रीमैन जीटा फलन

रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन या यूलर-रिमैन ज़ेटा फ़ंक्शन, जिसे ग्रीक वर्णमाला द्वारा दर्शाया गया है $ζ(z)$ (जीटा), एक जटिल चर का एक कार्य (गणित) है जिसे परिभाषित किया गया है$$ \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots$$

के लिए $$\operatorname{Re}(s) > 1$$ और इसकी विश्लेषणात्मक निरंतरता कहीं और।

रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, और इसमें भौतिकी, संभाव्यता सिद्धांत और अनुप्रयुक्त सांख्यिकी में अनुप्रयोग हैं।

लियोनहार्ड यूलर ने पहली बार अठारहवीं शताब्दी के पूर्वार्द्ध में वास्तविक संख्याओं पर फलन का परिचय दिया और उसका अध्ययन किया। बर्नहार्ड रीमैन के 1859 के लेख किसी दिए गए परिमाण से कम प्राइम्स की संख्या पर ने यूलर की परिभाषा को एक जटिल संख्या चर तक विस्तारित किया, इसकी मेरोमोर्फिक निरंतरता और कार्यात्मक समीकरण को साबित किया, और इसके एक समारोह की जड़ प्रधान संख्या प्रमेय के बीच संबंध स्थापित किया। इस पत्र में रीमैन परिकल्पना भी शामिल है, रीमैन जीटा फ़ंक्शन के जटिल शून्य के वितरण के बारे में एक अनुमान है जिसे कई गणितज्ञों द्वारा शुद्ध गणित में सबसे महत्वपूर्ण अनसुलझी समस्या माना जाता है। सम धनात्मक पूर्णांकों पर रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के मानों की गणना यूलर द्वारा की गई थी। उनमें से पहला, $ζ$, बेसल समस्या का समाधान प्रदान करता है। 1979 में रोजर एपेरी ने तर्कहीनता को साबित कर दिया $ζ(2)$. नकारात्मक पूर्णांक बिंदुओं पर मान, जो यूलर द्वारा भी पाया जाता है, परिमेय संख्याएँ हैं और मॉड्यूलर रूपों के सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। रीमैन जीटा फलन के कई सामान्यीकरण, जैसे डिरिचलेट श्रृंखला, डिरिचलेट एल-फंक्शन|डिरिचलेट $L$-फंक्शन और एल-फंक्शन |$L$- कार्य ज्ञात हैं।

परिभाषा
फ़ाइल: दिए गए परिमाण के नीचे प्राइम्स की संख्या के बारे में। पीडीएफ|थंब|अपराइट|बर्नहार्ड रीमैन का लेख किसी दिए गए परिमाण के नीचे प्राइम्स की संख्या पर

रीमैन जीटा फ़ंक्शन $ζ(3)$ एक जटिल चर का एक कार्य है $ζ(s)$. (नोटेशन $s$, $σ$, और $t$ रीमैन के बाद ज़ेटा फ़ंक्शन के अध्ययन में पारंपरिक रूप से उपयोग किया जाता है।) कब $s = σ + it$, फ़ंक्शन को अभिसारी योग या अभिन्न के रूप में लिखा जा सकता है:
 * $$\zeta(s) =\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s} = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty \frac{x ^ {s-1}}{e ^ x - 1} \, \mathrm{d}x\,,$$

कहाँ
 * $$\Gamma(s) = \int_0^\infty x^{s-1}\,e^{-x} \, \mathrm{d}x $$

गामा समारोह है। Riemann zeta फ़ंक्शन को परिभाषित फ़ंक्शन के विश्लेषणात्मक निरंतरता के माध्यम से अन्य जटिल मानों के लिए परिभाषित किया गया है $Re(s) = σ > 1$.

लियोनहार्ड यूलर ने 1740 में उपरोक्त श्रृंखला पर सकारात्मक पूर्णांक मानों के लिए विचार किया $s$, और बाद में Chebyshev ने परिभाषा को आगे बढ़ाया $$\operatorname{Re}(s) > 1.$$ उपरोक्त श्रृंखला एक प्रोटोटाइपिकल डिरिचलेट श्रृंखला है जो एक विश्लेषणात्मक कार्य के लिए पूर्ण अभिसरण है $s$ ऐसा है कि $σ > 1$ और के अन्य सभी मानों के लिए अपसारी श्रृंखला $s$. रीमैन ने दिखाया कि अभिसरण के आधे-तल पर श्रृंखला द्वारा परिभाषित कार्य को सभी जटिल मूल्यों के लिए विश्लेषणात्मक रूप से जारी रखा जा सकता है $σ > 1$. के लिए $s ≠ 1$, श्रृंखला हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) है जो विचलन करती है $s = 1$, और$$ \lim_{s \to 1} (s - 1)\zeta(s) = 1.$$इस प्रकार रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन पूरे जटिल तल पर एक मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन है, जो एक साधारण ध्रुव को छोड़कर हर जगह होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन है $+∞$ अवशेषों के साथ (जटिल विश्लेषण) $s = 1$.

यूलर का उत्पाद सूत्र
1737 में, यूलर द्वारा जीटा फ़ंक्शन और अभाज्य संख्याओं के बीच संबंध की खोज की गई, जो रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के लिए यूलर उत्पाद सूत्र का प्रमाण है।


 * $$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s} = \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}},$$

जहां, परिभाषा के अनुसार, बायां हाथ है $1$ और दायीं ओर का अनंत गुणनफल सभी अभाज्य संख्याओं पर विस्तृत होता है $p$ (ऐसी अभिव्यक्तियों को यूलर उत्पाद कहा जाता है):


 * $$\prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}} = \frac{1}{1-2^{-s}}\cdot\frac{1}{1-3^{-s}}\cdot\frac{1}{1-5^{-s}}\cdot\frac{1}{1-7^{-s}}\cdot\frac{1}{1-11^{-s}} \cdots \frac{1}{1-p^{-s}} \cdots$$

यूलर उत्पाद सूत्र के दोनों पक्ष के लिए अभिसरण करते हैं $ζ(s)$. रीमैन जेटा फ़ंक्शन के लिए यूलर उत्पाद सूत्र का प्रमाण | यूलर की पहचान का प्रमाण केवल ज्यामितीय श्रृंखला के सूत्र और अंकगणित के मौलिक प्रमेय का उपयोग करता है। चूंकि हार्मोनिक श्रृंखला (गणित), जब प्राप्त की जाती है $Re(s) > 1$, विचलन करता है, यूलर का सूत्र (जो बन जाता है $s = 1$) का तात्पर्य है कि यूक्लिड के प्रमेय हैं। के लघुगणक के बाद से $Π_{p} p⁄p − 1$ लगभग है $p⁄p − 1$, सूत्र का उपयोग मजबूत परिणाम साबित करने के लिए भी किया जा सकता है कि अभाज्य संख्याओं के व्युत्क्रमों का योग अनंत है। दूसरी ओर, एरास्टोस्थनीज की छलनी के साथ संयोजन से पता चलता है कि धनात्मक पूर्णांकों के सेट के भीतर प्राइम्स के सेट का घनत्व शून्य है।

यूलर उत्पाद सूत्र का उपयोग स्पर्शोन्मुख घनत्व की गणना के लिए किया जा सकता है $s$ बेतरतीब ढंग से चयनित पूर्णांक सेट-वार सह अभाज्य हैं। सहज रूप से, संभावना है कि कोई एकल संख्या एक अभाज्य (या किसी पूर्णांक) से विभाज्य है $p$ है $1⁄p$. इसलिए संभावना है कि $s$ सभी संख्याएँ इस अभाज्य संख्या से विभाज्य हैं $1⁄p$, और संभावना है कि उनमें से कम से कम एक नहीं है $1⁄p$. अब, अलग-अलग अभाज्य संख्याओं के लिए, ये विभाज्यता घटनाएँ परस्पर स्वतंत्र हैं क्योंकि उम्मीदवार विभाजक कोप्राइम हैं (एक संख्या कोप्राइम विभाजकों द्वारा विभाज्य है $n$ और $m$ अगर और केवल अगर यह विभाज्य है$nm$, एक घटना जो प्रायिकता के साथ घटित होती है$1 − 1⁄p$). इस प्रकार स्पर्शोन्मुख संभावना है कि $s$ संख्याएँ सहअभाज्य हैं जो सभी अभाज्य संख्याओं के गुणनफल द्वारा दी जाती हैं,


 * $$\prod_{p \text{ prime}} \left(1-\frac{1}{p^s}\right) = \left( \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}} \right)^{-1} = \frac{1}{\zeta(s)}. $$

रीमैन का कार्यात्मक समीकरण
यह जीटा फलन क्रियात्मक समीकरण को संतुष्ट करता है $$\zeta(s) = 2^s \pi^{s-1}\ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s),$$ कहाँ $1⁄nm$ गामा समारोह है। यह संपूर्ण जटिल तल पर मान्य मेरोमोर्फिक कार्यों की समानता है। समीकरण बिंदुओं पर रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के मानों से संबंधित है $s$ और $Γ(s)$, विशेष रूप से विषम ऋणात्मक पूर्णांकों के साथ सम धनात्मक पूर्णांकों के संबंध में। साइन फ़ंक्शन के शून्य के कारण, कार्यात्मक समीकरण का तात्पर्य है $1 − s$ प्रत्येक सम ऋणात्मक पूर्णांक पर एक साधारण शून्य होता है $ζ(s)$, तुच्छता (गणित) के शून्य के रूप में जाना जाता है $s = −2n$. कब $s$ एक सम धनात्मक पूर्णांक है, गुणनफल $ζ(s)$ दाईं ओर गैर-शून्य है क्योंकि $sin(πs⁄2)Γ(1 − s)$ एक साधारण पोल (जटिल विश्लेषण) है, जो साइन कारक के साधारण शून्य को रद्द कर देता है।

$$ कार्यात्मक समीकरण की स्थापना रीमैन ने अपने 1859 के पेपर किसी दिए गए परिमाण से कम प्राइम्स की संख्या पर में की थी और पहले स्थान पर विश्लेषणात्मक निरंतरता का निर्माण किया था। सौ साल पहले, 1749 में, डिरिचलेट और कार्य (वैकल्पिक जेटा फ़ंक्शन) के लिए यूलर द्वारा एक समान संबंध का अनुमान लगाया गया था:$$\eta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s} = \left(1-{2^{1-s}}\right)\zeta(s).$$ संयोगवश, यह संबंध परिकलन के लिए एक समीकरण देता है $Γ(1 − s)$ क्षेत्र में 0 < $ζ(s)$ <1, यानी $$\zeta(s)=\frac{1}{1-{2^{1-s}}} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s}$$ जहां η-श्रृंखला अभिसरण श्रृंखला है (यद्यपि पूर्ण अभिसरण | गैर-बिल्कुल) बड़े आधे विमान में $Re(s)$ (कार्यात्मक समीकरण के इतिहास पर अधिक विस्तृत सर्वेक्षण के लिए, उदाहरण के लिए ब्लागौचाइन देखें ).

रीमैन ने एक्स-फंक्शन पर लागू होने वाले कार्यात्मक समीकरण का एक समरूपता संस्करण भी पाया: $$\xi(s) = \frac{1}{2} \pi^{-\frac{s}{2}}s(s-1)\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s),$$ जो संतुष्ट करता है:$$\xi(s) = \xi(1 - s).$$

(रिमैन का रीमैन Ξ फंक्शन | मूल $s > 0$थोड़ा अलग था।) $$\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)$$ जॉन टेट (गणितज्ञ) (1950) टेट की थीसिस तक रीमैन के समय में h> कारक अच्छी तरह से समझा नहीं गया था, जिसमें यह दिखाया गया था कि यह तथाकथित गामा कारक वास्तव में स्थानीय एल-कारक है आर्किमिडीज़ स्थान, यूलर उत्पाद विस्तार में अन्य कारक गैर-आर्किमिडीज़ स्थानों के स्थानीय एल-कारक हैं।

शून्य, महत्वपूर्ण रेखा, और रीमैन परिकल्पना
कार्यात्मक समीकरण से पता चलता है कि रीमैन जेटा फ़ंक्शन में शून्य है −2, −4,.... इन्हें तुच्छ शून्य कहा जाता है। वे इस मायने में तुच्छ हैं कि उनके अस्तित्व को साबित करना अपेक्षाकृत आसान है, उदाहरण के लिए, से $ξ(t)$ क्रियात्मक समीकरण में 0 होना। गैर-तुच्छ शून्यों ने अधिक ध्यान आकर्षित किया है क्योंकि उनका वितरण न केवल बहुत कम समझा गया है, बल्कि इससे भी महत्वपूर्ण बात यह है कि उनके अध्ययन से संख्या सिद्धांत में अभाज्य संख्याओं और संबंधित वस्तुओं से संबंधित महत्वपूर्ण परिणाम प्राप्त होते हैं। यह ज्ञात है कि कोई भी गैर-तुच्छ शून्य खुली पट्टी में स्थित है $$\{s \in \mathbb{C} : 0 < \operatorname{Re}(s) < 1\}$$, जिसे क्रिटिकल स्ट्रिप कहा जाता है। सेट $$\{s \in \mathbb{C} : \operatorname{Re}(s) = 1/2\}$$ क्रान्तिक रेखा कहलाती है। गणित में सबसे बड़ी अनसुलझी समस्याओं में से एक मानी जाने वाली रीमैन परिकल्पना, दावा करती है कि सभी गैर-तुच्छ शून्य महत्वपूर्ण रेखा पर हैं। 1989 में, कॉनरे ने साबित किया कि रीमैन जीटा फ़ंक्शन के 40% से अधिक गैर-तुच्छ शून्य महत्वपूर्ण रेखा पर हैं। क्रिटिकल लाइन पर रिमेंन जीटा फंक्शन के लिए, Z फंक्शन | देखें$t$-समारोह।

महत्वपूर्ण पट्टी में शून्य की संख्या
होने देना $$N(T)$$ के शून्यों की संख्या हो $$\zeta(s)$$ क्रिटिकल स्ट्रिप में $$0 < \operatorname{Re}(s) < 1$$, जिनके काल्पनिक भाग अंतराल में हैं $$0 < \operatorname{Im}(s) < T$$. ट्रुडगियन ने साबित किया कि, यदि $$T > e$$, तब
 * $$|N(T) - \frac{T}{2\pi} \log{\frac{T}{2\pi e}}| \leq 0.112 \log T + 0.278 \log\log T + 3.385 + \frac{0.2}{T}$$.

हार्डी-लिटिलवुड अनुमान
1914 में जी. एच. हार्डी ने यह सिद्ध किया $σ = 1$ अपरिमित रूप से अनेक वास्तविक शून्य होते हैं। हार्डी और जॉन एडेंसर लिटिलवुड ने शून्य के बीच घनत्व और दूरी पर दो अनुमान तैयार किए $σ = 0$ बड़ी सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के अंतराल पर। निम्नांकित में, $σ = 1⁄2$ वास्तविक शून्यों की कुल संख्या है और $σ = 1⁄2$ समारोह के विषम क्रम के शून्यों की कुल संख्या $sin πs⁄2$ अंतराल में पड़ा हुआ $ζ (1⁄2 + it)$.

इन दो अनुमानों ने रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन की जाँच में नई दिशाएँ खोलीं।

शून्य मुक्त क्षेत्र
संख्या सिद्धांत में रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के शून्य का स्थान बहुत महत्वपूर्ण है। अभाज्य संख्या प्रमेय इस तथ्य के समतुल्य है कि पर जीटा फ़ंक्शन का कोई शून्य नहीं है $ζ (1⁄2 + it)$ पंक्ति। एक बेहतर परिणाम विनोग्रादोव के माध्य-मूल्य प्रमेय के एक प्रभावी रूप से अनुसरण करता है $N(T)$ जब कभी भी $$\sigma\ge 1-\frac{1}{57.54(\log{|t|})^\frac23(\log{\log{|t|}})^\frac13}$$ और $N_{0}(T)$.

2015 में, Mossinghoff और Trudgian साबित हुए उस ज़ेटा का इस क्षेत्र में कोई शून्य नहीं है
 * $$\sigma\ge 1 - \frac{1}{5.573412 \log|t|}$$

के लिए $ζ (1⁄2 + it)$. के लिए महत्वपूर्ण पट्टी में यह सबसे बड़ा ज्ञात शून्य-मुक्त क्षेत्र है $$3.06 \cdot 10^{10} < |t| < \exp(10151.5) \approx 5.5 \cdot 10^{4408} $$.

इस तरह का सबसे मजबूत परिणाम रिमैन परिकल्पना की सच्चाई की उम्मीद कर सकता है, जिसमें संख्या के सिद्धांत में कई गहन रीमैन परिकल्पना #परिणाम होंगे।

अन्य परिणाम
यह ज्ञात है कि क्रांतिक रेखा पर अपरिमित रूप से अनेक शून्य होते हैं। जॉन एडेंसर लिटलवुड ने दिखाया कि यदि अनुक्रम ($(0, T]$) ऊपरी अर्ध-तल में सभी शून्यों के काल्पनिक भागों को आरोही क्रम में समाहित करता है


 * $$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\gamma_{n+1}-\gamma_n\right)=0.$$

महत्वपूर्ण रेखा प्रमेय का दावा है कि गैर-तुच्छ शून्यों का एक सकारात्मक अनुपात महत्वपूर्ण रेखा पर स्थित है। (रीमैन परिकल्पना का अर्थ होगा कि यह अनुपात 1 है।)

क्रिटिकल स्ट्रिप में, सबसे छोटा गैर-नकारात्मक काल्पनिक भाग वाला शून्य है $ε > 0$. यह तथ्य कि
 * $$\zeta(s)=\overline{\zeta(\overline{s})}$$

सभी जटिल के लिए $T_{0}(ε) > 0$ तात्पर्य यह है कि रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के शून्य वास्तविक अक्ष के बारे में सममित हैं। इस समरूपता को कार्यात्मक समीकरण के साथ जोड़कर, इसके अलावा, कोई यह देखता है कि गैर-तुच्छ शून्य महत्वपूर्ण रेखा के बारे में सममित हैं $(T, T + H]$.

यह भी ज्ञात है कि कोई भी शून्य वास्तविक भाग 1 वाली रेखा पर नहीं होता है।


 * $$\gamma_n \approx 2 \pi \frac{n-\frac{11}{8}}{W(\frac{n-\frac{11}{8}}{e})}$$
 * $$\gamma_n \approx 2 \pi \frac{n-\frac{11}{8}}{W(\frac{n-\frac{11}{8}}{e})}$$

कहाँ $$W(x)$$ लैम्बर्ट डब्ल्यू समारोह है।

विशिष्ट मान
किसी भी सकारात्मक सम पूर्णांक के लिए $ε > 0$, $$ \zeta(2n) = \frac{(-1)^{n+1}B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!},$$ कहाँ $T_{0}(ε) > 0$ है $c_{ε} > 0$-वें बरनौली संख्या। विषम सकारात्मक पूर्णांकों के लिए, ऐसी कोई सरल अभिव्यक्ति ज्ञात नहीं है, हालांकि इन मूल्यों को बीजगणितीय से संबंधित माना जाता है $Z$-पूर्णांकों का सिद्धांत; L-फ़ंक्शंस के विशेष मान देखें|के विशेष मान $K$-कार्य।

गैर-सकारात्मक पूर्णांकों के लिए, एक के पास है$$\zeta(-n)= (-1)^n\frac{B_{n+1}}{n+1}$$ के लिए $Re(s) = 1$ (सम्मेलन का उपयोग करते हुए कि $ζ (σ + it) ≠ 0$). विशेष रूप से, $L$ ऋणात्मक सम पूर्णांकों पर लुप्त हो जाता है क्योंकि $|t| ≥ 3$ सभी विषम के लिए $ζ$ 1 के अलावा अन्य। ये जीटा फ़ंक्शन के तथाकथित तुच्छ शून्य हैं।

विश्लेषणात्मक निरंतरता के माध्यम से, कोई यह दिखा सकता है$$\zeta(-1) = -\tfrac{1}{12}$$ यह अलग-अलग श्रृंखला 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ के लिए एक परिमित मान निर्दिष्ट करने के लिए एक बहाना देता है, जिसका प्रयोग स्ट्रिंग सिद्धांत जैसे कुछ संदर्भों (रामानुजन योग) में किया गया है। अनुरूप, विशेष मूल्य$$\zeta(0) = -\tfrac{1}{2}$$ अपसारी श्रृंखला 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ को परिमित परिणाम देने के रूप में देखा जा सकता है।

मूल्य$$\zeta\bigl(\tfrac12\bigr) = -1.46035450880958681288\ldots$$ रैखिक गतिज समीकरणों की गतिज सीमा परत समस्याओं की गणना में कार्यरत है। यद्यपि$$\zeta(1) = 1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} + \cdots$$ विचलन, इसका कॉची प्रमुख मूल्य$$ \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\zeta(1+\varepsilon)+\zeta(1-\varepsilon)}{2}$$ मौजूद है और यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक के बराबर है $|t| ≥ 2$. विशेष मूल्य का प्रदर्शन$$\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$$ बेसल समस्या के रूप में जाना जाता है। इस योग का व्युत्क्रम प्रश्न का उत्तर देता है: क्या प्रायिकता है कि यादृच्छिक रूप से चुनी गई दो संख्याएँ सहअभाज्य हैं? मूल्य$$\zeta(3) = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \cdots = 1.202056903159594285399...$$ एपेरी स्थिरांक है।

हद कर रहा है $$s \rightarrow +\infty$$ वास्तविक संख्या के माध्यम से, एक प्राप्त करता है $$\zeta (+\infty) = 1$$. लेकिन रीमैन क्षेत्र पर जटिल अनंतता में जीटा फ़ंक्शन में एक आवश्यक विलक्षणता है।

विभिन्न गुण
पूर्णांक और अर्ध-पूर्णांक मानों पर जीटा फ़ंक्शन को शामिल करने वाली राशियों के लिए, परिमेय जीटा श्रृंखला देखें।

पारस्परिक
ज़ेटा फलन के व्युत्क्रम को मोबियस फलन पर डिरिचलेट श्रृंखला के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $γ_{n}$:
 * $$\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^s}$$

हर जटिल संख्या के लिए $m$ 1 से अधिक वास्तविक भाग के साथ। ऐसे कई समान संबंध हैं जिनमें विभिन्न प्रसिद्ध गुणात्मक कार्य शामिल हैं; ये डिरिचलेट श्रृंखला पर लेख में दिए गए हैं।

रीमैन परिकल्पना इस दावे के समतुल्य है कि यह अभिव्यक्ति वास्तविक भाग होने पर मान्य है $s$ से बड़ा है $s$.

सार्वभौमिकता
रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन की महत्वपूर्ण पट्टी में सार्वभौमिकता का उल्लेखनीय गुण है। यह जीटा फ़ंक्शन सार्वभौमिकता बताता है कि महत्वपूर्ण पट्टी पर कुछ स्थान मौजूद है जो किसी भी होलोमोर्फिक फ़ंक्शन को मनमाने ढंग से अच्छी तरह से अनुमानित करता है। चूंकि होलोमोर्फिक कार्य बहुत सामान्य हैं, यह गुण काफी उल्लेखनीय है। सार्वभौमिकता का पहला प्रमाण 1975 में सर्गेई मिखाइलोविच वोरोनिन द्वारा प्रदान किया गया था। अधिक हाल के काम में ज़ेटा फ़ंक्शन सार्वभौमिकता # वोरोनिन के प्रमेय के प्रभावी सार्वभौमिकता संस्करण शामिल हैं और जीटा फ़ंक्शन सार्वभौमिकता # अन्य ज़ेटा कार्यों की सार्वभौमिकता इसे डिरिचलेट एल-फंक्शन के लिए कार्य करती है।

जीटा फलन के अधिकतम मापांक का अनुमान
कार्यों को करने दें $1⁄2 + 14.13472514...i$ और $s ≠ 1$ समानता द्वारा परिभाषित किया जाना चाहिए


 * $$ F(T;H) = \max_{|t-T|\le H}\left|\zeta\left(\tfrac{1}{2}+it\right)\right|,\qquad G(s_{0};\Delta) = \max_{|s-s_{0}|\le\Delta}|\zeta(s)|. $$

यहाँ $1⁄2$ पर्याप्त रूप से बड़ी धनात्मक संख्या है, $Re(s) = 1⁄2$, $2n$, $B_{2n}$, $2n$. मूल्यों का अनुमान लगाना $T$ और $F$ नीचे से पता चलता है कि कितने बड़े (मॉड्यूलस में) मान हैं $n ≥ 0$ महत्वपूर्ण रेखा के छोटे अंतराल या महत्वपूर्ण पट्टी में स्थित बिंदुओं के छोटे पड़ोस में ले जा सकते हैं $B_{1} = &minus;1⁄2$.

मामला $B_{m} = 0$ कनकनहल्ली रामचंद्र द्वारा अध्ययन किया गया था; मामला $γ = 0.5772...$, कहाँ $μ(n)$ पर्याप्त रूप से बड़ा स्थिरांक है, तुच्छ है।

अनातोली अलेक्सेविच करत्सुबा ने साबित किया, विशेष रूप से, कि यदि मान $G$ और $F(T;H)$ कुछ पर्याप्त रूप से छोटे स्थिरांक से अधिक, फिर अनुमान


 * $$ F(T;H) \ge T^{- c_1},\qquad G(s_0; \Delta) \ge T^{-c_2}, $$

पकड़ो, कहाँ $G(s_{0};Δ)$ और $0 < H ≪ log log T$ कुछ पूर्ण स्थिरांक हैं।

रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन का तर्क
कार्यक्रम
 * $$S(t) = \frac{1}{\pi}\arg{\zeta\left(\tfrac12+it\right)}$$

रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन का जटिल तर्क कहा जाता है। यहाँ $s_{0} = σ_{0} + iT$ की एक मनमाना निरंतर शाखा की वृद्धि है $1⁄2 ≤ σ_{0} ≤ 1$ बिंदुओं को जोड़ने वाली टूटी रेखा के साथ $0 < Δ < 1⁄3$, $ζ(s)$ और $0 ≤ Re(s) ≤ 1$.

फ़ंक्शन के गुणों पर कुछ प्रमेय हैं $H ≫ log log T$. उन परिणामों में के लिए निश्चित अभिन्न के लिए औसत मूल्य प्रमेय हैं $Δ > c$ और इसका पहला अभिन्न
 * $$S_1(t) = \int_0^t S(u) \, \mathrm{d}u$$

वास्तविक रेखा के अंतराल पर, और प्रमेय भी दावा करता है कि हर अंतराल $c$ के लिए
 * $$H \ge T^{\frac{27}{82}+\varepsilon}$$

कम से कम शामिल है
 * $$ H\sqrt[3]{\ln T}e^{-c\sqrt{\ln\ln T}} $$

बिंदु जहां समारोह $ζ(s)$ परिवर्तन का चिह्न। पहले इसी तरह के परिणाम मामले के लिए एटले सेलबर्ग द्वारा प्राप्त किए गए थे
 * $$H\ge T^{\frac12+\varepsilon}.$$

डिरिचलेट श्रृंखला
मूल श्रृंखला को पुनर्व्यवस्थित करके अभिसरण के क्षेत्र का विस्तार प्राप्त किया जा सकता है। श्रृंखला
 * $$\zeta(s)=\frac{1}{s-1}\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{n}{(n+1)^s}-\frac{n-s}{n^s}\right)$$

के लिए जुट जाता है $Δ$, जबकि
 * $$\zeta(s) =\frac{1}{s-1}\sum_{n=1}^\infty\frac{n(n+1)}{2}\left(\frac{2n+3+s}{(n+1)^{s+2}}-\frac{2n-1-s}{n^{s+2}}\right)$$

के लिए भी अभिसरण करता है $c_{1}$. इस तरह, अभिसरण के क्षेत्र को बढ़ाया जा सकता है $c_{2}$ किसी भी नकारात्मक पूर्णांक के लिए $arg ζ(1⁄2 + it)$.

मेलिन-टाइप इंटीग्रल
एक समारोह का मेलिन रूपांतरण $arg ζ(s)$ परिभाषित किया जाता है
 * $$ \int_0^\infty f(x)x^s\, \frac{\mathrm{d}x}{x} $$

उस क्षेत्र में जहां अभिन्न परिभाषित किया गया है। मेलिन ट्रांसफ़ॉर्म-जैसे इंटीग्रल के रूप में ज़ेटा फ़ंक्शन के लिए विभिन्न अभिव्यक्तियाँ हैं। अगर का असली हिस्सा $H$ एक से बड़ा है, हमारे पास है


 * $$\Gamma(s)\zeta(s) =\int_0^\infty\frac{x^{s-1}}{e^x-1} \,\mathrm{d}x \quad$$ और $$\quad\Gamma(s)\zeta(s) =\frac1{2s}\int_0^\infty\frac{x^{s}}{\cosh(x)-1} \,\mathrm{d}x$$,

कहाँ $2$ गामा समारोह को दर्शाता है। कंटूर एकीकरण को संशोधित करके, रीमैन ने दिखाया


 * $$2\sin(\pi s)\Gamma(s)\zeta(s) =i\oint_H \frac{(-x)^{s-1}}{e^x-1}\,\mathrm{d}x $$

सभी के लिए $s$ (कहाँ $s$ हैंकेल समोच्च को दर्शाता है)।

हम ऐसे व्यंजक भी खोज सकते हैं जो अभाज्य संख्याओं और अभाज्य संख्या प्रमेय से संबंधित हों। अगर $2 + it$ प्राइम-काउंटिंग फंक्शन है, फिर


 * $$\ln \zeta(s) = s \int_0^\infty \frac{\pi(x)}{x(x^s-1)}\,\mathrm{d}x,$$

मूल्यों के लिए $1⁄2 + it$.

एक समान मेलिन रूपांतरण में रीमैन फ़ंक्शन शामिल है $S(t)$, जो प्रमुख शक्तियों की गणना करता है $S(t)$ के वजन के साथ $S(t)$, ताकि


 * $$J(x) = \sum \frac{\pi\left(x^\frac{1}{n}\right)}{n}.$$

अब


 * $$\ln \zeta(s) = s\int_0^\infty J(x)x^{-s-1}\,\mathrm{d}x. $$

इन अभिव्यक्तियों का उपयोग व्युत्क्रम मेलिन रूपांतरण के माध्यम से अभाज्य संख्या प्रमेय को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है। रीमैन के प्राइम-काउंटिंग फंक्शन के साथ काम करना आसान है, और $(T, T + H]$ मोबियस इनवर्जन फॉर्मूला | मोबियस इनवर्जन द्वारा इससे पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।

थीटा कार्य
रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन मेलिन ट्रांसफ़ॉर्म द्वारा दिया जा सकता है
 * $$2\pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s) = \int_0^\infty \bigl(\theta(it)-1\bigr)t^{\frac{s}{2}-1}\,\mathrm{d}t,$$

थीटा प्रकार्य के संदर्भ में| जैकोबी का थीटा फलन


 * $$\theta(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2\tau}.$$

हालाँकि, यह अभिन्न तभी अभिसरित होता है जब इसका वास्तविक भाग होता है $H$ 1 से अधिक है, लेकिन इसे नियमित किया जा सकता है। यह जीटा फलन के लिए निम्नलिखित व्यंजक देता है, जो सभी के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है $s$ 0 और 1 को छोड़कर:


 * $$ \pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2} \int_0^1 \left(\theta(it)-t^{-\frac12}\right)t^{\frac{s}{2}-1}\,\mathrm{d}t + \frac{1}{2}\int_1^\infty \bigl(\theta(it)-1\bigr)t^{\frac{s}{2}-1}\,\mathrm{d}t.$$

लॉरेंट श्रृंखला
रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन मेरोमोर्फिक है जिसमें ऑर्डर एक के एक पोल (जटिल विश्लेषण) है $S(t)$. इसलिए इसे लॉरेंट श्रृंखला के रूप में विस्तारित किया जा सकता है $Re(s) > 0$; श्रृंखला विकास तब है
 * $$\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{\gamma_n}{n!}(1-s)^n.$$

स्थिरांक $Re(s) > −1$ यहाँ स्टिल्टजेस स्थिरांक कहलाते हैं और इसे अनुक्रम की सीमा द्वारा परिभाषित किया जा सकता है


 * $$ \gamma_n = \lim_{m \rightarrow \infty}{\left(\left(\sum_{k = 1}^m \frac{(\ln k)^n}{k}\right) - \frac{(\ln m)^{n+1}}{n+1}\right)}.$$

स्थिर पद $Re(s) > −k$ यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक है।

इंटीग्रल
सभी के लिए $−k$, $f(x)$, अभिन्न संबंध (cf. एबेल-प्लाना सूत्र)
 * $$\zeta(s) = \frac{1}{s-1} + \frac{1}{2} + 2\int_0^{\infty} \frac{\sin(s\arctan t)}{\left(1+t^2\right)^{s/2}\left(e^{2\pi t}-1\right)}\,\mathrm{d}t$$

सत्य है, जिसका उपयोग जीटा फ़ंक्शन के संख्यात्मक मूल्यांकन के लिए किया जा सकता है।

बढ़ती भाज्य
पूरे जटिल विमान के लिए वैध पोचममेर प्रतीक का उपयोग करते हुए एक और श्रृंखला का विकास है
 * $$\zeta(s) = \frac{s}{s-1} - \sum_{n=1}^\infty \bigl(\zeta(s+n)-1\bigr)\frac{s(s+1)\cdots(s+n-1)}{(n+1)!}.$$

इसे सभी सम्मिश्र संख्याओं के लिए डिरिचलेट श्रृंखला परिभाषा का विस्तार करने के लिए पुनरावर्ती रूप से उपयोग किया जा सकता है।

रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन गॉस-कुज़मिन-विर्सिंग ऑपरेटर पर कार्य करने वाले एक अभिन्न अंग में मेलिन परिवर्तन के समान एक रूप में प्रकट होता है। $Γ$; वह संदर्भ घटते फैक्टोरियल के संदर्भ में एक श्रृंखला विस्तार को जन्म देता है।

हैडमार्ड उत्पाद
Weierstrass गुणनखंड प्रमेय के आधार पर | Weierstrass गुणनखंड प्रमेय, Hadamard ने अनंत उत्पाद विस्तार दिया


 * $$\zeta(s) = \frac{e^{\left(\log(2\pi)-1-\frac{\gamma}{2}\right)s}}{2(s-1)\Gamma\left(1+\frac{s}{2}\right)} \prod_\rho \left(1 - \frac{s}{\rho} \right) e^\frac{s}{\rho},$$

जहां उत्पाद गैर-तुच्छ शून्य से अधिक है $s$ का $π(x)$ और पत्र $ρ$ फिर से यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक को दर्शाता है। एक सरल अनंत उत्पाद विस्तार है


 * $$\zeta(s) = \pi^\frac{s}{2} \frac{\prod_\rho \left(1 - \frac{s}{\rho} \right)}{2(s-1)\Gamma\left(1+\frac{s}{2}\right)}.$$

यह प्रपत्र स्पष्ट रूप से साधारण ध्रुव को प्रदर्शित करता है $Re(s) > 1$, −2, −4, ... पर मामूली शून्य हर में गामा फ़ंक्शन शब्द के कारण, और गैर-तुच्छ शून्य पर $J(x)$. (बाद वाले सूत्र में अभिसरण सुनिश्चित करने के लिए, उत्पाद को शून्य के मिलान जोड़े पर ले जाना चाहिए, यानी फॉर्म के शून्य की जोड़ी के कारक $γ$ और $p^{n}$ संयुक्त होना चाहिए।)

विश्व स्तर पर अभिसरण श्रृंखला
जीटा फ़ंक्शन के लिए विश्व स्तर पर अभिसरण श्रृंखला, सभी सम्मिश्र संख्याओं के लिए मान्य $ρ$ के अलावा $1⁄n$ कुछ पूर्णांक के लिए $s$, 1926 में कोनराड नोप द्वारा अनुमान लगाया गया था और 1930 में हेल्मुट हासे द्वारा सिद्ध किया गया (cf. यूलर सारांश):


 * $$\zeta(s)=\frac{1}{1-2^{1-s}} \sum_{n=0}^\infty \frac {1}{2^{n+1}} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{(-1)^k}{(k+1)^{s}}.$$

श्रृंखला हस्से के पेपर के परिशिष्ट में दिखाई दी, और 1994 में जोनाथन सोंडो द्वारा दूसरी बार प्रकाशित की गई। विश्व स्तर पर अभिसरण श्रृंखला भी साबित हुई है
 * $$\zeta(s)=\frac 1{s-1}\sum_{n=0}^\infty \frac 1{n+1}\sum_{k=0}^n\binom {n}{k}\frac{(-1)^k}{(k+1)^{s-1}}$$

उसी प्रकाशन में। इरोस्लाव ब्लागौचिन द्वारा शोध ने पाया है कि एक समान, समतुल्य श्रृंखला 1926 में जोसेफ सेर द्वारा प्रकाशित की गई थी। पीटर बोरवीन ने एक एल्गोरिद्म विकसित किया है जो डिरिचलेट ईटा फलन#बोरवीन की विधि बनाने के लिए डिरिचलेट ईटा फलन पर चेबीशेव बहुपदों को लागू करता है।

प्रारंभिक
के माध्यम से सकारात्मक पूर्णांकों पर श्रृंखला का प्रतिनिधित्व
 * $$ \zeta(k)=\frac{2^k}{2^k-1}+\sum_{r=2}^\infty\frac{(p_{r-1}\#)^k}{J_k(p_r\#)}\qquad k=2,3,\ldots.$$

यहाँ $π(x)$ आदिम क्रम है और $s = 1$ यह जॉर्डन का संपूर्ण कार्य है।

अधूरी पॉली-बर्नौली संख्या
द्वारा श्रृंखला का प्रतिनिधित्व कार्यक्रम $n$ प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, के लिए $s = 1$, अनंत श्रृंखला द्वारा
 * $$\zeta(s)=\sum_{n=0}^\infty B_{n,\ge2}^{(s)}\frac{(W_k(-1))^n}{n!},$$

कहाँ k ∈ {−1, 0$)$}}, $γ_{n}$ है $ζ$लैम्बर्ट डब्ल्यू समारोह की वीं शाखा | लैम्बर्ट $k$-फंक्शन, और $γ_{0}$ एक अपूर्ण पॉली-बर्नौली संख्या है।

एंगेल मैप का मेलिन रूपांतरण
कार्यक्रम $$g(x) = x \left( 1+\left\lfloor x^{-1}\right\rfloor \right) -1$$ एंगेल विस्तार में दिखाई देने वाले गुणांकों को खोजने के लिए पुनरावृत्त किया जाता है। मानचित्र का मेलिन परिवर्तन $$g(x)$$ सूत्र द्वारा रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन से संबंधित है
 * $$ \begin{align}

\int_0^1 g (x) x^{s - 1} \, dx & = \sum_{n = 1}^\infty \int_{\frac{1}{n + 1}}^{\frac{1}{n}} (x (n + 1) - 1) x^{s - 1} \, d x\\[6pt] & = \sum_{n = 1}^\infty \frac{n^{- s} (s - 1) + (n + 1)^{- s - 1} (n^2 + 2 n + 1) + n^{- s - 1} s - n^{1 - s}}{(s + 1) s (n + 1)}\\[6pt] & = \frac{\zeta (s + 1)}{s + 1} - \frac{1}{s (s + 1)} \end{align}$$

थू-मोर्स क्रम
डिरिचलेट श्रृंखला के कुछ रैखिक संयोजन जिनके गुणांक थ्यू-मोर्स अनुक्रम की शर्तें हैं, रीमैन जेटा फ़ंक्शन (टोथ, 2022) से संबंधित पहचान को जन्म देते हैं ). उदाहरण के लिए:
 * $$ \begin{align}

\sum_{n\geq1} \frac{5 t_{n-1} + 3 t_n}{n^2} &= 4 \zeta(2) = \frac{2 \pi^2}{3}, \\ \sum_{n\geq1} \frac{9 t_{n-1} + 7 t_n}{n^3} &= 8 \zeta(3),\end{align}$$ कहाँ $$(t_n)_{n\geq0}$$ है $$n^{\rm th}$$ थ्यू-मोर्स अनुक्रम की अवधि। वास्तव में, सभी के लिए $$s$$ से अधिक वास्तविक भाग के साथ $$1$$, अपने पास
 * $$ (2^s+1) \sum_{n\geq1} \frac{t_{n-1}}{n^s} + (2^s-1) \sum_{n\geq1} \frac{t_{n}}{n^s} = 2^s \zeta(s).$$

संख्यात्मक एल्गोरिदम
लगभग 1930 से पहले उपयोग में आने वाला एक शास्त्रीय एल्गोरिथम, n और m धनात्मक पूर्णांकों के लिए, प्राप्त करने के लिए Euler-Maclaurin सूत्र को लागू करके आगे बढ़ता है,


 * $$\zeta(s) = \sum_{j=1}^{n-1}j^{-s} + \tfrac12 n^{-s} + \frac{n^{1-s}}{s-1} + \sum_{k=1}^m T_{k,n}(s) + E_{m,n}(s)$$

कहाँ, दे रहा है $$B_{2k}$$ संकेतित बर्नौली संख्या को निरूपित करें,


 * $$T_{k,n}(s) = \frac{B_{2k}}{(2k)!} n^{1-s-2k}\prod_{j=0}^{2k-2}(s+j)$$

और त्रुटि संतुष्ट करती है


 * $$|E_{m,n}(s)| < \left|\frac{s+2m+1}{\sigma + 2m + 1}T_{m+1,n}(s)\right|,$$

σ = रे (एस) के साथ। एक आधुनिक संख्यात्मक एल्गोरिथम Odlyzko-Schönhage एल्गोरिथ्म है।

अनुप्रयोग
अनुप्रयुक्त आँकड़ों में जीटा फलन होता है (देखें जिपफ का नियम और जिपफ-मेंडेलब्रॉट नियम)।

ज़ेटा फ़ंक्शन नियमितीकरण का उपयोग क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में डाइवर्जेंट सीरीज़ और भिन्न अभिन्न के नियमितीकरण (भौतिकी) के एक संभावित साधन के रूप में किया जाता है। एक उल्लेखनीय उदाहरण में, कासिमिर प्रभाव की गणना करने की एक विधि में रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन स्पष्ट रूप से दिखाई देता है। गतिशील प्रणालियों के विश्लेषण के लिए जेटा फ़ंक्शन भी उपयोगी है।

संगीतमय ट्यूनिंग
म्यूजिकल ट्यूनिंग के सिद्धांत में, जीटा फ़ंक्शन का उपयोग समान स्वभाव (ईडीओ) को खोजने के लिए किया जा सकता है जो हार्मोनिक श्रृंखला (संगीत) के अंतराल को करीब से अनुमानित करता है। के बढ़ते मूल्यों के लिए $$t \in \mathbb{R}$$, का मान है


 * $$\left\vert \zeta \left( \frac{1}{2} + \frac{2\pi{i}}{\ln{(2)}}t \right) \right\vert$$

ऐसे ईडीओ के अनुरूप पूर्णांकों के पास की चोटियाँ। उदाहरणों में 12, 19 और 53 जैसे लोकप्रिय विकल्प शामिल हैं।

अनंत श्रृंखला
समदूरस्थ धनात्मक पूर्णांकों पर मूल्यांकन किया गया जीटा फलन कई स्थिरांकों की अनंत श्रृंखला निरूपण में प्रकट होता है। *$$\sum_{n=2}^\infty\bigl(\zeta(n)-1\bigr) = 1$$ वास्तव में सम और विषम पद दो योग देते हैं और
 * $$\sum_{n=1}^\infty\bigl(\zeta(2n)-1\bigr)=\frac{3}{4}$$

उपरोक्त राशियों के पैरामीट्रिज्ड संस्करण द्वारा दिए गए हैं
 * $$\sum_{n=1}^\infty\bigl(\zeta(2n+1)-1\bigr)=\frac{1}{4}$$

और
 * $$\sum_{n=1}^\infty(\zeta(2n)-1)\,t^{2n} = \frac{t^2}{t^2-1} + \frac{1}{2} \left(1- \pi t\cot(t\pi)\right)$$

साथ $$|t|<2$$ और कहाँ $$\psi$$ और $$\gamma$$ बहुविवाह समारोह और यूलर की स्थिरांक क्रमशः, साथ ही साथ हैं
 * $$\sum_{n=1}^\infty(\zeta(2n+1)-1)\,t^{2n} = \frac{t^2}{t^2-1} -\frac{1}{2}\left(\psi^0(t)+\psi^0(-t) \right) - \gamma$$

जो सभी पर निरंतर हैं $$t=1$$. अन्य रकम शामिल हैं
 * $$\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)-1}{n}\,t^{2n} = \log\left(\dfrac{1-t^2}{\operatorname{sinc}(\pi\,t)}\right)$$

कहाँ $s ∈ C$ एक जटिल संख्या के काल्पनिक भाग को दर्शाता है।
 * $$\sum_{n=2}^\infty\frac{\zeta(n)-1}{n} = 1-\gamma$$
 * $$\sum_{n=2}^\infty\frac{\zeta(n)-1}{n} \left(\left(\tfrac{3}{2}\right)^{n-1}-1\right) = \frac{1}{3} \ln \pi$$
 * $$\sum_{n=1}^\infty\bigl(\zeta(4n)-1\bigr) = \frac78-\frac{\pi}{4}\left(\frac{e^{2\pi}+1}{e^{2\pi}-1}\right).$$
 * $$\sum_{n=2}^\infty\frac{\zeta(n)-1}{n}\operatorname{Im}\bigl((1+i)^n-(1+i^n)\bigr) = \frac{\pi}{4}$$

लेख में अभी और सूत्र हैं हार्मोनिक संख्या # Riemann जेटा फ़ंक्शन से संबंध | हार्मोनिक संख्या।

सामान्यीकरण
ऐसे कई संबंधित जीटा कार्य हैं जिन्हें रिमेंन जीटा समारोह के सामान्यीकरण के रूप में माना जा सकता है। इनमें हर्विट्ज़ जीटा फ़ंक्शन शामिल है


 * $$\zeta(s,q) = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(k+q)^s}$$

(1930 में हेल्मुट हासे द्वारा अभिसरण श्रृंखला प्रतिनिधित्व दिया गया था, सी एफ हर्विट्ज़ ज़ेटा फ़ंक्शन), जो रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के साथ मेल खाता है $s ≠ 1$ (Hurwitz जीटा फलन में योग की निचली सीमा 0 है, 1 नहीं), Dirichlet L-function|Dirichlet $W$-फंक्शन और डेडेकाइंड जीटा फंक्शन अन्य संबंधित कार्यों के लिए जेटा फ़ंक्शन और एल-फ़ंक्शन लेख देखें$ζ$-समारोह।

बहुलघुगणक द्वारा दिया जाता है


 * $$\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty \frac{z^k}{k^s}$$

जो रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के साथ मेल खाता है जब $x^{s − 1}$. क्लॉसन समारोह $ζ$ के वास्तविक या काल्पनिक भाग के रूप में चुना जा सकता है $s = 1$.

लर्च उत्कृष्ट द्वारा दिया गया है
 * $$\Phi(z, s, q) = \sum_{k=0}^\infty\frac { z^k} {(k+q)^s}$$

जो रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के साथ मेल खाता है जब $s = ρ$ और $1 − ρ$ (लेर्च ट्रांसेंडेंट में योग की निचली सीमा 0 है, न कि 1)।

एकाधिक जीटा कार्यों द्वारा परिभाषित किया गया है


 * $$\zeta(s_1,s_2,\ldots,s_n) = \sum_{k_1>k_2>\cdots>k_n>0} {k_1}^{-s_1}{k_2}^{-s_2}\cdots {k_n}^{-s_n}.$$

कोई विश्लेषणात्मक रूप से इन कार्यों को जारी रख सकता है $L$-आयामी जटिल स्थान। सकारात्मक पूर्णांक तर्कों पर इन कार्यों द्वारा लिए गए विशेष मूल्यों को संख्या सिद्धांतकारों द्वारा एकाधिक जीटा मान कहा जाता है और गणित और भौतिकी में कई अलग-अलग शाखाओं से जुड़ा हुआ है।

यह भी देखें

 * 1 + 2 + 3 + 4 + ···
 * अंकगणित जीटा समारोह
 * सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना
 * लेहमर जोड़ी
 * प्रधान जीटा समारोह
 * रीमैन शी समारोह
 * पुनर्सामान्यीकरण
 * रीमैन-सीगल थीटा फ़ंक्शन
 * जीटाग्रिड

संदर्भ

 * Has an English translation of Riemann's paper.
 * (Globally convergent series expression.)
 * . In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
 * Has an English translation of Riemann's paper.
 * (Globally convergent series expression.)
 * . In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
 * (Globally convergent series expression.)
 * . In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
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 * . In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
 * . In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
 * . In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
 * . In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
 * . In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
 * . In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
 * . In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).

बाहरी संबंध

 * Riemann Zeta Function, in Wolfram Mathworld — an explanation with a more mathematical approach
 * Tables of selected zeros
 * Prime Numbers Get Hitched A general, non-technical description of the significance of the zeta function in relation to prime numbers.
 * X-Ray of the Zeta Function Visually oriented investigation of where zeta is real or purely imaginary.
 * Formulas and identities for the Riemann Zeta function functions.wolfram.com
 * Riemann Zeta Function and Other Sums of Reciprocal Powers, section 23.2 of Abramowitz and Stegun
 * Mellin transform and the functional equation of the Riemann Zeta function—Computational examples of Mellin transform methods involving the Riemann Zeta Function
 * Visualizing the Riemann zeta function and analytic continuation a video from 3Blue1Brown
 * Mellin transform and the functional equation of the Riemann Zeta function—Computational examples of Mellin transform methods involving the Riemann Zeta Function
 * Visualizing the Riemann zeta function and analytic continuation a video from 3Blue1Brown
 * Visualizing the Riemann zeta function and analytic continuation a video from 3Blue1Brown