संवृत और विवृत प्रतिचित्र (ओपन एंड क्लोज्ड मैप)

गणित में, विशेष रूप से टोपोलॉजी में, खुला मानचित्र दो टोपोलॉजिकल स्पेस के मध्य  फलन (गणित) है जो खुले सेट को खुले सेट में मैप करता है।  यानी  फंक्शन $$f : X \to Y$$ यदि किसी खुले सेट के लिए खुला है $$U$$ में $$X,$$ छवि (गणित) $$f(U)$$ में खुला है $$Y.$$ इसी तरह,  बंद मानचित्र  ऐसा फलन है जो बंद सेटों को बंद सेटों में मैप करता है।  मानचित्र खुला, बंद, दोनों या  भी नहीं हो सकता है; विशेष रूप से,  खुले मानचित्र को बंद करने की आवश्यकता नहीं है और इसके विपरीत। खुला और बंद मानचित्र आवश्यक रूप से सतत कार्य (टोपोलॉजी) नहीं हैं। इसके अलावा, निरंतरता सामान्य मामले में खुलेपन और बंदता से स्वतंत्र है और निरंतर कार्य में, दोनों, या कोई भी संपत्ति नहीं हो सकती है; यह तथ्य तब भी सत्य रहता है, जब कोई स्वयं को मीट्रिक स्थानों तक सीमित रखता है। हालाँकि उनकी परिभाषाएँ अधिक स्वाभाविक लगती हैं, खुले और बंद मानचित्र निरंतर मानचित्रों की तुलना में बहुत कम महत्वपूर्ण हैं। याद रखें, परिभाषा के अनुसार, फलन $$f : X \to Y$$ यदि प्रत्येक खुले सेट की पूर्वछवि निरंतर है $$Y$$ में खुला है $$X.$$ (समान रूप से, यदि प्रत्येक बंद सेट की प्रीइमेज $$Y$$ में बंद है $$X$$).

खुले मानचित्रों का प्रारंभिक अध्ययन सिमिओन स्टोइलो और गॉर्डन थॉमस व्हाईबर्न द्वारा किया गया था।

परिभाषाएँ और लक्षण वर्णन
अगर $$S$$ टोपोलॉजिकल स्पेस का  उपसमुच्चय है तो चलिए $$\overline{S}$$ और $$\operatorname{Cl} S$$ (सम्मान. $$\operatorname{Int} S$$)  समापन (टोपोलॉजी)  (संबंधित  आंतरिक (टोपोलॉजी) ) को दर्शाता है $$S$$ उस स्थान में. होने देना $$f : X \to Y$$ टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के मध्य फलन बनें। अगर $$S$$ तो क्या कोई सेट है $$f(S) := \left\{ f(s) ~:~ s \in S \cap \operatorname{domain} f \right\}$$ की छवि कहलाती है $$S$$ अंतर्गत $$f.$$

प्रतिस्पर्धी परिभाषाएँ
की दो अलग-अलग प्रतिस्पर्धी, लेकिन बारीकी से संबंधित परिभाषाएँ हैं जिसका व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, जहां इन दोनों परिभाषाओं को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है: यह मानचित्र है जो खुले सेट को खुले सेट में भेजता है। निम्नलिखित शब्दावली का उपयोग कभी-कभी दो परिभाषाओं के मध्य अंतर करने के लिए किया जाता है।

नक्षा $$f : X \to Y$$ ए कहा जाता है
 * अगर जब भी $$U$$ डोमेन का खुला सेट है $$X$$ तब $$f(U)$$ का  खुला उपसमुच्चय है $$f$$का कोडोमेन $$Y.$$ *अगर जब भी $$U$$ डोमेन का  खुला उपसमूह है $$X$$ तब $$f(U)$$ का  खुला उपसमुच्चय है $$f$$की छवि (गणित) $$\operatorname{Im} f := f(X),$$ जहां हमेशा की तरह, यह सेट इसके द्वारा प्रेरित उप-स्थान टोपोलॉजी से संपन्न है $$f$$का कोडोमेन $$Y.$$

प्रत्येक मजबूती से खुला मानचित्र अपेक्षाकृत खुला मानचित्र होता है। हालाँकि, ये परिभाषाएँ सामान्य रूप से समकक्ष नहीं हैं।


 * चेतावनी: कई लेखक खुले मानचित्र को इस अर्थ में परिभाषित करते हैं खुला मानचित्र (उदाहरण के लिए, गणित का विश्वकोश) जबकि अन्य खुले मानचित्र को अर्थ के रूप में परिभाषित करते हैं मानचित्र खोलें. सामान्य तौर पर, ये परिभाषाएँ हैं समतुल्य इसलिए यह सलाह दी जाती है कि हमेशा यह जांचें कि लेखक खुले मानचित्र की किस परिभाषा का उपयोग कर रहा है।

विशेषण फलन मानचित्र अपेक्षाकृत खुला होता है यदि और केवल यदि यह दृढ़ता से खुला हो; इसलिए इस महत्वपूर्ण विशेष मामले के लिए परिभाषाएँ समतुल्य हैं। अधिक सामान्यतः, मानचित्र $$f : X \to Y$$ अपेक्षाकृत खुला है यदि और केवल यदि विशेषण फलन $$f : X \to f(X)$$  दृढ़ता से खुला मानचित्र है.

क्योंकि $$X$$ सदैव खुला उपसमुच्चय होता है $$X,$$ छवि $$f(X) = \operatorname{Im} f$$  दृढ़ता से खुले मानचित्र का $$f : X \to Y$$ इसके कोडोमेन का  खुला उपसमुच्चय होना चाहिए $$Y.$$ वास्तव में,  अपेक्षाकृत खुला मानचित्र  दृढ़ता से खुला मानचित्र होता है यदि और केवल तभी जब इसकी छवि इसके कोडोमेन का  खुला उपसमुच्चय हो। सारांश,


 * मानचित्र दृढ़ता से खुला होता है यदि और केवल तभी जब वह अपेक्षाकृत खुला हो और उसकी छवि उसके कोडोमेन का खुला उपसमुच्चय हो।

इस लक्षण वर्णन का उपयोग करके, खुले मानचित्र की इन दो परिभाषाओं में से से जुड़े परिणामों को दूसरी परिभाषा से जुड़ी स्थिति में लागू करना अक्सर सीधा होता है।

उपरोक्त चर्चा बंद मानचित्रों पर भी लागू होगी यदि खुले शब्द के प्रत्येक उदाहरण को बंद शब्द से बदल दिया जाए।

नक्शे खोलें
नक्षा $$f : X \to Y$$ कहा जाता है या ए यदि यह निम्नलिखित समकक्ष शर्तों में से किसी को पूरा करता है:

 परिभाषा: $$f : X \to Y$$ इसके डोमेन के खुले उपसमुच्चय को इसके कोडोमेन के खुले उपसमुच्चय के साथ मैप करता है; अर्थात्, किसी भी खुले उपसमुच्चय के लिए $$U$$ का $$X$$, $$f(U)$$ का खुला उपसमुच्चय है $$Y.$$ <ली>$$f : X \to Y$$ यह अपेक्षाकृत खुला मानचित्र और उसकी छवि है $$\operatorname{Im} f := f(X)$$ इसके कोडोमेन का  खुला उपसमुच्चय है $$Y.$$ प्रत्येक के लिए $$x \in X$$ और प्रत्येक पड़ोस (टोपोलॉजी) $$N$$ का $$x$$ (हालांकि छोटा), $$f(N)$$ का पड़ोस है $$f(x)$$. हम इस स्थिति में पड़ोस शब्द के पहले या दोनों उदाहरणों को खुले पड़ोस से बदल सकते हैं और परिणाम अभी भी समकक्ष स्थिति होगी: <ली>$$f\left( \operatorname{Int}_X A \right) \subseteq \operatorname{Int}_Y ( f(A) )$$ सभी उपसमुच्चय के लिए $$A$$ का $$X,$$ कहाँ $$\operatorname{Int}$$ सेट के टोपोलॉजिकल इंटीरियर को दर्शाता है। जब भी $$C$$ का बंद सेट है $$X$$ फिर सेट $$\left\{ y \in Y ~:~ f^{-1}(y) \subseteq C \right\}$$ का  बंद उपसमुच्चय है $$Y.$$ 
 * हर के लिए $$x \in X$$ और हर खुला पड़ोस $$N$$ का $$x$$, $$f(N)$$ का पड़ोस है $$f(x)$$.
 * हर के लिए $$x \in X$$ और हर खुला पड़ोस $$N$$ का $$x$$, $$f(N)$$ का खुला पड़ोस है $$f(x)$$.
 * यह निर्धारित पहचान और संबंधों की सूची का परिणाम है $$f(X \setminus R) = Y \setminus \left\{ y \in Y : f^{-1}(y) \subseteq R \right\},$$ जो सभी उपसमुच्चय के लिए मान्य है $$R \subseteq X.$$

अगर $$\mathcal{B}$$ के लिए आधार (टोपोलॉजी) है $$X$$ तो निम्नलिखित को इस सूची में जोड़ा जा सकता है:


 * 1) <ली मान= 6 >$$f$$ इसके कोडोमेन में बेसिक ओपन सेट को ओपन सेट में मैप करता है (अर्थात, किसी भी बेसिक ओपन सेट के लिए $$B \in \mathcal{B},$$ $$f(B)$$ का  खुला उपसमुच्चय है $$Y$$).

बंद मानचित्र
नक्षा $$f : X \to Y$$ ए कहा जाता हैअगर जब भी $$C$$ डोमेन का बंद सेट है $$X$$ तब $$f(C)$$ का  बंद उपसमुच्चय है $$f$$की छवि (गणित) $$\operatorname{Im} f := f(X),$$ जहां हमेशा की तरह, यह सेट इसके द्वारा प्रेरित उप-स्थान टोपोलॉजी से संपन्न है $$f$$का कोडोमेन $$Y.$$ नक्षा $$f : X \to Y$$ ए कहा जाता है या ए यदि यह निम्नलिखित समकक्ष शर्तों में से किसी को पूरा करता है:

 परिभाषा: $$f : X \to Y$$ इसके डोमेन के बंद उपसमुच्चय को इसके कोडोमेन के बंद उपसमुच्चय से मैप करता है; अर्थात्, किसी भी बंद उपसमुच्चय के लिए $$C$$ का $$X,$$ $$f(C)$$ का बंद उपसमुच्चय है $$Y.$$ <वह>$$f : X \to Y$$ यह अपेक्षाकृत बंद मानचित्र और उसकी छवि है $$\operatorname{Im} f := f(X)$$ इसके कोडोमेन का  बंद उपसमुच्चय है $$Y.$$ <ली>$$\overline{f(A)} \subseteq f\left(\overline{A}\right)$$ प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए $$A \subseteq X.$$ <ली>$$\overline{f(C)} \subseteq f(C)$$ प्रत्येक बंद उपसमुच्चय के लिए $$C \subseteq X.$$ <ली>$$\overline{f(C)} = f(C)$$ प्रत्येक बंद उपसमुच्चय के लिए $$C \subseteq X.$$ जब भी $$U$$ का खुला उपसमुच्चय है $$X$$ फिर सेट $$\left\{y \in Y ~:~ f^{-1}(y) \subseteq U\right\}$$ का  खुला उपसमुच्चय है $$Y.$$ यदि $$x_{\bull}$$ में नेट (गणित) है $$X$$ और $$y \in Y$$  बिंदु ऐसा है $$f\left(x_{\bull}\right) \to y$$ में $$Y,$$ तब $$x_{\bull}$$ में त्रित हो जाता है $$X$$ सेट पर $$f^{-1}(y).$$ *अभिसरण $$x_{\bull} \to f^{-1}(y)$$ इसका मतलब है कि प्रत्येक खुला उपसमुच्चय $$X$$ उसमें सम्मिलित है $$f^{-1}(y)$$ शामिल है $$x_j$$ सभी पर्याप्त बड़े सूचकांकों के लिए $$j.$$ 

विशेषण फलन मानचित्र दृढ़ता से बंद होता है यदि और केवल यदि यह अपेक्षाकृत बंद होता है। तो इस महत्वपूर्ण विशेष मामले के लिए, दोनों परिभाषाएँ समतुल्य हैं। परिभाषा के अनुसार, मानचित्र $$f : X \to Y$$ अपेक्षाकृत बंद मानचित्र है यदि और केवल यदि विशेषण फलन $$f : X \to \operatorname{Im} f$$  दृढ़ता से बंद मानचित्र है.

यदि सतत फलन की खुली सेट परिभाषा में (जो कि कथन है: खुले सेट की प्रत्येक प्रीइमेज खुली है), ओपन शब्द के दोनों उदाहरणों को बंद के साथ बदल दिया जाता है, तो परिणामों का विवरण ( बंद सेट की प्रत्येक प्रीइमेज बंद है) है  निरंतरता के लिए. खुले मानचित्र की परिभाषा के साथ ऐसा नहीं होता है (जो है: खुले सेट की प्रत्येक छवि खुली है) क्योंकि यह कथन ( बंद सेट की प्रत्येक छवि बंद है) बंद मानचित्र की परिभाषा है, जो सामान्य रूप से है  खुलेपन के बराबर। ऐसे खुले मानचित्र भी मौजूद हैं जो बंद नहीं हैं और ऐसे बंद मानचित्र भी मौजूद हैं जो खुले नहीं हैं। खुले/बंद मानचित्रों और सतत मानचित्रों के मध्य यह अंतर अंततः किसी भी सेट के कारण होता है $$S,$$ केवल $$f(X \setminus S) \supseteq f(X) \setminus f(S)$$ सामान्य तौर पर इसकी गारंटी होती है, जबकि पूर्वछवियों के लिए समानता की गारंटी होती है $$f^{-1}(Y \setminus S) = f^{-1}(Y) \setminus f^{-1}(S)$$ हमेशा धारण करता है.

उदाहरण
कार्यक्रम $$f : \R \to \R$$ द्वारा परिभाषित $$f(x) = x^2$$ निरंतर, बंद और अपेक्षाकृत खुला है, लेकिन (दृढ़ता से) खुला नहीं है। इसका कारण यह है कि यदि $$U = (a, b)$$ में कोई खुला अंतराल है $$f$$का डोमेन $$\R$$ वैसा करता है रोकना $$0$$ तब $$f(U) = (\min \{ a^2, b^2 \}, \max \{ a^2, b^2 \}),$$ जहां यह खुला अंतराल दोनों का  खुला उपसमुच्चय है $$\R$$ और $$\operatorname{Im} f := f(\R) = [0, \infty).$$ हालांकि, यदि $$U = (a, b)$$ में कोई खुला अंतराल है $$\R$$ उसमें सम्मिलित है $$0$$ तब $$f(U) = [0, \max \{ a^2, b^2 \}),$$ जो कि  खुला उपसमुच्चय नहीं है $$f$$का कोडोमेन $$\R$$ लेकिन  का  खुला उपसमुच्चय $$\operatorname{Im} f = [0, \infty).$$ क्योंकि सभी खुले अंतरालों का सेट $$\R$$ यूक्लिडियन टोपोलॉजी के लिए  आधार (टोपोलॉजी) है $$\R,$$ इससे पता चलता है कि $$f : \R \to \R$$ अपेक्षाकृत खुला है लेकिन (दृढ़ता से) खुला नहीं है।

अगर $$Y$$ असतत टोपोलॉजी है (अर्थात, सभी उपसमुच्चय खुले और बंद हैं) फिर प्रत्येक फलन $$f : X \to Y$$ खुला और बंद दोनों है (लेकिन जरूरी नहीं कि निरंतर हो)। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्या से फर्श समारोह|$$\R$$पूर्णांक तक|$$\Z$$खुला और बंद है, लेकिन निरंतर नहीं। यह उदाहरण दिखाता है कि खुले या बंद मानचित्र के अंतर्गत जुड़े स्थान की छवि को कनेक्ट करने की आवश्यकता नहीं है।

जब भी हमारे पास टोपोलॉजिकल स्पेस का उत्पाद टोपोलॉजी होता है $$X=\prod X_i,$$ प्राकृतिक अनुमान $$p_i : X \to X_i$$ खुले हैं  (साथ ही निरंतर)। चूंकि फाइबर बंडलों और कवरिंग मानचित्रों के प्रक्षेपण उत्पादों के स्थानीय रूप से प्राकृतिक प्रक्षेपण हैं, इसलिए ये खुले मानचित्र भी हैं। हालाँकि अनुमानों को बंद करने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए प्रक्षेपण पर विचार करें $$p_1 : \R^2 \to \R$$ पहले घटक पर; फिर सेट $$A = \{(x, 1/x) : x \neq 0\}$$ में बंद है $$\R^2,$$ लेकिन $$p_1(A) = \R \setminus \{0\}$$ में बंद नहीं है $$\R.$$ हालाँकि, कॉम्पैक्ट स्थान के लिए $$Y,$$ प्रक्षेपण $$X \times Y \to X$$ बन्द है। यह मूलतः ट्यूब लेम्मा है।

इकाई चक्र के प्रत्येक बिंदु पर हम सकारात्मक कोण को जोड़ सकते हैं $$x$$-बिंदु को मूल बिंदु से जोड़ने वाली किरण के साथ अक्ष। यूनिट सर्कल से आधे खुले अंतराल (गणित) तक यह फलन विशेषण, खुला और बंद है, लेकिन निरंतर नहीं है। यह दर्शाता है कि खुले या बंद मानचित्र के नीचे सघन स्थान की छवि को कॉम्पैक्ट होने की आवश्यकता नहीं है। यह भी ध्यान दें कि यदि हम इसे इकाई वृत्त से वास्तविक संख्याओं तक का फलन मानें, तो यह न तो खुला है और न ही बंद है। कोडोमेन निर्दिष्ट करना आवश्यक है।

पर्याप्त स्थितियाँ
प्रत्येक होमियोमोर्फिज्म खुला, बंद और निरंतर है। वास्तव में, विशेषण सतत मानचित्र  समरूपता है यदि और केवल यदि यह खुला है, या समकक्ष रूप से, यदि और केवल यदि यह बंद है।

दो (दृढ़ता से) खुले मानचित्रों की कार्यात्मक संरचना खुला मानचित्र है और दो (दृढ़ता से) बंद मानचित्रों की संरचना  बंद मानचित्र है।  हालाँकि, दो अपेक्षाकृत खुले मानचित्रों की संरचना को अपेक्षाकृत खुला होने की आवश्यकता नहीं है और इसी तरह, दो अपेक्षाकृत बंद मानचित्रों की संरचना को अपेक्षाकृत बंद करने की आवश्यकता नहीं है। अगर $$f : X \to Y$$ दृढ़ता से खुला है (क्रमशः, दृढ़ता से बंद) और $$g : Y \to Z$$ तब अपेक्षाकृत खुला (क्रमशः, अपेक्षाकृत बंद) है $$g \circ f : X \to Z$$ अपेक्षाकृत खुला है (क्रमशः, अपेक्षाकृत बंद)।

होने देना $$f : X \to Y$$ मानचित्र हो. कोई उपसमुच्चय दिया गया है $$T \subseteq Y,$$ अगर $$f : X \to Y$$ अपेक्षाकृत खुला (क्रमशः, अपेक्षाकृत बंद, दृढ़ता से खुला, दृढ़ता से बंद, निरंतर, विशेषण फलन) मानचित्र है तो इसके प्रतिबंध के बारे में भी यही सच है $$f\big\vert_{f^{-1}(T)} ~:~ f^{-1}(T) \to T$$ संतृप्त सेट के लिए|$$f$$-संतृप्त उपसमुच्चय $$f^{-1}(T).$$ दो खुले नक्शों का स्पष्ट योग खुला है, या दो बंद नक्शों का बंद है। दो खुले मानचित्रों का श्रेणीबद्ध उत्पाद (टोपोलॉजी) खुला है, हालाँकि, दो बंद मानचित्रों के श्रेणीबद्ध उत्पाद को बंद करने की आवश्यकता नहीं है। विशेषण मानचित्र तभी खुला होता है जब वह बंद हो। विशेषण सतत मानचित्र का व्युत्क्रम विशेषण खुला/बंद मानचित्र है (और इसके विपरीत)। विशेषण खुला मानचित्र आवश्यक रूप से बंद मानचित्र नहीं होता है, और इसी तरह,  विशेषण बंद मानचित्र आवश्यक रूप से  खुला मानचित्र नहीं होता है। सभी स्थानीय होमोमोर्फिज्म, जिसमें  कई गुना ्स पर सभी समन्वय चार्ट और सभी कवरिंग मानचित्र शामिल हैं, खुले मानचित्र हैं।

$$

बंद मानचित्र लेम्मा का प्रकार बताता है कि यदि स्थानीय रूप स्थानीय रूप से सघन स्थान हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान के मध्य  सतत कार्य उचित है तो यह भी बंद है।

जटिल विश्लेषण में, समान रूप से नामित ओपन मैपिंग प्रमेय (जटिल विश्लेषण) बताता है कि जटिल विमान के कनेक्टेड स्पेस ओपन उपसमुच्चय पर परिभाषित प्रत्येक गैर-स्थिर होलोमोर्फिक फलन खुला मानचित्र है।

डोमेन प्रमेय का अपरिवर्तन बताता है कि दो के मध्य सतत और स्थानीय रूप से इंजेक्शन फलन $$n$$-डायमेंशनल मैनिफोल्ड खुला होना चाहिए।

$$

कार्यात्मक विश्लेषण में, ओपन मैपिंग प्रमेय (कार्यात्मक विश्लेषण) बताता है कि बानाच रिक्त स्थान के मध्य प्रत्येक विशेषण निरंतर रैखिक ऑपरेटर खुला मानचित्र है। इस प्रमेय को केवल बानाच रिक्त स्थान से परे टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस स्थान के लिए सामान्यीकृत किया गया है।

विशेषण मानचित्र $$f : X \to Y$$ कहा जाता है यदि प्रत्येक के लिए $$y \in Y$$ वहाँ कुछ मौजूद है $$x \in f^{-1}(y)$$ ऐसा है कि $$x$$  है के लिए $$f,$$ जिसका परिभाषा के अनुसार अर्थ यह है कि प्रत्येक खुले पड़ोस के लिए $$U$$ का $$x,$$ $$f(U)$$ का पड़ोस (टोपोलॉजी) है $$f(x)$$ में $$Y$$ (ध्यान दें कि पड़ोस $$f(U)$$ होना आवश्यक नहीं है  अड़ोस-पड़ोस)। प्रत्येक विशेषण खुला मानचित्र लगभग खुला मानचित्र होता है लेकिन सामान्य तौर पर, इसका विपरीत आवश्यक रूप से सत्य नहीं होता है। यदि अनुमान $$f : (X, \tau) \to (Y, \sigma)$$  लगभग खुला मानचित्र है तो यह  खुला मानचित्र होगा यदि यह निम्नलिखित शर्त को पूरा करता है ( शर्त जो करता है किसी भी तरह से निर्भर रहें $$Y$$की टोपोलॉजी $$\sigma$$):
 * जब कभी भी $$m, n \in X$$ के ही फाइबर (गणित) से संबंधित हैं $$f$$ (वह है, $$f(m) = f(n)$$) फिर हर पड़ोस के लिए $$U \in \tau$$ का $$m,$$ वहाँ कुछ पड़ोस मौजूद है $$V \in \tau$$ का $$n$$ ऐसा है कि $$F(V) \subseteq F(U).$$ यदि मानचित्र निरंतर है तो मानचित्र के खुले होने के लिए भी उपरोक्त शर्त आवश्यक है। अर्थात यदि $$f : X \to Y$$ यदि यह  सतत प्रक्षेपण है तो यह  खुला मानचित्र है यदि और केवल यदि यह लगभग खुला है और यह उपरोक्त शर्त को पूरा करता है।

खुले या बंद मानचित्र जो निरंतर हैं
अगर $$f : X \to Y$$ सतत मानचित्र है जो खुला भी है  फिर बंद:
 * अगर $$f$$ अनुमान है तो यह  भागफल मानचित्र (टोपोलॉजी) है और यहां तक ​​कि  आनुवंशिक रूप से भागफल मानचित्र भी है,
 * विशेषण मानचित्र $$f : X \to Y$$ कहा जाता है यदि प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए $$T \subseteq Y,$$ प्रतिबंध $$f\big\vert_{f^{-1}(T)} ~:~ f^{-1}(T) \to T$$  भागफल मानचित्र है.
 * अगर $$f$$ यदि यह इंजेक्शन का कार्य है तो यह  टोपोलॉजिकल एम्बेडिंग है।
 * अगर $$f$$ यदि यह आक्षेप है तो यह  समरूपता है।

पहले दो मामलों में, खुला या बंद होना आगे आने वाले निष्कर्ष के लिए पर्याप्त शर्त मात्र है। तीसरी स्थिति में भी यह आवश्यक शर्त है।

निरंतर मानचित्र खोलें
अगर $$f : X \to Y$$ सतत (दृढ़ता से) खुला मानचित्र है, $$A \subseteq X,$$ और $$S \subseteq Y,$$ तब:

<ul> <ली>$$f^{-1}\left(\operatorname{Bd}_Y S\right) = \operatorname{Bd}_X \left(f^{-1}(S)\right)$$ कहाँ $$\operatorname{Bd}$$ सेट की सीमा (टोपोलॉजी) को दर्शाता है। <ली>$$f^{-1}\left(\overline{S}\right) = \overline{f^{-1}(S)}$$ कहाँ $$\overline{S}$$ किसी सेट के क्लोजर (टोपोलॉजी) को निरूपित करें। यदि $$\overline{A} = \overline{\operatorname{Int}_X A},$$ कहाँ $$\operatorname{Int} $$ तब, सेट के इंटीरियर (टोपोलॉजी) को दर्शाता है $$\overline{\operatorname{Int}_Y f(A)} = \overline{f(A)} = \overline{f\left(\operatorname{Int}_X A\right)} = \overline{f \left(\overline{\operatorname{Int}_X A}\right)}$$ यह सेट कहां है $$\overline{f(A)}$$ यह भी आवश्यक रूप से नियमित बंद सेट (में) है $$Y$$). विशेषकर, यदि $$A$$ यदि यह  नियमित बंद सेट है तो ऐसा ही है $$\overline{f(A)}.$$ और अगर $$A$$  नियमित खुला सेट है तो ऐसा ही है $$Y \setminus \overline{f(X \setminus A)}.$$ </li> यदि निरंतर खुला मानचित्र $$f : X \to Y$$ तब यह भी विशेषण है $$\operatorname{Int}_X f^{-1}(S) = f^{-1}\left(\operatorname{Int}_Y S\right)$$ और इसके अलावा, $$S$$  नियमित खुला है (सम्मानित  नियमित बंद) का भाग $$Y$$ अगर और केवल अगर $$f^{-1}(S)$$ का  नियमित खुला (सम्मानित  नियमित बंद) उपसमुच्चय है $$X.$$ </li> यदि  नेट (गणित) $$y_{\bull} = \left(y_i\right)_{i \in I}$$ अभिसारी जाल में $$Y$$  स्तर तक $$y \in Y$$ और यदि निरंतर खुला मानचित्र $$f : X \to Y$$ विशेषण है, फिर किसी के लिए $$x \in f^{-1}(y)$$ वहाँ  जाल मौजूद है $$x_{\bull} = \left(x_a\right)_{a \in A}$$ में $$X$$ (कुछ निर्देशित सेट द्वारा अनुक्रमित $$A$$) ऐसा है कि $$x_{\bull} \to x$$ में $$X$$ और $$f\left(x_{\bull}\right) := \left(f\left(x_a\right)\right)_{a \in A}$$ का  सबनेट (गणित) है $$y_{\bull}.$$ इसके अलावा, अनुक्रमण सेट $$A$$ माना जा सकता है $$A := I \times \mathcal{N}_x$$ उत्पाद ऑर्डर के साथ जहां $$\mathcal{N}_x$$ का कोई पड़ोस आधार है $$x$$ निर्देशक $$\,\supseteq.\,$$ </li> </ul>