क्वांटाइज्ड अवस्था प्रणाली विधि

क्वांटाइज्ड स्टेट सिस्टम (क्यूएसएस) विधियां संख्यात्मक एकीकरण सॉल्वरों का एक वर्ग हैं जो स्टेट क्वांटाइजेशन के विचार पर आधारित हैं, जो समय ड्यूल के पारंपरिक विचार के दोहरे (गणित) हैं। सामान्य अंतर समीकरणों के लिए पारंपरिक संख्यात्मक विधियों के विपरीत,है जो विवेकाधीन समय द्वारा समस्या का समाधान करते हैं और प्रत्येक क्रमिक समय चरण पर अगली (वास्तविक-मूल्यवान) स्थिति को हल करते हैं, क्यूएसएस विधियां समय को एक निरंतर इकाई के रूप में रखती हैं और इसके अतिरिक्त सिस्टम की स्थिति को क्वांटाइज़ेशन (सिग्नल प्रोसेसिंग) करती हैं, इसके अतिरिक्त समय को हल करती हैं जिस पर स्टेट क्वांटम द्वारा अपने परिमाणित मूल्य से विचलित हो जाता है।

मौलिक एल्गोरिदम की तुलना में उनके कई लाभ भी हो सकते हैं। वे स्वाभाविक रूप से अपनी असतत-घटना प्रकृति और अतुल्यकालिक प्रकृति के कारण सिस्टम में मॉडलिंग असंतुलन की अनुमति देते हैं। वे स्पष्ट एल्गोरिदम का उपयोग करके स्पष्ट रूट-खोज और शून्य-क्रॉसिंग का पता लगाने की भी अनुमति देते हैं, पुनरावृत्ति की आवश्यकता से बचते हैं - एक तथ्य जो कठोर प्रणालियों के स्थिति में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, जहां पारंपरिक समय-चरण विधियों को अगले सिस्टम स्टेट के लिए अंतर्निहित रूप से हल करने की आवश्यकता के कारण भारी कम्प्यूटेशनल पेनल्टी की आवश्यकता होती है। अंत में, क्यूएसएस विधियां नीचे वर्णित उल्लेखनीय वैश्विक स्थिरता और त्रुटि सीमाओं को संतुष्ट करती हैं, जो मौलिक समाधान तकनीकों से संतुष्ट नहीं हैं।

उनकी प्रकृति से, क्यूएसएस विधियों को पारंपरिक विधि के विपरीत, डीईवीएस औपचारिकता, गणना का एक अलग-घटना मॉडल द्वारा बड़े करीने से तैयार किया जाता है, जो निरंतर-समय प्रणाली के अलग-अलग-समय मॉडल बनाते हैं। इसलिए उन्हें ऐसे असतत-घटना प्रणालियों के लिए एक सिमुलेशन इंजन, [पॉवरडीईवीएस] में प्रयुक्त किया गया है।

सैद्धांतिक गुण
2001 में, अर्नेस्टो कॉफ़मैन ने क्वांटाइज़्ड-स्टेट सिस्टम सिमुलेशन विधि की एक उल्लेखनीय संपत्ति सिद्ध की: अर्थात्, जब तकनीक का उपयोग एक स्थिर रैखिक समय-अपरिवर्तनीय (एलटीआई) प्रणाली को हल करने के लिए किया जाता है, तो वैश्विक त्रुटि एक स्थिरांक से बंधी होती है जो क्वांटम के लिए आनुपातिक है, किंतु (महत्वपूर्ण रूप से) सिमुलेशन की अवधि से स्वतंत्र है। अधिक विशेष रूप से, स्टेट -संक्रमण आव्यूह $$A $$ और इनपुट आव्यूह $$B$$ के साथ एक स्थिर बहुआयामी एलटीआई प्रणाली के लिए, यह [सीके06] में दिखाया गया था कि पूर्ण त्रुटि सदिश $$\vec{e}(t)$$ ऊपर से घिरा हुआ है



\left| \vec{e}(t) \right| \leq \left| V \right|\ \left| \Re\left(\Lambda\right)^{-1} \Lambda \right|\ \left| V^{-1} \right|\ \Delta\vec{Q} + \left| V \right|\ \left| \Re\left(\Lambda\right)^{-1} V^{-1} B \right|\ \Delta\vec{u}$$ जहां $$\Delta\vec{Q}$$ स्टेट क्वांटा का सदिश है, $$\Delta\vec{u}$$ इनपुट सिग्नल में अपनाए गए क्वांटा वाला सदिश है,$$V \Lambda V^{-1} = A$$, $$A$$का ईगेंडेकंपोजिशन या जॉर्डन कैनोनिकल रूप है, और$$\left|\,\cdot\,\right|$$ अवयव -वाइज निरपेक्ष मूल्य ऑपरेटर को दर्शाता है (निर्धारक या मानक के साथ अस्पष्ट न हों)।

यह ध्यान देने योग्य है कि यह उल्लेखनीय त्रुटि बाध्यता एक मूल्य पर आती है: एक स्थिर एलटीआई प्रणाली के लिए वैश्विक त्रुटि भी, एक अर्थ में, क्वांटम द्वारा ही सीमित होती है, कम से कम प्रथम-क्रम क्यूएसएस1 विधि के लिए ऐसा इसलिए है, क्योंकि जब तक सन्निकटन बिल्कुल सही मान (एक घटना जो लगभग निश्चित रूप से घटित नहीं होगी) के साथ मेल नहीं खाता है, यह बस संतुलन के चारों ओर दोलन करता रहेगा, क्योंकि स्टेट सदैव (परिभाषा के अनुसार) संतुलन के बाहर ठीक एक क्वांटम द्वारा बदलने की आश्वासन देता है। इस स्थिति से बचने के लिए पारंपरिक असतत समय सिमुलेशन एल्गोरिदम में अनुकूली चरणबद्ध विधियों के अनुरूप क्वांटम को गतिशील रूप से कम करने के लिए एक विश्वसनीय तकनीक खोजने की आवश्यकता होगी।

प्रथम-क्रम क्यूएसएस विधि - क्यूएसएस1
प्रारंभिक मूल्य समस्या को निम्नानुसार निर्दिष्ट किया जाता है।


 * $$ \dot{x}(t) = f(x(t), t), \quad x(t_0) = x_0. $$

प्रथम-क्रम क्यूएसएस विधि, जिसे क्यूएसएस1 के रूप में जाना जाता है, उपरोक्त प्रणाली का अनुमान लगाती है


 * $$ \dot{x}(t) = f(q(t), t), \quad q(t_0) = x_0. $$

जहाँ $$x$$ और $$q$$ हिस्टैरिसीस परिमाणीकरण फलन द्वारा संबंधित हैं


 * $$q(t) = \begin{cases}x(t) & \text{if } \left|x(t) - q(t^{-})\right| \geq \Delta Q \\ q(t^{-}) & \text{otherwise}\end{cases}$$

जहाँ $$\Delta Q$$ को क्वांटम कहा जाता है। ध्यान दें कि यह परिमाणीकरण फलन हिस्टेरेटिक है क्योंकि इसमें मेमोरी है: इसका आउटपुट न केवल वर्तमान स्थिति $$x(t)$$ का एक फलन है, किंतु यह इसके पुराने मान $$q(t^{-})$$ पर भी निर्भर करता है।

इसलिए यह सूत्रीकरण टुकडो स्थिर फलन, $$q(t)$$ द्वारा स्टेट `का अनुमान लगाता है, जो कि जैसे ही स्टेट `इस सन्निकटन से एक क्वांटम से विचलित होता है, उसके मूल्य को अपडेट कर देता है।

इस प्रणाली का बहुआयामी सूत्रीकरण लगभग उपरोक्त एकल-आयामी सूत्रीकरण के समान है: $$k^\text{th}$$ परिमाणित अवस्था $$q_k(t)$$ इसकी संबंधित अवस्था, $$x_k(t)$$ का एक कार्य है, और स्टेट सदिश $$\vec{x}(t)$$ संपूर्ण परिमाणित अवस्था सदिश $$\vec{x}(t)$$ का एक कार्य है।


 * $$\vec{x}(t) = f(\vec{q}(t), t)$$

उच्च-क्रम क्यूएसएस विधियाँ - क्यूएसएस2 और क्यूएसएस3
दूसरे क्रम की क्यूएसएस विधि, क्यूएसएस2, क्यूएसएस1 के समान सिद्धांत का पालन करती है, अतिरिक्त इसके कि यह $$q(t)$$ को प्रक्षेपवक्र $$x(t)$$ के टुकड़े-टुकड़े रैखिक सन्निकटन के रूप में परिभाषित करती है जो कि जैसे ही दोनों एक-दूसरे से एक क्वांटम से भिन्न होते हैं, अपने प्रक्षेपवक्र को अपडेट कर देता है। पैटर्न उच्च-क्रम सन्निकटन के लिए जारी रहता है, जो परिमाणित अवस्था $$q(t)$$ को सिस्टम की स्थिति के क्रमिक रूप से उच्च-क्रम बहुपद सन्निकटन के रूप में परिभाषित करता है।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि, जबकि सैद्धांतिक रूप से इच्छित रूप से क्रम की एक क्यूएसएस विधि का उपयोग निरंतर समय प्रणाली को मॉडल करने के लिए किया जा सकता है, चार से अधिक ऑर्डर के विधियों का उपयोग करना संभवतः ही वांछनीय है, क्योंकि एबेल-रफिनी प्रमेय का तात्पर्य है कि अगले परिमाणीकरण का समय, $$t$$, (सामान्य रूप से) बीजगणितीय समाधान के लिए स्पष्ट और अंतर्निहित तरीके नहीं हो सकते हैं जब बहुपद सन्निकटन चार से अधिक डिग्री का होता है, और इसलिए इसे रूट-फाइंडिंग एल्गोरिदम का उपयोग करके पुनरावृत्त रूप से अनुमानित किया जाना चाहिए। वास्तव में, क्यूएसएस2 या क्यूएसएस3  कई समस्याओं के लिए पर्याप्त सिद्ध होता है और उच्च-क्रम विधियों के उपयोग से बहुत कम यदि कोई हो अतिरिक्त लाभ होता है।

सॉफ़्टवेयर कार्यान्वयन
क्यूएसएस विधियों को एक अलग घटना प्रणाली के रूप में कार्यान्वित किया जा सकता है और किसी भी डीईवीएस सिम्युलेटर में सिम्युलेटेड किया जा सकता है।

क्यूएसएस विधियाँ पावरडीईवीएस[BK011] सॉफ़्टवेयर के लिए मुख्य संख्यात्मक सॉल्वर का निर्माण करती हैं। इन्हें स्टैंड-अलोन संस्करण के रूप में भी प्रयुक्त किया गया है।

संदर्भ

 * [CK06]
 * [BK11]

बाहरी संबंध

 * Stand-alone implementation of क्यूएसएस Methods
 * PowerDEVS at SourceForge