आंशिक रूप से आदेशित समूह

एब्स्ट्रेक्ट बीजगणित में, आंशिक रूप से क्रमित समूह एक समूह (गणित) (G, +) है जो आंशिक क्रम "≤" से सुसज्जित है जो अनुवाद-अपरिवर्तनीय है; दूसरे शब्दों में, "≤" में वह गुण है कि, G में सभी a, b, और g के लिए, यदि a ≤ b है तो a + g ≤ b + g और g + a ≤ g + b है।

G का अवयव x धनात्मक कहलाता है यदि 0 ≤ x। अवयवो का समुच्चय 0 ≤ x को अधिकांशतः G+ से दर्शाया जाता है, और G का धनात्मक शंकु कहलाता है।

अनुवाद अपरिवर्तनीयता से, हमारे पास a ≤ b यदि और केवल यदि 0 ≤ -a + b है। तो हम आंशिक क्रम को मोनैडिक प्रोपर्टी में कम कर सकते हैं: यदि और केवल यदि

सामान्य समूह G के लिए, धनात्मक शंकु का अस्तित्व G पर क्रम निर्दिष्ट करता है। समूह G आंशिक रूप से क्रम देने योग्य समूह है यदि और केवल यदि उपसमूह H उपस्थित है (जो G है+) G का ऐसा है कि:
 * 0 ∈ H
 * यदि a ∈ H और b ∈ H तो a + b ∈ H
 * यदि a ∈ H तो -x + a + x ∈ H G के प्रत्येक x के लिए
 * यदि a ∈ H और -a ∈ H तो a = 0

धनात्मक शंकु G के साथ आंशिक रूप से क्रमित समूह G+ यदि n · g ∈ G+ है तो इसे अछिद्रित कहा जाता है किसी धनात्मक पूर्णांक n के लिए g ∈ G+ का अर्थ है. अछिद्रित होने का अर्थ है धनात्मक शंकु G+ में कोई अंतराल नहीं है.

यदि समूह पर क्रम रेखीय क्रम है, तो इसे रैखिक रूप से क्रमित समूह कहा जाता है। यदि समूह पर क्रम जालक क्रम है, अर्थात किसी भी दो अवयवो में कम से कम ऊपरी सीमा होती है, तो यह जालक-क्रमित समूह होता है (शीघ्र ही एल-समूह, चूँकि सामान्यतः स्क्रिप्ट टाइपफेस एल: ℓ-समूह के साथ टाइपसेट होता है)।

एक फ्रिगियस रिज्ज़ समूह छिद्रित आंशिक रूप से क्रमित समूह है जिसकी प्रोपर्टी जालक-क्रमित समूह की तुलना में थोड़ी कमजोर है। अर्थात्, रिज़ समूह रिज़ इंटरपोलेशन प्रोपर्टी को संतुष्ट करता है: यदि x1, x2, y1, y2 G और xi ≤ yj के अवयव हैं, तो वहाँ z ∈ G का अस्तित्व है जैसे कि xi≤ z ≤ yj.

यदि G और H दो आंशिक रूप से क्रमित समूह हैं, तो G से H तक का रुपरेखा आंशिक रूप से क्रमित समूहों का रूपवाद है यदि यह समूह समरूपता और मोनोटोनिक फलन दोनों है। आकृतिवाद की इस धारणा के साथ आंशिक रूप से क्रमित समूह, श्रेणी सिद्धांत बनाते हैं।

आंशिक रूप से क्रमित समूहों का उपयोग क्षेत्र (गणित) के मूल्यांकन (बीजगणित) की परिभाषा में किया जाता है।

उदाहरण

 * पूर्णांक अपने सामान्य क्रम के साथ
 * एक क्रमित सदिश स्थान आंशिक रूप से क्रमबद्ध समूह है
 * रिज स्पेस लैटिस-ऑर्डर्ड ग्रुप है
 * आंशिक रूप से क्रमित समूह का विशिष्ट उदाहरण पूर्णांक हैn, जहां समूह संचालन घटकवार जोड़ है, और हम लिखते हैं (a1,...,an) ≤ (b1,...,bn) यदि और केवल यदि ai ≤ bi (पूर्णांकों के सामान्य क्रम में) सभी i = 1,..., n के लिए।
 * अधिक सामान्यतः, यदि G आंशिक रूप से क्रमित समूह है और x कुछ समुच्चय है, तो x से G तक के सभी कार्यों का समुच्चय फिर से आंशिक रूप से क्रमित समूह है: सभी संचालन घटकवार किए जाते हैं। इसके अलावा, G का प्रत्येक उपसमूह आंशिक रूप से क्रमबद्ध समूह है: यह G से क्रम प्राप्त करता है।
 * यदि A लगभग परिमित-आयामी C*-बीजगणित है, या अधिक सामान्यतः, यदि A स्थायी रूप से परिमित इकाई C*-बीजगणित है, तो लगभग परिमित-आयामी C*-बीजगणित या K0 या K0(a) आंशिक रूप से क्रमित एबेलियन समूह है। (इलियट, 1976)

आर्किमिडीज़
आंशिक रूप से क्रमित समूहों के लिए वास्तविक संख्याओं की आर्किमिडीयन प्रोपर्टी को सामान्यीकृत किया जा सकता है।


 * प्रोपर्टी: आंशिक रूप से क्रमित समूह G को 'आर्किमिडीयन' कहा जाता है जब an ≤ b सभी प्राकृतिक n के लिए तो a = e. समान रूप से, जब a≠e, तो किसी भी b∈G के लिए कुछ $$n\in \mathbb{Z}$$ होता है ऐसा है कि b <an.

एकीकृत रूप से संवृत
एक आंशिक रूप से क्रमित समूह G को 'पूर्ण रूप से संवृत' कहा जाता है यदि G के सभी अवयवो a और b के लिए, यदि an ≤ b सभी प्राकृतिक n के लिए फिर a ≤ 1। यह प्रोपर्टी इस तथ्य से कुछ सीमा तक सशक्त है कि आंशिक रूप से क्रमित समूह आर्किमिडीयन प्रोपर्टी है, चूँकि जालक-क्रमित समूह के लिए एकीकृत रूप से संवृत होना और आर्किमिडीज़ होना समतुल्य है।

एक प्रमेय है कि प्रत्येक अभिन्न रूप से संवृत निर्देशित समुच्चय समूह पहले से ही एबेलियन समूह है। इसका इस तथ्य से लेना-देना है कि निर्देशित समूह पूर्ण जालक जालक-क्रमित समूह में एम्बेड करने योग्य है यदि और केवल यदि यह अभिन्न रूप से संवृत है।

यह भी देखें
== नोट                                                                                                                                                                                                                               ==

संदर्भ

 * M. Anderson and T. Feil, Lattice Ordered Groups: an Introduction, D. Reidel, 1988.
 * M. R. Darnel, The Theory of Lattice-Ordered Groups, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics 187, Marcel Dekker, 1995.
 * L. Fuchs, Partially Ordered बीजगणितic Systems, Pergamon Press, 1963.
 * V. M. Kopytov and A. I. Kokorin (trans. by D. Louvish), Fully Ordered Groups, Halsted Press (John Wiley & Sons), 1974.
 * V. M. Kopytov and N. Ya. Medvedev, Right-ordered groups, Siberian School of बीजगणित and Logic, Consultants Bureau, 1996.
 * R. B. Mura and A. Rhemtulla, Orderable groups, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics 27, Marcel Dekker, 1977.
 * , chap. 9.
 * V. M. Kopytov and N. Ya. Medvedev, Right-ordered groups, Siberian School of बीजगणित and Logic, Consultants Bureau, 1996.
 * R. B. Mura and A. Rhemtulla, Orderable groups, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics 27, Marcel Dekker, 1977.
 * , chap. 9.
 * , chap. 9.