स्कॉट निरंतरता

गणित में, दो आंशिक रूप से क्रमित सेट P और Q दिए गए हैं, उनके बीच एक फ़ंक्शन (गणित) f: P → Q 'स्कॉट-कंटीन्युअस' है (गणितज्ञ दाना स्कॉट के नाम पर) यदि यह सभी निर्देशित सर्वोच्च को संरक्षित करने वाले फ़ंक्शन (ऑर्डर सिद्धांत) को सीमित करता है. अर्थात्, P में सर्वोच्च के साथ P के प्रत्येक निर्देशित उपसमुच्चय D के लिए, इसकी छवि (गणित) में Q में एक सर्वोच्च है, और वह सर्वोच्च D के सर्वोच्च की छवि है, अर्थात। $$\sqcup f[D] = f(\sqcup D)$$, कहाँ $$\sqcup$$ निर्देशित जुड़ाव है. कब $$Q$$ सत्य मूल्यों का पोसेट है, यानी सिएरपिंस्की स्पेस, तो स्कॉट-निरंतर फ़ंक्शन खुले सेटों का संकेतक फ़ंक्शन है, और इस प्रकार सिएरपिंस्की स्पेस खुले सेटों के लिए वर्गीकृत स्थान है। आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट P के उपसमुच्चय O को 'स्कॉट-ओपन' कहा जाता है यदि यह एक ऊपरी सेट है और यदि यह 'निर्देशित जोड़ों द्वारा पहुंच योग्य नहीं है', यानी यदि O में सर्वोच्च के साथ सभी निर्देशित सेट D में गैर-रिक्त चौराहा है (सेट सिद्धांत) O के साथ। आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट P के स्कॉट-ओपन उपसमुच्चय, P, 'स्कॉट टोपोलॉजी' पर एक टोपोलॉजिकल स्पेस बनाते हैं। आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेटों के बीच एक फ़ंक्शन स्कॉट-निरंतर है यदि और केवल यदि यह स्कॉट टोपोलॉजी के संबंध में निरंतर फ़ंक्शन (टोपोलॉजी) है।

स्कॉट टोपोलॉजी को पहले पूर्ण लैटिस के लिए डाना स्कॉट द्वारा परिभाषित किया गया था और बाद में मनमाने ढंग से आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट के लिए परिभाषित किया गया था। लैम्ब्डा कैलकुलस के मॉडल के अध्ययन में स्कॉट-निरंतर कार्य दिखाई देते हैं और कंप्यूटर प्रोग्राम के सांकेतिक शब्दार्थ।

गुण
एक स्कॉट-निरंतर फ़ंक्शन हमेशा मोनोटोन फ़ंक्शन होता है।

निर्देशित पूर्ण आंशिक क्रम का एक उपसमुच्चय आंशिक क्रम से प्रेरित स्कॉट टोपोलॉजी के संबंध में बंद सेट है यदि और केवल यदि यह एक निचला सेट है और निर्देशित उपसमुच्चय के सर्वोच्चता के तहत बंद है।

स्कॉट टोपोलॉजी के साथ एक निर्देशित पूर्ण आंशिक क्रम (dcpo) हमेशा एक कोलमोगोरोव स्थान होता है (यानी, यह T0 पृथक्करण सिद्धांत को संतुष्ट करता है|T0 पृथक्करण स्वयंसिद्ध)। हालाँकि, स्कॉट टोपोलॉजी वाला एक डीसीपीओ हॉसडॉर्फ़ स्थान है यदि और केवल यदि आदेश तुच्छ है। समावेशन (सेट सिद्धांत) द्वारा आदेश दिए जाने पर स्कॉट-ओपन सेट एक पूर्ण जाली बनाते हैं।

किसी भी कोलमोगोरोव स्थान के लिए, टोपोलॉजी उस स्थान पर एक ऑर्डर संबंध, विशेषज्ञता क्रम उत्पन्न करती है: x ≤ y यदि और केवल यदि x का प्रत्येक खुला पड़ोस भी y का एक खुला पड़ोस है। डीसीपीओ डी के ऑर्डर संबंध को स्कॉट टोपोलॉजी द्वारा प्रेरित विशेषज्ञता क्रम के रूप में स्कॉट-ओपन सेट से पुनर्निर्मित किया जा सकता है। हालाँकि, स्कॉट टोपोलॉजी से लैस एक डीसीपीओ को शांत स्थान  की आवश्यकता नहीं है: सोबर स्पेस की टोपोलॉजी से प्रेरित विशेषज्ञता क्रम उस स्थान को एक डीसीपीओ बनाता है, लेकिन इस ऑर्डर से प्राप्त स्कॉट टोपोलॉजी मूल टोपोलॉजी से बेहतर है।

उदाहरण
किसी दिए गए टोपोलॉजिकल स्पेस में खुले सेट जब समावेशन (सेट सिद्धांत) द्वारा क्रमबद्ध होते हैं तो एक जाली (ऑर्डर) बनाते हैं जिस पर स्कॉट टोपोलॉजी को परिभाषित किया जा सकता है। टोपोलॉजिकल स्पेस T का एक सबसेट स्कॉट टोपोलॉजी के लिए.

सीपीओ के लिए, डीसीपीओ की कार्टेशियन बंद श्रेणी, स्कॉट-निरंतर कार्यों के दो विशेष रूप से उल्लेखनीय उदाहरण हैं करी और लागू। नुएल बेलनैप ने तार्किक संयोजकों को चार-मूल्य वाले तर्क तक विस्तारित करने के लिए स्कॉट निरंतरता का उपयोग किया।

यह भी देखें

 * अलेक्जेंडर टोपोलॉजी
 * ऊपरी टोपोलॉजी