गॉसियन अभिन्न

छवि: ई^(-x^2).svg|thumb|right| समारोह का ग्राफ $$f(x) = e^{-x^2}$$ और इसके और के बीच का क्षेत्र $$x$$-अक्ष, (अर्थात पूरी वास्तविक रेखा) जो बराबर है $$\sqrt{\pi}$$.

गॉसियन इंटीग्रल, जिसे यूलर-पॉइसन इंटीग्रल के रूप में भी जाना जाता है, गाऊसी समारोह का इंटीग्रल है $$f(x) = e^{-x^2}$$ पूरी वास्तविक रेखा पर। जर्मन गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस के नाम पर, अभिन्न अंग है $$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}.$$ अब्राहम डी मोइवरे ने मूल रूप से 1733 में इस प्रकार के इंटीग्रल की खोज की थी, जबकि गॉस ने 1809 में सटीक इंटीग्रल प्रकाशित किया था। इंटीग्रल में अनुप्रयोगों की एक विस्तृत श्रृंखला है। उदाहरण के लिए, चरों में मामूली बदलाव के साथ इसका उपयोग सामान्य वितरण के सामान्यीकरण स्थिरांक की गणना करने के लिए किया जाता है। परिमित सीमाओं के साथ एक ही अभिन्न त्रुटि फ़ंक्शन और सामान्य वितरण के संचयी वितरण फ़ंक्शन दोनों से निकटता से संबंधित है। भौतिक विज्ञान में इस प्रकार का अभिन्न अंग अक्सर प्रकट होता है, उदाहरण के लिए, क्वांटम यांत्रिकी में, हार्मोनिक ऑसिलेटर की जमीनी स्थिति की संभावना घनत्व का पता लगाने के लिए। हार्मोनिक थरथरानवाला के प्रचारक को खोजने के लिए, और सांख्यिकीय यांत्रिकी में, इसके विभाजन समारोह (सांख्यिकीय यांत्रिकी) को खोजने के लिए, इस अभिन्न अंग का उपयोग पथ अभिन्न सूत्रीकरण में भी किया जाता है।

हालांकि त्रुटि फ़ंक्शन के लिए कोई प्राथमिक फ़ंक्शन मौजूद नहीं है, जैसा कि Risch एल्गोरिथम द्वारा सिद्ध किया जा सकता है, गॉसियन इंटीग्रल को बहुभिन्नरूपी कैलकुलस के तरीकों के माध्यम से विश्लेषणात्मक रूप से हल किया जा सकता है। अर्थात्, के लिए कोई प्राथमिक अनिश्चित समाकल नहीं है $$\int e^{-x^2}\,dx,$$ लेकिन निश्चित अभिन्न $$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx$$ मूल्यांकन किया जा सकता है। एक स्वेच्छ गॉसियन फलन का निश्चित समाकल है $$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a(x+b)^2}\,dx= \sqrt{\frac{\pi}{a}}.$$

ध्रुवीय निर्देशांक द्वारा
गॉसियन इंटीग्रल की गणना करने का एक मानक तरीका, जिसका विचार प्वासों तक जाता है, संपत्ति का उपयोग करना है कि:

$$\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx\right)^2 = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,dy = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\left(x^2+y^2\right)}\, dx\,dy. $$ समारोह पर विचार करें $$e^{-\left(x^2 + y^2\right)} = e^{-r^{2}}$$विमान पर $$\mathbb{R}^2$$, और इसके अभिन्न दो तरीकों की गणना करें: इन दो संगणनाओं की तुलना करने से अभिन्नता प्राप्त होती है, हालांकि इसमें शामिल अनुचित अभिन्नताओं के बारे में ध्यान रखना चाहिए।
 * 1) एक ओर, कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में दोहरे एकीकरण द्वारा, इसका अभिन्न एक वर्ग है: $$\left(\int e^{-x^2}\,dx\right)^2;$$
 * 2) दूसरी ओर,  खोल एकीकरण  (ध्रुवीय निर्देशांक में दोहरे एकीकरण का मामला) द्वारा, इसके इंटीग्रल की गणना की जाती है $$\pi$$

$$\begin{align} \iint_{\R^2} e^{-\left(x^2 + y^2\right)}dx\,dy &= \int_0^{2\pi} \int_0^{\infty} e^{-r^2}r\,dr\,d\theta\\[6pt] &= 2\pi \int_0^\infty re^{-r^2}\,dr\\[6pt] &= 2\pi \int_{-\infty}^0 \tfrac{1}{2} e^s\,ds && s = -r^2\\[6pt] &= \pi \int_{-\infty}^0 e^s\,ds \\[6pt] &= \pi \left(e^0 - e^{-\infty}\right) \\[6pt] &=\pi, \end{align}$$ जहां का कारक $r$ जैकबियन निर्धारक है जो विहित समन्वय परिवर्तनों की सूची के कारण प्रकट होता है ($r dr dθ$ समतल पर मानक माप है, जिसे ध्रुवीय निर्देशांकों में व्यक्त किया गया है। $s = −r^{2}$, इसलिए $ds = −2r dr$.

इन पैदावार को मिलाकर $$\left ( \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx \right )^2=\pi,$$ इसलिए $$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}.$$

पूरा प्रमाण
अनुचित डबल इंटीग्रल्स को सही ठहराने के लिए और दो भावों को समान करने के लिए, हम एक अनुमानित कार्य से शुरू करते हैं: $$I(a) = \int_{-a}^a e^{-x^2}dx.$$ यदि अभिन्न $$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \, dx$$ पूर्ण रूप से अभिसारी होते तो हमें उसका कौशी मूल मूल्य, यानी सीमा होती $$\lim_{a\to\infty} I(a) $$ के साथ मेल खाएगा $$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx.$$ यह देखने के लिए कि यह मामला है, उस पर विचार करें

$$\int_{-\infty}^\infty \left|e^{-x^2}\right| dx < \int_{-\infty}^{-1} -x e^{-x^2}\, dx + \int_{-1}^1 e^{-x^2}\, dx+ \int_{1}^{\infty} x e^{-x^2}\, dx < \infty .$$ तो हम गणना कर सकते हैं $$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \, dx$$ केवल सीमा लेकर $$\lim_{a\to\infty} I(a).$$ का वर्ग ले रहा है $$I(a)$$ पैदावार

$$\begin{align} I(a)^2 & = \left ( \int_{-a}^a e^{-x^2}\, dx \right ) \left ( \int_{-a}^a e^{-y^2}\, dy \right ) \\[6pt] & = \int_{-a}^a \left ( \int_{-a}^a e^{-y^2}\, dy \right )\,e^{-x^2}\, dx \\[6pt] & = \int_{-a}^a \int_{-a}^a e^{-\left(x^2+y^2\right)}\,dy\,dx. \end{align}$$ फ़ुबिनी के प्रमेय का उपयोग करते हुए, उपरोक्त दोहरे समाकल को एक क्षेत्र समाकल के रूप में देखा जा सकता है $$\iint_{[-a, a] \times [-a, a]} e^{-\left(x^2+y^2\right)}\,d(x,y),$$ शीर्षों के साथ एक वर्ग पर कब्जा कर लिया ${(−a, a), (a, a), (a, −a), (−a, −a)}$ कार्टेशियन विमान पर।

चूँकि सभी वास्तविक संख्याओं के लिए घातीय फलन 0 से अधिक है, तो यह इस प्रकार है कि वर्ग के अंतर्वृत्त पर लिया गया समाकल इससे कम होना चाहिए $$I(a)^2$$, और इसी प्रकार वर्ग के परिवृत्त पर लिया गया समाकल इससे बड़ा होना चाहिए $$I(a)^2$$. कार्टेसियन निर्देशांक से विहित समन्वय परिवर्तनों की सूची में स्विच करके दो डिस्क पर इंटीग्रल आसानी से गणना की जा सकती है:

$$\begin{align} x & = r \cos \theta \\ y & = r \sin\theta \end{align}$$ $$ \mathbf J(r, \theta) = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial\theta}\\[1em] \dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial\theta} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & - r\sin \theta \\ \sin\theta &  r\cos \theta \end{bmatrix} $$ $$d(x,y) = |J(r, \theta)|d(r,\theta) = r\, d(r,\theta).$$ $$\int_0^{2\pi} \int_0^a re^{-r^2} \, dr \, d\theta < I^2(a) < \int_0^{2\pi} \int_0^{a\sqrt{2}} re^{-r^2} \, dr\, d\theta.$$ (ध्रुवीय परिवर्तन में सहायता के लिए विहित समन्वय परिवर्तनों की सूची देखें।)

एकीकृत, $$\pi \left(1-e^{-a^2}\right) < I^2(a) < \pi \left(1 - e^{-2a^2}\right). $$ निचोड़ प्रमेय द्वारा, यह गॉसियन अभिन्न देता है $$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\, dx = \sqrt{\pi}.$$

कार्तीय निर्देशांक द्वारा
एक अलग तकनीक, जो लाप्लास (1812) तक जाती है, निम्नलखित में से कोई। होने देना $$\begin{align} y & = xs \\ dy & = x\,ds. \end{align}$$ चूंकि सीमाएँ हैं $s$ जैसा $y → ±∞$ के चिह्न पर निर्भर करता है $x$, यह इस तथ्य का उपयोग करने के लिए गणना को सरल करता है कि $e^{−x^{2}}|undefined$ एक सम फलन है, और, इसलिए, सभी वास्तविक संख्याओं का समाकल शून्य से अनंत तक समाकल का दुगुना है। वह है,

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = 2\int_{0}^{\infty} e^{-x^2}\,dx.$$ इस प्रकार, एकीकरण की सीमा से अधिक, $x ≥ 0$, और चर $y$ और $s$ की समान सीमाएँ हैं। यह प्रदान करता है: $$\begin{align} I^2 &= 4 \int_0^\infty \int_0^\infty e^{-\left(x^2 + y^2\right)} dy\,dx \\[6pt] &= 4 \int_0^\infty \left( \int_0^\infty e^{-\left(x^2 + y^2\right)} \, dy \right) \, dx \\[6pt] &= 4 \int_0^\infty \left( \int_0^\infty e^{-x^2\left(1+s^2\right)} x\,ds \right) \, dx \\[6pt] \end{align}$$ फिर, एकीकरण के क्रम (कलन) को बदलने के लिए फ़ुबिनी के प्रमेय का उपयोग करना: $$\begin{align} I^2 &= 4 \int_0^\infty \left( \int_0^\infty e^{-x^2\left(1 + s^2\right)} x \, dx \right) \, ds \\[6pt] &= 4 \int_0^\infty \left[ \frac{e^{-x^2\left(1+s^2\right)} }{-2 \left(1+s^2\right)} \right]_{x=0}^{x=\infty} \, ds \\[6pt] &= 4 \left (\frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{ds}{1+s^2} \right) \\[6pt] &= 2 \arctan(s)\Big |_0^\infty \\[6pt] &= \pi. \end{align}$$ इसलिए, $$I = \sqrt{\pi}$$, आशा के अनुसार।

लाप्लास की विधि से
लाप्लास सन्निकटन में, हम टेलर विस्तार में केवल दूसरे क्रम की शर्तों तक ही व्यवहार करते हैं, इसलिए हम विचार करते हैं $$e^{-x^2}\approx 1-x^2 \approx (1+x^2)^{-1}$$.

वास्तव में, चूंकि $$(1+t)e^{-t} \leq 1$$ सभी के लिए $$t$$, हमारे पास सटीक सीमाएँ हैं:$$1-x^2 \leq e^{-x^2} \leq (1+x^2)^{-1}$$तब हम लाप्लास सन्निकटन सीमा पर बाध्य कर सकते हैं:$$\int_{[-1, 1]}(1-x^2)^n dx \leq \int_{[-1, 1]}e^{-nx^2} dx \leq \int_{[-1, 1]}(1+x^2)^{-n} dx$$ वह है,$$2\sqrt n\int_{[0, 1]}(1-x^2)^n dx \leq \int_{[-\sqrt n, \sqrt n]}e^{-x^2} dx \leq 2\sqrt n\int_{[0, 1]}(1+x^2)^{-n} dx$$ त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन द्वारा, हम वास्तव में दो सीमाओं की गणना करते हैं: $$2\sqrt n(2n)!!/(2n+1)!!$$, $$2\sqrt n (\pi/2)(2n-3)!!/(2n-2)!!$$ वालिस सूत्र द्वारा, दो सीमाओं का भागफल 1 में परिवर्तित होता है। प्रत्यक्ष गणना द्वारा, दो सीमाओं का उत्पाद अभिसरण होता है $$\pi$$.$$\frac \pi 2 = \prod_{n=1} \frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}$$इसके विपरीत, यदि हम पहले उपरोक्त अन्य विधियों में से एक के साथ समाकलन की गणना करते हैं, तो हमें वालिस सूत्र का एक प्रमाण प्राप्त होगा।

गामा समारोह से संबंध
इंटीग्रैंड एक समान कार्य है,

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = 2 \int_0^\infty e^{-x^2} dx$$ इस प्रकार, चर के परिवर्तन के बाद $x = \sqrt{t}$, यह यूलर इंटीग्रल में बदल जाता है

$$2 \int_0^\infty e^{-x^2} dx=2\int_0^\infty \frac{1}{2}\ e^{-t} \ t^{-\frac{1}{2}} dt = \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$$ कहाँ $ \Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} t^{z-1} e^{-t} dt $ गामा समारोह है। इससे पता चलता है कि आधे पूर्णांक का क्रमगुणन का परिमेय गुणक क्यों होता है $\sqrt \pi$. आम तौर पर अधिक, $$\int_0^\infty x^n e^{-ax^b} dx = \frac{\Gamma\left((n+1)/b\right)}{ba^{(n+1)/b}}, $$ जिसे प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जा सकता है $$t=a x^b$$ प्राप्त करने के लिए गामा समारोह के एकीकरण में $ \Gamma(z) = a^z b \int_0^{\infty} x^{bz-1} e^{-a x^b} dx $.

गाऊसी फलन का समाकलन
एक स्वेच्छ गाऊसी फलन का समाकल है $$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a(x+b)^2}\,dx= \sqrt{\frac{\pi}{a}}.$$ एक वैकल्पिक रूप है $$\int_{-\infty}^{\infty}e^{- a x^2 + b x + c}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\,e^{\frac{b^2}{4a}+c}.$$ यह फॉर्म सामान्य वितरण से संबंधित कुछ सतत संभाव्यता वितरण की अपेक्षाओं की गणना के लिए उपयोगी है, उदाहरण के लिए लॉग-सामान्य वितरण।

एन-आयामी और कार्यात्मक सामान्यीकरण
मान लीजिए A एक सममित सकारात्मक-निश्चित है (इसलिए उलटा) $n × n$ परिशुद्ध मैट्रिक्स, जो सटीक मैट्रिक्स का मैट्रिक्स व्युत्क्रम है। तब,

$$\int_{-\infty}^\infty \exp{\left(-\frac 1 2 \sum\limits_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j \right)} \, d^n x = \int_{-\infty}^\infty \exp{\left(-\frac 1 2 x^\mathsf{T} A x \right)} \, d^n x = \sqrt{\frac{(2\pi)^n}{\det A}} =\sqrt{\frac{1}{\det (A / 2\pi)}} =\sqrt{\det (2 \pi A^{-1})}$$ जहां इंटीग्रल को R के ऊपर समझा जाता हैएन. यह तथ्य बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण के अध्ययन में लागू होता है।

भी, $$\int x_{k_1}\cdots x_{k_{2N}} \, \exp{\left( -\frac{1}{2} \sum\limits_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j \right)} \, d^nx =\sqrt{\frac{(2\pi)^n}{\det A}} \, \frac{1}{2^N N!} \, \sum_{\sigma \in S_{2N}}(A^{-1})_{k_{\sigma(1)}k_{\sigma(2)}} \cdots (A^{-1})_{k_{\sigma(2N-1)}k_{\sigma(2N)}}$$ जहां σ का क्रमचय है ${1, …, 2N}$ और दाहिनी ओर का अतिरिक्त गुणनखंड के सभी संयोजी युग्मों का योग है {1, …, 2N} }ए की एन प्रतियों की }-1.

वैकल्पिक रूप से,

$$\int f(\vec x) \exp{\left( - \frac 1 2 \sum_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j \right)} d^nx=\sqrt{(2\pi)^n\over \det A} \, \left. \exp{\left({1\over 2} \sum_{i,j=1}^{n}\left(A^{-1}\right)_{ij}{\partial \over \partial x_i}{\partial \over \partial x_j}\right)} f(\vec{x})\right|_{\vec{x}=0}$$ कुछ विश्लेषणात्मक कार्य f के लिए, बशर्ते कि यह इसके विकास और कुछ अन्य तकनीकी मानदंडों पर कुछ उपयुक्त सीमाओं को पूरा करे। (यह कुछ कार्यों के लिए काम करता है और दूसरों के लिए विफल रहता है। बहुपद ठीक हैं।) एक अंतर ऑपरेटर पर घातांक को एक शक्ति श्रृंखला के रूप में समझा जाता है।

जबकि कार्यात्मक अभिन्न की कोई कठोर परिभाषा नहीं है (या यहां तक ​​​​कि ज्यादातर मामलों में एक गैर-कठोर कम्प्यूटेशनल), हम परिमित-आयामी मामले के अनुरूप एक गॉसियन कार्यात्मक अभिन्न को परिभाषित कर सकते हैं। हालांकि, अभी भी समस्या है $$(2\pi)^\infty$$ अनंत है और साथ ही, कार्यात्मक निर्धारक भी सामान्य रूप से अनंत होगा। यदि हम केवल अनुपातों पर विचार करें तो इसका ध्यान रखा जा सकता है:


 * $$\begin{align}

& \frac{\displaystyle\int f(x_1)\cdots f(x_{2N}) \exp\left[{-\iint \frac{1}{2}A(x_{2N+1},x_{2N+2}) f(x_{2N+1}) f(x_{2N+2}) \, d^dx_{2N+1} \, d^dx_{2N+2}}\right] \mathcal{D}f}{\displaystyle\int \exp\left[{-\iint \frac{1}{2} A(x_{2N+1}, x_{2N+2}) f(x_{2N+1}) f(x_{2N+2}) \, d^dx_{2N+1} \, d^dx_{2N+2}}\right] \mathcal{D}f} \\[6pt] = {} & \frac{1}{2^N N!}\sum_{\sigma \in S_{2N}}A^{-1}(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)})\cdots A^{-1}(x_{\sigma(2N-1)},x_{\sigma(2N)}). \end{align}$$ डेविट संकेतन में, समीकरण परिमित-आयामी मामले के समान दिखता है।

रैखिक शब्द
के साथ एन-आयामी यदि ए फिर से एक सममित सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स है, तो (मान लीजिए कि सभी कॉलम वैक्टर हैं) $$\int \exp\left(-\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j+\sum_{i=1}^{n}B_i x_i\right) d^n x =\int e^{-\frac{1}{2}\vec{x}^\mathsf{T} \mathbf{A} \vec{x}+\vec{B}^\mathsf{T} \vec{x}} d^n x = \sqrt{ \frac{(2\pi)^n}{\det{A}} }e^{\frac{1}{2}\vec{B}^\mathsf{T}\mathbf{A}^{-1}\vec{B}}.$$

समान रूप के इंटीग्रल
$$\int_0^\infty x^{2n} e^{-\frac{x^2}{a^2}}\,dx = \sqrt{\pi}\frac{a^{2n+1} (2n-1)!!}{2^{n+1}}$$ $$\int_0^\infty x^{2n+1} e^{-\frac{x^2}{a^2}}\,dx = \frac{n!}{2} a^{2n+2}$$ $$\int_0^\infty x^{2n}e^{-bx^2}\,dx = \frac{(2n-1)!!}{b^n 2^{n+1}} \sqrt{\frac{\pi}{b}}$$ $$\int_0^\infty x^{2n+1}e^{-bx^2}\,dx = \frac{n!}{2b^{n+1}}$$ $$\int_0^\infty x^{n}e^{-bx^2}\,dx = \frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{2b^{\frac{n+1}{2}}}$$ कहाँ $$n$$ एक सकारात्मक पूर्णांक है और $$!!$$ डबल फैक्टोरियल को दर्शाता है।

इन्हें प्राप्त करने का एक आसान तरीका लीबनिज इंटीग्रल रूल #Evaluating निश्चित इंटीग्रल है।

$$\begin{align} \int_{-\infty}^\infty x^{2n} e^{-\alpha x^2}\,dx &= \left(-1\right)^n\int_{-\infty}^\infty \frac{\partial^n}{\partial \alpha^n} e^{-\alpha x^2}\,dx \\ &= \left(-1\right)^n\frac{\partial^n}{\partial \alpha^n} \int_{-\infty}^\infty e^{-\alpha x^2}\,dx\\[6pt] &= \sqrt{\pi} \left(-1\right)^n\frac{\partial^n}{\partial \alpha^n}\alpha^{-\frac{1}{2}} \\ &= \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\frac{(2n-1)!!}{\left(2\alpha\right)^n} \end{align}$$ कोई भी भागों से एकीकृत हो सकता है और इसे हल करने के लिए पुनरावृत्ति संबंध ढूंढ सकता है।

उच्च-क्रम बहुपद
आधार के एक रैखिक परिवर्तन को लागू करने से पता चलता है कि एन चर में एक सजातीय बहुपद के घातांक का अभिन्न अंग केवल SL(n)|SL(n)-बहुपद के अपरिवर्तनीय पर निर्भर हो सकता है। ऐसा ही एक अपरिवर्तनीय विवेचक है, जिनमें से शून्य अभिन्न की विलक्षणताओं को चिह्नित करते हैं। हालाँकि, अभिन्न अन्य आक्रमणकारियों पर भी निर्भर हो सकता है। अन्य समान बहुपदों के घातांकों को श्रृंखला का उपयोग करके संख्यात्मक रूप से हल किया जा सकता है। अभिसरण न होने पर इनकी औपचारिक गणना के रूप में व्याख्या की जा सकती है। उदाहरण के लिए, क्वार्टिक बहुपद के घातांक के समाकल का हल है

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{a x^4+b x^3+c x^2+d x+f}\,dx = \frac{1}{2} e^f \sum_{\begin{smallmatrix}n,m,p=0 \\ n+p=0 \mod 2\end{smallmatrix}}^{\infty} \frac{b^n}{n!} \frac{c^m}{m!} \frac{d^p}{p!} \frac{\Gamma \left (\frac{3n+2m+p+1}{4} \right)}{(-a)^{\frac{3n+2m+p+1}4}}.$$

${{math|1=n + p = 0}0}}$ mod 2 की आवश्यकता इसलिए है क्योंकि −∞ से 0 का समाकल एक कारक का योगदान देता है $(−1)^{n+p}/2$ प्रत्येक पद के लिए, जबकि 0 से +∞ का समाकल प्रत्येक पद के लिए 1/2 के गुणक का योगदान देता है। ये इंटीग्रल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत  जैसे विषयों में बदल जाते हैं।

यह भी देखें

 * गाऊसी कार्यों के अभिन्न अंग की सूची
 * क्वांटम फील्ड थ्योरी में कॉमन इंटीग्रल्स
 * सामान्य वितरण
 * घातीय कार्यों के इंटीग्रल की सूची
 * त्रुटि समारोह
 * बेरेज़िन अभिन्न

स्रोत


श्रेणी:इंटीग्रल्स श्रेणी:साक्ष्य युक्त लेख श्रेणी:गाऊसी फलन श्रेणी:विश्लेषण में प्रमेय