एक क्षेत्र विस्तार की डिग्री

गणित में, विशेष रूप से क्षेत्र सिद्धांत (गणित), क्षेत्र विस्तार की डिग्री क्षेत्र विस्तार के आकार का एक मोटा माप है। अवधारणा गणित के कई हिस्सों में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है, जिसमें सार बीजगणित और संख्या सिद्धांत शामिल हैं - वास्तव में किसी भी क्षेत्र में जहां क्षेत्र (गणित) प्रमुखता से प्रकट होता है।

परिभाषा और संकेतन
मान लीजिए कि E/F एक क्षेत्र विस्तार है। तब E को F (अदिशों के क्षेत्र) पर एक सदिश समष्टि माना जा सकता है। इस सदिश स्थान के आयाम ([[सदिश स्थल)]] को 'क्षेत्र विस्तार की डिग्री' कहा जाता है, और इसे [E:F] द्वारा निरूपित किया जाता है।

डिग्री परिमित या अनंत हो सकती है, तदनुसार क्षेत्र को 'सीमित विस्तार' या 'अनंत विस्तार' कहा जाता है। एक विस्तार E/F को कभी-कभी केवल 'परिमित' भी कहा जाता है यदि यह एक परिमित विस्तार है; यह भ्रमित नहीं होना चाहिए कि फ़ील्ड स्वयं परिमित फ़ील्ड हैं (फ़ील्ड बहुत से तत्वों वाले फ़ील्ड)।

किसी क्षेत्र की उत्कृष्टता डिग्री के साथ डिग्री को भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए; उदाहरण के लिए, तर्कसंगत कार्यों के क्षेत्र 'क्यू' (एक्स) में 'क्यू' पर अनंत डिग्री है, लेकिन उत्कृष्टता की डिग्री केवल 1 के बराबर है।

डिग्री के लिए गुणन सूत्र
खेतों के एक टॉवर में व्यवस्थित तीन क्षेत्रों को देखते हुए, K को L का एक उपक्षेत्र कहते हैं, जो बदले में M का एक उपक्षेत्र है, तीन एक्सटेंशन L/K, M/L और M/K की डिग्री के बीच एक सरल संबंध है:
 * $$[M:K] = [M:L] \cdot [L:K].$$

दूसरे शब्दों में, नीचे से ऊपर के क्षेत्र में जाने वाली डिग्री केवल नीचे से मध्य तक और फिर मध्य से शीर्ष तक जाने वाली डिग्री का उत्पाद है। यह लैग्रेंज के प्रमेय (समूह सिद्धांत) के काफी अनुरूप है | समूह सिद्धांत में लैग्रेंज का प्रमेय, जो एक समूह के क्रम को एक उपसमूह के एक उपसमूह के क्रम और सूचकांक से संबंधित करता है - वास्तव में गैल्वा सिद्धांत से पता चलता है कि यह समानता सिर्फ एक संयोग से अधिक है.

सूत्र परिमित और अनंत डिग्री एक्सटेंशन दोनों के लिए है। अनंत मामले में, उत्पाद की व्याख्या बुनियादी संख्या ों के उत्पादों के अर्थ में की जाती है। विशेष रूप से, इसका अर्थ है कि यदि M/K परिमित है, तो M/L और L/K दोनों परिमित हैं।

यदि एम/के सीमित है, तो सूत्र सरल अंकगणितीय विचारों के माध्यम से एम और के बीच होने वाले क्षेत्रों के प्रकार पर मजबूत प्रतिबंध लगाता है। उदाहरण के लिए, यदि डिग्री [एम:के] एक प्रमुख संख्या पी है, तो किसी भी मध्यवर्ती क्षेत्र एल के लिए, दो चीजों में से एक हो सकता है: या तो [एम:एल] = पी और [एल:के] = 1, जिसमें स्थिति L, K के बराबर है, या [M:L] = 1 और [L:K] = p, इस स्थिति में L, M के बराबर है। इसलिए, कोई मध्यवर्ती क्षेत्र नहीं हैं (स्वयं M और K के अलावा)।

परिमित मामले में गुणन सूत्र का प्रमाण
मान लीजिए कि K, L और M उपरोक्त डिग्री सूत्र के अनुसार क्षेत्रों का एक टॉवर बनाते हैं, और दोनों d = [L:K] और e = [M:L] परिमित हैं। इसका अर्थ है कि हम एक आधार (रैखिक बीजगणित) का चयन कर सकते हैं {u1, ..., मेंd} एल के ऊपर के के लिए, और एक आधार {डब्ल्यू1, ..., मेंe} के लिए M के ऊपर L. हम दिखाएंगे कि तत्व umwn, m के लिए 1, 2, ..., d और n से लेकर 1, 2, ..., e तक, M/K के लिए एक आधार बनाते हैं; चूंकि उनमें से निश्चित रूप से डी हैं, यह साबित करता है कि एम/के का आयाम डी है, जो वांछित परिणाम है।

पहले हम जाँचते हैं कि वे रैखिक विस्तार M/K हैं। यदि x, M का कोई अवयव है, तब चूँकि wn एल के ऊपर एम के लिए एक आधार बनाते हैं, हम तत्व ए पा सकते हैंn एल में ऐसा है कि
 * $$ x = \sum_{n=1}^e a_n w_n = a_1 w_1 + \cdots + a_e w_e.$$

फिर, चूंकि यूm K के ऊपर L के लिए एक आधार बनाते हैं, हम तत्व b पा सकते हैंm,n K में ऐसा है कि प्रत्येक n के लिए,
 * $$ a_n = \sum_{m=1}^d b_{m,n} u_m = b_{1,n} u_1 + \cdots + b_{d,n} u_d.$$

फिर एम में वितरण कानून और गुणा की सहयोगीता का उपयोग करके हमारे पास है
 * $$ x = \sum_{n=1}^e \left(\sum_{m=1}^d b_{m,n} u_m\right) w_n = \sum_{n=1}^e \sum_{m=1}^d b_{m,n} (u_m w_n),$$

जो दर्शाता है कि x, u का एक रैखिक संयोजन हैmwn K से गुणांक के साथ; दूसरे शब्दों में, वे M के ऊपर K फैलाते हैं।

दूसरे हमें यह जांचना चाहिए कि वे K पर रैखिक स्वतंत्रता हैं। तो मान लीजिए
 * $$ 0 = \sum_{n=1}^e \sum_{m=1}^d b_{m,n} (u_m w_n)$$

कुछ गुणांकों के लिए bm,n K में। फिर से वितरण और साहचर्य का उपयोग करके, हम शब्दों को इस प्रकार समूहित कर सकते हैं
 * $$ 0 = \sum_{n=1}^e \left(\sum_{m=1}^d b_{m,n} u_m\right) w_n,$$

और हम देखते हैं कि कोष्ठकों में पद शून्य होना चाहिए, क्योंकि वे एल और डब्ल्यू के तत्व हैंn एल पर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।
 * $$ 0 = \sum_{m=1}^d b_{m,n} u_m $$

प्रत्येक एन के लिए फिर, चूंकि बीm,n गुणांक के और यू में हैंm K पर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, हमारे पास वह b होना चाहिएm,n = 0 सभी एम और सभी एन के लिए। इससे पता चलता है कि तत्व यूmwn K पर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। यह उपपत्ति का निष्कर्ष निकालता है।

अनंत मामले में सूत्र का प्रमाण
इस मामले में, हम आधार यू से शुरू करते हैं&alpha; और डब्ल्यू&beta; क्रमशः L/K और M/L का, जहाँ α एक इंडेक्सिंग सेट A से लिया जाता है, और एक इंडेक्सिंग सेट B से β लिया जाता है। ऊपर दिए गए एक पूरी तरह से समान तर्क का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि उत्पाद u&alpha;w&beta; एम/के के लिए एक आधार तैयार करें। इन्हें कार्टेशियन उत्पाद ए × बी द्वारा अनुक्रमित किया जाता है, जिसकी परिभाषा के अनुसार ए और बी के प्रमुखता के उत्पाद के बराबर कार्डिनैलिटी है।

उदाहरण

 * सम्मिश्र संख्याएँ डिग्री [C:R] = 2 के साथ वास्तविक संख्याओं पर एक क्षेत्र विस्तार हैं, और इस प्रकार उनके बीच कोई गैर-तुच्छ क्षेत्र (गणित) नहीं हैं।
 * क्षेत्र विस्तार क्यू ($\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$), संलग्न द्वारा प्राप्त किया गया $\sqrt{2}$ और $\sqrt{3}$ परिमेय संख्याओं के क्षेत्र Q में, डिग्री 4 है, अर्थात, [Q($\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$): क्यू] = 4। मध्यवर्ती क्षेत्र क्यू ($\sqrt{2}$) क्यू के ऊपर डिग्री 2 है; हम गुणन सूत्र से यह निष्कर्ष निकालते हैं कि [Q($\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$):क्यू($\sqrt{2}$)] = 4/2 = 2।
 * परिमित क्षेत्र (गैलॉइस फील्ड) जीएफ (125) = जीएफ (53) के उपक्षेत्र GF(5) पर डिग्री 3 है। अधिक आम तौर पर, यदि p अभाज्य है और n, m धनात्मक पूर्णांक हैं जहाँ n विभाजित m है, तो [GF(pम):'GF'(pn)] = एम/एन।
 * क्षेत्र विस्तार 'सी' (टी)/'सी', जहां 'सी' (टी) 'सी' पर तर्कसंगत कार्यों का क्षेत्र है, में अनंत डिग्री है (वास्तव में यह विशुद्ध रूप से पारलौकिक विस्तार है)। यह देखकर देखा जा सकता है कि तत्व 1, T, T2, आदि, C पर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।
 * फ़ील्ड एक्सटेंशन C(T2) की C से भी अनंत डिग्री है। हालाँकि, यदि हम C(T को देखते हैं2) C(T) के उपक्षेत्र के रूप में, फिर वास्तव में [C(T):C(T)2)] = 2. अधिक आम तौर पर, यदि X और Y एक फ़ील्ड K पर बीजगणितीय वक्र हैं, और F : X → Y डिग्री d के उनके बीच एक विशेषण आकारिकी है, तो एक बीजगणितीय विविधता K का कार्य क्षेत्र (X) और K(Y) दोनों K पर अनंत डिग्री के हैं, लेकिन डिग्री [K(X):K(Y)] d के बराबर है।

सामान्यीकरण
E में निहित F के साथ दो विभाजन वलय E और F दिए गए हैं और F का गुणन और जोड़ E में परिचालनों का प्रतिबंध है, हम E को दो तरीकों से F पर एक सदिश स्थान के रूप में मान सकते हैं: बाईं ओर अदिश कार्य करते हुए, एक आयाम देना [ई: एफ]l, और उनसे दाहिनी ओर कार्य करवाना, एक आयाम देना [E:F]r. दो आयामों को सहमत होने की आवश्यकता नहीं है। हालांकि दोनों आयाम विभाजन के छल्ले के टावरों के लिए गुणन सूत्र को संतुष्ट करते हैं; ऊपर दिया गया प्रमाण बिना बदलाव के बाएं-अभिनय स्केलर्स पर लागू होता है।

संदर्भ

 * page 215, Proof of the multiplicativity formula.
 * page 465, Briefly discusses the infinite dimensional case.