तीव्रतम अवतरण की विधि

गणित में, तीव्रतम अवतरण की विधि या काठी-बिंदु विधि इंटीग्रल का अनुमान लगाने के लिए लाप्लास की विधि का विस्तार है, जहां स्थिर बिंदु (सैडल बिंदु) के समीप से निकलने के लिए कठोर विमान में समोच्च इंटीग्रल को तीव्रतम अवतरण या स्थिर चरण की दिशा में विकृत किया जाता है। सैडल-पॉइंट सन्निकटन का उपयोग कठोर विमान में इंटीग्रल्स के साथ किया जाता है, जबकि लाप्लास की विधि का उपयोग वास्तविक इंटीग्रल्स के साथ किया जाता है।

अनुमान लगाया जाने वाला इंटीग्रल प्रायः रूप का होता है
 * $$\int_Cf(z)e^{\lambda g(z)}\,dz,$$

जहां C समोच्च है, और λ बड़ा है। तीव्रतम अवतरण की विधि का संस्करण एकीकरण C के समोच्च को नवीन पथ एकीकरण C' में विकृत कर देता है जिससे निम्नलिखित स्थितियाँ बनी रहें:
 * 1) C′ व्युत्पन्न g′(z) के या अधिक शून्य से होकर निकलता है,
 * 2) g(z) का काल्पनिक भाग C′ पर स्थिर है।

तीव्रतम अवतरण की विधि सर्वप्रथम किसके द्वारा प्रकाशित की गई थी? , जिन्होंने बेसेल फलन का अनुमान लगाने के लिए इसका उपयोग किया और बताया कि यह हाइपरज्यामितीय फलन के विषय में अप्रकाशित नोट में हुआ था। तीव्रतम अवतरण के समोच्च में न्यूनतम गुण होता है, देखें  देखें।  रीमैन के कुछ अन्य अप्रकाशित नोट्स का वर्णन किया, जहां उन्होंने रीमैन-सीगल सूत्र प्राप्त करने के लिए इस विधि का उपयोग किया था।

मूल विचार
तीव्रतम अवतरण की विधि प्रपत्र के कठोर इंटीग्रल का अनुमान लगाने की विधि है$$I(\lambda) = \int_Cf(z)e^{\lambda g(z)}\,\mathrm{d}z$$बड़े के लिए $$\lambda \rightarrow \infty$$, जहाँ $$f(z)$$ और $$g(z)$$ के विश्लेषणात्मक कार्य हैं $$z$$. क्योंकि इंटीग्रैंड विश्लेषणात्मक है, रूपरेखा $$C$$ नये स्वरूप में विकृत किया जा सकता है $$C'$$ अभिन्न को बदले बिना. विशेष रूप से, कोई नई रूपरेखा की तलाश करता है जिस पर काल्पनिक भाग हो $$g(z) = \text{Re} [g(z)] + i \, \text{Im}[g(z)]$$ स्थिर है. तब$$I(\lambda) = e^{i \lambda \text{Im}\{g(z)\}} \int_{C'}f(z)e^{\lambda \text{Re} \{g(z)\}}\,\mathrm{d}z,$$और शेष अभिन्न का अनुमान लाप्लास की विधि जैसी अन्य विधियों से लगाया जा सकता है।

व्युत्पत्ति
विश्लेषणात्मक होने के कारण इस विधि को तीव्रतम अवतरण की विधि कहा जाता है $$g(z)$$, स्थिर चरण समोच्च तीव्रतम अवरोही समोच्चों के समतुल्य हैं।

यदि $$g(z) = X(z) + i Y(z)$$ का विश्लेषणात्मक कार्य है $$z = x + i y$$, यह कॉची-रीमैन समीकरण को संतुष्ट करता है$$\frac{\partial X}{\partial x} = \frac{\partial Y}{\partial y} \qquad \text{and} \qquad \frac{\partial X}{\partial y} = - \frac{\partial Y}{\partial x} .$$तब$$\frac{\partial X}{\partial x} \frac{\partial Y}{\partial x} + \frac{\partial X}{\partial y} \frac{\partial Y}{\partial y} = \nabla X \cdot \nabla Y = 0,$$इसलिए स्थिर चरण की आकृतियाँ भी तीव्रतम अवतरण की आकृतियाँ हैं।

साधारण अनुमान
मान लीजिए $&thinsp;f, S : C^{n} → C$ और $C ⊂ C^{n}$. यदि


 * $$ M = \sup_{x \in C} \Re (S(x)) < \infty,$$

जहाँ $$\Re (\cdot)$$ वास्तविक भाग को दर्शाता है, और सकारात्मक वास्तविक संख्या मौजूद है $λ_{0}$ ऐसा है कि


 * $$\int_{C} \left| f(x) e^{\lambda_0 S(x)} \right| dx < \infty,$$

तो निम्नलिखित अनुमान मान्य है:
 * $$\left| \int_{C} f(x) e^{\lambda S(x)} dx \right| \leqslant \text{const}\cdot e^{\lambda M}, \qquad \forall \lambda \in \mathbb{R}, \quad \lambda \geqslant \lambda_0.$$

सरल अनुमान का प्रमाण:


 * $$\begin{align}

\left| \int_{C} f(x) e^{\lambda S(x)} dx \right| &\leqslant \int_C |f(x)| \left|e^{\lambda S(x)} \right| dx \\ &\equiv \int_{C} |f(x)| e^{\lambda M} \left | e^{\lambda_0 (S(x)-M)} e^{(\lambda-\lambda_0)(S(x)-M)} \right| dx \\ &\leqslant \int_C |f(x)| e^{\lambda M} \left| e^{\lambda_0 (S(x)-M)} \right| dx && \left| e^{(\lambda-\lambda_0)(S(x) - M)} \right| \leqslant 1 \\ &= \underbrace{e^{-\lambda_0 M} \int_{C} \left| f(x) e^{\lambda_0 S(x)} \right| dx}_{\text{const}} \cdot e^{\lambda M}. \end{align}$$

मूल धारणाएँ और संकेतन
मान लीजिए $x$ कठोर हो $n$-आयामी वेक्टर, और


 * $$S''_{xx}(x) \equiv \left( \frac{\partial^2 S(x)}{\partial x_i \partial x_j} \right), \qquad 1\leqslant i,\, j\leqslant n,$$

किसी फ़ंक्शन के लिए हेस्सियन मैट्रिक्स को निरूपित करें $S(x)$. यदि


 * $$\boldsymbol{\varphi}(x) = (\varphi_1(x), \varphi_2(x), \ldots, \varphi_k(x))$$

एक वेक्टर फ़ंक्शन है, तो इसके जैकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक को इस प्रकार परिभाषित किया गया है


 * $$\boldsymbol{\varphi}_x' (x) \equiv \left( \frac{\partial \varphi_i (x)}{\partial x_j} \right), \qquad 1 \leqslant i \leqslant k, \quad 1 \leqslant j \leqslant n.$$

एक गैर पतित काठी बिंदु, $z^{0} ∈ C^{n}$, होलोमोर्फिक फ़ंक्शन का $S(z)$ फ़ंक्शन का महत्वपूर्ण बिंदु है (यानी, $∇S(z^{0}) = 0$) जहां फ़ंक्शन के हेसियन मैट्रिक्स में गैर-लुप्त होने वाला निर्धारक है (यानी, $$\det S''_{zz}(z^0) \neq 0$$).

गैर-अपक्षयी सैडल बिंदु के मामले में इंटीग्रल के एसिम्प्टोटिक्स के निर्माण के लिए निम्नलिखित मुख्य उपकरण है:

कॉम्प्लेक्स मोर्स लेम्मा
वास्तविक-मूल्यवान फलन के लिए मोर्स सिद्धांत#मोर्स लेम्मा निम्नानुसार सामान्यीकृत होता है होलोमोर्फिक फ़ंक्शन के लिए: गैर-पतित काठी बिंदु के निकट $z^{0}$ होलोमोर्फिक फ़ंक्शन का $S(z)$, जिसके संदर्भ में निर्देशांक मौजूद हैं $S(z) − S(z^{0})$ बिल्कुल द्विघात है. इसे सटीक बनाने के लिए आइए $S$डोमेन के साथ होलोमोर्फिक फ़ंक्शन बनें $W ⊂ C^{n}$, और जाने $z^{0}$ में $W$ का गैर पतित काठी बिंदु हो $S$, वह है, $∇S(z^{0}) = 0$ और $$\det S''_{zz}(z^0) \neq 0$$. फिर पड़ोस मौजूद हैं $U ⊂ W$ का $z^{0}$ और $V ⊂ C^{n}$ का $w = 0$, और वन-टू-वन फ़ंक्शन होलोमोर्फिक फ़ंक्शन $φ : V → U$ साथ $φ(0) = z^{0}$ ऐसा है कि


 * $$\forall w \in V: \qquad S(\boldsymbol{\varphi}(w)) = S(z^0) + \frac{1}{2} \sum_{j=1}^n \mu_j w_j^2, \quad \det\boldsymbol{\varphi}_w'(0) = 1,

$$ यहां ही $μ_{j}$ मैट्रिक्स के आइगेनवैल्यूज़ एवं आइगेनवेक्टर्स हैं $$S_{zz}''(z^0)$$.

फ़ाइल:कॉम्प्लेक्स मोर्स लेम्मा चित्रण.पीडीएफ|अंगूठे|केंद्र $$एकल गैर-पतित काठी बिंदु के मामले में स्पर्शोन्मुख विस्तार मान लीजिए
 * 1) $&thinsp;f&thinsp; : C^{n} → C$ और $&thinsp;f&thinsp;(0) = 0$ खुला सेट, बाउंडेड सेट (टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस) और बस जुड़ा हुआ स्थान सेट में होलोमोर्फिक फ़ंक्शन फ़ंक्शन हैं $g_{i} : C^{n} → C$ ऐसा कि $g_{i}$ जुड़ा हुआ स्थान है;
 * 2) $$\Re(S(z))$$ एकल अधिकतम है: $$\max_{z \in I_x} \Re(S(z)) = \Re(S(x^0))$$ बिल्कुल बिंदु के लिए $z^{0}$;
 * 3) $z^{0} = 0$ गैर-पतित काठी बिंदु है (यानी, $S(0) = 0$ और $$\det S''_{xx}(x^0) \neq 0$$).

फिर, निम्नलिखित स्पर्शोन्मुख धारण करता है

जहाँ $g_{i}(z)$ हेस्सियन मैट्रिक्स के eigenvalues ​​हैं $$S''_{xx}(x^0)$$ और $$(-\mu_j)^{-\frac{1}{2}}$$ तर्कों से परिभाषित किये गये हैं

यह कथन फेडोर्युक (1987) में प्रस्तुत अधिक सामान्य परिणामों का विशेष मामला है। $$ समीकरण (8) को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है

की शाखा कहां है


 * $$\sqrt{\det \left (-S_{xx}''(x^0) \right)}$$

निम्नानुसार चुना गया है


 * $$\begin{align}

\left (\det \left (-S_{xx}(x^0) \right ) \right)^{-\frac{1}{2}} &= \exp\left( -i \text{ Ind} \left (- S_{xx}(x^0) \right ) \right) \prod_{j=1}^n \left| \mu_j \right|^{-\frac{1}{2}}, \\ \text{Ind} \left (-S_{xx}''(x^0) \right) &= \tfrac{1}{2} \sum_{j=1}^n \arg (-\mu_j), && |\arg(-\mu_j)| < \tfrac{\pi}{2}. \end{align}$$ महत्वपूर्ण विशेष मामलों पर विचार करें:


 * यदि $A^{(s)}$ वास्तविक के लिए वास्तविक मूल्यवान है $$ और $A^{(a)}$ में $h_{ij}(z)$ (उर्फ, बहुआयामी लाप्लास विधि), फिर $$\text{Ind} \left(-S_{xx}''(x^0) \right ) = 0.$$
 * यदि $det(h_{ij}(0)) ≠ 0$ वास्तव में पूर्णतया काल्पनिक है $$ (अर्थात।, $$\Re(S(x)) = 0$$ सभी के लिए $$ में $u = (u_{1}, ... u_{n}), z = ψ(u), 0 = ψ(0)$) और $y = (y_{1}, ... y_{n}), z = φ(y), 0 = φ(0)$ में $H_{ij}$ (उर्फ, बहुआयामी स्थिर चरण विधि), तब $$\text{Ind} \left (-S_{xx}(x^0) \right ) = \frac{\pi}{4} \text{sign }S_{xx}(x_0),$$ जहाँ $$\text{sign }S_{xx}(x_0)$$ सिल्वेस्टर के जड़त्व के नियम को दर्शाता है#प्रमेय का कथन $$S_{xx}(x_0)$$, जो नकारात्मक eigenvalues ​​​​की संख्या घटाकर सकारात्मक लोगों की संख्या के बराबर है। यह उल्लेखनीय है कि क्वांटम यांत्रिकी (साथ ही प्रकाशिकी में) में बहुआयामी WKB सन्निकटन के लिए स्थिर चरण विधि के अनुप्रयोगों में, $(y_{r}, ... y_{n})$ मास्लोव सूचकांक से संबंधित है, उदाहरण के लिए, और.

एकाधिक गैर-क्षतिग्रस्त काठी बिंदुओं का मामला
यदि फ़ंक्शन $H_{rr}(0) ≠ 0$ में कई अलग-अलग गैर-पतित काठी बिंदु हैं, यानी,


 * $$\nabla S \left (x^{(k)} \right ) = 0, \quad \det S''_{xx} \left (x^{(k)} \right ) \neq 0, \quad x^{(k)} \in \Omega_x^{(k)},$$

जहाँ


 * $$\left \{ \Omega_x^{(k)} \right \}_{k=1}^K$$

का खुला आवरण है $(H_{ij}(0))$, तो एकता के विभाजन को नियोजित करके इंटीग्रल एसिम्प्टोटिक की गणना को एकल सैडल बिंदु के मामले में कम कर दिया जाता है। एकता का विभाजन हमें निरंतर फलन का सेट बनाने की अनुमति देता है $(H_{ij}(0)) = LJL^{−1}$ ऐसा है कि


 * $$\begin{align}

\sum_{k=1}^K \rho_k(x) &= 1, && \forall x \in \Omega_x, \\ \rho_k(x) &= 0 && \forall x \in \Omega_x\setminus \Omega_x^{(k)}. \end{align}$$ जहाँ से,


 * $$\int_{I_x \subset \Omega_x} f(x) e^{\lambda S(x)} dx \equiv \sum_{k=1}^K \int_{I_x \subset \Omega_x} \rho_k(x) f(x) e^{\lambda S(x)} dx.$$

इसलिए जैसे $(H_{ij}(0))$ हमारे निकट है:


 * $$\sum_{k=1}^K \int_{\text{a neighborhood of }x^{(k)}} f(x) e^{\lambda S(x)} dx = \left(\frac{2\pi}{\lambda}\right)^{\frac{n}{2}} \sum_{k=1}^K e^{\lambda S \left (x^{(k)} \right )} \left ( \det \left(-S_{xx}'' \left (x^{(k)} \right )\right) \right)^{-\frac{1}{2}} f \left (x^{(k)} \right ),$$

जहां अंतिम चरण में समीकरण (13) और पूर्व-घातीय फ़ंक्शन का उपयोग किया गया था $H_{ij}(0) ≠ 0$ कम से कम निरंतर होना चाहिए.

अन्य मामले
कब $H_{ij}(y)$ और $$\det S''_{zz}(z^0) = 0$$, बिंदु $z = η(x), 0 = η(0),$ को किसी फ़ंक्शन का डीजेनरेट सैडल पॉइंट कहा जाता है $y ↔ x$.

के स्पर्शोन्मुख की गणना


 * $$ \int f(x) e^{\lambda S(x)} dx,$$

कब $μ_{j}$ सतत है, और $J_{z}$ में पतित काठी बिंदु है, यह बहुत ही समृद्ध समस्या है, जिसका समाधान काफी हद तक आपदा सिद्धांत पर निर्भर करता है। यहां, आपदा सिद्धांत ने फ़ंक्शन को बदलने के लिए तीव्रतम अवतरण#कॉम्प्लेक्स मोर्स लेम्मा की विधि को प्रतिस्थापित कर दिया है, जो केवल गैर-पतित मामले में मान्य है। $det P ≠ 0$ विहित अभ्यावेदन की भीड़ में से में। अधिक जानकारी के लिए देखें, उदाहरणार्थ, और.

विकृत काठी बिंदुओं वाले इंटीग्रल स्वाभाविक रूप से कास्टिक (प्रकाशिकी) और क्वांटम यांत्रिकी में बहुआयामी डब्ल्यूकेबी सन्निकटन सहित कई अनुप्रयोगों में दिखाई देते हैं।

अन्य मामले जैसे, उदा. $&thinsp;f&thinsp;(z)$ और/या $S(z)$ असंतुलित हैं या जब चरम सीमा पर हैं $Ω_{x} ⊂ C^{n}$ एकीकरण क्षेत्र की सीमा पर स्थित है, विशेष देखभाल की आवश्यकता है (देखें, उदाहरण के लिए, और ).

विस्तार और सामान्यीकरण
सबसे तीव्र अवतरण विधि का विस्तार तथाकथित अरेखीय स्थिर चरण/सबसे तीव्र अवतरण विधि है। यहां, इंटीग्रल के बजाय, किसी को रीमैन-हिल्बर्ट फ़ैक्टराइज़ेशन समस्याओं के स्पर्शोन्मुख समाधानों का मूल्यांकन करने की आवश्यकता है।

कठोर क्षेत्र में समोच्च सी को देखते हुए, उस समोच्च पर परिभाषित फ़ंक्शन एफ और विशेष बिंदु, मान लीजिए अनंत, समोच्च सी से दूर फ़ंक्शन एम होलोमोर्फिक की तलाश करता है, सी में निर्धारित छलांग के साथ, और अनंत पर दिए गए सामान्यीकरण के साथ। यदि f और इसलिए M अदिश के बजाय आव्यूह हैं तो यह ऐसी समस्या है जो सामान्य तौर पर स्पष्ट समाधान स्वीकार नहीं करती है।

तब रैखिक स्थिर चरण/तीव्रतम अवतरण विधि की तर्ज पर स्पर्शोन्मुख मूल्यांकन संभव है। विचार यह है कि दी गई रीमैन-हिल्बर्ट समस्या के समाधान को असम्बद्ध रूप से कम करके सरल, स्पष्ट रूप से हल करने योग्य, रीमैन-हिल्बर्ट समस्या बना दिया जाए। कॉची के प्रमेय का उपयोग जम्प समोच्च की विकृतियों को उचित ठहराने के लिए किया जाता है।

रूसी गणितज्ञ अलेक्जेंडर इट्स के पहले के काम के आधार पर, 1993 में डेफ्ट और झोउ द्वारा नॉनलाइनियर स्थिर चरण की शुरुआत की गई थी। लैक्स, लीवरमोर, डेफ्ट, वेनाकिड्स और झोउ के पिछले काम के आधार पर, 2003 में कामविसिस, के. मैकलॉघलिन और पी. मिलर द्वारा (ठीक से कहें तो) नॉनलाइनियर स्टीपेस्ट डीसेंट विधि पेश की गई थी। जैसा कि रैखिक मामले में होता है, सबसे तीव्र अवरोही आकृतियाँ न्यूनतम-अधिकतम समस्या का समाधान करती हैं। अरैखिक मामले में वे एस-वक्र बन जाते हैं (80 के दशक में स्टाल, गोन्चर और राखमनोव द्वारा अलग संदर्भ में परिभाषित)।

नॉनलाइनियर स्थिर चरण/तीव्रतम अवतरण विधि में सॉलिटन समीकरणों और एकीकृत मॉडल, यादृच्छिक मैट्रिक्स और साहचर्य के सिद्धांत के अनुप्रयोग हैं।

एक अन्य विस्तार काठी बिंदुओं और एकसमान स्पर्शोन्मुख विस्तारों को संयोजित करने के लिए चेस्टर-फ़्रीडमैन-उर्सेल की विधि है।

यह भी देखें

 * पियर्सी इंटीग्रल
 * स्थिर चरण सन्निकटन
 * लाप्लास की विधि

संदर्भ

 * English translation in
 * [in Russian].
 * (Unpublished note, reproduced in Riemann's collected papers.)
 * Reprinted in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966.
 * Translated in.
 * [in Russian].
 * (Unpublished note, reproduced in Riemann's collected papers.)
 * Reprinted in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966.
 * Translated in.
 * Translated in.