जटिल द्विघात मैपिंग के आवधिक अंक

यह लेख कुछ जटिल द्विघात मानचित्रों के आवधिक बिंदुओं का वर्णन करता है। एक नक्शा एक चर के मान की गणना करने के लिए एक सूत्र है जो अपने पिछले मूल्य या मूल्यों के आधार पर होता है, एक द्विघात मानचित्र वह है जिसमें एक और दो की घातों (गणित) के लिए बढ़ा हुआ पिछला मान शामिल होता है, और एक जटिल मानचित्र वह है जिसमें चर और पैरामीटर जटिल संख्याएँ हैं। मानचित्र का आवर्ती बिंदु चर का एक मान है जो एक निश्चित लंबाई के अंतराल के बाद बार-बार होता है।

ये आवधिक बिंदु फतौ सेट और जूलिया सेट के सिद्धांतों में एक भूमिका निभाते हैं।

परिभाषाएँ
मान लेते है


 * $$f_c(z) = z^2+c\,$$

जटिल द्विघात बहुपद हो, जहाँ $$z$$ और $$c$$ जटिल संख्याएँ हैं।

सांकेतिक रूप से, $$f^{(k)} _c (z)$$ है $$k$$-गुना समारोह की संरचना $$f_c$$ खुद के साथ (भ्रमित होने की नहीं $$k$$वें का व्युत्पन्न $$f_c$$)—अर्थात्, k-वें पुनरावृत्त फलन के बाद का मान $$f _c.$$ इस प्रकार


 * $$f^{(k)} _c (z) = f_c(f^{(k-1)} _c (z)).$$

आवृत्ति के एक जटिल द्विघात मानचित्रण के आवधिक बिंदु $$p$$ बिंदु हैं $$z$$ चरण अंतरिक्ष की ऐसी कि


 * $$f^{(p)} _c (z) = z,$$

कहाँ $$p$$ वह सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक है जिसके लिए समीकरण उस z पर टिका रहता है।

हम एक नया कार्य पेश कर सकते हैं:


 * $$F_p(z,f) = f^{(p)} _c (z) - z,$$

इसलिए आवधिक बिंदु फ़ंक्शन के फ़ंक्शन के शून्य हैं $$F_p(z,f)$$: अंक z संतोषजनक


 * $$F_p(z,f) = 0,$$

जो बहुपद की डिग्री का बहुपद है $$2^p.$$

आवधिक बिंदुओं की संख्या
बहुपद के बहुपद की डिग्री $$F_p(z,f)$$ आवधिक बिंदुओं का वर्णन है $$d = 2^p$$ इसलिए बीजगणित का मौलिक प्रमेय $$d = 2^p$$ जटिल जड़ें (= आवधिक अंक), बहुलता (गणित) के साथ गिना जाता है#Multiplicity_of_a_root_of_a_polynomial।

आवधिक बिंदुओं (कक्षा) की स्थिरता - गुणक
गुणक (या eigenvalue, व्युत्पन्न) $$m(f^p,z_0)=\lambda$$ एक तर्कसंगत मानचित्र का $$f$$ आवर्ती $$p$$ चक्रीय बिंदु पर बार $$z_0$$ परिभाषित किया जाता है:


 * $$m(f^p,z_0) = \lambda = \begin{cases}

f^{p \prime}(z_0), &\mbox{if }z_0 \ne \infty \\ \frac{1}{f^{p \prime} (z_0)}, & \mbox{if }z_0 = \infty \end{cases}$$ कहाँ $$f^{p\prime} (z_0)$$ का प्रथम व्युत्पन्न है $$f^p$$ इसके संबंध में $$z$$ पर $$z_0$$.

क्योंकि गुणक किसी दी गई कक्षा पर सभी आवधिक बिंदुओं पर समान होता है, इसे आवधिक कक्षा (गतिकी) का गुणक कहा जाता है।

गुणक है: आवर्त बिन्दु है आवधिक बिंदु
 * एक सम्मिश्र संख्या;
 * अपने निश्चित बिंदु पर किसी भी तर्कसंगत मानचित्र के संयुग्मन के तहत अपरिवर्तनीय;
 * स्थिरता सूचकांक के साथ आवधिक (निश्चित भी) बिंदुओं की स्थिरता की जांच करने के लिए उपयोग किया जाता है $$abs(\lambda). \,$$
 * जब आकर्षित करना $$abs(\lambda) < 1;$$
 * सुपर-आकर्षक जब $$abs(\lambda) = 0;$$
 * आकर्षित करना लेकिन सुपर-आकर्षित नहीं करना $$0 < abs(\lambda) < 1;$$
 * उदासीन जब $$abs(\lambda) = 1;$$
 * तर्कसंगत रूप से उदासीन या परवलयिक यदि $$\lambda$$ एकता की जड़ है;
 * सीगल डिस्क अगर $$abs(\lambda)=1$$ लेकिन गुणक एकता का मूल नहीं है;
 * प्रतिकारक जब $$abs(\lambda) > 1.$$
 * जो आकर्षित कर रहे हैं वे हमेशा फतौ घटकों के वर्गीकरण में होते हैं;
 * जो प्रतिकारक हैं वे जूलिया सेट में हैं;
 * जो कि उदासीन निश्चित बिंदु हैं, एक या दूसरे में हो सकते हैं। जूलिया सेट में एक परवलयिक आवधिक बिंदु है।

परिमित निश्चित बिंदु
आइए, के एक अनुप्रयोग द्वारा अपरिवर्तित छोड़े गए सभी परिमित बिंदुओं को खोजकर प्रारंभ करें $$f$$. ये वो बिंदु हैं जो संतुष्ट करते हैं $$f_c(z)=z$$. यानी हम सुलझाना चाहते हैं


 * $$z^2+c=z,\,$$

जिसे फिर से लिखा जा सकता है


 * $$\ z^2-z+c=0.$$

चूँकि यह एक अज्ञात में एक साधारण द्विघात समीकरण है, हम द्विघात सूत्र लागू कर सकते हैं:


 * $$\alpha_1 = \frac{1-\sqrt{1-4c}}{2}$$ और $$\alpha_2 = \frac{1+\sqrt{1-4c}}{2}.$$

अभीतक के लिए तो $$c \in \mathbb{C} \setminus \{1/4\}$$ हमारे पास दो परिमित निश्चित बिंदु हैं $$\alpha_1$$ और $$\alpha_2$$.

तब से
 * $$\alpha_1 = \frac{1}{2}-m$$ और $$\alpha_2 = \frac{1}{2}+m$$ कहाँ $$m = \frac{\sqrt{1-4c}}{2},$$

अपने पास $$\alpha_1 + \alpha_2 = 1$$.

इस प्रकार निश्चित बिंदु सममित होते हैं $$z = 1/2$$.



जटिल गतिशीलता
यहाँ आमतौर पर अलग-अलग संकेतन का उपयोग किया जाता है:
 * $$\alpha_c = \frac{1-\sqrt{1-4c}}{2}$$ गुणक के साथ $$\lambda_{\alpha_c} = 1-\sqrt{1-4c}$$

और


 * $$\beta_c = \frac{1+\sqrt{1-4c}}{2}$$ गुणक के साथ $$\lambda_{\beta_c} = 1+\sqrt{1-4c}.$$

फिर हमारे पास है


 * $$\alpha_c + \beta_c = 1 .$$

चूँकि Complex_quadratic_polynomial#First_derivative_with_respect_to_z है


 * $$P_c'(z) = \frac{d}{dz}P_c(z) = 2z ,$$

अपने पास


 * $$P_c'(\alpha_c) + P_c'(\beta_c)= 2 \alpha_c + 2 \beta_c = 2 (\alpha_c + \beta_c) = 2 .$$

इसका अर्थ यह है कि $$P_c$$ अधिकतम एक आकर्षक निश्चित बिंदु हो सकता है।

इन बिंदुओं को इस तथ्य से अलग किया जाता है कि:
 * $$\beta_c$$ है:
 * बाहरी किरण का अवतरण बिंदु कोण के लिए=0 के लिए $$c \in M \setminus \left\{ 1/4 \right\}$$
 * जूलिया सेट का सबसे रिपेलिंग फिक्स्ड पॉइंट
 * दाईं ओर वाला (जब भी निश्चित बिंदु जटिल विमान के चारों ओर सममित नहीं होता है), यह कनेक्टेड जूलिया सेट (फूलगोभी को छोड़कर) के लिए चरम सही बिंदु है।
 * $$\alpha_c$$ है:
 * कई किरणों का अवतरण बिंदु
 * आकर्षित जब $$c$$ मैंडलब्रॉट सेट के मुख्य कार्डियोइड में है, जिस स्थिति में यह भरे हुए जूलिया सेट के इंटीरियर में है, और इसलिए फतौ सेट से संबंधित है (सख्ती से परिमित निश्चित बिंदु के आकर्षण के बेसिन में)
 * मैंडेलब्रॉट सेट के अंग के मूल बिंदु पर परवलयिक
 * के अन्य मूल्यों के लिए प्रतिकर्षण $$c$$

विशेष मामले
द्विघात मानचित्रण का एक महत्वपूर्ण मामला है $$c=0$$. इस मामले में, हम प्राप्त करते हैं $$\alpha_1 = 0$$ और $$\alpha_2=1$$. इस मामले में, 0 एक अति-आकर्षक निश्चित बिंदु (गणित) है, और 1 जूलिया सेट से संबंधित है।

केवल एक निश्चित बिंदु
अपने पास $$\alpha_1=\alpha_2$$ ठीक कब $$1-4c=0.$$ इस समीकरण का एक हल है, $$c=1/4,$$ किस स्थिति में $$\alpha_1=\alpha_2=1/2$$. वास्तव में $$c=1/4$$ सबसे बड़ा सकारात्मक, विशुद्ध रूप से वास्तविक संख्या मान है जिसके लिए एक परिमित आकर्षण मौजूद है।

अनंत निश्चित बिंदु
हम जटिल विमान का विस्तार कर सकते हैं $$\mathbb{C}$$ रीमैन क्षेत्र के लिए|रीमैन क्षेत्र (विस्तारित जटिल तल) $$\mathbb{\hat{C}}$$ अनंत पर बिंदु जोड़कर:


 * $$\mathbb{\hat{C}} = \mathbb{C} \cup \{ \infty \}$$ और विस्तार करें $$f_c$$ ऐसा है कि $$f_c(\infty)=\infty.$$

फिर अनंत पर बिंदु है:
 * अत्यधिक आकर्षक
 * का एक निश्चित बिंदु $$f_c$$: $$f_c(\infty)=\infty=f^{-1}_c(\infty).$$

अवधि-2 चक्र
फ़ाइल: fc(z)= के लिए अवधि 1 से 2 तक आवधिक बिंदुओं का द्विभाजनz*z +c.gif|thumb|right|fc(z)=z*z +c के लिए अवधि 1 से 2 तक आवधिक बिंदुओं का द्विभाजन अवधि -2 चक्र दो अलग-अलग बिंदु हैं $$\beta_1$$ और $$\beta_2$$ ऐसा है कि $$f_c(\beta_1) = \beta_2$$ और $$f_c(\beta_2) = \beta_1$$, और इसलिए


 * $$f_c(f_c(\beta_n)) = \beta_n$$

के लिए $$n \in \{1, 2\}$$:


 * $$f_c(f_c(z)) = (z^2+c)^2+c = z^4 + 2cz^2 + c^2 + c.$$

इसे z के बराबर करने पर, हम प्राप्त करते हैं


 * $$z^4 + 2cz^2 - z + c^2 + c = 0.$$

यह समीकरण डिग्री 4 का एक बहुपद है, और इसलिए इसके चार (संभवतः गैर-विशिष्ट) समाधान हैं। हालाँकि, हम पहले से ही दो समाधानों को जानते हैं। वे हैं $$\alpha_1$$ और $$\alpha_2$$, ऊपर गणना की गई है, क्योंकि यदि इन बिंदुओं को एक आवेदन द्वारा अपरिवर्तित छोड़ दिया जाता है $$f$$, तो स्पष्ट रूप से वे एक से अधिक अनुप्रयोगों से अपरिवर्तित रहेंगे $$f$$.

इसलिए हमारे चौथे क्रम के बहुपद को 2 तरीकों से विभाजित किया जा सकता है:

गुणनखंडन की पहली विधि

 * $$(z-\alpha_1)(z-\alpha_2)(z-\beta_1)(z-\beta_2) = 0.\,$$

यह सीधे के रूप में फैलता है $$x^4 - Ax^3 + Bx^2 - Cx + D = 0$$ (वैकल्पिक संकेतों पर ध्यान दें), जहां


 * $$D = \alpha_1 \alpha_2 \beta_1 \beta_2, \,$$
 * $$C = \alpha_1 \alpha_2 \beta_1 + \alpha_1 \alpha_2 \beta_2 + \alpha_1 \beta_1 \beta_2 + \alpha_2 \beta_1 \beta_2, \,$$
 * $$B = \alpha_1 \alpha_2 + \alpha_1 \beta_1 + \alpha_1 \beta_2 + \alpha_2 \beta_1 + \alpha_2 \beta_2 + \beta_1 \beta_2, \,$$
 * $$A = \alpha_1 + \alpha_2 + \beta_1 + \beta_2.\,$$

हमारे पास पहले से ही दो समाधान हैं, और केवल अन्य दो की आवश्यकता है। इसलिए समस्या द्विघात बहुपद को हल करने के बराबर है। विशेष रूप से, ध्यान दें


 * $$\alpha_1 + \alpha_2 = \frac{1-\sqrt{1-4c}}{2} + \frac{1+\sqrt{1-4c}}{2} = \frac{1+1}{2} = 1$$

और


 * $$\alpha_1 \alpha_2 = \frac{(1-\sqrt{1-4c})(1+\sqrt{1-4c})}{4} = \frac{1^2 - (\sqrt{1-4c})^2}{4}= \frac{1 - 1 + 4c}{4} = \frac{4c}{4} = c.$$

उपरोक्त में इन्हें जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है $$D = c \beta_1 \beta_2$$ और $$A = 1 + \beta_1 + \beta_2$$. विस्तार से गुणांक के विरुद्ध इनका मिलान करना $$f$$, हम पाते हैं


 * $$D = c \beta_1 \beta_2 = c^2 + c$$ और $$A = 1 + \beta_1 + \beta_2 = 0.$$

इससे हम आसानी से प्राप्त कर लेते हैं


 * $$\beta_1 \beta_2 = c + 1$$ और $$\beta_1 + \beta_2 = -1$$.

यहाँ से, हम एक द्विघात समीकरण बनाते हैं $$A' = 1, B = 1, C = c+1$$ और प्राप्त करने के लिए मानक समाधान सूत्र लागू करें


 * $$\beta_1 = \frac{-1 - \sqrt{-3 -4c}}{2}$$ और $$\beta_2 = \frac{-1 + \sqrt{-3 -4c}}{2}.$$

निकट परीक्षा से पता चलता है कि:


 * $$f_c(\beta_1) = \beta_2$$ और $$f_c(\beta_2) = \beta_1,$$

मतलब ये दो बिंदु एक ही अवधि -2 चक्र पर दो बिंदु हैं।

गुणनखंडन की दूसरी विधि
हम गुणनखंडों को विभाजित करने के लिए बहुपद दीर्घ विभाजन का उपयोग करके चतुर्थांश का गुणनखंडन कर सकते हैं $$(z-\alpha_1)$$ और $$(z-\alpha_2), $$ जो दो निश्चित बिंदुओं के लिए खाता है $$\alpha_1$$ और $$\alpha_2$$ (जिनके मान पहले दिए गए थे और जो अभी भी दो पुनरावृत्तियों के बाद निश्चित बिंदु पर बने हुए हैं):


 * $$(z^2+c)^2 + c -z = (z^2 + c - z)(z^2 + z + c +1 ). \,$$

पहले कारक की जड़ें दो निश्चित बिंदु हैं। वे मुख्य कार्डियोइड के बाहर खदेड़ रहे हैं।

दूसरे कारक की दो जड़ें हैं


 * $$\frac{-1 \pm \sqrt{-3 -4c}}{2}. \,$$

ये दो जड़ें, जो पहली विधि द्वारा पाई गई समान हैं, अवधि -2 कक्षा बनाती हैं।

विशेष मामले
दोबारा, आइए देखें $$c=0$$. तब


 * $$\beta_1 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$$ और $$\beta_2 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2},$$

जिनमें से दोनों जटिल संख्याएं हैं। अपने पास $$| \beta_1 | = | \beta_2 | = 1$$. इस प्रकार, ये दोनों बिंदु जूलिया सेट में छिपे हुए हैं। एक और खास मामला है $$c=-1$$, जो देता है $$\beta_1 = 0$$ और $$\beta_2 = -1$$. यह द्विघात मैंडलब्रॉट सेट की सबसे बड़ी अवधि -2 लोब में पाया जाने वाला प्रसिद्ध सुपरआकर्षिक चक्र देता है।

2
से अधिक अवधि के लिए चक्र फ़ाइल: अवधि के लिए f(z) = z*z-0.75 की आवधिक बिंदु =6 as intersections of 2 implicit curves.svg|thumb|right|f(z) के आवधिक बिंदु = z*z−0.75 अवधि =6 के लिए 2 अंतर्निहित वक्रों के चौराहे के रूप में समीकरण की डिग्री $$f^{(n)}(z)=z$$ 2 हैएन; इस प्रकार उदाहरण के लिए, 3-चक्र पर बिंदुओं को खोजने के लिए हमें डिग्री 8 के समीकरण को हल करने की आवश्यकता होगी। कारकों को दो निश्चित अंक देने के बाद, हमारे पास छठा डिग्री समीकरण होगा।

एबेल-रफिनी प्रमेय Nth रूट में डिग्री पांच या उससे अधिक के बहुपद समीकरणों के लिए, इसलिए 2 से अधिक अवधि के चक्र पर अंक सामान्य रूप से रूट-फाइंडिंग एल्गोरिदम का उपयोग करके गणना की जानी चाहिए। हालाँकि, अवधि 4 के विशिष्ट मामले में चक्रीय बिंदुओं में मूलांक में लंबी अभिव्यक्तियाँ होती हैं। सी = -2 के मामले में, सभी अवधियों के आवधिक बिंदुओं के लिए त्रिकोणमिति समाधान मौजूद हैं। मामला $$z_{n+1}=z_n^2-2$$ रसद मानचित्र  केस r = 4 के बराबर है: $$x_{n+1}=4x_n(1-x_n).$$ यहाँ समानता द्वारा दिया गया है $$z=2-4x.$$ रसद चर x के k-चक्रों में से एक (जिनमें से सभी चक्र प्रतिकारक हैं) है


 * $$\sin^2\left(\frac{2\pi}{2^k-1}\right), \, \sin^2\left(2\cdot\frac{2\pi}{2^k-1}\right), \, \sin^2\left(2^2\cdot\frac{2\pi}{2^k-1}\right), \, \sin^2\left(2^3\cdot\frac{2\pi}{2^k-1}\right), \dots, \sin^2\left(2^{k-1}\frac{2\pi}{2^k-1}\right).$$

अग्रिम पठन

 * Geometrical properties of polynomial roots
 * Alan F. Beardon, Iteration of Rational Functions, Springer 1991, ISBN 0-387-95151-2
 * Michael F. Barnsley (Author), Stephen G. Demko (Editor), Chaotic Dynamics and Fractals (Notes and Reports in Mathematics in Science and Engineering Series) Academic Pr (April 1986), ISBN 0-12-079060-2
 * Wolf Jung : Homeomorphisms on Edges of the Mandelbrot Set. Ph.D. thesis of 2002
 * The permutations of periodic points in quadratic polynominials by J Leahy

बाहरी संबंध

 * Algebraic solution of Mandelbrot orbital boundaries by Donald D. Cross
 * Brown Method by Robert P. Munafo
 * arXiv:hep-th/0501235v2 V.Dolotin, A.Morozov: Algebraic Geometry of Discrete Dynamics. The case of one variable.