गुरुत्वाकर्षण तरंग

द्रव गतिकी में, गुरुत्व तरंगें एक द्रव माध्यम में या दो मीडिया के बीच इंटरफ़ेस (मामला)पदार्थ) पर उत्पन्न तरंगें होती हैं जब गुरुत्वाकर्षण बल या उत्प्लावकता संतुलन को बहाल करने की कोशिश करता है। इस तरह के इंटरफेस का एक उदाहरण वायुमंडल और महासागर के बीच है, जो हवा की लहरों को जन्म देता है।

यांत्रिक संतुलन की स्थिति से तरल पदार्थ विस्थापित होने पर गुरुत्वाकर्षण तरंग का परिणाम होता है। संतुलन के लिए तरल पदार्थ की बहाली से तरल पदार्थ की गति आगे और पीछे होगी, जिसे 'वेव ऑर्बिट' कहा जाता है। समुद्र के वायु-समुद्री अंतरापृष्ठ पर गुरुत्वाकर्षण तरंगों को सतह गुरुत्व तरंगें (एक प्रकार की सतह तरंग) कहा जाता है, जबकि गुरुत्व तरंगें जो पानी के शरीर (जैसे विभिन्न घनत्वों के भागों के बीच) को आंतरिक तरंगें कहा जाता है। हवा की लहर | पानी की सतह पर हवा से उत्पन्न लहरें गुरुत्वाकर्षण तरंगों के उदाहरण हैं, जैसे सूनामी और समुद्री ज्वार।

पृथ्वी के तालाबों, झीलों, समुद्रों और महासागरों की मुक्त सतह पर हवा से उत्पन्न गुरुत्वाकर्षण तरंगों की अवधि मुख्य रूप से 0.3 और 30 सेकंड के बीच होती है (मुख्य रूप से 3 Hz और 30 mHz के बीच आवृत्तियों के अनुरूप)। छोटी तरंगें भी सतही तनाव से प्रभावित होती हैं और उन्हें गुरुत्व-केशिका तरंगें और (यदि गुरुत्वाकर्षण द्वारा मुश्किल से प्रभावित किया जाता है) केशिका तरंगें कहा जाता है। वैकल्पिक रूप से, तथाकथित इन्फ्राग्रैविटी तरंग, जो पवन तरंगों के साथ अंडरटोन श्रृंखला़ गैर रेखीय प्रणाली वेव इंटरेक्शन के कारण होती हैं, हवा से उत्पन्न तरंगों की तुलना में लंबी होती हैं।

पृथ्वी पर वातावरण की गतिशीलता
पृथ्वी के वायुमंडल में, गुरुत्व तरंगें एक तंत्र हैं जो क्षोभमंडल से समताप मंडल और मीसोस्फीयर तक संवेग के हस्तांतरण का उत्पादन करती हैं। गुरुत्वाकर्षण तरंगें क्षोभमंडल में मौसम के मोर्चे या पहाड़ों पर वायु प्रवाह द्वारा उत्पन्न होती हैं। सबसे पहले, तरंगें अंकगणितीय माध्य वेग में उल्लेखनीय परिवर्तन के बिना वायुमंडल के माध्यम से फैलती हैं। लेकिन जैसे-जैसे लहरें अधिक ऊंचाई पर अधिक दुर्लभ (पतली) हवा तक पहुँचती हैं, उनका आयाम बढ़ता जाता है, और अरैखिकता के कारण तरंगें टूट जाती हैं, जिससे उनकी गति औसत प्रवाह में स्थानांतरित हो जाती है। संवेग का यह स्थानांतरण वातावरण के कई बड़े पैमाने की गतिशील विशेषताओं को मजबूर करने के लिए जिम्मेदार है। उदाहरण के लिए, यह गति हस्तांतरण अर्ध-द्विवार्षिक दोलन | अर्ध-द्विवार्षिक दोलन के संचालन के लिए आंशिक रूप से जिम्मेदार है, और मेसोस्फीयर में, इसे अर्ध-वार्षिक दोलन की प्रमुख प्रेरक शक्ति माना जाता है। इस प्रकार, यह प्रक्रिया पृथ्वी के मध्य वायुमंडल की गतिशीलता (यांत्रिकी) में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। बादलों में गुरुत्व तरंगों का प्रभाव आल्टोस्ट्रेटस अंडुलाटस बादलों की तरह दिख सकता है, और कभी-कभी उनके साथ भ्रमित हो जाता है, लेकिन गठन तंत्र अलग होता है।

गहरा पानी
चरण वेग $$c$$ तरंग संख्या के साथ एक रेखीय गुरुत्व तरंग का $$k$$ सूत्र द्वारा दिया गया है

$$c=\sqrt{\frac{g}{k}},$$ जहाँ g गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है। जब सतही तनाव महत्वपूर्ण होता है, तो इसे संशोधित किया जाता है

$$c=\sqrt{\frac{g}{k}+\frac{\sigma k}{\rho}},$$ जहां σ पृष्ठ तनाव गुणांक है और ρ घनत्व है।

गुरुत्व तरंग एक स्थिर अवस्था के चारों ओर एक गड़बड़ी का प्रतिनिधित्व करती है, जिसमें कोई वेग नहीं होता है। इस प्रकार, सिस्टम में पेश की गई गड़बड़ी को असीम रूप से छोटे आयाम के वेग क्षेत्र द्वारा वर्णित किया गया है, $$(u'(x,z,t),w'(x,z,t)).$$ क्योंकि द्रव को असम्पीडित माना जाता है, इस वेग क्षेत्र में प्रवाह का प्रतिनिधित्व होता है


 * $$\textbf{u}'=(u'(x,z,t),w'(x,z,t))=(\psi_z,-\psi_x),\,$$

जहां सबस्क्रिप्ट आंशिक डेरिवेटिव का संकेत देते हैं। इस व्युत्पत्ति में यह दो आयामों में कार्य करने के लिए पर्याप्त है $$\left(x,z\right)$$, जहां गुरुत्व ऋणात्मक z-दिशा में इंगित करता है। अगला, प्रारंभिक रूप से स्थिर असंपीड्य तरल पदार्थ में, कोई वर्टिसिटी नहीं होता है, और द्रव अघूर्णी रहता है, इसलिए $$\nabla\times\textbf{u}'=0.\,$$ स्ट्रीमफंक्शन प्रतिनिधित्व में, $$\nabla^2\psi=0.\,$$ अगला, एक्स-दिशा में सिस्टम के ट्रांसलेशनल इनवेरिएंस के कारण, एनाटेज बनाना संभव है


 * $$\psi\left(x,z,t\right)=e^{ik\left(x-ct\right)}\Psi\left(z\right),\,$$

जहाँ k एक स्थानिक तरंग संख्या है। इस प्रकार, समीकरण को हल करने में समस्या कम हो जाती है


 * $$\left(D^2-k^2\right)\Psi=0,\,\,\,\ D=\frac{d}{dz}.$$

हम अनंत गहराई के समुद्र में काम करते हैं, इसलिए सीमा की स्थिति पर है $$\scriptstyle z=-\infty.$$ अबाधित सतह पर है $$\scriptstyle z=0$$, और विक्षुब्ध या लहराती सतह पर है $$\scriptstyle z=\eta,$$ कहाँ $$\scriptstyle\eta$$ परिमाण में छोटा है। यदि नीचे से कोई तरल पदार्थ बाहर नहीं निकलना है, तो हमारी शर्त होनी चाहिए


 * $$u=D\Psi=0,\,\,\text{on}\,z=-\infty.$$

इस तरह, $$\scriptstyle\Psi=Ae^{k z}$$ पर $$\scriptstyle z\in\left(-\infty,\eta\right)$$, जहां A और तरंग गति c इंटरफ़ेस पर स्थितियों से निर्धारित किए जाने वाले स्थिरांक हैं।

मुक्त सतह की स्थिति: मुक्त सतह पर $$\scriptstyle z=\eta\left(x,t\right)\,$$गतिज स्थिति रखती है:


 * $$\frac{\partial\eta}{\partial t}+u'\frac{\partial\eta}{\partial x}=w'\left(\eta\right).\,$$

रैखिककरण, यह बस है


 * $$\frac{\partial\eta}{\partial t}=w'\left(0\right),\,$$

जहां वेग $$\scriptstyle w'\left(\eta\right)\,$$ सतह पर रैखिककृत है $$\scriptstyle z=0.\,$$ सामान्य-मोड और स्ट्रीमफंक्शन अभ्यावेदन का उपयोग करते हुए, यह स्थिति है $$\scriptstyle c \eta=\Psi\,$$, दूसरी इंटरफेसियल स्थिति।

अंतरफलक भर में दबाव संबंध: सतह तनाव के मामले में, अंतरफलक पर दबाव अंतर पर $$\scriptstyle z=\eta$$ यंग-लाप्लास समीकरण द्वारा दिया गया है:


 * $$p\left(z=\eta\right)=-\sigma\kappa,\,$$

जहां σ सतह तनाव है और κ इंटरफ़ेस की वक्रता है, जो एक रैखिक सन्निकटन में है


 * $$\kappa=\nabla^2\eta=\eta_{xx}.\,$$

इस प्रकार,


 * $$p\left(z=\eta\right)=-\sigma\eta_{xx}.\,$$

हालाँकि, यह स्थिति इस प्रकार कुल दबाव (आधार + परेशान) को संदर्भित करती है


 * $$\left[P\left(\eta\right)+p'\left(0\right)\right]=-\sigma\eta_{xx}.$$

(हमेशा की तरह, परेशान मात्राओं को सतह z = 0 पर रेखीयकृत किया जा सकता है।) हीड्रास्टाटिक संतुलन का उपयोग करते हुए, फॉर्म में $$\scriptstyle P=-\rho g z+\text{Const.},$$ यह बन जाता है


 * $$p=g\eta\rho-\sigma\eta_{xx},\qquad\text{on }z=0.\,$$

गड़बड़ी के लिए रैखिककृत यूलर समीकरणों के क्षैतिज गति समीकरण का उपयोग करके परेशान दबावों का मूल्यांकन प्रवाह कार्यों के संदर्भ में किया जाता है,


 * $$\frac{\partial u'}{\partial t} = - \frac{1}{\rho}\frac{\partial p'}{\partial x}\,$$

उपज $$\scriptstyle p'=\rho c D\Psi.$$ इस अंतिम समीकरण और कूदने की स्थिति को एक साथ रखने पर,


 * $$c\rho D\Psi=g\eta\rho-\sigma\eta_{xx}.\,$$

दूसरी इंटरफेसियल स्थिति को प्रतिस्थापित करना $$\scriptstyle c\eta=\Psi\,$$ और सामान्य-मोड प्रतिनिधित्व का उपयोग करते हुए, यह संबंध बन जाता है $$\scriptstyle c^2\rho D\Psi=g\Psi\rho+\sigma k^2\Psi.$$ घोल का उपयोग करना $$\scriptstyle \Psi=e^{k z}$$, यह देता है

$$c=\sqrt{\frac{g}{k}+\frac{\sigma k}{\rho}}.$$

तब से $$\scriptstyle c=\omega/k$$ कोणीय आवृत्ति के संदर्भ में चरण गति है $$\omega$$ और wavenumber, गुरुत्व तरंग कोणीय आवृत्ति के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$$\omega=\sqrt{gk}.$$ एक तरंग का समूह वेग (अर्थात, वह गति जिस पर एक तरंग पैकेट यात्रा करता है) द्वारा दिया जाता है

$$c_g=\frac{d\omega}{dk},$$ और इस प्रकार गुरुत्वाकर्षण तरंग के लिए,

$$c_g=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{g}{k}}=\frac{1}{2}c.$$ समूह वेग एक आधा चरण वेग है। एक तरंग जिसमें समूह और चरण वेग भिन्न होते हैं, फैलाव कहलाते हैं।

उथला पानी
उथले पानी में यात्रा करने वाली गुरुत्वाकर्षण तरंगें (जहाँ गहराई तरंग दैर्ध्य की तुलना में बहुत कम है), फैलाव (जल तरंगें) हैं: चरण और समूह वेग समान हैं और तरंग दैर्ध्य और आवृत्ति से स्वतंत्र हैं। जब पानी की गहराई h हो,


 * $$c_p = c_g = \sqrt{gh}.$$

हवा द्वारा समुद्र की लहरों का उत्पन्न होना
पवन तरंगें, जैसा कि उनके नाम से पता चलता है, वायुमंडल से ऊर्जा को समुद्र की सतह पर स्थानांतरित करने वाली हवा से उत्पन्न होती हैं, और केशिका तरंग | केशिका-गुरुत्वाकर्षण तरंगें इस प्रभाव में एक आवश्यक भूमिका निभाती हैं। इसमें दो अलग-अलग तंत्र शामिल हैं, जिन्हें उनके समर्थकों, फिलिप्स और माइल्स के नाम पर रखा गया है।

फिलिप्स के काम में, समुद्र की सतह को शुरू में सपाट (कांचदार) माना जाता है, और सतह पर एक अशांत हवा चलती है। जब एक प्रवाह अशांत होता है, तो एक औसत प्रवाह (एक लैमिनार प्रवाह के विपरीत, जिसमें द्रव गति का आदेश दिया जाता है और चिकनी होता है) पर आरोपित एक बेतरतीब ढंग से उतार-चढ़ाव वाला वेग क्षेत्र देखता है। उतार-चढ़ाव वाला वेग क्षेत्र उतार-चढ़ाव वाले तनाव (यांत्रिकी) को जन्म देता है (दोनों स्पर्शरेखा और सामान्य) जो वायु-जल इंटरफ़ेस पर कार्य करते हैं। सामान्य तनाव, या उतार-चढ़ाव वाला दबाव एक मजबूर शब्द के रूप में कार्य करता है (बहुत कुछ स्विंग को धक्का देने की तरह एक मजबूर शब्द का परिचय देता है)। यदि आवृत्ति और तरंग संख्या $$\scriptstyle\left(\omega,k\right)$$ इस मजबूर शब्द का केशिका-गुरुत्वाकर्षण तरंग (जैसा कि ऊपर व्युत्पन्न हुआ है) के कंपन की एक विधा से मेल खाता है, फिर एक अनुनाद होता है, और तरंग आयाम में बढ़ती है। अन्य अनुनाद प्रभावों की तरह, इस तरंग का आयाम समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है।

केशिका-गुरुत्वाकर्षण तरंगों के कारण वायु-जल इंटरफ़ेस अब सतह खुरदरापन से संपन्न है, और तरंग वृद्धि का दूसरा चरण होता है। सतह पर स्थापित एक लहर या तो ऊपर वर्णित या प्रयोगशाला स्थितियों में स्वचालित रूप से मीलों द्वारा वर्णित तरीके से अशांत औसत प्रवाह के साथ बातचीत करती है। यह तथाकथित क्रिटिकल-लेयर मैकेनिज्म है। एक महत्वपूर्ण परत एक ऊँचाई पर बनती है जहाँ तरंग गति c औसत अशांत प्रवाह U के बराबर होती है। चूंकि प्रवाह अशांत है, इसका औसत प्रोफ़ाइल लॉगरिदमिक है, और इसका दूसरा व्युत्पन्न इस प्रकार नकारात्मक है। यह महत्वपूर्ण परत के माध्यम से इंटरफ़ेस को अपनी ऊर्जा प्रदान करने के लिए औसत प्रवाह की स्थिति है। इंटरफ़ेस को ऊर्जा की यह आपूर्ति अस्थिर कर रही है और इंटरफ़ेस पर तरंग के आयाम को समय के साथ बढ़ने का कारण बनती है। रैखिक अस्थिरता के अन्य उदाहरणों की तरह, इस चरण में गड़बड़ी की वृद्धि दर समय में घातीय है।

यह माइल्स-फिलिप्स तंत्र प्रक्रिया तब तक जारी रह सकती है जब तक कि एक संतुलन नहीं हो जाता है, या जब तक हवा लहरों को ऊर्जा स्थानांतरित करना बंद नहीं कर देती है (यानी, उन्हें साथ में उड़ाना) या जब वे समुद्र की दूरी से बाहर हो जाते हैं, जिसे भ्रूण (भूगोल) की लंबाई भी कहा जाता है।

यह भी देखें

 * ध्वनिक तरंग
 * एस्टेरोसिज़्मोलॉजी
 * ग्रीन का नियम
 * क्षैतिज संवहनी रोल
 * ली लहर
 * चंद्र अंतराल
 * मध्यमंडल#गतिशील विशेषताएँ
 * प्रातः महिमा मेघ
 * ऑर-सोमरफेल्ड समीकरण
 * रेले-टेलर अस्थिरता
 * शरारती लहर
 * स्काईक्वेक

संदर्भ

 * Gill, A. E., "Gravity wave". Glossary of Meteorology. American Meteorological Society (15 December 2014).
 * Crawford, Frank S., Jr. (1968).  Waves (Berkeley Physics Course, Vol. 3), (McGraw-Hill, 1968)   ISBN 978-0070048607 Free online version