घन पारस्परिकता

घन पारस्परिकता संख्या सिद्धांत प्राथमिक संख्या सिद्धांत और बीजगणितीय संख्या सिद्धांत संख्या सिद्धांत में प्रमेयों का संग्रह है जो उन स्थितियों को बताता है जिनके अनुसार मॉड्यूलर अंकगणित x3 ≡ p (mod q) हल करने योग्य है; पारस्परिकता शब्द प्रमेय के कथन के रूप से आया है, जिसमें कहा गया है कि यदि पी और क्यू आइज़ेंस्टीन पूर्णांक की अंगूठी में प्राथमिक संख्याएं हैं, तब दोनों 3 के सहअभाज्य हैं, सर्वांगसमता x3 ≡ p (mod q) हल करने योग्य है यदि और केवल यदि x3 ≡ q (mod p) हल करने योग्य है।

इतिहास
1748 से कुछ समय पहले लियोनहार्ड यूलर ने छोटे पूर्णांकों के घन अवशिष्ट के बारे में पहला अनुमान लगाया था, किन्तु उनकी मृत्यु के पश्चात् 1849 तक वह प्रकाशित नहीं हुए थे।

गॉस के प्रकाशित कार्यों में घन अवशेषों और पारस्परिकता का तीन बार उल्लेख किया गया है: अंकगणितीय विवेचन (1801) में घन अवशेषों से संबंधित परिणाम है। द्विघात पारस्परिकता के पांचवें और छठे प्रमाण के परिचय में (1818) उन्होंने कहा कि वह इन प्रमाणों को प्रकाशित कर रहे हैं क्योंकि उनकी विधि ें (गॉस की लेम्मा (संख्या सिद्धांत)|गॉस की लेम्मा और क्वाड्रैटिक गॉस योग, क्रमशः) को घन और द्विघात पारस्परिकता पर प्रयुक्त किया जा सकता है। अंत में, द्विघात पारस्परिकता (1832) पर दूसरे (दो में से) मोनोग्राफ के फ़ुटनोट में कहा गया है कि घन पारस्परिकता को आइज़ेंस्टीन पूर्णांकों की रिंग में सबसे आसानी से वर्णित किया गया है।

उनकी डायरी और अन्य अप्रकाशित स्रोतों से, ऐसा प्रतीत होता है कि गॉस 1805 तक पूर्णांकों की घन और चतुर्थक अवशिष्टता के नियमों को जानते थे, और 1814 के आसपास घन और द्विघात पारस्परिकता के पूर्ण विकसित प्रमेयों और प्रमाणों की खोज की। इनके प्रमाण उनके मरणोपरांत कागजात में पाए गए, किन्तु यह स्पष्ट नहीं है कि वह उनके हैं या आइज़ेंस्टीन के।

कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी ने 1827 में घन अवशिष्टता के बारे में अनेक प्रमेय प्रकाशित किए, किन्तु कोई प्रमाण नहीं मिला। 1836-37 के अपने कोनिग्सबर्ग व्याख्यान में जैकोबी ने प्रमाण प्रस्तुत किये। सबसे पहले प्रकाशित प्रमाण आइज़ेंस्टीन (1844) द्वारा थे।

पूर्णांक
एक घन अवशेष (mod p) पूर्णांक (mod p) की तीसरी घात के अनुरूप कोई भी संख्या है। यदि x3 ≡ a (mod p) का कोई पूर्णांक समाधान नहीं है, a 'क्यूबिक नॉनरेसिड्यू' (mod p) है। जैसा कि संख्या सिद्धांत में अधिकांशतः होता है, मॉड्यूलो अभाज्य संख्याओं पर काम करना आसान होता है, इसलिए इस खंड में सभी मॉड्यूल पी, क्यू, आदि को धनात्मक, विषम अभाज्य माना जाता है।

हम पहले ध्यान दें कि यदि q ≡ 2 (mod 3) अभाज्य है तब प्रत्येक संख्या घन अवशेष मॉड्यूल q है। मान लीजिए q = 3n + 2; चूँकि 0 = 03स्पष्ट रूप से घन अवशेष है, मान लें कि x, q से विभाज्य नहीं है। फिर फ़र्मेट के छोटे प्रमेय द्वारा,


 * $$x^q \equiv x \bmod{q}, \qquad x^{q - 1} \equiv 1 \bmod{q}$$

हमारे पास उपस्तिथ दो सर्वांगसमताओं को गुणा करना


 * $$ x^{2q-1} \equiv x \bmod{q}$$

अभी q के लिए 3n + 2 प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है:


 * $$ x^{2q-1} = x^{6n + 3} = \left (x^{2n+1} \right )^3.$$

इसलिए, एकमात्र रोचक मामला तब है जब मापांक पी ≡ 1 (मॉड 3)। इस स्थितियों में गैर-शून्य अवशेष वर्ग (मॉड पी) को तीन समुच्चयों में विभाजित किया जा सकता है, प्रत्येक में (पी−1)/3 संख्याएं होती हैं। मान लीजिए e घन गैर-अवशेष है। पहला समुच्चय घन अवशेष है; दूसरा है e पहले समुच्चय की संख्याओं का गुना, और तीसरा है eपहले समुच्चय में संख्याओं का 2गुना। इस विभाजन का वर्णन करने का दूसरा प्रणाली यह है कि ई को आदिम मूल मॉड्यूलो एन (मॉड पी) माना जाए; तब पहला (सम्मान दूसरा, तीसरा) समुच्चय वह संख्याएं हैं जिनके इस मूल के संबंध में सूचकांक 0 (सम्मान 1, 2) (मॉड 3) के अनुरूप हैं। समूह सिद्धांत की शब्दावली में, पहला समुच्चय गुणक समूह के उपसमूह 3 के सूचकांक का उपसमूह है $$(\Z/p\Z)^{\times}$$ और अन्य दो इसके सहसमुच्चय हैं।

प्राइम्स ≡ 1 (मॉड 3)
फ़र्मेट का प्रमेय बताता है कि प्रत्येक अभाज्य p ≡ 1 (mod 3) को p = a के रूप में लिखा जा सकता है2+ योग2और (ए और बी के संकेतों को छोड़कर) यह प्रतिनिधित्व अद्वितीय है।

मान लीजिए m = a + b और n = a − b, हम देखते हैं कि यह p = m के सामान्तर है2 - एमएन + एन2 (जो (n − m) के सामान्तर है)2 − (n − m)n + n2=एम2 + m(n − m) + (n − m)2, इसलिए m और n विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं हैं)। इस प्रकार,
 * $$\begin{align}

4p &= (2m-n)^2 + 3n^2 \\ &= (2n-m)^2 + 3m^2 \\ &= (m+n)^2 + 3(m-n)^2 \end{align}$$ और यह दिखाने के लिए सीधा अभ्यास है कि वास्तव में m, n, या m - n में से 3 का गुणज है, इसलिए


 * $$p = \frac14 (L^2+ 27M^2),$$

और यह प्रतिनिधित्व एल और एम के संकेतों तक अद्वितीय है। अपेक्षाकृत अभाज्य पूर्णांकों m और n के लिए 'तर्कसंगत घन अवशेष प्रतीक' को इस प्रकार परिभाषित करें


 * $$\left[\frac{m}{n}\right]_3 = \begin{cases} 1 & m \text{ is a cubic residue } \bmod n \\ -1 & m \text{ is a cubic non-residue }\bmod n \end{cases}$$

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि इस प्रतीक में लीजेंड्रे प्रतीक के गुणक गुण नहीं हैं; इसके लिए, हमें नीचे परिभाषित वास्तविक घन वर्ण की आवश्यकता है।


 * 'यूलर के अनुमान.' मान लीजिए p = a2+ योग2प्रमुख बनें. फिर निम्नलिखित होल्ड करें:
 * $$\begin{align}

\left[\tfrac{2}{p}\right]_3 =1 \quad &\Longleftrightarrow \quad 3\mid b\\ \left[\tfrac{3}{p}\right]_3 =1 \quad &\Longleftrightarrow \quad 9\mid b \text{ or } 9\mid(a\pm b)\\ \left[\tfrac{5}{p}\right]_3 =1 \quad &\Longleftrightarrow \quad 15\mid b \text{ or } 3\mid b \text{ and } 5\mid a \text{ or } 15\mid(a\pm b) \text{ or } 15\mid(2a\pm b)\\ \left[\tfrac{6}{p}\right]_3 =1 \quad &\Longleftrightarrow \quad 9\mid b \text{ or } 9\mid(a\pm 2b)\\ \left[\tfrac{7}{p}\right]_3 =1 \quad &\Longrightarrow \quad (3\mid b\text{ and }7\mid a) \text{ or } 21\mid (b\pm a) \text{ or } 7\mid(4b\pm a) \text{ or } 21\mid b \text{ or } 7\mid(b\pm 2a) \end{align}$$ पहले दो को इस प्रकार पुनः कहा जा सकता है। मान लीजिए p अभाज्य है जो 1 मॉड्यूलो 3 के सर्वांगसम है। तब:
 * 2, p का घनीय अवशेष है यदि और केवल यदि p = a2+27बी2.
 * 3, p का घनीय अवशेष है यदि और केवल यदि 4p = a2+243बी2.


 * गॉस का प्रमेय. मान लीजिए कि p धनात्मक अभाज्य है
 * $$p = 3n + 1= \tfrac14 \left(L^2+ 27M^2\right).$$ :तब $$ L(n!)^3\equiv 1 \bmod p.$$

कोई आसानी से देख सकता है कि गॉस के प्रमेय का तात्पर्य है:
 * $$\left[\tfrac{L}{p}\right]_3 = \left[\tfrac{M}{p}\right]_3 =1.$$
 * जैकोबी का प्रमेय (बिना प्रमाण के बताया गया)। मान लीजिए q ≡ p ≡ 1 (mod 6) धनात्मक अभाज्य संख्याएँ हैं। स्पष्ट रूप से p और q दोनों 1 मॉड्यूलो 3 के सर्वांगसम हैं, इसलिए मान लें:
 * $$p = \tfrac14 \left(L^2+ 27M^2\right), \qquad q = \tfrac14 \left(L'^2+ 27M'^2\right).$$ :मान लीजिए x, x का हल है2 ≡ −3 (mod q). तब
 * $$x\equiv\pm \frac{L'}{3M'}\bmod q,$$
 * और हमारे पास है:
 * $$\begin{align}

\left[\frac{q}{p}\right]_3 =1 \quad &\Longleftrightarrow \quad \left[\frac{\frac{L+3Mx}{2}p}{q}\right]_3 =1 \quad \Longleftrightarrow \quad \left[\frac{\frac{L+3Mx}{L-3Mx}}{q}\right]_3 =1 \\ \left[\frac{q}{p}\right]_3 =1 \quad &\Longrightarrow \quad \left[\frac{\frac{LM'+L'M}{LM'-L'M}}{q}\right]_3 =1 \end{align}$$
 * एम्मा लेहमर की प्रमेय. मान लीजिए q और p अभाज्य हैं $$p = \tfrac14 \left(L^2+ 27M^2\right).$$ तब:
 * $$\left[\frac{q}{p}\right]_3 = 1 \quad \Longleftrightarrow \quad q \mid LM \text{ or } L\equiv\pm \frac{9r}{2u+1} M\bmod{q},$$
 * कहाँ
 * $$u\not\equiv 0,1,-\tfrac12, -\tfrac13 \bmod q \quad \text{and} \quad 3u+1 \equiv r^2 (3u-3)\bmod q.$$

ध्यान दें कि पहली शर्त का तात्पर्य है: कोई भी संख्या जो एल या एम को विभाजित करती है वह घन अवशेष (मॉड पी) है।

पहले कुछ उदाहरण इनमें से यूलर के अनुमान के सामान्तर हैं:


 * $$\begin{align}

\left[\frac{2}{p}\right]_3 =1 \quad &\Longleftrightarrow \quad L \equiv M \equiv 0 \bmod 2 \\ \left[\frac{3}{p}\right]_3 =1 \quad &\Longleftrightarrow \quad M \equiv 0 \bmod 3 \\ \left[\frac{5}{p}\right]_3 =1 \quad &\Longleftrightarrow \quad LM \equiv 0 \bmod 5 \\ \left[\frac{7}{p}\right]_3 =1 \quad &\Longleftrightarrow \quad LM \equiv 0 \bmod 7 \end{align}$$

चूंकि स्पष्ट रूप से एल ≡ एम (मॉड 2), क्यू = 2 के लिए मानदंड को इस प्रकार सरल बनाया जा सकता है:
 * $$ \left[\frac{2}{p}\right]_3 =1 \quad \Longleftrightarrow \quad M \equiv 0 \bmod 2. $$
 * मार्टिनेट का प्रमेय. मान लीजिए p ≡ q ≡ 1 (mod 3) अभाज्य हैं, $$ pq = \tfrac14 (L^2+ 27M^2).$$ तब
 * $$\left[\frac{L}{p}\right]_3 \left[\frac{L}{q}\right]_3 =1\quad \Longleftrightarrow \quad \left[\frac{q}{p}\right]_3 \left[\frac{p}{q}\right]_3 =1.$$
 * शरीफ़ी का प्रमेय. मान लीजिए p = 1 + 3x + 9x2प्रमुख बनें. तब x का कोई भी भाजक घन अवशेष (mod p) होता है।

पृष्ठभूमि
द्विघात पारस्परिकता पर अपने दूसरे मोनोग्राफ में, गॉस कहते हैं:

 द्विघात अवशेषों पर प्रमेय सबसे बड़ी सरलता और वास्तविक सुंदरता के साथ तभी चमकते हैं जब अंकगणित का क्षेत्र काल्पनिक संख्याओं तक बढ़ाया जाता है, जिससे कि बिना किसी प्रतिबंध के ए + बी रूप की संख्याएं बन सकें अध्ययन की वस्तु... हम ऐसी संख्याओं को अभिन्न सम्मिश्र संख्याएँ कहते हैं। [मूल में बोल्ड]

इन संख्याओं को अभी गॉसियन पूर्णांकों का वलय (गणित) कहा जाता है, जिन्हें Z[i] द्वारा दर्शाया जाता है। ध्यान दें कि i 1 का चौथा मूल है।

एक फ़ुटनोट में वह कहते हैं

<ब्लॉकक्वॉट>घन अवशेषों का सिद्धांत इसी प्रकार ए + बीएच के रूप की संख्याओं के विचार पर आधारित होना चाहिए जहां एच समीकरण एच का काल्पनिक मूल है ''3=1 ... और इसी प्रकार उच्च शक्तियों के अवशेषों का सिद्धांत अन्य काल्पनिक मात्राओं के परिचय की ओर ले जाता है। 

घन पारस्परिकता पर अपने पहले मोनोग्राफ में आइज़ेंस्टीन ने एकता के घनमूल से बनी संख्याओं का सिद्धांत विकसित किया; अभी उन्हें आइज़ेंस्टीन पूर्णांकों का वलय कहा जाता है। आइज़ेंस्टीन ने कहा (व्याख्यात्मक रूप से) इस अंगूठी के गुणों की जांच करने के लिए किसी को केवल Z[i] पर गॉस के काम से परामर्श लेने और सबूतों को संशोधित करने की आवश्यकता है। यह आश्चर्य की बात नहीं है क्योंकि दोनों वलय अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन हैं।

उच्च शक्तियों के अवशेषों के सिद्धांत के लिए आवश्यक अन्य काल्पनिक मात्राएँ साइक्लोटोमिक क्षेत्रों के पूर्णांकों की रिंग हैं; गॉसियन और आइज़ेंस्टीन पूर्णांक इनके सबसे सरल उदाहरण हैं।

तथ्य और शब्दावली
होने देना


 * $$\omega = \frac{-1 + i\sqrt 3}{2} = e^\frac{2\pi i}{3}, \qquad \omega^3 = 1.$$

और आइज़ेंस्टीन पूर्णांकों के वलय पर विचार करें:


 * $$\Z[\omega] = \left \{ a + b \omega \ : \ a, b \in \Z \right \}.$$

यह यूक्लिडियन डोमेन है जिसमें नॉर्म (गणित) फलन दिया गया है:


 * $$N(a + b \omega) = a^2 -ab + b^2.$$

ध्यान दें कि मानदंड सदैव 0 या 1 (मॉड 3) के अनुरूप होता है।

में इकाइयों का समूह $$\Z[\omega]$$ (गुणात्मक व्युत्क्रम वाले तत्व या समकक्ष इकाई मानदंड वाले तत्व) एकता की छठी जड़ों का चक्रीय समूह है,


 * $$\left \{ \pm 1, \pm \omega, \pm \omega^2\right \}.$$

$$\Z[\omega]$$ अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन है। अभाज्य संख्याएँ तीन वर्गों में आती हैं:
 * 3 विशेष मामला है:
 * $$ 3 = -\omega^2 (1-\omega)^2.$$
 * यह एकमात्र प्राइम इन है $$\Z$$ अभाज्य के वर्ग से विभाज्य $$\Z[\omega]$$. प्राइम 3 को गैलोज़ एक्सटेंशन में प्राइम आदर्शों के विभाजन के लिए कहा जाता है $$\Z[\omega]$$.


 * धनात्मक अभाज्य संख्याएँ $$\Z$$ 2 (मॉड 3) के सर्वांगसम भी अभाज्य हैं $$\Z[\omega]$$. कहा जाता है कि यह अभाज्य संख्याएँ गैलोज़ एक्सटेंशन में प्रधान आदर्शों का विभाजन बनी हुई हैं $$\Z[\omega]$$. ध्यान दें कि यदि $$q$$ तब क्या कोई अक्रिय अभाज्य है:
 * $$N(q) = q^2 \equiv 1 \bmod{3}.$$


 * धनात्मक अभाज्य संख्याएँ $$\Z$$ 1 (मॉड 3) के सर्वांगसम दो संयुग्म अभाज्यों का गुणनफल हैं $$\Z[\omega]$$. इन अभाज्य संख्याओं को गैलोज़ एक्सटेंशन में अभाज्य आदर्शों के विभाजन के लिए कहा जाता है $$\Z[\omega]$$. उनका गुणनखंडन इस प्रकार दिया गया है:
 * $$p=N (\pi) = N (\overline{\pi})= \pi \overline{\pi}.$$ :उदाहरण के लिए
 * $$ 7 = ( 3 + \omega) ( 2 - \omega).$$

एक संख्या प्राथमिक होती है यदि वह 3 से सहअभाज्य हो और साधारण पूर्णांक मॉड्यूलो के सर्वांगसम हो $$(1-\omega)^2,$$ जो यह कहने के समान है कि यह सर्वांगसम है $$\pm 2$$ मॉड्यूलो 3. यदि $$\gcd(N(\lambda), 3) = 1$$ में से $$\lambda, \omega \lambda,$$ या $$\omega^2 \lambda$$ प्राथमिक है. इसके अतिरिक्त, दो प्राथमिक संख्याओं का गुणनफल प्राथमिक होता है और प्राथमिक संख्या का संयुग्मन भी प्राथमिक होता है।

के लिए अद्वितीय गुणनखंड प्रमेय $$\Z[\omega]$$ है: यदि $$\lambda \neq 0,$$ तब
 * $$\lambda = \pm\omega^\mu(1-\omega)^\nu\pi_1^{\alpha_1}\pi_2^{\alpha_2}\pi_3^{\alpha_3} \cdots, \qquad \mu \in \{0, 1, 2\}, \quad \nu, \alpha_1, \alpha_2, \ldots \geqslant 0$$

जहां प्रत्येक $$\pi_i$$ प्राथमिक (आइसेनस्टीन की परिभाषा के अनुसार ) अभाज्य है। और यह प्रतिनिधित्व कारकों के क्रम तक अद्वितीय है।

मॉड्यूलर अंकगणित की धारणाएँ और सबसे बड़ा सामान्य भाजक में उसी तरह से परिभाषित किया गया है $$\Z[\omega]$$ जैसे वह सामान्य पूर्णांकों के लिए होते हैं $$\Z$$. चूँकि इकाइयाँ सभी संख्याओं को विभाजित करती हैं, सर्वांगसमता मॉड्यूलो $$\lambda$$ किसी भी सहयोगी का मॉड्यूलो भी सच है $$\lambda$$, और जीसीडी का कोई भी सहयोगी भी जीसीडी है।

परिभाषा
फ़र्मेट के छोटे प्रमेय का एनालॉग सत्य है $$\Z[\omega]$$: यदि $$\alpha$$ अभाज्य से विभाज्य नहीं है $$\pi$$,
 * $$\alpha^{N (\pi) - 1} \equiv 1 \bmod{\pi}.$$

अभी मान लीजिये $$N(\pi) \neq 3$$ जिससे कि $$N(\pi) \equiv 1 \bmod{3}.$$ या भिन्न तरह से कहें $$3\mid N(\pi) -1.$$ तब हम लिख सकते हैं:


 * $$\alpha^{\frac{N ( \pi )- 1}{3}}\equiv \omega^k \bmod\pi, $$

एक अद्वितीय इकाई के लिए $$\omega^k.$$ इस इकाई को घन अवशेष लक्षण कहा जाता है $$\alpha$$ मापांक $$\pi$$ और द्वारा दर्शाया गया है :$$\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_3 = \omega^k \equiv \alpha^{\frac{N(\pi) - 1}{3}} \bmod{\pi}.$$

गुण
घन अवशेष चरित्र में लीजेंड्रे प्रतीक के समान औपचारिक गुण होते हैं:


 * यदि $$\alpha \equiv \beta \bmod{\pi}$$ तब $$\left (\tfrac{\alpha}{\pi}\right )_3=\left (\tfrac{\beta}{\pi}\right )_3.$$
 * $$\left (\tfrac{\alpha\beta}{\pi}\right )_3=\left (\tfrac{\alpha}{\pi}\right )_3\left (\tfrac{\beta}{\pi}\right )_3.$$
 * $$\overline{\left (\tfrac{\alpha}{\pi}\right )_3}=\left (\tfrac{\overline{\alpha}}{\overline{\pi}}\right )_3,$$ जहां बार समष्टि संयुग्मन को दर्शाता है।
 * यदि $$\pi$$ और $$\theta$$ तब सहयोगी हैं $$\left (\tfrac{\alpha}{\pi}\right )_3=\left (\tfrac{\alpha}{\theta}\right )_3$$
 * सर्वांगसमता $$x^3 \equiv \alpha \bmod{\pi}$$ में समाधान है $$\Z[\omega]$$ यदि और केवल यदि $$\left(\tfrac{\alpha}{\pi}\right)_3 = 1.$$
 * यदि $$a, b \in \Z$$ ऐसे हैं $$\gcd(a, b) = \gcd(b, 3) = 1,$$ तब $$\left(\tfrac{a}{b}\right)_3 = 1.$$
 * घन वर्ण को हर में भाज्य संख्याओं (3 से सहअभाज्य) तक गुणात्मक रूप से बढ़ाया जा सकता है, उसी तरह से लीजेंड्रे प्रतीक को जैकोबी प्रतीक में सामान्यीकृत किया जाता है। जैकोबी प्रतीक की तरह, यह विस्तार अंश को त्याग देता है जो कि घन अवशेष मॉड है, जिसका अर्थ है: जब अंश घन अवशेष है, तब प्रतीक अभी भी 1 होने की गारंटी देता है, किन्तु कॉनवर्स अभी मान्य नहीं है।
 * $$\left(\frac{\alpha}{\lambda}\right)_3 = \left(\frac{\alpha}{\pi_1}\right)_3^{\alpha_1} \left(\frac{\alpha}{\pi_2}\right)_3^{\alpha_2} \cdots,$$
 * कहाँ
 * $$\lambda = \pi_1^{\alpha_1}\pi_2^{\alpha_2}\pi_3^{\alpha_3} \cdots$$

प्रमेय का कथन
मान लीजिए α और β प्राथमिक हैं। तब


 * $$\Bigg(\frac{\alpha}{\beta}\Bigg)_3 = \Bigg(\frac{\beta}{\alpha}\Bigg)_3. $$

पूरक प्रमेय हैं इकाइयों और अभाज्य 1 - ω के लिए:

मान लीजिए α = a + bω प्राथमिक है, a = 3m + 1 और b = 3n है। (यदि कोई ≡ 2 (मॉड 3) α को उसके सहयोगी −α से प्रतिस्थापित करता है; इससे घन वर्णों का मान नहीं बदलेगा।) फिर



\Bigg(\frac{\omega}{\alpha}\Bigg)_3 = \omega^\frac{1-a-b}{3}= \omega^{-m-n},\;\;\; \Bigg(\frac{1-\omega}{\alpha}\Bigg)_3 = \omega^\frac{a-1}{3}= \omega^m,\;\;\; \Bigg(\frac{3}{\alpha}\Bigg)_3 = \omega^\frac{b}{3}= \omega^n. $$

यह भी देखें

 * द्विघात पारस्परिकता
 * चतुर्थक पारस्परिकता
 * ऑक्टिक पारस्परिकता
 * आइसेनस्टीन पारस्परिकता
 * आर्टिन पारस्परिकता

संदर्भ
The references to the original papers of Euler, Jacobi, and Eisenstein were copied from the bibliographies in Lemmermeyer and Cox, and were not used in the preparation of this article.

यूलर


यह वास्तव में 1748-1750 में लिखा गया था, किन्तु केवल मरणोपरांत प्रकाशित किया गया था; यह खंड V, पृष्ठ 182-283 में है



गॉस
द्विघात पारस्परिकता पर गॉस द्वारा प्रकाशित दो मोनोग्राफ में लगातार क्रमांकित खंड हैं: पहले में §§ 1-23 और दूसरे में §§ 24-76 हैं। इन्हें संदर्भित करने वाले फ़ुटनोट गॉस, बीक्यू, § एन के रूप में हैं। डिस्क्विज़िशन अरिथमेटिके को संदर्भित करने वाले फ़ुटनोट गॉस, डीए, आर्ट के रूप में हैं। एन ।





यह गॉस वेर्के, खंड II, पृष्ठ 65-92 और 93-148 में हैं

गॉस के द्विघात पारस्परिकता के पाँचवें और छठे प्रमाण हैं



यह गॉस वेर्के, खंड II, पृष्ठ 47-64 में है

उपरोक्त तीनों के जर्मन अनुवाद निम्नलिखित हैं, जिनमें संख्या सिद्धांत पर डिस्क्विज़िशन्स अरिथमेटिके और गॉस के अन्य पेपर भी हैं।



आइसेनस्टीन






यह सभी कागजात उनके वर्के के खंड I में हैं।

जैकोबी


यह उनके वर्के के खंड VI में है।

आधुनिक लेखक