विश्लेषणात्मक निरंतरता

जटिल विश्लेषण में, गणित की एक शाखा, विश्लेषणात्मक निरंतरता किसी दिए गए विश्लेषणात्मक प्रकार्य के कार्यक्षेत्र को विस्तारित करने की तकनीक है। विश्लेषणात्मक निरंतरता प्रायः एक प्रकार्य के आगे के मूल्यों को परिभाषित करने में सफल होती है, उदाहरण के लिए एक नए क्षेत्र में जहां एक अनंत श्रृंखला का प्रतिनिधित्व जिसके संदर्भ में इसे प्रारंभिक रूप से परिभाषित किया गया है, वह अपसारी श्रृंखला बन जाती है।

हालाँकि, चरण-वार निरंतरता तकनीक कठिनाइयों के विरुद्ध आ सकती है। इनमें अनिवार्य रूप से सामयिक प्रकृति हो सकती है, जिससे विसंगतियां (एक से अधिक मूल्यों को परिभाषित करना) हो सकती हैं। उन्हें वैकल्पिक रूप से गणितीय विलक्षणताओं की उपस्थिति के साथ करना पड़ सकता है। कई जटिल चरों के कार्य का मामला अलग-अलग है, क्योंकि अद्वितीय को अलग-अलग बिंदुओं की आवश्यकता नहीं है, और इसकी जांच शेफ कोहोलॉजी के विकास का एक प्रमुख कारण था।

प्रारंभिक चर्चा
मान लीजिए f एक विश्लेषणात्मक कार्य है जो जटिल समतल $\Complex$ के गैर-खाली खुले समुच्चय U पर परिभाषित है। यदि V का एक बड़ा खुला उपसमुच्चय $\Complex$ U युक्त है, और F एक विश्लेषणात्मक कार्य है जिसे V पर परिभाषित किया गया है


 * $$F(z) = f(z) \qquad \forall z \in U, $$

तब F को f की विश्लेषणात्मक निरंतरता कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, F से U तक का प्रतिबंध (गणित) वह फलन है जिससे हमने शुरुआत की थी।

विश्लेषणात्मक निरंतरता निम्नलिखित अर्थों में अद्वितीय हैं: यदि V दो विश्लेषणात्मक कार्यों F1 और F2 का जुड़ा हुआ डोमेन है जैसे कि U V में निहित है और U में सभी z के लिए


 * $$F_1(z) = F_2(z) = f(z),$$

फिर


 * $$F_1 = F_2$$

सभी V पर ऐसा इसलिए है क्योंकि F1- F2 एक विश्लेषणात्मक कार्य है जो f के खुले, संबद्ध कार्यक्षेत्र U पर गायब हो जाता है और इसलिए इसके पूरे कार्यक्षेत्र पर गायब हो जाना चाहिए। यह पूर्णसममितिक प्रकार्य के लिए पहचान प्रमेय से सीधे अनुसरण करता है।

अनुप्रयोग
जटिल विश्लेषण आय में कार्यों को परिभाषित करने का एक सामान्य तरीका पहले केवल एक छोटे से कार्यक्षेत्र पर प्रकार्य को निर्दिष्ट करके, और फिर इसे विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा विस्तारित करना है।

व्यवहार में, यह निरंतरता प्रायः पहले छोटे कार्यक्षेत्र पर कुछ कार्यात्मक समीकरण स्थापित करके और कार्यक्षेत्र का विस्तार करने के लिए इस समीकरण का उपयोग करके की जाती है। रीमैन द्वारमंडपोपरि कक्ष प्रकार्य और गामा फलन इसके उदाहरण हैं।

एक विश्लेषणात्मक कार्य की विश्लेषणात्मक निरंतरता के लिए एक प्राकृतिक कार्यक्षेत्र को परिभाषित करने के लिए एक सार्वभौमिक आवरण की अवधारणा को पहली बार विकसित किया गया था। बदले में किसी प्रकार्य की अधिकतम विश्लेषणात्मक निरंतरता को खोजने के विचार ने रीमैन सतहों के विचार के विकास को जन्म दिया।

विश्लेषणात्मक निरंतरता का उपयोग रीमैनियन विविध, आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के समाधान | आइंस्टीन के समीकरणों में किया जाता है। उदाहरण के लिए, श्वार्ज़स्चिल्ड की विश्लेषणात्मक निरंतरता क्रुस्कल-शेकेरेस निर्देशांक में समन्वय करती है।

काम किया उदाहरण
एक विशेष विश्लेषणात्मक कार्य $$f$$ के साथ प्रारंभ करें, इस मामले में यह $$z=1$$ में केंद्रित एक घात श्रृंखला द्वारा दिया जाता है :


 * $$f(z) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k (z-1)^k.$$

कॉची-हैडमार्ड प्रमेय के अनुसार, इसकी अभिसरण की त्रिज्या 1 है। अर्थात, $$f$$ खुले सम्मुच्चयों $$U = \{|z-1|<1\}$$ पर परिभाषित और विश्लेषणात्मक है जिसकी सीमा $$\partial U = \{|z-1|=1\}$$ है। वास्तव में, श्रृंखला $$z=0 \in \partial U$$ विचलन करती है।

मान लीजिये हम यह नहीं जानते कि $$f(z)=1/z$$ और एक अलग बिंदु $$a \in U$$ पर घात श्रृंखला को पुन: प्रस्तुत करने पर ध्यान केंद्रित करें:


 * $$f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k (z-a)^k.$$

हम $$a_k$$ की गणना करेंगे और निर्धारित करेंगे कि क्या यह नई घात श्रृंखला एक खुले सम्मुच्चय में अभिसरण करती है $$V$$ जो $$U$$ में निहित नहीं है। यदि ऐसा है, तो हम विश्लेषणात्मक रूप से $$f$$ को $$U \cup V$$ क्षेत्र के लिए जारी रखेंगे जो की तुलना में $$U$$से से काफी बड़ा है।

$$a$$ से $$\partial U$$ की दूरी $$\rho = 1 - |a-1| > 0$$ है। $$0 < r < \rho$$ को लीजिये ; $$D$$ को $$a$$ के आस-पास त्रिज्या $$r$$ की चक्रिका होने दें; और $$\partial D$$ को इसकी सीमा होने दें। फिर $$D \cup \partial D \subset U$$. नए गुणांकों की गणना करने के लिए कॉची के अवकलन सूत्र का उपयोग करते हुए,


 * $$\begin{align}

a_k &= \frac{f^{(k)}(a)}{k!} \\ &=\frac{1}{2\pi i} \int_{\partial D} \frac{f(\zeta) d \zeta}{(\zeta -a)^{k+1}} \\ &=\frac{1}{2\pi i} \int_{\partial D} \frac{\sum_{n=0}^\infty (-1)^n (\zeta-1)^n d \zeta}{(\zeta -a)^{k+1}} \\ &=\frac{1}{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \int_{\partial D} \frac{(\zeta-1)^n d\zeta}{(\zeta -a)^{k+1}} \\ &=\frac{1}{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \int_0^{2\pi} \frac{(a+re^{i \theta}-1)^n rie^{i \theta}d\theta}{(re^{i \theta})^{k+1}} \\ &=\frac{1}{2\pi} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \int_0^{2\pi} \frac{(a-1+re^{i \theta})^n d\theta}{(re^{i \theta})^{k}}\\ &=\frac{1}{2\pi} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \int_0^{2\pi} \frac{\sum_{m=0}^n \binom{n}{m} (a-1)^{n-m} (re^{i \theta})^m d\theta}{(re^{i \theta})^{k}} \\ &=\frac{1}{2\pi} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \int_0^{2\pi} \binom{n}{k} (a-1)^{n-k} d\theta \\ &=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \binom{n}{k} (a-1)^{n-k} \\ &=(-1)^k a^{-k-1} \end{align}$$ वह है,


 * $$f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k (z-a)^k = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k a^{-k-1} (z-a)^k = \frac{1}{a} \sum_{k=0}^\infty \left ( 1 - \frac{z}{a} \right )^k ,$$

जिसमें अभिसरण की त्रिज्या $$|a|$$ तथा $$V = \{|z-a|<|a|\}$$ है अगर हम $$a \in U$$ के साथ $$|a|>1$$ को चुनते हैं, फिर $$V$$ $$U$$ का उपसमुच्चय नहीं है और वास्तव में क्षेत्रफल की तुलना में $$U$$ बड़ा है। क्षेत्रक के लिए परिणाम $$a = \tfrac{1}{2}(3+i)$$दिखाता है। हम प्रक्रिया जारी रख सकते हैं: $$b \in U \cup V$$ को चुनें, घात श्रृंखला को $$b$$ में पुनश्च करें, और निर्धारित करें कि नई घात श्रृंखला कहाँ अभिसरित होती है। यदि क्षेत्र में ऐसे बिंदु हैं जो $$U \cup V$$ में नहीं हैं, तो हम आगे भी विश्लेषणात्मक रूप से  $$f$$ को जारी रखेंगे। यह विशेष रूप से $$f$$ पर वेधित जटिल समतल $$\Complex \setminus \{0\}$$ के लिए विश्लेषणात्मक रूप से जारी रखा जा सकता है।

एक जर्म की औपचारिक परिभाषा
नीचे परिभाषित घात श्रृंखला एक जर्म (गणित) के विचार से सामान्यीकृत है। विश्लेषणात्मक निरंतरता के सामान्य सिद्धांत और इसके सामान्यीकरण को पुलिंदा सिद्धांत (गणित) के रूप में जाना जाता है। अनुमति दें कि


 * $$f(z)=\sum_{k=0}^\infty \alpha_k (z-z_0)^k$$

चक्र (गणित) Dr(z0), R> 0 में परिवर्तित होने वाली एक घात श्रृंखला हो, निम्न द्वारा परिभाषित:


 * $$D_r(z_0) = \{z \in \Complex : |z - z_0| < r\}$$.

ध्यान दें कि व्यापकता के नुकसान के बिना, यहाँ और नीचे, हम हमेशा मानेंगे कि इस तरह के अधिकतम r को चुना गया था, भले ही वह r ∞ हो। यह भी ध्यान दें कि यह कुछ छोटे खुले सम्मुच्चय पर परिभाषित विश्लेषणात्मक प्रकार्य से शुरू होने के बराबर होगा। हम कहते हैं कि सदिश


 * $$g = (z_0, \alpha_0, \alpha_1, \alpha_2, \ldots) $$

f का जर्म (गणित) है। g का आधार g0 z0 है, g कि प्रातिपदिका (α0, a1, a2, ...) है और  g का शीर्ष g1 α0 है g का शीर्ष z पर f0  का मान है।

कोई सदिश g = (z0, a0, a1, ...) एक जर्म है यदि यह r> 0 अभिसरण के कुछ त्रिज्या के साथ z0 के आसपास एक विश्लेषणात्मक कार्य की शक्ति श्रृंखला का प्रतिनिधित्व करता है। इसलिए, हम जर्मओं $$\mathcal G$$ के सम्मुच्चय के बारे में सुरक्षित रूप से बात कर सकते हैं।

जर्म के सम्मुच्चय की सांस्थिति
मान लीजिए g और h जर्म (गणित) हैं। यदि $$|h_0-g_0|<r$$ जहाँ r g की अभिसरण की त्रिज्या है और यदि g और h द्वारा परिभाषित घात श्रृंखला दो कार्यक्षेत्र के प्रतिच्छेदन पर समान कार्य निर्दिष्ट करती है, तो हम कहते हैं कि h g द्वारा (या संगत) उत्पन्न होता है, और हम g ≥ h लिखते हैं। यह अनुकूलता स्थिति न तो सकर्मक, सममित और न ही विषम है। यदि हम सकर्मकता द्वारा संबंध का विस्तार करते हैं, तो हम एक सममित संबंध प्राप्त करते हैं, जो कि जर्म पर एक तुल्यता संबंध भी है (लेकिन एक आदेश नहीं)। परिवर्तनशीलता द्वारा यह विस्तार विश्लेषणात्मक निरंतरता की एक परिभाषा है। तुल्यता संबंध को $$\cong$$ में निरूपित किया जाएगा।

हम एक सांस्थिति को $$\mathcal G$$ में परिभाषित कर सकते हैं। मान लीजिए r > 0, और मान लीजिए


 * $$U_r(g) = \{h \in \mathcal G : g \ge h, |g_0 - h_0| < r\}.$$

सम्मुच्चय Ur(g), सभी r > 0 और $$g\in\mathcal G$$ $$\mathcal G$$ पर सांस्थिति के लिए खुले समुच्चय के आधार को परिभाषित करें।

$$\mathcal G$$ का संबद्ध घटक (अर्थात, एक तुल्यता वर्ग) को पुलिंदा (गणित) कहा जाता है। हम यह भी ध्यान दें कि मानचित्र द्वारा $$\phi_g(h) = h_0 : U_r(g) \to \Complex$$ परिभाषित किया गया है। जहाँ r, g की अभिसरण की त्रिज्या है, वह शीर्षधर (सांस्थिति) मानचित्र है। इस तरह के मानचित्र का सम्मुच्चय $$\mathcal G$$ के लिए एक शीर्षधर (सांस्थिति) बनाता है, इसलिये $$\mathcal G$$ एक रीमैन सतह है। $$\mathcal G$$ को कभी-कभी सार्वभौमिक विश्लेषणात्मक कार्य कहा जाता है।

विश्लेषणात्मक निरंतरता के उदाहरण

 * $$L(z) = \sum_{k=1}^\infin \frac{(-1)^{k+1}}{k}(z-1)^k$$

z = 1 के पास प्राकृतिक लघुगणक के अनुरूप एक घात श्रृंखला है। इस घात श्रृंखला को जर्म (गणित) में बदला जा सकता है
 * $$ g=\left(1,0,1,-\frac 1 2, \frac 1 3, - \frac 1 4 , \frac 1 5 , - \frac 1 6 , \ldots\right) $$

इस जर्म की अभिसरण की त्रिज्या 1 है, और इसलिए इसके अनुरूप एक पुलिंदा (गणित) S है। यह लघुगणक फलन का पुलिंदा ​​है।

विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए विशिष्टता प्रमेय भी विश्लेषणात्मक कार्यों के पुलिंदों तक फैली हुई है: यदि किसी विश्लेषणात्मक कार्य के पुलिंदों में शून्य जर्म होता है (यानी, कुछ प्रतिवैस में पुलिंदा समान रूप से शून्य होता है) तो संपूर्ण पुलिंदा शून्य होता है। इस परिणाम के साथ सशस्त्र, हम देख सकते हैं कि यदि हम लघुगणक प्रकार्य के पुलिंदा S के का कोई जर्म g लेते हैं, जैसा कि ऊपर वर्णित है, और इसे एक घात श्रृंखला f (z) में बदल दें तो इस फलन में exp(f) (z)) = z विशेषता होगी। यदि हमने विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए व्युत्क्रम कार्य प्रमेय के एक संस्करण का उपयोग करने का निर्णय लिया था, तो हम घातीय मानचित्र के लिए विभिन्न प्रकार के व्युत्क्रमों का निर्माण कर सकते थे, लेकिन हमें पता चलेगा कि वे सभी S में किसी जर्म द्वारा दर्शाए गए हैं। उस अर्थ में, S घातीय मानचित्र का एक वास्तविक प्रतिलोम है।

पुराने साहित्य में, विश्लेषणात्मक कार्यों के पूलों को बहु-मूल्यवान कार्य कहा जाता था। सामान्य अवधारणा के लिए पुलिंदा (गणित) देखें।

प्राकृतिक सीमा
मान लीजिए कि एक घात श्रृंखला में अभिसरण की त्रिज्या r है और उस चक्रिका के अंदर एक विश्लेषणात्मक कार्य f को परिभाषित करता है। अभिसरण के वृत्त पर बिंदुओं पर विचार करें। बिंदु जिसके लिए एक प्रतिवैस है जिस पर f का विश्लेषणात्मक विस्तार नियमित है, अन्यथा अद्वितीय। वृत्त एक 'प्राकृतिक सीमा' है यदि इसके सभी बिंदु अद्वितीय हैं।

अधिक सामान्यतः, हम परिभाषा को किसी भी खुले आनुषंगिक कार्यक्षेत्र पर लागू कर सकते हैं, जिस पर f विश्लेषणात्मक है, और कार्यक्षेत्र की सीमा के बिंदुओं को नियमित या अद्वितीय के रूप में वर्गीकृत करते हैं: कार्यक्षेत्र सीमा तब एक प्राकृतिक सीमा होती है यदि सभी बिंदु अद्वितीय होते हैं, इस मामले में कार्यक्षेत्र पूर्णसममितिक का कार्यक्षेत्र है।

उदाहरण I: शून्य पर एक प्राकृतिक सीमा के साथ एक प्रकार्य (मुख्य जीटा प्रकार्य)
$$\Re(s) > 1$$ के लिये हम तथाकथित प्रधान जीटा प्रकार्य को परिभाषित करते हैं, $$P(s)$$, निम्न के लिए


 * $$P(s) := \sum_{p\ \text{ prime}} p^{-s}.$$

यह प्रकार्य रीमैन ज़ेटा प्रकार्य के सारांश रूप के अनुरूप है जब $$\Re(s) > 1$$ इस हद तक कि यह एक ही सारांश कार्य $$\zeta(s)$$ है, सभी सकारात्मक प्राकृतिक संख्याओं पर योग लेने के बजाय केवल अभाज्य संख्याओं तक सीमित सूचकांकों को छोड़कर। मुख्य जेटा प्रकार्य में सभी संकुल s के लिए एक विश्लेषणात्मक निरंतरता है जैसे कि $$0 < \Re(s) < 1$$, एक तथ्य जो की $$P(s)$$ रीमैन ज़ेटा प्रकार्य के लघुगणक के रूप में अभिव्यक्ति से होता है:


 * $$P(s) = \sum_{n \geq 1} \mu(n)\frac{\log\zeta(ns)}{n}.$$

तब से $$\zeta(s)$$ पर एक सरल, गैर-हटाने योग्य पोल $$s := 1$$ है, तो यह देखा जा सकता है $$P(s)$$ पर एक साधारण पोल $$s := \tfrac{1}{k}, \forall k \in \Z^{+}$$ है। अंक के सम्मुच्चय के बाद से


 * $$\operatorname{Sing}_P := \left\{k^{-1} : k \in \Z^+\right\} = \left \{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4},\ldots \right \}$$

का संचय बिंदु 0 है (अनुक्रम की सीमा के रूप में $$k\mapsto\infty$$), हम देख सकते हैं कि शून्य एक प्राकृतिक सीमा $$P(s)$$ बनाता है। यह बताता है कि $$P(s)$$ शून्य के बाईं ओर (या पर) कोई विश्लेषणात्मक निरंतर नहीं है, यानी, जब $$0 \geq \Re(s)$$ है तब $$P(s)$$ के लिए कोई निरंतरता संभव नहीं है। एक टिप्पणी के रूप में, यह तथ्य समस्याग्रस्त हो सकता है यदि हम एक अंतराल पर एक जटिल समोच्च अभिन्न प्रदर्शन कर रहे हैं जिसका वास्तविक भाग शून्य के बारे में सममित है। कहते हैं कुछ $$C > 0$$ के लिए $$I_F \subseteq \Complex \ \text{ ऐसे कि }\ \Re(s) \in (-C, C), \forall s \in I_F$$, जहां समाकल्य विभाजक के साथ एक प्रकार्य है जो $$P(s)$$ पर एक आवश्यक तरीके से निर्भर करता है।

उदाहरण II: एक विशिष्ट अंतरयुक्त श्रृंखला (इकाई घेरा के उपसम्मुच्चय के रूप में प्राकृतिक सीमा)
$$c \geq 2$$ पूर्णांकों के लिए, हम घात श्रृंखला विस्तार द्वारा क्रम c की संक्षिप्त श्रृंखला को परिभाषित करते हैं


 * $$\mathcal{L}_c(z) := \sum_{n \geq 1} z^{c^n}, |z| < 1.$$

स्पष्ट रूप से, $$c^{n+1} = c \cdot c^{n}$$ के बाद से $$\mathcal{L}_c(z)$$ के लिए एक कार्यात्मक समीकरण है जो कि किसी भी z के लिए संतोषजनक $$|z| < 1$$ के द्वारा दिया गया $$\mathcal{L}_c(z) = z^{c} + \mathcal{L}_c(z^c)$$ है। किसी पूर्णांक $$m \geq 1$$ के लिए इसे देखना भी कठिन नहीं है। हमारे पास $$\mathcal{L}_c(z)$$ के लिए एक और कार्यात्मक समीकरण है। निम्न के द्वारा दिया गया:


 * $$\mathcal{L}_c(z) = \sum_{i=0}^{m-1} z^{c^{i}} + \mathcal{L}_c(z^{c^m}), \forall |z| < 1.$$

किसी भी धनात्मक प्राकृतिक संख्या c के लिए, $$z = 1$$ में अंतरयुक्त श्रंखला प्रकार्य का विचलन होता है। हम विश्लेषणात्मक निरंतरता $$\mathcal{L}_c(z)$$ के प्रश्न पर अन्य जटिल z के लिए विचार करते हैं जो कि $$|z| > 1$$ है। जैसा कि हम देखेंगे, किसी $$n \geq 1$$ के लिए, प्रकार्य $$\mathcal{L}_c(z)$$ $$c^{n}$$-th एकता कि घात पर विचलन करता है।इसलिए, चूंकि ऐसी सभी घातों द्वारा गठित सम्मुच्चय इकाई घेरा की सीमा पर सघन है, इसलिए जटिल z के लिए $$\mathcal{L}_c(z)$$ का कोई विश्लेषणात्मक निरंतरता नहीं है जिसका मापांक एक से अधिक है।

इस तथ्य का प्रमाण उस मामले के लिए एक मानक तर्क से सामान्यीकृत किया गया है जहाँ $$c := 2.$$ अर्थात्, पूर्णांकों के लिए $$n \geq 1$$, होने देना


 * $$\mathcal{R}_{c,n} := \left \{z \in \mathbb{D} \cup \partial{\mathbb{D}}: z^{c^n} = 1 \right \},$$
 * जहाँ पर $$\mathbb{D}$$ संकुल समतल में खुली इकाई चक्रिका को दर्शाता है और $$|\mathcal{R}_{c,n} | = c^n$$, यानी $$c^n$$ विशिष्ट जटिल संख्याएँ z हैं जो इकाई वृत्त पर या उसके अंदर स्थित हैं जैसे कि $$z^{c^n} = 1$$. अब प्रमाण का मुख्य भाग कार्यात्मक समीकरण के लिए$$\mathcal{L}_c(z)$$ का उपयोग करना है  जब $$|z| < 1$$ यह दिखने क लिए कि


 * $$\forall z \in \mathcal{R}_{c,n}, \qquad \mathcal{L}_c(z) = \sum_{i=0}^{c^n-1} z^{c^i} + \mathcal{L}_c(z^{c^n}) = \sum_{i=0}^{c^n-1} z^{c^i} + \mathcal{L}_c(1) = +\infty.$$

इस प्रकार इकाई वृत्त की सीमा पर किसी भी चाप के लिए, इस चाप के भीतर अनंत बिंदु z हैं जैसे कि $$\mathcal{L}_c(z) = \infty$$। यह स्थिति कहने के बराबर है कि वृत्त $$C_1 := \{z: |z| = 1\}$$ प्रकार्य $$\mathcal{L}_c(z)$$ के लिए एक प्राकृतिक सीमा किसी भी निश्चित विकल्प $$c \in \Z \quad c > 1.$$के लिए बनाता है। इसलिए, इकाई घेरे के आंतरिक भाग से परे इन कार्यों के लिए कोई विश्लेषणात्मक निरंतरता नहीं है।

मोनोड्रोम प्रमेय
मोनोड्रोमी प्रमेय एक प्रत्यक्ष विश्लेषणात्मक निरंतरता के अस्तित्व के लिए पर्याप्त स्थिति देता है (यानी, एक बड़े सम्मुच्चय पर एक विश्लेषणात्मक कार्य के लिए एक विश्लेषणात्मक कार्य का विस्तार)।

मान लीजिए $$D\subset \Complex$$ D पर एक खुला सम्मुच्चय और F एक विश्लेषणात्मक कार्य है। यदि G D युक्त एक सरल रूप से जुड़ा हुआ कार्यक्षेत्र (गणितीय विश्लेषण) है, जैसे कि G में F में हर पथ के साथ एक विश्लेषणात्मक निरंतरता है, D में कुछ निश्चित बिंदु से शुरू होता है। तो F G के लिए प्रत्यक्ष विश्लेषणात्मक निरंतरता है।

उपरोक्त भाषा में इसका अर्थ यह है कि यदि G एक साधारण रूप से जुड़ा हुआ कार्यक्षेत्र है, और S एक पुलिंदा है जिसके आधार बिंदुओं के सम्मुच्चय में G है, तो G पर एक विश्लेषणात्मक कार्य f मौजूद है जिसके जर्म S से सम्बन्ध रखते हैं।

हैडमार्ड का रिक्त् प्रमेय
एक घात श्रृंखला के लिए


 * $$f(z)=\sum_{k=0}^\infty a_k z^{n_k}$$

साथ


 * $$\liminf_{k\to\infty}\frac{n_{k+1}}{n_k} > 1$$

अभिसरण का चक्र एक प्राकृतिक सीमा है। ऐसी घात श्रृंखला को अशक्त प्रकार्य कहा जाता है।

इस प्रमेय को यूजेन फेब्री (फैब्री की रिक्त् प्रमेय देखें) और जॉर्ज पोल्या द्वारा काफी हद तक सामान्यीकृत किया गया है।

पोल्या की प्रमेय
अनुमति दें कि


 * $$f(z)=\sum_{k=0}^\infty \alpha_k (z-z_0)^k$$

एक घात श्रृंखला हो, तो वहां εk ∈ {−1, 1} इस प्रकार मौजूद है कि


 * $$f(z)=\sum_{k=0}^\infty \varepsilon_k\alpha_k (z-z_0)^k$$

एक प्राकृतिक सीमा के रूप में z0 के चारों ओर f की अभिसरण चक्रिका है।

इस प्रमेय का प्रमाण हैडमार्ड के अंतराल प्रमेय का उपयोग करता है।

एक उपयोगी प्रमेय: गैर-सकारात्मक पूर्णांकों के लिए विश्लेषणात्मक निरंतरता के लिए एक पर्याप्त स्थिति
ज्यादातर मामलों में, यदि किसी जटिल कार्य की विश्लेषणात्मक निरंतरता मौजूद है, तो यह एक अभिन्न सूत्र द्वारा दिया जाता है। अगला प्रमेय, बशर्ते इसकी परिकल्पना पूरी हो, एक पर्याप्त स्थिति प्रदान करता है जिसके अंतर्गत हम एक विश्लेषणात्मक कार्य को इसके अभिसरण बिंदुओं से सकारात्मक वास्तविकताओं $$s \in \Complex$$ के साथ मनमाने ढंग से जारी रख सकते हैं (परिमित-कई ध्रुवों के अपवाद के साथ)। इसके अलावा, सूत्र गैर-सकारात्मक पूर्णांकों की निरंतरता के मूल्यों के लिए एक स्पष्ट प्रतिनिधित्व देता है जो शून्य पर मूल्यांकन किए गए मूल प्रकार्य के उच्च व्युत्पादित हैं| उच्च क्रम (पूर्णांक) व्युत्पादित द्वारा व्यक्त किया गया है।

प्रमेय की परिकल्पना
हमें आवश्यकता है कि एक प्रकार्य $$F: \R^+ \to \Complex$$ नीचे बताए गए इस प्रकार्य की निरंतरता पर प्रमेय को लागू करने के लिए निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:


 * (T-1)। प्रकार्य में सभी अनुक्रम के निरंतर व्युत्पादित होने चाहिए, अर्थात, $$F \in \mathcal{C}^{\infty}(\R^{+})$$. दूसरे शब्दों में, किसी भी पूर्णांक के लिए $$j \geq 1$$, अभिन्न-क्रम $$j^{th}$$ यौगिक $$F^{(j)}(x) = \frac{d^{(j)}}{dx^{(j)}}[F(x)]$$ मौजूद होना चाहिए, $$\R^+$$ में निरंतर होना चाहिए और स्वयं अवकलनीय फलन हो, ताकि F के सभी उच्च कोटि के अवकलज धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर x के निर्बाध फलन हों
 * '(T-2).' हमें आवश्यकता है कि प्रकार्य F सभी $$n \in \Z^+$$ के लिए तेजी से घट रहा है  हम सीमित व्यवहार प्राप्त करते हैं कि $$t^nF(t) \to 0$$ जैसा कि T असीम हो जाता है और अनंत की ओर प्रवृत्त होता है
 * '(T-3).' (पारस्परिक गामा-पर्पटित) F का मेलिन परिवर्तन सभी जटिल S के लिए मौजूद है जैसे कि $$\Re(s) > 0$$ $$s \in \{\zeta_1(F), \zeta_2(F), \ldots, \zeta_k(F)\}$$के अपवाद के साथ (या संभवतः असाधारण ध्रुवों की एक सीमित संख्या को छोड़कर सभी सकारात्मक वास्तविक भागों के साथ):


 * $$\widetilde{\mathcal{M}}[F](s) := \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^{\infty} t^{s} F(t) \frac{dt}{t}, \qquad \left |\widetilde{\mathcal{M}}[F](s) \right| \in (-\infty, +\infty), \forall s \in \{z \in \Complex: \Re(z) > 0\} \setminus \{\zeta_1(F), \ldots, \zeta_k(F)\}.$$

प्रमेय का निष्कर्ष
F को सकारात्मक वास्तविकताओं पर परिभाषित कोई भी कार्य होने दें जो ऊपर की सभी शर्तों (T1)-(T3) को संतुष्ट करता है। फिर S पर F के माप किए गए मेलिन रूपांतरण का अभिन्न प्रतिनिधित्व $$\widetilde{\mathcal{M}}[F](s)$$ द्वारा निरूपित किया गया, जटिल समतल के लिए एक मेरोमोर्फिक निरंतरता $$\Complex \setminus \{\zeta_1(F), \ldots, \zeta_k(F)\}$$ है. इसके अलावा, यह हमारे पास किसी भी गैर-नकारात्मक $$n \in \Z$$ के लिए है, बिंदु $$s := -n$$ पर F की निरंतरता सूत्र द्वारा स्पष्ट रूप से दिया गया है


 * $$\widetilde{\mathcal{M}}[F](-n) = (-1)^{n} \times F^{(n)}(0) \equiv (-1)^{n} \times \frac{\partial^{n}}{{\partial x}^n}\left[F(x)\right] |_{x=0}.$$

उदाहरण I: रीमैन ज़ेटा प्रकार्य का बर्नौली अंकों से संयोजन
हम प्रमेय को फलन पर लागू कर सकते हैं


 * $$F_{\zeta}(x) := \frac{x}{e^x-1} = \sum_{n \geq 0} B_n \frac{x^n}{n!},$$

जो बरनौली संख्याओं $$B_n$$ के चरघातांकी जर्म फलन के संगत है। $$\Re(s) > 1$$ के लिये $$\zeta(s) = \widetilde{\mathcal{M}}[F_{\zeta}](s)$$ को व्यक्त कर सकते हैं, क्योंकि हम गणना कर सकते हैं कि पूर्णांकों की पारस्परिक घातयों के लिए अगला अभिन्न सूत्र $$n \geq 1$$ इस श्रेणी में s के लिए पकड़ कर रखता है:


 * $$\frac{1}{n^s} = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^{+\infty} t^{s-1} e^{-nt} dt, \Re(s) > 1. $$

अब चूँकि अंतिम समीकरण का समाकलन प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक n के लिए t का एक समान रूप से निरंतर कार्य है, हमारे पास इसके लिए एक अभिन्न प्रतिनिधित्व $$\zeta(s)$$ है जब कभी $$\Re(s) > 1$$ निम्न के द्वारा दिया गया:


 * $$\zeta(s) = \sum_{n \geq 1} n^{-s} = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^{+\infty} \left(\sum_{n \geq 1} e^{-nt}\right) t^{s-1} dt = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^{\infty} t^{s-1} \frac{F_{\zeta}(t)}{t} dt.$$

जब हम $$F_{\zeta}(x)$$के लिए मेलिन रूपांतर संपूर्ण के लिए भागों द्वारा एकीकरण करते हैं, हम यह भी संबंध प्राप्त करते हैं कि


 * $$\zeta(s) = \frac{1}{(s-1)} \widetilde{\mathcal{M}}[F_{\zeta}](s-1).$$

इसके अलावा, चूंकि $$e^t \gg t^{n}$$ T की किसी निश्चित पूर्णांक बहुपद घात के लिए, हम उस प्रमेय की परिकल्पना को पूरा करते हैं जिसके लिए $$\lim_{t \to +\infty} t^n \cdot F_{\zeta}(t), \forall n \in \Z^+$$ की आवश्यकता होती है। बरनौली संख्या के जनक प्रकार्य के लिए टेलर के प्रमेय के मानक अनुप्रयोग से पता चलता है कि $$F_{\zeta}^{(n)}(0) = \frac{B_n}{n!} \times n! = B_n$$। विशेष रूप से, $$s \mapsto s-1$$ स्थानान्तरित करने के लिए ऊपर किए गए अवलोकन द्वारा और इन टिप्पणियों द्वारा, हम रीमैन ज़ेटा प्रकार्य (के लिए) की तथाकथित रीमैन परिकल्पना के मूल्यों $$\zeta(-2n)$$ की गणना कर सकते हैं ) और परिमेय-मूल्यवान ऋणात्मक विषम पूर्णांक क्रम स्थिरांक $$\zeta(-(2n+1)), n \geq 0$$ है, सूत्र के अनुसार:


 * $$\zeta(-n) = -\frac{1}{n+1} \widetilde{\mathcal{M}}[F_{\zeta}](-n-1) = \frac{(-1)^n}{n+1} F_{\zeta}^{(n+1)}(0) = \begin{cases} -\frac{1}{2}, & n = 0; \\ \infty, & n = 1; \\ -\frac{B_{n+1}}{n+1}, & n \geq 2.\end{cases}$$

उदाहरण II: कुछ अंकगणितीय अनुक्रम के लिए योगात्मक फलन के रूप में F की व्याख्या
मान लीजिए कि F सकारात्मक वास्तविकताओं पर एक सुचारू, पर्याप्त रूप से घटता हुआ कार्य है जो अतिरिक्त स्थिति को संतुष्ट करता है


 * $$\Delta[F](x-1) = F(x)-F(x-1) =: f(x), \forall x \in \Z^{+}.$$

विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत संदर्भों के लिए आवेदन में, हम ऐसे F को अंकगणितीय प्रकार्य f का सारांश कार्य मानते हैं,


 * $$F(x) := {\sum_{n \geq x}}^{\prime} f(n)$$

जहाँ हम $$F(x) = 0, \forall 0<x<1$$ लेते हैं और पिछली राशि पर मुख्य-संकेत पद्धति पेरॉन सूत्र के लिए उपयोग किए जाने वाले मानक सम्मेलनों से मेल खाता है:


 * $$F_f(x) := {\sum_{n \leq x}}^{\prime} f(n) = \begin{cases} \sum_{n \leq [x]} f(n), & x \in \R^+ \setminus \Z; \\ \sum_{n \leq x} f(n) - \frac{f(x)}{2}, & x \in \R^+ \cap \Z.\end{cases}$$

हम F के डिरिचलेट उत्पादक प्रकार्य की विश्लेषणात्मक निरंतरता में रुचि रखते हैं, या F पर डीरिचलेट श्रृंखला के समतुल्य हैं,


 * $$D_f(s) := \sum_{n \geq 1} \frac{f(n)}{n^s}.$$

सामान्यतः, हमारे पास अभिसरण के भुज का एक विशेष मूल्य होता है, $$\sigma_{0,f} > 0$$, इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि $$D_f(s)$$ सभी जटिल s के संतोष के लिए $$\Re(s) > \sigma_{0,f}$$ बिल्कुल अभिसरण है, और जहाँ $$D_f(s)$$ माना जाता है कि एक ध्रुव $$s := \pm \sigma_{0,f}$$ है और इसलिए प्रारंभिक डिरिचलेट श्रृंखला $$D_f(s)$$ सभी S के लिए इस तरह विचलन करता है कि $$\Re(s) \leq \sigma_{0,f}$$। यह ज्ञात है कि किसी भी F के सारांश कार्य के मेलिन परिवर्तन के बीच इसके DGF की निरंतरता के बीच $$s \mapsto -s$$ रूप का संबंध है :


 * $$D_f(s) = \mathcal{M}[F](-s) = \int_1^{\infty} \frac{F_f(s)}{x^{s+1}} dx$$

कहने का तात्पर्य यह है कि, बशर्ते कि $$D_f(s)$$ मूल के बाईं ओर स्थित जटिल समतल तक जारी रहे, F के DGF के व्युत्क्रम मेलिन परिवर्तन द्वारा शून्य से कम वास्तविक भागों के साथ जारी रखा गया है:
 * $$F_f(x) = \mathcal{M}^{-1}\left[\mathcal{M}[F_f](-s)\right](x) = \mathcal{M}^{-1}[D_f(-s)](x).$$

हम किसी भी निर्धारित f के DGF, या डिरिक्ले श्रृंखला का निर्माण कर सकते हैं, जो कि हमारे सुचारु लक्ष्य फलन F को भागों द्वारा योग करके दिया गया है


 * $$\begin{align}

D_f(s) &= \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^{+\infty} \left(\sum_{n \geq 1} (F(n) - F(n-1)) e^{-nt}\right) t^{s} dt \\ &= \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^{\infty} \lim_{N \to \infty} \left[F(N) e^{-Nt} + \sum_{k=0}^{N-1} F(k) e^{-kt}\left(1-e^{-t} \right) \right] dt \\ &= \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^{\infty} t^{s-1} (1-e^{-t}) \int_0^{\infty} F(r/t) e^{-r} dr dt \\ &= \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^{\infty} t^{s-1} \left(1-e^{-t}\right) \widetilde{F}\left(\frac{1}{t}\right) dt \\ &= \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^{\infty} \frac{\left(1-e^{-1/u}\right)}{u^{s} (1-u)} F\left(\frac{u}{1-u}\right) du, \end{align}$$ जहाँ पर $$\hat{F}(x) \equiv \mathcal{L}[F](x)$$ एफ का लाप्लास रूपांतरण है| जो अगर


 * $$F(z) := \sum_{n \geq 0} \frac{f_n}{n!} z^n$$

द्वारा प्रगणित कुछ अनुक्रम के घातीय उत्पादक प्रकार्य से मेल खाती है $$f_n/n! = F^{(n)}(0)/n!$$ (जैसा कि शून्य के बारे में F के टेलर श्रृंखला विस्तार द्वारा निर्धारित किया गया है), फिर


 * $$\widetilde{F}(z) = \sum_{n \geq 0} f_n z^n$$

अनुक्रम पर इसका सामान्य जर्म फलन रूप है जिसके गुणांकों की गणना की जाती है $$[z^n] \widetilde{F}(z) \equiv f_n = F^{(n)}(0)$$.

तो यह इस प्रकार है कि अगर हम लिखते हैं


 * $$G_F(x) := \frac{x}{1-x} F\left(\frac{x}{1-x}\right) = \sum_{n \geq 0} \left(\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} [z^k] F(z)\right) x^{n+1},$$

वैकल्पिक रूप से F के द्विपद परिवर्तन के एक हस्ताक्षरित संस्करण के रूप में व्याख्या की जाती है, फिर हम DGF को निम्नलिखित मेलिन परिवर्तन के रूप में व्यक्त कर सकते हैं $$-s$$:


 * $$\begin{align}

D_f(s) &= \mathcal{M}[G_F](-s) \mathcal{M}\left[1-e^{-1/x}\right](-s) \\ &= \frac{\mathcal{M}[G_F](-s)}{s-1}\left(1-\Gamma(s)\right) \end{align}$$ अंत में, चूंकि गामा प्रकार्य में मेरोमोर्फिक निरंतरता $$\Complex \setminus \N$$ है, सभी के लिए $$s \in \Complex \setminus \{0,1,2,\ldots\},$$ हमारे पास विधि के f at -s के लिए DGF की विश्लेषणात्मक निरंतरता है


 * $$D_f(-s) = -\frac{1-\Gamma(-s)}{s+1} \mathcal{M}[G_F](s),$$

जहां के लिए एक सूत्र $$D_f(-n)$$ प्रमेय में सूत्र के अनुसार गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n के लिए दिया गया है


 * $$D_f(-n) = (-1)^n \frac{d^n}{{dx}^n}\left[\left(1-e^{-1/x}\right) \frac{x}{1-x} F\left(\frac{x}{1-x}\right)\right] \Biggr|_{x=0}.$$

इसके अलावा, बशर्ते कि अंकगणितीय फलन f $$f(1) \neq 1$$ को संतुष्ट करता हो ताकि इसका डिरिचलेट प्रतिलोम फलन मौजूद हो, $$f^{-1}$$ का DGF किसी $$s \in \Complex \cap \{z: \Re(z) \in (-\infty, -\sigma_{0,f}) \cup (\sigma_{0,f}, +\infty)\}$$ के लिए जारी है, वह कोई भी जटिल s है जिसमें f- परिभाषित, या अनुप्रयोग पर निर्भर f- विशिष्ट, ऊर्ध्वाधर रेखाओं के बीच तथाकथित महत्वपूर्ण पट्टी में s को छोड़कर $$z=\pm\sigma_{0,f}$$, और इस व्युत्क्रम प्रकार्य DGF का मान जब $$\Re(s) < -\sigma_{0,f}$$ द्वारा दिया गया है
 * $$D_{f^{-1}}(-s) = \begin{cases} 0, & n \in \N; \\ -\frac{s+1}{1-\Gamma(-s)} \mathcal{M}[G_F^{-1}](s), & \text{otherwise.}\end{cases}$$

इस F-परिभाषित महत्वपूर्ण पट्टी के अंदर डीरिचलेट व्युत्क्रम प्रकार्य के DGF को जारी रखने के लिए, हमें DGF के लिए एक कार्यात्मक समीकरण के कुछ ज्ञान की आवश्यकता होगी, $$D_f(s)$$जो हमें s को इस तरह से संबंधित करने की अनुमति देता है कि इस प्रकार्य को शुरू में परिभाषित करने वाली डिरिचलेट श्रृंखला इस पट्टी के अंदर s के मानों के लिए बिल्कुल अभिसारी है - संक्षेप में, एक सूत्र जो प्रदान करता है $$D_f(s) = \xi_f(s) \times D_f(\sigma_{0,f}-s)$$ इस स्ट्रिप में DGF को परिभाषित करना जरूरी है।

यह भी देखें

 * मित्तग-लेफ़लर ऋक्ष
 * पूर्णसममितिक कार्यात्मक कलन
 * संख्यात्मक विश्लेषणात्मक निरंतरता

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 * अभिसरण का भुज
 * उलटा मेलिन रूपांतरण
 * मेरोमॉर्फिक निरंतरता
 * पूर्णसममितिकफंक्शनल कैलकुलस

बाहरी संबंध

 * Analytic Continuation at MathPages
 * Analytic Continuation at MathPages