द्वि-आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत

एक द्वि-आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत यूक्लिडियन द्वि-आयामी स्थान पर एक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत है, जो कि स्थानीय अनुरूप मानचित्रों के तहत अपरिवर्तनीय है।

अन्य प्रकार के अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत के विपरीत, द्वि-आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांतों में अनंत-आयामी समरूपता बीजगणित होते हैं। कुछ स्थितियों में, यह अनुरूप बूटस्ट्रैप पद्धति का उपयोग करके उन्हें ठीक से हल करने की अनुमति देता है।

उल्लेखनीय द्वि-आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांतों में न्यूनतम मॉडल (भौतिकी)भौतिकी), लिउविल क्षेत्र सिद्धांत, दो आयामों में मासलेस फ्री स्केलर बोसोन, वेस-ज़ुमिनो-विटन मॉडल और कुछ सिग्मा मॉडल सम्मिलित हैं।

ज्यामिति
द्वि-आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांतों (सीएफटी) को रीमैन सतह पर परिभाषित किया गया है, जहां स्थानीय अनुरूप मानचित्र होलोमॉर्फिक कार्य हैं।

चूंकि एक सीएफ़टी किसी दिए गए रीमैन सतह पर ही अस्तित्व में हो सकता है, गोले के अतिरिक्त किसी भी सतह (गणित) पर इसका अस्तित्व सभी सतहों पर इसके अस्तित्व का तात्पर्य है। एक सीएफटी को देखते हुए, वास्तव में दो रीमैन सतहों को गोंद करना संभव है जहां यह उपस्थित है, और सीएफटी को चिपकने वाली सतह पर प्राप्त करें।  दूसरी ओर, कुछ सीएफटी केवल गोले पर उपस्थित होते हैं। जब तक अन्यथा न कहा जाए, हम इस आलेख में क्षेत्र पर सीएफटी पर विचार करते हैं।

समरूपता और पूर्णता
एक स्थानीय जटिल निर्देशांक $$z$$ दिया गया है, अत्यल्प अनुरूप मानचित्रों के वास्तविक सदिश स्थान का आधार $$(\ell_n+\bar\ell_n)_{n\in\mathbb{Z}} \cup (i(\ell_n-\bar\ell_n))_{n\in\mathbb{Z}}$$ साथ में $$\ell_n = -z^{n+1}\frac{\partial}{\partial z}$$. (उदाहरण के लिए, $$\ell_{-1}+\bar\ell_{-1}$$ और $$i(\ell_{-1}-\bar\ell_{-1})$$ अनुवाद उत्पन्न करते हैं।) इस धारणा को शिथिल करते हुए कि $$\bar z$$ $$z$$ का जटिल संयुग्म है, अर्थात अत्यल्प अनुरूप मानचित्रों के स्थान को जटिल बनाना, आधार $$(\ell_n)_{n\in\mathbb{Z}} \cup (\bar\ell_n)_{n\in\mathbb{Z}}$$ के साथ एक जटिल वेक्टर स्थान प्राप्त करता है।

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उनके प्राकृतिक कम्यूटेटर या रिंग सिद्धांत के साथ, अंतर ऑपरेटर $$\ell_n$$ विट बीजगणित उत्पन्न करें। मानक क्वांटम-मैकेनिकल तर्कों के अनुसार, अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत का समरूपता बीजगणित विट बीजगणित का केंद्रीय विस्तार होना चाहिए, अर्थात विरासोरो बीजगणित, जिसका जनरेटर (गणित) $$(L_n)_{n\in\mathbb{Z}}$$ है, साथ ही एक केंद्रीय जनरेटर। किसी दिए गए सीएफटी में, केंद्रीय जनरेटर एक स्थिर मान $$c$$ लेता है , केंद्रीय प्रभारी कहा जाता है।

समरूपता बीजगणित इसलिए वीरासोरो बीजगणित की दो प्रतियों का उत्पाद है: बाएं-चलने वाला या होलोमोर्फिक बीजगणित, जनरेटर $$L_n$$ के साथ, और दाएं-चलने वाला या एंटीहोलोमोर्फिक बीजगणित, जनरेटर $$\bar L_n$$ के साथ है।

वीरासोरो, बीजगणित के सार्वभौमिक लिफाफा बीजगणित में, पारस्परिक रूप से आने वाले शुल्कों के एक अनंत सेट का निर्माण करना संभव है। पहला आवेश $$L_0-\frac{c}{24}$$ है, दूसरा आवेश विरासोरो जनरेटर में द्विघात है, तीसरा आवेश घनीय है, आदि। इससे पता चलता है कि कोई भी द्वि-आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत भी एक इंटीग्रेबल प्रणाली  या क्वांटम इंटीग्रेबल प्रणाली है।

स्थिति का स्थान
स्थिति का स्थान, जिसे सीएफटी का स्पेक्ट्रम भी कहा जाता है, दो विरासोरो बीजगणित के उत्पाद का प्रतिनिधित्व है।

एक स्थिति के लिए जो $$L_0$$ और $$\bar L_0$$ का ईजेनवेक्टर है, जिसका आइगेनवैल्यू $$\Delta$$ और $$\bar\Delta$$ है।
 * $$\Delta$$ बायां अनुरूप आयाम है,
 * $$\bar\Delta$$ सही अनुरूप आयाम है,
 * $$\Delta+\bar\Delta$$ कुल अनुरूप आयाम या ऊर्जा है,
 * $$\Delta-\bar\Delta$$ अनुरूप स्पिन है।

एक सीएफटी को तर्कसंगत कहा जाता है यदि इसके स्थिति का स्थान दो विरासोरो बीजगणित के उत्पाद के सूक्ष्म रूप से कई अप्रासंगिक प्रतिनिधित्वों में विघटित हो जाता है।

एक सीएफटी को विकर्ण कहा जाता है यदि इसके स्थिति का स्थान $$R\otimes\bar R$$ प्रकार के प्रतिनिधित्व का प्रत्यक्ष योग है, जहां $$R$$ बाएं विरासोरो बीजगणित का एक अविघटनीय प्रतिनिधित्व है, और $$\bar R$$ सही विरासोरो बीजगणित का एक ही प्रतिनिधित्व है।

सीएफटी को एकात्मक कहा जाता है यदि स्थिति के स्थान में एक सकारात्मक निश्चित हर्मिटियन रूप है जैसे कि $$L_0$$ और $$\bar L_0$$ स्व-आसन्न हैं, $$L_0^\dagger = L_0$$ और $$\bar L_0^\dagger = \bar L_0$$। यह विशेष रूप से दर्शाता है कि $$L_n^\dagger = L_{-n}$$, और यह कि केंद्रीय आवेश वास्तविक है। स्थिति का स्थान तब हिल्बर्ट स्थान है। जबकि सीएफटी के लिए संभाव्य व्याख्या के साथ एक उचित क्वांटम प्रणाली होने के लिए एकात्मकता आवश्यक है, फिर भी कई रोचक सीएफटी गैर-एकात्मक हैं, जिनमें न्यूनतम मॉडल और केंद्रीय आवेश के अधिकांश अनुमत मानो के लिए लिउविल सिद्धांत सम्मिलित हैं।

क्षेत्र और सहसंबंध कार्य
स्थिति -क्षेत्र पत्राचार एक रेखीय मानचित्र $$ v \mapsto V_v(z)$$ है स्थिति के स्थान से क्षेत्रों के स्थान तक, जो समरूपता बीजगणित की क्रिया के साथ संचार करता है।

विशेष रूप से, विरासोरो बीजगणित की एक प्राथमिक स्थिति की छवि या विरासोरो बीजगणित का न्यूनतम वजन प्रतिनिधित्व एक प्राथमिक क्षेत्र $$ V_\Delta(z)$$ है, ऐसा है कि
 * $$ L_{n>0} V_\Delta(z) = 0 \quad, \quad L_0 V_\Delta(z) = \Delta V_\Delta(z) \ .$$

निर्माण मोड $$L_{n<0}$$ के साथ कार्य करके प्राथमिक क्षेत्रों से वंशज क्षेत्रों प्राप्त किए जाते हैं। पतित क्षेत्र पतित अभ्यावेदन की प्राथमिक अवस्थाओं के अनुरूप हैं। उदाहरण के लिए, अपक्षयी क्षेत्र$$ V_{1,1}(z)$$ $$ L_{-1}V_{1,1}(z)=0$$ का पालन करता है, इसमें एक अशक्त वेक्टर की उपस्थिति के कारण इसी पतित प्रतिनिधित्व है ।

एक $$N$$-बिंदु सहसंबंध कार्य एक संख्या है जो $$N$$ क्षेत्रों पर रैखिक रूप से निर्भर करता है, जिसे $$\left\langle V_1(z_1)\cdots V_N(z_N)\right\rangle$$ के रूप में दर्शाया जाता है।$$ i\neq j\Rightarrow z_i\neq z_j$$ के साथ। अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत के पथ अभिन्न सूत्रीकरण में, सहसंबंध कार्यों को कार्यात्मक अभिन्न के रूप में परिभाषित किया गया है। अनुरूप बूटस्ट्रैप दृष्टिकोण में, सहसंबंध कार्यों को स्वयंसिद्धों द्वारा परिभाषित किया जाता है। विशेष रूप से, यह माना जाता है कि एक ऑपरेटर उत्पाद विस्तार (ओपीई) उपस्थित है,



जहां $$\{v_i\}$$ स्थिति के स्थान का आधार है, और संख्या $$C_{12}^{v_i}(z_1,z_2)$$ को ओपीई कहा जाता है गुणांक। इसके अलावा, सहसंबंध कार्यों को क्षेत्रों पर क्रमपरिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय माना जाता है, दूसरे शब्दों में ओपीई को सहयोगी और कम्यूटेटिव माना जाता है। (ओपीई क्रमविनिमेयता $$V_1(z_1)V_2(z_2)=V_2(z_2)V_1(z_1)$$ नहीं इसका अर्थ यह है कि ओपीई गुणांक $$1\leftrightarrow 2$$ के तहत अपरिवर्तनीय हैं, क्योंकि क्षेत्र $$V_{v_i}(z_2)$$ पर विस्तार करने से वह समरूपता टूट जाती है।)

ओपीई कम्यूटेटिविटी का तात्पर्य है कि प्राथमिक क्षेत्रों में पूर्णांक अनुरूप स्पिन $$S\in\mathbb{Z}$$ है। शून्य अनुरूप स्पिन वाले प्राथमिक क्षेत्र को विकर्ण क्षेत्र कहा जाता है। वहाँ भी फ़र्मोनिक सीएफ़टी उपस्थित हैं जिनमें अर्ध-पूर्णांक अनुरूप स्पिन के साथ फ़र्मोनिक क्षेत्र सम्मिलित हैं $$S\in \tfrac12+\mathbb{Z}$$, जो एंटीकोम्यूट है। पैराफर्मियोनिक सीएफटी भी उपस्थित हैं जिनमें अधिक सामान्य तर्कसंगत स्पिन वाले क्षेत्र सम्मिलित हैं $$S\in\mathbb{Q}$$। न केवल पैराफर्मियन कम्यूट करते हैं, किंतु उनके सहसंबंध कार्य भी बहु-मूल्यवान होते हैं।

टोरस विभाजन कार्य एक विशेष सहसंबंध कार्य है जो पूरी तरह से स्पेक्ट्रम पर $$\mathcal{S}$$ निर्भर करता है, और ओपीई गुणांकों पर नहीं। एक जटिल टोरस के लिए $$\frac{\mathbb{C}}{\mathbb{Z}+\tau\mathbb{Z}}$$ मापांक के साथ $$\tau$$, विभाजन कार्य है
 * $$Z(\tau) = \operatorname{Tr}_\mathcal{S} q^{L_0-\frac{c}{24}} \bar q^{\bar L_0-\frac{c}{24}}$$

जहाँ $$q=e^{2\pi i\tau}$$. टोरस विभाजन कार्य स्पेक्ट्रम के चरित्र सिद्धांत के साथ मेल खाता है, जिसे समरूपता बीजगणित का प्रतिनिधित्व माना जाता है।

चिरल अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत
द्वि-आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत में, गुणों को चिरल कहा जाता है यदि वे दो विरासोरो बीजगणितों में से एक की क्रिया से अनुसरण करते हैं। यदि स्थिति के स्थान को दो वीरासोरो बीजगणित के गुणनफल के गुणनखंडों में विघटित किया जा सकता है, तो अनुरूप समरूपता के सभी परिणाम चिरल हैं। दूसरे शब्दों में, दो वीरासोरो बीजगणित की क्रियाओं का अलग-अलग अध्ययन किया जा सकता है।

ऊर्जा-संवेग टेंसर
एक क्षेत्र की निर्भरता $$V(z)$$ द्वारा इसकी स्थिति निर्धारित की जाती है


 * $$ \frac{\partial}{\partial z} V(z) = L_{-1}V(z).$$

यह इस प्रकार है कि ओ.पी.ई


 * $$T(y)V(z) = \sum_{n\in\Z} \frac{L_nV(z)}{(y-z)^{n+2}},$$

स्थानीय रूप से होलोमॉर्फिक क्षेत्र $$T(y)$$ को परिभाषित करता है जो $$z.$$ पर निर्भर नहीं है इस क्षेत्र की पहचान ऊर्जा-संवेग टेन्सर (एक घटक) से की जाती है। विशेष रूप से, प्राथमिक क्षेत्र के साथ ऊर्जा-संवेग टेंसर का ओपीई है


 * $$ T(y)V_\Delta(z) = \frac{\Delta}{(y-z)^2} V_\Delta(z) + \frac{1}{y-z}\frac{\partial}{\partial z} V_\Delta(z) + O(1).$$

स्वयं के साथ ऊर्जा-संवेग टेंसर का ओपीई है


 * $$ T(y)T(z) = \frac{\frac{c}{2}}{(y-z)^4} + \frac{2T(z)}{(y-z)^2} + \frac{\partial T(z)}{y-z} + O(1),$$

जहाँ $$c$$ केंद्रीय प्रभार है। (यह ओपीई विरासोरो बीजगणित के रूपान्तरण संबंधों के समान है।)

अनुरूप वार्ड पहचान
अनुरूप वार्ड पहचान रैखिक समीकरण हैं जो सहसंबंध कार्यों को अनुरूप समरूपता के परिणाम के रूप में पालन करते हैं। वे सहसंबंध कार्यों का अध्ययन करके प्राप्त किए जा सकते हैं जिनमें ऊर्जा-संवेग टेन्सर का सम्मिलन सम्मिलित है। उनके समाधान अनुरूप ब्लॉक हैं।

उदाहरण के लिए, गोले पर अनुरूप वार्ड पहचानों पर विचार करें। माना $$z$$ क्षेत्र पर एक वैश्विक जटिल समन्वय के रूप $$\Complex\cup\{\infty\}.$$ में देखा जाता है पर ऊर्जा-संवेग टेंसर की होलोमॉर्फी $$z=\infty$$ के समान है


 * $$T(z)\underset{z\to\infty}{=} O\left(\frac{1}{z^4}\right). $$

इसके अतिरिक्त, सम्मिलित करना $$T(z)$$ एक में $$N$$-प्राथमिक क्षेत्रों का बिंदु कार्य उपज देता है


 * $$\left\langle T(z)\prod_{i=1}^N V_{\Delta_i}(z_i) \right\rangle = \sum_{i=1}^N\left(\frac{\Delta_i}{(z-z_i)^2} +\frac{1}{z-z_i}\frac{\partial}{\partial z_i}\right)\left\langle \prod_{i=1}^N V_{\Delta_i}(z_i) \right\rangle. $$

पिछले दो समीकरणों से, स्थानीय वार्ड पहचानों को निकालना संभव है जो प्राथमिक क्षेत्रों के $$N$$-बिंदु कार्यों के संदर्भ में वंशज क्षेत्रों के $$N$$-बिंदु कार्यों को व्यक्त करते हैं। इसके अतिरिक्त, प्राथमिक क्षेत्रों के किसी भी $$N$$-बिंदु कार्यों के लिए तीन अंतर समीकरणों को निकालना संभव है, जिसे वैश्विक अनुरूप वार्ड पहचान कहा जाता है:


 * $$ \sum_{i=1}^N \left(z_i^k\frac{\partial}{\partial z_i} +\Delta_i k z_i^{k-1}\right) \left\langle \prod_{i=1}^N V_{\Delta_i}(z_i) \right\rangle = 0, \qquad (k\in\{0, 1, 2\}).$$

ये पहचान निर्धारित करती हैं कि दो- और तीन-बिंदु कार्य $$z,$$ पर निर्भर करते हैं।
 * $$\left\langle V_{\Delta_1}(z_1)V_{\Delta_2}(z_2) \right\rangle \begin{cases} = 0 & \ \ (\Delta_1\neq \Delta_2) \\ \propto (z_1-z_2)^{-2\Delta_1}& \ \ (\Delta_1= \Delta_2) \end{cases} $$
 * $$ \left\langle V_{\Delta_1}(z_1)V_{\Delta_2}(z_2)V_{\Delta_3}(z_3) \right\rangle \propto (z_1-z_2)^{\Delta_3-\Delta_1-\Delta_2} (z_2 -z_3)^{\Delta_1-\Delta_2-\Delta_3} (z_1 -z_3)^{\Delta_2-\Delta_1-\Delta_3},$$

जहां अनिर्धारित आनुपातिकता गुणांक $$\bar z.$$के कार्य हैं

बीपीजेड समीकरण
एक सहसंबंध कार्य जिसमें एक पतित क्षेत्र सम्मिलित होता है, एक रैखिक आंशिक अंतर समीकरण को संतुष्ट करता है जिसे बेलाविन-पोल्याकोव-ज़मोलोडचिकोव समीकरण कहा जाता है अलेक्जेंडर बेलाविन, अलेक्जेंडर मार्कोविच पॉलाकोव और अलेक्जेंडर ज़मोलोडचिकोव के बाद। इस समीकरण का क्रम संगत पतित प्रतिनिधित्व में अशक्त वेक्टर का स्तर है।

एक तुच्छ उदाहरण ऑर्डर वन बीपीजेड समीकरण है


 * $$ \frac{\partial}{\partial z_1} \left\langle V_{1, 1}(z_1) V_2(z_2) \cdots V_N(z_N) \right\rangle = 0.$$

जो इस प्रकार है


 * $$ \frac{\partial}{\partial z_1} V_{1, 1}(z_1) = L_{-1} V_{1, 1}(z_1) = 0.$$

पहले गैर-तुच्छ उदाहरण में एक पतित क्षेत्र सम्मिलित है $$V_{2,1}$$ स्तर दो पर लुप्त हो रहे अशक्त वेक्टर के साथ,


 * $$ \left (L_{-1}^2 + b^2 L_{-2} \right )V_{2, 1}=0,$$

जहाँ $$b$$ द्वारा केंद्रीय प्रभार से संबंधित है


 * $$c= 1+6 \left (b+b^{-1} \right )^2.$$

फिर ए $$N$$-बिंदु कार्य $$V_{2,1}$$ और $$N-1$$ अन्य प्राथमिक क्षेत्र पालन करते हैं:


 * $$\left( \frac{1}{b^2} \frac{\partial^2}{\partial z_1^2} + \sum_{i=2}^N \left(\frac{1}{z_1-z_i} \frac{\partial}{\partial z_i} + \frac{\Delta_i}{(z_1-z_i)^2} \right)\right) \left\langle V_{2, 1}(z_1) \prod_{i=2}^N V_{\Delta_i}(z_i) \right\rangle = 0.$$

एक सहसंबंध कार्य के लिए क्रम $$rs$$ का एक बीपीजेड समीकरण जिसमें पतित क्षेत्र $$V_{r,s}$$ सम्मिलित है शून्य वेक्टर और स्थानीय वार्ड पहचान के लुप्त होने से अनुमान लगाया जा सकता है। वैश्विक वार्ड पहचान के लिए धन्यवाद, चार-बिंदु कार्यों को चार के अतिरिक्त एक चर के संदर्भ में लिखा जा सकता है, और चार-बिंदु कार्यों के लिए बीपीजेड समीकरणों को साधारण अंतर समीकरणों में घटाया जा सकता है।

संलयन नियम
एक ओपीई में जिसमें एक पतित क्षेत्र सम्मिलित है, अशक्त वेक्टर (प्लस अनुरूप समरूपता) का विलुप्त होना प्राथमिक क्षेत्रों को प्रकट कर सकता है। परिणामी बाधाओं को संलयन नियम कहा जाता है। गति का उपयोग करना $$\alpha$$ ऐसा है कि


 * $$\Delta=\alpha \left (b+b^{-1}-\alpha \right )$$

अनुरूप आयाम के अतिरिक्त $$\Delta$$ पैरामीट्रिजिंग प्राथमिक क्षेत्रों के लिए, संलयन नियम हैं


 * $$V_{r,s} \times V_\alpha = \sum_{i=0}^{r-1}\sum_{j=0}^{s-1} V_{\alpha + \left (i-\frac{r-1}{2} \right )b + \left (j-\frac{s-1}{2} \right )b^{-1}}$$

विशेष रूप से


 * $$\begin{align}

V_{1,1}\times V_\alpha &= V_\alpha \\[6pt] V_{2,1}\times V_\alpha &= V_{\alpha-\frac{b}{2}} + V_{\alpha+\frac{b}{2}} \\[6pt] V_{1,2}\times V_\alpha &= V_{\alpha-\frac{1}{2b}} + V_{\alpha+\frac{1}{2b}} \end{align}$$ वैकल्पिक रूप से, संलयन नियमों में एक दिए गए केंद्रीय प्रभार पर विरासोरो बीजगणित के प्रतिनिधित्व के एक सहयोगी संलयन उत्पाद के संदर्भ में बीजगणितीय परिभाषा होती है। संलयन उत्पाद अभ्यावेदन के टेंसर उत्पाद से भिन्न होता है। (एक टेन्सर उत्पाद में, केंद्रीय प्रभार जोड़ते हैं।) कुछ सीमित स्थितियों में, यह एक संलयन श्रेणी की संरचना की ओर जाता है।

एक अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत अर्ध-तर्कसंगत है, दो अविघटनीय अभ्यावेदन का संलयन उत्पाद है, जो कि बहुत से अपघटनीय निरूपणों का योग है। उदाहरण के लिए, न्यूनतम मॉडल (भौतिकी) या सामान्यीकृत न्यूनतम मॉडल तर्कसंगत न होकर अर्ध-तर्कसंगत हैं।

अनुरूप बूटस्ट्रैप
अनुरूप बूटस्ट्रैप विधि संरचना स्थिरांक और अनुरूप ब्लॉकों के संयोजन के लिए सभी सहसंबंध कार्यों को कम करके केवल समरूपता और स्थिरता मान्यताओं का उपयोग करके सीएफटी को परिभाषित करने और हल करने में सम्मिलित है।

दो आयामों में, यह विधि कुछ सीएफटी के सटीक समाधान और तर्कसंगत सिद्धांतों के वर्गीकरण की ओर ले जाती है।

संरचना स्थिरांक
मान लें कि $$ V_i$$ बाएँ और दाएँ-अनुरूप आयामों के साथ एक बाएँ और दाएँ-प्राथमिक क्षेत्रों बनें $$\Delta_i$$ और $$\bar \Delta_i$$. बाएँ और दाएँ वैश्विक वार्ड पहचान के अनुसार, ऐसे क्षेत्रों के तीन-बिंदु कार्य प्रकार के होते हैं

\begin{align} & \left\langle V_1(z_1)V_2(z_2)V_3(z_3) \right\rangle = C_{123} \\ & \qquad \times (z_1-z_2)^{\Delta_3-\Delta_1-\Delta_2} (z_2 -z_3)^{\Delta_1-\Delta_2-\Delta_3} (z_1 -z_3)^{\Delta_2-\Delta_1-\Delta_3} \\ & \qquad \times (\bar z_1-\bar z_2)^{\bar \Delta_3-\bar \Delta_1-\bar \Delta_2} (\bar z_2 -\bar z_3)^{\bar \Delta_1-\bar \Delta_2-\bar \Delta_3} (\bar z_1 -\bar z_3)^{\bar \Delta_2-\bar \Delta_1-\bar \Delta_3}\ , \end{align} $$ जहां $$z_i$$-स्वतंत्र संख्या $$C_{123}$$ तीन-बिंदु संरचना स्थिरांक कहा जाता है। तीन-बिंदु कार्य के एकल-मूल्यवान होने के लिए, प्राथमिक क्षेत्रों के बाएँ और दाएँ-अनुरूप आयामों का पालन करना चाहिए
 * $$ \Delta_i- \bar \Delta_i \in \frac12\mathbb{Z} \ . $$

यह स्थिति बोसोनिक ($$ \Delta_i- \bar \Delta_i \in\mathbb{Z} $$) और फर्मिओनिक ($$ \Delta_i- \bar \Delta_i \in\mathbb{Z}+\frac12  $$) द्वारा संतुष्ट है। चूंकि पैराफर्मियोनिक क्षेत्रों ($$ \Delta_i- \bar \Delta_i \in\mathbb{Q} $$), द्वारा इसका उल्लंघन किया जाता है जिसके सहसंबंध कार्य इसलिए रीमैन क्षेत्र पर एकल-मूल्यवान नहीं हैं। ओपीई में तीन-बिंदु संरचना स्थिरांक भी दिखाई देते हैं,


 * $$ V_1(z_1)V_2(z_2) = \sum_{i} C_{12i} (z_1-z_2)^{\Delta_i-\Delta_1-\Delta_2} (\bar z_1 -\bar z_2)^{\bar \Delta_i-\bar \Delta_1-\bar \Delta_2} \Big(V_{i}(z_2) + \cdots \Big)\.

$$ वंशज क्षेत्रों का योगदान, बिंदु द्वारा निरूपित, पूरी तरह से अनुरूप समरूपता द्वारा निर्धारित किया जाता है।

अनुरूप ब्लॉक
किसी भी सहसंबंध कार्य को अनुरूप ब्लॉकों के एक रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है: ऐसे कार्य जो अनुरूप समरूपता द्वारा निर्धारित किए जाते हैं, और समरूपता बीजगणित के प्रतिनिधित्व द्वारा लेबल किए जाते हैं। रैखिक संयोजन के गुणांक संरचना स्थिरांक के उत्पाद हैं।

द्वि-आयामी सीएफटी में, समरूपता बीजगणित को वीरासोरो बीजगणित की दो प्रतियों में बांटा गया है, और एक अनुरूप ब्लॉक जिसमें प्राथमिक क्षेत्र सम्मिलित हैं, में एक होलोमोर्फिक कारक है: यह स्थानीय रूप से होलोमोर्फिक कारक का एक उत्पाद है जो बाएं चलने वाले वीरासोरो द्वारा निर्धारित किया जाता है बीजगणित, और एक स्थानीय रूप से एंटीहोलोमोर्फिक कारक जो सही गति से चलने वाले वीरासोरो बीजगणित द्वारा निर्धारित किया जाता है। इन कारकों को स्वयं अनुरूप ब्लॉक कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, प्राथमिक क्षेत्रों के चार-बिंदु कार्य में पहले दो क्षेत्रों के ओपीई का उपयोग करने से यील्ड प्राप्त होता है
 * $$ \left\langle \prod_{i=1}^4 V_{i}(z_i) \right\rangle = \sum_{s} C_{12s} C_{s34} \mathcal{F}^{(s)}_{\Delta_s}(\{\Delta_i\},\{z_i\}) \mathcal{F}^{(s)}_{\bar \Delta_s}(\{\bar \Delta_i\},\{\bar z_i\})\ ,

$$ जहाँ $$\mathcal{F}^{(s)}_{\Delta_s}(\{\Delta_i\},\{z_i\})$$ एक एस-चैनल चार-बिंदु अनुरूप ब्लॉक है। चार-बिंदु अनुरूप ब्लॉक जटिल कार्य हैं जिन्हें अलेखी ज़मोलोडचिकोव के प्रत्यावर्तन संबंधों का उपयोग करके कुशलतापूर्वक गणना की जा सकती है। यदि चार क्षेत्रों में से एक पतित है, तो संबंधित अनुरूप ब्लॉक बीपीजेड समीकरणों का पालन करते हैं। यदि विशेष रूप से चार क्षेत्रों $$V_{2,1}$$ में से एक है, तो संबंधित अनुरूप ब्लॉकों को हाइपरज्यामितीय कार्य के संदर्भ में लिखा जा सकता है।

जैसा कि पहले विट्टन द्वारा समझाया गया था, एक द्वि-आयामी सीएफटी के अनुरूप ब्लॉकों की जगह को 2 + 1 आयामी चेर्न-सीमन्स सिद्धांत के क्वांटम हिल्बर्ट स्पेस के साथ पहचाना जा सकता है, जो एक स्थलीय क्षेत्र सिद्धांत का एक उदाहरण है। आंशिक क्वांटम हॉल प्रभाव के सिद्धांत में यह संबंध बहुत उपयोगी रहा है।

अनुरूप बूटस्ट्रैप समीकरण
जब एक सहसंबंध कार्य को कई अलग-अलग विधियों से अनुरूप ब्लॉकों के संदर्भ में लिखा जा सकता है, परिणामी अभिव्यक्तियों की समानता स्थिति की जगह और तीन-बिंदु संरचना स्थिरांक पर बाधाएं प्रदान करती है। इन बाधाओं को अनुरूप बूटस्ट्रैप समीकरण कहा जाता है। जबकि वार्ड की पहचान सहसंबंध कार्यों के लिए रैखिक समीकरण हैं, अनुरूप बूटस्ट्रैप समीकरण तीन-बिंदु संरचना स्थिरांक पर गैर-रैखिक रूप से निर्भर करते हैं।

उदाहरण के लिए, चार-बिंदु कार्य $$ \left\langle V_1V_2V_3V_4 \right\rangle $$ ओपीई का उपयोग करने के अनुरूप तीन असमान विधियों से अनुरूप ब्लॉक के संदर्भ में लिखा जा सकता है $$ V_1V_2$$ (एस-चैनल), $$ V_1V_4$$ (टी-चैनल) या $$ V_1V_3$$ (यू-चैनल)। तीन परिणामी अभिव्यक्तियों की समानता को चार-बिंदु कार्य की क्रॉसिंग समरूपता कहा जाता है, और यह ओपीई की सहयोगीता के समान है।

उदाहरण के लिए, टोरस के मॉड्यूलस पर मॉड्यूलर समूह की क्रिया के तहत टोरस विभाजन कार्य अपरिवर्तनीय है, समकक्ष $$Z(\tau) = Z(\tau+1)=Z(-\frac{1}{\tau})$$. यह आक्रमण स्थिति के स्थान पर एक बाधा है। मॉड्यूलर अपरिवर्तनीय टोरस विभाजन कार्यों के अध्ययन को कभी-कभी मॉड्यूलर बूटस्ट्रैप कहा जाता है।

गोले पर एक सीएफटी की संगति चार-बिंदु फलन की सममिति को पार करने के समान है। सभी रीमैन सतहों पर सीएफटी की स्थिरता के लिए टोरस वन-बिंदु कार्य के मॉड्यूलर इनवेरियन की भी आवश्यकता होती है। इसलिए सीएफटी के अस्तित्व के लिए टोरस विभाजन कार्य का मॉड्यूलर इनवेरियन न तो आवश्यक है और न ही पर्याप्त है। चूंकि तर्कसंगत सीएफटी में इसका व्यापक रूप से अध्ययन किया गया है, क्योंकि अभ्यावेदन के पात्र अन्य प्रकार के अनुरूप ब्लॉकों की तुलना में सरल हैं, जैसे कि चार-बिंदु अनुरूप ब्लॉक है ।

न्यूनतम मॉडल
एक न्यूनतम मॉडल एक सीएफटी है जिसका स्पेक्ट्रम विरासोरो बीजगणित के बहुत से अलघुकरणीय अभ्यावेदन से बनाया गया है। न्यूनतम मॉडल केवल केंद्रीय प्रभार के विशेष मानो के लिए उपस्थित हैं,


 * $$ c_{p,q} = 1 - 6 \frac{(p-q)^2}{pq}, \qquad p>q \in\{2,3,\ldots\}.$$

न्यूनतम मॉडलों का एडीई वर्गीकरण है। विशेष रूप से, केंद्रीय प्रभार $$c=c_{p,q} $$ के साथ ए-श्रेणी न्यूनतम मॉडल एक विकर्ण सीएफटी है जिसका स्पेक्ट्रम $$\tfrac{1}{2}(p-1)(q-1)$$  पतित विरासोरो बीजगणित या विरासोरो बीजगणित का प्रतिनिधित्व सिद्धांत से बनाया गया है। इन पतित निरूपणों को पूर्णांकों के जोड़े द्वारा लेबल किया जाता है जो केएसी तालिका बनाते हैं,


 * $$ (r, s) \in \{1,\ldots, p-1\}\times \{1,\ldots, q-1\} \qquad \text{with} \qquad (r, s) \simeq (p-r,q-s). $$

उदाहरण के लिए, ए-श्रेणी का न्यूनतम मॉडल $$c=c_{4,3}=\tfrac{1}{2}$$ द्वि-आयामी महत्वपूर्ण ईज़िंग मॉडल के स्पिन और ऊर्जा सहसंबंधकों का वर्णन करता है।

लिउविल सिद्धांत
किसी के लिए $$c\in\Complex,$$ लिउविले सिद्धांत एक विकर्ण सीएफटी है जिसका स्पेक्ट्रम वर्मा मॉड्यूल से अनुरूप आयामों के साथ बनाया गया है


 * $$ \Delta \in \frac{c-1}{24} + \R_+ $$

लिउविल सिद्धांत को इस अर्थ में हल किया गया है कि इसके तीन-बिंदु संरचना स्थिरांक स्पष्ट रूप से ज्ञात हैं। लिउविल सिद्धांत में स्ट्रिंग सिद्धांत और द्वि-आयामी क्वांटम गुरुत्व के अनुप्रयोग हैं।

विस्तारित समरूपता बीजगणित
कुछ सीएफ़टी में, समरूपता बीजगणित केवल विरासोरो बीजगणित नहीं है, किंतु एक साहचर्य बीजगणित है (अर्थात् आवश्यक रूप से झूठ बीजगणित नहीं है) जिसमें विरासोरो बीजगणित सम्मिलित है। तब स्पेक्ट्रम को उस बीजगणित के निरूपण में विघटित किया जाता है, और उस बीजगणित के संबंध में विकर्ण और तर्कसंगत सीएफटी की धारणाओं को परिभाषित किया जाता है।

द्रव्यमान मुक्त बोसोनिक सिद्धांत
दो आयामों में, द्रव्यमान मुक्त बोसोनिक सिद्धांत अनुरूप रूप से अपरिवर्तनीय हैं। उनकी समरूपता बीजगणित एफ़िन झूठ बीजगणित है $$\hat{\mathfrak{u}}_1$$ एबेलियन से निर्मित, पद वन ले बीजगणित इस सममिति बीजगणित के किन्हीं दो निरूपणों का संलयन उत्पाद केवल एक निरूपण देता है, और यह सहसंबंध कार्यों को बहुत सरल बनाता है।

न्यूनतम मॉडल और लिउविल सिद्धांत को विकृत मुक्त बोसोनिक सिद्धांतों के रूप में देखने से उनके सहसंबंध कार्यों की गणना के लिए कूलम्ब गैस विधि का पता चलता है। इसके अतिरिक्त $$c=1,$$के लिए अनंत असतत स्पेक्ट्रोम्स के साथ मुक्त बोसोनिक सिद्धांतों का एक-पैरामीटर वर्ग है, जो कॉम्पैक्ट फ्री बोसोन का वर्णन करता है, जिसमें पैरामीटर संघनन त्रिज्या है।

वेस-जुमिनो-विटन मॉडल
एक लाई समूह $$G,$$ को देखते हुए, संबंधित वेस-जुमिनो-विटन मॉडल एक सीएफटी है जिसका समरूपता बीजगणित $$G,$$ के लाई बीजगणित से निर्मित एफ़िन लाइ बीजगणित है। यदि $$G,$$कॉम्पैक्ट है, तो यह सीएफटी तर्कसंगत है, इसका केंद्रीय प्रभार असतत मान लेता है, और इसका स्पेक्ट्रम ज्ञात है।

अतिअनुरूप क्षेत्र सिद्धांत
एक अतिसममित सीएफटी का समरूपता बीजगणित एक सुपर विरासोरो बीजगणित या एक बड़ा बीजगणित है। अतिसममित सीएफटी सुपरस्ट्रिंग सिद्धांत के लिए विशेष रूप से प्रासंगिक हैं।

W-बीजगणित पर आधारित सिद्धांत
और धूल विरासोरो बीजगणित के प्राकृतिक विस्तार हैं। डब्ल्यू-बीजगणित पर आधारित सीएफटी में न्यूनतम मॉडल और लिउविल सिद्धांत के सामान्यीकरण सम्मिलित हैं, जिन्हें क्रमशः डब्ल्यू-न्यूनतम मॉडल और टोडा क्षेत्र सिद्धांत कहा जाता है। अनुरूप टोडा सिद्धांत लिउविल सिद्धांत से अधिक जटिल हैं, और कम अच्छी तरह से समझा जाता है।

सिग्मा मॉडल
दो आयामों में, मौलिक  सिग्मा मॉडल अनुरूप रूप से अपरिवर्तनीय हैं, किंतु केवल कुछ लक्ष्य मैनिफोल्ड क्वांटम सिग्मा मॉडल की ओर ले जाते हैं जो अनुरूप रूप से अपरिवर्तनीय हैं। इस तरह के लक्ष्य मैनिफोल्ड्स के उदाहरणों में टोरस और कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड्स सम्मिलित हैं।

लघुगणक अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत
लॉगरिदमिक अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत द्वि-आयामी सीएफटी हैं जैसे कि विरासोरो बीजगणित जनरेटर की क्रिया $$L_0$$ स्पेक्ट्रम पर विकर्णीय नहीं है। विशेष रूप से, स्पेक्ट्रम को पूरी तरह से वीरासोरो बीजगणित या प्रतिनिधित्व सिद्धांत से नहीं बनाया जा सकता है। परिणाम स्वरुप, क्षेत्रों की स्थिति पर सहसंबंध कार्यों की निर्भरता लॉगरिदमिक हो सकती है। यह दो- और तीन-बिंदु कार्यों की शक्ति जैसी निर्भरता के विपरीत है जो सबसे कम वजन के प्रतिनिधित्व से जुड़े हैं।

क्रिटिकल क्यू-स्थिति पॉट्स मॉडल
आलोचनात्मक $$Q$$-स्थिति पॉट्स मॉडल या क्रिटिकल यादृच्छिक क्लस्टर मॉडल एक कंफर्मल क्षेत्र सिद्धांत है जो क्रिटिकल आइसिंग मॉडल, पॉट्स मॉडल और परकोलेशन को सामान्यीकृत और एकीकृत करता है। मॉडल में एक पैरामीटर $$Q$$ है, जो पॉट्स मॉडल में पूर्णांक होना चाहिए, किंतु जो यादृच्छिक क्लस्टर मॉडल में कोई भी जटिल मान ले सकता है। यह पैरामीटर केंद्रीय प्रभार से संबंधित है

Q = 4\cos^2(\pi \beta^2) \qquad \text{with} \qquad c=13-6\beta^2-6\beta^{-2}\. $$ $$Q$$ के विशेष मान सम्मिलित करना:

ज्ञात टोरस विभाजन कार्य सुझाव देता है कि मॉडल असतत स्पेक्ट्रम के साथ गैर-तर्कसंगत है।

अग्रिम पठन

 * P. Di Francesco, P. Mathieu, and D. Sénéchal, Conformal Field Theory, Springer-Verlag, New York, 1997. ISBN 0-387-94785-X.
 * Conformal Field Theory page in String Theory Wiki lists books and reviews.