अल्ट्राफ़िल्टर

ऑर्डर सिद्धांत के गणित क्षेत्र में, किसी दिए गए आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट (या पॉसेट) पर एक अल्ट्राफिल्टर $$P$$ का एक निश्चित उपसमुच्चय है $$P,$$ अर्थात् एक अधिकतम तत्व फ़िल्टर (गणित)। $$P;$$ अर्थात्, एक उचित फ़िल्टर चालू $$P$$ इसे एक बड़े उचित फ़िल्टर तक बढ़ाया नहीं जा सकता $$P.$$ अगर $$X$$ एक मनमाना समुच्चय है, इसकी शक्ति समुच्चय है $$\wp(X),$$ सेट समावेशन द्वारा आदेशित, हमेशा एक बूलियन बीजगणित (संरचना) होता है और इसलिए एक पॉसेट, और अल्ट्राफिल्टर होता है $$\wp(X)$$ आमतौर पर कहा जाता है $$X$$. सेट पर एक अल्ट्राफ़िल्टर $$X$$ पर एक परिमित योगात्मक माप (गणित) के रूप में माना जा सकता है $$X$$. इस दृष्टि से, प्रत्येक उपसमुच्चय $$X$$ या तो लगभग हर जगह माना जाता है (माप 1 है) या लगभग कुछ भी नहीं (माप 0 है), यह इस पर निर्भर करता है कि यह दिए गए अल्ट्राफिल्टर से संबंधित है या नहीं।

सेट थ्योरी, मॉडल सिद्धांत, टोपोलॉजी में अल्ट्राफिल्टर के कई अनुप्रयोग हैं  और कॉम्बिनेटरिक्स।

आंशिक ऑर्डर पर अल्ट्राफ़िल्टर
ऑर्डर सिद्धांत में, एक अल्ट्राफिल्टर आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट का एक सबसेट है जो सभी उचित फिल्टर के बीच अधिकतम तत्व है। इसका तात्पर्य यह है कि कोई भी फ़िल्टर जिसमें उचित रूप से अल्ट्राफ़िल्टर होता है, उसे पूरे पोसेट के बराबर होना चाहिए।

औपचारिक रूप से, यदि $$P$$ एक सेट है, जिसे आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया है $$\,\leq\,$$ तब
 * उपसमुच्चय $$F \subseteq P$$ फ़िल्टर ऑन कहा जाता है $$P$$ अगर
 * $$F$$ गैर-रिक्त है,
 * हरएक के लिए $$x, y \in F,$$ वहां कुछ तत्व मौजूद है $$z \in F$$ ऐसा है कि $$z \leq x$$ और $$z \leq y,$$ और
 * हरएक के लिए $$x \in F$$ और $$y \in P,$$ $$x \leq y$$ इसका आशय है $$y$$ में है $$F$$ बहुत;
 * एक उचित उपसमुच्चय $$U$$ का $$P$$ इसे अल्ट्राफिल्टर ऑन कहा जाता है $$P$$ अगर
 * $$U$$ एक फ़िल्टर चालू है $$P,$$ और
 * कोई उचित फ़िल्टर नहीं है $$F$$ पर $$P$$ वह उचित रूप से विस्तारित होता है $$U$$ (अर्थात, ऐसा कि $$U$$ का एक उचित उपसमुच्चय है $$F$$).

Types and existence of ultrafilters
प्रत्येक अल्ट्राफ़िल्टर बिल्कुल दो श्रेणियों में से एक में आता है: प्रमुख या मुफ़्त। एक प्रिंसिपल (या स्थिर, या तुच्छ) अल्ट्राफिल्टर एक फिल्टर है जिसमें कम से कम तत्व होते हैं। नतीजतन, प्रमुख अल्ट्राफिल्टर फॉर्म के होते हैं $$F_a = \{x : a \leq x\}$$ कुछ (लेकिन सभी नहीं) तत्वों के लिए $$a$$ दिए गए पोसेट का. इस मामले में $$a$$ कहा जाता है अल्ट्राफ़िल्टर का। कोई भी अल्ट्राफिल्टर जो प्रिंसिपल नहीं है उसे फ्री (या गैर-प्रिंसिपल) अल्ट्राफिल्टर कहा जाता है।

पॉवरसेट पर अल्ट्राफिल्टर के लिए $$\wp(X),$$ एक प्रमुख अल्ट्राफिल्टर में सभी उपसमूह शामिल होते हैं $$X$$ जिसमें एक दिया गया तत्व शामिल है $$x \in X.$$ प्रत्येक अल्ट्राफ़िल्टर चालू $$\wp(X)$$ वह भी एक प्रमुख फ़िल्टर इसी रूप का है। इसलिए, एक अल्ट्राफिल्टर $$U$$ पर $$\wp(X)$$ प्रमुख है यदि और केवल यदि इसमें एक परिमित समुच्चय हो। अगर $$X$$ अनंत है, एक अल्ट्राफ़िल्टर $$U$$ पर $$\wp(X)$$ इसलिए यह गैर-प्रमुख है यदि और केवल यदि इसमें सह-परिमित उपसमुच्चय का फ़्रेचेट फ़िल्टर शामिल है $$X.$$  अगर $$X$$ परिमित है, प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर प्रमुख है। अगर $$X$$ अनंत है तो फ़्रेचेट फ़िल्टर पावर सेट पर अल्ट्राफ़िल्टर नहीं है $$X$$ लेकिन यह परिमित-कोफिनिट बीजगणित पर एक अल्ट्राफिल्टर है $$X.$$ बूलियन बीजगणित पर प्रत्येक फ़िल्टर (या अधिक सामान्यतः, परिमित प्रतिच्छेदन गुण वाला कोई भी उपसमुच्चय) एक अल्ट्राफिल्टर (अल्ट्राफिल्टर लेम्मा देखें) में समाहित होता है और इसलिए मुक्त अल्ट्राफिल्टर मौजूद होते हैं, लेकिन प्रमाणों में फॉर्म में पसंद का सिद्धांत (एसी) शामिल होता है ज़ोर्न की लेम्मा का। दूसरी ओर, यह कथन कि प्रत्येक फिल्टर एक अल्ट्राफिल्टर में समाहित है, इसका अर्थ एसी नहीं है। वास्तव में, यह बूलियन प्राइम आदर्श प्रमेय (बीपीआईटी) के समतुल्य है, जो ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत (जेडएफ) के सिद्धांतों और पसंद के सिद्धांत (जेडएफसी) द्वारा संवर्धित जेडएफ सिद्धांत के बीच एक प्रसिद्ध मध्यवर्ती बिंदु है। सामान्य तौर पर, पसंद के सिद्धांत से जुड़े प्रमाण मुक्त अल्ट्राफिल्टर के स्पष्ट उदाहरण नहीं देते हैं, हालांकि ZFC के कुछ मॉडलों में स्पष्ट उदाहरण मिलना संभव है; उदाहरण के लिए, कर्ट गोडेल|गोडेल ने दिखाया कि यह रचनात्मक ब्रह्मांड में किया जा सकता है जहां कोई स्पष्ट वैश्विक विकल्प फ़ंक्शन लिख सकता है।  ZF में पसंद के सिद्धांत के बिना, यह संभव है कि प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर प्रमुख हो।

बूलियन बीजगणित पर अल्ट्राफ़िल्टर
अवधारणा का एक महत्वपूर्ण विशेष मामला तब होता है जब माना गया पोसेट एक बूलियन बीजगणित (संरचना) है। इस मामले में, अल्ट्राफिल्टर को प्रत्येक तत्व के लिए युक्त करके चित्रित किया जाता है $$a$$ बूलियन बीजगणित का, बिल्कुल तत्वों में से एक $$a$$ और $$\lnot a$$ (बाद वाला बूलियन बीजगणित#नॉनमोनोटोन नियम है $$a$$):

अगर $$P$$ एक बूलियन बीजगणित है और $$F$$ एक उचित फ़िल्टर चालू है $$P,$$ तब निम्नलिखित कथन समतुल्य हैं: 1. और 2. समतुल्य होने का प्रमाण भी दिया गया है (ब्यूरिस, संकप्पनवर, 2012, परिणाम 3.13, पृष्ठ 133)। इसके अलावा, बूलियन बीजगणित पर अल्ट्राफिल्टर बूलियन बीजगणित (संरचना)#आदर्श और फिल्टर और बूलियन बीजगणित (संरचना)#समरूपता और समरूपता से 2-तत्व बूलियन बीजगणित {सही, गलत} से संबंधित हो सकते हैं (जिन्हें 2-मूल्यवान आकारिकी के रूप में भी जाना जाता है) ) निम्नलिखित नुसार:
 * 1) $$F$$ एक अल्ट्राफिल्टर चालू है $$P,$$
 * 2) $$F$$ एक प्राइम फ़िल्टर चालू है $$P,$$
 * 3) प्रत्येक के लिए $$a \in P,$$ दोनों में से एक $$a \in F$$ या ($$\lnot a$$) $$\in F.$$
 * बूलियन बीजगणित की एक समरूपता को {सत्य, असत्य} पर देखते हुए, सत्य की व्युत्क्रम छवि एक अल्ट्राफिल्टर है, और असत्य की व्युत्क्रम छवि एक अधिकतम आदर्श है।
 * बूलियन बीजगणित के अधिकतम आदर्श को देखते हुए, इसका पूरक एक अल्ट्राफिल्टर है, और अधिकतम आदर्श को गलत पर ले जाने के लिए {सही, गलत} पर एक अद्वितीय समरूपता है।
 * बूलियन बीजगणित पर एक अल्ट्राफिल्टर दिया गया है, इसका पूरक एक अधिकतम आदर्श है, और अल्ट्राफिल्टर को सत्य पर ले जाने के लिए {सही, गलत} पर एक अद्वितीय समरूपता है।

सेट के पावर सेट पर अल्ट्राफ़िल्टर
एक मनमाना सेट दिया गया $$X,$$ इसका पावर सेट $$\wp(X),$$ सेट समावेशन द्वारा क्रमबद्ध, हमेशा एक बूलियन बीजगणित होता है; इसलिए उपरोक्त अनुभाग के परिणाम आवेदन करना। एक (अल्ट्रा)फ़िल्टर चालू $$\wp(X)$$ इसे अक्सर केवल (अल्ट्रा)फ़िल्टर ऑन कहा जाता है $$X$$. उपरोक्त औपचारिक परिभाषाओं को पावरसेट मामले में निम्नानुसार विशिष्ट किया जा सकता है:

एक मनमाना सेट दिया गया $$X,$$ एक अल्ट्राफिल्टर चालू $$\wp(X)$$ एक सेट है $$U$$ के उपसमुच्चय से मिलकर बना है $$X$$ ऐसा है कि: पावर सेट पर अल्ट्राफिल्टर को देखने का दूसरा तरीका $$\wp(X)$$ इस प्रकार है: किसी दिए गए अल्ट्राफिल्टर के लिए $$U$$ किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करें $$m$$ पर $$\wp(X)$$ व्यवस्थित करके $$m(A) = 1$$ अगर $$A$$ का एक तत्व है $$U$$ और $$m(A) = 0$$ अन्यथा। ऐसे फ़ंक्शन को 2-मूल्यवान रूपवाद कहा जाता है। तब $$m$$ परिमित रूप से योगात्मक है, और इसलिए a पर $$\wp(X),$$ और के तत्वों की प्रत्येक संपत्ति $$X$$ या तो लगभग हर जगह सच है या लगभग हर जगह झूठ। हालाँकि, $$m$$ आमतौर पर नहीं है, और इसलिए सामान्य अर्थ में माप (गणित) को परिभाषित नहीं करता है।
 * 1) खाली सेट इसका एक तत्व नहीं है $$U.$$
 * 2) अगर $$A$$ और $$B$$ के उपसमुच्चय हैं $$X,$$ सेट $$A$$ का एक उपसमुच्चय है $$B,$$ और $$A$$ का एक तत्व है $$U,$$ तब $$B$$ का भी एक तत्व है $$U.$$
 * 3) अगर $$A$$ और $$B$$ के तत्व हैं $$U,$$ तो फिर प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत)  भी ऐसा ही है $$A$$ और $$B.$$
 * 4) अगर $$A$$ का एक उपसमुच्चय है $$X,$$ तो कोई $$A$$ या इसका सापेक्ष पूरक $$X \setminus A$$ का एक तत्व है $$U.$$

एक फिल्टर के लिए $$F$$ कोई कह सकता है कि यह कोई अल्ट्राफ़िल्टर नहीं है $$m(A) = 1$$ अगर $$A \in F$$ और $$m(A) = 0$$ अगर $$X \setminus A \in F,$$ छोड़कर $$m$$ अन्यत्र अपरिभाषित.

अनुप्रयोग
पावर सेट पर अल्ट्राफिल्टर टोपोलॉजी में उपयोगी होते हैं, विशेष रूप से सघन स्थान  हॉसडॉर्फ़ स्थान स्पेस के संबंध में, और अल्ट्राप्रोडक्ट के निर्माण में मॉडल सिद्धांत में। कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ स्पेस पर प्रत्येक अल्ट्राफ़िल्टर बिल्कुल एक बिंदु पर एकत्रित होता है। इसी तरह, बूलियन बीजगणित पर अल्ट्राफिल्टर बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन के प्रतिनिधित्व प्रमेय में एक केंद्रीय भूमिका निभाते हैं|स्टोन के प्रतिनिधित्व प्रमेय। सेट सिद्धांत में अल्ट्राफिल्टर का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जाता है कि निर्माणशीलता का सिद्धांत मापने योग्य कार्डिनल के अस्तित्व के साथ असंगत है $κ$. यह सेट सैद्धांतिक ब्रह्मांड मॉड्यूलो ए की अल्ट्रापॉवर लेने से सिद्ध होता है $κ$-पूर्ण, गैर-प्रमुख अल्ट्राफिल्टर। सेट $$G$$ एक पॉसेट के सभी अल्ट्राफ़िल्टर का $$P$$ प्राकृतिक तरीके से टोपोलॉजी बनाई जा सकती है, जो वास्तव में उपर्युक्त प्रतिनिधित्व प्रमेय से निकटता से संबंधित है। किसी भी तत्व के लिए $$a$$ का $$P$$, होने देना $$D_a = \left\{ U \in G : a \in U \right\}.$$ यह तब सर्वाधिक उपयोगी होता है जब $$P$$ यह फिर से एक बूलियन बीजगणित है, क्योंकि इस स्थिति में सभी का समुच्चय है $$D_a$$ कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ टोपोलॉजी का आधार है $$G$$. विशेषकर, जब किसी पावरसेट पर अल्ट्राफिल्टर पर विचार किया जा रहा हो $$\wp(S),$$ परिणामी टोपोलॉजिकल स्पेस कार्डिनैलिटी के एक अलग स्थान का स्टोन-सेच कॉम्पेक्टिफिकेशन है $$| S |.$$ मॉडल सिद्धांत में अल्ट्राप्रोडक्ट निर्माण एक अनुक्रम से शुरू होने वाले नए मॉडल का उत्पादन करने के लिए अल्ट्राफिल्टर का उपयोग करता है $$X$$-अनुक्रमित मॉडल; उदाहरण के लिए, सघनता प्रमेय को इस प्रकार सिद्ध किया जा सकता है। अल्ट्रापॉवर के विशेष मामले में, किसी को संरचनाओं का प्राथमिक विस्तार मिलता है। उदाहरण के लिए, गैर-मानक विश्लेषण में, हाइपररियल संख्याओं का निर्माण वास्तविक संख्याओं के अल्ट्राप्रोडक्ट के रूप में किया जा सकता है, जो प्रवचन के क्षेत्र को वास्तविक संख्याओं से वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम तक विस्तारित करता है। इस अनुक्रम स्थान को संबंधित स्थिर अनुक्रम के साथ प्रत्येक वास्तविक की पहचान करके वास्तविकताओं का एक सुपरसेट माना जाता है। परिचित कार्यों और संबंधों (उदाहरण के लिए, + और <) को वास्तविक से हाइपररियल तक विस्तारित करने के लिए, प्राकृतिक विचार उन्हें बिंदुवार परिभाषित करना है। लेकिन इससे यथार्थ के महत्वपूर्ण तार्किक गुण नष्ट हो जायेंगे; उदाहरण के लिए, बिंदुवार < कुल ऑर्डर नहीं है। इसलिए इसके बजाय फ़ंक्शंस और संबंधों को Ultraproduct#Definition परिभाषित किया गया है $$U$$, कहाँ $$U$$ अनुक्रमों के सूचकांक सेट पर एक अल्ट्राफ़िल्टर है; Łoś' प्रमेय के अनुसार, यह वास्तविकताओं के सभी गुणों को संरक्षित करता है जिन्हें प्रथम-क्रम तर्क में बताया जा सकता है। अगर $$U$$ गैर-प्रमुख है, तो उसके द्वारा प्राप्त विस्तार गैर-तुच्छ है।

ज्यामितीय समूह सिद्धांत में, किसी समूह के अल्ट्रालिमिट#एसिम्प्टोटिक शंकु को परिभाषित करने के लिए गैर-प्रमुख अल्ट्राफिल्टर का उपयोग किया जाता है। यह निर्माण विचार करने के लिए एक कठोर तरीका प्रदान करता है, यह समूह की बड़े पैमाने की ज्यामिति है। एसिम्प्टोटिक शंकु मीट्रिक रिक्त स्थान की Ultralimit ्स के विशेष उदाहरण हैं।

गोडेल का ईश्वर के अस्तित्व का ऑन्टोलॉजिकल प्रमाण एक सिद्धांत के रूप में उपयोग करता है कि सभी सकारात्मक गुणों का सेट एक अल्ट्राफिल्टर है।

सामाजिक चयन सिद्धांत में, गैर-प्रमुख अल्ट्राफिल्टर का उपयोग असीमित व्यक्तियों की प्राथमिकताओं को एकत्रित करने के लिए एक नियम (जिसे सामाजिक कल्याण फ़ंक्शन कहा जाता है) को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। बहुत से व्यक्तियों के लिए एरो की असंभवता प्रमेय के विपरीत, ऐसा नियम उन शर्तों (गुणों) को संतुष्ट करता है जो एरो प्रस्तावित करता है (उदाहरण के लिए, किरमान और सोंडरमैन, 1972)। मिहारा (1997, 1999) हालाँकि, दिखाता है कि ऐसे नियम सामाजिक वैज्ञानिकों के लिए व्यावहारिक रूप से सीमित रुचि के हैं, क्योंकि वे गैर-एल्गोरिदमिक या गैर-गणना योग्य हैं।