गैलोज़ ज्यामिति

गैलोज़ ज्यामिति (19वीं सदी के फ्रांसीसी गणितज्ञ इवरिस्ट गैलोइस के नाम पर) परिमित ज्यामिति की शाखा है जोपरिमित क्षेत्र (या गैलोइस फ़ील्ड) पर बीजगणितीय ज्यामिति और विश्लेषणात्मक ज्यामिति से संबंधित है। अधिक संकीर्ण रूप से, गाल्वा ज्यामिति को परिमित क्षेत्र पर प्रक्षेपी समष्‍टि के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। अध्ययन की वस्तुओं में परिमित समष्‍टि और परिमित क्षेत्रों सजातीयउपसमष्‍टि (प्रक्षेपी ज्यामिति) और उनमें निहित विभिन्न संरचनाएं सम्मिलित हैं। विशेष रूप से, आर्क (प्रक्षेपी ज्योमेट्री), ओवल (प्रक्षेपी समतल), हाइपरोवाल्स, यूनिटल (ज्यामिति), अवरोधक समुच्चय,  अंडाकार, कैप्स, स्प्रेड और गैर-परिमित ज्यामिति में पाए जाने वाले संरचनाओं के सभी परिमित एनालॉग हैं। परिमित क्षेत्रों में परिभाषित सदिश समष्‍टि विशेष रूप से निर्माण विधियों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

अंकन
चूंकि प्रक्षेपी ज्यामिति के सामान्य संकेतन का कभी-कभी उपयोग किया जाता है, परिमित क्षेत्रों पर प्रक्षेपी रिक्त समष्‍टि को निरूपित करना अधिक सामान्य है $PG(n, q)$, जहाँ $n$ "ज्यामितीय" आयाम है (नीचे देखें), और $q$ परिमित क्षेत्र (या गैल्वा क्षेत्र) का क्रम है $GF(q)$, जो पूर्णांक होना चाहिए जो एक प्रमुख या अभाज्य घात है।

उपरोक्त संकेतन में ज्यामितीय आयाम उस प्रणाली को संदर्भित करता है जिससे रेखाएं 1-आयामी होती हैं, समतल 2-आयामी होते हैं, बिंदु 0-आयामी होते हैं, आदि। संशोधक, कभी-कभी ज्यामितीय के अतिरिक्त प्रक्षेपी शब्द का उपयोग किया जाता है, इस अवधारणा के बाद से आवश्यक है आयाम की संख्या सदिश रिक्त समष्‍टि के लिए उपयोग की जाने वाली अवधारणा से भिन्न होती है (अर्थात, एक आधार में तत्वों की संख्या)। सामान्यतः एक ही नाम के साथ दो अलग-अलग अवधारणाएं होने से संदर्भ के कारण अलग-अलग क्षेत्रों में ज्यादा कठिनाई नहीं होती है, लेकिन इस विषय में सदिश समष्टि और प्रक्षेपी समष्टि दोनों महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं और भ्रम की संभावना बहुत अधिक होती है। सदिश समष्‍टि अवधारणा को कभी-कभी बीजगणितीय आयाम के रूप में जाना जाता है।

निर्माण
मान लीजिए कि $V = V(n + 1, q)$ परिमित क्षेत्र $GF(q)$ पर परिभाषित (बीजीय) आयाम $n + 1$ के सदिश समष्‍टि को दर्शाता है। प्रक्षेप्य समष्‍टि $PG(n, q)$ में $V$ के सभी घनात्मक (बीजीय) आयामी सदिश उप-समष्‍टि होते हैं। निर्माण को देखने का वैकल्पिक तरीका $PG(n, q)$ बिंदुओं के के तुल्यता वर्ग के रूप में परिभाषित करना है। तुल्यता संबंध के अंतर्गत के $V$ के शून्य सदिश जिससे दो सदिश समतुल्य होते हैं यदि एक दूसरे का अदिश गुणक है। बिंदुओं के समुच्चय की रैखिक स्वतंत्रता की परिभाषा का उपयोग करके उप-समष्‍टि तब बिंदुओं से बनाए जाते हैं।

उप-समष्‍टि
बीजगणितीय आयाम $d + 1$ का $V$ का सदिश उपसमष्टि ज्यामितीय आयाम $d$ के $PG(n, q)$(प्रक्षेपी) उपसमष्टि है। प्रक्षेपी उपस्थानों को सामान्य ज्यामितीय नाम दिए गए हैं; बिंदु, रेखाएँ, तल और ठोस क्रमशः 0,1,2 और 3-आयामी उपसमष्टि हैं। संपूर्ण समष्‍टि एक $n$-आयामी उप-समष्‍टि और एक ($n − 1$)-आयामी उप-समष्‍टि को हाइपरप्लेन (या अभाज्य) कहा जाता है।

बीजगणितीय आयाम के सदिश उपस्थानों की संख्या $d$ सदिश समष्‍टि में $V(n, q)$ गाऊसी द्विपद गुणांक द्वारा दिया जाता है,
 * $$\left [ \begin{matrix} n \\ d \end{matrix} \right]_q = \frac{(q^n - 1)(q^n - q) \cdots (q^n - q^{d-1})}{(q^d -1)(q^d - q) \cdots (q^d - q^{d-1})}.$$

इसलिए, $k$ की संख्या आयामी प्रक्षेप्य उप-समष्‍टि $PG(n, q)$ द्वारा दिया गया है
 * $$\left [ \begin{matrix} n + 1 \\ k + 1 \end{matrix} \right]_q = \frac{(q^{n+1} - 1)(q^{n+1} - q) \cdots (q^{n+1} - q^k)}{(q^{k+1} -1)(q^{k+1} - q) \cdots (q^{k+1} - q^k)}.$$

इस प्रकार, उदाहरण के लिए, रेखाएँ की संख्या ($k$ = 1) PG(3,2) में है
 * $$\left [ \begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix} \right]_2 = \frac{(2^4 - 1)(2^4 - 2)}{(2^2 -1)(2^2 - 2)} = \frac{(15)(14)}{(3)(2)} = 35.$$

यह इस प्रकार है कि अंकों की कुल संख्या ($k$ = 0) का $P = PG(n, q)$ है
 * $$\left [ \begin{matrix} n + 1 \\ 1 \end{matrix} \right]_q = \frac{(q^{n+1} - 1)}{(q -1)} = q^n + q^{n-1} + \cdots + q + 1.$$

यह $P$ के हाइपरप्लेन की संख्या के बराबर भी है।

$P$ के बिंदु के माध्यम से रेखाओं की संख्या की गणना की जा सकती है $$q^{n-1} + q^{n-2} + \cdots + q + 1$$ और यह निश्चित बिंदु से गुजरने वाले हाइपरप्लेन की संख्या भी है।

$U$ और $W$ को गाल्वा ज्यामिति $P = PG(n, q)$ के उप-समष्‍टि होने दें। प्रतिच्छेदन $U ∩ W$, $P$ की उपसमष्टि है, लेकिन समुच्चय सैद्धांतिक संघ नहीं हो सकता है। $$ द्वारा निरूपित इन उप-स्थानों का जुड़ाव, $P$ की सबसे छोटी उपसमष्टि है जिसमें दोनों $U$ और $W$ दोनों सम्मिलित हैं। इन दो उप-स्थानों के जुड़ने और प्रतिच्छेदन के आयाम सूत्र द्वारा संबंधित हैं,
 * $$|| = |U| + |W| - |U \cap W|.$$

निर्देशांक
एक निश्चित आधार के संबंध में, $V$ में प्रत्येक सदिश में विशिष्ट रूप से $GF(q)$ के तत्वों के $n + 1$-ट्यूपल द्वारा दर्शाया गया है। प्रक्षेप्य बिंदु सदिशों का तुल्यता वर्ग है, इसलिए कई अलग-अलग निर्देशांक (वैक्टरों के) हैं जो एक ही बिंदु के अनुरूप हैं। हालाँकि, ये सभी एक दूसरे से संबंधित हैं क्योंकि प्रत्येक दूसरों का गैर-शून्य अदिश गुणक है। यह प्रक्षेपी समष्‍टि के बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किए जाने वाले सजातीय निर्देशांक की अवधारणा को वृद्धि देता है।

इतिहास
गीनो फानो गैलोज़ ज्यामिति के क्षेत्र में प्रारंभिक लेखक थे। 1892 के अपने लेख में, प्रक्षेपी n-समष्टि के लिए स्वयंसिद्धों के अपने समुच्चय की स्वतंत्रता को सिद्ध करने पर, अन्य बातों के अतिरिक्त, उन्होंने प्रक्षेपी हार्मोनिक संयुग्म होने के परिणामों को इसके संयुग्म के बराबर माना हैं। यह 15 बिंदुओं, 35 रेखाओं और 15 समतलों के साथ परिमित त्रि-आयामी समष्टि में समाहित सात बिंदुओं और सात रेखाओं के विन्यास की ओर जाता है, जिसमें प्रत्येक पंक्ति में केवल तीन बिंदु होते हैं। इस समष्टि में सभी समतलों में सात बिंदु और सात रेखाएँ होती हैं और अब इन्हें फानो समतलों के रूप में जाना जाता है। फ़ानो ने मनमाना आयाम और अभाज्य आदेशों के गाल्वा ज्यामिति का वर्णन किया था।

जॉर्ज कॉनवेल ने 1910 में गैलोज़ ज्यामिति का प्रारंभिक अनुप्रयोग दिया, जब उन्होंने पीजी (3,2) में तिरछी रेखाओं के समुच्चय के विभाजन के रूप में किर्कमैन की स्कूली छात्राओं की समस्या के समाधान की विशेषता बताई, गैलोज़ क्षेत्र GF(2) पर त्रि-आयामी प्रक्षेपी ज्यामिति हैं।. विशेषता 0 के क्षेत्र में समष्टि में रेखा ज्यामिति के तरीकों के समान, कॉनवेल ने PG (5,2) में प्लकर निर्देशांक का उपयोग किया और क्लेन क्वाड्रिक पर PG(3,2) में रेखाएँ का प्रतिनिधित्व करने वाले बिंदुओं की पहचान की थी।

1955 में बेनियामिनो सेग्रे ने q विषम के लिए अंडाकारों की विशेषता बताई थी। सेग्रे के प्रमेय में कहा गया है कि विषम क्रम के गैलोज़ ज्यामिति में (अर्थात, विषम विशेषता (क्षेत्र) के एक परिमित क्षेत्र पर परिभाषित एक प्रक्षेप्य समतल) प्रत्येक अंडाकार शंकु खंड है। इस परिणाम को अधिकांशतः अनुसंधान के महत्वपूर्ण क्षेत्र के रूप में गैलोइस ज्यामिति स्थापित करने का श्रेय दिया जाता है। 1958 में अंतर्राष्ट्रीय गणितीय कांग्रेस सेग्रे ने उस समय तक ज्ञात गैलोज़ ज्यामिति में परिणामों का एक सर्वेक्षण प्रस्तुत किया था।

यह भी देखें

 * घटना ज्यामिति

बाहरी संबंध

 * Galois geometry at Encyclopaedia of Mathematics, SpringerLink