गणितीय संरचनाओं की समतुल्य परिभाषाएँ

गणित में, समतुल्य परिभाषाओं का उपयोग दो अलग-अलग विधियों से किया जाता है। सबसे पहले, विशेष गणितीय सिद्धांत के अंदर (उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन ज्यामिति), धारणा (उदाहरण के लिए, दीर्घवृत्त या न्यूनतम सतह) की एक से अधिक परिभाषाएँ हो सकती हैं। ये परिभाषाएँ दी गई गणितीय संरचना (इन स्थितियों में यूक्लिडियन स्पेस) के संदर्भ में समतुल्य हैं। दूसरा, गणितीय संरचना में से अधिक परिभाषाएँ हो सकती हैं (उदाहरण के लिए, टोपोलॉजिकल स्पेस में कम से कम टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी के लक्षण हैं;आदेशित फ़ील्ड में कम से कम दो परिभाषाएँ हैं)।

पूर्व स्थितियों में, दो परिभाषाओं की समानता का अर्थ है कि गणितीय वस्तु (उदाहरण के लिए, ज्यामितीय निकाय) परिभाषा को संतुष्ट करती है यदि और केवल यदि यह दूसरी परिभाषा को संतुष्ट करती है।

बाद की स्थितियों में, तुल्यता का अर्थ (संरचना की दो परिभाषाओं के बीच) अधिक जटिल है, क्योंकि संरचना किसी वस्तु की तुलना में अधिक अमूर्त है। कई अलग-अलग वस्तुएं ही संरचना को प्रयुक्त कर सकती हैं।

समाकृतिक कार्यान्वयन
प्राकृतिक संख्या औपचारिक परिभाषाएँ 0 = $\{ \}$ के रूप में प्रयुक्त की जा सकती हैं, इसी प्रकार 1 = $\{0\}$ = $\{\{ \}\}$, 2 = $\{0, 1\}$ = $\{\{ \}, \{\{ \}\}\}$, 3 = $\{0, 1, 2\}$ = $\{\{ \}, \{\{ \}\}, \{\{ \}, \{\{ \}\}\}\}$ और; और इसी प्रकार वैकल्पिक रूप से 0 = $\{ \}$, 1 = $\{0\}$ =$\{\{ \}\}$, 2 = $\{1\}$ = $\{\{\{ \}\}\}$ प्रयुक्त की जा सकती हैं। ये समुच्चय थ्योरी में प्राकृतिक संख्याओं के दो अलग-अलग किन्तु समाकृतिकता कार्यान्वयन हैं।

वे पीनो सिद्धांतों के मॉडल के रूप में समाकृतिक(आइसोमोर्फिक) हैं, अर्थात, ट्रिपल (N, 0,S) जहां N समुच्चय है, 0 N का तत्व है, और S(उत्तराधिकारी प्रकार्य कहा जाता है) N का मानचित्र (संतोषजनक उपयुक्त उपबंधों) है। पहले क्रियान्वयन में S(n) = n ∪ $\{n\}$; दूसरे कार्यान्वयन में S(n) = $\{n\}$ है। जैसा कि बेनसेराफ की पहचान की समस्या पर जोर दिया गया है, दो कार्यान्वयन इस प्रश्न के उत्तर से भिन्न हैं कि क्या 0 ∈ 2 संभव है; चूंकि, यह प्राकृतिक संख्याओं के बारे में वैध प्रश्न नहीं है (चूंकि संबंध ∈ प्रासंगिक हस्ताक्षर द्वारा निर्धारित नहीं किया गया है, अगला खंड देखें)। इसी तरह, सम्मिश्र संख्याओं के लिए अलग किन्तु समाकृतिक कार्यान्वयन का उपयोग किया जाता है।

व्युत्पन्न संरचनाएं और क्रिप्टोमोर्फिज्म
प्राकृतिक संख्याओं पर उत्तराधिकारी कार्य S अंकगणितीय संचालन, जोड़ और गुणा, और कुल आदेश की ओर जाता है, इस प्रकार N को आदेशित सेमिरिंग संरचना के साथ संपन्न करता है। यह व्युत्पन्न संरचना का उदाहरण है। ऑर्डर की गई सेमीरिंग संरचना (N, +, ·, ≤) निम्नलिखित प्रक्रिया द्वारा पीनो संरचना (N, 0, S) से निकाली गई है:

n + 0 = n, m + S (n) = S (m + n), m · 0 = 0, m · S (n) = m + (m · n), और m ≤ n यदि और केवल यदि यहाँ k ∈ N का अस्तित्व इस प्रकार है कि m + k = n है। और इसके विपरीत, पीनो संरचना को आदेशित सेमीरिंग संरचना से निम्नानुसार निकाला जाता है: S (n) = n + 1, और 0 को 0 + 0 = 0 द्वारा परिभाषित किया गया है। इसका अर्थ है कि N पर दो संरचनाएं दो प्रक्रियाओं के माध्यम से समतुल्य हैं।

पिछले खंड में वर्णित प्राकृतिक संख्याओं के दो समाकृतिक कार्यान्वयन ट्रिपल (N, 0, S) के रूप में समाकृतिक हैं, अर्थात, एक ही हस्ताक्षर (0, S) की संरचनाएं जिसमें निरंतर प्रतीक 0 और यूनरी प्रकार्य S सम्मिलित है । आदेशित सेमिरिंग संरचना (n, +, ·, ≤) में और हस्ताक्षर (+, ·, ≤) है जिसमें दो बाइनरी फ़ंक्शंस और बाइनरी रिलेशन सम्मिलित है। समरूपता की धारणा विभिन्न हस्ताक्षरों की संरचनाओं पर प्रयुक्त नहीं होती है। विशेष रूप से, पीआनो संरचना आदेशित सेमिरिंग के लिए समाकृतिक नहीं हो सकती है। चूंकि, पीनो संरचना से प्राप्त आदेशित सेमिरिंग अन्य आदेशित सेमिरिंग के लिए समाकृतिक हो सकता है। विभिन्न हस्ताक्षरों की संरचनाओं के बीच इस तरह के संबंध को कभी-कभी क्रिप्टोमोर्फिज्म कहा जाता है।

परिवेश ढांचे
एक संरचना को समुच्चय थ्योरी ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय थ्योरी, या अन्य समुच्चय थ्योरी जैसे वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल समुच्चय थ्योरी, नई नींव समुच्चय की श्रेणी के प्राथमिक सिद्धांत के अंदर प्रयुक्त किया जा सकता है। वैकल्पिक रूप से, संरचना को पहले क्रम के तर्क, दूसरे क्रम के तर्क, उच्च क्रम के तर्क, प्रकार के सिद्धांत, होमोटोपी प्रकार के सिद्धांत आदि के ढांचे में माना जा सकता है।

बॉरबाकी के अनुसार संरचनाएं

 * गणित [....] को गणितीय संरचना जैसी किसी अवधारणा द्वारा पूरी तरह से नहीं समझाया जा सकता है। फिर भी, बॉरबाकी का संरचनावादी दृष्टिकोण हमारे पास सबसे उत्तम है।


 * इन दिनों गणितीय संरचना की धारणा स्पष्ट प्रतीत हो सकती है, कम से कम 20वीं शताब्दी के मध्य तक इसे स्पष्ट नहीं किया गया था। फिर यह बोर्बाकी-प्रोजेक्ट का प्रभाव था और फिर बाद में श्रेणी सिद्धांत का विकास जिसने धारणा को स्पष्ट किया (nLab)।

निकोलस बॉरबाकी के अनुसार, किसी दिए गए समुच्चय X पर समुच्चय के मापदंडों में कार्टेशियन उत्पादों और पावर समुच्चयों ों को किसी भी संयोजन में, X से उत्पन्न होने वाले सभी समुच्चय होते हैं, जो कि कई बार परिमित संख्या में होते हैं। उदाहरण: X; X × X; P(X); P(P(X × X) × X × P(P(X))) × Xहै। (यहाँ A × B, A और B का गुणनफल है, और P(A) A का घात है।) विशेष रूप से, जोड़ी (0, S) जिसमें तत्व 0 ∈ n और यूनरी प्रकार्य S सम्मिलित है: n → n n × P(n × n) से संबंधित है (चूंकि एक समारोह कार्टेशियन उत्पाद का सबसमुच्चय है)। ट्रिपल (+, ·, ≤) जिसमें दो बाइनरी फ़ंक्शंस n × n → n और n पर बाइनरी रिलेशन सम्मिलित है, P(n × n × n) × P(n × n × n) × P(n × n) से संबंधित है )। इसी तरह, समुच्चय पर प्रत्येक बीजगणितीय संरचना X पर समुच्चय के मापदंडों में संबंधित समुच्चय से संबंधित होती है।

एक समुच्चय X पर गैर-बीजीय संरचनाओं में अधिकांशतः X के सबसमुच्चय के समुच्चय सम्मिलित होते हैं (अर्थात, P(X) के सबसमुच्चय, दूसरे शब्दों में, P(P(X)) के तत्व)। उदाहरण के लिए, टोपोलॉजिकल स्पेस की संरचना, जिसे X पर टोपोलॉजी कहा जाता है, को टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में माना जाता है#ओपन समुच्चय परिभाषा|ओपन समुच्चय का समुच्चय; या मापने योग्य स्थान की संरचना, जिसे सिग्मा-बीजगणित के रूप में माना जाता है| σ-मापने योग्य समुच्चयों का बीजगणित; दोनों P(P(X)) के अवयव हैं। ये दूसरे क्रम की संरचनाएँ हैं।

अधिक जटिल गैर-बीजगणितीय संरचनाएं बीजगणितीय घटक और गैर-बीजीय घटक को जोड़ती हैं। उदाहरण के लिए, टोपोलॉजिकल समूह की संरचना में टोपोलॉजी और समूह की संरचना होती है। इस प्रकार यह P(P(X)) और दूसरे (बीजगणितीय) के गुणनफल से संबंधित है जो मापदंडों में समुच्चय है; यह उत्पाद फिर से मापदंडों में समुच्चय है।

संरचनाओं का परिवहन; समरूपता
दो समुच्चय X, Y और आक्षेप f: X → Y दिए गए हैं, स्केल समुच्चय के बीच संबंधित आक्षेप बनाता है। अर्थात्, आक्षेप X × X → Y × Y भेजता है (x1,X2) से (एफ (X1), च (X2)); आक्षेप P(X) → P(Y) X का सबसमुच्चय A अपनी छवि f(A) में Y में भेजता है; और इसी तरह, पुनरावर्ती: स्केल समुच्चय या तो स्केल समुच्चय का उत्पाद है या स्केल समुच्चय का पावर समुच्चय है, दो निर्माणों में से प्रयुक्त होता है।

चलो (X, U) और (Y,V) ही हस्ताक्षर के दो ढांचे बनें। फिर U स्केल समुच्चय SX से संबंधित है, और V संबंधित स्केल समुच्चय SY से संबंधित है. आक्षेप F: S का प्रयोग करनाX → SY आक्षेप f: X → Y से निर्मित, परिभाषित करता है:
 * f (X,U) और (Y,V) के बीच तुल्याकारिता है यदि F(U) = V.

समरूपता की यह सामान्य धारणा नीचे सूचीबद्ध कई कम सामान्य धारणाओं का सामान्यीकरण करती है। वास्तव में, बॉरबाकी दो अतिरिक्त विशेषताओं को निर्धारित करता है। सबसे पहले, कई समुच्चय X1, ..., Xn (तथाकथित प्रिंसिपल बेस समुच्चय ) का उपयोग एकल समुच्चय X के अतिरिक्त किया जा सकता है। चूंकि, यह सुविधा बहुत कम उपयोग की है। ऊपर सूचीबद्ध सभी आइटम एकल प्रमुख आधार समुच्चय का उपयोग करते हैं। दूसरा, तथाकथित सहायक आधार समुच्चय E1, ..., Em उपयोग किया जा सकता है। इस सुविधा का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। वास्तव में, सदिश समष्टि की संरचना के लिए न केवल X × X → X को जोड़ना आवश्यक है, किंतु अदिश गुणन 'R' × X → X (यदि 'R' अदिशों का क्षेत्र है) भी आवश्यक है। इस प्रकार, 'R' सहायक आधार समुच्चय है (जिसे बाहरी भी कहा जाता है )। समुच्चय के मापदंडों में कार्टेशियन उत्पादों और पावर समुच्चयों को लेकर सभी बेस समुच्चय (प्रमुख और सहायक दोनों) से उत्पन्न होने वाले सभी समुच्चय होते हैं। फिर भी, मानचित्र f (संभवतः तुल्याकारिता) केवल X पर कार्य करता है; सहायक समुच्चय पहचान मानचित्रों द्वारा संपन्न होते हैं। (चूंकि, n प्रिंसिपल समुच्चय का स्थिति n मानचित्रों की ओर जाता है।)
 * बीजगणितीय संरचनाओं के लिए: समरूपता एक विशेषण समरूपता है।
 * विशेष रूप से, वेक्टर रिक्त स्थान के लिए: रैखिक आक्षेप।
 * आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए समुच्चय के लिए: आइसोमोर्फिज्म ऑर्डर करें।
 * ग्राफ़ के लिए (असतत गणित): ग्राफ़ समरूपता।
 * अधिक सामान्यतः, एक द्विआधारी संबंध के साथ संपन्न समुच्चय के लिए: संबंध-संरक्षण समरूपता।
 * टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए: होमोमोर्फिज्म।
 * समान स्थानों के लिए एक समान समरूपता।
 * मीट्रिक रिक्त स्थान के लिए: विशेषण आइसोमेट्री।
 * टोपोलॉजिकल समूहों के लिए: ग्रुप आइसोमोर्फिज्म जो अंतर्निहित टोपोलॉजिकल स्पेस का होमियोमोर्फिज्म भी है।
 * टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस के लिए: वेक्टर स्पेस का आइसोमोर्फिज्म जो अंतर्निहित टोपोलॉजिकल स्पेस का होमियोमोर्फिज्म भी है।
 * बनच रिक्त स्थान के लिए: विशेषण रैखिक समरूपता।
 * हिल्बर्ट रिक्त स्थान के लिए: एकात्मक परिवर्तन।
 * झूठ समूहों के लिए: एक विशेषण चिकनी समूह समरूपता जिसका व्युत्क्रम भी एक सहज समूह समरूपता है।
 * चिकने मैनिफोल्ड्स के लिए: डिफियोमोर्फिज्म।
 * सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड्स ्स के लिए: सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म।
 * रिमेंनियन मैनिफोल्ड्स ्स के लिए: आइसोमेट्रिक डिफियोमोर्फिज्म।
 * अनुरूप ज्यामिति के लिए: अनुरूप भिन्नता।
 * संभाव्यता रिक्त स्थान के लिए: एक विशेषण मापने योग्य और माप संरक्षित मानचित्र जिसका व्युत्क्रम भी मापने योग्य है और संरक्षित करने का उपाय करता है।
 * एफ़िन स्पेस के लिए: विशेषण एफ़िन परिवर्तन।
 * प्रक्षेपण स्थान के लिए: होमोग्राफी।

कार्यात्मकता
श्रेणियों का उल्लेख किए बिना बोरबाकी द्वारा तैयार किए गए कई कथनों को श्रेणी सिद्धांत की भाषा में आसानी से सुधारा जा सकता है। सबसे पहले, कुछ शब्दावली।
 * समुच्चय के मापदंडों को सोपानक निर्माण योजनाओं द्वारा अनुक्रमित किया जाता है, इसे "प्रकार" भी कहते हैं। मान लीजिए, समुच्चय P(P(X × X) × X × P(P(X))) × X को समुच्चय X के रूप में सूत्र P(P(a × a) × a × P में प्रतिस्थापित किया गया है। (P(a))) × a चर a के लिए; यह सूत्र संगत सोपानक निर्माण योजना है। (यह धारणा, सभी संरचनाओं के लिए परिभाषित, केवल बीजगणितीय संरचनाओं के लिए परिभाषित हस्ताक्षर के सामान्यीकरण के रूप में सोचा जा सकता है।)
 * लेट समुच्चय * समुच्चय और बायजेक्शन के ग्रुपओइड को दर्शाता है। अर्थात्, वह श्रेणी जिसकी वस्तुएँ समुच्चय हैं, और आकारिकी आक्षेप हैं।

प्रस्ताव। प्रत्येक सोपानक निर्माण योजना समुच्चय * से स्वयं के लिए फ़ंक्टर की ओर ले जाती है।

विशेष रूप से, समुच्चय X का क्रमचय समूह हर स्केल समुच्चय SX पर समूह क्रिया करता है।

एक और प्रस्ताव तैयार करने के लिए, संरचनाओं की धारणा प्रजातियों की आवश्यकता है, क्योंकि सोपानक निर्माण योजना संरचना पर केवल प्रारंभिक जानकारी देती है। उदाहरण के लिए, क्रमविनिमेय समूह और (इच्छानुसार) समूह ही सोपानक निर्माण योजना की दो अलग-अलग प्रजातियाँ हैं। अन्य उदाहरण: टोपोलॉजिकल स्पेस और औसत दर्जे का स्पेस है। वे प्रजातियों के तथाकथित स्वयंसिद्ध में भिन्न हैं। यह स्वयंसिद्ध सभी आवश्यक गुणों का संयोजन है, जैसे गुणन समूहों के लिए साहचर्य है, या खुले समुच्चयों का संघ सामयिक स्थानों के लिए खुला समुच्चय है।
 * संरचनाओं की प्रजाति में सोपानक निर्माण योजना और प्रजातियों का स्वयंसिद्ध होता है।

प्रस्ताव। संरचनाओं की प्रत्येक प्रजाति समुच्चय * से स्वयं के लिए फ़ैक्टर की ओर ले जाती है।

उदाहरण: समूहों की प्रजातियों के लिए, फ़ंक्टर F, X पर सभी समूह संरचनाओं के समुच्चय F(X) के समुच्चय X को मैप करता है। टोपोलॉजिकल स्पेस की प्रजातियों के लिए, फंक्शनल F X पर सभी टोपोलॉजी के समुच्चय F(X) के समुच्चय X को मैप करता है। मोर्फिज्म F(f): F(X) → F(Y) बायजेक्शन f के संगत: X → Y संरचनाओं का परिवहन है। Y की टोपोलॉजी X की टोपोलॉजी के अनुरूप है। समूह संरचनाओं आदि के लिए भी यही है।

विशेष रूप से, किसी दिए गए समुच्चय पर दी गई प्रजातियों की सभी संरचनाओं का समुच्चय क्रमपरिवर्तन समूह की कार्रवाई के अनुसार इसी मापदंडों के समुच्चय SX पर अपरिवर्तनीय है।, और अन्य स्केल समुच्चय P(SX) पर समूह की कार्रवाई का निश्चित बिंदु है। चूंकि, इस क्रिया के सभी निश्चित बिंदु संरचनाओं की प्रजातियों के अनुरूप नहीं हैं।

दो प्रजातियों को देखते हुए, बोरबाकी कटौती की धारणा प्रक्रिया को परिभाषित करता है (पहली प्रजाति की संरचना से दूसरी प्रजाति की संरचना की)। कटौती की परस्पर व्युत्क्रम प्रक्रियाओं की जोड़ी धारणा समकक्ष प्रजातियों की ओर ले जाती है।

उदाहरण। टोपोलॉजिकल स्पेस की संरचना को एक ओपन समुच्चय टोपोलॉजी या वैकल्पिक रूप से एक क्लोज्ड समुच्चय टोपोलॉजी के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। कटौती की दो संगत प्रक्रियाएं मेल खाती हैं; प्रत्येक X के सभी दिए गए सबसमुच्चयों को उनके पूरक से प्रतिस्थापित करता है। इस अर्थ में, ये दो समतुल्य प्रजातियाँ हैं।

बोरबाकी की सामान्य परिभाषा में, कटौती प्रक्रिया में प्रमुख आधार समुच्चय (S) का परिवर्तन सम्मिलित हो सकता है, किन्तु इन स्थितियों का इलाज यहां नहीं किया जाता है। श्रेणी सिद्धांत की भाषा में निम्नलिखित परिणाम होते हैं।

प्रस्ताव। संरचनाओं की दो प्रजातियों के बीच समानता संबंधित फ़ैक्टरों के बीच एक प्राकृतिक समरूपता की ओर ले जाती है।

चूंकि, सामान्यतः, इन फ़ैक्टरों के बीच सभी प्राकृतिक समरूपताएं प्रजातियों के बीच समानता संबंध के अनुरूप नहीं हैं।

गणितीय अभ्यास

 * हम अधिकांशतः उन संरचनाओं में अंतर नहीं करते हैं जो तुल्याकारी हैं और अधिकांशतः कहते हैं कि 'दो संरचनाएं आइसोमोर्फिज्म तक समान हैं'।"
 * संरचनाओ ं का अध्ययन करते समय हम केवल उनके रूप में रुचि रखते हैं, किन्तु जब हम उनके अस्तित्व को सिद्ध करते हैं तो हमें उनका निर्माण करने की आवश्यकता होती है।
 * 'गणितज्ञ निश्चित रूप से अभ्यास में समाकृतिक संरचनाओं की पहचान करने के लिए उपयोग किए जाते हैं, किन्तु वे सामान्यतः संकेतन के दुरुपयोग, या किसी अन्य अनौपचारिक उपकरण से ऐसा करते हैं, यह जानते हुए कि इसमें सम्मिलित वस्तुएं वास्तव में समान नहीं हैं।' (एक मूल रूप से उत्तम दृष्टिकोण की उम्मीद है, किन्तु अभी के लिए, समर 2014, ऊपर उद्धृत निश्चित पुस्तक संरचनाओं पर विस्तृत नहीं है।)

व्यवहार में, संरचनाओं की समतुल्य प्रजातियों के बीच कोई भेद नहीं करता है।

सामान्यतः, प्राकृतिक संख्याओं पर आधारित पाठ (उदाहरण के लिए, लेख अभाज्य संख्या) प्राकृतिक संख्याओं की प्रयुक्त परिभाषा को निर्दिष्ट नहीं करता है। इसी तरह, टोपोलॉजिकल स्पेस पर आधारित पाठ (उदाहरण के लिए, होमोटॉपी लेख, या आगमनात्मक आयाम) टोपोलॉजिकल स्पेस की प्रयुक्त परिभाषा को निर्दिष्ट नहीं करता है। इस प्रकार, यह संभव है (और किंतु संभावित) कि पाठक और लेखक अलग-अलग परिभाषाओं के अनुसार पाठ की अलग-अलग व्याख्या करते हैं। फिर भी, संचार सफल है, जिसका अर्थ है कि ऐसी विभिन्न परिभाषाओं को समतुल्य माना जा सकता है।

टोपोलॉजिकल स्पेस से परिचित व्यक्ति पार्श्व, अभिसरण, निरंतरता, सीमा, क्लोजर, इंटीरियर, ओपन समुच्चय, क्लोज्ड समुच्चय के बीच मूलभूत संबंधों को जानता है, और यह जानने की आवश्यकता नहीं है कि इनमें से कुछ धारणाएं प्राथमिक हैं, जो टोपोलॉजिकल स्पेस की परिभाषा में निर्धारित हैं। अपितु अन्य गौण हैं, प्राथमिक धारणाओं के संदर्भ में विशेषता है। इसके अतिरिक्त, यह जानते हुए कि टोपोलॉजिकल स्पेस के सबसमुच्चय स्वयं टोपोलॉजिकल स्पेस हैं, साथ ही टोपोलॉजिकल स्पेस के उत्पाद भी हैं, व्यक्ति परिभाषा के अतिरिक्त कुछ नए टोपोलॉजिकल स्पेस का निर्माण करने में सक्षम है।

इस प्रकार, व्यवहार में समुच्चय पर टोपोलॉजी को सार डेटा प्रकार की तरह माना जाता है जो सभी आवश्यक धारणाएं प्रदान करता है और निर्माता (ऑब्जेक्ट-ओरिएंटेड प्रोग्रामिंग) किन्तु प्राथमिक और माध्यमिक धारणाओं के बीच अंतर को छुपाता है। यही बात अन्य प्रकार की गणितीय संरचनाओं पर भी प्रयुक्त होती है। रोचक बात यह है कि समुच्चय थ्योरी में संरचनाओं की औपचारिकता कंप्यूटर के लिए संरचनाओं की औपचारिकता के समान कार्य है।

विहित, न सिर्फ प्राकृतिक
जैसा कि उल्लेख किया गया था, संरचनाओं की दो प्रजातियों के बीच समानता संबंधित फ़ैक्टरों के बीच प्राकृतिक समरूपता की ओर ले जाती है। चूंकि, प्राकृतिक परिवर्तन का अर्थ कैनोनिकल मानचित्र नहीं है। प्राकृतिक परिवर्तन सामान्यतः गैर-अद्वितीय होता है।

उदाहरण। प्राकृतिक संख्याओं के लिए फिर से दो समान संरचनाओं पर विचार करें। पीनो संरचना (0,S) है, अन्य क्रमित सेमिरिंग की संरचना (+, ·, ≤) है। यदि समुच्चय X दोनों संरचनाओं से संपन्न है, तो तरफ, X = $\{ a_{0}, a_{1}, a_{2}, ... \}$ जहां S (an) = an+1 सभी के लिए n और 0 = a0; और दूसरी ओर, X = $\{ b_{0}, b_{1}, b_{2}, ... \}$ जहां bm+n = bm + bn, bm·n =bm · bn, और bm ≤bn यदि और केवल यदि m ≤ n हो। आवश्यकता है कि an = bn सभी n के लिए दो संरचनाओं के बीच विहित तुल्यता प्राप्त करता है। चूंकि, किसी को भी आवश्यकता हो सकती है a0 = b1, a1 =b0, और an =bn सभी n > 1 के लिए, इस प्रकार और, गैर-विहित, प्राकृतिक समरूपता प्राप्त करता है । इसके अतिरिक्त, इंडेक्स समुच्चय का हर क्रम परिवर्तन $\{ 0, 1, 2, ... \}$ प्राकृतिक समरूपता की ओर जाता है; वे अनगिनत हैं।

एक और उदाहरण। समुच्चय V = $\{ 1, 2, ..., n \}$ पर (सरल) ग्राफ की संरचना कोने को इसके आसन्न आव्युह के माध्यम से वर्णित किया जा सकता है, a (0,1) - आव्युह का आकार n×n (विकर्ण पर शून्य के साथ) प्रदर्शित करता है। अधिक सामान्यतः, इच्छानुसार V के लिए V × V पर आसन्न प्रकार्य का उपयोग किया जा सकता है। विहित तुल्यता नियम द्वारा दी गई है: 1 का अर्थ है जुड़ा हुआ (किनारे के साथ), 0 का अर्थ जुड़ा नहीं है। चूंकि, अन्य नियम, 0 का अर्थ जुड़ा हुआ है, 1 का अर्थ नहीं है, का उपयोग किया जा सकता है, और दूसरे, प्राकृतिक लेकिन विहित नहीं, तुल्यता की ओर ले जाता है। इस उदाहरण में, प्रामाणिकता परंपरा का विषय है। किन्तु यहां तो और भी बुरा स्थिति है। 0 और 1 के स्थान पर, मान लीजिए, समतल 'R2' (क्लॉकवाइज़ और काउंटरक्लॉकवाइज़) के दो संभावित अभिविन्यासों का उपयोग किया जा सकता है। इन स्थितियों में वैधानिक नियम चुनना कठिनाई है।

प्राकृतिक अच्छी तरह से परिभाषित गणितीय धारणा है, किन्तु यह विशिष्टता सुनिश्चित नहीं करती है। कैनोनिकल करता है, किन्तु सामान्यतः कमोबेश पारंपरिक होता है। विहित समकक्षों का सुसंगत विकल्प गणितीय संरचनाओं की समकक्ष परिभाषाओं का अनिवार्य घटक है।

यह भी देखें

 * ठोस श्रेणी
 * शब्दावली का दुरुपयोग # समानता बनाम समरूपता
 * श्रेणियों की समानता

बाहरी संबंध

 * nLab:structured set "Almost everything in contemporary mathematics is an example of a structured set." (quoted from Section "Examples")
 * nLab: structure in model theory
 * nLab: stuff, structure, property
 * MathOverflow: What is the definition of “canonical”? "a rule of thumb: there is a canonical isomorphism between X and Y if and only if you would feel comfortable writing X = Y" (Reid Barton)
 * Abstract Math:Mathematical structures "When you think of a structure it is best to think of it as containing all that information, not just the stuff in the definition" (Charles Wells)
 * MathStackExchange: A pedantic question about defining new structures in a path-independent way `We would continue making statements like, "A topological space is determined by its open sets," but would never make a statement like, "A topological space is an ordered pair $$(X,\mathcal O)$$ such that..."'
 * MathStackExchange: Does there exist another way of obtaining a topological space from a metric space equally deserving of the term “canonical”?