मोटर चर

गणित में, मोटर वैरिएबल का एक फ़ंक्शन विभाजित-[[जटिल संख्या]] विमान में तर्कों और मूल्यों के साथ एक फ़ंक्शन (गणित) होता है, जैसे कि एक जटिल चर के कार्यों में सामान्य जटिल संख्याएं शामिल होती हैं। विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड ने अपने प्रिलिमिनरी स्केच ऑफ़ बिक्वाटर्नियंस (1873) में गतिज संचालक के लिए मोटर शब्द गढ़ा। उन्होंने अपने स्प्लिट-बाइक्वाटर्नियन्स में अदिशों के लिए स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स संख्याओं का उपयोग किया। व्यंजना और परंपरा के लिए स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स वेरिएबल के स्थान पर मोटर वेरिएबल का उपयोग यहां किया जाता है।

उदाहरण के लिए,
 * $$f(z) = u(z) + j \ v(z) ,\ z = x + j y ,\ x,y \in R ,\quad j^2 = +1,\quad u(z),v(z) \in R.$$

मोटर वैरिएबल के कार्य वास्तविक विश्लेषण को विस्तारित करने और विमान की मैपिंग का कॉम्पैक्ट प्रतिनिधित्व प्रदान करने के लिए एक संदर्भ प्रदान करते हैं। हालाँकि, सिद्धांत जटिल विश्लेषण से काफी कम है। फिर भी, पारंपरिक जटिल विश्लेषण के कुछ पहलुओं की व्याख्या मोटर चर के साथ दी गई है, और आमतौर पर हाइपरकॉम्प्लेक्स विश्लेषण में।

प्राथमिक कार्य
चलो डी = $$\{ z = x + jy : x,y \in R \}$$, विभाजित-जटिल विमान। निम्नलिखित अनुकरणीय फ़ंक्शन f का डोमेन और रेंज 'D' में है:

एक वर्सोर की क्रिया#हाइपरबोलिक वर्सोर $$u = \exp(aj) = \cosh a + j \sinh a$$ एफ़िन परिवर्तन उत्पन्न करने के लिए अनुवाद (ज्यामिति) के साथ जोड़ा जाता है
 * $$f(z) = uz + c \ $$. जब c = 0, फ़ंक्शन निचोड़ मानचित्रण के बराबर होता है।

साधारण जटिल अंकगणित में वर्ग फलन की कोई समानता नहीं है। होने देना
 * $$ f(z) = z^2 \ $$ और उस पर ध्यान दें $$f(-1)=f(j)= f(-j) = 1. \ $$

नतीजा यह है कि चार चतुर्भुजों को एक, पहचान घटक में मैप किया गया है:
 * $$U_1 = \{z \in D : \mid y \mid < x \}$$.

ध्यान दें कि $$z z^* = 1 \ $$ इकाई हाइपरबोला बनाता है $$x^2 - y^2 = 1 $$. इस प्रकार गुणात्मक प्रतिलोम
 * $$f(z) = 1/z = z^*/\mid z \mid^2 \text{where} \mid z \mid^2 = z z^* $$

C में वृत्त के विपरीत हाइपरबोला को संदर्भ वक्र के रूप में शामिल किया गया है।

रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तन
एक वलय के ऊपर प्रक्षेप्य रेखा की अवधारणा का उपयोग करते हुए, प्रक्षेप्य रेखा P(D) बनाई जाती है। निर्माण विभाजित-जटिल संख्या घटकों के साथ सजातीय निर्देशांक का उपयोग करता है। प्रक्षेप्य रेखा P(D) रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तनों द्वारा रूपांतरित होती है:
 * $$[z:1]\begin{pmatrix}a & c \\ b & d \end{pmatrix} = [az + b : cz + d], $$ कभी-कभी लिखा जाता है
 * $$f(z) = \frac {az + b} {cz + d},$$ बशर्ते cz + d 'D' में एक इकाई है।

प्राथमिक रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तनों में शामिल हैं इनमें से प्रत्येक का एक व्युत्क्रम है, और रचनाएँ रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तनों के एक समूह को भरती हैं। मोटर चर को इसके ध्रुवीय निर्देशांक में अतिपरवलयिक कोण की विशेषता होती है, और यह कोण मोटर चर रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तनों द्वारा संरक्षित होता है, जैसे वृत्ताकार कोण सामान्य जटिल विमान के मोबियस परिवर्तनों द्वारा संरक्षित होता है। कोणों को संरक्षित करने वाले परिवर्तनों को अनुरूप कहा जाता है, इसलिए रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तन अनुरूप मानचित्र होते हैं।
 * अतिशयोक्तिपूर्ण घुमाव $$\begin{pmatrix}u & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},$$
 * अनुवाद $$\begin{pmatrix}1 & 0 \\ t & 1 \end{pmatrix},$$ और
 * उलटाव $$\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

ट्रांसफॉर्मेशन बाउंडिंग क्षेत्रों की तुलना की जा सकती है: उदाहरण के लिए, सामान्य जटिल विमान पर, केली ट्रांसफॉर्म#कॉम्प्लेक्स होमोग्राफी ऊपरी आधे-तल को यूनिट डिस्क तक ले जाती है, इस प्रकार इसे बांधती है। पहचान घटक यू का मानचित्रण1 एक आयत में D की एक तुलनीय बाउंडिंग क्रिया प्रदान करता है:
 * $$f(z) = \frac {1}{z + 1/2}, \quad f:U_1 \to T $$

जहां T = {z = x + jy : |y| < x < 1 या |y| <2 - x जब 1 ≤ x <2}।

प्रक्षेप्य रेखा पर आक्षेप के रूप में रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तनों को महसूस करने के लिए 'डी' के #कॉम्पैक्टिफिकेशन का उपयोग किया जाता है। नीचे दिया गया अनुभाग देखें.

एक्सप, लॉग, और वर्गमूल
घातांकीय फलन पूरे तल D को U में ले जाता है1:
 * $$e^x = \sum_{n=0}^\infty {x^n \over n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n}} {(2n)!} + \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)!} = \cosh x + \sinh x $$.

इस प्रकार जब x = bj, तब ex एक अतिशयोक्तिपूर्ण छंद है। सामान्य मोटर चर z = a + bj के लिए, एक है
 * $$e^z = e^a (\cosh b + j \ \sinh b) \ $$.

मोटर चर के कार्यों के सिद्धांत में वर्गमूल और लघुगणक कार्यों पर विशेष ध्यान दिया जाना चाहिए। विशेष रूप से, स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स संख्याओं के विमान में चार कनेक्टेड घटक (टोपोलॉजी) होते हैं $$\{U_1, -U_1, jU_1, -jU_1\},$$ और एकवचन बिंदुओं का समूह जिसका कोई व्युत्क्रम नहीं है: विकर्ण z = x ± x j, x ∈ 'R'। पहचान घटक, अर्थात् {z : x > |y| } = यू1, वर्ग फलन और घातांक के एक फलन की सीमा है। इस प्रकार यह वर्गमूल और लघुगणक फलनों का डोमेन (फ़ंक्शन) है। अन्य तीन चतुर्भुज डोमेन से संबंधित नहीं हैं क्योंकि वर्गमूल और लघुगणक को एक से एक पत्राचार के रूप में परिभाषित किया गया है | वर्ग फ़ंक्शन और घातांक फ़ंक्शन के एक-से-एक व्युत्क्रम।

डी के लघुगणक का ग्राफिक विवरण मोट्टर एंड रोजा ने अपने लेख हाइपरबोलिक कैलकुलस (1998) में दिया है।

डी-होलोमोर्फिक फ़ंक्शन
कॉची-रीमैन समीकरण जो जटिल विमान में एक डोमेन (गणितीय विश्लेषण) पर होलोमोर्फिक कार्यों की विशेषता बताते हैं, एक मोटर चर के कार्यों के लिए एक एनालॉग है। विर्टिंगर व्युत्पन्न का उपयोग करके डी-होलोमोर्फिक कार्यों के लिए एक दृष्टिकोण मोट्टर एंड रॉसा द्वारा दिया गया था: फलन f = u + j v को 'डी-होलोमोर्फिक' कहा जाता है
 * $$0 \ = \ \left({\partial \over \partial x} - j {\partial \over \partial y}\right) (u + j v) = \ u_x - j^2 v_y + j (v_x - u_y).$$

वास्तविक और काल्पनिक घटकों पर विचार करके, एक डी-होलोमोर्फिक फ़ंक्शन संतुष्ट होता है
 * $$u_x = v_y, \quad v_x = u_y.$$

ये समीकरण प्रकाशित किये गये 1893 में जॉर्ज शेफ़र्स द्वारा, इसलिए उन्हें शेफ़र्स की स्थितियाँ कहा गया है। हार्मोनिक फ़ंक्शन सिद्धांत में तुलनीय दृष्टिकोण को पीटर ड्यूरेन के एक पाठ में देखा जा सकता है। यह स्पष्ट है कि घटक यू और डी-होलोमोर्फिक फ़ंक्शन एफ का वी, से जुड़े तरंग समीकरण को संतुष्ट करता है डी'अलेम्बर्ट, जबकि सी-होलोमोर्फिक फ़ंक्शंस के घटक लाप्लास के समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

ला प्लाटा पाठ
1935 में ला प्लाटा का राष्ट्रीय विश्वविद्यालय में, अनंत श्रृंखला के अभिसरण के विशेषज्ञ जे.सी. विग्नॉक्स ने विश्वविद्यालय की वार्षिक पत्रिका में मोटर चर पर चार लेख लिखे। वह परिचयात्मक के एकमात्र लेखक हैं, और उन्होंने दूसरों पर अपने विभाग प्रमुख ए. दुरानोना वाई वेदिया से परामर्श किया है। सोबरे लास सीरीज डी न्यूमेरोस कॉम्प्लीजोस हिपरबोलिकोस में वह कहते हैं (पृष्ठ 123):
 * अतिशयोक्तिपूर्ण जटिल संख्याओं की यह प्रणाली [मोटर चर] मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग है#वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र के लिए आइसोमोर्फिक बीजगणित का प्रत्यक्ष योग; यह संपत्ति वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र के गुणों के उपयोग के माध्यम से श्रृंखला के सिद्धांत और हाइपरबोलिक जटिल चर के कार्यों की व्याख्या की अनुमति देती है।

उदाहरण के लिए, वह मोटर चर के डोमेन के लिए कॉची, एबेल, मर्टेंस और हार्डी के कारण प्रमेयों को सामान्य बनाने के लिए आगे बढ़ता है।

नीचे उद्धृत प्राथमिक लेख में, वह डी-होलोमोर्फिक फ़ंक्शंस और उनके घटकों द्वारा डी'अलेम्बर्ट के समीकरण की संतुष्टि पर विचार करता है। वह विकर्णों y = x और y = − x के समानांतर भुजाओं वाले एक आयत को एक समदैशिक आयत कहता है क्योंकि इसकी भुजाएँ समदैशिक रेखाओं पर होती हैं। उन्होंने अपना सार इन शब्दों के साथ समाप्त किया:
 * आइसोट्रोपिक आयतें इस सिद्धांत में एक मौलिक भूमिका निभाती हैं क्योंकि वे होलोमोर्फिक कार्यों के लिए अस्तित्व के डोमेन, शक्ति श्रृंखला के अभिसरण के डोमेन और कार्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण के डोमेन बनाते हैं।

विग्नॉक्स ने बर्नस्टीन बहुपदों द्वारा एक इकाई आइसोट्रोपिक आयत में डी-होलोमोर्फिक कार्यों के सन्निकटन पर छह पेज के नोट के साथ अपनी श्रृंखला पूरी की। हालाँकि इस श्रृंखला में कुछ मुद्रण संबंधी त्रुटियों के साथ-साथ कुछ तकनीकी खामियाँ भी हैं, विग्नॉक्स सिद्धांत की मुख्य पंक्तियों को प्रस्तुत करने में सफल रहा जो वास्तविक और सामान्य जटिल विश्लेषण के बीच स्थित है। तत्वों के अनुकरणीय विकास के कारण यह पाठ छात्रों और शिक्षकों के लिए एक शिक्षाप्रद दस्तावेज़ के रूप में विशेष रूप से प्रभावशाली है। इसके अलावा, संपूर्ण भ्रमण एमिल बोरेल की ज्यामिति के संबंध में निहित है ताकि इसकी प्रेरणा को रेखांकित किया जा सके।

बिरियल चर
1892 में कॉनराड सेग्रे  ने टेसरीन बीजगणित को द्विसंकुल संख्याओं के रूप में याद किया। स्वाभाविक रूप से वास्तविक टेसरीन का उपबीजगणित उत्पन्न हुआ और इसे द्विवास्तविक संख्याएँ कहा जाने लगा।

1946 में यू. बेनसिवेंगा ने एक निबंध प्रकाशित किया दोहरी संख्याओं और विभक्त-सम्मिश्र संख्याओं पर जहां उन्होंने द्विवास्तविक संख्या शब्द का प्रयोग किया। उन्होंने बायरियल वेरिएबल के कुछ फ़ंक्शन सिद्धांत का भी वर्णन किया। निबंध का अध्ययन 1949 में ब्रिटिश कोलंबिया विश्वविद्यालय में किया गया था जब जेफ्री फॉक्स ने अपने मास्टर की थीसिस हाइपरकॉम्प्लेक्स वैरिएबल के प्राथमिक फ़ंक्शन सिद्धांत और हाइपरबोलिक विमान में अनुरूप मानचित्रण के सिद्धांत को लिखा था। पृष्ठ 46 पर फॉक्स की रिपोर्ट बेनसिवेंगा ने दिखाया है कि एक बायरियल वेरिएबल का एक फ़ंक्शन हाइपरबोलिक विमान को अपने आप में इस तरह से मैप करता है कि, उन बिंदुओं पर, जिनके लिए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न मौजूद है और गायब नहीं होता है, हाइपरबोलिक कोण मैपिंग में संरक्षित होते हैं।

जी. फॉक्स एक द्विवार्षिक चर के ध्रुवीय अपघटन#वैकल्पिक तलीय अपघटन प्रदान करने के लिए आगे बढ़ते हैं और अतिपरवलयिक रूढ़िवादिता पर चर्चा करते हैं। एक अलग परिभाषा से शुरू करते हुए वह पृष्ठ 57 पर सिद्ध करता है
 * प्रमेय 3.42: दो सदिश परस्पर ओर्थोगोनल होते हैं यदि और केवल तभी जब उनके इकाई सदिश 0 से होकर गुजरने वाली एक या दूसरी विकर्ण रेखाओं में एक दूसरे का परस्पर प्रतिबिम्ब हों।

फ़ॉक्स #रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तनों पर ध्यान केंद्रित करता है| द्विरेखीय परिवर्तन $$ w = \frac {\alpha z + \beta} {\gamma z + \delta} $$, कहाँ $$ \alpha, \beta, \gamma, \delta $$ द्विवार्षिक स्थिरांक हैं। विलक्षणता से निपटने के लिए वह विमान को अनंत पर एक बिंदु के साथ बढ़ाता है (पृष्ठ 73)।

फ़ंक्शन सिद्धांत में उनके उपन्यास योगदानों में एक इंटरलॉक्ड सिस्टम की अवधारणा है। फ़ॉक्स दिखाता है कि एक बिरियल के लिए संतोषजनक है
 * (ए - बी)2 < $|k|$ < (ए + बी)2

अतिपरवलय
 * $|z|$ = ए2और $|z − k||$ = बी2

एक दूसरे को न काटें (एक इंटरलॉक्ड सिस्टम बनाएं)। फिर वह दिखाता है कि यह संपत्ति एक द्विवार्षिक चर के द्विरेखीय परिवर्तनों द्वारा संरक्षित है।

संकुचन
गुणक व्युत्क्रम फलन इतना महत्वपूर्ण है कि इसे विभेदक ज्यामिति के मानचित्रण में शामिल करने के लिए अत्यधिक उपाय किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, साधारण जटिल अंकगणित के लिए जटिल विमान को रीमैन क्षेत्र तक घुमाया जाता है। स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स अंकगणित के लिए गोले के बजाय hyperboloid  का उपयोग किया जाता है: $$H = \{(x, y, z) : z^2 + x^2 - y^2  = 1 \} .$$ रीमैन क्षेत्र की तरह, यह विधि P = (0, 0, 1) से t = (x, y, 0) से हाइपरबोलॉइड तक त्रिविम प्रक्षेपण है। रेखा L = Pt को s द्वारा पैरामीट्रिज्ड किया गया है $$L =  \{ (s x, s y, 1 - s) : s \in R \}$$ ताकि जब s शून्य हो तो यह P से गुजर जाए और जब s एक हो तो t से गुजर जाए।

H ∩ L से यह इस प्रकार है
 * $$(1 - s)^2 + (sx)^2 - (sy)^2 = 1, \text{ so that} \quad s = \frac {2}{1 + x^2 - y^2} .$$

यदि t शून्य शंकु पर है, तो s = 2 और (2x, ±2x, - 1) H पर है, विपरीत बिंदु (2x, ±2x, 1) 'अनंत पर प्रकाश शंकु' बनाते हैं जो व्युत्क्रम के तहत शून्य शंकु की छवि है।

ध्यान दें कि टी के लिए $$y^2 > 1 + x^2 ,$$ s नकारात्मक है. निहितार्थ यह है कि P से t के माध्यम से बैक-रे H पर बिंदु प्रदान करता है। ये बिंदु t इकाई हाइपरबोला से संयुग्मित हाइपरबोला के ऊपर और नीचे हैं।

कॉम्पेक्टिफिकेशन पी में पूरा किया जाना चाहिए3R सजातीय निर्देशांक (w, x, y, z) के साथ जहां w = 1 अब तक उपयोग किए गए एफ़िन स्पेस (x, y, z) को निर्दिष्ट करता है। हाइपरबोलॉइड H प्रक्षेप्य शंकु में अवशोषित हो जाता है $$\{ (w, x, y, z) \in P^3R : z^2 + x^2 = y^2 + w^2 \},$$ जो एक सघन स्थान है.

वाल्टर बेंज ने हंस बेक के कारण मैपिंग का उपयोग करके कॉम्पैक्टिफिकेशन किया। इसहाक याग्लोम ने ऊपर बताए अनुसार दो-चरणीय संघनन का वर्णन किया है, लेकिन हाइपरबोलॉइड के स्पर्शरेखा वाले विभाजित-जटिल विमान के साथ। 2015 में इमानुएलो और नोल्डर ने पहले मोटर प्लेन को टोरस्र्स  में एम्बेड करके और फिर एंटीपोडल बिंदुओं की पहचान करके इसे प्रोजेक्टिव बनाकर कॉम्पैक्टिफिकेशन किया।

संदर्भ

 * Francesco Catoni, Dino Boccaletti, & Roberto Cannata (2008) Mathematics of Minkowski Space-Time, Birkhäuser Verlag, Basel. Chapter 7: Functions of a hyperbolic variable.
 * Shahram Dehdasht + seven others (2021) "Conformal Hyperbolic Optics", Physical Review Research 3,033281