आवरण (तरंग)

भौतिकी और अभियांत्रिकी  में, एक दोलन सिग्नल (इलेक्ट्रॉनिक्स) का लिफाफा एक चिकनी वक्र है जो इसकी चरम सीमाओं को रेखांकित करता है। लिफाफा इस प्रकार एक निरंतर आयाम की अवधारणा को एक तात्कालिक आयाम में सामान्यीकृत करता है। यह आंकड़ा एक 'ऊपरी लिफाफा' और 'निचला लिफाफा' के बीच अलग-अलग संशोधित साइन लहर दिखाता है। लिफाफा कार्य समय, स्थान, कोण, या वास्तव में किसी भी चर का कार्य हो सकता है।

लहरों की धड़कन में
एक सामान्य स्थिति जिसके परिणामस्वरूप अंतरिक्ष x और समय t दोनों में एक लिफ़ाफ़ा कार्य होता है, लगभग समान तरंग दैर्ध्य और आवृत्ति की दो तरंगों का सुपरपोज़िशन होता है:

\begin{align} F(x, \ t) & = \sin \left[ 2 \pi \left( \frac {x}{\lambda - \Delta \lambda } - ( f + \Delta f )t \right) \right] + \sin \left[  2 \pi \left( \frac {x}{\lambda + \Delta \lambda } - ( f - \Delta f )t \right) \right] \\[6pt] & \approx 2\cos \left[  2 \pi \left( \frac {x} {\lambda_{\rm mod}} -  \Delta f \ t \right) \right] \ \sin \left[  2 \pi \left( \frac {x}{\lambda} -  f \ t \right) \right] \end{align} $$ जो त्रिकोणमितीय पहचान#उत्पाद-से-योग और योग-से-उत्पाद पहचान के लिए त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करता है, और सन्निकटन Δλ ≪ λ:


 * $$\frac{1}{\lambda \pm \Delta \lambda}=\frac {1}{\lambda}\ \frac{1}{1\pm\Delta \lambda / \lambda }\approx \frac{1}{\lambda}\mp \frac {\Delta \lambda}{\lambda^2} .$$

यहाँ मॉडुलन तरंग दैर्ध्य λmod द्वारा दिया गया है:
 * $$ \lambda_{\rm mod} = \frac {\lambda^2}{\Delta \lambda}\ . $$

मॉड्यूलेशन वेवलेंथ लिफाफे की दोगुनी है क्योंकि मॉड्यूलेटिंग कोसाइन वेव की प्रत्येक आधी-वेवलेंथ मॉड्यूलेटेड साइन वेव के सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मानों को नियंत्रित करती है। इसी तरह विस्पंद आवृत्ति आवरण की होती है, जो मॉडुलक तरंग की दुगुनी या 2Δf होती है।

यदि यह तरंग ध्वनि तरंग है, तो कान f से जुड़ी आवृत्ति को सुनता है और इस ध्वनि का आयाम विस्पंद आवृत्ति के साथ बदलता रहता है।

चरण और समूह वेग
एक कारक 2 के अलावा उपरोक्त साइनसोइड्स का तर्क$\pi$ हैं:
 * $$\xi_C =\left( \frac {x}{\lambda} - f \ t \right)\, $$
 * $$\xi_E=\left( \frac {x} {\lambda_{\rm mod}} - \Delta f \ t \right) \, $$

सदस्यता सी और ई के साथ वाहक और लिफाफे का जिक्र है। तरंग का समान आयाम F ξ के समान मानों से उत्पन्न होता हैC और ξE, जिनमें से प्रत्येक x और t के अलग-अलग लेकिन उचित रूप से संबंधित विकल्पों पर समान मूल्य पर वापस आ सकता है। इस व्युत्क्रम का अर्थ है कि अंतरिक्ष में इन तरंगों का पता लगाया जा सकता है ताकि निश्चित आयाम की स्थिति की गति का पता लगाया जा सके क्योंकि यह समय में फैलता है; वाहक तरंग के तर्क के समान रहने के लिए शर्त है:
 * $$\left( \frac {x}{\lambda} - f \ t \right) = \left( \frac {x+\Delta x}{\lambda} -  f (t + \Delta t) \right)\, $$

जो एक निरंतर आयाम रखने के लिए दिखाता है दूरी Δx तथाकथित चरण वेग v द्वारा समय अंतराल Δt से संबंधित हैp
 * $$v_{\rm p} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \lambda f \ . $$

दूसरी ओर, वही विचार दिखाते हैं कि लिफाफा तथाकथित समूह वेग वी पर फैलता हैg: :$$v_{\rm g} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \lambda_{\rm mod}\Delta f =\lambda^2 \frac{\Delta f}{\Delta \lambda} \. $$ समूह वेग के लिए एक अधिक सामान्य अभिव्यक्ति वेववेक्टर k पेश करके प्राप्त की जाती है:
 * $$k=\frac{2\pi}{\lambda} \ . $$

हम देखते हैं कि छोटे परिवर्तनों के लिए Δλ, वेववेक्टर में संबंधित छोटे परिवर्तन का परिमाण, कहते हैं Δk, है:
 * $$ \Delta k = \left|\frac{dk}{d\lambda}\right|\Delta \lambda = 2\pi \frac{\Delta \lambda}{\lambda^2} \, $$

इसलिए समूह वेग को फिर से लिखा जा सकता है:
 * $$ v_{\rm g}= \frac {2\pi\Delta f}{\Delta k} =\frac {\Delta \omega}{\Delta k}\, $$

जहां ω रेडियंस/सेकंड में आवृत्ति है: ω = 2πएफ। सभी मीडिया में, आवृत्ति और वेववेक्टर एक फैलाव संबंध से संबंधित होते हैं, ω = ω(k), और समूह वेग लिखा जा सकता है:
 * $$v_{\rm g} =\frac{d\omega (k)}{dk} \ . $$

शास्त्रीय निर्वात जैसे माध्यम में विद्युत चुम्बकीय तरंगों के लिए फैलाव संबंध है:
 * $$\omega = c_0 k $$

जहां सी0 शास्त्रीय निर्वात में प्रकाश की गति है। इस स्थिति के लिए, चरण और समूह वेग दोनों c हैं0.

तथाकथित फैलाव (प्रकाशिकी) में फैलाव संबंध वेववेक्टर का एक जटिल कार्य हो सकता है, और चरण और समूह वेग समान नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, GaAs में परमाणु कंपन (फोनोन) द्वारा प्रदर्शित कई प्रकार की तरंगों के लिए, फैलाव संबंधों को ब्रिलॉइन ज़ोन # वेववेक्टर 'के' के महत्वपूर्ण बिंदुओं के चित्र में दिखाया गया है। सामान्य स्थिति में, चरण और समूह वेगों की अलग-अलग दिशाएँ हो सकती हैं।

फ़ंक्शन सन्निकटन में
संघनित पदार्थ भौतिकी में एक क्रिस्टल में एक मोबाइल चार्ज वाहक के लिए एक ऊर्जा eigenfunction को बलोच तरंग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$\psi_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})=e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}) \ ,$$

जहाँ n बैंड के लिए सूचकांक है (उदाहरण के लिए, कंडक्शन या वैलेंस बैंड) 'r' एक स्थानिक स्थान है, और 'k' एक wavevector  है। एक्सपोनेंशियल एक साइनसॉइडली भिन्न फ़ंक्शन है जो धीरे-धीरे अलग-अलग लिफाफे के अनुरूप होता है जो वेवफंक्शन यू के तेजी से भिन्न हिस्से को संशोधित करता हैn,k जाली के परमाणुओं के कोर के करीब वेवफंक्शन के व्यवहार का वर्णन करना। लिफ़ाफ़ा क्रिस्टल के ब्रिलौइन क्षेत्र द्वारा सीमित सीमा के भीतर k-मानों तक सीमित है, और यह सीमित करता है कि यह स्थान r के साथ कितनी तेज़ी से भिन्न हो सकता है।

क्वांटम यांत्रिकी का उपयोग कर वाहकों के व्यवहार का निर्धारण करने में, आमतौर पर लिफाफा सन्निकटन का उपयोग किया जाता है जिसमें श्रोडिंगर समीकरण को केवल लिफाफे के व्यवहार को संदर्भित करने के लिए सरलीकृत किया जाता है, और सीमा शर्तों को सीधे लिफाफा फ़ंक्शन पर लागू किया जाता है, बल्कि पूर्ण तरंग की तुलना में। उदाहरण के लिए, एक अशुद्धता के पास फंस गए एक वाहक के तरंग समारोह को एक लिफाफा फ़ंक्शन एफ द्वारा नियंत्रित किया जाता है जो बलोच कार्यों की सुपरपोजिशन को नियंत्रित करता है:
 * $$\psi( \mathbf r )= \sum_{\mathbf k } F( \mathbf k ) e^{i\mathbf{k\cdot r}}u_{\mathbf {k}}(\mathbf r ) \, $$

जहां लिफाफे F('k') के फूरियर घटक अनुमानित श्रोडिंगर समीकरण से पाए जाते हैं। कुछ अनुप्रयोगों में, आवधिक भाग यूk बैंड किनारे के पास इसके मान से प्रतिस्थापित किया जाता है, मान लीजिए k=k0, और तब: :$$\psi( \mathbf r )\approx \left( \sum_{\mathbf k } F( \mathbf k ) e^{i\mathbf{k\cdot r}}\right)u_{\mathbf{k}=\mathbf{k}_0}(\mathbf r ) = F( \mathbf r )u_{\mathbf{k}=\mathbf{k}_0}(\mathbf r ) \. $$

विवर्तन पैटर्न में
एकाधिक स्लिट्स से विवर्तन पैटर्न में एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न द्वारा निर्धारित लिफाफे होते हैं। एकल भट्ठा के लिए पैटर्न इस प्रकार दिया गया है: :$$I_1=I_0 \sin^2\left(\frac {\pi d \sin \alpha}{\lambda}\right) / \left(\frac {\pi d \sin \alpha }{\lambda}\right)^2 \, $$ जहां α विवर्तन कोण है, d भट्ठा चौड़ाई है, और λ तरंग दैर्ध्य है। एकाधिक स्लिट्स के लिए, पैटर्न है :$$I_q = I_1 \sin^2 \left( \frac {q\pi g \sin \alpha} {\lambda} \right) /  \sin^2  \left( \frac{ \pi g \sin \alpha}{\lambda}\right) \, $$ जहाँ q स्लिट्स की संख्या है, और g ग्रेटिंग स्थिरांक है। पहला कारक, एकल-स्लिट परिणाम I1, अधिक तेजी से बदलते दूसरे कारक को संशोधित करता है जो स्लिट्स की संख्या और उनकी रिक्ति पर निर्भर करता है।

अनुमान
एक लिफाफा डिटेक्टर एक इलेक्ट्रॉनिक सर्किट है जो लिफाफे को एक सिग्नल से निकालता है।

अंकीय संकेत प्रक्रिया में, लिफाफे का अनुमान लगाया जा सकता है कि वह हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म या चलती औसत आरएमएस आयाम को नियोजित करता है।

यह भी देखें

 * अनुभवजन्य मोड अपघटन
 * लिफाफा (गणित)
 * लिफाफा ट्रैकिंग
 * तात्कालिक चरण
 * मॉडुलन
 * दोलन का गणित
 * पीक लिफाफा शक्ति
 * स्पेक्ट्रल लिफाफा
 * स्पेक्ट्रल लिफाफा