गैली डिवीजन

अंकगणित में, गैली विधि, जिसे बटेलो या स्क्रैच विधि के रूप में भी जाना जाता है, 1600 से पहले उपयोग में आने वाली विभाजन (गणित) की सबसे व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली विधि थी। गैलिया और बटेलो नाम एक नाव को संदर्भित करते है।

इस पद्धति का एक पुराना संस्करण 825 में अलखवारिज़मी द्वारा उपयोग किया गया था। गैली विधि अरब मूल की मानी जाती है और रेत के अबेकस पर उपयोग किए जाने पर यह सबसे प्रभावी होती है। चूँकि, लैम ले योंग के शोध से पता चला कि विभाजन की गैली पद्धति की उत्पत्ति पहली शताब्दी ईस्वी में प्राचीन चीन में हुई थी।

गैली विधि लंबे विभाजन की तुलना में कम आंकड़े लिखती है, और इसके परिणामस्वरूप रोचक आकार के चित्र प्राप्त होते है। यह सत्रह शताब्दियों तक विभाजन की अधिमानित विधि थी, जो लंबे विभाजन की चार शताब्दियों की तुलना में कहीं अधिक लंबा था। गैली विधि के उदाहरण 1702 में थॉमस प्रस्ट (या प्रीस्ट) द्वारा लिखित ब्रिटिश-अमेरिकी सिफरिंग पुस्तक में दिखाई देते है।

यह कैसे काम करता है
लाभांश लिखकर समस्या का समाधान किया जाता है। उसके बाद भागफल लिखा जाता है। चरण है:
 * (a1) लाभांश के नीचे भाजक लिखा जाता है। भाजक को संरेखित करते है (उदाहरण के लिए, यदि भाजक 594 है, तो इसे दाईं ओर एक अतिरिक्त स्थान में लिखा जाता है, जिससे कि यह 5 6 के नीचे दिखाई देता है, जैसा कि चित्रण में दिखाया गया है।
 * (a2) 652 को 594 से विभाजित करने पर भागफल 1 प्राप्त होता है जो की दाईं ओर लिखा जाता है।

अब भाजक के प्रत्येक अंक को भागफल के नए अंक से गुणा करता है और परिणाम को लाभांश के बाएं वर्ग से घटाता है। जहां लाभांश वर्ग अलग-अलग होता है, वहां लाभांश अंक को घटा दिया जाता है और यदि आवश्यक होता है तो अंतर (शेष) को अगले ऊर्ध्वाधर खाली स्थान में लिखा जाता है।
 * (b) 6 - 5×1 = 1 की गणना करता है। लाभांश के 6 को घटा देता है और उसके ऊपर 1 लिखा जाता है। भाजक के 5 को घटा दिया जाता है। परिणामी लाभांश को अब सबसे ऊपरी अन-क्रॉस किए गए अंक: 15284 के रूप में पढ़ा जाता है।
 * (c) परिणामी लाभांश के बाएं हाथ के वर्ग का उपयोग करके हमें 15 - 9×1 = 6 प्राप्त होता है। 1 और 5 को घटा दिया जाता है और ऊपर 6 लिखा जाता है। 9 को घटा दिया जाता है। परिणामी लाभांश 6284 होता है।
 * (d) 62 − 4×1 = 58 की गणना करता है। 6 और 2 को घटा दिया जाता है और ऊपर 5 और 8 लिखा जाता है। 4 को घटा दिया जाता है तो परिणामी लाभांश 5884 होता है।
 * (e) विभाजक को क्रॉस किए गए अंकों के नीचे खाली स्थानों का उपयोग करके मूल रूप से लिखा जाता है।
 * (f1) 588 को 594 से विभाजित करने पर 0 प्राप्त होता है जिसे भागफल के नए अंक के रूप में लिखा जाता है।
 * (f2) चूँकि भाजक के किसी भी अंक का 0 गुना 0 होता है, जिससे लाभांश अपरिवर्तित रहता है। इसलिए हम भाजक के सभी अंकों से घटा सकते है।
 * (f3) हम भाजक को फिर से दाईं ओर एक स्थान पर लिखते है।
 * 5884 को 594 से विभाजित करने पर 9 प्राप्त होता है जिसे भागफल के नए अंक के रूप में लिखा जाता है। 58 − 5×9 = 13 इसलिए 5 और 8 को घटा दिया जाता है और उनके ऊपर 1 और 3 लिखा जाता है। यदि भाजक को 5 से घटा दिया जाता है तो परिणामी लाभांश 1384 होता है। 138 - 9×9 = 57 लाभांश के 1,3 और 8 को घटा दिया जाए तो ऊपर 5 और 7 लिखा जाता है। यदि भाजक को 9 से घटा दिया जाता है तो परिणामी लाभांश 574 होता है। 574 − 4×9 = 538 लाभांश के 7 और 4 को घटा दिया जाए तो ऊपर 3 और 8 लिखा जाता है। यदि भाजक के 4 से घटा दिया जाता है तो परिणामी लाभांश 538 होता है। प्रक्रिया पूरी होने पर, भागफल 109 होता है और शेषफल 538 होता है।

अन्य संस्करण
उपरोक्त संस्करण को क्रॉस-आउट संस्करण कहा जाता है और यह सबसे आम होता है। उन स्थितियों के लिए एक विलेखन संस्करण उपस्थित होता है और मध्यवर्ती चरणों को ट्रैक रखने की आवश्यकता नहीं होती है। यह वह विधि होती है जिसका उपयोग रेत के अबेकस के साथ किया जाता है। अंत में, एक प्रिंटर विधि होती है जो क्रॉसआउट का उपयोग करती है। लाभांश के प्रत्येक सूची में केवल शीर्ष अंक सक्रिय होता है, शून्य का उपयोग पूरी तरह से निष्क्रिय सूची को दर्शाने के लिए किया जाता है।

आधुनिक उपयोग
गैली विभाजन 18वीं शताब्दी के समय अंकगणितज्ञों के बीच विभाजन की अधिमानित विधि थी और ऐसा माना जाता है कि मुद्रण में प्रकारों की कमी के कारण यह उपयोग से बाहर हो गई थी। यह अभी भी उत्तरी अफ्रीका के मूरिश स्कूलों और मध्य पूर्व के अन्य हिस्सों में पढ़ाया जाता है।

उत्पत्ति
सिंगापुर के राष्ट्रीय विश्वविद्यालय के गणित के प्रोफेसर लैम ले योंग ने गैली पद्धति की उत्पत्ति का पता 400 ईस्वी के आसपास लिखी गई सुन्जी सुआनजिंग से लगाया था। 825 में अल-ख्वारिज्मी द्वारा वर्णित विभाजन सुन्जी कलन विधि के समान था।

यह भी देखें

 * समूह (गणित)
 * फ़ील्ड (बीजगणित)
 * विभाजन बीजगणित
 * विभाजन की अंगूठी
 * लम्बा विभाजन
 * विंकुलम (प्रतीक)

बाहरी संबंध

 * Galley or Scratch Method of Division at The Math Forum

Division