मोलिफ़ायर

गणित में, मोलिफ़ायर (जिसे पहचान के सन्निकटन के रूप में भी जाना जाता है) विशेष गुणों के साथ सुचारू कार्य हैं, उदाहरण के लिए वितरण (गणित)गणित) में कनवल्शन के माध्यम से गैर-सुचारू सामान्यीकृत फ़ंक्शन (सामान्यीकृत) कार्यों को अनुमानित करने वाले चिकनी कार्यों के अनुक्रम बनाने के लिए उपयोग किया जाता है। सहज रूप से, एक फ़ंक्शन दिया गया है जो अनियमित है, इसे मोलिफ़ायर के साथ घुमाने से फ़ंक्शन नरम हो जाता है, यानी, इसकी तेज विशेषताएं सुचारू हो जाती हैं, जबकि अभी भी मूल नॉनस्मूथ (सामान्यीकृत) फ़ंक्शन के करीब रहती हैं। इन्हें कर्ट ओटो फ्रेडरिक्स के नाम पर फ्रेडरिक्स मोलिफायर्स के नाम से भी जाना जाता है, जिन्होंने इन्हें पेश किया था।

ऐतिहासिक नोट्स
मोलिफायर्स को कर्ट ओटो फ्रेडरिक्स ने अपने पेपर में पेश किया था, जिसे आंशिक अंतर समीकरणों के आधुनिक सिद्धांत में एक वाटरशेड माना जाता है। इस गणितीय वस्तु के नाम की एक विचित्र उत्पत्ति थी, और पीटर लैक्स ने फ्रेडरिक्स सेलेक्टा में प्रकाशित उस पेपर पर अपनी टिप्पणी में पूरी कहानी बताई है। उनके अनुसार, उस समय, गणितज्ञ डोनाल्ड अलेक्जेंडर फ़्लैंडर्स फ्रेडरिक्स के सहयोगी थे: चूँकि उन्हें सहकर्मियों से अंग्रेजी के उपयोग के बारे में सलाह लेना पसंद था, इसलिए उन्होंने फ़्लैंडर्स से सलाह मांगी कि वह जिस स्मूथिंग ऑपरेटर का उपयोग कर रहे थे उसका नाम कैसे रखा जाए। फ़्लैंडर्स एक नैतिकतावादी  थे, उनके नैतिक गुणों की पहचान के लिए उनके दोस्तों ने उन्हें मोल फ़्लैंडर्स के नाम पर मोल उपनाम दिया था: उन्होंने नई गणितीय अवधारणा को एक मोलिफ़ायर कहने का सुझाव दिया था, जिसमें फ़्लैंडर्स के उपनाम और क्रिया 'विक्षनरी:मोलिफ़ाई' दोनों को शामिल किया गया था, जिसका अर्थ लाक्षणिक अर्थ में 'सुचारू करना' था। इससे पहले, सर्गेई सोबोलेव ने 1938 के पेपर बनाने में मोलिफ़ायर का उपयोग किया था, जिसमें सोबोलेव एम्बेडिंग प्रमेय का प्रमाण शामिल है: फ्रेडरिक्स ने स्वयं मोलिफायर्स पर सोबोलेव के काम को स्वीकार करते हुए कहा कि:- ये मोलिफायर्स सोबोलेव और लेखक द्वारा पेश किए गए थे...। यह बताया जाना चाहिए कि इन मूलभूत कार्यों के समय से मोलिफायर शब्द में भाषाई विचलन आया है: फ्रेडरिक्स ने मोलिफायर को अभिन्न ऑपरेटर  के रूप में परिभाषित किया है जिसका इंटीग्रल ऑपरेटर आजकल मोलिफायर कहे जाने वाले कार्यों में से एक है। हालाँकि, चूंकि एक लीनियर इंटीग्रल ऑपरेटर के गुण पूरी तरह से उसके कर्नेल द्वारा निर्धारित होते हैं, इसलिए सामान्य उपयोग के परिणामस्वरूप मोलिफ़ायर नाम कर्नेल द्वारा ही विरासत में मिला था।

आधुनिक (वितरण आधारित) परिभाषा
$$ अगर$$\varphi$$ℝ पर एक सुचारू कार्य हैn, n ≥ 1, निम्नलिखित तीन आवश्यकताओं को पूरा करता है


 * $$यह समर्थन है (गणित) :$$$$\int_{\mathbb{R}^n}\!\varphi(x)\mathrm{d}x=1$$
 * $$$$\lim_{\epsilon\to 0}\varphi_\epsilon(x) = \lim_{\epsilon\to 0}\epsilon^{-n}\varphi(x / \epsilon)=\delta(x)$$

कहाँ $$\delta(x)$$ डिराक डेल्टा फ़ंक्शन है और सीमा को श्वार्ट्ज वितरण (गणित) के स्थान में समझा जाना चाहिए, फिर$$\varphi$$एक 'मोलिफ़ायर' है. कार्यक्रम$$\varphi$$आगे की शर्तों को भी पूरा कर सकता है: उदाहरण के लिए, यदि यह संतुष्ट करता है


 * $$$$\varphi$$$$(x)$$ ≥ 0 सभी x ∈ ℝ के लिएn, तो इसे 'पॉजिटिव मोलिफ़ायर' कहा जाता है
 * $$$$\varphi$$$$(x)$$=$$\mu$$$$(|x|)$$ कुछ असीम रूप से भिन्न फ़ंक्शन के लिए$$\mu$$: ℝ+ → ℝ, तो इसे सममित मोलिफ़ायर कहा जाता है

फ्रेडरिक की परिभाषा पर नोट्स
नोट 1. जब वितरण का सिद्धांत (गणित) अभी भी व्यापक रूप से ज्ञात नहीं था और न ही इसका उपयोग किया जाता था, संपत्ति $$ऊपर यह कहकर तैयार किया गया था कि फ़ंक्शन का कनवल्शन$$\scriptstyle\varphi_\epsilon$$उचित हिल्बर्ट स्थान  या बनच स्थान कन्वर्जेंस (गणित) से संबंधित दिए गए फ़ंक्शन के साथ उस फ़ंक्शन के लिए ε → 0: कर्ट ओटो फ्रेडरिक्स ने बिल्कुल यही किया। इससे यह भी स्पष्ट होता है कि मोलिफ़ायर अनुमानित पहचान से क्यों संबंधित हैं। नोट 2. जैसा कि इस प्रविष्टि के मोलिफायर#ऐतिहासिक नोट्स अनुभाग में संक्षेप में बताया गया है, मूल रूप से, मोलिफायर शब्द ने निम्नलिखित कन्वोल्यूशन की पहचान की:
 * $$\Phi_\epsilon(f)(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\varphi_\epsilon(x-y) f(y)\mathrm{d}y$$

कहाँ $$\varphi_\epsilon(x)=\epsilon^{-n}\varphi(x/\epsilon)$$ और$$\varphi$$ऊपर बताई गई पहली तीन शर्तों और सकारात्मकता और समरूपता के रूप में एक या अधिक पूरक शर्तों को पूरा करने वाला एक सुचारू कार्य है।

ठोस उदाहरण
टक्कर समारोह पर विचार करें$$\varphi$$$$(x)$$ ℝ में एक वेरिएबल (गणित) काn द्वारा परिभाषित

$$\varphi(x) = \begin{cases} e^{-1/(1-|x|^2)}/I_n& \text{ if } |x| < 1\\ 0& \text{ if } |x|\geq 1 \end{cases}$$ जहां संख्यात्मक स्थिरांक $$ I_n$$ सामान्यीकरण सुनिश्चित करता है। यह फ़ंक्शन गैर-विश्लेषणात्मक सुचारू फ़ंक्शन है | असीम रूप से भिन्न, गायब होने वाले व्युत्पन्न के साथ गैर-विश्लेषणात्मक $|x| = 1$.$$\varphi$$जैसा कि ऊपर वर्णित है, इसे मोलिफ़ायर के रूप में उपयोग किया जा सकता है: कोई इसे देख सकता है$$\varphi$$$$(x)$$ एक सकारात्मक और सममित मोलिफ़ायर को परिभाषित करता है।



गुण
एक मोलिफ़ायर के सभी गुण कनवल्शन के संचालन के तहत उसके व्यवहार से संबंधित हैं: हम निम्नलिखित को सूचीबद्ध करते हैं, जिनके प्रमाण वितरण (गणित) पर प्रत्येक पाठ में पाए जा सकते हैं।

चौरसाई संपत्ति
किसी भी वितरण के लिए $$T$$, वास्तविक संख्या द्वारा अनुक्रमित कनवल्शन का निम्नलिखित परिवार $$\epsilon$$
 * $$T_\epsilon = T\ast\varphi_\epsilon$$

कहाँ $$\ast$$ कनवल्शन को दर्शाता है, सुचारू कार्यों का एक परिवार है।

पहचान का अनुमान
किसी भी वितरण के लिए $$T$$, वास्तविक संख्या द्वारा अनुक्रमित कनवल्शन का निम्नलिखित परिवार $$\epsilon$$ में एकत्रित हो जाता है $$T$$
 * $$\lim_{\epsilon\to 0}T_\epsilon = \lim_{\epsilon\to 0}T\ast\varphi_\epsilon=T\in D^\prime(\mathbb{R}^n)$$

कनवल्शन का समर्थन
किसी भी वितरण के लिए $$T$$,


 * $$\operatorname{supp}T_\epsilon=\operatorname{supp}(T\ast\varphi_\epsilon)\subset\operatorname{supp}T+\operatorname{supp}\varphi_\epsilon$$,

कहाँ $$\operatorname{supp}$$ वितरण (गणित)#वितरण के अर्थ में वितरण का समर्थन इंगित करता है, और $$+$$ उनके मिन्कोव्स्की जोड़ को इंगित करता है।

अनुप्रयोग
मोलिफ़ायर का मूल अनुप्रयोग यह साबित करना है कि सुचारू कार्यों के लिए मान्य गुण गैर-सुचारू स्थितियों में भी मान्य हैं:

वितरण का उत्पाद
सामान्यीकृत कार्यों के कुछ सिद्धांतों में, सामान्यीकृत फ़ंक्शन को परिभाषित करने के लिए मोलिफायर का उपयोग किया जाता है#वितरण का गुणन: सटीक रूप से, दो वितरण दिए गए हैं $$S$$ और $$T$$, वितरण की सीमा (गणित)#एक सुचारु कार्य के एक सुचारु कार्य द्वारा गुणा और एक वितरण (गणित)


 * $$\lim_{\epsilon\to 0}S_\epsilon\cdot T=\lim_{\epsilon\to 0}S\cdot T_\epsilon\overset{\mathrm{def}}{=}S\cdot T$$

सामान्यीकृत कार्यों के विभिन्न सिद्धांतों में उनके उत्पाद को परिभाषित करता है (यदि यह मौजूद है)।

कमजोर=मजबूत प्रमेय
बहुत अनौपचारिक रूप से, मोलिफ़ायर का उपयोग अंतर ऑपरेटरों के दो अलग-अलग प्रकार के विस्तार की पहचान साबित करने के लिए किया जाता है: मजबूत विस्तार और कमजोर फॉर्मूलेशन। कागज़ इस अवधारणा को काफी अच्छी तरह से चित्रित करता है: हालाँकि इसका वास्तव में क्या मतलब है यह दिखाने के लिए आवश्यक तकनीकी विवरणों की उच्च संख्या उन्हें इस संक्षिप्त विवरण में औपचारिक रूप से विस्तृत होने से रोकती है।

स्मूथ कटऑफ फ़ंक्शन
यूनिट बॉल के संकेतक फ़ंक्शन के कनवल्शन द्वारा $$B_1 = \{x : |x|<1\}$$ सुचारू कार्य के साथ$$\varphi_{1/2}$$(के रूप में परिभाषित किया गया है $$ साथ $$\epsilon = 1/2$$), कोई फ़ंक्शन प्राप्त करता है



\chi_{B_1,1/2}(x)=\chi_{B_1}\ast\varphi_{1/2}(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\!\!\!\chi_{B_1}(x-y)\varphi_{1/2}(y)\mathrm{d}y=\int_{B_{1/2}}\!\!\! \chi_{B_1}(x-y) \varphi_{1/2}(y)\mathrm{d}y \ \ \ (\because\ \mathrm{supp}(\varphi_{1/2})=B_{1/2}) $$ जो कि एक सुचारु कार्य के बराबर है $$1$$ पर $$B_{1/2} = \{ x: |x| < 1/2 \}$$, में निहित समर्थन के साथ $$B_{3/2}=\{ x: |x| < 3/2 \}$$. इसका अवलोकन करके आसानी से देखा जा सकता है कि यदि $$|x|$$ ≤ $$1/2$$ और $$|y|$$ ≤ $$1/2$$ तब $$ |x-y|$$ ≤ $$1$$. इसलिए के लिए $$|x|$$ ≤ $$1/2$$,

\int_{B_{1/2}}\!\!\!\chi_{B_1}(x-y) \varphi_{1/2}(y)\mathrm{d}y= \int_{B_{1/2}}\!\!\! \varphi_{1/2}(y)\mathrm{d}y=1 $$. कोई यह देख सकता है कि किसी दिए गए कॉम्पैक्ट सेट के पड़ोस (टोपोलॉजी) के समान एक सुचारू फ़ंक्शन प्राप्त करने के लिए इस निर्माण को कैसे सामान्यीकृत किया जा सकता है, और प्रत्येक बिंदु पर शून्य के बराबर जिसकी इस सेट से दूरी किसी दिए गए से अधिक है $$\epsilon$$. ऐसे फ़ंक्शन को (सुचारू) कटऑफ फ़ंक्शन कहा जाता है: उन फ़ंक्शन (गणित) का उपयोग गुणन द्वारा किसी दिए गए (सामान्यीकृत फ़ंक्शन) फ़ंक्शन (गणित) की विलक्षणताओं को खत्म करने के लिए किया जाता है। वे (सामान्यीकृत फ़ंक्शन) फ़ंक्शन (गणित) के मान को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं, वे केवल दिए गए सेट (गणित) पर गुणा करते हैं, इस प्रकार इसके वितरण (गणित) को संशोधित करते हैं #वितरण का समर्थन: कटऑफ फ़ंक्शन भी स्मूथ फ़ंक्शन के मूल भाग हैं# एकता का सहज विभाजन.

यह भी देखें

 * अनुमानित पहचान
 * बम्प फ़ंक्शन
 * कनवल्शन
 * वितरण (गणित)
 * सामान्यीकृत कार्य
 * कर्ट ओटो फ्रेडरिक्स
 * गैर-विश्लेषणात्मक सुचारू कार्य
 * सर्गेई सोबोलेव
 * वीयरस्ट्रैस परिवर्तन

संदर्भ

 * . The first paper where mollifiers were introduced.
 * . A paper where the differentiability of solutions of elliptic partial differential equations is investigated by using mollifiers.
 * . A selection from Friedrichs' works with a biography and commentaries of David Isaacson, Fritz John, Tosio Kato, Peter Lax, Louis Nirenberg, Wolfgag Wasow, Harold Weitzner.
 * . The paper where Sergei Sobolev proved his embedding theorem, introducing and using integral operators very similar to mollifiers, without naming them.
 * . The paper where Sergei Sobolev proved his embedding theorem, introducing and using integral operators very similar to mollifiers, without naming them.
 * . The paper where Sergei Sobolev proved his embedding theorem, introducing and using integral operators very similar to mollifiers, without naming them.