घातीय योग

गणित में, एक घातीय योग एक परिमित फूरियर श्रृंखला (यानी एक त्रिकोणमितीय बहुपद) हो सकता है, या घातीय फलन का उपयोग करके गठित अन्य परिमित योग हो सकता है, जिसे आमतौर पर फलन $$e(x) = \exp(2\pi ix)\,$$ के माध्यम से व्यक्त किया जाता है।

इसलिए, एक विशिष्ट घातीय योग

$$\sum_n e(x_n)$$

का रूप ले सकता है, जिसे वास्तविक संख्याओं xn के एक सीमित अनुक्रम में संक्षेपित किया जाता है।

निरूपण
यदि हम $$\sum_n a_n e(x_n)$$ फॉर्म प्राप्त करने के लिए कुछ वास्तविक गुणांक an की अनुमति देते हैं, तो यह जटिल संख्याओं वाले घातांक की अनुमति देने के समान है। दोनों रूप अनुप्रयोगों में निश्चित रूप से उपयोगी हैं। बीसवीं सदी के विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत का एक बड़ा हिस्सा इन योगों के लिए अच्छे अनुमान खोजने के लिए समर्पित था, एक प्रवृत्ति जो डायोफैंटाइन सन्निकटन में हरमन वेइल के आधारिक काम द्वारा आरम्भ की गई थी।

अनुमान
विषय का मुख्य जोर यह है कि योग


 * $$S=\sum_n e(x_n)$$

का अनुमान शब्दों की संख्या N द्वारा तुच्छ रूप से लगाया जाता है। अर्थात्, त्रिभुज असमानता द्वारा निरपेक्ष मान

$$|S| \le N\,$$,

क्योंकि प्रत्येक योग का निरपेक्ष मान 1 है। अनुप्रयोगों में कोई बेहतर करना चाहेगा। इसमें यह साबित करना सम्मिलित है कि कुछ रद्दीकरण होता है, या दूसरे शब्दों में, इकाई चक्र पर जटिल संख्याओं का यह योग एक ही तर्क के साथ सभी संख्याओं का नहीं है। सबसे अच्छी बात जिसकी आशा करना उचित है वह फॉर्म     $$|S|= O(\sqrt{N})\,$$

का एक अनुमान है जो बड़े O संकेतन में निहित स्थिरांक तक दर्शाता है, कि योग दो आयामों में एक यादृच्छिक चलने जैसा दिखता है।

ऐसा अनुमान आदर्श माना जा सकता है; यह कई प्रमुख समस्याओं और अनुमानों में अप्राप्य है


 * $$|S|= o(N)\,$$

का उपयोग करना होगा, जहां o(N) फलन तुच्छ अनुमान पर केवल एक छोटी बचत का प्रतिनिधित्व करता है। उदाहरण के लिए, एक सामान्य 'छोटी बचत' log(N) का एक कारक हो सकती है। यहां तक ​​​​कि सही दिशा में इस तरह के मामूली-से दिखने वाले परिणाम को भी यादृच्छिकता की डिग्री दिखाने के लिए प्रारंभिक अनुक्रम xn की संरचना में वापस भेजा जाना चाहिए। इसमें सम्मिलित तकनीकें सरल और सूक्ष्म हैं।

वेइल द्वारा 'वेइल डिफरेंसिंग' के एक प्रकार की जांच की गई जिसमें एक घातांकीय योग $$ G(\tau)= \sum_n e^{iaf(x)+ia\tau n} $$

सम्मिलित हैजिसका अध्ययन पहले वेइल द्वारा स्वयं किया गया था, उन्होंने योग को मूल्य $$ G(0)$$ के रूप में व्यक्त करने के लिए एक विधि विकसित की, जहां 'G' को भागों द्वारा योग के माध्यम से प्राप्त डायसन समीकरण के समान एक रैखिक अंतर समीकरण के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है।

इतिहास
यदि योग


 * $$ S(x)= e^{ia f(x) } $$

रूप का है, जहां ƒ एक सुचारु फलन है, हम श्रृंखला को अभिन्न में बदलने के लिए यूलर-मैकलॉरिन सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, साथ ही S (x) के व्युत्पन्न से जुड़े कुछ सुधार भी कर सकते हैं, फिर a के बड़े मूल्यों के लिए आप अभिन्न की गणना करने के लिए और योग का अनुमानित मूल्यांकन देने के लिए "स्थिर चरण" विधि का उपयोग कर सकते हैं। विषय में प्रमुख प्रगति वान डेर कॉरपुट की विधि (सी. 1920) थी, जो स्थिर चरण के सिद्धांत से संबंधित थी, और बाद में विनोग्रादोव विधि (सी.1930) थी।

बड़ी छलनी विधि (सी.1960), कई शोधकर्ताओं का काम, एक अपेक्षाकृत पारदर्शी सामान्य सिद्धांत है; लेकिन किसी भी विधि का सामान्य अनुप्रयोग नहीं है।

घातांकीय योग के प्रकार
विशेष समस्याओं को निरूपित करने में कई प्रकार के योगों का उपयोग किया जाता है; अनुप्रयोगों के लिए आमतौर पर कुछ ज्ञात प्रकार की कमी की आवश्यकता होती है, प्रायः विदग्ध परिचालन द्वारा। कई मामलों में, गुणांकों an को हटाने के लिए आंशिक योग का उपयोग किया जा सकता है।

एक बुनियादी अंतर एक पूर्ण घातीय योग के बीच है, जो आम तौर पर कुछ पूर्णांक N (या अधिक सामान्य परिमित वलय) मॉड्यूलर के सभी अवशेष वर्गों पर एक योग होता है, और एक अपूर्ण घातीय योग होता है जहां योग की सीमा कुछ असमानता (गणित) द्वारा प्रतिबंधित होती है। पूर्ण घातीय योगों के उदाहरण गॉस योग और क्लोस्टरमैन योग हैं; ये कुछ अर्थों में क्रमशः गामा फलन और कुछ प्रकार के बेसेल फलन के परिमित क्षेत्र या परिमित वलय सादृश्य हैं, और इनमें कई 'संरचनात्मक' गुण हैं। अपूर्ण योग का एक उदाहरण द्विघात गॉस योग का आंशिक योग है (वास्तव में, कार्ल फ्रेडरिक गॉस द्वारा जांच किया गया मामला)। यहां अवशेष वर्गों के पूरे समूह की तुलना में छोटी सीमाओं पर योगों के लिए अच्छे अनुमान हैं, क्योंकि, ज्यामितीय शब्दों में, आंशिक योग एक कॉर्नू सर्पिल का अनुमान लगाते हैं; इसका तात्पर्य बड़े स्तर पर रद्दीकरण से है।

सिद्धांत में सहायक प्रकार के योग होते हैं, उदाहरण के लिए वर्ण योग; हेरोल्ड डेवनपोर्ट की थीसिस पर वापस जा रहे हैं। वेइल अनुमानों में बहुपद स्थितियों (यानी, एक सीमित क्षेत्र में बीजगणितीय विविधता के साथ) द्वारा प्रतिबंधित डोमेन के साथ योगों को पूरा करने के लिए प्रमुख अनुप्रयोग थे।

वेइल योग
घातीय योग के सबसे सामान्य प्रकारों में से एक वेइल योग है, जिसका घातांक 2πif(n) है, जहां f एक काफी सामान्य वास्तविक-मूल्यवान सुचारू फलन है। ये वेइल के समवितरण मानदंड के अनुसार, मान

ƒ(एन) मोडुलो 1

के वितरण में अन्तर्वलित योग हैं। बहुपद f के लिए, ऐसे योगों के लिए वेइल की असमानता एक बुनियादी प्रगति थी।

घातांक युग्मों का एक सामान्य सिद्धांत है, जो अनुमान तैयार करता है। एक महत्वपूर्ण मामला वह है जहां रीमैन ज़ेटा फलन के संबंध में f लघुगणक है। समवितरण प्रमेय भी देखें।

उदाहरण: द्विघात गॉस योग
मान लीजिए p एक विषम अभाज्य है और मान लीजिए $$\xi = e^{2\pi i / p}$$। तब द्विघात गॉस योग


 * $$\sum_{n=0}^{p-1}\xi^{n^2} =

\begin{cases} \sqrt{p}, & p = 1 \mod 4 \\ i\sqrt{p}, & p = 3 \mod 4 \end{cases} $$ द्वारा दिया जाता है जहां वर्गमूल को सकारात्मक माना जाता है।

यह रद्द करने की आदर्श डिग्री है जिसकी कोई भी योग की संरचना के पूर्व ज्ञान के बिना उम्मीद कर सकता है, क्योंकि यह यादृच्छिक चलने के प्रवर्धन से मेल खाता है।

सांख्यिकीय प्रतिरूप
समय के साथ किसी पदार्थ की सांद्रता का वर्णन करने के लिए घातांक का योग भेषज बलगतिकी (सामान्य रूप से रासायनिक गतिविज्ञान) में एक उपयोगी प्रतिरूप है। घातीय शब्द प्रथम-क्रम प्रतिक्रियाओं से मेल खाते हैं, जो औषधशास्त्र में प्रतिरूपित किए गए प्रसार विभागों की संख्या से मेल खाते हैं।

सी आल्सो

 * हुआ'स लेम्मा

बाहरी संबंध

 * A brief introduction to Weyl sums on Mathworld