सशर्त स्वतंत्रता

संभाव्यता सिद्धांत में, सशर्त स्वतंत्रता उन स्थितियों का वर्णन करती है जिनमें एक परिकल्पना की निश्चितता का मूल्यांकन करते समय एक अवलोकन अप्रासंगिक या अनावश्यक होता है। सशर्त स्वतंत्रता आमतौर पर सशर्त संभाव्यता के संदर्भ में तैयार की जाती है, एक विशेष मामले के रूप में जहां बिना सूचना के अवलोकन के तहत दी गई परिकल्पना की संभावना बिना संभावना के बराबर होती है। अगर $$A$$ परिकल्पना है, और $$B$$ और $$C$$ अवलोकन हैं, सशर्त स्वतंत्रता को समानता के रूप में कहा जा सकता है:


 * $$P(A\mid B,C) = P(A \mid C)$$

कहाँ $$P(A \mid B, C)$$ की सम्भावना है $$A$$ दोनों दिए गए $$B$$ और $$C$$. की संभावना के बाद से $$A$$ दिया गया $$C$$ की संभावना के समान है $$A$$ दोनों दिए गए $$B$$ और $$C$$, यह समानता उसे व्यक्त करती है $$B$$ की निश्चितता में कोई योगदान नहीं देता $$A$$. इस मामले में, $$A$$ और $$B$$ सशर्त रूप से स्वतंत्र कहा जाता है $$C$$, प्रतीकात्मक रूप से इस प्रकार लिखा गया है: $$(A \perp\!\!\!\perp B \mid C)$$. कारण समानता संकेतन की भाषा में, दो कार्य $$f(y)$$ और $$g(y)$$ जो दोनों एक सामान्य चर पर निर्भर हैं $$y$$ संकेतन का उपयोग करके सशर्त रूप से स्वतंत्र के रूप में वर्णित किया गया है $$f\left(y\right) ~\overset{\curvearrowleft \curvearrowright }{=}~ g\left(y\right)$$, जो अंकन के समतुल्य है $$P(f\mid g,y) = P(f \mid y)$$.

सशर्त स्वतंत्रता की अवधारणा सांख्यिकीय अनुमान के ग्राफ-आधारित सिद्धांतों के लिए आवश्यक है, क्योंकि यह सशर्त बयानों के संग्रह और एक ग्राफ़ॉइड के बीच गणितीय संबंध स्थापित करती है।

घटनाओं की सशर्त स्वतंत्रता
होने देना $$A$$, $$B$$, और $$C$$ घटना (संभावना सिद्धांत) हो। $$A$$ और $$B$$ सशर्त रूप से स्वतंत्र कहा जाता है $$C$$ अगर और केवल अगर $$P(C) > 0$$ और:


 * $$P(A \mid B, C) = P(A \mid C)$$

यह संपत्ति अक्सर लिखी जाती है: $$(A \perp\!\!\!\perp B \mid C)$$, जिसे पढ़ा जाना चाहिए $$((A \perp\!\!\!\perp B) \vert C)$$.

समान रूप से, सशर्त स्वतंत्रता को इस प्रकार कहा जा सकता है:


 * $$P(A,B|C) = P(A|C)P(B|C)$$

कहाँ $$P(A,B|C)$$ की संयुक्त संभावना है $$A$$ और $$B$$ दिया गया $$C$$. यह वैकल्पिक सूत्रीकरण यह बताता है $$A$$ और $$B$$ स्वतंत्रता (संभावना सिद्धांत) दी गई है $$C$$.

यह यह दर्शाता है $$(A \perp\!\!\!\perp B \mid C)$$ के बराबर है $$(B \perp\!\!\!\perp A \mid C)$$.

समतुल्य परिभाषा का प्रमाण

 * $$P(A, B \mid C) = P(A\mid C)P(B\mid C)$$
 * iff $$\frac{P(A, B, C)}{P(C)} = \left(\frac{P(A, C)}{P(C)}\right) \left(\frac{P(B, C)}{P(C)} \right)$$ (सशर्त संभाव्यता की परिभाषा)


 * iff $$P(A, B, C) = \frac{P(A, C) P(B, C)}{P(C)}$$ (दोनों पक्षों को इससे गुणा करें $$P(C)$$)


 * iff $$\frac{P(A, B, C)}{P(B, C)}= \frac{P(A, C)}{P(C)}$$ (दोनों पक्षों को विभाजित करें $$P(B, C)$$)


 * iff $$P(A \mid B, C) = P(A \mid C)$$ (सशर्त संभाव्यता की परिभाषा) $$\therefore$$

रंगीन बक्से
प्रत्येक कोशिका एक संभावित परिणाम का प्रतिनिधित्व करती है। घटनाएं $$\color{red}R$$, $$\color{blue}B$$ और $$\color{gold}Y$$ छायांकित क्षेत्रों द्वारा दर्शाया गया है red, blue और yellow क्रमश। घटनाओं के बीच ओवरलैप $$\color{red}R$$ और $$\color{blue}B$$ छायांकित है  purple.

इन घटनाओं की संभावनाएँ कुल क्षेत्रफल के संबंध में छायांकित क्षेत्र हैं। दोनों उदाहरणों में $$\color{red}R$$ और $$\color{blue}B$$ सशर्त रूप से स्वतंत्र दिए गए हैं $$\color{gold}Y$$ क्योंकि:


 * $$\Pr({\color{red}R}, {\color{blue}B} \mid {\color{gold}Y}) = \Pr({\color{red}R} \mid {\color{gold}Y})\Pr({\color{blue}B} \mid {\color{gold}Y})$$

लेकिन सशर्त रूप से स्वतंत्र नहीं दिया गया $$\left[ \text{not }{\color{gold}Y}\right]$$ क्योंकि:


 * $$\Pr({\color{red}R}, {\color{blue}B} \mid \text{not } {\color{gold}Y}) \not= \Pr({\color{red}R} \mid \text{not } {\color{gold}Y})\Pr({\color{blue}B} \mid \text{not } {\color{gold}Y})$$

निकटता और देरी
मान लीजिए कि घटना ए और बी को इस संभावना के रूप में परिभाषित किया गया है कि व्यक्ति ए और व्यक्ति बी रात के खाने के लिए समय पर घर आएंगे, जहां दोनों लोगों को पूरी दुनिया से यादृच्छिक रूप से नमूना लिया गया है। घटनाओं ए और बी को स्वतंत्र माना जा सकता है यानी यह ज्ञान कि ए देर से है, बी के देर से आने की संभावना पर न्यूनतम या कोई परिवर्तन नहीं होता है। हालाँकि, यदि कोई तीसरी घटना पेश की जाती है, व्यक्ति ए और व्यक्ति बी एक ही पड़ोस में रहते हैं, तो दोनों घटनाओं को अब सशर्त रूप से स्वतंत्र नहीं माना जाता है। ट्रैफ़िक की स्थितियाँ और मौसम संबंधी घटनाएँ जो व्यक्ति A को विलंबित कर सकती हैं, व्यक्ति B को भी विलंबित कर सकती हैं। तीसरी घटना और ज्ञान को देखते हुए कि व्यक्ति A देर से आया था, व्यक्ति B के देर से आने की संभावना सार्थक रूप से बदल जाती है।

पासा पलटना
सशर्त स्वतंत्रता तीसरी घटना की प्रकृति पर निर्भर करती है। यदि आप दो पासे घुमाते हैं, तो कोई यह मान सकता है कि दोनों पासे एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से व्यवहार करते हैं। एक पासे के परिणाम को देखने से आपको दूसरे पासे के परिणाम के बारे में पता नहीं चलेगा। (अर्थात्, दोनों पासे स्वतंत्र हैं।) हालाँकि, यदि पहले पासे का परिणाम 3 है, और कोई आपको तीसरी घटना के बारे में बताता है - कि दोनों परिणामों का योग सम है - तो जानकारी की यह अतिरिक्त इकाई प्रतिबंधित कर देती है दूसरे परिणाम के लिए विषम संख्या के विकल्प। दूसरे शब्दों में, दो घटनाएँ स्वतंत्र हो सकती हैं, लेकिन सशर्त रूप से स्वतंत्र नहीं।

ऊंचाई और शब्दावली
ऊंचाई और शब्दावली निर्भर हैं क्योंकि बहुत छोटे लोग बच्चे होते हैं, जो अपनी अधिक बुनियादी शब्दावली के लिए जाने जाते हैं। लेकिन यह जानते हुए कि दो लोग 19 वर्ष के हैं (अर्थात, उम्र पर शर्त) यह सोचने का कोई कारण नहीं है कि एक व्यक्ति की शब्दावली बड़ी है यदि हमें बताया जाए कि वे लंबे हैं।

यादृच्छिक चर की सशर्त स्वतंत्रता
दो असतत यादृच्छिक चर $$X$$ और $$Y$$ तीसरे असतत यादृच्छिक चर को देखते हुए सशर्त रूप से स्वतंत्र हैं $$Z$$ यदि और केवल यदि वे दिए गए सशर्त संभाव्यता वितरण में स्वतंत्रता (संभावना सिद्धांत) हैं $$Z$$. वह है, $$X$$ और $$Y$$ सशर्त रूप से स्वतंत्र दिए गए हैं $$Z$$ यदि और केवल यदि, का कोई मान दिया गया हो $$Z$$, की संभाव्यता वितरण $$X$$ के सभी मूल्यों के लिए समान है $$Y$$ और की संभाव्यता वितरण $$Y$$ के सभी मूल्यों के लिए समान है $$X$$. औपचारिक रूप से:

कहाँ $$F_{X,Y\,\mid\,Z\,=\,z}(x,y)=\Pr(X \leq x, Y \leq y \mid Z=z)$$ का सशर्त संचयी वितरण कार्य है $$X$$ और $$Y$$ दिया गया $$Z$$.

दो घटनाएँ $$R$$ और $$B$$ सिग्मा-बीजगणित|σ-बीजगणित दिए जाने पर सशर्त रूप से स्वतंत्र हैं $$\Sigma$$ अगर


 * $$\Pr(R, B \mid \Sigma) = \Pr(R \mid \Sigma)\Pr(B \mid \Sigma) \text{ a.s.}$$

कहाँ $$\Pr(A \mid \Sigma) $$ घटना के संकेतक फ़ंक्शन की सशर्त अपेक्षा को दर्शाता है $$A$$, $$\chi_A$$, सिग्मा बीजगणित दिया गया $$\Sigma$$. वह है,


 * $$\Pr(A \mid \Sigma) := \operatorname{E}[\chi_A\mid\Sigma].$$

दो यादृच्छिक चर $$X$$ और $$Y$$ σ-बीजगणित दिए जाने पर सशर्त रूप से स्वतंत्र हैं $$\Sigma$$ यदि उपरोक्त समीकरण सभी पर लागू होता है $$R$$ में $$\sigma(X)$$ और $$B$$ में $$\sigma(Y)$$.

दो यादृच्छिक चर $$X$$ और $$Y$$ एक यादृच्छिक चर दिए जाने पर सशर्त रूप से स्वतंत्र हैं $$W$$ यदि वे स्वतंत्र हैं तो σ(W): द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित $$W$$. यह आमतौर पर लिखा जाता है:


 * $$X \perp\!\!\!\perp Y \mid W $$ या
 * $$X \perp Y \mid W$$

यह पढ़ा$$X$$ से स्वतंत्र है $$Y$$, दिया गया $$W$$; कंडीशनिंग पूरे कथन पर लागू होती है: ($$X$$ से स्वतंत्र है $$Y$$) दिया गया $$W$$.


 * $$(X \perp\!\!\!\perp Y) \mid W$$

यह अंकन विस्तारित होता है $$X \perp\!\!\!\perp Y$$ के लिए$$X$$ की स्वतंत्रता (संभावना सिद्धांत) है $$Y$$.

अगर $$W$$ मूल्यों का एक गणनीय सेट मानता है, यह फॉर्म की घटनाओं के लिए एक्स और वाई की सशर्त स्वतंत्रता के बराबर है $$[W=w]$$. दो से अधिक घटनाओं, या दो से अधिक यादृच्छिक चर की सशर्त स्वतंत्रता को अनुरूप रूप से परिभाषित किया गया है।

निम्नलिखित दो उदाहरण यह दर्शाते हैं $$X \perp\!\!\!\perp Y$$ न तो तात्पर्य है और न ही निहित है $$(X \perp\!\!\!\perp Y) \mid W$$.

सबसे पहले, मान लीजिए $$W$$ संभावना 0.5 के साथ 0 है और अन्यथा 1 है। जब W = 0 लें $$X$$ और $$Y$$ स्वतंत्र होने के लिए, प्रत्येक का मान 0 है और संभावना 0.99 है और अन्यथा मान 1 है। कब $$W=1$$, $$X$$ और $$Y$$ फिर से स्वतंत्र हैं, लेकिन इस बार वे प्रायिकता 0.99 के साथ मान 1 लेते हैं। तब $$(X \perp\!\!\!\perp Y) \mid W$$. लेकिन $$X$$ और $$Y$$ निर्भर हैं, क्योंकि Pr(X = 0) < Pr(X = 0|Y = 0)। ऐसा इसलिए है क्योंकि Pr(X = 0) = 0.5, लेकिन यदि Y = 0 है तो इसकी बहुत संभावना है कि W = 0 और इस प्रकार X = 0 भी है, इसलिए Pr(X = 0|Y = 0) > 0.5।

दूसरे उदाहरण के लिए, मान लीजिए $$X \perp\!\!\!\perp Y$$, प्रत्येक प्रायिकता 0.5 के साथ मान 0 और 1 ले रहा है। होने देना $$W$$ उत्पाद हो $$X \cdot Y$$. फिर कब $$W=0$$, पर(क्ष = 0) = 2/3, बूत पर(क्ष = 0|Y = 0) = 1/2, सो $$(X \perp\!\!\!\perp Y) \mid W$$ गलत है। यह भी समझाने का एक उदाहरण है। केविन मर्फी का ट्यूटोरियल देखें कहाँ $$X$$ और $$Y$$ दिमागदार और स्पोर्टी मूल्यों को अपनाएं।

यादृच्छिक सदिशों की सशर्त स्वतंत्रता
दो यादृच्छिक वेक्टर $$\mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_l)^{\mathrm T}$$ और $$\mathbf{Y}=(Y_1,\ldots,Y_m)^{\mathrm T}$$ तीसरे यादृच्छिक वेक्टर को देखते हुए सशर्त रूप से स्वतंत्र हैं $$\mathbf{Z}=(Z_1,\ldots,Z_n)^{\mathrm T}$$ यदि और केवल यदि वे दिए गए सशर्त संचयी वितरण में स्वतंत्र हैं $$\mathbf{Z}$$. औपचारिक रूप से:

कहाँ $$\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_l)^{\mathrm T}$$, $$\mathbf{y}=(y_1,\ldots,y_m)^{\mathrm T}$$ और $$\mathbf{z}=(z_1,\ldots,z_n)^{\mathrm T}$$ और सशर्त संचयी वितरण निम्नानुसार परिभाषित किए गए हैं।


 * $$\begin{align}

F_{\mathbf{X},\mathbf{Y}\,\mid\,\mathbf{Z}\,=\,\mathbf{z}}(\mathbf{x},\mathbf{y}) &= \Pr(X_1 \leq x_1,\ldots,X_l \leq x_l, Y_1 \leq y_1,\ldots,Y_m \leq y_m \mid Z_1=z_1,\ldots,Z_n=z_n) \\[6pt] F_{\mathbf{X}\,\mid\,\mathbf{Z}\,=\,\mathbf{z}}(\mathbf{x}) &= \Pr(X_1 \leq x_1,\ldots,X_l \leq x_l \mid Z_1=z_1,\ldots,Z_n=z_n) \\[6pt] F_{\mathbf{Y}\,\mid\,\mathbf{Z}\,=\,\mathbf{z}}(\mathbf{y}) &= \Pr(Y_1 \leq y_1,\ldots,Y_m \leq y_m \mid Z_1=z_1,\ldots,Z_n=z_n) \end{align}$$

बायेसियन अनुमान में उपयोग
मान लीजिए p उन मतदाताओं का अनुपात है जो आगामी जनमत संग्रह में हाँ में मतदान करेंगे। जनमत सर्वेक्षण में, कोई जनसंख्या में से यादृच्छिक रूप से n मतदाताओं को चुनता है। i = 1, ..., n के लिए, मान लीजिए Xi= 1 या 0, क्रमशः, इस बात से मेल खाता है कि चुना गया पहला मतदाता हाँ में मतदान करेगा या नहीं।

सांख्यिकीय अनुमान के लिए आवृत्ति संभाव्यता दृष्टिकोण में कोई व्यक्ति पी को किसी भी संभाव्यता वितरण का श्रेय नहीं देगा (जब तक कि संभावनाओं को किसी घटना की घटना की सापेक्ष आवृत्तियों या कुछ जनसंख्या के अनुपात के रूप में व्याख्या नहीं की जा सकती) और कोई कहेगा कि एक्स1, ..., एक्सn सांख्यिकीय स्वतंत्रता यादृच्छिक चर हैं।

इसके विपरीत, सांख्यिकीय अनुमान के लिए बायेसियन अनुमान दृष्टिकोण में, कोई ऐसी आवृत्ति व्याख्या की गैर-मौजूदगी की परवाह किए बिना पी को संभाव्यता वितरण निर्दिष्ट करेगा, और कोई संभावनाओं को विश्वास की डिग्री के रूप में मान लेगा कि पी किसी भी अंतराल में है एक संभावना निर्दिष्ट की गई है. उस मॉडल में, यादृच्छिक चर X1, ..., एक्सn स्वतंत्र नहीं हैं, लेकिन p का मान दिए जाने पर वे 'सशर्त रूप से स्वतंत्र' हैं। विशेष रूप से, यदि बड़ी संख्या में Xs को 1 के बराबर देखा जाता है, तो यह एक उच्च सशर्त संभावना का संकेत देगा, उस अवलोकन को देखते हुए, कि p 1 के करीब है, और इस प्रकार एक उच्च सशर्त संभावना, उस अवलोकन को देखते हुए, कि अगला देखा जाने वाला X 1 के बराबर होगा।

सशर्त स्वतंत्रता के नियम
सशर्त स्वतंत्रता के बयानों को नियंत्रित करने वाले नियमों का एक सेट मूल परिभाषा से लिया गया है। इन नियमों को ग्राफ़ॉइड एक्सिओम्स कहा गया पर्ल और पाज़ द्वारा, क्योंकि वे ग्राफ़ में रखते हैं, कहाँ $$X \perp\!\!\!\perp A\mid B$$ इसका अर्थ यह निकाला गया है: X से A तक के सभी पथ सेट B द्वारा अवरोधित हैं।

समरूपता


X \perp\!\!\!\perp Y \quad \Rightarrow \quad Y \perp\!\!\!\perp X $$

अपघटन


X \perp\!\!\!\perp A,B \quad \Rightarrow \quad \text{ and } \begin{cases} X \perp\!\!\!\perp A \\ X \perp\!\!\!\perp B \end{cases} $$ सबूत p_{X,A,B}(x,a,b) = p_X(x) p_{A,B}(a,b) $$ (का अर्थ $$X \perp\!\!\!\perp A,B$$) \int_B p_{X,A,B}(x,a,b)\,db = \int_B p_X(x) p_{A,B}(a,b)\,db $$ (वेरिएबल बी को एकीकृत करके इसे अनदेखा करें) p_{X,A}(x,a) = p_X(x) p_A(a) $$

एक समान प्रमाण एक्स और बी की स्वतंत्रता को दर्शाता है।

कमजोर संघ


X \perp\!\!\!\perp A,B \quad \Rightarrow \quad \text{ and } \begin{cases} X \perp\!\!\!\perp A \mid B\\ X \perp\!\!\!\perp B \mid A \end{cases} $$ सबूत दूसरी स्थिति भी इसी प्रकार सिद्ध की जा सकती है।
 * अनुमान से, $$\Pr(X) = \Pr(X \mid A, B) $$.
 * विघटन के गुण के कारण $$X \perp\!\!\!\perp B$$, $$\Pr(X) = \Pr(X \mid B)$$.
 * उपरोक्त दोनों समानताओं को मिलाने पर प्राप्त होता है $$\Pr(X \mid B) = \Pr(X \mid A, B)$$, जो स्थापित करता है $$X \perp\!\!\!\perp A \mid B$$.

संकुचन


\left.\begin{align} X \perp\!\!\!\perp A \mid B \\ X \perp\!\!\!\perp B \end{align}\right\}\text{ and } \quad \Rightarrow \quad X \perp\!\!\!\perp A,B $$ सबूत

इस गुण को ध्यान देने से सिद्ध किया जा सकता है $$\Pr(X\mid A,B) = \Pr(X\mid B) = \Pr(X)$$, जिसकी प्रत्येक समानता पर जोर दिया गया है $$X \perp\!\!\!\perp A \mid B$$ और $$X \perp\!\!\!\perp B$$, क्रमश।

इंटरसेक्शन
कड़ाई से सकारात्मक संभाव्यता वितरण के लिए, निम्नलिखित भी मान्य है:



\left.\begin{align} X \perp\!\!\!\perp Y \mid Z, W\\ X \perp\!\!\!\perp W \mid Z, Y \end{align}\right\}\text{ and } \quad \Rightarrow \quad X \perp\!\!\!\perp W, Y \mid Z $$ सबूत

अनुमान से:


 * $$P(X|Z, W, Y) = P(X|Z, W) \land P(X|Z, W, Y) = P(X|Z, Y) \implies P(X|Z, Y) = P(X|Z, W)$$

इस समानता का उपयोग करते हुए, कुल संभाव्यता के नियम के साथ मिलकर लागू किया जाता है $$P(X|Z)$$:


 * $$\begin{align}

P(X|Z) &= \sum_{w \in W} P(X|Z, W=w)P(W=w|Z) \\[4pt] &= \sum_{w \in W} P(X|Y, Z)P(W=w|Z) \\[4pt] &= P(X|Z, Y) \sum_{w \in W} P(W=w|Z) \\[4pt] &= P(X|Z, Y) \end{align}$$ तब से $$P(X|Z, W, Y) = P(X|Z, Y)$$ और $$P(X|Z, Y) = P(X|Z)$$, यह इस प्रकार है कि $$P(X|Z, W, Y) = P(X|Z) \iff X \perp\!\!\!\perp Y,W | Z$$.

तकनीकी नोट: चूंकि ये निहितार्थ किसी भी संभाव्यता स्थान के लिए मान्य हैं, इसलिए यदि कोई किसी अन्य चर पर सब कुछ कंडीशनिंग करके एक उप-ब्रह्मांड पर विचार करता है, तो वे अभी भी मान्य होंगे, उदाहरण के लिए, $$X \perp\!\!\!\perp Y \Rightarrow Y \perp\!\!\!\perp X$$ इसका मतलब यह भी होगा $$X \perp\!\!\!\perp Y \mid K \Rightarrow Y \perp\!\!\!\perp X \mid K$$.

यह भी देखें

 * ग्राफ़ॉइड
 * सशर्त निर्भरता
 * डी फिनेटी का प्रमेय
 * सशर्त अपेक्षा