BRST परिमाणीकरण

सैद्धांतिक भौतिकी में, बीआरएसटी औपचारिकता, या बीआरएसटी परिमाणीकरण (जहां बीआरएसटी चार्ल्स बेची के अंतिम नामों को संदर्भित करता है, Alain Rouet, रेमंड स्टोरा और इगोर ट्यूटिन) क्वांटिज़ेशन (भौतिकी) के लिए एक अपेक्षाकृत कठोर गणितीय दृष्टिकोण को एक गेज समरूपता के साथ एक मात्रा  क्षेत्र सिद्धांत दर्शाता है। पहले के क्वांटम फील्ड थ्योरी (क्यूएफटी) फ्रेमवर्क में परिमाणीकरण (भौतिकी)भौतिकी) के नियम प्रमाणों से अधिक नुस्खों या अनुमानों के समान थे, विशेष रूप से गैर-अबेलियन समूह|नॉन-एबेलियन क्यूएफटी में, जहां सतही विचित्र गुणों वाले घोस्ट फील्ड का उपयोग तकनीकी कारणों से लगभग अपरिहार्य है। पुनर्सामान्यीकरण और विसंगति रद्दीकरण से संबंधित।

1970 के दशक के मध्य में शुरू की गई BRST वैश्विक सुपरसिमेट्री को QFT गणना करते समय इन Faddeev-Popov भूतों की शुरूआत और भौतिक स्पर्शोन्मुख अवस्थाओं से उनके बहिष्करण को तर्कसंगत बनाने के लिए समझा गया था। महत्वपूर्ण रूप से, पथ इंटीग्रल की यह समरूपता लूप ऑर्डर में संरक्षित है, और इस प्रकार काउंटरटर्म्स की शुरूआत को रोकता है जो रीनॉर्मलाइजेशन को खराब कर सकता है #गेज सिद्धांतों की रीनॉर्मलाइज़ेबिलिटी। कुछ वर्षों बाद अन्य लेखकों द्वारा किए गए कार्य ने बीआरएसटी ऑपरेटर को एक गेज सिद्धांत को परिमाणित करते समय पथ अभिन्न निर्माण के लिए एक कठोर विकल्प के अस्तित्व से संबंधित किया।

केवल 1980 के दशक के उत्तरार्ध में, जब डोनाल्डसन सिद्धांत में समस्याओं के लिए अनुप्रयोग के लिए फाइबर बंडल भाषा में QFT का सुधार किया गया था। निम्न-आयामी मैनिफोल्ड्स ( टोपोलॉजिकल [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत ]]) की टोपोलॉजी, क्या यह स्पष्ट हो गया था कि BRST परिवर्तन मूल रूप से चरित्र में ज्यामितीय है। इस प्रकाश में, विसंगति-रद्द करने वाले भूतों तक पहुंचने के लिए BRST परिमाणीकरण एक वैकल्पिक तरीके से अधिक हो जाता है। भूत क्षेत्रों का प्रतिनिधित्व करने पर यह एक अलग परिप्रेक्ष्य है, फदीव-पोपोव पद्धति क्यों काम करती है, और यह कैसे हैमिल्टनियन यांत्रिकी के उपयोग से संबंधित है जो एक विक्षुब्ध ढांचे का निर्माण करता है। गेज इनवेरियन और बीआरएसटी इनवेरियन के बीच का संबंध एक हैमिल्टनियन प्रणाली के चुनाव को बाध्य करता है, जिसके राज्य विहित परिमाणीकरण औपचारिकता से परिचित नियमों के अनुसार कणों से बने होते हैं। यह गूढ़ स्थिरता की स्थिति यह समझाने के काफी करीब आती है कि भौतिकी में क्वांटम और फरमिओन्स कैसे शुरू होते हैं।

कुछ मामलों में, विशेष रूप से सामान्य सापेक्षता और अतिगुरुत्वाकर्षण, बीआरएसटी को एक अधिक सामान्य औपचारिकता, बटालिन-विलकविस्की औपचारिकता द्वारा स्थानांतरित किया जाना चाहिए।

तकनीकी सारांश
बीआरएसटी परिमाणीकरण एक गैर-अबेलियन गेज सिद्धांत में सुसंगत, विसंगति (भौतिकी)-मुक्त समय-निर्भर गड़बड़ी सिद्धांत का प्रदर्शन करने के लिए एक विभेदक ज्यामिति दृष्टिकोण है। बीआरएसटी परिवर्तन के विश्लेषणात्मक रूप और पुनर्सामान्यीकरण और विसंगति रद्द करने के लिए इसकी प्रासंगिकता का वर्णन कार्लो बेचेची, एलेन रूट और रेमंड स्टोरा द्वारा 1976 में गेज सिद्धांतों के पुनर्सामान्यीकरण में समाप्त होने वाले पत्रों की एक श्रृंखला में किया गया था। समतुल्य परिवर्तन और इसके कई गुण स्वतंत्र रूप से इगोर ट्यूटिन द्वारा खोजे गए थे। यांग-मिल्स सिद्धांत के कठोर विहित परिमाणीकरण के लिए इसका महत्व और तात्क्षणिक क्षेत्र विन्यास के फॉक स्पेस के लिए इसके सही अनुप्रयोग को ताइचिरो कुगो और इज़ुमी ओजिमा द्वारा स्पष्ट किया गया था। बाद में कई लेखकों, विशेष रूप से थॉमस शूकर और एडवर्ड विटन ने बीआरएसटी ऑपरेटर और संबंधित क्षेत्रों के ज्यामितीय महत्व को स्पष्ट किया है और टोपोलॉजिकल क्वांटम फील्ड थ्योरी और स्ट्रिंग सिद्धांत  के महत्व पर बल दिया है।

बीआरएसटी दृष्टिकोण में, मुख्य बंडल के अंतर ज्यामिति का उपयोग करके गेज सिद्धांत के क्रिया सिद्धांत के लिए गड़बड़ी-अनुकूल गेज फिक्सिंग प्रक्रिया का चयन किया जाता है, जिस पर क्षेत्र सिद्धांत रहता है। एक तो क्वांटिज़ेशन (भौतिकी) सिद्धांत इस तरह से परस्पर क्रिया चित्र  में हैमिल्टनियन प्रणाली प्राप्त करने के लिए है कि गेज फिक्सिंग प्रक्रिया द्वारा पेश किए गए गैर-भौतिक क्षेत्र सिद्धांत के एसिम्प्टोटिक क्वांटम राज्य में प्रकट हुए बिना गेज विसंगति को हल करते हैं। परिणाम  एस मैट्रिक्स  के एक डायसन श्रृंखला पर्टुरेटिव विस्तार में उपयोग के लिए फेनमैन नियमों का एक सेट है जो गारंटी देता है कि यह एकात्मक मैट्रिक्स है और प्रत्येक एक-लूप क्रम में पुन: सामान्यीकरण योग्य है - संक्षेप में, भौतिक भविष्यवाणियों के बारे में एक सुसंगत सन्निकटन तकनीक प्रकीर्णन प्रयोगों के परिणाम।

शास्त्रीय बीआरएसटी
यह एक सहानुभूतिपूर्ण ज्यामिति कई गुना  से संबंधित है जहां शुद्ध ऑपरेटरों को इंटीग्रल भूत संख्या द्वारा वर्गीकृत किया जाता है और हमारे पास एक बीआरएसटी सह-समरूपता है।

क्यूएफटी
में गेज परिवर्तन व्यावहारिक दृष्टिकोण से, एक क्वांटम फील्ड थ्योरी में एक एक्शन सिद्धांत और गड़बड़ी सिद्धांत (क्वांटम यांत्रिकी)  के प्रदर्शन के लिए प्रक्रियाओं का एक सेट होता है। अन्य प्रकार की पवित्रता जाँचें हैं जो क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत पर यह निर्धारित करने के लिए की जा सकती हैं कि क्या यह क्वार्क कारावास और स्पर्शोन्मुख स्वतंत्रता जैसी गुणात्मक घटनाओं के लिए उपयुक्त है। हालाँकि, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत की अधिकांश भविष्यवाणिय सफलताएँ, क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स से लेकर आज तक, बिखरने वाले प्रयोगों के परिणामों के विरुद्ध एस-मैट्रिक्स गणनाओं का मिलान करके निर्धारित की गई हैं।

QFT के शुरुआती दिनों में, किसी को यह कहना होगा कि परिमाणीकरण (भौतिकी) और पुनर्सामान्यीकरण नुस्खे मॉडल का उतना ही हिस्सा थे जितना लैग्रैंगियन घनत्व, खासकर जब वे शक्तिशाली लेकिन गणितीय रूप से खराब परिभाषित पथ अभिन्न सूत्रीकरण पर निर्भर थे। यह जल्दी से स्पष्ट हो गया कि क्यूईडी अपने सापेक्ष सुवाह्यता में लगभग जादुई था, और यह कि जिन तरीकों से इसे विस्तारित करने की कल्पना की जा सकती है उनमें से अधिकांश तर्कसंगत गणना नहीं करेंगे। हालांकि, क्षेत्र सिद्धांतों का एक वर्ग आशाजनक बना रहा: गेज सिद्धांत, जिसमें सिद्धांत में वस्तुएं भौतिक रूप से अप्रभेद्य क्षेत्र विन्यास के समतुल्य वर्गों का प्रतिनिधित्व करती हैं, जिनमें से कोई भी दो गेज परिवर्तन से संबंधित हैं। यह एक अधिक जटिल झूठ समूह के लिए एक गेज सिद्धांत # शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व के क्यूईडी विचार को सामान्यीकृत करता है।

QED अपने आप में एक गेज सिद्धांत है, जैसा कि सामान्य सापेक्षता है, हालांकि बाद वाले ने अब तक परिमाणीकरण के लिए प्रतिरोधी साबित कर दिया है, जो कि पुनर्संरचना से संबंधित कारणों के लिए है। गैर-एबेलियन गेज समूह के साथ गेज सिद्धांतों का एक अन्य वर्ग, जो यांग-मिल्स सिद्धांत के साथ शुरू हुआ, 1960 के दशक के अंत और 1970 के दशक की शुरुआत में परिमाणीकरण के लिए उत्तरदायी हो गया, मोटे तौर पर लुडविग डी. फदीदेव, विक्टर पोपोव, ब्रायस डेविट और के काम के कारण। जेरार्डस 'टी हूफ्ट। हालांकि, बीआरएसटी पद्धति की शुरूआत तक उनके साथ काम करना बहुत मुश्किल रहा। बीआरएसटी पद्धति ने यांग-मिल्स के अखंड सिद्धांतों और उन सिद्धांतों से सटीक परिणाम निकालने के लिए आवश्यक गणना तकनीक और पुनर्सामान्यता प्रमाण प्रदान किए जिनमें हिग्स तंत्र सहज समरूपता को तोड़ने की ओर ले जाता है। इन दो प्रकार के यांग-मिल्स सिस्टम के प्रतिनिधि-क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स और इलेक्ट्रोवीक सिद्धांत-कण भौतिकी के मानक मॉडल में दिखाई देते हैं।

सेमी-हेयूरिस्टिक गणना योजनाओं का उपयोग करके सटीक भविष्यवाणियां प्राप्त करने की तुलना में कठोर अर्थों में गैर-एबेलियन क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के अस्तित्व को साबित करना अधिक कठिन साबित हुआ है। ऐसा इसलिए है क्योंकि क्वांटम फील्ड थ्योरी का विश्लेषण करने के लिए दो गणितीय रूप से इंटरलॉक किए गए दृष्टिकोणों की आवश्यकता होती है: एक्शन फंक्शनल पर आधारित लैग्रैन्जियन सिस्टम, स्पेसटाइम में प्रत्येक बिंदु पर अलग-अलग मानों वाले फ़ील्ड से बना होता है और स्थानीय ऑपरेटर जो उन पर कार्य करते हैं, और डायराक चित्र में हैमिल्टनियन सिस्टम, उन राज्यों से बना है जो एक निश्चित समय में संपूर्ण प्रणाली की विशेषता बताते हैं और फील्ड ऑपरेटरों जो उन पर कार्य करते हैं। गेज सिद्धांत में यह इतना कठिन क्यों है कि सिद्धांत की वस्तुएं वास्तव में स्पेसटाइम पर स्थानीय क्षेत्र नहीं हैं; वे प्रमुख गेज बंडल पर सही-अपरिवर्तनीय स्थानीय क्षेत्र हैं, और विभिन्न खंड (फाइबर बंडल)# स्थानीय और वैश्विक खंड गेज बंडल के एक हिस्से के माध्यम से, निष्क्रिय परिवर्तनों से संबंधित, विभिन्न डायराक चित्रों का उत्पादन करते हैं।

क्या अधिक है, क्षेत्रों के एक समूह के संदर्भ में संपूर्ण प्रणाली के विवरण में स्वतंत्रता की कई अनावश्यक डिग्री शामिल हैं; सिद्धांत के विशिष्ट विन्यास क्षेत्र विन्यास के तुल्यता वर्ग हैं, ताकि दो विवरण जो गेज परिवर्तन द्वारा एक दूसरे से संबंधित हैं, वास्तव में एक ही भौतिक विन्यास हैं। परिमाणित गेज सिद्धांत का समाधान स्पेसटाइम में हर बिंदु पर मूल्यों के साथ फ़ील्ड्स के सीधे स्थान में मौजूद नहीं है, लेकिन एक कोटिएंट स्पेस (टोपोलॉजी) (या कोहोलॉजी) में मौजूद है, जिसके तत्व समतुल्य वर्ग हैंफ़ील्ड कॉन्फ़िगरेशन। बीआरएसटी औपचारिकता में छिपाना सभी संभावित सक्रिय गेज परिवर्तनों से जुड़े विविधताओं को पैरामीटर करने के लिए एक प्रणाली है और Lagrangian प्रणाली को हैमिल्टनियन सिस्टम में रूपांतरण के दौरान उनकी भौतिक अप्रासंगिकता के लिए सही ढंग से लेखांकन करता है।

गेज फिक्सिंग और गड़बड़ी सिद्धांत
व्यावहारिक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के निर्माण के लिए गेज इनवेरियन का सिद्धांत आवश्यक है। लेकिन आम तौर पर गेज को ठीक किए बिना गेज सिद्धांत में एक अनुत्पादक गणना करना संभव नहीं है - कार्रवाई सिद्धांत के लैग्रैंगियन घनत्व के लिए शब्दों को जोड़ना जो स्वतंत्रता की इन अभौतिक डिग्री को दबाने के लिए गेज समरूपता को तोड़ते हैं। गेज फिक्सिंग का विचार इलेक्ट्रोमैग्नेटिज़्म के लोरेन्ज़ गेज दृष्टिकोण पर वापस जाता है, जो प्रकट लोरेंट्ज़ इनवेरिएंस को बनाए रखते हुए चार-क्षमता में स्वतंत्रता की अधिकांश अतिरिक्त डिग्री को दबा देता है। लॉरेंज गेज शास्त्रीय इलेक्ट्रोडायनामिक्स  के लिए मैक्सवेल के क्षेत्र-शक्ति दृष्टिकोण के सापेक्ष एक महान सरलीकरण है, और यह दिखाता है कि लैग्रैन्जियन चरण में एक सिद्धांत में वस्तुओं के समूह प्रतिनिधित्व में स्वतंत्रता की अतिरिक्त डिग्री से निपटने के लिए उपयोगी क्यों है, इससे पहले लीजेंड्रे परिवर्तन के माध्यम से हैमिल्टनियन यांत्रिकी।

हेमिल्टनियन घनत्व गेज बंडल पर एक इकाई टाइमलाइक क्षैतिज वेक्टर क्षेत्र के संबंध में लैग्रैन्जियन घनत्व के लाइ डेरिवेटिव से संबंधित है। क्वांटम यांत्रिक संदर्भ में इसे पारंपरिक रूप से एक कारक द्वारा पुनर्विक्रय किया जाता है $$i \hbar$$. स्पेसलाइक क्रॉस सेक्शन पर भागों द्वारा इसे एकीकृत करने से कैनोनिकल क्वांटिज़ेशन से परिचित इंटीग्रैंड का रूप ठीक हो जाता है। क्योंकि हैमिल्टनियन की परिभाषा में बेस स्पेस पर एक यूनिट टाइम वेक्टर फील्ड, बंडल स्पेस के लिए एक क्षैतिज लिफ्ट और बेस मैनिफोल्ड पर प्रत्येक बिंदु पर यूनिट टाइम वेक्टर फील्ड के लिए सामान्य (मिन्कोव्स्की मीट्रिक में) स्पेस जैसी सतह शामिल है। यह कनेक्शन (प्रमुख बंडल) और संदर्भ के लोरेंत्ज़ जड़त्वीय फ्रेम की पसंद दोनों पर निर्भर है, और विश्व स्तर पर परिभाषित होने से बहुत दूर है। लेकिन यह क्वांटम फील्ड थ्योरी के परेशान करने वाले ढांचे में एक आवश्यक घटक है, जिसमें डायसन श्रृंखला के माध्यम से मात्रात्मक हैमिल्टनियन प्रवेश करता है।

परेशान करने वाले उद्देश्यों के लिए, हम अपने सिद्धांत के सभी क्षेत्रों के विन्यास को पी के संपूर्ण त्रि-आयामी क्षैतिज अंतरिक्ष जैसे क्रॉस सेक्शन पर एक वस्तु (एक फॉक राज्य ) में इकट्ठा करते हैं, और फिर अंतःक्रियात्मक चित्र का उपयोग करके समय के साथ इस राज्य के विकास का वर्णन करते हैं।. फॉक स्पेस को अप्रतिबंधित या गैर-बातचीत वाले हिस्से के बहु-कण ईजेनस्टेट्स द्वारा फैलाया जाता है $$\mathcal{H}_0$$ हैमिल्टनियन प्रणाली का $$\mathcal{H}$$. इसलिए किसी भी फॉक राज्य का तात्कालिक विवरण एक जटिल-आयाम-भारित योग है जो आइजेनस्टेट्स का है $$\mathcal{H}_0$$. इंटरेक्शन पिक्चर में, हम अलग-अलग समय पर फॉक स्टेट्स से संबंधित हैं, जिसमें कहा गया है कि अपरंपरागत हैमिल्टन के प्रत्येक आइजनस्टेट को अपनी ऊर्जा के समानुपाती फेज रोटेशन की निरंतर दर का अनुभव होता है (अपरिवर्तित हैमिल्टनियन के संबंधित eigenvalue)।

इसलिए, शून्य-क्रम सन्निकटन में, फॉक राज्य की विशेषता वाले वजन का सेट समय के साथ नहीं बदलता है, लेकिन संबंधित फ़ील्ड कॉन्फ़िगरेशन करता है। उच्च सन्निकटन में, भार भी बदलते हैं; उच्च-ऊर्जा भौतिकी में कोलाइडर प्रयोग इन भारों में परिवर्तन की दर के मापन के बराबर होते हैं (या बल्कि बिखरने की घटना की प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों में अनिश्चितता का प्रतिनिधित्व करने वाले वितरणों पर उनके अभिन्न अंग)। डायसन श्रृंखला के बीच विसंगति के प्रभाव को दर्शाता है $$\mathcal{H}_0$$ और सच्चा हैमिल्टनियन $$\mathcal{H}$$युग्मन निरंतर जी में एक शक्ति श्रृंखला के रूप में; यह क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत से मात्रात्मक भविष्यवाणियां करने का प्रमुख उपकरण है।

किसी भी चीज़ की गणना करने के लिए डायसन श्रृंखला का उपयोग करने के लिए, किसी को गेज-इनवेरिएंट लैग्रैन्जियन घनत्व से अधिक की आवश्यकता होती है; सिद्धांत के फेनमैन नियमों में प्रवेश करने वाले क्वांटिज़ेशन और गेज फिक्सिंग नुस्खे की भी आवश्यकता होती है। किसी विशेष क्यूएफटी के हैमिल्टनियन पर लागू होने पर डायसन श्रृंखला विभिन्न प्रकार के अनंत इंटीग्रल उत्पन्न करती है। यह आंशिक रूप से इसलिए है क्योंकि आज तक के सभी प्रयोग करने योग्य क्वांटम क्षेत्र सिद्धांतों को प्रभावी क्षेत्र सिद्धांतों के रूप में माना जाना चाहिए, जो केवल ऊर्जा पैमानों की एक निश्चित सीमा पर बातचीत का वर्णन करते हैं जिनकी हम प्रायोगिक रूप से जांच कर सकते हैं और इसलिए पराबैंगनी विचलन के प्रति संवेदनशील हैं। ये तब तक सहनीय हैं जब तक इन्हें पुनर्सामान्यीकरण की मानक तकनीकों के माध्यम से नियंत्रित किया जा सकता है; वे इतने सहनीय नहीं होते हैं जब वे अनंत पुनर्सामान्यीकरण की एक अनंत श्रृंखला में परिणत होते हैं, या इससे भी बदतर, एक स्पष्ट रूप से अभौतिक भविष्यवाणी जैसे कि एक रद्द गेज विसंगति। रीनॉर्मलाइज़ेबिलिटी और गेज इनवेरियन के बीच एक गहरा रिश्ता है, जो गेज को ठीक करके ट्रैक्टेबल फेनमैन नियम प्राप्त करने के प्रयासों के दौरान आसानी से खो जाता है।

गेज फिक्सिंग के लिए प्री-बीआरएसटी दृष्टिकोण
कॉन्टिनम इलेक्ट्रोडायनामिक्स के पारंपरिक गेज फिक्सिंग नुस्खे लोरेंज गेज जैसे बाधा समीकरण का उपयोग करके प्रत्येक गेज-ट्रांसफॉर्मेशन-संबंधित समकक्ष वर्ग से एक अद्वितीय प्रतिनिधि का चयन करते हैं। $$\partial^\mu A_\mu = 0$$. इस तरह के नुस्खे को क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स जैसे एबेलियन गेज सिद्धांत पर लागू किया जा सकता है, हालांकि यह समझाने में कुछ कठिनाई होती है कि शास्त्रीय सिद्धांत की वार्ड पहचान क्वांटम सिद्धांत पर क्यों चलती है - दूसरे शब्दों में, आंतरिक अनुदैर्ध्य वाले फेनमैन आरेख क्यों वेव आभासी फोटॉन एस-मैट्रिक्स गणना में योगदान नहीं करते हैं। यह दृष्टिकोण गैर-एबेलियन गेज समूहों जैसे यांग-मिल्स इलेक्ट्रोवीक सिद्धांत के एसयू (2) एक्सयू (1) और क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स के एसयू (3) के लिए भी सामान्य नहीं है। यह ग्रिबोव अस्पष्टता से ग्रस्त है और एक गेज फिक्सिंग बाधा को परिभाषित करने में कठिनाई से है जो कि क्षेत्र विन्यास में शारीरिक रूप से महत्वपूर्ण परिवर्तनों के लिए कुछ अर्थों में ऑर्थोगोनल है।

अधिक परिष्कृत दृष्टिकोण स्वतंत्रता की गेज परिवर्तन डिग्री के लिए क्रोनकर डेल्टा बाधा को लागू करने का प्रयास नहीं करते हैं। कॉन्फ़िगरेशन स्थान में एक विशेष बाधा सतह पर गेज को ठीक करने के बजाय, लैग्रेंगियन घनत्व में जोड़ा गया एक अतिरिक्त, गैर-गेज-इनवेरिएंट शब्द के साथ गेज स्वतंत्रता को तोड़ सकता है। गेज फिक्सिंग की सफलताओं को पुन: उत्पन्न करने के लिए, इस शब्द को गेज की पसंद के लिए न्यूनतम चुना गया है जो वांछित बाधा से मेल खाता है और बाधा सतह से गेज के विचलन पर चौकोर रूप से निर्भर करता है। स्थिर चरण सन्निकटन द्वारा, जिस पर फेनमैन पथ अभिन्न आधारित है, बाधाकारी गणनाओं में प्रमुख योगदान बाधा सतह के पड़ोस में क्षेत्र विन्यास से आएगा।

कार्यात्मक परिमाणीकरण की विधि का उपयोग करते हुए, इस लैग्रैजियन से जुड़े परेशान विस्तार को आम तौर पर आर के रूप में जाना जाता हैξ थाह लेना। यह एक एबेलियन यू (1) गेज के मामले में फेनमैन नियमों के उसी सेट को कम कर देता है जो कि विहित परिमाणीकरण की विधि में प्राप्त होता है। लेकिन एक महत्वपूर्ण अंतर है: टूटी हुई गेज स्वतंत्रता कार्यात्मक अभिन्न में समग्र सामान्यीकरण में एक अतिरिक्त कारक के रूप में दिखाई देती है। इस कारक को केवल परेशान विस्तार (और अनदेखा) से बाहर निकाला जा सकता है जब स्वतंत्रता की गेज डिग्री के साथ गड़बड़ी के Lagrangian में योगदान विशेष भौतिक क्षेत्र विन्यास से स्वतंत्र है। यह वह स्थिति है जो गैर-एबेलियन गेज समूहों के लिए धारण करने में विफल रहती है। यदि कोई समस्या को अनदेखा करता है और भोले-भाले कार्यात्मक परिमाणीकरण से प्राप्त फेनमैन नियमों का उपयोग करने का प्रयास करता है, तो वह पाता है कि किसी की गणना में अपरिवर्तनीय विसंगतियाँ हैं।

QCD में परेशान करने वाली गणनाओं की समस्या को फदीदेव-पोपोव भूतों के रूप में जाना जाने वाले अतिरिक्त क्षेत्रों को शुरू करके हल किया गया था, जिसका योगदान गैर-एबेलियन गेज क्षेत्र के भौतिक और अभौतिक गड़बड़ी के युग्मन द्वारा शुरू की गई विसंगति को गेज-फिक्स्ड लैग्रेंगियन ऑफ़सेट करता है। कार्यात्मक क्वांटिज़ेशन परिप्रेक्ष्य से, फील्ड कॉन्फ़िगरेशन (गेज ट्रांसफॉर्मेशन) के अभौतिक गड़बड़ी सभी (अनंत) गड़बड़ी के स्थान का एक उप-स्थान बनाते हैं; गैर-एबेलियन मामले में, बड़े स्थान में इस उप-स्थान का एम्बेडिंग उस विन्यास पर निर्भर करता है जिसके चारों ओर गड़बड़ी होती है। Lagrangian में भूत शब्द जैकबियन मैट्रिक्स के कार्यात्मक निर्धारक और इस एम्बेडिंग के निर्धारक का प्रतिनिधित्व करता है, और शेष भौतिक पर कार्यात्मक माप (गणित) को सही करने के लिए भूत क्षेत्र के गुणों को निर्धारक पर वांछित प्रतिपादक द्वारा निर्धारित किया जाता है। गड़बड़ी कुल्हाड़ियों।

ब्रेस्ट के लिए गणितीय दृष्टिकोण
बेस्ट कंस्ट्रक्शन तब लागू होता है जब किसी के पास कॉम्पैक्ट (टोपोलॉजी), जुड़ा हुआ (टोपोलॉजी)  लाइ ग्रुप की हैमिल्टनियन क्रिया होती है $$G$$ एक चरण स्थान पर $$M$$. होने देना $$\mathfrak{g}$$ का झूठ बीजगणित हो $$G$$ (झूठ समूह-झूठ बीजगणित पत्राचार के माध्यम से) और $$0 \in \mathfrak{g}^*$$ (दोहरी वेक्टर अंतरिक्ष $$\mathfrak{g})$$ क्षण मानचित्र का एक नियमित मूल्य $$\Phi: M\to \mathfrak{g}^*$$. होने देना $$M_0=\Phi^{-1}(0) $$. मान लीजिए $$G$$-कार्रवाई चालू $$M_0$$ स्वतंत्र और उचित है, और स्थान पर विचार करें $$\widetilde M = M_0/G $$ का $$G$$-कक्षाएं चालू हैं $$M_0$$, जिसे सहानुभूतिपूर्ण कमी  कोशेंट के रूप में भी जाना जाता है $$\widetilde M = M//G$$.

सबसे पहले, परिभाषित कार्यों के नियमित अनुक्रम का उपयोग करना $$M_0$$ अंदर $$M$$, शर्ट्स कॉम्प्लेक्स का निर्माण करें


 * $$\Lambda^\bullet {\mathfrak g} \otimes C^{\infty}(M).$$

श्रृंखला जटिल # परिभाषाएँ, $$\delta$$, इस परिसर पर एक विषम है $$C^\infty(M)$$वर्गीकृत बीजगणित की रैखिक व्युत्पत्ति $$C^\infty(M)$$-बीजगणित $$\Lambda^\bullet {\mathfrak g} \otimes C^{\infty}(M) $$. इस विषम व्युत्पत्ति को लाइ बीजगणित समरूपता का विस्तार करके परिभाषित किया गया है $$ {\mathfrak g}\to C^{\infty}(M) $$ हैमिल्टनियन कार्रवाई की। परिणामी कोज़ुल परिसर का कोज़ुल परिसर है $$S({\mathfrak g})$$-मापांक $$C^\infty(M)$$, कहाँ $$S(\mathfrak{g})$$ का सममित बीजगणित है $$\mathfrak{g}$$, और मॉड्यूल संरचना एक अंगूठी समरूपता से आती है $$S({\mathfrak g}) \to C^{\infty}(M) $$ हैमिल्टनियन कार्रवाई से प्रेरित $$\mathfrak{g} \to C^{\infty}(M)$$.

यह कोज़ुल परिसर का एक संकल्प है $$ S({\mathfrak g})$$-मापांक $$ C^{\infty}(M_0) $$, वह है,


 * $$ H^{j}(\Lambda^\bullet {\mathfrak g} \otimes C^{\infty}(M),\delta) = \begin{cases} C^{\infty}(M_0) & j = 0 \\ 0 & j \neq 0 \end{cases}$$

फिर, कोज़ुल कॉम्प्लेक्स के लिए शेवेलली-एलेनबर्ग कॉम्प्लेक्स पर विचार करें $$ \Lambda^\bullet {\mathfrak g} \otimes C^{\infty}(M) $$ झूठ बीजगणित पर एक dg-module  के रूप में माना जाता है $$\mathfrak{g}$$:


 * $$ K^{\bullet,\bullet} = C^\bullet \left (\mathfrak g,\Lambda^\bullet {\mathfrak g} \otimes C^{\infty}(M) \right ) = \Lambda^\bullet {\mathfrak g}^* \otimes \Lambda^\bullet {\mathfrak g} \otimes C^{\infty}(M). $$

क्षैतिज अंतर $$ d: K^{i,\bullet} \to K^{i+1,\bullet} $$ गुणांक पर परिभाषित किया गया है


 * $$ \Lambda^\bullet {\mathfrak g} \otimes C^{\infty}(M) $$

की क्रिया से $$\mathfrak{g}$$ और पर $$ \Lambda^\bullet {\mathfrak g}^*$$ ग्रुप एक्शन # राइट ग्रुप एक्शन-इनवेरिएंट डिफरेंशियल डिफरेंशियल ऑपरेटर डिफरेंशियल के ग्रुप एक्शन के बाहरी डेरिवेटिव के रूप में लाई ग्रुप पर $$G$$, जिसका झूठ बीजगणित है $$\mathfrak{g}$$.

बता दें कि Tot(K) एक ऐसा कॉम्प्लेक्स है


 * $$\operatorname{Tot}(K)^n =\bigoplus\nolimits_{i-j=n} K^{i,j}$$

एक अंतर डी = डी + δ के साथ। (टोट(के), डी) के कोहोलॉजी समूहों की गणना दोहरे परिसर से जुड़े वर्णक्रमीय अनुक्रम का उपयोग करके की जाती है $$(K^{\bullet,\bullet}, d, \delta)$$.

वर्णक्रमीय अनुक्रम का पहला पद ऊर्ध्वाधर अंतर के कोहोलॉजी की गणना करता है $$\delta$$:


 * $$ E_1^{i,j} = H^j (K^{i,\bullet},\delta) = \Lambda^i {\mathfrak g}^* \otimes C^{\infty}(M_0)$$, यदि j = 0 और शून्य अन्यथा।

वर्णक्रमीय अनुक्रम की पहली अवधि को लंबवत अंतर रूपों के परिसर के रूप में व्याख्या किया जा सकता है


 * $$ (\Omega^\bullet{\operatorname{vert}}(M_0), d_{\operatorname{vert}}) $$

फाइबर बंडल के लिए $$ M_0 \to \widetilde M $$.

वर्णक्रमीय अनुक्रम का दूसरा पद क्षैतिज अंतर के कोहोलॉजी की गणना करता है $$d$$ पर $$E_1^{\bullet,\bullet}$$:


 * $$ E_2^{i,j} \cong H^i(E_1^{\bullet,j},d) = C^{\infty}(M_0)^g = C^{\infty}(\widetilde M)$$, अगर $$i = j= 0$$ और शून्य अन्यथा।

वर्णक्रमीय क्रम दूसरे कार्यकाल में ढह जाता है, इसलिए $$ E_{\infty}^{i,j} = E_2^{i,j} $$, जो डिग्री शून्य में केंद्रित है।

इसलिए,


 * $$ H^p (\operatorname{Tot}(K), D ) = C^{\infty}(M_0)^g = C^{\infty}(\widetilde M)$$, अगर पी = 0 और 0 अन्यथा।

बीआरएसटी ऑपरेटर और एसिम्प्टोटिक फॉक स्पेस
BRST ऑपरेटर के बारे में दो महत्वपूर्ण टिप्पणियां देय हैं। सबसे पहले, गेज समूह जी के साथ काम करने के बजाय केवल गेज बीजगणित की क्रिया का उपयोग कर सकते हैं $$\mathfrak{g}$$ खेतों पर (चरण स्थान पर कार्य)।

दूसरा, किसी भी बीआरएसटी सटीक रूप एस की भिन्नताBएक्स एक स्थानीय गेज परिवर्तन के संबंध में dλ है


 * $$\left [i_{\delta\lambda}, s_B \right ] s_B X = i_{\delta\lambda} (s_B s_B X) + s_B \left (i_{\delta\lambda} (s_B X) \right ) = s_B \left (i_{\delta\lambda} (s_B X) \right ),$$

जो स्वयं एक सटीक रूप है।

अधिक महत्वपूर्ण रूप से हेमिल्टनियन पर्टुरेटिव औपचारिकता के लिए (जो फाइबर बंडल पर नहीं बल्कि एक स्थानीय खंड पर किया जाता है), एक बीआरएसटी सटीक शब्द को एक गेज इनवेरिएंट लैग्रैंगियन घनत्व में जोड़कर संबंध एस को संरक्षित करता है।BX = 0। जैसा कि हम देखेंगे, इसका तात्पर्य है कि एक संबंधित ऑपरेटर Q हैBजिसके लिए राज्य स्थान पर $$[Q_B, \mathcal{H}] = 0$$-मैं। ई।, फॉक राज्यों पर बीआरएसटी ऑपरेटर हैमिल्टन प्रणाली का एक चार्ज संरक्षण है। इसका तात्पर्य यह है कि डायसन श्रृंखला की गणना में समय विकास ऑपरेटर एक क्षेत्र विन्यास का पालन नहीं करेगा $$Q_B |\Psi_i\rangle = 0$$ बाद के कॉन्फ़िगरेशन में $$Q_B |\Psi_f\rangle \neq 0$$ (या विपरीत)।

BRST ऑपरेटर की शून्यता को देखने का एक अन्य तरीका यह कहना है कि इसकी छवि (गणित) (BRST सटीक रूपों का स्थान) पूरी तरह से इसके कर्नेल (सेट सिद्धांत) (BRST बंद अंतर रूप  का स्थान) के भीतर है। (सच्चा Lagrangian, स्थानीय गेज परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय माना जाता है, BRST ऑपरेटर के कर्नेल में है, लेकिन इसकी छवि में नहीं है।) पूर्ववर्ती तर्क कहता है कि हम प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों के अपने ब्रह्मांड को स्पर्शोन्मुख अवस्थाओं तक सीमित कर सकते हैं - क्षेत्र विन्यास समय-समान अनन्तता पर, जहाँ इंटरेक्शन Lagrangian को बंद कर दिया जाता है - जो Q के कर्नेल में स्थित होता हैBऔर अभी भी एकात्मक प्रकीर्णन मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं। (बीआरएसटी बंद और सटीक राज्यों को बीआरएसटी बंद और सटीक क्षेत्रों के समान परिभाषित किया गया है; बंद राज्यों को क्यू द्वारा विलोपित किया जाता हैB, जबकि सटीक अवस्थाएँ वे हैं जो Q लागू करके प्राप्त की जा सकती हैंBकुछ मनमाने क्षेत्र विन्यास के लिए।)

हम उन अवस्थाओं को भी दबा सकते हैं जो Q की छवि के अंदर हैंBजब हमारे सिद्धांत की स्पर्शोन्मुख अवस्थाओं को परिभाषित करते हैं - लेकिन तर्क थोड़ा सूक्ष्म होता है। चूँकि हमने मान लिया है कि हमारे सिद्धांत का सच्चा लैग्रैन्जियन गेज इनवेरिएंट है, हमारे हैमिल्टनियन सिस्टम की सच्ची अवस्थाएँ स्थानीय गेज परिवर्तन के तहत तुल्यता वर्ग हैं; दूसरे शब्दों में, हैमिल्टनियन चित्र में दो प्रारंभिक या अंतिम अवस्थाएँ जो केवल एक BRST सटीक स्थिति से भिन्न होती हैं, भौतिक रूप से समतुल्य होती हैं। हालांकि, BRST सटीक गेज ब्रेकिंग प्रिस्क्रिप्शन का उपयोग इस बात की गारंटी नहीं देता है कि इंटरेक्शन हैमिल्टन बंद फ़ील्ड कॉन्फ़िगरेशन के किसी विशेष उप-स्थान को संरक्षित करेगा जिसे हम सटीक कॉन्फ़िगरेशन के स्थान पर ऑर्थोगोनल कह सकते हैं। (यह एक महत्वपूर्ण बिंदु है, जिसे अक्सर क्यूएफटी पाठ्यपुस्तकों में गलत तरीके से संभाला जाता है। कार्रवाई सिद्धांत में निर्मित फ़ील्ड कॉन्फ़िगरेशन पर कोई प्राथमिक आंतरिक उत्पाद नहीं है; हम अपने हैमिल्टनियन परेशान तंत्र के हिस्से के रूप में इस तरह के एक आंतरिक उत्पाद का निर्माण करते हैं।)

इसलिए हम एक विशेष समय में BRST बंद कॉन्फ़िगरेशन के वेक्टर स्पेस पर ध्यान केंद्रित करते हैं, इसे हैमिल्टनियन गड़बड़ी के लिए उपयुक्त मध्यवर्ती राज्यों के फॉक स्पेस में परिवर्तित करने के इरादे से। इसके लिए, हम इसे प्रत्येक क्षेत्र के ऊर्जा-संवेग eigenconfigurations (कणों) के लिए सीढ़ी ऑपरेटरों के साथ संपन्न करेंगे, जो उपयुक्त (एंटी-) कम्यूटेशन नियमों के साथ-साथ एक निश्चित निश्चित द्विरेखीय रूप|सकारात्मक अर्ध-निश्चित आंतरिक उत्पाद के साथ पूरा होगा। हमें आवश्यकता है कि आंतरिक उत्पाद गणितीय विलक्षणता विशेष रूप से उन दिशाओं के साथ हो जो बीआरएसटी के सटीक आइजनस्टेट्स के अनुरूप हों। यह सुनिश्चित करता है कि कोई स्वतंत्र रूप से चयन कर सकता है, स्पर्शोन्मुख क्षेत्र विन्यास के दो तुल्यता वर्गों के भीतर से (अखंड) मुक्त-क्षेत्र हैमिल्टन के विशेष प्रारंभिक और अंतिम eigenstates के अनुरूप, BRST बंद फॉक राज्यों की कोई भी जोड़ी जो हमें पसंद है।

वांछित क्वांटिज़ेशन नुस्खे 'बीआरएसटी कोहोलॉजी' के लिए फॉक स्पेस आइसोमोर्फिक भी प्रदान करेंगे, जिसमें मध्यवर्ती राज्यों के प्रत्येक बीआरएसटी बंद समानता वर्ग (केवल एक सटीक राज्य से अलग) को एक राज्य द्वारा दर्शाया जाता है जिसमें बीआरएसटी का कोई क्वांटा नहीं होता है सटीक क्षेत्र। यह वह फॉक स्पेस है जिसे हम सिद्धांत के स्पर्शोन्मुख अवस्थाओं के लिए चाहते हैं; भले ही हम आम तौर पर विशेष अंतिम फ़ील्ड कॉन्फ़िगरेशन को चुनने में सफल नहीं होंगे, जिसके लिए गेज-फिक्स्ड लैग्रैंगियन डायनेमिक्स उस प्रारंभिक कॉन्फ़िगरेशन को विकसित करेगा, बीआरएसटी के साथ आंतरिक उत्पाद की विलक्षणता स्वतंत्रता की सटीक डिग्री सुनिश्चित करती है कि हमें इसके लिए सही प्रविष्टियाँ मिलेंगी भौतिक प्रकीर्णन मैट्रिक्स।

(दरअसल, हमें शायद बीआरएसटी-बंद इंटरमीडिएट फॉक राज्यों के लिए एक करें स्पेस का निर्माण करना चाहिए, जिसमें टाइम रिवर्सल ऑपरेटर लोरेंत्ज़-इनवेरिएंट और पॉजिटिव सेमी-डेफिनिट अंदरूनी प्रोडक्ट ्स से संबंधित मौलिक समरूपता की भूमिका निभा रहा है। एसिम्प्टोटिक स्टेट स्पेस है। संभवतः हिल्बर्ट स्थान इस केरिन स्थान से बीआरएसटी सटीक राज्यों को उद्धृत करके प्राप्त किया गया है।)

संक्षेप में, बीआरएसटी गेज फिक्सिंग प्रक्रिया के हिस्से के रूप में पेश किया गया कोई क्षेत्र गेज-फिक्स्ड थ्योरी के एसिम्प्टोटिक राज्यों में दिखाई नहीं देगा। हालांकि, इसका मतलब यह नहीं है कि हम इन गैर-भौतिक क्षेत्रों के बिना परेशान गणना के मध्यवर्ती राज्यों में कर सकते हैं! ऐसा इसलिए है क्योंकि अंतःक्रियात्मक चित्र में अनुत्पादक गणनाएँ की जाती हैं। वे अप्रत्यक्ष रूप से गैर-बातचीत हैमिल्टन के प्रारंभिक और अंतिम राज्यों को शामिल करते हैं $$\mathcal{H}_0$$, धीरे-धीरे बातचीत हैमिल्टनियन (गेज कपलिंग) को चालू करके एडियाबेटिक प्रमेय के अनुसार पूर्ण हैमिल्टन की अवस्थाओं में परिवर्तित हो गया। फेनमैन आरेखों के संदर्भ में डायसन श्रृंखला के विस्तार में ऐसे शिखर शामिल होंगे जो भौतिक कणों (जो मुक्त हैमिल्टनियन के स्पर्शोन्मुख राज्यों में प्रकट हो सकते हैं) से अभौतिक कणों (क्षेत्रों के राज्य जो कर्नेल (सेट सिद्धांत) के बाहर रहते हैं) में शामिल होंगे।Bया एस की छवि के अंदरB) और शीर्ष जो अभौतिक कणों को एक दूसरे से जोड़ते हैं।

कुगो-ओजीमा एकात्मकता प्रश्नों का उत्तर
टी. कुगो और आई. ओजिमा को आमतौर पर प्रमुख क्यूसीडी रंग परिरोध कसौटी की खोज का श्रेय दिया जाता है। Lagrangian ढांचे में BRST औपचारिकता का एक सही संस्करण प्राप्त करने में उनकी भूमिका की कम व्यापक रूप से सराहना की जाती है। बीआरएसटी परिवर्तन के उनके संस्करण का निरीक्षण करना ज्ञानवर्धक है, जो पूरी तरह से ज्यामितीय कोण से आगे बढ़ने से पहले नए पेश किए गए क्षेत्रों के हर्मिटियन ऑपरेटर गुणों पर जोर देता है। गेज तय Lagrangian घनत्व नीचे है; कोष्ठक में दो शब्द गेज और भूत क्षेत्रों के बीच युग्मन बनाते हैं, और अंतिम शब्द सहायक क्षेत्र बी पर कार्यात्मक माप के लिए गॉसियन भार बन जाता है।


 * $$\mathcal{L} = \mathcal{L}_\textrm{matter}(\psi,\,A_\mu^a) - \tfrac{1}{4} F^a_{\mu\nu} F^{a,\,\mu\nu} - (i (\partial^\mu \bar{c}^a) D_\mu^{ab} c^b + (\partial^\mu B^a) A_\mu^a) + \tfrac{1}{2} \alpha_0 B^a B^a$$

बीआरएसटी प्रक्रिया की औपचारिक आवश्यकताओं से परे एक ज्यामितीय अर्थ रखने में हमारे गेज-फिक्स्ड सिद्धांत के नए क्षेत्रों में फदीव-पोपोव भूत क्षेत्र सी अद्वितीय है। यह मौरर-कार्टन फॉर्म ऑन का एक संस्करण है $$V\mathfrak{E}$$, जो प्रत्येक सही-अपरिवर्तनीय ऊर्ध्वाधर सदिश क्षेत्र से संबंधित है $$\delta\lambda \in V\mathfrak{E}$$ इसके प्रतिनिधित्व के लिए (एक चरण तक) एक के रूप में $$\mathfrak{g}$$-मूल्यवान क्षेत्र। इस क्षेत्र को वस्तुओं पर अतिसूक्ष्म गेज परिवर्तनों के सूत्रों में प्रवेश करना चाहिए (जैसे कि फ़र्मियन ψ, गेज बोसोन एμ, और भूत सी स्वयं) जो गेज समूह का एक गैर-तुच्छ प्रतिनिधित्व करते हैं। δλ के संबंध में BRST परिवर्तन इसलिए है:


 * $$\begin{align}

\delta \psi_i &= \delta\lambda D_i c \\ \delta A_\mu &= \delta\lambda D_\mu c \\ \delta c &= - \delta\lambda \tfrac{g}{2} [c, c] \\ \delta \bar{c} &= i \delta\lambda B \\ \delta B &= 0 \end{align}$$ यहां हमने मैटर सेक्टर ψ के विवरण को छोड़ दिया है और उस पर वार्ड संचालक के रूप को अनिर्दिष्ट छोड़ दिया है; ये तब तक महत्वहीन हैं जब तक पदार्थ क्षेत्रों पर गेज बीजगणित का प्रतिनिधित्व उनके युग्मन के साथ δA के अनुरूप होता हैμ. हमारे द्वारा जोड़े गए अन्य क्षेत्रों के गुण ज्यामितीय के बजाय मौलिक रूप से विश्लेषणात्मक हैं। कनेक्शन के प्रति हमने जो पूर्वाग्रह पेश किया है $$\partial^\mu A_\mu = 0$$ गेज पर निर्भर है और इसका कोई विशेष ज्यामितीय महत्व नहीं है। भूत विरोधी $$\bar{c}$$ गेज फिक्सिंग टर्म के लिए लैग्रेंज मल्टीप्लायर के अलावा और कुछ नहीं है, और स्केलर फील्ड बी के गुण पूरी तरह से रिश्ते से तय होते हैं $$\delta \bar{c} = i \delta\lambda B$$. (नए क्षेत्र कूगो-ओजिमा सम्मेलनों में सभी हर्मिटियन हैं, लेकिन पैरामीटर δλ एक एंटी-हर्मिटियन एंटी-कम्यूटिंग सी-नंबर|सी-नंबर है। इसके परिणामस्वरूप चरणों के संबंध में कुछ अनावश्यक अजीबता होती है और ऑपरेटरों के माध्यम से इन्फिनिटिमल पैरामीटर पास होते हैं; इसे नीचे ज्यामितीय उपचार में परिपाटी में बदलाव के साथ हल किया जाएगा।)

हम पहले से ही जानते हैं, बीआरएसटी ऑपरेटर के संबंध से बाहरी डेरिवेटिव और फैडीव-पोपोव भूत से मौरर-कार्टन फॉर्म तक, कि भूत सी (एक चरण तक) से मेल खाता है $$\mathfrak{g}$$-वैल्यूड 1-फॉर्म ऑन $$V\mathfrak{E}$$. जैसे शब्द के एकीकरण के लिए $$-i (\partial^\mu \bar{c}) D_\mu c$$ सार्थक होने के लिए, भूत-विरोधी $$\bar{c}$$ इन दो झूठे बीजगणितों का प्रतिनिधित्व होना चाहिए - ऊर्ध्वाधर आदर्श $$V\mathfrak{E}$$ और गेज बीजगणित $$\mathfrak{g}$$- भूत द्वारा उठाए गए लोगों के लिए। ज्यामितीय शब्दों में, $$\bar{c}$$ से फाइबरवाइज डुअल होना चाहिए $$\mathfrak{g}$$ और एक शीर्ष फॉर्म होने से एक रैंक कम $$V\mathfrak{E}$$. इसी तरह, सहायक क्षेत्र बी में का समान प्रतिनिधित्व होना चाहिए $$\mathfrak{g}$$ (एक चरण तक) के रूप में $$\bar{c}$$, साथ ही का प्रतिनिधित्व $$V\mathfrak{E}$$ ए पर इसके तुच्छ प्रतिनिधित्व के लिए दोहरीμ-मैं। ई।, बी एक फाइबरवाइज है $$\mathfrak{g}$$-ड्युअल टॉप फॉर्म ऑन $$V\mathfrak{E}$$.

आइए हम सिद्धांत के एक-कण अवस्थाओं पर संक्षिप्त रूप से ध्यान केंद्रित करें, रूद्धोष्म रूप से विघटित सीमा g → 0 में। गेज-फिक्स्ड हैमिल्टनियन के फॉक स्पेस में दो प्रकार के क्वांटा हैं जिनकी हम पूरी तरह से कोर के बाहर होने की उम्मीद करते हैं। बीआरएसटी ऑपरेटर: फद्दीव-पोपोव भूत-विरोधी $$\bar{c}$$ और आगे ध्रुवीकृत गेज बोसोन। ऐसा इसलिए है क्योंकि युक्त क्षेत्रों का कोई संयोजन नहीं है $$\bar{c}$$ स द्वारा नष्ट कर दिया जाता हैBऔर हमने Lagrangian में एक गेज ब्रेकिंग टर्म जोड़ा है जो डायवर्जेंस के बराबर है


 * $$s_B \left (\bar{c} \left (i \partial^\mu A_\mu - \tfrac{1}{2} \alpha_0 s_B \bar{c} \right ) \right ).$$

इसी तरह, दो प्रकार के क्वांटा हैं जो पूरी तरह से बीआरएसटी ऑपरेटर की छवि में निहित होंगे: वे फद्दीव-पोपोव घोस्ट सी और स्केलर फील्ड बी, जो पिछड़े ध्रुवीकृत बनने के लिए कार्यात्मक अभिन्न में वर्ग को पूरा करके खाया जाता है। गेज बोसोन। ये चार प्रकार के अभौतिक क्वांटा हैं जो एक अनुत्पादक गणना की स्पर्शोन्मुख अवस्थाओं में प्रकट नहीं होंगे - यदि हम अपने परिमाणीकरण नियमों को सही पाते हैं।

एंटी-घोस्ट को पोंकारे इनवेरिएंस की खातिर लोरेंत्ज़ अदिश के रूप में लिया जाता है $$-i (\partial^\mu \bar{c}) D_\mu c$$. हालाँकि, इसका (एंटी-) कम्यूटेशन कानून c-i के सापेक्ष है। ई।, इसका क्वांटिज़ेशन प्रिस्क्रिप्शन, जो स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय को एक स्पिन-0 कण को ​​फर्मी-डिराक आँकड़े देकर अनदेखा करता है - इस आवश्यकता के अनुसार दिया जाएगा कि हमारे स्पर्शोन्मुख राज्यों के फॉक स्थान पर आंतरिक उत्पाद गणितीय विलक्षणता के साथ-साथ दिशाएँ हों। गैर-बीआरएसटी-बंद और बीआरएसटी-सटीक क्षेत्रों के कुछ संयोजन के ऊपर उठाने और घटाने वाले ऑपरेटरों के लिए। यह अंतिम कथन केवल BRST समरूपता या BRST परिवर्तन के विपरीत BRST परिमाणीकरण की कुंजी है।


 * (Needs to be completed in the language of BRST cohomology, with reference to the Kugo–Ojima treatment of asymptotic Fock space.)

गेज बंडल और लंबवत आदर्श
बीआरएसटी विधि न्याय करने के लिए, हमें बीजगणित-मूल्यवान क्षेत्रों से मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष चित्र पर क्वांटम फील्ड सिद्धांत ग्रंथों (और उपरोक्त प्रदर्शनी) के फाइबर बंडलों की भाषा में स्विच करना होगा, जिसमें दो अलग-अलग तरीके हैं एक गेज परिवर्तन को देखने के लिए: स्थानीय खंड के परिवर्तन के रूप में (सामान्य सापेक्षता में एक सक्रिय और निष्क्रिय परिवर्तन के रूप में भी जाना जाता है) या मुख्य बंडल के ऊर्ध्वाधर अंतर के साथ क्षेत्र विन्यास के पुलबैक (अंतर ज्यामिति) के रूप में। यह बाद का गेज परिवर्तन है जो BRST पद्धति में प्रवेश करता है। एक निष्क्रिय परिवर्तन के विपरीत, यह विश्व स्तर पर एक प्रमुख बंडल पर किसी भी संरचना समूह के साथ मनमाने ढंग से कई गुना अधिक परिभाषित है। (हालांकि, पारंपरिक क्यूएफटी के लिए संक्षिप्तता और प्रासंगिकता के लिए, यह आलेख 4-आयामी मिन्कोवस्की अंतरिक्ष  पर कॉम्पैक्ट फाइबर के साथ प्रिंसिपल गेज बंडल के मामले में टिकेगा।)

4-कई गुना M पर एक प्रमुख गेज बंडल P स्थानीय रूप से U × F के लिए आइसोमॉर्फिक है, जहां U ⊂ 'R'4 और फाइबर F ​​एक लाइ समूह G के लिए आइसोमोर्फिक है, क्षेत्र सिद्धांत का गेज समूह (यह कई गुना संरचनाओं का एक समरूपता है, समूह संरचनाओं का नहीं; G में 1 के अनुरूप P में कोई विशेष सतह नहीं है, इसलिए यह कहना अधिक उचित है कि फाइबर F ​​एक G-torsor है)। इस प्रकार, (भौतिक) प्रिंसिपल गेज बंडल (गणितीय) प्रिंसिपल जी-बंडल से संबंधित है लेकिन इसकी संरचना अधिक है। फाइबर बंडल के रूप में इसकी सबसे बुनियादी संपत्ति आधार स्थान π : P → M का प्रक्षेपण है, जो P पर लंबवत दिशाओं को परिभाषित करता है (जो फाइबर π के भीतर हैं−1(p) M में प्रत्येक बिंदु p पर)। गेज बंडल के रूप में इसमें P पर G की समूह क्रिया (गणित) होती है जो फाइबर संरचना का सम्मान करती है, और एक प्रमुख बंडल के रूप में P पर G की समूह क्रिया (गणित) भी होती है जो फाइबर संरचना का भी सम्मान करती है और साथ चलती है वाम क्रिया।

P पर संरचना समूह G की बाईं क्रिया एक व्यक्तिगत फाइबर पर समन्वय प्रणाली के मात्र परिवर्तन से मेल खाती है। (वैश्विक) सही कार्रवाई आरg: P → P G में एक निश्चित g के लिए प्रत्येक फाइबर के एक वास्तविक ऑटोमोर्फिज़्म से मेल खाता है और इसलिए P के मानचित्र से स्वयं के लिए। पी के लिए एक प्रमुख जी-बंडल के रूप में अर्हता प्राप्त करने के लिए, जी में प्रत्येक जी की वैश्विक सही कार्रवाई जी-आई पर एक चिकनी निर्भरता के साथ पी की कई गुना संरचना के संबंध में एक automorphism  होना चाहिए। ई।, एक डिफियोमोर्फिज्म पी × × जी → पी।

संरचना समूह की वैश्विक सही कार्रवाई का अस्तित्व पी पर सही अपरिवर्तनीय ज्यामितीय वस्तुओं का एक विशेष वर्ग चुनता है- जो आर के साथ वापस खींचे जाने पर नहीं बदलते हैं।gजी में जी के सभी मूल्यों के लिए। प्रिंसिपल बंडल पर सबसे महत्वपूर्ण सही अपरिवर्तनीय वस्तुएं सही अपरिवर्तनीय वेक्टर फ़ील्ड हैं, जो एक आदर्श (सेट सिद्धांत) बनाती हैं। $$\mathfrak{E}$$ पी पर इनफिनिटिमल डिफियोमोर्फिज्म के लाई बीजगणित का। पी पर वे सदिश क्षेत्र जो सही अपरिवर्तनीय और लंबवत रूप से एक आदर्श रूप हैं $$V\mathfrak{E}$$ का $$\mathfrak{E}$$, जिसका ले बीजगणित के समान पूरे बंडल P से संबंध है $$\mathfrak{g}$$ गेज समूह जी के व्यक्तिगत जी-टोरसर फाइबर एफ के लिए।

रुचि के क्षेत्र सिद्धांत को प्रमुख गेज बंडल पी पर परिभाषित क्षेत्रों के एक सेट (विभिन्न वेक्टर रिक्त स्थान में चिकनी मानचित्र) के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। विभिन्न क्षेत्रों में गेज समूह जी के विभिन्न प्रतिनिधित्व होते हैं, और शायद कई गुना के अन्य समरूपता समूह जैसे पोंकारे समूह। कोई इन क्षेत्रों और उनके डेरिवेटिव में स्थानीय बहुपदों के स्थान Pl को परिभाषित कर सकता है। यह माना जाता है कि किसी के सिद्धांत का मौलिक Lagrangian घनत्व उप-स्थान Pl में स्थित है0 बहुपदों की संख्या जो किसी भी अखंड गैर-गेज समरूपता समूहों के अंतर्गत वास्तविक-मूल्यवान और अपरिवर्तनीय हैं। यह न केवल बाईं कार्रवाई (निष्क्रिय समन्वय परिवर्तन) और गेज समूह की वैश्विक सही कार्रवाई के तहत अपरिवर्तनीय माना जाता है, बल्कि स्थानीय गेज परिवर्तनों के तहत भी होता है - दाएं-अपरिवर्तनीय ऊर्ध्वाधर वेक्टर के मनमाने विकल्प के साथ जुड़े इनफिनिटिमल डिफियोमोर्फिज्म के साथ पुलबैक। मैदान $$\epsilon \in V\mathfrak{E}$$.

मैनिफोल्ड पी पर वेक्टर फ़ील्ड्स के एक विशेष उप-स्थान के साथ स्थानीय गेज परिवर्तनों की पहचान करना हमें अनंत-आयामी इनफिनिटिमल्स से निपटने के लिए एक बेहतर रूपरेखा से लैस करता है: अंतर ज्यामिति और बाहरी कैलकुलस। एक असीम ऑटोमोर्फिज्म के साथ पुलबैक के तहत एक स्केलर क्षेत्र में परिवर्तन लाइ डेरिवेटिव में कब्जा कर लिया गया है, और वेक्टर क्षेत्र के पैमाने में केवल रैखिक शब्द को बनाए रखने की धारणा को आंतरिक व्युत्पन्न और बाहरी व्युत्पन्न में अलग करके कार्यान्वित किया जाता है। (इस संदर्भ में, रूपों और बाहरी कलन विशेष रूप से स्वतंत्रता की डिग्री को संदर्भित करते हैं जो गेज बंडल पर वेक्टर क्षेत्रों के लिए दोहरी हैं, बेस मैनिफोल्ड या (रोमन) मैट्रिक्स इंडेक्स पर (ग्रीक) टेन्सर इंडेक्स में व्यक्त की गई स्वतंत्रता की डिग्री के लिए नहीं। गेज बीजगणित।)

कई गुना पर झूठ व्युत्पन्न एक विश्व स्तर पर अच्छी तरह से परिभाषित ऑपरेशन है, जो कि आंशिक डेरिवेटिव नहीं है। पी की गैर-तुच्छ कई गुना संरचना के लिए क्लेराउट के प्रमेय का उचित सामान्यीकरण वेक्टर क्षेत्रों के लाइ ब्रैकेट और बाहरी व्युत्पन्न के शून्यता द्वारा दिया गया है। और हम संगणना के लिए एक आवश्यक उपकरण प्राप्त करते हैं: सामान्यीकृत स्टोक्स प्रमेय, जो हमें भागों द्वारा एकीकृत करने और सतह की अवधि को छोड़ने की अनुमति देता है, जब तक कि एक खुली सीमा होती है, उस दिशा में इंटीग्रैंड तेजी से गिरता है। (यह एक तुच्छ धारणा नहीं है, लेकिन रेनॉर्मलाइज़ेशन तकनीकों से निपटा जा सकता है जैसे कि आयामी नियमितीकरण जब तक कि सतह की अवधि को गेज इनवेरिएंट बनाया जा सकता है।) <!-- [अभी के लिए छिपा हुआ, कृपया लेख पर चर्चा करते समय वार्ता पृष्ठ का उपयोग करें; जब आप तैयार उत्पाद के साथ एकीकृत करने और सबमिट करने के लिए तैयार हों, तब सामने लाएं। धन्यवाद]

परिमाणीकरण रिडक्स: एक बार और, चरणबद्धता के साथ
(इस बार मैं के कारकों को अवशोषित करूँगा $$-i g t^a$$ गेज फ़ील्ड और उसके दोस्तों की परिभाषाओं में वास्तविक-मूल्यवान गुणांक के बजाय वास्तविक लाई बीजगणित तत्वों और उनके दोहरे प्राप्त करने के लिए। यह ग्रासमैन पैरामीटर की आवश्यकता को समाप्त करता है - वास्तव में गेज बंडल पर ऊर्ध्वाधर आदर्श का एक तत्व - संयुग्मित रूप में प्रकट होने के लिए या बाहरी बीजगणित में विषम ग्रेड के ऑपरेटर के अलावा किसी अन्य चीज़ के साथ विरोधी यात्रा करने के लिए।)

BRST औपचारिकता
सैद्धांतिक भौतिकी में, बीआरएसटी औपचारिकता प्रथम श्रेणी की बाधाओं को लागू करने का एक तरीका है। बीआरएसटी अक्षर कार्लो बेचेची, रूएट, स्टोरा और (स्वतंत्र रूप से) ट्यूटिन के लिए खड़े हैं जिन्होंने इस औपचारिकता की खोज की। गेज इनवेरियन के साथ क्वांटम भौतिक सिद्धांतों से निपटने के लिए यह एक परिष्कृत तरीका है। उदाहरण के लिए, बीआरएसटी विधियों को अक्सर गेज सिद्धांत और परिमाणित सामान्य सापेक्षता पर लागू किया जाता है।

क्वांटम संस्करण
राज्यों का स्थान हिल्बर्ट स्थान नहीं है (नीचे देखें)। यह सदिश स्थल  दोनों ग्रेडेड वेक्टर स्पेस|Z है2-ग्रेडेड और ग्रेडेड वेक्टर स्पेस|आर-ग्रेडेड। आप चाहें तो इसे Z के रूप में सोच सकते हैं2× ग्रेडेड वेक्टर स्पेस पूर्व ग्रेडिंग समता है, जो या तो सम या विषम हो सकती है। बाद की ग्रेडिंग भूत संख्या है। ध्यान दें कि यह R है और Z नहीं क्योंकि शास्त्रीय मामले के विपरीत, हमारे पास गैर-पूर्ण भूत संख्याएँ हो सकती हैं। इस स्थान पर कार्य करने वाले ऑपरेटर भी Z हैं2 × आर-वर्गीकृत बीजगणित स्पष्ट तरीके से। विशेष रूप से, Q विषम है और इसकी भूत संख्या 1 है।

चलो '' एचnभूत संख्या n वाले सभी राज्यों के उप-स्थान बनें। फिर, Q, H तक सीमित हैnमानचित्र एचnएच के लिएn+1. चूंकि क्यू2 = 0, हमारे पास कोहोलॉजी का वर्णन करने वाला एक कोचेन कॉम्प्लेक्स है।

भौतिक अवस्थाओं की पहचान ऑपरेटर क्यू के कोहोलॉजी के तत्वों के रूप में की जाती है, अर्थात केर (क्यू) में वैक्टर के रूप मेंn+1)/आईएम (क्यूn). बीआरएसटी सिद्धांत वास्तव में लाई बीजगणित कोहोलॉजी में मानक संकल्प से जुड़ा हुआ है।

याद कीजिए कि राज्यों की जगह 'Z' है2-श्रेणीबद्ध। यदि A एक शुद्ध ग्रेडेड ऑपरेटर है, तो BRST रूपांतरण A को [Q, A) से मैप करता है, जहां [ , ) supercommutator है। BRST-invariant ऑपरेटर्स ऐसे ऑपरेटर होते हैं जिनके लिए [Q, A) = 0. चूंकि ऑपरेटर्स को घोस्ट नंबरों द्वारा भी ग्रेड किया जाता है, इसलिए यह BRST रूपांतरण [Q, [Q, A)] = 0 के बाद से ऑपरेटरों के लिए एक कोहोलॉजी भी बनाता है।

हालांकि बीआरएसटी औपचारिकता फदीदेव-पोपोव गेज फिक्सिंग की तुलना में अधिक सामान्य है, विशेष मामले में जहां यह इससे प्राप्त होता है, बीआरएसटी ऑपरेटर बाधाओं से जुड़े सही जेकोबियन किस्म को प्राप्त करने के लिए भी उपयोगी होता है जो समरूपता को गेज-फिक्स करता है।

BRST ऑपरेटर एक सुपरसिमेट्री है। यह शून्य-आयामी सम भाग और Q द्वारा फैलाए गए एक-आयामी विषम भाग के साथ लव सुपरएलजेब्रा उत्पन्न करता है। [Q, Q) = {Q, Q} = 0 जहां [ , ) लाई सुपरएलजेब्रा (यानी Q) है2 = 0). इसका मतलब है क्यू एक प्रतिपक्षी के रूप में कार्य करता है।

क्योंकि Q हर्मिटियन है और इसका वर्ग शून्य है, लेकिन Q स्वयं शून्य नहीं है, इसका मतलब है कि कोहोलॉजिकल रिडक्शन से पहले सभी राज्यों के वेक्टर स्पेस में एक सकारात्मक निश्चितता है! इसका मतलब है कि यह हिल्बर्ट अंतरिक्ष  नहीं है।

अधिक सामान्य प्रवाह के लिए जिसे प्रथम श्रेणी की बाधाओं द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है, बटालिन-विलकोविस्की औपचारिकता देखें।

उदाहरण
क्वांटम कनेक्शन प्रपत्र  ए के साथ गेज सिद्धांतों (प्रिंसिपल जी-बंडल के वर्गों द्वारा वर्णित सामान्य प्रकार) के विशेष मामले के लिए, एक बीआरएसटी चार्ज (कभी-कभी बीआरएस चार्ज भी) एक ऑपरेटर (गणित) होता है जिसे आमतौर पर 'क्यू' कहा जाता है। ''।

होने दें $$\mathfrak{g}$$-मूल्यवान गेज फिक्सिंग की स्थिति हो $$G=\xi\partial^\mu A_\mu$$ जहां ξ एक सकारात्मक संख्या है जो गेज का निर्धारण करती है। कई अन्य संभावित गेज फिक्सिंग हैं, लेकिन उन्हें यहां कवर नहीं किया जाएगा। मैदान हैं $$\mathfrak{g}$$-वैल्यूड कनेक्शन फॉर्म ए, $$\mathfrak{g}$$फर्मियोनिक सांख्यिकी, बी और सी और ए के साथ -वैल्यूड स्केलर फील्ड $$\mathfrak{g}$$बोसोनिक आँकड़ों के साथ -वैल्यूड स्केलर फील्ड B. c गेज ट्रांसफ़ॉर्मेशन से संबंधित है जबकि b और B गेज फिक्सिंग से संबंधित है। वास्तव में ग्रिबोव अस्पष्टताओं के कारण गेज फिक्सिंग से जुड़ी कुछ सूक्ष्मताएं हैं लेकिन उन्हें यहां कवर नहीं किया जाएगा।


 * $$QA=Dc$$

जहाँ D सहपरिवर्ती व्युत्पन्न है।


 * $$Qc= \tfrac{i}{2}[c,c]_L$$

कहाँ [, ]L झूठ ब्रैकेट है।


 * $$QB=0$$
 * $$Qb=B$$

Q एक प्रतिपक्षी है।

BRST Lagrangian घनत्व


 * $$\mathcal{L}=-\frac{1}{4g^2} \operatorname{Tr}[F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}]+{1\over 2g^2} \operatorname{Tr}[BB]-{1\over g^2} \operatorname{Tr}[BG]-{\xi\over g^2} \operatorname{Tr}[\partial^\mu b D_\mu c]$$

जबकि Lagrangian घनत्व BRST अपरिवर्तनीय नहीं है, यह पूरे स्पेसटाइम, क्रिया पर इसका अभिन्न अंग है।

ऑपरेटर क्यू के रूप में परिभाषित किया गया है


 * $$Q = c^i \left(L_i-\frac 12 {{f_{i}}^j}_k b_j c^k\right)$$

कहाँ $$c^i,b_i$$ फद्दीव-पोपोव भूत हैं और विक्ट: एंटीघोस्ट (नकारात्मक भूत संख्या वाले क्षेत्र), क्रमशः, एलiझूठ समूह # झूठ बीजगणित झूठ समूह के झूठ समूहों से जुड़ा हुआ है, और $$f_{ij}{}^k$$ इसकी संरचना स्थिरांक हैं।

यह भी देखें

 * बटालिन-विल्कोविस्की औपचारिकता
 * क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स

पाठ्यपुस्तक उपचार

 * पेस्किन और श्रोएडर का अध्याय 16 (ISBN 0-201-50397-2 या ISBN 0-201-50934-2) Faddeev-Popov Lagrangian में विसंगति रद्दीकरण के कारण के लिए BRST समरूपता लागू करता है। यह क्यूएफटी गैर-विशेषज्ञों के लिए एक अच्छी शुरुआत है, हालांकि ज्यामिति के कनेक्शन छोड़े गए हैं और एसिम्प्टोटिक फॉक स्पेस का उपचार केवल एक स्केच है।
 * एम. गोकेलर और टी. शूकर का अध्याय 12 (ISBN 0-521-37821-4 या ISBN 0-521-32960-4) बीआरएसटी औपचारिकता और गेज बंडलों की ज्यामिति के बीच संबंधों पर चर्चा करता है। यह काफी हद तक Schücker's 1987 पेपर के समान है।

प्राथमिक साहित्य
मूल बीआरएसटी पेपर:


 * आई.वी. ट्यूटिन, गेज इनवेरिएंस इन फील्ड थ्योरी एंड स्टैटिस्टिकल फिजिक्स इन ऑपरेटर फॉर्मलिज्म, लेबेडेव फिजिक्स इंस्टिट्यूट प्रीप्रिंट 39 (1975), arXiv: 0812.0580।
 * कूगो-ओजिमा का एक अधिक सुलभ संस्करण कागजात की एक श्रृंखला में ऑनलाइन उपलब्ध है, जो निम्न से शुरू होता है: क्वांटम मैकेनिकल (ज्यामितीय के विपरीत) भाषा में बीआरएसटी परिमाणीकरण के लिए यह शायद सबसे अच्छा संदर्भ है।
 * टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट्स और बीआरएसटी ऑपरेटर के बीच संबंध के बारे में अधिक जानकारी निम्नलिखित में मिल सकती है: साम्प्रदायिक। गणित। भौतिक। 117, 3 (1988), पीपी। 353-386
 * आई.वी. ट्यूटिन, गेज इनवेरिएंस इन फील्ड थ्योरी एंड स्टैटिस्टिकल फिजिक्स इन ऑपरेटर फॉर्मलिज्म, लेबेडेव फिजिक्स इंस्टिट्यूट प्रीप्रिंट 39 (1975), arXiv: 0812.0580।
 * कूगो-ओजिमा का एक अधिक सुलभ संस्करण कागजात की एक श्रृंखला में ऑनलाइन उपलब्ध है, जो निम्न से शुरू होता है: क्वांटम मैकेनिकल (ज्यामितीय के विपरीत) भाषा में बीआरएसटी परिमाणीकरण के लिए यह शायद सबसे अच्छा संदर्भ है।
 * टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट्स और बीआरएसटी ऑपरेटर के बीच संबंध के बारे में अधिक जानकारी निम्नलिखित में मिल सकती है: साम्प्रदायिक। गणित। भौतिक। 117, 3 (1988), पीपी। 353-386
 * कूगो-ओजिमा का एक अधिक सुलभ संस्करण कागजात की एक श्रृंखला में ऑनलाइन उपलब्ध है, जो निम्न से शुरू होता है: क्वांटम मैकेनिकल (ज्यामितीय के विपरीत) भाषा में बीआरएसटी परिमाणीकरण के लिए यह शायद सबसे अच्छा संदर्भ है।
 * टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट्स और बीआरएसटी ऑपरेटर के बीच संबंध के बारे में अधिक जानकारी निम्नलिखित में मिल सकती है: साम्प्रदायिक। गणित। भौतिक। 117, 3 (1988), पीपी। 353-386

वैकल्पिक दृष्टिकोण

 * बीआरएसटी सिस्टम का संक्षेप में एक ऑपरेटर सिद्धांत परिप्रेक्ष्य से विश्लेषण किया जाता है: एस.एस. होरुझी और ए.वी. वोरोनिन, बीआरएसटी सिद्धांतों की गणितीय संरचना पर टिप्पणी, कॉम। गणित। भौतिक। 123, 4 (1989) पीपी। 677–685
 * BRST पद्धति पर एक माप-सैद्धांतिक परिप्रेक्ष्य कार्लो बेची के 1996 के व्याख्यान नोट्स में पाया जा सकता है।

बाहरी संबंध

 * Brst cohomology on arxiv.org