बहुमान फलन

गणित में, एक बहु-मूल्यवान फ़ंक्शन, जिसे मल्टीफ़ंक्शन और कई-मूल्यवान फ़ंक्शन भी कहा जाता है, निरंतरता गुणों वाला एक सेट-वैल्यू फ़ंक्शन है जो इसे स्थानीय रूप से सामान्य फ़ंक्शन के रूप में मानने की अनुमति देता है।

बहुविकल्पीय कार्य आमतौर पर अंतर्निहित कार्य प्रमेय के अनुप्रयोगों में उत्पन्न होते हैं, क्योंकि इस प्रमेय को एक बहुविकल्पीय कार्य के अस्तित्व पर जोर देने के रूप में देखा जा सकता है। विशेष रूप से, एक अवकलनीय फलन का व्युत्क्रम फलन एक बहुमान फलन होता है। उदाहरण के लिए, जटिल लघुगणक एक बहुविकल्पीय फ़ंक्शन है, जो घातीय फ़ंक्शन के व्युत्क्रम के रूप में है। इसे एक सामान्य कार्य के रूप में नहीं माना जा सकता है, क्योंकि जब कोई एक सर्कल के साथ लघुगणक के एक मान का अनुसरण करता है $0$, एक पूर्ण मोड़ के बाद शुरुआती मूल्य की तुलना में एक और मूल्य प्राप्त होता है। इस घटना को मोनोड्रोमी कहा जाता है।

एक बहुविकल्पीय फ़ंक्शन को परिभाषित करने का एक अन्य सामान्य तरीका विश्लेषणात्मक निरंतरता है, जो आमतौर पर कुछ मोनोड्रोमी उत्पन्न करता है: एक बंद वक्र के साथ विश्लेषणात्मक निरंतरता एक अंतिम मान उत्पन्न कर सकती है जो प्रारंभिक मूल्य से भिन्न होती है।

बहुविकल्पीय कार्य अंतर समीकरणों के समाधान के रूप में भी उत्पन्न होते हैं, जहां विभिन्न मूल्यों को प्रारंभिक स्थितियों द्वारा पैरामीट्रिज किया जाता है।

प्रेरणा
मल्टीवैल्यूड फ़ंक्शन शब्द की उत्पत्ति विश्लेषणात्मक निरंतरता से जटिल विश्लेषण में हुई है। अक्सर ऐसा होता है कि कोई जटिल विश्लेषणात्मक कार्य का मूल्य जानता है $$f(z)$$ एक बिंदु के कुछ पड़ोस (गणित) में $$z=a$$. यह अंतर्निहित कार्य प्रमेय या टेलर श्रृंखला द्वारा परिभाषित कार्यों के मामले में है $$z=a$$. ऐसी स्थिति में, व्यक्ति एकल-मूल्यवान फलन के क्षेत्र का विस्तार कर सकता है $$f(z)$$ पर शुरू होने वाले जटिल विमान में घटता के साथ $$a$$. ऐसा करने पर, एक बिंदु पर विस्तारित फ़ंक्शन का मान पाता है $$z=b$$ से चुने हुए वक्र पर निर्भर करता है $$a$$ को $$b$$; चूंकि कोई भी नया मूल्य अन्य मूल्यों की तुलना में अधिक स्वाभाविक नहीं है, वे सभी एक बहु-मूल्यवान कार्य में शामिल हैं।

उदाहरण के लिए, चलो $$f(z)=\sqrt{z}\,$$ धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर सामान्य वर्गमूल फलन हो। कोई अपने डोमेन को के आस-पड़ोस तक बढ़ा सकता है $$z=1$$ जटिल विमान में, और फिर आगे घटता के साथ शुरू होता है $$z=1$$, ताकि किसी दिए गए वक्र के साथ मान लगातार भिन्न हों $$\sqrt{1}=1$$. ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं तक विस्तार करने पर, वर्गमूल के लिए दो विपरीत मान प्राप्त होते हैं—उदाहरण के लिए $±i$ के लिए $–1$—इस पर निर्भर करते हुए कि क्या डोमेन को जटिल तल के ऊपरी या निचले आधे हिस्से के माध्यम से विस्तारित किया गया है। यह परिघटना बहुत बार-बार होती है, nवें मूल के लिए घटित होती है$n$वें मूल, लघुगणक और प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन।

एक जटिल बहु-मूल्यवान फ़ंक्शन से एकल-मूल्यवान फ़ंक्शन को परिभाषित करने के लिए, एक से अधिक मानों में से एक को मुख्य मान के रूप में अलग किया जा सकता है, जो पूरे विमान पर एकल-मूल्यवान फ़ंक्शन का उत्पादन करता है जो कुछ सीमा वक्रों के साथ बंद है। वैकल्पिक रूप से, मल्टीवैल्यूड फ़ंक्शन से निपटने से कुछ ऐसा होता है जो हर जगह निरंतर होता है, संभावित मूल्य परिवर्तन की कीमत पर जब कोई बंद पथ (मोनोड्रोमी) का अनुसरण करता है। रीमैन सतहों के सिद्धांत में इन समस्याओं का समाधान किया गया है: एक बहु-मूल्यवान फ़ंक्शन पर विचार करने के लिए $$f(z)$$ किसी भी मूल्य को छोड़े बिना एक सामान्य कार्य के रूप में, एक डोमेन को कई-स्तरित शाखाओं वाले आवरण में गुणा करता है, जो कई गुना है जो रीमैन सतह से जुड़ा हुआ है $$f(z)$$.

उदाहरण
\tan\left(\tfrac{\pi}{4}\right) = \tan\left(\tfrac{5\pi}{4}\right) = \tan\left({\tfrac{-3\pi}{4}}\right) = \tan\left({\tfrac{(2n+1)\pi}{4}}\right) = \cdots = 1. $$ नतीजतन, आर्कटान (1) सहजता से कई मूल्यों से संबंधित है: $\pi$/4, 5π/4, −3π/4, और इसी तरह। हम टैन एक्स के डोमेन को प्रतिबंधित करके आर्कटान को एकल-मूल्यवान फ़ंक्शन के रूप में देख सकते हैं −π/2 < x < π/2 - एक डोमेन जिस पर tan x नीरस रूप से बढ़ रहा है। इस प्रकार, आर्कटान (एक्स) की सीमा बन जाती है −π/2 < y < π/2. प्रतिबंधित डोमेन के इन मानों को प्रमुख मान कहा जाता है।
 * शून्य से बड़ी प्रत्येक वास्तविक संख्या के दो वास्तविक वर्गमूल होते हैं, ताकि वर्गमूल को एक बहुमूल्यवान फलन माना जा सके। उदाहरण के लिए, हम लिख सकते हैं $$\sqrt{4}=\pm 2=\{2,-2\}$$; हालाँकि शून्य का केवल एक वर्गमूल होता है, $$\sqrt{0} =\{0\}$$.
 * प्रत्येक अशून्य सम्मिश्र संख्या में दो वर्गमूल, तीन घनमूल और सामान्यतया n nवां मूल होता है। 0 का केवल nवाँ मूल 0 है।
 * जटिल लघुगणक फ़ंक्शन बहु-मूल्यवान है। द्वारा ग्रहण किए गए मान $$\log(a+bi)$$ वास्तविक संख्या के लिए $$a$$ और $$b$$ हैं $$\log{\sqrt{a^2 + b^2}} + i\arg (a+bi) + 2 \pi n i$$ सभी पूर्णांकों के लिए $$n$$.
 * प्रतिलोम त्रिकोणमितीय कार्य बहु-मूल्यवान होते हैं क्योंकि त्रिकोणमितीय कार्य आवधिक होते हैं। अपने पास $$
 * antiderivative को मल्टीवैल्यूड फंक्शन माना जा सकता है। किसी फलन का प्रतिपक्षी उन फलनों का समुच्चय होता है जिसका व्युत्पन्न वह फलन होता है। एकीकरण की निरंतरता इस तथ्य से अनुसरण करती है कि एक स्थिर कार्य का व्युत्पन्न 0 है।
 * जटिल डोमेन पर व्युत्क्रम अतिपरवलयिक कार्य बहु-मूल्यवान होते हैं क्योंकि अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य काल्पनिक अक्ष के साथ आवधिक होते हैं। रियल में, वे आर्कोश और आर्सेच को छोड़कर एकल-मूल्यवान हैं।

ये सभी बहु-मूल्यवान कार्यों के उदाहरण हैं जो गैर-इंजेक्शन कार्यों से आते हैं। चूंकि मूल कार्य उनके इनपुट की सभी सूचनाओं को सुरक्षित नहीं रखते हैं, इसलिए वे उत्क्रमणीय नहीं हैं। अक्सर, एक बहुविकल्पीय फ़ंक्शन का प्रतिबंध मूल फ़ंक्शन का आंशिक व्युत्क्रम होता है।

शाखा बिंदु
एक जटिल चर के बहुविकल्पीय कार्यों में शाखा बिंदु होते हैं। उदाहरण के लिए, nवें मूल और लघुगणक कार्यों के लिए, 0 एक शाखा बिंदु है; आर्कटैंजेंट फ़ंक्शन के लिए, काल्पनिक इकाइयां i और -i शाखा बिंदु हैं। शाखा बिंदुओं का उपयोग करके, इन कार्यों को सीमा को प्रतिबंधित करके एकल-मूल्यवान कार्यों के रूप में पुनर्परिभाषित किया जा सकता है। एक शाखा कट के उपयोग के माध्यम से एक उपयुक्त अंतराल पाया जा सकता है, एक प्रकार का वक्र जो शाखा बिंदुओं के जोड़े को जोड़ता है, इस प्रकार फ़ंक्शन की बहुस्तरीय रीमैन सतह को एक परत में कम कर देता है। जैसा कि वास्तविक कार्यों के मामले में, प्रतिबंधित सीमा को फ़ंक्शन की प्रमुख शाखा कहा जा सकता है।

अनुप्रयोग
भौतिकी में, बहुविकल्पीय कार्य तेजी से महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। वे पॉल डिराक के चुंबकीय मोनोपोल के लिए गणितीय आधार बनाते हैं, क्रिस्टल में क्रिस्टलोग्राफिक दोषों के सिद्धांत के लिए और सामग्री के परिणामस्वरूप प्लास्टिसिटी (भौतिकी), superfluid और सुपरकंडक्टर्स में भंवर के लिए, और इन प्रणालियों में चरण संक्रमण के लिए, उदाहरण के लिए पिघलने और क्वार्क कारावास. वे भौतिकी की कई शाखाओं में गेज क्षेत्र संरचनाओं के मूल हैं।

अग्रिम पठन

 * H. Kleinert, Multivalued Fields in Condensed Matter, Electrodynamics, and Gravitation, World Scientific (Singapore, 2008) (also available online)
 * H. Kleinert, Gauge Fields in Condensed Matter, Vol. I: Superflow and Vortex Lines, 1–742, Vol. II: Stresses and Defects, 743–1456, World Scientific, Singapore, 1989 (also available online: Vol. I and Vol. II)