क्लेन क्वार्टिक



अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति में, क्लेन क्वार्टिक, जिसका नाम फेलिक्स क्लेन के नाम पर रखा गया है, इस जीनस के लिए उच्चतम संभव ऑर्डर ऑटोमोर्फिज्म समूह के साथ जीनस 3 की एक कॉम्पैक्ट रीमैन सतह है, अर्थात् क्रम 168 अभिविन्यास-संरक्षण ऑटोमोर्फिज्म, और $168 × 2 = 336$ ऑटोमोर्फिज्म यदि अभिविन्यास विपरीत हो सकता है। इस प्रकार, क्लेन क्वार्टिक न्यूनतम संभव जीनस की हर्विट्ज़ सतह है; हर्विट्ज़ की ऑटोमोर्फिज्म प्रमेय देखें। इसका (अभिविन्यास-संरक्षण) ऑटोमोर्फिज्म समूह पीएसएल (2, 7) के लिए आइसोमोर्फिक है, जो वैकल्पिक समूह A5 के बाद दूसरा सबसे छोटा गैर-एबेलियन सरल समूह है। चतुर्थक का वर्णन सबसे पहले (क्लेन 1878बी) में किया गया था।

क्लेन का चतुर्थक गणित की कई शाखाओं में होता है, जिसमें प्रतिनिधित्व सिद्धांत, होमोलॉजी सिद्धांत, ऑक्टोनियन गुणन फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय और कक्षा संख्या एक के काल्पनिक द्विघात संख्या क्षेत्रों पर स्टार्क-हेगनर प्रमेय सम्मिलित हैं; संपत्तियों के सर्वेक्षण के लिए देखें (लेवी 1999)।

मूल रूप से, "क्लेन क्वार्टिक" विशेष रूप से एक बीजगणितीय समीकरण द्वारा परिभाषित जटिल प्रक्षेप्य स्थान $P^{2}(C)$ के उपसमुच्चय को संदर्भित करता है। इसमें एक विशिष्ट रीमैनियन मीट्रिक है (जो इसे $P^{2}(C)$ में एक न्यूनतम सतह बनाती है), जिसके तहत इसकी गॉसियन वक्रता स्थिर नहीं है। किंतु अधिक सामान्यतः (जैसा कि इस लेख में है) अब इसे किसी भी रीमैन सतह के रूप में माना जाता है जो इस बीजगणितीय वक्र के अनुरूप है, और विशेष रूप से वह जो एक निश्चित कोकॉम्पैक्ट समूह $G$ द्वारा हाइपरबॉलिक स्थान $H^{2}$ का भागफल है जो आइसोमेट्रीज़ द्वारा $H^{2}$ पर स्वतंत्र रूप से कार्य करता है। यह क्लेन क्वार्टिक को निरंतर वक्रता -1 का रीमैनियन मीट्रिक देता है जो इसे $H^{2}$ से प्राप्त होता है। अनुरूप रूप से समतुल्य रीमैनियन सतहों का यह सेट बिल्कुल जीनस 3 की सभी कॉम्पैक्ट रीमैनियन सतहों के समान है, जिसका अनुरूप ऑटोमोर्फिज्म समूह क्रम 168 के अद्वितीय सरल समूह के लिए आइसोमोर्फिक है। इस समूह को $PSL(2, 7)$ के रूप में भी जाना जाता है, और आइसोमॉर्फिक समूह $PSL(3, 2)$ के रूप में भी जाना जाता है। स्पेस सिद्धांत को कवर करके, ऊपर उल्लिखित समूह $G$ जीनस 3 की कॉम्पैक्ट सतह के मौलिक समूह के लिए आइसोमोर्फिक है।

बंद और खुले फॉर्म
चतुर्थक के दो अलग-अलग रूपों में अंतर करना महत्वपूर्ण है। कई गुना बंद  क्वार्टिक का मतलब आम तौर पर ज्यामिति में होता है; स्थलाकृतिक रूप से इसका जीनस 3 है और यह एक सघन स्थान है।  कई गुना खुला  या पंचर चतुर्थक संख्या सिद्धांत में रुचिकर है; टोपोलॉजिकल रूप से यह 24 पंचर के साथ एक जीनस 3 सतह है, और ज्यामितीय रूप से ये पंचर कस्प पड़ोस हैं। जैसा कि नीचे चर्चा की गई है, नियमित हेप्टागोन द्वारा टाइलिंग के 24 केंद्रों पर छेद करके बंद क्वार्टिक से खुले क्वार्टिक को (टोपोलॉजिकली) प्राप्त किया जा सकता है। खुले और बंद चतुर्थांश के अलग-अलग मेट्रिक्स होते हैं, हालांकि वे अतिशयोक्तिपूर्ण और पूर्ण दोनों होते हैं - ज्यामितीय रूप से, क्यूप्स अनंत पर बिंदु हैं, छिद्र नहीं, इसलिए खुला चतुर्थक अभी भी पूर्ण है।

बीजगणितीय वक्र के रूप में
क्लेन चतुर्थक को जटिल संख्याओं पर एक प्रक्षेपी किस्म के बीजगणितीय वक्र के रूप में देखा जा सकता है $C$, सजातीय निर्देशांक में निम्नलिखित चतुर्थक समीकरण द्वारा परिभाषित $[x:y:z]$ पर $P^{2}(C)$:


 * $$x^3y + y^3z + z^3x = 0.$$

इस समीकरण का स्थान $P^{2}(C)$ मूल रीमैनियन सतह है जिसका क्लेन ने वर्णन किया है।

चतुर्भुज बीजगणित निर्माण
कॉम्पैक्ट क्लेन क्वार्टिक का निर्माण एक उपयुक्त फुचियन समूह की क्रिया द्वारा अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति के भागफल के रूप में किया जा सकता है $Γ(I)$ जो आदर्श से जुड़ा प्रमुख सर्वांगसमता उपसमूह है $$I=\langle \eta-2\rangle$$ बीजगणितीय पूर्णांकों के वलय में $Z(η)$ क्षेत्र का $Q(η)$ कहाँ $η = 2 cos(2π/7)$. पहचान नोट करें


 * $$(2-\eta)^3= 7(\eta-1)^2,$$

प्रदर्शन $2 – η$ बीजगणितीय पूर्णांकों के वलय में 7 के अभाज्य गुणनखंड के रूप में।

समूह $Γ(I)$ (2,3,7) त्रिभुज समूह|(2,3,7) अतिपरवलयिक त्रिभुज समूह का एक उपसमूह है। अर्थात्, $Γ(I)$ जनरेटरों द्वारा साहचर्य बीजगणित के रूप में उत्पन्न चतुर्धातुक बीजगणित में इकाई मानदंड के तत्वों के समूह का एक उपसमूह है $i,j$ और संबंध


 * $$i^2=j^2=\eta, \qquad ij=-ji.$$

एक उपयुक्त हर्विट्ज़ क्वाटरनियन ऑर्डर चुनता है $$\mathcal Q_{\mathrm{Hur}}$$ चतुर्भुज बीजगणित में, $Γ(I)$ तो मानक 1 तत्वों का समूह है $$1+I\mathcal Q_{\mathrm{Hur}}$$. किसी अतिपरवलयिक तत्व के अंश का न्यूनतम निरपेक्ष मान $Γ(I)$ है $$\eta^2+3\eta+2$$, क्लेन क्वार्टिक की सिस्टोलिक ज्यामिति के लिए मान 3.936 के अनुरूप है, जो इस जीनस में उच्चतम में से एक है।

टाइलिंग
क्लेन चतुर्थक समरूपता समूह (एक नियमित मानचित्र (ग्राफ सिद्धांत)) से जुड़े टाइलिंग को स्वीकार करता है ), और इनका उपयोग समरूपता समूह को समझने में किया जाता है, जिसका संबंध क्लेन के मूल पेपर से है। समूह कार्रवाई के लिए एक मौलिक डोमेन दिया गया है (पूर्ण, अभिविन्यास-उलट समरूपता समूह के लिए, एक (2,3,7) त्रिकोण), प्रतिबिंब डोमेन (समूह के तहत इस डोमेन की छवियां) चतुर्थक की एक टाइलिंग देते हैं जैसे कि टाइलिंग का ऑटोमोर्फिज्म समूह सतह के ऑटोमोर्फिज्म समूह के बराबर होता है - टाइलिंग की रेखाओं में प्रतिबिंब समूह में प्रतिबिंबों के अनुरूप होते हैं (किसी दिए गए मौलिक त्रिकोण की रेखाओं में प्रतिबिंब 3 उत्पन्न करने वाले प्रतिबिंबों का एक सेट देते हैं)। यह टाइलिंग अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति (चतुर्थक का सार्वभौमिक आवरण) के क्रम-3 द्विभाजित सातकोणक टाइलिंग का एक भागफल है, और सभी हर्विट्ज़ सतहों को भागफल के समान ही टाइल किया गया है।

यह टाइलिंग एक समान है लेकिन नियमित नहीं है (यह स्केलीन त्रिकोण द्वारा होती है), और इसके बजाय अक्सर नियमित टाइलिंग का उपयोग किया जाता है। अतिशयोक्तिपूर्ण प्लेन में यूनिफ़ॉर्म टाइलिंग में किसी भी टाइलिंग का एक भागफल# .5B7.2C3.5D .287 3 2.29 समूह परिवार|(2,3,7) परिवार का उपयोग किया जा सकता है (और इसमें समान ऑटोमोर्फिज़्म समूह होगा); इनमें से, दो नियमित टाइलिंग 24 नियमित अतिशयोक्तिपूर्ण हेप्टागोन्स द्वारा टाइलिंग हैं, प्रत्येक डिग्री 3 (56 शीर्षों पर मिलते हुए) और दोहरी टाइलिंग 56 समबाहु त्रिभुजों द्वारा, प्रत्येक डिग्री 7 (24 शीर्षों पर मिलते हुए) हैं। ऑटोमोर्फिज्म समूह का क्रम संबंधित है, दोनों मामलों में बहुभुजों की संख्या बहुभुज में किनारों की संख्या से गुणा है।
 * 24 × 7 = 168
 * 56 × 3 = 168

अतिशयोक्तिपूर्ण तल पर कवरिंग टाइलिंग क्रम-3 द्विभाजित सप्तकोणीय टाइलिंग ऑर्डर-7 क्रम-3 सप्तकोणीय टाइलिंग

मैथ्यू समूह एम प्राप्त करने के लिए ऑटोमोर्फिज्म समूह को बढ़ाया जा सकता है (एक समरूपता द्वारा जिसे टाइलिंग की समरूपता द्वारा महसूस नहीं किया जाता है)।24.

चतुर्थक की प्रत्येक टाइलिंग के अनुरूप (चतुर्थक विविधता का उपसमुच्चय में विभाजन) एक अमूर्त बहुफलक है, जो ज्यामिति से अमूर्त होता है और केवल टाइलिंग के संयोजन को दर्शाता है (यह एक टाइलिंग से एक अमूर्त पॉलीटोप प्राप्त करने का एक सामान्य तरीका है) - पॉलीहेड्रॉन के कोने, किनारे और चेहरे, समान घटना संबंधों के साथ, टाइलिंग के कोने, किनारों और चेहरों के सेट के बराबर होते हैं, और अमूर्त पॉलीहेड्रॉन का (कॉम्बिनेटोरियल) ऑटोमोर्फिज्म समूह (ज्यामितीय) ऑटोमोर्फिज्म समूह के बराबर होता है चतुर्थांश का. इस तरह ज्यामिति कॉम्बिनेटरिक्स में सिमट जाती है।

एफ़िन चतुर्थक
उपरोक्त प्रक्षेप्य चतुर्थक (एक बंद मैनिफोल्ड) की टाइलिंग है; एफ़िन क्वार्टिक में 24 क्यूप्स (टोपोलॉजिकली, पंचर) होते हैं, जो नियमित त्रिकोणीय टाइलिंग के 24 शीर्षों के अनुरूप होते हैं, या समकक्ष रूप से हेप्टागोनल टाइलिंग में 24 हेप्टागोन्स के केंद्रों के अनुरूप होते हैं, और इन्हें निम्नानुसार महसूस किया जा सकता है।

की कार्यवाही पर विचार कर रही है $SL(2, R)$ पोंकारे अर्ध-तल मॉडल पर|ऊपरी अर्ध-तल मॉडल $H^{2}$मोबियस परिवर्तनों द्वारा अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति के, एफ़िन क्लेन चतुर्थक को भागफल के रूप में महसूस किया जा सकता है $Γ(7)\H^{2}$. (यहाँ $Γ(7)$ का सर्वांगसम उपसमूह है $SL(2, Z)$ जब सभी प्रविष्टियों को मॉड्यूलर अंकगणित लिया जाता है तो पहचान मैट्रिक्स के अनुरूप मैट्रिक्स सम्मिलित होते हैं 7.)

मौलिक डोमेन और पैंट अपघटन
फ़ुचियन समूह की क्रिया द्वारा क्लेन चतुर्थक को अतिशयोक्तिपूर्ण तल के भागफल के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। मूल डोमेन एक नियमित 14-गॉन है, जिसका क्षेत्रफल है $$8\pi$$ गॉस-बोनट प्रमेय द्वारा. इसे निकटवर्ती चित्र में देखा जा सकता है, जिसमें 336 (2,3,7) त्रिकोण भी सम्मिलित हैं जो सतह को टेसेलेट करते हैं और समरूपता के समूह को उत्पन्न करते हैं। (2,3,7) त्रिभुजों द्वारा टेस्सेलेशन के भीतर 24 नियमित सप्तभुजों द्वारा टेस्सेलेशन होता है। सतह का सिस्टोल 8 सप्तभुज पक्षों के मध्य बिंदुओं से होकर गुजरता है; इस कारण से इसे साहित्य में आठ चरणों वाली जियोडेसिक के रूप में संदर्भित किया गया है, और यही कारण है कि नीचे दिए गए अनुभाग में पुस्तक का शीर्षक दिया गया है। पैंट के विघटन को दर्शाने वाले चित्र में सभी रंगीन वक्र सिस्टोल हैं, हालाँकि, यह केवल एक उपसमुच्चय है; कुल मिलाकर 21 हैं। सिस्टोल की लंबाई है
 * $$16\sinh^{-1}\left(\left(\tfrac{1}{2}\sqrt{\csc^2\left(\tfrac{\pi}{7}\right)-4}\right)\sin\left(\tfrac{\pi}{7}\right)\right)\approx3.93594624883.$$

एक समतुल्य बंद सूत्र है


 * $$8\cosh^{-1}\left(\tfrac{3}{2}-2\sin^2\left(\tfrac{\pi}{7}\right)\right).$$

जबकि क्लेन क्वार्टिक जीनस 3 की सतहों के लिए समरूपता समूह को अधिकतम करता है, यह सिस्टोल की लंबाई को अधिकतम नहीं करता है। अनुमानित मैक्सिमाइज़र वह सतह है जिसे M3 कहा जाता है. एम3 (2,3,12) त्रिभुजों के टेसेलेशन से आता है, और इसके सिस्टोल में बहुलता 24 और लंबाई है
 * $$2\cosh^{-1}\left(2+\sqrt{3}\right)\approx3.9833047820988736.$$

क्लेन क्वार्टिक को इसके छह सिस्टोल के साथ काटकर चार जोड़ी पैंट (गणित) में विघटित किया जा सकता है। यह अपघटन फेनचेल-नील्सन निर्देशांक का एक सममित सेट देता है, जहां लंबाई पैरामीटर सिस्टोल की लंबाई के बराबर होते हैं, और मोड़ पैरामीटर सभी बराबर होते हैं $$\tfrac{1}{8}$$ यदि सिस्टोल की लंबाई. विशेषकर, लेना $$l(S)$$ सिस्टोल की लंबाई होने के लिए, निर्देशांक हैं


 * $$\left\{l(S),\tfrac{l(S)}{8};l(S),\tfrac{l(S)}{8};l(S),\tfrac{l(S)}{8};l(S),\tfrac{l(S)}{8};l(S),\tfrac{l(S)}{8};l(S),\tfrac{l(S)}{8}\right\}.$$

इस पैंट अपघटन के अनुरूप घन ग्राफ टेट्राहेड्रल ग्राफ है, यानी, 4 नोड्स का ग्राफ, प्रत्येक अन्य 3 से जुड़ा हुआ है। टेट्राहेड्रल ग्राफ प्रक्षेप्य फैनो स्थान के लिए ग्राफ के समान है; वास्तव में, क्लेन क्वार्टिक का ऑटोमोर्फिज्म समूह फ़ानो स्थान के समरूपी है।

वर्णक्रमीय सिद्धांत
क्लेन चतुर्थक के वर्णक्रमीय सिद्धांत के बारे में बहुत कम साबित किया गया है। क्योंकि क्लेन क्वार्टिक में अपने टोपोलॉजिकल वर्ग में सतहों का सबसे बड़ा समरूपता समूह है, जीनस 2 में बोल्ज़ा सतह की तरह, यह अनुमान लगाया गया है कि यह जीनस 3 के सभी कॉम्पैक्ट रीमैन सतहों के बीच लाप्लास ऑपरेटर के पहले सकारात्मक आइगेनवैल्यू को अधिकतम करता है। नकारात्मक वक्रता. यह ऐसी सभी सतहों के बीच पहले सकारात्मक eigenvalue (8) की पारस्परिकता को भी अधिकतम करता है, एक तथ्य जो हाल ही में साबित हुआ है। क्लेन चतुर्थक के आइगेनवैल्यू की गणना सटीकता की अलग-अलग डिग्री तक की गई है। पहले 15 विशिष्ट सकारात्मक eigenvalues ​​को उनकी बहुलताओं के साथ, निम्नलिखित तालिका में दिखाया गया है।

त्रि-आयामी मॉडल
क्लेन चतुर्थक को 3-आयामी आकृति के रूप में महसूस नहीं किया जा सकता है, इस अर्थ में कि किसी भी 3-आयामी आकृति में (घूर्णी) समरूपता के बराबर नहीं है $PSL(2,7)$, तब से $PSL(2,7)$ के उपसमूह के रूप में एम्बेड नहीं होता है $SO(3)$ (या $O(3)$) - इसमें वास्तविक संख्याओं पर (गैर-तुच्छ) 3-आयामी रैखिक प्रतिनिधित्व नहीं है।

हालाँकि, क्लेन चतुर्थक के कई 3-आयामी मॉडल दिए गए हैं, जो क्लेन के मूल पेपर से शुरू होते हैं,   जो चतुर्थक की विशेषताओं को प्रदर्शित करना चाहता है और स्थलाकृतिक रूप से समरूपता को संरक्षित करना चाहता है, हालांकि सभी ज्यामितीय रूप से नहीं। परिणामी मॉडल में अक्सर या तो टेट्राहेड्रल (क्रम 12) या अष्टफलकीय (क्रम 24) समरूपताएं होती हैं; शेष क्रम 7 समरूपता को इतनी आसानी से कल्पना नहीं की जा सकती है, और वास्तव में यह क्लेन के पेपर का शीर्षक है।

अक्सर, चतुर्थक को या तो टेट्राहेड्रल समरूपता के साथ एक चिकनी जीनस 3 सतह द्वारा तैयार किया जाता है (नियमित टेट्राहेड्रोन के किनारों को ट्यूबों/हैंडल के साथ बदलने से ऐसा आकार मिलता है), जिसे टेट्रस करार दिया गया है, या बहुफलकीय सन्निकटन द्वारा, जिसे टेट्रोइड्स करार दिया गया है; दोनों ही मामलों में यह आकृति को 3 आयामों में एम्बेड करना है। सबसे उल्लेखनीय चिकना मॉडल (टेट्रस) कैलिफोर्निया के बर्कले में गणितीय विज्ञान अनुसंधान संस्थान में हेलमैन फर्ग्यूसन द्वारा बनाई गई मूर्तिकला द एटफोल्ड वे है, जो संगमरमर और सर्पीन से बनी है, और 14 नवंबर, 1993 को इसका अनावरण किया गया था। शीर्षक इस तथ्य को संदर्भित करता है कि शुरुआत त्रिकोणीय सतह के किसी भी शीर्ष पर और किसी भी किनारे पर चलते हुए, यदि आप शीर्ष पर पहुंचने पर बारी-बारी से बाएं और दाएं मुड़ते हैं, तो आप हमेशा आठ किनारों के बाद मूल बिंदु पर लौट आते हैं। मूर्तिकला के अधिग्रहण के फलस्वरूप समय-समय पर पत्रों की एक पुस्तक का प्रकाशन हुआ, क्वार्टिक के गुणों का विवरण और क्लेन के पेपर का पहला अंग्रेजी अनुवाद सम्मिलित है। टेट्राहेड्रल समरूपता वाले पॉलीहेड्रल मॉडल में अक्सर उत्तल पतवार एक छोटा टेट्राहेड्रोन होता है - देखें और  उदाहरणों और उदाहरणों के लिए। इनमें से कुछ मॉडल में 20 त्रिकोण या 56 त्रिकोण होते हैं (अमूर्त रूप से, नियमित तिरछा बहुफलक {3,7|,4}, जिसमें 56 फलक, 84 किनारे और 24 शीर्ष होते हैं), जिन्हें मोड़ के साथ समबाहु के रूप में महसूस नहीं किया जा सकता है। चतुष्फलक की भुजाएँ; जबकि अन्य में 24 हेप्टागोन होते हैं - इन हेप्टागोन को गैर-उत्तल होते हुए भी समतल माना जा सकता है, और मॉडल त्रिकोणीय की तुलना में अधिक जटिल हैं क्योंकि जटिलता (लचीले) शीर्षों के बजाय (गैर-लचीले) हेप्टागोनल चेहरों के आकार में प्रतिबिंबित होती है।

वैकल्पिक रूप से, चतुर्थक को अष्टफलकीय समरूपता के साथ एक बहुफलक द्वारा प्रतिरूपित किया जा सकता है: क्लेन ने चतुर्थफलकीय समरूपता के साथ और अनंत पर बिंदुओं (एक खुला बहुफलक) के साथ एक आकृति द्वारा चतुर्थक का प्रतिरूपण किया, अर्थात् ऑर्थोगोनल अक्षों पर मिलने वाले तीन hyperboloid ्स, जबकि इसे एक बंद पॉलीहेड्रॉन के रूप में भी तैयार किया जा सकता है जिसे विसर्जित किया जाना चाहिए (स्वयं-प्रतिच्छेदन होना चाहिए), एम्बेडेड नहीं। ऐसे पॉलीहेड्रा में विभिन्न उत्तल पतवारें हो सकती हैं, जिनमें काटे गए घन भी सम्मिलित हैं, स्नब क्यूब, या rhombicuboctahedron, जैसा कि दाईं ओर छोटे क्यूबिकुबोक्टाहेड्रोन में होता है। छोटे क्यूबिक्यूबोक्टाहेड्रोन का विसर्जन कुछ त्रिभुजों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है (2 त्रिभुज एक वर्ग बनाते हैं, 6 एक अष्टकोण बनाते हैं), जिसे द्वारा देखा जा सकता है।hypercolors.jpg त्रिकोणों को रंगना  (the corresponding tiling is topologically but not geometrically the [[:File:Uniform tiling 443-t01.png| 4 | 4 टाइलिंग)। इस विसर्जन का उपयोग मैथ्यू समूह एम के ज्यामितीय निर्माण के लिए भी किया जा सकता है24 पीएसएल(2,7) में वह क्रमपरिवर्तन जोड़कर जो वर्गों और अष्टभुजों की समद्विभाजित रेखाओं के विपरीत बिंदुओं को आपस में बदल देता है।

डेसिन डी'एनफैंट्स
क्लेन क्वार्टिक पर डेसिन डी एनफैंट अपने ऑटोमोर्फिज्म समूह (भागफल रीमैन क्षेत्र के साथ) द्वारा भागफल मानचित्र से जुड़ा हुआ है, जो ऑर्डर -3 हेप्टागोनल टाइलिंग का सटीक रूप से 1-कंकाल है। अर्थात्, भागफल मानचित्र बिंदुओं पर लागू होता है $0, 1728$, और $∞$; 1728 से विभाजित करने पर एक बेलीई फलन प्राप्त होता है (पर प्रभाव डाला गया)। $0, 1$, और $∞$), जहां 56 शीर्ष (डेसिन में काले बिंदु) 0 के ऊपर स्थित हैं, 84 किनारों के मध्य बिंदु (डेसिन में सफेद बिंदु) 1 के ऊपर स्थित हैं, और 24 हेप्टागोन के केंद्र अनंत के ऊपर स्थित हैं। परिणामी डेसिन एक प्लैटोनिक डेसिन है, जिसका अर्थ है किनारा-संक्रमणीय और साफ (प्रत्येक सफेद बिंदु में वैलेंस 2 है)।

संबंधित रीमैन सतहें
क्लेन चतुर्थक विभिन्न अन्य रीमैन सतहों से संबंधित है।

ज्यामितीय रूप से, यह सबसे छोटी हर्विट्ज़ सतह (निम्नतम जीनस) है; अगला मैकबीथ सतह (जीनस 7) है, और निम्नलिखित पहला हर्विट्ज़ ट्रिपलेट (जीनस 14 की 3 सतहें) है। अधिक सामान्यतः, यह किसी दिए गए जीनस की सबसे सममित सतह है (हर्विट्ज़ सतह होने के नाते); इस वर्ग में, बोल्ज़ा सतह सबसे सममित जीनस 2 सतह है, जबकि ब्रिंग की सतह एक अत्यधिक सममित जीनस 4 सतह है - आगे की चर्चा के लिए रीमैन सतह #रीमैन सतहों की आइसोमेट्री देखें।

बीजगणितीय रूप से, (एफ़िन) क्लेन चतुर्थक मॉड्यूलर वक्र यह संख्या सिद्धांत की प्रासंगिकता को स्पष्ट करता है।

अधिक सूक्ष्मता से, (प्रोजेक्टिव) क्लेन क्वार्टिक एक शिमुरा वक्र है (जैसा कि जीनस 7 और 14 की हर्विट्ज़ सतहें हैं), और इस तरह आयाम 6 की मुख्य रूप से ध्रुवीकृत एबेलियन किस्म को पैरामीट्रिज करता है। अधिक असाधारण रूप से, क्लेन क्वार्टिक व्लादिमीर अर्नोल्ड के अर्थ में ADE वर्गीकरण#ट्रिनिटीज़ का हिस्सा है, जिसे मैके पत्राचार के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है। इस संग्रह में, प्रक्षेप्य विशेष रैखिक समूह पीएसएल(2,5), पीएसएल(2,7), और पीएसएल(2,11) (आदेश 60, 168, 660) अनुरूप हैं। ध्यान दें कि 4 × 5 × 6/2 = 60, 6 × 7 × 8/2 = 168, और 10 × 11 × 12/2 = 660। ये इकोसाहेड्रल समरूपता (जीनस 0) के अनुरूप हैं, क्लेन चतुर्थक की समरूपता ( जीनस 3), और बकीबॉल सतह (जीनस 70)। ये आगे कई अन्य असाधारण घटनाओं से जुड़े हुए हैं, जिन्हें एडीई वर्गीकरण#ट्रिनिटीज़ में विस्तृत किया गया है।

यह भी देखें

 * ग्रुनबाम-रिग्बी विन्यास
 * शिमुरा वक्र
 * हर्विट्ज़ सतह
 * बोल्ज़ा सतह
 * लाओ वक्र
 * मैकबीथ सतह
 * प्रथम हर्विट्ज़ त्रिक

साहित्य

 * में अनुवादित.
 * . पेपरबैक संस्करण, कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, 2001, ISBN 978-0-521-00419-0. द्वारा समीक्षित:
 * . पेपरबैक संस्करण, कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, 2001, ISBN 978-0-521-00419-0. द्वारा समीक्षित:

बाहरी संबंध

 * Klein's Quartic Curve, John Baez, July 28, 2006
 * Klein's Quartic Curve, by Greg Egan – illustrations
 * Klein's Quartic Equations, by Greg Egan – illustrations