फलन संरचना

गणित में फलन संरचना प्रक्रिया है ऐसी प्रक्रिया हैं जो दो फलनों $f$ और $g$ को इस प्रकार उत्पन्न करती है कि $h = g  ∘  f$  के समान मान प्राप्त होता हैं। इस प्रकार यह मान इस प्रकार हैं कि $h(x) = g(f(x))$ मान इस प्रक्रिया में, फलन $g$ के लिए फलन पर लागू होने के अतिरिक्त इसके परिणाम के लिए फलन अनुप्रयोग $f$ को $x$ को प्राप्त करता है, अर्ताथ फलन $f : X → Y$ और $g : Y → Z$ फलन उत्पन्न करने के लिए बनाए गए हैं जो $x$ को मैप करने में सहायक है, इस प्रकार किसी फलन के डोमेन में $X$ को $g(f(x))$ कोडोमेन में $Z$ के रूप में प्राप्त होता हैं। इस प्रकार सहज रूप से यदि $z$ का फलन $y$ हैं, और $y$ का फलन $x$ हैं, तब $z$ का फलन $x$ प्राप्त होता हैं। इसके परिणामी समग्र फलन को $g ∘ f : X → Z$ द्वारा दर्शाया गया है, जिसके द्वारा परिभाषित $(g ∘ f )(x) = g(f(x))$ सभी के लिए $x$ में$X$ के समान हैं।

इसके संकेतन के लिए $g ∘ f$ के रूप में पढ़ा जाता है, इस प्रकार $g$ का $f$ मान, $g$ के बाद $f$ का मान ,$g$ से संयोजित $f$ का मान ,$g$ के लिए $f$ का मान ,$g$ के बारे में $f$ ,$g$ के साथ रचित $f$ का मान ,$g$ अगले $f$ ,$f$ तब $g$, या$g$ पर $f$ , या की रचना $g$ और $f$ में सहजता से, फलन की रचना श्रृंखलाबद्ध प्रक्रिया है जिसमें फलन का आउटपुट होता है, जिसके लिए $f$ फलन का इनपुट $g$ फ़ीड करता है।

इस प्रकार उक्त फलन की संरचना संबंधों की संरचना की विशेष स्थिति को प्रस्तुत करती है, जिसे कभी-कभी $$\circ$$ के द्वारा भी दर्शाया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप, संबंधों की संरचना के सभी गुण कार्यों की संरचना के समान होते हैं, जैसे ये गुण इसके मान को प्रदर्शित करते हैं।

फलन की संरचना फलन के उत्पाद फलन यदि परिभाषित हो तो यह इससे भिन्न होती है, और इसमें कुछ बिल्कुल भिन्न गुण होते हैं, विशेष रूप से, कार्यों की संरचना क्रमविनिमेय मान नहीं है।

उदाहरण
* परिमित समुच्चय पर फलनों की संरचना: यदि $f = {(1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 2)}$, और $g = {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 2)}$, तब $g ∘ f = {(1, 2), (2, 1), (3, 2), (4, 3)}$, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।
 * अनंत समु्च्चय पर फलन की संरचना इस प्रकार है कि यदि $f: R → R$ जहाँ $R$ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, जिसके द्वारा दिया गया है $f(x) = 2x + 4$ और $g: R → R$ द्वारा दिया गया है $g(x) = x^{3}$, तब:
 * यदि किसी हवाई जहाज की समय $t$ पर ऊंचाई $(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x^{3}) = 2x^{3} + 4$ है, और इस प्रकार ऊंचाई पर हवा का दबाव $x$ $(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 4) = (2x + 4)^{3}$ है, तब इस स्थिति में $a(t)$ समय पर विमान के चारों ओर दबाव $t$ है।

गुण
कार्यों की संरचना सदैव साहचर्य होती है, इस प्रकार के संबंधों की संरचना से मिलने वाले मान के तुल्य हैं। अर्थात यदि $f$, $g$, और $h$ तो रचना योग्य हैं $p(x)$ के समान होगा। चूँकि कोष्ठक परिणाम नहीं बदलते हैं, इसलिए इस प्रकार उन्हें सामान्यतः छोड़ दिया जाता है।

एक सख्त अर्थ में, रचना $(p ∘ a)(t)$ केवल तभी सार्थक है जब का कोडोमेन $f$ के डोमेन $g$ के बराबर है, इसका व्यापक अर्थ पर्याप्त है कि पहले और बाद वाले का अनुचित उपसमुच्चय उपयोग होता हैं। इसके अतिरिक्त के डोमेन को प्रतिबंधित करना $f$ के लिए अधिकांशतः सुविधाजनक होता है, इस प्रकार यह मान इस प्रकार है कि $f$ के क्षेत्र में केवल $g$ का मान उत्पन्न करता है, उदाहरण के लिए, रचना $f ∘ (g ∘ h) = (f ∘ g) ∘ h$ कार्यों का $g ∘ f$ द्वारा परिभाषित $g ∘ f$ और $f : R → (−∞,+9]$ द्वारा परिभाषित $$g(x) = \sqrt x$$ अंतराल $f(x) = 9 − x^{2}$ पर परिभाषित किया जा सकता है।

फलन $g$ और $f$ को दूसरे के साथ क्रम विनिमेय कहा जाता है, इसके आधार पर यदि $g : [0,+∞) → R$ के समान हैं तो क्रमपरिवर्तनशीलता विशेष मान को प्रदर्शित करता है, जो केवल विशेष कार्यों द्वारा और अधिकांशतः विशेष परिस्थितियों में ही प्राप्त की जाती है। उदाहरण के लिए, $[−3,+3]$ केवल जब $g ∘ f = f ∘ g$. चित्र और उदाहरण दिखाता है।

वन-टू-वन फलन मुख्य रूप से इंजेक्टिव फलन की संरचना को सदैव वन-टू-वन होती है। इसी प्रकार, फलन पर (विशेषण) फलन की संरचना सदैव ऑन होती है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि दो आक्षेपों की रचना भी आक्षेप है। किसी रचना के व्युत्क्रम फलन व्युत्क्रम माना जाता है, जिसमें $|x| + 3 = |x + 3|$ का गुण होता है.

भिन्न-भिन्न कार्यों को सम्मिलित करने वाली रचनाओं के व्युत्पन्न श्रृंखला नियम का उपयोग करके पाए जा सकते हैं। इस प्रकार ऐसे कार्यों के उच्च व्युत्पन्न फा डि ब्रूनो के सूत्र द्वारा दिए गए हैं।

संरचना मोनोइड्स
मान लीजिए कि किसी के दो (या अधिक) फलन $x ≥ 0$ $(f ∘ g)^{−1} = g^{−1}∘ f^{−1}$ हैं, जो समान डोमेन और कोडोमेन के हैं, इन्हें अधिकांशतः परिवर्तन (फलन) कहा जाता है। फिर कोई साथ मिलकर परिवर्तनों की श्रृंखला बना सकता है, जैसे $f: X → X,$. ऐसी श्रृंखलाओं में मोनॉइड की बीजगणितीय संरचना होती है, जिसे ट्रांसफ़ॉर्मेशन मोनॉइड या (बहुत कम ही) परिवर्तन मोनॉयड कहा जाता है। सामान्यतः इस प्रकार के ट्रांसफॉर्मेशन मोनोइड में उल्लेखनीय रूप से जटिल संरचना हो सकती है। विशेष उल्लेखनीय उदाहरण डी राम वक्र है। इस प्रकार सभी कार्यों के समु्च्चय के लिए $g: X → X$ को पूर्ण परिवर्तन अर्धसमूह कहा जाता है या सममित अर्धसमूह पर$X$ प्राप्त होता हैं। इसके लिए वास्तव में दो अर्धसमूहों को परिभाषित कर सकता है, यह इस पर निर्भर करता है कि कोई अर्धसमूह संचालन को कार्यों की बाईं या दाईं संरचना के रूप में कैसे परिभाषित करता है। यदि परिवर्तन विशेषणात्मक और इस प्रकार व्युत्क्रमणीय हैं, तो इन कार्यों के सभी संभावित संयोजनों का समु्च्चय परिवर्तन समूह बनाता है, और कोई कहता है कि समूह इन कार्यों द्वारा समूह उत्पादित करता है। इस प्रकार समूह सिद्धांत में मौलिक परिणाम, केली का प्रमेय, अनिवार्य रूप से कहता है कि कोई भी समूह वास्तव में क्रमपरिवर्तन समूह समाकृतिकता का उपसमूह है।

सभी विशेषण कार्यों का समुच्चय $f ∘ f ∘ g ∘ f$ जिसे क्रमपरिवर्तन कहा जाता है, इसके फलन की संरचना के संबंध में यह समूह बनाता है। यह सममित समूह है, जिसे कभी-कभी रचना समूह भी कहा जाता है।

सममित अर्धसमूह (सभी परिवर्तनों में से) में व्युत्क्रम की कमजोर, गैर-अद्वितीय धारणा भी पाई जाती है (जिसे छद्म व्युत्क्रम कहा जाता है) क्योंकि सममित अर्धसमूह नियमित अर्धसमूह है।

कार्यात्मक पावरयाँ
अगर $f: X → X$, तब $R$ स्वयं से रचना कर सकता है; इसे कभी-कभी $R$ से दर्शाया जाता है, इस प्रकार:

अधिक सामान्यतः, किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए $H$, द $H$वें कार्यात्मक घातांक को आगमनात्मक रूप से परिभाषित किया जा सकता है $H(R$, हंस हेनरिक बर्मन द्वारा प्रस्तुत संकेतन और इस प्रकार जॉन फ्रेडरिक विलियम हर्शल. ऐसे फलन की स्वयं के साथ बार-बार रचना को पुनरावृत्त फलन कहा जाता है।
 * इसके सन्दर्भ मे, $(H ∘ R )$ को पहचान मानचित्र के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसका मान $f: X → X$ के डोमेन $Y ⊆ X$ पर निर्भर करता हैं।
 * इस प्रकार यदि यहाँ तक कि $f: X→Y$ और $f^{ 2}$ व्युत्क्रम फलन $(f ∘ f)(x) = f(f(x)) = f&thinsp;^{2}(x)$ को स्वीकार करता है, इस प्रकार ऋणात्मक कार्यात्मक पावर $(f ∘ f ∘ f)(x) = f(f(f(x))) = f&thinsp;^{3}(x)$ के लिए $(f ∘ f ∘ f ∘ f)(x) = f(f(f(f(x)))) = f&thinsp;^{4}(x)$ पर परिभाषित की गयी हैं, जिसके लिए व्युत्क्रम फलन की योगात्मक व्युत्क्रम पावर के रूप में: $n ≥ 2$ हैं।

नोट: यदि $R$ अपने मूल्यों को रिंग (गणित) में लेता है, विशेष रूप से वास्तविक या जटिल-मूल्य के लिए $f&thinsp;^{n} = f ∘ f&thinsp;^{n−1} = f&thinsp;^{n−1} ∘ f$, भ्रम का खतरा है, जैसे $f&thinsp;^{0}$ के लिए भी खड़ा हो सकता है $H$-गुना उत्पाद का $n$, उदा. $f&thinsp;$. त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए, सामान्यतः उत्तरार्द्ध का अर्थ होता है, कम से कम धनात्मक घातांक के लिए इसका मान प्रयुक्त होता हैं। उदाहरण के लिए, त्रिकोणमिति में, त्रिकोणमितीय कार्य के साथ उपयोग किए जाने पर यह सुपरस्क्रिप्ट नोटेशन मानक घातांक का प्रतिनिधित्व करता है:

$id_{X}$.

चूंकि, ऋणात्मक घातांक (विशेषकर −1) के लिए, यह सामान्यतः व्युत्क्रम फलन को संदर्भित करता है, उदाहरण के लिए, $Y = X$ इसका प्रमुख उदाहरण हैं।

कुछ मामलों में, जब, किसी दिए गए फलन के लिए $f$, समीकरण $f: X → X$ का विचित्र समाधान है $n$, उस फलन को कार्यात्मक वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $f$, फिर इस प्रकार लिखा गया $f&thinsp;^{−1}$.

अधिक सामान्यतः, जब $f&thinsp;^{−n}$ के पास कुछ प्राकृतिक संख्या $n > 0$ के लिए समाधान है, तब $f&thinsp;^{−n} = (f&thinsp;^{−1})^{n}$ को $f&thinsp;$ के आधार पर परिभाषित किया जा सकता है।

अतिरिक्त प्रतिबंधों के अनुसार, इस विचार को सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिससे कि पुनरावृत्त फलन सतत पैरामीटर बन जाए, इस स्थिति में, ऐसी प्रणाली को प्रवाह (गणित) कहा जाता है, जो श्रोडर के समीकरण के समाधान के माध्यम से निर्दिष्ट होता है। इस प्रकार किसी भग्न और गतिशील प्रणालियाँ के अध्ययन में पुनरावृत्त कार्य और प्रवाह स्वाभाविक रूप से होते हैं।

अस्पष्टता से बचने के लिए, कुछ गणितज्ञ उपयोग करना चुनें $f&thinsp;^{n}$रचनात्मक अर्थ को निरूपित करने के लिए, लिखना $f&thinsp;^{2}(x) = f(x) · f(x)$ के लिए $f$-फलन का पुनरावृत्त $sin^{2}(x) = sin(x) · sin(x)$, जैसे, उदाहरण के लिए, $tan^{−1} = arctan ≠ 1/tan$ अर्थ $g ∘ g = f$ हैं। इसी उद्देश्य से, $g = f&thinsp;^{1/2}$ का प्रयोग बेंजामिन पियर्स द्वारा किया गया था जबकि अल्फ्रेड प्रिंग्सहेम और जूल्स मोल्क ने $g^{n} = f$ फलन का सुझाव दिया था।

वैकल्पिक संकेतन
कई गणितज्ञ, विशेषकर समूह सिद्धांत में, रचना चिह्न, लेखन को छोड़ देते हैं, जो $n > 0$ के लिए $f&thinsp;^{m/n}$ .का मान प्रदर्शित करता हैं।

20वीं सदी के मध्य में कुछ गणितज्ञों ने लेखन का निर्णय लिया$g^{m}$ का अर्थ है जो पहले $g$ के लिए आवेदन करता हैं, फिर आवेदन करने के बाद $f$ और उसने नोटेशन परिवर्तित करने का निर्णय लिया था। वे लिखते हैं$∘$ के लिए$f(x)$ और$f(x)$ के लिए$f(x)$ का मान प्रयुक्त होता हैं। यह कुछ क्षेत्रों में उपसर्ग संकेतन लिखने की तुलना में अधिक स्वाभाविक और सरल लग सकता है - उदाहरण के लिए, रैखिक बीजगणित में, जब $n$ पंक्ति सदिश है और $f$ और $g$ मैट्रिक्स (गणित) को निरूपित करें और संरचना आव्यूह गुणन द्वारा प्राप्त होती है। इस वैकल्पिक नोटेशन को उपसर्ग संकेतन कहा जाता है। क्रम महत्वपूर्ण है क्योंकि फलन संरचना आवश्यक रूप से क्रमविनिमेय नहीं है जैसे आव्यूह गुणन के लिए इसका उपयोग होता हैं। इसके दायीं ओर लागू होने वाले और रचना करने वाले क्रमिक परिवर्तन बाएँ से दाएँ पढ़ने के क्रम से सहमत होते हैं।

गणितज्ञ जो पोस्टफिक्स नोटेशन का उपयोग करते हैं, वे लिख सकते हैं कि $f(f(f(x)))$ से यहाँ पर यह अर्थ हैं कि इसे $x$ के लिए पहले अप्लाई करते हैं और फिर $f$ द्वारा आवेदन करते हैं, इस क्रम को ध्यान में रखते हुए प्रतीक पोस्टफिक्स नोटेशन में होते हैं, इस प्रकार नोटेशन बनता है, जो $f(x)$ को अस्पष्ट करता हैं। इस प्रकार कंप्यूटर वैज्ञानिक लिखते हैं कि $f(x)$ के लिए, जिससे रचना का क्रम स्पष्ट नहीं हो पाता। किसी पाठ अर्धविराम से बाएँ रचना संचालक को अलग करने के लिए, Z अंकन में बाएँ संबंध रचना के लिए ⨾ वर्ण का उपयोग किया जाता है। चूँकि सभी फलन बाइनरी संबंध#विशेष प्रकार के बाइनरी संबंध हैं, इसलिए फलन संरचना के लिए भी [वसा] अर्धविराम का उपयोग करना सही है, जिसके लिए इस नोटेशन पर अधिक जानकारी के लिए संबंधों की संरचना पर लेख देखें।

संरचना संचालक
किसी फलन द्वारा दिये गये $gf$ का मान रचना संचालक $g ∘ f$ को उस ऑपरेटर (गणित) के रूप में परिभाषित किया गया है जो कार्यों को कार्यों के रूप में मैप करता है $$C_g f = f \circ g.$$ कंपोजीशन ऑपरेटरों का अध्ययन ऑपरेटर सिद्धांत के क्षेत्र में किया जाता है।

प्रोग्रामिंग भाषाओं में
फलन संरचना अनेक प्रोग्रामिंग भाषाओं में किसी न किसी रूप में प्रकट होती है।

बहुभिन्नरूपी कार्य
बहुभिन्नरूपी कार्यों के लिए आंशिक संरचना संभव है। कुछ तर्क होने पर परिणामी फलन $g ∘ f$ फलन का $g$ को फलन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $f$ की रचना कहलाती है $g$ और $f$ कुछ कंप्यूटर इंजीनियरिंग संदर्भों में, और $xf&thinsp;$ द्वारा इसे दर्शाया गया है। $$f|_{x_i = g} = f (x_1, \ldots, x_{i-1}, g(x_1, x_2, \ldots, x_n), x_{i+1}, \ldots, x_n).$$ जब $g$ साधारण स्थिरांक है, जो $f$ रचना के आंशिक मूल्यांकन में परिवर्तित कर दी जाती है, जिसके परिणाम को प्रतिबंध (गणित) या सह-कारक के रूप में भी जाना जाता है।

$$f|_{x_i = b} = f (x_1, \ldots, x_{i-1}, b, x_{i+1}, \ldots, x_n).$$ सामान्यतः बहुभिन्नरूपी कार्यों की संरचना में तर्क के रूप में कई अन्य कार्य सम्मिलित हो सकते हैं, जैसे कि आदिम पुनरावर्ती फलन की परिभाषा में दिया गया $g$, ए $g$-एरी फलन, और $b$ $f$-एरी फलन $f(x)$, की रचना $n$ साथ $(xf)g$, है $n$-एरी फलन को प्रकट करता हैं। $$h(x_1,\ldots,x_m) = f(g_1(x_1,\ldots,x_m),\ldots,g_n(x_1,\ldots,x_m)).$$ इसे कभी-कभी एफ का सामान्यीकृत सम्मिश्रण या सुपरपोजिशन $g(f(x))$ भी कहा जाता है, इसके पहले उल्लिखित केवल तर्क में आंशिक संरचना को उपयुक्त रूप से चुने गए प्रक्षेपण कार्यों को छोड़कर सभी तर्क कार्यों को समु्च्चय करके इस अधिक सामान्य योजना से त्वरित किया जा सकता है। यहाँ $fg$ को इस सामान्यीकृत योजना में एकल सदिश/ टपल -वैल्यू फलन के रूप में देखा जा सकता है, इस मामले में यह फलन संरचना की बिल्कुल मानक परिभाषा है।

कुछ बेस समु्च्चय ध्यान दें कि क्लोन में सामान्यतः विभिन्न प्रकार के प्रक्रिया होते हैं। रूपान्तरण की धारणा को बहुभिन्नरूपी स्थिति में सामान्यीकरण भी मिलता है; कहा जाता है कि arity n का फलन f, arity m के फलन g के साथ परिवर्तित होता है यदि f समरूपता है जो g को संरक्षित करता है, और इसके विपरीत अर्थात: $$f(g(a_{11},\ldots,a_{1m}),\ldots,g(a_{n1},\ldots,a_{nm})) = g(f(a_{11},\ldots,a_{n1}),\ldots,f(a_{1m},\ldots,a_{nm})).$$ एक यूनरी प्रक्रिया सदैव अपने साथ ही चलता है, लेकिन बाइनरी (या उच्चतर एरीटी) प्रक्रिया के मामले में यह आवश्यक नहीं है। इस प्रकार बाइनरी (या उच्चतर एरीटी) प्रक्रिया जो स्वयं के साथ संचार करता है उसे औसत दर्जे का मैग्मा कहा जाता है।

सामान्यीकरण
संबंधों की संरचना को इस विधि से द्विआधारी संबंध के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। इसके आधार पर यदि $fg$ और $f ; g$ दो द्विआधारी संबंध हैं, फिर उनकी रचना $g$ संबंध को इस प्रकार परिभाषित किया गया है, कि $C_{g}$ को प्रकट करती हैं। इस प्रकार इस फलन को द्विआधारी संबंध अर्थात् कार्यात्मक संबंध की विशेष स्थिति के रूप में मानते हुए, फलन संरचना संबंध संरचना की परिभाषा को संतुष्ट करती है। इस प्रकार किसी छोटे वृत्त $x_{i}$ का उपयोग संबंधों की रचना के लिए सांकेतिक विविधताओं के साथ ही कार्यों के लिए किया गया है। जब कार्यों की संरचना का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है, इसके आधार पर $$(g \circ f)(x) \ = \ g(f(x))$$ समीकरण प्राप्त होता हैं। चूंकि इस प्रकार की अलग-अलग प्रक्रिया अनुक्रमों को तदनुसार दर्शाने के लिए पाठ अनुक्रम को व्युत्क्रम कर दिया गया है।

रचना को आंशिक कार्यों के लिए उसी प्रकार से परिभाषित किया गया है और केली के प्रमेय का एनालॉग वैगनर-प्रेस्टन प्रमेय कहा जाता है।

आकारिकी के रूप में कार्यों वाले समु्च्चयों की श्रेणी प्रोटोटाइपिक श्रेणी (गणित) है। किसी श्रेणी के अभिगृहीत वास्तव में फलन संरचना के गुणों (और परिभाषा) से प्रेरित होते हैं। संरचना द्वारा दी गई संरचनाएं कार्यों के श्रेणी-सैद्धांतिक प्रतिस्थापन के रूप में रूपवाद की अवधारणा के साथ श्रेणी सिद्धांत में स्वयंसिद्ध और सामान्यीकृत हैं। सूत्र में रचना का उलटा क्रम $f |_{x_{i} = g}$ विपरीत संबंधों का उपयोग करके संबंधों की संरचना के लिए लागू होता है, और इस प्रकार समूह सिद्धांत में प्रयुक्त किया जाता हैं। ये संरचनाएँ युनीकोड श्रेणी बनाती हैं।

टाइपोग्राफी
रचना चिन्ह $g_{1}, ..., g_{n}$ के रूप में एन्कोड किया गया है, इसके आधार पर ; समान दिखने वाले यूनिकोड वर्णों के लिए डिग्री प्रतीक#लुकलाइक्स लेख देखें। TeX में. लिखा है।

यह भी देखें

 * काॅबवेब प्लाट - कार्यात्मक संरचना के लिए ग्राफिकल तकनीक
 * संयोजन तर्क
 * रचना वलय, रचना संचालन का औपचारिक स्वयंसिद्धीकरण
 * प्रवाह (गणित)
 * फलन संरचना (कंप्यूटर विज्ञान)
 * यादृच्छिक चर#यादृच्छिक चर के कार्य, यादृच्छिक चर के फलन का वितरण
 * कार्यात्मक अपघटन
 * कार्यात्मक वर्गमूल
 * उच्च-क्रम का कार्य
 * विश्लेषणात्मक कार्यों की अनंत रचनाएँ
 * पुनरावृत्त फलन
 * लैम्ब्डा कैलकुलस

बाहरी संबंध

 * "Composition of Functions" by Bruce Atwood, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.
 * "Composition of Functions" by Bruce Atwood, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.