घन समतल वक्र

गणित में, एक घन समतल वक्र एक समतल बीजगणितीय वक्र होता है $C$ एक घन समीकरण द्वारा परिभाषित



सजातीय निर्देशांक पर लागू $F(x, y, z) = 0$ प्रक्षेपी विमान के लिए; या सेटिंग द्वारा निर्धारित affine स्थान के लिए विषम संस्करण $z = 1$ ऐसे समीकरण में यहां $(x:y:z)$ तृतीय कोटि के एकपदीयों का शून्येतर रैखिक संयोजन है



ये संख्या में दस हैं; इसलिए घन वक्र किसी दिए गए क्षेत्र (गणित) पर आयाम 9 का एक प्रक्षेपी स्थान बनाते हैं। $F$. प्रत्येक बिंदु $x^3, y^3, z^3, x^2 y, x^2 z, y^2 x, y^2 z, z^2 x, z^2 y, xyz$ पर एकल रेखीय शर्त लगाता है $K$, अगर हम पूछें $P$ निकासी $F$. इसलिए, हम किसी भी नौ दिए गए बिंदुओं के माध्यम से कुछ घन वक्र पा सकते हैं, जो पतित हो सकते हैं, और अद्वितीय नहीं हो सकते हैं, लेकिन यदि बिंदु सामान्य स्थिति में हैं, तो वे अद्वितीय और गैर-पतित होंगे; एक रेखा का निर्धारण करने वाले दो बिंदुओं की तुलना करें और कैसे पांच बिंदु एक शंकु का निर्धारण करते हैं। यदि दो घन नौ बिंदुओं के एक दिए गए समूह से होकर गुजरते हैं, तो वास्तव में घन की एक पेंसिल (गणित) करती है, और अंक अतिरिक्त गुणों को संतुष्ट करते हैं; केली-बछराच प्रमेय देखें।

एक घन वक्र में एक बीजगणितीय विविधता का एक विलक्षण बिंदु हो सकता है, इस मामले में प्रक्षेपी रेखा के संदर्भ में एक पैरामीट्रिक समीकरण होता है। अन्यथा एक गैर-एकवचन घन वक्र को एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र जैसे कि जटिल संख्या के ऊपर, विभक्ति बिंदु के नौ बिंदुओं के रूप में जाना जाता है। यह हेसियन मैट्रिक्स के सजातीय संस्करण को ले कर दिखाया जा सकता है, जो फिर से एक घन को परिभाषित करता है, और इसके साथ प्रतिच्छेद करता है $C$; तब चौराहों की गणना बेजाउट के प्रमेय द्वारा की जाती है। हालाँकि, इनमें से केवल तीन बिंदु ही वास्तविक हो सकते हैं, ताकि अन्य को वास्तविक प्रक्षेप्य तल में वक्र बनाकर नहीं देखा जा सके। एक गैर-एकवचन घन के नौ मोड़ बिंदुओं में यह संपत्ति होती है कि उनमें से दो से गुजरने वाली प्रत्येक रेखा में ठीक तीन मोड़ बिंदु होते हैं।

क्यूबिक कर्व्स के वास्तविक बिंदुओं का अध्ययन आइजैक न्यूटन ने किया था। एक गैर-एकवचन प्रोजेक्टिव क्यूबिक के वास्तविक बिंदु एक या दो 'अंडाकार' में आते हैं। इन अंडाकारों में से एक प्रत्येक वास्तविक प्रक्षेपी रेखा को पार करता है, और इस प्रकार यूक्लिडियन विमान में घन खींचा जाने पर कभी भी बाध्य नहीं होता है; यह एक या तीन अनंत शाखाओं के रूप में प्रकट होता है, जिसमें तीन वास्तविक विभक्ति बिंदु होते हैं। अन्य अंडाकार, यदि यह मौजूद है, में कोई वास्तविक विभक्ति बिंदु नहीं है और या तो एक अंडाकार या दो अनंत शाखाओं के रूप में दिखाई देता है। शंक्वाकार वर्गों की तरह, एक रेखा इस अंडाकार को अधिकतम दो बिंदुओं पर काटती है।

एक गैर-एकवचन समतल घन किसी भी क्षेत्र पर एक अण्डाकार वक्र को परिभाषित करता है $P$ जिसके लिए इसमें एक बिंदु परिभाषित है। अण्डाकार वक्रों का अब सामान्य रूप से वीयरस्ट्रैस के अण्डाकार कार्यों के कुछ प्रकारों में अध्ययन किया जाता है, जो एक घन के वर्गमूल को निकालने के द्वारा किए गए तर्कसंगत कार्यों के क्षेत्र के द्विघात विस्तार को परिभाषित करता है। यह एक होने पर निर्भर करता है $C$-तर्कसंगत बिंदु, जो वीयरस्ट्रैस रूप में अनंत पर बिंदु के रूप में कार्य करता है। ऐसे कई घन वक्र हैं जिनमें ऐसा कोई बिंदु नहीं होता है, उदाहरण के लिए जब $K$ परिमेय संख्या क्षेत्र है।

एक अलघुकरणीय समतल घन वक्र के एकवचन बिंदु काफी सीमित हैं: एक दोहरा बिंदु, या एक पुच्छ (विलक्षणता)। एक रिड्यूसिबल प्लेन क्यूबिक वक्र या तो एक शंकु और एक रेखा या तीन रेखाएँ होती हैं, और तदनुसार दो दोहरे बिंदु या एक fancode (यदि एक शंकु और एक रेखा), या तीन दोहरे बिंदु या एक ट्रिपल बिंदु (समवर्ती रेखाएँ) तक होते हैं। तीन पंक्तियाँ।

त्रिभुज के तल में घन वक्र
मान लीजिए कि ABC भुजाओं वाला एक त्रिभुज है a = $K$, b = $K$, c = $|BC|$. एबीसी के सापेक्ष, कई नामित घन प्रसिद्ध बिंदुओं से गुजरते हैं। नीचे दिखाए गए उदाहरण दो प्रकार के सजातीय निर्देशांकों का उपयोग करते हैं: त्रिरेखीय निर्देशांक और बैरीसेंट्रिक निर्देशांक (गणित)।

क्यूबिक इक्वेशन में ट्रिलिनियर से बेरिकेंट्रिक में बदलने के लिए, निम्नानुसार प्रतिस्थापित करें:


 * x ↦ बीसीएक्स, y ↦ रेती, z ↦ abz;

बैरीसेंट्रिक से ट्रिलिनियर में बदलने के लिए, उपयोग करें


 * x ↦ ax, y ↦ by, z ↦ cz.

घन के लिए कई समीकरणों का रूप है


 * एफ (ए, बी, सी, एक्स, वाई, जेड) + एफ (बी, सी, ए, वाई, जेड, एक्स) + एफ (सी, ए, बी, जेड, एक्स, वाई) = 0।

नीचे दिए गए उदाहरणों में, ऐसे समीकरणों को अधिक संक्षेप में चक्रीय योग अंकन में लिखा गया है, जैसे:


 * $$\sum_{\text{cyclic}} f(x,y,z,a,b,c) = 0 $$.

नीचे सूचीबद्ध घनों को समकोणीय संयुग्म के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसे X* द्वारा निरूपित किया जाता है, एक बिंदु X जो ABC के किनारे पर नहीं है। X* की रचना इस प्रकार है। चलो एलAकोण A के आंतरिक कोण द्विभाजक के बारे में रेखा XA का प्रतिबिंब बनें, और L को परिभाषित करेंBऔर मैंCसमान रूप से। तब तीन परावर्तित रेखाएँ X* में मिलती हैं। त्रिरेखीय निर्देशांक में, यदि X = x:y:z, तो X* = $|CA|$:$|AB|$:$1⁄x$.

न्यूबर्ग क्यूबिक
ट्रिलिनियर समीकरण: $$\sum_{\text{cyclic}} (\cos{A} - 2\cos{B}\cos{C})x(y^2-z^2)= 0 $$ बेरसेंट्रिक समीकरण: $$\sum_{\text{cyclic}} (a^2(b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2 - 2a^4)x(c^2y^2-b^2z^2) = 0 $$ न्युबर्ग क्यूबिक (जोसेफ जीन-बैप्टिस्ट न्यूबर्ग के नाम पर रखा गया) बिंदु एक्स का लोकस (गणित) है जैसे कि एक्स * लाइन ईएक्स पर है, जहां ई यूलर इन्फिनिटी पॉइंट है (त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में एक्स (30)). साथ ही, यह घनाकार X का स्थान इस प्रकार है कि त्रिभुज XAXBXCABC का परिप्रेक्ष्य है, जहाँ XAXBXCक्रमशः BC, CA, AB रेखाओं में X का प्रतिबिंब है

न्यूबर्ग क्यूबिक निम्नलिखित बिंदुओं से होकर गुजरता है: अंत:केंद्र, परिकेन्द्र, लंबकेन्द्र, दोनों फर्मेट बिंदु, दोनों समगतिकी बिंदु, यूलर अनंत बिंदु, अन्य त्रिभुज केंद्र, एक्सेंटर, एबीसी के किनारे ए, बी, सी के प्रतिबिंब, और ABC की भुजाओं पर खड़े किए गए छह समबाहु त्रिभुजों के शीर्ष।

एक ग्राफिकल प्रतिनिधित्व और न्यूबर्ग क्यूबिक के गुणों की विस्तृत सूची के लिए, 'K001' को बर्हार्ड गिबर्ट के 'क्यूबिक्स इन द ट्राएंगल प्लेन' में देखें।

थॉमसन क्यूबिक
ट्रिलिनियर समीकरण: $$\sum_{\text{cyclic}} bcx(y^2-z^2)= 0 $$ बेरसेंट्रिक समीकरण: $$\sum_{\text{cyclic}} x(c^2y^2-b^2z^2)= 0 $$ थॉमसन क्यूबिक बिंदु X का बिंदुपथ इस प्रकार है कि X* रेखा GX पर है, जहां G केंद्रक है।

थॉमसन क्यूबिक निम्नलिखित बिंदुओं से होकर गुजरता है: अंत:केंद्र, केन्द्रक, परिकेन्द्र, लंबकेन्द्र, सममध्य बिंदु, अन्य त्रिभुज केंद्र, शीर्ष A, B, C, एक्सेंटर, भुजाओं के मध्य बिंदु BC, CA, AB, और मध्य बिंदु एबीसी की ऊंचाई। क्यूबिक पर प्रत्येक बिंदु P के लिए लेकिन क्यूबिक के किनारे पर नहीं, P का आइसोगोनल कॉन्जुगेट भी क्यूबिक पर है।

ग्राफ़ और गुणों के लिए, 'K002' को 'ट्राएंगल प्लेन में घन' पर देखें।

डार्बौक्स क्यूबिक
ट्रिलिनियर समीकरण:$$\sum_{\text{cyclic}} (\cos{A} - \cos{B}\cos{C})x(y^2-z^2)= 0 $$ बेरसेंट्रिक समीकरण: $$\sum_{\text{cyclic}} (2a^2(b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2 - 3a^4)x(c^2y^2-b^2z^2) = 0 $$ डार्बौक्स क्यूबिक एक बिंदु X का ठिकाना है जैसे कि X * लाइन LX पर है, जहां L डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु है। इसके अलावा, यह क्यूबिक एक्स का लोकस है जैसे एक्स का पेडल त्रिकोण किसी बिंदु का सीवियन त्रिकोण है (जो लुकास क्यूबिक पर स्थित है)। साथ ही, यह घन एक बिंदु X का स्थान है जैसे कि X का पेडल त्रिकोण और X का एंटीसेवियन त्रिकोण परिप्रेक्ष्य हैं; परिप्रेक्ष्य थॉमसन क्यूबिक पर स्थित है।

डार्बौक्स क्यूबिक इनसेंटर, सर्कमसेंटर, ऑर्थोसेंटर, लॉन्गचैम्प्स बिंदु से, अन्य त्रिकोण केंद्रों, वर्टिकल ए, बी, सी, एक्सेंटर्स और ए, बी, सी के एंटीपोड्स से होकर गुजरता है। क्यूबिक पर प्रत्येक बिंदु P के लिए लेकिन क्यूबिक के किनारे पर नहीं, P का आइसोगोनल कॉन्जुगेट भी क्यूबिक पर है।

ग्राफ़िक्स और गुणों के लिए, 'K004' को 'ट्राएंगल प्लेन में क्यूबिक्स' पर देखें।

नेपोलियन–फायरबैक क्यूबिक
ट्रिलिनियर समीकरण: $$\sum_{\text{cyclic}} \cos(B-C)x(y^2-z^2)= 0 $$ बेरसेंट्रिक समीकरण: $$\sum_{\text{cyclic}} (a^2(b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2)x(c^2y^2-b^2z^2) = 0 $$ नेपोलियन-फायरबैक क्यूबिक एक बिंदु X का स्थान है * रेखा NX पर है, जहां N नौ-बिंदु केंद्र है, (त्रिकोण केंद्रों के विश्वकोश में N = X (5)।

नेपोलियन-फायरबैक क्यूबिक इनसेंटर, सर्कमसेंटर, ऑर्थोसेंटर, 1 और 2 नेपोलियन पॉइंट्स, अन्य त्रिकोण केंद्रों, ए, बी, सी, एक्सेंटर्स, ऊंचाई पर सेंट्रोइड के अनुमानों और 6 के केंद्रों से होकर गुजरता है। ABC की भुजाओं पर खड़े समबाहु त्रिभुज।

ग्राफिक्स और गुणों के लिए, देखें 'K005' at 'Cubics in the Triangle Plane'।

लुकास क्यूबिक
ट्रिलिनियर समीकरण: $$\sum_{\text{cyclic}} \cos(A)x(b^2y^2- c^2z^2)= 0 $$ बेरसेंट्रिक समीकरण: $$\sum_{\text{cyclic}} (b^2+c^2-a^2)x(y^2-z^2)= 0 $$ लुकास क्यूबिक एक बिंदु X का स्थान है जैसे कि X का सीवियन त्रिकोण किसी बिंदु का पेडल त्रिकोण है; बिंदु डार्बौक्स क्यूबिक पर स्थित है।

लुकास क्यूबिक सेंट्रोइड, ऑर्थोसेंटर, गेर्गोन पॉइंट, नागल पॉइंट, डी लॉन्गचैम्प्स पॉइंट, अन्य त्रिभुज केंद्रों, एंटीकोम्प्लीमेंट्री त्रिकोण के कोने और स्टाइनर सर्कमलिप्स के फॉसी से होकर गुजरता है।

ग्राफ़िक्स और गुणों के लिए, देखें 'K007' at 'Cubics in the Triangle Plane'।

पहला ब्रोकेड क्यूबिक
ट्रिलिनियर समीकरण:$$\sum_{\text{cyclic}} bc(a^4-b^2c^2)x(y^2+z^2)= 0 $$ बेरसेंट्रिक समीकरण: $$\sum_{\text{cyclic}} (a^4-b^2c^2)x(c^2y^2+b^2z^2)= 0 $$ बता दें कि AB'C' पहला ब्रोकार्ड त्रिकोण है। मनमाना बिंदु X के लिए, X देंA, एक्सB, एक्सCरेखाओं XA′, XB′, XC′ के प्रतिच्छेदन क्रमशः भुजाओं BC, CA, AB के साथ हों। पहला ब्रोकार्ड क्यूबिक X का बिंदुपथ है जिसके लिए बिंदु X हैA, एक्सB, एक्सCसंरेख हैं।

पहला ब्रोकार्ड क्यूबिक सेंट्रोइड, सिम्मेडियन पॉइंट, स्टेनर पॉइंट, अन्य त्रिकोण केंद्रों और पहले और तीसरे ब्रोकार्ड त्रिकोण के शीर्ष से होकर गुजरता है।

ग्राफिक्स और गुणों के लिए, 'K017' को 'ट्राएंगल प्लेन में घन' पर देखें।

दूसरा ब्रोकार्ड क्यूबिक
ट्रिलिनियर समीकरण: $$\sum_{\text{cyclic}} bc(b^2-c^2)x(y^2+z^2)= 0 $$ बेरसेंट्रिक समीकरण: $$\sum_{\text{cyclic}} (b^2-c^2)x(c^2y^2+b^2z^2)= 0 $$ दूसरा ब्रोकार्ड क्यूबिक एक बिंदु X का स्थान है जिसके लिए X और X* के माध्यम से सर्कमोनिक में लाइन XX* का ध्रुव परिकेन्द्र और सिम्मेडियन बिंदु (यानी, ब्रोकार्ड अक्ष) की रेखा पर स्थित है। क्यूबिक सेंट्रोइड, सिम्मेडियन पॉइंट, दोनों फ़र्मेट पॉइंट्स, दोनों आइसोडायनामिक पॉइंट्स, पैरी पॉइंट, अन्य त्रिकोण केंद्रों और दूसरे और चौथे ब्रोकार्ड त्रिकोण के कोने से होकर गुजरता है।

ग्राफिक्स और गुणों के लिए, 'K018' को 'ट्राएंगल प्लेन में क्यूबिक्स' पर देखें।

पहला बराबर क्षेत्रफल घन
ट्रिलिनियर समीकरण: $$\sum_{\text{cyclic}} a(b^2-c^2)x(y^2-z^2)= 0 $$ बेरसेंट्रिक समीकरण: $$\sum_{\text{cyclic}} a^2(b^2-c^2)x(c^2y^2-b^2z^2)= 0 $$ पहला बराबर क्षेत्रफल घन एक बिंदु X का स्थान है जैसे कि X के केवियन त्रिकोण का क्षेत्रफल X* के केवियन त्रिकोण के क्षेत्रफल के बराबर है। इसके अलावा, यह क्यूबिक एक्स का ठिकाना है जिसके लिए एक्स * लाइन एस * एक्स पर है, जहां एस स्टेनर पॉइंट है। (एस = एक्स (99) त्रिकोण केंद्रों के विश्वकोश में)।

पहला बराबर क्षेत्र क्यूबिक इनसेंटर, स्टेनर पॉइंट, अन्य त्रिकोण केंद्र, पहला और दूसरा ब्रोकार्ड पॉइंट और एक्सेंटर से होकर गुजरता है।

ग्राफिक्स और गुणों के लिए, देखें 'K021' at 'Cubics in the Triangle Plane'।

दूसरा बराबर क्षेत्र घन
ट्रिलिनियर समीकरण: $$(bz+cx)(cx+ay)(ay+bz) = (bx+cy)(cy +az)(az+bx) $$ बेरसेंट्रिक समीकरण:$$\sum_{\text{cyclic}} a(a^2-bc)x(c^3y^2 - b^3z^2) = 0 $$ किसी बिंदु X = x:y:z (त्रिरेखीय) के लिए, मान लीजिए XY= वाई: जेड: एक्स और एक्सZ= जेड: एक्स: वाई। दूसरा बराबर क्षेत्र क्यूबिक एक्स का स्थान है जैसे कि एक्स के सेवियन त्रिकोण का क्षेत्रफलYX के सीवियन त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर हैZ.

एक्स (31), एक्स (105), एक्स (238), एक्स (292), एक्स (365), एक्स के रूप में अनुक्रमित त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में दूसरा समान क्षेत्र क्यूबिक इनसेंटर, सेंट्रोइड, सिम्मेडियन पॉइंट और पॉइंट्स से होकर गुजरता है। (672), एक्स (1453), एक्स (1931), एक्स (2053), और अन्य।

ग्राफिक्स और गुणों के लिए, देखें 'K155' at 'Cubics in the Triangle Plane'।

यह भी देखें

 * केली-बचराच प्रमेय, दो घन समतल वक्रों के प्रतिच्छेदन पर
 * मुड़ घन, एक क्यूबिक स्पेस कर्व
 * अण्डाकार वक्र
 * अगनेसी की चुड़ैल
 * त्रिभुज क्यूबिक्स की सूची

संदर्भ

 * . See Chapter 8 for cubics.
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 * . See Chapter 8 for cubics.

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * अंक शास्त्र
 * affine अंतरिक्ष
 * प्रक्षेपण स्थान
 * पांच बिंदु एक शंकु निर्धारित करते हैं
 * प्रक्षेपण रेखा
 * एक बीजगणितीय किस्म का एकवचन बिंदु
 * संक्रमण का बिन्दु
 * शंकु खंड
 * ट्रिलिनियर निर्देशांक
 * ठिकाना (गणित)
 * त्रिभुज केंद्रों का विश्वकोश
 * circumcenter
 * केंद्र में
 * orthocenter
 * आइसोडायनामिक बिंदु

बाहरी संबंध

 * A Catalog of Cubic Plane Curves (archived version)
 * Points on Cubics
 * Cubics in the Triangle Plane
 * Special Isocubics in the Triangle Plane (pdf), by Jean-Pierre Ehrmann and Bernard Gibert