कैसिनी अंडाकार

[[File:Cassini-3kurv.svg|300px|thumb|तीन कैसिनी अंडाकार, जिस सीमा के भीतर पैरामीटर भिन्न होता है $e$ (के बराबर $b/a$) गिरता है:

नहीं दिख रहा: $0 < e < 1$ (उत्तल)।]]ज्यामिति में, कैसिनी अंडाकार चतुर्भुज समतल वक्र है जिसे समतल (ज्यामिति) में बिंदुओं के बिंदुपथ (गणित) के रूप में परिभाषित किया जाता है, जैसे कि दो निश्चित बिंदुओं (फोकस (ज्यामिति)) की दूरी का गुणनफल (गणित) स्थिर होता है। इसकी तुलना दीर्घवृत्त से की जा सकती है, जिसके लिए उत्पाद के अतिरिक्त दूरियों का योग स्थिर होता है। कैसिनी अण्डाकार बहुपद द्विपाशी का विशेष स्थिति है जब उपयोग किए गए बहुपद की घात 2 होती है।

कैसिनी अंडाकारों का नाम खगोलशास्त्री जॉन डोमिनिक कैसिनी के नाम पर रखा गया है जिन्होंने 17वीं शताब्दी के अंत में इसका अध्ययन किया था। कैसिनी का मानना था कि सूर्य अंडाकार के एक फोकस पर पृथ्वी के साथ इन अंडाकारों में से एक पर पृथ्वी के चारों ओर घूमता है।

अन्य नामों में कैसिनियन अंडाकार, कैसिनियन वक्र और कैसिनी के अंडाकार शामिल हैं।

औपचारिक परिभाषा
कैसिनी अंडाकार बिंदुओं का समूह है, जैसे कि किसी भी बिंदु के लिए $$P$$ सेट का, दूरियों का गुणनफल $$|PP_1|,\, |PP_2|$$ दो निश्चित बिंदुओं के लिए $$P_1, P_2$$ स्थिर है, जिसे आमतौर पर लिखा जाता है $$b^2$$ कहाँ $$b > 0$$:
 * $$\{P : |PP_1| \!\!\;\times\!\!\; |PP_2| = b^2 \}\ .$$

दीर्घवृत्त की तरह, निश्चित बिंदु $$P_1,P_2$$ कैसिनी अंडाकार का foci कहा जाता है।

समीकरण
यदि नाभियाँ (a, 0) और (−a, 0) हैं, तो वक्र का समीकरण है
 * $$((x-a)^2+y^2)((x+a)^2+y^2) = b^4.$$

विस्तारित होने पर यह बन जाता है
 * $$(x^2+y^2)^2-2a^2(x^2-y^2)+a^4 = b^4.$$

समतुल्य ध्रुवीय निर्देशांक समीकरण है
 * $$r^4-2a^2r^2 \cos 2\theta = b^4-a^4.\,$$

आकार
वक्र, समानता तक, e = b/a पर निर्भर करता है। जब e < 1, वक्र में दो डिस्कनेक्ट लूप होते हैं, जिनमें से प्रत्येक में फोकस होता है। जब ई = 1, वक्र बर्नौली का लेम्निस्केट होता है जिसका मूल बिंदु पर दोहरे बिंदु (विशेष रूप से, crunode) के साथ बग़ल में आकृति आठ का आकार होता है। जब e > 1, वक्र एकल, जुड़ा हुआ लूप होता है जो दोनों फ़ोकस को घेरता है। यह मूंगफली के आकार का होता है $$1 < e < \sqrt{2}$$ और के लिए उत्तल $$e \geq \sqrt{2}$$. → 0 का सीमित मामला (इसलिए ई → $$\infty$$), जिस स्थिति में foci दूसरे के साथ मेल खाते हैं, वह वृत्त है।

वक्र में हमेशा ± c पर x-अवरोधन होता है जहाँ c है2 = ए 2 + बी 2। जब e < 1 में दो अतिरिक्त वास्तविक संख्या x-अवरोधन होते हैं और जब e > 1 में दो वास्तविक y-प्रतिच्छेद होते हैं, तो अन्य सभी x- और y-प्रतिच्छेद काल्पनिक होते हैं। वक्र में अनंत पर वृत्ताकार बिंदुओं पर दोहरे बिंदु होते हैं, दूसरे शब्दों में वक्र वृत्ताकार बीजगणितीय वक्र होता है। ये बिंदु बिफलेक्नोड्स हैं, जिसका अर्थ है कि इन बिंदुओं पर वक्र की दो अलग-अलग स्पर्शरेखाएँ हैं और वक्र की प्रत्येक शाखा में विभक्ति बिंदु है। इस जानकारी और प्लकर सूत्र से| प्लकर के फ़ार्मुलों से मामले के लिए प्लकर संख्या निकालना संभव है e ≠ 1: डिग्री = 4, वर्ग = 8, नोड्स की संख्या = 2, क्यूप्स की संख्या = 0, डबल स्पर्शरेखाओं की संख्या = 8, विभक्ति के बिंदुओं की संख्या = 12, वंश = 1. वृत्ताकार बिंदुओं पर स्पर्शरेखाएँ x ± iy = ± a द्वारा दी जाती हैं, जिनके प्रतिच्छेदन के वास्तविक बिंदु (± a, 0) हैं। तो, वास्तव में, फोकस प्लकर द्वारा परिभाषित अर्थ में फोकस हैं। वृत्ताकार बिंदु विभक्ति के बिंदु हैं इसलिए ये ट्रिपल फ़ोकस हैं। जब e ≠ 1 वक्र में कक्षा आठ होती है, जिसका अर्थ है कि कुल आठ वास्तविक फोकस होने चाहिए। इनमें से छह को दो ट्रिपल फॉसी में गिना गया है और शेष दो पर हैं
 * $$(\pm a \sqrt{1-e^4}, 0)\quad(e<1)$$
 * $$(0, \pm a \sqrt{e^4-1})\quad(e>1).$$

अतः अतिरिक्त फोकस x-अक्ष पर होते हैं जब वक्र में दो लूप होते हैं और y-अक्ष पर जब वक्र में लूप होता है।

कैसिनी अंडाकार और ऑर्थोगोनल प्रक्षेपवक्र
किसी दिए गए पेंसिल (गणित) के घटता के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपवक्र वक्र होते हैं जो सभी दिए गए वक्रों को लंबवत रूप से काटते हैं। उदाहरण के लिए Confocal conic section ellipses की पेंसिल के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपवक्र ही foci के साथ confocal hyperbolas हैं। कैसिनी अंडाकार के लिए है:
 * फोसी के साथ कैसिनी वक्रों के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपवक्र $$P_1, P_2$$ युक्त समबाहु अतिपरवलय हैं $$P_1, P_2$$ कैसिनी अंडाकार के समान केंद्र के साथ (चित्र देखें)।

सबूत: सादगी के लिए कोई चुनता है $$P_1 = (1,0),\, P_2 = (-1,0)$$.
 * कैसिनी अंडाकारों का समीकरण है
 * $$f(x,y) = (x^2+y^2)^2-2(x^2-y^2)+1-b^4=0.$$
 * समबाहु अतिपरवलय (उनके स्पर्शोन्मुख आयताकार हैं) युक्त $$(1, 0), (-1, 0)$$ केंद्र के साथ $$(0, 0)$$ समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है
 * $$x^2 - y^2 - \lambda x y - 1 = 0,\ \ \ \lambda \in \R.$$

इन शंकु खंडों में y-अक्ष के साथ कोई बिंदु नहीं है और x-अक्ष पर प्रतिच्छेद करते हैं $$(\pm 1, 0)$$. उनका शंक्वाकार खंड # सामान्य कार्तीय रूप दर्शाता है कि ये वक्र अतिपरवलय हैं। अधिक विस्तृत जांच से पता चलता है कि अतिपरवलय आयताकार होते हैं। मानदंड प्राप्त करने के लिए, जो पैरामीटर से स्वतंत्र हैं $$\lambda$$ निम्नलिखित निहित प्रतिनिधित्व अधिक सुविधाजनक है
 * $$g(x,y) = \frac{x^2 - y^2 -1}{xy} - \lambda = \frac{x}{y} - \frac{y}{x} - \frac{1}{xy} - \lambda = 0 \; .$$

साधारण गणना से पता चलता है $$\operatorname{grad}f(x,y) \cdot \operatorname{grad}g(x,y) = 0$$ सभी के लिए $$(x,y),\, x \ne 0 \ne y$$. इसलिए कैसिनी अंडाकार और हाइपरबोलस लंबवत रूप से प्रतिच्छेद करते हैं।

टिप्पणी: कैसिनी अंडाकार और हाइपरबोलस को दर्शाने वाली छवि उत्पन्न विद्युत क्षेत्र की रेखाओं के साथ दो समान बिंदु आवेशों के समविभव वक्र वक्र की तरह दिखती है। लेकिन दो समान बिंदु आवेशों की क्षमता के लिए के पास है $$1/|PP_1| + 1/|PP_2| = \text{constant}$$. (अंतर्निहित वक्र देखें।)

सिंगल-लूप और डबल लूप कैसिनी कर्व्स को एक-दूसरे के ऑर्थोगोनल ट्रैजेक्टोरियों के रूप में दर्शाया जा सकता है जब प्रत्येक परिवार समाक्षीय होता है लेकिन मुखर नहीं होता है। यदि सिंगल-लूप द्वारा वर्णित किया गया है $$(x^2+y^2)-1=axy$$ तब foci अक्ष पर परिवर्तनशील होते हैं $$y=x$$ अगर $$a>0$$, $$y=-x$$ अगर $$a<0$$; यदि डबल-लूप द्वारा वर्णित किया गया है $$(x^2+y^2)+1=b(x^2-y^2)$$ तो अक्ष क्रमशः हैं, $$y=0$$ और $$x=0$$. प्रत्येक वक्र, समानता तक, छवि में दो बार प्रकट होता है, जो अब क्षेत्र रेखाओं और चार समान बिंदु आवेशों के लिए संभावित वक्र जैसा दिखता है, जो पर स्थित है $$(\pm1,0)$$ और $$(0,\pm1)$$. इसके अलावा, ऊपरी अर्ध-तल में इस छवि का भाग निम्नलिखित स्थिति को दर्शाता है: डबल-लूप सीधे संरेखण द्वारा उत्पादित अतिशयोक्तिपूर्ण तल में केंद्रीय स्टेनर शांकवों के लिए सर्वांगसमता वर्गों का घटा हुआ सेट है; और प्रत्येक एकल-लूप बिंदुओं का स्थान है $$P$$ ऐसा कि कोण $$OPQ$$ स्थिर है, कहाँ $$O=(0,1)$$ और $$Q$$ के माध्यम से लंबवत का पैर है $$P$$ द्वारा वर्णित रेखा पर $$x^2+y^2=1$$.

उदाहरण
The second [[commons:Image:Lemniscates5.png|मंडेलब्रॉट सेट का लेम्निस्केट कैसिनी अंडाकार है जिसे समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है $$L_2=\{c: \operatorname{abs}(c^2 + c)=ER \}.$$ इसकी नाभियाँ उस जटिल समतल पर बिंदु c पर होती हैं जिसमें कक्षाएँ होती हैं जहाँ z का प्रत्येक दूसरा मान शून्य के बराबर होता है, जो कि मान 0 और -1 हैं।

कैसिनी अंडाकार तोरी
हैं कैसिनी ओवल टॉरस के प्लेनर सेक्शन के रूप में दिखाई देते हैं, लेकिन केवल तभी
 * काटने वाला विमान टोरस्र्स की धुरी के समानांतर होता है और धुरी की दूरी उत्पन्न करने वाले सर्कल के त्रिज्या के बराबर होती है (चित्र देखें)।

समीकरण के साथ टोरस का चौराहा
 * $$\left(x^2+y^2+z^2 + R^2 - r^2\right)^2 = 4R^2 \!\left(x^2+y^2\right)$$

और विमान $$y=r$$ पैदावार
 * $$\left(x^2+z^2 + R^2\right)^2 = 4R^2 \!\left(x^2+r^2\right).$$

पहले कोष्ठक को आंशिक रूप से हल करने के बाद समीकरण प्राप्त होता है
 * $$\left(x^2+z^2\right)^2 -2R^2(x^2-z^2)= 4R^2r^2-R^4,$$

जो पैरामीटर के साथ कैसिनी अंडाकार का समीकरण है $$b^2 = 2Rr$$ और $$a = R$$.

सामान्यीकरण
कैसिनी की विधि मनमाने ढंग से कई परिभाषित बिंदुओं के साथ घटता और सतहों को सामान्यीकृत करना आसान है: प्लानर केस में इंप्लिसिट कर्व और 3-स्पेस में निहित सतह का वर्णन करता है। <गैलरी की चौड़ाई = 200 ऊँचाई = 200 वर्ग = "फ्लोट-लेफ्ट> Cassini-3p.svg|3 परिभाषित बिंदुओं के साथ वक्र Cassinifl-6p-holz.png|6 परिभाषित बिंदुओं वाली सतह 
 * $$|PP_1| \times |PP_2| \times \cdots \times |PP_n| = b^n$$

यह भी देखें

 * दो-केंद्र द्विध्रुवी निर्देशांक

संदर्भ

 * Bibliography
 * Lawden, D. F., "Families of ovals and their orthogonal trajectories", Mathematical Gazette 83, November 1999, 410–420.
 * Lawden, D. F., "Families of ovals and their orthogonal trajectories", Mathematical Gazette 83, November 1999, 410–420.
 * Lawden, D. F., "Families of ovals and their orthogonal trajectories", Mathematical Gazette 83, November 1999, 410–420.
 * Lawden, D. F., "Families of ovals and their orthogonal trajectories", Mathematical Gazette 83, November 1999, 410–420.

बाहरी संबंध

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 * "MacTutor History of Mathematics" Famous Curves
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