समक्षणिक समीकरण प्रतिरूप

समक्षणिक समीकरण प्रतिरूप एक प्रकार का सांख्यिकीय प्रतिरूप है जिसमें आश्रित और स्वतंत्र चर केवल स्वतंत्र चर के स्थान पर अन्य आश्रित चर के कार्य होते हैं। इसका अर्थ है कि कुछ व्याख्यात्मक चर आश्रित चर के साथ अंतर्जात (अर्थमिति) हैं, जो अर्थशास्त्र में सामान्यतः कुछ अंतर्निहित आर्थिक संतुलन का परिणाम है। विशिष्ट आपूर्ति और मांग प्रतिरूप को लें: जबकि सामान्यतः कोई आपूर्ति की गई मात्रा का निर्धारण करेगा और बाजार द्वारा निर्धारित मूल्य का एक कार्य होने की मांग करेगा, यह रिवर्स के लिए भी संभव है, जहां निर्माता उस मात्रा का निरीक्षण करते हैं जो उपभोक्ता मांग करते हैं और फिर कीमत निर्धारित करें।

एक साथ रुचि के सांख्यिकीय मापदंडों के बिंदु अनुमान के लिए चुनौतियां खड़ी होती हैं, क्योंकि गॉस-मार्कोव प्रमेय और जबकि एक साथ सभी युगपत समीकरणों का अनुमान लगाना स्वाभाविक होगा, यह प्रायः रैखिक समीकरणों की सबसे सरल प्रणाली के लिए भी एक अभिकलनात्मक जटिलता गैर-रैखिक अनुकूलन समस्या की ओर ले जाता है। इस स्थिति ने 1940 और 1950 के दशक में काउल्स आयोग के नेतृत्व में विकास को प्रेरित किया, विभिन्न तकनीकों का जो प्रतिरूप सेरीटिम में प्रत्येक समीकरण का अनुमान लगाता है, सबसे विशेष रूप से सीमित जानकारी अधिकतम संभावना और दो-चरण कम से कम वर्ग हैं।

संरचनात्मक और घटा हुआ रूप
मान लीजिए कि फॉर्म के m प्रतिक्रमण समीकरण हैं

y_{it} = y_{-i,t}'\gamma_i + x_{it}'\;\!\beta_i + u_{it}, \quad i=1,\ldots,m, $$ जहां i समीकरण संख्या है, और अवलोकन सूचकांक है। इन समीकरणों में xit बहिर्जात चरों का ki×1 सदिश है, yit आश्रित चर है, y−i,t अन्य सभी अंतर्जात चरों का ni×1 सदिश है जो दाईं ओर ith समीकरण में प्रवेश करते हैं, और uit त्रुटि स्तिथि हैं। "−i" संकेतन इंगित करता है कि सदिश y−i,t में yit को छोड़कर कोई भी y हो सकता है (क्योंकि यह पहले से ही बाईं ओर उपस्थित है)। प्रतीपगमन गुणांक βi और γi क्रमशः ki×1 और ni×1 आयामों के हैं। Ith समीकरण के संगत T प्रेक्षणों को वर्टिकली स्टैक करते हुए, हम प्रत्येक समीकरण को सदिश रूप में इस प्रकार लिख सकते हैं

y_i = Y_{-i}\gamma_i + X_i\beta_i + u_i, \quad i=1,\ldots,m, $$ जहां yi और ui T×1 सदिश हैं, Xi बहिर्जात प्रतिगमनकर्ताओं का T×ki आव्यूह है, और Y−i ith समीकरण के दाईं ओर अंतर्जात प्रतिगमनकर्ताओं का T×ni आव्यूह है। अंत में, हम सभी अंतर्जात चरों को बाईं ओर स्थानांतरित कर सकते हैं और m समीकरणों को सदिश रूप में संयुक्त रूप से लिख सकते हैं

Y\Gamma = X\Beta + U.\, $$ इस प्रतिनिधित्व को संरचनात्मक रूप के रूप में जाना जाता है। इस समीकरण में Y = [y1 y2 ... ym] आश्रित चरों का T×m आव्यूह है। प्रत्येक मेट्रिसेस Y−i वास्तव में इस Y का एक ni-स्तंभित उपआव्यूह है। m×m आव्यूह Γ, जो निर्भर चर के बीच संबंध का वर्णन करता है, की एक जटिल संरचना है। इसमें एक विकर्ण पर है, और प्रत्येक पंक्ति i के अन्य सभी तत्व या तो सदिश −γi या शून्य के घटक हैं, इस पर निर्भर करता है कि Y के कौन से पंक्ति आव्यूह Y−i में सम्मिलित किए गए थे। T×k आव्यूह X में सभी समीकरणों से सभी बहिर्जात प्रतिगमन सम्मिलित हैं, लेकिन दोहराव के बिना सम्मिलित हैं (यानी, आव्यूह X पूर्ण श्रेणी का होना चाहिए)। इस प्रकार, प्रत्येक Xi, X का एक की-स्तंभित उपआव्यूह है। आव्यूह Β का आकार k×m है, और इसके प्रत्येक पंक्ति में सदिश βi और शून्य के घटक होते हैं, जो इस बात पर निर्भर करता है कि X के कौन से प्रतिगामी सम्मिलित थे या Xi से बाहर किए गए थे। अंत में, U = [u1 u2 ... um] त्रुटि स्तिथि का एक T×m आव्यूह है।

संरचनात्मक समीकरण को Γ−1 से गुणा करने के बाद, प्रणाली को निम्न रूप में लिखा जा सकता है

Y = X\Beta\Gamma^{-1} + U\Gamma^{-1} = X\Pi + V.\, $$ यह पहले से ही एक साधारण सामान्य रैखिक प्रतिरूप है, और इसका अनुमान लगाया जा सकता है, उदाहरण के लिए साधारण कम से कम वर्गों द्वारा अनुमान लगाया जा सकता है। दुर्भाग्य से, अनुमानित आव्यूह को विघटित करने का कार्य व्यक्तिगत कारकों में Β और Γ−1 काफी जटिल है, और इसलिए घटा हुआ रूप भविष्यवाणी के लिए अधिक उपयुक्त है, लेकिन अनुमान के लिए उपयुक्त नहीं है।

कल्पना
सबसे पहले, बहिर्जात प्रतिगामी के आव्यूह X की श्रेणी k के बराबर होनी चाहिए, दोनों परिमित प्रतिरूप में और सीमा के रूप में T → ∞ है (इस बाद की आवश्यकता का अर्थ है कि अभिव्यक्ति की सीमा में एक गैर-अनपभ्रष्ट k × k आव्यूह में परिवर्तित होना चाहिए)। आव्यूह Γ को गैर-पतित भी माना जाता है।

अर्थात्, यदि आव्यूह U की tवीं पंक्ति को u(t) द्वारा निरूपित किया जाता है, तो सदिशों {u(t)} का अनुक्रम iid होना चाहिए, शून्य माध्य और कुछ सहप्रसरण आव्यूह Σ के साथ (जो अज्ञात है) होना चाहिए। विशेष रूप से, इसका तात्पर्य है कि E[U] = 0 और E[U′U] = T Σ।

अंत में, अभिज्ञान के लिए मान्यताओं की आवश्यकता होती है।

अभिज्ञान
अभिज्ञान की स्तिथियों के लिए आवश्यक है कि रैखिक समीकरणों की प्रणाली अज्ञात मापदंडों के लिए हल करने योग्य हो।

अधिक विशेष रूप से, आदेश की स्थिति, अभिज्ञान के लिए एक आवश्यक स्तिथि, वह है जो प्रत्येक समीकरण के लिए $k_{i} + n_{i} ≤ k$ है, जिसे "बहिष्कृत बहिर्जात चरों की संख्या सम्मिलित अंतर्जात चरों की संख्या के बराबर या अधिक है" के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

श्रेणी की स्थिति, एक शक्तिशाली स्थिति जो आवश्यक और पर्याप्त है, वह $Π_{i0}$ श्रेणी (रैखिक बीजगणित) $n_{i}$ के बराबर है, जहां Πi0 एक (k − ki)×ni आव्यूह है जो Π से उन स्तंभों को पार करके प्राप्त किया जाता है जो बहिष्कृत अंतर्जात चर के अनुरूप होते हैं, और वे पंक्तियां जो सम्मिलित बहिर्जात चर के अनुरूप होती हैं।

अभिज्ञान प्राप्त करने के लिए क्रॉस-समीकरण प्रतिबंधों का उपयोग
समक्षणिक समीकरण प्रतिरूप में, मापदण्ड अभिज्ञान समस्या को प्राप्त करने का सबसे सामान्य तरीका भीतर-समीकरण मापदण्ड प्रतिबंधों को लागू करना है। फिर भी, क्रॉस समीकरण प्रतिबंधों का उपयोग करके अभिज्ञान भी संभव है।

अभिज्ञान के लिए क्रॉस समीकरण प्रतिबंधों का उपयोग कैसे किया जा सकता है, यह समझाने के लिए, वूल्ड्रिज से निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें


 * $$\begin{align}

y_1 &= \gamma_{12} y_2 + \delta_{11} z_1 + \delta_{12} z_2 + \delta_{13} z_3 + u_1 \\ y_2 &= \gamma_{21} y_1 + \delta_{21} z_1 + \delta_{22} z_2 + u_2 \end{align}$$ जहाँ z, u के साथ असंबद्ध हैं और y अंतर्जात चर हैं। आगे के प्रतिबंधों के बिना, पहले समीकरण की अभिज्ञान नहीं की जा सकती क्योंकि कोई बहिष्कृत चर नहीं है। दूसरे समीकरण $δ_{13}≠0$ की अभिज्ञान सिर्फ अगर की जाती है, जिसे शेष चर्चा के लिए सत्य माना जाता है।

अब हम $δ_{12}=δ_{22}$ का क्रॉस समीकरण प्रतिबंध लगाते हैं। चूंकि दूसरे समीकरण की अभिज्ञान की गई है, अभिज्ञान के उद्देश्य से हम $δ_{12}$ को ज्ञात मान सकते हैं। तो, पहला समीकरण निम्न बन जाता है:


 * $$y_1 - \delta_{12} z_2 = \gamma_{12} y_2 + \delta_{11} z_1 + \delta_{13} z_3 + u_1$$

तब हम $(z_{1}, z_{2}, z_{3})$ उपयोग कर सकते हैं, उपरोक्त समीकरण में गुणांकों का अनुमान लगाने के लिए सहायक चर के रूप में क्योंकि एक अंतर्जात चर ($y_{2}$) हैं और एक अपवर्जित बहिर्जात चर ($z_{2}$) दाहिने हाथ की ओर है। इसलिए, भीतर-समीकरण प्रतिबंधों के स्थान पर क्रॉस समीकरण प्रतिबंध अभिज्ञान प्राप्त कर सकते हैं।

दो-चरण न्यूनतम वर्ग (2एसएलएस)
एक साथ समीकरण मॉडल के लिए सबसे सरल और सबसे आम अनुमान विधि तथाकथित दो-चरण कम से कम वर्ग विधि है, थिइल (1953) और बासमैन (1957) द्वारा स्वतंत्र रूप से विकसित की गई। यह एक समीकरण-दर-समीकरण तकनीक है, जहां प्रत्येक समीकरण के दाईं ओर के अंतर्जात प्रतिगामी को अन्य सभी समीकरणों से प्रतिगामी X के साथ यंत्रीकृत किया जा रहा है। विधि को "दो-चरण" कहा जाता है क्योंकि यह दो चरणों में अनुमान लगाती है:

चरण 1: X पर Y−i को पुनः प्राप्त करें और अनुमानित मान प्राप्त करें ;
 * चरण 2: और Xi पर yi के सामान्य न्यूनतम वर्ग प्रतिगमन द्वारा γi, βi का अनुमान लगाएं।

अगर iवें प्रतिरूप में समीकरण के रूप में लिखा गया है

y_i = \begin{pmatrix}Y_{-i} & X_i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\gamma_i\\\beta_i\end{pmatrix} + u_i \equiv Z_i \delta_i + u_i, $$ जहाँ Zi एक T×(ni + ki) आव्यूह है जो ith समीकरण में अंतर्जात और बहिर्जात दोनों प्रतिगमनकर्ताओं का है, और δi प्रतिगमन गुणांकों का एक (ni + ki)-आयामी सदिश है, तो δi का 2एसएलएस अनुमानक दिया जाएगा : $$ \hat\delta_i = \big(\hat{Z}'_i\hat{Z}_i\big)^{-1}\hat{Z}'_i y_i = \big( Z'_iPZ_i \big)^{-1} Z'_iPy_i, $$ जहां P = X '(X 'X)−1X ′ बहिर्जात प्रतिगामी X द्वारा फैलाए गए रैखिक स्थान पर प्रक्षेपण आव्यूह है।

अप्रत्यक्ष कम से कम वर्ग
अप्रत्यक्ष कम से कम वर्ग अर्थमिति में एक दृष्टिकोण है जहां समक्षणिक समीकरण प्रतिरूप में गुणांक सामान्य कम से कम वर्गों का उपयोग करके कम फॉर्म प्रतिरूप से अनुमान लगाया जाता है। इसके लिए, समीकरणों की संरचनात्मक प्रणाली को पहले कम रूप में परिवर्तित किया जाता है। एक बार गुणांकों का अनुमान लगाने के बाद प्रतिरूप को संरचनात्मक रूप में वापस रखा जाता है।

सीमित जानकारी अधिकतम संभावना (LIML)
"सीमित जानकारी" अधिकतम संभावना पद्धति का सुझाव 1947 में एम. ए. गिरशिक ने दिया था, और 1949 में टी. डब्ल्यू. एंडरसन और एच. रुबिन द्वारा औपचारिक रूप दिया गया। इसका उपयोग तब किया जाता है जब कोई एक समय में एक ही संरचनात्मक समीकरण का अनुमान लगाने में रुचि रखता है (इसलिए इसका नाम सीमित जानकारी है), अवलोकन i के लिए निम्नलिखित है :


 * $$  y_i = Y_{-i}\gamma_i  +X_i\beta_i+ u_i \equiv Z_i \delta_i + u_i  $$

शेष अंतर्जात चर Y−i के लिए संरचनात्मक समीकरण निर्दिष्ट नहीं हैं, और उन्हें उनके संक्षिप्त रूप में दिया गया है:
 * $$  Y_{-i} = X \Pi + U_{-i} $$

इस संदर्भ में संकेतन साधारण वाद्य चर की स्तिथि से अलग है। किसी के पास:
 * $$Y_{-i}$$: अंतर्जात चर।
 * $$X_{-i}$$: बहिर्जात चर (ओं)
 * $$X$$: उपकरण (प्रायः निरूपित $$Z$$)

एलआईएमएल के लिए निम्न स्पष्ट सूत्र है:

\hat\delta_i = \Big(Z'_i(I-\lambda M)Z_i\Big)^{\!-1}Z'_i(I-\lambda M)y_i, $$ जहाँ, और λ आव्यूह की सबसे छोटी विशेषता जड़ है:

\Big(\begin{bmatrix}y_i\\Y_{-i}\end{bmatrix} M_i \begin{bmatrix}y_i&Y_{-i}\end{bmatrix} \Big) \Big(\begin{bmatrix}y_i\\Y_{-i}\end{bmatrix} M \begin{bmatrix}y_i&Y_{-i}\end{bmatrix} \Big)^{\!-1} $$ जहां, इसी तरह,.

दूसरे शब्दों में, λ सामान्यीकृत आइगेनवैल्यू समस्या का सबसे छोटा समाधान है, देखें :



\Big|\begin{bmatrix}y_i&Y_{-i}\end{bmatrix}' M_i \begin{bmatrix}y_i&Y_{-i}\end{bmatrix} -\lambda \begin{bmatrix}y_i&Y_{-i}\end{bmatrix}' M \begin{bmatrix}y_i&Y_{-i}\end{bmatrix} \Big|=0 $$

K वर्ग के अनुमानक
एलआईएमएल K-श्रेणी के अनुमानकर्ताओं की एक विशेष स्तिथि है:

\hat\delta = \Big(Z'(I-\kappa M)Z\Big)^{\!-1}Z'(I-\kappa M)y, $$ साथ: कई अनुमानक इस वर्ग के हैं:
 * $$ \delta = \begin{bmatrix} \beta_i & \gamma_i\end{bmatrix} $$
 * $$ Z = \begin{bmatrix} X_i & Y_{-i}\end{bmatrix} $$
 * κ=0: सामान्य न्यूनतम वर्ग
 * κ=1: 2एसएलएस। वास्तव में ध्यान दें कि इस स्तिथि में, $$ I-\kappa M = I-M= P $$ 2एसएलएस का सामान्य प्रक्षेप आव्यूह
 * κ=λ: एलआईएमएल
 * κ=λ - α (n-K): अनुमानक। यहाँ K उपकरणों की संख्या, n प्रतिरूप आकार, और α निर्दिष्ट करने के लिए एक सकारात्मक स्थिरांक का प्रतिनिधित्व करता है। α = 1 का मान एक अनुमानक उत्पन्न करेगा जो लगभग निष्पक्ष है।

तीन-चरण न्यूनतम वर्ग (3एसएलएस)
तीन-चरण न्यूनतम वर्ग अनुमानक के द्वारा प्रस्तुत किया गया था।  इसे क्षणों के बहु-समीकरण सामान्यीकृत विधि की एक विशेष स्तिथि के रूप में देखा जा सकता है जहां वाद्य चर का सम्मुच्चय सभी समीकरणों के लिए सामान्य है। यदि सभी प्रतिगामी वास्तव में पूर्व निर्धारित हैं, तो 3एसएलएस प्रतीत होता है कि असंबंधित प्रतिगमन (एसयूआर) को कम कर देता है। इस प्रकार इसे एसयूआर के साथ टू-स्टेज लीस्ट स्क्वेयर (2एसएलएस) के संयोजन के रूप में भी देखा जा सकता है।

सामाजिक विज्ञान में अनुप्रयोग
विभिन्न क्षेत्रों और विषयों में समक्षणिक समीकरण प्रतिरूप विभिन्न अवलोकन संबंधी घटनाओं पर लागू होते हैं। इन समीकरणों को तब लागू किया जाता है जब घटनाओं को पारस्परिक रूप से कारण मान लिया जाता है। उत्कृष्ट उदाहरण अर्थशास्त्र में आपूर्ति और मांग है। अन्य विषयों में उम्मीदवार के मूल्यांकन और दल की अभिज्ञान जैसे उदाहरण हैं या राजनीति विज्ञान में जनमत और सामाजिक नीति उदाहरण हैं; भूगोल में सड़क निवेश और यात्रा की मांग; और शैक्षिक प्राप्ति और समाजशास्त्र या जनसांख्यिकी में पितृत्व प्रवेश। समक्षणिक समीकरण प्रतिरूप के लिए पारस्परिक कार्य-कारण के सिद्धांत की आवश्यकता होती है जिसमें विशेष विशेषताएं सम्मिलित होती हैं यदि एक समीकरण के एकतरफा 'खण्ड' के विपरीत एक साथ प्रतिक्रिया के रूप में कारण प्रभाव का अनुमान लगाया जाता है जहां एक शोधकर्ता Y पर X के कारण प्रभाव में रुचि रखता है। X पर Y के कारण प्रभाव को स्थिर रखते हुए, या जब शोधकर्ता प्रत्येक कारण प्रभाव के होने में लगने वाले समय की सटीक मात्रा को जानता है, यानी कारण की लंबाई कम हो जाती है। लैग्ड प्रभावों के स्थान पर, एक साथ प्रतिक्रिया का अर्थ है एक दूसरे पर X और Y के एक साथ और स्थायी प्रभाव का अनुमान लगाना सम्मिलित है। इसके लिए एक सिद्धांत की आवश्यकता होती है कि कारणात्मक प्रभाव समय के साथ-साथ होते हैं, या इतने जटिल होते हैं कि वे एक साथ व्यवहार करते दिखाई देते हैं; एक सामान्य उदाहरण रूममेट्स की मनोदशा है। एक साथ प्रतिक्रिया प्रतिरूप का अनुमान लगाने के लिए संतुलन का एक सिद्धांत भी आवश्यक है - कि X और Y अपेक्षाकृत स्थिर अवस्था में हैं या एक प्रणाली (समाज, बाजार, कक्षा) का हिस्सा हैं जो अपेक्षाकृत स्थिर स्थिति में है।

यह भी देखें

 * सामान्य रैखिक प्रतिरूप
 * प्रतीत होता है असंबंधित प्रतिगमन
 * घटा हुआ रूप
 * मापदण्ड अभिज्ञान समस्या

बाहरी संबंध

 * by Mark Thoma