पर्सिस्टन्ट होमोलॉजी (सतत सजातीय)


 * नोटेशन के परिचय के लिए होमोलॉजी (गणित) देखें।

'पर्सिस्टेंट होमोलॉजी' विभिन्न स्थानिक रिज़ॉल्यूशन पर किसी स्थान की टोपोलॉजिकल विशेषताओं की गणना करने की एक विधि है। स्थानिक पैमानों की एक विस्तृत श्रृंखला में अधिक लगातार विशेषताओं का पता लगाया जाता है और नमूने, शोर या मापदंडों की विशेष पसंद की कलाकृतियों के बजाय अंतर्निहित स्थान की वास्तविक विशेषताओं का प्रतिनिधित्व करने की अधिक संभावना मानी जाती है। किसी स्थान की सतत समरूपता को खोजने के लिए, अंतरिक्ष को पहले एक सरल परिसर के रूप में प्रस्तुत किया जाना चाहिए। अंतर्निहित स्थान पर एक दूरी फ़ंक्शन सरल परिसर के निस्पंदन (गणित) से मेल खाता है, जो बढ़ते उपसमुच्चय का एक नेस्टेड अनुक्रम है। ऐसा करने का एक सामान्य तरीका दूरी के उपस्तरीय निस्पंदन को एक बिंदु बादल तक ले जाना है, या समकक्ष रूप से, बिंदु बादल पर ऑफसेट निस्पंदन करना और सरल निस्पंदन प्राप्त करने के लिए इसकी तंत्रिका (गणित) लेना है जिसे सेच कॉम्प्लेक्स|सेच के रूप में जाना जाता है। छानने का काम। एक समान निर्माण विएटोरिस-रिप्स कॉम्प्लेक्स|विएटोरिस-रिप्स कॉम्प्लेक्स के नेस्टेड अनुक्रम का उपयोग करता है जिसे विएटोरिस-रिप्स फिल्ट्रेशन|विएटोरिस-रिप्स निस्पंदन के रूप में जाना जाता है।

परिभाषा
औपचारिक रूप से, एक सरल परिसर पर वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन पर विचार करें $$f:K \rightarrow \mathbb{R}$$ यह चेहरों के बढ़ते क्रम पर घटता नहीं है, इसलिए $$f(\sigma) \leq f(\tau)$$ जब कभी भी $$\sigma$$ का एक चेहरा है $$\tau$$ में $$K$$. फिर हर एक के लिए $$ a \in \mathbb{R}$$ उपस्तर सेट $$K_a=f^{-1}((-\infty, a])$$ K का एक उपसमुच्चय है, और के मानों का क्रम $$f$$ सरल पर $$K$$ (जो व्यवहार में हमेशा सीमित होता है) उपस्तरीय परिसरों पर एक क्रम उत्पन्न करता है जो एक निस्पंदन को परिभाषित करता है
 * $$ \emptyset = K_0 \subseteq K_1 \subseteq \cdots \subseteq K_n = K $$

कब $$ 0\leq i \leq j \leq n$$, समावेश $$K_i \hookrightarrow K_j$$ एक समूह समरूपता को प्रेरित करता है $$f_p^{i,j}:H_p(K_i)\rightarrow H_p(K_j)$$ प्रत्येक आयाम के लिए सरल समरूपता समूहों पर $$p$$. $$p^\text{th}$$ h> लगातार समरूपता समूह इन समरूपताओं की छवियां हैं, और $$p^\text{th}$$ बेटी का नंबर कायम है $$ \beta_p^{i,j}$$ उन समूहों के एक समूह की रैंक हैं। लगातार बेट्टी नंबर के लिए $$p=0$$ साथ मेल खाना आकार फ़ंक्शन, सतत समरूपता का पूर्ववर्ती। किसी फ़ील्ड पर कोई फ़िल्टर किया गया कॉम्प्लेक्स $$F$$ निस्पंदन को तथाकथित विहित रूप में संरक्षित करते हुए एक रैखिक परिवर्तन द्वारा लाया जा सकता है, दो प्रकार के फ़िल्टर किए गए परिसरों का एक विहित रूप से परिभाषित प्रत्यक्ष योग: तुच्छ अंतर के साथ एक-आयामी परिसर $$d(e_{t_i})=0$$ और तुच्छ समरूपता के साथ द्वि-आयामी परिसर $$d(e_{s_j+r_j})=e_{r_j}$$. आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट पर एक दृढ़ता मॉड्यूल $$P$$ वेक्टर रिक्त स्थान का एक सेट है $$U_t$$ द्वारा अनुक्रमित $$P$$, एक रेखीय मानचित्र के साथ $$u_t^s: U_s \to U_t$$ जब कभी भी $$s \leq t$$, साथ $$u_t^t$$ पहचान के बराबर और $$u_t^s \circ u_s^r = u^r_t$$ के लिए $$r \leq s \leq t$$. समान रूप से, हम इसे एक फ़नकार के रूप में मान सकते हैं $$P$$ वेक्टर रिक्त स्थान (या मॉड्यूल (गणित)) की श्रेणी के लिए एक श्रेणी के रूप में माना जाता है$$R$$-मॉड्यूल)। किसी क्षेत्र पर दृढ़ता मॉड्यूल का वर्गीकरण होता है $$F$$ द्वारा अनुक्रमित $$\mathbb{N}$$: $$U \simeq \bigoplus_i x^{t_i} \cdot F[x] \oplus \left(\bigoplus_j x^{r_j} \cdot (F[x]/(x^{s_j}\cdot F[x]))\right).$$ से गुणा $$x$$ दृढ़ता मॉड्यूल में एक कदम आगे बढ़ने के अनुरूप है। सहज रूप से, दाईं ओर के मुक्त हिस्से होमोलॉजी जनरेटर के अनुरूप हैं जो निस्पंदन स्तर पर दिखाई देते हैं $$t_i$$ और कभी गायब नहीं होते, जबकि मरोड़ वाले हिस्से उन हिस्सों के अनुरूप होते हैं जो निस्पंदन स्तर पर दिखाई देते हैं $$r_j$$ और आखिरी तक $$s_j$$ निस्पंदन के चरण (या समकक्ष, निस्पंदन स्तर पर गायब हो जाते हैं $$s_j+r_j$$). इन दो प्रमेय में से प्रत्येक हमें एक दृढ़ता बारकोड या दृढ़ता आरेख के साथ फ़िल्टर किए गए सरलीकृत परिसर की निरंतर समरूपता का विशिष्ट रूप से प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देता है। एक बारकोड प्रत्येक लगातार जनरेटर को एक क्षैतिज रेखा के साथ दर्शाता है जो पहले निस्पंदन स्तर पर शुरू होता है जहां यह दिखाई देता है, और निस्पंदन स्तर पर समाप्त होता है जहां यह गायब हो जाता है, जबकि एक दृढ़ता आरेख प्रत्येक जनरेटर के लिए जन्म समय और उसके एक्स-समन्वय के साथ एक बिंदु प्लॉट करता है। y-मृत्यु समय का समन्वय करें। समान रूप से वही डेटा बारानिकोव के विहित रूप द्वारा दर्शाया गया है, जहां प्रत्येक जनरेटर को जन्म और मृत्यु मूल्यों को जोड़ने वाले एक खंड द्वारा दर्शाया जाता है, प्रत्येक के लिए अलग-अलग लाइनों पर प्लॉट किया जाता है $$p$$.

स्थिरता
सतत समरूपता एक सटीक अर्थ में स्थिर है, जो शोर के विरुद्ध मजबूती प्रदान करती है। अड़चन दूरी द्वारा दिए गए दृढ़ता आरेख के स्थान पर एक प्राकृतिक मीट्रिक है $$W_\infty(X,Y):= \inf_{\varphi: X \to Y} \sup_{x \in X} \Vert x-\varphi(x) \Vert_\infty,$$ कहाँ $$\varphi$$ आपत्तियों से परे है। इनपुट निस्पंदन में एक छोटी गड़बड़ी से टोंटी दूरी में इसके दृढ़ता आरेख में एक छोटी गड़बड़ी होती है। ठोसता के लिए, किसी स्थान पर निस्पंदन पर विचार करें $$X$$ एक निरंतर वश में कार्य के उपस्तरीय सेटों द्वारा निर्धारित एक सरल परिसर के लिए होमोमोर्फिक $$f:X\to \mathbb{R}$$. वो नक्शा $$D$$ ले रहा $$f$$ इसके दृढ़ता आरेख के लिए $$k$$वें समरूपता के संबंध में 1-लिप्सचिट्ज़ है $$\sup$$-कार्यों पर मीट्रिक और दृढ़ता आरेखों पर अड़चन दूरी। वह है, $$W_\infty(D(f),D(g)) \leq \lVert f-g \rVert_\infty$$.

गणना
परिमित निस्पंदन के दृढ़ता अंतराल की गणना के लिए विभिन्न सॉफ्टवेयर पैकेज हैं। मुख्य एल्गोरिदम ऊपरी-त्रिकोणीय मैट्रिक्स द्वारा फ़िल्टर किए गए कॉम्प्लेक्स को उसके विहित रूप में लाने पर आधारित है।

यह भी देखें

 * टोपोलॉजिकल डेटा विश्लेषण
 * कम्प्यूटेशनल टोपोलॉजी