स्व-सहायक संचालिका

गणित में आंतरिक उत्पाद के साथ एक अनंत-आयामी जटिल सदिश स्थान V पर एक स्व-सहायक संचालिका $$\langle\cdot,\cdot\rangle$$ (समकक्ष परिमित-आयामी स्थितियों में एक हर्मिटियन संचालक ) एक रैखिक मानचित्र A  (V से स्वयं तक) है जो एक संचालक का अपना सहायक है। यदि V किसी दिए गए ऑर्थोनॉर्मल आधार के साथ परिमित-आयामी है तो यह इस नियम के समान है कि A  का आव्युह  (गणित) एक हर्मिटियन आव्युह  है अर्थात  इसके संयुग्म स्थानान्तरण A  के समान होती  है। परिमित-आयामी वर्णक्रमीय प्रमेय के अनुसार V का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार है जैसे कि इस आधार के सापेक्ष A  का आव्युह  वास्तविक संख्याओं में प्रविष्टियों के साथ एक विकर्ण आव्युह  है। यह आलेख इच्छानुसार आयाम के हिल्बर्ट स्थान पर संचालक के लिए इस अवधारणा के सामान्यीकरण को प्रयुक्त  करने से संबंधित होती  है।

स्व-सहायक संचालक का उपयोग कार्यात्मक विश्लेषण और क्वांटम यांत्रिकी में किया जाता है। क्वांटम यांत्रिकी में उनका महत्व क्वांटम यांत्रिकी के डिराक-वॉन न्यूमैन सूत्रीकरण में निहित है, जिसमें स्थिति, गति, कोणीय गति और स्पिन जैसे भौतिक अवलोकनों को हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर स्व-सहायक संचालक ों द्वारा दर्शाया जाता है। विशेष महत्व का हेमिल्टनियन संचालक $$\hat{H}$$ द्वारा परिभाषित है
 * $$\hat{H} \psi = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi + V \psi,$$

जो एक अवलोकन योग्य के रूप में वास्तविक अदिश क्षमता V में द्रव्यमान m के एक कण की कुल ऊर्जा (भौतिकी) से मेल खाता है। विभेदक संचालक असीमित संचालक का एक महत्वपूर्ण वर्ग होता हैं।

अनंत-आयामी हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर स्व-सहायक संचालक की संरचना अनिवार्य रूप से परिमित-आयामी स्थितियों से मिलती जुलती है। जिसमे कहने का तात्पर्य यह है कि संचालक स्वयं-सहायक होते हैं यदि और केवल तभी जब वे वास्तविक-मूल्यवान गुणन संचालक के समकक्ष एकात्मक संचालक हों। उपयुक्त संशोधनों के साथ इस परिणाम को अनंत-आयामी स्थानों पर संभवतः असीमित संचालक तक बढ़ाया जा सकता है। चूंकि हर स्थान परिभाषित स्व-सहायक संचालक आवश्यक रूप से बाध्य होता है इसलिए किसी को असीमित स्थितियों में डोमेन उद्देश्य पर अधिक ध्यान देने की आवश्यकता है। इसे नीचे और अधिक विस्तार से बताया गया है।

परिभाषाएँ
मान लीजिए कि $$A$$ एक घने डोमेन के साथ एक अनबाउंडेड (अर्थात् आवश्यक रूप से बाउंड नहीं) संचालक है $$\operatorname{Dom}A \subseteq H.$$ यह स्थिति स्वचालित रूप से तब प्रयुक्त होती है जब $$H$$ एक परिमित-आयामी स्थान पर प्रत्येक रैखिक संचालक के लिए $$\operatorname{Dom}A = H$$ से परिमित-आयामी होता है।

दूसरे तर्क पर आंतरिक उत्पाद $$\langle \cdot, \cdot\rangle$$ को संयुग्म-रैखिक होने दें। यह केवल जटिल हिल्बर्ट स्थानों पर प्रयुक्त होता है। परिभाषा के अनुसार, सहायक संचालिका $$A^*$$ तत्वों $$y$$ से युक्त उप-स्थान $$\operatorname{Dom} A^* \subseteq H$$ पर कार्य करता है जिसके लिए एक $$z \in H$$ है जैसे कि प्रत्येक $$ \langle Ax,y \rangle = \langle x,z \rangle, $$ सेटिंग के लिए $$x \in \operatorname{Dom} A.$$ $$A^*y = z$$ रैखिक संचालिका $$A^*.$$ को परिभाषित करता है.

एक (इच्छानुसार) संचालक $$A$$ का ग्राफ़ सेट है। कहा जाता है कि एक संचालक $$B$$, $$A$$ का विस्तार करता है। यदि $$G(A) = \{(x,Ax) \mid x \in \operatorname{Dom}A\}.$$ इसे $$A \subseteq B.$$ के रूप में लिखा जाता है।

सघन रूप से परिभाषित संचालक $$A$$ सममित यदि कहा जाता है


 * $$ \langle Ax, y \rangle = \lang x , Ay \rangle, $$

सभी के लिए $$x,y\in \operatorname{Dom}A.$$ जैसा कि नीचे दिया गया है, $$A$$ सममित है यदि और केवल यदि $$G(A) \subseteq G(A^*).$$

असीमित सघन रूप से परिभाषित संचालक $$A$$ यदि स्व-सहायक कहा जाता है $$G(A)= G(A^*).$$ स्पष्ट रूप से, $$\operatorname{Dom}A = \operatorname{Dom}A^*$$ और $$A = A^*.$$ प्रत्येक स्व-सहायक संचालिका सममित है। इसके विपरीत, एक सममित संचालक $$A$$ जिसके लिए $$\operatorname{Dom}A = \operatorname{Dom}A^*$$ स्वयं-संयुक्त है. भौतिकी में हर्मिटियन शब्द सममिति के साथ-साथ स्वयं-सहायक संचालकों को समान रूप से संदर्भित करता है। दोनों के बीच के सूक्ष्म अंतर को सामान्यतः अनदेखा कर दिया जाता है।

एक उपसमुच्चय $$\rho(A) \subseteq \Complex$$ को रिसॉल्वेंट सेट (या नियमित सेट) कहा जाता है यदि प्रत्येक $$ \lambda \in \rho(A), $$ (आवश्यक रूप से बाध्य नहीं) संचालक $$A - \lambda I$$ के लिए हर जगह परिभाषित व्युत्क्रम होता है। पूरक $$\sigma(A) = \Complex \setminus \rho(A)$$ को स्पेक्ट्रम कहा जाता है। परिमित आयामों में, $$\sigma(A)$$ में विशेष रूप से ईगेनवैल्यू ​​होते हैं।

बाउंडेड सेल्फ-एडजॉइंट संचालक ्स
एक बाउंडेड संचालक A स्व-सहायक है यदि
 * $$\langle Ax, y\rangle = \langle x, Ay\rangle$$

सभी के लिए $$x$$ और $$y$$ H में यदि A सममित है और $$\mathrm{Dom}(A)=H$$, फिर, हेलिंगर-टोएप्लिट्ज़ प्रमेय द्वारा, A आवश्यक रूप से परिबद्ध है।

हिल्बर्ट स्पेस पर प्रत्येक परिबद्ध रैखिक संचालक T : H → H को H के रूप में लिखा जा सकता है जो $$T = A + i B$$ जहां A : H → H और B : H → H परिबद्ध स्व-सहायक संकारक हैं।

परिबद्ध स्व-सहायक संचालकों के गुण
मान लीजिए H एक हिल्बर्ट स्थान है और मान लीजिए $$A : H \to H$$, $$\operatorname{D}\left( A \right) = H$$एक परिबद्ध स्व-सहायक रैखिक संचालिका पर परिभाषित किया गया हो.
 * $$\left\langle h, A h \right\rangle$$ सभी $$h \in H$$ के लिए वास्तविक है.
 * $$\left\| A \right\| = \sup \left\{ |\langle h, A h \rangle| : \| h \| = 1 \right\}$$ यदि $$\operatorname{dim} H \neq 0.$$ * यदि A की छवि, द्वारा निरूपित की जाती है जो  $$\operatorname{Im} A$$, तब H में सघन है $$A : H \to \operatorname{Im} A$$ विपरीत है.
 * A के ईगेनवैल्यू ​​​​वास्तविक हैं और विभिन्न ईगेनवैल्यू ​​​​से संबंधित ईगेनवक्टर ऑर्थोगोनल हैं।
 * यदि $$\lambda$$ तब A का एक ईगेनवैल्यू है $$| \lambda | \leq \| A \|$$; विशेष रूप से, $$| \lambda | \leq \sup \left\{ |\langle h, A h \rangle| : \| h \| \leq 1 \right\}$$.
 * सामान्यतः कोई स्वदेशी मूल्य उपस्थित नहीं हो सकता है $$\lambda$$ ऐसा है कि $$| \lambda | = \sup \left\{ |\langle h, A h \rangle| : \| h \| \leq 1 \right\}$$, किन्तु यदि इसके अतिरिक्त A सघन है तो आवश्यक रूप से एक ईगेनवैल्यू उपस्थित है जो $$\lambda$$, दोनों में से किसी एक के समान $$\| A \|$$ या $$- \| A \|$$, ऐसा है कि $$| \lambda | = \sup \left\{ |\langle h, A h \rangle| : \| h \| \leq 1 \right\}$$,
 * यदि परिबद्ध स्व-सहायक रैखिक संचालक का अनुक्रम अभिसरण है तो सीमा स्व-सहायक है।
 * वहाँ एक संख्या $$\lambda$$ मौजूद है, जो $$\| A \|$$ या $$- \| A \|$$, के समान है और एक क्रम $$\left( x_i \right)_{i=1}^{\infty} \subseteq H$$ ऐसा कि सभी i के लिए $$\lim_{i \to \infty} A x_i - \lambda x_i = 0$$ और$$\| x_i \| = 1$$।

सममित संचालक
नोट: सममित संचालक को ऊपर परिभाषित किया गया है।

A सममित है ⇔ A⊆A$$
एक असीमित, सघन रूप से परिभाषित संचालक $$A$$ सममित है यदि और केवल यदि $$A \subseteq A^*.$$ वास्तव में, यदि-भाग सीधे सहायक संचालक की परिभाषा से अनुसरण करता है। केवल-यदि-भाग के लिए, यह मानते हुए $$A$$ सममित है, समावेशन $$\operatorname{Dom}(A) \subseteq \operatorname{Dom}(A^*)$$ से अनुसरण करता है कॉची-बुन्याकोवस्की-श्वार्ज़ असमानता: प्रत्येक $$x,y \in \operatorname{Dom}(A),$$ के लिए अनुसरण करता है
 * $$ |\langle Ax,y\rangle| = |\langle x,Ay\rangle| \leq \|x\|\cdot \|Ay\|. $$

समानता $$A=A^*|_{\operatorname{Dom}(A)}$$ समानता के कारण धारण करता है
 * $$\langle x,A^*y\rangle = \langle Ax,y\rangle = \langle x,Ay\rangle,$$

हरएक के लिए $$x,y \in \operatorname{Dom}A \subseteq \operatorname{Dom}A^*,$$ का घनत्व $$ \operatorname{Dom} A, $$ और आंतरिक उत्पाद का गैर-विक्षिप्त होता है ।

हेलिंगर-टोएप्लिट्ज़ प्रमेय कहता है कि हर स्थान परिभाषित सममित संचालक परिबद्ध और स्व-सहायक है।

A सममित है ⇔ ∀x ⟨Ax, x⟩ ∈ R
एकमात्र-यदि भाग सीधे परिभाषा से अनुसरण करता है (ऊपर देखें)। यदि-भाग को सिद्ध करने के लिए, व्यापकता की हानि के बिना मान लें कि आंतरिक उत्पाद $$\langle \cdot, \cdot \rangle$$ पहले तर्क पर गैर-रैखिक और दूसरे पर रैखिक है। (विपरीत परिदृश्य में, हम साथ काम करते हैं $$\langle x,y\rangle_\text{op} \stackrel{\text{def}}{=} \ \langle y, x \rangle $$ अतिरिक्त )की समरूपता $$A$$ ध्रुवीकरण पहचान से अनुसरण करता है

\begin{align} 4\langle Ax,y\rangle = {} & \langle A(x+y),x+y\rangle - \langle A(x-y),x-y\rangle \\[1mm] & {} - i\langle A(x+iy),x+iy\rangle + i\langle A(x-iy),x-iy\rangle \end{align} $$ जो हर $$x,y \in \operatorname{Dom}A.$$ किसी के लिए है

||(A−λ)x|| ≥ d(λ)⋅||x||
इस संपत्ति का उपयोग इस प्रमाण में किया जाता है कि स्व-सहायक संचालक का स्पेक्ट्रम वास्तविक है।

परिभाषित करना $$S=\{x \in \operatorname{Dom}A \mid \Vert x\Vert=1\},$$ $$\textstyle m=\inf_{x\in S} \langle Ax,x \rangle, $$ और $$\textstyle M=\sup_{x\in S} \langle Ax,x \rangle.$$ मूल्य $$m,M \in \mathbb{R} \cup \{\pm\infty\}$$ तब से ठीक से परिभाषित हैं $$S \neq \emptyset,$$ और $$\langle Ax,x\rangle \in \mathbb{R},$$ समरूपता के कारण. फिर, प्रत्येक के लिए $$ \lambda \in \Complex $$ और हर $$ x \in \operatorname{Dom}A, $$ से परिभाषित हैं


 * $$ \Vert A - \lambda x\Vert \geq d(\lambda)\cdot \Vert x\Vert,$$

जहाँ $$ \textstyle d(\lambda) = \inf_{r\in [m,M]} |r - \lambda|. $$

वास्तव में, चलो $$x \in \operatorname{Dom}A \setminus \{0\}.$$ कॉची-श्वार्ज़ असमानता द्वारा,

\Vert A - \lambda x\Vert \geq \frac{|\langle A - \lambda x,x\rangle|}{\Vert x\Vert} =\left|\left\langle A\frac{x}{\Vert x\Vert},\frac{x}{\Vert x\Vert}\right\rangle - \lambda\right| \cdot \Vert x\Vert \geq d(\lambda)\cdot \Vert x\Vert. $$ यदि $$ \lambda \notin [m,M], $$ तब $$ d(\lambda) > 0, $$ और $$ A - \lambda I $$ नीचे बाउंडेड कहा जाता है.

एक सरल उदाहरण
जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, वर्णक्रमीय प्रमेय केवल स्व-सहायक संचालक पर प्रयुक्त होता है, और सामान्य रूप से सममित संचालक पर नहीं है फिर भी, इस बिंदु पर हम एक सममित संचालक का एक सरल उदाहरण दे सकते हैं जिसमें आइजेनसदिश का एक लंबात्मक आधार होता है। (यह संचालक वास्तव में अनिवार्य रूप से स्व-सहायक है।) नीचे दिए गए संचालक A को हिल्बर्ट स्पेस व्युत्क्रम पर एक कॉम्पैक्ट संचालक के रूप में देखा जा सकता है, जिसका अर्थ है कि संबंधित अंतर समीकरण Af = g को कुछ अभिन्न (और इसलिए कॉम्पैक्ट) संचालक जी द्वारा हल किया जाता है। कॉम्पैक्ट सममित संचालक G के पास ईगेनवक्टर का एक गणनीय वर्ग होता है जो $L^{2}$ पूर्ण होते हैं A के लिए भी यही कहा जा सकता है।

जटिल हिल्बर्ट स्पेस L2[0,1] और विभेदक संचालक पर विचार करें
 * $$A = -\frac{d^2}{dx^2}$$

$$\mathrm{Dom}(A)$$ के साथ सीमा नियमों को पूरा करने वाले [0, 1] पर सभी जटिल-मूल्य वाले असीम रूप से अलग-अलग कार्यों से युक्त है
 * $$f(0) = f(1) = 0.$$

फिर आंतरिक उत्पाद के कुछ भागो द्वारा एकीकरण से पता चलता है कि A सममित है। पाठक को दो बार भागों द्वारा एकीकरण करने और यह सत्यापित करने के लिए आमंत्रित किया जाता है कि $$\operatorname{Dom}(A)$$ के लिए दी गई सीमा नियम यह सुनिश्चित करती हैं कि भागों द्वारा एकीकरण में सीमा नियम विलुप्त हो जाएं।

A के आइगेनकार्य साइनसॉइड हैं
 * $$f_n(x) = \sin(n \pi x) \qquad  n= 1, 2, \ldots$$

वास्तविक ईगेनवैल्यू ​​​​ n2π2 के साथ साइन कार्य  की प्रसिद्ध ऑर्थोगोनैलिटी सममित होने की संपत्ति के परिणामस्वरूप होती है।

हम नीचे इस संचालक के सामान्यीकरण पर विचार करते हैं।

स्व-सहायक संचालक का स्पेक्ट्रम
होने देना $$A$$ एक असीमित सममित संचालक बनें। $$ A $$ स्व-सहायक है यदि और केवल यदि $$\sigma(A) \subseteq \mathbb{R}.$$

आवश्यक आत्मसंयोजन
एक सममित संचालक A सदैव बंद करने योग्य संचालक होता है; अर्थात्, A के ग्राफ़ का बंद होना एक संचालक का ग्राफ़ है। एक सममित संचालक A  को 'अनिवार्य रूप से स्व-सहायक' कहा जाता है यदि A का समापन स्व-सहायक है। समान रूप से, A अनिवार्य रूप से स्व-सहायक है यदि इसमें एक अद्वितीय स्व-सहायक विस्तार है। वास्तविक रूप से, अनिवार्य रूप से स्व-सहायक संचालक का होना स्व-सहायक संचालक के समान ही अच्छा है, क्योंकि स्व-सहायक संचालक को प्राप्त करने के लिए हमें केवल क्लोजर लेने की आवश्यकता होती है।

उदाहरण: f(x) → x·f(x)
जटिल हिल्बर्ट स्पेस L2(R), और संचालक पर विचार करें जो किसी दिए गए फलन को x से गुणा करता है:
 * $$A f(x) = xf(x)$$

A का डोमेन सभी L2 का स्थान है जो कार्य $$f(x)$$ जिसके लिए $$xf(x)$$ वर्ग-अभिन्न भी है। तब A स्व-संयुक्त है। दूसरी ओर, A का कोई आइगेनकार्य नहीं है। (अधिक स्पष्ट रूप से, A के पास कोई सामान्यीकरण योग्य ईजेनसदिश  नहीं है, अर्थात ईजेनसदिश  जो वास्तव में हिल्बर्ट स्पेस में हैं जिस पर A परिभाषित है।)

जैसा कि हम बाद में देखेंगे स्व-सहायक संचालक के पास बहुत महत्वपूर्ण वर्णक्रमीय गुण होते हैं; वे वास्तव में सामान्य माप स्थानों पर गुणन संचालिका हैं।

सममित बनाम स्व-सहायक संचालक
जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, चूंकि एक सममित संचालक और एक स्व-सहायक (या अनिवार्य रूप से स्व-सहायक) संचालक के बीच अंतर एक सूक्ष्म है, यह महत्वपूर्ण है क्योंकि वर्णक्रमीय प्रमेय में स्व-संयुक्तता परिकल्पना है। यहां हम भेद के कुछ ठोस उदाहरणों पर चर्चा करते हैं; सामान्य सिद्धांत के लिए सममित संचालक के विस्तार पर नीचे दिया गया अनुभाग देखें।

डोमेन के संबंध में एक नोट
प्रत्येक स्व-सहायक संचालिका सममित है। इसके विपरीत, प्रत्येक सममित संचालक जिसके लिए $$\operatorname{Dom}(A^*) \subseteq \operatorname{Dom}(A)$$ स्वयं-संयुक्त है. जिसके लिए सममित संचालक $$\operatorname{Dom}(A^*) $$ से सख्ती से बड़ा है $$\operatorname{Dom}(A) $$ स्व-संगठित नहीं हो सकता है

सीमा स्थितियाँ
ऐसे स्थितियों में जहां हिल्बर्ट स्पेस एक बंधे हुए डोमेन पर कार्यों का एक स्थान है, इन भेदों का क्वांटम भौतिकी में एक परिचित उद्देश्य से लेना-देना है: कोई एक संचालक को परिभाषित नहीं कर सकता है - जैसे कि गति या हैमिल्टनियन संचालक - निर्दिष्ट किए बिना एक बंधे हुए डोमेन पर सीमा की स्थिति गणितीय शब्दों में, सीमा नियमों को चुनने का कारण संचालक के लिए एक उपयुक्त डोमेन चुनना है। उदाहरण के लिए, हिल्बर्ट स्थान पर विचार करें $$L^2([0, 1])$$ (अंतराल [0,1] पर वर्ग-अभिन्न कार्यों का स्थान) आइए हम इस स्थान पर सामान्य सूत्र द्वारा एक गति संचालक A को परिभाषित करें, प्लैंक के स्थिरांक को 1 के समान समुच्चय करें:
 * $$Af = -i\frac{df}{dx}.$$

अब हमें A के लिए एक डोमेन निर्दिष्ट करना होगा, जो सीमा नियमों को चुनने के समान है। यदि हम चुनते हैं
 * $$\operatorname{Dom}(A) = \left\{\text{smooth functions}\right\},$$

तब A सममित नहीं है (क्योंकि भागों द्वारा एकीकरण में सीमा शब्द लुप्त नहीं होते हैं)।

यदि हम चुनते हैं
 * $$\operatorname{Dom}(A) = \left\{\text{smooth functions}\,f \mid f(0) = f(1) = 0\right\},$$

फिर भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके कोई आसानी से सत्यापित कर सकता है कि A सममित है। यह संचालक मूलतः स्व-सहायक नहीं है, चूंकि मूल रूप से क्योंकि हमने A के डोमेन पर बहुत अधिक सीमा नियम निर्दिष्ट की हैं, जो आसन्न के डोमेन को बहुत बड़ा बनाता है। (इस उदाहरण की चर्चा नीचे उदाहरण अनुभाग में भी की गई है।)

विशेष रूप से, A के लिए डोमेन के उपरोक्त विकल्प के साथ समापन का डोमेन $$A^{\mathrm{cl}}$$ का A है


 * $$\operatorname{Dom}\left(A^{\mathrm{cl}}\right) = \left\{\text{functions } f \text{ with two derivatives in }L^2 \mid f(0) = f(1) = 0\right\},$$

जबकि संयुक्त का डोमेन $$A^*$$ का A है
 * $$\operatorname{Dom}\left(A^*\right) = \left\{\text{functions } f \text{ with two derivatives in }L^2\right\}.$$

कहने का तात्पर्य यह है कि, क्लोजर के डोमेन में A के डोमेन के समान ही सीमा नियम हैं, बस एक कम कठोर सहजता धारणा है। इस बीच चूंकि A पर बहुत अधिक सीमा नियम हैं, इसलिए $$A^*$$ के लिए "बहुत कम" (वास्तव में, इस मामले में कोई भी नहीं) हैं। यदि हम भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके $$\langle g, Af\rangle$$ के लिए $$f \in \operatorname{Dom}(A)$$की गणना करते हैं, तब से $$f$$ अंतराल के दोनों सिरों पर विलुप्त हो जाता है, कोई सीमा स्थिति नहीं होती $$g$$ भागों द्वारा एकीकरण में सीमा नियमों को रद्द करने की आवश्यकता है। इस प्रकार, कोई भी पर्याप्त रूप से सुचारू फ़ंक्शन g,$$A^*g = -i\,dg/dx$$ के साथ $$A^*$$ के डोमेन में है।

चूंकि समापन का डोमेन और एडजॉइंट का डोमेन सहमत नहीं है, A अनिवार्य रूप से स्व-सहायक नहीं है। अंततः एक सामान्य परिणाम कहता है कि जोड़ का डोमेन $$A^\mathrm{cl}$$ A के जोड़ के डोमेन के समान है। इस प्रकार, इस स्थितियों में, के जोड़ का डोमेन $$A^\mathrm{cl}$$ के डोमेन से बड़ा है $$A^\mathrm{cl}$$ स्वयं, वह दिखा रहा है $$A^\mathrm{cl}$$ स्व-सहायक नहीं है, जिसका परिभाषा के अनुसार अर्थ यह है कि A मूलतः स्व-सहायक नहीं है।

पिछले उदाहरण के साथ समस्या यह है कि हमने A के डोमेन पर बहुत अधिक सीमा नियम लगा दी हैं। डोमेन का एक उत्तम विकल्प आवधिक सीमा नियमों का उपयोग करना होता है:
 * $$\operatorname{Dom}(A) = \{\text{smooth functions}\,f \mid f(0) = f(1)\}.$$

इस डोमेन के साथ, A अनिवार्य रूप से स्व-संयुक्त है।

इस स्थितियों में, हम वर्णक्रमीय प्रमेय के लिए डोमेन मुद्दों के निहितार्थ को समझ सकते हैं। यदि हम डोमेन की पहली पसंद (बिना किसी सीमा नियमों के) का उपयोग करते हैं, तो सभी फलन $$f_\beta(x) = e^{\beta x}$$ के लिए $$\beta \in \mathbb C$$ ईगेनवैल्यू ​​​​के साथ ईगेनवक्टर हैं $$-i \beta$$, और इसलिए स्पेक्ट्रम संपूर्ण जटिल विमान है। यदि हम डोमेन की दूसरी पसंद (डिरिचलेट सीमा नियमों के साथ) का उपयोग करते हैं, तो A के पास कोई भी आइजनसदिश नहीं है। यदि हम डोमेन की तीसरी पसंद (आवधिक सीमा नियमों के साथ) का उपयोग करते हैं, तो हम A के लिए ईजेनसदिश ों का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार पा सकते हैं, फलन $$f_n(x) := e^{2\pi inx}$$. इस प्रकार, इस स्थितियों में ऐसा डोमेन खोजना कि A स्व-संयुक्त हो, एक समझौता है: डोमेन इतना छोटा होना चाहिए कि A सममित हो, किन्तु इतना बड़ा हो कि $$D(A^*)=D(A)$$.

एकवचन क्षमता वाले श्रोडिंगर संचालक
सममित और (अनिवार्य रूप से) स्व-सहायक संचालक के बीच अंतर का एक अधिक सूक्ष्म उदाहरण क्वांटम यांत्रिकी में श्रोडिंगर समीकरण | श्रोडिंगर संचालक से आता है। यदि संभावित ऊर्जा एकवचन है - विशेष रूप से यदि क्षमता नीचे असीमित है - तो संबंधित श्रोडिंगर संचालक अनिवार्य रूप से स्व-सहायक होने में विफल हो सकता है। एक आयाम में, उदाहरण के लिए, संचालक
 * $$\hat{H} := \frac{P^2}{2m} - X^4$$

सुचारू, तेजी से क्षय होने वाले कार्यों के स्थान पर अनिवार्य रूप से स्व-सहायक नहीं है। इस स्थितियों में, आवश्यक स्व-संयुक्तता की विफलता अंतर्निहित मौलिक प्रणाली में एक विकृति को दर्शाती है: एक मौलिक कण $$-x^4$$ संभावित परिमित समय में अनंत तक पलायन कर जाता है। इस संचालक के पास एक अद्वितीय स्व-सहायक नहीं है, किन्तु यह अनंत पर सीमा नियमों को निर्दिष्ट करके प्राप्त स्व-सहायक एक्सटेंशन को स्वीकार करता है। (तब से $$\hat{H}$$ एक वास्तविक संचालक है, यह जटिल संयुग्मन के साथ आवागमन करता है। इस प्रकार, कमी सूचकांक स्वचालित रूप से समान होते हैं, जो स्व-सहायक विस्तार होने की नियम है। नीचे सममित संचालक के विस्तार की चर्चा देखें।)

इस स्थितियों में, यदि हम प्रारंभ में परिभाषित करते हैं $$\hat{H}$$ सुचारू, तेजी से क्षय होने वाले कार्यों के स्थान पर, सहायक एक ही संचालक होगा (अर्थात, एक ही सूत्र द्वारा दिया गया) किन्तु सबसे बड़े संभावित डोमेन पर, अर्थात्
 * $$\operatorname{Dom}\left(\hat{H}^*\right) = \left\{ \text{twice differentiable functions }f \in L^2(\mathbb{R})\left|\left( -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2f}{dx^2} - x^4f(x)\right) \in L^2(\mathbb{R}) \right. \right\}. $$

तभी यह दिखाना संभव है $$\hat{H}^*$$ एक सममित संचालक नहीं है, जो निश्चित रूप से इसका तात्पर्य है $$\hat{H}$$ मूलतः स्व-संयुक्त नहीं है। वास्तव में, $$\hat{H}^*$$ शुद्ध काल्पनिक ईगेनवैल्यू ​​​​के साथ ईगेनवक्टर हैं, जो एक सममित संचालक के लिए असंभव है। यह अजीब घटना दो शब्दों के बीच रद्दीकरण के कारण संभव है $$\hat{H}^*$$: कार्य हैं $$f$$ के क्षेत्र में $$\hat{H}^*$$ जिसके लिए न तो $$d^2 f/dx^2$$ और न $$x^4f(x)$$ अलग से है $$L^2(\mathbb{R})$$, किन्तु उनका संयोजन घटित होता है $$\hat{H}^*$$ में है $$L^2(\mathbb{R})$$. यह अनुमति देता है $$\hat{H}^*$$ दोनों के होते हुए भी असममित होना $$d^2/dx^2$$ और $$X^4$$ सममित संचालक हैं. यदि हम प्रतिकारक क्षमता को प्रतिस्थापित कर देते हैं तो इस प्रकार का रद्दीकरण नहीं होता है $$-x^4$$ सीमित क्षमता के साथ $$x^4$$.

श्रोडिंगर संचालक के लिए स्व-सहायक या अनिवार्य रूप से स्व-सहायक होने की नियम विभिन्न पाठ्यपुस्तकों में पाई जा सकती हैं, जैसे कि बेरेज़िन और शुबिन, हॉल, और रीड और साइमन द्वारा संदर्भ में सूचीबद्ध।

वर्णक्रमीय प्रमेय
भौतिकी साहित्य में, वर्णक्रमीय प्रमेय को अधिकांशतः  यह कहकर कहा जाता है कि एक स्व-सहायक संचालक के पास ईजेनसदिश ों का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार होता है। चूंकि, भौतिक विज्ञानी सतत स्पेक्ट्रम की घटना से अच्छी तरह परिचित हैं; इस प्रकार, जब वे ऑर्थोनॉर्मल आधार की बात करते हैं तो उनका कारण या तो क्लासिक अर्थ में ऑर्थोनॉर्मल आधार या उसके कुछ निरंतर एनालॉग से होता है। संवेग संचालक के स्थितियों में $P = -i\frac{d}{dx}$ उदाहरण के लिए, भौतिक विज्ञानी कहेंगे कि आइजनसदिश  कार्य हैं $$f_p(x) := e^{ipx}$$, जो स्पष्ट रूप से हिल्बर्ट स्थान में नहीं हैं $$L^2(\mathbb{R})$$. (भौतिक विज्ञानी कहेंगे कि आइजनसदिश गैर-सामान्यीकरण योग्य हैं।) फिर भौतिक विज्ञानी यह कहेंगे कि ये आइजनसदिश  निरंतर अर्थ में ऑर्थोनॉर्मल हैं, जहां सामान्य क्रोनकर डेल्टा होता है $$\delta_{i,j}$$ एक डिराक डेल्टा फलन द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है $$\delta\left(p - p'\right)$$.

यद्यपि ये कथन गणितज्ञों को निराशाजनक लग सकते हैं, फूरियर ट्रांसफॉर्म के उपयोग से इन्हें कठोर बनाया जा सकता है, जो एक सामान्य की अनुमति देता है $$L^2$$ फलन को फलन के सुपरपोज़िशन (अर्थात, अभिन्न) के रूप में व्यक्त किया जाना है $$e^{ipx}$$, तथापि ये फलन अंदर नहीं हैं $$L^2$$. फूरियर रूपांतरण गति संचालक को विकर्णित करता है; अर्थात्, यह इसे गुणन के संचालिका में परिवर्तित कर देता है $$p$$, जहाँ $$p$$ फूरियर रूपांतरण का चर है।

सामान्यतः वर्णक्रमीय प्रमेय को उसी तरह व्यक्त किया जा सकता है जैसे किसी संचालक को विकर्णित करने की संभावना यह दिखाकर कि यह इकाई रूप से गुणन संचालक के समान है। वर्णक्रमीय प्रमेय के अन्य संस्करणों का उद्देश्य इसी तरह इस विचार को पकड़ना है कि एक स्व-सहायक संचालक के पास ऐसे आइजेनसदिश  हो सकते हैं जो वास्तव में हिल्बर्ट स्थान में नहीं हैं।

वर्णक्रमीय प्रमेय का कथन
हिल्बर्ट स्थानों पर आंशिक रूप से परिभाषित संचालक ए, बी, एच, के 'एकात्मक रूप से समतुल्य' हैं यदि और केवल यदि कोई एकात्मक परिवर्तन होता है यू: एच → के जैसे कि

एक गुणन संचालिका को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: मान लीजिए (X, Σ, μ) एक गणनीय योगात्मक माप स्थान है और f X पर एक वास्तविक-मूल्य मापन योग्य फलन है। एक संचालिका $$T_f$$ रूप का
 * यू डोम A को विशेष रूप से डोम बी पर मैप करता है,
 * $$ B U \xi = U A \xi ,\qquad \forall \xi \in \operatorname{dom}A. $$


 * $$[T_f \psi] (x) = f(x) \psi(x)$$

जिसका डोमेन ψ का स्थान है जिसके लिए ऊपर दाहिना भाग L में है2 को गुणन संकारक कहा जाता है।

वर्णक्रमीय प्रमेय का एक संस्करण इस प्रकार बताया जा सकता है।

वर्णक्रमीय प्रमेय के अन्य संस्करण ऊपर से जुड़े वर्णक्रमीय प्रमेय लेख में पाए जा सकते हैं।

असंबद्ध स्व-सहायक संचालक के लिए वर्णक्रमीय प्रमेय को एकात्मक (इसलिए बंधे हुए) संचालक के लिए वर्णक्रमीय प्रमेय में कमी करके सिद्ध किया जा सकता है। यह कमी स्व-सहायक संचालक के लिए केली परिवर्तन  का उपयोग करती है जिसे अगले भाग में परिभाषित किया गया है। हम ध्यान दे सकते हैं कि यदि T को f से गुणा किया जाता है, तो T का स्पेक्ट्रम केवल f की आवश्यक सीमा है।

कार्यात्मक कलन
वर्णक्रमीय प्रमेय का एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग बोरेल कार्यात्मक कैलकुलस को परिभाषित करना है। कहने का तात्पर्य यह है कि यदि $$h$$ वास्तविक लाइन पर एक फलन है और $$T$$ एक स्व-सहायक संचालक है, हम संचालक को परिभाषित करना चाहते हैं $$h(T)$$. यदि $$T$$ ईगेनवक्टर का वास्तविक लंबन आधार है $$e_j$$ ईगेनवैल्यू ​​​​के साथ $$\lambda_j$$, तब $$h(T)$$ ईगेनवक्टर वाला संचालक है $$e_j$$ और ईगेनवैल्यू $$h\left(\lambda_j\right)$$. कार्यात्मक कैलकुलस का लक्ष्य इस विचार को उस स्थितियों तक विस्तारित करना है जहां $$T$$ निरंतर स्पेक्ट्रम है.

क्वांटम भौतिकी में इस स्थितियों का विशेष महत्व है $$T$$ हैमिल्टनियन संचालक है $$\hat{H}$$ और $$h(x) := e^{-itx/\hbar}$$ एक घातीय है. इस स्थितियों में, कार्यात्मक कैलकुलस को हमें संचालक को परिभाषित करने की अनुमति देनी चाहिए
 * $$U(t) := h\left(\hat{H}\right) = e^\frac{-it\hat{H}}{\hbar},$$

जो क्वांटम यांत्रिकी में समय-विकास को परिभाषित करने वाला संचालक है।

द्वारा गुणन के संचालक के रूप में T का प्रतिनिधित्व दिया गया है $$f$$- जैसा कि वर्णक्रमीय प्रमेय द्वारा गारंटी दी गई है - कार्यात्मक कैलकुलस को चिह्नित करना आसान है: यदि एच 'आर' पर एक घिरा हुआ वास्तविक-मूल्यवान बोरेल फलन है, तो एच (टी) संरचना द्वारा गुणन का संचालक है $$h \circ f$$.

पहचान का संकल्प
निम्नलिखित संकेतन को प्रस्तुत करने की प्रथा रही है
 * $$\operatorname{E}_T(\lambda) = \mathbf{1}_{(-\infty, \lambda]} (T)$$

जहाँ $$\mathbf{1}_{(-\infty, \lambda]}$$ अंतराल का विशिष्ट कार्य (सूचक कार्य) है $$(-\infty, \lambda]$$. प्रक्षेपण संचालक का परिवार ईT(λ) को T के लिए पहचान का संकल्प कहा जाता है। इसके अतिरिक्त, टी के लिए निम्नलिखित स्टिल्टजेस अभिन्न प्रतिनिधित्व को सिद्ध किया जा सकता है:
 * $$ T = \int_{-\infty}^{+\infty} \lambda d \operatorname{E}_T(\lambda).$$

उपरोक्त संचालक इंटीग्रल की परिभाषा को अशक्त संचालक टोपोलॉजी का उपयोग करके स्केलर मूल्य वाले स्टिल्टजेस इंटीग्रल तक कम किया जा सकता है। चूंकि, अधिक आधुनिक उपचारों में, इस प्रतिनिधित्व को सामान्यतः  टाला जाता है, क्योंकि अधिकांश तकनीकी समस्याओं को कार्यात्मक कैलकुलस द्वारा निपटाया जा सकता है।

भौतिकी साहित्य में निरूपण
भौतिकी में, विशेष रूप से क्वांटम यांत्रिकी में, वर्णक्रमीय प्रमेय को इस तरह से व्यक्त किया जाता है जो ऊपर बताए गए वर्णक्रमीय प्रमेय और डिराक संकेतन का उपयोग करके बोरेल कार्यात्मक कैलकुलस को जोड़ता है:

यदि H स्व-सहायक है और f एक बोरेल फलन है,
 * $$f(H) = \int dE \left| \Psi_E \rangle f(E) \langle \Psi_E \right|$$

साथ
 * $$H \left|\Psi_E\right\rangle = E \left|\Psi_E\right\rangle$$

जहां इंटीग्रल एच के पूरे स्पेक्ट्रम पर चलता है। नोटेशन से पता चलता है कि एच को ईजेनसदिश ्स द्वारा विकर्ण किया गया है।E. ऐसा अंकन पूर्णतः औपचारिक गणना है। डिराक के अंकन और पिछले अनुभाग के बीच समानता देखी जा सकती है। पहचान का संकल्प (कभी-कभी प्रक्षेपण मूल्य माप भी कहा जाता है) औपचारिक रूप से रैंक -1 अनुमान जैसा दिखता है $$\left|\Psi_E\right\rangle \left\langle\Psi_E\right|$$. डिराक नोटेशन में, (प्रोजेक्टिव) मापों को ईगेनवैल्यू ​​​​और eigenstates, दोनों विशुद्ध रूप से औपचारिक वस्तुओं के माध्यम से वर्णित किया गया है। जैसा कि कोई उम्मीद कर सकता है, यह पहचान के समाधान के पारित होने से बच नहीं पाता है। बाद के सूत्रीकरण में, वर्णक्रमीय माप का उपयोग करके माप का वर्णन किया गया है $$|\Psi \rangle$$, यदि प्रणाली तैयार है $$|\Psi \rangle$$ माप से पहले. वैकल्पिक रूप से, यदि कोई ईजेनस्टेट्स की धारणा को संरक्षित करना चाहता है और इसे केवल औपचारिक के अतिरिक्त  कठोर बनाना चाहता है, तो वह राज्य स्थान को उपयुक्त धांधली हिल्बर्ट स्थान से बदल सकता है।

यदि f = 1, प्रमेय को एकता के संकल्प के रूप में जाना जाता है:


 * $$I = \int dE \left|\Psi_E\right\rangle \left\langle\Psi_E\right|$$

यदि $$H_\text{eff} = H - i\Gamma$$ एक हर्मिटियन एच और एक तिरछा-हर्मिटियन (तिरछा-हर्मिटियन आव्युह देखें) संचालक का योग है $$ -i\Gamma$$, एक  बायोर्थोगोनल प्रणाली  आधार समुच्चय  को परिभाषित करता है


 * $$H^*_\text{eff} \left|\Psi_E^*\right\rangle = E^* \left|\Psi_E^*\right\rangle$$

और वर्णक्रमीय प्रमेय को इस प्रकार लिखें:


 * $$f\left(H_\text{eff}\right) = \int dE \left|\Psi_E\right\rangle f(E) \left\langle\Psi_E^*\right|$$

(उस संदर्भ के लिए फ़ेशबैक-फ़ानो विभाजन विधि देखें जहां ऐसे संचालक प्रकीर्णन सिद्धांत में दिखाई देते हैं)।

सममित संचालक का विस्तार
निम्नलिखित प्रश्न कई संदर्भों में उठता है: यदि हिल्बर्ट स्पेस एच पर एक संचालक A सममित है, तो इसमें स्व-सहायक एक्सटेंशन कब होते हैं? एक संचालक जिसके पास एक अद्वितीय स्व-सहायक विस्तार होता है, उसे 'अनिवार्य रूप से स्व-सहायक' कहा जाता है; समान रूप से, एक संचालक अनिवार्य रूप से स्व-सहायक होता है यदि उसका समापन (वह संचालक जिसका ग्राफ A के ग्राफ का समापन है) स्व-सहायक है। सामान्यतः, एक सममित संचालक के पास कई स्व-सहायक एक्सटेंशन हो सकते हैं या कोई भी नहीं हो सकता है। इस प्रकार, हम इसके स्व-संयुक्त विस्तारों का वर्गीकरण चाहेंगे।

आवश्यक आत्म-संबद्धता के लिए पहला मूलभूत मानदंड निम्नलिखित है: $$ समान रूप से, A अनिवार्य रूप से स्व-सहायक है यदि और केवल यदि संचालक $$A^* - i$$ और $$A^* + i$$ तुच्छ गुठलियाँ हैं. कहने का तात्पर्य यह है कि, A स्व-संयुक्त होने में विफल रहता है यदि और केवल यदि $$A^*$$ ईगेनवैल्यू के साथ eigenvector है $$i$$ या $$-i$$.

इस उद्देश्य को देखने का एक अन्य विधि स्व-सहायक संचालक के केली रूपांतरण और कमी सूचकांक द्वारा प्रदान किया गया है। (बंद संचालक से निपटना  अधिकांशतः  तकनीकी सुविधा होती है। सममित स्थितियों में, बंद होने की आवश्यकता कोई बाधा उत्पन्न नहीं करती है, क्योंकि यह ज्ञात है कि सभी सममित संचालक बंद करने योग्य संचालक हैं।)

$$

यहां, ran और doएम क्रमशः छवि (गणित) (दूसरे शब्दों में, रेंज) और किसी फलन के डोमेन को दर्शाते हैं। W(A) अपने डोमेन पर आइसोमेट्री है। इसके अतिरिक्त, 1 − W(A) की सीमा H में सघन समुच्चय है।

इसके विपरीत, किसी भी आंशिक रूप से परिभाषित संचालक यू को देखते हुए जो अपने डोमेन पर आइसोमेट्रिक है (जो आवश्यक रूप से बंद नहीं है) और ऐसा है कि 1 - यू सघन है, एक (अद्वितीय) संचालक एस (यू) है
 * $$\operatorname{S}(U) : \operatorname{ran}(1 - U) \to \operatorname{ran}(1 + U)$$

ऐसा है कि
 * $$\operatorname{S}(U)(x - Ux) = i(x + U x) \qquad x \in \operatorname{dom}(U).$$

संचालक S(U) सघन रूप से परिभाषित और सममित है।

मैपिंग W और S एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं।

मैपिंग डब्ल्यू को केली ट्रांसफॉर्म कहा जाता है। यह आंशिक आइसोमेट्री को किसी भी सममित सघन रूप से परिभाषित संचालक से जोड़ता है। ध्यान दें कि मैपिंग डब्ल्यू और एस मोनोटोन अभिसरण प्रमेय हैं: इसका कारण है कि यदि बी एक सममित संचालक है जो सघन रूप से परिभाषित सममित संचालक A का विस्तार करता है, तो डब्ल्यू(बी) डब्ल्यू का विस्तार करता है( ए), और इसी तरह एस के लिए।

$$

यह तुरंत हमें A के लिए स्व-संयुक्त विस्तार के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त नियम देता है, जो इस प्रकार है:

$$

हिल्बर्ट स्पेस एच पर आंशिक रूप से परिभाषित आइसोमेट्रिक संचालक वी में डोम (वी) के मानक समापन के लिए एक अद्वितीय आइसोमेट्रिक विस्तार है। बंद डोमेन वाले आंशिक रूप से परिभाषित आइसोमेट्रिक संचालक को आंशिक आइसोमेट्री कहा जाता है।

आंशिक आइसोमेट्री वी को देखते हुए, वी के 'कमी सूचकांक' को डोमेन और रेंज के ऑर्थोगोनल पूरक के आयाम के रूप में परिभाषित किया गया है:


 * $$\begin{align}

n_+(V) &= \dim \operatorname{dom}(V)^\perp \\ n_-(V) &= \dim \operatorname{ran}(V)^\perp \end{align}$$

हम देखते हैं कि एक संचालक के सममित विस्तार और उसके केली ट्रांसफॉर्म के आइसोमेट्रिक विस्तार के बीच एक आपत्ति है। सममितीय विस्तार स्व-सहायक है यदि और केवल यदि संबंधित सममितीय विस्तार एकात्मक है।

एक सममित संचालक के पास एक अद्वितीय स्व-सहायक विस्तार होता है यदि और केवल तभी जब इसके दोनों कमी सूचकांक शून्य हों। ऐसे संचालक को अनिवार्य रूप से स्व-सहायक कहा जाता है। सममित संचालक जो अनिवार्य रूप से स्व-सहायक नहीं हैं, उनके पास अभी भी एक विहित रूप स्व-सहायक विस्तार हो सकता है। गैर-नकारात्मक सममित संचालक (या अधिक सामान्यतः, संचालक जो नीचे परिबद्ध हैं) के स्थितियों में ऐसा ही है। इन संचालक के पास सदैव एक विहित रूप से परिभाषित  फ्रेडरिक का विस्तार  होता है और इन संचालक के लिए हम एक विहित कार्यात्मक कलन को परिभाषित कर सकते हैं। विश्लेषण में आने वाले कई संचालक नीचे दिए गए हैं (जैसे कि लाप्लासियन संचालक का नकारात्मक), इसलिए इन संचालक के लिए आवश्यक जुड़ाव का उद्देश्य कम महत्वपूर्ण है।

क्वांटम यांत्रिकी में स्व-सहायक विस्तार
क्वांटम यांत्रिकी में, अवलोकन योग्य वस्तुएं स्व-सहायक संचालक के अनुरूप होती हैं। एक-पैरामीटर एकात्मक समूहों पर स्टोन के प्रमेय के अनुसार, स्व-सहायक संचालक समय विकास संचालक के एकात्मक समूहों के बिल्कुल छोटे जनरेटर हैं। चूंकि, कई भौतिक समस्याओं को समय-विकास समीकरण के रूप में तैयार किया जाता है जिसमें अंतर संचालक सम्मिलित होते हैं जिसके लिए हैमिल्टनियन केवल सममित होता है। ऐसे स्थितियों में, या तो हैमिल्टनियन अनिवार्य रूप से स्व-सहायक है, इस स्थितियों में भौतिक समस्या के अद्वितीय समाधान हैं या कोई व्यक्ति विभिन्न प्रकार की सीमा स्थितियों या अनंत पर स्थितियों के अनुरूप हैमिल्टनियन के स्व-सहायक विस्तार को खोजने का प्रयास करता है।

उदाहरण। क्षमता के साथ एक-आयामी श्रोडिंगर संचालक $$V(x) = -(1 + |x|)^\alpha$$, प्रारंभ में सुचारु रूप से समर्थित कार्यों पर परिभाषित, अनिवार्य रूप से स्व-सहायक है (अर्थात, इसमें स्व-सहायक समापन है) $0 < α ≤ 2$ किन्तु के लिए नहीं $α > 2$. बेरेज़िन और शुबिन, पृष्ठ 55 और 86, या हॉल में खंड 9.10 देखें।

के लिए आवश्यक स्वसंबद्धता की विफलता $$\alpha > 2$$ क्षमता वाले कण की मौलिक गतिशीलता में एक समकक्ष है $$V(x)$$: मौलिक कण सीमित समय में अनंत तक भाग जाता है। उदाहरण। अर्ध-रेखा पर गतिमान कण के लिए कोई स्व-सहायक संवेग संचालक p नहीं है। फिर भी, हैमिल्टनियन $$p^2$$ अर्ध-रेखा पर एक मुक्त कण के विभिन्न प्रकार की सीमा स्थितियों के अनुरूप कई स्व-संयुक्त विस्तार होते हैं। भौतिक रूप से, ये सीमा स्थितियाँ मूल में कण के प्रतिबिंब से संबंधित हैं (रीड और साइमन, खंड 2 देखें)।

वॉन न्यूमैन के सूत्र
मान लीजिए A सममित रूप से सघन रूप से परिभाषित है। फिर A का कोई भी सममित विस्तार A* का प्रतिबंध है। वास्तव में, A ⊆ B और B सममिति dom(A*) की परिभाषा को प्रयुक्त करने से B ⊆ A* प्राप्त होता है।

$$

इन्हें अख़िएज़र और ग्लेज़मैन संदर्भ में वॉन न्यूमैन के सूत्रों के रूप में जाना जाता है।

एक सममित संचालक जो अनिवार्य रूप से स्व-सहायक नहीं है
हम सबसे पहले हिल्बर्ट स्थान पर विचार करते हैं $$L^2[0, 1]$$ और विभेदक संचालक


 * $$D: \phi \mapsto \frac{1}{i} \phi'$$

सीमा नियमों को संतुष्ट करते हुए, [0,1] पर लगातार भिन्न-भिन्न जटिल-मूल्य वाले कार्यों के स्थान पर परिभाषित किया गया है
 * $$\phi(0) = \phi(1) = 0.$$

तब D एक सममित संचालक है जैसा कि भागों द्वारा एकीकरण द्वारा दिखाया जा सकता है। रिक्त स्थान एन+, एन− (नीचे परिभाषित) समीकरण के वितरण (गणितीय) समाधान द्वारा क्रमशः दिए गए हैं


 * $$\begin{align}

-i u' &= i u \\ -i u' &= -i u \end{align}$$ जो एल में हैं2[0, 1]. कोई यह दिखा सकता है कि इनमें से प्रत्येक समाधान स्थान 1-आयामी है, जो फलन x → e द्वारा उत्पन्न होता है−x और x → ex क्रमशः। इससे पता चलता है कि D मूलतः स्व-संयुक्त नहीं है, किन्तु इसमें स्वयं-सहायक एक्सटेंशन हैं। ये स्व-सहायक एक्सटेंशन एकात्मक मैपिंग एन के स्थान द्वारा पैरामीट्रिज्ड हैं+ → एन−, जो इस स्थितियों में यूनिट सर्कल टी होता है।

इस स्थितियों में, आवश्यक स्व-संयोजकों की विफलता डोमेन की परिभाषा में सीमा नियमों के गलत विकल्प के कारण होती है $$D$$. तब से $$D$$ प्रथम-क्रम संचालक है, यह सुनिश्चित करने के लिए केवल एक सीमा नियम की आवश्यकता है $$D$$ सममित है. यदि हमने ऊपर दी गई सीमा नियमों को एकल सीमा नियम से बदल दिया है
 * $$\phi(0) = \phi(1)$$,

तब D अभी भी सममित होगा और अब, वास्तव में, अनिवार्य रूप से स्व-संयुक्त होगा। सीमा नियमों का यह परिवर्तन डी का एक विशेष रूप से स्व-संयुक्त विस्तार देता है। अन्य अनिवार्य रूप से स्व-संयुक्त विस्तार फॉर्म की सीमा नियमों को प्रयुक्त करने से आते हैं $$\phi(1) = e^{i\theta}\phi(0)$$.

यह सरल उदाहरण एक खुले समुच्चय एम पर सममित विभेदक संचालक पी के स्व-सहायक विस्तार के बारे में एक सामान्य तथ्य को दर्शाता है। वे आइगेनवैल्यू रिक्त स्थान के बीच एकात्मक मानचित्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।
 * $$ N_\pm = \left\{u \in L^2(M): P_\operatorname{dist} u = \pm i u\right\} $$

जहां पीdist P का वितरणात्मक विस्तार है।

निरंतर-गुणांक संचालक
हम आगे स्थिर गुणांक वाले विभेदक संचालक का उदाहरण देते हैं। होने देना
 * $$P\left(\vec{x}\right) = \sum_\alpha c_\alpha x^\alpha $$

R पर एक बहुपद बनेंn वास्तविक गुणांकों के साथ, जहां α बहु-सूचकांक|बहु-सूचकांकों के एक (परिमित) समुच्चय से अधिक होता है। इस प्रकार
 * $$ \alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$$

और
 * $$x^\alpha = x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \cdots x_n^{\alpha_n}.$$

हम संकेतन का भी उपयोग करते हैं


 * $$D^\alpha = \frac{1}{i^{|\alpha|}} \partial_{x_1}^{\alpha_1}\partial_{x_2}^{\alpha_2} \cdots \partial_{x_n}^{\alpha_n}. $$

फिर संचालक पी(डी) ने 'आर' पर कॉम्पैक्ट समर्थन के असीम रूप से भिन्न कार्यों के स्थान पर परिभाषित कियाnद्वारा
 * $$ P(\operatorname{D}) \phi = \sum_\alpha c_\alpha \operatorname{D}^\alpha \phi$$

एल पर मूलतः स्व-संयोजक है2(आरn).

$$

अधिक सामान्यतः, कॉम्पैक्ट समर्थन के असीम रूप से भिन्न जटिल-मूल्य वाले कार्यों पर कार्य करने वाले रैखिक अंतर संचालक पर विचार करें। यदि M, 'R' का एक खुला उपसमुच्चय हैn
 * $$P \phi(x) = \sum_\alpha a_\alpha (x) \left[D^\alpha \phi\right](x)$$

जहाँ एकα (आवश्यक रूप से स्थिर नहीं) असीम रूप से भिन्न कार्य हैं। P एक रैखिक संचालिका है
 * $$ C_0^\infty(M) \to C_0^\infty(M).$$

P के अनुरूप एक अन्य विभेदक संकारक है, जो P का 'औपचारिक सहायक' है
 * $$ P^\mathrm{*form} \phi = \sum_\alpha D^\alpha \left(\overline{a_\alpha} \phi\right)$$

$$

वर्णक्रमीय बहुलता सिद्धांत
स्व-सहायक संचालिका का गुणन निरूपण, चूंकि अत्यंत उपयोगी है, विहित निरूपण नहीं है। इससे पता चलता है कि इस प्रतिनिधित्व से यह निर्धारित करने के लिए एक मानदंड निकालना आसान नहीं है कि स्व-सहायक संचालक A और बी इकाई रूप से समकक्ष हैं। अब हम जिस बढ़िया ीन दानेदार प्रतिनिधित्व पर चर्चा करते हैं उसमें वर्णक्रमीय बहुलता सम्मिलित  है। परिणामों के इस चक्र को हंस हैन (गणितज्ञ)अर्नेस्ट हेलिंगर का वर्णक्रमीय बहुलता सिद्धांत कहा जाता है।

समान बहुलता
हम पहले एकसमान बहुलता को परिभाषित करते हैं:

'परिभाषा'। एक स्व-सहायक संकारक A में एकसमान बहुलता n है जहाँ n ऐसा है कि 1 ≤ n ≤ ω यदि और केवल यदि A इकाई रूप से संकारक एम के समतुल्य हैf फलन f(λ) = λ द्वारा गुणन का
 * $$L^2_\mu\left(\mathbf{R}, \mathbf{H}_n\right) = \left\{\psi: \mathbf{R} \to \mathbf{H}_n: \psi \mbox{ measurable and } \int_{\mathbf{R}} \|\psi(t)\|^2 d\mu(t) < \infty\right\}$$

जहां एचn आयाम n का हिल्बर्ट स्थान है। एम का डोमेनf आर पर सदिश -मूल्य वाले फलन ψ सम्मिलित हैं जैसे कि
 * $$\int_\mathbf{R} |\lambda|^2\ \|\psi(\lambda)\|^2 \, d\mu(\lambda) < \infty.$$

गैर-नकारात्मक गणनीय योगात्मक माप μ, ν परस्पर एकवचन हैं यदि और केवल यदि वे असंयुक्त बोरेल समुच्चय पर समर्थित हैं।

$$

यह प्रतिनिधित्व निम्नलिखित अर्थों में अद्वितीय है: समान A के किन्हीं दो ऐसे निरूपणों के लिए, संबंधित माप इस अर्थ में समतुल्य हैं कि उनके पास माप 0 के समान समुच्चय हैं।

प्रत्यक्ष समाकलन
वर्णक्रमीय बहुलता प्रमेय को हिल्बर्ट रिक्त स्थान के प्रत्यक्ष अभिन्नों की भाषा का उपयोग करके पुन: तैयार किया जा सकता है:

$$

वर्णक्रमीय प्रमेय के गुणन-संचालक संस्करण के विपरीत, प्रत्यक्ष-अभिन्न संस्करण इस अर्थ में अद्वितीय है कि μ का माप तुल्यता वर्ग (या समकक्ष इसके माप 0 के समुच्चय ) विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है और मापने योग्य कार्य होता है $$\lambda\mapsto\mathrm{dim}(H_{\lambda})$$ μ के संबंध में लगभग हर स्थान निर्धारित किया जाता है। कार्यक्रम $$\lambda \mapsto \operatorname{dim}\left(H_\lambda\right)$$ संचालक का वर्णक्रमीय बहुलता फलन है।

अब हम स्व-सहायक संचालक के लिए वर्गीकरण परिणाम बता सकते हैं: दो स्व-सहायक संचालक इकाई रूप से समतुल्य हैं यदि और केवल यदि (1) उनके स्पेक्ट्रा समुच्चय के रूप में सहमत हैं, (2) उनके प्रत्यक्ष-अभिन्न प्रतिनिधित्व में दिखाई देने वाले उपायों के समान समुच्चय  हैं माप शून्य का, और (3) उनके वर्णक्रमीय बहुलता कार्य प्रत्यक्ष अभिन्न में माप के संबंध में लगभग हर स्थान  सहमत होते हैं।

उदाहरण: लाप्लासियन की संरचना
आर पर लाप्लासियनn संचालक है
 * $$\Delta = \sum_{i=1}^n \partial_{x_i}^2.$$

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, लाप्लासियन को फूरियर रूपांतरण द्वारा विकर्ण किया गया है। वास्तव में लाप्लासियन -Δ के नकारात्मक पर विचार करना अधिक स्वाभाविक है क्योंकि एक संचालक के रूप में यह गैर-नकारात्मक है; (अण्डाकार संचालक देखें)।

$$

शुद्ध बिंदु स्पेक्ट्रम
H पर एक स्व-सहायक संचालक A के पास शुद्ध बिंदु स्पेक्ट्रम है यदि और केवल यदि H का ऑर्थोनॉर्मल आधार है {ei}i ∈ I A के लिए ईगेनवक्टर से मिलकर।

'उदाहरण'। हार्मोनिक ऑसिलेटर के लिए हैमिल्टनियन में एक द्विघात क्षमता वी है, अर्थात
 * $$-\Delta + |x|^2.$$

इस हैमिल्टनियन में शुद्ध बिंदु स्पेक्ट्रम है; यह क्वांटम यांत्रिकी में बाध्य अवस्था हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) के लिए विशिष्ट है। जैसा कि पिछले उदाहरण में बताया गया था, एक पर्याप्त नियम यह है कि एक असीमित सममित संचालक के पास आइगेनसदिश होते हैं जो हिल्बर्ट स्पेस आधार बनाते हैं, यह एक कॉम्पैक्ट व्युत्क्रम है।

यह भी देखें

 * हिल्बर्ट स्पेस पर कॉम्पैक्ट संचालक
 * श्रोडिंगर समीकरण के लिए सैद्धांतिक और प्रयोगात्मक औचित्य
 * अनबाउंड संचालक
 * हर्मिटियन सहायक
 * सकारात्मक संचालिका (हिल्बर्ट स्पेस)
 * गैर-हर्मिटियन क्वांटम यांत्रिकी