लाई (lie) बीजगणित

गणित में, एक लाई बीजगणित (उच्चारण ) एक सदिश स्थान है $$\mathfrak g$$ एक साथ एक द्वि-आधारी संक्रिया के साथ जिसे लाई कोष्ठक कहा जाता है, एक वैकल्पिक बहुरेखीय मानचित्र  $$\mathfrak g \times \mathfrak g \rightarrow \mathfrak g$$, जो जैकोबी समरूपता को संतुष्ट करता है। दो सदिशों का लाई कोष्ठक $$x$$ तथा $$y$$ निरूपित किया जाता है $$[x,y]$$। सदिश स्थान $$\mathfrak g$$ और यह संक्रिया एक गैर-सहयोगी बीजगणित है, जिसका अर्थ है कि लाइ कोष्ठक आवश्यक रूप से साहचर्य संपत्ति नहीं है।

लाई बीजगणित लाई समूह से निकटता से संबंधित हैं, जो ऐसे समूह (गणित) हैं जो चिकने विविध भी हैं: कोई लाई समूह लाई बीजगणित को जन्म देता है, जो समरूपता पर इसकी स्पर्शरेखा स्थान है। इसके विपरीत, वास्तविक या जटिल संख्याओं पर किसी भी परिमित-आयामी लाई बीजगणित के लिए, एक संबंधित संयोजित स्थान लाई समूह होता है जो परिमित आवरण (ली का तीसरा प्रमेय) तक अद्वितीय होता है। यह पत्राचार लाई बीजगणित के संदर्भ में लाई समूहों की संरचना और वर्गीकरण का अध्ययन करने की अनुमति देता है।

भौतिक विज्ञान में, लाई समूह भौतिक प्रणालियों के समरूपता समूहों के रूप में प्रकट होते हैं, और उनके लाई बीजगणित (समरूपता के निकट स्पर्शरेखा सदिश) को अतिसूक्ष्म समरूपता गति के रूप में माना जा सकता है। इस प्रकार बीजगणित और उनके निरूपण भौतिकी में बड़े पैमाने पर उपयोग किए जाते हैं, विशेष रूप से क्वांटम यांत्रिकी और कण भौतिकी में।

एक प्राथमिक उदाहरण तीन आयामी सदिश का स्थान है $$\mathfrak{g}=\mathbb{R}^3$$ क्रॉस उत्पाद द्वारा परिभाषित कोष्ठक संक्रिया के साथ $$[x,y]=x\times y.$$ यह तिरछा-सममित है $$x\times y = -y\times x$$, और सहयोगीता के अतिरिक्त यह जैकोबी समरूपता को संतुष्ट करता है:
 * $$ x\times(y\times z) \ =\ (x\times y)\times z \ +\ y\times(x\times z). $$

यह स्थान के घूर्णन के लाई समूह का लाई बीजगणित है,और प्रत्येक सदिश $$v\in\R^3$$ को अक्ष $$v$$ के चारों ओर एक अतिसूक्ष्म घुमाव के रूप में चित्रित किया जा सकता है, $$v$$ के परिमाण के बराबर वेग के साथ। लाइ कोष्ठक दो घुमावों के बीच गैर-क्रमविनिमेयता का एक उपाय है: चूँकि एक घूर्णन अपने साथ चलता है, हमारे पास वैकल्पिक संपत्ति $$[x,x]=x\times x = 0$$ है।

इतिहास
1870 के दशक में सोफस लाई द्वारा अत्यल्प परिवर्तनों की अवधारणा का अध्ययन करने के लिए लाई बीजगणित की शुरुआत की गई थी, और स्वतंत्र रूप से 1880 के दशक में विल्हेम किलिंग द्वारा खोजा गया । लाई बीजगणित नाम 1930 के दशक में हरमन वेइल द्वारा दिया गया था; पुराने ग्रंथों में, शब्द अत्यल्प समूह का प्रयोग किया जाता है।

एक लाई बीजगणित की परिभाषा
लाई बीजगणित एक सदिश समष्टि है $$\,\mathfrak{g}$$ किसी क्षेत्र में (गणित) $$F$$ एक साथ एक बाइनरी संक्रिया के साथ $$[\,\cdot\,,\cdot\,]: \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}$$ निम्नलिखित अभिगृहीतों को संतुष्ट करने वाला लाइ कोष्ठक कहलाता है:
 * द्विरेखीयता संचालक,
 * $$ [a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z], $$
 * $$ [z, a x + b y] = a[z, x] + b [z, y] $$
 * सभी स्केलर्स के लिए $$a$$, $$b$$ में $$F$$ और सभी तत्व $$x$$,$$y$$,$$z$$में $$\mathfrak{g}$$।


 * वैकल्पिककरण,
 * $$ [x,x]=0\ $$
 * सभी के लिए $$x$$ में $$\mathfrak{g}$$।


 * जैकोबी समरूपता,
 * $$ [x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = 0 \ $$
 * सभी के लिए $$x$$,$$y$$,$$z$$में $$\mathfrak{g}$$।

लाई कोष्ठक $$ [x+y,x+y] $$ का विस्तार करने के लिए द्विरेखीयता का उपयोग करना और वैकल्पिकता का उपयोग करना दर्शाता है कि $$ [x,y] + [y,x]=0\ $$ सभी तत्वों के लिए  $$x$$,$$y$$में $$\mathfrak{g}$$, यह दर्शाता है कि द्विरेखीयता और वैकल्पिकता का एक साथ अर्थ है
 * अनुगामी,
 * $$ [x,y] = -[y,x],\ $$ : सभी तत्वों के लिए $$x$$,$$y$$में $$\mathfrak{g}$$। यदि क्षेत्र की विशेषता (बीजगणित) 2 नहीं है, तो अनुगामी का अर्थ वैकल्पिकता है, क्योंकि इसका तात्पर्य है $$[x,x]=-[x,x].$$

लाई बीजगणित को न्यून- स्थिति फ़्रेक्टुर अक्षर जैसे $$\mathfrak{g, h, b, n}$$ से निरूपित करने की प्रथा है यदि एक लाई बीजगणित एक लाई समूह से जुड़ा हुआ है, तो बीजगणित को समूह के फ़्रेक्टुर संस्करण द्वारा दर्शाया जाता है: उदाहरण के लिए विशेष एकात्मक समूह का लाईा बीजगणित एसयू (एन) $$\mathfrak{su}(n)$$ है|

जनित्र और आयाम
लाई बीजगणित के तत्व $$\mathfrak{g}$$ इसे जनित्र (गणित) कहा जाता है यदि इन तत्वों से युक्त सबसे छोटा उपबीजगणित $$\mathfrak{g}$$ है। लाई बीजगणित का आयाम सदिश स्थान के रूप में इसका आयाम $$F$$ है। लाई बीजगणित के न्यूनतम उत्पादक समूह की प्रमुखता हमेशा इसके आयाम से कम या उसके बराबर होती है।

अन्य छोटे उदाहरणों के लिए निम्न-आयामी वास्तविक लाई बीजगणित का वर्गीकरण देखें।

उपबीजगणित, आदर्शों और समरूपता
लाइ कोष्ठक को साहचर्य होने की आवश्यकता नहीं है, जिसका अर्थ है कि $$x,y],z]$को बराबर $[x,[y,z$$ की आवश्यकता नहीं है। यद्यपि, यह लचीला बीजगणित है। फिर भी, साहचर्य वलय (गणित) और साहचर्य बीजगणित की अधिकांश शब्दावली सामान्यतः लाई बीजगणित पर लागू होती है। एक लाई उपबीजगणित एक उपस्थान $$\mathfrak{h} \subseteq \mathfrak{g}$$ है जो लाई कोष्ठक के अधीन बंद है। एक आदर्श $$\mathfrak i\subseteq\mathfrak{g}$$ मजबूत स्थिति को संतुष्ट करने वाला एक उपबीजगणित है:
 * $$[\mathfrak{g},\mathfrak i]\subseteq \mathfrak i.$$

एक लाई बीजगणित समरूपता एक रेखीय मानचित्र है जो संबंधित लाई कोष्ठक के साथ संगत है:


 * $$ \phi: \mathfrak{g}\to\mathfrak{g'}, \quad \phi([x,y])=[\phi(x),\phi(y)] \ \text{for all}\

x,y \in \mathfrak g. $$ साहचर्य छल्लों के लिए, आदर्श समरूपता के कर्नेल_ (बीजगणित) हैं;इसमें एक लाई बीजगणित $$\mathfrak{g}$$ और एक आदर्श $$\mathfrak i$$ दिया गया है, कारक बीजगणित या भागफल बीजगणित $$\mathfrak{g}/\mathfrak i$$ का निर्माण करता है, और पहली तुल्यकारिता प्रमेय लाई बीजगणित के लिए मान्य है।

चूँकि लाई कोष्ठक संबंधित लाई समूह का एक प्रकार का अतिसूक्ष्म दिकपरिवर्तक है, हम कहते हैं कि दो तत्व $$x,y\in\mathfrak g$$ परिवर्तित करते हैं यदि उनका कोष्ठक: $$[x,y]=0$$ गायब हो जाता है।

एक उपसमुच्चय का केंद्रक उपबीजगणित $$S\subset \mathfrak{g}$$ के साथ आने वाले तत्वों $$S$$: का वह समूह $$\mathfrak{z}_{\mathfrak g}(S) = \{x\in\mathfrak g\ \mid\ [x, s] = 0 \ \text{ for all } s\in S\}$$ है। $$\mathfrak{g}$$ का केंद्रक ही $$\mathfrak{z}(\mathfrak{g})$$ केंद्र है। इसी तरह, एक उप-स्थान S के लिए, सामान्यक उपबीजगणित का $$S$$ $$\mathfrak{n}_{\mathfrak g}(S) = \{x\in\mathfrak g\ \mid\ [x,s]\in S \ \text{ for all}\ s\in S\}$$ है। समान रूप से, यदि $$S$$ एक लाई उपबीजगणित है, $$\mathfrak{n}_{\mathfrak g}(S)$$ सबसे बड़ा उपबीजगणित $$S$$ का  $$\mathfrak{n}_{\mathfrak g}(S)$$आदर्श है।

उदाहरण
सभी के लिए $$\mathfrak{d}(2) \subset \mathfrak{gl}(2)$$, दो तत्वों का दिकपरिवर्तक $$g \in \mathfrak{gl}(2)$$ तथा $$d \in \mathfrak{d}(2)$$:

$$\begin{align} \left[ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} x & 0 \\ 0 & y \end{bmatrix} \right] &= \begin{bmatrix} ax & by\\ cx & dy \\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} ax & bx\\ cy & dy \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & b(y-x) \\ c(x-y) & 0 \end{bmatrix}

\end{align}$$

दिखाता है $$\mathfrak{d}(2)$$ एक उपबीजगणित दिखाता है ,लेकिन एक आदर्श नहीं है। वस्तुतः, लाई बीजगणित के प्रत्येक एक-आयामी रैखिक उप-स्थान में प्रेरित एबेलियन लाइ बीजगणित संरचना होती है, जो प्रायः आदर्श नहीं होती है। किसी साधारण लाई बीजगणित के लिए, सभी एबेलियन लाई बीजगणित कभी भी आदर्श नहीं हो सकते।

प्रत्यक्ष योग और अर्धप्रत्यक्ष उत्पाद
दो लाई बीजगणित के लिए $$\mathfrak{g^{}}$$ तथा $$\mathfrak{g'}$$, अनुखंड का उनका सीधा योग बीजगणित सदिश स्थान है $$\mathfrak{g}\oplus\mathfrak{g'}$$सभी जोड़ों से मिलकर $$\mathfrak{}(x,x'), \,x\in\mathfrak{g}, \ x'\in\mathfrak{g'}$$, संक्रिया के साथ


 * $$ [(x,x'),(y,y')]=([x,y],[x',y']),$$

ताकि $$\mathfrak g, \mathfrak g'$$ की प्रतियां एक दूसरे के साथ आवागमन करें: $$[(x,0), (0,x')] = 0.$$

मान लीजिए कि $$\mathfrak{g}$$ एक लाई बीजगणित है और $$\mathfrak{i}$$, $$\mathfrak{g}$$ की एक गुणजावली है। यदि विहित मानचित्र $$\mathfrak{g} \to \mathfrak{g}/\mathfrak{i}$$ विभाजित करता है (यानी, एक खंड को स्वीकार करता है), फिर $$\mathfrak{g}$$ को $$\mathfrak{i}$$ तथा $$\mathfrak{g}/\mathfrak{i}$$, $$\mathfrak{g}=\mathfrak{g}/\mathfrak{i}\ltimes\mathfrak{i}$$ का अर्धप्रत्यक्ष उत्पाद कहा जाता है। लाई बीजगणित का अर्धप्रत्यक्ष योग भी देखें।

लेवी के प्रमेय का कहना है कि एक परिमित-आयामी लाई बीजगणित इसके मूल और पूरक उपबीजगणित ( लेवी उपबीजगणित) का एक अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है।

व्युत्पत्ति
लाई बीजगणित $$\mathfrak{g}$$ (या किसी गैर-सहयोगी बीजगणित पर) एक रेखीय मानचित्र है $$\delta\colon\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{g}$$ जो लीबनिज नियम का पालन करता है, अर्थात,
 * $$\delta ([x,y]) = [\delta(x),y] + [x, \delta(y)]$$

$$x,y\in\mathfrak g$$ सभी के लिए। किसी भी $$x\in\mathfrak g$$ से जुड़ी आंतरिक व्युत्पत्ति $$\mathrm{ad}_x$$ द्वारा परिभाषित आसन्न मानचित्रण $$\mathrm{ad}_x(y):=[x,y]$$है। (यह जैकोबी समरूपता के परिणाम के रूप में एक व्युत्पत्ति है।) बाहरी व्युत्पत्ति वे व्युत्पत्ति हैं जो लाई बीजगणित के आसन्न प्रतिनिधित्व से नहीं आती हैं। यदि $$\mathfrak{g}$$ अर्धसरल लाई बीजगणित है, प्रत्येक व्युत्पत्ति आंतरिक है।

व्युत्पत्तियाँ एक सदिश स्थान $$\mathrm{Der}(\mathfrak g)$$, जो कि  $$\mathfrak{gl}(\mathfrak{g})$$; कोष्ठक लाई उपबीजगणित दिकपरिवर्तक है। आंतरिक व्युत्पत्तियाँ $$\mathrm{Der}(\mathfrak g)$$ एक लाई उपबीजगणित का निर्माण करती हैं।

उदाहरण
उदाहरण के लिए, दिए गए एक लाई बीजगणित आदर्श $$\mathfrak{i} \subset \mathfrak{g}$$ आसन्न प्रतिनिधित्व $$\mathfrak{ad}_\mathfrak {g}$$ का $$\mathfrak{g}$$ पर बाहरी व्युत्पत्तियों के रूप में कार्य करता है $$\mathfrak{i}$$ जबसे $$[x,i] \subset \mathfrak{i}$$ किसी के लिए $$x \in \mathfrak{g}$$ तथा $$i \in \mathfrak{i}$$है। लाई बीजगणित के लिए $$\mathfrak{b}_n$$ ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह में $$\mathfrak{gl}(n)$$, इसका एक आदर्श $$\mathfrak{n}_n$$ सख्ती से ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह हैं(जहां केवल गैर-शून्य तत्व आव्यूह के विकर्ण से ऊपर हैं)। उदाहरण के लिए, तत्वों के दिकपरिवर्तक में $$\mathfrak{b}_3$$ तथा $$\mathfrak{n}_3$$ देता है

$$\begin{align} \left[ \begin{bmatrix} a & b & c \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & f \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & x & y \\ 0 & 0 & z \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \right] &= \begin{bmatrix} 0 & ax & ay+bz \\ 0 & 0 & dz \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & dx & ex+yf \\ 0 & 0 & fz \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & (a-d)x & (a-f)y-ex+bz \\ 0 & 0 & (d-f)z \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{align}$$

दिखाता है कि $$\mathfrak{b}_3$$ से $$\text{Der}(\mathfrak{n}_3)$$ में बाहरी व्युत्पत्तियाँ स्थित हैं।

भाजित लाई बीजगणित
मान लीजिए कि V क्षेत्र F पर परिमित-विम सदिश समष्टि है, $$\mathfrak{gl}(V)$$ रैखिक परिवर्तन का लाइ बीजगणित और $$\mathfrak{g} \subseteq \mathfrak{gl}(V)$$ एक लाई उपबीजगणित है। फिर $$\mathfrak{g}$$ को विभाजित कहा जाता है यदि $$\mathfrak{g}$$ में सभी रैखिक परिवर्तनों की विशेषता बहुपद की जड़ें F आधार क्षेत्र में हैं। अधिक प्रायः, एक परिमित-आयामी लाई बीजगणित $$\mathfrak{g}$$ विभाजित होना कहा जाता है यदि इसमें एक कार्टन उपबीजगणित है जिसकी छवि संलग्न प्रतिनिधित्व के अधीन $$\operatorname{ad}: \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(\mathfrak g)$$ एक विभाजित लाई बीजगणित है। जटिल अर्धसरल लाई बीजगणित का एक विभाजित वास्तविक रूप (सीफ .#वास्तविक रूप और जटिलता) विभाजित वास्तविक लाई बीजगणित का एक उदाहरण है। अधिक जानकारी के लिए विभाजित लाई बीजगणित भी देखें।

सदिश स्थान आधार
व्यावहारिक गणनाओं के लिए, बीजगणित के लिए एक स्पष्ट सदिश स्थान आधार चुनना प्रायः सुविधाजनक होता है। इस आधार के लिए एक सामान्य निर्माण लेख संरचना स्थिरांक में चित्रित किया गया है।

श्रेणी-सैद्धांतिक संकेतन का उपयोग करते हुए परिभाषा
यद्यपि ऊपर दी गई परिभाषाएं लाई बीजगणित की पारंपरिक समझ के लिए पर्याप्त हैं, एक बार जब यह समझ में आ जाता है, तो श्रेणी सिद्धांत के लिए सामान्य संकेतन का उपयोग करके अतिरिक्त अंतर्दृष्टि प्राप्त की जा सकती है, अर्थात, रेखीय मानचित्रों के संदर्भ में लाई बीजगणित को परिभाषित करके-अर्थात्, आकारिकी सदिश रिक्त स्थान की श्रेणी में - अलग-अलग तत्वों पर विचार किए बिना है। (इस खंड में, क्षेत्र (गणित) जिस पर बीजगणित परिभाषित किया गया है, विशेषता (बीजगणित) दो से भिन्न माना जाता है।)

लाई बीजगणित की श्रेणी-सैद्धांतिक परिभाषा के लिए, दो टेन्सर उत्पाद (टेंसर शक्तियां) और ब्रेडिंग की आवश्यकता होती है। यदि $A$ एक सदिश स्थान है, पस्पर विनिमय समाकृतिकता $$\tau: A\otimes A \to A\otimes A$$ द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$\tau(x\otimes y)= y\otimes x.$$

चक्रीय-क्रमपरिवर्तन ब्रेडिंग $$\sigma:A\otimes A\otimes A \to A\otimes A\otimes A $$ की तरह परिभाषित किया गया है
 * $$\sigma=(\mathrm{id}\otimes \tau)\circ(\tau\otimes \mathrm{id}),$$

जहाँ $$\mathrm{id}$$ समरूपता रूपवाद है।

समान रूप से, $$\sigma$$ द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$\sigma(x\otimes y\otimes z)= y\otimes z\otimes x.$$

इस अंकन के साथ, एक लाई बीजगणित को एक वस्तु (श्रेणी सिद्धांत) $$A$$ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है आकृतिवाद के साथ सदिश रिक्त स्थान की श्रेणी में
 * $$[\cdot,\cdot]:A\otimes A\rightarrow A$$ जो दो रूपवाद समानता को संतुष्ट करता है
 * $$[\cdot,\cdot]\circ(\mathrm{id}+\tau)=0,$$

तथा
 * $$[\cdot,\cdot]\circ ([\cdot,\cdot]\otimes \mathrm{id}) \circ (\mathrm{id} +\sigma+\sigma^2)=0.$$

सदिश रिक्त स्थान
कोई सदिश स्थान $$V$$ समान रूप से शून्य लाई कोष्ठक के साथ संपन्न एक लाई बीजगणित बन जाता है। ऐसे लाई बीजगणित को एबेलियन लाई बीजगणित कहा जाता है,सीएफ।अधीन। किसी क्षेत्र पर कोई भी एक आयामी लाई बीजगणित लाई कोष्ठक की वैकल्पिक संपत्ति द्वारा एबेलियन है।

दिकपरिवर्तक कोष्ठक के साथ साहचर्य बीजगणित

 * एक साहचर्य बीजगणित पर $$A$$ एक मैदान के ऊपर $$F$$ गुणन के साथ $$(x, y) \mapsto xy$$, एक लाइ कोष्ठक को दिकपरिवर्तक वलय सिद्धांत द्वारा परिभाषित किया जा सकता है $$[x,y] = xy - yx$$। इस कोष्ठक के साथ, $$A$$ लाई बीजगणित है। सहयोगी बीजगणित $$A$$ को लाई बीजगणित का एक आवरण बीजगणित कहा जाता है $$(A, [\,\cdot\,, \cdot \,])$$। हर लाई बीजगणित को एक में अंतर्निहित किया जा सकता है जो इस तरह से एक साहचर्य बीजगणित से उत्पन्न होता है; सार्वभौमिक आवरण बीजगणित देखें।
 * उपरोक्त लाई कोष्ठक के साथ $$F$$-सदिश स्थान $$V$$ के अंत:रूपांतरण वलय के सहयोगी बीजगणित को $$\mathfrak{gl}(V)$$निरूपित किया गया है।
 * एक परिमित आयामी सदिश स्थान के लिए $$V = F^n$$, पिछला उदाहरण बिल्कुल n × n आव्यूहों का लाई बीजगणित है, जिसे $$\mathfrak{gl}(n, F)$$ या $$\mathfrak{gl}_n(F)$$निरूपित किया गया है, और कोष्ठक के साथ $$[X,Y]=XY-YX$$ जहां निकटता आव्यूह गुणन को इंगित करती है। यह सामान्य रेखीय समूह का लाई बीजगणित है, जिसमें व्युत्क्रमणीय आव्यूह सम्मिलित हैं।

विशेष आव्यूह
के दो महत्वपूर्ण उपबीजगणित $$\mathfrak{gl}_n(F)$$ हैं:


 * ट्रेस (रैखिक बीजगणित) शून्य के आव्यूह विशेष रैखिक लाई बीजगणित $$\mathfrak{sl}_n(F)$$ बनाते हैं, विशेष रेखीय समूह का लाई बीजगणित $$\mathrm{SL}_n(F)$$।
 * तिरछा-हर्मिटियन आव्यूह एकात्मक लाई बीजगणित $$\mathfrak u(n)$$बनाते हैं, एकात्मक समूह U(n) का लाई बीजगणित।

आव्यूह लाई बीजगणित
एक जटिल रेखीय समूह एक लाई समूह है जिसमें आव्यूह होते हैं, $$G\subset M_n(\mathbb{C})$$, जहाँ G का गुणन आव्यूह गुणन है। संबंधित लाई बीजगणित $$\mathfrak g$$ आव्यूह का स्थान है जो रैखिक स्थान  $$M_n(\mathbb{C})$$ के अंदर G के स्पर्शरेखा सदिश हैं: इसमें समरूपता पर जी में चिकने वक्रों के व्युत्पन्न सम्मिलित हैं:

$$\mathfrak{g} = \{ X = c'(0) \in M_n(\mathbb{C}) \ \mid\ \text{ smooth } c : \mathbb{R}\to G, \ c(0) = I \}.$$

लाई कोष्ठक $$\mathfrak{g}$$ आव्यूह के दिकपरिवर्तक द्वारा दिया जाता है, $$[X,Y]=XY-YX$$। लाई बीजगणित को देखते हुए, लाई समूह को आव्यूह घातीय चित्रण की छवि के रूप में पुनर्प्राप्त कर सकते हैं $$\exp: M_n(\mathbb{C})\to M_n(\mathbb{C})$$ द्वारा परिभाषित $$\exp(X) = I + X + \tfrac{1}{2!}X^2+\cdots$$, जो प्रत्येक आव्यूह $$X$$ के लिए अभिसरण करता है: वह है, $$G=\exp(\mathfrak g)$$ है।

निम्नलिखित आव्यूह लाई समूहों के लाई बीजगणित के उदाहरण हैं:
 * विशेष रैखिक समूह $${\rm SL}_n(\mathbb{C})$$, $[,]$ आव्यूह निर्धारक 1 के साथ सभी से मिलकर। इसके लाई बीजगणित $$\mathfrak{sl}_n(\mathbb{C})$$ में जटिल प्रविष्टियों और ट्रेस 0  के साथ सभी $n × n$ आव्यूह होते हैं। इसी तरह, कोई संबंधित वास्तविक लाई समूह $${\rm SL}_n(\mathbb{R})$$ और इसका लाई बीजगणित $$\mathfrak{sl}_n(\mathbb{R})$$को परिभाषित कर सकता है।
 * एकात्मक समूह $$U(n)$$ n × n एकात्मक आव्यूह होते हैं (संतोषजनक $$U^*=U^{-1}$$)। यह लाई बीजगणित है $$\mathfrak{u}(n)$$ तिरछा-स्व-आसन्न आव्यूह के होते हैं ($$X^*=-X$$)।
 * विशेष ऑर्थोगोनल समूह $$\mathrm{SO}(n)$$, वास्तविक निर्धारक-एक ऑर्थोगोनल आव्यूह से मिलकर ($$A^{\mathrm{T}}=A^{-1}$$)। यह लाई बीजगणित है $$\mathfrak{so}(n)$$ वास्तविक तिरछा-सममित आव्यूह होते हैं ($$X^{\rm T}=-X$$)। पूर्ण ऑर्थोगोनल समूह $$\mathrm{O}(n)$$निर्धारक-एक शर्त के बिना, सम्मिलित हैं $$\mathrm{SO}(n)$$ और एक अलग जुड़ा हुआ घटक है, इसलिए इसमें समान लाई बीजगणित है $$\mathrm{SO}(n)$$। यह भी देखें तिरछा-सममित_आव्यूह#Infinitesimal_rotations|तिरछा-सममित आव्यूहों के साथ अत्यल्प घुमाव। इसी तरह, जटिल आव्यूह प्रविष्टियों की अनुमति देकर, इस समूह और बीजगणित के एक जटिल संस्करण को परिभाषित किया जा सकता है।

दो आयाम

 * किसी भी क्षेत्र में $$F$$ समरूपता तक, एक एकल द्वि-आयामी गैर-अबेलियन लाई बीजगणित है। जनित्र $$x$$, $$y$$ के साथ, इसके कोष्ठक को परिभाषित किया गया है $$ \left [x, y\right ] = y$$। यह अफ्फिन समूह को एक आयाम में उत्पन्न करता है।


 * इसे आव्यूह द्वारा समझा जा सकता है:
 * $$ x= \left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right), \qquad y=  \left( \begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right).   $$

क्योंकि
 * $$ \left( \begin{array}{cc} 1 & c\\ 0 & 0 \end{array}\right)^{n+1} = \left( \begin{array}{cc} 1 & c\\ 0 & 0 \end{array}\right)$$

किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए $$n$$ और कोई भी $$c$$, देखा जा सकता है कि परिणामी लाई समूह तत्व ऊपरी त्रिकोणीय 2 × 2 आव्यूह हैं जो इकाई निचले विकर्ण के साथ हैं:
 * $$ \exp(a\cdot{}x+b\cdot{}y)= \left( \begin{array}{cc} e^a & \tfrac{b}{a}(e^a-1)\\ 0 & 1 \end{array}\right) = 1 + \tfrac{e^a-1}{a}\left(a\cdot{}x+b\cdot{}y\right). $$

तीन आयाम

 * हाइजेनबर्ग बीजगणित $${\rm H}_3(\mathbb{R})$$ तत्वों द्वारा उत्पन्न एक त्रि-आयामी लाई बीजगणित है $x$, $y$, तथा $z$ लाई कोष्ठक के साथ


 * $$[x,y] = z,\quad [x,z] = 0, \quad [y,z] = 0$$।
 * यह सामान्यतः पर दिकपरिवर्तक लाइ कोष्ठक और आधार के साथ 3 × 3 कड़ाई से ऊपरी-त्रिकोणीय आव्यूह के स्थान के रूप में महसूस किया जाता है

x = \left( \begin{array}{ccc} 0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{array}\right),\quad y = \left( \begin{array}{ccc} 0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{array}\right),\quad z = \left( \begin{array}{ccc} 0&0&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{array}\right)~.\quad $$
 * हाइजेनबर्ग समूह के किसी भी तत्व का प्रतिनिधित्व समूह जनरेटर के उत्पाद के रूप में होता है, यानी इन लाई बीजगणित जनरेटर के आव्यूह घातांक,
 * $$\left( \begin{array}{ccc}

1&a&c\\ 0&1&b\\ 0&0&1 \end{array}\right)= e^{by} e^{cz} e^{ax}~. $$
 * लाई बीजगणित $$\mathfrak{so}(3)$$ समूह का SO(3) तीन आव्यूह द्वारा फैला हुआ है

F_1 = \left( \begin{array}{ccc} 0&0&0\\ 0&0&-1\\ 0&1&0 \end{array}\right),\quad F_2 = \left( \begin{array}{ccc} 0&0&1\\ 0&0&0\\ -1&0&0 \end{array}\right),\quad F_3 = \left( \begin{array}{ccc} 0&-1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&0 \end{array}\right)~.\quad $$
 * इन जनरेटर के बीच कम्यूटेशन संबंध हैं
 * $$[F_1, F_2] = F_3,$$
 * $$[F_2, F_3] = F_1,$$
 * $$[F_3, F_1] = F_2.$$
 * त्रि-आयामी यूक्लिडियन स्थान $$\mathbb{R}^3$$ सदिश (ज्यामितीय) के क्रॉस उत्पाद द्वारा दिए गए लाई कोष्ठक के साथ उपरोक्त के समान रूपांतर संबंध हैं: इस प्रकार, यह आइसोमोर्फिक है $$\mathfrak{so}(3)$$। यह लाई बीजगणित क्वांटम यांत्रिकी में स्पिन -1 कणों के लिए सामान्य रूप से सामान्य स्पिन (भौतिकी) कोणीय-गति घटक संचालकों के बराबर है।

अनंत आयाम

 * अंतर टोपोलॉजी में अनंत-आयामी वास्तविक लाई बीजगणित का एक महत्वपूर्ण वर्ग उत्पन्न होता है। अलग-अलग मैनिफोल्ड एम पर चिकने सदिश क्षेत्रों का लाई कोष्ठक लाई बीजगणित बनाता है, जहाँ लाई कोष्ठक को सदिश क्षेत्र्स के लाई कोष्ठक के रूप में परिभाषित किया जाता है। लाई कोष्ठक को व्यक्त करने का एक तरीका लाई व्युत्पन्न की औपचारिकता के माध्यम से है, जो पहले ऑर्डर आंशिक अंतर संचालक एल के साथ सदिश फ़ील्ड एक्स की समरूपता करता है।X एल को देकर सुचारू कार्यों पर कार्य करनाX(एफ) एक्स की दिशा में फ़ंक्शन एफ का दिशात्मक व्युत्पन्न हो। दो सदिश क्षेत्रों का लाईा कोष्ठक [एक्स, वाई] सूत्र द्वारा कार्यों पर अपनी कार्रवाई के माध्यम से परिभाषित सदिश क्षेत्र है:
 * $$ L_{[X,Y]}f=L_X(L_Y f)-L_Y(L_X f).\,$$


 * केएसी-मूडी बीजगणित|केएसी-मूडी बीजगणित अनंत-आयामी लाई बीजगणित का एक बड़ा वर्ग है जिसकी संरचना उपरोक्त परिमित-आयामी मामलों के समान है।
 * मोयल कोष्ठक एक अनंत-आयामी लाई बीजगणित है जिसमें सभी शास्त्रीय लाई समूह सम्मिलित हैं# उपबीजगणित के रूप में द्विरेखीय रूपों के साथ संबंध।
 * स्ट्वलय सिद्धांत में विरासोरो बीजगणित का सर्वाधिक महत्व है।

परिभाषाएं
सदिश समष्टि V दिया है, मान लीजिए $$\mathfrak{gl}(V)$$ द्वारा दिए गए कोष्ठक के साथ, वी के सभी रैखिक अंत:रूपांतरण से युक्त लाई बीजगणित को निरूपित करें $$[X,Y]=XY-YX$$। लाई बीजगणित का एक प्रतिनिधित्व $$\mathfrak{g}$$ V पर एक ले बीजगणित समाकारिता है
 * $$\pi: \mathfrak g \to \mathfrak{gl}(V).$$

यदि इसकी कर्नेल शून्य है तो एक प्रतिनिधित्व को वफादार कहा जाता है। एडो की प्रमेय बताता है कि प्रत्येक परिमित-आयामी लाई बीजगणित में एक परिमित-आयामी सदिश स्थान पर एक वफादार प्रतिनिधित्व होता है।

संलग्न प्रतिनिधित्व
किसी भी लाई बीजगणित के लिए $$\mathfrak{g}$$, हम एक प्रतिनिधित्व को परिभाषित कर सकते हैं
 * $$\operatorname{ad}\colon\mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(\mathfrak{g})$$

के द्वारा दिया गया $$\operatorname{ad}(x)(y) = [x, y]$$; यह सदिश स्थान पर एक प्रतिनिधित्व है $$\mathfrak{g}$$ लाई बीजगणित के आसन्न प्रतिनिधित्व कहा जाता है।

प्रतिनिधित्व सिद्धांत के लक्ष्य
लाई बीजगणित (विशेष रूप से अर्धसरल लाई बीजगणित) के अध्ययन का एक महत्वपूर्ण पहलू उनके अभ्यावेदन का अध्ययन है। (वस्तुतः, संदर्भ अनुभाग में सूचीबद्ध अधिकांश पुस्तकें अपने पृष्ठों का एक बड़ा हिस्सा प्रतिनिधित्व सिद्धांत के लिए समर्पित करती हैं।) यद्यपि एडो का प्रमेय एक महत्वपूर्ण परिणाम है, प्रतिनिधित्व सिद्धांत का प्राथमिक लक्ष्य किसी दिए गए लाईे बीजगणित का एक वफादार प्रतिनिधित्व नहीं खोजना है। $$\mathfrak{g}$$। वस्तुतः, अर्ध-सरल मामले में, आसन्न प्रतिनिधित्व पहले से ही वफादार है। बल्कि लक्ष्य के सभी संभावित प्रतिनिधित्व को समझना है $$\mathfrak{g}$$, समानता की प्राकृतिक धारणा तक। विशेषता शून्य के एक क्षेत्र पर अर्ध-सरल मामले में, पूर्ण न्यूनीकरण पर वेइल का प्रमेय | वेइल का प्रमेय कहता है कि प्रत्येक परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व अलघुकरणीय अभ्यावेदन का प्रत्यक्ष योग है (जिनमें कोई गैर-तुच्छ अपरिवर्तनीय उप-स्थान नहीं है)। इरेड्यूसिबल निरूपण, बदले में, एक लाई बीजगणित प्रतिनिधित्व द्वारा वर्गीकृत किया जाता है # लाई बीजगणित के परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व को वर्गीकृत करता है।

भौतिकी में प्रतिनिधित्व सिद्धांत
अलजेब्रस का प्रतिनिधित्व सिद्धांत सैद्धांतिक भौतिकी के विभिन्न भागों में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। वहां, राज्यों के स्थान पर संचालकों पर विचार किया जाता है जो कुछ प्राकृतिक रूपांतरण संबंधों को पूरा करते हैं। ये रूपान्तरण संबंध प्रायः समस्या की समरूपता से आते हैं- विशेष रूप से, वे प्रासंगिक समरूपता समूह के लाई बीजगणित के संबंध हैं। एक उदाहरण कोणीय संवेग संचालक होंगे, जिनके परिवर्तन संबंध लाई बीजगणित के हैं $$\mathfrak{so}(3)$$ घुमाव समूह SO(3) का। सामान्यतः पर, राज्यों का स्थान प्रासंगिक संचालकों के तहत अलघुकरणीय होने से बहुत दूर है, लेकिन कोई इसे अप्रासंगिक टुकड़ों में विघटित करने का प्रयास कर सकता है। ऐसा करने के लिए, किसी को दिए गए लाई बीजगणित के अलघुकरणीय निरूपण को जानने की आवश्यकता है। क्वांटम हाइड्रोजन जैसे परमाणु के अध्ययन में, उदाहरण के लिए, क्वांटम यांत्रिकी पाठ्यपुस्तकें (बिना इसे बुलाए) लाई बीजगणित के इरेड्यूसबल प्रस्तुतियों का वर्गीकरण देती हैं। $$\mathfrak{so}(3)$$।

संरचना सिद्धांत और वर्गीकरण
लाई बीजगणित को कुछ हद तक वर्गीकृत किया जा सकता है। विशेष रूप से, यह लाई बोलने वाले समूहों के वर्गीकरण के लिए एक आवेदन है।

एबेलियन, निलपोटेंट, और सॉल्वेबल
व्युत्पन्न उपसमूहों के संदर्भ में परिभाषित एबेलियन, निलपोटेंट और सॉल्व करने योग्य समूहों के अनुरूप, कोई भी एबेलियन, नीलपोटेंट और सॉल्व करने योग्य ले बीजगणित को परिभाषित कर सकता है।

एक लाई बीजगणित $$\mathfrak{g}$$ एबेलियन हैयदि लाइ कोष्ठक गायब हो जाता है, यानी [x,y] = 0, सभी x और y के लिए $$\mathfrak{g}$$। एबेलियन लाइ बीजगणित कम्यूटेटिव (या एबेलियन समूह) से जुड़े लाई समूहों जैसे सदिश रिक्त स्थान के अनुरूप हैं $$\mathbb{K}^n$$ या टोरस्र्स $$\mathbb{T}^n$$, और सभी रूप हैं $$\mathfrak{k}^n,$$ मतलब तुच्छ लाई कोष्ठक के साथ एक एन-डायमेंशनल सदिश स्थान।

लाई बीजगणित का एक अधिक सामान्य वर्ग दी गई लंबाई के सभी दिकपरिवर्तकों के लुप्त होने से परिभाषित होता है। एक लाई बीजगणित $$\mathfrak{g}$$ निलपोटेंट ले बीजगणित यदि निचली केंद्रीय श्रृंखला है


 * $$ \mathfrak{g} > [\mathfrak{g},\mathfrak{g}] > [[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],\mathfrak{g}] > [[[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],\mathfrak{g}],\mathfrak{g}] > \cdots$$

अंततः शून्य हो जाता है। एंगेल के प्रमेय के अनुसार, लाई बीजगणित शून्य है यदि और केवल यदि प्रत्येक यू के लिए $$\mathfrak{g}$$ आसन्न अंत:रूपांतरण


 * $$\operatorname{ad}(u):\mathfrak{g} \to \mathfrak{g}, \quad \operatorname{ad}(u)v=[u,v]$$

शक्तिहीन है।

अधिक प्रायः अभी भी, एक लाई बीजगणित $$\mathfrak{g}$$ हल करने योग्य बीजगणित कहा जाता है यदि व्युत्पन्न श्रृंखला:


 * $$ \mathfrak{g} > [\mathfrak{g},\mathfrak{g}] > \mathfrak{g},\mathfrak{g}],[\mathfrak{g},\mathfrak{g} > [\mathfrak{g},\mathfrak{g}],[\mathfrak{g},\mathfrak{g},\mathfrak{g},\mathfrak{g}],[\mathfrak{g},\mathfrak{g}] > \cdots$$

अंततः शून्य हो जाता है।

प्रत्येक परिमित-आयामी लाई बीजगणित में एक अद्वितीय अधिकतम हल करने योग्य आदर्श होता है, जिसे लाई बीजगणित का कट्टरपंथी कहा जाता है। लाई पत्राचार के तहत, नीलपोटेंट (क्रमशः, हल करने योग्य) जुड़े हुए समूह नीलपोटेंट (क्रमशः, हल करने योग्य) लाई बीजगणित के अनुरूप होते हैं।

सरल और अर्धसरल
एक लाई बीजगणित सरल लाई बीजगणित है यदि इसमें कोई गैर-तुच्छ आदर्श नहीं है और यह अबेलियन नहीं है। (इसका तात्पर्य यह है कि एक आयामी-अनिवार्य रूप से एबेलियन-लाई बीजगणित परिभाषा के अनुसार सरल नहीं है, भले ही इसमें कोई गैर-तुच्छ आदर्श न हो।) एक लाई बीजगणित $$\mathfrak{g}$$ सेमीसिंपल ले बीजगणित कहा जाता है यदि यह सरल बीजगणितों के प्रत्यक्ष योग के लिए आइसोमोर्फिक है। अर्ध-सरल बीजगणित के कई समतुल्य लक्षण हैं, जैसे कि गैर-शून्य हल करने योग्य आदर्श नहीं हैं।

लाई बीजगणित के लिए अर्धसरलता की अवधारणा उनके अभ्यावेदन की पूर्ण न्यूनीकरण (अर्धसरलता) के साथ निकटता से संबंधित है। जब जमीनी क्षेत्र एफ में विशेषता (क्षेत्र) शून्य होता है, तो अर्ध-सरल लाई बीजगणित का कोई भी परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व अर्ध-सरल प्रतिनिधित्व होता है (यानी, इरेड्यूसिबल प्रतिनिधित्व का प्रत्यक्ष योग)। सामान्य तौर पर, एक लाई बीजगणित को रिडक्टिव लाइ बीजगणित कहा जाता है यदि आसन्न प्रतिनिधित्व अर्ध-सरल है। इस प्रकार, एक अर्धसरल लाई बीजगणित रिडक्टिव है।

कार्टन की कसौटी
कार्टन की कसौटी लाई बीजगणित के शून्य-शक्तिशाली, हल करने योग्य या अर्ध-सरल होने की शर्तें देती है। यह मारक रूप की धारणा पर आधारित है, जो एक सममित द्विरेखीय रूप है $$\mathfrak{g}$$ सूत्र द्वारा परिभाषित
 * $$K(u,v)=\operatorname{tr}(\operatorname{ad}(u)\operatorname{ad}(v)),$$

जहाँ tr ट्रेस (रैखिक बीजगणित) को दर्शाता है। एक लाई बीजगणित $$\mathfrak{g}$$ अर्धसरल है यदि और केवल यदि किलिंग फॉर्म नॉनडिजेनरेट फॉर्म है। एक लाई बीजगणित $$\mathfrak{g}$$ हल करने योग्य है यदि और केवल यदि $$K(\mathfrak{g},[\mathfrak{g},\mathfrak{g}])=0.$$

वर्गीकरण
लेवी अपघटन एक मनमाना लाई बीजगणित को उसके हल करने योग्य रेडिकल के अर्ध-प्रत्यक्ष योग और एक अर्ध-सरल लाई बीजगणित के रूप में व्यक्त करता है, लगभग एक विहित तरीके से। (इस तरह के अपघटन विशेषता शून्य के एक क्षेत्र पर परिमित-आयामी लाई बीजगणित के लिए स्थित हैं। ) इसके अलावा, एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर अर्ध-सरल लाई बीजगणित को उनके मूल प्रक्रिया के माध्यम से पूरी तरह से वर्गीकृत किया गया है।

लाई बोलने वाले समूहों से संबंध
यद्यपि लाई बीजगणित प्रायः अपने अधिकार में अध्ययन किया जाता है, ऐतिहासिक रूप से वे लाई समूहों का अध्ययन करने के साधन के रूप में उभरे।

अब हम लाई समूहों और लाई बीजगणित के बीच के संबंध को संक्षेप में रेखांकित करते हैं। कोई भी लाई समूह एक विहित रूप से निर्धारित लाई बीजगणित (ठोस रूप से, समरूपता पर स्पर्शरेखा स्थान) को जन्म देता है। इसके विपरीत, किसी परिमित-आयामी लाई बीजगणित के लिए $$\mathfrak g$$, एक संबंधित जुड़ा हुआ समूह स्थित है $$G$$ लाई बीजगणित के साथ $$\mathfrak g$$। यह लाई का तीसरा प्रमेय है; बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ सूत्र देखें। यह लाई समूह विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं है; यद्यपि, समान लाई बीजगणित वाले कोई भी दो लाई समूह स्थानीय रूप से आइसोमॉर्फिक हैं, और विशेष रूप से, एक ही सार्वभौमिक आवरण है। उदाहरण के लिए, विशेष ओर्थोगोनल समूह SO(3) और विशेष एकात्मक समूह SU(2) एक ही लाइ बीजगणित को जन्म देते हैं, जो आइसोमोर्फिक है $$\mathbb{R}^3$$ क्रॉस-उत्पाद के साथ, लेकिन एसयू (2) एसओ (3) का एक सरल-जुड़ा हुआ दोहरा आवरण है।

यदि हम बस जुड़े हुए लाई समूहों पर विचार करते हैं, यद्यपि, हमारे पास एक-से-एक पत्राचार है: प्रत्येक (परिमित-आयामी वास्तविक) लाई बीजगणित के लिए $$\mathfrak g$$, एक अद्वितीय बस जुड़ा हुआ लाई ​​समूह है $$G$$ लाई बीजगणित के साथ $$\mathfrak g$$।

लाई बीजगणित और लाई समूहों के बीच पत्राचार कई तरह से प्रयोग किया जाता है, जिसमें सरल लाई समूहों की सूची और लाई समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के संबंधित मामले सम्मिलित हैं। एक लाई बीजगणित का प्रत्येक प्रतिनिधित्व विशिष्ट रूप से जुड़े हुए, बस जुड़े हुए लाई समूह के प्रतिनिधित्व के लिए विशिष्ट रूप से उठाता है, और इसके विपरीत किसी भी लाई समूह का प्रत्येक प्रतिनिधित्व समूह के लाई बीजगणित के प्रतिनिधित्व को प्रेरित करता है; अभ्यावेदन एक-से-एक पत्राचार में हैं। इसलिए, लाई बीजगणित के प्रतिनिधित्व को जानना समूह के प्रतिनिधित्व के प्रश्न को सुलझाता है।

वर्गीकरण के लिए, यह दिखाया जा सकता है कि किसी दिए गए लाई बीजगणित के साथ जुड़ा हुआ कोई भी जुड़ा हुआ समूह सार्वभौमिक कवर मॉड के लिए एक असतत केंद्रीय उपसमूह के लिए आइसोमोर्फिक है। इसलिए लाई समूहों को वर्गीकृत करना केवल केंद्र (समूह सिद्धांत) के असतत उपसमूहों की गणना करने का मामला बन जाता है, एक बार लाई बीजगणित का वर्गीकरण ज्ञात हो जाता है (एली कार्टन एट अल द्वारा हल किया गया। सेमीसिंपल लाइ बीजगणित मामले में)।

यदि लाई बीजगणित अनंत-आयामी है, तो समस्या अधिक सूक्ष्म है। कई उदाहरणों में, घातीय मानचित्र स्थानीय रूप से होमियोमोर्फिज्म भी नहीं है (उदाहरण के लिए, डिफ (एस1), किसी को मनमाने ढंग से उस समरूपता के करीब भिन्नताएं मिल सकती हैं जो ऍक्स्प की छवि में नहीं हैं)। इसके अलावा, कुछ अनंत-आयामी लाई बीजगणित किसी भी समूह के लाईे बीजगणित नहीं हैं।

वास्तविक रूप और जटिलता
एक जटिल लाई बीजगणित दिया गया $$\mathfrak g$$, एक वास्तविक लाई बीजगणित $$\mathfrak{g}_0$$ का साकार रूप कहा गया है $$\mathfrak g$$ यदि जटिलता $$\mathfrak{g}_0 \otimes_{\mathbb R} \mathbb{C} \simeq \mathfrak{g}$$ के लिए आइसोमोर्फिक है $$\mathfrak{g}$$। एक वास्तविक रूप अद्वितीय होने की आवश्यकता नहीं है; उदाहरण के लिए, $$\mathfrak{sl}_2 \mathbb{C}$$ के दो वास्तविक रूप हैं $$\mathfrak{sl}_2 \mathbb{R}$$ तथा $$\mathfrak{su}_2$$।

एक अर्ध-सरल परिमित-आयामी जटिल लाई बीजगणित दिया गया है $$\mathfrak g$$, इसका एक विभाजित रूप एक वास्तविक रूप है जो विभाजित होता है; यानी, इसमें एक कार्टन उपबीजगणित है जो वास्तविक eigenvalues ​​​​के साथ एक आसन्न प्रतिनिधित्व के माध्यम से कार्य करता है। एक विभाजित रूप स्थित है और अद्वितीय है (समरूपता तक)। एक कॉम्पैक्ट रूप एक वास्तविक रूप है जो एक कॉम्पैक्ट लाइ समूह का लाइ बीजगणित है। एक कॉम्पैक्ट रूप स्थित है और अद्वितीय भी है।

अतिरिक्त संरचनाओं के साथ लाई बीजगणित
एक लाई बीजगणित को कुछ अतिरिक्त संरचनाओं से सुसज्जित किया जा सकता है जिन्हें कोष्ठक के साथ संगत माना जाता है। उदाहरण के लिए, एक ग्रेडेड लाई बीजगणित एक ग्रेडेड सदिश स्थान स्ट्रक्चर वाला एक लाई बीजगणित है। यदि यह डिफरेंशियल के साथ भी आता है (ताकि अंतर्निहित ग्रेडेड सदिश स्थान एक चेन कॉम्प्लेक्स हो), तो इसे डिफरेंशियल ग्रेडेड लाई बीजगणित कहा जाता है।

एक साधारण लाई बीजगणित लाई बीजगणित की श्रेणी में एक साधारण वस्तु है; दूसरे शब्दों में, यह अंतर्निहित समूह को एक साधारण समूह के साथ बदलकर प्राप्त किया जाता है (इसलिए इसे लाई बीजगणित के परिवार के रूप में बेहतर माना जा सकता है)।

लाई वलय
लाई बीजगणित के सामान्यीकरण के रूप में, या समूह (गणित) की निचली केंद्रीय श्रृंखला के अध्ययन के माध्यम से एक लाई की अंगूठी उत्पन्न होती है। एक लाइ वलय को गुणन के साथ एक गैर-सहयोगी वलय के रूप में परिभाषित किया गया है जो कि एंटीकोमुटिव है और जैकोबी समरूपता को संतुष्ट करता है। अधिक विशेष रूप से हम एक लाई की अंगूठी को परिभाषित कर सकते हैं $$L$$ संक्रिया के साथ एक एबेलियन समूह होना $$[\cdot,\cdot]$$ जिसके निम्नलिखित गुण हैं:


 * द्विरेखीयता:


 * $$ [x + y, z] = [x, z] + [y, z], \quad [z, x + y] = [z, x] + [z, y] $$
 * सभी x, y, z ∈ L के लिए।


 * जैकोबी समरूपता:


 * $$ [x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = 0 \quad $$
 * L में सभी x, y, z के लिए।


 * एल में सभी एक्स के लिए:


 * $$ [x,x]=0 \quad $$

लाई वलय्स को इसके अलावा लाई ग्रुप्स नहीं होना चाहिए। कोई भी लाई बीजगणित लाई की अंगूठी का एक उदाहरण है। कोष्ठक संचालक को परिभाषित करके किसी भी साहचर्य वलय को लाइ वलय में बनाया जा सकता है $$[x,y] = xy - yx$$। किसी भी लाई बीजगणित के विपरीत एक संगत वलय होता है, जिसे सार्वभौमिक आवरण बीजगणित कहा जाता है।

लैज़र्ड पत्राचार के माध्यम से परिमित पी-समूहों के अध्ययन में लाई के छल्ले का उपयोग किया जाता है। एक पी-समूह के निचले केंद्रीय कारक परिमित एबेलियन पी-समूह हैं, इसलिए 'जेड'/पी'जेड' पर मॉड्यूल। निचले केंद्रीय कारकों के प्रत्यक्ष योग को दो कोसमूह प्रतिनिधियों के दिकपरिवर्तक होने के लिए कोष्ठक को परिभाषित करके एक लाइ वलय की संरचना दी जाती है। लाइ वलय संरचना एक अन्य मॉड्यूल होमोमोर्फिज्म, पीटीएच पावर मैप के साथ समृद्ध है, जो संबंधित लाइ वलय को एक तथाकथित प्रतिबंधित लाइ वलय बनाती है।

पी-एडिक पूर्णांकों जैसे पूर्णांकों के छल्ले पर लाइ बीजगणित का अध्ययन करके पी-एडिक विश्लेषणात्मक समूहों और उनके अंत:रूपांतरण की परिभाषा में लाई के छल्ले भी उपयोगी होते हैं। चेवेली के कारण लाई प्रकार के परिमित समूहों की परिभाषा में जटिल संख्याओं पर लाई बीजगणित से पूर्णांकों पर लाई बीजगणित तक सीमित करना सम्मिलित है, और फिर एक सीमित क्षेत्र पर लाई बीजगणित प्राप्त करने के लिए मोडुलो पी को कम करना सम्मिलित है।

उदाहरण

 * फील्ड (गणित) के अतिरिक्त एक सामान्य वलय (गणित) पर कोई भी लाई बीजगणित लाई की अंगूठी का एक उदाहरण है। नाम के बावजूद लाई वलय इसके अतिरिक्त लाई समूह नहीं हैं।
 * कोष्ठक संचालक को परिभाषित करके किसी भी सहयोगी अंगूठी को लाई की अंगूठी में बनाया जा सकता है
 * $$[x,y] = xy - yx.$$


 * समूह (गणित) के अध्ययन से उत्पन्न होने वाली लाई की अंगूठी के उदाहरण के लिए, आइए $$G$$ के साथ एक समूह बनें $$[x,y]= x^{-1}y^{-1}xy$$ दिकपरिवर्तक संक्रिया, और चलो $$G = G_0 \supseteq G_1 \supseteq G_2 \supseteq \cdots \supseteq G_n \supseteq \cdots$$ में एक केंद्रीय श्रृंखला हो $$G$$ - वह दिकपरिवर्तक उपसमूह है $$[G_i,G_j]$$ में निहित है $$G_{i+j}$$ किसी के लिए $$i,j$$। फिर


 * $$L = \bigoplus G_i/G_{i+1}$$
 * ग्रुप संक्रिया (जो प्रत्येक सजातीय भाग में एबेलियन है) द्वारा आपूर्ति की गई जोड़ के साथ एक लाइ वलय है, और कोष्ठक संक्रिया द्वारा दिया गया है


 * $$[xG_i, yG_j] = [x,y]G_{i+j}\ $$
 * रैखिक रूप से विस्तारित। श्रृंखला की केंद्रीयता सुनिश्चित करती है कि दिकपरिवर्तक $$[x,y]$$ कोष्ठक संक्रिया को उचित लाई सैद्धांतिक गुण देता है।

यह भी देखें

 * झूठ बीजगणित का संलग्न प्रतिनिधित्व
 * Affine झूठ बीजगणित
 * एनीओनिक झूठ बीजगणित
 * झूठ बीजगणित का ऑटोमोर्फिज्म
 * चिराल ले बीजगणित
 * मुक्त झूठ बीजगणित
 * झूठ बीजगणित का सूचकांक
 * झूठ बीजगणित कोहोलॉजी
 * झूठ बीजगणित विस्तार
 * झूठ बीजगणित प्रतिनिधित्व
 * झूठ बोलजेब्रा
 * कोलजेब्रा लेट जाओ
 * झूठ बोलना
 * कण भौतिकी और प्रतिनिधित्व सिद्धांत
 * लव सुपरएलजेब्रा
 * पोइसन बीजगणित
 * पूर्व झूठ बीजगणित
 * क्वांटम समूह
 * मोयल कोष्ठक
 * Quasi-Frobenius झूठ बीजगणित
 * अर्ध-झूठ बीजगणित
 * प्रतिबंधित झूठ बीजगणित
 * सेरे रिश्ते
 * सममित झूठ बीजगणित
 * गेलफैंड-फक्स कोहोलॉजी

स्रोत

 * करिन एर्डमैन | एर्डमैन, कैरिन और वाइल्डन, मार्क। इंट्रोडक्शन टू लाई एल्जेब्रस, पहला संस्करण, स्प्वलयर, 2006। ISBN 1-84628-040-0
 * करिन एर्डमैन | एर्डमैन, कैरिन और वाइल्डन, मार्क। इंट्रोडक्शन टू लाई एल्जेब्रस, पहला संस्करण, स्प्वलयर, 2006। ISBN 1-84628-040-0
 * करिन एर्डमैन | एर्डमैन, कैरिन और वाइल्डन, मार्क। इंट्रोडक्शन टू लाई एल्जेब्रस, पहला संस्करण, स्प्वलयर, 2006। ISBN 1-84628-040-0
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