जॉर्डन माप

गणित में, पीआनो-जॉर्डन माप (जॉर्डन सामग्री के रूप में भी जाना जाता है) आकार (आर्क लंबाई, क्षेत्र (गणित), मात्रा) की धारणा का एक विस्तार है, उदाहरण के लिए, एक त्रिकोण, डिस्क (गणित) से अधिक जटिल आकार ), या समांतर चतुर्भुज।

यह पता चला है कि एक सेट के लिए जॉर्डन को मापना एक निश्चित प्रतिबंधात्मक अर्थ में अच्छी तरह से व्यवहार किया जाना चाहिए। इस कारण से, लेबेस्ग उपाय के साथ काम करना अब अधिक सामान्य है, जो सेट के एक बड़े वर्ग के लिए जॉर्डन माप का विस्तार है। ऐतिहासिक रूप से बोलते हुए, जॉर्डन माप पहले आया, उन्नीसवीं शताब्दी के अंत में। ऐतिहासिक कारणों से, इस सेट समारोह के लिए 'जॉर्डन माप' शब्द अब अच्छी तरह से स्थापित है, इस तथ्य के बावजूद कि यह अपनी आधुनिक परिभाषा में एक सही माप (गणित) नहीं है, क्योंकि जॉर्डन-मापने योग्य सेट एक σ नहीं बनाते हैं। -बीजगणित। उदाहरण के लिए, सिंगलटन सेट $$\{x\}_{x \in \Reals}$$में $$\Reals$$ प्रत्येक के पास जॉर्डन का माप 0 है, जबकि $$\Q \cap [0,1]$$, उनका एक गणनीय संघ, जॉर्डन-मापने योग्य नहीं है। इस कारण कुछ लेखक शब्द का प्रयोग करना अधिक पसंद करते हैं.

पीआनो-जॉर्डन उपाय का नाम इसके प्रवर्तकों, फ्रांसीसी गणितज्ञ केमिली जॉर्डन और इतालवी गणितज्ञ ग्यूसेप पीनो के नाम पर रखा गया है।

सरल सेटों का जॉर्डन माप
यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर विचार करें $$\Reals^n.$$ जॉर्डन माप पहले बंधे सेट आधे खुले अंतराल (गणित) के कार्टेशियन उत्पादों पर परिभाषित किया गया है $$C = [a_1, b_1) \times [a_2, b_2) \times \cdots \times [a_n, b_n)$$ जो बायीं ओर बंद हैं और सभी समापन बिंदुओं के साथ दायीं ओर खुले हैं $$a_i$$ और $$b_i$$ परिमित वास्तविक संख्याएँ (आधा-खुला अंतराल एक तकनीकी विकल्प है; जैसा कि हम नीचे देखते हैं, यदि पसंद हो तो बंद या खुले अंतराल का उपयोग कर सकते हैं)। ऐसे समुच्चय को a कहा जाएगा, या बस एक . वह {{em|Jordan measure}इस तरह के एक आयत के } को अंतराल की लंबाई के उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है: $$m(C) = (b_1 - a_1) (b_2 - a_2) \cdots (b_n - a_n).$$ अगला, कोई विचार करता है , कई बार बुलाना , जो आयतों के परिमित संघ (सेट सिद्धांत) हैं, $$S = C_1 \cup C_2 \cup \cdots \cup C_k$$ किसी के लिए $$k \geq 1.$$ कोई जॉर्डन माप को परिभाषित नहीं कर सकता है $$S$$ व्यक्तिगत आयतों के उपायों के योग के रूप में, क्योंकि ऐसा प्रतिनिधित्व $$S$$ अद्वितीय से बहुत दूर है, और आयतों के बीच महत्वपूर्ण ओवरलैप्स हो सकते हैं।

सौभाग्य से, ऐसा कोई भी सरल सेट $$S$$ आयतों के एक और परिमित परिवार के संघ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, आयतें जो इस समय पारस्परिक रूप से अलग हैं, और फिर एक जॉर्डन माप को परिभाषित करता है $$m(S)$$ असम्बद्ध आयतों के मापों के योग के रूप में।

कोई दिखा सकता है कि जॉर्डन की यह परिभाषा मापती है $$S$$ के प्रतिनिधित्व से स्वतंत्र है $$S$$ असम्बद्ध आयतों के परिमित संघ के रूप में। यह पुनर्लेखन चरण में है कि आयतों के आधे-खुले अंतराल से बने होने की धारणा का उपयोग किया जाता है।

अधिक जटिल सेटों का विस्तार
ध्यान दें कि एक समुच्चय जो संवृत्त अंतरालों का गुणनफल है, $$[a_1, b_1] \times [a_2, b_2] \times \cdots \times [a_n, b_n]$$ एक साधारण समुच्चय नहीं है, और न ही एक गेंद (गणित) है। इस प्रकार, अब तक जॉर्डन औसत दर्जे का सेट अभी भी बहुत सीमित है। मुख्य कदम तब एक बंधे हुए सेट को परिभाषित करना है यदि यह सरल सेटों द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित है, ठीक उसी तरह जैसे एक फ़ंक्शन रीमैन इंटीग्रल है यदि यह टुकड़े-टुकड़े-स्थिर कार्यों द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित है।

औपचारिक रूप से, एक बंधे हुए सेट के लिए $$B,$$ इसे परिभाषित करें जैसा $$m_*(B) = \sup_{S\subseteq B} m(S)$$ और इसके जैसा $$m^*(B) = \inf_{S\supseteq B} m(S)$$ जहां सबसे कम  और  अंतिम  को सरल सेट पर ले जाया जाता है $$S.$$ सेट $$B$$ ए कहा जाता है  यदि आंतरिक माप $$B$$ बाहरी माप के बराबर है। दो उपायों के सामान्य मूल्य को तब बस कहा जाता है. वह सेट फ़ंक्शन है जो जॉर्डन मापने योग्य सेट को उनके जॉर्डन माप में भेजता है।

यह पता चला है कि सभी आयतें (खुली या बंद), साथ ही साथ सभी गेंदें, संकेतन आदि, जॉर्डन औसत दर्जे की हैं। इसके अलावा, यदि कोई दो निरंतर कार्यों पर विचार करता है, तो उन कार्यों के आलेखों के बीच बिंदुओं का सेट जॉर्डन मापने योग्य होता है जब तक कि सेट बाध्य होता है और दो कार्यों का सामान्य डोमेन जॉर्डन मापने योग्य होता है। जॉर्डन मापने योग्य सेटों का कोई भी परिमित संघ और प्रतिच्छेदन जॉर्डन मापने योग्य है, साथ ही किसी भी दो जॉर्डन मापने योग्य सेटों का सेट अंतर है। एक कॉम्पैक्ट सेट आवश्यक रूप से जॉर्डन औसत दर्जे का नहीं है। उदाहरण के लिए, स्मिथ-वोल्तेरा-कैंटर सेट नहीं है। इसका आंतरिक जॉर्डन माप गायब हो जाता है, क्योंकि इसका पूरक (सेट सिद्धांत) सघन सेट है; हालाँकि, इसका बाहरी जॉर्डन माप गायब नहीं होता है, क्योंकि यह अपने लेबेसेग माप से कम (वास्तव में, बराबर) नहीं हो सकता है। इसके अलावा, एक घिरा हुआ खुला सेट जरूरी नहीं है कि जॉर्डन औसत दर्जे का हो। उदाहरण के लिए, वसा कैंटर सेट (अंतराल के भीतर) का पूरक नहीं है। एक घिरा हुआ सेट जॉर्डन मापने योग्य है अगर और केवल अगर इसका संकेतक फ़ंक्शन रीमैन इंटीग्रल है। रीमैन-इंटीग्रेबल, और इंटीग्रल का मान इसका जॉर्डन उपाय है।

समान रूप से, एक बंधे हुए सेट के लिए $$B$$ आंतरिक जॉर्डन का माप $$B$$ के आंतरिक (टोपोलॉजी) का लेबेस्ग माप है $$B$$ और बाहरी जॉर्डन माप बंद होने (टोपोलॉजी) का लेबेस्गु माप है। इससे यह पता चलता है कि एक घिरा हुआ सेट जॉर्डन मापने योग्य है अगर और केवल अगर इसकी सीमा (टोपोलॉजी) में लेबेस्गु माप शून्य है। (या समकक्ष रूप से, यदि सीमा में जॉर्डन का माप शून्य है, तो सीमा की सघनता के कारण समानता बनी रहती है।)

लेबेस्ग उपाय
यह अंतिम संपत्ति उन सेटों के प्रकार को बहुत सीमित करती है जो जॉर्डन औसत दर्जे के हैं। उदाहरण के लिए, अंतराल [0,1] में निहित परिमेय संख्याओं का समुच्चय जॉर्डन मापने योग्य नहीं है, क्योंकि इसकी सीमा [0,1] है जो जॉर्डन माप शून्य की नहीं है। हालाँकि सहज रूप से, परिमेय संख्याओं का समुच्चय एक छोटा समुच्चय है, क्योंकि यह गणनीय है, और इसका आकार शून्य होना चाहिए। यह वास्तव में सच है, लेकिन केवल अगर कोई जॉर्डन माप को लेबेस्गु माप से बदल देता है। एक सेट का लेबेस्ग माप इसके जॉर्डन माप के समान है जब तक कि उस सेट में जॉर्डन माप हो। हालांकि, Lebesgue माप सेट के एक बहुत व्यापक वर्ग के लिए परिभाषित किया गया है, जैसे कि पहले उल्लिखित अंतराल में परिमेय संख्याओं का सेट, और उन सेटों के लिए भी जो असीमित या भग्न सेट  हो सकते हैं। इसके अलावा, लेबेसेग उपाय, जॉर्डन माप के विपरीत, एक वास्तविक माप (गणित) है, अर्थात, लेबेसेग मापने योग्य सेटों का कोई भी गणनीय संघ लेबेसेग मापने योग्य है, जबकि जॉर्डन मापने योग्य सेटों के गणनीय संघों को जॉर्डन मापने योग्य नहीं होना चाहिए।