टेन्सर रैंक अपघटन

बहुरेखीय बीजगणित में, टेंसर रैंक अपघटन या $$rank-R$$ एक टेंसर का अपघटन न्यूनतम योग के संदर्भ में एक टेंसर का अपघटन है $$R$$ $$rank-1$$ टेंसर। यह एक खुली समस्या है.

कैनोनिकल पॉलीडिक अपघटन (सीपीडी) रैंक अपघटन का एक प्रकार है जो सर्वोत्तम फिटिंग की गणना करता है $$K$$ $$rank-1$$ निर्दिष्ट उपयोगकर्ता के लिए शर्तें $$K$$. सीपी अपघटन को भाषा विज्ञान और रसायन विज्ञान  में कुछ अनुप्रयोग मिले हैं। सीपी रैंक की शुरुआत 1927 में फ्रैंक लॉरेन हिचकॉक द्वारा की गई थी और बाद में कई बार पुनः खोजा गया, विशेष रूप से साइकोमेट्रिक्स में।  CP अपघटन को CANDECOMP कहा जाता है, पैराफैक, या कैंडेकॉम्प/पैराफैक (सीपी)। PARAFAC2 रैंक अपघटन का पता लगाना अभी बाकी है।

मैट्रिक्स एसवीडी का एक और लोकप्रिय सामान्यीकरण जिसे उच्च-क्रम एकवचन मूल्य अपघटन के रूप में जाना जाता है, ऑर्थोनॉर्मल मोड मैट्रिक्स की गणना करता है और इसे अर्थमिति, संकेत आगे बढ़ाना, कंप्यूटर दृष्टि,  कंप्यूटर चित्रलेख , साइकोमेट्रिक्स में अनुप्रयोग मिला है।

संकेतन
एक अदिश चर को छोटे इटैलिक अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है, $$ a$$ और एक ऊपरी बाउंड स्केलर को एक अपरकेस इटैलिक अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है, $$ A $$.

सूचकांकों को लोअरकेस और अपरकेस इटैलिक अक्षरों के संयोजन से दर्शाया जाता है, $$1 \le i \le I$$. किसी टेंसर के एकाधिक मोड का संदर्भ देते समय कई सूचकांकों का सामना करना पड़ सकता है, जिन्हें आसानी से दर्शाया जा सकता है $$1\le i_m \le I_m$$ कहाँ $$1\le m \le M$$.

एक वेक्टर को लोअर केस बोल्ड टाइम्स रोमन द्वारा दर्शाया जाता है, $$\mathbf a$$ और एक मैट्रिक्स को बोल्ड अपर केस अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है $$ \mathbf A$$.

एक उच्च क्रम वाले टेंसर को सुलेख अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है,$$\mathcal A$$. एक का एक तत्व $$M$$-आदेश टेंसर $$ \mathcal A \in \mathbb C^{I_1 \times I_2 \times \dots I_m \times \dots I_M}$$ द्वारा निरूपित किया जाता है $$ a_{i_1, i_2,\dots,i_m,\dots i_M}$$ या $$ \mathcal A_{i_1, i_2,\dots,i_m,\dots i_M}$$.

परिभाषा
एक डेटा टेंसर $${\mathcal A}\in {\mathbb F}^{I_0 \times I_1 \times \ldots \times I_C}$$ बहुभिन्नरूपी प्रेक्षणों का एक संग्रह है जिसे एक में व्यवस्थित किया गया है $M$-वे ऐरे जहां $M$=$C$+1. प्रत्येक टेंसर को उपयुक्त रूप से बड़े आकार के साथ दर्शाया जा सकता है $$R$$ के एक रैखिक संयोजन के रूप में $$r$$ रैंक-1 टेंसर:


 * $$\mathcal{A} = \sum_{r=1}^{R} \lambda_r \mathbf{a}_{0,r} \otimes\mathbf{a}_{1,r} \otimes \mathbf{a}_{2,r} \dots \otimes \mathbf{a}_{c,r}\otimes \cdots \otimes \mathbf{a}_{C,r},$$

कहाँ $$\lambda_r \in {\mathbb R}$$ और $$\mathbf{a}_{m,r} \in {\mathbb F}^{I_m}$$ कहाँ $$ 1\le m\le M$$. जब पदों की संख्या $$R$$ तो, उपरोक्त अभिव्यक्ति में न्यूनतम है $$R$$ को टेंसर की रैंक कहा जाता है, और अपघटन को अक्सर (टेंसर) रैंक अपघटन, न्यूनतम सीपी अपघटन, या कैनोनिकल पॉलीएडिक अपघटन (सीपीडी) के रूप में जाना जाता है। यदि शब्दों की संख्या न्यूनतम नहीं है, तो उपरोक्त अपघटन को अक्सर CANDECOMP/PARAFAC, पॉलीडिक अपघटन के रूप में जाना जाता है।

टेंसर रैंक
मैट्रिक्स के मामले के विपरीत, टेंसर की रैंक की गणना करना एनपी कठिन  है। एकमात्र उल्लेखनीय अच्छी तरह से समझे जाने वाले मामले में टेंसर शामिल हैं $$F^{I_m} \otimes F^{I_n} \otimes F^2$$, जिसकी रैंक लियोपोल्ड क्रोनकर-वीयरस्ट्रैस के रैखिक मैट्रिक्स पेंसिल के सामान्य रूप से प्राप्त की जा सकती है जो टेंसर का प्रतिनिधित्व करता है। यह प्रमाणित करने के लिए एक सरल बहुपद-समय एल्गोरिथ्म मौजूद है कि एक टेंसर रैंक 1 का है, अर्थात् उच्च-क्रम एकवचन मूल्य अपघटन।

परंपरा के अनुसार शून्य के टेंसर की रैंक शून्य होती है। एक टेंसर की रैंक $$\mathbf{a}_1 \otimes \cdots \otimes \mathbf{a}_M $$ एक है, बशर्ते कि $$ \mathbf{a}_m \in F^{I_m}\setminus\{0\} $$.

क्षेत्र निर्भरता
टेंसर की रैंक उस क्षेत्र पर निर्भर करती है जिस पर टेंसर विघटित होता है। यह ज्ञात है कि कुछ वास्तविक टेंसर एक जटिल अपघटन को स्वीकार कर सकते हैं जिनकी रैंक उसी टेंसर के वास्तविक अपघटन की रैंक से बिल्कुल कम है। उदहारण के लिए, निम्नलिखित वास्तविक टेंसर पर विचार करें


 * $$ \mathcal{A} = \mathbf{x}_1 \otimes \mathbf{x}_2 \otimes \mathbf{x}_3 + \mathbf{x}_1 \otimes \mathbf{y}_2 \otimes \mathbf{y}_3 - \mathbf{y}_1 \otimes \mathbf{x}_2 \otimes \mathbf{y}_3 + \mathbf{y}_1 \otimes \mathbf{y}_2 \otimes \mathbf{x}_3, $$

कहाँ $$\mathbf{x}_i, \mathbf{y}_j \in \mathbb{R}^2$$. वास्तविक पर इस टेंसर की रैंक 3 मानी जाती है, जबकि इसकी जटिल रैंक केवल 2 है क्योंकि यह एक जटिल रैंक-1 टेंसर का उसके जटिल संयुग्म के साथ योग है, अर्थात्


 * $$ \mathcal{A} = \frac{1}{2}( \bar{\mathbf{z}}_1 \otimes \mathbf{z}_2 \otimes \bar{\mathbf{z}}_3 + \mathbf{z}_1 \otimes \bar{\mathbf{z}}_2 \otimes \mathbf{z}_3),$$

कहाँ $$ \mathbf{z}_k=\mathbf{x}_k + i\mathbf{y}_k$$.

इसके विपरीत, फ़ील्ड विस्तार के तहत वास्तविक मैट्रिक्स की रैंक कभी कम नहीं होगी $$\mathbb{C}$$: वास्तविक मैट्रिक्स रैंक और जटिल मैट्रिक्स रैंक वास्तविक मैट्रिक्स के लिए मेल खाते हैं।

सामान्य रैंक
सामान्य पद $$r(I_1,\ldots,I_M)$$ न्यूनतम रैंक के रूप में परिभाषित किया गया है $$r$$ इस प्रकार कि ज़ारिस्की टोपोलॉजी में अधिकतम रैंक के टेंसरों के सेट को बंद कर दिया जाए $$r$$ संपूर्ण स्थान है $$F^{I_1} \otimes \cdots \otimes F^{I_M}$$. जटिल टेंसर के मामले में, अधिकतम रैंक के टेंसर $$r(I_1,\ldots,I_M)$$ एक सघन सेट बनाएं $$S$$: उपर्युक्त स्थान में प्रत्येक टेंसर या तो सामान्य रैंक से कम रैंक का है, या यह टेंसरों के अनुक्रम की यूक्लिडियन टोपोलॉजी में सीमा है $$S$$. वास्तविक टेंसर के मामले में, अधिकतम रैंक के टेंसर का सेट $$r(I_1,\ldots,I_M)$$ यूक्लिडियन टोपोलॉजी में केवल सकारात्मक माप का एक खुला सेट बनता है। सामान्य रैंक से सख्ती से अधिक रैंक के टेंसरों के यूक्लिडियन-ओपन सेट मौजूद हो सकते हैं। यूक्लिडियन टोपोलॉजी में खुले सेट पर दिखाई देने वाली सभी रैंकों को विशिष्ट रैंक कहा जाता है। सबसे छोटी विशिष्ट रैंक को सामान्य रैंक कहा जाता है; यह परिभाषा जटिल और वास्तविक दोनों टेंसरों पर लागू होती है। टेन्सर स्पेस की सामान्य रैंक का अध्ययन सबसे पहले 1983 में वोल्कर स्ट्रैसन द्वारा किया गया था। उपरोक्त अवधारणाओं के उदाहरण के रूप में, यह ज्ञात है कि 2 और 3 दोनों विशिष्ट रैंक हैं $$\mathbb{R}^2 \otimes \mathbb{R}^2 \otimes \mathbb{R}^2$$ जबकि सामान्य रैंक $$\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2$$ 2 है। व्यावहारिक रूप से, इसका मतलब है कि आकार का एक यादृच्छिक रूप से नमूना लिया गया वास्तविक टेंसर (टेंसर के स्थान पर निरंतर संभाव्यता माप से) $$2 \times 2 \times 2$$ संभाव्यता शून्य के साथ एक रैंक-1 टेंसर होगा, सकारात्मक संभावना के साथ एक रैंक-2 टेंसर होगा, और सकारात्मक संभावना के साथ रैंक-3 होगा। दूसरी ओर, समान आकार का एक यादृच्छिक रूप से नमूना किया गया जटिल टेंसर प्रायिकता शून्य के साथ रैंक-1 टेंसर होगा, प्रायिकता एक के साथ रैंक-2 टेंसर होगा, और प्रायिकता शून्य के साथ रैंक-3 टेंसर होगा। यह भी ज्ञात है कि सामान्य रैंक-3 वास्तविक टेंसर है $$\mathbb{R}^2 \otimes \mathbb{R}^2 \otimes \mathbb{R}^2$$ 2 के बराबर जटिल रैंक का होगा।

टेंसर रिक्त स्थान की सामान्य रैंक संतुलित और असंतुलित टेंसर रिक्त स्थान के बीच अंतर पर निर्भर करती है। एक टेंसर स्पेस $$F^{I_1} \otimes \cdots \otimes F^{I_M}$$, कहाँ $$I_1 \ge I_2 \ge \cdots \ge I_M$$, जब भी असंतुलित कहा जाता है


 * $$I_1 > 1 + \prod_{m=2}^M I_m - \sum_{m=2}^M (I_m-1), $$

और इसे अन्यथा संतुलित कहा जाता है।

असंतुलित टेंसर स्थान
जब टेंसर उत्पाद में अन्य कारकों के संबंध में पहला कारक बहुत बड़ा होता है, तो टेंसर स्पेस अनिवार्य रूप से मैट्रिक्स स्पेस के रूप में व्यवहार करता है। असंतुलित टेंसर स्थानों में रहने वाले टेंसरों की सामान्य रैंक बराबर मानी जाती है


 * $$ r(I_1,\ldots,I_M) = \min\left\{ I_1, \prod_{m=2}^M I_m \right\} $$

लगभग हर जगह। अधिक सटीक रूप से, असंतुलित टेंसर स्थान में प्रत्येक टेंसर की रैंक $$F^{I_1 \times \cdots \times I_M} \setminus Z$$, कहाँ $$Z$$ ज़ारिस्की टोपोलॉजी में कुछ अनिश्चित बंद सेट है, जो उपरोक्त मान के बराबर है।

संतुलित टेंसर स्थान
संतुलित टेंसर स्पेस में रहने वाले टेंसरों की अपेक्षित सामान्य रैंक बराबर है


 * $$ r_E(I_1,\ldots,I_M) = \left\lceil \frac{\Pi}{\Sigma+1} \right\rceil $$

जटिल टेंसरों के लिए लगभग हर जगह और वास्तविक टेंसरों के लिए यूक्लिडियन-ओपन सेट पर, जहां


 * $$ \Pi = \prod_{m=1}^{M} I_m \quad\text{and}\quad \Sigma = \sum_{m=1}^{M} (I_m - 1). $$

अधिक सटीक रूप से, प्रत्येक टेंसर की रैंक $$\mathbb{C}^{I_1 \times \cdots \times I_M} \setminus Z$$, कहाँ $$Z$$ ज़ारिस्की टोपोलॉजी में कुछ अनिश्चित बंद सेट है, उपरोक्त मूल्य के बराबर होने की उम्मीद है। वास्तविक टेंसरों के लिए, $$r_E(I_1,\ldots,I_M)$$ वह न्यूनतम रैंक है जो सकारात्मक यूक्लिडियन माप के सेट पर होने की उम्मीद है। मूल्य $$r_E(I_1,\ldots,I_M)$$ इसे अक्सर टेंसर स्पेस की अपेक्षित सामान्य रैंक के रूप में जाना जाता है $$F^{I_1 \times \cdots \times I_M}$$ क्योंकि यह केवल अनुमानतः सही है। यह ज्ञात है कि सच्ची सामान्य रैंक हमेशा संतुष्ट करती है


 * $$ r(I_1, \ldots, I_M) \ge r_E(I_1, \ldots, I_M). $$

अबो-ओटावियानी-पीटरसन अनुमान बताता है कि समानता अपेक्षित है, अर्थात, $$r(I_1,\ldots,I_M) = r_E(I_1,\ldots,I_M)$$, निम्नलिखित असाधारण मामलों के साथ:

इनमें से प्रत्येक असाधारण मामले में, सामान्य रैंक ज्ञात है $$r(I_1,\ldots,I_m,\ldots,I_M) = r_E(I_1,\ldots,I_M)+1$$. ध्यान दें कि रैंक 3 इंच के टेंसर का सेट $$F^{2 \times 2 \times 2 \times 2} $$ दोषपूर्ण है (13 और अपेक्षित 14 नहीं), उस स्थान में सामान्य रैंक अभी भी अपेक्षित है, 4। इसी तरह, रैंक 5 के टेंसरों का सेट $$F^{4 \times 4 \times 3}$$ दोषपूर्ण है (44 और अपेक्षित 45 नहीं), लेकिन उस स्थान में सामान्य रैंक अभी भी अपेक्षित 6 है।
 * $$ F^{(2m+1) \times (2m+1) \times 3} \text{ with } m = 1, 2, \ldots$$
 * $$ F^{(m+1) \times (m+1) \times 2 \times 2} \text{ with } m = 2,3, \ldots$$

AOP अनुमान कई विशेष मामलों में पूरी तरह से सिद्ध हो चुका है। लिकटेग ने 1985 में ही यह दिखा दिया था $$r(n,n,n) = r_E(n,n,n)$$, उसे उपलब्ध कराया $$n \ne 3$$. 2011 में, कैटालिसानो, गेरामिता और जिमिग्लिआनो द्वारा एक बड़ी सफलता स्थापित की गई, जिन्होंने साबित किया कि रैंक के सेट का अपेक्षित आयाम $$s$$ प्रारूप के टेंसर $$2\times 2\times \cdots \times 2$$ 4 कारक मामले में रैंक 3 टेंसरों को छोड़कर अपेक्षित है, फिर भी उस मामले में अपेक्षित रैंक अभी भी 4 है। परिणामस्वरूप, $$r(2,2,\ldots,2) = r_E(2,2,\ldots,2)$$ सभी बाइनरी टेंसरों के लिए।

अधिकतम रैंक
टेंसर स्पेस में किसी भी टेंसर द्वारा स्वीकार की जा सकने वाली अधिकतम रैंक सामान्य रूप से अज्ञात है; यहां तक ​​कि इस अधिकतम रैंक के बारे में कोई अनुमान भी गायब है। वर्तमान में, सर्वोत्तम सामान्य ऊपरी सीमा बताती है कि अधिकतम रैंक $$r_\mbox{max}(I_1,\ldots,I_M)$$ का $$F^{I_1} \otimes \cdots \otimes F^{I_M}$$, कहाँ $$I_1 \ge I_2 \ge \cdots \ge I_M$$, संतुष्ट करता है


 * $$r_\mbox{max}(I_1,\ldots,I_M) \le \min\left\{ \prod_{m=2}^M I_m, 2 \cdot r(I_1,\ldots,I_M) \right\},$$

कहाँ $$r(I_1,\ldots,I_M)$$ की (न्यूनतम) सामान्य रैंक है $$F^{I_1} \otimes \cdots \otimes F^{I_M}$$. यह सर्वविदित है कि पूर्वगामी असमानता सख्त हो सकती है। उदाहरण के लिए, टेंसरों की सामान्य रैंक $$\mathbb{R}^{2\times 2 \times 2}$$ दो है, ताकि उपरोक्त बाध्यता प्राप्त हो $$r_\mbox{max}(2,2,2) \le 4$$, जबकि यह ज्ञात है कि अधिकतम रैंक 3 के बराबर है।

सीमा रैंक
एक रैंक-$$s$$ टेन्सर $$\mathcal{A}$$ यदि अधिकतम रैंक के टेंसरों का एक क्रम मौजूद है तो उसे बॉर्डर टेंसर कहा जाता है $$r < s$$ जिसकी सीमा है $$\mathcal{A}$$. अगर $$r$$ वह न्यूनतम मान है जिसके लिए ऐसा अभिसरण अनुक्रम मौजूद है, तो इसे सीमा रैंक कहा जाता है $$\mathcal{A}$$. ऑर्डर-2 टेंसर के लिए, यानी, मैट्रिक्स, रैंक और बॉर्डर रैंक हमेशा मेल खाते हैं, हालांकि, ऑर्डर के टेंसर के लिए $$\ge3$$ वे भिन्न हो सकते हैं. बॉर्डर टेंसर का अध्ययन पहली बार 1980 में बिनी, लोटी और रोमानी द्वारा तेजी से अनुमानित मैट्रिक्स गुणन एल्गोरिदम के संदर्भ में किया गया था। बॉर्डर टेंसर का एक उत्कृष्ट उदाहरण रैंक-3 टेंसर है


 * $$\mathcal{A} = \mathbf{u} \otimes \mathbf{u} \otimes \mathbf{v} + \mathbf{u} \otimes \mathbf{v} \otimes \mathbf{u} + \mathbf{v} \otimes \mathbf{u} \otimes \mathbf{u}, \quad \text{with } \|\mathbf{u}\| = \|\mathbf{v}\| = 1 \text{ and } \langle \mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle \ne 1.$$

इसे रैंक-2 टेंसर के निम्नलिखित अनुक्रम द्वारा मनमाने ढंग से अच्छी तरह से अनुमानित किया जा सकता है


 * $$\begin{align}

\mathcal{A}_m &= m (\mathbf{u} + \frac{1}{m} \mathbf{v}) \otimes (\mathbf{u} + \frac{1}{m} \mathbf{v}) \otimes (\mathbf{u} + \frac{1}{m} \mathbf{v}) - m \mathbf{u}\otimes\mathbf{u}\otimes\mathbf{u} \\ &= \mathbf{u} \otimes \mathbf{u} \otimes \mathbf{v} + \mathbf{u} \otimes \mathbf{v} \otimes \mathbf{u} + \mathbf{v} \otimes \mathbf{u} \otimes \mathbf{u} + \frac{1}{m} (\mathbf{u}\otimes\mathbf{v}\otimes\mathbf{v} + \mathbf{v}\otimes\mathbf{u}\otimes\mathbf{v} + \mathbf{v}\otimes\mathbf{v}\otimes\mathbf{u}) + \frac{1}{m^2} \mathbf{v}\otimes\mathbf{v}\otimes\mathbf{v} \end{align}$$ जैसा $$m \to \infty$$. इसलिए, इसकी सीमा रैंक 2 है, जो कि इसकी रैंक से बिल्कुल कम है। जब दो वेक्टर ऑर्थोगोनल होते हैं, तो इस उदाहरण को W स्थिति के रूप में भी जाना जाता है।

पहचान योग्यता
यह शुद्ध टेंसर की परिभाषा से अनुसरण करता है $$\mathcal{A} = \mathbf{a}_1 \otimes \mathbf{a}_2 \otimes \cdots \otimes \mathbf{a}_M = \mathbf{b}_1 \otimes \mathbf{b}_2 \otimes \cdots \otimes \mathbf{b}_M$$ यदि और केवल यदि अस्तित्व है $$\lambda_k$$ ऐसा है कि $$\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_M = 1$$ और $$\mathbf{a}_m = \lambda_m \mathbf{b}_m$$ सभी के लिए एम. इस कारण से, पैरामीटर $$\{ \mathbf{a}_m \}_{m=1}^M$$ रैंक-1 टेंसर का $$\mathcal{A}$$ पहचाने जाने योग्य या अनिवार्य रूप से अद्वितीय कहलाते हैं। एक रैंक-$$r$$ टेन्सर $$\mathcal{A} \in F^{I_1} \otimes F^{I_2} \otimes \cdots \otimes F^{I_M}$$ पहचाने जाने योग्य कहा जाता है यदि इसका प्रत्येक टेंसर रैंक अपघटन उसी सेट का योग हो $$r$$ विशिष्ट टेंसर $$\{ \mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2, \ldots, \mathcal{A}_r \}$$ जहां $$\mathcal{A}_i$$रैंक 1 के हैं। एक पहचान योग्य रैंक-$$r$$ इस प्रकार केवल एक अनिवार्य रूप से अद्वितीय अपघटन होता है $$\mathcal{A} = \sum_{i=1}^r \mathcal{A}_i,$$और सभी $$r!$$ टेंसर रैंक का विघटन $$\mathcal{A}$$ सारांश के क्रम को परिवर्तित करके प्राप्त किया जा सकता है। निरीक्षण करें कि एक टेंसर रैंक में सभी का अपघटन होता है $$\mathcal{A}_i$$अलग हैं, अन्यथा की रैंक के लिए $$\mathcal{A}$$ अधिक से अधिक होगा $$r-1$$.

सामान्य पहचान
ऑर्डर-2 टेंसर में $$F^{I_1} \otimes F^{I_2} \simeq F^{I_1 \times I_2}$$, यानी, मैट्रिक्स, के लिए पहचाने जाने योग्य नहीं हैं $$r > 1$$. यह मूलतः अवलोकन से अनुसरण करता है $$\mathcal{A} = \sum_{i=1}^r \mathbf{a}_i \otimes \mathbf{b}_i = \sum_{i=1}^r \mathbf{a}_i \mathbf{b}_i^T = A B^T = (A X^{-1}) (B X^T)^T = \sum_{i=1}^r \mathbf{c}_i \mathbf{d}_i^T = \sum_{i=1}^r \mathbf{c}_i \otimes \mathbf{d}_i,$$कहाँ $$X \in \mathrm{GL}_{r}(F)$$ एक उलटा है $$r \times r$$ आव्यूह, $$A = [\mathbf{a}_i]_{i=1}^r$$, $$B = [\mathbf{b}_i]_{i=1}^r$$, $$A X^{-1} = [\mathbf{c}_i]_{i=1}^r$$ और $$B X^T = [\mathbf{d}_i]_{i=1}^r$$. इसे दिखाया जा सकता है वह हर किसी के लिए $$X \in \mathrm{GL}_n(F)\setminus Z$$, कहाँ $$Z$$ ज़रिस्की टोपोलॉजी में एक बंद सेट है, दाईं ओर का अपघटन बाईं ओर के अपघटन की तुलना में रैंक -1 टेंसर के एक अलग सेट का योग है, जिसमें रैंक के ऑर्डर -2 टेंसर शामिल होते हैं $$r>1$$ सामान्यतः पहचाने जाने योग्य नहीं हैं।

उच्च-क्रम वाले टेंसरों के लिए स्थिति पूरी तरह से बदल जाती है $$F^{I_1} \otimes F^{I_2} \otimes \cdots \otimes F^{I_M}$$ साथ $$M > 2$$ और सभी $$I_m \ge 2$$. अंकन में सरलता के लिए, व्यापकता की हानि के बिना मान लें कि कारकों को इस प्रकार क्रमित किया गया है $$I_1 \ge I_2 \ge \cdots \ge I_M \ge 2$$. होने देना $$S_r \subset F^{I_1} \otimes \cdots F^{I_m}\otimes \cdots \otimes F^{I_M}$$से घिरे रैंक के टेंसरों के सेट को निरूपित करें $$r$$. फिर, आयाम के सभी स्थानों के लिए कंप्यूटर-समर्थित प्रमाण का उपयोग करके निम्नलिखित कथन सही साबित हुआ $$\Pi < 15000 $$, और इसे सामान्य तौर पर मान्य माना जाता है: वहां एक बंद सेट मौजूद है $$Z_r$$ ज़ारिस्की टोपोलॉजी में ऐसा कि हर टेंसर $$\mathcal{A} \in S_r\setminus Z_r$$पहचाने जाने योग्य है ($$S_r$$ इस मामले में सामान्य रूप से पहचाने जाने योग्य कहा जाता है), जब तक कि निम्नलिखित असाधारण मामलों में से कोई एक न हो: इन असाधारण मामलों में, जटिल अपघटनों की सामान्य (और न्यूनतम भी) संख्या है $$ पहले 4 मामलों में; $$ और $$F^3 \otimes F^2 \otimes F^2 \otimes F^2 $$. संक्षेप में, आदेश का सामान्य टेंसर $$M > 2 $$ और रैंक $r < \frac{\Pi}{\Sigma+1} $ जो पहचान योग्य नहीं है-असंतुलित है, उसे पहचाने जाने योग्य होने की उम्मीद है (छोटे स्थानों में असाधारण मामलों को ध्यान में रखते हुए)।
 * 1) रैंक बहुत बड़ी है: $$r > r_E(I_1, I_2, \ldots, I_M)$$;
 * 2) स्थान पहचान-असंतुलित है, यानी, $I_1 > \prod_{m=2}^M i_m - \sum_{m=2}^M (I_m - 1)$, और रैंक बहुत बड़ी है: $r \ge \prod_{m=2}^M I_m - \sum_{m=2}^M (I_m-1)$ ;
 * 3) स्थान दोषपूर्ण मामला है $$F^4 \otimes F^4 \otimes F^3$$ और रैंक है $$r=5$$;
 * 4) स्थान दोषपूर्ण मामला है $$F^n \otimes F^n \otimes F^2 \otimes F^2$$, कहाँ $$n \ge 2$$, और रैंक है $$r = 2n-1$$;
 * 5) अंतरिक्ष है $$F^4 \otimes F^4 \otimes F^4$$ और रैंक है $$r=6$$;
 * 6) अंतरिक्ष है $$F^6 \otimes F^6 \otimes F^3$$ और रैंक है $$r = 8$$; या
 * 7) अंतरिक्ष है $$F^2 \otimes F^2 \otimes F^2 \otimes F^2 \otimes F^2$$ और रैंक है $$r=5$$.
 * 8) जगह एकदम सही है, यानी, $r_E(I_1,I_2,\ldots,I_M) = \frac{\Pi}{\Sigma+1}$  एक पूर्णांक है, और रैंक है $r = r_E(I_1,I_2,\ldots,I_M)$.
 * साबित हुई $$\infty
 * स्थिति 5 में दो साबित हुए;
 * अपेक्षित स्थिति 6 में छह होना;
 * स्थिति 7 में दो साबित हुए; और
 * अपेक्षित दो पहचाने जाने योग्य मामलों को छोड़कर, मामले 8 में कम से कम दो होना चाहिए $$F^5 \otimes F^4 \otimes F^3

मानक सन्निकटन समस्या की गलत व्याख्या
रैंक सन्निकटन समस्या रैंक पूछती है-$$r$$ कुछ रैंक के निकटतम अपघटन (सामान्य यूक्लिडियन टोपोलॉजी में)-$$s$$ टेन्सर $$\mathcal{A}$$, कहाँ $$r < s$$. अर्थात् कोई समाधान चाहता है


 * $$ \min_{\mathbf{a}_i^m \in F^{I_m}} \| \mathcal{A} - \sum_{i=1}^{r} \mathbf{a}_i^1 \otimes \mathbf{a}_i^2 \otimes \cdots \otimes \mathbf{a}_i^M \|_F, $$

कहाँ $$\|\cdot\|_F$$ फ्रोबेनियस मानदंड है.

इसे डी सिल्वा और लिम द्वारा 2008 के एक पेपर में दिखाया गया था उपरोक्त मानक सन्निकटन समस्या ग़लत हो सकती है। उपर्युक्त समस्या का समाधान कभी-कभी मौजूद नहीं हो सकता है क्योंकि जिस सेट पर कोई अनुकूलन करता है वह बंद नहीं होता है। इस प्रकार, एक मिनिमाइज़र मौजूद नहीं हो सकता है, भले ही एक न्यूनतम मौजूद हो। विशेष रूप से, यह ज्ञात है कि कुछ तथाकथित सीमा टेंसरों को अधिकतम रैंक के टेंसर के अनुक्रम द्वारा मनमाने ढंग से अनुमानित किया जा सकता है $$r$$, भले ही अनुक्रम की सीमा सख्ती से उच्चतर रैंक के टेंसर में परिवर्तित हो जाती है $$r$$. रैंक-3 टेंसर


 * $$\mathcal{A} = \mathbf{u} \otimes \mathbf{u} \otimes \mathbf{v} + \mathbf{u} \otimes \mathbf{v} \otimes \mathbf{u} + \mathbf{v} \otimes \mathbf{u} \otimes \mathbf{u}, \quad \text{with } \|\mathbf{u}\| = \|\mathbf{v}\| = 1 \text{ and } \langle \mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle \ne 1$$

रैंक-2 टेंसर के निम्नलिखित अनुक्रम द्वारा मनमाने ढंग से अच्छी तरह से अनुमान लगाया जा सकता है


 * $$ \mathcal{A}_n = n (\mathbf{u} + \frac{1}{n} \mathbf{v}) \otimes (\mathbf{u} + \frac{1}{n} \mathbf{v}) \otimes (\mathbf{u} + \frac{1}{n} \mathbf{v}) - n \mathbf{u}\otimes\mathbf{u}\otimes\mathbf{u} $$

जैसा $$n \to \infty$$. यह उदाहरण सामान्य सिद्धांत को स्पष्ट रूप से दर्शाता है कि रैंक का एक क्रम-$$r$$ जो टेंसर कड़ाई से उच्च रैंक के टेंसर में परिवर्तित होते हैं, उन्हें कम से कम दो व्यक्तिगत रैंक -1 शब्दों को स्वीकार करने की आवश्यकता होती है, जिनके मानदंड असीमित हो जाते हैं। औपचारिक रूप से कहा गया है, जब भी एक अनुक्रम


 * $$ \mathcal{A}_n = \sum_{i=1}^r \mathbf{a}^1_{i,n} \otimes \mathbf{a}^2_{i,n} \otimes \cdots \otimes \mathbf{a}^M_{i,n} $$

उसके पास वह संपत्ति है $$\mathcal{A}_n \to \mathcal{A}$$ (यूक्लिडियन टोपोलॉजी में) जैसे $$n\to\infty$$, तो कम से कम अस्तित्व तो होना ही चाहिए $$1 \le i \ne j \le r$$ ऐसा है कि


 * $$ \| \mathbf{a}^1_{i,n} \otimes \mathbf{a}^2_{i,n} \otimes \cdots \otimes \mathbf{a}^M_{i,n} \|_F \to \infty \text{ and  } \| \mathbf{a}^1_{j,n} \otimes \mathbf{a}^2_{j,n} \otimes \cdots \otimes \mathbf{a}^M_{j,n} \|_F \to \infty$$

जैसा $$n\to\infty$$. संख्यात्मक अनुकूलन एल्गोरिदम का उपयोग करके एक टेंसर का अनुमान लगाने का प्रयास करते समय यह घटना अक्सर सामने आती है। इसे कभी-कभी अपसारी घटकों की समस्या भी कहा जाता है। इसके अलावा, यह दिखाया गया कि वास्तविकताओं पर एक यादृच्छिक निम्न-रैंक टेंसर सकारात्मक संभावना के साथ रैंक -2 सन्निकटन को स्वीकार नहीं कर सकता है, जिससे यह समझ में आता है कि टेंसर रैंक अपघटन को नियोजित करते समय खराब स्थिति की समस्या एक महत्वपूर्ण विचार है।

खराब स्थिति की समस्या के एक सामान्य आंशिक समाधान में एक अतिरिक्त असमानता बाधा लागू करना शामिल है जो व्यक्तिगत रैंक -1 शर्तों के मानदंड को कुछ स्थिरांक से सीमित करता है। अन्य बाधाएँ जो एक बंद सेट में परिणत होती हैं, और, इस प्रकार, अच्छी तरह से प्रस्तुत अनुकूलन समस्या में सकारात्मकता लगाना या एक सीमित आंतरिक उत्पाद शामिल होता है जो मांगे गए अपघटन में दिखाई देने वाले रैंक -1 शब्दों के बीच एकता से कम होता है।

सीपीडी की गणना
वैकल्पिक एल्गोरिदम:
 * वैकल्पिक न्यूनतम वर्ग (ALS)
 * वैकल्पिक स्लाइस-वार विकर्णीकरण (एएसडी)

प्रत्यक्ष एल्गोरिदम: सामान्य अनुकूलन एल्गोरिदम:
 * पेंसिल-आधारित एल्गोरिदम
 * क्षण-आधारित एल्गोरिदम
 * एक साथ विकर्णीकरण (एसडी)
 * एक साथ सामान्यीकृत शूर अपघटन (एसजीएसडी)
 * लेवेनबर्ग-मार्क्वार्ड (एलएम)
 * अरैखिक संयुग्मी ढाल (एनसीजी)
 * एल-बीएफजीएस (एल-बीएफजीएस)

सामान्य बहुपद प्रणाली समाधान एल्गोरिदम:


 * बहुपद समीकरणों की प्रणाली#संख्यात्मक रूप से हल करने के लिए एल्गोरिदम

अनुप्रयोग
मशीन लर्निंग में, सीपी-अपघटन क्षण-मिलान की तकनीक के माध्यम से संभाव्य अव्यक्त चर मॉडल सीखने में केंद्रीय घटक है। उदाहरण के लिए, मल्टी-व्यू मॉडल पर विचार करें जो एक संभाव्य अव्यक्त चर मॉडल है। इस मॉडल में, नमूनों की पीढ़ी इस प्रकार प्रस्तुत की जाती है: एक छिपा हुआ यादृच्छिक चर मौजूद होता है जिसे सीधे नहीं देखा जाता है, जिसे देखते हुए, कई सशर्त स्वतंत्र यादृच्छिक चर होते हैं जिन्हें छिपे हुए चर के विभिन्न दृश्यों के रूप में जाना जाता है। सरलता के लिए, मान लें कि तीन सममित दृश्य हैं $$x$$ एक का $$k$$-श्रेणीबद्ध छिपे हुए चर को बताएं $$h$$. फिर इस अव्यक्त चर मॉडल का अनुभवजन्य तीसरा क्षण इस प्रकार लिखा जा सकता है: $$T=\sum_{i=1}^{k}Pr(h=i) E[x|h=i]^{\otimes 3}$$.

विषय मॉडलिंग जैसे अनुप्रयोगों में, इसकी व्याख्या किसी दस्तावेज़ में शब्दों की सह-घटना के रूप में की जा सकती है। फिर इस अनुभवजन्य क्षण टेंसर के eigenvalues ​​​​को एक विशिष्ट विषय और कारक मैट्रिक्स के प्रत्येक कॉलम को चुनने की संभावना के रूप में व्याख्या किया जा सकता है $$E[x|h=k]$$ संबंधित विषय की शब्दावली में शब्दों की संभावनाओं से मेल खाता है।

यह भी देखें

 * अव्यक्त वर्ग विश्लेषण
 * मल्टीलिनियर सबस्पेस लर्निंग
 * विलक्षण मान अपघटन
 * टकर अपघटन
 * उच्च-क्रम एकवचन मूल्य अपघटन
 * टेंसर अपघटन

बाहरी संबंध

 * PARAFAC Tutorial
 * Parallel Factor Analysis (PARAFAC)
 * FactoMineR (free exploratory multivariate data analysis software linked to R)