थीटा निर्वात

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, थीटा वैक्यूम गैर-एबेलियन समूह यांग-मिल्स सिद्धांत की अर्ध-शास्त्रीय राज्य कितना खाली है है | यांग-मिल्स सिद्धांत वैक्यूम कोण θ द्वारा निर्दिष्ट होते हैं जो तब उत्पन्न होता है जब राज्य को क्वांटम के रूप में लिखा जाता है टोपोलॉजी के अलग-अलग निर्वात राज्यों के एक अनंत सेट जितना कि सुपरइम्पोज़िशन वैक्यूम के गतिशील प्रभावों को θ-टर्म की उपस्थिति के माध्यम से लैग्रेंजियन यांत्रिकी में कैप्चर किया जाता है, जो क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स में फ़ाइन-ट्यूनिंग (भौतिकी)भौतिकी) समस्या की ओर जाता है जिसे मजबूत सीपी समस्या के रूप में जाना जाता है। इसकी खोज 1976 में कर्टिस कैलन, आंटी रोजर डी और डेविड ग्रॉस ने की थी। और स्वतंत्र रूप से रोमन जैकिव और क्लाउडियो रेब्बी द्वारा।

टोपोलॉजिकल वेकुआ
गैर-एबेलियन यांग-मिल्स सिद्धांतों की अर्ध-शास्त्रीय भौतिकी | अर्ध-शास्त्रीय वैक्यूम संरचना की जांच अक्सर गेज फिक्सिंग जैसे कुछ निश्चित गेज में बाती घुमाना  में की जाती है $$A_0 = 0$$. इस सिद्धांत की शास्त्रीय जमीनी अवस्थाओं में एक लुप्त विद्युतचुंबकीय टेंसर होता है जो गेज सिद्धांत#शुद्ध गेज विन्यास से मेल खाता है $$A_i = i\Omega \nabla_i \Omega^{-1}$$, जहां स्पेसटाइम में प्रत्येक बिंदु पर $$\Omega(x)$$ गैर-एबेलियन गेज समूह (गणित) से संबंधित कुछ गेज परिवर्तन है $$G$$. यह सुनिश्चित करने के लिए कि क्रिया (भौतिकी) सीमित है, $$\Omega(x)$$ कुछ निश्चित मूल्य तक पहुँचता है $$\Omega_\infty$$ जैसा $$|\boldsymbol x|\rightarrow \infty$$. चूंकि स्थानिक अनंत पर सभी बिंदु अब एक एकल नए बिंदु, स्थानिक कई गुना के रूप में व्यवहार करते हैं $$\mathbb R^3$$ 3-गोले के रूप में व्यवहार करता है $$S^3 = \mathbb R^3 \cup \{\infty\}$$ ताकि गेज क्षेत्र के लिए प्रत्येक शुद्ध गेज विकल्प को मैपिंग द्वारा वर्णित किया जा सके $$\Omega(x): S^3 \rightarrow G$$. जब प्रत्येक जमीनी राज्य  कॉन्फ़िगरेशन को चिकनाई गेज ट्रांसफॉर्मेशन के माध्यम से हर दूसरे ग्राउंड स्टेट कॉन्फ़िगरेशन में आसानी से परिवर्तित किया जा सकता है, तो सिद्धांत में एक एकल वैक्यूम स्टेट होता है, लेकिन यदि टोपोलॉजिकल रूप से अलग कॉन्फ़िगरेशन होते हैं तो इसमें एकाधिक रिक्तिका होती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि यदि दो अलग-अलग कॉन्फ़िगरेशन हैं जो सुचारू रूप से जुड़े नहीं हैं, तो एक को दूसरे में बदलने के लिए गैर-लुप्त क्षेत्र शक्ति टेंसर के साथ कॉन्फ़िगरेशन से गुजरना होगा, जिसमें गैर-शून्य ऊर्जा होगी। इसका मतलब यह है कि दोनों रिक्तिकाओं के बीच एक ऊर्जा अवरोध है, जो उन्हें अलग बनाता है।

यह प्रश्न कि क्या दो गेज विन्यासों को एक-दूसरे में आसानी से विकृत किया जा सकता है, मैपिंग के होमोटॉपी समूह द्वारा औपचारिक रूप से वर्णित किया गया है $$\Omega(x): S^3 \rightarrow G$$. उदाहरण के लिए, गेज समूह $$G=\text{SU}(2)$$ की अंतर्निहित विविधता है $$S^3$$ ताकि मैपिंग हो $$\Omega(x):S^3 \rightarrow S^3$$, जिसका एक समरूप समूह है $$\pi_3(\text{SU}(2)) = \mathbb Z$$. इसका मतलब यह है कि प्रत्येक मैपिंग के साथ कुछ पूर्णांक जुड़े होते हैं, जिन्हें इसकी वाइंडिंग संख्या कहा जाता है, जिसे इसके पोंट्रीगिन सूचकांक के रूप में भी जाना जाता है, यह मोटे तौर पर बताता है कि स्थानिक कितनी बार है $$S^3$$ समूह में मैप किया गया है $$S^3$$, फ़्लिप उन्मुखता  के कारण होने वाली नकारात्मक वाइंडिंग के साथ। केवल समान वाइंडिंग संख्या वाले मैपिंग को एक-दूसरे में आसानी से विकृत किया जा सकता है और कहा जाता है कि वे समान होमोटॉपी वर्ग से संबंधित हैं। गेज परिवर्तन जो घुमावदार संख्या को संरक्षित करते हैं उन्हें छोटे गेज परिवर्तन कहा जाता है जबकि जो घुमावदार संख्या को बदलते हैं उन्हें बड़े गेज परिवर्तन कहा जाता है। अन्य गैर-एबेलियन गेज समूहों के लिए $$G$$ उनमें से किसी एक पर ध्यान केंद्रित करना पर्याप्त है $$\text{SU}(2)$$ उपसमूह, यह सुनिश्चित करना $$\pi_3(G) = \mathbb Z$$. ऐसा इसलिए है क्योंकि हर मैपिंग $$S^3$$ पर $$G$$ निरंतर फ़ंक्शन को मैपिंग में विकृत किया जा सकता है $$\text{SU}(2)$$ का उपसमूह $$G$$, एक परिणाम जो बॉटल आवधिकता प्रमेय से आता है। यह एबेलियन गेज समूहों के विपरीत है जहां हर मैपिंग होती है $$S^3\rightarrow \text{U}(1)$$ स्थिर मानचित्र में विकृत किया जा सकता है और इसलिए एक एकल कनेक्टेड वैक्यूम स्थिति है। गेज फ़ील्ड कॉन्फ़िगरेशन के लिए $$A^i$$, कोई हमेशा वॉल्यूम इंटीग्रल से इसकी वाइंडिंग संख्या की गणना कर सकता है जो टेम्पोरल गेज द्वारा दिया गया है



n = \frac{ig^3}{24\pi^2}\int d^3 r \ \text{Tr}(\epsilon_{ijk}A^iA^jA^k), $$ कहाँ $$g$$ युग्मन स्थिरांक है. निर्वात के विभिन्न वर्ग अलग-अलग वाइंडिंग संख्याओं के साथ स्थित हैं $$|n\rangle$$ टोपोलॉजिकल वेकुआ के रूप में जाना जाता है।

थीटा वेकुआ
टोपोलॉजिकल वेकुआ यांग-मिल्स सिद्धांतों के उम्मीदवार वैक्यूम राज्य नहीं हैं क्योंकि वे बड़े गेज परिवर्तनों के eigenfunction नहीं हैं और इसलिए गेज अपरिवर्तनीय नहीं हैं। इसके बजाय राज्य पर कार्रवाई करें $$|n\rangle$$ बड़े गेज परिवर्तन के साथ $$\Omega_{m}$$ घुमावदार संख्या के साथ $$m$$ इसे एक अलग टोपोलॉजिकल वैक्यूम पर मैप करेगा $$\Omega_m|n\rangle = |n+m\rangle$$. वास्तविक निर्वात को छोटे और बड़े दोनों गेज परिवर्तनों का एक आदर्श होना चाहिए। इसी प्रकार बलोच प्रमेय|ब्लोच प्रमेय के अनुसार ईजेनस्टेट्स आवधिक क्षमता में जो रूप लेते हैं, निर्वात अवस्था टोपोलॉजिकल रिक्तिका का एक सुसंगत योग है



$$ राज्यों का यह सेट कोणीय चर द्वारा अनुक्रमित है $$\theta \in [0,2\pi)$$ θ-वेकुआ के नाम से जाने जाते हैं। वे अब से दोनों प्रकार के गेज परिवर्तनों के प्रतीक हैं $$\Omega_m|\theta\rangle = e^{-i\theta m}|\theta\rangle$$. शुद्ध यांग-मिल्स में, प्रत्येक मान $$\theta$$ एक अलग जमीनी स्थिति देगा जिस पर उत्तेजित अवस्थाएँ निर्मित होती हैं, जिससे अलग-अलग भौतिकी प्राप्त होती है। दूसरे शब्दों में, हिल्बर्ट स्पेस अतिचयन में विघटित हो जाता है क्योंकि दो अलग-अलग θ-वैकुआ के बीच गेज इनवेरिएंट ऑपरेटरों के अपेक्षित मूल्य गायब हो जाते हैं। $$\langle \theta|\mathcal O |\theta' \rangle = 0$$ अगर $$\theta \neq \theta'$$. यांग-मिल्स सिद्धांत गति के अपने समीकरणों के लिए परिमित क्रिया समाधान प्रदर्शित करते हैं जिन्हें एक पल  कहा जाता है। वे वाइंडिंग नंबर वाले इंस्टेंटन के साथ विभिन्न टोपोलॉजिकल वेकुआ के बीच क्वांटम टनलिंग के लिए जिम्मेदार हैं $$\nu$$ टोपोलॉजिकल वैक्यूम से सुरंग बनाने के लिए जिम्मेदार होना $$|n_-\rangle$$ को $$|n_+\rangle = |n_-+\nu\rangle$$. Instantons के साथ $$\nu=\pm 1$$ बीपीएसटी इंस्टेंटन के रूप में जाने जाते हैं। किसी भी सुरंग के बिना अलग-अलग θ-वैकुआ ऊर्जा के स्तर को कम कर देंगे, हालांकि इंस्टेंटन अध:पतन को उठाते हैं, जिससे विभिन्न अलग-अलग θ-वैकुआ शारीरिक रूप से एक दूसरे से अलग हो जाते हैं। विभिन्न रिक्तिका की जमीनी अवस्था की ऊर्जा विभाजित होकर रूप ले लेती है $$E(\theta) \propto \cos \theta$$, जहां आनुपातिकता का स्थिरांक इस बात पर निर्भर करेगा कि इंस्टेंटन टनलिंग कितनी मजबूत है।
 * \theta\rangle = \sum_n e^{in\theta}|n\rangle.

पथ अभिन्न सूत्रीकरण औपचारिकता में वैक्यूम-वैक्यूम संक्रमणों पर विचार करके θ-वैक्यूम की जटिल संरचना को सीधे यांग-मिल्स लैग्रेंजियन (क्षेत्र सिद्धांत) में शामिल किया जा सकता है।

\lim_{T \rightarrow \infty}\langle \theta|e^{-iHT}|\theta\rangle = \int \mathcal D A e^{iS+ i\int d^4 x \mathcal L_\theta}. $$ यहाँ $$H$$ हैमिल्टनियन है, $$S$$ यांग-मिल्स कार्रवाई, और $$\mathcal L_\theta$$ लैग्रेंजियन में एक नया सीपी उल्लंघन योगदान है जिसे θ-टर्म कहा जाता है



\mathcal L_\theta =\theta \frac{g^2}{32 \pi^2}\text{Tr}[F^{\mu \nu}\tilde F_{\mu \nu}], $$ कहाँ $$\tilde F^{\mu \nu} = \tfrac{1}{2}\epsilon^{\mu \nu \rho \sigma}F_{\rho \sigma}$$ दोहरी क्षेत्र शक्ति टेंसर है और ट्रेस समूह जनरेटर (गणित) पर है। यह शब्द कुल व्युत्पन्न है जिसका अर्थ है कि इसे इस रूप में लिखा जा सकता है $$\mathcal L_\theta = \partial_\mu K^\mu$$. लैग्रेंजियन में जोड़े जा सकने वाले अन्य कुल व्युत्पन्नों के विपरीत, इसके गैर-परेशान भौतिकी में भौतिक परिणाम होते हैं क्योंकि $$K^\mu$$ गेज अपरिवर्तनीय नहीं है. क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स में इस शब्द की उपस्थिति मजबूत सीपी समस्या की ओर ले जाती है क्योंकि यह न्यूट्रॉन विद्युत द्विध्रुवीय क्षण को जन्म देती है जिसे अभी तक नहीं देखा गया है, की फाइन ट्यूनिंग की आवश्यकता है $$\theta$$ बहुत छोटा होना.

फर्मिऑन के कारण संशोधन
यदि द्रव्यमान रहित फरमिओन्स सिद्धांत में मौजूद हैं तो निर्वात कोण अप्राप्य हो जाता है क्योंकि फर्मियन टोपोलॉजिकल वेकुआ के बीच इंस्टेंटन टनलिंग को दबा देते हैं। इसे एकल द्रव्यमान रहित फर्मियन के साथ यांग-मिल्स सिद्धांत पर विचार करके देखा जा सकता है $$\psi(x)$$. अभिन्न औपचारिकता पथ में दो टोपोलॉजिकल रिक्तिका के बीच एक इंस्टेंटन द्वारा सुरंग बनाने का रूप लिया जाता है



\begin{align} \langle n|n+\nu\rangle & \sim \int \mathcal D A \mathcal D \psi \mathcal D \bar \psi \exp\bigg(-\int d^4 x \frac{1}{2g^2}\text{tr} F^{\mu \nu}F_{\mu \nu}+i\bar \psi {D\!\!\!/} \psi\bigg) \\ & \sim \int \mathcal D A \det (i{D\!\!\!/}) \exp\bigg(-\int d^4x \frac{1}{2g^2}\text{tr} F^{\mu \nu}F_{\mu \nu}\bigg). \end{align} $$ यह फर्मियोनिक क्षेत्रों पर एकीकृत होने के बाद प्राप्त फर्मियन निर्धारक द्वारा शुद्ध यांग-मिल्स परिणाम से भिन्न होता है। निर्धारक गायब हो जाता है क्योंकि द्रव्यमान रहित फ़र्मियन वाले डिराक ऑपरेटर के पास किसी भी इंस्टेंटन कॉन्फ़िगरेशन के लिए कम से कम एक शून्य आइगेनवैल्यू होता है। जबकि इंस्टेंटन अब टोपोलॉजिकल वेकुआ के बीच सुरंग बनाने में योगदान नहीं देते हैं, इसके बजाय वे चिरल विसंगति का उल्लंघन करने में भूमिका निभाते हैं और इस प्रकार चिरल घनीभूत  को जन्म देते हैं। यदि इसके बजाय सिद्धांत में बहुत हल्के फर्मियन हैं तो θ-अवधि अभी भी मौजूद है, लेकिन इसके प्रभाव भारी रूप से दबा दिए गए हैं क्योंकि उन्हें फर्मियन द्रव्यमान के आनुपातिक होना चाहिए।

यह भी देखें

 * पर पल
 * मजबूत सीपी समस्या