हार्मोनिक संतुलन

सुरीले संतुलन एक विधि है जिसका उपयोग स्थिर स्थिति (इलेक्ट्रॉनिक्स) की गणना करने के लिए किया जाता है। गैर-रैखिक अंतर समीकरणों की स्थिर-अवस्था प्रतिक्रिया, और ज्यादातर गैर-रैखिक विद्युत परिपथों पर लागू होता है . विभिन्न समय-डोमेन स्थिर अवस्था विधियों के विपरीत, स्थिर अवस्था की गणना के लिए यह आवृत्ति डोमेन विधि है। हार्मोनिक संतुलन नाम विधि का वर्णनात्मक है, जो आवृत्ति डोमेन में लिखे गए किरचॉफ के वर्तमान कानून और हार्मोनिक्स की एक चुनी हुई संख्या से शुरू होता है। सिस्टम में एक गैर-रैखिक घटक पर लागू एक साइनसॉइडल सिग्नल मौलिक आवृत्ति के हार्मोनिक्स उत्पन्न करेगा। प्रभावी ढंग से विधि मानती है कि समाधान को साइनसोइड्स के एक रैखिक संयोजन द्वारा दर्शाया जा सकता है, फिर किरचॉफ के नियम को संतुष्ट करने के लिए वर्तमान और वोल्टेज साइनसोइड्स को संतुलित करता है। विधि का उपयोग आमतौर पर सर्किट को अनुकरण करने के लिए किया जाता है जिसमें गैर-रैखिक तत्व शामिल होते हैं, और प्रतिक्रिया  वाले सिस्टम पर सबसे अधिक लागू होता है जिसमें सीमित चक्र होते हैं।

इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में हार्मोनिक संतुलन विधियों के लिए माइक्रोवेव सर्किट मूल अनुप्रयोग थे। माइक्रोवेव सर्किट अच्छी तरह से अनुकूल थे, क्योंकि ऐतिहासिक रूप से, माइक्रोवेव सर्किट में कई रैखिक घटक होते हैं, जिन्हें फ़्रीक्वेंसी डोमेन में सीधे प्रदर्शित किया जा सकता है, साथ ही कुछ गैर-रैखिक घटक भी। सिस्टम आकार आमतौर पर छोटे थे। अधिक सामान्य सर्किटों के लिए, विधि को सभी के लिए अव्यावहारिक माना जाता था लेकिन 1990 के दशक के मध्य तक ये बहुत छोटे सर्किट थे, जब क्रायलोव सबस्पेस को समस्या पर लागू किया गया था। पूर्वानुकूलित क्रायलोव उप-अंतरिक्ष विधियों के अनुप्रयोग ने सर्किट के आकार और हार्मोनिक्स की संख्या दोनों में बहुत बड़ी प्रणालियों को हल करने की अनुमति दी। इसने रेडियो-फ्रीक्वेंसी इंटीग्रेटेड सर्किट (RFIC) का विश्लेषण करने के लिए हार्मोनिक बैलेंस विधियों के वर्तमान उपयोग को व्यावहारिक बना दिया।

उदाहरण
अंतर समीकरण पर विचार करें $$\ddot x + x^3 = 0$$. हम दृष्टिकोण समाधान का उपयोग करते हैं $$x = A \cos(\omega t)$$, और प्लगिंग इन, हम प्राप्त करते हैं $$-A\omega^2 \cos(\omega t) + A^3 \frac 14 (\cos(3\omega t) + 3\cos(\omega t) ) = 0.$$ फिर मिलान करके $$\cos(\omega t)$$ शर्तें, हमारे पास है $$\omega = \sqrt{\frac 34} A$$, जो अनुमानित अवधि देता है $$T = \frac{2\pi}{\omega} \approx \frac{7.2552}{A}$$.

अधिक सटीक सन्निकटन के लिए, हम ansatz समाधान का उपयोग करते हैं $$x = A_1 \cos(\omega t) + A_3 \cos(3\omega t)$$. इन्हें प्लग इन करना और मिलान करना $$\cos(\omega t)$$, $$\cos(3\omega t)$$ शर्तें, हम नियमित बीजगणित के बाद प्राप्त करते हैं: $$\omega = \sqrt{\frac 34} A_1 \sqrt{1 + y + 2y^2}, \quad y = A_3/A_1, \quad 51y^3 + 27 y^2 + 21 y - 1 = 0.$$ के लिए घन समीकरण $$y$$ केवल एक वास्तविक जड़ होती है $$y \approx 0.0448$$. इसके साथ, हम एक अनुमानित अवधि प्राप्त करते हैं $$T = \frac{2\pi(1+y)}{\sqrt{\frac 34} A \sqrt{1 + y + 2y^2}} \approx \frac{7.402}{A}$$इस प्रकार हम सटीक समाधान तक पहुंचते हैं $$T = 7.4163\cdots/A$$.

एल्गोरिथम
हार्मोनिक बैलेंस एल्गोरिदम का एक विशेष संस्करण है: गैलेरकिन विधि | गैलेरकिन की विधि। इसका उपयोग स्वायत्त और गैर-स्वायत्त के आवधिक समाधानों की गणना के लिए किया जाता है: विभेदक बीजगणितीय समीकरण | समीकरणों के अंतर-बीजीय प्रणाली। स्वायत्त लोगों के उपचार की तुलना में गैर-स्वायत्त प्रणालियों का उपचार थोड़ा सरल है। एक गैर-स्वायत्त डीएई प्रणाली का प्रतिनिधित्व है

0=F(t,x,\dot x) $$ पर्याप्त सुचारू कार्य के साथ $$F:\mathbb{R}\times\mathbb{C}^n\times\mathbb{C}^n\rightarrow\mathbb{C}^n$$ कहाँ $$n$$ समीकरणों की संख्या है और $$t,x,\dot x$$ समय के लिए प्लेसहोल्डर हैं, अज्ञात के वेक्टर और समय-डेरिवेटिव के वेक्टर।

यदि कार्य करता है तो सिस्टम गैर-स्वायत्त है $$t\in\mathbb{R}\mapsto F(t,x,\dot x)$$ (कुछ) निश्चित के लिए स्थिर नहीं है $$x$$ और $$\dot x$$. फिर भी, हमें आवश्यकता है कि एक ज्ञात उत्तेजना अवधि हो $$T>0$$ ऐसा है कि $$t\in\mathbb{R}\mapsto F(t,x,\dot x)$$ है $$T$$-आवधिक।

के लिए एक प्राकृतिक उम्मीदवार निर्धारित है $$T$$सिस्टम समीकरणों का आवधिक समाधान सोबोलेव स्पेस है $$H^1_{\rm per}((0,T),\mathbb{C}^n)$$ अंतराल पर कमजोर रूप से अलग-अलग कार्यों की $$[0,T]$$ आवधिक सीमा शर्तों के साथ $$x(0)=x(T)$$. हम मानते हैं कि चिकनाई और की संरचना $$F$$ निश्चित करता है की $$F(t,x(t),\dot x(t))$$ स्क्वायर-इंटीग्रेबल फ़ंक्शन है | सभी के लिए स्क्वायर-इंटीग्रेबल $$x\in H^1_{\rm per}((0,T),\mathbb{C}^n)$$.

प्रणाली $$B:=\left\{\psi_k \mid k\in\mathbb{Z}\right\}$$ हार्मोनिक कार्यों की $$\psi_k:=\exp\left(i k\frac{2\pi t}{T}\right)$$ का एक कंपकंपी आधार है $$H^1_{\rm per}((0,T),\mathbb{C}^n)$$ और एक हिल्बर्ट आधार (रैखिक प्रोग्रामिंग) बनाता है |: हिल्बर्ट अंतरिक्ष का हिल्बर्ट आधार $$H:=L^2([0,T],\mathbb{C})$$ वर्ग-अभिन्न कार्यों की। इसलिए, प्रत्येक समाधान उम्मीदवार $$x\in H^1_{\rm per}((0,T),\mathbb{C}^n)$$ एक फूरियर-श्रृंखला द्वारा प्रतिनिधित्व किया जा सकता है $$x(t)=\sum_{k=-\infty}^\infty \hat x_k \exp\left(i k\frac{2\pi t}{T}\right) $$ फूरियर-गुणांकों के साथ $$\hat x_k:=\frac1T\int_0^T\psi^*_k(t)\cdot x(t)dt$$ और प्रत्येक आधार कार्य के लिए प्रणाली समीकरण कमजोर अर्थों में संतुष्ट है $$\psi\in B$$ परिवर्तनशील समीकरण

0=\langle \psi, F(t,x,\dot x)\rangle_H := \frac 1 T \int_0^T \psi^*(t) \cdot F(t,x,\dot x) dt $$ पूरा हो गया है। यह परिवर्तनशील समीकरण स्केलर समीकरणों के एक अनंत अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करता है क्योंकि इसे अनंत संख्या में आधार कार्यों के लिए परीक्षण किया जाना है $$\psi$$ में $$B$$.

हार्मोनिक संतुलन के लिए गैलेरकिन दृष्टिकोण उम्मीदवार सेट के साथ-साथ परिमित समीकरण के लिए परीक्षण स्थान को परिमित आधार द्वारा परिमित आयामी उप-अंतरिक्ष में प्रोजेक्ट करना है। $$B_N:=\{\psi_k \mid k\in\mathbb{Z}\text{ with } -N \leq k \leq N\}$$.

यह परिमित-आयामी समाधान देता है $$ x(t) = \sum_{k=-N}^N \hat x_k \psi_k(t) = \sum_{k=-N}^N \hat x_k \exp\left(i k \frac{2\pi t}{T}\right)$$ और समीकरणों का परिमित सेट

0 = \langle \psi_k, F(t,x,\dot x)\rangle\quad\text{ with }k=-N,\ldots,N $$ जिसे संख्यात्मक रूप से हल किया जा सकता है।

इलेक्ट्रॉनिक्स के विशेष संदर्भ में एल्गोरिथ्म आवृत्ति-डोमेन में लिखे किरचॉफ के वर्तमान कानून से शुरू होता है। प्रक्रिया की दक्षता बढ़ाने के लिए, सर्किट को इसके रैखिक और गैर-रैखिक भागों में विभाजित किया जा सकता है, क्योंकि रैखिक भाग को आसानी से वर्णित किया जाता है और आवृत्ति डोमेन में सीधे नोडल विश्लेषण का उपयोग करके गणना की जाती है।

सबसे पहले, समाधान के लिए प्रारंभिक अनुमान लगाया जाता है, फिर पुनरावृत्त प्रक्रिया जारी रहती है:


 * 1) वोल्टेज $$V$$ रैखिक भाग की धाराओं की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है, $$I_\text{linear}$$ आवृत्ति डोमेन में।
 * 2) वोल्टेज $$V$$ तब गैर-रैखिक भाग में धाराओं की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है, $$I_\text{nonlinear}$$. चूंकि अरैखिक उपकरणों को समय डोमेन, आवृत्ति-डोमेन वोल्टेज में वर्णित किया गया है $$V$$ समय डोमेन में तब्दील हो जाते हैं, आमतौर पर उलटा फास्ट फूरियर रूपांतरण का उपयोग करते हैं। गैर-रैखिक उपकरणों का मूल्यांकन समय-क्षेत्र वोल्टेज तरंगों का उपयोग करके उनके समय-क्षेत्र धाराओं का उत्पादन करने के लिए किया जाता है। धाराओं को फिर फ़्रीक्वेंसी डोमेन में बदल दिया जाता है।
 * 3) किरचॉफ के वर्तमान नियम के अनुसार | किरचॉफ के सर्किट नियम, धाराओं का योग शून्य होना चाहिए, $$\epsilon = I_\text{linear} + I_\text{nonlinear} = 0$$. नेटवर्क वोल्टेज को अपडेट करने के लिए एक पुनरावृत्त प्रक्रिया, आमतौर पर न्यूटन पुनरावृत्ति का उपयोग किया जाता है $$V$$ जैसे कि वर्तमान अवशिष्ट $$\epsilon$$ कम किया गया है। इस कदम के लिए जैकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक के निर्माण की आवश्यकता है $$\tfrac{d\epsilon}{dV}$$.

अभिसरण तब होता है जब $$\epsilon$$ स्वीकार्य रूप से छोटा है, जिस बिंदु पर स्थिर-अवस्था समाधान के सभी वोल्टेज और धाराओं को जाना जाता है, जिसे अक्सर फूरियर गुणांक के रूप में दर्शाया जाता है।