अतिशयोक्तिपूर्ण कोण

ज्यामिति में, अतिपरवलयिक कोण एक वास्तविक संख्या है जो कार्तीय तल के चतुर्थांश I में xy = 1 के संगत अतिपरवलयिक क्षेत्र के क्षेत्रफल द्वारा निर्धारित होती है। हाइपरबोलिक कोण इकाई हाइपरबोला को पैरामीट्रिसेस करता है, जिसमें निर्देशांक के रूप में अतिशयोक्तिपूर्ण समारोह होते हैं। गणित में, अतिपरवलयिक कोण एक अपरिवर्तनीय उपाय है क्योंकि यह अतिशयोक्तिपूर्ण रोटेशन के तहत संरक्षित है।

अतिपरवलय xy = 1 एक आयताकार अतिपरवलय है जिसका अर्ध-प्रमुख अक्ष है $$\sqrt 2$$, त्रिज्या वाले एक वृत्त में एक वृत्ताकार क्षेत्र के क्षेत्रफल के अनुरूप एक वृत्ताकार कोण के परिमाण के अनुरूप $$\sqrt 2$$.

हाइपरबोलिक कोण को हाइपरबोलिक फ़ंक्शन sinh, cosh और tanh के लिए निर्भर और स्वतंत्र चर के रूप में उपयोग किया जाता है, क्योंकि ये फ़ंक्शन हाइपरबोलिक क्षेत्र # हाइपरबोलिक त्रिकोण को परिभाषित करने के रूप में हाइपरबोलिक कोण के संबंध में संबंधित परिपत्र त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के हाइपरबोलिक एनालॉग्स पर आधारित हो सकते हैं। इस प्रकार पैरामीटर वास्तविक संख्या चर के कलन में सबसे उपयोगी हो जाता है।

परिभाषा
आयताकार अतिपरवलय पर विचार करें $$\textstyle\{(x,\frac 1 x): x>0\}$$, और (सम्मेलन द्वारा) शाखा पर विशेष ध्यान दें $$x > 1$$.

पहले परिभाषित करें:
 * मानक स्थिति में अतिशयोक्तिपूर्ण कोण पर कोण है $$(0, 0)$$ किरण के बीच $$(1, 1)$$ और किरण को $$\textstyle(x, \frac 1 x)$$, कहाँ $$x > 1$$.
 * इस कोण का परिमाण संगत अतिपरवलयिक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल है, जो निकलता है $$\operatorname{ln}x$$.

ध्यान दें कि, प्राकृतिक लघुगणक द्वारा निभाई गई भूमिका के कारण:
 * वृत्ताकार कोण के विपरीत, अतिशयोक्तिपूर्ण कोण असीमित है (क्योंकि $$\operatorname{ln}x$$ असीमित है); यह इस तथ्य से संबंधित है कि हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) असीम है।
 * कोण के परिमाण का सूत्र बताता है कि, के लिए $$0 < x < 1$$, अतिशयोक्तिपूर्ण कोण ऋणात्मक होना चाहिए। यह इस तथ्य को दर्शाता है कि परिभाषित के रूप में, कोण निर्देशित है।

अंत में, हाइपरबोलिक कोण की परिभाषा को हाइपरबोला पर किसी भी अंतराल द्वारा घटाए गए तक बढ़ाएँ। कल्पना करना $$a, b, c, d$$ सकारात्मक वास्तविक संख्याएं हैं जैसे कि $$ab = cd = 1$$ और $$c > a > 1$$, ताकि $$(a, b)$$ और $$(c, d)$$ हाइपरबोला पर बिंदु हैं $$xy=1$$ और उस पर एक अंतराल निर्धारित करें। फिर निचोड़ मैपिंग $$\textstyle f:(x, y)\to(bx, ay)$$ कोण को मैप करता है $$\angle\!\left ((a, b), (0,0), (c, d)\right)$$ मानक स्थिति कोण के लिए $$\angle\!\left ((1, 1), (0,0), (bc, ad)\right)$$. सेंट विंसेंट के ग्रेगरी के परिणाम से, इन कोणों द्वारा निर्धारित अतिशयोक्तिपूर्ण क्षेत्रों में एक ही क्षेत्र होता है, जिसे कोण के परिमाण के रूप में लिया जाता है। यह परिमाण है $$\operatorname{ln}{(bc)}=\operatorname{ln}(c/a) =\operatorname{ln}c-\operatorname{ln}a$$.

वृत्ताकार कोण से तुलना


एक यूनिट सर्कल $$ x^2 + y^2 = 1 $$ रेडियन में गोलाकार कोण के आधे क्षेत्र के साथ एक गोलाकार क्षेत्र है। अनुरूप रूप से, एक इकाई अतिपरवलय $$ x^2 - y^2 = 1 $$ अतिशयोक्तिपूर्ण कोण के आधे क्षेत्र के साथ एक अतिशयोक्तिपूर्ण क्षेत्र है।

वृत्ताकार और अतिशयोक्तिपूर्ण मामलों के बीच एक प्रक्षेपी संकल्प भी है: दोनों वक्र शंक्वाकार खंड हैं, और इसलिए उन्हें प्रक्षेपी ज्यामिति में प्रक्षेपी श्रेणी के रूप में माना जाता है। इन श्रेणियों में से किसी एक पर एक मूल बिंदु दिया गया है, अन्य बिंदु कोणों के अनुरूप हैं। विज्ञान के लिए मूल कोणों को जोड़ने का विचार, इन श्रेणियों में से किसी एक पर अंकों के योग से मेल खाता है:

वृत्ताकार कोणों को ज्यामितीय रूप से इस गुण द्वारा चित्रित किया जा सकता है कि यदि दो राग (ज्यामिति) P0P1 और पी0P2 कोण एल घटाना1 और मैं2 एक वृत्त के केंद्र में, उनका योग {{nowrap|L1 + L2}जीवा PQ द्वारा अंतरित कोण } है, जहाँ PQ को P के समांतर होना आवश्यक है1P2.

यही रचना अतिपरवलय पर भी लागू की जा सकती है। यदि पी0 बिंदु माना जाता है (1, 1), पी1 बिंदु (x1, 1/x1), और पी2 बिंदु (x2, 1/x2), तो समानांतर स्थिति के लिए आवश्यक है कि Q बिंदु हो (x1x2, 1/x11/x2). इस प्रकार यह P से अतिपरवलयिक कोण को परिभाषित करने के लिए समझ में आता है0 एक्स के बिंदु के मान के लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के रूप में वक्र पर एक मनमानी बिंदु पर। जबकि यूक्लिडियन ज्यामिति में ओर्थोगोनल दिशा में मूल से एक किरण की ओर तेजी से बढ़ते हुए एक छद्म-यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक चक्र का पता चलता है। यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, किसी दिए गए कोण के गुणक एक वृत्त के चारों ओर समान दूरी का पता लगाते हैं, जबकि यह अतिशयोक्तिपूर्ण रेखा पर घातीय दूरी का पता लगाता है। दोनों परिपत्र और अतिशयोक्तिपूर्ण कोण एक अपरिवर्तनीय माप के उदाहरण प्रदान करते हैं। एक वृत्त पर कोणीय परिमाण के साथ चाप वृत्त पर कुछ मापनीय सेटों पर एक माप (गणित) उत्पन्न करते हैं जिसका परिमाण वृत्त के मुड़ने या घूमने के रूप में भिन्न नहीं होता है। हाइपरबोला के लिए टर्निंग स्क्वीज़ मैपिंग द्वारा होता है, और हाइपरबोलिक कोण परिमाण समान रहता है जब प्लेन को मैपिंग द्वारा निचोड़ा जाता है
 * (x, y) ↦ (rx, y / r), r > 0 के साथ।

मिंकोस्की रेखा तत्व से संबंध
हाइपरबॉलिक कोण और मिन्कोव्स्की स्पेस पर परिभाषित मीट्रिक के साथ एक जिज्ञासु संबंध भी है। जिस प्रकार दो आयामी यूक्लिडियन ज्यामिति अपने रेखा तत्व को परिभाषित करती है
 * $$ds_{e}^2 = dx^2 + dy^2,$$

Minkowski अंतरिक्ष पर लाइन तत्व है
 * $$ds_{m}^2 = dx^2 - dy^2.$$

दो आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक वक्र पर विचार करें,
 * $$x = f(t), y=g(t).$$

जहां पैरामीटर $$t$$ के बीच चलने वाली वास्तविक संख्या है $$ a $$ और $$ b $$ ($$ a\leqslant t<b $$). यूक्लिडियन अंतरिक्ष में इस वक्र की चाप की गणना इस प्रकार की जाती है:
 * $$S = \int_{a}^{b}ds_{e} = \int_{a}^{b} \sqrt{\left (\frac{dx}{dt}\right )^2 + \left (\frac{dy}{dt}\right )^2 }dt.$$

अगर $$ x^2 + y^2 = 1 $$ एक यूनिट सर्कल को परिभाषित करता है, इस समीकरण के लिए सेट एक एकल पैरामिट्रीकृत समाधान है $$ x = \cos t $$ और $$ y = \sin t $$. दे $$ 0\leqslant t < \theta $$, आर्कलेंथ की गणना करना $$ S $$ देता है $$ S = \theta $$. अब वही प्रक्रिया करते हुए, यूक्लिडियन तत्व को मिन्कोव्स्की लाइन तत्व के साथ बदलने के अलावा,
 * $$S = \int_{a}^{b}ds_{m} = \int_{a}^{b} \sqrt{\left (\frac{dx}{dt}\right )^2 - \left (\frac{dy}{dt}\right )^2 }dt,$$

और एक इकाई अतिपरवलय को इस रूप में परिभाषित किया $$ y^2 - x^2 = 1 $$ इसके संगत पैरामिट्रीकृत समाधान सेट के साथ $$ y = \cosh t $$ और $$ x = \sinh t $$, और दे कर $$ 0\leqslant t < \eta $$ (अतिशयोक्तिपूर्ण कोण), हम के परिणाम पर पहुंचते हैं $$ S = \eta $$. दूसरे शब्दों में, इसका मतलब यह है कि यूक्लिडियन परिभाषित मीट्रिक का उपयोग करके उसी कोण द्वारा बनाए गए यूनिट सर्कल पर एक चाप की चाप की लंबाई के रूप में परिपत्र कोण को कैसे परिभाषित किया जा सकता है, हाइपरबोलिक कोण इकाई हाइपरबोला पर चाप की चाप की लंबाई है। मिन्कोव्स्की परिभाषित मीट्रिक का उपयोग करके अतिशयोक्तिपूर्ण कोण द्वारा।

इतिहास
अतिपरवलय का चतुर्भुज (गणित) एक अतिशयोक्तिपूर्ण क्षेत्र के क्षेत्र का मूल्यांकन है। यह एक स्पर्शोन्मुख के खिलाफ संबंधित क्षेत्र के बराबर दिखाया जा सकता है। चतुष्कोण पहले 1647 में ग्रीगोइरे डी सेंट-विंसेंट द्वारा ओपस जियोमेट्रिकम क्वाडरेचर सर्कुली एट सेक्शनम कोनी में पूरा किया गया था। जैसा कि एक इतिहासकार ने व्यक्त किया है,
 * [उसने] एक अतिपरवलय का चतुर्भुज उसके स्पर्शोन्मुखों के लिए बनाया, और दिखाया कि जैसे-जैसे अंकगणितीय श्रृंखला में क्षेत्रफल बढ़ता है, ज्यामितीय श्रृंखला में भुज बढ़ता जाता है।

ए. ए. डी सरसा ने चतुर्भुज को एक लघुगणक के रूप में व्याख्यायित किया और इस प्रकार ज्यामितीय रूप से परिभाषित प्राकृतिक लघुगणक (या अतिशयोक्तिपूर्ण लघुगणक) को निम्नलिखित क्षेत्र के रूप में समझा जाता है y = 1/x के अधिकार के लिए x = 1. पारलौकिक कार्य के उदाहरण के रूप में, लघुगणक इसके प्रेरक, अतिशयोक्तिपूर्ण कोण से अधिक परिचित है। फिर भी, अतिशयोक्तिपूर्ण कोण एक भूमिका निभाता है जब निचोड़ मानचित्रण # ब्रिज टू ट्रान्सेंडैंटल | सेंट-विंसेंट का प्रमेय निचोड़ मानचित्रण के साथ उन्नत होता है।

सर्कुलर त्रिकोणमिति को अगस्त डी मॉर्गन द्वारा अपनी पाठ्यपुस्तक त्रिकोणमिति और डबल बीजगणित में हाइपरबोला तक बढ़ाया गया था। 1878 में विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड|डब्ल्यू.के. क्लिफोर्ड ने पैरामीट्रिक समीकरण को एक इकाई हाइपरबोला के लिए अतिशयोक्तिपूर्ण कोण का उपयोग किया, इसे लयबद्ध दोलक के रूप में वर्णित किया।

1894 में अलेक्जेंडर मैकफर्लेन ने अपने निबंध द इमेजिनरी ऑफ अलजेब्रा को परिचालित किया, जिसमें अंतरिक्ष विश्लेषण पर उनकी पुस्तक पेपर्स में छंद#हाइपरबोलिक छंद उत्पन्न करने के लिए अतिशयोक्तिपूर्ण कोणों का उपयोग किया गया था। अमेरिकन मैथमेटिकल सोसायटी का बुलेटिन बुलेटिन ने मेलन डब्ल्यू हास्केल की अतिपरवलयिक कार्यों की रूपरेखा प्रकाशित की। जब लुडविग सिल्बरस्टीन  ने सापेक्षता के नए सिद्धांत पर अपनी लोकप्रिय 1914 की पाठ्यपुस्तक लिखी, तो उन्होंने अतिशयोक्तिपूर्ण कोण a पर आधारित  तेज़ी  अवधारणा का उपयोग किया, जहां tanh a = v/c, वेग v का प्रकाश की गति से अनुपात। उन्होंने लिखा है:


 * ऐसा लगता है कि यूनिट रैपिडिटी एक विशाल वेग से मेल खाती है, जो प्रकाश के वेग के 3/4 के बराबर है; अधिक सटीक हमारे पास है v = (.7616)c के लिए a = 1.
 * [...] तेजी a = 1, [...] परिणामस्वरूप वेग .76 c का प्रतिनिधित्व करेगा जो पानी में प्रकाश के वेग से थोड़ा ऊपर है।

सिल्बरस्टीन भी प्राप्त करने के लिए समानतावाद Π(a) के कोण की निकोलाई लोबचेव्स्की की अवधारणा का उपयोग करता है cos Π(a) = v/c.

काल्पनिक वृत्ताकार कोण
अतिशयोक्तिपूर्ण कोण को अक्सर ऐसे प्रस्तुत किया जाता है जैसे कि वह एक काल्पनिक संख्या हो, $ \cos ix = \cosh x$ और $\sin ix = i \sinh x,$  ताकि अतिपरवलयिक फलन cos और sinh को वृत्तीय फलनों के माध्यम से प्रस्तुत किया जा सके। लेकिन यूक्लिडियन विमान में हम बारी-बारी से वृत्ताकार कोण के उपायों को काल्पनिक और अतिशयोक्तिपूर्ण कोण के उपायों को वास्तविक अदिश मान सकते हैं, $ \cosh ix = \cos x$  और $\sinh ix = i \sin x.$ इन संबंधों को घातीय फलन के संदर्भ में समझा जा सकता है, जो एक जटिल तर्क के लिए है $z$ सम और विषम कार्यों में तोड़ा जा सकता है $\cosh z = \tfrac12(e^z + e^{-z})$  और $\sinh z = \tfrac12(e^z - e^{-z}),$  क्रमश। तब

$$e^z = \cosh z + \sinh z = \cos(iz) - i \sin(iz), $$ या यदि तर्क को वास्तविक और काल्पनिक भागों में विभाजित किया जाता है $z = x + iy,$ घातीय को स्केलिंग के उत्पाद में विभाजित किया जा सकता है $e^{x}$  और घुमाव $e^{iy},$

$$e^{x + iy} = e^{x}e^{iy} = (\cosh x + \sinh x)(\cos y + i \sin y).$$ अनंत श्रृंखला के रूप में,

$$\begin{alignat}{3} e^z     &= \,\,\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}  && = 1 + z + \tfrac{1}{2}z^2 + \tfrac16z^3 + \tfrac1{24}z^4 + \dots \\ \cosh z &= \sum_{k \text{ even} } \frac{z^k}{k!} && = 1 + \tfrac{1}{2}z^2 + \tfrac1{24}z^4 + \dots \\ \sinh z &= \,\sum_{k \text{ odd} } \frac{z^k}{k!} && = z + \tfrac{1}{6}z^3 + \tfrac1{120}z^5 + \dots \\ \cos z  &= \sum_{k \text{ even} } \frac{(iz)^k}{k!} && = 1 - \tfrac{1}{2}z^2 + \tfrac1{24}z^4 - \dots \\ i \sin z &= \,\sum_{k \text{ odd} } \frac{(iz)^k}{k!} && = i\left(z - \tfrac{1}{6}z^3 + \tfrac1{120}z^5 - \dots\right) \\ \end{alignat}$$ कोसाइन के लिए अनंत श्रृंखला कोश से इसे एक वैकल्पिक श्रृंखला में बदलकर प्राप्त किया जाता है, और साइन के लिए श्रृंखला sinh को एक वैकल्पिक श्रृंखला में बनाने से आती है।

यह भी देखें

 * उत्कृष्ट कोण

संदर्भ

 * Janet Heine Barnett (2004) "Enter, stage center: the early drama of the hyperbolic functions", available in (a) Mathematics Magazine 77(1):15–30 or (b) chapter 7 of Euler at 300, RE Bradley, LA D'Antonio, CE Sandifer editors, Mathematical Association of America ISBN 0-88385-565-8.
 * Arthur Kennelly (1912) Application of hyperbolic functions to electrical engineering problems
 * William Mueller, Exploring Precalculus, § The Number e, Hyperbolic Trigonometry.
 * John Stillwell (1998) Numbers and Geometry exercise 9.5.3, p. 298, Springer-Verlag ISBN 0-387-98289-2.