वेइल परिवर्तन

सैद्धांतिक भौतिकी में, वेइल परिवर्तन' जिसका नाम हरमन वेइल के नाम पर रखा गया है, मीट्रिक टेंसर का स्थानीय पुनर्विक्रय है:


 * $$g_{ab}\rightarrow e^{-2\omega(x)}g_{ab}$$

जो समान अनुरूप वर्ग में मीट्रिक उत्पन्न करता है। इस परिवर्तन के अंतर्गत सिद्धांत या अभिव्यक्ति अपरिवर्तनीय को अनुरूप रूप से अपरिवर्तनीय कहा जाता है, ऐसा कहा गया है कि वेइल इनवेरिएंस या वेइल समरूपता है। अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत में वेइल समरूपता महत्वपूर्ण समरूपता है। उदाहरण के लिए, यह पॉलाकोव क्रिया की समरूपता है। जब क्वांटम यांत्रिक प्रभाव सिद्धांत के अनुरूप आक्रमण को विभक्त करते हैं, तो इसे अनुरूप विसंगति या वेइल विसंगति प्रदर्शित करने के लिए कहा जाता है।

सामान्य लेवी-सिविता कनेक्शन और संबंधित स्पिन कनेक्शन वेइल ट्रांसफॉर्मेशन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय नहीं हैं। उचित अपरिवर्तनीय धारणा वेइल कनेक्शन है, जो अनुरूप कनेक्शन की संरचना को निर्दिष्ट करने की विधि है।

अनुरूप भार
मात्रा $$\varphi$$ का अनुरूप भार $$k$$ होता है यदि, वेइल परिवर्तन के अंतर्गत, यह रूपांतरित हो जाता है:



\varphi \to \varphi e^{k \omega}. $$ इस प्रकार अनुरूप रूप से भारित मात्राएँ कुछ घनत्व बंडलों से संबंधित होती हैं; अनुरूप आयाम भी देखें। $$A_\mu$$ को $$g$$ के लेवी-सिविता कनेक्शन से जुड़ा फ़ॉर्म कनेक्शन का परिचय दें, जो प्रारंभिक रूप में $$\partial_\mu\omega$$ पर भी निर्भर करता है:



B_\mu = A_\mu + \partial_\mu \omega. $$ तब $$D_\mu \varphi \equiv \partial_\mu \varphi + k B_\mu \varphi$$ सहपरिवर्ती है और इसका अनुरूप भार $$k - 1$$ है।

सूत्र
परिवर्तन के लिए

g_{ab} = f(\phi(x)) \bar{g}_{ab} $$
 * हम निम्नलिखित सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:

\begin{align} g^{ab} &= \frac{1}{f(\phi(x))} \bar{g}^{ab}\\ \sqrt{-g} &= \sqrt{-\bar{g}} f^{D/2} \\ \Gamma^c_{ab} &= \bar{\Gamma}^c_{ab} + \frac{f'}{2f} \left(\delta^c_b \partial_a \phi + \delta^c_a \partial_b \phi - \bar{g}_{ab} \partial^c \phi \right) \equiv \bar{\Gamma}^c_{ab} + \gamma^c_{ab} \\ R_{ab} &= \bar{R}_{ab} + \frac{f'' f- f^{\prime 2}}{2f^2} \left((2-D) \partial_a \phi \partial_b \phi - \bar{g}_{ab} \partial^c \phi \partial_c \phi \right) + \frac{f'}{2f} \left((2-D) \bar{\nabla}_a \partial_b \phi - \bar{g}_{ab} \bar{\Box} \phi\right) + \frac{1}{4} \frac{f^{\prime 2}}{f^2} (D-2) \left(\partial_a \phi \partial_b \phi - \bar{g}_{ab} \partial_c \phi \partial^c \phi \right) \\ R &= \frac{1}{f} \bar{R} + \frac{1-D}{f} \left( \frac{f''f - f^{\prime 2}}{f^2} \partial^c \phi \partial_c \phi + \frac{f'}{f} \bar{\Box} \phi \right) + \frac{1}{4f} \frac{f^{\prime 2}}{f^2} (D-2) (1-D) \partial_c \phi \partial^c \phi \end{align} $$ ध्यान दें कि वीइल रीस्केलिंग के अंतर्गत वेइल टेंसर अपरिवर्तनीय है।