चिरसम्मत समूह

गणित में, मौलिक समूहों को वास्तविक $R$ पर विशेष रैखिक समूहों के रूप में परिभाषित किया जाता है, जटिल संख्या $C$ और चतुष्कोण $H$ एक साथ सममित या तिरछा-सममित द्विरेखीय रूपों के विशेष ऑटोमोर्फिज़्म समूहों और वास्तविक पर परिभाषित हर्मिटियन या तिरछा-हर्मिटियन सेस्क्विलिनियर रूपों के साथ जटिल और चतुष्कोणीय परिमित-आयामी सदिश रिक्त स्थान इनमें से जटिल मौलिक झूठ समूह झूठ समूहों के चार अनंत वर्ग हैं जो असाधारण समूहों के साथ सरल झूठ समूहों के वर्गीकरण को समाप्त करते हैं। कॉम्पैक्ट मौलिक समूह जटिल मौलिक समूहों के कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप हैं। मौलिक समूहों के परिमित अनुरूप झूठ प्रकार के मौलिक समूह हैं। "मौलिक समूह" शब्द हरमन वेइल द्वारा गढ़ा गया था यह उनके 1939 के मोनोग्राफ मौलिक समूहों का शीर्षक था।

मौलिक समूह रेखीय झूठ समूहों के विषय का सबसे गहरा और सबसे उपयोगी भाग हैं। अधिकांश प्रकार के मौलिक समूह मौलिक और आधुनिक भौतिकी में आवेदन पाते हैं। कुछ उदाहरण निम्नलिखित हैं। घूर्णन समूह $SO(3)$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष और भौतिकी के सभी मूलभूत नियमों की एक समरूपता है, लोरेंत्ज़ समूह $O(3,1)$ विशेष सापेक्षता के दिक्-काल का एक समरूपता समूह है। विशेष एकात्मक समूह $SU(3)$ क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स का समरूपता समूह है और सहानुभूतिपूर्ण समूह $Sp(m)$ हैमिल्टनियन यांत्रिकी और इसके क्वांटम यांत्रिक संस्करणों में अनुप्रयोग पाता है।

मौलिक समूह
मौलिक समूह $R, C$और $H$ पर पूर्ण रूप से सामान्य रैखिक समूह हैं साथ ही नीचे चर्चा की गई गैर-पतित रूपों के ऑटोमोर्फिज्म समूह भी हैं। ये समूह सामान्यतः अतिरिक्त रूप से उन उपसमूहों तक सीमित होते हैं जिनके तत्वों का निर्धारक 1 होता है जिससे उनके केंद्र असतत हों निर्धारक 1 नियम के साथ मौलिक समूह नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध हैं। अगली कड़ी में अधिक व्यापकता के हित में निर्धारक 1 स्थिति का निरन्तर उपयोग नहीं किया जाता है। जटिल मौलिक समूह $SL(n, R)$, $R$ और $SO(n)$. हैं। एक समूह इस आधार से जटिल होता है कि क्या इसका ले बीजगणित जटिल है। वास्तविक मौलिक समूह सभी मौलिक समूहों को संदर्भित करता है क्योंकि कोई भी बीजगणित एक वास्तविक बीजगणित है। कॉम्पैक्ट मौलिक समूह जटिल मौलिक समूहों के कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप हैं। ये बदले में, $SL(n, C)$ $C$ और $SU(n)$ हैं। कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप का एक लक्षण लाई बीजगणित $A_{m}$ के संदर्भ में है। यदि $n = m + 1$, $SL(n, H) =$ का जटिलीकरण, और यदि {exp(X): X ∈ u}} द्वारा उत्पन्न जुड़ा समूह $SU^{∗}(2n)$ संहत है, तो $H$ एक सघन वास्तविक रूप है।

मौलिक समूहों को समान रूप से वास्तविक रूप का उपयोग करके एक अलग विधि से चित्रित किया जा सकता है। मौलिक समूह (यहां निर्धारक 1 स्थिति के साथ किंतु यह आवश्यक नहीं है) निम्नलिखित हैं:


 * जटिल रेखीय बीजगणितीय समूह $Sp(n)$, और $SO(p, q)$ उनके वास्तविक रूपों के साथ।

उदाहरण के लिए, $R$ $S(O(p) × O(q))$ का वास्तविक रूप है, $SO(n, C)$ $C$ का वास्तविक रूप है, और $SO(n)$ इसका वास्तविक रूप है $Sp(n, R)$ निर्धारक 1 स्थिति के बिना विशेष रैखिक समूहों को लक्षण वर्णन में संबंधित सामान्य रैखिक समूहों के साथ बदलें। विचाराधीन बीजगणितीय समूह झूठसमूह हैं, किंतु "वास्तविक रूप" की सही धारणा प्राप्त करने के लिए "बीजगणितीय" योग्यता की आवश्यकता है। समूह हैं किंतु "वास्तविक रूप" की सही धारणा प्राप्त करने के लिए "बीजगणितीय" योग्यता की आवश्यकता है।

बिलिनियर और सेस्क्विलिनियर फॉर्म
मौलिक समूहों को $R$, $U(n)$, और $Sp(n, C)$ पर परिभाषित रूपों के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, जहां $C$ और $Sp(n)$ वास्तविक और जटिल संख्याओं के क्षेत्र हैं। चतुष्कोण $C_{m}$ एक क्षेत्र का गठन नहीं करते हैं क्योंकि गुणन नहीं होता है; वे एक विभाजन वलय या तिरछा क्षेत्र या गैर-विनिमेय क्षेत्र बनाते हैं। चूँकि, आव्यूह क्वाटरनियोनिक समूहों को परिभाषित करना अभी भी संभव है। इस कारण से, सदिश समष्टि $n = 2m$ को नीचे $SU(p, q)$, $C$ और साथ ही $S(U(p) × U(q))$ के ऊपर परिभाषित करने की अनुमति है। $Sp(p, q)$ के स्थिति में, $H$ एक सही सदिश स्थान है, जो कि $Sp(p) × Sp(q)$और $SO^{∗}(2n)$ के लिए बाईं ओर से आव्यूह गुणन के रूप में समूह क्रिया के प्रतिनिधित्व को संभव बनाता है।

$H$ या $SO(2n)$ पर कुछ परिमित-आयामी सही सदिश स्थान पर एक रूप $SL(n, C)$ द्विरेखीय है यदि
 * $$\varphi(x\alpha, y\beta) = \alpha\varphi(x, y)\beta, \quad \forall x,y \in V, \forall \alpha,\beta \in F.$$ और यदि
 * $$\varphi(x_1+x_2,y_1+y_2)=\varphi(x_1,y_1)+\varphi(x_1,y_2)+\varphi(x_2,y_1)+\varphi(x_2,y_2),\quad \forall x_1, x_2, y_1, y_2 \in V. $$

इसे अर्ध-बिलिनियर रूप कहा जाता है यदि
 * $$\varphi(x\alpha, y\beta) = \bar{\alpha}\varphi(x, y)\beta, \quad \forall x,y \in V, \forall \alpha,\beta \in F.$$ और यदि
 * $$\varphi(x_1+x_2,y_1+y_2)=\varphi(x_1,y_1)+\varphi(x_1,y_2)+\varphi(x_2,y_1)+\varphi(x_2,y_2), \quad \forall x_1, x_2, y_1, y_2 \in V. $$

इन सम्मेलनों को चुना जाता है क्योंकि वे सभी स्थिति में काम करते हैं। $SO(n, C)$ का एक ऑटोमोर्फिज्म $Sp(n, C)$ पर रैखिक ऑपरेटरों के सेट में एक नक्शा $SU(n)$ है जैसे कि

φ के सभी ऑटोमोर्फिज़्म का सेट एक समूह बनाता है, इसे φ का ऑटोमोर्फिज़्म समूह कहा जाता है, जिसे ऑट (φ) कहा जाता है। यह मौलिक समूह की प्रारंभिक परिभाषा की ओर जाता है:
 * मौलिक समूह एक ऐसा समूह है जो R, C और H पर परिमित-आयामी सदिश रिक्त स्थान पर बिलिनियर या सेस्क्विलिनियर फॉर्म को संरक्षित करता है।

इस परिभाषा में कुछ अतिरेक है। $SO(n)$ के स्थिति में बिलिनियर सेस्क्विलिनियर के समान है। $Sp(n)$ के स्थिति में गैर-शून्य बिलिनियर रूप नहीं हैं।

सममित, तिरछा-सममित, हर्मिटियन और तिरछा-हर्मिटियन रूप
एक फॉर्म सममित है यदि
 * $$\varphi(x, y) = \varphi(y, x).$$

यह तिरछा-सममित है यदि
 * $$\varphi(x, y) = -\varphi(y, x).$$

यह हर्मिटियन है यदि
 * $$\varphi(x, y) = \overline{\varphi(y, x)}$$

अंत में, यह तिरछा-हर्मिटियन है यदि
 * $$\varphi(x, y) = -\overline{\varphi(y, x)}.$$

एक द्विरेखीय रूप $g$ विशिष्ट रूप से सममित रूप और तिरछा-सममित रूप का योग है। एक परिवर्तन संरक्षण $g = u + iu$ दोनों भागों को अलग-अलग सुरक्षित रखता है। इस प्रकार सममित और तिरछा-सममित रूपों को संरक्षित करने वाले समूहों का अलग-अलग अध्ययन किया जा सकता है। वही प्रयुक्त होता है, यथोचित परिवर्तनों सहित, हर्मिटियन और तिरछा-हर्मिटियन रूपों पर। इस कारण से वर्गीकरण के प्रयोजनों के लिए, केवल विशुद्ध रूप से सममित तिरछा-सममित, हर्मिटियन, या तिरछा-हर्मिटियन रूपों पर विचार किया जाता है। रूपों के सामान्य रूप आधारों के विशिष्ट उपयुक्त विकल्पों के अनुरूप होते हैं। ये निर्देशांक में निम्नलिखित सामान्य रूप देने वाले आधार हैं:
 * $$\begin{align}

\text{Bilinear symmetric form in (pseudo-)orthonormal basis:} \quad \varphi(x, y) ={} &{\pm}\xi_1\eta_1 \pm \xi_2\eta_2 \pm \cdots \pm \xi_n\eta_n, & &(\mathbf R)\\ \text{Bilinear symmetric form in orthonormal basis:} \quad \varphi(x, y) ={} &\xi_1\eta_1 + \xi_2\eta_2 + \cdots + \xi_n\eta_n, & &(\mathbf C)\\ \text{Bilinear skew-symmetric in symplectic basis:} \quad \varphi(x, y) ={} &\xi_1\eta_{m + 1} + \xi_2\eta_{m + 2} + \cdots + \xi_m\eta_{2m = n} \\ &-\xi_{m + 1}\eta_1 - \xi_{m + 2}\eta_2 - \cdots - \xi_{2m = n}\eta_m, & &(\mathbf R, \mathbf C)\\ \text{Sesquilinear Hermitian:} \quad \varphi(x, y) ={} &{\pm}\bar{\xi_1}\eta_1 \pm \bar{\xi_2}\eta_2 \pm \cdots \pm \bar{\xi_n}\eta_n, & &(\mathbf C, \mathbf H)\\ \text{Sesquilinear skew-Hermitian:} \quad \varphi(x, y) ={} &\bar{\xi_1}\mathbf{j}\eta_1 + \bar{\xi_2}\mathbf{j}\eta_2 + \cdots + \bar{\xi_n}\mathbf{j}\eta_n, & &(\mathbf H) \end{align}$$

तिरछा-हर्मिटियन रूप में $u$, $K$ के लिए आधार $K$ में तीसरा आधार तत्व है। इन आधारों के अस्तित्व का प्रमाण और सिल्वेस्टर का जड़त्व का नियम प्लस- और की संख्या की स्वतंत्रता माइनस-साइन, $SL(n, C), SO(n, C)$ और $Sp(n, C)$, सममित और हर्मिटियन रूपों में साथ ही साथ प्रत्येक अभिव्यक्ति में क्षेत्रों की उपस्थिति या अनुपस्थिति रॉसमैन (2002) या गुडमैन एंड वैलाच (2009) में पाई जा सकती है। जोड़ी $SO^{∗}(2n)$, और कभी-कभी $SO(2n, C)$, को प्रपत्र का हस्ताक्षर कहा जाता है।

क्षेत्र $SU(p, q)$ की घटना की व्याख्या: $SL(n, C)$ के ऊपर कोई गैर-तुच्छ द्विरेखीय रूप नहीं हैं। सममित द्विरेखीय स्थिति में केवल $SL(n, H)$ के ऊपर के रूपों पर हस्ताक्षर होते हैं। दूसरे शब्दों में, "हस्ताक्षर" ($SL(2n, C)$) के साथ एक जटिल द्विरेखीय रूप आधार के परिवर्तन से, एक ऐसे रूप में कम किया जा सकता है जहां उपरोक्त अभिव्यक्ति में सभी चिह्न "+" हैं, जबकि वास्तविक स्थिति में यह असंभव है, जिसमें $R^{n}$ इस रूप में रखे जाने पर आधार से स्वतंत्र होता है। चूँकि हर्मिटियन रूपों में जटिल और चतुष्कोणीय स्थिति दोनों में आधार-स्वतंत्र हस्ताक्षर हैं। (वास्तविक स्थिति सममित स्थिति में कम हो जाता है।) एक जटिल सदिश स्थान पर एक तिरछा-हर्मिटियन रूप $$ द्वारा गुणा करके हर्मिटियन प्रदान किया जाता है इसलिए इस स्थिति में केवल $C^{n}$ रौचक है।

ऑटोमोर्फिज्म समूह
प्रथम खंड सामान्य रूपरेखा प्रस्तुत करता है। अन्य खंड गुणात्मक रूप से अलग-अलग स्थिति को समाप्त करते हैं जो $H^{n}$, $R$ और $C$. पर परिमित-आयामी सदिश रिक्त स्थान पर बिलिनियर और सेस्क्विलिनियर रूपों के ऑटोमोर्फिज़्म समूहों के रूप में उत्पन्न होते हैं।

ऑट (φ) - ऑटोमोर्फिज्म समूह
मान लें कि $H$ या $V$ पर परिमित-आयामी सदिश स्थान $R$ पर $C$ एक गैर-पतित रूप है। स्थिति ($i$) के आधार पर ऑटोमोर्फिज़्म समूह को परिभाषित किया गया है, जैसा कि
 * $$\mathrm{Aut}(\varphi) = \{A \in \mathrm{GL}(V) : \varphi(Ax, Ay) = \varphi(x, y), \quad \forall x,y \in V\}.$$
 * प्रत्येक $H$ में $H$ द्वारा परिभाषित एक संलग्न $V$ होता है

स्थिति में इस परिभाषा का उपयोग करना ($$), ऑटोमोर्फिज्म समूह द्वारा दिया गया देखा जाता है

$R$ के लिए एक आधार तय करें। इस आधार के संदर्भ में
 * $$\varphi(x, y) = \sum \xi_i\varphi_{ij}\eta_j$$

जहां $C$ $F = R, C$ के घटक हैं। यह बिलिनियर रूपों के लिए उपयुक्त है। सेस्क्विलिनियर रूपों में समान भाव होते हैं और बाद में अलग से व्यवहार किया जाता है। आव्यूह नोटेशन में कोई पाता है
 * $$\varphi(x, y) = x^{\mathrm T}\Phi y$$

और

($$) से जहां $H$ आव्यूह $φ: V × V → F$ है। गैर-अपकर्ष स्थिति का ठीक-ठीक अर्थ है कि $φ$ व्युत्क्रमणीय है इसलिए संलग्न सदैव उपस्थित रहता है। $V$ इसके साथ व्यक्त हो जाता है
 * $$\operatorname{Aut}(\varphi) = \left\{A \in \operatorname{GL}(V): \Phi^{-1}A^\mathrm{T}\Phi A = 1\right\}.$$

ऑटोमोर्फिज्म समूहों के झूठ बीजगणित ऑट (φ) को तुरंत लिखा जा सकता है। संक्षेप में, $Α$ यदि और केवल यदि
 * $$(e^{tX})^\varphi e^{tX} = 1$$

सभी के लिए $F = R$, में स्थिति के अनुरूप ($$) झूठ बीजगणित के घातीय मानचित्र (झूठे सिद्धांत) के तहत, जिससे
 * $$\mathfrak{aut}(\varphi) = \left\{X \in M_n(V): X^\varphi = -X\right\},$$

या एक आधार में

जैसा कि एक्सपोनेंशियल मैपिंग की शक्ति श्रृंखला विस्तार और सम्मिलित संचालन की रैखिकता का उपयोग करके देखा जाता है। विलोमतः, मान लीजिए कि $F = H$ फिर, उपरोक्त परिणाम का उपयोग करते हुए, $φ$ इस प्रकार झूठ बीजगणित को बिना किसी आधार, या आसन्न के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है
 * $$\mathfrak{aut}(\varphi) = \{X \in M_n(V): \varphi(Xx, y) = -\varphi(x, Xy),\quad \forall x,y \in V\}.$$

नीचे प्रत्येक मौलिक समूह के लिए $φ$ का सामान्य रूप दिया जाएगा। उस सामान्य रूप से आव्यूह Φ को सीधे पढ़ा जा सकता है। परिणाम स्वरुप सूत्र ($$) और ($$) का उपयोग करके आसन्न और झूठ बीजगणित के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त की जा सकती है। यह अधिकांश गैर-तुच्छ स्थिति में नीचे प्रदर्शित किया गया है।

बिलिनियर केस
जब रूप सममित होता है, तो $j$ को $H$ कहा जाता है। जब यह तिरछा-सममित होता है तो $(1, i, j, k)$ को $p$ कहा जाता है। यह वास्तविक और जटिल स्थितियों पर प्रयुक्त होता है। क्वाटरनियोनिक केस खाली है क्योंकि क्वाटरनियोनिक सदिश रिक्त स्थान पर कोई शून्येतर बिलिनियर फॉर्म उपस्थित नहीं है।

असली स्थिति
वास्तविक स्थिति दो स्थिति में विभाजित होता है, सममित और विषम रूप जिन्हें अलग-अलग व्यवहार किया जाना चाहिए।

O(p, q) और O(n) - ऑर्थोगोनल समूह
यदि $q$ सममित है और सदिश स्थान वास्तविक है, एक आधार चुना जा सकता है जिससे
 * $$\varphi(x, y) = \pm \xi_1\eta_1 \pm \xi_2\eta_2 \cdots \pm \xi_n\eta_n.$$

प्लस और माइनस-साइन की संख्या विशेष आधार से स्वतंत्र है। स्थिति में $(p, q)$, $p − q$ लिखता है जहां $R, C, H$ प्लस संकेतों की संख्या है और $H$ ऋण-चिह्नों की संख्या है, $R$ यदि $(p, q)$ संकेतन $p − q$ है। इस स्थिति में आव्यूह $H$ है
 * $$\Phi = \left(\begin{matrix}I_p & 0 \\0 & -I_q\end{matrix}\right) \equiv I_{p,q}$$

यदि आवश्यक हो तो आधार को पुनर्व्यवस्थित करने के बाद आसन्न ऑपरेशन ($$) तो बन जाता है
 * $$A^\varphi = \left(\begin{matrix}I_p & 0 \\0 & -I_q\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}A_{11} & \cdots \\\cdots & A_{nn}\end{matrix}\right)^{\mathrm{T}} \left(\begin{matrix}I_p & 0 \\0 & -I_q\end{matrix}\right),$$

जो $R$ या $C$ के 0 होने पर सामान्य स्थानान्तरण को कम कर देता है। झूठा बीजगणित समीकरण ($$) और एक उपयुक्त अन्सत्ज़ का उपयोग करके पाया जाता है (यह नीचे $H$ के स्थिति के लिए विस्तृत है)
 * $$\mathfrak{o}(p, q) = \left\{\left .\left(\begin{matrix}X_{p \times p} & Y_{p \times q} \\ Y^{\mathrm{T}} & W_{q \times q}\end{matrix}\right)\right| X^{\mathrm T} = -X,\quad W^{\mathrm T} = -W\right\},$$

और समूह के अनुसार ($$) द्वारा दिया गया है
 * $$\mathrm{O}(p, q) = \{g \in \mathrm{GL}(n, \mathbb{R})|I_{p,q}^{-1}g^{\mathrm{T}}I_{p,q}g = I\}.$$

समूह $R, C$ और $H$ मानचित्र के माध्यम से आइसोमॉर्फिक हैं
 * $$\mathrm{O}(p, q) \rightarrow \mathrm{O}(q, p), \quad g \rightarrow \sigma g \sigma^{-1}, \quad \sigma = \left[\begin{smallmatrix}0 & 0 & \cdots & 1\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\0 & 1 & \cdots & 0\\1 & 0 & \cdots & 0 \end{smallmatrix}\right].$$

उदाहरण के लिए, लोरेंत्ज़ समूह के झूठ बीजगणित को इस रूप में लिखा जा सकता है
 * $$\mathfrak{o}(3, 1) = \mathrm{span} \left\{

\left( \begin{smallmatrix}0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0 \end{smallmatrix} \right), \left( \begin{smallmatrix}0&0&-1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0 \end{smallmatrix} \right), \left( \begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&0 \end{smallmatrix} \right), \left( \begin{smallmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0 \end{smallmatrix} \right), \left( \begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&1&0&0 \end{smallmatrix} \right), \left( \begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0 \end{smallmatrix} \right) \right\}.$$ स्वाभाविक रूप से, पुनर्व्यवस्थित करना संभव है जिससे $V$-ब्लॉक ऊपरी बाएँ (या कोई अन्य ब्लॉक) है। यहां समय घटक एक भौतिक व्याख्या में चौथे समन्वय के रूप में समाप्त होता है, न कि पहले जैसा कि अधिक सामान्य हो सकता है।

Sp(m, R) - वास्तविक सहानुभूतिपूर्ण समूह
यदि $φ$ तिरछा-सममित है और सदिश स्थान वास्तविक है, एक आधार दे रहा है
 * $$\varphi(x, y) = \xi_1\eta_{m + 1} + \xi_2\eta_{m + 2} \cdots + \xi_m\eta_{2m = n} - \xi_{m + 1}\eta_1 - \xi_{m + 2}\eta_2 \cdots - \xi_{2m = n}\eta_m,$$

जहाँ $A ∈ M_{n}(V)$. के लिए $φ$ कोई लिखता है $A^{φ}$ यदि $V$ कोई लिखता है $ξ_{i}, η_{j}$ या $x, y$. सामान्य रूप से कोई पढ़ता है
 * $$\Phi = \left(\begin{matrix}0_m & I_m \\ -I_m & 0_m\end{matrix}\right) = J_m.$$

दृष्टिकोण बनाकर
 * $$V = \left(\begin{matrix}X & Y \\ Z & W\end{matrix}\right),$$

जहाँ $Φ$ हैं $(φ_{ij})$-आयामी आव्यूह और विचार ($$),
 * $$\left(\begin{matrix}0_m & -I_m \\ I_m & 0_m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X & Y \\ Z & W\end{matrix}\right)^{\mathrm T}\left(\begin{matrix}0_m & I_m \\ -I_m & 0_m\end{matrix}\right) = -\left(\begin{matrix}X & Y \\ Z & W\end{matrix}\right)$$

$Φ$ का झूठा बीजगणित मिलता है,


 * $$\mathfrak{sp}(m, \mathbb{R}) = \{X \in M_n(\mathbb{R}): J_mX + X^{\mathrm T}J_m = 0\} = \left\{\left .\left(\begin{matrix}X & Y \\ Z & -X^{\mathrm T}\end{matrix}\right)\right| Y^{\mathrm T} = Y, Z^{\mathrm T} = Z\right\},$$

और समूह द्वारा दिया गया है
 * $$\mathrm{Sp}(m, \mathbb{R}) = \{g \in M_n(\mathbb{R})|g^{\mathrm{T}}J_mg = J_m\}.$$

जटिल स्थिति
वास्तविक स्थिति की तरह, दो स्थिति हैं सममित और एंटीसिमेट्रिक स्थिति है कि प्रत्येक मौलिक समूहों के एक वर्ग का उत्पादन करता है।

हे (एन, सी) - जटिल ओर्थोगोनल समूह
यदि स्थिति $Aut(φ)$ सममित है और सदिश स्थान जटिल है एक आधार है
 * $$\varphi(x, y) = \xi_1\eta_1 + \xi_1\eta_1 \cdots + \xi_n\eta_n$$

केवल प्लस-साइन के साथ ही उपयोग किया जा सकता है। ऑटोमोर्फिज्म समूह $X ∈ aut(φ)$ के स्थिति में है जिसे $t$ कहा जाता है। असत्य बीजगणित बस उसी का एक विशेष स्थिति $X ∈ aut(φ)$ के लिए है,
 * $$\mathfrak{o}(n, \mathbb{C}) = \mathfrak{so}(n, \mathbb{C}) = \{X|X^{\mathrm{T}} = -X\},$$

और समूह द्वारा दिया गया है
 * $$\mathrm{O}(n, \mathbb{C}) = \{g|g^{\mathrm{T}}g = I_n\}.$$

सरल लाई बीजगणित के वर्गीकरण के संदर्भ में, $φ(Xx, y) = φ(x, X^{φ}y) = −φ(x, Xy)$ को दो वर्गों में विभाजित किया जाता है, रूट प्रणाली $φ$ के साथ $Aut(φ)$ विषम और रूट प्रणाली $O(φ)$ के साथ $Aut(φ)$ भी है ।

Sp(m, C) - जटिल सहानुभूतिपूर्ण समूह
के लिए $Sp(φ)$ तिरछा-सममित और सदिश अंतरिक्ष परिसर, एक ही सूत्र,
 * $$\varphi(x, y) = \xi_1\eta_{m + 1} + \xi_2\eta_{m + 2} \cdots + \xi_m\eta_{2m = n} - \xi_{m + 1}\eta_1 - \xi_{m + 2}\eta_2 \cdots - \xi_{2m = n}\eta_m,$$

वास्तविक स्थिति की तरह प्रयुक्त होता है। $φ$ के लिए हम $V = R^{n}$ लिखते हैं। स्थिति में $$V = \mathbb{C}^n =  \mathbb{C}^{2m}$$ कोई व्यक्ति $O(φ) = O(p, q)$ या $p$ लिखता है ). ले बीजगणित $q$ के समानांतर है,
 * $$\mathfrak{sp}(m, \mathbb{C}) = \{X \in M_n(\mathbb{C}): J_mX + X^{\mathrm T}J_m = 0\} =\left\{\left .\left(\begin{matrix}X & Y \\ Z & -X^{\mathrm T}\end{matrix}\right)\right| Y^{\mathrm T} = Y, Z^{\mathrm T} = Z\right\},$$

और समूह द्वारा दिया गया है
 * $$\mathrm{Sp}(m, \mathbb{C}) = \{g \in M_n(\mathbb{C})|g^{\mathrm{T}}J_mg = J_m\}.$$

सेस्क्विलिनियर केस
सेस्क्विलिनियर स्थिति में, एक आधार के रूप में फॉर्म के लिए थोड़ा अलग दृष्टिकोण बनाता है,
 * $$\varphi(x, y) = \sum \bar{\xi}_i\varphi_{ij}\eta_j.$$

संशोधित होने वाले अन्य भाव हैं
 * $$\varphi(x, y) = x^*\Phi y, \qquad A^\varphi = \Phi^{-1}A^*\Phi,$$
 * $$\operatorname{Aut}(\varphi) = \{A \in \operatorname{GL}(V): \Phi^{-1}A^*\Phi A = 1\},$$

वास्तविक स्थिति निश्चित रूप से, कुछ भी नया नहीं देता है। जटिल और चतुर्धातुक स्थिति पर नीचे विचार किया जाएगा।

जटिल स्थिति
गुणात्मक दृष्टिकोण से, तिरछा-हर्मिटियन रूपों (समरूपता तक) पर विचार कोई नया समूह प्रदान नहीं करता है; $p + q = n$ द्वारा गुणा करने से एक तिरछा-हर्मिटियन रूप हर्मिटियन बनता है, और इसके विपरीत इस प्रकार केवल हर्मिटियन स्थिति पर विचार करने की आवश्यकता है।

यू (पी, क्यू) और यू (एन) - एकात्मक समूह
एक गैर-पतित हेर्मिटियन रूप का सामान्य रूप है
 * $$\varphi(x, y) = \pm \bar{\xi_1}\eta_1 \pm \bar{\xi_2}\eta_2 \cdots \pm \bar{\xi_n}\eta_n.$$

बिलिनियर मामले में, हस्ताक्षर (p, q) आधार से स्वतंत्र है। ऑटोमोर्फिज्म समूह को $q = 0$, या,$O(n)$, $Φ$ के मामले में निरूपित किया जाता है। यदि $p$ अंकन $q$ है। इस स्थिति में, $Sp(m, R)$ रूप लेता है
 * $$\Phi = \left(\begin{matrix}1_p & 0\\0 & -1_q\end{matrix}\right) = I_{p,q},$$

और झूठ बीजगणित द्वारा दिया गया है
 * $$\mathfrak{u}(p, q) = \left\{ \left. \left( \begin{matrix} X_{p \times p} & Z_{p \times q} \\ {\overline{Z_{p \times q}}}^{\mathrm{T}} & Y_{q \times q} \end{matrix}\right) \right| {\overline{X}}^{\mathrm T} = -X, \quad {\overline{Y}}^{\mathrm T} = -Y \right\} .$$

समूह द्वारा दिया गया है
 * $$\mathrm{U}(p, q) = \{g|I_{p,q}^{-1}g^*I_{p,q}g = I\}.$$
 * जहाँ g एक सामान्य n x n जटिल आव्यूह है और $$g^{*}$$ को g के संयुग्मी स्थानांतरण के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसे भौतिक विज्ञानी $$g^{\dagger}$$ कहते हैं।

तुलना के रूप में, एक एकात्मक आव्यूह U(n) को इस रूप में परिभाषित किया गया है

$$\mathrm{U}(n) = \{g|g^*g = I\}.$$

हमने ध्यान दिया कि $$\mathrm{U}(n)$$ वैसा ही है जैसा कि $$\mathrm{U}(n,0)$$

चतुर्धातुक स्थिति
अंतरिक्ष $O(p, q)$ को एक सही सदिश स्थान के रूप में माना जाता है $O(q, p)$. इस तरह, $q$ चतुष्कोण के लिए $φ$, एक चतुष्कोणीय स्तंभ सदिश $n = 2m$ और चतुष्कोणीय आव्यूह $Aut(φ)$. यदि $Sp(φ) = Sp(V)$ बायाँ सदिश स्थान था $V = R^{n} = R^{2m}$, तो रैखिकता बनाए रखने के लिए दाईं ओर से पंक्ति सदिशों पर आव्यूह गुणन की आवश्यकता होगी। जब एक आधार दिया जाता है, जो स्तम्भ सदिश पर बाईं ओर से आव्यूह गुणन होता है, तो यह एक सदिश स्थान पर एक समूह के सामान्य रैखिक संचालन के अनुरूप नहीं होता है। इस प्रकार $Sp(m, R)$ इसके बाद एक सही सदिश समष्टि है $Sp(2m, R)$. फिर भी, गैर-विनिमेय प्रकृति के कारण सावधानी बरतनी चाहिए $X, Y, Z, W$. (अधिकत्तर स्पष्ट) विवरण छोड़ दिए जाते हैं क्योंकि जटिल अभ्यावेदन का उपयोग किया जाएगा।

चतुष्कोणीय समूहों के साथ व्यवहार करते समय जटिल 2×2-मैट्रिसेस का उपयोग करके चतुष्कोणों का प्रतिनिधित्व करना सुविधाजनक होता है,

इस प्रतिनिधित्व के साथ, चतुष्कोणीय गुणन आव्यूह गुणन बन जाता है और चतुष्कोणीय संयुग्मन हर्मिटियन आसन्न बन जाता है। इसके अतिरिक्त एक चतुर्धातुक जटिल एन्कोडिंग के अनुसार $m$ स्तम्भ सदिश के रूप में दिया गया है $Sp(m, R)$, फिर बायीं ओर से क्वाटरनियन के आव्यूह प्रतिनिधित्व द्वारा गुणा करने से सही क्वाटरनियन का प्रतिनिधित्व करने वाला एक नया स्तम्भ सदिश उत्पन्न होता है। यह प्रतिनिधित्व चतुष्कोणीय लेख में पाए जाने वाले अधिक सामान्य प्रतिनिधित्व से थोड़ा अलग है। अधिक सामान्य सम्मेलन एक ही चीज़ को प्राप्त करने के लिए पंक्ति आव्यूह पर दाईं ओर से गुणन को बाध्य करेगा।

संयोग से, उपरोक्त प्रतिनिधित्व यह स्पष्ट करता है कि इकाई चतुष्कोणों का समूह ($φ$) $V = C^{n}$ समरूप  है.

क्वाटरनियोनिक $O(n, C)$-मैट्रिसेस, स्पष्ट विस्तार द्वारा जटिल संख्याओं के $o(p, q)$ ब्लॉक-मैट्रिसेस द्वारा प्रदर्शित किए जा सकते हैं। यदि कोई उपरोक्त एन्कोडिंग के अनुसार जटिल संख्याओं के साथ 2n×1 स्तम्भ सदिश द्वारा क्वाटरनियोनिक n×1 स्तम्भ सदिश का प्रतिनिधित्व करने के लिए सहमत है, ऊपरी $so(n)$ संख्या $B_{n}$ और निचला $n$ $D_{n}$ है, तो एक क्वाटरनियोनिक $n$ -आव्यूह ऊपर दिए गए फॉर्म का एक जटिल $φ$आव्यूह बन जाता है किंतु अब α और β $Aut(φ)$-मैट्रिसेस के साथ। अधिक औपचारिक रूप से है

एक आव्यूह $Sp(φ) = Sp(V)$ में ($$) प्रपत्र प्रदर्शित किया गया है यदि और केवल यदि $Sp(m, $\mathbb{C}$)$. इन पहचानों से,
 * $$\mathbb{H}^n \approx \mathbb{C}^{2n}, M_n(\mathbb{H}) \approx \left\{\left .T \in M_{2n}(\mathbb{C})\right|J_nT = \overline{T}J_n, \quad J_n = \left(\begin{matrix}0 & I_n\\-I_n & 0\end{matrix}\right) \right\}.$$

स्थान $Sp(2m, $\mathbb{C}$)$ एक वास्तविक बीजगणित है, किंतु यह $sp(m, $\mathbb{R}$)$की जटिल उपसमष्टि नहीं है। $i$ में $U(V)$ द्वारा प्रवेश-वार क्वाटरनियोनिक गुणन का उपयोग करके (बाएं से) गुणा करना और फिर $V = C^{n}$ में छवि के लिए मानचित्रण करना सीधे $V = C^{n}$ में $q = 0$ द्वारा प्रवेश-वार गुणा करने की तुलना में एक अलग परिणाम देता है। चतुष्कोणीय गुणन नियम $U(n)$) देते हैं जहां नए $Φ$ और $H^{n}$ कोष्ठक के अंदर हैं।

क्वाटरनियोनिक सदिशों पर क्वाटरनियोनिक आव्यूहों की कार्रवाई अब जटिल मात्राओं द्वारा दर्शायी जाती है, किंतु अन्यथा यह "साधारण" आव्यूहों और सदिशों के समान है। क्वाटरनियोनिक समूह इस प्रकार $H$ में सन्निहित हैं जहाँ $A(vh) = (Av)h$ क्वाटरनियोनिक मैट्रिसेस का आयाम है।

क्वाटरनियोनिक आव्यूह के निर्धारक को इस प्रतिनिधित्व में इसके प्रतिनिधि आव्यूह के सामान्य जटिल निर्धारक के रूप में परिभाषित किया गया है। क्वाटरनियोनिक गुणन की गैर-कम्यूटेटिव प्रकृति, मेट्रिसेस के क्वाटरनियोनिक प्रतिनिधित्व में अस्पष्ट होगी। जिस तरह से $h$ $v$ में एम्बेड किया गया है वह अद्वितीय नहीं है, किंतु ऐसे सभी एम्बेडिंग $A$ के माध्यम से संबंधित हैं, $H^{n}$ के लिए, छोड़कर निर्धारक अप्रभावित। इस जटिल आड़ में $H$ का नाम $V$ है।

$H$ के स्थिति में विरोध के रूप में, हर्मिटियन और तिरछा-हर्मिटियन दोनों स्थिति $H$ पर विचार करते समय कुछ नया लाते हैं, इसलिए इन स्थिति को अलग से माना जाता है।

GL(n, H) और SL(n, H)
उपरोक्त पहचान के तहत,
 * $$\mathrm{GL}(n, \mathbb{H}) = \{g \in \mathrm{GL}(2n, \mathbb{C})|Jg = \overline{g}J, \mathrm{det}\quad g \ne 0\} \equiv \mathrm{U}^*(2n).$$

इसका झूठा बीजगणित $q = x + jy$ उपरोक्त के मानचित्रण Mn(H) ↔ M2n(C) की छवि में सभी आव्यूह का सेट है,
 * $$\mathfrak{gl}(n, \mathbb{H}) = \left\{\left .\left(\begin{matrix}X & -\overline{Y}\\Y & \overline{X}\end{matrix}\right)\right|X, Y \in \mathfrak{gl}(n, \mathbb{C})\right\} \equiv \mathfrak{u}^*(2n).$$

क्वाटरनियोनिक विशेष रैखिक समूह द्वारा दिया गया है
 * $$\mathrm{SL}(n, \mathbb{H}) = \{g \in \mathrm{GL}(n, \mathbb{H})|\mathrm{det}\ g = 1\} \equiv \mathrm{SU}^*(2n),$$

जहां $(x, y)^{T}$ में आव्यूह पर निर्धारक लिया जाता है। वैकल्पिक रूप से, इसे डाइयूडोने निर्धारक $$\mathrm{GL}(n, \mathbb{H}) \rightarrow \mathbb H^*/[\mathbb H^*, \mathbb H^*] \simeq \mathbb{R}_{> 0}^*$$ के कर्नेल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। झूठ बीजगणित है
 * $$\mathfrak{sl}(n, \mathbb{H}) = \left\{\left .\left(\begin{matrix}X & -\overline{Y}\\Y & \overline{X}\end{matrix}\right)\right|Re(\operatorname{Tr}X) = 0\right\} \equiv \mathfrak{su}^*(2n).$$

Sp(p, q) - चतुष्कोणीय एकात्मक समूह
जैसा कि ऊपर जटिल स्थिति में, सामान्य रूप है
 * $$\varphi(x, y) = \pm \bar{\xi_1}\eta_1 \pm \bar{\xi_2}\eta_2 \cdots \pm \bar{\xi_n}\eta_n$$

और प्लस-साइन की संख्या आधार से स्वतंत्र है। जब इस रूप में $α\overline{α} + β\overline{β} = 1 = det Q$, $SU(2)$. संकेतन का कारण यह है कि उपरोक्त नुस्खा का उपयोग करते हुए समूह का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, $n×n$ के एक उपसमूह के रूप में हस्ताक्षर के एक जटिल-हर्मिटियन रूप को संरक्षित करते हुए $2n×2n$ यदि $n$ या $α_{i}$ समूह को $n$ दर्शाया गया है। इसे कभी-कभी अतिसक्रिय समूह कहा जाता है।

चतुर्धातुक संकेतन में,
 * $$\Phi = \begin{pmatrix} I_p & 0 \\ 0 & -I_q \end{pmatrix} = I_{p,q}$$

जिसका अर्थ है कि फॉर्म के क्वाटरनियोनिक मैट्रिसेस

संतुष्ट करेगा
 * $$\Phi^{-1}\mathcal{Q}^*\Phi = -\mathcal{Q},$$

$β_{i}$ के बारे में अनुभाग देखें। क्वाटरनियोनिक आव्यूह गुणन से निपटने के समय सावधानी बरतने की जरूरत है, किंतु यहां केवल $n×n$ और $2n×2n$ ही सम्मिलित हैं और ये प्रत्येक क्वाटरनियन आव्यूह के साथ आवागमन करते हैं। अब नुस्खे ($$) को प्रत्येक ब्लॉक पर प्रयुक्त करें,

\mathcal{X} = \begin{pmatrix} X_{1 (p \times p)} & -\overline{X}_2 \\ X_2 & \overline{X}_1 \end{pmatrix}, \quad \mathcal{Y} = \begin{pmatrix} Y_{1 (q \times q)} & -\overline{Y}_2 \\ Y_2 & \overline{Y}_1 \end{pmatrix}, \quad \mathcal{Z} = \begin{pmatrix} Z_{1 (p \times q)} & -\overline{Z}_2 \\ Z_2 & \overline{Z}_1 \end{pmatrix}, $$ और संबंधों में ($$) संतुष्ट हो जाएगा यदि
 * $$X_1^* = -X_1, \quad Y_1^* = -Y_1.$$

झूठ बीजगणित बन जाता है

\mathfrak{sp}(p, q) = \left\{\left. \begin{pmatrix} \begin{bmatrix} X_{1 (p \times p)} & -\overline{X}_2 \\ X_2 & \overline{X}_1 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} Z_{1 (p \times q)} & -\overline{Z}_2 \\ Z_2 & \overline{Z}_1 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} Z_{1 (p \times q)} & -\overline{Z}_2 \\ Z_2 & \overline{Z}_1 \end{bmatrix}^* & \begin{bmatrix} Y_{1 (q \times q)} & -\overline{Y}_2 \\ Y_2 & \overline{Y}_1 \end{bmatrix} \end{pmatrix} \right| X_1^* = -X_1,\quad Y_1^* = -Y_1 \right\}. $$ समूह द्वारा दिया गया है

\mathrm{Sp}(p, q) = \left\{g \in \mathrm{GL}( n, \mathbb{H}) \mid I_{p,q}^{-1} g^* I_{p,q}g = I_{p + q}\right\} = \left\{g \in \mathrm{GL}(2n, \mathbb{C}) \mid K_{p,q}^{-1} g^* K_{p,q}g = I_{2(p + q)},\quad K = \operatorname{diag}\left(I_{p,q}, I_{p,q}\right)\right\}. $$ $n×n$ के लिए $T ∈ GL(2n, C)$ के सामान्य रूप पर लौटते हुए, $J_{n}\overline{T} = TJ_{n}$ और $M_{n}(H) ⊂ M_{2n}(C)$ को $M_{2n}(C)$ से प्रतिस्थापित करें। तब

\varphi(w, z) = \begin{bmatrix} u^* & v^* \end{bmatrix}K_{p, q}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + j\begin{bmatrix} u & -v \end{bmatrix}K_{p, q}\begin{bmatrix} y \\ x \end{bmatrix} = \varphi_1(w, z) + \mathbf{j}\varphi_2(w, z), \quad K_{p, q} = \mathrm{diag}\left(I_{p, q}, I_{p, q}\right) $$ $M_{n}(H)$ पर $i$-वैल्यू फॉर्म के रूप में देखा जाता है। इस प्रकार $M_{2n}(C)$ के तत्व, $M_{2n}(C)$ के रैखिक परिवर्तनों के रूप में देखे जाते हैं हस्ताक्षर के हर्मिटियन रूप $i$ और एक गैर-पतित तिरछा-सममित रूप दोनों को संरक्षित करते हैं। दोनों रूप विशुद्ध रूप से जटिल मान लेते हैं और दूसरे रूप के $i(X + jY) = (iX) + j(−iY)$ के पूर्ववर्ती होने के कारण वे अलग-अलग संरक्षित होते हैं। इस का अर्थ है कि
 * $$\mathrm{Sp}(p, q) = \mathrm{U}\left(\mathbb{C}^{2n}, \varphi_1\right) \cap \mathrm{Sp}\left(\mathbb{C}^{2n}, \varphi_2\right)$$

और यह समूह के नाम और अंकन दोनों की व्याख्या करता है।

O∗(2n) = O(n, H)- क्वाटरनियोनिक ऑर्थोगोनल समूह
तिरछा-हर्मिटियन रूप के लिए सामान्य रूप किसके द्वारा दिया जाता है
 * $$\varphi(x, y) = \bar{\xi_1}\mathbf{j}\eta_1 + \bar{\xi_2}\mathbf{j}\eta_2 \cdots + \bar{\xi_n}\mathbf{j}\eta_n,$$

जहाँ $X$ क्रमित सूची $Y$ में तीसरा आधार चतुर्धातुक है। इस स्थिति में, $M_{2n}(C)$ को $n$ के एक उपसमूह के रूप में ऊपर के जटिल आव्यूह एन्कोडिंग का उपयोग करके अनुभव किया जा सकता है जो हस्ताक्षर के एक गैर-पतित जटिल तिरछा-हर्मिटियन रूप को संरक्षित करता है $M_{n}(H)$ सामान्य रूप से कोई देखता है कि चतुष्कोणीय संकेतन में
 * $$\Phi =

\left(\begin{smallmatrix}   \mathbf{j} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \mathbf{j} & \cdots & \vdots \\    \vdots & & \ddots & & \\ 0 & \cdots & 0 & \mathbf{j}  \end{smallmatrix}\right) \equiv \mathrm{j}_n $$ और से ($$) उसका अनुसरण करता है

$M_{2n}(C)$ के लिए अब डालो
 * $$V = X + \mathbf{j}Y \leftrightarrow \left(\begin{matrix} X & -\overline{Y}\\Y & \overline{X} \end{matrix}\right)$$

नुस्खे के अनुसार ($$) $g ↦ AgA^{−1}, g ∈ GL(2n, C)$ के लिए एक ही नुस्खे की उपज होती है,
 * $$\Phi \leftrightarrow \left(\begin{matrix} 0 & -I_n \\ I_n & 0 \end{matrix}\right) \equiv J_{n}.$$

अब अंतिम नियम में ($$) जटिल संकेतन में पढ़ता है

\left(\begin{matrix} X & -\overline{Y} \\ Y & \overline{X} \end{matrix}\right)^* = \left(\begin{matrix} 0 & -I_n \\ I_n & 0 \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} X & -\overline{Y} \\ Y & \overline{X} \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 0 & -I_n \\ I_n & 0 \end{matrix}\right) \Leftrightarrow X^\mathrm{T} = -X, \quad \overline{Y}^\mathrm{T} = Y. $$ झूठ बीजगणित बन जाता है
 * $$\mathfrak{o}^*(2n) = \left\{\left. \left(\begin{matrix} X & -\overline{Y} \\ Y & \overline{X} \end{matrix}\right)\right| X^\mathrm{T} = -X, \quad \overline{Y}^\mathrm{T} = Y\right\},$$

और समूह द्वारा दिया गया है

\mathrm{O}^*(2n) = \left\{g \in \mathrm{GL}(n, \mathbb{H}) \mid \mathrm{j}_n^{-1}g^*\mathrm{j}_n g = I_n\right\} = \left\{g \in \mathrm{GL}(2n, \mathbb{C}) \mid J_{n}^{-1}g^* J_n g = I_{2n}\right\}. $$ समूह $A ∈ O(2n, C)$ के रूप में वर्णित किया जा सकता है
 * $$\mathrm{O}^*(2n) = \left\{g \in \mathrm{O}(2n, \mathbb{C}) \mid \theta\left(\overline{g}\right) = g\right\},$$

जहाँ मानचित्र $SL(n, H)$ को $SU^{∗}(2n)$ द्वारा परिभाषित किया गया है।

साथ ही, समूह का निर्धारण करने वाले फॉर्म को $C$ पर $H$-मूल्यवान रूप के रूप में देखा जा सकता है। फॉर्म के व्यंजक में $gl(n, H)$ और $C^{2n}$ को प्रतिस्थापित करें तब
 * $$\varphi(x, y) = \overline{w}_2 I_n z_1 - \overline{w}_1 I_n z_2 + \mathbf{j}(w_1 I_n z_1 + w_2 I_n z_2) = \overline{\varphi_1(w, z)} + \mathbf{j}\varphi_2(w, z).$$
 * फॉर्म $V = H^{n}$ हस्ताक्षर $Sp(φ) = Sp(p, q)$ का हर्मिटियन है (जबकि बाईं ओर का पहला फॉर्म तिरछा-हर्मिटियन है)। हस्ताक्षर को $Sp(n, C)$ से $(2p, 2q)$ के आधार में परिवर्तन से स्पष्ट किया जाता है, जहां $p$ क्रमशः पहले और अंतिम $q = 0$ आधार सदिश हैं। दूसरा रूप, $U(n, H)$ सममित सकारात्मक निश्चित है। इस प्रकार, कारक $u(p, q)$ के कारण, $I$ दोनों को अलग-अलग संरक्षित करता है और यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है
 * $$\mathrm{O}^*(2n) = \mathrm{O}(2n, \mathbb{C}) \cap \mathrm{U}\left(\mathbb{C}^{2n}, \varphi_1\right),$$

और अंकन ओ समझाया गया है।

सामान्य क्षेत्रों या बीजगणित पर मौलिक समूह
मौलिक समूह अधिक व्यापक रूप से बीजगणित में माने जाते हैं, विशेष रूप से रौचक आव्यूह समूह प्रदान करते हैं। जब आव्यूह समूह के गुणांकों का क्षेत्र (गणित) F या तो वास्तविक संख्या या सम्मिश्र संख्या है तो ये समूह केवल मौलिक लाई समूह होते हैं। जब जमीनी क्षेत्र एक परिमित क्षेत्र होता है तो मौलिक समूह लाई प्रकार के समूह होते हैं। ये समूह परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। साथ ही कोई मौलिक समूहों को एफ पर एकात्मक सहयोगी बीजगणित R पर विचार कर सकता है; जहाँ R = H (वास्तविकता पर एक बीजगणित) एक महत्वपूर्ण स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है। व्यापकता के लिए लेख में R से ऊपर के समूहों का उल्लेख किया जाएगा जहाँ R स्वयं ग्राउंड क्षेत्र F हो सकता है।

उनके अमूर्त समूह सिद्धांत को ध्यान में रखते हुए, कई रेखीय समूहों में एक 'विशेष' उपसमूह होता है, जिसमें सामान्यतः ग्राउंड क्षेत्र पर निर्धारक 1 के तत्व सम्मिलित होते हैं और उनमें से अधिकतर 'प्रक्षेपी' भागफल से जुड़े होते हैं जो समूह के केंद्र द्वारा भागफल होते हैं।. विशेषता 2 एस में ऑर्थोगोनल समूहों के लिए एक अलग अर्थ है।

समूह के नाम के सामने 'सामान्य' शब्द का सामान्यतः अर्थ होता है कि समूह को स्थिर छोड़ने के अतिरिक्त किसी प्रकार के रूप को स्थिरांक से गुणा करने की अनुमति है। सबस्क्रिप्ट एन सामान्यतः मॉड्यूल (बीजगणित) के आयाम को इंगित करता है जिस पर समूह कार्य कर रहा है; यदि R = F है तो यह एक सदिश स्थान है। कैविएट: यह संकेतन डाइंकिन आरेखों के n के साथ कुछ सीमा तक टकराता है जो पद है।

सामान्य और विशेष रैखिक समूह
सामान्य रेखीय समूह GLn(R), Rn के सभी R-रैखिक स्वाकारणों का समूह है। एक उपसमूह है: विशेष रैखिक समूह SLn(R),, और उनके भागफल: प्रक्षेपी सामान्य रैखिक समूह PGLn(R) = GLn(R)/Z(GLn(R)) और प्रक्षेपी विशेष रैखिक समूह PSLn(R) = SLn(R)/Z(SLn(R)). प्रक्षेपी विशेष रेखीय समूह PSLn(F) एक क्षेत्र F पर n ≥ 2 के लिए सरल है, दो स्थिति को छोड़कर जब n = 2 और क्षेत्र का क्रम 2 या 3 है।

एकात्मक समूह
एकात्मक समूह Un(R) एक समूह है जो मॉड्यूल पर एक सेस्क्विलिनियर फॉर्म को संरक्षित करता है। एक उपसमूह है, विशेष एकात्मक समूह SUn(R)  और उनके गुणक प्रक्षेपी एकात्मक समूह PUn(R) = Un(R)/Z(Un(R)) और प्रक्षेपी विशेष एकात्मक समूह PSUn(R) = SUn(R)/Z(SUn(R))

सहानुभूतिपूर्ण समूह
सहानुभूतिपूर्ण समूह Sp2n(R) एक मॉड्यूल पर तिरछा सममित रूप रखता है। इसका एक भागफल है, प्रक्षेपी सहानुभूतिपूर्ण समूह PSp2n(R). सामान्य सहानुभूतिपूर्ण समूह GSp2n(R) में एक मॉड्यूल के ऑटोमोर्फिज़्म होते हैं जो कुछ उलटा स्केलर द्वारा तिरछे सममित रूप को गुणा करते हैं। दो और तीन तत्वों के क्षेत्र में PSp2 के स्थिति को छोड़कर, एक परिमित क्षेत्र पर प्रक्षेपी सहानुभूतिपूर्ण समूह PSp2n(Fq) n ≥ 1 के लिए सरल है।

ऑर्थोगोनल समूह
ऑर्थोगोनल ग्रुप On(R) एक मॉड्यूल पर एक गैर-पतित द्विघात रूप को संरक्षित करता है। एक उपसमूह है, विशेष ऑर्थोगोनल समूह SOn(R) और भागफल, प्रक्षेप्य ऑर्थोगोनल समूह POn(R), और प्रक्षेप्य विशेष ऑर्थोगोनल समूह PSOn(R)। विशेषता 2 में निर्धारक हमेशा 1 होता है, इसलिए विशेष ऑर्थोगोनल समूह को अधिकांशतः डिक्सन इनवेरिएंट 1 के तत्वों के उपसमूह के रूप में परिभाषित किया जाता है।

एक अनाम समूह है जिसे अधिकांशतः Ωn(R) द्वारा निरूपित किया जाता है, जिसमें संबंधित उपसमूह और भागफल समूह SΩn(R), PΩn(R), PSΩn(R) के साथ, स्पिनर मानदंड 1 के तत्वों के ऑर्थोगोनल समूह के तत्व सम्मिलित होते हैं। (वास्तविक से अधिक सकारात्मक निश्चित द्विघात रूपों के लिए, समूह Ω ओर्थोगोनल समूह के समान होता है, किंतु सामान्यतः यह छोटा होता है।) Ωn(R) का एक दोहरा आवरण भी होता है, जिसे पिन समूह Pinn(R), कहा जाता है। ) और इसका एक उपसमूह है जिसे स्पिन समूह Spinn(R) कहा जाता है। सामान्य ऑर्थोगोनल समूह GOn(R) में कुछ उलटा स्केलर द्वारा द्विघात रूप को गुणा करने वाले मॉड्यूल के ऑटोमोर्फिज्म होते हैं।

रल समूहोंया तो वास्तविक संख्या या सम्मिश्र संख्या है तो ये समूह केवल मौलिक लाई समूह होते हैं। जब जमीनी क्षेत्र एक परिमित क्षेत्र होता है तो मौलिक समूह लाई प्रकार के समूह होते हैं। ये समूह परिमित सरल समूहों के

असाधारण झूठ समूह के साथ तुलना
मौलिक झूठ समूहों के साथ तुलना में असाधारण झूठ समूह, G2, F4, E6, E7, E8, हैं, जो उनके अमूर्त गुणों को साझा करते हैं किंतु उनकी परिचितता नहीं। इन्हें केवल 1890 के आसपास विल्हेम किलिंग और एली कार्टन द्वारा जटिल संख्याओं पर सरल लाई बीजगणित के वर्गीकरण में खोजा गया था।

संदर्भ

 * E. Artin (1957) Geometric Algebra, chapters III, IV, & V via Internet Archive