वीयरस्ट्रैस गुणनखंडन प्रमेय

गणित में, और विशेष रूप से जटिल विश्लेषण के क्षेत्र में, वीयरस्ट्रैस फ़ैक्टराइज़ेशन प्रमेय का दावा है कि प्रत्येक संपूर्ण फ़ंक्शन को फ़ंक्शन के शून्य को शामिल करते हुए (संभवतः अनंत) उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है। प्रमेय को बीजगणित के मौलिक प्रमेय के विस्तार के रूप में देखा जा सकता है, जो दावा करता है कि प्रत्येक बहुपद को रैखिक कारकों में विभाजित किया जा सकता है, प्रत्येक मूल के लिए एक।

प्रमेय, जिसका नाम कार्ल वीयरस्ट्रैस के नाम पर रखा गया है, एक दूसरे परिणाम से निकटता से संबंधित है कि अनंत की ओर जाने वाले प्रत्येक अनुक्रम में उस अनुक्रम के सटीक बिंदुओं पर शून्य के साथ एक संबद्ध संपूर्ण कार्य होता है।

प्रमेय का एक सामान्यीकरण इसे मेरोमोर्फिक कार्यों तक विस्तारित करता है और किसी को दिए गए मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन को तीन कारकों के उत्पाद के रूप में मानने की अनुमति देता है: फ़ंक्शन के शून्य और ध्रुवों के आधार पर शब्द, और एक संबंधित गैर-शून्य होलोमोर्फिक फ़ंक्शन।

प्रेरणा
बीजगणित के मौलिक प्रमेय के परिणाम दोहरे हैं। सबसे पहले, कोई भी परिमित अनुक्रम $$\{c_n\}$$ सम्मिश्र तल में एक संबद्ध बहुपद होता है $$p(z)$$ उस क्रम के बिंदुओं पर बिल्कुल शून्य है, $p(z) = \prod_n (z-c_n).$ दूसरे, कोई बहुपद फलन $$p(z)$$ जटिल तल में एक गुणनखंडन होता है $p(z) = a\prod_n(z-c_n),$ कहाँ $a$ एक गैर-शून्य स्थिरांक है और $c_{n}$ के शून्य हैं $p$.

वीयरस्ट्रैस फ़ैक्टराइज़ेशन प्रमेय के दो रूपों को उपरोक्त संपूर्ण कार्यों के विस्तार के रूप में माना जा सकता है। जब कोई विचार करता है तो उत्पाद में अतिरिक्त शर्तों की आवश्यकता प्रदर्शित होती है $\prod_n (z-c_n)$ जहां क्रम $$\{c_n\}$$ परिमित समुच्चय नहीं है. यह कभी भी संपूर्ण फ़ंक्शन को परिभाषित नहीं कर सकता, क्योंकि अनंत उत्पाद अभिसरण नहीं करता है। इस प्रकार, सामान्य तौर पर, कोई भी निर्धारित शून्यों के अनुक्रम से एक संपूर्ण फ़ंक्शन को परिभाषित नहीं कर सकता है या बीजगणित के मौलिक प्रमेय द्वारा प्राप्त अभिव्यक्तियों का उपयोग करके उसके शून्यों द्वारा एक संपूर्ण फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकता है।

प्रश्न में अनंत उत्पाद के अभिसरण के लिए एक आवश्यक शर्त यह है कि प्रत्येक z के लिए, कारक $$ (z-c_n) $$ 1 के रूप में संपर्क करना चाहिए $$n\to\infty$$. तो इसका कारण यह है कि किसी को एक ऐसे फ़ंक्शन की तलाश करनी चाहिए जो एक निर्धारित बिंदु पर 0 हो, फिर भी उस बिंदु पर नहीं होने पर 1 के करीब रहे और इसके अलावा निर्धारित से अधिक शून्य न डालें। वीयरस्ट्रैस के प्राथमिक कारकों में ये गुण होते हैं और वे कारकों के समान ही उद्देश्य पूरा करते हैं $$ (z-c_n) $$ ऊपर।

प्रारंभिक कारक
प्रपत्र के कार्यों पर विचार करें $\exp\left(-\tfrac{z^{n+1}}{n+1}\right)$ के लिए $$n \in \mathbb{N}$$. पर $$z=0$$, वे इसका मूल्यांकन करते हैं $$1$$ और तक के क्रम में एक सपाट ढलान है $$n$$. एकदम बाद $$z=1$$, वे तेजी से कुछ छोटे सकारात्मक मूल्य पर गिर जाते हैं। इसके विपरीत, फ़ंक्शन पर विचार करें $$1-z$$ जिसका कोई समतल ढलान नहीं है लेकिन, पर $$z=1$$, बिल्कुल शून्य पर मूल्यांकन करता है। इसके लिए यह भी ध्यान दें $|z| < 1$,
 * $$(1-z) = \exp(\ln(1-z)) = \exp \left( -\tfrac{z^1}{1} - \tfrac{z^2}{2} - \tfrac{z^3}{3} + \cdots \right).$$

प्राथमिक कारक, प्राथमिक कारकों के रूप में भी जाना जाता है, ऐसे फ़ंक्शन हैं जो शून्य ढलान और शून्य मान के गुणों को जोड़ते हैं (ग्राफ़िक देखें):


 * $$E_n(z) = \begin{cases} (1-z) & \text{if }n=0, \\ (1-z)\exp \left( \frac{z^1}{1}+\frac{z^2}{2}+\cdots+\frac{z^n}{n} \right) & \text{otherwise}. \end{cases} $$

के लिए $|z| < 1$ और $$n>0$$, कोई इसे इस प्रकार व्यक्त कर सकता है $E_n(z)=\exp\left(-\tfrac{z^{n+1}}{n+1}\sum_{k=0}^\infty\tfrac{z^k}{1+k/(n+1)}\right)$ और कोई यह पढ़ सकता है कि उन संपत्तियों को कैसे लागू किया जाता है।

प्राथमिक कारकों की उपयोगिता $E_{n}(z)$ निम्नलिखित प्रमेयिका में निहित है:

लेम्मा (15.8, रुडिन) के लिए $|z| ≤ 1$, $$n \in \mathbb{N}$$
 * $$\vert 1 - E_n(z) \vert \leq \vert z \vert^{n+1}.$$

निर्दिष्ट शून्य के साथ संपूर्ण फ़ंक्शन का अस्तित्व
होने देना $$\{a_n\}$$ गैर-शून्य जटिल संख्याओं का एक क्रम बनें जैसे कि $$|a_n|\to\infty$$. अगर $$\{p_n\}$$ यह सभी के लिए गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का कोई क्रम है $$r>0$$,
 * $$ \sum_{n=1}^\infty \left( r/|a_n|\right)^{1+p_n} < \infty,$$

फिर फ़ंक्शन
 * $$f(z) = \prod_{n=1}^\infty E_{p_n}(z/a_n)$$

केवल बिंदुओं पर शून्य के साथ संपूर्ण है $$a_n$$. यदि कोई संख्या $$z_0$$ क्रम में होता है $$\{a_n\}$$ बिल्कुल $m$ बार, फिर कार्य करें $f$ पर शून्य है $$z=z_0$$ बहुलता का $m$.


 * क्रम $$\{p_n\}$$ प्रमेय के कथन में सदैव विद्यमान रहता है। उदाहरण के लिए, हम हमेशा ले सकते हैं $$p_n=n$$ और अभिसरण है. ऐसा अनुक्रम अद्वितीय नहीं है: इसे पदों की सीमित संख्या में बदलना, या कोई अन्य अनुक्रम लेना $p′_{n} ≥ p_{n}$, अभिसरण नहीं टूटेगा.
 * प्रमेय निम्नलिखित को सामान्यीकृत करता है: रीमैन क्षेत्र के खुले उपसमुच्चय (और इसलिए क्षेत्र (गणित)) में अनुक्रमों में संबद्ध कार्य होते हैं जो उन उपसमुच्चयों में होलोमोर्फिक फ़ंक्शन होते हैं और अनुक्रम के बिंदुओं पर शून्य होते हैं। * इसके अलावा बीजगणित के मौलिक प्रमेय द्वारा दिए गए मामले को भी यहां शामिल किया गया है। यदि क्रम $$\{a_n\}$$ सीमित है तो हम ले सकते हैं $$p_n = 0$$ और प्राप्त करें: $$\, f(z) = c\,{\displaystyle\prod}_n (z-a_n)$$.

वीयरस्ट्रैस गुणनखंडन प्रमेय
होने देना $ƒ$ एक संपूर्ण कार्य हो, और चलो $$\{a_n\}$$ के गैर-शून्य शून्य बनें $ƒ$ बहुलता के अनुसार दोहराया गया; ऐसा भी मान लीजिये $ƒ$ पर शून्य है $z = 0$ आदेश की $m ≥ 0$ (आदेश का शून्य $m = 0$ पर $z = 0$ का अर्थ लिया जाता है $&fnof;(0) ≠ 0$-वह है, $$f$$ पर शून्य नहीं है $$0$$). फिर एक संपूर्ण फ़ंक्शन मौजूद होता है $g$ और पूर्णांकों का एक क्रम $$\{p_n\}$$ ऐसा है कि


 * $$f(z)=z^m e^{g(z)} \prod_{n=1}^\infty E_{p_n}\!\!\left(\frac{z}{a_n}\right).$$

गुणनखंडन के उदाहरण
त्रिकोणमितीय फलन उन लोगों के  और  कोज्या  में गुणनखंड होते हैं $$\sin \pi z = \pi z \prod_{n\neq 0} \left(1-\frac{z}{n}\right)e^{z/n} = \pi z\prod_{n=1}^\infty \left(1-\left(\frac{z}{n}\right)^2\right)$$ $$\cos \pi z = \prod_{q \in \mathbb{Z}, \, q \; \text{odd} } \left(1-\frac{2z}{q}\right)e^{2z/q} = \prod_{n=0}^\infty \left( 1 - \left(\frac{z}{n+\tfrac{1}{2}} \right)^2 \right) $$ जबकि गामा कार्य करता है $$\Gamma$$ गुणनखंडन है $$\frac{1}{\Gamma (z)}=e^{\gamma z}z\prod_{n=1}^{\infty }\left ( 1+\frac{z}{n} \right )e^{-z/n},$$ $$\gamma$$ यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है। कोसाइन पहचान को विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है $$\frac{1}{\Gamma(s-z)\Gamma(s+z)} = \frac{1}{\Gamma(s)^2}\prod_{n=0}^\infty \left( 1 - \left(\frac{z}{n+s} \right)^2 \right) $$ के लिए $$s=\tfrac{1}{2}$$.

हैडामर्ड गुणनखंडन प्रमेय
हैडामर्ड विहित कारकों को परिभाषित करें $$E_n(z) := (1-z) \prod_{k=1}^n e^{z^k/k}$$परिमित संपूर्ण कार्य के संपूर्ण कार्यों में जैक्स हैडामर्ड का विहित प्रतिनिधित्व है :$$f(z)=z^me^{P(z)}\prod_{n=1}^\infty E_p(z/a_k)$$कहाँ $$a_k$$ के एक फलन के वे शून्य हैं $$f$$ वह शून्य नहीं हैं ($$a_k \neq 0$$), $$m$$ के शून्य का क्रम है $$f$$ पर $$z = 0$$ (मामला $$m = 0$$ मतलब निकाला जा रहा है $$f(0) \neq 0$$), $$P$$ एक बहुपद (जिसकी डिग्री हम कहेंगे $$q$$), और $$p$$ श्रृंखला का सबसे छोटा गैर-नकारात्मक पूर्णांक है$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{|a_n|^{p+1}}$$जुटता है. गैर-नकारात्मक पूर्णांक $$g=\max\{p,q\}$$ संपूर्ण फ़ंक्शन का जीनस कहा जाता है $$f$$. इस अंकन में, $$g \leq \rho \leq g + 1$$ दूसरे शब्दों में: यदि आदेश $$\rho$$ तो फिर, पूर्णांक नहीं है $$g = [ \rho ]$$ का पूर्णांक भाग है $$\rho$$. यदि क्रम एक धनात्मक पूर्णांक है, तो दो संभावनाएँ हैं: $$g = \rho-1$$ या $$g = \rho $$.

उदाहरण के लिए, $$\sin$$, $$\cos$$ और $$\exp$$ जीनस के संपूर्ण कार्य हैं $$g = \rho = 1$$.

यह भी देखें

 * मित्तग-लेफ़लर का प्रमेय
 * वालिस उत्पाद, जिसे साइन फ़ंक्शन पर लागू इस प्रमेय से प्राप्त किया जा सकता है
 * फ़्लैश उत्पाद

बाहरी संबंध