जियोमीट्रिक श्रंखला



गणित में, एक ज्यामितीय श्रृंखला सारांश की अनंत संख्या का योग है जिसमें क्रमिक पदों के बीच एक स्थिर अनुपात होता है। उदाहरण के लिए, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + · · ·


 * $$\frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{8} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \cdots$$

ज्यामितीय है, क्योंकि प्रत्येक क्रमिक पद पिछले पद को इससे गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है $$1/2$$. सामान्य तौर पर, एक ज्यामितीय श्रृंखला को इस प्रकार लिखा जाता है $$a + ar + ar^2 + ar^3 + ...$$, कहाँ $$a$$ प्रत्येक पद का गुणांक है और $$r$$ आसन्न पदों के बीच सामान्य अनुपात है। गणना  के शुरुआती विकास में ज्यामितीय श्रृंखला की महत्वपूर्ण भूमिका थी, इसका उपयोग पूरे गणित में किया जाता है, और यह टेलर श्रृंखला, जटिल फूरियर श्रृंखला और  मैट्रिक्स घातांक  जैसे अक्सर उपयोग किए जाने वाले गणितीय उपकरणों के परिचय के रूप में काम कर सकता है।

नाम ज्यामितीय श्रृंखला इंगित करती है कि प्रत्येक पद अपने दो पड़ोसी शब्दों का ज्यामितीय माध्य है, उसी तरह जैसे अंकगणित श्रृंखला नाम इंगित करता है कि प्रत्येक पद अपने दो पड़ोसी शब्दों का अंकगणितीय माध्य है। ज्यामितीय श्रृंखला (गणित) शब्दों के अनुक्रम (बिना किसी जोड़ के) को ज्यामितीय अनुक्रम या ज्यामितीय प्रगति कहा जाता है।

गुणांक a
ज्यामितीय श्रृंखला a + ar + ar2 + ar3+...विस्तारित रूप में लिखा जाता है। ज्यामितीय श्रृंखला में प्रत्येक गुणांक समान है। इसके विपरीत, पावर श्रृंखला को ए के रूप में लिखा गया है0 + ए1आर + ए2r2+ए3r3+... विस्तारित रूप में गुणांक a हैi जो कि अवधि दर अवधि भिन्न हो सकता है। दूसरे शब्दों में, ज्यामितीय श्रृंखला शक्ति श्रृंखला का एक विशेष मामला है। विस्तारित रूप में किसी ज्यामितीय श्रृंखला का पहला पद उस ज्यामितीय श्रृंखला का गुणांक a है।

ज्यामितीय श्रृंखला के विस्तारित रूप के अलावा, एक जनरेटर रूप भी है ज्यामितीय श्रृंखला के रूप में लिखा गया है


 * $$\sum^{\infty}_{k=0} a r^k$$

और ज्यामितीय श्रृंखला की एक बंद-रूप अभिव्यक्ति के रूप में लिखा गया है


 * $$\frac{a}{1-r} \text{ for } |r|<1. $$

विस्तारित प्रपत्र से बंद प्रपत्र की व्युत्पत्ति इस आलेख में दिखाई गई है अनुभाग। हालाँकि उस व्युत्पत्ति के बिना भी, परिणाम की पुष्टि लंबे विभाजन से की जा सकती है: a को (1 - r) से विभाजित करने पर परिणाम a + ar + ar मिलता है2 + ar3+ ... , जो कि ज्यामितीय श्रृंखला का विस्तारित रूप है।

अंकन में अक्सर श्रृंखला को योग s के बराबर सेट करना और ज्यामितीय श्रृंखला के साथ काम करना एक सुविधा होती है


 * s = ए + एआर + एआर2 + ar3+ar4+... अपने सामान्यीकृत रूप में
 * एस/ए = 1 + आर + आर2+आर3+आर4+...या इसके सामान्यीकृत वेक्टर रूप में
 * s / a = [1 1 1 1 1 ...][1 आर आर2r3r4...]टीया इसके सामान्यीकृत आंशिक श्रृंखला रूप में
 * एसn / ए = 1 + आर + आर2+आर3+आर4 + ... + आरn, जहां n आंशिक योग s में शामिल अंतिम पद की शक्ति (या डिग्री) हैn.

गुणांकों में से किसी एक को भी गुणांक a के अलावा किसी अन्य चीज़ में बदलने से परिणामी कार्यों का योग |r| सीमा के भीतर a / (1 − r) के अलावा किसी अन्य फ़ंक्शन में बदल जाएगा। < 1. एक तरफ, गुणांकों में एक विशेष रूप से उपयोगी परिवर्तन को टेलर श्रृंखला द्वारा परिभाषित किया गया है, जो वर्णन करता है कि गुणांकों को कैसे बदला जाए ताकि कार्यों का योग किसी भी उपयोगकर्ता द्वारा चयनित, एक सीमा के भीतर पर्याप्त रूप से सुचारू कार्य में परिवर्तित हो जाए।

सामान्य अनुपात r
ज्यामितीय श्रृंखला a + ar + ar2 + ar3+... एक अनंत श्रृंखला है जो केवल दो मापदंडों द्वारा परिभाषित है: गुणांक ए और सामान्य अनुपात आर। सामान्य अनुपात r श्रृंखला में किसी भी पद का पिछले पद से अनुपात है। या समकक्ष, सामान्य अनुपात r शब्द गुणक है जिसका उपयोग श्रृंखला में अगले पद की गणना के लिए किया जाता है। निम्न तालिका कई ज्यामितीय श्रृंखलाएँ दिखाती है:

ज्यामितीय श्रृंखला का अभिसरण सामान्य अनुपात r के मान पर निर्भर करता है:
 * यदि |r| <1, श्रृंखला के पद सीमा में शून्य तक पहुंचते हैं (निरपेक्ष मूल्य में छोटे और छोटे होते जाते हैं), और श्रृंखला योग a / (1 - r) में परिवर्तित हो जाती है।
 * यदि |r| = 1, श्रृंखला अभिसरित नहीं होती है। जब r = 1 होता है, तो श्रृंखला के सभी पद समान होते हैं और श्रृंखला अनंत होती है। जब r = −1, पद बारी-बारी से दो मान लेते हैं (उदाहरण के लिए, 2, −2, 2, −2, 2,... )। दो मानों के बीच दोलन (गणित) शब्दों का योग (उदाहरण के लिए, 2, 0, 2, 0, 2,... )। यह एक अलग प्रकार का विचलन है. उदाहरण के लिए ग्रैंडी की श्रृंखला देखें: 1 − 1 + 1 − 1 + ····.
 * यदि |r| > 1, श्रृंखला के पद परिमाण में बड़े और बड़े होते जाते हैं। पदों का योग भी बड़ा होता जाता है और श्रृंखला योग में परिवर्तित नहीं होती है। (श्रृंखला डायवर्जेंट श्रृंखला।)

अभिसरण की दर सामान्य अनुपात r के मान पर भी निर्भर करती है। विशेष रूप से, जैसे-जैसे r 1 या −1 के करीब पहुंचता है, अभिसरण की दर धीमी हो जाती है। उदाहरण के लिए, a = 1 वाली ज्यामितीय श्रृंखला 1 + r + r है2+आर3 + ... और 1 / (1 - r) में परिवर्तित हो जाता है जब |r| < 1. हालाँकि, जैसे-जैसे r 1 के करीब पहुंचता है, अभिसरण के लिए आवश्यक पदों की संख्या अनंत तक पहुंचती है क्योंकि a / (1 - r) अनंत तक पहुंचता है और श्रृंखला का प्रत्येक पद एक से कम या उसके बराबर होता है। इसके विपरीत, जैसे-जैसे r −1 के करीब पहुंचता है, ज्यामितीय श्रृंखला के पहले कई पदों का योग 1/2 में परिवर्तित होने लगता है, लेकिन थोड़ा ऊपर या नीचे हो जाता है, यह इस पर निर्भर करता है कि सबसे हाल ही में जोड़े गए पद में r की शक्ति है या नहीं, जो कि सम या विषम है।. r = −1 के निकट फ़्लिपिंग व्यवहार को आसन्न छवि में चित्रित किया गया है जिसमें a = 1 और |r| के साथ ज्यामितीय श्रृंखला के पहले 11 पद दिखाए गए हैं। <1. सामान्य अनुपात आर और गुणांक ए भी ज्यामितीय प्रगति को परिभाषित करते हैं, जो कि ज्यामितीय श्रृंखला के शब्दों की एक सूची है लेकिन बिना जोड़ के। इसलिए ज्यामितीय श्रृंखला a + ar + ar2 + ar3 +... में ज्यामितीय प्रगति (जिसे ज्यामितीय अनुक्रम भी कहा जाता है) a, ar, ar है2, ar3, ... ज्यामितीय प्रगति - जितनी सरल है - प्राकृतिक घटनाओं की एक आश्चर्यजनक संख्या का मॉडल बनाती है,
 * कुछ सबसे बड़े अवलोकनों से जैसे कि ब्रह्मांड का विस्तार जहां सामान्य अनुपात r को हबल के नियम द्वारा परिभाषित किया गया है|हबल के स्थिरांक,
 * रेडियोधर्मी कार्बन-14 परमाणुओं के क्षय जैसे कुछ सबसे छोटे अवलोकनों के लिए जहां सामान्य अनुपात आर को रेडियोकार्बन डेटिंग द्वारा परिभाषित किया गया है |कार्बन-14 का आधा जीवन।

एक तरफ, सामान्य अनुपात r एक जटिल संख्या हो सकता है जैसे |r|eiθकहाँ |r| यूक्लिडियन वेक्टर का परिमाण (या लंबाई) है, θ जटिल विमान में वेक्टर का कोण (या अभिविन्यास) है और i2=-1. एक सामान्य अनुपात के साथ |r|eiθ, ज्यामितीय श्रृंखला का विस्तारित रूप a + a|r|e हैiθ + a|r|2ei2θ + a|r|3ei3θ + ... कोण θ को कुछ कोणीय आवृत्ति ω की दर से समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ने के रूप में मॉडलिंग करना0 (दूसरे शब्दों में, प्रतिस्थापन θ = ω बनाना0t), ज्यामितीय श्रृंखला का विस्तारित रूप a + a|r|e बन जाता हैमैंω0टी + ए|आर|2ei2ω0टी + ए|आर|3ei3o0t + ..., जहां पहला पद लंबाई का एक सदिश है जो बिल्कुल नहीं घूमता है, और अन्य सभी पद मौलिक कोणीय आवृत्ति के हार्मोनिक्स पर घूमने वाले विभिन्न लंबाई के सदिश हैं ω0. बाधा |r|<1 एक वृत्त का पता लगाने में अलग-अलग गति से घूमने वाले विभिन्न लंबाई के वैक्टरों की इस अनंत संख्या को समन्वयित करने के लिए पर्याप्त है, जैसा कि आसन्न वीडियो में दिखाया गया है। टेलर श्रृंखला बताती है कि गुणांकों को कैसे बदला जाए ताकि श्रृंखला एक सीमा के भीतर उपयोगकर्ता द्वारा चयनित पर्याप्त सुचारू फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाए, फूरियर श्रृंखला बताती है कि गुणांकों को कैसे बदला जाए (जो प्रारंभिक कोणों को निर्दिष्ट करने के लिए जटिल संख्याएं भी हो सकती हैं) वैक्टर का) इसलिए श्रृंखला उपयोगकर्ता द्वारा चयनित आवधिक फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाती है।

योग
फ़ाइल:ज्यामितीय श्रृंखला ज्यामितीय व्याख्या, सामान्य अनुपात आर = 1-2.png|thumb|ज्यामितीय श्रृंखला बंद रूप सूत्र की बीजगणितीय व्युत्पत्ति के विकल्प के रूप में, निम्नलिखित ज्यामितीय व्युत्पत्ति भी है। (शीर्ष) s/a के पहले n+1 पदों को अतिव्याप्त समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के रूप में निरूपित करें। उदाहरण के लिए, सबसे बड़े अतिव्याप्त (लाल) त्रिभुज का क्षेत्रफल bh/2 = (2)(1)/2 = 1 है, जो ज्यामितीय श्रृंखला के पहले पद का मान है। दूसरे सबसे बड़े अतिव्याप्त (हरा) त्रिभुज का क्षेत्रफल bh/2 = (2r) है1/2)(आर1/2)/2 = r, जो कि ज्यामितीय श्रृंखला के दूसरे पद का मान है। प्रत्येक उत्तरोत्तर छोटे त्रिभुज का आधार और ऊँचाई r के किसी अन्य कारक द्वारा कम की जाती है1/2, जिसके परिणामस्वरूप त्रिभुज क्षेत्रों 1, r, r का एक क्रम बनता है2, आर3, ... जो सामान्यीकृत ज्यामितीय श्रृंखला में पदों के अनुक्रम के बराबर है। (मध्य) सबसे बड़े से सबसे छोटे क्रम में, प्रत्येक त्रिभुज के अतिव्याप्त क्षेत्र को हटा दें, जो हमेशा उसके क्षेत्रफल का एक अंश r होता है, और त्रिभुज के गैर-अतिव्यापित क्षेत्र के शेष 1−r को 1/(1−r) से मापें ताकि पहले अतिव्यापित त्रिभुज का क्षेत्रफल, अब एक गैर-अतिव्यापित समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल, वही रहता है। (नीचे) परिणामी n+1 गैर-अतिव्यापी ट्रेपेज़ॉइड को एक एकल गैर-ओवरलैप्ड ट्रेपेज़ॉइड में एकत्रित करें और उसके क्षेत्र की गणना करें। उस एकत्रित समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल आंशिक श्रृंखला के मान को दर्शाता है। वह क्षेत्र सबसे बाहरी त्रिभुज के खाली त्रिभुज सिरे को घटाकर बराबर है: sn/ए = (1−आरn+1) / (1−r), जो कि s/a = 1/(1−r) तक सरल हो जाता है जब n अनंत तक पहुंचता है और |आर| <1.

एक ज्यामितीय श्रृंखला के पहले n पदों का योग, r तक और इसमें शामिल है n-1 पद, बंद-फ़ॉर्म सूत्र द्वारा दिया गया है:

$$ \begin{align} s_n &= ar^0 + ar^1 + \cdots + ar^{n-1}\\ &= \sum_{k=0}^{n-1} ar^k = \sum_{k=1}^{n} ar^{k-1}\\ &= \begin{cases} a\left(\frac{1-r^{n}}{1-r}\right), \text{ for } r \neq 1\\ an, \text{ for } r = 1 \end{cases} \end{align} $$ कहाँ $r$ सामान्य अनुपात है. कोई आंशिक योग, s के लिए उस बंद-फ़ॉर्म सूत्र को प्राप्त कर सकता हैn, कई स्व-समान शब्दों को इस प्रकार घटाकर: $$ \begin{align} s_n &= ar^0 + ar^1 + \cdots + ar^{n-1},\\ rs_n &= ar^1 + ar^2 + \cdots + ar^{n},\\ s_n - rs_n &= ar^0 - ar^{n},\\ s_n\left(1-r\right) &= a\left(1-r^{n}\right),\\ s_n &= a\left(\frac{1-r^{n}}{1-r}\right), \text{ for } r \neq 1. \end{align} $$ जैसा $n$ अनंत तक पहुंचता है, का निरपेक्ष मान r}श्रृंखला को अभिसरण करने के लिए } एक से कम होना चाहिए। तो योग बन जाता है

$$ \begin{align} s &= a+ar+ar^2+ar^3+ar^4+\cdots\\ &= \sum_{k=0}^\infty ar^{k} = \sum_{k=1}^\infty ar^{k-1}\\ &= \frac{a}{1-r}, \text{ for } |r|<1. \end{align} $$ सूत्र जटिल के लिए भी लागू होता है $r$, संबंधित प्रतिबंध के साथ कि निरपेक्ष मान#संमिश्र संख्याएँ $r$ बिल्कुल एक से कम है.

एक तरफ, यह सवाल कि क्या एक अनंत श्रृंखला अभिसरण करती है, मूल रूप से दो मूल्यों के बीच की दूरी के बारे में एक प्रश्न है: पर्याप्त शर्तों को देखते हुए, क्या आंशिक योग का मूल्य मनमाने ढंग से उस परिमित मूल्य के करीब हो जाता है जो वह आ रहा है? ज्यामितीय श्रृंखला के बंद रूप की उपरोक्त व्युत्पत्ति में, दो मानों के बीच की दूरी की व्याख्या संख्या रेखा पर उनके स्थानों के बीच की दूरी है। यह दो मूल्यों के बीच की दूरी की सबसे आम व्याख्या है। हालाँकि, पी-जगह मीट्रिक (गणित), जो आधुनिक संख्या सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण धारणा बन गई है, दूरी की एक परिभाषा प्रदान करती है जैसे कि ज्यामितीय श्रृंखला 1 + 2 + 4 + 8 + ... a = 1 और r = के साथ 2 वास्तव में a / (1 - r) = 1 / (1 - 2) = -1 में परिवर्तित होता है, भले ही r विशिष्ट अभिसरण सीमा से बाहर हो |r| <1.

अभिसरण का प्रमाण
हम यह साबित कर सकते हैं कि ज्यामितीय श्रृंखला एक ज्यामितीय प्रगति के लिए योग सूत्र का उपयोग करके अभिसरण श्रृंखला है: $$\begin{align} 1 + r + r^2 + r^3 + \cdots \ &= \lim_{n\to\infty} \left(1 + r + r^2 + \cdots + r^n\right) \\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{1-r^{n+1}}{1-r}. \end{align}$$ दूसरी समानता सत्य है क्योंकि यदि $$ |r| < 1,$$ तब $$r^{n+1} \to 0$$ जैसा $$n \to \infty$$ और $$ \begin{align} \left(1 + r + r^2 + \cdots + r^n\right)(1 - r) &= \left((1-r) + (r - r^2) + (r^2 - r^3) + \dots + (r^n - r^{n+1})\right) \\ &= 1 + (-r + r) + ( -r^2 + r^2) + \dots + (-r^n + r^n) - r^{n+1} \\ &= 1-r^{n+1}. \end{align} $$ वैकल्पिक रूप से, अभिसरण की एक ज्यामितीय व्याख्या आसन्न चित्र में दिखाई गई है। सफ़ेद त्रिभुज का क्षेत्रफल श्रृंखला शेषफल = s − s हैn = साथn+1 / (1 − r). आंशिक श्रृंखला में प्रत्येक अतिरिक्त पद जोड़े गए पद का प्रतिनिधित्व करने वाले समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल द्वारा उस सफेद त्रिभुज के शेष भाग का क्षेत्रफल कम कर देता है। समलम्बाकार क्षेत्र (अर्थात, पदों के मान) उत्तरोत्तर पतले और छोटे होते जाते हैं और मूल बिंदु के करीब होते जाते हैं। सीमा में, जैसे-जैसे ट्रैपेज़ॉइड्स की संख्या अनंत तक पहुंचती है, सफेद त्रिकोण शेष गायब हो जाता है क्योंकि यह ट्रैपेज़ॉइड्स से भर जाता है और इसलिए एसn s में परिवर्तित होता है, बशर्ते |r|<1. इसके विपरीत, यदि |r|>1, तो श्रृंखला की शर्तों का प्रतिनिधित्व करने वाले समलम्बाकार क्षेत्र मूल से उत्तरोत्तर व्यापक और लम्बे और दूर होते जाते हैं, मूल में परिवर्तित नहीं होते हैं और एक श्रृंखला के रूप में परिवर्तित नहीं होते हैं।

अभिसरण की दर
यह जानने के बाद कि एक श्रृंखला अभिसरण करती है, कुछ अनुप्रयोग ऐसे हैं जिनमें यह जानना भी महत्वपूर्ण है कि श्रृंखला कितनी तेजी से अभिसरण करती है। ज्यामितीय श्रृंखला के लिए, अभिसरण दर का एक सुविधाजनक माप यह है कि आंशिक श्रृंखला के अंतिम पद के कारण पिछली श्रृंखला का शेष कितना कम हो जाता है। दिया गया है कि अंतिम पद ar हैn और पिछली श्रृंखला का शेषफल s - s हैn-1 = साथn / (1 - r)), ज्यामितीय श्रृंखला के अभिसरण दर का यह माप ar हैn / (arn / (1 - r)) = 1 - r, यदि 0 ≤ r <1.

यदि r < 0, तो ज्यामितीय श्रृंखला में आसन्न पद सकारात्मक और नकारात्मक होने के बीच वैकल्पिक होते हैं। एक अभिसारी प्रत्यावर्ती ज्यामितीय श्रृंखला की एक ज्यामितीय व्याख्या आसन्न आरेख में दिखाई गई है जिसमें नकारात्मक शब्दों के क्षेत्र x अक्ष के नीचे दिखाए गए हैं। प्रत्येक सकारात्मक क्षेत्र को उसके नकारात्मक छोटे क्षेत्र पड़ोसी के साथ जोड़ने और सारांशित करने से अंतराल द्वारा अलग किए गए गैर-अतिव्यापी ट्रेपेज़ॉइड प्राप्त होते हैं। अंतराल को दूर करने के लिए, सबसे दाहिने 1 - आर को कवर करने के लिए प्रत्येक ट्रेपेज़ॉइड को चौड़ा करेंसबसे दाहिनी ओर 1 के बजाय मूल त्रिभुज क्षेत्र का 2 - |r|. हालाँकि, इस व्यापक परिवर्तन के दौरान समान समलम्बाकार क्षेत्रों को बनाए रखने के लिए, स्केलिंग की आवश्यकता है: स्केल*(1 - आर2) = (1 - |r|), या स्केल = (1 - |r|) / (1 - r|)2) = (1 + आर) / (1 - आर2) = (1 + आर) / ((1 + आर)(1 - आर)) = 1 / (1 - आर) जहां -1 < आर ≤ 0। ध्यान दें कि क्योंकि आर < 0 यह पैमाना घटता है पृथक्करण अंतराल को भरने के लिए अलग किए गए ट्रेपेज़ॉइड का आयाम। इसके विपरीत, मामले r > 0 के लिए समान स्केल 1 / (1 - r) ओवरलैप किए गए क्षेत्रों के नुकसान को ध्यान में रखते हुए गैर-ओवरलैप्ड ट्रेपेज़ॉइड के आयाम को बढ़ाता है।

अंतराल हटा दिए जाने पर, एक अभिसारी प्रत्यावर्ती ज्यामितीय श्रृंखला में पदों के जोड़े सामान्य अनुपात r के साथ एक अभिसारी (गैर-वैकल्पिक) ज्यामितीय श्रृंखला बन जाते हैं2शब्दों के युग्म को ध्यान में रखते हुए, अंतराल को भरने के लिए गुणांक a = 1 / (1 - r), और आंशिक श्रृंखला की डिग्री (यानी, उच्चतम चालित पद) को n के बजाय m कहा जाता है। इस बात पर जोर दें कि शब्दों को जोड़ा गया है। r > 0 मामले के समान, r < 0 अभिसरण दर = ar2m / (s - sm-1) = 1 - आर2, जो एक गैर-वैकल्पिक ज्यामितीय श्रृंखला के अभिसरण दर के समान है यदि इसके पद समान रूप से जोड़े गए हों। इसलिए, अभिसरण दर एन या एम पर निर्भर नहीं करती है और, शायद अधिक आश्चर्य की बात है, सामान्य अनुपात के संकेत पर निर्भर नहीं करती है। एक परिप्रेक्ष्य जो अभिसरण की परिवर्तनीय दर को समझाने में मदद करता है जो r = 0 के बारे में सममित है, वह यह है कि आंशिक श्रृंखला का प्रत्येक जोड़ा पद r = 1 पर अनंत योग में एक सीमित योगदान देता है और आंशिक श्रृंखला का प्रत्येक जोड़ा पद एक सीमित योगदान देता है r = -1 पर अनंत ढलान तक।

परिमित श्रृंखला
इस सूत्र को प्राप्त करने के लिए, पहले एक सामान्य ज्यामितीय श्रृंखला इस प्रकार लिखें: $$\sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} = ar^0 + ar^1 + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^{n-1}. $$ हम उपरोक्त समीकरण के दोनों पक्षों को 1 - r से गुणा करके इस योग के लिए एक सरल सूत्र पा सकते हैं, और हम देखेंगे कि

$$\begin{align} (1-r) \sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} & = (1-r)\left(ar^0 + ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1}\right) \\ & = ar^0 + ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1} - ar^1-ar^2-ar^3-\cdots-ar^{n-1} - ar^n \\ & = a - ar^n \end{align}$$ चूँकि अन्य सभी शर्तें रद्द हो जाती हैं। यदि r ≠ 1 है, तो हम एक ज्यामितीय श्रृंखला के लिए सुविधाजनक सूत्र प्राप्त करने के लिए उपरोक्त को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं जो n पदों के योग की गणना करता है:

$$\sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} = \frac{a(1-r^n)}{1-r}.$$
 * संबंधित सूत्र

यदि किसी को योग की शुरुआत k=1 या 0 से नहीं, बल्कि किसी भिन्न मान से करनी हो, तो मान लीजिए $m$, तब

$$\begin{align} \sum_{k=m}^n ar^{k-1} &= \begin{cases} \frac{a(r^{m-1}-r^n)}{1-r} & \text{if }r \neq 1 \\ a(n-m+1) & \text{if }r = 1 \end{cases}\\ \sum_{k=m}^n ar^k &= \begin{cases} a(n-m+1) & \text{if }r = 1 \\ \frac{a(r^m-r^{n+1})}{1-r} & \text{if }r \neq 1 \end{cases}\end{align}$$ इस सूत्र के संबंध में व्युत्पन्न $r$ हमें फॉर्म के योगों के लिए सूत्र तक पहुंचने की अनुमति देता है

$$G_s(n, r) := \sum_{k=0}^n k^s r^k.$$ उदाहरण के लिए:

$$\frac{d}{dr} \sum_{k=0}^nr^k = \sum_{k=1}^n kr^{k-1}= \frac{1-r^{n+1}}{(1-r)^2}-\frac{(n+1)r^n}{1-r}.$$ एक ज्यामितीय श्रृंखला के लिए जिसमें केवल सम घातें हों $r$ गुणा करके $1-r^2$:

$$\begin{align} (1-r^2) \sum_{k=0}^{n} ar^{2k} &= a-ar^{2n+2}\\ \sum_{k=0}^{n} ar^{2k} &= \frac{a(1-r^{2n+2})}{1-r^2} \end{align}$$ समान रूप से, ले लो $r^2$ सामान्य अनुपात के रूप में और मानक सूत्रीकरण का उपयोग करें।

की केवल विषम शक्तियों वाली श्रृंखला के लिए $r$, $$\begin{align} (1-r^2) \sum_{k=0}^{n} ar^{2k+1} &= ar-ar^{2n+3}\\ \sum_{k=0}^{n} ar^{2k+1} &= \frac{ar(1-r^{2n+2})}{1-r^2} &= \frac{a(r-r^{2n+3})}{1-r^2} \end{align}$$ सामान्यीकृत योग के लिए एक सटीक सूत्र $$G_s(n, r)$$ कब $$s \in \mathbb{N}$$ दूसरे प्रकार के स्टर्लिंग संख्याओं द्वारा विस्तारित किया गया है

$$G_s(n, r) = \sum_{j=0}^s \left\lbrace{s \atop j}\right\rbrace x^j \frac{d^j}{dx^j}\left[\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\right].$$

अनंत शृंखला
एक अनंत ज्यामितीय श्रृंखला एक अनंत श्रृंखला होती है जिसके क्रमिक पदों का एक सामान्य अनुपात होता है। ऐसी श्रृंखला अभिसरित होती है यदि और केवल यदि सामान्य अनुपात का निरपेक्ष मान एक से कम हो ($|r|$ <1). इसके मूल्य की गणना परिमित योग सूत्र से की जा सकती है $$\sum_{k=0}^\infty ar^k = \lim_{n\to\infty}{\sum_{k=0}^{n} ar^k} = \lim_{n\to\infty}\frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}= \frac{a}{1-r} - \lim_{n\to\infty}{\frac{ar^{n+1}}{1-r}} $$

तब से: $$ r^{n+1} \to 0 \mbox{ as } n \to \infty \mbox{ when } |r| < 1.$$ तब: $$\sum_{k=0}^\infty ar^k = \frac{a}{1-r} - 0 = \frac{a}{1-r}$$ एक श्रृंखला के लिए जिसमें केवल सम घातें हों $$r$$, $$\sum_{k=0}^\infty ar^{2k} = \frac{a}{1-r^2}$$ और केवल विषम शक्तियों के लिए, $$\sum_{k=0}^\infty ar^{2k+1} = \frac{ar}{1-r^2}$$ ऐसे मामलों में जहां योग k = 0 से शुरू नहीं होता है, $$\sum_{k=m}^\infty ar^k=\frac{ar^m}{1-r}$$ ऊपर दिए गए सूत्र केवल के लिए मान्य हैं $|r|$ < 1. बाद वाला सूत्र प्रत्येक बनच बीजगणित में मान्य है, जब तक कि आर का मान एक से कम है, और पी-एडिक संख्याओं के क्षेत्र में भी|पी-एडिक संख्याएं यदि $|r|$p< 1. जैसा कि एक सीमित योग के मामले में होता है, हम संबंधित योगों के लिए सूत्रों की गणना करने के लिए अंतर कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, $$\frac{d}{dr} \sum_{k=0}^\infty r^k = \sum_{k=1}^\infty kr^{k-1} = \frac{1}{(1-r)^2}$$ ये फार्मूला ही काम करता है $|r|$ < 1 भी. इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि, के लिए $|r|$ < 1, $$\sum_{k=0}^{\infty} k r^k = \frac{r}{\left(1-r\right)^2} \,;\, \sum_{k=0}^{\infty} k^2 r^k = \frac{r \left( 1+r \right)}{\left(1-r\right)^3} \, ; \, \sum_{k=0}^{\infty} k^3 r^k = \frac{r \left( 1+4 r + r^2\right)}{\left( 1-r\right)^4}$$ साथ ही, अनंत श्रृंखला 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ पूर्ण अभिसरण वाली श्रृंखला का एक प्रारंभिक उदाहरण है।

यह एक ज्यामितीय श्रृंखला है जिसका पहला पद 1/2 है और जिसका सामान्य अनुपात 1/2 है, इसलिए इसका योग है $$\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots=\frac{1/2}{1-(+1/2)} = 1.$$ उपरोक्त श्रृंखला का व्युत्क्रम 1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 + ⋯ एक वैकल्पिक श्रृंखला का एक सरल उदाहरण है जो पूर्ण रूप से अभिसरण करता है।

यह एक ज्यामितीय श्रृंखला है जिसका पहला पद 1/2 है और जिसका सामान्य अनुपात -1/2 है, इसलिए इसका योग है $$\frac12-\frac14+\frac18-\frac{1}{16}+\cdots=\frac{1/2}{1-(-1/2)} = \frac13.$$

जटिल श्रृंखला
ज्यामितीय श्रृंखला के लिए योग सूत्र तब भी मान्य रहता है जब उभयनिष्ठ अनुपात एक जटिल संख्या हो। इस मामले में शर्त यह है कि r का निरपेक्ष मान 1 से कम हो, r का निरपेक्ष मान#संमिश्र संख्या 1 से कम हो। कुछ गैर-स्पष्ट ज्यामितीय श्रृंखलाओं के योग की गणना करना संभव है। उदाहरण के लिए, प्रस्ताव पर विचार करें $$ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin(kx)}{r^k} = \frac{r \sin(x)}{1 + r^2 - 2 r \cos(x)} $$ इसका प्रमाण इस बात से मिलता है $$\sin(kx) = \frac{e^{ikx} - e^{-ikx}}{2i}, $$ जो यूलर के सूत्र का परिणाम है। इसे मूल श्रृंखला में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है $$ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin(kx)}{r^k} = \frac{1}{2 i} \left[ \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{e^{ix}}{r} \right)^k - \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{e^{-ix}}{r}\right)^k\right].$$ यह दो ज्यामितीय श्रृंखलाओं का अंतर है, और इसलिए यह अनंत ज्यामितीय श्रृंखला के सूत्र का सीधा अनुप्रयोग है जो प्रमाण को पूरा करता है।

एलिया का ज़ेनो (सी.495 - सी.430 ईसा पूर्व)
2,500 साल पहले, ग्रीक गणितज्ञों को एक स्थान से दूसरे स्थान तक चलने में समस्या होती थी: उन्होंने सोचा शून्य से बड़ी संख्याओं की अनंत रूप से लंबी सूची। इसलिए, यह एक विरोधाभास था जब एलिया के ज़ेनो ने बताया कि एक स्थान से दूसरे स्थान तक चलने के लिए, आपको पहले आधी दूरी तक चलना होगा, और फिर आपको शेष दूरी का आधा चलना होगा, और फिर आपको आधी दूरी तक चलना होगा। उस शेष दूरी का, और आप शेष दूरी को अनंत बार आधा-आधा करते रहें क्योंकि शेष दूरी चाहे कितनी भी छोटी क्यों न हो, फिर भी आपको उसका पहला आधा भाग चलना होगा। इस प्रकार, एलिया के ज़ेनो ने एक छोटी दूरी को आधी शेष दूरियों की एक अनंत लंबी सूची में बदल दिया, जो सभी शून्य से अधिक हैं। और यही समस्या थी: सीधे मापने पर कोई दूरी छोटी कैसे हो सकती है और आधे शेषफलों की अनंत सूची में योग करने पर अनंत भी कैसे हो सकती है? विरोधाभास से पता चला कि इस धारणा में कुछ गड़बड़ थी कि शून्य से बड़ी संख्याओं की अनंत रूप से लंबी सूची अनंत तक होती है।

अलेक्जेंड्रिया के यूक्लिड (लगभग 300 ईसा पूर्व)
फ़ाइल:उभयनिष्ठ अनुपात r = के साथ ज्यामितीय श्रृंखला ज्यामितीय व्याख्या 2.png|thumb| सामान्य अनुपात r>1 के समान मामले के लिए ज्यामितीय व्याख्या। (शीर्ष) एक ज्यामितीय श्रृंखला के पदों को अतिव्याप्त समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के रूप में निरूपित करें। (मध्य) सबसे बड़े से सबसे छोटे त्रिभुज तक, ओवरलैप किए गए बाएं क्षेत्र भाग (1/r) को गैर-अतिव्यापी दाएं क्षेत्र भाग (1-1/r = (r-1)/r) से हटा दें और उस गैर को स्केल करें- r/(r-1) द्वारा अतिव्याप्त समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल मूल अतिव्यापित त्रिभुज के क्षेत्रफल के समान है। (नीचे) समग्र समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना बड़े त्रिभुज के क्षेत्रफल से बड़े त्रिभुज के बाएं सिरे पर खाली छोटे त्रिभुज के क्षेत्रफल को घटाकर करें। बड़ा त्रिभुज r/(r-1) द्वारा मापा गया सबसे बड़ा ओवरलैप्ड त्रिभुज है। खाली छोटे त्रिकोण की शुरुआत एक के रूप में हुई थी लेकिन वह क्षेत्र एक गैर-अतिव्यापी स्केल्ड ट्रैपेज़ॉइड में बदल गया था जिससे एक खाली बायां क्षेत्र भाग (1/आर) रह गया था। हालाँकि, क्षेत्र a/r के उस खाली त्रिकोण को भी r/(r-1) द्वारा स्केल किया जाना चाहिए ताकि इसका ढलान सभी गैर-ओवरलैप स्केल किए गए ट्रेपेज़ॉइड के ढलान से मेल खाए। इसलिए, एसn = सबसे बड़े त्रिभुज का क्षेत्रफल - खाली छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल = हैंn+1/(r-1) - a/(r-1) = a(rn+1-1)/(r-1).

यूक्लिड के ज्यामिति के तत्व पुस्तक IX, प्रस्ताव 35, प्रमाण (आसन्न आरेख के कैप्शन में प्रस्ताव का):

"Let AA', BC, DD', EF be any multitude whatsoever of continuously proportional numbers, beginning from the least AA'. And let BG and FH, each equal to AA', have been subtracted from BC and EF. I say that as GC is to AA', so EH is to AA', BC, DD'.

For let FK be made equal to BC, and FL to DD'. And since FK is equal to BC, of which FH is equal to BG, the remainder HK is thus equal to the remainder GC. And since as EF is to DD', so DD' to BC, and BC to AA' [Prop. 7.13], and DD' equal to FL, and BC to FK, and AA' to FH, thus as EF is to FL, so LF to FK, and FK to FH. By separation, as EL to LF, so LK to FK, and KH to FH [Props. 7.11, 7.13]. And thus as one of the leading is to one of the following, so (the sum of) all of the leading to (the sum of) all of the following [Prop. 7.12]. Thus, as KH is to FH, so EL, LK, KH to LF, FK, HF. And KH equal to CG, and FH to AA', and LF, FK, HF to DD', BC, AA'. Thus, as CG is to AA', so EH to DD', BC, AA'. Thus, as the excess of the second is to the first, so is the excess of the last is to all those before it. The very thing it was required to show."

यूक्लिड के प्रस्तावों और प्रमाणों की संक्षिप्तता एक आवश्यकता रही होगी। वैसे, ज्यामिति के तत्व 500 पृष्ठों से अधिक के प्रस्तावों और प्रमाणों से भरे हुए हैं। इस लोकप्रिय पाठ्यपुस्तक की प्रतियां बनाना श्रमसाध्य था, क्योंकि छापाखाना  का आविष्कार 1440 तक नहीं हुआ था। और पुस्तक की लोकप्रियता लंबे समय तक रही: जैसा कि एक अंग्रेजी अनुवाद के उद्धृत परिचय में कहा गया है, एलिमेंट्स ऑफ ज्योमेट्री को दुनिया का सबसे प्रतिष्ठित होने का गौरव प्राप्त है। सबसे पुरानी लगातार उपयोग की जाने वाली गणितीय पाठ्यपुस्तक। इसलिए बहुत संक्षिप्त होना बहुत व्यावहारिक होना था। पुस्तक IX में प्रस्ताव 35 का प्रमाण और भी अधिक संक्षिप्त हो सकता था यदि यूक्लिड किसी तरह श्रृंखला में विभिन्न शब्दों से विशिष्ट रेखा खंडों की लंबाई को स्पष्ट रूप से बराबर करने से बच सकता था। उदाहरण के लिए, ज्यामितीय श्रृंखला के लिए समसामयिक संकेतन (अर्थात्, a + ar + ar2 + ar3 + ... + arn) शब्दों के उन विशिष्ट भागों को लेबल नहीं करता जो एक-दूसरे के बराबर हों।

साथ ही उद्धृत परिचय में संपादक टिप्पणी करता है, <ब्लॉककोट>तत्वों में दिखाई देने वाले अधिकांश प्रमेय यूक्लिड द्वारा स्वयं नहीं खोजे गए थे, बल्कि पाइथागोरस (और उनके स्कूल), चियोस के हिप्पोक्रेट्स, एथेंस के थेएटेटस और कनिडोस के यूडोक्सस जैसे पहले ग्रीक गणितज्ञों के काम थे। हालाँकि, यूक्लिड को आम तौर पर इन प्रमेयों को तार्किक तरीके से व्यवस्थित करने का श्रेय दिया जाता है, ताकि यह प्रदर्शित किया जा सके (माना जाता है कि, हमेशा आधुनिक गणित द्वारा मांग की गई कठोरता के साथ नहीं) कि वे आवश्यक रूप से पांच सरल सिद्धांतों का पालन करते हैं। यूक्लिड को पहले से खोजे गए प्रमेयों (उदाहरण के लिए, पुस्तक 1 ​​में प्रमेय 48) के कई विशेष रूप से सरल प्रमाण तैयार करने का श्रेय भी दिया जाता है।

वर्तमान नोटेशन का उपयोग करने वाले रूप में प्रस्ताव और प्रमाण का अनुवाद करने में सहायता के लिए, आरेख में कुछ संशोधन हैं। सबसे पहले, एक ज्यामितीय श्रृंखला के पहले चार पदों के मूल्यों का प्रतिनिधित्व करने वाली चार क्षैतिज रेखा की लंबाई को अब a, ar, ar लेबल किया गया है2, ar3आरेख के बाएँ हाशिये में। दूसरा, नए लेबल ए' और डी' अब पहली और तीसरी पंक्तियों पर हैं ताकि आरेख के सभी रेखा खंड नाम लगातार खंड के शुरुआती बिंदु और समाप्ति बिंदु को निर्दिष्ट करें।

यहां प्रस्ताव की वाक्यांश दर वाक्यांश व्याख्या दी गई है: इसी प्रकार, यहां प्रमाण की वाक्य-दर-वाक्य व्याख्या दी गई है:

सिरैक्यूज़ के आर्किमिडीज़ (सी.287 - सी.212 ईसा पूर्व)


आर्किमिडीज़ ने एक परवलय और एक सीधी रेखा से घिरे क्षेत्र की गणना करने के लिए एक ज्यामितीय श्रृंखला के योग का उपयोग किया। उनका तरीका क्षेत्र को अनंत संख्या में त्रिकोणों में विच्छेदित करना था।

आर्किमिडीज़ प्रमेय में कहा गया है कि परवलय के नीचे का कुल क्षेत्रफल नीले त्रिकोण के क्षेत्रफल का 4/3 है।

आर्किमिडीज़ ने निर्धारित किया कि प्रत्येक हरे त्रिकोण का क्षेत्रफल नीले त्रिकोण का 1/8 है, प्रत्येक पीले त्रिकोण का क्षेत्रफल हरे त्रिकोण का 1/8 है, इत्यादि।

यह मानते हुए कि नीले त्रिभुज का क्षेत्रफल 1 है, कुल क्षेत्रफल एक अनंत योग है:
 * $$1 \,+\, 2\left(\frac{1}{8}\right) \,+\, 4\left(\frac{1}{8}\right)^2 \,+\, 8\left(\frac{1}{8}\right)^3 \,+\, \cdots.$$

पहला पद नीले त्रिभुज के क्षेत्रफल को दर्शाता है, दूसरा पद दो हरे त्रिभुजों के क्षेत्रफल को दर्शाता है, तीसरा पद चार पीले त्रिभुजों के क्षेत्रफल को दर्शाता है, इत्यादि। भिन्नों को सरल बनाने से प्राप्त होता है
 * $$1 \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \frac{1}{64} \,+\, \cdots.$$

यह उभयनिष्ठ अनुपात वाली एक ज्यामितीय श्रृंखला है 1/4 और भिन्नात्मक भाग बराबर है
 * $$\sum_{n=0}^\infty 4^{-n} = 1 + 4^{-1} + 4^{-2} + 4^{-3} + \cdots = {4\over 3}. $$

योग है
 * $$\frac{1}{1 -r}\;=\;\frac{1}{1 -\frac{1}{4}}\;=\;\frac{4}{3}.$$

यह गणना इंटीग्रल के प्रारंभिक संस्करण, थकावट की विधि का उपयोग करती है। कैलकुलस का उपयोग करके, वही क्षेत्र एक निश्चित अभिन्न द्वारा पाया जा सकता है।

निकोल ओरेस्मे (सी.1323 - 1382)
अनंत श्रृंखला में उनकी अंतर्दृष्टि के अलावा, हार्मोनिक श्रृंखला के विचलन के उनके सुंदर सरल प्रमाण के अलावा, निकोल ओरेस्मे सिद्ध किया कि श्रृंखला 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + 6/64 + 7/128 + ... 2 में परिवर्तित होती है। उसके ज्यामितीय प्रमाण के लिए उसका आरेख, आसन्न के समान आरेख, एक दो आयामी ज्यामितीय श्रृंखला दिखाता है। पहला आयाम क्षैतिज है, निचली पंक्ति में ज्यामितीय श्रृंखला S = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... दिखाई देती है, जो कि गुणांक a = 1/2 और उभयनिष्ठ के साथ ज्यामितीय श्रृंखला है अनुपात आर = 1/2 जो एस = ए / (1-आर) = (1/2) / (1-1/2) = 1 में परिवर्तित होता है। दूसरा आयाम लंबवत है, जहां नीचे की पंक्ति एक नया गुणांक हैT एस के बराबर और इसके ऊपर की प्रत्येक बाद की पंक्ति को समान सामान्य अनुपात आर = 1/2 द्वारा स्केल किया जाता है, जिससे एक और ज्यामितीय श्रृंखला टी = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... बनती है, जो कि ज्यामितीय है गुणांक ए के साथ श्रृंखलाT = S = 1 और उभयनिष्ठ अनुपात r = 1/2 जो T = a में परिवर्तित होता हैT / (1-आर) = एस / (1-आर) = ए / (1-आर) / (1-आर) = (1/2) / (1-1/2) / (1-1/2) = 2.

यद्यपि तीन आयामों से परे कल्पना करना कठिन है, ओरेस्मे की अंतर्दृष्टि किसी भी आयाम को सामान्यीकृत करती है। ज्यामितीय श्रृंखला के d-1 आयाम के योग को ज्यामितीय श्रृंखला के d आयाम में गुणांक a के रूप में उपयोग करने से d-आयामी ज्यामितीय श्रृंखला S में परिवर्तित हो जाती है।डी / ए = 1 / (1-आर)d सीमा के भीतर |r|<1. पास्कल का त्रिकोण और लंबा विभाजन इन बहुआयामी ज्यामितीय श्रृंखला के गुणांकों को प्रकट करता है, जहां बंद रूप केवल |r|<1 की सीमा के भीतर मान्य है।


 * $$\begin{matrix}

1 \\               1 \quad 1 \\ 1 \quad 2 \quad 1 \\ 1 \quad 3 \quad 3 \quad  1 \\ 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 \end{matrix}$$

एक तरफ, लंबे विभाजन का उपयोग करने के बजाय, आयाम d−1 के गुणांकों को एकीकृत करके d-आयामी ज्यामितीय श्रृंखला के गुणांकों की गणना करना भी संभव है। पावर श्रृंखला योग डोमेन में 1-आर द्वारा विभाजन से लेकर पावर श्रृंखला गुणांक डोमेन में एकीकरण तक की यह मैपिंग लाप्लास ट्रांसफॉर्म द्वारा निष्पादित मैपिंग का एक अलग रूप है। एमआईटी के प्रोफेसर आर्थर मैटक इस व्याख्यान वीडियो में दिखाते हैं कि पावर श्रृंखला से लाप्लास परिवर्तन कैसे प्राप्त किया जाए, जहां शक्ति श्रृंखला असतत गुणांक और योग के बीच एक मानचित्रण है और लाप्लास परिवर्तन निरंतर भार और एक अभिन्न के बीच एक मानचित्रण है।

अर्थशास्त्र
अर्थशास्त्र में, वार्षिकी (वित्त सिद्धांत) (नियमित अंतराल में भुगतान की जाने वाली धनराशि) के वर्तमान मूल्य को दर्शाने के लिए ज्यामितीय श्रृंखला का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि वार्षिकी के मालिक को प्रति वर्ष एक बार (वर्ष के अंत में) $100 का भुगतान किया जाएगा। अब से प्रति वर्ष $100 प्राप्त करना तत्काल $100 से कम मूल्य का है, क्योंकि कोई भी तब तक धन का निवेश नहीं कर सकता जब तक वह इसे प्राप्त न कर ले। विशेष रूप से, भविष्य में एक वर्ष के लिए $100 का वर्तमान मूल्य $100/(1+) है$$I$$ ), कहाँ $$I$$ वार्षिक ब्याज दर है.

इसी प्रकार, भविष्य में दो वर्षों के लिए $100 के भुगतान का वर्तमान मूल्य $100/(1+$$I$$)2 (चुकता क्योंकि अभी पैसा न मिलने से दो साल का ब्याज बर्बाद हो गया है)। इसलिए, शाश्वत रूप से प्रति वर्ष $100 प्राप्त करने का वर्तमान मूल्य है


 * $$\sum_{n=1}^\infty \frac{\$100}{(1+I)^n},$$

जो अनंत श्रृंखला है:


 * $$\frac{\$ 100}{(1+I)} \,+\, \frac{\$ 100}{(1+I)^2} \,+\, \frac{\$ 100}{(1+I)^3} \,+\, \frac{\$ 100}{(1+I)^4} \,+\, \cdots.$$

यह एक ज्यामितीय श्रृंखला है जिसका सामान्य अनुपात 1/(1+) है$$I$$ ). योग पहला पद है जिसे (सामान्य अनुपात से एक घटाकर) विभाजित किया जाता है:


 * $$\frac{\$ 100/(1+I)}{1 - 1/(1+I)} \;=\; \frac{\$ 100}{I}.$$

उदाहरण के लिए, यदि वार्षिक ब्याज दर 10% है ($$I$$= 0.10), तो संपूर्ण वार्षिकी का वर्तमान मूल्य $100 / 0.10 = $1000 है।

इस प्रकार की गणना का उपयोग ऋण की वार्षिक प्रतिशत दर (जैसे बंधक ऋण) की गणना करने के लिए किया जाता है। इसका उपयोग अपेक्षित लाभांश के वर्तमान मूल्य, या स्थिर विकास दर मानकर किसी वित्तीय परिसंपत्ति के टर्मिनल मूल्य (वित्त) का अनुमान लगाने के लिए भी किया जा सकता है।

फ्रैक्टल ज्यामिति
कोच बर्फ के टुकड़े के अंदर के क्षेत्र को अनंत कई समबाहु त्रिभुजों के मिलन के रूप में वर्णित किया जा सकता है (चित्र देखें)। हरे त्रिभुज की प्रत्येक भुजा बड़े नीले त्रिभुज की भुजा के आकार का ठीक 1/3 है, और इसलिए इसका क्षेत्रफल बिल्कुल 1/9 है। इसी प्रकार, प्रत्येक पीले त्रिभुज का क्षेत्रफल हरे त्रिभुज का 1/9 है, इत्यादि। नीले त्रिकोण को क्षेत्रफल की एक इकाई के रूप में लेते हुए, बर्फ के टुकड़े का कुल क्षेत्रफल है


 * $$1 \,+\, 3\left(\frac{1}{9}\right) \,+\, 12\left(\frac{1}{9}\right)^2 \,+\, 48\left(\frac{1}{9}\right)^3 \,+\, \cdots.$$

इस श्रृंखला का पहला पद नीले त्रिभुज के क्षेत्रफल को दर्शाता है, दूसरा पद तीन हरे त्रिभुजों के कुल क्षेत्रफल को दर्शाता है, तीसरा पद बारह पीले त्रिभुजों के कुल क्षेत्रफल को दर्शाता है, इत्यादि। आरंभिक 1 को छोड़कर, यह श्रृंखला निरंतर अनुपात r = 4/9 के साथ ज्यामितीय है। ज्यामितीय श्रृंखला का पहला पद a = 3(1/9) = 1/3 है, इसलिए योग है


 * $$1\,+\,\frac{a}{1-r}\;=\;1\,+\,\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{4}{9}}\;=\;\frac{8}{5}.$$

इस प्रकार कोच स्नोफ्लेक का क्षेत्रफल आधार त्रिभुज का 8/5 है।

एकीकरण
का व्युत्पन्न $$f(x) = \arctan(u(x)) \text{ is } f'(x) = u'(x)/(1+[u(x)]^2)$$ क्योंकि, दे $$y \text{ and }u \text{ represent } f(x) \text{ and } u(x),$$

\begin{align} y &= \arctan(u) &&\quad \text{ implies } \\ u &= \tan(y) &&\quad \text{ in the range } -\pi/2 < y < \pi/2 \text{ and } \\ u' &= \sec^2y \cdot y' &&\quad \text{ by applying the quotient rule to } \tan(y) = \sin(y)/\cos(y), \\ y' &= u'/\sec^2y &&\quad \text{ by dividing both sides by } \sec^2y, \\ &= u'/(1+\tan^2y) &&\quad \text{ by using the trigonometric identity derived by dividing } \sin^2y + \cos^2y = 1 \text{ by } \cos^2y, \\ &= u'/(1+u^2) &&\quad \text{ by recalling } u = \tan(y). \end{align} $$ इसलिए दे रहे हैं $$ u(x) = x, \arctan(x) $$ अभिन्न है

\begin{align} \arctan(x)&=\int\frac{dx}{1+x^2} \quad &&\text{in the range } -\pi/2 < \arctan(x) < \pi/2,\\ &=\int\frac{dx}{1-(-x^2)} \quad &&\text{by writing integrand as closed form of geometric series with }r = -x^2,\\ &=\int\left(1 + \left(-x^2\right) + \left(-x^2\right)^2 + \left(-x^2\right)^3+\cdots\right)dx \quad &&\text{by writing geometric series in expanded form},\\ &=\int\left(1-x^2+x^4-x^6+\cdots\right)dx \quad &&\text{by calculating the sign and power of each term in integrand},\\ &=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots \quad &&\text{by integrating each term},\\ &=\sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} \quad &&\text{by writing series in generator form}, \end{align} $$ जिसे ग्रेगरी की श्रृंखला कहा जाता है और इसका श्रेय आमतौर पर संगमग्राम के माधव (सी. 1340 - सी. 1425) को दिया जाता है।

उदाहरण

 * : 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯
 * एक ज्यामितीय श्रृंखला एक इकाई श्रृंखला है (श्रृंखला का योग एक में परिवर्तित होता है) यदि और केवल यदि |r| <1 और ए + आर = 1 (अधिक परिचित रूप एस = ए / (1 - आर) = 1 के बराबर जब |आर| <1)। इसलिए, एक प्रत्यावर्ती श्रृंखला भी एक इकाई श्रृंखला होती है जब -1 < r < 0 और a + r = 1 (उदाहरण के लिए, गुणांक a = 1.7 और सामान्य अनुपात r = -0.7)।
 * एक ज्यामितीय श्रृंखला के पद भी सामान्यीकृत फाइबोनैचि अनुक्रम (एफ) के पद हैंn = एफn-1 + एफn-2 लेकिन एफ की आवश्यकता के बिना0 = 0 और एफ1 = 1) जब एक ज्यामितीय श्रृंखला सामान्य अनुपात आर बाधा 1 + आर = आर को संतुष्ट करता है2, जो द्विघात सूत्र के अनुसार तब होता है जब सामान्य अनुपात r स्वर्णिम अनुपात के बराबर होता है (यानी, सामान्य अनुपात r = (1 ± √5)/2)।
 * एकमात्र ज्यामितीय श्रृंखला जो एक इकाई श्रृंखला है और इसमें सामान्यीकृत फाइबोनैचि अनुक्रम की शर्तें भी हैं, इसका गुणांक ए के रूप में स्वर्णिम अनुपात और इसके सामान्य अनुपात आर के रूप में संयुग्मित स्वर्णिम अनुपात है (यानी, ए = (1 + √5)/2 और r = (1 - √5)/2). यह एक इकाई श्रृंखला है क्योंकि a + r = 1 और |r| <1, यह एक सामान्यीकृत फाइबोनैचि अनुक्रम है क्योंकि 1 + आर = आर2, और यह एक वैकल्पिक श्रृंखला है क्योंकि r < 0.
 * एक ज्यामितीय श्रृंखला एक इकाई श्रृंखला है (श्रृंखला का योग एक में परिवर्तित होता है) यदि और केवल यदि |r| <1 और ए + आर = 1 (अधिक परिचित रूप एस = ए / (1 - आर) = 1 के बराबर जब |आर| <1)। इसलिए, एक प्रत्यावर्ती श्रृंखला भी एक इकाई श्रृंखला होती है जब -1 < r < 0 और a + r = 1 (उदाहरण के लिए, गुणांक a = 1.7 और सामान्य अनुपात r = -0.7)।
 * एक ज्यामितीय श्रृंखला के पद भी सामान्यीकृत फाइबोनैचि अनुक्रम (एफ) के पद हैंn = एफn-1 + एफn-2 लेकिन एफ की आवश्यकता के बिना0 = 0 और एफ1 = 1) जब एक ज्यामितीय श्रृंखला सामान्य अनुपात आर बाधा 1 + आर = आर को संतुष्ट करता है2, जो द्विघात सूत्र के अनुसार तब होता है जब सामान्य अनुपात r स्वर्णिम अनुपात के बराबर होता है (यानी, सामान्य अनुपात r = (1 ± √5)/2)।
 * एकमात्र ज्यामितीय श्रृंखला जो एक इकाई श्रृंखला है और इसमें सामान्यीकृत फाइबोनैचि अनुक्रम की शर्तें भी हैं, इसका गुणांक ए के रूप में स्वर्णिम अनुपात और इसके सामान्य अनुपात आर के रूप में संयुग्मित स्वर्णिम अनुपात है (यानी, ए = (1 + √5)/2 और r = (1 - √5)/2). यह एक इकाई श्रृंखला है क्योंकि a + r = 1 और |r| <1, यह एक सामान्यीकृत फाइबोनैचि अनुक्रम है क्योंकि 1 + आर = आर2, और यह एक वैकल्पिक श्रृंखला है क्योंकि r < 0.
 * एक ज्यामितीय श्रृंखला के पद भी सामान्यीकृत फाइबोनैचि अनुक्रम (एफ) के पद हैंn = एफn-1 + एफn-2 लेकिन एफ की आवश्यकता के बिना0 = 0 और एफ1 = 1) जब एक ज्यामितीय श्रृंखला सामान्य अनुपात आर बाधा 1 + आर = आर को संतुष्ट करता है2, जो द्विघात सूत्र के अनुसार तब होता है जब सामान्य अनुपात r स्वर्णिम अनुपात के बराबर होता है (यानी, सामान्य अनुपात r = (1 ± √5)/2)।
 * एकमात्र ज्यामितीय श्रृंखला जो एक इकाई श्रृंखला है और इसमें सामान्यीकृत फाइबोनैचि अनुक्रम की शर्तें भी हैं, इसका गुणांक ए के रूप में स्वर्णिम अनुपात और इसके सामान्य अनुपात आर के रूप में संयुग्मित स्वर्णिम अनुपात है (यानी, ए = (1 + √5)/2 और r = (1 - √5)/2). यह एक इकाई श्रृंखला है क्योंकि a + r = 1 और |r| <1, यह एक सामान्यीकृत फाइबोनैचि अनुक्रम है क्योंकि 1 + आर = आर2, और यह एक वैकल्पिक श्रृंखला है क्योंकि r < 0.

ज्यामितीय श्रृंखला
ज्यामितीय श्रृंखला में स्वतंत्रता की दो डिग्री हैं: एक इसके गुणांक के लिए और दूसरा इसके सामान्य अनुपात आर के लिए। बहुपदों के मानचित्र में, बड़ा लाल वृत्त सभी ज्यामितीय श्रृंखलाओं के सेट का प्रतिनिधित्व करता है।

अभिसरण ज्यामितीय श्रृंखला
सभी ज्यामितीय श्रृंखलाओं का केवल एक उपसमुच्चय अभिसरित होता है। विशेष रूप से, एक ज्यामितीय श्रृंखला अभिसरण करती है यदि और केवल यदि इसका सामान्य अनुपात |r| < 1. बहुपदों के मानचित्र में, लाल त्रिकोण अभिसरण ज्यामितीय श्रृंखला के सेट का प्रतिनिधित्व करता है और सभी ज्यामितीय श्रृंखलाओं के सेट का प्रतिनिधित्व करने वाले बड़े लाल वृत्त के अंदर खींचा जाना इंगित करता है कि अभिसरण ज्यामितीय श्रृंखला ज्यामितीय श्रृंखला का एक उपसमुच्चय है।

दोहराया गया दशमलव
सभी अभिसरण ज्यामितीय श्रृंखलाओं का केवल एक उपसमुच्चय दशमलव अंशों में परिवर्तित होता है जिनके पैटर्न दोहराए जाते हैं जो हमेशा के लिए जारी रहते हैं (उदाहरण के लिए, 0.7777... या 0.9999... या 0.123412341234...)। बहुपदों के मानचित्र में, छोटा पीला त्रिकोण ज्यामितीय श्रृंखला के सेट का प्रतिनिधित्व करता है जो अनंत रूप से दोहराए गए दशमलव पैटर्न में परिवर्तित होता है। यह इंगित करने के लिए लाल त्रिकोण के अंदर खींचा गया है कि यह अभिसारी ज्यामितीय श्रृंखला का एक उपसमूह है, जो बदले में बड़े लाल वृत्त के अंदर खींचा गया है जो दर्शाता है कि अभिसरण ज्यामितीय श्रृंखला और ज्यामितीय श्रृंखला दोनों जो अनंत रूप से दोहराए गए पैटर्न में परिवर्तित होती हैं, ज्यामितीय के सबसेट हैं शृंखला।

यद्यपि अनंत रूप से दोहराए गए दशमलव पैटर्न वाले अंशों का अनुमान केवल तब लगाया जा सकता है जब उन्हें फ्लोटिंग पॉइंट संख्याओं के रूप में एन्कोड किया जाता है, उन्हें हमेशा दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जा सकता है और उन दो पूर्णांकों की गणना ज्यामितीय श्रृंखला का उपयोग करके की जा सकती है। उदाहरण के लिए, दोहराया गया दशमलव अंश 0.7777... को ज्यामितीय श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है


 * $$0.7777\ldots \;=\; \frac{7}{10} \,+\, \frac{7}{10}\frac{1}{10} \,+\, \frac{7}{10}\frac{1}{10^2} \,+\, \frac{7}{10}\frac{1}{10^3} \,+\, \cdots$$

जहाँ गुणांक a = 7/10 और सार्व अनुपात r = 1/10 है। ज्यामितीय श्रृंखला का बंद रूप दो पूर्णांकों को प्रकट करता है जो दोहराए गए पैटर्न को निर्दिष्ट करते हैं:


 * $$0.7777\ldots \;=\; \frac{a}{1-r} \;=\; \frac{7/10}{1-1/10} \;=\; \frac{7/10}{9/10} \;=\; \frac{7}{9}.$$

यह दृष्टिकोण दशमलव|आधार-दस संख्याओं से आगे तक फैला हुआ है। वास्तव में, कोई भी भिन्न जिसका पैटर्न आधार-दस संख्याओं में अनंत रूप से दोहराया जाता है, किसी अन्य आधार में लिखी संख्याओं में भी अनंत रूप से दोहराया जाने वाला पैटर्न होता है। उदाहरण के लिए, संख्या 0.7777 के लिए फ़्लोटिंग पॉइंट एन्कोडिंग को देखते हुए...

बाइनरी अंश 0.110001110001110001 को प्रकट करता है... जहां बाइनरी पैटर्न 0b110001 अनिश्चित काल तक दोहराता है और ज्यादातर (शक्तियों को छोड़कर) बाइनरी संख्याओं में लिखा जा सकता है


 * $$0.110001110001110001\ldots \;=\; \frac{110001}{1000000} \,+\, \frac{110001}{1000000}\frac{1}{1000000} \,+\, \frac{110001}{1000000}\frac{1}{1000000^2} \,+\, \frac{110001}{1000000}\frac{1}{1000000^3} \,+\, \cdots$$

जहां गुणांक a = 0b110001 / 0b1000000 = 49 / 64 और सामान्य अनुपात r = 1 / 0b1000000 = 1 / 64. पहले की तरह ज्यामितीय श्रृंखला बंद रूप का उपयोग करना


 * $$0.7777\ldots \;=\; 0b0.110001110001110001\ldots \;=\; \frac{a}{1-r} \;=\; \frac{49/64}{1-1/64} \;=\; \frac{49/64}{63/64} \;=\; \frac{49}{63} \;=\; \frac{7}{9}.$$

आपने देखा होगा कि फ़्लोटिंग पॉइंट एन्कोडिंग पिछले कुछ (कम से कम महत्वपूर्ण) बिट्स में 0b110001 रिपीट पैटर्न को कैप्चर नहीं करता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि फ़्लोटिंग पॉइंट एन्कोडिंग शेष को छोटा करने के बजाय उसे गोल कर देती है। इसलिए, यदि शेषफल का सबसे महत्वपूर्ण बिट 1 है, तो एन्कोडेड अंश का सबसे कम महत्वपूर्ण बिट बढ़ जाता है और यदि अंश का सबसे कम महत्वपूर्ण बिट पहले से ही 1 है, तो यह एक कैरी का कारण बनेगा, जो कि उस बिट के एक और कैरी का कारण बन सकता है। अंश पहले से ही 1 है, जो एक और कैरी आदि का कारण बन सकता है। यह फ़्लोटिंग पॉइंट राउंडिंग और उसके बाद का कैरी प्रसार बताता है कि क्यों 0.99999 के लिए फ़्लोटिंग पॉइंट एन्कोडिंग... 1 के लिए फ़्लोटिंग पॉइंट एन्कोडिंग के समान ही है।

एक उदाहरण के रूप में, जिसमें दोहराए गए पैटर्न में चार अंक हैं, 0.123412341234... को ज्यामितीय श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है


 * $$0.123412341234\ldots \;=\; \frac{1234}{10000} \,+\, \frac{1234}{10000}\frac{1}{10000} \,+\, \frac{1234}{10000}\frac{1}{10000^2} \,+\, \frac{1234}{10000}\frac{1}{10000^3} \,+\, \cdots$$

जहाँ गुणांक a = 1234/10000 और सार्व अनुपात r = 1/10000 है। ज्यामितीय श्रृंखला का बंद रूप दो पूर्णांकों को प्रकट करता है जो दोहराए गए पैटर्न को निर्दिष्ट करते हैं:


 * $$0.123412341234\ldots \;=\; \frac{a}{1-r} \;=\; \frac{1234/10000}{1-1/10000} \;=\; \frac{1234/10000}{9999/10000} \;=\; \frac{1234}{9999}.$$

पावर श्रृंखला
ज्यामितीय श्रृंखला की तरह, शक्ति श्रृंखला में इसके सामान्य अनुपात r (x-अक्ष के साथ) के लिए स्वतंत्रता की एक डिग्री होती है, लेकिन इसके गुणांकों (y-अक्ष के साथ) के लिए n+1 डिग्री की स्वतंत्रता होती है, जहां n की शक्ति का प्रतिनिधित्व करता है आंशिक श्रृंखला का अंतिम पद. बहुपदों के मानचित्र में, बड़ा नीला वृत्त सभी घात श्रृंखलाओं के समुच्चय को दर्शाता है।

बाइनरी एन्कोडेड संख्याएँ
गुणांक a=1/2 और सामान्य अनुपात r=1/2 के साथ एलिया की ज्यामितीय श्रृंखला का ज़ेनो डिजिटल कंप्यूटर में अंश के बाइनरी संख्या अनुमान की नींव है। सीधे तौर पर, अपने सामान्यीकृत वेक्टर रूप में लिखी गई ज्यामितीय श्रृंखला s/a = [1 1 1 1 1…][1 आर आर है2r3r4 …]टी. आधार कार्यों के कॉलम वेक्टर को ध्यान में रखते हुए [1 आर आर2r3r4…]टी वही है लेकिन पंक्ति वेक्टर को सामान्यीकृत करना [1 1 1 1 1…] ताकि प्रत्येक प्रविष्टि या तो 0 या 1 हो सके, किसी भी अंश के अनुमानित एन्कोडिंग की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, मान v = 0.34375 को इस प्रकार एन्कोड किया गया है वी/ए = [0 1 0 1 1 0…][1 आर आर2r3r4…]टी जहां गुणांक a = 1/2 और सामान्य अनुपात r = 1/2 है। आमतौर पर, पंक्ति वेक्टर अधिक कॉम्पैक्ट बाइनरी फॉर्म v = 0.010110 में लिखा जाता है जो दशमलव में 0.34375 है।

इसी प्रकार, गुणांक a=1 और सामान्य अनुपात r=2 के साथ ज्यामितीय श्रृंखला डिजिटल कंप्यूटर में बाइनरी एन्कोडेड पूर्णांकों की नींव है। पुनः, अपने सामान्यीकृत वेक्टर रूप में लिखी गई ज्यामितीय श्रृंखला s/a = [1 1 1 1 1…][1 आर आर है2r3r4…]टी. आधार कार्यों के कॉलम वेक्टर को ध्यान में रखते हुए [1 आर आर2r3r4…]T वही है लेकिन पंक्ति वेक्टर को सामान्यीकृत करना [1 1 1 1 1…] ताकि प्रत्येक प्रविष्टि या तो 0 या 1 हो सके, किसी भी पूर्णांक के एन्कोडिंग की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, मान v = 151 को इस प्रकार एन्कोड किया गया है वी/ए = [1 1 1 0 1 0 0 1 0…][1 आर आर2r3r4r5r6आर7आर8…]टी जहां गुणांक a = 1 और सामान्य अनुपात r = 2 है। आमतौर पर, पंक्ति वेक्टर को अधिक कॉम्पैक्ट बाइनरी फॉर्म v = ...010010111 = 10010111 में उल्टे क्रम में लिखा जाता है (ताकि सबसे महत्वपूर्ण बिट पहले हो) दशमलव में 151 है.

जैसा कि आसन्न चित्र में दिखाया गया है, 32-बिट फ़्लोटिंग पॉइंट नंबर का मानक बाइनरी एन्कोडिंग एक बाइनरी एन्कोडेड पूर्णांक और एक बाइनरी एन्कोडेड अंश का संयोजन है, जो सबसे महत्वपूर्ण बिट से शुरू होता है
 * साइन बिट, इसके बाद
 * 127 के मानित ऑफसेट के साथ एक 8-बिट पूर्णांक घातांक फ़ील्ड (इसलिए 127 का मान 0 के घातांक मान को दर्शाता है) और 2 के आधार के साथ जिसका अर्थ है कि घातांक मान भिन्न फ़ील्ड में थोड़ा बदलाव निर्दिष्ट करता है, जिसके बाद
 * एक 23-बिट अंश फ़ील्ड जिसमें मान लिया गया है लेकिन एन्कोडेड नहीं है 1 अंश के सबसे महत्वपूर्ण गैर-शून्य बिट के रूप में कार्य करता है जो एन्कोड किए जाने पर बिट स्थिति 23 में होगा।

0.010110 की बाइनरी एन्कोडिंग वाले 0.34375 के पिछले उदाहरण के आधार पर, 0.34375 की एक फ्लोटिंग पॉइंट एन्कोडिंग (आईईईई 754 मानक के अनुसार) है
 * साइन बिट जो 0 है क्योंकि संख्या नकारात्मक नहीं है,
 * एक 8-बिट पूर्णांक घातांक फ़ील्ड जिसमें एक शिफ्ट निर्दिष्ट करना होगा जो 0.010110 से 1.0110 तक मूल बाइनरी एन्कोडिंग प्राप्त करने के लिए 2 बिट बाईं शिफ्ट को काउंटर करता है, और मूल बाइनरी एन्कोडिंग को पुनर्प्राप्त करने के लिए वह काउंटर शिफ्ट 2 बिट्स की एक दाईं शिफ्ट है जो 125 के घातांक मान द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है (क्योंकि 125 − 127 = -2 जो 2 बिट्स का दायां बदलाव है) जो बाइनरी में 0111 1101 है,
 * एक 23-बिट अंश फ़ील्ड: .0110 0000 0000 0000 0000 000.

हालाँकि इस तरह से फ़्लोटिंग पॉइंट नंबरों को हाथ से एन्कोड करना संभव है, कंप्यूटर को ऐसा करने देना आसान है और त्रुटि की संभावना कम है। निम्नलिखित जूलिया कोड संख्या 0.34375 की हाथ से गणना की गई फ़्लोटिंग पॉइंट एन्कोडिंग की पुष्टि करता है:

कॉम्प्लेक्स फूरियर श्रृंखला
किसी भी 2डी बंद आकृति का पता लगाने के लिए जटिल फूरियर श्रृंखला की क्षमता के एक उदाहरण के रूप में, आसन्न एनीमेशन में एक जटिल फूरियर श्रृंखला अक्षर 'ई' (घातांक के लिए) का पता लगाती है। एनीमेशन में दिखाए गए गतियों के जटिल समन्वय को देखते हुए, जटिल फूरियर श्रृंखला की परिभाषा केवल दो समीकरणों में आश्चर्यजनक रूप से कॉम्पैक्ट की जा सकती है:


 * $$\begin{align}

s(t) &= \sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{2 \pi int} \\ c_n &= \int_{0}^1 s(t) e^{-2\pi int} dt \\ \end{align}$$ जहां पैरामीटरयुक्त फ़ंक्शन एस(टी) जटिल विमान में कुछ 2डी बंद आकृति का पता लगाता है क्योंकि पैरामीटर टी 0 से 1 की अवधि के दौरान आगे बढ़ता है।

जटिल फूरियर श्रृंखला को परिभाषित करने वाले इन कॉम्पैक्ट समीकरणों को समझने में मदद के लिए, ध्यान दें कि जटिल फूरियर श्रृंखला का योग जटिल ज्यामितीय श्रृंखला के समान दिखता है, सिवाय इसके कि जटिल फूरियर श्रृंखला मूल रूप से दो जटिल ज्यामितीय श्रृंखलाएं हैं (सकारात्मक दिशा में घूमने वाले शब्दों का एक सेट) और नकारात्मक दिशा में घूमने वाले शब्दों का एक और सेट), और जटिल फूरियर श्रृंखला के गुणांक जटिल स्थिरांक हैं जो एक पद से दूसरे पद में भिन्न हो सकते हैं। पदों को किसी भी दिशा में घूमने की अनुमति देकर, श्रृंखला किसी भी 2डी बंद आकृति का पता लगाने में सक्षम हो जाती है। इसके विपरीत, जटिल ज्यामितीय श्रृंखला में सभी पद एक ही दिशा में घूमते हैं और यह केवल वृत्तों का पता लगा सकता है। जटिल ज्यामितीय श्रृंखला के गुणांकों को पद दर पद भिन्न-भिन्न करने की अनुमति देने से उन आकृतियों का विस्तार होगा जिनका वह पता लगा सकता है लेकिन सभी संभावित आकार अभी भी फूले हुए और बादल जैसे होने तक ही सीमित रहेंगे, एक सरल रेखा खंड के आकार का पता लगाने में सक्षम नहीं होंगे, उदाहरण के लिए 1 + i0 और -1 + i0 के बीच आगे और पीछे जाना। हालाँकि, यूलर के सूत्र से पता चलता है कि विपरीत दिशाओं में घूमने वाले केवल दो शब्दों को जोड़ने से 1 + i0 और -1 + i0 के बीच उस रेखा खंड का पता लगाया जा सकता है:


 * $$\begin{align}

e^{i\theta} &= \cos\theta + i\sin\theta \\ e^{-i\theta} &= \cos\theta - i\sin\theta \\ \cos\theta &= \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}. \\ \end{align}$$ गुणांकों की गणना करने के तरीके को परिभाषित करने वाले जटिल फूरियर श्रृंखला के दूसरे समीकरण के संबंध में, गैर-घूर्णन शब्द सी का गुणांक0 जटिल फूरियर श्रृंखला के पहले समीकरण को 0 से 1 तक की एक अवधि की सीमा में एकीकृत करके गणना की जा सकती है। उस सीमा पर, सभी घूर्णन शब्द शून्य में एकीकृत हो जाते हैं, केवल c को छोड़कर0. इसी प्रकार, जटिल फूरियर श्रृंखला के पहले समीकरण में किसी भी पद को समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा करके एक गैर-घूर्णन पद बनाया जा सकता है $$e^{-2\pi int}$$ सी की गणना करने के लिए एकीकृत करने से पहलेn, और वह जटिल फूरियर श्रृंखला दूसरा समीकरण है।

संदर्भ

 * Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 278–279, 1985.
 * Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 8, 1987.
 * Courant, R. and Robbins, H. "The Geometric Progression." §1.2.3 in What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd ed. Oxford, England: Oxford University Press, pp. 13–14, 1996.
 * James Stewart (2002). Calculus, 5th ed., Brooks Cole. ISBN 978-0-534-39339-7
 * Larson, Hostetler, and Edwards (2005). Calculus with Analytic Geometry, 8th ed., Houghton Mifflin Company. ISBN 978-0-618-50298-1
 * Pappas, T. "Perimeter, Area & the Infinite Series." The Joy of Mathematics. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, pp. 134–135, 1989.
 * Roger B. Nelsen (1997). Proofs without Words: Exercises in Visual Thinking, The Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-700-7
 * James Stewart (2002). Calculus, 5th ed., Brooks Cole. ISBN 978-0-534-39339-7
 * Larson, Hostetler, and Edwards (2005). Calculus with Analytic Geometry, 8th ed., Houghton Mifflin Company. ISBN 978-0-618-50298-1
 * Pappas, T. "Perimeter, Area & the Infinite Series." The Joy of Mathematics. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, pp. 134–135, 1989.
 * Roger B. Nelsen (1997). Proofs without Words: Exercises in Visual Thinking, The Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-700-7
 * Roger B. Nelsen (1997). Proofs without Words: Exercises in Visual Thinking, The Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-700-7
 * Roger B. Nelsen (1997). Proofs without Words: Exercises in Visual Thinking, The Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-700-7

इतिहास और दर्शन

 * सी. एच. एडवर्ड्स जूनियर (1994)। कैलकुलस का ऐतिहासिक विकास, तीसरा संस्करण, स्प्रिंगर। ISBN 978-0-387-94313-8.
 * वह माओरी है (1991)। टू इनफिनिटी एंड बियॉन्ड: ए कल्चरल हिस्ट्री ऑफ द इनफिनिटी, प्रिंसटन यूनिवर्सिटी प्रेस।  ISBN 978-0-691-02511-7
 * मोर लेज़ेरोविट्ज़ (2000)। तत्वमीमांसा की संरचना (दर्शनशास्त्र का अंतर्राष्ट्रीय पुस्तकालय), रूटलेज। ISBN 978-0-415-22526-7
 * मोर लेज़ेरोविट्ज़ (2000)। तत्वमीमांसा की संरचना (दर्शनशास्त्र का अंतर्राष्ट्रीय पुस्तकालय), रूटलेज। ISBN 978-0-415-22526-7

अर्थशास्त्र

 * कार्ल पी. साइमन और लॉरेंस ब्लूम (1994)। अर्थशास्त्रियों के लिए गणित, डब्ल्यू डब्ल्यू नॉर्टन एंड कंपनी। ISBN 978-0-393-95733-4
 * माइक रोसेर (2003)। अर्थशास्त्रियों के लिए बुनियादी गणित, दूसरा संस्करण, रूटलेज। ISBN 978-0-415-26784-7

जीवविज्ञान

 * एडवर्ड बैट्स्चेलेट (1992)। जीवन वैज्ञानिकों के लिए गणित का परिचय, तीसरा संस्करण, स्प्रिंगर। ISBN 978-0-387-09648-3
 * रिचर्ड एफ. बर्टन (1998)। संख्याओं द्वारा जीवविज्ञान: मात्रात्मक सोच के लिए एक प्रोत्साहन, कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस। ISBN 978-0-521-57698-7

कंप्यूटर विज्ञान

 * जॉन रास्ट हबर्ड (2000)। शाउम की सिद्धांत की रूपरेखा और जावा, मैकग्रा-हिल के साथ डेटा संरचनाओं की समस्याएं। ISBN 978-0-07-137870-3

बाहरी संबंध

 * "Geometric Series" by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
 * "Geometric Series" by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
 * "Geometric Series" by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
 * "Geometric Series" by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
 * "Geometric Series" by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
 * "Geometric Series" by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project, 2007.