तलीय लैमिना

गणित में, एक तलीय पटल (या समतल पटल ) ठोस की एक पतली, आमतौर पर समान, सपाट परत का प्रतिनिधित्व करने वाली आकृति है। यह अभिन्न  में एक ठोस शरीर के प्लानर क्रॉस सेक्शन के आदर्श मॉडल के रूप में भी कार्य करता है।

जड़त्व के क्षणों, या सपाट आकृतियों के द्रव्यमान के केंद्र को निर्धारित करने के साथ-साथ 3डी निकायों के लिए संबंधित गणनाओं में सहायता के लिए प्लानर लेमिनस का उपयोग किया जा सकता है।

परिभाषा
मूल रूप से, एक प्लानर लैमिना को एक आकृति (एक बंद सेट) के रूप में परिभाषित किया जाता है। $D$ एक विमान में एक परिमित क्षेत्र का, कुछ द्रव्यमान के साथ $m$.

यह स्थिर घनत्व के लिए जड़ता या द्रव्यमान के केंद्र के क्षणों की गणना करने में उपयोगी है, क्योंकि एक पटल का द्रव्यमान उसके क्षेत्रफल के समानुपाती होता है। चर घनत्व के मामले में, कुछ (गैर-ऋणात्मक) सतह घनत्व फ़ंक्शन द्वारा दिया गया $$\rho(x,y),$$ सामूहिक $$m$$ समतल पटल की $D$ का समतलीय समाकलन है $ρ$ चित्र के ऊपर:


 * $$m = \iint_D\rho(x,y)\,dx\,dy$$

गुण
पटल के द्रव्यमान का केंद्र बिंदु पर है


 * $$ \left(\frac{M_y}{m},\frac{M_x}{m}\right) $$

कहाँ $$M_y $$ y-अक्ष के बारे में पूरे पटल का क्षण है और $$M_x $$ एक्स-अक्ष के बारे में पूरे पटल का क्षण है:


 * $$M_y = \lim_{m,n \to \infty}\,\sum_{i=1}^{m}\,\sum_{j=1}^{n}\,x{_{ij}}^{*}\,\rho\ (x{_{ij}}^{*},y{_{ij}}^{*})\,\Delta D = \iint_D x\, \rho\ (x,y)\,dx\,dy$$
 * $$M_x = \lim_{m,n \to \infty}\,\sum_{i=1}^{m}\,\sum_{j=1}^{n}\,y{_{ij}}^{*}\,\rho\ (x{_{ij}}^{*},y{_{ij}}^{*})\,\Delta D = \iint_D y\, \rho\ (x,y)\,dx\,dy$$

समन और एकीकरण के साथ एक प्लानर डोमेन पर लिया गया $$D$$.

उदाहरण
रेखाओं द्वारा दिए गए किनारों के साथ पटल के द्रव्यमान का केंद्र ज्ञात कीजिए $$x=0,$$ $$y=x$$ और $$y=4-x$$ जहां घनत्व के रूप में दिया गया है $$\rho\ (x,y)\,=2x+3y+2$$.

इसके लिए मास $$m$$ क्षणों के साथ-साथ पाया जाना चाहिए $$M_y$$ और $$M_x$$.

मास है $$m = \iint_D\rho(x,y)\,dx\,dy$$ जिसे समान रूप से पुनरावृत्त अभिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:


 * $$m = \int_{x=0}^2 \int_{y=x}^{4-x} \,(2x+3y+2)\,dy\,dx$$

आंतरिक अभिन्न है:


 * $$\int_{y=x}^{4-x} \,(2x+3y+2)\,dy$$
 * $$\qquad = \left.\left(2xy+\frac{3y^2}{2}+2y\right)\right|_{y=x}^{4-x}$$
 * $$\qquad = \left[2x(4-x)+\frac{3(4-x)^2}{2}+2(4-x)\right]-\left[2x(x)+\frac{3(x)^2}{2}+2(x)\right]$$
 * $$\qquad = -4x^2-8x+32$$

इसे बाहरी अभिन्न परिणामों में प्लग करना:


 * $$\begin{align}m & =\int_{x=0}^2\left(-4x^2-8x+32\right)\,dx \\

& = \left.\left(-\frac{4x^3}{3}-4x^2+32x\right)\right|_{x=0}^2 \\ & = \frac{112}{3} \end{align}$$ इसी प्रकार दोनों क्षणों की गणना की जाती है:


 * $$M_y = \iint_D x\,\rho(x,y)\,dx\,dy = \int_{x=0}^2 \int_{y=x}^{4-x} x\,(2x+3y+2)\,dy\,dx$$

आंतरिक अभिन्न के साथ:


 * $$\int_{y=x}^{4-x} x\,(2x+3y+2)\,dy$$
 * $$\qquad = \left.\left(2x^2y+\frac{3xy^2}{2}+2xy\right)\right|_{y=x}^{4-x}$$
 * $$\qquad = -4x^3-8x^2+32x$$

किसने बनाया:


 * $$\begin{align} M_y & = \int_{x=0}^2(-4x^3-8x^2+32x)\,dx \\

& = \left.\left(-x^4-\frac{8x^3}{3}+16x^2\right)\right|_{x=0}^2 \\ & = \frac{80}{3} \end{align}$$ और


 * $$\begin{align}M_x & = \iint_D y\,\rho(x,y)\,dx\,dy = \int_{x=0}^2 \int_{y=x}^{4-x} y\,(2x+3y+2)\,dy\,dx \\

& = \int_0^2(xy^2+y^3+y^2)\Big|_{y=x}^{4-x}\,dx \\ & = \int_0^2(-2x^3+4x^2-40x+80)\,dx \\ & = \left.\left(-\frac{x^4}{2}+\frac{4x^3}{3}-20x^2+80x\right)\right|_{x=0}^2 \\ & = \frac{248}{3} \end{align}$$ अंत में, द्रव्यमान का केंद्र है


 * $$\left( \frac{M_y}m, \frac{M_x}m \right) =

\left( \frac{\frac{80}{3}}{\frac{112}{3}}, \frac{\frac{248}{3}}{\frac{112}{3}} \right) = \left( \frac 57, \frac{31}{14} \right)$$