दाहिने हाथ का नियम

गणित और भौतिकी में, दाहिने हाथ का नियम त्रि-आयामी अंतरिक्ष में कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के अभिविन्यास (वेक्टर स्थान) को समझने के लिए सामान्य स्मरक है। यह दो सदिशों के क्रॉस उत्पाद की दिशा को शीघ्रता से खोजने के लिए भी सुविधाजनक उपाय है।

बाएं हाथ और दाएं हाथ के अधिकांश नियम इस तथ्य से उत्पन्न होते हैं कि त्रि-आयामी अंतरिक्ष के तीन अक्षों में दो संभावित अभिविन्यास हैं।अपने हाथों को बाहर की ओर और साथ पकड़कर, हथेलियों को ऊपर करके, अंगूठे को दाहिनी और बाईं ओर फैलाकर, और उँगलियों को सीधे बाहर की ओर घुमाकर ऊपर की ओर इशारा करते हुए देखा जा सकता है। (ध्यान दें कि दाईं ओर दी गई तस्वीर इसका उदाहरण नहीं है।) उंगलियों की कर्लिंग गति पहली (x-अक्ष) से ​​दूसरी (y-अक्ष) तक की गति का प्रतिनिधित्व करती है; तीसरा (z-अक्ष) किसी भी अंगूठे के साथ इंगित कर सकता है। समन्वय अक्षों के साथ व्यवहार करते समय बाएँ हाथ और दाएँ हाथ के नियम उत्पन्न होते हैं। नियम का उपयोग गणित और रसायन विज्ञान में चुंबकीय क्षेत्र, रोटेशन, सर्पिल, विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र, दर्पण छवियों और एनेंटिओमर की दिशा खोजने के लिए किया जा सकता है।

अनुक्रम प्रायः तर्जनी, मध्यमा, अंगूठा होता है। दो अन्य क्रम भी कार्य करते हैं क्योंकि वे चक्र को संरक्षित करते हैं:
 * मध्यमा, अंगूठा, तर्जनी।
 * अंगूठा, तर्जनी, मध्यमा (उदाहरण के लिए, बैंकनोट्स_ऑफ_द_स्विस_फ्रैंक नौवीं_सीरीज़ | स्विस 200-फ़्रैंक बैंकनोट की नौवीं श्रृंखला देखें)।

वक्र अभिविन्यास और सामान्य वैक्टर
सदिश कलन में, सामान्य (ज्यामिति) सदिश को सतह से संबंधित वक्र से बांधना आवश्यक है। सकारात्मक उन्मुख वक्र के लिए $C$, एक सतह को बांधना $S$, सतह के लिए सामान्य $n̂$ को इस तरह परिभाषित किया गया है कि दाहिना अंगूठा किस दिशा में इंगित करता है $n̂$, और उंगलियां बाउंडिंग कर्व के ओरिएंटेशन के साथ कर्ल करती हैं $C$.

निर्देशांक
निर्देशांक सामान्यतः दाएं हाथ के होते हैं।

दाएं हाथ के निर्देशांक के लिए, दाहिना अंगूठा सकारात्मक दिशा में जेड-अक्ष के साथ इंगित करता है और दाहिने हाथ की उंगलियों की कर्लिंग गति पहले या एक्स-अक्ष से गति का प्रतिनिधित्व करती है दूसरा या वाई-अक्ष। जब ऊपर या जेड-अक्ष से देखा जाता है तो प्रणाली वामावर्त होता है।

बाएं हाथ के निर्देशांक के लिए, बायां अंगूठा सकारात्मक दिशा में जेड-अक्ष के साथ इंगित करता है और बाएं हाथ की उंगलियों की कर्लिंग गति पहले या एक्स-अक्ष से गति का प्रतिनिधित्व करती है दूसरा या वाई-अक्ष। जब ऊपर या जेड-अक्ष से देखा जाता है तो प्रणाली दक्षिणावर्त होता है।

किन्हीं भी दो अक्षों के लेबलों को आपस में परवर्तित करने से हठधर्मिता विपरीत हो जाती है। अक्ष (या सभी तीन अक्षों) की दिशा को परवर्तित करने से भी हठधर्मिता विपरीत जाती है। (यदि कुल्हाड़ियों की सकारात्मक या नकारात्मक दिशा नहीं है, तो सौंपे जाने का कोई अर्थ नहीं है।) दो अक्षों को उलटने से शेष अक्ष के चारों ओर 180° घूर्णन होता है।

घूमता हुआ शरीर
गणित में, घूर्णन पिंड को सामान्यतः स्थिर अक्ष के चारों ओर घूर्णन के अक्ष के साथ pseudovector  द्वारा दर्शाया जाता है। वेक्टर की लंबाई कोणीय वेग देती है और अक्ष की दिशा दाएं हाथ के नियम के अनुसार रोटेशन की दिशा देती है: दाहिनी उंगलियां रोटेशन की दिशा में घुमावदार होती हैं और दायां अंगूठा धुरी की सकारात्मक दिशा को प्रदर्शित करता है। यह वेक्टर क्रॉस उत्पाद का उपयोग करके कुछ सरल गणनाओं की अनुमति देता है। शरीर का कोई अंग अक्षीय तीर की दिशा में नहीं घूम रहा है। संयोग से, यदि अंगूठा उत्तर की ओर इशारा कर रहा है, तो पृथ्वी का घूर्णन दाहिने हाथ के नियम के अनुसार प्रतिगामी और आगे बढ़ने की गति की दिशा में है। यह बाएं हाथ के नियम के अनुसार सूर्य, चंद्रमा और तारे को पश्चिम की ओर दैनिक गति का कारण बनता है।

हेलिस और पेंच
कुंडलित वक्रता घुमावदार रेखा है जो केंद्र के चारों ओर घूमने वाले बिंदु से बनती है जबकि केंद्र जेड-अक्ष के ऊपर या नीचे चलता है। हेलिस या तो दाएं- या बाएं हाथ के होते हैं, मुड़ी हुई उंगलियां रोटेशन की दिशा देती हैं और अंगूठा जेड-अक्ष के साथ आगे बढ़ने की दिशा देता है।

स्क्रू के धागे हेलिक्स होते हैं और इसलिए स्क्रू दाएं या बाएं हाथ के हो सकते हैं। नियम यह है: यदि कोई स्क्रू दाएं हाथ का है (अधिकांश स्क्रू हैं) तो अपने दाहिने अंगूठे को उस दिशा में इंगित करें, जिस दिशा में आप चाहते हैं कि स्क्रू जाए और स्क्रू को अपनी मुड़ी हुई दाहिनी उंगलियों की दिशा में घुमाएं।

विद्युत चुंबकत्व

 * जब बिजली (पारंपरिक करंट) लंबे सीधे तार में प्रवाहित होती है, तो यह दाहिने हाथ के नियम के अनुसार तार के चारों ओर गोलाकार या बेलनाकार चुंबकीय क्षेत्र बनाता है। पारंपरिक धारा, जो इलेक्ट्रॉनों के वास्तविक प्रवाह के विपरीत है, धनात्मक जेड-अक्ष के साथ धनात्मक आवेशों का प्रवाह है। चुंबकीय रेखा की पारंपरिक दिशा कंपास सुई द्वारा दी जाती है।
 * विद्युत चुंबक: तार के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र अधिक कमजोर होता है। यदि तार को हेलिक्स में कुंडलित किया जाता है, तो हेलिक्स के अंदर की सभी क्षेत्र रेखाएँ दिशा में इंगित होती हैं और प्रत्येक क्रमिक कॉइल दूसरों को पुष्ट करती है। कुण्डलिका का आगे बढ़ना, धारा का गैर-गोलाकार भाग, और क्षेत्र रेखाएँ सभी धनात्मक जेड दिशा में इंगित करती हैं। चूँकि कोई चुंबकीय मोनोपोल नहीं है, क्षेत्र रेखाएँ +जेड छोर से बाहर निकलती हैं, हेलिक्स के बाहर चारों ओर लूप करती हैं, और -जेड सिरे पर फिर से प्रवेश करती हैं। +जेड अंत जहाँ रेखाएँ बाहर निकलती हैं उसे उत्तरी ध्रुव के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि दाहिने हाथ की अंगुलियां धारा के वृत्ताकार घटक की दिशा में मुड़ी हुई हैं, तो दाहिना अंगूठा उत्तरी ध्रुव की ओर इशारा करता है।
 * लोरेंत्ज़ बल: यदि सकारात्मक विद्युत आवेश चुंबकीय क्षेत्र में चलता है, तो यह लोरेंत्ज़ बल के अनुसार बल का अनुभव करता है, जिसकी दिशा दाहिने हाथ के नियम द्वारा दी गई है। यदि दाहिनी उंगलियों का कर्ल चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में आवेश की गति की दिशा से घूर्णन का प्रतिनिधित्व करता है, तो बल दाहिने अंगूठे की दिशा में है। क्योंकि आवेश गतिमान है, बल कण पथ को मोड़ने का कारण बनता है। झुकने वाले बल की गणना वेक्टर क्रॉस उत्पाद द्वारा की जाती है। इसका तात्पर्य यह है कि झुकने वाला बल कण के वेग और चुंबकीय क्षेत्र की ताकत के साथ बढ़ता है। बल तब अधिकतम होता है जब कण की दिशा और चुंबकीय क्षेत्र समकोण पर होते हैं, किसी अन्य कोण पर कम होता है और जब कण क्षेत्र के समानांतर चलता है तो शून्य होता है।

एम्पीयर का दाहिना हाथ पकड़ने का नियम
आंद्रे-मैरी एम्पीयर | एम्पीयर का दाहिना हाथ पकड़ने का नियम (जिसे राइट-हैंड स्क्रू रूल, कॉफ़ी-मग रूल या कॉर्कस्क्रू-रूल भी कहा जाता है) का उपयोग या तो तब किया जाता है जब यूक्लिडियन वेक्टर (जैसे कि यूलर वेक्टर) को शरीर के रोटेशन,चुंबकीय क्षेत्र, या ए का प्रतिनिधित्व करने के लिए परिभाषित किया जाना चाहिए। तरल पदार्थ, या इसके विपरीत, जब रोटेशन वेक्टर को परिभाषित करना आवश्यक होता है, यह समझने के लिए कि रोटेशन कैसे होता है। यह वर्तमान द्वारा बनाए गए चुंबकीय क्षेत्र में वर्तमान और चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं के मध्य  संबंध को प्रकट करता है।

फ्रांसीसी भौतिक विज्ञानी और गणितज्ञ आंद्रे-मैरी एम्पीयर, जिनके लिए नियम का नाम रखा गया था, अन्य भौतिक विज्ञानी हैंस क्रिश्चियन ओर्स्टेड से प्रेरित थे, जिन्होंने चुंबक सुइयों के साथ प्रयोग किया था। ओर्स्टेड ने देखा कि बिजली के प्रवाह वाले तार की निकटता में सुइयां घूमती हैं, और निष्कर्ष निकाला कि बिजली चुंबकीय क्षेत्र का निर्माण कर सकती है।

आवेदन
इस नियम का उपयोग एम्पीयर के परिपथीय नियम के दो भिन्न-भिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है:
 * 1) विद्युत धारा सीधे तार से होकर गुजरती है। जब अंगूठे को पारंपरिक धारा (सकारात्मक से नकारात्मक) की दिशा में इंगित किया जाता है, तब मुड़ी हुई उंगलियां कंडक्टर के चारों ओर चुंबकीय प्रवाह रेखाओं की दिशा में इंगित करेंगी। चुंबकीय क्षेत्र की दिशा (अंगूठे की नोक को देखने पर दक्षिणावर्त के अतिरिक्त वामावर्त घुमाव) इस सम्मेलन का परिणाम है न कि अंतर्निहित भौतिक घटना।
 * 2) विद्युत प्रवाह सोलेनोइड से होकर गुजरता है, जिसके परिणामस्वरूप चुंबकीय क्षेत्र बनता है। दाहिने हाथ को परिनालिका के चारों ओर पारम्परिक धारा की दिशा में उँगलियों से लपेटते समय, अंगूठा चुंबकीय उत्तरी ध्रुव की दिशा में इंगित करता है।

क्रॉस उत्पाद
भौतिकी और इंजीनियरिंग में प्रायः दो सदिशों का क्रॉस उत्पाद लिया जाता है। उदाहरण के लिए,  स्थिति-विज्ञान  और डायनामिक्स (यांत्रिकी) में, टॉर्क लीवर की लंबाई और बल (भौतिकी) का क्रॉस उत्पाद है, जबकि कोणीय गति दूरी कोनेदार गति का क्रॉस उत्पाद है। बिजली और चुंबकत्व में, चुंबकीय क्षेत्र B में गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला बल निम्न द्वारा दिया जाता है:


 * $$\mathbf{F} = q\mathbf{v} \times \mathbf{B}$$

क्रॉस उत्पाद की दिशा को दाहिने हाथ के नियम के द्वारा निम्नानुसार पाया जा सकता है:
 * 1) तर्जनी वेग सदिश v की दिशा में इशारा करती है।
 * 2) मध्यमा चुंबकीय क्षेत्र सदिश B की दिशा में इशारा करती है।
 * 3) अंगूठा क्रॉस उत्पाद F की दिशा में इशारा करता है।

उदाहरण के लिए, एक सकारात्मक रूप से आवेशित कण के उत्तर की ओर बढ़ने के लिए, ऐसे क्षेत्र में जहां चुंबकीय क्षेत्र पश्चिम की ओर इशारा करता है, परिणामी बल ऊपर की ओर इशारा करता है।

अनुप्रयोग
दाहिने हाथ के नियम का भौतिकी में व्यापक उपयोग है। उन भौतिक राशियों की सूची जिनकी दिशाएँ दाएँ हाथ के नियम से संबंधित हैं, नीचे दी गई हैं। (इनमें से कुछ केवल अप्रत्यक्ष रूप से क्रॉस उत्पादों से संबंधित हैं, और दूसरे रूप का उपयोग करते हैं।)


 * घूमती हुई वस्तु के लिए, यदि दाहिने हाथ की उंगलियां वस्तु पर बिंदु के वक्र का अनुसरण करती हैं, तो अंगूठा कोणीय वेग सदिश की दिशा में घूर्णन के अक्ष के साथ इंगित करता है।
 * बलाघूर्ण, बल (भौतिकी) जो इसका कारण बनता है, और बल के अनुप्रयोग के बिंदु की स्थिति।
 * चुंबकीय क्षेत्र, उस बिंदु की स्थिति जहां यह निर्धारित होता है, और विद्युत प्रवाह (या विद्युत प्रवाह में परिवर्तन) जो इसका कारण बनता है।
 * तार की कुंडली में चुंबकीय क्षेत्र और तार में विद्युत धारा।
 * आवेशित कण पर चुंबकीय क्षेत्र का बल, स्वयं चुंबकीय क्षेत्र और वस्तु का वेग।
 * तरल पदार्थ के प्रवाह के क्षेत्र में किसी भी बिंदु पर vorticity
 * चुंबकीय क्षेत्र में गति से प्रेरित धारा (मोटरों के लिए फ्लेमिंग के बाएं हाथ के नियम के रूप में जाना जाता है। फ्लेमिंग के दाएं हाथ का नियम)।
 * कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में एक्स, y और जेड इकाई सदिशों को दाएँ हाथ के नियम का पालन करने के लिए चुना जा सकता है। दाएं हाथ की समन्वय प्रणाली का उपयोग प्रायः कठोर शरीर और गतिकी में किया जाता है।

यह भी देखें

 * चिरायता (गणित)
 * कर्ल (गणित)
 * मोटरों के लिए फ्लेमिंग का वामहस्त नियम
 * अनुचित घुमाव
 * आईएसओ 2
 * ओर्स्टेड का नियम
 * पॉयंटिंग वेक्टर
 * स्यूडोवेक्टर
 * प्रतिबिंब (गणित)

बाहरी संबंध

 * Feynman's lecture on the right-hand rule
 * Right and Left Hand Rules - Interactive Java Tutorial National High Magnetic Field Laboratory
 * Christian Moser : right-hand-rule : wpftutorial.net
 * Christian Moser : right-hand-rule : wpftutorial.net