स्व-सहायक संचालिका

गणित में, आंतरिक उत्पाद के साथ एक अनंत-आयामी जटिल वेक्टर स्थान वी पर एक स्व-सहायक संचालिका $$\langle\cdot,\cdot\rangle$$ (समकक्ष, परिमित-आयामी मामले में एक हर्मिटियन ऑपरेटर) एक रैखिक मानचित्र ए (वी से स्वयं तक) है जो एक ऑपरेटर का अपना सहायक है। यदि V किसी दिए गए ऑर्थोनॉर्मल आधार के साथ परिमित-आयामी है, तो यह इस शर्त के बराबर है कि ए का मैट्रिक्स (गणित) एक हर्मिटियन मैट्रिक्स है, यानी, इसके संयुग्म स्थानान्तरण ए के बराबर है। '$∗$. परिमित-आयामी वर्णक्रमीय प्रमेय के अनुसार, वी का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार है जैसे कि इस आधार के सापेक्ष ए का मैट्रिक्स वास्तविक संख्याओं में प्रविष्टियों के साथ एक विकर्ण मैट्रिक्स है। यह आलेख मनमाने आयाम के हिल्बर्ट स्थानों पर ऑपरेटरों के लिए इस अवधारणा के सामान्यीकरण को लागू करने से संबंधित है।

स्व-सहायक ऑपरेटरों का उपयोग कार्यात्मक विश्लेषण और क्वांटम यांत्रिकी में किया जाता है। क्वांटम यांत्रिकी में उनका महत्व डिराक-वॉन न्यूमैन सिद्धांतों में निहित है | क्वांटम यांत्रिकी के डिराक-वॉन न्यूमैन सूत्रीकरण में, जिसमें भौतिक अवलोकन जैसे स्थिति (वेक्टर), गति, कोणीय गति और स्पिन (भौतिकी) को स्व-सहायक ऑपरेटरों द्वारा दर्शाया जाता है। हिल्बर्ट स्थान पर. हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) ऑपरेटर का विशेष महत्व है $$\hat{H}$$ द्वारा परिभाषित
 * $$\hat{H} \psi = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi + V \psi,$$

जो एक अवलोकन योग्य के रूप में वास्तविक अदिश क्षमता V में द्रव्यमान m के एक कण की कुल ऊर्जा (भौतिकी) से मेल खाता है। विभेदक ऑपरेटर असीमित ऑपरेटरों का एक महत्वपूर्ण वर्ग हैं।

अनंत-आयामी हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर स्व-सहायक ऑपरेटरों की संरचना अनिवार्य रूप से परिमित-आयामी मामले से मिलती जुलती है। कहने का तात्पर्य यह है कि, ऑपरेटर स्वयं-सहायक होते हैं यदि और केवल तभी जब वे वास्तविक-मूल्यवान गुणन ऑपरेटरों के समकक्ष एकात्मक ऑपरेटर हों। उपयुक्त संशोधनों के साथ, इस परिणाम को अनंत-आयामी स्थानों पर संभवतः असीमित ऑपरेटरों तक बढ़ाया जा सकता है। चूंकि हर जगह परिभाषित स्व-सहायक ऑपरेटर आवश्यक रूप से बाध्य है, इसलिए किसी को असीमित मामले में डोमेन मुद्दे पर अधिक ध्यान देने की आवश्यकता है। इसे नीचे और अधिक विस्तार से बताया गया है।

परिभाषाएँ
होने देना $$A$$ सघन डोमेन वाला एक अनबाउंड ऑपरेटर (अर्थात् आवश्यक रूप से बाउंड नहीं) ऑपरेटर बनें $$\operatorname{Dom}A \subseteq H.$$ यह स्थिति तब स्वतः ही धारण हो जाती है $$H$$ चूँकि यूक्लिडियन स्थान |परिमित-आयामी है $$\operatorname{Dom}A = H$$ परिमित-आयामी स्थान पर प्रत्येक रैखिक ऑपरेटर के लिए।

आंतरिक उत्पाद चलो $$\langle \cdot, \cdot\rangle$$ दूसरे तर्क पर संयुग्म-रैखिक बनें। यह केवल जटिल हिल्बर्ट स्थानों पर लागू होता है। परिभाषा के अनुसार, 'सहायक संचालिका' $$A^*$$ उपस्थान पर कार्य करता है $$\operatorname{Dom} A^* \subseteq H$$ तत्वों से मिलकर बना है $$y$$ जिसके लिए एक है $$z \in H$$ ऐसा है कि $$ \langle Ax,y \rangle = \langle x,z \rangle, $$ हरएक के लिए $$x \in \operatorname{Dom} A.$$ सेटिंग $$A^*y = z$$ रैखिक ऑपरेटर को परिभाषित करता है $$A^*.$$ एक (मनमाना) ऑपरेटर के फ़ंक्शन का ग्राफ़ $$A$$ सेट है $$G(A) = \{(x,Ax) \mid x \in \operatorname{Dom}A\}.$$ एक ऑपरेटर $$B$$ विस्तार करने के लिए कहा गया है $$A$$ अगर $$G(A) \subseteq G(B).$$ इस प्रकार लिखा गया है $$A \subseteq B.$$ सघन रूप से परिभाषित ऑपरेटर $$A$$ सममित यदि कहा जाता है


 * $$ \langle Ax, y \rangle = \lang x , Ay \rangle, $$

सभी के लिए $$x,y\in \operatorname{Dom}A.$$ जैसा कि नीचे दिया गया है, $$A$$ सममित है यदि और केवल यदि $$G(A) \subseteq G(A^*).$$ असीमित सघन रूप से परिभाषित ऑपरेटर $$A$$ यदि स्व-सहायक कहा जाता है $$G(A)= G(A^*).$$ स्पष्ट रूप से, $$\operatorname{Dom}A = \operatorname{Dom}A^*$$ और $$A = A^*.$$ प्रत्येक स्व-सहायक संचालिका सममित है। इसके विपरीत, एक सममित ऑपरेटर $$A$$ जिसके लिए $$\operatorname{Dom}A = \operatorname{Dom}A^*$$ स्वयं-संयुक्त है. भौतिकी में, हर्मिटियन शब्द सममिति के साथ-साथ स्वयं-सहायक संचालकों को समान रूप से संदर्भित करता है। दोनों के बीच के सूक्ष्म अंतर को आमतौर पर नजरअंदाज कर दिया जाता है।

उपसमुच्चय $$\rho(A) \subseteq \Complex$$ यदि प्रत्येक के लिए इसे रिसॉल्वेंट सेट (या नियमित सेट) कहा जाता है $$ \lambda \in \rho(A), $$ (आवश्यक रूप से बाध्य नहीं) ऑपरेटर $$A - \lambda I$$ एक परिबद्ध सर्वत्र-परिभाषित व्युत्क्रम है। पूरक $$\sigma(A) = \Complex \setminus \rho(A)$$ स्पेक्ट्रम (कार्यात्मक विश्लेषण) कहा जाता है। सीमित आयामों में, $$\sigma(A)$$ इसमें विशेष रूप से eigenvalues ​​​​शामिल हैं।

बाउंडेड सेल्फ-एडजॉइंट ऑपरेटर्स
एक बाउंडेड ऑपरेटर ए स्व-सहायक है यदि
 * $$\langle Ax, y\rangle = \langle x, Ay\rangle$$

सभी के लिए $$x$$ और $$y$$ एच में। यदि ए सममित है और $$\mathrm{Dom}(A)=H$$, फिर, हेलिंगर-टोएप्लिट्ज़ प्रमेय द्वारा, ए आवश्यक रूप से परिबद्ध है। हिल्बर्ट स्पेस पर प्रत्येक परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर T : H → H को H के रूप में लिखा जा सकता है $$T = A + i B$$ जहां A : H → H और B : H → H परिबद्ध स्व-सहायक संकारक हैं।

परिबद्ध स्व-सहायक संचालकों के गुण
मान लीजिए H एक हिल्बर्ट स्थान है और मान लीजिए $$A : H \to H$$ एक परिबद्ध स्व-सहायक रैखिक संचालिका पर परिभाषित किया गया हो $$\operatorname{D}\left( A \right) = H$$.
 * $$\left\langle h, A h \right\rangle$$ सभी के लिए वास्तविक है $$h \in H$$.
 * $$\left\| A \right\| = \sup \left\{ |\langle h, A h \rangle| : \| h \| = 1 \right\}$$ अगर $$\operatorname{dim} H \neq 0.$$ * यदि A की छवि, द्वारा निरूपित की जाती है $$\operatorname{Im} A$$, तब H में सघन है $$A : H \to \operatorname{Im} A$$ उलटा है.
 * A के eigenvalues ​​​​वास्तविक हैं और विभिन्न eigenvalues ​​​​से संबंधित eigenvectors ऑर्थोगोनल हैं।
 * अगर $$\lambda$$ तब A का एक eigenvalue है $$| \lambda | \leq \| A \|$$; विशेष रूप से, $$| \lambda | \leq \sup \left\{ |\langle h, A h \rangle| : \| h \| \leq 1 \right\}$$.
 * सामान्य तौर पर, कोई स्वदेशी मूल्य मौजूद नहीं हो सकता है $$\lambda$$ ऐसा है कि $$| \lambda | = \sup \left\{ |\langle h, A h \rangle| : \| h \| \leq 1 \right\}$$, लेकिन यदि इसके अतिरिक्त A सघन है तो आवश्यक रूप से एक eigenvalue मौजूद है $$\lambda$$, दोनों में से किसी एक के बराबर $$\| A \|$$ या $$- \| A \|$$, ऐसा है कि $$| \lambda | = \sup \left\{ |\langle h, A h \rangle| : \| h \| \leq 1 \right\}$$,
 * यदि परिबद्ध स्व-सहायक रैखिक ऑपरेटरों का अनुक्रम अभिसरण है तो सीमा स्व-सहायक है।
 * वहाँ एक संख्या मौजूद है $$\lambda$$, दोनों में से किसी एक के बराबर $$\| A \|$$ या $$- \| A \|$$, और एक क्रम $$\left( x_i \right)_{i=1}^{\infty} \subseteq H$$ ऐसा है कि $$\lim_{i \to \infty} A x_i - \lambda x_i = 0$$ और $$\| x_i \| = 1$$ सबके लिए मैं

सममित ऑपरेटर
नोट: सममित ऑपरेटरों को ऊपर परिभाषित किया गया है।

A सममित है ⇔ A⊆A$$
एक असीमित, सघन रूप से परिभाषित ऑपरेटर $$A$$ सममित है यदि और केवल यदि $$A \subseteq A^*.$$ दरअसल, यदि-भाग सीधे सहायक ऑपरेटर की परिभाषा से अनुसरण करता है। केवल-यदि-भाग के लिए, यह मानते हुए $$A$$ सममित है, समावेशन $$\operatorname{Dom}(A) \subseteq \operatorname{Dom}(A^*)$$ से अनुसरण करता है कॉची-बुन्याकोवस्की-श्वार्ज़ असमानता: प्रत्येक के लिए $$x,y \in \operatorname{Dom}(A),$$
 * $$ |\langle Ax,y\rangle| = |\langle x,Ay\rangle| \leq \|x\|\cdot \|Ay\|. $$

समानता $$A=A^*|_{\operatorname{Dom}(A)}$$ समानता के कारण धारण करता है
 * $$\langle x,A^*y\rangle = \langle Ax,y\rangle = \langle x,Ay\rangle,$$

हरएक के लिए $$x,y \in \operatorname{Dom}A \subseteq \operatorname{Dom}A^*,$$ का घनत्व $$ \operatorname{Dom} A, $$ और आंतरिक उत्पाद का गैर-विक्षिप्त होना।

हेलिंगर-टोएप्लिट्ज़ प्रमेय कहता है कि हर जगह परिभाषित सममित ऑपरेटर परिबद्ध और स्व-सहायक है।

A सममित है ⇔ ∀x ⟨Ax, x⟩ ∈ R
एकमात्र-यदि भाग सीधे परिभाषा से अनुसरण करता है (ऊपर देखें)। यदि-भाग को सिद्ध करने के लिए, व्यापकता की हानि के बिना मान लें कि आंतरिक उत्पाद $$\langle \cdot, \cdot \rangle$$ पहले तर्क पर एंटी-रैखिक और दूसरे पर रैखिक है। (विपरीत परिदृश्य में, हम साथ काम करते हैं $$\langle x,y\rangle_\text{op} \stackrel{\text{def}}{=} \ \langle y, x \rangle $$ बजाय)। की समरूपता $$A$$ ध्रुवीकरण पहचान से अनुसरण करता है

\begin{align} 4\langle Ax,y\rangle = {} & \langle A(x+y),x+y\rangle - \langle A(x-y),x-y\rangle \\[1mm] & {} - i\langle A(x+iy),x+iy\rangle + i\langle A(x-iy),x-iy\rangle \end{align} $$ जो हर किसी के लिए है $$x,y \in \operatorname{Dom}A.$$

||(A−λ)x|| ≥ d(λ)⋅||x||
इस संपत्ति का उपयोग इस प्रमाण में किया जाता है कि स्व-सहायक ऑपरेटर का स्पेक्ट्रम वास्तविक है।

परिभाषित करना $$S=\{x \in \operatorname{Dom}A \mid \Vert x\Vert=1\},$$ $$\textstyle m=\inf_{x\in S} \langle Ax,x \rangle, $$ और $$\textstyle M=\sup_{x\in S} \langle Ax,x \rangle.$$ मूल्य $$m,M \in \mathbb{R} \cup \{\pm\infty\}$$ तब से ठीक से परिभाषित हैं $$S \neq \emptyset,$$ और $$\langle Ax,x\rangle \in \mathbb{R},$$ समरूपता के कारण. फिर, प्रत्येक के लिए $$ \lambda \in \Complex $$ और हर $$ x \in \operatorname{Dom}A, $$
 * $$ \Vert A - \lambda x\Vert \geq d(\lambda)\cdot \Vert x\Vert,$$

कहाँ $$ \textstyle d(\lambda) = \inf_{r\in [m,M]} |r - \lambda|. $$ वास्तव में, चलो $$x \in \operatorname{Dom}A \setminus \{0\}.$$ कॉची-श्वार्ज़ असमानता द्वारा,

\Vert A - \lambda x\Vert \geq \frac{|\langle A - \lambda x,x\rangle|}{\Vert x\Vert} =\left|\left\langle A\frac{x}{\Vert x\Vert},\frac{x}{\Vert x\Vert}\right\rangle - \lambda\right| \cdot \Vert x\Vert \geq d(\lambda)\cdot \Vert x\Vert. $$ अगर $$ \lambda \notin [m,M], $$ तब $$ d(\lambda) > 0, $$ और $$ A - \lambda I $$ नीचे बाउंडेड कहा जाता है.

एक सरल उदाहरण
जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, वर्णक्रमीय प्रमेय केवल स्व-सहायक ऑपरेटरों पर लागू होता है, और सामान्य रूप से सममित ऑपरेटरों पर नहीं। फिर भी, इस बिंदु पर हम एक सममित ऑपरेटर का एक सरल उदाहरण दे सकते हैं जिसमें आइजेनवेक्टरों का एक लंबात्मक आधार होता है। (यह ऑपरेटर वास्तव में अनिवार्य रूप से स्व-सहायक है।) नीचे दिए गए ऑपरेटर ए को हिल्बर्ट स्पेस व्युत्क्रम पर एक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर के रूप में देखा जा सकता है, जिसका अर्थ है कि संबंधित अंतर समीकरण एएफ = जी को कुछ अभिन्न (और इसलिए कॉम्पैक्ट) ऑपरेटर जी द्वारा हल किया जाता है। कॉम्पैक्ट सममित ऑपरेटर G के पास eigenvectors का एक गणनीय परिवार होता है जो पूर्ण होते हैं $L^{2}$. ए के लिए भी यही कहा जा सकता है।

जटिल हिल्बर्ट स्पेस एल पर विचार करें2[0,1] और डिफरेंशियल ऑपरेटर
 * $$A = -\frac{d^2}{dx^2}$$

साथ $$\mathrm{Dom}(A)$$ सीमा शर्तों को संतुष्ट करने वाले [0, 1] पर सभी जटिल-मूल्य वाले असीम रूप से भिन्न फ़ंक्शन फ़ंक्शन f से युक्त
 * $$f(0) = f(1) = 0.$$

फिर आंतरिक उत्पाद के कुछ हिस्सों द्वारा एकीकरण से पता चलता है कि ए सममित है। पाठक को दो बार भागों द्वारा एकीकरण करने और दी गई सीमा शर्तों को सत्यापित करने के लिए आमंत्रित किया जाता है $$\operatorname{Dom}(A)$$ सुनिश्चित करें कि भागों द्वारा एकीकरण में सीमा शर्तें गायब हो जाएं।

A के eigenfunctions साइनसॉइड हैं
 * $$f_n(x) = \sin(n \pi x) \qquad  n= 1, 2, \ldots$$

वास्तविक eigenvalues ​​​​n के साथ2प2; साइन फ़ंक्शंस की प्रसिद्ध ऑर्थोगोनैलिटी सममित होने की संपत्ति के परिणामस्वरूप होती है।

हम नीचे इस ऑपरेटर के सामान्यीकरण पर विचार करते हैं।

स्व-सहायक ऑपरेटरों का स्पेक्ट्रम
होने देना $$A$$ एक असीमित सममित ऑपरेटर बनें। $$ A $$ स्व-सहायक है यदि और केवल यदि $$\sigma(A) \subseteq \mathbb{R}.$$

आवश्यक आत्मसंयोजन
एक सममित ऑपरेटर ए हमेशा बंद करने योग्य ऑपरेटर होता है; अर्थात्, A के ग्राफ़ का बंद होना एक ऑपरेटर का ग्राफ़ है। एक सममित ऑपरेटर ए को 'अनिवार्य रूप से स्व-सहायक' कहा जाता है यदि ए का समापन स्व-सहायक है। समान रूप से, ए अनिवार्य रूप से स्व-सहायक है यदि इसमें एक अद्वितीय स्व-सहायक विस्तार है। व्यावहारिक रूप से, अनिवार्य रूप से स्व-सहायक ऑपरेटर का होना स्व-सहायक ऑपरेटर के समान ही अच्छा है, क्योंकि स्व-सहायक ऑपरेटर को प्राप्त करने के लिए हमें केवल क्लोजर लेने की आवश्यकता होती है।

उदाहरण: f(x) → x·f(x)
जटिल हिल्बर्ट स्पेस एल पर विचार करें2(R), और ऑपरेटर जो किसी दिए गए फ़ंक्शन को x से गुणा करता है:
 * $$A f(x) = xf(x)$$

A का डोमेन सभी L का स्थान है2कार्य $$f(x)$$ जिसके लिए $$xf(x)$$ वर्ग-अभिन्न भी है। तब A स्व-संयुक्त है। दूसरी ओर, A का कोई eigenfunction नहीं है। (अधिक सटीक रूप से, ए के पास कोई सामान्यीकरण योग्य ईजेनवेक्टर नहीं है, यानी, ईजेनवेक्टर जो वास्तव में हिल्बर्ट स्पेस में हैं जिस पर ए परिभाषित है।)

जैसा कि हम बाद में देखेंगे, स्व-सहायक ऑपरेटरों के पास बहुत महत्वपूर्ण वर्णक्रमीय गुण होते हैं; वे वास्तव में सामान्य माप स्थानों पर गुणन संचालिका हैं।

सममित बनाम स्व-सहायक ऑपरेटर
जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, हालांकि एक सममित ऑपरेटर और एक स्व-सहायक (या अनिवार्य रूप से स्व-सहायक) ऑपरेटर के बीच अंतर एक सूक्ष्म है, यह महत्वपूर्ण है क्योंकि वर्णक्रमीय प्रमेय में स्व-संयुक्तता परिकल्पना है। यहां हम भेद के कुछ ठोस उदाहरणों पर चर्चा करते हैं; सामान्य सिद्धांत के लिए सममित ऑपरेटरों के विस्तार पर नीचे दिया गया अनुभाग देखें।

डोमेन के संबंध में एक नोट
प्रत्येक स्व-सहायक संचालिका सममित है। इसके विपरीत, प्रत्येक सममित ऑपरेटर जिसके लिए $$\operatorname{Dom}(A^*) \subseteq \operatorname{Dom}(A)$$ स्वयं-संयुक्त है. जिसके लिए सममित ऑपरेटर $$\operatorname{Dom}(A^*) $$ से सख्ती से बड़ा है $$\operatorname{Dom}(A) $$ स्व-संगठित नहीं हो सकता.

सीमा स्थितियाँ
ऐसे मामले में जहां हिल्बर्ट स्पेस एक बंधे हुए डोमेन पर कार्यों का एक स्थान है, इन भेदों का क्वांटम भौतिकी में एक परिचित मुद्दे से लेना-देना है: कोई एक ऑपरेटर को परिभाषित नहीं कर सकता है - जैसे कि गति या हैमिल्टनियन ऑपरेटर - निर्दिष्ट किए बिना एक बंधे हुए डोमेन पर सीमा की स्थिति। गणितीय शब्दों में, सीमा शर्तों को चुनने का मतलब ऑपरेटर के लिए एक उपयुक्त डोमेन चुनना है। उदाहरण के लिए, हिल्बर्ट स्थान पर विचार करें $$L^2([0, 1])$$ (अंतराल [0,1] पर वर्ग-अभिन्न कार्यों का स्थान)। आइए हम इस स्थान पर सामान्य सूत्र द्वारा एक गति ऑपरेटर ए को परिभाषित करें, प्लैंक के स्थिरांक को 1 के बराबर सेट करें:
 * $$Af = -i\frac{df}{dx}.$$

अब हमें ए के लिए एक डोमेन निर्दिष्ट करना होगा, जो सीमा शर्तों को चुनने के बराबर है। अगर हम चुनते हैं
 * $$\operatorname{Dom}(A) = \left\{\text{smooth functions}\right\},$$

तब A सममित नहीं है (क्योंकि भागों द्वारा एकीकरण में सीमा शब्द लुप्त नहीं होते हैं)।

अगर हम चुनते हैं
 * $$\operatorname{Dom}(A) = \left\{\text{smooth functions}\,f \mid f(0) = f(1) = 0\right\},$$

फिर भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके, कोई आसानी से सत्यापित कर सकता है कि ए सममित है। यह ऑपरेटर मूलतः स्व-सहायक नहीं है, हालाँकि, मूल रूप से क्योंकि हमने A के डोमेन पर बहुत अधिक सीमा शर्तें निर्दिष्ट की हैं, जो आसन्न के डोमेन को बहुत बड़ा बनाता है। (इस उदाहरण की चर्चा नीचे उदाहरण अनुभाग में भी की गई है।)

विशेष रूप से, ए के लिए डोमेन के उपरोक्त विकल्प के साथ, समापन का डोमेन $$A^{\mathrm{cl}}$$ का A है


 * $$\operatorname{Dom}\left(A^{\mathrm{cl}}\right) = \left\{\text{functions } f \text{ with two derivatives in }L^2 \mid f(0) = f(1) = 0\right\},$$

जबकि adjoint का डोमेन $$A^*$$ का A है
 * $$\operatorname{Dom}\left(A^*\right) = \left\{\text{functions } f \text{ with two derivatives in }L^2\right\}.$$

कहने का तात्पर्य यह है कि, क्लोजर के डोमेन में ए के डोमेन के समान ही सीमा शर्तें हैं, बस एक कम कठोर सहजता धारणा है। इस बीच, चूंकि ए पर बहुत अधिक सीमा शर्तें हैं, इसलिए बहुत कम (वास्तव में, इस मामले में कोई भी नहीं) हैं $$A^*$$. अगर हम गणना करें $$\langle g, Af\rangle$$ के लिए $$f \in \operatorname{Dom}(A)$$ भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करना, तब से $$f$$ अंतराल के दोनों सिरों पर गायब हो जाता है, कोई सीमा स्थिति नहीं होती $$g$$ भागों द्वारा एकीकरण में सीमा शर्तों को रद्द करने की आवश्यकता है। इस प्रकार, कोई भी पर्याप्त रूप से सुचारू कार्य $$g$$ के क्षेत्र में है $$A^*$$, साथ $$A^*g = -i\,dg/dx$$. चूंकि समापन का डोमेन और एडजॉइंट का डोमेन सहमत नहीं है, ए अनिवार्य रूप से स्व-सहायक नहीं है। आख़िरकार, एक सामान्य परिणाम कहता है कि जोड़ का डोमेन $$A^\mathrm{cl}$$ ए के जोड़ के डोमेन के समान है। इस प्रकार, इस मामले में, के जोड़ का डोमेन $$A^\mathrm{cl}$$ के डोमेन से बड़ा है $$A^\mathrm{cl}$$ स्वयं, वह दिखा रहा है $$A^\mathrm{cl}$$ स्व-सहायक नहीं है, जिसका परिभाषा के अनुसार अर्थ यह है कि A मूलतः स्व-सहायक नहीं है।

पिछले उदाहरण के साथ समस्या यह है कि हमने ए के डोमेन पर बहुत अधिक सीमा शर्तें लगा दी हैं। डोमेन का एक बेहतर विकल्प आवधिक सीमा शर्तों का उपयोग करना होगा:
 * $$\operatorname{Dom}(A) = \{\text{smooth functions}\,f \mid f(0) = f(1)\}.$$

इस डोमेन के साथ, ए अनिवार्य रूप से स्व-संयुक्त है। इस मामले में, हम वर्णक्रमीय प्रमेय के लिए डोमेन मुद्दों के निहितार्थ को समझ सकते हैं। यदि हम डोमेन की पहली पसंद (बिना किसी सीमा शर्तों के) का उपयोग करते हैं, तो सभी फ़ंक्शन $$f_\beta(x) = e^{\beta x}$$ के लिए $$\beta \in \mathbb C$$ eigenvalues ​​​​के साथ eigenvectors हैं $$-i \beta$$, और इसलिए स्पेक्ट्रम संपूर्ण जटिल विमान है। यदि हम डोमेन की दूसरी पसंद (डिरिचलेट सीमा शर्तों के साथ) का उपयोग करते हैं, तो ए के पास कोई भी आइजनवेक्टर नहीं है। यदि हम डोमेन की तीसरी पसंद (आवधिक सीमा शर्तों के साथ) का उपयोग करते हैं, तो हम ए के लिए ईजेनवेक्टरों का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार पा सकते हैं, फ़ंक्शन $$f_n(x) := e^{2\pi inx}$$. इस प्रकार, इस मामले में ऐसा डोमेन खोजना कि A स्व-संयुक्त हो, एक समझौता है: डोमेन इतना छोटा होना चाहिए कि A सममित हो, लेकिन इतना बड़ा हो कि $$D(A^*)=D(A)$$.

एकवचन क्षमता वाले श्रोडिंगर ऑपरेटर
सममित और (अनिवार्य रूप से) स्व-सहायक ऑपरेटरों के बीच अंतर का एक अधिक सूक्ष्म उदाहरण क्वांटम यांत्रिकी में श्रोडिंगर समीकरण | श्रोडिंगर ऑपरेटरों से आता है। यदि संभावित ऊर्जा एकवचन है - विशेष रूप से यदि क्षमता नीचे असीमित है - तो संबंधित श्रोडिंगर ऑपरेटर अनिवार्य रूप से स्व-सहायक होने में विफल हो सकता है। एक आयाम में, उदाहरण के लिए, ऑपरेटर
 * $$\hat{H} := \frac{P^2}{2m} - X^4$$

सुचारू, तेजी से क्षय होने वाले कार्यों के स्थान पर अनिवार्य रूप से स्व-सहायक नहीं है। इस मामले में, आवश्यक स्व-संयुक्तता की विफलता अंतर्निहित शास्त्रीय प्रणाली में एक विकृति को दर्शाती है: एक शास्त्रीय कण $$-x^4$$ संभावित परिमित समय में अनंत तक पलायन कर जाता है। इस ऑपरेटर के पास एक अद्वितीय स्व-सहायक नहीं है, लेकिन यह अनंत पर सीमा शर्तों को निर्दिष्ट करके प्राप्त स्व-सहायक एक्सटेंशन को स्वीकार करता है। (तब से $$\hat{H}$$ एक वास्तविक ऑपरेटर है, यह जटिल संयुग्मन के साथ आवागमन करता है। इस प्रकार, कमी सूचकांक स्वचालित रूप से बराबर होते हैं, जो स्व-सहायक विस्तार होने की शर्त है। नीचे सममित ऑपरेटरों के विस्तार की चर्चा देखें।)

इस मामले में, यदि हम प्रारंभ में परिभाषित करते हैं $$\hat{H}$$ सुचारू, तेजी से क्षय होने वाले कार्यों के स्थान पर, सहायक एक ही ऑपरेटर होगा (यानी, एक ही सूत्र द्वारा दिया गया) लेकिन सबसे बड़े संभावित डोमेन पर, अर्थात्
 * $$\operatorname{Dom}\left(\hat{H}^*\right) = \left\{ \text{twice differentiable functions }f \in L^2(\mathbb{R})\left|\left( -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2f}{dx^2} - x^4f(x)\right) \in L^2(\mathbb{R}) \right. \right\}. $$

तभी यह दिखाना संभव है $$\hat{H}^*$$ एक सममित ऑपरेटर नहीं है, जो निश्चित रूप से इसका तात्पर्य है $$\hat{H}$$ मूलतः स्व-संयुक्त नहीं है। वास्तव में, $$\hat{H}^*$$ शुद्ध काल्पनिक eigenvalues ​​​​के साथ eigenvectors हैं, जो एक सममित ऑपरेटर के लिए असंभव है। यह अजीब घटना दो शब्दों के बीच रद्दीकरण के कारण संभव है $$\hat{H}^*$$: कार्य हैं $$f$$ के क्षेत्र में $$\hat{H}^*$$ जिसके लिए न तो $$d^2 f/dx^2$$ और न $$x^4f(x)$$ अलग से है $$L^2(\mathbb{R})$$, लेकिन उनका संयोजन घटित होता है $$\hat{H}^*$$ में है $$L^2(\mathbb{R})$$. यह अनुमति देता है $$\hat{H}^*$$ दोनों के होते हुए भी असममित होना $$d^2/dx^2$$ और $$X^4$$ सममित ऑपरेटर हैं. यदि हम प्रतिकारक क्षमता को प्रतिस्थापित कर देते हैं तो इस प्रकार का रद्दीकरण नहीं होता है $$-x^4$$ सीमित क्षमता के साथ $$x^4$$.

श्रोडिंगर ऑपरेटरों के लिए स्व-सहायक या अनिवार्य रूप से स्व-सहायक होने की शर्तें विभिन्न पाठ्यपुस्तकों में पाई जा सकती हैं, जैसे कि बेरेज़िन और शुबिन, हॉल, और रीड और साइमन द्वारा संदर्भ में सूचीबद्ध।

वर्णक्रमीय प्रमेय
भौतिकी साहित्य में, वर्णक्रमीय प्रमेय को अक्सर यह कहकर कहा जाता है कि एक स्व-सहायक ऑपरेटर के पास ईजेनवेक्टरों का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार होता है। हालाँकि, भौतिक विज्ञानी सतत स्पेक्ट्रम की घटना से अच्छी तरह परिचित हैं; इस प्रकार, जब वे ऑर्थोनॉर्मल आधार की बात करते हैं तो उनका मतलब या तो क्लासिक अर्थ में ऑर्थोनॉर्मल आधार या उसके कुछ निरंतर एनालॉग से होता है। संवेग संचालक के मामले में $P = -i\frac{d}{dx}$ उदाहरण के लिए, भौतिक विज्ञानी कहेंगे कि आइजनवेक्टर कार्य हैं $$f_p(x) := e^{ipx}$$, जो स्पष्ट रूप से हिल्बर्ट स्थान में नहीं हैं $$L^2(\mathbb{R})$$. (भौतिक विज्ञानी कहेंगे कि आइजनवेक्टर गैर-सामान्यीकरण योग्य हैं।) फिर भौतिक विज्ञानी यह कहेंगे कि ये आइजनवेक्टर निरंतर अर्थ में ऑर्थोनॉर्मल हैं, जहां सामान्य क्रोनकर डेल्टा होता है $$\delta_{i,j}$$ एक डिराक डेल्टा फ़ंक्शन द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है $$\delta\left(p - p'\right)$$.

यद्यपि ये कथन गणितज्ञों को निराशाजनक लग सकते हैं, फूरियर ट्रांसफॉर्म के उपयोग से इन्हें कठोर बनाया जा सकता है, जो एक सामान्य की अनुमति देता है $$L^2$$ फ़ंक्शन को फ़ंक्शन के सुपरपोज़िशन (यानी, अभिन्न) के रूप में व्यक्त किया जाना है $$e^{ipx}$$, भले ही ये फ़ंक्शन अंदर नहीं हैं $$L^2$$. फूरियर रूपांतरण गति ऑपरेटर को विकर्णित करता है; अर्थात्, यह इसे गुणन के संचालिका में परिवर्तित कर देता है $$p$$, कहाँ $$p$$ फूरियर रूपांतरण का चर है।

सामान्य तौर पर वर्णक्रमीय प्रमेय को उसी तरह व्यक्त किया जा सकता है जैसे किसी ऑपरेटर को विकर्णित करने की संभावना यह दिखाकर कि यह इकाई रूप से गुणन ऑपरेटर के बराबर है। वर्णक्रमीय प्रमेय के अन्य संस्करणों का उद्देश्य इसी तरह इस विचार को पकड़ना है कि एक स्व-सहायक ऑपरेटर के पास ऐसे आइजेनवेक्टर हो सकते हैं जो वास्तव में हिल्बर्ट स्थान में नहीं हैं।

वर्णक्रमीय प्रमेय का कथन
हिल्बर्ट स्थानों पर आंशिक रूप से परिभाषित ऑपरेटर ए, बी, एच, के 'एकात्मक रूप से समतुल्य' हैं यदि और केवल यदि कोई एकात्मक परिवर्तन होता है यू: एच → के जैसे कि

एक गुणन संचालिका को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: मान लीजिए (X, Σ, μ) एक गणनीय योगात्मक माप स्थान है और f X पर एक वास्तविक-मूल्य मापन योग्य फ़ंक्शन है। एक संचालिका $$T_f$$ रूप का
 * यू डोम ए को विशेष रूप से डोम बी पर मैप करता है,
 * $$ B U \xi = U A \xi ,\qquad \forall \xi \in \operatorname{dom}A. $$


 * $$[T_f \psi] (x) = f(x) \psi(x)$$

जिसका डोमेन ψ का स्थान है जिसके लिए ऊपर दाहिना भाग L में है2 को गुणन संकारक कहा जाता है।

वर्णक्रमीय प्रमेय का एक संस्करण इस प्रकार बताया जा सकता है।

$$

वर्णक्रमीय प्रमेय के अन्य संस्करण ऊपर से जुड़े वर्णक्रमीय प्रमेय लेख में पाए जा सकते हैं।

असंबद्ध स्व-सहायक ऑपरेटरों के लिए वर्णक्रमीय प्रमेय को एकात्मक (इसलिए बंधे हुए) ऑपरेटरों के लिए वर्णक्रमीय प्रमेय में कमी करके सिद्ध किया जा सकता है। यह कमी स्व-सहायक ऑपरेटरों के लिए केली परिवर्तन  का उपयोग करती है जिसे अगले भाग में परिभाषित किया गया है। हम ध्यान दे सकते हैं कि यदि T को f से गुणा किया जाता है, तो T का स्पेक्ट्रम केवल f की आवश्यक सीमा है।

कार्यात्मक कलन
वर्णक्रमीय प्रमेय का एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग बोरेल कार्यात्मक कैलकुलस को परिभाषित करना है। कहने का तात्पर्य यह है कि यदि $$h$$ वास्तविक लाइन पर एक फ़ंक्शन है और $$T$$ एक स्व-सहायक ऑपरेटर है, हम ऑपरेटर को परिभाषित करना चाहते हैं $$h(T)$$. अगर $$T$$ eigenvectors का वास्तविक लंबन आधार है $$e_j$$ eigenvalues ​​​​के साथ $$\lambda_j$$, तब $$h(T)$$ eigenvectors वाला ऑपरेटर है $$e_j$$ और eigenvalues $$h\left(\lambda_j\right)$$. कार्यात्मक कैलकुलस का लक्ष्य इस विचार को उस मामले तक विस्तारित करना है जहां $$T$$ निरंतर स्पेक्ट्रम है.

क्वांटम भौतिकी में इस मामले का विशेष महत्व है $$T$$ हैमिल्टनियन ऑपरेटर है $$\hat{H}$$ और $$h(x) := e^{-itx/\hbar}$$ एक घातीय है. इस मामले में, कार्यात्मक कैलकुलस को हमें ऑपरेटर को परिभाषित करने की अनुमति देनी चाहिए
 * $$U(t) := h\left(\hat{H}\right) = e^\frac{-it\hat{H}}{\hbar},$$

जो क्वांटम यांत्रिकी में समय-विकास को परिभाषित करने वाला ऑपरेटर है।

द्वारा गुणन के संचालक के रूप में T का प्रतिनिधित्व दिया गया है $$f$$- जैसा कि वर्णक्रमीय प्रमेय द्वारा गारंटी दी गई है - कार्यात्मक कैलकुलस को चिह्नित करना आसान है: यदि एच 'आर' पर एक घिरा हुआ वास्तविक-मूल्यवान बोरेल फ़ंक्शन है, तो एच (टी) संरचना द्वारा गुणन का ऑपरेटर है $$h \circ f$$.

पहचान का संकल्प
निम्नलिखित संकेतन को प्रस्तुत करने की प्रथा रही है
 * $$\operatorname{E}_T(\lambda) = \mathbf{1}_{(-\infty, \lambda]} (T)$$

कहाँ $$\mathbf{1}_{(-\infty, \lambda]}$$ अंतराल का विशिष्ट कार्य (सूचक कार्य) है $$(-\infty, \lambda]$$. प्रक्षेपण ऑपरेटरों का परिवार ईT(λ) को T के लिए पहचान का संकल्प कहा जाता है। इसके अलावा, टी के लिए निम्नलिखित स्टिल्टजेस अभिन्न प्रतिनिधित्व को सिद्ध किया जा सकता है:
 * $$ T = \int_{-\infty}^{+\infty} \lambda d \operatorname{E}_T(\lambda).$$

उपरोक्त ऑपरेटर इंटीग्रल की परिभाषा को कमजोर ऑपरेटर टोपोलॉजी का उपयोग करके स्केलर मूल्य वाले स्टिल्टजेस इंटीग्रल तक कम किया जा सकता है। हालाँकि, अधिक आधुनिक उपचारों में, इस प्रतिनिधित्व को आमतौर पर टाला जाता है, क्योंकि अधिकांश तकनीकी समस्याओं को कार्यात्मक कैलकुलस द्वारा निपटाया जा सकता है।

भौतिकी साहित्य में निरूपण
भौतिकी में, विशेष रूप से क्वांटम यांत्रिकी में, वर्णक्रमीय प्रमेय को इस तरह से व्यक्त किया जाता है जो ऊपर बताए गए वर्णक्रमीय प्रमेय और डिराक संकेतन का उपयोग करके बोरेल कार्यात्मक कैलकुलस को जोड़ता है:

यदि H स्व-सहायक है और f एक बोरेल फ़ंक्शन है,
 * $$f(H) = \int dE \left| \Psi_E \rangle f(E) \langle \Psi_E \right|$$

साथ
 * $$H \left|\Psi_E\right\rangle = E \left|\Psi_E\right\rangle$$

जहां इंटीग्रल एच के पूरे स्पेक्ट्रम पर चलता है। नोटेशन से पता चलता है कि एच को ईजेनवेक्टर्स द्वारा विकर्ण किया गया है।E. ऐसा अंकन पूर्णतः औपचारिक गणना है। डिराक के अंकन और पिछले अनुभाग के बीच समानता देखी जा सकती है। पहचान का संकल्प (कभी-कभी प्रक्षेपण मूल्य माप भी कहा जाता है) औपचारिक रूप से रैंक -1 अनुमान जैसा दिखता है $$\left|\Psi_E\right\rangle \left\langle\Psi_E\right|$$. डिराक नोटेशन में, (प्रोजेक्टिव) मापों को eigenvalues ​​​​और eigenstates, दोनों विशुद्ध रूप से औपचारिक वस्तुओं के माध्यम से वर्णित किया गया है। जैसा कि कोई उम्मीद कर सकता है, यह पहचान के समाधान के पारित होने से बच नहीं पाता है। बाद के सूत्रीकरण में, वर्णक्रमीय माप का उपयोग करके माप का वर्णन किया गया है $$|\Psi \rangle$$, यदि सिस्टम तैयार है $$|\Psi \rangle$$ माप से पहले. वैकल्पिक रूप से, यदि कोई ईजेनस्टेट्स की धारणा को संरक्षित करना चाहता है और इसे केवल औपचारिक के बजाय कठोर बनाना चाहता है, तो वह राज्य स्थान को उपयुक्त धांधली हिल्बर्ट स्थान से बदल सकता है।

अगर f = 1, प्रमेय को एकता के संकल्प के रूप में जाना जाता है:


 * $$I = \int dE \left|\Psi_E\right\rangle \left\langle\Psi_E\right|$$

यदि $$H_\text{eff} = H - i\Gamma$$ एक हर्मिटियन एच और एक तिरछा-हर्मिटियन (तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिक्स देखें) ऑपरेटर का योग है $$ -i\Gamma$$, एक बायोर्थोगोनल प्रणाली  आधार सेट को परिभाषित करता है


 * $$H^*_\text{eff} \left|\Psi_E^*\right\rangle = E^* \left|\Psi_E^*\right\rangle$$

और वर्णक्रमीय प्रमेय को इस प्रकार लिखें:


 * $$f\left(H_\text{eff}\right) = \int dE \left|\Psi_E\right\rangle f(E) \left\langle\Psi_E^*\right|$$

(उस संदर्भ के लिए फ़ेशबैक-फ़ानो विभाजन विधि देखें जहां ऐसे ऑपरेटर प्रकीर्णन सिद्धांत में दिखाई देते हैं)।

सममित ऑपरेटरों का विस्तार
निम्नलिखित प्रश्न कई संदर्भों में उठता है: यदि हिल्बर्ट स्पेस एच पर एक ऑपरेटर ए सममित है, तो इसमें स्व-सहायक एक्सटेंशन कब होते हैं? एक ऑपरेटर जिसके पास एक अद्वितीय स्व-सहायक विस्तार होता है, उसे 'अनिवार्य रूप से स्व-सहायक' कहा जाता है; समान रूप से, एक ऑपरेटर अनिवार्य रूप से स्व-सहायक होता है यदि उसका समापन (वह ऑपरेटर जिसका ग्राफ ए के ग्राफ का समापन है) स्व-सहायक है। सामान्य तौर पर, एक सममित ऑपरेटर के पास कई स्व-सहायक एक्सटेंशन हो सकते हैं या कोई भी नहीं हो सकता है। इस प्रकार, हम इसके स्व-संयुक्त विस्तारों का वर्गीकरण चाहेंगे।

आवश्यक आत्म-संबद्धता के लिए पहला बुनियादी मानदंड निम्नलिखित है: $$ समान रूप से, ए अनिवार्य रूप से स्व-सहायक है यदि और केवल यदि ऑपरेटर $$A^* - i$$ और $$A^* + i$$ तुच्छ गुठलियाँ हैं. कहने का तात्पर्य यह है कि, A स्व-संयुक्त होने में विफल रहता है यदि और केवल यदि $$A^*$$ eigenvalue के साथ eigenvector है $$i$$ या $$-i$$.

इस मुद्दे को देखने का एक अन्य तरीका स्व-सहायक ऑपरेटर के केली रूपांतरण और कमी सूचकांक द्वारा प्रदान किया गया है। (बंद ऑपरेटरों से निपटना अक्सर तकनीकी सुविधा होती है। सममित मामले में, बंद होने की आवश्यकता कोई बाधा उत्पन्न नहीं करती है, क्योंकि यह ज्ञात है कि सभी सममित ऑपरेटर बंद करने योग्य ऑपरेटर हैं।)

$$

यहां, ran और dom क्रमशः छवि (गणित) (दूसरे शब्दों में, रेंज) और किसी फ़ंक्शन के डोमेन को दर्शाते हैं। W(A) अपने डोमेन पर आइसोमेट्री है। इसके अलावा, 1 − W(A) की सीमा H में सघन सेट है।

इसके विपरीत, किसी भी आंशिक रूप से परिभाषित ऑपरेटर यू को देखते हुए जो अपने डोमेन पर आइसोमेट्रिक है (जो आवश्यक रूप से बंद नहीं है) और ऐसा है कि 1 - यू सघन है, एक (अद्वितीय) ऑपरेटर एस (यू) है
 * $$\operatorname{S}(U) : \operatorname{ran}(1 - U) \to \operatorname{ran}(1 + U)$$

ऐसा है कि
 * $$\operatorname{S}(U)(x - Ux) = i(x + U x) \qquad x \in \operatorname{dom}(U).$$

ऑपरेटर S(U) सघन रूप से परिभाषित और सममित है।

मैपिंग W और S एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं।

मैपिंग डब्ल्यू को केली ट्रांसफॉर्म कहा जाता है। यह आंशिक आइसोमेट्री को किसी भी सममित सघन रूप से परिभाषित ऑपरेटर से जोड़ता है। ध्यान दें कि मैपिंग डब्ल्यू और एस मोनोटोन अभिसरण प्रमेय हैं: इसका मतलब है कि यदि बी एक सममित ऑपरेटर है जो सघन रूप से परिभाषित सममित ऑपरेटर ए का विस्तार करता है, तो डब्ल्यू(बी) डब्ल्यू का विस्तार करता है( ए), और इसी तरह एस के लिए।

$$

यह तुरंत हमें ए के लिए स्व-संयुक्त विस्तार के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त देता है, जो इस प्रकार है:

$$

हिल्बर्ट स्पेस एच पर आंशिक रूप से परिभाषित आइसोमेट्रिक ऑपरेटर वी में डोम (वी) के मानक समापन के लिए एक अद्वितीय आइसोमेट्रिक विस्तार है। बंद डोमेन वाले आंशिक रूप से परिभाषित आइसोमेट्रिक ऑपरेटर को आंशिक आइसोमेट्री कहा जाता है।

आंशिक आइसोमेट्री वी को देखते हुए, वी के 'कमी सूचकांक' को डोमेन और रेंज के ऑर्थोगोनल पूरक के आयाम के रूप में परिभाषित किया गया है:


 * $$\begin{align}

n_+(V) &= \dim \operatorname{dom}(V)^\perp \\ n_-(V) &= \dim \operatorname{ran}(V)^\perp \end{align}$$

$$

हम देखते हैं कि एक ऑपरेटर के सममित विस्तार और उसके केली ट्रांसफॉर्म के आइसोमेट्रिक विस्तार के बीच एक आपत्ति है। सममितीय विस्तार स्व-सहायक है यदि और केवल यदि संबंधित सममितीय विस्तार एकात्मक है।

एक सममित ऑपरेटर के पास एक अद्वितीय स्व-सहायक विस्तार होता है यदि और केवल तभी जब इसके दोनों कमी सूचकांक शून्य हों। ऐसे ऑपरेटर को अनिवार्य रूप से स्व-सहायक कहा जाता है। सममित ऑपरेटर जो अनिवार्य रूप से स्व-सहायक नहीं हैं, उनके पास अभी भी एक विहित रूप स्व-सहायक विस्तार हो सकता है। गैर-नकारात्मक सममित ऑपरेटरों (या अधिक सामान्यतः, ऑपरेटर जो नीचे परिबद्ध हैं) के मामले में ऐसा ही है। इन ऑपरेटरों के पास हमेशा एक विहित रूप से परिभाषित फ्रेडरिक का विस्तार  होता है और इन ऑपरेटरों के लिए हम एक विहित कार्यात्मक कलन को परिभाषित कर सकते हैं। विश्लेषण में आने वाले कई ऑपरेटर नीचे दिए गए हैं (जैसे कि लाप्लासियन ऑपरेटर का नकारात्मक), इसलिए इन ऑपरेटरों के लिए आवश्यक जुड़ाव का मुद्दा कम महत्वपूर्ण है।

क्वांटम यांत्रिकी में स्व-सहायक विस्तार
क्वांटम यांत्रिकी में, अवलोकन योग्य वस्तुएं स्व-सहायक ऑपरेटरों के अनुरूप होती हैं। एक-पैरामीटर एकात्मक समूहों पर स्टोन के प्रमेय के अनुसार, स्व-सहायक ऑपरेटर समय विकास ऑपरेटरों के एकात्मक समूहों के बिल्कुल छोटे जनरेटर हैं। हालाँकि, कई भौतिक समस्याओं को समय-विकास समीकरण के रूप में तैयार किया जाता है जिसमें अंतर ऑपरेटर शामिल होते हैं जिसके लिए हैमिल्टनियन केवल सममित होता है। ऐसे मामलों में, या तो हैमिल्टनियन अनिवार्य रूप से स्व-सहायक है, इस मामले में भौतिक समस्या के अद्वितीय समाधान हैं या कोई व्यक्ति विभिन्न प्रकार की सीमा स्थितियों या अनंत पर स्थितियों के अनुरूप हैमिल्टनियन के स्व-सहायक विस्तार को खोजने का प्रयास करता है।

उदाहरण। क्षमता के साथ एक-आयामी श्रोडिंगर ऑपरेटर $$V(x) = -(1 + |x|)^\alpha$$, प्रारंभ में सुचारु रूप से समर्थित कार्यों पर परिभाषित, अनिवार्य रूप से स्व-सहायक है (अर्थात, इसमें स्व-सहायक समापन है) $0 < α ≤ 2$ लेकिन के लिए नहीं $α > 2$. बेरेज़िन और शुबिन, पृष्ठ 55 और 86, या हॉल में खंड 9.10 देखें।

के लिए आवश्यक स्वसंबद्धता की विफलता $$\alpha > 2$$ क्षमता वाले कण की शास्त्रीय गतिशीलता में एक समकक्ष है $$V(x)$$: शास्त्रीय कण सीमित समय में अनंत तक भाग जाता है। उदाहरण। अर्ध-रेखा पर गतिमान कण के लिए कोई स्व-सहायक संवेग संचालक p नहीं है। फिर भी, हैमिल्टनियन $$p^2$$ अर्ध-रेखा पर एक मुक्त कण के विभिन्न प्रकार की सीमा स्थितियों के अनुरूप कई स्व-संयुक्त विस्तार होते हैं। भौतिक रूप से, ये सीमा स्थितियाँ मूल में कण के प्रतिबिंब से संबंधित हैं (रीड और साइमन, खंड 2 देखें)।

वॉन न्यूमैन के सूत्र
मान लीजिए A सममित रूप से सघन रूप से परिभाषित है। फिर A का कोई भी सममित विस्तार A* का प्रतिबंध है। वास्तव में, A ⊆ B और B सममिति dom(A*) की परिभाषा को लागू करने से B ⊆ A* प्राप्त होता है।

$$

इन्हें अख़िएज़र और ग्लेज़मैन संदर्भ में वॉन न्यूमैन के सूत्रों के रूप में जाना जाता है।

एक सममित ऑपरेटर जो अनिवार्य रूप से स्व-सहायक नहीं है
हम सबसे पहले हिल्बर्ट स्थान पर विचार करते हैं $$L^2[0, 1]$$ और विभेदक ऑपरेटर


 * $$D: \phi \mapsto \frac{1}{i} \phi'$$

सीमा शर्तों को संतुष्ट करते हुए, [0,1] पर लगातार भिन्न-भिन्न जटिल-मूल्य वाले कार्यों के स्थान पर परिभाषित किया गया है
 * $$\phi(0) = \phi(1) = 0.$$

तब D एक सममित ऑपरेटर है जैसा कि भागों द्वारा एकीकरण द्वारा दिखाया जा सकता है। रिक्त स्थान एन+, एन− (नीचे परिभाषित) समीकरण के वितरण (गणितीय) समाधान द्वारा क्रमशः दिए गए हैं


 * $$\begin{align}

-i u' &= i u \\ -i u' &= -i u \end{align}$$ जो एल में हैं2[0, 1]. कोई यह दिखा सकता है कि इनमें से प्रत्येक समाधान स्थान 1-आयामी है, जो फ़ंक्शन x → e द्वारा उत्पन्न होता है−x और x → ex क्रमशः। इससे पता चलता है कि D मूलतः स्व-संयुक्त नहीं है, लेकिन इसमें स्वयं-सहायक एक्सटेंशन हैं। ये स्व-सहायक एक्सटेंशन एकात्मक मैपिंग एन के स्थान द्वारा पैरामीट्रिज्ड हैं+ → एन−, जो इस मामले में यूनिट सर्कल टी होता है।

इस मामले में, आवश्यक स्व-संयोजकों की विफलता डोमेन की परिभाषा में सीमा शर्तों के गलत विकल्प के कारण होती है $$D$$. तब से $$D$$ प्रथम-क्रम ऑपरेटर है, यह सुनिश्चित करने के लिए केवल एक सीमा शर्त की आवश्यकता है $$D$$ सममित है. यदि हमने ऊपर दी गई सीमा शर्तों को एकल सीमा शर्त से बदल दिया है
 * $$\phi(0) = \phi(1)$$,

तब D अभी भी सममित होगा और अब, वास्तव में, अनिवार्य रूप से स्व-संयुक्त होगा। सीमा शर्तों का यह परिवर्तन डी का एक विशेष रूप से स्व-संयुक्त विस्तार देता है। अन्य अनिवार्य रूप से स्व-संयुक्त विस्तार फॉर्म की सीमा शर्तों को लागू करने से आते हैं $$\phi(1) = e^{i\theta}\phi(0)$$.

यह सरल उदाहरण एक खुले सेट एम पर सममित विभेदक ऑपरेटरों पी के स्व-सहायक विस्तार के बारे में एक सामान्य तथ्य को दर्शाता है। वे आइगेनवैल्यू रिक्त स्थान के बीच एकात्मक मानचित्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।
 * $$ N_\pm = \left\{u \in L^2(M): P_\operatorname{dist} u = \pm i u\right\} $$

जहां पीdist P का वितरणात्मक विस्तार है।

निरंतर-गुणांक ऑपरेटर
हम आगे स्थिर गुणांक वाले विभेदक ऑपरेटरों का उदाहरण देते हैं। होने देना
 * $$P\left(\vec{x}\right) = \sum_\alpha c_\alpha x^\alpha $$

R पर एक बहुपद बनेंn वास्तविक गुणांकों के साथ, जहां α बहु-सूचकांक|बहु-सूचकांकों के एक (परिमित) सेट से अधिक होता है। इस प्रकार
 * $$ \alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$$

और
 * $$x^\alpha = x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \cdots x_n^{\alpha_n}.$$

हम संकेतन का भी उपयोग करते हैं


 * $$D^\alpha = \frac{1}{i^{|\alpha|}} \partial_{x_1}^{\alpha_1}\partial_{x_2}^{\alpha_2} \cdots \partial_{x_n}^{\alpha_n}. $$

फिर ऑपरेटर पी(डी) ने 'आर' पर कॉम्पैक्ट समर्थन के असीम रूप से भिन्न कार्यों के स्थान पर परिभाषित कियाnद्वारा
 * $$ P(\operatorname{D}) \phi = \sum_\alpha c_\alpha \operatorname{D}^\alpha \phi$$

एल पर मूलतः स्व-संयोजक है2(आरn).

$$

अधिक सामान्यतः, कॉम्पैक्ट समर्थन के असीम रूप से भिन्न जटिल-मूल्य वाले कार्यों पर कार्य करने वाले रैखिक अंतर ऑपरेटरों पर विचार करें। यदि M, 'R' का एक खुला उपसमुच्चय हैn
 * $$P \phi(x) = \sum_\alpha a_\alpha (x) \left[D^\alpha \phi\right](x)$$

जहाँ एकα (आवश्यक रूप से स्थिर नहीं) असीम रूप से भिन्न कार्य हैं। P एक रैखिक संचालिका है
 * $$ C_0^\infty(M) \to C_0^\infty(M).$$

P के अनुरूप एक अन्य विभेदक संकारक है, जो P का 'औपचारिक सहायक' है
 * $$ P^\mathrm{*form} \phi = \sum_\alpha D^\alpha \left(\overline{a_\alpha} \phi\right)$$

$$

वर्णक्रमीय बहुलता सिद्धांत
स्व-सहायक संचालिका का गुणन निरूपण, हालांकि अत्यंत उपयोगी है, विहित निरूपण नहीं है। इससे पता चलता है कि इस प्रतिनिधित्व से यह निर्धारित करने के लिए एक मानदंड निकालना आसान नहीं है कि स्व-सहायक ऑपरेटर ए और बी इकाई रूप से समकक्ष हैं। अब हम जिस बेहतरीन दानेदार प्रतिनिधित्व पर चर्चा करते हैं उसमें वर्णक्रमीय बहुलता शामिल है। परिणामों के इस चक्र को हंस हैन (गणितज्ञ)अर्नेस्ट हेलिंगर का वर्णक्रमीय बहुलता सिद्धांत कहा जाता है।

समान बहुलता
हम पहले एकसमान बहुलता को परिभाषित करते हैं:

'परिभाषा'। एक स्व-सहायक संकारक A में एकसमान बहुलता n है जहाँ n ऐसा है कि 1 ≤ n ≤ ω यदि और केवल यदि A इकाई रूप से संकारक M के समतुल्य हैf फलन f(λ) = λ द्वारा गुणन का
 * $$L^2_\mu\left(\mathbf{R}, \mathbf{H}_n\right) = \left\{\psi: \mathbf{R} \to \mathbf{H}_n: \psi \mbox{ measurable and } \int_{\mathbf{R}} \|\psi(t)\|^2 d\mu(t) < \infty\right\}$$

जहां एचn आयाम n का हिल्बर्ट स्थान है। एम का डोमेनf आर पर वेक्टर-मूल्य वाले फ़ंक्शन ψ शामिल हैं जैसे कि
 * $$\int_\mathbf{R} |\lambda|^2\ \|\psi(\lambda)\|^2 \, d\mu(\lambda) < \infty.$$

गैर-नकारात्मक गणनीय योगात्मक माप μ, ν परस्पर एकवचन हैं यदि और केवल यदि वे असंयुक्त बोरेल सेट पर समर्थित हैं।

$$

यह प्रतिनिधित्व निम्नलिखित अर्थों में अद्वितीय है: समान ए के किन्हीं दो ऐसे निरूपणों के लिए, संबंधित माप इस अर्थ में समतुल्य हैं कि उनके पास माप 0 के समान सेट हैं।

प्रत्यक्ष समाकलन
वर्णक्रमीय बहुलता प्रमेय को हिल्बर्ट रिक्त स्थान के प्रत्यक्ष अभिन्नों की भाषा का उपयोग करके पुन: तैयार किया जा सकता है:

$$

वर्णक्रमीय प्रमेय के गुणन-ऑपरेटर संस्करण के विपरीत, प्रत्यक्ष-अभिन्न संस्करण इस अर्थ में अद्वितीय है कि μ का माप तुल्यता वर्ग (या समकक्ष इसके माप 0 के सेट) विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है और मापने योग्य कार्य होता है $$\lambda\mapsto\mathrm{dim}(H_{\lambda})$$ μ के संबंध में लगभग हर जगह निर्धारित किया जाता है। कार्यक्रम $$\lambda \mapsto \operatorname{dim}\left(H_\lambda\right)$$ ऑपरेटर का वर्णक्रमीय बहुलता फ़ंक्शन है।

अब हम स्व-सहायक ऑपरेटरों के लिए वर्गीकरण परिणाम बता सकते हैं: दो स्व-सहायक ऑपरेटर इकाई रूप से समतुल्य हैं यदि और केवल यदि (1) उनके स्पेक्ट्रा सेट के रूप में सहमत हैं, (2) उनके प्रत्यक्ष-अभिन्न प्रतिनिधित्व में दिखाई देने वाले उपायों के समान सेट हैं माप शून्य का, और (3) उनके वर्णक्रमीय बहुलता कार्य प्रत्यक्ष अभिन्न में माप के संबंध में लगभग हर जगह सहमत होते हैं।

उदाहरण: लाप्लासियन की संरचना
आर पर लाप्लासियनn ऑपरेटर है
 * $$\Delta = \sum_{i=1}^n \partial_{x_i}^2.$$

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, लाप्लासियन को फूरियर रूपांतरण द्वारा विकर्ण किया गया है। वास्तव में लाप्लासियन -Δ के नकारात्मक पर विचार करना अधिक स्वाभाविक है क्योंकि एक ऑपरेटर के रूप में यह गैर-नकारात्मक है; (अण्डाकार ऑपरेटर देखें)।

$$

शुद्ध बिंदु स्पेक्ट्रम
H पर एक स्व-सहायक ऑपरेटर A के पास शुद्ध बिंदु स्पेक्ट्रम है यदि और केवल यदि H का ऑर्थोनॉर्मल आधार है {ei}i ∈ I A के लिए eigenvectors से मिलकर।

'उदाहरण'। हार्मोनिक ऑसिलेटर के लिए हैमिल्टनियन में एक द्विघात क्षमता V है, अर्थात
 * $$-\Delta + |x|^2.$$

इस हैमिल्टनियन में शुद्ध बिंदु स्पेक्ट्रम है; यह क्वांटम यांत्रिकी में बाध्य अवस्था हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) के लिए विशिष्ट है। जैसा कि पिछले उदाहरण में बताया गया था, एक पर्याप्त शर्त यह है कि एक असीमित सममित ऑपरेटर के पास आइगेनवेक्टर होते हैं जो हिल्बर्ट स्पेस आधार बनाते हैं, यह एक कॉम्पैक्ट व्युत्क्रम है।

यह भी देखें

 * हिल्बर्ट स्पेस पर कॉम्पैक्ट ऑपरेटर
 * श्रोडिंगर समीकरण के लिए सैद्धांतिक और प्रयोगात्मक औचित्य
 * अनबाउंड ऑपरेटर
 * हर्मिटियन सहायक
 * सकारात्मक संचालिका (हिल्बर्ट स्पेस)
 * गैर-हर्मिटियन क्वांटम यांत्रिकी