आदिम तत्व प्रमेय

क्षेत्र सिद्धांत (गणित) में, आदिम तत्व प्रमेय एक क्षेत्र विस्तार क्षेत्र एक्सटेंशन की डिग्री को चिह्नित करने का परिणाम है जो एक तत्व द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है। इस तरह के एक उत्पन्न करने वाले तत्व को क्षेत्र विस्तार का आदिम तत्व कहा जाता है, और इस मामले में विस्तार को एक साधारण विस्तार कहा जाता है। प्रमेय कहता है कि एक परिमित विस्तार सरल है अगर और केवल अगर केवल बहुत से मध्यवर्ती क्षेत्र हैं। एक पुराना परिणाम, जिसे अक्सर आदिम तत्व प्रमेय भी कहा जाता है, बताता है कि प्रत्येक परिमित वियोज्य विस्तार विस्तार सरल है; इसे पूर्व प्रमेय के परिणाम के रूप में देखा जा सकता है। इन प्रमेयों का विशेष रूप से अर्थ है कि परिमेय संख्याओं पर सभी बीजगणितीय संख्या क्षेत्र, और सभी विस्तार जिसमें दोनों क्षेत्र परिमित हैं, सरल हैं।

शब्दावली
होने देना $$E/F$$ फील्ड एक्सटेंशन हो। तत्व $$\alpha\in E$$ के लिए आदिम तत्व है $$E/F$$ अगर $$E=F(\alpha),$$ यानी अगर हर तत्व $$E$$ में एक तर्कसंगत कार्य के रूप में लिखा जा सकता है $$\alpha$$ में गुणांक के साथ $$F$$. यदि ऐसा कोई आदिम तत्व मौजूद है, तो $$E/F$$ सरल विस्तार कहा जाता है।

यदि फील्ड एक्सटेंशन $$E/F$$ आदिम तत्व है $$\alpha$$ और परिमित डिग्री का है $$n = [E:F]$$, तब E के प्रत्येक अवयव x को विशिष्ट रूप में लिखा जा सकता है


 * $$x=f_{n-1}{\alpha}^{n-1}+\cdots+f_1{\alpha}+f_0,$$

कहाँ $$f_i\in F$$ सभी के लिए मैं यानी सेट


 * $$\{1,\alpha,\ldots,{\alpha}^{n-1}\}$$

E के लिए F पर सदिश समष्टि के रूप में एक आधार (रैखिक बीजगणित) है।

उदाहरण
यदि कोई परिमेय संख्याओं से जुड़ता है $$F = \mathbb{Q}$$ दो अपरिमेय संख्याएँ $$\sqrt{2}$$ और $$\sqrt{3}$$ विस्तार क्षेत्र प्राप्त करने के लिए $$E=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$$ एक क्षेत्र विस्तार की डिग्री 4, कोई दिखा सकता है कि यह विस्तार सरल है, जिसका अर्थ है $$E=\mathbb{Q}(\alpha)$$ एक के लिए $$\alpha\in E$$. ले रहा $$\alpha = \sqrt{2} + \sqrt{3} $$, शक्तियां 1, α, ए 2, ए 3 को 1 के रैखिक संयोजनों के रूप में विस्तारित किया जा सकता है, $$\sqrt{2}$$, $$\sqrt{3}$$, $$\sqrt{6}$$ पूर्णांक गुणांक के साथ। के लिए रैखिक समीकरणों की इस प्रणाली को हल कर सकते हैं $$\sqrt{2}$$ और $$\sqrt{3}$$ ऊपर $$\mathbb{Q}(\alpha)$$, प्राप्त करने के लिए $$\sqrt{2} = \tfrac12(\alpha^3-9\alpha)$$ और $$\sqrt{3} = -\tfrac12(\alpha^3-11\alpha)$$. इससे पता चलता है α वास्तव में एक आदिम तत्व है:
 * $$\mathbb{Q}(\sqrt 2, \sqrt 3)=\mathbb{Q}(\sqrt2 + \sqrt3).$$

प्रमेय
शास्त्रीय आदिम तत्व प्रमेय कहता है:
 * परिमित डिग्री का प्रत्येक वियोज्य विस्तार क्षेत्र विस्तार सरल है।

यह प्रमेय बीजगणितीय संख्या क्षेत्रों पर लागू होता है, अर्थात परिमेय संख्या Q के परिमित विस्तार, चूंकि Q में विशेषता (बीजगणित) 0 है और इसलिए Q पर प्रत्येक परिमित विस्तार वियोज्य है।

निम्नलिखित आदिम तत्व प्रमेय (अर्नेस्ट स्टीनिट्ज़ अधिक सामान्य है:
 * एक परिमित क्षेत्र विस्तार $$E/F$$ सरल है अगर और केवल अगर वहाँ केवल बहुत से मध्यवर्ती क्षेत्रों K के साथ मौजूद हैं $$E\supseteq K\supseteq F$$.

गैलोज़ सिद्धांत के मौलिक प्रमेय का उपयोग करते हुए, पूर्व प्रमेय बाद वाले से तुरंत अनुसरण करता है।

विशेषता पी
एक गैर-वियोज्य विस्तार के लिए $$E/F$$ पी की विशेषता, फिर भी एक आदिम तत्व है बशर्ते डिग्री [ई : एफ] पी है: वास्तव में, कोई गैर-तुच्छ मध्यवर्ती उपक्षेत्र नहीं हो सकता है क्योंकि उनकी डिग्री प्रमुख पी के कारक होंगे।

जब [ई: एफ] = पी2, कोई आदिम तत्व नहीं हो सकता है (जिस स्थिति में असीम रूप से कई मध्यवर्ती क्षेत्र हैं)। सबसे सरल उदाहरण है $$E=\mathbb{F}_p(T,U)$$, पी तत्वों के साथ परिमित क्षेत्र पर दो अनिश्चित टी और यू में तर्कसंगत कार्यों का क्षेत्र, और $$F=\mathbb{F}_p(T^p,U^p)$$. वास्तव में, ई में किसी भी α = जी (टी, यू) के लिए, फ्रोबेनियस एंडोमोर्फिज्म दर्शाता है कि तत्व αp F में स्थित है, इसलिए α का मूल है $$f(X)=X^p-\alpha^p\in F[X]$$, और α आदिम तत्व नहीं हो सकता (डिग्री p2 ओवर F), लेकिन इसके बजाय F(α) एक गैर-तुच्छ मध्यवर्ती क्षेत्र है।

रचनात्मक परिणाम
आम तौर पर, एक परिमित वियोज्य विस्तार E / F के लिए सभी आदिम तत्वों का सेट, E के उचित F-उपस्थानों के एक परिमित संग्रह का पूरक है, अर्थात् मध्यवर्ती क्षेत्र। यह कथन परिमित क्षेत्रों के मामले में कुछ भी नहीं कहता है, जिसके लिए क्षेत्र के गुणक समूह (एक चक्रीय समूह) के एक जनरेटर को खोजने के लिए समर्पित एक कम्प्यूटेशनल सिद्धांत है, जो एक आदिम तत्व है (आदिम तत्व (परिमित क्षेत्र देखें) )). जहां एफ अनंत है, एक कबूतर सिद्धांत प्रमाण तकनीक दो तत्वों द्वारा उत्पन्न रैखिक उप-स्थान पर विचार करती है और यह साबित करती है कि केवल बहुत ही रैखिक संयोजन हैं


 * $$\gamma = \alpha + c \beta\ $$

सी में एफ के साथ, जो उपक्षेत्र उत्पन्न करने में विफल रहता है जिसमें दोनों तत्व होते हैं:


 * जैसा $$F(\alpha,\beta)/F(\alpha+c\beta)$$ एक वियोज्य विस्तार है, अगर $$F(\alpha+c\beta) \subsetneq F(\alpha,\beta)$$ एक गैर-तुच्छ एम्बेडिंग मौजूद है $$\sigma : F(\alpha,\beta)\to \overline{F}$$ किस पर प्रतिबंध $$F(\alpha+c\beta)$$ पहचान है जिसका अर्थ है $$ \sigma(\alpha)+c \sigma(\beta) = \alpha+c \beta$$ और $$\sigma(\beta) \ne \beta$$ ताकि $$ c = \frac{\sigma(\alpha)-\alpha}{\beta-\sigma(\beta)}$$. सी के लिए यह अभिव्यक्ति केवल ले सकती है $$[F(\alpha):F] [F(\beta):F]$$ विभिन्न मूल्य। के अन्य सभी मूल्यों के लिए $$c\in F$$ तब $$F(\alpha,\beta) = F(\alpha+c\beta)$$.

यह दिखाने के एक तरीके के रूप में लगभग तत्काल है कि कैसे स्टीनिट्ज़ का परिणाम शास्त्रीय परिणाम का अर्थ है, और मध्यवर्ती क्षेत्रों के परिणामों की संख्या के मामले में असाधारण सी की संख्या के लिए एक बाध्यता है (यह संख्या कुछ ऐसी है जो खुद गैलोइस सिद्धांत से बंधी हो सकती है और संभवतः)। इसलिए, इस मामले में आदिम तत्वों को खोजने के लिए ट्रायल-एंड-एरर एक संभावित व्यावहारिक तरीका है।

इतिहास
1831 के अपने पहले संस्मरण में, Évariste Galois ने परिमेय संख्याओं पर एक बहुपद के बंटवारे के क्षेत्र के मामले में शास्त्रीय आदिम तत्व प्रमेय का एक प्रमाण तैयार किया। उनके स्केच में अंतराल को आसानी से भरा जा सकता था (जैसा कि रेफरी सिमोन डेनिस पोइसन द्वारा टिप्पणी की गई थी; गाल्वा का संस्मरण 1846 तक प्रकाशित नहीं हुआ था) एक प्रमेय का शोषण करके 1771 से जोसेफ-लुई लाग्रेंज का, जिसे गैल्वा निश्चित रूप से जानता था। ऐसा लगता है कि लग्रेंज पहले से ही क्षेत्रों को विभाजित करने के लिए आदिम तत्व प्रमेय के बारे में जानते थे। गैलोज़ ने तब इस प्रमेय का इस्तेमाल गैलोज़ समूह के अपने विकास में भारी रूप से किया था। तब से इसका उपयोग गैलोज़ सिद्धांत के विकास और गैलोज़ सिद्धांत के मौलिक प्रमेय में किया गया है। 1910 में क्षेत्र सिद्धांत (गणित) पर एक प्रभावशाली लेख में दो आदिम तत्व प्रमेयों को उनके आधुनिक रूप में अर्न्स्ट स्टीनित्ज़ द्वारा सिद्ध किया गया था; स्टीनिट्ज़ ने शास्त्रीय एक प्रमेय को आदिम तत्वों का और दूसरे को मध्यवर्ती क्षेत्रों का प्रमेय कहा। एमिल आर्टिन ने 1930 के दशक में आदिम तत्व प्रमेयों के उपयोग के बिना गाल्वा सिद्धांत का सुधार किया।

बाहरी संबंध

 * J. Milne's course notes on fields and Galois theory
 * The primitive element theorem at mathreference.com
 * The primitive element theorem at planetmath.org
 * The primitive element theorem on Ken Brown's website (pdf file)