समग्र बेज़ियर वक्र

ज्यामितीय मॉडलिंग और कंप्यूटर चित्रलेख  में, एक समग्र बेज़ियर वक्र या बेज़ियर स्पलाइन एक स्पलाइन (गणित) है जो बेज़ियर वक्रों से बना होता है जो कम से कम होता है $$C^0$$ सतत कार्य. दूसरे शब्दों में, एक समग्र बेज़ियर वक्र एक सिरे से दूसरे सिरे तक जुड़े हुए बेज़ियर वक्रों की एक श्रृंखला है जहां एक वक्र का अंतिम बिंदु अगले वक्र के शुरुआती बिंदु के साथ मेल खाता है। अनुप्रयोग के आधार पर, अतिरिक्त चिकनाई आवश्यकताएँ (जैसे $$C^1$$ या $$C^2$$ निरंतरता) जोड़ा जा सकता है। पॉलीलाइन की समानता से एक सतत मिश्रित बेज़ियर को पॉलीबेज़ियर भी कहा जाता है, लेकिन जहां पॉलीलाइनों में बिंदु सीधी रेखाओं से जुड़े होते हैं, वहीं पॉलीबेज़ियर में बिंदु बेज़ियर वक्रों से जुड़े होते हैं। बेज़ियरगॉन (जिसे बेज़िगॉन भी कहा जाता है) बेज़ियर वक्रों से बना एक बंद पथ है|बेज़ियर वक्र। यह एक बहुभुज के समान है जिसमें यह शीर्षों (ज्यामिति) के एक सेट को रेखाओं द्वारा जोड़ता है, लेकिन जहां बहुभुजों में शीर्ष सीधी रेखाओं से जुड़े होते हैं, वहीं बेज़ियरगोन में शीर्ष बेज़ियर वक्रों द्वारा जुड़े होते हैं।  कुछ लेखक तो 'ए' भी कहते हैं $$C^0$$ मिश्रित बेज़ियर वक्र से बेज़ियर तख़्ता; हालाँकि बाद वाले शब्द का उपयोग अन्य लेखकों द्वारा (गैर-मिश्रित) बेज़ियर वक्र के पर्याय के रूप में किया जाता है, और वे समग्र मामले को दर्शाने के लिए बेज़ियर स्पलाइन के सामने मिश्रित जोड़ते हैं। शायद समग्र बेज़ियर्स का सबसे आम उपयोग परिशिष्ट भाग  या पीडीएफ फ़ाइल में प्रत्येक अक्षर की रूपरेखा का वर्णन करना है। ऐसी रूपरेखाएँ  टाइपफेस शरीर रचना  के लिए एक बेज़िएर्गोन, या बंद अक्षरों के लिए एकाधिक बेज़िएर्गोन से बनी होती हैं। आधुनिक वेक्टर ग्राफिक्स और कंप्यूटर फ़ॉन्ट सिस्टम जैसे पोस्टस्क्रिप्ट, एसिम्पटोट (वेक्टर ग्राफिक्स भाषा), मेटाफॉन्ट,  खुले प्रकार का  और स्केलेबल वेक्टर ग्राफिक्स घुमावदार आकृतियों को चित्रित करने के लिए क्यूबिक बेज़ियर कर्व्स (तीसरे क्रम के कर्व्स) से बने मिश्रित बेज़ियर कर्व्स का उपयोग करते हैं।



सुचारू जुड़ाव
स्प्लिंस की आम तौर पर वांछित संपत्ति उनके व्यक्तिगत वक्रों को एक निर्दिष्ट स्तर के पैरामीट्रिक या ज्यामितीय चिकनाई#निरंतरता के साथ जोड़ना है। जबकि तख़्ता में अलग-अलग मोड़ पूरी तरह से हैं $$C^\infin$$ अपने स्वयं के अंतराल के भीतर निरंतर, जहां विभिन्न वक्र मिलते हैं वहां हमेशा कुछ मात्रा में असंततता होती है।

बेज़ियर स्पलाइन इस मायने में काफी अनोखी है कि यह उन कुछ स्प्लिंस में से एक है जो निरंतरता की किसी भी उच्च डिग्री की गारंटी नहीं देता है $$C^0$$. हालाँकि, जोड़ों में निरंतरता के विभिन्न स्तरों की गारंटी के लिए नियंत्रण बिंदुओं की व्यवस्था करना संभव है, हालांकि यदि बेज़ियर स्पलाइन की दी गई डिग्री के लिए बाधा बहुत सख्त है तो इससे स्थानीय नियंत्रण का नुकसान हो सकता है।

क्यूबिक बेज़ियर्स को सुचारू रूप से जोड़ना
नियंत्रण बिंदुओं के साथ दो घन बेज़ियर वक्र दिए गए हैं $$[\mathbf P_0,\mathbf  P_1,\mathbf  P_2,\mathbf  P_3]$$ और $$[\mathbf  P_3,\mathbf  P_4,\mathbf  P_5,\mathbf  P_6]$$ क्रमशः, निरंतरता सुनिश्चित करने के लिए बाधाएँ $$\mathbf  P_3$$ इसे इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:

जबकि निम्नलिखित निरंतरता बाधाएँ संभव हैं, उन्हें क्यूबिक बेज़ियर स्प्लिन के साथ शायद ही कभी उपयोग किया जाता है, जैसे कि बी-पट्टी या बीटा-स्पलाइन|β-स्पलाइन जैसे अन्य स्प्लिन स्थानीय नियंत्रण खोए बिना स्वाभाविक रूप से उच्च बाधाओं को संभाल लेगा।
 * $$C^0/G^0$$ (स्थितीय निरंतरता) के लिए आवश्यक है कि वे एक ही बिंदु पर मिलें, जो परिभाषा के अनुसार सभी बेज़ियर स्प्लिन करते हैं। इस उदाहरण में, साझा बिंदु है $$\mathbf P_3$$
 * $$C^1$$ (वेग निरंतरता) के लिए आवश्यक है कि जोड़ के आसपास के पड़ोसी नियंत्रण बिंदु एक-दूसरे के दर्पण हों। दूसरे शब्दों में, उन्हें इसकी बाध्यता का पालन करना होगा $$\mathbf P_4=2\mathbf  P_3-\mathbf  P_2$$
 * $$G^1$$ (स्पर्शरेखा निरंतरता) के लिए पड़ोसी नियंत्रण बिंदुओं को जुड़ने के साथ संरेखता की आवश्यकता होती है। यह उससे कम सख्त है $$C^1$$ निरंतरता, स्वतंत्रता की एक अतिरिक्त डिग्री छोड़ती है जिसे एक अदिश का उपयोग करके मानकीकृत किया जा सकता है $$\beta_1$$. तब बाधा को व्यक्त किया जा सकता है $$\mathbf P_4=\mathbf  P_3+(\mathbf  P_3-\mathbf  P_2)\beta_1$$


 * $$C^2$$ (त्वरण निरंतरता) द्वारा बाधित है $$\mathbf P_5 =\mathbf  P_1+4(\mathbf  P_3-\mathbf  P_2)$$. हालाँकि, इस बाधा को संपूर्ण क्यूबिक बेज़ियर स्पलाइन पर लागू करने से स्पर्शरेखा बिंदुओं पर स्थानीय नियंत्रण का व्यापक नुकसान होगा। वक्र अभी भी तख़्ता में हर तीसरे बिंदु से होकर गुजरेगा, लेकिन इसके आकार पर नियंत्रण खो जाएगा। प्राप्त करने के लिए $$C^2$$ क्यूबिक कर्व्स का उपयोग करके निरंतरता, इसके बजाय क्यूबिक यूनिफ़ॉर्म बी-स्पलाइन का उपयोग करने की अनुशंसा की जाती है, क्योंकि यह सुनिश्चित करता है $$C^2$$ विशिष्ट बिंदुओं से गुजरने की गारंटी न होने की कीमत पर, स्थानीय नियंत्रण खोए बिना निरंतरता


 * $$G^2$$ (वक्रता निरंतरता) द्वारा बाधित है $$\mathbf P_5=\mathbf  P_3+(\mathbf  P_3-\mathbf  P_2)(2\beta_1+\beta_1^2+\beta_2/2)+(\mathbf  P_1-\mathbf  P_2)\beta_1^2$$, की तुलना में स्वतंत्रता की दो डिग्री छोड़कर $$C^2$$, दो अदिश राशि के रूप में $$\beta_1$$ और $$\beta_2$$. ज्यामितीय निरंतरता की उच्च डिग्री संभव है, हालांकि वे तेजी से जटिल होती जा रही हैं
 * $$C^3$$ (झटका निरंतरता) द्वारा बाधित है $$\mathbf P_6=\mathbf  P_3+(\mathbf  P_3-\mathbf  P_0)+6(\mathbf  P_1-\mathbf  P_2+\mathbf  P_3-\mathbf  P_2)$$. इस बाधा को क्यूबिक बेज़ियर स्पलाइन पर लागू करने से स्थानीय नियंत्रण का पूर्ण नुकसान हो जाएगा, क्योंकि संपूर्ण स्पलाइन अब पूरी तरह से बाधित है और पहले वक्र के नियंत्रण बिंदुओं द्वारा परिभाषित है। वास्तव में, यह यकीनन अब एक तख़्ता नहीं है, क्योंकि इसका आकार अब पहले वक्र को अनिश्चित काल तक एक्सट्रपलेशन करने के बराबर है, जिससे यह न केवल बनता है $$C^3$$ निरंतर, लेकिन $$C^\infin$$, क्योंकि अलग-अलग वक्रों के बीच जोड़ अब मौजूद नहीं हैं

अनुमानित वृत्ताकार चाप
यदि वृत्ताकार चाप आदिम किसी विशेष वातावरण में समर्थित नहीं हैं, तो उन्हें बेज़ियर वक्रों द्वारा अनुमानित किया जा सकता है। सामान्यतः, आठ द्विघात खंड या चार घन खंडों का उपयोग एक वृत्त का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है। लंबाई ज्ञात करना वांछनीय है $$\mathbf{k}$$ नियंत्रण बिंदुओं की संख्या जिसके परिणामस्वरूप घन खंडों की दी गई संख्या के लिए सबसे कम सन्निकटन त्रुटि होती है।

चार वक्रों का उपयोग करना
कार्टेशियन समन्वय प्रणाली#चतुर्थांश और अष्टक में केवल 90-डिग्री इकाई वृत्त|इकाई-वृत्ताकार चाप को ध्यान में रखते हुए, हम समापन बिंदुओं को परिभाषित करते हैं $$\mathbf{A}$$ और $$\mathbf{B}$$ नियंत्रण बिंदुओं के साथ $$\mathbf{A'}$$ और $$\mathbf{B'}$$, क्रमशः, के रूप में:



\begin{align} \mathbf{A} & = [0, 1] \\ \mathbf{A'} & = [\mathbf{k}, 1] \\ \mathbf{B'} & = [1, \mathbf{k}] \\ \mathbf{B} & = [1, 0] \\ \end{align} $$ घन बेज़ियर वक्र की परिभाषा से, हमारे पास है:


 * $$\mathbf{C}(t)=(1-t)^3\mathbf{A} + 3(1-t)^2t\mathbf{A'}+3(1-t)t^2\mathbf{B'}+t^3\mathbf{B}$$

मुद्दे के साथ $$\mathbf{C}(t=0.5)$$ चाप के मध्यबिंदु के रूप में, हम निम्नलिखित दो समीकरण लिख सकते हैं:



\begin{align} \mathbf{C} &= \frac{1}{8}\mathbf{A} + \frac{3}{8}\mathbf{A'}+\frac{3}{8}\mathbf{B'}+\frac{1}{8}\mathbf{B} \\ \mathbf{C} &= \sqrt{1/2} = \sqrt{2}/2 \end{align} $$ x-निर्देशांक (और y-निर्देशांक के लिए समान रूप से) के लिए इन समीकरणों को हल करने से परिणाम मिलते हैं:


 * $$\frac{0}{8}\mathbf + \frac{3}{8}\mathbf{k}+\frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \sqrt{2}/2$$
 * $$\mathbf{k} = \frac{4}{3}(\sqrt{2} - 1) \approx 0.5522847498$$

हालाँकि ध्यान दें कि परिणामी बेज़ियर वक्र पूरी तरह से वृत्त के बाहर है, जिसकी त्रिज्या का अधिकतम विचलन लगभग 0.00027 है। जैसे मध्यवर्ती बिंदुओं में एक छोटा सा सुधार जोड़कर



\begin{align} \mathbf{A'} & = [\mathbf{k}+0.0009, 1-0.00103] \\ \mathbf{B'} & = [1-0.00103, \mathbf{k}+0.0009] , \end{align} $$ 1 तक त्रिज्या विचलन का परिमाण लगभग 3 के कारक से घटकर 0.000068 हो जाता है (अंतिम बिंदुओं पर अनुमानित वृत्त वक्र की व्युत्पत्ति की कीमत पर)।

सामान्य मामला
हम त्रिज्या का एक वृत्त बना सकते हैं $$R$$ घन बेज़ियर वक्रों की एक मनमानी संख्या से। चाप को बिंदु से शुरू होने दें $$\mathbf{A}$$ और बिंदु पर समाप्त होता है $$\mathbf{B}$$, कोण के एक चाप को फैलाते हुए, x-अक्ष के ऊपर और नीचे समान दूरी पर रखा गया है $$\theta = 2\phi$$:


 * $$\begin{align}

\mathbf{A}_x &= R\cos(\phi) \\ \mathbf{A}_y &= R\sin(\phi) \\ \mathbf{B}_x &= \mathbf{A}_x \\ \mathbf{B}_y &= -\mathbf{A}_y \end{align}$$ नियंत्रण बिंदु इस प्रकार लिखे जा सकते हैं:
 * $$\begin{align}

\mathbf{A'}_x &= \frac{4R - \mathbf{A}_x}{3} \\ \mathbf{A'}_y &= \frac{(R - \mathbf{A}_x)(3R - \mathbf{A}_x)}{3\mathbf{A}_y} \\ \mathbf{B'}_x &= \mathbf{A'}_x \\ \mathbf{B'}_y &= -\mathbf{A'}_y \end{align}$$

फ़ॉन्ट
ट्रू टाइप फ़ॉन्ट द्विघात बेज़ियर वक्रों (द्वितीय क्रम वक्र) से बने मिश्रित बेज़ियर्स का उपयोग करते हैं। किसी निर्दिष्ट सटीकता के साथ कंप्यूटर फ़ॉन्ट के रूप में एक विशिष्ट प्रकार के डिज़ाइन का वर्णन करने के लिए, तीसरे क्रम के बेज़ियर्स को दूसरे क्रम के बेज़ियर्स की तुलना में कम डेटा की आवश्यकता होती है; और बदले में इन्हें सीधी रेखाओं की श्रृंखला की तुलना में कम डेटा की आवश्यकता होती है। यह सच है, भले ही किसी एक सीधी रेखा खंड को परवलय के किसी एक खंड की तुलना में कम डेटा की आवश्यकता होती है; और बदले में उस परवलयिक खंड को तीसरे क्रम के वक्र के किसी एक खंड की तुलना में कम डेटा की आवश्यकता होती है।

यह भी देखें

 * बी-तख़्ता