सदिश क्षेत्र

वेक्टर कैलकुलस और भौतिकी में, एक वेक्टर फ़ील्ड एक स्पेस (गणित) में प्रत्येक बिंदु के लिए एक वेक्टर (ज्यामिति) का असाइनमेंट है, आमतौर पर यूक्लिडियन स्थान  $$\mathbb{R}^n$$. एक समतल (ज्यामिति) पर एक सदिश क्षेत्र को दिए गए परिमाण और दिशाओं वाले तीरों के एक संग्रह के रूप में देखा जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक समतल पर एक बिंदु से जुड़ा होता है। वेक्टर फ़ील्ड का उपयोग अक्सर मॉडल करने के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए, तीन आयामी अंतरिक्ष में चलती तरल पदार्थ की गति और दिशा, जैसे हवा, या कुछ बल की ताकत और दिशा, जैसे चुंबकीय क्षेत्र या गुरुत्वाकर्षण बल, जब यह बदलता है एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक.

विभेदक और अभिन्न कलन के तत्व स्वाभाविक रूप से वेक्टर क्षेत्रों तक विस्तारित होते हैं। जब एक सदिश क्षेत्र बल का प्रतिनिधित्व करता है, तो एक सदिश क्षेत्र का रेखा अभिन्न अंग एक पथ के साथ चलने वाले बल द्वारा किए गए कार्य (भौतिकी) का प्रतिनिधित्व करता है, और इस व्याख्या के तहत ऊर्जा के संरक्षण को कैलकुलस के मौलिक प्रमेय के एक विशेष मामले के रूप में प्रदर्शित किया जाता है। वेक्टर फ़ील्ड को उपयोगी रूप से अंतरिक्ष में गतिशील प्रवाह के वेग का प्रतिनिधित्व करने के रूप में सोचा जा सकता है, और यह भौतिक अंतर्ज्ञान विचलन (जो प्रवाह की मात्रा में परिवर्तन की दर का प्रतिनिधित्व करता है) और कर्ल (गणित) (जो प्रतिनिधित्व करता है) जैसी धारणाओं की ओर ले जाता है प्रवाह का घूर्णन)।

एक वेक्टर फ़ील्ड एक वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन का एक विशेष मामला है, जिसके डोमेन के आयाम का इसकी सीमा के आयाम से कोई संबंध नहीं है; उदाहरण के लिए, किसी अंतरिक्ष वक्र की स्थिति वेक्टर को केवल परिवेशीय स्थान के छोटे उपसमुच्चय के लिए परिभाषित किया गया है। इसी तरह, एन निर्देशांक तरीका, एन-डायमेंशनल यूक्लिडियन स्पेस में एक डोमेन पर एक वेक्टर फ़ील्ड $$\mathbb{R}^n$$ इसे एक वेक्टर-वैल्यू फ़ंक्शन के रूप में दर्शाया जा सकता है जो डोमेन के प्रत्येक बिंदु पर वास्तविक संख्याओं के एन-टुपल को जोड़ता है। एक वेक्टर क्षेत्र का यह प्रतिनिधित्व समन्वय प्रणाली पर निर्भर करता है, और एक समन्वय प्रणाली से दूसरे में जाने में एक अच्छी तरह से परिभाषित परिवर्तन कानून (वेक्टर का सहप्रसरण और विरोधाभास) होता है।

वेक्टर फ़ील्ड की चर्चा अक्सर यूक्लिडियन स्पेस के खुले सेट पर की जाती है, लेकिन यह सतह (टोपोलॉजी) जैसे अन्य उपसमुच्चय पर भी समझ में आता है, जहां वे प्रत्येक बिंदु पर सतह पर स्पर्शरेखा वाले एक तीर को जोड़ते हैं (वक्रों की एक विभेदक ज्यामिति)। अधिक आम तौर पर, वेक्टर फ़ील्ड को अलग-अलग मैनिफोल्ड्स पर परिभाषित किया जाता है, जो ऐसे स्थान होते हैं जो छोटे पैमाने पर यूक्लिडियन अंतरिक्ष की तरह दिखते हैं, लेकिन बड़े पैमाने पर अधिक जटिल संरचना हो सकती है। इस सेटिंग में, एक वेक्टर फ़ील्ड मैनिफोल्ड के प्रत्येक बिंदु पर एक स्पर्शरेखा वेक्टर देता है (अर्थात, मैनिफोल्ड के स्पर्शरेखा बंडल का एक खंड (फाइबर बंडल)। वेक्टर फ़ील्ड एक प्रकार का टेंसर फ़ील्ड है।

यूक्लिडियन अंतरिक्ष के उपसमुच्चय पर वेक्टर फ़ील्ड
एक उपसमुच्चय दिया गया $S$ का $R^{n}$, एक वेक्टर फ़ील्ड को वेक्टर-वैल्यू फ़ंक्शन द्वारा दर्शाया जाता है $V: S → R^{n}$ मानक कार्टेशियन निर्देशांक में $(x_{1}, …, x_{n})$. यदि प्रत्येक घटक $V$ तो सतत है $V$ एक सतत सदिश क्षेत्र है. सुचारू वेक्टर फ़ील्ड पर ध्यान केंद्रित करना आम बात है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक घटक एक सुचारू कार्य है (किसी भी संख्या में भिन्न हो सकता है)। एक वेक्टर फ़ील्ड को एन-आयामी स्थान के भीतर अलग-अलग बिंदुओं पर एक वेक्टर निर्दिष्ट करने के रूप में देखा जा सकता है। एक मानक संकेतन लिखना है $$\frac{\partial}{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial}{\partial x_n}$$ निर्देशांक दिशाओं में इकाई सदिशों के लिए। इन शब्दों में, प्रत्येक सहज सदिश क्षेत्र $$V$$ एक खुले उपसमुच्चय पर $$S$$ का $${\mathbf R}^n$$ के रूप में लिखा जा सकता है
 * $$ \sum_{i=1}^n V_i(x_1,\ldots,x_n)\frac{\partial}{\partial x_i}$$

कुछ सुचारु कार्यों के लिए $$V_1,\ldots,V_n$$ पर $$S$$. इस अंकन का कारण यह है कि एक सदिश क्षेत्र सुचारु कार्यों के स्थान से स्वयं तक एक रेखीय मानचित्र निर्धारित करता है, $$V\colon C^{\infty}(S)\to C^{\infty}(S)$$, सदिश क्षेत्र की दिशा में अंतर करके दिया गया है।

उदाहरण: वेक्टर फ़ील्ड $$-x_2\frac{\partial}{\partial x_1}+x_1\frac{\partial}{\partial x_2}$$ में मूल के चारों ओर वामावर्त घुमाव का वर्णन करता है $$\mathbf{R}^2$$. यह दिखाने के लिए कि फ़ंक्शन $$x_1^2+x_2^2$$ घूर्णी रूप से अपरिवर्तनीय है, गणना करें:
 * $$\bigg(-x_2\frac{\partial}{\partial x_1}+x_1\frac{\partial}{\partial x_2}\bigg)(x_1^2+x_2^2) = -x_2(2x_1)+x_1(2x_2) = 0.$$

दिए गए वेक्टर फ़ील्ड $V$, $W$ पर परिभाषित किया गया $S$ और एक सुचारू कार्य $f$ पर परिभाषित किया गया $S$, अदिश गुणन और सदिश जोड़ की संक्रियाएँ, $$ (fV)(p) := f(p)V(p)$$ $$ (V+W)(p) := V(p) + W(p),$$ स्मूथ वेक्टर फ़ील्ड्स को स्मूथ फ़ंक्शंस के रिंग (गणित) पर एक मॉड्यूल (गणित) में बनाएं, जहां फ़ंक्शंस के गुणन को बिंदुवार परिभाषित किया गया है।

समन्वय परिवर्तन कानून
भौतिकी में, एक यूक्लिडियन वेक्टर को अतिरिक्त रूप से इस बात से अलग किया जाता है कि जब कोई एक ही वेक्टर को एक अलग पृष्ठभूमि समन्वय प्रणाली के संबंध में मापता है तो उसके निर्देशांक कैसे बदलते हैं। यूक्लिडियन वेक्टर#वेक्टर, स्यूडोवेक्टर और ट्रांसफ़ॉर्मेशन एक वेक्टर को स्केलर की एक साधारण सूची से, या एक कोवेक्टर से ज्यामितीय रूप से अलग इकाई के रूप में अलग करते हैं।

इस प्रकार, मान लीजिये $(x_{1}, ..., x_{n})$ कार्टेशियन निर्देशांक का एक विकल्प है, जिसके संदर्भ में वेक्टर के घटक होते हैं $V$ हैं $$V_x = (V_{1,x}, \dots, V_{n,x})$$ और मान लीजिए कि (y1,...,औरn) x के n फलन हैंi एक अलग समन्वय प्रणाली को परिभाषित करना। फिर नए निर्देशांक में वेक्टर V के घटकों को परिवर्तन कानून को संतुष्ट करने की आवश्यकता होती है

इस तरह के परिवर्तन नियम को सदिशों का सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण कहा जाता है। एक समान परिवर्तन कानून भौतिकी में वेक्टर क्षेत्रों की विशेषता बताता है: विशेष रूप से, एक वेक्टर क्षेत्र परिवर्तन कानून के अधीन प्रत्येक समन्वय प्रणाली में एन कार्यों का एक विनिर्देश है ($$) विभिन्न समन्वय प्रणालियों से संबंधित।

इस प्रकार वेक्टर फ़ील्ड की तुलना अदिश क्षेत्र से की जाती है, जो अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु पर एक संख्या या स्केलर को जोड़ती है, और स्केलर फ़ील्ड की सरल सूचियों से भी विपरीत होती है, जो समन्वय परिवर्तनों के तहत परिवर्तित नहीं होती हैं।

मैनिफ़ोल्ड पर वेक्टर फ़ील्ड
एक भिन्न विविधता दी गई है $$M$$, एक वेक्टर फ़ील्ड पर $$M$$ प्रत्येक बिंदु के लिए स्पर्शरेखा स्थान का एक असाइनमेंट है $$M$$. अधिक सटीक रूप से, एक वेक्टर फ़ील्ड $$F$$ से एक मानचित्र (गणित) है $$M$$ स्पर्शरेखा बंडल में $$TM$$ ताकि $$ p\circ F $$ पहचान मानचित्रण है कहाँ $$p$$ से प्रक्षेपण को दर्शाता है $$TM$$ को $$M$$. दूसरे शब्दों में, एक वेक्टर फ़ील्ड स्पर्शरेखा बंडल का एक खंड (फाइबर बंडल) है।

एक वैकल्पिक परिभाषा: एक सहज वेक्टर क्षेत्र $$X$$ अनेक गुना पर $$M$$ एक रेखीय मानचित्र है $$X: C^\infty(M) \to C^\infty(M)$$ ऐसा है कि $$X$$ एक व्युत्पत्ति (विभेदक बीजगणित) है: $$X(fg) = fX(g)+X(f)g$$ सभी के लिए $$f,g \in C^\infty(M)$$. यदि अनेक गुना $$M$$ सुचारू या विश्लेषणात्मक कार्य है - अर्थात, निर्देशांक का परिवर्तन सुचारू (विश्लेषणात्मक) है - तब कोई सुचारू (विश्लेषणात्मक) वेक्टर क्षेत्रों की धारणा को समझ सकता है। स्मूथ मैनिफोल्ड पर सभी स्मूथ वेक्टर फ़ील्ड्स का संग्रह $$M$$ प्रायः द्वारा दर्शाया जाता है $$\Gamma (TM)$$ या $$C^\infty (M,TM)$$ (विशेषकर जब वेक्टर फ़ील्ड को अनुभाग (फाइबर बंडल) के रूप में सोचते हैं); सभी सुचारु सदिश क्षेत्रों के संग्रह को भी इसके द्वारा निरूपित किया जाता है $ \mathfrak{X} (M)$ (एक फ्रैक्टुर (टाइपफेस उप-वर्गीकरण) एक्स)।

उदाहरण
* पृथ्वी पर हवा की गति के लिए एक वेक्टर क्षेत्र पृथ्वी की सतह पर प्रत्येक बिंदु के लिए हवा की गति और उस बिंदु की दिशा के साथ एक वेक्टर को संबद्ध करेगा। इसे हवा का प्रतिनिधित्व करने के लिए तीरों का उपयोग करके खींचा जा सकता है; तीर की लंबाई (परिमाण (गणित)) हवा की गति का संकेत होगी। सामान्य बैरोमीटर के दबाव मानचित्र पर एक उच्च तब एक स्रोत (तीर की ओर इशारा करता है) के रूप में कार्य करेगा, और एक निचला एक सिंक (तीर की ओर इशारा करता है) होगा, क्योंकि हवा उच्च दबाव वाले क्षेत्रों से कम दबाव वाले क्षेत्रों की ओर बढ़ती है।
 * गतिमान द्रव का वेग क्षेत्र। इस मामले में, द्रव में प्रत्येक बिंदु से एक वेग वेक्टर जुड़ा होता है।
 * स्ट्रीमलाइन्स, स्ट्रीकलाइन्स और पाथलाइन्स|स्ट्रीमलाइन्स, स्ट्रीकलाइन्स और पाथलाइन्स 3 प्रकार की लाइनें हैं जिन्हें (समय-निर्भर) वेक्टर फ़ील्ड से बनाया जा सकता है। वे हैं:
 * स्ट्रीकलाइन्स: विभिन्न समयों में एक विशिष्ट निश्चित बिंदु से गुजरने वाले कणों द्वारा निर्मित रेखा
 * पथरेखाएँ: वह पथ दिखाना जिसका कोई दिया गया कण (शून्य द्रव्यमान का) अनुसरण करेगा।
 * स्ट्रीमलाइन (या फील्डलाइन): तात्कालिक क्षेत्र से प्रभावित कण का पथ (यानी, यदि क्षेत्र को स्थिर रखा जाता है तो कण का पथ)।
 * चुंबकीय क्षेत्र। छोटे लोहे के बुरादे का उपयोग करके फ़ील्डलाइन को प्रकट किया जा सकता है।
 * मैक्सवेल के समीकरण हमें यूक्लिडियन अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु के लिए, उस बिंदु पर चार्ज किए गए परीक्षण कण द्वारा अनुभव किए गए बल के लिए एक परिमाण और दिशा निकालने के लिए प्रारंभिक और सीमा स्थितियों के दिए गए सेट का उपयोग करने की अनुमति देते हैं; परिणामी वेक्टर क्षेत्र विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र है।
 * किसी भी विशाल वस्तु द्वारा उत्पन्न गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र भी एक सदिश क्षेत्र होता है। उदाहरण के लिए, गोलाकार रूप से सममित पिंड के लिए गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के सभी सदिश गोले के केंद्र की ओर इंगित करेंगे और पिंड से रेडियल दूरी बढ़ने पर सदिशों का परिमाण कम हो जाएगा।

यूक्लिडियन स्थानों में ढाल क्षेत्र


ग्रेडियेंट ऑपरेटर ( की : ∇ द्वारा चिह्नित) का उपयोग करके स्केलर फ़ील्ड से वेक्टर फ़ील्ड का निर्माण किया जा सकता है। एक खुले सेट S पर परिभाषित एक वेक्टर फ़ील्ड V को 'ग्रेडिएंट फ़ील्ड' या 'रूढ़िवादी फ़ील्ड' कहा जाता है यदि S पर कोई वास्तविक-मूल्य फ़ंक्शन (एक स्केलर फ़ील्ड) f मौजूद है जैसे कि $$V = \nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \frac{\partial f}{\partial x_3}, \dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}\right).$$ सम्बद्ध प्रवाह (गणित) कहलाता है, और ढतला हुआ वंश  की विधि में उपयोग किया जाता है।

एक रूढ़िवादी क्षेत्र में किसी भी बंद वक्र γ (γ(0) = γ(1)) के साथ अभिन्न रेखा शून्य है: $$ \oint_\gamma V(\mathbf {x})\cdot \mathrm{d}\mathbf {x} = \oint_\gamma \nabla f(\mathbf {x}) \cdot \mathrm{d}\mathbf {x} = f(\gamma(1)) - f(\gamma(0)).$$

यूक्लिडियन स्थानों में केंद्रीय क्षेत्र
ए $C^{∞}$-वेक्टर फ़ील्ड खत्म $R^{n} \ {0}$ को केंद्रीय क्षेत्र कहा जाता है यदि $$V(T(p)) = T(V(p)) \qquad (T \in \mathrm{O}(n, \R))$$ कहाँ $O(n, R)$ ऑर्थोगोनल समूह है। हम कहते हैं कि केंद्रीय क्षेत्र 0 के आसपास ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के तहत अपरिवर्तनीय (गणित) हैं।

बिंदु 0 को क्षेत्र का केंद्र कहा जाता है।

चूंकि ऑर्थोगोनल परिवर्तन वास्तव में घूर्णन और प्रतिबिंब हैं, अपरिवर्तनीय स्थितियों का मतलब है कि केंद्रीय क्षेत्र के वैक्टर हमेशा 0 की ओर या उससे दूर निर्देशित होते हैं; यह एक वैकल्पिक (और सरल) परिभाषा है। एक केंद्रीय क्षेत्र हमेशा एक ग्रेडिएंट फ़ील्ड होता है, क्योंकि इसे एक अर्ध-अक्ष पर परिभाषित करने और एकीकृत करने से एक एंटीग्रेडिएंट मिलता है।

रेखा अभिन्न
भौतिकी में एक सामान्य तकनीक एक वेक्टर क्षेत्र को वक्रों की विभेदक ज्यामिति के साथ एकीकृत करना है, जिसे इसकी रेखा अभिन्न का निर्धारण भी कहा जाता है। सहज रूप से यह सभी सदिश घटकों को वक्र की स्पर्शरेखाओं के अनुरूप सारांशित करता है, जिसे उनके अदिश उत्पादों के रूप में व्यक्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, बल क्षेत्र (जैसे गुरुत्वाकर्षण) में एक कण दिया गया है, जहां अंतरिक्ष में किसी बिंदु पर प्रत्येक वेक्टर कण पर कार्यरत बल का प्रतिनिधित्व करता है, एक निश्चित पथ के साथ अभिन्न रेखा कण पर किया गया कार्य है, जब यह यात्रा करता है इस रास्ते पर. सहज रूप से, यह बल वेक्टर के अदिश उत्पादों और वक्र के प्रत्येक बिंदु पर छोटे स्पर्शरेखा वेक्टर का योग है।

लाइन इंटीग्रल का निर्माण रीमैन अभिन्न  के अनुरूप किया जाता है और यह तब मौजूद होता है जब वक्र सुधार योग्य होता है (परिमित लंबाई होती है) और वेक्टर क्षेत्र निरंतर होता है।

एक वेक्टर फ़ील्ड दिया गया है $$ और एक वक्र $V$, पैरामीट्रिक समीकरण द्वारा $γ$ में $t$ (कहाँ $[a, b]$ और $a$ वास्तविक संख्याएँ हैं), रेखा समाकलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है $$\int_\gamma V(\mathbf {x}) \cdot \mathrm{d}\mathbf {x} = \int_a^b  V(\gamma(t)) \cdot \dot \gamma(t)\, \mathrm{d}t.$$ वेक्टर फ़ील्ड टोपोलॉजी दिखाने के लिए कोई लाइन इंटीग्रल कनवल्शन का उपयोग कर सकता है।

विचलन
यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर एक सदिश क्षेत्र का विचलन एक फलन (या अदिश क्षेत्र) है। तीन-आयामों में, विचलन को परिभाषित किया गया है $$\operatorname{div} \mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z},$$ मनमाने आयामों के स्पष्ट सामान्यीकरण के साथ। एक बिंदु पर विचलन उस डिग्री का प्रतिनिधित्व करता है जिस तक बिंदु के चारों ओर एक छोटी मात्रा वेक्टर प्रवाह के लिए एक स्रोत या सिंक है, जिसका परिणाम विचलन प्रमेय द्वारा सटीक बनाया गया है।

विचलन को रीमैनियन मैनिफोल्ड पर भी परिभाषित किया जा सकता है, यानी, रीमैनियन मीट्रिक के साथ मैनिफोल्ड जो वैक्टर की लंबाई को मापता है।

तीन आयामों में कर्ल
कर्ल (गणित) एक ऑपरेशन है जो एक वेक्टर फ़ील्ड लेता है और एक अन्य वेक्टर फ़ील्ड उत्पन्न करता है। कर्ल को केवल तीन आयामों में परिभाषित किया गया है, लेकिन कर्ल के कुछ गुणों को बाहरी व्युत्पन्न के साथ उच्च आयामों में कैप्चर किया जा सकता है। इसे तीन आयामों में परिभाषित किया गया है $$\operatorname{curl}\mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F} = \left(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right)\mathbf{e}_1 - \left(\frac{\partial F_3}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial z}\right)\mathbf{e}_2 + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x}- \frac{\partial F_1}{\partial y}\right)\mathbf{e}_3.$$ कर्ल एक बिंदु पर वेक्टर प्रवाह के कोणीय गति के घनत्व को मापता है, अर्थात, वह मात्रा जिस तक प्रवाह एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमता है। यह सहज विवरण स्टोक्स के प्रमेय द्वारा सटीक बनाया गया है।

एक वेक्टर फ़ील्ड का सूचकांक
एक सदिश क्षेत्र का सूचकांक एक पूर्णांक होता है जो एक पृथक शून्य (यानी, क्षेत्र की एक पृथक विलक्षणता) के आसपास एक सदिश क्षेत्र के व्यवहार का वर्णन करने में मदद करता है। समतल में, सूचकांक सैडल विलक्षणता पर मान -1 लेता है लेकिन स्रोत या सिंक विलक्षणता पर +1 लेता है।

मान लीजिए कि मैनिफ़ोल्ड का आयाम जिस पर वेक्टर फ़ील्ड परिभाषित है n है। शून्य के चारों ओर एक बंद सतह (होमियोमॉर्फिक (एन-1)-गोले) एस लें, ताकि कोई अन्य शून्य एस के आंतरिक भाग में न हो। इस क्षेत्र से आयाम एन -1 के एक इकाई क्षेत्र तक एक मानचित्र का निर्माण किया जा सकता है इस गोले पर प्रत्येक वेक्टर को उसकी लंबाई से विभाजित करके एक इकाई लंबाई वेक्टर बनाया जाता है, जो इकाई क्षेत्र S पर एक बिंदु हैn−1. यह S से S तक एक सतत मानचित्र को परिभाषित करता हैn−1. बिंदु पर वेक्टर फ़ील्ड का सूचकांक इस मानचित्र की सतत मैपिंग#डिफ़रेंशियल टोपोलॉजी की डिग्री है। यह दिखाया जा सकता है कि यह पूर्णांक S की पसंद पर निर्भर नहीं है, और इसलिए केवल वेक्टर फ़ील्ड पर ही निर्भर करता है।

'वेक्टर फ़ील्ड का सूचकांक' समग्र रूप से तब परिभाषित किया जाता है जब इसमें शून्य की एक सीमित संख्या होती है। इस मामले में, सभी शून्य अलग-थलग हैं, और वेक्टर फ़ील्ड के सूचकांक को सभी शून्यों पर सूचकांकों के योग के रूप में परिभाषित किया गया है।

सूचकांक को किसी भी गैर-एकवचन बिंदु (यानी, एक बिंदु जहां वेक्टर गैर-शून्य है) पर परिभाषित नहीं किया गया है। यह किसी स्रोत के आसपास +1 के बराबर है, और अधिक सामान्यतः (−1) के बराबर हैk एक काठी के चारों ओर जिसमें k संकुचन आयाम और n−k विस्तार आयाम हैं। त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक साधारण (2-आयामी) क्षेत्र के लिए, यह दिखाया जा सकता है कि गोले पर किसी भी वेक्टर क्षेत्र का सूचकांक 2 होना चाहिए। इससे पता चलता है कि ऐसे प्रत्येक वेक्टर क्षेत्र में शून्य होना चाहिए। इसका तात्पर्य बालों वाली गेंद प्रमेय से है, जो बताता है कि यदि 'आर' में एक वेक्टरइकाई क्षेत्र S के प्रत्येक बिंदु को 3 सौंपा गया है2निरंतर तरीके से, फिर बालों को सपाट रूप से कंघी करना असंभव है, यानी, वैक्टर को निरंतर तरीके से चुनना ताकि वे सभी गैर-शून्य हों और एस के स्पर्शरेखा हों2.

शून्य की एक सीमित संख्या के साथ एक कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड पर एक वेक्टर फ़ील्ड के लिए, पोंकारे-हॉप प्रमेय बताता है कि वेक्टर फ़ील्ड का सूचकांक मैनिफोल्ड की यूलर विशेषता के बराबर है।

शारीरिक अंतर्ज्ञान
माइकल फैराडे ने बल की रेखाओं की अपनी अवधारणा में इस बात पर जोर दिया कि क्षेत्र स्वयं अध्ययन का एक उद्देश्य होना चाहिए, जो कि क्षेत्र सिद्धांत (भौतिकी) के रूप में संपूर्ण भौतिकी में बन गया है।

चुंबकीय क्षेत्र के अलावा, फैराडे द्वारा प्रतिरूपित की गई अन्य घटनाओं में विद्युत क्षेत्र और प्रकाश क्षेत्र शामिल हैं।

हाल के दशकों में भौतिकी में अपरिवर्तनीय गतिशीलता और विकास समीकरणों के कई घटनात्मक सूत्रीकरण, जटिल तरल पदार्थ और ठोस के यांत्रिकी से लेकर रासायनिक कैनेटीक्स और क्वांटम थर्मोडायनामिक्स तक, एक सतत सार्वभौमिक मॉडलिंग ढांचे के रूप में तीव्र एन्ट्रापी चढ़ाई या ढाल प्रवाह के ज्यामितीय विचार की ओर एकत्रित हुए हैं जो कि ऊष्मप्रवैगिकी के दूसरे नियम के साथ अनुकूलता की गारंटी देता है और सुप्रसिद्ध निकट-संतुलन परिणामों जैसे कि ऑनसेगर पारस्परिकता को दूर-गैर-संतुलन क्षेत्र तक विस्तारित करता है।

प्रवाह वक्र
अंतरिक्ष के एक क्षेत्र से होकर तरल पदार्थ के प्रवाह पर विचार करें। किसी भी समय, द्रव के किसी भी बिंदु के साथ एक विशेष वेग जुड़ा होता है; इस प्रकार किसी भी प्रवाह से जुड़ा एक सदिश क्षेत्र होता है। इसका विपरीत भी सत्य है: किसी प्रवाह को उस सदिश क्षेत्र से जोड़ना संभव है, जिसका वेग उस सदिश क्षेत्र के रूप में हो।

एक वेक्टर फ़ील्ड दिया गया है $$V$$ पर परिभाषित $$S$$, एक वक्र परिभाषित करता है $$\gamma(t)$$ पर $$S$$ ऐसा कि प्रत्येक के लिए $$t$$ एक अंतराल में $$I$$, $$\gamma'(t) = V(\gamma(t))\,.$$ पिकार्ड-लिंडेलोफ़ प्रमेय द्वारा, यदि $$V$$ लिप्सचिट्ज़ निरंतरता है वहाँ एक अद्वितीय है $$C^1$$-वक्र $$\gamma_x$$ प्रत्येक बिंदु के लिए $$x$$ में $$S$$ ताकि, कुछ के लिए $$\varepsilon > 0$$, $$\begin{align} \gamma_x(0) &= x\\ \gamma'_x(t) &= V(\gamma_x(t)) \qquad \forall t \in (-\varepsilon, +\varepsilon) \subset \R. \end{align}$$ वक्र $$\gamma_x$$ सदिश क्षेत्र के अभिन्न वक्र या प्रक्षेप पथ (या कम सामान्यतः, प्रवाह रेखाएं) कहलाते हैं $$V$$ और विभाजन $$S$$ समतुल्य वर्गों में। अंतराल को बढ़ाना हमेशा संभव नहीं होता है $$(-\varepsilon,+\varepsilon)$$ संपूर्ण वास्तविक संख्या रेखा तक. उदाहरण के लिए, प्रवाह किनारे तक पहुँच सकता है $$S$$ एक सीमित समय में.

दो या तीन आयामों में कोई वेक्टर क्षेत्र को प्रवाह (गणित) को जन्म देने के रूप में देख सकता है $$S$$. यदि हम इस प्रवाह में एक बिंदु पर एक कण छोड़ते हैं $$p$$ यह वक्र के अनुदिश गति करेगा $$\gamma_p$$ प्रारंभिक बिंदु के आधार पर प्रवाह में $$p$$. अगर $$p$$ का एक स्थिर बिंदु है $$V$$ (अर्थात्, सदिश क्षेत्र बिंदु पर शून्य सदिश के बराबर है $$p$$), तो कण पर रहेगा $$p$$.

विशिष्ट अनुप्रयोग स्ट्रीमलाइन, स्ट्रीकलाइन और द्रव प्रवाह, जियोडेसिक प्रवाह और एक-पैरामीटर उपसमूहों में पथरेखाएं और लाई समूहों में घातीय मानचित्र (झूठ सिद्धांत) हैं।

पूर्ण वेक्टर फ़ील्ड
परिभाषा के अनुसार, एक सदिश क्षेत्र पर $$M$$ पूर्ण तब कहलाता है जब इसका प्रत्येक प्रवाह वक्र सदैव विद्यमान रहता है। विशेष रूप से, मैनिफोल्ड पर कॉम्पैक्ट समर्थन  वेक्टर फ़ील्ड पूर्ण हो गए हैं। अगर  $$X$$ पर एक पूर्ण वेक्टर फ़ील्ड है $$M$$, फिर प्रवाह द्वारा उत्पन्न भिन्नताओं का एक-पैरामीटर समूह $$X$$ हर समय मौजूद है; इसका वर्णन एक सहज मानचित्रण द्वारा किया गया है
 * $$\mathbf{R}\times M\to M.$$

सीमा के बिना एक कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड पर, प्रत्येक स्मूथ वेक्टर फ़ील्ड पूर्ण है। अपूर्ण वेक्टर फ़ील्ड का एक उदाहरण $$V$$ असली लाइन पर $$\mathbb R$$ द्वारा दिया गया है $$V(x) = x^2$$. के लिए, विभेदक समीकरण $x'(t) = x^2$, प्रारंभिक स्थिति के साथ $$x(0) = x_0 $$, इसका अनूठा समाधान है $x(t) = \frac{x_0}{1 - t x_0}$ अगर $$x_0 \neq 0$$ (और $$x(t) = 0$$ सभी के लिए $$t \in \R$$ अगर  $$x_0 = 0$$). इसलिए के लिए $$x_0 \neq 0$$, $$x(t)$$ पर अपरिभाषित है $t = \frac{1}{x_0}$ इसलिए सभी मानों के लिए परिभाषित नहीं किया जा सकता $$t$$.

झूठ कोष्ठक
दो सदिश क्षेत्रों से जुड़े प्रवाह को एक दूसरे के साथ क्रमविनिमेय गुण की आवश्यकता नहीं है। आवागमन में उनकी विफलता को दो वेक्टर फ़ील्ड के लेट ब्रैकेट द्वारा वर्णित किया गया है, जो फिर से एक वेक्टर फ़ील्ड है। सुचारू कार्यों पर वेक्टर फ़ील्ड की कार्रवाई के संदर्भ में लाई ब्रैकेट की एक सरल परिभाषा है $$f$$:
 * $$[X,Y](f):=X(Y(f))-Y(X(f)).$$

एफ-संबंध
मैनिफोल्ड्स के बीच एक सुचारू कार्य को देखते हुए, $$f:M\to N$$, व्युत्पन्न स्पर्शरेखा बंडलों पर एक प्रेरित मानचित्र है, $$f_*:TM\to TN$$. दिए गए वेक्टर फ़ील्ड $$V:M\to TM$$ और $$W:N\to TN$$, हम ऐसा कहते हैं $$W$$ है $$f$$-संदर्भ के $$V$$ यदि समीकरण $$W\circ f = f_*\circ V$$ धारण करता है.

अगर $$V_i$$ है $$f$$-संदर्भ के $$W_i$$, $$i=1,2$$, फिर लाई ब्रैकेट $$[V_1,V_2]$$ है $$f$$-संदर्भ के $$[W_1,W_2]$$.

सामान्यीकरण
सदिशों को p-वेक्टर|p-वेक्टरों (वेक्टरों की pth बाह्य शक्ति) द्वारा प्रतिस्थापित करने से p-वेक्टर क्षेत्र प्राप्त होते हैं; दोहरे स्थान और बाहरी शक्तियों को लेने से विभेदक रूप | विभेदक k-रूप प्राप्त होते हैं, और इन्हें संयोजित करने से सामान्य टेंसर फ़ील्ड प्राप्त होते हैं।

बीजगणितीय रूप से, सदिश क्षेत्रों को मैनिफोल्ड पर सुचारु कार्यों के बीजगणित की व्युत्पत्ति (अमूर्त बीजगणित) के रूप में चित्रित किया जा सकता है, जो क्रमविनिमेय बीजगणित पर एक सदिश क्षेत्र को बीजगणित पर व्युत्पत्ति के रूप में परिभाषित करने की ओर ले जाता है, जिसे विभेदक कलन के सिद्धांत में विकसित किया गया है। क्रमविनिमेय बीजगणित पर।

यह भी देखें

 * ईसेनबड-लेविन-खिमशियाश्विली हस्ताक्षर सूत्र
 * फ़ील्ड लाइन
 * फील्ड की छमता
 * संतुलित प्रवाह#वायुमंडलीय गतिशीलता में क्रमिक प्रवाह
 * झूठ व्युत्पन्न
 * अदिश क्षेत्र
 * समय-निर्भर वेक्टर क्षेत्र
 * बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में वेक्टर फ़ील्ड
 * टेंसर फ़ील्ड

बाहरी संबंध

 * Online Vector Field Editor
 * Vector field — Mathworld
 * Vector field — PlanetMath
 * 3D Magnetic field viewer
 * Vector fields and field lines
 * Vector field simulation An interactive application to show the effects of vector fields
 * Vector field simulation An interactive application to show the effects of vector fields