फ़ज़ी माप सिद्धांत

गणित में, फ़ज़ी माप सिद्धांत सामान्यीकृत माप (गणित) पर विचार करता है जिसमें योगात्मक गुण को एकरसता की कमजोर संपत्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। फ़ज़ी माप सिद्धांत की केंद्रीय अवधारणा फ़ज़ी माप ('क्षमता' भी देखें) है ), जिसे 1953 में गुस्ताव चॉक्वेट द्वारा पेश किया गया था और संपूर्ण सुगेनो के संदर्भ में 1974 में सुगेनो द्वारा स्वतंत्र रूप से परिभाषित किया गया था। डेम्पस्टर-शेफ़र सिद्धांत | संभाव्यता/विश्वास उपायों सहित अस्पष्ट उपायों के कई अलग-अलग वर्ग मौजूद हैं; संभावना सिद्धांत|संभावना/आवश्यकता उपाय; और संभाव्यता माप उपाय, जो माप (गणित) उपायों का एक उपसमूह हैं।

परिभाषाएँ
होने देना $$\mathbf{X}$$ प्रवचन का एक ब्रह्मांड बनें, $$\mathcal{C}$$ के उपसमुच्चय का एक वर्ग (गणित) बनें $$\mathbf{X}$$, और $$E,F\in\mathcal{C}$$. एक फ़ंक्शन (गणित) $$g:\mathcal{C}\to\mathbb{R}$$ कहाँ

अस्पष्ट माप कहा जाता है. एक अस्पष्ट माप को सामान्यीकृत या नियमित कहा जाता है $$g(\mathbf{X})=1$$.
 * 1) $$\emptyset \in \mathcal{C} \Rightarrow g(\emptyset)=0$$
 * 2) $$E \subseteq F \Rightarrow g(E)\leq g(F)$$

फ़ज़ी मापों के गुण
एक अस्पष्ट उपाय है:


 * योजक यदि किसी के लिए $$ E,F \in \mathcal{C} $$ ऐसा है कि $$ E \cap F = \emptyset $$, अपने पास $$ g(E \cup F) = g(E) + g(F). $$;
 * यदि किसी के लिए सुपरमॉड्यूलर $$ E,F \in \mathcal{C} $$, अपने पास $$g(E \cup F) + g(E \cap F) \geq g(E) + g(F)$$;
 * यदि किसी के लिए सबमॉड्यूलर $$ E,F \in \mathcal{C} $$, अपने पास $$g(E \cup F) + g(E \cap F) \leq g(E) + g(F)$$;
 * यदि किसी के लिए सुपरएडिटिव है $$ E,F \in \mathcal{C} $$ ऐसा है कि $$ E \cap F = \emptyset $$, अपने पास $$g(E \cup F) \geq g(E) + g(F)$$;
 * उपयोज्य यदि किसी के लिए $$ E,F \in \mathcal{C} $$ ऐसा है कि $$ E \cap F = \emptyset $$, अपने पास $$g(E \cup F) \leq g(E) + g(F)$$;
 * सममित यदि किसी के लिए $$ E,F \in \mathcal{C} $$, अपने पास $$|E| = |F|$$ तात्पर्य $$ g(E) = g(F)$$;
 * बूलियन यदि किसी के लिए $$ E \in \mathcal{C} $$, अपने पास $$ g(E) = 0 $$ या $$ g(E) = 1 $$.

फ़ज़ी मापों के गुणों को समझना अनुप्रयोग में उपयोगी है। जब सुगेनो इंटीग्रल या इंटीग्रल चोक्वेट जैसे फ़ंक्शन को परिभाषित करने के लिए फ़ज़ी माप का उपयोग किया जाता है, तो ये गुण फ़ंक्शन के व्यवहार को समझने में महत्वपूर्ण होंगे। उदाहरण के लिए, एक योगात्मक फ़ज़ी माप के संबंध में चॉक्वेट इंटीग्रल, लेब्सग इंटीग्रल में कम हो जाता है। अलग-अलग मामलों में, एक सममित अस्पष्ट माप के परिणामस्वरूप ऑर्डर किए गए भारित औसत एकत्रीकरण ऑपरेटर (ओडब्ल्यूए) ऑपरेटर का परिणाम होगा। सबमॉड्यूलर फ़ज़ी मापों के परिणामस्वरूप उत्तल कार्य होते हैं, जबकि सुपरमॉड्यूलर फ़ज़ी मापों के परिणामस्वरूप अवतल कार्य होते हैं, जब चॉक्वेट इंटीग्रल को परिभाषित करने के लिए उपयोग किया जाता है।

मोबियस प्रतिनिधित्व
मान लीजिए कि g एक अस्पष्ट माप है। जी का मोबियस प्रतिनिधित्व सेट फ़ंक्शन एम द्वारा दिया गया है, जहां प्रत्येक के लिए $$ E,F \subseteq X $$,
 * $$M(E) = \sum_{F \subseteq E} (-1)^{|E \backslash F|} g(F).$$

मोबियस प्रतिनिधित्व में समतुल्य स्वयंसिद्ध शब्द हैं:

मोबियस प्रतिनिधित्व एम में एक अस्पष्ट माप को सामान्यीकृत कहा जाता है अगर $$\sum_{E \subseteq \mathbf{X}}M(E)=1.$$ मोबियस प्रतिनिधित्व का उपयोग यह संकेत देने के लिए किया जा सकता है कि एक्स के कौन से सबसेट एक दूसरे के साथ बातचीत करते हैं। उदाहरण के लिए, एक योगात्मक फ़ज़ी माप में सिंगलटन को छोड़कर सभी मोबियस मान शून्य के बराबर हैं। मानक प्रतिनिधित्व में अस्पष्ट माप जी को ज़ेटा ट्रांसफॉर्म का उपयोग करके मोबियस फॉर्म से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है:
 * 1) $$ M(\emptyset)=0$$.
 * 2) $$ \sum_{F \subseteq E|i \in F} M(F) \geq 0$$, सभी के लिए $$ E \subseteq \mathbf{X} $$ और सभी $$ i \in E $$


 * $$ g(E) = \sum_{F \subseteq E} M(F), \forall E \subseteq \mathbf{X} .$$

अस्पष्ट उपायों के लिए सरलीकरण धारणाएँ
फ़ज़ी मापों को मोटी हो जाओ या मोनोटोन वर्ग पर परिभाषित किया गया है, जो एक्स के सत्ता स्थापित  के समान दानेदार हो सकता है, और अलग-अलग मामलों में भी चर की संख्या 2 जितनी बड़ी हो सकती हैundefined. इस कारण से, बहु-मानदंड निर्णय विश्लेषण और अन्य विषयों के संदर्भ में, फ़ज़ी माप पर सरलीकरण धारणाएं पेश की गई हैं ताकि इसे निर्धारित करना और उपयोग करना कम्प्यूटेशनल रूप से कम महंगा हो। उदाहरण के लिए, जब यह मान लिया जाता है कि अस्पष्ट माप योगात्मक है, तो यह उसे धारण करेगा $$ g(E) = \sum_{i \in E} g(\{i\}) $$ और फ़ज़ी माप के मानों का मूल्यांकन X के मानों से किया जा सकता है। इसी प्रकार, एक सममित फ़ज़ी माप को |X| द्वारा विशिष्ट रूप से परिभाषित किया जाता है। मूल्य. दो महत्वपूर्ण अस्पष्ट उपाय जिनका उपयोग किया जा सकता है वे हैं सुगेनो- या $$\lambda$$-फजी माप और के-एडिटिव उपाय, सुगेनो द्वारा पेश किए गए और ग्रेबिस्क क्रमश।

सुगेनो λ-माप
सुगेनो $$\lambda$$-माप पुनरावृत्त रूप से परिभाषित अस्पष्ट मापों का एक विशेष मामला है। इसकी निम्नलिखित परिभाषा है:

परिभाषा
होने देना $$\mathbf{X} = \left\lbrace x_1,\dots,x_n \right\rbrace $$ एक परिमित समुच्चय बनें और रहने दें $$\lambda \in (-1,+\infty)$$. सुगेनो को $$\lambda$$-माप एक फ़ंक्शन है $$g:2^X\to[0,1]$$ ऐसा है कि


 * 1) $$g(X) = 1$$.
 * 2) अगर $$A, B\subseteq \mathbf{X}$$ (वैकल्पिक रूप से $$A, B\in 2^{\mathbf{X}}$$) साथ $$A \cap B = \emptyset$$ तब $$g(A \cup B) =g(A)+g(B)+\lambda g(A)g(B)$$.

एक परिपाटी के रूप में, एक सिंगलटन सेट पर g का मान $$\left\lbrace x_i \right\rbrace $$ घनत्व कहा जाता है और इसे द्वारा निरूपित किया जाता है $$g_i = g(\left\lbrace x_i \right\rbrace)$$. इसके अलावा, हमारे पास वह है $$\lambda$$ संपत्ति को संतुष्ट करता है


 * $$ \lambda +1 = \prod_{i=1}^n (1+\lambda g_i) $$.

टहनि एंड केल्लेर साथ ही वांग और क्लिर ने दिखाया है कि एक बार घनत्व ज्ञात हो जाने पर, मान प्राप्त करने के लिए पिछले बहुपद का उपयोग करना संभव है $$\lambda$$ विशिष्ट रूप से.

k-एडिटिव फ़ज़ी माप
K-एडिटिव फ़ज़ी माप उपसमुच्चय के बीच परस्पर क्रिया को सीमित करता है $$ E \subseteq X $$ आकार देना $$|E|=k$$. यह फ़ज़ी माप को परिभाषित करने के लिए आवश्यक चर की संख्या को काफी कम कर देता है, और चूँकि k 1 से कुछ भी हो सकता है (जिस स्थिति में फ़ज़ी माप योगात्मक है) से 'X' तक, यह मॉडलिंग क्षमता और सरलता के बीच एक समझौते की अनुमति देता है।

परिभाषा
समुच्चय 'X' पर एक पृथक फ़ज़ी माप g को k-योजक कहा जाता है ($$ 1 \leq k \leq |\mathbf{X}|$$) यदि इसका मोबियस प्रतिनिधित्व सत्यापित करता है $$M(E) = 0 $$, जब कभी भी $$ |E| > k $$ किसी के लिए $$ E \subseteq \mathbf{X} $$, और k तत्वों के साथ एक उपसमुच्चय F मौजूद है जैसे कि $$ M(F) \neq 0 $$.

शेपली और इंटरेक्शन सूचकांक
खेल सिद्धांत में, शेपली वैल्यू या शेपली इंडेक्स का उपयोग गेम के वजन को इंगित करने के लिए किया जाता है। प्रत्येक सिंगलटन के महत्व का कुछ संकेत देने के लिए अस्पष्ट मापों के लिए शेपली मूल्यों की गणना की जा सकती है। योगात्मक फ़ज़ी मापों के मामले में, शेपली मान प्रत्येक सिंगलटन के समान होगा।

किसी दिए गए अस्पष्ट माप g, और के लिए $$|\mathbf{X}|=n$$, प्रत्येक के लिए शेपली सूचकांक $$ i,\dots,n \in X $$ है:


 * $$ \phi (i) = \sum_{E \subseteq \mathbf{X} \backslash \{i\}} \frac{(n-|E|-1)!|E|!}{n!} [g(E \cup \{i\}) - g(E)]. $$

शेपली मान सदिश है $$ \mathbf{\phi}(g) = (\psi(1),\dots,\psi(n)).$$

यह भी देखें

 * सिद्धांत संभावना
 * संभावना सिद्धांत

अग्रिम पठन

 * Beliakov, Pradera and Calvo, Aggregation Functions: A Guide for Practitioners, Springer, New York 2007.
 * Wang, Zhenyuan, and, George J. Klir, Fuzzy Measure Theory, Plenum Press, New York, 1991.

बाहरी संबंध

 * Fuzzy Measure Theory at Fuzzy Image Processing