माप (गणित)

गणित में, माप की अवधारणा ज्यामिति#लंबाई, क्षेत्रफल और आयतन (लंबाई, क्षेत्रफल, आयतन) और अन्य सामान्य धारणाओं, जैसे द्रव्यमान और घटनाओं की संभावना का एक सामान्यीकरण और औपचारिकता है। इन प्रतीत होने वाली विशिष्ट अवधारणाओं में कई समानताएँ हैं और अक्सर एक ही गणितीय संदर्भ में एक साथ व्यवहार किया जा सकता है। उपाय संभाव्यता सिद्धांत, अभिन्न में मूलभूत हैं, और विद्युत आवेश के साथ हस्ताक्षरित माप ग्रहण करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। माप के दूरगामी सामान्यीकरण (जैसे वर्णक्रमीय उपाय और प्रक्षेपण-मूल्यवान उपाय) सामान्य रूप से क्वांटम भौतिकी और भौतिकी में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं।

इस अवधारणा के पीछे का अंतर्ज्ञान प्राचीन ग्रीस में वापस आता है, जब आर्किमिडीज़ ने एक वृत्त के क्षेत्रफल की गणना करने की कोशिश की थी। लेकिन 19वीं सदी के अंत और 20वीं सदी की शुरुआत तक माप सिद्धांत गणित की एक शाखा नहीं बन पाया। आधुनिक माप सिद्धांत की नींव एमिल बोरेल, हेनरी लेबेस्ग्यू, निकोलाई लुज़िन, जोहान राडॉन, कॉन्स्टेंटिन कैराथोडोरी और मौरिस फ्रेचेट के कार्यों में रखी गई थी।

परिभाषा
होने देना $$X$$ एक सेट हो और $$\Sigma$$ एक सिग्मा-बीजगणित|$$\sigma$$-बीजगणित खत्म $$X.$$ एक सेट समारोह $$\mu$$ से $$\Sigma$$ विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा को एक माप कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है:

अगर कम से कम एक सेट $$E$$ परिमित उपाय है, तो आवश्यकता है कि $$\mu(\varnothing) = 0$$ स्वतः मिल जाता है। वास्तव में, गणनीय योज्यता से, $$\mu(E)=\mu(E \cup \varnothing) = \mu(E) + \mu(\varnothing),$$ और इसीलिए $$\mu(\varnothing)=0.$$ यदि गैर-नकारात्मकता की स्थिति को छोड़ दिया जाता है लेकिन इनमें से दूसरी और तीसरी शर्तें पूरी हो जाती हैं, और $$\mu$$ अधिकतम एक मान लेता है $$\pm \infty,$$ तब $$\mu$$ एक हस्ताक्षरित उपाय कहा जाता है।
 * गैर-नकारात्मकता: सभी के लिए $$E$$ में $$\Sigma,$$ अपने पास $$\mu(E) \geq 0.$$
 * अशक्त खाली सेट: $$\mu(\varnothing) = 0.$$
 * गणनीय योगात्मकता (या सिग्मा योगात्मकता|$$\sigma$$-additivity): सभी गणनीय संग्रहों के लिए $$\{ E_k \}_{k=1}^\infty$$ Σ में जोड़ीदार असंयुक्त सेट की,$$\mu\left(\bigcup_{k=1}^\infty E_k\right)=\sum_{k=1}^\infty \mu(E_k).$$

जोड़ा $$(X, \Sigma)$$ एक औसत दर्जे का स्थान कहा जाता है, और के सदस्य $$\Sigma$$ मापनीय समुच्चय कहलाते हैं।

एक टपल $$(X, \Sigma, \mu)$$ माप स्थान कहा जाता है। प्रायिकता माप एक माप है जिसका कुल माप एक – है, $$\mu(X) = 1.$$ प्रायिकता स्थान प्रायिकता माप के साथ माप स्थान है।

माप स्थान के लिए जो टोपोलॉजिकल स्थान भी हैं माप और टोपोलॉजी के लिए विभिन्न अनुकूलता स्थितियों को रखा जा सकता है। विश्लेषण (गणित) में व्यवहार में मिले अधिकांश उपाय (और कई मामलों में प्रायिकता सिद्धांत में भी) रेडॉन उपाय हैं। समर्थन (गणित) #कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ निरंतर कार्यों के स्थानीय उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस पर रैडॉन उपायों की रैखिक कार्यात्मकता के संदर्भ में एक वैकल्पिक परिभाषा है। यह दृष्टिकोण निकोलस बोरबाकी (2004) और कई अन्य स्रोतों द्वारा लिया गया है। अधिक जानकारी के लिए, रैडॉन उपायों पर आलेख देखें।

उदाहरण
कुछ महत्वपूर्ण उपाय यहां सूचीबद्ध हैं।


 * गणना माप द्वारा परिभाषित किया गया है $$\mu(S)$$ = तत्वों की संख्या $$S.$$
 * लेबेस्ग माप चालू है $$\R$$ एक σ-बीजगणित पर अनुवाद-अपरिवर्तनीय उपाय है जिसमें अंतराल (गणित) है $$\R$$ ऐसा है कि $$\mu([0, 1]) = 1$$; और इन गुणों के साथ हर दूसरा माप Lebesgue माप का विस्तार करता है।
 * परिपत्र कोण माप रोटेशन के तहत अपरिवर्तनीय है, और अतिशयोक्तिपूर्ण कोण माप निचोड़ मानचित्रण के तहत अपरिवर्तनीय है।
 * स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्पेस टोपोलॉजिकल समूह के लिए हार उपाय लेबेस्ग माप (और गिनती माप और परिपत्र कोण माप का भी) का एक सामान्यीकरण है और इसमें समान विशिष्टता गुण हैं।
 * हॉसडॉर्फ माप गैर-पूर्णांक आयाम के साथ सेट करने के लिए लेबेस्ग माप का एक सामान्यीकरण है, विशेष रूप से फ्रैक्टल सेट।
 * प्रत्येक संभाव्यता स्थान एक माप को जन्म देता है जो पूरे स्थान पर मान 1 लेता है (और इसलिए इकाई अंतराल [0, 1] में इसके सभी मान लेता है)। ऐसे माप को संभाव्यता माप कहा जाता है। संभाव्यता स्वयंसिद्ध देखें।
 * डिराक माप δa (cf. Dirac डेल्टा फ़ंक्शन) δ द्वारा दिया गया हैa(एस) = एक्सS(ए), जहां χS का सूचक कार्य है $$S.$$ एक सेट का माप 1 होता है यदि उसमें बिंदु होता है $$a$$ और 0 अन्यथा।

विभिन्न सिद्धांतों में प्रयुक्त अन्य 'नामित' उपायों में शामिल हैं: बोरेल माप, जॉर्डन माप, एर्गोडिक माप, गॉसियन माप, बेयर माप, रेडॉन माप, युवा माप और लोएब माप। भौतिकी में माप का एक उदाहरण द्रव्यमान का स्थानिक वितरण है (उदाहरण के लिए, गुरुत्वाकर्षण क्षमता देखें), या अन्य गैर-नकारात्मक व्यापक संपत्ति, संरक्षित मात्रा (इनकी सूची के लिए संरक्षण कानून (भौतिकी) देखें) या नहीं। नकारात्मक मूल्य हस्ताक्षरित उपायों की ओर ले जाते हैं, नीचे सामान्यीकरण देखें।


 * लिउविले का प्रमेय (हैमिल्टनियन)#सहानुभूति ज्यामिति, जिसे सहानुभूति बहुविध पर प्राकृतिक आयतन रूप के रूप में भी जाना जाता है, शास्त्रीय सांख्यिकीय और हैमिल्टनियन यांत्रिकी में उपयोगी है।
 * गिब्स माप व्यापक रूप से सांख्यिकीय यांत्रिकी में उपयोग किया जाता है, जिसे अक्सर विहित पहनावा के नाम से जाना जाता है।

मूल गुण
होने देना $$\mu$$ एक उपाय हो।

एकरसता
यदि $$E_1$$ और $$E_2$$ के साथ मापने योग्य सेट हैं $$E_1 \subseteq E_2$$ तब $$\mu(E_1) \leq \mu(E_2).$$

सबडिटिविटी
किसी भी गणनीय अनुक्रम (गणित) के लिए $$E_1, E_2, E_3, \ldots$$ (आवश्यक रूप से अलग नहीं) औसत दर्जे का सेट $$E_n$$ में $$\Sigma:$$ $$\mu\left( \bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) \leq \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i).$$

निरंतरता नीचे से
यदि $$E_1, E_2, E_3, \ldots$$ मापने योग्य सेट हैं जो बढ़ रहे हैं (जिसका अर्थ है कि $$E_1 \subseteq E_2 \subseteq E_3 \subseteq \ldots$$) फिर सेट का संघ (सेट सिद्धांत)। $$E_n$$ मापने योग्य है और $$\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) ~=~ \lim_{i\to\infty} \mu(E_i) = \sup_{i \geq 1} \mu(E_i).$$

ऊपर से निरंतरता
यदि $$E_1, E_2, E_3, \ldots$$ मापने योग्य सेट हैं जो घट रहे हैं (जिसका अर्थ है कि $$E_1 \supseteq E_2 \supseteq E_3 \supseteq \ldots$$) फिर सेट का इंटरसेक्शन (सेट सिद्धांत)। $$E_n$$ मापने योग्य है; इसके अलावा, यदि कम से कम एक $$E_n$$ तब परिमित उपाय है $$\mu\left(\bigcap_{i=1}^\infty E_i\right) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i) = \inf_{i \geq 1} \mu(E_i).$$ यह संपत्ति इस धारणा के बिना झूठी है कि कम से कम एक $$E_n$$ परिमित उपाय है। उदाहरण के लिए, प्रत्येक के लिए $$n \in \N,$$ होने देना $$E_n = [n, \infty) \subseteq \R,$$ जिसमें सभी के पास असीमित Lebesgue माप है, लेकिन चौराहा खाली है।

पूर्णता
एक मापने योग्य सेट $$X$$ एक अशक्त सेट कहा जाता है अगर $$\mu(X) = 0.$$ शून्य समुच्चय के उपसमुच्चय को नगण्य समुच्चय कहा जाता है। एक नगण्य सेट को मापने योग्य नहीं होना चाहिए, लेकिन प्रत्येक मापने योग्य नगण्य सेट स्वचालित रूप से एक शून्य सेट होता है। एक उपाय को पूर्ण कहा जाता है यदि प्रत्येक नगण्य सेट औसत दर्जे का हो।

उपसमुच्चयों के σ-बीजगणित पर विचार करके एक माप को पूर्ण माप तक बढ़ाया जा सकता है $$Y$$ जो औसत दर्जे के सेट से नगण्य सेट से भिन्न होता है $$X,$$ वह है, जैसे कि सममित अंतर $$X$$ और $$Y$$ शून्य सेट में निहित है। एक परिभाषित करता है $$\mu(Y)$$ बराबर $$\mu(X).$$

μ{x : f(x) ≥ t} = μ{x : f(x) > t} (a.e.)
यदि $$f:X\to[0,+\infty]$$ है $$(\Sigma,{\cal B}([0,+\infty]))$$-मापने योग्य, फिर $$\mu\{x\in X: f(x) \geq t\} = \mu\{x\in X: f(x) > t\}$$ लगभग हर जगह के लिए $$t \in X.$$ इस संपत्ति का उपयोग लेबेसेग इंटीग्रल के संबंध में किया जाता है। $$

एडिटिविटी
उपायों को योगात्मक रूप से जोड़ने की आवश्यकता है। हालाँकि, स्थिति को निम्नानुसार मजबूत किया जा सकता है। किसी भी सेट के लिए $$I$$ और गैर-नकारात्मक का कोई भी सेट $$r_i,i\in I$$ परिभाषित करना: $$\sum_{i\in I} r_i=\sup\left\lbrace\sum_{i\in J} r_i : |J|<\aleph_0, J\subseteq I\right\rbrace.$$ अर्थात्, हम के योग को परिभाषित करते हैं $$r_i$$ उनमें से बहुत से परिमित रूप से सभी योगों का सर्वोच्च होना।

एक नाप $$\mu$$ पर $$\Sigma$$ है $$\kappa$$-एडिटिव अगर किसी के लिए $$\lambda<\kappa$$ और अलग सेट के किसी भी परिवार $$X_\alpha,\alpha<\lambda$$ निम्नलिखित पकड़: $$\bigcup_{\alpha\in\lambda} X_\alpha \in \Sigma$$ $$\mu\left(\bigcup_{\alpha\in\lambda} X_\alpha\right) = \sum_{\alpha\in\lambda}\mu\left(X_\alpha\right).$$ ध्यान दें कि दूसरी स्थिति इस कथन के समतुल्य है कि अशक्त सेटों का आदर्श (सेट सिद्धांत) है $$\kappa$$-पूरा।

सिग्मा-परिमित उपाय
एक माप स्थान $$(X, \Sigma, \mu)$$ परिमित कहा जाता है अगर $$\mu(X)$$ एक परिमित वास्तविक संख्या है (इसके बजाय $$\infty$$). शून्येतर परिमित उपाय किसी भी परिमित माप के अर्थ में संभाव्यता उपायों के अनुरूप हैं $$\mu$$ संभाव्यता माप के आनुपातिक है $$\frac{1}{\mu(X)}\mu.$$ एक नाप $$\mu$$ σ-परिमित कहा जाता है अगर $$X$$ परिमित माप के मापने योग्य सेटों के एक गणनीय संघ में विघटित किया जा सकता है। अनुरूप रूप से, माप स्थान में एक सेट को σ-परिमित माप कहा जाता है यदि यह परिमित माप के साथ सेटों का एक गणनीय संघ है।

उदाहरण के लिए, मानक Lebesgue माप के साथ वास्तविक संख्याएं σ-परिमित हैं लेकिन परिमित नहीं हैं। बंद अंतराल पर विचार करें $$[k, k+1]$$ सभी पूर्णांकों के लिए $$k;$$ ऐसे कई अंतराल हैं, जिनमें से प्रत्येक का माप 1 है, और उनका मिलन ही संपूर्ण वास्तविक रेखा है। वैकल्पिक रूप से, गिनती माप के साथ वास्तविक संख्याओं पर विचार करें, जो वास्तविक के प्रत्येक परिमित सेट को सेट में बिंदुओं की संख्या प्रदान करती है। यह माप स्थान σ-परिमित नहीं है, क्योंकि परिमित माप के साथ प्रत्येक सेट में केवल सूक्ष्म रूप से कई बिंदु होते हैं, और यह संपूर्ण वास्तविक रेखा को कवर करने के लिए ऐसे कई सेटों को बेशुमार रूप से ले जाएगा। σ-परिमित माप स्थान में कुछ बहुत ही सुविधाजनक गुण होते हैं; इस संबंध में σ-परिमितता की तुलना लिंडेलोफ स्पेस से की जा सकती है। टोपोलॉजिकल स्पेस की लिंडेलोफ संपत्ति। उन्हें इस विचार के अस्पष्ट सामान्यीकरण के रूप में भी माना जा सकता है कि एक माप स्थान में 'बेशुमार माप' हो सकता है।

अर्धसूत्रीय उपाय
होने देना $$X$$ एक सेट हो, चलो $${\cal A}$$ एक सिग्मा-बीजगणित बनें $$X,$$ और जाने $$\mu$$ एक उपाय हो $${\cal A}.$$ हम कहते है $$\mu$$ इसका मतलब यह है कि सभी के लिए अर्ध है $$A\in\mu^\text{pre}\{+\infty\},$$ $${\cal P}(A)\cap\mu^\text{pre}(\R_{>0})\ne\emptyset.$$ सेमीफिनिट उपाय सिग्मा-फिनिट उपायों को इस तरह से सामान्यीकृत करते हैं कि माप सिद्धांत के कुछ बड़े प्रमेय जो सिग्मा-फिनिट के लिए हैं, लेकिन मनमाना उपाय नहीं हैं, उन्हें सेमीफिनिट उपायों के लिए थोड़े संशोधन के साथ बढ़ाया जा सकता है। (टू-डू: ऐसे प्रमेयों के उदाहरण जोड़ें; cf. वार्ता पृष्ठ।)

बुनियादी उदाहरण

 * प्रत्येक सिग्मा-परिमित माप अर्ध-परिमित होता है।
 * मान लीजिए $${\cal A}={\cal P}(X),$$ होने देना $$f:X\to[0,+\infty],$$ और मान लो $$\mu(A)=\sum_{a\in A}f(a)$$ सबके लिए $$A\subseteq X.$$
 * हमारे पास वह है $$\mu$$ सिग्मा-परिमित है अगर और केवल अगर $$f(x)<+\infty$$ सबके लिए $$x\in X$$ और $$f^\text{pre}(\R_{>0})$$ गणनीय है। हमारे पास वह है $$\mu$$ अगर और केवल अगर अर्ध है $$f(x)<+\infty$$ सबके लिए $$x\in X.$$
 * ले रहा $$f=X\times\{1\}$$ ऊपर (ताकि $$\mu$$ गिनती चल रही है $${\cal P}(X)$$), हम देखते हैं कि गिनती का माप चालू है $${\cal P}(X)$$ है
 * सिग्मा-परिमित अगर और केवल अगर $$X$$ गणनीय है; और
 * अर्ध-परिमित (बिना इस बात की परवाह किए कि क्या $$X$$ गणनीय है)। (इस प्रकार, काउंटिंग माप, पावर सेट पर $${\cal P}(X)$$ एक मनमाना बेशुमार सेट $$X,$$ एक अर्ध-परिमित माप का उदाहरण देता है जो सिग्मा-परिमित नहीं है।)
 * होने देना $$d$$ एक पूर्ण, वियोज्य मीट्रिक चालू हो $$X,$$ होने देना $${\cal B}$$ बोरेल सिग्मा-बीजगणित से प्रेरित हो $$d,$$ और जाने $$s\in\R_{>0}.$$ फिर हॉसडॉर्फ माप $${\cal H}^s|{\cal B}$$ अर्धशतक है।
 * होने देना $$d$$ एक पूर्ण, वियोज्य मीट्रिक चालू हो $$X,$$ होने देना $${\cal B}$$ बोरेल सिग्मा-बीजगणित से प्रेरित हो $$d,$$ और जाने $$s\in\R_{>0}.$$ फिर पैकिंग आयाम # परिभाषाएँ $${\cal H}^s|{\cal B}$$ अर्धशतक है।

शामिल उदाहरण
शून्य माप सिग्मा-परिमित है और इस प्रकार अर्ध-परिमित है। इसके अलावा, शून्य माप स्पष्ट रूप से कम या बराबर है $$\mu.$$ यह दिखाया जा सकता है कि इन दो गुणों के साथ सबसे बड़ा माप है: $$ हम कहते हैं कि सेमीफिनिट का हिस्सा है $$\mu$$ मतलब अर्ध-परिमित उपाय $$\mu_\text{sf}$$ उपरोक्त प्रमेय में परिभाषित। हम कुछ अच्छे, स्पष्ट सूत्र देते हैं, जिन्हें कुछ लेखक परिभाषा के रूप में ले सकते हैं, अर्ध-परिमित भाग के लिए: तब से $$\mu_\text{sf}$$ अर्ध-परिमित है, यह इस प्रकार है कि यदि $$\mu=\mu_\text{sf}$$ तब $$\mu$$ अर्धशतक है। यह भी स्पष्ट है कि यदि $$\mu$$ तब अर्ध है $$\mu=\mu_\text{sf}.$$
 * $$\mu_\text{sf}=(\sup\{\mu(B):B\in{\cal P}(A)\cap\mu^\text{pre}(\R_{\ge0})\})_{A\in{\cal A}}.$$
 * $$\mu_\text{sf}=(\sup\{\mu(A\cap B):B\in\mu^\text{pre}(\R_{\ge0})\})_{A\in{\cal A}}\}.$$
 * $$\mu_\text{sf}=\mu|_{\mu^\text{pre}(\R_{>0})}\cup\{A\in{\cal A}:\sup\{\mu(B):B\in{\cal P}(A)\}=+\infty\}\times\{+\infty\}\cup\{A\in{\cal A}:\sup\{\mu(B):B\in{\cal P}(A)\}<+\infty\}\times\{0\}.$$

गैर-उदाहरण
हर एक$$0-\infty$$ माप जो शून्य माप नहीं है वह अर्ध-परिमित नहीं है। (यहाँ, हम कहते हैं$$0-\infty$$ माप का अर्थ उस माप से है जिसकी सीमा में है $$\{0,+\infty\}$$: $$(\forall A\in{\cal A})(\mu(A)\in\{0,+\infty\}).$$) नीचे हम उदाहरण देते हैं $$0-\infty$$ उपाय जो शून्य उपाय नहीं हैं।
 * होने देना $$X$$ खाली न हो, चलो $${\cal A}$$ एक हो $$\sigma$$-बीजगणित है $$X,$$ होने देना $$f:X\to\{0,+\infty\}$$ शून्य कार्य नहीं हो, और चलो $$\mu=(\sum_{x\in A}f(x))_{A\in{\cal A}}.$$ यह दिखाया जा सकता है $$\mu$$ एक उपाय है।
 * $$\mu=\{(\emptyset,0)\}\cup({\cal A}\setminus\{\emptyset\})\times\{+\infty\}.$$
 * $$X=\{0\},$$ $${\cal A}=\{\emptyset,X\},$$ $$\mu=\{(\emptyset,0),(X,+\infty)\}.$$
 * होने देना $$X$$ बेशुमार हो, चलो $${\cal A}$$ एक हो $$\sigma$$-बीजगणित है $$X,$$ होने देना $${\cal C}=\{A\in{\cal A}:A\text{ is countable}\}$$ के गणनीय तत्व हो $${\cal A},$$ और जाने $$\mu={\cal C}\times\{0\}\cup({\cal A}\setminus{\cal C})\times\{+\infty\}.$$ यह दिखाया जा सकता है $$\mu$$ एक उपाय है।

शामिल गैर-उदाहरण
"Measures that are not semifinite are very wild when restricted to certain sets. Every measure is, in a sense, semifinite once its $0-\infty$ part (the wild part) is taken away." $$ हम कहते हैं$$\mathbf{0-\infty}$$ का हिस्सा $$\mu$$ माप का अर्थ है $$\mu_{0-\infty}$$ उपरोक्त प्रमेय में परिभाषित। यहाँ के लिए एक स्पष्ट सूत्र है $$\mu_{0-\infty}$$: $$\mu_{0-\infty}=(\sup\{\mu(B)-\mu_\text{sf}(B):B\in{\cal P}(A)\cap\mu_\text{sf}^\text{pre}(\R_{\ge0})\})_{A\in{\cal A}}.$$

अर्धसूक्ष्म उपायों से संबंधित परिणाम

 * होने देना $$\mathbb F$$ होना $$\R$$ या $$\C,$$ और जाने $$T:L_\mathbb{F}^\infty(\mu)\to\left(L_\mathbb{F}^1(\mu)\right)^*:g\mapsto T_g=\left(\int fgd\mu\right)_{f\in L_\mathbb{F}^1(\mu)}.$$ फिर $$\mu$$ अगर और केवल अगर अर्ध है $$T$$ इंजेक्शन है। (इस परिणाम का एलपी स्पेस # डुअल स्पेस | डुअल स्पेस के अध्ययन में महत्व है $$L^1=L_\mathbb{F}^1(\mu)$$.)
 * होने देना $$\mathbb F$$ होना $$\R$$ या $$\C,$$ और जाने $${\cal T}$$ माप में अभिसरण की टोपोलॉजी हो $$L_\mathbb{F}^0(\mu).$$ फिर $$\mu$$ अगर और केवल अगर अर्ध है $${\cal T}$$ हॉसडॉर्फ है।
 * (जॉनसन) चलो $$X$$ एक सेट हो, चलो $${\cal A}$$ एक सिग्मा-बीजगणित बनें $$X,$$ होने देना $$\mu$$ एक उपाय हो $${\cal A},$$ होने देना $$Y$$ एक सेट हो, चलो $${\cal B}$$ एक सिग्मा-बीजगणित बनें $$Y,$$ और जाने $$\nu$$ एक उपाय हो $${\cal B}.$$ यदि $$\mu,\nu$$ दोनों नहीं हैं $$0-\infty$$ उपाय, फिर दोनों $$\mu$$ और $$\nu$$ यदि और केवल यदि उत्पाद माप |$$(\mu\times_\text{cld}\nu)$$$$(A\times B)=\mu(A)\nu(B)$$ सबके लिए $$A\in{\cal A}$$ और $$B\in{\cal B}.$$ (यहां, $$\mu\times_\text{cld}\nu$$ बर्बेरियन '65 में प्रमेय 39.1 में परिभाषित उपाय है।)

स्थानीयकरण योग्य उपाय
स्थानीयकरण योग्य उपाय अर्ध-परिमित उपायों का एक विशेष मामला है और सिग्मा-परिमित उपायों का सामान्यीकरण है।

होने देना $$X$$ एक सेट हो, चलो $${\cal A}$$ एक सिग्मा-बीजगणित बनें $$X,$$ और जाने $$\mu$$ एक उपाय हो $${\cal A}.$$
 * होने देना $$\mathbb F$$ होना $$\R$$ या $$\C,$$ और जाने $$T : L_\mathbb{F}^\infty(\mu) \to \left(L_\mathbb{F}^1(\mu)\right)^* : g \mapsto T_g = \left(\int fgd\mu\right)_{f\in L_\mathbb{F}^1(\mu)}.$$ फिर $$\mu$$ स्थानीयकरण योग्य है अगर और केवल अगर $$T$$ विशेषण है (यदि और केवल यदि $$L_\mathbb{F}^\infty(\mu)$$ है $$L_\mathbb{F}^1(\mu)^*$$).

s-सीमित उपाय
एक माप को परिमित कहा जाता है यदि यह परिबद्ध उपायों का एक गणनीय योग है। एस-परिमित उपाय सिग्मा-परिमित उपायों की तुलना में अधिक सामान्य हैं और स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं के सिद्धांत में अनुप्रयोग हैं।

गैर-मापने योग्य सेट
यदि चयन के अभिगृहीत को सत्य मान लिया जाए, तो यह सिद्ध किया जा सकता है कि यूक्लिडियन स्थान के सभी उपसमुच्चय लेबेस्ग मापने योग्य नहीं हैं; इस तरह के सेट के उदाहरणों में विटाली सेट, और गैर-मापने योग्य सेट शामिल हैं जो हॉसडॉर्फ विरोधाभास और बानाच-टार्स्की विरोधाभास द्वारा पोस्ट किए गए हैं।

सामान्यीकरण
कुछ उद्देश्यों के लिए, यह एक उपाय के लिए उपयोगी होता है जिसका मूल्य गैर-नकारात्मक वास्तविक या अनंत तक सीमित नहीं है। उदाहरण के लिए, (हस्ताक्षरित) वास्तविक संख्याओं में मानों के साथ एक गणनीय योगात्मक सेट फ़ंक्शन को हस्ताक्षरित माप कहा जाता है, जबकि जटिल संख्याओं में मानों वाले ऐसे फ़ंक्शन को जटिल माप कहा जाता है। ध्यान दें, हालांकि, जटिल माप आवश्यक रूप से परिमित भिन्नता का है, इसलिए जटिल उपायों में परिमित माप शामिल है, लेकिन उदाहरण के लिए, लेबेस्ग माप नहीं।

बानाच स्थानों में मान लेने वाले उपायों का बड़े पैमाने पर अध्ययन किया गया है। एक उपाय जो हिल्बर्ट स्थान पर स्व-संलग्न अनुमानों के सेट में मान लेता है, उसे प्रक्षेपण-मूल्यवान माप कहा जाता है; इनका उपयोग वर्णक्रमीय प्रमेय के कार्यात्मक विश्लेषण में किया जाता है। जब गैर-नकारात्मक मान लेने वाले सामान्य उपायों को सामान्यीकरण से अलग करना आवश्यक होता है, तो 'सकारात्मक माप' शब्द का प्रयोग किया जाता है। शंक्वाकार संयोजन के तहत सकारात्मक उपाय बंद हैं लेकिन सामान्य रैखिक संयोजन नहीं हैं, जबकि हस्ताक्षरित उपाय सकारात्मक उपायों के रैखिक बंद हैं।

एक अन्य सामान्यीकरण परिमित योगात्मक उपाय है, जिसे सामग्री (माप सिद्धांत) के रूप में भी जाना जाता है। यह एक माप के समान है, सिवाय इसके कि गणनीय योगात्मकता की आवश्यकता के बजाय हमें केवल परिमित योगात्मकता की आवश्यकता होती है। ऐतिहासिक रूप से, इस परिभाषा का सबसे पहले उपयोग किया गया था। यह पता चला है कि सामान्य तौर पर, सूक्ष्म रूप से योगात्मक उपाय बनच सीमा, lp स्थान की दोहरी जैसी धारणाओं से जुड़े होते हैं|$$L^\infty$$और स्टोन-चेक संघनन। ये सभी किसी न किसी तरह से पसंद के स्वयंसिद्ध से जुड़े हुए हैं। ज्यामितीय माप सिद्धांत में कुछ तकनीकी समस्याओं में सामग्री उपयोगी रहती है; यह बनच उपायों का सिद्धांत है।

एक चार्ज (बहुविकल्पी) दोनों दिशाओं में एक सामान्यीकरण है: यह एक सूक्ष्म योगात्मक, हस्ताक्षरित उपाय है। (Cf. ba परिबद्ध आवेशों के बारे में जानकारी के लिए स्थान, जहाँ हम कहते हैं कि एक आवेश परिबद्ध है जिसका अर्थ है कि इसकी सीमा R का एक परिबद्ध उपसमुच्चय है।)

यह भी देखें

 * एबेलियन वॉन न्यूमैन बीजगणित
 * लगभग हर जगह
 * कैराथियोडोरी का विस्तार प्रमेय
 * सामग्री (माप सिद्धांत)
 * फ़ुबिनी की प्रमेय
 * फतौ की लेम्मा
 * फजी माप सिद्धांत
 * ज्यामितीय माप सिद्धांत
 * हॉसडॉर्फ उपाय
 * आंतरिक माप
 * लेबेस्ग एकीकरण
 * लेबेस्गु उपाय
 * लोरेंत्ज़ अंतरिक्ष
 * भारोत्तोलन सिद्धांत
 * मापने योग्य कार्डिनल
 * मापने योग्य कार्य
 * मिन्कोव्स्की सामग्री
 * बाहरी उपाय
 * उत्पाद माप
 * पुश फॉरवर्ड उपाय
 * नियमित उपाय
 * वेक्टर माप
 * मूल्यांकन (माप सिद्धांत)
 * आयतन रूप

ग्रन्थसूची

 * Robert G. Bartle (1995) The Elements of Integration and Lebesgue Measure, Wiley Interscience.
 * Chapter III.
 * R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability. Cambridge University Press.
 * Federer, Herbert. Geometric measure theory. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 153 Springer-Verlag New York Inc., New York 1969 xiv+676 pp.
 * Second printing.
 * R. Duncan Luce and Louis Narens (1987). "measurement, theory of," The New Palgrave: A Dictionary of Economics, v. 3, pp. 428–32.
 * The first edition was published with Part B: Functional Analysis as a single volume:
 * M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley.
 * First printing. Note that there is a later (2017) second printing. Though usually there is little difference between the first and subsequent printings, in this case the second printing not only deletes from page 53 the Exercises 36, 40, 41, and 42 of Chapter 2 but also offers a (slightly, but still substantially) different presentation of part (ii) of Exercise 17.8. (The second printing's presentation of part (ii) of Exercise 17.8 (on the Luther decomposition) agrees with usual presentations, whereas the first printing's presentation provides a fresh perspective.)
 * Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8. Emphasizes the Daniell integral.
 * Second printing.
 * R. Duncan Luce and Louis Narens (1987). "measurement, theory of," The New Palgrave: A Dictionary of Economics, v. 3, pp. 428–32.
 * The first edition was published with Part B: Functional Analysis as a single volume:
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 * Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8. Emphasizes the Daniell integral.
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 * M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley.
 * First printing. Note that there is a later (2017) second printing. Though usually there is little difference between the first and subsequent printings, in this case the second printing not only deletes from page 53 the Exercises 36, 40, 41, and 42 of Chapter 2 but also offers a (slightly, but still substantially) different presentation of part (ii) of Exercise 17.8. (The second printing's presentation of part (ii) of Exercise 17.8 (on the Luther decomposition) agrees with usual presentations, whereas the first printing's presentation provides a fresh perspective.)
 * Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8. Emphasizes the Daniell integral.
 * First printing. Note that there is a later (2017) second printing. Though usually there is little difference between the first and subsequent printings, in this case the second printing not only deletes from page 53 the Exercises 36, 40, 41, and 42 of Chapter 2 but also offers a (slightly, but still substantially) different presentation of part (ii) of Exercise 17.8. (The second printing's presentation of part (ii) of Exercise 17.8 (on the Luther decomposition) agrees with usual presentations, whereas the first printing's presentation provides a fresh perspective.)
 * Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8. Emphasizes the Daniell integral.

बाहरी कड़ियाँ

 * Tutorial: Measure Theory for Dummies
 * Tutorial: Measure Theory for Dummies