फिक के प्रसार के नियम

फ़िक के प्रसार के नियम प्रसार का वर्णन करते हैं और बड़े पैमाने पर प्रयोगात्मक परिणामों के आधार पर पहली बार 1855 में एडॉल्फ फिक द्वारा प्रस्तुत किए गए थे। वे बड़े पैमाने पर प्रसार के लिए हल करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है, $D$. फ़िक के पहले नियम का उपयोग उनके दूसरे नियम को व्युत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है जो बदले में विसरण समीकरण के समान है।

फ़िक के नियमों का पालन करने वाली प्रसार प्रक्रिया को सामान्य या फ़िकियन प्रसार कहा जाता है; अन्यथा, इसे विषम प्रसार या गैर-फिकियन प्रसार कहा जाता है।

इतिहास
1855 में, फिजियोलॉजिस्ट एडॉल्फ फिक ने पहली बार सूचना दी विसरित साधनों के माध्यम से द्रव्यमान के परिवहन को नियंत्रित करने वाले उनके अब जाने-माने कानून। फिक का काम थॉमस ग्राहम (केमिस्ट) के पहले के प्रयोगों से प्रेरित था, जो मूलभूत कानूनों का प्रस्ताव करने में कमी आई जिसके लिए फ़िक प्रसिद्ध हो गया। फिक का नियम अन्य प्रतिष्ठित वैज्ञानिकों द्वारा उसी युग में खोजे गए संबंधों के अनुरूप है: डार्सी का नियम (हाइड्रोलिक प्रवाह), ओम का नियम (चार्ज ट्रांसपोर्ट), और फूरियर का नियम (हीट ट्रांसपोर्ट)।

फिक के प्रयोग (ग्राहम के मॉडल पर आधारित) नमक की सांद्रता और प्रवाह को मापने के साथ निपटा, पानी के ट्यूबों के माध्यम से दो जलाशयों के बीच फैल गया। यह उल्लेखनीय है कि फ़िक का काम मुख्य रूप से तरल पदार्थों में प्रसार से संबंधित है, क्योंकि उस समय ठोस पदार्थों में प्रसार को आम तौर पर संभव नहीं माना जाता था। आज, फ़िक के नियम ठोस, तरल पदार्थ और गैसों में प्रसार की हमारी समझ का मूल रूप हैं (बाद के दो मामलों में बल्क द्रव गति के अभाव में)। जब एक प्रसार प्रक्रिया फिक के नियमों का पालन नहीं करती है (जो झरझरा मीडिया के माध्यम से प्रसार के मामलों में होता है और सूजन के प्रवेशकों के प्रसार के मामले में होता है), इसे नॉन-फिकियन कहा जाता है।

फिक का पहला कानून
फिक का पहला कानून विसारक प्रवाह को एकाग्रता के ढाल से संबंधित करता है। यह बताता है कि प्रवाह उच्च सांद्रता वाले क्षेत्रों से कम सांद्रता वाले क्षेत्रों में जाता है, एक परिमाण के साथ जो कि सांद्रता प्रवणता (स्थानिक व्युत्पन्न) के समानुपाती होता है, या सरल शब्दों में यह अवधारणा है कि एक विलेय उच्च सांद्रता वाले क्षेत्र से आगे बढ़ेगा एक सघनता प्रवणता में कम सान्द्रता का क्षेत्र। एक (स्थानिक) आयाम में, कानून को विभिन्न रूपों में लिखा जा सकता है, जहां सबसे सामान्य रूप (देखें ) दाढ़ के आधार पर है:


 * $$J = -D \frac{d \varphi}{d x} $$

कहाँ
 * $J$ प्रसार प्रवाह है, जिसमें से आयामी विश्लेषण प्रति इकाई समय प्रति इकाई क्षेत्र में पदार्थ की मात्रा है। $J$ एक इकाई समय अंतराल के दौरान एक इकाई क्षेत्र के माध्यम से प्रवाहित होने वाले पदार्थ की मात्रा को मापता है।
 * $D$ विसरण गुणांक या द्रव्यमान विसारकता है। इसका आयाम क्षेत्र प्रति इकाई समय है।
 * $φ$ (आदर्श मिश्रण के लिए) सान्द्रता है, जिसका आयाम प्रति इकाई आयतन में पदार्थ की मात्रा है।
 * $x$ स्थिति है, जिसका आयाम लंबाई है।

$D$ विसरित कणों के वर्ग वेग के समानुपाती होता है, जो आइंस्टीन संबंध (काइनेटिक सिद्धांत)#स्टोक्स-आइंस्टीन समीकरण|स्टोक्स-आइंस्टीन संबंध के अनुसार तापमान, द्रव की चिपचिपाहट और कणों के आकार पर निर्भर करता है। तनु जलीय घोल में अधिकांश आयनों के प्रसार गुणांक समान होते हैं और उनके मान कमरे के तापमान पर होते हैं $0.6 m^{2}/s$. जैविक अणुओं के लिए प्रसार गुणांक सामान्यतः 10 से लेकर होते हैं-10 से 10 तक-11 मि2/से.

दो या दो से अधिक आयामों में हमें उपयोग करना चाहिए $∇$, की  या  ग्रेडियेंट  ऑपरेटर, जो प्राप्त करने वाले पहले डेरिवेटिव का सामान्यीकरण करता है


 * $$ \mathbf{J}=- D\nabla \varphi$$

कहाँ $J$ प्रसार प्रवाह वेक्टर को दर्शाता है।

एक आयामी प्रसार के लिए प्रेरक शक्ति मात्रा है $−∂φ⁄∂x$, जो आदर्श मिश्रण के लिए सांद्रण प्रवणता है।

पहले कानून के रूपांतर
पहले कानून के लिए एक अन्य रूप इसे प्राथमिक चर के साथ द्रव्यमान अंश (रसायन विज्ञान) के रूप में लिखना है ($y_{i}$, उदाहरण के लिए किग्रा/किग्रा में दिया गया है), तो समीकरण बदल जाता है:


 * $$\mathbf{J_i}=- \frac{\rho D}{M_i}\nabla y_i $$

कहाँ
 * अनुक्रमणिका $i$ दर्शाता है $i$वें प्रजाति,
 * $J_{i}$ का प्रसार प्रवाह वेक्टर है $i$वीं प्रजाति (उदाहरण के लिए mol/m2-s),
 * $M_{i}$ का दाढ़ द्रव्यमान है $i$वें प्रजाति, और
 * $ρ$ मिश्रण का घनत्व है (उदाहरण के लिए किग्रा/मी3).

ध्यान दें कि $$\rho$$ ढाल ऑपरेटर के बाहर है। यह है क्योंकि:


 * $$y_i = \frac{\rho_{si}}{\rho}$$

कहाँ $ρ_{si}$ का आंशिक घनत्व है $i$वीं प्रजाति।

इसके अलावा, आदर्श समाधान या मिश्रण के अलावा अन्य रासायनिक प्रणालियों में, प्रत्येक प्रजाति के प्रसार के लिए प्रेरक शक्ति इस प्रजाति की रासायनिक क्षमता का ढाल है। तब फ़िक का पहला नियम (एक आयामी मामला) लिखा जा सकता है


 * $$J_i = - \frac{D c_i}{RT} \frac{\partial \mu_i}{\partial x}$$

कहाँ
 * अनुक्रमणिका $i$ दर्शाता है $i$वीं प्रजाति।
 * $c$ एकाग्रता है (mol/m3).
 * $R$ सार्वभौमिक गैस स्थिरांक (J/K/mol) है।
 * $T$ पूर्ण तापमान (K) है।
 * $μ$ रासायनिक क्षमता (J/mol) है।

फ़िक के नियम की प्रेरणा शक्ति को एक भगोड़ा अंतर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:


 * $$J_i = - \frac{D}{RT} \frac{\partial f_i}{\partial x}$$

उग्रता $$ f_i $$ पीए इकाइयां हैं। $$ f_i $$ वाष्प में घटक i का आंशिक दबाव है $$ f_i^G $$ या तरल $$ f_i^L $$ अवस्था। वाष्प तरल संतुलन पर वाष्पीकरण प्रवाह शून्य होता है क्योंकि $$ f_i^G = f_i^L $$.

गैसों के लिए फिक के प्रथम नियम की व्युत्पत्ति
बाइनरी गैस मिश्रण के लिए फ़िक के नियम के चार संस्करण नीचे दिए गए हैं। ये मानते हैं: तापीय प्रसार नगण्य है; प्रति इकाई द्रव्यमान में शरीर बल दोनों प्रजातियों पर समान है; और या तो दबाव स्थिर है या दोनों प्रजातियों में समान दाढ़ द्रव्यमान है। इन शर्तों के तहत, रेफ। विस्तार से दिखाता है कि कैसे गैसों के गतिज सिद्धांत से प्रसार समीकरण फ़िक के कानून के इस संस्करण में कम हो जाता है:

$$ \mathbf{V_i}=- D\nabla \ln y_i ,$$ कहाँ $V_{i}$ प्रजातियों का प्रसार वेग है $i$. प्रजातियों के प्रवाह के संदर्भ में यह है

$$\mathbf{J_i}=- \frac{\rho D}{M_i}\nabla y_i. $$ अगर, इसके अतिरिक्त, $$ \nabla \rho = 0$$, यह फ़िक के नियम के सबसे सामान्य रूप को कम करता है,

$$ \mathbf{J_i}=- D\nabla \varphi .$$ यदि (इसके बजाय या इसके अतिरिक्त $$ \nabla \rho = 0$$) दोनों प्रजातियों का दाढ़ द्रव्यमान समान है, फ़िक का नियम बन जाता है

$$\mathbf{J_i}=- \frac{\rho D}{M_i}\nabla x_i, $$ कहाँ $$ x_i $$ प्रजातियों का तिल अंश है $i$.

फिक का दूसरा कानून
फिक का दूसरा कानून भविष्यवाणी करता है कि समय के संबंध में प्रसार कैसे एकाग्रता को बदलने का कारण बनता है। यह आंशिक अंतर समीकरण है जो एक आयाम में पढ़ता है:


 * $$\frac{\partial \varphi}{\partial t} = D\,\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}$$

कहाँ
 * $φ$ के आयामों में एकाग्रता है $$[\mathsf{N}\mathsf{L}^{-3}]$$, उदाहरण मोल / मी3; $φ = φ(x,t)$ एक ऐसा कार्य है जो स्थान पर निर्भर करता है $x$ और समय $t$
 * $t$ समय है, उदाहरण एस
 * $D$ के आयामों में प्रसार गुणांक है $$[\mathsf{L}^2\mathsf{T}^{-1}]$$, उदाहरण एम 2/से
 * $x$ स्थिति है, उदाहरण एम

दो या दो से अधिक आयामों में हमें लाप्लासियन का उपयोग करना चाहिए $Δ = ∇^{2}$, जो दूसरे अवकलज का सामान्यीकरण करता है, समीकरण प्राप्त करता है


 * $$\frac{\partial \varphi}{\partial t} = D\Delta \varphi$$

फिक के दूसरे नियम का वही गणितीय रूप है जो ऊष्मा समीकरण का है और इसका मौलिक समाधान ऊष्मा गिरी के समान हैतापीय चालकता को बदलने के अलावा $$k$$ प्रसार गुणांक के साथ $$D$$:

$$\varphi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}\exp\left(-\frac{x^2}{4Dt}\right).$$

फिक के दूसरे नियम की व्युत्पत्ति
<!-- सही नहीं है, टॉक देखें

उदाहरण समाधान और सामान्यीकरण
फिक का दूसरा नियम संवहन-प्रसार समीकरण का एक विशेष मामला है जिसमें कोई संवहन नहीं है और कोई शुद्ध बड़ा स्रोत नहीं है। इसे निरंतरता समीकरण#विभेदक रूप से प्राप्त किया जा सकता है:


 * $$ \frac{\partial \varphi}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{j} = R, $$

कहाँ $j$ कुल प्रवाह है और $R$ के लिए शुद्ध आयतन स्रोत है $φ$. इस स्थिति में प्रवाह का एकमात्र स्रोत विसरित प्रवाह माना जाता है:
 * $$\mathbf{j}_{\text{diffusion}} = -D \nabla \varphi$$

डिफ्यूसिव फ्लक्स की परिभाषा को निरंतरता समीकरण में प्लग करना और यह मानते हुए कि कोई स्रोत नहीं है ($R = 0$), हम फ़िक के दूसरे नियम पर पहुँचते हैं:


 * $$\frac{\partial \varphi}{\partial t} = D\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}$$

यदि फ्लक्स डिफ्यूसिव फ्लक्स और एडवेक्शन दोनों का परिणाम था, तो संवहन-प्रसार समीकरण परिणाम है।

उदाहरण समाधान 1: निरंतर एकाग्रता स्रोत और प्रसार लंबाई
समय के साथ प्रसार का एक साधारण मामला $t$ एक आयाम में (के रूप में लिया गया $x$-अक्ष) स्थिति पर स्थित सीमा से $x = 0$, जहां एकाग्रता को एक मान पर बनाए रखा जाता है $n_{0}$ है


 * $$n \left(x,t \right)=n_0 \operatorname{erfc} \left( \frac{x}{2\sqrt{Dt}}\right) .$$

कहाँ $erfc$ पूरक त्रुटि फलन है। यह वह मामला है जब संक्षारक गैसें धातु की सतह की ओर ऑक्सीडेटिव परत के माध्यम से फैलती हैं (यदि हम मानते हैं कि पर्यावरण में गैसों की सांद्रता स्थिर है और प्रसार स्थान - यानी जंग उत्पाद परत - अर्ध-अनंत है, 0 से शुरू होता है सतह पर और सामग्री में असीम रूप से गहराई तक फैल रहा है)। यदि, बदले में, प्रसार स्थान अनंत है (परत के साथ दोनों के माध्यम से स्थायी)। $n(x, 0) = 0$, $x > 0$ और वह साथ $n(x, 0) = n_{0}$, $x ≤ 0$), तो समाधान केवल गुणांक के साथ संशोधित किया जाता है $1⁄2$ के सामने $n_{0}$ (जैसा कि प्रसार अब दोनों दिशाओं में होता है)। यह मामला तब मान्य होता है जब एकाग्रता के साथ कुछ समाधान होता है $n_{0}$ को शुद्ध विलायक की एक परत के संपर्क में रखा जाता है। (बोकस्टीन, 2005) लंबाई $2√Dt$ को विसरण लंबाई कहा जाता है और यह इस बात का माप प्रदान करता है कि सांद्रता कितनी दूर तक फैली हुई है $x$-समय में विसरण द्वारा दिशा $t$ (बर्ड, 1976)।

त्रुटि फ़ंक्शन के त्वरित सन्निकटन के रूप में, टेलर श्रृंखला के पहले दो शब्दों का उपयोग किया जा सकता है:
 * $$n(x,t)=n_0 \left[ 1 - 2 \left(\frac{x}{2\sqrt{Dt\pi}}\right) \right] $$

अगर $D$ समय-निर्भर है, प्रसार की लंबाई बन जाती है
 * $$ 2\sqrt{\int_0^t D\tau \,d\tau}. $$

यह विचार हीटिंग और कूलिंग चक्र पर प्रसार लंबाई का अनुमान लगाने के लिए उपयोगी है, जहां $D$ तापमान के साथ बदलता रहता है।

उदाहरण समाधान 2: एक प्रकार कि गति और माध्य वर्ग विस्थापन
विसरण का एक अन्य सरल मामला एक कण की ब्राउनियन गति है। कण का अपनी मूल स्थिति से औसत वर्ग विस्थापन है:

$$\text{MSD} \equiv \langle (\mathbf{x}-\mathbf{x_0})^2\rangle=2nDt$$ कहाँ $$n$$ कण की ब्राउनियन गति का आयाम है। उदाहरण के लिए, गोलाकार समरूपता के कारण 8 एनएम मोटी कोशिका झिल्ली में एक अणु का प्रसार 1-डी प्रसार होता है; हालांकि, झिल्ली से एक यूकेरियोटिक सेल के केंद्र में एक अणु का प्रसार एक 3-डी प्रसार है। एक बेलनाकार कैक्टस के लिए, इसकी सतह पर प्रकाश संश्लेषक कोशिकाओं से इसके केंद्र (इसकी बेलनाकार समरूपता का अक्ष) तक प्रसार एक 2-डी प्रसार है।

MSD का वर्गमूल, $$\sqrt{2nDt}$$, अक्सर एक विशेषता के रूप में प्रयोग किया जाता है कि समय के बाद कण कितनी दूर चले गए हैं $$t$$ बीत गया है। MSD को 1D, 2D और 3D स्पेस में सममित रूप से वितरित किया गया है। इस प्रकार, 1D में MSD के परिमाण का प्रायिकता बंटन गाऊसी है और 3D मैक्सवेल-बोल्ट्जमान बंटन है।

सामान्यीकरण

 * गैर-सजातीय मीडिया में, प्रसार गुणांक अंतरिक्ष में भिन्न होता है, $D = D(x)$. यह निर्भरता फ़िक के पहले कानून को प्रभावित नहीं करती है लेकिन दूसरा कानून बदलता है: $$\frac{\partial \varphi(x,t)}{\partial t}=\nabla\cdot \bigl(D(x) \nabla \varphi(x,t)\bigr)=D(x) \Delta \varphi(x,t)+\sum_{i=1}^3 \frac{\partial D(x)}{\partial x_i} \frac{\partial \varphi(x,t)}{\partial x_i}$$
 * एनिस्ट्रोपिक मीडिया में, प्रसार गुणांक दिशा पर निर्भर करता है। यह एक सममित टेन्सर  है $D_{ji} = D_{ij}$. फिक का पहला नियम बदलता है $$J=-D \nabla \varphi ,$$ यह टेंसर और वेक्टर का उत्पाद है: $$ J_i=-\sum_{j=1}^3 D_{ij} \frac{\partial \varphi}{\partial x_j}.$$ प्रसार समीकरण के लिए यह सूत्र देता है $$\frac{\partial \varphi(x,t)}{\partial t}=\nabla\cdot \bigl(D \nabla \varphi(x,t)\bigr)=\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3D_{ij} \frac{\partial^2 \varphi(x,t)}{\partial x_i \partial x_j}. $$ प्रसार गुणांकों का सममित मैट्रिक्स $D_{ij}$ सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स होना चाहिए। दाहिनी ओर के ऑपरेटर को अण्डाकार ऑपरेटर बनाने के लिए इसकी आवश्यकता होती है।
 * अमानवीय अनिसोट्रोपिक मीडिया के लिए प्रसार समीकरण के इन दो रूपों को संयुक्त किया जाना चाहिए $$\frac{\partial \varphi(x,t)}{\partial t}=\nabla\cdot \bigl(D(x) \nabla \varphi(x,t)\bigr)=\sum_{i,j=1}^3\left(D_{ij}(x) \frac{\partial^2 \varphi(x,t)}{\partial x_i \partial x_j}+ \frac{\partial D_{ij}(x)}{\partial x_i } \frac{\partial \varphi(x,t)}{\partial x_i}\right). $$
 * प्रसार पर आधारित दृष्टिकोण #आइंस्टीन की गतिशीलता और टेओरेल सूत्र|आइंस्टीन की गतिशीलता और टेओरेल सूत्र सही घटकों के बहुघटक प्रसार के लिए फिक के समीकरण का निम्नलिखित सामान्यीकरण देता है: $$\frac{\partial \varphi_i}{\partial t} = \sum_j \nabla\cdot\left(D_{ij} \frac{\varphi_i}{\varphi_j} \nabla \, \varphi_j\right) .$$ कहाँ $φ_{i}$ घटकों की सांद्रता हैं और $D_{ij}$ गुणांकों का मैट्रिक्स है। यहाँ, सूचकांक $i$ और $j$ विभिन्न घटकों से संबंधित हैं न कि अंतरिक्ष निर्देशांकों से।

प्रसार#बोल्ट्जमैन के समीकरण के आधार पर गैसों में प्रसार का सिद्धांत|गैसों में प्रसार के लिए चैपमैन-एनस्कॉग सूत्रों में बिल्कुल समान शब्द शामिल हैं। प्रसार के ये भौतिक मॉडल परीक्षण मॉडल से भिन्न हैं $∂_{t}φ_{i} = Σ_{j} D_{ij} Δφ_{j}$ जो समान संतुलन से बहुत कम विचलन के लिए मान्य हैं। इससे पहले, ऐसे शब्दों को मैक्सवेल-स्टीफन प्रसार समीकरण में पेश किया गया था।

अनिसोट्रोपिक बहुघटक प्रसार गुणांक के लिए, उदाहरण के लिए रैंक-चार टेंसर की आवश्यकता होती है $D_{ij,αβ}$, कहाँ $i, j$ घटकों को देखें और $α, β = 1, 2, 3$ अंतरिक्ष निर्देशांक के अनुरूप है।

अनुप्रयोग
फ़िक के नियम पर आधारित समीकरणों का उपयोग आमतौर पर खाद्य पदार्थों, न्यूरॉन्स, जैव बहुलक ्स,  औषध, झरझरा मिट्टी, जनसंख्या की गतिशीलता, परमाणु सामग्री, प्लाज्मा भौतिकी और डोपिंग (सेमीकंडक्टर) प्रक्रियाओं में निष्क्रिय परिवहन के मॉडल के लिए किया जाता है।  voltammetry  विधियों का सिद्धांत फ़िक के समीकरण के समाधान पर आधारित है। दूसरी ओर, कुछ मामलों में एक फिकियन (परिवहन समीकरण का एक अन्य सामान्य सन्निकटन प्रसार सिद्धांत का है) वर्णन अपर्याप्त है। उदाहरण के लिए, बहुलक विज्ञान और खाद्य विज्ञान में कांच के संक्रमण से गुजरने वाली सामग्रियों में घटकों के परिवहन का वर्णन करने के लिए अधिक सामान्य दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है। मैक्सवेल-स्टीफन प्रसार समीकरण एक और सामान्य ढांचा है मल्टी-कंपोनेंट दूरी बदलना, जिसमें से फिक के नियम को एक सीमित मामले के रूप में प्राप्त किया जा सकता है, जब मिश्रण बेहद पतला होता है और हर रासायनिक प्रजाति केवल थोक मिश्रण के साथ बातचीत कर रही है और अन्य प्रजातियों के साथ नहीं। गैर-पतला मिश्रण में कई प्रजातियों की उपस्थिति के लिए, मैक्सवेल-स्टीफन समीकरणों के कई रूपों का उपयोग किया जाता है। गैर-विकर्ण युग्मित परिवहन प्रक्रियाओं को भी देखें (ऑनसेजर पारस्परिक संबंध संबंध)।

तरल पदार्थ में फिक का प्रवाह
जब दो घुलनशीलता वाले तरल पदार्थ संपर्क में लाए जाते हैं, और प्रसार होता है, तो मैक्रोस्कोपिक (या औसत) एकाग्रता फ़िक के नियम के अनुसार विकसित होती है। मेसोस्कोपिक पैमाने पर, अर्थात्, फिक के नियम और आणविक पैमाने द्वारा वर्णित मैक्रोस्कोपिक पैमाने के बीच, जहां आणविक यादृच्छिक चलता है, उतार-चढ़ाव की उपेक्षा नहीं की जा सकती है। लैंडौ-लिफ्शिट्ज उतार-चढ़ाव वाले हाइड्रोडायनामिक्स के साथ ऐसी स्थितियों को सफलतापूर्वक तैयार किया जा सकता है। इस सैद्धांतिक ढांचे में, प्रसार उन उतार-चढ़ावों के कारण होता है जिनके आयाम आणविक पैमाने से लेकर मैक्रोस्कोपिक पैमाने तक होते हैं। विशेष रूप से, उतार-चढ़ाव वाले हाइड्रोडायनामिक समीकरणों में एक दिए गए प्रसार गुणांक के साथ, हाइड्रोडायनामिक्स समीकरणों और उतार-चढ़ाव का वर्णन करने वाले स्टोचैस्टिक शब्दों के साथ एक फ़िक का प्रवाह शब्द शामिल है। एक परेशान दृष्टिकोण के साथ उतार-चढ़ाव की गणना करते समय, शून्य क्रम सन्निकटन फ़िक का नियम है। पहला क्रम उतार-चढ़ाव देता है, और यह पता चलता है कि उतार-चढ़ाव प्रसार में योगदान करते हैं। यह किसी भी तरह से एक तनातनी (तर्क) का प्रतिनिधित्व करता है, क्योंकि एक निम्न क्रम सन्निकटन द्वारा वर्णित घटना एक उच्च सन्निकटन का परिणाम है: यह समस्या केवल उतार-चढ़ाव वाले हाइड्रोडायनामिक्स समीकरणों के पुनर्संरचना द्वारा हल की जाती है।

विलयन दर और तनु विलेय की संघट्टन आवृत्ति
एक (गैस या तरल) समाधान में एक सतह या इंटरफ़ेस के लिए तनु विलेय की सोखना या अवशोषण (रसायन विज्ञान) दर की गणना फ़िक के प्रसार के नियमों का उपयोग करके की जा सकती है। समय के साथ प्रसार प्रवाह समीकरण को एकीकृत करके सतह पर संचित अणुओं की संचित संख्या को लैंगमुइर-शेफ़र समीकरण द्वारा कम समय सीमा पर व्यक्त किया जाता है:
 * $$ \Gamma= 2AC\sqrt{\frac{Dt}{\pi}}$$

समीकरण का नाम अमेरिकी रसायनज्ञ इरविंग लैंगमुइर और विन्सेंट शेफर के नाम पर रखा गया है।
 * $$ \Gamma $$ समय के दौरान अवशोषित इकाई # अणुओं में अणुओं की संख्या है $$t$$.
 * $A$ इकाई में सतह क्षेत्र है $$ m^{2} $$.
 * $C$ इकाई # अणुओं में थोक समाधान में adsorber अणुओं की संख्या सांद्रता है /$$m^{3} $$.
 * $D$ इकाई में adsorber का प्रसार गुणांक है $$ m^{2}/s $$.
 * $t$ इकाई में बीता हुआ समय है $$ s $$.

Langmuir-Schaefer समीकरण को सतह से अस्वीकृत अणुओं के पश्च-प्रसार के लिए वार्ड-तोर्डाई समीकरण तक विस्तारित किया जा सकता है: :$$ \Gamma= 2AC\sqrt{\frac{Dt}{\pi}} - A\sqrt{\frac{D}{\pi}}\int_0^\sqrt{t}\frac{C_b(\tau)}{\sqrt{t-\tau}} \, d\tau $$ कहाँ $$C$$ थोक एकाग्रता है, $$C_b$$ उप-सतह एकाग्रता है (जो सोखना के प्रतिक्रिया मॉडल के आधार पर समय का एक कार्य है), और $$\tau$$ एक डमी चर है।

मोंटे कार्लो सिमुलेशन दिखाते हैं कि ये दो समीकरण उन प्रणालियों की सोखने की दर की भविष्यवाणी करने के लिए काम करते हैं जो सतह के पास अनुमानित एकाग्रता ग्रेडियेंट बनाते हैं लेकिन अप्रत्याशित एकाग्रता ग्रेडियेंट के बिना या उनके साथ सिस्टम के लिए परेशानी होती है, जैसे सामान्य बायोसेंसिंग सिस्टम या जब प्रवाह और संवहन महत्वपूर्ण होते हैं।

विसरित सोखने का एक संक्षिप्त इतिहास सही चित्र में दिखाया गया है। एकल-अणु स्तर पर विसरित सोखना को समझने की एक उल्लेखनीय चुनौती विसरण की भग्न प्रकृति है। अधिकांश कंप्यूटर सिमुलेशन प्रसार के लिए एक समय कदम चुनते हैं जो इस तथ्य की उपेक्षा करता है कि प्रत्येक चरण के भीतर स्व-समान महीन प्रसार घटनाएं (भग्न) होती हैं। फ्रैक्टल डिफ्यूज़न को अनुकरण करने से पता चलता है कि एक निश्चित समय-चरण सोखना सिमुलेशन के परिणाम के लिए दो सुधारों का एक कारक पेश किया जाना चाहिए, जिससे यह उपरोक्त दो समीकरणों के अनुरूप हो।

उपरोक्त समीकरणों का एक अधिक समस्याग्रस्त परिणाम यह है कि वे आदर्श स्थितियों के तहत अधिशोषण की निचली सीमा की भविष्यवाणी करते हैं लेकिन वास्तविक अधिशोषण दरों की भविष्यवाणी करना बहुत कठिन है। समीकरण लंबी-समय-सीमा की स्थिति में प्राप्त होते हैं जब सतह के पास एक स्थिर सांद्रता प्रवणता बन जाती है। लेकिन वास्तविक सोखना अक्सर इस अनंत समय सीमा की तुलना में बहुत तेजी से किया जाता है, यानी, एकाग्रता ढाल, उप-सतह पर एकाग्रता का क्षय, सतह के संतृप्त होने से पहले केवल आंशिक रूप से बनता है, इस प्रकार मापी गई सोखना दर लगभग हमेशा तेज होती है समीकरणों ने कम या शून्य ऊर्जा अवरोधक सोखने की भविष्यवाणी की है (जब तक कि कोई महत्वपूर्ण सोखना ऊर्जा अवरोध न हो जो अवशोषण को काफी धीमा कर देता है), उदाहरण के लिए, जल-हवा या पानी में मोनोलेयर्स के स्व-विधानसभा में हजारों से लाखों गुना तेजी से -सब्सट्रेट इंटरफेस। इस प्रकार, सतह के पास एकाग्रता प्रवणता के विकास की गणना करना और व्यावहारिक अनुप्रयोगों के लिए कल्पित अनंत विकास को रोकने के लिए उचित समय का पता लगाना आवश्यक है। हालांकि यह भविष्यवाणी करना मुश्किल है कि कब रुकना है लेकिन कम से कम समय की गणना करना काफी आसान है, महत्वपूर्ण समय जब सब्सट्रेट सतह से पहला निकटतम पड़ोसी एकाग्रता ढाल के निर्माण को महसूस करता है। यह एक आदर्श स्थिति के तहत सोखना दर की ऊपरी सीमा पैदा करता है जब अवशोषक गतिशीलता को प्रभावित करने वाले प्रसार के अलावा कोई अन्य कारक नहीं होता है:


 * $$ = \frac{4}{\pi}Ac_b^{4/3}D$$


 * $$  $$ सोखना ऊर्जा बाधा मुक्त स्थिति के तहत इकाई #/s में सोखने की दर है।
 * $$ A $$ इकाई मीटर में एक अनंत और सपाट सब्सट्रेट पर ब्याज की सतह का क्षेत्रफल है 2।
 * $$ C_b $$ इकाई #/m में थोक समाधान में अवशोषक अणु की एकाग्रता है 3।
 * $$ D $$ इकाई एम में समाधान में अवशोषक का प्रसार स्थिरांक है2/से.
 * इन इकाइयों का विमीय विश्लेषण संतुष्ट है।

इस समीकरण का उपयोग किसी भी प्रणाली की प्रारंभिक अधिशोषण दर की भविष्यवाणी करने के लिए किया जा सकता है; इसका उपयोग एक विशिष्ट बायोसेंसिंग प्रणाली की स्थिर-अवस्था सोखने की दर का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है जब बाध्यकारी साइट सब्सट्रेट सतह का बहुत छोटा अंश है और निकट-सतह एकाग्रता ढाल कभी नहीं बनती है; इसका उपयोग सतह पर अणुओं के सोखने की दर का अनुमान लगाने के लिए भी किया जा सकता है, जब उप-सतह में बहुत उथले रूप से सांद्रता प्रवणता को धकेलने के लिए एक महत्वपूर्ण प्रवाह होता है।

अल्ट्राशॉर्ट समय सीमा में, प्रसार समय के क्रम में ए2/D, जहां a कण त्रिज्या है, प्रसार को लैंग्विन समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है। लंबे समय में, लैंगविन समीकरण स्टोक्स-आइंस्टीन समीकरण में विलीन हो जाता है। उत्तरार्द्ध पतला समाधान की स्थिति के लिए उपयुक्त है, जहां लंबी दूरी के प्रसार पर विचार किया जाता है। लंबे समय की सीमा में लैंगविन समीकरण पर आधारित उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय के अनुसार और जब कण आसपास के द्रव की तुलना में काफी सघन होता है, तो समय-निर्भर प्रसार स्थिरांक होता है:
 * $$ D(t) = \mu \, k_{\rm B} T\left(1-e^{-t/(m\mu)}\right) $$

जहां (सभी एसआई इकाइयों में)


 * कB बोल्ट्जमैन स्थिरांक है।
 * टी पूर्ण तापमान है।
 * μ द्रव या गैस में कण की गतिशीलता है, जिसकी गणना आइंस्टीन संबंध (गतिज सिद्धांत) का उपयोग करके की जा सकती है।
 * m कण का द्रव्यमान है।
 * टी समय है।

पानी में कार्बनिक अणुओं या बायोमोलिक्यूल (जैसे प्रोटीन) जैसे एकल अणु के लिए, पिकोसेकंद क्षेत्र में एमμ के छोटे उत्पाद के कारण घातीय शब्द नगण्य है।

जब ब्याज का क्षेत्र एक अणु के आकार का होता है (विशेष रूप से, एक लंबा बेलनाकार अणु जैसे डीएनए), सोखना दर समीकरण एक पतला समाधान में दो अणुओं की टक्कर आवृत्ति का प्रतिनिधित्व करता है, जिसमें एक अणु एक विशिष्ट पक्ष और दूसरा कोई स्टेरिक नहीं होता है। निर्भरता, यानी, एक अणु (यादृच्छिक अभिविन्यास) दूसरे के एक तरफ हिट करता है। प्रसार स्थिरांक को दो विसरित अणुओं के बीच सापेक्ष प्रसार स्थिरांक में अद्यतन करने की आवश्यकता है। यह अनुमान एक छोटे अणु और एक बड़े अणु जैसे प्रोटीन के बीच की बातचीत का अध्ययन करने में विशेष रूप से उपयोगी है। प्रभावी विसरण स्थिरांक पर छोटे वाले का प्रभुत्व होता है जिसका विसरण स्थिरांक इसके बजाय उपयोग किया जा सकता है।

सतह पर आणविक स्व-विधानसभा के कैनेटीक्स की भविष्यवाणी करने के लिए उपरोक्त हिटिंग दर समीकरण भी उपयोगी है। थोक समाधान में अणु बेतरतीब ढंग से उन्मुख होते हैं। यह मानते हुए कि 1/6 अणुओं का सतह बंधन स्थलों के लिए सही अभिविन्यास है, यानी x, y, z तीन आयामों में z- दिशा का 1/2, इस प्रकार ब्याज की एकाग्रता थोक एकाग्रता का सिर्फ 1/6 है। इस मान को समीकरण में रखो एक Langmuir सोखना मॉडल का उपयोग कर सैद्धांतिक सोखना गतिज वक्र की गणना करने में सक्षम होना चाहिए। अधिक कठोर तस्वीर में, 1/6 को बाध्यकारी ज्यामिति के स्टेरिक कारक द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

प्रोटीन जमावट/एकत्रीकरण सहित कई प्रतिक्रियाओं से संबंधित द्वि-आणविक टक्कर आवृत्ति को प्रारंभिक रूप से मैरियन स्मोलुचोव्स्की द्वारा 1916 के एक मौलिक प्रकाशन में प्रस्तावित स्मोलुचोव्स्की जमावट समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है। ब्राउनियन गति और फिक के प्रसार के नियमों से व्युत्पन्न। A+B-> उत्पाद के लिए एक पतला समाधान में एक आदर्श प्रतिक्रिया स्थिति के तहत, Smoluchovski ने सुझाव दिया कि अनंत समय सीमा पर आणविक प्रवाह की गणना फ़िक के प्रसार के नियमों से की जा सकती है, जो लक्ष्य अणु से एक निश्चित/स्थिर सांद्रता प्रवणता प्रदान करता है, उदा। B लक्ष्य अणु है जो अपेक्षाकृत स्थिर है, और A गतिमान अणु है जो A और B के बीच जमावट प्रतिक्रिया के कारण लक्ष्य अणु B के पास एक सांद्रता प्रवणता बनाता है। Smoluchowski ने इकाई # के साथ समाधान में A और B के बीच टकराव की आवृत्ति की गणना की /एस/$$m^{3}$$:


 * $$ Z_{AB} = 4{\pi}RD_rC_AC_B$$

कहाँ,
 * $$R$$ टक्कर की त्रिज्या है।
 * $$D_r$$ A और B, इकाई के बीच सापेक्ष प्रसार स्थिरांक है $$m^2/s$$.
 * $$C_A$$ और $$C_B$$ क्रमशः ए और बी की संख्या सांद्रता हैं, यूनिट # /$$m^{3}$$.

इस द्विध्रुवीय प्रतिक्रिया का प्रतिक्रिया क्रम 2 है जो अणु की गतिमान गति को विसरित प्रवाह के साथ बदलकर टक्कर सिद्धांत के परिणाम के अनुरूप है। टक्कर सिद्धांत में, ए और बी के बीच यात्रा का समय दूरी के समानुपाती होता है जो प्रवाह के स्थिर होने पर प्रसार मामले के लिए एक समान संबंध है।

हालाँकि, एक व्यावहारिक स्थिति के तहत, लक्ष्य अणु के पास सांद्रता प्रवणता समय के साथ आणविक प्रवाह के साथ-साथ विकसित हो रही है, और औसतन प्रवाह Smoluchowski द्वारा प्रस्तावित अनंत समय सीमा प्रवाह से बहुत बड़ा है। इस प्रकार, यह स्मोलुचोव्स्की आवृत्ति वास्तविक टक्कर आवृत्ति की निचली सीमा का प्रतिनिधित्व करती है।

2022 में, चेन एक समाधान में ए और बी के बीच टक्कर आवृत्ति की ऊपरी सीमा की गणना करता है, यह मानते हुए कि चलती अणु की थोक एकाग्रता लक्ष्य अणु के पहले निकटतम पड़ोसी के बाद तय की जाती है। इस प्रकार वास्तविक प्रवाह की गणना करने के लिए स्टॉप-टाइम दिए जाने पर एकाग्रता ढाल विकास पहली निकटतम पड़ोसी परत पर रुक जाता है। उन्होंने इसे महत्वपूर्ण समय का नाम दिया और इकाई #/s/ में विसारक टक्कर आवृत्ति प्राप्त की।$$m^{3}$$:


 * $$ Z_{AB} = \frac{8}{\pi}{\sigma} D_rC_AC_B\sqrt[3]{C_A+C_B} $$

कहाँ,
 * $${\sigma}$$ टक्कर, इकाई के क्रॉस-सेक्शन का क्षेत्र है $$m^2$$.
 * $$D_r$$ A और B, इकाई के बीच सापेक्ष प्रसार स्थिरांक है $$m^2/s$$.
 * $$C_A$$ और $$C_B$$ क्रमशः ए और बी की संख्या सांद्रता हैं, यूनिट # /$$m^{3}$$.

यह समीकरण ए और बी के बीच एक विसारक टक्कर आवृत्ति की ऊपरी सीमा मानता है जब पहली पड़ोसी परत एकाग्रता ढाल के विकास को महसूस करना शुरू कर देती है, जिसका प्रतिक्रिया क्रम है $$2 \frac 1 3$$ 2 के बजाय। Smoluchowski समीकरण और JChen समीकरण दोनों SI इकाइयों के साथ आयामी जाँच को संतुष्ट करते हैं। लेकिन पूर्व त्रिज्या पर निर्भर है और बाद वाला टक्कर क्षेत्र के क्षेत्र पर है। एक द्विध्रुवीय इकाई प्रतिक्रिया के लिए वास्तविक प्रतिक्रिया क्रम 2 और के बीच हो सकता है $$2 \frac 1 3$$, जो समझ में आता है क्योंकि विसरित टक्कर का समय दो अणुओं के बीच की दूरी पर निर्भर करता है।

जैविक परिप्रेक्ष्य
पहला कानून निम्नलिखित सूत्र को जन्म देता है:
 * $$\text{flux} = {-P \left(c_2 - c_1\right)}$$

जिसमें


 * $P$ पारगम्यता है, एक दिए गए तापमान पर किसी दिए गए गैस के लिए एक प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित झिल्ली विद्युत चालकता है।
 * $c_{2} − c_{1}$ प्रवाह की दिशा के लिए कृत्रिम झिल्ली में गैस की सांद्रता में अंतर है (से $c_{1}$ को $c_{2}$).

फिक का प्रथम नियम विकिरण अंतरण समीकरणों में भी महत्वपूर्ण है। हालाँकि, इस संदर्भ में, यह तब गलत हो जाता है जब प्रसार स्थिरांक कम होता है और विकिरण उस सामग्री के प्रतिरोध के बजाय प्रकाश की गति से सीमित हो जाता है जिससे विकिरण प्रवाहित हो रहा है। इस स्थिति में, फ्लक्स सीमक का उपयोग किया जा सकता है।

ग्राहम के नियम के साथ मिलकर इस कानून का उपयोग करके द्रव झिल्ली में गैस की विनिमय दर निर्धारित की जा सकती है।

एक पतला समाधान की स्थिति के तहत जब प्रसार नियंत्रण लेता है, उपरोक्त खंड में उल्लिखित झिल्ली पारगम्यता को सैद्धांतिक रूप से अंतिम खंड में उल्लिखित समीकरण का उपयोग करके विलेय के लिए गणना की जा सकती है (विशेष देखभाल के साथ उपयोग करें क्योंकि समीकरण घने विलेय के लिए प्राप्त होता है, जबकि जैविक अणु पानी से सघन नहीं हैं):


 * $$ P= 2A_p\eta_{tm} \sqrt{ D/(\pi t)}$$

कहाँ


 * $$A_P$$ झिल्ली पर छिद्रों का कुल क्षेत्रफल है (यूनिट एम2).
 * $$\eta_{tm}$$ ट्रांसमेम्ब्रेन दक्षता (यूनिटलेस), जिसकी गणना क्रोमैटोग्राफी के स्टोकेस्टिक सिद्धांत से की जा सकती है।
 * D विलेय इकाई m का प्रसार स्थिरांक है2एस-1.
 * टी टाइम यूनिट एस है।
 * सी2, सी1 एकाग्रता इकाई mol m का उपयोग करना चाहिए-3, इसलिए फ्लक्स इकाई mol s बन जाती है-1.

प्रवाह समय के वर्गमूल पर क्षय होता है क्योंकि आदर्श परिस्थितियों में समय के साथ झिल्ली के पास एक सांद्रता प्रवणता बनती है। जब प्रवाह और संवहन होता है, तो प्रवाह समीकरण की भविष्यवाणी से काफी अलग हो सकता है और एक निश्चित मूल्य के साथ एक प्रभावी समय टी दिखा सकता है, जो समय के साथ क्षय के बजाय फ्लक्स को स्थिर बनाता है। जब कोई ढाल नहीं बनती है तो आदर्श प्रवाह स्थितियों के तहत एक महत्वपूर्ण समय का अनुमान लगाया गया है। यह रणनीति जीव विज्ञान में अपनाई जाती है जैसे रक्त परिसंचरण।

सेमीकंडक्टर निर्माण अनुप्रयोग
सेमीकंडक्टर उपकरणों की एक श्रृंखला के लिए एक सामूहिक शब्द है। इसमें मुख्य रूप से तीन श्रेणियां शामिल हैं: दो-टर्मिनल डिवाइस, तीन-टर्मिनल डिवाइस और चार-टर्मिनल डिवाइस। अर्धचालकों के संयोजन को एक एकीकृत परिपथ कहा जाता है।

फिक के नियम और अर्धचालकों के बीच संबंध: अर्धचालक का सिद्धांत रसायनों या डोपेंट को परत से परत में स्थानांतरित कर रहा है। फ़िक के नियम का उपयोग गणित के माध्यम से प्रति मीटर और सेकंड में डोपेंट या रसायनों की सांद्रता कितनी है, यह जानकर प्रसार को नियंत्रित करने और भविष्यवाणी करने के लिए किया जा सकता है।

इसलिए, अर्धचालकों के विभिन्न प्रकार और स्तरों का निर्माण किया जा सकता है।

इंटीग्रेटेड सर्किट फैब्रिकेशन टेक्नोलॉजी, मॉडल प्रोसेस जैसे सीवीडी, थर्मल ऑक्सीडेशन, वेट ऑक्सीडेशन, डोपिंग आदि फिक के नियम से प्राप्त प्रसार समीकरणों का उपयोग करते हैं।

सेमीकंडक्टर बनाने की सीवीडी विधि
वेफर एक प्रकार का अर्धचालक है जिसका सिलिकॉन सब्सट्रेट सीवीडी-निर्मित बहुलक श्रृंखला और फिल्मों की एक परत के साथ लेपित होता है। इस फिल्म में एन-टाइप और पी-टाइप डोपेंट शामिल हैं और डोपेंट चालन की जिम्मेदारी लेती है। सीवीडी का सिद्धांत पतली फिल्म बनाने के लिए गैस चरण और गैस-ठोस रासायनिक प्रतिक्रिया पर निर्भर करता है।

सीवीडी का चिपचिपा प्रवाह शासन एक दबाव प्रवणता द्वारा संचालित होता है। सीवीडी में एडाटम्स के सतह प्रसार से अलग एक प्रसार घटक भी शामिल है। सीवीडी में, अभिकारकों और उत्पादों को सब्सट्रेट के बगल में मौजूद स्थिर गैस की एक सीमा परत के माध्यम से भी फैलाना चाहिए। सीवीडी फिल्म के विकास के लिए आवश्यक चरणों की कुल संख्या सीमा परत के माध्यम से अभिकारकों का गैस चरण प्रसार, एडटॉम्स का सोखना और सतह प्रसार, सब्सट्रेट पर प्रतिक्रियाएं और सीमा परत के माध्यम से उत्पादों का गैस चरण प्रसार है।

गैस प्रवाह के लिए वेग प्रोफ़ाइल है:

$$\delta(x) = \left( \frac{5x}{\mathrm{Re}^{1/2}} \right) \mathrm{Re}=\frac{v\rho L}{\eta}$$ कहाँ
 * $$\delta$$ मोटाई है
 * $$\mathrm{Re}$$ रेनॉल्ड्स संख्या है
 * $x$ सब्सट्रेट की लंबाई है।
 * $v = 0$ किसी भी सतह पर
 * $$\eta$$ चिपचिपापन है
 * $$\rho$$ घनत्व है।

एकीकृत $x$ से $0$ को $L$, यह औसत मोटाई देता है:

$$\delta = \frac{10L}{3\mathrm{Re}^{1/2}}$$ प्रतिक्रिया को संतुलित रखने के लिए, सब्सट्रेट तक पहुंचने के लिए अभिकारकों को स्थिर सीमा परत के माध्यम से फैलाना चाहिए। तो एक पतली सीमा परत वांछनीय है। समीकरणों के अनुसार, vo बढ़ने से अधिक व्यर्थ अभिकारकों का परिणाम होगा। यदि प्रवाह अशांत हो जाता है तो अभिकारक समान रूप से सब्सट्रेट तक नहीं पहुंचेंगे। एक अन्य विकल्प कम चिपचिपाहट या घनत्व के साथ एक नई वाहक गैस पर स्विच करना है।

फ़िक का पहला नियम सीमा परत के माध्यम से प्रसार का वर्णन करता है। गैस में दबाव (पी) और तापमान (टी) के कार्य के रूप में, प्रसार निर्धारित होता है।

$$D = D_0 \left(\frac{P_0}{P}\right) \left(\frac{T}{T_0}\right)^{3/2}$$ कहाँ
 * $$P_0$$ मानक दबाव है।
 * $$T_0$$ मानक तापमान है।
 * $$D_0$$ मानक प्रसार है।

समीकरण बताता है कि तापमान बढ़ाने या दबाव कम करने से विसारकता बढ़ सकती है।

फ़िक का पहला कानून अभिकारकों के प्रवाह को सब्सट्रेट और उत्पाद को सब्सट्रेट से दूर करने की भविष्यवाणी करता है: $$J = -D_i \left ( \frac{dc_i}{dx} \right )$$ कहाँ
 * $$x$$ मोटाई है $$\delta$$
 * $$dc_i$$ पहले अभिकारक की एकाग्रता है।

आदर्श गैस कानून में $$PV = nRT$$, गैस की सांद्रता आंशिक दबाव द्वारा व्यक्त की जाती है।

$$J = - D_i \left ( \frac{P_i-P_0}{\delta RT} \right )$$ कहाँ
 * $$R$$ गैस नियतांक है।
 * $$\frac{P_i-P_0}{\delta}$$ आंशिक दबाव प्रवणता है।

परिणामस्वरूप, फिक का पहला नियम हमें बताता है कि हम विसारकता को नियंत्रित करने और अर्धचालकों की पतली फिल्मों के विकास को नियंत्रित करने के लिए आंशिक दबाव प्रवणता का उपयोग कर सकते हैं।

कई यथार्थवादी स्थितियों में, साधारण फिक का नियम अर्धचालक समस्या के लिए पर्याप्त सूत्रीकरण नहीं है। यह केवल कुछ शर्तों पर लागू होता है, उदाहरण के लिए, सेमीकंडक्टर सीमा की स्थिति: निरंतर स्रोत एकाग्रता प्रसार, सीमित स्रोत एकाग्रता, या चलती सीमा प्रसार (जहां जंक्शन की गहराई सब्सट्रेट में चलती रहती है)।

फिकियन प्रसार की अमान्यता
यह नोट करना महत्वपूर्ण है कि भले ही शुरुआती दिनों में सेमीकंडक्टर निर्माण (सीवीडी रिएक्टरों सहित) में प्रसार प्रक्रियाओं को मॉडल करने के लिए फिकियन प्रसार का उपयोग किया गया हो, यह अक्सर उन्नत सेमीकंडक्टर नोड्स (<90 एनएम) में प्रसार को मान्य करने में विफल रहता है। यह ज्यादातर आणविक स्तर और छोटे पर सटीक रूप से मॉडल प्रसार प्रक्रियाओं के लिए फिकियन प्रसार की अक्षमता से उपजा है। उन्नत अर्धचालक निर्माण में, परमाणु पैमाने पर गति को समझना महत्वपूर्ण है, जो निरंतर प्रसार द्वारा विफल हो जाता है। आज, अधिकांश सेमीकंडक्टर निर्माता प्रसार प्रक्रियाओं का अध्ययन और मॉडल करने के लिए रैंडम वॉक का उपयोग करते हैं। यह हमें व्यक्तिगत परमाणुओं, अणुओं, प्लाज्मा आदि की गति को समझने के लिए असतत तरीके से विसरण के प्रभावों का अध्ययन करने की अनुमति देता है।

इस तरह की प्रक्रिया में, सीवीडी रिएक्टर, सीमा परत, सामग्री संरचनाओं आदि के माध्यम से एक यादृच्छिक चलने के बाद, फैलाने वाली प्रजातियों (परमाणु, अणु, प्लाज्मा इत्यादि) के आंदोलनों को असतत इकाई के रूप में माना जाता है। कभी-कभी, आंदोलन पक्षपातपूर्ण हो सकते हैं -प्रसंस्करण की स्थिति के आधार पर यादृच्छिक चलना। सांख्यिकीय विश्लेषण प्रजातियों के यादृच्छिक चलने से उत्पन्न भिन्नता/स्टोचैस्टिसिटी को समझने के लिए किया जाता है, जो बदले में समग्र प्रक्रिया और विद्युत विविधताओं को प्रभावित करता है।

खाद्य उत्पादन और खाना पकाने
फ़िक के पहले नियम का सूत्रीकरण भोजन और खाना पकाने के संदर्भ में विभिन्न प्रकार की जटिल घटनाओं की व्याख्या कर सकता है: एथिलीन जैसे अणुओं का प्रसार पौधों की वृद्धि और पकने को बढ़ावा देता है, नमक और चीनी के अणु मांस को चमकाने और मैरिनेट करने को बढ़ावा देते हैं, और पानी के अणु निर्जलीकरण को बढ़ावा देते हैं। फ़िक के पहले नियम का उपयोग स्पेगेटी नूडल में बदलते नमी प्रोफाइल की भविष्यवाणी करने के लिए भी किया जा सकता है क्योंकि यह खाना पकाने के दौरान हाइड्रेट करता है। ये घटनाएँ सांद्रण प्रवणता द्वारा संचालित विलेय के कणों के सहज संचलन के बारे में हैं। अलग-अलग स्थितियों में, अलग-अलग विसरण होता है जो एक स्थिर है। सघनता प्रवणता को नियंत्रित करके, खाना पकाने का समय, भोजन का आकार और नमकीन बनाना नियंत्रित किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * अभिवहन
 * चर्चिल-बर्नस्टीन समीकरण
 * प्रसार
 * मिथ्या प्रसार
 * गैस विनिमय
 * द्रव्यमान प्रवाह
 * मैक्सवेल-स्टीफन प्रसार
 * नर्नस्ट-प्लैंक समीकरण
 * असमस

अग्रिम पठन

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बाहरी संबंध

 * Fick's equations, Boltzmann's transformation, etc. (with figures and animations)
 * Fick's Second Law on OpenStax

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