तर्क का इतिहास

तर्क का इतिहास वैध अनुमान (तर्क) के विज्ञान के विकास के अध्ययन से संबंधित है। औपचारिक तर्कशास्त्र प्राचीन काल में भारतीय तर्कशास्त्र, चीन में तर्कशास्त्र और यूनानी दर्शन में विकसित हुआ। ग्रीक विधियों, विशेष रूप से अरिस्टोटेलियन तर्क (या शब्द तर्क) जैसा कि ऑर्गनॉन में पाया गया, को सहस्राब्दियों तक पश्चिमी विज्ञान और गणित में व्यापक अनुप्रयोग और स्वीकृति मिली। स्टोइज़िज्म, विशेष रूप से क्रिसिपस, ने विधेय तर्क का विकास शुरू किया।

ईसाई दर्शन और इस्लामी दर्शन में तर्क बोथियस (मृत्यु 524), इब्न सीना  (एविसेना, मृत्यु 1037) थॉमस एक्विनास (मृत्यु 1274) और विलियम ऑफ ओखम (मृत्यु 1347) जैसे दार्शनिकों ने मध्यकालीन दर्शन में अरस्तू के तर्क को और विकसित किया#उच्च मध्य युग, चौदहवीं शताब्दी के मध्य में जीन बुरिडन के साथ एक उच्च बिंदु पर पहुंच गया। चौदहवीं सदी और उन्नीसवीं सदी की शुरुआत के बीच की अवधि में बड़े पैमाने पर गिरावट और उपेक्षा देखी गई, और कम से कम एक तर्कशास्त्री इतिहासकार इस समय को बंजर मानता है। अनुभवजन्य तरीकों ने उस समय शासन किया, जैसा कि 1620 के सर फ़्रांसिस बेकन के नोवम ऑर्गन से प्रमाणित है।

उन्नीसवीं सदी के मध्य में, एक क्रांतिकारी काल की शुरुआत में, तर्क को पुनर्जीवित किया गया, जब विषय एक कठोर और औपचारिक अनुशासन में विकसित हुआ, जिसने गणित में प्रयुक्त गणितीय प्रमाण की सटीक विधि को अपने उदाहरण के रूप में लिया, जो ग्रीक परंपरा की याद दिलाती है। इस अवधि के दौरान जॉर्ज बूले, भगवान का शुक्र है फ्रीज, बर्ट्रेंड रसेल और ग्यूसेप पीनो जैसे लोगों द्वारा आधुनिक प्रतीकात्मक या गणितीय तर्क का विकास तर्क के दो हजार साल के इतिहास में सबसे महत्वपूर्ण है, और यकीनन मानव बौद्धिक इतिहास में सबसे महत्वपूर्ण और उल्लेखनीय घटनाओं में से एक है। बीसवीं शताब्दी के पहले कुछ दशकों में गणितीय तर्क में प्रगति, विशेष रूप से कर्ट गोडेल|गोडेल और अल्फ्रेड टार्स्की के काम से उत्पन्न हुई, ने विश्लेषणात्मक दर्शन और दार्शनिक तर्क पर महत्वपूर्ण प्रभाव डाला, विशेष रूप से 1950 के दशक के बाद से, मोडल तर्क, टेम्पोरल लॉजिक, डोंटिक तर्क और प्रासंगिक तर्क जैसे विषयों में।

उत्पत्ति
ऋग्वेद (मंडल 10.129) के नासदीय सूक्त में विभिन्न तार्किक विभाजनों के संदर्भ में ऑन्कोलॉजिकल अटकलें शामिल हैं जिन्हें बाद में औपचारिक रूप से टेट्रालेम्मा के चार मंडलों के रूप में पुनर्गठित किया गया: ए, ए नहीं, ए और 'ए नहीं', और ए नहीं और ए नहीं।

तर्कशास्त्र प्राचीन भारत में स्वतंत्र रूप से शुरू हुआ और यूनानी तर्कशास्त्र के किसी ज्ञात प्रभाव के बिना प्रारंभिक आधुनिक काल तक विकसित होता रहा।

गौतम से पहले
यद्यपि तर्कसंगत जांच का एक रूप, सार्वजनिक बहस (परिषद) की भारत में उत्पत्ति स्पष्ट नहीं है, हम जानते हैं कि सार्वजनिक बहस पूर्व-शास्त्रीय भारत में आम थी, क्योंकि उनका उल्लेख अक्सर विभिन्न उपनिषदों और प्रारंभिक बौद्ध साहित्य में किया जाता है। सार्वजनिक बहस पूर्व-शास्त्रीय भारत में सार्वजनिक विचार-विमर्श का एकमात्र रूप नहीं है। प्रशासनिक, कानूनी और धार्मिक मामलों सहित विभिन्न मामलों पर विचार-विमर्श करने के लिए संबंधित विशेषज्ञों को शामिल करने वाली विभिन्न प्रकार की सभाएं (परिषद या सभा) नियमित रूप से बुलाई जाती थीं।

दत्तात्रेय
भागवत पुराण में कहा गया है कि दत्तात्रेय नाम के एक दार्शनिक ने अयर्क, प्रह्लाद और अन्य लोगों को आंवलसिक्ल की शिक्षा दी थी। मार्कण्डेय पुराण से ऐसा प्रतीत होता है कि उनके द्वारा प्रतिपादित आंवलसिक-विद्या में योग दर्शन के अनुसार आत्मा पर मात्र शोध शामिल था। दत्तात्रेय ने आँवलसिकी के दार्शनिक पक्ष का प्रतिपादन किया, उसके तार्किक पक्ष का नहीं।

मेधातिथि गौतम
जबकि पहले उल्लिखित शिक्षकों ने आन्विकिकी के कुछ विशेष विषयों पर चर्चा की, विज्ञान के विशेष अर्थ में आन्विकिकी की स्थापना का श्रेय भारतीय तर्कशास्त्र (लगभग 6ठी शताब्दी ईसा पूर्व) को दिया जाता है। गुआटामा ने तर्कशास्त्र के आन्वीक्षिकी स्कूल की स्थापना की। महाभारत (12.173.45), लगभग 5वीं शताब्दी ईसा पूर्व, तर्कशास्त्र के आन्विक और तर्क विद्यालयों को संदर्भित करता है।

पाणिनि
(लगभग 5वीं शताब्दी ईसा पूर्व) ने व्याकरण के अपने सूत्रीकरण के लिए तर्क का एक रूप विकसित किया (जिसमें बूलियन तर्क में कुछ समानताएं हैं)। तर्कशास्त्र को चाणक्य (लगभग 350-283 ईसा पूर्व) ने अपने अर्थशास्त्र में जांच के एक स्वतंत्र क्षेत्र के रूप में वर्णित किया है।

कहानी -वैशेषिक
छह भारतीय विचारधाराओं में से दो तर्क से संबंधित हैं: न्याय और वैशेषिक। एक्सपेडा गौतम (लगभग दूसरी शताब्दी ईस्वी) के न्याय सूत्र, हिंदू दर्शन के छह रूढ़िवादी स्कूलों में से एक, न्याय स्कूल के मुख्य ग्रंथों का गठन करते हैं। इस दार्शनिक यथार्थवाद स्कूल ने एक प्रारंभिक आधार, एक कारण, एक उदाहरण, एक अनुप्रयोग और एक निष्कर्ष को शामिल करते हुए अनुमान की एक कठोर पांच-सदस्यीय योजना विकसित की। आदर्शवाद बौद्ध दर्शन नैयायिकों का प्रमुख विरोधी बन गया।

जैन तर्क
फ़ाइल:उमास्वामी आचार्यजी.jpg|थंब|उमास्वती (दूसरी शताब्दी ईस्वी), संस्कृत में पहली जैन कृति, तत्वार्थ सूत्र|तत्वार्थसूत्र के लेखक, जैन दर्शन को जैन धर्म के सभी संप्रदायों के लिए स्वीकार्य सबसे व्यवस्थित रूप में समझाते हैं। जैन धर्म ने तर्क की इस मुख्य धारा के विकास में अपना अनूठा योगदान दिया, साथ ही खुद को बुनियादी ज्ञानमीमांसीय मुद्दों पर भी केंद्रित किया, अर्थात् ज्ञान की प्रकृति, ज्ञान कैसे प्राप्त किया जाता है, और किस तरह से ज्ञान को विश्वसनीय कहा जा सकता है।

जैनियों के पास तर्क और तर्क के लिए प्रयुक्त सापेक्षवाद के सिद्धांत हैं:


 * अनेकान्तवाद|अनेकांतवाद - सापेक्ष बहुलवाद या अनेकता का सिद्धांत;
 * स्याद्वाद|स्याद्वाद - वातानुकूलित भविष्यवाणी का सिद्धांत और;
 * नयावाद|नयवाद - आंशिक दृष्टिकोण का सिद्धांत।

इन जैन दर्शन अवधारणाओं ने प्राचीन भारतीय दर्शन में, विशेषकर संशयवाद और सापेक्षता के क्षेत्रों में सबसे महत्वपूर्ण योगदान दिया। Indianjaina-1-2.htm

नागार्जुन
नागार्जुन (सी. 150-250 ई.), माध्यमका (मध्य मार्ग) के संस्थापक ने एक विश्लेषण विकसित किया जिसे कैटुस्कोटि (संस्कृत) के नाम से जाना जाता है, तर्क की एक चार-कोणीय प्रणाली जिसमें एक प्रस्ताव की 4 संभावनाओं में से प्रत्येक की व्यवस्थित परीक्षा और अस्वीकृति शामिल है, पी:
 * 1) पी; अर्थात् होना।
 * 2) पी नहीं; अर्थात् नहीं होना।
 * 3) Eight Patriarchs of the Shingon Sect of Buddhism Nagarjuna Cropped.jpgपी और नहीं पी; अर्थात् होना और न होना।
 * 4) नहीं (पी या नहीं पी); अर्थात् न होना, न होना।प्रस्तावात्मक तर्क के तहत, डी मॉर्गन के कानून का अर्थ है कि यह तीसरे मामले (पी और पी नहीं) के बराबर है, और इसलिए अनावश्यक है; वास्तव में विचार करने के लिए केवल 3 मामले हैं।

दिग्नगा
हालाँकि, कभी-कभी कहा जाता है कि दिग्नागा (लगभग 480-540 ई.) ने एक औपचारिक न्यायशास्त्र विकसित किया था, और यह उनके और उनके उत्तराधिकारी, धर्मकीर्ति के माध्यम से था कि बौद्ध तर्क अपनी ऊंचाई पर पहुंच गया; यह विवादित है कि क्या उनका विश्लेषण वास्तव में एक औपचारिक न्याय प्रणाली का गठन करता है। विशेष रूप से, उनका विश्लेषण एक अनुमान-वारंटी संबंध, व्याप्ति की परिभाषा पर केंद्रित था, जिसे अपरिवर्तनीय सहवर्ती या व्यापकता के रूप में भी जाना जाता है। इस प्रयोजन के लिए, अपोहा या विभेदन नामक एक सिद्धांत विकसित किया गया था। इसमें परिभाषित संपत्तियों का समावेश और बहिष्करण शामिल था।

दिग्नागा का प्रसिद्ध तर्क चक्र (सात दिनों के लिए) यह संकेत देने की एक विधि है कि कब एक चीज (जैसे धुआं) को किसी अन्य चीज (जैसे आग) के अपरिवर्तनीय संकेत के रूप में लिया जा सकता है, लेकिन अनुमान अक्सर प्रेरक होता है और पिछले अवलोकन पर आधारित होता है। मतिलाल की टिप्पणी है कि डिग्नागा का विश्लेषण काफी हद तक जॉन स्टुअर्ट मिल के समझौते और अंतर की संयुक्त पद्धति की तरह है, जो आगमनात्मक है।

न्यायवाक्य और प्रभाव
इसके अलावा, पारंपरिक पांच-सदस्यीय भारतीय न्यायशास्त्र, हालांकि कटौतीत्मक रूप से वैध है, इसमें दोहराव हैं जो इसकी तार्किक वैधता के लिए अनावश्यक हैं। परिणामस्वरूप, कुछ टिप्पणीकार पारंपरिक भारतीय सिलोगिज़्म को एक अलंकारिक रूप के रूप में देखते हैं जो दुनिया की कई संस्कृतियों में पूरी तरह से प्राकृतिक है, और फिर भी तार्किक रूप के रूप में नहीं - इस अर्थ में नहीं कि विश्लेषण के लिए सभी तार्किक रूप से अनावश्यक तत्वों को छोड़ दिया गया है।

चीन में तर्क
चीन में, कन्फ्यूशियस के समकालीन, सिनेमा, मास्टर मो को मोहिज़्म की स्थापना का श्रेय दिया जाता है, जिनके सिद्धांत वैध अनुमान और सही निष्कर्ष की शर्तों से संबंधित मुद्दों से निपटते थे। विशेष रूप से, मोहिस्म  से विकसित हुए स्कूलों में से एक, स्कूल ऑफ नेम्स को कुछ विद्वानों द्वारा औपचारिक तर्क की प्रारंभिक जांच का श्रेय दिया जाता है। बाद के किन राजवंश में क़ानूनवाद (चीनी दर्शन) के कठोर नियम के कारण, बौद्ध धर्म द्वारा भारतीय दर्शन की शुरूआत तक जांच की यह दिशा चीन में गायब हो गई।

तर्क का प्रागैतिहासिक
मानव इतिहास के सभी कालों में वैध तर्क का प्रयोग किया गया है। हालाँकि, तर्क वैध तर्क, अनुमान और प्रदर्शन के सिद्धांतों का अध्ययन करता है। यह संभव है कि किसी निष्कर्ष को प्रदर्शित करने का विचार सबसे पहले ज्यामिति के संबंध में उत्पन्न हुआ, जिसका मूल अर्थ भूमि माप के समान था। प्राचीन मिस्रवासियों ने मिस्र के गणित की खोज की, जिसमें एक रचना  के आयतन का सूत्र भी शामिल था। बेबीलोनियाई गणितज्ञ भी गणित में कुशल थे। 11वीं शताब्दी ईसा पूर्व में एसजील-किन-आपली की मेडिकल डायग्नोस्टिक हैंडबुक सिद्धांतों और मान्यताओं के तार्किक सेट पर आधारित थी, जबकि 8वीं और 7वीं शताब्दी ईसा पूर्व में बेबीलोनियाई खगोल विज्ञान ने अपने भविष्य कहनेवाला ग्रह प्रणालियों के भीतर एक आंतरिक तर्क को नियोजित किया, जो विज्ञान के दर्शन में एक महत्वपूर्ण योगदान था।

अरस्तू से पहले प्राचीन ग्रीस
जबकि प्राचीन मिस्रवासियों ने अनुभवजन्य रूप से ज्यामिति के कुछ सत्यों की खोज की, प्राचीन यूनानियों की महान उपलब्धि अनुभवजन्य तरीकों को प्रदर्शनात्मक गणितीय प्रमाण द्वारा प्रतिस्थापित करना था। पूर्व-सुकराती दार्शनिक थेल्स और पाइथागोरस दोनों ही ज्यामितीय विधियों से परिचित प्रतीत होते थे।

प्रारंभिक प्रमाणों के अंश प्लेटो और अरस्तू के कार्यों में संरक्षित हैं, और निगमनात्मक प्रणाली का विचार संभवतः पायथागॉरियन स्कूल और प्लैटोनिक अकादमी  में जाना जाता था। अलेक्जेंड्रिया के यूक्लिड के प्रमाण ग्रीक ज्यामिति के प्रतिमान हैं। ज्यामिति के तीन मूल सिद्धांत इस प्रकार हैं:


 * कुछ प्रस्तावों को प्रदर्शन के बिना सत्य के रूप में स्वीकार किया जाना चाहिए; इस तरह के प्रस्ताव को ज्यामिति के एक सिद्धांत के रूप में जाना जाता है।
 * प्रत्येक प्रस्ताव जो ज्यामिति का स्वयंसिद्ध नहीं है, उसे ज्यामिति के सिद्धांतों के अनुसार प्रदर्शित किया जाना चाहिए; इस तरह के प्रदर्शन को गणितीय प्रमाण या प्रस्ताव की व्युत्पत्ति के रूप में जाना जाता है।
 * प्रमाण औपचारिक होना चाहिए; अर्थात्, प्रस्ताव की व्युत्पत्ति प्रश्न में विशेष विषय वस्तु से स्वतंत्र होनी चाहिए। इस बात के और सबूत हैं कि प्रारंभिक यूनानी विचारक तर्क के सिद्धांतों से चिंतित थे, जो दो कारण नामक टुकड़े में पाया जाता है, जो संभवतः चौथी शताब्दी ईसा पूर्व की शुरुआत में लिखा गया था। यह सत्य और असत्य के बारे में एक लंबी बहस का हिस्सा है। शास्त्रीय यूनानी शहर-राज्यों के मामले में, तर्क-वितर्क में रुचि बयानबाजी करने वालों या वक्ताओं और सोफिस्टों की गतिविधियों से भी प्रेरित हुई, जिन्होंने कानूनी और राजनीतिक दोनों संदर्भों में थीसिस का बचाव या हमला करने के लिए तर्कों का इस्तेमाल किया।

थेल्स
ऐसा कहा जाता है कि थेल्स, जिन्हें व्यापक रूप से यूनानी दर्शनशास्त्र का पहला दार्शनिक माना जाता है, उसने पिरामिडों की ऊंचाई उनकी छाया से उस समय मापी जब उसकी अपनी छाया उसकी ऊंचाई के बराबर थी। कहा जाता है कि थेल्स ने थेल्स प्रमेय की खोज के जश्न में एक बलिदान दिया था, ठीक उसी तरह जैसे पाइथागोरस के पास पाइथागोरस प्रमेय था। थेल्स अपने प्रमेय से चार परिणाम प्राप्त करके ज्यामिति पर लागू निगमनात्मक तर्क का उपयोग करने वाले पहले ज्ञात व्यक्ति हैं, और पहले ज्ञात व्यक्ति हैं जिनके लिए गणितीय खोज का श्रेय दिया गया है। भारतीय गणित और बेबीलोन के गणितज्ञ विशेष मामलों के लिए उनके प्रमेय को उनके सिद्ध करने से पहले ही जानते थे। ऐसा माना जाता है कि बेबीलोन की यात्रा के दौरान थेल्स को पता चला कि अर्धवृत्त में अंकित कोण समकोण होता है।

पाइथागोरस
520 ईसा पूर्व से पहले, मिस्र या ग्रीस की अपनी किसी यात्रा पर, पाइथागोरस की मुलाकात सी से हुई होगी। 54 साल बड़ी थेल्स. ऐसा प्रतीत होता है कि प्रमाण का व्यवस्थित अध्ययन छठी शताब्दी ईसा पूर्व के अंत में पाइथागोरस (यानी पाइथागोरस) के स्कूल से शुरू हुआ था। वास्तव में, पाइथागोरस, यह मानते हुए कि सब कुछ संख्या है, पदार्थ के बजाय रूप पर जोर देने वाले पहले दार्शनिक हैं।

हेराक्लिटस और पारमेनाइड्स
हेराक्लीटस का लेखन (लगभग 535 - लगभग 475 ईसा पूर्व) वह पहला स्थान था जहां प्राचीन यूनानी दर्शन में लोगो शब्द पर विशेष ध्यान दिया गया था, हेराक्लिटस का मानना ​​था कि सब कुछ बदलता है और सब कुछ आग और परस्पर विरोधी विपरीतताएं हैं, जो केवल इस लोगो द्वारा एकीकृत प्रतीत होती हैं। वह अपनी अस्पष्ट बातों के लिए जाने जाते हैं। "This logos holds always but humans always prove unable to understand it, both before hearing it and when they have first heard it. For though all things come to be in accordance with this logos, humans are like the inexperienced when they experience such words and deeds as I set out, distinguishing each in accordance with its nature and saying how it is. But other people fail to notice what they do when awake, just as they forget what they do while asleep." हेराक्लिटस के विपरीत, पारमेनीडेस  का मानना ​​था कि सब एक है और कुछ भी नहीं बदलता है। हो सकता है कि वह एक असंतुष्ट पायथागॉरियन रहा हो, इस बात से असहमत था कि एक (एक संख्या) ने अनेकों को जन्म दिया। X सदैव असत्य या निरर्थक नहीं होना चाहिए। जो अस्तित्व में है वह किसी भी तरह अस्तित्व में नहीं हो सकता। उत्पत्ति और विनाश को ध्यान में रखते हुए हमारी इन्द्रिय धारणाएँ गंभीर त्रुटि में हैं। इंद्रिय बोध के बजाय, पारमेनाइड्स ने सत्य के साधन के रूप में लोगो की वकालत की। उन्हें तर्क का खोजकर्ता कहा गया है,

"For this view, that That Which Is Not exists, can never predominate. You must debar your thought from this way of search, nor let ordinary experience in its variety force you along this way, (namely, that of allowing) the eye, sightless as it is, and the ear, full of sound, and the tongue, to rule; but (you must) judge by means of the Reason (Logos) the much-contested proof which is expounded by me."

एलिया के ज़ेनो, पारमेनाइड्स के एक शिष्य, को प्रमाण की विधि में पाए जाने वाले एक मानक तर्क पैटर्न का विचार था जिसे रिडक्टियो एड एब्सर्डम के रूप में जाना जाता है। यह किसी धारणा से स्पष्ट रूप से गलत (अर्थात् बेतुका) निष्कर्ष निकालने की तकनीक है, जिससे यह प्रदर्शित होता है कि धारणा गलत है। इसलिए, ज़ेनो और उनके शिक्षक को तर्क की कला को लागू करने वाले पहले व्यक्ति के रूप में देखा जाता है। प्लेटो का संवाद पारमेनाइड्स (संवाद)संवाद) ज़ेनो को यह दावा करते हुए चित्रित करता है कि उसने बहुलता मानने के बेतुके परिणाम का प्रदर्शन करके परमेनाइड्स के अद्वैतवाद का बचाव करते हुए एक पुस्तक लिखी है। ज़ेनो ने गति के विरुद्ध अपने तर्कों में ज़ेनो के विरोधाभासों को विकसित करने के लिए इस पद्धति का प्रसिद्ध रूप से उपयोग किया। ऐसा द्वंद्वात्मक तर्क बाद में लोकप्रिय हो गया। इस स्कूल के सदस्यों को डायलेक्टिशियन कहा जाता था (ग्रीक शब्द से जिसका अर्थ है चर्चा करना)।

प्लेटो
"Let no one ignorant of geometry enter here." चौथी शताब्दी के महान दार्शनिक प्लेटो (428-347 ईसा पूर्व) के किसी भी जीवित कार्य में कोई औपचारिक तर्क शामिल नहीं है, लेकिन उनमें दार्शनिक तर्क के क्षेत्र में महत्वपूर्ण योगदान शामिल हैं। प्लेटो ने तीन प्रश्न उठाए:


 * ऐसा क्या है जिसे उचित रूप से सत्य या असत्य कहा जा सकता है?
 * किसी वैध तर्क की धारणाओं और उसके निष्कर्ष के बीच संबंध की प्रकृति क्या है?
 * परिभाषा की प्रकृति क्या है?

पहला प्रश्न संवाद थेएटेटस (संवाद) में उठता है, जहां प्लेटो विचार या राय की पहचान बातचीत या प्रवचन (लोगो) से करता है। दूसरा प्रश्न प्लेटो के रूप सिद्धांत का परिणाम है। रूप सामान्य अर्थों में चीजें नहीं हैं, न ही मन में पूरी तरह से विचार हैं, बल्कि वे उन चीजों से मेल खाते हैं जिन्हें बाद में दार्शनिकों ने सार्वभौमिक कहा, अर्थात् एक अमूर्त इकाई जो चीजों के प्रत्येक सेट के लिए आम है जिसका एक ही नाम है। द रिपब्लिक (प्लेटो) और सोफिस्ट (संवाद) दोनों में, प्लेटो का सुझाव है कि एक वैध तर्क की मान्यताओं और उसके निष्कर्ष के बीच आवश्यक संबंध रूपों के बीच एक आवश्यक संबंध से मेल खाता है। तीसरा प्रश्न परिभाषा के बारे में है। प्लेटो के कई संवाद कुछ महत्वपूर्ण अवधारणा (न्याय, सत्य, अच्छा) की परिभाषा की खोज से संबंधित हैं, और यह संभावना है कि प्लेटो गणित में परिभाषा के महत्व से प्रभावित थे। प्रत्येक परिभाषा का आधार एक प्लेटोनिक रूप है, जो विभिन्न विशेष चीजों में मौजूद सामान्य प्रकृति है। इस प्रकार, एक परिभाषा समझ के अंतिम उद्देश्य को दर्शाती है, और सभी वैध अनुमानों की नींव है। इसका प्लेटो के छात्र अरस्तू पर, विशेष रूप से किसी चीज़ के सार के बारे में अरस्तू की धारणा पर बहुत प्रभाव पड़ा।

अरस्तू
अरस्तू के तर्क और विशेष रूप से उनके सिलोगिज़्म के सिद्धांत का पश्चिमी विचार में बहुत बड़ा प्रभाव रहा है। अरस्तू पहले तर्कशास्त्री थे जिन्होंने संज्ञा (या शब्दावली) और क्रिया के तार्किक वाक्यविन्यास का व्यवस्थित विश्लेषण करने का प्रयास किया। वह पहले औपचारिक तर्कशास्त्री थे, जिसमें उन्होंने तर्क के अंतर्निहित तार्किक रूप को दिखाने के लिए चर को नियोजित करके तर्क के सिद्धांतों का प्रदर्शन किया। उन्होंने निर्भरता के संबंधों की तलाश की जो आवश्यक अनुमान की विशेषता बताते हैं, और इन संबंधों की वैधता (तर्क) को परिसर की सच्चाई से अलग करते हैं। वह विरोधाभास के सिद्धांत और बहिष्कृत मध्य के कानून के सिद्धांतों को व्यवस्थित तरीके से निपटाने वाले पहले व्यक्ति थे।

ऑर्गनॉन
उनके तार्किक कार्य, जिन्हें ऑर्गेनॉन कहा जाता है, तर्क का सबसे पहला औपचारिक अध्ययन है जो आधुनिक समय में सामने आया है। यद्यपि तिथियाँ निर्धारित करना कठिन है, अरस्तू के तार्किक कार्यों को लिखने का संभावित क्रम है: ये कार्य तर्कशास्त्र के इतिहास में उत्कृष्ट महत्व के हैं। श्रेणियों में, वह उन सभी संभावित चीजों को समझने का प्रयास करता है जिनका संदर्भ एक शब्द से हो सकता है; यह विचार उनके दार्शनिक कार्य मेटाफिजिक्स (अरस्तू) पर आधारित है, जिसका पश्चिमी विचार पर गहरा प्रभाव था।
 * श्रेणियाँ (अरस्तू), दस प्रकार के आदिम शब्दों का अध्ययन।
 * विषय (अरस्तू) (परिष्कारात्मक खंडन नामक एक परिशिष्ट के साथ), द्वंद्वात्मकता की चर्चा।
 * व्याख्या पर, सरल शब्दों, निषेध और मात्रा के संकेतों में सरल श्रेणीगत प्रस्तावों का विश्लेषण।
 * पूर्व विश्लेषिकी, जो एक न्यायशास्त्र बनाता है उसका औपचारिक विश्लेषण (अरस्तू के अनुसार एक वैध तर्क)।
 * पोस्टीरियर एनालिटिक्स, वैज्ञानिक प्रदर्शन का एक अध्ययन, जिसमें तर्क पर अरस्तू के परिपक्व विचार शामिल हैं।

उन्होंने गैर-औपचारिक तर्क का एक सिद्धांत (यानी, तार्किक भ्रम का सिद्धांत) भी विकसित किया, जिसे टॉपिक्स और परिष्कृत खंडन में प्रस्तुत किया गया है।

ऑन इंटरप्रिटेशन में विरोध और रूपांतरण के वर्ग की धारणाओं का व्यापक उपचार शामिल है; अध्याय 7 विरोध के वर्ग (या तार्किक वर्ग) के मूल में है; अध्याय 9 में मोडल लॉजिक की शुरुआत शामिल है।

प्रायर एनालिटिक्स में सिलोगिज्म की उनकी व्याख्या शामिल है, जहां इतिहास में पहली बार तीन महत्वपूर्ण सिद्धांत लागू किए गए हैं: चर का उपयोग, एक विशुद्ध रूप से औपचारिक उपचार, और एक स्वयंसिद्ध प्रणाली का उपयोग।

स्टोइक्स
ग्रीक तर्कशास्त्र का दूसरा महान विद्यालय स्टोइज़िज्म है। स्टोइक तर्क की जड़ें 5वीं शताब्दी ईसा पूर्व के अंत में मेगारा के दार्शनिक यूक्लिड, सुकरात के शिष्य और प्लेटो के थोड़े पुराने समकालीन, संभवतः पारमेनाइड्स और ज़ेनो की परंपरा का अनुसरण करने वाली थीं। उनके शिष्यों और उत्तराधिकारियों को मेगेरियन स्कूल, या एरिस्टिक्स और बाद में डायलेक्टिशियन कहा जाता था। मेगेरियन स्कूल के दो सबसे महत्वपूर्ण डायलेक्टिशियन डायोडोरस क्रोनस फिलो द डायलेक्टिशियन थे, जो चौथी शताब्दी ईसा पूर्व के अंत में सक्रिय थे। स्टोइक्स ने मेगेरियन तर्क को अपनाया और इसे व्यवस्थित किया। स्कूल का सबसे महत्वपूर्ण सदस्य क्रिसिपस (सी. 278-सी. 206 ईसा पूर्व) था, जो इसका तीसरा प्रमुख था, और जिसने स्टोइक सिद्धांत को औपचारिक रूप दिया था। ऐसा माना जाता है कि उन्होंने 700 से अधिक रचनाएँ लिखीं, जिनमें तर्क पर कम से कम 300 रचनाएँ शामिल हैं, जिनमें से लगभग कोई भी जीवित नहीं है। अरस्तू के विपरीत, हमारे पास मेगेरियन या शुरुआती स्टोइक्स द्वारा कोई पूर्ण कार्य नहीं है, और हमें ज्यादातर बाद के स्रोतों (कभी-कभी शत्रुतापूर्ण) के खातों पर निर्भर रहना पड़ता है, जिनमें प्रमुख रूप से डायोजनीज लार्टियस, सेक्स्टस एम्पिरिकस, गैलेन, औलस गेलियस, एफ्रोडिसियास के अलेक्जेंडर और सिसरौ शामिल हैं। स्टोइक स्कूल के तीन महत्वपूर्ण योगदान थे (i) मोडल लॉजिक का उनका विवरण, (ii) भौतिक सशर्त का उनका सिद्धांत, और (iii) अर्थ (भाषा का दर्शन) और सत्य का उनका विवरण।
 * तौर-तरीके. अरस्तू के अनुसार, उनके समय के मेगारियनों ने दावा किया था कि क्षमता और वास्तविकता (अरस्तू) के बीच कोई अंतर नहीं था। डायोडोरस क्रोनस ने संभव को इस प्रकार परिभाषित किया है कि जो या तो है या होगा, असंभव को वह कहा जाएगा जो सच नहीं होगा, और आकस्मिक को वह कहा जाएगा जो या तो पहले से ही है, या झूठ होगा। डियोडोरस अपने मास्टर तर्क (डियोडोरस क्रोनस) के लिए भी प्रसिद्ध है, जिसमें कहा गया है कि निम्नलिखित 3 प्रस्तावों में से प्रत्येक जोड़ी तीसरे प्रस्ताव का खंडन करती है:
 * जो कुछ बीत चुका है वह सत्य और आवश्यक है।
 * संभव से असंभव का अनुसरण नहीं होता।
 * जो न तो है और न ही होगा वह संभव है।
 * डियोडोरस ने पहले दो की संभाव्यता का उपयोग यह साबित करने के लिए किया कि कुछ भी संभव नहीं है अगर यह न तो सच है और न ही सच होगा। इसके विपरीत, क्रिसिपस ने दूसरे आधार का खंडन किया और कहा कि असंभव संभव से आ सकता है।


 * सशर्त बयान। मटेरियल कंडीशनल पर बहस करने वाले पहले तर्कशास्त्री डियोडोरस और मेगारा के उनके शिष्य फिलो थे। सेक्स्टस एम्पिरिकस तीन बार डायोडोरस और फिलो के बीच बहस का उल्लेख करता है। फिलो ने सशर्त को तब तक सत्य माना जब तक कि उसमें सच्चा पूर्ववर्ती (तर्क) और गलत परिणामी दोनों न हों। सटीक रूप से, चलो टी0और टी1सत्य कथन बनें, और मान लीजिए F0और एफ1झूठे बयान हों; फिर, फिलो के अनुसार, निम्नलिखित में से प्रत्येक शर्त एक सत्य कथन है, क्योंकि ऐसा नहीं है कि परिणामी कथन गलत है जबकि पूर्ववृत्त सत्य है (ऐसा नहीं है कि किसी गलत कथन का सही कथन से अनुसरण करने का दावा किया जाता है):
 * यदि टी0, फिर टी1:* यदि एफ0, फिर टी0:* यदि एफ0, फिर एफ1: निम्नलिखित सशर्त इस आवश्यकता को पूरा नहीं करता है, और इसलिए फिलो के अनुसार एक गलत बयान है:
 * यदि टी0, फिर एफ0: वास्तव में, सेक्स्टस का कहना है कि [फिलो] के अनुसार, तीन तरीके हैं जिनमें एक सशर्त सत्य हो सकता है, और एक जिसमें यह गलत हो सकता है। फिलो की सत्य की कसौटी वह है जिसे अब यदि ... तो की सत्य-कार्यात्मक परिभाषा कहा जाएगा; यह विधेय तर्क में प्रयुक्त परिभाषा है।


 * इसके विपरीत, डियोडोरस ने सशर्तों की वैधता की अनुमति केवल तभी दी जब पूर्ववर्ती खंड कभी भी असत्य निष्कर्ष पर नहीं पहुंच सकता था। एक सदी बाद, स्टोइज़्म दार्शनिक क्रिसिपस ने फिलो और डायोडोरस दोनों की धारणाओं पर हमला किया।


 * अर्थ और सत्य. मेगेरियन-स्टोइक तर्क और अरिस्टोटेलियन तर्क के बीच सबसे महत्वपूर्ण और उल्लेखनीय अंतर यह है कि मेगेरियन-स्टोइक तर्क शब्दों से नहीं, बल्कि प्रस्तावों से संबंधित है और इस प्रकार यह आधुनिक प्रस्तावात्मक तर्क के करीब है। स्टोइक्स ने उच्चारण (फोन), जो शोर हो सकता है, भाषण (लेक्सिस), जो स्पष्ट है लेकिन जो अर्थहीन हो सकता है, और प्रवचन (लोगो), जो सार्थक उच्चारण है, के बीच अंतर किया। उनके सिद्धांत का सबसे मौलिक हिस्सा यह विचार है कि एक वाक्य, जिसे लेक्टॉन कहा जाता है, द्वारा जो व्यक्त किया जाता है, वह कुछ वास्तविक है; यह उससे मेल खाता है जिसे अब प्रस्ताव कहा जाता है। सेक्स्टस का कहना है कि स्टोइक्स के अनुसार, तीन चीजें एक साथ जुड़ी हुई हैं: वह जो इंगित करता है, वह जो संकेतित है, और वस्तु; उदाहरण के लिए, जो संकेत करता है वह डायोन शब्द है, और जो संकेत दिया जाता है वह वह है जिसे यूनानी समझते हैं लेकिन बर्बर लोग नहीं समझते हैं, और वस्तु स्वयं डायोन है।

मध्य पूर्व में तर्क
कैनेडियन, अल-फराबी, एविसेना, अल-गज़ाली, averroes ़ और अन्य मुस्लिम तर्कशास्त्रियों के कार्य अरिस्टोटेलियन तर्क पर आधारित थे और प्राचीन दुनिया के विचारों को मध्ययुगीन पश्चिम तक पहुँचाने में महत्वपूर्ण थे। अल-फ़राबी (अल्फ़ाराबी) (873-950) एक अरिस्टोटेलियन तर्कशास्त्री थे जिन्होंने भविष्य के आकस्मिकताओं, श्रेणियों की संख्या और संबंध, तर्क और व्याकरण के बीच संबंध और अनुमान के गैर-अरिस्टोटेलियन रूपों के विषयों पर चर्चा की। अल-फ़राबी ने सशर्त सिलोगिज़्म और सादृश्य के सिद्धांतों पर भी विचार किया, जो अरिस्टोटेलियन के बजाय तर्क की स्टोइज़िज़्म परंपरा का हिस्सा थे। Maimonides (1138-1204) ने तर्क पर एक ग्रंथ (अरबी: मकाला फ़ि-सिनात अल-मंटिक) लिखा, जिसमें अल-फ़राबी को दूसरे गुरु के रूप में संदर्भित किया गया, पहला अरस्तू था।

एविसेना (एविसेना) (980-1037) एविसेनियन तर्कशास्त्र के संस्थापक थे, जिसने इस्लामी दुनिया में तर्क की प्रमुख प्रणाली के रूप में अरिस्टोटेलियन तर्क को प्रतिस्थापित किया, और अल्बर्टस मैग्नस जैसे पश्चिमी मध्ययुगीन लेखकों पर भी इसका महत्वपूर्ण प्रभाव था। एविसेना ने काल्पनिक न्यायशास्त्र पर लिखा और प्रस्तावात्मक कलन पर, जो दोनों स्टोइक तार्किक परंपरा का हिस्सा थे। उन्होंने एक मूल अस्थायी रूप से रूपांतरित सिलोजिस्टिक सिद्धांत विकसित किया, जिसमें अस्थायी तर्क और मोडल तर्क शामिल थे। उन्होंने आगमनात्मक तर्क का भी उपयोग किया, जैसे कि मिल के तरीके|समझौते के तरीके, अंतर और सहवर्ती भिन्नता जो वैज्ञानिक पद्धति के लिए महत्वपूर्ण हैं। एविसेना के विचारों में से एक का विलियम ऑफ ओखम जैसे पश्चिमी तर्कशास्त्रियों पर विशेष रूप से महत्वपूर्ण प्रभाव पड़ा: एक अर्थ या धारणा (मा'ना) के लिए एविसेना का शब्द, विद्वान तर्कशास्त्रियों द्वारा लैटिन इंटेंटियो के रूप में अनुवादित किया गया था; मध्ययुगीन तर्क और ज्ञानमीमांसा में, यह मन में एक संकेत है जो स्वाभाविक रूप से किसी चीज़ का प्रतिनिधित्व करता है। यह ओखम की अवधारणावाद के विकास के लिए महत्वपूर्ण था: एक सार्वभौमिक शब्द (उदाहरण के लिए, मनुष्य) वास्तविकता में विद्यमान किसी चीज़ को नहीं दर्शाता है, बल्कि मन में एक संकेत (बुद्धि में इरादा) है जो वास्तविकता में कई चीजों का प्रतिनिधित्व करता है; ओखम इस दृष्टिकोण के समर्थन में मेटाफिजिक्स वी पर एविसेना की टिप्पणी का हवाला देते हैं। फखर अल-दीन अल-रज़ी (बी. 1149) ने अरस्तू के सिलोगिज्म की आलोचना की और जॉन स्टुअर्ट मिल (1806-1873) द्वारा विकसित आगमनात्मक तर्क की प्रणाली का पूर्वाभास देते हुए आगमनात्मक तर्क की एक प्रारंभिक प्रणाली तैयार की। अल-रज़ी के काम को बाद के इस्लामी विद्वानों ने इस्लामी दर्शन में तर्क की दिशा में इस्लामी तर्क के लिए एक नई दिशा के रूप में देखा#पोस्ट-एविसेनियन तर्क|पोस्ट-एविसेनियन तर्क। इसे उनके छात्र अफ़लाद्दीन अल-ख़ुनाज़ी (मृत्यु 1249) द्वारा और अधिक विस्तृत किया गया, जिन्होंने अवधारणाओं और सहमति के व्याकरण की विषय वस्तु के इर्द-गिर्द घूमते हुए तर्क का एक रूप विकसित किया। इस परंपरा के जवाब में, नासिर अल-दीन अल-तुसी (1201-1274) ने नव-एविसेनियन तर्क की परंपरा शुरू की जो एविसेना के काम के प्रति वफादार रही और निम्नलिखित शताब्दियों में अधिक प्रभावशाली पोस्ट-एविसेनियन स्कूल के विकल्प के रूप में अस्तित्व में रही।

इल्यूमिनेशनिस्ट दर्शन की स्थापना शहाब अल-दीन सुहरावर्दी (1155-1191) ने की थी, जिन्होंने निर्णायक आवश्यकता का विचार विकसित किया, जो सभी तौर-तरीकों (आवश्यकता, तार्किक संभावना, आकस्मिकता (दर्शन) और असंभवता) को आवश्यकता के एकल मोड में कम करने को संदर्भित करता है। इब्न अल-नफ़ीस (1213-1288) ने एविसेनियन तर्क पर एक किताब लिखी, जो एविसेना के अल-इशरत (द साइन्स) और अल-हिदायाह (द गाइडेंस) की एक टिप्पणी थी। इब्न तैमियाह (1263-1328) ने अर-रद्द 'अला अल-मंतिकियिन' लिखा, जहां उन्होंने न्यायशास्त्र की उपयोगिता के खिलाफ तर्क दिया, हालांकि वैधता नहीं। और आगमनात्मक तर्क के पक्ष में। इब्न तैमियाह ने भी न्यायशास्त्र की निश्चितता के ख़िलाफ़ और सादृश्य के पक्ष में तर्क दिया; उनका तर्क यह है कि आगमनात्मक तर्क पर आधारित अवधारणाएँ स्वयं निश्चित नहीं हैं, बल्कि केवल संभावित हैं, और इस प्रकार ऐसी अवधारणाओं पर आधारित एक न्यायशास्त्र सादृश्य पर आधारित तर्क से अधिक निश्चित नहीं है। उन्होंने आगे दावा किया कि प्रेरण स्वयं सादृश्य की प्रक्रिया पर आधारित है। सादृश्य तर्क का उनका मॉडल न्यायिक तर्कों पर आधारित था। सादृश्य के इस मॉडल का उपयोग जॉन एफ. सोवा के हालिया कार्य में किया गया है।

15वीं शताब्दी में मुहम्मद इब्न फ़ायद अल्लाह इब्न मुहम्मद अमीन अल-शरवानी द्वारा लिखित शरह अल-तकमिल फ़ि'ल-मंतीक तर्क पर अंतिम प्रमुख अरबी कार्य है जिसका अध्ययन किया गया है। हालाँकि, 14वीं और 19वीं शताब्दी के बीच तर्क पर हजारों-हजारों पृष्ठ लिखे गए थे, हालांकि इस अवधि के दौरान लिखे गए ग्रंथों का केवल एक अंश ही इतिहासकारों द्वारा अध्ययन किया गया है, इसलिए इस बाद की अवधि के दौरान इस्लामी तर्क पर किए गए मूल कार्य के बारे में बहुत कम जानकारी है।

मध्ययुगीन यूरोप में तर्क
मध्यकालीन तर्क (जिसे स्कोलास्टिक तर्क के रूप में भी जाना जाता है) का अर्थ आम तौर पर मध्य युग में लगभग 1200-1600 की अवधि में विकसित अरिस्टोटेलियन तर्क का रूप है। स्टोइक तर्क तैयार होने के बाद सदियों तक, यह शास्त्रीय दुनिया में तर्क की प्रमुख प्रणाली थी। जब अंधकार युग (इतिहासलेखन) के बाद तर्क का अध्ययन फिर से शुरू हुआ, तो मुख्य स्रोत ईसाई दार्शनिक बोथियस का काम था, जो अरस्तू के कुछ तर्कों से परिचित था, लेकिन स्टोइक के लगभग किसी भी काम से परिचित नहीं था। बारहवीं शताब्दी तक, पश्चिम में उपलब्ध अरस्तू की एकमात्र रचनाएँ श्रेणियाँ, व्याख्या पर, और पोर्फिरी (दार्शनिक) के इसागोगे का बोथियस का अनुवाद (श्रेणियों पर एक टिप्पणी) थीं। इन कार्यों को ओल्ड लॉजिक (लॉजिका वेटस या आर्स वेटस) के नाम से जाना जाता था। इस परंपरा में एक महत्वपूर्ण कार्य पीटर एबेलार्ड (1079-1142) का लॉजिका इंग्रीडिएंटिबस था। उनका प्रत्यक्ष प्रभाव छोटा था, लेकिन सैलिसबरी के जॉन जैसे विद्यार्थियों के माध्यम से उनका प्रभाव महान था, और धर्मशास्त्र में कठोर तार्किक विश्लेषण लागू करने की उनकी पद्धति ने उस तरीके को आकार दिया जिसके बाद की अवधि में धर्मशास्त्रीय आलोचना विकसित हुई। विस्फोट के सिद्धांत का प्रमाण, जिसे स्यूडो-स्कोटस के सिद्धांत के रूप में भी जाना जाता है, वह कानून जिसके अनुसार किसी भी प्रस्ताव को विरोधाभास (इसके निषेध सहित) से सिद्ध किया जा सकता है, पहली बार 12 वीं शताब्दी के फ्रांसीसी तर्कशास्त्री विलियम ऑफ सोइसन्स द्वारा दिया गया था।

तेरहवीं शताब्दी की शुरुआत तक, अरस्तू के ऑर्गेनॉन के शेष कार्य, जिनमें प्रायर एनालिटिक्स, पोस्टीरियर एनालिटिक्स और सोफिस्टिकल रिफ्यूटेशन (सामूहिक रूप से नया तर्क  या न्यू लॉजिक के रूप में जाना जाता है) शामिल थे, पश्चिम में बरामद किए गए थे। उस समय तक तार्किक कार्य अधिकतर अरस्तू के कार्य पर व्याख्या या टिप्पणी था। तेरहवीं शताब्दी के मध्य से लेकर चौदहवीं शताब्दी के मध्य तक की अवधि तर्कशास्त्र में महत्वपूर्ण विकासों में से एक थी, विशेष रूप से तीन क्षेत्रों में जो मूल थे, जिनकी अरिस्टोटेलियन परंपरा में बहुत कम नींव थी जो पहले आई थी। वे थे:
 * अनुमान सिद्धांत का सिद्धांत। अनुमान सिद्धांत उस तरीके से संबंधित है जो विधेय (उदाहरण के लिए, 'मनुष्य') व्यक्तियों के एक डोमेन (उदाहरण के लिए, सभी पुरुषों) पर आधारित है। प्रस्ताव में 'प्रत्येक मनुष्य एक जानवर है', क्या 'मनुष्य' शब्द का दायरा वर्तमान में मौजूद मनुष्यों तक सीमित है या 'अनुमानित' है, या इस सीमा में अतीत और भविष्य के मनुष्य शामिल हैं? क्या कोई शब्द किसी गैर-मौजूदा व्यक्ति का अनुमान लगा सकता है? कुछ मध्ययुगीनवादियों ने तर्क दिया है कि यह विचार आधुनिक प्रथम-क्रम तर्क का अग्रदूत है। सहसंबंध (विशेषण शब्दों की संकेत-क्षमता), एम्प्लिएटियो (संदर्भात्मक डोमेन का विस्तार), और वितरण के संबंधित सिद्धांतों के साथ अनुमान का सिद्धांत पश्चिमी मध्ययुगीन तर्क की सबसे मूल उपलब्धियों में से एक है।
 * Syncategorematic पद का सिद्धांत। Syncategoremata ऐसे शब्द हैं जो तर्क के लिए आवश्यक हैं, लेकिन जो श्रेणीबद्ध शब्दों के विपरीत, अपनी ओर से संकेत नहीं देते हैं, बल्कि अन्य शब्दों के साथ 'सह-संकेत' देते हैं। syncategoremata के उदाहरण हैं 'और', 'नहीं', 'प्रत्येक', 'यदि', इत्यादि।
 * तार्किक परिणाम का सिद्धांत। परिणाम एक काल्पनिक, सशर्त प्रस्ताव है: दो प्रस्ताव 'यदि ... तो' शब्दों से जुड़े हुए हैं। उदाहरण के लिए, 'यदि कोई व्यक्ति दौड़ता है, तो ईश्वर का अस्तित्व है' (सी होमो करिट, डेस इस्ट)। परिणामों का एक पूर्ण विकसित सिद्धांत विलियम ऑफ ओखम की कृति सुम्मा लॉजिका की पुस्तक III में दिया गया है। वहां, ओखम 'भौतिक' और 'औपचारिक' परिणामों के बीच अंतर करता है, जो क्रमशः आधुनिक भौतिक सशर्त और तार्किक निहितार्थ के बराबर हैं। इसी तरह के विवरण जीन बुरिडन और सैक्सोनी के अल्बर्ट (दार्शनिक)दार्शनिक) द्वारा दिए गए हैं।

इस परंपरा में अंतिम महान कृतियाँ हैं जॉन पॉइन्सॉट का लॉजिक (1589-1644, जिसे सेंट थॉमस के जॉन के नाम से जाना जाता है), फ़्रांसिस्को सुआरेज़ ़ का मेटाफिजिकल डिस्प्यूटेशन्स (1548-1617), और जियोवन्नी गिरोलामो सैकेरी (1667-1733) का लॉजिका डेमोंस्ट्रेटिवा ).

पाठ्यपुस्तक परंपरा
पारंपरिक तर्क का मतलब आमतौर पर पाठ्यपुस्तक परंपरा है जो एंटोनी अर्नाल्ड और पियरे-निकोल  के तर्क, या सोचने की कला से शुरू होती है, जिसे पोर्ट-रॉयल लॉजिक के रूप में जाना जाता है। 1662 में प्रकाशित, यह उन्नीसवीं सदी तक अरस्तू के बाद तर्क पर सबसे प्रभावशाली काम था। पुस्तक एक ढाँचे के भीतर एक शिथिल कार्टेशियन सिद्धांत प्रस्तुत करती है (उदाहरण के लिए, यह प्रस्ताव शब्दों के बजाय विचारों का एक संयोजन है) जो मोटे तौर पर अरिस्टोटेलियन और मध्ययुगीन शब्द तर्क से लिया गया है। 1664 से 1700 के बीच इसके आठ संस्करण हुए और उसके बाद इस पुस्तक का काफी प्रभाव पड़ा।  पोर्ट-रॉयल विस्तार (शब्दार्थ) और गहनता की अवधारणाओं का परिचय देता है। निबंध में जॉन लोके द्वारा दिए गए प्रस्तावों का विवरण मूल रूप से पोर्ट-रॉयल का है: मौखिक प्रस्ताव, जो शब्द हैं, [हैं] हमारे विचारों के संकेत, सकारात्मक या नकारात्मक वाक्यों में एक साथ रखे या अलग किए गए हैं। तो उस प्रस्ताव में इन संकेतों को एक साथ रखना या अलग करना शामिल है, उन चीज़ों के अनुसार जिनके लिए वे सहमत या असहमत हैं। डडली फेनर ने रामिस्ट तर्क को लोकप्रिय बनाने में मदद की, जो अरस्तू के खिलाफ एक प्रतिक्रिया थी। एक अन्य प्रभावशाली कृति फ्रांसिस बेकन द्वारा लिखित नया अंग थी, जो 1620 में प्रकाशित हुई थी। शीर्षक का अनुवाद नए उपकरण के रूप में किया गया है। यह अरस्तू के ऑर्गन के नाम से ज्ञात कार्य का संदर्भ है। इस कार्य में, बेकन एक वैकल्पिक प्रक्रिया के पक्ष में अरस्तू की न्यायशास्त्र पद्धति को अस्वीकार करते हैं जो धीमी और वफादार मेहनत से चीजों से जानकारी इकट्ठा करती है और उसे समझ में लाती है। इस विधि को आगमनात्मक तर्क के रूप में जाना जाता है, एक ऐसी विधि जो अनुभवजन्य अवलोकन से शुरू होती है और निचले सिद्धांतों या प्रस्तावों तक आगे बढ़ती है; इन निचले सिद्धांतों से, अधिक सामान्य सिद्धांतों को प्रेरित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, गर्मी जैसी असाधारण प्रकृति का कारण खोजने के लिए, 3 सूचियाँ बनाई जानी चाहिए: फिर, गर्मी की प्रकृति (या कारण) को उस रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो उपस्थिति सूची की हर स्थिति के लिए सामान्य है, और जो अनुपस्थिति सूची की हर स्थिति से गायब है, और जो परिवर्तनशीलता की हर स्थिति में डिग्री के अनुसार भिन्न होती है। सूची।
 * उपस्थिति सूची: हर स्थिति की एक सूची जहां गर्मी पाई जाती है।
 * अनुपस्थिति सूची: गर्मी की कमी को छोड़कर, हर स्थिति की एक सूची जो उपस्थिति सूची में से कम से कम एक के समान है।
 * परिवर्तनशीलता सूची: हर स्थिति की एक सूची जहां गर्मी भिन्न हो सकती है।

पाठ्यपुस्तक परंपरा में अन्य कार्यों में आइज़ैक वॉट्स का लॉजिक: ऑर, द राइट यूज़ ऑफ़ रीज़न (1725), रिचर्ड व्हाईट का लॉजिक (1826), और जॉन स्टुअर्ट मिल का ए सिस्टम ऑफ़ लॉजिक (1843) शामिल हैं। यद्यपि उत्तरार्द्ध परंपरा में अंतिम महान कार्यों में से एक था, मिल का विचार था कि तर्क की नींव आत्मनिरीक्षण में निहित है इस दृष्टिकोण को प्रभावित किया कि तर्क को मनोविज्ञान की एक शाखा के रूप में सबसे अच्छी तरह से समझा जाता है, एक ऐसा दृष्टिकोण जो इसके विकास के अगले पचास वर्षों में, विशेष रूप से जर्मनी में हावी रहा।

हेगेल के दर्शन में तर्क
जी.डब्ल्यू.एफ. हेगेल ने अपनी दार्शनिक प्रणाली में तर्क के महत्व का संकेत दिया जब उन्होंने 1817 में अपने दार्शनिक विज्ञान के विश्वकोश के पहले खंड के रूप में प्रकाशित अपने व्यापक तर्क विज्ञान को एक छोटे काम में संक्षेपित किया। शॉर्टर या इनसाइक्लोपीडिया लॉजिक, जैसा कि अक्सर ज्ञात होता है, बदलावों की एक श्रृंखला पेश करता है जो सबसे खाली और अमूर्त श्रेणियों से शुरू होता है - हेगेल शुद्ध अस्तित्व और शुद्ध कुछ भी नहीं से शुरू होता है - निरपेक्ष (दर्शन) तक, वह श्रेणी जिसमें सभी श्रेणियां शामिल होती हैं और उनका समाधान होता है जो इसके पहले थीं। शीर्षक के बावजूद, हेगेल का तर्क वास्तव में वैध अनुमान के विज्ञान में कोई योगदान नहीं है। परिसर से वैध अनुमान के माध्यम से अवधारणाओं के बारे में निष्कर्ष निकालने के बजाय, हेगेल यह दिखाना चाहते हैं कि एक अवधारणा के बारे में सोचना दूसरी अवधारणा के बारे में सोचने को मजबूर करता है (उनका तर्क है कि कोई भी मात्रा की अवधारणा के बिना गुणवत्ता की अवधारणा नहीं रख सकता); माना जाता है कि यह बाध्यता व्यक्तिगत मनोविज्ञान का मामला नहीं है, क्योंकि यह स्वयं अवधारणाओं की सामग्री से लगभग स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती है। उनका उद्देश्य निरपेक्षता की तर्कसंगत संरचना को दिखाना है - वास्तव में तर्कसंगतता की। वह विधि जिसके द्वारा विचार को एक अवधारणा से उसके विपरीत की ओर और फिर आगे की अवधारणाओं की ओर प्रेरित किया जाता है, हेगेलियन द्वंद्वात्मकता के रूप में जानी जाती है।

हालाँकि हेगेल के तर्क का मुख्यधारा के तार्किक अध्ययनों पर बहुत कम प्रभाव पड़ा है, लेकिन इसका प्रभाव अन्यत्र देखा जा सकता है:
 * कार्ल वॉन प्रांटल का गेस्चिच्टे डेर लॉजिक इम एबेंडलैंड (1855-1867)।
 * ब्रिटिश आदर्शवाद के कार्य, जैसे एफ. एच. ब्रैडली के सिद्धांत तर्क (1883)।
 * काल मार्क्स का आर्थिक, राजनीतिक और दार्शनिक अध्ययन और मार्क्सवाद के विभिन्न विद्यालयों में।

तर्क और मनोविज्ञान
मिल और फ़्रीज के काम के बीच आधी सदी का समय लगा, जिसके दौरान तर्क को व्यापक रूप से एक वर्णनात्मक विज्ञान, तर्क की संरचना का एक अनुभवजन्य अध्ययन और इस प्रकार अनिवार्य रूप से मनोविज्ञान की एक शाखा के रूप में माना गया। उदाहरण के लिए, जर्मन मनोवैज्ञानिक विल्हेम वुंड्ट ने विचार के मनोवैज्ञानिक नियमों से तार्किक को प्राप्त करने पर चर्चा की, इस बात पर जोर दिया कि मनोवैज्ञानिक सोच हमेशा सोच का अधिक व्यापक रूप है। यह दृष्टिकोण उस काल के जर्मन दार्शनिकों के बीच व्यापक था: मिल के काम के बाद के वर्षों में तर्क का यही प्रमुख दृष्टिकोण था। तर्क के इस मनोवैज्ञानिक दृष्टिकोण को गोटलोब फ़्रीज ने अस्वीकार कर दिया था। एडमंड हसरल ने अपने लॉजिकल इन्वेस्टिगेशन्स (1900) के पहले खंड में इसकी विस्तृत और विनाशकारी आलोचना की थी, एक ऐसा हमला जिसे ज़बरदस्त बताया गया है। हसरल ने जोरदार ढंग से तर्क दिया कि मनोवैज्ञानिक टिप्पणियों में ग्राउंडिंग तर्क का तात्पर्य यह है कि सभी तार्किक सत्य अप्रमाणित रहे, और संदेहवाद और सापेक्षतावाद अपरिहार्य परिणाम थे।
 * थियोडोर लिप्स ने तर्क को मनोविज्ञान का एक विशिष्ट अनुशासन बताया।
 * क्रिस्टोफर वॉन सिगवर्ट ने एक निश्चित तरीके से सोचने की व्यक्ति की मजबूरी पर आधारित तार्किक आवश्यकता को समझा।
 * बेनो एर्डमैन ने तर्क दिया कि तार्किक कानून केवल हमारी सोच की सीमा के भीतर ही लागू होते हैं।

इस तरह की आलोचनाओं ने जिसे मनोविज्ञान कहा जाता है उसे तुरंत ख़त्म नहीं किया। उदाहरण के लिए, अमेरिकी दार्शनिक जोशिया रॉयस, हसरल की आलोचना की शक्ति को स्वीकार करते हुए, इस बात पर संदेह करने में असमर्थ रहे कि मनोविज्ञान में प्रगति के साथ तर्क में प्रगति होगी, और इसके विपरीत।

आधुनिक तर्क का उदय
चौदहवीं सदी और उन्नीसवीं सदी की शुरुआत के बीच की अवधि काफी हद तक गिरावट और उपेक्षा से भरी थी, और आमतौर पर तर्क के इतिहासकारों द्वारा इसे बंजर माना जाता है। तर्क का पुनरुद्धार उन्नीसवीं शताब्दी के मध्य में हुआ, एक क्रांतिकारी काल की शुरुआत में जहां विषय एक कठोर और औपचारिक अनुशासन में विकसित हुआ जिसका उदाहरण गणित में उपयोग की जाने वाली प्रमाण की सटीक विधि थी। इस अवधि के दौरान आधुनिक प्रतीकात्मक या गणितीय तर्क का विकास तर्क के 2000 साल के इतिहास में सबसे महत्वपूर्ण है, और यकीनन मानव बौद्धिक इतिहास में सबसे महत्वपूर्ण और उल्लेखनीय घटनाओं में से एक है।

कई विशेषताएं आधुनिक तर्क को पुराने अरिस्टोटेलियन या पारंपरिक तर्क से अलग करती हैं, जिनमें से सबसे महत्वपूर्ण इस प्रकार हैं: आधुनिक तर्क मूल रूप से एक कैलकुलस है जिसके संचालन के नियम केवल आकार से निर्धारित होते हैं, न कि इसमें प्रयुक्त प्रतीकों के अर्थ से, जैसा कि गणित में होता है। कई तर्कशास्त्री गणित की सफलता से प्रभावित थे, क्योंकि किसी भी वास्तविक गणितीय परिणाम के बारे में लंबे समय तक कोई विवाद नहीं था। चार्ल्स सैंडर्स पीयर्स|सी. एस पीयर्स ने नोट किया भले ही लाप्लास द्वारा एक निश्चित अभिन्न के मूल्यांकन में गलती के कारण चंद्रमा की कक्षा के संबंध में एक त्रुटि हुई जो लगभग 50 वर्षों तक बनी रही, एक बार गलती का पता चलने पर उसे बिना किसी गंभीर विवाद के ठीक कर लिया गया। पीयर्स ने इसकी तुलना पारंपरिक तर्क और विशेष रूप से तत्वमीमांसा में तर्क के आसपास के विवाद और अनिश्चितता से की। उन्होंने तर्क दिया कि वास्तव में सटीक तर्क गणितीय, यानी, आरेखीय या प्रतिष्ठित विचार पर निर्भर करेगा। जो लोग इस तरह के तरीकों का पालन करते हैं वे ... सभी त्रुटियों से बच जाएंगे, सिवाय उन गलतियों के जिन्हें एक बार संदेह होने पर तुरंत ठीक कर लिया जाएगा। आधुनिक तर्क भी अमूर्त के बजाय रचनात्मक है; यानी, सामान्य भाषा (या वैधता के बारे में मनोवैज्ञानिक अंतर्ज्ञान से) से प्राप्त प्रमेयों को अमूर्त और औपचारिक बनाने के बजाय, यह औपचारिक तरीकों से प्रमेयों का निर्माण करता है, फिर सामान्य भाषा में व्याख्या की तलाश करता है। यह पूरी तरह से प्रतीकात्मक है, जिसका अर्थ है कि यहां तक ​​कि तार्किक स्थिरांक (जिसे मध्ययुगीन तर्कशास्त्री सिन्कैटेगोरेमैटिक शब्द कहते हैं) और श्रेणीबद्ध शब्द भी प्रतीकों में व्यक्त किए जाते हैं।

आधुनिक तर्क
आधुनिक तर्क का विकास लगभग पाँच अवधियों में होता है:
 * गॉटफ्राइड विल्हेम लीबनिज़ से 1847 तक का प्रारंभिक काल, जब तार्किक कैलकुलस की धारणा पर विशेष रूप से लाइबनिज द्वारा चर्चा और विकास किया गया था, लेकिन कोई स्कूल नहीं बनाया गया था, और अलग-अलग आवधिक प्रयासों को छोड़ दिया गया था या किसी का ध्यान नहीं गया था।
 * बूलियन के विश्लेषण से अर्न्स्ट श्रोडर (गणितज्ञ) तक बीजगणितीय काल|श्रोडर का वोरलेसुंगेन। इस अवधि में, अधिक अभ्यासकर्ता थे, और विकास की अधिक निरंतरता थी।
 * पूछा के शब्द लेखन से लेकर बर्ट्रेंड रसेल और ए.एन. व्हाइटहेड के गणितीय सिद्धांत तक का तर्कशास्त्री काल। तर्कशास्त्री स्कूल का उद्देश्य सभी गणितीय और वैज्ञानिक प्रवचनों के तर्क को एक एकल एकीकृत प्रणाली में शामिल करना था, जो एक मौलिक सिद्धांत के रूप में लेता है कि सभी गणितीय सत्य तार्किक हैं, किसी भी गैर-तार्किक शब्दावली को स्वीकार नहीं करता है। प्रमुख तर्कशास्त्री गोटलोब फ़्रीज, बर्ट्रेंड रसेल और प्रारंभिक लुडविग विट्गेन्स्टाइन थे। इसका समापन प्रिंसिपिया के साथ होता है, जो एक महत्वपूर्ण कार्य है जिसमें अधिकार-विरोध की गहन जांच और समाधान का प्रयास शामिल है जो पहले की प्रगति में बाधा थी।
 * 1910 से 1930 के दशक तक का 'मेटामैथमैटिकल काल', जिसमें डेविड हिल्बर्ट की फ़िनिटिस्ट  प्रणाली और लियोपोल्ड लोवेनहेम और स्कोलेम की गैर-फिनिटिस्ट प्रणाली में धातु संबंधी का विकास देखा गया, गोडेल और अल्फ्रेड टार्स्की के काम में तर्क और मेटलोजिक का संयोजन। गोडेल की 1931 की अपूर्णता प्रमेय तर्क के इतिहास में सबसे बड़ी उपलब्धियों में से एक थी। बाद में 1930 के दशक में, गोडेल ने सेट-सैद्धांतिक निर्माणशीलता की धारणा विकसित की।
 * 'द्वितीय विश्व युद्ध के बाद की अवधि', जब गणितीय तर्क अनुसंधान के चार अंतर-संबंधित लेकिन अलग-अलग क्षेत्रों में विभाजित हो गया: मॉडल सिद्धांत, प्रमाण सिद्धांतसंगणना सिद्धांत सिद्धांत, और सेट सिद्धांत, और इसके विचारों और तरीकों ने दर्शन को प्रभावित करना शुरू कर दिया।

भ्रूण काल
यह विचार कि अनुमान को पूरी तरह से यांत्रिक प्रक्रिया द्वारा दर्शाया जा सकता है, रेमन लुल के रूप में ही पाया गया था, जिन्होंने संकेंद्रित वलय की एक प्रणाली द्वारा निष्कर्ष निकालने की एक (कुछ हद तक विलक्षण) विधि प्रस्तावित की थी। ऑक्सफोर्ड कैलकुलेटर जैसे तर्कशास्त्रियों का कार्य तार्किक गणनाओं (गणनाओं) को शब्दों में लिखने के बजाय अक्षरों का उपयोग करने की एक विधि को जन्म दिया, उदाहरण के लिए, वेनिस के पॉल द्वारा लॉजिका मैग्ना में एक विधि का उपयोग किया गया। लुल्ल के तीन सौ साल बाद, अंग्रेजी दार्शनिक और तर्कशास्त्री थॉमस हॉब्स ने सुझाव दिया कि सभी तर्क और तर्क को जोड़ और घटाव के गणितीय कार्यों तक सीमित किया जा सकता है। यही विचार गॉटफ्राइड विल्हेम लीबनिज के काम में पाया जाता है, जिन्होंने लुल और हॉब्स दोनों को पढ़ा था, और जिन्होंने तर्क दिया था कि तर्क को एक संयोजन प्रक्रिया या कैलकुलस के माध्यम से दर्शाया जा सकता है। लेकिन, लुल और हॉब्स की तरह, वह एक विस्तृत या व्यापक प्रणाली विकसित करने में विफल रहे, और इस विषय पर उनका काम उनकी मृत्यु के लंबे समय बाद तक प्रकाशित नहीं हुआ था। लीबनिज का कहना है कि सामान्य भाषाएं अनगिनत अस्पष्टताओं के अधीन हैं और कैलकुलस के लिए अनुपयुक्त हैं, जिसका कार्य शब्दों के रूपों और संरचनाओं से उत्पन्न अनुमान में गलतियों को उजागर करना है; इसलिए, उन्होंने मूलभूत अवधारणाओं से युक्त मानव विचार की एक वर्णमाला की पहचान करने का प्रस्ताव रखा, जिसे जटिल विचारों को व्यक्त करने के लिए बनाया जा सकता है, और एक गणना कैलकुलेटर  बनाएं जो सभी तर्कों को गणितज्ञों के समान मूर्त बना दे, ताकि हम एक नज़र में अपनी त्रुटि पा सकें, और जब व्यक्तियों के बीच विवाद हो, तो हम बस कह सकें: आइए गणना करें। जोसेफ़ डियाज़ गेर्गोन (1816) ने कहा कि तर्क उन वस्तुओं के बारे में नहीं होना चाहिए जिनके बारे में किसी के पास बिल्कुल स्पष्ट विचार हैं, क्योंकि इसमें शामिल प्रतीकों के अर्थ के बारे में कोई विचार किए बिना बीजगणितीय संचालन किया जा सकता है। बर्नार्ड बोलजानो ने आधुनिक प्रमाण सिद्धांत के एक मौलिक विचार का अनुमान लगाया जब उन्होंने चर के संदर्भ में तार्किक परिणाम या कटौतीशीलता को परिभाषित किया: इसलिए मैं कहता हूं कि प्रस्ताव $$M$$, $$N$$, $$O$$,…प्रस्तावों से निष्कर्ष निकाला जा सकता है $$A$$, $$B$$, $$C$$, $$D$$,… परिवर्तनशील भागों के संबंध में $$i$$, $$j$$,…, यदि प्रत्येक वर्ग के विचारों के लिए प्रतिस्थापन $$i$$, $$j$$,… सब बनाता है $$A$$, $$B$$, $$C$$, $$D$$,… सच है, सब कुछ भी बनाता है $$M$$, $$N$$, $$O$$,… सत्य। कभी-कभी, चूँकि यह प्रथागत है, मैं यह प्रस्ताव कहूंगा $$M$$, $$N$$, $$O$$,… अनुसरण करें, या उससे अनुमान लगाया या प्राप्त किया जा सकता है $$A$$, $$B$$, $$C$$, $$D$$,…. प्रस्ताव $$A$$, $$B$$, $$C$$, $$D$$,... मैं परिसर को बुलाऊंगा, $$M$$, $$N$$, $$O$$,...निष्कर्ष।इसे अब अर्थ संबंधी वैधता के रूप में जाना जाता है।

बीजगणितीय काल
आधुनिक तर्क की शुरुआत बीजगणितीय स्कूल के रूप में जानी जाती है, जिसकी शुरुआत बूले से हुई और इसमें चार्ल्स सैंडर्स पीयर्स, विलियम स्टेनली जेवन्स, अर्न्स्ट श्रोडर (गणितज्ञ)|श्रोडर और जॉन वेन शामिल हैं। उनका उद्देश्य वर्गों, प्रस्तावों और संभावनाओं के क्षेत्र में तर्क को औपचारिक बनाने के लिए एक कलन विकसित करना था। स्कूल की शुरुआत बूले के मौलिक कार्य गणितीय विश्लेषण तर्क से होती है जो 1847 में प्रकाशित हुआ था, हालांकि ऑगस्टस डीमॉर्गन (1847) इसका तत्काल अग्रदूत है। बूले की प्रणाली का मूल विचार यह है कि तार्किक संबंधों को व्यक्त करने के लिए बीजगणितीय सूत्रों का उपयोग किया जा सकता है। बूले को यह विचार अपनी किशोरावस्था में आया था, जब वह लिंकन, लिंकनशायर के एक निजी स्कूल में सहायक के रूप में काम कर रहे थे। उदाहरण के लिए, मान लें कि x और y वर्गों के लिए हैं, मान लें कि प्रतीक = दर्शाता है कि वर्गों में समान सदस्य हैं, xy उस वर्ग के लिए है जिसमें केवल और केवल x और y के सदस्य हैं, इत्यादि। बूले इन्हें ऐच्छिक प्रतीक कहते हैं, यानी ऐसे प्रतीक जो विचार के लिए कुछ वस्तुओं का चयन करते हैं। एक अभिव्यक्ति जिसमें वैकल्पिक प्रतीकों का उपयोग किया जाता है उसे एक वैकल्पिक फ़ंक्शन कहा जाता है, और एक समीकरण जिसके सदस्य वैकल्पिक फ़ंक्शन होते हैं, एक वैकल्पिक समीकरण होता है। ऐच्छिक कार्यों और उनके विकास का सिद्धांत मूलतः सत्य-कार्यों और विच्छेदात्मक सामान्य रूप में उनकी अभिव्यक्ति का आधुनिक विचार है।

बूले की प्रणाली दो व्याख्याओं को स्वीकार करती है, वर्ग तर्क और प्रस्तावात्मक तर्क में। बूले ने प्राथमिक प्रस्तावों, जो कि सिलेगिस्टिक सिद्धांत का विषय हैं, और द्वितीयक प्रस्तावों, जो प्रस्तावात्मक तर्क का विषय हैं, के बीच अंतर किया और दिखाया कि कैसे विभिन्न व्याख्याओं के तहत एक ही बीजगणितीय प्रणाली दोनों का प्रतिनिधित्व कर सकती है। प्राथमिक प्रस्ताव का एक उदाहरण है सभी निवासी या तो यूरोपीय या एशियाई हैं। द्वितीयक प्रस्ताव का एक उदाहरण है या तो सभी निवासी यूरोपीय हैं या वे सभी एशियाई हैं। इन्हें आधुनिक विधेय तर्क में आसानी से पहचाना जा सकता है, जहां यह दिखाना भी संभव है कि पहला दूसरे से आता है, लेकिन यह एक महत्वपूर्ण नुकसान है कि बूलियन प्रणाली में इसका प्रतिनिधित्व करने का कोई तरीका नहीं है। अपने प्रतीकात्मक तर्क (1881) में, जॉन वेन ने वर्गों या प्रस्तावों की सत्य-स्थितियों के बीच बूलियन संबंधों को व्यक्त करने के लिए अतिव्यापी क्षेत्रों के आरेखों का उपयोग किया। 1869 में जेवन्स को एहसास हुआ कि बूले के तरीकों को मशीनीकृत किया जा सकता है, और उन्होंने एक तार्किक मशीन का निर्माण किया, जिसे उन्होंने अगले वर्ष रॉयल सोसाइटी को दिखाया। 1885 में एलन मार्क्वांड ने मशीन का एक विद्युत संस्करण प्रस्तावित किया जो अभी भी विद्यमान है (चित्र फायरस्टोन लाइब्रेरी में)। बूले की प्रणाली में दोष (जैसे कि अस्तित्व संबंधी प्रस्तावों के लिए अक्षर v का उपयोग) सभी को उनके अनुयायियों द्वारा ठीक कर दिया गया था। जेवन्स ने 1864 में क्वांटिटी के अलावा प्योर लॉजिक या क्वालिटी का लॉजिक प्रकाशित किया, जहां उन्होंने एकमात्र को दर्शाने के लिए एक प्रतीक का सुझाव दिया, जिससे बूले की प्रणाली को बहुत सरल बनाया जा सका। श्रोडर द्वारा इसका उपयोगी रूप से उपयोग किया गया जब उन्होंने अपने वोरलेसुंगेन (1890-1905) में समानांतर स्तंभों में प्रमेय प्रस्तुत किए। पीयर्स (1880) ने दिखाया कि कैसे सभी बूलियन ऐच्छिक कार्यों को एक एकल आदिम बाइनरी ऑपरेशन, लॉजिकल एनओआर|न तो ... न ही ... और समान रूप से अच्छी तरह से शेफ़र स्ट्रोक | दोनों नहीं ... और ... के उपयोग से व्यक्त किया जा सकता है।, हालाँकि, पीयर्स के कई आविष्कारों की तरह, यह तब तक अज्ञात या किसी का ध्यान नहीं गया जब तक हेनरी एम. शेफ़र ने 1913 में इसे फिर से खोज नहीं लिया। बूले के शुरुआती काम में उस तार्किक योग के विचार का भी अभाव है जो पीयर्स (1867), अर्न्स्ट श्रोडर (गणितज्ञ) | श्रोडर (1877) और जेवन्स (1890) से उत्पन्न हुआ है। और समावेशन (तर्क) की अवधारणा, सबसे पहले गेर्गोन (1816) द्वारा सुझाई गई और पियर्स (1870) द्वारा स्पष्ट रूप से व्यक्त की गई। बूले की बीजगणितीय प्रणाली की सफलता ने सुझाव दिया कि सभी तर्क बीजगणितीय प्रतिनिधित्व में सक्षम होने चाहिए, और इस तरह के रूप में संबंधों के तर्क को व्यक्त करने का प्रयास किया गया था, जिनमें से सबसे महत्वाकांक्षी श्रोडर का स्मारकीय वोरलेसुंगेन उबर डाई बीजगणित डेर लॉजिक (तर्क के बीजगणित पर व्याख्यान, खंड III 1895) था, हालांकि मूल विचार फिर से पीयर्स द्वारा अनुमानित किया गया था। अरस्तू के तर्क के प्रति बूले की अटूट स्वीकृति पर तर्क के इतिहासकार जॉन कोरकोरन (तर्कशास्त्री) ने विचार के नियमों के एक सुलभ परिचय में जोर दिया है। कोरकोरन ने प्रायर एनालिटिक्स और विचार के नियमों की बिंदु-दर-बिंदु तुलना भी लिखी। कोरकोरन के अनुसार, बूले ने अरस्तू के तर्क को पूरी तरह से स्वीकार किया और उसका समर्थन किया। बूले का लक्ष्य अरस्तू के तर्क के अंतर्गत, उसके ऊपर और उससे आगे जाना था 1) इसे समीकरणों से युक्त गणितीय आधार प्रदान करना, 2) उन समस्याओं के वर्ग का विस्तार करना जिनका वह इलाज कर सकता था - वैधता का आकलन करने से लेकर समीकरणों को हल करने तक - और 3) अनुप्रयोगों की सीमा का विस्तार करना यह संभाल सकता है - उदा. केवल दो पदों वाले प्रस्तावों से लेकर मनमाने ढंग से कई पदों वाले प्रस्तावों तक।

अधिक विशेष रूप से, बूले अरस्तू ने जो कहा उससे सहमत थे; बूले की 'असहमतियाँ', यदि उन्हें ऐसा कहा जा सकता है, उस बात से संबंधित हैं जो अरस्तू ने नहीं कही। सबसे पहले, नींव के दायरे में, बूले ने अरिस्टोटेलियन तर्क के चार प्रस्तावात्मक रूपों को समीकरणों के रूप में सूत्रों में बदल दिया - अपने आप में एक क्रांतिकारी विचार। दूसरा, तर्क की समस्याओं के दायरे में, बूले द्वारा तर्क में समीकरण समाधान जोड़ना - एक और क्रांतिकारी विचार - इसमें बूले का सिद्धांत शामिल था कि अरस्तू के अनुमान के नियम (पूर्ण न्यायशास्त्र) को समीकरण हल करने के लिए नियमों द्वारा पूरक किया जाना चाहिए। तीसरा, अनुप्रयोगों के क्षेत्र में, बूल की प्रणाली बहु-अवधि वाले प्रस्तावों और तर्कों को संभाल सकती है जबकि अरस्तू केवल दो-शब्द वाले विषय-विधेय प्रस्तावों और तर्कों को संभाल सकता है। उदाहरण के लिए, अरस्तू की प्रणाली यह निष्कर्ष नहीं निकाल सकी कि कोई चतुर्भुज जो कि एक वर्ग है वह एक समचतुर्भुज है जो कि एक समचतुर्भुज है।.

तर्कशास्त्रीय काल
बूले के बाद, अगली बड़ी प्रगति जर्मन गणितज्ञ गोटलोब फ्रेगे द्वारा की गई। फ़्रीज का उद्देश्य तर्कवाद का कार्यक्रम था, यानी यह प्रदर्शित करना कि अंकगणित तर्क के समान है। तर्क के प्रति अपने कठोर और औपचारिक दृष्टिकोण में फ़्रीज अपने किसी भी पूर्ववर्तियों की तुलना में बहुत आगे निकल गए, और उनका कैलकुलस या बेग्रिफ़्सक्रिफ्ट महत्वपूर्ण है। फ़्रीज ने यह दिखाने की भी कोशिश की कि संख्या की अवधारणा को पूरी तरह से तार्किक तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है, ताकि (यदि वह सही था) तर्क में अंकगणित और गणित की सभी शाखाएं शामिल हों जो अंकगणित में कम हो जाती हैं। वह यह सुझाव देने वाले पहले लेखक नहीं थे। अपने अग्रणी काम डाई ग्रंडलागेन डेर अरिथमेटिक (अंकगणित की नींव), खंड 15-17 में, वह लीबनिज, जे.एस. मिल के साथ-साथ जेवन्स के प्रयासों को स्वीकार करते हैं, बाद के दावे का हवाला देते हुए कि बीजगणित एक अत्यधिक विकसित तर्क है, और संख्या लेकिन तार्किक भेदभाव है। फ़्रीज का पहला काम, बेग्रीफ्सक्रिफ्ट (अवधारणा स्क्रिप्ट) प्रस्ताव तर्क की एक कठोर रूप से स्वयंसिद्ध प्रणाली है, जो केवल दो संयोजकों (नकारात्मक और सशर्त), अनुमान के दो नियमों (मोडस पोनेन्स और प्रतिस्थापन), और छह स्वयंसिद्धों पर निर्भर करती है। फ़्रीज ने इस प्रणाली की पूर्णता का उल्लेख किया, लेकिन इसे साबित करने में असमर्थ रहे। हालाँकि, सबसे महत्वपूर्ण नवाचार गणितीय कार्यों के संदर्भ में क्वांटिफ़ायर (तर्क) की उनकी व्याख्या थी। पारंपरिक तर्क इस वाक्य को मानता है कि सीज़र एक आदमी है, मूल रूप से उसी रूप में है जैसे सभी आदमी नश्वर हैं। उचित नाम विषय वाले वाक्यों को चरित्र में सार्वभौमिक माना जाता था, व्याख्या करने योग्य क्योंकि प्रत्येक सीज़र एक आदमी है। शुरुआत में फ़्रीज ने पारंपरिक अवधारणाओं विषय और विधेय को त्याग दिया, उन्हें क्रमशः तर्क और कार्य के साथ बदल दिया, जो उनका मानना ​​​​है कि समय की कसौटी पर खरा उतरेगा। यह देखना आसान है कि किसी तर्क के कार्य के रूप में किसी सामग्री के संबंध में अवधारणाओं का निर्माण कैसे होता है। इसके अलावा, यदि, और, नहीं, या, वहाँ है, कुछ, सभी, इत्यादि शब्दों के अर्थों के बीच संबंध का प्रदर्शन ध्यान देने योग्य है। फ़्रीज ने तर्क दिया कि क्वांटिफायर अभिव्यक्ति सभी पुरुषों के पास सभी पुरुषों के समान तार्किक या अर्थपूर्ण रूप नहीं है, और यह कि सार्वभौमिक प्रस्ताव प्रत्येक ए बी है, एक जटिल प्रस्ताव है जिसमें दो कार्य शामिल हैं, अर्थात् '- ए है' और '- बी है' ऐसा कि जो पहले को संतुष्ट करता है, वह दूसरे को भी संतुष्ट करता है। आधुनिक संकेतन में, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाएगा


 * $$\forall \; x \big( A(x) \rightarrow B (x) \big)$$

अंग्रेजी में, सभी x के लिए, यदि Ax है तो Bx। इस प्रकार केवल एकवचन प्रस्ताव ही विषय-विधेय रूप के होते हैं, और वे अपरिवर्तनीय रूप से एकवचन होते हैं, यानी किसी सामान्य प्रस्ताव में कम करने योग्य नहीं होते हैं। इसके विपरीत, सार्वभौमिक और विशेष प्रस्ताव बिल्कुल भी सरल विषय-विधेय रूप के नहीं होते हैं। यदि सभी स्तनधारी वाक्य का तार्किक विषय थे, तो सभी स्तनधारी भूमि पर रहने वाले हैं, तो पूरे वाक्य को नकारने के लिए हमें यह बताने के लिए विधेय को नकारना होगा कि सभी स्तनधारी भूमि पर रहने वाले नहीं हैं। पर ये स्थिति नहीं है। सामान्य भाषा के वाक्यों के इस कार्यात्मक विश्लेषण ने बाद में दर्शन और भाषा विज्ञान पर बहुत प्रभाव डाला।

इसका मतलब यह है कि फ़्रीज के कैलकुलस में, बूले के प्राथमिक प्रस्तावों को द्वितीयक प्रस्तावों से अलग तरीके से दर्शाया जा सकता है। सभी निवासी या तो पुरुष हैं या महिलाएँ : $$\forall \; x \Big( I(x) \rightarrow \big( M(x) \lor W(x) \big) \Big) $$ जबकि सभी निवासी पुरुष हैं या सभी निवासी महिलाएं हैं


 * $$\forall \; x \big( I(x) \rightarrow M(x) \big) \lor \forall \;x \big( I(x) \rightarrow W(x) \big)$$

जैसा कि फ़्रीज ने बूले के कैलकुलस की आलोचना में टिप्पणी की:


 * वास्तविक अंतर यह है कि मैं [बूलियन] को दो भागों में विभाजित करने से बचता हूं... और लॉट की एक सजातीय प्रस्तुति देता हूं। बूले में दो हिस्से एक-दूसरे के साथ-साथ चलते हैं, जिससे एक दूसरे की दर्पण छवि की तरह दिखता है, लेकिन इसी कारण से इसका इससे कोई जैविक संबंध नहीं है।'

तर्क की एक एकीकृत और व्यापक प्रणाली प्रदान करने के साथ-साथ, फ़्रीज के कैलकुलस ने बहु व्यापकता की प्राचीन समस्या का भी समाधान किया। प्रत्येक लड़की द्वारा एक लड़के को चूमने की अस्पष्टता को पारंपरिक तर्क में व्यक्त करना कठिन है, लेकिन फ़्रीज का तर्क परिमाणकों के विभिन्न दायरे के माध्यम से इसे हल करता है। इस प्रकार


 * $$\forall \; x \Big( G(x) \rightarrow \exists \; y \big( B(y) \land K(x,y) \big) \Big)$$

इसका मतलब है कि हर लड़की का कोई न कोई लड़का होता है (कोई भी ऐसा करेगा) जिसे लड़की ने चूमा हो। लेकिन


 * $$\exists \;x \Big( B(x) \land \forall \;y \big( G(y) \rightarrow K(y, x) \big) \Big)$$

इसका मतलब है कि कोई खास लड़का है जिसे हर लड़की चूमती है। इस उपकरण के बिना, तर्कवाद की परियोजना संदिग्ध या असंभव होती। इसका उपयोग करते हुए, फ़्रीज ने पैतृक संबंध, इंजेक्शन का कार्य|कई-से-एक संबंध और गणितीय प्रेरण की परिभाषा प्रदान की। यह अवधि उस काम के साथ ओवरलैप होती है जिसे गणितीय स्कूल के रूप में जाना जाता है, जिसमें रिचर्ड डेडेकाइंड, मोरिट्ज़ पास्च, ग्यूसेप पीनो, डेविड हिल्बर्ट, अर्नेस्ट ज़र्मेलो, एडवर्ड वर्मिली हंटिंगटन, ओसवाल्ड वेब्लेन और एंड्रयू हेटिंग शामिल थे। उनका उद्देश्य ज्यामिति, अंकगणित, विश्लेषण और सेट सिद्धांत जैसी गणित की शाखाओं का स्वयंसिद्धीकरण था। सबसे उल्लेखनीय हिल्बर्ट का कार्यक्रम था, जिसने संपूर्ण गणित को सिद्धांतों के एक सीमित सेट पर आधारित करने की कोशिश की, अंतिम तरीकों से इसकी स्थिरता साबित की और एक ऐसी प्रक्रिया प्रदान की जो किसी भी गणितीय कथन की सच्चाई या झूठ का फैसला करेगी। प्राकृतिक संख्याओं के मानक स्वयंसिद्धीकरण को इसी नाम से पीनो स्वयंसिद्ध नाम दिया गया है। पीनो ने गणितीय और तार्किक प्रतीकों के बीच स्पष्ट अंतर बनाए रखा। फ़्रीज के काम से अनभिज्ञ रहते हुए, उन्होंने बूले और श्रोडर के काम के आधार पर स्वतंत्र रूप से अपने तार्किक तंत्र को फिर से बनाया। 1901 में बर्ट्रेंड रसेल द्वारा एक विरोधाभास की खोज के साथ तर्कशास्त्री परियोजना को लगभग घातक झटका लगा। इससे साबित हुआ कि फ़्रीज के अनुभवहीन सेट सिद्धांत ने विरोधाभास पैदा किया। फ़्रीज के सिद्धांत में यह सिद्धांत शामिल था कि किसी भी औपचारिक मानदंड के लिए, उन सभी वस्तुओं का एक समूह होता है जो मानदंड को पूरा करते हैं। रसेल ने दिखाया कि एक सेट जिसमें बिल्कुल वे सेट हैं जो स्वयं के सदस्य नहीं हैं, अपनी परिभाषा का खंडन करेंगे (यदि यह स्वयं का सदस्य नहीं है, तो यह स्वयं का सदस्य है, और यदि यह स्वयं का सदस्य है, तो यह नहीं है)। इस विरोधाभास को अब रसेल विरोधाभास के नाम से जाना जाता है। इस विरोधाभास को हल करने का एक महत्वपूर्ण तरीका अर्न्स्ट ज़र्मेलो द्वारा प्रस्तावित किया गया था। ज़र्मेलो सेट सिद्धांत पहला स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत था। इसे अब-कैनोनिकल ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत (जेडएफ) में विकसित किया गया था। रसेल का विरोधाभास प्रतीकात्मक रूप से इस प्रकार है:


 * $$\text{Let } R = \{ x \mid x \not \in x \} \text{, then } R \in R \iff R \not \in R$$

रसेल और अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड द्वारा लिखित और 1910-1913 में प्रकाशित स्मारकीय प्रिंसिपिया मैथमेटिका, गणित की नींव पर एक तीन-खंड का काम, इसमें प्रकारों की एक विस्तृत प्रणाली के माध्यम से विरोधाभास को हल करने का प्रयास भी शामिल है: तत्वों का एक सेट उसके प्रत्येक तत्व की तुलना में एक अलग प्रकार का होता है (सेट तत्व नहीं है; एक तत्व सेट नहीं है) और कोई भी सभी सेटों के सेट के बारे में बात नहीं कर सकता है। प्रिंसिपिया गणितीय तर्क में सिद्धांतों और अनुमान नियमों के एक अच्छी तरह से परिभाषित सेट से सभी गणितीय सत्य प्राप्त करने का एक प्रयास था।

मेटागणितीय अवधि
कर्ट गोडेल|गोडेल और अल्फ्रेड टार्स्की के नाम 1930 के दशक में हावी रहे, मेटागणित  के विकास में एक महत्वपूर्ण अवधि - रूपक सिद्धांत, या अन्य गणितीय सिद्धांतों के बारे में गणितीय सिद्धांतों का उत्पादन करने के लिए गणितीय तरीकों का उपयोग करके गणित का अध्ययन। मेटामैथेमेटिक्स की प्रारंभिक जांच हिल्बर्ट के कार्यक्रम द्वारा संचालित की गई थी। मेटामैथेमेटिक्स पर काम गोडेल के काम में समाप्त हुआ, जिन्होंने 1929 में दिखाया कि एक दिया गया प्रथम-क्रम तर्क|प्रथम-क्रम वाक्य प्रोवेबिलिटी तर्क है यदि और केवल यदि यह तार्किक रूप से मान्य है - अर्थात यह अपनी भाषा के लिए हर संरचना (गणितीय तर्क) में सत्य है। इसे गोडेल की पूर्णता प्रमेय के रूप में जाना जाता है। एक साल बाद, उन्होंने दो महत्वपूर्ण प्रमेय सिद्ध किये, जिससे पता चला कि हिबर्ट का कार्यक्रम अपने मूल रूप में अप्राप्य है। पहला यह है कि स्वयंसिद्धों की कोई भी सुसंगत प्रणाली जिनके प्रमेयों को किसी प्रभावी विधि जैसे कलन विधि या कंप्यूटर प्रोग्राम द्वारा सूचीबद्ध किया जा सकता है, प्राकृतिक संख्याओं के बारे में सभी तथ्यों को साबित करने में सक्षम नहीं है। ऐसी किसी भी प्रणाली के लिए, प्राकृतिक संख्याओं के बारे में हमेशा ऐसे कथन होंगे जो सत्य हैं, लेकिन सिस्टम के भीतर अप्रमाणित हैं। दूसरा यह कि यदि ऐसी प्रणाली प्राकृतिक संख्याओं के बारे में कुछ बुनियादी तथ्यों को साबित करने में भी सक्षम है, तो प्रणाली स्वयं प्रणाली की स्थिरता को साबित नहीं कर सकती है। इन दो परिणामों को गोडेल की अपूर्णता प्रमेय, या बस गोडेल के प्रमेय के रूप में जाना जाता है। बाद के दशक में, गोडेल ने सेट-सैद्धांतिक रचनाशीलता की अवधारणा विकसित की, अपने प्रमाण के हिस्से के रूप में कि पसंद का सिद्धांत और सातत्य परिकल्पना ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के अनुरूप हैं।

प्रमाण सिद्धांत में, गेरहार्ड जेंटज़न ने प्राकृतिक कटौती और अनुक्रमिक कलन विकसित किया। पूर्व में तार्किक तर्क को मॉडल करने का प्रयास किया गया है क्योंकि यह व्यवहार में 'स्वाभाविक रूप से' होता है और इसे अंतर्ज्ञानवादी तर्क पर सबसे आसानी से लागू किया जाता है, जबकि बाद वाले को किसी भी औपचारिक प्रणाली में तार्किक प्रमाणों की व्युत्पत्ति को स्पष्ट करने के लिए तैयार किया गया था। जेंटज़ेन के काम के बाद से, प्राकृतिक कटौती और अनुक्रमिक गणना को प्रमाण सिद्धांत, गणितीय तर्क और कंप्यूटर विज्ञान के क्षेत्र में व्यापक रूप से लागू किया गया है। जेंटज़ेन ने अंतर्ज्ञानवादी और शास्त्रीय तर्क के लिए सामान्यीकरण और कट-उन्मूलन प्रमेयों को भी सिद्ध किया, जिनका उपयोग तार्किक प्रमाणों को सामान्य रूप में कम करने के लिए किया जा सकता है। अल्फ्रेड टार्स्की, जान लुकासिविक्ज़|लुकासिविक्ज़ के शिष्य, सत्य और तार्किक परिणाम की अपनी परिभाषा और खुले वाक्य की अर्थ संबंधी अवधारणा के लिए जाने जाते हैं। 1933 में, उन्होंने (पोलिश में) औपचारिक भाषाओं में सत्य की अवधारणा प्रकाशित की, जिसमें उन्होंने सत्य के अपने अर्थ संबंधी सिद्धांत का प्रस्ताव रखा: बर्फ सफेद है जैसा वाक्य तभी सत्य है जब बर्फ सफेद हो। टार्स्की के सिद्धांत ने धातुभाषा को अलग कर दिया, जो सत्य के बारे में बयान देता है, वस्तु भाषा से, जिसमें वह वाक्य होता है जिसकी सच्चाई पर जोर दिया जा रहा है, और वस्तु भाषा में वाक्यांशों और व्याख्या (तर्क) के तत्वों के बीच एक पत्राचार (टी-स्कीमा) दिया। सत्य को समझाने के कठिन विचार के प्रति टार्स्की का दृष्टिकोण तर्क और दर्शन में, विशेष रूप से मॉडल सिद्धांत के विकास में, स्थायी रूप से प्रभावशाली रहा है। टार्स्की ने निगमन प्रणालियों की कार्यप्रणाली और पूर्णता (तर्क), निर्णायकता (तर्क), स्थिरता और संरचना (गणितीय तर्क) जैसे मौलिक सिद्धांतों पर भी महत्वपूर्ण काम किया। अनीता फ़ेफ़रमैन के अनुसार, टार्स्की ने बीसवीं सदी में तर्क का चेहरा बदल दिया। अलोंजो चर्च और एलन ट्यूरिंग ने क्रमशः 1936 और 1937 में हिल्बर्ट के एन्ट्सचीडुंग्सप्रॉब्लम के लिए स्वतंत्र नकारात्मक समाधान देते हुए, कम्प्यूटेबिलिटी के औपचारिक मॉडल प्रस्तावित किए। Entscheidungsproblem ने एक ऐसी प्रक्रिया की मांग की, जो किसी भी औपचारिक गणितीय कथन को देखते हुए, एल्गोरिदमिक रूप से यह निर्धारित करेगी कि कथन सत्य है या नहीं। चर्च और ट्यूरिंग ने साबित किया कि ऐसी कोई प्रक्रिया नहीं है; ट्यूरिंग के पेपर ने हॉल्टिंग समस्या को एल्गोरिथम समाधान के बिना गणितीय समस्या के एक प्रमुख उदाहरण के रूप में पेश किया।

गणना के लिए चर्च की प्रणाली आधुनिक λ-कैलकुलस में विकसित हुई, जबकि ट्यूरिंग मशीन सामान्य प्रयोजन कंप्यूटिंग डिवाइस के लिए एक मानक मॉडल बन गई। जल्द ही यह दिखाया गया कि गणना के कई अन्य प्रस्तावित मॉडल चर्च और ट्यूरिंग द्वारा प्रस्तावित मॉडल की शक्ति के बराबर थे। इन परिणामों ने चर्च-ट्यूरिंग थीसिस को जन्म दिया कि कोई भी नियतात्मक एल्गोरिदम जो मानव द्वारा किया जा सकता है, उसे ट्यूरिंग मशीन द्वारा किया जा सकता है। चर्च ने अतिरिक्त अनिर्णय परिणाम साबित किए, जिससे पता चला कि पीनो अंकगणित और प्रथम-क्रम तर्क दोनों अनिर्णीत समस्या हैं। बाद में 1940 के दशक में एमिल पोस्ट और स्टीफन कोल क्लेन के काम ने कम्प्यूटेबिलिटी सिद्धांत के दायरे को बढ़ाया और अनसुलझेपन की डिग्री की अवधारणा को पेश किया।

बीसवीं शताब्दी के पहले कुछ दशकों के परिणामों का विश्लेषणात्मक दर्शन और दार्शनिक तर्क पर भी प्रभाव पड़ा, विशेष रूप से 1950 के दशक के बाद से, मोडल लॉजिक, टेम्पोरल लॉजिक, डोंटिक लॉजिक और प्रासंगिक तर्क जैसे विषयों में।

द्वितीय विश्वयुद्ध के बाद तर्क
द्वितीय विश्व युद्ध के बाद, गणितीय तर्क अनुसंधान के चार अंतर-संबंधित लेकिन अलग-अलग क्षेत्रों में विभाजित हो गया: मॉडल सिद्धांत, प्रमाण सिद्धांत, कम्प्यूटेबिलिटी सिद्धांत और सेट सिद्धांत। सेट सिद्धांत में, फोर्सिंग (गणित) की विधि ने मॉडल बनाने और स्वतंत्रता परिणाम प्राप्त करने के लिए एक मजबूत विधि प्रदान करके क्षेत्र में क्रांति ला दी। पॉल कोहेन ने 1963 में ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत से सातत्य परिकल्पना और पसंद के स्वयंसिद्ध की स्वतंत्रता को साबित करने के लिए इस पद्धति की शुरुआत की। उनकी तकनीक, जिसे इसके परिचय के तुरंत बाद सरलीकृत और विस्तारित किया गया था, तब से गणितीय तर्क के सभी क्षेत्रों में कई अन्य समस्याओं पर लागू किया गया है।

कम्प्यूटेबिलिटी सिद्धांत की जड़ें 1930 और 40 के दशक में ट्यूरिंग, चर्च, क्लेन और पोस्ट के काम में थीं। यह अमूर्त संगणना के अध्ययन के रूप में विकसित हुआ, जिसे पुनरावर्तन सिद्धांत के रूप में जाना जाने लगा। 1950 के दशक में अल्बर्ट मुचनिक और रिचर्ड फ्रीडबर्ग द्वारा स्वतंत्र रूप से खोजी गई ट्यूरिंग डिग्री ने अनसुलझेपन की डिग्री और संबंधित संरचनाओं की समझ में बड़ी प्रगति की। उच्च-क्रम कम्प्यूटेबिलिटी सिद्धांत में अनुसंधान ने सेट सिद्धांत के साथ इसके संबंधों का प्रदर्शन किया।  शास्त्रीय गणितीय प्रमेयों की प्रभावी सामग्री का अध्ययन करने के लिए रचनात्मक विश्लेषण और गणना योग्य विश्लेषण के क्षेत्र विकसित किए गए थे; बदले में इनसे रिवर्स गणित के कार्यक्रम को प्रेरणा मिली। संगणना सिद्धांत की एक अलग शाखा, कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत, को भी वर्णनात्मक जटिलता की जांच के परिणामस्वरूप तार्किक शब्दों में चित्रित किया गया था।

मॉडल सिद्धांत विशेष गणितीय सिद्धांतों के मॉडल का अध्ययन करने के लिए गणितीय तर्क के तरीकों को लागू करता है। अल्फ्रेड टार्स्की ने इस क्षेत्र में बहुत अग्रणी काम प्रकाशित किया, जिसका नाम उनके द्वारा मॉडलों के सिद्धांत में योगदान शीर्षक के तहत प्रकाशित पत्रों की एक श्रृंखला के नाम पर रखा गया है। 1960 के दशक में, अब्राहम रॉबिन्सन ने गैर-मानक विश्लेषण के आधार पर कैलकुलस और विश्लेषण विकसित करने के लिए मॉडल-सैद्धांतिक तकनीकों का उपयोग किया, एक समस्या जिसे सबसे पहले लाइबनिज़ द्वारा प्रस्तावित किया गया था। प्रमाण सिद्धांत में, शास्त्रीय गणित और अंतर्ज्ञानवादी गणित के बीच संबंध को जॉर्ज क्रेसेल और गोडेल की डायलेक्टिका व्याख्या द्वारा आविष्कृत यथार्थता विधि जैसे उपकरणों के माध्यम से स्पष्ट किया गया था। इस कार्य ने सबूत खनन  के समकालीन क्षेत्र को प्रेरित किया। करी-हावर्ड पत्राचार तर्क और गणना के बीच एक गहरे सादृश्य के रूप में उभरा, जिसमें प्राकृतिक कटौती की प्रणालियों और कंप्यूटर विज्ञान में उपयोग किए जाने वाले टाइप किए गए लैम्ब्डा कैलकुलस के बीच एक पत्राचार शामिल है। परिणामस्वरूप, औपचारिक प्रणालियों के इस वर्ग में अनुसंधान ने तार्किक और कम्प्यूटेशनल दोनों पहलुओं को संबोधित करना शुरू कर दिया; अनुसंधान के इस क्षेत्र को आधुनिक प्रकार के सिद्धांत के रूप में जाना जाने लगा। क्रमिक विश्लेषण में भी प्रगति हुई और स्वतंत्रता के अध्ययन से पेरिस-हैरिंगटन प्रमेय जैसे अंकगणित में परिणाम प्राप्त हुए।

यह एक ऐसा समय था, विशेषकर 1950 और उसके बाद, जब गणितीय तर्क के विचार दार्शनिक सोच को प्रभावित करने लगे। उदाहरण के लिए, तनावपूर्ण तर्क समय के संदर्भ में योग्य प्रस्तावों का प्रतिनिधित्व करने और उनके बारे में तर्क करने के लिए एक औपचारिक प्रणाली है। दार्शनिक आर्थर प्रायर ने 1960 के दशक में इसके विकास में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई। मोडल लॉजिक्स भाषाई तौर-तरीकों के तत्वों को शामिल करने के लिए औपचारिक तर्क के दायरे का विस्तार करते हैं (उदाहरण के लिए, तार्किक संभावना और आवश्यक और पर्याप्त शर्तें#आवश्यक शर्तें)। शाऊल क्रिपके के विचार, विशेष रूप से संभावित दुनिया के बारे में, और औपचारिक प्रणाली जिसे अब क्रिपके शब्दार्थ कहा जाता है, का विश्लेषणात्मक दर्शन पर गहरा प्रभाव पड़ा है। उनका सबसे प्रसिद्ध और सबसे प्रभावशाली काम नामकरण एवं आवश्यकता  (1980) है। डोंटिक लॉजिक्स, मोडल लॉजिक्स से निकटता से संबंधित हैं: वे दायित्व, अनुमति (दर्शन) और संबंधित अवधारणाओं की तार्किक विशेषताओं को पकड़ने का प्रयास करते हैं। यद्यपि 1800 के दशक की शुरुआत में बर्नार्ड बोलजानो#मेटाफिजिक्स द्वारा गणितीय और दार्शनिक तर्क के कुछ बुनियादी नवीनताएं दिखाई गई थीं, यह अर्न्स्ट मैली, एलेक्स आईयू एसएम ओह आई कांग का शिष्य था, जिसने अपने ग्रुंडगेसेटेज़ डेस सोलेन्स में पहली औपचारिक डोंटिक प्रणाली का प्रस्ताव रखा था, जो कि 1800 के दशक की शुरुआत में थी। व्हाइटहेड और रसेल के प्रस्तावक कलन का वाक्य-विन्यास।

द्वितीय विश्व युद्ध के बाद स्थापित एक और तार्किक प्रणाली 1965 में अज़रबैजानी गणितज्ञ लोटफ़ी आस्करज़ादेह द्वारा फजी लॉजिक थी।

यह भी देखें

 * निगमनात्मक तर्क का इतिहास
 * आगमनात्मक तर्क का इतिहास
 * अपहरण संबंधी तर्क का इतिहास
 * फ़ंक्शन अवधारणा का इतिहास
 * गणित का इतिहास
 * दर्शन#इतिहास
 * प्लेटो की दाढ़ी
 * गणितीय तर्क की समयरेखा

संदर्भ

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बाहरी संबंध

 * The History of Logic from Aristotle to Gödel with annotated bibliographies on the history of logic
 * Paul Spade's "Thoughts Words and Things" – An Introduction to Late Mediaeval Logic and Semantic Theory (PDF)
 * Open Access pdf download; Insights, Images, Bios, and links for 178 logicians by David Marans
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