पीटरसन ग्राफ

लेखाचित्र सिद्धांत के गणित क्षेत्र में, पीटरसन लेखाचित्र एक अप्रत्यक्ष लेखाचित्र है जिसमें 10 कोने (लेखाचित्र सिद्धांत) और 15 किनारे (लेखाचित्र सिद्धांत) हैं। यह एक छोटा लेखाचित्र है जो लेखाचित्र सिद्धांत में कई समस्याओं के लिए एक उपयोगी उदाहरण और प्रति उदाहरण के रूप में कार्य करता है। पीटरसन लेखाचित्र का नाम जूलियस पीटरसन के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1898 में इसका निर्माण सबसे छोटे घनाकार लेखाचित्र के रूप में किया था जिसमें कोई त्रयी-धार-रंगत नहीं थी।

हालांकि लेखाचित्र को सामान्यतः पीटरसन को श्रेय दिया जाता है, वस्तुतः यह पहली बार 12 साल पहले के एक लेख में दिखाई दिया था। केम्पे ने देखा कि इसके कोने डेसार्गेस समाकृति की दस पंक्तियों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं, और इसके किनारे उन पंक्तियों के जोड़े का प्रतिनिधित्व करते हैं जो समाकृति के दस बिंदुओं में से एक पर नहीं मिलते हैं।

डोनाल्ड नुथ कहते हैं कि पीटरसन लेखाचित्र एक उल्लेखनीय समाकृति है जो सामान्य रूप से लेखाचित्र के लिए सही हो सकता है, इसके बारे में कई आशावादी भविष्यवाणियों के प्रति उदाहरण के रूप में कार्य करता है। पीटरसन लेखाचित्र उष्णकटिबंधीय ज्यामिति में भी दिखाई देता है। पीटरसन लेखाचित्र पर शंकु को स्वाभाविक रूप से पांच-अंकित तर्कसंगत उष्णकटिबंधीय वक्रों के मापांक स्थान के साथ पहचाना जाता है।

निर्माण
पीटरसन लेखाचित्र रेखा लेखाचित्र $$K_5$$ bका पूरक लेखाचित्र है। यह क्नेजर लेखाचित्र $$KG_{5,2}$$ भी है; इसका अर्थ यह है कि इसमें 5-तत्व समुच्चय के प्रत्येक 2-तत्व उपसमुच्चय के लिए एक शीर्ष है, और दो कोने किनारे से जुड़े हुए हैं यदि और केवल यदि संबंधित 2-तत्व उपसमुच्चय एक दूसरे से अलग हैं। प्ररूप $$KG_{2n-1,n-1}$$ के क्नेजर लेखाचित्र के रूप में यह एक विषम लेखाचित्र का उदाहरण है।

ज्यामितीय रूप से, पीटरसन लेखाचित्र हेमी-द्वादशफलक के शिखर और किनारों द्वारा गठित लेखाचित्र है, यानी, एक द्वादशफ़लक विपरीत बिंदुओं, रेखाओं और रूपचित्र को एक साथ पहचाना जाता है।

अंतःस्थापन
पीटरसन लेखाचित्र तलीय लेखाचित्र है। किसी भी गैर-तलीय लेखाचित्र में मामूली (लेखाचित्र सिद्धांत) या तो पूरा लेखाचित्र $$K_5$$ होता है, या पूर्ण द्विदलीय लेखाचित्र $$K_{3,3}$$, लेकिन पीटरसन लेखाचित्र में दोनों लघु हैं। $$K_5$$ h> लघु को परिपूर्ण मिलान के किनारों को संकुचित कर बनाया जा सकता है, उदाहरण के लिए पहली तस्वीर में पांच छोटे किनारे हैं। $$K_{3,3}$$ h> लघु को एक कोणबिंदु (उदाहरण के लिए 3-सममितीय रेखाचित्र के केन्द्रीय कोणबिंदु) को हटाकर और हटाए गए कोणबिंदु के प्रत्येक प्रतिवैस के लिए एक छोर आपतित को अनुबंधित करके बनाया जा सकता है।

पीटरसन लेखाचित्र का सबसे सामान्य और सममित तल आरेखण, पंचभुज के भीतर पेंटाग्राम के रूप में, पांच प्रसंकरण हैं। हालांकि, प्रसंकरण को कम करने के लिए यह सबसे अच्छा रेखाचित्र नहीं है; केवल दो प्रसंकरण के साथ एक और रेखाचित्र उपस्थित है (चित्र में दिखाया गया है)। क्योंकि यह गैरतलीय है, इसमें किसी भी रेखाचित्र में कम से कम एक प्रसंकरण है, और यदि किसी रेखाचित्र से एक प्रसंकरण छोर को हटा दिया जाता है तो यह गैरतलीय रहता है और एक और प्रसंकरण होता है; इसलिए, इसकी प्रसंकरण संख्या बिल्कुल 2 है। इस रेखाचित्र में प्रत्येक किनारे को एक बार पार किया जाता है, इसलिए पीटरसन लेखाचित्र 1-तलीय लेखाचित्र है। एक स्थूलक पर पीटरसन लेखाचित्र को किनारे के प्रसंकरण के बिना खींचा जा सकता है; इसलिए इसमें श्रेणी (गणित) 1 है।

पीटरसन लेखाचित्र को समतल में (प्रसंकरण के साथ) इस तरह से भी खींचा जा सकता है कि सभी किनारों की लंबाई समान हो। यानी यह एक इकाई दूरी का लेखाचित्र है।

सबसे सरलतम गैर-उन्मुख सतह जिस पर प्रसंकरण के बिना पीटरसन लेखाचित्र को अंतः स्थापित किया जा सकता है, वह प्रक्षेपी तल है। यह पीटरसन लेखाचित्र के अर्ध-द्वादशफ़लक निर्माण द्वारा दी गई अंतःस्थापन है (चित्र में दिखाया गया है)। रेखाचित्र के केंद्र में पांच-बिंदु तारिका के भीतर एक तिर्यक्-आवरण रखकर और इस तिर्यक्-आवरण के माध्यम से तारिका किनारों को परिच्छेदन करके पीटरसन लेखाचित्र के मानक पेंटागोनल रेखाचित्र से प्रक्षेपीय तल अंतःस्थापन भी बनाई जा सकती है; परिणामी रेखाचित्र में छह पंचकोणीय छोर हैं। यह निर्माण एक नियमित मानचित्र (लेखाचित्र सिद्धांत) बनाता है और दिखाता है कि पीटरसन लेखाचित्र में गैर-उन्मुख श्रेणी 1 है।



समरूपता
पीटरसन लेखाचित्र दृढ़ता से नियमित लेखाचित्र है (हस्ताक्षर एसआरजी (10,3,0,1) के साथ)। यह सममित लेखाचित्र भी है, जिसका अर्थ है कि यह बढ़त-सकर्मक लेखाचित्र और शीर्ष-सकर्मक लेखाचित्र है। अधिक दृढ़ता से, यह 3-चाप-संक्रमणीय है: पीटरसन लेखाचित्र में प्रत्येक निर्देशित तीन-किनारे पथ को लेखाचित्र के समरूपता द्वारा हर दूसरे ऐसे पथ में परिवर्तित किया जा सकता है। यह केवल 13 घन दूरी-नियमित लेखाचित्ऱ में से एक है।

पीटरसन लेखाचित्र का लेखाचित्र स्वसमाकृतिकता सममित समूह $$S_5$$ है; $$S_5$$ की क्रिया पीटरसन लेखाचित्र पर इसके निर्माण से केनेसर लेखाचित्र के रूप में अनुसरण करता है। पीटरसन लेखाचित्र एक अंतर्भाग (लेखाचित्र सिद्धांत) है: पीटरसन लेखाचित्र का हर लेखाचित्र समरूपता अपने आप में एक स्वसमाकृतिकता है। जैसा कि चित्रों में दिखाया गया है, पीटरसन लेखाचित्र के चित्र पंचमार्ग या त्रिमार्ग समरूपता प्रदर्शित कर सकते हैं, लेकिन तल में पीटरसन लेखाचित्ऱ को इस तरह से खींचना संभव नहीं है कि रेखाचित्र पूर्ण समरूपता समूह को लेखाचित्र प्रदर्शित कर सके।

समरूपता के अपने उच्च स्तर होने पर भी, पीटरसन लेखाचित्र केली लेखाचित्र नहीं है। यह सबसे छोटा शीर्ष-सकर्मक लेखाचित्र है जो केली लेखाचित्र नहीं है।

हैमिल्टनियन पथ और चक्र
पीटरसन लेखाचित्र में हैमिल्टनियन पथ है लेकिन कोई हैमिल्टनियन चक्र नहीं है। यह सबसे छोटा ब्रिजलेस घनाकार लेखाचित्र है जिसमें कोई हैमिल्टनियन चक्र नहीं है। यह हाइपोहैमिल्टनियन लेखाचित्र है, जिसका अर्थ है कि हालांकि इसका कोई हैमिल्टनियन चक्र नहीं है, किसी भी शीर्ष को हटाने से यह हैमिल्टनियन बन जाता है, और यह सबसे छोटा हाइपोहैमिल्टनियन लेखाचित्र है।

एक परिमित कनेक्टेड कोणबिंदु-सकर्मक लेखाचित्र के रूप में जिसमें हैमिल्टनियन चक्र नहीं है, पीटरसन लेखाचित्र लोवाज़ अनुमान के एक संस्करण के लिए एक प्रति उदाहरण है, लेकिन अनुमान के विहित सूत्रीकरण एक हैमिल्टनियन पथ के लिए पूछता है और पीटरसन लेखाचित्र द्वारा सत्यापित किया जाता है।

हैमिल्टनियन चक्रों के साथ केवल पांच जुड़े शीर्ष-संक्रमणीय लेखाचित्र ज्ञात हैं: पूरा लेखाचित्र K2, पीटरसन लेखाचित्र, कॉक्समुच्चयर लेखाचित्र और पीटरसन और कॉक्समुच्चयर लेखाचित्र से प्राप्त दो लेखाचित्र प्रत्येक शीर्ष को त्रिकोण के साथ बदलकर। यदि G अधिकतम 3r + 1 शीर्षों वाला 2-कनेक्टेड, r-नियमित लेखाचित्ऱ है, तो G हैमिल्टनियन है या G पीटरसन लेखाचित्ऱ है। यह देखने के लिए कि पीटरसन लेखाचित्र में कोई हैमिल्टनियन चक्र C नहीं है, कट में किनारों पर विचार करें जो आंतरिक 5-चक्र को बाहरी से अलग करता है। यदि हैमिल्टनियन चक्र है, तो इन किनारों की एक सम संख्या को चुना जाना चाहिए। यदि उनमें से केवल दो को चुना जाता है, तो उनके अंत-शिखरों को दो 5-चक्रों में आसन्न होना चाहिए, जो संभव नहीं है। इसलिए उनमें से 4 को चुना गया है। मान लें कि कट का शीर्ष किनारा नहीं चुना गया है (अन्य सभी मामले समरूपता से समान हैं)। बाहरी चक्र में 5 किनारों में से, दो शीर्ष किनारों को चुना जाना चाहिए, दो तरफ के किनारों को नहीं चुना जाना चाहिए, और इसलिए नीचे के किनारे को चुना जाना चाहिए। आंतरिक चक्र में शीर्ष दो किनारों को चुना जाना चाहिए, लेकिन यह एक गैर-फैले हुए चक्र को पूरा करता है, जो हैमिल्टनियन चक्र का हिस्सा नहीं हो सकता। वैकल्पिक रूप से, हम दस-शीर्ष नियमित लेखाचित्ऱ | 3-नियमित लेखाचित्ऱ का भी वर्णन कर सकते हैं जिनमें हैमिल्टनियन चक्र होता है और यह दर्शाता है कि उनमें से कोई भी पीटरसन लेखाचित्ऱ नहीं है, उनमें से प्रत्येक में एक चक्र ढूंढकर जो कि किसी भी चक्र से छोटा है पीटरसन लेखाचित्र। किसी भी दस-शीर्ष वाले हैमिल्टनियन 3-नियमित लेखाचित्ऱ में दस-शीर्ष चक्र C और पाँच जीवाएँ होती हैं। यदि कोई जीवा एक दूसरे से C के साथ दो या तीन दूरी पर दो शीर्षों को जोड़ती है, तो लेखाचित्र में 3-चक्र या 4-चक्र होता है, और इसलिए पीटरसन लेखाचित्र नहीं हो सकता। यदि दो जीवाएँ C के विपरीत शीर्षों को C के साथ चार दूरी पर स्थित शीर्षों से जोड़ती हैं, तो फिर से एक 4-चक्र होता है। एकमात्र शेष मामला एक मोबियस सीढ़ी है जो प्रत्येक जोड़ी के विपरीत कोने को एक जीवा से जोड़कर बनाया जाता है, जिसमें फिर से 4-चक्र होता है। चूंकि पीटरसन लेखाचित्र की परिधि पांच है, इसे इस तरह से नहीं बनाया जा सकता है और इसका कोई हैमिल्टनियन चक्र नहीं है।

रंग
पीटरसन लेखाचित्र में रंगीन संख्या 3 है, जिसका अर्थ है कि इसके शिखर तीन रंगों के साथ लेखाचित्र रंग हो सकते हैं - लेकिन दो के साथ नहीं - जैसे कि कोई किनारा एक ही रंग के शिखर को जोड़ता नहीं है। सूची रंगों के लिए ब्रूक्स के प्रमेय द्वारा इसमें 3 रंगों के साथ रंग भरने वाली सूची है।

पीटरसन लेखाचित्र में रंगीन सूचकांक 4 है; किनारों को रंगने के लिए चार रंगों की आवश्यकता होती है। क्रोमैटिक इंडेक्स चार के साथ कनेक्टेड ब्रिजलेस घनाकार लेखाचित्र के रूप में, पीटरसन लेखाचित्र एक स्नार्क (लेखाचित्र सिद्धांत) है। यह सबसे छोटा संभव स्नार्क है, और 1898 से 1946 तक एकमात्र ज्ञात स्नार्क था। स्नार्क (लेखाचित्र थ्योरी), डब्ल्यूटी टुट्टे द्वारा अनुमान लगाया गया और 2001 में रॉबर्टसन, सैंडर्स, सेमोर और थॉमस द्वारा घोषित किया गया। बताता है कि हर स्नार्क में पीटरसन लेखाचित्र लघु (लेखाचित्र थ्योरी) के रूप में होता है।

इसके अतिरिक्त, लेखाचित्र में फ्रैक्शनल क्रोमैटिक इंडेक्स 3 है, जो यह साबित करता है कि क्रोमेटिक इंडेक्स और आंशिक रंगीन सूचकांक  के बीच का अंतर 1 जितना बड़ा हो सकता है। लंबे समय से चली आ रही गोल्डबर्ग-सीमोर अनुमान|गोल्डबर्ग-सीमोर अनुमान का प्रस्ताव है कि यह सबसे बड़ा अंतर संभव है.

पीटरसन लेखाचित्र की थू संख्या (रंगीन सूचकांक का एक प्रकार) 5 है।

पीटरसन लेखाचित्र को किसी भी (संभवतः अनुचित) रंग में कम से कम तीन रंगों की आवश्यकता होती है जो इसकी सभी समरूपताओं को तोड़ते हैं; अर्थात् इसकी विशिष्ट संख्या तीन है। पूर्ण रेखांकन को छोड़कर, यह एकमात्र केनेसर लेखाचित्र है जिसकी विशिष्ट संख्या दो नहीं है।

अन्य गुण
पीटरसन लेखाचित्र:
 * 3-कनेक्टेड है और इसलिए 3-छोर-कनेक्टेड और ब्रिजलेस परिधि (लेखाचित्र सिद्धांत)#कनेक्टिविटी की शब्दावली देखें।
 * स्वतंत्रता संख्या 4 है और 3-पक्षीय है। लेखाचित्र थ्योरी की शब्दावली देखें #स्वतंत्रता।
 * घनाकार लेखाचित्ऱ है, जिसका वर्चस्व संख्या 3 है, और एक पूर्ण मिलान और 2-कारक है।
 * में 6 विशिष्ट पूर्ण मिलान हैं।
 * परिधि का सबसे छोटा घन लेखाचित्र है (लेखाचित्र सिद्धांत) 5. (यह अद्वितीय है $$(3,5)$$-पिंजरे (लेखाचित्र सिद्धांत)। वास्तव में, चूँकि इसमें केवल 10 शीर्ष हैं, यह अद्वितीय है $$(3,5)$$-मूर लेखाचित्र।)
 * कॉलिन डी वेर्डिएर लेखाचित्र इनवेरिएंट μ = 5 के साथ सबसे छोटा घनाकार लेखाचित्र है।
 * पुलिस नंबर 3 का सबसे छोटा लेखाचित्र है।
 * त्रिज्या (लेखाचित्र सिद्धांत) 2 और व्यास (लेखाचित्र सिद्धांत) 2 है। यह व्यास 2 के साथ सबसे बड़ा घन लेखाचित्र है।
 * में 2000 स्पैनिंग ट्री (गणित) हैं, जो किसी भी 10-कोणबिंदु घनाकार लेखाचित्र का सबसे अधिक है।
 * रंगीन बहुपद है $$t(t-1)(t-2)\left(t^7-12t^6+67t^5-230t^4+529t^3-814t^2+775t-352\right)$$.
 * विशेषता बहुपद है $$(t-1)^5(t+2)^4(t-3)$$, इसे एक अभिन्न लेखाचित्र ़ बनाता है - एक लेखाचित्ऱ जिसका स्पेक्ट्रल लेखाचित्ऱ सिद्धांत पूरी तरह से पूर्णांकों से बना होता है।

पीटरसन रंग अनुमान
एक लेखाचित्र का एक यूलेरियन सबलेखाचित्र $$G$$ एक सबलेखाचित्र है जिसमें किनारों का एक उपसमुच्चय होता है $$G$$, के हर शीर्ष को छू रहा है $$G$$ एक समान संख्या में। ये सबलेखाचित्र के चक्र स्थान के तत्व हैं $$G$$ और कभी-कभी चक्र कहलाते हैं। अगर $$G$$ और $$H$$ कोई दो लेखाचित्ऱ हैं, के किनारों से एक फ़ंक्शन $$G$$ के किनारों तक $$H$$ के प्रत्येक चक्र की पूर्व-छवि होने पर चक्र-निरंतर होने के लिए परिभाषित किया गया है $$H$$ का चक्र है $$G$$. जैगर का एक अनुमान यह दावा करता है कि प्रत्येक ब्रिजलेस लेखाचित्र में पीटरसन लेखाचित्र के लिए एक चक्र-निरंतर मानचित्रण होता है। जैगर ने दिखाया कि यह अनुमान 5-चक्र डबल कवर | साइकिल-डबल-कवर अनुमान और बर्ज-फुलकर्सन अनुमान का तात्पर्य है।

संबंधित रेखांकन
सामान्यीकृत पीटरसन लेखाचित्र $$G(n,k)$$ श्लाफली प्रतीक {n/k} के साथ एक नियमित बहुभुज|नियमित n-गॉन के शीर्षों को तारिका बहुभुज के संबंधित शीर्षों से जोड़कर बनाया गया है। उदाहरण के लिए, इस अंकन में, पीटरसन लेखाचित्र है $$G(5,2)$$: यह एक पंचकोण और पांच-बिंदु तारे के संबंधित शीर्षों को जोड़कर बनाया जा सकता है, और तारे में किनारे हर दूसरे शीर्ष को जोड़ते हैं। सामान्यीकृत पीटरसन लेखाचित्र में एन-प्रिज्म भी शामिल है $$G(n,1)$$ ड्यूरर लेखाचित्र $$G(6,2)$$, मोबियस-कैंटर लेखाचित्र $$G(8,3)$$द्वादशफलक $$G(10,2)$$, डेसार्गेस लेखाचित्र $$G(10,3)$$ और नाउरू लेखाचित्र $$G(12,5)$$.

पीटरसन परिवार में सात लेखाचित्ऱ होते हैं जो कि पीटरसन लेखाचित्ऱ से Y-Δ रूपांतरण के शून्य या अधिक अनुप्रयोगों द्वारा बनाए जा सकते हैं | Δ-Y या Y-Δ रूपांतरण। पूरा लेखाचित्र के6 पीटरसन परिवार में भी है। ये लेखाचित्ऱ लिंक रहित अंतःस्थापन के लिए वर्जित नाबालिगों का निर्माण करते हैं, लेखाचित्ऱ जिन्हें त्रि-आयामी अंतरिक्ष में इस तरह एम्बेड किया जा सकता है कि लेखाचित्ऱ में कोई भी दो चक्र लिंक (नॉट थ्योरी) नहीं हैं। क्लेबश लेखाचित्र में प्रेरित सबलेखाचित्र के रूप में पीटरसन लेखाचित्र की कई प्रतियां शामिल हैं: क्लेबश लेखाचित्र के प्रत्येक शीर्ष वी के लिए, वी के दस गैर-प्रतिवैस पीटरसन लेखाचित्र की एक प्रति प्रेरित करते हैं।

बाहरी संबंध

 * Petersen Graph in the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
 * Petersen Graph in the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences