न्यूनतम बहुपद (रैखिक बीजगणित)

रैखिक बीजगणित में, किसी न्यूनतम बहुपद $μ_{A}$ की $n&thinsp;×&thinsp;n$ आव्यूह (गणित) $A$ क्षेत्र पर (गणित) $F$ मोनिक बहुपद देती हैं, जिसमें $P$ के ऊपर $F$ मुख्यतः कम से कम बहुपद की डिग्री संलग्न करता हैं। जैसे कि $P(A) = 0$. किसी अन्य बहुपद $Q$ साथ $Q(A) = 0$ का (बहुपद) गुणज $μ_{A}$ है।

निम्नलिखित तीन कथन तार्किक तुल्यता हैं:
 * 1) $λ$ के बहुपद का मूल $μ_{A}$ है,
 * 2) $λ$ अभिलाक्षणिक बहुपद का मूल $χ_{A}$ का $A$ है ,
 * 3) $λ$ आव्यूह का आइजन मान $A$ है

एक रूट की बहुलता $λ$ का $μ_{A}$ सबसे बड़ी शक्ति है $m$ ऐसी है कि $ker((A − λI_{n})^{m})$ कठिनाई से सम्मिलित होते हैं जहाँ इसे $ker((A − λI_{n})^{m−1})$ द्वारा प्रकट किया जाता हैं।

दूसरे शब्दों में एक्सपोनेंट बढ़ाने पर $m$ सदैव बड़ा कर्नेल देगा, लेकिन एक्सपोनेंट को और बढ़ा देगा इस प्रकार $m$ बस उसी प्रकार का कर्नेल देता हैं। औपचारिक रूप से, $m$ का निलपोटेंट आव्यूह $A-λI_{n}$ है।

यदि क्षेत्र $F$ बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र नहीं है, तो न्यूनतम और विशिष्ट बहुपदों को उनकी रूट्स के अनुसार कारक ($F$) नहीं होना चाहिए।

दूसरे शब्दों में उनके पास से अधिक डिग्री के अलघुकरणीय बहुपद कारक $1$ हो सकते हैं। इस प्रकार अलघुकरणीय बहुपदों के लिए $P$ के समान समानताएं हैं:
 * 1) $P$ विभाजित करता है $μ_{A}$,
 * 2) $P$ विभाजित करता है $χ_{A}$,
 * 3) की गिरी $P(A)$ का कम से कम आयाम (वेक्टर स्थान) $1$ है।
 * 4) की गिरी $P(A)$ का आयाम कम से कम $deg(P)$ है।

विशेषता बहुपद के समान न्यूनतम बहुपद आधार क्षेत्र पर निर्भर नहीं करता है। दूसरे शब्दों में, आव्यूह को बड़े क्षेत्र में गुणांक के रूप में मानने से न्यूनतम बहुपद परिवर्तित नहीं करता है। इसका कारण विशेषता बहुपद (जहां यह निर्धारकों की परिभाषा से तत्काल है) के स्थिति से भिन्न होते हैं, अर्थात् इस तथ्य से कि न्यूनतम बहुपद की शक्तियों के बीच रैखिक निर्भरता के संबंधों को $A$ द्वारा निर्धारित किया जाता है: इसके आधार क्षेत्र का विस्तार करने से ऐसा कोई नया संबंध नहीं आएगा (न ही यह वर्तमान संबंधों को पृथक करता हैं)।

न्यूनतम बहुपद अधिकांशतः विशेषता बहुपद के समान होता है, लेकिन सदैव यह नहीं उपयोग होता हैं। उदाहरण के लिए, यदि $A$ गुणज है $aI_{n}$ सर्वसमिका आव्यूह का, तो इसका न्यूनतम बहुपद है, जहाँ $X − a$ के कर्नेल के बाद से $aI_{n} − A = 0$ पहले से ही संपूर्ण स्थान है; दूसरी ओर इसकी विशेषता बहुपद $(X − a)^{n}$ है, (एकमात्र आइजन मान है $a$, और विशेषता बहुपद की डिग्री सदैव अंतरिक्ष के आयाम के बराबर होती है)। न्यूनतम बहुपद सदैव विशिष्ट बहुपद को विभाजित करता है, जो केली-हैमिल्टन प्रमेय (मैट्रिसेस के स्थिति में इसके कार्य क्षेत्र पर) को तैयार करने का तरीका है।

औपचारिक परिभाषा
एक एंडोमोर्फिज्म दिया $T$ परिमित-आयामी सदिश स्थान पर $V$ क्षेत्र पर (गणित) $F$, होने देना $I_{T}$ के रूप में परिभाषित समुच्चय होते हैं


 * $$ \mathit{I}_T = \{ p \in \mathbf{F}[t] \mid p(T) = 0 \} $$

जहाँ $F[t&hairsp;]$ क्षेत्र के ऊपर सभी बहुपदों का स्थान है तथा $F$. $I_{T}$ का आदर्श (रिंग थ्योरी) है। इस प्रकार $F[t&hairsp;]$ तब से $F$ क्षेत्र है, तथा $F[t&hairsp;]$ प्रमुख आदर्श डोमेन है, इस प्रकार कोई भी आदर्श एकल बहुपद द्वारा उत्पन्न होता है, जो इकाई (रिंग थ्योरी) तक अद्वितीय $F$ है। जनरेटर के बीच विशेष विकल्प बनाया जा सकता है, क्योंकि जेनरेटर में से मोनिक बहुपद है। इस प्रकार न्यूनतम बहुपद को मोनिक बहुपद के रूप में परिभाषित किया जाता है जो $I_{T}$ उत्पन्न करता है। यह कम से कम डिग्री का मोनिक बहुपद $I_{T}$ है।

अनुप्रयोग
एक एंडोमोर्फिज्म $φ$ क्षेत्र पर परिमित-आयामी वेक्टर स्थान का $F$ विकर्ण योग्य है यदि और केवल यदि इसके न्यूनतम बहुपद कारक पूरी तरह से खत्म हो गए हैं $F$ अलग रैखिक कारकों में। तथ्य यह है कि केवल ही कारक है $X − λ$ हर आइजन मान के लिए $λ$ का अर्थ है कि सामान्यीकृत आइगेनस्पेस के लिए $λ$ के लिए eigenspace के समान है $λ$: प्रत्येक जॉर्डन ब्लॉक का आकार होता है $1$. अधिक सामान्यतः, यदि $φ$ बहुपद समीकरण को संतुष्ट करता है $P(φ) = 0$ जहाँ $P$ अलग-अलग रैखिक कारकों में कारक $F$, तो यह विकर्णीय होगा: इसका न्यूनतम बहुपद का भाजक है $P$ और इसलिए विशिष्ट रेखीय कारकों में कारक भी हैं। विशेष रूप से है:


 * $P = X^{&thinsp;k} − 1$: जटिल संख्या सदिश स्थानों के परिमित क्रम एंडोमोर्फिज़्म विकर्णीय होते हैं। विशेष स्थिति के लिए $k = 2$ इनवोल्यूशन (गणित) के अतिरिक्त, यह विशेषता (बीजगणित) के अतिरिक्त किसी अन्य क्षेत्र में वेक्टर रिक्त स्थान के एंडोमोर्फिज्म $2$ के लिए भी सत्य है जिसमें तब से $X^{&thinsp;2} − 1 = (X − 1)(X + 1)$ ऐसे क्षेत्र में अलग-अलग कारकों में गुणनखंड है। यह चक्रीय समूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत का भाग है।
 * $P = X^{&thinsp;2} − X = X(X − 1)$: एंडोमोर्फिज्म संतोषजनक $φ^{2} = φ$ को प्रोजेक्शन (रैखिक बीजगणित) कहा जाता है, और सदैव विकर्णीय होते हैं, तथा इसके अतिरिक्त उनके केवल आइजन मान $0$ और $1$ ​​​​हैं।
 * इसके विपरीत यदि $μ_{φ} = X^{&thinsp;k}$ साथ $k ≥ 2$ तब $φ$ (एक निलपोटेंट एंडोमोर्फिज्म) अनिवार्य रूप से विकर्ण योग्य नहीं है, क्योंकि $X^{&thinsp;k}$ की पुनरावर्ती रूट $0$ है।

ये स्थिति सीधे गणितीय प्रमाण भी हो सकते हैं, लेकिन न्यूनतम बहुपद एकीकृत परिप्रेक्ष्य और प्रमाण देता है।

गणना
एक वेक्टर के लिए $v$ में $V$ परिभाषित करना:


 * $$ \mathit{I}_{T, v} = \{ p \in \mathbf{F}[t] \; | \; p(T)(v) = 0 \}.$$

यह परिभाषा उचित आदर्श के गुणों को संतुष्ट करती है। होने देना $μ_{T,v}$ मोनिक बहुपद हो जो इसे उत्पन्न करता है।

उदाहरण
परिभाषित करना $d$ का एंडोमोर्फिज्म होना $I_{T,v}$ आव्यूह के साथ, विहित आधार पर,


 * $$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -3 \end{pmatrix}.$$

पहला विहित आधार वेक्टर लेना $''μ_{T}' सम्मिलित है '$ और इसके द्वारा दोहराई गई छवियां $T$ प्राप्त करता है


 * $$    e_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad

T \cdot e_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}. \quad T^2\! \cdot e_1 = \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \mbox{ and}\quad T^3\! \cdot e_1 = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ -4 \end{bmatrix}$$ जिनमें से पहले तीन को आसानी से रैखिक रूप से स्वतंत्र देखा जाता है, और इसलिए सभी का रैखिक विस्तार $μ_{T,v}$ होता है। वास्तव में, अंतिम अनिवार्य रूप से पहले तीन का रैखिक संयोजन है



जिससे कि:



यह वास्तव में न्यूनतम बहुपद $v, T(v), ..., T d (v)$ भी है और विशेषता बहुपद $a_{0}, a_{1}, ..., a_{d−1}$&hairsp;: वास्तव में $F$ विभाजित करता है $μ_{T,v&thinsp;}(' की छवि होने दें 'T''&hairsp;)$ मुख्यतः $μ_{T,v&thinsp;}(T&hairsp;)$ को विभाजित करता है, और चूंकि पहली और आखिरी बहुपद की डिग्री $v, T(v), ..., T^{&thinsp;d−1}(v )$ हैं और सभी मोनिक हैं, वे सभी जैसे होने चाहिए। दूसरा कारण यह है कि सामान्य तौर पर यदि कोई बहुपद $W$ सदिश $d$ को नष्ट कर देता है, तो वह भी नष्ट हो जाता है। इस प्रकार $μ_{T}$ (बस लागू करने पर $T$ इस समीकरण के लिए जो कहता है कि यह $W$ को नष्ट करता है), और इसलिए पुनरावृत्ति द्वारा यह पुनरावृत्त प्रतिबिंबों $Q$ को $W$ द्वारा उत्पन्न संपूर्ण स्थान को नष्ट कर देता है, वर्तमान स्थिति में हमने देखा है कि $μT,v< का गुणनफल है /sub>$ के लिए $0$ का स्थान सभी का है, इसलिए $Q = 1$ वास्तव में पूर्ण आव्यूह के लिए सत्यापित करता है कि $μ_{T} = μ_{T,v}$ शून्य आव्यूह है:


 * $$\begin{bmatrix} 0 & 1 & -3 \\ 3 & -13 & 23 \\ -4 & 19 & -36 \end{bmatrix}

+ 4\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 4 & -6 \\ 1 & -5 & 10 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$