ऊष्मागतिक चक्र

एक ऊष्मागतिक चक्र में ऊष्मागतिक प्रक्रियाओं के जुड़े हुए अनुक्रम होते हैं, जिसमें व्यवस्था के अंतर्गत और बाहर दबाव, तापमान और अन्य स्थिति चर बदलते समय ऊष्मा का स्थानांतरण और कार्य होता है, और अंततः व्यवस्था को अपनी प्रारंभिक स्थिति में लौटाता है। एक चक्र से पारित होने की प्रक्रिया में, कार्य कर रहे तरल पदार्थ (व्यवस्था) ऊष्मा को गर्म स्रोत से उपयोगी कार्य में परिवर्तित कर सकते हैं, और शेष ऊष्मा को एक ठंडे सिंक में डाल सकते हैं, जिससे ऊष्मा इंजन के रूप में कार्य किया जा सकता है। इसके विपरीत, चक्र को उत्क्रमित किया जा सकता है और ऊष्मा को ठंडे स्रोत से स्थानांतरित करने के लिए कार्य का उपयोग किया जाता है और इसे गर्म सिंक में स्थानांतरित किया जाता है जिससे ऊष्मा पंप के रूप में कार्य किया जाता है। यदि चक्र के प्रत्येक बिंदु पर व्यवस्था ऊष्मागतिक संतुलन में है, तो चक्र उत्क्रमणीय है। प्रतिवर्ती या अपरिवर्तनीय रूप से किया गया हो, व्यवस्था का नेट एन्ट्रापी परिवर्तन शून्य है, क्योंकि एन्ट्रापी एक अवस्था फलन है।

बंद चक्र के समय, व्यवस्था तापमान और दबाव की अपनी मूल ऊष्मागतिक स्थिति में वापस आ जाता है। प्रक्रिया मात्रा (या पथ मात्रा), जैसे कि ऊष्मा और कार्य (ऊष्मागतिक्स) प्रक्रिया पर निर्भर हैं। एक चक्र के लिए व्यवस्था अपने प्रारंभिक अवस्था में लौटती है, ऊष्मप्रवैगिकी का पहला नियम उपयोजित होता है:


 * $$\Delta U = E_{in} - E_{out} = 0$$

उपरोक्त बताता है कि चक्र के समय व्यवस्था की आंतरिक ऊर्जा ($$U$$) में कोई परिवर्तन नहीं होता है । $$E_{in}$$ चक्र के समय कुल कार्य और ऊष्मा निविष्ट का प्रतिनिधित्व करता है और $$E_{out}$$ चक्र के समय कुल कार्य और ऊष्मा उत्पादन होता है। प्रक्रिया पथ की दोहराने वाली प्रकृति निरंतर संचालन की अनुमति देती है, जिससे चक्र ऊष्मप्रवैगिकी में एक महत्वपूर्ण अवधारणा बन जाता है। ऊष्मागतिक चक्रों को प्रायः गणितीय रूप से एक वास्तविक उपकरण के तर्कसंगत के प्रतिरूपित में अर्ध-स्थैतिक प्रक्रियाओं के रूप में दर्शाया जाता है।

ऊष्मा और कार्य
ऊष्मागतिक चक्र के दो प्राथमिक वर्ग शक्ति चक्र और ऊष्मा पंप चक्र हैं। शक्ति चक्र ऐसे चक्र होते हैं जो कुछ ऊष्मा निविष्ट को एक यांत्रिक कार्य उत्पादन में परिवर्तित करते हैं, जबकि ऊष्मा पंप चक्र निविष्ट के रूप में यांत्रिक कार्य का उपयोग करके ऊष्मा को कम से उच्च तापमान में स्थानांतरित करते हैं। पूरी तरह से अर्ध-स्थैतिक प्रक्रिया से बना चक्र प्रक्रिया दिशा को नियंत्रित करके शक्ति या ऊष्मा पंप चक्रों के रूप में कार्य कर सकता है। दबाव-आयतन (पीवी) आरेख या तापमान-एंट्रॉपी आरेख पर दक्षिणावर्त और वामावर्त दिशाएं क्रमशः शक्ति और ताप पंप चक्र दर्शाती हैं।

कार्य करने के लिए संबंध
क्योंकि ऊष्मागतिक चक्र के समय अवस्था गुणों में नेट भिन्नता शून्य है, यह पीवी आरेख पर एक बंद लूप बनाता है। एक पीवी आरेख का Y अक्ष दबाव (P) दिखाता है और X अक्ष मात्रा (V) दिखाता है। लूप द्वारा परिबद्ध क्षेत्र प्रक्रिया द्वारा किया गया कार्य (W) है:
 * $$ \text{(1)} \qquad W = \oint P \ dV $$

यह कार्य प्रणाली में स्थानांतरित ऊष्मा (Q) के संतुलन के समान है:
 * $$ \text{(2)} \qquad W = Q = Q_{in} - Q_{out} $$

समीकरण (2) प्रथम नियम के अनुरूप है; भले ही चक्रीय प्रक्रिया के समय आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन होता है, जब चक्रीय प्रक्रिया समाप्त होती है तो प्रणाली की आंतरिक ऊर्जा वही होती है जो प्रक्रिया प्रारम्भ होने के समय होती है।

यदि चक्रीय प्रक्रिया लूप के चारों ओर दक्षिणावर्त चलती है, तो W धनात्मक होगा, और यह एक ऊष्मा इंजन का प्रतिनिधित्व करता है। यदि यह वामावर्त चलता है, तो W ऋणात्मक होगा, और यह ऊष्मा पंप का प्रतिनिधित्व करता है।

ऊष्मागतिक प्रक्रियाओं की एक सूची
निम्नलिखित चक्र के विभिन्न प्रक्रमों का वर्णन करने के लिए प्रायः निम्नलिखित प्रक्रियाओं का उपयोग किया जाता है:


 * रुदधोष्म: चक्र के उस भाग के समय (Q) के रूप में कोई ऊर्जा हस्तांतरण नहीं होती है। ऊर्जा हस्तांतरण को केवल प्रणाली द्वारा किए गए कार्य के रूप में माना जाता है।
 * समतापी: प्रक्रिया चक्र के उस भाग के समय प्रक्रिया स्थिर तापमान (t = स्थिर, = T = 0) पर होती है। ऊर्जा हस्तांतरण को प्रणाली द्वारा निकाले गए या किए गए कार्य के रूप में माना जाता है।
 * समदाबी: चक्र के उस भाग में दबाव स्थिर (P = स्थिर, ΔP = 0) रहेगा। ऊर्जा हस्तांतरण को प्रणाली द्वारा किए गए या कार्य के रूप में माना जाता है।
 * समायतन: प्रक्रिया स्थिर आयतन (v = स्थिर, = v = 0) है। ऊर्जा हस्तांतरण को प्रणाली से निकाले गए या किए गए कार्य के रूप में माना जाता है (प्रणाली द्वारा किया गया कार्य शून्य है।)।
 * समएन्ट्रॉपिक: प्रक्रिया निरंतर एन्ट्रापी (s = स्थिर, = s = 0) में से एक है। यह रूद्धोष्म (कोई ऊष्मा और न ही द्रव्यमान विनिमय) और प्रतिवर्ती है।
 * समएन्थैल्पिक: वह प्रक्रिया जो ऊर्ध्वपातन या विशिष्ट ऊर्ध्वपातन में किसी भी परिवर्तन के बिना आगे बढ़ती है।
 * बहुदैशिक: प्रक्रिया जो संबंध का पालन करती है: $$p V^{\,n} = C$$
 * उत्क्रमणीय: प्रक्रिया जहां नेट एन्ट्रापी उत्पादन शून्य है: $$dS-\frac{dQ}{T}=0$$

उदाहरण: ऑटो चक्र
ऑटो चक्र एक प्रतिवर्ती ऊष्मागतिक चक्र का एक उदाहरण है।


 * 1 → 2: समएन्ट्रॉपिक/ रुदधोष्म विस्तार: निरंतर एन्ट्रापी (s), दबाव में कमी (p), मात्रा में वृद्धि (v), तापमान में कमी (t)
 * 2 → 3: समायतन शीतलन: निरंतर आयतन (v), दबाव में कमी (P), एन्ट्रापी में कमी (S), तापमान में कमी (T)
 * 3 → 4: समएन्ट्रॉपिक/ रुदधोष्म संपीड़न: निरंतर एन्ट्रापी (s), दबाव में वृद्धि (p), मात्रा में कमी (v), तापमान में वृद्धि (t)
 * 4 → 1: समायतन ऊष्मण: निरंतर मात्रा (v), दबाव में वृद्धि (P), एन्ट्रापी में वृद्धि (S), तापमान में वृद्धि (T)

शक्ति चक्र


ऊष्मागतिक शक्ति चक्र ऊष्मा इंजन के संचालन के लिए आधार हैं, जो दुनिया की अधिकांश विद्युत शक्ति की आपूर्ति करते हैं और अधिकांश मोटर वाहनों के विशाल बहुमत को चलाते हैं। शक्ति चक्रों को दो श्रेणियों में व्यवस्थित किया जा सकता है: वास्तविक चक्र और आदर्श चक्र में किया जा सकता है। जटिल प्रभावों (घर्षण) की उपस्थिति और संतुलन की स्थिति की स्थापना के लिए पर्याप्त समय की अनुपस्थिति के कारण वास्तविक दुनिया के उपकरणों (वास्तविक चक्रों) में आने वाले चक्रों का विश्लेषण करना कठिन है। विश्लेषण और प्रारुप के उद्देश्य से आदर्शीकृत प्रतिरूप (आदर्श चक्र) बनाए जाते हैं; ये आदर्श प्रतिरूप अभियन्ता को प्रमुख मापदंडों के प्रभावों का अध्ययन करने की अनुमति देते हैं जो वास्तविक चक्र प्रतिरूप में उपस्थित जटिल विवरणों को कार्य करने के लिए महत्वपूर्ण समय व्यतीत किए बिना चक्र पर प्रभावित होते हैं।

शक्ति चक्रों को प्रतिरूप के लिए इच्छित ताप इंजन के प्रकार के अनुसार भी विभाजित किया जा सकता है। आंतरिक दहन इंजन को प्रतिरूप करने के लिए उपयोग किए जाने वाले सबसे सामान्य चक्र ऑटो चक्र हैं, जो गैसोलीन इंजनों को प्रतिरूप करते हैं, और डीजल चक्र, जो डीजल इंजन का प्रतिरूप करते है। बाहरी दहन इंजन को प्रतिरूप करने वाले चक्रों में ब्रेटन चक्र सम्मलित है, जो गैस टर्बाइन को प्रतिरूप करते है, रैंकिन चक्र, जो स्टीम टर्बाइनों को प्रतिरूप करते है, स्टर्लिंग चक्र, जो गर्म हवा इंजनों को प्रतिरूप करते है, और एरिक्सन चक्र, जो गर्म हवा के इंजनों को भी प्रतिरूप करते है।

उदाहरण के लिए:- आदर्श स्टर्लिंग चक्र (नेट वर्क आउट) से दबाव-मात्रा यांत्रिक कार्य उत्पादन, जिसमें 4 ऊष्मागतिक प्रक्रियाएं सम्मलित हैं, :
 * $$ \text{(3)} \qquad W_{\rm net} = W_{1\to 2} + W_{2\to 3} + W_{3\to 4} + W_{4\to 1} $$
 * $$ W_{1\to 2} = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV, \, \, \text{negative, work done on system} $$
 * $$ W_{2\to 3} = \int_{V_2}^{V_3} P \, dV, \, \, \text{zero work since } V_2 = V_3 $$
 * $$ W_{3\to 4} = \int_{V_3}^{V_4} P \, dV, \, \, \text{positive, work done by system} $$
 * $$ W_{4\to 1} = \int_{V_4}^{V_1} P \, dV, \, \, \text{zero work since } V_4 = V_1 $$

आदर्श स्टर्लिंग चक्र के लिए, प्रक्रिया 4-1 और 2-3 में कोई आयतन परिवर्तन नहीं होता है, इस प्रकार समीकरण (3) सरल हो जाता है:
 * $$ \text{(4)} \qquad W_{\rm net} = W_{1\to 2} + W_{3\to 4} $$

ऊष्मा पंप चक्र
ऊष्मागतिक ऊष्मा पंप चक्र गृह ताप पंप और रेफ्रिजरेटर के प्रतिरूप हैं। दोनों के मध्य कोई अंतर नहीं है, अतिरिक्त इसके कि रेफ्रिजरेटर का उद्देश्य बहुत कम जगह को ठंडा करना है, जबकि गृह ताप पंप का उद्देश्य घर को गर्म या ठंडा करना है। दोनों ऊष्मा को ठंडे स्थान से गर्म स्थान पर ले जाकर कार्य करते हैं। सबसे सामान्य प्रशीतन चक्र वाष्प संपीड़न चक्र है, जो प्रक्रम बदलने वाले शीतल का उपयोग करने वाले प्रतिरूप करता है। अवशोषण प्रशीतन चक्र एक विकल्प है जो प्रशीतक को वाष्पित करने के बदले द्रव विलयन में अवशोषित करता है। गैस प्रशीतन चक्रों में प्रतिलोमित ब्रेटन चक्र और हैम्पसन -लिंडे चक्र सम्मलित हैं। एकाधिक संपीड़न और विस्तार चक्र गैस प्रशीतन प्रणालियों को गैसों को द्रवित करने की अनुमति देते हैं।

प्रतिरूपित वास्तविक व्यवस्था
ऊष्मागतिक चक्रों का उपयोग वास्तविक उपकरणों और प्रणालियों को प्रतिरूप करने के लिए किया जा सकता है, विशिष्ट रूप से धारणाओं को सरल बनाने के लिए मान्यताओं की एक श्रृंखला बनाकर समस्या को अधिक प्रबंधनीय रूप में कम करने के लिए प्रायः आवश्यक होता है। उदाहरण के लिए, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, गैस टरबाइन या जेट इंजिन जैसे उपकरणों को ब्रेटन चक्र के रूप में प्रतिरूप किया जा सकता है। वास्तविक उपकरण प्रक्रम की एक श्रृंखला से बना है, जिनमें से प्रत्येक को स्वयं एक आदर्श ऊष्मागतिक प्रक्रिया के रूप में प्रतिरूपित किया गया है। यद्यपि प्रत्येक प्रक्रम कार्यशील द्रव पर कार्य करते है, एक जटिल वास्तविक उपकरण है, उन्हें आदर्श प्रक्रियाओं के रूप में प्रतिरूपित किया जा सकता है जो उनके वास्तविक व्यवहार का अनुमान लगाते हैं। यदि ऊर्जा को दहन के अलावा अन्य माध्यमों से जोड़ा जाता है, तो एक और धारणा यह है कि निकास गैसों को निकास से एक ऊष्मा विनिमयक में पारित किया जाएगा जो अपशिष्ट ऊष्मा को पर्यावरण को डूबा देगा और कार्य करने वाली गैस को अंतर्गम प्रक्रम में पुन: उपयोग किया जाएगा।

एक आदर्श चक्र और वास्तविक प्रदर्शन के मध्य का अंतर महत्वपूर्ण हो सकता है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित चित्र एक आदर्श स्टर्लिंग चक्र और एक स्टर्लिंग इंजन के वास्तविक प्रदर्शन द्वारा अनुमानित कार्य उत्पादन में अंतर को दर्शाता हैं: जैसा कि एक चक्र के लिए नेट कार्य उत्पादन चक्र के आंतरिक भाग द्वारा दर्शाया जाता है, इसलिए आदर्श चक्र के अनुमानित कार्य उत्पादन और एक वास्तविक इंजन द्वारा दिखाए गए वास्तविक कार्य उत्पादन के मध्य एक महत्वपूर्ण अंतर है। यह भी देखा जा सकता है कि वास्तविक व्यक्तिगत प्रक्रियाएं उनके आदर्श समकक्षों से अलग हो जाती हैं; उदाहरण के लिए, समायतन विस्तार (प्रक्रिया 1-2) कुछ वास्तविक आयतन परिवर्तन के साथ होता है।

प्रसिद्ध ऊष्मागतिक चक्र
व्यवहार में, सरल आदर्शित ऊष्मागतिक चक्र विशिष्ट रूप से चार ऊष्मागतिक प्रक्रियाओं से बने होते हैं। किसी भी ऊष्मागतिक प्रक्रियाओं का उपयोग किया जा सकता है। हालांकि, जब आदर्श चक्रों को प्रतिरूपित किया जाता है, तो प्रायः ऐसी प्रक्रियाएं होती हैं जहां एक अवस्था चर को स्थिर रखा जाता है, जैसे कि एक समतापी प्रक्रिया (निरंतर तापमान), समदाबी प्रक्रिया (निरंतर दबाव), समआयतनी प्रक्रिया (निरंतर मात्रा), समएन्ट्रॉपिक प्रक्रिया (निरंतर एन्ट्रापी), या एक समएन्थैल्पिक प्रक्रिया (निरंतर एन्थैल्पी) होती हैं। प्रायः रूद्धोष्म प्रक्रम का उपयोग भी किया जाता है, जहां कोई ऊष्मा का आदान -प्रदान नहीं किया जाता है।

कुछ उदाहरण ऊष्मागतिक चक्र और उनकी घटक प्रक्रियाएँ इस प्रकार हैं:

आदर्श चक्र
एक आदर्श चक्र का विश्लेषण करना आसान है और इसमें सम्मलित हैं:
 * 1) शीर्ष (A) और नीचे (C) का लूप: समानांतर समदाबी प्रक्रियाओं की एक जोड़ी
 * 2) दाएं (B) और बाएं (D) का लूप: समानांतर समस्थानिक प्रक्रियाओं की एक जोड़ी

यदि कार्य करने वाला पदार्थ एक आदर्श गैस है, तो $$U$$ एक बंद प्रणाली के लिए $$T$$ का केवल एक कार्य है क्योंकि इसका आंतरिक दबाव लुप्त हो जाता है। इसलिए, प्रारंभिक अवस्था $$a$$ को अंतिम अवस्था $$b$$ से जोड़ने वाली विभिन्न प्रक्रियाओं से पारित होने वाली एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा परिवर्तन हमेशा सूत्र द्वारा दिया जाता है।

$$ \Delta U= \int_{a}^{b} C_{v} dT $$

मान लें कि $$C_{v}$$ स्थिर है, $$ \Delta U= C_{v} \Delta T $$ किसी भी प्रक्रिया के लिए एक आदर्श गैस द्वारा किया जाता है।

अनुमान के इस समुच्चय के अंतर्गत, प्रक्रिया A और C के लिए हमारे पास $$ W = p \Delta v$$ और $$ Q = C_{p} \Delta T $$ हैं, जबकि प्रक्रियाओं b और d के लिए हमारे पास $$ W = 0$$ और $$ Q = \Delta U = C_{v} \Delta T $$ हैं।

प्रति चक्र का कुल कार्य है $$ W_{cycle} = p_A (v_2 - v_1) + p_C(v_4-v_3) = p_A (v_2 - v_1) + p_C (v_1 - v_2) = (p_A - p_C) (v_2 - v_1) $$,

जो केवल आयत का क्षेत्रफल है। यदि प्रति चक्र कुल ताप प्रवाह की आवश्यकता होती है, तो यह आसानी से प्राप्त होता है। क्योंकि $$ \Delta U_{cycle} = Q_{cycle} - W_{cycle} = 0$$, हमारे पास $$Q_{cycle} = W_{cycle}$$ है।

इस प्रकार, प्रति चक्र कुल ताप प्रवाह की गणना प्रत्येक प्रक्रम के लिए ताप क्षमता और तापमान परिवर्तन के बिना की जाती है (हालांकि चक्र की ऊष्मागतिक दक्षता का आकलन करने के लिए इस जानकारी की आवश्यकता होगी)।

कार्नोट चक्र
कार्नोट चक्र एक चक्र है जो समऐन्ट्रॉपिक संपीडन और विस्तार और समतापी ऊष्मा के अलावा और अस्वीकृति की पूरी तरह से प्रतिवर्ती प्रक्रियाओं से बना होता है। एक कार्नोट चक्र की ऊष्मीय दक्षता केवल दो जलाशयों के पूर्ण तापमान पर निर्भर करती है जिसमें ऊष्मा हस्तांतरण होती है, और एक शक्ति चक्र के लिए होती है:
 * $$\eta=1-\frac{T_L}{T_H}$$

जहां $${T_L}$$ सबसे कम चक्र तापमान है और $${T_H}$$ उच्चतम है। कार्नोट शक्ति चक्र के लिए ऊष्मा पंप के लिए प्रदर्शन का गुणांक है:
 * $$\ COP = 1+\frac{T_L}{T_H - T_L}$$

और रेफ्रिजरेटर के लिए प्रदर्शन का गुणांक है:
 * $$\ COP = \frac{T_L}{T_H - T_L}$$

ऊष्मप्रवैगिकी का दूसरा नियम सभी चक्रीय उपकरणों के लिए दक्षता और सीओपी को कारनोट दक्षता पर या उससे नीचे के स्तर तक सीमित करता है। स्टर्लिंग चक्र और एरिक्सन चक्र दो अन्य प्रतिवर्ती चक्र हैं जो समतापी ऊष्मा परिवर्तन प्राप्त करने के लिए पुनर्जनन का उपयोग करते हैं।

स्टर्लिंग चक्र
एक स्टर्लिंग चक्र एक ऑटो चक्र की तरह है, अतिरिक्त इसके कि एडियाबेट को समतापी द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यह एक एरिक्सन चक्र के समान है, जिसमें निरंतर आयतन प्रक्रियाओं के लिए समदाब रेखीय प्रक्रियाएं प्रतिस्थापित होती हैं।
 * 1) लूप के शीर्ष और नीचे: अर्ध-समानांतर समतापी प्रक्रियाओं की एक जोड़ी
 * 2) लूप के बाएं और दाएं पक्ष: समानांतर समायतन प्रक्रियाओं की एक जोड़ी

ऊष्मा शीर्ष समताप रेखा और बाएं समछिद्र के माध्यम से लूप में प्रवाहित होती है, और इस ऊष्मा का कुछ भाग नीचे के समताप रेखा और दाएँ समस्थानिक के माध्यम से वापस बहता है, लेकिन अधिकांश ऊष्मा प्रवाह समताप रेखा के युग्म के माध्यम से होता है। यह समझ में आता है क्योंकि चक्र द्वारा किए गए सभी कार्य समतापी प्रक्रियाओं की जोड़ी द्वारा किए जाते हैं, जिन्हें  q = w  द्वारा वर्णित किया गया है। इससे पता चलता है कि सभी नेट ऊष्मा शीर्ष समतापी के माध्यम से आती है। वास्तव में, बाएं समस्थूलता के माध्यम से आने वाली सारी ऊष्मा दाएं समस्थूलता के माध्यम से बाहर आती है: क्योंकि शीर्ष समताप सभी एक ही गर्म तापमान $$ T_H $$ पर है और नीचे का समताप सभी एक ही ठंडे तापमान $$ T_C $$ पर है, और क्योंकि एक समस्थूलता के लिए ऊर्जा और तापमान में परिवर्तन के समानुपाती होता है, तो बाएं समस्थूलता के माध्यम से आने वाली सभी ऊष्मा को सही समस्थूलता से बाहर जाने वाले ऊष्मा से रद्द कर दिया जाता है।

अवस्था कार्य और एन्ट्रापी
यदि z एक अवस्था फलन है तो एक चक्रीय प्रक्रिया के समय Z का संतुलन अपरिवर्तित रहता है:
 * $$ \oint dZ = 0 $$।

एन्ट्रापी एक अवस्था फलन है और इसे ऊष्मागतिक के तीसरे नियम के माध्यम से एक पूर्ण अर्थ में परिभाषित किया गया है।
 * $$ S = \int_0^T {dQ_{rev} \over T} $$

जहां एक उत्क्रमणीय पथ को पूर्ण शून्य से अंतिम अवस्था तक चयन किया जाता है, ताकि एक समतापी प्रतिवर्ती प्रक्रिया के लिए
 * $$ \Delta S = { Q_{rev} \over T} $$।

सामान्य रूप में, किसी भी चक्रीय प्रक्रिया के लिए अवस्था बिंदुओं को प्रतिवर्ती पथों से जोड़ा जा सकता है, ताकि
 * $$ \oint dS = \oint {dQ_{rev} \over T} = 0$$

जिसका अर्थ है कि एक चक्र में कार्यशील द्रव का नेट एन्ट्रापी परिवर्तन शून्य होता है।

यह भी देखें

 * एन्ट्रापी
 * अर्थशास्त्री
 * थर्मोग्रैविटेशनल चक्र

आगे की पढाई

 * हॉलिडे, रेसनिक एंड वॉकर फंडामेंटल्स ऑफ फिजिक्स, 5वां संस्करण जॉन विली एंड संस, 1997 चैप्टर 21, एंट्रॉपी एंड द सेकेंड लॉ ऑफ थर्मोडायनामिक्स।
 * सेंगेल, यूनुस ए., और माइकल ए. बोल्स थर्मोडायनामिक्स: एन इंजीनियरिंग अप्रोच, 7वां संस्करण न्यूयॉर्क: मैकग्रा-हिल, 2011 प्रिंट।
 * हिल और पीटरसन "मैकेनिक्स एंड थर्मोडायनामिक्स ऑफ प्रोपल्शन", दूसरा संस्करण प्रेंटिस हॉल, 1991 760 पीपी।