सुपरएलिप्सॉइड

अंक शास्त्र में, एक सुपरएलिप्सॉइड एक ठोस होता है जिसके क्षैतिज खंड समान वर्ग पैरामीटर के साथ सुपरएलिप्सेज़ (लैम वक्र) होते हैं $$\epsilon_2$$, और जिसके केंद्र से हस्तांतरित करने वाले ऊर्ध्वाधर खंड वर्गाकार पैरामीटर के साथ सुपरलिप्स हैं। $$\epsilon_1$$ यह एक दीर्घवृत्ताकार का सामान्यीकरण है, जो एक विशेष स्थिति है $$\epsilon_1=\epsilon_2=1$$.

सुपरएलिप्सॉइड्स को कंप्यूटर ग्राफ़िक्स आदि के रूप में एलन एच. बर्र द्वारा लोकप्रिय बनाया गया था। आधुनिक कंप्यूटर विज़न और रोबोटिक्स साहित्य में, सुपरक्वाड्रिक्स और सुपरएलिप्सॉइड्स का परस्पर उपयोग किया जाता है, चूंकि सुपरएलिप्सॉइड्स सभी सुपरक्वाड्रिक्स के बीच सबसे अधिक प्रतिनिधि और व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली आकृति है।

सुपरएलिप्सॉइड्स में एक समृद्ध आकार शब्दावली होती है, जिसमें क्यूबॉइड्स, सिलेंडर, एलीप्सॉइड्स, ऑक्टाहेड्रा और उनके मध्यवर्ती सम्मलित हैं। यह कंप्यूटर विज़न, रोबोटिक्स, और भौतिक अनुकरण में व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय आदिम बन जाता है। सुपरएलिप्सॉइड्स के साथ वस्तुओं और वातावरण का वर्णन करने का मुख्य लाभ इसकी संक्षिप्तता और आकार में अभिव्यक्ति है। इसके अतिरिक्त, दो सुपरएलिप्सॉइड्स के बीच मिन्कोव्स्की योग की एक बंद-रूप अभिव्यक्ति उपलब्ध है। यह इसे रोबोट पकड़ने, टकराव का पता लगाने और गति योजना के लिए एक वांछनीय ज्यामितीय आदिम बनाता है। सुपरक्वाड्रिक  दृश्यकरण,  प्रतिचयन और पुन: प्राप्ति के लिए उपयोगी उपकरण और एल्गोरिदम यहां एक ओपन-सोर्स हैं।

विशेष स्थिति
मूल्यों का सही चयन दिए जाने पर उल्लेखनीय गणितीय आंकड़े सुपरएलिप्सोइड के विशेष स्थितियों के रूप में सामने आ सकते हैं, जिन्हें उपरोक्त ग्राफ़िक में दर्शाया गया है:


 * सिलेंडर
 * वृत्त
 * स्टाइनमेट्ज़ ठोस
 * बिकोन
 * नियमित अष्टफलक
 * घन, एक सीमित स्थिति के रूप में जहां घातांक अनंत की ओर प्रवृत्त होते हैं

पीट हेन के सुपरएग्स भी सुपरएलिप्सॉइड्स के विशेष स्थिति हैं।

मूल (सामान्यीकृत) सुपरएलिप्सॉइड
मूल सुपरलिप्सॉइड को अंतर्निहित फलन द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$ f(x,y,z)=\left(x^{\frac{2}{\epsilon_2}} + y^{\frac{2}{\epsilon_2}} \right)^{\epsilon_2/\epsilon_1} + z^{\frac{2}{\epsilon_1}}$$

पैरामीटर $$ \epsilon_1$$ और $$ \epsilon_2$$ सकारात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं जो आकृति की वर्गाकारता को नियंत्रित करती हैं।

सुपरएलिप्सॉइड की सतह को समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है:

$$ f(x,y,z)=1$$

किसी दिए गए बिंदु के लिए $$ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3$$, बिंदु सुपरएलिप्सॉइड के अंदर स्थित है $$ f(x,y,z)<1$$, और बाह्य $$ f(x,y,z)>1$$ है।

सुपरएलिप्सॉइड के अक्षांश का कोई भी समानांतर (-1 और +1 के बीच किसी भी स्थिरांक z पर एक क्षैतिज खंड) एक सुपरएलिप्से|घातांक वाला लैम वक्र है $$ 2/\epsilon_2$$, द्वारा स्केल किया गया $$ a = (1 - z^{\frac{2}{\epsilon_1}})^{\frac{\epsilon_1}{2}}$$, जो है।


 * $$ \left(\frac{x}{a}\right)^{\frac{2}{\epsilon_2}} + \left(\frac{y}{a}\right)^{\frac{2}{\epsilon_2}} = 1.$$

देशांतर का कोई भी मेरिडियन घातांक के साथ एक लैम वक्र है $$ 2/\epsilon_1$$, एक कारक w द्वारा क्षैतिज रूप से फैला हुआ है जो परिच्छेदन समतल पर निर्भर करता है। अर्थात्, यदि $$ x=u\cos\theta$$ और $$ y=u\sin\theta$$, किसी प्रदत्त के लिए $$ \theta$$, तो अनुभाग है


 * $$ \left(\frac{u}{w}\right)^{\frac{2}{\epsilon_1}} + z^{\frac{2}{\epsilon_1}} = 1,$$

जहाँ


 * $$w = (\cos^{\frac{2}{\epsilon_2}}\theta + \sin^{\frac{2}{\epsilon_2}}\theta)^{-\frac{\epsilon_2}{2}}.$$

विशेषकर, यदि $$ \epsilon_2$$ 1 है, क्षैतिज व्यापक प्रतिनिधित्व वृत्त हैं, और क्षैतिज खिंचाव है $$ w$$ सभी तलों के लिए ऊर्ध्वाधर खंड 1 है। उस स्थिति में, सुपरएलिप्सॉइड क्रांति का एक घनाकृति है, जो घातांक के साथ लैमे वक्र को घुमाकर प्राप्त किया जाता है $$ 2/\epsilon_1$$ जो ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर है।

सुपरएलिप्सॉइड
उपरोक्त मूल आकृति प्रत्येक समन्वय अक्ष के साथ -1 से +1 तक फैली हुई है। सामान्य सुपरलिप्सॉइड को कारकों द्वारा प्रत्येक अक्ष के साथ मूल आकार को स्केल करके प्राप्त किया जाता है $$ a_x$$, $$ a_y$$, $$ a_z$$, परिणामी घनाकृति का अर्ध-व्यास अंतर्निहित कार्य है।


 * $$ F(x,y,z)=\left( \left(\frac{x}{a_x}\right)^{\frac{2}{\epsilon_2}} + \left(\frac{y}{a_y}\right)^{\frac{2}{\epsilon_2}} \right)^{\frac{\epsilon_2}{\epsilon_1}} + \left(\frac{z}{a_z}\right)^{\frac{2}{\epsilon_1}}$$.

इसी प्रकार, सुपरएलिप्सॉइड की सतह को समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है

$$ F(x,y,z)=1$$

किसी दिए गए बिंदु के लिए $$ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3$$, बिंदु सुपरएलिप्सॉइड के अंदर स्थित है $$ f(x,y,z)<1$$, और बाह्य $$ f(x,y,z)>1$$ है।

इसलिए, अंतर्निहित फलन को सुपरलिप्सॉइड फलन भी कहा जाता है।

सुपरएलिप्सॉइड में सतह मापदंडों के संदर्भ में एक पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व होता है $$ \eta\in[-\pi/2,\pi/2)$$, $$ \omega\in[-\pi,\pi)$$.


 * $$x(\eta,\omega) = a_x \cos^{\epsilon_1}\eta\cos^{\epsilon_2}\omega$$
 * $$y(\eta,\omega) = a_y \cos^{\epsilon_1}\eta\sin^{\epsilon_2}\omega$$
 * $$z(\eta,\omega) = a_z \sin^{\epsilon_1}\eta$$

सामान्य रूप से प्रस्तुत सुपरएलिप्सॉइड
कंप्यूटर विज़न और रोबोटिक अनुप्रयोगों में, 3डी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक सामान्य मुद्रा वाला एक सुपरएलिप्सॉइड सामान्यतः अधिक रुचि रखता है।

सुपरएलिप्सॉइड फ्रेम के दिए गए यूक्लिडियन परिवर्तन के लिए $$ g=[\mathbf{R}\in SO(3), \mathbf{t}\in\mathbb{R}^3]\in SE(3)$$ विश्व वृत्ति के सापेक्ष, विश्व वृत्ति को परिभाषित एक सामान्य रूप से प्रस्तुत सुपरलिप्सोइड सतह का अंतर्निहित कार्य है

$$ F\left(g^{-1}\circ(x,y,z)\right)=1$$

जहाँ $$ \circ$$ परिवर्तन ऑपरेशन है जो बिंदु को मैप करता है $$ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3$$ दुनिया के वृत्ति में विहित सुपरलिप्सॉइड वृत्ति में से एक है।

सुपरएलिप्सॉइड का आयतन
सुपरएल्लिप्सॉइड सतह से घिरा आयतन बीटा फलन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है $$ \beta(\cdot,\cdot)$$,

$$ V(\epsilon_1,\epsilon_2,a_x,a_y,a_z)=2a_xa_ya_z\epsilon_1\epsilon_2\beta(\frac{\epsilon_1}{2},\epsilon_1+1)\beta(\frac{\epsilon_2}{2},\frac{\epsilon_2+2}{2}) $$

या गामा फलन के समकक्ष $$ \Gamma(\cdot)$$, है।

$$ \beta(m,n)=\frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$$

डेटा से पुनर्प्राप्ति
अनिर्मित डेटा से सुपरएलिप्सॉइड प्रतिनिधित्व को पुनर्प्राप्त करना कंप्यूटर विज़न में एक महत्वपूर्ण,  रोबोटिक्स, और भौतिक अनुकरण है।

पारंपरिक कम्प्यूटेशनल विधियाँ समस्या को न्यूनतम-वर्ग समस्या के रूप में प्रस्तुत करती हैं। लक्ष्य सुपरएलिप्सॉइड मापदंडों के इष्टतम स्थित का पता लगाना है $$ \theta\doteq[\epsilon_1, \epsilon_2, a_x, a_y, a_z, g]$$ जो एक वस्तुनिष्ठ फलन को छोटा करता है। आकार मापदंडों के अतिरिक्त, $$ g\in SE(3)$$ विश्व समन्वय के संबंध में सुपरएलिप्सॉइड वृत्ति की मुद्रा है।

सामान्यतः उपयोग किए जाने वाले दो वस्तुनिष्ठ कार्य हैं। पहले वाले का निर्माण सीधे अंतर्निहित कार्य के आधार पर किया गया है।

$$ G_1(\theta)=a_xa_ya_z\sum_{i=1}^{N}\left(F^{\epsilon_1}\left(g^{-1}\circ(x_i,y_i,z_i)\right)-1\right)^2$$

वस्तुनिष्ठ फलन का न्यूनतमकरण सभी इनपुट बिंदुओं के जितना संभव हो सके एक पुनर्प्राप्त सुपरलिप्सॉइड प्रदान करता है $$ \{(x_i,y_i,z_i)\in \mathbb{R}^3, i=1,2,...,N\}$$ इस बीच, अदिश मान $$ a_x,a_y,a_z$$ सुपरएलिप्सॉइड के आयतन के सकारात्मक रूप से आनुपातिक है, और इस प्रकार आयतन को कम करने का भी प्रभाव पड़ता है।

अन्य उद्देश्य फलन बिंदुओं और सुपरलिप्सॉइड के बीच त्रिज्य दूरी को कम करने का प्रयास करता है।

$$ G_2(\theta)=\sum_{i=1}^{N}\left(\left|r_i\right|\left|1-F^{-\frac{\epsilon_1}{2}}\left(g^{-1}\circ (x_i,y_i,z_i)\right)\right|\right)^2$$, जहाँ $$ r_i=\|(x_i,y_i,z_i)\|_2$$

EMS नामक एक संभाव्य विधि को ध्वनि और बाह्य कारकों से निपटने के लिए डिज़ाइन किया गया है। इस पद्धति में, सुपरएलिप्सॉइड पुनर्प्राप्ति को अधिकतम संभावना आकलन विषय के रूप में पुन: तैयार किया गया है, और सुपरएलिप्सॉइड्स की ज्यामितीय समानता का उपयोग करके स्थानीय मिनीमा से बचने के लिए एक अनुकूलन विधि प्रस्तावित है।

एक साथ कई सुपरएलिप्सॉइड्स को पुनर्प्राप्त करने के लिए गैरपैरामीट्रिक बायेसियन तकनीकों के साथ मॉडलिंग द्वारा विधि को आगे बढ़ाया गया है।

ग्रन्थसूची

 * Barr, "Superquadrics and Angle-Preserving Transformations," in IEEE Computer Graphics and Applications, vol. 1, no. 1, pp. 11-23, Jan. 1981, doi: 10.1109/MCG.1981.1673799.
 * Aleš Jaklič, Aleš Leonardis, Franc Solina, Segmentation and Recovery of Superquadrics. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2000.
 * Aleš Jaklič, Franc Solina (2003) Moments of Superellipsoids and their Application to Range Image Registration. IEEE TRANSACTIONS ON SYSTEMS, MAN, AND CYBERNETICS, 33 (4). pp. 648–657
 * W. Liu, Y. Wu, S. Ruan and G. S. Chirikjian, "Robust and Accurate Superquadric Recovery: a Probabilistic Approach," 2022 IEEE/CVF Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR), New Orleans, LA, USA, 2022, pp. 2666-2675, doi: 10.1109/CVPR52688.2022.00270.

बाहरी संबंध

 * Bibliography: SuperQuadric Representations
 * Superquadric Tensor Glyphs
 * SuperQuadric Ellipsoids and Toroids, OpenGL Lighting, and Timing
 * Superquadratics by Robert Kragler, The Wolfram Demonstrations Project.
 * Superquadrics Recovery Algorithm in Python and MATLAB