समुच्चय सिद्धांत विरोधाभास

इस लेख में समुच्चय सिद्धांत के [[विरोधाभास]]ों की चर्चा है। अधिकांश गणितीय विरोधाभासों के साथ, वे आम तौर पर आधुनिक स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत के भीतर वास्तविक तार्किक विरोधाभासों के बजाय आश्चर्यजनक और प्रति-सहज गणितीय परिणाम प्रकट करते हैं।

बुनियादी संख्या
जॉर्ज कैंटर द्वारा परिकल्पित सेट सिद्धांत अनंत सेटों के अस्तित्व को मानता है। जैसा कि इस धारणा को पहले सिद्धांतों से सिद्ध नहीं किया जा सकता है, इसे अनंतता के स्वयंसिद्ध द्वारा स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत में पेश किया गया है, जो प्राकृतिक संख्याओं के सेट एन के अस्तित्व पर जोर देता है। प्रत्येक अनंत सेट जिसे प्राकृतिक संख्याओं द्वारा गिना जा सकता है, एन के समान आकार (कार्डिनैलिटी) है, और इसे गणनीय कहा जाता है। गणनीय रूप से अनंत समुच्चय के उदाहरण हैं प्राकृतिक संख्याएँ, सम संख्याएँ, अभाज्य संख्याएँ और साथ ही सभी परिमेय संख्याएँ, यानी भिन्न। इन सेटों में कार्डिनल संख्या आम है | एन | = $$\aleph_0$$ (एलेफ-नॉट), प्रत्येक प्राकृतिक संख्या से बड़ी संख्या।

कार्डिनल नंबरों को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है। दो सेटों को समान आकार के लिए परिभाषित करें: दो सेटों के बीच एक आपत्ति मौजूद है (तत्वों के बीच एक-से-एक पत्राचार)। परिभाषा के अनुसार, एक कार्डिनल नंबर एक वर्ग है जिसमें एक ही आकार के सभी सेट होते हैं। समान आकार का होना एक तुल्यता संबंध है, और कार्डिनल संख्याएँ तुल्यता वर्ग हैं।

क्रमसूचक संख्या
कार्डिनैलिटी के अलावा, जो एक सेट के आकार का वर्णन करता है, ऑर्डर किए गए सेट भी सेट सिद्धांत का एक विषय बनाते हैं। पसंद का स्वयंसिद्ध यह गारंटी देता है कि प्रत्येक सेट को अच्छी तरह से क्रमबद्ध किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि इसके तत्वों पर कुल आदेश लगाया जा सकता है जैसे कि प्रत्येक गैर-रिक्त सबसेट में उस आदेश के संबंध में पहला तत्व होता है। एक सुव्यवस्थित सेट का क्रम एक क्रमिक संख्या द्वारा वर्णित किया गया है। उदाहरण के लिए, 3 समुच्चय {0, 1, 2} की क्रमिक संख्या है जिसका सामान्य क्रम 0 < 1 < 2 है; और ω सामान्य तरीके से आदेशित सभी प्राकृतिक संख्याओं के सेट की क्रमिक संख्या है। आदेश की अवहेलना करते हुए, हमारे पास मुख्य संख्या |N| रह जाती है = |ω| =$$ \aleph_0$$.

क्रमिक संख्याओं को कार्डिनल संख्याओं के लिए उपयोग की जाने वाली उसी विधि से परिभाषित किया जा सकता है। एक ही क्रम प्रकार के लिए दो सुव्यवस्थित सेटों को परिभाषित करें: क्रम के संबंध में दो सेटों के बीच एक आक्षेप मौजूद है: छोटे तत्वों को छोटे तत्वों के लिए मैप किया जाता है। तब एक क्रमसूचक संख्या, परिभाषा के अनुसार, एक वर्ग है जिसमें एक ही क्रम प्रकार के सभी सुव्यवस्थित सेट होते हैं। समान क्रम प्रकार का होना सुव्यवस्थित सेटों के वर्ग पर एक तुल्यता संबंध है, और क्रमिक संख्याएँ तुल्यता वर्ग हैं।

समान क्रम प्रकार के दो सेटों में समान कार्डिनैलिटी होती है। आम तौर पर अनंत सेटों के लिए उलटा सच नहीं है: प्राकृतिक संख्याओं के सेट पर अलग-अलग सुव्यवस्थित संख्याओं को लागू करना संभव है जो अलग-अलग क्रमिक संख्याओं को जन्म देते हैं।

अध्यादेशों पर एक प्राकृतिक आदेश है, जो स्वयं एक अच्छी व्यवस्था है। किसी भी क्रमिक α को देखते हुए, α से कम सभी अध्यादेशों के सेट पर विचार किया जा सकता है। यह सेट क्रमिक संख्या α निकला है। इस अवलोकन का उपयोग ऑर्डिनल्स को पेश करने के एक अलग तरीके के लिए किया जाता है, जिसमें एक ऑर्डिनल को सभी छोटे ऑर्डिनल्स के सेट के बराबर किया जाता है। क्रमिक संख्या का यह रूप इस प्रकार तुल्यता वर्ग के पहले के रूप का एक विहित प्रतिनिधि है।

पावर सबसेट
समुच्चय S के सभी उपसमुच्चय (उसके अवयवों के सभी संभावित विकल्प) बनाकर, हम घात समुच्चय P(S) प्राप्त करते हैं। जॉर्ज कैंटर ने साबित किया कि सत्ता स्थापित  हमेशा सेट से बड़ा होता है, यानी |पी(एस)| > |एस|. कैंटर के प्रमेय का एक विशेष मामला यह साबित करता है कि सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय 'R' की गणना प्राकृतिक संख्याओं द्वारा नहीं की जा सकती है। 'आर' बेशुमार है: |'आर'| > |'एन'|.

अनंत सेटों के विरोधाभास
अस्पष्ट विवरणों पर भरोसा करने के बजाय, जैसे कि जो बढ़ाया नहीं जा सकता है या बाध्य किए बिना बढ़ रहा है, सेट सिद्धांत अनंत शब्द के लिए परिभाषा प्रदान करता है ताकि वाक्यांशों को एक स्पष्ट अर्थ दिया जा सके जैसे कि सभी प्राकृतिक संख्याओं का सेट अनंत है। परिमित समुच्चयों की तरह, सिद्धांत आगे की परिभाषाएँ बनाता है जो हमें लगातार दो अनंत समुच्चयों की तुलना करने की अनुमति देता है कि क्या एक समुच्चय से बड़ा है, से छोटा है, या दूसरे के समान आकार का है। लेकिन परिमित सेट के आकार के बारे में हर अंतर्ज्ञान अनंत सेट के आकार पर लागू नहीं होता है, जिससे गणना, आकार, माप और क्रम के संबंध में विभिन्न विरोधाभासी परिणाम सामने आते हैं।

गणना के विरोधाभास
सेट सिद्धांत पेश किए जाने से पहले, सेट के आकार की धारणा समस्याग्रस्त रही थी। इस पर गैलीलियो गैलीली और बर्नार्ड बोलजानो ने चर्चा की थी। क्या गणना की विधि द्वारा मापे जाने पर प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग के रूप में कई प्राकृतिक संख्याएँ होती हैं?
 * उत्तर हाँ है, क्योंकि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए एक वर्ग संख्या n होती है2, और इसी तरह इसके विपरीत।
 * उत्तर नहीं है, क्योंकि वर्ग प्राकृतिक का एक उचित उपसमुच्चय है: प्रत्येक वर्ग एक प्राकृतिक संख्या है लेकिन कुछ प्राकृतिक संख्याएँ हैं, जैसे 2, जो प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग नहीं हैं।

एक सेट के आकार की धारणा को उसकी प्रमुखता के संदर्भ में परिभाषित करके, इस मुद्दे को सुलझाया जा सकता है। चूंकि इसमें शामिल दो सेटों के बीच एक आक्षेप है, यह वास्तव में एक सेट की प्रमुखता की परिभाषा से सीधे अनुसरण करता है।

गणना के विरोधाभासों पर अधिक जानकारी के लिए ग्रैंड होटल का हिल्बर्ट का विरोधाभास देखें।

जे ले वोइस, माई जे ने क्रोइस पास
मैं इसे देखता हूं लेकिन मुझे विश्वास नहीं होता, कैंटर ने रिचर्ड डेडेकिंड को यह साबित करने के बाद लिखा कि एक वर्ग के बिंदुओं के सेट में वही कार्डिनैलिटी है जो वर्ग के किनारे पर बिंदुओं की है: सातत्य की कार्डिनैलिटी।

यह दर्शाता है कि केवल कार्डिनैलिटी द्वारा परिभाषित सेट का आकार सेट की तुलना करने का एकमात्र उपयोगी तरीका नहीं है। माप सिद्धांत आकार का एक अधिक सूक्ष्म सिद्धांत प्रदान करता है जो हमारे अंतर्ज्ञान के अनुरूप है कि लंबाई और क्षेत्र आकार के असंगत उपाय हैं।

साक्ष्य दृढ़ता से सुझाव देते हैं कि कैंटर स्वयं परिणाम में काफी आश्वस्त था और डेडेकिंड के लिए उसकी टिप्पणी इसके प्रमाण की वैधता के बारे में उसकी तत्कालीन-अभी तक सुस्त चिंताओं को संदर्भित करती है। फिर भी, कैंटर की टिप्पणी इस आश्चर्य को व्यक्त करने के लिए भी अच्छी तरह से काम करेगी कि उसके बाद के कई गणितज्ञों ने पहली बार ऐसे परिणाम का अनुभव किया है जो इतना सहज ज्ञान युक्त है।

सुव्यवस्थितता के विरोधाभास
1904 में अर्नेस्ट ज़र्मेलो ने पसंद के स्वयंसिद्ध (जो इस कारण से पेश किया गया था) के माध्यम से साबित किया कि हर सेट को सुव्यवस्थित किया जा सकता है। 1963 में पॉल जे. कोहेन ने दिखाया कि ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत में पसंद के स्वयंसिद्ध के बिना वास्तविक संख्याओं के एक सु-क्रम के अस्तित्व को साबित करना संभव नहीं है।

हालांकि, किसी भी सेट को व्यवस्थित करने की क्षमता कुछ निर्माणों को करने की अनुमति देती है जिन्हें विरोधाभासी कहा गया है। एक उदाहरण बनच-तर्स्की विरोधाभास है, एक प्रमेय जिसे व्यापक रूप से गैर-सहज माना जाता है। इसमें कहा गया है कि एक निश्चित त्रिज्या की एक गेंद को टुकड़ों की एक सीमित संख्या में विघटित करना संभव है और फिर उन टुकड़ों को साधारण यूक्लिडियन समूह (बिना स्केलिंग के) द्वारा एक मूल प्रति से दो प्रतियां प्राप्त करने के लिए स्थानांतरित करना और फिर से इकट्ठा करना संभव है। इन टुकड़ों के निर्माण के लिए पसंद के स्वयंसिद्ध की आवश्यकता होती है; टुकड़े गेंद के साधारण क्षेत्र नहीं हैं, लेकिन गैर-मापने योग्य सेट नहीं हैं।

सुपरटास्क के विरोधाभास
सेट सिद्धांत में, एक अनंत सेट को कुछ गणितीय प्रक्रिया द्वारा निर्मित नहीं माना जाता है जैसे कि एक तत्व को जोड़ना जो कि अनंत बार किया जाता है। इसके बजाय, एक विशेष अनंत सेट (जैसे कि सभी प्राकृतिक संख्याओं का सेट) पहले से मौजूद है, फिएट द्वारा, एक धारणा या स्वयंसिद्ध के रूप में कहा जाता है। इस अनंत सेट को देखते हुए, तार्किक परिणाम के रूप में, अन्य अनंत सेट भी मौजूद साबित होते हैं। लेकिन यह अभी भी एक प्राकृतिक दार्शनिक प्रश्न है कि कुछ भौतिक क्रियाओं पर विचार किया जाए जो वास्तव में असतत चरणों की अनंत संख्या के बाद पूरी होती हैं; और सेट थ्योरी का उपयोग करते हुए इस प्रश्न की व्याख्या सुपरटास्क के विरोधाभासों को जन्म देती है।

ट्रिस्ट्राम शैंडी की डायरी
लारेंस स्टर्न के एक उपन्यास के नायक ट्रिस्टारम शैंडी अपनी आत्मकथा इतनी ईमानदारी से लिखते हैं कि उन्हें एक दिन की घटनाओं को निर्धारित करने में एक साल लग जाता है। यदि वह नश्वर है तो वह कभी समाप्त नहीं हो सकता; लेकिन अगर वह हमेशा के लिए जीवित रहता, तो उसकी डायरी का कोई भी हिस्सा अलिखित नहीं रहता, क्योंकि उसके जीवन के प्रत्येक दिन के लिए उस दिन के विवरण के अनुरूप एक वर्ष होता।

रॉस-लिटिलवुड विरोधाभास
इस प्रकार के विरोधाभास का एक बढ़ा हुआ संस्करण असीम रूप से दूरस्थ अंत को एक परिमित समय में बदल देता है। 1 से 10 तक की संख्या में गिने गए गेंदों के साथ एक विशाल जलाशय को भरें और गेंद संख्या 1 को उतारें। फिर 11 से 20 तक की संख्या के अनुसार गेंदों को जोड़ें और संख्या 2 से बाहर निकालें। 10n - 9 से 10n तक की संख्या से गिने गेंदों को जोड़ना जारी रखें और निकालने के लिए गेंद संख्या n सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए n = 3, 4, 5, .... मान लीजिए कि पहला लेन-देन आधे घंटे तक चलता है, दूसरा लेन-देन एक घंटे में समाप्त हो जाता है, और इसी तरह, ताकि एक घंटे के बाद सभी लेन-देन समाप्त हो जाएं. जाहिर है जलाशय में गेंदों का सेट बिना किसी सीमा के बढ़ता है। फिर भी, एक घंटे के बाद जलाशय खाली हो जाता है क्योंकि प्रत्येक गेंद के लिए हटाने का समय ज्ञात होता है।

निष्कासन अनुक्रम के महत्व से विरोधाभास और बढ़ जाता है। यदि गेंदों को अनुक्रम 1, 2, 3, ... में नहीं हटाया जाता है, लेकिन क्रम 1, 11, 21, ... में एक घंटे के बाद असीम रूप से कई गेंदें जलाशय को आबाद करती हैं, हालांकि पहले की तरह ही सामग्री की मात्रा ले जाया गया।

प्रमाण और निश्चितता के विरोधाभास
अपरिमित समुच्चयों से संबंधित प्रश्नों को हल करने में इसकी सभी उपयोगिता के बावजूद, सरल समुच्चय सिद्धांत में कुछ घातक दोष हैं। विशेष रूप से, यह तार्किक विरोधाभासों का शिकार है जैसे रसेल के विरोधाभास द्वारा उजागर किए गए। इन विरोधाभासों की खोज से पता चला है कि सभी सेट जिन्हें सहज सेट सिद्धांत की भाषा में वर्णित किया जा सकता है, वास्तव में एक विरोधाभास पैदा किए बिना अस्तित्व में नहीं कहा जा सकता है। 20वीं सदी में सेट सिद्धांतों के विभिन्न स्वयंसिद्धों के विकास में इन विरोधाभासों का समाधान देखा गया, जैसे आज आम उपयोग में ZFC और वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट सिद्धांत। हालाँकि, इन सिद्धांतों की अत्यधिक औपचारिक और प्रतीकात्मक भाषा (गणित) और गणितीय भाषा के हमारे विशिष्ट अनौपचारिक उपयोग के बीच की खाई विभिन्न विरोधाभासी स्थितियों में परिणाम देती है, साथ ही दार्शनिक प्रश्न वास्तव में यह क्या है कि ऐसी औपचारिक प्रणालियाँ वास्तव में होने का प्रस्ताव करती हैं। के बारे में बातें कर रहे हैं।

प्रारंभिक विरोधाभास: सभी सेटों का सेट
1897 में इतालवी गणितज्ञ Cesare बुराली-फोर्टी ने पाया कि ऐसा कोई सेट नहीं है जिसमें सभी क्रमिक संख्याएँ हों। जैसा कि प्रत्येक क्रमिक संख्या को छोटे क्रमिक संख्याओं के एक सेट द्वारा परिभाषित किया गया है, सभी क्रमिक संख्याओं का सुव्यवस्थित सेट Ω (यदि यह मौजूद है) परिभाषा में फिट बैठता है और स्वयं एक क्रमसूचक है। दूसरी ओर, कोई भी क्रमिक संख्या स्वयं को समाहित नहीं कर सकती है, इसलिए Ω एक क्रमसूचक नहीं हो सकता। इसलिए, सभी क्रमसूचक संख्याओं का समुच्चय मौजूद नहीं हो सकता।

19वीं सदी के अंत तक कैंटर को सभी कार्डिनल नंबरों के सेट और सभी ऑर्डिनल नंबरों के सेट के गैर-अस्तित्व के बारे में पता था। डेविड हिल्बर्ट और रिचर्ड डेडेकिंड को लिखे पत्रों में उन्होंने असंगत सेटों के बारे में लिखा, जिनमें से सभी तत्वों को एक साथ होने के बारे में नहीं सोचा जा सकता है, और उन्होंने इस परिणाम का उपयोग यह साबित करने के लिए किया कि प्रत्येक सुसंगत सेट में एक कार्डिनल संख्या होती है।

इन सब के बाद, 1903 में बर्ट्रेंड रसेल द्वारा परिकल्पित सभी सेट विरोधाभास के सेट के संस्करण ने सेट सिद्धांत में एक गंभीर संकट पैदा कर दिया। रसेल ने माना कि कथन x = x प्रत्येक सेट के लिए सत्य है, और इस प्रकार सभी सेटों का सेट {x | द्वारा परिभाषित किया गया है एक्स = एक्स}। 1906 में उन्होंने कई विरोधाभास सेटों का निर्माण किया, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध उन सभी सेटों का सेट है जो स्वयं को शामिल नहीं करते हैं। रसल ने स्वयं इस अमूर्त विचार को कुछ अत्यंत ठोस चित्रों के माध्यम से समझाया। एक उदाहरण, जिसे नाई विरोधाभास के रूप में जाना जाता है, कहता है: पुरुष नाई जो सभी को शेव करता है और केवल वही पुरुष जो खुद को शेव नहीं करते हैं, उन्हें खुद को शेव करना पड़ता है, अगर वह खुद को शेव नहीं करता है।

सेट थ्योरी में रसेल के विरोधाभास और ग्रीलिंग-नेल्सन विरोधाभास के बीच काफी समानताएं हैं, जो प्राकृतिक भाषा में एक विरोधाभास को प्रदर्शित करता है।

कोनिग का विरोधाभास
1905 में, हंगेरियन गणितज्ञ जूलियस कोनिग ने इस तथ्य के आधार पर एक विरोधाभास प्रकाशित किया कि केवल गिने-चुने परिमित परिभाषाएँ हैं। यदि हम वास्तविक संख्याओं को एक सुव्यवस्थित सेट के रूप में कल्पना करते हैं, तो वे वास्तविक संख्याएँ जिन्हें परिमित रूप से परिभाषित किया जा सकता है, एक उपसमुच्चय बनाती हैं। इसलिए इस क्रम में एक पहली वास्तविक संख्या होनी चाहिए जो अंतिम रूप से परिभाषित न हो। यह विरोधाभासी है, क्योंकि इस वास्तविक संख्या को अभी अंतिम वाक्य द्वारा परिमित रूप से परिभाषित किया गया है। यह भोले समुच्चय सिद्धांत में विरोधाभास की ओर ले जाता है।

स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत में इस विरोधाभास से बचा जाता है। हालांकि गोडेल संख्या के रूप में ज्ञात कोड की एक प्रणाली द्वारा एक सेट के रूप में एक सेट के बारे में एक प्रस्ताव का प्रतिनिधित्व करना संभव है, कोई सूत्र नहीं है $$\varphi(a,x)$$ सेट थ्योरी की भाषा में जो वास्तव में कब होता है $$a$$ एक सेट के बारे में एक परिमित प्रस्ताव के लिए एक कोड है, $$x$$ एक सेट है, और $$a$$ के लिए रखता है $$x$$. इस परिणाम को टार्स्की की अपरिभाष्यता प्रमेय के रूप में जाना जाता है; यह औपचारिक प्रणालियों की एक विस्तृत श्रेणी पर लागू होता है, जिसमें सेट थ्योरी के सभी सामान्यतः अध्ययन किए गए स्व-सिद्धांत शामिल हैं।

रिचर्ड का विरोधाभास
उसी वर्ष फ्रांसीसी गणितज्ञ जूल्स रिचर्ड (गणितज्ञ) ने नेव सेट सिद्धांत में एक और विरोधाभास प्राप्त करने के लिए कैंटर के विकर्ण तर्क | कैंटर की विकर्ण विधि के एक संस्करण का उपयोग किया। शब्दों के सभी परिमित समूहों के समुच्चय A पर विचार करें। वास्तविक संख्याओं की सभी परिमित परिभाषाओं का समुच्चय E, A का एक उपसमुच्चय है। जैसा कि A गणनीय है, वैसे ही E भी है। मान लीजिए p समुच्चय E द्वारा परिभाषित nवीं वास्तविक संख्या का nवां दशमलव है; हम एक संख्या N बनाते हैं जिसमें पूर्णांक भाग के लिए शून्य और n वें दशमलव के लिए p + 1 है यदि p 8 या 9 के बराबर नहीं है, और एकता है यदि p 8 या 9 के बराबर है। यह संख्या N सेट द्वारा परिभाषित नहीं है E क्योंकि यह किसी भी निश्चित रूप से परिभाषित वास्तविक संख्या से भिन्न है, अर्थात् nवें अंक से nवें अंक से। लेकिन N को इस पैराग्राफ में सीमित संख्या में शब्दों द्वारा परिभाषित किया गया है। इसलिए यह समुच्चय E में होना चाहिए। यह एक विरोधाभास है।

कोनिग के विरोधाभास के साथ, इस विरोधाभास को स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत में औपचारिक रूप नहीं दिया जा सकता है क्योंकि इसमें यह बताने की क्षमता की आवश्यकता होती है कि कोई विवरण किसी विशेष सेट पर लागू होता है (या, समकक्ष, यह बताने के लिए कि क्या कोई सूत्र वास्तव में एकल सेट की परिभाषा है)।

लोवेनहेम और स्कोलेम का विरोधाभास
जर्मन गणितज्ञ लियोपोल्ड लोवेनहेम (1915) के काम के आधार पर नॉर्वेजियन लॉजिशियन थोराल्फ़ स्कोलेम  ने 1922 में दिखाया कि प्रथम-क्रम के प्रत्येक सुसंगत सिद्धांत, जैसे कि सेट थ्योरी, कैलकुलस की भविष्यवाणी करते हैं, में सबसे अधिक गणना योग्य मॉडल सिद्धांत होता है। हालाँकि, कैंटर की प्रमेय साबित करती है कि बेशुमार सेट हैं। इस प्रतीत होने वाले विरोधाभास की जड़ यह है कि एक सेट की गिनती या गैर-गिनती हमेशा निरपेक्षता (गणितीय तर्क) नहीं होती है, लेकिन उस मॉडल पर निर्भर हो सकती है जिसमें कार्डिनैलिटी को मापा जाता है। सेट थ्योरी के एक मॉडल में एक सेट के लिए बेशुमार होना संभव है, लेकिन एक बड़े मॉडल में काउंटेबल है (क्योंकि काउंटेबिलिटी स्थापित करने वाले आक्षेप बड़े मॉडल में हैं, लेकिन छोटे वाले में नहीं)।

यह भी देखें

 * असंभवता का प्रमाण
 * बेरी विरोधाभास

संदर्भ

 * G. Cantor: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, E. Zermelo (Ed.), Olms, Hildesheim 1966.
 * H. Meschkowski, W. Nilson: Georg Cantor - Briefe, Springer, Berlin 1991.
 * A. Fraenkel: Einleitung in die Mengenlehre, Springer, Berlin 1923.
 * A. A. Fraenkel, A. Levy: Abstract Set Theory, North Holland, Amsterdam 1976.
 * F. Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre, Chelsea, New York 1965.
 * B. Russell: The principles of mathematics I, Cambridge 1903.
 * B. Russell: On some difficulties in the theory of transfinite numbers and order types, Proc. London Math. Soc. (2) 4 (1907) 29-53.
 * P. J. Cohen: Set Theory and the Continuum Hypothesis, Benjamin, New York 1966.
 * S. Wagon: The Banach–Tarski Paradox, Cambridge University Press, Cambridge 1985.
 * A. N. Whitehead, B. Russell: Principia Mathematica I, Cambridge Univ. Press, Cambridge 1910, p. 64.
 * E. Zermelo: Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung, Math. Ann. 65 (1908) p. 107-128.

बाहरी संबंध

 * Principia Mathematica
 * Definability paradoxes by Timothy Gowers