बेल्ट्रामी प्रवाह

तरल गतिकी में, बेल्ट्रामी प्रवाह वे प्रवाह होते हैं जिनमें आवर्त सदिश $$\mathbf{\omega}$$ और वेग सदिश $$\mathbf{v}$$ एक दूसरे के समानांतर हैं। दूसरे शब्दों में, बेल्ट्रामी प्रवाह एक ऐसा प्रवाह है जहां लैम्ब सदिश शून्य है। बेल्ट्रामी सदिश क्षेत्र की व्युत्पत्ति के कारण इसका नाम इतालवी गणितज्ञ यूजेनियो बेल्ट्रामी के नाम पर रखा गया है, जबकि द्रव गतिकी में प्रारंभिक विकास 1881 में रूसी वैज्ञानिक इप्पोलिट एस. ग्रोमेका द्वारा किया गया था।

विवरण
चूँकि भ्रमिलता सदिश $$\boldsymbol{\omega}$$ और वेग सदिश $$\mathbf{v}$$ एक दूसरे के समानांतर हैं, हम लिख सकते हैं


 * $$\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}=0, \quad \boldsymbol{\omega} = \alpha(\mathbf{x},t) \mathbf{v},$$

जहाँ $$\alpha(\mathbf{x},t)$$ कुछ अदिश फलन है। बेल्ट्रामी प्रवाह का एक तात्कालिक परिणाम यह है कि यह कभी भी एक समतल या अक्षसममितीय प्रवाह नहीं हो सकता क्योंकि उन प्रवाहों में, भ्रमिलता हमेशा वेग क्षेत्र के लंबवत होती है। दूसरे महत्वपूर्ण परिणाम का संपादन असंपीड्य भ्रमिलता समीकरण को देखकर होगा


 * $$\frac{\partial \boldsymbol{\omega}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)\boldsymbol{\omega} - (\boldsymbol{\omega}\cdot\nabla) \mathbf{v}= \nu \nabla^2\boldsymbol{\omega} + \nabla\times f,$$

जहाँ $$\mathbf{f}$$ एक बाहरी निकाय बल है जैसे गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र, विद्युत क्षेत्र आदि, और $$\nu$$ गतिज श्यानता है। चूँकि $$\boldsymbol{\omega}$$ और $$\mathbf{v}$$ समानांतर हैं, उपरोक्त समीकरण में गैर-रैखिक पद समान रूप से शून्य $$(\mathbf{v}\cdot\nabla)\boldsymbol{\omega} =(\boldsymbol{\omega}\cdot\nabla) \mathbf{v}=0$$ हैं।  इस प्रकार बेल्ट्रामी प्रवाह रैखिक समीकरण को संतुष्ट करता है


 * $$\frac{\partial \boldsymbol{\omega}}{\partial t} = \nu \nabla^2\boldsymbol{\omega} + \nabla\times f.$$

जब $$\mathbf{f}=0$$, भ्रमिलता के घटक एक साधारण ताप समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

ट्रैकलियन प्रवाह
विक्टर ट्रकल ने 1919 में अदिश फलन $$\alpha(\mathbf{x},t)=c=\text{constant}$$ बेके लिए बिना किसी बाहरी ताकत के बेल्ट्रामी प्रवाह पर विचार किया, अर्थात,


 * $$\frac{\partial \boldsymbol{\omega}}{\partial t} = \nu \nabla^2\boldsymbol{\omega}, \quad \boldsymbol{\omega} = c \mathbf{v}.$$

चरों के निम्नलिखित पृथक्करण का परिचय दें


 * $$\mathbf{v} = e^{-c^2\nu t} \mathbf{g}(\mathbf{x}),$$

तब समीकरण $$\mathbf{g}(\mathbf{x})$$ से संतुष्ट बन जाता है


 * $$\nabla \times \mathbf{g} = c\mathbf{g}.$$

चन्द्रशेखर-केंडल फलन इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

बर्कर का समाधान

 * रैटिप बर्कर ने 1963 में $$\mathbf{g}(\mathbf{x})$$ के लिए कार्टेशियन निर्देशांक में समाधान प्राप्त किया,


 * $$\mathbf{g} =

\cos\left(\frac{cx}{\sqrt 2}\right) \sin\left(\frac{cy}{\sqrt 2}\right) \left[-\frac{1}{\sqrt 2} \mathbf{e_x} + \frac{1}{\sqrt 2} \mathbf{e_y} + \mathbf{e_z}\right]. $$

सामान्यीकृत बेल्ट्रामी प्रवाह
सामान्यीकृत बेल्ट्रामी प्रवाह स्थिति को संतुष्ट करता है
 * $$\nabla\times(\mathbf{v}\times\boldsymbol{\omega})=0$$

जो बेल्ट्रामी शर्त $$\mathbf{v}\times\boldsymbol{\omega}=0$$ से कम प्रतिबंधात्मक है। सामान्य बेल्ट्रामी प्रवाह के विपरीत, सामान्यीकृत बेल्ट्रामी प्रवाह का अध्ययन समतल और अक्षीय प्रवाह के लिए किया जा सकता है।

स्थिर तलीय प्रवाह
स्थिर सामान्यीकृत बेल्ट्रामी प्रवाह के लिए, हमारे पास $$\nabla^2\boldsymbol{\omega}=0,\ \nabla\times(\mathbf{v}\times\boldsymbol{\omega})=0$$ है और चूँकि यह समतलीय भी है इसलिए हमारे पास $$\mathbf{v}=(u,v,0),\ \boldsymbol{\omega}=(0,0,\zeta)$$ है। स्ट्रीम फलन का परिचय दें


 * $$u = \frac{\partial\psi}{\partial y}, \quad v = -\frac{\partial\psi}{\partial x}, \quad \Rightarrow \quad \nabla^2\psi = - \zeta.$$

$$\nabla\times(\mathbf{v}\times\boldsymbol{\omega})=0$$ का एकीकरण $$\zeta=-f(\psi)$$ देता है। इसलिए, पूर्ण समाधान संभव है यदि यह निम्नलिखित तीनों समीकरणों को संतुष्ट करता है


 * $$\nabla^2\psi = -\zeta, \quad \nabla^2\zeta =0, \quad \zeta = -f(\psi).$$

एक विशेष स्थिति पर विचार किया जाता है जब प्रवाह क्षेत्र में एक समान भ्रमिलता $$f(\psi)=C=\text{constant}$$ होता है। वांग (1991) के रूप में सामान्यीकृत समाधान इस प्रकार दिया


 * $$\zeta = \psi + A(x,y), \quad A(x,y) = ax + by$$

$$A(x,y)$$ के लिए एक रैखिक फलन मानकर दिया। इसे भ्रमिलता समीकरण में प्रतिस्थापित करने और अलग-अलग स्थिरांक $$\lambda^2$$ के साथ चर $$\psi(x,y)=X(x)Y(y)$$ के पृथक्करण का परिचय देने पर परिणाम प्राप्त होता है


 * $$\frac{d^2X}{dx^2} + \frac{b}{\nu} \frac{dX}{dx} - \lambda^2 X =0, \quad \frac{d^2Y}{dy^2} - \frac{a}{\nu} \frac{dY}{dy} + \lambda^2 Y =0.$$

$$a,\ b,\ \lambda$$ के विभिन्न विकल्पों के लिए प्राप्त समाधान अलग-अलग तरह से व्याख्या की जा सकती है, उदाहरण के लिए, $$a=0, \ b = -U, \lambda^2>0$$ एक समान ग्रिड के को दर्शाता है, $$a=-U, \ b = 0, \lambda^2=0$$ एक विस्तारण प्लेट द्वारा निर्मित प्रवाह का प्रतिनिधित्व करता है, $$a=-U, \ b = U, \lambda^2=0$$ एक कोने में प्रवाह का प्रतिनिधित्व करता है, $$a=-V, \ b = -U, \lambda^2=0$$ एक अनंतस्पर्शी सक्शन प्रोफ़ाइल आदि का प्रतिनिधित्व करता है।

अस्थिर तलीय प्रवाह
यहाँ,

\nabla^2\psi = -\zeta,\quad \frac{\partial \zeta}{\partial t} = \nabla^2\zeta,\quad \zeta = - f(\psi, t) $$.

टेलर की क्षयकारी भ्रमिलता
जी. आई. टेलर ने 1923 में एक विशेष स्थिति का समाधान दिया जहां $$\zeta = K\psi$$, जहां $$K$$ में एक स्थिरांक है। उसने दिखाया कि पृथक्करण $$\psi = e^{-\nu\lambda t} \Psi(x,y)$$ समीकरण को भी संतुष्ट करता है


 * $$\nabla^2 \Psi = - \lambda\Psi.$$

टेलर ने एक उदाहरण पर भी विचार किया, विपरीत दिशाओं में वैकल्पिक रूप से घूमते हुए और एक आयताकार सरणी में व्यवस्थित आवर्त की एक क्षयकारी प्रणाली


 * $$\Psi = A \cos \frac{\pi x}{d}\cos \frac{\pi y}{d}$$

जो उपरोक्त समीकरण को $$\lambda=2\pi^2/d^2$$ के साथ संतुष्ट करता है, जहां $$d$$ एक आवर्त द्वारा बनाए गए वर्ग की लंबाई है। इसलिए, भँवरों की यह प्रणाली क्षय के रूप में समाप्त हो जाती है


 * $$\psi = A \cos\left(\frac{\pi x}{d}\right)\cos\left(\frac{\pi y}{d}\right) e^{-\frac{2\pi^2}{d^2}\nu t}.$$

ओ. वॉल्श ने 1992 में टेलर के एड़ी समाधान का सामान्यीकरण किया। वॉल्श का समाधान $$\mathbf{v}=e^{-\nu\lambda t}\mathbf{u}(x,y)$$ के रूप का है, जहां, $$\nabla^2 \mathbf{u}=-\lambda\mathbf{u}$$ और $$\nabla\cdot\mathbf{u}=0$$ है।

स्थिर अक्षसममितीय प्रवाह
यहां हमारे पास $$\mathbf{v} = \left(u_r, 0, u_z\right),\ \boldsymbol{\omega} = (0, \zeta,0)$$है। $$\nabla\times(\mathbf{v}\times\boldsymbol{\omega}) = 0$$ का एकीकरण $$\zeta = rf(\psi)$$ देता है और तीन समीकरण हैं


 * $$\frac{\partial}{\partial r} \left(\frac{1}{r} \frac{\partial \psi}{\partial z}\right) + \frac{1}{r} \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} = -\zeta, \quad \nabla^2\zeta = 0, \quad \zeta = rf(\psi)$$

पहला समीकरण हिक्स समीकरण है। मैरिस और असवानी (1977) ने दिखाया कि एकमात्र संभावित समाधान है $$f(\psi)=C=\text{constant}$$ और शेष समीकरण कम हो जाते हैं


 * $$\frac{\partial^2 \psi}{\partial r^2} - \frac{1}{r} \frac{\partial \psi}{\partial r} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}  + C r^2 =0$$

उपरोक्त समीकरण के समाधान का एक सरल समुच्चय है


 * $$\psi(r, z) = c_1 r^4 + c_2 r^2 z^2 + c_3 r^2 + c_4 r^2 z + c_5 \left(r^6 - 12r^4 z^2 + 8r^2 z^4\right), \quad C = -\left(8c_1 + 2c_2\right)$$

$$c_1, c_4 \neq 0,\ c_2, c_3, c_5 = 0$$ एक परवलयिक सतह पर दो विपरीत घूर्णी धारा के कारण प्रवाह का प्रतिनिधित्व करता है, $$c_2 \neq 0, c_1, c_3, c_4, c_5 = 0$$ समतल दीवार पर घूर्णी प्रवाह का प्रतिनिधित्व करता है, $$c_1, c_2, c_3 \neq 0,\ c_4, c_5 = 0$$ एक प्रवाह दीर्घवृत्ताकार भ्रमिलता का प्रतिनिधित्व करता है (विशेष स्थिति - हिल की गोलाकार भ्रमिलता), $$c_1, c_3, c_5 \neq 0,\ c_2, c_4 = 0$$ एक प्रकार के टॉरॉयडल भ्रमिलता आदि का प्रतिनिधित्व करता है।

$$C=0$$ के लिए सजातीय समाधान जैसा कि बर्कर द्वारा दिखाया गया है
 * $$\psi = r\left[A_k J_1(kr) + B_k Y_1(kr)\right]\left(C_k e^{kz} + D_k e^{-kz}\right)$$

जहां $$J_1(kr), Y_1(kr)$$ जैसा कि बर्कर द्वारा दिखाया गया है, क्रमशः पहले प्रकार का बेसेल फलन और दूसरे प्रकार का बेसेल फलन है। उपरोक्त समाधान का एक विशेष मामला दीवारों पर वाष्पोत्सर्जन वेग के साथ बेलनाकार ज्यामिति के लिए पॉइज़ुइल प्रवाह है। चिया-शुन यिह ने 1958 में हेगन-पॉइज़ुइल समीकरण के लिए एक सिंक में एक समाधान खोजा जब $$C = 2,\, c_1 = -1/4,\, c_3 = 1/2,\, c_2 = c_4 = c_5 = B_k = C_k = 0$$.

द्रव यांत्रिकी में बेल्ट्रामी प्रवाह
बेल्ट्रामी फ़ील्ड यूलर समीकरणों (द्रव गतिशीलता) का एक चिरसम्मत स्थिर समाधान हैं। बेल्ट्रामी क्षेत्र संतुलन में (आदर्श) द्रव यांत्रिकी में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, क्योंकि जटिलता केवल इन क्षेत्रों के लिए अपेक्षित है।

यह भी देखें

 * ग्रोमेका-अर्नोल्ड-बेल्ट्रामी-चाइल्ड्रेस (जीएबीसी) प्रवाह