चरण (तरंगें)

भौतिकी और गणित में, एक आवधिक कार्य का चरण $$F$$ कुछ वास्तविक संख्या चर की $$t$$ (जैसे समय) एक कोण जैसी मात्रा है जो चक्र के अंश का प्रतिनिधित्व करती है $$t$$। इसे निरूपित किया गया है $$\phi(t)$$ और इस तरह के पैमाने (अनुपात) में व्यक्त किया गया कि यह चर के रूप में एक पूर्ण मोड़ (ज्यामिति) द्वारा भिन्न होता है $$t$$ प्रत्येक अवधि (भौतिकी) के माध्यम से जाता है और $$F(t)$$ प्रत्येक पूर्ण चक्र से गुजरता है। यह किसी भी कोणीय इकाई जैसे डिग्री (कोण) या रेडियंस में माप (गणित) हो सकता है, इस प्रकार 360° बढ़ जाता है $$2\pi$$ चर के रूप में $$t$$ एक पूरी अवधि पूरी करता है। यह सम्मेलन विशेष रूप से एक साइनसोइडल फ़ंक्शन के लिए उपयुक्त है, क्योंकि किसी भी तर्क पर इसका मूल्य है $$t$$ फिर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$\phi(t)$$, चरण की साइन, कुछ कारक (साइनसॉइड का आयाम) से गुणा किया गया। को[[ज्या]] का उपयोग साइन के अतिरिक्त किया जा सकता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि प्रत्येक अवधि को प्रारंभ करने के लिए जहां कोई विचार करता है।)

सामान्यतः, चरण को व्यक्त करते समय पूरे मोड़ को अनदेखा कर दिया जाता है; जिससे $$\phi(t)$$ एक आवधिक कार्य भी है, समान अवधि के साथ $$F$$, कि बार-बार कोणों की एक ही सीमा को स्कैन करें $$t$$ प्रत्येक अवधि से गुजरता है। फिर, $$F$$ कहा जाता है कि दो तर्क मूल्यों पर एक ही चरण में होना चाहिए $$t_1$$ और $$t_2$$ (वह है, $$\phi(t_1) = \phi(t_2)$$) यदि उनके बीच का अंतर अवधि की एक पूरी संख्या है।

चरण का संख्यात्मक मान $$\phi(t)$$ प्रत्येक अवधि के प्रारंभ की मनमानी विकल्प पर निर्भर करता है, और कोणों के अंतराल पर कि प्रत्येक अवधि को मैप किया जाना है।

आवधिक कार्य की तुलना करते समय शब्द "चरण" शब्द का भी उपयोग किया जाता है $$F$$ एक स्थानांतरित संस्करण के साथ इसका $$G$$ इसका। अगर शिफ्ट में $$t$$ अवधि के एक अंश के रूप में व्यक्त किया जाता है, और फिर एक कोण पर स्केल किया जाता है $$\varphi$$ एक पूरे मोड़ को फैलाते हुए, एक को चरण शिफ्ट, चरण ऑफसेट, या चरण अंतर मिलता है $$G$$ के सापेक्ष $$F$$। यदि $$F$$ संकेतों के एक वर्ग के लिए एक विहित कार्य है, जैसे $$\sin(t)$$ सभी साइनसोइडल संकेतों के लिए है, फिर $$\varphi$$ का प्रारंभिक चरण $$G$$ कहा जाता है $$G$$।

गणितीय परिभाषा
माना $$F$$ एक आवधिक संकेत हो (अर्थात, एक वास्तविक चर का एक कार्य), और $$T$$ इसकी अवधि हो (अर्थात, सबसे छोटी सकारात्मक वास्तविक संख्या जैसे कि $$F(t + T) = F(t)$$ सबके लिए $$t$$)। फिर $$F$$ का चरण $$F$$ किसी भी तर्क पर $$t$$ है
 * $$\phi(t) = 2\pi\left[\!\!\left[\frac{t - t_0}{T}\right]\!\!\right]$$

यहां $$[\![\,\cdot\,]\!]\!\,$$ एक वास्तविक संख्या के आंशिक भाग को दर्शाता है, इसके पूर्णांक भाग को छोड़ देता है; वह है, $$[\![ x ]\!] = x - \left\lfloor x \right\rfloor\!\,$$;और $$t_0$$ तर्क का एक मनमाना मूल मान है, जिसे एक चक्र का प्रारंभ माना जाता है।

इस अवधारणा को एक घड़ी की कल्पना करके देखा जा सकता है जो एक हाथ से चलती है जो निरंतर गति से घूमती है, हर बार एक पूर्ण मोड़ बनाती है। घड़ी की कल्पना करके कल्पना की जा सकती है जो निरंतर गति से बदल जाती है, जिससे हर मोड़ बनता है $$T$$ सेकंड, और समय पर सीधे संकेत कर रहा है $$t_0$$। अवधि $$\phi(t)$$ तब 12:00 स्थिति से कोण को समय पर हाथ की वर्तमान स्थिति तक का कोण है $$t$$, मापा दक्षिणावर्त मापा जाता है।

उत्पत्ति के समय चरण अवधारणा सबसे उपयोगी होती है $$t_0$$ की विशेषताओं के आधार पर चुना जाता है $$F$$। उदाहरण के लिए, एक साइनसॉइड के लिए, एक सुविधाजनक विकल्प कोई भी है $$t$$ जहां फ़ंक्शन का मान शून्य से सकारात्मक में बदल जाता है।

ऊपर दिया गया सूत्र 0 और $$2\pi$$ के बीच रेडियन में एक कोण के रूप में चरण देता है $$2\pi$$। चरण को एक कोण के रूप में प्राप्त करने के लिए $$-\pi$$ और $$+\pi$$, एक इसके अतिरिक्त उपयोग करता है
 * $$\phi(t) = 2\pi\left(\left[\!\!\left[\frac{t - t_0}{T} + \frac{1}{2}\right]\!\!\right] - \frac{1}{2}\right)$$

डिग्री में व्यक्त चरण (0 ° से 360 ° तक, या ° 180 ° से +180 ° तक) को उसी तरह परिभाषित किया गया है, 2π के स्थान पर 360 ° को छोड़कर।

परिणाम
उपरोक्त परिभाषाओं में से किसी के साथ, चरण $$\phi(t)$$ एक आवधिक संकेत आवधिक भी है, एक ही अवधि के साथ $$T$$:
 * $$\phi(t + T) = \phi(t)\quad\quad{}$$ सबके लिए $$t$$।

प्रत्येक अवधि के प्रारंभ में चरण शून्य है;वह है
 * $$\phi(t_0 + kT) = 0\quad\quad{}$$ किसी भी पूर्णांक के लिए $$k$$।

इसके अलावा, मूल के किसी भी विकल्प के लिए $$t_0$$सिग्नल का मूल्य $$F$$ किसी भी तर्क के लिए $$t$$ केवल अपने चरण पर निर्भर करता है $$t$$।अर्थात्, कोई लिख सकता है $$F(t) = f(\phi(t))$$, कहाँ पे $$f$$ एक कोण का एक कार्य है, केवल एक पूर्ण मोड़ के लिए परिभाषित किया गया है, जो की भिन्नता का वर्णन करता है $$F$$ जैसा $$t$$ एक ही अवधि में सीमाएं।

वास्तव में, हर आवधिक संकेत $$F$$ एक विशिष्ट तरंग के साथ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
 * $$F(t) = A\,w(\phi(t))$$

कहाँ पे $$w$$ में एक चरण कोण का एक विहित कार्य है

0 से 2,, जो उस तरंग के सिर्फ एक चक्र का वर्णन करता है;और $$A$$ आयाम के लिए एक स्केलिंग कारक है।(यह दावा मानता है कि शुरुआती समय $$t_0$$ के चरण की गणना करने के लिए चुना $$F$$ तर्क 0 से मेल खाती है $$w$$।)

चरणों को जोड़ना और तुलना करना
चूंकि चरण कोण हैं, इसलिए किसी भी पूरे पूर्ण मोड़ को सामान्यतः उन पर अंकगणित संचालन करते समय अनदेखा किया जाना चाहिए।अर्थात्, दो चरणों (डिग्री में) का योग और अंतर सूत्रों द्वारा गणना की जानी चाहिए
 * $$360\,\left[\!\!\left[\frac{\alpha + \beta}{360}\right]\!\!\right]\quad\quad$$ और $$\quad\quad 360\,\left[\!\!\left[\frac{\alpha - \beta}{360}\right]\!\!\right]$$

क्रमश।इस प्रकार, उदाहरण के लिए, चरण कोणों का योग 190° + 200° 30 ° है (190 + 200 = 390, माइनस एक पूर्ण मोड़), और 30 ° से 50 ° घटाने से 340 ° का एक चरण मिलता है (, प्लस एक पूर्ण मोड़)।

इसी तरह के सूत्र रेडियन के लिए पकड़ते हैं, $$2\pi$$ 360 के अतिरिक्त।

चरण शिफ्ट
अंतर $$\varphi(t) = \phi_G(t) - \phi_F(t)$$ दो आवधिक संकेतों के चरणों के बीच $$F$$ और $$G$$ चरण अंतर या चरण पारी कहा जाता है $$G$$ के सापेक्ष $$F$$. के मूल्यों पर $$t$$ जब अंतर शून्य होता है, तो दो संकेतों को चरण में कहा जाता है, अन्यथा वे एक दूसरे के साथ चरण से बाहर होते हैं।

घड़ी सादृश्य में, प्रत्येक सिग्नल को एक ही घड़ी के एक हाथ (या सूचक) द्वारा दर्शाया जाता है, दोनों निरंतर लेकिन संभवतः अलग -अलग गति पर बदल जाते हैं।चरण अंतर तब दो हाथों के बीच का कोण है, मापा गया दक्षिणावर्त।

चरण अंतर विशेष रूप से महत्वपूर्ण है जब दो संकेतों को एक भौतिक प्रक्रिया द्वारा एक साथ जोड़ा जाता है, जैसे कि दो आवधिक ध्वनि तरंगें दो स्रोतों द्वारा उत्सर्जित और एक माइक्रोफोन द्वारा एक साथ दर्ज की जाती हैं।यह सामान्यतः रैखिक बीजगणित प्रणालियों में मामला होता है, जब सुपरपोजिशन सिद्धांत धारण करता है।

तर्क के लिए $$t$$ जब चरण अंतर शून्य होता है, तो दो संकेतों में एक ही संकेत होगा और एक दूसरे को मजबूत करेगा।एक का कहना है कि हस्तक्षेप (तरंग प्रसार) हो रहा है।बहस में $$t$$ जब चरण अलग-अलग होते हैं, तो योग का मूल्य तरंग पर निर्भर करता है।

साइनसोइड्स के लिए
साइनसोइडल संकेतों के लिए, जब चरण अंतर $$\varphi(t)$$ 180 ° है ($$\pi$$ रेडियन), एक का कहना है कि चरण विपरीत हैं, और यह कि संकेत एंटीफेज़ में हैं।तब संकेतों के विपरीत संकेत होते हैं, और हस्तक्षेप (तरंग प्रसार) होता है। इसके विपरीत, एक चरण उलट या चरण उलटा एक 180-डिग्री चरण पारी का अर्थ है।

जब चरण अंतर $$\varphi(t)$$ एक चौथाई मोड़ है (एक समकोण, +90° = π/2 या −90° = 270° = −π/2 = 3π/2), साइनसोइडल संकेतों को कभी-कभी द्विघात (जैसे, इन-चरण और चतुर्भुज घटकों) में कहा जाता है।

यदि आवृत्तियाँ अलग हैं, तो चरण अंतर $$\varphi(t)$$ तर्क के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है $$t$$।सुदृढीकरण और विरोध से आवधिक परिवर्तन एक घटना का कारण बनते हैं जिसे बीट (ध्वनिकी) कहा जाता है।

शिफ्ट किए गए संकेतों के लिए
आवधिक संकेत की तुलना करते समय चरण अंतर विशेष रूप से महत्वपूर्ण है $$F$$ एक शिफ्ट और संभवतः स्केल किए गए संस्करण के साथ $$G$$ इसका। वह है, मान लीजिए कि $$G(t) = \alpha\,F(t + \tau)$$ कुछ स्थिरांक के लिए $$\alpha,\tau$$ और सभी $$t$$। यह भी मान लीजिए कि के चरण की गणना के लिए मूल $$G$$ स्थानांतरित कर दिया गया है।उस मामले में, चरण अंतर $$\varphi$$ एक स्थिर (से स्वतंत्र ( $$t$$), 'चरण शिफ्ट' या 'चरण ऑफसेट' कहा जाता है $$G$$ के सापेक्ष $$F$$।घड़ी की सादृश्य में, यह स्थिति एक ही गति से दोनों हाथों से मेल खाती है, जिससे उनके बीच का कोण स्थिर हो।

इस मामले में, चरण शिफ्ट केवल तर्क शिफ्ट है $$\tau$$, सामान्य अवधि के एक अंश के रूप में व्यक्त किया गया $$T$$ (दो संकेतों के मोड्यूलो प्रचालन के संदर्भ में) और फिर एक पूर्ण मोड़ पर स्केल किया गया:
 * $$\varphi = 2\pi \left[\!\!\left[ \frac{\tau}{T} \right]\!\!\right].$$

यदि $$F$$ संकेतों के एक वर्ग के लिए एक विहित प्रतिनिधि है, जैसे $$\sin(t)$$ सभी साइनसोइडल संकेतों के लिए है, फिर चरण शिफ्ट $$\varphi$$ केवल प्रारंभिक चरण कहा जाता है $$G$$।

इसलिए, जब दो आवधिक संकेतों में एक ही आवृत्ति होती है, तो वे हमेशा चरण में होते हैं, या हमेशा चरण से बाहर होते हैं। शारीरिक रूप से, यह स्थिति सामान्यतः कई कारणों से होती है।उदाहरण के लिए, दो सिग्नल अलग -अलग स्थानों पर दो माइक्रोफोन द्वारा रिकॉर्ड किए गए एक आवधिक साउंडवेव हो सकते हैं। या, इसके विपरीत, वे एक ही विद्युत संकेत से दो अलग -अलग वक्ताओं द्वारा बनाए गए आवधिक साउंडवेव हो सकते हैं, और एक एकल माइक्रोफोन द्वारा रिकॉर्ड किए गए हैं। वे एक रेडियो सिग्नल हो सकते हैं जो एक सीधी रेखा में प्राप्त एंटीना तक पहुंचता है, और इसकी एक प्रति जो पास में एक बड़ी इमारत से परिलक्षित होती है।

चरण अंतर का एक प्रसिद्ध उदाहरण पृथ्वी के विभिन्न बिंदुओं पर देखी गई छाया की लंबाई है।पहले सन्निकटन के लिए, अगर $$F(t)$$ समय पर देखी गई लंबाई है $$t$$ एक जगह पर, और $$G$$ एक ही समय में उस बिंदु के 30 ° पश्चिम में एक ही समय में देखी गई लंबाई है, फिर दो संकेतों के बीच चरण का अंतर 30 ° होगा (यह मानते हुए कि, प्रत्येक संकेत में, प्रत्येक अवधि प्रारंभ होती है जब छाया सबसे छोटी होती है)।

एक ही आवृत्ति के साथ साइनसोइड्स के लिए
साइनसोइडल संकेतों (और कुछ अन्य तरंगों, जैसे वर्ग या सममित त्रिकोणीय) के लिए, 180 ° की एक चरण शिफ्ट आयाम की उपेक्षा के साथ 0 ° के चरण पारी के बराबर है। जब इन तरंगों के साथ दो संकेत, एक ही अवधि और विपरीत चरणों को एक साथ जोड़ा जाता है, तो योग $$F+G$$ या तो पहचान के रूप में शून्य है, या एक ही अवधि और चरण के साथ एक साइनसोइडल संकेत है, जिसका आयाम मूल आयाम का अंतर है।

साइन फ़ंक्शन के सापेक्ष सह-साइन फ़ंक्शन का चरण पारी +90 ° है। यह इस प्रकार है कि, दो साइनसोइडल संकेतों के लिए $$F$$ और $$G$$ एक ही आवृत्ति और आयाम के साथ $$A$$ और $$B$$, और $$G$$ के सापेक्ष चरण शिफ्ट +90 ° है $$F$$, योग $$F+G$$ आयाम के साथ एक ही आवृत्ति के साथ एक साइनसोइडल संकेत है $$C$$ और चरण बदलाव $$-90^\circ < \varphi < +90^\circ$$ से $$F$$, ऐसा है कि
 * $$C = \sqrt{A^2 + B^2}\quad\quad{}$$ और $${}\quad\quad\sin(\varphi) = B/C$$.



एक ध्वनि चरण अंतर का एक वास्तविक दुनिया का उदाहरण मूल अमेरिकी बांसुरी#द वारबल में होता है।बांसुरी पर एक ही लंबे समय से आयोजित नोट के विभिन्न हार्मोनिक्स का आयाम चरण चक्र में विभिन्न बिंदुओं पर प्रभुत्व में आता है। अलग -अलग हार्मोनिक्स के बीच चरण अंतर को एक युद्धरत बांसुरी की ध्वनि के एक spectrogram पर देखा जा सकता है।

चरण तुलना
चरण तुलना दो तरंगों के चरण की तुलना है, सामान्यतः एक ही नाममात्र आवृत्ति की। समय और आवृत्ति में, एक चरण तुलना का उद्देश्य आम तौर पर एक संदर्भ के संबंध में आवृत्ति ऑफसेट (सिग्नल चक्रों के बीच अंतर) को निर्धारित करना है।

एक चरण तुलना एक आस्टसीलस्कप से दो संकेतों को जोड़कर की जा सकती है। दो-चैनल आस्टसीलस्कप। ऑसिलोस्कोप दो साइन सिग्नल प्रदर्शित करेगा, जैसा कि ग्राफिक में दाईं ओर दिखाया गया है। आसन्न छवि में, शीर्ष साइन सिग्नल आवृत्ति है, और नीचे साइन सिग्नल संदर्भ से एक संकेत का प्रतिनिधित्व करता है।

यदि दो आवृत्तियां बिल्कुल समान थीं, तो उनका चरण संबंध नहीं बदलेगा और दोनों ऑसिलोस्कोप डिस्प्ले पर स्थिर दिखाई देंगे।चूंकि दो आवृत्तियां बिल्कुल समान नहीं हैं, इसलिए संदर्भ स्थिर प्रतीत होता है और परीक्षण सिग्नल चलता है। परीक्षण संकेत की गति की दर को मापने से आवृत्तियों के बीच ऑफसेट निर्धारित किया जा सकता है।

ऊर्ध्वाधर लाइनों को उन बिंदुओं के माध्यम से खींचा गया है जहां प्रत्येक साइन सिग्नल शून्य से गुजरता है। आकृति के निचले हिस्से को उन बार दिखाया गया है जिनकी चौड़ाई संकेतों के बीच चरण अंतर का प्रतिनिधित्व करती है। इस मामले में चरण अंतर बढ़ रहा है, यह दर्शाता है कि परीक्षण संकेत संदर्भ की तुलना में आवृत्ति में कम है।

एक दोलन या आवधिक संकेत के चरण के लिए सूत्र
साधारण हार्मोनिक गति या साइन सिग्नल का चरण एक साइनसोइडल फ़ंक्शन को संदर्भित करता है जैसे कि निम्नलिखित:


 * $$\begin{align}

x(t) &= A\cdot \cos( 2 \pi f t + \varphi ) \\ y(t) &= A\cdot \sin( 2 \pi f t + \varphi ) = A\cdot \cos\left( 2 \pi f t + \varphi - \tfrac{\pi}{2}\right) \end{align}$$ जहां पर $$\textstyle A$$, $$\textstyle f$$, और $$\textstyle \varphi$$ निरंतर मापदंडों को साइनसॉइड के आयाम, आवृत्ति और चरण कहा जाता है। ये संकेत अवधि के साथ आवधिक हैं $$\textstyle T = \frac{1}{f}$$, और वे एक विस्थापन को छोड़कर समान हैं $$\textstyle \frac{T}{4}$$ साथ $$\textstyle t$$ एक्सिस। शब्द चरण कई अलग -अलग चीजों को संदर्भित कर सकता है:
 * यह एक निर्दिष्ट संदर्भ का उल्लेख कर सकता है, जैसे $$\textstyle \cos(2 \pi f t)$$, जिस स्थिति में हम कहेंगे कि चरण $$\textstyle x(t)$$ है $$\textstyle \varphi$$, और के चरण $$\textstyle y(t)$$ है $$\textstyle \varphi - \frac{\pi}{2}$$।
 * यह संदर्भित कर सकता है $$\textstyle \varphi$$, किस मामले में हम कहेंगे $$\textstyle x(t)$$ और $$\textstyle y(t)$$ एक ही चरण है, लेकिन अपने स्वयं के विशिष्ट संदर्भों के सापेक्ष हैं।
 * संचार तरंगों के संदर्भ में, समय-वेरिएंट कोण $$\textstyle 2 \pi f t + \varphi$$, या इसके प्रमुख मूल्य, को तात्कालिक चरण के रूप में संदर्भित किया जाता है, अक्सर केवल चरण।

यह भी देखें

 * निरपेक्ष चरण
 * एसी चरण
 * इन-फेज और क्वाडरेचर घटक
 * तात्कालिक चरण
 * लिसाजस वक्र
 * चरण रद्दीकरण
 * चरण समस्या
 * चरण स्पेक्ट्रम
 * चरण वेग
 * फासोर
 * ध्रुवीकरण (तरंगें)
 * सुसंगतता (भौतिकी), परिभाषा के अपने डोमेन के विभिन्न क्षेत्रों में एक अच्छी तरह से परिभाषित चरण संबंध प्रदर्शित करने के लिए एक लहर की गुणवत्ता
 * हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म, 90 ° द्वारा चरण बदलने की एक विधि
 * प्रतिबिंब चरण शिफ्ट, एक चरण परिवर्तन जो तब होता है जब एक लहर तेजी से मध्यम से धीमी गति से एक सीमा से परिलक्षित होती है

बाहरी कड़ियाँ

 * "What is a phase?". Prof. Jeffrey Hass. "An Acoustics Primer", Section 8. Indiana University, 2003. See also: (pages 1 thru 3, 2013)
 * Phase angle, phase difference, time delay, and frequency
 * ECE 209: Sources of Phase Shift — Discusses the time-domain sources of phase shift in simple linear time-invariant circuits.
 * Open Source Physics JavaScript HTML5
 * Phase Difference Java Applet