सम्मिश्र विश्लेषण

जटिल विश्लेषण, पारंपरिक रूप से एक जटिल चर के कार्यों के सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, गणितीय विश्लेषण की शाखा है जो जटिल संख्याओं के कार्य (गणित) की जांच करती है। यह गणित की कई शाखाओं में सहायक है, जिसमें बीजगणितीय ज्यामिति, संख्या सिद्धांत, विश्लेषणात्मक संयोजक, अनुप्रयुक्त गणित शामिल हैं; साथ ही भौतिकी में, जल-गत्यात्मकता, ऊष्मप्रवैगिकी और विशेष रूप से क्वांटम यांत्रिकी की शाखाओं सहित। विस्तार से, जटिल विश्लेषण के उपयोग में इंजीनियरिंग क्षेत्रों जैसे परमाणु इंजीनियरिंग, अंतरिक्ष इंजिनीयरिंग, मैकेनिकल इंजीनियरिंग और विद्युत अभियन्त्रण में भी अनुप्रयोग हैं। एक जटिल चर के भिन्नात्मक कार्य के रूप में इसकी टेलर श्रृंखला के बराबर है (अर्थात, यह [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन की विश्लेषणात्मकता]] है), जटिल विश्लेषण विशेष रूप से एक जटिल चर (यानी, होलोमोर्फिक कार्यों) के विश्लेषणात्मक कार्यों से संबंधित है।

इतिहास
जटिल विश्लेषण गणित की शास्त्रीय शाखाओं में से एक है, जिसकी जड़ें 18वीं शताब्दी में और उससे ठीक पहले हैं। जटिल संख्याओं से जुड़े महत्वपूर्ण गणितज्ञों में यूलर, कार्ल फ्रेडरिक गॉस, बर्नहार्ड रीमैन, कॉची, विअरस्ट्रास और 20वीं शताब्दी के कई अन्य शामिल हैं। जटिल विश्लेषण, विशेष रूप से अनुरूप मानचित्रण के सिद्धांत में कई भौतिक अनुप्रयोग हैं और पूरे विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में भी इसका उपयोग किया जाता है। आधुनिक समय में, यह जटिल गतिशीलता से एक नए बढ़ावा के माध्यम से और होलोमॉर्फिक कार्य को पुनरावृत्त करके निर्मित फ्रैक्टल्स की तस्वीरों के माध्यम से बहुत लोकप्रिय हो गया है। जटिल विश्लेषण का एक अन्य महत्वपूर्ण अनुप्रयोग स्ट्रिंग सिद्धांत में है जो क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में कंफर्मल इनवेरिएंट की जांच करता है।

जटिल कार्य
एक जटिल कार्य जटिल संख्याओं से जटिल संख्याओं का एक कार्य (गणित) है। दूसरे शब्दों में, यह एक ऐसा फ़ंक्शन है जिसमें एक फ़ंक्शन के डोमेन के रूप में जटिल संख्याओं का एक सबसेट होता है और कोडोमेन के रूप में जटिल संख्याएं होती हैं। जटिल कार्यों को आम तौर पर एक डोमेन माना जाता है जिसमें जटिल विमान का एक गैर-खाली खुला सबसेट होता है।

किसी भी जटिल कार्य के लिए, मान $$z$$ डोमेन और उनकी छवियों से $$f(z)$$ श्रेणी में वास्तविक संख्या और काल्पनिक संख्या भागों में अलग किया जा सकता है:


 * $$z=x+iy \quad \text{ and } \quad f(z) = f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y),$$

कहाँ पे $$x,y,u(x,y),v(x,y)$$ सभी वास्तविक मूल्यवान हैं।

दूसरे शब्दों में, एक जटिल कार्य $$f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$$ में विघटित किया जा सकता है


 * $$u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} \quad$$ तथा $$\quad v:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},$$

यानी, दो वास्तविक-मूल्यवान कार्यों में ($$u$$, $$v$$) दो वास्तविक चरों का ($$x$$, $$y$$).

इसी प्रकार, कोई जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन $n$ एक मनमाना सेट (गणित) पर $f$ दो वास्तविक-मूल्यवान कार्यों की एक आदेशित जोड़ी के रूप में माना जा सकता है: $A^{n}$ या, वैकल्पिक रूप से, वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन के रूप में $X$ में $$\mathbb R^2.$$ जटिल-मूल्यवान कार्यों के कुछ गुण (जैसे निरंतर कार्य) दो वास्तविक चर के वेक्टर मूल्यवान कार्यों के संबंधित गुणों से ज्यादा कुछ नहीं हैं। जटिल विश्लेषण की अन्य अवधारणाएँ, जैसे विभेदीकरण, वास्तविक कार्यों के लिए समान अवधारणाओं का प्रत्यक्ष सामान्यीकरण हैं, लेकिन बहुत भिन्न गुण हो सकते हैं। विशेष रूप से, प्रत्येक होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन होता है (अगला अनुभाग देखें), और दो अलग-अलग फ़ंक्शन जो एक बिंदु के पड़ोस (गणित) में बराबर होते हैं, उनके डोमेन के चौराहे पर बराबर होते हैं (यदि डोमेन जुड़े स्थान हैं)। बाद की संपत्ति विश्लेषणात्मक निरंतरता के सिद्धांत का आधार है जो एक जटिल विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन प्राप्त करने के लिए प्रत्येक वास्तविक विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन को एक अनोखे तरीके से विस्तारित करने की अनुमति देता है जिसका डोमेन संपूर्ण जटिल विमान है जिसमें चाप (ज्यामिति) की सीमित संख्या को हटा दिया गया है। कई बुनियादी और विशेष कार्य जटिल कार्यों को इस तरह से परिभाषित किया गया है, जिसमें घातीय कार्य # जटिल विमान, जटिल लघुगणक, और त्रिकोणमितीय कार्य # जटिल विमान शामिल हैं।

होलोमोर्फिक फ़ंक्शन
जटिल कार्य जो एक खुले सेट के हर बिंदु पर अलग-अलग होते हैं $$\Omega$$ कहा जाता है कि जटिल तल पर होलोमोर्फिक होता है $\Omega$. जटिल विश्लेषण के संदर्भ में, के व्युत्पन्न $$f$$ पर $$z_0$$ होना परिभाषित किया गया है


 * $$f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}.$$

सतही तौर पर, यह परिभाषा औपचारिक रूप से एक वास्तविक कार्य के व्युत्पन्न के अनुरूप है। हालांकि, जटिल डेरिवेटिव और अलग-अलग कार्य उनके वास्तविक समकक्षों की तुलना में काफी भिन्न तरीके से व्यवहार करते हैं। विशेष रूप से, इस सीमा के अस्तित्व के लिए, अंतर भागफल का मान समान जटिल संख्या तक पहुंचना चाहिए, चाहे हम जिस तरीके से दृष्टिकोण करें $$z_0$$ जटिल विमान में। नतीजतन, जटिल भिन्नता का वास्तविक भिन्नता की तुलना में अधिक मजबूत प्रभाव पड़ता है। उदाहरण के लिए, होलोमोर्फिक फलन असीम रूप से भिन्न होते हैं, जबकि n वें व्युत्पन्न के अस्तित्व को वास्तविक कार्यों के लिए (n + 1) वें व्युत्पन्न के अस्तित्व की आवश्यकता नहीं होती है। इसके अलावा, सभी होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन की मजबूत स्थिति को संतुष्ट करते हैं, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन, अपने डोमेन में हर बिंदु पर, स्थानीय रूप से अभिसरण शक्ति श्रृंखला द्वारा दिया जाता है। संक्षेप में, इसका मतलब है कि होलोमोर्फिक कार्य करता है $$\Omega$$ प्रत्येक बिंदु के कुछ पड़ोस में बहुपदों द्वारा मनमाने ढंग से अनुमानित किया जा सकता है $$\Omega$$. यह अलग-अलग वास्तविक कार्यों के ठीक विपरीत है; असीम रूप से अलग-अलग वास्तविक कार्य हैं जो कहीं भी विश्लेषणात्मक नहीं हैं; देखना.

घातीय फलन, त्रिकोणमितीय फलन, और सभी बहुपद सहित अधिकांश प्राथमिक फलन, फलन के रूप में जटिल तर्कों के लिए उचित रूप से विस्तारित किए गए हैं $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$, संपूर्ण जटिल तल पर होलोमोर्फिक हैं, जिससे वे संपूर्ण कार्य करते हैं, जबकि तर्कसंगत कार्य $$p/q$$, जहाँ p और q बहुपद हैं, उन डोमेन पर होलोमॉर्फिक हैं जो उन बिंदुओं को बाहर करते हैं जहाँ q शून्य है। ऐसे कार्य जो अलग-अलग बिंदुओं के एक सेट को छोड़कर हर जगह होलोमोर्फिक होते हैं, मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन के रूप में जाने जाते हैं। दूसरी ओर, कार्य $z\mapsto \Re(z)$, $z\mapsto तथा $$z\mapsto \bar{z}$$ जटिल तल पर कहीं भी होलोमॉर्फिक नहीं हैं, जैसा कि कॉची-रीमैन शर्तों को पूरा करने में उनकी विफलता से दिखाया जा सकता है (नीचे देखें)।

होलोमॉर्फिक कार्यों की एक महत्वपूर्ण संपत्ति उनके वास्तविक और काल्पनिक घटकों के आंशिक डेरिवेटिव के बीच का संबंध है, जिसे कॉची-रीमैन शर्तों के रूप में जाना जाता है। यदि $$f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$$, द्वारा परिभाषित $f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)$, कहाँ पे $x, y, u(x, y),v(x, y) \in \R$, एक क्षेत्र (गणित) पर होलोमोर्फिक है $\Omega$, फिर सभी के लिए $$z_0\in \Omega$$,
 * $$\frac{\partial f}{\partial\bar{z}}(z_0) = 0,\ \text{where } \frac\partial{\partial\bar{z}} \mathrel{:=} \frac12\left(\frac\partial{\partial x} + i\frac\partial{\partial y}\right).$$

फलन, u और v के वास्तविक और काल्पनिक भागों के संदर्भ में, यह समीकरणों के युग्म के तुल्य है $$u_x = v_y$$ तथा $$u_y=-v_x$$, जहां सबस्क्रिप्ट आंशिक विभेदन का संकेत देते हैं। हालांकि, कॉची-रीमैन स्थितियां अतिरिक्त निरंतरता स्थितियों के बिना, होलोमोर्फिक कार्यों को चिह्नित नहीं करती हैं (लूमन-मेन्चॉफ प्रमेय देखें)।

होलोमॉर्फिक फ़ंक्शंस कुछ उल्लेखनीय विशेषताएं प्रदर्शित करते हैं। उदाहरण के लिए, पिकार्ड प्रमेय | पिकार्ड का प्रमेय दावा करता है कि एक संपूर्ण फ़ंक्शन की सीमा केवल तीन संभावित रूप ले सकती है: $\mathbb{C}$, $\mathbb{C}\setminus\{z_0\}$, या $$\{z_0\}$$ कुछ के लिए $z_0\in\mathbb{C}$. दूसरे शब्दों में, यदि दो भिन्न सम्मिश्र संख्याएँ $$z$$ तथा $$w$$ एक संपूर्ण फ़ंक्शन की सीमा में नहीं हैं $f$, फिर $$f$$ एक निरंतर कार्य है। इसके अलावा, एक जुड़े हुए खुले सेट पर एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन किसी भी गैर-खाली खुले सबसेट के प्रतिबंध से निर्धारित होता है।

अनुरूप मानचित्र
अनुरूप मानचित्रण स्थानीय रूप से उलटा जटिल विश्लेषणात्मक है अभिविन्यास संरक्षण के लिए दो आयामों में कार्य करता है।

अनुरूप मानचित्रण का अनुप्रयोग

 * एयरोस्पेस इंजीनियरिंग में * बायोमेडिकल साइंसेज में * ब्रेन मैपिंग में
 * जेनेटिक मैपिंग
 * जियोडेसिक्स * ज्यामिति में * भूभौतिकी में * गूगल में
 * सहित्य में * इंजीनियरिंग में  * इलेक्ट्रॉनिक्स में
 * प्रोटीन संश्लेषण में * भूगोल में, कार्टोग्राफी में।

प्रमुख परिणाम
जटिल विश्लेषण में केंद्रीय उपकरणों में से एक रेखा अभिन्न है। कॉची अभिन्न प्रमेय द्वारा कहा गया है कि बंद पथ से घिरे क्षेत्र के अंदर हर जगह होलोमोर्फिक फ़ंक्शन के एक बंद पथ के चारों ओर अभिन्न रेखा हमेशा शून्य होती है। एक डिस्क के अंदर इस तरह के होलोमोर्फिक फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना डिस्क की सीमा पर पथ अभिन्न द्वारा की जा सकती है (जैसा कि कॉची के अभिन्न सूत्र में दिखाया गया है)। जटिल विमान में पथ इंटीग्रल का उपयोग अक्सर जटिल वास्तविक इंटीग्रल को निर्धारित करने के लिए किया जाता है, और यहां दूसरों के बीच अवशेष (जटिल विश्लेषण) का सिद्धांत लागू होता है (समोच्च एकीकरण के तरीके देखें)। किसी फलन का ध्रुव (या पृथक विलक्षणता) वह बिंदु होता है जहां फलन का मान असीम हो जाता है, या उड़ जाता है। यदि किसी फ़ंक्शन में ऐसा ध्रुव है, तो कोई फ़ंक्शन के अवशेष की गणना कर सकता है, जिसका उपयोग फ़ंक्शन से जुड़े पथ इंटीग्रल की गणना करने के लिए किया जा सकता है; यह शक्तिशाली अवशेष प्रमेय की सामग्री है। पिकार्ड प्रमेय#बिग पिकार्ड|पिकार्ड प्रमेय द्वारा आवश्यक विलक्षणताओं के पास होलोमोर्फिक कार्यों के उल्लेखनीय व्यवहार का वर्णन किया गया है। ऐसे कार्य जिनमें केवल ध्रुव होते हैं लेकिन कोई आवश्यक विलक्षणता नहीं होती है, मेरोमोर्फिक कहलाते हैं। लॉरेंट श्रृंखला टेलर श्रृंखला के समतुल्य जटिल-मूल्यवान हैं, लेकिन बहुपद जैसे अधिक अच्छी तरह से समझे गए कार्यों के अनंत योगों के माध्यम से विलक्षणताओं के निकट कार्यों के व्यवहार का अध्ययन करने के लिए उपयोग किया जा सकता है।

एक परिबद्ध फलन जो पूरे जटिल तल में होलोमोर्फिक है, स्थिर होना चाहिए; यह लिउविल का प्रमेय है (जटिल विश्लेषण)|लिउविल का प्रमेय। इसका उपयोग बीजगणित के मौलिक प्रमेय के लिए एक प्राकृतिक और संक्षिप्त प्रमाण प्रदान करने के लिए किया जा सकता है जो बताता है कि जटिल संख्याओं का क्षेत्र (गणित) बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है।

यदि एक कनेक्टेड स्पेस डोमेन में कोई फ़ंक्शन होलोमॉर्फिक है तो इसके मान किसी भी छोटे उपडोमेन पर इसके मानों द्वारा पूरी तरह से निर्धारित किए जाते हैं। बड़े डोमेन पर कार्य को छोटे डोमेन पर इसके मूल्यों से विश्लेषणात्मक निरंतरता कहा जाता है। यह कार्यों की परिभाषा के विस्तार की अनुमति देता है, जैसे कि रीमैन जीटा फ़ंक्शन, जो प्रारंभिक रूप से अनंत योगों के रूप में परिभाषित होते हैं जो केवल सीमित डोमेन पर लगभग पूरे जटिल विमान में अभिसरण करते हैं। कभी-कभी, जैसा कि प्राकृतिक लघुगणक के मामले में होता है, जटिल तल में एक गैर-सरल रूप से जुड़े डोमेन के लिए विश्लेषणात्मक रूप से एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन को जारी रखना असंभव है, लेकिन इसे निकट से संबंधित सतह पर एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन तक विस्तारित करना संभव है, जिसे एक के रूप में जाना जाता है। रीमैन सतह।

यह सब एक चर में जटिल विश्लेषण को संदर्भित करता है। कई जटिल चरों के कार्य का एक बहुत समृद्ध सिद्धांत भी है जिसमें विश्लेषणात्मक गुण जैसे कि शक्ति श्रृंखला विस्तार जारी रहता है जबकि एक जटिल आयाम (जैसे अनुरूपता) में होलोमोर्फिक कार्यों के अधिकांश ज्यामितीय गुण आगे नहीं बढ़ते हैं। जटिल विमान में कुछ डोमेन के अनुरूप संबंध के बारे में रीमैन मैपिंग प्रमेय, जो एक आयामी सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण परिणाम हो सकता है, उच्च आयामों में नाटकीय रूप से विफल हो जाता है।

कुछ जटिल हिल्बर्ट रिक्त स्थान का एक प्रमुख अनुप्रयोग क्वांटम यांत्रिकी में तरंग कार्यों के रूप में है।

यह भी देखें

 * हाइपरकॉम्प्लेक्स विश्लेषण
 * वेक्टर पथरी
 * जटिल गतिकी
 * जटिल विश्लेषण विषयों की सूची
 * प्रमेय मोनोड्रोम
 * सच्चा विश्लेषण
 * रीमैन-रोच प्रमेय
 * रंज की प्रमेय

संदर्भ

 * Ablowitz, M. J. & A. S. Fokas, Complex Variables: Introduction and Applications (Cambridge, 2003).
 * Ahlfors, L., Complex Analysis (McGraw-Hill, 1953).
 * Cartan, H., Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes. (Hermann, 1961). English translation, Elementary Theory of Analytic Functions of One or Several Complex Variables. (Addison-Wesley, 1963).
 * Carathéodory, C., Funktionentheorie. (Birkhäuser, 1950). English translation, Theory of Functions of a Complex Variable (Chelsea, 1954). [2 volumes.]
 * Carrier, G. F., M. Krook, & C. E. Pearson, Functions of a Complex Variable: Theory and Technique. (McGraw-Hill, 1966).
 * Conway, J. B., Functions of One Complex Variable. (Springer, 1973).
 * Fisher, S., Complex Variables. (Wadsworth & Brooks/Cole, 1990).
 * Forsyth, A., Theory of Functions of a Complex Variable (Cambridge, 1893).
 * Freitag, E. & R. Busam, Funktionentheorie. (Springer, 1995). English translation, Complex Analysis. (Springer, 2005).
 * Goursat, E., Cours d'analyse mathématique, tome 2. (Gauthier-Villars, 1905). English translation, A course of mathematical analysis, vol. 2, part 1: Functions of a complex variable. (Ginn, 1916).
 * Henrici, P., Applied and Computational Complex Analysis (Wiley). [Three volumes: 1974, 1977, 1986.]
 * Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics. (Wiley, 1962).
 * Lavrentyev, M. & B. Shabat, Методы теории функций комплексного переменного. (Methods of the Theory of Functions of a Complex Variable). (1951, in Russian).
 * Markushevich, A. I., Theory of Functions of a Complex Variable, (Prentice-Hall, 1965). [Three volumes.]
 * Marsden & Hoffman, Basic Complex Analysis. (Freeman, 1973).
 * Needham, T., Visual Complex Analysis. (Oxford, 1997). http://usf.usfca.edu/vca/
 * Remmert, R., Theory of Complex Functions. (Springer, 1990).
 * Rudin, W., Real and Complex Analysis. (McGraw-Hill, 1966).
 * Shaw, W. T., Complex Analysis with Mathematica (Cambridge, 2006).
 * Stein, E. & R. Shakarchi, Complex Analysis. (Princeton, 2003).
 * Sveshnikov, A. G. & A. N. Tikhonov, Теория функций комплексной переменной. (Nauka, 1967). English translation, The Theory Of Functions Of A Complex Variable (MIR, 1978).
 * Titchmarsh, E. C., The Theory of Functions. (Oxford, 1932).
 * Wegert, E., Visual Complex Functions. (Birkhäuser, 2012).
 * Whittaker, E. T. & G. N. Watson, A Course of Modern Analysis. (Cambridge, 1902). 3rd ed. (1920)

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * विश्लेषणात्मक संयोजन
 * भौतिक विज्ञान
 * व्यावहारिक गणित
 * समारोह (गणित)
 * नाभिकीय अभियांत्रिकी
 * जटिल आंकड़े
 * अलग करने योग्य समारोह
 * जटिल गतिकी
 * ज्यामितीय अनुक्रम
 * किसी फ़ंक्शन का डोमेन
 * खुला उपसमुच्चय
 * वास्तविक मूल्यवान समारोह
 * क्रमित युग्म
 * अवकलनीयता
 * जुड़ा हुआ स्थान
 * विभेदक
 * खुला सेट
 * घातांक प्रकार्य
 * त्रिकोणमितीय समारोह
 * हुए
 * कॉम्प्लेक्स हिल्बर्ट स्पेस
 * कई जटिल चर का कार्य
 * परिबद्ध समारोह
 * बीजीय रूप से बंद क्षेत्र
 * बीजगणित का मौलिक प्रमेय
 * बिजली की श्रृंखला
 * तरंग क्रिया
 * वास्तविक विश्लेषण

बाहरी संबंध

 * Wolfram Research's MathWorld Complex Analysis Page