ग्रीन का फलन (अनेक-निकाय सिद्धांत)

कई-निकाय सिद्धांत में, ग्रीन का फलन (या ग्रीन फलन) शब्द का उपयोग कभी-कभी सहसंबंध फलन (क्वांटम फ़ील्ड सिद्धांत) के साथ परस्पर विनिमय के लिए किया जाता है, किन्तु विशेष रूप से फ़ील्ड ऑपरेटरों या निर्माण और विलोपन ऑपरेटरों के सहसंबंधकों को संदर्भित करता है।

यह नाम ग्रीन के फलनों से आया है जिसका उपयोग असमघाती अंतर समीकरणों का समाधान करने के लिए किया जाता है, जिससे वे शिथिल रूप से संबंधित होते हैं। ( विशेष रूप से, गैर-इंटरेक्टिंग प्रणाली के स्थितियों में केवल दो-बिंदु 'ग्रीन के फलन' गणितीय अर्थ में ग्रीन के फलन हैं: रैखिक ऑपरेटर जिसे वे व्युत्क्रम देते हैं वह हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) है, जो गैर-इंटरैक्टिंग स्थितियों में फ़ील्ड में द्विघात है।)

मूलभूत परिभाषाएँ
हम फ़ील्ड ऑपरेटर (स्थिति के आधार पर विलोपन ऑपरेटर) $$\psi(\mathbf{x})$$ के साथ कई-निकाय सिद्धांत पर विचार करते हैं।

हाइजेनबर्ग ऑपरेटरों को श्रोडिंगर ऑपरेटरों के रूप में लिखा जा सकता है $$\psi(\mathbf{x},t) = e^{i K t} \psi(\mathbf{x}) e^{-i K t}, $$और निर्माण संचालक $$\bar\psi(\mathbf{x},t) = [\psi(\mathbf{x},t)]^\dagger$$ है, जहाँ $$K = H - \mu N$$ ग्रैंड-कैनोनिकल हैमिल्टनियन है।

इसी प्रकार, काल्पनिक समय ऑपरेटरों के लिए, $$\psi(\mathbf{x},\tau) = e^{K \tau} \psi(\mathbf{x}) e^{-K\tau}$$$$\bar\psi(\mathbf{x},\tau) = e^{K \tau} \psi^\dagger(\mathbf{x}) e^{-K\tau}.$$ [ध्यान दें कि काल्पनिक-समय निर्माण ऑपरेटर $$\bar\psi(\mathbf{x},\tau)$$ विलोपन ऑपरेटर $$\psi(\mathbf{x},\tau)$$ का हर्मिटियन संयुग्म नहीं है।]

वास्तविक समय में, $$2n$$-पॉइंट ग्रीन फलन द्वारा परिभाषित किया गया है $$ G^{(n)}(1 \ldots n \mid 1' \ldots n') = i^n \langle T\psi(1)\ldots\psi(n)\bar\psi(n')\ldots\bar\psi(1')\rangle, $$ जहां हमने एक संक्षिप्त संकेतन का उपयोग किया है जिसमें $$j$$ प्रतीक $$(\mathbf{x}_j, t_j)$$ को दर्शाता है और $$j'$$ प्रतीक $$(\mathbf{x}_j', t_j')$$ को दर्शाता है। ऑपरेटर $$T$$ समय क्रम को दर्शाता है, और निरुपित करता है कि इसका पालन करने वाले फ़ील्ड ऑपरेटरों को आदेश दिया जाना चाहिए जिससे उनके समय तर्क दाएं से बाएं ओर बढ़ें।

काल्पनिक समय में, इसी परिभाषा है $$ \mathcal{G}^{(n)}(1 \ldots n \mid 1' \ldots n') = \langle T\psi(1)\ldots\psi(n)\bar\psi(n')\ldots\bar\psi(1')\rangle, $$ जहाँ $$j$$ प्रतीक $$\mathbf{x}_j, \tau_j$$ को दर्शाता है। (काल्पनिक-समय वेरिएबल $$\tau_j$$ $$0$$ से व्युत्क्रम तापमान $\beta = \frac{1}{k_\text{B} T}$ तक की सीमा तक सीमित हैं। )

इन परिभाषाओं में प्रयुक्त संकेतों और सामान्यीकरण के संबंध में ध्यान दें: ग्रीन फलनों के संकेतों को चुना गया है जिससे एक मुक्त कण के लिए दो-बिंदु ($$n=1$$) थर्मल ग्रीन फलन का फूरियर रूपांतरण हो $$ \mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n) = \frac{1}{-i\omega_n + \xi_\mathbf{k}}, $$ और मंद ग्रीन फलन है $$G^{\mathrm{R}}(\mathbf{k},\omega) = \frac{1}{-(\omega+i\eta) + \xi_\mathbf{k}},$$ जहाँ $$\omega_n = \frac{[2n+\theta(-\zeta)]\pi}{\beta}$$ मात्सुबारा आवृत्ति है।

कुल मिलाकर, $$\zeta$$ बोसॉन के लिए $$+1$$ और फ़र्मियन के लिए $$-1$$ है और $$[\ldots,\ldots]=[\ldots,\ldots]_{-\zeta}$$ या तो एक कम्यूटेटर या एंटीकम्यूटेटर को उपयुक्त रूप से दर्शाता है।

(विवरण के लिए नीचे देखें।)

दो-बिंदु फलन
तर्कों की एक जोड़ी ($$n=1$$) वाले ग्रीन फलन को दो-बिंदु फ़ंक्शन या प्रोपेगेटर के रूप में जाना जाता है। स्थानिक और लौकिक अनुवादात्मक समरूपता दोनों की उपस्थिति में, यह केवल इसके तर्कों के अंतर पर निर्भर करता है। फूरियर को स्थान और समय दोनों के संबंध में बदलने से लाभ मिलता है $$\mathcal{G}(\mathbf{x}\tau\mid\mathbf{x}'\tau') = \int_\mathbf{k} d\mathbf{k} \frac{1}{\beta}\sum_{\omega_n} \mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n) e^{i \mathbf{k}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{x}')-i\omega_n (\tau-\tau')},$$ जहां योग उपयुक्त मात्सुबारा आवृत्ति (और इंटीग्रल में हमेशा की तरह $$(L/2\pi)^{d}$$ का एक अंतर्निहित कारक शामिल होता है) से अधिक है।

वास्तविक समय में, हम सुपरस्क्रिप्ट T के साथ समय-क्रमित फलन को स्पष्ट रूप से निरुपित करेंगे: $$G^{\mathrm{T}}(\mathbf{x} t\mid\mathbf{x}' t') = \int_\mathbf{k} d \mathbf{k} \int \frac{d\omega}{2\pi} G^{\mathrm{T}}(\mathbf{k},\omega) e^{i \mathbf{k}\cdot(\mathbf{x} -\mathbf{x} ')-i\omega(t-t')}.$$ वास्तविक समय के दो-बिंदु ग्रीन फलन को 'मंदबुद्धि' और 'उन्नत' ग्रीन फलन के संदर्भ में लिखा जा सकता है, जो सरल विश्लेषणात्मक गुणों के रूप में सामने आएगा। मंद और उन्नत ग्रीन फलनों को परिभाषित किया गया है $$G^{\mathrm{R}}(\mathbf{x} t \mid \mathbf{x}' t') = -i\langle[\psi(\mathbf{x} ,t),\bar\psi(\mathbf{x} ',t')]_{\zeta}\rangle\Theta(t-t')$$ और $$G^{\mathrm{A}}(\mathbf{x} t\mid\mathbf{x} 't') = i\langle[\psi(\mathbf{x} ,t),\bar\psi(\mathbf{x}', t')]_{\zeta}\rangle \Theta(t'-t),$$ क्रमशः

वे समय-आदेशित ग्रीन फलन से संबंधित हैं $$G^{\mathrm{T}}(\mathbf{k},\omega) = [1+\zeta n(\omega)]G^{\mathrm{R}}(\mathbf{k},\omega) - \zeta n(\omega) G^{\mathrm{A}}(\mathbf{k},\omega),$$ जहाँ $$n(\omega) = \frac{1}{e^{\beta \omega}-\zeta}$$ बोस-आइंस्टीन या फर्मी-डिराक वितरण फलन है।

काल्पनिक-समय क्रम और β-आवधिकता
थर्मल ग्रीन फलनों को केवल तभी परिभाषित किया जाता है जब दोनों काल्पनिक-समय तर्क $$0$$ से $$\beta$$ की सीमा के अंदर होते हैं। दो-बिंदु ग्रीन फ़ंक्शन में निम्नलिखित गुण हैं। (स्थिति या गति संबंधी तर्क इस खंड में दबा दिए गए हैं।)

सबसे पहले, यह केवल काल्पनिक समय के अंतर पर निर्भर करता है: $$\mathcal{G}(\tau,\tau') = \mathcal{G}(\tau - \tau').$$ तर्क $$\tau - \tau'$$ को $$-\beta$$ से $$\beta$$ तक चलने की अनुमति है।

दूसरे, $$\mathcal{G}(\tau)$$ $$\beta$$ की शिफ्ट के अंतर्गत(एंटी-आवधिक) है। छोटे डोमेन के कारण जिसमें फ़ंक्शन को परिभाषित किया गया है, इसका अर्थ $$0 < \tau < \beta$$ के लिए केवल $$\mathcal{G}(\tau - \beta) = \zeta \mathcal{G}(\tau),$$ है। इस गुण के लिए समय क्रम महत्वपूर्ण है, जिसे ट्रेस ऑपरेशन की चक्रीयता का उपयोग करके सीधे सिद्ध किया जा सकता है।

ये दो गुण फूरियर रूपांतरण प्रतिनिधित्व और इसके व्युत्क्रम की अनुमति देते हैं, $$\mathcal{G}(\omega_n) = \int_0^\beta d\tau \, \mathcal{G}(\tau)\, e^{i\omega_n \tau}.$$ अंत में, ध्यान दें कि $$\mathcal{G}(\tau)$$ में $$\tau = 0$$ पर एक असंततता है; यह $$\mathcal{G}(\omega_n) \sim 1/|\omega_n|$$ के लंबी दूरी के व्यवहार के अनुरूप है।

वर्णक्रमीय प्रतिनिधित्व
वास्तविक और काल्पनिक समय में प्रचारक दोनों वर्णक्रमीय घनत्व (या वर्णक्रमीय भार) से संबंधित हो सकते हैं, जो द्वारा दिया गया है $$\rho(\mathbf{k},\omega) = \frac{1}{\mathcal{Z}}\sum_{\alpha,\alpha'} 2\pi \delta(E_\alpha-E_{\alpha'} - \omega) |\langle \alpha \mid \psi_\mathbf{k}^\dagger \mid \alpha'\rangle|^2 \left(e^{-\beta E_{\alpha'}} - \zeta e^{-\beta E_{\alpha}}\right),$$ जहाँ $|α⟩$ भव्य-विहित हैमिल्टनियन के एक (कई-निकाय) स्वदेशी को संदर्भित करता है $H − μN$, eigenvalue के साथ $E_{α}$.

तब काल्पनिक-समय प्रचारक द्वारा दिया जाता है $$ \mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n) = \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega'}{2\pi} \frac{\rho(\mathbf{k},\omega')}{-i\omega_n+\omega'}~, $$ और मंदबुद्धि प्रचारक द्वारा $$G^{\mathrm{R}}(\mathbf{k},\omega) = \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega'}{2\pi} \frac{\rho(\mathbf{k},\omega')}{-(\omega+i\eta)+\omega'},$$ जहां सीमा के रूप में $$\eta \to 0^+$$ निहित है.

उन्नत प्रचारक को उसी अभिव्यक्ति द्वारा दिया जाता है, किन्तु साथ में $$-i\eta$$ हर में.

समय-आदेशित फलन के संदर्भ में पाया जा सकता है $$G^{\mathrm{R}}$$ और $$G^{\mathrm{A}}$$. जैसा कि ऊपर दावा किया गया है, $$G^{\mathrm{R}}(\omega)$$ और $$G^{\mathrm{A}}(\omega)$$ सरल विश्लेषणात्मक गुण होते हैं: पहले (बाद वाले) के सभी ध्रुव और असंततताएं निचले (ऊपरी) आधे तल में होती हैं।

थर्मल प्रचारक $$\mathcal{G}(\omega_n)$$ इसके सभी ध्रुव और विच्छेद काल्पनिक हैं $$\omega_n$$ एक्सिस।

वर्णक्रमीय घनत्व बहुत सरलता से पाया जा सकता है $$G^{\mathrm{R}}$$, सोखात्स्की-वीयरस्ट्रैस प्रमेय का उपयोग करते हुए $$\lim_{\eta \to 0^+} \frac{1}{x\pm i\eta} = P\frac{1}{x} \mp i\pi\delta(x),$$ जहाँ $P$ कॉची प्रमुख भाग को दर्शाता है। यह देता है $$\rho(\mathbf{k},\omega) = 2\operatorname{Im} G^{\mathrm{R}}(\mathbf{k},\omega).$$ इसका तात्पर्य यह भी है $$G^{\mathrm{R}}(\mathbf{k},\omega)$$ इसके वास्तविक और काल्पनिक भागों के बीच निम्नलिखित संबंध का पालन करता है: $$\operatorname{Re} G^{\mathrm{R}}(\mathbf{k},\omega) = -2 P \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega'}{2\pi} \frac{\operatorname{Im} G^{\mathrm{R}}(\mathbf{k},\omega')}{\omega-\omega'},$$ जहाँ $$P$$ अभिन्न के प्रमुख मूल्य को दर्शाता है।

वर्णक्रमीय घनत्व एक योग नियम का पालन करता है, $$\int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega}{2\pi} \rho(\mathbf{k},\omega) = 1,$$ जो देता है $$G^{\mathrm{R}}(\omega)\sim\frac{1}{|\omega|}$$ जैसा $$|\omega| \to \infty$$.

हिल्बर्ट रूपांतरण
काल्पनिक और वास्तविक समय के ग्रीन फलनों के वर्णक्रमीय प्रतिनिधित्व की समानता हमें फलन को परिभाषित करने की अनुमति देती है $$G(\mathbf{k},z) = \int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{2\pi} \frac{\rho(\mathbf{k},x)}{-z+x},$$ जो संबंधित है $$\mathcal{G}$$ और $$G^{\mathrm{R}}$$ द्वारा $$\mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n) = G(\mathbf{k}, i\omega_n)$$ और $$G^{\mathrm{R}}(\mathbf{k},\omega) = G(\mathbf{k},\omega + i\eta).$$ एक समान अभिव्यक्ति स्पष्ट रूप से लागू होती है $$G^{\mathrm{A}}$$.

के बीच संबंध $$G(\mathbf{k},z)$$ और $$\rho(\mathbf{k},x)$$ हिल्बर्ट परिवर्तन के रूप में जाना जाता है।

वर्णक्रमीय प्रतिनिधित्व का प्रमाण
हम थर्मल ग्रीन फलन के स्थितियों में प्रोपेगेटर के वर्णक्रमीय प्रतिनिधित्व का प्रमाण प्रदर्शित करते हैं, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है $$\mathcal{G}(\mathbf{x}, \tau\mid\mathbf{x} ',\tau') = \langle T\psi(\mathbf{x} ,\tau)\bar\psi(\mathbf{x} ', \tau') \rangle.$$ अनुवादात्मक समरूपता के कारण इस पर विचार करना ही आवश्यक है $$\mathcal{G}(\mathbf{x} ,\tau\mid\mathbf{0},0)$$ के लिए $$\tau > 0$$, द्वारा दिए गए $$ \mathcal{G}(\mathbf{x},\tau\mid\mathbf{0},0) = \frac{1}{\mathcal{Z}}\sum_{\alpha'} e^{-\beta E_{\alpha'}} \langle\alpha' \mid \psi(\mathbf{x},\tau)\bar\psi(\mathbf{0},0) \mid \alpha' \rangle. $$ आइजेनस्टेट्स का एक पूरा सेट डालने से प्राप्त होता है $$ \mathcal{G}(\mathbf{x} ,\tau\mid\mathbf{0},0) = \frac{1}{\mathcal{Z}}\sum_{\alpha,\alpha'} e^{-\beta E_{\alpha'}} \langle\alpha' \mid \psi(\mathbf{x} ,\tau)\mid\alpha \rangle\langle\alpha \mid \bar\psi(\mathbf{0},0) \mid \alpha' \rangle. $$ तब से $$|\alpha \rangle$$ और $$|\alpha' \rangle$$ के स्वदेशी राज्य हैं $$H-\mu N$$, हाइजेनबर्ग ऑपरेटरों को श्रोडिंगर ऑपरेटरों के संदर्भ में फिर से लिखा जा सकता है $$ \mathcal{G}(\mathbf{x} ,\tau|\mathbf{0},0) = \frac{1}{\mathcal{Z}}\sum_{\alpha,\alpha'} e^{-\beta E_{\alpha'}} e^{\tau(E_{\alpha'} - E_\alpha)}\langle\alpha' \mid \psi(\mathbf{x} )\mid\alpha \rangle \langle\alpha \mid \psi^\dagger(\mathbf{0}) \mid \alpha' \rangle. $$ फूरियर रूपांतरण का प्रदर्शन तब मिलता है $$ \mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n) = \frac{1}{\mathcal{Z}} \sum_{\alpha,\alpha'} e^{-\beta E_{\alpha'}} \frac{1-\zeta e^{\beta(E_{\alpha'} - E_\alpha)}}{-i\omega_n + E_\alpha - E_{\alpha'}} \int_{\mathbf{k}'} d\mathbf{k}' \langle\alpha \mid \psi(\mathbf{k}) \mid \alpha' \rangle\langle\alpha' \mid \psi^\dagger(\mathbf{k}')\mid\alpha \rangle. $$ संवेग संरक्षण अंतिम पद को इस प्रकार लिखने की अनुमति देता है (आयतन के संभावित कारकों तक) $$|\langle\alpha' \mid\psi^\dagger(\mathbf{k})\mid\alpha \rangle|^2,$$ जो वर्णक्रमीय प्रतिनिधित्व में ग्रीन फलनों के लिए अभिव्यक्तियों की पुष्टि करता है।

कम्यूटेटर के अपेक्षित मूल्य पर विचार करके योग नियम को सिद्ध किया जा सकता है, $$1 = \frac{1}{\mathcal{Z}} \sum_\alpha \langle\alpha \mid e^{-\beta(H-\mu N)}[\psi_\mathbf{k},\psi_\mathbf{k}^\dagger]_{-\zeta} \mid \alpha \rangle,$$ और फिर कम्यूटेटर के दोनों पदों में आइजेनस्टेट्स का एक पूरा सेट सम्मिलित करना: $$ 1 = \frac{1}{\mathcal{Z}} \sum_{\alpha,\alpha'} e^{-\beta E_\alpha} \left( \langle\alpha \mid \psi_\mathbf{k} \mid \alpha' \rangle\langle\alpha' \mid \psi_\mathbf{k}^\dagger \mid \alpha \rangle - \zeta \langle\alpha \mid \psi_\mathbf{k}^\dagger \mid \alpha' \rangle\langle\alpha' \mid \psi_\mathbf{k}\mid\alpha \rangle \right). $$ पहले पद में लेबलों की अदला-बदली करने पर परिणाम मिलता है $$ 1 = \frac{1}{\mathcal{Z}} \sum_{\alpha,\alpha'} \left(e^{-\beta E_{\alpha'}} - \zeta e^{-\beta E_\alpha} \right) $$ जो वास्तव में एकीकरण का परिणाम है $ρ$.
 * \langle\alpha \mid \psi_\mathbf{k}^\dagger \mid \alpha' \rangle|^2 ~,

नॉन-इंटरेक्टिंग केस
गैर-अंतःक्रियात्मक स्थितियों में, $$\psi_\mathbf{k}^\dagger\mid\alpha' \rangle$$ (ग्रैंड-कैनोनिकल) ऊर्जा वाला एक आइजेनस्टेट है $$E_{\alpha'} + \xi_\mathbf{k}$$, जहाँ $$\xi_\mathbf{k} = \epsilon_\mathbf{k} - \mu$$ रासायनिक क्षमता के संबंध में मापा जाने वाला एकल-कण फैलाव संबंध है। इसलिए वर्णक्रमीय घनत्व बन जाता है $$ \rho_0(\mathbf{k},\omega) = \frac{1}{\mathcal{Z}}\,2\pi\delta(\xi_\mathbf{k} - \omega) \sum_{\alpha'}\langle\alpha' \mid\psi_\mathbf{k}\psi_\mathbf{k}^\dagger\mid\alpha' \rangle(1-\zeta e^{-\beta\xi_\mathbf{k}})e^{-\beta E_{\alpha'}}. $$ रूपान्तरण संबंधों से, $$ \langle\alpha' \mid \psi_\mathbf{k}\psi_\mathbf{k}^\dagger\mid\alpha' \rangle = \langle\alpha' \mid(1+\zeta\psi_\mathbf{k}^\dagger\psi_\mathbf{k})\mid\alpha' \rangle, $$ मात्रा के संभावित कारकों के साथ फिर से। योग, जिसमें संख्या ऑपरेटर का थर्मल औसत शामिल होता है, तब सरलता से दिया जाता है $$[1 + \zeta n(\xi_\mathbf{k})]\mathcal{Z}$$, जा रहा हूँ $$\rho_0(\mathbf{k},\omega) = 2\pi\delta(\xi_\mathbf{k} - \omega).$$ कल्पित-काल-प्रचार यह है $$\mathcal{G}_0(\mathbf{k},\omega) = \frac{1}{-i\omega_n + \xi_\mathbf{k}}$$ और मंदबुद्धि प्रचारक है $$G_0^{\mathrm{R}}(\mathbf{k},\omega) = \frac{1}{-(\omega+i \eta) + \xi_\mathbf{k}}.$$

शून्य-तापमान सीमा
जैसा $β → ∞$, वर्णक्रमीय घनत्व बन जाता है $$ \rho(\mathbf{k},\omega) = 2\pi\sum_{\alpha} \left[ \delta(E_\alpha - E_0 - \omega) \left|\left\langle \alpha \mid \psi_\mathbf{k}^\dagger \mid 0 \right\rangle\right|^2 - \zeta \delta(E_0 - E_{\alpha} - \omega) \left|\left\langle 0 \mid \psi_\mathbf{k}^\dagger \mid \alpha \right\rangle\right|^2\right] $$ जहाँ $α = 0$ जमीनी स्थिति से मेल खाता है। ध्यान दें कि केवल पहला (दूसरा) पद ही योगदान देता है $ω$ धनात्मक (नकारात्मक) है।

मूलभूत परिभाषाएँ
हम उपरोक्त 'फ़ील्ड ऑपरेटरों' का उपयोग कर सकते हैं, या अन्य एकल-कण राज्यों से जुड़े निर्माण और विलोपन ऑपरेटरों का उपयोग कर सकते हैं, शायद (गैर-इंटरैक्टिंग) गतिज ऊर्जा के आइजेनस्टेट्स। फिर हम उपयोग करते हैं $$\psi(\mathbf{x} ,\tau) = \varphi_\alpha(\mathbf{x} ) \psi_\alpha(\tau),$$ जहाँ $$\psi_\alpha$$ एकल-कण अवस्था के लिए विलोपन ऑपरेटर है $$\alpha$$ और $$\varphi_\alpha(\mathbf{x} )$$ क्या वह स्थिति के आधार पर राज्य की तरंग क्रिया है। यह देता है $$ \mathcal{G}^{(n)}_{\alpha_1\ldots\alpha_n|\beta_1\ldots\beta_n}(\tau_1 \ldots \tau_n | \tau_1' \ldots \tau_n') = \langle T\psi_{\alpha_1}(\tau_1)\ldots\psi_{\alpha_n}(\tau_n)\bar\psi_{\beta_n}(\tau_n')\ldots\bar\psi_{\beta_1}(\tau_1')\rangle $$ के लिए समान अभिव्यक्ति के साथ $$G^{(n)}$$.

दो-बिंदु फलन
ये केवल उनके समय तर्कों के अंतर पर निर्भर करते हैं, जिससे $$ \mathcal{G}_{\alpha\beta}(\tau\mid \tau') = \frac{1}{\beta}\sum_{\omega_n} \mathcal{G}_{\alpha\beta}(\omega_n)\,e^{-i\omega_n (\tau-\tau')} $$ और $$ G_{\alpha\beta}(t\mid t') = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{d\omega}{2\pi}\, G_{\alpha\beta}(\omega)\,e^{-i\omega(t-t')}. $$ हम फिर से मंद और उन्नत फलनों को स्पष्ट तरीके से परिभाषित कर सकते हैं; ये उपरोक्त की तरह ही समय-क्रमित फलन से संबंधित हैं।

ऊपर वर्णित समान आवधिकता गुण लागू होते हैं $$\mathcal{G}_{\alpha\beta}$$. विशेष रूप से, $$\mathcal{G}_{\alpha\beta}(\tau\mid\tau') = \mathcal{G}_{\alpha\beta}(\tau-\tau')$$ और $$\mathcal{G}_{\alpha\beta}(\tau) = \mathcal{G}_{\alpha\beta}(\tau + \beta),$$ के लिए $$\tau < 0$$.

वर्णक्रमीय प्रतिनिधित्व
इस स्थितियों में, $$ \rho_{\alpha\beta}(\omega) = \frac{1}{\mathcal{Z}}\sum_{m,n} 2\pi \delta(E_n-E_m-\omega)\; \langle m \mid \psi_\alpha\mid n \rangle\langle n \mid \psi_\beta^\dagger\mid m \rangle \left(e^{-\beta E_m} - \zeta e^{-\beta E_n}\right) , $$ जहाँ $$m$$ और $$n$$ बहु-निकाय अवस्थाएँ हैं।

ग्रीन फलनों के लिए अभिव्यक्तियाँ स्पष्ट तरीकों से संशोधित की गई हैं: $$ \mathcal{G}_{\alpha\beta}(\omega_n) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{d\omega'}{2\pi} \frac{\rho_{\alpha\beta}(\omega')}{-i\omega_n+\omega'}$$ और $$G^{\mathrm{R}}_{\alpha\beta}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{d\omega'}{2\pi} \frac{\rho_{\alpha\beta}(\omega')}{-(\omega+i\eta)+\omega'}.$$ उनके विश्लेषणात्मक गुण समान हैं। प्रमाण बिल्कुल उन्हीं वेरिएबलणों का पालन करता है, सिवाय इसके कि दो मैट्रिक्स तत्व अब जटिल संयुग्म नहीं हैं।

गैर-संवादात्मक मामला
यदि चुने गए विशेष एकल-कण राज्य 'एकल-कण ऊर्जा ईजेनस्टेट्स' हैं, यानी। $$[H-\mu N,\psi_\alpha^\dagger] = \xi_\alpha\psi_\alpha^\dagger,$$ फिर के लिए $$|n \rangle$$ प्रतिपादन करना: $$(H-\mu N)\mid n \rangle = E_n \mid n \rangle,$$ ऐसा ही है $$\psi_\alpha \mid n \rangle$$: $$(H-\mu N)\psi_\alpha\mid n \rangle = (E_n - \xi_\alpha) \psi_\alpha \mid n \rangle,$$ और ऐसे ही $$\psi_\alpha^\dagger\mid n \rangle$$: $$(H-\mu N)\psi_\alpha^\dagger \mid n \rangle = (E_n + \xi_\alpha) \psi_\alpha^\dagger \mid n \rangle.$$ इसलिए हमारे पास है $$\langle m \mid \psi_\alpha\mid n \rangle\langle n \mid \psi_\beta^\dagger\mid m \rangle =\delta_{\xi_\alpha, \xi_\beta} \delta_{E_n, E_m + \xi_\alpha} \langle m \mid \psi_\alpha\mid n \rangle\langle n \mid \psi_\beta^\dagger \mid m \rangle.$$ हम फिर से लिखते हैं $$ \rho_{\alpha\beta}(\omega) = \frac{1}{\mathcal{Z}}\sum_{m,n} 2\pi \delta(\xi_\alpha-\omega) \delta_{\xi_\alpha,\xi_\beta}\langle m \mid \psi_\alpha\mid n \rangle\langle n \mid \psi_\beta^\dagger \mid m \rangle e^{-\beta E_m} \left(1 - \zeta e^{-\beta \xi_\alpha}\right), $$ इसलिए $$ \rho_{\alpha\beta}(\omega) = \frac{1}{\mathcal{Z}}\sum_m 2\pi \delta(\xi_\alpha-\omega) \delta_{\xi_\alpha,\xi_\beta}\langle m \mid \psi_\alpha\psi_\beta^\dagger e^{-\beta (H-\mu N)}\mid m \rangle \left(1 - \zeta e^{-\beta \xi_\alpha}\right), $$ उपयोग $$\langle m \mid \psi_\alpha \psi_\beta^\dagger\mid m \rangle = \delta_{\alpha,\beta}\langle m \mid \zeta \psi_\alpha^\dagger \psi_\alpha + 1 \mid m \rangle$$ और तथ्य यह है कि संख्या ऑपरेटर का थर्मल औसत बोस-आइंस्टीन या फर्मी-डिराक वितरण फलन देता है।

अंत में, वर्णक्रमीय घनत्व देना सरल हो जाता है $$\rho_{\alpha\beta} = 2\pi \delta(\xi_\alpha - \omega)\delta_{\alpha\beta},$$ जिससे थर्मल ग्रीन फलन हो $$\mathcal{G}_{\alpha\beta}(\omega_n) = \frac{\delta_{\alpha\beta}}{-i\omega_n + \xi_\beta}$$ और मंद ग्रीन फलन है $$G_{\alpha\beta}(\omega) = \frac{\delta_{\alpha\beta}}{-(\omega+i\eta) + \xi_\beta}.$$ ध्यान दें कि नॉनइंटरेक्टिंग ग्रीन फलन विकर्ण है, किन्तु इंटरैक्टिंग स्थितियों में यह सच नहीं होगा।

यह भी देखें

 * उतार-चढ़ाव प्रमेय
 * ग्रीन-कुबो संबंध
 * रैखिक प्रतिक्रिया फलन
 * लिंडब्लाड समीकरण
 * प्रचारक
 * सहसंबंध फलन (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत)
 * संख्यात्मक विश्लेषणात्मक निरंतरता

किताबें

 * बॉन्च-ब्रूविच वी.एल., सर्गेई टायब्लिकोव|टायब्लिकोव एस.वी. (1962): सांख्यिकीय यांत्रिकी में ग्रीन फलन विधि। नॉर्थ हॉलैंड पब्लिशिंग कंपनी
 * एब्रिकोसोव, ए.ए., गोर्कोव, एल.पी. और डज़्यालोशिंस्की, आई.ई. (1963): सांख्यिकीय भौतिकी में क्वांटम फील्ड थ्योरी के तरीके एंगलवुड क्लिफ्स: प्रेंटिस-हॉल।
 * नेगेले, जे.डब्ल्यू. और ऑरलैंड, एच. (1988): क्वांटम मैनी-पार्टिकल सिस्टम्स एडिसनवेस्ले।
 * दिमित्री जुबारेव|जुबारेव डी.एन., मोरोज़ोव वी., रोपके जी. (1996): नॉनक्विलिब्रियम प्रक्रियाओं के सांख्यिकीय यांत्रिकी: मूलभूत अवधारणाएं, काइनेटिक सिद्धांत (खंड 1)। जॉन विली एंड संस। ISBN 3-05-501708-0.
 * मैटक रिवेरिएबल्ड डी. (1992), ए गाइड टू फेनमैन डायग्राम्स इन द मैनी-बॉडी प्रॉब्लम, डोवर प्रकाशन, ISBN 0-486-67047-3.

कागजात

 * निकोले बोगोलीबोव|बोगोलीबोव एन.एन., सर्गेई टायब्लिकोव|टायब्लिकोव एस.वी. सांख्यिकीय भौतिकी में मंदबुद्धि और उन्नत ग्रीन फलन, सोवियत भौतिकी डोकलाडी, वॉल्यूम। 4, पृ. 589 (1959)।
 * दिमित्री जुबारेव|जुबारेव डी.एन., सांख्यिकीय भौतिकी में डबल-टाइम ग्रीन फलन, सोवियत भौतिकी उसपेखी 3(3), 320-345 (1960)।

बाहरी संबंध

 * Linear Response Functions in Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt, and Alexander Lichtenstein (eds.): DMFT at 25: Infinite Dimensions, Verlag des Forschungszentrum Jülich, 2014 ISBN 978-3-89336-953-9