निहित सतह

गणित में, एक अंतर्निहित सतह एक समीकरण द्वारा परिभाषित यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक सतह (ज्यामिति) है
 * $$F(x,y,z)=0.$$ एक अन्तर्निहित सतह कई वास्तविक चरों के एक फलन के एक फलन के शून्य का समुच्चय है। अंतर्निहित फ़ंक्शन का अर्थ है कि समीकरण को हल नहीं किया गया है $x$ या $y$ या $z$.

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ आमतौर पर एक समीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है $$z=f(x,y)$$ और एक स्पष्ट प्रतिनिधित्व कहा जाता है। सतह का तीसरा आवश्यक विवरण पैरामीट्रिक समीकरण एक है: $$(x(s,t),y(s,t), z(s,t))$$, जहां $x$-, $y$- और $z$-सतह बिंदुओं के निर्देशांक तीन कार्यों द्वारा दर्शाए जाते हैं $$x(s,t)\,, y(s,t)\, , z(s,t)$$ सामान्य मापदंडों के आधार पर $$s,t$$. आम तौर पर प्रतिनिधित्व का परिवर्तन स्पष्ट प्रतिनिधित्व होने पर ही सरल होता है $$z=f(x,y)$$ दिया हुआ है: $$z-f(x,y)=0$$ (अंतर्निहित), $$ (s,t,f(s,t)) $$ (पैरामीट्रिक)।

उदाहरण: एक विमान, एक गोले और एक टोरस के लिए सरल पैरामीट्रिक अभ्यावेदन मौजूद हैं। यह चौथे उदाहरण के लिए सही नहीं है।
 * 1) विमान (ज्यामिति) $$ x+2y-3z+1=0.$$
 * 2) क्षेत्र (ज्यामिति) $$ x^2+y^2+z^2-4=0.$$
 * 3) द टोरस (गणित) $$(x^2+y^2+z^2+R^2-a^2)^2-4R^2(x^2+y^2)=0. $$
 * 4) जीनस (गणित) की एक सतह 2: $$2y(y^2-3x^2)(1-z^2)+(x^2+y^2)^2-(9z^2-1)(1-z^2)=0$$ (आरेख देखें)।
 * 5) क्रांति की सतह $$ x^2+y^2-(\ln(z+3.2))^2-0.02=0$$ (डायग्राम वाइनग्लास देखें)।

निहित कार्य प्रमेय उन स्थितियों का वर्णन करता है जिनके तहत एक समीकरण $$F(x,y,z)=0$$ के लिए (कम से कम निहित रूप से) हल किया जा सकता है $x$, $y$ या $z$. लेकिन सामान्य तौर पर समाधान को स्पष्ट नहीं किया जा सकता है। यह प्रमेय एक सतह की आवश्यक ज्यामितीय विशेषताओं की गणना की कुंजी है: स्पर्शरेखा विमान, सतह सामान्य, गॉसियन वक्रता (नीचे देखें)। लेकिन उनमें एक आवश्यक कमी है: उनका विज़ुअलाइज़ेशन कठिन है।

अगर $$F(x,y,z)$$ में बहुपद है $x$, $y$ और $z$, सतह को बीजगणितीय सतह कहा जाता है। उदाहरण 5 गैर-बीजीय है।

विज़ुअलाइज़ेशन की कठिनाई के बावजूद, निहित सतहें सैद्धांतिक रूप से (जैसे स्टेनर सतह) और व्यावहारिक रूप से (नीचे देखें) दिलचस्प सतहों को उत्पन्न करने के लिए अपेक्षाकृत सरल तकनीक प्रदान करती हैं।

सूत्र
निम्नलिखित विचारों के दौरान निहित सतह को एक समीकरण द्वारा दर्शाया गया है $$F(x,y,z)=0$$ जहां समारोह $$F$$ भिन्नता की आवश्यक शर्तों को पूरा करता है। का आंशिक डेरिवेटिव $$F$$ हैं $$F_x,F_y,F_z,F_{xx},\ldots$$.

स्पर्शरेखा विमान और सामान्य वेक्टर
एक सतह बिंदु $$(x_0, y_0,z_0)$$ नियमित कहा जाता है अगर और केवल अगर की ढाल $$F$$ पर $$(x_0, y_0,z_0)$$ शून्य सदिश नहीं है $$(0, 0, 0)$$, अर्थ
 * $$ (F_x(x_0,y_0,z_0),F_y(x_0,y_0,z_0),F_z(x_0,y_0,z_0))\ne (0,0,0)$$.

यदि सतह बिंदु $$(x_0, y_0,z_0)$$ नियमित नहीं है, उसे 'एकवचन' कहते हैं।

एक नियमित बिंदु पर स्पर्शरेखा विमान का समीकरण $$(x_0,y_0,z_0)$$ है
 * $$F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0,$$

और एक सामान्य वेक्टर है
 * $$ \mathbf n(x_0,y_0,z_0)=(F_x(x_0,y_0,z_0),F_y(x_0,y_0,z_0),F_z(x_0,y_0,z_0))^T.$$

सामान्य वक्रता
सूत्र को सरल रखने के लिए तर्क $$(x_0,y_0,z_0)$$ छोड़े गए हैं:


 * $$\kappa_n = \frac{\mathbf v^\top H_F\mathbf v}{\|\operatorname{grad} F\|}$$

इकाई स्पर्शरेखा दिशा के लिए एक नियमित बिंदु पर सतह की सामान्य वक्रता है $$ \mathbf v$$. $$H_F$$ का हेसियन मैट्रिक्स है $$F$$ (दूसरे डेरिवेटिव का मैट्रिक्स)।

इस सूत्र का प्रमाण अंतर्निहित कार्य प्रमेय और एक पैरामीट्रिक सतह के सामान्य वक्रता के सूत्र पर निर्भर करता है (जैसा कि एक अंतर्निहित वक्र के मामले में)।

अंतर्निहित सतहों के अनुप्रयोग
निहित वक्रों के मामले में सरल आदिम पर बीजगणितीय संचालन (जोड़, गुणन) लागू करके वांछित आकृतियों के साथ निहित सतहों को उत्पन्न करना एक आसान काम है।

बिन्दु आवेशों की समविभव सतह
एक बिंदु आवेश की विद्युत क्षमता $$q_i$$ बिंदु पर $$\mathbf p_i=(x_i,y_i,z_i)$$ बिन्दु पर उत्पन्न करता है $$ \mathbf p=(x,y,z)$$ संभावित (भौतिक स्थिरांक छोड़कर)
 * $$F_i(x,y,z)=\frac{q_i}{\|\mathbf p -\mathbf p_i\|}.$$

संभावित मूल्य के लिए समविभव सतह $$c$$ निहित सतह है $$ F_i(x,y,z)-c=0 $$ जो बिंदु पर केंद्र के साथ एक गोला है $$\mathbf p_i$$.

की क्षमता $$4$$ बिंदु शुल्क द्वारा दर्शाया गया है
 * $$F(x,y,z)=\frac{q_1}{\|\mathbf p -\mathbf p_1\|}+ \frac{q_2}{\|\mathbf p -\mathbf p_2\|}+ \frac{q_3}{\|\mathbf p -\mathbf p_3\|}+\frac{q_4}{\|\mathbf p -\mathbf p_4\|}.$$

चित्र के लिए चार आवेश 1 के बराबर हैं और बिंदुओं पर स्थित हैं $$(\pm 1,\pm 1,0)$$. प्रदर्शित सतह समविभव सतह (अंतर्निहित सतह) है $$F(x,y,z)-2.8=0$$.

लगातार दूरी उत्पाद सतह
एक कैसिनी अंडाकार को उस बिंदु सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसके लिए दो दिए गए बिंदुओं की दूरी का गुणनफल स्थिर होता है (इसके विपरीत, दीर्घवृत्त के लिए योग स्थिर होता है)। इसी तरह अंतर्निहित सतहों को निरंतर दूरी उत्पाद द्वारा कई निश्चित बिंदुओं पर परिभाषित किया जा सकता है।

आरेख में रूपांतर में ऊपरी बाएँ सतह इस नियम द्वारा उत्पन्न होती है: साथ



\begin{align} F(x,y,z) = {} & \Big( \sqrt{(x-1)^2+y^2+z^2}\cdot \sqrt{(x+1)^2+y^2+z^2} \\ & \qquad \cdot \sqrt{x^2+(y-1)^2+z^2}\cdot\sqrt{x^2+(y+1)^2+z^2} \Big) \end{align} $$ निरंतर दूरी उत्पाद सतह $$F(x,y,z)-1.1=0$$ यह प्रदर्शित है।

अन्तर्निहित सतहों का कायांतरण
नई अन्तर्निहित सतहों को उत्पन्न करने के लिए एक और सरल विधि को अन्तर्निहित सतहों का कायापलट कहा जाता है:

दो अंतर्निहित सतहों के लिए $$F_1(x,y,z)=0, F_2(x,y,z)=0$$ (आरेख में: एक निरंतर दूरी उत्पाद सतह और एक टोरस) डिजाइन पैरामीटर का उपयोग करके नई सतहों को परिभाषित करता है $$ \mu \in [0,1]$$:
 * $$F(x,y,z)=\mu F_1(x,y,z)+(1-\mu)F_2(x,y,z)=0$$ आरेख में डिजाइन पैरामीटर क्रमिक रूप से है $$\mu=0, \, 0.33, \, 0.66, \, 1$$.



कई अंतर्निहित सतहों का चिकना अनुमान
$$\Pi$$-सतहों किसी भी चिकनी और बंधी हुई वस्तु का अनुमान लगाने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है $$R^3$$ जिसकी सतह को सहायक बहुपदों के उत्पाद के रूप में एकल बहुपद द्वारा परिभाषित किया गया है। दूसरे शब्दों में, हम किसी भी चिकनी वस्तु को एक बीजगणितीय सतह के साथ डिज़ाइन कर सकते हैं। आइए हम परिभाषित बहुपदों को निरूपित करें $$f_i\in\mathbb{R}[x_1,\ldots,x_n](i=1,\ldots,k)$$. फिर, अनुमानित वस्तु को बहुपद द्वारा परिभाषित किया जाता है
 * $$F(x,y,z) = \prod_i f_i(x,y,z) - r$$ कहाँ $$r\in\mathbb{R}$$ सम्मिश्रण पैरामीटर के लिए खड़ा है जो अनुमानित त्रुटि को नियंत्रित करता है।

निहित वक्रों के साथ सहज सन्निकटन के अनुरूप, समीकरण
 * $$F(x,y,z)=F_1(x,y,z)\cdot F_2(x,y,z)\cdot F_3(x,y,z) -r= 0$$

उपयुक्त मापदंडों के लिए प्रतिनिधित्व करता है $$c$$ समीकरणों के साथ तीन अन्तर्विभाजक तोरी का सहज सन्निकटन



\begin{align} F_1=(x^2+y^2+z^2+R^2-a^2)^2-4R^2(x^2+y^2)=0, \\[3pt] F_2=(x^2+y^2+z^2+R^2-a^2)^2-4R^2(x^2+z^2)=0, \\[3pt] F_3=(x^2+y^2+z^2+R^2-a^2)^2-4R^2(y^2+z^2)=0. \end{align} $$ (आरेख में पैरामीटर हैं $$ R=1, \, a=0.2, \, r=0.01.$$)

अंतर्निहित सतहों का दृश्य
रेंडरिंग (कंप्यूटर ग्राफिक्स) निहित सतहों के लिए विभिन्न एल्गोरिदम हैं, मार्चिंग क्यूब्स एल्गोरिदम सहित। अनिवार्य रूप से एक निहित सतह को देखने के लिए दो विचार हैं: एक बहुभुज का जाल उत्पन्न करता है जिसे देखा जाता है (सतह त्रिभुज देखें) और दूसरा किरण अनुरेखण (ग्राफिक्स)  पर निर्भर करता है जो सतह के साथ किरणों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को निर्धारित करता है। सतह की दूरी का पता लगाने के लिए एक हस्ताक्षरित दूरी फ़ंक्शन का उपयोग करके चौराहे के बिंदुओं को गोलाकार अनुरेखण द्वारा अनुमानित किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * अंतर्निहित वक्र

अग्रिम पठन

 * Gomes, A., Voiculescu, I., Jorge, J., Wyvill, B., Galbraith, C.: Implicit Curves and Surfaces: Mathematics, Data Structures and Algorithms, 2009, Springer-Verlag London, ISBN 978-1-84882-405-8
 * Thorpe: Elementary Topics in Differential Geometry, Springer-Verlag, New York, 1979, ISBN 0-387-90357-7

बाहरी संबंध

 * Sultanow: Implizite Flächen
 * Hartmann: Geometry and Algorithms for COMPUTER AIDED DESIGN
 * GEOMVIEW
 * K3Dsurf: 3d surface generator
 * SURF: Visualisierung algebraischer Flächen