आंशिक अवकल समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधियाँ

आंशिक अंतर समीकरणों के लिए संख्यात्मक तरीके संख्यात्मक विश्लेषण की शाखा है जो आंशिक अंतर समीकरणों (पीडीई) के संख्यात्मक समाधान का अध्ययन करती है। सिद्धांत रूप में, हाइपरबोलिक आंशिक अंतर समीकरण के लिए विशेष तरीके, परवलयिक आंशिक अवकल समीकरण या अण्डाकार आंशिक अवकल समीकरण अस्तित्व।

परिमित अंतर विधि
इस पद्धति में, कार्यों को कुछ ग्रिड बिंदुओं पर उनके मूल्यों द्वारा दर्शाया जाता है और इन मूल्यों में अंतर के माध्यम से डेरिवेटिव का अनुमान लगाया जाता है।

रेखाओं की विधि
रेखाओं की विधि (एमओएल, एनएमओएल, न्यूमोल  ) आंशिक अंतर समीकरणों (पीडीई) को हल करने की एक तकनीक है जिसमें एक को छोड़कर सभी आयाम अलग-अलग होते हैं। एमओएल सामान्य अंतर समीकरणों (ओडीई) और अंतर बीजगणितीय समीकरणों (डीएई) के संख्यात्मक एकीकरण के लिए विकसित मानक, सामान्य प्रयोजन विधियों और सॉफ्टवेयर का उपयोग करने की अनुमति देता है। पिछले कुछ वर्षों में कई अलग-अलग प्रोग्रामिंग भाषाओं में बड़ी संख्या में एकीकरण रूटीन विकसित किए गए हैं, और कुछ को  खुला स्त्रोत  संसाधनों के रूप में प्रकाशित किया गया है। रेखाओं की विधि प्रायः आंशिक अंतर समीकरणों के लिए संख्यात्मक तरीकों के निर्माण या विश्लेषण को संदर्भित करती है जो पहले केवल स्थानिक व्युत्पन्नों को अलग करके और समय चर को निरंतर छोड़कर आगे बढ़ती है। इससे साधारण अंतर समीकरणों की एक प्रणाली बनती है जिसमें प्रारंभिक मूल्य वाले साधारण समीकरणों के लिए एक संख्यात्मक विधि लागू की जा सकती है। इस संदर्भ में पंक्तियों की पद्धति कम से कम 1960 के दशक की प्रारम्भ से चली आ रही है।

परिमित तत्व विधि
परिमित तत्व विधि (एफईएम) अंतर समीकरणों के लिए सीमा मूल्य समस्याओं के अनुमानित समाधान खोजने के लिए एक संख्यात्मक विश्लेषण है। यह त्रुटि फ़ंक्शन को कम करने और एक स्थिर समाधान उत्पन्न करने के लिए परिवर्तनीय तरीकों (विविधताओं की गणना) का उपयोग करता है। इस विचार के अनुरूप कि कई छोटी सीधी रेखाओं को जोड़ने से एक बड़े वृत्त का अनुमान लगाया जा सकता है, FEM में किसी फ़ंक्शन के बड़े डोमेन पर अधिक जटिल समीकरण का अनुमान लगाने के लिए, परिमित तत्वों नामक कई छोटे उपडोमेन पर कई सरल तत्व समीकरणों को जोड़ने के सभी तरीके शामिल होते हैं।

क्रमिक विवेकीकरण विधि
ग्रेडिएंट डिस्क्रेटाइजेशन मेथड (जीडीएम) एक संख्यात्मक विश्लेषण है जिसमें कुछ मानक या हालिया तरीके शामिल हैं। यह किसी फ़ंक्शन और उसके ग्रेडिएंट के अलग-अलग सन्निकटन पर आधारित है। कोर गुण रैखिक और गैर-रेखीय समस्याओं की एक श्रृंखला के लिए विधि के अभिसरण की अनुमति देते हैं, और इसलिए जीडीएम ढांचे में प्रवेश करने वाली सभी विधियां (अनुरूप और गैर-अनुरूप परिमित तत्व, मिश्रित परिमित तत्व, नकल परिमित अंतर ...) इन अभिसरण गुणों को प्राप्त करती हैं।

परिमित आयतन विधि
परिमित-आयतन विधि बीजगणितीय समीकरणों के रूप में आंशिक अंतर समीकरणों का प्रतिनिधित्व और मूल्यांकन करने की एक विधि है [लेवेक, 2002; टोरो, 1999]। परिमित अंतर विधि या परिमित तत्व विधि के समान, मूल्यों की गणना एक जालीदार ज्यामिति पर अलग-अलग स्थानों पर की जाती है। परिमित आयतन एक जाल पर प्रत्येक नोड बिंदु के आसपास की छोटी मात्रा को संदर्भित करता है। परिमित आयतन विधि में, आंशिक अंतर समीकरण में आयतन समाकलन जिसमें एक विचलन पद होता है, को विचलन प्रमेय का उपयोग करके सतह समाकलन में बदल दिया जाता है। फिर इन शब्दों का मूल्यांकन प्रत्येक परिमित आयतन की सतहों पर फ्लक्स के रूप में किया जाता है। चूँकि किसी दिए गए आयतन में प्रवेश करने वाला प्रवाह आसन्न आयतन को छोड़ने के समान है, ये विधियाँ संरक्षण कानून (भौतिकी) हैं। परिमित आयतन विधि का एक अन्य लाभ यह है कि इसे असंरचित जालों की अनुमति देने के लिए आसानी से तैयार किया जाता है। इस विधि का उपयोग कई कम्प्यूटेशनल द्रव गतिशीलता पैकेजों में किया जाता है।

स्पेक्ट्रल विधि
स्पेक्ट्रल विधियाँ व्यावहारिक गणित और वैज्ञानिक कंप्यूटिंग में कुछ अंतर समीकरणों को संख्यात्मक रूप से हल करने के लिए उपयोग की जाने वाली तकनीकें हैं, जिनमें प्रायः फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म का उपयोग शामिल होता है। विचार यह है कि अंतर समीकरण के समाधान को कुछ आधार कार्यों के योग के रूप में लिखा जाए (उदाहरण के लिए, फूरियर श्रृंखला के रूप में, जो साइन तरंगों का योग है) और फिर योग में उन गुणांकों को चुनें जो अंतर समीकरण को सर्वोत्तम रूप से संतुष्ट करते हैं.

वर्णक्रमीय विधियाँ और परिमित तत्व विधियाँ निकट से संबंधित हैं और समान विचारों पर निर्मित हैं; उनके बीच मुख्य अंतर यह है कि वर्णक्रमीय विधियाँ उन आधार कार्यों का उपयोग करती हैं जो पूरे डोमेन पर गैर-शून्य होते हैं, जबकि परिमित तत्व विधियाँ उन आधार कार्यों का उपयोग करती हैं जो केवल छोटे उपडोमेन पर गैर-शून्य होते हैं। दूसरे शब्दों में, वर्णक्रमीय विधियाँ वैश्विक दृष्टिकोण अपनाती हैं जबकि परिमित तत्व विधियाँ स्थानीय दृष्टिकोण का उपयोग करती हैं। आंशिक रूप से इसी कारण से, वर्णक्रमीय विधियों में उत्कृष्ट त्रुटि गुण होते हैं, तथाकथित घातीय अभिसरण सबसे तेज़ संभव होता है, जब समाधान सुचारू कार्य होता है। हालाँकि, त्रि-आयामी एकल डोमेन स्पेक्ट्रल शॉक कैप्चरिंग परिणाम ज्ञात नहीं हैं। परिमित तत्व समुदाय में, एक विधि जहां तत्वों की डिग्री बहुत अधिक होती है या ग्रिड पैरामीटर एच के शून्य तक घटने पर बढ़ जाती है, उसे कभी-कभी वर्णक्रमीय तत्व विधि कहा जाता है।

मेशफ्री तरीके
मेशफ्री तरीकों के लिए सिमुलेशन डोमेन के डेटा बिंदुओं को जोड़ने वाले जाल की आवश्यकता नहीं होती है। मेशफ्री विधियां अतिरिक्त कंप्यूटिंग समय और प्रोग्रामिंग प्रयास की कीमत पर कुछ अन्यथा कठिन प्रकार की समस्याओं का अनुकरण करने में सक्षम बनाती हैं।

डोमेन अपघटन विधियाँ
डोमेन अपघटन विधियाँ एक सीमा मान समस्या को उपडोमेन पर छोटी सीमा मान समस्याओं में विभाजित करके और आसन्न उपडोमेन के बीच समाधान को समन्वयित करने के लिए पुनरावृत्त करके हल करती हैं। प्रति उपडोमेन एक या कुछ अज्ञात के साथ एक मोटी समस्या का उपयोग विश्व स्तर पर उपडोमेन के बीच समाधान को और समन्वयित करने के लिए किया जाता है। उपडोमेन पर समस्याएं स्वतंत्र हैं, जो डोमेन अपघटन विधियों को समानांतर कंप्यूटिंग के लिए उपयुक्त बनाती है। डोमेन अपघटन विधियों का उपयोग आम तौर पर क्रायलोव अंतरिक्ष पुनरावृत्त विधियों के लिए पूर्व शर्त के रूप में किया जाता है, जैसे संयुग्म ग्रेडिएंट विधि या जीएमआरईएस।

ओवरलैपिंग डोमेन अपघटन विधियों में, उपडोमेन इंटरफ़ेस से अधिक ओवरलैप होते हैं। ओवरलैपिंग डोमेन अपघटन विधियों में श्वार्ज़ वैकल्पिक विधि और योगात्मक श्वार्ज विधि शामिल हैं। कई डोमेन अपघटन विधियों को अमूर्त योज्य श्वार्ज़ विधि के एक विशेष मामले के रूप में लिखा और विश्लेषित किया जा सकता है।

गैर-अतिव्यापी तरीकों में, उपडोमेन केवल अपने इंटरफ़ेस पर प्रतिच्छेद करते हैं। प्रारंभिक तरीकों में, जैसे कि डोमेन अपघटन को संतुलित करना और बीडीडीसी, उपडोमेन इंटरफ़ेस में समाधान की निरंतरता को एक ही अज्ञात द्वारा सभी पड़ोसी उपडोमेन पर समाधान के मूल्य का प्रतिनिधित्व करके लागू किया जाता है। दोहरी विधियों में, जैसे कि एफईटीआई, उपडोमेन इंटरफ़ेस में समाधान की निरंतरता लैग्रेंज गुणक द्वारा लागू की जाती है। FETI-DP विधि दोहरी और प्रारंभिक विधि के बीच संकर है।

गैर-अतिव्यापी डोमेन अपघटन विधियों को पुनरावृत्त सबस्ट्रक्चरिंग विधियां भी कहा जाता है।

मोर्टार विधियाँ आंशिक अंतर समीकरणों के लिए विवेकाधीन विधियाँ हैं, जो गैर-अतिव्यापी उपडोमेन पर अलग विवेकीकरण का उपयोग करती हैं। उपडोमेन पर मेश इंटरफ़ेस पर मेल नहीं खाते हैं, और समाधान की समानता को लैग्रेंज मल्टीप्लायरों द्वारा लागू किया जाता है, जो समाधान की सटीकता को संरक्षित करने के लिए विवेकपूर्ण ढंग से चुना जाता है। परिमित तत्व विधि में इंजीनियरिंग अभ्यास में, गैर-मिलान उपडोमेन के बीच समाधान की निरंतरता को बहु-बिंदु बाधाओं द्वारा कार्यान्वित किया जाता है।

मध्यम आकार के मॉडल के परिमित तत्व सिमुलेशन के लिए लाखों अज्ञात के साथ रैखिक प्रणालियों को हल करने की आवश्यकता होती है। प्रति चरण कई घंटे एक औसत अनुक्रमिक रन टाइम है, इसलिए, समानांतर कंप्यूटिंग एक आवश्यकता है। डोमेन अपघटन विधियाँ परिमित तत्व विधियों के समानांतरीकरण के लिए बड़ी क्षमता का प्रतीक हैं, और वितरित, समानांतर गणनाओं के लिए आधार प्रदान करती हैं।

मल्टीग्रिड विधियाँ
संख्यात्मक विश्लेषण में मल्टीग्रिड (एमजी) विधियां विवेक के पदानुक्रम का उपयोग करके अंतर समीकरणों को हल करने के लिए कलन विधि का एक समूह हैं। वे मल्टीरिज़ॉल्यूशन विश्लेषण नामक तकनीकों के एक वर्ग का एक उदाहरण हैं, जो व्यवहार के मल्टीस्केल मॉडलिंग को प्रदर्शित करने वाली समस्याओं में बहुत उपयोगी (लेकिन इन्हीं तक सीमित नहीं) हैं। उदाहरण के लिए, कई बुनियादी छूट विधियां छोटी और लंबी-तरंगदैर्ध्य घटकों के लिए अभिसरण की विभिन्न दरों को प्रदर्शित करती हैं, जो सुझाव देती हैं कि इन विभिन्न पैमानों को अलग-अलग तरीके से व्यवहार किया जाना चाहिए, जैसा कि मल्टीग्रिड के फूरियर विश्लेषण दृष्टिकोण में होता है। एमजी विधियों का उपयोग सॉल्वर के साथ-साथ प्रीकंडीशनर के रूप में भी किया जा सकता है।

मल्टीग्रिड का मुख्य विचार समय-समय पर वैश्विक सुधार द्वारा एक बुनियादी पुनरावृत्त विधि के अभिसरण में तेजी लाना है, जो एक मोटे समस्या को हल करके पूरा किया जाता है। यह सिद्धांत मोटे और महीन ग्रिड के बीच प्रक्षेप के समान है। मल्टीग्रिड के लिए विशिष्ट अनुप्रयोग दो या दो से अधिक आयामों में अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरणों के संख्यात्मक समाधान में है। मल्टीग्रिड विधियों को किसी भी सामान्य विवेकाधीन तकनीक के साथ संयोजन में लागू किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, परिमित तत्व विधि को मल्टीग्रिड विधि के रूप में पुनर्गठित किया जा सकता है। इन मामलों में, मल्टीग्रिड विधियाँ आज ज्ञात सबसे तेज़ समाधान तकनीकों में से एक हैं। अन्य विधियों के विपरीत, मल्टीग्रिड विधियाँ सामान्य हैं क्योंकि वे मनमाने क्षेत्रों और सीमा स्थितियों का इलाज कर सकती हैं। वे वियोज्य आंशिक अंतर समीकरण या समीकरण के अन्य विशेष गुणों पर निर्भर नहीं होते हैं। इन्हें समीकरणों की अधिक जटिल गैर-सममित और गैर-रेखीय प्रणालियों के लिए भी व्यापक रूप से उपयोग किया गया है, जैसे लोच (भौतिकी)भौतिकी) की लैम प्रणाली या नेवियर-स्टोक्स समीकरण।

तुलना
परिमित अंतर विधि को प्रायः सीखने और उपयोग करने की सबसे सरल विधि माना जाता है। परिमित तत्व और परिमित आयतन विधियाँ व्यापक रूप से  अभियांत्रिकी  और कम्प्यूटेशनल तरल गतिकी में उपयोग की जाती हैं, और जटिल ज्यामिति में समस्याओं के लिए उपयुक्त हैं। स्पेक्ट्रल विधियां आम तौर पर सबसे सटीक होती हैं, बशर्ते कि समाधान पर्याप्त रूप से सुचारू हों।

यह भी देखें

 * संख्यात्मक विश्लेषण विषयों की सूची#आंशिक अंतर समीकरणों के लिए संख्यात्मक तरीके
 * साधारण अंतर समीकरणों के लिए संख्यात्मक तरीके

बाहरी संबंध

 * Numerical Methods for Partial Differential Equations course at MIT OpenCourseWare.
 * IMS, the Open Source IMTEK Mathematica Supplement (IMS)
 * Numerical PDE Techniques for Scientists and Engineers, open access Lectures and Codes for Numerical PDEs