लाप्लासियन आव्यूह

आरेख सिद्धांत के गणित क्षेत्र में, लाप्लासियन आव्यूह, जिसे विविक्‍त लाप्लेस संक्रियक आरेख लाप्लासियन, प्रवेश आव्यूह, किरचॉफ आव्यूह या विविक्‍त लाप्लास संक्रियक भी कहा जाता है, आरेख (असतत गणित) का आव्यूह (गणित) प्रतिनिधित्व है। पियरे-साइमन लाप्लास के नाम पर, आरेख लाप्लासियन आव्यूह को परिमित अंतर विधि द्वारा प्राप्त ऋणात्मक निरंतर लाप्लासियन का अनुमान लगाने वाले आरेख पर ऋणात्मक असतत लाप्लास संक्रियक के आव्यूह रूप के रूप में देखा जा सकता है।

लाप्लासियन आव्यूह आरेख़ के कई उपयोगी गुणों से संबंधित है। किरचॉफ के प्रमेय के साथ, इसका उपयोग किसी दिए गए आरेख़ के लिए विस्तरित ट्री (गणित) की संख्या की गणना करने के लिए किया जा सकता है। आरेख़ के कट (आरेख़ सिद्धांत) सबसे कम कट का अनुमान फिडलर सदिश के माध्यम से लगाया जा सकता है - आरेख़ लाप्लासियन के दूसरे सबसे छोटे आइगेनमान के अनुरूप आइगेनसदिश - जैसा कि चीगर स्थिरांक (आरेख़ सिद्धांत) चीगर असमानताओं द्वारा स्थापित किया गया है। लाप्लासियन आव्यूह के एक आव्यूह का आइगेन अपघटन अरैखिक आयामीता में अपघटन लाप्लासियन आइगेन प्रतिचित्र का निर्माण करने की अनुमति देता है जो कई यंत्र अधिगम अनुप्रयोगों में दिखाई देते हैं और आरेख रेखाचित्र में वर्णक्रमीय लेआउट निर्धारित करते हैं। आरेख-आधारित संकेत प्रक्रम असतत फूरियर रूपांतरण पर आधारित है जो संकेत के अनुरूप आरेख के लाप्लासियन आव्यूह के आइगेनसदिशों के लिए मिश्रित संख्या ज्या तरंगों के मानक आधार को प्रतिस्थापित करके पारंपरिक असतत फूरियर परिवर्तन का विस्तार करता है।

लाप्लासियन आव्यूह साधारण आरेख के लिए परिभाषित करना सबसे सरल है, परन्तु ग्लोसरी ऑफ आरेख थ्योरी वेटेड आरेख के लिए अनुप्रयोगों में अधिक सामान्य है, अर्थात, इसके किनारों पर भार के साथ - आरेख आसन्न आव्यूह की प्रविष्टियां। वर्णक्रमीय आरेख सिद्धांत आरेख के गुणों को वर्णक्रम से जोड़ता है, अर्थात, आइगेनमान, और आरेख से जुड़े आव्यूह के आइगेनसदिश, जैसे कि इसकी आसन्न आव्यूह या लाप्लासियन आव्यूह है। असंतुलित भार आव्यूह वर्णक्रम को अवांछित रूप से प्रभावित कर सकता है, जिससे सामान्यीकरण की आवश्यकता होती है - आव्यूह प्रविष्टियों का स्तम्भ/पंक्ति सोपानी - जिसके परिणामस्वरूप सामान्यीकृत आसन्नता और लाप्लासियन आव्यूह होते हैं।

लाप्लासियन आव्यूह
$$n$$ शीर्ष $$v_1, \ldots, v_n$$ के साथ एक सरल आरेख $$G$$ को देखते हुए, इसके लाप्लासियन आव्यूह $L_{n \times n}$ को अवयव-वार
 * $$L_{i,j} := \begin{cases}

\deg(v_i) & \mbox{if}\ i = j \\ -1 & \mbox{if}\ i \neq j\ \mbox{and}\ v_i \mbox{ is adjacent to } v_j \\ 0 & \mbox{otherwise}, \end{cases}$$ के रूप में या आव्यूह
 * $$L = D - A $$

द्वारा समकक्ष रूप से परिभाषित किया गया है, जहां D घात आव्यूह है और A आरेख़ का आसन्न आव्यूह है। चूँकि $G$ सरल आरेख है, $A$  में मात्र 1s या 0s हैं और इसके विकर्ण अवयव सभी 0s हैं।

यहां लेबल, अप्रत्यक्ष आरेख़ और उसके लाप्लासियन आव्यूह का सरल उदाहरण दिया गया है।

हम अप्रत्यक्ष आरेख़ के लिए देखते हैं कि आसन्न आव्यूह और लाप्लासियन आव्यूह दोनों सममित हैं, और लाप्लासियन आव्यूह की पंक्ति और स्तंभ-योग सभी शून्य हैं।

निर्देशित आरेखके लिए, या तो घात (आरेख़ सिद्धांत) का उपयोग किया जा सकता है, जो कि अनुप्रयोग पर निर्भर करता है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण में है: निर्देशित आरेख़ में, आसन्न आव्यूह और लाप्लासियन आव्यूह दोनों असममित हैं। इसके लाप्लासियन आव्यूह में, स्तम्भ-योग या पंक्ति-योग शून्य हैं, यह इस बात पर निर्भर करता है कि घात (आरेख़ सिद्धांत) का उपयोग किया गया है या नहीं।

घटना आव्यूह के माध्यम से सममित लाप्लासियन
शीर्ष v और किनारे e के लिए अवयव Bve के साथ $|v| \times |e|$ घटना आव्यूह B (शीर्ष $v_i$  और $v_j$  को, i > j से जोड़ता है) को
 * $$B_{ve} = \left\{\begin{array}{rl}

1, & \text{if } v = v_i\\ -1, & \text{if } v = v_j\\ 0, & \text{otherwise} \end{array}\right.$$ द्वारा परिभाषित किया गया है। यद्यपि इस परिभाषा में किनारों को तकनीकी रूप से निर्देशित किया गया है, उनकी दिशाएँ यादृच्छिक रूप से हो सकती हैं, फिर भी परिणाम समान सममित लाप्लासियन $|v| \times |v|$ आव्यूह L को
 * $$L = B B^\textsf{T}$$

के रूप में परिभाषित किया गया है जहां $B^\textsf{T}$ B का परिवर्त आव्यूह है।

एक वैकल्पिक गुणनफल $$B^\textsf{T}B$$ तथाकथित $|e| \times |e|$ शीर्ष-आधारित लाप्लासियन को परिभाषित करता है, जो मूल रूप से उपयोग किए जाने वाले शीर्ष-आधारित लाप्लासियन आव्यूह L के विपरीत है।

निर्देशित आरेख़ के लिए सममित लाप्लासियन
एक निर्देशित आरेख का लाप्लासियन आव्यूह परिभाषा के अनुसार सामान्यतः गैर-सममित होता है, जबकि, उदाहरण के लिए, पारंपरिक वर्णक्रमीय क्लस्टरिंग मुख्य रूप से सममित आसन्नता और लाप्लासियन आव्यूह के साथ अप्रत्यक्ष आरेख के लिए विकसित की जाती है। समरूपता की आवश्यकता वाली तकनीकों को लागू करने के लिए तुच्छ दृष्टिकोण मूल निर्देशित आरेख को अप्रत्यक्ष आरेख में बदलना और बाद के लिए लाप्लासियन आव्यूह का निर्माण करना है।

आव्यूह नोटेशन में, अप्रत्यक्ष आरेख़ के आसन्न आव्यूह को, उदाहरण के लिए, आसन्न आव्यूह के OR गेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$A$$ मूल निर्देशित आरेख़ और उसके आव्यूह का परिवर्त $$A^T$$, जहां शून्य और की प्रविष्टियाँ हैं $$A$$ मानों को संख्यात्मक के बजाय तार्किक माना जाता है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण में है:

लाप्लासियन आव्यूह सामान्यीकरण
बड़ी घात वाला शीर्ष, जिसे भारी नोड भी कहा जाता है, के परिणामस्वरूप आव्यूह गुणों पर हावी होने वाले लाप्लासियन आव्यूह में बड़ी विकर्ण प्रविष्टि होती है। सामान्यीकरण का उद्देश्य लाप्लासियन आव्यूह की प्रविष्टियों को शीर्ष घात द्वारा विभाजित करके ऐसे शीर्षों के प्रभाव को अन्य शीर्षों के प्रभाव के बराबर बनाना है। शून्य से विभाजन से बचने के लिए, शून्य घात वाले पृथक शीर्षों को सामान्यीकरण की प्रक्रिया से बाहर रखा गया है।

सममित रूप से सामान्यीकृत लाप्लासियन
सममित रूप से सामान्यीकृत लाप्लासियन आव्यूह को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:


 * $$L^\text{sym} := (D^+)^{1/2} L (D^+)^{1/2} = I - (D^+)^{1/2} A (D^+)^{1/2},$$

जहाँ $$D^+$$ मूर-पेनरोज़ व्युत्क्रम है।

के अवयव $L^\text{sym}$ इस प्रकार द्वारा दिए गए हैं


 * $$L^\text{sym}_{i,j} := \begin{cases}

1 & \mbox{if } i = j \mbox{ and } \deg(v_i) \neq 0\\ -\frac{1}{\sqrt{\deg(v_i)\deg(v_j)}} & \mbox{if } i \neq j \mbox{ and } v_i \mbox{ is adjacent to } v_j \\ 0 & \mbox{otherwise}. \end{cases}$$ सममित रूप से सामान्यीकृत लाप्लासियन आव्यूह सममित है यदि और मात्र यदि आसन्न आव्यूह सममित है। निर्देशित आरेख़ के गैर-सममित आसन्न आव्यूह के लिए, किसी भी घात (आरेख़ सिद्धांत) का उपयोग सामान्यीकरण के लिए किया जा सकता है:

बाएँ (यादृच्छिक-चलना) और दाएँ सामान्यीकृत लाप्लासियन
बाएं (रैंडम-वॉक) सामान्यीकृत लाप्लासियन आव्यूह को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
 * $$L^\text{rw} := D^+L = I - D^+A,$$

जहाँ $$D^+$$ मूर-पेनरोज़ व्युत्क्रम है। के अवयव $L^\text{rw}$ द्वारा दिए गए हैं
 * $$L^\text{rw}_{i,j} := \begin{cases}

1 & \mbox{if } i = j \mbox{ and } \deg(v_i) \neq 0\\ -\frac{1}{\deg(v_i)} & \mbox{if } i \neq j \mbox{ and } v_i \mbox{ is adjacent to } v_j \\ 0 & \mbox{otherwise}. \end{cases}$$ इसी प्रकार, सही सामान्यीकृत लाप्लासियन आव्यूह को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 * $$L D^+ = I - A D^+$$.

यदि सभी पृथक शीर्षों के तुच्छ मामले को छोड़कर, आसन्न आव्यूह सममित है, तो बाएँ या दाएँ सामान्यीकृत लाप्लासियन आव्यूह सममित नहीं है। उदाहरण के लिए, उदाहरण यह भी दर्शाता है कि यदि $$G$$ तो फिर, इसका कोई पृथक शीर्ष नहीं है $$D^+A$$ स्टोकेस्टिक आव्यूह और इसलिए यादृच्छिक चलने का आव्यूह है, ताकि बाईं ओर लाप्लासियन सामान्यीकृत हो $$L^\text{rw} := D^+L = I - D^+A$$ प्रत्येक पंक्ति का योग शून्य है। इस प्रकार हम कभी-कभी वैकल्पिक रूप से कॉल करते हैं $$L^\text{rw}$$ रैंडम वॉक|रैंडम-वॉक सामान्यीकृत लाप्लासियन। कम असामान्य रूप से उपयोग किए जाने वाले दाएँ सामान्यीकृत लाप्लासियन में $$L D^+ = I - A D^+$$ चूँकि प्रत्येक स्तम्भ का योग शून्य है $$A D^+$$ स्टोकेस्टिक आव्यूह है.

निर्देशित आरेख़ के गैर-सममित आसन्न आव्यूह के लिए, किसी को सामान्यीकरण के लिए घात (आरेख़ सिद्धांत) चुनने की भी आवश्यकता होती है: पंक्ति-योग के साथ लेफ्ट आउट-घात सामान्यीकृत लाप्लासियन सभी 0 स्टोकेस्टिक आव्यूह से संबंधित है $$D_{\text{out}}^+A$$, जबकि सभी 0 के स्तम्भ-योग के साथ घात में सामान्यीकृत लाप्लासियन में स्टोकेस्टिक आव्यूह शामिल है $$AD_{\text{in}}^+$$.

भारित किनारों वाले आरेख़ के लिए परिभाषाएँ
अनुप्रयोगों में सामान्य भारित किनारों वाले आरेख़ को सरलता से उनके आसन्न आव्यूह द्वारा परिभाषित किया जाता है जहां प्रविष्टियों के मान संख्यात्मक होते हैं और अब शून्य और तक सीमित नहीं होते हैं। वर्णक्रमीय क्लस्टरिंग और आरेख़-आधारित संकेत प्रोसेसिंग में, जहां आरेख़ शीर्ष डेटा बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, किनारे के भार की गणना की जा सकती है, उदाहरण के लिए, डेटा बिंदुओं के जोड़े के बीच Distance matrix के व्युत्क्रमानुपाती के रूप में, जिसके परिणामस्वरूप सभी भार अनौपचारिक रूप से बड़े मूल्यों के साथ गैर-ऋणात्मक होते हैं डेटा बिंदुओं के अधिक समान जोड़े के अनुरूप। डेटा बिंदुओं के बीच सहसंबंध और विरोधी सहसंबंध का उपयोग करने से स्वाभाविक रूप से सकारात्मक और ऋणात्मक दोनों प्रकार के भार उत्पन्न होते हैं। सरल आरेख़ की अधिकांश परिभाषाएँ गैर-ऋणात्मक भार के मानक मामले तक तुच्छ रूप से विस्तारित हैं, जबकि ऋणात्मक भार पर अधिक ध्यान देने की आवश्यकता होती है, खासकर सामान्यीकरण में।

लाप्लासियन आव्यूह
लाप्लासियन आव्यूह द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$L = D - A, $$

जहां D घात आव्यूह है और A आरेख़ का आसन्न आव्यूह है।

निर्देशित आरेख़ के लिए, या तो घात (आरेख़ सिद्धांत) का उपयोग किया जा सकता है, जो कि अनुप्रयोग पर निर्भर करता है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण में है: आरेख़ सेल्फ-लूप्स, जो आसन्न आव्यूह के मुख्य विकर्ण पर गैर-शून्य प्रविष्टियों द्वारा स्वयं को प्रकट करते हैं, की अनुमति है परन्तु आरेख़ लाप्लासियन मानों को प्रभावित नहीं करते हैं।

घटना आव्यूह के माध्यम से सममित लाप्लासियन
भारित किनारों वाले आरेख़ के लिए कोई भारित घटना आव्यूह B को परिभाषित कर सकता है और इसका उपयोग संबंधित सममित लाप्लासियन के निर्माण के लिए कर सकता है $$L = B B^\textsf{T}$$. यहां वर्णित वैकल्पिक क्लीनर दृष्टिकोण, वज़न को कनेक्टिविटी से अलग करना है: नियमित आरेख़ के लिए घटना आव्यूह का उपयोग करना जारी रखें और मात्र वज़न के मान रखने वाले आव्यूह को पेश करें। वसंत प्रणाली इस मॉडल का उदाहरण है जिसका उपयोग यांत्रिकी में दी गई कठोरता और इकाई लंबाई के स्प्रिंग्स की प्रणाली का वर्णन करने के लिए किया जाता है, जहां कठोरता के मूल्य आरेख किनारों के भार की भूमिका निभाते हैं।

इस प्रकार हम भारहीन की परिभाषा का पुन: उपयोग करते हैं $|v| \times |e|$ अवयव B के साथ घटना आव्यूह Bve शीर्ष v और किनारे e के लिए (शीर्षों को जोड़ने वाला)। $v_i$  और $v_j$, i > j) द्वारा परिभाषित
 * $$B_{ve} = \left\{\begin{array}{rl}

1, & \text{if } v = v_i\\ -1, & \text{if } v = v_j\\ 0, & \text{otherwise}. \end{array}\right.$$ अब हम विकर्ण को भी परिभाषित करते हैं $|e| \times |e|$ आव्यूह W जिसमें किनारे का भार है। यद्यपि B की परिभाषा में किनारों को तकनीकी रूप से निर्देशित किया गया है, उनकी दिशाएं मनमानी हो सकती हैं, फिर भी समान सममित लाप्लासियन का परिणाम होता है $|v| \times |v|$  आव्यूह L के रूप में परिभाषित किया गया है
 * $$L = B W B^\textsf{T}$$

जहाँ $B^\textsf{T}$ B का परिवर्त है.

निर्माण को निम्नलिखित उदाहरण में दर्शाया गया है, जहां हर किनारा $e_i$ भार मान i, के साथ निर्दिष्ट किया गया है $i=1, 2, 3, 4.$

निर्देशित आरेख़ के लिए सममित लाप्लासियन
साधारण आरेख़ की तरह, निर्देशित भारित आरेख़ का लाप्लासियन आव्यूह परिभाषा के अनुसार सामान्यतः गैर-सममित होता है। लाप्लासियन के निर्माण से पहले मूल निर्देशित आरेख को अप्रत्यक्ष आरेख में बदलकर समरूपता लागू की जा सकती है। अप्रत्यक्ष आरेख़ के आसन्न आव्यूह को, उदाहरण के लिए, आसन्न आव्यूह के योग के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$A$$ मूल निर्देशित आरेख़ और उसके आव्यूह का परिवर्त $$A^T$$ जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण में है: जहाँ शून्य और की प्रविष्टियाँ हैं $$A$$ सरल आरेख़, मानों को तार्किक के बजाय संख्यात्मक माना जाता है, जो परिणामों में अंतर को समझाते हैं - सरल आरेख़ के लिए, सममित आरेख़ को अभी भी सरल होने की आवश्यकता है, इसके सममित आसन्न आव्यूह में मात्र तार्किक होते हैं, संख्यात्मक मान नहीं, उदाहरण के लिए, तार्किक योग 1 v 1 = 1 है, जबकि संख्यात्मक योग 1 + 1 = 2 है।

वैकल्पिक रूप से, सममित लाप्लासियन आव्यूह की गणना घात (आरेख सिद्धांत) का उपयोग करके दो लाप्लासियन से की जा सकती है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण में है: आउट-घात लाप्लासियन ट्रांसपोज़्ड और इन-घात लाप्लासियन का योग सममित लाप्लासियन आव्यूह के बराबर होता है।

लाप्लासियन आव्यूह सामान्यीकरण
सामान्यीकरण का लक्ष्य, सरल आरेख़ की तरह, लाप्लासियन आव्यूह की विकर्ण प्रविष्टियों को सभी इकाई बनाना है, साथ ही ऑफ-विकर्ण प्रविष्टियों को तदनुसार स्केल करना है। ग्लोसरी ऑफ आरेख थ्योरी वेटेड आरेख में, शीर्ष में जुड़े हुए किनारों की छोटी संख्या के कारण बड़ी घात हो सकती है, परन्तु बड़े भार के साथ-साथ यूनिट भार के साथ बड़ी संख्या में जुड़े किनारों के कारण भी।

आरेख़ सेल्फ-लूप, अर्थात, आसन्न आव्यूह के मुख्य विकर्ण पर गैर-शून्य प्रविष्टियाँ, आरेख़ लाप्लासियन मानों को प्रभावित नहीं करती हैं, परन्तु सामान्यीकरण कारकों की गणना के लिए गणना करने की आवश्यकता हो सकती है।

सममित रूप से सामान्यीकृत लाप्लासियन
सममित रूप से सामान्यीकृत लाप्लासियन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 * $$L^\text{sym} := (D^+)^{1/2} L (D^+)^{1/2} = I - (D^+)^{1/2} A (D^+)^{1/2},$$

जहां L असामान्य लाप्लासियन है, ए आसन्न आव्यूह है, डी घात आव्यूह है, और $$D^+$$ मूर-पेनरोज़ व्युत्क्रम है। चूँकि घात आव्यूह D विकर्ण है, इसका व्युत्क्रम वर्गमूल है $(D^+)^{1/2}$ मात्र विकर्ण आव्यूह है जिसकी विकर्ण प्रविष्टियाँ D की विकर्ण प्रविष्टियों के वर्गमूलों के व्युत्क्रम हैं। यदि सभी किनारे के भार गैर-ऋणात्मक हैं तो सभी घात मान स्वचालित रूप से भी गैर-ऋणात्मक हैं और इसलिए प्रत्येक घात मान का अद्वितीय सकारात्मक वर्गमूल होता है। शून्य से विभाजन से बचने के लिए, शून्य घात वाले शीर्षों को सामान्यीकरण की प्रक्रिया से बाहर रखा गया है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण में है: सममित रूप से सामान्यीकृत लाप्लासियन सममित आव्यूह है यदि और मात्र यदि आसन्न आव्यूह ए सममित है और डी की विकर्ण प्रविष्टियाँ गैर-ऋणात्मक हैं, तो उस स्थिति में हम 'सममित सामान्यीकृत लाप्लासियन' शब्द का उपयोग कर सकते हैं।

सममित सामान्यीकृत लाप्लासियन आव्यूह को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है
 * $$L^\text{sym} := (D^+)^{1/2} L (D^+)^{1/2} = (D^+)^{1/2}B W B^\textsf{T} (D^+)^{1/2} = S S^T$$

भारहीन का उपयोग करना $|v| \times |e|$ आपतन आव्यूह B और विकर्ण $|e| \times |e|$  आव्यूह डब्ल्यू जिसमें किनारे का भार शामिल है और नए को परिभाषित करता है $|v| \times |e|$  भारित घटना आव्यूह $S=(D^+)^{1/2}B W^{{1}/{2}}$  जिनकी पंक्तियाँ शीर्षों द्वारा अनुक्रमित होती हैं और जिनके स्तंभ G के किनारों द्वारा अनुक्रमित होते हैं, जैसे कि किनारे e = {u, v} के अनुरूप प्रत्येक स्तंभ में प्रविष्टि होती है $\frac{1}{\sqrt{d_u}}$  यू के अनुरूप पंक्ति में, प्रविष्टि $-\frac{1}{\sqrt{d_v}}$  v के अनुरूप पंक्ति में, और अन्यत्र 0 प्रविष्टियाँ हैं।

रैंडम वॉक सामान्यीकृत लाप्लासियन
रैंडम वॉक सामान्यीकृत लाप्लासियन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 * $$L^\text{rw} := D^+ L = I - D^+ A$$

जहाँ D घात आव्यूह है। चूँकि घात आव्यूह D विकर्ण है, यह व्युत्क्रम है $D^+$ इसे बस विकर्ण आव्यूह के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसमें विकर्ण प्रविष्टियाँ हैं जो डी की संगत विकर्ण प्रविष्टियों के व्युत्क्रम हैं। पृथक शीर्षों (घात 0 वाले) के लिए, सामान्य विकल्प संबंधित अवयव को सेट करना है $L^\text{rw}_{i,i}$  से 0. के आव्यूह अवयव $L^\text{rw}$ द्वारा दिए गए हैं
 * $$L^{\text{rw}}_{i,j} := \begin{cases}

1 & \mbox{if}\ i = j\ \mbox{and}\ \deg(v_i) \neq 0\\ -\frac{1}{\deg(v_i)} & \mbox{if}\ i \neq j\ \mbox{and}\ v_i \mbox{ is adjacent to } v_j \\ 0 & \mbox{otherwise}. \end{cases}$$ रैंडम-वॉक सामान्यीकृत लाप्लासियन का नाम इस तथ्य से आता है कि यह आव्यूह है $L^\text{rw} = I - P$, जहाँ $P = D^+A$ गैर-ऋणात्मक भार मानते हुए, आरेख़ पर यादृच्छिक वॉकर का संक्रमण आव्यूह है। उदाहरण के लिए, चलो $ e_i $  i-वें मानक आधार सदिश को निरूपित करें। तब $x = e_i P $  संभाव्यता सदिश है जो शीर्ष से कदम उठाने के बाद यादृच्छिक वॉकर के स्थानों के वितरण का प्रतिनिधित्व करता है $i$ ; अर्थात।, $x_j = \mathbb{P}\left(v_i \to v_j\right)$. अधिक सामान्यतः, यदि सदिश $ x $ तब, आरेख़ के शीर्षों पर यादृच्छिक वॉकर के स्थान का संभाव्यता वितरण होता है $x' = x P^t$  बाद में वॉकर का संभाव्यता वितरण है $t$  कदम।

रैंडम वॉक सामान्यीकृत लाप्लासियन को बायां सामान्यीकृत लाप्लासियन भी कहा जा सकता है $$L^\text{rw} := D^+L$$ चूंकि सामान्यीकरण सामान्यीकरण आव्यूह द्वारा लाप्लासियन को गुणा करके किया जाता है $$D^+$$ बाईं तरफ। चूँकि इसकी प्रत्येक पंक्ति का योग शून्य है $$P = D^+A$$ स्टोचैस्टिक आव्यूह है, यह मानते हुए कि सभी भार गैर-ऋणात्मक हैं।

कम असामान्य रूप से उपयोग किए जाने वाले दाएँ सामान्यीकृत लाप्लासियन में $$L D^+ = I - A D^+$$ चूँकि प्रत्येक स्तम्भ का योग शून्य है $$A D^+$$ स्टोकेस्टिक आव्यूह है.

निर्देशित आरेख़ के गैर-सममित आसन्न आव्यूह के लिए, किसी को सामान्यीकरण के लिए घात (आरेख़ सिद्धांत) चुनने की भी आवश्यकता होती है: पंक्ति-योग के साथ लेफ्ट आउट-घात सामान्यीकृत लाप्लासियन सभी 0 स्टोकेस्टिक आव्यूह से संबंधित है $$D_{\text{out}}^+A$$, जबकि सभी 0 के स्तम्भ-योग के साथ घात में सामान्यीकृत लाप्लासियन में स्टोकेस्टिक आव्यूह शामिल है $$AD_{\text{in}}^+$$.

ऋणात्मक भार
ऋणात्मक भार सामान्यीकरण के लिए कई चुनौतियाँ प्रस्तुत करते हैं:
 * ऋणात्मक भार की उपस्थिति के परिणामस्वरूप गैर-पृथक शीर्षों के लिए स्वाभाविक रूप से शून्य पंक्ति- और/या स्तंभ-योग हो सकता है। सकारात्मक भारों की बड़ी पंक्ति-योग और समान रूप से ऋणात्मक भारों की समान रूप से बड़ी पंक्ति-योग वाला शीर्ष, जिसका योग शून्य है, को भारी नोड माना जा सकता है और दोनों बड़े मानों को स्केल किया जा सकता है, जबकि विकर्ण प्रविष्टि शून्य रहती है, जैसे कि पृथक शीर्ष.
 * ऋणात्मक भार ऋणात्मक पंक्ति- और/या स्तंभ-योग भी दे सकते हैं, जिससे कि गैर-सामान्यीकृत लाप्लासियन आव्यूह में संबंधित विकर्ण प्रविष्टि ऋणात्मक होगी और सममित सामान्यीकरण के लिए आवश्यक सकारात्मक वर्गमूल मौजूद नहीं होगा।
 * सामान्यीकरण के प्रयोजन के लिए पंक्ति- और/या स्तंभ-योग का पूर्ण मान लेने के लिए तर्क दिए जा सकते हैं, इस प्रकार संभावित मान -1 को सामान्यीकृत लाप्लासियन आव्यूह के मुख्य विकर्ण की वैध इकाई प्रविष्टि के रूप में माना जा सकता है।

गुण
एक (अप्रत्यक्ष) आरेख़ G और उसके लाप्लासियन आव्यूह L के लिए eigenvalues ​​​​के साथ $\lambda_0 \le \lambda_1 \le \cdots \le \lambda_{n-1}$ :


 * L सममित आव्यूह है.
 * L सकारात्मक-निश्चित आव्यूह है | सकारात्मक-अर्ध-निश्चित (अर्थात $\lambda_i \ge 0$ सभी के लिए $i$ ). इसे इस तथ्य से देखा जा सकता है कि लाप्लासियन सममित और विकर्ण रूप से प्रभावशाली आव्यूह अनुप्रयोग और गुण है।
 * L एम-आव्यूह है (इसकी ऑफ-विकर्ण प्रविष्टियाँ गैर-सकारात्मक हैं, फिर भी इसके स्वदेशी मानों के वास्तविक भाग गैर-ऋणात्मक हैं)।
 * L की प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ का योग शून्य है। वास्तव में, योग में, शीर्ष की घात को प्रत्येक पड़ोसी के लिए -1 के साथ जोड़ा जाता है।
 * परिणामस्वरूप, $\lambda_0 = 0$, क्योंकि सदिश $\mathbf{v}_0 = (1, 1, \dots, 1)$ संतुष्ट $L \mathbf{v}_0 = \mathbf{0} .$  इसका तात्पर्य यह भी है कि लाप्लासियन आव्यूह एकवचन है।
 * आरेख़ में कनेक्टेड कंपोनेंट (आरेख सिद्धांत) की संख्या लाप्लासियन के कर्नेल (रैखिक बीजगणित) का आयाम है और 0 आइगेनमान की आइगेनमान और आइजेनसदिश बीजगणितीय बहुलता है।
 * L के सबसे छोटे गैर-शून्य eigenvalue को वर्णक्रमीय अंतराल कहा जाता है।
 * L का दूसरा सबसे छोटा eigenvalue (शून्य हो सकता है) G की बीजगणितीय कनेक्टिविटी (या फ़िडलर मान) है और आरेख़ के कट (आरेख थ्योरी) Sparsest कट का अनुमान लगाता है।
 * लाप्लासियन फ़ंक्शंस के एन-डायमेंशनल सदिश स्पेस पर संक्रियक है $f : V \to \mathbb{R}$, जहाँ $V$ G का शीर्ष समुच्चय है, और $n = |V|$.
 * जब G, के-नियमित आरेख|k-रेगुलर है, तो सामान्यीकृत लाप्लासियन है: $\mathcal{L} = \tfrac{1}{k} L = I - \tfrac{1}{k} A$, जहां A आसन्नता आव्यूह है और I पहचान आव्यूह है।
 * एकाधिक कनेक्टेड घटक (आरेख़ सिद्धांत) वाले आरेख़ के लिए, L ब्लॉक आव्यूह ब्लॉक विकर्ण आव्यूह आव्यूह है, जहां प्रत्येक ब्लॉक प्रत्येक घटक के लिए संबंधित लाप्लासियन आव्यूह है, संभवतः शीर्षों को पुन: व्यवस्थित करने के बाद (अर्थात L क्रमपरिवर्तन-समान है) ब्लॉक विकर्ण आव्यूह)।
 * लाप्लासियन आव्यूह L का ट्रेस बराबर है $2m$ जहाँ $m$  विचारित आरेख़ के किनारों की संख्या है।
 * अब eigendecomposition पर विचार करें $L$, यूनिट-मानक eigenvectors के साथ $\mathbf{v}_i$ और संगत eigenvalues $\lambda_i$ :
 * $$\begin{align}

\lambda_i & = \mathbf{v}_i^\textsf{T} L \mathbf{v}_i \\ & = \mathbf{v}_i^\textsf{T} M^\textsf{T} M \mathbf{v}_i \\ & = \left(M \mathbf{v}_i\right)^\textsf{T} \left(M \mathbf{v}_i\right). \\ \end{align}$$ क्योंकि $\lambda_i$ सदिश के आंतरिक गुणनफलके रूप में लिखा जा सकता है $M \mathbf{v}_i$  अपने आप से, यह पता चलता है $\lambda_i \ge 0$  और इसलिए के eigenvalues $L$  सभी गैर-ऋणात्मक हैं.
 * सामान्यीकृत सममित लाप्लासियन के सभी eigenvalues ​​​​0 = μ को संतुष्ट करते हैं0 ≤ … ≤ एमn−1 ≤ 2. ये eigenvalues ​​(सामान्यीकृत लाप्लासियन के वर्णक्रम के रूप में जाना जाता है) सामान्य आरेख़ के लिए अन्य आरेख़ अपरिवर्तनीयों से अच्छी तरह से संबंधित हैं।


 * कोई इसकी जाँच कर सकता है:
 * $$L^\text{rw} = I-D^{-\frac{1}{2}}\left(I - L^\text{sym}\right) D^\frac{1}{2}$$,

अर्थात।, $L^\text{rw}$ सामान्यीकृत लाप्लासियन के लिए आव्यूह समानता है $L^\text{sym}$. इस कारण यद्यपि $L^\text{rw}$ यह सामान्यतः सममित नहीं है, इसके वास्तविक स्वदेशी मान हैं - बिल्कुल सामान्यीकृत सममित लाप्लासियन के स्वदेशी मूल्यों के समान $L^\text{sym}$.

निरंतर लाप्लासियन का अनुमान लगाने वाले असतत लाप्लास संक्रियक के रूप में व्याख्या
आरेख़ लाप्लासियन आव्यूह को परिमित अंतर विधि द्वारा प्राप्त ऋणात्मक निरंतर लाप्लासियन संक्रियक का अनुमान लगाने वाले आरेख़ पर ऋणात्मक असतत लाप्लास संक्रियक के आव्यूह रूप के रूप में देखा जा सकता है। (असतत पॉइसन समीकरण देखें) इस व्याख्या में, प्रत्येक आरेख शीर्ष को ग्रिड बिंदु के रूप में माना जाता है; शीर्ष की स्थानीय कनेक्टिविटी इस ग्रिड बिंदु पर परिमित अंतर सन्निकटन स्टेंसिल (संख्यात्मक विश्लेषण) निर्धारित करती है, ग्रिड का आकार हमेशा प्रत्येक किनारे के लिए होता है, और किसी भी ग्रिड बिंदु पर कोई बाधा नहीं होती है, जो सजातीय न्यूमैन के मामले से मेल खाती है सीमा की स्थिति, अर्थात, मुक्त सीमा। इस तरह की व्याख्या किसी को अनुमति देती है, उदाहरण के लिए, अनंत संख्या में शीर्षों और किनारों वाले आरेख़ के मामले में लाप्लासियन आव्यूह को सामान्यीकृत करना, जिससे अनंत आकार का लाप्लासियन आव्यूह बनता है।

सामान्यीकृत लाप्लासियन
सामान्यीकृत लाप्लासियन $$Q$$ परिभाषित किया जाता है:
 * $$\begin{cases}

Q_{i,j} < 0 & \mbox{if } i \neq j \mbox{ and } v_i \mbox{ is adjacent to } v_j\\ Q_{i,j} = 0 & \mbox{if } i \neq j \mbox{ and } v_i \mbox{ is not adjacent to } v_j \\ \mbox{any number} & \mbox{otherwise}. \end{cases}$$ ध्यान दें कि साधारण लाप्लासियन सामान्यीकृत लाप्लासियन है।

चुंबकीय लाप्लासियन
आसन्न आव्यूह की प्रविष्टियाँ मिश्रित-मूल्यवान हो सकती हैं, जिस स्थिति में आव्यूह समरूपता की धारणा को हर्मिटियन आव्यूह के साथ प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता होती है। वास्तविक भार के साथ निर्देशित आरेख़ के लिए चुंबकीय लाप्लासियन $$w_{ij}$$ मिश्रित संख्या प्रविष्टियों के साथ सममित लाप्लासियन और हर्मिटियन चरण आव्यूह के Symmetric matrix Real symmetric matrices के हैडामर्ड गुणनफल(मैट्रिसेस) के रूप में निर्मित किया गया है।
 * $$\gamma_q(i, j) = e^{i2 \pi q(w_{ij}-w_{ji})}$$

जो मिश्रित तल में किनारे की दिशा को चरण में कूटबद्ध करता है। क्वांटम भौतिकी के संदर्भ में, चुंबकीय लाप्लासियन की व्याख्या उस संक्रियक के रूप में की जा सकती है जो आरेख पर मुक्त आवेशित कण की घटना विज्ञान का वर्णन करता है, जो चुंबकीय क्षेत्र और पैरामीटर की कार्रवाई के अधीन है $$q$$ विद्युत आवेश कहलाता है। निम्नलिखित उदाहरण में $$q=1/4$$:

विकृत लाप्लासियन
विकृत लाप्लासियन को सामान्यतः इस प्रकार परिभाषित किया जाता है


 * $$\Delta(s) = I - sA + s^2(D - I)$$

जहां I पहचान आव्यूह है, A आसन्न आव्यूह है, D घात आव्यूह है, और s (मिश्रित-मूल्यवान) संख्या है। मानक लाप्लासियन बस है $\Delta(1)$ और $\Delta(-1) = D + A$  चिन्हहीन लाप्लासियन है।

साइनलेस लाप्लासियन
साइनलेस लाप्लासियन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 * $$Q = D + A$$

जहाँ $$D$$ घात आव्यूह है, और $$A$$ आसन्नता आव्यूह है. हस्ताक्षरित लाप्लासियन की तरह $$L$$, साइनलेस लाप्लासियन $$Q$$ यह सकारात्मक अर्ध-निश्चित भी है क्योंकि इसे इस रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है
 * $$Q = RR^\textsf{T}$$

जहाँ $R$ घटना आव्यूह है. $$Q$$ इसमें 0-आइगेनसदिश है यदि और मात्र तभी जब इसमें पृथक शीर्षों के अलावा कोई द्विदलीय जुड़ा घटक हो। इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है
 * $$\mathbf{x}^\textsf{T} Q \mathbf{x} = \mathbf{x}^\textsf{T} R R^\textsf{T} \mathbf{x} \implies R^\textsf{T} \mathbf{x} = \mathbf{0}.$$

इसका समाधान जहाँ है $$\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$$ यदि और मात्र यदि आरेख़ में द्विदलीय जुड़ा हुआ घटक है।

निर्देशित मल्टीआरेख
निर्देशित मल्टीआरेख के लिए लाप्लासियन आव्यूह का एनालॉग परिभाषित किया जा सकता है। इस मामले में लाप्लासियन आव्यूह L को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 * $$L = D - A$$

जहां D, D के साथ विकर्ण आव्यूह हैi,i शीर्ष i और A की आउटघात के बराबर, A के साथ आव्यूह हैi,j i से j तक किनारों की संख्या के बराबर (लूप सहित)।

ओपन सोर्स सॉफ़्टवेयर कार्यान्वयन

 * SciPy
 * नेटवर्कएक्स

एप्लीकेशन सॉफ्टवेयर

 * स्किकिट-लर्न स्पेक्ट्रल क्लस्टरिंग
 * PyGSP: पायथन में आरेख़ संकेत प्रोसेसिंग
 * मेगामैन: लाखों अंकों के लिए मैनिफोल्ड लर्निंग
 * चिकनीजी
 * डायनामिक आरेख़ के लिए लाप्लासियन चेंज पॉइंट डिटेक्शन (KDD 2020)
 * लाप्लासियनऑप्ट (लाप्लासियन के भारित आरेख़ के दूसरे आइगेनमान को अधिकतम करने के लिए जूलिया पैकेज)
 * LigMG (बड़ा अनियमित आरेख़ मल्टीग्रिड)
 * लाप्लासियंस.जे.L

यह भी देखें

 * कठोरता आव्यूह
 * प्रतिरोध दूरी
 * संक्रमण दर आव्यूह
 * परिमित भारित आरेख़ पर गणना
 * आरेख फूरियर रूपांतरण