सघनता प्रमेय

$$ गणितीय तर्क में, कॉम्पैक्टनेस प्रमेय बताता है कि प्रथम-क्रम विधेय कैलकुलस प्रथम-क्रम वाक्य (गणितीय तर्क) के एक [[सबसेट (गणित)]] में एक मॉडल ([[मॉडल सिद्धांत)]] होता है यदि और केवल यदि इसके प्रत्येक परिमित सेट उपसमुच्चय में एक मॉडल होता है। यह प्रमेय मॉडल सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण उपकरण है, क्योंकि यह वाक्यों के किसी भी सेट के मॉडल के निर्माण के लिए एक उपयोगी (लेकिन आम तौर पर प्रभावी नहीं) विधि प्रदान करता है जो कि अंतिम रूप से संगति है।

प्रस्तावित कैलकुलस के लिए कॉम्पैक्टनेस प्रमेय टाइकोनॉफ़ के प्रमेय का परिणाम है (जो कहता है कि सघन स्थान  की उत्पाद टोपोलॉजी कॉम्पैक्ट है) कॉम्पैक्ट  पत्थर की जगह  पर लागू होती है, इसलिए प्रमेय का नाम. इसी तरह, यह टोपोलॉजिकल स्पेस में कॉम्पैक्टनेस के परिमित प्रतिच्छेदन गुण लक्षण वर्णन के अनुरूप है: एक कॉम्पैक्ट स्पेस में बंद सेटों के संग्रह में एक खाली सेट होता है | गैर-खाली इंटरसेक्शन (सेट सिद्धांत) यदि प्रत्येक परिमित उपसंग्रह में एक गैर-रिक्त चौराहा होता है।

कॉम्पैक्टनेस प्रमेय नीचे की ओर लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय के साथ दो प्रमुख गुणों में से एक है, जिसका उपयोग लिंडस्ट्रॉम के प्रमेय में प्रथम-क्रम तर्क को चिह्नित करने के लिए किया जाता है। यद्यपि गैर-प्रथम-क्रम तर्कों के लिए कॉम्पैक्टनेस प्रमेय के कुछ सामान्यीकरण हैं, बहुत सीमित संख्या में उदाहरणों को छोड़कर, कॉम्पैक्टनेस प्रमेय स्वयं उनमें मान्य नहीं है।

इतिहास
कर्ट गोडेल ने 1930 में गणनीय सघनता प्रमेय को सिद्ध किया। अनातोली माल्टसेव ने 1936 में बेशुमार मामले को सिद्ध किया।

अनुप्रयोग
कॉम्पैक्टनेस प्रमेय के मॉडल सिद्धांत में कई अनुप्रयोग हैं; कुछ विशिष्ट परिणाम यहां दर्शाए गए हैं।

रॉबिन्सन का सिद्धांत
कॉम्पैक्टनेस प्रमेय निम्नलिखित परिणाम को दर्शाता है, जिसे अब्राहम रॉबिन्सन ने अपने 1949 के शोध प्रबंध में कहा था।

रॉबिन्सन का सिद्धांत: यदि प्रथम क्रम का वाक्य विशेषता (बीजगणित) के प्रत्येक क्षेत्र (गणित) में शून्य रखता है, तो वहां एक स्थिरांक मौजूद होता है $$p$$ इस प्रकार कि यह वाक्य विशेषता के प्रत्येक क्षेत्र के लिए बड़ा है $$p.$$ इसे इस प्रकार देखा जा सकता है: मान लीजिए $$\varphi$$ एक ऐसा वाक्य है जो प्रत्येक क्षेत्र में विशेषता शून्य रखता है। फिर उसका निषेध $$\lnot \varphi,$$ क्षेत्र स्वयंसिद्धों और वाक्यों के अनंत अनुक्रम के साथ $$1 + 1 \neq 0, \;\; 1 + 1 + 1 \neq 0, \; \ldots$$ संतुष्टिप्रदता नहीं है (क्योंकि इसमें विशेषता 0 का कोई क्षेत्र नहीं है)। $$\lnot \varphi$$ धारण करता है, और वाक्यों का अनंत क्रम यह सुनिश्चित करता है कि कोई भी मॉडल विशेषता 0 का क्षेत्र होगा)। इसलिए, एक परिमित उपसमुच्चय है $$A$$ इन वाक्यों का जो संतोषजनक नहीं है। $$A$$ शामिल होना चाहिए $$\lnot \varphi$$ क्योंकि अन्यथा यह संतोषजनक होगा। क्योंकि इसमें और वाक्य जोड़ रहे हैं $$A$$ असंतोषजनकता नहीं बदलती, ऐसा हम मान सकते हैं $$A$$ कुछ के लिए फ़ील्ड स्वयंसिद्ध और, शामिल हैं $$k,$$ पहला $$k$$ प्रपत्र के वाक्य $$1 + 1 + \cdots + 1 \neq 0.$$ होने देना $$B$$ के सभी वाक्य शामिल हैं $$A$$ के अलावा $$\lnot \varphi.$$ फिर कोई भी क्षेत्र जिसकी विशेषता इससे अधिक हो $$k$$ का एक मॉडल है $$B,$$ और $$\lnot \varphi$$ के साथ साथ $$B$$ संतुष्ट करने योग्य नहीं है. इस का मतलब है कि $$\varphi$$ के प्रत्येक मॉडल में होना चाहिए $$B,$$ जिसका मतलब बिल्कुल यही है $$\varphi$$ विशेषता के प्रत्येक क्षेत्र में श्रेष्ठता रखता है $$k.$$ इससे प्रमाण पूर्ण हो जाता है।

लेफ्शेट्ज़ सिद्धांत, स्थानांतरण सिद्धांत के पहले उदाहरणों में से एक, इस परिणाम का विस्तार करता है। प्रथम कोटि का वाक्य $$\varphi$$ रिंग (गणित) की भाषा में सत्य है (या समकक्ष, में ) विशेषता 0 का बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र (जैसे कि उदाहरण के लिए जटिल संख्याएं) यदि और केवल तभी जब अनंत रूप से कई अभाज्य संख्याएँ मौजूद हों $$p$$ जिसके लिए $$\varphi$$ में सच है  विशेषता का बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र $$p,$$ किस स्थिति में $$\varphi$$ में सच है पर्याप्त रूप से बड़े गैर-0 विशेषता वाले बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड $$p.$$ एक परिणाम एक्स-ग्रोथेंडिक प्रमेय का निम्नलिखित विशेष मामला है: सभी इंजेक्शन मानचित्र जटिल संख्या बहुपद $$\Complex^n \to \Complex^n$$ प्रक्षेपात्मक मानचित्र हैं (वास्तव में, यह भी दिखाया जा सकता है कि इसका व्युत्क्रम भी एक बहुपद होगा)। वास्तव में, किसी भी विशेषण बहुपद के लिए प्रक्षेप्यता निष्कर्ष सत्य रहता है $$F^n \to F^n$$ कहाँ $$F$$ एक परिमित क्षेत्र या ऐसे क्षेत्र का बीजगणितीय समापन है।

अपवर्ड लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय
कॉम्पैक्टनेस प्रमेय के दूसरे अनुप्रयोग से पता चलता है कि कोई भी सिद्धांत जिसमें मनमाने ढंग से बड़े परिमित मॉडल या एकल अनंत मॉडल होते हैं, उसमें मनमाने ढंग से बड़ी प्रमुखता के मॉडल होते हैं (यह अपवर्ड लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय है)। उदाहरण के लिए, पीनो अंकगणित के गैर-मानक मॉडल हैं जिनमें अनगिनत 'प्राकृतिक संख्याएँ' हैं। इसे हासिल करने के लिए आइए $$T$$ प्रारंभिक सिद्धांत हो और चलो $$\kappa$$ कोई भी कार्डिनल संख्या हो. की भाषा में जोड़ें $$T$$ के प्रत्येक तत्व के लिए एक स्थिर प्रतीक $$\kappa.$$ फिर जोड़ें $$T$$ वाक्यों का एक संग्रह जो कहता है कि नए संग्रह से किन्हीं दो अलग-अलग स्थिर प्रतीकों द्वारा दर्शाई गई वस्तुएं अलग-अलग हैं (यह एक संग्रह है) $$\kappa^2$$ वाक्य)। चूंकि प्रत्येक इस नए सिद्धांत का उपसमुच्चय पर्याप्त रूप से बड़े परिमित मॉडल द्वारा संतुष्ट है $$T,$$ या किसी अनंत मॉडल द्वारा, संपूर्ण विस्तारित सिद्धांत संतोषजनक है। लेकिन विस्तारित सिद्धांत के किसी भी मॉडल में कम से कम प्रमुखता होती है $$\kappa$$.

गैर-मानक विश्लेषण
कॉम्पैक्टनेस प्रमेय का तीसरा अनुप्रयोग वास्तविक संख्याओं के गैर-मानक विश्लेषण का निर्माण है, अर्थात, वास्तविक संख्याओं के सिद्धांत का लगातार विस्तार जिसमें अनंत संख्याएँ होती हैं। इसे देखने के लिए आइए $$\Sigma$$ वास्तविक संख्याओं के सिद्धांत का प्रथम-क्रम स्वयंसिद्धीकरण बनें। एक नया अचर प्रतीक जोड़कर प्राप्त सिद्धांत पर विचार करें $$\varepsilon$$ भाषा से और उससे सटे हुए $$\Sigma$$ स्वयंसिद्ध $$\varepsilon > 0$$ और स्वयंसिद्ध $$\varepsilon < \tfrac{1}{n}$$ सभी सकारात्मक पूर्णांकों के लिए $$n.$$ स्पष्टतः, मानक वास्तविक संख्याएँ $$\R$$ इन स्वयंसिद्धों के प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय के लिए एक मॉडल हैं, क्योंकि वास्तविक संख्याएँ हर चीज़ को संतुष्ट करती हैं $$\Sigma$$ और, उपयुक्त विकल्प द्वारा $$\varepsilon,$$ के बारे में सिद्धांतों के किसी भी सीमित उपसमुच्चय को संतुष्ट करने के लिए बनाया जा सकता है $$\varepsilon.$$ सघनता प्रमेय के अनुसार, एक मॉडल है $${}^* \R$$ जो संतुष्ट करता है $$\Sigma$$ और इसमें एक अतिसूक्ष्म तत्व भी शामिल है $$\varepsilon.$$ इसी तरह का एक तर्क, इस बार स्वयंसिद्धों से जुड़ा हुआ है $$\omega > 0, \; \omega > 1, \ldots,$$ आदि से पता चलता है कि अनंत रूप से बड़े परिमाण वाली संख्याओं के अस्तित्व को किसी भी स्वयंसिद्धीकरण द्वारा खारिज नहीं किया जा सकता है $$\Sigma$$ असली का.

यह दिखाया जा सकता है कि अतियथार्थवादी संख्याएँ $${}^* \R$$ स्थानांतरण सिद्धांत को संतुष्ट करें: प्रथम-क्रम वाक्य सत्य है $$\R$$ यदि और केवल यदि यह सत्य है $${}^* \R.$$

प्रमाण
कोई गोडेल की पूर्णता प्रमेय का उपयोग करके कॉम्पैक्टनेस प्रमेय को सिद्ध कर सकता है, जो स्थापित करता है कि वाक्यों का एक सेट तभी संतोषजनक है जब इससे कोई विरोधाभास साबित नहीं किया जा सकता है। चूंकि गणितीय प्रमाण हमेशा सीमित होते हैं और इसलिए दिए गए वाक्यों में से केवल सीमित संख्या में ही शामिल होते हैं, कॉम्पैक्टनेस प्रमेय अनुसरण करता है। वास्तव में, कॉम्पैक्टनेस प्रमेय गोडेल की पूर्णता प्रमेय के बराबर है, और दोनों बूलियन प्राइम आदर्श प्रमेय के बराबर हैं, जो पसंद के स्वयंसिद्ध का एक कमजोर रूप है। गोडेल ने मूल रूप से कॉम्पैक्टनेस प्रमेय को इसी तरह से सिद्ध किया था, लेकिन बाद में कॉम्पैक्टनेस प्रमेय के कुछ विशुद्ध अर्थ संबंधी प्रमाण पाए गए; अर्थात्, ऐसे प्रमाण जो संदर्भित करते हैं लेकिन नहीं. उन प्रमाणों में से एक निम्नानुसार पसंद के सिद्धांत पर निर्भर अल्ट्राप्रोडक्ट्स पर निर्भर करता है:

सबूत: प्रथम-क्रम की भाषा ठीक करें $$L,$$ और जाने $$\Sigma$$ एल-वाक्यों का एक संग्रह बनें जैसे कि प्रत्येक परिमित उपसंग्रह $$L$$-वाक्य, $$i \subseteq \Sigma$$ इसका एक मॉडल है $$\mathcal{M}_i.$$ चलो भी $\prod_{i \subseteq \Sigma}\mathcal{M}_i$ संरचनाओं का प्रत्यक्ष उत्पाद बनें और $$I$$ के परिमित उपसमुच्चय का संग्रह हो $$\Sigma.$$ प्रत्येक के लिए $$i \in I,$$ होने देना $$A_i = \{j \in I : j \supseteq i\}.$$ इन सभी का परिवार सेट है $$A_i$$ एक उचित फ़िल्टर (सेट सिद्धांत) उत्पन्न करता है, इसलिए एक अल्ट्राफ़िल्टर (सेट सिद्धांत) है $$U$$ जिसमें फॉर्म के सभी सेट शामिल हैं $$A_i.$$ अब किसी भी सूत्र के लिए $$\varphi$$ में $$\Sigma:$$ Ultraproduct#Łoś's प्रमेय|Łoś's प्रमेय अब इसका तात्पर्य है $$\varphi$$ अल्ट्राप्रोडक्ट में रहता है $\prod_{i \subseteq \Sigma} \mathcal{M}_i/U.$ इसलिए यह अल्ट्राप्रोडक्ट सभी फॉर्मूलों को पूरा करता है $$\Sigma.$$
 * सेट $$A_{\{\varphi\}}$$ में है $$U$$
 * जब कभी भी $$j \in A_{\{\varphi\}},$$ तब $$\varphi \in j,$$ इस तरह $$\varphi$$ में रखता है $$\mathcal M_j$$
 * सभी का सेट $$j$$ उस संपत्ति के साथ $$\varphi$$ में रखता है $$\mathcal M_j$$ का एक सुपरसेट है $$A_{\{\varphi\}},$$ इसलिए में भी $$U$$

बाहरी संबंध

 * Compactness Theorem, Internet Encyclopedia of Philosophy.