अन्तर्विफलता माध्य समय

विफलताओं के बीच औसत समय (एमटीबीएफ) सामान्य प्रणाली के संचालन के समय यांत्रिक या इलेक्ट्रॉनिक प्रणाली की अंतर्निहित विफलताओं के बीच बीता हुआ अनुमानित समय है। एमटीबीएफ(MTBF) की गणना इसकी प्रणाली की विफलताओं के बीच अंकगणितीय माध्य औसत के सामयिक रूप में की जाती है। इस शब्द का उपयोग इसकी योग्य प्रणालियों के लिए किया जाता है, जबकि विफलता का समय (MTTF) गैर-मरम्मत योग्य प्रणाली के लिए विफलता के लिए अपेक्षित समय को दर्शाता है।

एमटीबीएफ की परिभाषा उस परिभाषा पर निर्भर करती है जिसे विफलता माना जाता है। जटिल मरम्मत योग्य प्रणालियों के लिए, विफलताओं को उनकी डिजाइन की स्थितियों से बाहर माना जाता है जो इसकी प्रणालियों की सेवा से बाहर रहकर मरम्मत की स्थिति में उपयुक्त होती हैं। वे विफलताएं जिन्हें छोड़ दिया जाता है या बिना मरम्मत की स्थिति में बनाए रखा जाता है, ऐसे प्रणाली को सेवा से बाहर नहीं रखा जाता है, इस परिभाषा के अनुसार विफलताओं को मान्यता नहीं दी जाती हैं। इसके अतिरिक्त, नियमित अनुसूचित रखरखाव या इन्वेंट्री नियंत्रण के लिए नीचे ले जाने वाली इकाइयों को विफलता की परिभाषा के अंतर्गत नहीं माना जाता है। एमटीबीएफ जितना अधिक होगा, विफल होने से पहले इसकी प्रणाली के कार्य करने की संभावना उतनी ही अधिक होगी।

अवलोकन
विफलताओं के बीच औसत समय (एमटीबीएफ) को सही करने के योग्य बनाये रखने के लिए इस प्रणाली के लिए दो विफलताओं के बीच अपेक्षित समय का वर्णन किया जाता है। उदाहरण के लिए तीन समान प्रणालियाँ 0 समय पर ठीक से कार्य करना प्रारंभ करती हैं और तब तक यह कार्य करती हैं जब तक कि वे सभी विफल न हो जाएँ। पहली प्रणाली 100 घंटे के पश्चात दूसरी 120 घंटे के पश्चात और तीसरी 130 घंटे के पश्चात असफल हो जाती है। इस प्रणाली का एमटीबीएफ तीन विफलताओं के समय का औसत माना जाता है, जो कि 116.667 घंटे के बराबर होता है। यदि प्रणाली गैर-मरम्मत योग्य होती हैं तो विफलताओं के बीच उनका औसत समय एमटीबीएफ की भिन्नता 116.667 घंटे पर निर्भर करता हैं।

सामान्यतः एमटीबीएफ ऑपरेशन के समय मरम्मत योग्य प्रणाली की दो विफलता अवस्थाओं के बीच का अप-टाइम है जैसा कि यहां बताया गया है:



प्रत्येक अवलोकन के लिए निम्न समय पर जो इसका तात्कालिक समय होता है वह पहले की तुलना में कम हो जाता है, तथा इसके ऊपर जाने के समय के साथ अधिक हो जाता है। यह अंतर (डाउन टाइम माइनस अप टाइम) वह समय है जब यह इन दो घटनाओं के बीच कार्य कर रहा होता हैं।

ऊपर दिए गए आंकड़े का मान देते हुए, घटक का एमटीबीएफ देखी गई विफलताओं की संख्या से विभाजित परिचालन अवधि की लंबाई का योग है:

\text{MTBF} = \frac{\sum{(\text{start of downtime} - \text{start of uptime})}}{\text{number of failures}}. $$ इसी प्रकार औसत निम्न समय (एमडीटी) को इस रूप में परिभाषित किया जा सकता है

\text{MDT} = \frac{\sum{(\text{start of uptime} - \text{start of downtime})}}{\text{number of failures}}. $$

गणना
एमटीबीएफ को विश्वसनीयता फलन के अंकगणितीय माध्य मान को $$R(t)$$ द्वारा परिभाषित किया गया है, जिसे घनत्व फलन के आपेक्षित मूल्य $$f(t)$$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, विफलता का समय:
 * $$\text{MTBF} = \int_0^\infty R(t)\, dt = \int_0^\infty tf(t)\, dt$$

एमटीबीएफ की व्यावहारिक रूप से प्रासंगिक गणना या एमटीबीएफ पर आधारित संभाव्य विफलता भविष्यवाणी की आवश्यकता है कि प्रणाली अपने उपयोगी जीवन काल के भीतर कार्य करता हैं, जो अपेक्षाकृत स्थिर विफलता दर (बाथटब वक्र के मध्य भाग) की विशेषता है तथा इसमें इस समय के अनुसार यादृच्छिक विफलताएं होती हैं।

$$\lambda$$ को निरंतर विफलता दर मानते हुए विफलता घनत्व फलन के परिणाम इस प्रकार है:

$$f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$$,

जो इसके अतिरिक्त प्रणाली की विफलता दर के व्युत्क्रम में एमटीबीएफ की उपर्युक्त गणना को सरल करता है :

$$\text{MTBF} = \frac{1}{\lambda}. \!$$

उपयोग की जाने वाली इकाइयाँ सामान्यतः घंटे या जीवनचक्र पर निर्भर करती हैं। इस प्रणाली के एमटीबीएफ और इसकी विफलता दर के बीच यह महत्वपूर्ण संबंध साधारण रूपांतरण या इसकी गणना की अनुमति देता है जब दो मात्राओं में से इसका मान ज्ञात हो और साथ ही घातीय वितरण निरंतर विफलता दर अर्थात व्यवस्थित विफलता नहीं माना जा सकता है। एमटीबीएफ घातीय वितरण का अपेक्षित मान औसत या माध्य होता है।

इस प्रकार किसी प्रणाली का एमटीबीएफ ज्ञात होने पर, इस बात की संभावना का अनुमान लगाया जा सकता है कि कोई विशेष प्रणाली समय पर एमटीबीएफ के बराबर कार्य करेगा। निरंतर विफलता दर की धारणा के अनुसार, कोई भी विशेष प्रणाली 36.8% की संभावना के साथ इसकी गणना की गई एमटीबीएफ तक जीवित रहेगी (अर्थात, यह 63.2% की संभावना के साथ पहले विफल हो जाएगी)। इस समय अवधि के भीतर कार्य कर रहे प्रणाली के एमटीटीएफ पर भी यही बात लागू होती है।

आवेदन
एमटीबीएफ मान का उपयोग प्रणाली विश्वसनीयता पैरामीटर के रूप में या विभिन्न प्रणालियों या डिज़ाइनों की तुलना करने के लिए किया जा सकता है। इस मान को केवल सशर्त रूप से "औसत जीवनकाल" (एक औसत मूल्य) के रूप में समझा जाना चाहिए, न कि कार्यशील और विफल इकाइयों के बीच मात्रात्मक पहचान के रूप में किया जाता हैं।

चूंकि एमटीबीएफ को "औसत जीवन काल" के रूप में व्यक्त किया जाता है, कई इंजीनियरों का यह मानना ​​है कि 50% आइटम समय T = MTBF, से विफल हो जाएंगे। यह अशुद्धि खराब डिज़ाइन निर्णयों का कारण बन सकती है। इसके अतिरिक्त, एमटीबीएफ पर आधारित संभाव्य विफलता भविष्यवाणी का अर्थ है व्यवस्थित विफलताओं की कुल अनुपस्थिति (अर्थात, केवल आंतरिक, यादृच्छिक विफलताओं के साथ निरंतर विफलता दर), जिसे सत्यापित करना आसान नहीं है। कोई व्यवस्थित त्रुटि न मानते हुए, अवधि, T के समय प्रणाली के जीवित रहने की संभावना की गणना exp^(-T/एमटीबीएफ) के रूप में की जाती है। इसलिए अवधि T के समय प्रणाली के विफल होने की प्रायिकता 1 - exp^(-T/एमटीबीएफ) द्वारा दी जाती है।

एमटीबीएफ मूल्य भविष्यवाणी उत्पादों के विकास में महत्वपूर्ण तत्व है। विश्वसनीयता अभियंता और डिज़ाइन अभियंता प्रायः विभिन्न विधियोंऔर मानकों (MIL-HDBK-217F, टेल्कोरिडा SR332, सीमेंस SN 29500, फाइड्स, UTE 80-810 (RDF2000), आदि) के अनुसार किसी उत्पाद के एमटीबीएफ की गणना करने के लिए विश्वसनीयता सॉफ़्टवेयर का उपयोग करते हैं। Mil-HDBK-217 विश्वसनीयता के आधार पर कैलकुलेटर मैनुअल रियल कैल्कुलेशन सॉफ़्टवेयर (या अन्य तुलनीय उपकरण) के संयोजन में डिज़ाइन के आधार पर एमटीबीएफ विश्वसनीयता दरों की भविष्यवाणी करने में सक्षम बनाता है।

एक अवधारणा जो एमटीबीएफ से निकटता से संबंधित है, और एमटीबीएफ से जुड़े कंप्यूटेशंस के लिए महत्वपूर्ण है, इसके अर्ताथ डाउन टाइम एमडीटी होता है। MDT को माध्य समय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो विफलता के बाद प्रणाली डाउन हो जाता है। सामान्यतः, MDT को MTTR (मीन टाइम टू रिपेयर) से अलग माना जाता है, विशेष रूप से, MDT में सामान्यतः संगठनात्मक और तार्किक कारक सम्मलित होते हैं (जैसे व्यावसायिक दिन या घटकों के आने की प्रतीक्षा करना) जबकि MTTR को सामान्यतः अधिक संकीर्ण और अधिक विधि के रूप में समझा जाता है।

एमटीबीएफ और एमडीटी घटकों के नेटवर्क के लिए
दो घटक $$c_1,c_2$$ (उदाहरण के लिए हार्ड ड्राइव, सर्वर, आदि) नेटवर्क में, श्रृंखला और समानांतर परिपथ में व्यवस्थित होते हैं। शब्दावली का उपयोग यहां विद्युत परिपथों के निकट सादृश्य द्वारा किया जाता है, किन्तु इसका थोड़ा अलग अर्थ है। हम कह सकते हैं कि दो घटक श्रृंखला में इस प्रकार होते हैं यदि किसी की विफलता नेटवर्क की विफलता का कारण बनती है, और यह स्थिति समानांतर दिशा में होती हैं, इस प्रकार यह स्थिति इन दोनों की विफलताओं के कारण नेटवर्क विफल हो जाता है। मरम्मत योग्य घटकों के साथ परिणामी दो-घटक नेटवर्क के एमटीबीएफ की गणना निम्न सूत्रों के अनुसार की जाती है, यह मानते हुए कि दोनों व्यक्तिगत घटकों का एमटीबीएफ ज्ञात है:
 * $$\text{mtbf}(c_1 ; c_2) = \frac{1}{\frac{1}{\text{mtbf}(c_1)} + \frac{1}{\text{mtbf}(c_2)}} = \frac{\text{mtbf}(c_1)\times \text{mtbf}(c_2)} {\text{mtbf}(c_1) + \text{mtbf}(c_2)}\;,$$

जहाँ $$c_1 ; c_2$$ वह नेटवर्क है जिसमें घटकों को श्रृंखला में व्यवस्थित किया जाता है।

समानांतर मरम्मत योग्य घटकों वाले नेटवर्क के लिए, पूरी प्रणाली के एमटीबीएफ का पता लगाने के लिए, घटक एमटीबीएफ के अतिरिक्त, उनके संबंधित MDTs को जानना भी आवश्यक है। फिर, यह मानते हुए कि एमटीबीएफ (जो सामान्यतः अभ्यास में खड़ा होता है) की तुलना में एमडीटी नगण्य हैं, दो समानांतर मरम्मत योग्य घटकों से मिलकर समानांतर प्रणाली के लिए एमटीबीएफ निम्नानुसार लिखा जाता है:

$$

\begin{align}\text{mtbf}(c_1 \parallel c_2) &= \frac{1}{\frac{1}{\text{mtbf}(c_1)}\times\text{PF}(c_2,\text{mdt}(c_1))+\frac{1}{\text{mtbf}(c_2)}\times\text{PF}(c_1,\text{mdt}(c_2))} \\[1em]&= \frac{1}{\frac{1}{\text{mtbf}(c_1)}\times\frac{\text{mdt}(c_1)}{\text{mtbf}(c_2)}+\frac{1}{\text{mtbf}(c_2)}\times\frac{\text{mdt}(c_2)}{\text{mtbf}(c_1)}} \\[1em]&= \frac{\text{mtbf}(c_1)\times \text{mtbf}(c_2)} {\text{mdt}(c_1) + \text{mdt}(c_2)}\;,

\end{align} $$

जहाँ $$c_1 \parallel c_2$$ वह नेटवर्क है जिसमें घटक समानांतर में व्यवस्थित होते हैं, और $$PF(c,t)$$ घटक की विफलता की संभावना है $$c$$ भेद्यता विंडो के समय $$t$$ पर निर्भर करता हैं।

सहज रूप से, इन दोनों सूत्रों को असफलता की संभावनाओं के दृष्टिकोण से समझाया जा सकता है। सबसे पहले, आइए ध्यान दें कि निश्चित समय सीमा के भीतर किसी प्रणाली के विफल होने की संभावना उसके एमटीबीएफ का व्युत्क्रम है। फिर घटकों की श्रृंखला पर विचार करते समय, किसी भी घटक की विफलता पूरे प्रणाली की विफलता की ओर ले जाती है, इसलिए (यह मानते हुए कि विफलता की संभावनाएं छोटी हैं, जो सामान्यतः होती है) किसी दिए गए अंतराल के भीतर पूरे प्रणाली की विफलता की संभावना हो सकती है घटकों की विफलता संभावनाओं के योग के रूप में अनुमानित होती हैं। समानांतर घटकों के साथ स्थिति थोड़ी अधिक जटिल है: पूरी प्रणाली विफल हो जाएगी यदि और केवल घटक के विफल होने के बाद, दूसरा घटक विफल हो जाता है जबकि पहले घटक की मरम्मत की जा रही है; यह वह जगह है जहां एमडीटी खेल में आता है: पहले घटक की जितनी तेजी से मरम्मत की जाती है, दूसरे घटक के विफल होने के लिए इसे भेदने के माध्यम में उतनी ही कम होती है।

समान तर्क का उपयोग करते हुए, दो सीरियल घटकों में से प्रणाली के लिए MDT की गणना इस प्रकार की जा सकती है: :

$$\text{mdt}(c_1 ; c_2) = \frac{\text{mtbf}(c_1)\times \text{mdt}(c_2) + \text{mtbf}(c_2)\times \text{mdt}(c_1)} {\text{mtbf}(c_1) + \text{mtbf}(c_2)}\;,$$

और दो समानांतर घटकों में से प्रणाली के लिए MDT की गणना इस प्रकार की जा सकती है:

$$\text{mdt}(c_1 \parallel c_2) = \frac{\text{mdt}(c_1)\times \text{mdt}(c_2)} {\text{mdt}(c_1) + \text{mdt}(c_2)}\;.$$

इन चार सूत्रों के क्रमिक अनुप्रयोग के माध्यम से, मरम्मत योग्य घटकों के किसी भी नेटवर्क के एमटीबीएफ और MDT की गणना की जा सकती है, परंतु एमटीबीएफ और MDT प्रत्येक घटक के लिए जाना जाता हो। कई धारावाहिक घटकों के विशेष किन्तु सभी महत्वपूर्ण स्थिति में, एमटीबीएफ गणना को सरलता से सामान्यीकृत किया जा सकता है
 * $$\text{mtbf}(c_1;\dots; c_n) = \left(\sum_{k=1}^n \frac 1{\text{mtbf}(c_k)}\right)^{-1}\;,$$

जिसे प्रेरण द्वारा दिखाया जा सकता है, और इसी तरह
 * $$\text{mdt}(c_1\parallel\dots\parallel c_n) = \left(\sum_{k=1}^n \frac 1{\text{mdt}(c_k)}\right)^{-1}\;,$$

चूंकि समानांतर में दो घटकों के एमडीटी के लिए सूत्र श्रृंखला में दो घटकों के लिए एमटीबीएफ के समान है।

एमटीबीएफ की विविधताएं
एमटीबीएफ की कई विविधताएं हैं, जैसे प्रणाली एबॉर्ट्स (एमटीबीएसए) के बीच औसत समय, महत्वपूर्ण विफलताओं के बीच औसत समय (एमटीबीसीएफ) या अनुसूचित निष्कासन (एमटीबीयूआर) के बीच औसत समय। इस प्रकार के नामकरण का उपयोग तब किया जाता है, जब विफलताओं के प्रकार जैसे महत्वपूर्ण और गैर-महत्वपूर्ण विफलताओं के बीच अंतर करना वांछनीय होता है। उदाहरण के लिए ऑटोमोबाइल में एफएम रेडियो की विफलता वाहन के प्राथमिक संचालन को नहीं रोकती है।

उन स्थिति में एमटीबीएफ के अतिरिक्त मीन टाइम टू फेलियर (एमटीटीएफ) का उपयोग करने की प्रस्तुति की जाती है, जहां विफलता (गैर-मरम्मत योग्य प्रणाली) के बाद प्रणाली को परिवर्तित कर दिया जाता है, क्योंकि एमटीबीएफ प्रणाली में विफलताओं के बीच के समय को दर्शाता है जिसे मरम्मत की जा सकती है।

एमटीटीएफडी एमटीटीएफ का विस्तार है, और केवल विफलताओं के बारे में चिंतित है जिसके परिणामस्वरूप खतरनाक स्थिति होगी। इसकी गणना निम्नानुसार की जा सकती है:

\begin{align} \text{MTTF} & \approx \frac{B_{10}}{0.1n_\text{onm}}, \\[8pt] \text{MTTFd} & \approx \frac{B_{10d}}{0.1n_\text{op}}, \end{align} $$ जहां B10 संचालन की संख्या है कि उपकरण उन उपकरणों के नमूने के 10% से पहले कार्य करेगा जो विफल हो जाएंगे और nop संचालन की संख्या है। B10d वही गणना है, किन्तु जहां 10% नमूना खतरे में विफल होगा। Nop वर्ष में संचालन/चक्र की संख्या है।

एमटीबीएफ सेंसर करने पर विचार कर रहा है
वास्तव में एमटीबीएफ की गिनती केवल विफलताओं के साथ कम से कम कुछ प्रणाली अभी भी कार्य कर रही है जो अभी तक विफल नहीं हुई है, एमटीबीएफ को उन प्रणालियों के आंशिक जीवनकाल की गणना में सम्मलित करने में विफल होने से कम करके आंका गया है जो अभी तक विफल नहीं हुए हैं। ऐसे जीवनकालों के साथ, हम केवल इतना जानते हैं कि असफलता का समय उनके द्वारा चलाए जा रहे समय से अधिक है। इसे सेंसरिंग (सांख्यिकी) कहा जाता है। वास्तव में जीवनकाल के पैरामीट्रिक मॉडल के साथ, सेंसरिंग (सांख्यिकी) संभावना होती हैं:


 * $$L = \prod_i \lambda(u_i)^{\delta_i} S(u_i)$$,

जहाँ
 * $$u_i$$ विफलताओं के लिए विफलता का समय है और उन इकाइयों के लिए सेंसर करने का समय है जो अभी तक विफल नहीं हुई हैं,
 * $$\delta_i$$ = 1 विफलताओं के लिए और 0 सेंसरिंग समय के लिए,
 * $$S(u_i)$$ = संभावना है कि जीवनकाल अधिक हो जाता है $$u_i$$, जिसे सर्वाइवल फंक्शन कहा जाता है, और
 * $$\lambda(u_i) = f(u)/S(u)$$ विफलता दर के लिए खतरे का कार्य करती है, यहाँ मृत्यु दर का तात्कालिक बल (जहां $$f(u)$$ = बंटन का प्रायिकता घनत्व फलन) होता हैं।

एक निरंतर घातीय वितरण के लिए, यह खतरा $$\lambda$$ मान पर स्थिर रहता है। इस स्थिति में, एमबीटीएफ है


 * एमटीबीएफ = $$1 / \hat\lambda = \sum u_i / k$$,

जहाँ $$\hat\lambda$$ का अधिकतम संभावना अनुमान है $$\lambda$$, ऊपर दी गई संभावना को अधिकतम करना और $$k = \sum \sigma_i$$ बिना सेंसर किए गए अवलोकनों की संख्या है।

हम देखते हैं कि केवल विफलताओं पर विचार करने वाले एमटीबीएफ और सेंसर किए गए अवलोकनों सहित एमटीबीएफ के बीच का अंतर यह है कि सेंसरिंग समय अंश में जुड़ जाता है किन्तु एमटीबीएफ की गणना में कोई भाजक प्रस्तुत नहीं होता हैं।