लिउविले का प्रमेय (हैमिल्टनियन)

भौतिकी में, लिउविले का प्रमेय, जिसका नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ जोसेफ लिउविले के नाम पर रखा गया है, शास्त्रीय सांख्यिकीय यांत्रिकी और हैमिल्टनियन यांत्रिकी में प्रमुख प्रमेय है। यह आशय करता है कि चरण स्थान वितरण फलन प्रणाली के प्रक्षेप पथ के साथ स्थिर है - अर्थात चरण-स्थान के माध्यम से यात्रा करने वाले किसी दिए गए प्रणाली बिंदु के निकट के प्रणाली बिंदुओं का घनत्व समय के साथ स्थिर है यह समय-स्वतंत्र घनत्व सांख्यिकीय यांत्रिकी में शास्त्रीय प्राथमिक संभाव्यता के रूप में जाना जाता है।

सिंपलेक्टिक टोपोलॉजी और एर्गोडिक सिद्धांत में संबंधित गणितीय परिणाम हैं; लिउविले के प्रमेय का पालन करने वाली प्रणालियाँ असम्पीडित गतिशील प्रणालियों के उदाहरण हैं।

लिउविले के प्रमेय का स्टोकेस्टिक प्रणालियों तक विस्तार है।

लिउविल समीकरण
लिउविल समीकरण चरण स्थान वितरण फलन (भौतिकी) के समय विकास का वर्णन करता है। चूँकि इस समीकरण को सामान्यतः लिउविले समीकरण के रूप में जाना जाता है, जोशिया विलार्ड गिब्स सांख्यिकीय यांत्रिकी के मौलिक समीकरण के रूप में इस समीकरण के महत्व को पहचानने वाले प्रथम व्यक्ति थे। इसे लिउविले समीकरण के रूप में जाना जाता है क्योंकि अविहित प्रणालियों के लिए इसकी व्युत्पत्ति 1838 में लिउविले द्वारा सर्वप्रथम प्राप्त की गई पहचान का उपयोग करती है।  विहित निर्देशांक के साथ हैमिल्टनियन गतिशील प्रणाली पर विचार करें $$q_i$$ और संयुग्म संवेग $$p_i$$, जहाँ $$i=1,\dots,n$$ फिर चरण स्थान वितरण $$\rho(p,q)$$ संभाव्यता निर्धारित करता है यह प्रणाली $$\rho(p,q)\; \mathrm{d}^nq\,\mathrm{d}^n p$$ अतिसूक्ष्म चरण स्थान आयतन में पाई जाएगी, लिउविल समीकरण $$\mathrm{d} ^nq\,\mathrm{d}^n p$$ किसके विकास को नियंत्रित करता है? $$\rho(p,q;t)$$ समय के भीतर $$t$$ इस प्रकार है:
 * $$\frac{d\rho}{dt}=

\frac{\partial\rho}{\partial t} +\sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial\rho}{\partial q_i}\dot{q}_i +\frac{\partial\rho}{\partial p_i}\dot{p}_i\right)=0.$$ समय व्युत्पन्न को बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है, और प्रणाली के लिए हैमिल्टन के समीकरणों के अनुसार मूल्यांकन किया जाता है। यह समीकरण चरण स्थान में घनत्व के संरक्षण को प्रदर्शित करता है (जो प्रमेय के लिए विलार्ड गिब्स का नाम था)। लिउविले का प्रमेय यह बताता है कि:


 * चरण स्थान में किसी भी प्रक्षेपवक्र के साथ वितरण फलन स्थिर रहता है।

लिउविले के प्रमेय का प्रमाण n-आयामी विचलन प्रमेय का उपयोग करता है। यह प्रमाण इस तथ्य पर आधारित है कि विकास $$\rho$$ निरंतरता समीकरण के 2n-आयामी वर्जन का पालन करता है:


 * $$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial(\rho\dot{q}_i)}{\partial q_i}+\frac{\partial(\rho\dot{p}_i)}{\partial p_i}\right)=0.$$

अर्थात 3-ट्यूपल $$(\rho, \rho\dot{q}_i,\rho\dot{p}_i)$$ संरक्षित धारा है। ध्यान दें कि इसके और लिउविल के समीकरण के मध्य अंतर पद हैं:


 * $$\rho\sum_{i=1}^n\left(

\frac{\partial\dot{q}_i}{\partial q_i} +\frac{\partial\dot{p}_i}{\partial p_i}\right) =\rho\sum_{i=1}^n\left( \frac{\partial^2 H}{\partial q_i\,\partial p_i} -\frac{\partial^2 H}{\partial p_i \partial q_i}\right)=0,$$ जहाँ $$H$$ हैमिल्टनियन है, और हैमिल्टन के समीकरणों के साथ-साथ प्रवाह के साथ हैमिल्टनियन के संरक्षण का उपयोग किया गया है। अर्थात्, चरण स्थान के माध्यम से गति को प्रणाली बिंदुओं के 'द्रव प्रवाह' के रूप में देखना, प्रमेय कि घनत्व का संवहनी व्युत्पन्न, $$d \rho/dt$$, शून्य निरंतरता के समीकरण का अनुसरण करता है, यह ध्यान में रखते हुए कि 'वेग क्षेत्र' चरण स्थान में $$(\dot p, \dot q)$$ में शून्य विचलन होता है (जो हैमिल्टन के संबंधों से अनुसरण करता है)।

अन्य उदाहरण चरण स्थान के माध्यम से बिंदुओं के पश्चातल के प्रक्षेप पथ पर विचार करना है। यह दिखाना सरल है कि जैसे पश्चातल समन्वय में विस्तारित होता है, उदाहरण के लिए, $$p_i$$यह संगत में श्रिंक होता है $$q^i $$दिशा जिससे उत्पाद $$\Delta p_i \, \Delta q^i $$ स्थिर रहता है।

पॉइसन ब्रैकेट
उपरोक्त प्रमेय को प्रायः पॉइसन ब्रैकेट के संदर्भ में दोहराया जाता है:
 * $$\frac{\partial\rho}{\partial t}=-\{\,\rho,H\,\}$$

या, रैखिक लिउविल ऑपरेटर या लिउविलियन के संदर्भ में,
 * $$\mathrm{i}\widehat{\mathbf{L}}=\sum_{i=1}^n \left[\frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\partial}{\partial q^i}-\frac{\partial H}{\partial q^i}\frac{\partial }{\partial p_i}\right]=\{\bullet,H\}$$

जैसा
 * $$\frac{\partial \rho }{\partial t}+{\mathrm{i}\widehat{\mathbf{L}}}\rho =0.$$

एर्गोडिक सिद्धांत

एर्गोडिक सिद्धांत और गतिशील प्रणालियों में, अब तक दिए गए भौतिक विचारों से प्रेरित, संगत परिणाम होता है जिसे लिउविले के प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है। हैमिल्टनियन यांत्रिकी में, चरण स्थान स्मूथ मैनिफोल्ड है जो स्वाभाविक रूप से स्मूथ माप (गणित) से सुसज्जित होता है (स्थानीय रूप से, यह माप 6 n-आयामी लेब्सेग माप है)। प्रमेय कहता है कि हैमिल्टनियन प्रवाह के अंतर्गत यह सहज माप अपरिवर्तनीय है। अधिक सामान्यतः, कोई आवश्यक और पर्याप्त स्थिति का वर्णन कर सकता है जिससे प्रवाह के अंतर्गत सुचारू माप अपरिवर्तनीय होता है। हैमिल्टनियन स्तिथि तब परिणाम बन जाता है।

सिंपलेक्टिक ज्यामिति
सिम्प्लेक्टिक ज्यामिति के संदर्भ में लिउविले के प्रमेय को भी तैयार कर सकते हैं। किसी दिए गए प्रणाली के लिए, चरण स्थान पर विचार कर सकते हैं $$(q^\mu, p_\mu)$$ विशेष हैमिल्टनियन का $$H$$ अनेक गुना के रूप में $$(M,\omega)$$ सिम्प्लेक्टिक 2-प्रपत्र से संपन्न है:


 * $$\omega = dp_\mu\wedge dq^\mu.$$

हमारे मैनिफोल्ड का आयतन रूप सिंपलेक्टिक 2-फॉर्म के शीर्ष बाहरी शक्ति है, और ऊपर वर्णित चरण स्थान पर माप का प्रतिनिधित्व करते है।

हमारे चरण स्थान सिंपलेक्टिक मैनिफ़ोल्ड पर फलन द्वारा उत्पन्न हैमिल्टनियन वेक्टर क्षेत्र $$f(q,p)$$ को परिभाषित कर सकते हैं जैसा कि,


 * $$X_f = \frac{\partial f}{\partial p_\mu}\frac{\partial}{\partial q^\mu} - \frac{\partial f}{\partial q^\mu}\frac{\partial}{\partial p_\mu}.$$

विशेष रूप से, जब जनरेटिंग फलन हैमिल्टनियन $$f(q,p) = H$$ ही है, तब हम प्राप्त करते हैं कि,


 * $$X_H = \frac{\partial H}{\partial p_\mu}\frac{\partial}{\partial q^\mu} - \frac{\partial H}{\partial q^\mu}\frac{\partial}{\partial p_\mu} = \frac{d q^\mu}{d t}\frac{\partial}{\partial q^\mu} + \frac{d p^\mu}{dt}\frac{\partial}{\partial p_\mu} = \frac{d}{dt}$$

जहां हमने हैमिल्टन के गति के समीकरणों और श्रृंखला नियम की परिभाषा का उपयोग किया।

इस औपचारिकता में, लिउविले के प्रमेय में कहा गया है कि वॉल्यूम फॉर्म का ली व्युत्पन्न प्रवाह द्वारा उत्पन्न प्रवाह के साथ शून्य $$X_H$$ है अर्थात, के लिए $$(M,\omega)$$ 2n-आयामी सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड है,


 * $$\mathcal{L}_{X_H}(\omega^n) = 0.$$

वास्तव में, सिंपलेक्टिक संरचना $$\omega$$ स्वयं संरक्षित है, न कि केवल इसकी शीर्ष बाहरी शक्ति अर्थात् लिउविले का प्रमेय भी देता है:
 * $$\mathcal{L}_{X_H}(\omega) = 0.$$

क्वांटम लिउविल समीकरण

क्वांटम यांत्रिकी में लिउविले समीकरण का एनालॉग मिश्रित अवस्था के समय विकास का वर्णन करता है। कैनोनिकल परिमाणीकरण से इस प्रमेय का एक क्वांटम-मैकेनिकल वर्जन, वॉन न्यूमैन समीकरण प्राप्त होता है। यह प्रक्रिया, जिसका उपयोग प्रायः शास्त्रीय प्रणालियों के क्वांटम एनालॉग्स को तैयार करने के लिए किया जाता है, हैमिल्टनियन यांत्रिकी का उपयोग करके शास्त्रीय प्रणाली का वर्णन करना सम्मिलित है। शास्त्रीय चर को फिर से क्वांटम ऑपरेटरों के रूप में व्याख्या की जाती है, जबकि पॉइसन ब्रैकेट को कम्यूटेटर द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इस स्तिथि में, परिणामी समीकरण है:
 * $$\frac{\partial \rho}{\partial t} = \frac{1}{i \hbar}[H, \rho],$$

जहां ρ घनत्व आव्यूह है।

जब किसी अवलोकन योग्य के अपेक्षित मान पर प्रारम्भ किया जाता है, तो संबंधित समीकरण एरेनफेस्ट के प्रमेय द्वारा दिया जाता है, और रूप लेता है:


 * $$\frac{d}{dt}\langle A\rangle = -\frac{1}{i \hbar}\langle [H, A]\rangle,$$

जहाँ $$A$$ अवलोकनीय है, चिह्न अंतर पर ध्यान दें, जो इस धारणा से चलता है कि ऑपरेटर स्थिर है और स्थिति समय पर निर्भर है।

क्वांटम यांत्रिकी के चरण-स्थान सूत्रीकरण में, वॉन न्यूमैन समीकरण के चरण-स्थान एनालॉग में पॉइसन कोष्ठक के लिए मोयल ब्रैकेट को प्रतिस्थापित करने से संभाव्यता तरल पदार्थ की संपीड़न क्षमता होती है, और इस प्रकार लिउविले के प्रमेय असंपीड्यता का उल्लंघन होता है। इसके पश्चात, सार्थक क्वांटम प्रक्षेप पथ को परिभाषित करने में सहवर्ती कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं।

एसएचओ चरण-स्थान आयतन
तीन आयामों में $$N$$-कण प्रणाली तीन आयामों में, और केवल $$\mathrm{d}\mathcal{N}$$ कण के विकास पर ध्यान केंद्रित किया जाता है, चरण स्थान के भीतर, ये $$\mathrm{d}\mathcal{N}$$ कण दिए गए अनंत लघु आयतन पर प्रभुत्व कर लेते हैं:


 * $$\mathrm{d}\Gamma = \displaystyle\prod_{i=1}^N d^3p_i d^3q_i.$$

हम चाहते हैं कि $$\frac{\mathrm{d}\mathcal{N}}{\mathrm{d}\Gamma}$$ सम्पूर्ण समय समान बना रहे, जिससे $$\rho(\Gamma, t)$$ प्रणाली के प्रक्षेप पथ पर स्थिर है। यदि हम अपने कणों को अतिसूक्ष्म समय चरण द्वारा विकसित होने की अनुमति देते हैं, हम देखते हैं कि $$\delta t$$ प्रत्येक कण चरण स्थान परिवर्तित कर सकते है


 * $$\begin{cases}

q_i' = q_i + \dot{q_i}\delta t,\\ p_i' = p_i + \dot{p_i}\delta t, \end{cases}$$ जहाँ $$\dot{q_i}$$ और $$\dot{p_i}$$ को $$\frac{dq_i}{dt}$$ और $$\frac{dp_i}{dt}$$ से निरूपित करते है और हमने केवल $$\delta t$$ पदों को रैखिक रखा है।

इसे हमारे अतिसूक्ष्म हाइपरक्यूब तक विस्तारित करना, भुजा की लंबाई $$\mathrm{d}\Gamma$$ इस प्रकार परिवर्तित होती है:


 * $$\begin{cases}

dq_i' = dq_i + \frac{\partial\dot{q_i}}{\partial q_i}dq_i\delta t,\\ dp_i' = dp_i + \frac{\partial\dot{p_i}}{\partial p_i}dp_i\delta t. \end{cases}$$ नए अनंत-सूक्ष्म चरण-स्थान आयतन का परिक्षण करने के लिए $$\mathrm{d}\Gamma'$$, हमें उपरोक्त मात्रा के उत्पाद की आवश्यकता है। पहले क्रम करने के लिए $$\delta t$$, निम्नलिखित है:


 * $$dq_i'dp_i' = dq_idp_i\left[1 + \left( \frac{\partial\dot{q_i}}{\partial q_i} + \frac{\partial\dot{p_i}}{\partial p_i}\right) \delta t\right].$$

अभी तक, हमें अपने प्रणाली के बारे में कोई विशिष्टताएँ नहीं बनानी हैं। आइए अब हम इस स्तिथि में विशेषज्ञ बनें। $$N$$ $$3$$-आयामी आइसोट्रोपिक हार्मोनिक ऑसिलेटर अर्थात्, हमारे समूह के प्रत्येक कण को ​​साधारण हार्मोनिक ऑसिलेटर के रूप में माना जा सकता है। इस प्रणाली के लिए हैमिल्टनियन द्वारा दिया गया है:


 * $$H = \displaystyle\sum_{i = 1}^{3N}\left(\frac{1}{2m}p_i^2 + \frac{m\omega^2}{2}q_i^2\right).$$

उपरोक्त हैमिल्टनियन के साथ हैमिल्टन के समीकरणों का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं कि उपरोक्त कोष्ठक में शब्द समान रूप से शून्य है, इस प्रकार परिणाम मिलता है:


 * $$dq_i'dp_i' = dq_idp_i.$$

इससे चरण स्थान का अनंत आयतन ज्ञात कर सकते हैं:


 * $$\mathrm{d}\Gamma' = \displaystyle\prod_{i=1}^N d^3q_i'd^3p_i' = \prod_{i=1}^N d^3q_id^3p_i = \mathrm{d}\Gamma.$$

इस प्रकार हमने अंततः पाया है कि अनंत चरण-स्थान की मात्रा अपरिवर्तित उपज दे रही है:


 * $$\rho(\Gamma', t + \delta t) = \frac{\mathrm{d}\mathcal{N}}{\mathrm{d}\Gamma'} =  \frac{\mathrm{d}\mathcal{N}}{\mathrm{d}\Gamma} = \rho(\Gamma, t),$$

यह दर्शाता है कि लिउविले का प्रमेय इस प्रणाली के लिए मान्य है।

प्रश्न यह है कि चरण-स्थान की मात्रा वास्तव में समय के साथ कैसे विकसित होती है। ऊपर हमने दिखाया है कि कुल आयतन संरक्षित है, किंतु यह कैसा दिखता है इसके बारे में कुछ नहीं कहा। एकल कण के लिए हम देख सकते हैं कि चरण स्थान में इसका प्रक्षेपवक्र स्थिरांक के दीर्घवृत्त द्वारा दिया गया है $$H$$ स्पष्ट रूप से, कोई प्रणाली के लिए हैमिल्टन के समीकरणों को हल कर सकता है:


 * $$\begin{align}

q_i(t) &= Q_i\cos{\omega t} + \frac{P_i}{m\omega}\sin{\omega t},\\ p_i(t) &= P_i\cos{\omega t} - m\omega Q_i\sin{\omega t}, \end{align}$$ जहाँ $$Q_i$$ और $$P_i$$ की प्रारंभिक स्थिति और संवेग को दर्शाता है $$i$$-वाँ कण एकाधिक कणों की प्रणाली के लिए, प्रत्येक के पास चरण-स्थान प्रक्षेपवक्र होगा जो कण की ऊर्जा के अनुरूप दीर्घवृत्त को ज्ञात करता है। वह आवृत्ति जिस पर दीर्घवृत्त को ज्ञात किया जाता है, $$\omega$$ द्वारा दिया गया है हैमिल्टनियन में, ऊर्जा किसी भी अंतर से स्वतंत्र है। परिणामस्वरूप, चरण स्थान का क्षेत्र बस बिंदु के चारों ओर घूमेगा। $$(\mathbf{q}, \mathbf{p}) = (0, 0)$$ आवृत्ति पर निर्भर के साथ $$\omega$$ इसे उपरोक्त एनीमेशन में देखा जा सकता है।

डैम्पड हार्मोनिक ऑसिलेटर
लिउविले के प्रमेय की मूलभूत धारणाओं में से यह है कि प्रणाली ऊर्जा के संरक्षण का पालन करती है। चरण स्थान के संदर्भ में, यह कहना है $$\rho$$ स्थिर ऊर्जा के चरण-स्थान सतहों पर स्थिर है यदि हम ऐसी प्रणाली $$E$$ पर विचार करके इस आवश्यकता को विभक्त कर देते हैं जिसमें ऊर्जा संरक्षित नहीं है, तो हम प्राप्त करते हैं $$\rho$$ स्थिर रहने में भी विफल रहता है।

इसके उदाहरण के रूप में, प्रणाली पर फिर से विचार करें, प्रत्येक में $$N$$ कण $$3$$-आयामी आइसोट्रोपिक हार्मोनिक क्षमता, हैमिल्टनियन जिसके लिए पिछले उदाहरण में दिया गया है। इस बार, हम यह नियम जोड़ते हैं कि प्रत्येक कण घर्षण बल का अनुभव करता है। चूँकि यह नॉन-कन्सेर्वटिवे बल है, हमें हैमिल्टन के समीकरणों को इस प्रकार विस्तारित करने की आवश्यकता है:


 * $$\begin{align}

\dot{q_i} &= \frac{\partial H}{\partial p_i},\\ \dot{p_i} &= -\frac{\partial H}{\partial q_i} - \gamma p_i, \end{align}$$ जहाँ $$\gamma$$ घर्षण सकारात्मक स्थिरांक है जो घर्षण की मात्रा निर्धारित करता है। अनडैम्प्ड हार्मोनिक ऑसिलेटर केस के समान प्रक्रिया का पालन करते हुए, हम फिर से पहुँचते हैं:


 * $$dq_i'dp_i' = dq_idp_i\left[1 + \left( \frac{\partial\dot{q_i}}{\partial q_i} + \frac{\partial\dot{p_i}}{\partial p_i}\right) \delta t\right].$$

हमारे संशोधित हैमिल्टन के समीकरणों को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं:


 * $$\begin{align}

dq_i'dp_i' &= dq_idp_i\left[1 + \left( \frac{\partial^2 H}{\partial q_i\partial p_i} - \frac{\partial^2 H}{\partial p_i\partial q_i} - \gamma\right) \delta t\right],\\ &= dq_idp_i\left[1 -\gamma \delta t\right]. \end{align}$$ हमारे नए अतिसूक्ष्म चरण स्थान आयतन की गणना करते है, और केवल प्रथम क्रम को अंदर रखना $$\delta t$$ हमें निम्नलिखित परिणाम मिलता है:


 * $$\mathrm{d}\Gamma' = \displaystyle\prod_{i=1}^N d^3q_i'd^3p_i' = \left[1-\gamma\delta t\right]^{3N}\prod_{i=1}^N d^3q_id^3p_i = \mathrm{d}\Gamma\left[1-3N\gamma\delta t\right].$$

हमने प्राप्त किया है कि अनंतिम चरण-स्थान की मात्रा अब स्थिर नहीं है, और इस प्रकार चरण-स्थान घनत्व संरक्षित नहीं है। जैसा कि समय बढ़ने के साथ समीकरण से देखा जा सकता है, हम आशा करते हैं कि हमारे चरण-स्थान की मात्रा शून्य हो जाएगी क्योंकि घर्षण प्रणाली को प्रभावित करता है।

जहां तक ​​यह विषय है कि चरण-स्थान का आयतन समय के साथ कैसे विकसित होता है, हमारे पास अभी भी निरंतर घूर्णन होगा जैसा कि अविभाजित स्तिथि में होता है। चूँकि, अवमंदन प्रत्येक दीर्घवृत्त की त्रिज्या में निरन्तर कमी आएँगी। फिर से हम स्पष्ट रूप से हैमिल्टन के समीकरणों का उपयोग करके प्रक्षेप पथों को हल कर सकते हैं, ऊपर दिए गए संशोधित समीकरणों का उपयोग करने का ध्यान रखते हुए $$\alpha \equiv \frac{\gamma}{2}$$ सुविधा के लिए, हम प्राप्त करते हैं,


 * $$\begin{align}

q_i(t) &= e^{-\alpha t}\left[Q_i\cos{\omega_1 t} + B_i\sin{\omega_1 t}\right] & &\omega_1 \equiv \sqrt{\omega^2 - \alpha^2},\\ p_i(t) &= e^{-\alpha t}\left[P_i\cos{\omega_1 t} - m(\omega_1 Q_i + 2\alpha B_i)\sin{\omega_1 t}\right] & &B_i \equiv \frac{1}{\omega_1}\left(\frac{P_i}{m} + 2\alpha Q_i\right), \end{align}$$ जहां मान $$Q_i$$ और $$P_i$$ की प्रारंभिक स्थिति और संवेग को दर्शाता है, $$i$$-वाँ कण जैसे-जैसे प्रणाली विकसित होती है, कुल चरण-स्थान की मात्रा मूल की ओर बढ़ती जाएगी। इसे ऊपर चित्र में देखा जा सकता है।

टिप्पणियाँ

 * लिउविल समीकरण संतुलन और असंतुलन दोनों प्रणालियों के लिए मान्य है। यह असंतुलन सांख्यिकीय यांत्रिकी का मौलिक समीकरण है।
 * लिउविले समीकरण फ्लक्चुएशन प्रमेय के प्रमाण का अभिन्न अंग है जिससे थर्मोडायनामिक्स का दूसरा नियम प्राप्त किया जा सकता है। यह शियर विस्कोसिटी, थर्मल चालकता या विद्युत चालकता जैसे रैखिक परिवहन गुणांक के लिए ग्रीन-कुबो संबंधों की व्युत्पत्ति का प्रमुख घटक भी है।
 * वस्तुतः हैमिल्टनियन यांत्रिकी, उन्नत सांख्यिकीय यांत्रिकी, या सिंपलेक्टिक ज्यामिति पर कोई भी पाठ्यपुस्तक लिउविले प्रमेय प्राप्त करेगी।

यह भी देखें

 * बोल्ट्जमैन परिवहन समीकरण
 * प्रतिवर्ती संदर्भ प्रणाली प्रसार एल्गोरिथ्म (r-RESPA)