एचपीओ औपचारिकता

हिस्ट्री प्रोजेक्शन ऑपरेटर (एचपीओ) औपचारिकता क्रिस्टोफर ईशम द्वारा विकसित लौकिक तर्क क्वांटम तर्क के लिए एक दृष्टिकोण है। यह समय के विभिन्न बिंदुओं पर क्वांटम यांत्रिकी प्रस्तावों की तार्किक संरचना से संबंधित है।

परिचय
मानक क्वांटम यांत्रिकी में एक भौतिक प्रणाली हिल्बर्ट अंतरिक्ष से जुड़ी होती है $$\mathcal{H}$$. एक निश्चित समय पर सिस्टम की अवस्थाओं को अंतरिक्ष में सामान्यीकृत वैक्टर द्वारा दर्शाया जाता है और भौतिक वेधशालाओं को हर्मिटियन संचालक द्वारा दर्शाया जाता है $$\mathcal{H}$$.

एक भौतिक प्रस्ताव $$\,P$$ एक निश्चित समय पर सिस्टम के बारे में एक ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन ऑपरेटर द्वारा दर्शाया जा सकता है $$\hat{P}$$ पर $$\mathcal{H}$$ (क्वांटम लॉजिक # प्रोजेक्शन को प्रस्तावों के रूप में देखें)। यह प्रतिनिधित्व तार्किक प्रस्तावों की जाली और हिल्बर्ट स्पेस पर प्रोजेक्शन ऑपरेटरों की जाली में जाली (आदेश) संचालन को एक साथ जोड़ता है (क्वांटम तर्क # एक क्वांटम यांत्रिक प्रणाली के प्रस्तावक जाली देखें)।

HPO औपचारिकता प्रणाली के बारे में उन प्रस्तावों के लिए इन विचारों का एक स्वाभाविक विस्तार है जो एक से अधिक बार संबंधित हैं।

सजातीय इतिहास
एक सजातीय इतिहास प्रस्ताव $$\,\alpha $$ एकल-बार प्रस्तावों का एक क्रम है $$\alpha_{t_i}$$ अलग-अलग समय पर निर्दिष्ट $$t_1 < t_2 < \ldots < t_n $$. इन समयों को इतिहास का लौकिक सहारा कहा जाता है। हम प्रस्ताव को निरूपित करेंगे $$\,\alpha$$ जैसा $$(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$$ और इसे इस रूप में पढ़ें$$\alpha_{t_1}$$ समय पर $$t_1$$ सच है और फिर $$\alpha_{t_2}$$ समय पर $$t_2$$ सच है और फिर $$\ldots$$ और तब $$\alpha_{t_n}$$ समय पर $$t_n$$ क्या सच है

अमानवीय इतिहास
सभी इतिहास प्रस्तावों को अलग-अलग समय पर एक बार के प्रस्तावों के अनुक्रम द्वारा प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है। इन्हें अमानवीय इतिहास प्रस्ताव कहा जाता है। एक उदाहरण प्रस्ताव है $$\,\alpha$$ या $$\,\beta$$ दो सजातीय इतिहास के लिए $$\,\alpha, \beta$$.

इतिहास प्रक्षेपण ऑपरेटर
एचपीओ औपचारिकता का मुख्य अवलोकन इतिहास हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर प्रक्षेपण ऑपरेटरों द्वारा इतिहास प्रस्तावों का प्रतिनिधित्व करना है। यहीं से हिस्ट्री प्रोजेक्शन ऑपरेटर (HPO) नाम आता है।

एक समान इतिहास के लिए $$\alpha = (\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$$ हम प्रोजेक्टर को परिभाषित करने के लिए हिल्बर्ट स्पेस के टेंसर उत्पाद # टेंसर उत्पाद का उपयोग कर सकते हैं

$$\hat{\alpha}:= \hat{\alpha}_{t_1} \otimes \hat{\alpha}_{t_2} \otimes \ldots \otimes \hat{\alpha}_{t_n}$$ कहाँ $$\hat{\alpha}_{t_i}$$ प्रोजेक्शन ऑपरेटर चालू है $$\mathcal{H}$$ जो प्रस्ताव का प्रतिनिधित्व करता है $$\alpha_{t_i}$$ समय पर $$t_i$$.

यह $$\hat{\alpha}$$ टेंसर उत्पाद इतिहास हिल्बर्ट स्पेस पर एक प्रोजेक्शन ऑपरेटर है $$H = \mathcal{H} \otimes \mathcal{H} \otimes \ldots \otimes \mathcal{H} $$ सभी प्रोजेक्शन ऑपरेटर चालू नहीं हैं $$H$$ प्रपत्र के टेंसर उत्पादों के योग के रूप में लिखा जा सकता है $$\hat{\alpha}$$. इन अन्य प्रोजेक्शन ऑपरेटरों का उपयोग सजातीय इतिहासों के जाली संचालन को लागू करके अमानवीय इतिहास का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है।

लौकिक क्वांटम तर्क
इतिहास पर प्रोजेक्टरों द्वारा इतिहास प्रस्तावों का प्रतिनिधित्व हिल्बर्ट स्पेस स्वाभाविक रूप से इतिहास प्रस्तावों की तार्किक संरचना को कूटबद्ध करता है। इतिहास हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर प्रक्षेपण संचालन के सेट पर जाली (आदेश) संचालन $$H$$ इतिहास प्रस्तावों पर तार्किक संचालन के जाल के मॉडल के लिए लागू किया जा सकता है।

यदि दो सजातीय इतिहास $$\,\alpha $$ और $$\,\beta$$ उसी अस्थायी समर्थन को साझा न करें जिसे वे संशोधित कर सकते हैं ताकि वे ऐसा कर सकें। अगर $$\,t_i$$ के अस्थायी समर्थन में है $$\,\alpha$$ लेकिन नहीं $$\,\beta$$ (उदाहरण के लिए) फिर एक नया सजातीय इतिहास प्रस्ताव जो इससे अलग है $$\,\beta$$ हर समय हमेशा सत्य प्रस्ताव को शामिल करके $$\,t_i$$ बन सकता है। इस प्रकार लौकिक का समर्थन करता है $$\,\alpha, \beta$$ हमेशा एक साथ जुड़ सकते हैं। इसलिए हम मान लेंगे कि सभी सजातीय इतिहास समान लौकिक समर्थन साझा करते हैं।

अब हम सजातीय इतिहास प्रस्तावों के लिए तार्किक संचालन प्रस्तुत करते हैं $$\,\alpha $$ और $$\,\beta$$ ऐसा है कि $$\hat{\alpha} \hat{\beta} = \hat{\beta}\hat{\alpha} $$

संयोजन (और)
अगर $$\alpha$$ और $$\beta$$ दो सजातीय इतिहास हैं तो इतिहास प्रस्ताव$$\,\alpha$$ और $$\,\beta$$एक समान इतिहास भी है। यह प्रक्षेपण ऑपरेटर द्वारा दर्शाया गया है

$$\widehat{\alpha \wedge \beta}:= \hat{\alpha} \hat{\beta}$$ $$(= \hat{\beta} \hat{\alpha})$$

वियोग (या)
अगर $$\alpha$$ और $$\beta$$ दो सजातीय इतिहास हैं तो इतिहास प्रस्ताव$$\,\alpha$$ या $$\,\beta$$आम तौर पर एक सजातीय इतिहास नहीं है। यह प्रक्षेपण ऑपरेटर द्वारा दर्शाया गया है

$$\widehat{\alpha \vee \beta}:= \hat{\alpha} + \hat{\beta} - \hat{\alpha}\hat{\beta}$$

निषेध (नहीं)
प्रक्षेपण ऑपरेटरों की जाली में नकारात्मक कार्रवाई होती है $$ \hat{P} $$ को

$$\neg \hat{P} := \mathbb{I} - \hat{P}$$ कहाँ $$\mathbb{I}$$ हिल्बर्ट स्पेस पर पहचान ऑपरेटर  है। इस प्रकार प्रोजेक्टर प्रस्ताव का प्रतिनिधित्व करता था $$\neg \alpha$$ (अर्थात् नहीं $$\alpha$$) है

$$\widehat{\neg \alpha}:= \mathbb{I} - \hat{\alpha}.$$

उदाहरण: दो बार का इतिहास
एक उदाहरण के रूप में, दो बार के सजातीय इतिहास प्रस्ताव के निषेध पर विचार करें $$\,\alpha = (\alpha_1, \alpha_2)$$. प्रोजेक्टर प्रस्ताव का प्रतिनिधित्व करने के लिए $$\neg \alpha$$ है

$$\widehat{\neg \alpha} = \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} - \hat{\alpha}_1 \otimes \hat{\alpha}_2$$ $$= (\mathbb{I} - \hat{\alpha}_1) \otimes \hat{\alpha}_2 + \hat{\alpha}_1 \otimes (\mathbb{I} - \hat{\alpha}_2) + (\mathbb{I} - \hat{\alpha}_1) \otimes (\mathbb{I} - \hat{\alpha}_2)$$ इस अभिव्यक्ति में आने वाले शब्द:


 * $$(\mathbb{I} - \hat{\alpha}_1) \otimes \hat{\alpha}_2$$
 * $$\hat{\alpha}_1 \otimes (\mathbb{I} - \hat{\alpha}_2) $$
 * $$(\mathbb{I} - \hat{\alpha}_1) \otimes (\mathbb{I} - \hat{\alpha}_2) $$.

प्रत्येक की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है:
 * $$\,\alpha_1 $$ झूठा है और $$\,\alpha_2 $$ क्या सच है
 * $$\,\alpha_1 $$ सच है और $$\,\alpha_2 $$ गलत है
 * दोनों $$\,\alpha_1 $$ झूठा है और $$\,\alpha_2 $$ गलत है

ये तीन सजातीय इतिहास, OR ऑपरेशन के साथ मिलकर, प्रस्ताव के तरीके के लिए सभी संभावनाएं शामिल करते हैं$$\,\alpha_1$$ और तब $$\,\alpha_2$$झूठा हो सकता है। इसलिए हम देखते हैं कि की परिभाषा $$\widehat{\neg \alpha}$$ किस प्रस्ताव से सहमत हैं $$\neg \alpha$$ मतलब होना चाहिए।

संदर्भ

 * C.J. Isham, Quantum Logic and the Histories Approach to Quantum Theory, J. Math. Phys. 35 (1994) 2157-2185, arXiv:gr-qc/9308006v1