गाऊसी द्विपद गुणांक

गणित में, गॉसियन द्विपद गुणांक (जिसे गॉसियन गुणांक, गॉसियन बहुपद, या q-द्विपद गुणांक भी कहा जाता है) q-एनालॉग|q-द्विपद गुणांक के एनालॉग हैं। गॉसियन द्विपद गुणांक, के रूप में लिखा गया है $$ \binom nk_q$$ या $$\begin{bmatrix}n\\ k\end{bmatrix}_q$$, पूर्णांक गुणांक के साथ q में एक बहुपद है, जिसका मान जब q को एक अभाज्य शक्ति पर सेट किया जाता है, तो आयाम n के वेक्टर स्थान में आयाम k के उप-स्थानों की संख्या की गणना करता है $$\mathbb{F}_q$$, क्यू तत्वों के साथ एक सीमित क्षेत्र; यानी यह परिमित ग्रासमैनियन में अंकों की संख्या है $$\mathrm{Gr}(k, \mathbb{F}_q^n)$$.

परिभाषा
गाऊसी द्विपद गुणांक को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
 * $${m \choose r}_q

= \frac{(1-q^m)(1-q^{m-1})\cdots(1-q^{m-r+1})} {(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^r)} $$ जहाँ m और r गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं। अगर $r > m$, इसका मूल्यांकन 0 है $r = 0$, मान 1 है क्योंकि अंश और हर दोनों खाली उत्पाद हैं।

हालाँकि शुरुआत में सूत्र एक तर्कसंगत कार्य प्रतीत होता है, यह वास्तव में एक बहुपद है, क्योंकि विभाजन Z [ q ] में सटीक है

अंश और हर के सभी गुणनखंड इससे विभाज्य हैं $1 − q$, और भागफल Q-एनालॉग#परिचयात्मक उदाहरण|q-संख्या है:


 * $$[k]_q=\sum_{0\leq i<k}q^i=1+q+q^2+\cdots+q^{k-1}=

\begin{cases} \frac{1-q^k}{1-q} & \text{for} & q \neq 1 \\ k & \text{for} & q = 1 \end{cases},$$ इन कारकों को विभाजित करने पर समतुल्य सूत्र प्राप्त होता है


 * $${m \choose r}_q=\frac{[m]_q[m-1]_q\cdots[m-r+1]_q}{[1]_q[2]_q\cdots[r]_q}\quad(r\leq m).$$

क्यू-एनालॉग#परिचयात्मक उदाहरणों के संदर्भ में $$[n]_q!=[1]_q[2]_q\cdots[n]_q$$, सूत्र को इस प्रकार कहा जा सकता है
 * $${m \choose r}_q=\frac{[m]_q!}{[r]_q!\,[m-r]_q!}\quad(r\leq m).$$

स्थानापन्न $q = 1$ में $$\tbinom mr_q$$ साधारण द्विपद गुणांक देता है $$\tbinom mr$$.

गॉसियन द्विपद गुणांक के मान सीमित होते हैं $$m\rightarrow \infty$$:


 * $${\infty \choose r}_q = \lim_{m\rightarrow \infty} {m \choose r}_q = \frac{1} {(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^r)} = \frac{1}{[r]_q!\,(1-q)^r}$$

उदाहरण

 * $${0 \choose 0}_q = {1 \choose 0}_q = 1$$
 * $${1 \choose 1}_q = \frac{1-q}{1-q}=1$$
 * $${2 \choose 1}_q = \frac{1-q^2}{1-q}=1+q$$
 * $${3 \choose 1}_q = \frac{1-q^3}{1-q}=1+q+q^2$$
 * $${3 \choose 2}_q = \frac{(1-q^3)(1-q^2)}{(1-q)(1-q^2)}=1+q+q^2$$
 * $${4 \choose 2}_q = \frac{(1-q^4)(1-q^3)}{(1-q)(1-q^2)}=(1+q^2)(1+q+q^2)=1+q+2q^2+q^3+q^4$$
 * $${6 \choose 3}_q = \frac{(1-q^6)(1-q^5)(1-q^4)}{(1-q)(1-q^2)(1-q^3)}=(1+q^2)(1+q^3)(1+q+q^2+q^3+q^4)=1 + q + 2 q^2 + 3 q^3 + 3 q^4 + 3 q^5 + 3 q^6 + 2 q^7 + q^8 + q^9$$

विपरीत
गॉसियन द्विपद गुणांकों के एक संयुक्त विवरण में व्युत्क्रम (असतत गणित) शामिल है।

साधारण द्विपद गुणांक $$\tbinom mr$$ गिनती करता है $r$-ए से चुने गए संयोजन $m$-तत्व सेट. यदि कोई उन्हें लेता है $m$ तत्व लंबाई के एक शब्द में विभिन्न वर्ण स्थिति होते हैं $m$, फिर प्रत्येक $r$-संयोजन लंबाई के एक शब्द से मेल खाता है $m$ दो अक्षरों की वर्णमाला का उपयोग करते हुए, मान लीजिए ${0,1},$ साथ $r$ पत्र 1 की प्रतियां (चयनित संयोजन में पदों का संकेत) और $m − r$अक्षर 0 (शेष पदों के लिए)।

तो, उदाहरण के लिए, $${4 \choose 2} = 6$$ 0 और 1 का प्रयोग करने वाले शब्द हैं $$0011, 0101, 0110, 1001, 1010, 1100$$.

गाऊसी द्विपद गुणांक प्राप्त करने के लिए $$\tbinom mr_q$$, प्रत्येक शब्द एक कारक से जुड़ा है $q^{d}$, कहाँ $d$ शब्द के व्युत्क्रमों की संख्या है, जहां, इस मामले में, व्युत्क्रम स्थितियों की एक जोड़ी है जहां जोड़ी के बाईं ओर अक्षर 1 होता है और दाईं ओर अक्षर 0 होता है।

उपरोक्त उदाहरण के साथ, 0 व्युत्क्रम वाला एक शब्द है, $$0011$$, 1 व्युत्क्रम के साथ एक शब्द, $$0101$$, दो व्युत्क्रम वाले दो शब्द, $$0110$$, $$1001$$, 3 व्युत्क्रमों वाला एक शब्द, $$1010$$, और 4 व्युत्क्रमों वाला एक शब्द, $$1100$$. यह प्रारंभिक स्थिति से 1s की बाईं-शिफ्ट की संख्या भी है।

ये गुणांकों के अनुरूप हैं $${4 \choose 2}_q = 1+q+2q^2+q^3+q^4$$.

इसे देखने का दूसरा तरीका यह है कि प्रत्येक शब्द को ऊंचाई के साथ एक आयताकार ग्रिड के पार पथ के साथ जोड़ा जाए $r$ और चौड़ाई $m − r$, निचले बाएँ कोने से ऊपरी दाएँ कोने तक जा रहा हूँ। पथ प्रत्येक 0 के लिए एक कदम दाएं और प्रत्येक 1 के लिए एक कदम ऊपर लेता है। एक व्युत्क्रमण एक चरण की दिशाओं को बदल देता है (दाएं+ऊपर ऊपर+दाएं हो जाता है और इसके विपरीत), इसलिए व्युत्क्रमों की संख्या पथ के नीचे के क्षेत्र के बराबर होती है।

डिब्बे में गेंदें
होने देना $$B(n,m,r)$$ फेंकने के तरीकों की संख्या हो $$r$$ अविभाज्य गेंदों में $$m$$ अविभाज्य डिब्बे, जहां प्रत्येक डिब्बे में तक हो सकता है $$n$$ गेंदें. गॉसियन द्विपद गुणांक का उपयोग लक्षण वर्णन के लिए किया जा सकता है $$B(n,m,r)$$. वास्तव में,


 * $$B(n,m,r)= [q^r] {n+m \choose m}_q. $$

कहाँ $$[q^r]P$$ के गुणांक को दर्शाता है $$q^r$$ बहुपद में $$P$$ (नीचे एप्लिकेशन अनुभाग भी देखें)।

प्रतिबिंब
सामान्य द्विपद गुणांकों की तरह, गाऊसी द्विपद गुणांक केंद्र-सममित होते हैं, अर्थात, प्रतिबिंब के तहत अपरिवर्तनीय होते हैं $$ r \rightarrow m-r $$:


 * $${m \choose r}_q = {m \choose m-r}_q. $$

विशेष रूप से,


 * $${m \choose 0}_q ={m \choose m}_q=1 \, ,$$
 * $${m \choose 1}_q ={m \choose m-1}_q=\frac{1-q^m}{1-q}=1+q+ \cdots + q^{m-1} \quad m \ge 1 \, .$$

q पर सीमा = 1
गाऊसी द्विपद गुणांक का मूल्यांकन है


 * $$\lim_{q \to 1} \binom{m}{r}_q = \binom{m}{r}$$

यानी गुणांकों का योग संगत द्विपद मान देता है।

बहुपद की डिग्री
की डिग्री $$\binom{m}{r}_q$$ है $$\binom{m+1}{2}-2\binom{r+1}{2}$$.

पास्कल की पहचान के अनुरूप
गाऊसी द्विपद गुणांक के लिए पास्कल की पहचान के अनुरूप हैं:
 * $${m \choose r}_q = q^r {m-1 \choose r}_q + {m-1 \choose r-1}_q$$

और


 * $${m \choose r}_q = {m-1 \choose r}_q + q^{m-r}{m-1 \choose r-1}_q.$$

कब $$q=1$$, ये दोनों सामान्य द्विपद पहचान देते हैं। हम इसे ऐसे देख सकते हैं $$m\to\infty$$, दोनों समीकरण वैध रहते हैं।

पहला पास्कल एनालॉग प्रारंभिक मानों का उपयोग करके गॉसियन द्विपद गुणांक की पुनरावर्ती (एम के संबंध में) गणना की अनुमति देता है


 * $${m \choose m}_q ={m \choose 0}_q=1 $$

और यह भी दर्शाता है कि गॉसियन द्विपद गुणांक वास्तव में बहुपद (क्यू में) हैं।

दूसरा पास्कल एनालॉग प्रतिस्थापन का उपयोग करते हुए पहले से अनुसरण करता है $$ r \rightarrow m-r $$ और प्रतिबिंब के तहत गाऊसी द्विपद गुणांक का अपरिवर्तनीयता $$ r \rightarrow m-r $$.

इन सर्वसमिकाओं की रैखिक बीजगणित के संदर्भ में स्वाभाविक व्याख्याएँ हैं। याद करें कि $$\tbinom{m}{r}_q$$ आर-आयामी उप-स्थानों की गणना करता है $$V\subset \mathbb{F}_q^m$$, और जाने $$\pi:\mathbb{F}_q^m \to \mathbb{F}_q^{m-1} $$ एक-आयामी नलस्पेस के साथ एक प्रक्षेपण बनें $$E_1 $$. पहली पहचान उस आक्षेप से आती है जो लेता है $$V\subset \mathbb{F}_q^m $$ उपस्थान के लिए $$V' = \pi(V)\subset \mathbb{F}_q^{m-1}$$; यदि $$E_1\not\subset V$$, अंतरिक्ष $$V'$$ आर-आयामी है, और हमें रैखिक फ़ंक्शन का भी ध्यान रखना चाहिए $$\phi:V'\to E_1$$ जिसका ग्राफ है $$V$$; लेकिन मामले में $$E_1\subset V$$, अंतरिक्ष $$V'$$ (r−1)-आयामी है, और हम पुनर्निर्माण कर सकते हैं $$V=\pi^{-1}(V')$$ बिना किसी अतिरिक्त जानकारी के. दूसरी पहचान की भी ऐसी ही व्याख्या है, लेना $$V$$ को $$V' = V\cap E_{n-1}$$ (m−1)-आयामी स्थान के लिए $$E_{m-1}$$, फिर से दो मामलों में विभाजित।

एनालॉग के प्रमाण
दोनों एनालॉग्स को पहले उस परिभाषा से नोट करके सिद्ध किया जा सकता है $$\tbinom{m}{r}_q$$, अपने पास:

जैसा


 * $$\frac{1-q^m}{1-q^{m-r}}=\frac{1-q^r+q^r-q^m}{1-q^{m-r}}=q^r+\frac{1-q^r}{1-q^{m-r}}$$

समीकरण ($$) बन जाता है:


 * $$\binom{m}{r}_q = q^r\binom{m-1}{r}_q + \frac{1-q^r}{1-q^{m-r}}\binom{m-1}{r}_q$$

और समीकरण प्रतिस्थापित करना ($$) पहला एनालॉग देता है।

एक समान प्रक्रिया, का उपयोग कर


 * $$\frac{1-q^m}{1-q^r}=q^{m-r}+\frac{1-q^{m-r}}{1-q^r}$$

इसके बजाय, दूसरा एनालॉग देता है।

q-द्विपद प्रमेय
क्यू-द्विपद गुणांक के लिए द्विपद प्रमेय का एक एनालॉग है, जिसे कॉची द्विपद प्रमेय के रूप में जाना जाता है:


 * $$\prod_{k=0}^{n-1} (1+q^kt)=\sum_{k=0}^n q^{k(k-1)/2}

{n \choose k}_q t^k .$$ सामान्य द्विपद प्रमेय की तरह, इस सूत्र में कई सामान्यीकरण और विस्तार हैं; ऐसा ही एक, नकारात्मक शक्तियों के लिए न्यूटन के सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय के अनुरूप है


 * $$\prod_{k=0}^{n-1} \frac{1}{1-q^kt}=\sum_{k=0}^\infty

{n+k-1 \choose k}_q t^k. $$ सीमा में $$n\rightarrow\infty$$, ये सूत्र उपज देते हैं


 * $$\prod_{k=0}^{\infty} (1+q^kt)=\sum_{k=0}^\infty \frac{q^{k(k-1)/2}t^k}{[k]_q!\,(1-q)^k}$$

और


 * $$\prod_{k=0}^\infty \frac{1}{1-q^kt}=\sum_{k=0}^\infty

\frac{t^k}{[k]_q!\,(1-q)^k}$$.

सेटिंग $$t=q$$ क्रमशः विशिष्ट और किसी भी भाग के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शन देता है। (बुनियादी हाइपरज्यामितीय श्रृंखला भी देखें।)

केंद्रीय q-द्विपद पहचान
सामान्य द्विपद गुणांकों के साथ, हमारे पास है:


 * $$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n}$$

क्यू-द्विपद गुणांक के साथ, एनालॉग है:


 * $$\sum_{k=0}^n q^{k^2}\binom{n}{k}_q^2 = \binom{2n}{n}_q$$

अनुप्रयोग
गाऊसी द्विपद गुणांक सममित बहुपदों की गिनती और विभाजन के सिद्धांत (संख्या सिद्धांत) में होते हैं। q का गुणांकरमें


 * $${n+m \choose m}_q$$

m या उससे कम भागों वाले r के विभाजनों की संख्या है, जिनमें से प्रत्येक n से कम या उसके बराबर है। समान रूप से, यह n या उससे कम भागों वाले r के विभाजनों की संख्या भी है, जिनमें से प्रत्येक भाग m से कम या उसके बराबर है।

गाऊसी द्विपद गुणांक भी एक परिमित क्षेत्र पर परिभाषित प्रक्षेप्य स्थानों के गणनात्मक सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। विशेष रूप से, प्रत्येक परिमित क्षेत्र F के लिएq क्यू तत्वों के साथ, गाऊसी द्विपद गुणांक


 * $${n \choose k}_q$$

F पर n-आयामी सदिश स्थल के k-आयामी वेक्टर उप-स्थानों की संख्या की गणना करता हैq (एक ग्रासमैनियन)। जब q में एक बहुपद के रूप में विस्तारित किया जाता है, तो यह शूबर्ट कोशिकाओं में ग्रासमैनियन के प्रसिद्ध अपघटन को जन्म देता है। उदाहरण के लिए, गाऊसी द्विपद गुणांक


 * $${n \choose 1}_q=1+q+q^2+\cdots+q^{n-1}$$

(एफ) में एक-आयामी उप-स्थानों की संख्या हैq)n (समकक्ष रूप से, संबंधित प्रक्षेप्य स्थान में बिंदुओं की संख्या)। इसके अलावा, जब q 1 (क्रमशः −1) होता है, तो गॉसियन द्विपद गुणांक संबंधित कॉम्प्लेक्स (क्रमशः वास्तविक) ग्रासमैनियन की यूलर विशेषता उत्पन्न करता है।

F के k-आयामी एफ़िन उप-स्थानों की संख्याqnके बराबर है


 * $$q^{n-k} {n \choose k}_q$$.

यह पहचान की एक और व्याख्या की अनुमति देता है


 * $${m \choose r}_q = {m-1 \choose r}_q + q^{m-r}{m-1 \choose r-1}_q$$

एक हाइपरप्लेन को ठीक करके (आर - 1)-आयामी प्रक्षेप्य स्थान के (आर - 1)-आयामी उप-स्थानों की गिनती करना, उस हाइपरप्लेन में निहित ऐसे उप-स्थानों की गिनती करना, और फिर हाइपरप्लेन में शामिल नहीं होने वाले उप-स्थानों की गिनती करना; ये बाद वाले उप-स्थान इस निश्चित हाइपरप्लेन को अनंत पर हाइपरप्लेन के रूप में मानकर प्राप्त किए गए स्थान के (आर - 1)-आयामी एफ़िन उप-स्थान के साथ विशेषण पत्राचार में हैं।

क्वांटम समूहों के अनुप्रयोगों में आम सम्मेलनों में, थोड़ी अलग परिभाषा का उपयोग किया जाता है; वहाँ क्वांटम द्विपद गुणांक है
 * $$q^{k^2 - n k}{n \choose k}_{q^2}$$.

क्वांटम द्विपद गुणांक का यह संस्करण विनिमय के तहत सममित है $$q$$ और $$q^{-1}$$.

संदर्भ

 * Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914,  ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538
 * (undated, 2004 or earlier).
 * Ratnadha Kolhatkar, Zeta function of Grassmann Varieties (dated January 26, 2004)
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