऐसी प्रक्रिया एक सामान्य मानचित्र को उसी बोर्डिज्म वर्ग के भीतर दूसरे सामान्य मानचित्र में बदल देती है।

अतिरिक्त संरचना पर विचार करने के बजाय, मैनिफोल्ड की विभिन्न धारणाओं को ध्यान में रखना भी संभव है, विशेष रूप से पीसवाइज लीनियर मैनिफोल्ड|पीसवाइज लीनियर (पीएल) और टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड। यह सीमावाद समूहों को जन्म देता है $$\Omega_*^{PL}(X), \Omega_*^{TOP}(X)$$, जिनकी गणना करना अलग-अलग वेरिएंट की तुलना में कठिन है।

सर्जरी निर्माण
याद करें कि सामान्य तौर पर, यदि एक्स, वाई कई गुना सीमा के साथ हैं, तो उत्पाद कई गुना की सीमा है ∂(X × Y) = (∂X × Y) ∪ (X × ∂Y).

अब, आयाम n = p + q और एक एम्बेडिंग का कई गुना M दिया गया है $$\varphi : \mathbb{S}^p \times \mathbb{D}^q \subset M,$$ एन-कई गुना परिभाषित करें


 * $$N := (M - \operatorname{int~im}\varphi) \cup_{\varphi|_{\mathbb{S}^p\times \mathbb{S}^{q-1}}} \left(\mathbb{D}^{p+1}\times \mathbb{S}^{q-1}\right)$$

के इंटीरियर को काटकर, सर्जरी सिद्धांत द्वारा प्राप्त किया गया $$\mathbb{S}^p \times \mathbb{D}^q$$ और चिपकाना $$\mathbb{D}^{p+1} \times \mathbb{S}^{q-1}$$ उनकी सीमा के साथ


 * $$\partial \left (\mathbb{S}^p \times \mathbb{D}^q \right) = \mathbb{S}^p \times \mathbb{S}^{q-1} = \partial \left( \mathbb{D}^{p+1} \times \mathbb{S}^{q-1} \right).$$

सर्जरी का निशान


 * $$W := (M \times I) \cup_{\mathbb{S}^p\times \mathbb{D}^q\times \{1\}} \left(\mathbb{D}^{p+1} \times \mathbb{D}^q\right)$$

एक प्राथमिक सह-वाद को परिभाषित करता है (W; M, N)। ध्यान दें कि 'एम' 'एन' से सर्जरी द्वारा प्राप्त किया जाता है $$\mathbb{D}^{p+1}\times \mathbb{S}^{q-1} \subset N.$$ इसे रिवर्सिंग सर्जरी कहते हैं।

मारस्टन मोर्स, रेने थॉम और जॉन मिल्नोर के काम से, प्रत्येक सह-बोर्डवाद प्राथमिक सह-बोर्डवाद का एक संघ है।

उदाहरण
ऊपर दी गई परिभाषा के अनुसार, वृत्त पर एक शल्य चिकित्सा में एक प्रतिलिपि काटनी होती है $$\mathbb{S}^0 \times \mathbb{D}^1$$ और चिपकाना $$\mathbb{D}^1 \times \mathbb{S}^0.$$ चित्र 1 में चित्र दिखाते हैं कि ऐसा करने का परिणाम या तो (i) है $$\mathbb{S}^1$$ दोबारा, या (ii) की दो प्रतियां $$\mathbb{S}^1$$

2-गोले पर सर्जरी के लिए, अधिक संभावनाएँ हैं, क्योंकि हम या तो काट कर शुरू कर सकते हैं $$\mathbb{S}^0 \times \mathbb{D}^2$$ या $$\mathbb{S}^1 \times \mathbb{D}^1.$$

1. $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{D}^1$: If we remove a cylinder from the 2-sphere, we are left with two disks. We have to glue back in $\mathbb{S}^0 \times \mathbb{D}^2$ – that is, two disks - and it's clear that the result of doing so is to give us two disjoint spheres. (Fig. 2a)

2. Sphere-surgery4.png $\mathbb{S}^0 \times \mathbb{D}^2$: Having cut out two disks $\mathbb{S}^0 \times \mathbb{D}^2,$ we glue back in the cylinder $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{D}^1.$ There are two possible outcomes, depending on whether our gluing maps have the same or opposite orientation on the two boundary circles. If the orientations are the same (Fig. 2b), the resulting manifold is the torus $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^1$ but if they are different, we obtain the Klein bottle (Fig. 2c).

मोर्स फ़ंक्शंस
मान लीजिए कि f एक (n + 1)-विमीय कई गुना पर एक मोर्स समारोह है, और मान लीजिए कि c एक महत्वपूर्ण मान है, जिसकी पूर्व छवि में ठीक एक महत्वपूर्ण बिंदु है। यदि इस महत्वपूर्ण बिंदु का सूचकांक p+1 है, तो स्तर-सेट N := f−1(c + ε) M := f से प्राप्त होता है−1(c − ε) एक पी-सर्जरी द्वारा। प्रतिलोम प्रतिबिम्ब W := f−1([c − ε, c + ε]) एक कोबोर्डिज़्म (W; M, N) को परिभाषित करता है जिसे इस सर्जरी के निशान से पहचाना जा सकता है।

ज्यामिति, और मोर्स सिद्धांत और हैंडलबॉडी
के साथ संबंध एक कोबोर्डवाद (डब्ल्यू; एम, एन) को देखते हुए एक चिकनी कार्य मौजूद है: डब्ल्यू → [0, -1] ऐसा है कि एफ−1(0) = एम, एफ−1(1) = N. सामान्य स्थिति से, कोई मान सकता है कि f मोर्स है और ऐसा है कि सभी महत्वपूर्ण बिंदु W के इंटीरियर में होते हैं। इस सेटिंग में f को कोबोरिज्म पर मोर्स फ़ंक्शन कहा जाता है। कोबोर्डिज्म (डब्ल्यू; एम, एन) एम पर सर्जरी के अनुक्रम के निशान का एक संघ है, एफ के प्रत्येक महत्वपूर्ण बिंदु के लिए एक। एफ के प्रत्येक महत्वपूर्ण बिंदु के लिए एक संभाल अपघटन संलग्न करके कई गुना डब्ल्यू एम × [0, -1] से प्राप्त किया जाता है।

मोर्स/स्मेल प्रमेय कहता है कि सह-बोर्डवाद पर मोर्स फ़ंक्शन के लिए, f' की प्रवाह रेखाएं ट्रिपल (W; M, N) के एक हैंडल अपघटन को जन्म देती हैं। इसके विपरीत, एक सह-बोर्डवाद के हैंडल अपघटन को देखते हुए, यह एक उपयुक्त मोर्स फ़ंक्शन से आता है। उपयुक्त रूप से सामान्यीकृत सेटिंग में यह प्रक्रिया संभाल अपघटन और मोर्स कार्यों के बीच एक कोबोर्डिज्म के बीच एक पत्राचार देती है।

इतिहास
1895 में हेनरी पोनकारे द्वारा कोबोर्डिज्म की जड़ें (विफल) प्रयास में होमोलॉजी (गणित) को विशुद्ध रूप से कई गुना के संदर्भ में परिभाषित करने के लिए थीं।. पोंकारे ने एक साथ होमोलॉजी और कोबोर्डिज्म दोनों को परिभाषित किया, जो सामान्य रूप से समान नहीं हैं। सीमावाद और समरूपता के बीच संबंध के लिए #Coboardism को एक असाधारण कोहोलॉजी सिद्धांत के रूप में देखें।

कई गुना पर ज्यामितीय कार्य में लेव पोंट्रीगिन द्वारा बोर्डिज्म को स्पष्ट रूप से पेश किया गया था। यह तब प्रमुखता में आया जब रेने थॉम ने दिखाया कि थॉम जटिल निर्माण के माध्यम से, होमोटॉपी सिद्धांत के माध्यम से कोबोर्डिज़्म समूहों की गणना की जा सकती है। कोबर्डिज़्म सिद्धांत के-सिद्धांत के साथ-साथ असाधारण कोहोलॉजी सिद्धांत के तंत्र का हिस्सा बन गया। 1950 के दशक और 1960 के दशक की शुरुआत में, विशेष रूप से हिर्ज़ब्रुक-रीमैन-रोच प्रमेय में, और अतियाह-सिंगर इंडेक्स प्रमेय के पहले प्रमाणों में, इसने एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई, ऐतिहासिक रूप से, टोपोलॉजी के विकास में।

1980 के दशक में ऑब्जेक्ट (श्रेणी सिद्धांत) के रूप में कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड्स के साथ श्रेणी (गणित) और इन दोनों के बीच आकारिकी के रूप में कोबोर्डिज़्म ने टोपोलॉजिकल क्वांटम फील्ड कश्मीर सिद्धांत के लिए अतियाह-सेगल स्वयंसिद्धों में एक बुनियादी भूमिका निभाई, जो क्वांटम टोपोलॉजी का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है।

श्रेणीबद्ध पहलू
सह-बोर्डवाद वर्गों के अलावा, सह-बोर्डवाद अपने आप में अध्ययन की वस्तुएं हैं। कोबोर्डिज्म एक श्रेणी (गणित) बनाते हैं, जिनकी वस्तुएं कई गुना बंद होती हैं और जिनकी आकृतियां कोबोर्डिज्म होती हैं। मोटे तौर पर, रचना को अंत-से-अंत तक एक साथ जोड़कर दिया जाता है: (W; M, N) और (W ′; N, P) की रचना को पहले के दाहिने सिरे को बायें छोर से जोड़कर परिभाषित किया जाता है। दूसरा, उपज (W ′ ∪N डब्ल्यू; एमपी)। एक कोबर्डिज्म एक प्रकार का cospan है: एम → डब्ल्यू ← एन श्रेणी एक डैगर कॉम्पैक्ट श्रेणी है।

एक टोपोलॉजिकल क्वांटम फील्ड थ्योरी कोबोर्डिज़्म की एक श्रेणी से सदिश स्थानों की एक श्रेणी के लिए एक मोनोइडल ऑपरेटर है। यही है, यह एक फ़ंक्टर है जिसका मान मैनिफोल्ड्स के असंबद्ध संघ पर प्रत्येक घटक मैनिफोल्ड्स पर इसके मूल्यों के टेंसर उत्पाद के बराबर है।

निम्न आयामों में, सीमावाद का प्रश्न अपेक्षाकृत तुच्छ है, लेकिन सह-बोर्डवाद की श्रेणी नहीं है। उदाहरण के लिए, सर्कल को घेरने वाली डिस्क एक नलरी (0-एरी) ऑपरेशन से मेल खाती है, जबकि सिलेंडर 1-एरी ऑपरेशन और पैंट की जोड़ी एक बाइनरी ऑपरेशन से मेल खाती है।

असंबद्ध सहवाद
बंद अनियंत्रित एन-डायमेंशनल मैनिफोल्ड्स के कोबोर्डिज्म वर्गों के सेट को आमतौर पर इसके द्वारा निरूपित किया जाता है $$\mathfrak{N}_n$$ (बजाय अधिक व्यवस्थित $$\Omega_n^{\text{O}}$$); यह ऑपरेशन के रूप में असंयुक्त संघ के साथ एक एबेलियन समूह है। अधिक विशेष रूप से, यदि [एम] और [एन] क्रमशः कई गुना एम और एन के कोबोर्डिज्म वर्गों को दर्शाता है, तो हम परिभाषित करते हैं $$[M]+[N] = [M \sqcup N]$$; यह एक सुपरिभाषित संक्रिया है जो मुड़ती है $$\mathfrak{N}_n$$ एक एबेलियन समूह में। इस समूह का पहचान तत्व वर्ग है $$[\emptyset]$$ सभी बंद एन-मैनिफोल्ड्स से मिलकर जो सीमाएं हैं। आगे हमारे पास है $$[M] + [M] = [\emptyset]$$ प्रत्येक एम के बाद से $$M \sqcup M = \partial (M \times [0,1])$$. इसलिए, $$\mathfrak{N}_n$$ एक सदिश स्थान है $$\mathbb{F}_2$$, जीएफ (2)। मैनिफोल्ड्स का कार्टेशियन उत्पाद गुणन को परिभाषित करता है $$[M][N]=[M \times N],$$ इसलिए


 * $$\mathfrak{N}_* = \bigoplus_{n \geqslant 0}\mathfrak{N}_n$$

एक वर्गीकृत बीजगणित है, जिसमें आयाम द्वारा ग्रेडिंग दी गई है।

कोबोर्डवाद वर्ग $$[M] \in \mathfrak{N}_n$$ एक बंद अनियमित एन-डायमेंशनल मैनिफोल्ड एम का निर्धारण एम की स्टिफ़ेल-व्हिटनी विशेषता संख्याओं द्वारा किया जाता है, जो स्पर्शरेखा बंडल के स्थिर समरूपता वर्ग पर निर्भर करता है। इस प्रकार यदि M के पास एक स्थिर रूप से तुच्छ स्पर्शरेखा बंडल है $$[M]=0 \in \mathfrak{N}_n$$. 1954 में रेने थॉम ने साबित किया


 * $$\mathfrak{N}_* = \mathbb{F}_2 \left[x_i | i \geqslant 1, i \neq 2^j - 1 \right]$$

एक जनरेटर के साथ बहुपद बीजगणित $$x_i$$ प्रत्येक आयाम में $$i \neq 2^j - 1$$. इस प्रकार दो अनियंत्रित बंद एन-आयामी मैनिफोल्ड एम, एन कोबोर्डेंट हैं, $$[M] = [N] \in \mathfrak{N}_n,$$ अगर और केवल अगर प्रत्येक संग्रह के लिए $$\left(i_1, \cdots, i_k\right)$$ पूर्णांकों के k-tuples का $$i \geqslant 1, i \neq 2^j - 1$$ ऐसा है कि $$i_1 + \cdots + i_k = n$$ स्टिफ़ेल-व्हिटनी संख्याएँ बराबर हैं


 * $$\left\langle w_{i_1}(M) \cdots w_{i_k}(M), [M] \right\rangle = \left\langle w_{i_1}(N) \cdots w_{i_k}(N), [N] \right\rangle \in \mathbb{F}_2$$

साथ $$w_i(M) \in H^i\left(M; \mathbb{F}_2\right)$$ Ith स्टिफ़ेल-व्हिटनी वर्ग और $$[M] \in H_n\left(M; \mathbb{F}_2\right)$$ $$\mathbb{F}_2$$- गुणांक मौलिक वर्ग।

यहां तक ​​कि मैं भी चुन सकता हूं $$x_i = \left[\mathbb{P}^i(\R)\right]$$, आई-डायमेंशनल रियल प्रोजेक्टिव स्पेस का कोबोर्डिज्म क्लास।

निम्न-आयामी गैर-उन्मुख सह-समूहवाद समूह हैं


 * $$\begin{align}

\mathfrak{N}_0 &= \Z/2, \\ \mathfrak{N}_1 &= 0, \\ \mathfrak{N}_2 &= \Z/2, \\ \mathfrak{N}_3 &= 0, \\ \mathfrak{N}_4 &= \Z/2 \oplus \Z/2, \\ \mathfrak{N}_5 &= \Z/2. \end{align}$$ यह दिखाता है, उदाहरण के लिए, प्रत्येक 3-आयामी बंद कई गुना 4-कई गुना (सीमा के साथ) की सीमा है।

यूलर विशेषता $$\chi(M) \in \Z$$ एक अनियंत्रित मैनिफोल्ड एम का मोडुलो 2 एक गैर-उन्मुख कोबोरिज्म इनवेरिएंट है। यह समीकरण द्वारा निहित है


 * $$\chi_{\partial W} = \left(1 - (-1)^{\dim W} \right)\chi_W$$

सीमा के साथ किसी भी कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड के लिए $$W$$.

इसलिए, $$\chi: \mathfrak{N}_i \to \Z/2$$ एक अच्छी तरह से परिभाषित समूह समरूपता है। उदाहरण के लिए, किसी के लिए $$i_1, \cdots, i_k \in\mathbb{N}$$
 * $$\chi \left( \mathbb{P}^{2i_1} (\R) \times \cdots \times \mathbb{P}^{2i_k}(\R) \right) = 1.$$

विशेष रूप से वास्तविक प्रोजेक्टिव रिक्त स्थान का ऐसा उत्पाद शून्य-कोबॉर्डेंट नहीं है। मॉड 2 यूलर विशेषता मानचित्र $$\chi: \mathfrak{N}_{2i} \to \Z/2$$ सभी के लिए चालू है $$i \in \mathbb{N},$$ और के लिए एक समूह समरूपता $$i = 1.$$ इसके अलावा, के कारण $$\chi(M \times N) = \chi(M)\chi(N)$$, ये समूह समरूपता वर्गीकृत बीजगणित के समरूपता में एकत्रित होते हैं:


 * $$\begin{cases}

\mathfrak{N} \to \mathbb{F}_2[x] \\[] [M] \mapsto \chi(M) x^{\dim(M)} \end{cases}$$

अतिरिक्त संरचना के साथ कई गुना सहकारिता
कोबर्डिज़्म को कई गुना के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है जिसमें अतिरिक्त संरचना होती है, विशेष रूप से एक अभिविन्यास। यह एक्स-संरचना (या जी-संरचना) की धारणा का उपयोग करके सामान्य तरीके से औपचारिक बना दिया गया है। बहुत संक्षेप में, पर्याप्त उच्च-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में M के विसर्जन का सामान्य बंडल ν $$\R^{n+k}$$ एम से ग्रासमानियन तक एक मानचित्र को जन्म देता है, जो बदले में ऑर्थोगोनल समूह के वर्गीकरण स्थान का उप-स्थान है: ν: एम → 'जीआर' (एन, एन + के) → बीओ (के)। रिक्त स्थान और मानचित्र X के संग्रह को देखते हुएk→ एक्सk+1 नक्शे के साथ एक्सk→ बीओ (के) (बीओ (के) → बीओ (के + 1) के समावेशन के साथ संगत, एक एक्स-संरचना एक मानचित्र के लिए ν की लिफ्ट है $$\tilde \nu: M \to X_k$$. एक्स-संरचना के साथ केवल कई गुना और कोबोर्डिज्म को ध्यान में रखते हुए कोबोरवाद की अधिक सामान्य धारणा को जन्म देता है। विशेष रूप से, एक्सkबीजी (के) द्वारा दिया जा सकता है, जहां जी (के) → ओ (के) कुछ समूह समरूपता है। इसे जी-संरचना के रूप में जाना जाता है। उदाहरणों में जी = ओ, ऑर्थोगोनल समूह शामिल है, जो गैर-उन्मुख कोबोर्डिज्म को वापस दे रहा है, लेकिन उपसमूह विशेष रैखिक समूह भी है। एसओ (के), उन्मुख कोबोरवाद को जन्म दे रहा है, स्पिन समूह, एकात्मक समूह | एकात्मक समूह यू (के), और तुच्छ समूह, फ़्रेमयुक्त सहवाद को जन्म दे रहा है।

परिणामी कोबोर्डिज्म समूहों को फिर से असम्बद्ध मामले के अनुरूप परिभाषित किया जाता है। द्वारा निरूपित किया जाता है $$\Omega^G_*$$.

ओरिएंटेड कोबोर्डिज्म
ओरिएंटेड कोबोर्डिज्म एसओ-संरचना के साथ कई गुना है। समान रूप से, सभी मैनिफोल्ड्स को ओरिएंटेबिलिटी और कोबोर्डिज्म (W, M, N) (स्पष्टता के लिए ओरिएंटेड कोबोर्डिज्म के रूप में भी जाना जाता है) ऐसे हैं कि सीमा (प्रेरित ओरिएंटेशन के साथ) है $$M \sqcup (-N)$$, जहां -N उल्टे ओरिएंटेशन के साथ N को दर्शाता है। उदाहरण के लिए, बेलन की सीमा M × I है $$M \sqcup (-M)$$: दोनों सिरों के विपरीत झुकाव हैं। यह असाधारण कोहोलॉजी सिद्धांत के अर्थ में भी सही परिभाषा है।

गैर-उन्मुख सह-बोर्डवाद समूह के विपरीत, जहां प्रत्येक तत्व दो-मरोड़ है, 2M सामान्य रूप से एक उन्मुख सीमा नहीं है, अर्थात, 2[M] ≠ 0 जब इसमें विचार किया जाता है $$\Omega_*^{\text{SO}}.$$ ओरिएंटेड कोबोर्डिज़्म समूहों को मॉड्यूलो टोरसन द्वारा दिया जाता है


 * $$\Omega_*^{\text{SO}}\otimes \Q =\Q \left [y_{4i}\mid i \geqslant 1 \right ],$$

ओरिएंटेड कोबोर्डवाद वर्गों द्वारा उत्पन्न बहुपद बीजगणित


 * $$y_{4i}=\left [\mathbb{P}^{2i}(\Complex) \right ] \in \Omega_{4i}^{\text{SO}}$$

जटिल प्रक्षेप्य रिक्त स्थान (थॉम, 1952)। ओरिएंटेड कोबोर्डिज़्म समूह $$\Omega_*^{\text{SO}}$$ स्टिफ़ेल-व्हिटनी और पोंट्रजगिन विशेषता संख्याओं (वॉल, 1960) द्वारा निर्धारित किया जाता है। दो ओरिएंटेड मैनिफोल्ड ओरिएंटेड कोबार्डेंट हैं अगर और केवल अगर उनके स्टिफ़ेल-व्हिटनी और पोंट्रेजगिन नंबर समान हैं।

निम्न-आयामी उन्मुख कोबोर्डिज़्म समूह हैं:


 * $$\begin{align}

\Omega_0^{\text{SO}} &= \Z, \\ \Omega_1^{\text{SO}} &= 0, \\ \Omega_2^{\text{SO}} &= 0, \\ \Omega_3^{\text{SO}} &= 0, \\ \Omega_4^{\text{SO}} &= \Z, \\ \Omega_5^{\text{SO}} &= \Z_2. \end{align}$$ एक उन्मुख 4i-आयामी कई गुना एम के कई गुना के हस्ताक्षर को चौराहे के रूप में हस्ताक्षर के रूप में परिभाषित किया गया है $$H^{2i}(M) \in \Z$$ और द्वारा दर्शाया गया है $$\sigma(M).$$ यह एक उन्मुख कोबोर्डिज्म इनवेरिएंट है, जिसे हिरजेब्रुक हस्ताक्षर प्रमेय द्वारा पोंट्रजगिन संख्या के संदर्भ में व्यक्त किया गया है।

उदाहरण के लिए, किसी के लिए मैं1, ..., मैंk≥ 1


 * $$\sigma \left (\mathbb{P}^{2i_1}(\Complex) \times \cdots \times \mathbb{P}^{2i_k}(\Complex) \right) = 1.$$

हस्ताक्षर नक्शा $$\sigma:\Omega_{4i}^{\text{SO}} \to \Z$$ सभी i ≥ 1 के लिए आच्छादक है, और i = 1 के लिए एक तुल्याकारिता है।

एक असाधारण कोहोलॉजी सिद्धांत के रूप में सहकारिता
प्रत्येक सदिश बंडल सिद्धांत (वास्तविक, जटिल आदि) में एक असाधारण कोहोलॉजी सिद्धांत होता है जिसे K-सिद्धांत कहा जाता है। इसी प्रकार, प्रत्येक सह-बोर्डवाद सिद्धांत ΩG के पास होमोलॉजी (बॉर्डिज्म) समूहों के साथ एक असाधारण कोहोलॉजी सिद्धांत है $$\Omega^G_n(X)$$ और कोहोलॉजी (सहसंवाद) समूह $$\Omega^n_G(X)$$ किसी भी स्थान X के लिए। सामान्यीकृत होमोलॉजी समूह $$\Omega_*^G(X)$$ X में सहप्रसरण हैं, और सामान्यीकृत कोहोलॉजी समूह हैं $$\Omega^*_G(X)$$ एक्स में सहप्रसरण और सदिशों के प्रतिप्रसरण हैं। ऊपर परिभाषित कोबोर्डिज़्म समूह, इस दृष्टिकोण से, एक बिंदु के समरूप समूह हैं: $$\Omega_n^G = \Omega_n^G(\text{pt})$$. तब $$\Omega^G_n(X)$$ M एक बंद n-आयामी कई गुना M (G- संरचना के साथ) और f : M → X एक मानचित्र के साथ जोड़े (M, f) के बोर्डिज्म वर्गों का समूह है। इस तरह के जोड़े (एम, एफ), (एन, जी) बोर्डेंट हैं यदि जी-कोबोर्डिज्म मौजूद है (डब्ल्यू; एम, एन) मानचित्र एच के साथ: डब्ल्यू → एक्स, जो एम पर एफ तक सीमित है, और एन पर जी.

एक एन-डायमेंशनल मैनिफोल्ड एम में एक होमोलॉजी (गणित) [एम] ∈ एच हैn(एम) (में गुणांक के साथ $$\Z/2$$ सामान्य तौर पर, और में $$\Z$$ उन्मुख मामले में), एक प्राकृतिक परिवर्तन को परिभाषित करना


 * $$\begin{cases}

\Omega^G_n(X) \to H_n(X) \\ (M,f) \mapsto f_*[M] \end{cases}$$ जो सामान्य रूप से एक समरूपता होने से बहुत दूर है।

अंतरिक्ष के सीमावाद और सह-बोर्डवाद सिद्धांत आयाम स्वयंसिद्ध के अलावा एलेनबर्ग-स्टीनरोड स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करते हैं। इसका मतलब यह नहीं है कि समूह $$\Omega^n_G(X)$$ प्रभावी ढंग से गणना की जा सकती है जब कोई एक बिंदु के कोबोर्डिज्म सिद्धांत और अंतरिक्ष एक्स के समरूपता को जानता है, हालांकि अतियाह-हिर्जेब्रुक वर्णक्रमीय अनुक्रम गणना के लिए एक प्रारंभिक बिंदु देता है। संगणना केवल तभी आसान होती है जब विशेष कोबोर्डिज़्म सिद्धांत


 * $$\Omega^G_n(X)=\sum_{p+q=n}H_p(X;\Omega^G_q(\text{pt})).$$

यह अनियंत्रित सह-संघवाद के लिए सही है। अन्य कोबोर्डिज्म सिद्धांत इस तरह से सामान्य समरूपता को कम नहीं करते हैं, विशेष रूप से पोंट्रेजगिन-थॉम निर्माण # फ्रेम्ड कोबोर्डिज्म, ओरिएंटेड कोबोर्डिज्म और जटिल कोबोर्डिज्म। विशेष रूप से अंतिम-नामित सिद्धांत का उपयोग बीजगणितीय टोपोलॉजिस्ट द्वारा कम्प्यूटेशनल टूल के रूप में किया जाता है (उदाहरण के लिए, क्षेत्रों के समरूप समूहों के लिए)। कोबोर्डिज्म सिद्धांतों को थॉम स्पेक्ट्रम एमजी द्वारा दर्शाया गया है: एक समूह जी दिया गया है, थॉम स्पेक्ट्रम थॉम स्पेस एमजी से बना हैnवर्गीकरण रिक्त स्थान बीजी पर टॉटोलॉजिकल बंडल काn. ध्यान दें कि समान समूहों के लिए भी, थॉम स्पेक्ट्रा बहुत अलग हो सकता है: एमएसओ और एमओ बहुत अलग हैं, उन्मुख और गैर-उन्मुख सहकारीवाद के बीच अंतर को दर्शाते हैं।

स्पेक्ट्रा के दृष्टिकोण से, गैर-उन्मुख कोबोर्डिज्म एलेनबर्ग-मैकलेन स्पेक्ट्रम का एक उत्पाद है। ईलेनबर्ग-मैकलेन स्पेक्ट्रा - एमओ = एच ($\pi$∗(एमओ)) - जबकि ओरिएंटेड कोबोर्डिज्म ईलेनबर्ग-मैकलेन स्पेक्ट्रा का तर्कसंगत रूप से एक उत्पाद है, और 2 पर, लेकिन अजीब प्राइम्स पर नहीं: ओरिएंटेड कोबोर्डिज्म स्पेक्ट्रम एमएसओ एमओ की तुलना में अधिक जटिल है।

यह भी देखें

 * एच-सह-बोर्डवाद|एच-सह-बोर्डवाद
 * लिंक समरूपता
 * कोहोलॉजी सिद्धांतों की सूची
 * सहानुभूति भरना
 * कोबोर्डिज्म परिकल्पना
 * सहवाद की अंगूठी
 * सीमावाद की समयरेखा

संदर्भ

 * John Frank Adams, Stable homotopy and generalised homology, Univ. Chicago Press (1974).
 * Michael F. Atiyah, Bordism and cobordism Proc. Camb. Phil. Soc. 57, pp. 200–208 (1961).
 * Sergei Novikov, Methods of algebraic topology from the point of view of cobordism theory, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 31 (1967), 855–951.
 * Lev Pontryagin, Smooth manifolds and their applications in homotopy theory American Mathematical Society Translations, Ser. 2, Vol. 11, pp. 1–114 (1959).
 * Daniel Quillen, On the formal group laws of unoriented and complex cobordism theory Bull. Amer. Math. Soc., 75 (1969) pp. 1293–1298.
 * Douglas Ravenel, Complex cobordism and stable homotopy groups of spheres, Acad. Press (1986).
 * Yuli B. Rudyak, On Thom spectra, orientability, and (co)bordism, Springer (2008).
 * Robert E. Stong, Notes on cobordism theory, Princeton Univ. Press (1968).
 * René Thom, Quelques propriétés globales des variétés différentiables, Commentarii Mathematici Helvetici 28, 17-86 (1954).
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बाहरी संबंध

 * Bordism on the Manifold Atlas.
 * B-Bordism on the Manifold Atlas.