विनिमय आव्यूह

गणित में, विशेष रूप से रैखिक बीजगणित में, एक्सचेंज मैट्रिक्स (जिसे रिवर्सल मैट्रिक्स, बैकवर्ड आइडेंटिटी, या मानक अनैच्छिक क्रमपरिवर्तन भी कहा जाता है) क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स के विशेष मामले हैं, जहां 1 तत्व मेन_डायगोनल # एंटीडायगोनल पर रहते हैं और अन्य सभी तत्व शून्य हैं। दूसरे शब्दों में, वे पहचान मैट्रिक्स के 'पंक्ति-उलट' या 'स्तंभ-उलट' संस्करण हैं।

J_{2}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix};\quad J_{3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}; \quad J_{n} = \begin{pmatrix} 0     & 0      & \cdots & 0      & 0      & 1      \\ 0     & 0      & \cdots & 0      & 1      & 0      \\ 0     & 0      & \cdots & 1      & 0      & 0      \\ \vdots & \vdots &       & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0     & 1      & \cdots & 0      & 0      & 0      \\ 1     & 0      & \cdots & 0      & 0      & 0 \end{pmatrix}. $$

परिभाषा
यदि J एक n × n एक्सचेंज मैट्रिक्स है, तो J के तत्व हैं $$J_{i,j} = \begin{cases} 1, & i + j = n + 1 \\ 0, & i + j \ne n + 1\\ \end{cases}$$

गुण

 * एक एक्सचेंज मैट्रिक्स द्वारा एक मैट्रिक्स को पूर्वगुणित करने से पूर्व की पंक्तियों की स्थिति लंबवत रूप से फ़्लिप हो जाती है, अर्थात,

\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}. $$
 * एक एक्सचेंज मैट्रिक्स द्वारा एक मैट्रिक्स को पोस्टगुणित करने से पूर्व के कॉलम की स्थिति क्षैतिज रूप से फ़्लिप हो जाती है, अर्थात,

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 6 & 5 & 4 \\ 9 & 8 & 7 \end{pmatrix}. $$
 * एक्सचेंज मैट्रिक्स सममित मैट्रिक्स हैं; यानी जेnटी = जेn.
 * किसी भी पूर्णांक k, J के लिएnk = I यदि k समता (गणित) और J हैnक = जेn यदि k समता (गणित) है। विशेष रूप से, जेn एक अनैच्छिक मैट्रिक्स है; यानी जेn−1 = जेn.
 * जे का ट्रेस (रैखिक बीजगणित)।n यदि n विषम है तो 1 है और यदि n सम है तो 0 है। दूसरे शब्दों में, जे का निशानn के बराबर होती है $$n\bmod 2$$.
 * जे का निर्धारकn के बराबर होती है $$(-1)^{n(n-1)/2}$$. n के एक फलन के रूप में, इसका आवर्त 4 है, जो 1, 1, −1, −1 देता है जब n क्रमशः 0, 1, 2, और 3 का मॉड्यूलर अंकगणित है।
 * जे का अभिलक्षणिक बहुपदn है $$\det(\lambda I- J_n) = \big((\lambda+1)(\lambda-1)\big)^{n/2}$$ जब n सम हो, और $$(\lambda-1)^{(n+1)/2}(\lambda+1)^{(n-1)/2}$$ जब n विषम हो.
 * जे का सहायक मैट्रिक्सn है $$\operatorname{adj}(J_n) = \sgn(\pi_n) J_n$$.

रिश्ते

 * एक एक्सचेंज मैट्रिक्स सबसे सरल एंटी-विकर्ण मैट्रिक्स है।
 * कोई भी मैट्रिक्स A जो शर्त AJ = JA को संतुष्ट करता है उसे सेंट्रोसिमेट्रिक मैट्रिक्स कहा जाता है।
 * कोई भी मैट्रिक्स A जो शर्त AJ = JA को संतुष्ट करता हैटीको पर्सिमेट्रिक मैट्रिक्स कहा जाता है।
 * सममित आव्यूह A जो शर्त AJ = JA को संतुष्ट करते हैं, द्विसममित आव्यूह आव्यूह कहलाते हैं। द्विसममितीय मैट्रिक्स सेंट्रोसिमेट्रिक और पर्सिमेट्रिक दोनों होते हैं।

यह भी देखें

 * पॉल के मैट्रिक्स (पहला पाउली मैट्रिक्स 2 × 2 एक्सचेंज मैट्रिक्स है)