संवैधानिक समीकरण

भौतिकी और इंजीनियरिंग में, एक संवैधानिक समीकरण या संवैधानिक संबंध दो भौतिक मात्रा (विशेष रूप से कैनेटीक्स (भौतिकी) मात्राओं के बीच कीनेमेटीक्स मात्रा से संबंधित) के बीच एक संबंध है जो एक सामग्री या पदार्थ के लिए विशिष्ट है, और बाहरी उत्तेजनाओं के लिए उस सामग्री की प्रतिक्रिया का अनुमान लगाता है, आमतौर पर लागू क्षेत्र (भौतिकी) एस या बलों के रूप में। वे शारीरिक समस्याओं को हल करने के लिए भौतिक कानूनों को नियंत्रित करने वाले अन्य समीकरणों के साथ संयुक्त हैं; उदाहरण के लिए द्रव यांत्रिकी में पाइप प्रवाह, ठोस राज्य भौतिकी में एक क्रिस्टल की प्रतिक्रिया एक विद्युत क्षेत्र में, या संरचनात्मक विश्लेषण में, लागू तनाव (भौतिकी) या संरचनात्मक भार के बीच तनाव (सामग्री विज्ञान) एस या विरूपण (इंजीनियरिंग (इंजीनियरिंग) )एस।

कुछ संवैधानिक समीकरण केवल अनुभवजन्य संबंध हैं; अन्य पहले सिद्धांतों से प्राप्त होते हैं। एक सामान्य अनुमानित संवैधानिक समीकरण को अक्सर एक सरल आनुपातिकता के रूप में व्यक्त किया जाता है, जिसका उपयोग सामग्री की एक संपत्ति के रूप में लिया जाता है, जैसे कि विद्युत चालकता या एक वसंत स्थिरांक। हालांकि, सामग्री की दिशात्मक निर्भरता के लिए अक्सर यह आवश्यक होता है, और स्केलर पैरामीटर को एक टेंसर के लिए सामान्यीकृत किया जाता है। सामग्री की प्रतिक्रिया की दर और उनके गैर-रैखिक व्यवहार की दर के लिए संविधान संबंधों को भी संशोधित किया जाता है। लेख रैखिक प्रतिक्रिया फ़ंक्शन देखें।

पदार्थ के यांत्रिक गुण
पहला संवैधानिक समीकरण (संवैधानिक कानून) रॉबर्ट हुक द्वारा विकसित किया गया था और इसे हुक के कानून के रूप में जाना जाता है।यह रैखिक लोचदार सामग्री के मामले से संबंधित है।इस खोज के बाद, इस प्रकार के समीकरण, जिसे अक्सर इस उदाहरण में तनाव-तनाव संबंध कहा जाता है, लेकिन यह एक संवैधानिक धारणा भी कहा जाता है या राज्य का समीकरण आमतौर पर उपयोग किया जाता था।वाल्टर नोल ने संवैधानिक समीकरणों के उपयोग को उन्नत किया, उनके वर्गीकरण को स्पष्ट किया और इनवेरियन आवश्यकताओं, बाधाओं और शब्दों की परिभाषाओं की भूमिका सामग्री की तरह, आइसोट्रोपिक, एओलोट्रोपिक, आदि। फॉर्म स्ट्रेस रेट = एफ (वेलोसिटी ग्रेडिएंट, स्ट्रेस, डेंसिटी) के संवैधानिक संबंधों का वर्ग 1954 में क्लिफोर्ड ट्रूसेल के तहत वाल्टर नोल के शोध प्रबंध का विषय था। आधुनिक संघनित पदार्थ भौतिकी में, संवैधानिक समीकरण एक प्रमुख भूमिका निभाता है।ग्रीन -कुबो संबंध देखें#रैखिक संवैधानिक संबंध और ग्रीन -क्यूबो संबंध#नॉनलाइनियर प्रतिक्रिया और क्षणिक समय सहसंबंध कार्यों।

घर्षण
घर्षण एक जटिल घटना है।मैक्रोस्कोपिक रूप से, दो सामग्रियों के इंटरफ़ेस के बीच घर्षण बल एफ को प्रतिक्रिया (भौतिकी) आर के आनुपातिक के रूप में मॉडल किया जा सकता है, जो घर्षण के एक आयाम रहित गुणांक के माध्यम से दो इंटरफेस के बीच संपर्क के एक बिंदु पर μ μ μ μf, जो सामग्री की जोड़ी पर निर्भर करता है:


 * $$F = \mu_\text{f} R. $$

यह स्थैतिक घर्षण (घर्षण को अपने दम पर फिसलने से दो स्थिर वस्तुओं को रोकने के लिए), काइनेटिक घर्षण (दो वस्तुओं के बीच घर्षण/एक दूसरे को खुरचने/फिसलने के बीच घर्षण) पर लागू किया जा सकता है, या रोलिंग (घर्षण बल जो फिसलने से रोकता है, लेकिन एक टोक़ का कारण बनता है।एक गोल वस्तु)।

तनाव और तनाव
रैखिक सामग्री के लिए तनाव-तनाव संवैधानिक संबंध आमतौर पर हुक के कानून के रूप में जाना जाता है।अपने सरलतम रूप में, कानून एक स्केलर समीकरण में वसंत स्थिरांक (या लोच स्थिरांक) k को परिभाषित करता है, तन्यता/संपीड़ित बल को विस्तारित (या अनुबंधित) विस्थापन (वेक्टर) x: X:


 * $$F_i=-k x_i $$

अर्थ सामग्री रैखिक रूप से प्रतिक्रिया करती है।समान रूप से, तनाव (यांत्रिकी) σ, यंग के मापांक ई, और विरूपण (यांत्रिकी) ε (आयाम रहित) के संदर्भ में:


 * $$\sigma = E \, \varepsilon $$

सामान्य तौर पर, जो बल ठोस पदार्थों को विकृत करते हैं, वे सामग्री (सामान्य बलों), या स्पर्शरेखा (कतरनी बलों) की सतह के लिए सामान्य हो सकते हैं, यह तनाव (यांत्रिकी) का उपयोग करके गणितीय रूप से वर्णित किया जा सकता है:


 * $$\sigma_{ij} = C_{ijkl} \, \varepsilon_{kl} \, \rightleftharpoons \, \varepsilon_{ij} = S_{ijkl} \, \sigma_{kl} $$

जहां C Hooke का कानून है और S Hooke का कानून है।

ठोस-राज्य विकृति
लोचदार सामग्री में विकृति के कई वर्ग निम्नलिखित हैं:
 * प्लास्टिक विरूपण: लागू बल सामग्री में गैर-पुनर्प्राप्त करने योग्य विकृति को प्रेरित करता है जब तनाव (या लोचदार तनाव) एक महत्वपूर्ण परिमाण तक पहुंचता है, जिसे उपज बिंदु कहा जाता है।
 * लोच (भौतिकी): सामग्री विरूपण के बाद अपने प्रारंभिक आकार को प्राप्त करती है।
 * Viscoelastic: यदि समय-निर्भर प्रतिरोधक योगदान बड़े हैं, और इसे उपेक्षित नहीं किया जा सकता है। रबर्स और प्लास्टिक में यह संपत्ति है, और निश्चित रूप से हुक के कानून को पूरा नहीं करते हैं। वास्तव में, लोचदार हिस्टैरिसीस होता है।
 * एनेलास्टिक क्षीणन कारक: यदि सामग्री लोचदार के करीब है, लेकिन लागू बल अतिरिक्त समय-निर्भर प्रतिरोधक बलों को प्रेरित करता है (यानी विस्तार/संपीड़न के अलावा विस्तार/संपीड़न के परिवर्तन की दर पर निर्भर करता है)। धातुओं और सिरेमिक में यह विशेषता होती है, लेकिन यह आमतौर पर नगण्य होता है, हालांकि घर्षण के कारण हीटिंग होने पर ऐसा नहीं होता है (जैसे कि मशीनों में कंपन या कतरनी तनाव)।
 * हाइपरलास्टिक सामग्री: लागू बल एक तनाव ऊर्जा घनत्व फ़ंक्शन के बाद सामग्री में विस्थापन को प्रेरित करता है।

टकराव
पृथक्करण v की सापेक्ष गतिseparation किसी अन्य ऑब्जेक्ट बी के साथ टकराव के बाद एक ऑब्जेक्ट ए दृष्टिकोण वी की सापेक्ष गति से संबंधित हैapproach पुनर्स्थापना के गुणांक द्वारा, पुनर्स्थापना के गुणांक द्वारा परिभाषित। न्यूटन का प्रयोगात्मक प्रभाव कानून:
 * $$ e = \frac{|\mathbf{v}|_\text{separation}}{| \mathbf{v}|_\text{approach}} $$

जो उन सामग्रियों पर निर्भर करता है, जो ए और बी से बने होते हैं, क्योंकि टक्कर में ए और बी की सतहों पर बातचीत शामिल होती है 0 ≤ e ≤ 1, जिसमें e = 1 पूरी तरह से लोचदार टकराव के लिए, और e = 0 पूरी तरह से अयोग्य टकराव के लिए।यह संभव है e ≥ 1 होने के लिए - सुपरलेस्टिक (या विस्फोटक) टकराव के लिए।

तरल पदार्थों की विरूपण
ड्रैग समीकरण क्रॉस सेक्शन (ज्यामिति) की एक वस्तु पर ड्रैग (भौतिकी) d देता है। क्रॉस-सेक्शन क्षेत्र एक वेलोसिटी V (द्रव के सापेक्ष) पर घनत्व ρ के एक तरल के माध्यम से चल रहा है


 * $$D=\frac{1}{2}c_d \rho A v^2 $$

जहां ड्रैग गुणांक (आयामहीन) सीdवस्तु की ज्यामिति और द्रव और वस्तु के बीच इंटरफ़ेस पर ड्रैग बलों पर निर्भर करता है।

चिपचिपाहट μ के एक न्यूटोनियन द्रव के लिए, कतरनी तनाव τ रैखिक रूप से तनाव दर (अनुप्रस्थ प्रवाह वेग ढाल) से संबंधित है−1)।एक समान कतरनी प्रवाह में:


 * $$\tau = \mu \frac{\partial u}{\partial y},$$

U (y) के साथ क्रॉस-फ्लो (अनुप्रस्थ) दिशा y में प्रवाह वेग u की भिन्नता।सामान्य तौर पर, एक न्यूटोनियन द्रव के लिए, तत्वों के बीच संबंध τij कतरनी तनाव टेंसर और द्रव की विरूपण द्वारा दिया जाता है


 * $$\tau_{ij} = 2 \mu \left( e_{ij} - \frac13 \Delta \delta_{ij} \right)$$ साथ  $$e_{ij}=\frac12 \left( \frac {\partial v_i}{\partial x_j} + \frac {\partial v_j}{\partial x_i} \right)$$  तथा  $$\Delta = \sum_k e_{kk} = \text{div}\; \mathbf{v},$$

जहां वीi इसी x में प्रवाह वेग वेक्टर के घटक हैंi निर्देशांक निर्देश, ईij स्ट्रेन रेट टेंसर के घटक हैं, of वॉल्यूमेट्रिक स्ट्रेन रेट (या डिलेटेशन रेट) और Δij क्रोनकर डेल्टा है। आदर्श गैस कानून इस अर्थ में एक संवैधानिक संबंध है कि दबाव पी और वॉल्यूम वी तापमान टी से संबंधित हैं, गैस के मोल्स एन की संख्या के माध्यम से:


 * $$pV = nRT$$

जहां r गैस स्थिरांक (j⋅k) है−1 ⋅mol−1)।

इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म और संबंधित क्षेत्रों में संवैधानिक समीकरण
दोनों शास्त्रीय भौतिकी और क्वांटम भौतिकी में, एक प्रणाली की सटीक गतिशीलता एक साथ समीकरणों के अंतर समीकरणों का एक सेट बनाती है, जो सांख्यिकीय यांत्रिकी के स्तर पर भी, यहां तक ​​कि बिल्कुल हमेशा जटिल होने के लिए बहुत जटिल होती है। इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म के संदर्भ में, यह टिप्पणी न केवल मुक्त शुल्क और धाराओं की गतिशीलता (जो मैक्सवेल के समीकरणों में सीधे प्रवेश करती है) पर लागू होती है, बल्कि बाध्य शुल्क और धाराओं की गतिशीलता (जो कि मैक्सवेल के समीकरणों में संवैधानिक संबंधों के माध्यम से प्रवेश करती है) भी लागू होती है। नतीजतन, विभिन्न सन्निकटन योजनाओं का उपयोग आमतौर पर किया जाता है।

उदाहरण के लिए, वास्तविक सामग्रियों में, आरोपों के समय और स्थानिक प्रतिक्रिया को निर्धारित करने के लिए जटिल परिवहन समीकरणों को हल किया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, बोल्ट्जमैन समीकरण या फोकर -प्लैंक समीकरण या नवियर -स्टोक्स समीकरण। उदाहरण के लिए, मैग्नेटोहाइड्रोडायनामिक्स, द्रव की गतिशीलता, इलेक्ट्रोहाइड्रोडायनामिक्स, सुपरकंडक्टिविटी, प्लाज्मा मॉडलिंग देखें। इन मामलों से निपटने के लिए एक संपूर्ण भौतिक तंत्र विकसित हुआ है। उदाहरण के लिए देखें, रैखिक प्रतिक्रिया फ़ंक्शन, ग्रीन-क्यूबो संबंध और ग्रीन का कार्य (कई-शरीर सिद्धांत)।

ये जटिल सिद्धांत विभिन्न सामग्रियों की विद्युत प्रतिक्रिया का वर्णन करने वाले संवैधानिक संबंधों के लिए विस्तृत सूत्र प्रदान करते हैं, जैसे कि पारगम्यता, पारगम्यता (इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म), विद्युत चालकता और इसके आगे।

इलेक्ट्रिक विस्थापन क्षेत्र डी और ई, और चुंबकीय क्षेत्र#एच-फील्ड और चुंबकीय सामग्री के बीच संबंधों को निर्दिष्ट करना आवश्यक है। इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म में गणना करने से पहले चुंबकीय एच-फील्ड एच और बी, मैक्सवेल के मैक्रोस्कोपिक समीकरणों को लागू करने से पहले)। ये समीकरण लागू क्षेत्रों के लिए बाध्य चार्ज और वर्तमान की प्रतिक्रिया को निर्दिष्ट करते हैं और उन्हें संवैधानिक संबंध कहा जाता है।

सहायक क्षेत्रों के बीच संवैधानिक संबंध का निर्धारण डी और एच और ई और बी फ़ील्ड स्वयं सहायक क्षेत्रों की परिभाषा के साथ शुरू होते हैं:
 * $$\begin{align}

\mathbf{D}(\mathbf{r}, t) &= \varepsilon_0 \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) + \mathbf{P}(\mathbf{r}, t) \\ \mathbf{H}(\mathbf{r}, t) &= \frac{1}{\mu_0} \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) - \mathbf{M}(\mathbf{r}, t), \end{align}$$ जहां P ध्रुवीकरण घनत्व क्षेत्र है और M मैग्नेटाइजेशन फ़ील्ड है जो क्रमशः सूक्ष्म बाध्य शुल्क और बाध्य करंट के संदर्भ में परिभाषित किया गया है।एम और पी की गणना करने के तरीके को प्राप्त करने से पहले निम्नलिखित विशेष मामलों की जांच करना उपयोगी है।

चुंबकीय या ढांकता हुआ सामग्री के बिना
चुंबकीय या ढांकता हुआ सामग्री की अनुपस्थिति में, संवैधानिक संबंध सरल हैं:


 * $$\mathbf{D} = \varepsilon_0\mathbf{E} ,\quad \mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu_0$$

जहां ε0 और μ0 दो सार्वभौमिक स्थिरांक हैं, जिन्हें क्रमशः खाली स्थान के वैक्यूम और चुंबकीय स्थिरांक का विद्युत स्थिरांक कहा जाता है।

आइसोट्रोपिक रैखिक सामग्री
एक में (आइसोट्रोपिक) ) रैखिक सामग्री, जहां पी ई के लिए आनुपातिक है, और एम बी के लिए आनुपातिक है, संवैधानिक संबंध भी सीधे हैं।ध्रुवीकरण पी और मैग्नेटाइजेशन एम के संदर्भ में वे हैं:


 * $$\mathbf{P} = \varepsilon_0\chi_e\mathbf{E} ,\quad \mathbf{M} = \chi_m\mathbf{H},$$

जहां χe और χm किसी दिए गए सामग्री की विद्युत संवेदनशीलता और चुंबकीय संवेदनशीलता की संवेदनशीलता क्रमशः है।डी और एच के संदर्भ में संवैधानिक संबंध हैं:


 * $$\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E} ,\quad \mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu,$$

जहां ε और μ स्थिरांक हैं (जो सामग्री पर निर्भर करते हैं), क्रमशः पारगम्यता और पारगम्यता (विद्युत चुम्बकीयता), जिसे सामग्री का कहा जाता है।ये द्वारा संवेदनशीलता से संबंधित हैं:


 * $$\varepsilon/\varepsilon_0 = \varepsilon_r = \chi_e + 1 ,\quad \mu / \mu_0 = \mu_r = \chi_m + 1$$

सामान्य मामला
वास्तविक दुनिया की सामग्रियों के लिए, संवैधानिक संबंध रैखिक नहीं हैं, लगभग छोड़कर।पहले सिद्धांतों से संवैधानिक संबंधों की गणना में यह निर्धारित करना शामिल है कि किसी दिए गए ई और बी से पी और एम कैसे बनाए जाते हैं।नि: शुल्क शुल्क और धाराएं लोरेंत्ज़ बल कानून के माध्यम से क्षेत्रों में प्रतिक्रिया करती हैं और इस प्रतिक्रिया की गणना यांत्रिकी का उपयोग करके एक मौलिक स्तर पर की जाती है।बाध्य शुल्क और धाराओं की प्रतिक्रिया को मैग्नेटाइजेशन और ध्रुवीकरण की धारणाओं के तहत उप -समूहों का उपयोग करने के साथ निपटा जाता है।समस्या के आधार पर, कोई भी मुफ्त शुल्क नहीं चुन सकता है।संघनित पदार्थ भौतिकी)।नियोजित विस्तार से कॉन्टिनम मैकेनिक्स या ग्रीन -क्यूबो संबंध हो सकते हैं, जो जांच के तहत समस्या के लिए आवश्यक स्तर पर निर्भर करता है।

सामान्य तौर पर, संवैधानिक संबंध आमतौर पर अभी भी लिखा जा सकता है:
 * $$\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E} ,\quad \mathbf{H} = \mu^{-1}\mathbf{B}$$

लेकिन ε और μ, सामान्य रूप से, सरल स्थिरांक नहीं हैं, बल्कि प्रकृति में 'ई', 'बी', स्थिति और समय और टेंसोरियल के कार्य करते हैं।उदाहरण हैं:

• Dispersion and absorption where ε and μ are functions of frequency. (Causality does not permit materials to be nondispersive; see, for example, Kramers–Kronig relations.) Neither do the fields need to be in phase, which leads to ε and μ being complex. This also leads to absorption.

• Nonlinearity where ε and μ are functions of E and B.

• Anisotropy (such as birefringence or dichroism) which occurs when ε and μ are second-rank tensors, $D_i = \sum_j \varepsilon_{ij} E_j ,\quad B_i = \sum_j \mu_{ij} H_j.$

• Dependence of P and M on E and B at other locations and times. This could be due to spatial inhomogeneity; for example in a domained structure, heterostructure or a liquid crystal, or most commonly in the situation where there are simply multiple materials occupying different regions of space. Or it could be due to a time varying medium or due to hysteresis. In such cases P and M can be calculated as: $\begin{align} \mathbf{P}(\mathbf{r}, t) &= \varepsilon_0 \int {\rm d}^3 \mathbf{r}'{\rm d}t'\; \hat{\chi}_e \left(\mathbf{r}, \mathbf{r}', t, t'; \mathbf{E}\right)\, \mathbf{E}\left(\mathbf{r}', t'\right) \\ \mathbf{M}(\mathbf{r}, t) &= \frac{1}{\mu_0} \int {\rm d}^3 \mathbf{r}'{\rm d}t' \; \hat{\chi}_m \left(\mathbf{r}, \mathbf{r}', t, t'; \mathbf{B}\right)\, \mathbf{B}\left(\mathbf{r}', t'\right), \end{align}$ in which the permittivity and permeability functions are replaced by integrals over the more general electric and magnetic susceptibilities. In homogeneous materials, dependence on other locations is known as spatial dispersion. इन उदाहरणों की भिन्नता के रूप में, सामान्य सामग्रियों में द्वि-आइसोट्रोपिक सामग्री होती है, जहां डी और बी ई और एच दोनों पर निर्भर करते हैं, अतिरिक्त  युग्मन स्थिरांक     'और'   :
 * $$\mathbf{D}=\varepsilon \mathbf{E} + \xi \mathbf{H} \,,\quad \mathbf{B} = \mu \mathbf{H} + \zeta \mathbf{E}.$$

व्यवहार में, कुछ सामग्री गुणों का विशेष परिस्थितियों में एक नगण्य प्रभाव पड़ता है, जो छोटे प्रभावों की उपेक्षा की अनुमति देता है।उदाहरण के लिए: कम क्षेत्र की ताकत के लिए ऑप्टिकल nonlinearities की उपेक्षा की जा सकती है;सामग्री फैलाव महत्वहीन है जब आवृत्ति एक संकीर्ण बैंडविड्थ (सिग्नल प्रोसेसिंग) तक सीमित होती है;सामग्री अवशोषण को तरंग दैर्ध्य के लिए उपेक्षित किया जा सकता है जिसके लिए एक सामग्री पारदर्शी है;और परिमित चालकता वाले धातुओं को अक्सर माइक्रोवेव या लंबे समय तक तरंग दैर्ध्य पर अनुमानित किया जाता है, जो अनंत चालकता के साथ पूर्ण कंडक्टर के रूप में (क्षेत्र में प्रवेश की शून्य त्वचा की गहराई के साथ कठिन बाधाओं का निर्माण) होता है।

कुछ मानव निर्मित सामग्री जैसे कि मेटामेटेरियल्स और फोटोनिक क्रिस्टल को अनुकूलित पारगम्यता और पारगम्यता के लिए डिज़ाइन किया गया है।

संवैधानिक संबंधों की गणना
एक सामग्री के संवैधानिक समीकरणों की सैद्धांतिक गणना सैद्धांतिक संघनित-भौतिकी और सामग्री विज्ञान में एक सामान्य, महत्वपूर्ण और कभी-कभी कठिन कार्य है। सामान्य तौर पर, संवैधानिक समीकरण सैद्धांतिक रूप से यह गणना करके निर्धारित किए जाते हैं कि एक अणु लोरेंट्ज़ बल के माध्यम से स्थानीय क्षेत्रों में कैसे प्रतिक्रिया करता है। अन्य बलों को क्रिस्टल या बॉन्ड बलों में जाली कंपन जैसे मॉडलिंग करने की आवश्यकता हो सकती है। सभी बलों सहित अणु में परिवर्तन की ओर जाता है जो स्थानीय क्षेत्रों के एक समारोह के रूप में पी और एम की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है।

स्थानीय क्षेत्र पास की सामग्री के ध्रुवीकरण और चुंबकत्व द्वारा उत्पादित क्षेत्रों के कारण लागू क्षेत्रों से भिन्न होते हैं; एक प्रभाव जिसे मॉडलिंग करने की भी आवश्यकता है। इसके अलावा, वास्तविक सामग्री निरंतर यांत्रिकी नहीं हैं; वास्तविक सामग्रियों के स्थानीय क्षेत्र परमाणु पैमाने पर बेतहाशा भिन्न होते हैं। एक निरंतरता सन्निकटन बनाने के लिए फ़ील्ड को एक उपयुक्त मात्रा में औसत करने की आवश्यकता है।

इन सातत्य अनुमानों को अक्सर कुछ प्रकार के क्वांटम यांत्रिकी विश्लेषण की आवश्यकता होती है जैसे कि क्वांटम फील्ड थ्योरी जैसा कि संघनित पदार्थ भौतिकी पर लागू होता है। देखें, उदाहरण के लिए, घनत्व कार्यात्मक सिद्धांत, ग्रीन-क्यूबो संबंध और ग्रीन का कार्य (कई-शरीर सिद्धांत) | ग्रीन का कार्य।

 समरूपता विधियों  का एक अलग सेट (समूह (भूविज्ञान) और टुकड़े टुकड़े) जैसी सामग्रियों के इलाज में एक परंपरा से विकसित होना एक सजातीय 'प्रभावी मध्यम सन्निकटन' '' 'प्रभावी माध्यम' द्वारा एक अमानवीय सामग्री के सन्निकटन पर आधारित है। (तरंग दैर्ध्य के साथ उत्तेजना के लिए मान्य है, जो कि अमानवीयता के पैमाने से बहुत बड़ा है)। कई वास्तविक सामग्रियों के निरंतरता-अनुमोदन गुणों का सैद्धांतिक मॉडलिंग अक्सर प्रयोगात्मक माप पर भी निर्भर करती है। उदाहरण के लिए, कम आवृत्तियों पर एक इन्सुलेटर को एक समानांतर-प्लेट संधारित्र में बनाकर मापा जा सकता है, और ε ऑप्टिकल-लाइट आवृत्तियों पर अक्सर एलिप्सोमेट्री द्वारा मापा जाता है।

थर्मोइलेक्ट्रिक और पदार्थ के विद्युत चुम्बकीय गुण
इन संवैधानिक समीकरणों का उपयोग अक्सर क्रिस्टलोग्राफी, ठोस-राज्य भौतिकी के एक क्षेत्र में किया जाता है।
 * {| class="wikitable"

! scope="col" width="150" | Property/effect ! scope="col" width="225" | Stimuli/response parameters of system ! scope="col" width="225" | Constitutive tensor of system ! scope="col" width="100" | Equation
 * +Electromagnetic properties of solids
 * Hall effect
 * E, electric field strength (N⋅C−1)
 * J, electric current density (A⋅m−2)
 * H, magnetic field intensity (A⋅m−1)
 * J, electric current density (A⋅m−2)
 * H, magnetic field intensity (A⋅m−1)
 * ρ, electrical resistivity (Ω⋅m)
 * $$ E_k = \rho_{kij} J_i H_j $$
 * Direct Piezoelectric Effect
 * σ, Stress (Pa)
 * P, (dielectric) polarization (C⋅m−2)
 * σ, Stress (Pa)
 * P, (dielectric) polarization (C⋅m−2)
 * d, direct piezoelectric coefficient (C⋅N−1)
 * $$P_i = d_{ijk}\sigma_{jk} $$
 * Converse Piezoelectric Effect
 * ε, Strain (dimensionless)
 * E, electric field strength (N⋅C−1)
 * ε, Strain (dimensionless)
 * E, electric field strength (N⋅C−1)
 * d, direct piezoelectric coefficient (C⋅N−1)
 * $$\varepsilon_{ij} = d_{ijk}E_k $$
 * Piezomagnetic effect
 * σ, Stress (Pa)
 * M, magnetization (A⋅m−1)
 * σ, Stress (Pa)
 * M, magnetization (A⋅m−1)
 * q, piezomagnetic coefficient (A⋅N−1⋅m)
 * $$M_i = q_{ijk}\sigma_{jk} $$
 * }
 * {| class="wikitable"
 * {| class="wikitable"

! scope="col" width="150" | Property/effect ! scope="col" width="225" | Stimuli/response parameters of system ! scope="col" width="225" | Constitutive tensor of system ! scope="col" width="100" | Equation
 * +Thermoelectric properties of solids
 * Pyroelectricity
 * P, (dielectric) polarization (C⋅m−2)
 * T, temperature (K)
 * P, (dielectric) polarization (C⋅m−2)
 * T, temperature (K)
 * p, pyroelectric coefficient (C⋅m−2⋅K−1)
 * $$ \Delta P_j = p_j \Delta T $$
 * Electrocaloric effect
 * S, entropy (J⋅K−1)
 * E, electric field strength (N⋅C−1)
 * S, entropy (J⋅K−1)
 * E, electric field strength (N⋅C−1)
 * p, pyroelectric coefficient (C⋅m−2⋅K−1)
 * $$ \Delta S = p_i \Delta E_i $$
 * Seebeck effect
 * E, electric field strength (N⋅C−1 = V⋅m−1)
 * T, temperature (K)
 * x, displacement (m)
 * T, temperature (K)
 * x, displacement (m)
 * β, thermopower (V⋅K−1)
 * $$ E_i = - \beta_{ij} \frac{\partial T}{\partial x_j} $$
 * Peltier effect
 * E, electric field strength (N⋅C−1)
 * J, electric current density (A⋅m−2)
 * q, heat flux (W⋅m−2)
 * J, electric current density (A⋅m−2)
 * q, heat flux (W⋅m−2)
 * Π, Peltier coefficient (W⋅A−1)
 * $$ q_j = \Pi_{ji} J_i $$
 * }

अपवर्तक सूचकांक
एक मध्यम n (आयाम रहित) का अपवर्तक सूचकांक ज्यामितीय प्रकाशिकी और भौतिक प्रकाशिकी की एक महत्वपूर्ण संपत्ति है, जिसे वैक्यूम सी में ल्यूमिनल गति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है0 मध्यम c में उस के लिए:


 * $$ n = \frac{c_0}{c} = \sqrt{\frac{\varepsilon \mu}{\varepsilon_0 \mu_0}} = \sqrt{\varepsilon_r \mu_r} $$

जहां ε परमिटिविटी और ε हैr माध्यम की सापेक्ष पारगम्यता, इसी तरह μ पारगम्यता और μ हैr माध्यम के सापेक्ष पारगम्यता हैं।वैक्यूम पारगम्यता ε है0 और वैक्यूम पारगम्यता μ है0।केवल मिडालल, अल (हमेशा।r) जटिल संख्याएं हैं।

सापेक्ष अपवर्तक सूचकांक को दो अपवर्तक सूचकांकों के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।निरपेक्ष सामग्री के लिए है, रिश्तेदार इंटरफेस की हर संभव जोड़ी पर लागू होता है;


 * $$ n_{AB} = \frac{n_A}{n_B} $$

पदार्थ में प्रकाश की गति
परिभाषा के परिणामस्वरूप, पदार्थ में प्रकाश की गति है


 * $$c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon \mu}}$$

वैक्यूम के विशेष मामले के लिए; ε = ε0 तथा μ = μ0,


 * $$c_0 = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}$$

Piezooptic प्रभाव
Piezooptic प्रभाव ठोस पदार्थों में तनावों को ढांकता हुआ अभेद्यता ए से संबंधित करता है, जो कि एक चौथे-रैंक टेंसर द्वारा युग्मित होते हैं, जिसे Piezooptic गुणांक π कहा जाता है (यूनिट्स k (यूनिट्स k−1):


 * $$a_{ij} = \Pi_{ijpq}\sigma_{pq} $$

परिभाषाएँ

 * {| class="wikitable"

! scope="col" width="150" | Quantity (common name/s) ! scope="col" width="225" | (Common) symbol/s ! scope="col" width="200" | Defining equation ! scope="col" width="125" | SI units ! scope="col" width="100" | Dimension
 * + Definitions (thermal properties of matter)
 * General heat capacity
 * C, heat capacity of substance
 * $$q = C T$$
 * J⋅K−1
 * [M][L]2[T]−2[Θ]−1
 * Linear thermal expansion
 * L, length of material (m)
 * α, coefficient linear thermal expansion (dimensionless)
 * ε, strain tensor (dimensionless)
 * L, length of material (m)
 * α, coefficient linear thermal expansion (dimensionless)
 * ε, strain tensor (dimensionless)
 * $$\frac{\partial L}{\partial T} = \alpha L $$
 * $$\varepsilon_{ij} = \alpha_{ij}\Delta T $$
 * $$\varepsilon_{ij} = \alpha_{ij}\Delta T $$
 * K−1
 * [Θ]−1
 * Volumetric thermal expansion
 * β, γ
 * β, γ
 * V, volume of object (m3)
 * p, constant pressure of surroundings
 * $$ \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p = \gamma V$$
 * K−1
 * [Θ]−1
 * Thermal conductivity
 * κ, K, λ,
 * κ, K, λ,
 * A, surface cross section of material (m2)
 * P, thermal current/power through material (W)
 * ∇T, temperature gradient in material (K⋅m−1)
 * $$\lambda = - \frac{P}{\mathbf{A} \cdot \nabla T}$$
 * W⋅m−1⋅K−1
 * [M][L][T]−3[Θ]−1
 * Thermal conductance
 * U
 * $$ U = \frac{\lambda}{\delta x}$$
 * W⋅m−2⋅K−1
 * [M][T]−3[Θ]−1
 * Thermal resistance
 * R Δx, displacement of heat transfer (m)
 * $$R = \frac{1}{U} = \frac{\Delta x}{\lambda}$$
 * m2⋅K⋅W−1
 * [M]−1[L][T]3[Θ]
 * }
 * {| class="wikitable"
 * }
 * {| class="wikitable"
 * {| class="wikitable"

! scope="col" width="200" | Quantity (common name/s) ! scope="col" width="150" | (Common) symbol/s ! scope="col" width="200" | Defining equation ! scope="col" width="100" | SI units ! scope="col" width="100" | Dimension
 * + Definitions (electrical/magnetic properties of matter)
 * Electrical resistance
 * R
 * $$R = \frac{V}{I}$$
 * Ω, V⋅A−1 = J⋅s⋅C−2
 * [M][L]2[T]−3[I]−2
 * Resistivity
 * ρ
 * $$\rho = \frac{RA}{l}$$
 * Ω⋅m
 * [M]2[L]2[T]−3[I]−2
 * Resistivity temperature coefficient, linear temperature dependence
 * α
 * $$\rho - \rho_0 = \rho_0\alpha(T - T_0)$$
 * K−1
 * [Θ]−1
 * Electrical conductance
 * G
 * $$ G = \frac{1}{R} $$
 * S = Ω−1
 * [M]−1[L]−2[T]3[I]2
 * Electrical conductivity
 * σ
 * $$\sigma = \frac{1}{\rho}$$
 * Ω−1⋅m−1
 * [M]−2[L]−2[T]3[I]2
 * Magnetic reluctance
 * R, Rm, $$\mathcal{R}$$
 * $$R_\text{m} = \frac{\mathcal{M}}{\Phi_B}$$
 * A⋅Wb−1 = H−1
 * [M]−1[L]−2[T]2
 * Magnetic permeance
 * P, Pm, Λ, $$\mathcal{P} $$
 * $$\Lambda = \frac{1}{R_\text{m}}$$
 * Wb⋅A−1 = H
 * [M][L]2[T]−2
 * }
 * Magnetic permeance
 * P, Pm, Λ, $$\mathcal{P} $$
 * $$\Lambda = \frac{1}{R_\text{m}}$$
 * Wb⋅A−1 = H
 * [M][L]2[T]−2
 * }
 * }

निश्चित कानून
ऐसे कई कानून हैं जो लगभग समान तरीके से मामले के परिवहन, या इसके गुणों का वर्णन करते हैं।हर मामले में, शब्दों में वे पढ़ते हैं:


 *  फ्लक्स (घनत्व) एक ढाल के लिए आनुपातिक है, आनुपातिकता की निरंतरता सामग्री की विशेषता है। 

सामान्य तौर पर सामग्री के दिशात्मक निर्भरता के लिए खाते में स्थिरांक को 2 रैंक टेंसर द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए।


 * {| class="wikitable"

! scope="col" width="220" | Property/effect ! scope="col" width="300" | Nomenclature ! scope="col" width="250" | Equation Simplest form is: $$ V = IR $$
 * Fick's law of diffusion, defines diffusion coefficient D
 * D, mass diffusion coefficient (m2⋅s−1)
 * J, diffusion flux of substance (mol⋅m−2⋅s−1)
 * ∂C/∂x, (1d)concentration gradient of substance (mol⋅dm−4)
 * J, diffusion flux of substance (mol⋅m−2⋅s−1)
 * ∂C/∂x, (1d)concentration gradient of substance (mol⋅dm−4)
 * $$ J_i = - D_{ij} \frac{\partial C}{\partial x_j} $$
 * Darcy's law for fluid flow in porous media, defines permeability κ
 * κ, permeability of medium (m2)
 * μ, fluid viscosity (Pa⋅s)
 * q, discharge flux of substance (m⋅s−1)
 * ∂P/∂x, (1d) pressure gradient of system (Pa⋅m−1)
 * q, discharge flux of substance (m⋅s−1)
 * ∂P/∂x, (1d) pressure gradient of system (Pa⋅m−1)
 * $$ q_j = -\frac{\kappa}{\mu} \frac{\partial P}{\partial x_j} $$
 * Ohm's law of electric conduction, defines electric conductivity (and hence resistivity and resistance)
 * V, potential difference in material (V)
 * I, electric current through material (A)
 * R, resistance of material (Ω)
 * ∂V/∂x, potential gradient (electric field) through material (V⋅m−1)
 * J, electric current density through material (A⋅m−2)
 * σ, electric conductivity of material (Ω−1⋅m−1)
 * ρ, electrical resistivity of material (Ω⋅m)
 * σ, electric conductivity of material (Ω−1⋅m−1)
 * ρ, electrical resistivity of material (Ω⋅m)

More general forms are: $$\frac{\partial V}{\partial x_j} = \rho_{ji} J_i \, \rightleftharpoons \, J_i = \sigma_{ij} \frac{\partial V}{\partial x_j} $$ For a single radiator: $$I = \varepsilon \sigma T^4$$
 * Fourier's law of thermal conduction, defines thermal conductivity λ
 * λ, thermal conductivity of material (W⋅m−1⋅K−1 )
 * q, heat flux through material (W⋅m−2)
 * ∂T/∂x, temperature gradient in material (K⋅m−1)
 * q, heat flux through material (W⋅m−2)
 * ∂T/∂x, temperature gradient in material (K⋅m−1)
 * $$ q_i= - \lambda_{ij}\frac{\partial T}{\partial x_j} $$
 * Stefan–Boltzmann law of black-body radiation, defines emmisivity ε
 * I, radiant intensity (W⋅m−2)
 * σ, Stefan–Boltzmann constant (W⋅m−2⋅K−4)
 * Tsys, temperature of radiating system (K)
 * Text, temperature of external surroundings (K)
 * ε, emissivity (dimensionless)
 * Text, temperature of external surroundings (K)
 * ε, emissivity (dimensionless)

For a temperature difference:
 * }

यह भी देखें

 * भौतिक निष्पक्षता का सिद्धांत
 * रियोलॉजी

टिप्पणियाँ
[[Category: मैट में विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र