यूलर पद्धति

गणित और कम्प्यूटेशनल विज्ञान में, यूलर विधि (जिसे फॉरवर्ड यूलर विधि भी कहा जाता है) एक प्रारंभिक मूल्य समस्या के साथ सामान्य अंतर समीकरणों (ओडीई) को हल करने के लिए प्रथम क्रम संख्यात्मक विश्लेषण प्रक्रिया है। यह संख्यात्मक साधारण अंतर समीकरणों के लिए सबसे बुनियादी स्पष्ट और निहित तरीके हैं और सबसे सरल रनगे-कुट्टा विधि है। यूलर विधि का नाम लियोनहार्ड यूलर के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने अपनी पुस्तक इंटीग्रल कैलकुस संस्थान (प्रकाशित 1768-1870) में इसका इलाज किया था। यूलर विधि एक प्रथम-क्रम विधि है, जिसका अर्थ है कि स्थानीय त्रुटि (प्रति चरण त्रुटि) चरण आकार के वर्ग के समानुपाती होती है, और वैश्विक त्रुटि (किसी निश्चित समय पर त्रुटि) चरण आकार के समानुपाती होती है। यूलर विधि अक्सर अधिक जटिल विधियों के निर्माण के आधार के रूप में कार्य करती है, उदाहरण के लिए, भविष्यवक्ता-सुधारक विधि।

अनौपचारिक ज्यामितीय विवरण
एक अज्ञात वक्र के आकार की गणना करने की समस्या पर विचार करें जो एक दिए गए बिंदु से शुरू होता है और एक दिए गए अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है। यहां, एक अंतर समीकरण को एक सूत्र के रूप में माना जा सकता है जिसके द्वारा उस बिंदु की स्थिति की गणना करने के बाद वक्र पर स्पर्शरेखा रेखा की ढलान की गणना वक्र पर किसी भी बिंदु पर की जा सकती है।

विचार यह है कि जबकि वक्र प्रारंभ में अज्ञात है, इसका प्रारंभिक बिंदु, जिसे हम निरूपित करते हैं $$A_0,$$ ज्ञात है (शीर्ष दाईं ओर चित्र देखें)। फिर, अंतर समीकरण से, ढलान से वक्र तक $$A_0$$ गणना की जा सकती है, और इसलिए, स्पर्श रेखा।

उस स्पर्श रेखा के साथ एक बिंदु तक एक छोटा कदम उठाएं $$A_1.$$ इस छोटे कदम के साथ, ढलान बहुत ज्यादा नहीं बदलता है, इसलिए $$A_1$$ वक्र के करीब होगा। अगर हम ऐसा दिखावा करते हैं $$A_1$$ अभी भी वक्र पर है, वही तर्क जो बिंदु के लिए है $$A_0$$ ऊपर इस्तेमाल किया जा सकता है। कई चरणों के बाद, एक बहुभुज वक्र $$A_0A_1A_2A_3\dots$$ गणना की जाती है। सामान्य तौर पर, यह वक्र मूल अज्ञात वक्र से बहुत दूर नहीं जाता है, और दो वक्रों के बीच की त्रुटि को छोटा किया जा सकता है यदि चरण का आकार काफी छोटा है और गणना का अंतराल परिमित है:
 * $$y'(t) = f\bigl(t,y(t)\bigr), \qquad y(t_0)=y_0. $$

कोई मान चुनें $$h$$ प्रत्येक चरण और सेट के आकार के लिए $$t_n = t_0 + nh$$. अब, यूलर विधि का एक चरण $$t_n$$ प्रति $$t_{n+1} = t_n + h$$ है:
 * $$ y_{n+1} = y_n + hf(t_n,y_n).$$

का मूल्य $$y_n$$ समय पर ODE के समाधान का एक अनुमान है $$t_n$$: $$y_n \approx y(t_n)$$. यूलर विधि स्पष्ट और अंतर्निहित विधियाँ हैं, अर्थात समाधान $$y_{n+1}$$ का एक स्पष्ट कार्य है $$y_i$$ के लिये $$i \leq n$$.

जबकि यूलर विधि पहले क्रम के ODE, आदेश के किसी भी ODE को एकीकृत करती है $$N$$ प्रथम क्रम ODEs की एक प्रणाली के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है: समीकरण का इलाज करने के लिए


 * $$ y^{(N)}(t) = f\left(t, y(t), y'(t), \ldots, y^{(N-1)}(t)\right) ,$$

हम सहायक चर पेश करते हैं $$z_1(t)=y(t), z_2(t)=y'(t),\ldots, z_N(t)=y^{(N-1)}(t)$$ और प्राप्त करें समतुल्य समीकरण:


 * $$ \mathbf{z}'(t)

= \begin{pmatrix} z_1'(t)\\ \vdots\\ z_{N-1}'(t)\\ z_N'(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y'(t)\\ \vdots\\ y^{(N-1)}(t)\\ y^{(N)}(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z_2(t)\\ \vdots\\ z_N(t)\\ f\bigl(t,z_1(t),\ldots,z_N(t)\bigr) \end{pmatrix} $$ यह चर में प्रथम-क्रम प्रणाली है $$\mathbf{z}(t)$$ और यूलर की विधि या, वास्तव में, प्रथम-क्रम प्रणालियों के लिए किसी अन्य योजना द्वारा नियंत्रित किया जा सकता है।

उदाहरण
प्रारंभिक मूल्य समस्या को देखते हुए


 * $$y'=y, \quad y(0)=1, $$

हम अनुमानित करने के लिए यूलर विधि का उपयोग करना चाहेंगे $$y(4)$$.

1 के बराबर चरण आकार का उपयोग करना ($h = 1$)
छवि: संख्यात्मक एकीकरण चित्रण, चरण =1.svg|right|thumb|समीकरण के लिए संख्यात्मक एकीकरण का चित्रण $$y'=y, y(0)=1.$$ नीला यूलर विधि है; हरा, मध्यबिंदु विधि; लाल, सटीक समाधान, $$y=e^t.$$ स्टेप साइज है $$h=1.0.$$यूलर विधि है


 * $$ y_{n+1} = y_n + hf(t_n,y_n). $$

इसलिए पहले हमें गणना करनी चाहिए $$f(t_0, y_0)$$. इस सरल अंतर समीकरण में, फ़ंक्शन $$f$$ द्वारा परिभाषित किया गया है $$f(t,y) = y$$. हमारे पास है


 * $$ f(t_0,y_0) = f(0,1) = 1. $$

उपरोक्त चरण को करके, हमने उस रेखा का ढलान पाया है जो बिंदु पर समाधान वक्र की स्पर्शरेखा है $$(0,1)$$. याद रखें कि ढलान को परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया गया है $$y$$ में परिवर्तन से विभाजित $$t$$, या $ \frac{\Delta y} {\Delta t}$.

अगला चरण उपरोक्त मान को चरण आकार से गुणा करना है $$h$$, जिसे हम यहाँ एक के बराबर लेते हैं:


 * $$ h \cdot f(y_0) = 1 \cdot 1 = 1. $$

चूंकि स्टेप साइज में बदलाव है $$t$$, जब हम चरण आकार और स्पर्शरेखा के ढलान को गुणा करते हैं, तो हमें एक परिवर्तन मिलता है $$y$$ मूल्य। यह मान तब प्रारंभिक में जोड़ा जाता है $$y$$ गणना के लिए उपयोग किए जाने वाले अगले मान को प्राप्त करने के लिए मूल्य।


 * $$ y_0 + hf(y_0) = y_1 = 1 + 1 \cdot 1 = 2. $$

उपरोक्त चरणों को खोजने के लिए दोहराया जाना चाहिए $$ y_2$$, $$y_3 $$ तथा $$y_4$$.


 * $$ \begin{align}

y_2 &= y_1 + hf(y_1) = 2 + 1 \cdot 2 = 4, \\ y_3 &= y_2 + hf(y_2) = 4 + 1 \cdot 4 = 8, \\ y_4 &= y_3 + hf(y_3) = 8 + 1 \cdot 8 = 16. \end{align} $$ इस एल्गोरिथ्म की दोहरावदार प्रकृति के कारण, त्रुटियों से बचने के लिए, जैसा कि नीचे देखा गया है, गणनाओं को चार्ट के रूप में व्यवस्थित करना सहायक हो सकता है।


 * {| class="wikitable"

! $$n$$ !! $$y_n$$ !! $$t_n$$ !!$$f(t_n,y_n)$$ !! $$h$$ !! $$\Delta y$$ !! $$y_{n+1}$$ इस गणना का निष्कर्ष यह है कि $$ y_4 = 16 $$. अवकल समीकरण का सटीक हल है $$ y(t) = e^t $$, इसलिए $$ y(4) = e^4 \approx 54.598 $$. हालांकि इस विशिष्ट मामले में यूलर पद्धति का सन्निकटन बहुत सटीक नहीं था, विशेष रूप से एक बड़े मूल्य चरण आकार के कारण $$h$$, इसका व्यवहार गुणात्मक रूप से सही है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।
 * 0 || 1 || 0 || 1 || 1 || 1 || 2
 * 1 || 2 || 1 || 2 || 1 || 2 || 4
 * 2 || 4 || 2 || 4 || 1 || 4 || 8
 * 3 || 8 || 3 || 8 || 1 || 8 || 16
 * }
 * 2 || 4 || 2 || 4 || 1 || 4 || 8
 * 3 || 8 || 3 || 8 || 1 || 8 || 16
 * }
 * }

अन्य चरण आकारों का उपयोग
छवि: संख्यात्मक एकीकरण उदाहरण चरण =0.25.svg|right|thumb|के लिए एक ही दृष्टांत $$h=0.25.$$जैसा कि प्रस्तावना में सुझाया गया है, कदम आकार के मामले में यूलर विधि अधिक सटीक है $$h$$ छोटा है। नीचे दी गई तालिका विभिन्न चरणों के आकार के साथ परिणाम दिखाती है। शीर्ष पंक्ति पिछले अनुभाग में उदाहरण से मेल खाती है, और दूसरी पंक्ति चित्र में सचित्र है।


 * {| class="wikitable"

! step size !! result of Euler's method !! error तालिका के अंतिम कॉलम में दर्ज की गई त्रुटि सटीक समाधान के बीच का अंतर है $$ t = 4 $$ और यूलर सन्निकटन। तालिका के निचले भाग में, पिछली पंक्ति में चरण का आकार आधा है, और त्रुटि भी पिछली पंक्ति में त्रुटि का लगभग आधा है। इससे पता चलता है कि त्रुटि चरण आकार के लगभग आनुपातिक है, कम से कम चरण आकार के काफी छोटे मूल्यों के लिए। यह व्यापक रूप से अन्य समीकरणों के लिए भी सत्य है; अधिक विवरण के लिए खंड #वैश्विक ट्रंकेशन त्रुटि देखें।
 * 1 || 16.00 || 38.60
 * 0.25 || 35.53 || 19.07
 * 0.1 || 45.26 || 9.34
 * 0.05 || 49.56 || 5.04
 * 0.025 || 51.98 || 2.62
 * 0.0125 || 53.26 || 1.34
 * }
 * 0.05 || 49.56 || 5.04
 * 0.025 || 51.98 || 2.62
 * 0.0125 || 53.26 || 1.34
 * }
 * 0.0125 || 53.26 || 1.34
 * }

अन्य विधियाँ, जैसे कि मिडपॉइंट विधि भी आंकड़ों में सचित्र है, अधिक अनुकूल व्यवहार करती है: मिडपॉइंट विधि की वैश्विक त्रुटि लगभग चरण आकार के वर्ग के समानुपाती होती है। इस कारण से, यूलर विधि को प्रथम कोटि की विधि कहा जाता है, जबकि मध्य बिंदु विधि को दूसरी कोटि की विधि कहा जाता है।

हम उपरोक्त तालिका से एक्सट्रपलेशन कर सकते हैं कि तीन दशमलव स्थानों तक सही उत्तर प्राप्त करने के लिए आवश्यक चरण आकार लगभग 0.00001 है, जिसका अर्थ है कि हमें 400,000 चरणों की आवश्यकता है। इतनी बड़ी संख्या में चरणों में उच्च कम्प्यूटेशनल लागत होती है। इस कारण से, उच्च-क्रम विधियों को नियोजित किया जाता है जैसे रनगे-कुट्टा विधियों या रैखिक मल्टीस्टेप विधियों, विशेष रूप से यदि उच्च सटीकता वांछित है।

व्युत्पत्ति
यूलर विधि को कई तरीकों से प्राप्त किया जा सकता है। सबसे पहले, ऊपर ज्यामितीय विवरण है।

फ़ंक्शन के टेलर विस्तार पर विचार करने की एक और संभावना है $$y$$ चारों ओर $$t_0$$:


 * $$ y(t_0 + h) = y(t_0) + h y'(t_0) + \tfrac12 h^2 y''(t_0) + O\left(h^3\right). $$

अंतर समीकरण बताता है कि $$y'=f(t,y)$$. यदि इसे टेलर विस्तार में प्रतिस्थापित किया जाता है और द्विघात और उच्च-क्रम की शर्तों को अनदेखा किया जाता है, तो यूलर विधि उत्पन्न होती है। यूलर विधि द्वारा की गई त्रुटि का विश्लेषण करने के लिए टेलर विस्तार का उपयोग नीचे किया गया है, और इसे रनगे-कुट्टा विधियों का उत्पादन करने के लिए बढ़ाया जा सकता है।

व्युत्पन्न के लिए आगे परिमित अंतर सूत्र को प्रतिस्थापित करने के लिए एक निकटता से संबंधित व्युत्पत्ति है,


 * $$ y'(t_0) \approx \frac{y(t_0+h) - y(t_0)}{h} $$

अंतर समीकरण में $$y' = f(t,y)$$. दोबारा, यह यूलर विधि उत्पन्न करता है। इसी तरह की गणना मिडपॉइंट विधि और बैकवर्ड यूलर विधि की ओर ले जाती है।

अंत में, कोई अंतर समीकरण को एकीकृत कर सकता है $$t_0$$ प्रति $$t_0 + h$$ और कलन की मौलिक प्रमेय को प्राप्त करने के लिए लागू करें:


 * $$ y(t_0+h) - y(t_0) = \int_{t_0}^{t_0+h} f\bigl(t,y(t)\bigr) \,\mathrm{d}t. $$

अब बाएँ हाथ की आयत विधि (केवल एक आयत के साथ) द्वारा अभिन्न का अनुमान लगाएं:


 * $$ \int_{t_0}^{t_0+h} f\bigl(t,y(t)\bigr) \,\mathrm{d}t \approx h f\bigl(t_0, y(t_0)\bigr). $$

दोनों समीकरणों को मिलाकर, फिर से यूलर विधि प्राप्त होती है। विभिन्न रेखीय मल्टीस्टेप विधियों पर पहुंचने के लिए विचार की इस पंक्ति को जारी रखा जा सकता है।

स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि
यूलर विधि की स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि एक चरण में की गई त्रुटि है। यह एक कदम के बाद संख्यात्मक समाधान के बीच का अंतर है, $$y_1$$, और समय पर सटीक समाधान $$t_1 = t_0+h$$. द्वारा संख्यात्मक समाधान दिया गया है


 * $$ y_1 = y_0 + h f(t_0, y_0).$$

सटीक समाधान के लिए, हम ऊपर #Derivation सेक्शन में उल्लिखित टेलर विस्तार का उपयोग करते हैं:


 * $$ y(t_0 + h) = y(t_0) + h y'(t_0) + \tfrac12 h^2 y''(t_0) + O\left(h^3\right). $$

यूलर विधि द्वारा शुरू की गई स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि (एलटीई) इन समीकरणों के बीच के अंतर से दी गई है:


 * $$ \mathrm{LTE} = y(t_0 + h) - y_1 = \tfrac12 h^2 y''(t_0) + O\left(h^3\right). $$

यह परिणाम मान्य है यदि $$y$$ एक सीमित तीसरा व्युत्पन्न है। इससे पता चलता है कि छोटे के लिए $$h$$, स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि लगभग आनुपातिक है $$h^2$$. यह यूलर विधि को कम सटीक बनाता है (छोटे के लिए $$h$$) रनगे-कुट्टा विधियों और रैखिक मल्टीस्टेप विधियों जैसी अन्य उच्च-क्रम तकनीकों की तुलना में, जिसके लिए स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि चरण आकार की उच्च शक्ति के समानुपाती होती है।

टेलर के प्रमेय में शेष अवधि के लिए लैग्रेंज फॉर्म का उपयोग करके स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि के लिए थोड़ा अलग फॉर्मूलेशन प्राप्त किया जा सकता है। यदि $$y$$ लगातार दूसरा व्युत्पन्न है, तो वहां मौजूद है $$\xi \in [t_0,t_0+h]$$ ऐसा है कि


 * $$ \mathrm{LTE} = y(t_0 + h) - y_1 = \tfrac12 h^2 y''(\xi). $$

त्रुटि के लिए उपरोक्त भावों में, अज्ञात सटीक समाधान का दूसरा व्युत्पन्न $$y$$ अंतर समीकरण के दाईं ओर शामिल एक अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। दरअसल, यह समीकरण से चलता है $$y'=f(t,y)$$ वह
 * $$y''(t_0) = \frac{\partial f}{\partial t}\bigl(t_0, y(t_0)\bigr) + \frac{\partial f}{\partial y}\bigl(t_0, y(t_0)\bigr) \, f\bigl(t_0, y(t_0)\bigr).$$

वैश्विक ट्रंकेशन त्रुटि
वैश्विक ट्रंकेशन त्रुटि एक निश्चित समय पर त्रुटि है $$t$$आरंभिक समय से उस समय तक पहुंचने के लिए विधि को जितने भी कदम उठाने होंगे, उसके बाद। वैश्विक ट्रंकेशन त्रुटि प्रत्येक चरण में की गई स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटियों का संचयी प्रभाव है। चरणों की संख्या आसानी से निर्धारित की जाती है $\frac{t-t_0}{h}$, जो आनुपातिक है $\frac{1}{h}$ , और प्रत्येक चरण में की गई त्रुटि आनुपातिक है $$h^2$$ (पिछला भाग देखें)। इस प्रकार, यह उम्मीद की जानी चाहिए कि वैश्विक ट्रंकेशन त्रुटि आनुपातिक होगी $$h$$. इस सहज तर्क को सटीक बनाया जा सकता है। यदि समाधान $$y$$ एक बंधा हुआ दूसरा व्युत्पन्न है और $$f$$ लिप्सचिट्ज़ निरंतरता अपने दूसरे तर्क में है, तो वैश्विक ट्रंकेशन त्रुटि (जीटीई) से घिरा है


 * $$ |\text{GTE}| \le \frac{hM}{2L}\left(e^{L(t-t_0)}-1\right) $$

कहाँ पे $$M$$ के दूसरे व्युत्पन्न पर एक ऊपरी सीमा है $$y$$ दिए गए अंतराल पर और $$L$$ का लिपशिट्ज स्थिरांक है $$f$$. इस बाउंड का सटीक रूप थोड़ा व्यावहारिक महत्व का है, क्योंकि ज्यादातर मामलों में बाउंड यूलर विधि द्वारा की गई वास्तविक त्रुटि को बहुत अधिक बढ़ा देता है। जो महत्वपूर्ण है वह यह दर्शाता है कि वैश्विक ट्रंकेशन त्रुटि (लगभग) आनुपातिक है $$h$$. इस कारण से, यूलर विधि को प्रथम कोटि की विधि कहा जाता है।

संख्यात्मक स्थिरता
यूलर विधि संख्यात्मक रूप से संख्यात्मक स्थिरता भी हो सकती है, विशेष रूप से कठोर समीकरणों के लिए, जिसका अर्थ है कि संख्यात्मक समाधान उन समीकरणों के लिए बहुत बड़ा हो जाता है जहां सटीक समाधान नहीं होता है। इसे रैखिक समीकरण का उपयोग करके चित्रित किया जा सकता है
 * $$ y' = -2.3y, \qquad y(0) = 1. $$

अचूक उपाय है $$y(t) = e^{-2.3t}$$, जो शून्य के रूप में घटता है $$t \to \infty$$. हालाँकि, यदि इस समीकरण पर चरण आकार के साथ यूलर विधि लागू की जाती है $$h=1$$, तो संख्यात्मक समाधान गुणात्मक रूप से गलत है: यह दोलन करता है और बढ़ता है (चित्र देखें)। अस्थिर होने का यही अर्थ है। उदाहरण के लिए, यदि छोटे चरण आकार का उपयोग किया जाता है $$h = 0.7$$, तो संख्यात्मक समाधान क्षय से शून्य हो जाता है।

यदि यूलर विधि को रैखिक समीकरण पर लागू किया जाता है $$y' = k y$$, तो संख्यात्मक समाधान अस्थिर है अगर उत्पाद $$hk$$ क्षेत्र के बाहर है
 * $$ \bigl\{ z \in \mathbf{C} \, \big| \, |z+1| \le 1 \bigr\}, $$

दाईं ओर चित्रित। इस क्षेत्र को (रैखिक) स्थिरता क्षेत्र कहा जाता है। उदाहरण में, $$k = -2.3$$, तो अगर $$h = 1$$ फिर $$hk = -2.3$$ जो स्थिरता क्षेत्र के बाहर है, और इस प्रकार संख्यात्मक समाधान अस्थिर है।

यह सीमा - त्रुटि के धीमे अभिसरण के साथ $$h$$ — का मतलब है कि संख्यात्मक एकीकरण के एक साधारण उदाहरण को छोड़कर, यूलर विधि का अक्सर उपयोग नहीं किया जाता है.

राउंडिंग एरर
चरण में $$n$$ यूलर विधि में, गोलाई त्रुटि मोटे तौर पर परिमाण की है $$\varepsilon y_n$$ कहाँ पे $$ \varepsilon $$ मशीन एप्सिलॉन है। यह मानते हुए कि राउंडिंग त्रुटियां स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं, अपेक्षित कुल राउंडिंग त्रुटि आनुपातिक है $ \frac{\varepsilon}\sqrt{h} $. इस प्रकार, चरण आकार के अत्यंत छोटे मानों के लिए ट्रंकेशन त्रुटि छोटी होगी लेकिन राउंडिंग त्रुटि का प्रभाव बड़ा हो सकता है। राउंडिंग एरर के अधिकांश प्रभाव को आसानी से टाला जा सकता है यदि यूलर विधि के सूत्र में मुआवजा योग का उपयोग किया जाता है।

संशोधन और एक्सटेंशन
यूलर विधि का एक सरल संशोधन जो नोट की गई स्थिरता की समस्याओं को समाप्त करता है # संख्यात्मक स्थिरता पश्च यूलर विधि है:
 * $$ y_{n+1} = y_n + h f(t_{n+1}, y_{n+1}). $$

यह उस कार्य में (मानक, या आगे) यूलर विधि से भिन्न है $$f$$ प्रारंभिक बिंदु के बजाय चरण के अंत बिंदु पर मूल्यांकन किया जाता है। बैकवर्ड यूलर विधि एक स्पष्ट और निहित विधि है, जिसका अर्थ है कि बैकवर्ड यूलर विधि का सूत्र है $$ y_{n+1} $$ दोनों तरफ, इसलिए पश्चगामी यूलर विधि को लागू करते समय हमें एक समीकरण को हल करना होगा। यह कार्यान्वयन को और अधिक महंगा बनाता है।

यूलर विधि के अन्य संशोधन जो स्थिरता में मदद करते हैंघातीय यूलर विधि विधि या अर्ध-अंतर्निहित यूलर विधि उत्पन्न करते हैं।

अधिक जटिल विधियां उच्च क्रम (और अधिक सटीकता) प्राप्त कर सकती हैं। अधिक फ़ंक्शन मूल्यांकनों का उपयोग करने की एक संभावना है। यह मिडपॉइंट विधि द्वारा सचित्र है जिसका उल्लेख इस लेख में पहले ही किया जा चुका है:
 * $$ y_{n+1} = y_n + h f \left( t_n + \tfrac12 h, y_n + \tfrac12 h f(t_n, y_n) \right)$$.

यह रनगे-कुट्टा विधियों के परिवार की ओर जाता है।

दूसरी संभावना अधिक पिछले मूल्यों का उपयोग करने की है, जैसा कि दो-चरणीय एडम्स-बैशफोर्थ विधि द्वारा दिखाया गया है:
 * $$ y_{n+1} = y_n + \tfrac32 h f(t_{n}, y_{n}) - \tfrac12 h f(t_{n-1}, y_{n-1}). $$

यह रैखिक मल्टीस्टेप विधियों के परिवार की ओर जाता है। ऐसे अन्य संशोधन हैं जो मेमोरी उपयोग को कम करने के लिए कंप्रेसिव सेंसिंग की तकनीकों का उपयोग करते हैं

लोकप्रिय संस्कृति में
फिल्म छिपे हुए आंकड़े में, कैथरीन गोबल ने पृथ्वी की कक्षा से अंतरिक्ष यात्री जॉन ग्लेन के पुन: प्रवेश की गणना करने के लिए यूलर विधि का सहारा लिया।

यह भी देखें

 * क्रैंक-निकोलसन विधि
 * ढतला हुआ वंश इसी तरह परिमित चरणों का उपयोग करता है, यहाँ कार्यों की न्यूनतमता खोजने के लिए
 * रनगे-कुट्टा विधियों की सूची
 * लीनियर मल्टीस्टेप विधि
 * संख्यात्मक एकीकरण (निश्चित समाकलों की गणना के लिए)
 * साधारण अंतर समीकरणों के लिए संख्यात्मक तरीके

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * अंक शास्त्र
 * संख्यात्मक साधारण अंतर समीकरण
 * मध्य बिंदु विधि
 * पिछड़े यूलर विधि
 * कैलकुलस का मौलिक प्रमेय
 * आयताकार विधि
 * स्थानीय छंटनी त्रुटि
 * रंगे-कुत्ता मेथड
 * लिपशिट्ज निरंतरता
 * कड़ा समीकरण
 * पूर्णन त्रुटि
 * अर्द्ध निहित यूलर विधि

बाहरी संबंध

 * Euler method implementations in different languages by Rosetta Code
 * Euler method implementations in different languages by Rosetta Code