ब्रह्मांड का आकार

भौतिक ब्रह्माण्ड विज्ञान में ब्रह्माण्ड का आकार, ब्रह्माण्ड की स्थानीय और भूमंडलीय ज्यामिति है। ब्रह्माण्ड की ज्यामिति की स्थानीय विशेषताओं को मुख्य रूप से इसकी वक्रता द्वारा वर्णित किया जाता है, जबकि ब्रह्माण्ड की टोपोलॉजी इसके आकार के सामान्य भूमंडलीय गुणों को एक सतत वस्तु के रूप में वर्णित करती है। स्थानिक वक्रता का वर्णन सामान्य सापेक्षता द्वारा किया जाता है, जो बताता है कि गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव के कारण स्पेसटाइम कैसे वक्रित होता है। स्थानिक टोपोलॉजी को इसकी वक्रता से निर्धारित नहीं किया जा सकता है, इस तथ्य के कारण कि स्थानीय रूप से अप्रभेद्य स्थान सम्मिलित हैं जो विभिन्न टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट से संपन्न हो सकते हैं।

ब्रह्माण्ड विज्ञानी अवलोकन योग्य ब्रह्माण्ड और संपूर्ण ब्रह्माण्ड के बीच अंतर करते हैं, पूर्व उत्तरार्द्ध का एक गेंद के आकार का हिस्सा है जो सिद्धांत रूप में खगोलीय अवलोकनों द्वारा सुलभ हो सकता है। ब्रह्माण्ड संबंधी सिद्धांत को मानते हुए, अवलोकन योग्य ब्रह्माण्ड सभी समकालीन सहूलियत बिंदुओं से समान है, जो ब्रह्माण्ड विज्ञानियों को उनके अवलोकन योग्य ब्रह्माण्ड का अध्ययन करने की जानकारी के साथ पूरे ब्रह्माण्ड के गुणों पर चर्चा करने की अनुमति देता है। इस संदर्भ में मुख्य चर्चा यह है कि क्या ब्रह्माण्ड परिमित है, अवलोकनीय ब्रह्माण्ड की तरह या अनंत है।

ब्रह्माण्ड के कई संभावित सामयिक और ज्यामितीय गुणों की पहचान करने की आवश्यकता है। इसका सामयिक लक्षण वर्णन एक खुली समस्या है। इनमें से कुछ गुण हैं: इन गुणों के बीच कुछ तार्किक संबंध हैं। उदाहरण के लिए, सकारात्मक वक्रता वाला ब्रह्माण्ड आवश्यक रूप से परिमित है। हालांकि यह सामान्यतः साहित्य में माना जाता है कि एक समतल या नकारात्मक रूप से घुमावदार ब्रह्माण्ड अनंत है, अगर टोपोलॉजी तुच्छ नहीं है तो यह स्थितिा नहीं होना चाहिए। उदाहरण के लिए, तीन-टोरस द्वारा सचित्र के रूप में, एक गुणा जुड़ा हुआ स्थान फ्लैट और परिमित हो सकता है। फिर भी, केवल जुड़े हुए स्थानों के स्थितिे में, समतलता का अर्थ अनंत है।
 * 1) सीमाबद्धता (चाहे ब्रह्माण्ड परिमित है या अनंत)
 * 2) समतलता (शून्य वक्रता), अतिशयोक्तिपूर्ण (नकारात्मक वक्रता), या गोलाकार (सकारात्मक वक्रता)
 * 3) जुड़ा हुआ स्थान: कैसे ब्रह्माण्ड को एक साथ कई गुना रखा जाता है, अर्थात, एक साधारण रूप से जुड़ा हुआ स्थान या कई गुना जुड़ा हुआ स्थान।

आज तक, ब्रह्माण्ड का सटीक आकार भौतिक ब्रह्माण्ड विज्ञान में बहस का विषय बना हुआ है। इस संबंध में, विभिन्न स्वतंत्र स्रोतों (डब्ल्यूएमएपी, BOOMERanG, और प्लैंक (अंतरिक्ष यान) उदाहरण के लिए) से प्रायोगिक डेटा पुष्टि करते हैं कि ब्रह्माण्ड केवल 0.4% त्रुटि के मार्जिन के साथ समतल है। फिर भी, खगोलीय अवलोकन के आधार पर सरल बनाम एकाधिक कनेक्टिविटी का मुद्दा अभी तक तय नहीं किया गया है। दूसरी ओर, पर्याप्त रूप से बड़े घुमावदार ब्रह्माण्ड के लिए कोई भी गैर-शून्य वक्रता संभव है (इसी तरह एक गोले का एक छोटा हिस्सा समतल दिख सकता है)। सिद्धांतकार कनेक्टिविटी, वक्रता और सीमा से संबंधित ब्रह्माण्ड के आकार का एक औपचारिक गणितीय मॉडल बनाने की कोशिश कर रहे हैं। औपचारिक शब्दों में, यह ब्रह्माण्ड के चार-आयामी अंतरिक्ष-समय के स्थानिक खंड (कोमोविंग निर्देशांक में) के अनुरूप एक 3-कई गुना मॉडल है। अधिकांश सिद्धांतवादी वर्तमान में जिस मॉडल का उपयोग करते हैं वह फ्रीडमैन-लेमेट्रे-रॉबर्टसन-वॉकर (एफएलआरडब्ल्यू) मॉडल है। तर्क सामने रखे गए हैं कि अवलोकन संबंधी डेटा इस निष्कर्ष के साथ सबसे उपयुक्त है कि भूमंडलीय ब्रह्माण्ड का आकार अनंत और समतल है, [7] लेकिन डेटा अन्य संभावित आकृतियों के अनुरूप भी है, जैसे कि तथाकथित पोंकारे डोडेकाहेड्रल स्पेस, मल्टीप्ल कनेक्टेड थ्री-टोरस, और सोकोलोव-स्ट्रोबिंस्की स्पेस (2-आयामी जाली द्वारा हाइपरबोलिक स्पेस के ऊपरी आधे-स्पेस मॉडल का भागफल)।

भौतिक ब्रह्माण्ड विज्ञान सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत पर आधारित है, जो विभेदक समीकरणों के संदर्भ में एक भौतिक चित्र है। इसलिए, ब्रह्माण्ड के केवल स्थानीय ज्यामितीय गुण सैद्धांतिक रूप से सुलभ हो जाते हैं। इस प्रकार, आइंस्टीन के क्षेत्र समीकरण केवल स्थानीय ज्यामिति का निर्धारण करते हैं लेकिन ब्रह्माण्ड की टोपोलॉजी पर बिल्कुल कुछ नहीं कहते हैं। वर्तमान में, ऐसे भूमंडलीय गुणों को स्पष्ट करने की एकमात्र संभावना अवलोकन संबंधी डेटा पर निर्भर करती है, विशेष रूप से कॉस्मिक माइक्रोवेव बैकग्राउंड (सीएमबी) के तापमान ढाल क्षेत्र के उतार-चढ़ाव (अनिसोट्रॉपी)।

देखने योग्य ब्रह्माण्ड का आकार
जैसा कि परिचय में बताया गया है, विचार करने के दो पहलू हैं: अवलोकन योग्य ब्रह्माण्ड को एक क्षेत्र के रूप में माना जा सकता है जो 46.5 अरब प्रकाश-वर्ष के लिए किसी भी अवलोकन बिंदु से बाहर की ओर फैलता है, समय में पीछे जा रहा है और जितना अधिक दूर दिखता है उतना ही अधिक लाल हो जाता है। आदर्श रूप से, कोई महा विस्फोट तक पीछे मुड़कर देखना प्रारम्भ रख सकता है; व्यवहार में, हालांकि, प्रकाश और अन्य विद्युत चुम्बकीय विकिरण का उपयोग करके कोई भी व्यक्ति सबसे दूर देख सकता है, वह ब्रह्माण्डीय माइक्रोवेव पृष्ठभूमि (सीएमबी) है, जैसा कि कोई भी अतीत जो अपारदर्शी है। प्रायोगिक जांच से पता चलता है कि देखने योग्य ब्रह्माण्ड समदैशिक और सजातीय के बहुत करीब है।
 * 1) इसकी स्थानीय ज्यामिति, जो मुख्य रूप से ब्रह्माण्ड की वक्रता से संबंधित है, विशेष रूप से देखने योग्य ब्रह्माण्ड, और
 * 2) इसकी भूमंडलीय ज्यामिति, जो समग्र रूप से ब्रह्माण्ड की टोपोलॉजी से संबंधित है।

यदि अवलोकन योग्य ब्रह्माण्ड पूरे ब्रह्माण्ड को समाहित करता है, तो अवलोकन द्वारा संपूर्ण ब्रह्माण्ड की संरचना का निर्धारण करना संभव हो सकता है। हालाँकि, यदि अवलोकन योग्य ब्रह्माण्ड पूरे ब्रह्माण्ड से छोटा है, तो हमारे अवलोकन पूरे ब्रह्माण्ड के केवल एक हिस्से तक सीमित रहेंगे, और हम माप के माध्यम से इसकी भूमंडलीय ज्यामिति का निर्धारण करने में सक्षम नहीं हो सकते हैं। प्रयोगों से, संपूर्ण ब्रह्माण्ड की भूमंडलीय ज्यामिति के विभिन्न गणितीय मॉडलों का निर्माण संभव है, जो सभी वर्तमान अवलोकन डेटा के अनुरूप हैं; इस प्रकार यह वर्तमान में अज्ञात है कि क्या देखने योग्य ब्रह्माण्ड भूमंडलीय ब्रह्माण्ड के समान है, या इसके बजाय परिमाण के कई आदेश छोटे हैं। ब्रह्माण्ड कुछ आयामों में छोटा हो सकता है और दूसरों में नहीं (जिस तरह से एक घनाभ चौड़ाई और गहराई के आयामों की तुलना में लंबाई के आयाम में लंबा है)। यह परीक्षण करने के लिए कि क्या कोई दिया गया गणितीय मॉडल ब्रह्माण्ड का सटीक वर्णन करता है, वैज्ञानिक मॉडल के उपन्यास निहितार्थों की तलाश करते हैं - ब्रह्माण्ड में घटनाएँ जो अभी तक नहीं देखी गई हैं, लेकिन यदि मॉडल सही है तो इसका अस्तित्व होना चाहिए - और वे उन घटनाओं का परीक्षण करने के लिए प्रयोग करते हैं होता है या नहीं। उदाहरण के लिए, यदि ब्रह्माण्ड एक छोटा बंद लूप है, तो कोई आकाश में किसी वस्तु की कई छवियों को देखने की अपेक्षा करेगा, हालांकि जरूरी नहीं कि उसी उम्र की छवियां हों।

कॉस्मोलॉजिस्ट सामान्यतः स्पेसटाइम के दिए गए स्पेस-जैसे स्लाइस के साथ काम करते हैं, जिसे कोमोविंग कोऑर्डिनेट्स कहा जाता है, जिसके एक पसंदीदा सेट का अस्तित्व संभव है और वर्तमान भौतिक ब्रह्माण्ड विज्ञान में व्यापक रूप से स्वीकार किया जाता है। अंतरिक्ष-समय का वह भाग जिसे देखा जा सकता है, वह पिछड़ा प्रकाश शंकु है (ब्रह्माण्डीय प्रकाश क्षितिज के भीतर सभी बिंदु, दिए गए पर्यवेक्षक तक पहुंचने के लिए दिया गया समय), जबकि संबंधित शब्द हबल आयतन का उपयोग या तो पिछले प्रकाश शंकु या आने वाले स्थान का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है। अंतिम प्रकीर्णन की सतह तक। "ब्रह्माण्ड के आकार (एक समय में एक बिंदु पर)" की बात करने के लिए केवल विशेष सापेक्षता के दृष्टिकोण से औपचारिक रूप से अनुभवहीन है: एक साथ सापेक्षता के कारण, अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं को एक ही समय में सम्मिलित नहीं कहा जा सकता है। समय में बिंदु" और न ही, इसलिए, "समय में एक बिंदु पर ब्रह्माण्ड का आकार"। हालांकि, आने वाले निर्देशांक (यदि अच्छी तरह से परिभाषित हैं) एक विशिष्ट सार्वभौमिक समय के रूप में बिग बैंग (सीएमबी के संदर्भ में मापा गया) के बाद से समय का उपयोग करके उन लोगों को सख्त समझ प्रदान करते हैं।

ब्रह्माण्ड की वक्रता
वक्रता एक मात्रा है जो यह बताती है कि किसी स्थान की ज्यामिति यूक्लिडियन अंतरिक्ष से स्थानीय रूप से कैसे भिन्न होती है। किसी भी स्थानीय आइसोट्रोपिक स्थान (और इसलिए स्थानीय आइसोट्रोपिक ब्रह्माण्ड) की वक्रता निम्नलिखित तीन स्थितियों में से एक में आती है:
 * 1) शून्य वक्रता (समतल); एक खींचे हुए त्रिभुज के कोणों का जोड़ 180° होता है और पाइथागोरस प्रमेय लागू होता है; ऐसा 3-आयामी स्थान स्थानीय रूप से यूक्लिडियन अंतरिक्ष $E^{3}$ द्वारा प्रतिरूपित किया गया है।
 * 2) सकारात्मक वक्रता; एक खींचे हुए त्रिभुज के कोणों का योग 180° से अधिक होता है; ऐसा 3-आयामी स्थान स्थानीय रूप से 3-क्षेत्र $S^{3}$ के एक क्षेत्र द्वारा तैयार किया गया है।
 * 3) नकारात्मक वक्रता; एक खींचे हुए त्रिभुज के कोणों का योग 180° से कम होता है; इस तरह के 3-आयामी स्थान को स्थानीय रूप से हाइपरबोलिक स्पेस $H^{3}$ के एक क्षेत्र द्वारा तैयार किया गया है।

घुमावदार ज्यामिति गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के क्षेत्र में हैं। सकारात्मक रूप से घुमावदार स्थान का एक उदाहरण पृथ्वी जैसे गोले की सतह होगी। भूमध्य रेखा से एक ध्रुव की ओर खींचे गए त्रिभुज में कम से कम दो कोण 90° के बराबर होंगे, जो 3 कोणों का योग 180° से अधिक बनाता है। एक नकारात्मक रूप से घुमावदार सतह का एक उदाहरण एक काठी या पहाड़ी दर्रे का आकार होगा। काठी की सतह पर खींचे गए त्रिभुज में कोणों का योग 180° से कम होगा।

सामान्य सापेक्षता बताती है कि द्रव्यमान और ऊर्जा स्पेसटाइम की वक्रता को मोड़ते हैं और इसका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि ओमेगा (Ω) द्वारा दर्शाए गए घनत्व पैरामीटर नामक मान का उपयोग करके ब्रह्माण्ड की वक्रता क्या है। घनत्व पैरामीटर ब्रह्माण्ड का औसत घनत्व है जिसे महत्वपूर्ण ऊर्जा घनत्व से विभाजित किया जाता है जो ब्रह्माण्ड के समतल होने के लिए आवश्यक द्रव्यमान ऊर्जा है। दूसरे तरीके से रखें
 * यदि $Ω$, ब्रह्माण्ड समतल है।
 * यदि $Ω > 1$, धनात्मक वक्रता होती है।
 * यदि $Ω < 1$ ऋणात्मक वक्रता होती है।

वक्रता को दो तरीकों से निर्धारित करने के लिए कोई प्रयोगात्मक रूप से इस $Ω = 1$ की गणना कर सकता है। एक ब्रह्माण्ड में सभी द्रव्यमान-ऊर्जा को गिनना है और इसका औसत घनत्व लेना है, फिर उस औसत को महत्वपूर्ण ऊर्जा घनत्व से विभाजित करना है। विल्किंसन माइक्रोवेव अनिसोट्रॉपी जांच (डब्ल्यूएमएपी) के साथ-साथ प्लैंक अंतरिक्ष यान के डेटा ब्रह्माण्ड में सभी द्रव्यमान-ऊर्जा के तीन घटकों के लिए मान देते हैं - सामान्य द्रव्यमान (बैरोनिक पदार्थ और गहरे द्रव्य), सापेक्ष कण (फोटॉन और न्युट्रीनो), और गुप्त ऊर्जा या ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक:

Ωmass ≈ 0.315±0.018

Ωrelativistic ≈ 9.24×10−5

ΩΛ ≈ 0.6817±0.0018

Ωtotal = Ωmass + Ωrelativistic + ΩΛ = 1.00±0.02

क्रांतिक घनत्व मान के लिए वास्तविक मान को ρcritical = 9.47×10−27 kg m−3 के रूप में मापा जाता है। इन मूल्यों से, प्रायोगिक त्रुटि के भीतर, ब्रह्माण्ड चपटा प्रतीत होता है।

Ω को मापने का एक अन्य तरीका अवलोकन योग्य ब्रह्माण्ड में एक कोण को मापने के द्वारा ज्यामितीय रूप से ऐसा करना है। हम सीएमबी का उपयोग करके और पावर स्पेक्ट्रम और तापमान अनिसोट्रॉपी को मापकर ऐसा कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक ऐसे गैस बादल को खोजने की कल्पना कर सकते हैं जो इतना बड़ा होने के कारण तापीय संतुलन में नहीं है कि प्रकाश की गति तापीय सूचना का प्रसार नहीं कर सकती है। इस प्रसार की गति को जानने के बाद, हम गैस बादल के आकार के साथ-साथ गैस बादल की दूरी को भी जानते हैं, फिर हमारे पास त्रिकोण के दो पक्ष होते हैं और फिर कोणों को निर्धारित कर सकते हैं। इसी तरह की एक विधि का उपयोग करते हुए, BOOMERanG प्रयोग ने निर्धारित किया है कि प्रायोगिक त्रुटि के भीतर कोणों का योग 180° है, जो Ωtotal ≈ 1.00±0.12 के अनुरूप है।

ये और अन्य खगोलीय माप स्थानिक वक्रता को शून्य के बहुत करीब होने से रोकते हैं, हालांकि वे इसके संकेत को बाधित नहीं करते हैं। इसका मतलब यह है कि यद्यपि स्पेसटाइम की स्थानीय ज्यामिति स्पेसटाइम अंतराल पर आधारित सापेक्षता के सिद्धांत द्वारा उत्पन्न होती है, हम परिचित यूक्लिडियन ज्यामिति द्वारा 3-स्पेस का अनुमान लगा सकते हैं।

फ्रीडमैन समीकरणों का उपयोग करने वाले फ्रीडमैन-लेमैट्रे-रॉबर्टसन-वॉकर (एफएलआरडब्ल्यू) मॉडल का उपयोग सामान्यतः ब्रह्माण्ड को मॉडल करने के लिए किया जाता है। एफएलआरडब्ल्यू मॉडल द्रव गतिकी के गणित के आधार पर ब्रह्माण्ड की वक्रता प्रदान करता है, अर्थात ब्रह्माण्ड के भीतर पदार्थ को एक आदर्श तरल पदार्थ के रूप में मॉडलिंग करता है। यद्यपि द्रव्यमान के सितारों और संरचनाओं को "लगभग एफएलआरडब्ल्यू" मॉडल में पेश किया जा सकता है, हालांकि एक सख्ती से एफएलआरडब्ल्यू मॉडल का उपयोग देखने योग्य ब्रह्माण्ड की स्थानीय ज्यामिति का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है। इसे कहने का एक अन्य तरीका यह है कि यदि डार्क एनर्जी के सभी रूपों को नजरअंदाज कर दिया जाए, तो ब्रह्माण्ड की वक्रता को उसके भीतर पदार्थ के औसत घनत्व को मापकर निर्धारित किया जा सकता है, यह मानते हुए कि सभी पदार्थ समान रूप से वितरित हैं (बजाय 'द्वारा उत्पन्न विकृतियों के) सघन 'वस्तुएं जैसे कि आकाशगंगाएँ)। इस धारणा को टिप्पणियों द्वारा उचित ठहराया गया है, जबकि ब्रह्माण्ड "कमजोर" समरूपता (भौतिकी) और एनिस्ट्रोपिक है (ब्रह्माण्ड की बड़े पैमाने पर संरचना देखें), यह औसत सजातीय और आइसोट्रोपिक है।

भूमंडलीय ब्रह्माण्ड संरचना
भूमंडलीय संरचना ज्यामिति और पूरे ब्रह्माण्ड की टोपोलॉजी को कवर करती है - देखने योग्य ब्रह्माण्ड और उससे आगे दोनों। जबकि स्थानीय ज्यामिति भूमंडलीय ज्यामिति को पूरी तरह से निर्धारित नहीं करती है, यह संभावनाओं को सीमित करती है, विशेष रूप से निरंतर वक्रता की ज्यामिति। ब्रह्माण्ड को प्रायः एक जियोडेसिक मैनिफोल्ड के रूप में लिया जाता है, जो स्थलीय दोषों से मुक्त होता है; इनमें से किसी को भी शिथिल करने से विश्लेषण काफी जटिल हो जाता है। एक भूमंडलीय ज्यामिति एक स्थानीय ज्यामिति और एक टोपोलॉजी है। यह इस प्रकार है कि अकेले एक टोपोलॉजी भूमंडलीय ज्यामिति नहीं देती है: उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन 3-स्पेस और हाइपरबोलिक 3-स्पेस में एक ही टोपोलॉजी है लेकिन अलग-अलग भूमंडलीय ज्यामिति हैं।

जैसा कि प्रस्तावना में कहा गया है, ब्रह्माण्ड की भूमंडलीय संरचना के अध्ययन के भीतर जांच में सम्मिलित हैं:
 * ब्रह्माण्ड अनंत है या विस्तार में सीमित है,
 * चाहे भूमंडलीय ब्रह्माण्ड की ज्यामिति समतल हो, सकारात्मक रूप से घुमावदार हो, या नकारात्मक रूप से घुमावदार हो, और,
 * क्या टोपोलॉजी केवल एक गोले की तरह जुड़ा हुआ स्थान है या एक टोरस की तरह गुणा जुड़ा हुआ है।

अनंत या परिमित
ब्रह्माण्ड के बारे में वर्तमान में अनुत्तरित प्रश्नों में से एक यह है कि क्या यह अनंत या परिमित है। अंतर्ज्ञान के लिए, यह समझा जा सकता है कि एक परिमित ब्रह्माण्ड का एक परिमित आयतन है, उदाहरण के लिए, सिद्धांत रूप में सामग्री की एक परिमित मात्रा से भरा हो सकता है, जबकि एक अनंत ब्रह्माण्ड असीम है और कोई संख्यात्मक आयतन संभवतः इसे भर नहीं सकता है। गणितीय रूप से, ब्रह्माण्ड अनंत है या परिमित है, इस प्रश्न को परिबद्धता कहा जाता है। एक अनंत ब्रह्माण्ड (सीमित मीट्रिक स्थान) का अर्थ है कि मनमाने ढंग से दूर बिंदु हैं: किसी भी दूरी $d$ के लिए, ऐसे बिंदु हैं जो कम से कम $d$ दूरी के हैं। एक परिमित ब्रह्माण्ड एक सीमित मीट्रिक स्थान है, जहां कुछ दूरी $d$ है जैसे कि सभी बिंदु एक दूसरे के दूरी $d$ के भीतर हैं। इस तरह के सबसे छोटे $d$ को ब्रह्माण्ड का व्यास कहा जाता है, इस स्थितिे में ब्रह्माण्ड में एक अच्छी तरह से परिभाषित "आयतन" या "पैमाना" होता है।

सीमा के साथ या बिना
एक परिमित ब्रह्माण्ड की कल्पना करते हुए, ब्रह्माण्ड का या तो कोई किनारा हो सकता है या कोई किनारा नहीं। कई परिमित गणितीय रिक्त स्थान, उदाहरण के लिए, एक डिस्क (गणित), का किनारा या सीमा होती है। जिन क्षेत्रों में किनारे हैं, उन्हें अवधारणात्मक और गणितीय दोनों रूप से इलाज करना मुश्किल है। अर्थात्, यह बताना बहुत मुश्किल है कि ऐसे ब्रह्माण्ड के किनारे पर क्या होगा। इस कारण से, किनारों वाले रिक्त स्थान को सामान्यतः विचार से बाहर रखा जाता है।

हालाँकि, कई परिमित स्थान सम्मिलित हैं, जैसे कि 3-गोला और 3-टोरस, जिनका कोई किनारा नहीं है। गणितीय रूप से, इन स्थानों को बिना सीमा के कॉम्पैक्ट कहा जाता है। कॉम्पैक्ट शब्द का अर्थ है कि यह सीमा ("बाध्य") और पूर्ण में परिमित है। "बिना सीमा के" शब्द का अर्थ है कि अंतरिक्ष का कोई किनारा नहीं है। इसके अतिरिक्त, ताकि कलन को लागू किया जा सके, ब्रह्माण्ड को सामान्यतः एक अलग-अलग कई गुना माना जाता है। एक गणितीय वस्तु जिसमें ये सभी गुण होते हैं, बिना सीमा के कॉम्पैक्ट और अलग-अलग, एक बंद कई गुना कहा जाता है। 3-गोला और 3-टोरस दोनों बंद मैनिफोल्ड हैं।

यदि स्थान अनंत (समतल, बस जुड़ा हुआ) होता, तो सीएमबी विकिरण के तापमान में गड़बड़ी सभी पैमानों पर सम्मिलित होती। यदि, हालांकि, अंतरिक्ष परिमित है, तो वे तरंग दैर्ध्य गायब हैं जो अंतरिक्ष के आकार से बड़े हैं। नासा के डब्ल्यूएमएपी और ईएसए के प्लैंक जैसे उपग्रहों के साथ बनाए गए सीएमबी गड़बड़ी स्पेक्ट्रम के मानचित्रों ने बड़े पैमाने पर लापता गड़बड़ी की एक आश्चर्यजनक मात्रा दिखाई है। सीएमबी के देखे गए उतार-चढ़ाव के गुण ब्रह्माण्ड के आकार से परे के पैमाने पर एक 'लापता शक्ति' दिखाते हैं। इसका अर्थ यह होगा कि हमारा ब्रह्माण्ड गुणा-जुड़ा हुआ और परिमित है। सीएमबी का स्पेक्ट्रम ब्रह्माण्ड के साथ एक विशाल तीन-टोरस के रूप में बेहतर फिट बैठता है, एक ब्रह्माण्ड तीनों आयामों में खुद से जुड़ा हुआ है।

वक्रता
ब्रह्माण्ड की वक्रता टोपोलॉजी पर बाधा डालती है। यदि स्थानिक ज्यामिति गोलाकार है, अर्थात सकारात्मक वक्रता है, तो टोपोलॉजी कॉम्पैक्ट है। एक फ्लैट (शून्य वक्रता) या एक अतिशयोक्तिपूर्ण (नकारात्मक वक्रता) स्थानिक ज्यामिति के लिए, टोपोलॉजी कॉम्पैक्ट या अनंत हो सकती है। कई पाठ्यपुस्तकों में गलत तरीके से कहा गया है कि एक समतल ब्रह्माण्ड का अर्थ अनंत ब्रह्माण्ड है; हालाँकि, सही कथन यह है कि एक समतल ब्रह्माण्ड जो कि सरलता से जुड़ा हुआ है, एक अनंत ब्रह्माण्ड का अर्थ है। उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन स्थान समतल है, बस जुड़ा हुआ है, और अनंत है, लेकिन ऐसे समतल टोरस हैं जो समतल, बहुसंख्यक जुड़े, परिमित और कॉम्पैक्ट हैं (फ्लैट टोरस देखें)।

सामान्य तौर पर, रीमैनियन ज्यामिति#लोकल टू ग्लोबल थ्योरम्स इन रिमानियन ज्यामिति स्थानीय ज्योमेट्री को ग्लोबल ज्योमेट्री से संबंधित करती है। यदि स्थानीय ज्यामिति में निरंतर वक्रता है, तो भूमंडलीय ज्यामिति बहुत विवश है, जैसा कि ज्यामितिकरण अनुमान में वर्णित है।

नवीनतम शोध से पता चलता है कि सबसे शक्तिशाली भविष्य के प्रयोग (जैसे वर्ग किलोमीटर सरणी) फ्लैट, खुले और बंद ब्रह्माण्ड के बीच अंतर करने में सक्षम नहीं होंगे यदि ब्रह्माण्ड संबंधी वक्रता पैरामीटर का सही मान 10−4 से छोटा है। यदि ब्रह्माण्ड संबंधी वक्रता पैरामीटर का सही मान 10−3 से बड़ा है तो हम अभी भी इन तीन मॉडलों के बीच अंतर करने में सक्षम होंगे।

प्लैंक मिशन के अंतिम परिणाम, 2018 में प्रारम्भ किए गए, ब्रह्माण्ड संबंधी वक्रता पैरामीटर दिखाते हैं, 1 – Ω = ΩK = –K c²/a²H², to be 0.0007±0.0019 होना, एक समतल ब्रह्माण्ड के अनुरूप। (अर्थात् धनात्मक वक्रता: K = +1, Ωκ < 0, Ω > 1, ऋणात्मक वक्रता: K = −1, Ωκ > 0, Ω < 1, शून्य वक्रता: K = 0, Ωκ = 0, Ω = 1)

शून्य वक्रता वाला ब्रह्माण्ड
शून्य वक्रता वाले ब्रह्माण्ड में, स्थानीय ज्यामिति समतल होती है। सबसे स्पष्ट भूमंडलीय संरचना यूक्लिडियन अंतरिक्ष की है, जो विस्तार में अनंत है। चपटे ब्रह्माण्ड जो सीमा में परिमित हैं उनमें टोरस्र्स और क्लेन की बोतल सम्मिलित हैं। इसके अतिरिक्त, तीन आयामों में, 10 सीमित बंद फ्लैट 3 गुना हैं, जिनमें से 6 उन्मुख हैं और 4 गैर-उन्मुख हैं। ये बीबरबैक मैनिफोल्ड हैं। सबसे परिचित उपरोक्त 3-टोरस ब्रह्माण्ड है।

डार्क एनर्जी की अनुपस्थिति में, एक समतल ब्रह्माण्ड का हमेशा के लिए विस्तार होता है, लेकिन लगातार घटती दर से, विस्तार शून्य के करीब पहुंच रहा है। डार्क एनर्जी के साथ, गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव के कारण, ब्रह्माण्ड की विस्तार दर शुरू में धीमी हो जाती है, लेकिन अंततः बढ़ जाती है। ब्रह्माण्ड का अंतिम भाग्य वही है जो एक खुले ब्रह्माण्ड का है।

एक समतल ब्रह्माण्ड में शून्य-ऊर्जा ब्रह्माण्ड हो सकता है।

धनात्मक वक्रता वाला ब्रह्माण्ड
एक सकारात्मक रूप से घुमावदार ब्रह्माण्ड को अण्डाकार ज्यामिति द्वारा वर्णित किया गया है, और इसे त्रि-आयामी हाइपरस्फीयर या कुछ अन्य गोलाकार 3-कई गुना (जैसे पोंकारे डोडेकाहेड्रल स्पेस) के रूप में माना जा सकता है, जो सभी 3-गोले के भागफल हैं।

पॉइंकेयर डोडेकाहेड्रल स्पेस एक सकारात्मक रूप से घुमावदार स्थान है, जिसे बोलचाल की भाषा में "सॉकरबॉल-आकार" के रूप में वर्णित किया गया है, क्योंकि यह बाइनरी इकोसाहेड्रल समूह द्वारा 3-क्षेत्र का भागफल है, जो आईकोसाहेड्रल समरूपता के बहुत करीब है, सॉकर बॉल की समरूपता। यह 2003 में जीन पियरे ल्यूमिनेट और उनके सहयोगियों द्वारा प्रस्तावित किया गया था और मॉडल के लिए आकाश पर एक इष्टतम अभिविन्यास का अनुमान 2008 में लगाया गया था।

ऋणात्मक वक्रता वाला ब्रह्माण्ड
एक अतिशयोक्तिपूर्ण ब्रह्माण्ड, एक नकारात्मक स्थानिक वक्रता में से एक, अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति द्वारा वर्णित है, और स्थानीय रूप से एक असीम रूप से विस्तारित काठी आकार के त्रि-आयामी एनालॉग के रूप में सोचा जा सकता है। अतिशयोक्तिपूर्ण 3-कई गुना की एक बड़ी विविधता है, और उनका वर्गीकरण पूरी तरह से समझा नहीं गया है। मोस्टो कठोरता प्रमेय के माध्यम से परिमित मात्रा को समझा जा सकता है। अतिशयोक्तिपूर्ण स्थानीय ज्यामिति के लिए, संभावित त्रि-आयामी स्थानों में से कई को अनौपचारिक रूप से "हॉर्न टोपोलॉजी" कहा जाता है, इसलिए इसे छद्ममंडल के आकार के कारण कहा जाता है, जो अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति का एक विहित मॉडल है। एक उदाहरण पिकार्ड हॉर्न है, जो एक नकारात्मक रूप से घुमावदार स्थान है, जिसे बोलचाल की भाषा में "फ़नल-आकार" के रूप में वर्णित किया गया है।

वक्रता: खुली या बंद
जब ब्रह्माण्ड विज्ञानी ब्रह्माण्ड को "खुला" या "बंद" होने की बात करते हैं, तो वे सामान्यतः इस बात का जिक्र करते हैं कि वक्रता क्रमशः नकारात्मक या सकारात्मक है या नहीं। ओपन और क्लोज्ड के ये अर्थ टोपोलॉजिकल स्पेस में सेट के लिए ओपन और क्लोज्ड के गणितीय अर्थ से अलग हैं और ओपन और क्लोज मैनिफोल्ड के गणितीय अर्थ के लिए हैं, जो अस्पष्टता और भ्रम को जन्म देता है। गणित में, एक बंद मैनिफोल्ड (अर्थात, सीमा के बिना कॉम्पैक्ट) और ओपन मैनिफोल्ड (अर्थात, जो कॉम्पैक्ट नहीं है और सीमा के बिना) की परिभाषाएं हैं। एक "बंद ब्रह्माण्ड" अनिवार्य रूप से एक बंद कई गुना है। एक "खुला ब्रह्माण्ड" या तो एक बंद या खुला कई गुना हो सकता है। उदाहरण के लिए, फ्रीडमैन-लेमैट्रे-रॉबर्टसन-वॉकर (एफएलआरडब्ल्यू) मॉडल में ब्रह्माण्ड को सीमाओं के बिना माना जाता है, इस स्थितिे में "कॉम्पैक्ट ब्रह्माण्ड" एक ऐसे ब्रह्माण्ड का वर्णन कर सकता है जो एक बंद कई गुना है।

मिल्ने मॉडल (अतिशयोक्तिपूर्ण विस्तार)
यदि कोई ब्रह्माण्ड के विस्तार के लिए मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष-आधारित विशेष सापेक्षता को लागू करता है, बिना घुमावदार अंतरिक्ष-समय की अवधारणा का सहारा लिए, तो मिल्ने मॉडल प्राप्त होता है। निरंतर आयु (बिग बैंग से बीता हुआ उचित समय) के ब्रह्माण्ड के किसी भी स्थानिक खंड में नकारात्मक वक्रता होगी; यह केवल एक छद्म-यूक्लिडियन अंतरिक्ष ज्यामितीय तथ्य है जो फ्लैट यूक्लिडियन अंतरिक्ष में संकेंद्रित क्षेत्रों के समान है, फिर भी घुमावदार हैं। इस मॉडल की स्थानिक ज्यामिति एक असीमित अतिपरवलयिक स्थान है। इस मॉडल में पूरे ब्रह्माण्ड को मिन्कोवस्की अंतरिक्ष में एम्बेड करके मॉडल किया जा सकता है, इस स्थितिे में ब्रह्माण्ड को मिन्कोव्स्की स्पेसटाइम के भविष्य के प्रकाश शंकु के अंदर सम्मिलित किया गया है। इस स्थितिे में मिल्ने मॉडल प्रकाश शंकु का भविष्य का आंतरिक भाग है और प्रकाश शंकु ही बिग बैंग है।

किसी भी पल के लिए $Ω = 1$ मिल्ने मॉडल के भीतर समन्वय समय (बिग बैंग को मानते हुए $Ω > 1$), ब्रह्माण्ड का कोई भी क्रॉस-सेक्शन स्थिर है $Ω < 1$ मिन्कोवस्की अंतरिक्ष-समय में त्रिज्या के एक गोले से घिरा हुआ है $Ω$. एक क्षेत्र के भीतर समाहित एक अनंत ब्रह्माण्ड का स्पष्ट विरोधाभास मिल्ने मॉडल की समन्वय प्रणालियों और मिंकोस्की स्पेसटाइम के बीच बेमेल का प्रभाव है जिसमें यह एम्बेडेड है।

यह मॉडल अनिवार्य रूप से $t > 0$ के लिए एक अध: पतन (गणित) एफएलआरडब्ल्यू है। यह उन टिप्पणियों के साथ असंगत है जो निश्चित रूप से इतने बड़े नकारात्मक स्थानिक वक्रता को खारिज करते हैं। हालांकि, एक पृष्ठभूमि के रूप में जिसमें गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र (या ग्रेविटॉन) संचालित हो सकते हैं, भिन्नरूपतावाद के कारण, मैक्रोस्कोपिक पैमाने पर स्थान, आइंस्टीन के क्षेत्र समीकरणों के किसी अन्य (खुले) समाधान के बराबर है।

यह भी देखें

 * —एक स्ट्रिंग-थ्योरी-संबंधित मॉडल जो एक पांच-आयामी, ब्रैन-आकार वाले ब्रह्मांड का चित्रण करता है; बिग बैंग का एक विकल्प, जिसमें ब्रह्मांड की उत्पत्ति का वर्णन तब किया गया जब पांचवें आयाम में दो झिल्लियों की टक्कर हुई
 * कॉम्पैक्ट टोपोलॉजी के साथ 6 या 7 अतिरिक्त स्थान-जैसे आयामों के लिए
 * - गॉस द्वारा खोजी गई उल्लेखनीय प्रमेय, जिसने दिखाया कि सतहों के लिए वक्रता की एक आंतरिक धारणा है। यह रीमैन द्वारा उच्च-आयामी रिक्त स्थान के लिए वक्रता की (आंतरिक) धारणा को सामान्यीकृत करने के लिए उपयोग किया जाता है
 * - गॉस द्वारा खोजी गई उल्लेखनीय प्रमेय, जिसने दिखाया कि सतहों के लिए वक्रता की एक आंतरिक धारणा है। यह रीमैन द्वारा उच्च-आयामी रिक्त स्थान के लिए वक्रता की (आंतरिक) धारणा को सामान्यीकृत करने के लिए उपयोग किया जाता है
 * - गॉस द्वारा खोजी गई उल्लेखनीय प्रमेय, जिसने दिखाया कि सतहों के लिए वक्रता की एक आंतरिक धारणा है। यह रीमैन द्वारा उच्च-आयामी रिक्त स्थान के लिए वक्रता की (आंतरिक) धारणा को सामान्यीकृत करने के लिए उपयोग किया जाता है
 * - गॉस द्वारा खोजी गई उल्लेखनीय प्रमेय, जिसने दिखाया कि सतहों के लिए वक्रता की एक आंतरिक धारणा है। यह रीमैन द्वारा उच्च-आयामी रिक्त स्थान के लिए वक्रता की (आंतरिक) धारणा को सामान्यीकृत करने के लिए उपयोग किया जाता है
 * - गॉस द्वारा खोजी गई उल्लेखनीय प्रमेय, जिसने दिखाया कि सतहों के लिए वक्रता की एक आंतरिक धारणा है। यह रीमैन द्वारा उच्च-आयामी रिक्त स्थान के लिए वक्रता की (आंतरिक) धारणा को सामान्यीकृत करने के लिए उपयोग किया जाता है

बाहरी संबंध

 * Geometry of the Universe at icosmos.co.uk
 * Universe is Finite, "Soccer Ball"-Shaped, Study Hints. Possible wrap-around dodecahedral shape of the universe
 * Classification of possible universes in the Lambda-CDM model.
 * What do you mean the universe is flat? Scientific American Blog explanation of a flat universe and the curved spacetime in the universe.
 * Universe is Finite, "Soccer Ball"-Shaped, Study Hints. Possible wrap-around dodecahedral shape of the universe
 * Classification of possible universes in the Lambda-CDM model.
 * What do you mean the universe is flat? Scientific American Blog explanation of a flat universe and the curved spacetime in the universe.
 * What do you mean the universe is flat? Scientific American Blog explanation of a flat universe and the curved spacetime in the universe.
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