होमोटोपी समूह

गणित में, टोपोलॉजिकल स्पेस स्थान को वर्गीकृत करने के लिए बीजगणितीय टोपोलॉजी में होमोटॉपी समूहों का उपयोग किया जाता है। पहला और सरलतम समरूप समूह मौलिक समूह है, जिसे दर्शाया गया है $$\pi_1(X),$$ जो गणितीय स्थान में लूप (टोपोलॉजी) के बारे में जानकारी रिकॉर्ड करता है। सहज रूप से, होमोटॉपी समूह टोपोलॉजिकल स्पेस के मूल आकार, या होल (टोपोलॉजी) के बारे में जानकारी रिकॉर्ड करते हैं।

एन-वें होमोटोपी समूह को परिभाषित करने के लिए, एन-गोले|एन-आयामी क्षेत्र (आधार बिंदु के साथ) से आधार-बिंदु-संरक्षित मानचित्रों को किसी दिए गए स्थान (आधार बिंदु के साथ) में समतुल्य वर्गों में एकत्र किया जाता है, जिन्हें 'होमोटॉपी वर्ग' कहा जाता है। .' यदि को लगातार दूसरे में विकृत किया जा सकता है तो दो मैपिंग 'होमोटोपिक' हैं। ये समरूप वर्ग समूह (गणित) बनाते हैं, जिसे 'एन-वें समरूप समूह' कहा जाता है, $$\pi_n(X),$$ आधार बिंदु के साथ दिए गए स्थान X का। अलग-अलग होमोटॉपी समूहों वाले टोपोलॉजिकल स्पेस कभी भी समतुल्य (होम्योमॉर्फिक) नहीं होते हैं, लेकिन टोपोलॉजिकल स्पेस होते हैं होमियोमोर्फिक  समान समरूप समूह हैं।

पथ (टोपोलॉजी) की समरूपता की धारणा केमिली जॉर्डन द्वारा प्रस्तुत की गई थी।

परिचय
आधुनिक गणित में परिचालक द्वारा श्रेणी (गणित) का अध्ययन करना आम बात है, इस श्रेणी की प्रत्येक वस्तु के लिए सरल वस्तु जो अभी भी रुचि की वस्तु के बारे में पर्याप्त जानकारी बरकरार रखती है। होमोटोपी समूह समूह (गणित) को टोपोलॉजिकल स्थानों से जोड़ने का तरीका है।

टोपोलॉजी और समूहों के बीच का लिंक गणितज्ञों को समूह सिद्धांत से टोपोलॉजी तक अंतर्दृष्टि लागू करने देता है। उदाहरण के लिए, यदि दो टोपोलॉजिकल ऑब्जेक्ट में अलग-अलग समरूप समूह हैं, तो उनकी टोपोलॉजिकल संरचना समान नहीं हो सकती है - ऐसा तथ्य जिसे केवल टोपोलॉजिकल साधनों का उपयोग करके साबित करना मुश्किल हो सकता है। उदाहरण के लिए, टोरस गोले से भिन्न है: टोरस में छेद होता है; गोला नहीं है. हालाँकि, चूँकि निरंतरता (टोपोलॉजी की मूल धारणा) केवल स्थानीय संरचना से संबंधित है, इसलिए स्पष्ट वैश्विक अंतर को औपचारिक रूप से परिभाषित करना मुश्किल हो सकता है। हालाँकि, होमोटॉपी समूह वैश्विक संरचना के बारे में जानकारी रखते हैं।

उदाहरण के लिए: टोरस का पहला होमोटॉपी समूह $$T$$ है $$\pi_1(T) = \Z^2,$$ क्योंकि टोरस का सार्वभौमिक आवरण यूक्लिडियन तल है $$\R^2,$$ टोरस के लिए मानचित्रण $$T \cong \R^2/\Z^2.$$ यहां भागफल समूहों या रिंगों के बजाय टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी में है। दूसरी ओर, गोला $$S^2$$ संतुष्ट करता है: $$\pi_1\left(S^2\right) = 0,$$ क्योंकि प्रत्येक लूप को स्थिर मानचित्र पर अनुबंधित किया जा सकता है (इसके लिए गोले के होमोटॉपी समूह और होमोटॉपी समूहों के अधिक जटिल उदाहरण देखें)। इसलिए टोरस गोले के समरूप नहीं है।

परिभाषा
n-क्षेत्र में|n-क्षेत्र में $$S^n$$ हम आधार बिंदु चुनते हैं। आधार बिंदु b वाले स्थान X के लिए, हम परिभाषित करते हैं $$\pi_n(X)$$ मानचित्रों के समरूप वर्गों का समुच्चय होना $$f : S^n \to X \mid f(a) = b$$ वह आधार बिंदु a को आधार बिंदु b पर मैप करता है। विशेष रूप से, समतुल्य वर्ग समरूपताओं द्वारा दिए जाते हैं जो गोले के आधार बिंदु पर स्थिर होते हैं। समान रूप से, परिभाषित करें $$\pi_n(X)$$ मानचित्रों के समरूप वर्गों का समूह होना $$g : [0,1]^n \to X$$ हाइपरक्यूब|एन-क्यूब से एक्स तक जो एन-क्यूब की सीमा (टोपोलॉजी) को बी तक ले जाता है।

के लिए $$n \ge 1,$$ समरूप कक्षाएं समूह (गणित) बनाती हैं। समूह संचालन को परिभाषित करने के लिए, याद रखें कि मूल समूह में, उत्पाद $$f\ast g$$ दो लूप का $$f, g: [0,1] \to X$$ सेटिंग द्वारा परिभाषित किया गया है $$f * g = \begin{cases} f(2t)  & t \in \left[0, \tfrac{1}{2} \right] \\ g(2t-1) & t \in \left[\tfrac{1}{2}, 1 \right] \end{cases}$$ मूल समूह में रचना का विचार पहले पथ और दूसरे पथ पर क्रमिक रूप से यात्रा करना, या, समकक्ष रूप से, उनके दो डोमेन को साथ स्थापित करना है। रचना की अवधारणा जो हम एन-वें होमोटॉपी समूह के लिए चाहते हैं, वही है, सिवाय इसके कि अब जिन डोमेन को हम साथ चिपकाते हैं वे क्यूब्स हैं, और हमें उन्हें चेहरे के साथ चिपकाना होगा। इसलिए हम मानचित्रों के योग को परिभाषित करते हैं $$f, g : [0,1]^n \to X$$ सूत्र द्वारा $$(f + g)(t_1, t_2, \ldots, t_n) = \begin{cases} f(2t_1, t_2, \ldots, t_n)  & t_1 \in \left [0, \tfrac{1}{2} \right ] \\ g(2t_1-1, t_2, \ldots, t_n) & t_1 \in \left [\tfrac{1}{2}, 1 \right ] \end{cases}$$ गोले के संदर्भ में संगत परिभाषा के लिए, योग को परिभाषित करें $$f + g$$ नक्शों का $$f, g : S^n\to X$$ होना $$\Psi$$ एच, कहां से बना है $$\Psi$$ से नक्शा है $$S^n$$ दो n-गोले के पच्चर योग के लिए जो भूमध्य रेखा को ढहा देता है और h दो n-गोले के पच्चर योग से X तक का मानचित्र है जिसे पहले गोले पर f और दूसरे पर g के रूप में परिभाषित किया गया है।

अगर $$n \geq 2,$$ तब $$\pi_n$$ एबेलियन समूह है. इसके अलावा, मूल समूह के समान, पथ से जुड़े स्थान के लिए आधार बिंदु के कोई भी दो विकल्प समूह समरूपता को जन्म देते हैं $$\pi_n.$$

आधार बिंदुओं को हटाकर होमोटॉपी समूहों की परिभाषा को सरल बनाने का प्रयास करना आकर्षक है, लेकिन यह आमतौर पर उन स्थानों के लिए काम नहीं करता है जो बस जुड़े हुए स्थान नहीं हैं, यहां तक ​​​​कि पथ से जुड़े स्थानों के लिए भी। गोले से पथ से जुड़े स्थान तक मानचित्रों के होमोटॉपी वर्गों का सेट होमोटॉपी समूह नहीं है, लेकिन मूल रूप से होमोटॉपी समूह पर मौलिक समूह की कक्षाओं का सेट है, और सामान्य तौर पर इसमें कोई प्राकृतिक समूह संरचना नहीं होती है।

फ़िल्टर किए गए स्थानों और रिक्त स्थान के एन-क्यूब्स के उच्च समरूप समूह को परिभाषित करके इन कठिनाइयों से बाहर निकलने का रास्ता खोजा गया है। ये क्रमशः सापेक्ष समरूप समूहों और एन-एडिक समरूप समूहों से संबंधित हैं। उच्चतर होमोटॉपी वैन कम्पेन प्रमेय व्यक्ति को होमोटॉपी समूहों और यहां तक ​​कि होमोटॉपी प्रकारों पर कुछ नई जानकारी प्राप्त करने में सक्षम बनाता है। अधिक पृष्ठभूमि और संदर्भों के लिए, उच्च आयामी समूह सिद्धांत और नीचे दिए गए संदर्भ देखें।

समरूपी समूह और छिद्र
एक टोपोलॉजिकल स्पेस में डी-आयामी सीमा के साथ छेद (टोपोलॉजी) होता है, यदि और केवल-यदि इसमें डी-आयामी क्षेत्र होता है जिसे लगातार बिंदु तक सिकुड़ा नहीं जा सकता है। यह तभी-और-केवल तभी मान्य है जब कोई मैपिंग हो $S^d\to X$ यह स्थिर कार्य के लिए समस्थानिक नहीं है। यह केवल और केवल तभी मान्य है जब X का d-वें होमोटॉपी समूह तुच्छ नहीं है। संक्षेप में, एक्स में डी-आयामी सीमा वाला छेद है, यदि-और-केवल-यदि $$\pi_d(X) \not \cong 0$$.

फाइब्रेशन का लंबा सटीक अनुक्रम
होने देना $$p : E \to B$$ फाइबर के साथ बेसपॉइंट-संरक्षण फाइबर ग्रीनहाउस बनें $$F,$$ यानी, सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स के संबंध में होमोटोपी उठाने की संपत्ति वाला नक्शा। मान लीजिए कि बी पथ से जुड़ा हुआ है। फिर समरूप समूहों का लंबा सटीक क्रम होता है $$\cdots \to \pi_n(F) \to \pi_n(E) \to \pi_n(B) \to \pi_{n-1}(F) \to \cdots \to \pi_0(E) \to 0.$$ यहां शामिल मानचित्र $$\pi_0$$ समूह समरूपताएँ नहीं हैं क्योंकि $$\pi_0$$ समूह नहीं हैं, लेकिन वे इस अर्थ में सटीक हैं कि छवि (गणित) कर्नेल (बीजगणित) के बराबर है।

उदाहरण: हॉफ फ़िब्रेशन। मान लीजिए B बराबर है $$S^2$$ और ई बराबर $$S^3.$$ मान लीजिए कि p हॉपफ़ फ़िब्रेशन है, जिसमें फ़ाइबर है $$S^1.$$ लंबे सटीक क्रम से $$\cdots \to \pi_n(S^1) \to \pi_n(S^3) \to \pi_n(S^2) \to \pi_{n-1} (S^1) \to \cdots$$ और तथ्य यह है कि $$\pi_n(S^1) = 0$$ के लिए $$n \geq 2,$$ हम उसे ढूंढते हैं $$\pi_n(S^3) = \pi_n(S^2)$$ के लिए $$n \geq 3.$$ विशेष रूप से, $$\pi_3(S^2) = \pi_3(S^3) = \Z.$$ कवर स्पेस के मामले में, जब फाइबर अलग होता है, तो हमारे पास वह होता है $$\pi_n(E)$$ के लिए समरूपी है $$\pi_n(B)$$ के लिए $$n > 1,$$ वह $$\pi_n(E)$$ इंजेक्शन रूप से एम्बेड करता है $$\pi_n(B)$$ सभी सकारात्मक के लिए $$n,$$ और वह का उपसमूह $$\pi_1(B)$$ जो कि एम्बेडिंग से मेल खाता है $$\pi_1(E)$$ फाइबर के तत्वों के साथ आक्षेप में कोसेट है।

जब फ़िब्रेशन होमोटॉपी फाइबर होता है, या दोहरी रूप से, सह-फाइब्रेशन मैपिंग शंकु (टोपोलॉजी) होता है, तो परिणामी सटीक (या दोहरी, सह-सटीक) अनुक्रम पप्पे अनुक्रम द्वारा दिया जाता है।

सजातीय स्थान और गोले
सजातीय स्थानों के रूप में गोले के कई अनुभव हैं, जो लाई समूहों के समरूप समूहों की गणना करने और गोले से बने स्थानों पर प्रमुख बंडलों के वर्गीकरण के लिए अच्छे उपकरण प्रदान करते हैं।

विशेष ऑर्थोगोनल समूह
एक कंपन है

$$SO(n-1) \to SO(n) \to SO(n)/SO(n-1) \cong S^{n-1}$$ लंबा सटीक क्रम दे रहा हूँ

$$\cdots \to \pi_i(SO(n-1)) \to \pi_i(SO(n)) \to \pi_i\left(S^{n-1}\right) \to \pi_{i-1}(SO(n-1)) \to \cdots$$ जो निम्न क्रम के समरूप समूहों की गणना करता है $$\pi_i(SO(n-1)) \cong \pi_i(SO(n))$$ के लिए $$i < n-1,$$ तब से $$S^{n-1}$$ है $$(n-2)$$-जुड़े हुए। विशेष रूप से, कंपन है

$$SO(3) \to SO(4) \to S^3$$ जिनके निचले समरूप समूहों की स्पष्ट रूप से गणना की जा सकती है। तब से $$SO(3) \cong \mathbb{RP}^3,$$ और वहाँ कंपन है

$$\Z/2 \to S^n \to \mathbb{RP}^n$$ अपने पास $$\pi_i(SO(3)) \cong \pi_i(S^3)$$ के लिए $$i > 1.$$ इसका उपयोग करना, और तथ्य यह है कि $$\pi_4\left(S^3\right) = \Z/2,$$ जिसकी गणना पोस्टनिकोव प्रणाली का उपयोग करके की जा सकती है, हमारे पास लंबा सटीक अनुक्रम है

$$\begin{align} \cdots \to{} &\pi_4(SO(3)) \to \pi_4(SO(4)) \to \pi_4(S^3) \to \\ \to{} &\pi_3(SO(3)) \to \pi_3(SO(4)) \to \pi_3(S^3) \to \\ \to{} &\pi_2(SO(3)) \to \pi_2(SO(4)) \to \pi_2(S^3) \to \cdots \\ \end{align}$$ तब से $$\pi_2\left(S^3\right) = 0$$ अपने पास $$\pi_2(SO(4)) = 0.$$ इसके अलावा, मध्य पंक्ति भी देती है $$\pi_3(SO(4)) \cong \Z\oplus\Z$$ कनेक्टिंग मानचित्र के बाद से $$\pi_4\left(S^3\right) = \Z/2 \to \Z = \pi_3\left(\mathbb{RP}^3\right)$$ तुच्छ है. साथ ही हम जान सकते हैं $$\pi_4(SO(4))$$ दो-मरोड़ वाला है।

गोले बंडलों के लिए आवेदन
मिल्नोर तथ्य का प्रयोग किया $$\pi_3(SO(4)) = \Z\oplus\Z$$ 3-गोले बंडलों को वर्गीकृत करने के लिए $$S^4,$$ विशेष रूप से, वह विदेशी गोले खोजने में सक्षम थे जो चिकने मैनिफ़ोल्ड हैं जिन्हें मिल्नोर का क्षेत्र कहा जाता है। मिल्नोर के गोले केवल होमोमोर्फिक हैं $$S^7,$$ भिन्नरूपी नहीं. ध्यान दें कि किसी भी गोलाकार बंडल का निर्माण a से किया जा सकता है $$4$$-वेक्टर बंडल, जिसमें संरचना समूह है $$SO(4)$$ तब से $$S^3$$ इसमें उन्मुख अनेक गुना रीमैनियन मैनिफोल्ड की संरचना हो सकती है।

जटिल प्रक्षेप्य स्थान
एक कंपन है

$$S^1 \to S^{2n+1} \to \mathbb{CP}^n$$ कहाँ $$S^{2n+1}$$ में इकाई क्षेत्र है $$\Complex^{n+1}.$$ इस अनुक्रम का उपयोग सरल-जुड़ेपन को दर्शाने के लिए किया जा सकता है $$\mathbb{CP}^n$$ सभी के लिए $$n.$$

गणना के तरीके
बीजगणितीय टोपोलॉजी में सीखे गए कुछ अन्य होमोटॉपी इनवेरिएंट (गणित) की तुलना में होमोटॉपी समूहों की गणना आम तौर पर बहुत अधिक कठिन होती है। मौलिक समूह के लिए सेफर्ट-वैन कम्पेन प्रमेय और एकवचन समरूपता और सह-समरूपता के लिए छांटना प्रमेय के विपरीत, किसी स्थान के समरूप समूहों को छोटे स्थानों में तोड़कर गणना करने का कोई सरल ज्ञात तरीका नहीं है। हालाँकि, 1980 के दशक में उच्च होमोटॉपी ग्रुपोइड के लिए वैन कम्पेन प्रकार प्रमेय को शामिल करने वाली विधियों ने होमोटॉपी प्रकारों और इसी तरह होमोटॉपी समूहों पर नई गणना की अनुमति दी है। नमूना परिणाम के लिए एलिस और मिखाइलोव का 2010 का पेपर देखें।

कुछ स्थानों के लिए, जैसे टोरस, सभी उच्च समरूप समूह (अर्थात, दूसरे और उच्च समरूप समूह) तुच्छ समूह हैं। ये तथाकथित गोलाकार स्थान हैं। हालाँकि, गोले के समरूप समूहों की गणना में गहन शोध के बावजूद, दो आयामों में भी पूरी सूची ज्ञात नहीं है। के चौथे होमोटॉपी समूह की भी गणना करने के लिए $$S^2$$ किसी को परिभाषाओं से कहीं अधिक उन्नत तकनीकों की आवश्यकता है। विशेष रूप से सेरे वर्णक्रमीय अनुक्रम का निर्माण इसी उद्देश्य के लिए किया गया था।

एन-कनेक्टेड|एन-कनेक्टेड स्थानों के कुछ समरूप समूहों की गणना ह्यूरविक्ज़ प्रमेय के माध्यम से समरूपता समूहों के साथ तुलना करके की जा सकती है।

समरूप समूहों की गणना के लिए तरीकों की सूची

 * फाइब्रेशन के समरूप समूहों का लंबा सटीक क्रम।
 * ह्यूरविक्ज़ प्रमेय, जिसके कई संस्करण हैं।
 * ब्लेकर्स-मैसी प्रमेय, जिसे समरूप समूहों के लिए छांटना के रूप में भी जाना जाता है।
 * फ्रायडेन्थल निलंबन प्रमेय, समरूप समूहों के लिए छांटना का परिणाम।

सापेक्ष समरूपी समूह
समरूप समूहों का उपयोगी सामान्यीकरण भी है, $$\pi_n(X),$$ सापेक्ष समरूप समूह कहलाते हैं $$\pi_n(X, A)$$ जोड़ी के लिए $$(X, A),$$ जहां A सबस्पेस टोपोलॉजी है $$X.$$ निर्माण समावेशन के अवलोकन से प्रेरित है $$i : (A,x_0) \hookrightarrow (X,x_0),$$ प्रत्येक समरूप समूह पर प्रेरित मानचित्र होता है $$i_* : \pi_n(A) \to \pi_n(X)$$ जो सामान्यतः कोई इंजेक्शन नहीं है. दरअसल, कर्नेल के तत्वों को प्रतिनिधि मानकर जाना जाता है $$f : I^n \to X$$ और आधारित होमोटॉपी लेना $$F : I^n \times I \to X$$ निरंतर मानचित्र के लिए $$x_0,$$ या दूसरे शब्दों में $$H_{I^n \times 1} = f,$$ जबकि किसी अन्य सीमा घटक पर प्रतिबंध $$I^{n+1}$$ तुच्छ है. इसलिए, हमारे पास निम्नलिखित निर्माण है:

ऐसे समूह के तत्व आधारित मानचित्रों के समरूप वर्ग हैं $$D^n \to X$$ जो सीमा को ले जाता है $$S^{n-1}$$ ए में दो मानचित्र $$f, g$$ ए के सापेक्ष होमोटोपिक कहलाते हैं यदि वे बेसपॉइंट-संरक्षण होमोटॉपी द्वारा होमोटोपिक हैं $$F : D_n \times [0, 1] \to X$$ ऐसा कि, प्रत्येक पी के लिए $$S^{n-1}$$ और टी में $$[0, 1],$$ तत्व $$F(p, t)$$ ए में है। ध्यान दें कि साधारण समरूप समूहों को विशेष मामले के लिए पुनर्प्राप्त किया जाता है $$A = \{ x_0 \}$$ आधार बिंदु वाला सिंगलटन है।

ये समूह एबेलियन हैं $$n \geq 3(E)$$ लेकिन के लिए $$n = 2$$ निचले समूह के साथ क्रॉस किए गए मॉड्यूल का शीर्ष समूह बनाएं $$\pi_1(A).$$

सापेक्ष समरूप समूहों का लंबा सटीक अनुक्रम भी है जिसे पप्पे अनुक्रम के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है:


 * $$\cdots \to \pi_n(A) \to \pi_n(X) \to \pi_n(X,A) \to \pi_{n-1}(A)\to \cdots$$

संबंधित धारणाएँ
होमोटॉपी समूह होमोटॉपी सिद्धांत के लिए मौलिक हैं, जिसने बदले में मॉडल श्रेणी के विकास को प्रेरित किया। सरल सेटों के लिए अमूर्त समरूप समूहों को परिभाषित करना संभव है।

होमोलॉजी समूह होमोटॉपी समूहों के समान हैं, क्योंकि वे टोपोलॉजिकल स्पेस में छेद का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। हालाँकि, होमोटॉपी समूह अक्सर बहुत जटिल और गणना करने में कठिन होते हैं। इसके विपरीत, होमोलॉजी समूह क्रमविनिमेय होते हैं (जैसा कि उच्च होमोलॉजी समूह होते हैं)। इसलिए, कभी-कभी यह कहा जाता है कि समरूपता समरूपता का क्रमविनिमेय विकल्प है। टोपोलॉजिकल स्पेस दिया गया $$X,$$ इसके n-वें समरूप समूह को आमतौर पर इसके द्वारा निरूपित किया जाता है $$\pi_n(X),$$ और इसके n-वें समरूपता समूह को आमतौर पर इसके द्वारा निरूपित किया जाता है $$H_n(X).$$

यह भी देखें

 * कंपन
 * हॉफ़ फ़िब्रेशन
 * हॉपफ़ अपरिवर्तनीय
 * गाँठ सिद्धांत
 * होमोटॉपी क्लास
 * गोलों के समरूपी समूह
 * टोपोलॉजिकल अपरिवर्तनीय
 * गुणांकों के साथ समरूप समूह
 * नुकीला सेट

संदर्भ

 * Ronald Brown, `Groupoids and crossed objects in algebraic topology', Homology, Homotopy and Applications, 1 (1999) 1–78.
 * Ronald Brown, Philip J. Higgins, Rafael Sivera, Nonabelian algebraic topology: filtered spaces, crossed complexes, cubical homotopy groupoids, EMS Tracts in Mathematics Vol. 15, 703 pages, European Math. Society, Zürich, 2011.

Homotopická grupa