डोमेन सिद्धांत

डोमेन थ्योरी गणित की एक शाखा है जो विशेष प्रकार के आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट (पॉसेट्स) का अध्ययन करती है जिसे आमतौर पर डोमेन कहा जाता है। नतीजतन, डोमेन थ्योरी को आदेश सिद्धांत की एक शाखा के रूप में माना जा सकता है। इस क्षेत्र में कंप्यूटर विज्ञान में प्रमुख अनुप्रयोग हैं, जहां इसका उपयोग विशेष रूप से कार्यात्मक प्रोग्रामिंग के लिए विशेष रूप से शब्दार्थों को निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता है। डोमेन सिद्धांत सन्निकटन और अभिसरण के सहज ज्ञान युक्त विचारों को एक बहुत ही सामान्य तरीके से औपचारिक रूप देता है और टोपोलॉजी से निकटता से संबंधित है।

प्रेरणा और अंतर्ज्ञान
डोमेन के अध्ययन के लिए प्राथमिक प्रेरणा, जिसे 1960 के दशक के अंत में दाना स्कॉट द्वारा शुरू किया गया था, लैम्ब्डा कैलकुलस के एक अर्थ संबंधी शब्दार्थ की खोज थी। इस औपचारिकता में, भाषा में कुछ शर्तों द्वारा निर्दिष्ट कार्यों पर विचार किया जाता है। विशुद्ध रूप से वाक्य - विन्यास  तरीके से, कोई सरल कार्यों से उन कार्यों तक जा सकता है जो अन्य कार्यों को उनके इनपुट तर्कों के रूप में लेते हैं। इस औपचारिकता में उपलब्ध सिंटैक्टिक ट्रांसफॉर्मेशन का फिर से उपयोग करके, कोई तथाकथित फिक्स्ड-पॉइंट कॉम्बिनेटर प्राप्त कर सकता है (जिनमें से सबसे प्रसिद्ध फिक्स्ड-पॉइंट कॉम्बिनेटर #Y कॉम्बिनेटर है); ये, परिभाषा के अनुसार, संपत्ति है कि f('Y'(f)) = 'Y'(f) सभी कार्यों के लिए f।

इस तरह के एक सांकेतिक शब्दार्थ को तैयार करने के लिए, सबसे पहले लैम्ब्डा कैलकुलस के लिए एक मॉडल बनाने की कोशिश की जा सकती है, जिसमें प्रत्येक लैम्ब्डा शब्द के साथ एक वास्तविक (कुल) फ़ंक्शन जुड़ा होता है। इस तरह का एक मॉडल लैम्ब्डा कैलकुलस के बीच विशुद्ध रूप से सिंटैक्टिक सिस्टम और लैम्ब्डा कैलकुलस के बीच ठोस गणितीय कार्यों में हेरफेर करने के लिए एक नोटेशनल सिस्टम के रूप में एक लिंक को औपचारिक रूप देगा। कॉम्बिनेटर कैलकुलस एक ऐसा मॉडल है। हालाँकि, कॉम्बिनेटर कैलकुलस के तत्व फ़ंक्शंस से फ़ंक्शंस तक के कार्य हैं; लैम्ब्डा कैलकुलस के एक मॉडल के तत्वों के मनमाने डोमेन और रेंज के होने के लिए, वे सच्चे कार्य नहीं हो सकते, केवल आंशिक कार्य।

स्कॉट ने आंशिक या अधूरी जानकारी की धारणा को औपचारिक रूप देकर इस कठिनाई को हल किया है, जो उन संगणनाओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए है जो अभी तक परिणाम नहीं लौटाए हैं। गणना के प्रत्येक डोमेन (जैसे प्राकृतिक संख्या) के लिए, एक अतिरिक्त तत्व जो एक अपरिभाषित आउटपुट का प्रतिनिधित्व करता है, यानी एक गणना का परिणाम जो कभी समाप्त नहीं होता है, पर विचार करके इसे तैयार किया गया था। इसके अलावा, संगणना का डोमेन एक ऑर्डरिंग रिलेशन से लैस है, जिसमें अपरिभाषित परिणाम सबसे कम तत्व है।

लैम्ब्डा कैलकुस के लिए एक मॉडल खोजने का महत्वपूर्ण कदम केवल उन कार्यों (आंशिक रूप से आदेशित सेट पर) पर विचार करना है जो कम से कम निश्चित बिंदुओं की गारंटी देते हैं। इन कार्यों का सेट, उचित क्रम के साथ, सिद्धांत के अर्थ में फिर से एक डोमेन है। लेकिन सभी उपलब्ध कार्यों के एक सबसेट के लिए प्रतिबंध का एक और बड़ा लाभ है: ऐसे डोमेन प्राप्त करना संभव है जिनमें उनके स्वयं के कार्य स्थान होते हैं, अर्थात किसी को ऐसे कार्य मिलते हैं जिन्हें स्वयं पर लागू किया जा सकता है।

इन वांछनीय गुणों के अलावा, डोमेन सिद्धांत भी एक आकर्षक सहज व्याख्या की अनुमति देता है। जैसा ऊपर बताया गया है, गणना के डोमेन हमेशा आंशिक रूप से आदेशित होते हैं। यह क्रम सूचना या ज्ञान के पदानुक्रम का प्रतिनिधित्व करता है। ऑर्डर के भीतर एक तत्व जितना अधिक होता है, उतना ही अधिक विशिष्ट होता है और इसमें अधिक जानकारी होती है। निचले तत्व अधूरे ज्ञान या मध्यवर्ती परिणामों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

परिणाम को परिष्कृत करने के लिए डोमेन के तत्वों पर बार-बार मोनोटोनिक फ़ंक्शन (गणित) लागू करके गणना की जाती है। एक निश्चित बिंदु (गणित) पर पहुँचना एक गणना को पूरा करने के बराबर है। डोमेन इन विचारों के लिए एक बेहतर सेटिंग प्रदान करते हैं क्योंकि मोनोटोन कार्यों के निश्चित बिंदु मौजूद होने की गारंटी दी जा सकती है और अतिरिक्त प्रतिबंधों के तहत, नीचे से अनुमान लगाया जा सकता है।

औपचारिक परिभाषाओं के लिए एक गाइड
इस खंड में, डोमेन थ्योरी की केंद्रीय अवधारणाओं और परिभाषाओं को पेश किया जाएगा। डोमेन के सूचना आदेश होने के उपरोक्त अंतर्ज्ञान पर सिद्धांत के गणितीय औपचारिकता को प्रेरित करने के लिए बल दिया जाएगा। प्रत्येक अवधारणा के लिए समर्पित लेखों में सटीक औपचारिक परिभाषाएँ पाई जानी हैं। सामान्य आदेश-सैद्धांतिक परिभाषाओं की एक सूची, जिसमें डोमेन सैद्धांतिक धारणाएं भी शामिल हैं, आदेश सिद्धांत शब्दावली में पाई जा सकती हैं। डोमेन थ्योरी की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं को फिर भी नीचे पेश किया जाएगा।

अभिसरण विनिर्देशों के रूप में निर्देशित सेट
जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, डोमेन थ्योरी कम्प्यूटेशन के एक डोमेन को मॉडल करने के लिए आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट से संबंधित है। लक्ष्य इस तरह के आदेश के तत्वों को सूचना के टुकड़ों या गणना के (आंशिक) परिणामों के रूप में व्याख्या करना है, जहां आदेश में उच्चतर तत्व उनके नीचे के तत्वों की जानकारी को लगातार तरीके से विस्तारित करते हैं। इस सरल अंतर्ज्ञान से यह पहले से ही स्पष्ट है कि डोमेन में अक्सर सबसे बड़ा तत्व नहीं होता है, क्योंकि इसका मतलब यह होगा कि एक ऐसा तत्व है जिसमें अन्य सभी तत्वों की जानकारी होती है - बल्कि एक अरुचिकर स्थिति।

एक अवधारणा जो सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है वह एक डोमेन के 'निर्देशित सेट' की है; एक निर्देशित उपसमुच्चय उस क्रम का एक गैर-रिक्त उपसमुच्चय है जिसमें किसी भी दो तत्वों की ऊपरी सीमा होती है जो इस उपसमुच्चय का एक तत्व है। डोमेन के बारे में हमारे अंतर्ज्ञान को ध्यान में रखते हुए, इसका मतलब है कि निर्देशित उपसमुच्चय के भीतर किसी भी दो जानकारी को उपसमुच्चय में किसी अन्य तत्व द्वारा लगातार बढ़ाया जाता है। इसलिए हम निर्देशित उपसमुच्चय को सुसंगत विनिर्देशों के रूप में देख सकते हैं, अर्थात आंशिक परिणामों के सेट के रूप में जिसमें कोई भी दो तत्व विरोधाभासी नहीं हैं। इस व्याख्या की तुलना गणितीय विश्लेषण में एक अभिसरण अनुक्रम की धारणा से की जा सकती है, जहां प्रत्येक तत्व पूर्ववर्ती की तुलना में अधिक विशिष्ट है। दरअसल, मीट्रिक रिक्त स्थान के सिद्धांत में अनुक्रम एक भूमिका निभाते हैं जो कई पहलुओं में डोमेन सिद्धांत में निर्देशित सेट की भूमिका के समान है।

अब, अनुक्रमों के मामले में, हम निर्देशित सेट की सीमा में रूचि रखते हैं। ऊपर जो कहा गया था, उसके अनुसार, यह एक ऐसा तत्व होगा जो सूचना का सबसे सामान्य टुकड़ा है जो निर्देशित सेट के सभी तत्वों की जानकारी का विस्तार करता है, यानी वह अनूठा तत्व जिसमें ठीक वही जानकारी होती है जो निर्देशित सेट में मौजूद थी, और और अधिक कुछ नहीं। आदेश सिद्धांत की औपचारिकता में, यह निर्देशित सेट की 'कम से कम ऊपरी सीमा' है। अनुक्रम की सीमा के मामले में, निर्देशित सेट की कम से कम ऊपरी सीमा हमेशा मौजूद नहीं होती है।

स्वाभाविक रूप से, किसी की अभिकलन के उन डोमेन में विशेष रुचि होती है जिसमें सभी सुसंगत विनिर्देश अभिसरण करते हैं, अर्थात उन क्रमों में जिनमें सभी निर्देशित सेटों की ऊपरी सीमा सबसे कम होती है। यह गुण 'निर्देशित पूर्ण आंशिक आदेश|निर्देशित-पूर्ण आंशिक आदेश', या संक्षेप में 'dcpo' की श्रेणी को परिभाषित करता है। दरअसल, डोमेन थ्योरी के अधिकांश विचार केवल उन आदेशों पर विचार करते हैं जो कम से कम निर्देशित पूर्ण हैं।

अपूर्ण ज्ञान का प्रतिनिधित्व करने वाले आंशिक रूप से निर्दिष्ट परिणामों के अंतर्निहित विचार से, एक अन्य वांछनीय गुण प्राप्त होता है: एक 'न्यूनतम तत्व' का अस्तित्व। ऐसा तत्व मॉडल जो बिना किसी सूचना के राज्य करता है - वह स्थान जहाँ अधिकांश संगणनाएँ शुरू होती हैं। इसे एक संगणना के आउटपुट के रूप में भी माना जा सकता है जो बिल्कुल भी परिणाम नहीं देता है।

संगणना और डोमेन
अब जब हमारे पास गणना का एक क्षेत्र क्या होना चाहिए, इसका कुछ बुनियादी औपचारिक विवरण है, तो हम स्वयं गणनाओं की ओर मुड़ सकते हैं। स्पष्ट रूप से, ये कार्य होना चाहिए, कुछ कम्प्यूटेशनल डोमेन से इनपुट लेना और कुछ (संभवतः अलग) डोमेन में आउटपुट लौटाना। हालांकि, कोई यह भी उम्मीद करेगा कि इनपुट की सूचना सामग्री में वृद्धि होने पर फ़ंक्शन के आउटपुट में अधिक जानकारी होगी। औपचारिक रूप से, इसका मतलब है कि हम चाहते हैं कि एक समारोह मोनोटोनिक हो।

पूर्ण आंशिक आदेश के साथ व्यवहार करते समय, कोई यह भी चाह सकता है कि संगणना एक निर्देशित सेट की सीमा के गठन के साथ संगत हो। औपचारिक रूप से, इसका मतलब है कि, कुछ फ़ंक्शन एफ के लिए, निर्देशित सेट डी की छवि एफ(डी) (अर्थात 'के प्रत्येक तत्व की छवियों का सेट) 'डी) फिर से निर्देशित है और कम से कम ऊपरी बाउंड के रूप में 'डी' के कम से कम ऊपरी बाउंड की छवि है। कोई यह भी कह सकता है कि एफ लिमिट-प्रिजर्विंग फंक्शन (ऑर्डर थ्योरी) निर्देशित सुप्रीमा''। यह भी ध्यान दें कि, दो तत्वों के निर्देशित सेटों पर विचार करके, इस तरह के एक समारोह को मोनोटोनिक भी होना चाहिए। ये गुण स्कॉट-निरंतर कार्य की धारणा को जन्म देते हैं। चूंकि यह अक्सर अस्पष्ट नहीं होता है इसलिए कोई भी 'निरंतर कार्यों' की बात कर सकता है।

सन्निकटन और परिमितता
डोमेन सिद्धांत सूचना राज्यों की संरचना को मॉडलिंग करने के लिए एक विशुद्ध रूप से गुणात्मक दृष्टिकोण है। कोई कह सकता है कि किसी चीज़ में अधिक जानकारी है, लेकिन अतिरिक्त जानकारी की मात्रा निर्दिष्ट नहीं है। फिर भी, ऐसी कुछ स्थितियाँ हैं जिनमें कोई ऐसे तत्वों के बारे में बोलना चाहता है जो एक अर्थ में सूचना की दी गई स्थिति की तुलना में बहुत सरल (या बहुत अधिक अपूर्ण) हैं। उदाहरण के लिए, कुछ शक्तियों पर प्राकृतिक उपसमुच्चय-समावेश आदेश में, कोई भी अनंत तत्व (अर्थात सेट) इसके किसी भी परिमित उपसमुच्चय की तुलना में अधिक जानकारीपूर्ण है।

अगर कोई इस तरह के रिश्ते को मॉडल करना चाहता है, तो पहले एक डोमेन के आदेश ≤ के साथ प्रेरित सख्त आदेश <पर विचार करना चाह सकता है। हालाँकि, कुल ऑर्डर के मामले में यह एक उपयोगी धारणा है, लेकिन आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट के मामले में यह हमें बहुत कुछ नहीं बताता है। सेट के समावेशन-आदेशों को फिर से ध्यान में रखते हुए, एक सेट पहले से ही दूसरे की तुलना में सख्ती से छोटा है, संभवतः अनंत, सेट अगर इसमें केवल एक कम तत्व होता है। हालांकि, शायद ही कोई इस बात से सहमत होगा कि यह बहुत सरल होने की धारणा को दर्शाता है।

वे-नीचे संबंध
एक अधिक विस्तृत दृष्टिकोण सन्निकटन के तथाकथित क्रम की परिभाषा की ओर ले जाता है, जिसे अधिक सुझावात्मक रूप से नीचे का रास्ता भी कहा जाता है। एक तत्व x एक तत्व y के नीचे है, यदि, प्रत्येक निर्देशित सेट D के लिए सर्वोच्चता के साथ ऐसा है


 * $$ y \sqsubseteq \sup D $$,

D में कुछ तत्व d है जैसे कि


 * $$ x \sqsubseteq d $$.

फिर कोई यह भी कहता है कि x, y का अनुमान लगाता है और लिखता है


 * $$ x \ll y $$.

इसका मतलब यह है


 * $$ x \sqsubseteq y $$,

चूंकि सिंगलटन सेट {y} निर्देशित है। उदाहरण के लिए, समुच्चयों के क्रम में, एक अनंत समुच्चय अपने किसी परिमित उपसमुच्चय से कहीं ऊपर होता है। दूसरी ओर, परिमित सेटों के निर्देशित सेट (वास्तव में, कुल क्रम#चेन) पर विचार करें


 * $$ \{0\}, \{0, 1\}, \{0, 1, 2\}, \ldots $$

चूँकि इस श्रृंखला का सर्वोच्च सभी प्राकृतिक संख्याओं N का समुच्चय है, इससे पता चलता है कि कोई भी अनंत समुच्चय N से नीचे नहीं है।

हालाँकि, किसी तत्व के नीचे होना एक 'सापेक्ष' धारणा है और अकेले तत्व के बारे में बहुत कुछ नहीं बताता है। उदाहरण के लिए, कोई ऑर्डर-सैद्धांतिक तरीके से सीमित सेटों को चित्रित करना चाहता है, लेकिन अनंत सेट भी किसी अन्य सेट से नीचे हो सकते हैं। इन परिमित तत्वों x का विशेष गुण यह है कि ये अपने आप से काफी नीचे हैं, अर्थात्


 * $$ x \ll x$$.

इस गुण वाले तत्व को संहत तत्व भी कहा जाता है। फिर भी, ऐसे तत्वों को शर्तों के किसी अन्य गणितीय उपयोग में परिमित या कॉम्पैक्ट नहीं होना चाहिए। नोटेशन फिर भी समुच्चय सिद्धान्त और टोपोलॉजी में संबंधित धारणाओं के कुछ समानताओं से प्रेरित है। किसी डोमेन के कॉम्पैक्ट तत्वों में महत्वपूर्ण विशेष संपत्ति होती है कि उन्हें निर्देशित सेट की सीमा के रूप में प्राप्त नहीं किया जा सकता है जिसमें वे पहले से ही नहीं होते हैं।

वे-नीचे संबंध के बारे में कई अन्य महत्वपूर्ण परिणाम इस दावे का समर्थन करते हैं कि यह परिभाषा एक डोमेन के कई महत्वपूर्ण पहलुओं को पकड़ने के लिए उपयुक्त है।

डोमेन के आधार
पिछले विचार एक और सवाल उठाते हैं: क्या यह गारंटी देना संभव है कि किसी डोमेन के सभी तत्वों को बहुत सरल तत्वों की सीमा के रूप में प्राप्त किया जा सकता है? यह अभ्यास में काफी प्रासंगिक है, क्योंकि हम अनंत वस्तुओं की गणना नहीं कर सकते हैं, लेकिन फिर भी हम उन्हें मनमाने ढंग से करीब लाने की उम्मीद कर सकते हैं।

अधिक आम तौर पर, हम तत्वों के एक निश्चित सबसेट को सीमित करना चाहते हैं क्योंकि अन्य सभी तत्वों को कम से कम ऊपरी सीमा के रूप में प्राप्त करने के लिए पर्याप्त होना चाहिए। इसलिए, एक पॉसेट पी के आधार को पी के उपसमुच्चय बी के रूप में परिभाषित करता है, जैसे कि, पी में प्रत्येक x के लिए, का सेट B में तत्व जो x से नीचे हैं, में सुप्रीमम x के साथ एक निर्देशित सेट है। पोसेट पी एक सतत पॉजिट है अगर इसका कुछ आधार है। विशेष रूप से, 'प' ही इस स्थिति में एक आधार है। कई अनुप्रयोगों में, एक अध्ययन के मुख्य उद्देश्य के रूप में निरंतर (डी) सीपीओ तक सीमित रहता है।

अंत में, आंशिक रूप से आदेशित सेट पर एक और भी मजबूत प्रतिबंध 'परिमित' तत्वों के आधार के अस्तित्व की आवश्यकता के द्वारा दिया जाता है। ऐसे पॉसेट को बीजगणितीय पॉसेट कहा जाता है। सांकेतिक शब्दार्थ के दृष्टिकोण से, बीजगणितीय पॉसेट विशेष रूप से अच्छी तरह से व्यवहार किए जाते हैं, क्योंकि वे परिमित लोगों तक सीमित होने पर भी सभी तत्वों के सन्निकटन की अनुमति देते हैं। जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, प्रत्येक परिमित तत्व शास्त्रीय अर्थ में परिमित नहीं है और यह अच्छी तरह से हो सकता है कि परिमित तत्व एक बेशुमार सेट का निर्माण करते हैं।

हालांकि, कुछ मामलों में, एक पोसेट का आधार गणनीय होता है। इस मामले में, एक ω-निरंतर पोसेट की बात करता है। तदनुसार, यदि गणनीय आधार में पूरी तरह से परिमित तत्व होते हैं, तो हम एक आदेश प्राप्त करते हैं जो ω-बीजगणितीय है।

विशेष प्रकार के डोमेन
एक डोमेन का एक साधारण विशेष मामला प्राथमिक या फ्लैट डोमेन के रूप में जाना जाता है। इसमें अतुलनीय तत्वों का एक सेट होता है, जैसे कि पूर्णांक, साथ ही एक निचला तत्व जो अन्य सभी तत्वों से छोटा माना जाता है।

आदेशित संरचनाओं के कई अन्य दिलचस्प विशेष वर्ग प्राप्त कर सकते हैं जो डोमेन के रूप में उपयुक्त हो सकते हैं। हमने पहले ही निरंतर पॉसेट्स और बीजगणितीय पॉसेट्स का उल्लेख किया है। दोनों के अधिक विशेष संस्करण निरंतर और बीजीय पूर्ण आंशिक क्रम हैं। और भी पूर्णता (आदेश सिद्धांत) जोड़ने से एक जाली (आदेश) # निरंतरता और बीजगणितीयता और बीजगणितीय जाली प्राप्त होती है, जो संबंधित गुणों के साथ पूर्ण जाली हैं। बीजगणितीय मामले के लिए, किसी को पॉसेट्स के व्यापक वर्ग मिलते हैं जो अभी भी अध्ययन के लायक हैं: ऐतिहासिक रूप से, स्कॉट डोमेन डोमेन सिद्धांत में अध्ययन करने वाली पहली संरचनाएं थीं। अभी भी एसएफपी-डोमेन, एल-डोमेन और द्विपरिमित डोमेन द्वारा डोमेन के व्यापक वर्ग गठित किए गए हैं।

आदेशों के इन सभी वर्गों को dcpos की विभिन्न श्रेणी (गणित) में डाला जा सकता है, ऐसे कार्यों का उपयोग करके जो मोनोटोन, स्कॉट-निरंतर, या आकारिकी के रूप में और भी अधिक विशिष्ट हैं। अंत में, ध्यान दें कि 'डोमेन' शब्द अपने आप में सटीक नहीं है और इस प्रकार इसका उपयोग केवल एक संक्षिप्त नाम के रूप में किया जाता है जब एक औपचारिक परिभाषा पहले दी गई हो या जब विवरण अप्रासंगिक हों।

महत्वपूर्ण परिणाम
एक पॉसेट डी एक डीसीपीओ है अगर और केवल अगर डी में प्रत्येक श्रृंखला में सर्वोच्चता है। ('अगर' दिशा पसंद के स्वयंसिद्ध पर निर्भर करती है।)

यदि डोमेन डी पर एफ एक सतत कार्य है तो इसका कम से कम निश्चित बिंदु है, जिसे कम से कम तत्व ⊥ पर एफ के सभी परिमित पुनरावृत्तियों के कम से कम ऊपरी सीमा के रूप में दिया गया है:


 * $$ \operatorname{fix}(f) = \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} f^n(\bot)$$.

यह क्लीन नियत-बिंदु प्रमेय है। $$\sqcup$$ h> सिंबल जुड़ें और मिलें है।

सामान्यीकरण

 * सामयिक डोमेन सिद्धांत
 * एक निरंतरता स्थान मीट्रिक रिक्त स्थान और poset का सामान्यीकरण है, जिसका उपयोग मीट्रिक रिक्त स्थान और डोमेन की धारणाओं को एकीकृत करने के लिए किया जा सकता है।
 * एक निरंतरता स्थान मीट्रिक रिक्त स्थान और poset का सामान्यीकरण है, जिसका उपयोग मीट्रिक रिक्त स्थान और डोमेन की धारणाओं को एकीकृत करने के लिए किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * श्रेणी सिद्धांत
 * कोडोमेन
 * सांकेतिक शब्दार्थ
 * स्कॉट डोमेन
 * स्कॉट सूचना प्रणाली
 * प्रकार सिद्धांत

बाहरी संबंध

 * Introduction to Domain Theory by Graham Hutton, University of Nottingham