मापने योग्य स्थान

गणित में, मापने योग्य स्थान या बोरेल स्थान माप सिद्धांत में एक मूल वस्तु है। इसमें समुच्चय (गणित) और सिग्मा-बीजगणित σ-बीजगणित होता है, जो मापे जाने वाले उपसमुच्चय को परिभाषित करता है।

परिभाषा
समुच्चय पर विचार करें $$X$$ और सिग्मा-बीजगणित σ-बीजगणित $$\mathcal A$$ पर $$X.$$ फिर टपल $$(X, \mathcal A)$$ मापने योग्य स्थान कहा जाता है।

ध्यान दें कि एक माप स्थान के विपरीत, मापने योग्य स्थान के लिए कोई माप (गणित) की आवश्यकता नहीं है।

उदाहरण
समुच्चय पर नजर: $$X = \{1,2,3\}.$$ एक संभव $$\sigma$$-बीजगणित होगा: $$\mathcal A_1 = \{X, \varnothing\}.$$ तब $$\left(X, \mathcal A_1\right)$$ मापने योग्य स्थान है। एक और संभव $$\sigma$$-बीजगणित पर स्थापित घात समुच्चय होगी $$X$$: $$\mathcal A_2 = \mathcal P(X).$$ इसके साथ ही समुच्चय पर दूसरा मापनीय स्थान $$X$$ द्वारा दिया गया है $$\left(X, \mathcal A_2\right).$$

सामान्य मापने योग्य स्थान
अगर $$X$$ परिमित या गणनीय रूप से अनंत है, $$\sigma$$-बीजगणित सबसे अधिक बार होता है घात समुच्चय है $$X,$$ इसलिए $$\mathcal A = \mathcal P(X).$$ यह मापने योग्य स्थान की ओर जाता है $$(X, \mathcal P(X)).$$

अगर $$X$$ टोपोलॉजिकल स्पेस है, द $$\sigma$$-बीजगणित सामान्यतः बोरेल सिग्मा बीजगणित है| बोरेल $$\sigma$$-बीजगणित $$\mathcal B,$$ इसलिए $$\mathcal A = \mathcal B(X).$$ यह मापने योग्य स्थान की ओर जाता है $$(X, \mathcal B(X))$$ यह सभी टोपोलॉजिकल स्पेस जैसे कि वास्तविक संख्या के लिए सामान्य है $$\R.$$

बोरेल रिक्त स्थान के साथ अस्पष्टता
बोरेल स्पेस शब्द का प्रयोग विभिन्न प्रकार के मापने योग्य स्थानों के लिए किया जाता है। यह संदर्भित कर सकता है
 * कोई भी मापने योग्य स्थान, इसलिए यह ऊपर परिभाषित अनुसार मापने योग्य स्थान का पर्याय है * एक औसत दर्जे का स्थान जो बोरेल समरूपता है वास्तविक संख्याओं के एक औसत दर्जे का उपसमुच्चय (फिर से बोरेल के साथ) $$\sigma$$-बीजगणित)