विस्तारित घातांकीय फलन

विस्तारित घातांकीय फ़ंक्शन $$f_\beta (t) = e^{ -t^\beta }$$ घातीय फलन में भिन्नात्मक शक्ति नियम सम्मिलित करके प्राप्त किया जाता है। अधिकांश अनुप्रयोगों में, यह केवल तर्क-वितर्क के लिए ही सार्थक है $t$ 0 और +∞ के बीच. साथ $β = 1$, सामान्य घातीय फ़ंक्शन पुनर्प्राप्त किया जाता है। 0 और 1 के बीच एक स्ट्रेचिंग एक्सपोनेंट β के साथ, लॉग एफ बनाम टी का ग्राफ विशेष रूप से फैला हुआ है, इसलिए फ़ंक्शन का नाम। 'संपीड़ित घातीय फ़ंक्शन' (साथ) $β > 1$) के उल्लेखनीय अपवाद को छोड़कर इसका व्यावहारिक महत्व कम है $β = 2$, जो सामान्य वितरण देता है।

गणित में, विस्तारित घातांक को संचयी वितरण फ़ंक्शन#पूरक संचयी वितरण फ़ंक्शन (पूंछ वितरण) वेइबुल वितरण के रूप में भी जाना जाता है। विस्तारित घातांक भी स्थिर वितरण | लेवी सममित अल्फा-स्थिर वितरण का विशिष्ट कार्य (संभावना सिद्धांत) है, जो मूल रूप से फूरियर रूपांतरण है।

भौतिकी में, विस्तारित घातीय फ़ंक्शन का उपयोग अक्सर अव्यवस्थित प्रणालियों में विश्राम (भौतिकी) के घटनात्मक विवरण के रूप में किया जाता है। इसे पहली बार 1854 में एक संधारित्र के निर्वहन का वर्णन करने के लिए रूडोल्फ कोहलराउश द्वारा पेश किया गया था; इस प्रकार इसे कोहलराउश फ़ंक्शन के रूप में भी जाना जाता है। 1970 में, जी. विलियम्स और डी.सी. वाट्स ने पॉलिमर की ढांकता हुआ स्पेक्ट्रोस्कोपी का वर्णन करने के लिए विस्तारित घातांक के फूरियर रूपांतरण का उपयोग किया; इस संदर्भ में, विस्तारित घातांक या इसके फूरियर रूपांतरण को कोहलराउश-विलियम्स-वाट्स (KWW) फ़ंक्शन भी कहा जाता है। कोहलराउश-विलियम्स-वाट्स (KWW) फ़ंक्शन छोटे समय के तर्कों के लिए मुख्य ढांकता हुआ मॉडल, जैसे कोल-कोल_समीकरण, कोल-डेविडसन_समीकरण, और हैवरिलीक-नेगामी_रिलैक्सेशन के समय डोमेन चार्ज प्रतिक्रिया से मेल खाता है। घटनात्मक अनुप्रयोगों में, यह अक्सर स्पष्ट नहीं होता है कि विस्तारित घातीय फ़ंक्शन का उपयोग अंतर या अभिन्न वितरण फ़ंक्शन का वर्णन करने के लिए किया जाना चाहिए या नहीं। प्रत्येक मामले में, किसी को समान स्पर्शोन्मुख क्षय मिलता है, लेकिन एक अलग शक्ति कानून प्रीफैक्टर, जो सरल घातांक की तुलना में फिट को अधिक अस्पष्ट बनाता है। कुछ मामलों में,   यह दिखाया जा सकता है कि स्पर्शोन्मुख क्षय एक विस्तारित घातीय है, लेकिन प्रीफैक्टर आमतौर पर एक असंबंधित शक्ति है।

क्षण
सामान्य भौतिक व्याख्या के बाद, हम फ़ंक्शन तर्क टी को समय और एफ के रूप में व्याख्या करते हैंβ(t) विभेदक वितरण है। वक्र के नीचे का क्षेत्र इस प्रकार इसकी व्याख्या औसत विश्राम समय के रूप में की जा सकती है। एक पाता है $$\langle\tau\rangle \equiv \int_0^\infty dt\, e^{-(t/\tau_K)^\beta} = {\tau_K \over \beta } \Gamma {\left( \frac 1 \beta \right)}$$ कहाँ $Γ$ गामा फ़ंक्शन है. घातीय क्षय के लिए, $⟨τ⟩ = τ_{K}$ पुनर्प्राप्त है.

विस्तारित घातीय फ़ंक्शन के उच्च क्षण (गणित) हैं $$\langle\tau^n\rangle \equiv \int_0^\infty dt\, t^{n-1}\, e^{-(t/\tau_K)^\beta} = {{\tau_K}^n \over \beta }\Gamma {\left(\frac n \beta \right)}.$$

वितरण समारोह
भौतिकी में, विस्तारित घातीय व्यवहार को सरल घातीय क्षयों के रैखिक सुपरपोजिशन के रूप में समझाने का प्रयास किया गया है। इसके लिए विश्राम समय, ρ(u) के एक गैर-तुच्छ वितरण की आवश्यकता होती है, जिसे अंतर्निहित रूप से परिभाषित किया गया है $$e^{-t^\beta} = \int_0^\infty du\,\rho(u)\, e^{-t/u}.$$ वैकल्पिक रूप से, एक वितरण $$G = u \rho (u)$$ प्रयोग किया जाता है।

ρ की गणना श्रृंखला विस्तार से की जा सकती है: $$ \rho (u ) = -{ 1 \over \pi u} \sum_{k = 0}^\infty {(-1)^k  \over k!} \sin (\pi \beta k)\Gamma (\beta k + 1) u^{\beta k}$$ β के तर्कसंगत मूल्यों के लिए, ρ(u) की गणना प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में की जा सकती है। लेकिन मामले को छोड़कर अभिव्यक्ति आम तौर पर उपयोगी होने के लिए बहुत जटिल है $β = 1/2$ कहाँ $$G(u) = u \rho(u) = { 1 \over 2\sqrt{\pi}} \sqrt{u} e^{-u/4} $$ चित्र 2 रैखिक और लघुगणक प्रतिनिधित्व दोनों में समान परिणाम दिखाता है। वक्र एक डिराक डेल्टा फ़ंक्शन के शिखर पर एकत्रित होते हैं $u = 1$ जैसे-जैसे β 1 की ओर बढ़ता है, सरल घातीय फलन के अनुरूप। मूल कार्य के क्षणों को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है $$\langle\tau^n\rangle = \Gamma(n) \int_0^\infty d\tau\, t^n \, \rho(\tau).$$ सरल-घातीय विश्राम समय के वितरण का पहला लघुगणकीय क्षण है $$\langle\ln\tau\rangle = \left( 1 - {1 \over \beta} \right) {\rm Eu} + \ln \tau_K $$ जहां Eu यूलर स्थिरांक है।

फूरियर रूपांतरण
स्पेक्ट्रोस्कोपी या इनलेस्टिक बिखरने से परिणामों का वर्णन करने के लिए, विस्तारित घातांक के साइन या कोसाइन फूरियर रूपांतरण की आवश्यकता होती है। इसकी गणना या तो संख्यात्मक एकीकरण द्वारा, या श्रृंखला विस्तार से की जानी चाहिए। यहां श्रृंखला के साथ-साथ वितरण फ़ंक्शन फॉक्स-राइट फ़ंक्शन के विशेष मामले हैं। व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, फूरियर परिवर्तन का अनुमान हैवरिलीक-नेगामी विश्राम द्वारा लगाया जा सकता है|हैवरिलीक-नेगामी फ़ंक्शन, हालाँकि आजकल संख्यात्मक गणना इतनी कुशलता से की जा सकती है कि फ़्रीक्वेंसी डोमेन में कोहलराउश-विलियम्स-वाट्स फ़ंक्शन का उपयोग न करने का अब कोई कारण नहीं है।

इतिहास और आगे के अनुप्रयोग
जैसा कि परिचय में कहा गया है, 1854 में जर्मनों  भौतिक विज्ञानी रुडोल्फ कोहलराउश द्वारा एक संधारित्र (लेडेन जार) के निर्वहन का वर्णन करने के लिए विस्तारित घातांक की शुरुआत की गई थी जो ग्लास को ढांकता हुआ माध्यम के रूप में उपयोग करता था। अगला प्रलेखित उपयोग रुडोल्फ के पुत्र फ्रेडरिक कोहलराउश (भौतिक विज्ञानी) द्वारा मरोड़ संबंधी विश्राम का वर्णन करने के लिए किया गया है। ए. वर्नर ने जटिल ल्यूमिनसेंस क्षयों का वर्णन करने के लिए 1907 में इसका उपयोग किया था; थियोडोर फोर्स्टर ने 1949 में इलेक्ट्रॉनिक ऊर्जा दाताओं के प्रतिदीप्ति क्षय कानून के रूप में।

संघनित पदार्थ भौतिकी के बाहर, विस्तारित घातांक का उपयोग सौर मंडल में छोटे, भटके हुए पिंडों को हटाने की दर का वर्णन करने के लिए किया गया है, मस्तिष्क में प्रसार-भारित एमआरआई संकेत, और अपरंपरागत गैस कुओं से उत्पादन।

प्रायिकता में,
यदि एकीकृत वितरण एक विस्तारित घातांक है, तो सामान्यीकृत संभाव्यता वितरण द्वारा दिया जाता है $$ p(\tau \mid \lambda, \beta)~d\tau = \frac{\lambda}{\Gamma(1 + \beta^{-1})} ~ e^{-(\tau \lambda)^\beta} ~ d\tau$$ ध्यान दें कि भ्रामक रूप से कुछ लेखक वेइबुल वितरण को संदर्भित करने के लिए स्ट्रेच्ड एक्सपोनेंशियल नाम का उपयोग करने के लिए जाने जाते हैं।

संशोधित कार्य
एक संशोधित विस्तारित घातीय फ़ंक्शन $$f_\beta (t) = e^{ -t^{\beta(t)} }$$ धीरे-धीरे टी-निर्भर घातांक के साथ β का उपयोग जैविक अस्तित्व वक्रों के लिए किया गया है।

वायरलेस संचार
वायरलेस संचार में, हस्तक्षेप शक्ति के लिए लाप्लास ट्रांसफॉर्म में स्ट्रेच्ड एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन का एक स्केल किया गया संस्करण दिखाया गया है $$I$$ जब ट्रांसमीटरों के स्थानों को 2डी पॉइसन बिंदु प्रक्रिया के रूप में तैयार किया जाता है, जिसमें रिसीवर के आसपास कोई बहिष्करण क्षेत्र नहीं होता है। लाप्लास परिवर्तन को मनमाने ढंग से लुप्त होती वितरण के लिए निम्नानुसार लिखा जा सकता है: $$ L_I(s) = \exp\left(-\pi \lambda \mathbb{E}{\left[g^\frac{2}{\eta} \right]} \Gamma{\left(1 - \frac{2}{\eta} \right)} s^\frac{2}{\eta}\right) = \exp\left(- t s^\beta \right)$$ कहाँ $$g$$ लुप्त होने की शक्ति है, $$\eta$$ पथ हानि#हानि प्रतिपादक है, $$\lambda$$ 2डी पॉइसन प्वाइंट प्रक्रिया का घनत्व है, $$\Gamma(\cdot)$$ गामा फ़ंक्शन है, और $$\mathbb{E}[x]$$ चर की अपेक्षा है $$x$$.

वही संदर्भ यह भी दिखाता है कि विस्तारित घातांक के लिए व्युत्क्रम लाप्लास ट्रांसफॉर्म कैसे प्राप्त किया जाए $$\exp\left(-s^\beta \right)$$ उच्च क्रम पूर्णांक के लिए $$\beta = \beta_q \beta_b $$ निचले क्रम के पूर्णांकों से $$\beta_a$$ और $$\beta_b$$.

इंटरनेट स्ट्रीमिंग
विस्तारित घातांक का उपयोग यूट्यूब और अन्य स्थिर स्ट्रीमिंग मीडिया साइटों जैसे इंटरनेट मीडिया एक्सेसिंग पैटर्न को चिह्नित करने के लिए किया गया है। वेब वर्कलोड के आम तौर पर सहमत पावर-लॉ एक्सेसिंग पैटर्न मुख्य रूप से पाठ-आधारित सामग्री वेब वर्कलोड को दर्शाते हैं, जैसे दैनिक अद्यतन समाचार साइटें।

बाहरी संबंध

 * J. Wuttke: libkww C library to compute the Fourier transform of the stretched exponential function