संचरण लाइन

संचरण रेखा, विद्युत अभियांत्रिकी में एक विशेष केबल या अन्य संरचना होती है, जिसकी संरचना विद्युत चुम्बकीय तरंगों को एक निहित तरीके से संचालित करने के लिए की गई है। यह शब्द तब प्रयुक्त होता है, जब चालक की लम्बाई इतनी अधिक होती है कि संचरण की तरंग प्रकृति को आवश्यक रूप से ध्यान में रखने की आवश्यकता होती है। यह विशेष रूप से रेडियो आवृत्ति अभियांत्रिकी पर प्रयुक्त होता है क्योंकि लघु तरंग दैर्ध्य का अर्थ है कि तरंग घटनाएँ बहुत कम दूरी पर उत्पन्न होती हैं (यह आवृत्ति के आधार पर मिलीमीटर जितनी छोटी हो सकती है)। हालांकि, संचरण रेखाओं के सिद्धांत को ऐतिहासिक रूप से बहुत लंबी टेलीग्राफ लाइनों, विशेष रूप से पनडुब्बी टेलीग्राफ केबल पर घटनाओं की व्याख्या करने के लिए विकसित किया गया था।

संचरण रेखाओं का उपयोग रेडियो ट्रांसमीटरों और रेडियो संग्राहकों को उनके एंटीना से जोड़ने (तब उन्हें फीड लाइन या फीडर कहा जाता है), केबल टेलीविज़न संकेत वितरित करने, टेलीफोन स्विचिंग केंद्रों के मध्य ट्रंकलाइन रूटिंग कॉल, कंप्यूटर नेटवर्क संयोजन और उच्च गति कंप्यूटर डेटा बस जैसे उद्देश्यों के लिए किया जाता है। आरएफ अभियंता साधारणतः संचरण रेखा के, सामान्य रूप से मुद्रित तलीय संचरण रेखा के रूप में छोटे टुकड़ों का उपयोग करते हैं, जो फ़िल्टर जैसे परिपथों को बनाने के लिए कुछ पैटर्न में व्यवस्थित होते हैं। वितरित-तत्व परिपथों के रूप में जाने जाने वाले ये परिपथ असतत संधारित्रों और प्रेरकों का उपयोग करने वाले पारंपरिक परिपथों का एक विकल्प हैं।

अवलोकन
साधारण विद्युत केबल मुख्य (मेन्स) शक्ति जैसी कम आवृत्ति वाली प्रत्यावर्ती धारा को वहन करने के लिए पर्याप्त होते हैं, जो दिशा को प्रति सेकंड 100 से 120 बार और श्रव्य संकेतों को उत्क्रम कर देते हैं। हालांकि, इनका उपयोग लगभग 30 किलोहर्ट्ज़ से ऊपर की रेडियो आवृति सीमा में धाराओं को वहन करने के लिए नहीं किया जा सकता है, क्योंकि ऊर्जा केबल को रेडियो तरंगों के रूप में विकीर्ण करती है, जिससे विद्युत की हानि होती है। रेडियो आवृत्ति धाराएँ केबल में संयोजकों और संधियों जैसे विच्छेदन से भी परावर्तित होती हैं, और केबल को वापस स्रोत की ओर ले जाती हैं। ये परावर्तन संकेत शक्ति को गंतव्य तक पहुँचने से रोकते हुए बाधाओं के रूप में कार्य करते हैं। संचरण रेखाएँ न्यूनतम परावर्तन और विद्युत की हानि के साथ विद्युत चुम्बकीय संकेतों को वहन करने के लिए विशेष निर्माण और प्रतिबाधा मिलान का उपयोग करती हैं। अधिकांश संचरण रेखाओं की विशिष्ट विशेषता यह होती है, कि इनकी लंबाई के साथ एक समान अनुप्रस्थ काट आयाम होते हैं, जो इन्हें एक समान विद्युत प्रतिबाधा प्रदान करते हैं, जिसे परावर्तनों को रोकने के लिए विशिष्ट प्रतिबाधा कहा जाता है। संचरण रेखा के प्रकारों में समानांतर रेखा (सीढ़ी रेखा, घूर्णित युग्म), समाक्षीय केबल, और स्ट्रिपलाइन एवं माइक्रोस्ट्रिप जैसी समतलीय संचरण रेखाएँ सम्मिलित हैं।  किसी दिए गए केबल या माध्यम से चलने वाली विद्युत चुम्बकीय तरंगों की आवृत्ति जितनी अधिक होगी, तरंगों की तरंग दैर्ध्य उतनी ही कम होगी। संचरण रेखाएँ तब आवश्यक हो जाती हैं, जब संचरित आवृत्ति की तरंग दैर्ध्य पर्याप्त रूप से इतनी कम होती है कि केबल की लंबाई तरंग दैर्ध्य का एक महत्वपूर्ण हिस्सा बन जाती है।

माइक्रोवेव और उससे अधिक की आवृत्तियों पर, संचरण रेखाओं में विद्युत-हानि अत्यधिक हो जाती है, और इसके स्थान पर तरंग निर्देशों का उपयोग किया जाता है, जो विद्युत चुम्बकीय तरंगों को सीमित और निर्देशित करने के लिए "नलिका" के रूप में कार्य करता है। कुछ स्रोत तरंग निर्देश को एक प्रकार की संचरण रेखा के रूप में परिभाषित करते हैं; हालांकि, इस लेख में उन्हें सम्मिलित नहीं किया जाएगा। इसके विपरीत टेराहर्ट्ज विकिरण, अवरक्त और दृश्यमान श्रेणियों में भी उच्च आवृत्तियों पर, तरंग निर्देश हानिपूर्ण हो जाते हैं, और प्रकाशिक विधियों (जैसे लेंस और दर्पण) का उपयोग विद्युत चुम्बकीय तरंगों को निर्देशित करने के लिए किया जाता है।

इतिहास
विद्युत संचरण रेखाओं के व्यवहार का गणितीय विश्लेषण जेम्स क्लर्क मैक्सवेल, लॉर्ड केल्विन और ओलिवर हीविसाइड के कार्यों से विकसित हुआ। लॉर्ड केल्विन ने वर्ष 1855 में एक पनडुब्बी केबल में विद्युत-धारा का प्रसार प्रतिरूप तैयार किया। इस प्रतिरूप ने 1858 ट्रांस-अटलांटिक पनडुब्बी टेलीग्राफ केबल के खराब प्रदर्शन की सही भविष्यवाणी की। वर्ष 1885 में, हैवीसाइड ने पहला पेपर प्रकाशित किया जिसमें उनके केबलों में प्रसार के विश्लेषण और टेलीग्राफर के समीकरणों के आधुनिक रूप का वर्णन किया गया था।

चार टर्मिनल प्रतिरूप
एक विद्युत संचरण रेखा को विश्लेषण के प्रयोजनों के लिए दो-पोर्ट नेटवर्क (क्वाड्रिपोल) के रूप में निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है:



सबसे साधारण स्थिति में नेटवर्क को रैखिक (अर्थात किसी भी पोर्ट में जटिल विभवान्तर, उसमें प्रवाहित उस जटिल धारा के समानुपाती होता है जब कोई परावर्तन नहीं होता है) और इन दोनों पोर्टों को विनिमेय माना जाता है। यदि संचरण रेखा अपनी लंबाई के अनुदिश एक समान है, तो इसके व्यवहार को बड़े पैमाने पर एक प्राचल द्वारा वर्णित किया जाता है, जिसे विशिष्ट प्रतिबाधा (प्रतीक Z0) कहा जाता है। यह एक रेखा पर किसी दी गई तरंग के जटिल विभवान्तर और उसी तरंग की जटिल धारा का अनुपात होती है। Z0 के विशिष्ट मान, एक समाक्षीय केबल के लिए 50 या 75 ओम, तारों के एक घूर्णित युग्म के लिए लगभग 100 ओम और रेडियो प्रसारण में उपयोग किए जाने वाले एक सामान्य प्रकार के अघूर्णित युग्म के लिए लगभग 300 ओम होते हैं।

संचरण रेखा के नीचे विद्युत भेजते समय सामान्यतः यह वांछनीय होता है कि जितनी संभव हो, उतनी विद्युत की मात्रा भार द्वारा अवशोषित की जाए और जितनी संभव हो, उतनी कम विद्युत स्रोत पर पुनः परावर्तित कर दी जाए। यह, भार प्रतिबाधा को Z0 के बराबर बनाकर सुनिश्चित किया जा सकता है, जिस स्थिति में संचरण रेखा को सुमेलित कहा जाता है।

संचरण रेखा में प्रवाहित की जाने वाली विद्युत की कुछ मात्रा की प्रतिरोध के कारण हानि हो जाती है। इस प्रभाव को ओमीय या प्रतिरोधी हानि कहा जाता है (ओमीय तापन देखें)। उच्च आवृत्तियों पर विसंवाहक हानि नामक एक और प्रभाव महत्वपूर्ण हो जाता है, जो प्रतिरोध के कारण होने वाली हानि को जोड़ता है। विद्युत-रोधी सामग्री के संचरण रेखा के अंदर प्रत्यावर्ती विद्युत क्षेत्र से ऊर्जा को अवशोषित करने पर विसंवाहक हानि होती है, जो इसे ऊष्मा में परिवर्तित करती है (विसंवाहक तापन देखें)। संचरण रेखा को श्रेणीक्रम में एक प्रतिरोध (R) और प्रेरण (L) एवं समानांतर क्रम में एक धारिता (C) और चालकत्व (G) के साथ प्रतिरूपित किया गया है। प्रतिरोध और चालकत्व, एक संचरण रेखा में हानि में योगदान करते हैं।

संचरण रेखा में विद्युत की कुल हानि प्रायः डेसीबल प्रति मीटर (dB/m) में निर्दिष्ट होती है, और सामान्यतः संकेत की आवृत्ति पर निर्भर करती है। निर्माता प्रायः आवृत्तियों की एक श्रृंखला पर हानि को डेसीबल प्रति मीटर में प्रदर्शित करते हुए एक सारणी प्रदान करता है। 3 डेसीबल की हानि लगभग विद्युत के आधे हिस्से के समान होती है।

उच्च-आवृत्ति संचरण रेखाओं को उन विद्युत चुम्बकीय तरंगों को वहन करने के लिए संरचित किया जा सकता है जिनकी तरंग दैर्ध्य, रेखा की लंबाई से कम या तुलनीय होती है। इन शर्तों के तहत, कम आवृत्तियों पर गणना के लिए उपयोगी अनुमान अब सटीक नहीं हैं। यह प्रायः रेडियो, माइक्रोवेव और प्रकाशिक संकेतों, धातु जाल प्रकाशिक फिल्टरों और उच्च गति डिजिटल परिपथों में पाए जाने वाले संकेतों के साथ होता है।

टेलीग्राफर के समीकरण
टेलीग्राफर के समीकरण (या सिर्फ टेलीग्राफ समीकरण) रैखिक अवकल समीकरणों का एक युग्म है, जो दूरी और समय के साथ विद्युत संचरण रेखा पर विभवान्तर ($$V$$) और विद्युत धारा ($$I$$) का वर्णन करता है। ये समीकरण संचरण रेखा का प्रतिरूप बनाने वाले ओलिवर हैवीसाइड द्वारा विकसित किए गए थे, जो मैक्सवेल के समीकरणों पर आधारित हैं।

संचरण रेखा प्रतिरूप, वितरित-तत्व प्रतिरूप का एक उदाहरण है। यह, दो-पोर्ट प्राथमिक घटकों की एक अपरिमित श्रृंखला के रूप में संचरण रेखा का निरूपण करता है, जिनमें से प्रत्येक, संचरण रेखा के एक अतिसूक्ष्म खंड का निरूपण करता है:


 * चालकों के वितरित प्रतिरोध $$R$$ को एक श्रेणी प्रतिरोधक (ओम प्रति इकाई लंबाई में व्यक्त) द्वारा प्रदर्शित किया गया है।
 * वितरित प्रेरण $$L$$ (तारों के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र के कारण, स्व-प्रेरकत्व, आदि) को एक श्रेणी प्रेरक (हेनरी प्रति इकाई लंबाई में) द्वारा प्रदर्शित किया गया है।
 * दो चालकों के बीच धारिता $$C$$ को एक पार्श्वपथ संधारित्र (फैराड प्रति यूनिट लंबाई में) द्वारा प्रदर्शित किया गया है।
 * दो चालकों को पृथक करने वाली विसंवाहक सामग्री की चालकत्व $$G$$ को संकेत तार और उत्क्रम तार (सीमेंस प्रति इकाई लंबाई में) के बीच एक पार्श्वपथ प्रतिरोधक द्वारा प्रदर्शित किया गया है।

प्रतिरूप में आकृति में दिखाए गए तत्वों की एक अपरिमित श्रृंखला होती है, और घटकों के मान प्रति इकाई लंबाई में निर्दिष्ट होते हैं ताकि घटक की तस्वीर भ्रामक हो सकती है। आवृत्ति के कार्य भी हो सकते हैं। एक वैकल्पिक संकेतन का उपयोग करना है  इस बात पर जोर देना कि मान लंबाई के संबंध में व्युत्पन्न हैं। इन मात्राओं को उनसे प्राप्त द्वितीयक रेखा स्थिरांक से अलग करने के लिए  के रूप में भी जाना जा सकता है, ये,  और  हैं।

मॉडल में आकृति में दिखाए गए तत्वों की एक अनंत श्रृंखला होती है, और घटकों के मान प्रति इकाई लंबाई निर्दिष्ट होते हैं, जिससे घटक का चित्र भ्रामक हो सकता है। $$R$$, $$L$$, $$C$$, तथा $$G$$ भी आवृत्ति के कार्य हो सकते हैं। एक वैकल्पिक संकेतन $$R'$$, $$L'$$, $$C'$$ तथा $$G'$$ का उपयोग इस तथ्य पर बल देने के लिए किया जाता है कि ये मान, लम्बाई के सापेक्ष अवकलज होते हैं। इन राशियों को उनसे प्राप्त द्वितीयक रेखा नियतांकों से भिन्न करने के लिए प्राथमिक रेखा नियतांक के रूप में भी जाना जा सकता है, और ये नियतांक प्रसार नियतांक, क्षीणन नियतांक और चरण नियतांक होते हैं।

रेखा विभवान्तर $$V(x)$$ और धारा $$I(x)$$ को आवृत्ति क्षेत्र में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता :


 * $$\frac{\partial V(x)}{\partial x} = -(R + j\,\omega\,L)\,I(x)$$
 * $$\frac{\partial I(x)}{\partial x} = -(G + j\,\omega\,C)\,V(x) ~\,.$$
 * (अवकल समीकरण, कोणीय आवृत्ति ω और काल्पनिक इकाई $j$ देखें)

दोषरहित रेखा की विशेष स्थिति
तत्वों $$R$$ और $$G$$ के नगण्य रूप से छोटे होने पर संचरण रेखा को एक दोषरहित संरचना माना जाता है। इस काल्पनिक स्थिति में, प्रतिरूप केवल $$L$$ और $$C$$ तत्वों पर निर्भर करता है जो विश्लेषण को बहुत आसान बनाता है। एक दोषरहित संचरण रेखा के लिए, द्वितीय कोटि स्थिर-अवस्था टेलीग्राफर के समीकरण हैं:


 * $$\frac{\partial^2 V(x)}{\partial x^2}+ \omega^2 L\,C\,V(x) = 0$$
 * $$\frac{\partial^2 I(x)}{\partial x^2} + \omega^2 L\,C\,I(x) = 0 ~\,.$$

ये, वे तरंग समीकरणें हैं जिनमें समतल तरंगें हल के रूप में अग्र और विपरीत दिशाओं में समान प्रसार गति के साथ होती हैं। इसका भौतिक महत्व यह है कि विद्युत चुम्बकीय तरंगें संचरण रेखाओं के नीचे प्रसारित होती हैं और सामान्य रूप से, एक परावर्तित घटक होता है जो मूल संकेत को हस्तक्षेपित करता है। ये समीकरणें संचरण रेखा सिद्धांत के लिए मौलिक हैं।

दोषसहित रेखा की सामान्य स्थिति
सामान्य स्थिति में हानि की शर्तें, $$R$$ और $$G$$ दोनों सम्मिलित होती हैं, और टेलीग्राफर के समीकरणों का पूर्ण रूप बन जाता है:


 * $$\frac{\partial^2 V(x)}{\partial x^2} = \gamma^2 V(x)\,$$
 * $$\frac{\partial^2 I(x)}{\partial x^2} = \gamma^2 I(x)\,$$

जहाँ $$\gamma$$ (जटिल) प्रसार स्थिरांक है। ये समीकरणें संचरण रेखा सिद्धांत के लिए मौलिक हैं। ये तरंग समीकरणें भी हैं, और विशेष स्थिति के समान इसमें भी हल होते हैं, लेकिन ये घातीय क्षय कारकों के साथ ज्या और कोज्या का मिश्रण होती हैं। प्राथमिक प्राचलों $$R$$, $$L$$, $$G$$, तथा $$C$$ के पदों में प्रसार स्थिरांक $$\gamma$$ का हल प्रदान करता है:


 * $$\gamma = \sqrt{(R + j\,\omega\,L)(G + j\,\omega\,C)\,}$$

और विशिष्ट प्रतिबाधा के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:


 * $$Z_0 = \sqrt{\frac{R + j\,\omega\,L}{G + j\,\omega\,C}\,} ~\,.$$

$$V(x)$$ तथा $$I(x)$$ के हल हैं:


 * $$V(x) = V_{(+)} e^{-\gamma\,x} + V_{(-)} e^{+\gamma\,x} \,$$
 * $$I(x) = \frac{1}{Z_0}\,\left( V_{(+)} e^{-\gamma\,x} - V_{(-)} e^{+\gamma\,x} \right) ~\,. $$

नियतांक $$V_{(\pm)}$$ को सीमा की स्थितियों से निर्धारित किया जाना चाहिए। विभवान्तर स्पंद $$V_{\mathrm{in}}(t) \,$$ के लिए, $$x = 0$$ से प्रारंभ होकर धनात्मक $$x$$ की दिशा में गति करता है, फिर $$x$$ की स्थिति पर संचरित स्पंद $$V_{\mathrm{out}}(x,t) \,$$को प्रत्येक आवृत्ति घटक को $$e^{-\operatorname{Re}(\gamma)\,x} \,$$ द्वारा क्षीणन करते हुए, अपने चरण को $$-\operatorname{Im}(\gamma)\,x\,$$द्वारा उन्नत करते हुए और प्रतिलोम फ़ोरियर रूपांतरण को लेते हुए $$V_{\mathrm{in}}(t) \,$$के फोरियर रूपांतरण $$\tilde{V}(\omega)$$ की गणना करके प्राप्त किया जा सकता है। $$\gamma$$ के वास्तविक और काल्पनिक भागों की गणना इस प्रकार की जा सकती है:


 * $$\operatorname{Re}(\gamma) = \alpha = (a^2 + b^2)^{1/4} \cos(\psi ) \,$$
 * $$\operatorname{Im}(\gamma) = \beta = (a^2 + b^2)^{1/4} \sin(\psi) \,$$


 * $$a ~ \equiv ~ R\, G\, - \omega^2 L\,C\ ~ = ~ \omega^2 L\,C\,\left[ \left( \frac{R}{\omega L} \right) \left( \frac{G}{\omega C} \right) - 1 \right] $$
 * $$b ~ \equiv ~ \omega\,C\,R + \omega\,L\,G ~ = ~ \omega^2 L\,C\,\left( \frac{R}{\omega\,L} + \frac{G}{\omega\,C} \right) $$ के साथ,

जब न तो $$L$$, न ही $$C$$, और न ही $$\omega$$ शून्य हो, तब दाएँ पक्ष का व्यंजक है, और साथ ही,


 * $$\psi ~ \equiv ~ \tfrac{1}{2}\operatorname{atan2}(b,a)\,$$

जहां atan2, द्वि-प्राचल चाप-स्पर्शज्या फलन का सर्वत्र परिभाषित रूप है, दोनों कोणांकों के शून्य होने पर स्वेच्छ मान शून्य होता है।

वैकल्पिक रूप से, सम्मिश्र वर्गमूल की गणना बीजगणितीय रूप से की जा सकती है:


 * $$ \alpha = \frac{\pm b}{\sqrt{2 \left( - a + \sqrt{a^2 + b^2} \right)~}},$$

तथा
 * $$ \beta = \pm { \sqrt{\tfrac{1}{2}\left( - a + \sqrt{a^2 + b^2} \right)~} },$$

चालन माध्यम द्वारा तरंग की गति की दिशा के विपरीत चुने गए धन या ऋण चिह्नों के साथ। (ध्यान दें कि $a$ सामान्यतः ऋणात्मक होता है, क्योंकि $$G$$ तथा $$R$$ सामान्यतः $$\omega C$$ तथा $$\omega L$$ से बहुत छोटे होते हैं। इसलिए $&minus;a$ सामान्यतः धनात्मक होता है। b सदैव धनात्मक होता है।)

विशेष, निम्न दोष की स्थिति
छोटी हानि और उच्च आवृत्तियों के लिए व्यापक समीकरणों को सरल बनाया जा सकता है: यदि $$\tfrac{R}{\omega\,L} \ll 1 $$ तथा $$\tfrac{G}{\omega\,C} \ll 1$$ तब


 * $$\operatorname{Re}(\gamma) = \alpha \approx \tfrac{1}{2}\sqrt{L\,C\,}\,\left( \frac{R}{L} + \frac{G}{C} \right) \,$$
 * $$\operatorname{Im}(\gamma) = \beta \approx \omega\,\sqrt{L\,C\,} ~.\,$$

चरण में $$- \omega\,\delta$$ की एक वृद्धि, समय में $$\delta$$ के एक विलंब के समतुल्य है, $$V_{out}(t)$$ की गणना सरलता से की जा सकती है:


 * $$V_{\mathrm{out}}(x,t) \approx V_{\mathrm{in}}(t - \sqrt{L\,C\,}\,x)\,e^{- \tfrac{1}{2}\sqrt{L\,C\,}\,\left( \frac{R}{L} + \frac{G}{C} \right)\,x }. \,$$

हैवीसाइड स्थिति
हैवीसाइड स्थिति एक विशेष स्थिति है जहाँ तरंग बिना किसी प्रसार विरूपण के रेखा से नीचे गति करती है। इसके घटित होने की शर्त निम्न है:


 * $$ \frac {G}{C} = \frac {R}{L} $$

संचरण रेखा की इनपुट प्रतिबाधा
एक संचरण रेखा की विशिष्ट प्रतिबाधा $$Z_0$$, एकल विभवान्तर तरंग के आयाम और उसकी धारा तरंग का अनुपात है। चूंकि अधिकांश संचरण रेखाओं में एक परावर्तित तरंग भी होती है, इसलिए विशिष्ट प्रतिबाधा सामान्यतः वह प्रतिबाधा नहीं होती है जिसे रेखा पर मापा जाता है।

भार प्रतिबाधा $$Z_\mathrm{L}$$ से एक निश्चित दूरी $$\ell$$ पर मापी गई प्रतिबाधा निम्न रूप में व्यक्त किया जा सकता है:


 * $$Z_\mathrm{in}\left(\ell\right)=\frac{V(\ell)}{I(\ell)} = Z_0 \frac{1 + \mathit{\Gamma}_\mathrm{L} e^{-2 \gamma \ell}}{1 - \mathit{\Gamma}_\mathrm{L} e^{-2 \gamma \ell}}$$,

जहाँ $$\gamma$$ प्रसार नियतांक है और $$\mathit{\Gamma}_\mathrm{L} = \frac{\,Z_\mathrm{L} - Z_0\,}{Z_\mathrm{L} + Z_0}$$ विभवान्तर परावर्तन गुणांक है, जिसे संचरण रेखा के भार सिरे पर मापा जाता है। वैकल्पिक रूप से, उपरोक्त सूत्र को भार विभवान्तर परावर्तन गुणांक के स्थान पर भार प्रतिबाधा के संदर्भ में इनपुट प्रतिबाधा व्यक्त करने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है:


 * $$Z_\mathrm{in}(\ell) = Z_0\,\frac{Z_\mathrm{L} + Z_0 \tanh\left(\gamma \ell\right)}{Z_0 + Z_\mathrm{L}\,\tanh\left(\gamma \ell \right)}$$.

दोषरहित संचरण रेखा की इनपुट प्रतिबाधा
एक दोषरहित संचरण रेखा के लिए प्रसार नियतांक विशुद्ध रूप से काल्पनिक है, $$\gamma = j\,\beta$$, इसलिए उपरोक्त सूत्रों को पुनः लिखा जा सकता है

Z_\mathrm{in}(\ell) = Z_0 \frac{Z_\mathrm{L} + j\,Z_0\,\tan(\beta \ell)}{Z_0 + j\,Z_\mathrm{L}\tan(\beta \ell)} $$ जहाँ $$\beta = \frac{\,2 \pi\,}{\lambda}$$ तरंग संख्या है।

$$\beta,$$ की गणना में, संचरण रेखा के अंदर तरंगदैर्ध्य सामान्यतः मुक्त-स्थान में तरंगदैर्ध्य की तुलना में भिन्न होती है। परिणामस्वरूप, इस तरह की गणना करते समय संचरण रेखा की सामग्री के वेग कारक को ध्यान में रखा जाना चाहिए।

अर्द्ध तरंगदैर्ध्य
विशेष स्थिति के लिए जहाँ $$\beta\,\ell= n\,\pi$$, जहाँ n एक पूर्णांक है, (जिसका अर्थ है कि रेखा की लंबाई, अर्द्ध तरंगदैर्ध्य की गुणज है), व्यंजक, भार प्रतिबाधा के रूप में परिवर्तित हो जाता है जिससे
 * $$Z_\mathrm{in} = Z_\mathrm{L} \,$$

सभी $$n\,.$$ के लिए, इसमें वह स्थिति सम्मिलित है, जब $$n=0$$, अर्थात् संचरण रेखा की लंबाई तरंगदैर्ध्य की तुलना में नगण्य है। इसका भौतिक महत्व यह है कि किसी भी स्थिति में संचरण रेखा को नगण्य माना जा सकता है (अर्थात् तार के रूप में माना जाता है)।

चौथाई तरंगदैर्ध्य
उस स्थिति के लिए, जहाँ रेखा की लंबाई, एक चौथाई तरंगदैर्ध्य के बराबर या एक चौथाई तरंगदैर्ध्य का एक विषम गुणज है, तब इनपुट प्रतिबाधा बन जाती है:

Z_\mathrm{in}=\frac{Z_0^2}{Z_\mathrm{L}} ~\,. $$

सुमेलित भार
एक अन्य विशेष स्थिति तब होती है जब भार प्रतिबाधा, रेखा की विशिष्ट प्रतिबाधा के बराबर होती है (अर्थात रेखा का मिलान किया जाता है), जिस स्थिति में प्रतिबाधा, रेखा की विशिष्ट प्रतिबाधा तक कम हो जाती है जिससे
 * $$Z_\mathrm{in}=Z_\mathrm{L}=Z_0 \,$$

सभी $$\ell$$ और सभी $$\lambda$$ के लिए।

कम


कम भार की स्थिति में (अर्थात् $$Z_\mathrm{L} = 0$$), इनपुट प्रतिबाधा विशुद्ध रूप से काल्पनिक है और स्थिति एवं तरंगदैर्ध्य (आवृत्ति) का एक आवर्ती फलन है।


 * $$Z_\mathrm{in}(\ell) = j\,Z_0\,\tan(\beta \ell). \,$$

खुला
एक खुले भार की स्थिति में (अर्थात् $$Z_\mathrm{L} = \infty$$), इनपुट प्रतिबाधा एक बार पुनः काल्पनिक और आवर्ती है।


 * $$Z_\mathrm{in}(\ell) = -j\,Z_0 \cot(\beta \ell). \,$$

समाक्षीय केबल
समाक्षीय रेखाएं लगभग सभी विद्युत चुम्बकीय तरंगों को केबल के अंदर के क्षेत्र तक सीमित कर देती हैं। इसलिए समाक्षीय रेखाएं नकारात्मक प्रभावों के बिना मुड़ी और मुड़ी (सीमा के अधीन) हो सकती हैं, और उनमें अवांछित धाराओं को प्रेरित किए बिना प्रवाहकीय समर्थन के लिए उन्हें बांधा जा सकता है। कुछ गीगाहर्ट्ज़ तक के रेडियो-आवृत्ति अनुप्रयोगों में, तरंग केवल अनुप्रस्थ विद्युत और चुंबकीय मोड (TEM) में फैलती है, जिसका अर्थ है कि विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र दोनों प्रसार की दिशा के लंबवत हैं (विद्युत क्षेत्र रेडियल है, और चुंबकीय क्षेत्र परिधीय है)। हालांकि, आवृत्तियों पर जिसके लिए तरंग दैर्ध्य (ढांकता हुआ में) केबल की परिधि से काफी कम है, अन्य अनुप्रस्थ मोड प्रचार कर सकते हैं। इन मोड्स को दो समूहों में वर्गीकृत किया गया है, ट्रांसवर्स इलेक्ट्रिक (टीई) और ट्रांसवर्स मैग्नेटिक (टीएम) वेवगाइड मोड। जब एक से अधिक मोड मौजूद हो सकते हैं, तो केबल ज्यामिति में मोड़ और अन्य अनियमितताएं बिजली को एक मोड से दूसरे मोड में स्थानांतरित करने का कारण बन सकती हैं।

समाक्षीय केबलों के लिए सबसे आम उपयोग टेलीविजन और अन्य संकेतों के लिए कई मेगाहर्ट्ज़ की बैंडविड्थ के साथ है। 20वीं सदी के मध्य में उन्होंने लंबी दूरी के टेलीफोन कनेक्शन लिए।

तलीय रेखाएं
प्लानर संचरण रेखाें चालक के साथ संचरण रेखा हैं, या कुछ मामलों में ढांकता हुआ स्ट्रिप्स, जो फ्लैट, रिबन के आकार की रेखाएं हैं। उनका उपयोग मुद्रित सर्किट और माइक्रोवेव आवृत्तियों पर काम करने वाले एकीकृत सर्किटों पर घटकों को आपस में जोड़ने के लिए किया जाता है क्योंकि प्लानर प्रकार इन घटकों के निर्माण के तरीकों के साथ अच्छी तरह से फिट बैठता है। तलीय संचरण लाइनों के कई रूप मौजूद हैं।

माइक्रोस्ट्रिप


एक माइक्रोस्ट्रिप सर्किट एक पतले फ्लैट कंडक्टर का उपयोग करता है जो एक समतल ज़मीन के समानांतर होता है। माइक्रोस्ट्रिप एक मुद्रित सर्किट बोर्ड (पीसीबी) या सिरेमिक सब्सट्रेट के एक तरफ तांबे की एक पट्टी रखकर बनाया जा सकता है, जबकि दूसरी तरफ एक निरंतर ग्राउंड प्लेन है। पट्टी की चौड़ाई, इन्सुलेट परत की मोटाई (पीसीबी या सिरेमिक) और इन्सुलेट परत की ढांकता हुआ स्थिरांक विशेषता प्रतिबाधा निर्धारित करती है। माइक्रोस्ट्रिप एक खुली संरचना है जबकि समाक्षीय केबल एक बंद संरचना है

स्ट्रिपलाइन
एक स्ट्रिपलाइन सर्किट धातु की एक सपाट पट्टी का उपयोग करता है जिसे दो समानांतर जमीनी विमानों के बीच सैंडविच किया जाता है। सब्सट्रेट की इन्सुलेट सामग्री एक ढांकता हुआ बनाती है। पट्टी की चौड़ाई, सब्सट्रेट की मोटाई और सब्सट्रेट की सापेक्ष पारगम्यता पट्टी की विशेषता प्रतिबाधा को निर्धारित करती है जो एक संचरण रेखा है।

कोपलानर वेवगाइड
एक कोपलानर वेवगाइड में एक केंद्र पट्टी और दो आसन्न बाहरी कंडक्टर होते हैं, ये तीनों फ्लैट संरचनाएं होती हैं जो एक ही इन्सुलेटिंग सब्सट्रेट पर जमा होती हैं और इस प्रकार एक ही विमान ("कॉपलर") में स्थित होती हैं। केंद्र कंडक्टर की चौड़ाई, आंतरिक और बाहरी कंडक्टरों के बीच की दूरी, और सब्सट्रेट की सापेक्ष पारगम्यता, कोप्लानर संचरण रेखा की विशेषता प्रतिबाधा निर्धारित करती है।

संतुलित रेखाएं
एक संतुलित रेखा एक संचरण लाइन है जिसमें एक ही प्रकार के दो कंडक्टर होते हैं, और जमीन और अन्य सर्किट के बराबर प्रतिबाधा होती है। संतुलित रेखाओं के कई प्रारूप हैं, जिनमें सबसे आम हैं ट्विस्टेड पेयर, स्टार क्वाड और ट्विन-लीड।

मुड़ जोड़ी
मुड़ जोड़े आमतौर पर स्थलीय टेलीफ़ोन संचार के लिए उपयोग किए जाते हैं। ऐसे केबलों में, कई जोड़े एक ही केबल में दो से लेकर कई हज़ार तक एक साथ समूहबद्ध होते हैं। प्रारूप का उपयोग इमारतों के अंदर डेटा नेटवर्क वितरण के लिए भी किया जाता है, लेकिन केबल अधिक महंगा है क्योंकि संचरण रेखा पैरामीटर कसकर नियंत्रित होते हैं।

स्टार क्वाड
स्टार क्वाड एक चार-कंडक्टर केबल है जिसमें सभी चार कंडक्टरों को केबल अक्ष के चारों ओर एक साथ घुमाया जाता है। इसे कभी-कभी दो सर्किटों के लिए उपयोग किया जाता है, जैसे 4-तार टेलीफोनी और अन्य दूरसंचार अनुप्रयोग। इस विन्यास में प्रत्येक जोड़ी दो गैर-आसन्न कंडक्टरों का उपयोग करती है। दूसरी बार इसका उपयोग एकल, संतुलित लाइन के लिए किया जाता है, जैसे कि ऑडियो एप्लिकेशन और 2-वायर टेलीफोनी। इस कॉन्फ़िगरेशन में दो गैर-आसन्न कंडक्टर केबल के दोनों सिरों पर एक साथ समाप्त हो जाते हैं, और अन्य दो कंडक्टर भी एक साथ समाप्त हो जाते हैं।

जब दो सर्किट के लिए उपयोग किया जाता है, तो दो अलग-अलग मुड़ जोड़े वाले केबलों के सापेक्ष क्रॉसस्टॉक कम हो जाता है।

जब एकल, संतुलित लाइन के लिए उपयोग किया जाता है, तो केबल द्वारा उठाया गया चुंबकीय हस्तक्षेप लगभग पूर्ण सामान्य मोड सिग्नल के रूप में आता है, जिसे ट्रांसफॉर्मर को आसानी से हटा दिया जाता है।

घुमा, संतुलित सिग्नलिंग और चौगुनी पैटर्न के संयुक्त लाभ उत्कृष्ट शोर प्रतिरक्षा प्रदान करते हैं, विशेष रूप से कम सिग्नल स्तर के अनुप्रयोगों जैसे कि माइक्रोफ़ोन केबल के लिए फायदेमंद होते हैं, तब भी जब एक पावर केबल के बहुत करीब स्थापित किया जाता है।     नुकसान यह है कि स्टार क्वाड, दो कंडक्टरों के संयोजन में, आमतौर पर समान दो-कंडक्टर मुड़ और परिरक्षित ऑडियो केबल की क्षमता को दोगुना कर देता है। उच्च समाई के कारण दूरी बढ़ने पर विकृति बढ़ती है और उच्च आवृत्तियों का अधिक नुकसान होता है।

ट्विन-लीड
ट्विन-लीड में एक निरंतर इन्सुलेटर द्वारा अलग रखे गए कंडक्टरों की एक जोड़ी होती है। कंडक्टरों को एक ज्ञात दूरी से अलग रखने से, ज्यामिति तय हो जाती है और लाइन की विशेषताएँ मज़बूती से सुसंगत होती हैं। यह समाक्षीय केबल की तुलना में कम नुकसान है क्योंकि ट्विन-लीड की विशेषता प्रतिबाधा आमतौर पर समाक्षीय केबल की तुलना में अधिक होती है, जिससे कम करंट के कारण प्रतिरोधक नुकसान कम होता है। हालांकि, यह हस्तक्षेप के लिए अधिक संवेदनशील है।

लेचर लाइन्स
लेचर लाइनें समानांतर कंडक्टर का एक रूप है जिसका उपयोग अल्ट्रा उच्च आवृत्ति में गुंजयमान सर्किट बनाने के लिए किया जा सकता है। वे एक सुविधाजनक व्यावहारिक प्रारूप हैं जो गांठदार-तत्व मॉडल (एचएफ/वीएचएफ में प्रयुक्त) और गुंजयमान गुहाओं (यूएचएफ / सुपर उच्च आवृत्ति) के बीच के अंतर को भरते हैं।

एकल-तार लाइन
टेलीग्राफ ट्रांसमिशन के लिए पहले असंतुलित लाइनों का बहुत उपयोग किया जाता था, लेकिन संचार का यह रूप अब अनुपयोगी हो गया है। केबल मुड़ जोड़ी के समान होते हैं जिसमें कई कोर एक ही केबल में बंधे होते हैं लेकिन प्रति सर्किट केवल एक कंडक्टर प्रदान किया जाता है और कोई घुमा नहीं होता है। एक ही रूट के सभी सर्किट रिटर्न करंट (अर्थ रिटर्न) के लिए एक कॉमन पाथ का इस्तेमाल करते हैं। कई स्थानों पर सिंगल-वायर अर्थ रिटर्न का विद्युत शक्ति संचरण उपयोग में है।

सिग्नल ट्रांसफर
विद्युत पारेषण लाइनों का उपयोग बहुत व्यापक रूप से न्यूनतम बिजली हानि के साथ लंबी या छोटी दूरी पर उच्च आवृत्ति संकेतों को प्रसारित करने के लिए किया जाता है। एक परिचित उदाहरण टीवी या रेडियो एरियल से रिसीवर तक डाउन लीड है।

संचरण रेखा सर्किट
प्रतिबाधा मिलान सर्किट, फिल्टर, पावर डिवाइडर और दिशात्मक कप्लर्स सहित संचरण रेखाों के साथ सर्किट की एक बड़ी विविधता का निर्माण भी किया जा सकता है।

चरणबद्ध संचरण लाइन
व्यापक रेंज प्रतिबाधा मिलान के लिए एक चरणबद्ध संचरण लाइन का उपयोग किया जाता है। इसे श्रृंखला में जुड़े कई संचरण रेखा सेगमेंट के रूप में माना जा सकता है, जिसमें प्रत्येक व्यक्तिगत तत्व की विशेषता प्रतिबाधा होती है $$Z_\mathrm{0,i}$$. इनपुट प्रतिबाधा श्रृंखला संबंध के क्रमिक अनुप्रयोग से प्राप्त की जा सकती है


 * $$Z_\mathrm{i+1} = Z_\mathrm{0,i}\,\frac{\,Z_\mathrm{i} + j\,Z_\mathrm{0,i}\,\tan(\beta_\mathrm{i} \ell_\mathrm{i})\,}{Z_\mathrm{0,i} + j\,Z_\mathrm{i}\,\tan(\beta_\mathrm{i} \ell_\mathrm{i})}\,$$

कहाँ पे $$\beta_\mathrm{i}$$ की तरंग संख्या है $$\mathrm{i}$$-वें संचरण रेखा सेगमेंट और $$\ell_\mathrm{i}$$ इस खंड की लंबाई है, और $$Z_\mathrm{i}$$ फ्रंट-एंड प्रतिबाधा है जो भार करता है $$\mathrm{i}$$-वें खंड।

क्योंकि प्रत्येक संचरण रेखा सेगमेंट की विशेषता प्रतिबाधा $$Z_\mathrm{0,i}$$ अक्सर प्रतिबाधा से अलग होता है $$Z_0$$ चौथा, इनपुट केबल (केवल चिह्नित तीर के रूप में दिखाया गया है $$Z_0$$ ऊपर दिए गए आरेख के बाईं ओर), प्रतिबाधा परिवर्तन चक्र के साथ ऑफ-सेंटेड है $$x$$ स्मिथ चार्ट  की धुरी जिसका प्रतिबाधा प्रतिनिधित्व आमतौर पर के खिलाफ सामान्यीकृत होता है $$Z_0$$.

स्टब फिल्टर
यदि एक शॉर्ट-सर्किट या ओपन-सर्किट संचरण रेखा को बिंदु A से बिंदु B तक सिग्नल ट्रांसफर करने के लिए उपयोग की जाने वाली लाइन के समानांतर तार दिया जाता है, तो यह एक फिल्टर के रूप में कार्य करेगा। स्टब्स बनाने की विधि क्रूड फ़्रीक्वेंसी मापन के लिए लेचर लाइनों का उपयोग करने की विधि के समान है, लेकिन यह 'पीछे की ओर काम कर रही है'। ग्रेट ब्रिटेन की रेडियो सोसायटी की रेडियोकम्युनिकेशन हैंडबुक में सुझाई गई एक विधि एक एरियल से सिग्नल देने वाले फीडर के साथ समानांतर में वायर्ड संचरण रेखा की एक ओपन-सर्किट लंबाई लेना है। संचरण रेखा के मुक्त सिरे को काटकर, एक रिसीवर पर देखे गए सिग्नल की ताकत में न्यूनतम पाया जा सकता है। इस स्तर पर स्टब फिल्टर इस आवृत्ति और विषम हार्मोनिक्स को अस्वीकार कर देगा, लेकिन अगर स्टब के मुक्त छोर को छोटा किया जाता है तो स्टब एक फिल्टर बन जाएगा जो सम हार्मोनिक्स को खारिज कर देगा।

वाइडबैंड फिल्टर कई स्टब्स का उपयोग करके प्राप्त किए जा सकते हैं। हालाँकि, यह कुछ हद तक दिनांकित तकनीक है। समानांतर-पंक्ति गुंजयमान यंत्र जैसे अन्य तरीकों से बहुत अधिक कॉम्पैक्ट फिल्टर बनाए जा सकते हैं।

पल्स पीढ़ी
संचरण रेखाों का उपयोग पल्स जनरेटर के रूप में किया जाता है। संचरण रेखा को चार्ज करके और फिर इसे एक प्रतिरोधक भार में डिस्चार्ज करके, लाइन की विद्युत लंबाई के दोगुने के बराबर एक आयताकार पल्स प्राप्त किया जा सकता है, हालांकि आधे वोल्टेज के साथ। ब्लमलिन संचरण रेखा एक संबंधित पल्स बनाने वाला उपकरण है जो इस सीमा को पार कर जाता है। इन्हें कभी-कभी राडार ट्रांसमीटरों और अन्य उपकरणों के लिए स्पंदित शक्ति स्रोतों के रूप में उपयोग किया जाता है।

ध्वनि
ध्वनि तरंग प्रसार का सिद्धांत गणितीय रूप से विद्युत चुम्बकीय तरंगों के समान है, इसलिए संचरण रेखा सिद्धांत की तकनीकों का उपयोग ध्वनिक तरंगों के संचालन के लिए संरचनाओं के निर्माण के लिए भी किया जाता है; और इन्हें ध्वनिक संचरण रेखा कहा जाता है।

यह भी देखें

 * कृत्रिम संचरण लाइन
 * अनुदैर्ध्य विद्युत चुम्बकीय तरंग
 * प्रसार वेग
 * रेडियो आवृत्ति शक्ति संचरण
 * समय डोमेन परावर्तक

संदर्भ
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अग्रिम पठन

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