संघ (समुच्चय सिद्धान्त)

सेट सिद्धांत में, सेट (गणित)  के संग्रह का संघ (∪ द्वारा दर्शाया गया) संग्रह में सभी तत्वों (सेट सिद्धांत) का सेट है। यह उन मूलभूत संक्रियाओं में से एक है जिसके द्वारा समुच्चयों को एक दूसरे से जोड़ा और संबंधित किया जा सकता है। एशून्य के मिलन को संदर्भित करता है| शून्य ($$0$$) सेट करता है और यह परिभाषा के अनुसार खाली सेट  के बराबर है।

इस लेख में प्रयुक्त प्रतीकों की व्याख्या के लिए, गणितीय प्रतीकों की सूची  देखें।

दो समुच्चयों का मिलन
दो समुच्चयों A और B का मिलन उन तत्वों का समुच्चय है जो A में, B में या A और B दोनों में हैं। सेट-बिल्डर नोटेशन  में,


 * $$A \cup B = \{ x: x \in A \text{  or  } x \in B\}$$.

उदाहरण के लिए, यदि ए = {1, 3, 5, 7} और बी = {1, 2, 4, 6, 7} तो ए ∪ बी = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}। एक अधिक विस्तृत उदाहरण (दो अनंत सेटों को शामिल करते हुए) है:
 * A = {x 1 से बड़ा एक सम पूर्णांक  है}
 * B = {x 1 से बड़ा एक विषम पूर्णांक है}
 * $$A \cup B = \{2,3,4,5,6, \dots\}$$

एक अन्य उदाहरण के रूप में, संख्या 9 अभाज्य संख्या ओं के समुच्चय {2, 3, 5, 7, 11, ...} और  सम संख्या ओं के समुच्चय {2, 4, 6, 8, 10 के मिलन में नहीं है।, ...}, क्योंकि 9 न तो अभाज्य है और न ही सम।

सेट में डुप्लिकेट तत्व नहीं हो सकते हैं, अतः समुच्चय {1, 2, 3} और {2, 3, 4} का योग {1, 2, 3, 4} है। समान तत्वों की एकाधिक घटनाओं का किसी सेट या उसकी सामग्री की प्रमुखता  पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।

बीजीय गुण
बाइनरी यूनियन एक सहयोगी ऑपरेशन है; यानी किसी भी सेट के लिए $$A, B, \text{ and } C,$$ $$A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C.$$ इस प्रकार कोष्ठकों को अस्पष्टता के बिना छोड़ा जा सकता है: उपरोक्त में से किसी एक को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $$A \cup B \cup C.$$ साथ ही, संघ क्रम विनिमेय है, इसलिए समुच्चयों को किसी भी क्रम में लिखा जा सकता है। खाली सेट संघ के संचालन के लिए एक पहचान तत्व  है। वह है, $$A \cup \varnothing = A,$$ किसी भी सेट के लिए $$A.$$ इसके अलावा, संघ का संचालन बेकार है: $$A \cup A = A.$$ ये सभी गुण तार्किक संयोजन के बारे में समान तथ्यों से अनुसरण करते हैं।

मिलन पर बंटा चौराहा $$A \cap (B \cup C) = (A \cap B)\cup(A \cap C)$$ और संघ चौराहे पर वितरित करता है $$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C).$$ एक सेट का सत्ता स्थापित  $$U,$$ संघ द्वारा दिए गए संक्रियाओं के साथ, प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत), और  पूरक (सेट सिद्धांत), एक  बूलियन बीजगणित (संरचना)  है। इस बूलियन बीजगणित में, सूत्र द्वारा प्रतिच्छेदन और पूरकता के संदर्भ में संघ को व्यक्त किया जा सकता है $$A \cup B = \left(A^\text{c} \cap B^\text{c} \right)^\text{c},$$ जहां सुपरस्क्रिप्ट $${}^\text{c}$$ ब्रह्मांड में पूरक को दर्शाता है (गणित) $$U.$$

परिमित संघ
एक साथ कई सेटों का मिलन हो सकता है। उदाहरण के लिए, तीन समुच्चय ए, बी और सी के मिलन में ए के सभी तत्व, बी के सभी तत्व और सी के सभी तत्व शामिल हैं, और कुछ नहीं। इस प्रकार, x, A B ∪ C का एक अवयव है यदि और केवल यदि x, A, B और C में से कम से कम एक में है।

एक 'परिमित संघ' सेटों की एक सीमित संख्या का संघ है; वाक्यांश का यह अर्थ नहीं है कि संघ समुच्चय एक परिमित समुच्चय है।

मनमाना संघ
सबसे सामान्य धारणा समुच्चयों के एक मनमाना संग्रह का संघ है, जिसे कभी-कभी एक अनंत संघ कहा जाता है। यदि 'M' एक समुच्चय या वर्ग (सेट थ्योरी) है जिसके अवयव समुच्चय हैं, तो x 'M' के मिलन का एक अवयव है यदि और केवल यदि 'M' का अस्तित्वगत परिमाणीकरण  तत्व A है, जैसे कि x एक तत्व है के ए. प्रतीकों में:
 * $$x \in \bigcup \mathbf{M} \iff \exists A \in \mathbf{M},\ x \in A.$$

यह विचार पिछले अनुभागों को समाहित करता है- उदाहरण के लिए, ए ∪ बी ∪ सी संग्रह {ए, बी, सी} का संघ है। साथ ही, यदि 'M' रिक्त संग्रह है, तो 'M' का संघ रिक्त समुच्चय है।

नोटेशन
सामान्य अवधारणा के लिए संकेतन काफी भिन्न हो सकते हैं। समुच्चयों के परिमित संघ के लिए $$S_1, S_2, S_3, \dots, S_n$$ अक्सर लिखता है $$S_1 \cup S_2 \cup S_3 \cup \dots \cup S_n$$ या $$\bigcup_{i=1}^n S_i$$. मनमानी यूनियनों के लिए विभिन्न सामान्य नोटेशन में शामिल हैं $$\bigcup \mathbf{M}$$, $$\bigcup_{A\in\mathbf{M}} A$$, तथा $$\bigcup_{i\in I} A_{i}$$. इनमें से अंतिम संकेतन संग्रह के संघ को संदर्भित करता है $$\left\{A_i : i \in I\right\}$$, जहां मैं एक सूचकांक सेट  है और $$A_i$$ प्रत्येक के लिए एक सेट है $$i \in I$$. इस मामले में कि सूचकांक सेट I प्राकृतिक संख्या ओं का समूह है, एक संकेतन का उपयोग करता है $$\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}$$, जो श्रृंखला में अनंत राशियों के अनुरूप है।

जब प्रतीक ∪ को अन्य प्रतीकों (उनके बीच के बजाय) से पहले रखा जाता है, तो इसे आमतौर पर बड़े आकार के रूप में प्रस्तुत किया जाता है।

संकेतन एन्कोडिंग
यूनिकोड में, संघ को वर्ण द्वारा दर्शाया जाता है. टीएक्स में, $$\cup$$ \ कप से प्रदान किया जाता है।

यह भी देखें

 * - स्ट्रिंग्स के सेट का मिलन
 * - स्ट्रिंग्स के सेट का मिलन

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक कड़ियों की सूची

 * समुच्चय सिद्धान्त
 * तत्व (सेट सिद्धांत)
 * जोड़नेवाला
 * तार्किक वियोजन
 * चौराहे (सेट सिद्धांत)
 * ब्रह्मांड (गणित)
 * परिमित सेट
 * अगर और केवल अगर
 * कक्षा (सेट सिद्धांत)
 * मैं अनंत हूँ
 * टेक्स

बाहरी संबंध

 * Infinite Union and Intersection at ProvenMath De Morgan's laws formally proven from the axioms of set theory.
 * Infinite Union and Intersection at ProvenMath De Morgan's laws formally proven from the axioms of set theory.