बूलियन बीजगणित (संरचना)

सार बीजगणित में, बूलियन बीजगणित या बूलियन जाली एक पूरक वितरण जाली वितरण जाली है। इस प्रकार की बीजगणितीय संरचना समुच्चय (गणित) संचालन और तर्क संचालन दोनों के आवश्यक गुणों को पकड़ती है। एक बूलियन बीजगणित को पावर समुच्चय बीजगणित या समुच्चय के क्षेत्र के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है, या इसके तत्वों को सामान्यीकृत सत्य मूल्यों के रूप में देखा जा सकता है। यह डी मॉर्गन बीजगणित और क्लेन बीजगणित (इनवोल्यूशन के साथ) का एक विशेष मामला भी है।

प्रत्येक बूलियन बीजगणित एक बूलियन रिंग को जन्म देता है, और इसके विपरीत, रिंग गुणन संयोजन के अनुरूप या मीट (गणित) ∧ से मिलता है, और अनन्य संयोजन या सममित अंतर (डिसजंक्शन ∨ नहीं) के लिए रिंग जोड़। हालांकि, बूलियन रिंग्स के सिद्धांत में दो संचालकों के बीच एक अंतर्निहित विषमता है, जबकि बूलियन बीजगणित के स्वयंसिद्ध और प्रमेय द्वैत सिद्धांत (बूलियन बीजगणित द्वारा वर्णित सिद्धांत की समरूपता को व्यक्त करते हैं।

इतिहास
शब्द "बूलियन बीजगणित" एक स्व-शिक्षित अंग्रेजी गणितज्ञ जॉर्ज बूले (1815-1864) का सम्मान करता है। उन्होंने ऑगस्टस डी मॉर्गन और विलियम हैमिल्टन के बीच चल रहे एक सार्वजनिक विवाद के जवाब में 1847 में प्रकाशित एक छोटे से पैम्फलेट, द मैथमेटिकल एनालिसिस ऑफ लॉजिक में बीजगणितीय प्रणाली की शुरुआत की, और बाद में एक अधिक महत्वपूर्ण पुस्तक, द लॉज ऑफ थॉट के रूप में प्रकाशित हुई। 1854. बूले का सूत्रीकरण कुछ महत्वपूर्ण मामलों में ऊपर वर्णित से भिन्न है। उदाहरण के लिए, बूल में संयुग्मन और वियोग संचालन की एक दोहरी जोड़ी नहीं थी। 1860 के दशक में विलियम जेवन्स और चार्ल्स सैंडर्स पियर्स द्वारा लिखे गए पत्रों में बूलियन बीजगणित उभरा। बूलियन बीजगणित और वितरणात्मक जाली की पहली व्यवस्थित प्रस्तुति 1890 के अर्नस्ट श्रोडर के वोरलेसुंगेन के लिए बकाया है। अंग्रेजी में बूलियन बीजगणित का पहला व्यापक उपचार ए. एन. व्हाइटहेड का 1898 यूनिवर्सल बीजगणित है। आधुनिक स्वयंसिद्ध अर्थ में एक स्वयंसिद्ध बीजगणितीय संरचना के रूप में बूलियन बीजगणित एडवर्ड वी. हंटिंगटन द्वारा 1904 के पेपर से शुरू होता है। 1930 के दशक में मार्शल स्टोन के काम और गैरेट बिरखॉफ के 1940 के लैटिस थ्योरी के साथ बूलियन बीजगणित गंभीर गणित के रूप में सामने आया। 1960 के दशक में, पॉल कोहेन, डाना स्कॉट और अन्य लोगों ने गणितीय तर्क और स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत में बूलियन बीजगणित की शाखाओं का उपयोग करते हुए गहरे नए परिणाम प्राप्त किए, अर्थात् बल और बूलियन-मूल्यवान मॉडल।

परिभाषा
एक बूलियन बीजगणित एक छह-टपल है जिसमें एक समुच्चय ए होता है, जो दो द्विआधारी संक्रिया ∧ (जिसे "मीट" या "और") कहा जाता है, ∨ ("जॉइन" या "या" कहा जाता है), एक यूनरी ऑपरेशन ¬ (कहा जाता है " पूरक" या "नहीं") और ए में दो तत्व 0 और 1 (जिन्हें "नीचे" और "शीर्ष", या "कम से कम" और "सबसे बड़ा" तत्व कहा जाता है, जिन्हें क्रमशः ⊥ और ⊤ प्रतीकों द्वारा भी निरूपित किया जाता है), जैसे कि ए के सभी तत्व ए, बी और सी, निम्नलिखित स्वयंसिद्ध हैं:
 * {| cellpadding=5

ध्यान दें, हालांकि, अवशोषण कानून और यहां तक ​​​​कि सहयोगीता कानून को सिद्धांतों के समुच्चय से बाहर रखा जा सकता है क्योंकि उन्हें अन्य सिद्धांतों से प्राप्त किया जा सकता है (सिद्ध गुण देखें)।
 * a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c
 * a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c
 * साह्चर्यता
 * a ∨ b = b ∨ a
 * a ∧ b = b ∧ a
 * क्रमविनिमेयता
 * a ∨ (a ∧ b) = a
 * a ∧ (a ∨ b) = a
 * अवशोषण
 * a ∨ 0 = a
 * a ∧ 1 = a
 * तत्समक
 * a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
 * a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
 * वितरण
 * a ∨ ¬a = 1
 * a ∧ ¬a = 0
 * पूरक
 * }
 * a ∨ ¬a = 1
 * a ∧ ¬a = 0
 * पूरक
 * }
 * }

एक बूलियन बीजगणित केवल एक तत्व के साथ एक तुच्छ बूलियन बीजगणित या पतित बूलियन बीजगणित कहा जाता है। (पुराने कार्यों में, कुछ लेखकों को इस मामले को बाहर करने के लिए 0 और 1 को अलग-अलग तत्वों की आवश्यकता थी।)

यह ऊपर दिए गए स्वयंसिद्धों के अंतिम तीन जोड़े (पहचान, वितरण और पूरक) से आता है, या अवशोषण स्वयंसिद्ध से, कि
 * a = b ∧ a     यदि और केवल यदि     a ∨ b = b।

संबंध ≤ a ≤ b द्वारा परिभाषित यदि ये समतुल्य स्थितियां धारण करती हैं, तो कम से कम तत्व 0 और सबसे बड़ा तत्व 1 के साथ एक आंशिक क्रम है। a ∧ b मिलते हैं और दो तत्वों के a ∨ b में शामिल होते हैं, क्रमशः उनके न्यूनतम और उच्चतम के साथ मेल खाते हैं, ≤ के संबंध में।

स्वयंसिद्धों के पहले चार जोड़े एक परिबद्ध जाली की परिभाषा का निर्माण करते हैं।

यह स्वयंसिद्धों के पहले पाँच युग्मों से अनुसरण करता है कि कोई भी पूरक अद्वितीय है।

अभिगृहीतों का समुच्चय इस अर्थ में स्व-द्वैत (आदेश सिद्धांत) है कि यदि कोई स्वयंसिद्ध में ∨ को ∧ और 0 को 1 से बदलता है, तो परिणाम फिर से एक अभिगृहीत होता है। इसलिए, इस संक्रिया को एक बूलियन बीजगणित (या बूलियन जाली) पर लागू करके, समान तत्वों के साथ एक और बूलियन बीजगणित प्राप्त करता है; इसे इसका दोहरा कहा जाता है।

उदाहरण

 * सबसे सरल गैर-तुच्छ बूलियन बीजगणित, दो-तत्व बूलियन बीजगणित, में केवल दो तत्व हैं, 0 और 1, और नियमों द्वारा परिभाषित किया गया है:


 * इसमें तर्क में अनुप्रयोग हैं, 0 को झूठा, 1 को सत्य, ∧ को और, ∨ को या, और ¬ को नहीं के रूप में व्याख्या करते हुए। वेरिएबल्स और बूलियन ऑपरेशंस से जुड़े एक्सप्रेशंस स्टेटमेंट फॉर्म का प्रतिनिधित्व करते हैं, और ऐसे दो एक्सप्रेशन को उपरोक्त एक्सिओम्स का उपयोग करके बराबर दिखाया जा सकता है यदि और केवल यदि संबंधित स्टेटमेंट फॉर्म तार्किक रूप से समकक्ष हैं।
 * विद्युत अभियन्त्रण में सर्किट डिजाइन के लिए दो-तत्व बूलियन बीजगणित का भी उपयोग किया जाता है; यहां 0 और 1 डिजिटल सर्किट में एक बिट के दो अलग-अलग राज्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं, आमतौर पर उच्च और निम्न वोल्टेज। सर्किट को वेरिएबल्स वाले एक्सप्रेशन द्वारा वर्णित किया जाता है, और ऐसे दो एक्सप्रेशंस वेरिएबल्स के सभी मानों के लिए समान होते हैं यदि और केवल तभी संबंधित सर्किट में समान इनपुट-आउटपुट व्यवहार होता है। इसके अलावा, हर संभव इनपुट-आउटपुट व्यवहार को एक उपयुक्त बूलियन अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिरूपित किया जा सकता है।


 * बूलियन बीजगणित के सामान्य सिद्धांत में दो-तत्व बूलियन बीजगणित भी महत्वपूर्ण है, क्योंकि कई चर वाले समीकरण आम तौर पर सभी बूलियन बीजगणित में सत्य होते हैं यदि और केवल यदि यह दो-तत्व बूलियन बीजगणित में सत्य है (जो हो सकता है) चर की छोटी संख्या के लिए एक तुच्छ क्रूर बल खोज एल्गोरिथ्म द्वारा जाँच की गई)। उदाहरण के लिए इसका उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि निम्नलिखित कानून (सर्वसम्मति प्रमेय) आम तौर पर सभी बूलियन बीजगणित में मान्य है
 * (a ∨ b) ∧ (¬a ∨ c) ∧ (b ∨ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (¬a ∨ c)
 * (a ∧ b) ∨ (¬a ∧ c) ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∧ b) ∨ (¬a ∧ c)


 * किसी दिए गए गैर-खाली समुच्चय एस का पावर समुच्चय (सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय) एक बूलियन बीजगणित बनाता है, समुच्चय का बीजगणित, दो संचालन के साथ ∨ := ∪ (यूनियन) और ∧ := ∩ (चौराहा)। सबसे छोटा अवयव 0 रिक्त समुच्चय है और सबसे बड़ा अवयव 1 समुच्चय S ही है।


 * दो-तत्व बूलियन बीजगणित के बाद, सबसे सरल बूलियन बीजगणित दो परमाणुओं की शक्ति समुच्चय द्वारा परिभाषित किया गया है:


 * समुच्चय $$A$$ के सभी उपसमूहों में से $$S$$ जो या तो परिमित या सहमित हैं, एक बूलियन बीजगणित है और समुच्चयों का बीजगणित है जिसे परिमित-सीमित बीजगणित कहा जाता है। यदि $$S$$ अपरिमित है तो के सभी सहपरिमित उपसमुच्चयों का समुच्चय $$S,$$, जिसे फ्रेचेट फिल्टर कहा जाता है, एक फ्री अल्ट्राफिल्टर ऑन है $$A.$$. हालांकि, फ्रेचेट फिल्टर के पावर समुच्चय पर अल्ट्राफिल्टर नहीं है $$S.$$।
 * κ वाक्य प्रतीकों के साथ प्रस्तावपरक कलन के साथ शुरू करते हुए, लिंडेनबाउम बीजगणित (अर्थात, प्रस्तावक कलन मॉड्यूलो तार्किक तुल्यता में वाक्यों का समुच्चय) का निर्माण करें। यह निर्माण एक बूलियन बीजगणित उत्पन्न करता है। यह वास्तव में κ जनरेटर पर मुक्त बूलियन बीजगणित है। प्रस्तावपरक कलन में एक सत्य असाइनमेंट तब इस बीजगणित से दो-तत्व बूलियन बीजगणित तक एक बूलियन बीजगणित समरूपता है।
 * कम से कम तत्व के साथ किसी भी रैखिक रूप से आदेशित समुच्चय L को देखते हुए, अंतराल बीजगणित L के सबसे छोटे बीजगणित का सबसे छोटा बीजगणित होता है जिसमें सभी आधे-खुले अंतराल होते हैं [a, b) जैसे कि a L में है और b या तो L में है या इसके बराबर है ∞। अंतराल बीजगणित लिंडेनबाउम-टार्स्की बीजगणित के अध्ययन में उपयोगी होते हैं; प्रत्येक गणनीय बूलियन बीजगणित एक अंतराल बीजगणित के लिए समरूप है।
 * किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए, परिभाषित करने वाले n के सभी धनात्मक विभाजकों का समुच्चय $$a \leq b$$ यदि a, b को विभाजित करता है, तो एक वितरण जालक बनाता है। यह जाली एक बूलियन बीजगणित है यदि और केवल यदि n वर्ग मुक्त है। इस बूलियन बीजगणित का निचला और शीर्ष तत्व क्रमशः प्राकृतिक संख्या 1 और n है। a का पूरक n/a द्वारा दिया गया है। a और b का मिलना और जुड़ना क्रमशः a और b के सबसे बड़े सामान्य भाजक (gcd) और सबसे कम सामान्य गुणक (lcm) द्वारा दिया जाता है। रिंग जोड़ a+b lcm(a,b)/gcd(a,b) द्वारा दिया जाता है। चित्र n = 30 के लिए एक उदाहरण दिखाता है। एक प्रति-उदाहरण के रूप में, गैर-वर्ग-मुक्त n = 60 पर विचार करते हुए, 30 का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक और इसका पूरक 2 2 होगा, जबकि यह निचला तत्व 1 होना चाहिए।


 * बूलियन बीजगणित के अन्य उदाहरण टोपोलॉजिकल स्पेस से उत्पन्न होते हैं: यदि X एक टोपोलॉजिकल स्पेस है, तो X के सभी उपसमुच्चयों का संग्रह, जो खुले और बंद दोनों हैं, ऑपरेशन के साथ एक बूलियन बीजगणित बनाता है ∨ := ∪ (यूनियन) और ∧ := ∩ (चौराहा)।
 * यदि $$R$$ एक मनमाना वलय है तो इसका केंद्रीय आदर्शों का समुच्चय, जो समुच्चय है $$A = \left\{e \in R : e^2 = e \text{ and } ex = xe \; \text{ for all } \; x \in R\right\},$$ एक बूलियन बीजगणित बन जाता है जब इसके संचालन द्वारा परिभाषित किया जाता है $$e \vee f := e + f - e f$$ और $$e \wedge f := e f.$$

समरूपता और समरूपता
दो बूलियन बीजगणित A और B के बीच एक समाकारिता एक फलन f : A → B है जैसे कि A में सभी a, b के लिए:
 * f(a ∨ b) = f(a) ∨ f(b),
 * f(a ∧ b) = f(a) ∧ f(b),
 * एफ (0) = 0,
 * एफ (1) = 1।

इसके बाद यह अनुसरण करता है कि f(¬a) = ¬f(a) सभी a में A के लिए। सभी बूलियन बीजगणितों का वर्ग (समुच्चय सिद्धांत), रूपवाद की इस धारणा के साथ, जाली की श्रेणी की एक पूर्ण उपश्रेणी बनाता है।

दो बूलियन बीजगणित ए और बी के बीच एक समरूपता एक समाकारिता है f: A → B एक व्युत्क्रम समरूपता के साथ, अर्थात्, एक समाकारिता g: B → A ऐसी है कि रचना g ∘ f: A → A, A पर पहचान कार्य है, और रचना f ∘ g: B → B, B पर पहचान फलन है। बूलियन बीजगणित का एक समरूपता एक समरूपता है यदि और केवल यदि यह विशेषण है।

बूलियन वलय
प्रत्येक बूलियन बीजगणित (A, ∧, ∨) a + b परिभाषित करके एक वलय (A, +, ·) बनाता है:= (a ∧ ¬b) ∨ (b ∧ ¬a) = (a ∨ b) ∧ ¬ (ए ∧ बी) (इस ऑपरेशन को समुच्चय के मामले में सममित अंतर और तर्क के मामले में एक्सओआर कहा जाता है) और ए · बी: = ए ∧ बी। इस अंगूठी का शून्य तत्व बूलियन बीजगणित के 0 के साथ मेल खाता है; रिंग का गुणात्मक पहचान तत्व बूलियन बीजगणित का 1 है। इस वलय में यह गुण है कि a · a = a for all a in A; इस गुण वाले छल्ले को बूलियन रिंग कहा जाता है।

इसके विपरीत, यदि एक बूलियन वलय A दिया गया है, तो हम x ∨ y := x + y + (x · y) और x ∧ y:= x · y को परिभाषित करके इसे एक बूलियन बीजगणित में बदल सकते हैं। चूंकि ये दो निर्माण एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं, इसलिए हम कह सकते हैं कि प्रत्येक बूलियन वलय एक बूलियन बीजगणित से उत्पन्न होता है, और इसके विपरीत। इसके अलावा, एक नक्शा f : A → B बूलियन बीजगणित का एक समरूपता है यदि और केवल यदि यह बूलियन छल्ले का एक समरूपता है। बूलियन छल्ले और बूलियन बीजगणित की श्रेणियां समतुल्य हैं।

ह्सियांग (1985) ने यह जांचने के लिए एक नियम-आधारित एल्गोरिथम दिया कि क्या दो मनमाने भाव प्रत्येक बूलियन रिंग में समान मान को दर्शाते हैं। अधिक आम तौर पर, बॉडेट, जौनौड, और श्मिट-शाउस (1989) ने मनमाना बूलियन-रिंग अभिव्यक्तियों के बीच समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म दिया। बूलियन रिंग और बूलियन बीजगणित की समानता को नियोजित करते हुए, दोनों एल्गोरिदम में स्वचालित प्रमेय साबित करने में अनुप्रयोग हैं।

आदर्श और फ़िल्टर
बूलियन बीजगणित ए का आदर्श एक उपसमुच्चय है जैसे कि I में सभी x, y के लिए हमारे पास I में x ∨ y है और A में सभी के लिए हमारे पास I में एक ∧ x है। आदर्श की यह धारणा इस धारणा के साथ मेल खाती है बूलियन वलय A में वलय आदर्श। A का आदर्श I अभाज्य कहलाता है यदि I ≠ A और यदि I में a ∧ b हमेशा I में a या b I में निहित होता है। इसके अलावा, प्रत्येक a ∈ A के लिए हमारे पास वह a ∧ - a = 0 ∈ I और फिर a ∈ I या -a ∈ I प्रत्येक a ∈ A के लिए, यदि I अभाज्य है। A का एक आदर्श I अधिकतम कहा जाता है यदि I ≠ A और यदि एकमात्र आदर्श ठीक से I को समाहित करता है तो A ही है। एक आदर्श I के लिए, यदि a ∉ I और -a ∉ I, तो I ∪ {a} या I ∪ {-a} अन्य आदर्श J में उचित रूप से समाहित है। इसलिए, कि एक I अधिकतम नहीं है और इसलिए अभाज्य की धारणा बूलियन बीजगणित में आदर्श और अधिकतम आदर्श समान हैं। इसके अलावा, ये धारणाएं बूलियन रिंग ए में प्रमुख आदर्श और अधिकतम आदर्श के रिंग थ्योरिटिक के साथ मेल खाती हैं।

एक आदर्श का दोहरा एक फिल्टर है। बूलियन बीजगणित A का एक फ़िल्टर एक उपसमुच्चय p है जैसे कि p में सभी x, y के लिए हमारे पास p में x ∧ y है और A में सभी a के लिए हमारे पास p में एक ∨ x है। बूलियन बीजगणित में एक अधिकतम (या प्रधान) आदर्श का दोहरा अल्ट्राफिल्टर है। अल्ट्राफिल्टर को वैकल्पिक रूप से ए से दो-तत्व बूलियन बीजगणित के 2-मूल्यवान आकारिकी के रूप में वर्णित किया जा सकता है। बूलियन बीजगणित में प्रत्येक फ़िल्टर को एक अल्ट्राफ़िल्टर तक बढ़ाया जा सकता है, इसे अल्ट्राफ़िल्टर प्रमेय कहा जाता है और यदि ZF सुसंगत है, तो इसे ZF में सिद्ध नहीं किया जा सकता है। जेडएफ के भीतर, यह पसंद के स्वयंसिद्ध से सख्ती से कमजोर है। अल्ट्राफिल्टर प्रमेय के कई समतुल्य योग हैं: प्रत्येक बूलियन बीजगणित में एक अल्ट्राफिल्टर होता है, बूलियन बीजगणित में प्रत्येक आदर्श को एक प्रमुख आदर्श तक बढ़ाया जा सकता है, आदि।

प्रतिनिधित्व
यह दिखाया जा सकता है कि प्रत्येक परिमित बूलियन बीजगणित एक परिमित समुच्चय के सभी उपसमुच्चयों के बूलियन बीजगणित के लिए समरूप है। इसलिए, प्रत्येक परिमित बूलियन बीजगणित के तत्वों की संख्या दो की शक्ति है।

बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन के प्रसिद्ध प्रतिनिधित्व प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक बूलियन बीजगणित ए कुछ (कॉम्पैक्ट पूरी तरह से डिस्कनेक्ट हॉसडॉर्फ) टोपोलॉजिकल स्पेस में सभी क्लोपेन समुच्चयों के बूलियन बीजगणित के लिए आइसोमॉर्फिक है।

स्वयंसिद्ध
1898 में अंग्रेजी दार्शनिक और गणितज्ञ अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड द्वारा सामान्य रूप से बूलियन लैटिस/अल्जेब्रा का पहला स्वसिद्धीकरण दिया गया था। इसमें उपरोक्त स्वयंसिद्ध और अतिरिक्त रूप से x∨1=1 और x∧0=0 शामिल हैं। 1904 में, अमेरिकी गणितज्ञ एडवर्ड वी. हंटिंगटन (1874-1952) ने संभवतः ∧, ∨, ¬ पर आधारित सबसे पारिश्रमिक स्वयंसिद्धीकरण दिया, यहां तक ​​कि साहचर्य के नियमों को भी साबित किया (बॉक्स देखें)। उन्होंने यह भी सिद्ध किया कि ये अभिगृहीत एक दूसरे से स्वतंत्र हैं। 1933 में, हंटिंगटन ने बूलियन बीजगणित के लिए निम्नलिखित सुरुचिपूर्ण स्वयंसिद्धीकरण निर्धारित किया। [11] इसे 'पूरक' के रूप में पढ़ने के लिए केवल एक द्विआधारी संक्रिया + और एक यूनरी फंक्शनल सिंबल n की आवश्यकता होती है, जो निम्नलिखित कानूनों को पूरा करता है:
 * 1) क्रमविनिमेयता: x + y = y + x।
 * 2) सहयोगीता: (x + y) + z = x + (y + z)।
 * 3) हंटिंगटन समीकरण: n(n(x) + y) + n(n(x) + n(y)) = x।

हर्बर्ट रॉबिन्स ने तुरंत पूछा: यदि हंटिंगटन समीकरण को इसके दोहरे से बदल दिया जाए, तो बुद्धि के लिए:


 * 4. रॉबिन्स समीकरण: n(n(x + y) + n(x + n(y))) = x,

क्या (1), (2), और (4) बूलियन बीजगणित के लिए आधार बनाते हैं? कॉलिंग (1), (2), और (4) एक रॉबिन्स बीजगणित, फिर प्रश्न बन जाता है: क्या प्रत्येक रॉबिन्स बीजगणित एक बूलियन बीजगणित है? यह प्रश्न (जिसे रॉबिन्स अनुमान के रूप में जाना जाता है) दशकों तक खुला रहा और अल्फ्रेड टार्स्की और उनके छात्रों का पसंदीदा प्रश्न बन गया। 1996 में, लैरी वोस, स्टीव विंकर, और बॉब वेरॉफ द्वारा किए गए पहले के काम पर निर्माण करते हुए, आर्गोन राष्ट्रीय प्रयोगशाला में विलियम मैकक्यून ने रॉबिन्स के प्रश्न का सकारात्मक उत्तर दिया: प्रत्येक रॉबिन्स बीजगणित एक बूलियन बीजगणित है। मैकक्यून के प्रमाण के लिए महत्वपूर्ण कंप्यूटर प्रोग्राम EQP था जिसे उन्होंने डिजाइन किया था। मैकक्यून के प्रमाण के सरलीकरण के लिए, दहन (1998) देखें।

अभिगृहीतों की संख्या को कम करने के लिए आगे कार्य किया गया है; बूलियन बीजगणित के लिए न्यूनतम स्वयंसिद्ध देखें।

सामान्यीकरण
बूलियन बीजगणित के स्वयंसिद्धों से एक इकाई के अस्तित्व की आवश्यकता को हटाने से "सामान्यीकृत बूलियन बीजगणित" प्राप्त होता है। औपचारिक रूप से, एक वितरण जाली बी एक सामान्यीकृत बूलियन जाली है, यदि इसमें सबसे छोटा तत्व 0 है और बी में किसी भी तत्व ए और बी के लिए ऐसा है कि ए ≤ बी, एक तत्व एक्स मौजूद है जैसे कि ∧ x = 0 और एक ∨ x = ख। a ∖ b को अद्वितीय x के रूप में परिभाषित करना जैसे कि (a ∧ b) ∨ x = a और (a ∧ b) ∧ x = 0, हम कहते हैं कि संरचना (B,∧,∨,∖,0) एक सामान्यीकृत बूलियन है बीजगणित, जबकि (बी,∨,0) एक सामान्यीकृत बूलियन सेमीलैटिस है। सामान्यीकृत बूलियन जाली वास्तव में बूलियन जाली के आदर्श (आदेश सिद्धांत) हैं।

एक संरचना जो बूलियन बीजगणित के लिए दो वितरण स्वयंसिद्धों को छोड़कर सभी स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करती है, एक ऑर्थोकम्प्लीमेंटेड जाली कहलाती है। अलग-अलग हिल्बर्ट रिक्त स्थान के लिए बंद उप-स्थानों की जाली के रूप में ऑर्थोकम्प्लीमेंटेड जाली क्वांटम तर्क में स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं।

सामान्य संदर्भ

 * . खंड 2.5 देखें।
 * . अध्याय 2 देखें।
 * . अध्याय 2 देखें।


 * . 3 खंडों में। (खंड 1:ISBN 978-0-444-70261-6, खंड 2:ISBN 978-0-444-87152-7, खंड 3:ISBN 978-0-444-87153-4)
 * . डोवर प्रकाशन द्वारा पुनर्मुद्रित, 1979।
 * . 3 खंडों में। (खंड 1:ISBN 978-0-444-70261-6, खंड 2:ISBN 978-0-444-87152-7, खंड 3:ISBN 978-0-444-87153-4)
 * . डोवर प्रकाशन द्वारा पुनर्मुद्रित, 1979।
 * . 3 खंडों में। (खंड 1:ISBN 978-0-444-70261-6, खंड 2:ISBN 978-0-444-87152-7, खंड 3:ISBN 978-0-444-87153-4)
 * . डोवर प्रकाशन द्वारा पुनर्मुद्रित, 1979।
 * . डोवर प्रकाशन द्वारा पुनर्मुद्रित, 1979।
 * . डोवर प्रकाशन द्वारा पुनर्मुद्रित, 1979।

बाहरी संबंध

 * Stanford Encyclopedia of Philosophy: "The Mathematics of Boolean Algebra," by J. Donald Monk.
 * McCune W., 1997. Robbins Algebras Are Boolean JAR 19(3), 263—276
 * "Boolean Algebra" by Eric W. Weisstein, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
 * Burris, Stanley N.; Sankappanavar, H. P., 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.
 * Burris, Stanley N.; Sankappanavar, H. P., 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.