गुणनफल

गणित में, एक उत्पाद गुणन का परिणाम है, या एक  गणितीय अभिव्यक्ति  है जो  गुणा  करने के लिए  गणितीय वस्तु  (संख्या या  चर (गणित) ) की पहचान करती है, जिसे 'कारक' कहा जाता है। उदाहरण के लिए, 30 6 और 5 (गुणा का परिणाम) का गुणनफल है, और $$x\cdot (2+x)$$ का उत्पाद है $$x$$ और $$(2+x)$$ (यह दर्शाता है कि दो कारकों को एक साथ गुणा किया जाना चाहिए)।

जिस क्रम में वास्तविक संख्या  या  जटिल संख्या  संख्याओं को गुणा किया जाता है, उसका उत्पाद पर कोई असर नहीं पड़ता है; इसे गुणन की  क्रमविनिमेयता  के रूप में जाना जाता है। जब  मैट्रिक्स (गणित)  या विभिन्न अन्य  साहचर्य बीजगणित  के सदस्यों को गुणा किया जाता है, तो उत्पाद सामान्य रूप से कारकों के क्रम पर निर्भर करता है।  मैट्रिक्स गुणन, उदाहरण के लिए, गैर-क्रमविनिमेय है, और ऐसा ही सामान्य रूप से अन्य बीजगणितों में भी गुणन है।

गणित में कई अलग-अलग प्रकार के गुणनफल हैं: केवल संख्याओं, बहुपदों या आव्यूहों का गुणन करने में सक्षम होने के अतिरिक्त, कोई भी अनेक भिन्न बीजगणितीय संरचना ओं पर गुणनफलों को परिभाषित कर सकता है।

अनुक्रम का उत्पाद
गुणन#कैपिटल पीआई नोटेशन के लिए उत्पाद ऑपरेटर को कैपिटल ग्रीक अक्षर पाई (अक्षर) द्वारा निरूपित किया जाता है <अवधि शैली = फ़ॉन्ट-परिवार: समय, सेरिफ़; फ़ॉन्ट-आकार: 150% >Π (राजधानी सिग्मा  Σ योग  प्रतीक के रूप में उपयोग के अनुरूप). उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति $$\textstyle \prod_{i=1}^{6}i^2$$लिखने का दूसरा तरीका है $$1 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 16 \cdot 25 \cdot 36$$. केवल एक संख्या वाले अनुक्रम का गुणनफल केवल वही संख्या होती है; बिना किसी कारक के उत्पाद को खाली उत्पाद  के रूप में जाना जाता है, और यह 1 के बराबर है।

क्रमविनिमेय अंगूठी ्स
क्रमविनिमेय छल्लों का एक उत्पाद संचालन होता है।

पूर्णांकों के अवशेष वर्ग
छल्लों में अवशेष कक्षाएं $$\Z/N\Z$$ जोड़ा जा सकता है:


 * $$(a + N\Z) + (b + N\Z) = a + b + N\Z$$

और गुणा:


 * $$(a + N\Z) \cdot (b + N\Z) = a \cdot b + N\Z$$

कनवल्शन
वास्तविक से दो कार्यों को दूसरे तरीके से गुणा किया जा सकता है, जिसे घुमाव  कहा जाता है।

यदि

\int\limits_{-\infty}^\infty |f(t)|\,\mathrm{d}t < \infty\qquad\mbox{and}\qquad \int\limits_{-\infty}^\infty |g(t)|\,\mathrm{d}t < \infty, $$ फिर अभिन्न


 * $$(f*g) (t) \;:= \int\limits_{-\infty}^\infty f(\tau)\cdot g(t - \tau)\,\mathrm{d}\tau $$

अच्छी तरह से परिभाषित है और इसे कनवल्शन कहा जाता है।

फूरियर रूपांतरण के तहत, कनवल्शन पॉइंट-वाइज फंक्शन मल्टीप्लिकेशन बन जाता है।

बहुपद के छल्ले
दो बहुपदों का गुणनफल निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:
 * $$\left(\sum_{i=0}^n a_i X^i\right) \cdot \left(\sum_{j=0}^m b_j X^j\right) = \sum_{k=0}^{n+m} c_k X^k $$

साथ


 * $$ c_k = \sum_{i+j=k} a_i \cdot b_j $$

रैखिक बीजगणित
में उत्पाद रैखिक बीजगणित में कई प्रकार के गुणनफल होते हैं। इनमें से कुछ के नाम ( [[ बाहरी उत्पाद ]], बाहरी उत्पाद) बहुत अलग अर्थों के साथ भ्रामक रूप से समान नाम हैं, जबकि अन्य के बहुत अलग नाम हैं (बाहरी उत्पाद, टेंसर उत्पाद, क्रोनकर उत्पाद) और फिर भी अनिवार्य रूप से एक ही विचार व्यक्त करते हैं। इनका संक्षिप्त विवरण निम्नलिखित अनुभागों में दिया गया है।

अदिश गुणन
सदिश स्थान की बहुत परिभाषा के अनुसार, कोई भी सदिश के साथ किसी भी अदिश का गुणनफल बना सकता है, एक नक्शा दे सकता है $$\R \times V \rightarrow V$$.

स्केलर उत्पाद
एक स्केलर उत्पाद एक द्वि-रैखिक मानचित्र है:


 * $$\cdot : V \times V \rightarrow \R $$

निम्नलिखित शर्तों के साथ, कि $$v \cdot v > 0$$ सबके लिए $$0 \not= v \in V$$.

अदिश गुणनफल से, कोई मानक (गणित) को परिभाषित करके परिभाषित कर सकता है $$\|v\| := \sqrt{v \cdot v} $$.

स्केलर उत्पाद भी किसी को दो वैक्टरों के बीच कोण को परिभाषित करने की स्वीकृति देता है:


 * $$\cos\angle(v, w) = \frac{v \cdot w}{\|v\| \cdot \|w\|}$$

में $$n$$-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष, मानक स्केलर उत्पाद ( डॉट उत्पाद कहा जाता है) द्वारा दिया गया है:


 * $$\left(\sum_{i=1}^n \alpha_i e_i\right) \cdot \left(\sum_{i=1}^n \beta_i e_i\right) = \sum_{i=1}^n \alpha_i\,\beta_i$$

3-आयामी अंतरिक्ष में क्रॉस उत्पाद
3-आयामों में दो सदिशों का क्रॉस उत्पाद दो कारकों के लिए एक सदिश लंबवत है, जिसकी लंबाई दो कारकों द्वारा फैले समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर है।

क्रॉस उत्पाद को औपचारिक गणना  के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है निर्धारक:
 * $$\mathbf{u \times v} = \begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 &       u_2 &        u_3 \\ v_1 &       v_2 &        v_3 \\ \end{vmatrix}$$

रैखिक मैपिंग की संरचना
एक रैखिक मानचित्रण को दो वेक्टर रिक्त स्थान V और W के बीच एक फलन f के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसमें अंतर्निहित क्षेत्र 'F' संतोषजनक है
 * $$f(t_1 x_1 + t_2 x_2) = t_1 f(x_1) + t_2 f(x_2), \forall x_1, x_2 \in V, \forall t_1, t_2 \in \mathbb{F}.$$

यदि कोई केवल परिमित आयामी वेक्टर रिक्त स्थान पर विचार करता है, तो
 * $$f(\mathbf{v}) = f\left(v_i \mathbf{b_V}^i\right) = v_i f\left(\mathbf{b_V}^i\right) = {f^i}_j v_i \mathbf{b_W}^j,$$

जिसमें बीVऔर बीWV और W, और ''v' के आधार (रैखिक बीजगणित)  को निरूपित करेंi'बी' पर 'वी' की टेन्सर # परिभाषा को दर्शाता हैVi, और  आइंस्टीन संकेतन  लागू किया जाता है।

अब हम परिमित आयामी सदिश समष्टियों के बीच दो रैखिक मानचित्रणों की संरचना पर विचार करते हैं। लीनियर मैपिंग f मैप V टू W, और लीनियर मैपिंग g मैप W टू U। फिर कोई प्राप्त कर सकता है
 * $$g \circ f(\mathbf{v}) = g\left({f^i}_j v_i \mathbf{b_W}^j\right) = {g^j}_k {f^i}_j v_i \mathbf{b_U}^k.$$

या मैट्रिक्स रूप में:
 * $$g \circ f(\mathbf{v}) = \mathbf{G} \mathbf{F} \mathbf{v},$$

जिसमें 'एफ' की आई-पंक्ति, जे-कॉलम तत्व, एफ द्वारा दर्शाया गया हैij, च है जम्मूi, और जीij= जी जम्मूi.

दो से अधिक रेखीय मैपिंग की संरचना को समान रूप से मैट्रिक्स गुणन की श्रृंखला द्वारा दर्शाया जा सकता है।

दो आव्यूहों का गुणनफल
दो मैट्रिसेस दिए गए हैं


 * $$A = (a_{i,j})_{i=1\ldots s;j=1\ldots r} \in \R^{s\times r}$$ और $$B = (b_{j,k})_{j=1\ldots r;k=1\ldots t}\in \R^{r\times t}$$

उनके उत्पाद द्वारा दिया गया है


 * $$B \cdot A = \left( \sum_{j=1}^r a_{i,j} \cdot b_{j,k} \right)_{i=1\ldots s;k=1\ldots t} \;\in\R^{s\times t}$$

मैट्रिक्स उत्पाद के रूप में रैखिक कार्यों की संरचना
रैखिक कार्यों की संरचना और दो आव्यूहों के गुणनफल के बीच एक संबंध है। इसे देखने के लिए, मान लीजिए कि r = dim(U), s = dim(V) और t = dim(W) सदिश समष्टियों U, V और W के (परिमित) आयाम (गणित)  हैं। मान लीजिए $$\mathcal U = \{u_1, \ldots, u_r\}$$ U का एक आधार (रैखिक बीजगणित) हो, $$\mathcal V = \{v_1, \ldots, v_s\}$$ V और का आधार बनें $$\mathcal W = \{w_1, \ldots, w_t\}$$ डब्ल्यू का आधार बनें। इस आधार के संदर्भ में, चलो $$A = M^{\mathcal U}_{\mathcal V}(f) \in \R^{s\times r}$$ f : U → V और का प्रतिनिधित्व करने वाला मैट्रिक्स बनें $$B = M^{\mathcal V}_{\mathcal W}(g) \in \R^{r\times t}$$ g : V → W को निरूपित करने वाला आव्यूह हो। तब


 * $$B\cdot A = M^{\mathcal U}_{\mathcal W} (g \circ f) \in \R^{s\times t}$$

मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व कर रहा है $$g \circ f : U \rightarrow W$$.

दूसरे शब्दों में: मैट्रिक्स उत्पाद रैखिक कार्यों की संरचना के निर्देशांक में विवरण है।

वेक्टर रिक्त स्थान का टेंसर उत्पाद
दो परिमित आयामी सदिश स्थान V और W दिए गए हैं, उनमें से टेंसर उत्पाद को (2,0) -टेंसर संतोषजनक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:
 * $$V \otimes W(v, m) = V(v) W(w), \forall v \in V^*, \forall w \in W^*,$$

जहां वी* और डब्ल्यू* V और W के दोहरे स्थान को दर्शाता है। अनंत-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान के लिए, एक के पास भी है:
 * हिल्बर्ट स्पेस का टेन्सर उत्पाद
 * टोपोलॉजिकल टेंसर उत्पाद ।

टेंसर उत्पाद, बाहरी उत्पाद और क्रोनकर उत्पाद  सभी एक ही सामान्य विचार व्यक्त करते हैं। इनके बीच अंतर यह है कि क्रोनकर उत्पाद पहले से तय आधार के संबंध में मैट्रिसेस का एक टेंसर उत्पाद है, जबकि टेंसर उत्पाद सामान्य रूप से इसके  टेंसर (आंतरिक परिभाषा)  में दिया जाता है। बाहरी उत्पाद केवल क्रोनकर उत्पाद है, जो वैक्टर (मैट्रिसेस के अतिरिक्त) तक सीमित है।

एक टेंसर उत्पाद के साथ सभी वस्तुओं का वर्ग
सामान्य रूप से, जब भी किसी के पास दो गणितीय वस्तु (श्रेणी सिद्धांत)  होती है जिसे इस तरह से जोड़ा जा सकता है जो एक रैखिक बीजगणित टेंसर उत्पाद की तरह व्यवहार करता है, तो इसे सामान्य रूप से एक  मोनोइडल श्रेणी  के  आंतरिक उत्पाद  के रूप में समझा जा सकता है। अर्थात्, मोनोइडल श्रेणी एक टेंसर उत्पाद के अर्थ को ठीक से समझती है; यह बिल्कुल इस धारणा को पकड़ लेता है कि ऐसा क्यों है कि टेंसर उत्पाद जिस तरह से व्यवहार करते हैं। अधिक सटीक रूप से, एक मोनोइडल श्रेणी सभी चीजों का  वर्ग (सेट सिद्धांत)  है (किसी दिए गए प्रकार के सिद्धांत का) जिसमें एक टेंसर उत्पाद होता है।

रैखिक बीजगणित में अन्य उत्पाद
रैखिक बीजगणित में अन्य प्रकार के उत्पादों में सम्मिलित हैं:


 * हैडमार्ड उत्पाद (मैट्रिसेस)
 * क्रोनकर उत्पाद
 * टेन्सर का उत्पाद:
 * बाहरी बीजगणित
 * आंतरिक उत्पाद
 * बाहरी उत्पाद
 * टेंसर उत्पाद

कार्टेशियन उत्पाद
सेट सिद्धांत में, कार्टेशियन उत्पाद एक गणितीय ऑपरेशन है जो कई सेटों से एक सेट (गणित)  (या उत्पाद सेट) देता है। यही है, कार्टेशियन उत्पाद 'ए' और 'बी' सेट के लिए A × B सभी  क्रमित युग्म ों का समुच्चय है (a, b)-जहां पर a ∈ A और b ∈ B. सभी चीजों का वर्ग (किसी दिए गए प्रकार के सिद्धांत का) जिसमें कार्टेशियन उत्पादों को  कार्टेशियन मोनोइडल श्रेणी  कहा जाता है। इनमें से कई कार्तीय बंद श्रेणी हैं। समुच्चय ऐसी वस्तुओं का एक उदाहरण हैं।

खाली उत्पाद
संख्याओं और अधिकांश बीजगणितीय संरचनाओं पर खाली उत्पाद का मान 1 (गुणन का पहचान तत्व) होता है, ठीक उसी तरह जैसे खाली योग  का मान 0 (जोड़ का पहचान तत्व) होता है। हालांकि, खाली उत्पाद की अवधारणा अधिक सामान्य है, और  तर्क, सेट सिद्धांत,  कंप्यूटर प्रोग्रामिंग  और  श्रेणी सिद्धांत  में विशेष उपचार की आवश्यकता होती है।

अन्य बीजगणितीय संरचनाओं पर उत्पाद
अन्य प्रकार की बीजगणितीय संरचनाओं के उत्पादों में सम्मिलित हैं:
 * सेट का कार्टेशियन उत्पाद
 * समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद, और अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद , निट उत्पाद और  पुष्पांजलि उत्पाद  भी
 * समूहों का मुफ्त उत्पाद
 * अंगूठियों का उत्पाद
 * आदर्शों की उपज
 * उत्पाद टोपोलॉजी * यादृच्छिक चर का विक उत्पाद
 * बीजगणितीय टोपोलॉजी में कैप उत्पाद, कप उत्पाद,  मैसी उत्पाद  और  तिरछा उत्पाद
 * होमोटॉपी में स्मैश उत्पाद और वेज योग (कभी-कभी वेज उत्पाद कहा जाता है)।

उपरोक्त उत्पादों में से कुछ एक मोनोइडल श्रेणी में आंतरिक उत्पाद की सामान्य धारणा के उदाहरण हैं; बाकी एक उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत)  की सामान्य धारणा द्वारा वर्णित हैं।

श्रेणी सिद्धांत में उत्पाद
पिछले सभी उदाहरण विशेष स्थिति या किसी उत्पाद की सामान्य धारणा के उदाहरण हैं। किसी उत्पाद की अवधारणा के सामान्य उपचार के लिए, उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) देखें, जो किसी वस्तु को बनाने के लिए किसी प्रकार की दो वस्तु (श्रेणी सिद्धांत) को संयोजित करने का वर्णन करता है, संभवतः एक अलग प्रकार की। लेकिन यह भी, श्रेणी सिद्धांत में, किसी के पास है:
 * फाइबर उत्पाद या पुलबैक,
 * उत्पाद श्रेणी, एक श्रेणी जो श्रेणियों का उत्पाद है।
 * ultraproduct, मॉडल सिद्धांत  में।
 * एक मोनोइडल श्रेणी का आंतरिक उत्पाद, जो एक टेंसर उत्पाद के सार को दर्शाता है।

अन्य उत्पाद

 * एक फ़ंक्शन का उत्पाद अभिन्न  (एक अनुक्रम के उत्पाद के निरंतर समतुल्य के रूप में या सामान्य/मानक/योगात्मक अभिन्न के गुणक संस्करण के रूप में। उत्पाद अभिन्न को निरंतर उत्पाद या गुणक के रूप में भी जाना जाता है।
 * जटिल गुणन, अण्डाकार वक्रों का सिद्धांत।

यह भी देखें

 * अनिश्चितकालीन उत्पाद
 * अनंत उत्पाद
 * अनंत उत्पाद