केंद्रीय सीमा प्रमेय

संभाव्यता सिद्धांत में, केंद्रीय सीमा प्रमेय (सीएलटी) स्थापित करता है कि, कई स्थितियों में, समान रूप से वितरित स्वतंत्र नमूनों के लिए, मानकीकृत नमूना माध्य मानक सामान्य वितरण की ओर जाता है, भले ही मूल चर स्वयं सामान्य रूप से वितरित न हों।

संभाव्यता सिद्धांत में प्रमेय एक महत्वपूर्ण अवधारणा है क्योंकि इसका तात्पर्य है कि संभाव्यता और सांख्यिकी विधियां जो सामान्य वितरण के लिए काम करती हैं, अन्य प्रकार के वितरणों से जुड़ी कई समस्याओं पर लागू हो सकती हैं।

संभाव्यता सिद्धांत के औपचारिक विकास के दौरान इस प्रमेय में कई बदलाव देखे गए हैं। प्रमेय के पिछले संस्करण 1811 से पहले के हैं, लेकिन अपने आधुनिक सामान्य रूप में, संभाव्यता सिद्धांत में इस मौलिक परिणाम को 1920 के अंत तक सटीक रूप से कहा गया था, इस प्रकार शास्त्रीय और आधुनिक संभाव्यता सिद्धांत के बीच एक सेतु के रूप में कार्य करना।

अगर $X_1, X_2, \dots, X_n, \dots$ समग्र अपेक्षित मूल्य वाली आबादी से लिए गए यादृच्छिक नमूने हैं $\mu$  और परिमित विचरण $\sigma^2$, और अगर $\bar{X}_n$  पहले का नमूना माध्य है $n$  नमूने, फिर वितरण का सीमित रूप, $Z=\lim_{n \to \infty} {\left ( \frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma_\bar{X}} \right )}$ ,|undefined साथ $$\sigma_\bar{X}=\sigma/\sqrt{n}$$, एक मानक सामान्य वितरण है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एक नमूना (सांख्यिकी) प्राप्त किया जाता है जिसमें कई यादृच्छिक चर होते हैं, प्रत्येक अवलोकन इस तरह से यादृच्छिक रूप से उत्पन्न होता है जो अन्य अवलोकनों के मूल्यों पर निर्भर नहीं करता है, और अवलोकन किए गए मानों के अंकगणितीय माध्य की गणना की जाती है। यदि यह प्रक्रिया कई बार की जाती है, तो केंद्रीय सीमा प्रमेय का कहना है कि औसत की संभाव्यता वितरण एक सामान्य वितरण के करीब होगा।

केंद्रीय सीमा प्रमेय के कई रूप हैं। अपने सामान्य रूप में, यादृच्छिक चर स्वतंत्र और समान रूप से वितरित (i.i.d.) होना चाहिए। भिन्नताओं में, सामान्य वितरण के माध्य का अभिसरण गैर-समान वितरणों के लिए या गैर-स्वतंत्र प्रेक्षणों के लिए भी होता है, यदि वे कुछ शर्तों का अनुपालन करते हैं।

इस प्रमेय का सबसे पहला संस्करण, कि सामान्य वितरण को द्विपद वितरण के सन्निकटन के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है, डी मोइवर-लाप्लास प्रमेय है।

शास्त्रीय सीएलटी
होने देना $\{X_1, \ldots, X_n}\$  यादृच्छिक नमूना  का एक क्रम हो - यानी, स्वतंत्र और समान रूप से वितरित रैंडम वेरिएबल्स का एक क्रम|i.i.d. द्वारा दिए गए अपेक्षित मूल्य के वितरण से तैयार किए गए यादृच्छिक चर $\mu$  और परिमित विचरण द्वारा दिया गया $\sigma^2$. मान लीजिए हम नमूना माध्य में रुचि रखते हैं $$\bar{X}_n \equiv \frac{X_1 + \cdots + X_n}{n}$$ पहले का $n$ नमूने।

बड़ी संख्या के नियम के अनुसार, नमूना औसत अनुमानित मूल्य के लगभग सुनिश्चित अभिसरण (और इसलिए संभाव्यता में भी अभिसरण) $\mu$ जैसा $n\to\infty$.

शास्त्रीय केंद्रीय सीमा प्रमेय नियतात्मक संख्या के आसपास स्टोकेस्टिक उतार-चढ़ाव के आकार और वितरण रूप का वर्णन करता है $\mu$ इस अभिसरण के दौरान। अधिक सटीक रूप से, यह बताता है कि जैसा $n$  बड़ा हो जाता है, नमूना औसत के बीच अंतर का वितरण $\bar{X}_n$  और इसकी सीमा $\mu$, जब कारक से गुणा किया जाता है $\sqrt{n}$  ( that is $\sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu)$ ) माध्य 0 और विचरण के साथ सामान्य वितरण का अनुमान लगाता है $\sigma^2$. काफी बड़े के लिए $n$, का वितरण $\bar{X}_n$ माध्य के साथ मनमाने ढंग से सामान्य वितरण के करीब हो जाता है $\mu$  और विचरण $\sigma^2/n$.

प्रमेय की उपयोगिता यह है कि का वितरण $\sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu)$ व्यक्ति के वितरण के आकार की परवाह किए बिना सामान्यता तक पहुँचता है $X_i$. औपचारिक रूप से, प्रमेय को निम्नानुसार कहा जा सकता है:

$$

यदि $\sigma > 0$, वितरण में अभिसरण का अर्थ है कि संचयी वितरण कार्य करता है $\sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu)$ के cdf में बिंदुवार अभिसरण करें $\mathcal{N}(0, \sigma^2)$  वितरण: प्रत्येक वास्तविक के लिए number $z$ , $$\lim_{n\to\infty} \mathbb{P}\left[\sqrt{n}(\bar{X}_n-\mu) \le z\right] = \lim_{n\to\infty} \mathbb{P}\left[\frac{\sqrt{n}(\bar{X}_n-\mu)}{\sigma } \le \frac{z}{\sigma}\right]= \Phi\left(\frac{z}{\sigma}\right) ,$$ कहाँ $\Phi(z)$ मानक सामान्य सीडीएफ मूल्यांकन किया गया है at $z$. अभिसरण एक समान है $z$ इस अर्थ में कि $$\lim_{n\to\infty}\;\sup_{z\in\R}\;\left|\mathbb{P}\left[\sqrt{n}(\bar{X}_n-\mu) \le z\right] - \Phi\left(\frac{z}{\sigma}\right)\right| = 0~,$$ कहाँ $\sup$ सेट के कम से कम ऊपरी बाउंड (या सर्वोच्च) को दर्शाता है।

लायपुनोव सीएलटी
प्रमेय का नाम रूसी गणितज्ञ अलेक्जेंडर लायपुनोव के नाम पर रखा गया है। केंद्रीय सीमा प्रमेय के इस संस्करण में यादृच्छिक चर $X_i$ स्वतंत्र होना चाहिए, लेकिन जरूरी नहीं कि समान रूप से वितरित किया जाए। प्रमेय को भी यादृच्छिक चर की आवश्यकता होती है $\left| X_i\right|$  कुछ क्रम का क्षण (गणित) है $(2+\delta)$, और यह कि इन पलों के विकास की दर नीचे दी गई लायपुनोव स्थिति द्वारा सीमित है।

$$

व्यवहार में आमतौर पर लायपुनोव की स्थिति की जांच करना सबसे आसान होता है $\delta = 1$.

यदि यादृच्छिक चर का एक क्रम लायपुनोव की स्थिति को संतुष्ट करता है, तो यह लिंडबर्ग की स्थिति को भी संतुष्ट करता है। हालांकि, विपरीत निहितार्थ पकड़ में नहीं आता है।

लिंडबर्ग सीएलटी
उसी सेटिंग में और उपरोक्त के समान संकेतन के साथ, लायपुनोव की स्थिति को निम्नलिखित कमजोर (1920 में जारल वाल्डेमर लिंडेबर्ग से) के साथ बदला जा सकता है।

मान लीजिए कि प्रत्येक के लिए $\varepsilon > 0$ $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{s_n^2}\sum_{i = 1}^{n} \mathbb{E}\left[(X_i - \mu_i)^2 \cdot \mathbf{1}_{\left\{X_i : \left| X_i - \mu_i \right| > \varepsilon s_n \right\}} \right] = 0$$ कहाँ $\mathbf{1}_{\{\ldots\}}$ सूचक कार्य है। फिर मानकीकृत रकम का वितरण $$\frac{1}{s_n}\sum_{i = 1}^n \left( X_i - \mu_i \right)$$ मानक सामान्य वितरण की ओर अभिसरण करता है $\mathcal{N}(0, 1)$.

बहुआयामी सीएलटी
विशिष्ट कार्यों का उपयोग करने वाले प्रमाणों को उन मामलों तक बढ़ाया जा सकता है जहां प्रत्येक व्यक्ति $\mathbf{X}_i$ में एक यादृच्छिक सदिश है $\R^k$, मतलब वेक्टर के साथ $\boldsymbol\mu = \mathbb{E}[\mathbf{X}_i]$  और सहप्रसरण मैट्रिक्स $\mathbf{\Sigma}$  (वेक्टर के घटकों के बीच), और ये यादृच्छिक वैक्टर स्वतंत्र और समान रूप से वितरित हैं। इन सदिशों का योग घटकवार किया जा रहा है। बहुआयामी केंद्रीय सीमा प्रमेय में कहा गया है कि जब स्केल किया जाता है, तो योग एक बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण में परिवर्तित हो जाते हैं। होने देना $$\mathbf{X}_i = \begin{bmatrix} X_{i(1)} \\ \vdots \\ X_{i(k)} \end{bmatrix}$$ हो $k$-वेक्टर। बोल्ड इन $\mathbf{X}_i$ इसका अर्थ है कि यह एक यादृच्छिक सदिश है, न कि एक यादृच्छिक (अविभाजित) चर। तब यादृच्छिक सदिशों का योग होगा $$\begin{bmatrix} X_{1(1)} \\ \vdots \\ X_{1(k)} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} X_{2(1)} \\ \vdots \\ X_{2(k)} \end{bmatrix} + \cdots + \begin{bmatrix} X_{n(1)} \\ \vdots \\ X_{n(k)} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sum_{i=1}^{n} \left [ X_{i(1)} \right ] \\ \vdots \\ \sum_{i=1}^{n} \left [ X_{i(k)} \right ] \end{bmatrix} = \sum_{i=1}^{n} \mathbf{X}_i$$ और औसत है $$ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \mathbf{X}_i= \frac{1}{n}\begin{bmatrix} \sum_{i=1}^{n} X_{i(1)} \\ \vdots \\ \sum_{i=1}^{n} X_{i(k)} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \bar X_{i(1)} \\ \vdots \\ \bar X_{i(k)} \end{bmatrix} = \mathbf{\bar X_n}$$ और इसलिए $$\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^{n} \left[ \mathbf{X}_i - \mathbb{E} \left( X_i \right) \right] = \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n} ( \mathbf{X}_i - \boldsymbol\mu ) = \sqrt{n}\left(\overline{\mathbf{X}}_n - \boldsymbol\mu\right)~. $$ बहुभिन्नरूपी केंद्रीय सीमा प्रमेय कहता है कि $$\sqrt{n}\left( \overline{\mathbf{X}}_n - \boldsymbol\mu \right) \,\xrightarrow{D}\ \mathcal{N}_k(0,\boldsymbol\Sigma)$$ जहां सहप्रसरण मैट्रिक्स $$\boldsymbol{\Sigma}$$ के बराबर है $$ \boldsymbol\Sigma = \begin{bmatrix} {\operatorname{Var} \left (X_{1(1)} \right)} & \operatorname{Cov} \left (X_{1(1)},X_{1(2)} \right) & \operatorname{Cov} \left (X_{1(1)},X_{1(3)} \right) & \cdots & \operatorname{Cov} \left (X_{1(1)},X_{1(k)} \right) \\ \operatorname{Cov} \left (X_{1(2)},X_{1(1)} \right) & \operatorname{Var} \left( X_{1(2)} \right) & \operatorname{Cov} \left(X_{1(2)},X_{1(3)} \right) & \cdots & \operatorname{Cov} \left(X_{1(2)},X_{1(k)} \right) \\ \operatorname{Cov}\left (X_{1(3)},X_{1(1)} \right) & \operatorname{Cov} \left (X_{1(3)},X_{1(2)} \right) & \operatorname{Var} \left (X_{1(3)} \right) & \cdots & \operatorname{Cov} \left (X_{1(3)},X_{1(k)} \right) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \operatorname{Cov} \left (X_{1(k)},X_{1(1)} \right) & \operatorname{Cov} \left (X_{1(k)},X_{1(2)} \right) & \operatorname{Cov} \left (X_{1(k)},X_{1(3)} \right) & \cdots & \operatorname{Var} \left (X_{1(k)} \right) \\ \end{bmatrix}~.$$ अभिसरण की दर निम्नलिखित बेरी-एसेन प्रमेय द्वारा दी गई है | बेरी-एसेन प्रकार का परिणाम:

$$

यह अज्ञात है कि क्या कारक है $d^{1/4}$ आवश्यक है।

सामान्यीकृत प्रमेय
केंद्रीय सीमा प्रमेय में कहा गया है कि परिमित भिन्नताओं के साथ कई स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का योग एक सामान्य वितरण की ओर अग्रसर होगा क्योंकि चर की संख्या बढ़ती है। बोरिस व्लादिमीरोविच गेदेंको और एंड्री निकोलाइविच कोलमोगोरोव के कारण एक सामान्यीकरण बताता है कि पावर-लॉ टेल (पारेतो वितरण) वितरण के साथ कई यादृच्छिक चर का योग घटता है ${|x|}^{-\alpha-1}$ कहाँ $0 < \alpha < 2$  (और इसलिए अनंत विचरण) एक स्थिर वितरण की ओर प्रवृत्त होगा $f(x; \alpha, 0, c, 0)$  जैसे-जैसे योगों की संख्या बढ़ती है। अगर $\alpha > 2$  तो योग 2 के बराबर स्थिरता पैरामीटर के साथ एक स्थिर वितरण में परिवर्तित हो जाता है, अर्थात गॉसियन वितरण।

कमजोर निर्भरता के तहत सीएलटी
स्वतंत्र, समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर के अनुक्रम का एक उपयोगी सामान्यीकरण असतत समय में एक मिश्रण (गणित) यादृच्छिक प्रक्रिया है; मिश्रण का अर्थ है, मोटे तौर पर, यादृच्छिक चर अस्थायी रूप से एक दूसरे से दूर लगभग स्वतंत्र हैं। एर्गोडिक सिद्धांत और संभाव्यता सिद्धांत में कई प्रकार के मिश्रण का उपयोग किया जाता है। विशेष रूप से मिक्सिंग (गणित) देखें # स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं में मिश्रण (जिसे α-मिक्सिंग भी कहा जाता है) द्वारा परिभाषित $\alpha(n) \to 0$ कहाँ $\alpha(n)$  तथाकथित मिक्सिंग (गणित) # स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं में मिश्रण।

मजबूत मिश्रण के तहत केंद्रीय सीमा प्रमेय का एक सरल सूत्रीकरण है:

$$

वास्तव में, $$\sigma^2 = \mathbb{E}\left(X_1^2\right) + 2 \sum_{k=1}^{\infty} \mathbb{E}\left(X_1 X_{1+k}\right),$$ जहां श्रृंखला पूरी तरह से अभिसरण करती है।

कल्पना $\sigma \ne 0$ छोड़ा नहीं जा सकता, क्योंकि स्पर्शोन्मुख सामान्यता विफल हो जाती है $X_n = Y_n - Y_{n-1}$  कहाँ $Y_n$  एक अन्य स्थिर क्रम हैं।

प्रमेय का एक मजबूत संस्करण है: कल्पना $\mathbb{E}\left[{X_n}^{12}\right] < \infty$ से प्रतिस्थापित किया जाता है $\mathbb{E}\left[{\left और धारणा $\alpha_n = O\left(n^{-5}\right) $  से प्रतिस्थापित किया जाता है $$\sum_n \alpha_n^{\frac\delta{2(2+\delta)}} < \infty.$$ ऐसे का अस्तित्व $\delta > 0$ निष्कर्ष सुनिश्चित करता है। मिश्रण स्थितियों के तहत सीमा प्रमेय के विश्वकोषीय उपचार के लिए देखें.

ज़रेबंद अंतर CLT
$$

शास्त्रीय सीएलटी
का प्रमाण केंद्रीय सीमा प्रमेय में अभिलाक्षणिक फलन (संभाव्यता सिद्धांत) का उपयोग करते हुए एक प्रमाण है। यह बड़ी संख्या के कानून के (कमजोर) प्रमाण के प्रमाण के समान है।

मान लीजिए $\{X_1, \ldots, X_n, \ldots \}$ स्वतंत्र हैं और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर हैं, प्रत्येक माध्य के साथ $\mu$  और परिमित विचरण $\sigma^2$. योग $X_1 + \cdots + X_n$ अपेक्षा की रैखिकता है $n\mu$  और प्रसरण#असहसंबद्ध चरों का योग (Bienaymé सूत्र) $n\sigma^2$. यादृच्छिक चर पर विचार करें $$Z_n = \frac{X_1+\cdots+X_n - n \mu}{\sqrt{n \sigma^2}} = \sum_{i=1}^n \frac{X_i - \mu}{\sqrt{n \sigma^2}} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{n}} Y_i,$$ जहां अंतिम चरण में हमने नए यादृच्छिक चर परिभाषित किए $Y_i = \frac{X_i - \mu}{\sigma} $, प्रत्येक शून्य माध्य और इकाई विचरण के साथ ($\operatorname{var}(Y) = 1$ ). की विशेषता समारोह (संभावना सिद्धांत)। $Z_n$ द्वारा दिया गया है $$\varphi_{Z_n}\!(t) = \varphi_{\sum_{i=1}^n {\frac{1}{\sqrt{n}}Y_i}}\!(t) \ =\ \varphi_{Y_1}\!\!\left(\frac{t}{\sqrt{n}}\right) \varphi_{Y_2}\!\! \left(\frac{t}{\sqrt{n}}\right)\cdots \varphi_{Y_n}\!\! \left(\frac{t}{\sqrt{n}}\right) \ =\ \left[\varphi_{Y_1}\!\!\left(\frac{t}{\sqrt{n}}\right)\right]^n, $$ जहां अंतिम चरण में हमने इस तथ्य का उपयोग किया कि सभी $Y_i$ समान रूप से वितरित हैं। की विशेषता कार्य $Y_1$  टेलर के प्रमेय द्वारा है, $$\varphi_{Y_1}\!\left(\frac{t}{\sqrt{n}}\right) = 1 - \frac{t^2}{2n} + o\!\left(\frac{t^2}{n}\right), \quad \left(\frac{t}{\sqrt{n}}\right) \to 0$$ कहाँ $o(t^2 / n)$ इज लिटिल-ओ नोटेशन|लिटिल $o$ के कुछ कार्य के लिए संकेतन $t$  से अधिक तेजी से शून्य हो जाता है $t^2 / n$. चरघातांकी फलन की सीमा से ($e^x = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n$ ), की विशेषता कार्य $$Z_n$$ के बराबर होती है $$\varphi_{Z_n}(t) = \left(1 - \frac{t^2}{2n} + o\left(\frac{t^2}{n}\right) \right)^n \rightarrow e^{-\frac{1}{2} t^2}, \quad n \to \infty.$$ उच्च आदेश की सभी शर्तें सीमा में गायब हो जाती हैं $n\to\infty$. दाहिने हाथ की ओर एक मानक सामान्य बंटन के अभिलाक्षणिक फलन के बराबर है $\mathcal{N}(0, 1)$, जिसका तात्पर्य लेवी निरंतरता प्रमेय | लेवी की निरंतरता प्रमेय के माध्यम से है कि वितरण $Z_n$ संपर्क करेगा $\mathcal{N}(0,1)$  जैसा $n\to\infty$. इसलिए, नमूना मतलब $$\bar{X}_n = \frac{X_1+\cdots+X_n}{n}$$ इस प्रकार कि $$\frac{\sqrt{n}}{\sigma}(\bar{X}_n - \mu)$$ सामान्य वितरण में परिवर्तित हो जाता है $\mathcal{N}(0, 1)$, जिससे केंद्रीय सीमा प्रमेय अनुसरण करता है।

सीमा तक अभिसरण
केंद्रीय सीमा प्रमेय केवल एक स्पर्शोन्मुख वितरण देता है। प्रेक्षणों की परिमित संख्या के लिए सन्निकटन के रूप में, यह सामान्य वितरण के शिखर के करीब होने पर ही एक उचित सन्निकटन प्रदान करता है; पूंछ में खिंचाव के लिए इसे बहुत बड़ी संख्या में अवलोकन की आवश्यकता होती है।

केंद्रीय सीमा प्रमेय में अभिसरण एक समान अभिसरण है क्योंकि सीमित संचयी वितरण कार्य निरंतर है। यदि तीसरा केंद्रीय क्षण (गणित) $\operatorname{E}\left[(X_1 - \mu)^3\right]$ मौजूद है और परिमित है, तो अभिसरण की गति कम से कम के क्रम में है $1 / \sqrt{n}$  (बेरी-एसेन प्रमेय देखें)। स्टीन की विधि इसका उपयोग न केवल केंद्रीय सीमा प्रमेय को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है, बल्कि चयनित मेट्रिक्स के लिए अभिसरण की दरों पर सीमा प्रदान करने के लिए भी किया जा सकता है। सामान्य वितरण का अभिसरण मोनोटोनिक है, इस अर्थ में कि सूचना की एन्ट्रापी $Z_n$ सामान्य वितरण के मोनोटोनिक फ़ंक्शन को बढ़ाता है।

केंद्रीय सीमा प्रमेय विशेष रूप से स्वतंत्र और समान रूप से वितरित असतत यादृच्छिक चर के योग पर लागू होता है। असतत यादृच्छिक चर का योग अभी भी एक असतत यादृच्छिक चर है, ताकि हम असतत यादृच्छिक चर के एक अनुक्रम के साथ सामना कर सकें, जिसका संचयी संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन एक सतत चर (अर्थात् सामान्य वितरण का) के अनुरूप संचयी संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन की ओर अभिसरण करता है।. इसका मतलब यह है कि अगर हम योग की प्राप्ति का हिस्टोग्राम बनाते हैं $n$ स्वतंत्र समान असतत चर, वह वक्र जो हिस्टोग्राम बनाने वाले आयतों के ऊपरी चेहरों के केंद्रों से जुड़ता है, गॉसियन वक्र की ओर अभिसरण करता है $n$ अनंत तक पहुंचता है, इस संबंध को डी मोइवर-लाप्लास प्रमेय के रूप में जाना जाता है। द्विपद वितरण लेख में असतत चर के साधारण मामले में केवल दो संभावित मान लेने वाले केंद्रीय सीमा प्रमेय के ऐसे अनुप्रयोग का विवरण दिया गया है।

बड़ी संख्या के नियम से संबंध
बड़ी संख्या के कानून के साथ-साथ केंद्रीय सीमा प्रमेय एक सामान्य समस्या का आंशिक समाधान है: का सीमित व्यवहार क्या है $n → ∞$ जैसा $n$ अनंत तक पहुंचता है? गणितीय विश्लेषण में, स्पर्शोन्मुख श्रृंखला ऐसे प्रश्नों को हल करने के लिए नियोजित सबसे लोकप्रिय उपकरणों में से एक है।

मान लीजिए कि हमारे पास एक स्पर्शोन्मुख विस्तार है $f(n)$ : $$f(n)= a_1 \varphi_{1}(n)+a_2 \varphi_{2}(n)+O\big(\varphi_{3}(n)\big) \qquad (n \to \infty).$$ द्वारा दोनों भागों को विभाजित करना $ε > 0$ और सीमा लेने से उत्पादन होगा $n → ∞$, विस्तार में उच्चतम-क्रम अवधि का गुणांक, जो उस दर का प्रतिनिधित्व करता है जिस पर $S_{n}$ इसके प्रमुख कार्यकाल में परिवर्तन। $$\lim_{n\to\infty} \frac{f(n)}{\varphi_{1}(n)} = a_1.$$ अनौपचारिक रूप से, कोई कह सकता है:$φ_{1}(n)$ लगभग बढ़ता है $a_{1}$. के बीच का अंतर लेना $f(n)$ और इसका सन्निकटन और फिर विस्तार में अगले पद से विभाजित करने पर, हम इसके बारे में अधिक परिष्कृत कथन पर पहुँचते हैं $f(n)$: $$\lim_{n\to\infty} \frac{f(n)-a_1 \varphi_{1}(n)}{\varphi_{2}(n)} = a_2 .$$ यहाँ कोई कह सकता है कि फलन और उसके सन्निकटन के बीच का अंतर लगभग बढ़ता है $a_{1}φ_{1}(n)$. विचार यह है कि फ़ंक्शन को उपयुक्त सामान्यीकृत फ़ंक्शंस द्वारा विभाजित करना, और परिणाम के सीमित व्यवहार को देखते हुए, हमें मूल फ़ंक्शन के सीमित व्यवहार के बारे में बहुत कुछ बता सकता है।

अनौपचारिक रूप से, इस प्रकार कुछ घटित होता है जब योग, $S_{n}$, स्वतंत्र समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर के, $f(n)$, शास्त्रीय संभाव्यता सिद्धांत में अध्ययन किया जाता है। यदि प्रत्येक $X_{i}$ का परिमित माध्य है $μ$, फिर बड़ी संख्या के कानून द्वारा, $f(n)$. यदि इसके अतिरिक्त प्रत्येक $X_{i}$ परिमित विचरण है $a_{2}φ_{2}(n)$, फिर केंद्रीय सीमा प्रमेय द्वारा, $$ \frac{S_n-n\mu}{\sqrt{n}} \to \xi ,$$ कहाँ $ξ$ के रूप में वितरित किया जाता है $X_{1}, ..., X_{n}$. यह अनौपचारिक विस्तार में पहले दो स्थिरांकों के मान प्रदान करता है $$S_n \approx \mu n+\xi \sqrt{n}. $$ ऐसे मामले में जहां $X_{i}$ का कोई परिमित माध्य या प्रसरण नहीं है, शिफ्ट किए गए और पुनर्वर्धित योग का अभिसरण भी विभिन्न केंद्रित और स्केलिंग कारकों के साथ हो सकता है: $$\frac{S_n-a_n}{b_n} \rightarrow \Xi,$$ या अनौपचारिक रूप से $$S_n \approx a_n+\Xi b_n. $$ वितरण $S_{n}⁄n → μ$ जो इस तरह से उत्पन्न हो सकते हैं उन्हें स्थिर वितरण कहा जाता है। स्पष्ट रूप से, सामान्य वितरण स्थिर है, लेकिन अन्य स्थिर वितरण भी हैं, जैसे कॉची वितरण, जिसके लिए माध्य या प्रसरण परिभाषित नहीं हैं। स्केलिंग कारक $b_{n}$ के समानुपाती हो सकता है $n^{c}$, किसी के लिए $σ^{2}$; इसे धीरे-धीरे बदलते कार्य से गुणा भी किया जा सकता है $n$. पुनरावृत्त लघुगणक का नियम निर्दिष्ट करता है कि बड़ी संख्या के नियम और केंद्रीय सीमा प्रमेय के बीच क्या हो रहा है। विशेष रूप से यह कहता है कि सामान्यीकृत कार्य $N(0,σ^{2})$, बीच के आकार में $n$ बड़ी संख्या के कानून की और √n}केंद्रीय सीमा प्रमेय का }, एक गैर-तुच्छ सीमित व्यवहार प्रदान करता है।

घनत्व कार्य
दो या दो से अधिक स्वतंत्र चरों के योग का प्रायिकता घनत्व फलन उनके घनत्वों का कनवल्शन है (यदि ये घनत्व मौजूद हैं)। इस प्रकार केंद्रीय सीमा प्रमेय को कनवल्शन के तहत घनत्व कार्यों के गुणों के बारे में एक बयान के रूप में व्याख्या किया जा सकता है: कई घनत्व कार्यों का कनवल्शन सामान्य घनत्व की ओर जाता है क्योंकि घनत्व कार्यों की संख्या बिना बाध्यता के बढ़ जाती है। इन प्रमेयों को ऊपर दिए गए केंद्रीय सीमा प्रमेय के रूपों की तुलना में मजबूत परिकल्पनाओं की आवश्यकता होती है। इस प्रकार के प्रमेयों को अक्सर स्थानीय सीमा प्रमेय कहा जाता है। पेट्रोव देखें स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर के योग के लिए एक विशेष स्थानीय सीमा प्रमेय के लिए।

विशेषता कार्य
चूंकि कनवल्शन का अभिलाक्षणिक फलन (संभाव्यता सिद्धांत) शामिल घनत्वों के अभिलाक्षणिक कार्यों का गुणनफल है, केंद्रीय सीमा प्रमेय का एक और पुनर्कथन है: कई घनत्व फलनों के अभिलाक्षणिक कार्यों का गुणनफल अभिलक्षणिक फलन के करीब हो जाता है सामान्य घनत्व के रूप में घनत्व कार्यों की संख्या बिना बाध्यता के बढ़ जाती है, ऊपर बताई गई शर्तों के तहत। विशेष रूप से, विशेषता फ़ंक्शन के तर्क पर उचित स्केलिंग कारक लागू करने की आवश्यकता है।

फूरियर रूपांतरण के बारे में एक समान बयान दिया जा सकता है, क्योंकि विशिष्ट कार्य अनिवार्य रूप से फूरियर रूपांतरण है।

विचरण की गणना
होने देना $S_{n}$ का योग हो $n$ यादृच्छिक चर। कई केंद्रीय सीमा प्रमेय ऐसी स्थितियाँ प्रदान करते हैं $Ξ$ वितरण में अभिसरण करता है $c ≥ 1⁄2$ (मतलब 0, विचरण 1 के साथ सामान्य वितरण) के रूप में $√n log log n$. कुछ मामलों में, एक स्थिरांक खोजना संभव है $S_{n}/√Var(S_{n})$ और कार्य $f(n)$ ऐसा है कि $N(0,1)$ वितरण में अभिसरण करता है $n → ∞$ जैसा $σ^{2}$.

$$

सकारात्मक यादृच्छिक चर के उत्पाद
किसी उत्पाद का लघुगणक केवल कारकों के लघुगणक का योग है। इसलिए, जब यादृच्छिक चर के एक उत्पाद का लघुगणक जो केवल सकारात्मक मान लेता है, सामान्य वितरण तक पहुंचता है, उत्पाद स्वयं एक लॉग-सामान्य वितरण तक पहुंचता है। कई भौतिक मात्राएं (विशेष रूप से द्रव्यमान या लंबाई, जो पैमाने का विषय हैं और नकारात्मक नहीं हो सकती हैं) विभिन्न यादृच्छिक कारकों के उत्पाद हैं, इसलिए वे लॉग-सामान्य वितरण का पालन करते हैं। केंद्रीय सीमा प्रमेय के इस गुणात्मक संस्करण को कभी-कभी जिब्रत का नियम कहा जाता है।

जबकि यादृच्छिक चर के योग के लिए केंद्रीय सीमा प्रमेय को परिमित विचरण की स्थिति की आवश्यकता होती है, उत्पादों के लिए संबंधित प्रमेय को इसी स्थिति की आवश्यकता होती है कि घनत्व फ़ंक्शन वर्ग-पूर्णांक हो।

शास्त्रीय ढांचे से परे
स्पर्शोन्मुख सामान्यता, अर्थात्, उचित बदलाव और पुनर्विक्रय के बाद सामान्य वितरण में वितरण में अभिसरण, एक ऐसी घटना है जो ऊपर वर्णित शास्त्रीय ढांचे की तुलना में कहीं अधिक सामान्य है, अर्थात् स्वतंत्र यादृच्छिक चर (या वैक्टर) की रकम। समय-समय पर नए ढांचे सामने आते हैं; अभी के लिए कोई एकल एकीकृत ढांचा उपलब्ध नहीं है।

उत्तल शरीर
$$

ये दोनों $ε_{n}$-निकट वितरण में घनत्व होता है (वास्तव में, लॉग-अवतल घनत्व), इस प्रकार, उनके बीच कुल विचरण दूरी घनत्व के अंतर के निरपेक्ष मान का अभिन्न अंग है। कुल भिन्नता में अभिसरण कमजोर अभिसरण से अधिक मजबूत होता है।

लॉग-अवतल घनत्व का एक महत्वपूर्ण उदाहरण एक दिए गए उत्तल शरीर के भीतर स्थिर और बाहर गायब होने वाला कार्य है; यह उत्तल पिंड पर समान वितरण से मेल खाता है, जो उत्तल पिंडों के लिए शब्द केंद्रीय सीमा प्रमेय की व्याख्या करता है।

एक और उदाहरण: $S_{n}/(σ√n⋅f(n))$ कहाँ $N(0,1)$ और $n→ ∞$. अगर $ε_{n} ↓ 0$ तब $n ≥ 1$ में गुणनखंड करता है $X_{1}, ..., X_{n}$ मतलब $f(x_{1}, ..., x_{n}) = f(|x_{1}|, ..., |x_{n}|)$ स्वतंत्र हैं। हालांकि, सामान्य तौर पर, वे निर्भर हैं।

स्थिति $x_{1}, ..., x_{n}$ निश्चित करता है की $E(X2 k) = 1$ शून्य माध्य और असंबद्ध हैं; अभी भी, उन्हें स्वतंत्र होने की आवश्यकता नहीं है, न ही जोड़ीदार स्वतंत्रता भी। वैसे, शास्त्रीय केंद्रीय सीमा प्रमेय में जोड़ीदार स्वतंत्रता स्वतंत्रता को प्रतिस्थापित नहीं कर सकती है। यहाँ एक बेरी-एस्सेन प्रमेय है|बेरी-एस्सेन प्रकार का परिणाम।

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का वितरण $k = 1, ..., n$ लगभग सामान्य होने की आवश्यकता नहीं है (वास्तव में, यह एक समान हो सकता है)। हालांकि, का वितरण $f(x_{1}, ..., x_{n}) = const · exp(−(|x_{1}|^{α} + ⋯ + |x_{n}|^{α})^{β})$ इसके करीब है $ \mathcal{N}(0, 1)$ (कुल भिन्नता दूरी में) अधिकांश वैक्टरों के लिए $α > 1$ गोले पर समान वितरण के अनुसार $αβ > 1$.

स्थान त्रिकोणमितीय श्रृंखला
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गाऊसी पॉलीटोप्स
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यही 2 से बड़े सभी आयामों में भी लागू होता है।

उत्तल पॉलीटॉप $K_{n}$ को गॉसियन रैंडम पॉलीटॉप कहा जाता है।

एक समान परिणाम शीर्षों की संख्या (गाऊसी पॉलीटॉप के), किनारों की संख्या और वास्तव में, सभी आयामों के चेहरों के लिए होता है।

ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस के रैखिक कार्य
मैट्रिक्स का एक रैखिक कार्य $β = 1$ इसके तत्वों का एक रैखिक संयोजन है (दिए गए गुणांकों के साथ), $f(x_{1}, ..., x_{n})$ कहाँ $const · exp (−|x_{1}|^{α}) … exp(−|x_{n}|^{α}),$ गुणांकों का मैट्रिक्स है; ट्रेस (रैखिक बीजगणित)#आंतरिक उत्पाद देखें।

एक यादृच्छिक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स को समान रूप से वितरित किया जाता है, यदि इसका वितरण ऑर्थोगोनल समूह पर सामान्यीकृत हार माप है $X_{1}, ..., X_{n}$; रोटेशन मैट्रिक्स#यूनिफ़ॉर्म रैंडम रोटेशन मैट्रिक्स देखें।

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अनुवर्ती
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एक क्रिस्टल जाली पर यादृच्छिक चलना
केंद्रीय सीमा प्रमेय को एक क्रिस्टल जाली (एक परिमित ग्राफ पर ग्राफ को कवर करने वाला एक अनंत-गुना एबेलियन) पर सरल यादृच्छिक चलने के लिए स्थापित किया जा सकता है, और क्रिस्टल संरचनाओं के डिजाइन के लिए उपयोग किया जाता है।

अनुप्रयोग और उदाहरण
केंद्रीय सीमा प्रमेय का एक सरल उदाहरण कई समान, निष्पक्ष पासा फेंकना है। रोल किए गए नंबरों के योग (या औसत) का वितरण सामान्य वितरण द्वारा अच्छी तरह अनुमानित होगा। चूँकि वास्तविक दुनिया की मात्राएँ अक्सर कई अनदेखे यादृच्छिक घटनाओं का संतुलित योग होती हैं, केंद्रीय सीमा प्रमेय भी सामान्य संभाव्यता वितरण की व्यापकता के लिए आंशिक स्पष्टीकरण प्रदान करता है। यह नियंत्रित प्रयोगों में सामान्य वितरण के लिए बड़े-नमूना आँकड़ों के सन्निकटन को भी सही ठहराता है।





प्रतिगमन
प्रतिगमन विश्लेषण और विशेष रूप से सामान्य कम से कम वर्ग निर्दिष्ट करते हैं कि एक आश्रित चर एक या एक से अधिक स्वतंत्र चर पर निर्भर करता है, एक योगात्मक त्रुटियों और आंकड़ों में अवशिष्ट के साथ। प्रतिगमन पर विभिन्न प्रकार के सांख्यिकीय निष्कर्ष मानते हैं कि त्रुटि शब्द सामान्य रूप से वितरित किया जाता है। इस धारणा को यह मानकर उचित ठहराया जा सकता है कि त्रुटि शब्द वास्तव में कई स्वतंत्र त्रुटि शर्तों का योग है; भले ही व्यक्तिगत त्रुटि शर्तों को सामान्य रूप से वितरित नहीं किया जाता है, केंद्रीय सीमा प्रमेय द्वारा उनकी राशि को सामान्य वितरण द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित किया जा सकता है।

अन्य उदाहरण
सांख्यिकी के महत्व को देखते हुए, कई पेपर और कंप्यूटर पैकेज उपलब्ध हैं जो केंद्रीय सीमा प्रमेय में शामिल अभिसरण को प्रदर्शित करते हैं।

इतिहास
डच गणितज्ञ हेंक टिम्स  लिखते हैं:

"The central limit theorem has an interesting history. The first version of this theorem was postulated by the French-born mathematician Abraham de Moivre who, in a remarkable article published in 1733, used the normal distribution to approximate the distribution of the number of heads resulting from many tosses of a fair coin. This finding was far ahead of its time, and was nearly forgotten until the famous French mathematician Pierre-Simon Laplace rescued it from obscurity in his monumental work Théorie analytique des probabilités, which was published in 1812. Laplace expanded De Moivre's finding by approximating the binomial distribution with the normal distribution. But as with De Moivre, Laplace's finding received little attention in his own time. It was not until the nineteenth century was at an end that the importance of the central limit theorem was discerned, when, in 1901, Russian mathematician Aleksandr Lyapunov defined it in general terms and proved precisely how it worked mathematically. Nowadays, the central limit theorem is considered to be the unofficial sovereign of probability theory."

सर फ्रांसिस गैल्टन  ने केंद्रीय सीमा प्रमेय का इस प्रकार वर्णन किया:

"I know of scarcely anything so apt to impress the imagination as the wonderful form of cosmic order expressed by the "Law of Frequency of Error". The law would have been personified by the Greeks and deified, if they had known of it. It reigns with serenity and in complete self-effacement, amidst the wildest confusion. The huger the mob, and the greater the apparent anarchy, the more perfect is its sway. It is the supreme law of Unreason. Whenever a large sample of chaotic elements are taken in hand and marshalled in the order of their magnitude, an unsuspected and most beautiful form of regularity proves to have been latent all along."

वास्तविक शब्द केंद्रीय सीमा प्रमेय (जर्मन में: जेंट्रालर ग्रेनज़वर्ट्सत्ज़) का पहली बार जॉर्ज पोल्या द्वारा 1920 में एक पेपर के शीर्षक में उपयोग किया गया था। संभाव्यता सिद्धांत में इसके महत्व के कारण पोल्या ने प्रमेय को केंद्रीय कहा। ले कैम के अनुसार, संभाव्यता का फ्रांसीसी स्कूल केंद्रीय शब्द की व्याख्या इस अर्थ में करता है कि यह वितरण के केंद्र के व्यवहार को उसकी पूंछ के विपरीत बताता है। पेपर का सार संभाव्यता की गणना की केंद्रीय सीमा प्रमेय और पलों की समस्या पोल्या द्वारा 1920 में निम्नानुसार अनुवाद करता है।

"The occurrence of the Gaussian probability density $f(x_{1}, ..., x_{n}) = f(|x_{1}|, ..., |x_{n}|)$ in repeated experiments, in errors of measurements, which result in the combination of very many and very small elementary errors, in diffusion processes etc., can be explained, as is well-known, by the very same limit theorem, which plays a central role in the calculus of probability. The actual discoverer of this limit theorem is to be named Laplace; it is likely that its rigorous proof was first given by Tschebyscheff and its sharpest formulation can be found, as far as I am aware of, in an article by Liapounoff. ..."

प्रमेय के इतिहास का एक विस्तृत विवरण, लाप्लास के मूलभूत कार्य के साथ-साथ ऑगस्टिन-लुई कॉची, फ्रेडरिक बेसेल और सिमोन डेनिस पॉइसन के योगदान का विवरण हल्द द्वारा प्रदान किया गया है। दो ऐतिहासिक वृत्तांत, एक लैपलेस से कॉची तक के विकास को कवर करता है, दूसरा रिचर्ड वॉन मिसेस, जॉर्ज पोल्या | पोल्या, जारल वाल्डेमर लिंडेबर्ग, पॉल लेवी (गणितज्ञ) | लेवी, और हेराल्ड क्रैमर | क्रैमर द्वारा 1920 के दशक के दौरान योगदान दिया गया है। हंस फिशर द्वारा। ले कैम 1935 के आसपास की अवधि का वर्णन करता है। बर्नस्टीन Pafnuty Chebyshev और उनके छात्रों Andrey Markov और Aleksandr Lyapunov के काम पर ध्यान केंद्रित करने वाली एक ऐतिहासिक चर्चा प्रस्तुत करता है जिसने सामान्य सेटिंग में CLT के पहले प्रमाणों को जन्म दिया।

सेंट्रल लिमिट प्रमेय के इतिहास के लिए एक जिज्ञासु फुटनोट यह है कि 1922 के लिंडबर्ग सीएलटी के समान एक परिणाम का प्रमाण किंग्स कॉलेज, कैम्ब्रिज के लिए एलन ट्यूरिंग के 1934 फैलोशिप शोध प्रबंध का विषय था। कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय में किंग्स कॉलेज। काम जमा करने के बाद ही ट्यूरिंग को पता चला कि यह पहले ही साबित हो चुका है। नतीजतन, ट्यूरिंग का शोध प्रबंध प्रकाशित नहीं हुआ था।

यह भी देखें

 * स्पर्शोन्मुख समविभाजन संपत्ति
 * स्पर्शोन्मुख वितरण
 * बेट्स वितरण
 * बेनफोर्ड का कानून - यादृच्छिक चर के उत्पाद के लिए सीएलटी के विस्तार का परिणाम।
 * बेरी-एसेन प्रमेय
 * दिशात्मक आँकड़ों के लिए केंद्रीय सीमा प्रमेय - दिशात्मक आँकड़ों के मामले में केंद्रीय सीमा प्रमेय लागू होता है
 * डेल्टा पद्धति - एक यादृच्छिक चर के एक समारोह के सीमा वितरण की गणना करने के लिए।
 * एर्डोस-केएसी प्रमेय - एक पूर्णांक के प्रमुख कारकों की संख्या को सामान्य संभाव्यता वितरण के साथ जोड़ता है
 * फिशर-टिपेट-गनेडेन्को प्रमेय - चरम मूल्यों के लिए सीमा प्रमेय (जैसे $X_{1}, ..., X_{n}$)
 * इरविन-हॉल वितरण
 * मार्कोव श्रृंखला केंद्रीय सीमा प्रमेय
 * सामान्य वितरण
 * ट्वीडी वितरण - एक प्रमेय जिसे केंद्रीय सीमा प्रमेय और प्वासों अभिसरण प्रमेय के बीच पाटने के लिए माना जा सकता है

बाहरी संबंध

 * Central Limit Theorem at Khan Academy
 * A music video demonstrating the central limit theorem with a Galton board by Carl McTague
 * A music video demonstrating the central limit theorem with a Galton board by Carl McTague
 * A music video demonstrating the central limit theorem with a Galton board by Carl McTague