विश्लेषणात्मक यांत्रिकी

सैद्धांतिक भौतिकी और गणितीय भौतिकी में, विश्लेषणात्मक यांत्रिकी, या सैद्धांतिक यांत्रिकी शास्त्रीय यांत्रिकी के निकट से संबंधित वैकल्पिक योगों का एक संग्रह है। यह कई वैज्ञानिकों और गणितज्ञों द्वारा 18वीं शताब्दी के दौरान और उसके बाद न्यूटनियन यांत्रिकी के बाद विकसित किया गया था। चूंकि न्यूटनियन यांत्रिकी गति की सदिश मात्राओं, विशेष रूप से प्रणाली के घटकों के त्वरण, संवेग, बलों को मानता है, न्यूटन के नियमों और यूलर के नियमों द्वारा शासित यांत्रिकी के लिए एक वैकल्पिक नाम वेक्टरियल यांत्रिकी है।

इसके विपरीत, विश्लेषणात्मक यांत्रिकी गति के अदिश गुणों का उपयोग करता है जो पूरे सिस्टम का प्रतिनिधित्व करता है-आमतौर पर इसकी कुल गतिज ऊर्जा और संभावित ऊर्जा -न कि न्यूटन के व्यक्तिगत कणों के वेक्टरियल बल। एक अदिश एक मात्रा है, जबकि एक सदिश मात्रा और दिशा द्वारा दर्शाया जाता है। गति के समीकरण अदिश राशि से अदिश की भिन्नता के बारे में कुछ अंतर्निहित सिद्धांत द्वारा व्युत्पन्न होते हैं।

विश्लेषणात्मक यांत्रिकी समस्याओं को हल करने के लिए सिस्टम की बाधाओं का लाभ उठाता है। बाधाएं सिस्टम की स्वतंत्रता की डिग्री को सीमित करती हैं, और गति के लिए हल करने के लिए आवश्यक निर्देशांक की संख्या को कम करने के लिए इसका उपयोग किया जा सकता है। औपचारिकता निर्देशांक के मनमाने विकल्पों के अनुकूल है, जिसे संदर्भ में सामान्यीकृत निर्देशांक के रूप में जाना जाता है। सिस्टम की गतिज और संभावित ऊर्जाओं को इन सामान्यीकृत निर्देशांक या गति का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है, और गति के समीकरणों को आसानी से स्थापित किया जा सकता है, इस प्रकार विश्लेषणात्मक यांत्रिकी कई यांत्रिक समस्याओं को पूरी तरह से वेक्टरियल विधियों की तुलना में अधिक दक्षता के साथ हल करने की अनुमति देता है। यह हमेशा गैर- रूढ़िवादी ताकतों या घर्षण जैसी विघटनकारी ताकतों के लिए काम नहीं करता है, इस मामले में कोई न्यूटनियन यांत्रिकी पर वापस जा सकता है।

विविश्लेषणात्मक यांत्रिकी की दो प्रमुख शाखाएं हैं लैग्रेंजियन मैकेनिक्स ( कॉन्फ़िगरेशन स्पेस में सामान्यीकृत निर्देशांक और संबंधित सामान्यीकृत वेगों का उपयोग करके) और हैमिल्टनियन मैकेनिक्स ( चरण स्थान में निर्देशांक और संबंधित गति का उपयोग करके)। दोनों फॉर्मूलेशन सामान्यीकृत निर्देशांक, वेग और गति पर एक लेजेंडर परिवर्तन के बराबर हैं, इसलिए दोनों में एक प्रणाली की गतिशीलता का वर्णन करने के लिए समान जानकारी होती है। हैमिल्टन-जैकोबी सिद्धांत, रूथियन यांत्रिकी, और एपेल के गति के समीकरण जैसे अन्य सूत्र भी हैं। कणों और क्षेत्रों के लिए गति के सभी समीकरण, किसी भी औपचारिकता में, व्यापक रूप से लागू परिणाम से प्राप्त किए जा सकते हैं जिसे कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत कहा जाता है। एक परिणाम नोएदर की प्रमेय है, एक बयान जो संरक्षण कानूनों को उनके संबंधित समरूपता से जोड़ता है।

विश्लेषणात्मक यांत्रिकी नई भौतिकी का परिचय नहीं देता है और न्यूटनियन यांत्रिकी से अधिक सामान्य नहीं है। बल्कि यह समान औपचारिकताओं का एक संग्रह है जिसका व्यापक अनुप्रयोग है। वास्तव में समान सिद्धांतों और औपचारिकताओं का उपयोग सापेक्षतावादी यांत्रिकी और सामान्य सापेक्षता में किया जा सकता है, और कुछ संशोधनों के साथ, क्वांटम यांत्रिकी और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत ।

विश्लेषणात्मक यांत्रिकी का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, मौलिक भौतिकी से लेकर अनुप्रयुक्त गणित तक, विशेष रूप से अराजकता सिद्धांत ।

विश्लेषणात्मक यांत्रिकी के तरीके असतत कणों पर लागू होते हैं, प्रत्येक में स्वतंत्रता की डिग्री की एक सीमित संख्या होती है। उन्हें निरंतर क्षेत्रों या तरल पदार्थों का वर्णन करने के लिए संशोधित किया जा सकता है, जिनमें स्वतंत्रता की अनंत डिग्री होती है। परिभाषाओं और समीकरणों का यांत्रिकी के साथ घनिष्ठ समानता है।

विश्लेषणात्मक यांत्रिकी का विषय
यांत्रिक सिद्धांत का सबसे स्पष्ट लक्ष्य भौतिकी या खगोल विज्ञान में उत्पन्न होने वाली यांत्रिक समस्याओं को हल करना है। एक भौतिक अवधारणा से शुरू होकर, जैसे कि एक तंत्र या एक तारा प्रणाली, एक गणितीय अवधारणा, या मॉडल, एक अंतर समीकरण या समीकरण के रूप में विकसित किया जाता है और फिर उन्हें हल करने का प्रयास किया जाता है।

न्यून्यूटन द्वारा स्थापित यांत्रिकी के लिए सदिशीय दृष्टिकोण, न्यूटन के नियमों पर आधारित है जो बल, वेग, त्वरण जैसे वेक्टर मात्राओं की सहायता से गति का वर्णन करता है। ये मात्राएँ एक पिंड की गति को दर्शाती हैं जिसे एक "द्रव्यमान बिंदु" या " कण " के रूप में आदर्शित किया जाता है, जिसे एक एकल बिंदु के रूप में समझा जाता है जिससे एक द्रव्यमान जुड़ा होता है। न्यूटन की विधि सफल रही और भौतिक समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला के लिए लागू की गई, जो पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में एक कण की गति से शुरू हुई और फिर सूर्य की क्रिया के तहत ग्रहों की गति तक विस्तारित हुई। इस दृष्टिकोण में, न्यूटन के नियम एक अंतर समीकरण द्वारा गति का वर्णन करते हैं और फिर समस्या उस समीकरण को हल करने के लिए कम हो जाती है।

जब कण कणों की एक प्रणाली का एक हिस्सा होता है, जैसे कि एक ठोस शरीर या तरल पदार्थ, जिसमें कण स्वतंत्र रूप से नहीं चलते हैं लेकिन एक दूसरे के साथ बातचीत करते हैं, न्यूटन का दृष्टिकोण अभी भी उचित सावधानियों के तहत लागू होता है जैसे कि प्रत्येक कण को अलग करना अन्य, और उस पर कार्य करने वाले सभी बलों का निर्धारण: जो पूरे सिस्टम पर कार्य करते हैं और साथ ही सिस्टम में अन्य सभी कणों के साथ प्रत्येक कण की बातचीत की ताकतें। अपेक्षाकृत सरल प्रणालियों में भी ऐसा विश्लेषण बोझिल हो सकता है। एक नियम के रूप में, अंतःक्रियात्मक बल अज्ञात या कठिन होते हैं, जिससे यह निर्धारित किया जा सकता है कि नए अभिधारणाओं को पेश करना आवश्यक है। न्यूटन ने सोचा था कि उनका तीसरा नियम "क्रिया प्रतिक्रिया के बराबर है" सभी जटिलताओं का ख्याल रखेगा। एक ठोस शरीर के घूर्णन जैसी सरल प्रणाली के लिए भी ऐसा नहीं है। अधिक जटिल प्रणालियों में, वेक्टरियल दृष्टिकोण पर्याप्त विवरण नहीं दे सकता है।

गति की समस्या के लिए विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण कण को एक पृथक इकाई के रूप में नहीं बल्कि एक यांत्रिक प्रणाली के एक भाग के रूप में देखता है जिसे कणों की एक सभा के रूप में समझा जाता है जो एक दूसरे के साथ बातचीत करते हैं। जैसे ही पूरी प्रणाली पर विचार किया जाता है, एकल कण अपना महत्व खो देता है; गत्यात्मक समस्या पूरे सिस्टम को भागों में तोड़े बिना शामिल करती है। यह गणना को महत्वपूर्ण रूप से सरल करता है क्योंकि वेक्टरियल दृष्टिकोण में प्रत्येक कण के लिए बलों को अलग-अलग निर्धारित करना पड़ता है जबकि विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण में यह एक एकल फ़ंक्शन को जानने के लिए पर्याप्त होता है जिसमें सिस्टम पर और सिस्टम में अभिनय करने वाले सभी बल शामिल होते हैं। इस तरह का सरलीकरण अक्सर कुछ निश्चित गतिज स्थितियों का उपयोग करके किया जाता है जिन्हें प्राथमिकता कहा जाता है; वे पहले से मौजूद हैं और कुछ मजबूत ताकतों की कार्रवाई के कारण हैं। हालांकि, विश्लेषणात्मक उपचार के लिए इन ताकतों के ज्ञान की आवश्यकता नहीं होती है और इन गतिज स्थितियों को मान लिया जाता है। यह देखते हुए कि इन स्थितियों को बनाए रखने वाले बलों की भीड़ की तुलना में ये स्थितियां कितनी सरल हैं, वेक्टरियल पर विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण की श्रेष्ठता स्पष्ट हो जाती है।

फिर भी, एक जटिल यांत्रिक प्रणाली की गति के समीकरणों के लिए बड़ी संख्या में अलग-अलग अंतर समीकरणों की आवश्यकता होती है, जिन्हें कुछ एकीकृत आधार के बिना प्राप्त नहीं किया जा सकता है, जिससे वे अनुसरण करते हैं। यह आधार परिवर्तनशील सिद्धांत हैं: समीकरणों के प्रत्येक सेट के पीछे एक सिद्धांत होता है जो पूरे सेट के अर्थ को व्यक्त करता है। 'क्रिया' नामक एक मौलिक और सार्वभौमिक मात्रा को देखते हुए, यह सिद्धांत कि यह क्रिया किसी अन्य यांत्रिक मात्रा के छोटे बदलाव के तहत स्थिर हो, अंतर समीकरणों के आवश्यक सेट को उत्पन्न करती है। सिद्धांत के बयान के लिए किसी विशेष समन्वय प्रणाली की आवश्यकता नहीं होती है, और सभी परिणाम सामान्यीकृत निर्देशांक में व्यक्त किए जाते हैं। इसका मतलब यह है कि गति के विश्लेषणात्मक समीकरण एक समन्वय परिवर्तन पर नहीं बदलते हैं, एक अपरिवर्तनीय संपत्ति जिसमें गति के वेक्टरियल समीकरणों की कमी होती है।

यह पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है कि अंतर समीकरणों के एक सेट को 'हल' करने का क्या मतलब है। एक समस्या को हल माना जाता है जब कण समय पर समन्वय करते हैं, टी के सरल कार्यों और प्रारंभिक स्थिति और वेगों को परिभाषित करने वाले पैरामीटर के रूप में व्यक्त किए जाते हैं । हालाँकि, 'सरल फ़ंक्शन' एक अच्छी तरह से परिभाषित अवधारणा नहीं है: आजकल, एक फ़ंक्शन f ( t ) को t ( प्राथमिक कार्य ) में औपचारिक अभिव्यक्ति के रूप में नहीं माना जाता है जैसा कि न्यूटन के समय में था, लेकिन आमतौर पर t द्वारा निर्धारित मात्रा के रूप में।, और 'सरल' और 'सरल नहीं' कार्यों के बीच एक स्पष्ट रेखा खींचना संभव नहीं है। यदि कोई केवल 'फ़ंक्शन' के बारे में बात करता है, तो हर यांत्रिक समस्या हल हो जाती है जैसे ही इसे अंतर समीकरणों में अच्छी तरह से बताया गया है, क्योंकि प्रारंभिक शर्तों को देखते हुए और टी पर निर्देशांक निर्धारित करते हैं । यह विशेष रूप से वर्तमान में कंप्यूटर मॉडलिंग के आधुनिक तरीकों के साथ एक तथ्य है जो किसी भी वांछित सटीकता के लिए यांत्रिक समस्याओं के अंकगणितीय समाधान प्रदान करता है, अंतर समीकरणों को अंतर समीकरणों द्वारा प्रतिस्थापित किया जा रहा है।

फिर भी, हालांकि सटीक परिभाषाओं का अभाव है, यह स्पष्ट है कि दो-शरीर की समस्या का एक सरल समाधान है, जबकि तीन-शरीर की समस्या नहीं है। दो-शरीर की समस्या का समाधान मापदंडों से जुड़े सूत्रों द्वारा किया जाता है; सभी समाधानों के वर्ग, यानी समस्या की गणितीय संरचना का अध्ययन करने के लिए उनके मूल्यों को बदला जा सकता है। इसके अलावा, दो निकायों की गति के लिए एक सटीक मानसिक या खींचा गया चित्र बनाया जा सकता है, और यह वास्तविक और सटीक हो सकता है जैसे कि वास्तविक शरीर चलते और बातचीत करते हैं। थ्री-बॉडी समस्या में, पैरामीटर्स को विशिष्ट मान भी असाइन किए जा सकते हैं; हालाँकि, इन निर्दिष्ट मानों पर समाधान या ऐसे समाधानों का संग्रह समस्या की गणितीय संरचना को प्रकट नहीं करता है। कई अन्य समस्याओं की तरह, गणितीय संरचना को केवल अंतर समीकरणों की जांच करके ही स्पष्ट किया जा सकता है।

विश्लेषणात्मक यांत्रिकी का लक्ष्य और भी अधिक है: एक यांत्रिक समस्या की गणितीय संरचना को समझने के लिए नहीं, बल्कि समस्याओं के एक वर्ग को इतना व्यापक समझना कि वे अधिकांश यांत्रिकी को शामिल करते हैं। यह उन प्रणालियों पर ध्यान केंद्रित करता है जिन पर गति के लग्रांगियन या हैमिल्टनियन समीकरण लागू होते हैं और इसमें वास्तव में समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला शामिल होती है।

विश्लेषणात्मक यांत्रिकी के विकास के दो उद्देश्य हैं: (i) प्रयोज्यता की एक विस्तृत श्रृंखला के साथ मानक तकनीकों को विकसित करके हल करने योग्य समस्याओं की सीमा में वृद्धि करना, और (ii) यांत्रिकी की गणितीय संरचना को समझना। हालांकि, लंबे समय में, (ii) विशिष्ट समस्याओं पर ध्यान केंद्रित करने से अधिक (i) मदद कर सकता है, जिसके लिए पहले से ही तरीके तैयार किए जा चुके हैं।

सामान्यीकृत निर्देशांक और बाधाएं
न्यूटनियन यांत्रिकी में, गति के दौरान किसी पिंड की स्थिति को संदर्भित करने के लिए, एक प्रथागत रूप से सभी तीन कार्टेशियन निर्देशांक, या अन्य 3D समन्वय प्रणाली का उपयोग करता है। भौतिक प्रणालियों में, हालांकि, कुछ संरचना या अन्य प्रणाली आमतौर पर शरीर की गति को कुछ दिशाओं और मार्गों को लेने से रोकती है। इसलिए कार्टेशियन निर्देशांक का एक पूरा सेट अक्सर अनावश्यक होता है, क्योंकि बाधाएं निर्देशांक के बीच विकसित संबंधों को निर्धारित करती हैं, जो संबंधों को बाधाओं के अनुरूप समीकरणों द्वारा तैयार किया जा सकता है। लैग्रैन्जियन और हैमिल्टनियन औपचारिकताओं में, गति की ज्यामिति में बाधाओं को शामिल किया जाता है, गति को मॉडल करने के लिए आवश्यक न्यूनतम निर्देशांक की संख्या को कम करता है। इन्हें सामान्यीकृत निर्देशांक के रूप में जाना जाता है, जो कि q i ( i = 1, 2, 3. . . )

वक्र और सामान्यीकृत निर्देशांक के बीच का अंतर
सामान्यीकृत निर्देशांक प्रणाली पर बाधाओं को शामिल करते हैं। स्वतंत्रता की प्रत्येक डिग्री के लिए एक सामान्यीकृत निर्देशांक q i है (सूचकांक i = 1, 2 द्वारा लेबल की गई सुविधा के लिए)।. . एन ), यानी हर तरह से सिस्टम इसके कॉन्फ़िगरेशन को बदल सकता है; घुमावदार लंबाई या रोटेशन के कोण के रूप में। सामान्यीकृत निर्देशांक वक्रीय निर्देशांक के समान नहीं होते हैं। वक्रीय निर्देशांक की संख्या प्रश्न में स्थिति स्थान के आयाम के बराबर होती है (आमतौर पर 3d स्थान के लिए 3), जबकि सामान्यीकृत निर्देशांक की संख्या आवश्यक रूप से इस आयाम के बराबर नहीं होती है; बाधाएं स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या को कम कर सकती हैं (इसलिए सिस्टम के विन्यास को परिभाषित करने के लिए आवश्यक सामान्यीकृत निर्देशांक की संख्या), सामान्य नियम का पालन करते हुए:


 * [ स्थिति स्थान का आयाम (आमतौर पर 3)] × [सिस्टम के घटकों की संख्या ("कण")] - ( बाधाओं की संख्या)
 * = ( स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या) = ( सामान्यीकृत निर्देशांक की संख्या)
 * स्वतंत्रता की एन डिग्री वाली प्रणाली के लिए, सामान्यीकृत निर्देशांक को एन - टपल में एकत्र किया जा सकता है:
 * $$\mathbf{q} = (q_1, q_2, \dots, q_N)$$

और इस टपल के समय व्युत्पन्न (यहाँ एक ओवरडॉट द्वारा दर्शाया गया है) सामान्यीकृत वेग देते हैं:

$$\frac{d\mathbf{q}}{dt} = \left(\frac{dq_1}{dt}, \frac{dq_2}{dt}, \dots \frac{dq_N}{dt}\right) \equiv \mathbf{\dot{q}} = (\dot{q}_1,\dot{q}_2,\cdots \dot{q}_N) .$$

डी'अलेम्बर्ट का सिद्धांत
यह सिद्धांत बताता है कि प्रतिवर्ती विस्थापनों में एक बल द्वारा किया गया अनंत आभासी कार्य शून्य है, जो कि सिस्टम के आदर्श बाधाओं के अनुरूप एक बल द्वारा किया गया कार्य है। एक बाधा का विचार उपयोगी है - चूंकि यह सिस्टम क्या कर सकता है, और सिस्टम की गति के समाधान के लिए कदम प्रदान कर सकता है। डी'अलेम्बर्ट के सिद्धांत के लिए समीकरण है:

$$\delta W = \boldsymbol{\mathcal{Q}}\cdot\delta\mathbf{q} = 0 \,,$$

कहाँ पे

$$\boldsymbol{\mathcal{Q}} = (\mathcal{Q}_1,\mathcal{Q}_2,\cdots \mathcal{Q}_N)$$

सामान्यीकृत बल हैं (सामान्य क्यू के बजाय स्क्रिप्ट क्यू का उपयोग नीचे विहित परिवर्तनों के साथ संघर्ष को रोकने के लिए किया जाता है) और क्यू सामान्यीकृत निर्देशांक हैं। यह विश्लेषणात्मक यांत्रिकी की भाषा में न्यूटन के नियमों के सामान्यीकृत रूप की ओर जाता है:

$$\boldsymbol{\mathcal{Q}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left ( \frac {\partial T}{\partial \mathbf{\dot{q}}} \right ) - \frac {\partial T}{\partial \mathbf{q}}\,,$$

जहाँ T निकाय की कुल गतिज ऊर्जा और संकेतन है

$$\frac {\partial }{\partial \mathbf{q}}=\left(\frac{\partial }{\partial q_1},\frac{\partial }{\partial q_2},\cdots \frac{\partial }{\partial q_N}\right)$$

एक उपयोगी आशुलिपि है (इस संकेतन के लिए मैट्रिक्स कैलकुलस देखें)।

होलोनोमिक बाधाएं
यदि वक्रीय निर्देशांक प्रणाली को मानक स्थिति वेक्टर r द्वारा परिभाषित किया जाता है, और यदि स्थिति वेक्टर को सामान्यीकृत निर्देशांक q और समय t के रूप में लिखा जा सकता है:

$$\mathbf{r} = \mathbf{r}(\mathbf{q}(t),t)$$

और यह संबंध सभी समय t के लिए धारण करता है, तो q को होलोनोमिक बाधाएँ कहा जाता है। वेक्टर r स्पष्ट रूप से t पर उन मामलों में निर्भर होता है जब बाधाएं समय के साथ बदलती हैं, न कि केवल q ( t ) के कारण। समय-स्वतंत्र स्थितियों के लिए, बाधाओं को स्क्लेरोनोमिक भी कहा जाता है, समय-निर्भर मामलों के लिए उन्हें रियोनोमिक कहा जाता है ।

लग्रांगियन यांत्रिकी
सामान्यीकृत निर्देशांक और मौलिक लग्रांगियन फ़ंक्शन का परिचय:

$$L(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t) = T(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t) - V(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)$$

जहां टी कुल गतिज ऊर्जा है और वी पूरे सिस्टम की कुल संभावित ऊर्जा है, तो या तो विविधताओं के कैलकुस का पालन करते हुए या उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके - यूलर-लैग्रेंज समीकरणों की ओर ले जाते हैं;

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \mathbf{\dot{q}}}\right) = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} \,,$$

जो N दूसरे क्रम के साधारण अंतर समीकरणों का एक सेट है, प्रत्येक q i ( t ) के लिए एक।

यह सूत्रीकरण गति द्वारा अनुसरण किए जाने वाले वास्तविक पथ की पहचान उस पथ के चयन के रूप में करता है जिस पर गतिज ऊर्जा का समय समाकलन कम से कम है, यह मानते हुए कि कुल ऊर्जा स्थिर है, और पारगमन के समय पर कोई शर्त नहीं लगाई गई है।

विन्यास स्थान
सूलैग्रैन्जियन फॉर्मूलेशन सिस्टम के कॉन्फ़िगरेशन स्पेस का उपयोग करता है, सभी संभावित सामान्यीकृत निर्देशांक का सेट :

$$\mathcal{C} = \{ \mathbf{q} \in \mathbb{R}^N \}\,,$$

कहाँ पे $$\mathbb{R}^N$$एन -आयामी वास्तविक स्थान है ( सेट-बिल्डर नोटेशन भी देखें)। यूलर-लैग्रेंज समीकरणों के विशेष समाधान को एक (कॉन्फ़िगरेशन) पथ या प्रक्षेपवक्र कहा जाता है, अर्थात एक विशेष q ( t ) आवश्यक प्रारंभिक शर्तों के अधीन होता है। सामान्य समाधान समय के कार्यों के रूप में संभावित विन्यासों का एक समूह बनाते हैं:

$$\{ \mathbf{q}(t) \in \mathbb{R}^N \,:\,t\ge 0,t\in \mathbb{R}\}\subseteq\mathcal{C}\,,$$

टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड्स और टेंगेंट बंडल के संदर्भ में कॉन्फ़िगरेशन स्पेस को अधिक सामान्य रूप से और वास्तव में अधिक गहराई से परिभाषित किया जा सकता है।

हैमिल्टन मैकेनिक्स
   हैमिल्टन और हैमिल्टन के समीकरण  

Lagrangian के  लीजेंड्रे ट्रांसफॉर्मेशन  सामान्यीकृत निर्देशांक और वेग ( q ,  q̇ ) को ( q ,  p ) के साथ बदल देता है;सामान्यीकृत निर्देशांक और     सामान्यीकृत क्षण   सामान्यीकृत निर्देशांक के लिए संयुग्म:$$\mathbf{p} = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{\dot{q}}} = \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_1},\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_2},\cdots \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_N}\right) = (p_1, p_2\cdots p_N)\,,$$

और हैमिल्टनियन का परिचय देता है (जो सामान्यीकृत निर्देशांक और मोमेंट के संदर्भ में है):$$H(\mathbf{q},\mathbf{p},t) = \mathbf{p}\cdot\mathbf{\dot{q}} - L(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)$$

जहां  •   डॉट उत्पाद  को दर्शाता है, यह भी    हैमिल्टन के समीकरण  के लिए अग्रणी है:$$\mathbf{\dot{p}} = - \frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}}\,,\quad \mathbf{\dot{q}} = + \frac{\partial H}{\partial \mathbf{p}} \,,$$

जो अब 2'n  प्रथम-क्रम के साधारण अंतर समीकरणों का एक सेट है, प्रत्येक के लिए एक '  ( t )।लीजेंड्रे ट्रांसफॉर्मेशन से एक अन्य परिणाम लैग्रैन्जियन और हैमिल्टन के समय के व्युत्पन्न से संबंधित है:$$\frac{dH}{dt}=-\frac{\partial L}{\partial t}\,,$$

जिसे अक्सर हैमिल्टन के गति के समीकरणों में से एक माना जाता है।सामान्यीकृत मोमेंट को सामान्यीकृत बलों के संदर्भ में उसी तरह से लिखा जा सकता है जैसे न्यूटन के दूसरे कानून:$$\mathbf{\dot{p}} = \boldsymbol{\mathcal{Q}}\,.$$

 सामान्यीकृत  मोमेंटम स्पेस  

कॉन्फ़िगरेशन स्पेस के अनुरूप, सभी मोमेंट का सेट  मोमेंटम स्पेस  है (तकनीकी रूप से इस संदर्भ में;  सामान्यीकृत मोमेंटम स्पेस ):$$\mathcal{M} = \{ \mathbf{p}\in\mathbb{R}^N \}\,.$$

मोमेंटम स्पेस भी  k  -space को संदर्भित करता है;सभी  वेव वेक्टर  एस का सेट (  डी ब्रोगली रिलेशन  एस द्वारा दिया गया) जैसा कि क्वांटम यांत्रिकी और   वेव  एस के सिद्धांत में उपयोग किया जाता है: यह इस संदर्भ में संदर्भित नहीं है।

  चरण अंतरिक्ष  

सभी पदों और क्षणों का सेट  चरण स्थान  बनाता है;$$\mathcal{P} = \mathcal{C}\times\mathcal{M} = \{ (\mathbf{q},\mathbf{p})\in\mathbb{R}^{2N} \} \,,$$

यही है, कॉन्फ़िगरेशन स्थान के  कार्टेशियन उत्पाद  × और सामान्यीकृत गति स्थान।

हैमिल्टन के समीकरणों के लिए एक विशेष समाधान को    चरण पथ  , एक विशेष वक्र ( q  ( t ),  p  ( t )) कहा जाता है।प्रारंभिक शर्तों की आवश्यकता है।सभी चरण पथों का सेट, अंतर समीकरणों का सामान्य समाधान,    चरण चित्र   है:$$\{ (\mathbf{q}(t),\mathbf{p}(t))\in\mathbb{R}^{2N}\,:\,t\ge0, t\in\mathbb{R} \} \subseteq \mathcal{P}\,,$$


 * पॉइसन ब्रैकेट

सभी डायनेमिक वैरिएबल को स्थिति से प्राप्त किया जा सकता है  r , मोमेंटम  p , और समय  t , और इन के एक समारोह के रूप में लिखा गया:p ,  t )।यदि    ( q ,  p ,  t ) और  b  ( q ,  p ',  t ) दो स्केलर वैल्यूड डायनेमिक वैरिएबल हैं, पॉइसन ब्रैकेट  को सामान्यीकृत निर्देशांक और मोमेंट द्वारा परिभाषित किया गया है:


 * <मैथ>

\ _ शुरू {संरेखित} \ {A, b \} \ eciv \ {a, b \} _ {\ mathbf {q}, \ mathbf {p}} & = \ frac {\ _ आंशिक a} {\ _ आंशिक \ mathbf {q}} \ cdot\ frac {\ आंशिक b} {\ आंशिक \ mathbf {p}} - \ frac {\ आंशिक a} {\ _ आंशिक \ mathbf {p}} \ cdot \ frac {\ आंशिक b} {\ _ \ _ \ _} \\ & \ eciv \ sum_k \ frac {\ आंशिक a} {\ आंशिक q_k} \ frac {\ आंशिक b} {\ आंशिक p_k} - \ frac {\ आंशिक a} {\ _ आंशिक p_k}\ आंशिक q_k} \ ,, \ अंत {संरेखित} 

इनमें से एक के  कुल व्युत्पन्न  की गणना करते हुए,        के समीकरणों को प्रतिस्थापित करने के लिए  '' 'के समय के विकास की ओर जाता है।$$ \frac{dA}{dt} = \{A,H\} + \frac{\partial A}{\partial t}\,. $$

 ए  में यह समीकरण करीब है हाइजेनबर्ग पिक्चर  ऑफ   क्वांटम मैकेनिक्स  में गति के समीकरण से संबंधित लाइ।  कम्यूटेटर  ऑपरेटरों के DIRAC के   कैनोनिकल परिमाणीकरण  के माध्यम से:$$\{A,B\} \rightarrow \frac{1}{i\hbar}[\hat{A},\hat{B}]\,.$$

Lagrangian और Hamiltonian कार्यों के गुण
Lagrangian और Hamiltonian कार्यों के बीच अतिव्यापी गुण निम्नलिखित हैं


 * सभी व्यक्तिगत सामान्यीकृत निर्देशांक  q <सब> i  ( t ), वेलोसिटीज  q̇ <सब> i  ('t' ') और मोमेंट स्वतंत्रता की हर डिग्री के लिए  p <सब> i   't' ') पारस्परिक रूप से स्वतंत्र हैं। किसी फ़ंक्शन के स्पष्ट समय-निर्भरता का अर्थ है कि फ़ंक्शन में वास्तव में  q  ( t ),  p  ( t ) के अलावा एक चर के रूप में समय  t  शामिल है, बस के रूप में नहीं  q  ( t ) और  p  ( t '') के माध्यम से एक पैरामीटर, जिसका अर्थ स्पष्ट समय-स्वतंत्रता होगा।
 * Lagrangian    कुल     समय व्युत्पन्न  के अलावा  q  और  t  के किसी भी फ़ंक्शन के किसी भी कार्य के अलावा, यानी,  L '= l +\ frac {d} {dt} f (\ mathbf {q}, t) \ ,, तो प्रत्येक lagrangian' 'l' 'और' 'l ' का वर्णन बिल्कुल समान गति। दूसरे शब्दों में, एक प्रणाली का लैग्रैन्जियन अद्वितीय नहीं है।
 * अनुरूप रूप से, हैमिल्टनियन    आंशिक   के अलावा  q ,  p  और  t  के किसी भी कार्य के समय व्युत्पन्न है। K = h + \ frac {\ आंशिक} {\ आंशिक t} g (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t) \ ,, ('k' 'एक अक्सर इस्तेमाल किया जाने वाला पत्र है, जो एक अक्सर इस्तेमाल किया गया पत्र है। इस मामले में)। इस संपत्ति का उपयोग   कैनोनिकल ट्रांसफॉर्मेशन  में किया जाता है (नीचे देखें)।
 * यदि Lagrangian कुछ सामान्यीकृत निर्देशांक से स्वतंत्र है, तो उन निर्देशांक के लिए सामान्यीकृत मोमेंटा संयुग्म ]] गति के   स्थिरांक  हैं, यानी    संरक्षित  हैं, यह तुरंत Lagrange के समीकरणों से अनुसरण करता है:  \ frac {\ आंशिक l} {\ आंशिक q_j} = 0 \, \ rightarrow \, \ frac {dp_j} {dt} = \ frac {d} {dt} \ frac {\ _ \ _ {\ _ {\ _ {\ _ \ dot {q} _j} = 0 ऐसे निर्देशांक    चक्रीय  या अज्ञान योग्य हैं। यह दिखाया जा सकता है कि हैमिल्टन भी ठीक उसी सामान्यीकृत निर्देशांक में चक्रीय है।
 * यदि लैग्रैजियन समय-स्वतंत्र है तो हैमिल्टनियन भी समय-स्वतंत्र है (यानी दोनों समय में स्थिर हैं)।
 * यदि काइनेटिक ऊर्जा सामान्यीकृत वेगों की डिग्री 2 के  सजातीय समारोह  है,  और  लैग्रैन्जियन स्पष्ट रूप से समय-स्वतंत्र है, तो:  टी ((\ lambda \ dot {q} _i)^2, (\ lambda \ dot {q} _j \ lambda \ dot {q} _k), \ mathbf {q}) = \ lambda^2 t ((\ dot {q}} _i)^2, \ dot {q} _j \ dot {q} _k, \ mathbf {q}) \ ,, \ quad l (\ mathbf {q}, \ mathbf {\ dot {q}}) \ ,, जहाँ   ' λ  एक स्थिरांक है, फिर हैमिल्टनियन सिस्टम की कुल गतिज और संभावित ऊर्जा के बराबर  कुल संरक्षित ऊर्जा '' होगा:  एच = टी + वी = ई \, <, < /गणित> यह   श्रोडिंगर समीकरण  के लिए आधार है,    क्वांटम ऑपरेटर  सम्मिलित करना सीधे इसे प्राप्त करता है।

कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत


एक्शन एक    कार्यात्मक  के रूप में है:$$\mathcal{S} = \int_{t_1}^{t_2} L(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t) dt \,.$$

कार्रवाई से गति के समीकरणों को खोजने का एक सामान्य तरीका    [[ सिद्धांत कम से कम कार्रवाई   है।

$$\delta\mathcal{S} = \delta\int_{t_1}^{t_2} L(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t) dt = 0\,,$$

जहां प्रस्थान  t  <सब> 1 और आगमन  t  <सब> 2  समय तय हो गया है शब्द पथ या प्रक्षेपवक्र कॉन्फ़िगरेशन स्पेस के माध्यम से एक पथ के रूप में सिस्टम के   समय के विकास  को संदर्भित करता है $$\mathcal{C}$$, in other words q(t) tracing out a path in $$\mathcal{C}$$।जिस मार्ग के लिए कार्रवाई कम से कम सिस्टम द्वारा लिया गया मार्ग है।

इस सिद्धांत से, शास्त्रीय यांत्रिकी में गति ]] के सभी  सभी   समीकरणों को प्राप्त किया जा सकता है।इस दृष्टिकोण को कणों की एक प्रणाली (नीचे देखें) के बजाय क्षेत्रों में बढ़ाया जा सकता है, और  [[ पथ इंटीग्रल फॉर्मूलेशन    क्वांटम मैकेनिक्स  को रेखांकित करता है  और   जनरल सापेक्षता  में   जियोडेसिक  गति की गणना के लिए उपयोग किया जाता है

हैमिल्टन-जैकोबी यांत्रिकी

 * कैनोनिकल ट्रांसफॉर्मेशन

हैमिल्टनियन का आक्रमण ( p ,  q , और  t  के एक मनमाना कार्य के आंशिक समय व्युत्पन्न के अलावा हैमिल्टन को समन्वय के एक सेट में  q  और मोमेंट  p  to की अनुमति देता हैएक नए सेट  q  =  q  ( q ,  p ,  t ) और  p  =  p  ( q ,  p ,  t   t ), चार संभावित तरीकों से:


 * $$ \ BEGIN {ALIGN}

& K (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t) = h (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t) + \ frac {\ आंशिक} {\ _ आंशिक t} g_1 (\ mathbf{q}, \ mathbf {q}, t) \\ & K (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t) = h (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t) + \ frac {\ आंशिक} {\ _ आंशिक t} g_2 (\ mathbf{q}, \ mathbf {p}, t) \\ & K (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t) = h (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t) + \ frac {\ आंशिक} {\ _ आंशिक t} g_3 (\ mathbf{p}, \ mathbf {q}, t) \\ & K (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t) = h (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t) + \ frac {\ आंशिक} {\ _ आंशिक t} g_4 (\ mathbf{p}, \ mathbf {p}, t) \\ \ अंत {संरेखित} 

 P  और  q  पर प्रतिबंध के साथ, जो कि परिवर्तित हैमिल्टनियन प्रणाली है:

उपरोक्त परिवर्तनों को  कैनोनिकल ट्रांसफॉर्मेशन  कहा जाता है, प्रत्येक फ़ंक्शन  g <सब> n  को    जनरेटिंग फ़ंक्शन  कहा जाता है।प्रकार- n ।निर्देशांक और मोमेंट का परिवर्तन किसी दिए गए समस्या के लिए हैमिल्टन के समीकरणों को हल करने के लिए सरलीकरण की अनुमति दे सकता है।

 Q  और  p  की पसंद पूरी तरह से मनमानी है, लेकिन हर विकल्प एक विहित परिवर्तन की ओर नहीं जाता है।एक परिवर्तन के लिए एक सरल मानदंड  q  →  q  और  p  →  p  को कैनोनिकल होने के लिए पॉइसन ब्रैकेट एकता हो,

सभी के लिए  i  = 1, 2, ...  n ।यदि यह पकड़ में नहीं आता है तो परिवर्तन विहित नहीं है


 * हैमिल्टन -जैकोबी समीकरण

कैनोनिक रूप से रूपांतरित हैमिल्टनियन  k  = 0, और टाइप -2 जनरेटिंग फ़ंक्शन को  हैमिल्टन के प्रमुख फ़ंक्शन के बराबर सेट करके  (एक्शन भी (एक्शन (भी) \mathcal{S}) प्लस एक मनमाना स्थिरांक  C :

सामान्यीकृत क्षण बन जाता है:

और  p  स्थिर है, फिर हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण (HJE) टाइप -2 कैनोनिकल परिवर्तन से प्राप्त किया जा सकता है:

जहां  एच  पहले की तरह हैमिल्टनियन है:

एक अन्य संबंधित कार्य है  हैमिल्टन का विशिष्ट कार्य 

एक समय-स्वतंत्र हैमिल्टनियन  एच  के लिए चर ]] के चर के [[ पृथक्करण द्वारा एचजेई को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है।

हैमिल्टन -जैकोबी समीकरणों के समाधानों का अध्ययन स्वाभाविक रूप से  सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड  एस और   सिम्पल्टिक टोपोलॉजी  के अध्ययन की ओर जाता है   इस सूत्रीकरण में, हैमिल्टन -जैकोबी समीकरणों के समाधान   हैमिल्टन वेक्टर फील्ड  एस के   इंटीग्रल वक्र  एस हैं।

राउथियन मैकेनिक्स
  राउथियन मैकेनिक्स   लैग्रैजियन और हैमिल्टनियन मैकेनिक्स का एक हाइब्रिड सूत्रीकरण है, अक्सर उपयोग नहीं किया जाता है, लेकिन विशेष रूप से चक्रीय निर्देशांक को हटाने के लिए उपयोगी है।यदि किसी प्रणाली के लैग्रैन्जियन में  'चक्रीय निर्देशांक  q  =' 'q'  '1 ,' 'q' '' <सब> 2, ... q <सब> s '  संयुग्म के साथ  p  =  p  <सब> 1,  p  '<सब> 2 , ... p <सब> s , बाकी निर्देशांक गैर-चक्रीय और निरूपित  ζ  =  ζ   '1 ,'   '<उप> 1 , ...,  ζ <सब> n - s  , उन्हें  routhian '' का परिचय देकर हटाया जा सकता है:

जो चक्रीय निर्देशांक  q  के लिए 2 '' हैमिल्टनियन समीकरणों के एक सेट की ओर जाता है,

और  n  -    'गैर -चक्रीय निर्देशांक में lagrangian समीकरण  ζ  '।

इस तरह से सेट करें, हालांकि राउथियन में हैमिल्टनियन का रूप है, यह स्वतंत्रता के  n  -                                 होता है।

निर्देशांक  q  को चक्रीय होने की आवश्यकता नहीं है, जिसके बीच का विभाजन है कि समन्वय हैमिल्टनियन समीकरणों में प्रवेश करता है और जो लैग्रैन्जियन समीकरणों में प्रवेश करते हैं, वे मनमाना हैं।यह केवल हैमिल्टनियन समीकरणों को चक्रीय निर्देशांक को हटाने के लिए सुविधाजनक है, गैर चक्रीय निर्देशांक को गति के लैग्रैन्जियन समीकरणों के लिए छोड़ देता है।

अपीलीय यांत्रिकी
  अपील के समीकरण   सामान्यीकृत त्वरण शामिल हैं, सामान्यीकृत निर्देशांक के दूसरी बार डेरिवेटिव:

साथ ही सामान्यीकृत बलों ने डी'एलबर्ट के सिद्धांत में ऊपर उल्लेख किया है।समीकरण हैं

कहाँ पे

 k  कण का त्वरण है, दूसरी बार इसकी स्थिति वेक्टर का व्युत्पन्न है।प्रत्येक त्वरण  a  <सब>  k  को सामान्यीकृत त्वरण  α <सब> r   के संदर्भ में व्यक्त किया गया है, इसी तरह प्रत्येक  r  <सब> k  सामान्यीकृत निर्देशांक 'Q <सब> r ' 'के संदर्भ में व्यक्त किया गया है।

शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत के लिए एक्सटेंशन

 * LAGRANGIAN फील्ड थ्योरी

सामान्यीकृत निर्देशांक असतत कणों पर लागू होते हैं।  N   स्केलर फील्ड  s  '<सब> i '  ( r ,  t ) जहाँ 'i' '= 1, 2, ...' 'N' ',    lagrangian घनत्व   इन क्षेत्रों और उनके स्थान और समय डेरिवेटिव का एक कार्य है, और संभवतः अंतरिक्ष और समय खुद को समन्वित करता है:  \ mathcal {l} = \ mathcal {l} (\ phi_1, \ phi_2, \ dots, \ nabla \ phi_1, \ nabla \ phi_2, \ dots, \ partial_t \ phi_1, \ partial_t \ phi_1 \ ldots, \ mathbf {r}, t) \, $$ और Euler -Lagrange समीकरणों में क्षेत्रों के लिए एक एनालॉग है:  \ आंशिक_ \ mu \ बाएं (\ frac {\ आंशिक \ mathcal {l}} {\ आंशिक (\ आंशिक_ \ mu \ phi_i)} \ _ \ _ } {\ आंशिक \ phi_i} \ ,, जहां  '<उप> μ ' ' 4-ग्रेडिएंट  को दर्शाता है और   सारांश कन्वेंशन  का उपयोग किया गया है।  एन  स्केलर फील्ड्स के लिए, ये लैग्रैन्जियन फील्ड समीकरण  एन '' के दूसरे ऑर्डर आंशिक अंतर समीकरणों का एक सेट हैं, जो सामान्य रूप से युग्मित और नॉनलाइनर होंगे।

इस स्केलर फील्ड फॉर्मुलेशन को  वेक्टर फील्ड  एस,   टेंसर फील्ड  एस, और   स्पिनर फील्ड  एस तक बढ़ाया जा सकता है।

Lagrangian Lagrangian घनत्व का  वॉल्यूम इंटीग्रल  है  l = \ int_ \ mathcal {v} \ mathcal {l} \, dv \,

मूल रूप से शास्त्रीय क्षेत्रों के लिए विकसित किया गया है, उपरोक्त सूत्रीकरण शास्त्रीय, क्वांटम, और सापेक्षतावादी स्थितियों में सभी भौतिक क्षेत्रों पर लागू होता है: जैसे कि   न्यूटोनियन ग्रेविटी,   क्लासिकल इलेक्ट्रोमैग्नेटिज़्म ,   सामान्य रिलेटिविटी , और   क्वांटमफील्ड थ्योरी ।यह सही फ़ील्ड समीकरण उत्पन्न करने के लिए सही lagrangian घनत्व का निर्धारण करने का सवाल है।


 * हैमिल्टन फील्ड थ्योरी

संबंधित गति क्षेत्र घनत्व  n  स्केलर फ़ील्ड्स  '<सब> i ' '( r ,' 't' ') के लिए संयुग्मित हैं   \ pi_i (\ mathbf {r}, t) = \ frac {\ _ आंशिक \ mathcal {l}} {\ _ आंशिक \ dot {\ phi} _i} \ __i \ eciv \ frac {\ आंशिक \ phi_i} {\ आंशिक t} जहां इस संदर्भ में ओवरडॉट एक आंशिक समय व्युत्पन्न को दर्शाता है, कुल समय व्युत्पन्न नहीं। हैमिल्टनियन घनत्व  $$\mathcal{H}$$ यांत्रिकी के साथ सादृश्य द्वारा परिभाषित किया गया है:  \ mathcal {h} (\ phi_1, \ phi_2, \ ldots, \ pi_1, \ pi_2, \ ldots, \ mathbf {r}, t) = \ sum_ {i = 1}^n \ dot{\ phi} _i (\ mathbf {r}, t) \ pi_i (\ mathbf {r}, t) - \ mathcal {l} \,

गति के समीकरण हैं:  \ dot {\ phi} _i = +\ frac {\ delta \ mathcal {h}} {\ delta \ pi_i} \, \ quad \ dot {\ pi} _i = - \ _ \ _delta \ mathcal {h}} {\ delta \ phi_i} \ ,, जहां  वैरिएशनल डेरिवेटिव  \ frac {\ delta} {\ delta \ phi_i} = \ frac {\ partial} {\ _ आंशिक \ phi_i}\ phi_i)} केवल आंशिक डेरिवेटिव के बजाय उपयोग किया जाना चाहिए। एन  फ़ील्ड के लिए, ये हैमिल्टनियन फील्ड समीकरण 2n  का एक सेट है, जो आंशिक रूप से आंशिक अंतर समीकरणों का है, जो सामान्य रूप से युग्मित और nonlinear होगा।

फिर, हैमिल्टनियन घनत्व का वॉल्यूम अभिन्न है हैमिल्टनियन है  h = \ int_ \ mathcal {v} \ mathcal {h} \, dv \,

समरूपता, संरक्षण, और नूथर के प्रमेय

 * समरूपता परिवर्तन शास्त्रीय अंतरिक्ष और समय में

प्रत्येक परिवर्तन को एक ऑपरेटर द्वारा वर्णित किया जा सकता है (यानी स्थिति पर कार्य करने वाला कार्य  r  या गति  p  चर उन्हें बदलने के लिए)।निम्नलिखित मामले हैं जब ऑपरेटर  r  या  p  नहीं बदलता है, यानी समरूपता {| class = wikitable | - तूपरिवर्तन तूऑपरेटर तूपद तूगति | - |    ट्रांसलेशनल समरूपता | $$X(\mathbf{a})$$ |   समय अनुवाद | $$U(t_0)$$ |   रोटेशनल इनवेरियन | $$R(\mathbf{\hat{n}},\theta)$$ |   गैलीलियन परिवर्तन  एस | $$G(\mathbf{v})$$ |    समता | $$P$$ |   टी-समरूपता | $$T$$
 * $$\mathbf{r}\rightarrow \mathbf{r} + \mathbf{a}$$
 * $$\mathbf{p}\rightarrow \mathbf{p}$$
 * $$\mathbf{r}(t)\rightarrow \mathbf{r}(t+t_0)$$
 * $$\mathbf{p}(t)\rightarrow \mathbf{p}(t+t_0)$$
 * $$\mathbf{r}\rightarrow R(\mathbf{\hat{n}},\theta)\mathbf{r}$$
 * $$\mathbf{p}\rightarrow R(\mathbf{\hat{n}},\theta)\mathbf{p}$$
 * $$\mathbf{r}\rightarrow \mathbf{r} + \mathbf{v}t$$
 * $$\mathbf{p}\rightarrow \mathbf{p} + m\mathbf{v}$$
 * $$\mathbf{r}\rightarrow -\mathbf{r}$$
 * $$\mathbf{p}\rightarrow -\mathbf{p}$$
 * $$\mathbf{r}\rightarrow \mathbf{r}(-t)$$
 * $$\mathbf{p}\rightarrow -\mathbf{p}(-t)$$
 * }

जहां  r  ( n̂ , θ)  रोटेशन मैट्रिक्स  है, जो   यूनिट वेक्टर   n̂  और कोण θ द्वारा परिभाषित एक अक्ष के बारे में है।


 * नूथर का प्रमेय

नोथर के प्रमेय में कहा गया है कि कार्रवाई का   निरंतर  समरूपता परिवर्तन एक    संरक्षण कानून  से मेल खाता है, अर्थात् कार्रवाई (और इसलिए लैग्रैजियन) एक   द्वारा एक परिवर्तन के तहत नहीं बदलती है।पैरामीटर   S :  l [q (s, t), \ dot {q} (s, t)] = l [q (t), \ dot {q} (t)] Lagrangian  S  से स्वतंत्र एक ही गति का वर्णन करता है, जो लंबाई, रोटेशन का कोण, या समय हो सकता है। Q  के लिए संबंधित मोमेंट का संरक्षण किया जाएगा