रेखा बंडल

गणित में, एक रेखा बंडल एक रेखा की अवधारणा को व्यक्त करता है जो एक बिंदु से दूसरे स्थान पर भिन्न होती है। उदाहरण के लिए, प्रत्येक बिंदु पर एक स्पर्श रेखा वाले समतल में एक वक्र एक भिन्न रेखा निर्धारित करता है: स्पर्शरेखा बंडल इन्हें व्यवस्थित करने की एक शैली है। अधिक औपचारिक रूप से, बीजगणितीय सांस्थिति और अवकल सांस्थिति में, एक लाइन बंडल को श्रेणी 1 के सदिश बंडल के रूप में परिभाषित किया जाता है।

समष्टि के प्रत्येक बिंदु के लिए स्थिर प्रक्रिया से एक आयामी सदिश समष्टि पसंद करके लाइन बंडल निर्दिष्ट किए जाते हैं। सांस्थितिक अनुप्रयोगों में, यह सदिश समष्टि सामान्यतः वास्तविक या सम्मिश्र होती है। वास्तविक और सम्मिश्र सदिश समष्टि के विभिन्न सांस्थितिक गुणों के कारण दो प्रकरण मौलिक रूप से भिन्न व्यवहार प्रदर्शित करते हैं: यदि मूल को वास्तविक रेखा से अलग कर दिया जाता है, तो परिणाम 1 × 1 व्युत्क्रमणीय वास्तविक मेट्रिसेस का समुच्चय होता है, जो सकारात्मक और नकारात्मक वास्तविकताओं को एक बिंदु पर अनुबंधित करके असतत दो-बिंदु स्थान के समस्थेयता-समतुल्य है; जबकि सम्मिश्र समतल से उत्पत्ति निवारक से 1 × 1 व्युत्क्रमणीय मिश्रित मैट्रिक्स उत्पन्न होता है, जिसमें एक वृत्त का समस्थेयता प्रकार होता है।

समस्थेयता सिद्धांत के परिप्रेक्ष्य से, एक वास्तविक रेखा बंडल इसलिए एक फाइबर बंडल के समान व्यवहार करता है जिसमें दो-बिंदु फाइबर होते है, जो कि एक उभय आवरण की तरह होते है। इसका एक विशेष प्रकरण एक विभिन्न विविध का अभिविन्यसनीय उभय आवरण है, जहां संगत रेखा बंडल स्पर्शरेखा बंडल का निर्धारक बंडल है (नीचे देखें)। मोबियस स्ट्रिप वृत्त के उभय आवरण (θ → 2θ मानचित्रण) से समान होती है और फाइबर की परिवर्ती, दो-बिंदु फाइबर, फाइबर के रूप में इकाई अंतराल, या वास्तविक रेखा के रूप में भी देखा जा सकता है।

मिश्रित रेखा बंडल वृत्त बंडल से संवृत से संबंधित हैं। कुछ विख्यात हैं, उदाहरण के लिए गोले से गोले की होप्फ़ कंपन।

बीजगणितीय ज्यामिति में, एक व्युत्क्रमणीय शीफ (अर्थात् श्रेणी एक का स्थानीय रूप से मुक्त शीफ) को प्रायः एक रेखा बंडल कहा जाता है।

प्रत्येक पंक्ति बंडल एक विभाजक से निम्न परिस्थिति के साथ उत्पन्न होते है

(I) यदि 'X' कम करने योग्य और अलघुकरणीय योजना है, तो प्रत्येक पंक्ति बंडल एक भाजक से आता है।

(II) यदि 'X' प्रक्षेपी योजना है तो वही कथन धारण करता है।

प्रक्षेपण स्थान पर पुनरुक्तात्म बंडल
बीजगणितीय ज्यामिति में सबसे महत्वपूर्ण रेखा बंडलों में से एक प्रक्षेपण स्थान पर पुनरुक्तात्म रेखा बंडल है। क्षेत्र k पर सदिश समष्टि V का प्रक्षेपण P(V) गुणक समूह k× की क्रिया द्वारा $$V \setminus \{0\}$$ के भागफल के रूप में परिभाषित किया गया है। P(V) का प्रत्येक बिंदु इसलिए k× की इन प्रतियों को P(V) पर k× बंडल में संयोजित किया जा सकता है। k× k से केवल एक बिंदु से भिन्न होता है, और उस बिंदु को प्रत्येक तंतु से जोड़कर, हमें P(V) पर एक रेखा बंडल मिलता है। इस रेखा बंडल को पुनरुक्तात्म रेखा बंडल कहा जाता है। इस रेखा बंडल को कभी-कभी $$\mathcal{O}(-1)$$ के रूप में दर्शाया जाता है क्योंकि यह सेरे ट्विस्टिंग शीफ के द्वैत $$\mathcal{O}(1)$$ के समान होता है।

प्रक्षेपण स्थान के मानचित्र
मान लीजिए कि X एक स्थान है और L, X पर एक लाइन बंडल है। L का एक वैश्विक खंडएक कार्य s है: X → L ऐसा है कि यदि p : L → X प्राकृतिक प्रक्षेप है, तो ps= आईडीX। X में एक छोटे से प्रतिवैस U में जिसमें L तुच्छ है, रेखा बंडल का कुल स्थान U और अंतर्निहित क्षेत्र k का उत्पाद है, और अनुभाग s एक कार्य U → k तक सीमित है। तथापि, s के मान तुच्छीकरण के विकल्प पर निर्भर करते हैं, और इसलिए वे केवल कहीं नहीं-लोप होने वाले कार्य द्वारा गुणन तक ही निर्धारित किए जाते हैं।

वैश्विक खंड निम्नलिखित शैली से प्रक्षेपण स्थान के लिए मानचित्र निर्धारित करते हैं: r + 1 का चयन L के फाइबर में सभी शून्य अंक पर नहीं Pr पुनरुक्तात्मक रेखा बंडल का फाइबर चुनता है, इसलिए r + 1 एक साथ नहीं लोप होने वाले वैश्विक वर्गों को चुनने से X से प्रक्षेपण स्थान  Pr में मानचित्र निर्धारित करते हैं। यह मानचित्र L के तंतुओं को पुनरुक्तात्म बंडल के द्वैध के तंतुओं में भेजता है। विशेष रूप से, मान लीजिए s0, ..., sr L के वैश्विक खंड हैं। X में एक छोटे से प्रतिवैस U में, ये खंड U पर k-मूल्यवान कार्यों को निर्धारित करते हैं जिनके मूल्य तुच्छीकरण की पसंद पर निर्भर करते हैं। तथापि, वे एक शून्येतर कार्य द्वारा एक साथ गुणा करने के लिए निर्धारित होते हैं, इसलिए उनके अनुपात सुनिश्चित परिभाषित होते हैं। अर्थात्, एक बिंदु x पर, मान s0(x), ..., sr(x) सुनिश्चित परिभाषित नहीं हैं क्योंकि तुच्छता में परिवर्तन उन्हें शून्येतर स्थिर λ से गुणा करेगा। लेकिन यह उन्हें एक ही स्थिर λ से गुणा करेगा, इसलिए सजातीय निर्देशांक [s0(x) : ... : sr(x)] तब तक सुनिश्चित परिभाषित हैं जब तक खंड s0, ..., sr एक साथ x पर लुप्त नहीं होते। इसलिए, यदि खंड कभी भी एक साथ लुप्त नहीं होते हैं, तो वे एक रूप निर्धारित करते हैं [s0 : ... : sr] जो X से Pr तक का मानचित्र देता है, और इस मानचित्र के अंतर्गत पुनरुक्तात्म बंडल के द्वैध का मुकरना L है। इस तरह, प्रक्षेपी स्थान एक सार्वभौमिक गुण प्राप्त कर लेता है।

प्रक्षेपण स्थान के लिए एक मानचित्र निर्धारित करने का सार्वभौमिक प्रकार L के सभी वर्गों के सदिश समष्टि के प्रोजेक्टिवाइजेशन के लिए मानचित्र करना है। सांस्थितिक प्रकरण में, प्रत्येक बिंदु पर एक लुप्त नहीं होने वाला खंड होता है जिसे बम्प कार्य का उपयोग करके बनाया जा सकता है जो बिंदु के एक छोटे से प्रतिवैस के बाहर लुप्त हो जाता है। इस वजह से, परिणामी मानचित्र हर जगह परिभाषित होता है। तथापि, कोडोमेन सामान्यतः दूर होता है, उपयोगी होने के लिए बहुत बड़ा है। बीजगणितीय और होलोमोर्फिक समुच्चयन में विपरीत सत्य है। यहां वैश्विक वर्गों का स्थान प्रायः परिमित आयामी होता है, लेकिन किसी दिए गए बिंदु पर कोई लुप्त नहीं होने वाला वैश्विक खंड नहीं हो सकता है। (जैसा कि उस स्थिति में होता है जब यह प्रक्रिया लेफशेट्ज़ पेंसिल का निर्माण करती है।) वास्तव में, यह संभव है कि एक बंडल में शून्येतर वैश्विक खंड बिल्कुल भी न हों; यह पुनरुक्तात्म रेखा बंडल का प्रकरण है। जब रेखा बंडल पर्याप्त रूप से पर्याप्त होता है तो यह निर्माण कोडैरा एम्बेडिंग प्रमेय की पुष्टि करता है।

निर्धारक बंडल
सामान्यतः यदि V समष्टि X पर एक सदिश बंडल है, स्थिर फाइबर आयाम n के साथ, फाइबर-दर-फाइबर लिए गए V की n-वीं बाहरी शक्ति एक रेखा बंडल है, जिसे निर्धारक रेखा बंडल कहा जाता है। यह निर्माण विशेष रूप से एक कई गुना समतल कोटिस्पर्श बंडल पर प्रयुक्त होता है। परिणामी निर्धारक बंडल प्रदिश घनत्व की परिघटना के लिए उत्तरदायी है, इस अर्थ में कि एक कई गुना अभिविन्यसनीय के लिए इसका एक लुप्त नहीं वैश्विक खंड है, और किसी भी वास्तविक प्रतिपादक के साथ इसकी प्रदिश शक्तियों को परिभाषित किया जा सकता है और प्रदिश उत्पाद द्वारा किसी भी सदिश बंडल को 'मोड़' करने के लिए उपयोग किया जाता है।

वही निर्माण (शीर्ष बाहरी शक्ति लेना) एक नोथेरियन कार्यक्षेत्र पर एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न किए गए मॉड्यूल M पर प्रयुक्त होता है और परिणामी उलटे मॉड्यूल को M के निर्धारक मॉड्यूल कहा जाता है।

विशेषता वर्ग, सार्वभौमिक बंडल और वर्गीकरण स्थान
पहला स्टिफ़ेल-व्हिटनी वर्ग समतल वास्तविक रेखा बंडलों को वर्गीकृत करता है; विशेष रूप से, वास्तविक रेखा बंडलों का संग्रह (तुल्यता वर्ग) Z/2Z गुणांक के साथ पहले सह समरूपता के तत्वों के अनुरूप है; यह पत्राचार वास्तव में एबेलियन समूहों का एक समरूपता है (समूह संचालन रेखा बंडलों के प्रदिश उत्पाद हैं और सह समरूपता पर सामान्य जोड़ हैं)। समान रूप से, पहला चेर्न वर्ग एक स्थान पर समतल मिश्रित रेखा बंडलों को वर्गीकृत करता है, और रेखा बंडलों का समूह पूर्णांक गुणांक वाले दूसरे सह समरूपता वर्ग के लिए समरूपीय है। तथापि, बंडलों में समतुल्य समतल संरचनाएं हो सकती हैं (और इस प्रकार वही पहली चेर्न वर्ग) लेकिन विभिन्न पूर्णसममितिक संरचनाएं। कई गुना पर शीफ (गणित) के घातीय अनुक्रम का उपयोग करके चेर्न वर्ग के कथन आसानी से सिद्ध होते हैं।

वर्गीकरण समस्या को समस्थेयता-सैद्धांतिक दृष्टिकोण से अधिक सामान्यतः देखा जा सकता है। वास्तविक रेखा बंडलों के लिए एक सार्वभौमिक बंडल है, और मिश्रित रेखा बंडलों के लिए एक सार्वभौमिक बंडल है। स्थान को वर्गीकृत करने के बारे में सामान्य सिद्धांत के अनुसार, अनुमानी स्थान की दृष्टि करना है, जिस पर संबंधित समूह C2 और S1की समूह क्रियाएं हैं, जो मुक्त क्रियाएं हैं। वे स्थान सार्वभौमिक प्रमुख बंडलों के रूप में काम कर सकते हैं, और वर्गीकृत स्थान BG के रूप में क्रियाओं के लिए भागफल हैं। इन प्रकरण में हम वास्तविक और मिश्रित प्रक्षेपण स्थान के अनंत-आयामी अनुरूपों में स्पष्ट रूप से उनको खोज सकते हैं।

इसलिए वर्गीकरण स्थान BC2 समस्थेयता प्रकार का RP∞ है, वास्तविक प्रक्षेपण स्थान सजातीय निर्देशांक के अनंत अनुक्रम द्वारा दिया गया है। इसमें सार्वभौमिक वास्तविक रेखा बंडल होता है; समस्थेयता सिद्धांत के संदर्भ में इसका मतलब है कि CW मिश्रित X पर कोई भी वास्तविक रेखा बंडल L, X से RP∞ के वर्गीकरण मानचित्र को निर्धारित करता है, जिससे L सार्वभौमिक बंडल के विघ्न के लिए एक बंडल समरूपी बन जाता है। RP∞ पर एक मानक वर्ग से, Z/2Z गुणांकों के साथ X के पहले सह समरूपता में, L के स्टिफ़ेल-व्हिटनी वर्ग को परिभाषित करने के लिए इस वर्गीकृत मानचित्र का उपयोग किया जा सकता है।

एक समान रूप से, मिश्रित प्रक्षेपण स्थान CP∞ में एक सार्वभौमिक मिश्रित लाइन बंडल होता है। इस प्रकरण में वर्गीकृत मानचित्र X के पहले चेर्न वर्ग को जन्म देते हैं, H2(X) (अभिन्न सह समरूपता) में।

चतुष्कोणीय (वास्तविक आयाम चार) रेखा बंडलों के साथ एक और समान सिद्धांत है। यह वास्तविक चार-आयामी सह समरूपता में पोंट्रीगिन वर्गों में से एक को जन्म देता है।

इस प्रकार से चारित्रिक वर्गों के सिद्धांत के लिए मूलभूत प्रकरण केवल रेखा बंडलों पर आश्रित करते हैं। एक सामान्य विभाजन सिद्धांत के अनुसार यह शेष सिद्धांत को निर्धारित कर सकता है (यदि स्पष्ट रूप से नहीं)।

मिश्रित पर कई गुना पूर्णसममितिक रेखा बंडलों के सिद्धांत हैं, और बीजगणितीय ज्यामिति में उलटी शीफ हैं, जो उन क्षेत्रों में एक रेखा बंडल सिद्धांत का काम करते हैं।

यह भी देखें

 * I-बंडल
 * पर्याप्त रेखा बंडल

संदर्भ

 * Michael Murray, Line Bundles, 2002 (PDF web link)
 * Robin Hartshorne. Algebraic geometry. AMS Bookstore, 1975. ISBN 978-0-8218-1429-1