मेरिडियन चाप

भूमंडल नापने का शास्र एवं मार्गदर्शन में, मेरिडियन चाप पृथ्वी की सतह पर समान देशांतर वाले दो बिंदुओं के मध्य वक्र (ज्यामिति) है। यह शब्द या तो भूमध्य रेखा (भूगोल) के चाप (ज्यामिति) या इसकी चाप की लंबाई को संदर्भित कर सकता है।

मेरिडियन चाप को मापने का उद्देश्य पृथ्वी का आंकड़ा निर्धारित करना है। मेरिडियन चाप के या अधिक मापों का उपयोग संदर्भ दीर्घवृत्त के आकार का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है जो माप के क्षेत्र में जिओएड का सबसे उत्तम अनुमान लगाता है। विश्व के कई मेरिडियनों के साथ कई अक्षांशों पर मेरिडियन चाप के मापन को पूर्ण विश्व में फिट करने के उद्देश्य से भूस्थैतिक दीर्घवृत्त का अनुमान लगाने के लिए जोड़ा जा सकता है।

वृत्ताकार पृथ्वी के आकार के प्रारंभिक निर्धारण के लिए चाप की आवश्यकता थी। 19वे दशक में प्रारम्भ हुए त्रुटिहीन सर्वेक्षण कार्य के लिए उस क्षेत्र में कई चाप मापों की आवश्यकता थी, जहां सर्वेक्षण किया जाना था, जिससे विश्व में संदर्भ दीर्घवृत्तों का प्रसार हुआ था। इस प्रकार नवीनतम निर्धारण जियोडेटिक खगोल विज्ञान या एस्ट्रो-जियोडेटिक मापन एवं उपग्रह जियोडेसी की विधियों का उपयोग संदर्भ दीर्घवृत्तों को निर्धारित करने के लिए करते हैं, विशेष रूप से भूकेंद्रीय दीर्घवृत्त जो अब वैश्विक समन्वय प्रणालियों जैसे डब्ल्यूजीएस 84 (संख्यात्मक विश्लेषण अभिव्यक्ति देखें) के लिए उपयोग किए जाते हैं।

माप का इतिहास
पृथ्वी के आकार का प्रारंभिक अनुमान ईसा पूर्व चौथी दशक में ग्रीस से एवं 9वीं दशक में इस ज्ञान के लिए विद्वानों द्वारा प्रदर्शित किया गया है। प्रथम यथार्थवादी मूल्य की गणना सिकंदरिया के वैज्ञानिक एराटोस्थनीज ने लगभग 240 ईसा पूर्व की थी। उन्होंने अनुमान लगाया कि मेरिडियन की लंबाई 252,000 स्टैडियन (यूनिट) है, जिसमें -2.4% एवं + 0.8% के मध्य वास्तविक मूल्य पर त्रुटि है (155 एवं 160 मीटर के मध्य स्टेडियम के लिए मान मानते हुए)। एराटोस्थनीज ने अपनी तकनीक का वर्णन पृथ्वी की माप पर नामक पुस्तक में किया है, जिसे संरक्षित नहीं किया गया है। इस प्रकार लगभग 150 वर्ष पश्चात पोसिडोनियस द्वारा इसी प्रकार की विधि का उपयोग किया गया था, एवं चाप माप पद्धति द्वारा 827 में थोड़ा उत्तम परिणाम की गणना की गई थी, इसके लिए खलीफा अल-मामून को उत्तरदायी ठहराया गया था।

दीर्घवृत्तीय पृथ्वी
प्रारंभिक साहित्य ध्रुवों पर कुचले हुए गोले का वर्णन करने के लिए चपटे गोलाकार शब्द का उपयोग करता है। आधुनिक साहित्य गोलाकार के स्थान पर क्रांति के दीर्घ वृत्ता कार शब्द का उपयोग करता है, चूंकि क्रांति के योग्य शब्द सामान्यतः हटा दिए जाते हैं। दीर्घवृत्त जो क्रांति का दीर्घवृत्त नहीं है, उसे त्रिअक्षीय दीर्घवृत्त कहा जाता है। इस लेख में गोलाकार एवं दीर्घवृत्त का उपयोग दूसरे के स्थान पर किया गया है, यदि नहीं कहा गया है तो तिरछा निहित है।

17वीं एवं 18वीं दशक
यद्यपि यह मौलिक प्राचीनता के पश्चात से जाना जाता था कि 17 वीं दशक तक पृथ्वी गोलाकार पृथ्वी थी, जो इसके प्रमाण एकत्रित कर रहे थे कि यह आदर्श क्षेत्र नहीं था। इस प्रकार 1672 में, जीन रिचर ने पहला प्रमाण पाया कि पृथ्वी पर गुरुत्वाकर्षण स्थिर नहीं था (जैसा कि पृथ्वी गोलाकार होती तो ऐसा होता); वह केयेन, फ्रेंच गयाना के लिए पेंडुलम घड़ी ले गया एवं पाया कि यह खो गया है $2 1/2$ मिनट प्रति दिन पेरिस में इसकी दर की अपेक्षा में अधिक हैं। इसने संकेत दिया कि पेरिस की अपेक्षा में केयेन में गुरुत्वाकर्षण का त्वरण कम था। इस प्रकार पेंडुलम ग्रेविमीटर को विश्व के दूरदराज के हिस्सों में यात्राओं पर ले जाया जाने लगा, एवं यह धीरे-धीरे पता चला कि बढ़ते अक्षांश के साथ गुरुत्वाकर्षण सुचारू रूप से बढ़ता है, भूमध्य रेखा की अपेक्षा में भौगोलिक ध्रुवों पर गुरुत्वाकर्षण त्वरण लगभग 0.5% अधिक होता है।

1687 में, आइजैक न्यूटन ने फिलोसोफी नेचुरेलिस प्रिन्सिपिया मैथेमेटिका में प्रमाण के रूप में प्रकाशित किया था कि पृथ्वी चपटी गोलाकार आकृति के $1⁄230$ के बराबर है। यह कुछ, अपितु सभी नहीं, फ्रांसीसी वैज्ञानिकों द्वारा विवादित था। 1684-1718 की अवधि में जॉन डोमिनिक कैसिनी एवं उनके बेटे जैक्स कैसिनी द्वारा जॉन पिकार्ड के मध्याह्न चाप को लंबे चाप तक बढ़ाया गया था। चाप को कम से कम तीन अक्षांश निर्धारणों के साथ मापा गया था, इसलिए वे चाप के उत्तरी एवं दक्षिणी हिस्सों के लिए औसत वक्रता निकालने में सक्षम थे, जिससे समग्र आकार का निर्धारण हो सके। परिणामों ने संकेत दिया कि पृथ्वी लम्बी गोलाकार (ध्रुवीय त्रिज्या से कम भूमध्यरेखीय त्रिज्या के साथ) थी। इस विवाद को हल करने के लिए, फ्रेंच एकेडमी ऑफ साइंसेज (1735) ने पेरू (पियरे बौगुएर, लुइस गोडिन, चार्ल्स मैरी डे ला कोंडोमाइन, एंटोनियो डी उलोआ, जॉर्ज जुआन एवं सांतासिलिया) एवं लैपलैंड (पियरे लुइस मौपर्टुइस, एलेक्सिस क्लेराट, चार्ल्स) के लिए अभियान प्रस्तावित किया था। एटिएन लुई कैमस, पियरे-चार्ल्स ले मोननियर, रेजिनाल्ड आउटहियर, एंडर्स सेल्सियस)। पेरू के अभियान का वर्णन फ्रेंच जियोडेसिक मिशन लेख में किया गया है एवं लैपलैंड के लिए फ्रेंच जियोडेसिक मिशन टू लैपलैंड लेख में वर्णित है। विषुवतीय एवं ध्रुवीय अक्षांशों पर परिणामी मापों ने पुष्टि की कि न्यूटन का समर्थन करने वाले चपटे गोलाकार द्वारा पृथ्वी का सबसे उत्तम प्रारूप तैयार किया गया था। चूंकि 1743 तक, क्लेराट के प्रमेय ने न्यूटन के दृष्टिकोण को पूर्ण तरह से परिवर्तित कर दिया था।

दशक के अंत तक, जीन-बैप्टिस्ट-जोसेफ डेलम्ब्रे ने डनकर्क से भूमध्य सागर (डेलम्ब्रे एवं मेचैन के मध्याह्न चाप) तक फ्रांसीसी चाप को तत्पश्चात से माप लिया एवं बढ़ाया गया था। अक्षांश के चार मध्यवर्ती निर्धारणों द्वारा इसे पाँच भागों में विभाजित किया गया था। पेरू के चाप के लिए मापों को साथ जोड़कर दीर्घवृत्त आकार के मापदंडों को निर्धारित किया गया था एवं पेरिस मेरिडियन के साथ भूमध्य रेखा एवं ध्रुव के मध्य की दूरी की गणना की गई थी $5,130,762$ ट्वासेस पेरिस में मानक ट्वास बार द्वारा निर्दिष्ट के रूप में किया जाता हैं। इस दूरी को त्रुटिहीन रूप से परिभाषित करना $10,000,000 m$ के रूप में नए मानक मीटर बार के निर्माण का नेतृत्व किया $0.513$ था।

19वीं दशक
19वीं दशक में, कई खगोलशास्त्री एवं भूगर्भशास्त्री विभिन्न मध्याह्न चापों के साथ पृथ्वी की वक्रता के विस्तृत अध्ययन में लगे हुए थे। विश्लेषण के परिणामस्वरूप प्लेसिस 1817, एअरी 1830, बेसेल दीर्घवृत्ताभ, एवरेस्ट 1830, एवं अलेक्जेंडर रॉस क्लार्क जैसे कई मॉडल दीर्घवृत्त प्राप्त किए गए थे। इस प्रकार पृथ्वी दीर्घवृत्ताभ ऐतिहासिक पृथ्वी दीर्घवृत्ताभ के अंतर्गत दीर्घवृत्ताभों की विस्तृत सूची दी गई है।

समुद्री मील
ऐतिहासिक रूप से समुद्री मील को गोलाकार पृथ्वी के मध्याह्न के साथ चाप के मिनट की लंबाई के रूप में परिभाषित किया गया था। दीर्घवृत्ताभ मॉडल अक्षांश के साथ समुद्री मील की भिन्नता की ओर जाता है। इसे समुद्री मील को ठीक 1,852 मीटर परिभाषित करके हल किया गया था। चूंकि, सभी व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, दूरियों को चार्ट के अक्षांश पैमाने से मापा जाता है। जैसा कि रॉयल यॉटिंग एसोसिएशन डे स्किपर्स के लिए अपने मैनुअल में कहता है: 1 (मिनट) अक्षांश = 1 समुद्री मील, इसके बाद सबसे व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए दूरी को अक्षांश पैमाने से मापा जाता है, यह मानते हुए कि अक्षांश का मिनट समुद्री मील के बराबर होता है।

गणना
गोले पर, याम्योत्तर चाप की लंबाई केवल वृत्ताकार सेक्टर चाप लंबाई होती है। इस क्रांति के दीर्घवृत्त पर, लघु मध्याह्न चापों के लिए, उनकी लंबाई को पृथ्वी की त्रिज्या के लिए मध्यवर्ती पृथ्वी के भाग की वक्रता की भूमध्यरेखीय त्रिज्या एवं वृत्ताकार चाप सूत्रीकरण का उपयोग करके अनुमानित किया जा सकता है। लंबे चापों के लिए, लंबाई दो 'मध्याह्न दूरी' के घटाव से होती है, भूमध्य रेखा से अक्षांश पर बिंदु तक की दूरी $φ$. मानचित्र अनुमानों के सिद्धांत में यह महत्वपूर्ण समस्या है, विशेष रूप से अनुप्रस्थ मर्केटर प्रक्षेपण के समान थी।

मुख्य दीर्घवृत्ताकार पैरामीटर हैं, $a$, $b$, $f$, अपितु सैद्धांतिक काम में यह अतिरिक्त मापदंडों को परिभाषित करने के लिए उपयोगी है, विशेष रूप से सनकीपन (गणित), $e$, एवं तीसरा चपटा $n$. इनमें से केवल दो पैरामीटर स्वतंत्र हैं एवं उनके मध्य कई संबंध हैं:
 * $$\begin{align}

f&=\frac{a-b}{a}\,, \qquad e^2=f(2-f)\,, \qquad n=\frac{a-b}{a+b}=\frac{f}{2-f}\,,\\ b&=a(1-f)=a\sqrt{1-e^2}\,,\qquad e^2=\frac{4n}{(1+n)^2}\,. \end{align}$$

परिभाषा
पृथ्वी की त्रिज्या मेरिडोनल को इसके बराबर दिखाया जा सकता है:
 * $$ M(\varphi) = \frac{a(1 - e^2)}{\left(1 - e^2 \sin^2 \varphi \right)^\frac32},$$

याम्योत्तर के अतिसूक्ष्म तत्व की चाप लंबाई $dm = M(φ) dφ$ के समान है इसके साथ $φ$ रेडियंस में इसे मापा जा सकता हैं। इसलिए भूमध्य रेखा से अक्षांश तक भूमध्य रेखा की दूरी $φ$ है
 * $$\begin{align}

m(\varphi) &=\int_0^\varphi M(\varphi) \, d\varphi \\ &= a(1 - e^2)\int_0^\varphi \left(1 - e^2 \sin^2 \varphi \right)^{-\frac32} \, d\varphi\,. \end{align}$$ के संदर्भ में लिखे जाने पर दूरी सूत्र सरल होता है, अक्षांश पैरामीट्रिक (या कम) अक्षांश इस प्रकार प्रदर्शित किये जा सकते हैं,
 * $$m(\varphi) = b\int_0^\beta\sqrt{1 + e'^2\sin^2\beta}\,d\beta\,,$$

जहाँ $tan β = (1 − f)tan φ$ एवं $e′^{2} = e^{2}⁄1 − e^{2}$.

भले ही अक्षांश सामान्य रूप से सीमा तक ही सीमित हो $[−π⁄2,π⁄2]$, यहां दिए गए सभी सूत्र पूरे मेरिडियन दीर्घवृत्त (एंटी-मेरिडियन सहित) के आसपास की दूरी को मापने के लिए लागू होते हैं। इस प्रकार की श्रेणियाँ $φ$, $β$, एवं सुधारक अक्षांश $μ$, अप्रतिबंधित हैं।

अण्डाकार अभिन्न से संबंध
उपरोक्त इंटीग्रल एलिप्टिक इंटीग्रल के विशेष स्थिति से संबंधित है, इस प्रकार तीसरा मान इसके अधूरा एलिप्टिक इंटीग्रल भाग को ऑनलाइन एनआईएसटी हैंडबुक के अंकन में प्रदर्शित करता हैं।
 * $$m(\varphi)=a\left(1-e^2\right)\,\Pi(\varphi,e^2,e)\,.$$

इसे दीर्घवृत्तीय समाकल दूसरी तरह के अपूर्ण दीर्घवृत्तीय समाकलन के संदर्भ में भी लिखा जा सकता है,
 * $$\begin{align}

m(\varphi) &= a\left(E(\varphi,e)-\frac{e^2\sin\varphi\cos\varphi}{\sqrt{1-e^2\sin^2\varphi}}\right) \\ &= a\left(E(\varphi,e)+\frac{d^2}{d\varphi^2}E(\varphi,e)\right) \\ &= b E(\beta, ie')\,. \end{align}$$ एनआईएसटी हैंडबुक में अण्डाकार इंटीग्रल एवं सन्निकटन की गणना (मनमानी सटीकता के लिए) पर वर्णन किया गया है। ये कार्य गणित जैसे कंप्यूटर बीजगणित कार्यक्रमों में भी कार्यान्वित किए जाते हैं एवं मैक्सिमा के समान हैं।

श्रृंखला विस्तार
उपरोक्त इंटीग्रल को टेलर श्रृंखला में इंटीग्रैंड का विस्तार करके, शब्द द्वारा परिणामी इंटीग्रल का प्रदर्शन करके, एवं परिणाम को त्रिकोणमितीय श्रृंखला के रूप में व्यक्त करके अनंत छंटनी वाली श्रृंखला के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। 1755 में, लियोनहार्ड यूलर ने उत्केन्द्रता (गणित) एलीप्सेस वर्ग में विस्तार प्राप्त किया हैं।

विलक्षणता में विस्तार ($e$)
1799 में जीन बैप्टिस्ट जोसेफ डेलम्ब्रे व्यापक रूप से $e^{2}$ द्वारा उपयोग किए जाने वाले विस्तार को व्युत्पन्न किया ,


 * $$m(\varphi)=\frac{b^2}a\left(D_0\varphi+D_2\sin 2\varphi+D_4\sin4\varphi+D_6\sin6\varphi+D_8\sin8\varphi+\cdots\right)\,,$$

जहाँ
 * $$\begin{align}

D_0 &= 1 + \tfrac{3}{4} e^2 + \tfrac{45}{64} e^4 + \tfrac{175}{256} e^6 + \tfrac{11025}{16384} e^8 + \cdots, \\[5mu] D_2 &= - \tfrac{3}{8} e^2 - \tfrac{15}{32} e^4 - \tfrac{525}{1024} e^6 - \tfrac{2205}{4096} e^8 - \cdots, \\[5mu] D_4 &= \tfrac{15}{256} e^4 + \tfrac{105}{1024} e^6 + \tfrac{2205}{16384} e^8 + \cdots, \\[5mu] D_6 &= - \tfrac{35}{3072} e^6 - \tfrac{105}{4096} e^8 - \cdots, \\[5mu] D_8 &= \tfrac{315}{131072} e^8 + \cdots. \end{align}$$ रिचर्ड रैप इस परिणाम की विस्तृत व्युत्पत्ति देता है।

तीसरे चपटेपन में विस्तार ($n$)
इस प्रकार चपटे पहले, दूसरे एवं तीसरे चपटे के संदर्भ में विस्तार करके काफी तेज अभिसरण वाली श्रृंखला प्राप्त की जा सकती है $n$ सनकीपन के अतिरिक्त संबंधित हैं
 * $$e^2 = \frac{4n}{(1+n)^2}\,.$$

1837 में, फ्रेडरिक बेसेल ने ऐसी ही श्रृंखला प्राप्त की, जिसे फ्रेडरिक रॉबर्ट हेल्मर्ट द्वारा सरल रूप में रखा गया था,
 * $$m(\varphi)=\frac{a+b}2\left(H_0\varphi+H_2\sin 2\varphi+H_4\sin4\varphi+H_6\sin6\varphi+H_8\sin8\varphi+\cdots\right)\,,$$

साथ
 * $$\begin{align}

H_0 &= 1 + \tfrac{1}{4} n^2 + \tfrac{1}{64} n^4 + \cdots, \\ H_2 &= - \tfrac{3}{2} n + \tfrac{3}{16} n^3 + \cdots,& H_6 &= - \tfrac{35}{48} n^3 + \cdots, \\ H_4 &= \tfrac{15}{16} n^2 - \tfrac{15}{64} n^4 - \cdots,\qquad& H_8 &= \tfrac{315}{512} n^4 - \cdots. \end{align}$$ क्योंकि $n$ चिन्ह कब परिवर्तित होता है एवं $a$ एवं $b$ आपस में संयोजित हो जाते हैं, एवं क्योंकि प्रारंभिक कारक $1⁄2(a + b)$ इस अदला-बदली के अनुसार स्थिर है, के विस्तार में आधी शर्तें $H_{2k}$ विलुप्त हो जाता हैं।

श्रृंखला को या तो व्यक्त किया जा सकता है $a$ या $b$ प्रारंभिक कारक के रूप में लिखकर, उदाहरण के लिए,
 * $$\tfrac12(a+b) = \frac{a}{1+n} = a(1-n+n^2-n^3+n^4-\cdots)\,,$$

एवं परिणाम को श्रृंखला के रूप में विस्तारित करना $n$. भले ही इसका परिणाम धीरे-धीरे अभिसरण श्रृंखला में होता है, ऐसी श्रृंखला का उपयोग राष्ट्रीय भू-स्थानिक खुफिया एजेंसी द्वारा अनुप्रस्थ मर्केटर प्रक्षेपण के विनिर्देश में किया जाता है। एवं ग्रेट ब्रिटेन का आयुध सर्वेक्षण का परिणाम हैं।

पैरामीट्रिक अक्षांश के संदर्भ में श्रृंखला
1825 में, बेसेल पैरामीट्रिक अक्षांश के संदर्भ में मध्याह्न दूरी का विस्तार प्राप्त किया $β$ दीर्घवृत्ताभ पर जियोडेसिक्स पर उनके कार्य के संबंध में,


 * $$m(\varphi)=\frac{a+b}2\left(B_0\beta+B_2\sin 2\beta+B_4\sin4\beta+B_6\sin6\beta+B_8\sin8\beta+\cdots\right)\,,$$

साथ
 * $$\begin{align}

B_0 &= 1 + \tfrac{1}{4} n^2 + \tfrac{1}{64} n^4 + \cdots = H_0\,,\\ B_2 &= - \tfrac{1}{2} n + \tfrac{1}{16} n^3 + \cdots, & B_6 &= - \tfrac{1}{48} n^3 + \cdots, \\ B_4 &= - \tfrac{1}{16} n^2 + \tfrac{1}{64} n^4 + \cdots, \qquad& B_8 &= - \tfrac{5}{512} n^4 + \cdots. \end{align}$$ क्योंकि यह श्रृंखला दूसरी तरह के अण्डाकार अभिन्न के लिए विस्तार प्रदान करती है, इसका उपयोग भौगोलिक अक्षांश के रूप में चाप की लंबाई लिखने के लिए किया जा सकता है


 * $$m(\varphi)=\frac{a+b}2\left(B_0\varphi-B_2\sin2\varphi+B_4\sin4\varphi-B_6\sin6\varphi+B_8\sin8\varphi-\cdots-\frac{2n\sin2\varphi}{\sqrt{1+2n\cos2\varphi+n^2}}\right)\,.$$

सामान्यीकृत श्रृंखला
उपरोक्त श्रृंखला में आठवें क्रम में या तीसरे सपाट में चौथे क्रम में एक मिलीमीटर सटीकता प्रदान करते हैं। प्रतीकात्मक बीजगणित प्रणालियों की सहायता से, उन्हें आसानी से तीसरे चपटेपन में छठे क्रम तक बढ़ाया जा सकता है जो स्थलीय अनुप्रयोगों के लिए पूर्ण दोहरी सटीकता प्रदान करता है।

डेलाम्बरे एवं बेसेल दोनों ने अपनी श्रृंखला को ऐसे रूप में लिखा है, जो उन्हें क्रम में सामान्यीकृत करने की अनुमति देता है। बेसेल की श्रृंखला में गुणांक विशेष रूप से सरल रूप से व्यक्त किए जा सकते हैं


 * $$B_{2k} =

\begin{cases} c_0\,, & \text{if }k = 0\,, \\[5px] \dfrac{c_k}{k}\,, & \text{if } k > 0\,, \end{cases}$$ जहाँ
 * $$c_k = \sum_{j=0}^\infty \frac{(2j-3)!!\, (2j+2k-3)!!}{(2j)!!\, (2j+2k)!!} n^{k+2j}$$

एवं $k!!$ दोहरा भाज्य है, जो पुनरावर्तन संबंध के माध्यम से ऋणात्मक मानों तक विस्तारित है: (−1)!! = 1 एवं (−3)!! = −1.

हेल्मर्ट की श्रृंखला में गुणांक समान रूप से व्यक्त किए जा सकते हैं
 * $$H_{2k} = (-1)^k (1-2k)(1+2k) B_{2k}\,.$$

यह परिणाम फ्रेडरिक रॉबर्ट हेल्मर्ट द्वारा अनुमानित किया गया था एवं सिंगल एक्सचेंज द्वारा प्रमाणित हुआ था। इसके कारण $(1 − 2k)(1 + 2k)$ के संदर्भ में श्रृंखला के खराब अभिसरण का परिणाम है $φ$ की अपेक्षा में $β$ के समान माना जाता हैं।

संख्यात्मक भाव
ऊपर दी गई त्रिकोणमितीय श्रृंखला का क्लेंशॉ एल्गोरिथ्म#जियोडेटिक अनुप्रयोगों का उपयोग करके आसानी से मूल्यांकन किया जा सकता है। यह विधि अधिकांश त्रिकोणमितीय कार्यों की गणना से बचती है एवं श्रृंखला को तेजी से एवं त्रुटिहीन रूप से अभिव्यक्त करने की अनुमति देती है। तकनीक का उपयोग अंतर का मूल्यांकन करने के लिए भी किया जा सकता है $m(φ_{1}) − m(φ_{2})$ उच्च सापेक्ष सटीकता बनाए रखते हुए हैं।

अर्ध-प्रमुख अक्ष एवं वर्ल्ड जियोडेटिक सिस्टम दीर्घवृत्त की विलक्षणता के लिए मूल्यों को प्रतिस्थापित करना
 * $$\begin{align}

m(\varphi)&=\left(111\,132.952\,55\,\varphi^{(\circ)}-16\,038.509\,\sin 2\varphi+16.833\,\sin4\varphi-0.022\,\sin6\varphi+0.000\,03\,\sin8\varphi\right)\mbox{ metres} \\ &= \left(111\,132.952\,55\,\beta^{(\circ)}-5\,346.170\,\sin 2\beta-1.122\,\sin4\beta-0.001\,\sin6\beta-0.5\times10^{-6}\,\sin8\beta\right)\mbox{ metres,} \end{align}$$ जहाँ $φ^{(}°^{)} = φ⁄1°$ है $φ$ डिग्री में व्यक्त (एवं इसी तरह के लिए $β^{(}°^{)}$).

दीर्घवृत्त पर समानांतरों के मध्य की त्रुटिहीन दूरी पर $φ_{1}$ एवं $φ_{2}$ है $m(φ_{1}) − m(φ_{2})$. डब्ल्यूजीएस84 के लिए दूरी के लिए अनुमानित व्यंजक $Δm$ अक्षांश पर वृत्त से ± 0.5° पर दो समानांतरों के मध्य $φ$ द्वारा दिया गया है।


 * $$\Delta m=(111\,133 - 560\cos 2\varphi)\mbox{ metres.}$$

क्वार्टर मेरिडियन
भूमध्य रेखा से ध्रुव की दूरी, चौथाई याम्योत्तर (चतुर्थ-वृत्त के अनुरूप), जिसे पृथ्वी चतुर्थांश के रूप में भी जाना जाता है,
 * $$m_\mathrm{p} = m\left(\frac \pi 2\right)\,.$$

यह मीटर एवं समुद्री मील की ऐतिहासिक परिभाषा का भाग था।

तिमाही याम्योत्तर को दूसरी तरह के पूर्ण अण्डाकार समाकलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,
 * $$m_\mathrm{p}=aE(e)=bE(ie').$$

जहाँ $$e, e'$$ प्रथम एवं दूसरी विलक्षणता_(गणित) अण्डाकार हैं।

तिमाही याम्योत्तर भी निम्नलिखित सामान्यीकृत श्रृंखला द्वारा दिया गया है:
 * $$m_\mathrm{p} = \frac{\pi(a+b)}4 c_0 = \frac{\pi(a+b)}4 \sum_{j=0}^\infty\left(\frac{(2j-3)!!}{(2j)!!}\right)^2 n^{2j}\,,$$

(C0 के सूत्र के लिए, ऊपर अनुभाग सामान्यीकृत श्रृंखला देखें।) यह परिणाम सर्वप्रथम जेम्स आइवरी (गणितज्ञ) द्वारा प्राप्त किया गया था। डब्ल्यूजीएस84 दीर्घवृत्त पर तिमाही मध्याह्न रेखा के लिए संख्यात्मक अभिव्यक्ति है
 * $$ m_\mathrm{p}=10\,001\,965.729\mbox{ m.}$$

ध्रुवीय पृथ्वी की परिधि केवल चार गुना चौथाई मध्याह्न रेखा है:
 * $$ C_p=4m_p$$

मध्याह्न दीर्घवृत्त की परिधि को सुधारक वृत्त परिधि के रूप में भी तत्पश्चात लिखा जा सकता है, इस प्रकार $C_{p} = 2πM_{r}$ होने पर सुधारात्मक पृथ्वी त्रिज्या है:
 * $$M_r=0.5(a+b)/c_0$$

$6,367,449.146 m$ के रूप में इसका मूल्यांकन किया जा सकता है।

दीर्घवृत्ताभ के लिए व्युत्क्रम मध्याह्न समस्या
कुछ समस्याओं में, हमें उलटी समस्या को हल करने में सक्षम होने की आवश्यकता है: दिया गया $m$, ठानना $φ$. इसे न्यूटन की विधि, पुनरावृति द्वारा हल किया जा सकता है
 * $$\varphi_{i+1} = \varphi_i - \frac{m(\varphi_i) - m}{M(\varphi_i)}\,,$$

अभिसरण तक। द्वारा उपयुक्त प्रारंभिक अनुमान दिया गया है $φ_{0} = μ$ जहाँ
 * $$\mu = \frac{\pi}2 \frac m{m_\mathrm{p}}$$

दिष्टकारी अक्षांश है। ध्यान दें कि इसके लिए श्रृंखला $m(φ)$ को भिन्न करने की कोई आवश्यकता नहीं है, चूँकि वक्रता की याम्योत्तर त्रिज्या का सूत्र है $M(φ)$ का उपयोग इसके अतिरिक्त किया जा सकता है।

वैकल्पिक रूप से, मध्याह्न दूरी के लिए हेल्मर्ट की श्रृंखला को देने के लिए वापस किया जा सकता है
 * $$\varphi = \mu + H'_2\sin2\mu + H'_4\sin4\mu + H'_6\sin6\mu + H'_8\sin8\mu + \cdots$$

जहाँ
 * $$\begin{align}

H'_2 &= \tfrac{3}{2} n - \tfrac{27}{32} n^3 + \cdots,& H'_6 &= \tfrac{151}{96} n^3 + \cdots, \\ H'_4 &= \tfrac{21}{16} n^2 - \tfrac{55}{32} n^4 + \cdots,\qquad& H'_8 &= \tfrac{1097}{512} n^4 + \cdots. \end{align}$$ इसी प्रकार, बेसेल की श्रृंखला के लिए $m$ के अनुसार $β$ देने के लिए वापस किया जा सकता है
 * $$\beta = \mu + B'_2\sin2\mu + B'_4\sin4\mu + B'_6\sin6\mu + B'_8\sin8\mu + \cdots,$$

जहाँ
 * $$\begin{align}

B'_2 &= \tfrac{1}{2} n - \tfrac{9}{32} n^3 + \cdots,& B'_6 &= \tfrac{29}{96} n^3 - \cdots, \\ B'_4 &= \tfrac{5}{16} n^2 - \tfrac{37}{96} n^4 + \cdots,\qquad& B'_8 &= \tfrac{539}{1536} n^4 - \cdots. \end{align}$$ एड्रियन मैरी लीजेंड्रे ने दिखाया कि गोलभ पर जियोडेसिक के साथ की दूरी दीर्घवृत्त की परिधि के साथ की दूरी के समान है। इस कारण से, के लिए अभिव्यक्ति $m$ के अनुसार $β$ एवं ऊपर दिया गया इसका व्युत्क्रम दीर्घवृत्ताभ के साथ जियोडेसिक्स के समाधान में महत्वपूर्ण भूमिका $m$ द्वारा प्रतिस्थापित $s$ निभाता है, जियोडेसिक के साथ दूरी, एवं $β$ द्वारा प्रतिस्थापित $σ$, सहायक गोले पर चाप की लंबाई हैं। छठे क्रम तक विस्तारित अपेक्षित श्रृंखला चार्ल्स कार्नी द्वारा दी गई है, इस समीकरण के अनुसार (17) एवं (21) को साथ में $ε$ की भूमिका निभाते हैं जिसके फलस्वरूप $n$ एवं $τ$ की भूमिका $μ$ निभाते हैं।

यह भी देखें
• जियोडेसी का इतिहास

• जियोडेसी

• संदर्भ दीर्घवृत्ताभ

• पेरिस मेरिडियन (पश्चिम यूरोप-अफ्रीका मेरिडियन-आर्क)

• लैपलैंड के लिए फ्रेंच जियोडेसिक मिशन

• फ्रेंच जियोडेसिक मिशन

• स्ट्रूव जियोडेटिक आर्क

• सुधार अक्षांश

• दीर्घवृत्ताभ पर जियोडेसिक्स

बाहरी संबंध

 * Online computation of meridian arcs on different geodetic reference ellipsoids