निश्चित प्रभाव मॉडल

आंकड़ों में, एक निश्चित प्रभाव मॉडल एक सांख्यिकीय मॉडल है जिसमें मॉडल पैरामीटर निश्चित या गैर-यादृच्छिक मात्राएँ होते हैं। यह यादृच्छिक प्रभाव मॉडल और मिश्रित मॉडल के विपरीत है जिसमें सभी या कुछ मॉडल पैरामीटर यादृच्छिक चर हैं। अर्थमिति सहित कई अनुप्रयोगों में और जैवसांख्यिकी   एक निश्चित प्रभाव मॉडल एक प्रतिगमन मॉडल को संदर्भित करता है जिसमें समूह का मतलब एक यादृच्छिक प्रभाव मॉडल के विपरीत निश्चित (गैर-यादृच्छिक) होता है जिसमें समूह का मतलब आबादी से एक यादृच्छिक नमूना होता है। आम तौर पर, डेटा को कई देखे गए कारकों के अनुसार समूहीकृत किया जा सकता है। समूह का मतलब प्रत्येक समूह के लिए निश्चित या यादृच्छिक प्रभावों के रूप में तैयार किया जा सकता है। एक निश्चित प्रभाव मॉडल में प्रत्येक समूह का माध्य एक समूह-विशिष्ट निश्चित मात्रा है।

पैनल डेटा में जहां एक ही विषय के लिए अनुदैर्ध्य अवलोकन मौजूद होते हैं, निश्चित प्रभाव विषय-विशिष्ट साधनों का प्रतिनिधित्व करते हैं। पैनल विश्लेषण में शब्द निश्चित प्रभाव अनुमानक (भीतर अनुमानक के रूप में भी जाना जाता है) का उपयोग उन निश्चित प्रभावों (प्रत्येक विषय के लिए एक समय-अपरिवर्तनीय अवरोधन) सहित प्रतिगमन मॉडल में गुणांक के लिए एक अनुमानक को संदर्भित करने के लिए किया जाता है।

गुणात्मक वर्णन
जब यह विविधता समय के साथ स्थिर रहती है तो ऐसे मॉडल न देखी गई विविधता के कारण छोड़े गए परिवर्तनीय पूर्वाग्रह को नियंत्रित करने में सहायता करते हैं। इस विविधता को अंतर के माध्यम से डेटा से हटाया जा सकता है, उदाहरण के लिए समय के साथ समूह-स्तरीय औसत घटाकर, या पहला अंतर लेकर जो मॉडल के किसी भी समय अपरिवर्तनीय घटकों को हटा देगा।

व्यक्तिगत विशिष्ट प्रभाव के बारे में दो सामान्य धारणाएँ बनाई गई हैं: यादृच्छिक प्रभाव धारणा और निश्चित प्रभाव धारणा। यादृच्छिक प्रभाव मॉडल की धारणा यह है कि व्यक्तिगत-विशिष्ट प्रभाव स्वतंत्र चर के साथ असंबद्ध हैं। निश्चित प्रभाव धारणा यह है कि व्यक्तिगत-विशिष्ट प्रभाव स्वतंत्र चर के साथ सहसंबद्ध होते हैं। यदि यादृच्छिक प्रभाव धारणा कायम है, तो यादृच्छिक प्रभाव अनुमानक निश्चित प्रभाव अनुमानक की तुलना में अधिक दक्षता (सांख्यिकी) है। हालाँकि, यदि यह धारणा मान्य नहीं है, तो यादृच्छिक प्रभाव अनुमानक सुसंगत अनुमानक नहीं है। डर्बिन-वू-हौसमैन परीक्षण का उपयोग अक्सर निश्चित और यादृच्छिक प्रभाव मॉडल के बीच भेदभाव करने के लिए किया जाता है।

औपचारिक मॉडल और धारणाएँ
इसके लिए रैखिक अप्राप्य प्रभाव मॉडल पर विचार करें $$N$$ अवलोकन और $$T$$ समय अवधि:
 * $$y_{it} = X_{it}\mathbf{\beta}+\alpha_{i}+u_{it}$$ के लिए $$t=1,\dots,T$$ और $$i=1,\dots,N$$

कहाँ:
 * $$y_{it}$$ व्यक्ति के लिए देखा गया आश्रित चर है $$i$$ समय पर $$t$$.
 * $$X_{it}$$ समय-परिवर्तन है $$1\times k$$ (स्वतंत्र चर की संख्या) प्रतिगामी वेक्टर।
 * $$\beta$$ है $$k\times 1$$ मापदंडों का मैट्रिक्स।
 * $$\alpha_{i}$$ न देखा गया समय-अपरिवर्तनीय व्यक्तिगत प्रभाव है। उदाहरण के लिए, व्यक्तियों के लिए जन्मजात क्षमता या देशों के लिए ऐतिहासिक और संस्थागत कारक।
 * $$u_{it}$$ आँकड़ों में त्रुटियाँ और अवशेष हैं।

भिन्न $$X_{it}$$, $$\alpha_{i}$$ सीधे तौर पर नहीं देखा जा सकता.

यादृच्छिक प्रभाव मॉडल के विपरीत जहां न देखा गया $$\alpha_{i}$$ से स्वतंत्र है $$X_{it}$$ सभी के लिए $$t=1,...,T$$, निश्चित प्रभाव (एफई) मॉडल अनुमति देता है $$\alpha_{i}$$ प्रतिगामी मैट्रिक्स के साथ सहसंबद्ध होना $$X_{it}$$. अंतर्जातता (अर्थमिति)#विशिष्ट त्रुटि शब्द के संबंध में बहिर्जातता बनाम अंतर्जातता $$u_{it}$$ अभी भी आवश्यक है.

निश्चित प्रभाव अनुमानक
तब से $$\alpha_{i}$$ अवलोकन योग्य नहीं है, इसे किसी चर के लिए सीधे नियंत्रित नहीं किया जा सकता है। एफई मॉडल समाप्त कर देता है $$\alpha_{i}$$ आंतरिक परिवर्तन का उपयोग करके चरों का अर्थ हटाकर:
 * $$y_{it}-\overline{y}_{i}=\left(X_{it}-\overline{X}_{i}\right) \beta+ \left( \alpha_{i} - \overline{\alpha}_{i} \right ) + \left(  u_{it}-\overline{u}_{i}\right) \implies \ddot{y}_{it}=\ddot{X}_{it}  \beta+\ddot{u}_{it}$$

कहाँ $$\overline{y}_{i}=\frac{1}{T}\sum\limits_{t=1}^{T}y_{it}$$, $$\overline{X}_{i}=\frac{1}{T}\sum\limits_{t=1}^{T}X_{it}$$, और $$\overline{u}_{i}=\frac{1}{T}\sum\limits_{t=1}^{T}u_{it}$$.

तब से $$\alpha_{i}$$ स्थिर है, $$\overline{\alpha_{i}}=\alpha_{i}$$ और इसलिए प्रभाव समाप्त हो जाता है। एफई अनुमानक $$\hat{\beta}_{FE}$$ फिर OLS प्रतिगमन द्वारा प्राप्त किया जाता है $$\ddot{y}$$ पर $$\ddot{X}$$.

आंतरिक परिवर्तन के कम से कम तीन विकल्प विविधताओं के साथ मौजूद हैं।

प्रत्येक व्यक्ति के लिए एक डमी वैरिएबल जोड़ना है $$i>1$$ (बहुसंरेखता के कारण पहले व्यक्ति को छोड़ना)। यह संख्यात्मक रूप से है, लेकिन कम्प्यूटेशनल रूप से नहीं, निश्चित प्रभाव मॉडल के बराबर है और केवल तभी काम करता है जब श्रृंखला की संख्या और वैश्विक मापदंडों की संख्या का योग अवलोकनों की संख्या से कम है। डमी वैरिएबल दृष्टिकोण विशेष रूप से कंप्यूटर मेमोरी उपयोग के संबंध में मांग कर रहा है और उपलब्ध रैम से बड़ी समस्याओं के लिए इसकी अनुशंसा नहीं की जाती है, और लागू प्रोग्राम संकलन, समायोजित कर सकता है।

दूसरा विकल्प स्थानीय और वैश्विक अनुमानों के लिए लगातार दोहराव दृष्टिकोण का उपयोग करना है। यह दृष्टिकोण कम मेमोरी वाले सिस्टम के लिए बहुत उपयुक्त है, जिस पर यह डमी वैरिएबल दृष्टिकोण की तुलना में बहुत अधिक कम्प्यूटेशनल रूप से कुशल है।

तीसरा दृष्टिकोण एक नेस्टेड अनुमान है जिसके तहत व्यक्तिगत श्रृंखला के लिए स्थानीय अनुमान को मॉडल परिभाषा के एक भाग के रूप में प्रोग्राम किया जाता है। यह दृष्टिकोण सबसे कम्प्यूटेशनल और मेमोरी कुशल है, लेकिन इसके लिए कुशल प्रोग्रामिंग कौशल और मॉडल प्रोग्रामिंग कोड तक पहुंच की आवश्यकता होती है; हालाँकि, इसे SAS में भी प्रोग्राम किया जा सकता है। अंत में, उपरोक्त प्रत्येक विकल्प में सुधार किया जा सकता है यदि श्रृंखला-विशिष्ट अनुमान रैखिक है (एक गैर-रेखीय मॉडल के भीतर), जिस स्थिति में व्यक्तिगत श्रृंखला के लिए प्रत्यक्ष रैखिक समाधान को गैर-रेखीय मॉडल परिभाषा के हिस्से के रूप में प्रोग्राम किया जा सकता है।

पहला अंतर अनुमानक
आंतरिक परिवर्तन का एक विकल्प पहला अंतर परिवर्तन है, जो एक अलग अनुमानक उत्पन्न करता है। के लिए $$t=2,\dots,T$$:
 * $$y_{it}-y_{i,t-1}=\left(X_{it}-X_{i,t-1}\right) \beta+ \left( \alpha_{i} - \alpha_{i} \right ) + \left(  u_{it}-u_{i,t-1}\right) \implies \Delta y_{it}=\Delta X_{it}  \beta+ \Delta u_{it}.$$

एफडी अनुमानक $$\hat\beta_{FD}$$ फिर OLS प्रतिगमन द्वारा प्राप्त किया जाता है $$\Delta y_{it}$$ पर $$\Delta X_{it}$$.

कब $$T=2$$, पहला अंतर और निश्चित प्रभाव अनुमानक संख्यात्मक रूप से समतुल्य हैं। के लिए $$T>2$$, वे नहीं हैं। यदि त्रुटि शर्तें $$u_{it}$$ बिना किसी क्रमिक सहसंबंध के समरूपता हैं, निश्चित प्रभाव अनुमानक पहले अंतर अनुमानक की तुलना में अधिक दक्षता (सांख्यिकी) है। अगर $$u_{it}$$ एक यादृच्छिक चाल का अनुसरण करता है, हालाँकि, पहला अंतर अनुमानक अधिक कुशल है।

जब T=2
तो निश्चित प्रभावों और प्रथम अंतर अनुमानकों की समानता विशेष दो अवधि के मामले के लिए ($$T=2$$), निश्चित प्रभाव (एफई) अनुमानक और पहला अंतर (एफडी) अनुमानक संख्यात्मक रूप से समतुल्य हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि FE अनुमानक FD अनुमानक में उपयोग किए गए डेटा सेट को प्रभावी ढंग से दोगुना कर देता है। इसे देखने के लिए, स्थापित करें कि निश्चित प्रभाव अनुमानक है: $$ {FE}_{T=2}= \left[ (x_{i1}-\bar x_{i}) (x_{i1}-\bar x_{i})' + (x_{i2}-\bar x_{i}) (x_{i2}-\bar x_{i})' \right]^{-1}\left[ (x_{i1}-\bar x_{i}) (y_{i1}-\bar y_{i}) + (x_{i2}-\bar x_{i}) (y_{i2}-\bar y_{i})\right] $$ प्रत्येक के बाद से $$(x_{i1}-\bar x_{i})$$ के रूप में पुनः लिखा जा सकता है $$(x_{i1}-\dfrac{x_{i1}+x_{i2}}{2})=\dfrac{x_{i1}-x_{i2}}{2} $$, हम पंक्ति को इस प्रकार फिर से लिखेंगे:

$$ {FE}_{T=2}= \left[\sum_{i=1}^{N} \dfrac{x_{i1}-x_{i2}}{2} \dfrac{x_{i1}-x_{i2}}{2} ' +  \dfrac{x_{i2}-x_{i1}}{2} \dfrac{x_{i2}-x_{i1}}{2} ' \right]^{-1} \left[\sum_{i=1}^{N}   \dfrac{x_{i1}-x_{i2}}{2} \dfrac{y_{i1}-y_{i2}}{2} + \dfrac{x_{i2}-x_{i1}}{2} \dfrac{y_{i2}-y_{i1}}{2} \right]$$
 * $$= \left[\sum_{i=1}^{N} 2 \dfrac{x_{i2}-x_{i1}}{2} \dfrac{x_{i2}-x_{i1}}{2} ' \right]^{-1} \left[\sum_{i=1}^{N}   2 \dfrac{x_{i2}-x_{i1}}{2} \dfrac{y_{i2}-y_{i1}}{2} \right]$$
 * $$= 2\left[\sum_{i=1}^{N} (x_{i2}-x_{i1})(x_{i2}-x_{i1})' \right]^{-1} \left[\sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2} (x_{i2}-x_{i1})(y_{i2}-y_{i1}) \right]$$
 * $$ = \left[\sum_{i=1}^{N} (x_{i2}-x_{i1})(x_{i2}-x_{i1})' \right]^{-1} \sum_{i=1}^{N} (x_{i2}-x_{i1})(y_{i2}-y_{i1}) ={FD}_{T=2}$$

चेम्बरलेन विधि
गैरी चेम्बरलेन की विधि, आंतरिक अनुमानक का एक सामान्यीकरण, प्रतिस्थापित करती है $$\alpha_{i}$$ व्याख्यात्मक चरों पर इसके रैखिक प्रक्षेपण के साथ। रैखिक प्रक्षेपण को इस प्रकार लिखें:
 * $$\alpha_{i} = \lambda_0 + X_{i1} \lambda_1 + X_{i2} \lambda_2 + \dots + X_{iT} \lambda_T + e_i$$

इसका परिणाम निम्नलिखित समीकरण में होता है:
 * $$y_{it} = \lambda_0 + X_{i1} \lambda_1 + X_{i2} \lambda_2 + \dots + X_{it}(\lambda_t + \mathbf{\beta}) + \dots + X_{iT} \lambda_T + e_i + u_{it}$$

जिसका अनुमान न्यूनतम दूरी अनुमान से लगाया जा सकता है।

हौसमैन-टेलर विधि
एक से अधिक टाइम-वेरिएंट रजिस्ट्रार की आवश्यकता है ($$X$$) और समय-अपरिवर्तनीय प्रतिगामी ($$Z$$) और कम से कम एक $$X$$ और एक $$Z$$ जिनका इससे कोई संबंध नहीं है $$\alpha_{i}$$.

विभाजन करें $$X$$ और $$Z$$ ऐसे चर $$ \begin{array} [c]{c} X=[\underset{TN\times K1}{X_{1it}}\vdots\underset{TN\times K2}{X_{2it}}]\\ Z=[\underset{TN\times G1}{Z_{1it}}\vdots\underset{TN\times G2}{Z_{2it}}] \end{array} $$ कहाँ $$X_{1}$$ और $$Z_{1}$$ से असंबद्ध हैं $$\alpha_{i}$$. ज़रूरत $$K1>G2$$.

आकलन $$ \gamma $$ ओएलएस के माध्यम से $$\widehat{di}=Z_{i}\gamma+\varphi_{it}$$ का उपयोग करते हुए $$X_1$$ और $$Z_1$$ क्योंकि उपकरण एक सुसंगत अनुमान उत्पन्न करते हैं।

इनपुट अनिश्चितता के साथ सामान्यीकरण
जब इनपुट अनिश्चितता हो $$y$$ आंकड़े, $$\delta y$$, फिर $$\chi^2$$ चुकता अवशेषों के योग के बजाय मूल्य को कम किया जाना चाहिए। इसे सीधे प्रतिस्थापन नियमों से प्राप्त किया जा सकता है:
 * $$\frac{y_{it}}{\delta y_{it}} = \mathbf{\beta}\frac{X_{it}}{\delta y_{it}}+\alpha_{i}\frac{1}{\delta y_{it}}+\frac{u_{it}}{\delta y_{it}}$$,

फिर मान और मानक विचलन $$ \mathbf{\beta} $$ और $$ \alpha_{i} $$ शास्त्रीय साधारण न्यूनतम वर्ग विश्लेषण और विचरण-सहप्रसरण मैट्रिक्स के माध्यम से निर्धारित किया जा सकता है।

स्थिरता का परीक्षण करने के लिए उपयोग करें
यदि यादृच्छिक प्रभावों को गलत निर्दिष्ट किया गया है (यानी यादृच्छिक प्रभावों के लिए चुना गया मॉडल गलत है) तो यादृच्छिक प्रभाव अनुमानक कभी-कभी लंबी समय श्रृंखला सीमा में असंगत हो सकते हैं। हालाँकि, कुछ स्थितियों में निश्चित प्रभाव मॉडल अभी भी सुसंगत हो सकता है। उदाहरण के लिए, यदि मॉडलिंग की जा रही समय श्रृंखला स्थिर नहीं है, तो स्थिरता मानने वाले यादृच्छिक प्रभाव मॉडल लंबी-श्रृंखला सीमा में सुसंगत नहीं हो सकते हैं। इसका एक उदाहरण यह है कि यदि समय श्रृंखला में ऊपर की ओर रुझान है। फिर, जैसे-जैसे श्रृंखला लंबी होती जाती है, मॉडल पहले की अवधियों के माध्य के अनुमानों को ऊपर की ओर संशोधित करता है, जिससे गुणांकों की पक्षपातपूर्ण भविष्यवाणियां बढ़ती हैं। हालाँकि, निश्चित समय प्रभाव वाला एक मॉडल समय-समय पर जानकारी एकत्र नहीं करता है, और परिणामस्वरूप पहले के अनुमान प्रभावित नहीं होंगे।

ऐसी स्थितियों में जहां निश्चित प्रभाव मॉडल को सुसंगत माना जाता है, डर्बिन-वू-हौसमैन परीक्षण का उपयोग यह जांचने के लिए किया जा सकता है कि चुना गया यादृच्छिक प्रभाव मॉडल सुसंगत है या नहीं। अगर $$H_{0}$$ सच है, दोनों $$\widehat{\beta}_{RE}$$ और $$\widehat{\beta}_{FE}$$ सुसंगत हैं, लेकिन केवल $$\widehat{\beta}_{RE}$$ कुशल है. अगर $$H_{a}$$ की संगति सच है $$\widehat{\beta}_{RE}$$ गारंटी नहीं दी जा सकती.

यह भी देखें

 * यादृच्छिक प्रभाव मॉडल
 * मिश्रित मॉडल
 * गतिशील न देखे गए प्रभाव मॉडल


 * निश्चित-प्रभाव पॉइसन मॉडल

बाहरी संबंध

 * Fixed and random effects models
 * Examples of all ANOVA and ANCOVA models with up to three treatment factors, including randomized block, split plot, repeated measures, and Latin squares, and their analysis in R