स्थानीकृत अवयव मॉडल

स्थानीकृत अवयव प्रारूप जिसे स्थानीकृत- मापदण्ड नमूना या स्थानीकृत अवयव नमूना भी कहा जाता है, स्थानिक रूप से वितरित भौतिक प्रणालियों के व्यवहार के विवरण को सरल करता है, जैसे कि विद्युत परिपथ, एक सांस्थिति विज्ञान असतत संस्थाओं से मिलकर बनता है जो अनुमानित रूप से कुछ मान्यताओं के तहत वितरित प्रणाली का व्यवहार करता है। यह विद्युत तंत्र, यांत्रिक बहुसंख्यक प्रणाली, ऊष्मा अंतरण, ध्वनिकी, आदि में उपयोगी होते है। यह वितरित मापदण्ड प्रणाली के रूप विपरीत हो सकते है, जिसमें व्यवहार को स्थानिक रूप से वितरित किया जाता है और इसे असतत संस्थाओं में स्थानीयकृत नहीं माना जा सकता है।

गणितीय रूप से बोलते हुए, सरलीकरण प्रणाली के स्थिर अवस्था को एक गिनती संख्या आयाम तक कम कर देता है, और भौतिक प्रणाली के निरंतर अनंत-आयामी समय और अंतरिक्ष नमूना के आंशिक अंतर समीकरण को साधारण अंतर समीकरणों में बदल देता है एक सीमित संख्या में मापदंडों के साथ होता है।

ढेलेदार-पदार्थ अनुशासन
स्थानीकृत-पदार्थ अनुशासन विद्युत अभियंता में लगाए गए धारणाओं का एक सेट है जो संजाल विश्लेषण विद्युत परिपथ में उपयोग किए जाने वाले गांठ-परिपथ संक्षेपण की नींव प्रदान करता है। स्वयं लगाए गए प्रतिबंध हैं:
 * 1) किसी चालक के बाहर चुंबकीय प्रवाह का समय में परिवर्तन शून्य होता है। $$\frac{\partial \phi_B} {\partial t} = 0$$
 * 2) चालक के अंदर शुद्ध आवेश घनत्व शुन्य होता है। $$\frac{\partial q} {\partial t} = 0$$
 * 3) स्थानीकृत तत्व में विद्युत चुम्बकीय तरंगों के प्रसार की तुलना में ब्याज का संकेत समय बहुत बड़ा हैं।

मैक्सवेल के समीकरणों पर लागू होने पर पहले ये दोनो नियम मैक्सवेल के समीकरणों से सीधे व्युत्पन्न किये जा सकते हैं जब परिपथ स्थिर अवस्था में हो। तीसरी धारणा संजाल विश्लेषण विद्युत परिपथ में प्रयुक्त स्थानीकृत अवयव प्रारूप का आधार है। वितरित-तत्व मॉडल कम गंभीर धारणाओं का परिणाम होता है, जबकि अभी भी पूर्ण मैक्सवेल समीकरणों के प्रत्यक्ष आवेदन की आवश्यकता नहीं होती है।

गांठदार-तत्व मॉडल
इलेक्ट्रॉनिक विद्युत संजाल का स्थानीकृत अवयव प्रारूप सरलीकृत बनाता है कि विद्युत परिपथ प्रतिरोध, धारिता, अधिष्ठापन, और लाभ विशेषताओं को आदर्श विद्युत घटकों में केंद्रित किया जाता है; प्रतिरोधक, संधारित्र और प्रेरक आदि पूरी तरह से विद्युत चालन तारों के एक संजाल से जुड़े होते हैं।

स्थानीकृत अवयव प्रारूप जब भी मान्य होता है $$L_c \ll \lambda$$, कहाँ पे $$L_c$$ परिपथ की विशेषता लंबाई को दर्शाता है, और $$\lambda$$ परिपथ के ऑपरेटिंग तरंग दैर्ध्य को दर्शाता है। अन्यथा, जब परिपथ की लंबाई तरंग दैर्ध्य के क्रम पर होती है, तो हमें अधिक सामान्य मॉडल पर विचार करना चाहिए, जैसे कि वितरित-तत्व मॉडल ( संचार लाइनों सहित), जिसका गतिशील व्यवहार मैक्सवेल के समीकरणों द्वारा वर्णित है। स्थानीकृत अवयव प्रारूप की वैधता को देखने का एक और तरीका यह है कि यह मॉडल उस परिमित समय की उपेक्षा करता है जो एक परिपथ के चारों ओर फैलने के लिए संकेत लेता है। जब भी यह प्रसार समय अनुप्रयोग के लिए महत्वपूर्ण नहीं होता है तो गांठ-तत्व मॉडल का उपयोग किया जा सकता है। यह वह स्थिति है जब प्रसार समय शामिल संकेत की अवधि भौतिकी रूप से बहुत कम होती है। हालांकि, बढ़ते प्रसार समय के साथ संकेत के कल्पित और वास्तविक चरण के बीच एक बढ़ती हुई त्रुटि होती है, जिसके परिणामस्वरूप संकेत के कल्पित आयाम में त्रुटि होती है जिस पर स्थानीकृत अवयव प्रारूप का उपयोग नहीं किया जा सकता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि किसी दिए गए अनुप्रयोग में संकेत को कितनी सटीक रूप से जाना जा सकता है।

वास्तविक रूप से दुनिया के घटक गैर-आदर्श विशेषताओं को प्रदर्शित करते हैं, जो वास्तव में, वितरित तत्व हैं, लेकिन अक्सर ढेलेदार तत्वों द्वारा प्रथम-क्रम निकटता के लिए प्रतिनिधित्व किया जाता है। उदाहरण के लिए संधारित्र में रिसाव के लिए, गैर-आदर्श संधारित्र को समानांतर में जुड़े एक बड़े गांठ वाले प्रतिरोधी के रूप में मॉडल कर सकते हैं, भले ही रिसाव वास्तव में पूरा ढांकता हुआ वितरित हो। इसी तरह एक तार-घाव रोकनेवाले में महत्वपूर्ण अधिष्ठापन के साथ-साथ विद्युत प्रतिरोध भी इसकी लंबाई के साथ वितरित किया जाता है लेकिन हम इसे आदर्श अवरोधक के साथ श्रृंखला में एक गांठदार प्रारंभ करनेवाला के रूप में मॉडल कर सकते हैं।

ऊष्मीयप्रणाली
एक स्थानीकृत- धारिता नमूना, जिसे स्थानीकृत प्रणाली विश्लेषण भी कहा जाता है, एक ऊष्मीय प्रणाली कई असतत "गांठ" को  कम कर देता है और मानता है कि प्रत्येक गांठ के अंदर तापमान का अंतर नगण्य है। यह निकटता जटिल समीकरण अवकल ऊष्मा समीकरणों को सरल बनाने के लिए उपयोगी होती है। इसे विद्युत धारिता के गणितीय अनुरूप के रूप में विकसित किया गया था, हालांकि इसमें विद्युत प्रतिरोध के ऊष्मीय अनुरूप भी शामिल हैं।

स्थानीकृत- धारिता मॉडल क्षणिक चालन में एक सामान्य संकेत है, जिसका उपयोग तब किया जा सकता है जब किसी वस्तु के भीतर ऊष्मा चालन वस्तु की सीमा के पार ऊष्मा हस्तांतरण की तुलना में बहुत तेज हो। संकेत की विधि तब क्षणिक चालन प्रणाली वस्तु के भीतर स्थानिक तापमान भिन्नता के एक पहलू को अधिक गणितीय रूप से सुविधाजनक रूप में कम कर देती है अर्थात, यह माना जाता है कि वस्तु के भीतर का तापमान अंतरिक्ष में पूरी तरह से समान है, हालांकि यह स्थानिक रूप से समान तापमान समय के साथ बदलता है। उद्देश्य या प्रणाली के हिस्से के भीतर बढ़ते समान तापमान को तब एक धारितीय जलाशय के रूप में तब तक माना जा सकता है जब तक गर्मी को अवशोषित करता है और  समय पर एक स्थिर तापीय अवस्था तक नहीं पहुंच जाता जिसके बाद उसके भीतर का तापमान नहीं बदलता है।

एक स्थानीकृत-धारिता प्रणाली का एक प्रारंभिक-उदाहरण है, जो इस तरह के भौतिक सरलीकरण के कारण गणितीय रूप से सरल व्यवहार प्रदर्शित करता है, जो कि न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुरूप हैं। यह नियम केवल यह बताता है कि एक गर्म या ठंडी वस्तु का तापमान एक साधारण घातीय रूप में अपने पर्यावरण के तापमान की ओर बढ़ता है। वस्तुएं इस नियम का कड़ाई से पालन तभी करती हैं जब उनके भीतर ऊष्मा चालन की दर उनमें या उनमें से निकलने वाली ऊष्मा के प्रवाह से बहुत अधिक हो। ऐसे मामलों में किसी भी समय पर एक ही वस्तु के तापमान के बारे में बात करना समझ में आता है क्योंकि वस्तु के भीतर कोई स्थानिक तापमान भिन्नता नहीं है और वस्तु के भीतर समान तापमान भी इसकी कुल तापीय ऊर्जा की अधिकता या कमी को आनुपातिक रूप से भिन्न होने की अनुमति देती है। सतह का तापमान, इस प्रकार न्यूटन के शीतलन आवश्यकता के नियम को स्थापित करता है कि तापमान में कमी की दर वस्तु और पर्यावरण के बीच अंतर के समानुपाती होती है। यह बदले में सरल घातीय ताप या शीतलन व्यवहार की ओर जाता है ।

विधि
गांठों की संख्या निर्धारित करने के लिए, बायोट संख्या, प्रणाली का एक आयाम रहित मापदंडों, का उपयोग किया जाता है। बीआई को वस्तु के आतंरिक प्रवाहिकी प्रतिरोध अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो विभिन्न तापमान उनके द्रव्यमान में एक अनुपात में होता है। जब वस्तु के भीतर किसी भी आतंरिक ऊष्मा अंतरण के लिए बहुत कम प्रवाहकीय प्रतिरोध प्रदान करता है, तो बायोट संख्या 1 से कम होती है। और जब बायोट संख्या छोटे होते हैं तो शरीर के अंदर एक समान तापमान क्षेत्रों के कारण छोटी बायोट संख्या वाली ऊष्मीयत की समस्याएं को सरल करती हैं, क्योंकि यह माना जा सकता है कि वस्तु में स्थानांतरित गर्मी के पास समान रूप से वितरित करने का समय अनुपात होता है। यदि बायोट संख्या 0.1 से कम है, तो पूरी सामग्री लगभग समान तापमान होता है, जिसमें सतह पर प्रमुख तापमान अंतर होगा। इसे ऊष्मीय रूप से पतला माना जा सकता है। उपयोगी रूप से सटीक संकेत और गर्मी हस्तांतरण विश्लेषण के लिए बायोट संख्या आम तौर पर 0.1 से कम होनी चाहिए। स्थानीकृत-प्रणाली संकेत का गणितीय समाधान न्यूटन के शीतलन का नियम देता है।

0.1 से अधिक बायोट संख्या एक ऊष्मीय रूप से मोटा पदार्थ इंगित करता है, बायोट संख्या में विभिन्न प्रकार के अनुप्रयोग हैं, जिसमें क्षणिक गर्मी हस्तांतरण और विस्तारित सतह गर्मी हस्तांतरण गणना में उपयोग शामिल है।

एकल समाई दृष्टिकोण को कई प्रतिरोधक और धारितीय तत्वों को शामिल करने के लिए विस्तारित किया जा सकता है, प्रत्येक गांठ के लिए Bi <0.1 के साथ। चूंकि बायोट संख्या की गणना प्रणाली की एक विशिष्ट लंबाई के आधार पर की जाती है, इसलिए इस प्रणाली को अक्सर पर्याप्त संख्या में वर्गों, या गांठों में तोड़ा जा सकता है, ताकि बायोट संख्या स्वीकार्य रूप से छोटी हो।

ऊष्मीय प्रणाली की कुछ विशिष्ट लंबाई हैं:
 * प्लेट की मोटाई
 * फिन: मोटाई / 2
 * लंबा सिलेंडर (ज्यामिति): व्यास / 4
 * क्षेत्र: व्यास / 6

मनमाना आकार के लिए, विशेषता लंबाई को आयतन / सतह क्षेत्र मानना ​​उपयोगी हो सकता है।

ऊष्मीय विशुद्ध रूप से प्रतिरोधक परिपथ
गर्मी हस्तांतरण अनुप्रयोगों में उपयोग की जाने वाली स्थिर अवस्था मे ऊष्मा चालन की स्थिति तक पहुंच जाती है तो, एक ऊष्मीय परिपथ प्रत्येक तत्व में गर्मी प्रवाह के प्रतिरोध का प्रतिनिधित्व करता है, स्थानांतरित गर्मी विद्युत प्रवाह के अनुरूप होती है और ऊष्मीय प्रतिरोध विद्युत प्रतिरोधी के समान होता है। गर्मी हस्तांतरण के विभिन्न तरीकों के लिए ऊष्मीय प्रतिरोध के मूल्यों की गणना तब विकसित समीकरणों के हर के रूप में की जाती है। ऊष्मीय प्रतिरोधों का उपयोग गर्मी हस्तांतरण के संयुक्त तरीकों के विश्लेषण में किया जाता है। निम्नलिखित विशुद्ध रूप से प्रतिरोधक उदाहरण में धारितीय तत्वों की कमी का मतलब है कि परिपथ का कोई भी भाग ऊर्जा को अवशोषित नहीं कर रहा है या तापमान के वितरण में परिवर्तन नहीं कर रहा है। यह मांग करने के बराबर है कि स्थिर अवस्था ऊष्मा चालन या विकिरण के रूप में स्थानांतरण की स्थिति पहले ही स्थापित हो चुकी है।

तीन गर्मी हस्तांतरण माध्यम और स्थिर अवस्था स्थितियों में उनके ऊष्मीय प्रतिरोधों का वर्णन करने वाले समीकरण, जैसा कि पहले चर्चा की गई है, नीचे दी गई तालिका में संक्षेप हैं:

 

ऐसे मामलों में जहां विभिन्न संचार माध्यम से गर्मी हस्तांतरण होती है, समकक्ष प्रतिरोध उन घटकों के प्रतिरोधों का योग होता है जो संभावित रूप से, ऐसे मामलों में जहां अलग-अलग गर्मी हस्तांतरण के माध्यम से होते हैं, और कुल प्रतिरोध विभिन्न माध्यम के प्रतिरोधों का योग होते है। ऊष्मीय परिपथ अवधारणा का उपयोग करते हुए, किसी भी माध्यम से स्थानांतरित गर्मी की मात्रा तापमान परिवर्तन और माध्यम के कुल ऊष्मीय प्रतिरोध का भागफल होता है।

एक उदाहरण के रूप में, $$A$$ अंतः वर्ग पद्धति क्षेत्र की एक समग्र दीवार पर विचार करें. एक कंपोजिट. $$L_1$$ऊष्मीय गुणांक लंबे सीमेंट प्लास्टर से बना है जिसमें ऊष्मीयगुणांकर $$k_1$$ तथा $$L_2$$ है। $$k_2$$ ऊष्मीय गुणांक के साथ लंबे कागज का फाइबर ग्लास. $$T_i$$दीवार की बाईं सतह पर ह, और $$h_i$$एक संवहनी गुणांक के साथ हवा के संपर्क में. $$T_o$$दीवार की दाहिनी सतह पर है. और $$h_o$$संवहन गुणांक के साथ हवा के संपर्क में होता है।

ऊष्मीय प्रतिरोध अवधारणा का उपयोग करते हुए, समग्र के माध्यम से गर्मी का प्रवाह निम्नानुसार है: $$\dot{Q}=\frac{T_i-T_o}{R_i+R_1+R_2+R_o}=\frac{T_i-T_1}{R_i}=\frac{T_i-T_2}{R_i+R_1}=\frac{T_i-T_3}{R_i+R_1+R_2}=\frac{T_1-T_2}{R_1}=\frac{T_3-T_o}{R_0}$$ कहाँ पे $$R_i=\frac{1}{h_iA}$$, $$R_o=\frac{1}{h_oA}$$, $$R_1=\frac{L_1}{k_1A}$$, तथा $$R_2=\frac{L_2}{k_2A}$$

न्यूटन के शीतलन का नियम
न्यूटन का शीतलन का नियम अंग्रेजी भौतिक विज्ञानी आइजैक न्यूटन (1642 - 1727) के लिए अनुभवजन्य संबंध है। गैर-गणितीय रूप में कहा गया कानून निम्नलिखित है:

किसी पिंड की गर्मी के नुकसान की दर शरीर और उसके आसपास के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है। या, प्रतीकों का उपयोग करते हुए$$\text {Rate of cooling} \sim \Delta T$$ अपने परिवेश से भिन्न तापमान पर एक वस्तु अंततः अपने परिवेश मे सामान्य तापमान पर आ जाएगी। एक अपेक्षाकृत गर्म वस्तु अपने परिवेश को गर्म करने के बाद ठंडी हो जाती है; एक ठंडी वस्तु अपने परिवेश से गर्म होती है। यह देखते हुए कि कितनी जल्दी या धीरे-धीरे कुछ ठंडा होता है, हम इसकी शीतलन दर की बात करते हैं - प्रति इकाई समय में तापमान में कितने डिग्री परिवर्तन होता है।

किसी वस्तु के ठंडा होने की दर इस बात पर निर्भर करती है कि वस्तु अपने परिवेश से कितनी अधिक गर्म है। एक गर्म सेब पाई का तापमान परिवर्तन प्रति मिनट अधिक होगा यदि पाई को ठंडे फ्रीजर में रखा जाता है, तब पाई फ्रीजर में ठंडी हो जाती है, तो उसके और उसके आसपास के तापमान का अंतर अधिक हो जाता है। एक ठंडे दिन में, जब अंदर और बाहर के तापमान में बड़ा अंतर होता है, तो एक गर्म घर अधिक दर से बाहर की ओर गर्मी का रिसाव करेगा। ठंड के दिन घर के अंदर के तापमान को उच्च तापमान पर रखना कम तापमान पर रखने की तुलना में अधिक महंगा होता है। यदि तापमान का अंतर छोटा रखा जाता है, तो शीतलन की दर संगत रूप से कम होगी।

जैसा कि न्यूटन के शीतलन के नियम में कहा गया है, किसी वस्तु के ठंडा होने की दर - चाहे वह तापीय चालन, संवहन गर्मी हस्तांतरण, या तापीय विकिरण द्वारा हो - तापमान अंतर टी के लगभग समानुपाती होती है। जमे हुए भोजन ठंडे कमरे की तुलना में गर्म कमरे में तेजी से गर्म होगा। ध्यान दें कि ठंड के दिन अनुभव की जाने वाली ठंडक की दर हवा के अतिरिक्त संवहन प्रभाव से बढ़ाई जा सकती है। इसे विंड चिल कहा जाता है। उदाहरण के लिए, -20 डिग्री सेल्सियस की हवा की ठंड का मतलब है कि गर्मी उसी दर से हो रही है जैसे कि तापमान -20 डिग्री सेल्सियस हवा के बिना था।

लागू स्थितियां
यह कानून कई स्थितियों का वर्णन करता है जिसमें एक वस्तु की बड़ी तापीय क्षमता और बड़ी चालकता होती है, और अचानक एक समान अपमार्जन अपेक्षाकृत खराब गर्मी का संचालन करती है। यह एक प्रतिरोधक और एक धारितीय तत्व वाले ऊष्मीय परिपथ का एक उदाहरण है। शरीर के अंदर सभी बिंदुओं पर तापमान हर समय बिंदु पर लगभग समान होना चाहिए, जिसमें इसकी सतह का तापमान भी शामिल है। इस प्रकार, शरीर और परिवेश के बीच तापमान का अंतर इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि शरीर के किस हिस्से को चुना गया है, क्योंकि शरीर के सभी हिस्सों का तापमान प्रभावी रूप से समान होता है। इन स्थितियों में, शरीर के अन्य हिस्सों को गर्मी के प्रवाह से बचाने के लिए कार्य नहीं करती है, और स्थिति में गर्मी प्रवाह की दर को नियंत्रित करने वाले सभी महत्वपूर्ण इन्सुलेशन या ऊष्मीय प्रतिरोध शरीर और उसके आसपास संपर्क के क्षेत्र में रहते हैं। इस सीमा के पार, तापमान एक असंतत फैशन में कूदता है।

ऐसी स्थितियों में, गर्मी को शरीर के बाहरी हिस्से से ऊष्मीय प्रतिरोध सीमा के पार, संवहन, चालन या प्रसार द्वारा स्थानांतरित किया जा सकता है, जब तक कि सीमा वस्तु के भीतर अपेक्षाकृत खराब परिचालक के रूप में कार्य करती है। एक भौतिक ऊष्मीय प्रतिरोध की उपस्थिति की आवश्यकता नहीं होती है, जब तक कि शरीर के अंदर गर्मी के प्रवाहकीय हस्तांतरण या रुचि के क्षेत्र के अंदर- ऊपर वर्णित गांठ की तुलना में सीमा के पार गर्मी पारित करने के लिए कार्य करने वाली प्रक्रिया धीमी होती है।

ऐसी स्थिति में, वस्तु धारितीय परिपथ तत्व के रूप में कार्य करती है, और सीमा पर  ऊष्मीय प्रतिरोधी के रूप में कार्य करती है। विद्युत परिपथों में, इस तरह का संयोजन समय में एक साधारण घातीय कानून के अनुसार, इनपुट वोल्टेज की ओर चार्ज या डिस्चार्ज होता है।  ऊष्मीय परिपथ में, कंप्यूटर की व्यवस्था का प्रारूप के परिणामस्वरूप तापमान में समान व्यवहार होता है: वस्तु तापमान का अपमार्जन तापमान के लिए एक घातीय दृष्टिकोण होता है ।

गणितीय कथन
न्यूटन का नियम गणितीय रूप से सरल प्रथम-क्रम अंतर समीकरण द्वारा कहा गया है: $$ \frac{d Q}{d t} = - h \cdot A(T(t)- T_{\text{env}}) = - h \cdot A \Delta T(t)$$ कहाँ पे
 * क्यू जूल में तापीय ऊर्जा है
 * एच सतह और द्रव के बीच गर्मी हस्तांतरण गुणांक है
 * ए स्थानांतरित की जा रही गर्मी का सतह क्षेत्र है
 * T वस्तु की सतह और आंतरिक तापमान है (चूंकि ये इस संकेत में समान हैं)
 * टीenv पर्यावरण का तापमान है
 * Δटी(टी) = टी(टी) - टीenv पर्यावरण और वस्तु के बीच समय पर निर्भर तापीय प्रवणता है

इस रूप में ऊष्मा स्थानान्तरण करना कभी-कभी बहुत अच्छा संकेत नहीं होता है, जो प्रणाली में ऊष्मा चालन के अनुपात पर निर्भर करता है। यदि अंतर बड़े नहीं हैं, तो प्रणाली में गर्मी हस्तांतरण के सटीक फॉर्मूलेशन के लिए गैर-समरूप या खराब प्रवाहकीय मीडिया में (क्षणिक) गर्मी हस्तांतरण समीकरण के आधार पर गर्मी प्रवाह के विश्लेषण की आवश्यकता हो सकती है।

वस्तु ताप क्षमता के संदर्भ में समाधान
यदि पूरे शरीर को कुल ताप सामग्री के साथ गांठ-समाई ताप जलाशय के रूप में माना जाता है, जो साधारण कुल ताप क्षमता के समानुपाती होता है $$C$$, तथा $$T$$, शरीर का तापमान, या $$Q = C T$$. यह उम्मीद की जाती है कि प्रणाली शरीर के तापमान में समय के साथ घातीय क्षय का अनुभव करेगा।

ताप क्षमता की परिभाषा का $$C$$ से संबंध है $$C = dQ/dT$$. समय के संबंध में इस समीकरण को अलग करने से पहचान मिलती है (जब तक वस्तु में तापमान किसी भी समय एक समान होता है): $$dQ/dt  = C (dT/dt)$$. इस अभिव्यक्ति का उपयोग प्रतिस्थापित करने के लिए किया जा सकता है $$dQ/dt$$ इस खंड को शुरू करने वाले पहले समीकरण मे होता है । तो अगर $$T(t)$$ समय पर ऐसे शरीर का तापमान है $$t$$, तथा $$T_\text{env}$$ शरीर के चारों ओर के वातावरण का तापमान है: $$ \frac{d T(t)}{d t} = - r (T(t) - T_{\text{env}}) = - r \Delta T(t) $$ कहाँ पे $$r = hA/C$$ प्रणाली एक सकारात्मक स्थिर विशेषता है, जो की इकाइयों में होनी चाहिए $$s^{-1}$$, और इसलिए कभी-कभी एक विशिष्ट समय स्थिरांक के रूप में व्यक्त किया जाता है $$t_0$$ के द्वारा दिया गया: $$t_0 = 1/r = -\Delta T(t)/(dT(t)/dt)$$. इस प्रकार, ऊष्मीय प्रणाली में, $$t_0 = C/hA$$. (कुल ताप क्षमता $$C$$ किसी प्रणाली की द्रव्यमान-विशिष्ट ताप क्षमता द्वारा और अधिक प्रतिनिधित्व किया जा सकता है $$c_p$$ इसके द्रव्यमान से गुणा किया जाता है $$m$$, ताकि समय स्थिर रहे $$t_0$$ द्वारा भी दिया जाता है $$mc_p/hA$$)

सीमा शर्तों के एकीकरण और प्रतिस्थापन के मानक तरीकों से इस अंतर समीकरण का समाधान देता है: $$ T(t) = T_{\mathrm{env}} + (T(0) - T_{\mathrm{env}}) \ e^{-r t}. $$ यदि:


 * $$ \Delta T(t) \quad $$ की तरह परिभाषित किया गया है : $$ T(t) - T_{\mathrm{env}} \, \quad $$ कहाँ पे $$ \Delta T(0)\quad $$ समय 0 पर प्रारंभिक तापमान अंतर है,

तब न्यूटनियन समाधान इस प्रकार लिखा जाता है: $$ \Delta T(t) = \Delta T(0) \ e^{-r t} = \Delta T(0) \ e^{-t/t_0}. $$ यदि प्रारंभिक अवकल समीकरण को के पदों में लिखा जाए तो यही समाधान लगभग तुरंत दिखाई देता है $$\Delta T(t)$$, के लिए हल किए जाने वाले एकल फ़ंक्शन के रूप में। $$ \frac{d T(t)}{d t} = \frac{d \Delta T(t)}{d t} = - \frac{1}{t_0} \Delta T(t) $$

आवेदन
विश्लेषण की इस विधा को मनुष्यों की मृत्यु के समय को विश्लेषण करने के लिए फोरेंसिक विज्ञान पर लागू किया गया है। इसके अलावा, इसे एचवीएसी (ताप, हवादार और वातानुकूलन, जिसे निर्माण जलवायु नियंत्रण करके लागू किया जा सकता है, ताकि आराम स्तर समायोजन में बदलाव करके लगभग तात्कालिक प्रभावों को सुनिश्चित किया जा सके।

यांत्रिक प्रणाली
इस कार्यक्षेत्र में सरलीकृत धारणाएं हैं:
 * सभी वस्तुएं कठोर शरीर हैं;
 * कठोर पिंडों के बीच सभी अंतःक्रियाएं गतिज युग्मों, उपकरण और पानी का छींटा के माध्यम से होती हैं।

ध्वनिकी
इस संदर्भ में, स्थानीकृत-घटक नमूना संकेत के अधीन ध्वनिक सिद्धांत की वितरित अवधारणाओं का विस्तार करता है। ध्वनिक स्थानीकृत-घटक मॉडल में, ध्वनिक गुणों वाले कुछ भौतिक घटकों को मानक विद्युतीय घटकों के सरल संयोजनों के समान व्यवहार करने के रूप में अनुमानित किया जा सकता है।


 * एक कठोर दीवार वाली गुहा जिसमें हवा या समान संपीड़ित द्रव होती है, को एक संधारित्र के रूप में अनुमानित किया जा सकता है जिसका मूल्य गुहा के आयतन के समानुपाती होता है। इस संकेत की वैधता गुहा के सबसे लंबे आयाम की तुलना में ब्याज की सबसे छोटी तरंग दैर्ध्य पर काफी बड़ी होने पर निर्भर करती है।
 * एक प्रतिवर्त बंदरगाह को एक प्रारंभ करनेवाले के रूप में अनुमानित किया जा सकता है जिसका मूल्य उसके पार-अनुभागीय क्षेत्र से विभाजित बंदरगाह की प्रभावी लंबाई के समानुपाती होता है। यह संकेत ब्याज की सबसे छोटी तरंगदैर्घ्य पर निर्भर करता है जो बंदरगाह के सबसे लंबे आयाम से काफी बड़ा होता है।
 * कुछ प्रकार की भिगोना सामग्री को एक रोकनेवाला के रूप में अनुमानित किया जा सकता है। मूल्य सामग्री के गुणों और आयामों पर निर्भर करता है। संकेत तरंग दैर्ध्य में काफी लंबे समय तक और सामग्री के गुणों पर निर्भर करता है।
 * एक लाउडस्पीकर ड्राइव यूनिट सामान्यतः एक वूफर या सबवूफर ड्राइव इकाई को शून्य-विद्युत प्रतिबाधा वोल्टेज स्रोत, एक रोकनेवाला, एक संधारित्र और एक प्रारंभ करनेवाला के श्रृंखला संयोजन के रूप में अनुमानित किया जा सकता है। मान इकाई के विनिर्देशों और ब्याज की तरंग दैर्ध्य पर निर्भर करते हैं।

इमारतों के लिए गर्मी हस्तांतरण
इस क्षेत्र में एक सरल धारणा यह है कि सभी गर्मी हस्तांतरण तंत्र रैखिक हैं, जिसका अर्थ है कि विकिरण और संवहन प्रत्येक समस्या के लिए रैखिक हैं।

कई प्रकाशन मिल सकते हैं जो वर्णन करते हैं कि इमारतों के स्थानीकृत-तत्व मॉडल कैसे उत्पन्न करें। ज्यादातर मामलों में, इमारत को एकल ऊष्मीय ज़ोन माना जाता है और इस मामले में, बहु-स्तरित दीवारों को ढेलेदार तत्वों में बदलना मॉडल के निर्माण में सबसे जटिल कार्यों में से एक हो सकता है। प्रमुख-परत विधि एक सरल और यथोचित सटीक विधि है। इस पद्धति में, परतों में से एक को पूरे निर्माण में प्रमुख परत के रूप में चुना जाता है, इस परत को समस्या की सबसे प्रासंगिक आवृत्तियों को देखते हुए चुना जाता है। उनकी थीसिस में, विभिन्न भविष्य के मौसम परिदृश्यों के तहत कई अनुकरण  चलाकर, घरेलू ऊर्जा प्रणालियों की दक्षता का मूल्यांकन करने के लिए इमारतों के स्थानीकृत-तत्व मॉडल का भी उपयोग किया गया है।

द्रव प्रणाली
प्रवाह का प्रतिनिधित्व करने के लिए दबाव और धारा का वोल्टेज का उपयोग करके द्रव प्रणालियों का वर्णन करने के लिए स्थानीकृत-तत्व नमूना का उपयोग किया जा सकता है; विद्युत परिपथ प्रतिनिधित्व से समान समीकरण इन दो चरों को प्रतिस्थापित करने के बाद मान्य होते हैं। ऐसे अनुप्रयोग, उदाहरण के लिए, निलय सहायता उपकरण आरोपण के लिए मानव हृदय प्रणाली की प्रतिक्रिया का अध्ययन कर सकते हैं।

यह भी देखें

 * आइसोमोर्फिज्म#प्रणाली आइसोमोर्फिज्म
 * मॉडल ऑर्डर में कमी

बाहरी संबंध

 * Advanced modelling and simulation techniques for magnetic components
 * IMTEK Mathematica Supplement (IMS), the Open Source IMTEK Mathematica Supplement (IMS) for lumped modelling