विभाज्यता के नियम

विभाज्यता नियम यह निर्धारित करने का एक आशुलिपि और उपयोगी तरीका है कि क्या कोई पूर्णांक एक निश्चित भाजक द्वारा विभाजन को निष्पादित किए बिना विभाज्य है, आमतौर पर इसके अंकों की जांच करके। हालांकि किसी भी मूलांक, या आधार में संख्याओं के लिए विभाज्यता परीक्षण हैं, और वे सभी अलग−अलग हैं, यह लेख केवल दशमलव, या आधार 10, संख्याओं के लिए नियम और उदाहरण प्रस्तुत करता है। मार्टिन गार्डनर ने सितंबर 1962 में साइंटिफिक अमेरिकन में अपने "मैथमेटिकल गेम्स" कॉलम में इन नियमों को समझाया और लोकप्रिय बनाया।

संख्या 1−30 के लिए विभाजन नियम
नीचे दिए गए नियम स्वयं की इक्षा के भाजक द्वारा विभाज्यता को बनाए रखते हुए, दी गई संख्या को आम तौर पर छोटी संख्या में बदल देते हैं। इसलिए, जब तक कि अन्यथा उल्लेख न किया जाए, परिणामी संख्या का मूल्यांकन उसी भाजक द्वारा विभाज्यता के लिए किया जाना चाहिए। कुछ मामलों में विभाज्यता स्पष्ट होने तक प्रक्रिया को फिर से दोहराया जा सकता है; दूसरों के लिए (जैसे अंतिम n अंकों की जांच करना) परिणाम की जांच अन्य माध्यमों से की जानी चाहिए।

कई नियमों वाले भाजक के लिए, नियम आम तौर पर पहले कई अंकों वाली संख्याओं के लिए उपयुक्त होते हैं, फिर कम अंकों वाली संख्याओं के लिए उपयोगी होते हैं।

नोट: किसी भी संख्या से विभाज्यता का परीक्षण करने के लिए जिसे 2n या 5n के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसमें n एक धनात्मक पूर्णांक है, बस अंतिम n अंक की जांच करें।

नोट: अभाज्य गुणनखंड $$p_1^n p_2^m p_3^q$$ के गुणनफल के रूप में व्यक्त किसी भी संख्या से विभाज्यता का परीक्षण करने के लिए, हम प्रत्येक अभाज्य द्वारा उसकी उपयुक्त घात से विभाज्यता के लिए अलग से परीक्षण कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, 24 से विभाज्यता का परीक्षण (24 = 8*3 = 23*3) एक साथ 8 (23) और 3 से विभाज्यता के परीक्षण के बराबर है, इस प्रकार हमें 24 से विभाज्यता साबित करने के लिए केवल 8 और 3 से विभाज्यता दिखाने की आवश्यकता है।

2 द्वारा विभाजन
सबसे पहले, कोई भी संख्या लें (इस उदाहरण के लिए यह 376 होगी) और संख्या में अंतिम अंक नोट करें, अन्य अंकों को छोड़कर। फिर शेष संख्या को अनदेखा करते हुए वह अंक (6) लें और निर्धारित करें कि क्या यह 2 से विभाज्य है, यदि यह 2 से विभाज्य है, तो मूल संख्या 2 से विभाज्य है।

उदाहरण
 * 1) 376 (मूल संख्या)
 * 2) 37 6 (अंतिम अंक लें)
 * 3) 6 = 2 = 3 (यह देखने के लिए जांचें कि क्या अंतिम अंक 2 से विभाज्य है)
 * 4) 376 = 2 = 188 (यदि अंतिम अंक 2 से विभाज्य है, तो पूरी संख्या 2 से विभाज्य है)

3 या 9 द्वारा विभाजन
सबसे पहले, कोई भी संख्या लें (इस उदाहरण के लिए यह 492 होगी) और संख्या (4 + 9 + 2 = 15) में प्रत्येक अंक को एक साथ जोड़ दें। फिर वह योग (15) लें और निर्धारित करें कि क्या यह 3 से विभाज्य है। मूल संख्या 3 (या 9) से विभाज्य है यदि और केवल यदि उसके अंकों का योग 3 (या 9) से विभाज्य हो।

किसी संख्या के अंकों को जोड़ना, और फिर परिणाम के साथ प्रक्रिया को तब तक दोहराना जब तक कि केवल एक अंक शेष न रह जाए, मूल संख्या का शेष भाग देगा यदि इसे नौ से विभाजित किया गया (जब तक कि वह एकल अंक स्वयं नौ न हो, जिस स्थिति में संख्या नौ से विभाज्य है और शेषफल शून्य है)।

इसे किसी भी मानक स्थितीय प्रणाली के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसमें विचाराधीन भाजक तब मूलांक से एक कम हो जाता है; इस प्रकार, आधार−बारह में, अंकों को ग्यारह से विभाजित करने पर मूल संख्या के शेष में जोड़ दिया जाएगा, और अंक ग्यारह से विभाज्य होने पर ही संख्याएँ ग्यारह से विभाज्य होंगी।

तीन क्रमागत संख्याओं का गुणनफल हमेशा 3 से विभाज्य होता है। यह तब उपयोगी होता है जब कोई संख्या n × (n − 1) × (n + 1) का रूप लेती है।

उदाहरण
 * 1) 492 (मूल संख्या)
 * 2) 4 + 9 + 2 = 15 (प्रत्येक एकाकी अंक को एक साथ जोड़ें)
 * 15, 3 से विभाज्य है जिस बिंदु पर हम रुक सकते हैं। वैकल्पिक रूप से हम उसी विधि का उपयोग जारी रख सकते हैं यदि संख्या अभी भी बहुत बड़ी है:
 * 1) 1 + 5 = 6 (प्रत्येक एकाकी अंक को एक साथ जोड़ें)
 * 2) 6 = 3 = 2 (यह देखने के लिए जांचें कि प्राप्त संख्या 3 से विभाज्य है या नहीं)
 * 3) 492 = 3 = 164 (यदि नियम का उपयोग करके प्राप्त संख्या 3 से विभाज्य है, तो पूर्ण संख्या 3 से विभाज्य है)

उदाहरण
 * 1) 336 (मूल संख्या)
 * 2) 6 × 7 × 8 = 336
 * 3) 336 = 3 = 112

4 द्वारा विभाजन
4 से विभाज्यता के लिए मूल नियम यह है कि यदि किसी संख्या में अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य है, तो मूल संख्या 4 से विभाज्य है, इसका कारण यह है कि 100, 4 से विभाज्य है और इसलिए सैकड़ों, हजारों आदि को जोड़ने का अर्थ केवल 4 से विभाज्य एक और संख्या जोड़ना है। यदि कोई संख्या दो अंकों की संख्या में समाप्त होती है जिसे आप जानते हैं कि 4 (जैसे 24, 04, 08, आदि) से विभाज्य है, तो पूर्ण संख्या अंतिम दो अंकों से पहले क्या है, इसकी परवाह किA बिना 4 से विभाज्य होगा।

वैकल्पिक रूप से, कोई भी केवल संख्या को 2 से विभाजित कर सकता है, और फिर परिणाम की जांच करके पता लगा सकता है कि क्या यह 2 से विभाज्य है। यदि यह है, तो मूल संख्या 4 से विभाज्य है। इसके अलावा, इस परीक्षण का परिणाम समान है मूल संख्या को 4 से विभाजित किया जाता है।

उदाहरण सामान्य नियम
 * 1) 2092 (मूल संख्या)
 * 2) 20 92 (किसी अन्य अंक को छोड़कर संख्या के अंतिम दो अंक लें)
 * 3) 92 (4 = 23 (यह देखने के लिए जांचें कि क्या संख्या 4 से विभाज्य है)
 * 4) 2092 .4 4 = 523 (यदि प्राप्त संख्या 4 से विभाज्य हो, तो मूल संख्या 4 से विभाज्य होगी)

वैकल्पिक उदाहरण
 * 1) 1720 (मूल संख्या)
 * 2) 1720 = 2 = 860 (मूल संख्या को 2 से विभाजित करें)
 * 3) 860 = 2 = 430 (यह देखने के लिए जांचें कि क्या परिणाम 2 से विभाज्य है)
 * 4) 1720 = 4 = 430 (यदि परिणाम 2 से विभाज्य है, तो मूल संख्या 4 से विभाज्य है)

5 द्वारा विभाजन
5 से विभाज्यता संख्या (475) में अंतिम अंक की जाँच करके और यह देख कर आसानी से निर्धारित की जाती है कि क्या यह 0 या 5 है। यदि अंतिम संख्या या तो 0 या 5 है, तो पूरी संख्या 5 से विभाज्य है।

यदि संख्या में अंतिम अंक 0 है, तो परिणाम शेष अंकों को 2 से गुणा किया जाएगा। उदाहरण के लिए, संख्या 40 एक शून्य में समाप्त होती है, इसलिए शेष अंक (4) लें और उसे दो से गुणा करें (4 × 2 = 8)। परिणाम वही है जो 40 के परिणाम को 5 (40/5 = 8) से विभाजित करता है।

यदि संख्या में अंतिम अंक 5 है, तो परिणाम शेष अंकों को दो से गुणा करके, एक के योग से प्राप्त होगा। उदाहरण के लिए, संख्या 125 एक 5 में समाप्त होती है, इसलिए शेष अंक (12) लें, उन्हें दो (12 × 2 = 24) से गुणा करें, फिर एक (24 + 1 = 25) जोड़ें। परिणाम 125 के परिणाम को 5 (125/5=25) से विभाजित करने के परिणाम के समान है।

उदाहरण

यदि अंतिम अंक 0 है
 * 1) 110 (मूल संख्या)
 * 2) 11 0 (संख्या का अंतिम अंक लें, और जांचें कि क्या यह 0 या 5 है)
 * 3) 11 0 (यदि यह 0 है, तो शेष अंक लें, अंतिम को छोड़ दें)
 * 4) 11 × 2 = 22 (परिणाम को 2 से गुणा करें)
 * 5) 110 = 5 = 22 (परिणाम 5 द्वारा विभाजित मूल संख्या के समान है)

यदि अंतिम अंक 5 है
 * 1) 85 (मूल संख्या)
 * 2) 8 5 (संख्या का अंतिम अंक लें, और जांचें कि क्या यह 0 या 5 है)
 * 3) 8 5 (यदि यह 5 है, तो शेष अंक लें, अंतिम को छोड़ दें)
 * 4) 8 × 2 = 16 (परिणाम को 2 से गुणा करें)
 * 5) 16 + 1 = 17 (परिणाम में 1 जोड़ें)
 * 6) 85 (5 = 17 (परिणाम 5 द्वारा विभाजित मूल संख्या के समान है)

6 द्वारा विभाजन
6 द्वारा विभाजन मूल संख्या की जाँच करके निर्धारित की जाती है कि क्या यह एक सम संख्या (2 से विभाज्य) और 3 से विभाज्य है या नहीं। यह प्रयोग करने के लिए सर्वोत्तम परीक्षण है।

यदि संख्या छह से विभाज्य है, तो मूल संख्या (246) लें और इसे दो से विभाजित करें (246 ÷ 2 = 123)। फिर, वह परिणाम लें और उसे तीन (123 ÷ 3 = 41) से भाग दें। यह परिणाम मूल संख्या के छह (246 ÷ 6 = 41) से विभाजित होने के समान है।

उदाहरण
 * सामान्य नियम
 * 1) 324 (मूल संख्या)
 * 2) 324 = 3 = 108 (यह देखने के लिए जांचें कि क्या मूल संख्या 3 से विभाज्य है)
 * 3) 324 = 2 = 162 या 108 2 = 54 (यह देखने के लिए जांचें कि क्या मूल संख्या या पिछले समीकरण का परिणाम 2 से विभाज्य है)
 * 4) 324 = 6 = 54 (यदि अंतिम चरण में कोई भी परीक्षण सत्य है, तो मूल संख्या 6 से विभाज्य है। साथ ही, दूसरे परीक्षण का परिणाम वही परिणाम देता है जो मूल संख्या 6 से विभाजित होता है)

6 से भाग देने पर किसी संख्या का शेषफल ज्ञात करना

 * (1, −2, −2, −2, −2, और −2 शेष के लिए जारी है) कोई अवधि नहीं। −− न्यूनतम परिमाण अनुक्रम
 * (1, 4, 4, 4, 4, और 4 शेष के लिए जारी है) −− सकारात्मक क्रम
 * अनुक्रम में सबसे बाएं अंक से दाएं सबसे अंक को गुणा करें और क्रम में दूसरे बाएं सबसे अंक से दूसरे दाएं सबसे अंक को गुणा करें और इसी तरह।
 * इसके बाद, सभी मानों के योग की गणना करें और शेष को 6 से भाग देने पर लें।

उदाहरण: 1036125837 को 6 से विभाजित करने पर शेषफल क्या है?
 * सर्वाधिक दाहिने अंक का गुणन = 1 × 7 = 7
 * दूसरे सर्वाधिक दाहिने अंक का गुणन = 3 × −2 = −6
 * तीसरा सर्वाधिक दाहिने अंक = −16
 * चौथा सर्वाधिक दाहिने अंक = −10
 * पांचवां सर्वाधिक दाहिने अंक = −4
 * छठा सर्वाधिक दाहिने अंक = −2
 * सातवें सर्वाधिक दाहिने अंक = −12
 * आठवें सर्वाधिक दाहिने अंक = −6
 * नौवें सर्वाधिक दाहिने अंक = 0
 * दसवें सर्वाधिक दाहिने अंक = −2
 * योग = −51 −51 ≡ 3 (मॉड 6) शेष = 3

7 द्वारा विभाजन
7 से विभाज्यता का परीक्षण पुनरावर्ती विधि द्वारा किया जा सकता है। 10x + y के रूप की कोई संख्या 7 से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि x − 2y 7 से विभाज्य है। दूसरे शब्दों में, शेष अंकों से बनी संख्या से अंतिम अंक का दोगुना घटाएँ। ऐसा तब तक करते रहें जब तक कि कोई संख्या प्राप्त न हो जाए जिसके लिए यह ज्ञात हो कि क्या यह 7 से विभाज्य है। मूल संख्या 7 से विभाज्य है यदि और केवल यदि इस प्रक्रिया का उपयोग करके प्राप्त संख्या 7 से विभाज्य है। उदाहरण के लिए, संख्या 371: 37 − (2×1) = 37 − 2 = 35; 3 − (2 × 5) = 3 − 10 = −7, इस प्रकार, चूंकि −7, 7 से विभाज्य है, 371, 7 से विभाज्य है।

इसी प्रकार 10x + y के रूप की एक संख्या 7 से विभाज्य है यदि और केवल यदि x + 5y 7 से विभाज्य है। इसलिए शेष अंकों से बनी संख्या में अंतिम अंक का पांच गुना जोड़ें, और ऐसा तब तक करते रहें जब तक कि एक संख्या प्राप्त न हो जाए, जिसके लिए यह ज्ञात हो कि क्या यह 7 से विभाज्य है।

एक अन्य विधि 3 से गुणा है। 10x + y के रूप की किसी संख्या में 7 से 3x + y से विभाजित करने पर वही शेषफल प्राप्त होता है। किसी को मूल संख्या के सर्वाधिक बाएं अंक को 3 से गुणा करना होगा, अगला अंक जोड़ना होगा, शेष को 7 से विभाजित करने पर लेना होगा और शुरुआत से जारी रखना होगा: 3 से गुणा करना, अगला अंक जोड़ना, आदि। उदाहरण के लिए, संख्या 371: 3×3 + 7 = 16 शेष 2, और 2×3 + 1 = 7। इस विधि का उपयोग 7 से शेष भाग ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है।

7 से विभाज्यता का परीक्षण करने के लिए एक अधिक जटिल कलन विधि (एल्गोरिदम) इस तथ्य का उपयोग करता है कि 100 ≡ 1, 101 ≡ 3, 102 ≡ 2, 103 ≡ 6, 104 ≡ 4, 105 ≡ 5, 106 ≡ 1, ...(मॉड 7)। संख्या के प्रत्येक अंक (371) को प्रतिलोम क्रम (173) में लें, उन्हें क्रमिक रूप से अंक 1, 3, 2, 6, 4, 5 से गुणा करें, जब तक आवश्यक हो, गुणकों के इस क्रम के साथ दोहराते रहें (1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6, 4, 5, ...), और गुणनफल को (1×1 + 7×3 + 3×2 = 1 + 21 + 6 = 28) जोड़ते रहें। मूल संख्या 7 से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि इस प्रक्रिया का उपयोग करके प्राप्त संख्या 7 से विभाज्य है (इसलिए 371, 28 से 7 से विभाज्य है)।

गुणा करने की आवश्यकता को दूर करके इस विधि को सरल बनाया जा सकता है। इस सरलीकरण के साथ केवल उपरोक्त अनुक्रम (132645...) को याद रखना और जोड़ना और घटाना है, लेकिन हमेशा एक अंकों की संख्या के साथ काम करना है।

सरलीकरण इस प्रकार है:
 * उदाहरण के लिए संख्या 371 लें
 * 7, 8 या 9 की सभी पुनरावृत्तियों को क्रमशः 0, 1 और 2 में बदलें। इस उदाहरण में, हम प्राप्त करते हैं: 301। यह दूसरा चरण छोड़ दिया जा सकता है, सर्वाधिक बाएं अंक को छोड़कर, लेकिन इसके बाद बाद में गणना की सुविधा हो सकती है।
 * अब क्रमांक 13264513... में पहले अंक (3) को निम्नलिखित अंक में बदलें हमारे उदाहरण में, 3, 2 में बदले जाता है।
 * परिणाम को पिछले चरण (2) में संख्या के दूसरे अंक में जोड़ें, और परिणाम को दोनों अंकों के लिए प्रतिस्थापित करें, शेष सभी अंकों को अपरिवर्तित छोड़ दें: 2 + 0 = 2। तो 301, 21 में बदल जाता है।
 * प्रक्रिया को तब तक दोहराए जब तक कि आपके पास 7 का एक पहचानने योग्य गुणक न हो, या सुनिश्चित करने के लिए, 0 और 6 के बीच की कोई संख्या हो। इसलिए, 21 से शुरू (जो कि 7 का एक पहचानने योग्य गुणक है), पहला अंक (2) लें और इसे उपरोक्त क्रम में निम्नलिखित में परिवर्तित करें: 2, 6 में बदले जाता है, फिर इसे दूसरे अंक में जोड़ें: 6 + 1 = 7।
 * यदि किसी भी बिंदु पर पहला अंक 8 या 9 है, तो ये क्रमशः 1 या 2 हो जाते हैं। लेकिन यदि यह 7 है तो यह 0 हो जाना चाहिए, केवल अगर कोई अन्य अंक का पालन न करें। अन्यथा, इसे बस छोड़ दिया जाना चाहिए। इसका कारण यह है कि 7, 0 में बदल गया होगा, और दशमलव बिंदु से पहले कम से कम दो अंकों वाली संख्याAं 0 से शुरू नहीं होती हैं, जो कि व्यर्थ है। इसके अनुसार हमारा 7, 0 में बदल जाता है।

यदि इस प्रक्रिया के माध्यम से आप एक 0 या 7 का कोई भी पहचानने योग्य गुणक प्राप्त करते हैं, तो मूल संख्या 7 का गुणज है। यदि आप 1 से 6 तक कोई संख्या प्राप्त करते हैं, तो यह इंगित करेगा कि आपको 7 का गुणज प्राप्त करने के लिए मूल संख्या से कितना घटाना चाहिए। दूसरे शब्दों में, आप संख्या को 7 से विभाजित करने पर शेषफल पाAंगे। उदाहरण के लिए, संख्या 186 लें:
 * सबसे पहले, 8 को 1:116 में बदलें।
 * अब, अनुक्रम (3) में निम्नलिखित अंक में 1 को बदलें, इसे दूसरे अंक में जोड़ें, और दोनों के बजाय परिणाम 3 + 1 = 4 लिखें। तो 116 अब 46 में बदल जाता है।
 * प्रक्रिया को दोहराए, क्योंकि संख्या 7 से बड़ी है। अब, 4, 5 में बदल जाता है, जिसे 6 में जोड़ा जाना चाहिए। अर्थात 11।
 * प्रक्रिया को एक बार और दोहराए: 1, 3 में बदल जाता है, जो दूसरे अंक (1): 3 + 1 = 4 में जुड़ जाता है।

अब हमारे पास 7 से छोटी एक संख्या है और यह संख्या (4) 186/7 को विभाजित करने का शेषफल है। अत: 186 − 4, जो कि 182 है, 7 का गुणज होना चाहिए।

नोट: इसका कारण यह है कि यदि हमारे पास: a+b=c और b किसी भी दी गई संख्या n का गुणज है, तो a और c अनिवार्य रूप से n से विभाजित करने पर समान शेष उत्पन्न करेंगे। दूसरे शब्दों में, 2 + 7 = 9 में, 7, 7 से विभाज्य है। अतः 2 और 9 का शेष समान होना चाहिए, जब 7 से विभाजित किया जाता है। शेष 2 हो।

इसलिए, यदि कोई संख्या n, 7 का गुणज है (अर्थात: n/7 का शेषफल 0 है), तो 7 के गुणजों को जोड़ने (या घटाने) से वह गुण नहीं बदल सकता।

यह प्रक्रिया क्या करती है, जैसा कि अधिकांश विभाज्यता नियमों के लिए ऊपर बताया गया है, बस मूल संख्या से 7 के छोटे−छोटे गुणकों को घटाना है, जब तक कि एक ऐसी संख्या तक न पहुंच जाए जो हमारे लिए यह याद रखने के लिए पर्याप्त हो कि क्या यह 7 का गुणज है। यदि 1 निम्नलिखित दशमलव स्थिति में 3 बन जाता है, तो यह 10×10n को 3×10n में परिवर्तित करने जैसा ही है। और यह वास्तव में 10×10n से 7×10n (स्पष्ट रूप से 7 का गुणज) घटाने के समान है।
 * 20 × 10n − 6×10n=14×10n
 * 60 × 10n − 4×10n=56×10n
 * 40 × 10n − 5×10n=35×10n
 * 50 × 10n − 1×10n=49×10n

पहली विधि उदाहरण
1050 → 105 − 0 = 105 → 10 − 10 = 0। उत्तर: 1050, 7 से विभाज्य है।

दूसरी विधि उदाहरण
1050 → 0501 (विपरीत) → 0×1 + 5×3 + 0×2 + 1×6 = 0 + 15 + 0 + 6 = 21 (गुणा करें और जोड़ें)। उत्तर: 1050 7 से विभाज्य है।

आश्लिष्टता द्वारा विभाजन की वैदिक विधि
सात से विभाज्यता का परीक्षण एकधिका  द्वारा गुणा करके किया जा सकता है। भाजक सात को सात से गुणा करके नौ परिवार में परिवर्तित करें। 7×7=49. एक जोड़ें, इकाइयों के अंक को छोड़ दें और, 5, एक्हादिका  को गुणक के रूप में लें। दाईं ओर से शुरू करें। 5 से गुणा करें, उत्पाद को बाईं ओर के अगले अंक में जोड़ें। उस परिणाम को उस अंक के नीचे एक पंक्ति पर सेट करें। इकाई के अंक को पांच से गुणा करने और उस गुणनफल को दहाई की संख्या में जोड़ने की उस विधि को दोहराए। परिणाम को अगले अंक में बाईं ओर जोड़ें। उस परिणाम को अंक के नीचे लिखिA। अंत तक जारी रखें। यदि परिणाम शून्य है या सात का गुणज है, तो हाँ, वह संख्या सात से विभाज्य है। अन्यथा ऐसा नहीं है। यह वैदिक आदर्श, एक−पंक्ति अंकन का अनुसरण करता है।

वैदिक विधि उदाहरण:
क्या 438,722,025 सात से विभाज्य है? गुणक = 5। 4 3 8 7 2 2 2 0 2 5 42 37 46 37 6 40 37 27 हां

7 से विभाज्यता की पोहलमैन−द्रव्यमान विधि
पोहलमैन−मास विधि एक शीघ्र हल प्रदान करती है जो यह निर्धारित कर सकती है कि अधिकांश पूर्णांक तीन चरणों में सात या उससे कम हैं। यह विधि गणित प्रतियोगिता जैसे MATHCOUNTS में उपयोगी हो सकती है, जहां स्प्रिंट राउंड में परिगणक (कैलकुलेटर) के बिना हल निर्धारित करने के लिए समय एक कारक है।

चरण A: यदि पूर्णांक 1000 या उससे कम है, तो शेष अंकों से बनी संख्या से अंतिम अंक का दोगुना घटाएँ। यदि परिणाम सात का गुणज है, तो मूल संख्या भी है (और इसके विपरीत)। उदाहरण के लिए:

112 −> 11 −(2 × 2) = 11 −4 = 7 हां 98 −> 9 −(8 × 2) = 9 −16 = −−7 हां 634 −> 63 −(4 × 2) = 63 −8 = 55 नहीं

क्योंकि 1001 सात से विभाज्य है, 1, 2, या 3 अंकों के दोहराए जाने वाले सेटों के लिए एक रोचक पैटर्न विकसित होता है जो 6−अंकीय संख्याएँ (अग्रणी शून्य की अनुमति है) बनाते हैं, जिसमें ऐसी सभी संख्याएँ सात से विभाज्य होती हैं। उदाहरण के लिए:

001 001 = 1,001 / 7 = 143 010 010 = 10,010 / 7 = 1,430 011 011 = 11,011 / 7 = 1,573 100 100 = 100,100 / 7 = 14,300 101 101 = 101,101 / 7 = 14,443 110 110 = 110,110 / 7 = 15,730

01 01 01 = 10,101 / 7 = 1,443 10 10 10 = 101,010 / 7 = 14,430

111,111 / 7 = 15,873 222,222 / 7 = 31,746 999,999 / 7 = 142,857

576,576 / 7 = 82,368

उपरोक्त सभी उदाहरणों के लिए, अंतिम तीन में से पहले तीन अंकों को घटाकर सात के गुणज में परिणाम प्राप्त करें। ध्यान दें कि अग्रणी शून्यों को 6 अंकों का पैटर्न बनाने की अनुमति है

यह घटना B और C के चरणों के लिए आधार बनाती है।

चरण B: यदि पूर्णांक 1001 और एक मिलियन के बीच है, तो 1, 2, या 3 अंकों का एक पुनरावृत्ति पैटर्न खोजें जो पूर्णांक के करीब एक 6−अंकीय संख्या बनाता है (अग्रणी शून्य की अनुमति है और आपको पैटर्न की कल्पना करने में मदद कर सकता है) ) यदि धनात्मक अंतर 1000 से कम है, तो चरण A लागू करें। यह अंतिम तीन अंकों में से पहले तीन अंक घटाकर किया जा सकता है। उदाहरण के लिए

341,355 −341,341 = 14 −> 1 −(4 × 2) = 1 −8 = −−7 हां 67,326 −067,067 = 259 −> 25 −(9 × 2) = 25 −18 = 7 हां

तथ्य यह है कि 999,999 7 का गुणज है, जिसका उपयोग एक मिलियन से बड़े पूर्णांकों की विभाज्यता को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है, पूर्णांक को 6−अंकीय संख्या तक कम करके जिसे चरण B का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। यह आसानी से शेष अंकों को जोड़कर किया जा सकता है पहले छह से अंतिम छह तक और चरण A के साथ अनुसरण करें

चरण C: यदि पूर्णांक एक मिलियन से बड़ा है, तो 999,999 के निकटतम गुणज को घटाएं और फिर चरण B लागू करें। इससे भी बड़ी संख्याओं के लिए, 12−अंकों (999,999,999,999) जैसे बड़े सेटों का उपयोग करें और इसी तरह। फिर, पूर्णांक को छोटी संख्या में तोड़ें जिसे चरण B का उपयोग करके हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:

22,862,420 −(999,999 × 22) = 22,862,420 −21,999,978 −> 862,420 + 22 = 862,442   862,442 −> 862 −442 (चरण बी) = 420 −> 42 −(0 × 2) (चरण A) = 42 हां

यह सात से विभाज्यता निर्धारित करने के लिए तीन अंकों के एकांतर सेट को जोड़ने और घटाने की अनुमति देता है। इन पैटर्नों को समझने से आप सात की विभाज्यता की शीघ्र गणना कर सकते हैं जैसा कि निम्नलिखित उदाहरणों में देखा गया है:

7 से विभाज्यता की पोहलमैन−द्रव्यमान विधि, उदाहरण:
क्या 98 सात से विभाज्य है? 98 −> 9 −(8 × 2) = 9 −16 = (7 हां (चरण A)

क्या 634 सात से विभाज्य है? 634 −> 63 −(4 × 2) = 63 −8 = 55 नहीं (चरण A)

355,341 सात से विभाज्य है? 355,341 −341,341 = 14,000 (चरण B) −> 014 −000 (चरण B) −> 14 = 1 −(4 × 2) (चरण A) = 1 −8 = −−7 हां

क्या 42,341,530 सात से विभाज्य है? 42,341,530 −> 341,530 + 42 = 341,572 (चरण C) 341,572 − 341,341 = 231 (चरण बी) 231 −> 23 −(1 × 2) = 23 −2 = 21 हां (चरण A)

शीघ्र वैकल्पिक जोड़ और घटाव का उपयोग करना: 42,341,530 −> 530 −341 + 42 = 189 + 42 = 231 −> 23 −(1 × 2) = 21 हां

7 द्वारा विभाजन की 3 द्वारा गुणा विधि, उदाहरण:
क्या 98 सात से विभाज्य है? 98 −> 9 शेष 2 −> 2 × 3 + 8 = 14 हाँ

क्या 634 सात से विभाज्य है? 634 −> 6 × 3 + 3 = 21 −> शेष 0 −> 0 × 3 + 4 = 4 नहीं

क्या 355,341 सात से विभाज्य है? 3 * 3 + 5 = 14 −> शेष 0 −> 0 × 3 + 5 = 5 −> 5 × 3 + 3 = 18 −> शेष 4 −> 4 × 3 + 4 = 16 −> शेष 2 −> 2 × 3 + 1 = 7 हाँ

1036125837 के शेषफल को 7 से विभाजित करने पर ज्ञात कीजिए 1 × 3 + 0 = 3 3 × 3 + 3 = 12 शेष 5 5 × 3 + 6 = 21 शेष 0 0 × 3 + 1 = 1 1 × 3 + 2 = 5 5 × 3 + 5 = 20 शेष 6 6 × 3 + 8 = 26 शेष 5 5 × 3 + 3 = 18 शेष 4 4 × 3 + 7 = 19 शेष 5 उत्तर 5 है

7 से भाग देने पर किसी संख्या का शेषफल ज्ञात करना
7 − (1, 3, 2, −1, −3, −2, चक्र अगले छह अंकों के लिए पुनरावृत्ति है) अवधि: 6 अंक। आवर्ती संख्याएं: 1, 3, 2, −1, −3, −2 न्यूनतम परिमाण अनुक्रम (1, 3, 2, 6, 4, 5, अगले छह अंकों के लिए चक्र पुनरावृत्ति है) अवधि: 6 अंक। आवर्ती संख्या: 1, 3, 2, 6, 4, 5 धनात्मक अनुक्रम

क्रम में सबसे बाएं अंक से दाएं सबसे अंक को गुणा करें और अनुक्रम में दूसरे बाएं सबसे अंक से दूसरे दाएं सबसे अंक को गुणा करें और इसी तरह और इसी तरह के लिए। इसके बाद, सभी मानों के योग की गणना कीजिए और 7 का मापांक लीजिए। उदाहरण: 1036125837 को 7 से विभाजित करने पर शेषफल क्या है? सबसे दाहिने अंक का गुणन = 1 × 7 = 7 दूसरे सबसे दाहिने अंक का गुणन = 3 × 3 = 9  तीसरा सबसे दाहिना अंक = 8 × 2 = 16  चौथा सबसे दाहिना अंक = 5 × −1 = −5  पांचवां सबसे दाहिना अंक = 2 × −3 = −6  छठा सबसे दाहिना अंक = 1 × −2 = −2  सातवां सबसे दाहिना अंक = 6 × 1 = 6  आठवां सबसे दाहिना अंक = 3 × 3 = 9  नौवां सबसे दाहिना अंक = 0

दसवां सबसे दाहिना अंक = 1 × −1 = −1 योग = 33  33 मापांक 7 = 5  शेष = 5

7 से विभाज्यता की अंक जोड़ी विधि
इस विधि में अंकों के जोड़े पर 1, −3, 2 पैटर्न का उपयोग किया जाता है। अर्थात्, किसी भी संख्या की सात से विभाज्यता का परीक्षण पहले संख्या को अंकों के जोड़े में विभाजित करके और फिर तीन अंकों के जोड़े (छह अंक) पर एल्गोरिथ्म को लागू करके किया जा सकता है। जब संख्या छह अंकों से छोटी हो, तब शून्य को दाईं ओर तब तक भरें जब तक कि छह अंक न हो जाएं। जब संख्या छह अंकों से बड़ी हो, तो चक्र को अगले छह अंकों के समूह पर दोहराएं और फिर परिणाम जोड़ें। जब तक परिणाम एक छोटी संख्या न हो तब तक एल्गोरिथ्म को दोहराएं। मूल संख्या सात से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि इस एल्गोरिथम का उपयोग करके प्राप्त संख्या सात से विभाज्य है। यह विधि बड़ी संख्या के लिए विशेष रूप से उपयुक्त है।

उदाहरण 1:  परीक्षण की जाने वाली संख्या 157514 है। पहले हम संख्या को तीन अंकों के जोड़े में विभाजित करते हैं: 15, 75 और 14। फिर हम एल्गोरिथम लगाते है: 1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 14 = 182 चूंकि परिणामी 182 छह अंकों से कम है, इसलिए हम शून्य को दाईं ओर तब तक जोड़ते हैं जब तक कि यह छह अंक न हो जाए। फिर हम अपना एल्गोरिथम फिर से लगाते है: 1 × 18 − 3 × 20 + 2 × 0 = −42 परिणाम −42 सात से विभाज्य है, इस प्रकार मूल संख्या 157514 सात से विभाज्य है।

उदाहरण 2:  परीक्षण की जाने वाली संख्या 15751537186 ​​है। (1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 15) + (1 × 37 − 3 × 18 + 2 × 60) = −180 + 103 = −77 परिणाम −77 सात से विभाज्य है, इस प्रकार मूल संख्या 15751537186 सात से विभाज्य है।

विधि
यह एक गैर−पुनरावर्ती विधि है जिसे 7 से विभाजित करने पर किसी संख्या से शेषफल प्राप्त करने के लिए:


 * 1) इकाई के स्थान से शुरू करके अंकों के जोड़े में संख्या को अलग करें। यदि आवश्यक हो तो अंतिम जोड़ी को पूरा करने के लिए संख्या को 0 के साथ जोड़ें।
 * 2) प्रत्येक अंक जोड़ी द्वारा 7 से विभाजित करने पर शेषफलों की गणना करें।
 * 3) अनुक्रम 1, 2, 4, 1, 2, 4, ... से शेष को उपयुक्त गुणक से गुणा करें: इकाई स्थान और दहाई के स्थान वाले अंकों के युग्म में से शेष को 1, सैकड़ों और हजारों को 2 से गुणा किया जाना चाहिए, दस हज़ार और सौ हज़ार गुणा 4, मिलियन और दस लाख फिर 1 से और इसी तरह।
 * 4) प्रत्येक उत्पाद द्वारा 7 से भाग देने पर शेषफल की गणना करें।
 * 5) इन शेषफलों को जोड़ें।
 * 6) योग का शेष जब 7 से विभाजित किया जाता है, तो दी गई संख्या का शेषफल 7 से विभाजित होने पर प्राप्त होता है।

उदाहरण के लिए:

संख्या 194,536 7 से विभाजित करने पर 6 शेष छोड़ती है।

संख्या 510,517,813 7 से भाग देने पर 1 शेष बचता है।

विधि की शुद्धता का प्रमाण
यह विधि इस प्रेक्षण पर आधारित है कि 7 से विभाजित करने पर 100 के बाद 2 शेष बचता है और चूंकि हम संख्या को अंकों के जोड़े में तोड़ रहे हैं, इसलिए हमारे पास अनिवार्य रूप से 100 की घात है।

1 मॉड 7 = 1

100 मॉड 7 = 2

10,000 मॉड 7 = 2^2 = 4

1,000,000 मॉड 7 = 2^3 = 8;8 मॉड 7 = 1

10,0000,000 मॉड 7 = 2^4 = 16;16 मॉड 7 = 2

1,000,0000,000 मॉड 7 = 2^5 = 32;32 मॉड 7 = 4

और इसी तरह आगे भी।

विधि की शुद्धता को निम्नलिखित समानता श्रृंखला द्वारा स्थापित किया जाता है:

माना N दी गई संख्या है $$\overline{a_{2n} a_{2n-1} ... a_2a_1}$$।

$$\overline{a_{2n}a_{2n-1}...a_2a_1}\mod 7$$

=$$[\sum_{k=1}^n(a_{2k}a_{2k-1}) \times 10^{2k-2}] \bmod 7$$

= $$\sum_{k=1}^n(a_{2k}a_{2k-1} \times 10^{2k-2}) \bmod 7$$

= $$\sum_{k=1}^n(a_{2k}a_{2k-1} \bmod 7) \times (10^{2k-2} \bmod 7)$$

13 द्वारा विभाजन
शेष परीक्षण 13 (1, −3, −4, −1, 3, 4, चक्र चलता रहता है।) यदि आप ऋणात्मक संख्याओं के साथ सहज नहीं हैं, तो इस क्रम का उपयोग करें। (1, 10, 9, 12, 3, 4)

ऊपर दिखाए गए क्रम में सबसे बायीं सबसे बड़ी संख्या के साथ संख्या के दायें सबसे अंक को गुणा करें और दूसरे दायें सबसे अंक को क्रम में संख्या के दूसरे बायें सबसे अंक से गुणा करें। चक्र चलता रहता है।

उदाहरण: 321 को 13 से भाग देने पर शेषफल क्या है? पहले अनुक्रम का उपयोग से, उत्तर: 1 × 1 + 2 × −3 + 3 × −4 = −1 शेषफल = −17 मॉड 13 = 9

उदाहरण: 1234567 को 13 से भाग देने पर शेषफल क्या है? दूसरे अनुक्रम का उपयोग से, उत्तर: 7 × 1 + 6 × 10 + 5 × 9 + 4 × 12 + 3 × 3 + 2 × 4 + 1 × 1 = 178 मॉड 13 = 9 शेषफल = 9

30 के बाद
भाजक के प्रकार के आधार पर संख्याओं की विभाज्यता गुण दो प्रकार से निर्धारित किए जा सकते हैं।

समग्र भाजक
एक संख्या किसी दिए गए भाजक से विभाज्य होती है यदि वह अपने प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम शक्ति से विभाज्य हो। उदाहरण के लिए, 36 से विभाज्यता निर्धारित करने के लिए, 4 से और 9 से विभाज्यता की जांच करें। ध्यान दें कि 3 और 12, या 2 और 18 की जाँच पर्याप्त नहीं होगी। अभाज्य कारकों की तालिका उपयोगी हो सकती है।

एक समग्र भाजक के पास एक ही प्रक्रिया का उपयोग करके एक नियम भी हो सकता है, जैसा कि नीचे दिए गए एक प्रमुख विभाजक के लिए है, इस चेतावनी के साथ कि इसमें शामिल जोड़तोड़ किसी भी कारक का परिचय नहीं दे सकता है जो कि विभाजक में मौजूद है। उदाहरण के लिए, कोई 14 के लिए एक नियम नहीं बना सकता है जिसमें समीकरण को 7 से गुणा करना शामिल है। यह अभाज्य विभाजकों के लिए कोई समस्या नहीं है क्योंकि उनके पास कोई छोटा गुणनखंड नहीं है।

अभाज्य भाजक
लक्ष्य 10 मापांक के व्युत्क्रम को विचाराधीन अभाज्य ज्ञात करना है (2 या 5 के लिए काम नहीं करता है) और उस अभाज्य द्वारा मूल संख्या की विभाज्यता बनाने के लिए गुणक के रूप में इसका उपयोग नए की विभाज्यता पर निर्भर करता है (आमतौर पर छोटा) ) एक ही अभाज्य संख्या द्वारा। उदाहरण के तौर पर 31 का प्रयोग करते हुए, चूंकि 10 × (−3) = −30 = 1 मॉड 31, हमें ऊपर दी गई तालिका में y - 3x का उपयोग करने का नियम प्राप्त होता है। इसी तरह, चूंकि 10 × (28) = 280 = 1 मॉड 31 भी, हम उसी तरह का एक पूरक नियम y + 28x प्राप्त करते हैं - जोड़ या घटाव की हमारी पसंद छोटे मूल्य की अंकगणितीय सुविधा द्वारा निर्धारित की जाती है। वास्तव में, 2 और 5 के अलावा अभाज्य भाजक के लिए यह नियम वास्तव में किसी भी पूर्णांक से विभाज्यता के लिए एक नियम है जो अपेक्षाकृत अभाज्य है 10 (33 और 39 सहित, नीचे दी गई तालिका देखें)। यही कारण है कि किसी भी संख्या के लिए ऊपर और नीचे की तालिका में अंतिम विभाज्यता की स्थिति अपेक्षाकृत अभाज्य 10 के लिए एक ही तरह का रूप है (बाकी संख्या से अंतिम अंक के कुछ गुणकों को जोड़ें या घटाएं)।

उल्लेखनीय उदाहरण
निम्नलिखित तालिका कुछ अन्य उल्लेखनीय भाजक के लिए नियम प्रदान करती है:

व्यापक विभाजन नियम
D से विभाज्यता का परीक्षण करने के लिए, जहां D 1, 3, 7, या 9 में समाप्त होता है, निम्नलिखित विधि का उपयोग किया जा सकता है। 9 में समाप्त होने वाले D का कोई भी गुणज ज्ञात कीजिए। (यदि D क्रमशः 1, 3, 7, या 9 में समाप्त होता है, तो 9, 3, 7 या 1 से गुणा करें) फिर 1 जोड़ें और 10 से विभाजित करें, परिणाम को m के रूप में दर्शाते हुए। फिर एक संख्या N = 10t + q, D से विभाज्य है यदि और केवल यदि mq + t, D से विभाज्य है। यदि संख्या बहुत बड़ी है, तो आप इसे 10e = 1 या 10e = -1 (मॉड D) को संतुष्ट करते हुए, प्रत्येक ई अंकों के साथ कई स्ट्रिंग्स में तोड़ सकते हैं। संख्याओं के योग (या वैकल्पिक योग) में वही विभाज्यता होती है जो मूल संख्या में होती है।

उदाहरण के लिए, यह निर्धारित करने के लिए कि क्या 913 = 10×91 + 3 11 से विभाज्य है, ज्ञात करें कि m = (11×9+1)÷10 = 10। फिर mq+t = 10×3+91 = 121, यह 11 (भागफल 11 के साथ) से विभाज्य है, इसलिए 913 भी 11 से विभाज्य है। एक अन्य उदाहरण के रूप में, यह निर्धारित करने के लिए कि क्या 689 = 10×68 + 9 53 से विभाज्य है, ज्ञात कीजिए कि m = (53×3+1)÷10 = 16। तब mq+t = 16×9 + 68 = 212, जो 53 से विभाज्य है (भागफल 4 के साथ), अत: 689 भी 53 से विभाज्य है।

कल्पिक रूप से, कोई भी संख्या Q = 10c + d, n = 10a + b से विभाज्य है, जैसे कि gcd(n, 2, 5) = 1, यदि c + D(n)d = किसी पूर्णांक A के लिए An, जहाँ:$$D(n) \equiv \begin{cases} 9a+1, & \mbox{if }n\mbox{ = 10a+1} \\ 3a+1, & \mbox{if }n\mbox{ = 10a+3} \\ 7a+5, & \mbox{if }n\mbox{ = 10a+7} \\ a+1, & \mbox{if }n\mbox{ = 10a+9}\end{cases} \ $$

अनुक्रम की पहली कुछ शर्तें, D(n) द्वारा उत्पन्न 1, 1, 5, 1, 10, 4, 12, 2, ... (अनुक्रम A333448 OEIS में) हैं।

D(n) का खंडशः रूप और इसके द्वारा उत्पन्न अनुक्रम को पहली बार मार्च 2020 में बल्गेरियाई गणितज्ञ इवान स्टोयकोव द्वारा प्रकाशित किया गया।

मूल बीजगणित का उपयोग कर प्रमाण
कई सरल नियम केवल बीजगणितीय प्रकलन का उपयोग करके, द्विपद बनाकर और उन्हें पुनर्व्यवस्थित करके तैयार किए जा सकते हैं। एक संख्या को प्रत्येक अंक के गुणा के योग के रूप में लिखकर प्रत्येक अंक की घात 10 की घात का व्यक्तिगत रूप से प्रकलन किया जा सकता है।

वह स्थिति जहाँ सभी अंकों का योग किया जाता है
यह विधि उन भाजक के लिए कार्य करती है जो 10 - 1 = 9 के गुणनखंड हैं।

एक उदाहरण के रूप में 3 का उपयोग करते हुए, 3 विभाजित 9 = 10 - 1। इसका मतलब है कि $$10^n \equiv 1^n \equiv 1 \pmod{3}$$ (मापांकर अंकगणित देखें)। 10 की सभी उच्च घातों के लिए समान: $$10 \equiv 1 \pmod{3}$$ वे सभी 1 मापांक 3 के सर्वांगसम हैं। चूंकि दो चीजें जो सर्वांगसम मापांक 3 हैं, या तो दोनों 3 से विभाज्य हैं या दोनों नहीं हैं, हम उन मानों को इंटरचेंज कर सकते हैं जो सर्वांगसम मापांक 3 हैं। इसलिए, एक संख्या में जैसे कि निम्नलिखित, हम 10 की सभी घातों को 1 से प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
 * $$100\cdot a + 10\cdot b + 1\cdot c \equiv (1)a + (1)b + (1)c \pmod{3}$$

जो ठीक अंकों का योग है।

वह स्थिति जहाँ अंकों के प्रत्यावर्ती योग का उपयोग किया जाता है
यह विधि उन भाजक के लिए कार्य करती है जो 10 - 1 = 9 के गुणनखंड हैं।

उदाहरण के तौर पर 11 का उपयोग करते हुए, 11 11 = 10 + 1 को विभाजित करता है। इसका अर्थ है $$10 \equiv -1 \pmod{11}$$। 10 की उच्च घातों के लिए, वे सम घातों के लिए 1 और विषम घातों के लिए -1 के सर्वांगसम हैं:


 * $$10^n \equiv (-1)^n \equiv \begin{cases} 1, & \mbox{if }n\mbox{ is even} \\ -1, & \mbox{if }n\mbox{ is odd} \end{cases} \pmod{11}.$$

पूर्व स्थिति की तरह, हम सर्वांगसम मूल्यों के साथ 10 की घातों को प्रतिस्थापित कर सकते हैं:


 * $$1000\cdot a + 100\cdot b + 10\cdot c + 1\cdot d \equiv (-1)a + (1)b + (-1)c + (1)d \pmod{11}$$

जो विषम पदों पर अंकों के योग और सम पदों पर अंकों के योग के बीच का अंतर भी है।

वह स्थिति जहां केवल अंतिम अंक मायने रखता है
यह उन भाजक पर लागू होता है जो 10 की शक्ति का एक कारक हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि आधार की पर्याप्त रूप से उच्च शक्तियां भाजक के गुणक हैं, और समाप्त किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, आधार 10 में, 101 के गुणनखंड में 2, 5, और 10 शामिल हैं। इसलिए, 2, 5, और 10 से विभाज्यता केवल इस बात पर निर्भर करती है कि क्या अंतिम 1 अंक उन भाजक से विभाज्य है। 102 के गुणनखंड में 4 और 25 शामिल हैं, और उनके द्वारा विभाज्यता केवल अंतिम 2 अंकों पर निर्भर करती है।

वह स्थिति जहां केवल अंतिम अंक हटा दिए जाते हैं
अधिकांश संख्याएँ 9 या 10 को समान रूप से विभाजित नहीं करती हैं, लेकिन 10n या 10n − 1 की उच्च शक्ति को विभाजित करती हैं। इस स्थिति में संख्या अभी भी 10 की घात में लिखी जाती है, लेकिन पूरी तरह से विस्तारित नहीं होती है।

उदाहरण के लिए, 7 9 या 10 को विभाजित नहीं करता है, लेकिन 98 को विभाजित करता है, जो कि 100 के करीब है। इस प्रकार, आगे बढ़ें


 * $$100 \cdot a + b$$

जहाँ इस स्थिति में a कोई पूर्णांक है, और b, 0 से 99 के बीच हो सकता है। अगला,


 * $$(98+2) \cdot a + b$$

और फिर से विस्तार


 * $$98 \cdot a + 2 \cdot a + b,$$

और 7 के ज्ञात गुणज को समाप्त करने के बाद, परिणाम होता है


 * $$2 \cdot a + b,$$

जो नियम है "अंतिम दो अंकों को छोड़कर सभी से बनी संख्या को दोगुना करें, फिर अंतिम दो अंकों को जोड़ें"।

वह स्थिति जहां अंतिम अंक (अंकों) को एक कारक से गुणा किया जाता है
संख्या के निरूपण को भाजक के सापेक्ष किसी भी संख्या से उसकी विभाज्यता में परिवर्तन किए बिना गुणा किया जा सकता है I यह देखने के बाद कि 7 भाग 21 को, हम निम्न कार्य कर सकते हैं:


 * $$10 \cdot a + b,$$

2 से गुणा करने के बाद, निम्न प्राप्त होता है


 * $$20 \cdot a + 2 \cdot b,$$

और फिर


 * $$(21 - 1) \cdot a + 2 \cdot b.$$

21 को समाप्त करने पर निम्न प्राप्त होता है


 * $$ -1 \cdot a + 2 \cdot b,$$

और −1 द्वारा गुणा करने पर निम्न प्राप्त होता है


 * $$ a - 2 \cdot b.$$

पिछले दो नियमों में से किसी एक का उपयोग किया जा सकता है, जिसके आधार पर प्रदर्शन करना आसान है। वे नियम के अनुरूप हैं "शेष से दो बार अंतिम अंक घटाएं"।

मापांकर अंकगणित का उपयोग करके प्रमाण
यह खंड मूल विधि का वर्णन करता है, सभी नियम एक ही प्रक्रिया के बाद प्राप्त किए जा सकते हैं। निम्नलिखित के लिए मापांकर अंकगणित में एक मूल आधार की आवश्यकता है, 2 और 5 के अलावा अन्य विभाज्यता के लिए प्रमाण इस मूल तथ्य पर टिके हुए हैं कि यदि 10 और m अपेक्षाकृत अभाज्य हैं तो 10 मॉड m विपरीत हो सकता है।

2n या 5n के लिए:
केवल अंतिम n अंकों की जाँच करने की आवश्यकता है।


 * $$10^n = 2^n \cdot 5^n \equiv 0 \pmod{2^n \mathrm{\ or\ } 5^n}$$

x को $$10^n \cdot y + z,$$ के रूप में प्रदर्शित करना,
 * $$x = 10^n \cdot y + z \equiv z \pmod{2^n \mathrm{\ or\ } 5^n}$$

और x की विभाज्यता z की विभाज्यता के समान है।

7 के लिए:
चूँकि 10 × 5 10 × (−2) ≡ 1 (मोड 7) हम निम्नलिखित कर सकते हैं

x को $$10 \cdot y + z,$$ के रूप में प्रदर्शित करना,
 * $$-2x \equiv y -2z \pmod{7},$$

अतः x, 7 से विभाज्य है यदि और केवल यदि y - 2z, 7 से विभाज्य है।

यह भी देखें

 * शून्य से विभाजन
 * सममूल्यता (गणित)

बाहरी संबंध

 * Divisibility Criteria at cut−the−knot
 * Stupid Divisibility Tricks Divisibility rules for 2–100.

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