औपचारिकता (गणित का दर्शन)

गणित के दर्शन में, औपचारिकता वह दृष्टिकोण है जो मानता है कि गणित और तर्क के बयानों को स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान) के हेरफेर के परिणामों के बारे में बयान माना जा सकता है (प्रतीकों के अल्फ़ान्यूमेरिक अनुक्रम, आमतौर पर समीकरणों के रूप में) स्थापित नियम का उपयोग करके अनुमान का। औपचारिकता का एक केंद्रीय विचार यह है कि गणित वास्तविकता के एक सार क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करने वाले प्रस्तावों का एक निकाय नहीं है, बल्कि एक खेल के लिए बहुत अधिक समान है, इसके साथ लूडो (बोर्ड गेम) की तुलना में वस्तुओं या गुणों के सत्तामीमांसा के लिए अधिक प्रतिबद्धता नहीं है। शतरंज। औपचारिकता के अनुसार, तर्क और गणित में व्यक्त सत्य संख्याओं, समुच्चयों, या त्रिकोणों या किसी अन्य व्यापक विषय वस्तु के बारे में नहीं हैं - वास्तव में, वे किसी भी चीज़ के बारे में नहीं हैं। बल्कि, गणितीय कथन सिंटैक्स (तर्क) रूप हैं जिनके आकार और स्थानों का कोई अर्थ नहीं है जब तक कि उन्हें व्याख्या (तर्क) (या शब्दार्थ) नहीं दिया जाता है। गणितीय यथार्थवाद, तर्कवाद, या अंतर्ज्ञानवाद के विपरीत, व्यापक दृष्टिकोणों के कारण औपचारिकता की रूपरेखा कम परिभाषित होती है जिसे औपचारिकतावादी के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है।

यथार्थवाद और अंतर्ज्ञानवाद के साथ, औपचारिकता गणित के दर्शन में मुख्य सिद्धांतों में से एक है जो उन्नीसवीं सदी के अंत और बीसवीं सदी की शुरुआत में विकसित हुई थी। औपचारिकतावादियों में, डेविड हिल्बर्ट सबसे प्रमुख अधिवक्ता थे।

प्रारंभिक औपचारिकता
प्रारंभिक गणितीय औपचारिकतावादियों ने अमूर्त वस्तुओं के एक समस्याग्रस्त क्षेत्र के लिए किसी भी सत्तामूलक प्रतिबद्धता को अवरुद्ध करने, टालने, या (किसी तरह) से बचने का प्रयास किया। जर्मन गणितज्ञ एडुआर्ड हेइन और कार्ल जोहान्स थोमे को गणितीय औपचारिकता का शुरुआती समर्थक माना जाता है। हेइन और थोमे की औपचारिकता द फाउंडेशन ऑफ अरिथमेटिक में गोटलॉब फ्रेज की आलोचनाओं में पाई जा सकती है।

एलन वियर के अनुसार, हेइन और थोमे की औपचारिकता जिसे फ्रीज हमलों का वर्णन किया जा सकता है [डी] शब्द औपचारिकता या खेल औपचारिकता के रूप में। औपचारिकतावाद शब्द का दृष्टिकोण है कि गणितीय अभिव्यक्तियाँ प्रतीकों को संदर्भित करती हैं, संख्याओं को नहीं। हेइन ने इस विचार को इस प्रकार व्यक्त किया: जब परिभाषा की बात आती है, तो मैं विशुद्ध रूप से औपचारिक स्थिति लेता हूं, जिसमें मैं कुछ मूर्त संकेत संख्याएं कहता हूं, ताकि इन संख्याओं का अस्तित्व प्रश्न में न हो। थोमे को एक खेल औपचारिकतावादी के रूप में चित्रित किया गया है जिन्होंने दावा किया है कि [एफ] या औपचारिकतावादी, अंकगणित एक खेल है जिसमें संकेत होते हैं जिन्हें खाली कहा जाता है। इसका मतलब है कि उनके पास संयोजन के कुछ नियमों (खेल के नियम) के संबंध में उनके व्यवहार द्वारा निर्दिष्ट की तुलना में कोई अन्य सामग्री नहीं है (गणना खेल में)। फ्रेज हेइन और थोमे के औपचारिकतावाद की तीन आलोचनाएं प्रदान करता है: कि [औपचारिकता] गणित के अनुप्रयोग के लिए जिम्मेदार नहीं हो सकती है; यह औपचारिक सिद्धांत को मेटाथ्योरी के साथ भ्रमित करता है; [और] कि यह एक अनंत अनुक्रम की अवधारणा का कोई सुसंगत स्पष्टीकरण नहीं दे सकता है। हेइन की औपचारिकता की फ्रीज की आलोचना यह है कि उनकी औपचारिकता अनंत अनुक्रमों के लिए जिम्मेदार नहीं हो सकती है। डमेट का तर्क है कि हेइन के खाते की तुलना में औपचारिकता के अधिक विकसित खाते फ्रीज की आपत्तियों से बच सकते हैं, यह दावा करते हुए कि वे ठोस वस्तुओं के बजाय अमूर्त प्रतीकों से संबंधित हैं। शतरंज जैसे खेल के साथ औपचारिकता की तुलना करने के लिए वस्तुओं को फ्रीज करें। फ्रीज का तर्क है कि थोमे की औपचारिकता खेल और सिद्धांत के बीच अंतर करने में विफल रहती है।

हिल्बर्ट की औपचारिकता
औपचारिकतावाद का एक प्रमुख व्यक्ति डेविड हिल्बर्ट था, जिसके हिल्बर्ट के कार्यक्रम का उद्देश्य सभी गणित की पूर्णता (तर्क) और निरंतरता स्वयंसिद्ध होना था। हिल्बर्ट का उद्देश्य गणितीय प्रणालियों की निरंतरता को इस धारणा से दिखाना था कि परिमित अंकगणित (सकारात्मक पूर्णांकों के सामान्य अंकगणित का एक उपतंत्र, जिसे दार्शनिक रूप से अविवादास्पद चुना गया) सुसंगत था (अर्थात प्रणाली से कोई विरोधाभास प्राप्त नहीं किया जा सकता है)।

जिस तरह से डेविड हिल्बर्ट ने यह दिखाने की कोशिश की कि एक स्वयंसिद्ध प्रणाली सुसंगत थी, वह एक विशेष भाषा का उपयोग करके औपचारिक रूप से थी। एक स्वयंसिद्ध प्रणाली को औपचारिक रूप देने के लिए, आपको पहले एक ऐसी भाषा चुननी होगी जिसमें आप उस प्रणाली के भीतर संचालन को अभिव्यक्त और निष्पादित कर सकें। इस भाषा में पाँच घटक शामिल होने चाहिए:


 * इसमें x जैसे चर शामिल होने चाहिए, जो किसी संख्या के लिए खड़े हो सकते हैं।
 * इसमें क्वांटिफायर जैसे किसी वस्तु के अस्तित्व के लिए प्रतीक होना चाहिए।
 * इसमें समानता शामिल होनी चाहिए।
 * इसमें संयोजी शामिल होना चाहिए जैसे कि ↔ अगर और केवल अगर के लिए।
 * इसमें कुछ अपरिभाषित शब्द शामिल होने चाहिए जिन्हें पैरामीटर कहा जाता है। ज्यामिति के लिए, ये अपरिभाषित शब्द एक बिंदु या एक रेखा की तरह हो सकते हैं, जिसके लिए हम अभी भी प्रतीक चुनते हैं।

इस भाषा को अपनाने से, डेविड हिल्बर्ट ने सोचा कि हम किसी भी स्वयंसिद्ध प्रणाली के भीतर सभी प्रमेयों को सिद्ध कर सकते हैं, स्वयं स्वयंसिद्धों और चुनी हुई औपचारिक भाषा से अधिक कुछ नहीं।

गोडेल | गोडेल के अपने गोडेल के अपूर्णता प्रमेय में गोडेल का निष्कर्ष यह था कि आप शास्त्रीय अंकगणित को शामिल करने के लिए पर्याप्त रूप से समृद्ध किसी सुसंगत स्वयंसिद्ध प्रणाली के भीतर निरंतरता साबित नहीं कर सकते। एक ओर, आपको इस स्वयंसिद्ध प्रणाली को औपचारिक रूप देने के लिए चुनी गई औपचारिक भाषा का ही उपयोग करना चाहिए; दूसरी ओर, इस भाषा की निरंतरता को अपने आप में सिद्ध करना असंभव है। डेविड हिल्बर्ट मूल रूप से गोडेल के काम से निराश थे क्योंकि इसने संख्या सिद्धांत में सब कुछ पूरी तरह से औपचारिक बनाने के उनके जीवन के लक्ष्य को चकनाचूर कर दिया। हालाँकि, गोडेल को यह नहीं लगा कि उन्होंने डेविड हिल्बर्ट के बारे में सब कुछ का खंडन किया है। हिल्बर्ट के औपचारिक दृष्टिकोण। गोडेल ने अपने काम को प्रकाशित करने के बाद, यह स्पष्ट हो गया कि प्रमाण सिद्धांत का अभी भी कुछ उपयोग था, केवल अंतर यह है कि इसका उपयोग सभी संख्या सिद्धांत की स्थिरता को साबित करने के लिए नहीं किया जा सकता था, जैसा कि डेविड हिल्बर्ट ने उम्मीद की थी।

हिल्बर्ट शुरू में एक निगमनकर्ता थे, लेकिन उन्होंने आंतरिक रूप से सार्थक परिणाम प्राप्त करने के लिए कुछ मेटामैथमैटिक्स विधियों पर विचार किया और गणित के दर्शनशास्त्र #गणितीय यथार्थवाद के संबंध में परिमित अंकगणित थे। बाद में, उन्होंने राय रखी कि व्याख्या की परवाह किए बिना कोई अन्य अर्थपूर्ण गणित नहीं था।

आगे के घटनाक्रम
रुडोल्फ कार्नाप जैसे अन्य औपचारिकतावादियों ने गणित को औपचारिक प्रणाली की जांच माना। हास्केल करी ने गणित को औपचारिक प्रणालियों के विज्ञान के रूप में परिभाषित किया है। करी की औपचारिकता शब्द औपचारिकतावादी, खेल औपचारिकतावादी या हिल्बर्ट की औपचारिकता के विपरीत है। करी के लिए, गणितीय औपचारिकता गणित की औपचारिक संरचना के बारे में है न कि औपचारिक प्रणाली के बारे में। स्टीवर्ट शापिरो ऐतिहासिक थीसिस से शुरू होने के रूप में करी की औपचारिकता का वर्णन करता है कि जैसे-जैसे गणित की एक शाखा विकसित होती है, यह अपनी कार्यप्रणाली में अधिक से अधिक कठोर हो जाती है, अंतिम परिणाम औपचारिक निगमनात्मक प्रणालियों में शाखा का संहिताकरण होता है।

रीतिवाद की आलोचना
कर्ट गोडेल ने स्वयंसिद्ध प्रणालियों में स्थिरता के प्रश्न को संबोधित करते हुए औपचारिकता के कमजोर बिंदुओं में से एक का संकेत दिया।

बर्ट्रेंड रसेल ने तर्क दिया है कि औपचारिकता यह समझाने में विफल है कि बयानों में संख्याओं के भाषाई अनुप्रयोग का क्या अर्थ है जैसे कि कमरे में तीन पुरुष हैं।

यह भी देखें

 * क्यूईडी परियोजना
 * औपचारिक तार्किक प्रणाली
 * औपचारिक गणित