रेडिकल्स में समाधान

रेडिकल या बीजगणितीय समाधान एक संवृत रूप से व्यंजक (गणित) होते है, और अधिक विशेष रूप से एक संवृत रूप से बीजगणितीय व्यंजक (गणित) होते है, जो एक बहुपद समीकरण का समाधान करते है, और जो केवल जोड़, घटाव, गुणा, भाग (गणित) पर संफुल्लन करता है, पूर्णांक घात को बढ़ाता है, और nवें मूल (वर्गमूल, घनमूल, और अन्य पूर्णांक मूल) का निष्कर्षण करता है।

एक सर्ववदित उदाहरण से हल होते है
 * $$x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}$$

द्विघात समीकरण का
 * $$ax^2 + bx + c =0.$$

घन समीकरणों और चतुर्थक समीकरण। के लिए अधिक जटिल बीजगणितीय समाधान सम्मलित होता हैं, एबेल-रफ़िनी प्रमेय, और, सामान्यतः गैलोज़ सिद्धांत, बताता है, कि कुछ क्विंटिक समीकरण, जैसे
 * $$x^5-x+1=0,$$

कोई बीजगणितीय समाधान नहीं होता हर उच्च डिग्री के लिए यही सत्य है। चूँकि, किसी भी डिग्री के लिए कुछ बहुपद समीकरण होते हैं जिनका बीजगणितीय समाधान होता है; उदाहरण के लिए, समीकरण $$x^{10} = 2$$ के रूप में समाधान किया जा सकता है $$x=\pm\sqrt[10]2.$$ आठ अन्य समाधान अवास्तविक जटिल संख्याएं होती हैं, जो बीजगणितीय भी होते और उनका रूप $$x=\pm r\sqrt[10]2,$$ होता है, जहाँ $r$ इकाई का पाँचवाँ मूल है, जिसे दो  नेस्टेड वर्गमूलों के साथ व्यक्त किया जा सकता है। डिग्री 5 में विभिन्न अन्य उदाहरणों के लिए   भी देखें।

इवरिस्ट गैलोइस ने एक मानदण्ड प्रस्तुत किया जिससे यह निर्णय किया जा सके कि कौन से समीकरण रेडिकल में समाधान किए जा सकते हैं। उसके परिणाम के त्रुटिहीन सूत्रीकरण के लिए रेडिकल्स विस्तारण देखें।

बीजगणितीय समाधान संवृत रूप अभिव्यक्तियों का एक उप-समूचय बनाते हैं, क्योंकि बाद वाले अनुवांशिक कार्यों (गैर-बीजीय कार्यों) जैसे घातीय फलन लघुगणक फलन और त्रिकोणमितीय फलन और उनके व्युत्क्रमों की अनुमति देते हैं।

यह भी देखें

 * क्विंटिक इक्वेशन सॉल्वेबल क्विंटिक्स
 * सेक्सेटिक इक्वेशन सॉल्वेबल सेक्सटिक्स
 * सेप्टिक समीकरण सॉल्वेबल सेप्टिक्स