आघूर्ण (भौतिकी)

भौतिकी में, क्षण गणितीय अभिव्यक्ति है जिसमें दूरी और भौतिक मात्रा का गुणनफल सम्मिलित होता है। क्षणों को सामान्यतः निश्चित संदर्भ बिंदु के संबंध में परिभाषित किया जाता है और संदर्भ बिंदु से कुछ दूरी पर स्थित भौतिक मात्राओं को संदर्भित करता है। इस प्रकार, क्षण मात्रा के स्थान या व्यवस्था के लिए खाता है। उदाहरण के लिए, बल का क्षण, जिसे प्रायः टोक़ कहा जाता है, किसी वस्तु पर बल का उत्पाद होता है और संदर्भ बिंदु से वस्तु तक की दूरी होती है। सिद्धांत रूप में, किसी भी भौतिक राशि को क्षण उत्पन्न करने के लिए दूरी से गुणा किया जा सकता है। सामान्यतः उपयोग की जाने वाली मात्राओं में बल, द्रव्यमान और विद्युत आवेश वितरण सम्मिलित हैं।

विस्तार
अपने सबसे बुनियादी रूप में, क्षण बिंदु की दूरी का गुणनफल (गणित) है, जिसे शक्ति तक बढ़ाया जाता है, औरभौतिक मात्रा (जैसे बल या विद्युत आवेश) उस बिंदु पर:


 * $$\mu_n = r^n\,Q,$$

कहाँ $$Q$$ भौतिक मात्रा है जैसे कि बिंदु पर लगाया गया बल, या बिंदु आवेश, या बिंदु द्रव्यमान, आदि। यदि मात्रा केवल बिंदु पर केंद्रित नहीं है, तो क्षण अंतरिक्ष पर उस मात्रा के घनत्व का अभिन्न अंग है:


 * $$\mu_n = \int r^n \rho(r)\,dr$$

कहाँ $$\rho$$ आवेश, द्रव्यमान, या जो भी मात्रा पर विचार किया जा रहा है, उसके घनत्व का वितरण है।

अधिक जटिल रूप दूरी और भौतिक मात्रा के मध्य कोणीय संबंधों को ध्यान में रखते हैं, लेकिन उपरोक्त समीकरण पल की आवश्यक विशेषता को पकड़ते हैं, अर्थात् अंतर्निहित का अस्तित्व $$r^n \rho(r)$$ या समकक्ष शब्द। इसका तात्पर्य है कि कई क्षण हैं (n के प्रत्येक मान के लिए एक) और यह कि क्षण सामान्यतः उस संदर्भ बिंदु पर निर्भर करता है जिससे दूरी $$r$$ मापा जाता है, चूँकि कुछ क्षणों के लिए (तकनीकी रूप से, सबसे अल्प अन्य-शून्य क्षण) यह निर्भरता विलुप्त हो जाती है और क्षण संदर्भ बिंदु से स्वतंत्र हो जाता है।

n का प्रत्येक मान अलग पल से मेल खाता है: पहला पल n = 1 से मेल खाता है; दूसरे क्षण से n = 2, आदि। 0वें क्षण (n = 0) को कभी-कभी मोनोपोल क्षण कहा जाता है; पहले क्षण (n = 1) को कभी-कभी द्विध्रुवीय क्षण कहा जाता है, और दूसरे क्षण (n = 2) को कभी-कभी चतुष्कोणीय क्षण कहा जाता है, विशेष रूप से विद्युत आवेश वितरण के संदर्भ में।

उदाहरण

 * बल का क्षण, या बलाघूर्ण, पहला क्षण है: $$\mathbf{\tau} = rF$$, या, अधिक सामान्यतः, $$\mathbf{r} \times \mathbf{F}$$ है।
 * इसी प्रकार, कोणीय संवेग का पहला क्षण है: $$\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$$. ध्यान दें कि संवेग अपने आप में क्षण नहीं है।
 * वैद्युत द्विध्रुव आघूर्ण भी प्रथम आघूर्ण है: $$\mathbf{p} = q\,\mathbf{d}$$ दो विपरीत बिंदु आवेशों के लिए या $\int \mathbf{r}\,\rho(\mathbf{r})\,d^3r$ चार्ज घनत्व के साथ वितरित शुल्क के लिए $$\rho(\mathbf{r})$$.

मास के क्षण:
 * कुल द्रव्यमान द्रव्यमान का शून्य क्षण होता है।
 * द्रव्यमान का केंद्र द्रव्यमान का पहला क्षण होता है जिसे कुल द्रव्यमान द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है: $\mathbf{R} = \frac 1M \sum_i \mathbf{r}_i m_i$ बिंदु द्रव्यमान के संग्रह के लिए, या $ \frac 1M \int \mathbf{r} \rho(\mathbf{r}) \, d^3r$  बड़े पैमाने पर वितरण वाली वस्तु के लिए $$\rho(\mathbf{r})$$.
 * जड़त्व आघूर्ण द्रव्यमान का दूसरा आघूर्ण है: $$I = r^2 m$$ एक बिंदु द्रव्यमान के लिए, $\sum_i r_i^2 m_i$ बिंदु द्रव्यमान के संग्रह के लिए, या $\int r^2\rho(\mathbf{r}) \, d^3r$  बड़े पैमाने पर वितरण वाली वस्तु के लिए $$\rho(\mathbf{r})$$. ध्यान दें कि द्रव्यमान के केंद्र को प्रायः (हमेशा नहीं) संदर्भ बिंदु के रूप में लिया जाता है।

मल्टीपोल क्षण
घनत्व फलन मानते हुए जो सीमित है और किसी विशेष क्षेत्र में स्थानीयकृत है, उस क्षेत्र के बाहर 1/आर स्केलर क्षमता को गोलाकार हार्मोनिक्स की श्रृंखला के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

\Phi(\mathbf{r}) = \int \frac{\rho(\mathbf{r'})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|} \, d^3r' = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell \left( \frac{4\pi}{2\ell+1} \right) q_{\ell m}\, \frac{Y_{\ell m}(\theta, \varphi)}{r^{\ell+1}} $$ गुणांक $$q_{\ell m}$$ बहुध्रुव क्षणों के रूप में जाना जाता है, और रूप लेते हैं:

q_{\ell m} = \int (r')^\ell\, \rho(\mathbf{r'})\, Y^*_{\ell m}(\theta',\varphi')\, d^3r' $$ कहाँ $$\mathbf{r}'$$ गोलाकार निर्देशांक में व्यक्त किया गया $$\left(r', \varphi', \theta'\right)$$ एकीकरण का चर है। बहुध्रुव विस्तार या गोलाकार बहुध्रुव क्षणों का वर्णन करने वाले पृष्ठों में अधिक संपूर्ण उपचार पाया जा सकता है। (ध्यान दें: उपरोक्त समीकरणों में कन्वेंशन जैक्सन से लिया गया था - संदर्भित पृष्ठों में उपयोग की जाने वाली प्रथाएं थोड़ी भिन्न हो सकती हैं।)

कब $$\rho$$ विद्युत चार्ज घनत्व का प्रतिनिधित्व करता है, $$q_{lm}$$ अर्थ में, विद्युत आवेश के क्षणों के अनुमान हैं: $$q_{00}$$ एकाधिकार क्षण है; $$q_{1m}$$ द्विध्रुव आघूर्ण के प्रक्षेपण हैं $$q_{2m}$$ चतुष्कोणीय क्षण आदि के अनुमान हैं।

मल्टीपोल पलों के अनुप्रयोग
मल्टीपोल विस्तार 1/r स्केलर क्षमता पर लागू होता है, जिसके उदाहरणों में विद्युत क्षमता और गुरुत्वाकर्षण क्षमता सम्मिलित है। इन संभावनाओं के लिए, अभिव्यक्ति का उपयोग पूर्व कुछ क्षणों की गणना करके आवेशों (या द्रव्यमान) के स्थानीयकृत वितरण द्वारा उत्पादित क्षेत्र की ताकत का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है। पर्याप्त रूप से बड़े r के लिए, केवल ध्रुव और द्विध्रुवीय क्षणों से उचित सन्निकटन प्राप्त किया जा सकता है। उच्च आदेश क्षणों की गणना करके उच्च निष्ठा प्राप्त की जा सकती है। प्रौद्यौगिक के विस्तार का उपयोग गोलाकार मल्टीपोल पलों गोलाकार मल्टीपोल और इंटरमॉलिक्युलर बलों की अंतःक्रिया ऊर्जा के लिए किया जा सकता है।

अज्ञात वितरण के गुणों को निर्धारित करने के लिए तकनीक का भी उपयोग किया जा सकता है $$\rho$$. मल्टीपोल पलों से संबंधित माप लिया जा सकता है और अंतर्निहित वितरण के गुणों का अनुमान लगाने के लिए उपयोग किया जाता है। यह तकनीक छोटी वस्तुओं जैसे अणुओं पर लागू होती है, लेकिन ब्रह्मांड पर भी लागू किया गया है, उदाहरण के लिए WMAP और प्लैंक (अंतरिक्ष यान) प्रयोगों द्वारा कॉस्मिक माइक्रोवेव पृष्ठभूमि विकिरण का विश्लेषण करने के लिए नियोजित तकनीक।

इतिहास
माना जाता है कि प्राचीन ग्रीस से उपजे कार्यों में, क्षण की अवधारणा शब्द विक्ट: ῥοπή|ῥοπή (rhopḗ, झुकाव ) और सम्मिश्र जैसे विक्ट:ἰσορροπα|ἰσορροπα (isoropa,  समान झुकाव वाले)।  इन कार्यों का संदर्भ उत्तोलक से जुड़े यांत्रिकी और ज्यामिति है। विशेष रूप से, आर्किमिडीज को जिम्मेदार ठहराए गए मौजूदा कार्यों में, क्षण को वाक्यांशों में इंगित किया गया है:

इसके अलावा, यांत्रिक प्रमेय की विधि जैसे मौजूदा ग्रंथों में, क्षणों का उपयोग गुरुत्वाकर्षण, क्षेत्र और ज्यामितीय आंकड़ों की मात्रा के केंद्र का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है।
 * अनुरूपता (गणित) परिमाण [ए और बी] समान रूप से संतुलित हैं  अगर उनकी दूरियां [केंद्र Γ, यानी, ΑΓ और ΓΒ] आनुपातिकता (गणित) हैं#व्युत्क्रमानुपाती  उनके वजन के लिए.

1269 में, मोरबेके के विलियम ने आर्किमिडीज़ और एस्कलॉन के यूटोकियस के विभिन्न कार्यों का लैटिन में अनुवाद किया। शब्द ῥοπή रोपेन में लिप्यंतरण है।

1450 के आसपास, सैन कैसियानो के जैकब समान ग्रंथों में ῥοπή का अनुवाद लैटिन शब्द संवेग में करता है ( आंदोलन ). इसी शब्द को जॉर्ज वल्ला द्वारा 1501 अनुवाद में रखा गया है, और बाद में फ्रांसिस मौरोलिको, फेडेरिको कमांडिनो, गाइडोबाल्डो डेल मोंटे, एड्रियन वैन रूमेन, फ्लोरेंस रिवॉल्ट, फ्रांसेस्को Buonamici (दार्शनिक)दार्शनिक), मारिन मेर्सेन द्वारा, और गैलीलियो गैलीली। उस ने कहा, अनुवाद के लिए संवेग शब्द क्यों चुना गया? ट्रेकनी के अनुसार, एक सुराग, मध्यकालीन इटली में वह क्षण है, जहां शुरुआती अनुवादक रहते थे, एक हस्तांतरित अर्थ में समय का एक क्षण और वजन का एक क्षण (वजन की एक छोटी मात्रा जो फौलादी संतुलन को बदल देती है) दोनों का मतलब है।

1554 में, फ्रांसेस्को मौरोलिको ने प्रोलोगी सिव प्रवचन में लैटिन शब्द गति को स्पष्ट किया। यहाँ एक लैटिन से अंग्रेजी अनुवाद है जैसा कि मार्शल क्लैगेट द्वारा दिया गया है:

 [...] असमान दूरी पर समान भार समान रूप से नहीं तौलते हैं, लेकिन असमान भार [इन असमान दूरियों पर] समान रूप से वजन करते हैं। अधिक दूरी पर लटका हुआ भार भारी होता है, जैसा कि स्टेलीयार्ड तुला में स्पष्ट है। इसलिए, एक निश्चित तीसरे प्रकार की शक्ति या परिमाण का तीसरा अंतर मौजूद होता है - एक जो शरीर और वजन दोनों से भिन्न होता है - और इसे वे क्षण कहते हैं। इसलिए, एक पिंड मात्रा [यानी, आकार] और गुणवत्ता [यानी, सामग्री] दोनों से वजन प्राप्त करता है, लेकिन एक वजन उस दूरी से अपना क्षण प्राप्त करता है जिस पर वह निलंबित होता है। इसलिए, जब दूरियां वजन के पारस्परिक रूप से आनुपातिक होती हैं, तो क्षण [वजन के] बराबर होते हैं, जैसा कि आर्किमिडीज ने विमानों के संतुलन पर में प्रदर्शित किया था। इसलिए, वज़न या [बल्कि] क्षण अन्य निरंतर मात्राओं की तरह, कुछ सामान्य टर्मिनस पर जुड़ जाते हैं, जो कि उन दोनों के लिए कुछ समान होता है जैसे वजन का केंद्र, या संतुलन के बिंदु पर। अब किसी भी भार में गुरुत्वाकर्षण का केंद्र वह बिंदु है, जो चाहे कितनी भी बार या जब भी शरीर को निलंबित कर दिया जाए, हमेशा सार्वभौमिक केंद्र की ओर लंबवत झुकता है।

शरीर, भार और क्षण के अतिरिक्त एक निश्चित चौथी शक्ति होती है, जिसे प्रेरणा या बल कहा जा सकता है। अरस्तू ने यांत्रिक प्रश्नों में इसकी जांच की है, और यह [तीन] पूर्वोक्त [शक्तियों या परिमाण] से पूरी तरह से अलग है। [...] 

1586 में, साइमन स्टीवन ने बेगिनसेलेन द वेइकॉनस्ट में संवेग के लिए डच भाषा के शब्द स्टाल्विच्ट (पार्क्ड वेट) का उपयोग किया।

1632 में, गैलीलियो गैलीली ने दो प्रमुख विश्व प्रणालियों के संबंध में संवाद प्रकाशित किया और अपने पूर्ववर्तियों में से एक सहित कई अर्थों के साथ इतालवी भाषा के मोमेंटो का उपयोग किया। 1643 में, थॉमस सालुसबरी ने गैलीली के कुछ कार्यों का अंग्रेजी भाषा में अनुवाद किया। सैलसबरी लैटिन गति और इतालवी क्षण का अंग्रेजी शब्द क्षण में अनुवाद करता है।

1765 में, लैटिन शब्द संवेग जड़त्व (अंग्रेजी भाषा: जड़त्व का क्षण) का उपयोग लियोनहार्ड यूलर द्वारा किया जाता है, जो कि दोलन घड़ी में क्रिस्टियान ह्यूजेंस की मात्राओं में से एक को संदर्भित करता है। ह्यूजेंस के 1673 के काम में दोलन के केंद्र को खोजने का काम मारिन मेर्सेन द्वारा प्रेरित किया गया था, जिन्होंने 1646 में उन्हें इसका सुझाव दिया था। 1811 में, एक बिंदु और विमान के संबंध में फ्रांसीसी शब्द मोमेंट डी'यून फ़ोर्स (अंग्रेजी भाषा: फ़ोर्स ऑफ़ फ़ोर्स) का उपयोग सिमोन डेनिस पोइसन द्वारा ट्रेटे डे मेकानिक में किया गया है। एक अंग्रेजी अनुवाद 1842 में दिखाई देता है।

1884 में, जेम्स थॉमसन (इंजीनियर) द्वारा मशीनों के घूर्णी बलों (प्रोपेलर और रोटर (बिजली)  के साथ) को मापने के संदर्भ में टोक़ शब्द का सुझाव दिया गया है।  आज, मशीनों के टॉर्क को मापने के लिए शक्ति नापने का यंत्र का उपयोग किया जाता है।

1893 में, कार्ल पियर्सन ने n-वें पल और शब्द का उपयोग किया $$\mu_n$$ कर्व फिटिंग|वक्र फिटिंग वैज्ञानिक माप के संदर्भ में। पियर्सन ने जॉन वेन के जवाब में लिखा, जिन्होंने कुछ साल पहले मौसम विज्ञान डेटा से जुड़े एक अजीबोगरीब पैटर्न का अवलोकन किया और इसके कारण की व्याख्या मांगी। पियर्सन की प्रतिक्रिया में, इस सादृश्य का उपयोग किया जाता है: गुरुत्वाकर्षण का यांत्रिक केंद्र माध्य है और दूरी माध्य से विचलन (सांख्यिकी) है। यह बाद में क्षण (गणित) में विकसित हुआ। एक पल की यांत्रिक अवधारणा और आंकड़ों के कार्य के योग के मध्य समानता $n$पियरे-साइमन लाप्लास, क्रिश्चियन क्रैम्प, कार्ल फ्रेडरिक गॉस, जोहान फ्रांज एनके, एमानुएल जुबेर, एडोल्फ क्वेटलेट, और एरास्टस एल. डी फॉरेस्ट सहित, पहले कई लोगों द्वारा विचलन की शक्तियों पर ध्यान दिया गया था।

यह भी देखें

 * टोक़ (या बल का क्षण), लेख युगल (यांत्रिकी) भी देखें
 * पल (गणित)
 * यांत्रिक संतुलन, तब प्रारम्भ होता है जब कोई वस्तु संतुलित होती है जिससे धुरी के विषय में घड़ी की दिशा में क्षणों का योग उसी धुरी के विषय में वामावर्त क्षणों के योग के समान होता है।
 * निष्क्रियता के पल $$\left(I = \Sigma m r^2\right)$$, घूर्णी गति की चर्चाओं में द्रव्यमान के समान है। यह किसी वस्तु के घूमने की दर में परिवर्तन के प्रतिरोध का उपाय है।
 * कोनेदार गति $$(\mathbf{L} = \mathbf{r} \times m\mathbf{v})$$, रैखिक गति का घूर्णी एनालॉग होती है।
 * चुंबकीय पल $$\left(\mathbf{\mu} = I\mathbf{A}\right)$$, चुंबकीय स्रोत की शक्ति और दिशा को मापने वाला द्विध्रुवीय क्षण।
 * विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण, दो या दो से अधिक आवेशों के मध्य आवेश के अंतर और दिशा को मापने वाला द्विध्रुव आघूर्ण है। उदाहरण के लिए, -q और q के आवेश के मध्य 'd' की दूरी से पृथक विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण $$(\mathbf{p} = q \mathbf{d})$$ है।
 * झुकने का क्षण, क्षण जिसके परिणामस्वरूप संरचनात्मक तत्व का झुकाव होता है।
 * क्षेत्र का प्रथम क्षण, अपरूपण प्रतिबल के प्रतिरोध से संबंधित किसी वस्तु का गुण है।
 * क्षेत्र का दूसरा क्षण, झुकने और विक्षेपण के प्रतिरोध से संबंधित किसी वस्तु का गुण है।
 * ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण, किसी वस्तु का उसके मरोड़ के प्रतिरोध से संबंधित गुण है।
 * छवि क्षण, छवि के सांख्यिकीय गुण है।
 * भूकंपीय क्षण, भूकंप के आकार को मापने के लिए उपयोग की जाने वाली मात्रा है।
 * आघूर्ण समीकरण, घनत्व, वेग और दबाव के संदर्भ में प्लाज्मा का द्रव विवरण है।
 * जड़ता के क्षेत्र क्षणों की सूची है।
 * जड़ता के क्षणों की सूची है।
 * मल्टीपोल विस्तार है।
 * गोलाकार बहुध्रुव क्षण है।

बाहरी संबंध

 * A dictionary definition of moment.
 * A dictionary definition of moment.

Ροπή Momenti