क्लेन चार-समूह

गणित में, क्लेन फोर-ग्रुप चार तत्वों वाला एक समूह (गणित) है, जिसमें प्रत्येक तत्व इनवोल्यूशन (गणित) | स्व-उलटा है (इसे स्वयं के साथ बनाने से पहचान उत्पन्न होती है) और जिसमें तीन गैर-पहचान तत्वों में से किन्हीं दो की रचना करने से तीसरा उत्पन्न होता है। इसे गैर-स्क्वायर आयत के समरूपता समूह के रूप में वर्णित किया जा सकता है (तीन गैर-पहचान तत्वों के क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर प्रतिबिंब और 180 डिग्री रोटेशन के साथ), बिटवाइज़ ऑपरेशन अनन्य या दो-बिट बाइनरी मानों पर संचालन के समूह के रूप में, या अधिक सार बीजगणित के रूप में Z2 × Z2, आदेश के चक्रीय समूह (समूह सिद्धांत) की दो प्रतियों के समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद 2। 1884 में फेलिक्स क्लेन द्वारा इसका नाम वीरग्रुप (अर्थात् चार-समूह) रखा गया था। इसे क्लेन समूह भी कहा जाता है, और इसे अधिकांशतः अक्षर V या K के रूप में दर्शाया जाता है4.

क्लेन चार-समूह, चार तत्वों के साथ, सबसे छोटा समूह है जो चक्रीय समूह नहीं है। समूह समरूपता तक क्रम चार का केवल एक अन्य समूह है, क्रम 4 का चक्रीय समूह। दोनों एबेलियन समूह हैं। सबसे छोटा गैर-अबेलियन समूह डिग्री 3 का सममित समूह है, जिसका क्रम 6 है।

प्रस्तुति
क्लेन ग्रुप केली टेबल द्वारा दिया गया है: क्लेन चार-समूह को एक समूह की प्रस्तुति द्वारा भी परिभाषित किया गया है


 * $$\mathrm{V} = \left\langle a,b \mid a^2 = b^2 = (ab)^2 = e \right\rangle.$$

क्लेन समूह के सभी गैर-पहचान तत्व तत्वों का क्रम 2 है, इस प्रकार कोई भी दो गैर-पहचान तत्व उपरोक्त प्रस्तुति में जनरेटर के रूप में काम कर सकते हैं। क्लेन चार-समूह सबसे छोटा गैर-चक्रीय समूह है। चूंकि यह एक एबेलियन समूह है, और डायहेड्रल समूह ऑफ ऑर्डर (कार्डिनैलिटी) 4, अर्थात  डी के लिए आइसोमोर्फिक है4 (या डी2, ज्यामितीय सम्मेलन का उपयोग करके); क्रम 2 के समूह के अतिरिक्त, यह एकमात्र डायहेड्रल समूह है जो एबेलियन है।

क्लेन चार-समूह भी प्रत्यक्ष योग के लिए समरूप है Z2 ⊕ Z2, जिससे कि इसे जोड़े के रूप में दर्शाया जा सके {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} घटक-वार जोड़ के अनुसार  मॉड्यूलर अंकगणित (या समकक्ष बिट सरणी {00, 01, 10, 11}बिटवाइज़ XOR के अनुसार ); (0,0) समूह का पहचान तत्व होने के साथ। क्लेन चार-समूह इस प्रकार प्राथमिक एबेलियन समूह का एक उदाहरण है | प्राथमिक एबेलियन 2-समूह, जिसे बूलियन समूह भी कहा जाता है। क्लेन फोर-ग्रुप इस प्रकार सममित अंतर से उत्पन्न समूह भी है, जो दो तत्वों के साथ एक सेट के सत्ता स्थापित के सबसेट पर बाइनरी ऑपरेशन के रूप में होता है, अर्थात  चार तत्वों वाले सेट के क्षेत्र में, उदा। $$\{\emptyset, \{\alpha\}, \{\beta\}, \{\alpha, \beta\}\}$$; इस स्थिति में खाली सेट समूह का पहचान तत्व है।

क्लेन चार-समूह का एक और संख्यात्मक निर्माण समुच्चय है { 1, 3, 5, 7 }, ऑपरेशन के साथ पूर्णांक मॉड्यूलो n का गुणक समूह। यहाँ a 3 है, b 5 है, और c = ab है 3 × 5 = 15 ≡ 7 (mod 8).

क्लेन चार-समूह में 2 × 2 वास्तविक मैट्रिक्स के रूप में एक प्रतिनिधित्व होता है जिसमें ऑपरेशन मैट्रिक्स गुणन होता है:



e =\begin{pmatrix} 1 & 0\\     0 & 1    \end{pmatrix},\quad a = \begin{pmatrix} 1 & 0\\      0 & -1    \end{pmatrix},\quad b = \begin{pmatrix} -1 & 0\\      0 & 1    \end{pmatrix},\quad c = \begin{pmatrix} -1 & 0\\       0 & -1    \end{pmatrix} $$ रुबिक के क्यूब पर 4 बिंदुओं का पैटर्न तीन विधियों से बनाया जा सकता है, जो खाली छोड़े गए चेहरों की जोड़ी पर निर्भर करता है; पहचान या घर की स्थिति के साथ मिलकर ये तीन स्थितियाँ क्लेन समूह का एक उदाहरण बनाती हैं।

ज्यामिति
ज्यामितीय रूप से, दो आयामों में क्लेन चार-समूह एक समचतुर्भुज और आयतों का समरूपता समूह है जो वर्ग (ज्यामिति) नहीं हैं, चार तत्व पहचान, ऊर्ध्वाधर प्रतिबिंब, क्षैतिज प्रतिबिंब और 180 डिग्री रोटेशन हैं।

तीन आयामों में तीन अलग-अलग समरूपता समूह हैं जो बीजगणितीय रूप से क्लेन चार-समूह V हैं:
 * तीन लंबवत 2-गुना घूर्णन अक्षों वाला एक: D2
 * एक 2-गुना घूर्णन अक्ष के साथ, और परावर्तन का लम्बवत तल: C2h = D1d
 * एक परावर्तन के तल में 2-गुना घूर्णन अक्ष के साथ (और इसलिए परावर्तन के लम्बवत तल में भी): C2v = D1h.

क्रमचय प्रतिनिधित्व
क्लेन चार-समूह में ऑर्डर दो के तीन तत्व विनिमेय हैं: V का ऑटोमोर्फिज़्म समूह इन तीन तत्वों के क्रमपरिवर्तन का समूह है।

क्लेन चार-समूह के अपने स्वयं के तत्वों के क्रमपरिवर्तन को अमूर्त रूप से चार बिंदुओं पर इसके क्रमचय प्रतिनिधित्व के रूप में सोचा जा सकता है:
 * वी = {, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3)}

इस प्रतिनिधित्व में, V वैकल्पिक समूह A का एक सामान्य उपसमूह है4 (और सममित समूह एस भी4) चार अक्षरों पर। वास्तव में, यह कर्नेल (बीजगणित)#Group homomorphisms of a surjective group homomorphism from S है4 एस के लिए3.

एस के भीतर अन्य अभ्यावेदन4 हैं:


 * {, (1,2), (3,4), (1,2)(3,4)}
 * {, (1,3), (2,4), (1,3)(2,4)}
 * {, (1,4), (2,3), (1,4)(2,3)}

वे S के सामान्य उपसमूह नहीं हैं4.

बीजगणित
गैलोज़ सिद्धांत के अनुसार, क्लेन चार-समूह (और विशेष रूप से, इसका क्रमचय प्रतिनिधित्व) का अस्तित्व लॉडोविको द्वारा स्थापित एक बीजगणितीय समूहों के रेडिकल के संदर्भ में क्वार्टिक समीकरणों की जड़ों की गणना के लिए सूत्र के अस्तित्व की व्याख्या करता है। फेरारी: वो नक्शा S4 → S3 Lagrange विलायकों के संदर्भ में, विलायक घन से मेल खाती है।

परिमित छल्लों के निर्माण में, चार तत्वों वाले ग्यारह छल्लों में से आठ में क्लेन चार-समूह उनके योगात्मक उपसंरचना के रूप में होता है।

यदि आर× गैर-शून्य वास्तविक और आर के गुणात्मक समूह को दर्शाता है+ धनात्मक वास्तविक का गुणात्मक समूह, R× × आर× वलय की इकाइयों का समूह है R &times; R, और R+ &times; R+ का एक उपसमूह है R&times; &times; R&times; (वास्तव में यह पहचान घटक है R&times; &times; R&times;). भागफल समूह (R&times; &times; R&times;) / (R+ &times; R+) क्लेन चार-समूह के लिए आइसोमोर्फिक है। इसी तरह से, विभाजित-जटिल संख्या | स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स नंबर रिंग की इकाइयों का समूह, जब इसके पहचान घटक द्वारा विभाजित किया जाता है, तो क्लेन चार-समूह में भी परिणाम होता है।

ग्राफ सिद्धांत
क्लेन चार-समूह को अपने ग्राफ ऑटोमोर्फिज्म के रूप में स्वीकार करने वाला सबसे सरल सरल ग्राफ़ जुड़ा हुआ ग्राफ़ नीचे दिखाया गया हीरा ग्राफ़ है। यह कुछ अन्य ग्राफ़ों का ऑटोमोर्फिज़्म समूह भी है जो कम संस्थाओं के अर्थ में सरल हैं। इनमें चार कोने और एक किनारा वाला ग्राफ सम्मलित है, जो सरल रहता है लेकिन कनेक्टिविटी खो देता है, और दो किनारों से जुड़े दो किनारों के साथ ग्राफ, जो जुड़ा रहता है लेकिन सादगी खो देता है।

संगीत
संगीत रचना में बारह-स्वर तकनीक में चार-समूह क्रमपरिवर्तन का मूल समूह है। उस उदाहरण में केली तालिका लिखी गई है;

यह भी देखें

 * चतुर्भुज समूह
 * छोटे समूहों की सूची

अग्रिम पठन

 * M. A. Armstrong (1988) Groups and Symmetry, Springer Verlag, [ page 53].
 * W. E. Barnes (1963) Introduction to Abstract Algebra, D.C. Heath & Co., page 20.