Y-Δ परिवर्तन

विद्युत अभियन्त्रण में, Y-Δ ट्रांसफॉर्म, जिसे वाई-डेल्टा भी लिखा जाता है और कई अन्य नामों से भी जाना जाता है, एक विद्युत नेटवर्क के नेटवर्क विश्लेषण (इलेक्ट्रिकल सर्किट) को सरल बनाने के लिए एक गणितीय तकनीक है। यह नाम सर्किट आरेखों के आकार से लिया गया है, जो क्रमशः अक्षर Y और ग्रीक बड़े अक्षर Δ की तरह दिखते हैं। यह सर्किट परिवर्तन सिद्धांत 1899 में आर्थर एडविन केनेली द्वारा प्रकाशित किया गया था। इसका उपयोग तीन-चरण विद्युत शक्ति सर्किट के विश्लेषण में व्यापक रूप से किया जाता है।

Y-Δ परिवर्तन को तीन प्रतिरोधों के लिए स्टार-मेष परिवर्तन का एक विशेष मामला माना जा सकता है। गणित में, Y-Δ परिवर्तन वृत्ताकार समतलीय ग्राफ़ के सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

नाम
Y-Δ परिवर्तन को कई अन्य नामों से जाना जाता है, जो अधिकतर इसमें शामिल दो आकृतियों पर आधारित होते हैं, जो किसी भी क्रम में सूचीबद्ध होते हैं। वाई, जिसे वाई कहा जाता है, को टी या स्टार भी कहा जा सकता है; Δ, जिसे डेल्टा के रूप में लिखा जाता है, को त्रिकोण, पाई (अक्षर)|Π (पीआई के रूप में लिखा गया), या जाल भी कहा जा सकता है। इस प्रकार, परिवर्तन के सामान्य नामों में वाई-डेल्टा या डेल्टा-वाई, स्टार-डेल्टा, स्टार-मेश या टी-Π शामिल हैं।

मूल Y-Δ परिवर्तन
परिवर्तन का उपयोग तीन टर्मिनलों वाले नेटवर्क के लिए तुल्यता स्थापित करने के लिए किया जाता है। जहां तीन तत्व एक सामान्य नोड पर समाप्त होते हैं और कोई भी स्रोत नहीं होता है, वहां बाधाओं को परिवर्तित करके नोड को समाप्त कर दिया जाता है। समतुल्यता के लिए, टर्मिनलों के किसी भी जोड़े के बीच प्रतिबाधा दोनों नेटवर्क के लिए समान होनी चाहिए। यहां दिए गए समीकरण जटिल और वास्तविक प्रतिबाधाओं के लिए मान्य हैं। जटिल प्रतिबाधा ओम में मापी गई एक मात्रा है जो प्रतिरोध को सामान्य तरीके से सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के रूप में दर्शाती है, और विद्युत प्रतिक्रिया को सकारात्मक और नकारात्मक काल्पनिक मूल्यों के रूप में भी दर्शाती है।

Δ से Y में परिवर्तन के लिए समीकरण
सामान्य विचार प्रतिबाधा की गणना करना है $$R_\text{Y}$$ प्रतिबाधा के साथ Y सर्किट के एक टर्मिनल नोड पर $$R'$$, $$R''$$ द्वारा सर्किट में आसन्न नोड्स के लिए


 * $$R_\text{Y} = \frac{R'R''}{\sum R_\Delta}$$

कहाँ $$R_\Delta$$ Δ सर्किट में सभी बाधाएं हैं। इससे विशिष्ट सूत्र प्राप्त होता है


 * $$\begin{align}

R_1 &= \frac{R_\text{b}R_\text{c}}{R_\text{a} + R_\text{b} + R_\text{c}} \\[3pt] R_2 &= \frac{R_\text{a}R_\text{c}}{R_\text{a} + R_\text{b} + R_\text{c}} \\[3pt] R_3 &= \frac{R_\text{a}R_\text{b}}{R_\text{a} + R_\text{b} + R_\text{c}} \end{align}$$

Y से Δ में परिवर्तन के लिए समीकरण
सामान्य विचार एक प्रतिबाधा की गणना करना है $$R_\Delta$$ द्वारा सर्किट में


 * $$R_\Delta = \frac{R_P}{R_\text{opposite}}$$

कहाँ $$R_P = R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1$$ Y सर्किट में प्रतिबाधाओं के सभी युग्मों के उत्पादों का योग है और $$R_\text{opposite}$$ Y सर्किट में नोड का प्रतिबाधा है जो किनारे के विपरीत है $$R_\Delta$$. व्यक्तिगत किनारों के लिए सूत्र इस प्रकार हैं


 * $$\begin{align}

R_\text{a} &= \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_1} \\[3pt] R_\text{b} &= \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_2} \\[3pt] R_\text{c} &= \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_3} \end{align}$$ या, यदि प्रतिरोध के बजाय प्रवेश का उपयोग किया जा रहा है:
 * $$\begin{align}

Y_\text{a} &= \frac{Y_3 Y_2}{\sum Y_\text{Y}} \\[3pt] Y_\text{b} &= \frac{Y_3 Y_1}{\sum Y_\text{Y}} \\[3pt] Y_\text{c} &= \frac{Y_1 Y_2}{\sum Y_\text{Y}} \end{align}$$ ध्यान दें कि प्रवेश का उपयोग करके Y से Δ का सामान्य सूत्र प्रतिरोध का उपयोग करके Δ से Y के समान है।

परिवर्तन के अस्तित्व और विशिष्टता का एक प्रमाण
परिवर्तन की व्यवहार्यता को सुपरपोजिशन प्रमेय के परिणाम के रूप में दिखाया जा सकता है। अधिक सामान्य स्टार-मेष परिवर्तन के परिणाम के रूप में प्राप्त प्रमाण के बजाय एक संक्षिप्त प्रमाण इस प्रकार दिया जा सकता है। तुल्यता इस कथन में निहित है कि किसी भी बाहरी वोल्टेज के लिए ($$V_1, V_2$$ और $$V_3$$) तीन नोड्स पर आवेदन करना ($$N_1, N_2$$ और $$N_3$$), संगत धाराएँ ($$I_1, I_2$$ और $$I_3$$) Y और Δ सर्किट दोनों के लिए बिल्कुल समान हैं, और इसके विपरीत। इस प्रमाण में, हम नोड्स पर दी गई बाहरी धाराओं से शुरुआत करते हैं। सुपरपोजिशन प्रमेय के अनुसार, वर्तमान के साथ तीन नोड्स पर लागू निम्नलिखित तीन समस्याओं के नोड्स पर परिणामी वोल्टेज के सुपरपोजिशन का अध्ययन करके वोल्टेज प्राप्त किया जा सकता है:

किरचॉफ के सर्किट कानूनों का उपयोग करके तुल्यता को आसानी से दिखाया जा सकता है $$I_1 + I_2 + I_3 = 0$$. अब प्रत्येक समस्या अपेक्षाकृत सरल है, क्योंकि इसमें केवल एक एकल आदर्श वर्तमान स्रोत शामिल है। प्रत्येक समस्या के लिए नोड्स पर बिल्कुल समान परिणाम वोल्टेज प्राप्त करने के लिए, दो सर्किट में समतुल्य प्रतिरोध समान होना चाहिए, इसे श्रृंखला और समानांतर सर्किट के बुनियादी नियमों का उपयोग करके आसानी से पाया जा सकता है:
 * 1) $$  \frac{1}{3}\left(I_1 - I_2\right),   -\frac{1}{3}\left(I_1 - I_2\right), 0$$
 * 2) $$0,\frac{1}{3}\left(I_2 - I_3\right),   -\frac{1}{3}\left(I_2 - I_3\right)$$ और
 * 3) $$ -\frac{1}{3}\left(I_3 - I_1\right), 0, \frac{1}{3}\left(I_3 - I_1\right)$$



R_3 + R_1 = \frac{\left(R_\text{c} + R_\text{a}\right)R_\text{b}}{R_\text{a} + R_\text{b} + R_\text{c}},\quad \frac{R_3}{R_1} = \frac{R_\text{a}}{R_\text{c}}. $$ हालाँकि आमतौर पर छह समीकरण तीन चरों को व्यक्त करने के लिए पर्याप्त से अधिक होते हैं ($$R_1, R_2, R_3$$) अन्य तीन चरों के पद में($$R_\text{a}, R_\text{b}, R_\text{c}$$), यहां यह दिखाना सीधा है कि ये समीकरण वास्तव में उपरोक्त डिज़ाइन किए गए भावों को जन्म देते हैं।

वास्तव में, सुपरपोजिशन प्रमेय प्रतिरोधों के मूल्यों के बीच संबंध स्थापित करता है, विद्युत चुंबकत्व विशिष्टता प्रमेय ऐसे समाधान की विशिष्टता की गारंटी देता है।

नेटवर्क का सरलीकरण
दो टर्मिनलों के बीच प्रतिरोधक नेटवर्क सैद्धांतिक रूप से समतुल्य प्रतिबाधा को एकल समतुल्य अवरोधक में बदल सकता है (अधिक सामान्यतः, प्रतिबाधा के बारे में भी यही सच है)। ऐसा करने के लिए श्रृंखला और समानांतर परिवर्तन बुनियादी उपकरण हैं, लेकिन यहां दिखाए गए पुल जैसे जटिल नेटवर्क के लिए, वे पर्याप्त नहीं हैं।

Y-Δ ट्रांसफॉर्म का उपयोग एक समय में एक नोड को खत्म करने और एक नेटवर्क बनाने के लिए किया जा सकता है जिसे और अधिक सरल बनाया जा सकता है, जैसा कि दिखाया गया है।

रिवर्स ट्रांसफ़ॉर्मेशन, Δ-Y, जो एक नोड जोड़ता है, अक्सर आगे सरलीकरण का मार्ग प्रशस्त करने के लिए भी उपयोगी होता है।

समतल ग्राफ़ द्वारा दर्शाए गए प्रत्येक दो-टर्मिनल नेटवर्क को श्रृंखला, समानांतर, Y-Δ, और Δ-Y परिवर्तनों के अनुक्रम द्वारा एकल समकक्ष अवरोधक में घटाया जा सकता है। हालाँकि, ऐसे गैर-प्लानर नेटवर्क हैं जिन्हें इन परिवर्तनों का उपयोग करके सरल नहीं बनाया जा सकता है, जैसे कि टोरस्र्स  या पीटरसन परिवार के किसी सदस्य के चारों ओर लिपटा हुआ एक नियमित वर्ग ग्रिड।

ग्राफ़ सिद्धांत
ग्राफ़ सिद्धांत में, Y-Δ परिवर्तन का अर्थ है ग्राफ़ सिद्धांत की Y शब्दावली#किसी ग्राफ़ के सबग्राफ़ को समतुल्य Δ सबग्राफ़ से बदलना। परिवर्तन ग्राफ़ में किनारों की संख्या को संरक्षित करता है, लेकिन शीर्षों की संख्या या चक्र (ग्राफ़ सिद्धांत) की संख्या को नहीं। दो ग्राफ़ को Y-Δ समतुल्य कहा जाता है यदि एक को दूसरे से किसी भी दिशा में Y-Δ परिवर्तनों की श्रृंखला द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, पीटरसन परिवार एक Y-Δ समतुल्य वर्ग है।

Δ-लोड से वाई-लोड परिवर्तन समीकरण
संबंधित करने के लिए $$\left\{R_\text{a}, R_\text{b}, R_\text{c}\right\}$$ Δ से $$\left\{R_1, R_2, R_3\right\}$$ Y से, दो संगत नोड्स के बीच प्रतिबाधा की तुलना की जाती है। किसी भी कॉन्फ़िगरेशन में प्रतिबाधा निर्धारित की जाती है जैसे कि नोड्स में से एक सर्किट से डिस्कनेक्ट हो गया है। N के बीच प्रतिबाधा1 और n2 एन के साथ3 Δ में डिस्कनेक्ट किया गया:


 * $$\begin{align}

R_\Delta\left(N_1, N_2\right) &= R_\text{c} \parallel (R_\text{a} + R_\text{b}) \\[3pt] &= \frac{1}{\frac{1}{R_\text{c}} + \frac{1}{R_\text{a} + R_\text{b}}} \\[3pt] &= \frac{R_\text{c}\left(R_\text{a} + R_\text{b}\right)}{R_\text{a} + R_\text{b} + R_\text{c}} \end{align}$$ सरल बनाने के लिए, आइए $$R_\text{T}$$ का योग हो $$\left\{R_\text{a}, R_\text{b}, R_\text{c}\right\}$$.
 * $$ R_\text{T} = R_\text{a} + R_\text{b} + R_\text{c} $$

इस प्रकार,


 * $$R_\Delta\left(N_1, N_2\right) = \frac{R_\text{c}(R_\text{a} + R_\text{b})}{R_\text{T}}$$

N के बीच संगत प्रतिबाधा1 और n2 Y में सरल है:


 * $$R_\text{Y}\left(N_1, N_2\right) = R_1 + R_2$$

इस तरह:


 * $$R_1 + R_2 = \frac{R_\text{c}(R_\text{a} + R_\text{b})}{R_\text{T}}$$ (1)

के लिए दोहराया जा रहा है $$R(N_2,N_3)$$:


 * $$R_2 + R_3 = \frac{R_\text{a}(R_\text{b} + R_\text{c})}{R_\text{T}}$$ (2)

और के लिए $$R\left(N_1, N_3\right)$$:


 * $$R_1 + R_3 = \frac{R_\text{b}\left(R_\text{a} + R_\text{c}\right)}{R_\text{T}}.$$ (3)

यहाँ से, के मूल्य $$\left\{R_1, R_2, R_3\right\}$$ रैखिक संयोजन (जोड़ और/या घटाव) द्वारा निर्धारित किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, (1) और (3) जोड़ने पर, फिर (2) घटाने पर परिणाम मिलता है


 * $$\begin{align}

R_1 + R_2 + R_1 + R_3 - R_2 - R_3 &= \frac{R_\text{c}(R_\text{a} + R_\text{b})}{R_\text{T}} + \frac{R_\text{b}(R_\text{a} + R_\text{c})}{R_\text{T}} - \frac{R_\text{a}(R_\text{b} + R_\text{c})}{R_\text{T}} \\[3pt] {}\Rightarrow 2R_1 &= \frac{2R_\text{b}R_\text{c}}{R_\text{T}} \\[3pt] {}\Rightarrow R_1 &= \frac{R_\text{b}R_\text{c}}{R_\text{T}}. \end{align}$$ संपूर्णता के लिए:


 * $$R_1 = \frac{R_\text{b}R_\text{c}}{R_\text{T}}$$ (4)
 * $$R_2 = \frac{R_\text{a}R_\text{c}}{R_\text{T}}$$ (5)
 * $$R_3 = \frac{R_\text{a}R_\text{b}}{R_\text{T}}$$ (6)

Y-लोड से Δ-लोड परिवर्तन समीकरण
होने देना


 * $$R_\text{T} = R_\text{a} + R_\text{b} + R_\text{c}$$.

हम Δ से Y समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं


 * $$R_1 = \frac{R_\text{b}R_\text{c}}{R_\text{T}} $$   (1)
 * $$R_2 = \frac{R_\text{a}R_\text{c}}{R_\text{T}} $$   (2)
 * $$R_3 = \frac{R_\text{a}R_\text{b}}{R_\text{T}}. $$ (3)

समीकरणों के युग्मों को गुणा करने पर परिणाम प्राप्त होता है


 * $$R_1 R_2 = \frac{R_\text{a}R_\text{b}R_\text{c}^2 }{R_\text{T}^2}$$   (4)
 * $$R_1 R_3 = \frac{R_\text{a}R_\text{b}^2 R_\text{c}}{R_\text{T}^2}$$   (5)
 * $$R_2 R_3 = \frac{R_\text{a}^2 R_\text{b}R_\text{c}}{R_\text{T}^2}$$ (6)

और इन समीकरणों का योग है


 * $$R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3 = \frac{

R_\text{a}R_\text{b}R_\text{c}^2 + R_\text{a}R_\text{b}^2R_\text{c} + R_\text{a}^2R_\text{b}R_\text{c}} {R_\text{T}^2} $$ (7)

कारक $$R_\text{a}R_\text{b}R_\text{c}$$ दाहिनी ओर से, जा रहा हूँ $$R_\text{T}$$ अंश में, एक के साथ रद्द करना $$R_\text{T}$$ हर में.


 * $$\begin{align}

R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3 &={} \frac{ \left(R_\text{a}R_\text{b}R_\text{c}\right) \left(R_\text{a} + R_\text{b} + R_\text{c}\right) }{R_\text{T}^2} \\ &={} \frac{R_\text{a}R_\text{b}R_\text{c}}{R_\text{T}} \end{align}$$ (8)

(8) और {(1), (2), (3)} के बीच समानता पर ध्यान दें

(8) को (1) से विभाजित करें


 * $$\begin{align}

\frac{R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3}{R_1} &={} \frac{R_\text{a}R_\text{b}R_\text{c}}{R_\text{T}} \frac{R_\text{T}}{R_\text{b}R_\text{c}} \\ &={} R_\text{a}, \end{align}$$ जिसके लिए समीकरण है $$R_\text{a}$$. (8) को (2) या (3) से विभाजित करना (के लिए भाव)। $$R_2$$ या $$R_3$$) शेष समीकरण देता है।

Δ से Y तक एक व्यावहारिक जनरेटर का परिवर्तन
संतुलित तीन-चरण विद्युत शक्ति | तीन-चरण विद्युत शक्ति प्रणाली के विश्लेषण के दौरान, आमतौर पर इसकी सादगी के कारण इसके बजाय एक समकक्ष प्रति-चरण (या एकल-चरण) सर्किट का विश्लेषण किया जाता है। उसके लिए, बिजली पैदा करने वाला, ट्रांसफार्मर, लोड और एसी मोटर के लिए समतुल्य वाई कनेक्शन का उपयोग किया जाता है। निम्नलिखित चित्र में दिखाए गए एक व्यावहारिक डेल्टा-कनेक्टेड तीन-चरण जनरेटर की स्टेटर वाइंडिंग को निम्नलिखित छह सूत्रों का उपयोग करके एक समकक्ष वाई-कनेक्टेड जनरेटर में परिवर्तित किया जा सकता है।:



$$ \begin{align} & Z_\text{s1Y} = \dfrac{Z_\text{s1} \, Z_\text{s3}}{Z_\text{s1} + Z_\text{s2} + Z_\text{s3}} \\[2ex] & Z_\text{s2Y} = \dfrac{Z_\text{s1} \, Z_\text{s2}}{Z_\text{s1} + Z_\text{s2} + Z_\text{s3}} \\[2ex] & Z_\text{s3Y} = \dfrac{Z_\text{s2} \, Z_\text{s3}}{Z_\text{s1} + Z_\text{s2} + Z_\text{s3}} \\[2ex] & V_\text{s1Y} = \left( \dfrac{V_\text{s1}}{Z_\text{s1}} - \dfrac{V_\text{s3}}{Z_\text{s3}} \right) Z_\text{s1Y} \\[2ex] & V_\text{s2Y} = \left( \dfrac{V_\text{s2}}{Z_\text{s2}} - \dfrac{V_\text{s1}}{Z_\text{s1}} \right) Z_\text{s2Y} \\[2ex] & V_\text{s3Y} = \left( \dfrac{V_\text{s3}}{Z_\text{s3}} - \dfrac{V_\text{s2}}{Z_\text{s2}} \right) Z_\text{s3Y} \end{align} $$ परिणामी नेटवर्क निम्नलिखित है. समतुल्य नेटवर्क का तटस्थ नोड काल्पनिक है, और लाइन-टू-न्यूट्रल चरण वोल्टेज भी काल्पनिक है। परिवर्तन के दौरान, लाइन चरण धाराओं और लाइन (या लाइन-टू-लाइन या चरण-दर-चरण) चरण वोल्टेज में परिवर्तन नहीं किया जाता है।

यदि वास्तविक डेल्टा जनरेटर संतुलित है, जिसका अर्थ है कि आंतरिक चरण वोल्टेज का परिमाण समान है और चरण-स्थानांतरित एक दूसरे के बीच 120 डिग्री है और तीन जटिल बाधाएं समान हैं, तो पिछले सूत्र निम्नलिखित चार में कम हो जाते हैं:

$$ \begin{align} & Z_\text{sY} = \dfrac{Z_\text{s}}{3}\\ & V_\text{s1Y} = \dfrac{V_\text{s1}}{\sqrt{3} \, \angle \pm 30^\circ} \\[2ex] & V_\text{s2Y} = \dfrac{V_\text{s2}}{\sqrt{3} \, \angle \pm 30^\circ} \\[2ex] & V_\text{s3Y} = \dfrac{V_\text{s3}}{\sqrt{3} \, \angle \pm 30^\circ} \end{align} $$ जहां पिछले तीन समीकरणों के लिए, पहला चिह्न (+) का उपयोग किया जाता है यदि चरण अनुक्रम सकारात्मक/एबीसी है या दूसरा चिह्न (-) का उपयोग किया जाता है यदि चरण अनुक्रम नकारात्मक/एबीसी है।

यह भी देखें

 * स्टार-मेष परिवर्तन
 * नेटवर्क विश्लेषण (विद्युत सर्किट)
 * विद्युत नेटवर्क, तीन-चरण विद्युत शक्ति | तीन-चरण विद्युत, वाई और Δ कनेक्शन के उदाहरण के लिए पॉलीफ़ेज़ प्रणाली
 * Y-Δ आरंभिक तकनीक की चर्चा के लिए AC मोटर

ग्रन्थसूची

 * William Stevenson, Elements of Power System Analysis 3rd ed., McGraw Hill, New York, 1975, ISBN 0-07-061285-4

बाहरी संबंध

 * Star-Triangle Conversion: Knowledge on resistive networks and resistors
 * Calculator of Star-Triangle transform