चेबीशेव फ़िल्टर

चेबीशेव फिल्टर एनालॉग फिल्टर या डिजिटल फिल्टर हैं जिनमें बटरवर्थ फ़िल्टर की तुलना में एक तेज रोल-ऑफ होता है, और इसमें पासबैंड तरंग (टाइप I) या स्टॉपबैंड तरंग (टाइप II) होता है। चेबीशेव फिल्टर में यह गुण होता है कि वे फिल्टर की सीमा पर आदर्श और वास्तविक फिल्टर विशेषता के बीच त्रुटि को कम करते हैं (संदर्भ देखें उदाहरण के लिए; [डेनियल], [लुटोवैक]), लेकिन पासबैंड में तरंग के साथ। इस प्रकार के फिल्टर का नाम पफनुटी चेबीशेव के नाम पर रखा गया है क्योंकि इसकी गणितीय विशेषताएं चेबीशेव बहुपद से ली गई हैं। चेबीशेव फिल्टर को आमतौर पर "चेबीशेव फिल्टर" के रूप में संदर्भित किया जाता है, जबकि टाइप II फिल्टर को आमतौर पर विपरीत चेबीशेव फिल्टर कहा जाता है।

चेबीशेव फिल्टर में निहित पासबैंड तरंग के कारण, पासबैंड फिल्टर में एक नियमित प्रतिक्रिया, लेकिन स्टॉपबैंड फिल्टर में अधिक अनियमित प्रतिक्रिया कुछ अनुप्रयोगों के लिए पसंद की जाती है।



टाइप I चेबीशेव फिल्टर
टाइप I चेबीशेव फिल्टर, चेबीशेव फिल्टर के सबसे आम प्रकार हैं। लाभ (या आयाम ) प्रतिक्रिया, $$G_n(\omega)$$, कोणीय आवृत्ति के एक फलन के रूप में nवें क्रम का निम्न-पास फ़िल्टर स्थानांतरण फलन के निरपेक्ष मान के बराबर है $$H_n(s)$$ $$s=j \omega$$ पर मूल्यांकन किया गया:
 * $$G_n(\omega) = \left | H_n(j \omega) \right | = \frac{1}{\sqrt{1+\varepsilon^2 T_n^2(\omega/\omega_0)}}$$

जहां पे $$\varepsilon$$ तरंगकारक है, $$\omega_0$$ कटऑफ आवृत्ति है और $$T_n$$ nवें क्रम का एक चेबीशेव बहुपद है।

पासबैंड,तरंगफैक्टर ε द्वारा निर्धारित तरंग के साथ, समान व्‍यवहार प्रदर्शित करता है;पासबैंड में चेबीशेव बहुपद, -1 और 1 के बीच वैकल्पिक होता है, इसलिए फ़िल्टर G = 1 पर मैक्सिमा और $$G=1/\sqrt{1+\varepsilon^2}$$ पर मिनिमा प्राप्त होता है

इस प्रकार तरंगकारक ε डेसिबल में पासबैंड तरंग δ से संबंधित है: $$\varepsilon = \sqrt{10^{\delta/10}-1}.$$

कटऑफ आवृत्ति $$\omega_0$$ पर लाभ का फिर से तरंगहै $$1/\sqrt{1+\varepsilon^2}$$ लेकिन आवृत्ति बढ़ने पर स्टॉपबैंड में गिरना जारी है। यह व्यवहार चित्र में दाईं ओर दिखाया गया है। −3 डीबी पर कटऑफ आवृत्ति को परिभाषित करने की सामान्य प्रथा आमतौर पर चेबीशेव फिल्टर पर लागू नहीं होती है; इसके बजाय कटऑफ को उस बिंदु के रूप में लिया जाता है जिस पर अंतिम समय के लिए लाभ लहर के तरंग पर गिर जाता है।

3 डीबी आवृत्ति ωH,ω0से संबंधित है:


 * $$\omega_H = \omega_0 \cosh \left(\frac{1}{n} \cosh^{-1}\frac{1}{\varepsilon}\right).$$

चेबीशेव फ़िल्टर का क्रम एनालॉग इलेक्ट्रॉनिक्स का उपयोग करके फ़िल्टर को महसूस करने के लिए आवश्यक प्रतिक्रियाशील (इलेक्ट्रॉनिक्स) घटकों (उदाहरण के लिए, इंडिकेटर्स) ्स) की संख्या के बराबर है।

यदि स्टॉपबैंड में तरंग की अनुमति दी जाती है, तो शून्य की अनुमति देकर और भी तेज रोल-ऑफ प्राप्त किया जा सकता है $$\omega$$-जटिल सम्मिश्र समतल है। हालांकि यह इन शून्यों (घटकों, परजीवियों और संबंधित कारकों के गुणवत्ता कारक द्वारा सीमित) पर और शून्यों के निकट-अनंत दबाव पैदा करता है, स्टॉपबैंड में समग्र दबाव कम हो जाता है। और प्राप्त परिणाम को अण्डाकार फ़िल्टर कहा जाता है, जिसे काउर फ़िल्टर भी कहा जाता है।

डंडे और शून्य
साधारण शब्दों में, यह माना जाता है कि कटऑफ आवृत्ति एक के बराबर है। चेबीशेव फिल्टर के वृद्धि फलन के ध्रुव $$(\omega_{pm})$$ वृद्धि फलन के हर के जीरो होते हैं। जटिल आवृत्ति s का उपयोग करते हुए, ये तब होता हैं जब:


 * $$1+\varepsilon^2T_n^2(-js)=0.\,$$

परिभाषित $$-js=\cos(\theta)$$ और चेबीशेव बहुपद पैदावार की त्रिकोणमितीय परिभाषा का उपयोग करते हुए:


 * $$1+\varepsilon^2T_n^2(\cos(\theta))=1+\varepsilon^2\cos^2(n\theta)=0.\,$$

$$\theta$$ के लिए हल करना
 * $$\theta=\frac{1}{n}\arccos\left(\frac{\pm j}{\varepsilon}\right)+\frac{m\pi}{n}$$

जहां पूर्णांक सूचकांक m का उपयोग करके चाप कोसाइन फलन के कई मान स्पष्ट किए जाते हैं। तबचेबीशेव वृद्धि फलन के ध्रुव  हैं:


 * $$s_{pm}=j\cos(\theta)\,$$
 * $$=j\cos\left(\frac{1}{n}\arccos\left(\frac{\pm j}{\varepsilon}\right)+\frac{m\pi}{n}\right).$$

त्रिकोणमितीय और अतिपरवलय के फलन का उपयोग करते हुए, इसे स्पष्ट रूप से जटिल रूप में लिखा जा सकता है:


 * $$s_{pm}^\pm=\pm \sinh\left(\frac{1}{n}\mathrm{arsinh}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\sin(\theta_m)$$
 * $$+j \cosh\left(\frac{1}{n}\mathrm{arsinh}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\cos(\theta_m)

$$
 * जहां m = 1, 2,..., n और

$$\theta_m=\frac{\pi}{2}\,\frac{2m-1}{n}.$$ इसे समीकरण पैरामीट्रिक $$\theta_n$$ के रूप में देखा जा सकता है और यह दर्शाता है कि ध्रुव जटिल आवृत्ति अंतरिक्ष में एक दीर्घवृत्त पर s-स्पेस लंबाई के s = 0 पाए जाते हैं | वास्तविक अर्ध-अक्ष के साथ $$\sinh(\mathrm{arsinh}(1/\varepsilon)/n)$$ पर केंद्रित होता है और काल्पनिक अर्ध-अक्ष लंबाई के साथ $$\cosh(\mathrm{arsinh}(1/\varepsilon)/n).$$पर केंद्रित होता है

स्थानांतरण कार्य
उपरोक्त अभिव्यक्ति लाभ G के ध्रुवों को उत्पन्न करती है। प्रत्येक जटिल ध्रुव के लिए, एक जटिल संयुग्म है, और प्रत्येक संयुग्म जोड़ी के लिए दो और हैं जो जोड़ी के ऋणात्मक ध्रुव होते हैं। स्थानांतरण फलन स्थिर होना चाहिए, ताकि इसके ध्रुव लाभ के हों जिनमें ऋणात्मक वास्तविक भाग हों और इसलिए जटिल आवृत्ति स्थान के बाएं आधे तल में स्थित हों। तब स्थानांतरण फलन दिया जाता है


 * $$H(s)= \frac{1}{2^{n-1}\varepsilon}\ \prod_{m=1}^{n} \frac{1}{(s-s_{pm}^-)}$$

जहां पे $$s_{pm}^-$$ उपरोक्त समीकरण से प्राप्त वास्तविक पद के सामने ऋणात्मक चिन्ह के साथ लाभ के केवल वे ध्रुव हैं।

समूह विलंब
समूह विलंब को कोणीय आवृत्ति के संबंध में कला के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है और विभिन्न आवृत्तियों के लिए कला अंतर द्वारा शुरू किए गए संकेत में विकृति का एक उपाय है।



$$\tau_g=-\frac{d}{d\omega}\arg(H(j\omega))$$ फ़िल्टर पांचवें क्रम के प्रकार I ε=0.5 के लिए लाभ और समूह विलंब को बाईं ओर के ग्राफ़ में प्लॉट किया गया है। यह देखा जा सकता है कि लाभ बिंदु में लहरें हैं और पासबैंड में समूह विलंब है लेकिन स्टॉपबैंड में नहीं है।

टाइप II चेबीशेव फिल्टर (उलटा चेबीशेव फिल्टर)
उलटा चेबीशेव फिल्टर के रूप में भी जाना जाता है, टाइप II चेबीशेव फिल्टर प्रकार कम आम है क्योंकि यह टाइप I के रूप में तेजी से रोल नहीं करता है, और अधिक घटकों की आवश्यकता होती है। पासबैंड में इसका कोईतरंगनहीं है, लेकिन स्टॉपबैंड में इक्विरिपल है। लाभ है:


 * $$G_n(\omega) = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\varepsilon^2 T_n^2(\omega_0/\omega)}}} = \sqrt{\frac{\varepsilon^2 T_n^2(\omega_0/\omega)}{1+\varepsilon^2 T_n^2(\omega_0/\omega)}}.$$

स्टॉपबैंड में, चेबीशेव बहुपद -1 और 1 के बीच दोलन करता है ताकि लाभ शून्य और के बीच दोलन करे


 * $$\frac{1}{\sqrt{1+ \frac{1}{\varepsilon^2}}}$$

और सबसे छोटी आवृत्ति जिस पर यह अधिकतम प्राप्त किया जाता है वह कटऑफ आवृत्ति है $$\omega_o$$. पैरामीटर ε इस प्रकार डेसिबल में स्टॉपबैंड क्षीणन  से संबंधित है:


 * $$\varepsilon = \frac{1}{\sqrt{10^{\gamma/10}-1}}.$$

5 dB के स्टॉपबैंड क्षीणन के लिए, = 0.6801; 10 डीबी के क्षीणन के लिए, = 0.3333। आवृत्ति f0 = ओ0/2π कटऑफ आवृत्ति है। 3 डीबी आवृत्ति fH f. से संबंधित है0 द्वारा:


 * $$f_H = \frac{f_0}{\cosh \left(\frac{1}{n} \cosh^{-1}\frac{1}{\varepsilon}\right)}.$$

डंडे और शून्य
यह मानते हुए कि कटऑफ आवृत्ति एकता के बराबर है, ध्रुव $$(\omega_{pm})$$ चेबीशेव फिल्टर के लाभ के लाभ के हर के शून्य हैं:


 * $$1+\varepsilon^2T_n^2(-1/js_{pm})=0.$$

प्रकार II चेबीशेव फ़िल्टर के लाभ के ध्रुव I फ़िल्टर प्रकार के ध्रुवों के विपरीत हैं:


 * $$\frac{1}{s_{pm}^\pm}=

\pm \sinh\left(\frac{1}{n}\mathrm{arsinh}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\sin(\theta_m)$$
 * $$\qquad+j \cosh\left(\frac{1}{n}\mathrm{arsinh}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\cos(\theta_m)

$$ जहां एम = 1, 2, ..., एन। शून्य $$(\omega_{zm})$$ प्रकार II चेबीशेव फ़िल्टर लाभ के अंश के शून्य हैं:


 * $$\varepsilon^2T_n^2(-1/js_{zm})=0.\,$$

प्रकार II चेबीशेव फ़िल्टर के शून्य इसलिए चेबीशेव बहुपद के शून्यों के व्युत्क्रम हैं।


 * $$1/s_{zm} = -j\cos\left(\frac{\pi}{2}\,\frac{2m-1}{n}\right)$$

एम = 1, 2, ..., एन के लिए।

स्थानांतरण कार्य
स्थानांतरण कार्य वृद्धि फलन के बाएं आधे तल में ध्रुवों द्वारा दिया जाता है, और इसमें एक समान शून्य होते हैं लेकिन ये शून्य दोहरे शून्य के बजाय एकल होते हैं।

समूह विलंब
चेबीशेव फ़िल्टर पांचवें कोटि, प्रकार II ε=0.1 के लिए लाभ और समूह विलंब को बाईं ओर के ग्राफ़ में प्लॉट किया गया है। यह देखा जा सकता है कि स्टॉपबैंड में लाभ में तरंग हैं लेकिन पासबैंड में नहीं।

काउर टोपोलॉजी
एक काउर टोपोलॉजी (इलेक्ट्रॉनिक्स)  का उपयोग करके एक निष्क्रिय एलसी चेबीशेव  लो पास फिल्टर  को महसूस किया जा सकता है। nवें क्रम के चेबीशेव  प्रोटोटाइप फिल्टर  के प्रारंभ करनेवाला या संधारित्र मूल्यों की गणना निम्नलिखित समीकरणों से की जा सकती है:   Assuming that the cutoff frequency is equal to unity, the poles

of the gain of the Chebyshev filter are the zeroes of the denominator of the gain:
 * $$G_{0} = 1$$
 * $$G_{1} =\frac{ 2 A_{1} }{ \gamma }$$
 * $$G_{k} =\frac{ 4 A_{k-1} A_{k} }{ B_{k-1}G_{k-1} },\qquad k = 2,3,4,\dots,n $$
 * $$G_{n+1} =\begin{cases} 1 & \text{if } n \text{ odd} \\

\coth^{2} \left ( \frac{ \beta }{ 4 } \right ) & \text{if } n \text{ even} \end{cases}$$ जी1, जीk संधारित्र या प्रारंभ करनेवाला तत्व मान हैं। एफH, 3 dB आवृत्ति की गणना निम्न के साथ की जाती है: $$f_H = f_0 \cosh \left(\frac{1}{n} \cosh^{-1}\frac{1}{\varepsilon}\right)$$ गुणांक ए,, β, एk, और बीk निम्नलिखित समीकरणों से गणना की जा सकती है:


 * $$\gamma = \sinh \left ( \frac{ \beta }{ 2n } \right )$$
 * $$\beta = \ln\left [ \coth \left ( \frac{ \delta }{ 17.37 } \right ) \right ]$$
 * $$A_k=\sin\frac{ (2k-1)\pi }{ 2n },\qquad k = 1,2,3,\dots, n  $$
 * $$B_k=\gamma^{2}+\sin^{2}\left ( \frac{ k \pi }{ n } \right ),\qquad k = 1,2,3,\dots,n $$

कहाँ पे $$\delta$$ डेसिबल में पासबैंड तरंग है। जो नंबर $$17.37$$ सटीक मान से गोल है $$40/\ln(10)$$.

परिकलित जीk मूल्यों को तब शंट (विद्युत)  कैपेसिटर और श्रृंखला (सर्किट) इंडक्टर्स में परिवर्तित किया जा सकता है जैसा कि दाईं ओर दिखाया गया है, या उन्हें श्रृंखला कैपेसिटर और शंट इंडक्टर्स में परिवर्तित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए,

या
 * सी1 shunt = जी1, ली2 series = जी2,...
 * ली1 shunt = जी1, सी1 series = जी2,...

ध्यान दें कि जब G1 एक शंट संधारित्र या श्रृंखला प्रारंभ करनेवाला है, G0 क्रमशः इनपुट प्रतिरोध या चालन से मेल खाती है। G. के लिए भी यही रिश्ता हैn+1 और जीn. परिणामी सर्किट एक सामान्यीकृत उच्च पास फिल्टर  है।  आवृत्ति परिवर्तन  और  प्रतिबाधा स्केलिंग  का उपयोग करके, सामान्यीकृत कम-पास फ़िल्टर को उच्च-पास फ़िल्टर में परिवर्तित किया जा सकता है | उच्च-पास,  बंदपास छननी  | बैंड-पास, और  बैंड-स्टॉप फ़िल्टर  | किसी भी वांछित कटऑफ आवृत्ति के बैंड-स्टॉप फ़िल्टर या  बैंडविड्थ (सिग्नल प्रोसेसिंग) ।

डिजिटल
अधिकांश एनालॉग फिल्टर के साथ, चेबीशेव को द्विरेखीय परिवर्तन के माध्यम से डिजिटल (असतत-समय) पुनरावर्ती फ़िल्टर फॉर्म में परिवर्तित किया जा सकता है। हालाँकि, चूंकि डिजिटल फिल्टर में एक सीमित बैंडविड्थ होती है, इसलिए परिवर्तित चेबीशेव की प्रतिक्रिया आकृति विकृत होती है। वैकल्पिक रूप से, मिलान की गई जेड-ट्रांसफ़ॉर्म विधि का उपयोग किया जा सकता है, जो प्रतिक्रिया को विकृत नहीं करता है।

अन्य रैखिक फिल्टर के साथ तुलना
निम्नलिखित उदाहरण समान गुणांक (पांचवें क्रम) के साथ प्राप्त अन्य सामान्य फ़िल्टर प्रकारों के बगल में चेबीशेव फ़िल्टर दिखाता है:



बटरवर्थ फिल्टर की तुलना में चेबीशेव फिल्टर तेज होते हैं; वे दीर्घवृत्तीय फिल्टर की तरह तेज नहीं हैं, लेकिन वे बैंडविड्थ पर कम तरंगें दिखाते हैं।

यह भी देखें

 * फ़िल्टर डिज़ाइन
 * बेसेल फिल्टर
 * कंघी फिल्टर
 * अण्डाकार फिल्टर
 * चेबीशेव नोड्स
 * चेबीशेव बहुपद

संदर्भ

 * Lutovac, Miroslav, D. et al.: Filter Design for Signal Processing, Prentice Hall (2001).
 * Lutovac, Miroslav, D. et al.: Filter Design for Signal Processing, Prentice Hall (2001).
 * Lutovac, Miroslav, D. et al.: Filter Design for Signal Processing, Prentice Hall (2001).
 * Lutovac, Miroslav, D. et al.: Filter Design for Signal Processing, Prentice Hall (2001).
 * Lutovac, Miroslav, D. et al.: Filter Design for Signal Processing, Prentice Hall (2001).

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 * शारीरिक रूप से आधारित प्रतिपादन
 * हीरे की थाली
 * प्रतिबिंब (कंप्यूटर ग्राफिक्स)
 * 2010 की एनिमेटेड फीचर फिल्मों की सूची
 * परिवेशी बाधा
 * वास्तविक समय (मीडिया)
 * जानकारी
 * कंकाल एनिमेशन
 * भीड़ अनुकरण
 * प्रक्रियात्मक एनिमेशन
 * अणु प्रणाली
 * कैमरा
 * माइक्रोस्कोप
 * इंजीनियरिंग के चित्र
 * रेखापुंज छवि
 * नक्शा
 * हार्डवेयर एक्सिलरेशन
 * अंधेरा
 * गैर-समान तर्कसंगत बी-तख़्ता
 * नक्शा टक्कर
 * चुम्बकीय अनुनाद इमेजिंग
 * नमूनाकरण (सिग्नल प्रोसेसिंग)
 * sculpting
 * आधुनिक कला का संग्रहालय
 * गेम डेवलपर्स कांफ्रेंस
 * शैक्षिक
 * आपूर्ती बंद करने की आवृत्ति
 * प्रतिक्रिया (इलेक्ट्रॉनिक्स)
 * अण्डाकार फिल्टर
 * सीरिज़ सर्किट)
 * मिलान जेड-ट्रांसफॉर्म विधि
 * कंघी फ़िल्टर