सतह क्षेत्र

एक ठोस वस्तु का सतह क्षेत्र कुल क्षेत्र का एक माप है जो वस्तु की सतह पर कब्जा कर लेता है। घुमावदार सतहों की उपस्थिति में सतह क्षेत्र की गणितीय परिभाषा एक-आयामी घटता की चाप लंबाई की परिभाषा की तुलना में काफी अधिक शामिल है, या पॉलीहेड्रा के लिए सतह क्षेत्र (यानी, फ्लैट बहुभुज चेहरों के साथ वस्तुएं), जिसके लिए सतह क्षेत्रइसके चेहरे के क्षेत्रों का योग है।चिकनी सतहों, जैसे कि एक क्षेत्र, को पैरामीट्रिक सतहों के रूप में उनके प्रतिनिधित्व का उपयोग करके सतह क्षेत्र सौंपा जाता है।सतह क्षेत्र की यह परिभाषा इनफिनिटिमल कैलकुलस के तरीकों पर आधारित है और इसमें आंशिक डेरिवेटिव और डबल एकीकरण शामिल है।

सतह क्षेत्र की एक सामान्य परिभाषा हेनरी लेबेसग्यू और हरमन मिंकोव्स्की द्वारा बीसवीं शताब्दी के मोड़ पर मांगी गई थी।उनके काम ने ज्यामितीय माप सिद्धांत के विकास का नेतृत्व किया, जो किसी भी आयाम की अनियमित वस्तुओं के लिए सतह क्षेत्र की विभिन्न धारणाओं का अध्ययन करता है।एक महत्वपूर्ण उदाहरण एक सतह की मिंकोव्स्की सामग्री है।

परिभाषा
जबकि कई सरल सतहों के क्षेत्रों को पुरातनता के बाद से जाना जाता है, क्षेत्र की एक कठोर गणितीय परिभाषा के लिए देखभाल का एक बड़ा सौदा आवश्यक है। यह एक फ़ंक्शन प्रदान करना चाहिए


 * $$ S \mapsto A(S) $$

जो सतहों के एक निश्चित वर्ग को एक सकारात्मक वास्तविक संख्या प्रदान करता है जो कई प्राकृतिक आवश्यकताओं को पूरा करता है।सतह क्षेत्र की सबसे मौलिक संपत्ति इसकी additivity है:  पूरे का क्षेत्र भागों के क्षेत्रों का योग है ।अधिक कठोरता से, अगर एक सतह                               ''1, …, एसr जो उनकी सीमाओं को छोड़कर ओवरलैप नहीं करते हैं, फिर
 * $$ A(S) = A(S_1) + \cdots + A(S_r). $$

फ्लैट बहुभुज आकृतियों के सतह क्षेत्रों को उनके ज्यामितीय रूप से परिभाषित क्षेत्र से सहमत होना चाहिए।चूंकि सतह क्षेत्र एक ज्यामितीय धारणा है, इसलिए बधाई वाली सतहों के क्षेत्र समान होने चाहिए और क्षेत्र को केवल सतह के आकार पर निर्भर होना चाहिए, लेकिन अंतरिक्ष में इसकी स्थिति और अभिविन्यास पर नहीं।इसका मतलब यह है कि सतह क्षेत्र यूक्लिडियन गतियों के समूह के तहत अपरिवर्तनीय है।ये गुण ज्यामितीय सतहों की एक विस्तृत श्रेणी के लिए सतह क्षेत्र को विशिष्ट रूप से चिह्नित करते हैं, जिसे टुकड़ा चिकना कहा जाता है।इस तरह की सतहों में कई टुकड़े होते हैं जिन्हें पैरामीट्रिक रूप में दर्शाया जा सकता है


 * $$ S_D: \vec{r}=\vec{r}(u,v), \quad (u,v)\in D $$

लगातार अलग -अलग कार्य के साथ $$\vec{r}.$$ एक व्यक्तिगत टुकड़े का क्षेत्र सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है


 * $$ A(S_D) = \iint_D\left |\vec{r}_u\times\vec{r}_v\right | \, du \, dv. $$

इस प्रकार एस का क्षेत्रD सामान्य वेक्टर की लंबाई को एकीकृत करके प्राप्त किया जाता है $$\vec{r}_u\times\vec{r}_v$$ पैरामीट्रिक यूवी विमान में उपयुक्त क्षेत्र डी पर सतह पर।पूरी सतह का क्षेत्र तब सतह क्षेत्र की एडिटिविटी का उपयोग करके टुकड़ों के क्षेत्रों को एक साथ जोड़कर प्राप्त किया जाता है।मुख्य सूत्र सतहों के विभिन्न वर्गों के लिए विशिष्ट हो सकता है, विशेष रूप से, रेखांकन z = f (x, y) और क्रांति की सतहों के क्षेत्रों के लिए सूत्र।

[[File:Schwarz-lantern.gif|thumb|श्वार्ज़ लालटेन के साथ $$M$$ अक्षीय स्लाइस और $$N$$ रेडियल वर्टिस।क्षेत्र की सीमा के रूप में $$M$$ तथा $$N$$ अनंतता अभिसरण नहीं करता है।विशेष रूप से यह सिलेंडर के क्षेत्र में परिवर्तित नहीं होता है। सतह क्षेत्र की सूक्ष्मता की तुलना में, वक्रों की चाप लंबाई की तुलना में, यह है कि सतह क्षेत्र को केवल पॉलीहेड्रल आकृतियों के क्षेत्रों की सीमा के रूप में परिभाषित नहीं किया जा सकता है, जो किसी दिए गए चिकनी को अनुमानित करता है।सतह।यह हर्मन श्वार्ज़ द्वारा प्रदर्शित किया गया था कि पहले से ही सिलेंडर के लिए, समतल सतहों को अनुमानित करने के विभिन्न विकल्प क्षेत्र के अलग -अलग सीमित मूल्यों को जन्म दे सकते हैं;इस उदाहरण को श्वार्ज़ लालटेन के रूप में जाना जाता है। सतह क्षेत्र की एक सामान्य परिभाषा के लिए विभिन्न दृष्टिकोण उन्नीसवीं और बीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध में हेनरी लेबेसिग और हरमन मिंकोव्स्की द्वारा विकसित किए गए थे।जबकि टुकड़े -टुकड़े चिकनी सतहों के लिए सतह क्षेत्र की एक अद्वितीय प्राकृतिक धारणा है, यदि कोई सतह बहुत अनियमित है, या खुरदरी है, तो यह किसी क्षेत्र को असाइन करना संभव नहीं हो सकता है।एक विशिष्ट उदाहरण एक सतह द्वारा दिया जाता है जिसमें स्पाइक्स एक घने फैशन में फैले हुए हैं।इस प्रकार की कई सतह फ्रैक्टल के अध्ययन में होती हैं।क्षेत्र की धारणा के विस्तार जो आंशिक रूप से अपने कार्य को पूरा करते हैं और बहुत बुरी तरह से अनियमित सतहों के लिए भी परिभाषित किए जा सकते हैं, ज्यामितीय माप सिद्धांत में अध्ययन किया जाता है।इस तरह के विस्तार का एक विशिष्ट उदाहरण सतह की मिंकोव्स्की सामग्री है।

एक क्षेत्र के सतह क्षेत्रों का अनुपात और एक ही त्रिज्या और ऊंचाई के सिलेंडर
नीचे दिए गए सूत्रों का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि एक ही त्रिज्या और ऊंचाई के एक गोले और सिलेंडर का सतह क्षेत्र 2 & nbsp;: & nbsp; 3, निम्नानुसार है।

त्रिज्या को  r  होने दें और ऊंचाई  H  (जो कि गोले के लिए 2'r 'है) हो।

$$\begin{array}{rlll} \text{Sphere surface area}  & = 4 \pi r^2      &                    & = (2 \pi r^2) \times 2 \\ \text{Cylinder surface area} & = 2 \pi r (h + r) & = 2 \pi r (2r + r) & = (2 \pi r^2) \times 3 \end{array}$$ इस अनुपात की खोज को आर्किमिडीज को श्रेय दिया जाता है।

रसायन विज्ञान में


रासायनिक कैनेटीक्स में सतह क्षेत्र महत्वपूर्ण है।किसी पदार्थ के सतह क्षेत्र को बढ़ाने से आम तौर पर एक रासायनिक प्रतिक्रिया की दर बढ़ जाती है।उदाहरण के लिए, एक ठीक पाउडर में लोहे का दहन होगा, जबकि ठोस ब्लॉकों में यह संरचनाओं में उपयोग करने के लिए पर्याप्त स्थिर है।विभिन्न अनुप्रयोगों के लिए एक न्यूनतम या अधिकतम सतह क्षेत्र वांछित हो सकता है।

जीव विज्ञान में
एक जीव का सतह क्षेत्र कई विचारों में महत्वपूर्ण है, जैसे कि शरीर के तापमान और पाचन का विनियमन।जानवर अपने दांतों का उपयोग भोजन को छोटे कणों में पीसने के लिए करते हैं, जिससे पाचन के लिए उपलब्ध सतह क्षेत्र में वृद्धि होती है।पाचन तंत्र को अस्तर करने वाले उपकला ऊतक में माइक्रोविल्ली होता है, जो अवशोषण के लिए उपलब्ध क्षेत्र को बहुत बढ़ाता है।हाथियों के कान बड़े होते हैं, जिससे वे अपने शरीर के तापमान को विनियमित कर सकते हैं।अन्य उदाहरणों में, जानवरों को सतह क्षेत्र को कम करने की आवश्यकता होगी;उदाहरण के लिए, लोग गर्मी के नुकसान को कम करने के लिए ठंड होने पर अपनी छाती पर अपनी बाहों को मोड़ेंगे।

एक सेल की सतह क्षेत्र से वॉल्यूम अनुपात (SA: v) आकार पर ऊपरी सीमाएं लगाती है, क्योंकि वॉल्यूम सतह क्षेत्र की तुलना में बहुत तेजी से बढ़ता है, इस प्रकार उस दर को सीमित करता है जिस पर कोशिका झिल्ली में आंतरिक से अंतरालीय रिक्त स्थान तक फैलते हैं।या अन्य कोशिकाओं के लिए।वास्तव में, त्रिज्या के एक आदर्श क्षेत्र के रूप में एक कोशिका का प्रतिनिधित्व करना $r$, मात्रा और सतह क्षेत्र क्रमशः हैं, $4&pi;r^{2}$ तथा $V = (4/3)πr^{3}$।इसलिए वॉल्यूम अनुपात के लिए सतह क्षेत्र इसलिए है $SA = 4πr^{2}$।इस प्रकार, यदि किसी सेल में 1 माइक्रोन का त्रिज्या है, तो SA: V अनुपात 3 है;जबकि यदि सेल का त्रिज्या 10 माइक्रोन के बजाय है, तो SA: V अनुपात 0.3 हो जाता है।100 के सेल त्रिज्या के साथ, SA: V अनुपात 0.03 है।इस प्रकार, सतह का क्षेत्र बढ़ती मात्रा के साथ बहुत दूर गिर जाता है।

यह भी देखें

 * परिधि लंबाई
 * अनुमानित क्षेत्र
 * शर्त सिद्धांत, सामग्री की विशिष्ट सतह क्षेत्र के माप के लिए तकनीक
 * गोलाकार क्षेत्र
 * सतह अभिन्न

बाहरी संबंध

 * Surface Area Video at Thinkwell