पूरक (समुच्चय सिद्धांत)

समुच्चय सिद्धांत में, समुच्चय A का पूरक, जिसे प्रायः $A^{∁}$ (या $A′$) द्वारा निरूपित किया जाता है, तत्व का समुच्चय $A$ नहीं है. जब ब्रह्माण्ड में सभी समुच्चय, अर्थात विचाराधीन सभी समुच्चय, किसी दिए गए समुच्चय $A$ के तत्व माने जाते हैं, $A$ का पूर्ण पूरक $U$ में तत्वों का समुच्चय है जो  $A$ के अंदर नहीं हैं|

एक समुच्चय $U$ के संबंध में, $A$ के सापेक्ष पूरक है, जिसे $B$ और $A$ के समुच्चय का अंतर भी कहा जाता है $$B \setminus A,$$  $B$ में तत्वों का समुच्चय है जो $A$ के अंदर नहीं हैं |

परिभाषा
यदि $B$ एक समुच्चय है, तो $A$ पूर्ण पूरक तत्वों का समुच्चय है, जो $A$ में नहीं है (एक बड़े समुच्चय के भीतर जो स्पष्ट रूप से परिभाषित है)। दूसरे शब्दों में,$A$ को एक ऐसा समुच्चय होने दें जिसमें अध्ययन के अंतर्गत सभी तत्व सम्मलित हों; यदि $A$ का उल्लेख करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि यह पहले निर्दिष्ट किया गया है, या यह स्पष्ट और अद्वितीय है, तो $U$ का पूर्ण पूरक $U$ में $A$ का सापेक्ष पूरक है : $$A^\complement = U \setminus A.$$ औपचारिक रूप से: $$A^\complement = \{ x \in U : x \notin A \}.$$ $U$ का पूर्ण पूरक सामान्यतः $A^{∁}.$द्वारा निरूपित किया जाता है अन्य नोटेशन में सम्मिलित हैं $$\overline A, A',$$ $$\complement_U A, \text{ और } \complement A.$$

उदाहरण

 * मान लें कि ब्रह्मांड पूर्णांकों का समुच्चय है। यदि $A$ विषम संख्याओं का समुच्चय है, तो $A$ का पूरक सम संख्याओं का समुच्चय है। यदि $A$ 3 गुणक का समुच्चय है, तो $A$ का पूरक 1 या 2 मॉड्यूल 3 में, पूर्णांक जो 3 के गुणक नहीं हैं) के लिए मॉड्यूलर अंकगणितीय संख्याओं का समुच्चय है।
 * मान लें कि ब्रह्मांड मानक 52-कार्ड डेक है। f समुच्चय $B$ हुकुम का सूट है, तो $B$ का पूरक क्लब, हीरे और दिल के सूट का संघ है। यदि समुच्चय $A$ क्लब और हीरे के सूट का मिलन है, फिर $A$ का पूरक दिल और हुकुम के सूट का मिलन है।

गुण
मान लीजिए $B$ तथा $B$ एक ब्रह्मांड $A$ में दो समुच्चय हैं। निम्नलिखित सर्वसमिका निरपेक्ष पूरक के महत्वपूर्ण गुण ग्रहण करती हैं:

डी मॉर्गन के कानून: * $$\left(A \cup B \right)^\complement = A^\complement \cap B^\complement.$$ पूरक कानून: * $$A \cup A^\complement = U.$$
 * $$\left(A \cap B \right)^\complement = A^\complement \cup B^\complement.$$
 * $$A \cap A^\complement = \varnothing .$$
 * $$\varnothing^\complement = U.$$
 * $$ U^\complement = \varnothing.$$
 * $$\text{if }A\subseteq B\text{, then }B^\complement \subseteq A^\complement.$$
 * (यह इसके प्रतिसकारात्मक के साथ एक सशर्त के तुल्यता से अनुसरण करता है)।

समावेशन या दोहरा पूरक कानून: सापेक्ष और पूर्ण पूरक के बीच संबंध: एक समुच्चय अंतर के साथ संबंध: उपरोक्त पहले दो पूरक कानून बताते हैं कि यदि $A$ का एक गैर-खाली, उचित उपसमुच्चय $U$ है, फिर ${A, A^{∁}}|undefined$ के समुच्चय $U$ का विभाजन है.
 * $$\left(A^\complement\right)^\complement = A.$$
 * $$A \setminus B = A \cap B^\complement.$$
 * $$(A \setminus B)^\complement = A^\complement \cup B = A^\complement \cup (B \cap A).$$
 * $$ A^\complement \setminus B^\complement = B \setminus A. $$

परिभाषा
यदि $A$ तथा $B$ समुच्चय हैं, फिर $B$ में $A$ के सापेक्ष पूरक को $B$ और $A$ के समुच्चय अंतर भी कहा जाता है l $B$ में तत्वों का समुच्चय है लेकिन $A$ में नहीं. $B$ में $A$ के सापेक्ष आईएसओ 31-11 मानक के अनुसार $$B \setminus A$$  निरूपित किया जाता है । यह कभी-कभी $$B - A,$$ लिखा जाता है  लेकिन यह अंकन अस्पष्ट है, जैसा कि कुछ संदर्भों में (उदाहरण के लिए, कार्यात्मक विश्लेषण में मिन्कोव्स्की जोड़)इसे सभी तत्वों के सेट के रूप में समझा जा सकता है $$b - a,$$ जहाँ $B$ को $A$ और $b$ को $B$ से लिया गया है.

औपचारिक रूप से: $$B \setminus A = \{ x\in B : x \notin A \}.$$

उदाहरण

 * $$\{ 1, 2, 3\} \setminus \{ 2,3,4\} = \{ 1 \}.$$
 * $$\{ 2, 3, 4 \} \setminus \{ 1,2,3 \} = \{ 4 \} .$$
 * यदि $$\mathbb{R}$$ वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है और $$\mathbb{Q}$$ परिमेय संख्याओं का समुच्चय है तो $$\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$$ अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय है।

गुण
माना $a$, $A$, तथा $A$ तीन समुच्चय हैं। निम्नलिखित पहचान (गणित) सापेक्ष पूरक के उल्लेखनीय गुण प्राप्त करते हैं:


 * $$C \setminus (A \cap B) = (C \setminus A) \cup (C \setminus B).$$
 * $$C \setminus (A \cup B) = (C \setminus A) \cap (C \setminus B).$$
 * $$C \setminus (B \setminus A) = (C \cap A) \cup (C \setminus B),$$
 * *: महत्वपूर्ण विशेष मामले के साथ $$C \setminus (C \setminus A) = (C \cap A)$$ यह दर्शाता है कि प्रतिच्छेदन को केवल सापेक्ष पूरक संक्रिया का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है।
 * $$(B \setminus A) \cap C = (B \cap C) \setminus A = B \cap (C \setminus A).$$
 * $$(B \setminus A) \cup C = (B \cup C) \setminus (A \setminus C).$$
 * $$A \setminus A = \empty.$$
 * $$\empty \setminus A = \empty.$$
 * $$A \setminus \empty = A.$$
 * $$A \setminus U = \empty.$$
 * यदि $$A\subset B$$, फिर $$C\setminus A\supset C\setminus B$$.
 * $$A \supseteq B \setminus C$$ के बराबर है $$C \supseteq B \setminus A$$.

पूरक संबंध
एक द्विआधारी संबंध $$R$$ समुच्चय के उत्पाद के सब समुच्चय $$X \times Y.$$के रूप में परिभाषित किया गया है पूरक संबंध $$\bar{R}$$ का समुच्चय $$R$$ में $$X \times Y.$$पूरक है  संबंध $$R$$ का पूरक लिखा जा सकता है $$\bar{R} \ = \ (X \times Y) \setminus R.$$ यहां, $$R$$ सामान्यतः तत्वों का प्रतिनिधित्व करने वाली पंक्तियों के साथ एक तार्किक मैट्रिक्स के रूप में देखा जाता है $$X,$$ और स्तंभों के तत्व $$Y.$$ का सच $$aRb$$ पंक्ति में 1 से मेल खाता है $$a,$$ कॉलम $$b.$$ के पूरक संबंध का निर्माण $$R$$ फिर पूरक के तार्किक मैट्रिक्स के लिए सभी 1s से 0s, और 0s से 1s स्विच करने के अनुरूप है।

संबंधों की संरचना और विलोम संबंधों के साथ, पूरक संबंध और समुच्चयों का बीजगणित संबंधों की कलन की प्राथमिक संक्रियाएं (गणित) हैं।

लाटेकस नोटेशन
LaTeX टाइपसेटिंग भाषा में, कमांड प्रायः एक समुच्चय डिफरेंशियल सिंबल को रेंडर करने के लिए उपयोग किया जाता है, जो बैकस्लैश सिंबल के समान होता है। जब प्रदान किया गया, तो   आदेश समान दिखता है , अतिरिक्त इसके कि इसमें स्लैश के आगे और पीछे थोड़ी अधिक जगह है, LaTeX अनुक्रम के समान. एक प्रकार  amssymb पैकेज में उपलब्ध है। प्रतीक $$\complement$$ (विरोध के रूप में $$C$$) द्वारा निर्मित है. (यह यूनिकोड प्रतीक ∁ से संबंधित है।)

प्रोग्रामिंग भाषाओं में
कुछ प्रोग्रामिंग भाषाओं में उनके अंतर्निहित डेटा संरचनाओं के बीच समुच्चय होता है। ऐसी डेटा संरचना एक परिमित समुच्चय के रूप में व्यवहार करती है, अर्थात इसमें डेटा की एक सीमित संख्या होती है जो विशेष रूप से आदेशित नहीं होती है, और इस प्रकार इसे एक समुच्चय के तत्व के रूप में माना जा सकता है। कुछ विषयों में, तत्व आवश्यक रूप से भिन्ननहीं होते हैं, और डेटा संरचना समुच्चय के अतिरिक्त बहुत सारे समुच्चय को कोड करती है। इन प्रोग्रामिंग भाषाओं में पूरक और समुच्चय अंतर की गणना के लिए ऑपरेटर या फ़ंक्शन होते हैं।

इन ऑपरेटरों को सामान्यतः उन डेटा संरचनाओं पर भी लागू किया जा सकता है जो वास्तव में गणितीय समुच्चय नहीं हैं, जैसे कि सूची या सरणी डेटा संरचना। यह इस प्रकार है कि कुछ प्रोग्रामिंग भाषाओं में एक फ़ंक्शन हो सकता है जिसे, कहा जाता है  भले ही उनके पास समुच्चय के लिए कोई डेटा संरचना न हो।

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