डेडेकिंड डोमेन

सार बीजगणित में, एक डेडेकिंड डोमेन या डेडेकिंड रिंग, जिसका नाम रिचर्ड डेडेकिंड के नाम पर रखा गया है, एक अभिन्न डोमेन है जिसमें प्रत्येक अशून्य उचित आदर्श गुणनखंड को अभाज्य आदर्शों के गुणन में समिलित करता है। यह दिखाया जा सकता है कि गुणनखंड के क्रम तक इस तरह का एक गुणनखंड आवश्यक रूप से अद्वितीय है। डेडेकिंड डोमेन की कम से कम तीन अन्य विशेषताएँ हैं जिन्हें कभी-कभी परिभाषा के रूप में लिया जाता है:

क्षेत्र (गणित) एक क्रमविनिमेय वलय है जिसमें कोई गैर-तुच्छ उचित आदर्श नहीं होते हैं, इसलिए कोई भी क्षेत्र एक डेडेकाइंड डोमेन है, हालांकि एक विचारहीन तरीके से। कुछ लेखक इस आवश्यकता को जोड़ते हैं कि डेडेकाइंड डोमेन एक क्षेत्र नहीं होना चाहिए। कई और लेखकों ने डेडेकाइंड डोमेन के लिए प्रमेयों को निहित प्रावधान के साथ बताया है कि उन्हें क्षेत्रों के स्थिति में तुच्छ संशोधनों की आवश्यकता हो सकती है।

परिभाषा का एक तात्कालिक परिणाम यह है कि प्रत्येक प्रमुख आदर्श डोमेन (PID) एक डेडेकाइंड डोमेन है। वास्तव में एक डेडेकाइंड डोमेन एक अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन (UFD) है, यदि यह केवल एक PID है।

डेडेकाइंड डोमेन का प्रागितिहास
19वीं शताब्दी में उच्च कोटि की बीजगणितीय संख्याओं के वलयों (गणित) का उपयोग करके बहुपद समीकरणों के डायोफैंटाइन समीकरण में अंतर्दृष्टि प्राप्त करना एक सामान्य तकनीक बन गई। उदाहरण के लिए, एक सकारात्मक पूर्णांक $$m$$ को ठीक करें, यह निर्धारित करने के प्रयास में कि किन पूर्णांकों को द्विघात रूप $$x^2+my^2$$द्वारा दर्शाया गया है, द्विघात रूप को  $$(x+\sqrt{-m}y)(x-\sqrt{-m}y)$$  में विभाजित करना स्वाभाविक है,  द्विघात क्षेत्र के पूर्णांकों के वलय में होने वाला गुणनखंड $$\mathbb{Q}(\sqrt{-m})$$ है। इसी तरह, एक सकारात्मक पूर्णांक  $$n$$ के लिए बहुपद $$z^n-y^n$$ (जो फर्मेट समीकरण को हल करने के लिए उपयुक्त है $$x^n+y^n = z^n$$) रिंग पर गुणनखंड किया जा सकता है $$\mathbb{Z}[\zeta_n]$$, जहाँ $$\zeta_n$$ एक अभाज्य n-वा मूल हैं।

$$m$$ और $$n$$ के कुछ छोटे मानों के लिए बीजगणितीय पूर्णांकों के ये वलय PID ​​हैं, और इसे पियरे डी फर्मेट ($$m = 1, n = 4$$) और लियोनहार्ड यूलर ($$m = 2,3, n = 3$$) की प्राचीन सफलताओं की व्याख्या के रूप में देखा जा सकता हैं। इस समय तक किसी दिए गए द्विघात क्षेत्र के सभी  बीजगणितीय पूर्णांकों  के विलय  $$\mathbb{Q}(\sqrt{D})$$ को निर्धारित करने की प्रक्रिया एक PID ​​है, जिसका द्विघात रूप सिद्धांतकारों के लिए अच्छी तरह से जाना जाता था। विशेष रूप से, कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने काल्पनिक द्विघात क्षेत्रों के स्थिति को देखा था: उन्होंने  $$D < 0$$  के नौ मूल्यों को पाया। जिसके लिए पूर्णांकों का वलय एक PID है और यह अनुमान लगाया कि आगे अब कोई मान प्राप्त नहीं किया जा सकता। (गॉस का अनुमान एक सौ साल से भी अधिक समय बाद कर्ट हेगनेर, एलन बेकर (गणितज्ञ) और हेरोल्ड स्टार्क द्वारा सिद्ध किया गया था।) हालांकि, यह (केवल) द्विघात रूपों के तुल्यता वर्गों की भाषा में समझा गया था, ताकि विशेष रूप से द्विघात रूपों और फ़र्मेट समीकरण के बीच समानता को नहीं समझा जा सके। 1847 में गेब्रियल लैम ने सभी के लिए फर्मेट के अंतिम प्रमेय  $$n > 2$$ के समाधान की घोषणा की, अर्थात् फ़र्मेट समीकरण का गैर-शून्य पूर्णांकों में कोई समाधान नहीं है, लेकिन यह पता चला है कि उसका समाधान इस धारणा पर टिका है कि साइक्लोटोमिक रिंग $$\mathbb{Z}[\zeta_n]$$ एक UFD है। अर्नस्ट कुमेर ने तीन साल पहले   $$n = 23$$ दिखाया था (मानों की पूर्ण परिमित सूची) जिसके लिए $$\mathbb{Z}[\zeta_n]$$ एक UFD है। उसी समय, कुमेर ने फर्मेट के अंतिम प्रमेय को प्रमाणित करने के लिए कम से कम अभाज्य संख्या के घातांक $$n$$  के एक बड़े वर्ग के लिए शक्तिशाली नए तरीके विकसित किए, जिसे अब हम इस तथ्य के रूप में पहचानते हैं कि वलय $$\mathbb{Z}[\zeta_n]$$ एक डेडेकाइंड डोमेन है। वास्तव में कुमेर ने आदर्शों के साथ नहीं बल्कि "आदर्श संख्याओं"  के साथ काम किया, और एक आधुनिक परिभाषा डेडेकिंड द्वारा दी गई।

20वीं शताब्दी तक, बीजगणित और संख्या सिद्धांतकारों को यह एहसास हो गया था कि PID ​​होने की स्थिति बहुत ही नाजुक होती है, जबकि डेडेकाइंड डोमेन होने की स्थिति बहुत ही मजबूत होती है। उदाहरण के लिए साधारण पूर्णांकों का वलय एक PID है, लेकिन जैसा कि वलय के ऊपर देखा गया है $$\mathcal{O}_K$$ एक संख्या क्षेत्र में बीजगणितीय पूर्णांकों की $$K$$ PID ​​होना जरूरी नहीं है। वास्तव में, हालांकि गॉस ने यह भी अनुमान लगाया था कि अपरिमित रूप से अनेक अभाज्य संख्याएँ होती हैं $$p$$ जैसे कि पूर्णांकों का वलय $$\mathbb{Q}(\sqrt{p})$$ एक PID ​​है, तक यह अभी तक ज्ञात नहीं है कि अपरिमित रूप से अनेक संख्या क्षेत्र हैं या नहीं। $$K$$ (मनमानी डिग्री का) एक ऐसा $$\mathcal{O}_K$$ PID ​​है। दूसरी ओर, संख्या क्षेत्र में पूर्णांकों का वलय हमेशा डेडेकाइंड डोमेन होता है।

कोमल/सुदृढ़ द्विभाजन का एक अन्य उदाहरण यह तथ्य है कि एक डेडेकिंड डोमेन होने के नाते, नोथेरियन डोमेन के बीच, एक अवस्थिति विशेषता: एक नोथेरियन डोमेन $$R$$ प्रत्येक अधिकतम आदर्श $$M$$ का $$R$$  के लिए डेडेकाइंड हैं। अंगूठी का स्थानीयकरण $$R_M$$एक  डेडेकाइंड रिंग है। लेकिन एक स्थानीय डोमेन एक डेडेकाइंड रिंग है, अगर यह एक PID ​​​​है, अगर यह एक असतत मूल्यांकन रिंग (DVR) है, इसलिए वही स्थानीय लक्षण वर्णन PID ​​​​के लिए नहीं हो सकता है: बल्कि, कोई कह सकता है कि डेडेकाइंड रिंग की अवधारणा एक DVR  की अवधारणा का वैश्वीकरण है।

वैकल्पिक परिभाषाएँ
एक अभिन्न डोमेन के लिए $$R$$ जो एक क्षेत्र नहीं है, निम्नलिखित सभी शर्तें समतुल्य हैं:
 * (DD1) प्रत्येक अशून्य उचित आदर्श गुणनखंडन अभाज्य संख्या में होते हैं।
 * (DD2) $$R$$ नोथेरियन है, और प्रत्येक अधिकतम आदर्श पर स्थानीयकरण एक असतत मूल्यांकन वलय है।
 * (DD3) $$R$$ की प्रत्येक अशून्य भिन्नात्मक गुणनखंडन उलटा होता है।
 * (DD4) $$R$$ एक अभिन्न रूप से बंद नोथेरियन डोमेन है, जिसमें क्रुल आयाम एक है (यानी, प्रत्येक गैर-अभाज्य आदर्श अधिकतम है)।
 * (DD5) किसी भी दो आदर्शों के लिए $$I$$ और $$J$$ में $$R$$, $$I$$ में निहित है, यदि और केवल $$J$$ को आदर्शों के रूप में विभाजित करता है। यानी एक आदर्श $$H$$ उपलब्ध है जैसे कि $$I=JH$$. इस स्थिति को संतुष्ट करने वाली एकता के साथ एक क्रमविनियम रिंग (आवश्यक रूप से एक डोमेन नहीं) को एक नियंत्रण-विभाजन रिंग (CDR) कहा जाता है।

इस प्रकार एक डेडेकाइंड डोमेन एक ऐसा डोमेन है जो या तो एक क्षेत्र है, या जो उपरोक्त में से सभी या किसी एक को संतुष्ट करता हो। व्यवहार में, (DD4) को सत्यापित करना प्रायः सबसे आसान होता है।

क्रुल डोमेन डेडेकाइंड डोमेन का एक उच्च-आयामी अनुरूप है: एक डेडेकाइंड डोमेन जो एक क्षेत्र नहीं है, आयाम 1 का क्रुल डोमेन है। इस धारणा का उपयोग डेडेकाइंड डोमेन के विभिन्न लक्षणों का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है। वास्तव में, यह निकोलस बोरबाकी के "क्रमविनियम बीजगणित" में प्रयुक्त डेडेकिंड डोमेन की परिभाषा है।

एक डेडेकिंड डोमेन को समरूप बीजगणित के संदर्भ में भी चित्रित किया जा सकता है: एक अभिन्न डोमेन एक डेडेकिंड डोमेन है यदि और केवल यह एक वंशानुगत रिंग है; यानी, इसके ऊपर एक प्रक्षेपी मॉड्यूल का हर उपमॉड्यूल प्रक्षेपी है। इसी तरह, एक अभिन्न डोमेन एक डेडेकिंड डोमेन है यदि और केवल इसके ऊपर प्रत्येक विभाज्य मॉड्यूल इंजेक्शन मॉड्यूल है।

डेडेकाइंड डोमेन के कुछ उदाहरण
सभी प्रमुख आदर्श डोमेन और इसलिए सभी असतत मूल्यांकन रिंग डेडेकिंड डोमेन हैं।

किसी संख्या क्षेत्र K में बीजगणितीय पूर्णांकों का वलय $$R = \mathcal{O}_K$$ नोथेरियन है, अभिन्न रूप से बंद है, और आयाम एक है: अंतिम विशेषता को देखने के लिए, निरीक्षण करें कि R के किसी भी अशून्य अभाज्य गुणजावली I के लिए, R/I एक परिमित सेट है, और याद रखें कि एक परिमित अभिन्न डोमेन एक क्षेत्र है; इसलिए (DD4) द्वारा R एक डेडेकिंड डोमेन है। उपरोक्त अनुसार, इसमें कुमेर और डेडेकिंड द्वारा माने गए सभी उदाहरण समिलित हैं और सामान्य परिभाषा के लिए एक प्रेरक स्थिति थी और ये सबसे अधिक अध्ययन किए गए उदाहरणों में से हैं।

डेडेकाइंड रिंग्स का अन्य वर्ग जो तर्कसंगत रूप से समान महत्व का है, जो कि ज्यामिति से आता है: मान लीजिए C को एक क्षेत्र k पर एक गैर-एकवचन ज्यामितीय रूप से अभिन्न बीजगणितीय वक्र है। फिर C पर नियमित फलनों का समन्वय वलय k[C] एक डेडेकिंड डोमेन है। यह केवल ज्यामितीय शब्दों को बीजगणित में अनुवाद करने से बहुत ही हद तक स्पष्ट है: परिभाषा के अनुसार, किसी भी प्रकार की समन्वय की अंगूठी, एक अंतिम रूप से उत्पन्न k-बीजगणित है, इसलिए नोथेरियन; इसके अतिरिक्त वक्र का अर्थ आयाम एक है और गैर-एकवचन का अर्थ है (और, पहले आयाम में, के बराबर है) सामान्य, जिसका परिभाषा के अनुसार अभिन्न रूप से बंद होना है।

इन दोनों निर्माणों को निम्नलिखित मूल परिणाम के विशेष स्तिथियों के रूप में देखा जा सकता है:

'प्रमेय ': मान लीजिए कि R एक डेडेकिंड डोमेन है जिसका क्षेत्र K है। मान लीजिए L, K का एक परिमित डिग्री क्षेत्र विस्तार है और S द्वारा L में R के अभिन्न संवरण को निरूपित करता है। तब S स्वयं एक डेडेकिंड डोमेन है।

जब R स्वयं एक PID है, तब इस प्रमेय को लागू करने से हमें PIDs से डेडेकिंड डोमेन बनाने का एक तरीका मिल जाता है। R = 'Z' मानते हुए, यह रचना सटीक रूप से कहती है कि संख्या क्षेत्रों के पूर्णांकों के वलय डेडेकिंड डोमेन हैं। R = k [t] लेते हुए, एक उपरोक्त स्थिति को एफ़िन लाइन के शाखित संवरण के रूप में व्युत्क्रमणीय एफ़िन वक्र के रूप में प्राप्त करता है।

ऑस्कर ज़ारिस्की और पियरे-सैमुअल को इस निर्माण के साथ यह पूछने के लिए पर्याप्त रूप से लिया गया था कि क्या प्रत्येक डेडेकिंड डोमेन इससे उत्पन्न होता है; अर्थात, एक PID ​​​​के साथ शुरू करके और एक परिमित डिग्री क्षेत्र विस्तार में अभिन्न संवरण लेना। एल. क्लाबोर्न द्वारा आश्चर्यजनक रूप से सरल नकारात्मक उत्तर दिया गया।

यदि स्थिति ऊपर की तरह है, लेकिन K का विस्तार L अनंत डिग्री का बीजगणितीय है, तो यह अभी भी L में R के पूर्ण समापन S के लिए डेडेकिंड डोमेन होना संभव है, लेकिन इसकी गारंटी नहीं है। उदाहरण के लिए, फिर से R = 'Z', K = 'Q' लें और अब L को सभी बीजगणितीय संख्याओं का क्षेत्र $$\overline{\textbf{Q}}$$ मान लें। पूर्ण समापन सभी बीजगणितीय पूर्णांकों के रिंग  $$\overline{\textbf{Z}}$$ के अतिरिक्त और कुछ नहीं है। चूंकि एक बीजगणितीय पूर्णांक का वर्गमूल फिर से एक बीजगणितीय पूर्णांक होता है, इसलिए किसी भी शून्येतर गैर-इकाई बीजगणितीय पूर्णांक को अप्रासंगिक तत्वों के परिमित गुणनफल में कारक बनाना संभव नहीं है, जिसका अर्थ है कि $$\overline{\textbf{Z}}$$ नोथेरियन भी नहीं है! सामान्यतः, एक अनंत बीजगणितीय विस्तार में डेडेकिंड डोमेन का अभिन्न समापन एक प्रुफर डोमेन है; यह पता चला है कि बीजगणितीय पूर्णांकों का वलय इससे थोड़ा अधिक विशेष है: यह एक बेज़ाउट डोमेन है।

आंशिक आदर्श और वर्ग समूह
R को भांग क्षेत्र K के साथ एक अभिन्न डोमेन मान ले। एक भिन्नात्मक आदर्श K का एक अशून्य R-उपप्रतिरूपक I है जिसके लिए K में एक अशून्य x उपलब्ध है जैसे कि $$xI \subset R.$$

दो आंशिक आदर्शों I और J को देखते हुए, उनके गुणनफल IJ को सभी परिमित योगों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है $$\sum_n i_n j_n, \, i_n \in I, \, j_n \in J$$: गुणनफल IJ पुनः एक भिन्नात्मक गुणजावली है। उपरोक्त गुणनफल के साथ संपन्न सभी भिन्नात्मक आदर्शों का सेट Frac(R) एक क्रमविनिमेय अर्धसमूह है और वास्तव में एक मोनोइड है जिसमें पहचान तत्व भिन्नात्मक आदर्श R है।

किसी भिन्नात्मक आदर्श I के लिए, भिन्नात्मक गुणजावली को परिभाषित किया जा सकता है


 * $$I^* = (R:I) = \{x \in K \mid xI \subset R\}.$$

एक तो पुनरुक्ति में $$I^*I \subset R$$ होता है। वास्तव में किसी में समानता होती है यदि और केवल, Frac(R) के मोनोइड के तत्व के रूप में उलटा है। दूसरे शब्दों में, यदि I का कोई व्युत्क्रम है, तो प्रतिलोम $$I^*$$ अवश्य होना चाहिए।

एक भिन्नात्मक आदर्श सिद्धांत K में कुछ गैर शून्य x के लिए $$xR$$ के रूप में से एक है। ध्यान दें कि प्रत्येक भिन्नात्मक आदर्श सिद्धांत व्युत्क्रमणीय है। $$xR$$ का व्युत्क्रम केवल $$\frac{1}{x}R$$. है। हम Prin(R) द्वारा सिद्धांत आंशिक आदर्शों के उपसमूह को निरूपित करते हैं।

एक डोमेन R एक PID ​​​​है अगर और केवल हर आंशिक आदर्श सिद्धांत है। इस स्थिति में, हमारे पास Frac(R) = Prin(R) = है $$K^{\times}/R^{\times}$$, दो सिद्धांत आंशिक आदर्शों के बाद से $$xR$$ और $$yR$$ बराबर हैं $$xy^{-1}$$ R में एक इकाई है।

एक सामान्य डोमेन R के लिए, मुख्य भिन्नात्मक आदर्शों के सबमोनॉइड Prin (R) द्वारा सभी भिन्नात्मक आदर्शों के मोनोइड Frac(R) के भागफल को लेना अर्थपूर्ण है। हालाँकि यह भागफल समान्यतः केवल एक मोनोइड होता है। वास्तव में यह देखना आसान है कि Frac(R)/Prin(R) में भिन्नात्मक आदर्श I का वर्ग व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि I स्वयं व्युत्क्रमणीय है।

अब हम (DD3) की सराहना कर सकते हैं: डेडेकिंड डोमेन में (और केवल डेडेकिंड डोमेन में) प्रत्येक भिन्नात्मक आदर्श व्युत्क्रमणीय होता है। इस प्रकार ये ठीक डोमेन के वर्ग हैं जिसके लिए Frac(R)/Prin(R) एक समूह (गणित) बनाता है, R का आदर्श वर्ग समूह Cl(R) है। यह समूह छोटा है अगर और केवल R एक PID है, इसलिए इसे PID ​​​​होने वाले सामान्य डेडेकाइंड डोमेन में बाधा को मापने के रूप में देखा जा सकता है।

हमने ध्यान दिया कि एक मनमाने डोमेन के लिए पिकार्ड समूह Pic(R) को उल्टे भिन्नात्मक आदर्शों के समूह के रूप में परिभाषित किया जा सकता है Inv(R) modulo सिद्धांत भिन्नात्मक आदर्शों का उपसमूह हैं। डेडेकिंड डोमेन के लिए यह निश्चित रूप से आदर्श वर्ग समूह के समान है। हालांकि, डोमेन के एक अधिक सामान्य वर्ग पर, जिसमें नोथेरियन डोमेन और क्रुल डोमेन समिलित हैं, आदर्श वर्ग समूह एक अलग तरीके से बनाया गया है, और एक विहित समरूपता है


 * Pic (R) → CI (R)

जो कि समान्यतः न तो अंतःक्षेपी है और न ही आच्छादक। यह कार्टियर विभाजक और वील विभाजक के बीच एक विलक्षण बीजगणितीय प्रकार के अंतर का एक एफीन एनालॉग है।

एल. क्लैबॉर्न (क्लाबॉर्न 1966) का एक उल्लेखनीय प्रमेय दावा करता है कि किसी भी एबेलियन समूह G के लिए, एक डेडेकिंड डोमेन R उपलब्ध है जिसका आदर्श वर्ग समूह G के लिए समूह समरूपता है। बाद में, C.R. लीधम-ग्रीन ने दिखाया कि इस तरह के R का निर्माण एक द्विघात क्षेत्र विस्तार (लीधम-ग्रीन 1972) में PID ​​​​के अभिन्न समापन के रूप में किया जा सकता है। 1976 में, M. रोसेन ने दिखाया कि किसी डेडेकिंड डोमेन के वर्ग समूह के रूप में किसी भी गणनीय एबेलियन समूह को कैसे सिद्ध किया जाए, जो एक दीर्घवृत्तीय वक्र के तर्कसंगत कार्य क्षेत्र का एक उपसमूह है, और अनुमान लगाया कि एक सामान्य एबेलियन के लिए ऐसा अण्डाकार निर्माण संभव होना चाहिए। रोसेन के अनुमान को 2008 में P.L. क्लार्क (क्लार्क 2009) ने सिद्ध किया।

इसके विपरीत, बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में बुनियादी प्रमेयों में से एक यह दावा करता है कि संख्या क्षेत्र के पूर्णांकों के वलय का वर्ग समूह परिमित है; इसकी प्रमुखता को वर्ग संख्या (संख्या सिद्धांत) कहा जाता है और गॉस से लेकर आज तक कई प्रमुख गणितज्ञों की कड़ी मेहनत के बाद यह एक महत्वपूर्ण और रहस्यमय अपरिवर्तनीय है।

एक डेडेकिंड डोमेन पर सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल
सिद्धांत आदर्श डोमेन (PID) पर सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल के लिए प्रसिद्ध और अत्यधिक उपयोगी संरचना प्रमेय को ध्यान में रखते हुए, डेडेकाइंड डोमेन पर अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल के लिए संबंधित सिद्धांत के लिए निवेदन स्वाभाविक है।

आइए संक्षेप में एक PID R पर एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न $$M$$ की स्थिति में संरचना सिद्धांत को  में याद करें। हम मरोड़ वाले उपप्रतिरूपक  $$T$$  को M के $$m$$ तत्वों के सेट के रूप में परिभाषित करते हैं। जैसे कि  $$rm = 0$$ कुछ गैर शून्य के लिए $$r$$ में $$R$$. तब (M1) $$T$$ प्रत्येक रूप में चक्रीय मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग में विघटित किया जा सकता है। $$R/I$$ कुछ अशून्य आदर्श के लिए $$I$$ का $$R$$. चीनी अवशेष प्रमेय द्वारा, प्रत्येक $$R/I$$ को उपप्रतिरूपक के प्रत्यक्ष योग में विघटित किया जा सकता है $$R/P^i$$, जहां $$P^i$$ एक अभाज्य आदर्श की शक्ति है। यह अपघटन अद्वितीय नहीं है, लेकिन किन्हीं दो अपघटन


 * $$T \cong R/P_1^{a_1} \oplus \cdots \oplus R/P_r^{a_r} \cong R/Q_1^{b_1} \oplus \cdots \oplus R/Q_s^{b_s} $$

केवल गुणनखंड के क्रम में भिन्न होते हैं।

(M2) मरोड़ उपप्रतिरूपक एक सीधा योग है। अर्थात्, $$P$$ का $$M$$ एक पूरक उपप्रतिरूपक उपलब्ध है, ऐसा है,कि $$M = T \oplus P$$.

(M3PID) $$P$$,$$R^n$$ के समरूपी से विशिष्ट रूप से निर्धारित गैर-ऋणात्मक पूर्णांक $$n$$ के लिए विशेष रूप से, $$P$$ एक अंतिम रूप से उत्पन्न मुक्त मॉड्यूल है।

अब मान ले कि $$M$$ एक स्वेच्छ डेडेकिंड डोमेन $$R$$. पर एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न किया गया मॉड्यूल है

तब (M1) और (M2) शब्दशः धारण करते हैं। हालाँकि, यह (M3PID) से अनुसरण करता है कि एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मरोड़ रहित मॉड्यूल $$P$$ एक PID ​​​​पर मुफ़्त है। विशेष रूप से, यह दावा करता है कि सभी भिन्नात्मक आदर्श सिद्धांत हैं, एक कथन जो कभी भी गलत होता है वह यह है कि $$R$$ PID ​​नहीं है। दूसरे शब्दों में, वर्ग समूह $$Cl(R)$$ की गैर-तुच्छता के कारण (M3PID) विफल हो जाता है। उल्लेखनीय रूप से, एक मनमाना डेडेकाइंड डोमेन पर मरोड़ रहित बारीक रूप से उत्पन्न मॉड्यूल में अतिरिक्त संरचना को वर्ग समूह द्वारा सटीक रूप से नियंत्रित किया जाता है, जैसा कि अब हम समझाते हैं। एक मनमाने ढंग से डेडेकिंड डोमेन के ऊपर एक

(M3DD) $$P$$ श्रेणी एक प्रक्षेपीय मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग के लिए समरूपी है: $$P \cong I_1 \oplus \cdots \oplus I_r$$. इसके अतिरिक्त, किसी भी श्रेणी के लिए एक प्रक्षेपीय मॉड्यूल $$I_1,\ldots,I_r,J_1,\ldots,J_s$$, किसी के पास


 * $$ I_1 \oplus \cdots \oplus I_r \cong J_1 \oplus \cdots \oplus J_s$$

अगर और केवल अगर


 * $$r = s$$

और


 * $$I_1 \otimes \cdots \otimes I_r \cong J_1 \otimes \cdots \otimes J_s.\,$$

श्रेणी एक प्रक्षेपीय मॉड्यूल को भिन्नात्मक आदर्शों के साथ पहचाना जा सकता है, और अंतिम स्थिति को फिर से परिभाषित किया जा सकता है


 * $$ [I_1 \cdots I_r] = [J_1 \cdots J_s] \in Cl(R). $$

इस प्रकार श्रेणी का एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मरोड़ रहित मॉड्यूल $$n > 0$$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$R^{n-1} \oplus I$$, जहां $$I$$ श्रेणी एक प्रक्षेपीय मॉड्यूल है। $$P$$ ऊपर $$R$$ के लिए स्टीनिट्ज़ वर्ग $$[I]$$ का $$I$$ में $$Cl(R)$$: यह विशिष्ट रूप से निर्धारित है। इसका एक परिणाम है:

प्रमेय: मानो कि $$R$$ एक डेडेकाइंड डोमेन है। तब $$K_0(R) \cong \mathbb{Z} \oplus Cl(R)$$, जहां $$K_0(R)$$ सूक्ष्म रूप से उत्पन्न प्रक्षेपी $$R$$ मॉड्यूल के क्रमविनिमेय मोनॉइड का ग्रोथेंडिक समूह है।

ये परिणाम 1912 में अर्नेस्ट स्टीनिट्ज़ द्वारा स्थापित किए गए थे।

इस संरचना का एक अतिरिक्त परिणाम, जो पूर्ववर्ती प्रमेय में निहित नहीं है, यह है कि यदि डेडेकिंड डोमेन पर दो प्रक्षेपी मॉड्यूल ग्रोथेंडिक समूह में समान वर्ग हैं, तो वे वास्तव में समरूपी हैं।

स्थानीय रूप से डेडेकिंड के छल्ले
एक अभिन्न डोमेन $$R$$  उपलब्ध हैं जो स्थानीय रूप से डेडेकाइंड है लेकिन विश्व स्तर पर डेडेकाइंड नही हैं। $$R$$  का स्थानीयकरण प्रत्येक अधिकतम आदर्श पर एक डेडेकाइंड रिंग (समतुल्य रूप से, एक डीवीआर) हैं, लेकिन  $$R$$ स्वयं डेडेकाइंड नहीं है। जैसा ऊपर बताया गया है, ऐसी रिंग नोथेरियन नहीं हो सकती है। ऐसा लगता है कि इस तरह के छल्लों का पहला उदाहरण 1953 में एन. नाकानो द्वारा बनाया गया था। साहित्य में ऐसे छल्लों को कभी-कभी "उचित लगभग डेडेकिंड विलय" कहा जाता है।

यह भी देखें

 * डेवनपोर्ट स्थिरांक

संदर्भ

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