वीयरस्ट्रैस एम-टेस्ट

गणित में, वीयरस्ट्रैस एम-टेस्ट यह निर्धारित करने के लिए एक परीक्षण है कि फलन की एक अनंत श्रृंखला समान रूप से और पूर्ण रूप से अभिसरण करती है या नहीं। यह उन श्रृंखलाओं पर लागू होता है जिनके पद वास्तविक संख्या या जटिल संख्या मानों के साथ परिबद्धता फलन होते हैं, और वास्तविक या जटिल संख्याओं की श्रृंखला के अभिसरण को निर्धारित करने के लिए प्रत्यक्ष तुलनात्मक परीक्षण के अनुरूप होते है। इसका नाम जर्मन गणितज्ञ कार्ल वीयरस्ट्रैस (1815-1897) के नाम पर रखा गया है।

कथन
वीयरस्ट्रैस एम-टेस्ट। मान लीजिए कि ( (fn) सेट A पर परिभाषित वास्तविक या जटिल-मूल्यवान फलनों का अनुक्रम होता है, फलनों का एक क्रम है, और यह कि शर्तों को पूरा करने वाली गैर-नकारात्मक संख्याओं (Mn) का एक क्रम होता है फिर शृंखला
 * $$|f_n(x)|\leq M_n$$ सभी के लिए $$n \geq 1$$ और सभी $$x \in A$$, और
 * $$\sum_{n=1}^{\infty} M_n $$ अभिसरित करता है
 * $$\sum_{n=1}^{\infty} f_n (x)$$

A पर पूर्णतः तथा समान रूप से अभिसरित होता है।

परिणाम का उपयोग अधिकांशतः समान सीमा प्रमेय के संयोजन में किया जाता है। वे कहते हैं कि यदि, उपरोक्त शर्तों के अतिरिक्त सेट A एक सांस्थितिक समष्टि है और फलन fn  A पर निरंतर होती हैं, तो श्रृंखला एक निरंतर फलन में परिवर्तित हो जाती है।

प्रमाण
फलनों के अनुक्रम पर विचार करें
 * $$S_{n}(x) = \sum_{k=1}^{n}f_{k}(x)$$ श्रृंखला के बाद से $$\sum_{n=1}^{\infty}M_{n}$$ अभिसरण करता है और प्रत्येक $n$ के लिए $M_{n} &ge; 0$ कौशी उद्देश्य द्वारा,
 * $$\forall \varepsilon>0 : \exists N : \forall m>n>N : \sum_{k=n+1}^{m}M_{k}<\varepsilon$$ चुने गए $N$ के लिए,
 * $$\forall x \in A : \forall m> n> N$$
 * $$\left|S_{m}(x)-S_{n}(x)\right|=\left|\sum_{k=n+1}^{m}f_{k}(x)\right|\overset{(1)}{\leq} \sum_{k=n+1}^{m}|f_{k}(x)|\leq \sum_{k=n+1}^{m}M_{k}<\varepsilon . $$

(असमानता (1) त्रिभुज असमानता से आती है।)

अनुक्रम $S_{n}(x)$ इस प्रकार R या C में एक कौशी अनुक्रम होते है, और वास्तविक संख्याओं की पूर्णता से, यह कुछ संख्या $S(x)$ में परिवर्तित हो जाता है, जो x पर निर्भर करता है। n > N के लिए हम लिख सकते हैं
 * $$\left|S(x) - S_{n}(x)\right|=\left|\lim_{m\to\infty} S_{m}(x) - S_{n}(x)\right|=\lim_{m\to\infty} \left|S_{m}(x) - S_{n}(x)\right|\leq\varepsilon . $$

चूँकि N, x पर निर्भर नहीं होता है, इसका मतलब है कि आंशिक योगों का अनुक्रम Sn समान रूप से फलन S में परिवर्तित होता है। इसलिए, परिभाषा के अनुसार, श्रृंखला $$\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}(x)$$ समान रूप से अभिसरित होती है।

अनुरूप रूप से, कोई भी इसे प्रमाणित कर सकता है $$\sum_{k=1}^{\infty}|f_{k}(x)|$$ समान रूप से अभिसरित होता है।

सामान्यीकरण
वीयरस्ट्रैस एम-टेस्ट का एक अधिक सामान्य संस्करण मानता है कि यदि फलन का सामान्य कोडोमेन (fn) एक बानाच समष्टि होता है, इस स्थिति में यह आधार होता है


 * $$|f_n(x)|\leq M_n$$

द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है


 * $$\|f_n(x)\|\leq M_n$$,

जहाँ $$\|\cdot\|$$ बानाच समष्टि पर मानक होता है। बानाच समष्टि पर इस परीक्षण के उपयोग के उदाहरण के लिए, फ़्रेचेट व्युत्पन्न लेख देखें।

यह भी देखें

 * समान अभिसरण#घातांकीय फलन वीयरस्ट्रैस एम-परीक्षण का उदाहरण