रेगुलस (ज्यामिति)

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, एक रेगुलस आर तिरछी रेखाओं का एक सेट है, जिनमें से प्रत्येक बिंदु एक अनुप्रस्थ (कॉम्बिनेटरिक्स) पर है जो आर के एक तत्व को केवल एक बार काटता है, और ऐसा है कि प्रत्येक बिंदु पर एक तिर्यक रेखा R की रेखा पर स्थित है

आर के आड़े-तिरछे सेट का सेट एक विपरीत रेगुलस एस बनाता है। ℝ में3 संघ R ∪ S एक शीट के अतिपरवलयज की शासित सतह है।

तीन तिरछी रेखाएँ एक नियमन निर्धारित करती हैं:
 * तीन तिरछी रेखाओं से मिलने वाली रेखाओं के स्थान को रेगुलस कहा जाता है। तिरछी रेखाएँ#गैलुसी की प्रमेय|गैलुची की प्रमेय दर्शाती है कि रेखाएँ रेगुलस के जनरेटरों (मूल तीन पंक्तियों सहित) से मिलती हैं, एक अन्य संबद्ध रेगुलस बनाती हैं, जैसे कि किसी भी रेगुलस का प्रत्येक जनरेटर दूसरे के प्रत्येक जनरेटर से मिलता है। दो रेगुली एक शासित चतुर्भुज के जनरेटर की दो प्रणालियाँ हैं।

शार्लेट स्कॉट के अनुसार, रेगुलस एक शंकु के गुणों के अत्यंत सरल प्रमाण प्रदान करता है...चासल्स के प्रमेय, ब्रायनचोन के प्रमेय और पास्कल के प्रमेय... एक परिमित ज्यामिति PG(3, q) में, एक रेगुलस में q + 1 रेखाएँ होती हैं। उदाहरण के लिए, 1954 में विलियम एज (गणितज्ञ) ने पीजी (3,3) में प्रत्येक चार पंक्तियों के रेगुली की एक जोड़ी का वर्णन किया। रॉबर्ट जे.टी. बेल ने वर्णन किया कि कैसे एक चलती हुई सीधी रेखा द्वारा रेगुलस उत्पन्न किया जाता है। सबसे पहले, हाइपरबोलाइड $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} \ = \ 1$$ के रूप में गिना जाता है
 * $$\left(\frac{x}{a} + \frac{z}{c}\right) \left(\frac{x}{a} - \frac{z}{c}\right) \ =\ \left(1 + \frac{y}{b}\right) \left(1 - \frac{y}{b}\right) .$$ फिर लाइनों की दो प्रणालियाँ, λ और μ द्वारा पैरामीट्रिज्ड इस समीकरण को संतुष्ट करती हैं:
 * $$\frac{x}{a} + \frac{z}{c} \ =\ \lambda \left(1 + \frac{y}{b}\right), \quad \frac{x}{a} - \frac{z}{c} \ =\ \frac{1}{\lambda} \left(1 - \frac{y}{b}\right) $$ और
 * $$\frac{x}{a} - \frac{z}{c} \ =\ \mu \left(1 + \frac{y}{b}\right), \quad \frac{x}{a} + \frac{z}{c} \ =\ \frac{1}{\mu} \left(1 - \frac{y}{b}\right) .$$

पंक्तियों के पहले सेट का कोई सदस्य दूसरे का सदस्य नहीं है। जैसा कि λ या μ भिन्न होता है, हाइपरबोलॉइड उत्पन्न होता है। दो सेट एक रेगुलस और उसके विपरीत का प्रतिनिधित्व करते हैं। विश्लेषणात्मक ज्यामिति का उपयोग करते हुए, बेल साबित करता है कि एक सेट में कोई दो जनरेटर एक दूसरे को नहीं काटते हैं, और यह कि विपरीत रेगुली में कोई भी दो जनरेटर एक दूसरे को काटते हैं और उस बिंदु पर हाइपरबोलॉइड के लिए समतल स्पर्शरेखा बनाते हैं। (पृष्ठ 155)।

संदर्भ

 * H. G. Forder (1950) Geometry, page 118, Hutchinson's University Library.