अतिसूक्ष्मनिस्यंदक समुच्चय

समुच्चय सिद्धान्त के गणितीय क्षेत्र में, समुच्चय $$X$$ पर एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक समुच्चय $$X$$ पर एक अधिकतम निस्पंदन होता है। दूसरे शब्दों में, यह $$X$$ के उपसमुच्चय का संग्रह है जो $$X$$ पर निस्पंदन की परिभाषा को संतुष्ट करता है और यह समावेशन के संबंध में अधिकतम है, इस अर्थ में कि $$X$$ के उपसमुच्चय का एक बड़ा संग्रह उपस्थित नहीं है जो एक निस्पंदन भी है। (उपरोक्त में, परिभाषा के अनुसार एक समुच्चय पर एक निस्पंदन में रिक्त समुच्चय नहीं होता है।) समतुल्य रूप से, समुच्चय $$X$$ पर एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक को गुण के साथ $$X$$ पर एक निस्पंदन के रूप में वर्णित किया जा सकता है कि $$X$$ के हर उपसमुच्चय $$A$$ के लिए या तो $$A$$ या इसका पूरक $$X$$\$$A$$ अतिसूक्ष्मनिस्यंदक से संबंधित है। समुच्चय पर अतिसूक्ष्मनिस्यंदक आंशिक रूप से क्रमित किए गए समुच्चय पर अतिसूक्ष्मनिस्यंदक का एक महत्वपूर्ण विशेष उदाहरण है, जहां आंशिक रूप से क्रम किए गए समुच्चय में घात समुच्चय $$\wp(X)$$ होता है और आंशिक क्रम उपसमुच्चय समावेशन ⊆ होता है।

एक समुच्चय X पर एक सांसारिक प्रकार के अतिसूक्ष्मनिस्यंदक एक बिंदु x∈X पर प्रमुख निस्पंदन हैं। एक समुच्चय $$X$$ पर एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक $$U$$ जो एक बिंदु पर सिद्धांत नहीं है, जरूरी मुक्त है, या समकक्ष रूप से इसमें फ्रेचेट निस्पंदन सम्मलित होना चाहिए (जिसका अर्थ है कि $$X$$ अनंत होना चाहिए)। किसी भी अनंत समुच्चय पर मुक्त अतिसूक्ष्मनिस्यंदक का अस्तित्व अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा द्वारा निहित है, जिसे ZFC में सिद्ध किया जा सकता है। दूसरी ओर, एक समुच्चय पर एक मुक्त अतिसूक्ष्मनिस्यंदक का एक स्पष्ट उदाहरण बनाना असंभव है, और वास्तव में ZF के प्रतिरूप उपस्थित हैं जहां एक समुच्चय पर प्रत्येक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक सिद्धांत है।

अतिसूक्ष्मनिस्यंदक के समुच्चय सिद्धांत, प्रतिरूप सिद्धांत और सांस्थिति में कई अनुप्रयोग हैं।

परिभाषाएँ
एक स्वेच्छाचारी समुच्चय $$X$$ को देखते हुए, $$X$$ पर एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक $$X$$ के समुच्चय का एक गैर-रिक्त वर्ग $$U$$ है जैसे कि: गुण (1), (2), और (3) के परिभाषित गुण हैं।  कुछ लेखकों ने  निस्पंदन  की अपनी परिभाषा में गैर-अपभ्रष्टता (जो उपरोक्त गुण (1) है) को सम्मलित नहीं करते हैं। हालांकि,  अतिसूक्ष्मनिस्यंदक  (और पूर्वनिस्यंदक और निस्पंदन उपाधार की भी) की परिभाषा में परिभाषित स्थिति के रूप में हमेशा गैर-अपभ्रष्टता सम्मलित होता है। इस लेख के लिए जरूरी है कि सभी निस्पंदन उचित हों, हालांकि जोर देने के लिए निस्पंदन को  उचित  के रूप में वर्णित किया जा सकता है।
 * 1) या : रिक्त समुच्चय $$U$$ का तत्व नहीं हैं।
 * अगर $$A \in U$$ और अगर $$B \subseteq X$$ का कोई अधिसमुच्चय है $$A$$ (अर्थात, अगर $$A \subseteq B \subseteq X$$) तो $$B \in U$$
 * अगर $$A$$ और $$B$$, $$U$$ के तत्व हैं तो उनका प्रतिच्छेदन $$A \cap B$$ हैं।
 * 1) अगर $$A \subseteq X$$ तो कोई $$A$$ या इसके सापेक्ष पूरक $$X \setminus A$$, $$U$$ का एक तत्व हैं।

एक निस्पंदन उपाधार समुच्चय का एक गैर-रिक्त वर्ग है जिसमें परिमित प्रतिच्छेद गुण होता है (अर्थात सभी परिमित प्रतिच्छेद गैर-रिक्त होते हैं)। समतुल्य रूप से, एक निस्पंदन उपाधार समुच्चय का एक गैर-रिक्त वर्ग है जो कुछ (उचित) निस्पंदन में निहित है। किसी दिए गए निस्पंदन उपाधार वाले सबसे छोटे ($$\subseteq$$ के सापेक्ष) निस्पंदन को निस्पंदन उपाधार द्वारा उत्पन्न कहा जाता है।

समुच्चय $$P$$ के वर्ग के $$X$$ में ऊपर की ओर बंद होना समुच्चय है
 * $$P^{\uparrow X} := \{S : A \subseteq S \subseteq X \text{ for some } A \in P\}.$$

पूर्वनिस्यंदक या निस्यंदक आधार एक गैर-रिक्त और उचित (अर्थात $$\varnothing \not\in P$$) समुच्चय $$P$$ का वर्ग है जो नीचे की ओर निर्देशित है, जिसका अर्थ है कि यदि $$B, C \in P$$ तो कुछ $$A \in P$$ उपस्थित है जैसे कि $$A \subseteq B \cap C$$ समान रूप से, पूर्वनिस्यंदक समुच्चय $$P$$ का कोई भी वर्ग है जिसका ऊपर की ओर संवरक $$P^{\uparrow X}$$ एक निस्यंदक है, इस स्थिति में इस निस्यंदक को $$P$$ द्वारा उत्पन्न निस्यंदक कहा जाता है और $$P$$ को $$P^{\uparrow X}$$ के लिए एक निस्पंदन आधार कहा जाता है।

समुच्चय $$P$$ के वर्ग का $$X$$ में द्वैत समुच्चय $$X \setminus P := \{X \setminus B : B \in P\}$$ है। उदाहरण के लिए, घात समुच्चय का दोहरा $$\wp(X)$$ स्वयं है: $$X \setminus \wp(X) = \wp(X)$$ है। समुच्चय का एक वर्ग $$X$$ पर एक उचित निस्यंदक है अगर और केवल अगर इसकी दोहरी $$X$$ पर एक उचित आदर्श (समुच्चय सिद्धांत) है ("उचित" का अर्थ घात समुच्चय के समान नहीं है)।

अल्ट्रा पूर्वनिस्यंदक के लिए सामान्यीकरण
$$X$$ के उपसमुच्चय के एक वर्ग $$U \neq \varnothing$$ को अल्ट्रा कहा जाता है अगर $$\varnothing \not\in U$$ और निम्नलिखित समकक्ष प्रतिबंध में से कोई भी संतुष्ट है:


 * 1) प्रत्येक समुच्चय $$S \subseteq X$$ के लिए कुछ समुच्चय $$B \in U$$ ऐसा है कि $$B \subseteq S$$ या $$B \subseteq X \setminus S$$ (या समतुल्य, जैसे कि $$B \cap S$$ समान $$B$$ या $$\varnothing$$ है)।
 * 2) प्रत्येक समुच्चय $$S \subseteq {\textstyle\bigcup\limits_{B \in U}} B$$ के लिए  कुछ समुच्चय $$B \in U$$ ऐसे उपस्थित है कि $$B \cap S$$ सेक्वल $$B$$ या $$\varnothing$$ है।                                                                                                                                                                                                                        यहाँ, $$ {\textstyle\bigcup\limits_{B \in U}} B$$ को $$U$$ में सभी समुच्चयों के संयोजन के रूप में परिभाषित किया गया है।                                                                                                                                                                                                                               $$U$$ अल्ट्रा है" का यह लक्षण वर्णन समुच्चय $$X$$ पर निर्भर नहीं करता है, इसलिए अल्ट्रा'' शब्द का उपयोग करते समय समुच्चय $$X$$ का उल्लेख करना वैकल्पिक है।
 * 3) प्रत्येक समुच्चय $$S$$ के लिए (जरूरी नहीं कि $$X$$ का उपसमुच्चय भी हो) कुछ समुच्चय $$B \in U$$ ऐसे उपस्तिथ हैं कि $$B \cap S$$ बराबर $$B$$ या $$\varnothing$$ है।                                                                                                          अगर $$U$$ इस प्रतिबंध को संतुष्ट करता है तो प्रत्येक $$V \supseteq U$$ भी करता है। विशेष रूप से, एक समुच्चय $$V$$ अल्ट्रा है अगर और केवल अगर $$\varnothing \not\in V$$ और $$V$$ में समुच्चय के कुछ अल्ट्रा वर्ग के उपसमुच्चय के रूप में सम्मलित हैं।

एक निस्यंदक उपाधार जो अल्ट्रा है, अनिवार्य रूप से एक पूर्वनिस्यंदक है।

अल्ट्रा गुण का उपयोग अब अतिसूक्ष्मनिस्यंदक और अल्ट्रा पूर्वनिस्यंदक दोनों को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है:


 * एक एक पूर्वनिस्यंदक है जो अल्ट्रा है। समान रूप से, यह एक निस्पंदन उपाधार है जो अल्ट्रा है।


 * $$X$$ पर एक $$X$$ पर एक (उचित) निस्यंदक है जो अल्ट्रा है। समान रूप से, यह $$X$$ कोई निस्यंदक है जो अल्ट्रा पूर्वनिस्यंदक द्वारा उत्पन्न होता है।

अधिकतम पूर्वनिस्यंदक के रूप में अल्ट्रा पूर्वनिस्यंदक
"अधिकतमता" के संदर्भ में अल्ट्रा पूर्वनिस्यंदक को चिह्नित करने के लिए, निम्नलिखित संबंध की आवश्यकता है।


 * समुच्चय $$M$$ और $$N$$ के दो वर्गों को देखते हुए, वर्ग $$M$$ को $$N$$ की तुलना में स्थूल कहा जाता है, और $$N$$, $$M$$ से श्रेष्ठ और अधीनस्थ है, $$M \leq N$$ या $N ⊢ M$ लिखा जाता है, यदि प्रत्येक $$C \in M$$ के लिए, कुछ $$F \in N$$ ऐसा है कि $$F \subseteq C$$ है। $$M \leq N$$ और $$N \leq M$$ होने पर वर्ग $$M$$ और $$N$$ को समतुल्य कहा जाता है। वर्ग $$M$$ और $$N$$ तुलनीय हैं यदि इनमें से एक समुच्चय दूसरे से सूक्ष्मतर है।

अधीनता संबंध, अर्थात् $$\,\geq,\,$$ एक पूर्व अनुक्रम है इसलिए "समतुल्य" की उपरोक्त परिभाषा एक तुल्यता संबंध बनाती है। अगर $$M \subseteq N$$ तो $$M \leq N$$ लेकिन इसका विलोम सामान्य रूप से मान्य नहीं है। हालांकि, यदि $$N$$ ऊपर की ओर संवृत है, जैसे कि एक निस्यंदक, तो $$M \leq N$$ अगर और केवल अगर $$M \subseteq N$$ है। प्रत्येक पूर्वनिस्यंदक उस निस्यंदक के समतुल्य होता है जो वह उत्पन्न करता है। इससे पता चलता है कि निस्यंदक के लिए समुच्चय के समतुल्य होना संभव है जो निस्यंदक नहीं हैं।

यदि समुच्चय $$M$$ और $$N$$ के दो वर्ग समतुल्य हैं तो या तो दोनों $$M$$ और $$N$$ दोनों अल्ट्रा हैं (प्रत्यक्ष पूर्वनिस्यंदक, निस्यंदक उपाधार) या अन्यथा उनमें से कोई भी अल्ट्रा नहीं है (प्रतिक्रिया एक पूर्वनिस्यंदक, एक निस्यंदक उपाधार)। विशेष रूप से, यदि निस्यंदक उपाधार भी पूर्वनिस्यंदक नहीं है, तो यह उस निस्यंदक या पूर्वनिस्यंदक के समतुल्य नहीं है जो इसे उत्पन्न करता है। अगर $$M$$ और $$N$$ दोनों $$X$$ पर निस्पंदन हैं तो $$M$$ और $$N$$ समतुल्य हैं अगर और केवल अगर $$M = N$$ हैं। यदि एक उचित निस्पंदन (प्रतिक्रिया अतिसूक्ष्मनिस्यंदक) समुच्चय $$M$$ के वर्ग के समतुल्य है तो $$M$$ आवश्यक रूप से एक पूर्वनिस्यंदक (प्रतिक्रिया अल्ट्रा पूर्वनिस्यंदक) है। निम्नलिखित लक्षण वर्णन का उपयोग करते हुए, केवल निस्पंदन (प्रतिक्रिया अतिसूक्ष्मनिस्यंदक) और अधीनता की अवधारणा का उपयोग करके पूर्वनिस्यंदक (प्रतिक्रिया अल्ट्रा पूर्वनिस्यंदक) को परिभाषित करना संभव है:


 * समुच्चय का एक स्वेच्छाचारी वर्ग एक पूर्वनिस्यंदक है अगर और केवल यह एक (उचित) निस्यंदक के समतुल्य है।
 * समुच्चय का एक स्वेच्छाचारी वर्ग एक अल्ट्रा पूर्वनिस्यंदक है अगर और केवल यह एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक के समतुल्य है।
 * $$X$$ पर एक अधिकतम पूर्वनिस्यंदक एक पूर्वनिस्यंदक $$U \subseteq \wp(X)$$ है जो निम्न समतुल्य प्रतिबंध में से किसी को भी संतुष्ट करता हो:
 * U अल्ट्रा है।
 * $$U$$$$\,\leq$$ के अधिकतम में $$\operatorname{Prefilters}(X)$$ पर अधिकतम है, जिसका अर्थ है $$P \in \operatorname{Prefilters}(X)$$ $$U \leq P$$ को संतुष्ट करता है तो $$P \leq U$$ है।
 * $$U$$ के ठीक अधीनस्थ कोई पूर्वनिस्यंदक नहीं है।
 * यदि एक (उचित) निस्यंदक $$F$$ $$X$$ पर $$U \leq F$$ तो $$F \leq U$$ को संतुष्ट करता है।
 * $$U$$ द्वारा उत्पन्न $$X$$ निस्यंदक अल्ट्रा है।

विवरण
रिक्त समुच्चय पर कोई अतिसूक्ष्मनिस्यंदक नहीं है, इसलिए यह मान लिया गया है कि $$X$$ रिक्त नहीं है।

$$X$$ पर एक निस्पंदन उपाधार $$U$$, $$X$$ पर एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक है यदि और केवल यदि निम्न समतुल्य प्रतिबंध में से कोई भी हो:


 * 1) किसी $$S \subseteq X$$ के लिए, या तो $$S \in U$$ या $$X \setminus S \in U.$$
 * 2) $$U$$ $$X$$ पर एक अधिकतम निस्यंदक उपाधार है, जिसका अर्थ है कि यदि $$F$$ $$X$$ पर कोई निस्यंदक उपाधार है तो $$U \subseteq F$$ $$U = F$$ का तात्पर्य है

$$X$$ पर एक (उचित) निस्यंदक $$U$$, $$X$$ पर एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक है यदि और केवल यदि निम्न समतुल्य प्रतिबंध में से कोई भी हो:


 * 1) U अल्ट्रा है।
 * 2) $$U$$ एक अल्ट्रा पूर्वनिस्यंदक द्वारा उत्पन्न होता है;
 * 3) किसी उपसमुच्चय $$S \subseteq X,$$ $$S \in U$$ या $$X \setminus S \in U$$ के लिए।                                                                                                                                                                                                                                तो एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक $$U$$ प्रत्येक $$S \subseteq X$$ के लिए निश्चित करता है कि क्या $$S$$ बड़ा है (अर्थात $$S \in U$$) या छोटा (अर्थात $$X \setminus S \in U$$)।
 * 4) प्रत्येक उपसमुच्चय $$A \subseteq X$$ के लिए, $$A$$, $$U$$ में है या ($$X \setminus A$$) है।
 * 5) $$U \cup (X \setminus U) = \wp(X)$$ इस प्रतिबंध को इस प्रकार दोहराया जा सकता है: $$\wp(X)$$ को $$U$$ और इसके दोहरे $$X \setminus U$$ द्वारा विभाजित किया गया है।                                                                                             समुच्चय $$P$$ और $$X \setminus P$$ $$X$$ पर सभी पूर्वनिस्यंदक $$P$$ के लिए असंयुक्त हैं।
 * 6) $$\wp(X) \setminus U = \left\{ S \in \wp(X) : S \not\in U \right\}$$ $$X$$ पर एक आदर्श हैं।
 * 7) किसी भी परिमित वर्ग के लिए $$S_1, \ldots, S_n$$ $$X$$ के उपसमुच्चय (जहाँ $$n \geq 1$$), यदि $$S_1 \cup \cdots \cup S_n \in U$$ तो कुछ सूचकांक $$i$$ के लिए $$S_i \in U$$ है।                                                                                                  शब्दों में, एक बड़ा समुच्चय उन समुच्चयों का परिमित संघ नहीं हो सकता है जिनमें से कोई भी बड़ा नहीं है।
 * 8) किसी भी $$R, S \subseteq X$$ के लिए, यदि $$R \cup S = X$$ तो $$R \in U$$ या $$S \in U$$ है।
 * 9) किसी भी $$R, S \subseteq X$$ के लिए, यदि $$R \cup S \in U$$ फिर $$R \in U$$ या $$S \in U$$ (इस गुण वाले निस्यंदक को कहा जाता है।
 * 10) किसी भी $$R, S \subseteq X$$ के लिए, यदि $$R \cup S \in U$$ और $$R \cap S = \varnothing$$ तो या तो $$R \in U$$ या $$S \in U$$ है।
 * 11) $$U$$ एक अधिकतम निस्यंदक है; अर्थात्, यदि $$F$$ $$X$$ एक निस्पंदन है जैसे कि $$U \subseteq F$$ तो $$U = F$$ है। समान रूप से, $$U$$ एक अधिकतम निस्यंदक है यदि $$X$$ पर कोई निस्यंदक $$F$$ नहीं है जिसमें $$U$$ उचित उपसमुच्चय के रूप में होता है (अर्थात, कोई भी निस्यंदक $$U$$ से अधिक सूक्ष्म नहीं है)।

ग्रिल्स और निस्पंदन-ग्रिल्स
अगर $$\mathcal{B} \subseteq \wp(X)$$ तो पर इसका ग्रिल वर्ग है $$\mathcal{B}^{\# X} := \{S \subseteq X ~:~ S \cap B \neq \varnothing \text{ for all } B \in \mathcal{B}\}$$ जहां संदर्भ से $$X$$ स्पष्ट होने पर $$\mathcal{B}^{\#}$$ लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, $$\varnothing^{\#} = \wp(X)$$ और अगर $$\varnothing \in \mathcal{B}$$ तो $$\mathcal{B}^{\#} = \varnothing$$ है। अगर $$\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}$$ तो $$\mathcal{B}^{\#} \subseteq \mathcal{A}^{\#}$$ और इसके अलावा, अगर $$\mathcal{B}$$ एक निस्यंदक उपाधार है तो $$\mathcal{B} \subseteq \mathcal{B}^{\#}$$ है। ग्रिल $$\mathcal{B}^{\# X}$$ $$X$$ में ऊपर की ओर बंद है अगर और केवल अगर $$\varnothing \not\in \mathcal{B},$$ जिसे आगे से मान लिया जाएगा। इसके अतिरिक्त, $$\mathcal{B}^{\#\#} = \mathcal{B}^{\uparrow X}$$ ताकि $$\mathcal{B}$$ ऊपर की ओर $$X$$ में बंद हो और केवल अगर $$\mathcal{B}^{\#\#} = \mathcal{B}$$ है।

$$X$$ पर निस्पंदन की ग्रिल को $$X$$ पर निस्पंदन-ग्रिल कहा जाता है। किसी भी $$\varnothing \neq \mathcal{B} \subseteq \wp(X)$$ के लिए, $$\mathcal{B}$$, $$X$$ पर एक निस्पंदन-ग्रिल है अगर और केवल अगर (1) $$\mathcal{B}$$, $$X$$ में ऊपर की ओर बंद है और (2) सभी समुच्चय $$R$$ और $$S$$ के लिए अगर $$R \cup S \in \mathcal{B}$$ तब $$R \in \mathcal{B}$$ या $$S \in \mathcal{B}$$ है। ग्रिल संचालन  $$\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^{\# X}$$ द्विभाजन प्रेरित करता है।
 * $${\bull}^{\# X} ~:~ \operatorname{Filters}(X) \to \operatorname{FilterGrills}(X)$$

जिसका व्युत्क्रम भी $$\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^{\# X}$$ द्वारा दिया गया है। अगर $$\mathcal{F} \in \operatorname{Filters}(X)$$ तो $$\mathcal{F}$$, $$X$$ एक निस्पंदन-ग्रिल चालू है  अगर और केवल अगर $$\mathcal{F} = \mathcal{F}^{\# X},$$ या समकक्ष, अगर और केवल अगर $$\mathcal{F}$$ $$X$$ पर एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक है।  अर्थात, $$X$$ पर एक निस्पंदन एक निस्पंदन-ग्रिल है अगर और केवल अगर यह अल्ट्रा है। किसी भी गैर-रिक्त $$\mathcal{F} \subseteq \wp(X)$$ के लिए, $$\mathcal{F}$$, $$X$$ पर एक निस्पंदन और $$X$$ पर निस्यंदक-ग्रिल दोनों है  अगर और केवल अगर (1) $$\varnothing \not\in \mathcal{F}$$ और (2) सभी $$R, S \subseteq X$$ के लिए, निम्नलिखित समतुल्यता हैं:
 * $$R \cup S \in \mathcal{F}$$ यदि और केवल यदि $$R, S \in \mathcal{F}$$ यदि और केवल यदि $$R \cap S \in \mathcal{F}$$ है।

मुक्त या सिद्धांत
यदि $$P$$ समुच्चयों का कोई गैर-रिक्त वर्ग नहीं है तो $$P$$ का कर्नेल $$P$$ में सभी समुच्चयों का प्रतिच्छेदन है: $$\operatorname{ker} P := \bigcap_{B \in P} B.$$ समुच्चय $$P$$ का एक गैर-रिक्त वर्ग कहलाता है:


 * अगर $$\operatorname{ker} P = \varnothing$$ और अन्यथा (अर्थात, यदि $$\operatorname{ker} P \neq \varnothing$$)
 * अगर $$\operatorname{ker} P \in P.$$
 * एक बिंदु पर मुख्य अगर $$\operatorname{ker} P \in P$$ और $$\operatorname{ker} P$$ एक सिंगलटन समुच्चय है; इस प्रकरण में, अगर $$\operatorname{ker} P = \{x\}$$ तो $$P$$ को $$x$$ पर मुख्य कहा जाता है।                                                                                                यदि समुच्चय $$P$$ का वर्ग निश्चित हो गया है तो $$P$$ अल्ट्रा है अगर और केवल अगर $$P$$ का कुछ तत्व सिंगलटन समुच्चय है, तो $$P$$ अनिवार्य रूप से एक पूर्वनिस्यंदक होगा। प्रत्येक प्रमुख पूर्वनिस्यंदक निश्चित है, इसलिए एक प्रमुख पूर्वनिस्यंदक $$P$$ अल्ट्रा है अगर और केवल अगर $$\operatorname{ker} P$$ एक सिंगलटन समुच्चय है। एक सिंगलटन समुच्चय अल्ट्रा है अगर और केवल अगर इसका एकमात्र तत्व भी सिंगलटन समुच्चय है।

अगले प्रमेय से पता चलता है कि प्रत्येक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक दो श्रेणियों में से एक में आता है: या तो यह मुक्त है या फिर यह एक बिंदु से उत्पन्न एक प्रमुख निस्यंदक है।

$$

$$X$$ पर प्रत्येक निस्यंदक जो एक बिंदु पर प्रमुख है, एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक है, और यदि अतिरिक्त $$X$$ परिमित है, तो इनके अलावा $$X$$ पर कोई अतिसूक्ष्मनिस्यंदक नहीं हैं। विशेष रूप से, यदि एक समुच्चय $$X$$ परिमित गणनांक $$n < \infty$$ है, तो $$X$$ पर बिल्कुल $$n$$ अतिसूक्ष्मनिस्यंदक हैं और वे $$X$$ के प्रत्येक सिंगलटन उपसमुच्चय द्वारा उत्पन्न अतिसूक्ष्मनिस्यंदक हैं। परिणामस्वरूप, मुक्त अतिसूक्ष्मनिस्यंदक केवल एक अनंत समुच्चय पर ही उपस्थित हो सकते हैं।

उदाहरण, गुण, और पर्याप्त शर्तें
अगर $$X$$ एक अनंत समुच्चय है तो जितने अतिसूक्ष्मनिस्यंदक हैं उतने खत्म हो गए हैं $$X$$ के रूप में वहाँ के उपसमुच्चय के वर्ग हैं $$X;$$ स्पष्ट रूप से, अगर $$X$$ अनंत गणनांक है $$\kappa$$ फिर अतिसूक्ष्मनिस्यंदक का समुच्चय खत्म हो गया $$X$$ के समान गणनांक है $$\wp(\wp(X));$$ वह गणनांक $$2^{2^{\kappa}}.$$ अगर $$U$$ और $$S$$ ऐसे समुच्चय के वर्ग हैं $$U$$ अति है, $$\varnothing \not\in S,$$ और $$U \leq S,$$ तब $$S$$ अनिवार्य रूप से अति है। एक उपाधार निस्यंदक $$U$$ जो पूर्वनिस्यंदक नहीं है वह अल्ट्रा नहीं हो सकता; लेकिन इसके द्वारा उत्पन्न पूर्वनिस्यंदक और निस्यंदक के लिए अभी भी संभव है $$U$$ अति होना।

कल्पना करना $$U \subseteq \wp(X)$$ अति है और $$Y$$ एक समुच्चय है। निशान $$U\vert_Y := \{B \cap Y : B \in U\}$$ अल्ट्रा है अगर और केवल अगर इसमें रिक्त समुच्चय नहीं है। इसके अलावा, कम से कम एक समुच्चय $$U\vert_Y \setminus \{\varnothing\}$$ और $$U\vert_{X \setminus Y} \setminus \{\varnothing\}$$ अल्ट्रा होगा (यह परिणाम किसी भी परिमित विभाजन तक फैला हुआ है $$X$$). अगर $$F_1, \ldots, F_n$$ निस्पंदन लगे हैं $$X,$$ $$U$$ एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक चालू है $$X,$$ और $$F_1 \cap \cdots \cap F_n \leq U,$$ तो कुछ है $$F_i$$ जो संतुष्ट करता है $$F_i \leq U.$$ यह परिणाम निस्पंदन के अनंत वर्ग के लिए जरूरी नहीं है।

मानचित्र के नीचे छवि $$f : X \to Y$$ एक अल्ट्रा समुच्चय की $$U \subseteq \wp(X)$$ फिर से अल्ट्रा है और अगर $$U$$ एक अल्ट्रा पूर्वनिस्यंदक है तो ऐसा है $$f(U).$$ अति होने का गुण आक्षेपों के अंतर्गत संरक्षित रहता है। हालांकि, एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक का प्रीइमेज अनिवार्य रूप से अल्ट्रा नहीं है, भले ही नक्शा विशेषण न हो। उदाहरण के लिए, यदि $$X$$ एक से अधिक बिंदु हैं और यदि की सीमा है $$f : X \to Y$$ एक बिंदु के होते हैं $$\{ y \}$$ तब $$\{ y \}$$ एक अल्ट्रा पूर्वनिस्यंदक चालू है $$Y$$ लेकिन इसका प्रीइमेज अल्ट्रा नहीं है। वैकल्पिक रूप से, अगर $$U$$ में एक बिंदु द्वारा उत्पन्न एक प्रमुख निस्पंदन है $$Y \setminus f(X)$$ फिर की पूर्वकल्पना $$U$$ में रिक्त समुच्चय है और इसलिए यह अल्ट्रा नहीं है।

प्राथमिक निस्पंदन एक अनंत अनुक्रम से प्रेरित है, जिसके सभी बिंदु अलग हैं, है एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक। अगर $$n = 2,$$ तब $$U_n$$ के सभी उपसमुच्चयों वाले समुच्चय को दर्शाता है $$X$$ गणनांक होना $$n,$$ और अगर $$X$$ कम से कम सम्मलित है $$2 n - 1$$ ($$=3$$) अलग बिंदु, फिर $$U_n$$ अल्ट्रा है लेकिन यह किसी भी पूर्वनिस्यंदक में समाहित नहीं है। यह उदाहरण किसी भी पूर्णांक का सामान्यीकरण करता है $$n > 1$$ और भी $$n = 1$$ अगर $$X$$ एक से अधिक तत्व होते हैं। अल्ट्रा समुच्चय जो पूर्वनिस्यंदक भी नहीं हैं, उनका उपयोग शायद ही कभी किया जाता है।

हरएक के लिए $$S \subseteq X \times X$$ और हर $$a \in X,$$ होने देना $$S\big\vert_{\{a\} \times X} := \{y \in X ~:~ (a, y) \in S\}.$$ अगर $$\mathcal{U}$$ एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक चालू है $$X$$ फिर सभी का समुच्चय $$S \subseteq X \times X$$ ऐसा है कि $$\left\{a \in X ~:~ S\big\vert_{\{a\} \times X} \in \mathcal{U}\right\} \in \mathcal{U}$$ एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक चालू है $$X \times X.$$

मोनाड संरचना
किसी भी समुच्चय से संबद्ध ऑपरेटर $$X$$ के समुच्चय $$U(X)$$ सभी अतिसूक्ष्मनिस्यंदक पर $$X$$ एक मोनाड (श्रेणी सिद्धांत) बनाता है जिसे कहा जाता है. इकाई मानचित्र $$X \to U(X)$$ कोई तत्व भेजता है $$x \in X$$ द्वारा दिए गए प्रमुख अतिसूक्ष्मनिस्यंदक को $$x.$$ यह अतिसूक्ष्मनिस्यंदक मोनाड फिनसमुच्चय को समुच्चय की श्रेणी में सम्मलित करने का कोडेंसिटी मोनाड है, जो इस सन्यासी की वैचारिक व्याख्या करता है।

इसी तरह, ultraproduct  मोनाड समुच्चय के परिमित वर्ग की श्रेणी को समुच्चय के सभी वर्गों की श्रेणी में सम्मलित करने का कोडेन्सिटी मोनाड है। तो इस अर्थ में, अल्ट्राप्रोडक्ट स्पष्ट रूप से अपरिहार्य हैं।

अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा
अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा को पहली बार 1930 में अल्फ्रेड टार्स्की द्वारा सिद्ध किया गया था।

$$

अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन के बराबर है:

अल्ट्रानिस्यंदक लेम्मा का एक परिणाम यह है कि प्रत्येक निस्यंदक उसमें उपस्थित सभी अल्ट्रानिस्यंदक के प्रतिच्छेदन के बराबर होता है। अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा का उपयोग करके निम्नलिखित परिणाम सिद्ध किए जा सकते हैं। एक समुच्चय पर एक फ्री अतिसूक्ष्मनिस्यंदक उपस्थित है $$X$$ अगर और केवल अगर $$X$$ अनंत है। हर उचित निस्यंदक उसमें उपस्थित सभी अल्ट्रानिस्यंदक के प्रतिच्छेदन के बराबर होता है। चूंकि ऐसे निस्यंदक हैं जो अल्ट्रा नहीं हैं, इससे पता चलता है कि अल्ट्रानिस्यंदक के वर्ग के इंटरसेक्शन को अल्ट्रा नहीं होना चाहिए। समुच्चय का एक वर्ग $$\mathbb{F} \neq \varnothing$$ एक मुफ्त अतिसूक्ष्मनिस्यंदक तक बढ़ाया जा सकता है अगर और केवल अगर तत्वों के किसी परिमित वर्ग का प्रतिच्छेदन $$\mathbb{F}$$ अनंत है।
 * 1) एक समुच्चय पर हर पूर्वनिस्यंदक के लिए $$X,$$ एक अधिकतम पूर्वनिस्यंदक उपस्थित है $$X$$ उसके अधीन।
 * 2) एक समुच्चय पर हर उचित निस्यंदक उपाधार $$X$$ कुछ अतिसूक्ष्मनिस्यंदक ऑन में निहित है $$X.$$

ZF
के तहत अन्य बयानों से संबंध

इस पूरे खंड में, ZF ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय थ्योरी को संदर्भित करता है और ZFC, ZF को पसंद के Axiom (AC) के साथ संदर्भित करता है। अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा ZF से स्वतंत्र है। यही है, वहाँ मॉडल सिद्धांत उपस्थित है जिसमें ZF के स्वयंसिद्ध हैं लेकिन अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा नहीं है। ZF के ऐसे मॉडल भी उपस्थित हैं जिनमें हर अतिसूक्ष्मनिस्यंदक आवश्यक रूप से प्रमुख है।

प्रत्येक निस्यंदक जिसमें एक सिंगलटन समुच्चय होता है, अनिवार्य रूप से एक अल्ट्रानिस्यंदक होता है और दिया जाता है $$x \in X,$$ असतत अतिसूक्ष्मनिस्यंदक की परिभाषा $$\{S \subseteq X : x \in S\}$$ ZF से अधिक की आवश्यकता नहीं है। अगर $$X$$ परिमित है तो प्रत्येक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक एक बिंदु पर असतत निस्पंदन है; नतीजतन, मुफ्त अतिसूक्ष्मनिस्यंदक केवल अनंत समुच्चयों पर ही उपस्थित हो सकते हैं। विशेष रूप से, अगर $$X$$ परिमित है तो अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा को स्वयंसिद्ध ZF से सिद्ध किया जा सकता है। पसंद के स्वयंसिद्ध मान लेने पर अनंत समुच्चयों पर मुक्त अतिसूक्ष्मनिस्यंदक का अस्तित्व सिद्ध हो सकता है। अधिक आम तौर पर, अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा को पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है, जो संक्षेप में बताता है कि गैर-रिक्त समुच्चयों का कोई कार्टेशियन उत्पाद गैर-रिक्त है। जेडएफ के तहत, पसंद का स्वयंसिद्ध, विशेष रूप से, पसंद का अभिगृहीत # समतुल्य है (ए) ज़ोर्न लेम्मा, (बी) टाइकोनॉफ़ प्रमेय, (सी) वेक्टर आधार प्रमेय का कमजोर रूप (जो बताता है कि प्रत्येक वेक्टर अंतरिक्ष में एक है Hamel आधार), (d) सदिश आधार प्रमेय का प्रबल रूप, और अन्य कथन। हालांकि, अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा पसंद के स्वयंसिद्ध से सख्ती से कमजोर है। जबकि मुक्त अतिसूक्ष्मनिस्यंदक उपस्थित साबित हो सकते हैं, यह है मुक्त अतिसूक्ष्मनिस्यंदक (केवल ZF और अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा का उपयोग करके) का एक स्पष्ट उदाहरण बनाना संभव है; अर्थात् मुक्त अतिसूक्ष्मनिस्यंदक अमूर्त होते हैं। अल्फ्रेड टार्स्की ने साबित किया कि ZFC के तहत, एक अनंत समुच्चय पर सभी मुफ्त अतिसूक्ष्मनिस्यंदक के समुच्चय की प्रमुखता $$X$$ की गणनांक के बराबर है $$\wp(\wp(X)),$$ कहाँ $$\wp(X)$$ के घात समुच्चय को दर्शाता है $$X.$$ अन्य लेखकों ने इस खोज का श्रेय बेद्रिच पोस्पिसिल को दिया है (ग्रिगोरी स्प्रूस की लकड़ी और लियोनिद कांटोरोविच के संयोजन तर्क के बाद, फेलिक्स हॉसडॉर्फ द्वारा सुधार किया गया)।

जेडएफ के तहत, पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा और केरीन-मिलमैन प्रमेय दोनों को साबित करने के लिए किया जा सकता है; इसके विपरीत, ZF के तहत, Krein-Milman प्रमेय के साथ अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा पसंद के स्वयंसिद्ध को साबित कर सकता है।

ऐसे कथन जिनका अनुमान नहीं लगाया जा सकता
अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा एक अपेक्षाकृत कमजोर स्वयंसिद्ध है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित सूची में से प्रत्येक कथन कर सकते हैं ZF से एक साथ घटाया जाए  अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा:

 गणनीय समुच्चयों का एक गणनीय संघ एक गणनीय समुच्चय होता है। गणनीय समुच्चय (एसीसी) का एक्सिओम। द निर्भर पसंद का स्वयंसिद्ध (ADC). 

समतुल्य कथन
ZF के तहत, अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन के बराबर है:

 बूलियन प्रधान आदर्श प्रमेय (BPIT)। बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन का प्रतिनिधित्व प्रमेय। बूलियन स्पेस का कोई भी उत्पाद बूलियन स्पेस होता है। बूलियन प्राइम आइडियल एक्ज़िस्टेंस थ्योरम: प्रत्येक नॉनडीजेनरेट बूलियन बीजगणित का एक प्राइम आदर्श होता है। हॉसडॉर्फ स्पेस के लिए टाइकोनॉफ प्रमेय: कॉम्पैक्ट जगह  हॉसडॉर्फ स्पेस का कोई भी उत्पाद टोपोलॉजी कॉम्पैक्ट है। अगर $$\{ 0, 1 \}$$ असतत टोपोलॉजी के साथ किसी भी समुच्चय के लिए संपन्न है $$I,$$ उत्पाद स्थान $$\{0, 1\}^I$$ कॉम्पैक्ट स्पेस है।</li> बनच-अलाग्लु प्रमेय के निम्नलिखित संस्करणों में से प्रत्येक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा के बराबर है: <ol शैली="सूची-शैली-प्रकार:" निचला-लैटिन;> टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (टीवीएस) पर स्केलर-वैल्यू मैप्स का कोई सम-सतत समुच्चय कमजोर-कमजोर- * टोपोलॉजी में अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट होता है (अर्थात, यह कुछ कमजोर-* कॉम्पैक्ट समुच्चय में समाहित होता है)।</li> किसी टीवीएस में मूल के किसी भी पड़ोस का ध्रुवीय समुच्चय $$X$$ इसकी निरंतर दोहरी जगह का एक कमजोर-* कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय है।</li> किसी भी मानक स्थान के निरंतर दोहरे स्थान में बंद इकाई गेंद कमजोर-* कॉम्पैक्ट है। </ओल> </ली> एक टोपोलॉजिकल स्पेस $$X$$ कॉम्पैक्ट है अगर हर अतिसूक्ष्मनिस्यंदक चालू है $$X$$ किसी सीमा में समा जाता है।</li> एक टोपोलॉजिकल स्पेस $$X$$ कॉम्पैक्ट है अगर प्रत्येक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक ऑन $$X$$ किसी सीमा में समा जाता है। अल्ट्रानेट लेम्मा: हर नेट (गणित) में एक यूनिवर्सल सबनेट होता है। * परिभाषा के अनुसार, एक नेट (गणित) में $$X$$ एक कहा जाता है या ए  यदि प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए $$S \subseteq X,$$ नेट अंत में अंदर है $$S$$ या में $$X \setminus S.$$</ली> एक टोपोलॉजिकल स्पेस $$X$$ कॉम्पैक्ट है अगर और केवल अगर हर अल्ट्रानेट चालू है $$X$$ किसी सीमा में समा जाता है। एक अभिसरण स्थान $$X$$ कॉम्पैक्ट है अगर हर अतिसूक्ष्मनिस्यंदक चालू है $$X$$ अभिसरण।</li> एक समान स्थान कॉम्पैक्ट है यदि यह पूर्ण स्थान है और पूरी तरह से घिरा हुआ है।</li> स्टोन-चेक कॉम्पेक्टिफिकेशन प्रमेय।</li> संहतता प्रमेय के निम्नलिखित संस्करणों में से प्रत्येक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा के बराबर है: <ol शैली="सूची-शैली-प्रकार:" निचला-लैटिन;> अगर $$\Sigma$$ प्रथम-क्रम विधेय कलन का एक समुच्चय है | प्रथम-क्रम वाक्य (गणितीय तर्क) ऐसा है कि प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय $$\Sigma$$ एक मॉडल सिद्धांत है, फिर $$\Sigma$$ एक मॉडल है।</li> <li>अगर $$\Sigma$$ प्रस्तावक कलन का एक समुच्चय है | शून्य-क्रम के वाक्य ऐसे हैं कि प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय $$\Sigma$$ एक मॉडल है, फिर $$\Sigma$$ एक मॉडल है।</li> </ओल> <li>पूर्णता प्रमेय: यदि $$\Sigma$$ प्रोपोज़िशनल कैलकुलस का एक समुच्चय है | शून्य-क्रम वाक्य वाक्य-रचना के अनुरूप है, तो इसका एक मॉडल है (अर्थात, यह अर्थ की दृष्टि से सुसंगत है)।</li> <ली></ली> </ओल>
 * यह तुल्यता पसंद के अभिगृहीत (AC) के बिना ZF समुच्चय सिद्धांत में सिद्ध है।</li>
 * यदि आदर्श स्थान वियोज्य है तो अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा पर्याप्त है लेकिन इस कथन को सिद्ध करने के लिए आवश्यक नहीं है।</li>
 * शब्दों का जोड़ और केवल अगर इस कथन और इसके ठीक ऊपर वाले के बीच एकमात्र अंतर है।</li>
 * यदि शब्द और केवल यदि हटा दिए जाते हैं तो परिणामी कथन अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा के समतुल्य रहता है।</li>

कमजोर बयान
कोई भी बयान जो अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा (जेडएफ के साथ) से घटाया जा सकता है, कहा जाता है अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा की तुलना में। कमजोर कथन कहा जाता है अगर ZF के तहत, यह अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा के बराबर नहीं है। ZF के तहत, अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा का तात्पर्य निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन से है:

<ओल> <li>परिमित समुच्चय (एसीएफ) के लिए पसंद का सिद्धांत: दिया गया $$I \neq \varnothing$$ और एक वर्ग $$\left(X_i\right)_{i \in I}$$ गैर-रिक्त का समुच्चय, उनका उत्पाद $${\textstyle\prod\limits_{i \in I}} X_i$$ रिक्त नहीं है। </ली> <li>परिमित समुच्चयों का एक गणनीय समुच्चय संघ एक गणनीय समुच्चय होता है। <li>हैन-बनाक प्रमेय। * जेडएफ में, हैन-बनाक प्रमेय अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा से सख्ती से कमजोर है।</li> <li>बनाच-तर्स्की विरोधाभास। <li>हर समुच्चय रैखिक क्रम में हो सकता है।</li> <li>प्रत्येक क्षेत्र (गणित) में एक अद्वितीय बीजीय समापन होता है।</li> <li>अलेक्जेंडर उपाधार प्रमेय। </ली> <li>गैर-तुच्छ ultraproducts उपस्थित हैं।</li> <li>कमजोर अतिसूक्ष्मनिस्यंदक प्रमेय: एक मुक्त अतिसूक्ष्मनिस्यंदक उपस्थित है $$\N.$$ <li>प्रत्येक अनंत समुच्चय पर एक मुफ्त अतिसूक्ष्मनिस्यंदक उपस्थित है; </ली> </ओल>
 * हालांकि, अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा के साथ जेडएफ यह साबित करने के लिए बहुत कमजोर है कि एक गणनीय संघ समुच्चय एक गणनीय समुच्चय है।</li>
 * वास्तव में, जेडएफ के तहत, बनच-तर्स्की विरोधाभास बनच-तर्स्की विरोधाभास # बनच-तर्स्की और हान-बनाक हन-बनाक प्रमेय से, जो अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा से पूरी तरह कमजोर है।</li>
 * ZF के तहत, कमजोर अतिसूक्ष्मनिस्यंदक प्रमेय का अर्थ अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा नहीं है; यानी, यह अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा से सख्ती से कमजोर है।</li>
 * यह कथन वास्तव में अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा से सख्ती से कमजोर है।
 * अकेले ZF का मतलब यह भी नहीं है कि गैर-प्रमुख अतिसूक्ष्मनिस्यंदक उपस्थित है तय करना।

संपूर्णता
एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक की पूर्णता $$U$$ एक पावरसमुच्चय पर सबसे छोटी कार्डिनल संख्या κ होती है, जिसके κ तत्व होते हैं $$U$$ जिसका चौराहा नहीं है $$U.$$ अतिसूक्ष्मनिस्यंदक की परिभाषा का तात्पर्य है कि किसी भी पावरसमुच्चय अतिसूक्ष्मनिस्यंदक की पूर्णता कम से कम एलेफ-नॉट है।$$\aleph_0$$. एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक जिसकी पूर्णता है बजाय $$\aleph_0$$- अर्थात, तत्वों के किसी भी गणनीय संग्रह का प्रतिच्छेदन $$U$$ अभी भी अंदर है $$U$$— को गणनीय रूप से पूर्ण या σ-पूर्ण कहा जाता है।

गणनात्मक रूप से पूर्ण #प्रकार की पूर्णता और पावरसमुच्चय पर अतिसूक्ष्मनिस्यंदक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक का अस्तित्व हमेशा एक औसत दर्जे का कार्डिनल होता है।

Ordering on ultrafilters
(मैरी एलेन रुडिन द्वारा और हावर्ड जेरोम केसलर के नाम पर) पॉवरसमुच्चय अतिसूक्ष्मनिस्यंदक के वर्ग पर एक प्रस्ताव है जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: यदि $$U$$ एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक चालू है $$\wp(X),$$ और $$V$$ एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक ऑन $$\wp(Y),$$ तब $$V \leq {}_{RK} U$$ अगर कोई समारोह उपस्थित है $$f : X \to Y$$ ऐसा है कि
 * $$C \in V$$ अगर और केवल अगर $$f^{-1}[C] \in U$$

प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए $$C \subseteq Y.$$ अतिसूक्ष्मनिस्यंदक $$U$$ और $$V$$ कहा जाता है, निरूपित $U ≡_{RK} V$, अगर वहाँ समुच्चय उपस्थित हैं $$A \in U$$ और $$B \in V$$ और एक आपत्ति $$f : A \to B$$ जो ऊपर की शर्त को पूरा करता है। (अगर $$X$$ और $$Y$$ एक ही गणनांक है, फिक्स करके परिभाषा को सरल बनाया जा सकता है $$A = X,$$ $$B = Y.$$)

यह ज्ञात है कि ≡RK ≤ का कर्नेल (समुच्चय सिद्धांत) हैRK, यानी, वह $U ≡_{RK} V$ अगर और केवल अगर $$U \leq {}_{RK} V$$ और $$V \leq {}_{RK} U.$$

℘(ω)
पर अतिसूक्ष्मनिस्यंदक

कई विशेष गुण हैं जो एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक ऑन करते हैं $$\wp(\omega),$$ कहाँ $$\omega$$ क्रमसूचक संख्या#ऑर्डिनल्स प्राकृतिक संख्याओं का विस्तार करते हैं, जो समुच्चय सिद्धांत और टोपोलॉजी के विभिन्न क्षेत्रों में उपयोगी साबित हो सकते हैं। यह एक तुच्छ अवलोकन है कि सभी रैमसे अतिसूक्ष्मनिस्यंदक पी-पॉइंट हैं। वाल्टर रुडिन ने साबित किया कि सातत्य परिकल्पना का तात्पर्य रैमसे अतिसूक्ष्मनिस्यंदक के अस्तित्व से है। वास्तव में, कई परिकल्पनाएँ रैमसे अतिसूक्ष्मनिस्यंदक के अस्तित्व को दर्शाती हैं, जिसमें मार्टिन का स्वयंसिद्ध भी सम्मलित है। सहारों शेलाह ने बाद में दिखाया कि यह सुसंगत है कि पी-पॉइंट अतिसूक्ष्मनिस्यंदक नहीं हैं। इसलिए, इस प्रकार के अतिसूक्ष्मनिस्यंदक का अस्तित्व ZFC की स्वतंत्रता (गणितीय तर्क) है।
 * एक गैर-प्रमुख अतिसूक्ष्मनिस्यंदक $$U$$ पी-पॉइंट कहा जाता है (या) यदि किसी समुच्चय के प्रत्येक विभाजन के लिए $$\left\{ C_n : n < \omega \right\}$$ का $$\omega$$ ऐसा कि सभी के लिए $$n < \omega,$$ $$C_n \not\in U,$$ कुछ उपस्थित है $$A \in U$$ ऐसा है कि $$A \cap C_n$$ प्रत्येक के लिए एक परिमित समुच्चय है $$n.$$ * एक गैर-प्रमुख अतिसूक्ष्मनिस्यंदक $$U$$ यदि प्रत्येक विभाजन के लिए रैमसे (या चयनात्मक) कहा जाता है $$\left\{ C_n : n < \omega \right\}$$ का $$\omega$$ ऐसा कि सभी के लिए $$n < \omega,$$ $$C_n \not\in U,$$ कुछ उपस्थित है $$A \in U$$ ऐसा है कि $$A \cap C_n$$ प्रत्येक के लिए एक सिंगलटन समुच्चय है $$n.$$

पी-पॉइंट्स को इस तरह कहा जाता है क्योंकि वे अंतरिक्ष के सामान्य टोपोलॉजी में टोपोलॉजिकल पी-पॉइंट होते हैं।βω \ ω गैर-प्रमुख अतिसूक्ष्मनिस्यंदक। रैमसे नाम रैमसे के प्रमेय से आया है। यह देखने के लिए कि क्यों, कोई यह साबित कर सकता है कि एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक रैमसे है अगर और केवल अगर प्रत्येक 2-रंग के लिए $$[\omega]^2$$ अतिसूक्ष्मनिस्यंदक का एक तत्व उपस्थित होता है जिसमें एक समान रंग होता है।

एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक ऑन $$\wp(\omega)$$ रैमसे है अगर और केवल अगर यह गैर-प्रमुख पावरसमुच्चय अतिसूक्ष्मनिस्यंदक के रुडिन-कीस्लर ऑर्डरिंग में न्यूनतम तत्व है।

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Proofs