फ़िल्टर बैंक

संकेत संसाधन में, फिल्टर बैंक या निस्यंदक बैंक बैंडपास निस्यंदक की एक सरणी है जो इनपुट संकेत (सिग्नल) को कई घटकों में अलग करता है और प्रत्येक मूल संकेत के एकल आवृत्ति उप-बैंड कोडिंग को सक्रिय किया जाता है। फ़िल्टर बैंक का अनुप्रयोग ग्राफिक तुल्यकारक होता है जो घटकों को अलग तरह से क्षीण कर सकता है और उन्हें मूल संकेत के संशोधित संस्करण में पुनः संयोजित कर सकता है। फ़िल्टर बैंक द्वारा की गई अपघटन की प्रक्रिया को विश्लेषण कहा जाता है (प्रत्येक उप-बैंड में इसके घटकों के संदर्भ में संकेत का विश्लेषण) विश्लेषण के आउटपुट को उप-बैंड संकेत के रूप में संदर्भित किया जाता है क्योंकि फ़िल्टर बैंक में फ़िल्टर के रूप में कई उप-बैंड होते हैं। जिसके कारण फ़िल्टरिंग प्रक्रिया से उत्पन्न पूर्ण संकेत के पुनर्निर्माण प्रक्रिया को संश्लेषण कहा जाता है।

डिजिटल संकेत प्रक्रिया में, फिल्टर बैंक शब्द सामान्यतः निस्यंदक के विपरीत फिल्टर बैंक पर भी प्रयुक्त होता है। इसमे अंतर यह है कि प्राप्तकर्ता भी अधोपरिवर्तक को कम केंद्र आवृत्ति में परिवर्तित करते हैं जिसे कम दर पर फिर से पुनर्निर्माण किया जा सकता है। यही परिणाम कभी-कभी बैंडपास और उप-बैंड को परिवर्तित करके प्राप्त किया जा सकता है।

फ़िल्टर बैंकों का एक अन्य अनुप्रयोग संकेत संपीड़न है जब कुछ आवृत्तियाँ दूसरों की तुलना में अधिक महत्वपूर्ण होती हैं। अपघटन के बाद, महत्वपूर्ण आवृत्तियों को ठीक विश्लेषण के साथ कोडित किया जा सकता है। इन आवृत्तियों पर छोटे अंतर महत्वपूर्ण होते हैं और इन अंतरों को संरक्षित करने वाली कोडिंग सिद्धांत योजना का उपयोग किया जाना आवशयक है दूसरी ओर, कम महत्वपूर्ण आवृत्तियों का शुद्ध होना आवश्यक नहीं होता है। इसमे एक सामान्य कोडिंग योजना का उपयोग किया जा सकता है यदि अपेक्षाकृत कम आवृत्ति वाले संकेत (कम महत्वपूर्ण) विवरण कोडिंग में परिवर्तित हो जाते है।

वोकोडर एक न्यूनाधिक या मॉडूलेटर संकेत (जैसे कि ध्वनि) के उप-बैंडों की आयाम जानकारी निर्धारित करने के लिए फिल्टर बैंक का उपयोग करता है और एक वाहक संकेत के उप-बैंडों के आयाम को नियंत्रित करने के लिए उनका उपयोग करता है जैसे गिटार या संश्लेषक का आउटपुट, इस प्रकार वाहक पर न्यूनाधिक संकेत की गतिशील विशेषताओं को प्रयुक्त किया जाता है।

कुछ फिल्टर बैंक लगभग पूर्ण रूप से से समय डोमेन में कार्य करते हैं, संकेत को छोटे बैंड में विभाजित करने के लिए चतुर्भुज दर्पण निस्यंदक या गोएर्टज़ेल एल्गोरिथम जैसी निस्यंदक की एक श्रृंखला का उपयोग करते हैं। अन्य फ़िल्टर बैंक तीव्र फूरियर रूपांतरण (एफएफटी) का उपयोग करते हैं।

एफएफटी फ़िल्टर बैंक
इनपुट डेटा प्रवाह के ओवरलैपिंग (अधिव्यापी) खंड पर एफएफटी के अनुक्रम का प्रदर्शन करके उपयोगकर्ता का एक बैंक बनाया जा सकता है। फ़िल्टर की आवृत्ति प्रतिक्रियाओं के आकार को नियंत्रित करने के लिए प्रत्येक खंड पर एक भारांकन फ़ंक्शन या विंडो फ़ंक्शन प्रयुक्त किया जाता है। आकार जितना बड़ा होता है नाइक्विस्ट परीक्षण विश्लेषण मानदंडों को पूरा करने के लिए उतनी ही बार एफएफटी की आवश्यकता होती है। एक निश्चित खंड लंबाई के लिए, ओवरलैप की संख्या निर्धारित करती है कि एफएफटी कितनी बार किया जाता है। इसके अतिरिक्त, फ़िल्टर का आकार जितना व्यापक होगा, इनपुट बैंडविड्थ को बढ़ाने के लिए उतने ही कम फ़िल्टर की आवश्यकता होगी। प्रत्येक भारित खंड को छोटे ब्लॉकों के अनुक्रम के रूप में मानकर अनावश्यक निस्यंदक (अर्थात आवृत्ति में कमी) को कुशलतापूर्वक नष्ट किया जाता है और एफएफटी केवल ब्लॉकों के योग पर किया जाता है। इसे डब्ल्यूओएलए और एफएफटी के रूप में संदर्भित किया गया है। इसके लिए देखें।

एक विशेष स्थिति तब होती है जब एक विशेष डिज़ाइन द्वारा खंड की लंबाई एफएफटीएस के बीच के अंतराल का पूर्णांक गुणक होता है। एफएफटी फ़िल्टर बैंक को एक या एक से अधिक बहुप्रावस्थीय फ़िल्टर संरचनाओं के रूप में वर्णित किया जा सकता है जहाँ फेज़ों को एक साधारण योग के अतिरिक्त एफएफटी द्वारा पुनर्संयोजित किया जाता है। प्रति खंड ब्लॉकों की संख्या प्रत्येक निस्यंदक की आवेग प्रतिक्रिया लंबाई है। एक सामान्य प्रयोजित प्रसंस्करण पर एफएफटी और बहु-फेज़ संरचनाओं की कम्प्यूटेशनल क्षमताएं समान होती हैं।

संश्लेषण (अर्थात एकाधिक उपयोगकर्ता के आउटपुट को दोबारा संबद्ध करना) मूल रूप से प्रत्येक संकेत को अपनी नई केंद्र आवृत्ति में अनुवादित करने और आवृत्ति की धाराओं को सारांशित करने के लिए कुल बैंडविड्थ के अनुरूप दर पर प्रतिचयन की स्थिति होती है। उस संदर्भ में, प्रतिचयन से संबद्ध अंतःक्षेप निस्यंदक को संश्लेषण निस्यंदक कहा जाता है। प्रत्येक चैनल की शुद्ध आवृत्ति प्रतिक्रिया फ़िल्टर बैंक (विश्लेषण फ़िल्टर) की आवृत्ति प्रतिक्रिया के साथ संश्लेषण फ़िल्टर का उत्पाद है। सामान्यतः तटस्थ चैनलों की आवृत्ति प्रतिक्रिया चैनल केंद्रों के बीच प्रत्येक आवृत्ति पर एक स्थिर मान के बराबर होती है। उस स्थिति को पूर्ण पुनर्निर्माण के रूप में जाना जाता है।

बैंकों का समय-आवृत्ति वितरण के रूप में फ़िल्टर
समय-आवृत्ति संकेत संसाधन में फ़िल्टर बैंक एक विशेष द्विघात समय-आवृत्ति वितरण (टीएफडी) है जो एक संयुक्त समय-आवृत्ति डोमेन में संकेत का प्रतिनिधित्व करता है। यह द्वि-आयामी फ़िल्टरिंग द्वारा 'विग्नर-विले वितरण' से संबंधित है जो द्विघात या द्विरेखीय समय-आवृत्ति वितरण की कक्ष को परिभाषित करता है। फ़िल्टर बैंक और स्पेक्ट्रम द्विघात टीएफडी बनाने के दो सबसे सरल तरीके हैं जो संक्षेप में समान होते हैं जैसे कि एक (स्पेक्ट्रोग्राम) समय डोमेन को विभिन्न खंडो में विभाजित करके और फिर एक फूरियर रूपांतरण प्राप्त किया जाता है, जबकि दूसरा (फ़िल्टर बैंक) बैंडपास फ़िल्टर बनाने वाले विभिन्न खंडो में आवृत्ति डोमेन को विभाजित करके प्राप्त किया जाता है जो विश्लेषण के अंतर्गत संकेत द्वारा संचालित होते हैं।

बहु-दर फ़िल्टर बैंक
बहु-दर फिल्टर बैंक एक संकेत को कई उप-बैंडों में विभाजित करता है जिसका आवृत्ति बैंड की बैंडविड्थ के अनुरूप विभिन्न दरों पर विश्लेषण किया जा सकता है। कार्यान्वयन संकेत संसाधन और प्रतिचयन विस्तार का उपयोग करता है। रूपान्तरण डोमेन में उन परिचालनों के प्रभावों में अतिरिक्त अंतर्दृष्टि के लिए और  देखें।

संकीर्ण निम्न आवृत्ति निस्यंदक
एक संकीर्ण निम्न आवृत्ति निस्यंदक को संकीर्ण पासबैंड के साथ निम्न आवृत्ति निस्यंदक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। बहु-दर सीमित निम्न आवृत्ति निस्यंदक (एफआईआर) बनाने के लिए, समयअ परिवर्तनीय निस्यंदक (एफआईआर) को निम्न आवृत्ति एन्टी-एलियासिंग निस्यंदक और एक निर्णायक निस्यंदक के साथ एक अन्तर्वेशक और निम्न आवृत्ति एंटी-प्रतिबिंबन निस्यंदक के साथ रूपांतरित कर सकते हैं। इस प्रकार परिणामी बहु-दर प्रणाली निर्णायक निस्यंदक और अन्तर्वेशक निस्यंदक के माध्यम से एक समय-डोमेन रैखिक फ़िल्टर है।

निम्न आवृत्ति निस्यंदक में दो बहु फ़ेज़ फ़िल्टर होते हैं एक डिकिमेटर (निर्णायक निस्यंदक) के लिए और दूसरा अन्तर्वेशक निस्यंदकके लिए, एक फ़िल्टर बैंक इनपुट संकेत को $$x\left(n\right)$$ मे विभाजित करता है संकेतों के अनुक्रम $$x_{1}(n),x_{2}(n),x_{3}(n),...$$. मे इस प्रकार से प्रत्येक उत्पन्न संकेत $$x\left(n\right)$$ के स्पेक्ट्रम में एक अलग क्षेत्र के अनुरूप होते है। इस प्रक्रिया में यह संभव हो सकता है कि क्षेत्र ओवरलैप हों। और उत्पन्न संकेत $$x_{1}(n),x_{2}(n),x_{3}(n),...$$ बैंडविड्थ के साथ बैंडपास निस्यंदक के समूह के संग्रह के माध्यम से उत्पन्न किया जा सकता है। $$\rm BW_{1},BW_{2},BW_{3},...$$ और $$f_{c1},f_{c2},f_{c3},...$$क्रमश केंद्र आवृत्तियों के एक बहु-दर फ़िल्टर बैंक एकल इनपुट संकेत का उपयोग करता है और फ़िल्टर द्वारा संकेत के कई आउटपुट उत्पन्न करता है। इनपुट संकेत को दो या दो से अधिक संकेत में विभाजित करने के लिए, एक विश्लेषण-संश्लेषण प्रणाली का उपयोग किया जा सकता है।

संकेत k = 0,1,2,3 के लिए 4 निस्यंदक $$H_{k}(z)$$ की सहायता से समान बैंडविथ के 4 बैंड निस्यंदक (विश्लेषण बैंक में) में विभाजित हो जाता है और प्रत्येक उप-संकेत को 4 फलन निस्यंदक से हटा दिया जाता है प्रत्येक बैंड में संकेत को विभाजित करके, अलग-अलग संकेत विशेषताएँ प्राप्त की जा सकती है। संश्लेषण अनुभाग में फ़िल्टर मूल संकेत का पुनर्निर्माण किया जाता है सबसे पहले, प्रसंस्करण इकाई के आउटपुट पर 4 उप-संकेत को 4 के गुणक द्वारा प्रतिचयनित करना और फिर 4 संश्लेषण फ़िल्टर द्वारा फ़िल्टर करना और $$F_{k}(z)$$ के लिए K= 0,1,2,3 में, इन 4 फ़िल्टरों के आउटपुट सम्बद्ध जाते हैं।

सांख्यिकीय रूप से अनुकूलित फ़िल्टर बैंक (आइगेन फ़िल्टर बैंक)
असतत-समय फ़िल्टर बैंक आधारित पारंपरिक पूर्ण पुनर्निर्माण फ़िल्टर बैंक के अतिरिक्त डिजाइन में वांछित इनपुट संकेत पर निर्भर सुविधाओं को सम्मिलित करने की स्वीकृति देता है। अधिकतम ऊर्जा संघनन, उप-बैंड संकेतों का डी-सह संबंध और दिए गए इनपुट सहप्रसरण/सहसंबंध संरचना के लिए अन्य विशेषताओं जैसे सूचना सिद्धांत को इष्टतम फिल्टर बैंकों के डिजाइन में सम्मिलित किया गया है। ये फ़िल्टर बैंक संकेत पर निर्भर करहुनेन-लोव रूपान्तरण (केएलटी) से संबद्ध होते हैं जो कि इष्टतम ब्लॉक रूपान्तरण है जहाँ आधार फलन (फ़िल्टर) की लंबाई L और उपसमष्‍टि आयाम M समान होता हैं।

बहु-आयामी फ़िल्टर बैंक
बहुआयामी फ़िल्टरिंग, निम्न निस्यंदक और उच्च निस्यंदक बहु-दर प्रणाली और फ़िल्टर बैंकों के मुख्य भाग हैं। एक पूर्ण फ़िल्टर बैंक में विश्लेषण और संश्लेषण पक्ष होते हैं। विश्लेषण फिल्टर बैंक अलग-अलग आवृत्ति स्पेक्ट्रा के साथ अलग-अलग उप-बैंडों के लिए एक इनपुट संकेत को विभाजित करता है। संश्लेषण भाग विभिन्न उप बैंड संकेतों को फिर से संयोजित किया जाता है जो एक पुनर्निर्मित संकेत उत्पन्न करता है।

पुनर्निर्मित खंडों में से दो निर्णायक और विस्तारक होते हैं। उदाहरण के लिए, इनपुट चार दिशात्मक उप बैंडों में विभाजित होता है जिनमें से प्रत्येक भार के आकार के आवृत्ति क्षेत्रों में से एक को नियंत्रित करता है। 1 डी प्रणालियों में, एम-फोल्ड निर्णायक केवल उन प्रतिदर्श को रखते हैं जो एम के गुणक हैं और अतिरिक्त को विभाजित कर देते हैं। जबकि बहु-आयामी प्रणालियों में निर्णायक D × D गैर-एकल पूर्णांक आव्यूह होते हैं। यह केवल उन प्रतिदर्श पर विचार करता है जो निर्णायक निस्यंदक द्वारा उत्पन्न जाल पर होते हैं। सामान्यतः प्रयुक्त किया जाने वाला निर्णायक निस्यंदक पंचक निर्णायक निस्यंदक है जिसका जालक पंचक आव्यूह से उत्पन्न होता है जिसे परिभाषित किया गया है:

$$\begin{bmatrix}1 & 1 \\-1 & 1 \end{bmatrix}$$

पंचक आव्यूह को उत्पन्न पंचक जालक के रूप में दिखाया गया है कि संश्लेषण भाग विश्लेषण भाग के लिए दोगुना है। उपबैंड अपघटन और पुनर्निर्माण के संदर्भ में फ़िल्टर बैंकों का आवृत्ति-डोमेन परिप्रेक्ष्य से विश्लेषण किया जा सकता है। हालांकि, समान रूप से महत्वपूर्ण है हिल्बर्ट समष्टि और फूरियर विश्लेषण फिल्टर बैंकों की हिल्बर्ट समष्टि व्याख्या, जो ज्यामितीय संकेत प्रस्तुतियों में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। सामान्य K चैनल फ़िल्टर बैंक के लिए, विश्लेषण निस्यंदक $$\left\{ h_{k}[n]\right\} _{k=1}^{K} $$ के साथ संश्लेषण निस्यंदक $$\left\{ g_{k}[n]\right\} _{k=1}^{K}$$, और प्रतिदर्श आव्यूह $$\left\{ M_{k}[n]\right\} _{k=1}^{K} $$ विश्लेषण पक्ष में सदिश निस्यंदक $$\ell^{2}(\mathbf{Z}^{d}) $$ को परिभाषित कर सकते हैं जैसा कि


 * $$\varphi_{k,m}[n]\stackrel{\rm def}{=}h_{k}^{*}[M_{k}m-n]$$,

प्रत्येक सूचकांक दो मापदंडों द्वारा: $$1\leq k\leq K$$ और $$m\in \mathbf{Z}^{2}$$ इसी प्रकार संश्लेषण निस्यंदक $$g_{k}[n]$$ के लिए $$\psi_{k,m}[n]\stackrel{\rm def}{=}g_{k}^{*}[M_{k}m-n]$$ को परिभाषित कर सकते हैं।

विश्लेषण या संश्लेषण अक्षों की परिभाषा को ध्यान में रखते हुए हम $$c_{k}[m]=\langle x[n],\varphi_{k,m}[n] \rangle$$ को सत्यापित कर सकते हैं और पुनर्निर्माण भाग के लिए:


 * $$\hat{x}[n]=\sum_{1\leq k\leq K,m\in \mathbf{Z}^{2}}c_{k}[m]\psi_{k,m}[n]$$.

दूसरे शब्दों में, विश्लेषण फ़िल्टर बैंक इनपुट संकेत के आंतरिक उत्पाद और विश्लेषण समुच्चय से सदिश की गणना करता है। इसके अतिरिक्त, संश्लेषण समुच्चय से सदिश के संयोजन में पुनर्निर्मित संकेत और गणना किए गए आंतरिक उत्पादों के संयोजन गुणांक, जिसका अर्थ है कि


 * $$\hat{x}[n]=\sum_{1\leq k\leq K,m\in \mathbf{Z}^{2}}\langle x[n],\varphi_{k,m}[n] \rangle\psi_{k,m}[n]$$

यदि अपघटन और उसके बाद के पुनर्निर्माण में कोई हानि नहीं होती है तो फ़िल्टर बैंक को पूर्ण पुनर्निर्माण कहा जाता है। इस स्थिति में $$x[n]=\hat{x[n]}$$ होता है आरेख मे n चैनलों के साथ एक सामान्य बहुआयामी फिल्टर बैंक और एक सामान्य प्रतिदर्श आव्यूह m दिखाता है। विश्लेषण भाग इनपुट संकेत $$x[n]$$ को रूपांतरित करता है n निस्यंदक और निम्न निस्यंदक आउटपुट में $$y_{j}[n],$$ $$j=0,1,...,N-1$$ संश्लेषण भाग मूल संकेत $$y_{j}[n]$$ को पुनः प्राप्त करता है उच्च निस्यंदक और निम्न निस्यंदक द्वारा इस प्रकार के सेटअप का उपयोग कई अनुप्रयोगों में किया जाता है जैसे कि उप बैंड कोडिंग, बहु चैनल अधिग्रहण और तरंग रूपांतरण मे किया जा सकता है।

पुनर्निर्माण फ़िल्टर बैंक
इसमे हम बहु-फेज प्रणाली का उपयोग कर सकते हैं, इसलिए इनपुट संकेत $$x[n]$$ इसके बहु-फेज घटकों के एक सदिशों द्वारा द्वारा दर्शाया जा सकता है:

$$x(z)\stackrel{\rm def}{=}(X_{0}(z),...,X_{|M|-1}(z))^{T} $$ और $$y(z)\stackrel{\rm def}{=}(Y_{0}(z),...,Y_{|N|-1}(z))^{T}.$$ तब $$y(z)=H(z)x(z)$$, जहां $$H_{i,j}(z)$$ निस्यंदक $$H_{i}(z)$$ बहु-फेज घटक को दर्शाता है। इसी प्रकार आउटपुट संकेत के लिए $$\hat{x}(z)=G(z)y(z)$$ प्राप्त होता है।

जहाँ $$\hat{x}(z)\stackrel{\rm def}{=}(\hat{X}_{0}(z),...,\hat{X}_{|M|-1}(z))^{T} $$ एक आव्यूह है और $$G_{i,j}(z)$$ संश्लेषण के jth बहु-फेज घटक को दर्शाता है।

फ़िल्टर बैंक का पूर्ण पुनर्निर्माण है यदि $$x(z)= \hat{x}(z)$$ किसी भी इनपुट के लिए या समकक्ष $$I_{|M|}=G(z)H(z)$$ जिसका अर्थ है कि G(z) H(z) का बायाँ व्युत्क्रम है।

बहु-आयामी फ़िल्टर डिज़ाइन
1-डी फ़िल्टर बैंक आज तक अपेक्षाकृत रूप से विकसित हैं। हालांकि छवि, वीडियो, 3डी ध्वनि, रडार, सोनार यन्त्र जैसे कई संकेत बहुआयामी हैं और बहुआयामी फिल्टर बैंकों के डिजाइन की आवश्यकता होती है।

संचार प्रौद्योगिकी के तीव्र विकास के साथ, संकेत प्रसंस्करण प्रणाली को प्रसंस्करण, संचार और अधिग्रहण के समय डेटा भंडारण करने के लिए अधिक स्थान की आवश्यकता होती है। संसाधित किए जाने वाले डेटा को कम करने, भंडारण को बचाने और जटिलता को कम करने के लिए इन लक्ष्यों को प्राप्त करने के लिए बहु-दर प्रतिदर्श तकनीकों को प्रस्तुत किया गया था। फ़िल्टर बैंकों का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में किया जा सकता है, जैसे छवि कोडिंग, ध्वनि कोडिंग, रडार इत्यादि मे पूर्ण रूप से किया जा सकता है। कई 1-डी फ़िल्टर समस्याओं का अच्छी तरह से अध्ययन किया गया और शोधकर्ताओं ने कई 1 डी फ़िल्टर बैंक डिज़ाइन दृष्टिकोण प्रस्तावित किए। लेकिन अभी भी कई बहुआयामी फ़िल्टर बैंक डिज़ाइन समस्याएं हैं जिन्हें हल करने की आवश्यकता है। हो सकता है कि कुछ विधियाँ संकेत को अच्छी तरह से पुनर्निमित न करें और क्योकि कुछ विधियाँ जटिल और प्रयुक्त करने में कठिन होती हैं।

एक बहु-आयामी फिल्टर बैंक को डिजाइन करने का सबसे सरल तरीका 1-डी फिल्टर बैंकों को एक ट्री संरचना के रूप में रूपांतरित करना है जहां आव्यूह विकर्ण है और डेटा को प्रत्येक आयाम में अलग से संसाधित किया जाता है। ऐसी प्रणालियों को वियोज्य प्रणालियों के रूप में संदर्भित किया जाता है। हालाँकि, फ़िल्टर बैंकों के लिए समर्थन का क्षेत्र वियोज्य नहीं हो सकता है। ऐसे में फिल्टर बैंक की डिजाइनिंग जटिल हो जाती है। अधिकांश स्थितियों में ये गैर-वियोज्य प्रणालियों से सम्बद्ध होते हैं।

एक फ़िल्टर बैंक में विश्लेषण चरण और संश्लेषण चरण होता है। प्रत्येक चरण में समानांतर में निस्यंदक का एक समूह होता है। फ़िल्टर बैंक डिज़ाइन विश्लेषण और संश्लेषण फ़ेज़ो में निस्यंदक का डिज़ाइन है। विश्लेषण फ़िल्टर एप्लिकेशन आवश्यकताओं के आधार पर संकेत को ओवरलैपिंग या गैर-ओवरलैपिंग उप बैंड में विभाजित करते हैं। जब इन निस्यंदक के आउटपुट को एक साथ सम्बद्ध किया जाता है तब संश्लेषण निस्यंदक को उप बैंड से इनपुट संकेत को फिर से बनाने के लिए डिज़ाइन किया जाना आवश्यक है प्रसंस्करण सामान्यतः विश्लेषण फेज़ के बाद किया जाता है। इन फ़िल्टर बैंकों को अनंत आवेग प्रतिक्रिया (आईआईआर) या परिमित आवेग प्रतिक्रिया (एफआईआर) के रूप में डिज़ाइन किया जा सकता है। आंकड़ा दर को कम करने के लिए निम्न निस्यंदक और उच्च निस्यंदक क्रमशः विश्लेषण और संश्लेषण चरणों में किए जाते हैं।

उपस्थित दृष्टिकोण
नीचे बहुआयामी फिल्टर बैंकों के डिजाइन पर कई दृष्टिकोण दिए गए हैं। अधिक जानकारी के लिए, कृपया मूल संदर्भ देखें।

बहुआयामी पूर्ण-पुनर्निर्माण फिल्टर बैंक
जब विभाजित संकेत को वापस मूल संकेत में फिर से बनाना आवश्यक होता है तब पूर्ण-पुनर्निर्माण (पीआर) फ़िल्टर बैंकों का उपयोग किया जा सकता है।

माना कि H(z) निस्यंदक का रूपांतरण कारक है। निस्यंदक के आकार को प्रत्येक आयाम में संबंधित बहुपद के क्रम के रूप में परिभाषित किया गया है। एक बहुपद की समरूपता या विरोधी-समरूपता संबंधित निस्यंदक की रैखिक चरण विधि निर्धारित करती है और इसके आकार से संबंधित होती है। 1डी स्थिति की तरह, 2 डी चैनल फ़िल्टर बैंक के लिए अपघटन A(z) और रूपांतरण कारक T(z) हैं:

A(z)=1/2(H0(-z) F0 (z)+H1 (-z) F1 (z)); T(z)=1/2(H0 (z) F0 (z)+H1 (z) F1 (z)), जहां H0 और H1 अपघटन निस्यंदक हैं, और F0 और F1 पुनर्निर्माण निस्यंदक हैं।

यदि उपनाम शब्द समाप्त कर दिया गया है और T(z) एकपद के बराबर है तो इनपुट संकेत को पूरी तरह से पुनर्निर्मित किया जा सकता है। तो आवश्यक शर्त यह है कि T'(z) सामान्यतः सममित और विषम-दर और विषम आकार का होता है।

छवि प्रसंस्करण के लिए रैखिक चरण पीआर निस्यंदक बहुत उपयोगी होते हैं। इसमे 2-डी चैनल फ़िल्टर बैंक प्रयुक्त करना अपेक्षाकृत आसान है। लेकिन कभी-कभी दो चैनल पर्याप्त नहीं होते हैं। बहु-चैनल फ़िल्टर बैंक उत्पन्न करने के लिए दो-चैनल फ़िल्टर बैंकों को सम्मिलित किया जा सकता है।

बहुआयामी दिशात्मक सतह और फिल्टर बैंक
M-आयामी दिशात्मक फिल्टर बैंक (एमडीएफबी) फिल्टर बैंकों का एक समूह है जो एक सरल और कुशल रैखिक संरचित निर्माण के साथ अपेक्षाकृत M-आयामी संकेत के दिशात्मक अपघटन को प्राप्त कर सकता है। इसमें कई विशिष्ट गुण हैं जैसे: दिशात्मक अपघटन, कुशल ट्री निर्माण, कोणीय विश्लेषण और पूर्ण पुनर्निर्माण सामान्य M-आयामी स्थिति मे एमडीएफबी के आदर्श आवृत्ति समर्थन अतिविम-आधारित हाइपरपिरामिड हैं। एमडीएफबी के लिए अपघटन का पहला स्तर एक n-चैनल अविचलित फिल्टर बैंक द्वारा प्राप्त किया जाता है जिसके घटक फिल्टर एम-डी "ऑवरग्लास"-आकार के फिल्टर हैं जो क्रमशः w1,...,wM अक्षों के साथ संरेखित होते हैं। उसके बाद, इनपुट संकेत को 2-डी पुनरावृत्त रूप से पुनः प्ररूपित किए गए शतरंज फलक फ़िल्टर बैंकों IRCli(Li)(i=2,3,...,M) की एक श्रृंखला द्वारा और विघटित किया जाता है, जहां IRCli(Li) 2-डी आयाम पर संचालित होता है। आयाम (n1,ni) और (Li) द्वारा दर्शाए गए इनपुट संकेत का अर्थ ith स्तर के फिल्टर बैंक के लिए अपघटन का स्तर है। ध्यान दें कि, दूसरे स्तर से प्रारम्भ करते हुए, हम पिछले स्तर से प्रत्येक आउटपुट चैनल में एक आईआरसी फ़िल्टर बैंक को संलग्न करते हैं और इसलिए फ़िल्टर में कुल 2(L1+...+LN) आउटपुट चैनल होते हैं।

बहुआयामी उच्च प्रतिदर्श फ़िल्टर बैंक
उच्च प्रतिदर्श फ़िल्टर बैंक बहु-दर फ़िल्टर बैंक होते हैं जहाँ विश्लेषण चरण में आउटपुट प्रतिदर्श की संख्या इनपुट प्रतिदर्श की संख्या से बड़ी होती है। यह जटिल अनुप्रयोगों के लिए प्रस्तावित होते है। उच्च प्रतिदर्श बैंकों का एक विशेष वर्ग बिना निम्न निस्यंदक या उच्च निस्यंदक के गैर निस्यंदक फिल्टर बैंक है। एक उच्च प्रतिदर्श फ़िल्टर बैंक के लिए सही पुनर्निर्माण की स्थिति को बहु-फेज़ डोमेन में आव्यूह व्युत्क्रम समस्या के रूप में कहा जा सकता है। आईआईआर उच्च प्रतिदर्श फ़िल्टर बैंक के लिए, वोलोविच में सही पुनर्निर्माण का अध्ययन किया गया है और कैलाथ। नियंत्रण सिद्धांत के संदर्भ में। जबकि एफआईआर ओवरसैंपल फिल्टर बैंक के लिए हमें 1-डी और एम-डी के लिए अलग-अलग रणनीति का इस्तेमाल करना होगा। एफआईआर निस्यंदक अधिक लोकप्रिय हैं क्योंकि इसे प्रयुक्त करना आसान है। 1-डी उच्च प्रतिदर्श एफआईआर फिल्टर बैंकों के लिए, यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म आव्यूह व्युत्क्रम समस्या में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। हालांकि, यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म बहुआयामी (एमडी) निस्यंदक के लिए विफल रहता है। एमडी निस्यंदक के लिए, हम एफआईआर प्रतिनिधित्व को बहुपद प्रतिनिधित्व में परिवर्तित कर सकते हैं। और फिर बहुआयामी उच्च प्रतिदर्श फ़िल्टर बैंकों की रूपरेखा और पुनर्निर्माण की स्थिति प्राप्त करने के लिए बीजगणितीय ज्यामिति और ग्रोबनर आधारों का उपयोग किया जा सकता है।

बहुआयामी गैर-नमूना एफआईआर फिल्टर बैंक
गैर-नमूना किए गए फ़िल्टर बैंक विशेष रूप से ओवर-नमूना किए गए फ़िल्टर बैंक होते हैं जिनमें डाउन-नमूनाकरण या अप-नमूनाकरण नहीं होता है। गैर-नमूनाकृत एफआईआर फिल्टर बैंकों के लिए सही पुनर्निर्माण की स्थिति एक वेक्टर उलटा समस्या की ओर ले जाती है: द विश्लेषण निस्यंदक $$\{H_{1},...,H_{N}\}$$ दिए गए हैं और एफआईआर, और लक्ष्य एफआईआर संश्लेषण निस्यंदक का एक सेट खोजना है $$\{G_{1},...,G_{N}\}$$ संतुष्टि देने वाला।

ग्रोबनेर बेस का प्रयोग
जैसा कि बहुआयामी फिल्टर बैंकों को बहुभिन्नरूपी तर्कसंगत मैट्रिसेस द्वारा दर्शाया जा सकता है, यह विधि एक बहुत प्रभावी उपकरण है जिसका उपयोग बहुआयामी फिल्टर बैंकों से निपटने के लिए किया जा सकता है। इन चारो, एक बहुभिन्नरूपी बहुपद आव्यूह-गुणनखंड एल्गोरिथम पेश किया गया है और चर्चा की गई है। सबसे आम समस्या सही पुनर्निर्माण के लिए बहुआयामी फिल्टर बैंक है। यह पत्र इस लक्ष्य को प्राप्त करने की विधि के बारे में बात करता है जो रैखिक चरण की विवश स्थिति को संतुष्ट करता है।

कागज के विवरण के अनुसार, गुणनखंड में कुछ नए परिणामों पर चर्चा की गई है और बहुआयामी रैखिक चरण पूर्ण पुनर्निर्माण परिमित-आवेग प्रतिक्रिया फ़िल्टर बैंकों के मुद्दों पर प्रयुक्त किया जा रहा है। एडम्स में ग्रोबनर ठिकानों की मूल अवधारणा दी गई है। बहुभिन्नरूपी आव्यूह गुणनखंडन पर आधारित यह दृष्टिकोण विभिन्न क्षेत्रों में उपयोग किया जा सकता है। बहुआयामी संकेतों के प्रसंस्करण, संपीड़न, संचरण और डिकोडिंग में समस्याओं को हल करने के लिए बहुपद आदर्शों और मॉड्यूल के एल्गोरिथम सिद्धांत को संशोधित किया जा सकता है।

सामान्य बहुआयामी फिल्टर बैंक (चित्र 7) को विश्लेषण और संश्लेषण पॉलीफ़ेज़ मैट्रिसेस की एक जोड़ी द्वारा दर्शाया जा सकता है $$H(z)$$ और $$G(z)$$ आकार का $$N\times M $$ और $$M\times N$$, जहां N चैनलों की संख्या है और $$M\stackrel{\rm def}{=}|M| $$ नमूना आव्यूह के निर्धारक का पूर्ण मूल्य है। भी $$H(z)$$ और $$G(z)$$ विश्लेषण और संश्लेषण निस्यंदक के पॉलीफ़ेज़ घटकों के जेड-रूपांतरण हैं। इसलिए, वे बहुभिन्नरूपी लॉरेंट बहुपद हैं, जिनका सामान्य रूप है:


 * $$F(z)=\sum_{k\in \mathbf{Z}^{d}}f[k]z^{k}=\sum_{k\in \mathbf{Z}^{d}}f[k_{1},...,k_{d}]z_{1}^{k_{1}}...z_{d}^{k_{d}}$$.

सही पुनर्निर्माण फिल्टर बैंकों को डिजाइन करने के लिए लॉरेंट बहुपद आव्यूह समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:


 * $$G(z)H(z)=I_{|M|}$$.

बहुभिन्नरूपी बहुपद वाले बहुआयामी मामले में हमें ग्रोबनेर आधारों के सिद्धांत और एल्गोरिदम का उपयोग करने की आवश्यकता है।

ग्रॉबनर बेस का उपयोग पूर्ण पुनर्निर्माण बहुआयामी फिल्टर बैंकों को चिह्नित करने के लिए किया जा सकता है, लेकिन इसे पहले बहुपद आव्यूह से लॉरेंट बहुपद आव्यूह तक विस्तारित करने की आवश्यकता है।

ग्रोबनर-आधार अभिकलन को बहुपद आव्यूह समीकरण को हल करने के लिए गॉसियन विलोपन के समकक्ष माना जा सकता है $$G(z)H(z)=I_{|M|}$$.

अगर हमारे पास बहुपद वैक्टर का सेट है


 * $$\mathrm{Module}\left\{ h_{1}(z),...,h_{N}(z)\right\} \stackrel{\rm def}{=}\{c_{1}(z)h_{1}(z)+...+c_{N}(z)h_{N}(z)\}$$

कहाँ $$c_{1}(z),...,c_{N}(z)$$ बहुपद हैं।

मॉड्यूल रैखिक बीजगणित में वैक्टर के एक सेट की अवधि के अनुरूप है। ग्रोबनर आधारों के सिद्धांत का अर्थ है कि मॉड्यूल में बहुपदों में बिजली उत्पादों के दिए गए क्रम के लिए एक अद्वितीय कम ग्रोबनर आधार है।

यदि हम ग्रोबनेर आधार को परिभाषित करते हैं $$\left\{ b_{1}(z),...,b_{N}(z)\right\}$$, यह हो सकता है से प्राप्त $$\left\{ h_{1}(z),...,h_{N}(z)\right\} $$ कमी के एक परिमित अनुक्रम द्वारा (विभाजन) कदम।

रिवर्स इंजीनियरिंग का उपयोग करके हम आधार सदिशों की गणना कर सकते हैं $$b_{i}(z)$$ मूल वैक्टर के संदर्भ में $$h_{j}(z)$$ किसी के जरिए $$K\times N$$ परिवर्तन आव्यूह $$W_{ij}(z)$$ जैसा:


 * $$b_{i}(z)=\sum_{j=1}^{N}W_{ij}(z)h_{j}(z),i=1,...,K$$

मानचित्रण-आधारित बहु-आयामी फ़िल्टर बैंक
ग्रोबनर आधारित दृष्टिकोण के माध्यम से अपेक्षाकृत अच्छी आवृत्ति प्रतिक्रियाओं के साथ फ़िल्टर डिजाइन करना चुनौतीपूर्ण है। अच्छी आवृत्ति प्रतिक्रियाओं के साथ अविभाज्य बहुआयामी फ़िल्टर बैंकों को डिज़ाइन करने के लिए लोकप्रिय रूप से उपयोग किए जाने वाले मानचित्रण आधारित दृष्टिकोण के निस्यंदक के प्रकार पर कुछ प्रतिबंध होते हैं हालाँकि, इसके कई महत्वपूर्ण लाभ है जैसे कि संरचनाओं के माध्यम से कुशल कार्यान्वयन मे प्रतिदर्श आव्यूह के साथ 2डी में दो-चैनल फिल्टर बैंकों का एक उदाहरण प्रदान करते हैं:

$$D_{1}=\left[\begin{array}{cc} 2 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right]$$

हमारे पास चैनल निस्यंदक $$H_{0}(\xi) $$ और $$G_{0}(\xi)$$ की आदर्श आवृत्ति प्रतिक्रियाओं के कई संभावित विकल्प है। ध्यान दें कि अन्य दो फ़िल्टर $$H_{1}(\xi) $$ और $$G_{1}(\xi)$$ आव्यूह क्षेत्रों पर समर्थित हैं। चित्र में सभी आवृत्ति क्षेत्रों को आयताकार जालक के द्वारा $$D_1$$ रूप से प्रतिरूपित किया जा सकता है। तब कल्पना करें कि फ़िल्टर बैंक पूर्ण पुनर्निर्माण प्राप्त करता है एफआईआर निस्यंदक के साथ बहु फ़ेज़ डोमेन के वर्णन से यह पता चलता है कि निस्यंदक $$H_{1}(\xi) $$ और $$G_{1}(\xi)$$ पूरी तरह से क्रमशः $$H_{0}(\xi) $$ और $$G_{0}(\xi)$$ द्वारा निर्दिष्ट है इसलिए, हमें $$H_{0}(\xi) $$ और $$G_{0}(\xi)$$ को डिजाइन करने की आवश्यकता होती है जिसमें वांछित आवृत्ति प्रतिक्रियाएं हैं और बहु फ़ेज़-डोमेन मे निम्न समीकरण सम्मिलित है।

$$H_{0}(z_{1},z_{2})G_{0}(z_{1},z_{2})+H_{0}(-z_{1},z_{2})G_{0}(-z_{1},z_{2})=2$$ उपरोक्त परिणाम प्राप्त करने के लिए विभिन्न मानचित्रण तकनीकों का उपयोग किया जा सकता है।

आवृत्ति डोमेन में फ़िल्टर-बैंक डिज़ाइन
जब सही पुनर्निर्माण की आवश्यकता नहीं होती है, तो एफआईआर निस्यंदक का उपयोग करने के अतिरिक्त आवृत्ति डोमेन में कार्य करके डिज़ाइन की समस्या को सरल बनाया जा सकता है। ध्यान दें कि आवृत्ति डोमेन विधि गैर-प्रतिदर्श किए गए फ़िल्टर बैंकों के डिज़ाइन तक सीमित नहीं है।

प्रत्यक्ष आवृत्ति-डोमेन अनुकूलन
2-डी चैनल फ़िल्टर बैंकों को डिजाइन करने के लिए उपस्थित तरीकों में से कई परिवर्तनीय तकनीक के रूपांतरण पर आधारित हैं। उदाहरण के लिए, 1-डी 2-चैनल फ़िल्टर बैंकों को डिजाइन करने के लिए मैकक्लीन रूपांतरण का उपयोग किया जा सकता है। हालांकि 2-डी फिल्टर बैंकों में 1-डी प्रोटोटाइप के साथ कई समान गुण होते हैं लेकिन 2-चैनल की स्थिति से अधिक तक विस्तार करना जटिल है। गुयेन में, लेखक आवृत्ति डोमेन में प्रत्यक्ष अनुकूलन द्वारा बहु-आयामी फ़िल्टर बैंकों के डिज़ाइन के विषय में प्रतिक्रिया करते हैं। यहां प्रस्तावित विधि मुख्य रूप से एम-चैनल 2-डी फिल्टर बैंक डिजाइन पर केंद्रित है। विधि आवृत्ति समर्थन विन्यास के प्रति नम्य होती है। आवृत्ति डोमेन में अनुकूलन द्वारा डिज़ाइन किए गए 2-डी फ़िल्टर बैंकों का उपयोग वी और एस में किया गया है गुयेन विधि में, प्रस्तावित पद्धति दो-चैनल 2-डी फिल्टर बैंकों के डिजाइन तक सीमित नहीं है यह दृष्टिकोण किसी भी महत्वपूर्ण उच्च निस्यंदक आव्यूह के साथ एम-चैनल फ़िल्टर बैंकों के लिए सामान्यीकृत है। इस विधि में कार्यान्वयन के अनुसार, इसका उपयोग 8-चैनल 2 डी फ़िल्टर बैंक डिज़ाइन को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है।

व्युत्क्रम जैकेट-आव्यूह
एलईई के 1999 के पेपर में लेखक व्युत्क्रम जैकेट आव्यूह का उपयोग करके बहु-आयामी फ़िल्टर बैंक डिज़ाइन के विषय में पारस्परिक क्रिया करते हैं। H को क्रम n का एक हैडमार्ड आव्यूह मे माना कि H का स्थानान्तरण इसके व्युत्क्रम की निकटता से संबंधित है। सही सूत्र $$HH^T=I_n$$ जहां n×n पहचान आव्यूह है और HT, H का ट्रांसपोज़ है। 1999 के पेपर में लेखक व्युत्क्रम जैकेट आव्यूह का उपयोग करके हैडमार्ड आव्यूह और भारित हैडमार्ड आव्यूह का सामान्यीकरण करते हैं।

इस पेपर में, लेखकों ने प्रस्तावित किया कि 128 टैप वाले एफआईआर निस्यंदक को एक आधारिक निस्यंदक के रूप में प्रयुक्त किया जाना चाहिए और आरजे आव्यूह के लिए सही कारक की गणना की जाती है। उन्होंने विभिन्न मापदंडों के आधार पर विश्लेषण किया और अपेक्षाकृत कम क्षय कारक में अच्छी गुणवत्ता के प्रदर्शन को प्राप्त किया है।

दिशात्मक फ़िल्टर बैंक
बामबर्गर और स्मिथ ने एक 2डी दिशात्मक फ़िल्टर बैंक (डीएफबी) प्रस्तावित किया। डीएफबी कुशलता को एक एल-स्तर ट्री-संरचना अपघटन के माध्यम से कार्यान्वित किया जाता है जो वेज-शेप्ड (कीलाकार) आवृत्ति के साथ उपबैंड की ओर जाता है (चित्र देखें)। डीएफबी के मूल निर्माण में इनपुट संकेत को संशोधित करना और आवश्यकता के अनुसार के आकार के निस्यंदक का उपयोग करना सम्मिलित है। इसके अतिरिक्त वांछित आवृत्ति विभाजन प्राप्त करने के लिए, एक जटिल ट्री विस्तार नियम का अनुसरण किया जाना आवश्यक होता है। परिणामस्वरूप, परिणामी उप-बैंडों के लिए आवृत्ति क्षेत्र एक साधारण क्रम का अनुसरण नहीं करते हैं जैसा कि चैनल सूचकांकों के आधार पर चित्र 9 में दिखाया गया है।

डीएफबी का पहला लाभ यह है कि यह न केवल एक निरर्थक परिवर्तन है बल्कि यह पूर्ण पुनर्निर्माण भी प्रदान करता है। डीएफबी का एक अन्य लाभ इसकी दिशात्मक-चयनात्मकता और कुशल संरचना है। यह लाभ डीएफबी को कई संकेत और इमेज प्रसंस्करण उपयोग के लिए उपयुक्त दृष्टिकोण बनाता है। (उदाहरण के लिए, लाप्लासियन पिरामिड, कंटूरलेट्स का निर्माण किया, विरल छवि प्रतिनिधित्व, चिकित्सा इमेजिंग, वगैरह।)।

डीएफबी का पहला लाभ यह है कि यह न केवल एक निरर्थक परिवर्तन है बल्कि यह पूर्ण पुनर्निर्माण भी प्रदान करता है। डीएफबी का एक अन्य लाभ इसकी दिशात्मक-चयनात्मकता और कुशल संरचना है। यह लाभ डीएफबी को कई संकेत और छवि प्रसंस्करण उपयोग के लिए उपयुक्त दृष्टिकोण बनाता है। उदाहरण के लिए, लाप्लासियन पिरामिड, निर्धारित की हुई रूपरेखा का निर्माण, छवि प्रतिनिधित्व, चिकित्सा आदि। दिशात्मक फ़िल्टर बैंकों को उच्च आयामों में विकसित किया जा सकता है। आवृत्ति परिच्छेदन प्राप्त करने के लिए इसका उपयोग 3-डी प्रारूप में किया जा सकता है।

फ़िल्टर-बैंक संप्रेषी अभिग्राही (ट्रांसीवर)
विस्तृत बैंड वायरलेस संचार में भौतिक परत के लिए फ़िल्टर बैंक महत्वपूर्ण तत्व हैं, जहां समस्या कई चैनलों के कुशल आधार-बैंड प्रसंस्करण कि होती है। एक फ़िल्टर-बैंक-आधारित संप्रेषी अभिग्राही संरचना गैर-सन्निहित चैनलों कि स्थिति में पिछली योजनाओं द्वारा प्रस्तुत की गई मापनीयता और दक्षता के कारणों को समाप्त करता है। फ़िल्टर बैंक के कारण प्रदर्शन में अपेक्षाकृत कमी को कम करने के लिए उपयुक्त फ़िल्टर डिज़ाइन आवश्यक है। सार्वभौमिक रूप से प्रयुक्त डिज़ाइन प्राप्त करने के लिए, तरंग प्रारूप, चैनल आँकड़े और कोडिंग/डिकोडिंग योजना के बारे में साधारण धारणाएँ बनाई जा सकती हैं। अन्वेषणात्मक और इष्टतम डिजाइन पद्धति दोनों का उपयोग किया जा सकता है और कम जटिलता के साथ उत्कृष्ट प्रदर्शन संभव है जब तक कि संप्रेषी अभिग्राही यथोचित बड़े उच्च प्रतिदर्श कारक के साथ संचालित होता है। एक क्रियात्मक अनुप्रयोग ओएफडीएम संचार है जहां वे अपेक्षाकृत छोटी अतिरिक्त जटिलता के साथ बहुत अच्छा प्रदर्शन प्रदान करते हैं।