सममित बीजगणित

गणित में, सममित बीजगणित $S(V)$ (Sym(V) को भी निरूपित करता है) सदिश समष्टि $V$ पर क्षेत्र $K$ पर (गणित) क्रमविनिमेय बीजगणित (संरचना) $K$ है जिसमें $V$ सम्मिलित है, और इस गुण के लिए कुछ अर्थों में न्यूनतम होता है। यहाँ, न्यूनतम का अर्थ है कि $S(V)$ निम्नलिखित यूनिवर्सल प्रॉपर्टी को संतुष्ट करता है: $V$ से क्रमविनिमेय बीजगणित $A$ तक प्रत्येक रैखिक मानचित्र $f$ के लिए अद्वितीय बीजगणित समरूपता $g : S(V) → A$ है, उदाहरण के लिए, $f = g ∘ i$, जहाँ $i$, $S(V)$ में $V$ का समावेशन मानचित्र है।

यदि $V$ का आधार $B$ है, तो सममित बीजगणित $S(V)$ को विहित समरूपता के माध्यम से, बहुपद वलय $K[B]$ में प्रमाणित किया जा सकता है, जहाँ $B$ के तत्वों को अनिश्चित माना जाता है। इसलिए, सममित बीजगणित को $V$ पर समन्वय मुक्त बहुपद वलय के रूप में देखा जा सकता है।

सममित बीजगणित $S(V)$ को टेंसर बीजगणित $T(V)$ के भागफल के रूप में $x ⊗ y − y ⊗ x$ रूप के तत्वों द्वारा उत्पन्न टू-साइडेड आइडियल द्वारा बनाया जा सकता है।

ये सभी परिभाषाएँ और गुण स्वाभाविक रूप से उस स्तिथि में विस्तारित होते हैं जहाँ $V$ क्रमविनिमेय वलय पर मॉड्यूल (गणित) है।

टेंसर बीजगणित से
सममित बीजगणित $S(V)$ का वर्णन करने के लिए टेंसर बीजगणित $T(V)$ का उपयोग करना संभव है। वास्तव में, $S(V)$ को क्रमविनिमेय $$v\otimes w - w\otimes v.$$ द्वारा उत्पन्न टू-साइडेड आइडियल द्वारा $T(V)$ के भागफल बीजगणित के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

यह सत्यापित करना सरल है कि परिणाम बीजगणित परिचय में अंकित यूनिवर्सल प्रॉपर्टी को संतुष्ट करता है। टेंसर बीजगणित की यूनिवर्सल प्रॉपर्टी के कारण $V$ से रैखिक मानचित्र $f$ क्रमविनिमेय बीजगणित $A$, बीजगणित समरूपता $$T(V)\rightarrow A$$ तक विस्तृत है, जो $S(V)$ के माध्यम से कारक है क्योंकि $A$ क्रमविनिमेय है।

बीजगणित समरूपता $$S(V)\rightarrow A$$ के लिए $f$ का विस्तार अद्वितीय है, क्योंकि $V$, $A$ को $K$-बीजगणित के रूप में उत्पन्न करता है।

यह परिणाम श्रेणी सिद्धांत के सामान्य परिणाम से भी होता है, जो इस तथ्य को महत्व देता है कि दो एडजॉइंट फ़ंक्टर का संयोजन लेफ्ट एडजॉइंट फ़ंक्टर है। यहाँ, फॉर्गेटफुल फ़ंक्टर क्रमविनिमेय बीजगणित से साहचर्य बीजगणित (कम्यूटेटिविटी को भूलना), और साहचर्य बीजगणित से वैक्टर या मॉड्यूल (गुणन को भूल जाना) तक फॉर्गेटफुल फ़ंक्टर की संरचना है। टेन्सर बीजगणित और कम्यूटेटर द्वारा भागफल इन फॉर्गेटफुल फ़ंक्टर के निकट छोड़ दिया जाता है, उनकी रचना कम्यूटेटिव बीजगणित से वैक्टर या मॉड्यूल तक फॉर्गेटफुल फ़ंक्टर के निकट छोड़ दी जाती है, और यह वांछित यूनिवर्सल प्रॉपर्टी को सिद्ध करता है।

बहुपद वलय से
सममित बीजगणित $S(V)$ को बहुपद वलय से भी बनाया जा सकता है।

यदि $V$, $K$-सदिश समष्टि या मुक्त $K$-मॉड्यूल है, जिसका आधार $B$ है, तो मान लें, $K[B]$ बहुपद वलय है जिसमें $B$ के तत्व अनिश्चित हैं। घात-1 के समघात बहुपद सदिश समष्टि या मुक्त मॉड्यूल बनाते हैं जिसे $V$ के द्वारा प्रमाणित किया जा सकता है। यह सत्यापित करना सरल है कि यह $K[B]$ को प्रस्तावना में अंकित यूनिवर्सल प्रॉब्लम का समाधान बनाता है। इसका तात्पर्य है कि $K[B]$ और $S(V)$ कैनोनिक रूप से आइसोमोर्फिक हैं, और इसलिए इन्हें प्रमाणित किया जा सकता है। यह श्रेणी सिद्धांत के सामान्य विचारों से भी शीघ्र परिणाम देता है, क्योंकि मुक्त मॉड्यूल और बहुपद वलय उनकी संबंधित श्रेणियों की मुक्त वस्तुएं हैं।

यदि $V$ मॉड्यूल है जो मुक्त नहीं है, तो इसे $$V=L/M,$$ लिखा जा सकता है जहाँ $L$ मुक्त मॉड्यूल है, और $M$, $L$ का सबमॉड्यूल है।
 * $$S(V)=S(L/M)=S(L)/\langle M\rangle,$$

जहाँ $$\langle M\rangle$$, $M$ द्वारा उत्पन्न आदर्श है (यहाँ, समान संकेतों का अर्थ विहित समरूपता तक समानता है)। अधिक विशेष रूप से, तथ्य यह है कि भागफल मोर्फिसंस के लिए यूनिवर्सल प्रॉब्लम का समाधान है जो उपसमुच्चय को शून्य पर मैप करता है। (स्तिथि के आधार पर, कर्नेल (बीजगणित) सामान्य उपसमूह सबमॉड्यूल है, और भागफल की सामान्य परिभाषा को यूनिवर्सल प्रॉब्लम के समाधान के अस्तित्व के प्रमाण के रूप में देखा जा सकता है।)

ग्रेडिंग
सममित बीजगणित वर्गीकृत बीजगणित है। अर्थात यह अनुलोम योगफल है
 * $$S(V)=\bigoplus_{n=0}^\infty S^n(V),$$

जहाँ $$S^n(V),$$ को $V$ की nth सिमेट्रिक पावर कहा जाता है, $V$ के $n$ तत्वों के गुणनफल द्वारा उत्पन्न सदिश उपसमष्टि है।

यह विभिन्न माध्यमों से सिद्ध किया जा सकता है। टेंसर-बीजगणित निर्माण से अनुसरण करता है: चूंकि टेंसर बीजगणित को वर्गीकृत किया गया है, और सममित बीजगणित सजातीय आदर्श द्वारा इसका भागफल है: सभी $$x \otimes y - y \otimes x,$$ द्वारा उत्पन्न आदर्श है, जहाँ $x$ और $y$, $V$ में हैं।

सदिश समष्टि या मुक्त मॉड्यूल की स्तिथि में, ग्रेडेशन कुल घात द्वारा बहुपदों का ग्रेडेशन है। गैर-मुक्त मॉड्यूल को $L / M$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ $L$ आधार $B$ का मुक्त मॉड्यूल है; इसका सममित बीजगणित $M$ के तत्वों द्वारा उत्पन्न सजातीय आदर्श द्वारा $L$ के सममित बीजगणित का भागफल है जो डिग्री '1' के सजातीय हैं।

कोई भी $$S^n(V)$$ को $V$ से सदिश समष्टि या मॉड्यूल में $n$-रैखिक सममित कार्यों के लिए यूनिवर्सल प्रॉब्लम के समाधान के रूप में परिभाषित कर सकता है, और तत्पश्चात सत्यापित कर सकता है कि सभी $$S^n(V)$$ का प्रत्यक्ष योग सममित बीजगणित के लिए यूनिवर्सल प्रॉब्लम को संतुष्ट करता है।

सममित टेंसरों से संबंध
चूंकि सदिश समष्टि का सममित बीजगणित टेंसर बीजगणित का भागफल है, सममित बीजगणित का तत्व टेंसर नहीं है। चूँकि, सममित टेन्सर दृढ़ता से सममित बीजगणित से संबंधित हैं।

डिग्री $n$ का सममित टेंसर $Tn(V)$ का तत्व है जो सममित समूह $$\mathcal S_n.$$ की समूह क्रिया (गणित) के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। अधिक त्रुटिहीन रूप से दिया गया $$\sigma\in \mathcal S_n,$$ रूपान्तरण $$v_1\otimes \cdots \otimes v_n \mapsto v_{\sigma(1)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma(n)}$$, $Tn(V)$ के रैखिक एंडोमोर्फिज्म को परिभाषित करता है। इन सभी एंडोमोर्फिज्म के अंतर्गत सममित टेन्सर अपरिवर्तनीय है। डिग्री $n$ के सममित टेंसर सदिश उपसमष्टि (या मॉड्यूल) $Symn(V) ⊂ Tn(V)$ बनाते हैं। सममित टेंसर अनुलोम योगफल $$\textstyle \bigoplus_{n=0}^\infty \operatorname{Sym}^n(V),$$ के तत्व हैं, जो ग्रेडेड वेक्टर स्पेस (या वर्गीकृत मॉड्यूल ) है। यह बीजगणित नहीं है, क्योंकि दो सममित टेंसरों का टेंसर गुणनफल सामान्य रूप से सममित नहीं है।

मान लें कि $$\pi_n$$ कैनोनिकल विशेषण $$T^n(V)\to S^n(V).$$ के $Symn(V)$ के लिए प्रतिबंध है। यदि $n!$ ग्राउंड फील्ड में उलटा है, तो $$\pi_n$$ समरूपता है। यह सदैव कैरेक्टरिस्टिक (बीजगणित) शून्य के ग्राउंड फील्ड की स्तिथि में होता है। व्युत्क्रम समरूपता समाकृतिकता द्वारा परिभाषित ($n$ वैक्टर के गुणनफल पर) रैखिक मानचित्र है-
 * $$v_1\cdots v_n \mapsto \frac 1{n!} \sum_{\sigma \in S_n} v_{\sigma(1)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma(n)}.$$

यदि विशेषता $n$+1 से कम है तो मानचित्र $$\pi_n$$ अंतःक्षेपी नहीं है। उदाहरण के लिए $$\pi_n(x\otimes y+y\otimes x) = 2xy$$ कैरेक्टरिस्टिक दो में शून्य है।

कैरेक्टरिस्टिक शून्य $$\pi_n$$ के वलय पर नॉन सरजेक्टिव हो सकता है; उदाहरण के लिए, पूर्णांकों पर, यदि $x$ और $y$, $V = S1(V)$ के दो रैखिक रूप से स्वतंत्र तत्व हैं जो $2V$ में नहीं हैं, तो, $$xy\not\in \pi_n(\operatorname{Sym}^2(V)),$$ तब से $$\frac 12 (x\otimes y +y\otimes x) \not\in \operatorname{Sym}^2(V).$$

कैरेक्टरिस्टिक शून्य के क्षेत्र के सारांश में, सममित टेन्सर और सममित बीजगणित दो आइसोमोर्फिक ग्रेडेड सदिश समष्टि बनाते हैं। इस प्रकार जब सदिश समष्टि संरचना का संबंध हो, तो उन्हें पहचाना जा सकता है किन्तु गुणनफल के सम्मिलित होते ही उनकी पहचान नहीं की जा सकती है।

श्रेणीबद्ध गुण
कम्यूटेटिव रिंग K पर मॉड्यूल V दिया गया है, सममित बीजगणित S(V) को निम्नलिखित यूनिवर्सल प्रॉपर्टी द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:


 * $V$ से क्रमविनिमेय $K$-बीजगणित $A$ के प्रत्येक $K$-रैखिक मानचित्र $f$ के लिए, अद्वितीय $K$-बीजगणित समाकारिता $$g:S(V)\to A$$ है। उदाहरण के लिए, $$f=g\circ i,$$ जहाँ $i$ $S(V)$ में $V$ का समावेश है।

प्रत्येक यूनिवर्सल प्रॉपर्टी के लिए यह विशिष्ट रूप से सममित बीजगणित को कैनोनिकल समरूपता तक परिभाषित करता है। यह इस प्रकार है कि सममित बीजगणित के सभी गुणों को यूनिवर्सल प्रॉपर्टी से घटाया जा सकता है। यह खंड मुख्य गुणों के लिए समर्पित है जो श्रेणी सिद्धांत से संबंधित हैं।

सममित बीजगणित $K$-मॉड्यूल की श्रेणी (गणित) से $K$-कम्यूटेटिव बीजगणित की श्रेणी का फ़ंक्टर है, क्योंकि यूनिवर्सल प्रॉपर्टी का तात्पर्य है कि प्रत्येक मॉड्यूल समरूपता $$f:V\to W$$ को बीजगणित समरूपता $$S(f):S(V)\to S(W).$$ तक विशिष्ट रूप से विस्तृत किया जा सकता है।

सममित बीजगणित फॉर्गेटफुल फ़ंक्टर के लिए लेफ्ट एडजॉइन्ट है।

सजातीय समष्टि का सममित बीजगणित

सजातीय समष्टि पर सममित बीजगणित का निर्माण कर सकते हैं। मुख्य अंतर यह है कि सजातीय समष्टि का सममित बीजगणित, ग्रेडेड बीजगणित नहीं है, किंतु फ़िल्टर्ड बीजगणित है: सजातीय समष्टि पर बहुपद की घात निर्धारित कर सकते है।

उदाहरण के लिए, सदिश समष्टि पर रैखिक बहुपद दिया गया है, कोई 0 पर मूल्यांकन करके इसके निरंतर भाग को निर्धारित कर सकता है। कोई विशिष्ट बिंदु सजातीय समष्टि पर नहीं है, इसलिए कोई ऐसा नहीं कर सकता है (बिंदु का चयन, सजातीय समष्टि को सदिश समष्टि में परिवर्तित कर देता है)।

बाह्य बीजगणित से सादृश्य
Sk यहाँ एक्सटीरियर पावर्स की तुलना में फ़ंक्टर हैं, चूँकि, आयाम (सदिश समष्टि) k की संगति में बढ़ता है-
 * $$\operatorname{dim}(S^k(V)) = \binom{n+k-1}{k}$$

जहाँ n, V का आयाम है। यह द्विपद गुणांक डिग्री k के n-चर मोनोमियल्स की संख्या है।

वास्तव में, सममित बीजगणित और बाह्य बीजगणित की क्रिया के नगण्य और सांकेतिक प्रतिनिधित्व के समस्थानिक घटकों के रूप में दिखाई देते हैं। $$S_n$$ टेंसर गुणनफल $$V^{\otimes n}$$ पर कार्य करता है।

हॉफ बीजगणित के रूप में

सममित बीजगणित को हॉफ बीजगणित की संरचना दी जा सकती है। विवरण के लिए टेन्सर बीजगणित देखें।

यूनिवर्सल एनवलपिंग बीजगणित के रूप में

सममित बीजगणित S(V) एबेलियन लाइ बीजगणित का यूनिवर्सल एनवलपिंग बीजगणित है, अर्थात जिसमें लाइ ब्रैकेट समान रूप से 0 है।

यह भी देखें

 * बाहरी बीजगणित, वैकल्पिक बीजगणित एनालॉग
 * वर्गीकृत-सममित बीजगणित, सममित बीजगणित का सामान्य सामान्यीकरण और एक्सटीरियर बीजगणित
 * वेइल बीजगणित, सममित बीजगणित का क्वांटम समूह सिम्प्लेटिक रूप से
 * क्लिफर्ड बीजगणित, द्विघात रूप से एक्सटीरियर बीजगणित का क्वांटम समूह