कंटूर समाकलन

जटिल विश्लेषण के गणितीय क्षेत्र में, समोच्च एकीकरण जटिल विमान में पथों के साथ कुछ अभिन्न  का मूल्यांकन करने का एक तरीका है। कंटूर एकीकरण अवशेष प्रमेय से निकटता से संबंधित है, जटिल विश्लेषण की एक विधि।

समोच्च इंटीग्रल के लिए एक उपयोग वास्तविक रेखा के साथ इंटीग्रल का मूल्यांकन है जो केवल वास्तविक चर विधियों का उपयोग करके आसानी से नहीं पाया जाता है। समोच्च एकीकरण विधियों में शामिल हैं: इन इंटीग्रल या रकम को खोजने के उद्देश्य से एक विधि का उपयोग किया जा सकता है, या इन विधियों के संयोजन, या विभिन्न सीमित प्रक्रियाओं का उपयोग किया जा सकता है।
 * जटिल विमान (एक समोच्च रेखा) में एक वक्र के साथ एक जटिल संख्या-मूल्यवान फ़ंक्शन का प्रत्यक्ष एकीकरण;
 * कॉची अभिन्न सूत्र का अनुप्रयोग; और
 * अवशेष प्रमेय का अनुप्रयोग।

जटिल तल में वक्र
जटिल विश्लेषण में एक समोच्च जटिल तल में एक प्रकार का वक्र होता है। समोच्च एकीकरण में, समोच्च वक्रों की एक सटीक परिभाषा प्रदान करते हैं, जिस पर एक अभिन्न को उपयुक्त रूप से परिभाषित किया जा सकता है। जटिल विमान में एक वक्र को वास्तविक रेखा के एक बंद अंतराल से जटिल विमान तक निरंतर कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है: $z : [a, b] → C$.

एक वक्र की यह परिभाषा एक वक्र की सहज धारणा के साथ मेल खाती है, लेकिन इसमें एक बंद अंतराल से निरंतर कार्य द्वारा पैरामीट्रिजेशन शामिल है। यह अधिक सटीक परिभाषा हमें यह विचार करने की अनुमति देती है कि एकीकरण के लिए उपयोगी होने के लिए एक वक्र में क्या गुण होने चाहिए। निम्नलिखित उपखंडों में हम उन वक्रों के समूह को संकुचित करते हैं जिन्हें हम केवल उन वक्रों को शामिल करने के लिए एकीकृत कर सकते हैं जिन्हें निरंतर वक्रों की एक परिमित संख्या से बनाया जा सकता है जिन्हें एक दिशा दी जा सकती है। इसके अलावा, हम टुकड़ों को अपने ऊपर से पार करने से रोकेंगे, और हमें आवश्यकता है कि प्रत्येक टुकड़े का एक परिमित (गैर-लुप्त) निरंतर व्युत्पन्न हो। ये आवश्यकताएं इस आवश्यकता के अनुरूप हैं कि हम केवल उन वक्रों पर विचार करें जिनका पता लगाया जा सकता है, जैसे कि एक पेन द्वारा, समान, स्थिर स्ट्रोक के क्रम में, जो केवल कलम उठाए बिना वक्र का एक नया टुकड़ा शुरू करने के लिए रुकते हैं।

निर्देशित चिकनी घटता
कंटूर को अक्सर निर्देशित चिकने वक्रों के रूप में परिभाषित किया जाता है। ये एक चिकने वक्र के टुकड़े की सटीक परिभाषा प्रदान करते हैं, जिसमें से एक समोच्च बनाया जाता है।

एक चिकना वक्र एक वक्र है $z : [a, b] → C$ एक गैर-गायब, निरंतर व्युत्पन्न के साथ जैसे कि प्रत्येक बिंदु को केवल एक बार पार किया जाता है ($z$ एक-से-एक है), एक वक्र के संभावित अपवाद के साथ जैसे कि समापन बिंदु मेल खाते हैं ($z(a) = z(b)$). ऐसे मामले में जहां समापन बिंदु वक्र से मेल खाते हैं, बंद कहा जाता है, और फ़ंक्शन को हर जगह एक-से-एक होने की आवश्यकता होती है और पहचान बिंदु पर व्युत्पन्न निरंतर होना चाहिए ($z′(a) = z′(b)$). एक चिकना वक्र जो बंद नहीं होता है उसे अक्सर एक चिकनी चाप के रूप में संदर्भित किया जाता है।

वक्र का पैरामीट्रिजेशन (ज्यामिति) वक्र पर बिंदुओं का प्राकृतिक क्रम प्रदान करता है: $z(x)$ पहले आता है $z(y)$ अगर $x < y$. यह एक निर्देशित चिकने वक्र की धारणा की ओर ले जाता है। विशिष्ट पैरामीट्रिजेशन से स्वतंत्र वक्रों पर विचार करना सबसे उपयोगी है। यह समान दिशा वाले चिकने वक्रों के तुल्यता वर्गों पर विचार करके किया जा सकता है। एक निर्देशित चिकनी वक्र को तब जटिल विमान में बिंदुओं के एक क्रमबद्ध सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो कि उनके प्राकृतिक क्रम में कुछ चिकनी वक्र की छवि है (पैरामीट्रिजेशन के अनुसार)। ध्यान दें कि बिंदुओं के सभी क्रम एक चिकने वक्र के प्राकृतिक क्रम नहीं हैं। वास्तव में, एक दिए गए चिकने वक्र में केवल दो ऐसे क्रम होते हैं। इसके अलावा, एक एकल बंद वक्र के अंत बिंदु के रूप में कोई भी बिंदु हो सकता है, जबकि एक चिकनी चाप के अंत बिंदुओं के लिए केवल दो विकल्प होते हैं।

कंटूर
कंटूर वक्रों का वह वर्ग है जिस पर हम समोच्च समाकलन को परिभाषित करते हैं। एक समोच्च एक निर्देशित वक्र है जो निर्देशित चिकने वक्रों के एक परिमित अनुक्रम से बना होता है जिसके अंत बिंदु एकल दिशा देने के लिए मेल खाते हैं। इसके लिए आवश्यक है कि वक्रों का क्रम $γ_{1}, …, γ_{n}$ ऐसा हो कि का टर्मिनल बिंदु $γ_{i}$ के प्रारंभिक बिंदु के साथ मेल खाता है $γ_{i+1}$, $∀ i, 1 ≤ i < n$. इसमें सभी निर्देशित चिकने वक्र शामिल हैं। साथ ही, जटिल तल में एक बिंदु को समोच्च माना जाता है। प्रतीक + का उपयोग अक्सर एक नया वक्र बनाने के लिए एक साथ घटता के टुकड़े को निरूपित करने के लिए किया जाता है। इस प्रकार हम एक रूपरेखा लिख ​​सकते हैं $Γ$ से बना है $n$ के रूप में घटता है $$ \Gamma = \gamma_1 + \gamma_2 + \cdots + \gamma_n.$$

कंटूर इंटीग्रल
एक जटिल कार्य का समोच्च अभिन्न अंग $f : C → C$ वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के लिए अभिन्न का सामान्यीकरण है। जटिल विमान में निरंतर कार्यों के लिए, वास्तविक मूल्यवान पैरामीटर पर एक अभिन्न के संदर्भ में एक निर्देशित चिकनी वक्र के साथ पहले अभिन्न को परिभाषित करके समोच्च अभिन्न को रेखा अभिन्न के अनुरूप परिभाषित किया जा सकता है। अंतराल के विभाजन और रीमैन इंटीग्रल के अनुरूप समोच्च के विभाजन के संदर्भ में एक अधिक सामान्य परिभाषा दी जा सकती है। दोनों ही मामलों में एक समोच्च पर अभिन्न अंग को समोच्च बनाने वाले निर्देशित चिकनी वक्रों पर अभिन्न अंग के योग के रूप में परिभाषित किया जाता है।

निरंतर कार्यों के लिए
इस तरह से समोच्च अभिन्न को परिभाषित करने के लिए, पहले एक जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन के एक वास्तविक चर पर, अभिन्न पर विचार करना चाहिए। होने देना $f : R → C$ एक वास्तविक चर का एक जटिल-मूल्यवान कार्य हो, $t$. के वास्तविक और काल्पनिक भाग $f$ को अक्सर निरूपित किया जाता है $u(t)$ और $v(t)$, क्रमशः, ताकि $$f(t) = u(t) + iv(t).$$ फिर जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन का अभिन्न अंग $f$ अंतराल पर $[a, b]$ द्वारा दिया गया है $$\begin{align} \int_a^b f(t) \, dt &= \int_a^b \big( u(t) + i v(t) \big) \, dt \\ &= \int_a^b u(t) \, dt + i \int_a^b v(t) \, dt. \end{align}$$ होने देना $f : C → C$ समोच्च एकीकरण के तरीके # निर्देशित चिकनी घटता पर एक निरंतर कार्य करें $γ$. होने देना $z : R → C$ का कोई पैरामीट्रिजेशन हो $γ$ जो इसके क्रम (दिशा) के अनुरूप हो। फिर साथ में अभिन्न $γ$ अंकित है $$\int_\gamma f(z)\, dz\, $$ और द्वारा दिया गया है $$\int_\gamma f(z) \, dz = \int_a^b f\big(\gamma(t)\big) \gamma'(t) \, dt.$$ यह परिभाषा अच्छी तरह से परिभाषित है। यही है, परिणाम चुने गए पैरामीट्रिजेशन से स्वतंत्र है। उस मामले में जहां दाईं ओर वास्तविक अभिन्न अंग मौजूद नहीं है $γ$ अस्तित्व में नहीं कहा जाता है।

रीमैन इंटीग्रल
के सामान्यीकरण के रूप में एक जटिल चर के कार्यों के लिए रीमैन इंटीग्रल का सामान्यीकरण वास्तविक संख्याओं से कार्यों के लिए इसकी परिभाषा के पूर्ण सादृश्य में किया जाता है। एक निर्देशित चिकनी वक्र का विभाजन $γ$ को बिंदुओं के एक परिमित, क्रमबद्ध सेट के रूप में परिभाषित किया गया है $γ$. वक्र पर अभिन्न विभाजन पर बिंदुओं पर लिए गए फ़ंक्शन मानों की परिमित राशि की सीमा है, इस सीमा में कि विभाजन पर किसी भी दो क्रमिक बिंदुओं के बीच की अधिकतम दूरी (द्वि-आयामी जटिल विमान में), जिसे भी जाना जाता है जाल के रूप में, शून्य हो जाता है।

प्रत्यक्ष तरीके
प्रत्यक्ष विधियों में बहुभिन्नरूपी कैलकुलस में लाइन इंटीग्रल की गणना में उन विधियों के समान विधियों के माध्यम से इंटीग्रल की गणना शामिल है। इसका मतलब है कि हम निम्नलिखित विधि का उपयोग करते हैं:
 * समोच्च पैरामीट्रिज़िंग
 * समोच्च को वास्तविक चर के एक भिन्न जटिल-मूल्यवान कार्य द्वारा पैरामीट्रिज किया जाता है, या समोच्च को टुकड़ों में तोड़ दिया जाता है और अलग से पैरामीट्रिज किया जाता है।
 * समाकलन में पैरामीट्रिजेशन का प्रतिस्थापन
 * पैरामीट्रिजेशन को इंटीग्रैंड में प्रतिस्थापित करने से इंटीग्रल को एक वास्तविक चर के इंटीग्रल में बदल दिया जाता है।
 * प्रत्यक्ष मूल्यांकन
 * अभिन्न का मूल्यांकन वास्तविक-चर अभिन्न के समान एक विधि में किया जाता है।

उदाहरण
जटिल विश्लेषण में एक मौलिक परिणाम यह है कि समोच्च अभिन्न $1⁄z$ है $2πi$, जहां समोच्च के पथ को वामावर्त (या किसी भी सकारात्मक रूप से उन्मुख जॉर्डन वक्र के बारे में 0) पर चलने वाली इकाई सर्कल के रूप में लिया जाता है। यूनिट सर्कल के मामले में इंटीग्रल का मूल्यांकन करने का एक सीधा तरीका है $$\oint_C \frac{1}{z}\,dz.$$ इस समाकल का मूल्यांकन करने में, इकाई वृत्त का उपयोग करें $|z| = 1$ द्वारा parametrized एक समोच्च के रूप में $z(t) = e^{it}$, साथ $t ∈ [0, 2π]$, तब $dz⁄dt = ie^{it}$ और $$\oint_C \frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{e^{it}} ie^{it}\,dt = i\int_0^{2\pi} 1 \, dt = i \, t\Big|_0^{2\pi} = \left(2\pi-0\right)i = 2\pi i.$$ जो अभिन्न का मूल्य है।

अभिन्न प्रमेयों के अनुप्रयोग
अभिन्न प्रमेय के अनुप्रयोग भी अक्सर एक समोच्च के साथ समोच्च अभिन्न का मूल्यांकन करने के लिए उपयोग किए जाते हैं, जिसका अर्थ है कि वास्तविक-मूल्यवान अभिन्न की गणना समोच्च अभिन्न की गणना के साथ-साथ की जाती है।

इंटीग्रल प्रमेय जैसे कॉची इंटीग्रल फॉर्मूला या अवशेष प्रमेय आमतौर पर निम्नलिखित विधि में उपयोग किए जाते हैं:
 * एक विशिष्ट समोच्च चुना गया है:
 * समोच्च को इसलिए चुना जाता है ताकि समोच्च जटिल विमान के उस हिस्से का अनुसरण करता है जो वास्तविक-मूल्यवान अभिन्न का वर्णन करता है, और इंटीग्रैंड की विलक्षणताओं को भी शामिल करता है, इसलिए कॉची अभिन्न सूत्र या अवशेष प्रमेय का अनुप्रयोग संभव है
 * कौशी की समाकलन प्रमेय का अनुप्रयोग
 * प्रत्येक ध्रुव के बारे में एक छोटे वृत्त के चारों ओर केवल एक एकीकरण के लिए अभिन्न अंग कम हो जाता है।
 * कॉची इंटीग्रल फॉर्मूला या अवशेष प्रमेय का अनुप्रयोग
 * इन इंटीग्रल फ़ार्मुलों का अनुप्रयोग हमें संपूर्ण समोच्च के आसपास इंटीग्रल के लिए एक मान देता है।
 * समोच्च का वास्तविक भाग और काल्पनिक भाग के साथ एक समोच्च में विभाजन
 * पूरे समोच्च को उस समोच्च में विभाजित किया जा सकता है जो जटिल विमान के उस भाग का अनुसरण करता है जो वास्तविक-मूल्यवान अभिन्न का वर्णन करता है जैसा कि पहले चुना गया था (इसे कॉल करें $R$), और अभिन्न जो जटिल विमान को पार करता है (इसे कॉल करें $I$). पूरे समोच्च पर समाकल इनमें से प्रत्येक समोच्च पर समाकल का योग है।
 * प्रदर्शन कि जटिल विमान को पार करने वाला अभिन्न योग में कोई भूमिका नहीं निभाता है
 * यदि अभिन्न $I$ को शून्य के रूप में दिखाया जा सकता है, या यदि मांगा गया वास्तविक-मूल्यवान समाकल अनुचित है, तो यदि हम यह प्रदर्शित करते हैं कि समाकल $I$ जैसा कि ऊपर वर्णित है, 0 की ओर जाता है, साथ में अभिन्न $R$ समोच्च के चारों ओर अभिन्न अंग की ओर प्रवृत्त होगा $R + I$.
 * निष्कर्ष
 * यदि हम उपरोक्त चरण दिखा सकते हैं, तो हम सीधे गणना कर सकते हैं $R$, वास्तविक-मूल्यवान अभिन्न।

उदाहरण 1
अभिन्न पर विचार करें $$\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\left(x^2+1\right)^2}\,dx,$$ इस अभिन्न का मूल्यांकन करने के लिए, हम जटिल-मूल्यवान कार्य को देखते हैं $$f(z)=\frac{1}{\left(z^2+1\right)^2}$$ जिसमें गणितीय विलक्षणता है $i$ और $−i$. हम एक समोच्च चुनते हैं जो वास्तविक-मूल्यवान अभिन्न को घेरता है, यहाँ वास्तविक रेखा पर सीमा व्यास के साथ एक अर्धवृत्त (से जा रहा है, कहते हैं, $−a$ को $a$) सुविधाजनक होगा। इस समोच्च को बुलाओ $C$.

कॉची अभिन्न सूत्र या अवशेषों की विधि का उपयोग करके आगे बढ़ने के दो तरीके हैं:

कॉची समाकल सूत्र का प्रयोग
ध्यान दें कि: $$\oint_C f(z)\,dz = \int_{-a}^a f(z)\,dz + \int_\text{Arc} f(z)\,dz $$ इस प्रकार $$\int_{-a}^a f(z)\,dz = \oint_C f(z)\,dz - \int_\text{Arc} f(z)\,dz $$ इसके अलावा, ध्यान दें $$f(z)=\frac{1}{\left(z^2+1\right)^2}=\frac{1}{(z+i)^2(z-i)^2}.$$ चूंकि समोच्च में एकमात्र विलक्षणता एक है$i$, तो हम लिख सकते हैं $$f(z)=\frac{\frac{1}{(z+i)^2}}{(z-i)^2},$$ जो सूत्र के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग के लिए फ़ंक्शन को फॉर्म में रखता है। फिर, कॉची के अभिन्न सूत्र का उपयोग करके, $$\oint_C f(z)\,dz = \oint_C \frac{\frac{1}{(z+i)^2}}{(z-i)^2}\,dz = 2\pi i \, \left.\frac{d}{dz} \frac{1}{(z+i)^2}\right|_{z=i} =2 \pi i \left[\frac{-2}{(z+i)^3}\right]_{z = i} =\frac{\pi}{2}$$ उपरोक्त चरणों में हम पहला व्युत्पन्न लेते हैं, क्योंकि ध्रुव दूसरे क्रम का ध्रुव है। वह है, $(z − i)$ को दूसरी शक्ति पर ले जाया जाता है, इसलिए हम पहले डेरिवेटिव को नियोजित करते हैं $f(z)$. अगर यह थे $(z − i)$ को तीसरी घात में ले जाने पर, हम दूसरे अवकलज का प्रयोग करेंगे और 2 से भाग देंगे!, आदि $(z − i)$ पहली शक्ति के लिए एक शून्य क्रम व्युत्पन्न से मेल खाता है - बस $f(z)$ अपने आप।

हमें यह दिखाने की आवश्यकता है कि अर्धवृत्त के चाप पर समाकल शून्य हो जाता है $a → ∞$, अनुमान लेम्मा का उपयोग करना $$\left|\int_\text{Arc} f(z)\,dz\right| \le ML$$ कहाँ $M$ एक ऊपरी सीमा है $|f(z)|$ चाप के साथ और $L$ चाप की लंबाई। अब, $$\left|\int_\text{Arc} f(z)\,dz\right|\le \frac{a\pi}{\left(a^2-1\right)^2} \to 0 \text{ as } a \to \infty.$$ इसलिए $$\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\left(x^2+1\right)^2}\,dx = \int_{-\infty}^\infty f(z)\,dz = \lim_{a \to +\infty} \int_{-a}^a f(z)\,dz = \frac{\pi}2.\quad\square$$

अवशेषों की विधि का उपयोग करना
की लॉरेंट श्रृंखला पर विचार करें $f(z)$ के बारे में $i$, एकमात्र विलक्षणता जिस पर हमें विचार करने की आवश्यकता है। हमारे पास तब है $$f(z) = \frac{-1}{4(z-i)^2} + \frac{-i}{4(z-i)} + \frac{3}{16} + \frac{i}{8}(z-i) + \frac{-5}{64}(z-i)^2 + \cdots$$ (इस श्रृंखला की व्युत्पत्ति के लिए लॉरेंट श्रृंखला से नमूना लॉरेंट गणना देखें।)

निरीक्षण से स्पष्ट है कि अवशेष है $−i⁄4$, इसलिए, अवशेष प्रमेय द्वारा, हमारे पास है $$\oint_C f(z)\,dz = \oint_C \frac{1}{\left(z^2+1\right)^2}\,dz = 2 \pi i \,\operatorname{Res}_{z=i} f(z) = 2 \pi i \left(-\frac{i}{4}\right)=\frac{\pi}2 \quad\square$$ इस प्रकार हमें पहले जैसा ही फल मिलता है।

कंटूर नोट
एक तरफ, एक सवाल उठ सकता है कि क्या हम अर्धवृत्त को अन्य विलक्षणता को शामिल करने के लिए नहीं लेते हैं, संलग्न करना $−i$. इंटीग्रल को वास्तविक अक्ष के साथ सही दिशा में ले जाने के लिए, कंटूर को घड़ी की सुई की दिशा में चलना चाहिए, यानी नकारात्मक दिशा में, समग्र रूप से इंटीग्रल के चिह्न को उलट देना चाहिए।

यह श्रृंखला द्वारा अवशेषों की विधि के उपयोग को प्रभावित नहीं करता है।

उदाहरण 2 - कॉची वितरण
अभिन्न $$\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{itx}}{x^2+1}\,dx$$

(जो संभाव्यता सिद्धांत में कॉची वितरण के विशिष्ट कार्य (संभावना सिद्धांत) के एक स्केलर मल्टीपल के रूप में उत्पन्न होता है) प्राथमिक कलन की तकनीकों का विरोध करता है। हम इसे समोच्च के साथ समोच्च अभिन्न की सीमा के रूप में व्यक्त करके इसका मूल्यांकन करेंगे $C$ जो वास्तविक संख्या रेखा के साथ जाता है $−a$ को $a$ और फिर 0 पर केंद्रित अर्धवृत्त के साथ वामावर्त $a$ को $−a$. लेना $a$ 1 से अधिक होना, ताकि काल्पनिक संख्या इकाई $i$ वक्र के भीतर संलग्न है। समोच्च अभिन्न है $$\int_C \frac{e^{itz} }{ z^2+1}\,dz.$$ तब से $e^{itz}$ एक संपूर्ण कार्य है (जटिल तल में किसी भी बिंदु पर कोई गणितीय विलक्षणता नहीं है), इस कार्य में विलक्षणताएँ केवल वहीं हैं जहाँ भाजक $z^{2} + 1$ शून्य है। तब से $z^{2} + 1 = (z + i)(z − i)$, वह केवल वहीं होता है $z = i$ या $z = −i$. उनमें से केवल एक बिंदु इस समोच्च से घिरे क्षेत्र में है। का अवशेष (जटिल विश्लेषण)। $f(z)$ पर $z = i$ है $$\lim_{z\to i}(z-i)f(z) = \lim_{z\to i}(z-i)\frac{e^{itz} }{ z^2+1} = \lim_{z\to i}(z-i)\frac{e^{itz} }{ (z-i)(z+i)} = \lim_{z\to i}\frac{e^{itz} }{ z+i} = \frac{e^{-t}}{2i}.$$ अवशेष प्रमेय के अनुसार, हमारे पास है $$\int_C f(z)\,dz=2\pi i \operatorname{Res}_{z=i}f(z)=2\pi i\frac{e^{-t} }{ 2i}=\pi e^{-t}.$$ समोच्च $C$ को सीधे भाग और घुमावदार चाप में विभाजित किया जा सकता है, ताकि $$\int_\text{straight}+\int_\text{arc}=\pi e^{-t},$$ और इस तरह $$\int_{-a}^a =\pi e^{-t}-\int_\text{arc}.$$ जॉर्डन की लेम्मा के अनुसार, यदि $t > 0$ तब $$\int_\text{arc}\frac{e^{itz} }{ z^2+1}\,dz \rightarrow 0 \mbox{ as } a\rightarrow\infty.$$ इसलिए, अगर $t > 0$ तब $$\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{itx} }{ x^2+1}\,dx=\pi e^{-t}.$$ एक चाप के साथ एक समान तर्क जो चारों ओर घूमता है $−i$ इसके बजाय $i$ दिखाता है कि अगर $t < 0$ तब $$\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{itx} }{ x^2+1}\,dx=\pi e^t,$$ और अंत में हमारे पास यह है: $$\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{itx} }{ x^2+1} \,dx=\pi e^{-|t|}.\quad\square$$ (अगर $t = 0$ तो इंटीग्रल रियल-वैल्यूड कैलकुलस मेथड्स के लिए तुरंत यील्ड करता है और इसका मान है $\pi$.)

उदाहरण 3 - त्रिकोणमितीय समाकल
त्रिकोणमितीय कार्यों से जुड़े इंटीग्रल के लिए कुछ प्रतिस्थापन किए जा सकते हैं, इसलिए इंटीग्रल को एक जटिल चर के तर्कसंगत फ़ंक्शन में बदल दिया जाता है और फिर इंटीग्रल का मूल्यांकन करने के लिए उपरोक्त विधियों का उपयोग किया जा सकता है।

एक उदाहरण के रूप में विचार करें $$\int_{-\pi}^\pi \frac{1 }{ 1 + 3 (\cos t)^2} \,dt.$$ हम का प्रतिस्थापन करना चाहते हैं $z = e^{it}$. अब, स्मरण करो $$\cos t = \frac12 \left(e^{it}+e^{-it}\right) = \frac12 \left(z+\frac{1}{z}\right)$$ और $$\frac{dz}{dt} = iz,\ dt = \frac{dz}{iz}.$$ ले रहा $C$ यूनिट सर्कल होने के लिए, हम प्राप्त करने के लिए प्रतिस्थापित करते हैं: $$\begin{align} \oint_C \frac{1}{ 1 + 3 \left(\frac12 \left(z+\frac{1}{z}\right)\right)^2} \,\frac{dz}{iz} &= \oint_C \frac{1 }{ 1 + \frac34 \left(z+\frac{1}{z}\right)^2}\frac{1}{iz} \,dz \\ &= \oint_C \frac{-i}{ z+\frac34 z\left(z+\frac{1}{z}\right)^2}\,dz \\ &= -i \oint_C \frac{dz}{ z+\frac34 z\left(z^2+2+\frac{1}{z^2}\right)} \\ &= -i \oint_C \frac{dz}{ z+\frac34 \left(z^3+2z+\frac{1}{z}\right)} \\ &= -i \oint_C \frac{dz}{ \frac34 z^3+\frac52 z+\frac{3}{4z}} \\ &= -i \oint_C \frac{4}{ 3z^3+10z+\frac{3}{z}}\,dz \\ &= -4i \oint_C \frac{dz}{ 3z^3+10z+\frac{3}{z}} \\ &= -4i \oint_C \frac{z}{ 3z^4+10z^2+3 } \,dz \\ &= -4i \oint_C \frac{z}{ 3\left(z+\sqrt{3}i\right)\left(z-\sqrt{3}i\right)\left(z+\frac{i}{\sqrt 3}\right)\left(z-\frac{i}{\sqrt 3}\right)}\,dz \\ &= -\frac{4i}{3} \oint_C \frac{z}{\left(z+\sqrt{3}i\right)\left(z-\sqrt{3}i\right)\left(z+\frac{i}{\sqrt 3}\right)\left(z-\frac{i}{\sqrt 3}\right)}\,dz. \end{align}$$ जिन विलक्षणताओं पर विचार किया जाना है, वे हैं $$\tfrac{\pm i}{\sqrt{3}}.$$ होने देना $C_{1}$ के बारे में एक छोटा सा घेरा बनो $$\tfrac{i}{\sqrt{3}},$$ और $C_{2}$ के बारे में एक छोटा सा घेरा बनो $$\tfrac{-i}{\sqrt{3}}.$$ फिर हम निम्नलिखित पर पहुंचते हैं: $$\begin{align} & -\frac{4i}{3} \left [\oint_{C_1} \frac{\frac{z}{\left(z+\sqrt{3}i\right)\left(z-\sqrt{3}i\right)\left(z+\frac{i}{\sqrt 3} \right)}}{z-\frac{i}{\sqrt 3}}\,dz +\oint_{C_2} \frac{\frac{z}{\left(z+\sqrt{3}i\right)\left(z-\sqrt{3}i\right)\left(z-\frac{i}{\sqrt 3}\right)}}{z+\frac{i}{\sqrt 3}} \, dz \right ] \\ = {} & -\frac{4i}{3} \left[ 2\pi i \left[\frac{z}{\left(z+\sqrt{3}i\right)\left(z-\sqrt{3}i\right)\left(z+\frac{i}{\sqrt 3}\right)}\right]_{z=\frac{i}{\sqrt 3}} + 2\pi i \left[\frac{z}{\left(z+\sqrt{3}i\right)\left(z-\sqrt{3}i\right)\left(z-\frac{i}{\sqrt 3}\right)} \right]_{z=-\frac{i}{\sqrt 3}}\right] \\ = {} & \frac{8\pi}{3} \left[\frac{\frac{i}{\sqrt 3}}{\left(\frac{i}{\sqrt 3}+\sqrt{3}i\right)\left(\frac{i}{\sqrt 3}-\sqrt{3}i\right)\left(\frac{i}{\sqrt 3}+\frac{i}{\sqrt 3}\right)} + \frac{-\frac{i}{\sqrt 3}}{\left(-\frac{i}{\sqrt 3}+\sqrt{3}i\right)\left(-\frac{i}{\sqrt 3}-\sqrt{3}i\right)\left(-\frac{i}{\sqrt 3}-\frac{i}{\sqrt 3}\right)} \right] \\ = {} & \frac{8\pi}{3} \left[\frac{\frac{i}{\sqrt 3}}{\left(\frac{4}{\sqrt 3}i\right)\left(-\frac{2}{i\sqrt{3}}\right)\left(\frac{2}{\sqrt{3}i}\right)}+\frac{-\frac{i}{\sqrt 3}}{\left(\frac{2}{\sqrt 3}i\right)\left(-\frac{4}{\sqrt 3}i\right)\left(-\frac{2}{\sqrt 3}i\right)}\right] \\ = {} & \frac{8\pi}{3}\left[\frac{\frac{i}{\sqrt 3}}{i\left(\frac{4}{\sqrt 3}\right)\left(\frac{2}{\sqrt 3}\right)\left(\frac{2}{\sqrt 3}\right)}+\frac{-\frac{i}{\sqrt 3}}{-i\left(\frac{2}{\sqrt 3}\right)\left(\frac{4}{\sqrt 3}\right)\left(\frac{2}{\sqrt 3}\right)}\right] \\ = {} & \frac{8\pi}{3}\left[\frac{\frac{1}{\sqrt 3}}{\left(\frac{4}{\sqrt 3}\right)\left(\frac{2}{\sqrt 3}\right)\left(\frac{2}{\sqrt 3}\right)}+\frac{\frac{1}{\sqrt 3}}{\left(\frac{2}{\sqrt 3}\right)\left(\frac{4}{\sqrt 3}\right)\left(\frac{2}{\sqrt 3}\right)}\right] \\ = {} & \frac{8\pi}{3}\left[\frac{\frac{1}{\sqrt 3}}{\frac{16}{3\sqrt{3}}}+\frac{\frac{1}{\sqrt 3}}{\frac{16}{3\sqrt{3}}} \right] \\ = {} & \frac{8\pi}{3}\left[\frac{3}{16} + \frac{3}{16} \right] \\ = {} & \pi. \end{align}$$

उदाहरण 3a - त्रिकोणमितीय समाकल, सामान्य प्रक्रिया
उपरोक्त विधि प्रकार के सभी समाकलों पर लागू की जा सकती है $$ \int_0^{2\pi} \frac{P\big(\sin(t),\sin(2t),\ldots,\cos(t),\cos(2t),\ldots\big)}{Q\big(\sin(t),\sin(2t),\ldots,\cos(t),\cos(2t),\ldots\big)}\, dt$$ कहाँ $P$ और $Q$ बहुपद हैं, यानी त्रिकोणमितीय शर्तों में एक तर्कसंगत कार्य को एकीकृत किया जा रहा है। ध्यान दें कि एकीकरण की सीमा भी हो सकती है π और -π, जैसा कि पिछले उदाहरण में है, या समापन बिंदु 2 की कोई अन्य जोड़ीπ अलग।

चाल प्रतिस्थापन का उपयोग करना है $z = e^{it}$ कहाँ $dz = ie^{it} dt$ और इसलिए $$ \frac{1}{iz} \,dz = dt.$$ यह प्रतिस्थापन अंतराल को मैप करता है $[0, 2π]$ यूनिट सर्कल के लिए। आगे, $$ \sin(k t) = \frac{e^{i k t} - e^{- i k t}}{2 i} = \frac{z^k - z^{-k}}{2i}$$ और $$ \cos(k t) = \frac{e^{i k t} + e^{- i k t}}{2} = \frac{z^k + z^{-k}}{2}$$ ताकि एक तर्कसंगत कार्य हो $f(z)$ में $z$ प्रतिस्थापन से परिणाम, और अभिन्न बन जाता है $$ \oint_{|z|=1} f(z) \frac{1}{iz}\, dz $$ जो बदले में के अवशेषों को जोड़कर गणना की जाती है $f(z)1⁄iz$ यूनिट सर्कल के अंदर।

दाईं ओर की छवि इसे दर्शाती है $$ I = \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{1}{1 + (\sin t)^2}\, dt,$$ जो अब हम गणना करते हैं। इसे पहचानने के लिए पहला कदम है $$ I = \frac14 \int_0^{2\pi} \frac{1}{1 + (\sin t)^2} \,dt.$$ प्रतिस्थापन उपज देता है $$ \frac{1}{4} \oint_{|z|=1} \frac{4 i z}{z^4 - 6z^2 + 1}\, dz = \oint_{|z|=1} \frac{i z}{z^4 - 6z^2 + 1}\, dz.$$ इस फलन के ध्रुव पर हैं $1 ± √2$ और $−1 ± √2$. यहाँ इन, $1 + √2$ और $−1 − √2$ यूनिट सर्कल के बाहर हैं (लाल रंग में दिखाया गया है, पैमाने पर नहीं), जबकि $1 − √2$ और $−1 + √2$ यूनिट सर्कल के अंदर हैं (नीले रंग में दिखाया गया है)। संबंधित अवशेष दोनों के बराबर हैं $−i√2⁄16$, ताकि समाकल का मान हो $$ I = 2 \pi i \; 2 \left( - \frac{\sqrt{2}}{16} i \right) = \pi \frac{\sqrt{2}}{4}.$$

उदाहरण 4 - शाखाओं में कटौती
वास्तविक अभिन्न पर विचार करें $$\int_0^\infty \frac{\sqrt x}{x^2+6x+8}\,dx.$$ हम जटिल समाकल बनाकर शुरू कर सकते हैं $$\int_C \frac{\sqrt z}{z^2+6z+8}\,dz=I.$$

प्रासंगिक अवशेषों को प्राप्त करने के लिए हम कॉची अभिन्न सूत्र या अवशेष प्रमेय का फिर से उपयोग कर सकते हैं। हालाँकि, ध्यान देने वाली महत्वपूर्ण बात यह है कि $z^{1/2} = e^{(Log z)/2}$, इसलिए $z^{1/2}$ की शाखा कटी हुई है। यह समोच्च की हमारी पसंद को प्रभावित करता है $C$. आम तौर पर लघुगणक शाखा कट को नकारात्मक वास्तविक अक्ष के रूप में परिभाषित किया जाता है, हालाँकि, यह अभिन्न की गणना को थोड़ा अधिक जटिल बनाता है, इसलिए हम इसे सकारात्मक वास्तविक अक्ष के रूप में परिभाषित करते हैं।

फिर, हम तथाकथित कीहोल समोच्च का उपयोग करते हैं, जिसमें त्रिज्या की उत्पत्ति के बारे में एक छोटा वृत्त होता है $ε$ कहते हैं, एक रेखा खंड के समानांतर और सकारात्मक वास्तविक अक्ष के करीब, लेकिन इसे स्पर्श नहीं करते हुए, लगभग पूर्ण वृत्त तक, एक रेखा खंड के समानांतर, बंद, और नकारात्मक अर्थ में सकारात्मक वास्तविक अक्ष के नीचे, पर लौटते हुए कहते हैं। बीच में छोटा घेरा।

ध्यान दें कि $z = −2$ और $z = −4$ बड़े घेरे के अंदर हैं। ये दो शेष ध्रुव हैं, जो पूर्णांक के भाजक का गुणनखंड करके व्युत्पन्न किए जा सकते हैं। शाखा बिंदु पर है $z = 0$ उद्गम स्थल के चारों ओर चक्कर लगाने से बचा गया था।

होने देना $γ$ त्रिज्या का छोटा वृत्त हो $ε$, $Γ$ बड़ा, त्रिज्या के साथ $R$, तब $$\int_C = \int_\varepsilon^R + \int_\Gamma + \int_R^\varepsilon + \int_\gamma.$$ यह दिखाया जा सकता है कि इंटीग्रल खत्म हो गए हैं $Γ$ और $γ$ दोनों की प्रवृत्ति शून्य होती है $ε → 0$ और $R → ∞$, उपरोक्त एक अनुमान तर्क द्वारा, जो दो पद छोड़ता है। अब से $z^{1/2} = e^{(Log z)/2}$, शाखा कट के बाहर समोच्च पर, हमने 2 प्राप्त किया हैπ साथ तर्क में $γ$. (यूलर की पहचान से, $e^{iπ}$ यूनिट वेक्टर का प्रतिनिधित्व करता है, इसलिए है π इसके लॉग के रूप में। यह π के तर्क से क्या अभिप्राय है $z$. का गुणांक $1⁄2$ हमें 2 का उपयोग करने के लिए मजबूर करता हैπ।) इसलिए $$\begin{align} \int_R^\varepsilon \frac{\sqrt z}{z^2+6z+8}\,dz&=\int_R^\varepsilon \frac{e^{\frac12 \operatorname{Log} z}}{z^2+6z+8}\,dz \\[6pt] &=\int_R^\varepsilon \frac{e^{\frac12(\log|z|+i \arg{z})}}{z^2+6z+8}\,dz \\[6pt] & = \int_R^\varepsilon \frac{ e^{\frac12\log|z|}e^{\frac12(2\pi i)}}{z^2+6z+8}\,dz\\[6pt] &=\int_R^\varepsilon \frac{ e^{\frac12\log|z|}e^{\pi i}}{z^2+6z+8}\,dz \\[6pt] & = \int_R^\varepsilon \frac{-\sqrt z}{z^2+6z+8}\,dz\\[6pt] &=\int_\varepsilon^R \frac{\sqrt z}{z^2+6z+8}\,dz. \end{align}$$ इसलिए: $$\int_C \frac{\sqrt z}{z^2+6z+8}\,dz=2\int_0^\infty \frac{\sqrt x}{x^2+6x+8}\,dx.$$ अवशेष प्रमेय या कॉची अभिन्न सूत्र का उपयोग करके (दो सरल समोच्च अभिन्नों के योग को प्राप्त करने के लिए पहले आंशिक भिन्न विधि को नियोजित करना) एक प्राप्त करता है $$\pi i \left(\frac{i}{\sqrt 2}-i\right)=\int_0^\infty \frac{\sqrt x}{x^2+6x+8}\,dx = \pi\left(1-\frac{1}{\sqrt 2}\right).\quad\square$$

उदाहरण 5 - लघुगणक का वर्ग
छवि: कीहोल कंटूरLeftTikz.tif|थंबनेल|अपराइट=2

यह खंड एक प्रकार के अभिन्न अंग का इलाज करता है $$\int_0^\infty \frac{\log x}{\left(1+x^2\right)^2} \, dx$$ एक उदाहरण है।

इस इंटीग्रल की गणना करने के लिए, फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है $$f(z) = \left (\frac{\log z}{1+z^2} \right )^2$$ और इसी लघुगणक की शाखा $−π < arg z ≤ π$.

हम के अभिन्न की गणना करेंगे $f(z)$ दाईं ओर दिखाए गए कीहोल समोच्च के साथ। जैसा कि यह पता चला है कि यह इंटीग्रल प्रारंभिक इंटीग्रल का गुणक है जिसे हम गणना करना चाहते हैं और कॉची अवशेष प्रमेय द्वारा हमारे पास है $$\begin{align} \left( \int_R + \int_M + \int_N + \int_r \right) f(z) \, dz &= 2 \pi i \big( \operatorname{Res}_{z=i} f(z) + \operatorname{Res}_{z=-i} f(z) \big) \\ &= 2 \pi i \left( - \frac{\pi}{4} + \frac{1}{16} i \pi^2 - \frac{\pi}{4} - \frac{1}{16} i \pi^2 \right) \\ &= - i \pi^2. \end{align}$$ होने देना $R$ बड़े वृत्त की त्रिज्या हो, और $r$ छोटे वाले की त्रिज्या। हम ऊपरी रेखा को इसके द्वारा निरूपित करेंगे $M$, और निचली रेखा द्वारा $N$. पहले की तरह हम कब की सीमा लेते हैं $R → ∞$ और $r → 0$. दो सर्किलों से योगदान गायब हो जाता है। उदाहरण के लिए, किसी के पास एमएल लेम्मा के साथ निम्न ऊपरी सीमा होती है$ML$ लेम्मा: $$\left| \int_R f(z) \, dz \right| \le 2 \pi R \frac{(\log R)^2 + \pi^2}{\left(R^2-1\right)^2} \to 0.$$ के योगदान की गणना करने के लिए $M$ और $N$ हमलोग तैयार हैं $z = −x + iε$ पर $M$ और $z = −x − iε$ पर $N$, साथ $0 < x < ∞$: $$\begin{align} -i \pi^2 &= \left( \int_R + \int_M + \int_N + \int_r \right) f(z) \, dz \\[6pt] &= \left( \int_M + \int_N \right) f(z)\, dz && \int_R, \int_r \mbox{ vanish} \\[6pt] &=-\int_\infty^0 \left (\frac{\log(-x + i\varepsilon)}{1+(-x + i\varepsilon)^2} \right )^2\, dx - \int_0^\infty \left (\frac{\log(-x - i\varepsilon)}{1+(-x - i\varepsilon)^2}\right)^2 \, dx \\[6pt] &= \int_0^\infty \left (\frac{\log(-x + i\varepsilon)}{1+(-x + i\varepsilon)^2} \right )^2 \, dx - \int_0^\infty \left (\frac{\log(-x - i\varepsilon)}{1+(-x - i\varepsilon)^2} \right )^2 \, dx \\[6pt] &= \int_0^\infty \left (\frac{\log x + i\pi}{1+x^2} \right )^2 \, dx - \int_0^\infty \left (\frac{\log x - i\pi}{1+x^2} \right )^2 \, dx && \varepsilon \to 0 \\ &= \int_0^\infty \frac{(\log x + i\pi)^2 - (\log x - i\pi)^2}{\left(1+x^2\right)^2} \, dx \\[6pt] &= \int_0^\infty \frac{4 \pi i \log x}{\left(1+x^2\right)^2} \, dx \\[6pt] &= 4 \pi i \int_0^\infty \frac{\log x}{\left(1+x^2\right)^2} \, dx \end{align}$$ जो देता है $$\int_0^\infty \frac{\log x}{\left(1+x^2\right)^2} \, dx = - \frac{\pi}{4}.$$

उदाहरण 6 - लघुगणक और अनंत पर अवशेष
हम मूल्यांकन करना चाहते हैं $$I = \int_0^3 \frac{x^\frac34 (3-x)^\frac14}{5-x}\,dx.$$ इसके लिए गहन अध्ययन की आवश्यकता है $$f(z) = z^\frac34 (3-z)^\frac14.$$ हम निर्माण करेंगे $f(z)$ ताकि इसकी एक शाखा कट जाए $[0, 3]$, आरेख में लाल रंग में दिखाया गया है। ऐसा करने के लिए, हम लघुगणक की दो शाखाओं का चयन करते हैं, सेटिंग $$z^\frac34 = \exp \left (\frac34 \log z \right ) \quad \mbox{where } -\pi \le \arg z < \pi $$ और $$(3-z)^\frac14 = \exp \left (\frac14 \log(3-z) \right ) \quad \mbox{where } 0 \le \arg(3-z) < 2\pi. $$ का कटाव $z^$ इसलिए $(−∞, 0]$ और की कटौती $(3 − z)^{1/4}$ है $(−∞, 3]$. यह देखना आसान है कि दोनों के उत्पाद की कटौती, यानी $f(z)$, है $[0, 3]$, क्योंकि $f(z)$ वास्तव में निरंतर है $(−∞, 0)$. ऐसा इसलिए है क्योंकि कब $z = −r < 0$ और हम ऊपर से कट तक पहुंचते हैं, $f(z)$ का मान है $$ r^\frac34 e^{\frac34 \pi i} (3+r)^\frac14 e^{\frac24 \pi i} = r^\frac34 (3+r)^\frac14 e^{\frac54 \pi i}.$$ जब हम नीचे से आते हैं, $f(z)$ का मान है $$ r^\frac34 e^{-\frac34 \pi i} (3+r)^\frac14 e^{\frac04 \pi i} = r^\frac34 (3+r)^\frac14 e^{-\frac34 \pi i}.$$ लेकिन $$e^{-\frac34 \pi i} = e^{\frac54 \pi i},$$ ताकि हमारे पास कट में निरंतरता हो। यह आरेख में चित्रित किया गया है, जहां दो काले उन्मुख हलकों को लघुगणक के तर्क के संबंधित मान के साथ लेबल किया गया है $z^$ और $(3 − z)^{1/4}$.

हम आरेख में हरे रंग में दिखाए गए समोच्च का उपयोग करेंगे। ऐसा करने के लिए हमें के मूल्य की गणना करनी चाहिए $f(z)$ कट के ठीक ऊपर और ठीक नीचे लाइन सेगमेंट के साथ।

होने देना $z = r$ (सीमा में, यानी दो हरे वृत्त त्रिज्या शून्य तक सिकुड़ जाते हैं), जहां $0 ≤ r ≤ 3$. ऊपरी खंड के साथ, हम पाते हैं $f(z)$ का मान है $$r^\frac34 e^{\frac04 \pi i} (3-r)^\frac14 e^{\frac24 \pi i} = i r^\frac34 (3-r)^\frac14$$ और निचले खंड के साथ, $$r^\frac34 e^{\frac04 \pi i} (3-r)^\frac14 e^{\frac04 \pi i} = r^\frac34 (3-r)^\frac14.$$ यह इस प्रकार है कि का अभिन्न अंग $f(z)⁄5 − z$ ऊपरी खंड के साथ है $−iI$ सीमा में, और निचले खंड के साथ, $I$.

यदि हम दिखा सकते हैं कि दो हरे वृत्तों के साथ समाकल सीमा में लुप्त हो जाते हैं, तो हमारे पास का मान भी है $I$, कौशी अवशेष प्रमेय द्वारा। माना हरे वृत्तों की त्रिज्या है $ρ$, कहाँ $ρ < 0.001$ और $ρ → 0$, और अनुमान प्रमेयिका लागू करें$ML$ असमानता। घेरे के लिए $C_{L}$ बाईं ओर, हम पाते हैं $$\left| \int_{C_\mathrm{L}} \frac{f(z)}{5-z} dz \right| \le 2 \pi \rho \frac{\rho^\frac34 3.001^\frac14}{4.999} \in \mathcal{O} \left( \rho^\frac74 \right) \to 0.$$ इसी तरह, सर्कल के लिए $C_{R}$ दाईं ओर, हमारे पास है $$\left| \int_{C_\mathrm{R}} \frac{f(z)}{5-z} dz \right| \le 2 \pi \rho \frac{3.001^\frac34 \rho^\frac14}{1.999} \in \mathcal{O} \left( \rho^\frac54 \right) \to 0.$$ अब कौशी अवशेष प्रमेय का उपयोग करके, हमारे पास है $$(-i + 1) I = -2\pi i \left( \operatorname{Res}_{z=5} \frac{f(z)}{5-z} + \operatorname{Res}_{z=\infty} \frac{f(z)}{5-z} \right).$$ जहां अवशेषों के चारों ओर दक्षिणावर्त दिशा के कारण ऋण चिह्न है। लॉगरिदम की शाखा का उपयोग पहले से, स्पष्ट रूप से $$\operatorname{Res}_{z=5} \frac{f(z)}{5-z} = - 5^\frac34 e^{\frac14 \log(-2)}.$$ पोल को आरेख में नीले रंग में दिखाया गया है। मान को सरल करता है $$-5^\frac34 e^{\frac14(\log 2 + \pi i)} = -e^{\frac14 \pi i} 5^\frac34 2^\frac14.$$ अनंत पर अवशेष के लिए हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं: $$\operatorname{Res}_{z=\infty} h(z) = \operatorname{Res}_{z=0} \left(- \frac{1}{z^2} h\left(\frac{1}{z}\right)\right).$$ प्रतिस्थापन, हम पाते हैं $$\frac{1}{5-\frac{1}{z}} = -z \left(1 + 5z + 5^2 z^2 + 5^3 z^3 + \cdots\right)$$ और $$\left(\frac{1}{z^3}\left (3-\frac{1}{z} \right )\right)^\frac14 = \frac{1}{z} (3z-1)^\frac14 = \frac{1}{z}e^{\frac14 \pi i} (1-3z)^\frac14, $$ जहां हमने इस तथ्य का उपयोग किया है कि $−1 = e^{πi}$ लघुगणक की दूसरी शाखा के लिए। अगला हम द्विपद विस्तार लागू करते हैं, प्राप्त करते हैं $$\frac{1}{z} e^{\frac14 \pi i} \left( 1 - {1/4 \choose 1} 3z + {1/4 \choose 2} 3^2 z^2 - {1/4 \choose 3} 3^3 z^3 + \cdots \right). $$ निष्कर्ष यह है $$\operatorname{Res}_{z=\infty} \frac{f(z)}{5-z} = e^{\frac14 \pi i} \left (5 - \frac34 \right ) = e^{\frac14 \pi i}\frac{17}{4}.$$ अंत में, यह इस प्रकार है कि का मूल्य $I$ है $$ I = 2 \pi i \frac{e^{\frac14 \pi i}}{-1+i} \left(\frac{17}{4} - 5^\frac34 2^\frac14 \right) = 2 \pi 2^{-\frac12} \left(\frac{17}{4} - 5^\frac34 2^\frac14 \right)$$ कौन सी पैदावार $$I = \frac{\pi}{2\sqrt 2} \left(17 - 5^\frac34 2^\frac94 \right) = \frac{\pi}{2\sqrt 2} \left(17 - 40^\frac34 \right).$$

अवशेष प्रमेय के साथ मूल्यांकन
अवशेष प्रमेय का उपयोग करके, हम बंद समोच्च अभिन्न का मूल्यांकन कर सकते हैं। अवशेष प्रमेय के साथ कंटूर इंटीग्रल का मूल्यांकन करने के उदाहरण निम्नलिखित हैं।

अवशेष प्रमेय का उपयोग करते हुए, आइए इस समोच्च समाकल का मूल्यांकन करें। $$\oint_C \frac{e^z}{z^3}\,dz$$ एक पुनश्चर्या के रूप में, अवशेष प्रमेय बताता है $$\oint_{C} f(z)=2\pi i\cdot \sum\operatorname{Res}(f,a_k),$$ कहाँ $$\operatorname{Res}$$ का अवशेष है $$f(z)$$.

$$f(z)$$ केवल एक ध्रुव है, $$0$$. उस से, हम के अवशेष (जटिल विश्लेषण) का निर्धारण कर सकते हैं $$f(z)$$ होना $$\tfrac{1}{2}$$ $$\begin{align} \oint_C f(z) &=\oint_C \frac{e^z}{z^3}\\ &=2\pi i \cdot \operatorname{Res}_{z=0} f(z)\\ &=2\pi i\operatorname{Res}_{z=0} \frac{e^z}{z^3}\\ &=2\pi i \cdot \frac{1}{2}\\ &=\pi i \end{align}$$ इस प्रकार, अवशेष प्रमेय का उपयोग करके, हम यह निर्धारित कर सकते हैं: $$\oint_C \frac{e^z}{z^3} dz = \pi i.$$

बहुभिन्नरूपी समोच्च अभिन्न
बहुभिन्नरूपी कंटूर इंटीग्रल (अर्थात सतह अभिन्न, कॉम्प्लेक्स वॉल्यूम इंटीग्रल और उच्च क्रम इंटीग्रल) को हल करने के लिए, हमें डायवर्जेंस प्रमेय का उपयोग करना चाहिए। अभी के लिए, चलो $$\nabla$$ के साथ विनिमेय हो $$\operatorname{Div}$$. ये दोनों सदिश क्षेत्र के विचलन के रूप में निरूपित किए जाएंगे $$\mathbf{F}$$. यह प्रमेय कहता है: $$\underbrace{\int \cdots \int_U}_n \operatorname{div}(\mathbf{F}) \, dV = \underbrace{ \oint \cdots \oint_{\partial U} }_{n-1} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS$$ इसके अलावा, हमें मूल्यांकन करने की भी आवश्यकता है $$\nabla\cdot \mathbf{F}$$ कहाँ $$\nabla \cdot \mathbf{F}$$ का एक वैकल्पिक अंकन है $$\operatorname{div} (\mathbf{F})$$. किसी भी आयाम के विचलन को इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है $$\begin{align} \operatorname{div}(\mathbf{F}) &=\nabla\cdot\mathbf{F}\\ &= \left(\frac{\partial}{\partial u}, \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}, \dots \right) \cdot (F_u,F_x,F_y,F_z,\dots)\\ &=\left(\frac{\partial F_u}{\partial u} + \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} + \cdots \right) \end{align}$$

उदाहरण 1
चलो वेक्टर क्षेत्र $$\mathbf{F}=\sin(2x)\mathbf{e}_x+\sin(2y)\mathbf{e}_y+\sin(2z)\mathbf{e}_z$$ और निम्नलिखित से बंधे रहें $${0\leq x\leq 1} \quad {0\leq y\leq 3} \quad {-1\leq z\leq 4}$$ संबंधित डबल कंटूर इंटीग्रल को इस प्रकार स्थापित किया जाएगा:

अब हम मूल्यांकन करते हैं $$\nabla\cdot\mathbf{F}$$. जबकि हम इस पर हैं, आइए इसी ट्रिपल इंटीग्रल को सेट करें: $$\begin{align} &=\iiint_V \left(\frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}\right) dV\\[6pt] &=\iiint_V \left(\frac{\partial \sin(2x)}{\partial x} + \frac{\partial \sin(2y)}{\partial y} + \frac{\partial \sin(2z)}{\partial z}\right) dV\\[6pt] &=\iiint_V 2 \left(\cos(2x) + \cos(2y) + \cos(2z)\right) dV \\[6pt] &=\int_{0}^{1}\int_{0}^{3}\int_{-1}^{4} 2(\cos(2x)+\cos(2y)+\cos(2z))\,dx\,dy\,dz \\[6pt] &=\int_{0}^{1}\int_{0}^{3}(10\cos(2y)+\sin(8)+\sin(2)+10\cos(z))\,dy\,dz\\[6pt] &=\int_{0}^{1}(30\cos(2z)+3\sin(2)+3\sin(8)+5\sin(6))\,dz\\[6pt] &=18\sin(2)+3\sin(8)+5\sin(6) \end{align}$$

उदाहरण 2
चलो वेक्टर क्षेत्र $$\mathbf{F}=u^4\mathbf{e}_u+x^5\mathbf{e}_x+y^6\mathbf{e}_y+z^{-3}\mathbf{e}_z$$, और टिप्पणी करें कि इस स्थिति में 4 पैरामीटर हैं। मान लीजिए कि यह सदिश क्षेत्र निम्नलिखित से घिरा है: $${0\leq x\leq 1} \quad {-10\leq y\leq 2\pi} \quad {4\leq z\leq 5} \quad {-1\leq u\leq 3}$$ इसका मूल्यांकन करने के लिए, हमें विचलन प्रमेय का उपयोग करना चाहिए जैसा कि पहले कहा गया है, और हमें मूल्यांकन करना चाहिए $$\nabla\cdot\mathbf{F}$$. होने देना $$dV = dx \, dy \, dz \, du$$

$$\begin{align} &=\iiiint_V \left(\frac{\partial F_u}{\partial u} + \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}\right)\,dV\\[6pt] &=\iiiint_V \left(\frac{\partial u^4}{\partial u} + \frac{\partial x^5}{\partial x} + \frac{\partial y^6}{\partial y} + \frac{\partial z^{-3}}{\partial z}\right)\,dV\\[6pt] &=\iiiint_V \,dV \\[6pt] &= \iiiint_V \,dV \\[6pt] &=\int_{0}^{1}\int_{-10}^{2\pi}\int_{4}^{5}\int_{-1}^{3} \frac{4 u^3 z^4 + 5 x^4 z^4 + 5 y^4 z^4 - 3}{z^4}\,dV\\[6pt] &=\int_{0}^{1}\int_{-10}^{2\pi}\int_{4}^{5}\left(\frac{4(3u^4z^3+3y^6+91z^3+3)}{3z^3}\right)\,dy\,dz\,du\\[6pt] &=\int_{0}^{1}\int_{-10}^{2\pi}\left(4u^4+\frac{743440}{21}+\frac{4}{z^3}\right)\,dz\,du\\[6pt] &=\int_{0}^{1} \left(-\frac{1}{2\pi^2}+\frac{1486880\pi}{21}+8\pi u^4+40 u^4+\frac{371720021}{1050}\right)\,du\\[6pt] &=\frac{371728421}{1050}+\frac{14869136\pi^3-105}{210\pi^2}\\[6pt] &\approx{576468.77} \end{align}$$ इस प्रकार, हम एक समोच्च अभिन्न का मूल्यांकन कर सकते हैं $$n=4$$. हम किसी भी सदिश क्षेत्र के लिए समोच्च समाकल का मूल्यांकन करने के लिए उसी विधि का उपयोग कर सकते हैं $$n>4$$ भी।

अभिन्न प्रतिनिधित्व
किसी फ़ंक्शन का एक अभिन्न प्रतिनिधित्व फ़ंक्शन की अभिव्यक्ति है जिसमें एक समोच्च अभिन्न शामिल है। कई विशेष कार्यों के लिए विभिन्न अभिन्न प्रतिनिधित्व ज्ञात हैं। सैद्धांतिक कारणों से अभिन्न प्रतिनिधित्व महत्वपूर्ण हो सकता है, उदा। विश्लेषणात्मक निरंतरता या कार्यात्मक समीकरण देना, या कभी-कभी संख्यात्मक मूल्यांकन के लिए।

उदाहरण के लिए, रीमैन जीटा फ़ंक्शन की मूल परिभाषा $ζ(s)$ एक डिरिचलेट श्रृंखला के माध्यम से, $$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s},$$ के लिए ही मान्य है $Re(s) > 1$. लेकिन $$\zeta(s) = - \frac{\Gamma(1 - s)}{2 \pi i} \int_H\frac{(-t)^{s-1}}{e^t - 1} dt ,$$ जहां हैंकेल समोच्च पर एकीकरण किया जाता है $H$, सभी जटिल एस के लिए मान्य है जो 1 के बराबर नहीं है।

यह भी देखें

 * अवशेष (जटिल विश्लेषण)
 * कॉची प्रिंसिपल वैल्यू
 * पोइसन अभिन्न
 * पोचममेर समोच्च

अग्रिम पठन

 * Jean Jacquelin, Marko Riedel, Branche univalente, Les-Mathematiques.net, in French.
 * Marko Riedel et al., Problème d'intégrale, Les-Mathematiques.net, in French.
 * Marko Riedel et al., Integral by residue, math.stackexchange.com.
 * W W L Chen, Introduction to Complex Analysis
 * Various authors, sin límites ni cotas, es.ciencia.matematicas, in Spanish.
 * Various authors, sin límites ni cotas, es.ciencia.matematicas, in Spanish.