माध्य-क्षेत्र सिद्धांत

भौतिकी और प्रायिकता सिद्धांत में, माध्य-क्षेत्र सिद्धांत (मीन-फील्ड थ्योरी, एमएफटी) या स्व-सुसंगत क्षेत्र सिद्धांत उच्च विमीय (प्रसंभाव्य) मॉडल के व्यवहार का अध्ययन करता है जिसे सरलीकृत मॉडल के माध्यम से मूल मॉडल का प्राप्तिकरण करके अध्ययन किया जाता है, जो स्वतंत्रता की कोटि (सांख्यिकी की अंतिम गणना में मुक्त रूप से बदलने के योग्य आंकड़ों की संख्या) के औसत से मूल का अनुमान लगाता है। ऐसे मॉडल कई अलग-अलग घटकों पर विचार करते हैं जो एक दूसरे के साथ प्रभावशील होते हैं।

एमएफटी की मुख्य विचारधारा यह है कि किसी भी एक निकाय के साथ संबंधित सभी अंतःक्रियाओं को औसत या प्रभावी अंतःक्रिया के द्वारा प्रतिस्थापित किया जाए, जिसे कभी-कभी आणविक क्षेत्र कहा जाता है। इससे किसी भी बहु-निकाय समस्या को प्रभावी एकल-निकाय समस्या में संघटित किया जाता है। एमएफटी समस्याओं के हल करने की सरलता के कारण, निकाय के कार्यविधि में कुछ अंतर्दृष्टि कम अभिकलनात्मक लागत पर प्राप्त की जा सकती है।

एमएफटी को इसके पश्चात भौतिकी के बाहर के विस्तृत श्रृंखला में भी लागू किया गया है, जिनमें सांख्यिकीय अनुमान, ग्राफिकल मॉडल, तंत्रिका विज्ञान (न्यूरोसाइंस), आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस, एपिडेमिक मॉडल, कतार सिद्धांत, कंप्यूटर-नेटवर्क कार्यकरण और गेम सिद्धांत, जैसे कि क्वान्टमी प्रतिक्रिया साम्यावस्था में हैं।

उत्पत्ति
यह विचार पहली बार भौतिकी (सांख्यिकीय यांत्रिकी) में पियरे क्यूरी और पियरे वीस के कार्य में दिखाई दिया था, जहां प्रावस्था संक्रमण का वर्णन किया गया। एमएफटी का उपयोग ब्रैग-विलियम्स सन्निकटन, बेथे जाल पर मॉडल, लैंडौ सिद्धांत, पियर-वेस सन्निकटन, फ्लोरी-हग्गिन्स समाधान सिद्धांत, और शेउट्जेन्स-फ्लीर सिद्धांत में किया गया है।

अनेक (कभी-कभी अनंत) स्वतंत्रता की कोटियों वाले निकायों को सामान्यतः यथार्थ रूप से हल करना या सीमित, विश्लेषणात्मक रूप में गणना करना कठिन होता है, कुछ सरल स्थितयों को छोड़कर (जैसे कि कुछ गॉसियन यादृच्छिक-क्षेत्र सिद्धांत, 1D आइसिंग मॉडल)। प्रायः गणितीय समस्याएं उत्पन्न होती हैं जो निकाय के विभाजन संख्या की गणना जैसे कार्य को कठिन बना देती हैं। एमएफटी सन्निकटन पद्धति है जो प्रायः मूल समस्या को हल करने और गणना करने के लिए विवृत होती है, और कुछ स्थितियों में एमएफटी बहुत यथार्थ सन्निकटन प्रदान कर सकती है।

क्षेत्र सिद्धांत में, हैमिल्टोनियन उद्दीपन एकाधिकता के आधार पर विस्तृत किया जा सकता है जो क्षेत्र के औसत के चारों ओर संवेग के मान के आस-पास के उच्चावचन (फ्लक्चुएशन) के स्तर में होते हैं। इस संदर्भ में, एमएफटी को हमिल्टोनियन के उच्चावचन में "शून्य-क्रम" का विस्तार के रूप में देखा जा सकता है। भौतिक रूप से, इसका अर्थ है कि एमएफटी निकाय में कोई उच्चावचन नहीं होता है, लेकिन यह इस विचार से समरूपता रखता है कि कोई "मीन-फील्ड" के साथ सभी क्रियाविधि को प्रतिस्थापित करने के साथ सम्मिलित होता है।

प्रायः, एमएफटी उच्च-क्रम उच्चावचनों का अध्ययन करने के लिए एक सुविधाजनक लॉन्च पॉइंट प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, विभाजन फलन (पार्टीशन फंक्शन) की गणना करते समय, हैमिल्टोनियन में क्रियाविधि स्थितियों की संख्या का अध्ययन करने से कभी-कभी उद्विग्नत परिणाम या फेनमैन आरेख उत्पन्न हो सकते हैं जो मीन-फील्ड सन्निकटन को सही करते हैं।

प्रामाण्य
सामान्यतः विमीयता किसी भी विशेष समस्या के लिए क्या मीन-फील्ड दृष्टिकोण कार्यविन्त होगा, यह निर्धारित करने में सक्रिय भूमिका निभाता है। कभी-कभी एक महत्वपूर्ण विमा होती है जिसके ऊपर एमएफटी दृष्टिकोण स्वीकृत होता है और जिसके नीचे यह स्वीकृत नहीं होता है।

अनुमानतः एमएफटी में कई अंतराक्रियाएं किसी प्रभावी अंतराक्रिया द्वारा प्रतिस्थापित की जाती हैं। इसलिए, यदि क्षेत्र या कण मूल निकाय में कई यादृच्छिक अंतराक्रियाएं प्रदर्शित करते हैं, तो वे एक दूसरे को रद्द करने की प्रवृत्ति रखते हैं, अतः माध्यमिक प्रभावी अंतराक्रिया और एमएफटी अधिक यथार्थ होंगे। यह उच्च विमीयता की स्थितियों में सच है, जब हैमिल्टोनियन में दीर्घ-संबंधी बल होते हैं या कण विस्तारित होते हैं (उदा. पॉलीमर)। गिन्जबर्ग मापक माध्य क्षेत्र सिद्धांत को अपर्याप्त अनुमानित सन्निकटन बनाने वाले उच्चावचन के रूप में निर्देशित करता है, जो सामान्यतः स्वेक्षा वाली स्थानिक विमाओं की संख्या पर निर्भर करता है।

प्रारूपिक दृष्टिकोण (हैमिल्टोनियन)
माध्य-क्षेत्र सिद्धांत के लिए प्रारूपिक आधार बोगोलियुबॉव असमानता है। यह असमानता कहती है कि हैमिल्टोनियन के साथ निकाय की मुक्त ऊर्जा


 * $$\mathcal{H} = \mathcal{H}_0 + \Delta \mathcal{H}$$

निम्नलिखित ऊपरी परिबध है:


 * $$F \leq F_0 \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \langle \mathcal{H}_0 \rangle - T S_0,$$

जहाँ $$S_0$$ एंट्रॉपी है, और $$F$$ और $$F_0$$ हेलमहोल्ट्ज मुक्त ऊर्जाएँ हैं। साम्यावस्था में एंसेम्बल के साथ, हैमिल्टोनियन $$\mathcal{H}_0$$ के संदर्भ निकाय के समतुल्य समूह पर औसत लिया जाता है। विशेष स्थितियों में, जब उल्लेखित हैमिल्टोनियन गैर-अंतःक्रियात्मक निकाय का होता है और अतः इसे निम्न रूप में लिखा जा सकता है:


 * $$\mathcal{H}_0 = \sum_{i=1}^N h_i(\xi_i),$$

जहां $$\xi_i$$ हमारे सांख्यिकीय सिस्टम के व्यक्तिगत घटकों (परमाणु, स्पिन आदि) की स्वतंत्रता की कोटियाँ होती हैं, हम असमानता के दाईं ओर को निम्न करके ऊपरी बाध्यता को तीव्र करने का विचार कर सकते हैं। इस असमानता के दाईं ओर को कम करने वाला संदर्भ निकाय अतः "सर्वश्रेष्ठ" सन्निकटन है जो गैर-सहसंबद्धता वाले स्वतंत्रता की कोटि का उपयोग करके वास्तविक निकाय के लिए निकटता में सन्निकटित बनाया जाता है और इसे माध्य क्षेत्र सन्निकटन के रूप में जाना जाता है।

सर्वाधिक साधारण स्थिति के लिए कि टारगेट हैमिल्टनियन में केवल युग्मित अंतःक्रियाएं होती हैं, अर्थात,


 * $$\mathcal{H} = \sum_{(i,j) \in \mathcal{P}} V_{i,j}(\xi_i, \xi_j),$$

जहां $$\mathcal{P}$$ एक ऐसे युग्म का समुच्चय है जो प्रभावशील होता है, न्यूनीकरण करने की प्रक्रिया को समरूप रूप से की जा सकता है। $$\operatorname{Tr}_i f(\xi_i)$$ को एकल घटक की स्वतंत्रता की कोटि पर देखे जाने योग्य $$f$$ के सामान्यीकृत योग के रूप में परिभाषित करें (विकल्प के लिए अविकल्पीय संख्यात्मक चर, अविकल्पीय चर के लिए अवरोधों का एकीकरण)। अनुमानित मुक्त ऊर्जा निम्नलिखित द्वारा दी जाती है:
 * $$\begin{align}

F_0 &= \operatorname{Tr}_{1,2,\ldots,N} \mathcal{H}(\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_N) P^{(N)}_0(\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_N) \\ &+ kT \,\operatorname{Tr}_{1,2,\ldots,N} P^{(N)}_0(\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_N) \log P^{(N)}_0(\xi_1, \xi_2, \ldots,\xi_N), \end{align}$$ जहां $$P^{(N)}_0(\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_N)$$ वे प्रायिकता हैं कि संदर्भ निकाय को $$(\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_N)$$ द्वारा निर्दिष्ट स्थितियों में प्राप्त होगा। यह प्रायिकता सामान्यीकृत बोल्ट्जमान गुणक द्वारा निर्दिष्ट होती है। जो निम्नवत है
 * $$\begin{align}

P^{(N)}_0(\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_N) &= \frac{1}{Z^{(N)}_0} e^{-\beta \mathcal{H}_0(\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_N)} \\ &= \prod_{i=1}^N \frac{1}{Z_0} e^{-\beta h_i(\xi_i)} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \prod_{i=1}^N P^{(i)}_0(\xi_i), \end{align}$$ जहाँ $$Z_0$$ विभाजन फलन है। अत:
 * $$\begin{align}

F_0 &= \sum_{(i,j) \in \mathcal{P}} \operatorname{Tr}_{i,j} V_{i,j}(\xi_i, \xi_j) P^{(i)}_0(\xi_i) P^{(j)}_0(\xi_j) \\ &+ kT \sum_{i=1}^N \operatorname{Tr}_i P^{(i)}_0(\xi_i) \log P^{(i)}_0(\xi_i). \end{align}$$ न्यूनीकरण के लिए, हम लैग्रेंज गुणक का उपयोग करके एकल-स्वतंत्रता-की-कोटि प्रायिकताओं $$P^{(i)}_0$$ के साथ सम्बन्ध के साथ अवकलन करते हैं जिससे उचित सामान्यीकरण सुनिश्चित हो। अंतिम परिणाम स्व-संगति समीकरणों का समुच्चय होता है
 * $$P^{(i)}_0(\xi_i) = \frac{1}{Z_0} e^{-\beta h_i^{MF}(\xi_i)},\quad i = 1, 2, \ldots, N,$$

जहां माध्य क्षेत्र द्वारा दिया गया है
 * $$h_i^\text{MF}(\xi_i) = \sum_{\{j \mid (i,j) \in \mathcal{P}\}} \operatorname{Tr}_j V_{i,j}(\xi_i, \xi_j) P^{(j)}_0(\xi_j).$$

अनुप्रयोग
माध्य क्षेत्र सिद्धांत को कई भौतिक निकायों पर लागू किया जा सकता है ताकि प्रावस्था संक्रमण जैसे घटनाओं का अध्ययन किया जा सके।

प्रारूपिक व्युत्पत्ति
उपर्युक्त बोगोलियुबॉव असमानता का उपयोग करके द्वी-विमीय आइसिंग जाल के माध्य क्षेत्र मॉडल की गतिशीलता का पता लगाया जा सकता है। चुंबकत्व फलन का परिणाम सन्निकटित मुक्त ऊर्जा से प्राप्त किया जा सकती है। प्रथम चरण सत्यापित हैमिल्टोनियन के एक अधिक सम्प्रेक्ष सन्निकटन का चयन करना है। गैर-प्रतिक्रियाशील या प्रभावी क्षेत्रीय हैमिल्टोनियन का उपयोग करके,


 * $$ -m \sum_i s_i $$,

परिवर्तनशील मुक्त ऊर्जा है


 * $$ F_V = F_0 + \left \langle \left( -J \sum s_i s_j - h \sum s_i \right) - \left(-m\sum s_i\right) \right \rangle_0. $$

बोगोलियुबॉव असमानता के द्वारा, इस मात्रा को सरल बनाकर और परिवर्तनशील मुक्त ऊर्जा को न्यूनतम करने वाली चुंबकीयता फलन के अनुसार न्यूनतम चुंबकीयता तथ्यांकन द्वारा वास्तविक चुंबकीयता के लिए सर्वश्रेष्ठ अनुमान प्राप्त होता है। न्यूनतमीकरण निम्न होता है:
 * $$ m = J\sum\langle s_j \rangle_0 + h, $$

जो स्पिन के एन्सेम्बल का औसत है। यह निम्न प्रकार सरलीकृत  होता है:
 * $$ m = \text{tanh}(zJ\beta m) + h. $$

सभी स्पिनों द्वारा अनुभव की जाने वाली प्रभावी फ़ील्ड को एक औसत स्पिन मान के समतुल्य करना, परिवर्तनशील दृष्टिकोण को प्रतिवर्तन में उच्चावचन के रोकथाम से संबंधित किया जा सकता है। चुंबकीयता फलन की भौतिक व्याख्या तब एकल स्पिनों के लिए औसत मानों का एक क्षेत्र होती है।

गैर-प्रतिक्रियाशील स्पिनों का सन्निकटन
$$d$$-विमीय जाल पर आइसिंग मॉडल का विचार करें। हैमिल्टोनियन निम्नरूप से दिया गया है:
 * $$H = -J \sum_{\langle i, j \rangle} s_i s_j - h \sum_i s_i,$$

जहां $$\sum_{\langle i, j \rangle}$$ निकटवर्ती $$\langle i, j \rangle$$ के युग्म के लिए योग को दर्शाता है, और $$s_i, s_j = \pm 1$$ निकटवर्ती आइसिंग स्पिन हैं।

आइए हम अपने स्पिन परिवर्तन को इसके माध्य मान $$m_i \equiv \langle s_i \rangle$$ से उच्चावचन का परिचय देकर रूपांतरित करें। हम हैमिल्टोनियन को फिर से लिख सकते हैं:
 * $$H = -J \sum_{\langle i, j \rangle} (m_i + \delta s_i) (m_j + \delta s_j) - h \sum_i s_i,$$

जहां हम $$\delta s_i \equiv s_i - m_i$$ की परिभाषा करते हैं; यह स्पिन का उच्चावचन है।

यदि हम दायां तरफ को विस्तारित करें, तो हमें एक ऐसा पद प्राप्त होगा जो पूरी तरह से स्पिन के औसत मानों पर आधारित होता है और स्पिन विन्यास से स्वतंत्र होता है। यह साधारण पद है, जो निकाय के सांख्यिकीय गुणों पर प्रभाव नहीं डालता है। अग्रिम पद ऐसा है जिसमें स्पिन की औसत मान और उच्चावचन मान का गुणनफल होता है। अंत में, अंतिम पद दो उच्चावचन मानों का गुणनफल होता है।

माध्य क्षेत्र सन्निकटन इस द्वितीय-क्रम उच्चावचन पद की अवधि की उपेक्षा करना सम्मिलित है:
 * $$H \approx H^\text{MF} \equiv -J \sum_{\langle i, j \rangle} (m_i m_j + m_i \delta s_j + m_j \delta s_i) - h \sum_i s_i.$$

निम्न विमाओं पर ये उच्चावचन प्रबलित होता हैं, जो उच्च विमाओं के लिए एमएफटी उत्कृष्ट सन्निकटन प्रदान करती है।

फिर से, योगखंड को पुनर्विस्तारित किया जा सकता है। साथ ही, हम यह आशा करते हैं कि प्रत्येक स्पिन की औसत मान स्थान-स्वतंत्र है, क्योंकि आइसिंग श्रृंखला स्थानांतरणीय अपरिवर्तनीय है। इससे हमें निम्न प्राप्त होता है:
 * $$H^\text{MF} = -J \sum_{\langle i, j \rangle} \big(m^2 + 2m(s_i - m)\big) - h \sum_i s_i.$$

निकटवर्ती स्पिनों के योग को $$\sum_{\langle i, j \rangle} = \frac{1}{2} \sum_i \sum_{j \in nn(i)}$$ के रूप में पुनः लिखा जा सकता है, जहां $$nn(i)$$ का अर्थ होता है " $$i$$ का निकटवर्ती, और $$1/2$$ प्रीफैक्टर दोहरी गणना की उपेक्षा करता है, क्योंकि प्रत्येक बंध दो स्पिनों में भाग लेता है। सरलीकरण से अंतिम अभिव्यक्ति प्राप्त होता है:


 * $$H^\text{MF} = \frac{J m^2 N z}{2} - \underbrace{(h + m J z)}_{h^\text{eff.}} \sum_i s_i,$$

जहाँ $$z$$ समन्वय संख्या है। इस बिंदु पर, आइसिंग हैमिल्टनियन को प्रभावी माध्य क्षेत्र $$h^\text{eff.} = h + J z m$$ के साथ एकल-निकाय हैमिल्टन के योग में विभाजित किया गया है, जो बाहरी क्षेत्र $$h$$ का योग है और निकटवर्ती स्पिनों द्वारा प्रेरित माध्य क्षेत्र का योग है। यह ध्यान देने योग्य है कि यह औसत क्षेत्र सीधे निकटवर्तों की संख्या पर निर्भर करता है और इस प्रकार निकाय की विमा पर निर्भर करता है (उदाहरण के लिए, विमा $$d$$, $$z = 2 d$$ का हाइपरक्यूबिक जाल के लिए)।

इस हैमिल्टनियन को विभाजन फलन में प्रतिस्थापित करना और प्रभावी 1D समस्या को हल करना, हमें निम्न प्राप्त होता है


 * $$ Z = e^{-\frac{\beta J m^2 Nz}{2}} \left[2 \cosh\left(\frac{h + m J z}{k_\text{B} T}\right)\right]^N,$$

जहां $$N$$ जालक स्थलों की संख्या है। यह सिस्टम के विभाजन फलन के लिए एक संवृत और यथार्थ व्यंजक है I हम निकाय की मुफ्त ऊर्जा प्राप्त कर सकते हैं और महत्वपूर्ण घातांकों की गणना कर सकते हैं। विशेष रूप से, हम $$h^\text{eff.}$$ के फलन के रूप में चुंबकीयकरण $$m$$ प्राप्त कर सकते हैं।

इस प्रकार हमारे पास $$m$$ और $$h^\text{eff.}$$ के बीच दो समीकरण हैं, जिससे हम $$m$$ को तापमान के फलन के रूप में निर्धारित कर सकते हैं। यह निम्नलिखित अवलोकन की ओर जाता है:
 * किसी निश्चित मान $$T_\text{c}$$ से अधिक तापमान के लिए, केवल $$m = 0$$ ही हल है। निकाय अनुचुंबकीय (पैरामैग्नेटिक) है।
 * $$T < T_\text{c}$$ के लिए, दो अशून्य हल होता हैं: $$m = \pm m_0$$। निकाय लौह-चुंबकीय होता है।

$$T_\text{c}$$ निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया गया है: $$T_\text{c} = \frac{J z}{k_B}$$.

इससे यह ज्ञात होता है कि एमएफटी लौह चुम्बकीय प्रावस्था संक्रमण के कारण हो सकता है।

अन्य प्रणालियों के लिए आवेदन
इसी प्रकार, एमएफटी को अन्य प्रकार के हैमिल्टनियन पर लागू किया जा सकता है जैसा कि निम्नलिखित स्थितियों में है: माध्य क्षेत्र सिद्धांत की तरह भिन्न रूप से न्यूनीकरण का उपयोग वैरिएशनल बायेसियन विधियों | सांख्यिकीय अनुमान में भी किया जा सकता है।
 * धातु-अतिचालक संक्रमण का अध्ययन करना। इस स्थिति में, चुंबकीयकरण का एनालॉग अतिचालक अंतराल $$\Delta$$ है।
 * तरल क्रिस्टल का आणविक क्षेत्र जो निदेशक क्षेत्र के लाप्लासियन गैर-शून्य होने पर प्रकट होता है।
 * इष्टतम अमीनो अम्ल साइड चेन पैकिंग को निर्धारित करने के लिए प्रोटीन संरचना पूर्वानुमान में निश्चित प्रोटीन पृष्ठवंश दी गई है (देखें स्व-संगत माध्य क्षेत्र (जीव विज्ञान))।
 * मिश्रित सामग्री के प्रत्यास्थ गुणों का निर्धारण करने के लिए।

समय-पराश्रित माध्य क्षेत्रों का विस्तार
माध्य क्षेत्र सिद्धांत में, एकल-स्थल समस्या में प्रकट होने वाला माध्य क्षेत्र समय-स्वतंत्र अदिश या सदिश मात्रा है। हालांकि, हमेशा यह स्थिति नहीं होती है: गतिशील माध्य क्षेत्र सिद्धांत (डीएमएफटी) नामक माध्य क्षेत्र सिद्धांत के एक संस्करण में, माध्य क्षेत्र समय-पराश्रित मात्रा बन जाता है। उदाहरण के लिए, मेटल-मोट-इन्सुलेटर संक्रमण का अध्ययन करने के लिए डीएमएफटी को हबर्ड मॉडल पर लागू किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * गतिक माध्य क्षेत्र सिद्धांत
 * माध्य क्षेत्र गेम सिद्धांत
 * सामान्यीकृत संक्रामक माध्य क्षेत्र मॉडल