विभंग यांत्रिकी

यह लेख विभंग के पूर्वानुमान के बारे में है। विभंग के विज्ञान के लिए, विभंग देखें। अन्य उपयोगों के लिए, विभंग (बहुविकल्पी) देखें।

विभंग यांत्रिकी (facture mechanics ) सामग्री में दरार (क्रैक) संचरण के अध्ययन से संबंधित यांत्रिकी का क्षेत्र है। यह एक दरार पर प्रेरक बल की गणना करने के लिए विश्लेषणात्मक ठोस यांत्रिकी के तरीकों का उपयोग करता है और विभंग के लिए सामग्री के प्रतिरोध को चिह्नित करने के लिए प्रायोगिक ठोस यांत्रिकी के तरीकों का उपयोग करता है।

सैद्धांतिक रूप से, एक तेज दरार अग्रभाग के आगे का दबाव अनंत हो जाता है और इसका उपयोग दरार के आसपास की स्थिति का वर्णन करने के लिए नहीं किया जा सकता है। विभंग यांत्रिकी का उपयोग दरार पर भार को चिह्नित करने के लिए किया जाता है, सामान्यतः दरार के अग्रभाग पर पूर्ण उद्भारण स्थिति का वर्णन करने के लिए एकल पैरामीटर का उपयोग किया जाता है। कई अलग-अलग पैरामीटर विकसित किए गए हैं। जब दरार के अग्रभाग पर कृत्रिम क्षेत्र दरार की लंबाई के सापेक्ष छोटा होता है तो दरार के अग्रभाग पर दबाव की स्थिति सामग्री के अंदर प्रत्यास्थ (भौतिकी) बलों का परिणाम होती है और इसे रैखिक प्रत्यास्थ विभंग यांत्रिकी (LEFM) कहा जाता है और दबाव तीव्रता गुणांक $$K$$ का उपयोग करना इसकी विशेषता हो सकती है । हालांकि एक दरार पर भार अनियन्त्रित हो सकता है, 1957 में जॉर्ज रैनकिन जी. इरविन ने पाया कि किसी भी स्थिति को तीन स्वतंत्र दबाव तीव्रता गुणांकों के संयोजन में कम किया जा सकता है:
 * मोड I - प्रस्फुटन मोड (दरार के तल के लिए सामान्य तन्यता दबाव),
 * मोड II - सर्पी मोड (दरार के तल के समानांतर और दरार के सामने लंबवत होता है), और
 * मोड III - उद्धत मोड (एक समांकर्तन दबाव दरार के तल के समानांतर और दरार के सामने के समानांतर काम करता है)।

जब दरार अग्रभाग पर कृत्रिम क्षेत्र का आकार बहुत बड़ा होता है, तो प्रत्यास्थ-कृत्रिम विभंग यांत्रिकी का उपयोग J-एकीकृत या दरार अग्रभाग प्रस्फुटन विस्थापन जैसे मापदंडों के साथ किया जा सकता है।

विशिष्टता पैरामीटर दरार अग्रभाग की स्थिति का वर्णन करता है जो समानता (मॉडल) सुनिश्चित करने के लिए प्रायोगिक स्थितियों से संबंधित हो सकता है। दरार वृद्धि तब होती है जब पैरामीटर सामान्यतः कुछ महत्वपूर्ण मूल्यों से अधिक हो जाते हैं। संक्षारण के कारण दरार धीरे-धीरे बढ़ सकती है जब दबाव की संक्षारण दरार दबाव की तीव्रता सीमा से अधिक हो जाती है। इसी तरह, चक्रीय उद्भारण के अधीन होने पर छोटी त्रुटि के कारण दरार बढ़ सकती है। जिसे श्रान्ति (सामग्री) के रूप में जाना जाता है, यह पाया गया कि लंबी दरारों के लिए, वृद्धि की दर अत्यधिक लगाए गए भार के कारण दरार की अनुभव की गई दबाव की तीव्रता $$\Delta K$$ की सीमा से नियंत्रित होती है तेज विभंग तब होगा जब दबाव की तीव्रता सामग्री के विभंग की कठोरता से अधिक हो। दरार वृद्धि की पूर्वानुमान आघात स्वीकार्य परिवर्तन यांत्रिक डिजाइन व्यवस्था के केंद्र में है।

प्रेरणा
सामग्री निर्माण, प्रसंस्करण, मशीनन और बनाने की प्रक्रिया एक तैयार यांत्रिक घटक में भ्रंश समाविष्ट कर सकती है। निर्माण प्रक्रिया से उत्पन्न होने पर, सभी धातु संरचनाओं में आंतरिक और सतह दोष पाए जाते हैं। सेवा शर्तों के अंतर्गत ऐसे सभी दोष अस्थिर नहीं होते हैं। विभंग यांत्रिकी उन दोषों का विश्लेषण है जो सुरक्षित हैं (अर्थात, बढ़ते नहीं हैं) और जो दरारें के रूप में उत्पन्न होने के लिए अधीन हैं और इसलिए त्रुटि पूर्ण संरचना की संरचनात्मक विफलता का कारण बनते हैं। इन अंतर्निहित दोषों के होने पर भी, आघात स्वीकार्य परिवर्तन विश्लेषण के माध्यम से संरचना के सुरक्षित संचालन को प्राप्त करना संभव है। महत्वपूर्ण अध्ययन के लिए एक विषय के रूप में विभंग यांत्रिकी विवेचनात्मक रूप से एक सदी के आसपास रही है और इस तरह यह अपेक्षाकृत नया है।

अस्थिभंग यांत्रिकी को निम्नलिखित प्रश्नों के मात्रात्मक उत्तर देने का प्रयास करना चाहिए:


 * 1) दरार के आकार के कार्य के रूप में घटक की सामर्थ्य क्या है?
 * 2) क्रमव्यवस्था उद्भारण के अंतर्गत किस दरार के आकार को सहन किया जा सकता है, अर्थात अधिकतम स्वीकार्य दरार का आकार क्या है?
 * 3) दरार को एक निश्चित प्रारंभिक आकार से बढ़ने में कितना समय लगता है, उदाहरण के लिए न्यूनतम पता लगाने योग्य दरार आकार, अधिकतम स्वीकार्य दरार आकार तक?
 * 4) संरचना का सेवा जीवन क्या है जब एक निश्चित पूर्व-सम्मिलित दोष आकार (उदाहरण के लिए एक निर्माण दोष) सम्मिलित माना जाता है?
 * 5) दरार का पता लगाने के लिए उपलब्ध अवधि के समय दरारों के लिए संरचना का कितनी बार निरीक्षण किया जाना चाहिए?

ग्रिफ़िथ की मानदंड
विभंग यांत्रिकी प्रथम विश्व युद्ध के समय अंग्रेजी वैमानिकी अभियांत्रिकी ए. ए. ग्रिफ़िथ द्वारा विकसित किया गया था - इस प्रकार शब्द ग्रिफ़िथ दरार - सुगम सामग्री की विफलता की व्याख्या करने के लिए। ग्रिफ़िथ का काम दो अन्तर्विरोधी तथ्यों से प्रेरित था:


 * स्थूल कांच को विभंग करने के लिए आवश्यक दबाव लगभग 100 MPa (15,000 psi) है।
 * कांच के परमाणु बंधों को तोड़ने के लिए आवश्यक सैद्धांतिक दबाव लगभग 10000 MPa है।

इन परस्पर विरोधी टिप्पणियों को सामंजस्य स्थापित के लिए एक सिद्धांत की आवश्यकता थी साथ ही, कांच तंत्रिका पर किए गए प्रयोग जो ग्रिफ़िथ ने स्वयं आयोजित किए थे, ने सुझाव दिया कि तंत्रिका व्यास कम होने के साथ विभंग दबाव बढ़ता है। इसलिए एक अक्षीय तन्य शक्ति, जिसका उपयोग ग्रिफ़िथ से पहले सामग्री की विफलता की पूर्वानुमान करने के लिए बड़े पैमाने पर किया गया था, एक नमूना- पृथक्करण सामग्री गुण नहीं हो सकता था। ग्रिफिथ ने सुझाव दिया कि प्रयोगों में देखी गई कम विभंग सामर्थ्य, साथ ही सामर्थ्य की आकार-निर्भरता, स्थूल सामग्री में सूक्ष्म दोषों की उपस्थिति के कारण थी।

दोष परिकल्पना को सत्यापित करने के लिए, ग्रिफ़िथ ने अपने प्रायोगिक कांच के नमूनों में एक कृत्रिम दोष समाविष्ट किया। कृत्रिम दोष एक सतही दरार के रूप में था जो एक नमूने में अन्य दोषों की तुलना में बहुत बड़ा था। प्रयोगों से पता चला है कि दोष की लंबाई के वर्गमूल का गुणनफल ($$a$$) और विभंग पर दबाव ($$\sigma_f$$) लगभग स्थिर था, जो समीकरण द्वारा व्यक्त किया गया है:


 * $$\sigma_f\sqrt{a} \approx C$$

रैखिक प्रत्यास्थ सिद्धांत के संदर्भ में इस संबंध की व्याख्या समस्याग्रस्त है। रैखिक प्रत्यास्थ सिद्धांत पूर्वानुमान लगता है कि एक रैखिक प्रत्यास्थ विरूपण सामग्री में एक तेज दोष के अग्रभाग पर दबाव (और इसलिए दबाव) अनंत है। उस समस्या से बचने के लिए, ग्रिफ़िथ ने अपने द्वारा देखे गए संबंध को समझाने के लिए एक ऊष्मप्रवैगिकी प्रस्ताव विकसित किया।

दरार की वृद्धि, दरार के दोनों ओर सतहों के विस्तार के लिए सतह ऊर्जा में वृद्धि की आवश्यकता होती है। ग्रिफ़िथ ने एक प्रत्यास्थ प्लेट में एक परिमित दरार की प्रत्यास्थ समस्या को हल करके दरार की सतह ऊर्जा के संदर्भ में स्थिरांक के लिए एक व्यंजक $$C$$ खोजा। संक्षेप में, प्रस्ताव था:


 * एक अक्षीय तन्यता भार के अंतर्गत एक आदर्श नमूने में संग्रहीत संभावित ऊर्जा की गणना करें।
 * सीमा को तय करें ताकि प्रयुक्त भार काम न करे और फिर नमूने में दरार डालें। दरार दबाव को कम करती है और इसलिए दरार वाले फलक के पास प्रत्यास्थ ऊर्जा को कम करती है। दूसरी ओर, दरार से नमूने की कुल सतह ऊर्जा बढ़ जाती है।
 * दरार की लंबाई के एक फलन के रूप में ऊष्मप्रवैगिकी मुक्त ऊर्जा (सतह ऊर्जा-प्रत्यास्थ ऊर्जा) में परिवर्तन की गणना करें। विफलता तब होती है जब मुक्त ऊर्जा एक महत्वपूर्ण दरार लंबाई पर एक उत्कर्ष मान प्राप्त करती है, जिसके आगे दरार की लंबाई बढ़ने पर मुक्त ऊर्जा कम हो जाती है, अर्थात विभंग के कारण। इस प्रक्रिया का उपयोग करते हुए ग्रिफ़िथ ने पाया कि


 * $$C = \sqrt{\cfrac{2E\gamma}{\pi}}$$

जहां पर $$E$$ सामग्री का यंग मापांक है और $$\gamma$$ सामग्री की सतह ऊर्जा घनत्व है। यह मानते हुए $$E = 62\ \text{GPa}$$ तथा $$\gamma = 1\ \text{J/m}^2$$ कांच के लिए प्रायोगिक परिणामों के साथ ग्रिफ़िथ के अनुमानित विभंग दबाव का उत्कृष्ट सहमति करता है।

एक पतली आयताकार प्लेट के साधारण स्थिति के लिए भार के लंबवत दरार के साथ, ऊर्जा संपादित दर, $$G$$, बन जाता है:


 * $$G = \frac{\pi \sigma^2 a}{E}\,$$

जहां पर $$\sigma$$ प्रयुक्त दबाव है, $$a$$ दरार की लंबाई आधी है, और $$E$$ यंग का मापांक है, जिसे समतल दबाव के स्थिति में प्लेट की कठोरता गुणांक से विभाजित किया जाना चाहिए $$(1-\nu^2)$$. दबाव ऊर्जा संपादित दर को भौतिक रूप से समझा जा सकता है: वह दर जिस पर दरार के विकास से ऊर्जा अवशोषित होती है।

हालाँकि, हमारे पास यह भी है:


 * $$G_c = \frac{\pi \sigma_f^2 a}{E}\,$$

यदि $$G$$ ≥ $$G_c$$, यही वह मानदंड है जिसके लिए दरार प्रसार प्रारंभ हो जाएगी।

दरार संचरण से पहले अत्यधिक विकृत सामग्री के लिए, रैखिक प्रत्यास्थ विभंग यांत्रिकी सूत्रीकरण अब प्रयुक्त नहीं होता है और दरार अग्रभाग के करीब दबाव और विस्थापन क्षेत्र का वर्णन करने के लिए एक अनुकूलित मॉडल आवश्यक है, जैसे कि नरम सामग्री के विभंग पर।

इरविन का संशोधन


1950 के दशक की प्रारंभ तक ग्रिफ़िथ के काम को अभियांत्रिकी समूह द्वारा बड़े पैमाने पर उपेक्षित किया गया था। इसके कारण प्रतीत होते हैं (a) वास्तविक संरचनात्मक सामग्रियों में विभंग का कारण बनने के लिए आवश्यक ऊर्जा का स्तर संबंधित सतह ऊर्जा की तुलना में अधिक परिमाण का क्रम है, और (b) संरचनात्मक सामग्रियों में दरार के चारों ओर सदैव कुछ अयोग्य विकृति होती है। सामने जो दरार के अग्रभाग पर अनंत दबाव के साथ रैखिक प्रत्यास्थ माध्यम की धारणा को अत्यधिक अवास्तविक बना देगा।

ग्रिफिथ का सिद्धांत सुगम सामग्री जैसे कांच के लिए प्रयोगात्मक डेटा के साथ उत्कृष्ट सहमति प्रदान करता है। तन्य सामग्री जैसे इस्पात के लिए, हालांकि संबंध $$ \sigma_f\sqrt{a} = C $$ अभी भी स्थायी है, ग्रिफ़िथ के सिद्धांत द्वारा अनुमानित सतह ऊर्जा (γ) सामान्यतः अवास्तविक रूप से उच्च है। जी. आर इरविन के अंतर्गत काम कर रहे एक समूह द्वितीय विश्व युद्ध के समय अमेरिकी नौसेना अनुसंधान प्रयोगशाला (NRL) में अनुभव किया गया कि नमनीय सामग्री के विभंग में पराप्रत्यास्थता को महत्वपूर्ण भूमिका निभानी चाहिए।

तन्य सामग्रियों में (और यहां तक ​​कि उन सामग्रियों में भी जो सुगम दिखाई देती हैं ), दरार के अग्रभाग पर एक कृत्रिम क्षेत्र विकसित होता है। जैसे-ही प्रयुक्त किया गया संरचनात्मक भार बढ़ता है, कृत्रिम क्षेत्र का आकार तब तक बढ़ता जाता है जब तक कि दरार नहीं बढ़ जाती है और दरार के अग्रभाग के पीछे प्रत्यास्थ रूप से विकृत सामग्री कम हो जाती है। दरार अग्रभाग के पास कृत्रिम उद्भारण और आभरण चक्र ऊष्मा के रूप में ऊर्जा के अपव्यय की ओर जाता है। इसलिए, सुगम सामग्री के लिए ग्रिफ़िथ द्वारा तैयार किए गए ऊर्जा संतुलन संबंध में वियोज्य जोड़ा जाना चाहिए। भौतिक शब्दों में, सुगम सामग्री की तुलना में नमनीय सामग्री में दरार वृद्धि के लिए अतिरिक्त ऊर्जा की आवश्यकता होती है।

इरविन की योजना ऊर्जा को दो भागों में बांटने की थी:
 * संग्रहीत प्रत्यास्थ दबाव ऊर्जा जो एक दरार बढ़ने के रूप में जारी होती है। यह विभंग के लिए ऊष्मप्रवैगिकी प्रेरक बल है।
 * विलुप्त ऊर्जा जिसमें कृत्रिम अपव्यय और सतह ऊर्जा सम्मिलित है (और कोई अन्य क्षयकारी बल जो काम पर हो सकता है)। छितरी हुई ऊर्जा विभंग को ऊष्मप्रवैगिकी प्रतिरोध प्रदान करती है। तब कुल ऊर्जा है


 * $$G = 2\gamma + G_p$$

जहां पर $$\gamma$$ सतह ऊर्जा है और $$G_p$$ दरार विकास के प्रति इकाई क्षेत्र में कृत्रिम अपव्यय (और अन्य स्रोतों से अपव्यय) है।

ग्रिफ़िथ की ऊर्जा मानदंड के संशोधित संस्करण को तब इस रूप में लिखा जा सकता है


 * $$\sigma_f\sqrt{a} = \sqrt{\cfrac{E~G}{\pi}}.$$

कांच जैसी सुगम सामग्री के लिए, सतही ऊर्जा शब्द प्रमुख है और $$G \approx 2\gamma = 2 \,\, \text{J/m}^2$$. इस्पात जैसी नमनीय सामग्री के लिए, कृत्रिम वियोज्य प्रमुख है और $$G \approx G_p = 1000 \,\, \text{J/m}^2$$. कांच के संक्रमण तापमान के करीब बहुलक के लिए, हमारे पास मध्यवर्ती मान हैं $$G$$ 2 और 1000 के बीच $$\text{J/m}^2$$है।

दबाव तीव्रता गुणांक
इरविन और उनके सहयोगियों की एक और महत्वपूर्ण उपलब्धि एक रेखीय प्रत्यास्थ ठोस में दरार के सामने के चारों ओर स्पर्शोन्मुख दबाव और विस्थापन क्षेत्रों के संदर्भ में विभंग के लिए उपलब्ध ऊर्जा की मात्रा की गणना करने की एक विधि का पता लगाना था। मोड I उद्भारण में दबाव क्षेत्र के लिए यह स्पर्शोन्मुख अभिव्यक्ति दबाव तीव्रता गुणांक से संबंधित है $$ K_I $$ निम्नलिखित:
 * $$\sigma_{ij} = \left(\cfrac{K_{I}}{\sqrt{2\pi r}}\right)~f_{ij}(\theta)$$

जहां पर $$ \sigma_{ij} $$ कॉची दबाव हैं, $$ r $$ दरार अग्रभाग से दूरी है, $$ \theta $$ दरार के तल के संबंध में कोण है, और $$ f_{ij} $$ वे कार्य हैं जो दरार ज्यामिति और उद्भारण स्थितियों पर निर्भर करते हैं। इरविन ने परिमाण $$ K $$ को दबाव तीव्रता गुणांक कहा चूंकि परिमाण के बाद से $$ f_{ij} $$ आयाम रहित है, दबाव तीव्रता गुणांक को $$\text{MPa}\sqrt{\text{m}}$$ की इकाइयों में व्यक्त किया जा सकता है।

दबाव की तीव्रता ने दबाव ऊर्जा संपादित दर को परिवर्तित कर दिया और विभंग सुदृढ़ता नामक शब्द ने सतह की ऊर्जा कमी को परिवर्तित कर दिया। ये दोनों शब्द केवल ग्रिफ़िथ द्वारा उपयोग की जाने वाली ऊर्जा शर्तों से संबंधित हैं:


 * $$K_I = \sigma \sqrt{\pi a}\,$$

तथा

$$  K_c = \begin{cases} \sqrt{EG_c} & \text{for plane stress} \\ \\                    \sqrt{\cfrac{EG_c}{1-\nu^2}} & \text{for plane strain} \end{cases} $$

जहां पर $$K_I$$ विधा है $$ I $$ दबाव की तीव्रता, $$K_c$$ विभंग सुदृढ़ता, और $$\nu$$ प्वासों का अनुपात है।

विभंग तब होता है जब $$K_I \geq K_c$$. सतह दबाव विरूपण के विशेष स्थिति के लिए, $$K_c$$ हो जाता है $$K_{Ic}$$ और एक भौतिक गुण माना जाता है। अधोलेख $$ I $$ विभिन्न तरीकों के लिए दबाव तीव्रता गुणांक के कारण उत्पन्न होता है। यह तथाकथित मोड $$ I $$ को संदर्भित करता है मोड $$ II $$ या $$ III $$ के विपरीत भार हो रहा है :

$$K_I$$ के लिए अभिव्यक्ति दबाव तीव्रता गुणांक पर लेख में चर्चा के अनुसार, केंद्र-दरार वाली अनंत प्लेट के अलावा ज्यामिति के लिए अलग होगा। परिणामस्वरूप, ज्यामिति को चिह्नित करने के लिए एक आयाम रहित सुधार कारक $$ Y $$ का परिचय देना आवश्यक है। यह सुधार गुणांक, जिसे प्रायः ज्यामितीय आकार गुणांक के रूप में संदर्भित किया जाता है, अनुभवजन्य रूप से निर्धारित श्रृंखला द्वारा दिया जाता है और दरार या निशान के प्रकार और ज्यामिति के लिए होता है। इस प्रकार हमारे पास है:


 * $$K_I = Y \sigma \sqrt{\pi a}\,$$

जहां पर $$ Y $$ परिमित चौड़ाई की परत $$ W $$ के लिए दी गई परत की दरार की लंबाई और चौड़ाई का एक फलन है जिसमे लंबाई $$ 2a $$, द्वारा:


 * $$Y \left ( \frac{a}{W} \right ) = \sqrt{\sec\left ( \frac{\pi a}{W} \right )}\,$$

दबाव ऊर्जा संपादित
इरविन पहले व्यक्ति थे जिन्होंने देखा कि यदि दरार के चारों ओर कृत्रिम क्षेत्र का आकार दरार के आकार की तुलना में छोटा है, तो दरार को विकसित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा दरार अग्रभाग पर दबाव की स्थिति (कृत्रिम क्षेत्र) पर सूक्ष्म रूप से निर्भर नहीं होगी। दूसरे शब्दों में, विभंग के लिए उपलब्ध ऊर्जा की मात्रा की गणना करने के लिए विशुद्ध रूप से प्रत्यास्थ समाधान का उपयोग किया जा सकता है।

दरार वृद्धि या दबाव ऊर्जा संपादित दर के लिए ऊर्जा संपादित दर की गणना दरार वृद्धि के प्रति इकाई क्षेत्र में प्रत्यास्थ दबाव ऊर्जा में परिवर्तन के रूप में की जा सकती है, अर्थात।


 * $$G := \left[\cfrac{\partial U}{\partial a}\right]_P = -\left[\cfrac{\partial U}{\partial a}\right]_u$$

जहाँ U प्रणाली की प्रत्यास्थ ऊर्जा है और दरार की लंबाई है। उपरोक्त व्यंजकों का मूल्यांकन करते समय या तो भार P या विस्थापन u स्थिर हैं।

इरविन ने दिखाया कि मोड I दरार (प्रस्फुटन मोड) दबाव ऊर्जा संपादित दर और दबाब तीव्रता गुणांक इससे संबंधित हैं:

G = G_I = \begin{cases} \cfrac{K_I^2}{E} & \text{plane stress} \\ \cfrac{(1-\nu^2) K_I^2}{E} & \text{plane strain} \end{cases} $$ जहाँ E यंग का मापांक है, ν प्वासों का अनुपात है, और KI मोड I में दबाव तीव्रता गुणांक है। इरविन ने यह भी दिखाया कि रैखिक प्रत्यास्थ अग्रभाग में एक तलीय दरार की दबाव ऊर्जा संपादित दर को मोड I, विभंग दरार पृथक्करण मोड II(सर्पी मोड), सबसे सामान्य उद्भारण स्थितियों के लिए दरार मोड III ( उद्धत मोड) दबाब तीव्रता गुणांक और विभंग के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है।

इसके बाद, इरविन ने अतिरिक्त धारणा को अपनाया कि सुगम विभंग के समय ऊर्जा अपव्यय क्षेत्र का आकार लगभग स्थिर रहता है। यह धारणा बताती है कि एक इकाई विभंग सतह बनाने के लिए आवश्यक ऊर्जा एक स्थिर है जो केवल सामग्री पर निर्भर करती है। इस नई भौतिक गुण को विभंग सुदृढ़ता नाम दिया गया और नामित GIc किया गया. आज, यह महत्वपूर्ण दबाव तीव्रता गुणांक K Ic है, समतल दबाव की स्थिति में पाया जाता है, जिसे रैखिक प्रत्यास्थ विभंग यांत्रिकी में परिभाषित गुण के रूप में स्वीकार किया जाता है।

दरार अग्रभाग कृत्रिम क्षेत्र
सिद्धांत रूप में दरार के अग्रभाग पर दबाव जहां त्रिज्या लगभग शून्य है, अनंत की ओर प्रवृत्त होती है। इसे एक दबावपूर्ण विलक्षणता माना जाएगा, जो वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों में संभव नहीं है। इस कारण से, विभंग यांत्रिकी के क्षेत्र में संख्यात्मक अध्ययन में, दरार-अग्रभाग विलक्षणता की जगह दबाव संघनता के एक ज्यामिति निर्भर क्षेत्र के साथ, गोल अग्रभाग वाले स्तर (अभियांत्रिकी) के रूप में दरारों का प्रतिनिधित्व करना प्रायः उपयुक्त होता है। वास्तविकता में, वास्तविक सामग्री के अंदर एक दरार के अग्रभाग पर दबाव संघनता एक परिमित मूल्य के लिए पाया गया है, लेकिन नमूने पर प्रयुक्त संज्ञात्मक दबाव से बड़ा है।

तथापि, किसी प्रकार की तंत्र या सामग्री की गुण होनी चाहिए जो इस तरह की दरार को स्वाभाविक रूप से प्रसारित होने से रोकती है। अभिग्रहीत है, दरार के अग्रभाग पर कृत्रिम की विकृति दरार के अग्रभाग को प्रभावी रूप से अकर्तक कर देती है। यह विरूपण मुख्य रूप से प्रयुक्त दिशा में (अधिकांश स्थितियों में, यह नियमित कार्तीय निर्देशांक पद्धति की y-दिशा है), दरार की लंबाई और नमूने की ज्यामिति प्रयुक्त दबाव पर निर्भर करता है। यह अनुमान लगाने के लिए कि यह कृत्रिम विरूपण क्षेत्र दरार के अग्रभाग से कैसे बढ़ा, इरविन ने सामग्री की लाभ शक्ति को दरार (x दिशा) के साथ y-दिशा के दूर-क्षेत्र के दबावों के बराबर किया और प्रभावी त्रिज्या के लिए हल किया। इस संबंध से, और यह मानते हुए कि दरार महत्वपूर्ण दबाव तीव्रता गुणांक से भरी हुई है, इरविन ने दरार के अग्रभाग पर कृत्रिम विरूपण के क्षेत्र के आदर्श त्रिज्या के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति विकसित की:
 * $$r_p = \frac{K_{C}^2}{2\pi\sigma_Y^2}$$

आदर्श सामग्रियों के मॉडल ने दिखाया है कि पराप्रत्यास्थता का यह क्षेत्र दरार के अग्रभाग पर केंद्रित है। यह समीकरण दरार अग्रभाग से परे कृत्रिम क्षेत्र विरूपण का अनुमानित आदर्श त्रिज्या देता है, जो कई संरचनात्मक वैज्ञानिकों के लिए उपयोगी है क्योंकि यह एक अच्छा अनुमान देता है कि दबाव के अधीन होने पर सामग्री कैसे व्यवहार करती है। उपरोक्त समीकरण में, दबाव तीव्रता गुणांक के पैरामीटर और भौतिक कठोरता के संकेतक, $$K_C$$, और लाभ दबाव, $$\sigma_Y$$, महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वे सामग्री और उसके गुणों के साथ-साथ कृत्रिम क्षेत्र के आकार के बारे में अधिक स्पष्ट करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि $$K_c$$ उच्च है, तो यह अनुमान लगाया जा सकता है कि सामग्री कठिन है, और यदि $$\sigma_Y$$ कम है, कोई जानता है कि सामग्री अधिक नमनीय है। कृत्रिम क्षेत्र की त्रिज्या के लिए इन दो मापदंडों का अनुपात महत्वपूर्ण है। उदाहरण के लिए, अगर $$\sigma_Y$$ छोटा है, तो का वर्ग अनुपात $$K_C$$ प्रति $$\sigma_Y$$ बड़ा है, जिसके परिणामस्वरूप एक बड़ा कृत्रिम त्रिज्या है। इसका तात्पर्य यह है कि सामग्री कृत्रिम रूप से विकृत हो सकती है, और इसलिए, कठिन है। दरार के अग्रभाग से परे कृत्रिम क्षेत्र के आकार का यह अनुमान तब अधिक शुद्धता से विश्लेषण के लिए उपयोग किया जा सकता है कि दरार की उपस्थिति में कोई सामग्री कैसे व्यवहार करेगी।

एकल घटना उद्भारण के लिए और चक्रीय उद्भारण के लिए ऊपर वर्णित एक ही प्रक्रिया भी प्रयुक्त होती है। यदि एक नमूने में एक दरार सम्मिलित है जो चक्रीय उद्भारण से आगे बढ़ती है, तो दरार के अग्रभाग पर नमूना कृत्रिम रूप से विकृति हो जाएगी और दरार के विकास में विलंब होगी। एक अधिभार या बहिर्गमन की स्थिति में, यह मॉडल पहले से अनुभव की गई सामग्री से दबाव में शीघ्र वृद्धि को समायोजित करने के लिए साधारणतः परिवर्तित करता है। पर्याप्त रूप से उच्च भार (अधिभार) पर, दरार उस कृत्रिम क्षेत्र से बाहर निकलती है जिसमें यह निहित था और मूल कृत्रिम विरूपण की खंड को त्याग देता है। अब, यह मानते हुए कि नमूना को पूरी तरह से विभंग करने के लिए अधिभार दबाव पर्याप्त रूप से अधिक नहीं है, दरार नई दरार अग्रभाग के चारों ओर आगे कृत्रिम विरूपण से निकलेगी, जिससे अवशिष्ट कृत्रिम दबाव का क्षेत्र बढ़ जाएगा। यह प्रक्रिया सामग्री के जीवन को और अधिक कठिन और लम्बा कर देती है क्योंकि नया कृत्रिम क्षेत्र सामान्य दबाव की स्थिति के अपेक्षाकृत बड़ा होता है। यह सामग्री को उद्भारण के अधिक चक्रों से आगे बढ़ने की स्वीकृति देता है। इस विचार को एल्युमीनियम के ग्राफ़ द्वारा और अधिक स्पष्ट किया जा सकता है, जिसमें अधिक भारक घटनाओं से निकलने वाले केंद्र में दरार है।

सीमाएं
लेकिन NRL शोधकर्ताओं के लिए एक समस्या उत्पन्न हुई क्योंकि नौसैनिक सामग्री, जैसे, जहाज-प्लेट इस्पात, पूरी तरह से प्रत्यास्थ नहीं हैं, लेकिन एक दरार के अग्रभाग पर महत्वपूर्ण कृत्रिम विरूपण से निकलती हैं। इरविन के रैखिक प्रत्यास्थ विभंग यांत्रिकी में एक मौलिक धारणा छोटे पैमाने पर लाभ है, यह स्थिति है कि दरार की लंबाई की तुलना में कृत्रिम क्षेत्र का आकार छोटा है। हालांकि, संरचनात्मक इस्पात में कुछ प्रकार की विफलताओं के लिए यह धारणा अधिकांश प्रतिबंधात्मक है, हालांकि इस तरह के इस्पात सुगम विभंग के लिए प्रवण हो सकते हैं, जिसके कारण कई विनाशकारी विफलताएं हुई हैं।

रैखिक-प्रत्यास्थ विभंग यांत्रिकी संरचनात्मक इस्पात के लिए सीमित व्यावहारिक उपयोग है और विभंग सुदृढ़ता परीक्षण कीमती हो सकता है।

प्रत्यास्थ-कृत्रिम विभंग यांत्रिकी
अधिकांश अभियांत्रिकी सामग्री संचालन परिस्थितियों में कुछ गैर-रेखीय प्रत्यास्थ और अयोग्य व्यवहार दिखाती है जिसमें बड़े भार सम्मिलित होते हैं। ऐसी सामग्रियों में रैखिक प्रत्यास्थ विभंग यांत्रिकी की धारणा नहीं हो सकती है, अर्थात
 * दरार अग्रभाग पर कृत्रिम क्षेत्र में दरार के आकार के परिमाण के समान क्रम का आकार हो सकता है
 * कृत्रिम क्षेत्र का आकार और आकार परिवर्तित सकता है क्योंकि प्रयुक्त भार बढ़ जाता है और दरार की लंबाई भी बढ़ जाती है।

इसलिए, प्रत्यास्थ-कृत्रिम सामग्री के लिए दरार वृद्धि का एक अधिक सामान्य सिद्धांत आवश्यक है जो इसके लिए अधीन हो सकता है:
 * प्रारंभिक दरार वृद्धि के लिए स्थानीय परिस्थितियां जिसमें दरार के अग्रभाग पर केंद्रक, वृद्धि और रिक्तियों (संसंजनहीन) का सहसंयोजन सम्मिलित है।
 * आगे की दरार वृद्धि और अस्थिर विभंग के लिए एक वैश्विक ऊर्जा संतुलन मानदंड।

दरार अग्र प्रस्फुटन स्थानांतरण (CTOD)
ऐतिहासिक रूप से, प्रत्यास्थ-पराप्रत्यस्थ क्षेत्र में विभंग की कठोरता के निर्धारण के लिए पहला पैरामीटर दरार अग्रभाग प्रस्फुटन स्थानांतरण (CTOD) या दरार के शीर्ष पर खुलने का संकेत था। यह पैरामीटर वेल्स द्वारा संरचनात्मक इस्पात के अध्ययन के समय निर्धारित किया गया था, जो उच्च कठोरता के कारण रैखिक प्रत्यास्थ विभंग यांत्रिकी मॉडल के साथ विशेषता नहीं हो सका। उन्होंने नोट किया कि विभंग होने से पहले, दीवारों से दरारे निकल रही थीं और विभंग के बाद दरार के अग्रभाग, कृत्रिम विरूपण के कारण तीव्र से निष्कोणन हो गई। इसके अतिरिक्त, बेहतर सुदृढ़ता के साथ इस्पात में दरार अग्रभाग की निष्कोण अधिक स्पष्ट थी।

CTOD की कई वैकल्पिक परिभाषाएँ हैं। दो सबसे सामान्य परिभाषाओं में, CTOD मूल दरार अग्रभाग और 90 डिग्री अवरोधन पर विस्थापन है। बाद की परिभाषा राइस द्वारा सुझाई गई थी और सामान्यतः इस तरह के परिमित तत्व मॉडल में CTOD का अनुमान लगाने के लिए उपयोग किया जाता है। ध्यान दें कि ये दो परिभाषाएँ समतुल्य हैं यदि दरार अग्रभाग अर्धवृत्त में अकर्तक हो।

CTOD के अधिकांश प्रयोगशाला माप तीन-बिंदु बंकन में भार किए गए कोर-दरार वाले नमूनों पर किए गए हैं। प्रारंभिक प्रयोगों में समतल पैडलाकार मापक का उपयोग किया गया था जिसे दरार में डाला गया था; जैसे ही दरार खुली, पैडल मापक घुमाया गया, और एक इलेक्ट्रॉनिक संकेत एक x-y आलेखक को भेजा गया। हालाँकि, यह तरीका गलत था, क्योंकि पैडल मापक के साथ दरार के अग्रभाग तक पहुँचना मुश्किल था। आज, दरार मुख पर विस्थापन V को मापा जाता है, और CTOD का अनुमान यह मानकर लगाया जाता है कि नमूना आधा अनम्य है और हिंज बिंदु (दरार अग्रभाग) के आसपास घूमता है।

R-वक्र
प्रत्यास्थ-कृत्रिम विभंग यांत्रिकी की दिशा में एक प्रारंभिक प्रयास जी.आर. इरविन का दरार विस्तार प्रतिरोध वक्र, दरार वृद्धि प्रतिरोध वक्र या R-वक्र था। यह वक्र इस तथ्य को स्वीकार करता है कि प्रत्यास्थ-कृत्रिम सामग्री में दरार के बढ़ते आकार के साथ विभंग का प्रतिरोध बढ़ता है। R-वक्र दरार के आकार के एक कार्य के रूप में कुल ऊर्जा अपव्यय दर का एक क्षेत्र है और इसका उपयोग मंद स्थिर दरार वृद्धि और अस्थिर विभंग की प्रक्रियाओं की जांच करने के लिए किया जा सकता है। हालांकि, 1970 के दशक की प्रारंभ तक अनुप्रयोगों में R-वक्र का व्यापक रूप से उपयोग नहीं किया गया था। मुख्य कारण यह प्रतीत होता है कि R-वक्र नमूने की ज्यामिति पर निर्भर करता है और दरार प्रेरक बल की गणना करना मुश्किल हो सकता है।

J-एकीकृत
1960 के दशक के मध्य में जेम्स आर. राइस (तब ब्राउन विश्वविद्यालय में) और जी.पी. चेरेपोनोव ने स्वतंत्र रूप से उस स्थिति का वर्णन करने के लिए एक नया सुदृढ़ता उपाय विकसित किया था जहां पर्याप्त दरार-अग्रभाग विरूपण है कि भाग अब रैखिक-प्रत्यास्थ सन्निकटन का प्रयोग नहीं करता है। राइस का विश्लेषण, जो दरार अग्रभाग के आगे गैर-रैखिक प्रत्यास्थ (या एकदिष्ट विरूपण सिद्धांत कृत्रिम) विरूपण को मानता है, को J-एकीकृत नामित किया गया है। यह विश्लेषण उन स्थितियों तक सीमित है जहां दरार के अग्रभाग पर कृत्रिम विरूपण भार किए गए भाग के सबसे दूर के किनारे तक प्रसारित नहीं है। यह भी मांग करता है कि सामग्री का अनुमानित गैर-रैखिक प्रत्यास्थ व्यवहार वास्तविक सामग्री के भार प्रतिक्रिया के आकार और परिमाण में एक उपयुक्त अनुमान है। प्रत्यास्थ-कृत्रिम विफलता पैरामीटर को JIc नामित किया गया है और पारंपरिक रूप से नीचे दिए गए समीकरण का उपयोग करके KIc में परिवर्तित हो जाता है। यह भी ध्यान दें कि रैखिक-प्रत्यास्थ व्यवहार के लिए J-एकीकृत प्रस्ताव ग्रिफिथ सिद्धांत को कम करता है।

J-एकीकृत की गणितीय परिभाषा इस प्रकार है:

J= \int_\Gamma( w \,dy - T_i \frac{\partial u_i}{\partial x}\,ds) \quad \text{with} \quad w=\int^{\varepsilon_{ij}}_0 \sigma_{ij} \,d\varepsilon_{ij} $$ जहां पर
 * $$\Gamma$$ दरार के शीर्ष के चारों ओर एक अनियन्त्रित पथ दक्षिणावर्त है,
 * $$w$$ दबाव ऊर्जा का घनत्व है,
 * $$T_i$$ कर्षण के वैक्टर के घटक हैं,
 * $$u_i$$ विस्थापन वैक्टर के घटक हैं,
 * $$ds$$ पथ के साथ एक वृद्धिशील लंबाई है $$\Gamma$$, तथा
 * $$\sigma_{ij}$$ तथा $$\varepsilon_{ij}$$ दबाव और दबाव प्रदिश हैं।

चूँकि अभियांत्रिकी विभंग सुदृढ़ता को चिह्नित करने के लिए KIcका उपयोग करने के अभ्यस्त हो गए थे, इसलिए JIc को कम करने के लिए एक संबंध का उपयोग किया गया है इसे:
 * $$K_{Ic} = \sqrt{E^* J_{Ic}}\,$$ जहां पर $$E^* = E$$ सतह दबाव के लिए और $$E^* = \frac{E}{1 - \nu^2}$$ सतह दबाव के लिए।

ससंजक क्षेत्र मॉडल
जब एक दरार अग्रभाग के आसपास एक महत्वपूर्ण क्षेत्र कृत्रिम विरूपण से आगे बढ़ती है, तो दरार के आगे विस्तार की संभावना और दरार के विकास और द्विभाजन की दिशा निर्धारित करने के लिए अन्य तरीकों का उपयोग किया जा सकता है। एक सरल तकनीक जिसे आसानी से संख्यात्मक गणनाओं में सम्मिलित किया जाता है, वह ससंजक क्षेत्र मॉडल विधि है जो 1960 के दशक की प्रारंभ में बैरेनब्लैट और डगडेल द्वारा स्वतंत्र रूप से प्रस्तावित अवधारणाओं पर आधारित है। डगडेल-बैरेनब्लैट मॉडल और ग्रिफ़िथ के सिद्धांत के बीच संबंध पर पहली बार 1967 में जॉन आर. विलिस द्वारा चर्चा की गई थी। 1968 में जेम्स आर राइस द्वारा सुगम विभंग के संदर्भ में दो प्रस्तावों की समानता को दिखाया गया था।

संक्रमण दोष का आकार
मान लें कि एक सामग्री की लाभ शक्ति $$\sigma_Y$$ और मोड I में एक विभंग सुदृढ़ता $$K_{Ic}$$ है। विभंग यांत्रिकी के आधार पर, सामग्री दबाव में विफल हो जाएगी $$\sigma_\text{fail}=K_{Ic}/\sqrt{\pi a}$$. पराप्रत्यास्थता के आधार पर, सामग्री निकलेगी जब $$\sigma_{fail}=\sigma_Y$$. ये वक्र जब प्रतिच्छेद करते हैं $$a=K_{Ic}^2/\pi\sigma_Y^2$$. का यह मान $$a$$ संक्रमण दोष आकार कहा जाता है $$ a_t$$, और संरचना के भौतिक गुणों पर निर्भर करता है। जब $$aa_t $$ विफलता विभंग यांत्रिकी द्वारा नियंत्रित होती है। $$a_t$$ का मूल्य अभियांत्रिकी मिश्र धातुओं के लिए 100 मिमी और सिरेमिक के लिए 0.001 मिमी है। यदि हम मानते हैं कि निर्माण प्रक्रियाएं माइक्रोमीटर के क्रम में दोषों को वृद्धि कर सकती हैं, तो यह देखा जा सकता है कि सिरेमिक के विभंग द्वारा विफल होने की अधिक संभावना है, जबकि अभियांत्रिकी मिश्र धातु कृत्रिम विरूपण से विफल हो जाएगी।

यह भी देखें

 * - विभंग यांत्रिकी और श्रान्ति दरार वृद्धि विश्लेषण सॉफ्टवेयर
 * - मूर्त के विभंग यांत्रिकी का अध्ययन
 * - पृथ्वी की पर्पटी का अचानक संभाग
 * - चक्रीय भार के कारण सामग्री में दरारों का आरंभ और प्रसार
 * उस चट्टान मे दरार या पार्थक्य जिसके आर-पार विस्थापन हुआ हो
 * -, निरंतरता यांत्रिकी का एक सूत्रीकरण जो विरूपता के साथ विकृतियों की ओर उन्मुख है, विशेष रूप से विभंग
 * अचानक क्षणिक त्वरण
 * दबाब और विकृति के अधीन ठोस वस्तुओं का व्यवहार
 * संक्षारक वातावरण में दरारों की वृद्धि
 * संरचनात्मक अभियांत्रिकी का क्षेत्र

अग्रिम पठन

 * Buckley, C.P. "Material Failure", Lecture Notes (2005), University of Oxford.
 * Davidge, R.W., Mechanical Behavior of Ceramics, Cambridge Solid State Science Series, (1979)
 * Demaid, Adrian, Fail Safe, Open University (2004)
 * Green, D., An Introduction to the Mechanical Properties of Ceramics, Cambridge Solid State Science Series, Eds. Clarke, D.R., Suresh, S., Ward, I.M. (1998)
 * Lawn, B.R., Fracture of Brittle Solids, Cambridge Solid State Science Series, 2nd Edn. (1993)
 * Farahmand, B., Bockrath, G., and Glassco, J. (1997) Fatigue and Fracture Mechanics of High-Risk Parts, Chapman & Hall. ISBN 978-0-412-12991-9.
 * Chen, X., Mai, Y.-W., Fracture Mechanics of Electromagnetic Materials: Nonlinear Field Theory and Applications, Imperial College Press, (2012)
 * A.N. Gent, W.V. Mars, In: James E. Mark, Burak Erman and Mike Roland, Editor(s), Chapter 10 – Strength of Elastomers, The Science and Technology of Rubber, Fourth edition, Academic Press, Boston, 2013, pp. 473–516, ISBN 9780123945846, 10.1016/B978-0-12-394584-6.00010-8
 * Zehnder, Alan. Fracture Mechanics, SpringerLink, (2012).

बाहरी संबंध

 * Nonlinear Fracture Mechanics Notes by Prof. John Hutchinson, Harvard University
 * Notes on Fracture of Thin Films and Multilayers by Prof. John Hutchinson, Harvard University
 * Fracture Mechanics by Piet Schreurs, TU Eindhoven, The Netherlands