अर्धसंक्रमणीय संबंध

अर्धसंक्रमणीय की गणितीय धारणा संक्रमणीय संबंध का शक्तिहीन संस्करण है जिसका उपयोग सामाजिक विकल्प सिद्धांत और सूक्ष्मअर्थशास्त्र में किया जाता है। अनौपचारिक रूप से, संबंध अर्धसंक्रमणीय होता है यदि यह कुछ मानों के लिए सममित संबंध हो और अन्यत्र सकर्मक हो। एरो प्रमेय के परिणामों का अध्ययन करने के लिए इस अवधारणा को (1969) द्वारा प्रस्तुत किया गया था।

औपचारिक परिभाषा
समुच्चय (गणित)


 * $$(a\operatorname{T}b) \wedge \neg(b\operatorname{T}a) \wedge (b\operatorname{T}c) \wedge \neg(c\operatorname{T}b) \Rightarrow (a\operatorname{T}c) \wedge \neg(c\operatorname{T}a).$$

यदि संबंध भी प्रतिसममितीय संबंध है, तो T सकर्मक है।

वैकल्पिक रूप से, किसी संबंध T के लिए, असममित संबंध या जटिल भाग P को परिभाषित करें:
 * $$(a\operatorname{P}b) \Leftrightarrow (a\operatorname{T}b) \wedge \neg(b\operatorname{T}a).$$

तब T अर्धसंक्रमणीय है यदि केवल P सकर्मक है।

उदाहरण
कुछ आर्थिक संदर्भों में प्राथमिकताओं को अर्धसंक्रमणीय (संक्रमणीय के अतिरिक्त) माना जाता है। क्लासिक उदाहरण एक व्यक्ति है जो 7 और 8 ग्राम चीनी के मध्य उदासीन है 8 और 9 ग्राम चीनी के मध्य उदासीन है, किंतु जो 7 की तुलना में 9 ग्राम चीनी में रूचि रखता है। इसी प्रकार, सोराइट्स विरोधाभास को अर्धसंक्रमणीय के कुछ संबंधों की अनुमानित परिवर्तनशीलता को शक्तिहीन करके समाधान किया जा सकता है।

गुण

 * संबंध R अर्धसंक्रमणीय है यदि, केवल यह सममित संबंध J और संक्रमणीय संबंध P का असंयुक्त संघ है। J और P किसी दिए गए R द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं होते हैं; चूँकि, केवल-यदि भाग से P न्यूनतम है।
 * परिणामस्वरूप, प्रत्येक सममित संबंध अर्धसंक्रमणीय है, और इसी प्रकार प्रत्येक सकर्मक संबंध भी है। इसके अतिरिक्त, एंटीसिमेट्रिक और अर्धसंक्रमणीय संबंध सदैव सकर्मक होता है।
 * उपरोक्त चीनी उदाहरण से संबंध, {(7,7), (7,8), (7,9), (8,7), (8,8), (8,9), (9,8 ), (9,9)}, अर्धसंक्रमणीय है, किंतु सकर्मक नहीं है।
 * अर्धसंक्रमणीय संबंध को चक्रीय संबंध होने की आवश्यकता नहीं है: प्रत्येक अरिक्त सेट A के लिए, सार्वभौमिक संबंध A×A चक्रीय और अर्धसंक्रमणीय दोनों है।
 * कोई संबंध अर्धसंक्रमणीय है यदि केवल जब पूरक संबंध है।
 * इसी प्रकार, कोई संबंध अर्धसंक्रमणीय होता है यदि इसका विपरीत संबंध हो।

यह भी देखें

 * अकर्मण्यता
 * प्रतिवर्ती संबंध