अंकगणितीय औसत

गणित और सांख्यिकी में, अंकगणितीय माध्य, अंकगणितीय औसत, या केवल माध्य या औसत (जब संदर्भ स्पष्ट होता है), संग्रह में संख्याओं की संख्या से विभाजित संख्याओं के संग्रह का योग होता है। संग्रह अधिकांशतः विशेष प्रयोग, अवलोकन संबंधी अध्ययन, या सर्वेक्षण (सांख्यिकी) से परिणामों का समूह होता है। इस प्रकार अंकगणित माध्य शब्द को कुछ गणित और सांख्यिकी संदर्भों में पसंद किया जाता है जिससे कि यह इसे अन्य प्रकार के साधनों, जैसे कि ज्यामितीय माध्य और अनुकूल माध्य से भिन्न करने में सहायता करता है।

गणित और सांख्यिकी के अतिरिक्त, अंकगणित माध्य अधिकांशतः अर्थशास्त्र, नृविज्ञान, इतिहास और लगभग प्रत्येक शैक्षणिक क्षेत्र में कुछ सीमा तक उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, प्रति व्यक्ति आय किसी देश की जनसंख्या की अंकगणितीय औसत आय होती है।

जबकि अंकगणित माध्य का उपयोग अधिकांशतः केंद्रीय प्रवृत्ति की सूची करने के लिए किया जाता है, यह शक्तिशाली आँकड़ा नहीं है। यह ग़ैर से अधिक (अधिकांश अन्य की तुलना में बहुत बड़ा या छोटा मान) प्रभावित होता है। इस प्रकार विषम वितरण के लिए, जैसे कि आय का वितरण जिसके लिए कुछ लोगों की आय अधिकांश लोगों की तुलना में अधिक होती है, अतः अंकगणितीय माध्य किसी की "मध्यम" की धारणा के साथ मेल नहीं खा सकता है। उस स्थिति में, माध्यिका जैसे मजबूत आँकड़े, केंद्रीय प्रवृत्ति का उत्तम विवरण प्रदान कर सकते हैं।

परिभाषा
डेटा समूह दिया गया $$X=\{x_1,\ldots,x_n\}$$, अंकगणितीय माध्य (माध्य या औसत भी), निरूपित $$\bar{x}$$ (पढ़ना $$x$$ बार), $$n$$ मान $$x_1,\ldots,x_n$$ का माध्य है।

अंकगणित माध्य किसी डेटा समूह की केंद्रीय प्रवृत्ति का सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला और सरलता से समझा जाने वाला माप है। सामान्यतः सांख्यिकी में, औसत शब्द केंद्रीय प्रवृत्ति के किसी भी माप को संदर्भित करता है। अवलोकन किए गए डेटा के समूह का अंकगणितीय माध्य प्रत्येक अवलोकन के संख्यात्मक मानों के योग के सामान्तर होता है, जिसे प्रेक्षणों की कुल संख्या से विभाजित किया जाता है। इस प्रकार सांकेतिक रूप से, मानों से युक्त डेटा समूह के लिए $$x_1,\dots,x_n$$, अंकगणितीय माध्य सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है:


 * $$\bar{x}=\frac{1}{n}\left (\sum_{i=1}^n{x_i}\right)

=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$$ ( योग ऑपरेटर की व्याख्या के लिए, समेशन देखें।)

उदाहरण के लिए, यदि मासिक वेतन $$10$$ कर्मचारी हैं $$\{2500,2700,2400,2300,2550,2650,2750,2450,2600,2400\}$$, तो अंकगणितीय माध्य है:


 * $$\frac{2500+2700+2400+2300+2550+2650+2750+2450+2600+2400}{10}=2530$$

यदि डेटा समूह सांख्यिकीय जनसंख्या है (अर्थात, इसमें हर संभव अवलोकन सम्मिलित है और न केवल उनका उपसमुच्चय), तो उस जनसंख्या के माध्य को जनसंख्या माध्य कहा जाता है और इसे ग्रीक वर्णमाला द्वारा निरूपित किया जाता है। $$\mu$$. यदि डेटा समूह नमूनाकरण (सांख्यिकी) (जनसंख्या का सबसमूह) है, तो इसे नमूना माध्य कहा जाता है (जो डेटा समूह के लिए $$X$$ के रूप में दर्शाया गया है $$\overline{X}$$).

अंकगणित माध्य को समान रूप से सदिश (गणित और भौतिकी) के लिए अनेक आयामों में परिभाषित किया जा सकता है, न कि केवल अदिश (गणित) मान; इसे अधिकांशतः केन्द्रक के रूप में जाना जाता है। अधिक सामान्यतः, क्योंकि अंकगणितीय माध्य उत्तल संयोजन है (अर्थात् इसके गुणांकों का योग है $$1$$), इसे उत्तल स्थान पर परिभाषित किया जा सकता है, न कि केवल सदिश स्थान पर।

प्रेरक गुण
अंकगणितीय माध्य में अनेक गुण होते हैं जो इसे रोचक बनाते हैं, विशेष रूप से केंद्रीय प्रवृत्ति के माप के रूप में। इसमे सम्मिलित है:


 * यदि अंक $$x_1,\dotsc,x_n$$ कारण है $$\bar{x}$$, तब $$(x_1-\bar{x})+\dotsb+(x_n-\bar{x})=0$$. तब से $$x_i-\bar{x}$$ किसी दी गई संख्या से माध्य की दूरी है, इस गुण की व्याख्या करने का विधि यह है कि माध्य के बाईं ओर की संख्या को दाईं ओर की संख्या द्वारा संतुलित किया जाता है। माध्य ही एकमात्र ऐसी संख्या है जिसके लिए आंकड़ों में त्रुटियां और अवशेष (अनुमान से विचलन) का योग शून्य होता है। इसे यह कहते हुए भी व्याख्यायित किया जा सकता है कि कारण किसी भी वास्तविक संख्या के अर्थ में अनुवादिक समरूपता है $$a$$, $$\overline{x + a} = \bar{x} + a$$.
 * यदि ज्ञात संख्याओं के समूह के लिए विशिष्ट मान के रूप में एकल संख्या का उपयोग करना आवश्यक है $$x_1,\dotsc,x_n$$, तो संख्याओं का अंकगणितीय माध्य यह सबसे अच्छा करता है क्योंकि यह विशिष्ट मान से वर्ग विचलन के योग को कम करता है: का योग $$(x_i-\bar{x})^2$$. नमूना माध्य भी सबसे अच्छा एकल भविष्यवक्ता है क्योंकि इसमें सबसे कम मूल माध्य चुकता त्रुटि है। यदि संख्याओं की जनसंख्या का अंकगणितीय माध्य वांछित है, तो इसका अनुमान जो कि निष्पक्ष अनुमान है, जनसंख्या से निकाले गए नमूने का अंकगणितीय माध्य है।


 * अंकगणित माध्य माप की इकाइयों के पैमाने से स्वतंत्र है, इस अर्थ में कि $$\text{avg}(ca_{1},\cdots,ca_{n})=c\cdot\text{avg}(a_{1},\cdots,a_{n}).$$ इसलिए, उदाहरण के लिए, लीटर के माध्य की गणना करना और फिर गैलन में बदलना वैसा ही है जैसे पहले गैलन में बदलना और फिर माध्य की गणना करना। इसे सजातीय कार्य भी कहा जाता है।

अतिरिक्त गुण

 * किसी नमूने का अंकगणितीय माध्य सदैव उस नमूने के सबसे बड़े और सबसे छोटे मानों के मध्य होता है।
 * समान आकार के संख्या समूहों की किसी भी राशि का अंकगणितीय माध्य प्रत्येक समूह के अंकगणितीय माध्य का अंकगणितीय माध्य है।

माध्यिका के साथ तुलना करें
अंकगणित माध्य की तुलना माध्यिका से की जा सकती है। माध्यिका को इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि आधे से अधिक मान बड़े नहीं हैं, और आधे से अधिक इससे छोटे नहीं हैं। यदि अंकगणितीय प्रगति में तत्वों को किसी क्रम में रखा जाता है, तो माध्यिका और अंकगणितीय औसत सामान्तर होते हैं। उदाहरण के लिए, डेटा नमूना पर विचार करें $$\{1,2,3,4\}$$. कारण है $$2.5$$, जैसा कि माध्यिका है। चूँकि, जब हम ऐसे नमूने पर विचार करते हैं जिसे अंकगणितीय रूप से बढ़ाने के लिए व्यवस्थित नहीं किया जा सकता है, जैसे $$\{1,2,4,8,16\}$$, माध्यिका और अंकगणितीय औसत महत्वपूर्ण रूप से भिन्न हो सकते हैं। इस स्थितियों में, अंकगणितीय औसत है $$6.2$$, जबकि माध्यिका है $$4$$. नमूने में अधिकांश मूल्यों से औसत मूल्य अधिक भिन्न हो सकता है और अधिक से अधिक बड़ा या छोटा हो सकता है।

अनेक क्षेत्रों में इस घटना के अनुप्रयोग हैं। उदाहरण के लिए, 1980 के दशक के पश्चात् से, संयुक्त राज्य में औसत आय आय के अंकगणितीय औसत की तुलना में धीमी गति से बढ़ी है।

भारित औसत
भारित औसत, या भारित माध्य, औसत है जिसमें कुछ डेटा अंक दूसरों की तुलना में अधिक महत्वपूर्ण होते हैं क्योंकि उन्हें गणना में अधिक वजन दिया जाता है। उदाहरण के लिए, का अंकगणितीय माध्य $$3$$ और $$5$$ है $$\frac{3+5}{2}=4$$, या समकक्ष $$3\frac{1}{2}+5\frac{1}{2}=4$$. इसके विपरीत, भारित माध्य जिसमें पहली संख्या प्राप्त होती है, उदाहरण के लिए, दूसरे से दोगुना वजन (संभवतः इसलिए कि यह सामान्य जनसंख्या में दो बार दिखाई देने वाला माना जाता है जिससे इन नंबरों का नमूना लिया गया था) की गणना की जाएगी $$3\frac{2}{3}+5\frac{1}{3}=\frac{11}{3}$$. यहाँ भार, जिनका योग आवश्यक रूप से है, हैं $$\frac{2}{3}$$ और $$\frac{1}{3}$$, पूर्व दो बार उत्तरार्द्ध है। अंकगणित माध्य (कभी-कभी भारित औसत या समान भारित औसत कहा जाता है) को भारित औसत के विशेष स्थितियों के रूप में व्याख्या किया जा सकता है जिसमें सभी भार ही संख्या के सामान्तर होते हैं ($$\frac{1}{2}$$ उपरोक्त उदाहरण में और $$\frac{1}{n}$$ के साथ स्थिति में $$n$$ संख्याओं का औसत निकाला जा रहा है)।

सतत संभाव्यता वितरण
यदि कोई संख्यात्मक गुण, और उससे प्राप्त डेटा का कोई भी नमूना, उदाहरण के लिए, केवल पूर्णांकों के अतिरिक्त निरंतर श्रेणी से कोई भी मान ले सकता है, तो किसी संख्या के संभावित मानों की किसी सीमा में गिरने की संभावना को एकीकृत करके वर्णित किया जा सकता है। इस श्रेणी में निरंतर संभाव्यता वितरण, तब भी जब नमूना संख्या के लिए असीम रूप से अनेक से निश्चित मान लेने की सहज संभावना शून्य है। इस संदर्भ में, भारित औसत का एनालॉग, जिसमें प्रत्येक श्रेणी में चर के त्रुटिहीन मान के लिए अपरिमित रूप से अनेक संभावनाएँ होती हैं, संभाव्यता बंटन का माध्य कहलाता है। सबसे व्यापक रूप से सामना किए जाने वाले संभाव्यता वितरण को सामान्य वितरण कहा जाता है; इसकी संपत्ति है कि इसकी केंद्रीय प्रवृत्ति के सभी उपाय, न केवल माध्य किंतु ऊपर वर्णित माध्यिका और मोड (तीन एमएस) ), सामान्तर हैं। यह समानता अन्य संभाव्यता वितरणों के लिए नहीं है, जैसा कि यहां लॉग-सामान्य वितरण के लिए सचित्र है।

कोण
चरण या कोण जैसे चक्रीय डेटा का उपयोग करते समय विशेष देखभाल की आवश्यकता होती है। 1° और 359° का अंकगणितीय माध्य लेने पर 180° (कोण)|° का परिणाम प्राप्त होता है। यह दो कारणों से गलत है:
 * सबसे पहले, कोण माप केवल 360° ($$2\pi$$ या $$\tau$$, अगर कांति में माप रहे हैं)। इस प्रकार, इन्हें आसानी से 1° और -1°, या 361° और 719° कहा जा सकता है, क्योंकि इनमें से प्रत्येक भिन्न औसत उत्पन्न करता है।
 * दूसरी बात, इस स्थिति में, 0° (या 360°) ज्यामितीय रूप से उत्तम औसत मान है: इसके बारे में कम सांख्यिकीय फैलाव है (अंक इससे 1° और 180° से 179°, ख्यात औसत दोनों हैं)।

सामान्य अनुप्रयोग में, इस तरह के निरीक्षण से औसत मूल्य कृत्रिम रूप से संख्यात्मक सीमा के मध्य की ओर बढ़ जाएगा। इस समस्या का समाधान अनुकूलन फॉर्मूलेशन का उपयोग करना है (अर्थात्, मध्य बिंदु के रूप में कारण को परिभाषित करें: वह बिंदु जिसके बारे में सबसे कम फैलाव है) और अंतर को मॉड्यूलर दूरी (अर्थात् सर्कल पर दूरी) के रूप में फिर से परिभाषित करें: इसलिए 1° और 359° के मध्य की मॉड्यूलर दूरी 2° है, 358° नहीं)।

प्रतीक और एन्कोडिंग
अंकगणित माध्य को अधिकांशतः बार (विंकुलम (प्रतीक) या मैक्रोन (विशेषक)) द्वारा निरूपित किया जाता है, जैसा कि $$\bar{x}$$.

कुछ सॉफ़्टवेयर (टेक्स्ट प्रोसेसिंग, वेब ब्राउज़र) x̄ प्रतीक को सही ढंग से प्रदर्शित नहीं कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, HTML प्रतीक x̄ दो कोडों को जोड़ता है - आधार अक्षर x प्लस उपरोक्त पंक्ति के लिए कोड (̄ या ¯)। कुछ दस्तावेज़ स्वरूपों (जैसे पीडीएफ) में, माइक्रोसॉफ्ट वर्ड जैसे टेक्स्ट प्रोसेसर में कॉपी किए जाने पर प्रतीक को ¢ (यूरो सिक्के) प्रतीक द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * फ्रेचेट कारण
 * सामान्यीकृत माध्य
 * जियोमेट्रिक माध्य
 * अनुकूल माध्य
 * अंकगणित और ज्यामितीय साधनों की असमानता
 * नमूना माध्य और सहप्रसरण
 * मानक विचलन
 * माध्य की मानक त्रुटि
 * सारांश आँकड़े

बाहरी संबंध

 * Calculations and comparisons between arithmetic mean and geometric mean of two numbers
 * Calculate the arithmetic mean of a series of numbers on fxSolver