श्रेणीकृत सिद्धांत (कैटेगोरिकाल थ्योरी)

गणितीय तर्क में, एक सिद्धांत (गणितीय तर्क) श्रेणीबद्ध होता है यदि इसमें बिल्कुल एक मॉडल (गणितीय तर्क) (समरूपता तक) हो। इस तरह के सिद्धांत को इसके मॉडल को परिभाषित करने, मॉडल की संरचना को विशिष्ट रूप से चित्रित करने के रूप में देखा जा सकता है।

प्रथम-क्रम तर्क में, केवल परिमित सेट मॉडल वाले सिद्धांत ही श्रेणीबद्ध हो सकते हैं। उच्च-क्रम तर्क में अनंत सेट मॉडल के साथ श्रेणीबद्ध सिद्धांत शामिल हैं। उदाहरण के लिए, दूसरे क्रम के पीनो अभिगृहीत श्रेणीबद्ध होते हैं, जिनमें एक अद्वितीय मॉडल होता है जिसका डोमेन प्राकृतिक संख्याओं का सेट (गणित) होता है $$\mathbb{N}.$$ मॉडल सिद्धांत में, कार्डिनल संख्या के संबंध में एक श्रेणीबद्ध सिद्धांत की धारणा को परिष्कृत किया जाता है। एक सिद्धांत है $κ$-श्रेणीबद्ध (या श्रेणीबद्ध में $κ$) यदि इसमें कार्डिनैलिटी का बिल्कुल एक मॉडल है $κ$ समरूपता तक। मॉर्ले की श्रेणीबद्धता प्रमेय एक प्रमेय है यह बताते हुए कि यदि किसी गणनीय भाषा में प्रथम-क्रम सिद्धांत कुछ बेशुमार प्रमुखता में श्रेणीबद्ध है, तो यह सभी बेशुमार कार्डिनैलिटी में श्रेणीबद्ध है।

मॉर्ले के प्रमेय को अनगिनत भाषाओं तक विस्तारित किया: यदि भाषा में प्रमुखता है $κ$ और एक सिद्धांत कुछ बेशुमार कार्डिनल से अधिक या उसके बराबर में श्रेणीबद्ध है $κ$ तो यह सभी प्रमुखताओं में अधिक से अधिक श्रेणीबद्ध है$κ$.

इतिहास और प्रेरणा
1904 में ओसवाल्ड वेब्लेन ने एक सिद्धांत को श्रेणीबद्ध परिभाषित किया यदि उसके सभी मॉडल समरूपी हैं। उपरोक्त परिभाषा और लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय से यह पता चलता है कि अनंत कार्डिनल संख्या के मॉडल वाला कोई भी प्रथम-क्रम सिद्धांत श्रेणीबद्ध नहीं हो सकता है। फिर व्यक्ति को तुरंत अधिक सूक्ष्म धारणा की ओर ले जाया जाता है $κ$-श्रेणीबद्धता, जो पूछती है: किन कार्डिनल्स के लिए $κ$ क्या कार्डिनैलिटी का बिल्कुल एक मॉडल है $κ$ दिए गए सिद्धांत T से समरूपता तक? यह एक गहरा सवाल है और महत्वपूर्ण प्रगति केवल 1954 में हुई जब जेरज़ी लोज़ ने देखा कि, कम से कम एक अनंत मॉडल के साथ गणनीय औपचारिक भाषा पर पूर्ण सिद्धांत टी के लिए, वह टी के लिए केवल तीन तरीके खोज सके। $κ$-कुछ पर श्रेणीबद्ध$κ$:


 * टी 'पूरी तरह से श्रेणीबद्ध' है, यानी टी है $κ$-सभी अनंत कार्डिनल संख्याओं के लिए श्रेणीबद्ध$κ$.
 * T 'बेशुमार श्रेणीबद्ध' है, अर्थात T है $κ$-श्रेणीबद्ध यदि और केवल यदि $κ$ एक गणनीय कार्डिनल है।
 * T ओमेगा-श्रेणीबद्ध सिद्धांत है|'गणनीय श्रेणीबद्ध', अर्थात T है $κ$-श्रेणीबद्ध यदि और केवल यदि $κ$ एक गणनीय कार्डिनल है।

दूसरे शब्दों में, उन्होंने देखा कि, उन सभी मामलों में, जिनके बारे में वह सोच सकते थे, $κ$-किसी एक बेशुमार कार्डिनल पर श्रेणीबद्धता निहित है $κ$-अन्य सभी बेशुमार कार्डिनल्स पर श्रेणीबद्धता। इस अवलोकन ने 1960 के दशक में बड़ी मात्रा में शोध को प्रेरित किया, अंततः माइकल डी. मॉर्ले के प्रसिद्ध परिणाम में परिणत हुआ कि ये वास्तव में एकमात्र संभावनाएं हैं। इस सिद्धांत को बाद में 1970 और उसके बाद सहारों शेलाह द्वारा विस्तारित और परिष्कृत किया गया, जिससे स्थिरता (मॉडल सिद्धांत) और शेलाह के सिद्धांत के स्पेक्ट्रम के अधिक सामान्य कार्यक्रम का पता चला।

उदाहरण
ऐसे सिद्धांतों के बहुत से प्राकृतिक उदाहरण नहीं हैं जो कुछ बेशुमार कार्डिनल में श्रेणीबद्ध हों। ज्ञात उदाहरणों में शामिल हैं:
 * शुद्ध पहचान सिद्धांत (= या स्वयंसिद्धों के अलावा कोई कार्य, स्थिरांक, विधेय नहीं)।
 * क्लासिक उदाहरण किसी दिए गए लक्षण (बीजगणित) के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र क्षेत्र (गणित) का सिद्धांत है। श्रेणीबद्धता यह नहीं कहती है कि जटिल संख्या 'सी' जितनी बड़ी विशेषता 0 के सभी बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड 'सी' के समान हैं; यह केवल यह दावा करता है कि वे 'सी' के क्षेत्र के रूप में समरूपी हैं। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि यद्यपि पूर्ण पी-एडिक|पी-एडिक 'सी' को बंद कर देता हैp सी के फ़ील्ड के रूप में सभी आइसोमोर्फिक हैं, उनमें पूरी तरह से अलग-अलग संस्थानिक  और विश्लेषणात्मक गुण हो सकते हैं (और वास्तव में होते हैं)। किसी दिए गए विशेषता के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों का सिद्धांत श्रेणीबद्ध नहीं है $ω$ (गणनीय अनंत कार्डिनल); उत्कृष्टता की डिग्री 0, 1, 2, ... के मॉडल हैं $ω$.
 * किसी दिए गए गणनीय क्षेत्र पर वेक्टर रिक्त स्थान। इसमें दिए गए अभाज्य संख्या मरोड़ समूह के एबेलियन समूह (अनिवार्य रूप से एक परिमित क्षेत्र पर वेक्टर रिक्त स्थान के समान) और विभाज्य समूह मरोड़ मुक्त एबेलियन समूह (अनिवार्य रूप से परिमेय संख्या पर वेक्टर रिक्त स्थान के समान) शामिल हैं।
 * उत्तरवर्ती फलन के साथ प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय का सिद्धांत।

ऐसे सिद्धांतों के उदाहरण भी हैं जो श्रेणीबद्ध हैं $ω$ लेकिन बेशुमार कार्डिनल्स में श्रेणीबद्ध नहीं। सबसे सरल उदाहरण बिल्कुल दो समतुल्य वर्गों के साथ समतुल्य संबंध का सिद्धांत है, जिनमें से दोनों अनंत हैं। एक अन्य उदाहरण बिना किसी समापन बिंदु वाले सघन क्रम वाले रैखिक क्रम का सिद्धांत है; जॉर्ज कैंटर ने सिद्ध किया कि ऐसा कोई भी गणनीय रैखिक क्रम तर्कसंगत संख्याओं के लिए समरूपी है: कैंटर का समरूपता प्रमेय देखें।

गुण
प्रत्येक श्रेणीबद्ध सिद्धांत पूर्ण सिद्धांत है। हालाँकि, इसका उलटा असर नहीं होता। कोई भी सिद्धांत टी कुछ अनंत कार्डिनल में श्रेणीबद्ध $κ$ पूर्ण होने के बहुत करीब है। अधिक सटीक रूप से, Łoś-Vaught परीक्षण बताता है कि यदि एक संतोषजनक सिद्धांत में कोई सीमित मॉडल नहीं है और कुछ अनंत कार्डिनल में श्रेणीबद्ध है $κ$ कम से कम इसकी भाषा की प्रमुखता के बराबर, तो सिद्धांत पूरा हो गया है। इसका कारण यह है कि सभी अनंत मॉडल कार्डिनल के कुछ मॉडल के बराबर प्रथम-क्रम हैं $κ$ लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय द्वारा, और इसलिए सभी समतुल्य हैं क्योंकि सिद्धांत स्पष्ट है $κ$. इसलिए, सिद्धांत पूर्ण है क्योंकि सभी मॉडल समतुल्य हैं। यह धारणा कि सिद्धांत का कोई सीमित मॉडल नहीं है, आवश्यक है।

यह भी देखें

 * एक सिद्धांत का स्पेक्ट्रम

संदर्भ

 * Hodges, Wilfrid, "First-order Model Theory", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2005 Edition), Edward N. Zalta (ed.).
 * (IX, 1.19, pg.49)
 * Hodges, Wilfrid, "First-order Model Theory", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2005 Edition), Edward N. Zalta (ed.).
 * (IX, 1.19, pg.49)
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 * (IX, 1.19, pg.49)
 * (IX, 1.19, pg.49)
 * (IX, 1.19, pg.49)
 * (IX, 1.19, pg.49)