समावेशी समष्टि

टोपोलॉजिकल समष्टि का एक समावेशी समष्टि $$X$$ एक सतत मानचित्र है $$\pi : E \rightarrow X$$ विशेष गुणों से युक्त है.

परिभाषा
मान लीजिये $$X$$ एक टोपोलॉजिकल समष्टि है। $$X$$ का समावेशी एक सतत मानचित्र है
 * $$ \pi : E \rightarrow X$$

इस प्रकार कि वहाँ एक अलग स्थान उपस्थित है $$D$$ और हर किसी के लिए $$x \in X$$ निकटतम (गणित) $$U \subset X$$, ऐसा है कि $$\pi^{-1}(U)= \displaystyle \bigsqcup_{d \in D} V_d $$ और $$\pi|_{V_d}:V_d \rightarrow U $$ प्रत्येक के लिए एक समरूपता है $$d \in D $$. प्रायः कवरिंग की अवधारणा का उपयोग कवरिंग समष्टि के लिए किया जाता है $$E$$ मानचित्र के लिए भी $$ \pi : E \rightarrow X$$. विवृत समुच्चय $$V_{d}$$ शीट्स कहलाती हैं, जो विशिष्ट रूप से एक होमोमोर्फिज्म तक निर्धारित होती हैं $$U$$ संबद्ध स्थान है. प्रत्येक के लिए $$x \in X$$ असतत उपसमुच्चय $$\pi^{-1}(x)$$ का फ़ाइबर कहा जाता है $$x$$. समावेशी की डिग्री स्थान की प्रमुखता है $$D$$. अगर $$E$$ पाथ- संबद्ध है l पाथ- संबद्ध हुआ है, फिर समावेशी $$ \pi : E \rightarrow X$$ पाथ- संबद्ध समावेशी के रूप में दर्शाया गया है।

उदाहरण
* वो मानचित्र $$r : \mathbb{R} \to S^1$$ साथ $$r(t)=(\cos(2 \pi t), \sin(2 \pi t))$$ इकाई वृत्त का समावेशी है $$S^1$$. समावेशी का आधार है $$S^1$$ और समाविष्ट करता हैं $$\mathbb{R}$$. किसी भी बिंदु के लिए $$x = (x_1, x_2) \in S^1$$ ऐसा है कि $$x_1 > 0$$, समुच्चय $$U := \{(x_1, x_2) \in S^1 \mid x_1 > 0 \}$$ का विवृत निकटतम है $$x$$. की पूर्वछवि $$U$$ अंतर्गत $$r$$ है
 * प्रत्येक टोपोलॉजिकल समष्टि के लिए $$X$$, एक सह मानचित्र है $$\pi:X \rightarrow X$$ द्वारा दिए गए $$\pi(x)=x$$ जिसे तुच्छ समावेशी कहा जाता है $$X.$$
 * $$r^{-1}(U)=\displaystyle\bigsqcup_{n \in \mathbb{Z}} \left( n - \frac 1 4, n + \frac 1 4\right)$$ : और समाविष्ट करता हैं $$V_n = (n - 1/4, n+1/4)$$ के लिए $$n \in \mathbb{Z}.$$ का फ़ाइबर $$x$$ है
 * $$r^{-1}(x) = \{t \in \mathbb{R} \mid (\cos(2 \pi t), \sin(2 \pi t)) = x\}.$$ * ईकाई वृत्त का एक अन्य समावेशी मानचित्र है $$q : S^1 \to S^1$$ साथ $$q(z)=z^{n}$$ कुछ के लिए $$n \in \mathbb{N}.$$ एक विवृत निकटतम के लिए $$U$$ की एक $$x \in S^1$$, किसी के पास:
 * $$q^{-1}(U)=\displaystyle\bigsqcup_{i=1}^{n} U$$.


 * एक मानचित्र जो स्थानीय समरूपता है लेकिन इकाई वृत्त का समावेशी नहीं है $$p : \mathbb{R_{+}} \to S^1$$ साथ $$p(t)=(\cos(2 \pi t), \sin(2 \pi t))$$. के एक विवृत निकटतम की शीट है $$(1,0)$$, जिसे होमियोमॉर्फिक रूप से मैप नहीं किया गया है $$U$$.

स्थानीय समरूपता
एक समावेशी के बाद से $$\pi:E \rightarrow X$$ प्रत्येक असंयुक्त विवृत समुच्चय को मैप करता है $$\pi^{-1}(U)$$ होमियोमॉर्फिक रूप से पर $$U$$ यह एक स्थानीय होमोमोर्फिज्म है, अर्थात। $$\pi$$ एक सतत मानचित्र है और प्रत्येक के लिए $$e \in E$$ वहाँ एक विवृत निकटतम उपस्थित है $$V \subset E$$ का $$e$$, ऐसा है कि $$\pi|_V : V \rightarrow \pi(V)$$ एक होमियोमोर्फिज्म है.

यह इस प्रकार है कि कवरिंग समष्टि $$E$$ और आधार स्थान $$X$$ स्थानीय रूप से समान गुण साझा करें।


 * अगर $$X$$ एक संबद्ध और गैर-उन्मुख कई गुना है, फिर एक समावेशी है $$\pi:\tilde X \rightarrow X$$ डिग्री का $$2$$, जिससे $$\tilde X$$ एक  संबद्ध और ओरिएंटेबल मैनिफोल्ड है।
 * अगर $$X$$ एक संबद्ध हुआ लाई ​​समूह है, फिर एक समावेशी है $$\pi:\tilde X \rightarrow X$$ जो एक लाई समूह समरूपता भी है और $$\tilde X := \{\gamma:\gamma \text{ is a path in X with  }\gamma(0)= \boldsymbol{1_X} \text{ modulo homotopy with fixed ends}\}$$ एक लाई समूह है.
 * अगर $$X$$ एक ग्राफ़ सिद्धांत ग्राफ़ है, तो यह एक समावेशी के लिए अनुसरण करता है $$\pi:E \rightarrow X$$ वह $$E$$ एक ग्राफ़ भी है.
 * अगर $$X$$ एक संबद्ध  कई गुना  है, फिर एक समावेशी है $$\pi:\tilde X \rightarrow X$$, जिससे $$\tilde X$$ एक  संबद्ध और  बस  संबद्ध स्थान  मैनिफोल्ड है।
 * अगर $$X$$ एक संबद्ध रीमैन सतह है, फिर एक समावेशी है $$\pi:\tilde X \rightarrow X$$ जो एक होलोमोर्फिक मानचित्र भी है और $$\tilde X$$ एक  संबद्ध और सरलता से  संबद्ध रीमैन सतह है।

गुणनखंडन
मान लीजिए $$ X, Y$$ और $$E$$ पाथ- संबद्ध, स्थानीय रूप से पाथ- संबद्ध स्थान हों, और $$p,q$$ और $$r$$ सतत मानचित्र बनें, जैसे कि आरेख आवागमन.


 * अगर $$p$$ और $$q$$ समावेशी हैं, वैसे ही हैं $$r$$.
 * अगर $$p$$ और $$r$$ समावेशी हैं, वैसे ही हैं $$q$$.

समावेशी का उत्पाद
पत्र $$X$$ और $$X'$$ टोपोलॉजिकल समष्टि बनें और $$p:E \rightarrow X$$ और $$p':E' \rightarrow X'$$ फिर, समावेशी बनो $$p \times p':E \times E' \rightarrow X \times X'$$ साथ $$(p \times p')(e, e') = (p(e), p'(e'))$$ एक समावेशी है.

समावेशी की समानता
अक्षर $$X$$ एक टोपोलॉजिकल समष्टि बनें और $$p:E \rightarrow X$$ और $$p':E' \rightarrow X$$ समावेशी हो. यदि समरूपता विद्यमान हो तो दोनों समावेशीों को समतुल्य कहा जाता है $$h:E \rightarrow E'$$, जैसे कि आरेख आवागमन. यदि ऐसी होमियोमोर्फिज्म उपस्थित है, तो कोई कवरिंग समष्टि कहता है $$E$$ और $$E'$$ समरूपता.

संपत्ति उठाना
समावेशी का एक महत्वपूर्ण गुण यह है कि यह उठाने वाली संपत्ति को संतुष्ट करता है, अर्थात:

मान लीजिए $$I$$ इकाई अंतराल हो और $$p:E \rightarrow X$$ एक समावेशी हो. मान लीजिए $$F:Y \times I \rightarrow X$$ एक सतत मानचित्र बनें और $$\tilde F_0:Y \times \{0\} \rightarrow E$$ की लिफ्ट हो $$F|_{Y \times \{0\}}$$, यानी एक सतत मानचित्र जैसे कि $$p \circ \tilde F_0 = F|_{Y \times \{0\}}$$. फिर एक विशिष्ट रूप से निर्धारित, सतत मानचित्र है $$\tilde F:Y \times I \rightarrow E$$ जिसके लिए $$\tilde F(y,0) = \tilde F_0$$ और जो की लिफ्ट है $$F$$, अर्थात। $$p \circ \tilde F = F$$.

अगर $$X$$ एक पाथ से जुड़ा स्थान है, तो के लिए $$Y=\{0\}$$ यह इस प्रकार है कि मानचित्र $$\tilde F$$ में एक पाथ (टोपोलॉजी) की लिफ्ट है $$X$$ और के लिए $$Y=I$$ यह पाथों की एक समरूपता की लिफ्ट है $$X$$.

उस गुण के कारण कोई यह दिखा सकता है कि मौलिक समूह $$\pi_{1}(S^1)$$ ईकाई वृत्त का एक चक्रीय समूह है, जो लूप के होमोटॉपी वर्गों द्वारा उत्पन्न होता है $$\gamma: I \rightarrow S^1$$ साथ $$\gamma (t) = (\cos(2 \pi t), \sin(2 \pi t))$$.

मान लीजिए $$X$$ एक पाथ-संबद्ध स्थान बनें और $$p:E \rightarrow X$$ एक संबद्ध समावेशी हो. मान लीजिए $$x,y \in X$$ कोई दो बिंदु हों, जो एक पाथ से जुड़े हों $$\gamma$$, अर्थात। $$\gamma(0)= x$$ और $$\gamma(1)= y$$. मान लीजिए $$\tilde \gamma$$ की अद्वितीय लिफ्ट हो $$\gamma$$, फिर मानचित्र
 * $$L_{\gamma}:p^{-1}(x) \rightarrow p^{-1}(y)$$ साथ $$L_{\gamma}(\tilde \gamma (0))=\tilde \gamma (1)$$

द्विभाजन है.

अगर $$X$$ एक पाथ से जुड़ा स्थान है और $$p: E \rightarrow X$$ एक संबद्ध समावेशी, फिर प्रेरित समूह समरूपता
 * $$ p_{\#}: \pi_{1}(E) \rightarrow \pi_{1}(X)$$ साथ $$ p_{\#}([\gamma])=[p \circ \gamma]$$,

इंजेक्शन का कार्य और उपसमूह है $$p_{\#}(\pi_1(E))$$ का $$\pi_1(X)$$ इसमें लूप के समरूप वर्ग शामिल हैं $$X$$, जिनकी लिफ्टों में लूप हैं $$E$$.

रीमैन सतहों के बीच होलोमोर्फिक मानचित्र
मान लीजिए $$X$$ और $$Y$$ रीमैन सतह हो, यानी एक आयामी जटिल अनेक गुना, और चलो $$f: X \rightarrow Y$$ एक सतत मानचित्र बनें. $$f$$ एक बिंदु में होलोमोर्फिक है $$x \in X$$, यदि किसी चार्ट (गणित) के लिए $$\phi _x:U_1 \rightarrow V_1$$ का $$x$$ और $$\phi_{f(x)}:U_2 \rightarrow V_2$$ का $$f(x)$$, साथ $$\phi_x(U_1) \subset U_2$$, वो मानचित्र $$\phi _{f(x)} \circ f \circ \phi^{-1} _x: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$$ होलोमोर्फिक फ़ंक्शन है।

अगर $$f$$ बिल्कुल होलोमोर्फिक है $$x \in X$$, हम कहते हैं $$f$$ होलोमोर्फिक है.

वो मानचित्र $$F =\phi _{f(x)} \circ f \circ \phi^{-1} _x$$ की स्थानीय अभिव्यक्ति कहलाती है $$f$$ में $$x \in X$$.

अगर $$f: X \rightarrow Y$$ कॉम्पैक्ट रीमैन सतह के बीच एक गैर-स्थिर, होलोमोर्फिक मानचित्र है $$f$$ विशेषण फ़ंक्शन और एक विवृत मानचित्र है, यानी हर विवृत समुच्चय के लिए $$U \subset X$$ छवि (गणित) $$f(U) \subset Y$$ भी विवृत है.

रामीकरण बिंदु और शाखा बिंदु
मान लीजिए $$f: X \rightarrow Y$$ कॉम्पैक्ट रीमैन सतहों के बीच एक गैर-स्थिर, होलोमोर्फिक मानचित्र बनें। हरएक के लिए $$x \in X$$ के लिए चार्ट उपस्थित हैं $$x$$ और $$f(x)$$ और वहां एक विशिष्ट रूप से निर्धारित अस्तित्व उपस्थित है $$k_x \in \mathbb{N_{>0}}$$, जैसे कि स्थानीय अभिव्यक्ति $$F$$ का $$f$$ में $$x$$ स्वरूप का है $$z \mapsto z^{k_{x}}$$. जो नंबर $$k_x$$ का प्रभाव सूचकांक कहा जाता है $$f$$ में $$x$$ और बात $$x \in X$$ यदि प्रभाव बिंदु कहा जाता है $$k_x \geq 2$$. अगर $$k_x =1$$ एक के लिए $$x \in X$$, तब $$x$$ अप्रभावित है. छवि बिंदु $$y=f(x) \in Y$$ किसी प्रभाव बिंदु को शाखा बिंदु कहा जाता है।

होलोमोर्फिक मानचित्र की डिग्री
मान लीजिए $$f: X \rightarrow Y$$ कॉम्पैक्ट रीमैन सतहों के बीच एक गैर-स्थिर, होलोमोर्फिक मानचित्र बनें। श्रेणी $$\operatorname{deg}(f)$$का $$f$$ एक असंबद्ध बिंदु के तंतु की प्रमुखता है $$y=f(x) \in Y$$, अर्थात। $$\operatorname{deg}(f):=|f^{-1}(y)|$$.

यह संख्या हर किसी के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है $$y \in Y$$ रेशा $$f^{-1}(y)$$ पृथक है और किन्हीं दो असम्बद्ध बिंदुओं के लिए $$y_1,y_2 \in Y$$, यह है: $$|f^{-1}(y_1)|=|f^{-1}(y_2)|.$$ इसकी गणना इस प्रकार की जा सकती है:
 * $$\sum_{x \in f^{-1}(y)} k_x = \operatorname{deg}(f)$$

परिभाषा
एक सतत मानचित्र $$f: X \rightarrow Y$$ यदि घने समुच्चय पूरक के साथ एक बंद समुच्चय उपस्थित है, तो उसे शाखित समावेशी कहा जाता है $$E \subset Y$$, ऐसा है कि $$f_{|X \smallsetminus f^{-1}(E)}:X \smallsetminus f^{-1}(E) \rightarrow Y \smallsetminus E$$ एक समावेशी है.

उदाहरण

 * मान लीजिए $$n \in \mathbb{N}$$ और $$n \geq 2$$, तब $$f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$$ साथ $$f(z)=z^n$$ डिग्री का शाखित समावेशी है $$n$$, जिससे $$z=0$$ एक शाखा बिंदु है.
 * कॉम्पैक्ट रीमैन सतहों के बीच प्रत्येक गैर-स्थिर, होलोमोर्फिक मानचित्र $$f: X \rightarrow Y$$ डिग्री का $$d$$ डिग्री का शाखित समावेशी है $$d$$.

परिभाषा
मान लीजिए $$p: \tilde X \rightarrow X$$ एक सिंपली संबद्ध समष्टि कवरिंग बनें। अगर $$\beta : E \rightarrow X$$ एक और सरल रूप से  संबद्ध समावेशी है, तो एक विशिष्ट रूप से निर्धारित होमोमोर्फिज्म उपस्थित है $$\alpha : \tilde X \rightarrow E$$, जैसे कि आरेख आवागमन.

इस का तात्पर्य है कि $$p$$ समतुल्यता तक, विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है और उस सार्वभौमिक संपत्ति के कारण अंतरिक्ष के सार्वभौमिक समावेशी के रूप में दर्शाया जाता है $$X$$.

अस्तित्व
एक सार्वभौमिक समावेशी हमेशा उपस्थित नहीं होता है, लेकिन निम्नलिखित गुण इसके अस्तित्व की गारंटी देते हैं:

मान लीजिए $$X$$ एक संबद्ध, स्थानीय रूप से सरलता से  संबद्ध समष्टि टोपोलॉजिकल समष्टि बनें; तब, एक सार्वभौमिक समावेशी उपस्थित होता है $$p:\tilde X \rightarrow X$$.

$$\tilde X$$ परिभाषित किया जाता है $$\tilde X := \{\gamma:\gamma \text{ is a path in }X \text{ with }\gamma(0) = x_0 \}/\text{ homotopy with fixed ends} $$ और $$p:\tilde X \rightarrow X$$ द्वारा $$p([\gamma]):=\gamma(1)$$.

टोपोलॉजी चालू है $$\tilde X$$ इस प्रकार बनाया गया है: चलो $$\gamma:I \rightarrow X$$ के साथ एक पाथ बनें $$\gamma(0)=x_0$$. मान लीजिए $$U$$ समापन बिंदु का एक सरल रूप से संबद्ध निकटतम बनें $$x=\gamma(1)$$, फिर प्रत्येक के लिए $$y \in U$$ पाथ (टोपोलॉजी) $$\sigma_y$$ अंदर $$U $$ से $$x$$ को $$y$$ समरूपता तक विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं। अब विचार करें $$\tilde U:=\{\gamma.\sigma_y:y \in U \}/\text{ homotopy with fixed ends}$$, तब $$p_{|\tilde U}: \tilde U \rightarrow U$$ साथ $$p([\gamma.\sigma_y])=\gamma.\sigma_y(1)=y$$ एक आक्षेप है और $$\tilde U$$ की अंतिम टोपोलॉजी से सुसज्जित किया जा सकता है $$p_{|\tilde U}$$.

मौलिक समूह $$\pi_{1}(X,x_0) = \Gamma$$ नि:शुल्क समूह कार्रवाई के माध्यम से कार्य करता है $$([\gamma],[\tilde x]) \mapsto [\gamma.\tilde x]$$ पर $$\tilde X$$ और $$\psi:\Gamma \backslash \tilde X \rightarrow X$$ साथ $$\psi([\Gamma \tilde x])=\tilde x(1)$$ एक होमियोमोर्फिज्म है, अर्थात $$\Gamma \backslash \tilde X \cong X $$.

उदाहरण
* $$r : \mathbb{R} \to S^1$$ साथ $$r(t)=(\cos(2 \pi t), \sin(2 \pi t))$$ इकाई वृत्त का सार्वभौमिक समावेशी है $$S^1$$. \exp(2 \pi i t) & 0\\ 0 & I_{n-1} \end{bmatrix}_\vphantom{x} A $$ एकात्मक समूह का सार्वभौमिक समावेशी है $$U(n)$$. X = \bigcup_{n\in \N}\left\{(x_1,x_2)\in\R^{2} : \Bigl(x_1-\frac{1}{n}\Bigr)^2+x_2^2=\frac{1}{n^2}\right\} $$ कोई यह दिखा सकता है कि मूल का कोई निकटतम नहीं है $$(0,0)$$ बस संबद्ध है.
 * $$p : S^n \to \mathbb{R}P^n \cong \{+1,-1\}\backslash S^n$$ साथ $$p(x)=[x]$$ प्रक्षेप्य स्थान का सार्वभौमिक समावेशी है $$\mathbb{R}P^n$$ के लिए $$n>1$$.
 * $$q : \mathrm{SU}(n) \ltimes \mathbb{R} \to U(n)$$ साथ $$q(A,t)= \begin{bmatrix}
 * तब से $$\mathrm{SU}(2) \cong S^3$$, यह इस प्रकार है कि भागफल मानचित्र (टोपोलॉजी) $$f : \mathrm{SU}(2) \rightarrow \mathrm{SU}(2) \backslash \mathbb{Z_2} \cong \mathrm{SO}(3)$$ का सार्वभौमिक समावेशी है $$\mathrm{SO}(3)$$.
 * एक स्थलाकृतिक स्थान जिसका कोई सार्वभौमिक समावेशी नहीं है वह हवाईयन बाली है: $$

G-कवरिंग
मान लीजिए कि G, टोपोलॉजिकल समष्टिg X का स्वयं पर, इस प्रकार कि Hg h हमेशा H के बराबर होता हैg ∘ एचh G के किन्हीं दो तत्वों g और h के लिए। (या दूसरे शब्दों में, अंतरिक्ष ) यह पूछना स्वाभाविक है कि किन परिस्थितियों में एक्स से कक्षा स्थान एक्स/जी तक का प्रक्षेपण एक कवरिंग मानचित्र है। यह हमेशा सत्य नहीं होता क्योंकि कार्रवाई के निश्चित बिंदु हो सकते हैं। इसका एक उदाहरण किसी उत्पाद पर कार्य करने वाला क्रम 2 का चक्रीय समूह है X × X मोड़ क्रिया द्वारा जहां गैर-पहचान तत्व कार्य करता है (x, y) ↦ (y, x). इस प्रकार X और X/G के मूलभूत समूहों के बीच संबंध का अध्ययन इतना सीधा नहीं है।

हालाँकि समूह G, X के मूलभूत समूह समूह पर कार्य करता है, और इसलिए अध्ययन को समूह समूह पर कार्य करने वाले समूहों और संबंधित कक्षा समूह पर विचार करके सबसे अच्छा नियंत्रित किया जाता है। इसके लिए सिद्धांत नीचे उल्लिखित पुस्तक टोपोलॉजी और ग्रुपोइड्स के अध्याय 11 में निर्धारित किया गया है। मुख्य परिणाम यह है कि हॉसडॉर्फ़ अंतरिक्ष समूह जी की कार्रवाई से उस समूह का निर्माण होता है। इससे स्पष्ट गणना होती है, उदाहरण के लिए किसी स्थान के सममित वर्ग के मूल समूह का।

परिभाषा
मान लीजिए $$p:E \rightarrow X$$ एक समावेशी हो. एक डेक परिवर्तन एक होमोमोर्फिज्म है $$d:E \rightarrow E$$, जैसे कि सतत मानचित्रों का आरेख आवागमन. मानचित्रों की संरचना के साथ, डेक परिवर्तन का समुच्चय एक समूह बनाता है (गणित) $$\operatorname{Deck}(p)$$, जो वैसा ही है $$\operatorname{Aut}(p)$$.

अब मान लीजिए $$p:C \to X$$ एक कवरिंग मैप है और $$C$$ (और इसलिए भी $$X$$) संबद्ध है और स्थानीय रूप से पाथ- संबद्ध हुआ है। की कार्रवाई $$\operatorname{Aut}(p)$$ प्रत्येक फाइबर पर समूह क्रिया (गणित)#क्रियाओं के उल्लेखनीय गुण हैं। यदि यह क्रिया समूह क्रिया (गणित)#कुछ तंतुओं पर क्रियाओं का उल्लेखनीय गुण है, तो यह सभी तंतुओं पर सकर्मक है, और हम समावेशी को नियमित (या सामान्य या गैलोइस) कहते हैं। ऐसा प्रत्येक नियमित कवर एक प्रमुख बंडल|प्रिंसिपल है $G$-bundle, कहाँ $$G = \operatorname{Aut}(p)$$ एक असतत टोपोलॉजिकल समूह के रूप में माना जाता है।

हर सार्वभौमिक समावेशी $$p:D \to X $$ नियमित है, डेक परिवर्तन समूह मौलिक समूह के समरूपी है $\pi_1(X)$.

उदाहरण

 * मान लीजिए $$q : S^1 \to S^1$$ समावेशी हो $$q(z)=z^{n}$$ कुछ के लिए $$n \in \mathbb{N} $$, फिर मानचित्र $$d_k:S^1 \rightarrow S^1 : z \mapsto z \, e^{2\pi ik/n} $$ एक डेक परिवर्तन है और $$\operatorname{Deck}(q)\cong \mathbb{Z}/ \mathbb{nZ}$$.
 * मान लीजिए $$r : \mathbb{R} \to S^1$$ समावेशी हो $$r(t)=(\cos(2 \pi t), \sin(2 \pi t))$$, फिर मानचित्र $$d_k:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : t \mapsto t + k$$ साथ $$k \in \mathbb{Z}$$ एक डेक परिवर्तन है और $$\operatorname{Deck}(r)\cong \mathbb{Z}$$.
 * एक अन्य महत्वपूर्ण उदाहरण के रूप में, विचार करें $$\Complex$$ जटिल विमान और $$\Complex^{\times}$$ जटिल तल शून्य से मूल। फिर मानचित्र $$p: \Complex^{\times} \to \Complex^{\times}$$ साथ $$ p(z) = z^{n} $$ एक नियमित समावेशी है. डेक परिवर्तनों के साथ गुणन होता है $$n$$-एकता की जड़ और डेक परिवर्तन समूह इसलिए चक्रीय समूह के लिए समरूपी है $$\Z/n\Z$$. इसी प्रकार, मानचित्र $$\exp : \Complex \to \Complex^{\times}$$ साथ $$\exp(z) = e^{z}$$ सार्वभौमिक समावेशी है.

गुण
मान लीजिए $$X$$ एक पाथ-संबद्ध स्थान बनें और $$p:E \rightarrow X$$ एक संबद्ध समावेशी हो. डेक परिवर्तन के बाद से $$d:E \rightarrow E$$ बिजेक्शन है, यह फाइबर के तत्वों को क्रमपरिवर्तित करता है $$p^{-1}(x)$$ साथ $$x \in X$$ और यह विशिष्ट रूप से इस बात से निर्धारित होता है कि यह एक बिंदु को कहां भेजता है। विशेष रूप से, केवल पहचान मानचित्र ही फ़ाइबर में एक बिंदु तय करता है। इस गुण के कारण प्रत्येक डेक परिवर्तन एक समूह कार्रवाई को परिभाषित करता है $$E$$, यानी चलो $$U \subset X$$ का एक विवृत निकटतम हो $$x \in X$$ और $$\tilde U \subset E$$ एक का विवृत निकटतम $$e \in p^{-1}(x)$$, तब $$\operatorname{Deck}(p) \times E \rightarrow E: (d,\tilde U)\mapsto d(\tilde U)$$ एक समूह क्रिया है.

परिभाषा
एक समावेशी $$p:E \rightarrow X$$ सामान्य कहा जाता है, यदि $$\operatorname{Deck}(p) \backslash E \cong X$$. इसका तात्पर्य है, कि हर किसी के लिए $$x \in X$$ और कोई दो $$e_0,e_1 \in p^{-1}(x)$$ वहाँ एक डेक परिवर्तन उपस्थित है $$d:E \rightarrow E$$, ऐसा है कि $$d(e_0)=e_1$$.

गुण
मान लीजिए $$X$$ एक पाथ-संबद्ध स्थान बनें और $$p:E \rightarrow X$$ एक संबद्ध समावेशी हो. मान लीजिए $$H=p_{\#}(\pi_1(E))$$ का एक उपसमूह बनें $$\pi_1(X)$$, तब $$p$$ यह एक सामान्य कवरिंग आईएफएफ है $$H$$ का एक सामान्य उपसमूह है $$\pi_1(X)$$.

अगर $$p:E \rightarrow X$$ एक सामान्य समावेशी है और $$H=p_{\#}(\pi_1(E))$$, तब $$\operatorname{Deck}(p) \cong \pi_1(X)/H$$.

अगर $$p:E \rightarrow X$$ एक पाथ से जुड़ा समावेशी है और $$H=p_{\#}(\pi_1(E))$$, तब $$\operatorname{Deck}(p) \cong N(H)/H$$, जिससे $$N(H)$$ का सामान्यीकरणकर्ता है $$H$$.

मान लीजिए $$E$$ एक टोपोलॉजिकल समष्टि बनें। एक समूह $$\Gamma$$ लगातार कार्य करता है $$E$$, यदि प्रत्येक $$e \in E$$ एक विवृत निकटतम है $$V \subset E$$ साथ $$V \neq \empty$$, ऐसा कि हर किसी के लिए $$\gamma \in \Gamma$$ साथ $$\gamma V \cap V \neq \empty$$ किसी के पास $$d_1 = d_2$$.

यदि कोई समूह $$\Gamma$$ टोपोलॉजिकल समष्टि पर लगातार कार्य करता है $$E$$, फिर भागफल मानचित्र (टोपोलॉजी) $$q: E \rightarrow \Gamma \backslash E $$ साथ $$q(e)=\Gamma e$$ एक सामान्य समावेशी है. इसके द्वारा $$\Gamma \backslash E = \{\Gamma e: e \in E\}$$ भागफल स्थान (टोपोलॉजी) है और $$\Gamma e = \{\gamma(e):\gamma \in \Gamma\}$$ समूह क्रिया की कक्षा (समूह सिद्धांत) है।

उदाहरण

 * समावेशी $$q : S^1 \to S^1 $$ साथ $$q(z)=z^{n}$$ हर किसी के लिए एक सामान्य समावेशी है $$n \in \mathbb{N}$$.
 * प्रत्येक सरलता से जुड़ा समावेशी एक सामान्य समावेशी है।

गणना
मान लीजिए $$\Gamma$$ एक समूह बनें, जो टोपोलॉजिकल समष्टि पर लगातार कार्य करता है $$E$$ और जाने $$q: E \rightarrow \Gamma \backslash E $$ सामान्य समावेशी बनें.


 * अगर $$E$$ तो, पाथ-संबंधित है $$\operatorname{Deck}(q) \cong \Gamma$$.


 * अगर $$E$$ तो, बस संबद्ध है $$\operatorname{Deck}(q)\cong \pi_1(\Gamma \backslash E)$$.

उदाहरण

 * मान लीजिए $$n \in \mathbb{N}$$. एंटीपोडल मानचित्र $$g:S^n \rightarrow S^n$$ साथ $$g(x)=-x$$ मानचित्रों की संरचना के साथ मिलकर एक समूह उत्पन्न करता है $$D(g) \cong \mathbb{Z/2Z}$$ और एक समूह कार्रवाई को प्रेरित करता है $$D(g) \times S^n \rightarrow S^n, (g,x)\mapsto g(x)$$, जो लगातार कार्य करता है $$S^n$$. की वजह से $$\mathbb{Z_2} \backslash S^n \cong \mathbb{R}P^n$$ यह इस प्रकार है, कि भागफल मानचित्र $$q : S^n \rightarrow \mathbb{Z_2}\backslash S^n \cong \mathbb{R}P^n$$ एक सामान्य समावेशी है और के लिए $$n > 1$$ इसलिए, एक सार्वभौमिक समावेशी $$\operatorname{Deck}(q)\cong \mathbb{Z/2Z}\cong \pi_1({\mathbb{R}P^n})$$ के लिए $$n > 1$$.
 * मान लीजिए $$\mathrm{SO}(3)$$ विशेष ऑर्थोगोनल समूह बनें, फिर मानचित्र $$f : \mathrm{SU}(2) \rightarrow \mathrm{SO}(3) \cong \mathbb{Z_2} \backslash \mathrm{SU}(2)$$ एक सामान्य समावेशी है और इसकी वजह से $$\mathrm{SU}(2) \cong S^3$$, इसलिए, यह सार्वभौमिक समावेशी है $$\operatorname{Deck}(f) \cong \mathbb{Z/2Z} \cong \pi_1(\mathrm{SO}(3))$$.
 * समूह कार्रवाई के साथ $$(z_1,z_2)*(x,y)=(z_1+(-1)^{z_2}x,z_2+y)$$ का $$\mathbb{Z^2}$$ पर $$\mathbb{R^2}$$, जिससे $$(\mathbb{Z^2},*)$$ अर्धप्रत्यक्ष उत्पाद है $$\mathbb{Z} \rtimes \mathbb{Z} $$, व्यक्ति को सार्वभौमिक समावेशी प्राप्त होता है $$f: \mathbb{R^2} \rightarrow (\mathbb{Z} \rtimes \mathbb{Z}) \backslash \mathbb{R^2} \cong K $$ क्लेन बोतल का $$K$$, इस तरह $$\operatorname{Deck}(f) \cong \mathbb{Z} \rtimes \mathbb{Z} \cong \pi_1(K)$$.
 * मान लीजिए $$T = S^1 \times S^1$$ टोरस#टोपोलॉजी बनें जो इसमें अंतर्निहित है $$\mathbb{C^2}$$. तब व्यक्ति को एक समरूपता प्राप्त होती है $$\alpha: T \rightarrow T: (e^{ix},e^{iy}) \mapsto (e^{i(x+\pi)},e^{-iy})$$, जो एक असंतत समूह कार्रवाई को प्रेरित करता है $$G_{\alpha} \times T \rightarrow T$$, जिससे $$G_{\alpha} \cong \mathbb{Z/2Z}$$. यह इस प्रकार है, कि मानचित्र $$f: T \rightarrow G_{\alpha} \backslash T \cong K$$ इसलिए, यह क्लेन बोतल का एक सामान्य समावेशी है $$\operatorname{Deck}(f) \cong \mathbb{Z/2Z}$$.
 * मान लीजिए $$S^3$$ में सन्निहित हो $$\mathbb{C^2}$$. समूह कार्रवाई के बाद से $$S^3 \times \mathbb{Z/pZ} \rightarrow S^3: ((z_1,z_2),[k]) \mapsto (e^{2 \pi i k/p}z_1,e^{2 \pi i k q/p}z_2)$$ असंतत रूप से है, जिससे $$p,q \in \mathbb{N}$$ सहअभाज्य पूर्णांक हैं, मानचित्र $$f:S^3 \rightarrow \mathbb{Z_p} \backslash S^3 =: L_{p,q}$$ लेंस स्थान का सार्वभौमिक समावेशी है $$L_{p,q}$$, इस तरह $$\operatorname{Deck}(f) \cong \mathbb{Z/pZ} \cong \pi_1(L_{p,q})$$.

गैलोइस पत्राचार
मान लीजिए $$X$$ एक संबद्ध और स्थानीय रूप से बस  संबद्ध समष्टि समष्टि बनें, फिर प्रत्येक उपसमूह के लिए $$H\subseteq \pi_1(X)$$ वहाँ एक पाथ-संबद्ध समावेशी उपस्थित है $$\alpha:X_H \rightarrow X$$ साथ $$\alpha_{\#}(\pi_1(X_H))=H$$.

मान लीजिए $$p_1:E \rightarrow X$$ और $$p_2: E' \rightarrow X$$ दो पाथ-संबंधित समावेशी हों, तो वे उपसमूहों के समतुल्य हैं $$H = p_{1\#}(\pi_1(E))$$ और $$H'=p_{2\#}(\pi_1(E'))$$ एक दूसरे से संयुग्मन वर्ग#परिभाषा हैं।

मान लीजिए $$X$$ एक संबद्ध और स्थानीय रूप से बस  संबद्ध स्थान हो, फिर, समावेशीों के बीच समानता तक, एक आपत्ति है:

$$ \begin{matrix} \qquad \displaystyle \{\text{Subgroup of }\pi_1(X)\} & \longleftrightarrow & \displaystyle \{\text{path-connected covering } p:E \rightarrow X\} \\ H & \longrightarrow & \alpha:X_H \rightarrow X \\ p_\#(\pi_1(E))&\longleftarrow & p \\ \displaystyle \{\text{normal subgroup of }\pi_1(X)\} & \longleftrightarrow & \displaystyle \{\text{normal covering } p:E \rightarrow X\} \\ H & \longrightarrow & \alpha:X_H \rightarrow X \\ p_\#(\pi_1(E))&\longleftarrow & p  \end{matrix} $$ उपसमूहों के अनुक्रम के लिए $$ \displaystyle \{\text{e}\} \subset H \subset G \subset \pi_1(X) $$ व्यक्ति को समावेशीों का एक क्रम मिलता है $$ \tilde X \longrightarrow X_H \cong H \backslash \tilde X \longrightarrow X_G \cong G \backslash \tilde X \longrightarrow X\cong \pi_1(X) \backslash \tilde X $$. एक उपसमूह के लिए $$ H \subset \pi_1(X) $$ एक समूह के सूचकांक के साथ $$ \displaystyle[\pi_1(X):H] = d $$, समावेशी $$ \alpha:X_H \rightarrow X $$ की डिग्री है $$d$$.

कवर करने की श्रेणी
पत्र $$X$$ एक टोपोलॉजिकल समष्टि बनें। श्रेणी सिद्धांत की वस्तुएँ$$\boldsymbol{Cov(X)}$$समावेशी हैं $$p:E \rightarrow X$$ का $$X$$ और दो समावेशीों के बीच रूपवाद (श्रेणी सिद्धांत)। $$p:E \rightarrow X$$ और $$q:F\rightarrow X$$ सतत मानचित्र हैं $$f:E \rightarrow F$$, जैसे कि आरेख आवागमन.

जी-समुच्चय
मान लीजिए $$G$$ एक टोपोलॉजिकल समूह बनें। श्रेणी सिद्धांत $$\boldsymbol{G-Set}$$ समुच्चय की श्रेणी है जो जी-समुच्चय|जी-समुच्चय हैं। आकारिकी समूह क्रिया#जी-समुच्चयों के बीच आकारिकी और समरूपताएं हैं|जी-मानचित्र $$\phi:X \rightarrow Y$$ जी-समुच्चय के बीच. वे शर्त पूरी करते हैं $$\phi(gx)=g \, \phi(x)$$ हरएक के लिए $$g \in G$$.

समतुल्यता
मान लीजिए $$X$$ एक संबद्ध और स्थानीय रूप से बस  संबद्ध स्थान बनें, $$x \in X$$ और $$G = \pi_1(X,x)$$ का मौलिक समूह बनें $$X$$. तब से $$G$$ पाथों को उठाकर और लिफ्ट के अंतिम बिंदु पर मूल्यांकन करके, समावेशी के तंतु पर एक समूह क्रिया को परिभाषित करता है, ऑपरेटर $$F:\boldsymbol{Cov(X)} \longrightarrow \boldsymbol{G-Set}: p \mapsto p^{-1}(x)$$ श्रेणियों की तुल्यता है.

अनुप्रयोग
[[Image:Rotating gimbal-xyz.gif|thumb|188x188px|[[जिम्बल लॉक]] किसी भी मानचित्र के कारण होता है T3 → RP3 कोई कवरिंग मानचित्र नहीं है. विशेष रूप से, प्रासंगिक मानचित्र T के किसी भी तत्व को वहन करता है3, यानी, कोणों का एक क्रमित त्रिगुण (ए,बी,सी) (वास्तविक संख्या मॉड 2)$\pi$), तीन समन्वय अक्ष घूर्णन आर की संरचना के लिएx(ए)∘आरy(बी)∘आरz(सी) क्रमशः उन कोणों से। इनमें से प्रत्येक घूर्णन, और उनकी संरचना, घूर्णन समूह SO(3) का एक तत्व है, जो टोपोलॉजिकली आरपी है3.

यह एनीमेशन तीन गिंबल्स का एक समुच्चय दिखाता है जो तीन डिग्री की स्वतंत्रता की अनुमति देने के लिए एक साथ लगाए गए हैं। जब सभी तीन जिम्बल पंक्तिबद्ध होते हैं (एक ही विमान में), तो सिस्टम इस कॉन्फ़िगरेशन से केवल दो आयामों में आगे बढ़ सकता है, तीन में नहीं, और जिम्बल लॉक में होता है। इस मामले में यह पिच या यॉ कर सकता है, लेकिन लुढ़क नहीं सकता (उस तल में घूम सकता है जिसमें सभी अक्ष स्थित हैं)।]]रिक्त स्थान को कवर करने का एक महत्वपूर्ण व्यावहारिक अनुप्रयोग SO(3), रोटेशन समूह SO(3) पर चार्ट में होता है। मार्गदर्शन, समुद्री इंजीनियरिंग और  अंतरिक्ष इंजिनीयरिंग  सहित कई अन्य उपयोगों में 3-आयामी घुमावों का भारी उपयोग होने के कारण, यह समूह इंजीनियरिंग में व्यापक रूप से पाया जाता है। टोपोलॉजिकली, SO(3) वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान RP है3, मौलिक समूह Z/2 के साथ, और केवल (गैर-तुच्छ) हाइपरस्फीयर S स्थान को कवर करता है3, जो समूह स्पिन समूह|स्पिन(3) है, और इकाई चतुर्भुज द्वारा दर्शाया गया है। इस प्रकार स्थानिक घूर्णन का प्रतिनिधित्व करने के लिए चतुर्भुज एक पसंदीदा तरीका है - चतुर्भुज और स्थानिक घूर्णन देखें।

हालाँकि, घुमावों को तीन संख्याओं के एक समुच्चय द्वारा प्रस्तुत करना प्रायः वांछनीय होता है, जिसे यूलर कोण (कई रूपों में) के रूप में जाना जाता है, क्योंकि यह समतलीय घुमाव से परिचित किसी व्यक्ति के लिए अवधारणात्मक रूप से सरल है, और क्योंकि कोई तीन गिंबल्स का संयोजन बना सकता है तीन आयामों में घूर्णन उत्पन्न करें। टोपोलॉजिकल रूप से यह 3-टोरस टी के मानचित्र से मेल खाता हैवास्तविक प्रक्षेप्य स्थान आरपी के तीन कोणों में से 33परिवर्तन, और परिणामी मानचित्र में खामियां हैं क्योंकि यह मानचित्र एक कवरिंग मानचित्र बनने में असमर्थ है। विशेष रूप से, कुछ बिंदुओं पर स्थानीय होमोमोर्फिज्म होने में मानचित्र की विफलता को जिम्बल लॉक के रूप में जाना जाता है, और इसे दाईं ओर एनीमेशन में प्रदर्शित किया जाता है - कुछ बिंदुओं पर (जब अक्ष समतलीय होते हैं) रैंक (अंतर टोपोलॉजी) मानचित्र 3 के बजाय 2 है, जिसका अर्थ है कि कोणों को बदलकर उस बिंदु से घूर्णन के केवल 2 आयामों को महसूस किया जा सकता है। यह अनुप्रयोगों में समस्याएँ उन्नत करता है, और इसे कवरिंग समष्टि की धारणा द्वारा औपचारिक रूप दिया जाता है।

यह भी देखें

 * बेथे जाली केली ग्राफ का सार्वभौमिक समावेशी है
 * कवरिंग (समावेशी) ग्राफ, एक अप्रत्यक्ष ग्राफ़ के लिए एक समावेशी समष्टि, और इसका विशेष स्थिति द्विदलीय डबल कवर
 * कवरिंग (समावेशी) समूह
 * गैलोइस कनेक्शन
 * भागफल समष्टि (टोपोलॉजी)