डीन ट्विस्ट

ज्यामितीय टोपोलॉजी में, गणित की एक शाखा, एक देह मोड़ एक निश्चित प्रकार का होमियोमोर्फिज्म है। एक सतह (टोपोलॉजी) (द्वि-आयामी कई गुना) का आत्म-होमोमोर्फिज्म।

परिभाषा
मान लीजिए कि c एक बंद उन्मुखता  सतह S में एक वक्र है। चलो A, c का एक ट्यूबलर पड़ोस है। तब A एक वलय (गणित) है, एक वृत्त और एक इकाई अंतराल I के कार्टेशियन उत्पाद के लिए होमियोमॉर्फिक है:


 * $$c \subset A \cong S^1 \times I.$$

A निर्देशांक (s, t) दें जहाँ s रूप की एक सम्मिश्र संख्या है $$e^{i\theta}$$ साथ $$\theta \in [0, 2\pi],$$ और t &isin; [0, 1].

मान लीजिए f, S से स्वयं का मानचित्र है जो A के बाहर और A के अंदर की पहचान है


 * $$f(s, t) = \left(se^{i2\pi t}, t\right).$$

तब वक्र c के बारे में f एक 'देह मोड़' है।

डीहन ट्विस्ट को एक गैर-उन्मुख सतह एस पर भी परिभाषित किया जा सकता है, बशर्ते कोई एस पर 2-तरफा सरल बंद वक्र सी से शुरू हो।

उदाहरण


किनारों ए और बी के साथ मौलिक बहुभुज द्वारा दर्शाए गए टोरस्र्स  पर विचार करें


 * $$\mathbb{T}^2 \cong \mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2.$$

मान लीजिए एक बंद वक्र किनारे के साथ वाली रेखा है जिसे a कहा जाता है $$\gamma_a$$.

आकृति में ग्लूइंग होमोमोर्फिज्म की पसंद को देखते हुए, वक्र का एक ट्यूबलर पड़ोस $$\gamma_a$$ एक डोनट के चारों ओर जुड़े बैंड की तरह दिखेगा। यह पड़ोस एक वलय (गणित) के लिए होमोमोर्फिक है, कहते हैं
 * $$a(0; 0, 1) = \{z \in \mathbb{C}: 0 < |z| < 1\}$$

जटिल विमान में।

टोरस को घुमाते हुए मानचित्र तक विस्तारित करके $$\left(e^{i\theta}, t\right) \mapsto \left(e^{i\left(\theta + 2\pi t\right)}, t\right)$$ एनलस के होमोमोर्फिज्म के माध्यम से एनलस के पड़ोस में एक खुले सिलेंडर के लिए $$\gamma_a$$, a.


 * $$T_a: \mathbb{T}^2 \to \mathbb{T}^2$$

यह सेल्फ होमोमोर्फिज्म बी के साथ बंद वक्र पर कार्य करता है। ट्यूबलर पड़ोस में यह a के वक्र के साथ एक बार b का वक्र लेता है।

टोपोलॉजिकल स्पेस के बीच एक होमोमोर्फिज्म उनके मौलिक समूहों के बीच एक प्राकृतिक आइसोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है। इसलिए किसी के पास एक ऑटोमोर्फिज्म है


 * $${T_a}_\ast: \pi_1\left(\mathbb{T}^2\right) \to \pi_1\left(\mathbb{T}^2\right): [x] \mapsto \left[T_a(x)\right]$$

जहां [x] टोरस में बंद वक्र x के समरूप वर्ग हैं। सूचना $${T_a}_\ast([a]) = [a]$$ और $${T_a}_\ast([b]) = [b*a]$$, कहाँ $$b*a$$ क्या पथ b के चारों ओर यात्रा करता है फिर a।

मानचित्रण वर्ग समूह
यह मैक्स डेहन का एक प्रमेय है कि इस रूप के नक्शे किसी भी बंद, उन्मुख जीनस (गणित) के उन्मुखीकरण-संरक्षित होमोमोर्फिज्म के होमोटॉपी वर्गों की सतह के मानचित्रण वर्ग समूह को उत्पन्न करते हैं -$$g$$ सतह। W. B. R. लिकोरिश ने बाद में एक सरल प्रमाण के साथ इस परिणाम को फिर से खोजा और इसके अलावा यह दिखाया कि देह साथ-साथ मुड़ता है $$3g - 1$$ स्पष्ट वक्र मानचित्रण वर्ग समूह उत्पन्न करते हैं (इसे पनिंग नाम लिकोरिश ट्विस्ट प्रमेय कहा जाता है); इस संख्या को बाद में स्टीफन पी. हम्फ्रीज़ ने सुधार कर $$2g + 1$$, के लिए $$g > 1$$, जो उसने दिखाया वह न्यूनतम संख्या थी।

लिकोरिश ने गैर-उन्मुख सतहों के लिए एक समान परिणाम भी प्राप्त किया, जिसके लिए न केवल डेहन ट्विस्ट की आवश्यकता होती है, बल्कि Y-होमियोमोर्फिज्म भी।

यह भी देखें

 * लालटेन संबंध

संदर्भ

 * Andrew J. Casson, Steven A Bleiler, Automorphisms of Surfaces After Nielsen and Thurston, Cambridge University Press, 1988. ISBN 0-521-34985-0.
 * Stephen P. Humphries, "Generators for the mapping class group," in: Topology of low-dimensional manifolds (Proc. Second Sussex Conf., Chelwood Gate, 1977), pp. 44–47, Lecture Notes in Math., 722, Springer, Berlin, 1979.
 * W. B. R. Lickorish, "A representation of orientable combinatorial 3-manifolds." Ann. of Math. (2) 76 1962 531—540.
 * W. B. R. Lickorish, "A finite set of generators for the homotopy group of a 2-manifold", Proc. Cambridge Philos. Soc. 60 (1964), 769–778.