नेटवर्क संश्लेषण (नेटवर्क सिंथेसिस)

नेटवर्क संश्लेषण, रैखिक विद्युत परिपथों के लिए एक बनावट तकनीक है। संश्लेषण आवृत्ति या आवृत्ति प्रतिक्रिया के एक निर्धारित विद्युत प्रतिबाधा कार्य से शुरू होता है और फिर संभावित नेटवर्क निर्धारित करता है जो आवश्यक प्रतिक्रिया उत्पन्न करेगा। तकनीक की तुलना नेटवर्क विश्लेषण से की जानी है जिसमें किसी दिए गए सर्किट की प्रतिक्रिया (या अन्य व्यवहार) की गणना की जाती है। नेटवर्क संश्लेषण से पहले, केवल नेटवर्क विश्लेषण उपलब्ध था, लेकिन इसके लिए आवश्यक है कि किसी को पहले से ही पता हो कि किस प्रकार के परिपथ का विश्लेषण किया जाना है। इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि चुना गया परिपथ वांछित प्रतिक्रिया के सबसे करीब संभव मैच होगा,और न ही सर्किट सबसे सरल संभव है। नेटवर्क संश्लेषण इन दोनों कार्यो को सीधे संबोधित करता है। नेटवर्क संश्लेषण ऐतिहासिक रूप से निष्क्रिय नेटवर्क के संश्लेषण से संबंधित रहा है, लेकिन यह ऐसे सर्किट तक सीमित नहीं है।

फील्ड की स्थापना रोनाल्ड एम. फोस्टर के 1924 के पेपर ए रिएक्शन प्रमेय को पढ़ने के बाद विल्हेम कॉयर द्वारा की गई थी। फोस्टर के प्रमेय ने प्रतिबाधा कार्यों के आंशिक अंश विस्तार द्वारा तत्वों की किसी संख्या के साथ एलसी सर्किट को संश्लेषित करने की एक विधि प्रदान की। काउर ने आरसी सर्किट और आरएल सर्किट के लिए फोस्टर की विधि को और आगे तक विस्तार किया और उन्होंने नई संश्लेषण विधियों को पाया जो एक सामान्य आरएलसी सर्किट को संश्लेषित कर सकते थे। द्वितीय विश्व युद्ध से पहले अन्य महत्वपूर्ण प्रगति ओटो ब्राउन और सिडनी डार्लिंगटन के कारण हैं। 1940 के दशक में राउल बॉटल और रिचर्ड डफिन ने एक संश्लेषण तकनीक प्रकाशित की जिसमें सामान्य मामले में बदलने की आवश्यकता नहीं थी (जिसका उन्मूलन कुछ समय के लिए शोधकर्ताओं को परेशान कर रहा था)। 1950 के दशक में, एक संश्लेषण में आवश्यक तत्वों की संख्या को कम करने के प्रश्न पर बहुत प्रयास किया गया था, 2000 के दशक तक इस क्षेत्र में बहुत कम किया गया था जब न्यूनीकरण का मुद्दा फिर से अनुसंधान का एक सक्रिय क्षेत्र बन गया, लेकिन 2023 तक अभी भी एक अनसुलझी समस्या है।

नेटवर्क संश्लेषण का एक प्राथमिक अनुप्रयोग नेटवर्क संश्लेषण फिल्टर का बनावट है लेकिन यह इसका एकमात्र अनुप्रयोग नहीं है। दूसरों के बीच प्रतिबाधा मिलान नेटवर्क,एनालॉग विलंब रेखा, समय-विलंब नेटवर्क, दिशात्मक युग्मक और समकारी हैं। 2000 के दशक में, नेटवर्क संश्लेषण को मैकेनिकल प्रणाली के साथ-साथ इलेक्ट्रिकल, विशेष रूप से फार्मूला वन रेसिंग में लागू किया जाने लगा।

अवलोकन
नेटवर्क संश्लेषण एक विद्युत नेटवर्क को डिजाइन करने के बारे में है जो नेटवर्क फॉर्म की किसी भी पूर्वकल्पना के बिना निर्धारित तरीके से व्यवहार करता है। आमतौर पर, निष्क्रिय घटकों का उपयोग करके एक विद्युत प्रतिबाधा को संश्लेषित करने की आवश्यकता होती है। यही है, एक नेटवर्क जिसमें विद्युत प्रतिरोध (R), प्रेरकत्व (L) और धारिता (C) शामिल हैं। ऐसे नेटवर्क में हमेशा एक प्रतिबाधा होती है, जिसे $$Z(s)$$ निरूपित किया जाता है। अर्थात् प्रतिबाधा s में दो बहुपदों का अनुपात है।

नेटवर्क संश्लेषण में अध्ययन के तीन व्यापक क्षेत्र हैं; एक तर्कसंगत कार्य के साथ एक आवश्यकता का अनुमान लगाना, उस कार्य को एक नेटवर्क में संश्लेषित करना और संश्लेषित नेटवर्क के समकक्षों का निर्धारण करना।

सन्निकटन
आदर्शीकृत निर्धारित कार्य बहुपदों द्वारा सटीक रूप से वर्णित होने में शायद ही कभी सक्षम होंगे। इसलिए इसे पुन: उत्पन्न करने के लिए किसी नेटवर्क को संश्लेषित करना संभव नहीं है। ईंट-दीवार फिल्टर एक सरल और सामान्य उदाहरण है। यह एक लो पास फिल्टर की आदर्श प्रतिक्रिया है, लेकिन इसके टुकड़े-टुकड़े निरंतर प्रतिक्रिया को बहुपदों के साथ प्रदर्शित करना असंभव है क्योंकि विच्छिन्नताएं हैं। इस कठिनाई को दूर करने के लिए, एक तर्कसंगत कार्य पाया जाता है जो सन्निकटन सिद्धांत का उपयोग करके निर्धारित कार्य को बारीकी से अनुमानित करता है। सामान्य तौर पर, सन्निकटन जितना करीब होना आवश्यक है, बहुपद की उच्च डिग्री और नेटवर्क में उतने ही अधिक तत्वों की आवश्यकता होगी। इस प्रयोजन के लिए नेटवर्क संश्लेषण में कई बहुपदों और कार्यों का उपयोग किया जाता है। पसंद

इस बात पर निर्भर करती है कि डिज़ाइनर किस निर्धारित फ़ंक्शन के पैरामीटर को अनुकूलित करना चाहता है। सबसे पहले इस्तेमाल किया जाने वाला बटरवर्थ बहुपद था, जिसके परिणामस्वरूप पासबैंड में अधिकतम सपाट प्रतिक्रिया होती है। चेबीशेव सन्निकटन एक आम पसंद है जिसमें डिज़ाइनर निर्दिष्ट करता है कि अन्य मापदंडों में सुधार के बदले पासबैंड प्रतिक्रिया आदर्श से कितना विचलित हो सकती है। समय विलंब, प्रतिबाधा मिलान, धड़ल्ले से बोलना और कई अन्य आवश्यकताओं को अनुकूलित करने के लिए अन्य सन्निकटन उपलब्ध हैं।

अहसास
एक तर्कसंगत कार्य को देखते हुए, आमतौर पर यह निर्धारित करना आवश्यक होता है कि क्या फ़ंक्शन असतत निष्क्रिय नेटवर्क के रूप में प्राप्य है। ऐसे सभी नेटवर्क एक तर्कसंगत कार्य द्वारा वर्णित हैं, लेकिन असतत निष्क्रिय नेटवर्क के रूप में सभी तर्कसंगत कार्यों को साकार नहीं किया जा सकता है। ऐतिहासिक रूप से, नेटवर्क संश्लेषण विशेष रूप से ऐसे नेटवर्कों से संबंधित था। आधुनिक सक्रिय घटकों ने इस सीमा को कई अनुप्रयोगों में कम प्रासंगिक बना दिया है, लेकिन उच्च आकाशवाणी आवृति  पर निष्क्रिय नेटवर्क अभी भी पसंद की तकनीक है। तर्कसंगत कार्यों का एक सकारात्मक-वास्तविक कार्य है जो भविष्यवाणी करता है कि क्या फ़ंक्शन एक निष्क्रिय नेटवर्क के रूप में वसूली योग्य है। एक बार जब यह निर्धारित हो जाता है कि एक फ़ंक्शन वसूली योग्य है, तो वहां कई एल्गोरिदम उपलब्ध हैं जो इससे नेटवर्क को संश्लेषित करेंगे।

समानता
तर्कसंगत कार्य से नेटवर्क प्राप्ति अद्वितीय नहीं है। एक ही कार्य कई समतुल्य नेटवर्क का एहसास कर सकता है। यह ज्ञात है कि किसी नेटवर्क के मेश विश्लेषण में बनने वाले प्रतिबाधा मैट्रिक्स के संबधित परिवर्तन समतुल्य नेटवर्क के सभी प्रतिबाधा मैट्रिक्स हैं (आगे की जानकारी पर ). अन्य समतुल्य प्रतिबाधा परिवर्तन ज्ञात हैं, लेकिन क्या और भी समतुल्य वर्ग हैं जो खोजे जाने बाकी हैं, यह एक खुला प्रश्न है। नेटवर्क संश्लेषण में अनुसंधान का एक प्रमुख क्षेत्र उस बोध का पता लगाना रहा है जो तत्वों की न्यूनतम संख्या का उपयोग करता है। सामान्य मामले के लिए यह प्रश्न पूरी तरह से हल नहीं किया गया है, लेकिन व्यावहारिक अनुप्रयोगों के साथ कई नेटवर्कों के लिए समाधान उपलब्ध हैं।

इतिहास
नेटवर्क संश्लेषण के क्षेत्र की स्थापना जर्मन गणितज्ञ और वैज्ञानिक विल्हेम कॉयर (1900-1945) ने की थी। एक सिद्धांत की ओर पहला संकेत अमेरिकी गणितज्ञ रोनाल्ड एम. फोस्टर (1896-1998) से आया जब उन्होंने 1924 में फोस्टर की प्रतिक्रिया प्रमेय प्रकाशित की। काउर ने तुरंत इस काम के महत्व को पहचाना और इसे सामान्य बनाने और विस्तारित करने के बारे में निर्धारित किया। 1926 में उनकी थीसिस निर्धारित आवृत्ति निर्भरता के प्रतिबाधाओं की प्राप्ति पर थी और यह क्षेत्र की शुरुआत है। काउर का सबसे विस्तृत कार्य द्वितीय विश्व युद्ध के दौरान किया गया था, लेकिन युद्ध के अंत से कुछ ही समय पहले वह मारा गया था। युद्ध के दौरान उनका काम व्यापक रूप से प्रकाशित नहीं हो सका, और यह 1958 तक नहीं था कि उनके परिवार ने उनके कागजात एकत्र किए और उन्हें व्यापक दुनिया के लिए प्रकाशित किया। इस बीच, युद्ध के दौरान कब्जा किए गए कायर के पूर्व-युद्ध प्रकाशनों और सामग्री के आधार पर संयुक्त राज्य अमेरिका में प्रगति की गई थी। अंग्रेजी स्व-सिखाया गणितज्ञ और वैज्ञानिक ओलिवर हीविसाइड (1850-1925) सबसे पहले यह दिखाने वाले थे कि RLC नेटवर्क का प्रतिबाधा हमेशा एक आवृत्ति ऑपरेटर का एक तर्कसंगत कार्य था, लेकिन एक तर्कसंगत कार्य से नेटवर्क को साकार करने का कोई तरीका नहीं दिया। एक निष्क्रिय नेटवर्क के रूप में साकार होने के लिए काउर ने एक तर्कसंगत कार्य के लिए एक आवश्यक शर्त पाई। दक्षिण अफ़्रीकी ओटो ब्रुने (1901-1982) ने बाद में इस स्थिति के लिए सकारात्मक-वास्तविक कार्य (पीआरएफ) शब्द गढ़ा। काउर ने माना कि पीआरएफ एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति थी, लेकिन इसे साबित नहीं कर सका, और ब्रुने को एक शोध परियोजना के रूप में सुझाव दिया, जो उस समय संयुक्त राज्य अमेरिका में उनके स्नातक छात्र थे। ब्रुने ने अपने 1931 के डॉक्टरेट थीसिस में मिसिंग प्रूफ प्रकाशित किया। फोस्टर की प्राप्ति एलसी नेटवर्क तक सीमित थी और दो रूपों में से एक में थी; या तो श्रृंखला में कई श्रृंखला एलसी सर्किट, या श्रृंखला में कई समानांतर एलसी सर्किट। फोस्टर की विधि का विस्तार करना था $$Z(s)$$ आंशिक अंशों में। काउर ने दिखाया कि फोस्टर की पद्धति को आरएल और आरसी नेटवर्क तक बढ़ाया जा सकता है। कायर ने एक और तरीका भी खोजा; का विस्तार $$Z(s)$$ एक निरंतर अंश के रूप में जो सीढ़ी नेटवर्क में परिणत होता है, फिर से दो संभावित रूपों में। सामान्य तौर पर, एक पीआरएफ एक आरएलसी नेटवर्क का प्रतिनिधित्व करेगा; सभी तीन प्रकार के तत्वों के साथ यह बोध पेचीदा है। काउर और ब्रुने दोनों ने आरएलसी नेटवर्क की अपनी प्राप्ति में आदर्श ट्रांसफार्मर का इस्तेमाल किया। एक सर्किट के व्यावहारिक कार्यान्वयन में ट्रांसफार्मर शामिल करना अवांछनीय है। 1949 में हंगेरियन-अमेरिकी गणितज्ञ राउल बॉट (1923-2005) और अमेरिकी भौतिक विज्ञानी रिचर्ड डफिन (1909-1996) द्वारा ट्रांसफॉर्मर की आवश्यकता नहीं होने की प्राप्ति की एक विधि प्रदान की गई थी। बॉटल एंड डफिन विधि रिचर्ड्स प्रमेय के बार-बार उपयोग द्वारा एक विस्तार प्रदान करती है, अमेरिकी भौतिक विज्ञानी और अनुप्रयुक्त गणितज्ञ पॉल आई रिचर्ड्स (1923-1978) के कारण 1947 का परिणाम। परिणामी बॉटल-डफिन नेटवर्क का सीमित व्यावहारिक उपयोग होता है (कम से कम एक बहुपद की उच्च डिग्री के तर्कसंगत कार्यों के लिए) क्योंकि आवश्यक घटकों की संख्या डिग्री के साथ तेजी से बढ़ती है। मूल बॉटल-डफिन विधि की कई भिन्नताएं प्रत्येक खंड में तत्वों की संख्या को छह से पांच तक कम कर देती हैं, लेकिन फिर भी समग्र संख्या में तेजी से वृद्धि होती है। इसे प्राप्त करने वाले पत्रों में पेंटेल (1954), रेजा (1954), स्टोरर (1954) और फियाल्कोव एंड गेस्ट (1955) शामिल हैं। 2010 तक, तर्कसंगत कार्यों को संश्लेषित करने में कोई और महत्वपूर्ण प्रगति नहीं हुई है। 1939 में, अमेरिकी इलेक्ट्रिकल इंजीनियर सिडनी डार्लिंगटन ने दिखाया कि किसी भी PRF को दो-पोर्ट नेटवर्क के रूप में महसूस किया जा सकता है जिसमें केवल L और C तत्व होते हैं और एक अवरोधक के साथ इसके आउटपुट पर समाप्त हो जाते हैं। अर्थात, किसी भी नेटवर्क में केवल एक प्रतिरोध की आवश्यकता होती है, शेष घटक दोषरहित होते हैं। प्रमेय स्वतंत्र रूप से कॉयर और जियोवानी कोसी दोनों द्वारा खोजा गया था। परिणामी समस्या, केवल एक प्रारंभ करनेवाला के साथ आर और सी तत्वों का उपयोग करके पीआरएफ के संश्लेषण को खोजने के लिए, नेटवर्क सिद्धांत में एक अनसुलझी समस्या है। एक और अनसुलझी समस्या डार्लिंगटन के अनुमान (1955) का प्रमाण पा रही है कि किसी भी RC 2-पोर्ट को एक सामान्य टर्मिनल के साथ श्रृंखला-समानांतर नेटवर्क के रूप में महसूस किया जा सकता है। व्यावहारिक नेटवर्क में एक महत्वपूर्ण विचार घटकों की संख्या को कम करना है, विशेष रूप से घाव घटकों-प्रेरक और ट्रांसफार्मर। कम से कम करने के काफी प्रयासों के बावजूद, न्यूनीकरण का कोई सामान्य सिद्धांत कभी भी खोजा नहीं गया है जैसा कि बूलियन कार्यों के न्यूनीकरण के लिए है। कॉयर ने आदर्श फिल्टरों के सन्निकटन उत्पन्न करने के लिए अण्डाकार तर्कसंगत कार्यों का उपयोग किया। अण्डाकार तर्कसंगत कार्यों का एक विशेष मामला Pafnuty Chebyshev (1821-1894) के कारण चेबिशेव बहुपद है और सन्निकटन सिद्धांत का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है। चेबिशेव बहुपद व्यापक रूप से फिल्टर डिजाइन करने के लिए उपयोग किए जाते हैं। 1930 में, ब्रिटिश भौतिक विज्ञानी स्टीफन बटरवर्थ (1885-1958) ने बटरवर्थ बहुपदों का उपयोग करते हुए बटरवर्थ फिल्टर को डिजाइन किया, जिसे अन्यथा अधिकतम-फ्लैट फिल्टर के रूप में जाना जाता है। बटरवर्थ का काम कॉयर से पूरी तरह से स्वतंत्र था, लेकिन बाद में यह पाया गया कि बटरवर्थ बहुपद चेबीशेव बहुपदों का एक सीमित मामला था। पहले भी (1929) और फिर से स्वतंत्र रूप से, अमेरिकी इंजीनियर और वैज्ञानिक एडवर्ड लॉरी नॉर्टन (1898-1983) ने बटरवर्थ के विद्युत फिल्टर के पूरी तरह से अनुरूप प्रतिक्रिया के साथ एक अधिकतम-फ्लैट यांत्रिक फिल्टर  डिजाइन किया था।

2000 के दशक में, नेटवर्क संश्लेषण सिद्धांत को और विकसित करने में रुचि को बढ़ावा दिया गया जब सिद्धांत को बड़े यांत्रिक प्रणालियों पर लागू किया जाने लगा। घटकों के आकार और लागत के कारण बिजली की तुलना में यांत्रिक डोमेन में न्यूनीकरण की अनसुलझी समस्या बहुत अधिक महत्वपूर्ण है। 2017 में, कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय के शोधकर्ताओं ने खुद को तर्कसंगत कार्य # डिग्री पर विचार करने के लिए सीमित कर दिया, यह निर्धारित किया कि सभी श्रृंखला-समानांतर नेटवर्क और अधिकांश मनमाने नेटवर्क के लिए इस तरह के कार्यों के बॉटल-डफिन की प्राप्ति में प्रतिक्रियाओं की न्यूनतम संख्या थी (ह्यूजेस, 2017)। उन्होंने इस परिणाम को आश्चर्यजनक पाया क्योंकि इससे पता चलता है कि बॉटल-डफिन विधि इतनी गैर-न्यूनतम नहीं थी जितना कि पहले सोचा गया था। यह शोध आंशिक रूप से लाडेनहाइम कैटलॉग पर दोबारा गौर करने पर केंद्रित था। यह दो से अधिक प्रतिघातों और तीन प्रतिरोधों वाले सभी विशिष्ट RLC नेटवर्कों की गणना है। एडवर्ड लादेनहेम ने 1948 में फोस्टर के एक छात्र के रूप में इस काम को अंजाम दिया। कैटलॉग की प्रासंगिकता यह है कि इन सभी नेटवर्कों को द्विवर्गीय कार्यों द्वारा महसूस किया जाता है।

अनुप्रयोग
नेटवर्क संश्लेषण का एकल सबसे व्यापक रूप से इस्तेमाल किया जाने वाला अनुप्रयोग फ़िल्टर (सिग्नल प्रोसेसिंग)  के डिजाइन में है। ऐसे फिल्टर के आधुनिक डिजाइन लगभग हमेशा  नेटवर्क संश्लेषण फ़िल्टर  के कुछ रूप होते हैं। एक अन्य अनुप्रयोग प्रतिबाधा मिलान नेटवर्क का डिज़ाइन है। एक आवृत्ति पर प्रतिबाधा मिलान के लिए केवल एक तुच्छ नेटवर्क की आवश्यकता होती है - आमतौर पर एक घटक। एक विस्तृत बैंड पर प्रतिबाधा मिलान, हालांकि, एक अधिक जटिल नेटवर्क की आवश्यकता होती है, भले ही स्रोत और भार प्रतिरोध आवृत्ति के साथ भिन्न न हों। निष्क्रिय तत्वों के साथ और ट्रांसफॉर्मर के उपयोग के बिना ऐसा करने से फ़िल्टर जैसी डिज़ाइन होती है। इसके अलावा, यदि भार शुद्ध विद्युत प्रतिरोध नहीं है, तो केवल असतत आवृत्तियों की संख्या पर एक परिपूर्ण मिलान प्राप्त करना संभव है; पूरे बैंड के मैच का अनुमान लगाया जाना चाहिए। डिज़ाइनर पहले फ़्रीक्वेंसी बैंड निर्धारित करता है जिस पर मैचिंग नेटवर्क को संचालित करना है, और फिर उस बैंड के लिए एक बंदपास छननी डिज़ाइन करता है। एक मानक फिल्टर और एक मेल खाने वाले नेटवर्क के बीच एकमात्र आवश्यक अंतर यह है कि स्रोत और भार प्रतिबाधा समान नहीं हैं। फ़िल्टर और मेल खाने वाले नेटवर्क के बीच अंतर हैं जिनमें पैरामीटर महत्वपूर्ण हैं। जब तक कि नेटवर्क का दोहरा कार्य न हो, डिज़ाइनर पासबैंड के बाहर प्रतिबाधा मिलान नेटवर्क के व्यवहार पर बहुत अधिक चिंतित नहीं होता है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि संक्रमण बैंड बहुत संकीर्ण नहीं है, या बंद करो बैंड  में खराब क्षीणन है। वास्तव में, अत्यंत आवश्यक से परे बैंडविड्थ (सिग्नल प्रोसेसिंग) में सुधार करने का प्रयास प्रतिबाधा मैच की सटीकता से अलग हो जाएगा। नेटवर्क में दिए गए तत्वों की संख्या के साथ, डिज़ाइन बैंडविड्थ को कम करने से मिलान में सुधार होता है और इसके विपरीत। प्रतिबाधा मिलान नेटवर्क की सीमाओं की जांच पहली बार 1945 में अमेरिकी इंजीनियर और वैज्ञानिक हेनरी वेड बोडे द्वारा की गई थी, और यह सिद्धांत कि उन्हें आवश्यक रूप से फ़िल्टर जैसा होना चाहिए, 1950 में इतालवी-अमेरिकी कंप्यूटर वैज्ञानिक रॉबर्ट फानो द्वारा स्थापित किया गया था। पासबैंड में एक पैरामीटर जो आम तौर पर फ़िल्टर के लिए सेट किया जाता है वह अधिकतम सम्मिलन हानि है। प्रतिबाधा मिलान नेटवर्क के लिए, एक न्यूनतम नुकसान भी निर्धारित करके एक बेहतर मिलान प्राप्त किया जा सकता है। यानी लाभ कभी भी एकता तक नहीं पहुंचता है। समय-विलंब नेटवर्क को फ़िल्टर जैसी संरचनाओं के साथ नेटवर्क संश्लेषण द्वारा डिज़ाइन किया जा सकता है। एक विलंब नेटवर्क को डिज़ाइन करना संभव नहीं है जिसमें एक बैंड में सभी आवृत्तियों पर निरंतर विलंब हो। इस व्यवहार के सन्निकटन का उपयोग एक निर्धारित बैंडविड्थ तक सीमित होना चाहिए। निर्धारित विलंब अधिक से अधिक स्पॉट फ्रीक्वेंसी की सीमित संख्या में होगा। बेसल फिल्टर में अधिकतम-सपाट समय-विलंब होता है। नेटवर्क संश्लेषण का अनुप्रयोग विद्युत डोमेन तक ही सीमित नहीं है। इसे किसी भी ऊर्जा डोमेन में सिस्टम पर लागू किया जा सकता है जिसे रैखिक घटकों के नेटवर्क के रूप में दर्शाया जा सकता है। विशेष रूप से, नेटवर्क संश्लेषण ने यांत्रिक डोमेन में यांत्रिक नेटवर्क में अनुप्रयोग पाया है। यांत्रिक नेटवर्क संश्लेषण पर विचार करते हुए मैल्कम सी. स्मिथ ने एक नया यांत्रिक नेटवर्क तत्व, इनरटर (यांत्रिक नेटवर्क) प्रस्तावित किया, जो विद्युत संधारित्र के अनुरूप है। जड़ता गुण वाले यांत्रिक घटकों को फ़ॉर्मूला वन रेसिंग कारों के निलंबन में एक आवेदन मिला है।

संश्लेषण तकनीक
संश्लेषण एक सन्निकटन तकनीक को चुनकर शुरू होता है जो नेटवर्क के आवश्यक कार्य का अनुमान लगाते हुए एक तर्कसंगत कार्य प्रदान करता है। यदि फ़ंक्शन को निष्क्रिय घटकों के साथ कार्यान्वित किया जाना है, तो फ़ंक्शन को सकारात्मक-वास्तविक फ़ंक्शन (पीआरएफ) की शर्तों को भी पूरा करना होगा। उपयोग की जाने वाली संश्लेषण तकनीक इस बात पर निर्भर करती है कि किस प्रकार का नेटवर्क वांछित है, और आंशिक रूप से नेटवर्क में कितने प्रकार के तत्वों की आवश्यकता है। एक-तत्व-प्रकार का नेटवर्क एक तुच्छ मामला है, जो एकल तत्व की प्रतिबाधा को कम करता है। एक दो-तत्व-प्रकार का नेटवर्क (एलसी, आरसी, या आरएल) को फोस्टर या कॉयर संश्लेषण के साथ संश्लेषित किया जा सकता है। एक तीन-तत्व-प्रकार के नेटवर्क (एक RLC नेटवर्क) के लिए अधिक उन्नत उपचार की आवश्यकता होती है जैसे कि ब्रुने या बॉटल-डफिन संश्लेषण। कौन से और कितने प्रकार के तत्वों की आवश्यकता है, यह फ़ंक्शन के ध्रुवों और शून्यों (सामूहिक रूप से महत्वपूर्ण आवृत्तियों कहा जाता है) की जांच करके निर्धारित किया जा सकता है। प्रत्येक प्रकार के नेटवर्क के लिए महत्वपूर्ण आवृत्तियों की आवश्यकता नीचे संबंधित अनुभागों में दी गई है।

फोस्टर संश्लेषण
फोस्टर का संश्लेषण, अपने मूल रूप में, केवल एलसी नेटवर्क पर ही लागू किया जा सकता है। एक पीआरएफ एक दो-तत्व-प्रकार के एलसी नेटवर्क का प्रतिनिधित्व करता है यदि महत्वपूर्ण आवृत्तियों $$Z(s)$$ सभी पर मौजूद हैं $$i \omega$$ के जटिल तल की धुरी $$s = \sigma + i \omega$$ (एस-प्लेन | एस-प्लेन) और ध्रुवों और शून्यों के बीच वैकल्पिक होगा। मूल और अनंत पर एक ही महत्वपूर्ण आवृत्ति होनी चाहिए, बाकी सभी संयुग्म जोड़े में होने चाहिए। $$Z(s)$$ एक सम और विषम बहुपद का अनुपात होना चाहिए और उनकी घातों में ठीक एक का अंतर होना चाहिए। ये आवश्यकताएं फोस्टर की प्रतिक्रिया प्रमेय का परिणाम हैं।

मैं पालक हूँ
फोस्टर का पहला रूप (फोस्टर I फॉर्म) संश्लेषण करता है $$Z(s)$$ श्रृंखला में समांतर एलसी सर्किट के सेट के रूप में। उदाहरण के लिए,


 * $$Z(s) = \frac {9s^5 + 30s^3 + 24s}{18s^4 + 36s^2 + 8} $$

आंशिक अंशों में विस्तारित किया जा सकता है,


 * $$Z(s) = {s \over 2} + \frac {(25 + 11 \sqrt 5)s}{5(9 + 3 \sqrt 5)s^2 +20} + \frac {(25 - 11 \sqrt 5)s}{5(9 - 3 \sqrt 5)s^2 +20} \approx {s \over 2} + \frac {2.48s}{3.93s^2 +1} + \frac {0.020s}{0.573s^2 + 1}$$

पहला शब्द एक श्रृंखला प्रारंभ करनेवाला का प्रतिनिधित्व करता है, जिसका परिणाम है $$Z(s)$$ अनंत पर एक ध्रुव होना। यदि इसके मूल में एक पोल होता, तो यह एक श्रृंखला संधारित्र का प्रतिनिधित्व करता। शेष दो पद प्रत्येक पर ध्रुवों के संयुग्मी युग्मों का प्रतिनिधित्व करते हैं $$i \omega$$ एक्सिस। इनमें से प्रत्येक शब्द को ऐसे सर्किट के लिए प्रतिबाधा अभिव्यक्ति के साथ तुलना करके समांतर एलसी सर्किट के रूप में संश्लेषित किया जा सकता है,
 * $$Z_{LC}(s) = \frac {Ls}{LCs^2 + 1} $$

परिणामी सर्किट को चित्र में दिखाया गया है।

फोस्टर II फॉर्म
फोस्टर II संश्लेषण करता है $$Z(s)$$ समानांतर में श्रृंखला एलसी सर्किट के सेट के रूप में। फोस्टर I फॉर्म के लिए आंशिक अंशों में विस्तार की एक ही विधि का उपयोग किया जाता है, लेकिन प्रवेश पर लागू होता है, $$Y(s)$$, के बजाय $$Z(s)$$. पहले के समान PRF उदाहरण का उपयोग करते हुए,


 * $$Y(s) = {1 \over Z(s)} = \frac {18s^4 + 36s^2 + 8}{9s^5 + 30s^3 + 24s} $$

आंशिक अंशों में विस्तारित,


 * $$Y(s) \simeq {1 \over 3s} + \frac {2.498s}{0.6346s^2 +1} + \frac {1.415s}{0.4719s^2 + 1}$$

पहला शब्द एक शंट प्रारंभ करनेवाला का प्रतिनिधित्व करता है, जिसका परिणाम है $$Y(s)$$ मूल में एक ध्रुव होना (या, समतुल्य, $$Z(s)$$ मूल में शून्य है)। यदि इसमें अनंत पर एक ध्रुव होता, तो यह शंट कैपेसिटर का प्रतिनिधित्व करता। शेष दो पद प्रत्येक पर ध्रुवों के संयुग्मी युग्मों का प्रतिनिधित्व करते हैं $$i \omega$$ एक्सिस। इन शर्तों में से प्रत्येक को ऐसे सर्किट के लिए प्रवेश अभिव्यक्ति के साथ तुलना करके श्रृंखला एलसी सर्किट के रूप में संश्लेषित किया जा सकता है,
 * $$Y_{LC}(s) = \frac {Cs}{LCs^2 + 1} $$

परिणामी सर्किट को चित्र में दिखाया गया है।

आरसी या आरएल नेटवर्क का विस्तार
फोस्टर संश्लेषण को किसी भी दो-तत्व-प्रकार के नेटवर्क तक बढ़ाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, फोस्टर I फॉर्म में आरसी नेटवर्क के आंशिक अंश शब्द समानांतर में एक आर और सी तत्व का प्रतिनिधित्व करेंगे। इस स्थिति में, आंशिक भिन्न का रूप होगा,
 * $$Z_{RC}(s) = \frac {R}{RCs + 1} $$

अन्य रूप और तत्व प्रकार सादृश्य द्वारा अनुसरण करते हैं। एलसी नेटवर्क की तरह, महत्वपूर्ण आवृत्तियों की जांच करके पीआरएफ का परीक्षण यह देखने के लिए किया जा सकता है कि यह आरसी या आरएल नेटवर्क है या नहीं। क्रांतिक आवृत्तियों को सभी नकारात्मक वास्तविक अक्ष पर होना चाहिए और ध्रुवों और शून्यों के बीच वैकल्पिक होना चाहिए, और प्रत्येक की समान संख्या होनी चाहिए। यदि महत्वपूर्ण आवृत्ति निकटतम, या मूल पर, एक ध्रुव है, तो पीआरएफ एक आरसी नेटवर्क है यदि यह एक का प्रतिनिधित्व करता है $$Z(s)$$, या यह एक आरएल नेटवर्क है अगर यह एक का प्रतिनिधित्व करता है $$Y(s)$$. इसके विपरीत यदि महत्वपूर्ण आवृत्ति निकटतम, या मूल पर शून्य है। सिद्धांत के ये विस्तार नीचे वर्णित कॉयर रूपों पर भी लागू होते हैं।

Immittance
उपरोक्त फोस्टर संश्लेषण में, फोस्टर I फॉर्म और फोस्टर II फॉर्म दोनों में फ़ंक्शन का विस्तार एक ही प्रक्रिया है। यह सुविधाजनक है, विशेष रूप से सैद्धांतिक कार्यों में, उन्हें अलग-अलग प्रतिबाधा या प्रवेश के बजाय एक साथ एक इमिटेंस के रूप में व्यवहार करने के लिए। केवल यह घोषित करना आवश्यक है कि क्या फ़ंक्शन उस बिंदु पर एक प्रतिबाधा या प्रवेश का प्रतिनिधित्व करता है जिसे एक वास्तविक सर्किट को साकार करने की आवश्यकता है। इमिटेंस का उपयोग कॉयर I और कॉयर II फॉर्म और अन्य प्रक्रियाओं के साथ भी किया जा सकता है।

कायर संश्लेषण
कॉयर सिंथेसिस फोस्टर सिंथेसिस का एक वैकल्पिक सिंथेसिस है और पीआरएफ को मिलने वाली शर्तें बिल्कुल फोस्टर सिंथेसिस जैसी ही होती हैं। फोस्टर सिंथेसिस की तरह, कॉयर सिंथेसिस के दो रूप हैं, और दोनों को आरसी और आरएल नेटवर्क तक बढ़ाया जा सकता है।

कॉयर आई फॉर्म
कॉयर I फॉर्म का विस्तार होता है $$Z(s)$$ एक निरंतर अंश में। फोस्टर I फॉर्म के लिए उपयोग किए गए समान उदाहरण का उपयोग करना,


 * $$Z(s) = 0.5s + \cfrac{1}{1.5s+\cfrac{1}{2s+\cfrac{1}{1.5s+\cfrac{1}{0.5s}}}}$$

या, अधिक कॉम्पैक्ट नोटेशन में,


 * $$Z(s) = [0.5s;1.5s,2s,1.5s,0.5s].$$

इस विस्तार की शर्तों को सीधे सीढ़ी नेटवर्क के घटक मूल्यों के रूप में लागू किया जा सकता है जैसा कि आंकड़े में दिखाया गया है। दिए गए PRF में एक भाजक हो सकता है जिसकी डिग्री अंश से अधिक हो। ऐसे मामलों में, इसके बजाय फलन का गुणक व्युत्क्रम विस्तारित होता है। यही है, अगर समारोह का प्रतिनिधित्व करता है $$Z(s)$$, तब $$Y(s)$$ इसके बजाय विस्तारित किया जाता है और इसके विपरीत।

कॉयर II फॉर्म
कायर II फॉर्म का विस्तार होता है $$Z(s)$$ ठीक उसी तरह से जैसे काउर I बनता है सिवाय इसके कि सबसे कम डिग्री वाले शब्द को पहले निरंतर भिन्न विस्तार में निकाला जाता है न कि उच्चतम डिग्री वाले शब्द के रूप में जैसा कि कायर I फॉर्म में किया जाता है। काउर I फॉर्म और फोस्टर फॉर्म के लिए इस्तेमाल किया गया उदाहरण जब कॉयर II फॉर्म के रूप में विस्तारित किया जाता है, तो कुछ तत्वों में नकारात्मक मूल्य होते हैं। इसलिए, यह विशेष पीआरएफ ट्रांसफॉर्मर या पारस्परिक अधिष्ठापन को शामिल किए बिना निष्क्रिय घटकों में कॉयर II फॉर्म के रूप में महसूस नहीं किया जा सकता है। आवश्यक कारण है कि उदाहरण $$Z(s)$$ कॉयर II फॉर्म के रूप में महसूस नहीं किया जा सकता है कि इस फॉर्म में उच्च पास फिल्टर  है। हाई-पास टोपोलॉजी। निरंतर अंश में निकाला गया पहला तत्व एक श्रृंखला संधारित्र है। यह शून्य के लिए असंभव बना देता है $$Z(s)$$ मूल रूप से महसूस किया जाना है। दूसरी ओर, कॉयर I फॉर्म में एक लो-पास फिल्टर है | लो-पास टोपोलॉजी है और स्वाभाविक रूप से मूल में एक शून्य है। हालांकि $$Y(s)$$ इस समारोह के एक कायर द्वितीय रूप के रूप में महसूस किया जा सकता है क्योंकि निकाला गया पहला तत्व एक शंट प्रारंभ करनेवाला है। यह मूल के लिए एक ध्रुव देता है $$Y(s)$$, लेकिन वह मूल में आवश्यक शून्य के लिए अनुवाद करता है $$Z(s)$$. निरंतर अंश विस्तार है,


 * $$Y(s) \simeq \left [ {1 \over 3s}; {1 \over 1.083s}, {1 \over 0.2175s} , {1 \over 1.735s} \right ]$$

और वास्तविक नेटवर्क को चित्र में दिखाया गया है।

ब्रून संश्लेषण
ब्रुने सिंथेसिस किसी भी मनमानी पीआरएफ को संश्लेषित कर सकता है, इसलिए सामान्य रूप से 3-तत्व-प्रकार (यानी आरएलसी) नेटवर्क का परिणाम होगा। ध्रुव और शून्य जटिल तल के बायें हाथ के आधे भाग में कहीं भी स्थित हो सकते हैं। फोस्टर विधि के रूप में काल्पनिक धुरी पर महत्वपूर्ण आवृत्तियों को खत्म करने के लिए ब्रून विधि कुछ प्रारंभिक चरणों से शुरू होती है। इन प्रारंभिक चरणों को कभी-कभी फोस्टर प्रस्तावना कहा जाता है। इसके बाद ब्रुने वर्गों के कैस्केड कनेक्शन का निर्माण करने के लिए चरणों का एक चक्र होता है।

काल्पनिक अक्ष पर महत्वपूर्ण आवृत्तियों को हटाना
डंडे और शून्य पर $$j \omega$$ अक्ष एल और सी तत्वों का प्रतिनिधित्व करता है जिन्हें पीआरएफ से निकाला जा सकता है। विशेष रूप से, इन निष्कर्षणों के बाद, शेष PRF की काल्पनिक अक्ष पर कोई महत्वपूर्ण आवृत्ति नहीं होती है और इसे न्यूनतम विद्युत प्रतिघात, न्यूनतम संवेदन फलन के रूप में जाना जाता है। इस तरह के एक समारोह के साथ ब्रुने संश्लेषण उचित शुरू होता है।
 * मूल पर एक पोल एक श्रृंखला संधारित्र का प्रतिनिधित्व करता है
 * अनंत पर एक पोल एक श्रृंखला अधिष्ठापन का प्रतिनिधित्व करता है
 * मूल बिंदु पर एक शून्य एक शंट प्रारंभ करनेवाला का प्रतिनिधित्व करता है
 * अनंत पर एक शून्य शंट कैपेसिटर का प्रतिनिधित्व करता है
 * एक जोड़ी डंडे पर $$s= \pm i \omega_c$$ गुंजयमान आवृत्ति के समानांतर एलसी सर्किट का प्रतिनिधित्व करता है $$\omega_c$$ शृंखला में
 * शून्य की एक जोड़ी पर $$s= \pm i \omega_c$$ गुंजयमान आवृत्ति के एक श्रृंखला एलसी सर्किट का प्रतिनिधित्व करता है $$\omega_c$$ शंट में

विधि की व्यापक रूपरेखा
ब्रून विधि का सार शून्य पर संयुग्मित जोड़ी बनाना है $$i \omega$$ उस आवृत्ति पर फ़ंक्शन के वास्तविक और काल्पनिक भागों को निकालकर अक्ष, और फिर शून्य की जोड़ी को एक गुंजयमान सर्किट के रूप में निकालें। यह संश्लेषित नेटवर्क का पहला ब्रुने खंड है। परिणामी शेष एक अन्य न्यूनतम प्रतिघात फलन है जो दो डिग्री कम है। चक्र तब दोहराया जाता है, प्रत्येक चक्र अंतिम नेटवर्क के एक और ब्रून खंड का उत्पादन करता है जब तक कि केवल एक स्थिर मूल्य (एक प्रतिरोध) बना रहता है। ब्रून संश्लेषण विहित है, अर्थात्, अंतिम संश्लेषित नेटवर्क में तत्वों की संख्या प्रतिबाधा समारोह में मनमाना गुणांक की संख्या के बराबर है। इसलिए संश्लेषित सर्किट में तत्वों की संख्या को और कम नहीं किया जा सकता है।

न्यूनतम प्रतिरोध को हटाना
एक न्यूनतम प्रतिघात फलन का एक न्यूनतम वास्तविक भाग होगा, $$R_ \text {min}$$, कुछ आवृत्ति पर $$\omega_0$$. इस प्रतिरोध को एक अन्य पीआरएफ के शेष को छोड़कर फ़ंक्शन से निकाला जा सकता है जिसे न्यूनतम सकारात्मक-वास्तविक फ़ंक्शन कहा जाता है, या केवल न्यूनतम फ़ंक्शन। उदाहरण के लिए, न्यूनतम प्रतिक्रिया समारोह


 * $$Z(s) = \frac {3s^2 + 3s + 6}{2s^2 + s + 2} $$

है $$\omega_ \text {min} = \sqrt 2$$ और $$R_ \text {min} = 1$$. न्यूनतम समारोह, $$Z_1(s)$$, इसलिए,


 * $$Z_1(s) = Z(s) - R_ \text {min} = \frac {s^2 + 2s + 4}{2s^2 + s + 2}$$

एक नकारात्मक अधिष्ठापन या समाई को हटाना
तब से $$Z_1(i \omega_0)$$ कोई वास्तविक हिस्सा नहीं है, हम लिख सकते हैं,


 * $$Z_1(i \omega_0) = iX \ .$$

उदाहरण समारोह के लिए,


 * $$Z_1(i \omega_0) = -i \sqrt 2 = iX \ .$$

इस मामले में, $$X$$ ऋणात्मक है, और हम इसकी व्याख्या एक ऋणात्मक-मूल्यवान प्रेरक की प्रतिक्रिया के रूप में करते हैं, $$L_1$$. इस प्रकार,


 * $$iX = i \omega_0 L_1$$ और


 * $$L_1 = -1 $$

के मूल्यों में प्रतिस्थापित करने के बाद $$\omega_0$$ और $$iX$$. यह अधिष्ठापन तब से निकाला जाता है $$Z_1(s)$$, एक और PRF छोड़कर, $$Z_2(s)$$,


 * $$Z_2(s) = Z_1(s) - sL_1 = \frac {2s^3 + 2s^2 + 4s +4}{2s^2 + s +2} \ .$$

ऋणात्मक मान निकालने का कारण है क्योंकि $$- sL_1$$ एक पीआरएफ है, जो अगर नहीं होता $$L_1$$ सकारात्मक थे। यह इसकी गारंटी देता है $$Z_2(s)$$ भी PRF होगा (क्योंकि दो PRF का जोड़ भी PRF होता है)। मामलों के लिए जहां $$X$$ एक सकारात्मक मूल्य है, इसके बजाय प्रवेश समारोह का उपयोग किया जाता है और एक नकारात्मक समाई निकाली जाती है। इन नकारात्मक मूल्यों को कैसे लागू किया जाता है, इसे बाद के खंड में समझाया गया है।

शून्य के संयुग्मित जोड़े को हटाना
के वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग $$Z(i \omega_0)$$ पिछले चरणों में हटा दिया गया है। यह शून्य की एक जोड़ी को अंदर छोड़ देता है $$Z_2(s)$$ पर $$\pm i \omega_0$$ जैसा कि उदाहरण फ़ंक्शन का गुणनखंड करके दिखाया गया है;
 * $$Z_2(s) = \frac {2s^3 + 2s^2 + 4s +4}{2s^2 + s +2} = \frac {(s^2 + 2)(2s + 2)}{2s^2 + s + 2} \ .$$

चूंकि शून्य की ऐसी जोड़ी एक शंट गुंजयमान सर्किट का प्रतिनिधित्व करती है, हम इसे प्रवेश समारोह से ध्रुवों की एक जोड़ी के रूप में निकालते हैं,


 * $$ \begin{align}

Y_2(s) & = {1 \over Z_2(s)} = \frac {2s^2 + s + 2}{(s^2 + 2)(2s + 2)} \\ & = {1 \over {2s +2}} + \frac {s/2}{s^2 + 2} \\ & = Y_3(s) + \frac {s/2}{s^2 + 2} \\ \end{align} $$ सबसे दाहिना शब्द एक्सट्रैक्टेड रेजोनेंट सर्किट है $$L_2 = 2$$ और $$C_2 = 1/4$$. अब तक संश्लेषित नेटवर्क को चित्र में दिखाया गया है।

अनंत पर एक ध्रुव को हटाना
$$Z_3 (s)$$ अनंत पर एक ध्रुव होना चाहिए, क्योंकि वहां एक नकारात्मक अधिष्ठापन के निष्कर्षण द्वारा बनाया गया था। इस ध्रुव को अब धनात्मक प्रेरकत्व के रूप में निकाला जा सकता है।
 * $$Z_3 (s) = {1 \over Y_3 (s)} = 2s + 2 = Z_4 (s) + 2s.$$

इस प्रकार $$L_3 = 2$$ जैसा चित्र में दिखाया गया है।

एक ट्रांसफार्मर के साथ नकारात्मक अधिष्ठापन की जगह
नकारात्मक अधिष्ठापन सीधे निष्क्रिय घटकों के साथ लागू नहीं किया जा सकता है। हालांकि, इंडक्टर्स का टी इंडक्शन # टी-सर्किट हो सकता है जो नकारात्मक इंडक्शन को अवशोषित करता है। एक अधिष्ठापन के साथ # एकता के युग्मन गुणांक (कसकर युग्मित) पारस्परिक अधिष्ठापन, $$M$$, उदाहरण के मामले में 2.0 है।

कुल्ला और दोहराएँ
सामान्य रूप में, $$Z_4(s)$$ एक अन्य न्यूनतम प्रतिघात फलन होगा और ब्रून चक्र को फिर एक और ब्रून खंड निकालने के लिए दोहराया जाता है उदाहरण के मामले में, मूल PRF डिग्री 2 का था, इसलिए इसे दो डिग्री कम करने के बाद, केवल एक स्थिर शब्द रह जाता है, जो तुच्छ रूप से, एक प्रतिरोध के रूप में संश्लेषित होता है।

सकारात्मक एक्स
चक्र के चरण दो में यह उल्लेख किया गया था कि एक पीआरएफ शेष की गारंटी के लिए एक नकारात्मक तत्व मान निकाला जाना चाहिए। अगर $$X$$ धनात्मक है, यदि तत्व ऋणात्मक होना है, तो निकाला गया तत्व श्रृंखला प्रारंभ करनेवाला के बजाय एक शंट कैपेसिटर होना चाहिए। यह प्रवेश से निकाला जाता है $$Y_1(s)$$ प्रतिबाधा के बजाय $$Z_1(s)$$. चक्र के चरण चार में सर्किट टोपोलॉजी एक टोपोलॉजी (इलेक्ट्रिकल सर्किट) है #Simple फ़िल्टर टोपोलॉजी | कैपेसिटर के Π (पीआई) प्लस इंडक्टर्स के एक टी के बजाय एक कैपेसिटर। यह दिखाया जा सकता है कि कैपेसिटर प्लस इंडक्टर का यह Π इंडक्टर्स प्लस कैपेसिटर के टी के बराबर सर्किट है। इस प्रकार, यह एक सकारात्मक अधिष्ठापन निकालने और फिर आगे बढ़ने की अनुमति है $$Z_2(s)$$ पीआरएफ थे, हालांकि यह नहीं है। सही परिणाम अभी भी आ जाएगा और शेष कार्य PRF होगा ताकि अगले चक्र में फीड किया जा सके।

बॉटल-डफिन संश्लेषण
बॉटल-डफिन संश्लेषण ब्रुने संश्लेषण के साथ सभी ध्रुवों और शून्यों को हटाकर शुरू होता है $$i \omega$$ एक्सिस। फिर रिचर्ड्स प्रमेय का उपयोग किया जाता है, जिसके लिए कहा गया है,


 * $$R(s) = \frac {kZ(s)-sZ(k)}{kZ(k)-sZ(s)} $$

अगर $$Z(s)$$ एक पीआरएफ है तो $$R(s)$$ के सभी वास्तविक, सकारात्मक मानों के लिए एक PRF है $$k$$. निर्माण $$Z(s)$$ अभिव्यक्ति का विषय परिणाम में है,
 * $$Z(s) = \left ( \frac {R(s)}{Z(k)} + \frac {k}{sZ(k)} \right )^{-1} + \left ( \frac {1}{Z(k)R(s)} + \frac {s}{kZ(k)} \right )^{-1}$$

बॉटल-डफिन संश्लेषण के एक चक्र का उदाहरण चित्रों में दिखाया गया है। इस व्यंजक में चार पद क्रमशः एक PRF ($$Z_2 (s)$$ आरेख में), एक अधिष्ठापन, $$L$$, इसके समानांतर में, एक और PRF ($$Z_1 (s)$$ आरेख में), और एक समाई, $$C$$, इसके समानांतर। पर महत्वपूर्ण आवृत्तियों की एक जोड़ी $$i \omega$$ इसके बाद प्रत्येक दो नए पीआरएफ (विवरण यहां नहीं दिए गए हैं) में से प्रत्येक को एक गुंजयमान परिपथ के रूप में महसूस किया जाता है। दो अवशिष्ट पीआरएफ ($$Y_3 (s)$$ और $$Z_4 (s)$$ आरेख में) प्रत्येक से दो डिग्री कम हैं $$Z(s)$$. उसी प्रक्रिया को फिर से उत्पन्न नए पीआरएफ पर बार-बार लागू किया जाता है जब तक कि केवल एक ही तत्व शेष न हो। चूंकि प्रत्येक चक्र के साथ पीआरएफ उत्पन्न होने की संख्या दोगुनी हो जाती है, इसलिए संश्लेषित तत्वों की संख्या तेजी से बढ़ेगी। हालांकि बॉटल-डफिन विधि ट्रांसफॉर्मर के उपयोग से बचती है और इसे निष्क्रिय नेटवर्क के रूप में साकार करने में सक्षम किसी भी अभिव्यक्ति पर लागू किया जा सकता है, आवश्यक उच्च घटक गणना के कारण इसका सीमित व्यावहारिक उपयोग है।

बायर्ड संश्लेषण
बायर्ड संश्लेषण LU अपघटन पर आधारित एक राज्य-अंतरिक्ष संश्लेषण विधि है। यह विधि प्रतिरोधों की न्यूनतम संख्या का उपयोग करके एक संश्लेषण लौटाती है और इसमें कोई जाइरेटर नहीं होता है। हालांकि, विधि गैर-कैनोनिकल है और सामान्य तौर पर, रिएक्शन तत्वों की एक गैर-न्यूनतम संख्या लौटाती है।

डार्लिंगटन संश्लेषण
डार्लिंगटन संश्लेषण अब तक चर्चा की गई तकनीकों के एक अलग दृष्टिकोण से शुरू होता है, जो सभी एक निर्धारित तर्कसंगत कार्य से शुरू होते हैं और इसे एक-पोर्ट प्रतिबाधा के रूप में महसूस करते हैं। डार्लिंगटन संश्लेषण एक निर्धारित तर्कसंगत कार्य से शुरू होता है जो दो-पोर्ट नेटवर्क का वांछित स्थानांतरण कार्य है। डार्लिंगटन ने दिखाया कि किसी भी पीआरएफ को दो-पोर्ट नेटवर्क के रूप में केवल एल और सी तत्वों का उपयोग करके आउटपुट पोर्ट को समाप्त करने वाले एकल प्रतिरोधी के रूप में महसूस किया जा सकता है। डार्लिंगटन और संबंधित विधियों को सम्मिलन हानि विधि कहा जाता है। विधि को मल्टी-पोर्ट नेटवर्क तक बढ़ाया जा सकता है, जिसमें प्रत्येक पोर्ट को एक प्रतिरोधक के साथ समाप्त किया जाता है। डार्लिंगटन विधि, सामान्य तौर पर, ट्रांसफार्मर या युग्मित प्रेरकों की आवश्यकता होगी। हालांकि, इन अवांछनीय सुविधाओं के बिना डार्लिंगटन विधि द्वारा अधिकांश सामान्य फ़िल्टर प्रकारों का निर्माण किया जा सकता है।

सक्रिय और डिजिटल प्राप्तियां
यदि केवल निष्क्रिय तत्वों के उपयोग की आवश्यकता को हटा दिया जाए, तो बोध को बहुत सरल किया जा सकता है। एम्पलीफायरों का उपयोग बफर एम्पलीफायर नेटवर्क के हिस्सों को एक दूसरे से बफर करने के लिए किया जा सकता है ताकि वे बातचीत न करें। प्रत्येक बफ़र्ड सेल तर्कसंगत फ़ंक्शन के ध्रुवों की एक जोड़ी को सीधे महसूस कर सकता है। तब फ़ंक्शन के किसी भी प्रकार के पुनरावृत्त विस्तार की आवश्यकता नहीं होती है। इस तरह के संश्लेषण का पहला उदाहरण 1930 में स्टीफन बटरवर्थ के कारण है। उनके द्वारा उत्पादित बटरवर्थ फ़िल्टर फ़िल्टर डिज़ाइन का एक क्लासिक बन गया, लेकिन सक्रिय घटकों के बजाय विशुद्ध रूप से निष्क्रिय के साथ अधिक बार लागू किया गया। इस तरह के अधिक आम तौर पर लागू होने वाले डिजाइनों में एमआईटी लिंकन प्रयोगशाला में 1955 में आर. पी. सैलेन और ई. एल. की के कारण सैलेन-की टोपोलॉजी और द्विवर्गीय फिल्टर शामिल हैं। डार्लिंगटन दृष्टिकोण की तरह, बटरवर्थ और सैलेन-की एक प्रतिबाधा के बजाय एक निर्धारित स्थानांतरण समारोह से शुरू होती है। सक्रिय कार्यान्वयन का एक प्रमुख व्यावहारिक लाभ यह है कि यह घाव घटकों (ट्रांसफार्मर और इंडिकेटर्स) के उपयोग से पूरी तरह से बच सकता है। ये निर्माण कारणों से अवांछनीय हैं। सक्रिय डिजाइनों की एक अन्य विशेषता यह है कि वे पीआरएफ तक सीमित नहीं हैं। डिजिटल प्राप्ति, जैसे सक्रिय सर्किट, पीआरएफ तक सीमित नहीं हैं और किसी भी तर्कसंगत कार्य को केवल प्रोग्रामिंग करके कार्यान्वित कर सकते हैं। हालांकि, फ़ंक्शन स्थिर नहीं हो सकता है। यही है, यह इलेक्ट्रॉनिक ऑसिलेटर का कारण बन सकता है। PRF के स्थिर होने की गारंटी है, लेकिन अन्य कार्य नहीं हो सकते हैं। एक परिमेय फलन की स्थिरता का निर्धारण फलन के ध्रुवों और शून्यों की जांच करके और Nyquist स्थिरता कसौटी को लागू करके किया जा सकता है।

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