लूप स्पेस

टोपोलॉजी में, गणित की एक शाखा, नुकीला स्थान  टोपोलॉजिकल स्पेस X का लूप स्पेस ΩX X में (आधारित) लूप्स का स्पेस है, यानी निरंतर फ़ंक्शन (टोपोलॉजी) पॉइंटेड नुकीले वृत्त S से मानचित्र1से X, कॉम्पैक्ट-ओपन टोपोलॉजी से सुसज्जित। दो लूपों को पथ (टोपोलॉजी)#पथ रचना द्वारा गुणा किया जा सकता है। इस ऑपरेशन के साथ, लूप स्पेस एक ए-इनफिनिटी ऑपरेड|ए है∞-अंतरिक्ष। अर्थात्, गुणन होमोटॉपी|होमोटोपी-सुसंगत साहचर्य गुण है।

ΩX के पथ घटकों का सेट (गणित), यानी एक्स में आधारित लूप के आधारित-समरूप तुल्यता वर्गों का सेट, एक समूह (गणित) है, मौलिक समूह π1(एक्स)।

X के 'पुनरावृत्त लूप स्पेस' Ω को कई बार लगाने से बनते हैं।

बेसपॉइंट के बिना टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के लिए एक समान निर्माण होता है। टोपोलॉजिकल स्पेस X का 'फ्री लूप स्पेस' सर्कल S से मानचित्रों का स्पेस हैकॉम्पैक्ट-ओपन टोपोलॉजी के साथ 1से X तक। X के मुक्त लूप स्पेस को अक्सर द्वारा दर्शाया जाता है $$\mathcal{L}X$$. एक ऑपरेटर के रूप में, फ्री लूप स्पेस निर्माण सर्कल के साथ कार्टेशियन उत्पाद के ठीक बगल में है, जबकि लूप स्पेस निर्माण कम किए गए सस्पेंशन के ठीक बगल में है। यह संयोजन स्थिर समरूपता सिद्धांत में लूप स्पेस के बहुत अधिक महत्व को दर्शाता है। (कंप्यूटर विज्ञान में एक संबंधित घटना करीइंग है, जहां कार्टेशियन उत्पाद मैं काम कर रहा हूं से जुड़ा हुआ है।) अनौपचारिक रूप से इसे एकमैन-हिल्टन द्वैत के रूप में जाना जाता है।

एकमैन-हिल्टन द्वैत
लूप स्पेस एक ही स्पेस के निलंबन (टोपोलॉजी)  से दोगुना है; इस द्वैत को कभी-कभी एकमैन-हिल्टन द्वैत भी कहा जाता है। मूल अवलोकन यही है
 * $$[\Sigma Z,X] \approxeq [Z, \Omega X]$$

कहाँ $$[A,B]$$ मानचित्रों के समरूप वर्गों का समुच्चय है $$A \rightarrow B$$, और $$\Sigma A$$ ए का निलंबन है, और $$\approxeq$$ प्राकृतिक परिवर्तन समरूपता को दर्शाता है। यह होमियोमोर्फिज्म अनिवार्य रूप से उत्पादों को कम उत्पादों में परिवर्तित करने के लिए आवश्यक भागफल को संशोधित करने की है।

सामान्य रूप में, $$[A, B]$$ मनमाने स्थानों के लिए कोई समूह संरचना नहीं है $$A$$ और $$B$$. हालाँकि, यह दिखाया जा सकता है $$[\Sigma Z,X]$$ और $$[Z, \Omega X]$$ जब प्राकृतिक समूह संरचनाएँ हों $$Z$$ और $$X$$ इंगित स्थान हैं, और उपरोक्त समरूपता उन समूहों की है। इस प्रकार, सेटिंग $$Z = S^{k-1}$$ (द $$k-1$$ क्षेत्र) संबंध देता है


 * $$\pi_k(X) \approxeq \pi_{k-1}(\Omega X)$$.

यह इस प्रकार है क्योंकि समरूप समूह को इस प्रकार परिभाषित किया गया है $$\pi_k(X)=[S^k,X]$$ और गोले एक-दूसरे के निलंबन के माध्यम से प्राप्त किए जा सकते हैं, अर्थात। $$S^k=\Sigma S^{k-1}$$.

यह भी देखें

 * ईलेनबर्ग-मैकलेन स्पेस
 * मुक्त पाश
 * मौलिक समूह
 * ग्रे का अनुमान
 * टोपोलॉजी की सूची
 * लूप समूह
 * पथ (टोपोलॉजी)
 * quasigroup
 * स्पेक्ट्रम (टोपोलॉजी)
 * पथ स्थान (बीजगणितीय टोपोलॉजी)