प्रतिव्युत्पन्न (सम्मिश्र विश्लेषण)

जटिल विश्लेषण में, गणित की एक शाखा, एक जटिल संख्या-मूल्यवान फ़ंक्शन (गणित) का एंटीडेरिवेटिव, या आदिम, जी एक फ़ंक्शन है जिसका जटिल व्युत्पन्न जी है। अधिक सटीक रूप से, एक खुला सेट दिया गया है $$U$$ जटिल तल और एक फ़ंक्शन में $$g:U\to \mathbb C,$$ का प्रतिव्युत्पन्न $$g$$ एक फ़ंक्शन है $$f:U\to \mathbb C$$ जो संतुष्ट करता है $$\frac{df}{dz}=g$$.

इस प्रकार, यह अवधारणा एक वास्तविक संख्या-मूल्य फ़ंक्शन के प्रतिअवकलन का जटिल-चर संस्करण है।

अद्वितीयता
एक स्थिर फलन का व्युत्पन्न शून्य फलन है। इसलिए, कोई भी स्थिर फलन शून्य फलन का प्रतिअवकलन है। अगर $$U$$ एक जुड़ा हुआ सेट है, तो स्थिर फ़ंक्शन शून्य फ़ंक्शन के एकमात्र एंटीडेरिवेटिव हैं। अन्यथा, एक फ़ंक्शन शून्य फ़ंक्शन का एक एंटीडेरिवेटिव है यदि और केवल यदि यह प्रत्येक कनेक्टेड सेट पर स्थिर है $$U$$ (उन स्थिरांकों का बराबर होना आवश्यक नहीं है)।

इस अवलोकन का तात्पर्य यह है कि यदि कोई फ़ंक्शन $$g:U\to \mathbb C$$ एक प्रतिअवकलन है, तो वह प्रतिअवकलन एक फ़ंक्शन के योग तक अद्वितीय है जो प्रत्येक जुड़े घटक पर स्थिर है $$U$$.

अस्तित्व
वास्तविक चर के कार्यों के मामले की तरह, जटिल विमान में पथ इंटीग्रल्स के माध्यम से एंटीडेरिवेटिव्स के अस्तित्व को चिह्नित किया जा सकता है। शायद आश्चर्य की बात नहीं है, जी में एक एंटीडेरिवेटिव एफ है यदि और केवल यदि, ए से बी तक प्रत्येक γ पथ के लिए, पथ अभिन्न अंग


 * $$ \int_{\gamma} g(\zeta) \, d \zeta = f(b) - f(a).$$

समान रूप से,


 * $$ \oint_{\gamma} g(\zeta) \, d \zeta = 0,$$

किसी भी बंद पथ के लिए γ.

हालाँकि, इस औपचारिक समानता के बावजूद, एक जटिल-एंटीडेरिवेटिव का होना इसके वास्तविक समकक्ष की तुलना में बहुत अधिक प्रतिबंधात्मक स्थिति है। जबकि एक असंतत वास्तविक फ़ंक्शन के लिए एक एंटी-डेरिवेटिव होना संभव है, एक जटिल चर के होलोमोर्फिक फ़ंक्शन के लिए भी एंटी-डेरिवेटिव मौजूद होने में विफल हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, व्युत्क्रम फलन, g(z) = 1/z पर विचार करें जो छिद्रित तल 'C'\{0} पर होलोमोर्फिक है। एक प्रत्यक्ष गणना से पता चलता है कि मूल बिंदु को घेरने वाले किसी भी वृत्त के अनुदिश g का अभिन्न अंग शून्य नहीं है। तो g ऊपर उद्धृत शर्त में विफल रहता है। यह रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्रों के लिए संभावित कार्यों के अस्तित्व के समान है, जिसमें ग्रीन का प्रमेय केवल पथ स्वतंत्रता की गारंटी देने में सक्षम है जब प्रश्न में फ़ंक्शन को बस जुड़े हुए क्षेत्र पर परिभाषित किया जाता है, जैसा कि कॉची इंटीग्रल प्रमेय के मामले में होता है।

वास्तव में, होलोमॉर्फी की विशेषता स्थानीय रूप से एक एंटीडेरिवेटिव है, अर्थात, जी होलोमोर्फिक है यदि इसके डोमेन में प्रत्येक z के लिए, z का कुछ पड़ोस यू है जैसे कि जी का यू पर एक एंटीडेरिवेटिव है। इसके अलावा, होलोमोर्फी एक फ़ंक्शन के लिए एक एंटीडेरिवेटिव होने के लिए एक आवश्यक शर्त है, क्योंकि किसी भी होलोमोर्फिक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न होलोमोर्फिक है।

कॉची इंटीग्रल प्रमेय के विभिन्न संस्करण, कॉची फ़ंक्शन सिद्धांत का एक आधार परिणाम, जो पथ इंटीग्रल्स का भारी उपयोग करता है, पर्याप्त स्थितियां देता है जिसके तहत, एक होलोमोर्फिक जी के लिए,


 * $$ \oint_{\gamma} g(\zeta) \, d \zeta$$

किसी भी बंद पथ γ के लिए गायब हो जाता है (उदाहरण के लिए, हो सकता है कि g का डोमेन बस जुड़ा हो या स्टार-उत्तल हो)।

आवश्यकता
पहले हम दिखाते हैं कि यदि f, U पर g का एक प्रतिअवकलन है, तो g में ऊपर दिया गया पथ अभिन्न गुण है। किसी भी टुकड़े-टुकड़े सुचारू कार्य को देखते हुए|सी1 पथ (टोपोलॉजी) γ : [ए, बी] → यू, कोई γ पर जी के लाइन इंटीग्रल को इस प्रकार व्यक्त कर सकता है


 * $$\int_\gamma g(z)\,dz=\int_a^b g(\gamma(t))\gamma'(t)\, dt=\int_a^b f'(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt.$$

शृंखला नियम और कलन के मौलिक प्रमेय के अनुसार किसी के पास यह होता है


 * $$\int_\gamma g(z)\,dz=\int_a^b \frac{d}{dt}f\left(\gamma(t)\right)\,dt=f\left(\gamma(b)\right)-f\left(\gamma(a)\right).$$

इसलिए, γ पर g का अभिन्न अंग वास्तविक पथ γ पर निर्भर नहीं करता है, बल्कि केवल इसके अंतिम बिंदुओं पर निर्भर करता है, जो कि हम दिखाना चाहते थे।

पर्याप्तता
आगे हम दिखाते हैं कि यदि g होलोमोर्फिक है, और किसी भी पथ पर g का अभिन्न अंग केवल अंतिम बिंदुओं पर निर्भर करता है, तो g में एक प्रतिअवकलन होता है। हम स्पष्ट रूप से एक प्रति-व्युत्पन्न ढूंढकर ऐसा करेंगे।

व्यापकता के नुकसान के बिना, हम मान सकते हैं कि जी का डोमेन यू जुड़ा हुआ है, अन्यथा प्रत्येक जुड़े हुए घटक पर एक एंटीडेरिवेटिव के अस्तित्व को साबित किया जा सकता है। इस धारणा के साथ, एक बिंदु z निर्धारित करें0 U में और U में किसी भी z के लिए फ़ंक्शन को परिभाषित करें


 * $$f(z)=\int_{\gamma}\! g(\zeta)\, d\zeta$$

जहां γ, z से जुड़ने वाला कोई पथ है0 ज़ेड के लिए ऐसा पथ मौजूद है क्योंकि यू को एक खुला जुड़ा हुआ सेट माना जाता है। फ़ंक्शन f अच्छी तरह से परिभाषित है क्योंकि इंटीग्रल केवल γ के अंतिम बिंदुओं पर निर्भर करता है।

यह कि यह f, g का प्रतिअवकलन है, वास्तविक मामले की तरह ही तर्क दिया जा सकता है। हमारे पास है, U में दिए गए z के लिए, कि z पर केंद्रित एक डिस्क मौजूद होनी चाहिए और पूरी तरह से U के भीतर समाहित होनी चाहिए। फिर इस डिस्क के भीतर z के अलावा हर w के लिए


 * $$\begin{align}

\left| \frac{f(w) - f(z)}{ w-z } - g(z) \right|&= \left| \int_z^w \frac{ g(\zeta) \,d\zeta}{w -z} - \int_z^w \frac{ g(z) \,d\zeta}{w -z} \right|\\ &\leq \int_z^w \frac{ | g(\zeta) - g (z) |}{|w -z|} \,d\zeta \\ &\leq \sup_{ \zeta \in [w, z]} | g(\zeta) - g(z) |, \end{align}$$ जहां [z, w], z और w के बीच रेखा खंड को दर्शाता है। g की निरंतरता से, जैसे-जैसे w, z के करीब पहुंचता है, अंतिम अभिव्यक्ति शून्य हो जाती है। दूसरे शब्दों में, f′ = g.