अधिकतम सिद्धांत

आंशिक अवकल समीकरणों और ज्यामितीय विश्लेषणों के गणितीय क्षेत्रों में, अधिकतम सिद्धांत दीर्घवृत्तीय और परवलयिक अवकल समीकरणों के अध्ययन में मौलिक महत्व के परिणामों और प्रविधियों का एक संग्रह है।

सरलतम स्थिति में, दो चरों $u(x,y)$ के एक फलन पर विचार करें, जैसे कि
 * $$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0$$

दुर्बल अधिकतम सिद्धांत, इस समायोजन में कहता है कि $u$ के प्रभावक्षेत्र के किसी भी विवृत पूर्वसंहत उपसमुच्चय $M$ के लिए, $M$  के संवृत होने पर अधिकतम $u$, $M$  की सीमा पर प्राप्त किया जाता है। प्रबल अधिकतम सिद्धांत कहता है कि, जब तक $u$ एक स्थिर फलन न हो, अधिकतम भी $M$  पर कहीं भी प्राप्त नहीं किया जा सकता है।

इस तरह के कथन दिए गए अवकल समीकरणों के हल की एक आकर्षक गुणात्मक चित्र देते हैं। ऐसे गुणात्मक चित्र को कई प्रकार के अवकल समीकरणों तक बढ़ाया जा सकता है। कई स्थितियों में, अवकल समीकरणों के हल के विषय में सटीक मात्रात्मक निष्कर्ष निकालने के लिए ऐसे अधिकतम सिद्धांतों का भी उपयोग किया जा सकता है, जैसे कि उनके प्रवणता के आकार पर नियंत्रण है। कोई एकल या सबसे सामान्य अधिकतम सिद्धांत नहीं है जो सभी स्थितियों पर एक साथ अनुप्रयुक्त होता है।

अवमुख अनुकूलन के क्षेत्र में, एक अनुरूप कथन है जो अनुरोध करता है कि एक सघन अवमुख समुच्चय पर अधिकतम अवमुख फलन सीमा पर प्राप्त होता है।

प्रबल अधिकतम सिद्धांत का आंशिक सूत्रीकरण
यहां हम सबसे सरल स्थिति पर विचार करते हैं, हालांकि समान सोच को अधिक सामान्य परिदृश्यों तक बढ़ाया जा सकता है। मान लीजिए कि $M$, यूक्लिडीय समष्टि का एक विवृत उपसमुच्चय है और $u$, $M$ पर C2  एक फलन ऐसा है कि
 * $$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}\frac{\partial^2u}{\partial x^i\,\partial x^j}=0$$

जहां 1 और $n$ के मध्य प्रत्येक $i$ और $j$ के लिए $a_{ij}$, $M$ पर $a_{ij} = a_{ji}$ के साथ एक फलन है।

$M$ में $x$ के कुछ विकल्पों को ठीक करें रेखीय बीजगणित के वर्णक्रमीय प्रमेय के अनुसार, आव्यूह के सभी आइजन मान $[a_{ij}(x)]$ वास्तविक हैं और आइजन सदिश से मिलकर $ℝ^{n}$ का एक अलौकिक आधार है। 1 से $n$ तक $i$ के लिए, $λ_{i}$ द्वारा आइजन मान और $v_{i}$ ​​​​द्वारा संबंधित आइजन सदिश को निरूपित करें। फिर, बिंदु $x$ पर अवकल समीकरण पुनः परिभाषित किया जा सकता है।
 * $$\sum_{i=1}^n \lambda_i \left. \frac{d^2}{dt^2}\right|_{t=0}\big(u(x+tv_i)\big)=0$$

अधिकतम सिद्धांत का सार सरल अवलोकन है कि यदि प्रत्येक आइजन मान धनात्मक है (जो अवकल समीकरण के "दीर्घवृत्त" के एक निश्चित सूत्रीकरण के समान है) तो उपरोक्त समीकरण हल के दिशात्मक दूसरे अवकलज के एक निश्चित संतुलन को अनुप्रयुक्त करता है। विशेष रूप से, यदि दूसरा दिशात्मक अवकलज ऋणात्मक है, तो दूसरा धनात्मक होना चाहिए। एक काल्पनिक बिंदु पर, जहां $u$ को अधिकतम किया जाता है, सभी दिशात्मक द्वितीय अवकलज स्वचालित रूप से गैर-धनात्मक होते हैं और उपरोक्त समीकरण द्वारा दर्शाए गए संतुलनों के लिए सभी दिशात्मक द्वितीय अवकलज को समान रूप से शून्य होने की आवश्यकता होती है।

इस प्राथमिक तर्क को प्रबल अधिकतम सिद्धांत के एक अतिसूक्ष्म सूत्रीकरण का प्रतिनिधित्व करने के लिए तर्क दिया जा सकता है, जो कुछ अतिरिक्त मान्यताओं (जैसे कि $a$ की निरंतरता) के अंतर्गत बताता है कि $u$ को स्थिर होना चाहिए, यदि $M$ का एक बिंदु है जहां $u$ अधिकतम है।

ध्यान दें कि उपरोक्त तर्क अप्रभावित है यदि कोई अधिक सामान्य आंशिक अवकल समीकरण पर विचार करता है;
 * $$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}\frac{\partial^2u}{\partial x^i \, \partial x^j}+\sum_{i=1}^n b_i\frac{\partial u}{\partial x^i}=0$$

चूंकि जोड़ा गया पद किसी भी काल्पनिक अधिकतम बिंदु पर स्वचालित रूप से शून्य होता है। यदि कोई अधिक सामान्य स्थिति पर विचार करता है तो तर्क भी अप्रभावित रहता है।
 * $$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}\frac{\partial^2u}{\partial x^i \, \partial x^j}+\sum_{i=1}^n b_i\frac{\partial u}{\partial x^i}\geq 0$$

जिसमें काल्पनिक अधिकतम बिंदु पर इस स्थिति में एक पूर्णतः असमानता (> के बजाय ≥) होने पर एक स्पष्ट विरोधाभास होने की अतिरिक्त घटनाओं को भी लिखा जा सकता है। शास्त्रीय दुर्बल अधिकतम सिद्धांत के औपचारिक प्रमाण में यह घटना महत्वपूर्ण है।

प्रबल अधिकतम सिद्धांत की गैर-प्रयोज्यता
हालाँकि, उपरोक्त तर्क अब अनुप्रयुक्त नहीं होता है यदि कोई प्रतिबन्ध पर विचार करता है।
 * $$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}\frac{\partial^2u}{\partial x^i\,\partial x^j}+\sum_{i=1}^n b_i\frac{\partial u}{\partial x^i}\leq 0$$

चूंकि अब "संतुलन" की स्थिति, जैसा कि $u$ के एक काल्पनिक अधिकतम बिंदु पर मूल्यांकन किया गया है और केवल यह कहता है कि स्पष्ट रूप से गैर-धनात्मक मात्राओं का भारित औसत गैर-धनात्मक है। यह तुच्छ रूप से सत्य है और इसलिए कोई इससे कोई तुच्छ निष्कर्ष नहीं निकाल सकता है। यह किसी भी संख्या में ठोस उदाहरणों से परिलक्षित होता है, जैसे तथ्य यह है कि
 * $$\frac{\partial^2}{\partial x^2}\big({-x}^2-y^2\big)+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\big({-x}^2-y^2\big)\leq 0$$

और मूल बिंदु वाले किसी भी विवृत क्षेत्र पर, फलन $−x^{2}−y^{2}$ निश्चित रूप से अधिकतम है।

आवश्यक विचार
मान लीजिए कि $M$ यूक्लिडीय समष्टि के एक विवृत उपसमुच्चय को दर्शाता है। यदि एक सुचारू फलन $$u:M\to\mathbb{R}$$ को बिंदु $p$ पर अधिकतम किया जाता है, तो स्वचालित रूप से होता है: एक आंशिक अवकल समीकरण को एक फलन के विभिन्न अवकलजों के मध्य एक बीजगणितीय संबंध के आरोपण के रूप में देख सकते हैं। इसलिए, यदि $u$ एक आंशिक अवकल समीकरण का हल है, तो यह संभव है कि $u$ के पहले और दूसरे अवकलज पर उपरोक्त प्रतिबंध इस बीजगणितीय संबंध के विपरीत हों। यह अधिकतम सिद्धांत का सार है। स्पष्ट रूप से, इस विचार की प्रयोज्यता प्रश्न में आंशिक अवकल समीकरण पर दृढ़ता से निर्भर करती है।
 * $$(du)(p)=0$$
 * $$(\nabla^2 u)(p)\leq 0,$$ एक आव्यूह असमानता के रूप में है।

उदाहरण के लिए, यदि $u$ अवकल समीकरण को हल करते हैं;
 * $$\Delta u=|du|^2+2$$

तो, $$\Delta u\leq 0$$ और $$du=0$$ प्रभावक्षेत्र के किसी भी बिंदु पर होना स्पष्ट रूप से असंभव है। इसलिए, उपरोक्त अवलोकन के पश्चात, $u$ के लिए अधिकतम मान लेना असंभव है। यदि, इसके बजाय $u$ अवकल समीकरण $$\Delta u=|du|^2$$ को हल किया, तब किसी के पास ऐसा विरोधाभास नहीं होगा और अब तक दिया गया विश्लेषण कुछ भी रोचक नहीं दर्शाता है। यदि $u$ अवकल समीकरण $$\Delta u=|du|^2-2$$ को हल करते हैं तो वही विश्लेषण दर्शाएगा कि $u$ न्यूनतम मान नहीं ले सकते।

ऐसे विश्लेषण की संभावना आंशिक अवकल समीकरणों तक ही सीमित नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि $$u:M\to\mathbb{R}$$ एक ऐसा फलन है;
 * $$\Delta u-|du|^4=\int_M e^{u(x)}\,dx$$

जो एक प्रकार का "गैर-स्थानीय" अवकल समीकरण है, फिर दाईं ओर की स्वचालित पूर्णतः धनात्मक उपरोक्त के समान विश्लेषण द्वारा दर्शाती है कि $u$ अधिकतम मान प्राप्त नहीं कर सकते हैं।

इस तरह के विश्लेषण की प्रयोज्यता को विभिन्न तरीकों से बढ़ाने के कई तरीके हैं। उदाहरण के लिए, यदि $u$ एक सुसंगत फलन है, तो उपरोक्त प्रकार का विरोधाभास सीधे नहीं होता है क्योंकि बिंदु $p$ के अस्तित्व के बाद से, जहाँ $$\Delta u(p)\leq 0$$  प्रत्येक स्थान पर $$\Delta u=0$$ की आवश्यकता के विपरीत नहीं है। हालांकि, कोई एकपक्षीय वास्तविक संख्या $s$ के लिए, $u_{s}$ द्वारा परिभाषित फलन पर विचार किया जा सकता है।
 * $$u_s(x)=u(x)+se^{x_1}$$

यह देखना सीधा है:
 * $$\Delta u_s=se^{x_1}$$

उपरोक्त विश्लेषण से, यदि $$s>0$$ तो $u_{s}$ अधिकतम मान प्राप्त नहीं कर सकते हैं। कोई यह निष्कर्ष निकालने के लिए $s$ से 0 तक की सीमा पर विचार कर सकता है कि $u$ भी अधिकतम मान प्राप्त नहीं कर सकते है। हालांकि, उच्चिष्ठता के बिना फलनों के अनुक्रमों की बिंदुवार सीमा के लिए उच्चिष्ठ होना संभव है। फिर भी, यदि $M$ की सीमा ऐसी है कि $M$  इसकी सीमा के साथ सुसंहत है, तो मान लीजिए कि $u$ निरंतर सीमा तक बढ़ाया जा सकता है, यह तुरंत अनुसरण करता है कि दोनों $u$ और $u_{s}$, $$M\cup\partial M$$ पर अधिकतम मान प्राप्त करते हैं। चूंकि हमने दर्शाया है कि $u_{s}$, $M$  पर एक फलन के रूप में, अधिकतम नहीं है, यह इस प्रकार है कि $u_{s}$ में से किसी भी $s$ के लिए अधिकतम बिंदु $$\partial M$$ पर है। $$\partial M$$ के अनुक्रमिक संहतता द्वारा, इससे पता चलता है कि $u$ का अधिकतम $$\partial M$$ प्राप्त हो गया है। यह सुसंगत फलनों के लिए दुर्बल अधिकतम सिद्धांत है। यह अपने आप में इस संभावना से ख़ारिज नहीं करता है कि अधिकतम $u$ भी $M$  पर कहीं प्राप्त होता है। यह "प्रबल अधिकतम सिद्धांत" की सामग्री है, जिसके लिए और विश्लेषण की आवश्यकता है।

विशिष्ट फलन $$e^{x_1}$$का उपयोग ऊपर आवश्यक नहीं था। जो कुछ अहमियत रखता था वह एक ऐसा फलन होना था जो निरंतर सीमा तक फैला हो और जिसका लाप्लासियन पूर्णतः धनात्मक हो। उदाहरण के लिए,
 * $$u_s(x)=u(x)+s|x|^2$$

तो हम उसी प्रभाव से प्रयोग कर सकते थे।

प्रमाण का सारांश
मान लीजिए कि $M$ यूक्लिडीय समष्टि का एक विवृत उपसमुच्चय है। $$u:M\to\mathbb{R}$$ एक द्वि-विभेदक फलन हो सकता है जो अपने अधिकतम मान $C$ को प्राप्त करता है। मान लीजिए कि
 * $$a_{ij}\frac{\partial^2u}{\partial x^i\,\partial x^j}+b_i\frac{\partial u}{\partial x^i}\geq 0$$

मान लीजिए कि कोई खोज सकता है (या अस्तित्व को सिद्ध कर सकता है):
 * $M$ का एक सुसंहत उपसमुच्चय $Ω$, अरिक्त अभ्यंतर के साथ, जैसे कि $u(x) < C$, $Ω$ के अभ्यंतर में सभी $x$ के लिए, और ऐसा है कि $u(x_{0}) = C$ के साथ $Ω$ की सीमा पर $x_{0}$ उपस्थित है।
 * एक सतत फलन $$h:\Omega\to\mathbb{R}$$, जो $Ω$ के आंतरिक भाग पर दो बार अवकलनीय है।
 * $$a_{ij}\frac{\partial^2h}{\partial x^i\,\partial x^j}+b_i\frac{\partial h}{\partial x^i}\geq 0$$
 * और ऐसा है कि $h(x_{0}) = 0$ के साथ $Ω$ की सीमा पर $u + h ≤ C$ है।

फिर $L(u + h − C) ≥ 0$, $Ω$ पर $u + h − C ≤ 0$ के साथ $Ω$ की सीमा पर; दुर्बल अधिकतम सिद्धांत के अनुसार, किसी के पास $Ω$ पर $u + h − C ≤ 0$ होता है। यह कहने के लिए पुनर्गठित किया जा सकता है।
 * $$-\frac{u(x)-u(x_0)}{|x-x_0|}\geq \frac{h(x)-h(x_0)}{|x-x_0|}$$

$Ω$ में सभी $x$ के लिए, यदि कोई $h$ का चुनाव कर सकता है ताकि दाहिनी ओर स्पष्ट रूप से धनात्मक प्रकृति हो, तो यह इस तथ्य के लिए एक विरोधाभास प्रदान करेगा कि $x_{0}$, $M$ पर $u$ का अधिकतम बिंदु है, ताकि इसकी प्रवणता लुप्त हो जाए।

प्रमाण
उपरोक्त "क्रमानुदेश" को निष्पादित किया जा सकता है। एक गोलाकार वलय होने के लिए $Ω$ चयन करे; एक संवृत समुच्चय $∂M$ की तुलना में संवृत समुच्चय $u^{−1}(C)$ के निकट एक बिंदु होने के लिए इसके केंद्र $x_{c}$ का चयन करता है और बाह्य त्रिज्या $R$ को इस केंद्र से $u^{−1}(C)$ तक की दूरी के लिए चुना जाता है; मान लीजिए कि $x_{0}$ इस बाद वाले समुच्चय पर एक बिंदु बनें जो दूरी का अनुभव करता है। आंतरिक त्रिज्या $ρ$ यादृच्छिक है।
 * $$h(x)=\varepsilon\Big(e^{-\alpha|x-x_{\text{c}}|^2}-e^{-\alpha R^2}\Big)$$

अब $Ω$ की सीमा में दो गोले होते हैं; बाह्य गोले पर, $h = 0$ होता है; $R$ के चयन के कारण, इस क्षेत्र पर $u ≤ C$ है और इसलिए $u + h − C ≤ 0$ सीमा के इस भाग पर एक साथ आवश्यकता $h(x_{0}) = 0$ के साथ के साथ रखता है। आंतरिक क्षेत्र पर, $u < C$ है। $u$ की निरंतरता और आंतरिक क्षेत्र की संहतता के कारण, कोई $δ > 0$ का चयन कर सकता है जैसे कि $u + δ < C$। चूंकि $h$ इस आंतरिक क्षेत्र पर स्थिर है, कोई भी $ε > 0$ का चयन कर सकता है जैसे कि $u + h ≤ C$ आंतरिक क्षेत्र पर, और इसलिए $Ω$ की पूर्ण सीमा पर है।

सीधी गणना बताती है:
 * $$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}\frac{\partial^2h}{\partial x^i\,\partial x^j}+\sum_{i=1}^nb_i\frac{\partial h}{\partial x^i}=\varepsilon \alpha e^{-\alpha|x-x_{\text{c}}|^2}\left(4\alpha\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}(x)\big(x^i-x_{\text{c}}^i\big)\big(x^j-x_{\text{c}}^j\big)-2\sum_{i=1}^n a_{ii}-2 \sum_{i=1}^n b_i\big(x^i-x_{\text{c}}^i\big)\right)$$

ऐसी कई स्थितियाँ हैं जिनके अंतर्गत दाहिनी ओर के गैर-ऋणात्मक होने की प्रत्याभूति दी जा सकती है; नीचे प्रमेय का कथन देखें।

अंत में, ध्यान दें कि वलय की अंतर्मुख संकेत त्रिज्यीय रेखा के साथ $x_{0}$ पर $h$ का दिशात्मक व्युत्पन्न पूर्णतः सकारात्मक है। जैसा कि ऊपर दिए गए सारांश में वर्णित है, यह सुनिश्चित करेगा कि $x_{0}$ पर $u$ का एक दिशात्मक अवकलज अशून्य है, $x_{0}$ के विरोध में विवृत समुच्चय $M$ पर $u$ का अधिकतम बिंदु है।

प्रमेय का कथन
हॉफ (1927) के मूल कथन के पश्चात, मोरे और स्मोलर की पुस्तकों में प्रमेय का कथन निम्नलिखित है: "मान लीजिए कि $M$ यूक्लिडीय समष्टि का एक विवृत उपसमुच्चय $ℝ^{n}$ है। प्रत्येक $i$ और $j$ के लिए, 1 और $n$ के मध्य है, $a_{ij}$ और $b_{i}$ संतत फलन $M$ $a_{ij} = a_{ji}$ के साथ है। सभी $x$ के लिए $M$ में, सममित आव्यूह $[a_{ij}]$ धनात्मक-निश्चित है। यदि $u$ अस्थिर है। $C^{2}$ फलन $M$ पर ऐसा है कि
 * $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}\frac{\partial^2u}{\partial x^i\,\partial x^j}+\sum_{i=1}^nb_i\frac{\partial u}{\partial x^i}\geq 0$

$M$ पर, तो $u$, $M$ पर अधिकतम मान प्राप्त नहीं करता है।"

निरंतरता की धारणा का बिंदु यह है कि संतत फलन सुसंहत समुच्चयों पर बंधे होते हैं, यहां प्रासंगिक सुसंहत समुच्चय प्रमाण में दिखाई देने वाला गोलाकार वलय है। इसके अतिरिक्त, इसी सिद्धांत के अनुसार, एक संख्या $λ$ है जैसे कि वलय में सभी $x$ के लिए, आव्यूह $[a_{ij}(x)]$ में $λ$ से अधिक या उसके समान सभी ईजेनमान हैं। तब एक $α$ लेता है, जैसा कि प्रमाण में दिखाई देता है, इन सीमाओं के सापेक्ष बड़ा है। इवांस की पुस्तक में थोड़ा दुर्बल सूत्रीकरण है, जिसमें एक धनात्मक संख्या $λ$ मानी जाती है जो कि $M$ में सभी $x$ के लिए $[a_{ij}]$ के ईजेनमान ​​की निचली सीमा है।

प्रमाण के कार्य करने के लिए ये निरंतरता धारणाएं स्पष्ट रूप से सबसे सामान्य संभव नहीं हैं। उदाहरण के लिए, गिल्बर्ग और ट्रुडिंगर के प्रमेय का कथन, उसी प्रमाण के बाद निम्नलिखित है: "मान लीजिए कि $M$ यूक्लिडीय समष्टि का एक विवृत उपसमुच्चय $ℝ^{n}$ है। प्रत्येक $i$ और $j$ के लिए, 1 और $n$ के मध्य है तथा $a_{ij}$ और $b_{i}$ फलन $M$ पर $a_{ij} = a_{ji}$ के साथ है। सभी $x$ के लिए $M$ में, सममित आव्यूह $[a_{ij}]$ धनात्मक-निश्चित है और $λ(x)$ के सबसे छोटे ईजेन मान को निरूपित करता है। $\textstyle\frac{a_{ii}}{\lambda}$ और $\textstyle\frac{|b_i|}{\lambda}$ परिबद्ध फलन $M$ हैं, प्रत्येक $i$ के लिए 1 और $n$ के मध्य है। यदि $u$ अस्थिर है। $C^{2}$ फलन $M$ पर ऐसा है कि
 * $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}\frac{\partial^2u}{\partial x^i\,\partial x^j}+\sum_{i=1}^nb_i\frac{\partial u}{\partial x^i}\geq 0$

$M$ पर, तो $u$, $M$ पर अधिकतम मान प्राप्त नहीं करता है।|undefined"

जैसा कि पहले से ही एक आयामी स्थिति में देखा गया है, इन कथनों को सामान्य द्वितीय-क्रम रैखिक दीर्घवृत्तीय समीकरण तक विस्तारित नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, साधारण अवकल समीकरण $y + 2y = 0$ में ज्यावक्रीय हल है, जिसमें निश्चित रूप से आंतरिक उच्चिष्ठता है। यह उच्च-आयामी स्थिति तक फैला हुआ है, जहां प्रायः ईजेनफलन समीकरणों के हल $Δu + cu = 0$ होते हैं जिसमें आंतरिक उच्चिष्ठता है। c का चिह्न प्रासंगिक है, जैसा कि एक आयामी स्थिति में भी देखा गया है; उदाहरण के लिए, $y - 2y = 0$ के हल चरघातांकी हैं और ऐसे फलनों की उच्चिष्ठता की प्रकृति ज्यावक्रीय फलनों से काफी भिन्न होती है।

यह भी देखें

 * अधिकतम मापांक सिद्धांत
 * हॉफ अधिकतम सिद्धांत

शोध लेख

 * कैलाबी, ई. ई. हॉफ के अधिकतम सिद्धांत का एक विस्तार, रीमानियन ज्यामिति के लिए एक अनुप्रयोग के साथ। ड्यूक मठ। जे. 25 (1958), 45-56।
 * चेंग, एस.वाई.; यौ, एस.टी. रीमानियन मैनिफोल्ड्स और उनके ज्यामितीय अनुप्रयोगों पर विभेदक समीकरण। कॉम। शुद्ध सेब। गणित। 28 (1975), नहीं। 3, 333-354।
 * गिदास, बी.; नी, वी मिंग; अधिकतम सिद्धांत के माध्यम से निरेनबर्ग, एल। समरूपता और संबंधित गुण। कॉम। गणित। भौतिक। 68 (1979), नहीं। 3, 209–243।
 * गिदास, बी.; नी, वी मिंग; निरेनबर्ग, एल। गैर-रेखीय दीर्घवृत्तीय समीकरणों के सकारात्मक हलों की समरूपता $R^{n}$. गणितीय विश्लेषण और अनुप्रयोग, भाग ए, पीपी। 369-402, अभिभाषक। गणित में। पूरक। स्टड।, 7 ए, अकादमिक प्रेस, न्यूयॉर्क-लंदन, 1981।
 * हैमिल्टन, रिचर्ड एस. धनात्मक वक्रता संचालिका के साथ चार-कई गुना। जे डिफरेंशियल जियोम। 24 (1986), नहीं। 2, 153-179।
 * ई। हॉफ। एलीमेंटेयर बेमेरकुंगेन Über डाई लोसुंगेन पार्टिएलर डिफरेंशियल ग्लीचुंगेन ज़्वाइटर ऑर्डनंग वोम एलिप्टिसचेन टाइपस। सितबर। प्रीस। अकद। विस। बर्लिन 19 (1927), 147-152।
 * हॉफ, एबरहार्ड। द्वितीय कोटि के रैखिक दीर्घवृत्तीय अवकल समीकरणों पर एक टिप्पणी। प्रक्रिया। आमेर। गणित। समाज। 3 (1952), 791-793।
 * निरेनबर्ग, लुइस। परवलयिक समीकरणों के लिए एक प्रबल अधिकतम सिद्धांत। कॉम। शुद्ध सेब। गणित। 6 (1953), 167-177।
 * ओमोरी, हिदेकी। रीमानियन मैनिफोल्ड्स का आइसोमेट्रिक निमज्जन। जे गणित। समाज। जेपीएन। 19 (1967), 205-214।
 * यौ, शिंग तुंग। पूर्ण रिमेंनियन मैनिफोल्ड पर सुसंगत कार्य करता है। कॉम। शुद्ध सेब। गणित। 28 (1975), 201–228।
 * क्रेबर्ग, एच. जे. ए. आर्थिक प्रक्रियाओं में इष्टतम नियंत्रण के अधिकतम सिद्धांत पर, 1969 (ट्रॉनहैम, एनटीएच, सोशियलोकोनॉमिस्क संस्थान https://www.worldcat.org/title/on-the-maximum-principle-of-optimal-control-in) -आर्थिक-प्रक्रिया/ओसीएलसी/23714026)

पाठ्यपुस्तकें
[Category:Mathematical principle
 * Evans, Lawrence C. Partial differential equations. Second edition. Graduate Studies in Mathematics, 19. American Mathematical Society, Providence, RI, 2010. xxii+749 pp. ISBN 978-0-8218-4974-3
 * Friedman, Avner. Partial differential equations of parabolic type. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J. 1964 xiv+347 pp.
 * Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. Elliptic partial differential equations of second order. Reprint of the 1998 edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2001. xiv+517 pp. ISBN 3-540-41160-7
 * Ladyženskaja, O. A.; Solonnikov, V. A.; Uralʹceva, N. N. Linear and quasilinear equations of parabolic type. Translated from the Russian by S. Smith. Translations of Mathematical Monographs, Vol. 23 American Mathematical Society, Providence, R.I. 1968 xi+648 pp.
 * Ladyzhenskaya, Olga A.; Ural'tseva, Nina N. Linear and quasilinear elliptic equations. Translated from the Russian by Scripta Technica, Inc. Translation editor: Leon Ehrenpreis. Academic Press, New York-London 1968 xviii+495 pp.
 * Lieberman, Gary M. Second order parabolic differential equations. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 1996. xii+439 pp. ISBN 981-02-2883-X
 * Morrey, Charles B., Jr. Multiple integrals in the calculus of variations. Reprint of the 1966 edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2008. x+506 pp. ISBN 978-3-540-69915-6
 * Protter, Murray H.; Weinberger, Hans F. Maximum principles in differential equations. Corrected reprint of the 1967 original. Springer-Verlag, New York, 1984. x+261 pp. ISBN 0-387-96068-6
 * Smoller, Joel. Shock waves and reaction-diffusion equations. Second edition. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 258. Springer-Verlag, New York, 1994. xxiv+632 pp. ISBN 0-387-94259-9
 * Smoller, Joel. Shock waves and reaction-diffusion equations. Second edition. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 258. Springer-Verlag, New York, 1994. xxiv+632 pp. ISBN 0-387-94259-9
 * Smoller, Joel. Shock waves and reaction-diffusion equations. Second edition. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 258. Springer-Verlag, New York, 1994. xxiv+632 pp. ISBN 0-387-94259-9