स्थानीय रूप से सीमित संग्रह

टोपोलॉजिकल स्पेस के सबसेट का संग्रह $$X$$ इसे स्थानीय रूप से परिमित कहा जाता है यदि अंतरिक्ष के प्रत्येक बिंदु में एक पड़ोस (गणित) होता है जो संग्रह में केवल कई सेटों को प्रतिच्छेद करता है।

टोपोलॉजी के गणित क्षेत्र में, स्थानीय परिमितता एक टोपोलॉजिकल स्पेस के सबसेट के सेट के परिवार की एक संपत्ति है। यह पैराकॉम्पैक्टनेस और टोपोलॉजिकल आयाम के अध्ययन में मौलिक है।

ध्यान दें कि स्थानीय रूप से परिमित (बहुविकल्पी) शब्द के अन्य गणितीय क्षेत्रों में अलग-अलग अर्थ हैं।

उदाहरण और गुण
टोपोलॉजिकल स्पेस के सबसेट का एक सीमित सेट संग्रह स्थानीय रूप से सीमित है। अनंत संग्रह भी स्थानीय रूप से परिमित हो सकते हैं: उदाहरण के लिए, सभी उपसमूहों का संग्रह $$\mathbb{R}$$ रूप का $$(n, n+2)$$ एक पूर्णांक के लिए $$n$$. उपसमुच्चय के गणनीय अनंत संग्रह को स्थानीय रूप से परिमित होने की आवश्यकता नहीं है, जैसा कि सभी उपसमुच्चयों के संग्रह से पता चलता है $$\mathbb{R}$$ रूप का $$(-n, n)$$ एक प्राकृतिक संख्या के लिए n.

यदि सेटों का संग्रह स्थानीय रूप से सीमित है, तो सभी सेट बंद करना  का संग्रह भी स्थानीय रूप से सीमित है। इसका कारण यह है कि यदि एक खुला सेट जिसमें एक बिंदु होता है, एक सेट के क्लोजर को काटता है, तो यह आवश्यक रूप से सेट को ही काटता है, इसलिए एक पड़ोस अधिकतम समान संख्या में क्लोजर को काट सकता है (यह कम प्रतिच्छेद कर सकता है, क्योंकि दो अलग-अलग, वास्तव में) असंयुक्त, समुच्चयों का समापन समान हो सकता है)। हालाँकि, यदि सेट के क्लोजर अलग-अलग नहीं हैं, तो बातचीत विफल हो सकती है। उदाहरण के लिए, परिमित पूरक टोपोलॉजी में $$\mathbb{R}$$ सभी खुले सेटों का संग्रह स्थानीय रूप से सीमित नहीं है, लेकिन इन सेटों के सभी क्लोजर का संग्रह स्थानीय रूप से सीमित है (क्योंकि केवल क्लोजर ही हैं) $$\mathbb{R}$$ और खाली सेट)।

संक्षिप्त स्थान
किसी सघन स्थान के उपसमुच्चय का प्रत्येक स्थानीय रूप से परिमित संग्रह परिमित होना चाहिए। वास्तव में, चलो $$G=\{G_{a}|a\in A\}$$ एक सघन स्थान के सबसेट के सेट का स्थानीय रूप से परिमित परिवार बनें $$X$$. प्रत्येक बिंदु के लिए $$x\in X$$, एक खुला पड़ोस चुनें $$U_{x}$$ जो उपसमुच्चय की एक सीमित संख्या को प्रतिच्छेद करता है $$G$$. स्पष्ट रूप से सेट का परिवार: $$\{U_{x}|x\in X\}$$ का एक खुला आवरण है $$X$$, और इसलिए इसका एक सीमित उपकवर है: $$\{U_{k_n}|n\in 1\dots n\}$$. प्रत्येक के बाद से $$U_{k_i}$$ उपसमुच्चय की केवल एक सीमित संख्या को प्रतिच्छेद करता है $$G$$, ऐसे सभी का मिलन $$U_{k_i}$$ उपसमुच्चय की केवल एक सीमित संख्या को प्रतिच्छेद करता है $$G$$. चूँकि यह मिलन ही सम्पूर्ण स्थान है $$X$$, यह इस प्रकार है कि $$$$ संग्रह में उपसमुच्चयों की केवल एक सीमित संख्या को प्रतिच्छेदित करता है $$G$$. और तबसे $$G$$ के उपसमुच्चय से बना है $$X$$ के प्रत्येक सदस्य $$G$$ प्रतिच्छेद करना चाहिए $$X$$, इस प्रकार $$G$$ परिमित है.

एक टोपोलॉजिकल स्पेस जिसमें प्रत्येक खुला आवरण स्थानीय रूप से परिमित खुले शोधन (टोपोलॉजी) को स्वीकार करता है, पैराकॉम्पैक्ट स्पेस कहलाता है। टोपोलॉजिकल स्पेस के उपसमुच्चय का प्रत्येक स्थानीय रूप से परिमित संग्रह भी बिंदु-परिमित संग्रह है|बिंदु-परिमित है। एक टोपोलॉजिकल स्पेस जिसमें प्रत्येक खुला आवरण एक बिंदु-परिमित खुले शोधन को स्वीकार करता है, मेटाकॉम्पैक्ट स्पेस कहलाता है।

द्वितीय गणनीय रिक्त स्थान
लिंडेलॉफ स्पेस का कोई भी बेशुमार अनंत कवर (टोपोलॉजी) स्थानीय रूप से सीमित नहीं हो सकता है, अनिवार्य रूप से कॉम्पैक्ट स्पेस के मामले में उसी तर्क के आधार पर। विशेष रूप से, दूसरे-गणनीय स्थान का कोई भी बेशुमार आवरण स्थानीय रूप से सीमित नहीं है।

बंद सेट
बंद समुच्चयों का एक परिमित संघ सदैव बंद रहता है। कोई भी बंद सेटों के अनंत संयोजन का उदाहरण आसानी से दे सकता है जो बंद नहीं है। हालाँकि, यदि हम बंद सेटों के स्थानीय रूप से सीमित संग्रह पर विचार करते हैं, तो संघ बंद है। इसे देखने के लिए हम नोट करते हैं कि यदि $$x$$ बंद सेटों के इस स्थानीय रूप से सीमित संग्रह के मिलन के बाहर एक बिंदु है, हम केवल एक पड़ोस चुनते हैं $$V$$ का $$x$$ जो इस संग्रह को इनमें से केवल बहुत से सेटों पर ही प्रतिच्छेदित करता है। सेटों के संग्रह से एक विशेषण मानचित्र को परिभाषित करें $$V$$ को प्रतिच्छेद करता है $${1,\dots,k}$$ इस प्रकार इनमें से प्रत्येक सेट को एक सूचकांक दिया जाता है। फिर प्रत्येक सेट के लिए, एक खुला सेट चुनें $$U_i$$ युक्त $$x$$ वह इसे काटता नहीं है। ऐसे सभी का प्रतिच्छेदन $$U_i$$ के लिए $$1\leq i\leq k$$ के साथ प्रतिच्छेद किया गया $$V$$, का पड़ोस है $$x$$ यह बंद सेटों के इस संग्रह के मिलन को प्रतिच्छेद नहीं करता है।

गणनीय रूप से स्थानीय रूप से सीमित संग्रह
किसी स्थान में एक संग्रह $$X$$ है (या) यदि यह उपसमुच्चय के स्थानीय रूप से सीमित संग्रहों के गणनीय परिवार का संघ है $$X$$. गणनीय रूप से स्थानीय परिमितता नागाटा-स्मिरनोव मेट्रिज़ेशन प्रमेय में एक प्रमुख परिकल्पना है, जो बताती है कि एक टोपोलॉजिकल स्पेस मेट्रिज़ेबल है यदि और केवल अगर यह नियमित स्थान है और इसका गणनीय स्थानीय रूप से परिमित आधार (टोपोलॉजी) है।