उचित समय

सापेक्षता में, समयबद्ध विश्व रेखा के साथ उपयुक्त समय (लैटिन से, जिसका अर्थ है स्वयं का समय ) को उस समय के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो उस रेखा के बाद एक घड़ी द्वारा मापा जाता है। इस प्रकार यह निर्देशांकों से स्वतंत्र है, और लोरेंत्ज़ अदिश है।  विश्व रेखा पर दो घटनाओं (सापेक्षता) के बीच उपयुक्त समय अंतराल उपयुक्त समय में परिवर्तन है। यह अंतराल संबंध की मात्रा है, क्योंकि उपयुक्त समय केवल एक एकपक्षीय रूप से योगात्मक स्थिरांक तक ही निर्धारित होता है, अर्थात् विश्व रेखा के साथ किसी घटना पर घड़ी का समायोजन होता है।

दो घटनाओं के बीच उपयुक्त समय अंतराल न केवल घटनाओं पर निर्भर करता है, बल्कि उन्हें जोड़ने वाली विश्व रेखा और इसलिए घटनाओं के बीच घड़ी की गति पर भी निर्भर करता है। इसे विश्व रेखा पर एक अभिन्न के रूप में व्यक्त किया गया है (यूक्लिडियन समष्टि में चाप की लंबाई के अनुरूप)। त्वरित घड़ी दो घटनाओं के बीच एक गैर-त्वरित (जड़त्वीय) घड़ी द्वारा मापी गई तुलना में दो घटनाओं के बीच कम व्यतीत समय मापेगी। समरूप पैराडॉक्स (विरोधाभास) इस आशय का एक उदाहरण है।

विधि के अनुसार, उपयुक्त समय को सामान्य रूप से ग्रीक अक्षर τ (tau) द्वारा दर्शाया जाता है ताकि इसे t द्वारा दर्शाए गए समन्वय समय से अलग किया जा सके। समन्वय समय दो घटनाओं के बीच का समय है, जैसा कि एक पर्यवेक्षक द्वारा उस पर्यवेक्षक द्वारा किसी घटना को समय निर्दिष्ट करने की अपनी विधि का उपयोग करके मापा जाता है। विशेष सापेक्षता में एक जड़त्वीय पर्यवेक्षक के विशेष स्थिति में, पर्यवेक्षक की घड़ी और पर्यवेक्षक की एक साथ की परिभाषा का उपयोग करके समय को मापा जाता है।

1908 में हरमन मिन्कोव्स्की द्वारा उपयुक्त समय की अवधारणा प्रस्तुत की गई थी, और यह मिन्कोव्स्की आरेखों की एक महत्वपूर्ण विशेषता है।

गणितीय औपचारिकता
उपयुक्त समय की औपचारिक परिभाषा में समष्टि समय के माध्यम से पथ का वर्णन करना सम्मिलित है जो एक घड़ी, पर्यवेक्षक, या परीक्षण कण और उस समष्टि समय के आव्यूह प्रदिश (सामान्य सापेक्षता) का प्रतिनिधित्व करता है। उपयुक्त समय चार आयामी समष्टि-समय में विश्व रेखाओं की छद्म-रीमैनियन चाप लंबाई है। गणितीय दृष्टिकोण से, समन्वय समय को पूर्वनिर्धारित माना जाता है और समन्वय समय के कार्य के रूप में उपयुक्त समय के लिए एक अभिव्यक्ति की आवश्यकता होती है। दूसरी ओर, उपयुक्त समय को प्रयोगात्मक रूप से मापा जाता है और समन्वय समय की गणना जड़त्वीय घड़ियों के उपयुक्त समय से की जाती है।

उपयुक्त समय को केवल समष्टि समय के माध्यम से समय सदृश पथों के लिए परिभाषित किया जा सकता है जो भौतिक मापक और घड़ियों के साथ-साथ समुच्चय के निर्माण की स्वीकृति देता है। समष्टि जैसे पथ के लिए समान औपचारिकता उपयुक्त समय के अतिरिक्त उपयुक्त दूरी की माप की ओर ले जाती है। प्रकाश की तरह पथों के लिए, उपयुक्त समय की कोई अवधारणा सम्मिलित नहीं है और यह अपरिभाषित है क्योंकि समष्टि समय अंतराल शून्य है। इसके अतिरिक्त, समय से असंबंधित एकपक्षीय और भौतिक रूप से अप्रासंगिक एफ़िन पैरामीटर पेश किया जाना चाहिए।

विशेष सापेक्षता में
आव्यूह हस्ताक्षर के लिए समय सदृश संकेत के साथ, मिंकोवस्की मेट्रिक को इसके द्वारा परिभाषित किया गया है $$\eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} ,$$ और निर्देशांक द्वारा $$(x^0, x^1, x^2, x^3) = (ct, x, y, z)$$ एकपक्षीय रूप से लोरेंत्ज़ संरचना के लिए।

इस तरह के किसी भी रचना में अतिसूक्ष्म अंतराल, यहाँ दो घटनाओं के बीच समय की तरह माना जाता है

और एक कण के प्रक्षेपवक्र पर बिंदुओं को अलग करता है (घड़ी पर विचार करे)। उसी अंतराल को निर्देशांकों में व्यक्त किया जा सकता है जैसे कि प्रत्येक समय कण विरामस्थ पर है। इस तरह के फ्रेम को तात्कालिक विरामस्थ तंत्र कहा जाता है, जिसे प्रत्येक समय के लिए निर्देशांक $$(c\tau,x_\tau,y_\tau,z_\tau)$$ द्वारा यहां दर्शाया गया है। अंतराल के निश्चरता के कारण (अलग-अलग समय पर लिए गए तात्कालिक विरामस्थ तंत्र लोरेंत्ज़ परिवर्तनों से संबंधित हैं) कोई भी लिख सकता है $$ds^2 = c^2 d\tau^2 - dx_\tau^2 - dy_\tau^2 - dz_\tau^2 = c^2 d\tau^2,$$ चूँकि तात्क्षणिक विरामस्थ रचना में, कण या संरचना स्वयं विरामस्थ में है, अर्थात, $$dx_\tau = dy_\tau = dz_\tau = 0$$ है। चूंकि अंतराल को समय सदृश माना जाता है (अर्थात $$ds^2 > 0$$), उपरोक्त प्रतिफल का वर्गमूल लेते हुए $$ds = cd\tau,$$ या $$d\tau = \frac{ds}{c}.$$ के लिए इस अंतर अभिव्यक्ति को देखते हुए $$, उपयुक्त समय अंतराल के रूप में परिभाषित किया गया है

यहाँ $τ$ कुछ प्रारंभिक घटना से कुछ अंतिम घटना के लिए आवश्यक घटनाओं के क्रम के साथ विश्व रेखा है कि अंतिम घटना प्रारंभिक घटना की तुलना में घड़ी के अनुसार बाद में होती है।

का उपयोग करते हुए $$ और फिर से अंतराल का व्युत्क्रम, कोई लिख सकता है

जहाँ v(t) समन्वय समय t पर निर्देशांक गति है $P$, और $x(t)$, $y(t)$, और $z(t)$ समष्टि निर्देशांक हैं। पहली अभिव्यक्ति स्पष्ट रूप से लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीय है। वे सभी लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीय हैं, क्योंकि उपयुक्त समय और उपयुक्त समय अंतराल परिभाषा के अनुसार समन्वय-स्वतंत्र हैं।

यदि t, x, y, z, पैरामीटर λ द्वारा प्राचलित हैं, तो इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है $$ \Delta\tau = \int \sqrt {\left (\frac{dt}{d\lambda}\right)^2 - \frac{1}{c^2} \left [ \left (\frac{dx}{d\lambda}\right)^2 + \left (\frac{dy}{d\lambda}\right)^2 + \left ( \frac{dz}{d\lambda}\right)^2 \right] } \,d\lambda.$$ यदि कण की गति स्थिर है, तो अभिव्यक्ति सरल हो जाती है $$ \Delta \tau = \sqrt{\left(\Delta t\right)^2 - \frac{\left(\Delta x\right)^2}{c^2} - \frac{\left(\Delta y\right)^2}{c^2} - \frac{\left(\Delta z\right)^2}{c^2}},$$ जहां Δ का अर्थ प्रारंभिक और अंतिम घटनाओं के बीच निर्देशांक में परिवर्तन है। विशेष आपेक्षिकता में परिभाषा सामान्य सापेक्षता के लिए प्रत्यक्ष रूप से सामान्यीकरण करती है जैसा कि नीचे दिया गया है।

सामान्य सापेक्षता में
उपयुक्त समय को सामान्य सापेक्षता में निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: एक स्थानीय निर्देशांक xμ के साथ एक छद्म-रीमैनियन कई गुना दिया गया है और एक मीटर संबंधी प्रदिश gμν से सुसज्जित है, उपयुक्त समय अंतराल Δτ समयबद्ध पथ P के साथ दो घटनाओं के बीच रेखा समाकलित द्वारा दिया गया है

यह अभिव्यक्ति है, जैसा कि होना चाहिए, समन्वय परिवर्तन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। यह समतल समष्टि समय में विशेष सापेक्षता की अभिव्यक्ति के लिए (उपयुक्त निर्देशांक में) कम कर देता है।

जिस प्रकार निर्देशांकों को इस प्रकार चयन किया जा सकता है कि विशेष आपेक्षिकता में $x^{1}, x^{2}, x^{3} = const$ यह सामान्य सापेक्षता में भी किया जा सकता है। फिर, इन निर्देशांकों में, $$\Delta\tau = \int_P d\tau = \int_P \frac{1}{c}\sqrt{g_{00}} dx^0.$$ यह अभिव्यक्ति परिभाषा को सामान्यीकृत करती है $$ और परिभाषा के रूप में लिया जा सकता है। फिर अंतराल, समीकरण के व्युत्क्रम का उपयोग करना $$ उसी तरह से इसका अनुसरण करता है $t$ से अनुसरण करता है $$, इसके अतिरिक्त कि यहाँ एकपक्षीय रूप से समन्वय परिवर्तन की स्वीकृति है।

उदाहरण 1: समरूप विरोधाभास
समरूप विरोधाभास परिदृश्य के लिए, पर्यवेक्षक A मान लीजिए जो A-निर्देशांक (0,0,0,0) और (10 वर्ष, 0, 0, 0) के बीच जड़ता से चलता है। इसका तात्पर्य है कि A, A-निर्देशांक समय के 10 वर्षों के लिए $$x = y = z = 0$$ पर रहता है। तब दो घटनाओं के बीच A के लिए उपयुक्त समय अंतराल है $$\Delta \tau_A = \sqrt{(10\text{ years})^2} = 10\text{ years}.$$ तो विशेष सापेक्षता समन्वय प्रणाली में विरामस्थ करने का तात्पर्य है कि उपयुक्त समय और समन्वय समय समान हैं।

बता दें कि एक अन्य पर्यवेक्षक B है जो 0.866c से (5 वर्ष, 4.33 प्रकाश-वर्ष, 0, 0) पर ए-निर्देशांक समय के 5 वर्ष के लिए (0,0,0,0) से x दिशा में संचरण करता है। एक बार वहां, B तेज हो जाता है, और A-समन्वय समय के 5 वर्ष (10 वर्ष, 0, 0, 0) के लिए अन्य स्थानिक दिशा में संचरण करता है। संचरण के प्रत्येक चरण के लिए, A-निर्देशांक का उपयोग करके उपयुक्त समय अंतराल की गणना की जा सकती है, और इसके द्वारा दिया जाता है $$\Delta \tau_{leg} = \sqrt{(\text{5 years})^2 - (\text{4.33 years})^2} = \sqrt{6.25\;\mathrm{years}^2} = \text{2.5 years}.$$ तो पर्यवेक्षक B के लिए (0,0,0,0) से (5 वर्ष, 4.33 प्रकाश-वर्ष, 0, 0) और फिर (10 वर्ष, 0, 0, 0) तक जाने का कुल उपयुक्त समय है $$\Delta \tau_B = 2 \Delta \tau_{leg} = \text{5 years}.$$ इस प्रकार यह दिखाया गया है कि उपयुक्त समय समीकरण में समय विस्तार प्रभाव सम्मिलित है। वास्तव में, SR (विशेष सापेक्षता) में किसी वस्तु के लिए समष्टि समय वेग $$v$$ के साथ एक समय $$\Delta T$$ के लिए संचरण करते हुए उपयुक्त समय अंतराल का अनुभव किया जाता है $$\Delta \tau = \sqrt{\Delta T^2 - \left(\frac{v_x \Delta T}{c}\right)^2 - \left(\frac{v_y \Delta T}{c}\right)^2 - \left(\frac{v_z \Delta T}{c}\right)^2 } = \Delta T \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}, $$ जो विशेष सापेक्षता समय विस्तार सूत्र है।

उदाहरण 2: घूर्णन कुंडली
अन्य जड़त्वीय पर्यवेक्षक के चारों ओर घूमने वाला एक पर्यवेक्षक संदर्भ के त्वरित फ्रेम में है। इस तरह के पर्यवेक्षक के लिए उपयुक्त समय समीकरण के वृद्धिशील ($$d\tau$$) रूप की आवश्यकता होती है, साथ ही नीचे दिखाए गए पथ के पैरामीटरयुक्त विवरण के साथ

बता दें कि xy समतल में $$\omega$$ की एक समन्वित कोणीय दर से घूमने वाली कुंडली पर एक पर्यवेक्षक C है और जो कुंडली के केंद्र से $x = y = z = 0$ पर कुंडली के केंद्र से r की दूरी पर है। पर्यवेक्षक C पथ $$(T, \, r\cos(\omega T), \, r\sin(\omega T), \, 0)$$ द्वारा दिया गया है, जहां $$T $$ वर्तमान समन्वय समय है। जब r और $$\omega$$ स्थिर होते हैं, तब $$dx = -r \omega \sin(\omega T) \, dT$$ और $$dy = r \omega \cos(\omega T) \, dT$$ वृद्धिशील उपयुक्त समय सूत्र बन जाता है $$d\tau = \sqrt{dT^2 - \left(\frac{r \omega}{c}\right)^2 \sin^2(\omega T)\; dT^2 - \left(\frac{r \omega}{c}\right)^2 \cos^2(\omega T) \; dT^2} = dT\sqrt{1 - \left ( \frac{r\omega}{c} \right )^2}.$$ तो समन्वय समय के बीच ω की निरंतर कोणीय दर पर समष्टि समय में दिए गए बिंदु से आर की निरंतर दूरी पर घूमने वाले पर्यवेक्षक के लिए $$T_1$$ और $$T_2$$, उपयुक्त समय का अनुभव होगा $$\int_{T_1}^{T_2} d\tau = (T_2 - T_1) \sqrt{ 1 - \left ( \frac{r\omega}{c} \right )^2} = \Delta T \sqrt{1 - v^2/c^2},$$ जैसा $v = rω$ एक घूर्णन पर्यवेक्षक के लिए। यह परिणाम रेखीय गति उदाहरण के समान है, और उपयुक्त समय सूत्र के अभिन्न रूप के सामान्य अनुप्रयोग को दर्शाता है।

सामान्य सापेक्षता में उदाहरण
विशेष सापेक्षता और सामान्य सापेक्षता (जीआर) के बीच का अंतर यह है कि सामान्य सापेक्षता में किसी भी मीट्रिक का उपयोग किया जा सकता है जो आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण का समाधान है, न कि केवल मिंकोव्स्की मीट्रिक का है। चूंकि वक्रित समष्टि-समय में जड़त्वीय गति में विशेष सापेक्षता में सरल अभिव्यक्ति की कमी होती है, उपयुक्त समय समीकरण के रेखा अभिन्न रूप का सदैव उपयोग किया जाना चाहिए।

उदाहरण 3: घूर्णन कुंडली (पुनः)
मिंकोवस्की मेट्रिक के विरुद्ध किया गया एक उपयुक्त समन्वय रूपांतरण निर्देशांक बनाता है जहां घूर्णन कुंडली पर एक वस्तु समान स्थानिक समन्वय स्थिति में रहती है। नए निर्देशांक हैं $$r= \sqrt{x^2 + y^2}$$ और $$\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) - \omega t.$$ T और z निर्देशांक अपरिवर्तित रहते हैं। इस नई समन्वय प्रणाली में वृद्धिशील उपयुक्त समय समीकरण है $$d\tau = \sqrt{\left [1 - \left (\frac{r \omega}{c} \right )^2 \right] dt^2 - \frac{dr^2}{c^2} - \frac{r^2\, d\theta^2}{c^2} - \frac{dz^2}{c^2} - 2 \frac{r^2 \omega \, dt \, d\theta}{c^2}}.$$ r, θ, और z समय के साथ स्थिर होने के साथ, यह सरल हो जाता है $$d\tau = dt \sqrt{ 1 - \left (\frac{r \omega}{c} \right )^2 },$$ जो उदाहरण 2 के समान है।

अब घूमने वाली कुंडली से दूर और कुंडली के केंद्र के संबंध में जड़त्वीय विरामस्थ पर और उससे R की दूरी पर एक वस्तु होने दें। इस वस्तु में एक 'समन्वय' $dθ = −ω dt$ गति द्वारा वर्णित है, जो घूर्णन पर्यवेक्षक की दृष्टि में प्रति-घूर्णन की जड़त्वीय रूप से स्थिर वस्तु का वर्णन करता है। अब उपयुक्त समय समीकरण बन जाता है $$d\tau = \sqrt{\left [1 - \left (\frac{R \omega}{c} \right )^2 \right] dt^2 - \left (\frac{R\omega}{c} \right ) ^2 \,dt^2 + 2 \left ( \frac{R \omega}{c} \right ) ^2 \,dt^2} = dt. $$ तो जड़त्वीय पर्यवेक्षक के लिए, समन्वय समय और उपयुक्त समय एक बार फिर उसी दर से गुजरते हुए पाए जाते हैं, जैसा कि सापेक्षता सिद्धांत की आंतरिक आत्म-स्थिरता के लिए अपेक्षित और आवश्यक है।

उदाहरण 4: श्वार्जस्चिल्ड समाधान - पृथ्वी पर समय
श्वार्ज़स्चिल्ड समाधान में वृद्धिशील उपयुक्त समय समीकरण है $$ d\tau = \sqrt{ \left( 1 - \frac{2m}{r} \right) dt^2 - \frac{1}{c^2} \left( 1 - \frac{2m}{r} \right)^{-1} dr^2 - \frac{r^2}{c^2} d\phi^2 - \frac{r^2}{c^2} \sin^2(\phi ) \, d\theta^2 }, $$ जहां
 * t वह समय है जो पृथ्वी के संबंध में एक घड़ी से दूर और जड़त्वीय विश्राम पर अंशांकित किया गया है,
 * r एक रेडियल निर्देशांक है (जो प्रभावी रूप से पृथ्वी के केंद्र से दूरी है),
 * ɸ एक सह-अक्षांशीय निर्देशांक है, जो रेडियन में उत्तरी ध्रुव से कोणीय पृथक्करण है।
 * θ एक अनुदैर्ध्य समन्वय है, जो पृथ्वी की सतह पर देशांतर के समान है लेकिन पृथ्वी के घूर्णन से स्वतंत्र है। यह रेडियन में भी दिया गया है।
 * m पृथ्वी का ज्यामितीय द्रव्यमान है, m = GM/c2
 * M पृथ्वी का द्रव्यमान है,
 * G गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है।

उपयुक्त समय संबंध के उपयोग को प्रदर्शित करने के लिए, यहाँ पृथ्वी से जुड़े कई उप-उदाहरणों का उपयोग किया जाएगा।

पृथ्वी के लिए, $M = 5,974,200,000,000,000,000,000,000 kg$, तात्पर्य है कि $m = 0.004 m$ उत्तरी ध्रुव पर खड़े होकर हम $$dr = d\theta = d\phi = 0 $$ अनुमान लगा सकते हैं (जिसका अर्थ है कि हम न तो ऊपर जा रहे हैं और न ही नीचे या पृथ्वी की सतह के साथ)। इस स्थिति में, श्वार्ज़स्चिल्ड समाधान उपयुक्त समय समीकरण $d\tau = dt \,\sqrt{1 - 2m/r}$ बन जाता है फिर रेडियल निर्देशांक (या $$r = \text{6,356,752 metres}$$) के रूप मे पृथ्वी के ध्रुवीय त्रिज्या का उपयोग हम पाते हैं कि $$d\tau = \sqrt{\left ( 1 - 1.3908 \times 10^{-9} \right ) \;dt^2} = \left (1 - 6.9540 \times 10^{-10} \right ) \,dt.$$ भूमध्य रेखा पर, पृथ्वी की त्रिज्या $r = 6,378,137 metres$ है, इसके अतिरिक्त, पृथ्वी के घूर्णन को ध्यान में रखा जाना चाहिए। यह एक पर्यवेक्षक पर एक कोणीय वेग $$ d\theta / dt$$ प्रदान करता है पृथ्वी के घूर्णन की नाक्षत्रीय अवधि से विभाजित 2π का, 86162.4 सेकंड से विभाजित किया जाता है। तो इसलिए $$d\theta = 7.2923 \times 10^{-5} \, dt$$ उपयुक्त समय समीकरण तब प्राप्त करता है $$d\tau = \sqrt{\left ( 1 - 1.3908 \times 10^{-9} \right ) dt^2 - 2.4069 \times 10^{-12}\, dt^2} = \left( 1 - 6.9660 \times 10^{-10}\right ) \, dt.$$ गैर-सापेक्षतावादी दृष्टिकोण से यह पिछले परिणाम के समान ही होना चाहिए था। यह उदाहरण दर्शाता है कि कैसे उपयुक्त समय समीकरण का उपयोग किया जाता है, तथापि पृथ्वी घूर्णन करती है और इसलिए श्वार्ज़स्चिल्ड समाधान द्वारा ग्रहण किए गए गोलाकार सममित नहीं है। घूर्णन के प्रभावों का अधिक परिशुद्ध वर्णन करने के लिए केर मीट्रिक का उपयोग किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * लोरेंत्ज़ परिवर्तन
 * मिन्कोव्स्की समष्टि
 * उपयुक्त लंबाई
 * उपयुक्त त्वरण
 * अपरिवर्तनीय द्रव्यमान
 * उपयुक्त वेग
 * घड़ी की परिकल्पना
 * पेरेस मीट्रिक

संदर्भ


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