मोंटे कार्लो विधि

मोंटे कार्लो विधियाँ, या मोंटे कार्लो प्रयोग, संगणनात्मक कलन विधि का व्यापक वर्ग है जो संख्यात्मक परिणाम प्राप्त करने के लिए बार-बार यादृच्छिक प्रतिदर्श पर भरोसा करते हैं। अंतर्निहित अवधारणा उन समस्याओं को हल करने के लिए यादृच्छिकता का उपयोग करना है जो सिद्धांत रूप में निर्धारक प्रणाली हो सकती हैं। वे अधिकतर भौतिकी और गणित की समस्याओं में उपयोग किए जाते हैं और सबसे उपयोगी होते हैं जब अन्य तरीकों का उपयोग करना मुश्किल या असंभव होता है। मोंटे कार्लो विधियों का मुख्य रूप से तीन समस्या वर्गों में उपयोग किया जाता है: अनुकूलन, संख्यात्मक एकीकरण, और संभाव्यता वितरण से ड्रॉ उत्पन्न करना।

भौतिकी से संबंधित समस्याओं में, मोंटे कार्लो पद्धति स्वतंत्रता की कई युग्मन (भौतिकी) डिग्री के साथ प्रणालियों के अनुकरण के लिए उपयोगी होती है, जैसे कि तरल पदार्थ, अव्यवस्थित सामग्री, दृढ़ता से युग्मित ठोस पदार्थ, और कोशिकीय संरचनाएं (कोशिकीय पॉट्स प्रतिरूप देखें, अन्योन्यकारी कण प्रणालियों, मैककेन- वेलासोव प्रक्रियाएं, गैसों का गतिज सिद्धांत)।

अन्य उदाहरणों में इनपुट में महत्वपूर्ण अनिश्चितता के साथ प्रतिरूपण घटनाएं सम्मिलित हैं, जैसे व्यापार में जोखिम की गणना और गणित में, जटिल सीमा स्थितियों के साथ बहुआयामी निश्चित समाकलन का मूल्यांकन। सिस्टम इंजीनियरिंग समस्याओं (अंतरिक्ष, तेल की खोज, विमान डिजाइन, आदि) के लिए आवेदन में, मोंटे कार्लो-आधारित विफलता की भविष्यवाणियां, लागत में वृद्धि और अनुसूची अतिक्रमण नियमित रूप से मानव अंतर्ज्ञान या वैकल्पिक "सॉफ्ट (कोमल)" तरीकों से उत्तम हैं।

सिद्धांत रूप में, मोंटे कार्लो विधियों का उपयोग संभाव्य व्याख्या वाली किसी भी समस्या को हल करने के लिए किया जा सकता है। बड़ी संख्या के कानून के द्वारा, कुछ यादृच्छिक चर के अपेक्षित मूल्य द्वारा वर्णित समाकलन को चर के स्वतंत्र प्रतिदर्श के अनुभवजन्य माध्य (उर्फ 'प्रतिदर्श माध्य') लेकर अनुमानित किया जा सकता है। जब चर के प्रायिकता वितरण को प्राचलित किया जाता है, तो गणितज्ञ अधिकतर एक मार्कोव चेन मोंटे कार्लो (एमसीएमसी) प्रतिदर्श का उपयोग करते हैं।  केंद्रीय विचार एक निर्धारित स्थिर संभाव्यता वितरण के साथ विवेकपूर्ण मार्कोव श्रृंखला प्रतिरूप तैयार करना है। अर्थात्, सीमा में, MCMC विधि द्वारा उत्पन्न किए जा रहे प्रतिदर्श वांछित (लक्ष्य) वितरण से प्रतिदर्श होंगे।  एर्गोडिक प्रमेय द्वारा, स्थिर वितरण MCMC प्रतिदर्श के यादृच्छिक स्थिति के अनुभवजन्य संस्तर द्वारा अनुमानित है।

अन्य समस्याओं में, उद्देश्य एक अरैखिक विकास समीकरण को संतुष्ट करने वाले संभाव्यता वितरण के अनुक्रम से ड्रॉ उत्पन्न कर रहा है। संभाव्यता वितरण के इन प्रवाहों को हमेशा मार्कोव प्रक्रिया के यादृच्छिक स्थिति के वितरण के रूप में व्याख्या किया जा सकता है, जिनकी संक्रमण संभावनाएं वर्तमान यादृच्छिक स्थिति के वितरण पर निर्भर करती हैं (मैककेन-वेलासोव प्रक्रियाएं, अरेखीय निस्पंदन देखें)। अन्य उदाहरणों में हमें प्रतिदर्श की जटिलता के बढ़ते स्तर के साथ संभाव्यता वितरण का प्रवाह दिया जाता है (बढ़ते समय क्षितिज के साथ पथ स्थान प्रतिरूप, बोल्ट्जमैन-गिब्स के घटते तापमान मापदंडों से जुड़े उपाय, और कई अन्य)। इन प्रतिरूपों को एक गैर-रैखिक मार्कोव श्रृंखला के यादृच्छिक स्थिति के कानून के उद्विकास के रूप में भी देखा जा सकता है। इन परिष्कृत गैर-रैखिक मार्कोव प्रक्रियाओं को अनुकरण करने का प्राकृतिक तरीका प्रक्रिया की कई प्रतियों का प्रतिदर्श लेना है, विकास समीकरण में प्रतिदर्श अनुभवजन्य उपायों द्वारा यादृच्छिक स्थिति के अज्ञात वितरण को बदलना। पारंपरिक मोंटे कार्लो और MCMC कार्यप्रणाली के विपरीत, ये माध्य-क्षेत्र कण विधियाँ माध्य-क्षेत्र कण तकनीक अनुक्रमिक अंतःक्रियात्मक प्रतिदर्श पर निर्भर करती हैं। शब्दावली "माध्य क्षेत्र" इस तथ्य को दर्शाता है कि प्रत्येक प्रतिदर्श (उर्फ कण, व्यक्ति, वॉकर, दलाल, जीव या  समलक्षणियों) प्रक्रिया के अनुभवजन्य उपायों के साथ परस्पर क्रिया करते हैं। जब प्रणाली का आकार अनंत हो जाता है, तो ये यादृच्छिक अनुभवजन्य उपाय गैर-रैखिक मार्कोव श्रृंखला के यादृच्छिक स्थिति के नियतात्मक वितरण में परिवर्तित हो जाते हैं, जिससे कणों के बीच सांख्यिकीय बातचीत गायब हो जाती है।

इसकी वैचारिक और कलनविधीय सहजता के अतिरिक्त, मोंटे कार्लो अनुकरण से जुड़ी संगणनात्मक लागत बहुत अधिक हो सकती है। सामान्य तौर पर विधि को एक अच्छा सन्निकटन प्राप्त करने के लिए कई प्रतिदर्श की आवश्यकता होती है, जो कि एक एकल प्रतिदर्श का प्रसंस्करण समय अधिक होने पर अव्यवस्थिततः बड़े संपूर्ण कार्यावधि का कारण बन सकता है। यद्यपि यह बहुत ही जटिल समस्याओं में गंभीर प्रतिबंध है, कलन विधि की लज्जाजनक रूप से समानांतर प्रकृति स्थानीय संसाधक, गुच्छा, क्लाउड कंप्यूटिंग, जी.पी.यू, एफ.पी.जी.ए, आदि में समानांतर कंप्यूटिंग रणनीतियों के माध्यम से इस बड़ी लागत को कम करने की अनुमति देती है (संभवतः एक व्यवहार्य स्तर तक)।.

सिंहावलोकन
मोंटे कार्लो के तरीके अलग-अलग होते हैं, लेकिन एक विशेष पतिरूप का पालन करते हैं:
 * 1) संभावित निवेश के एक प्रांत को परिभाषित करें।
 * 2) प्रांत पर संभाव्यता वितरण से अक्रमतः ढंग से निवेश उत्पन्न करें।
 * 3) निवेश पर एक नियतात्मक संगणना करें।
 * 4) परिणाम एकत्र करें।

उदाहरण के लिए, एक इकाई वर्ग में अंकित चतुर्भुज (परिपत्र क्षेत्र) पर विचार करें। दिया गया है कि उनके क्षेत्रों का अनुपात $\pi⁄4$ है, π का मान मोंटे कार्लो विधि का उपयोग करके अनुमानित किया जा सकता है: इस प्रक्रिया में निवेश का प्रांत वर्ग है जो चतुर्भुज को परिचालित करता है। हम अनाज को वर्ग पर बिखेर कर यादृच्छिक निवेश उत्पन्न करते हैं, फिर प्रत्येक निवेश पर एक गणना करते हैं (परीक्षण करें कि क्या यह चतुर्थांश के भीतर आता है)। परिणामों को एकत्र करने से हमारा अंतिम परिणाम प्राप्त होता है, π का अनुमान।
 * 1) एक वर्ग बनाएं, फिर उसके भीतर एक चतुर्भुज अंकित करें।
 * 2) दिए गए बिंदुओं का वर्ग के ऊपर समान वितरण करें।
 * 3) चतुर्भुज के अंदर बिंदुओं की संख्या गिनें, यानी 1 से कम की उत्पत्ति से दूरी।
 * 4) इनसाइड-काउंट और टोटल-सैंपल-काउंट का अनुपात दो क्षेत्रों के अनुपात का अनुमान है, $\pi⁄4$। π का अनुमान लगाने के लिए परिणाम को 4 से गुणा करें।

दो महत्वपूर्ण विचार हैं:
 * 1) यदि अंक समान रूप से वितरित नहीं किए जाते हैं, तो सन्निकटन खराब होगा।
 * 2) कई बिंदु हैं। सन्निकटन आम तौर पर तभी खराब होता है यदि केवल कुछ बिंदुओं को पूरे वर्ग में यादृच्छिक रूप से रखा जाता है। औसतन, अधिक अंक रखे जाने पर सन्निकटन में सुधार होता है।

मोंटे कार्लो विधियों के उपयोग के लिए बड़ी मात्रा में यादृच्छिक संख्याओं की आवश्यकता होती है, और उनके उपयोग से छद्म यादृच्छिक संख्या जनित्र से बहुत लाभ होता है, जो यादृच्छिक संख्याओं की तालिकाओं की तुलना में उपयोग करने के लिए बहुत तेज़ थे और जो पहले सांख्यिकीय प्रतिचयन के लिए उपयोग किए गए थे।

इतिहास
मोंटे कार्लो विधि विकसित होने से पहले, अनुकरण ने पहले से समझी गई नियतात्मक समस्या का परीक्षण किया था, और अनुकरण में अनिश्चितताओं का अनुमान लगाने के लिए सांख्यिकीय प्रतिदर्श का उपयोग किया गया था। मोंटे कार्लो अनुकरण इस दृष्टिकोण को उल्टा करते हैं, प्रायिकता मेटाह्यूरिस्टिक्स का उपयोग करके नियतात्मक समस्याओं को हल करते हैं ( तैयार किए हुयी धातु पे पानी चढाने की कला देखें)।

बफन की सुई की समस्या को हल करने के लिए मोंटे कार्लो पद्धति का एक प्रारंभिक संस्करण तैयार किया गया था, जिसमें π समानांतर समदूरस्थ पट्टियों से बने फर्श पर सुइयों को गिराकर अनुमान लगाया जा सकता है। 1930 के दशक में, एनरिको फर्मी ने न्यूट्रॉन प्रसार का अध्ययन करते हुए पहली बार मोंटे कार्लो पद्धति का प्रयोग किया, लेकिन उन्होंने इस काम को प्रकाशित नहीं किया।

1940 के दशक के अंत में, स्टैनिस्लाव उलम ने मार्कोव चेन मोंटे कार्लो पद्धति के आधुनिक संस्करण का आविष्कार किया, जब वह लॉस अलामोस नेशनल लेबोरेटरी में परमाणु हथियार परियोजनाओं पर काम कर रहे थे। 1946 में, लॉस अलामोस में परमाणु हथियार भौतिक विज्ञानी परमाणु हथियार के मूल में न्यूट्रॉन प्रसार की जांच कर रहे थे। अधिकांश आवश्यक डेटा होने के बावजूद, जैसे कि औसत दूरी एक न्यूट्रॉन एक परमाणु नाभिक से टकराने से पहले एक पदार्थ में यात्रा करेगा और टक्कर के बाद न्यूट्रॉन कितनी ऊर्जा देने की संभावना थी, लॉस अलामोस भौतिकविद असमर्थ थे पारंपरिक, नियतात्मक गणितीय विधियों का उपयोग करके समस्या को हल करें। उलम ने यादृच्छिक प्रयोगों का उपयोग करके प्रस्तावित किया। वह अपनी प्रेरणा को इस प्रकार बताता है:

"मोंटे कार्लो विधि का अभ्यास करने के लिए मेरे द्वारा किए गए पहले विचार और प्रयास 1946 में एक प्रश्न द्वारा सुझाए गए थे, जब मैं एक बीमारी से उबर रहा था और एकरत्नी खेल रहा था। सवाल यह था कि क्या संभावना है कि 52 कार्डों के साथ तैयार किया गया कैनफील्ड एकरत्नी सफलतापूर्वक बाहर आ जाएगा? शुद्ध संयोजी गणनाओं द्वारा उनका अनुमान लगाने की कोशिश में बहुत समय बिताने के बाद, मैंने सोचा कि क्या 'अमूर्त सोच' की तुलना में एक अधिक व्यावहारिक तरीका यह नहीं हो सकता है कि इसे सौ बार कहें और मात्र सफल प्ले की संख्या का निरीक्षण करें और गिनें। तेज कंप्यूटरों के नए युग की प्रारंभ के साथ इसकी कल्पना करना पहले से ही संभव था, और मैंने तुरंत न्यूट्रॉन प्रसार की समस्याओं और गणितीय भौतिकी के अन्य प्रश्नों के बारे में सोचा, और अधिक आम तौर पर कुछ अंतर समीकरणों द्वारा वर्णित प्रक्रियाओं को समतुल्य रूप में यादृच्छिक संचालन के उत्तराधिकार के रूप में व्याख्या करने योग्य कैसे बदला जाए। बाद में [1946 में], मैंने जॉन वॉन न्यूमैन को इस विचार का वर्णन किया, और हमने वास्तविक गणना की योजना बनाना शुरू किया।-]"

गुप्त होने के कारण, वॉन न्यूमैन और उलाम के कार्य को एक कोड नाम की आवश्यकता थी। वॉन न्यूमैन और उलम के सहयोगी, निकोलस मेट्रोपोलिस ने मोंटे कार्लो नाम का उपयोग करने का सुझाव दिया, जो मोनाको में मोंटे कार्लो कैसीनो को संदर्भित करता है जहां उलाम के चाचा जुआ खेलने के लिए रिश्तेदारों से पैसे उधार लेते थे। मैनहट्टन परियोजना के लिए आवश्यक अनुकरण के लिए मोंटे कार्लो विधियां केंद्रीय थीं, यद्यपि उस समय संगणनात्मक कलपुर्जे द्वारा गंभीर रूप से सीमित थे। वॉन न्यूमैन, निकोलस मेट्रोपोलिस और अन्य लोगों ने 1948 के वसंत में परमाणु हथियार डिजाइन#शुद्ध विखंडन हथियार कोर की पहली पूरी तरह से स्वचालित मोंटे कार्लो गणना करने के लिए ENIAC कंप्यूटर को प्रोग्राम किया। 1950 के दशक में उदजन बम के विकास के लिए लॉस एलामोस नेशनल लेबोरेटरी में मोंटे कार्लो विधियों का उपयोग किया गया था, और भौतिकी, भौतिक रसायन विज्ञान और संचालन अनुसंधान के क्षेत्र में लोकप्रिय हो गया। रैंड कॉर्पोरेशन और यू.एस. वायु सेना इस समय के दौरान मोंटे कार्लो विधियों के बारे में वित्त पोषण और सूचना के प्रसार के लिए उत्तरदायी दो प्रमुख संगठन थे, और उन्होंने कई अलग-अलग क्षेत्रों में विस्तृत आवेदन खोजना आरंभ किया।

अधिक परिष्कृत माध्य-क्षेत्र प्रकार के कण मोंटे कार्लो विधियों का सिद्धांत निश्चित रूप से 1960 के दशक के मध्य तक हेनरी मैककेन के काम के साथ आरंभ हो गया था। यांत्रिकी। हम टेड हैरिस (गणितज्ञ) | थिओडोर ई. हैरिस और हरमन क्हान द्वारा पहले के अग्रणी लेख को भी उद्धृत करते हैं, जो 1951 में प्रकाशित हुआ था, जिसमें कण संचरण ऊर्जा का अनुमान लगाने के लिए माध्य-क्षेत्र आनुवंशिक एल्गोरिथम-प्रकार मोंटे कार्लो विधियों का उपयोग किया गया था। मीन-फील्ड जेनेटिक टाइप मोंटे कार्लो मेथडोलॉजी का विकासवादी कंप्यूटिंग में अनुमानी प्राकृतिक खोज एल्गोरिदम (उर्फ मेटाह्यूरिस्टिक) के रूप में भी उपयोग किया जाता है। इन मीन-फील्ड संगणनात्मक तकनीकों की उत्पत्ति 1950 और 1954 में जेनेटिक टाइप म्यूटेशन-सेलेक्शन लर्निंग मशीन पर एलन ट्यूरिंग के काम से की जा सकती है। और प्रिंसटन, न्यू जर्सी में उन्नत अध्ययन संस्थान में निल्स ऑल बरीज़ के लेख।

क्वांटम मोंटे कार्लो, और अधिक विशेष रूप से प्रसार मोंटे कार्लो की व्याख्या रिचर्ड फेनमैन-मार्क केएसी पथ इंटीग्रल्स के माध्य-क्षेत्र कण मोंटे कार्लो सन्निकटन के रूप में भी की जा सकती है।       क्वांटम मोंटे कार्लो विधियों की उत्पत्ति का श्रेय अधिकतर एनरिको फर्मी और रॉबर्ट डी. रिच्टमायर को दिया जाता है, जिन्होंने 1948 में न्यूट्रॉन-श्रृंखला प्रतिक्रियाओं की माध्य-क्षेत्र कण व्याख्या विकसित की थी, लेकिन क्वांटम प्रणाली (कम आव्यूह प्रतिरूप में) की जमीनी स्थिति ऊर्जा का आकलन करने के लिए पहला ह्यूरिस्टिक-जैसे और जेनेटिक टाइप पार्टिकल एल्गोरिथम (उर्फ रीसैंपल्ड या रीकॉन्फ़िगरेशन मोंटे कार्लो तरीके) 1984 में जैक एच। हेथरिंगटन के कारण है। आणविक रसायन विज्ञान में, जेनेटिक ह्यूरिस्टिक-जैसे कण पद्धतियों (उर्फ छंटाई और संवर्धन रणनीतियों) का उपयोग 1955 में मार्शल रोसेनब्लुथ|

उन्नत संकेत आगे बढ़ाना और बायेसियन अनुमान में अनुक्रमिक मोंटे कार्लो पद्धति का उपयोग हाल ही में हुआ है। यह 1993 में था, कि गॉर्डन एट अल।, उनके मौलिक कार्य में प्रकाशित हुआ बायेसियन सांख्यिकीय अनुमान में मोंटे कार्लो रीसैंपलिंग (सांख्यिकी) एल्गोरिथम का पहला अनुप्रयोग। लेखकों ने अपने एल्गोरिथम को 'द बूटस्ट्रैप निस्पंदन' नाम दिया, और प्रदर्शित किया कि अन्य निस्पंदनिंग विधियों की तुलना में, उनके बूटस्ट्रैप एल्गोरिथम को उस राज्य-स्थान या प्रणाली के शोर के बारे में किसी धारणा की आवश्यकता नहीं है। हम संबंधित मोंटे कार्लो फिल्टर पर जेनशिरो कितागावा के इस क्षेत्र में एक और अग्रणी लेख भी उद्धृत करते हैं, और पियरे डेल मोरल द्वारा और हिमिलकॉन कार्वाल्हो, पियरे डेल मोरल, आंद्रे मोनिन और जेरार्ड सैलुट 1990 के दशक के मध्य में प्रकाशित कण फिल्टर पर। 1989-1992 में P. Del Moral, J. C. Noyer, G. Rigal, और G. Salut द्वारा LAAS-CNRS में STCAN (सर्विस टेक्निक डेस कंस्ट्रक्शन) के साथ प्रतिबंधित और वर्गीकृत शोध रिपोर्टों की एक श्रृंखला में संकेत प्रोसेसिंग में कण फिल्टर भी विकसित किए गए थे। et Armes Navales), IT कंपनी DIGILOG, और LAAS-CNRS (प्रयोगशाला विश्लेषण और प्रणाली की वास्तुकला) रडार/सोनार और GPS संकेत प्रोसेसिंग समस्याओं पर।      इन अनुक्रमिक मोंटे कार्लो पद्धतियों की व्याख्या एक इंटरेक्टिंग रीसाइक्लिंग तंत्र से लैस एक स्वीकृति-अस्वीकृति प्रतिदर्श के रूप में की जा सकती है।

1950 से 1996 तक, अनुक्रमिक मोंटे कार्लो पद्धतियों पर सभी प्रकाशन, संगणनात्मक भौतिकी और आणविक रसायन विज्ञान में आरंभ की गई मोंटे कार्लो विधियों की छंटाई और पुनर्प्रतिदर्श सहित, वर्तमान प्राकृतिक और अनुमानी-जैसे एल्गोरिदम उनकी स्थिरता के एक भी प्रमाण के बिना विभिन्न स्थितियों पर उपयोजित होते हैं, और न ही अनुमानों के पूर्वाग्रह और वंशावली और पैतृक वृक्ष आधारित एल्गोरिदम पर चर्चा। गणितीय नींव और इन कण एल्गोरिदम का पहला कठोर विश्लेषण 1996 में पियरे डेल मोरल द्वारा लिखा गया था। 1990 के दशक के अंत में डैन क्रिसन, जेसिका गेंस और टेरी लियोन द्वारा अलग-अलग आबादी के आकार के साथ शाखाओं में बंटी प्रकार की कण पद्धतियां भी विकसित की गईं। और डैन क्रिसन, पियरे डेल मोरल और टेरी लियोन द्वारा। इस क्षेत्र में आगे के विकास 2000 में पी. डेल मोरल, ए. गियोननेट और एल. मिक्लो द्वारा विकसित किए गए थे।

परिभाषाएँ
मोंटे कार्लो को कैसे परिभाषित किया जाना चाहिए, इस पर कोई सहमति नहीं है। उदाहरण के लिए, रिप्ले मोंटे कार्लो को मोंटे कार्लो एकीकरण और मोंटे कार्लो सांख्यिकीय परीक्षणों के लिए आरक्षित होने के साथ, स्टोकेस्टिक अनुकरण के रूप में सबसे अधिक संभावना वाले प्रतिरूपण को परिभाषित करता है। श्लोमो सॉविलोव्स्की एक अनुकरण, एक मोंटे कार्लो विधि और एक मोंटे कार्लो अनुकरण के बीच अंतर करता है: एक अनुकरण वास्तविकता का एक काल्पनिक प्रतिनिधित्व है, एक मोंटे कार्लो विधि एक तकनीक है जिसका उपयोग गणितीय या सांख्यिकीय समस्या को हल करने के लिए किया जा सकता है, और एक मोंटे कार्लो अनुकरण का उपयोग करता है। किसी घटना (या व्यवहार) के सांख्यिकीय गुणों को प्राप्त करने के लिए बार-बार प्रतिदर्श लेना। उदाहरण:
 * अनुकरण: इंटरवल [0,1] से एक स्यूडो-रैंडम एकसमान वेरिएप्रणोदन ड्रॉ करना, एक सिक्के को उछालने का अनुकरण करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है: यदि मान 0.50 से कम या उसके बराबर है, तो परिणाम को हेड के रूप में निर्दिष्ट करें, लेकिन यदि मान है 0.50 से अधिक परिणाम को पूंछ के रूप में नामित करते हैं। यह एक अनुकरण है, लेकिन मोंटे कार्लो अनुकरण नहीं।
 * मोंटे कार्लो विधि: एक मेज पर सिक्कों के एक बॉक्स को डालना, और फिर सिक्कों के अनुपात की गणना करना जो कि सिर बनाम पूंछ भूमि है, बार-बार सिक्का उछालने के व्यवहार को निर्धारित करने का एक मोंटे कार्लो तरीका है, लेकिन यह अनुकरण नहीं है।
 * मोंटे कार्लो अनुकरण: अंतराल [0,1] से एक समय में, या एक बार कई अलग-अलग समय में छद्म-यादृच्छिक वर्दी चर की एक बड़ी संख्या को चित्रित करना, और 0.50 से कम या उसके बराबर मूल्यों को शीर्ष के रूप में और 0.50 से अधिक के रूप में असाइन करना पूंछ, एक सिक्के को बार-बार उछालने के व्यवहार का एक मोंटे कार्लो अनुकरण है।

कालोस और व्हिटलॉक इंगित करें कि इस तरह के भेदों को बनाए रखना हमेशा आसान नहीं होता है। उदाहरण के लिए, परमाणुओं से विकिरण का उत्सर्जन एक प्राकृतिक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है। इसे सीधे सिम्युलेट किया जा सकता है, या इसके औसत व्यवहार को स्टोकेस्टिक समीकरणों द्वारा वर्णित किया जा सकता है जो स्वयं मोंटे कार्लो विधियों का उपयोग करके हल किया जा सकता है। दरअसल, एक ही कंप्यूटर कोड को एक साथ 'प्राकृतिक अनुकरण' या प्राकृतिक प्रतिदर्श द्वारा समीकरणों के समाधान के रूप में देखा जा सकता है।

मोंटे कार्लो और यादृच्छिक संख्या
इस पद्धति के पीछे मुख्य विचार यह है कि परिणामों की गणना बार-बार यादृच्छिक प्रतिदर्श और सांख्यिकीय विश्लेषण के आधार पर की जाती है। मोंटे कार्लो अनुकरण, वास्तव में, यादृच्छिक प्रयोग है, इस मामले में कि इन प्रयोगों के परिणाम अच्छी तरह से ज्ञात नहीं हैं। मोंटे कार्लो अनुकरण में आमतौर पर कई अज्ञात पैरामीटर होते हैं, जिनमें से कई को प्रयोगात्मक रूप से प्राप्त करना मुश्किल होता है। मोंटे कार्लो अनुकरण विधियों को हमेशा उपयोगी होने के लिए रैंडम नंबर जेनरेशन # ट्रू बनाम स्यूडो-रैंडम नंबर की आवश्यकता नहीं होती है (यद्यपि, कुछ अनुप्रयोगों जैसे कि प्रारंभिक परीक्षण के लिए, अप्रत्याशितता महत्वपूर्ण है)। कई सबसे उपयोगी तकनीक नियतात्मक, छद्म यादृच्छिक संख्या जनरेटर अनुक्रमों का उपयोग करती हैं, जिससे अनुकरण का परीक्षण करना और फिर से चलाना आसान हो जाता है। अच्छा अनुकरण करने के लिए आम तौर पर आवश्यक एकमात्र गुण छद्म-यादृच्छिक अनुक्रम के लिए एक निश्चित अर्थ में पर्याप्त यादृच्छिक दिखाई देना है।

इसका मतलब क्या है यह आवेदन पर निर्भर करता है, लेकिन आम तौर पर उन्हें सांख्यिकीय परीक्षणों की एक श्रृंखला पास करनी चाहिए। यह परीक्षण करना कि संख्याएँ समान वितरण (निरंतर) हैं या किसी अन्य वांछित वितरण का अनुसरण करती हैं जब अनुक्रम के तत्वों की एक बड़ी संख्या पर विचार किया जाता है, यह सबसे सरल और सबसे सामान्य में से एक है। लगातार प्रतिदर्श के बीच कमजोर सहसंबंध भी अधिकतर वांछनीय/आवश्यक होते हैं।

सॉविलोव्स्की उच्च गुणवत्ता वाले मोंटे कार्लो अनुकरण की विशेषताओं को सूचीबद्ध करता है: * (छद्म-यादृच्छिक) संख्या जनरेटर में कुछ विशेषताएं होती हैं (उदाहरण के लिए अनुक्रम दोहराने से पहले एक लंबी अवधि)
 * (छद्म-यादृच्छिक) संख्या जनरेटर उन मूल्यों का उत्पादन करता है जो यादृच्छिकता के लिए परीक्षण पास करते हैं
 * सटीक परिणाम सुनिश्चित करने के लिए पर्याप्त प्रतिदर्श हैं
 * उचित प्रतिचयन तकनीक का उपयोग किया जाता है
 * इस्तेमाल किया गया एल्गोरिथ्म जो प्रतिरूप किया जा रहा है उसके लिए मान्य है
 * यह विचाराधीन घटना का अनुकरण करता है।

छद्म-यादृच्छिक संख्या प्रतिचयन एल्गोरिदम का उपयोग समान रूप से वितरित छद्म-यादृच्छिक संख्याओं को संख्याओं में बदलने के लिए किया जाता है जो किसी दिए गए संभाव्यता वितरण के अनुसार वितरित किए जाते हैं।

एक स्थान से यादृच्छिक प्रतिदर्श के बजाय अधिकतर कम-विसंगति अनुक्रमों का उपयोग किया जाता है क्योंकि वे समान कवरेज सुनिश्चित करते हैं और आम तौर पर यादृच्छिक या छद्म यादृच्छिक अनुक्रमों का उपयोग करके मोंटे कार्लो अनुकरण की तुलना में अभिसरण का तेज़ क्रम होता है। उनके उपयोग के आधार पर विधियों को अर्ध-मोंटे कार्लो पद्धति कहा जाता है।

मोंटे कार्लो अनुकरण परिणामों पर यादृच्छिक संख्या गुणवत्ता के प्रभाव का आकलन करने के प्रयास में, एस्ट्रोफिजिकल शोधकर्ताओं ने इंटेल के RDRAND निर्देश सेट के माध्यम से उत्पन्न क्रिप्टोग्राफ़िक रूप से सुरक्षित छद्म यादृच्छिक संख्याओं का परीक्षण किया, जो एल्गोरिथम से प्राप्त संख्याओं की तुलना में मोंटे कार्लो अनुकरण में मेर्सन ट्विस्टर की तरह है। भूरे रंग के बौने से रेडियो भड़कता है। RDRAND एक सच्चे यादृच्छिक संख्या जनरेटर के लिए निकटतम छद्म यादृच्छिक संख्या जनरेटर है। 10 की पीढ़ी वाले परीक्षणों के लिए ठेठ छद्म यादृच्छिक संख्या जेनरेटर और आरडीआरएएनडी के साथ उत्पन्न प्रतिरूप के बीच कोई सांख्यिकीय महत्वपूर्ण अंतर नहीं पाया गया7 यादृच्छिक संख्याएँ।

मोंटे कार्लो अनुकरण बनाम क्या होगा यदि परिदृश्य
संभावनाओं का उपयोग करने के तरीके हैं जो निश्चित रूप से मोंटे कार्लो अनुकरण नहीं हैं - उदाहरण के लिए, एकल-बिंदु अनुमानों का उपयोग करके नियतात्मक प्रतिरूपण। एक प्रतिरूप के भीतर प्रत्येक अनिश्चित चर को एक सर्वोत्तम अनुमान अनुमान दिया जाता है। प्रत्येक निवेश चर के लिए परिदृश्य (जैसे सबसे अच्छा, सबसे खराब, या सबसे संभावित मामला) चुना जाता है और परिणाम रिकॉर्ड किए जाते हैं।

इसके विपरीत, मोंटे कार्लो अनुकरण प्रत्येक चर के लिए सैकड़ों या हजारों संभावित परिणामों का उत्पादन करने के लिए एक संभाव्यता वितरण से प्रतिदर्श लेता है। विभिन्न परिणामों के होने की संभावना प्राप्त करने के लिए परिणामों का विश्लेषण किया जाता है। उदाहरण के लिए, पारंपरिक व्हाट इफ परिदृश्यों का उपयोग करके चलने वाले स्प्रेडशीट लागत निर्माण प्रतिरूप की तुलना, और फिर मोंटे कार्लो अनुकरण और त्रिकोणीय वितरण के साथ फिर से तुलना चलाने से पता चलता है कि मोंटे कार्लो विश्लेषण में व्हाट इफ विश्लेषण की तुलना में एक संकीर्ण सीमा है। इसका कारण यह है कि क्या होगा यदि विश्लेषण सभी परिदृश्यों को समान महत्व देता है (देखें संगठित वित्त#अनिश्चितता का परिमाणीकरण), जबकि मोंटे कार्लो विधि शायद ही बहुत कम संभावना वाले क्षेत्रों में प्रतिदर्श लेती है। ऐसे क्षेत्रों में प्रतिदर्श को दुर्लभ घटनाएँ कहा जाता है।

अनुप्रयोग
मोंटे कार्लो विधियाँ विशेष रूप से स्वतंत्रता के कई युग्मन (भौतिकी) डिग्री के साथ निवेश और प्रणाली में महत्वपूर्ण अनिश्चितता के साथ प्रतिभास का अनुकरण करने के लिए उपयोगी हैं। आवेदन के क्षेत्रों में सम्मिलित हैं:

भौतिक विज्ञान
संगणनात्मक भौतिकी, भौतिक रसायन विज्ञान और संबंधित अनुप्रयुक्त क्षेत्रों में मोंटे कार्लो विधियाँ बहुत महत्वपूर्ण हैं, और जटिल क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स गणनाओं से लेकर हीट शील्ड्स और वायुगतिकी रूपों की अभिकल्पना करने के साथ-साथ विकिरण  मात्रामिति गणनाओं के लिए प्रतिरूपण विकिरण परिवहन में विविध अनुप्रयोग हैं।   सांख्यिकीय भौतिकी में, मोंटे कार्लो आणविक प्रतिरूपण संगणनात्मक आणविक गतिशीलता का एक विकल्प है, और मोंटे कार्लो विधियों का उपयोग साधारण कण और बहुलक प्रणालियों के सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत की गणना के लिए किया जाता है। क्वांटम मोंटे कार्लो विधियाँ क्वांटम प्रणाली के लिए कई-शरीर की समस्या को हल करती हैं।   विकिरण सामग्री विज्ञान में, आयन अंतर्रोपण अनुकरण करने के लिए युग्मकी संघटन सन्निकटन आमतौर पर अगले संघटन परमाणु का चयन करने के लिए मोंटे कार्लो दृष्टिकोण पर आधारित होता है। प्रायोगिक कण भौतिकी में, मोंटे कार्लो विधियों का उपयोग संसूचक को डिजाइन करने, उनके व्यवहार को समझने और प्रायोगिक डेटा की तुलना सिद्धांत से करने के लिए किया जाता है। खगोलभौतिकी में, उनका उपयोग ऐसे विविध तरीकों से किया जाता है जैसे कि आकाशगंगा विकास और खुरदरी ग्रहीय सतह के माध्यम से माइक्रोवेव विकिरण संचरण दोनों को प्रतिरूपित किया जा सके। मोंटे कार्लो विधियों का उपयोग संपरिधान प्रतिरूप में भी किया जाता है जो आधुनिक मौसम पूर्वानुमान का आधार बनता है।

इंजीनियरिंग
मोंटे कार्लो विधियों का इंजीनियरिंग में प्रक्रिया डिजाइन (केमिकल इंजीनियरिंग) में संवेदनशीलता विश्लेषण और मात्रात्मक संभाव्य विश्लेषण के लिए व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। विशिष्ट प्रक्रिया अनुकरण के पारस्परिक, सह-रैखिक और गैर-रैखिक व्यवहार से आवश्यकता उत्पन्न होती है। उदाहरण के लिए,
 * सूक्ष्म इलेक्ट्रॉनिकी इंजीनियरिंग में, रेखीय और अंकीय एकीकृत विद्युत परिपथ में सहसंबद्ध और असंबद्ध भिन्नताओं का विश्लेषण करने के लिए मोंटे कार्लो विधियों को उपयोजित किया जाता है।
 * भू-सांख्यिकी और भू-धातु विज्ञान में, मोंटे कार्लो विधियाँ खनिज प्रसंस्करण प्रवाह आरेख के डिजाइन को रेखांकित करती हैं और मात्रात्मक विपत्त‍ि विश्लेषण में योगदान करती हैं।
 * द्रव गतिकी में, विशेष रूप से सर्वोत्कृष्ट गैस गतिकी में, जहां बोल्ट्जमैन समीकरण को प्रत्यक्ष अनुकरण मोंटे कार्लो का उपयोग करके परिमित नुडसेन संख्या द्रव प्रवाह के लिए अत्यधिक कुशल संगणनात्मक एल्गोरिदम के संयोजन से हल किया जाता है।
 * स्वायत्त रोबोटिक्स में, मोंटे कार्लो स्थानीयकरण रोबोट की स्थिति निर्धारित कर सकता है। यह अधिकतर प्रसंभाव्य फिल्टर जैसे कलमन फिल्टर या कण फिल्टर पर उपयोजित होता है जो समसामयिक स्थानीयकरण और प्रतिचित्रण कलन विधि का दिल बनाता है।
 * दूरसंचार में, बेतार जालक्रम की योजना बनाते समय, डिज़ाइन को विभिन्न प्रकार के परिदृश्यों के लिए काम करने के लिए सिद्ध किया जाना चाहिए जो मुख्य रूप से उपयोगकर्ताओं की संख्या, उनके स्थानों और उनके द्वारा उपयोग की जाने वाली सेवाओं पर निर्भर करता है। इन उपयोगकर्ताओं और उनके स्थिति को उत्पन्न करने के लिए आम तौर पर मोंटे कार्लो विधियों का उपयोग किया जाता है। इसके बाद नेटवर्क के प्रदर्शन का मूल्यांकन किया जाता है और यदि परिणाम संतोषजनक नहीं होते हैं, तो नेटवर्क डिजाइन अनुकूलन प्रक्रिया से गुजरता है।
 * विश्वसनीयता इंजीनियरिंग में, मोंटे कार्लो अनुकरण का उपयोग अवयव-स्तर की प्रतिक्रिया को देखते हुए प्रणाली-स्तरीय प्रतिक्रिया की गणना करने के लिए किया जाता है।
 * संकेत प्रसंस्करण और बायेसियन अनुमान में, कण फिल्टर और अनुक्रमिक मोंटे कार्लो विधि अंतःक्रियात्मक अनुभवजन्य उपायों का उपयोग करते हुए कुछ शोर और आंशिक अवलोकनों को देखते हुए संकेत प्रक्रिया के पश्च वितरण के प्रतिचयन और गणना के लिए माध्य-क्षेत्र कण विधियों का वर्ग है।

जलवायु परिवर्तन और विकरणीय प्रणोदन
जलवायु परिवर्तन पर अंतर सरकारी पैनल विकरणीय प्रणोदन के संभाव्यता घनत्व फलन विश्लेषण में मोंटे कार्लो विधियों पर निर्भर करता है।

संपूर्ण जी.एच.जी, एरोविलय प्रणोदन और टोटल मानवजनित प्रणोदन के कारण ई.आर.एफ का प्रायिकता घनत्व फलन (पी.डी.एफ)। जी.एच.जी में डब्ल्यू.एम.जी.एच.जी, ओजोन और समतापमंडलीय जल वाष्प सम्मिलित हैं। पी.डी.एफ तालिका 8.6 में प्रदान की गई अनिश्चितताओं के आधार पर उत्पन्न होते हैं। औद्योगिक युग में संपूर्ण प्रणोदन प्राप्त करने के लिए अलग-अलग आर.एफ एजेंटों का संयोजन मोंटे कार्लो अनुकरण द्वारा किया जाता है और बाउचर और हेवुड (2001) में विधि के आधार पर किया जाता है। सतह एल्बेडो परिवर्तन से ई.आर.एफ के पी.डी.एफ और संयुक्त संघनन पथ और संघनन पथ-प्रेरित पक्षाभ को संपूर्ण मानवजनित प्रणोदन में सम्मिलित किया गया है, लेकिन एक अलग पी.डी.एफ के रूप में नहीं दिखाया गया है। हमारे पास वर्तमान में कुछ प्रणोदन प्रक्रीया: ओजोन, भूमि उपयोग, सौर, आदि के लिए ई.आर.एफ अनुमान नहीं हैं।

संगणनात्मक बायोलॉजी विज्ञान
संगणनात्मक जीव विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में मोंटे कार्लो विधियों का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए वंशावली में बायेसियन अनुमान के लिए, या जैविक प्रणालियों जैसे जीनोम, प्रोटीन या झिल्ली का अध्ययन करने के लिए।। प्रणाली को वांछित सटीकता के आधार पर मोटे अनाज या प्रारंभिक ढांचे में अध्ययन किया जा सकता है। कंप्यूटर अनुकरण हमें किसी विशेष जैव अणु के स्थानीय वातावरण का निरीक्षण करने की अनुमति देते हैं ताकि यह देखा जा सके कि उदाहरण के लिए कुछ रासायनिक प्रतिक्रिया हो रही है या नहीं। ऐसे मामलों में जहां भौतिक प्रयोग करना संभव नहीं है, विचार प्रयोग किए जा सकते हैं (उदाहरण के लिए: बंधनों को तोड़ना, विशिष्ट स्थलों पर अशुद्धियों को निवेदित करना, स्थानीय/वैश्विक संरचना को बदलना, या बाहरी क्षेत्रों को निवेदित करना)।

कंप्यूटर ग्राफिक्स
पथ अनुरेखण, जिसे कभी-कभी मोंटे कार्लो रे ट्रेसिंग के रूप में संदर्भित किया जाता है, संभावित प्रकाश पथों के क्रमहीनतः ढंग से अनुरेखण प्रतिदर्श द्वारा 3D दृश्य प्रस्तुत करता है। किसी दिए गए चित्रांश का बार-बार प्रतिचयन अंततः प्रतिदर्श के औसत को प्रतिपादन समीकरण के सही समाधान पर अभिसरण करने का कारण बनेगा, जिससे यह अतिजीविता में सबसे अधिक शारीरिक रूप से सटीक 3डी ग्राफिक्स प्रतिपादन विधियों में से एक बन जाएगा।

उपयोजित आंकड़े
आँकड़ों में मोंटे कार्लो प्रयोगों के मानक सॉविलोव्स्की द्वारा निर्धारित किए गए थे। अनुप्रयुक्त आँकड़ों में, मोंटे कार्लो विधियों का उपयोग कम से कम चार उद्देश्यों के लिए किया जा सकता है: मोंटे कार्लो पद्धति भी अनुमानित यादृच्छिकीकरण और क्रमपरिवर्तन परीक्षणों के बीच एक समझौता है।अनुमानित यादृच्छिकरण परीक्षण सभी क्रमपरिवर्तनों के एक निर्दिष्ट उपसमुच्चय पर आधारित होता है (जिसमें संभावित रूप से विशाल गृह व्यवस्था सम्मिलित होती है जिसमें क्रमपरिवर्तन पर विचार किया गया है)। मोंटे कार्लो दृष्टिकोण अव्यवस्थिततः ढंग से तैयार किए गए क्रमपरिवर्तनों की निर्दिष्ट संख्या पर आधारित है (परिशुद्धता में सामान्य हानि का आदान-प्रदान यदि क्रमचय दो बार खींचा जाता है - या अधिक बार - ट्रैक करने की दक्षता के लिए कि कौन से क्रमपरिवर्तन पहले ही चुने जा चुके हैं)।
 * 1) यथार्थवादी डेटा स्थितियों के तहत छोटे प्रतिदर्श के लिए प्रतिस्पर्धी आंकड़ों की तुलना करना। यद्यपि प्रकार I त्रुटि और आँकड़ों के शक्ति गुण शास्त्रीय सैद्धांतिक वितरण (जैसे, सामान्य वक्र, कौशी वितरण) से प्राप्त डेटा के लिए स्पर्शोन्मुख स्थितियों (यानी, अनंत प्रतिदर्श आकार और असीम रूप से छोटे उपचार प्रभाव) के लिए गणना की जा सकती है, वास्तविक डेटा में अधिकतर ऐसे वितरण नहीं होते हैं।।
 * 2) परिकल्पना परीक्षणों के कार्यान्वयन प्रदान करने के लिए जो सटीक परीक्षणों जैसे क्रमचय परीक्षण (जो अधिकतर गणना करना असंभव होता है) से अधिक कुशल होते हैं जबकि स्पर्शोन्मुख वितरण के लिए महत्वपूर्ण मूल्यों से अधिक सटीक होते हैं।
 * 3) बायेसियन अनुमान में पश्च वितरण से यादृच्छिक प्रतिदर्श प्रदान करने के लिए। यह प्रतिदर्श तब पश्च  की सभी आवश्यक विशेषताओं का अनुमान लगाता है और सारांशित करता है।
 * 4) नकारात्मक लॉग-संभावना फलन के हेस्सियन आव्यूह का कुशल यादृच्छिक अनुमान प्रदान करने के लिए जिसे फिशर सूचना आव्यूह का अनुमान बनाने के लिए औसत किया जा सकता है।

खेल के लिए कृत्रिम बुद्धि
मोंटे कार्लो विधियों को मोंटे-कार्लो वृक्ष खोज नामक तकनीक के रूप में विकसित किया गया है जो खेल में सर्वश्रेष्ठ चाल की खोज के लिए उपयोगी है। खोज ट्री में संभावित चालें आयोजित की जाती हैं और प्रत्येक चाल की दीर्घकालिक क्षमता का अनुमान लगाने के लिए कई यादृच्छिक अनुकरण का उपयोग किया जाता है। ब्लैक बॉक्स सिम्युलेटर प्रतिद्वंद्वी की चालों का प्रतिनिधित्व करता है।

मोंटे कार्लो ट्री सर्च (MCTS) विधि के चार चरण हैं:
 * 1) पेड़ के रूट नोड से आरंभ होकर, लीफ नोड तक पहुंचने तक इष्टतम चाइल्ड नोड का चयन करें।
 * 2) लीफ नोड का विस्तार करें और इसके बच्चों में से एक को चुनें।
 * 3) उस नोड से आरंभ होने वाला नकली गेम खेलें।
 * 4) उस सिम्युलेटेड गेम के परिणामों का उपयोग नोड और उसके पूर्वजों को अपडेट करने के लिए करें।

कई सिम्युलेटेड खेलों के दौरान शुद्ध प्रभाव यह है कि एक चाल का प्रतिनिधित्व करने वाले नोड का मान ऊपर या नीचे जाएगा, उम्मीद है कि नोड एक अच्छी चाल का प्रतिनिधित्व करता है या नहीं।

जाओ (खेल) जैसे गेम खेलने के लिए मोंटे कार्लो ट्री सर्च का सफलतापूर्वक उपयोग किया गया है, तांत्रिक, युद्धपोत (खेल), हवाना (बोर्ड गेम), और अरिमा।

डिजाइन और दृश्य
मोंटे कार्लो विधियाँ विकिरण क्षेत्रों और ऊर्जा परिवहन के युग्मित अभिन्न अंतर समीकरणों को हल करने में भी कुशल हैं, और इस प्रकार इन विधियों का उपयोग वैश्विक रोशनी संगणनाओं में किया गया है जो वीडियो गेम, वास्तुकला, डिज़ाइन, कंप्यूटर जनित फिल्में, और सिनेमाई विशेष प्रभाव में अनुप्रयोगों के साथ आभासी 3D प्रतिरूप की फोटो-यथार्थवादी छवियां उत्पन्न करती हैं।

खोज और बचाव
खोज और बचाव कार्यों के दौरान जहाजों के संभावित स्थानों की गणना करने के लिए यूएस कोस्ट गार्ड अपने कंप्यूटर प्रतिरूपण सॉफ़्टवेयर SAROPS के भीतर मोंटे कार्लो विधियों का उपयोग करता है। प्रत्येक अनुकरण दस हजार डेटा बिंदु उत्पन्न कर सकता है जो प्रदान किए गए चर के आधार पर यादृच्छिक रूप से वितरित किए जाते हैं। रोकथाम की संभावना (पीओसी) और पता लगाने की संभावना (पीओडी) को अनुकूलित करने के लिए खोज पतिरूप तब इन आंकड़ों के बहिर्वेशन के आधार पर उत्पन्न होते हैं, जो एक साथ सफलता की समग्र संभावना (पीओएस) के बराबर होंगे। अंततः यह संभाव्यता वितरण के व्यावहारिक अनुप्रयोग के रूप में कार्य करता है ताकि जीवन और संसाधनों दोनों को बचाते हुए, बचाव का सबसे तेज और सबसे समीचीन तरीका प्रदान किया जा सके।

वित्त और व्यवसाय
मोंटे कार्लो अनुकरण आमतौर पर जोखिम और अनिश्चितता का मूल्यांकन करने के लिए उपयोग किया जाता है जो विभिन्न निर्णय विकल्पों के परिणाम को प्रभावित करेगा। मोंटे कार्लो अनुकरण व्यापार जोखिम विश्लेषक को बिक्री की मात्रा, वस्तु और श्रम की कीमतों, ब्याज और विनिमय दरों जैसे चर में अनिश्चितता के संपूर्ण प्रभावों को सम्मिलित करने की अनुमति देता है, साथ ही अनुबंध को रद्द करने या कर कानून परिवर्तन की तरह विशिष्ट जोखिम घटनाओं के प्रभाव को भी सम्मिलित करता है।

वित्त में मोंटे कार्लो विधियों का उपयोग अधिकतर व्यावसायिक इकाई या संगठित स्तर या अन्य वित्तीय मूल्यांकन में परियोजनाओं में निवेश का मूल्यांकन करने के लिए किया जाता है। उनका उपयोग परियोजना प्रबंधन के प्रतिरूप के लिए किया जा सकता है, जहां समग्र परियोजना के परिणामों को निर्धारित करने के लिए अनुकरण सबसे खराब स्थिति, सर्वोत्तम स्थिति और प्रत्येक कार्य के लिए सबसे संभावित अवधि के लिए संपूर्ण अनुमान लगाता है। मोंटे कार्लो विधियों का उपयोग विकल्प मूल्य निर्धारण, व्यतिक्रम जोखिम विश्लेषण में भी किया जाता है।  इसके अतिरिक्त, उनका उपयोग चिकित्सा हस्तक्षेपों के वित्तीय प्रभाव का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है।

कानून
विस्कॉन्सिन में महिला याचिकाकर्ताओं को उत्पीड़न निरोधक आदेश और घरेलू दुर्व्यवहार निरोधक आदेश के लिए अपने आवेदनों में सफल होने में मदद करने के लिए प्रस्तावित कार्यक्रम के संभावित मूल्य का मूल्यांकन करने के लिए मोंटे कार्लो दृष्टिकोण का उपयोग किया गया था। महिलाओं को अधिक समर्थन प्रदान करके उनकी याचिकाओं में सफल होने में मदद करने का प्रस्ताव किया गया था जिससे संभावित रूप से प्रणोदनात्कार और शारीरिक हमले के संकट को कम किया जा सके। तथापि, अनुकरण में कई चर थे जिनका पूरी तरह से अनुमान नहीं लगाया जा सकता था, जिसमें निरोधक आदेशों की प्रभावशीलता, याचिकाकर्ताओं की सफलता दर, वकालत के साथ और बिना, और कई अन्य सम्मिलित हैं। अध्ययन ने ऐसे परीक्षण चलाए जो प्रस्तावित कार्यक्रम की सफलता के स्तर के समग्र अनुमान के साथ आने के लिए इन चरों को अलग-अलग करते थे।

पुस्तकालय विज्ञान
मलेशिया में पुस्तक साहित्यिक शैली के आधार पर पुस्तक प्रकाशनों की संख्या का अनुकरण करने के लिए मोंटे कार्लो दृष्टिकोण का भी उपयोग किया गया था। मोंटे कार्लो अनुकरण ने स्थानीय बाजार में पुस्तक शैली के अनुसार पिछले प्रकाशित राष्ट्रीय पुस्तक प्रकाशन डेटा और पुस्तक की कीमत का उपयोग किया। मोंटे कार्लो के परिणामों का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया गया था कि मलेशियाई किस प्रकार की पुस्तक शैली के अनुरक्त हैं और इसका उपयोग मलेशिया और जापान के बीच पुस्तक प्रकाशनों की तुलना करने के लिए किया गया था।

अन्य
नसीम निकोलस तालेब ने अपनी 2001 की पुस्तक फूल्ड बाय रैंडमनेस में मोंटे कार्लो जनक के बारे में विपरीत टयूरिंग जाँच के वास्तविक उदाहरण के रूप में लिखा है: एक मानव को नासमझ घोषित किया जा सकता है यदि उनके लेखन को एक उत्पन्न लेखन के अतिरिक्त नहीं बताया जा सकता है।

गणित में प्रयोग करें
सामान्य तौर पर, मोंटे कार्लो विधियों का उपयोग गणित में विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है ताकि उपयुक्त यादृच्छिक संख्याएँ उत्पन्न की जा सकें (यादृच्छिक संख्या पीढ़ी भी देखें) और संख्याओं के उस अंश को देखते हुए जो कुछ संपत्ति या गुणों का पालन करता है। विश्लेषणात्मक रूप से हल करने के लिए बहुत जटिल समस्याओं के संख्यात्मक समाधान प्राप्त करने के लिए विधि उपयोगी है। मोंटे कार्लो पद्धति का सबसे आम अनुप्रयोग मोंटे कार्लो एकीकरण है।

एकीकरण
नियतात्मक संख्यात्मक एकीकरण एल्गोरिदम कम संख्या में आयामों में अच्छी तरह से काम करते हैं, लेकिन दो समस्याओं का सामना करते हैं जब फलन में कई चर होते हैं। सबसे पहले, आवश्यक कार्यों के मूल्यांकन की संख्या आयामों की संख्या के साथ तेजी से बढ़ती है। उदाहरण के लिए, यदि 10 मूल्यांकन एक आयाम में पर्याप्त सटीकता प्रदान करते हैं, तो googol|10100 आयामों के लिए 100 अंक आवश्यक हैं—गणना करने के लिए बहुत अधिक। इसे आयामीता का अभिशाप कहा जाता है। दूसरा, एक बहुआयामी क्षेत्र की सीमा बहुत जटिल हो सकती है, इसलिए समस्या को पुनरावृत्त अभिन्न में कम करना संभव नहीं हो सकता है। 100 आयाम किसी भी तरह से असामान्य नहीं हैं, क्योंकि कई भौतिक समस्याओं में एक आयाम स्वतंत्रता की डिग्री (भौतिकी और रसायन विज्ञान) के बराबर है।

मोंटे कार्लो विधियाँ गणना समय में इस घातीय वृद्धि से बाहर निकलने का रास्ता प्रदान करती हैं। जब तक प्रश्न में कार्य उचित रूप से अच्छी तरह से व्यवहार किया जाता है, तब तक 100-आयामी अंतरिक्ष में यादृच्छिक रूप से बिंदुओं का चयन करके और इन बिंदुओं पर किसी प्रकार का औसत फलन मान लेकर इसका अनुमान लगाया जा सकता है। केंद्रीय सीमा प्रमेय द्वारा, यह विधि प्रदर्शित करती है $$\scriptstyle 1/\sqrt{N}$$ अभिसरण—अर्थात्, प्रतिदर्श बिंदुओं की संख्या को चौगुना करने से त्रुटि आधी हो जाती है, आयामों की संख्या पर ध्यान दिए बिना।

इस पद्धति का एक परिशोधन, जिसे आँकड़ों में महत्व प्रतिचयन के रूप में जाना जाता है, में यादृच्छिक रूप से बिंदुओं का प्रतिदर्श लेना सम्मिलित है, लेकिन अधिक बार जहां इंटीग्रैंड बड़ा होता है। ऐसा करने के लिए किसी को पहले से ही इंटीग्रल को जानना होगा, लेकिन एक समान फलन के इंटीग्रल द्वारा इंटीग्रल का अनुमान लगाया जा सकता है या स्तरीकृत प्रतिचयन, मोंटे कार्लो एकीकरण # पुनरावर्ती स्तरीकृत प्रतिचयन, अनुकूली छाता प्रतिचयन जैसे अनुकूली दिनचर्या का उपयोग कर सकता है। या वेगास एल्गोरिथम।

एक समान दृष्टिकोण, अर्ध-मोंटे कार्लो विधि, कम-विसंगति अनुक्रमों का उपयोग करती है। ये अनुक्रम क्षेत्र को बेहतर ढंग से भरते हैं और सबसे महत्वपूर्ण बिंदुओं को अधिक बार प्रतिदर्श करते हैं, इसलिए अर्ध-मोंटे कार्लो विधियां अधिकतर अभिन्न अंग पर अधिक तेज़ी से अभिसरण कर सकती हैं।

वॉल्यूम में प्रतिचयन बिंदुओं के तरीकों का एक अन्य वर्ग इसके ऊपर यादृच्छिक चलने का अनुकरण करना है (मार्कोव चेन मोंटे कार्लो)। इस तरह के तरीकों में मेट्रोपोलिस-हेस्टिंग्स एल्गोरिथम, गिब्स प्रतिचयन, वांग और लैंडौ एल्गोरिथम, और पार्टिकल फिल्टर सैंपलर्स जैसे इंटरेक्टिंग टाइप एमसीएमसी मेथडोलॉजी सम्मिलित हैं।

अनुकरण और अनुकूलन
संख्यात्मक अनुकरण में यादृच्छिक संख्याओं के लिए एक और शक्तिशाली और बहुत लोकप्रिय अनुप्रयोग अनुकूलन (गणित) में है। समस्या कुछ वेक्टर के कार्यों को कम करने (या अधिकतम) करने की है जिसमें अधिकतर कई आयाम होते हैं। कई समस्याओं को इस तरह से व्यक्त किया जा सकता है: उदाहरण के लिए, एक कंप्यूटर शतरंज कार्यक्रम को 10 चालों के सेट को खोजने की कोशिश के रूप में देखा जा सकता है जो अंत में सबसे अच्छा मूल्यांकन कार्य करता है। ट्रैवलिंग सेल्समैन समस्या में लक्ष्य तय की गई दूरी को कम करना है। इंजीनियरिंग डिज़ाइन के लिए भी अनुप्रयोग हैं, जैसे बहु-विषयक डिज़ाइन अनुकूलन। यह बड़े विन्यास स्थान की कुशलतापूर्वक खोज करके कण गतिकी समस्याओं को हल करने के लिए अर्ध-एक-आयामी प्रतिरूप के साथ उपयोजित किया गया है। संदर्भ अनुकरण और अनुकूलन से संबंधित कई मुद्दों की व्यापक समीक्षा है।

ट्रैवलिंग सेल्समैन समस्या को पारंपरिक अनुकूलन समस्या कहा जाता है। अर्थात्, पालन करने के लिए इष्टतम पथ को निर्धारित करने के लिए आवश्यक सभी तथ्य (प्रत्येक गंतव्य बिंदु के बीच की दूरी) निश्चित रूप से ज्ञात हैं और लक्ष्य सबसे कम संपूर्ण दूरी के साथ आने के लिए संभावित यात्रा विकल्पों के माध्यम से चलना है। यद्यपि, मान लें कि प्रत्येक वांछित गंतव्य पर जाने के लिए तय की गई संपूर्ण दूरी को कम करने के बजाय, हम प्रत्येक गंतव्य तक पहुंचने के लिए आवश्यक संपूर्ण समय को कम करना चाहते हैं। यह पारंपरिक अनुकूलन से परे है क्योंकि यात्रा का समय स्वाभाविक रूप से अनिश्चित है (यातायात जाम, दिन का समय, आदि)। नतीजतन, हमारे इष्टतम पथ को निर्धारित करने के लिए हम अनुकरण - अनुकूलन का उपयोग करना चाहते हैं, पहले एक बिंदु से दूसरे तक जाने के लिए संभावित समय की सीमा को समझने के लिए (एक विशिष्ट दूरी के बजाय इस मामले में संभाव्यता वितरण द्वारा दर्शाया गया) और फिर उस अनिश्चितता को ध्यान में रखते हुए अनुसरण करने के सर्वोत्तम मार्ग की पहचान करने के लिए अपने यात्रा निर्णयों को अनुकूलित करें।

उलटा समस्या
व्युत्क्रम समस्याओं का संभाव्य सूत्रीकरण प्रतिरूप स्थान में संभाव्यता वितरण की परिभाषा की ओर ले जाता है। यह संभाव्यता वितरण पूर्व संभाव्यता जानकारी को कुछ अवलोकन योग्य मापदंडों (डेटा) को मापकर प्राप्त नई जानकारी के साथ जोड़ता है। जैसा कि, सामान्य स्थिति में, प्रतिरूप मापदंडों के साथ डेटा को जोड़ने वाला सिद्धांत गैर-रैखिक है, प्रतिरूप स्थान में पश्चगामी संभावना का वर्णन करना आसान नहीं हो सकता है (यह मल्टीप्रतिरूप हो सकता है, कुछ क्षणों को परिभाषित नहीं किया जा सकता है, आदि)।

व्युत्क्रम समस्या का विश्लेषण करते समय, अधिकतम संभावना प्रतिरूप प्राप्त करना आमतौर पर पर्याप्त नहीं होता है, क्योंकि हम आम तौर पर डेटा की रिज़ॉल्यूशन पावर के बारे में भी जानकारी चाहते हैं। सामान्य मामले में हमारे पास कई प्रतिरूप पैरामीटर हो सकते हैं, और ब्याज की सीमांत संभाव्यता घनत्व का निरीक्षण अव्यावहारिक या बेकार भी हो सकता है। लेकिन पश्च संभाव्यता वितरण के अनुसार छद्म यादृच्छिक रूप से प्रतिरूप का एक बड़ा संग्रह उत्पन्न करना संभव है और प्रतिरूप का विश्लेषण और प्रदर्शन इस तरह से किया जाता है कि प्रतिरूप गुणों की सापेक्ष संभावना के बारे में जानकारी दर्शक को दी जाती है। यह एक कुशल मोंटे कार्लो पद्धति के माध्यम से पूरा किया जा सकता है, यहां तक ​​कि उन मामलों में भी जहां प्राथमिक वितरण के लिए कोई स्पष्ट सूत्र उपलब्ध नहीं है।

सबसे प्रसिद्ध महत्व प्रतिचयन विधि, मेट्रोपोलिस एल्गोरिथम, को सामान्यीकृत किया जा सकता है, और यह एक ऐसी विधि देता है जो जटिल पूर्व सूचना और डेटा के साथ मनमाने ढंग से शोर वितरण के साथ (संभवतः अत्यधिक गैर-रैखिक) उलटा समस्याओं के विश्लेषण की अनुमति देता है।

दर्शनशास्त्र
मोंटे कार्लो पद्धति की लोकप्रिय व्याख्या मैकक्रैकन द्वारा आयोजित की गई थी। मेथड के सामान्य दर्शनशास्त्र पर एलिशाकॉफ़ और ग्रुने-यानॉफ और वेइरिच ने चर्चा की थी।

यह भी देखें
गतिशील मोंटे कार्लो विधि विधि
 * सहायक क्षेत्र मोंटे कार्लो
 * जीव विज्ञान मोंटे कार्लो विधि
 * डायरेक्ट सिमुलेशन मोंटे कार्लो
 * एर्गोडिक सिद्धांत
 * आनुवंशिक एल्गोरिदम
 * काइनेटिक मोंटे कार्लो
 * मोंटे कार्लो आण्विक मॉडलिंग के लिए सॉफ्टवेयर की सूची
 * माध्य-क्षेत्र कण विधियाँ
 * फोटॉन परिवहन के लिए मोंटे कार्लो विधि
 * इलेक्ट्रॉन परिवहन के लिए मोंटे कार्लो विधियाँ
 * मोंटे कार्लो एन-पार्टिकल ट्रांसपोर्ट कोड
 * मॉरिस विधि
 * बहुस्तरीय मोंटे कार्लो विधि
 * क्वासी-मोंटे कार्लो विधि
 * सोबोल क्रम
 * टेम्पोरल डिफरेंस लर्निंग