विशेष सापेक्षता



भौतिक विज्ञान में, सापेक्षता का विशेष सिद्धांत, या संक्षेप में विशेष सापेक्षता, अंतरिक्ष और समय के बीच संबंध में एक वैज्ञानिक सिद्धांत है। अल्बर्ट आइंस्टीन के मूल उपचार में, सिद्धांत दो अभिधारणाओं पर आधारित है:
 * 1) संदर्भ के सभी जड़त्वीय फ्रेम (अर्थात, बिना किसी  त्वरण  के संदर्भ के फ्रेम)में  भौतिकी के नियम अपरिवर्तनीय (भौतिकी) (अर्थात समान) हैं।
 * 2) निर्वात में प्रकाश की गति सभी प्रेक्षकों के लिए समान होती है, चाहे प्रकाश स्रोत या प्रेक्षक की गति कुछ भी हो।

मूल और महत्व
विशेष सापेक्षता मूल रूप से अल्बर्ट आइंस्टीन द्वारा 26 सितंबर 1905 को "विद्युतगतिकी पर गतिमान पिंड" शीर्षक से प्रकाशित एक पेपर में प्रस्तावित की गई थी। मैक्सवेल के विद्युत चुंबकत्व के समीकरणों के साथ न्यूटनियन यांत्रिकी  असंगति और, प्रयोगात्मक रूप से, माइकलसन-मॉर्ले नल परिणाम (और बाद में इसी तरह के प्रयोगों) ने प्रदर्शित किया कि ऐतिहासिक रूप से परिकल्पित  चमकदार ईथर  मौजूद नहीं था। इसने आइंस्टीन के विशेष सापेक्षता के विकास को जन्म दिया, जो सभी गतियों को शामिल करने वाली स्थितियों को संभालने के लिए यांत्रिकी को सुधारता है और विशेष रूप से प्रकाश की गति के करीब गति पर (जिसे जाना जाता है)relativistic velocities) आज, विशेष सापेक्षता किसी भी गति से गति का सबसे सटीक मॉडल साबित होती है जब गुरुत्वाकर्षण और क्वांटम प्रभाव नगण्य होते हैं। फिर भी, न्यूटोनियन मॉडल अभी भी कम वेग (प्रकाश की गति के सापेक्ष) पर एक सरल और सटीक सन्निकटन के रूप में मान्य है, उदाहरण के लिए, पृथ्वी पर रोजमर्रा की गति।

विशेष सापेक्षता के व्यापक परिणाम हैं जिन्हें प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित किया गया है। रेफरी> वे एक साथ सापेक्षता,  लंबाई संकुचन , समय फैलाव, सापेक्षतावादी वेग जोड़ सूत्र, सापेक्षतावादी  डॉपलर प्रभाव ,  विशेष सापेक्षता में द्रव्यमान , प्रकाश की गति # गति पर ऊपरी सीमा, द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता, की गति शामिल हैं कार्य-कारण और थॉमस पूर्वसर्ग।  उदाहरण के लिए, इसने एक पूर्ण सार्वभौमिक समय की पारंपरिक धारणा को उस समय की धारणा से बदल दिया है जो संदर्भ फ्रेम और अंतरिक्ष स्थिति पर निर्भर है। दो घटनाओं के बीच एक अपरिवर्तनीय समय अंतराल के बजाय, एक अपरिवर्तनीय स्पेसटाइम अंतराल होता है। भौतिकी के अन्य नियमों के साथ, विशेष सापेक्षता के दो अभिगृहीत  द्रव्यमान  और  ऊर्जा  की तुल्यता की भविष्यवाणी करते हैं, जैसा कि द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सूत्र में व्यक्त किया गया है। $$E = mc^2$$, कहाँ पे $$c$$ निर्वात में प्रकाश की गति है।  यह यह भी बताता है कि बिजली और चुंबकत्व की घटनाएं कैसे संबंधित हैं।

विशेष सापेक्षता की एक परिभाषित विशेषता लोरेंत्ज़ परिवर्तन ों के साथ न्यूटनियन यांत्रिकी के  गैलीलियन परिवर्तन ों का प्रतिस्थापन है। समय और स्थान को एक दूसरे से अलग-अलग परिभाषित नहीं किया जा सकता (जैसा कि पहले माना जाता था)। बल्कि, अंतरिक्ष और समय को स्पेसटाइम में जोड़ा जाता है | एक एकल सातत्य जिसे स्पेसटाइम के रूप में जाना जाता है। एक पर्यवेक्षक के लिए एक ही समय में होने वाली घटनाएँ दूसरे के लिए अलग-अलग समय पर घटित हो सकती हैं।

कई वर्षों बाद तक जब आइंस्टीन ने सामान्य सापेक्षता  विकसित की, जिसने गुरुत्वाकर्षण को शामिल करने के लिए एक घुमावदार स्पेसटाइम पेश किया, विशेष सापेक्षता वाक्यांश का उपयोग नहीं किया गया था। कभी-कभी इस्तेमाल किया जाने वाला अनुवाद प्रतिबंधित सापेक्षता है; विशेष वास्तव में विशेष मामला है।    विशेष सापेक्षता में अल्बर्ट आइंस्टीन के कुछ काम  हेंड्रिक लोरेंत्ज़ो  और हेनरी पोंकारे द्वारा पहले के काम पर बनाए गए हैं। सिद्धांत अनिवार्य रूप से 1907 में पूर्ण हो गया।

यह सिद्धांत इस मायने में विशेष है कि यह केवल उस विशेष मामले में लागू होता है जहां स्पेसटाइम सपाट होता है, यानी, जहां स्पेसटाइम की वक्रता  (ऊर्जा-गति टेंसर का परिणाम और  गुरुत्वाकर्षण  का प्रतिनिधित्व) नगण्य है। गुरुत्वाकर्षण को सही ढंग से समायोजित करने के लिए, आइंस्टीन ने 1915 में सामान्य सापेक्षता तैयार की। विशेष सापेक्षता, कुछ ऐतिहासिक विवरणों के विपरीत,  त्वरण (विशेष सापेक्षता)  के साथ-साथ रिंडलर निर्देशांक को समायोजित करती है। जिस तरह गैलीलियन इनवेरिएंस  को अब विशेष सापेक्षता का अनुमान माना जाता है जो कम गति के लिए मान्य है, विशेष सापेक्षता को सामान्य सापेक्षता का अनुमान माना जाता है जो कमजोर  गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र ों के लिए मान्य है, यानी पर्याप्त रूप से छोटे पैमाने पर (उदाहरण के लिए, जब ज्वारीय बल नगण्य हैं) और मुक्त पतन की स्थितियों में। हालांकि, सामान्य सापेक्षता में  गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति  को शामिल किया जाता है ताकि गुरुत्वाकर्षण प्रभाव को स्पेसटाइम के ज्यामितीय वक्रता के रूप में दर्शाया जा सके। विशेष सापेक्षता फ्लैट स्पेसटाइम तक सीमित है जिसे  मिंकोव्स्की स्पेस  के रूप में जाना जाता है। जब तक ब्रह्मांड को  छद्म रीमैनियन मैनिफोल्ड  के रूप में तैयार किया जा सकता है, एक लोरेंत्ज़-अपरिवर्तनीय फ्रेम जो विशेष सापेक्षता का पालन करता है, इस  घुमावदार स्पेसटाइम  में प्रत्येक बिंदु के पर्याप्त छोटे पड़ोस के लिए परिभाषित किया जा सकता है।

गैलिलियो गैलिली ने पहले ही माना था कि आराम की कोई पूर्ण और अच्छी तरह से परिभाषित स्थिति नहीं है (कोई  पसंदीदा फ्रेम  नहीं), एक सिद्धांत जिसे अब गैलीलियन इनवेरिएंस | गैलीलियो का सापेक्षता का सिद्धांत कहा जाता है। आइंस्टीन ने इस सिद्धांत का विस्तार इस प्रकार किया कि यह प्रकाश की निरंतर गति के लिए जिम्मेदार है, एक घटना जिसे माइकलसन-मॉर्ले प्रयोग में देखा गया था। उन्होंने यह भी माना कि यह भौतिकी के सभी नियमों के लिए है, जिसमें यांत्रिकी और  बिजली का गतिविज्ञान  दोनों के नियम शामिल हैं।

विशेष सापेक्षता के लिए पारंपरिक दो अभिधारणाएं
आइंस्टीन ने दो मूलभूत प्रस्तावों की पहचान की, जो यांत्रिकी या इलेक्ट्रोडायनामिक्स के (तत्कालीन) ज्ञात कानूनों की सटीक वैधता की परवाह किए बिना, सबसे अधिक आश्वस्त प्रतीत होते थे। ये प्रस्ताव निर्वात में प्रकाश की गति की स्थिरता और जड़त्वीय प्रणाली के चुनाव से भौतिक नियमों (विशेषकर प्रकाश की गति की स्थिरता) की स्वतंत्रता थे। 1905 में विशेष सापेक्षता की अपनी प्रारंभिक प्रस्तुति में उन्होंने इन अभिधारणाओं को इस प्रकार व्यक्त किया: * सापेक्षता का सिद्धांत  - वे नियम जिनके द्वारा भौतिक प्रणालियों की अवस्थाओं में परिवर्तन होता है, प्रभावित नहीं होते हैं, चाहे राज्य के इन परिवर्तनों को एक दूसरे के सापेक्ष एकसमान अनुवादकीय गति में दो प्रणालियों में से एक या दूसरे को संदर्भित किया जाए। * अपरिवर्तनीय प्रकाश गति का सिद्धांत - ... प्रकाश हमेशा खाली स्थान में एक निश्चित वेग [गति] c के साथ प्रचारित होता है जो उत्सर्जक पिंड की गति की स्थिति (प्रस्तावना से) से स्वतंत्र होता है। यही है, निर्वात में प्रकाश प्रकाश स्रोत की गति की स्थिति की परवाह किए बिना, जड़त्वीय निर्देशांक (स्थिर प्रणाली) की कम से कम एक प्रणाली में गति c (एक निश्चित स्थिर, दिशा से स्वतंत्र) के साथ फैलता है।

प्रकाश की गति की स्थिरता मैक्सवेल के विद्युत चुंबकत्व के सिद्धांत और चमकदार ईथर  के साक्ष्य की कमी से प्रेरित थी। माइकलसन-मॉर्ले प्रयोग के शून्य परिणाम से आइंस्टीन किस हद तक प्रभावित थे, इस पर परस्पर विरोधी सबूत हैं। किसी भी मामले में, माइकलसन-मॉर्ले प्रयोग के शून्य परिणाम ने प्रकाश की गति की गति की व्यापकता और तेजी से स्वीकृति की धारणा में मदद की।

विशेष सापेक्षता की व्युत्पत्ति न केवल इन दो स्पष्ट अभिधारणाओं पर निर्भर करती है, बल्कि कई मौन मान्यताओं (ड्यूहेम-क्विन थीसिस) पर भी निर्भर करती है, जिसमें अंतरिक्ष की समरूपता और समरूपता (भौतिकी) और उनके पिछले इतिहास से छड़ और घड़ियों को मापने की स्वतंत्रता शामिल है। 1905 में आइंस्टीन की विशेष सापेक्षता की मूल प्रस्तुति के बाद, विभिन्न वैकल्पिक व्युत्पत्तियों में कई अलग-अलग सेटों का प्रस्ताव किया गया है। हालांकि, आइंस्टीन द्वारा अपने मूल पेपर में नियोजित पदों का सबसे आम सेट बना हुआ है। बाद में आइंस्टीन द्वारा दिए गए सापेक्षता के सिद्धांत का एक और गणितीय कथन, जो ऊपर वर्णित सादगी की अवधारणा का परिचय नहीं देता है: "Special principle of relativity: If a system of coordinates K is chosen so that, in relation to it, physical laws hold good in their simplest form, the same laws hold good in relation to any other system of coordinates K′ moving in uniform translation relatively to K."

हेनरी पोंकारे ने यह साबित करके सापेक्षता सिद्धांत के लिए गणितीय ढांचा प्रदान किया कि लोरेंत्ज़ परिवर्तन  समरूपता परिवर्तनों के उनके पोंकारे समूह का एक सबसेट है। आइंस्टीन ने बाद में इन परिवर्तनों को अपने स्वयंसिद्धों से प्राप्त किया।

आइंस्टीन के कई पत्र इन दो सिद्धांतों के आधार पर लोरेंत्ज़ परिवर्तन की व्युत्पत्तियों को प्रस्तुत करते हैं।

संदर्भ फ्रेम और सापेक्ष गति
संदर्भ का फ्रेम सापेक्षता सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। यहां इस्तेमाल किया गया संदर्भ फ्रेम शब्द अंतरिक्ष में एक अवलोकन परिप्रेक्ष्य है जो गति (त्वरण) में किसी भी बदलाव से नहीं गुजर रहा है, जिससे एक स्थिति को 3 स्थानिक अक्षों के साथ मापा जा सकता है (इसलिए, आराम या स्थिर वेग पर)। इसके अलावा, एक संदर्भ फ्रेम में 'घड़ी' (समान आवधिकता वाले किसी भी संदर्भ उपकरण) का उपयोग करके घटनाओं के समय के माप को निर्धारित करने की क्षमता होती है।

एक घटना (सापेक्षता)  एक घटना है जिसे एक संदर्भ फ्रेम के सापेक्ष अंतरिक्ष में एक अद्वितीय क्षण और स्थान सौंपा जा सकता है: यह स्पेसटाइम में एक बिंदु है। चूंकि संदर्भ फ्रेम के बावजूद प्रकाश की गति सापेक्षता में स्थिर है, प्रकाश की दालों का उपयोग स्पष्ट रूप से दूरियों को मापने के लिए किया जा सकता है और उस समय को वापस संदर्भित किया जा सकता है जब घटना घड़ी में हुई थी, भले ही प्रकाश को घटना के बाद घड़ी तक पहुंचने में समय लगता है। हुआ है।

उदाहरण के लिए, पटाखों के विस्फोट को एक घटना माना जा सकता है। हम किसी घटना को उसके चार स्पेसटाइम निर्देशांक द्वारा पूरी तरह से निर्दिष्ट कर सकते हैं: घटना का समय और इसकी 3-आयामी स्थानिक स्थिति एक संदर्भ बिंदु को परिभाषित करती है। आइए इस संदर्भ फ्रेम को S कहते हैं।

सापेक्षता सिद्धांत में, हम अक्सर अलग-अलग संदर्भ फ़्रेमों से किसी घटना के निर्देशांक की गणना करना चाहते हैं। वे समीकरण जो विभिन्न फ्रेमों में किए गए मापों से संबंधित होते हैं, रूपांतरण समीकरण कहलाते हैं।

मानक विन्यास
संदर्भ के विभिन्न जड़त्वीय फ्रेम में पर्यवेक्षकों द्वारा मापा गया स्पेसटाइम निर्देशांक एक दूसरे के साथ तुलना करने के तरीके में अंतर्दृष्टि प्राप्त करने के लिए, मानक कॉन्फ़िगरेशन में फ़्रेम के साथ सरलीकृत सेटअप के साथ काम करना उपयोगी होता है। सावधानी के साथ, यह गणित के सरलीकरण की अनुमति देता है और निष्कर्षों में व्यापकता का कोई नुकसान नहीं होता है। चित्र 2-1 में, दो गैलीलियन संदर्भ फ़्रेम (यानी, पारंपरिक 3-स्पेस फ़्रेम) सापेक्ष गति में प्रदर्शित होते हैं। फ़्रेम S पहले पर्यवेक्षक O से संबंधित है, और फ़्रेम S′ (उच्चारण S प्राइम या S डैश ) दूसरे पर्यवेक्षक O′ से संबंधित है।
 * फ्रेम S के x, y, z अक्ष फ्रेम S′ के संबंधित प्राइमेड अक्षों के समानांतर उन्मुख होते हैं।
 * फ़्रेम S′ सरलता के लिए, एक ही दिशा में चलता है: फ़्रेम S की x-दिशा स्थिर वेग v के साथ, जैसा कि फ़्रेम S में मापा जाता है।
 * फ्रेम S और S′ के उद्गम संपाती होते हैं जब फ्रेम S के लिए समय t = 0 और फ्रेम S′ के लिए t′ = 0 होता है।

चूंकि सापेक्षता सिद्धांत में कोई पूर्ण संदर्भ फ्रेम नहीं है, इसलिए 'चलती' की अवधारणा सख्ती से मौजूद नहीं है, क्योंकि सब कुछ किसी अन्य संदर्भ फ्रेम के संबंध में आगे बढ़ रहा है। इसके बजाय, कोई भी दो फ्रेम जो एक ही गति से एक ही दिशा में चलते हैं, उन्हें मूविंग कहा जाता है। इसलिए, S और S′ गतिमान नहीं हैं।

एक पूर्ण संदर्भ फ्रेम का अभाव
सापेक्षता का सिद्धांत, जिसमें कहा गया है कि प्रत्येक जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम  में भौतिक कानूनों का एक ही रूप है, गैलीलियो गैलीली की तारीख है, और न्यूटनियन भौतिकी में शामिल किया गया था। हालांकि, 19वीं शताब्दी के अंत में,  विद्युत चुम्बकीय विकिरण  के अस्तित्व ने कुछ भौतिकविदों को यह सुझाव देने के लिए प्रेरित किया कि ब्रह्मांड एक पदार्थ से भरा हुआ है जिसे वे ल्यूमिनिफेरस ईथर कहते हैं, जिसे उन्होंने माना, माध्यम के रूप में कार्य करेगा जिसके माध्यम से ये तरंगें, या कंपन, प्रचारित होती हैं। (जिस तरह से ध्वनि हवा के माध्यम से फैलती है, उसी तरह कई मायनों में)। ईथर को एक पसंदीदा फ्रेम माना जाता था जिसके खिलाफ सभी गति को मापा जा सकता था, और इसे पृथ्वी या किसी अन्य निश्चित संदर्भ बिंदु के सापेक्ष स्थिर और गतिहीन माना जा सकता था। ईथर को विद्युत चुम्बकीय तरंगों का समर्थन करने के लिए पर्याप्त रूप से लोचदार माना जाता था, जबकि वे तरंगें पदार्थ के साथ बातचीत कर सकती थीं, फिर भी इससे गुजरने वाले निकायों के लिए कोई प्रतिरोध नहीं दे रही थी (इसकी एक संपत्ति यह थी कि यह विद्युत चुम्बकीय तरंगों को फैलाने की अनुमति देती थी)। 1887 में माइकलसन-मॉर्ले प्रयोग (बाद में अधिक सटीक और नवीन प्रयोगों के साथ सत्यापित) सहित विभिन्न प्रयोगों के परिणामों ने विशेष सापेक्षता के सिद्धांत को जन्म दिया, यह दिखाते हुए कि ईथर मौजूद नहीं था। आइंस्टीन का समाधान एक ईथर की धारणा और आराम की पूर्ण स्थिति को त्यागना था। सापेक्षता में, एकसमान गति से गतिमान कोई भी संदर्भ फ्रेम भौतिकी के समान नियमों का पालन करेगा। विशेष रूप से, निर्वात में प्रकाश की गति को हमेशा c के रूप में मापा जाता है, भले ही इसे कई प्रणालियों द्वारा मापा जाता है जो अलग-अलग (लेकिन स्थिर) वेग से आगे बढ़ रहे हैं।

दूसरी अभिधारणा के बिना सापेक्षता
अकेले सापेक्षता के सिद्धांत से प्रकाश की गति की स्थिरता को ग्रहण किए बिना (अर्थात, अंतरिक्ष की समरूपता और विशेष सापेक्षता के सिद्धांत द्वारा निहित समरूपता का उपयोग करके) लोरेंत्ज़ परिवर्तनों की व्युत्पत्तियाँ#समूह से यह माना जाता है कि जड़त्वीय फ्रेम के बीच स्पेसटाइम परिवर्तन यूक्लिडियन, गैलीलियन या लोरेंत्ज़ियन हैं। लोरेंत्ज़ियन मामले में, कोई तब सापेक्षतावादी अंतराल संरक्षण और एक निश्चित सीमित सीमित गति प्राप्त कर सकता है। प्रयोग बताते हैं कि यह गति निर्वात में प्रकाश की गति है।

विशेष सापेक्षता के लिए वैकल्पिक दृष्टिकोण
आइंस्टीन लगातार लोरेंत्ज़ इनवेरिएंस (विशेष सापेक्षता का आवश्यक मूल) की व्युत्पत्ति सापेक्षता और प्रकाश-गति के अपरिवर्तन के केवल दो बुनियादी सिद्धांतों पर आधारित थे। उन्होंने लिखा है: "The insight fundamental for the special theory of relativity is this: The assumptions relativity and light speed invariance are compatible if relations of a new type ("Lorentz transformation") are postulated for the conversion of coordinates and times of events ... The universal principle of the special theory of relativity is contained in the postulate: The laws of physics are invariant with respect to Lorentz transformations (for the transition from one inertial system to any other arbitrarily chosen inertial system). This is a restricting principle for natural laws ..."

इस प्रकार विशेष सापेक्षता के कई आधुनिक उपचार इसे सार्वभौमिक लोरेंत्ज़ सहप्रसरण के एकल अभिधारणा पर, या, समान रूप से, मिंकोव्स्की स्पेसटाइम  के एकल अभिधारणा पर आधारित करते हैं। सार्वभौमिक लोरेंत्ज़ सहप्रसरण को एक व्युत्पन्न सिद्धांत मानने के बजाय, यह लेख इसे विशेष सापेक्षता का मूल सिद्धांत मानता है। विशेष सापेक्षता के लिए पारंपरिक दो-आधारवादी दृष्टिकोण असंख्य कॉलेज पाठ्यपुस्तकों और लोकप्रिय प्रस्तुतियों में प्रस्तुत किया गया है। मिंकोवस्की स्पेसटाइम के एकल अभिधारणा से शुरू होने वाली पाठ्यपुस्तकों में टेलर और व्हीलर की पुस्तकें शामिल हैं और कैलहन द्वारा। रेफरी नाम = कैलाहन> विकिपीडिया लेख स्पेसटाइम और मिंकोव्स्की आरेख  के बाद भी यही दृष्टिकोण है।

लोरेंत्ज़ परिवर्तन और उसका प्रतिलोम
स्पेसटाइम को परिभाषित करें#स्पेसटाइम निर्देशांक रखने के लिए बुनियादी अवधारणाएं (t, x, y, z) सिस्टम एस और. में (t&prime;, x&prime;, y&prime;, z&prime;) एक संदर्भ फ्रेम में उस फ्रेम के संबंध में वेग v से आगे बढ़ते हुए, S′। फिर लोरेंत्ज़ परिवर्तन निर्दिष्ट करता है कि ये निर्देशांक निम्नलिखित तरीके से संबंधित हैं: $$\begin{align} t' &= \gamma \ (t - vx/c^2) \\ x' &= \gamma \ (x - v t) \\ y' &= y \\ z' &= z , \end{align}$$ कहाँ पे $$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$ लोरेंत्ज़ कारक  है और c निर्वात में प्रकाश की गति है, और S′ का वेग v, S के सापेक्ष, x-अक्ष के समानांतर है। सादगी के लिए, y और z निर्देशांक अप्रभावित हैं; केवल x और t निर्देशांक रूपांतरित होते हैं। ये लोरेंत्ज़ रूपांतरण रैखिक मैपिंग का  एक-पैरामीटर समूह  बनाते हैं, उस पैरामीटर को  तेज़ी  कहा जाता है।

अप्रकाशित निर्देशांक के लिए उपरोक्त चार परिवर्तन समीकरणों को हल करने से व्युत्क्रम लोरेंत्ज़ परिवर्तन प्राप्त होता है: $$\begin{align} t &= \gamma ( t' + v x'/c^2) \\ x &= \gamma ( x' + v t') \\ y &= y' \\ z &= z'. \end{align}$$ इस व्युत्क्रम लोरेंत्ज़ परिवर्तन को प्राइमेड से अनप्रिम्ड सिस्टम में लोरेंत्ज़ परिवर्तन के साथ मेल खाने के लिए लागू करना, अप्रकाशित फ्रेम को वेग के साथ आगे बढ़ने के रूप में दिखाता है $v′ = −v$, जैसा कि प्राइमेड फ्रेम में मापा जाता है।

एक्स-अक्ष के बारे में कुछ खास नहीं है। परिवर्तन y- या z- अक्ष पर लागू हो सकता है, या वास्तव में गति के समानांतर किसी भी दिशा में (जो कारक द्वारा विकृत होते हैं) और लंबवत; विवरण के लिए लेख लोरेंत्ज़ परिवर्तन देखें।

लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के तहत एक मात्रा अपरिवर्तनीय को लोरेंत्ज़ स्केलार  के रूप में जाना जाता है।

लोरेंत्ज़ परिवर्तन और इसके व्युत्क्रम को समन्वय अंतर के संदर्भ में लिखना, जहां एक घटना में निर्देशांक होते हैं (x1, t1) तथा (x′1, t′1), एक अन्य घटना के निर्देशांक हैं (x2, t2) तथा (x′2, t′2), और अंतर के रूप में परिभाषित कर रहे हैं हम पाते हैं यदि हम अंतर लेने के बजाय अंतर लेते हैं, तो हमें मिलता है
 * $$    $$\Delta x' = x'_2-x'_1 \, \ \Delta t' = t'_2-t'_1 \ .$$
 * $$    $$\Delta x = x_2-x_1 \, \ \ \Delta t = t_2-t_1 \ .$$
 * $$    $$\Delta x' = \gamma \ (\Delta x - v \,\Delta t) \ ,\ \ $$ $$\Delta t' = \gamma \ \left(\Delta t - v \ \Delta x / c^{2} \right) \ . $$
 * $$    $$\Delta x = \gamma \ (\Delta x' + v \,\Delta t') \, \ $$ $$\Delta t = \gamma \ \left(\Delta t' + v \ \Delta x' / c^{2} \right) \ . $$


 * $$    $$dx' = \gamma \ (dx - v \, dt) \ ,\ \ $$ $$dt' = \gamma \ \left( dt - v \ dx / c^{2} \right) \ . $$
 * $$    $$dx = \gamma \ (dx' + v \,dt') \, \ $$ $$dt = \gamma \ \left(dt' + v \ dx' / c^{2} \right) \ . $$

लोरेंत्ज़ परिवर्तन का चित्रमय प्रतिनिधित्व
स्पेसटाइम आरेख (मिन्कोव्स्की आरेख) यह देखने के लिए एक अत्यंत उपयोगी सहायता है कि विभिन्न संदर्भ फ़्रेमों के बीच निर्देशांक कैसे बदलते हैं। यद्यपि उनका उपयोग करके सटीक गणना करना उतना आसान नहीं है जितना कि सीधे लोरेंत्ज़ परिवर्तनों को लागू करना, उनकी मुख्य शक्ति एक सापेक्षतावादी परिदृश्य के परिणामों की सहज समझ प्रदान करने की उनकी क्षमता है।

स्पेसटाइम आरेख बनाने के लिए, मानक कॉन्फ़िगरेशन में दो गैलीलियन संदर्भ फ़्रेम, S और S' पर विचार करके प्रारंभ करें, जैसा कि चित्र 2-1 में दिखाया गया है। अंजीर। 3-1a। खींचना $$x$$ तथा $$t$$ फ्रेम एस की कुल्हाड़ियों $$x$$ h> अक्ष क्षैतिज है और $$t$$ (वास्तव में $$ct$$) अक्ष लंबवत है, जो कि कीनेमेटिक्स में सामान्य परंपरा के विपरीत है। $$ct$$ h> अक्ष को के एक कारक द्वारा बढ़ाया जाता है $$c$$ ताकि दोनों अक्षों की लंबाई की सामान्य इकाइयाँ हों। दिखाए गए आरेख में, ग्रिडलाइनों को एक इकाई की दूरी पर रखा गया है। 45° विकर्ण रेखाएं समय पर मूल से गुजरने वाले दो फोटॉनों की विश्व रेखाओं का प्रतिनिधित्व करती हैं $$t = 0.$$ इन विश्वरेखाओं का ढलान 1 है क्योंकि फोटॉन प्रति इकाई समय में एक इकाई अंतरिक्ष में आगे बढ़ते हैं। दो घटनाएँ, $$\text{A}$$ तथा $$\text{B},$$ इस ग्राफ पर प्लॉट किए गए हैं ताकि उनके निर्देशांकों की तुलना S और S के फ्रेम में की जा सके।

अंजीर। 3-1 बी। खींचना $$x'$$ तथा $$ct'$$ फ्रेम एस की कुल्हाड़ियों '। $$ct'$$ एच> अक्ष फ्रेम एस में मापा गया एस 'समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति की विश्व रेखा का प्रतिनिधित्व करता है। इस आंकड़े में, $$v = c/2.$$ दोनों $$ct'$$ तथा $$x'$$ कुल्हाड़ियों को एक कोण द्वारा अप्रकाशित कुल्हाड़ियों से झुकाया जाता है $$\alpha = \tan^{-1}(\beta),$$ कहाँ पे $$\beta = v/c.$$ प्राइमेड और अनप्रिम्ड एक्सिस एक सामान्य मूल साझा करते हैं क्योंकि फ्रेम एस और एस 'मानक कॉन्फ़िगरेशन में स्थापित किए गए थे, ताकि $$t=0$$ जब $$t'=0.$$ अंजीर। 3-1 सी। प्राइमेड एक्सिस में यूनिट्स का स्केल अनप्रिम्ड एक्सिस में यूनिट्स से अलग होता है। लोरेंत्ज़ परिवर्तनों से, हम देखते हैं कि $$(x', ct')$$ के निर्देशांक $$(0, 1)$$ प्राइमेड कोऑर्डिनेट सिस्टम में ट्रांसफॉर्म करें $$ (\beta \gamma, \gamma)$$ अप्रकाशित समन्वय प्रणाली में। वैसे ही, $$(x', ct')$$ के निर्देशांक $$(1, 0)$$ प्राइमेड कोऑर्डिनेट सिस्टम में ट्रांसफॉर्म करें $$(\gamma, \beta \gamma)$$ अप्रशिक्षित प्रणाली में। के समानांतर ग्रिडलाइन बनाएं $$ct'$$ बिंदुओं के माध्यम से अक्ष $$(k \gamma, k \beta \gamma)$$ जैसा कि अप्रकाशित फ्रेम में मापा जाता है, जहां $$ k $$ एक पूर्णांक है। इसी तरह, ग्रिडलाइन को समानांतर बनाएं $$x'$$ अक्ष के माध्यम से $$(k \beta \gamma, k \gamma)$$ जैसा कि अनप्रिमेड फ्रेम में मापा जाता है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम देखते हैं कि के बीच की दूरी $$ct'$$ इकाइयाँ बराबर होती हैं $\sqrt{(1 + \beta ^2)/(1 - \beta ^2)}$ के बीच की दूरी का गुना $$ct$$ इकाइयाँ, जैसा कि फ्रेम S में मापा जाता है। यह अनुपात हमेशा 1 से अधिक होता है, और अंततः यह अनंत तक पहुँचता है $$\beta \to 1.$$ अंजीर। 3-1d। चूंकि प्रकाश की गति एक अपरिवर्तनीय है, इसलिए समय पर मूल से गुजरने वाले दो फोटोन की सांसारिक रेखाएं $$t' = 0$$ अभी भी 45° विकर्ण रेखाओं के रूप में प्लॉट करें। के प्राइमेड निर्देशांक $$\text{A}$$ तथा $$\text{B}$$ लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के माध्यम से अप्रकाशित निर्देशांक से संबंधित हैं और लगभग ग्राफ से मापा जा सकता है (यह मानते हुए कि इसे सटीक रूप से पर्याप्त रूप से प्लॉट किया गया है), लेकिन मिंकोव्स्की आरेख की वास्तविक योग्यता हमें परिदृश्य का एक ज्यामितीय दृश्य प्रदान करना है। उदाहरण के लिए, इस आकृति में, हम देखते हैं कि दो समय-समान-पृथक घटनाएँ जिनके अप्रकाशित फ्रेम में अलग-अलग x-निर्देशांक थे, अब अंतरिक्ष में एक ही स्थिति में हैं।

जबकि अप्रकाशित फ्रेम को अंतरिक्ष और समय अक्षों के साथ खींचा जाता है जो समकोण पर मिलते हैं, प्राइमेड फ्रेम कुल्हाड़ियों के साथ खींचा जाता है जो तीव्र या अधिक कोणों पर मिलते हैं। यह विषमता अपरिहार्य विकृतियों के कारण है कि कैसे स्पेसटाइम एक कार्टेशियन विमान पर मानचित्र का समन्वय करता है, लेकिन फ्रेम वास्तव में समकक्ष हैं।

लोरेंत्ज़ परिवर्तन से प्राप्त परिणाम
विशेष सापेक्षता के परिणाम लोरेंत्ज़ परिवर्तन समीकरणों से प्राप्त किए जा सकते हैं। ये परिवर्तन, और इसलिए विशेष सापेक्षता, सभी सापेक्ष वेगों पर न्यूटनियन यांत्रिकी की तुलना में विभिन्न भौतिक भविष्यवाणियों की ओर ले जाते हैं, और सबसे अधिक स्पष्ट होते हैं जब सापेक्ष वेग प्रकाश की गति के बराबर हो जाते हैं। अधिकांश मनुष्यों का सामना करने वाली किसी भी चीज़ की तुलना में प्रकाश की गति इतनी अधिक होती है कि सापेक्षता द्वारा भविष्यवाणी किए गए कुछ प्रभाव शुरू में प्रति-सहज होते हैं।

अपरिवर्तनीय अंतराल
गैलीलियन सापेक्षता में, लंबाई ($$\Delta r$$) और दो घटनाओं के बीच अस्थायी अलगाव ($$\Delta t$$) स्वतंत्र अपरिवर्तनीय हैं, जिनके मान संदर्भ के विभिन्न फ़्रेमों से देखे जाने पर नहीं बदलते हैं। विशेष सापेक्षता में, हालांकि, स्थानिक और लौकिक निर्देशांकों की परस्पर बुनाई एक अपरिवर्तनीय अंतराल की अवधारणा को उत्पन्न करती है, जिसे निरूपित किया जाता है $\Delta s^2$: $$ \Delta s^2 \; \overset\text{def}{=} \; c^2 \Delta t^2 - (\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2) $$ अंतरिक्ष और समय की इंटरविविंग गैर-कोविंग फ्रेम में पूर्ण एक साथ और सिंक्रनाइज़ेशन की अंतर्निहित रूप से ग्रहण की गई अवधारणाओं को रद्द कर देती है।

का रूप $$\Delta s^2 ,$$ चुकता समय व्यतीत होने और चुकता स्थानिक दूरी का अंतर होने के कारण, यूक्लिडियन और स्पेसटाइम दूरियों के बीच एक मूलभूत विसंगति को प्रदर्शित करता है। इस अंतराल का अपरिवर्तन सामान्य लोरेंत्ज़ ट्रांसफ़ॉर्म (जिसे पोंकारे ट्रांसफ़ॉर्मेशन भी कहा जाता है) की एक संपत्ति है, जिससे यह स्पेसटाइम का एक आइसोमेट्री  बन जाता है। सामान्य लोरेंत्ज़ ट्रांसफ़ॉर्म मानक लोरेंत्ज़ ट्रांसफ़ॉर्म का विस्तार करता है (जो रोटेशन के बिना अनुवादों से संबंधित है, यानी, लोरेंत्ज़ एक्स-दिशा में बूस्ट करता है) अन्य सभी अनुवाद (ज्यामिति), परावर्तन (गणित), और रोटेशन (गणित) के बीच किसी भी कार्टेशियन के बीच जड़त्वीय फ्रेम। सरलीकृत परिदृश्यों के विश्लेषण में, जैसे कि स्पेसटाइम आरेख, अपरिवर्तनीय अंतराल का एक कम-आयामी रूप अक्सर नियोजित होता है: $$\Delta s^2 \, = \, c^2 \Delta t^2 - \Delta x^2$$ यह दर्शाता है कि अंतराल अपरिवर्तनीय है, कम-आयामी मामले के लिए और मानक कॉन्फ़िगरेशन में फ़्रेम के साथ सीधा है: $$\begin{align} c^2 \Delta t^2 - \Delta x^2 &= c^2 \gamma ^2 \left(\Delta t' + \dfrac{v \Delta x'}{c^2} \right)^2 - \gamma ^2 \ (\Delta x' + v \Delta t')^2 \\ &= \gamma ^2 \left( c^2 \Delta t' ^ {\, 2} + 2 v \Delta x' \Delta t' + \dfrac{v^2 \Delta x' ^ {\, 2}}{c^2} \right) - \gamma ^2 \ (\Delta x' ^ {\, 2} + 2 v \Delta x' \Delta t' + v^2 \Delta t' ^ {\, 2}) \\ &= \gamma ^2 c^2 \Delta t' ^ {\, 2} - \gamma ^2 v^2 \Delta t' ^{\, 2} - \gamma ^2 \Delta x' ^ {\, 2} + \gamma ^2 \dfrac{v^2 \Delta x' ^ {\, 2}}{c^2} \\ &= \gamma ^2 c^2 \Delta t' ^ {\, 2} \left( 1 - \dfrac{v^2}{c^2} \right) - \gamma ^2 \Delta x' ^{\, 2} \left( 1 - \dfrac{v^2}{c^2} \right) \\ &= c^2 \Delta t' ^{\, 2} - \Delta x' ^{\, 2} \end{align}$$ का मूल्य $$\Delta s^2$$ इसलिए उस फ्रेम से स्वतंत्र है जिसमें इसे मापा जाता है।

के भौतिक महत्व को देखते हुए $$\Delta s^2$$, ध्यान देने योग्य तीन मामले हैं:
 * Δs2 > 0: इस मामले में, दो घटनाओं को अंतरिक्ष की तुलना में अधिक समय से अलग किया जाता है, और इसलिए उन्हें 'समय की तरह' अलग कहा जाता है। यह बताता है कि $$| \Delta x / \Delta t | < c ,$$ और लोरेंत्ज़ परिवर्तन दिया $$\Delta x' = \gamma \ (\Delta x - v \,\Delta t) ,$$ यह स्पष्ट है कि वहाँ मौजूद है a $$v$$ से कम $$c$$ जिसके लिए $$\Delta x' = 0$$ (विशेष रूप से, $$v = \Delta x / \Delta t$$) दूसरे शब्दों में, दो घटनाओं को देखते हुए जो समयबद्ध रूप से अलग हैं, एक फ्रेम खोजना संभव है जिसमें दो घटनाएं एक ही स्थान पर होती हैं। इस फ्रेम में, समय में अलगाव, $$ \Delta s / c,$$ उचित समय कहा जाता है।
 * 'Δs2 < 0: इस मामले में, दो घटनाओं को समय की तुलना में अधिक स्थान से अलग किया जाता है, और इसलिए उन्हें अलग किया गया स्पेसलाइक कहा जाता है। यह बताता है कि $$| \Delta x / \Delta t | > c ,$$ और लोरेंत्ज़ परिवर्तन दिया $$\Delta t' = \gamma \ (\Delta t - v \Delta x / c^2) ,$$ वहाँ एक मौजूद है $$v$$ से कम $$c$$ जिसके लिए $$\Delta t' = 0$$ (विशेष रूप से, $$ v = c^2 \Delta t / \Delta x$$) दूसरे शब्दों में, दो घटनाओं को देखते हुए जो अंतरिक्ष की तरह अलग हैं, एक फ्रेम खोजना संभव है जिसमें दो घटनाएं एक ही समय में होती हैं। इस फ्रेम में, अंतरिक्ष में अलगाव, $$ \sqrt { - \Delta s^2 }, $$ उचित दूरी, या उचित लंबाई कहा जाता है। के मूल्यों के लिए $$v$$ से बड़ा और कम $$ c^2 \Delta t / \Delta x, $$ का चिन्ह $$\Delta t'$$ परिवर्तन, जिसका अर्थ है कि अंतरिक्ष-समान-पृथक घटनाओं का अस्थायी क्रम उस फ्रेम के आधार पर बदलता है जिसमें घटनाओं को देखा जाता है। हालाँकि, समयबद्ध-पृथक घटनाओं का अस्थायी क्रम निरपेक्ष है, क्योंकि एकमात्र तरीका है कि $$v$$ से बड़ा हो सकता है $$ c^2 \Delta t / \Delta x$$ होगा अगर $$ v > c .$$
 * Δs2 = 0: इस मामले में, दो घटनाओं को अलग-अलग हल्का सा' कहा जाता है। यह बताता है कि $$| \Delta x / \Delta t | = c ,$$ और यह संबंध के अपरिवर्तन के कारण फ्रेम स्वतंत्र है $$s^2 .$$ इससे हम देखते हैं कि प्रकाश की गति है $$c$$ हर जड़त्वीय फ्रेम में। दूसरे शब्दों में, सार्वभौमिक लोरेंत्ज़ सहप्रसरण की धारणा से शुरू होकर, प्रकाश की निरंतर गति एक व्युत्पन्न परिणाम है, न कि एक विशेष सिद्धांत के दो-अभिधारणाओं के निर्माण के रूप में।

एक साथ सापेक्षता
दो अलग-अलग स्थानों में होने वाली दो घटनाओं पर विचार करें जो एक जड़त्वीय पर्यवेक्षक के संदर्भ फ्रेम में एक साथ घटित होती हैं। वे गैर-एक साथ एक अन्य जड़त्वीय पर्यवेक्षक (पूर्ण एक साथ की कमी) के संदर्भ फ्रेम में हो सकते हैं।

से $$ (समन्वय अंतर के संदर्भ में आगे लोरेंत्ज़ परिवर्तन) $$\Delta t' = \gamma \left(\Delta t - \frac{v \,\Delta x}{c^{2}} \right)$$ यह स्पष्ट है कि दो घटनाएँ जो एक साथ फ्रेम S (संतोषजनक .) में हैं Δt = 0), जरूरी नहीं कि एक और जड़त्वीय फ्रेम S′ (संतोषजनक .) में एक साथ हों Δt′ = 0) केवल तभी जब ये घटनाएँ फ्रेम S में अतिरिक्त रूप से सह-स्थानीय हों (संतोषजनक .) Δx = 0), क्या वे एक साथ दूसरे फ्रेम S′ में होंगे।

Sagnac प्रभाव को एक साथ सापेक्षता की अभिव्यक्ति माना जा सकता है। चूँकि समकालिकता की सापेक्षता प्रथम कोटि का प्रभाव है $$v$$, उनके संचालन के लिए Sagnac प्रभाव पर आधारित उपकरण, जैसे कि रिंग लेजर गायरोस्कोप और फाइबर ऑप्टिक जाइरोस्कोप, संवेदनशीलता के चरम स्तर में सक्षम हैं।

समय फैलाव
दो घटनाओं के बीच का समय एक पर्यवेक्षक से दूसरे पर्यवेक्षक के लिए अपरिवर्तनीय नहीं है, लेकिन पर्यवेक्षकों के संदर्भ फ्रेम की सापेक्ष गति पर निर्भर है (उदाहरण के लिए, जुड़वां विरोधाभास जो एक जुड़वां से संबंधित है जो प्रकाश की गति के निकट यात्रा करने वाले अंतरिक्ष यान में उड़ जाता है। और यह पता चलता है कि गैर-यात्रा करने वाले जुड़वां भाई-बहन की उम्र बहुत अधिक है, विरोधाभास यह है कि निरंतर वेग से हम यह समझने में असमर्थ हैं कि कौन सा जुड़वां यात्रा नहीं कर रहा है और कौन सा जुड़वां यात्रा करता है)।

मान लीजिए कि एक घड़ी  बिना प्राइमेड सिस्टम S में विरामावस्था में है। दो अलग-अलग टिकों पर घड़ी के स्थान की विशेषता तब होती है Δx = 0. दोनों प्रणालियों में मापे गए इन टिकों के बीच के समय के बीच के संबंध को खोजने के लिए, $$ खोजने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है:
 * $$\Delta t' = \gamma\, \Delta t $$संतोषजनक घटनाओं के लिए$$\Delta x = 0 \ .$$

इससे पता चलता है कि दो टिकों के बीच का समय (Δt′) जैसा कि उस फ्रेम में देखा गया है जिसमें घड़ी चल रही है (S′), इन टिकों के बीच के समय (Δt) से अधिक लंबा है जैसा कि घड़ी के बाकी फ्रेम में मापा जाता है ( एस)। समय का फैलाव कई भौतिक घटनाओं की व्याख्या करता है; उदाहरण के लिए, पृथ्वी के बाहरी वायुमंडल में कणों के साथ कॉस्मिक किरणों के टकराने और सतह की ओर बढ़ने से निर्मित उच्च गति वाले म्यूऑन का जीवनकाल, प्रयोगशाला में निर्मित और क्षय होने वाले धीरे-धीरे चलने वाले म्यूऑन के जीवनकाल से अधिक होता है।

लंबाई संकुचन
एक पर्यवेक्षक द्वारा मापी गई वस्तु के आयाम (जैसे, लंबाई) दूसरे पर्यवेक्षक द्वारा किए गए उसी वस्तु के माप के परिणामों से छोटे हो सकते हैं (उदाहरण के लिए, सीढ़ी विरोधाभास  में प्रकाश की गति के निकट यात्रा करने वाली और निहित होने वाली लंबी सीढ़ी शामिल है) एक छोटे गैरेज के भीतर)।

इसी तरह, मान लीजिए कि एक मापने वाली छड़ आराम पर है और अनप्रिम्ड सिस्टम S में x-अक्ष के साथ संरेखित है। इस प्रणाली में, इस छड़ की लंबाई Δx के रूप में लिखी जाती है। सिस्टम S′ में इस रॉड की लंबाई को मापने के लिए, जिसमें रॉड चलती है, रॉड के अंतिम बिंदुओं के लिए x′ की दूरी को उसी सिस्टम S′ में एक साथ मापा जाना चाहिए। दूसरे शब्दों में, माप की विशेषता है Δt′ = 0, जिसे के साथ जोड़ा जा सकता है $$ x और x′ की लंबाई के बीच संबंध खोजने के लिए:
 * $$\Delta x' = \frac{\Delta x}{\gamma} $$संतोषजनक घटनाओं के लिए$$\Delta t' = 0 \ .$$

इससे पता चलता है कि छड़ की लंबाई (Δx′) जिस फ्रेम में चलती है (S′) में मापी जाती है, वह अपने स्वयं के आराम फ्रेम (S) में इसकी लंबाई (Δx) से कम होती है।

समय का फैलाव और लंबाई का संकुचन केवल दिखावे नहीं हैं। समय का फैलाव स्पष्ट रूप से किसी दिए गए समन्वय प्रणाली (जिसे सह-स्थानीय घटनाएँ कहा जाता है) में एक ही स्थान पर होने वाली घटनाओं के बीच समय अंतराल को मापने के हमारे तरीके से संबंधित है। ये समय अंतराल (जो प्रासंगिक पर्यवेक्षकों द्वारा प्रयोगात्मक रूप से मापा जा सकता है, और वास्तव में मापा जाता है) पहले के संबंध में चलने वाली एक अन्य समन्वय प्रणाली में भिन्न होते हैं, जब तक कि सह-स्थानीय होने के अलावा घटनाएं भी एक साथ न हों। इसी तरह, लंबाई संकुचन पसंद के दिए गए समन्वय प्रणाली में अलग लेकिन एक साथ घटनाओं के बीच हमारी मापी गई दूरियों से संबंधित है। यदि ये घटनाएँ सह-स्थानीय नहीं हैं, लेकिन दूरी (अंतरिक्ष) द्वारा अलग की जाती हैं, तो वे एक दूसरे से समान स्थानिक दूरी पर नहीं घटित होंगी जब किसी अन्य गतिमान समन्वय प्रणाली से देखा जाए।

वेगों का लोरेंत्ज़ परिवर्तन
मानक विन्यास में दो फ्रेम एस और एस′ पर विचार करें। S में एक कण x दिशा में वेग सदिश के साथ गति करता है $$\mathbf{u}.$$ इसका वेग क्या है $$\mathbf{u'}$$ फ्रेम में S′ ?

हम लिख सकते हैं

व्यंजकों को के लिए प्रतिस्थापित करना $$dx'$$ तथा $$dt'$$ से $$ में $$, इसके बाद सीधे गणितीय जोड़तोड़ और बैक-प्रतिस्थापन से $$ गति के लोरेंत्ज़ परिवर्तन उत्पन्न करता है $$u$$ प्रति $$u'$$:

व्युत्क्रम संबंध प्राइमेड और अनप्रिम्ड प्रतीकों को आपस में बदलकर और प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है $$ v $$ साथ $$ -v \. $$

के लिये $$\mathbf{u}$$ x-अक्ष के अनुदिश संरेखित नहीं है, हम लिखते हैं:

इस मामले के लिए आगे और उलटा परिवर्तन हैं:

$$ तथा $$ परिणामी देने के रूप में व्याख्या की जा सकती है $$ \mathbf{u} $$ दो वेगों के $$ \mathbf{v} $$ तथा $$ \mathbf{u'}, $$ और वे सूत्र की जगह लेते हैं $$ \mathbf{u = u' + v} $$ जो गैलीलियन सापेक्षता में मान्य है। इस तरह से व्याख्या की गई, उन्हें आमतौर पर सापेक्षिक वेग जोड़ (या संरचना) सूत्रों के रूप में संदर्भित किया जाता है, जो एस और एस के तीन अक्षों के लिए एक दूसरे के साथ गठबंधन होने के लिए मान्य है (हालांकि मानक विन्यास में जरूरी नहीं है)। हम निम्नलिखित बिंदुओं को लिखते हैं:
 * यदि कोई वस्तु (जैसे, एक फोटान) एक फ्रेम में प्रकाश की गति से घूम रही हो (i.e., u = ±c or u′ = ±c), तो यह किसी अन्य फ्रेम में प्रकाश की गति से भी गतिमान हो रहा होगा $$ < c.
 * c से कम परिमाण वाले दो वेगों की परिणामी गति हमेशा c से कम परिमाण वाला वेग होता है।
 * यदि दोनों |u| और |v| (और फिर भी |u′| और |v′|) प्रकाश की गति के संबंध में छोटे हैं (अर्थात, e.g., $$ ≪ $1$), तब विशेष सापेक्षता के लिए परिवर्तन समीकरणों से सहज गैलीलियन परिवर्तन पुनर्प्राप्त किए जाते हैं
 * एक फोटॉन को एक फ्रेम संलग्न करना (आइंस्टीन की तरह एक प्रकाश किरण की सवारी करना) को परिवर्तनों के विशेष उपचार की आवश्यकता होती है।

मानक विन्यास में x दिशा के बारे में कुछ खास नहीं है। उपरोक्त औपचारिकता (गणित)  किसी भी दिशा में लागू होती है; और तीन ओर्थोगोनल दिशाएं इन दिशाओं में उनके घटकों के वेग वैक्टर को विघटित करके अंतरिक्ष में सभी दिशाओं से निपटने की अनुमति देती हैं। विवरण के लिए वेग-जोड़ सूत्र देखें।

थॉमस रोटेशन
दो गैर-कोलिनियर लोरेंत्ज़ बूस्ट्स की संरचना (यानी, दो गैर-कोलिनियर लोरेंत्ज़ ट्रांसफ़ॉर्मेशन, जिनमें से कोई भी रोटेशन शामिल नहीं है) के परिणामस्वरूप लोरेंत्ज़ ट्रांसफ़ॉर्मेशन होता है जो शुद्ध बूस्ट नहीं है बल्कि बूस्ट और रोटेशन की संरचना है।

थॉमस रोटेशन एक साथ सापेक्षता का परिणाम है। अंजीर में। 4-2a, लंबाई की एक छड़ $$L$$ इसके बाकी फ्रेम में (यानी, जिसकी उचित लंबाई  है) $$L$$) जमीन के फ्रेम में y-अक्ष के अनुदिश लंबवत रूप से ऊपर उठता है।

अंजीर में। 4-2b, गति से चलते हुए रॉकेट के फ्रेम से एक ही छड़ देखी जाती है $$v$$ दांई ओर। यदि हम रॉड के बाएं और दाएं छोर पर स्थित दो घड़ियों की कल्पना करते हैं जो रॉड के फ्रेम में सिंक्रोनाइज्ड हैं, तो एक साथ सापेक्षता की वजह से रॉकेट फ्रेम में ऑब्जर्वर प्रेक्षक (#Measurement_versus_visual_appearance नहीं) घड़ी के दाहिने छोर पर स्थित है। रॉड द्वारा समय में उन्नत किया जा रहा है $$Lv/c^2 ,$$ और छड़ को तदनुरूप झुके हुए के रूप में देखा जाता है। दूसरे क्रम के सापेक्षतावादी प्रभावों जैसे कि लंबाई संकुचन या समय फैलाव के विपरीत, यह प्रभाव काफी कम वेग पर भी काफी महत्वपूर्ण हो जाता है। उदाहरण के लिए, इसे स्पिन-ऑर्बिट इंटरैक्शन में देखा जा सकता है, जहां थॉमस प्रीसेशन एक सापेक्ष सुधार है जो एक प्राथमिक कण के स्पिन (भौतिकी) या मैक्रोस्कोपिक जाइरोस्कोप  के रोटेशन पर लागू होता है, जो स्पिन के कोणीय वेग से संबंधित होता है। कक्षीय गति के कोणीय वेग के लिए एक  वक्रीय  कक्षा का अनुसरण करने वाला कण। थॉमस रोटेशन प्रसिद्ध मीटर स्टिक और होल विरोधाभास को संकल्प प्रदान करता है।

कारण और प्रकाश की गति से तेज गति का निषेध
चित्र 4-3 में, घटनाओं A (कारण) और B (प्रभाव) के बीच का समय अंतराल 'समय के समान' है; अर्थात्, संदर्भ का एक ढांचा है जिसमें घटनाएँ A और B अंतरिक्ष में एक ही स्थान पर घटित होती हैं, केवल अलग-अलग समय पर घटित होने से अलग होती हैं। यदि ए उस फ्रेम में बी से पहले है, तो ए लोरेंत्ज़ परिवर्तन द्वारा सुलभ सभी फ़्रेमों में बी से पहले है। पदार्थ (या सूचना) के लिए A के स्थान से (प्रकाश गति से कम) यात्रा करना संभव है, A के समय से शुरू होकर, B के स्थान तक, B के समय पर पहुंचना, इसलिए एक कारण संबंध हो सकता है ( ए कारण और बी प्रभाव के साथ)।

आरेख में अंतराल AC 'स्पेस-लाइक' है; यानी, संदर्भ का एक ढांचा है जिसमें घटनाएं ए और सी एक साथ घटित होती हैं, केवल अंतरिक्ष में अलग होती हैं। ऐसे फ़्रेम भी हैं जिनमें A, C से पहले आता है (जैसा कि दिखाया गया है) और फ़्रेम जिसमें C, A से पहले है। हालांकि, लोरेंत्ज़ परिवर्तन द्वारा कोई फ़्रेम एक्सेस नहीं किया जा सकता है, जिसमें ईवेंट A और C एक ही स्थान पर घटित होते हैं। यदि घटनाओं ए और सी के बीच एक कारण और प्रभाव संबंध मौजूद होना संभव था, तो कार्य-कारण के विरोधाभास का परिणाम होगा।

उदाहरण के लिए, यदि संकेतों को प्रकाश की तुलना में तेजी से भेजा जा सकता है, तो संकेतों को प्रेषक के अतीत (आरेखों में पर्यवेक्षक बी) में भेजा जा सकता है। तब विभिन्न प्रकार के कारण विरोधाभासों का निर्माण किया जा सकता था।

चित्र 4-4 में स्पेसटाइम आरेखों पर विचार करें। A और B एक रेल ट्रैक के साथ खड़े होते हैं, जब एक हाई-स्पीड ट्रेन गुजरती है, जिसमें C ट्रेन की आखिरी कार में सवार होता है और D अग्रणी कार में सवार होता है। ए और बी की विश्व रेखाएं लंबवत (सीटी) हैं, जो जमीन पर इन पर्यवेक्षकों की स्थिर स्थिति को अलग करती हैं, जबकि सी और डी की विश्व रेखाएं आगे (सीटी′) झुकी हुई हैं, जो पर्यवेक्षकों सी और डी की तीव्र गति को दर्शाती हैं। उनकी ट्रेन में स्थिर, जैसा कि जमीन से देखा गया है। कार्य-कारण का उल्लंघन करने के लिए संकेतों का तात्कालिक होना आवश्यक नहीं है। भले ही D से C तक का सिग्नल की तुलना में थोड़ा उथला हो $$x'$$ अक्ष (और ए से बी तक का संकेत . की तुलना में थोड़ा तेज है) $$x$$ अक्ष), बी के लिए संदेश भेजने से पहले उसे प्राप्त करना अभी भी संभव होगा। ट्रेन की गति को हल्की गति के निकट बढ़ाकर, $$ct'$$ तथा $$x'$$ कुल्हाड़ियों को प्रकाश की गति का प्रतिनिधित्व करने वाली धराशायी रेखा के बहुत करीब से निचोड़ा जा सकता है। इस संशोधित सेटअप के साथ, यह प्रदर्शित किया जा सकता है कि प्रकाश की गति से थोड़ा ही तेज संकेत भी कार्य-कारण उल्लंघन का परिणाम होगा। इसलिए, यदि कार्य-कारण को संरक्षित किया जाना है, तो विशेष सापेक्षता के परिणामों में से एक यह है कि कोई भी सूचना संकेत या भौतिक वस्तु निर्वात में प्रकाश की तुलना में तेजी से यात्रा नहीं कर सकती है।
 * 1) अंजीर। 4-4a। B द्वारा D को संदेश भेजने की घटना, जैसे ही प्रमुख कार गुजरती है, D के फ्रेम के मूल में होती है। D एक काल्पनिक तात्कालिक संचारक का उपयोग करके पिछली कार में C को ट्रेन के साथ संदेश भेजता है। इस संदेश की दुनिया के साथ मोटा लाल तीर है $$-x'$$ अक्ष, जो सी और डी के प्राइमेड फ्रेम में एक साथ एक पंक्ति है। (अनप्रिम्ड) ग्राउंड फ्रेम में सिग्नल भेजे जाने से पहले आता है।
 * 2) अंजीर। 4-4 बी। सी द्वारा ए को संदेश भेजने की घटना, जो रेल की पटरियों के पास खड़ा है, उनके फ्रेम के मूल में है। अब A तात्कालिक संचारक के माध्यम से ट्रैक के साथ B को संदेश भेजता है। इस संदेश की विश्वरेखा नीला मोटा तीर है, साथ में $$+x$$ अक्ष, जो ए और बी के फ्रेम के लिए एक साथ की एक पंक्ति है। जैसा कि स्पेसटाइम आरेख से देखा गया है, बी इसे भेजने से पहले संदेश प्राप्त करेगा, कार्य-कारण का उल्लंघन।

इसका मतलब यह नहीं है कि प्रकाश की गति से तेज सब असंभव है। विभिन्न तुच्छ स्थितियों का वर्णन किया जा सकता है जहां कुछ चीजें (वास्तविक पदार्थ या ऊर्जा नहीं) प्रकाश से तेज चलती हैं। उदाहरण के लिए, जिस स्थान पर खोज प्रकाश की किरण बादल के तल से टकराती है, वह प्रकाश की तुलना में तेजी से आगे बढ़ सकती है जब खोज प्रकाश तेजी से चालू होता है (हालांकि यह कार्य-कारण या किसी अन्य सापेक्षतावादी घटना का उल्लंघन नहीं करता है)।

खींच प्रभाव
1850 में, हिप्पोलीटे फ़िज़ौ और लियोन फौकॉल्ट ने स्वतंत्र रूप से स्थापित किया कि प्रकाश हवा की तुलना में पानी में अधिक धीरे-धीरे यात्रा करता है, इस प्रकार ऑगस्टिन-जीन फ्रेस्नेल की भविष्यवाणी को मान्य करता है। प्रकाश की गति को शांत जल में मापा जाता था। बहते जल में प्रकाश की चाल कितनी होगी?

1851 में, फ़िज़ौ ने इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए एक प्रयोग किया, जिसका एक सरलीकृत निरूपण चित्र 5-1 में दिखाया गया है। प्रकाश की एक किरण को एक बीम फाड़नेवाला द्वारा विभाजित किया जाता है, और विभाजित बीम को विपरीत दिशाओं में बहते पानी की एक ट्यूब के माध्यम से पारित किया जाता है। उन्हें इंटरफेरेंस फ्रिंज बनाने के लिए पुनर्संयोजित किया जाता है, जो ऑप्टिकल पथ की लंबाई में अंतर को दर्शाता है, जिसे एक पर्यवेक्षक देख सकता है। प्रयोग ने प्रदर्शित किया कि बहते पानी द्वारा प्रकाश को खींचने से फ्रिंजों का विस्थापन हुआ, यह दर्शाता है कि पानी की गति ने प्रकाश की गति को प्रभावित किया था।

उस समय प्रचलित सिद्धांतों के अनुसार, एक गतिमान माध्यम से यात्रा करने वाला प्रकाश माध्यम के माध्यम से अपनी गति और माध्यम की गति का एक साधारण योग होगा। अपेक्षा के विपरीत, फ़िज़ौ ने पाया कि यद्यपि प्रकाश को पानी द्वारा खींचा गया प्रतीत होता है, लेकिन खींचने का परिमाण अपेक्षा से बहुत कम था। यदि $$u' = c/n$$ शांत जल में प्रकाश की गति है, और $$v$$ पानी की गति है, और $$ u_{\pm} $$ प्रयोगशाला के फ्रेम में प्रकाश की जल-जनित गति है जिसमें पानी का प्रवाह प्रकाश की गति से जुड़ता या घटाता है, तो

$$u_{\pm} =\frac{c}{n} \pm v\left(1-\frac{1}{n^2}\right) \. $$ फ़िज़ौ के परिणाम, हालांकि फ्रेस्नेल की एथर ड्रैग परिकल्पना  के पहले की परिकल्पना के अनुरूप थे, उस समय के भौतिकविदों के लिए बेहद निराशाजनक थे। अन्य बातों के अलावा, अपवर्तन पद के एक सूचकांक की उपस्थिति का मतलब है कि, चूंकि $$n$$ तरंग दैर्ध्य पर निर्भर करता है, ईथर को एक ही समय में विभिन्न गतियों को बनाए रखने में सक्षम होना चाहिए। फ्रेस्नेल के ड्रैगिंग गुणांक की व्याख्या करने के लिए कई तरह के सैद्धांतिक स्पष्टीकरण प्रस्तावित किए गए थे जो पूरी तरह से एक-दूसरे के साथ थे। माइकलसन-मॉर्ले प्रयोग से पहले भी, फ़िज़ौ के प्रयोगात्मक परिणाम कई अवलोकनों में से थे, जिन्होंने चलती निकायों के प्रकाशिकी को समझाने में एक महत्वपूर्ण स्थिति पैदा की। विशेष सापेक्षता के दृष्टिकोण से, फ़िज़्यू का परिणाम और कुछ नहीं, बल्कि एक सन्निकटन है $$, वेगों की संरचना के लिए सापेक्षतावादी सूत्र।


 * $$u_{\pm} = \frac{u' \pm v}{ 1 \pm u'v/c^2 } =$$ $$ \frac {c/n \pm v}{ 1 \pm v/cn } \approx$$ $$ c \left( \frac{1}{n} \pm \frac{v}{c} \right) \left( 1 \mp \frac{v}{cn} \right) \approx $$ $$ \frac{c}{n} \pm v \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right) $$

प्रकाश का सापेक्षिक विपथन
प्रकाश की परिमित गति के कारण, यदि किसी स्रोत और रिसीवर की सापेक्ष गति में एक अनुप्रस्थ घटक शामिल है, तो जिस दिशा से प्रकाश रिसीवर तक पहुंचता है, वह रिसीवर के सापेक्ष स्रोत के स्थान में ज्यामितीय स्थिति से विस्थापित हो जाएगा। विस्थापन की शास्त्रीय गणना दो रूप लेती है और माध्यम के संबंध में रिसीवर, स्रोत, या दोनों गति में हैं या नहीं, इसके आधार पर अलग-अलग भविष्यवाणियां करती हैं। (1) यदि रिसीवर गति में है, तो विस्थापन प्रकाश के विपथन का परिणाम होगा। रिसीवर के सापेक्ष बीम का घटना कोण रिसीवर की गति के वेक्टर योग और आपतित प्रकाश के वेग से परिकलित होगा। (2) यदि स्रोत गति में है, तो विस्थापन प्रकाश-समय सुधार  का परिणाम होगा। अपनी ज्यामितीय स्थिति से स्रोत की स्पष्ट स्थिति का विस्थापन उस समय के दौरान स्रोत की गति का परिणाम होगा जब इसका प्रकाश रिसीवर तक पहुंचता है। शास्त्रीय व्याख्या प्रयोगात्मक परीक्षण में विफल रही। चूंकि विपथन कोण रिसीवर के वेग और आपतित प्रकाश की गति के बीच संबंध पर निर्भर करता है, अपवर्तक माध्यम से आपतित प्रकाश के गुजरने से विपथन कोण बदल जाना चाहिए। 1810 में, फ्रांकोइस अरागो ने प्रकाश की गति को मापने के असफल प्रयास में इस अपेक्षित घटना का इस्तेमाल किया, और 1870 में, जॉर्ज एयरी  ​​ने पानी से भरे दूरबीन का उपयोग करके परिकल्पना का परीक्षण किया, यह पाया कि, अपेक्षा के विपरीत, मापा विचलन एक हवा से भरे दूरबीन से मापा विचलन के समान था। इन परिणामों को समझाने के लिए एक भारी प्रयास में आंशिक ईथर-ड्रैग की परिकल्पना का इस्तेमाल किया गया, लेकिन माइकलसन-मॉर्ले प्रयोग के परिणामों के साथ असंगत था, जो स्पष्ट रूप से पूर्ण एथर-ड्रैग की मांग करता था। जड़त्वीय फ़्रेमों को मानते हुए, प्रकाश के विपथन के लिए सापेक्षतावादी अभिव्यक्ति रिसीवर के गतिमान और स्रोत गतिमान मामलों दोनों पर लागू होती है। विभिन्न प्रकार के त्रिकोणमितीय समकक्ष सूत्र प्रकाशित किए गए हैं। चित्र 5-2 में चरों के रूप में व्यक्त किए गए, इनमें शामिल हैं
 * $$\cos \theta ' = \frac{ \cos \theta + v/c}{ 1 + (v/c)\cos \theta}$$ या $$ \sin \theta ' = \frac{\sin \theta}{\gamma [ 1 + (v/c) \cos \theta ]}$$ या $$ \tan \frac{\theta '}{2} = \left( \frac{c - v}{c + v} \right)^{1/2} \tan \frac {\theta}{2}$$

सापेक्ष अनुदैर्ध्य डॉपलर प्रभाव
शास्त्रीय डॉपलर प्रभाव इस बात पर निर्भर करता है कि माध्यम के संबंध में स्रोत, रिसीवर या दोनों गति में हैं या नहीं। सापेक्षतावादी डॉपलर प्रभाव किसी भी माध्यम से स्वतंत्र होता है। फिर भी, अनुदैर्ध्य मामले के लिए सापेक्षवादी डॉप्लर शिफ्ट, स्रोत और रिसीवर एक दूसरे से सीधे या दूर जाने के साथ, इसे शास्त्रीय घटना के रूप में प्राप्त किया जा सकता है, लेकिन एक समय फैलाव शब्द के अतिरिक्त संशोधित किया जाता है, और यही उपचार है यहाँ वर्णित है। मान लें कि रिसीवर और स्रोत एक दूसरे से सापेक्ष गति से दूर जा रहे हैं $$v\,$$ जैसा कि रिसीवर या स्रोत पर एक पर्यवेक्षक द्वारा मापा जाता है (यहां अपनाया गया संकेत सम्मेलन यह है कि $$v$$ नकारात्मक है यदि रिसीवर और स्रोत एक दूसरे की ओर बढ़ रहे हैं)। मान लें कि स्रोत माध्यम में स्थिर है। फिर $$f_{r} = \left(1 - \frac v {c_s} \right) f_s$$ कहाँ पे $$c_s$$ ध्वनि की गति है।

प्रकाश के लिए, और रिसीवर सापेक्ष गति से आगे बढ़ रहा है, रिसीवर पर घड़ियां स्रोत पर घड़ियों के सापेक्ष समय फैलाव हैं। रिसीवर प्राप्त आवृत्ति को होने के लिए मापेगा $$f_r = \gamma\left(1 - \beta\right) f_s = \sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}}\,f_s.$$ कहाँ पे
 * $$\beta = v/c $$तथा
 * $$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}$$ लोरेंत्ज़ कारक है।

एक गतिमान स्रोत के साथ रिसीवर के संदर्भ फ्रेम में विश्लेषण करते समय सापेक्षतावादी डॉपलर शिफ्ट के लिए एक समान अभिव्यक्ति प्राप्त की जाती है।

अनुप्रस्थ डॉपलर प्रभाव
अनुप्रस्थ डॉपलर प्रभाव सापेक्षता के विशेष सिद्धांत की मुख्य उपन्यास भविष्यवाणियों में से एक है।

शास्त्रीय रूप से, कोई यह उम्मीद कर सकता है कि यदि स्रोत और रिसीवर एक दूसरे के संबंध में अनुप्रस्थ रूप से आगे बढ़ रहे हैं, उनके सापेक्ष गति के लिए कोई अनुदैर्ध्य घटक नहीं है, तो रिसीवर तक पहुंचने वाले प्रकाश में कोई डॉपलर बदलाव नहीं होना चाहिए।

विशेष सापेक्षता अन्यथा भविष्यवाणी करती है। चित्र 5-3 इस परिदृश्य के दो सामान्य रूपों को दिखाता है। सरल समय फैलाव तर्कों का उपयोग करके दोनों प्रकारों का विश्लेषण किया जा सकता है। चित्र 5-3a में, रिसीवर स्रोत से प्रकाश को के कारक द्वारा ब्लूशिफ्ट के रूप में देखता है $$\gamma$$. अंजीर में। 5-3b, प्रकाश को उसी कारक द्वारा फिर से स्थानांतरित किया जाता है।

माप बनाम दृश्य उपस्थिति
समय का फैलाव और लंबाई का संकुचन ऑप्टिकल भ्रम नहीं हैं, बल्कि वास्तविक प्रभाव हैं। इन प्रभावों का मापन डॉपलर शिफ्ट  का एक आर्टिफैक्ट नहीं है, न ही वे किसी घटना से पर्यवेक्षक तक यात्रा करने में लगने वाले समय को ध्यान में रखते हुए उपेक्षा का परिणाम हैं।

वैज्ञानिक एक ओर माप या अवलोकन, बनाम दृश्य उपस्थिति, या जो देखता है, के बीच एक मूलभूत अंतर बनाते हैं। किसी वस्तु की मापी गई आकृति वस्तु के सभी बिंदुओं का एक काल्पनिक स्नैपशॉट है क्योंकि वे समय में एक ही क्षण में मौजूद होते हैं। हालाँकि, किसी वस्तु का दृश्य स्वरूप उस समय की अलग-अलग लंबाई से प्रभावित होता है, जो प्रकाश को वस्तु के विभिन्न बिंदुओं से किसी की आंख तक जाने में लगता है।

कई वर्षों तक, दोनों के बीच के अंतर को आम तौर पर सराहा नहीं गया था, और आम तौर पर यह सोचा गया था कि एक पर्यवेक्षक द्वारा गुजरने वाली एक लंबी अनुबंधित वस्तु वास्तव में लंबाई के अनुबंध के रूप में देखी जाएगी। 1959 में, जेम्स टेरेल और रोजर पेनरोज़ ने स्वतंत्र रूप से बताया कि गतिमान वस्तु के विभिन्न भागों से प्रेक्षक तक पहुँचने वाले संकेतों में अंतर समय अंतराल प्रभाव के परिणामस्वरूप एक तेज़ गति वाली वस्तु का दृश्य रूप उसके मापा आकार से काफी भिन्न होता है। उदाहरण के लिए, एक घटती हुई वस्तु सिकुड़ी हुई दिखाई देगी, एक निकट आने वाली वस्तु लम्बी दिखाई देगी, और एक गुजरने वाली वस्तु में एक तिरछी उपस्थिति होगी जिसकी तुलना एक घुमाव से की गई है।  गति में एक गोला गोलाकार रूपरेखा को बरकरार रखता है, हालांकि गोले की सतह और उस पर बने चित्र विकृत दिखाई देंगे।

अंजीर। 5-4 एक घन को उसकी भुजाओं की लंबाई के चार गुना की दूरी से देखता है। उच्च गति पर, घन की जो भुजाएँ गति की दिशा के लंबवत होती हैं, आकार में अतिपरवलयिक दिखाई देती हैं। घन वास्तव में घुमाया नहीं गया है। बल्कि, क्यूब के पीछे से प्रकाश सामने से प्रकाश की तुलना में किसी की आंखों तक पहुंचने में अधिक समय लेता है, इस दौरान क्यूब दाईं ओर चला गया है। इस भ्रम को टेरेल रोटेशन या टेरेल-पेनरोज प्रभाव के रूप में जाना जाने लगा है। एक और उदाहरण जहां दृश्य उपस्थिति माप के साथ बाधाओं पर है, विभिन्न रेडियो आकाशगंगा ओं, बीएल लाख वस्तुओं,  कैसर, और अन्य खगोलीय वस्तुओं में स्पष्ट सुपरल्यूमिनल गति के अवलोकन से आता है जो कि खगोलीय जेट को बाहर निकालते हैं। दर्शक। एक स्पष्ट ऑप्टिकल भ्रम के परिणाम प्रकाश यात्रा की तुलना में तेज होने का आभास देते हैं।   चित्र 5-5 में, आकाशगंगा मेसियर 87 उप-परमाणु कणों के एक उच्च गति वाले जेट को लगभग सीधे हमारी ओर प्रवाहित करता है, लेकिन पेनरोज़-टेरेल रोटेशन के कारण जेट उसी तरह से आगे बढ़ता हुआ दिखाई देता है जैसे कि क्यूब की उपस्थिति में अंजीर। 5-4 को बढ़ाया गया है।

गतिशीलता
लोरेंत्ज़ परिवर्तन से प्राप्त धारा #परिणाम गति का कारण बनने वाली ताकतों पर विचार किए बिना गतिकी, बिंदुओं, निकायों और निकायों की प्रणालियों की गति के अध्ययन के साथ सख्ती से निपटा। यह खंड जनता, बलों, ऊर्जा और आगे की चर्चा करता है, और इस तरह लोरेंत्ज़ परिवर्तन द्वारा शामिल लोगों से परे भौतिक प्रभावों पर विचार करने की आवश्यकता है।

द्रव्यमान और ऊर्जा की तुल्यता
जैसे ही किसी वस्तु की गति पर्यवेक्षक के दृष्टिकोण से प्रकाश की गति के करीब पहुंचती है, उसका सापेक्षतावादी द्रव्यमान  बढ़ता है जिससे पर्यवेक्षक के संदर्भ के फ्रेम के भीतर से इसे तेज करना अधिक कठिन हो जाता है।

द्रव्यमान m के साथ किसी वस्तु की ऊर्जा सामग्री mc. के बराबर होती है 2. ऊर्जा के संरक्षण का तात्पर्य है कि किसी भी प्रतिक्रिया में, कणों के द्रव्यमान के योग में कमी के साथ-साथ प्रतिक्रिया के बाद कणों की गतिज ऊर्जा में वृद्धि होनी चाहिए। इसी प्रकार गतिज ऊर्जा लेकर किसी वस्तु का द्रव्यमान बढ़ाया जा सकता है।

ऊपर संदर्भित पत्रों के अलावा - जो लोरेंत्ज़ परिवर्तन की व्युत्पत्ति देते हैं और विशेष सापेक्षता की नींव का वर्णन करते हैं - आइंस्टीन ने द्रव्यमान और ऊर्जा की तुल्यता (और संप्रेषणीयता) के लिए अनुमानी  तर्क देते हुए कम से कम चार पत्र भी लिखे। E = mc2.

द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता विशेष सापेक्षता का परिणाम है। न्यूटोनियन यांत्रिकी में अलग-अलग ऊर्जा और गति, सापेक्षता में चार-सदिश बनाते हैं, और यह समय घटक (ऊर्जा) को अंतरिक्ष घटकों (गति) से गैर-तुच्छ तरीके से संबंधित करता है। किसी स्थिर वस्तु के लिए, ऊर्जा-गति चार-सदिश है (E/c, 0, 0, 0): इसमें एक समय घटक है जो ऊर्जा है, और तीन अंतरिक्ष घटक जो शून्य हैं। वेग v के एक छोटे मान के साथ x दिशा में लोरेंत्ज़ परिवर्तन के साथ फ्रेम बदलने से, ऊर्जा गति चार-वेक्टर बन जाती है (E/c, Ev/c2, 0, 0). संवेग c. द्वारा विभाजित वेग से गुणा की गई ऊर्जा के बराबर है 2. जैसे, किसी वस्तु का न्यूटोनियन द्रव्यमान, जो कि धीमी गति के लिए गति का अनुपात है, E/c के बराबर है 2.

ऊर्जा और संवेग पदार्थ और विकिरण के गुण हैं, और यह निष्कर्ष निकालना असंभव है कि वे अपने आप में विशेष सापेक्षता के दो बुनियादी अभिधारणाओं से चार-सदिश बनाते हैं, क्योंकि ये पदार्थ या विकिरण के बारे में बात नहीं करते हैं, वे केवल बात करते हैं अंतरिक्ष और समय के बारे में। इसलिए व्युत्पत्ति के लिए कुछ अतिरिक्त भौतिक तर्क की आवश्यकता होती है। अपने 1905 के पेपर में, आइंस्टीन ने उन अतिरिक्त सिद्धांतों का इस्तेमाल किया जो न्यूटोनियन यांत्रिकी को धीमी गति के लिए धारण करना चाहिए, ताकि धीमी गति पर एक ऊर्जा स्केलर और एक तीन-वेक्टर गति हो, और ऊर्जा और गति के लिए संरक्षण कानून सापेक्षता में बिल्कुल सही हो।. इसके अलावा, उन्होंने माना कि प्रकाश की ऊर्जा उसी डॉपलर-शिफ्ट कारक द्वारा इसकी आवृत्ति के रूप में बदल जाती है, जिसे उन्होंने मैक्सवेल के समीकरणों के आधार पर पहले दिखाया था। इस विषय पर आइंस्टीन का पहला पेपर था क्या किसी पिंड की जड़ता उसकी ऊर्जा सामग्री पर निर्भर करती है? 1905 में। यद्यपि इस पत्र में आइंस्टीन के तर्क को लगभग सार्वभौमिक रूप से भौतिकविदों द्वारा सही, यहां तक ​​​​कि स्वयं-स्पष्ट के रूप में स्वीकार किया गया है, वर्षों से कई लेखकों ने सुझाव दिया है कि यह गलत है। अन्य लेखकों का सुझाव है कि तर्क केवल अनिर्णायक था क्योंकि यह कुछ निहित मान्यताओं पर निर्भर था। आइंस्टीन ने विशेष सापेक्षता पर अपने 1907 के सर्वेक्षण पत्र में अपनी व्युत्पत्ति पर विवाद को स्वीकार किया। वहां उन्होंने नोट किया कि अनुमानी द्रव्यमान-ऊर्जा तर्क के लिए मैक्सवेल के समीकरणों पर भरोसा करना समस्याग्रस्त है। उनके 1905 के पत्र में तर्क किसी भी द्रव्यमान रहित कणों के उत्सर्जन के साथ किया जा सकता है, लेकिन मैक्सवेल समीकरणों का उपयोग स्पष्ट रूप से यह स्पष्ट करने के लिए किया जाता है कि विशेष रूप से प्रकाश का उत्सर्जन केवल कार्य करके ही प्राप्त किया जा सकता है। विद्युत चुम्बकीय तरंगों का उत्सर्जन करने के लिए, आपको केवल एक आवेशित कण को ​​हिलाना है, और यह स्पष्ट रूप से काम कर रहा है, ताकि उत्सर्जन ऊर्जा का हो।

आप पृथ्वी से कितनी दूर यात्रा कर सकते हैं?
चूँकि कोई भी चीज प्रकाश से तेज गति से यात्रा नहीं कर सकती है, इसलिए यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि मानव पृथ्वी से ~ 100 प्रकाश वर्ष से अधिक दूर कभी नहीं जा सकता है। आप आसानी से सोच सकते हैं कि एक यात्री पृथ्वी से 100 प्रकाश वर्ष की सीमा के भीतर मौजूद कुछ सौर मंडलों से अधिक कभी नहीं पहुंच पाएगा। हालांकि, समय के फैलाव के कारण, एक काल्पनिक अंतरिक्ष यान एक यात्री के जीवनकाल में हजारों प्रकाश वर्ष की यात्रा कर सकता है। यदि एक अंतरिक्ष यान का निर्माण किया जा सकता है जो पृथ्वी के निरंतर गुरुत्वाकर्षण पर गति करता है, तो यह एक वर्ष के बाद लगभग प्रकाश की गति से यात्रा करेगा जैसा कि पृथ्वी से देखा जाता है। यह इसके द्वारा वर्णित है:

$$v(t) = \frac{at}{\sqrt{1+\frac{a^2t^2}{c^2}}}$$ जहाँ v(t) समय t पर वेग है, a अंतरिक्ष यान का त्वरण है और t पृथ्वी पर लोगों द्वारा मापा गया समन्वय समय है। इसलिए, 9.81 m/s. पर त्वरण के एक वर्ष बाद2, अंतरिक्ष यान पृथ्वी के सापेक्ष तीन वर्षों के बाद v = 0.712c और 0.946c पर यात्रा करेगा। इस त्वरण के तीन वर्षों के बाद, अंतरिक्ष यान पृथ्वी के सापेक्ष प्रकाश की गति के 94.6% के वेग को प्राप्त करने के साथ, समय के फैलाव के परिणामस्वरूप अंतरिक्ष यान पर पृथ्वी पर 3.1 सेकंड पहले के अनुभव के अनुसार प्रत्येक सेकंड का अनुभव होगा। अपनी यात्रा के दौरान, पृथ्वी पर लोगों को उनके मुकाबले अधिक समय का अनुभव होगा - क्योंकि उनकी घड़ियां (सभी भौतिक घटनाएं) वास्तव में अंतरिक्ष यान की तुलना में 3.1 गुना तेजी से टिक रही होंगी। यात्री के लिए 5 साल की गोल यात्रा 6.5 पृथ्वी वर्ष लेगी और 6 प्रकाश-वर्ष से अधिक की दूरी तय करेगी। उनके लिए 20 साल की राउंड ट्रिप (5 साल तेज, 5 डिक्लेरेटिंग, दो बार प्रत्येक) उन्हें 335 पृथ्वी वर्ष और 331 प्रकाश वर्ष की दूरी तय करके पृथ्वी पर वापस लाएगी। 1g पर पूरे 40 साल की यात्रा पृथ्वी पर 58,000 वर्षों तक दिखाई देगी और 55,000 प्रकाश वर्ष की दूरी तय करेगी। 1.1g पर 40 साल की यात्रा में 148,000 पृथ्वी वर्ष लगेंगे और लगभग 140,000 प्रकाश वर्ष होंगे। एकतरफा 28 साल (14 साल का त्वरण, 14 अंतरिक्ष यात्री की घड़ी के साथ मापा गया) 1g त्वरण पर यात्रा एंड्रोमेडा गैलेक्सी तक 2,000,000 प्रकाश-वर्ष तक पहुंच सकती है। इसी समय के फैलाव के कारण सी के करीब यात्रा करने वाले म्यूऑन को अपने आधे जीवन (जब आराम से) की तुलना में बहुत अधिक यात्रा करने के लिए मनाया जाता है।

सापेक्षता और एकीकृत विद्युत चुंबकत्व
शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व में सैद्धांतिक जांच ने तरंग प्रसार की खोज की। विद्युत चुम्बकीय प्रभावों को सामान्य करने वाले समीकरणों में पाया गया कि ई और बी क्षेत्रों की परिमित प्रसार गति को आवेशित कणों पर कुछ व्यवहार की आवश्यकता होती है। गतिमान आवेशों का सामान्य अध्ययन लीनार्ड-वाइचर्ट विभव का निर्माण करता है, जो विशेष सापेक्षता की ओर एक कदम है।

एक गतिमान आवेश के विद्युत क्षेत्र  के एक गैर-गतिशील पर्यवेक्षक के संदर्भ फ्रेम में परिवर्तन के परिणामस्वरूप एक गणितीय शब्द की उपस्थिति होती है जिसे आमतौर पर  चुंबकीय क्षेत्र  कहा जाता है। इसके विपरीत, एक गतिमान आवेश द्वारा उत्पन्न 'चुंबकीय' क्षेत्र गायब हो जाता है और संदर्भ के एक गतिशील फ्रेम में विशुद्ध रूप से 'इलेक्ट्रोस्टैटिक' क्षेत्र बन जाता है। मैक्सवेल के समीकरण इस प्रकार ब्रह्मांड के शास्त्रीय मॉडल में विशेष सापेक्षतावादी प्रभावों के लिए केवल एक अनुभवजन्य फिट हैं। चूंकि विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र संदर्भ फ्रेम पर निर्भर हैं और इस प्रकार आपस में जुड़े हुए हैं, इसलिए कोई भी विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों की बात करता है। विशेष सापेक्षता परिवर्तन नियम प्रदान करती है कि कैसे एक जड़त्वीय फ्रेम में एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र दूसरे जड़त्वीय फ्रेम में प्रकट होता है।

3डी रूप में मैक्सवेल के समीकरण पहले से ही विशेष सापेक्षता की भौतिक सामग्री के अनुरूप हैं, हालांकि उन्हें स्पष्ट रूप से सहसंयोजक  रूप में हेरफेर करना आसान है, यानी टेंसर कैलकुलस की भाषा में।

सापेक्षता और क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांत
सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी और  क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स  बनाने के लिए विशेष सापेक्षता को क्वांटम यांत्रिकी के साथ जोड़ा जा सकता है। सामान्य सापेक्षता और क्वांटम यांत्रिकी को कैसे एकीकृत किया जा सकता है यह  भौतिकी में अनसुलझी समस्याओं की सूची  है;  क्वांटम गुरुत्व  और हर चीज का एक सिद्धांत, जिसमें सामान्य सापेक्षता सहित एकीकरण की आवश्यकता होती है, सैद्धांतिक अनुसंधान में सक्रिय और चल रहे क्षेत्र हैं।

प्रारंभिक बोहर मॉडल # शोधन | बोहर-सोमरफेल्ड परमाणु मॉडल ने विशेष सापेक्षता और उस समय के क्वांटम यांत्रिकी पर प्रारंभिक ज्ञान दोनों का उपयोग करते हुए क्षार धातु परमाणुओं की बारीक संरचना की व्याख्या की। 1928 में, पॉल डिराका  ने एक प्रभावशाली सापेक्षतावादी तरंग समीकरण का निर्माण किया, जिसे अब उनके सम्मान में  डिराक समीकरण  के रूप में जाना जाता है, यह विशेष सापेक्षता और 1926 के बाद मौजूद क्वांटम सिद्धांत के अंतिम संस्करण के साथ पूरी तरह से संगत है। इस समीकरण ने न केवल स्पिन (भौतिकी) नामक इलेक्ट्रॉनों के आंतरिक कोणीय गति का वर्णन किया, बल्कि इससे इलेक्ट्रॉन के  कण  की भविष्यवाणी भी हुई। (पॉज़िट्रॉन), और महीन संरचना को केवल विशेष सापेक्षता के साथ ही पूरी तरह से समझाया जा सकता है। यह सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी की पहली नींव थी।

दूसरी ओर, एंटीपार्टिकल्स का अस्तित्व इस निष्कर्ष की ओर ले जाता है कि सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी कण अंतःक्रियाओं के अधिक सटीक और पूर्ण सिद्धांत के लिए पर्याप्त नहीं है। इसके बजाय, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत  कहे जाने वाले मात्रात्मक क्षेत्रों के रूप में व्याख्या किए गए कणों का एक सिद्धांत आवश्यक हो जाता है; जिसमें पूरे अंतरिक्ष और समय में कणों का सर्वनाश हो सकता है।

स्थिति
इसके मिंकोव्स्की स्पेसटाइम में विशेष सापेक्षता तभी सटीक होती है जब गुरुत्वाकर्षण क्षमता  का निरपेक्ष मान c से बहुत कम हो2 रुचि के क्षेत्र में। एक मजबूत गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में, सामान्य सापेक्षता का उपयोग करना चाहिए। सामान्य सापेक्षता कमजोर क्षेत्र की सीमा पर विशेष सापेक्षता बन जाती है। बहुत छोटे पैमाने पर, जैसे कि प्लैंक की लंबाई और नीचे, क्वांटम प्रभावों को ध्यान में रखा जाना चाहिए, जिसके परिणामस्वरूप क्वांटम गुरुत्व होता है। हालांकि, मैक्रोस्कोपिक पैमानों पर और मजबूत गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों की अनुपस्थिति में, विशेष सापेक्षता का परीक्षण अत्यंत उच्च स्तर की सटीकता के लिए प्रयोगात्मक रूप से किया जाता है (10)-20) और इस प्रकार भौतिकी समुदाय द्वारा स्वीकार किया गया। प्रायोगिक परिणाम जो इसके विपरीत प्रतीत होते हैं, वे प्रतिलिपि प्रस्तुत करने योग्य नहीं हैं और इस प्रकार व्यापक रूप से प्रयोगात्मक त्रुटियों के कारण माना जाता है।

विशेष सापेक्षता गणितीय रूप से आत्म-संगत है, और यह सभी आधुनिक भौतिक सिद्धांतों का एक कार्बनिक हिस्सा है, विशेष रूप से क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत, स्ट्रिंग सिद्धांत, और सामान्य सापेक्षता (नगण्य गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों के सीमित मामले में)।

न्यूटोनियन यांत्रिकी गणितीय रूप से छोटे वेगों (प्रकाश की गति की तुलना में) पर विशेष सापेक्षता से अनुसरण करती है - इस प्रकार न्यूटनियन यांत्रिकी को धीमी गति से चलने वाले पिंडों की एक विशेष सापेक्षता के रूप में माना जा सकता है। अधिक विस्तृत चर्चा के लिए शास्त्रीय यांत्रिकी  देखें।

आइंस्टीन के 1905 के पेपर से पहले के कई प्रयोगों को अब सापेक्षता के प्रमाण के रूप में व्याख्यायित किया जाता है। इनमें से यह ज्ञात है कि आइंस्टीन को 1905 से पहले Fizeau प्रयोग के बारे में पता था, और इतिहासकारों ने निष्कर्ष निकाला है कि आइंस्टीन को कम से कम 1899 की शुरुआत में माइकलसन-मॉर्ले प्रयोग के बारे में पता था, इसके बावजूद उन्होंने अपने बाद के वर्षों में दावा किया कि इसने सिद्धांत के विकास में कोई भूमिका नहीं निभाई।
 * फ़िज़ौ प्रयोग (1851, माइकलसन और मॉर्ले द्वारा 1886 में दोहराया गया) ने चलती मीडिया में प्रकाश की गति को मापा, जिसके परिणाम कॉलिनियर वेगों के सापेक्षतावादी जोड़ के अनुरूप हैं।
 * प्रसिद्ध माइकलसन-मॉर्ले प्रयोग (1881, 1887) ने इस अभिधारणा को और समर्थन दिया कि एक निरपेक्ष संदर्भ वेग का पता लगाना संभव नहीं था। यहां यह कहा जाना चाहिए कि, कई वैकल्पिक दावों के विपरीत, इसने स्रोत और पर्यवेक्षक के वेग के संबंध में प्रकाश की गति के अपरिवर्तन के बारे में बहुत कम कहा, क्योंकि स्रोत और पर्यवेक्षक दोनों एक ही वेग से हर समय एक साथ यात्रा कर रहे थे।
 * ट्राउटन-नोबल प्रयोग (1903) ने दिखाया कि संधारित्र पर टोक़ स्थिति और जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम से स्वतंत्र है।
 * रेले और ब्रेस के प्रयोग (1902, 1904) ने दिखाया कि लंबाई के संकुचन से सापेक्षता सिद्धांत के अनुसार, एक सह-चलती पर्यवेक्षक के लिए द्विअर्थीता नहीं होती है।

कण त्वरक नियमित रूप से प्रकाश की गति के निकट गति करने वाले कणों के गुणों को मापते हैं और मापते हैं, जहां उनका व्यवहार पूरी तरह से सापेक्षता सिद्धांत के अनुरूप होता है और पहले न्यूटनियन यांत्रिकी के साथ असंगत होता है। ये मशीनें केवल काम नहीं करेंगी यदि वे सापेक्षतावादी सिद्धांतों के अनुसार इंजीनियर नहीं होतीं। इसके अलावा, विशेष सापेक्षता का परीक्षण करने के लिए काफी संख्या में आधुनिक प्रयोग किए गए हैं। कुछ उदाहरण:
 * आपेक्षिक ऊर्जा और संवेग का परीक्षण - कणों की सीमित गति का परीक्षण
 * इव्स-स्टिलवेल प्रयोग - सापेक्षतावादी डॉपलर प्रभाव और समय फैलाव का परीक्षण
 * समय फैलाव का प्रायोगिक परीक्षण - एक तेज गति वाले कण के आधे जीवन पर सापेक्ष प्रभाव
 * कैनेडी-थॉर्नडाइक प्रयोग - लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के अनुसार समय का फैलाव
 * ह्यूजेस-ड्रेवर प्रयोग - अंतरिक्ष और द्रव्यमान की आइसोट्रॉपी का परीक्षण
 * लोरेंत्ज़ उल्लंघन के लिए आधुनिक खोज - विभिन्न आधुनिक परीक्षण
 * उत्सर्जन सिद्धांत के परीक्षण के प्रयोगों ने प्रदर्शित किया कि प्रकाश की गति उत्सर्जक की गति से स्वतंत्र होती है।
 * एथर ड्रैग परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए प्रयोग - कोई ईथर प्रवाह बाधा नहीं।

फ्लैट यूक्लिडियन अंतरिक्ष और मिंकोव्स्की अंतरिक्ष के बीच तुलना
विशेष सापेक्षता एक 'फ्लैट' 4-आयामी मिंकोव्स्की स्पेस का उपयोग करती है - स्पेसटाइम का एक उदाहरण। मिंकोव्स्की स्पेसटाइम मानक 3-आयामी यूक्लिडियन स्पेस के समान प्रतीत होता है, लेकिन समय के संबंध में एक महत्वपूर्ण अंतर है।

3डी स्पेस में, दूरी (लाइन एलिमेंट) ds का डिफरेंशियल (अनंतिमल) द्वारा परिभाषित किया जाता है

$$ ds^2 = d\mathbf{x} \cdot d\mathbf{x} = dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2, $$ कहाँ पे dx = (dx1, dx2, dx3) तीन स्थानिक आयामों के अंतर हैं। मिंकोव्स्की ज्यामिति में, निर्देशांक X. के साथ एक अतिरिक्त आयाम है0 समय से व्युत्पन्न, जैसे दूरी अंतर पूरा करता है

$$ ds^2 = -dX_0^2 + dX_1^2 + dX_2^2 + dX_3^2, $$ कहाँ पे dX = (dX0, dX1, dX2, dX3) चार स्पेसटाइम आयामों के अंतर हैं। यह एक गहरी सैद्धांतिक अंतर्दृष्टि का सुझाव देता है: विशेष सापेक्षता हमारे स्पेसटाइम की एक घूर्णी समरूपता है, जो यूक्लिडियन अंतरिक्ष की घूर्णी समरूपता के अनुरूप है (चित्र 10-1 देखें)। जैसे यूक्लिडियन स्पेस यूक्लिडियन मीट्रिक  का उपयोग करता है, वैसे ही स्पेसटाइम  मिंकोव्स्की मीट्रिक  का उपयोग करता है। मूल रूप से, किसी भी जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम से देखे जाने पर, विशेष सापेक्षता को किसी भी स्पेसटाइम अंतराल (जो कि किसी भी दो घटनाओं के बीच 4D दूरी है) के आक्रमण के रूप में कहा जा सकता है। विशेष सापेक्षता के सभी समीकरण और प्रभाव मिंकोवस्की स्पेसटाइम के इस घूर्णी समरूपता (पोंकारे समूह) से प्राप्त किए जा सकते हैं।

उपरोक्त ds का वास्तविक रूप मीट्रिक और X. के विकल्पों पर निर्भर करता है0 समन्वय करें। समय निर्देशांक को अंतरिक्ष निर्देशांक की तरह बनाने के लिए, इसे काल्पनिक संख्या  के रूप में माना जा सकता है: X0 = ict (इसे विक रोटेशन कहा जाता है)। ग्रेविटेशन (पुस्तक) | मिसनर, थॉर्न और व्हीलर (1971, 2.3) के अनुसार, अंततः विशेष और सामान्य सापेक्षता दोनों की गहरी समझ मिंकोव्स्की मीट्रिक (नीचे वर्णित) के अध्ययन से आएगी और लेने के लिए X0 = ct, समय के समन्वय के रूप में ict का उपयोग करते हुए एक प्रच्छन्न यूक्लिडियन मीट्रिक के बजाय।

कुछ लेखक उपयोग करते हैं X0 = t, सी के कारकों के साथ कहीं और क्षतिपूर्ति करने के लिए; उदाहरण के लिए, स्थानिक निर्देशांक c या c. के कारकों से विभाजित होते हैं±2 मीट्रिक टेंसर में शामिल हैं। प्राकृतिक इकाइयों का उपयोग करके इन कई सम्मेलनों को हटा दिया जा सकता है जहां c = 1. तब स्थान और समय की समान इकाइयाँ होती हैं, और c का कोई भी गुणनखंड कहीं भी प्रकट नहीं होता है।

3डी स्पेसटाइम
यदि हम स्थानिक आयामों को घटाकर 2 कर दें, ताकि हम 3D अंतरिक्ष में भौतिकी का प्रतिनिधित्व कर सकें

$$ ds^2 = dx_1^2 + dx_2^2 - c^2 dt^2, $$ हम देखते हैं कि शून्य भूगणित ीय भूगणित समीकरण द्वारा परिभाषित एक दोहरे शंकु के साथ स्थित है (चित्र 10-2 देखें);

$$ ds^2 = 0 = dx_1^2 + dx_2^2 - c^2 dt^2 $$ या केवल

$$ dx_1^2 + dx_2^2 = c^2 dt^2, $$ जो त्रिज्या c dt के एक वृत्त का समीकरण है।

4डी स्पेसटाइम
यदि हम इसे तीन स्थानिक आयामों तक बढ़ाते हैं, तो शून्य भूगणित 4-आयामी शंकु हैं:

$$ ds^2 = 0 = dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 - c^2 dt^2 $$ इसलिए

$$ dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 = c^2 dt^2. $$

जैसा कि चित्र 10-3 में दिखाया गया है, अशक्त भूगणित को त्रिज्या = c dt के साथ निरंतर संकेंद्रित क्षेत्रों के एक सेट के रूप में देखा जा सकता है।

यह अशक्त दोहरा-शंकु अंतरिक्ष में एक बिंदु की दृष्टि की रेखा का प्रतिनिधित्व करता है। यानी, जब हम तारों को देखते हैं और कहते हैं कि उस तारे का प्रकाश जो मुझे प्राप्त हो रहा है, वह X वर्ष पुराना है, तो हम इस दृष्टि रेखा को नीचे देख रहे हैं: एक अशक्त भूगणित। हम एक घटना को दूर से देख रहे हैं $d = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2} $ दूर और अतीत में एक समय डी / सी। इस कारण से शून्य दोहरे शंकु को 'प्रकाश शंकु' के रूप में भी जाना जाता है। (चित्र 10-2 के निचले बाएँ बिंदु तारे का प्रतिनिधित्व करता है, मूल प्रेक्षक का प्रतिनिधित्व करता है, और रेखा दृष्टि की शून्य भूगणितीय रेखा का प्रतिनिधित्व करती है।)

−t क्षेत्र में शंकु वह सूचना है जो बिंदु 'प्राप्त' कर रहा है, जबकि +t खंड में शंकु वह जानकारी है जो बिंदु 'भेज रहा है'।

मिंकोव्स्की अंतरिक्ष की ज्यामिति को मिंकोव्स्की आरेखों का उपयोग करके चित्रित किया जा सकता है, जो विशेष सापेक्षता में कई विचार प्रयोगों को समझने में भी उपयोगी होते हैं।

ध्यान दें कि, 4d स्पेसटाइम में, द्रव्यमान के केंद्र की अवधारणा अधिक जटिल हो जाती है, द्रव्यमान का केंद्र (सापेक्षतावादी) देखें।

संदर्भ फ्रेम के बीच भौतिक मात्राओं का परिवर्तन
ऊपर, समय के लिए लोरेंत्ज़ परिवर्तन समन्वय और तीन अंतरिक्ष निर्देशांक दर्शाते हैं कि वे आपस में जुड़े हुए हैं। यह अधिक आम तौर पर सच है: कुछ जोड़े समय-समान और अंतरिक्ष-समान मात्रा स्वाभाविक रूप से समान लोरेंत्ज़ परिवर्तन के तहत समान स्तर पर गठबंधन करते हैं।

उपरोक्त मानक विन्यास में लोरेंत्ज़ परिवर्तन, जो कि एक्स-दिशा में वृद्धि के लिए है, को निम्नानुसार मैट्रिक्स रूप में पुन: व्यवस्थित किया जा सकता है:

$$\begin{pmatrix} ct'\\ x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & -\beta\gamma & 0 & 0\\ -\beta\gamma & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct\\ x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma ct- \gamma\beta x\\ \gamma x - \beta \gamma ct \\ y\\ z \end{pmatrix}. $$ न्यूटोनियन यांत्रिकी में, परिमाण और दिशा वाली मात्राओं को गणितीय रूप से यूक्लिडियन अंतरिक्ष में 3 डी वैक्टर के रूप में वर्णित किया जाता है, और सामान्य तौर पर वे समय के अनुसार पैरामीट्रिज्ड होते हैं। विशेष आपेक्षिकता में, इस धारणा का विस्तार एक अंतरिक्ष-समान सदिश मात्रा में उपयुक्त समय-समान मात्रा को जोड़कर किया जाता है, और हमारे पास मिंकोवस्की स्पेसटाइम में 4d वैक्टर या चार वैक्टर हैं। वैक्टर के घटकों को टेंसर इंडेक्स नोटेशन का उपयोग करके लिखा जाता है, क्योंकि इसके कई फायदे हैं। संकेतन यह स्पष्ट करता है कि पोंकारे समूह के तहत समीकरण स्पष्ट रूप से सहसंयोजक हैं, इस प्रकार इस तथ्य की जांच करने के लिए थकाऊ गणनाओं को दरकिनार करते हुए। इस तरह के समीकरणों के निर्माण में, हम अक्सर पाते हैं कि जिन समीकरणों को पहले असंबंधित माना जाता था, वे वास्तव में एक ही टेंसर समीकरण का हिस्सा होने के कारण निकटता से जुड़े होते हैं। अन्य भौतिक मात्रा ओं को टेंसर के रूप में पहचानना उनके परिवर्तन कानूनों को सरल करता है। जब वे एक वर्ग (यह संदर्भ से स्पष्ट होना चाहिए) को इंगित करते हैं, और निचले सूचकांक (सबस्क्रिप्ट) सहसंयोजक सूचकांक हैं, को छोड़कर, ऊपरी सूचकांक (सुपरस्क्रिप्ट) घातांक के बजाय विरोधाभासी सूचकांक हैं। पहले के समीकरणों के साथ सरलता और स्थिरता के लिए, कार्टेशियन निर्देशांक का उपयोग किया जाएगा।

चार-सदिश का सबसे सरल उदाहरण स्पेसटाइम में एक घटना की स्थिति है, जो एक टाइमलाइक कंपोनेंट सीटी और स्पेसेलिक कंपोनेंट का गठन करता है। x = (x, y, z), एक सहप्रसरण और सदिशों के अंतरविरोध में घटकों के साथ सदिश चार सदिश की स्थिति: $$X^\nu = (X^0, X^1, X^2, X^3)= (ct, x, y, z) = (ct, \mathbf{x} ).$$ जहां हम परिभाषित करते हैं X0 = ct ताकि समय समन्वय में अन्य स्थानिक आयामों के समान दूरी का आयाम हो; ताकि स्थान और समय के साथ समान व्यवहार किया जा सके।  अब 4-वेक्टर की स्थिति के विपरीत घटकों के परिवर्तन को संक्षेप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$X^{\mu'}=\Lambda^{\mu'}{}_\nu X^\nu$$ जहां पर आइंस्टीन का अंकन है $$\nu$$ 0 से 3 तक, और $$\Lambda^{\mu'}{}_{\nu}$$ एक मैट्रिक्स (गणित)  है।

अधिक आम तौर पर, चार-वेक्टर के सभी contravariant घटक $$T^\nu$$ लोरेंत्ज़ परिवर्तन द्वारा एक फ्रेम से दूसरे फ्रेम में बदलना: $$T^{\mu'} = \Lambda^{\mu'}{}_{\nu} T^\nu$$ अन्य 4-वैक्टर के उदाहरणों में चार-वेग शामिल हैं $$U^\mu,$$ उचित समय  के संबंध में स्थिति 4-वेक्टर के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित: $$U^\mu = \frac{dX^\mu}{d\tau} = \gamma(v)( c, v_x , v_y, v_z ) = \gamma(v) (c, \mathbf{v} ). $$ जहां लोरेंत्ज़ कारक है: $$\gamma(v)= \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2} }} \qquad v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2.$$ विशेष सापेक्षता में द्रव्यमान $$E = \gamma(v)mc^2$$ और सापेक्षिक गति $$\mathbf{p} = \gamma(v)m \mathbf{v}$$ एक वस्तु के क्रमशः एक सहप्रसरण और चार संवेग सदिश के सदिशों के अंतरविरोध के समय-समान और अन्तरिक्षीय घटक होते हैं:

$$P^\mu = m U^\mu = m\gamma(v)(c,v_x,v_y,v_z)= \left (\frac{E}{c},p_x,p_y,p_z \right ) = \left (\frac{E}{c}, \mathbf{p} \right ).$$ जहाँ m अपरिवर्तनीय द्रव्यमान  है।

चार-त्वरण 4-वेग का उचित समय व्युत्पन्न है: $$A^\mu = \frac{d U^\mu}{d\tau}.$$ त्रि-आयामी वेग और त्वरण के लिए परिवर्तन नियम बहुत अजीब हैं; मानक विन्यास में भी ऊपर वेग समीकरण उनकी गैर-रैखिकता के कारण काफी जटिल हैं। दूसरी ओर, लोरेंत्ज़ परिवर्तन मैट्रिक्स के माध्यम से चार-वेग और चार-त्वरण का परिवर्तन सरल होता है।

एक अदिश क्षेत्र का चार-ढाल  φ कॉन्ट्रावेरिएंट के बजाय सहसंयोजक रूप से रूपांतरित होता है: $$\begin{pmatrix} \dfrac{1}{c} \dfrac{\partial \phi}{\partial t'} & \dfrac{\partial \phi}{\partial x'} & \dfrac{\partial \phi}{\partial y'} & \dfrac{\partial \phi}{\partial z'} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{c} \dfrac{\partial \phi}{\partial t} & \dfrac{\partial \phi}{\partial x} & \dfrac{\partial \phi}{\partial y} & \dfrac{\partial \phi}{\partial z} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \gamma & +\beta\gamma & 0 & 0\\ +\beta\gamma & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$ जिसका स्थानांतरण है:

$$(\partial_{\mu'} \phi) = \Lambda_{\mu'}{}^{\nu} (\partial_\nu \phi)\qquad \partial_{\mu} \equiv \frac{\partial}{\partial x^{\mu}}.$$ केवल कार्टेशियन निर्देशांक में। यह सहसंयोजक व्युत्पन्न  है जो प्रकट सहसंयोजक में रूपांतरित होता है, कार्टेशियन निर्देशांक में यह आंशिक डेरिवेटिव को कम करने के लिए होता है, लेकिन अन्य निर्देशांक में नहीं।

अधिक सामान्यतः, 4-वेक्टर के सहसंयोजक घटक व्युत्क्रम लोरेंत्ज़ परिवर्तन के अनुसार बदलते हैं: $$ T_{\mu'} = \Lambda_{\mu'}{}^{\nu} T_\nu,$$ कहाँ पे $$\Lambda_{\mu'}{}^{\nu}$$ का पारस्परिक मैट्रिक्स है $$\Lambda^{\mu'}{}_{\nu}$$.

विशेष सापेक्षता के अभिगृहीत लोरेंत्ज़ रूपांतरण मैट्रिक्स के सटीक रूप को बाधित करते हैं।

आम तौर पर, अधिकांश भौतिक मात्राओं को सबसे अच्छा (घटकों के) टेंसर के रूप में वर्णित किया जाता है। तो एक फ्रेम से दूसरे फ्रेम में बदलने के लिए, हम प्रसिद्ध टेंसर का उपयोग करते हैं $$T^{\alpha' \beta' \cdots \zeta'}_{\theta' \iota' \cdots \kappa'} = \Lambda^{\alpha'}{}_{\mu} \Lambda^{\beta'}{}_{\nu} \cdots \Lambda^{\zeta'}{}_{\rho} \Lambda_{\theta'}{}^{\sigma} \Lambda_{\iota'}{}^{\upsilon} \cdots \Lambda_{\kappa'}{}^{\phi} T^{\mu \nu \cdots \rho}_{\sigma \upsilon \cdots \phi}$$ कहाँ पे $$\Lambda_{\chi'}{}^{\psi}$$ का पारस्परिक मैट्रिक्स है $$\Lambda^{\chi'}{}_{\psi}$$. इस नियम से सभी टेंसर बदल जाते हैं।

चार-आयामी दूसरे क्रम के एंटीसिमेट्रिक टेंसर  का एक उदाहरण सापेक्षतावादी  कोणीय गति  है, जिसमें छह घटक हैं: तीन शास्त्रीय कोणीय गति हैं, और अन्य तीन सिस्टम के द्रव्यमान के केंद्र के बढ़ावा से संबंधित हैं। उचित समय के संबंध में सापेक्षतावादी कोणीय गति का व्युत्पन्न सापेक्षतावादी टोक़ है, दूसरा क्रम एंटीसिमेट्रिक टेंसर भी है।

विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र टेंसर एक और दूसरा क्रम एंटीसिमेट्रिक टेंसर क्षेत्र है, जिसमें छह घटक होते हैं: तीन विद्युत क्षेत्र के लिए और अन्य तीन चुंबकीय क्षेत्र के लिए। विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के लिए तनाव-ऊर्जा टेंसर भी है, अर्थात् विद्युत चुम्बकीय तनाव-ऊर्जा टेंसर।

मीट्रिक
मीट्रिक टेंसर एक को दो वैक्टर के आंतरिक उत्पाद को परिभाषित करने की अनुमति देता है, जो बदले में वेक्टर को परिमाण निर्दिष्ट करने की अनुमति देता है। स्पेसटाइम की चार-आयामी प्रकृति को देखते हुए मिंकोव्स्की मीट्रिक में घटक होते हैं (उपयुक्त रूप से चुने गए निर्देशांक के साथ मान्य) जिन्हें एक में व्यवस्थित किया जा सकता है 4 × 4 आव्यूह: $$\eta_{\alpha\beta} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ जो इसके पारस्परिक के बराबर है, $$\eta^{\alpha\beta}$$, उन फ्रेमों में। ऊपर के रूप में हम संकेतों का उपयोग करते हैं, विभिन्न लेखक विभिन्न सम्मेलनों का उपयोग करते हैं - मिंकोव्स्की मीट्रिक वैकल्पिक संकेत देखें।

पोंकारे समूह परिवर्तनों का सबसे सामान्य समूह है जो मिंकोव्स्की मीट्रिक को संरक्षित करता है:

$$\eta_{\alpha\beta} = \eta_{\mu'\nu'} \Lambda^{\mu'}{}_\alpha \Lambda^{\nu'}{}_\beta$$ और यह भौतिक समरूपता है जो विशेष सापेक्षता में अंतर्निहित है।

मीट्रिक का उपयोग वैक्टर और टेंसर पर सूचकांक बढ़ाने और घटाने के लिए किया जा सकता है। मीट्रिक का उपयोग करके इनवेरिएंट का निर्माण किया जा सकता है, 4-वेक्टर टी का आंतरिक उत्पाद 4-वेक्टर एस के साथ है:

$$T^{\alpha}S_{\alpha}=T^{\alpha}\eta_{\alpha\beta}S^{\beta} = T_{\alpha}\eta^{\alpha\beta}S_{\beta} = \text{invariant scalar}$$ अपरिवर्तनीय का अर्थ है कि यह सभी जड़त्वीय फ़्रेमों में समान मान लेता है, क्योंकि यह एक अदिश (0 रैंक टेंसर) है, और इसलिए नहीं $Λ$ अपने तुच्छ परिवर्तन में प्रकट होता है। 4-वेक्टर T का परिमाण अपने साथ आंतरिक उत्पाद का धनात्मक वर्गमूल है: $$|\mathbf{T}| = \sqrt{T^{\alpha}T_{\alpha}}$$ कोई इस विचार को उच्च क्रम के टेंसर तक बढ़ा सकता है, दूसरे ऑर्डर टेंसर के लिए हम इनवेरिएंट बना सकते हैं: $$T^{\alpha}{}_{\alpha},T^{\alpha}{}_{\beta}T^{\beta}{}_{\alpha},T^{\alpha}{}_{\beta}T^{\beta}{}_{\gamma}T^{\gamma}{}_{\alpha} = \text{invariant scalars},$$ इसी तरह उच्च क्रम के टेंसर के लिए। अपरिवर्तनीय अभिव्यक्तियाँ, विशेष रूप से स्वयं के साथ 4-वैक्टर के आंतरिक उत्पाद, समीकरण प्रदान करते हैं जो गणना के लिए उपयोगी होते हैं, क्योंकि किसी को इनवेरिएंट को निर्धारित करने के लिए लोरेंत्ज़ रूपांतरण करने की आवश्यकता नहीं होती है।

सापेक्षिक किनेमेटिक्स और इनवेरिएंस
समन्वय अंतर भी विपरीत रूप से बदलते हैं: $$dX^{\mu'}=\Lambda^{\mu'}{}_\nu dX^\nu$$ तो स्थिति के अंतर की चुकता लंबाई चार-सदिश dXμ का उपयोग करके बनाया गया $$d\mathbf{X}^2 = dX^\mu \,dX_\mu = \eta_{\mu\nu}\,dX^\mu \,dX^\nu = -(c dt)^2+(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2$$ एक अपरिवर्तनीय है। ध्यान दें कि जब रेखा तत्व  d'X'2 नकारात्मक है कि $√−dX^{2}$ उचित समय का अंतर है, जबकि जब d'X'2 सकारात्मक है, $√dX^{2}$  उचित दूरी  का अंतर है।

4-वेग Uμ का एक अपरिवर्तनीय रूप है: $$\mathbf U^2 = \eta_{\nu\mu} U^\nu U^\mu = -c^2 \,,$$ जिसका अर्थ है कि सभी वेग चार-सदिशों का परिमाण c है। यह इस तथ्य की अभिव्यक्ति है कि सापेक्षता में समन्वय विश्राम जैसी कोई चीज नहीं है: कम से कम, आप हमेशा समय के साथ आगे बढ़ रहे हैं। उपरोक्त समीकरण को द्वारा विभेदित करने पर उत्पन्न होता है: $$2\eta_{\mu\nu}A^\mu U^\nu = 0.$$ तो विशेष सापेक्षता में, त्वरण चार-वेक्टर और वेग चार-वेक्टर ऑर्थोगोनल हैं।

सापेक्ष गतिकी और अपरिवर्तन
चार-गति का अपरिवर्तनीय परिमाण | गति 4-वेक्टर ऊर्जा-गति संबंध उत्पन्न करता है: $$\mathbf{P}^2 = \eta^{\mu\nu}P_\mu P_\nu = -\left (\frac{E}{c} \right )^2 + p^2 .$$ हम पहले यह तर्क देकर यह पता लगा सकते हैं कि यह अपरिवर्तनीय क्या है, क्योंकि यह एक अदिश राशि है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम किस संदर्भ फ्रेम में इसकी गणना करते हैं, और फिर एक फ्रेम में बदलकर जहां कुल गति शून्य है। $$\mathbf{P}^2 = - \left (\frac{E_\text{rest}}{c} \right )^2 = - (m c)^2 .$$ हम देखते हैं कि शेष ऊर्जा एक स्वतंत्र अपरिवर्तनीय है। गति में कणों और प्रणालियों के लिए भी एक आराम ऊर्जा की गणना की जा सकती है, एक फ्रेम में अनुवाद करके जिसमें गति शून्य है।

शेष ऊर्जा ऊपर चर्चा किए गए प्रसिद्ध समीकरण के अनुसार द्रव्यमान से संबंधित है: $$E_\text{rest} = m c^2.$$ उनके संवेग फ्रेम के केंद्र में मापा गया सिस्टम का द्रव्यमान (जहां कुल गति शून्य है) इस फ्रेम में सिस्टम की कुल ऊर्जा द्वारा दिया जाता है। यह अन्य फ़्रेमों में मापे गए व्यक्तिगत सिस्टम द्रव्यमान के योग के बराबर नहीं हो सकता है।

न्यूटन के गति के तीसरे नियम का उपयोग करने के लिए, दोनों बलों को एक ही समय के समन्वय के संबंध में गति के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाना चाहिए। अर्थात्, इसके लिए ऊपर परिभाषित 3D बल की आवश्यकता होती है। दुर्भाग्य से, 4D में कोई टेंसर नहीं है जिसमें इसके घटकों के बीच 3D बल वेक्टर के घटक होते हैं।

यदि कोई कण c पर यात्रा नहीं कर रहा है, तो कोई कण के सह-चलती संदर्भ फ्रेम से 3D बल को पर्यवेक्षक के संदर्भ फ्रेम में बदल सकता है। यह एक 4-वेक्टर उत्पन्न करता है जिसे चार-बल कहा जाता है। यह उचित समय के संबंध में उपरोक्त ऊर्जा गति चार-सदिश के परिवर्तन की दर है। चार-बल का सहसंयोजक संस्करण है: $$F_\nu = \frac{d P_{\nu}}{d \tau} = m A_\nu $$ वस्तु के बाकी फ्रेम में, चार बल का समय घटक शून्य होता है जब तक कि वस्तु का अपरिवर्तनीय द्रव्यमान नहीं बदल रहा हो (इसके लिए एक गैर-बंद प्रणाली की आवश्यकता होती है जिसमें ऊर्जा/द्रव्यमान को सीधे जोड़ा या हटाया जा रहा है) किस स्थिति में यह द्रव्यमान परिवर्तन की उस दर का ऋणात्मक है, गुना c. सामान्य तौर पर, हालांकि, चार बल के घटक तीन-बल के घटकों के बराबर नहीं होते हैं, क्योंकि तीन बल को समन्वय समय के संबंध में गति के परिवर्तन की दर से परिभाषित किया जाता है, अर्थात dp/dt जबकि चार बल को उचित समय के संबंध में संवेग परिवर्तन की दर से परिभाषित किया जाता है, अर्थात dp/dτ।

एक सतत माध्यम में, बल का 3D घनत्व शक्ति के घनत्व के साथ मिलकर एक सहसंयोजक 4-वेक्टर बनाता है। स्थानिक भाग उस कोशिका के आयतन द्वारा एक छोटे सेल (3-स्पेस में) पर बल को विभाजित करने का परिणाम है। समय घटक सेल के आयतन से विभाजित उस सेल को हस्तांतरित शक्ति का −1/c गुना है। इसका उपयोग नीचे विद्युत चुंबकत्व अनुभाग में किया जाएगा।

यह भी देखें

 * लोग:
 * मैक्स प्लैंक
 * हरमन मिंकोव्स्की
 * मैक्स वॉन लाउ
 * अर्नोल्ड सोमरफेल्ड
 * मैक्स बोर्न
 * सापेक्षता:
 * विशेष सापेक्षता का इतिहास
 * दोगुनी विशेष सापेक्षता
 * बौंडी के-कैलकुलस
 * आइंस्टीन तुल्यकालन
 * Rietdijk–Putnam तर्क
 * विशेष सापेक्षता (वैकल्पिक सूत्रीकरण)
 * सापेक्षता प्राथमिकता विवाद
 * भौतिक विज्ञान:
 * आइंस्टीन के विचार प्रयोग
 * भौतिक ब्रह्मांड विज्ञान
 * सापेक्ष यूलर समीकरण
 * लोरेंत्ज़ ईथर सिद्धांत
 * चलती चुंबक और कंडक्टर समस्या
 * आकार तरंगें
 * आपेक्षिक ऊष्मा चालन
 * सापेक्ष डिस्क
 * जन्म कठोरता
 * जन्म निर्देशांक
 * गणित:
 * लोरेंत्ज़ समूह
 * भौतिक स्थान का बीजगणित
 * दर्शन:
 * वास्तविकता
 * परंपरावाद
 * विरोधाभास:
 * एरेनफेस्ट विरोधाभास
 * बेल का अंतरिक्ष यान विरोधाभास
 * मोकानू की वेग रचना विरोधाभास
 * प्रकाशस्तंभ विरोधाभास

पाठ्यपुस्तकें

 * Einstein, Albert (1920). Relativity: The Special and General Theory.
 * Einstein, Albert (1996). The Meaning of Relativity. Fine Communications. ISBN 1-56731-136-9
 * Logunov, Anatoly A. (2005). Henri Poincaré and the Relativity Theory (transl. from Russian by G. Pontocorvo and V. O. Soloviev, edited by V. A. Petrov). Nauka, Moscow.
 * Charles Misner, Kip Thorne, and John Archibald Wheeler (1971) Gravitation. W. H. Freeman & Co. ISBN 0-7167-0334-3
 * Post, E.J., 1997 (1962) Formal Structure of Electromagnetics: General Covariance and Electromagnetics. Dover Publications.
 * Wolfgang Rindler (1991). Introduction to Special Relativity (2nd ed.), Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853952-0; ISBN 0-19-853952-5
 * Harvey R. Brown (2005). Physical relativity: space–time structure from a dynamical perspective, Oxford University Press, ISBN 0-19-927583-1; ISBN 978-0-19-927583-0
 * Silberstein, Ludwik (1914). The Theory of Relativity.
 * Taylor, Edwin, and John Archibald Wheeler (1992). Spacetime Physics (2nd ed.). W. H. Freeman & Co. ISBN 0-7167-2327-1.
 * Tipler, Paul, and Llewellyn, Ralph (2002). Modern Physics (4th ed.). W. H. Freeman & Co. ISBN 0-7167-4345-0.
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जर्नल लेख

 * विशेष सापेक्षता स्कॉलरपीडिया
 * विशेष सापेक्षता स्कॉलरपीडिया
 * विशेष सापेक्षता स्कॉलरपीडिया
 * विशेष सापेक्षता स्कॉलरपीडिया

मूल कार्य

 * मूविंग बॉडीज के इलेक्ट्रोडायनामिक्स पर आइंस्टीन का मूल काम जर्मन में, भौतिकी के इतिहास,  बर्नो  1905
 * मूविंग बॉडीज के इलेक्ट्रोडायनामिक्स पर 1923 की किताब द प्रिंसिपल ऑफ रिलेटिविटी में प्रकाशित अंग्रेजी अनुवाद।

सामान्य दर्शकों के लिए विशेष सापेक्षता (गणितीय ज्ञान की आवश्यकता नहीं)

 * आइंस्टीन लाइट एक पुरस्कार- जीत, गैर-तकनीकी परिचय (फिल्म क्लिप और प्रदर्शन) गणित के साथ या बिना स्तरों पर आगे के स्पष्टीकरण और एनिमेशन के दर्जनों पृष्ठों द्वारा समर्थित।
 * आइंस्टीन ऑनलाइन मैक्स प्लैंक इंस्टीट्यूट फॉर ग्रेविटेशनल फिजिक्स से सापेक्षता सिद्धांत का परिचय।
 * ऑडियो: केन/गे (2006) - Astronomy Cast। आइंस्टीन की विशेष सापेक्षता का सिद्धांत

विशेष सापेक्षता की व्याख्या (सरल या अधिक उन्नत गणित का उपयोग करके)

 * बौंडी के-कैलकुलस - सापेक्षता के विशेष सिद्धांत का एक सरल परिचय।
 * ग्रेग ईगन की नींव।
 * विशेष सापेक्षता पर हॉग नोट्स कलन का उपयोग करते हुए स्नातक स्तर पर विशेष सापेक्षता का एक अच्छा परिचय।
 * सापेक्षता कैलकुलेटर: विशेष सापेक्षता - के लिए एक बीजीय और अभिन्न कलन व्युत्पत्ति E = mc2.
 * MathPages - Rellections on Relativity एक व्यापक ग्रंथ सूची के साथ सापेक्षता पर एक पूर्ण ऑनलाइन पुस्तक।
 * विशेष सापेक्षता स्नातक स्तर पर विशेष सापेक्षता का परिचय।
 * अल्बर्ट आइंस्टीन द्वारा
 * स्पेशल रिलेटिविटी लेक्चर नोट्स वर्जीनिया पॉलिटेक्निक इंस्टीट्यूट और स्टेट यूनिवर्सिटी से ड्रॉइंग और स्पेसटाइम डायग्राम के आधार पर विशेष सापेक्षता के लिए एक मानक परिचय है।
 * विशेष सापेक्षता को समझना आसानी से समझने योग्य तरीके से विशेष सापेक्षता का सिद्धांत।
 * ​​सापेक्षता के विशेष सिद्धांत का एक परिचय (1964) रॉबर्ट काट्ज़ द्वारा, एक परिचय ... जो किसी भी छात्र के लिए सुलभ है, जिसका सामान्य परिचय है भौतिकी और कलन के साथ कुछ मामूली परिचित (130 पीपी; पीडीएफ प्रारूप)।
 * विशेष सापेक्षता पर व्याख्यान नोट्स भौतिकी मैक्वेरी विश्वविद्यालय के जे डी क्रेसर विभाग द्वारा।
 * SpecialRelativity.net - विज़ुअलाइज़ेशन और न्यूनतम गणित के साथ एक सिंहावलोकन।
 * सापेक्षता 4-एवर? सुपरल्यूमिनल मोशन की समस्या पर मनोरंजक तरीके से चर्चा की गई है।

विज़ुअलाइज़ेशन

 * रेट्रेसिंग स्पेशल रिलेटिविटी सॉफ्टवेयर विशेष सापेक्षता के प्रभाव में कई परिदृश्यों की कल्पना करता है।
 * रियल टाइम रिलेटिविटी ऑस्ट्रेलियन नेशनल यूनिवर्सिटी। एक संवादात्मक कार्यक्रम के माध्यम से अनुभव किए गए सापेक्ष दृश्य प्रभाव।
 * Spacetime travel सापेक्षतावादी गति से लेकर ब्लैक होल तक, सापेक्षतावादी प्रभावों के विभिन्न प्रकार के दृश्यावलोकन।
 * आइंस्टीन की आंखों के माध्यम से ऑस्ट्रेलियाई राष्ट्रीय विश्वविद्यालय। फिल्मों और छवियों के साथ सापेक्षतावादी दृश्य प्रभावों की व्याख्या की गई।
 * ताना विशेष सापेक्षता सिम्युलेटर प्रकाश की गति के करीब यात्रा करने के प्रभावों को दिखाने के लिए एक कंप्यूटर प्रोग्राम।
 * लोरेंत्ज़ परिवर्तन की कल्पना करना।
 * ओरिजिनल इंटरएक्टिव फ्लैश एनिमेशन लोरेंत्ज़ और गैलीलियन फ्रेम, ट्रेन और टनल पैराडॉक्स, ट्विन पैराडॉक्स, वेव प्रोपेगेशन, क्लॉक सिंक्रोनाइज़ेशन का चित्रण करते हुए जॉन डी पिलिस से, आदि।
 * lightspeed एक ओपनजीएल-आधारित प्रोग्राम जिसे चलती वस्तुओं की उपस्थिति पर विशेष सापेक्षता के प्रभावों को स्पष्ट करने के लिए विकसित किया गया है।
 * एनिमेशन पृथ्वी के पास के तारे दिखा रहा है, जैसा कि यहां से देखा जा सकता है एक अंतरिक्ष यान तेजी से प्रकाश की गति में तेजी ला रहा है।

श्रेणी:विशेष सापेक्षता श्रेणी:अल्बर्ट आइंस्टीन