एपिमोर्फिज्म

श्रेणी सिद्धांत में, एक एपिमोर्फिज्म (जिसे एपिक मोर्फिज्म भी कहा जाता है या, बोलचाल की भाषा में, एक एपि) एक मोर्फिज्म f : X → Y है, जो रद्द करने की संपत्ति है। अर्थ में राइट-कैंसलेटिव वह, सभी वस्तुओं के लिए Z और सभी morphisms ,
 * $$g_1 \circ f = g_2 \circ f \implies g_1 = g_2.$$

एपिमोर्फिज्म विशेषण कार्यों के स्पष्ट अनुरूप हैं (और सेट की श्रेणी में अवधारणा विशेषण कार्यों के बिल्कुल अनुरूप है), लेकिन वे सभी संदर्भों में बिल्कुल मेल नहीं खा सकते हैं; उदाहरण के लिए, समावेशन $$ \mathbb{Z}\to\mathbb{Q} $$ एक रिंग एपिमोर्फिज्म है। एक एपिमोर्फिज्म का दोहरा (श्रेणी सिद्धांत) एक एकरूपता है (अर्थात एक श्रेणी (गणित) में एक एपिमोर्फिज्म, दोहरी (श्रेणी सिद्धांत) सी में एक मोनोमोर्फिज्म हैसेशन).

सार बीजगणित और सार्वभौमिक बीजगणित में कई लेखक एक एपिमोर्फिज्म को केवल एक 'पर' या विशेषण समरूपता के रूप में परिभाषित करते हैं। इस बीजगणितीय अर्थ में प्रत्येक एपिमोर्फिज्म श्रेणी सिद्धांत के अर्थ में एक एपिमोर्फिज्म है, लेकिन इसका विलोम सभी श्रेणियों में सत्य नहीं है। इस लेख में, एपिमोर्फिज्म शब्द का उपयोग ऊपर दिए गए श्रेणी सिद्धांत के अर्थ में किया जाएगा। इस पर अधिक जानकारी के लिए देखें नीचे।

उदाहरण
एक ठोस श्रेणी में प्रत्येक आकृतिवाद जिसका अंतर्निहित कार्य (गणित) विशेषण है, एक एपिमोर्फिज्म है। रुचि की कई ठोस श्रेणियों में इसका विलोम भी सत्य होता है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित श्रेणियों में, एपीमॉर्फिज्म वास्तव में वे आकृतिवाद हैं जो अंतर्निहित सेटों पर विशेषण हैं: हालांकि, ब्याज की कई ठोस श्रेणियां भी हैं जहां अधिरूपता विशेषण होने में विफल रहती हैं। कुछ उदाहरण हैं:
 * सेट की श्रेणी: सेट (गणित) और कार्य। यह साबित करने के लिए कि सेट में हर एपिमोर्फिज्म f: X → Y विशेषण है, हम इसे दोनों संकेतक फ़ंक्शन g के साथ बनाते हैं1: Y → छवि f(X) और मानचित्र g का {0,1}2: Y → {0,1} जो स्थिर 1 है।
 * 'रिल': द्विआधारी संबंधों और संबंध-संरक्षण कार्यों के साथ सेट करता है। यहां हम 'सेट' के समान प्रमाण का उपयोग कर सकते हैं, {0,1} को पूर्ण संबंध {0,1}×{0,1} से लैस कर सकते हैं।
 * 'स्थिति': आंशिक रूप से आदेशित सेट और मोनोटोन समारोह यदि f : (X, ≤) → (Y, ≤) विशेषण नहीं है, तो y चुनें0 Y \ f(X) में और g1 : Y → {0,1} {y | वाई0 ≤ वाई} और जी2 : Y → {0,1} {y | वाई0 <वाई}। यदि {0,1} को 0 <1 का मानक क्रम दिया जाता है, तो ये मानचित्र मोनोटोन हैं।
 * 'समूहों की श्रेणी': समूह (गणित) और समूह समरूपता। परिणाम यह है कि 'जीआरपी' में प्रत्येक एपिमोर्फिज्म विशेषण है, ओटो श्रेयर के कारण है (वह वास्तव में अधिक साबित हुआ, यह दिखाते हुए कि प्रत्येक उपसमूह एक समामेलित उपसमूह के साथ मुक्त उत्पाद का उपयोग करके एक तुल्यकारक (गणित) है); एक प्रारंभिक प्रमाण (लिंडरहोम 1970) में पाया जा सकता है।
 * 'FinGrp': परिमित समूह और समूह समरूपता। श्रेयर के कारण भी; (लिंडरहोम 1970) में दिया गया प्रमाण इस मामले को भी स्थापित करता है।
 * '[[एबेलियन समूहों की श्रेणी]]': एबेलियन समूह और समूह समरूपता।
 * ' सदिश स्थल की श्रेणी|के-वेक्ट': क्षेत्र पर वेक्टर स्पेस (गणित) के और रैखिक रूपांतरण|के-रैखिक परिवर्तन।
 * 'मॉड'-आर: मॉड्यूल (गणित) एक रिंग पर (गणित) आर और मॉड्यूल समरूपता। यह पिछले दो उदाहरणों का सामान्यीकरण करता है; यह साबित करने के लिए कि 'मॉड'-आर में हर एपिमोर्फिज्म f: X → Y विशेषण है, हम इसे दोनों विहित भागफल मॉड्यूल g के साथ बनाते हैं 1: Y → Y/f(X) और शून्य मानचित्र g2: वाई → वाई / एफ (एक्स)।
 * ' टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी': टोपोलॉजिकल स्पेस और निरंतर कार्य। यह साबित करने के लिए कि 'टॉप' में प्रत्येक एपिमॉर्फिज़्म विशेषण है, हम ठीक 'सेट' की तरह आगे बढ़ते हैं, {0,1} तुच्छ टोपोलॉजी देते हैं, जो यह सुनिश्चित करता है कि सभी माने गए नक्शे निरंतर हैं।
 * 'HComp': कॉम्पैक्ट जगह  हॉसडॉर्फ स्पेस और निरंतर कार्य। यदि f: X → Y विशेषण नहीं है, तो y ∈ Y − fX दें। चूँकि fX बंद है, Urysohn के लेम्मा द्वारा एक सतत कार्य g है1:Y → [0,1] ऐसा है कि g1 fX पर 0 और y पर 1 है। हम दोनों जी के साथ एफ बनाते हैं1 और शून्य कार्य जी2: वाई → [0,1]।
 * मोनोइड (श्रेणी सिद्धांत) में, 'सोम', समावेशन मानचित्र 'एन' → 'जेड' एक गैर-आक्षेपिक अधिरूपता है। इसे देखने के लिए, मान लीजिए कि g1 और जी2 Z से कुछ मोनॉइड M के दो अलग-अलग मानचित्र हैं। फिर Z में कुछ n के लिए, g1(एन) ≠ जी2(एन), गीत1(-एन) ≠ जी2(-एन)। या तो n या -n 'N' में है, इसलिए g का प्रतिबंध1 और जी2 N से असमान हैं।
 * क्रमविनिमेय वलय R के ऊपर बीजगणित की श्रेणी में, R[N] → R[Z] लें, जहाँ R[G] समूह G का समूह वलय है और आकृतिवाद N → Z को शामिल करने से प्रेरित है जैसा कि पिछले उदाहरण। यह अवलोकन से आता है कि 1 बीजगणित R[Z] उत्पन्न करता है (ध्यान दें कि R[Z] में इकाई Z के 0 द्वारा दी गई है), और Z में n द्वारा दर्शाए गए तत्व का व्युत्क्रम केवल - द्वारा दर्शाया गया तत्व है। एन। इस प्रकार R[Z] से कोई भी समरूपता विशिष्ट रूप से Z के 1 द्वारा दर्शाए गए तत्व पर इसके मूल्य से निर्धारित होती है।
 * अंगूठियों की श्रेणी में, वलय, समावेशन नक्शा Z → Q एक गैर-आक्षेपिक अधिरूपता है; इसे देखने के लिए, ध्यान दें कि Q पर कोई भी रिंग समरूपता पिछले उदाहरण के समान, पूरी तरह से Z पर अपनी कार्रवाई से निर्धारित होता है। इसी तरह के एक तर्क से पता चलता है कि प्राकृतिक वलय समरूपता किसी भी क्रमविनिमेय वलय आर से उसके किसी एक वलय के स्थानीयकरण के लिए एक अधिरूपता है।
 * क्रमविनिमेय वलयों की श्रेणी में, 'f : R → S के वलयों का एक परिमित रूप से उत्पन्न वस्तु समरूपता एक एपिसमाकृतिकता है यदि और केवल यदि सभी प्रमुख आदर्शों 'P के लिए 'R, f(P) द्वारा उत्पन्न आदर्श Q या तो S है या प्रधान है, और यदि Q S' नहीं है ', भिन्नों का प्रेरित मानचित्र क्षेत्र (आर/पी) → फ़्रैक(एस/क्यू) एक समरूपता है (एलेमेंट्स डे जियोमेट्री एल्गेब्रिक IV 17.2.6)।
 * हॉसडॉर्फ स्पेस, हॉस की श्रेणी में, एपिमोर्फिज्म सघन सेट छवियों के साथ निरंतर कार्य हैं। उदाहरण के लिए, समावेशन नक्शा क्यू → आर, एक गैर-आक्षेपिक अधिरूपता है।

उपरोक्त मोनोमोर्फिज्म के मामले से भिन्न है जहां यह अधिक बार सच होता है कि मोनोमोर्फिज्म सटीक रूप से वे होते हैं जिनके अंतर्निहित कार्य इंजेक्शन होते हैं।

गैर-ठोस श्रेणियों में एपिमोर्फिज्म के उदाहरणों के लिए:
 * यदि एक मोनोइड या अंगूठी (गणित) को एक वस्तु के साथ एक श्रेणी के रूप में माना जाता है (गुणन द्वारा दी गई मोर्फिज्म की संरचना), तो एपिमॉर्फिज्म सही-रद्द करने योग्य तत्व हैं।
 * यदि एक निर्देशित ग्राफ को एक श्रेणी के रूप में माना जाता है (वस्तुएं कोने हैं, आकृतिवाद पथ हैं, आकारिकी की रचना पथों का संघटन है), तो हर आकारिकी एक एपिमोर्फिज्म है।

गुण
प्रत्येक समरूपता एक अधिरूपता है; वास्तव में केवल एक दाएं तरफा व्युत्क्रम की आवश्यकता है: यदि कोई आकारिकी मौजूद है j : Y → X ऐसा है कि fj = idY, तब f: X → Y को आसानी से एक एपिमोर्फिज्म के रूप में देखा जाता है। ऐसे दाहिनी ओर के व्युत्क्रम वाले मानचित्र को 'अनुभाग (श्रेणी सिद्धांत)' कहा जाता है। एक topos  में, एक नक्शा जो एक मोनिक रूपवाद और एक एपिमोर्फिज्म दोनों है, एक समरूपता है।

दो एपीमोर्फिज्म की संरचना फिर से एक एपीमोर्फिज्म है। यदि दो morphisms की रचना fg एक एपिमोर्फिज्म है, तो f एक एपिमोर्फिज्म होना चाहिए।

जैसा कि उपरोक्त कुछ उदाहरणों से पता चलता है, एक एपिमोर्फिज्म होने की संपत्ति केवल आकारिकी द्वारा निर्धारित नहीं होती है, बल्कि संदर्भ की श्रेणी से भी निर्धारित होती है। यदि D, C की एक उपश्रेणी है, तो D में प्रत्येक आकृतिवाद जो कि एक एपीमोर्फिज्म है, जब C में एक आकृतिवाद के रूप में माना जाता है, वह भी D में एक एपिमोर्फिज्म है। हालाँकि इसके विपरीत की आवश्यकता नहीं है; छोटी श्रेणी में (और अक्सर होगा) अधिक एपिमोर्फिज्म हो सकते हैं।

श्रेणी सिद्धांत में अधिकांश अवधारणाओं के लिए, एपिमोर्फिज्म को श्रेणियों की समानता के तहत संरक्षित किया जाता है: एक समानता एफ: सी → डी दी गई है, एक आकृतिवाद एफ श्रेणी सी में एक एपिमोर्फिज्म है अगर और केवल अगर एफ (एफ) डी में एक एपिमोर्फिज्म है। ए दो श्रेणियों के बीच द्वैत (श्रेणी सिद्धांत) एपिमोर्फिज्म को मोनोमोर्फिज्म में बदल देता है, और इसके विपरीत।

एपिमोर्फिज्म की परिभाषा को यह बताने के लिए सुधारा जा सकता है कि f : X → Y एक एपिमोर्फिज्म है अगर और केवल अगर प्रेरित नक्शे
 * $$\begin{matrix}\operatorname{Hom}(Y,Z) &\rightarrow& \operatorname{Hom}(X,Z)\\

g &\mapsto& gf\end{matrix}$$ Z की हर पसंद के लिए इंजेक्शन हैं। यह बदले में प्रेरित प्राकृतिक परिवर्तन के बराबर है
 * $$\begin{matrix}\operatorname{Hom}(Y,-) &\rightarrow& \operatorname{Hom}(X,-)\end{matrix}$$

फ़ंक्टर श्रेणी सेट में एक मोनोमोर्फिज़्म होनासी.

प्रत्येक समतुल्यकारक एक एपीमोर्फिज्म है, सहतुल्यकारकों की परिभाषा में विशिष्टता की आवश्यकता का परिणाम है। यह विशेष रूप से अनुसरण करता है कि प्रत्येक cokernel एक एपिमोर्फिज्म है। इसका विलोम, अर्थात् प्रत्येक उपरूपवाद एक समतुल्य है, सभी श्रेणियों में सत्य नहीं है।

कई श्रेणियों में प्रत्येक रूपवाद को एक अधिरूपता की संरचना के रूप में लिखना संभव है, जिसके बाद एक मोनोमोर्फिज्म होता है। उदाहरण के लिए, एक समूह समरूपता f : G → H दिया गया है, हम समूह K = im(f) को परिभाषित कर सकते हैं और फिर विशेषण समरूपता G → K की रचना के रूप में f लिख सकते हैं, जिसे f की तरह परिभाषित किया गया है, जिसके बाद अंतःक्षेपी समरूपता K → एच जो प्रत्येक तत्व को स्वयं भेजता है। एक मनमाना रूपवाद का एक एपिमोर्फिज्म के बाद एक मोनोमोर्फिज्म में इस तरह का गुणनखंडन सभी एबेलियन श्रेणियों में किया जा सकता है और ऊपर उल्लिखित सभी ठोस श्रेणियों में भी किया जा सकता है। (हालांकि सभी ठोस श्रेणियों में नहीं)।

संबंधित अवधारणाएँ
अन्य उपयोगी अवधारणाओं में नियमित एपिमोर्फिज्म, एक्सट्रीमल एपिमोर्फिज्म, तत्काल एपिमोर्फिज्म, मजबूत एपिमोर्फिज्म और स्प्लिट एपिमोर्फिज्म शामिल हैं।


 * एक एपिमोर्फिज्म को 'नियमित' कहा जाता है यदि यह समानांतर आकारिकी के कुछ जोड़े का एक सह-तुल्यकारक है।
 * एक एपिमोर्फिज्म $$\varepsilon$$ अतिवादी बताया है यदि प्रत्येक प्रतिनिधित्व में $$\varepsilon=\mu\circ\varphi$$, कहाँ $$\mu$$ एक एकरूपता है, रूपवाद $$\mu$$ स्वचालित रूप से एक समरूपता है।
 * एक एपिमोर्फिज्म $$\varepsilon$$ प्रत्येक प्रतिनिधित्व में अगर तत्काल कहा जाता है $$\varepsilon=\mu\circ\varepsilon'$$, कहाँ $$\mu$$ एक एकरूपता है और $$\varepsilon'$$ एक एपिमोर्फिज्म है, रूपवाद $$\mu$$ स्वचालित रूप से एक समरूपता है।
 * Diagram-orthogonality-2.jpgएक एपिमोर्फिज्म $$\varepsilon:A\to B$$ बलवान बताया गया है यदि किसी मोनोमोर्फिज्म के लिए $$\mu:C\to D$$ और कोई morphisms $$\alpha:A\to C$$ और $$\beta:B\to D$$ ऐसा है कि $$\beta\circ\varepsilon=\mu\circ\alpha$$, एक रूपवाद मौजूद है $$\delta:B\to C$$ ऐसा है कि $$\delta\circ\varepsilon=\alpha$$ और $$\mu\circ\delta=\beta$$.
 * एक एपिमोर्फिज्म $$\varepsilon$$ कहा जाता है कि यदि आकारिकी मौजूद है तो इसे विभाजित किया जाता है $$\mu$$ ऐसा है कि $$\varepsilon\circ\mu=1$$ (इस मामले में $$\mu$$ के लिए दाहिनी ओर का प्रतिलोम कहा जाता है $$\varepsilon$$).

रिंग थ्योरी में होमोलॉजिकल एपिमोर्फिज्म की भी धारणा है। एक मोर्फिज्म एफ: ए → बी अंगूठियों का एक होमोलॉजिकल एपिमोर्फिज्म है यदि यह एक एपिमोर्फिज्म है और यह व्युत्पन्न श्रेणियों पर एक पूर्ण और वफादार फ़ंक्टर को प्रेरित करता है: डी(एफ) : डी(बी) → डी(ए)।

एक रूपवाद जो एक मोनोमोर्फिज्म और एक एपिमोर्फिज्म दोनों है, उसे बिमोर्फिज्म कहा जाता है। प्रत्येक तुल्याकारिता एक द्विरूपता है लेकिन इसका विलोम सामान्य रूप से सत्य नहीं है। उदाहरण के लिए, अर्ध-खुले अंतराल [0,1) से यूनिट सर्कल एस तक का नक्शा1 (जटिल समतल के एक टोपोलॉजिकल उप-स्थान के रूप में माना जाता है) जो x को exp(2πix) पर भेजता है (यूलर का सूत्र देखें) निरंतर और विशेषण है लेकिन होमियोमोर्फिज्म  नहीं है क्योंकि व्युत्क्रम नक्शा 1 पर निरंतर नहीं है, इसलिए यह एक द्विरूपता का एक उदाहरण है जो 'शीर्ष' श्रेणी में एक तुल्याकारिता नहीं है। एक अन्य उदाहरण 'हॉस' श्रेणी में एम्बेडिंग 'Q' → 'R' है; जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, यह एक द्विरूपता है, लेकिन यह विशेषण नहीं है और इसलिए एक तुल्याकारिता नहीं है। इसी तरह, वलय (बीजगणित) की श्रेणी में, नक्शा 'Z' → 'Q' एक द्विरूपता है, लेकिन एक समरूपता नहीं है।

सामान्य श्रेणियों में अमूर्त भागफल वस्तुओं को परिभाषित करने के लिए एपीमॉर्फिज्म का उपयोग किया जाता है: दो एपीमॉर्फिज्म एफ1 : एक्स → वाई1 और एफ2 : एक्स → वाई2 यदि कोई तुल्याकारिता j : Y मौजूद हो तो समतुल्य कहलाते हैं1 → और2 जे एफ के साथ1 = च2. यह एक तुल्यता संबंध है, और तुल्यता वर्ग को X के भागफल के रूप में परिभाषित किया गया है।

शब्दावली
साथी शब्द एपिमोर्फिज्म और मोनोमोर्फिज्म सबसे पहले निकोलस बोरबाकी द्वारा पेश किए गए थे। बॉरबाकी विशेषण क्रिया के लिए आशुलिपि के रूप में अधिरूपता का उपयोग करता है। प्रारंभिक श्रेणी के सिद्धांतकारों का मानना ​​​​था कि एपिमोर्फिज्म एक मनमानी श्रेणी में अनुमानों का सही एनालॉग था, इसी तरह मोनोमोर्फिज्म इंजेक्शन के लगभग एक सटीक एनालॉग हैं। दुर्भाग्य से यह गलत है; मजबूत या नियमित एपिमॉर्फिज्म सामान्य एपिमॉर्फिज्म की तुलना में अनुमानों के बहुत करीब से व्यवहार करते हैं। सॉन्डर्स मैक लेन ने एपिमोर्फिज्म के बीच एक अंतर बनाने का प्रयास किया, जो एक ठोस श्रेणी में मानचित्र थे, जिनके अंतर्निहित सेट मानचित्र विशेषण थे, और महाकाव्य आकारिकी, जो आधुनिक अर्थों में एपिमोर्फिज्म हैं। हालाँकि, यह भेद कभी नहीं पकड़ा गया।

यह विश्वास करना एक सामान्य गलती है कि अधिरूपता या तो अनुमानों के समान हैं या वे एक बेहतर अवधारणा हैं। दुर्भाग्य से ऐसा कम ही होता है; एपिमॉर्फिम्स बहुत रहस्यमय हो सकते हैं और अप्रत्याशित व्यवहार कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, अंगूठियों के सभी अधिरूपों को वर्गीकृत करना बहुत कठिन है। सामान्य तौर पर, एपिमॉर्फिज्म उनकी अपनी अनूठी अवधारणा है, जो अनुमानों से संबंधित है लेकिन मौलिक रूप से भिन्न है।

यह भी देखें

 * श्रेणी सिद्धांत विषयों की सूची
 * एकरूपता