फ़्रेज़नेल समीकरण



फ़्रेज़नेल समीकरण (या फ़्रेज़नेल गुणांक), विभिन्न ऑप्टिकल माध्यम (ऑप्टिक्स) के मध्य एक इंटरफेस पर घटना होने पर प्रकाश (या सामान्य रूप से विद्युत चुम्बकीय विकिरण) के प्रतिबिंब और संचरण का वर्णन करते हैं। ये भौतिक शास्त्री ऑगस्टिन-जीन फ़्रेज़नेल द्वारा प्रतिपादित किए गए थे तथा इसे समझने वाले वे पहले व्यक्ति थे कि प्रकाश एक अनुप्रस्थ तरंग है जबकि किसी को यह अनुभव नहीं था कि तरंग के कंपन विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र थे। पहली बार ध्रुवीकरण (तरंगों) को मात्रात्मक रूप से समझा जा सकता है क्योंकि फ़्रेज़नेल के समीकरणों ने सामग्री अंतरापृष्ठ पर घटना sऔर p ध्रुवीकरण की तरंगों के अलग-अलग व्यवहार का सही अनुमान लगाया है।

अवलोकन
जब प्रकाश अपवर्तक सूचकांक n1 वाले माध्यम और अपवर्तक सूचकांक n2 वाले दूसरे माध्यम के मध्य अंतरापृष्ठ से टकराता है तो प्रकाश का प्रतिबिंब और अपवर्तन दोनों हो सकता है। फ़्रेज़नेल समीकरण ध्रुवीकरण के प्रत्येक दो घटकों के लिए परावर्तित तरंग के विद्युत क्षेत्र का आपतित तरंग के विद्युत क्षेत्र से अनुपात और संचरित तरंग के विद्युत क्षेत्र का आपतित तरंग के विद्युत क्षेत्र से अनुपात देते हैं। (चुंबकीय क्षेत्रों को समान गुणांकों का उपयोग करके भी संबंधित किया जा सकता है।) ये अनुपात सामान्य रूप से जटिल होते हैं जो न केवल सापेक्ष आयामों का वर्णन करते हैं बल्कि अंतरापृष्ठ पर प्रतिबिंब चरण में परिवर्तन का भी वर्णन करते हैं।

समीकरण मानते हैं कि माध्यमों के मध्य अंतरापृष्ठ सपाट है और माध्यम सजातीय और आइसोट्रॉपी है। आपतित प्रकाश को समतल तरंग माना जाता है जो किसी भी समस्या को हल करने के लिए पर्याप्त है क्योंकि किसी भी आपतित प्रकाश क्षेत्र को समतल तरंगों और ध्रुवीकरणों में विघटित किया जा सकता है।

एस और पी ध्रुवीकरण
आपतित तरंग के दो अलग-अलग रैखिक ध्रुवीकरण (तरंगों) घटकों के लिए फ़्रेज़नेल गुणांक के दो समूह हैं। चूँकि किसी भी ध्रुवीकरण (तरंगों) अवस्था को दो ऑर्थोगोनल रैखिक ध्रुवीकरणों के संयोजन में हल किया जा सकता है, यह किसी भी समस्या के लिए पर्याप्त है। इसी प्रकार अध्रुवीकृत (या यादृच्छिक रूप से ध्रुवीकृत) और आंशिक रूप से ध्रुवीकृत प्रकाश में दो रैखिक ध्रुवीकरणों में से प्रत्येक में समान मात्रा में शक्ति होती है।

एस ध्रुवीकरण एक तरंग के विद्युत क्षेत्र के ध्रुवीकरण को संदर्भित करता है जो घटना के समतलन हेतु सामान्य है (नीचे व्युत्पत्ति में z दिशा); तब चुंबकीय क्षेत्र आपतन तल में होता है। पी ध्रुवीकरण घटना के समतलन में विद्युत क्षेत्र के ध्रुवीकरण को संदर्भित करता है ($xy$ नीचे दी गई व्युत्पत्ति में समतल); तब चुंबकीय क्षेत्र आपतन तल के सामान्य होता है।

सामान्य घटना (θ = 0) पर उनके मध्य कोई अंतर नहीं होता है यद्यपि परावर्तन और संचरण ध्रुवीकरण पर निर्भर होते हैं इसलिए सभी ध्रुवीकरण अवस्थाएं फ़्रेज़नेल गुणांक के एक समूह द्वारा नियंत्रित होती हैं (और एक अन्य विशेष स्थिति का उल्लेख नीचे किया गया है जहाँ यह सत्य है)।

विन्यास
दाईं ओर के चित्र में किरण IO की दिशा में एक आपतित समतल तरंग बिंदु O पर अपवर्तक सूचकांक n1 और n2 के दो माध्यमों के मध्य अंतरापृष्ठ से टकराती है। तरंग का एक भाग OR दिशा में परावर्तित होता है और कुछ भाग OT दिशा में अपवर्तित होता है। आपतित, परावर्तित और अपवर्तित किरणें अंतरापृष्ठ की सामान्य सतह पर जो कोण बनाती हैं उन्हें θi, Ir और θt, क्रमशः, के रूप में दिया जाता है।

इन कोणों के मध्य का संबंध परावर्तन के नियम द्वारा दिया गया है:$$\theta_\mathrm{i} = \theta_\mathrm{r},$$तथा स्नेल का नियम:$$n_1 \sin \theta_\mathrm{i} = n_2 \sin \theta_\mathrm{t}.$$अंतरापृष्ठ से टकराने वाले प्रकाश के व्यवहार को विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों पर विचार करके हल किया जाता है जो विद्युत चुम्बकीय तरंग का निर्माण करते हैं और मैक्सवेल के समीकरणों के नियम, जैसा कि सिद्धांत में दिखाया गया है। तरंगों के विद्युत क्षेत्र (या चुंबकीय क्षेत्र) के आयामों का अनुपात प्राप्त किया जाता है लेकिन व्यवहार में व्यक्ति अधिकतर उन सूत्रों में रुचि रखता है जो शक्ति गुणांक निर्धारित करते हैं क्योंकि शक्ति (या विकिरण) वह है जिसे सीधे ऑप्टिकल आवृत्तियों पर मापा जा सकता है। तरंग की शक्ति सामान्य रूप से विद्युत (या चुंबकीय) क्षेत्र के आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है।

शक्ति (तीव्रता) प्रतिबिंब और संचरण गुणांक
हम घटित शक्ति (भौतिकी) के अंश को जो अंतरापृष्ठ से परावर्तित होता है, परावर्तन (या 'परावर्तन', या 'शक्ति परावर्तन गुणांक') R कहते हैं और जो अंश दूसरे माध्यम में अपवर्तित होता है उसे संप्रेषण (या 'संचारण', या 'पावर ट्रांसमिशन गुणांक') T) कहा जाता है। ध्यान दें कि इन्हें अंतरापृष्ठ के प्रत्येक फलक से मापा जाएगा और ट्रांसमिशन या प्रतिबिंब के पश्चात अवशोषित माध्यम में तरंग के क्षीणन के लिए उत्तरदायी नहीं होगा। एस-ध्रुवीकृत प्रकाश के लिए परावर्तन है $$ R_\mathrm{s} = \left|\frac{Z_2 \cos \theta_\mathrm{i} - Z_1 \cos \theta_\mathrm{t}}{Z_2 \cos \theta_\mathrm{i} + Z_1 \cos \theta_\mathrm{t}}\right|^2, $$जबकि पी-ध्रुवीकृत प्रकाश के लिए परावर्तन है

$$ R_\mathrm{p} = \left|\frac{Z_2 \cos \theta_\mathrm{t} - Z_1 \cos \theta_\mathrm{i}}{Z_2 \cos \theta_\mathrm{t} + Z_1 \cos \theta_\mathrm{i}}\right|^2, $$

जहाँ $Z_{1}$ और $Z_{2}$ क्रमशः माध्यम 1 और 2 की तरंग प्रतिबाधाएं हैं।

हम मानते हैं कि माध्यम गैर-चुंबकीय है (अर्थात, μ1 = μ2 =μ0), जो सामान्य  रूप से ऑप्टिकल आवृत्तियों पर (और अन्य आवृत्तियों पर पारदर्शी माध्यम के लिए) अच्छा अनुमान है। तब तरंग प्रतिबाधा केवल अपवर्तक सूचकांक n1 और n2 द्वारा निर्धारित की जाती है:$$Z_i = \frac{Z_0}{n_i}\,,$$जहाँ $Z_{0}$ और $i$=1,2 मुक्त स्थान की प्रतिबाधा है। यह प्रतिस्थापन करते हुए हम अपवर्तक सूचकांकों का उपयोग करके निम्नलिखित समीकरण प्राप्त करते हैं: $$ R_\mathrm{s} = \left|\frac{n_1 \cos \theta_\mathrm{i} - n_2 \cos \theta_\mathrm{t}}{n_1 \cos \theta_\mathrm{i} + n_2 \cos \theta_\mathrm{t}}\right|^2 = \left|\frac {n_1 \cos \theta_{\mathrm{i}} - n_2 \sqrt{1 - \left(\frac{n_1}{n_2} \sin \theta_{\mathrm{i}}\right)^2}} {n_1 \cos \theta_{\mathrm{i}} + n_2 \sqrt{1 - \left(\frac{n_1}{n_2} \sin \theta_{\mathrm{i}}\right)^2}} \right|^2\!, $$$$ R_\mathrm{p} = \left|\frac{n_1 \cos \theta_\mathrm{t} - n_2 \cos \theta_\mathrm{i}}{n_1 \cos \theta_\mathrm{t} + n_2 \cos \theta_\mathrm{i}}\right|^2 = \left|\frac {n_1 \sqrt{1 - \left(\frac{n_1}{n_2} \sin \theta_\mathrm{i}\right)^2} - n_2 \cos \theta_\mathrm{i}} {n_1 \sqrt{1 - \left(\frac{n_1}{n_2} \sin \theta_\mathrm{i}\right)^2} + n_2 \cos \theta_\mathrm{i}} \right|^2\!. $$ प्रत्येक समीकरण का दूसरा रूप स्नेल के नियम और स्नेल के नियम और त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके θt को हटाकर पहले से प्राप्त किया जाता है।।

ऊर्जा के संरक्षण के परिणामस्वरूप, कोई संचरित शक्ति (या अधिक सही ढंग से, विकिरण: प्रति इकाई क्षेत्र की शक्ति) को घटना शक्ति के उस भाग के रूप में पा सकता है जो प्रतिबिंबित नहीं होता है: $$T_\mathrm{s} = 1 - R_\mathrm{s}$$और$$T_\mathrm{p} = 1 - R_\mathrm{p}$$

ध्यान दें कि ऐसी सभी तीव्रताओं को अंतरापृष्ठ की सामान्य दिशा में तरंग के विकिरण के संदर्भ में मापा जाता है; विशिष्ट प्रयोगों में भी यही मापा जाता है। वह संख्या किसी घटना या परावर्तित तरंग की दिशा में विकिरणों से प्राप्त की जा सकती है (तरंग के पोयंटिंग वेक्टर के परिमाण द्वारा दी गई) जिसे cosθ से सामान्य दिशा के कोण θ पर तरंग के लिए (या समकक्ष, अंतरापृष्ठ के सामान्य यूनिट वेक्टर के साथ पोयंटिंग वेक्टर के डॉट उत्पाद को लेते हुए) गुणा किया जाता है। जब cosθi= cosθr तब परावर्तन गुणांक की स्थिति में इस जटिलता को अनदेखा किया जा सकता है ताकि तरंग की दिशा में परावर्तित और आपतित विकिरण का अनुपात अंतरापृष्ठ की सामान्य दिशा के समान हो।

यद्यपि ये सम्बन्ध बुनियादी भौतिकी का वर्णन करते हैं व कई व्यावहारिक अनुप्रयोगों में प्राकृतिक प्रकाश से संबंधित है जिसे अध्रुवीकृत के रूप में वर्णित किया जा सकता है। इसका अर्थ है कि s और p ध्रुवीकरण में समान मात्रा में शक्ति है ताकि सामग्री की प्रभावी प्रतिबिंबिता केवल दो प्रतिबिंबिताओं का औसत हो:$$R_\mathrm{eff} = \frac{1}{2}\left(R_\mathrm{s} + R_\mathrm{p}\right).$$

कंप्यूटर चित्रलेख जैसे अध्रुवीकृत प्रकाश से जुड़े कम परिशुद्धता वाले अनुप्रयोगों के लिए प्रत्येक कोण के लिए प्रभावी प्रतिबिंब गुणांक की कठोरता से गणना करने के स्थान पर श्लिक के सन्निकटन का अधिकतर उपयोग किया जाता है।

सामान्य घटना
सामान्य घटना की स्थिति के लिए, $ \theta_\mathrm{i} = \theta_\mathrm{t} = 0$, और s और p ध्रुवीकरण के मध्य कोई अंतर नहीं है। इस प्रकार परावर्तन सरल हो जाता है$$ R = \left|\frac{n_1 - n_2 }{n_1 + n_2 }\right|^2\,. $$सामान्य ग्लास के लिए (n2 ≈ 1.5) हवा से घिरा हुआ (n1=1), सामान्य आपतन पर शक्ति परावर्तन लगभग 4% या कांच के फलक के दोनों किनारों के लिए 8% देखा जा सकता है।

ब्रूस्टर का कोण
$n_{1}$ को $n_{2}$ तक ढांकता हुआ अंतरापृष्ठ पर जिस पर आपतन का एक विशेष कोण होता है जिस पर $R_{p}$ शून्य पर चला जाता है और पी-ध्रुवीकृत आपतित तरंग पूरी तरह से अपवर्तित हो जाती है इस प्रकार सभी परावर्तित प्रकाश एस-ध्रुवीकृत हो जाता है। इस कोण को ब्रूस्टर कोण के रूप में जाना जाता है और n1=1 और n2= 1.5 (सामान्य ग्लास) के लिए यह लगभग 56° होता है।

पूर्ण आंतरिक प्रतिबिंब
जब प्रकाश सघन माध्यम से यात्रा करते हुए कम सघन माध्यम की सतह से टकराता है (अर्थात्, $n_{1} &gt; n_{2}$), एक विशेष घटना कोण से परे जिसे क्रांतिक कोण के रूप में जाना जाता है वहां समस्त प्रकाश परावर्तित होता है और $R_{s} = R_{p} = 1$ । यह घटना, जिसे पूर्ण आंतरिक परावर्तन के रूप में जाना जाता है, आपतन कोणों पर घटित होती है जिसके लिए स्नेल का नियम भविष्यवाणी करता है कि अपवर्तन कोण की ज्या इकाई से अधिक होगी (जबकि वास्तव में sin θ ≤ 1 सभी वास्तविक θ के लिए)। n=1.5 हवा से घिरा हुए ग्लास के लिए क्रांतिक कोण लगभग 42° है।

45° आपतन कोण
45° आपतन पर परावर्तन का उपयोग सामान्य रूप से 90° मोड़ बनाने के लिए किया जाता है। 45° आपतन (θ = 45°) पर कम सघन माध्यम से सघन माध्यम में जाने वाले प्रकाश की स्थिति में, उपरोक्त समीकरणों से बीजगणितीय रूप से यह पता चलता है कि Rp, Rs के वर्ग के बराबर है:

$$R_p=R^2_s$$

इसका उपयोग या तो Rs और Rp के माप की स्थिरता को सत्यापित करने के लिए किया जा सकता है, या जब दूसरा ज्ञात हो तो उनमें से एक को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। यह संबंध केवल दो सजातीय सामग्रियों के मध्य एकल समतल अंतरापृष्ठ की साधारण स्थिति के लिए मान्य है जो क्रियाधार पर फिल्मों के लिए नहीं, जहां अधिक जटिल विश्लेषण की आवश्यकता होती है।

45° पर Rs और Rp के माप का उपयोग सामान्य घटना पर परावर्तन का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है। पहले अंकगणित के साथ-साथ Rs और Rp के ज्यामितीय औसत की गणना करके प्राप्त "औसत का औसत", और फिर अंकगणितीय रूप से इन दो औसतों का औसत, सबसे सामान्य ऑप्टिकल सामग्री के लिए लगभग 3% से कम की त्रुटि के साथ R0 के लिए मान देता है। यह उपयोगी है क्योंकि प्रायोगिक सेटअप में सामान्य घटना पर माप प्राप्त करना कठिन हो सकता है क्योंकि आने वाली किरण और सूचक एक दूसरे को बाधित करेंगे। चूंकि 10° से नीचे के कोणों के लिए आपतन कोण पर Rs और Rp की निर्भरता बहुत कम है तथा लगभग 5° पर माप सामान्य रूप से सामान्य घटना के लिए अच्छा अनुमान होगा जबकि आने वाली और परावर्तित किरण को अलग करने की अनुमति होगी।

जटिल आयाम प्रतिबिंब और संचरण गुणांक
शक्तियों से संबंधित उपरोक्त समीकरण (उदाहरण के लिए दीप्तिमापी से मापा जा सकता है) फ़्रेज़नेल समीकरणों से प्राप्त किए गए हैं जो विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के जटिल आयामों के संदर्भ में भौतिक समस्या को हल करते हैं अर्थात उनके निरपेक्ष मूल्य के अतिरिक्त चरण (तरंगों) परिवर्तनों पर विचार करते हैं। वे अंतर्निहित समीकरण सामान्य रूप से उन ईएम क्षेत्रों के जटिल-मूल्य अनुपात की आपूर्ति करते हैं और उपयोग की गई औपचारिकता के आधार पर कई अलग-अलग रूप ले सकते हैं। प्रतिबिंब और संचरण के लिए जटिल आयाम गुणांक सामान्य रूप से लोअर केस r और t द्वारा दर्शाए जाते हैं (जबकि शक्ति गुणांक पूंजीकृत होते हैं)। पहले की तरह, हम चुंबकीय पारगम्यता $µ$ मान रहे हैं एवं दोनों माध्यमों की मुक्त स्थान की पारगम्यता $µ_{o}$ बराबर होनी चाहिए जैसा कि ऑप्टिकल आवृत्तियों पर सभी डाइलेक्ट्रिक्स के लिए अनिवार्य रूप से सच है। निम्नलिखित समीकरणों और ग्राफ़ों में हम निम्नलिखित परिपाटी को अपनाते हैं। s ध्रुवीकरण के लिए प्रतिबिंब गुणांक $r$ को परावर्तित तरंग के जटिल विद्युत क्षेत्र आयाम और आपतित तरंग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है जबकि p ध्रुवीकरण के लिए $r$ तरंगों के जटिल चुंबकीय क्षेत्र आयामों का अनुपात है (या समकक्ष, उनके विद्युत क्षेत्र आयामों के अनुपात का ऋणात्मक)। संचरण गुणांक $t$ किसी भी ध्रुवीकरण के लिए संचरित तरंग के जटिल विद्युत क्षेत्र आयाम का आपतित तरंग के आयाम से अनुपात है। गुणांक $r$ और $t$ सामान्य रूप से एस और पी ध्रुवीकरण के मध्य भिन्न होते हैं, और यहां तक ​​कि सामान्य घटना पर भी (जहां पदनाम एस और पी भी लागू नहीं होते हैं!) का संकेत $r$ को इस पर निर्भर करते हुए उलट दिया जाता है कि तरंग को एस या पी ध्रुवीकृत माना जाता है या नहीं, जो अपनाए गए संकेत सम्मेलन की एक कलाकृति है (0° घटना पर एयर-ग्लास अंतरापृष्ठ के लिए ग्राफ़ देखें)।

समीकरण आपतन कोण (प्रकाशिकी) $ \theta_\mathrm{i}$ पर समतल अंतरापृष्ठ पर समतल तरंग आपतन पर विचार करते हैं, $ \theta_\mathrm{r} = \theta_\mathrm{i} $ कोण पर परावर्तित एक तरंग और एक तरंग कोण पर प्रसारित होती है $ \theta_\mathrm{t}$. एक अवशोषित सामग्री में अंतरापृष्ठ की स्थिति में (जहां n जटिल है) या कुल आंतरिक प्रतिबिंब, संचरण का कोण सामान्य रूप से वास्तविक संख्या का मूल्यांकन नहीं करता है। जबकि उस स्थिति में इन संबंधों के निरूपण का उपयोग करके सार्थक परिणाम प्राप्त किए जा सकते हैं जिसमें त्रिकोणमितीय कार्यों और ज्यामितीय कोणों से बचा जाता है; दूसरे माध्यम में प्रक्षेपित असमांगी तरंगों को एकल प्रसार कोण का उपयोग करके वर्णित नहीं किया जा सकता है।

इस सम्मेलन का उपयोग करते हुए,

$$\begin{align} r_\text{s} &= \frac{ n_1 \cos \theta_\text{i} - n_2 \cos \theta_\text{t}}{n_1 \cos \theta_\text{i} + n_2 \cos \theta_\text{t}}, \\[3pt] t_\text{s} &= \frac{2 n_1 \cos \theta_\text{i}}                          {n_1 \cos \theta_\text{i} + n_2 \cos \theta_\text{t}}, \\[3pt] r_\text{p} &= \frac{ n_2 \cos \theta_\text{i} - n_1 \cos \theta_\text{t}}{n_2 \cos \theta_\text{i} + n_1 \cos \theta_\text{t}}, \\[3pt] t_\text{p} &= \frac{2 n_1 \cos \theta_\text{i}}                          {n_2 \cos \theta_\text{i} + n_1 \cos \theta_\text{t}}. \end{align}$$ हम देख सकते हैं कि $t_{s} = r_{s} + 1$ और $n_{2}⁄n_{1}t_{p}=r_{p}+1$.

इस प्रकार तरंगों के चुंबकीय क्षेत्रों के अनुपात को लागू करते हुए अधिक समान समीकरण लिख सकता है लेकिन विद्युत क्षेत्रों की तुलना अधिक पारंपरिक है।

क्योंकि परावर्तित और आपतित तरंगें एक ही माध्यम में फैलती हैं और सतह के अभिलम्ब के साथ समान कोण बनाती हैं एवं शक्ति परावर्तन गुणांक R, r का वर्ग परिमाण मात्र है: $$R = |r|^2$$दूसरी ओर विद्युत पारेषण गुणांक $T$ की गणना कम स्पष्ट है क्योंकि प्रकाश दो माध्यमों में अलग-अलग दिशाओं में यात्रा करता है। इसके अतिरिक्त दोनों माध्यमों में तरंग प्रतिबाधाएं भिन्न-भिन्न हैं; शक्ति (विकिरण) माध्यम की तरंग प्रतिबाधा से विभाजित विद्युत क्षेत्र के आयाम के वर्ग द्वारा दी जाती है (या चुंबकीय क्षेत्र के वर्ग को विशेषता प्रतिबाधा से गुणा किया जाता है)। इस में परिणाम: $$T = \frac{n_2 \cos \theta_\text{t}}{n_1 \cos \theta_\text{i}} |t|^2$$$t$ की उपरोक्त परिभाषा का उपयोग करते हुए, $n_{2}/n_{1}$ का परिचय कारक माध्यमों की तरंग प्रतिबाधाओं के अनुपात का व्युत्क्रम है। वह $cos(θ)$ कारक तरंगों की शक्तियों को समायोजित करते हैं ताकि उन्हें घटना और प्रेषित तरंगों दोनों के लिए अंतरापृष्ठ की सामान्य दिशा में गिना जाए ताकि पूर्ण शक्ति संचरण T= 1 से मेल खाए।

पूर्ण आंतरिक परावर्तन $T$ की स्थिति में जहां शक्ति संचरण होता है शून्य है, फिर भी $t$ अंतरापृष्ठ से परे विद्युत क्षेत्र (इसके चरण सहित) का वर्णन करता है। यह एक क्षणभंगुर क्षेत्र है जो तरंग के रूप में प्रसारित नहीं होता है (इस प्रकार $T$=0) लेकिन अंतरापृष्ठ के बहुत निकट गैर-शून्य मान हैं। कुल आंतरिक परावर्तन पर परावर्तित तरंग का चरण बदलाव इसी प्रकार के तर्क (जटिल विश्लेषण) से प्राप्त किया जा सकता है $r_{p}$ और $r_{s}$ (जिसका परिमाण इस स्थिति में एकता है)। ये चरण बदलाव s और p तरंगों के लिए अलग-अलग हैं जो कि प्रसिद्ध सिद्धांत है जिसके द्वारा फ़्रेज़नेल रोम्ब को प्रभावित करने के लिए कुल आंतरिक प्रतिबिंब का उपयोग किया जाता है।

वैकल्पिक रूप
उपरोक्त सूत्र में $r_{s}$, अगर हम $$n_2=n_1\sin\theta_\text{i}/\sin\theta_\text{t}$$ (स्नेल का नियम) डालते हैं और अंश और हर को $1⁄n_{1}sinθ_{t}$ से गुणा करें, हम प्राप्त करते हैं  $$r_\text{s}=-\frac{\sin(\theta_\text{i}-\theta_\text{t})}{\sin(\theta_\text{i}+\theta_\text{t})}.$$यदि हम सूत्र $r_{p}$ के साथ भी ऐसा ही करते हैं तथा परिणाम सरलता से समकक्ष दिखाया जाता है  $$r_\text{p}=\frac{\tan(\theta_\text{i}-\theta_\text{t})}{\tan(\theta_\text{i}+\theta_\text{t})}. $$

ये सूत्र  इन्हें क्रमशः फ़्रेज़नेल के साइन नियम और फ़्रेज़नेल के स्पर्शरेखा नियम के रूप में जाना जाता है। जबकि सामान्य घटना पर ये अभिव्यक्तियाँ 0/0 तक कम हो जाती हैं, कोई यह देख सकता है कि वे सीमा (गणित) में सही परिणाम  $θ_{i} → 0$ देते हैं।

एकाधिक सतह
जब प्रकाश दो या दो से अधिक समानांतर सतहों के मध्य कई प्रतिबिंब बनाता है, तो प्रकाश की कई किरणें सामान्य रूप से एक दूसरे के साथ हस्तक्षेप (तरंग प्रसार) करती हैं, जिसके परिणामस्वरूप शुद्ध संचरण और प्रतिबिंब आयाम होते हैं जो प्रकाश की तरंग दैर्ध्य पर निर्भर करते हैं। हालाँकि, हस्तक्षेप केवल तभी देखा जाता है जब सतहें प्रकाश की सुसंगत लंबाई के बराबर या उससे कम दूरी पर होती हैं, जो सामान्य सफेद रोशनी के लिए कुछ माइक्रोमीटर होती है; लेज़र से प्रकाश के लिए यह बहुत बड़ा हो सकता है।

प्रतिबिंबों के मध्य हस्तक्षेप का एक उदाहरण साबुन के बुलबुले या पानी पर पतली तेल की फिल्मों में दिखाई देने वाले इंद्रधनुषी रंग हैं। अनुप्रयोगों में फैब्री-पेरोट इंटरफेरोमीटर, एंटीरिफ्लेक्शन कोटिंग्स और ऑप्टिकल फ़िल्टर  सम्मिलित हैं। इन प्रभावों का मात्रात्मक विश्लेषण फ़्रेज़नेल समीकरणों पर आधारित है, लेकिन हस्तक्षेप के लिए अतिरिक्त गणना के साथ।

ट्रांसफर-मैट्रिक्स विधि (ऑप्टिक्स)|ट्रांसफर-मैट्रिक्स विधि, या पुनरावर्ती रूर्ड विधि बहु-सतह समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग किया जा सकता है।

इतिहास
1808 में, एटियेन-लुईस मालस ने पाया कि जब प्रकाश की किरण एक गैर-धातु सतह से उचित कोण पर परावर्तित होती है, तो यह द्विअपवर्तन|दोगुने-अपवर्तक कैल्साइट क्रिस्टल से निकलने वाली दो किरणों में से एक की तरह व्यवहार करती है। बाद में उन्होंने इस व्यवहार का वर्णन करने के लिए ध्रुवीकरण शब्द गढ़ा। 1815 में, अपवर्तक सूचकांक पर ध्रुवीकरण कोण की निर्भरता डेविड ब्रूस्टर द्वारा प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित की गई थी। लेकिन उस निर्भरता का कारण इतना गहरा रहस्य था कि 1817 के अंत में, थॉमस यंग (वैज्ञानिक) को लिखने के लिए प्रेरित किया गया: "[T]he great difficulty of all, which is to assign a sufficient reason for the reflection or nonreflection of a polarised ray, will probably long remain, to mortify the vanity of an ambitious philosophy, completely unresolved by any theory." हालाँकि, 1821 में, ऑगस्टिन-जीन फ़्रेज़नेल ने प्रकाश तरंगों को S-तरंगों के रूप में मॉडलिंग करके, जिसे पहले ध्रुवण तल कहा जाता था एवं लंबवत कंपन के साथ अपने साइन और स्पर्शरेखा नियमों (ऊपर) के बराबर परिणाम प्राप्त किए। फ़्रेज़नेल ने प्रयोग द्वारा तुरंत पुष्टि की कि हवा से कांच या पानी पर आपतित प्रकाश के लिए जब आपतित किरण को आपतन तल से 45° पर ध्रुवीकृत किया गया था तो समीकरणों ने परावर्तित किरण के ध्रुवीकरण की दिशा का सही अनुमान लगाया था; विशेष रूप से समीकरणों ने ब्रूस्टर के कोण पर सही ध्रुवीकरण दिया। प्रयोगात्मक पुष्टि उस कार्य की एक पोस्टस्क्रिप्ट में बताई गई थी जिसमें फ़्रेज़नेल ने पहली बार अपने सिद्धांत को स्पष्ट किया था कि प्रकाश तरंगें जिनमें अध्रुवीकृत तरंगें भी सम्मिलित थीं, विशुद्ध रूप से अनुप्रस्थ थीं।

फ़्रेज़नेल की व्युत्पत्ति का विवरण साइन नियम और स्पर्शरेखा नियम के आधुनिक रूपों सहित बाद में जनवरी 1823 में फ्रेंच एकेडमी ऑफ साइंसेज में पढ़े गए एक संस्मरण में दिया गया था। उस व्युत्पत्ति ने ऊर्जा के संरक्षण को अंतरापृष्ठ पर स्पर्शरेखीय कंपन की निरंतरता के साथ जोड़ा लेकिन कंपन के सामान्य घटक पर किसी भी स्थिति की अनुमति देने में विफल रही। विद्युत चुम्बकीय सिद्धांतों की पहली व्युत्पत्ति 1875 में हेंड्रिक लोरेंत्ज़ द्वारा दी गई थी।

जनवरी 1823 के उसी संस्मरण में फ़्रेज़नेल ने पाया कि क्रांतिक कोण से अधिक आपतन कोणों के लिए परावर्तन गुणांक के लिए उनके सूत्र ($r_{s}$ और $r_{p}$) इकाई परिमाण के साथ जटिल मान दिए। यह देखते हुए कि परिमाण सदैव की तरह शिखर आयामों के अनुपात का प्रतिनिधित्व करता है उन्होंने अनुमान लगाया कि तर्क (जटिल विश्लेषण) चरण बदलाव का प्रतिनिधित्व करता है और प्रयोगात्मक रूप से परिकल्पना को सत्यापित किया। सत्यापन सम्मिलित है इस प्रकार उनके पास एक मात्रात्मक सिद्धांत था जिसे हम अब फ़्रेज़नेल रॉम्ब कहते हैं - उपकरण जिसे वे सन 1817 से किसी न किसी रूप में प्रयोगों में उपयोग कर रहे थे (देखें फ़्रेज़नेल रॉम्ब § इतिहास)।
 * आपतन कोण की गणना करना जो उस कोण पर कुल आंतरिक प्रतिबिंबों की विभिन्न संख्याओं के लिए एस और पी घटकों के मध्य 90 डिग्री का कुल चरण अंतर प्रस्तुत करेगा (सामान्य रूप से दो समाधान होते थे),
 * प्रकाश को आपतन कोण पर कुल आंतरिक परावर्तन की उस संख्या के अधीन करना एवं आपतन तल से 45° पर प्रारंभिक रैखिक ध्रुवीकरण के साथ और
 * जाँच कर रहा है कि अंतिम ध्रुवीकरण गोलाकार ध्रुवीकरण था।

जटिल परावर्तन गुणांक की सफलता ने सन 1836 में प्रारम्भ करके जेम्स मैक्कुलघ और ऑगस्टिन-लुई कॉची को अपवर्तक सूचकांक के साथ फ़्रेज़नेल समीकरणों का उपयोग करके धातुओं से प्रतिबिंब का विश्लेषण करने के लिए प्रेरित किया।

पूर्ण आंतरिक परावर्तन और समचतुर्भुज के अपने पूर्ण सिद्धांत को प्रस्तुत करने से चार सप्ताह पहले, फ़्रेज़नेल ने एक संस्मरण प्रस्तुत किया जिसमें उन्होंने आवश्यक शब्द रैखिक ध्रुवीकरण, गोलाकार ध्रुवीकरण और अण्डाकार ध्रुवीकरण प्रस्तुत किया और जिसमें उन्होंने ऑप्टिकल रोटेशन को द्विअपवर्तन की प्रजाति के रूप में समझाया: रैखिक-ध्रुवीकृत प्रकाश को विपरीत दिशाओं में घूमने वाले दो गोलाकार-ध्रुवीकृत घटकों में विघटित किया जा सकता है और यदि ये अलग-अलग गति से फैलते हैं तो उनके मध्य चरण अंतर होता है - इसलिए उनका अभिविन्यास रैखिक-ध्रुवीकृत परिणामी - दूरी के साथ लगातार परिवर्तित होता रहेगा।

इस प्रकार अपने प्रतिबिंब गुणांक के जटिल मूल्यों की फ़्रेज़नेल की व्याख्या ने उनके शोध की कई धाराओं के संगम को चिह्नित किया और अनुप्रस्थ-तरंग परिकल्पना पर भौतिक प्रकाशिकी के उनके पुनर्निर्माण का आवश्यक समापन (ऑगस्टिन-जीन फ़्रेज़नेल देखें) किया।

व्युत्पत्ति
यहां हम विद्युत चुम्बकीय परिसर से उपरोक्त संबंधों को व्यवस्थित रूप से प्राप्त करते हैं।

सामग्री मापदण्ड
सार्थक फ़्रेज़नेल गुणांक की गणना करने के लिए हमें यह मानना ​​​​चाहिए कि माध्यम (लगभग) रैखिकता और एकरूपता (भौतिकी) है। यदि माध्यम भी आइसोट्रॉपी है तो चार क्षेत्रों वैक्टर $E,B,D,H$ संवैधानिक समीकरण हैं:$$\begin{align} \mathbf{D} &= \epsilon \mathbf{E} \\ \mathbf{B} &= \mu \mathbf{H}\,,

\end{align} $$जहां ϵ और μ अदिश राशि हैं जिन्हें क्रमशः माध्यम की (विद्युत) पारगम्यता और (चुंबकीय) पारगम्यता (विद्युत चुंबकत्व) के रूप में जाना जाता है। निर्वात के लिए इनका मान क्रमशः ϵ0 और μ0 है। इसलिए हम सापेक्ष पारगम्यता (या ढांकता हुआ स्थिरांक) $ϵ_{rel}=ϵ/ϵ_{0}$, और सापेक्ष पारगम्यता $μ_{rel}=μ/μ_{0}$ को परिभाषित करते हैं।

प्रकाशिकी में यह मान लेना सामान्य बात है कि माध्यम गैर-चुंबकीय है इसलिए μrel=1. रेडियो/माइक्रोवेव आवृत्तियों पर लौहचुंबकीय सामग्रियों के लिए μrel का बड़ा मान ध्यान में रखा जाना। लेकिन ऑप्टिकली पारदर्शी माध्यमों के लिए और ऑप्टिकल आवृत्तियों पर अन्य सभी सामग्रियों के लिए (संभावित मेटामटेरियल्स को छोड़कर), μrel वास्तव में 1 के बहुत निकट है; वह μ≈μ0 है।

प्रकाशिकी में सामान्य रूप से माध्यम के अपवर्तनांक n को जाना जाता है जो निर्वात में प्रकाश की गति का अनुपात है ($c$) माध्यम में प्रकाश की गति तक। आंशिक परावर्तन और संचरण के विश्लेषण में, व्यक्ति विद्युत चुम्बकीय तरंग प्रतिबाधा $Z$ में भी रुचि रखता है जो $E$ के आयाम का अनुपात है $H$ के आयाम तक, इसलिए n और को व्यक्त करना $Z$ ϵ और μ के संदर्भ में वांछनीय है और वहां से संबंधित करने के लिए $Z$ से एन. जबकि अंतिम-उल्लेखित संबंध तरंग प्रवेश के संदर्भ में प्रतिबिंब गुणांक $Y$ प्राप्त करना सुविधाजनक बना देगा जो तरंग प्रतिबाधा $Z$ का व्युत्क्रम है।

एकसमान समतल तरंग साइन तरंग तरंगों की स्थिति में तरंग प्रतिबाधा या प्रवेश को माध्यम की आंतरिक प्रतिबाधा या प्रवेश के रूप में जाना जाता है। यह वह स्थिति है जिसके लिए फ़्रेज़नेल गुणांक प्राप्त किया जाना है।

विद्युत चुम्बकीय समतल तरंगें
एक समान समतल साइनसोइडल विद्युत चुम्बकीय विकिरण में विद्युत क्षेत्र $E$ का रूप है

जहाँ $E_{k}$ (स्थिर) जटिल आयाम वेक्टर है, $i$ काल्पनिक इकाई है, $k$ तरंग वेक्टर है (जिसका परिमाण $$कोणीय तरंगसंख्या है), $r$ स्थिति (वेक्टर) है, ω कोणीय आवृत्ति है, $t$ समय है, और यह समझा जाता है कि अभिव्यक्ति का वास्तविक भाग भौतिक क्षेत्र है। यदि स्थिति हो तो अभिव्यक्ति का मान अपरिवर्तित रहता है $E_{k}e^{j(ωt−k⋅r)};$ सामान्य दिशा में भिन्न होता है $j$; इस प्रकार $i$ तरंगाग्रों के लिए सामान्य है।

कोण ϕ द्वारा चरण (तरंगों) को आगे बढ़ाने के लिए हम $−i$ द्वारा $j$ (अर्थात, हम प्रतिस्थापित करते हैं $r$ द्वारा $k$) प्रतिस्थापित करते हैं इस परिणाम के साथ कि (जटिल) फ़ील्ड को $k$ से गुणा किया जाता है तो एक चरण अग्रिम नकारात्मक तर्क (जटिल विश्लेषण) के साथ एक जटिल स्थिरांक द्वारा गुणा के बराबर है। यह तब और अधिक स्पष्ट हो जाता है जब फ़ील्ड ($k$), $ωt$ के रूप में तथ्यांकित किया गया है जहां अंतिम कारक में समय-निर्भरता सम्मिलित है। वह कारक यह भी दर्शाता है कि विभेदन w.r.t. समय $ωt+ϕ$ गुणा से मेल खाता है।

यदि ℓ का घटक है $−ωt$ कम है $−ωt−ϕ$ फील्ड ($$) लिखा जा सकता है $e^{−iϕ}$. यदि का तर्क $E_{k}e^{ik⋅r}e^{−iωt}$ स्थिर रहना है, ℓ वेग से बढ़ना चाहिए $$\omega/k\,,\,$$ चरण वेग के रूप में जाना जाता है $−iω$. यह बदले में बराबर है $c/n$. के लिए समाधान $$ देता है

सदैव की तरह हम समय-निर्भर कारक $e ^{jωt},$ को छोड़ देते हैं जिसे प्रत्येक जटिल फ़ील्ड मात्रा को गुणा करने के लिए समझा जाता है। समान समतल साइन तरंग के लिए विद्युत क्षेत्र को स्थान-निर्भर चरण द्वारा दर्शाया जाएगा

उस रूप के क्षेत्रों के लिए फैराडे का नियम और एम्पीयर का मैक्सवेल-एम्पीयर नियम क्रमशः कम हो जाते हैं $$\begin{align} \omega\mathbf{B} &= \mathbf{k}\times\mathbf{E}\\ \omega\mathbf{D} &= -\mathbf{k}\times\mathbf{H}\,. \end{align}$$$+jω$ और $e^{−iωt}$ लाना जैसा कि ऊपर बताया गया है, हम $r$ और $k,$ केवल समीकरण प्राप्त करने के लिए $E_{k}e^{i(kℓ−ωt)}$ और $e^{i(⋯)}$ समाप्त कर सकते हैं: $$\begin{align} \omega\mu\mathbf{H} &= \mathbf{k}\times\mathbf{E}\\ \omega\epsilon\mathbf{E} &= -\mathbf{k}\times\mathbf{H}\,. \end{align}$$यदि सामग्री पैरामीटर ϵ और μ वास्तविक हैं (जैसा कि दोषरहित ढांकता हुआ में), तो ये समीकरण दिखाते हैं $(v_{p})$ एक दाएं हाथ के ओर्थोगोनल त्रय का निर्माण करें, ताकि समान समीकरण संबंधित वैक्टर के परिमाण पर लागू हों। परिमाण समीकरण लेना और (से प्रतिस्थापित करना)$$), हमें प्राप्त होता है$$\begin{align} \mu cH &= nE\\  \epsilon cE &= nH\,, \end{align}$$जहाँ $k$ और $$, $e^{−iωt}$ और $B=μH$ के परिमाण हैं एवं अंतिम दो समीकरणों को गुणा करने पर प्राप्त होता है विभाजित करने (या क्रॉस-गुणा करने) से समान दो समीकरण प्राप्त होते हैं $D=ϵE$ जहाँ

यह आंतरिक स्वीकृति है,

$c/n=1\big/\!\sqrt{\mu\epsilon\,}$. से ($$) हम चरण वेग प्राप्त करते हैं, निर्वात के लिए यह $c=1\big/\!\sqrt{\mu_0\epsilon_0}$. कम हो जाता है और  दूसरे परिणाम को पहले से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:$$n=\sqrt{\mu_{\text{rel}}\epsilon_{\text{rel}}}\,.$$गैर-चुंबकीय माध्यम (सामान्य स्थिति) के लिए, यह  $n=\sqrt{\epsilon_{\text{rel}}}$.|undefined बन जाता है (का व्युत्क्रम लेते हुए ($$), हम पाते हैं कि आंतरिक प्रतिबाधा $Z=\sqrt{\mu/\epsilon}$ है  एवं  निर्वात में यह  $Z_0=\sqrt{\mu_0/\epsilon_0}\,\approx 377\,\Omega\,$  मान लेता है और मुक्त स्थान की प्रतिबाधा के रूप में जाना जाता है। विभाजन से $Z/Z_0=\sqrt{\mu_{\text{rel}}/\epsilon_{\text{rel}}}$ .|undefined गैर-चुंबकीय माध्यम के लिए यह $$Z=Z_0\big/\!\sqrt{\epsilon_{\text{rel}}}=Z_0/n.$$) बन जाता है।

तरंग सदिश
कार्तीय निर्देशांक में $B$, क्षेत्र चलो $D$ अपवर्तक सूचकांक है $E$ आंतरिक प्रवेश $H$ आदि, और क्षेत्र को जाने दो $k,E,H$ अपवर्तक सूचकांक है $H$ आंतरिक प्रवेश $E$ आदि. फिर $H=YE ,$ समतल अंतरापृष्ठ है, और $k_{i}, k_{r} ,$ अक्ष अंतरापृष्ठ के लिए सामान्य है (आरेख देखें)। होने देना $k_{t}$ और $n_{1}$ (बोल्ड रोमन प्रकार में) में इकाई सदिश बनें $n_{2}$ और $(x,y, z)$दिशाएँ, क्रमशः। माना कि आपतन तल है $y<0$ समतल (पृष्ठ का समतल), आपतन कोण के साथ $n_{1},$ से मापा गया $Y_{1},$ की ओर $y>0$. मान लीजिए कि अपवर्तन कोण को उसी अर्थ में मापा जाता है $n_{2},$ जहां सबस्क्रिप्ट $Y_{2},$ का मतलब ट्रांसमिटेड (आरक्षण) है $xz$ प्रतिबिंबित के लिए)।

डॉपलर प्रभाव की अनुपस्थिति में, परावर्तन या अपवर्तन पर ω नहीं बदलता है। इसलिए, द्वारा ($H$), तरंग वेक्टर का परिमाण अपवर्तनांक के समानुपाती होता है।

तो, किसी दिए गए ω के लिए, यदि हम पुनः परिभाषित करते हैं $E$संदर्भ माध्यम में तरंग वेक्टर के परिमाण के रूप में (जिसके लिए $y$), तो तरंग वेक्टर का परिमाण होता है $i$ पहले माध्यम में (क्षेत्र $j$आरेख में) और परिमाण $x$ दूसरे माध्यम में. परिमाण और ज्यामिति से, हम पाते हैं कि तरंग सदिश हैं$$\begin{align} \mathbf{k}_\text{i} &= n_1 k(\mathbf{i}\sin\theta_\text{i} + \mathbf{j}\cos\theta_\text{i})\\[.5ex] \mathbf{k}_\text{r} &= n_1 k(\mathbf{i}\sin\theta_\text{i} - \mathbf{j}\cos\theta_\text{i})\\[.5ex] \mathbf{k}_\text{t} &= n_2 k(\mathbf{i}\sin\theta_\text{t} + \mathbf{j}\cos\theta_\text{t})\\ &= k(\mathbf{i}\,n_1\sin\theta_\text{i} + \mathbf{j}\,n_2\cos\theta_\text{t})\,, \end{align}$$ जहां अंतिम चरण स्नेल के नियम का उपयोग करता है। चरणबद्ध रूप में संबंधित डॉट उत्पाद ($$) हैं

इस तरह:

एस घटक
एस ध्रुवीकरण के लिए, $y$फ़ील्ड के समानांतर है $xy$ अक्ष और इसलिए इसे इसके घटक द्वारा वर्णित किया जा सकता है $θ_{i}$ दिशा। मान लीजिए परावर्तन और संचरण गुणांक हैं $j$ और $i$ क्रमश। फिर, यदि घटना $θ_{t},$ फ़ील्ड को इकाई आयाम के रूप में लिया जाता है, चरणबद्ध रूप ($$) उसके जैसा $t$घटक है

और प्रतिबिंबित और प्रसारित क्षेत्र, एक ही रूप में हैं

इस आलेख में उपयोग किए गए संकेत सम्मेलन के तहत, एक सकारात्मक प्रतिबिंब या संचरण गुणांक वह है जो अनुप्रस्थ क्षेत्र की दिशा को संरक्षित करता है, जिसका अर्थ है (इस संदर्भ में) घटना के विमान के लिए सामान्य क्षेत्र। एस ध्रुवीकरण के लिए, इसका मतलब है $r$ मैदान। यदि घटना, प्रतिबिंबित, और संचरित होती है $n= 1$ क्षेत्रों (उपरोक्त समीकरणों में) में हैं $n_{1}k$दिशा (पेज से बाहर), फिर संबंधित $y<0$ चूंकि क्षेत्र लाल तीरों की दिशा में हैं $n_{2}k$ दाएं हाथ का ऑर्थोगोनल ट्रायड बनाएं। वह $E$ फ़ील्ड्स को उनके घटकों द्वारा उन तीरों की दिशाओं में वर्णित किया जा सकता है, जिन्हें द्वारा दर्शाया गया है $z$. तब से $z$

अंतरापृष्ठ पर, विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों के लिए सामान्य अंतरापृष्ठ स्थितियों द्वारा, के स्पर्शरेखीय घटक $r_{s}$ और $t_{s},$फ़ील्ड निरंतर होनी चाहिए; वह है, {{NumBlk|:|$$\left.\begin{align} E_\text{i} + E_\text{r} &= E_\text{t}\\ H_\text{i}\cos\theta_\text{i} - H_\text{r}\cos\theta_\text{i} &= H_\text{t}\cos\theta_\text{t} \end{align}\right\}\text{at} y=0\,.$$|$$}} जब हम समीकरणों से प्रतिस्थापित करते हैं ($$) को ($$) और फिर से ($k$), घातीय कारक रद्द हो जाते हैं जिससे अंतरापृष्ठ की स्थितियाँ एक साथ समीकरणों में कम हो जाती हैं

$E$ और $z$ का समाधान सरलता से हो जाता है, से उत्पन्न होता है:

और

सामान्य घटना पर $E$ एक अतिरिक्त सबस्क्रिप्ट 0 द्वारा इंगित, ये परिणाम बन जाते हैं

और

चारण की घटना $E$ पर, हमारे पास $z$ है इस प्रकार $H$ और $k,E,H$.

पी घटक
p ध्रुवीकरण के लिए घटना परिलक्षित और प्रसारित होती है $H$ क्षेत्रों लाल तीरों के समानांतर हैं और इसलिए उन तीरों की दिशाओं में उनके घटकों द्वारा वर्णित किया जा सकता है। उन घटकों को रहने दो $H_{i},H_{r} ,H_{t}$ (नए संदर्भ के लिए प्रतीकों को फिर से परिभाषित करना)। मान लीजिए परावर्तन और संचरण गुणांक हैं $H=YE ,$ और $E$. फिर, यदि घटना $H$ क्षेत्र को इकाई आयाम के रूप में लिया जाता है, हमारे पास है

यदि $r_{s}$ क्षेत्र लाल तीरों की दिशाओं में हैं, तो, क्रम में $t_{s}$ एक दाएं हाथ के ऑर्थोगोनल ट्रायड को बनाने के लिए, संबंधित $(θ_{i}= θ_{t}= 0),$ क्षेत्रों में होना चाहिए $(θ_{i}→ 90°)$ दिशा (पेज में) और इसलिए उस दिशा में उनके घटकों द्वारा वर्णित किया जा सकता है। यह अपनाए गए संकेत सम्मेलन के अनुरूप है, अर्थात् एक सकारात्मक प्रतिबिंब या संचरण गुणांक वह है जो अनुप्रस्थ क्षेत्र की दिशा को संरक्षित करता है (द $cosθ_{i}→ 0$ पी ध्रुवीकरण की स्थिति में फ़ील्ड). लाल तीरों के साथ दूसरे क्षेत्र का समझौता संकेत सम्मेलन की एक वैकल्पिक परिभाषा को प्रकट करता है: एक सकारात्मक प्रतिबिंब या संचरण गुणांक वह है जिसके लिए घटना के विमान में फ़ील्ड वेक्टर प्रतिबिंब या संचरण से पहले और बाद में एक ही माध्यम की ओर इंगित करता है।

तब घटना के लिए प्रतिबिंबित और प्रसारित $r_{s}→−1$ क्षेत्र, संबंधित घटकों को अंदर आने दें $t_{s}→ 0$दिशा हो $E$. तब से $E_{i},E_{r} ,E_{t}$

अंतरापृष्ठ पर, स्पर्शरेखीय घटक $r_{p}$ और $t_{p}$ क्षेत्र के निरंतर होने चाहिए; वह है, {{NumBlk|:|$$\left.\begin{align} E_\text{i}\cos\theta_\text{i} - E_\text{r}\cos\theta_\text{i} &= E_\text{t}\cos\theta_\text{t}\\ H_\text{i} + H_\text{r} &= H_\text{t} \end{align}\right\}\text{at} y=0\,.$$|$$}} जब हम समीकरणों ($$) और ($$) और फिर से ($$) से प्रतिस्थापित करते हैं एवं घातीय कारक फिर से रद्द हो जाते हैं जिससे अंतरापृष्ठ की स्थिति कम हो जाती है

$E$ और $E$ के लिए समाधान, हम देखतें है

और

सामान्य घटना पर $k,E,H$ एक अतिरिक्त सबस्क्रिप्ट 0 द्वारा इंगित, ये परिणाम बन जाते हैं

और

चारण की घटना पर $H$, हमारे पास पुनः $−z$ है इस प्रकार $H$ और $H$.

($$) और ($$) के साथ ($$) और ($$) की तुलना, हम देखते हैं कि सामान्य घटना पर, अपनाए गए संकेत सम्मेलन के अंतर्गत दो ध्रुवीकरणों के लिए संचरण गुणांक बराबर होते हैं जबकि प्रतिबिंब गुणांक में समान परिमाण लेकिन विपरीत संकेत होते हैं। यद्यपि संकेतों का यह टकराव सम्मेलन की हानि है लेकिन इसका सहायक लाभ यह है कि संकेत चारण की घटनाओं पर सहमत होते हैं।

शक्ति अनुपात (परावर्तन और संचारण)
किसी तरंग के लिए पोयंटिंग वेक्टर वह वेक्टर होता है जिसका घटक किसी भी दिशा में उस दिशा के लंबवत सतह पर उस तरंग का विकिरण (प्रति इकाई क्षेत्र शक्ति) होता है। एक समतल साइनसॉइडल तरंग के लिए पोयंटिंग वेक्टर $−z$ है जहाँ $H_{i},H_{r} ,H_{t}$ और $H=YE ,$ केवल प्रश्नगत तरंग के कारण होते हैं और तारांकन जटिल संयुग्मन को दर्शाता है। दोषरहित ढांकता हुआ (सामान्य स्थिति) के अंदर, $E$ और $H$ चरण में हैं, और एक दूसरे से और तरंग वेक्टर से समकोण पर हैं $r_{p}$; तो, एस ध्रुवीकरण के लिए, का उपयोग कर $$ और $$ के घटक $t_{p}$ और $(θ_{i}= θ_{t}= 0),$ क्रमशः (या पी ध्रुवीकरण के लिए, का उपयोग करके $$ और $$ के घटक $(θ_{i}→ 90°)$ और $cosθ_{i}→ 0$), की दिशा में विकिरण $r_{p}→−1$ द्वारा $t_{p}→ 0$ सरलता से दिया जाता है जो $1⁄2 Re\{E×H^{∗}\}$ आंतरिक प्रतिबाधा के माध्यम में $E$ अंतरापृष्ठ की सामान्य दिशा में विकिरण की गणना करने के लिए है जैसा कि हमें पावर ट्रांसमिशन गुणांक $$ घटक (पूर्ण के स्थान पर) की परिभाषा में आवश्यकता होगी हम केवल इसका उपयोग कर सकते हैं । $$ का घटक $H$ या $E$ या समकक्ष, बस गुणा करें $H$ उचित ज्यामितीय कारक द्वारा $k$ प्राप्त करना।

समीकरणों से ($$) और ($$) वर्ग परिमाण लेते हुए हम पाते हैं कि परावर्तनशीलता (आपतित शक्ति के लिए परावर्तित शक्ति का अनुपात) है,

एस ध्रुवीकरण के लिए और

पी ध्रुवीकरण के लिए

ध्यान दें कि एक ही माध्यम में और एक ही साथ दो ऐसी तरंगों की शक्तियों की तुलना करते समय क्योंकि θ ऊपर उल्लिखित प्रतिबाधा और ज्यामितीय कारक समान हैं और रद्द हो जाते हैं। लेकिन विद्युत पारेषण (नीचे) की गणना करते समय इन कारकों को ध्यान में रखा जाना चाहिए।

पावर ट्रांसमिशन गुणांक $E$ (ऊर्जा संरक्षण) प्राप्त करने का सबसे सरल प्रकार (संप्रेषण, अंतरापृष्ठ की सामान्य दिशा में संचारित शक्ति और घटना शक्ति का अनुपात, जैसे कि $$ दिशा) का उपयोग करना है। इस प्रकार हम पाते हैं,

s ध्रुवीकरण के लिए और

पी ध्रुवीकरण के लिए।

दो दोषरहित माध्यमों (जिसके लिए ϵ और μ वास्तविक और सकारात्मक हैं) के मध्य एक अंतरापृष्ठ की स्थिति में कोई इन परिणामों को सीधे आयाम संचरण गुणांक के वर्ग परिमाण का उपयोग करके प्राप्त कर सकता है जो हमने पहले समीकरणों में पाया था ($$) और ($$). लेकिन दिए गए आयाम के लिए (जैसा कि ऊपर बताया गया है) पोयंटिंग वेक्टर का घटक $$ दिशा ज्यामितीय कारक के समानुपाती होती है $H$ और तरंग प्रतिबाधा $$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है एवं इन सुधारों को प्रत्येक तरंग पर लागू करने पर हमें आयाम संचरण गुणांक के वर्ग को गुणा करने वाले दो अनुपात प्राप्त होते हैं:

एस ध्रुवीकरण के लिए, और

p ध्रुवीकरण के लिए अंतिम दो समीकरण केवल दोषरहित डाइलेक्ट्रिक्स पर लागू होते हैं और केवल क्रांतिक कोण से छोटे आपतन कोणों पर (जिससे परे निश्चित रूप से, $E$)

अध्रुवीकृत प्रकाश के लिए:

$$T={1 \over 2}(T_s+T_p)$$

$$R={1 \over 2}(R_s+R_p)$$ कहाँ $$R+T=1$$.

समान अपवर्तनांक
समीकरणों से ($$) और ($$), हम देखते हैं कि दो असमान माध्यमों में एक ही अपवर्तक सूचकांक होगा लेकिन अलग-अलग प्रवेश होंगे यदि उनकी पारगम्यता का अनुपात उनकी पारगम्यता के अनुपात का व्युत्क्रम है। उस असामान्य स्थिति में हमारे पास $H$ है (अर्थात संचरित किरण अविचलित है) ताकि समीकरणों में cosin ($$), ($$), ($$), ($$), और ($$) को ($$) रद्द हो जाता है और सभी परावर्तन और संचरण अनुपात आपतन कोण से स्वतंत्र हो जाते हैं; दूसरे शब्दों में सामान्य घटनाओं का अनुपात आपतन के सभी कोणों पर लागू हो जाता है। जब इसे गोलाकार परावर्तन या प्रकीर्णन तक बढ़ाया जाता है तो इसका परिणाम "माई प्रकीर्णन" के लिए "केर्कर प्रभाव" में होता है।

गैर-चुंबकीय माध्यम
चूँकि फ़्रेज़नेल समीकरण प्रकाशिकी के लिए विकसित किए गए थे वे सामान्य रूप से गैर-चुंबकीय सामग्रियों के लिए दिए जाते हैं। विभाजन ($$) द्वारा ($$)) उपज$$Y=\frac{n}{\,c\mu\,}\,.$$गैर-चुंबकीय माध्यमों के लिए हम निर्वात पारगम्यता μ को 0 μ के लिए प्रतिस्थापित कर सकते हैं ताकि$$Y_1=\frac{n_1}{\,c\mu_0} ; Y_2=\frac{n_2}{\,c\mu_0}\,;$$अर्थात् प्रवेश केवल संबंधित अपवर्तक सूचकांकों के समानुपाती होते हैं। जब हम समीकरणों में ये प्रतिस्थापन करते हैं तब ($z$) को ($xy$) और समीकरण ($xy$) को ($-z$) कारक cμ0 रद्द करता है तथा आयाम गुणांक के लिए हम प्राप्त करते हैं:

सामान्य आपतन की स्थिति में ये कम हो जाते हैं:

शक्ति परावर्तन गुणांक बन जाते हैं:

इसके बाद पावर ट्रांसमिशन पाया जा सकता है $k$.

ब्रूस्टर का कोण
समान पारगम्यता (गैर-चुंबकीय माध्यमों) के लिए यदि $EH/2$ और $E^{2}/2Z$ पूरक कोण हैं तब हम $Z=1/Y$ के लिए $H$ और $E$ के लिए $EH/2$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं ताकि समीकरण में अंश $(E^{2}/2Z)cosθ$ ($x$) बन जाता है जो शून्य है (स्नेल के नियम के अनुसार)। इस प्रकार $R+T=1$ और केवल s-ध्रुवीकृत घटक परिलक्षित होता है। ब्रूस्टर कोण पर यही होता है। स्थानापन्न $cosθ$ के लिए $T=0$ स्नेल के नियम में हम सरलता से प्राप्त करते हैं

ब्रूस्टर के कोण के लिए.

समान पारगम्यताएँ
यद्यपि व्यवहार में इसका सामना नहीं किया जाता है एवं समीकरण सामान्य पारगम्यता वाले लेकिन अलग-अलग पारगम्यता के कारण अलग-अलग अपवर्तक सूचकांक वाले दो माध्यमों की स्थिति में भी लागू हो सकते हैं। समीकरणों से ($xy$) और ($$), यदि μ के स्थान पर ϵ निश्चित है तो $$, $$ के व्युत्क्रमानुपाती हो जाता है एवं इस परिणाम के साथ कि समीकरणों में सबस्क्रिप्ट 1 और 2 ($$) को ($y$) परस्पर परिवर्तित कर दिए जाते हैं (अंश और हर को गुणा करने के अतिरिक्त चरण के कारण) $θ_{t}= θ_{i}$) इसलिए ($$) और ($$) में, $T=1&minus;R$ और $θ_{i}$ के लिए भाव अपवर्तक सूचकांकों के संदर्भ में परस्पर परिवर्तन किया जाएगा ताकि ब्रूस्टर का कोण ($$) दे देंगे $θ_{t}$ के स्थान पर $sinθ_{t}$ और उस कोण पर परावर्तित कोई भी किरण एस-ध्रुवीकरण स्थान पर p-ध्रुवीकृत होगी। इसी प्रकार फ़्रेज़नेल का साइन नियम s ध्रुवीकरण स्थान पर p ध्रुवीकरण पर लागू होगा और उसका स्पर्शरेखा नियम p ध्रुवीकरण स्थान पर s ध्रुवीकरण पर लागू होगा।

ध्रुवीकरण का यह स्विच प्रकाश तरंगों के पुराने यांत्रिक सिद्धांत में एक एनालॉग है (देखें §इतिहास, ऊपर)। कोई भी परावर्तन गुणांक का अनुमान लगा सकता है जो यह मानकर अवलोकन से सहमत है (फ़्रेज़नेल की तरह) कि अलग-अलग अपवर्तक सूचकांक अलग-अलग घनत्वों के कारण थे और कंपन सामान्य थे जिसे तब ध्रुवीकरण का समतल कहा जाता था या यह मानकर (जेम्स मैक्कुलघ और फ्रांज अर्न्स्ट की तरह) न्यूमैन) कि अलग-अलग अपवर्तक सूचकांक अलग-अलग लोच के कारण थे और कंपन उस तल के समानांतर थे। इस प्रकार समान पारगम्यता और असमान पारगम्यता की स्थिति जबकि यथार्थवादी नहीं है बल्कि कुछ ऐतिहासिक रुचि की है।

यह भी देखें

 * जोन्स कैलकुलस
 * ध्रुवीकरण मिश्रण
 * सूचकांक-मिलान सामग्री
 * क्षेत्र और बिजली की मात्रा
 * फ़्रेज़नेल रोम्ब, वृत्ताकार ध्रुवीकृत प्रकाश उत्पन्न करने वाला फ़्रेज़नेल का उपकरण
 * प्रतिबिंब हानि
 * परावर्तक प्रतिबिंब
 * श्लिक का सन्निकटन
 * स्नेल की खिड़की
 * एक्स-रे परावर्तनशीलता
 * घटना का तल
 * संचालन रेखाओं पर संकेतों का परावर्तन

स्रोत

 * एम. बॉर्न और ई. वुल्फ, 1970, प्रकाशिकी के सिद्धांत, चौथा संस्करण, ऑक्सफोर्ड: पेर्गमॉन प्रेस।
 * जे.जेड. बुचवाल्ड, 1989, द राइज़ ऑफ़ द वेव थ्योरी ऑफ़ लाइट: ऑप्टिकल थ्योरी एंड एक्सपेरिमेंट इन द अर्ली नाइनटीन्थ सेंचुरी, यूनिवर्सिटी ऑफ़ शिकागो प्रेस, ISBN 0-226-07886-8.
 * दोबारा। कॉलिन, 1966, फ़ाउंडेशन फ़ॉर माइक्रोवेव इंजीनियरिंग, टोक्यो: मैकग्रा-हिल।
 * ओ. डारिगोल, 2012, ए हिस्ट्री ऑफ ऑप्टिक्स: फ्रॉम ग्रीक एंटिक्विटी टू द नाइनटीन्थ सेंचुरी, ऑक्सफोर्ड, ISBN 978-0-19-964437-7.
 * ए. फ्रेस्नेल, 1866 (ईडी। एच. डी सेनारमोंट, ई. वर्डेट, और एल. फ्रेस्नेल), ओउवर्स कंप्लीट्स डी'ऑगस्टिन फ्रेस्नेल, पेरिस: इम्प्रिमेरी इम्पेरियल (3 खंड, 1866-70), id=1l0_AAAAcAAJ वॉल्यूम।1 (1866)।
 * ई. हेचट, 1987, ऑप्टिक्स, दूसरा संस्करण, एडिसन वेस्ले, ISBN 0-201-11609-X.
 * ई. हेचट, 2002, ऑप्टिक्स, चौथा संस्करण, एडिसन वेस्ले, ISBN 0-321-18878-0.
 * एफ.ए. जेनकिंस और एच.ई. व्हाइट, 1976, फ़ंडामेंटल्स ऑफ़ ऑप्टिक्स, चौथा संस्करण, न्यूयॉर्क: मैकग्रा-हिल, ISBN 0-07-032330-5.
 * एच. लॉयड, 1834, भौतिक प्रकाशिकी की प्रगति और वर्तमान स्थिति पर रिपोर्ट, ब्रिटिश एसोसिएशन फॉर द एडवांसमेंट की चौथी बैठक की रिपोर्ट विज्ञान (1834 में एडिनबर्ग में आयोजित), लंदन: जे. मरे, 1835, पृ.295-413.
 * डब्ल्यू. व्हीवेल, 1857, आगमनात्मक विज्ञान का इतिहास: प्रारंभिक से वर्तमान समय तक, तीसरा संस्करण, लंदन: जे.डब्ल्यू. पार्कर एंड सन, वॉल्यूम।2.
 * ई. टी. व्हिटेकर, 1910, ए हिस्ट्री ऑफ़ द थ्योरीज़ ऑफ़ एथर एंड इलेक्ट्रिसिटी|ए हिस्ट्री ऑफ़ द थ्योरीज़ ऑफ़ एथर एंड इलेक्ट्रिसिटी: फ्रॉम द एज ऑफ़ डेसकार्टेस टू द क्लोज ऑफ़ द नाइनटीन्थ सेंचुरी, लंदन: लॉन्गमैन्स, ग्रीन, एंड कंपनी।

अग्रिम पठन

 * Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC publishers, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
 * McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), C.B. Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3
 * Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC publishers, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
 * McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), C.B. Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3
 * Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC publishers, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
 * McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), C.B. Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3

बाहरी संबंध

 * Fresnel Equations – Wolfram.
 * Fresnel equations calculator
 * FreeSnell – Free software computes the optical properties of multilayer materials.
 * Thinfilm – Web interface for calculating optical properties of thin films and multilayer materials (reflection & transmission coefficients, ellipsometric parameters Psi & Delta).
 * Simple web interface for calculating single-interface reflection and refraction angles and strengths.
 * Reflection and transmittance for two dielectrics – Mathematica interactive webpage that shows the relations between index of refraction and reflection.
 * A self-contained first-principles derivation of the transmission and reflection probabilities from a multilayer with complex indices of refraction.