श्मिट अपघटन

रैखिक बीजगणित में, श्मिट अपघटन (इसके प्रवर्तक एरहार्ड श्मिट के नाम पर) दो आंतरिक उत्पाद स्थान के टेंसर उत्पाद में एक समन्वय सदिश को व्यक्त करने के एक विशेष विधि को संदर्भित करता है। क्वांटम सूचना सिद्धांत में इसके कई अनुप्रयोग हैं, उदाहरण के लिए क्वांटम उलझाव लक्षण वर्णन और क्वांटम अवस्था की शुद्धि, और प्लास्टिसिटी (भौतिकी) में स्थित है।

प्रमेय
मान लीजिए $$H_1$$ और $$H_2$$ क्रमशः आयाम n और m के हिल्बर्ट स्थान हैं। मान लीजिए $$n \geq m                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         $$ टेंसर उत्पाद $$H_1 \otimes H_2$$ में किसी भी सदिश $$w$$ के लिए, ऑर्थोनॉर्मल सेट उपस्थित हैं $$\{ u_1, \ldots, u_m \} \subset H_1$$ और $$\{ v_1, \ldots, v_m \} \subset H_2$$ जैसे कि $w= \sum_{i =1} ^m \alpha _i u_i \otimes v_i$, जहां स्केलर $$\alpha_i$$ वास्तविक हैं, गैर- ऋणात्मक , और पुनः ऑर्डर करने तक अद्वितीय होते हैं।

प्रमाण
श्मिट अपघटन अनिवार्य रूप से एक अलग संदर्भ में एकवचन मूल्य अपघटन का पुनर्कथन है। लम्बवत आधारों $$\{ e_1, \ldots, e_n \} \subset H_1$$ और $$\{ f_1, \ldots, f_m \} \subset H_2$$ को ठीक करें। हम आव्यूह $$e_i \otimes f_j$$ के साथ एक प्राथमिक टेंसर $$e_i f_j ^\mathsf{T}$$ की पहचान कर सकते हैं, जहां $$f_j ^\mathsf{T}$$, $$f_j$$ टेंसर उत्पाद का एक सामान्य तत्व का स्थानान्तरण है।


 * $$w = \sum _{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m} \beta _{ij} e_i \otimes f_j$$

फिर n × m आव्यूह के रूप में देखा जा सकता है


 * $$\; M_w = (\beta_{ij}) .$$

एकवचन मूल्य अपघटन द्वारा, एक n × n एकात्मक U, m × m एकात्मक V, और एक सकारात्मक-अर्ध-निश्चित आव्यूह विकर्ण m × m आव्यूह Σ उपस्थित होता है जैसे कि


 * $$M_w = U \begin{bmatrix} \Sigma \\ 0 \end{bmatrix} V^* .$$

$$U =\begin{bmatrix} U_1 & U_2 \end{bmatrix}$$ लिखें जहां $$U_1$$ n × m है और हमारे पास है


 * $$\; M_w = U_1 \Sigma V^* .$$

होने देना $$\{ u_1, \ldots, u_m \}$$ के एम स्तम्भ सदिश बनें $$U_1$$, $$\{ v_1, \ldots, v_m \}$$ के स्तंभ सदिश$$\overline{V}$$, और $$\alpha_1, \ldots, \alpha_m$$ Σ के विकर्ण तत्व पिछली अभिव्यक्ति तब है


 * $$M_w = \sum _{k=1} ^m \alpha_k u_k v_k ^\mathsf{T} ,$$

तब


 * $$w = \sum _{k=1} ^m \alpha_k u_k \otimes v_k ,$$

जो प्रमाण को सिद्ध करता है.

कुछ अवलोकन
श्मिट अपघटन के कुछ गुण भौतिक रुचि के हैं।

घटी हुई अवस्थाओं का स्पेक्ट्रम
टेंसर उत्पाद के एक सदिश $$ w $$ पर विचार करें
 * $$H_1 \otimes H_2$$

श्मिट अपघटन के रूप में


 * $$w = \sum_{i =1} ^m \alpha _i u_i \otimes v_i.$$

रैंक 1 आव्यूह $$ \rho = w w^* $$ बनाएं। फिर सिस्टम A या B के संबंध में $$ \rho $$ का आंशिक ट्रेस, एक विकर्ण आव्यूह है जिसके गैर-शून्य विकर्ण तत्व $$ | \alpha_i|^2 $$ हैं। दूसरे शब्दों में, श्मिट अपघटन से पता चलता है कि किसी भी उपप्रणाली पर $$ \rho $$ की कम हुई अवस्थाओं का स्पेक्ट्रम समान है।

श्मिट रैंक और इंटंगलेमेंट
$$ w $$ के श्मिट अपघटन में सख्ती से धनात्मक मान $$\alpha_i$$ इसके श्मिट गुणांक, या श्मिट संख्या हैं। जो की $$ w $$ के श्मिट गुणांकों की कुल संख्या, जिसे बहुलता के साथ गिना जाता है, को इसकी श्मिट रैंक कहा जाता है।

यदि $$ w $$ उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
 * $$u \otimes v$$

तब w को एक पृथक्करणीय अवस्था कहा जाता है। अन्यथा, w को एक उलझी हुई अवस्था कहा जाता है। श्मिट अपघटन से, हम देख सकते हैं कि w अस्पष्ट है यदि और केवल यदि w की श्मिट रैंक सख्ती से 1 से अधिक है। इसलिए, दो उपप्रणालियाँ जो एक शुद्ध अवस्था को विभाजित करती हैं, अस्पष्ट हैं यदि और केवल यदि उनकी घटी हुई अवस्थाएँ मिश्रित अवस्थाएँ हों।

वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी
उपरोक्त टिप्पणियों का एक परिणाम यह है कि, शुद्ध अवस्थाओ के लिए, कम अवस्थाओ की वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी उलझाव का एक अच्छी तरह से परिभाषित उपाय है। वॉन न्यूमैन के लिए $$ \rho $$ की दोनों कम अवस्थाओं की एन्ट्रापी$-\sum_i |\alpha_i|^2 \log\left(|\alpha_i|^2\right)$ है, और यह शून्य है यदि और केवल यदि $$ \rho $$ एक उत्पाद अवस्था है (अस्पष्ट नहीं है)।

श्मिट-रैंक सदिश
श्मिट रैंक को द्विदलीय प्रणालियों, अर्थात् क्वांटम अवस्थाओं के लिए परिभाषित किया गया है

$$|\psi\rangle \in H_A \otimes H_B$$

श्मिट रैंक की अवधारणा को दो से अधिक उपप्रणालियों से बनी क्वांटम प्रणालियों तक बढ़ाया जा सकता है।

त्रिपक्षीय क्वांटम प्रणाली पर विचार करें:

$$|\psi\rangle \in H_A \otimes H_B \otimes H_C$$

$$H_A, H_B$$ या $$H_C$$ के संबंध में आंशिक ट्रेस करके इसे द्विदलीय प्रणाली में कम करने के तीन विधि हैं।

$$\begin{cases} \hat{\rho}_A = Tr_A(|\psi\rangle\langle\psi|)\\ \hat{\rho}_B = Tr_B(|\psi\rangle\langle\psi|)\\ \hat{\rho}_C = Tr_C(|\psi\rangle\langle\psi|) \end{cases}$$

प्राप्त की गई प्रत्येक प्रणाली एक द्विदलीय प्रणाली है और इसलिए इसे क्रमशः $$r_A, r_B$$ और $$r_C$$ एक संख्या (इसकी श्मिट रैंक) द्वारा चित्रित किया जा सकता है। ये संख्याएँ द्विदलीय प्रणाली में "अस्पष्टता की मात्रा" को पकड़ती हैं जब क्रमशः A, B या C को छोड़ दिया जाता है। इन कारणों से त्रिपक्षीय प्रणाली को एक सदिश अर्थात् श्मिट-रैंक सदिश द्वारा वर्णित किया जा सकता है

$$\vec{r} = (r_A, r_B, r_C)$$

बहुपक्षीय प्रणालियाँ
श्मिट-रैंक सदिश की अवधारणा को इसी तरह टेन्सर के उपयोग के माध्यम से तीन से अधिक उपप्रणालियों से बनी प्रणालियों तक बढ़ाया जा सकता है।

=== उदाहरण === त्रिपक्षीय क्वांटम अवस्था $$|\psi_{4, 2, 2}\rangle = \frac{1}{2}\big(|0, 0, 0\rangle + |1, 0, 1\rangle + |2, 1, 0\rangle + |3, 1, 1\rangle \big)$$ लें

इस तरह की प्रणाली को एक क्विडिट के मूल्य को उसके स्पिन (भौतिकी) के अतिरिक्त एक फोटॉन के प्रकाश की कक्षीय कोणीय गति (ओएएम) में एन्कोड करके संभव बनाया गया है, क्योंकि बाद वाला केवल दो मान ले सकता है।

इस क्वांटम अवस्था के लिए श्मिट-रैंक सदिश $$(4, 2, 2)$$ है.

यह भी देखें

 * विलक्षण मान अपघटन
 * क्वांटम अवस्था की शुद्धि