लेम्निस्केट

बीजगणितीय ज्यामिति में, लेम्निस्केट कई आकृति-आठ या में से कोई एक है $∞$-आकार के वक्र। यह शब्द लैटिन भाषा से आया है lēmniscātus मतलब रिबन से सजाया गया, ग्रीक से λημνίσκοςअर्थ रिबन,   या जो वैकल्पिक रूप से उस ऊन को संदर्भित कर सकता है जिससे रिबन बनाए गए थे।

जिन वक्रों को लेम्निस्केट कहा गया है उनमें तीन चतुर्थक समतल वक्र शामिल हैं: बूथ का दरियाई घोड़ा या लेम्निस्केट, बर्नौली का लेम्निस्केट, और गेरोनो का लेम्निस्केट। लेम्निस्केट्स (और विशेष रूप से हिप्पोपेडे) का अध्ययन प्राचीन यूनानी गणित से मिलता है, लेकिन इस प्रकार के वक्रों के लिए लेम्निस्केट शब्द 17वीं शताब्दी के अंत में जैकब बर्नौली के काम से आया है।

बूथ का लेम्निस्केट


आकृति-आठ आकार वाले वक्रों के विचार का पता 5वीं शताब्दी ईस्वी में रहने वाले ग्रीक नियोप्लाटोनिस्ट दार्शनिक और गणितज्ञ बंद किया हुआ  से लगाया जा सकता है। प्रोक्लस ने  टोरस्र्स  की धुरी के समानांतर एक विमान द्वारा टोरिक अनुभाग | टोरस के क्रॉस-सेक्शन पर विचार किया। जैसा कि उन्होंने देखा, ऐसे अधिकांश अनुभागों के लिए क्रॉस सेक्शन में एक या दो अंडाकार होते हैं; हालाँकि, जब विमान टोरस की आंतरिक सतह पर स्पर्शरेखा होता है, तो क्रॉस-सेक्शन एक आकृति-आठ आकार लेता है, जिसे प्रोक्लस ने हॉबल (उपकरण) (घोड़े के दो पैरों को एक साथ रखने के लिए एक उपकरण) या हिप्पोपेड कहा है। ग्रीक में। इस वक्र के लिए बूथ का लेम्निस्केट नाम 19वीं सदी के गणितज्ञ जेम्स बूथ (गणितज्ञ) द्वारा इसके अध्ययन के समय का है। लेम्निस्केट को एक बीजगणितीय वक्र के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो चतुर्थक बहुपद का शून्य सेट है $$(x^2 + y^2)^2 - cx^2 - dy^2$$ जब पैरामीटर d ऋणात्मक है (या विशेष मामले के लिए शून्य जहां लेम्निस्केट बाहरी स्पर्शरेखा वृत्तों की एक जोड़ी बन जाता है)। डी के सकारात्मक मूल्यों के लिए इसके बजाय बूथ का अंडाकार प्राप्त होता है।

बर्नौली का लेम्निस्केट


1680 में, जॉन डोमिनिक कैसिनी ने वक्रों के एक परिवार का अध्ययन किया, जिसे अब कैसिनी अंडाकार कहा जाता है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है: सभी बिंदुओं का लोकस (गणित), दो निश्चित बिंदुओं से उनकी दूरी का उत्पाद, वक्रों का फोकस (ज्यामिति), है निरंतर। बहुत विशेष परिस्थितियों में (जब बिंदुओं के बीच की आधी दूरी स्थिरांक के वर्गमूल के बराबर होती है) यह एक लेम्निस्केट को जन्म देता है।

1694 में, जोहान बर्नौली ने कैसिनी ओवल के लेम्निस्केट मामले का अध्ययन किया, जिसे अब बर्नौली के लेम्निस्केट के रूप में जाना जाता है (ऊपर दिखाया गया है), समकालिक वक्र की एक समस्या के संबंध में, जिसे पहले लाइबनिट्स द्वारा प्रस्तुत किया गया था। दरियाई घोड़े की तरह, यह एक बीजगणितीय वक्र है, जो बहुपद का शून्य सेट है $$(x^2 + y^2)^2 - a^2 (x^2 - y^2)$$. बर्नौली के भाई जैकब बर्नौली ने भी उसी वर्ष उसी वक्र का अध्ययन किया और इसे इसका नाम लेम्निस्केट दिया। इसे ज्यामितीय रूप से उन बिंदुओं के स्थान के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, जिनकी दो नाभियों से दूरियों का गुणनफल, अंतराफोकल दूरी के आधे के वर्ग के बराबर होता है। यह हिप्पोपेड (लेम्निस्केट ऑफ बूथ) का एक विशेष मामला है $$d=-c$$, और एक टोरस के क्रॉस-सेक्शन के रूप में बनाया जा सकता है जिसके आंतरिक छेद और गोलाकार क्रॉस-सेक्शन का व्यास एक दूसरे के समान होता है। लेम्निस्केटिक अण्डाकार कार्य बर्नौली के लेम्निस्केट के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों के अनुरूप हैं, और इस लेम्निस्केट की चाप लंबाई का मूल्यांकन करने में गॉस स्थिरांक उत्पन्न होता है।

गेरोनो का लेम्निस्केट
एक अन्य लेम्निस्केट, गेरोनो का लेम्निस्केट या ह्यूजेन्स का लेम्निस्केट, चतुर्थक बहुपद का शून्य सेट है $$y^2-x^2(a^2-x^2)$$. विवियानी का वक्र, एक गोले को सिलेंडर के साथ काटने से बना एक त्रि-आयामी वक्र, इसमें एक आकृति आठ का आकार भी होता है, और इसके समतल प्रक्षेपण के रूप में गेरोनो का लेम्निस्केट होता है।

अन्य
अन्य आकृति-आठ आकार के बीजगणितीय वक्र शामिल हैं
 * द डेविल्स कर्व, चतुर्थक समीकरण द्वारा परिभाषित एक वक्र $$y^2 (y^2 - a^2) = x^2 (x^2 - b^2)$$ जिसमें एक जुड़े हुए घटक की आकृति-आठ आकृति होती है,
 * वाट का वक्र, एक यांत्रिक जुड़ाव द्वारा निर्मित आकृति-आठ के आकार का वक्र। वाट का वक्र डिग्री-छह बहुपद समीकरण का शून्य सेट है $$(x^2+y^2)(x^2+y^2-d^2)^2+4a^2y^2(x^2+y^2-b^2)=0$$ और एक विशेष मामले के रूप में बर्नौली का लेम्निस्केट है।

यह भी देखें

 * एनालेम्मा, एक वर्ष के दौरान आकाश में सूर्य की दोपहर की स्थिति से पता लगाया गया आकृति-आठ आकार का वक्र
 * अनंत चिन्ह
 * सामान्यीकृत शंकु के रूप में लेम्निस्केट्स
 * लोरेन्ज़ आकर्षित करनेवाला, एक त्रि-आयामी गतिशील प्रणाली जो लेम्निस्केट आकार प्रदर्शित करती है
 * बहुपद लेम्निस्केट, एक जटिल बहुपद के निरपेक्ष मान का एक स्तर सेट