सकारात्मक-वास्तविक कार्य

सकारात्मक-वास्तविक कार्य, अक्सर पीआर फ़ंक्शन या पीआरएफ के लिए संक्षिप्त, एक प्रकार का गणितीय कार्य है जो पहले विद्युत नेटवर्क संश्लेषण में उत्पन्न हुआ था। वे जटिल विश्लेषण हैं # जटिल कार्य, Z(s), एक जटिल चर के, s। एक परिमेय फलन को PR संपत्ति के रूप में परिभाषित किया जाता है यदि इसका एक सकारात्मक वास्तविक भाग है और यह जटिल तल के दाहिने आधे भाग में विश्लेषणात्मक है और वास्तविक अक्ष पर वास्तविक मान लेता है।

प्रतीकों में परिभाषा है,


 * $$ \begin{align}

& \Re[Z(s)]>0 \quad\text{if}\quad \Re(s) > 0 \\ & \Im[Z(s)]=0 \quad\text{if}\quad \Im(s)=0 \end{align} $$ विद्युत नेटवर्क विश्लेषण में, Z(s) एक विद्युत प्रतिबाधा अभिव्यक्ति का प्रतिनिधित्व करता है और s जटिल आवृत्ति चर है, जिसे अक्सर इसके वास्तविक और काल्पनिक भागों के रूप में व्यक्त किया जाता है;


 * $$s=\sigma+i\omega \,\!$$

किन शब्दों में पीआर की स्थिति बताई जा सकती है;


 * $$ \begin{align}

& \Re[Z(s)]>0 \quad\text{if}\quad \sigma > 0 \\ & \Im[Z(s)]=0 \quad\text{if}\quad \omega=0 \end{align} $$ पीआर स्थिति के नेटवर्क विश्लेषण का महत्व वास्तविकता की स्थिति में निहित है। जेड (एस) एक बंदरगाह तर्कसंगत प्रतिबाधा के रूप में वसूली योग्य है अगर और केवल अगर यह पीआर शर्त को पूरा करता है। इस अर्थ में प्राप्य होने का अर्थ है कि प्रतिबाधा का निर्माण असतत आदर्श निष्क्रियता (इंजीनियरिंग) रैखिक तत्वों (प्रतिरोधों, प्रेरकों और विद्युत शब्दावली में संधारित्र ) की एक परिमित (इसलिए तर्कसंगत) संख्या से किया जा सकता है।

परिभाषा
सकारात्मक-वास्तविक कार्य शब्द मूल रूप से परिभाषित किया गया था ओटो ब्राउन किसी भी फ़ंक्शन जेड (एस) का वर्णन करने के लिए कई लेखक स्पष्ट रूप से तर्कसंगतता की आवश्यकता के द्वारा इस परिभाषा का सख्ती से पालन करते हैं, या तर्कसंगत कार्यों पर ध्यान सीमित करके, कम से कम पहली बार में. हालाँकि, एक समान अधिक सामान्य स्थिति, जो तर्कसंगत कार्यों तक सीमित नहीं है, पहले काउर द्वारा विचार किया गया था, और कुछ लेखक इस प्रकार की स्थिति के लिए सकारात्मक-वास्तविक शब्द का वर्णन करते हैं, जबकि अन्य इसे मूल परिभाषा का सामान्यीकरण मानते हैं।
 * तर्कसंगत फलन है (दो बहुपदों का भागफल),
 * वास्तविक है जब s वास्तविक है
 * सकारात्मक वास्तविक भाग होता है जब s का सकारात्मक वास्तविक भाग होता है

इतिहास
शर्त पहली बार विल्हेम कॉयर (1926) द्वारा प्रस्तावित की गई थी जिन्होंने निर्धारित किया कि यह एक आवश्यक शर्त थी। ओटो ब्रुने (1931) स्थिति के लिए सकारात्मक-वास्तविक शब्द गढ़ा और यह साबित किया कि यह वास्तविकता के लिए आवश्यक और पर्याप्त दोनों था।

गुण

 * दो पीआर कार्यों का योग पीआर है।
 * दो पीआर कार्यों की कार्य संरचना पीआर है। विशेष रूप से, यदि Z(s) PR है, तो 1/Z(s) और Z(1/s) भी हैं।
 * PR फलन के सभी शून्य और ध्रुव बाएँ आधे तल में या काल्पनिक अक्ष की उसकी सीमा पर होते हैं।
 * काल्पनिक अक्ष पर कोई भी ध्रुव और शून्य शून्य (जटिल विश्लेषण) #Multiplicity_of_a_zero (एक की बहुलता (गणित) है)।
 * काल्पनिक अक्ष पर किसी भी ध्रुव का वास्तविक सख्ती से सकारात्मक अवशेष (जटिल विश्लेषण) होता है, और इसी तरह काल्पनिक अक्ष पर किसी भी शून्य पर, फ़ंक्शन का वास्तविक सख्ती से सकारात्मक व्युत्पन्न होता है।
 * दाहिने आधे विमान पर, पीआर फ़ंक्शन के वास्तविक भाग का न्यूनतम मान काल्पनिक अक्ष पर होता है (क्योंकि विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन का वास्तविक भाग विमान पर एक हार्मोनिक फ़ंक्शन का गठन करता है, और इसलिए अधिकतम सिद्धांत को संतुष्ट करता है)।
 * किसी परिमेय फलन PR फलन के लिए, ध्रुवों की संख्या और शून्यों की संख्या में अधिक से अधिक एक का अंतर होता है।

सामान्यीकरण
निष्क्रिय रैखिक विद्युत नेटवर्क के एक व्यापक वर्ग के Immittance  कार्यों को चिह्नित करने के इरादे से कभी-कभी कुछ सामान्यीकरण किए जाते हैं।

तर्कहीन कार्य
एक नेटवर्क का प्रतिबाधा Z(s) जिसमें अनंत संख्या में घटक होते हैं (जैसे कि अर्ध-अनंत सीढ़ी_नेटवर्क # लैडर_टोपोलॉजी), s का तर्कसंगत कार्य होना आवश्यक नहीं है, और विशेष रूप से बाएं आधे हिस्से में शाखा बिंदु हो सकते हैं- विमान। पीआर की परिभाषा में ऐसे कार्यों को समायोजित करने के लिए, इसलिए इस शर्त को शिथिल करना आवश्यक है कि फलन सभी वास्तविक s के लिए वास्तविक हो, और केवल तभी आवश्यक हो जब s धनात्मक हो। इस प्रकार, संभवतः अपरिमेय फलन Z(s) PR है यदि और केवल यदि कुछ लेखक इस अधिक सामान्य परिभाषा से शुरू करते हैं, और फिर इसे तर्कसंगत मामले में विशिष्ट करते हैं।
 * Z(s) खुले दाहिने आधे एस-प्लेन में विश्लेषणात्मक है (Re[s] > 0)
 * Z(s) वास्तविक है जब s धनात्मक और वास्तविक है
 * रे [जेड (एस)] ≥ 0 जब रे [एस] ≥ 0

मैट्रिक्स-मूल्यवान कार्य
एक से अधिक पोर्ट (सर्किट सिद्धांत) वाले रैखिक विद्युत नेटवर्क को प्रतिबाधा पैरामीटर प्रवेश पैरामीटर द्वारा वर्णित किया जा सकता है। तो पीआर की परिभाषा को मैट्रिक्स-मूल्यवान कार्यों तक विस्तारित करके, रैखिक मल्टी-पोर्ट नेटवर्क जो निष्क्रिय हैं, उन लोगों से अलग किया जा सकता है जो नहीं हैं। संभवतः अपरिमेय मैट्रिक्स-मूल्यवान फ़ंक्शन Z(s) PR है यदि और केवल यदि
 * Z(s) का प्रत्येक तत्व खुले दाहिने आधे s-प्लेन में विश्लेषणात्मक है (Re[s] > 0)
 * Z(s) का प्रत्येक तत्व वास्तविक है जब s धनात्मक और वास्तविक है
 * हर्मिटियन मैट्रिक्स भाग (Z(s) + ZZ(s) का †(s))/2 सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स है | धनात्मक अर्ध-निश्चित जब Re[s] ≥ 0

संदर्भ

 * Wilhelm Cauer (1932) The Poisson Integral for Functions with Positive Real Part, Bulletin of the American Mathematical Society 38:713–7, link from Project Euclid.
 * W. Cauer (1932) "Über Funktionen mit positivem Realteil", Mathematische Annalen 106: 369–94.