समतल ज्यामिति

गणित में, एक तल एक यूक्लिडियन स्थान (सपाटता (गणित)) है ), द्वि-आयामी सतह (गणित) जो अनिश्चित काल तक फैली हुई है। एक विमान एक बिंदु (ज्यामिति) (शून्य आयाम), एक रेखा (ज्यामिति) (एक आयाम) और त्रि-आयामी अंतरिक्ष का द्वि-आयामी एनालॉग है। विमान कुछ उच्च-आयामी अंतरिक्ष के यूक्लिडियन उप-स्थान के रूप में उत्पन्न हो सकते हैं, जैसे कि एक कमरे की दीवारों में से एक के साथ, असीम रूप से विस्तारित, या वे अपने आप में एक स्वतंत्र अस्तित्व का आनंद ले सकते हैं, जैसा कि द्वि-आयामी की सेटिंग में है यूक्लिडियन ज्यामिति। कभी-कभी दो-आयामी सतह (गणित) का वर्णन करने के लिए विमान शब्द का अधिक सामान्य रूप से उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए हाइपरबॉलिक विमान और अंडाकार विमान।

द्वि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में विशेष रूप से काम करते समय, निश्चित लेख का उपयोग किया जाता है, इसलिए विमान पूरे स्थान को संदर्भित करता है। गणित, ज्यामिति, त्रिकोणमिति, ग्राफ सिद्धांत और फ़ंक्शन के ग्राफ में कई मौलिक कार्य दो-आयामी अंतरिक्ष में अक्सर विमान में किए जाते हैं।

यूक्लिडियन ज्यामिति
यूक्लिड ने गणितीय विचार का पहला महान मील का पत्थर, ज्यामिति का एक स्वयंसिद्ध उपचार निर्धारित किया। उन्होंने अपरिभाषित शब्दों (जिन्हें सामान्य धारणाएँ कहा जाता है) और अभिधारणाओं (या स्वयंसिद्धों) के एक छोटे से मूल का चयन किया, जिसका उपयोग उन्होंने विभिन्न ज्यामितीय कथनों को सिद्ध करने के लिए किया। यद्यपि अपने आधुनिक अर्थों में विमान को यूक्लिड के तत्वों में कहीं भी सीधे तौर पर कोई परिभाषा नहीं दी गई है, इसे आम धारणाओं के हिस्से के रूप में माना जा सकता है। यूक्लिड ने कभी भी लंबाई, कोण या क्षेत्र को मापने के लिए संख्याओं का उपयोग नहीं किया। एक चुने हुए कार्तीय समन्वय प्रणाली से सुसज्जित यूक्लिडियन तल को कार्तीय तल कहा जाता है; ध्रुवीय समन्वय प्रणाली से लैस एक गैर-कार्टेशियन यूक्लिडियन विमान को ध्रुवीय विमान कहा जाएगा।



एक विमान एक शासित सतह है।

प्रतिनिधित्व
यह खंड पूरी तरह से तीन आयामों में एम्बेडेड विमानों से संबंधित है: विशेष रूप से, कार्टेशियन उत्पाद में$R^{3}$.

निहित बिंदुओं और रेखाओं द्वारा निर्धारण
किसी भी आयाम के यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, एक विमान निम्नलिखित में से किसी एक द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है:
 * तीन असंरेख बिंदु (बिंदु एक रेखा पर नहीं हैं)।
 * एक रेखा और एक बिंदु उस रेखा पर नहीं।
 * दो अलग लेकिन प्रतिच्छेदी रेखाएँ।
 * दो अलग लेकिन समानांतर (ज्यामिति) रेखाएँ।

गुण
निम्नलिखित कथन त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में हैं, लेकिन उच्च आयामों में नहीं, हालांकि उनके उच्च-आयामी एनालॉग हैं:
 * दो अलग-अलग तल या तो समानांतर हैं या वे एक रेखा (ज्यामिति) में प्रतिच्छेद करते हैं।
 * एक रेखा या तो एक समतल के समानांतर होती है, उसे एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है, या तल में समाहित होती है।
 * एक ही तल पर लंबवत दो अलग-अलग रेखाएं एक-दूसरे के समानांतर होनी चाहिए।
 * एक ही रेखा के लंबवत दो अलग-अलग तल एक दूसरे के समानांतर होने चाहिए।

बिंदु–समीकरण का सामान्य रूप और समतल का सामान्य रूप
जिस तरह से दो-आयामी अंतरिक्ष में रेखाओं को उनके समीकरणों के लिए बिंदु-ढलान रूप का उपयोग करके वर्णित किया जाता है, तीन आयामी अंतरिक्ष में विमानों का विमान में एक बिंदु और इसके लिए एक वेक्टर ऑर्थोगोनल का उपयोग करके एक प्राकृतिक विवरण होता है। सामान्य वेक्टर) इसके झुकाव को इंगित करने के लिए।

विशेष रूप से, चलो $r_{0}$ किसी बिंदु की स्थिति वेक्टर बनें $P_{0} = (x_{0}, y_{0}, z_{0})$, और जाने $n = (a, b, c)$ एक अशून्य वेक्टर बनें। बिंदु द्वारा निर्धारित विमान $P_{0}$ और वेक्टर $n$ उन बिंदुओं से मिलकर बनता है $P$, स्थिति वेक्टर के साथ $r$, जैसे कि वेक्टर से खींचा गया $P_{0}$ प्रति $P$ के लंबवत है $n$. यह याद करते हुए कि दो वैक्टर लंबवत हैं यदि और केवल यदि उनका डॉट उत्पाद शून्य है, तो यह इस प्रकार है कि वांछित विमान को सभी बिंदुओं के सेट के रूप में वर्णित किया जा सकता है। $r$ ऐसा है कि $$\boldsymbol{n} \cdot (\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_0)=0.$$ यहां डॉट का मतलब डॉट प्रोडक्ट|डॉट (स्केलर) प्रोडक्ट है। विस्तारित यह हो जाता है $$ a (x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0,$$ जो एक समतल के समीकरण का बिंदु-सामान्य रूप है। यह सिर्फ एक रेखीय समीकरण है $$ ax + by + cz + d = 0,$$ कहाँ पे $$ d = -(ax_0 + by_0 + cz_0),$$ जो का विस्तारित रूप है $$- \boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{r}_0.$$ गणित में सामान्य को एक इकाई वेक्टर के रूप में व्यक्त करना एक सामान्य परंपरा है, लेकिन उपरोक्त तर्क किसी भी गैर-शून्य लंबाई के सामान्य वेक्टर के लिए है।

इसके विपरीत, यह आसानी से दिखाया जाता है कि यदि $a$, $b$, $c$, तथा $d$ स्थिरांक हैं और $a$, $b$, तथा $c$ सभी शून्य नहीं हैं, तो समीकरण का ग्राफ $$ ax + by + cz + d = 0,$$ एक विमान है जिसमें वेक्टर है $n = (a, b, c)$ एक सामान्य के रूप में। एक तल के लिए इस परिचित समीकरण को तल के समीकरण का सामान्य रूप कहा जाता है। इस प्रकार उदाहरण के लिए फॉर्म का एक प्रतिगमन समीकरण $y = d + ax + cz$ (साथ $b = −1$) दो व्याख्यात्मक चर होने पर त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक सर्वोत्तम फिट विमान स्थापित करता है।

एक बिंदु के साथ एक विमान का वर्णन करना और उस पर स्थित दो वैक्टर
वैकल्पिक रूप से, एक विमान को पैरामीट्रिक रूप से फॉर्म के सभी बिंदुओं के सेट के रूप में वर्णित किया जा सकता है $$\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}_0 + s \boldsymbol{v} + t \boldsymbol{w},$$

कहाँ पे $s$ तथा $t$ सभी वास्तविक संख्याओं पर सीमा, $v$ तथा $w$ विमान को परिभाषित करने वाले रैखिक स्वतंत्रता वेक्टर (ज्यामिति) दिए गए हैं, और $r_{0}$ वेक्टर विमान पर एक मनमाना (लेकिन निश्चित) बिंदु की स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है। वैक्टर $v$ तथा $w$ से प्रारंभ होने वाले सदिशों के रूप में देखे जा सकते हैं $r_{0}$ और विमान के साथ अलग-अलग दिशाओं में इशारा करते हुए। वैक्टर $v$ तथा $w$ लंबवत हो सकता है, लेकिन समानांतर नहीं हो सकता।

तीन बिंदुओं के माध्यम से एक विमान का वर्णन
होने देना $p_{1} = (x_{1}, y_{1}, z_{1})$, $p_{2} = (x_{2}, y_{2}, z_{2})$, तथा $p_{3} = (x_{3}, y_{3}, z_{3})$ असंरेख बिंदु हो।

विधि 1
प्लेन गुजर रहा है $p_{1}$, $p_{2}$, तथा $p_{3}$ निम्नलिखित निर्धारक समीकरणों को संतुष्ट करने वाले सभी बिंदुओं (x,y,z) के सेट के रूप में वर्णित किया जा सकता है: $$\begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x - x_2 & y - y_2 & z - z_2 \\ x - x_3 & y - y_3 & z - z_3 \end{vmatrix} = 0. $$

विधि 2
प्रपत्र के समीकरण द्वारा विमान का वर्णन करने के लिए $$ ax + by + cz + d = 0 $$समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें: $$ ax_1 + by_1 + cz_1 + d = 0$$ $$ ax_2 + by_2 + cz_2 + d = 0$$ $$ ax_3 + by_3 + cz_3 + d = 0.$$ क्रैमर के नियम और बुनियादी मैट्रिक्स जोड़तोड़ का उपयोग करके इस प्रणाली को हल किया जा सकता है। होने देना $$D = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{vmatrix}.$$ यदि $D$ गैर-शून्य है (इसलिए विमानों के लिए मूल के माध्यम से नहीं) के लिए मान $a$, $b$ तथा $c$ निम्नानुसार गणना की जा सकती है: $$a = \frac{-d}{D} \begin{vmatrix} 1 & y_1 & z_1 \\ 1 & y_2 & z_2 \\ 1 & y_3 & z_3 \end{vmatrix}$$ $$b = \frac{-d}{D} \begin{vmatrix} x_1 & 1 & z_1 \\ x_2 & 1 & z_2 \\ x_3 & 1 & z_3 \end{vmatrix}$$ $$c = \frac{-d}{D} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}.$$ ये समीकरण d में पैरामीट्रिक हैं। किसी भी गैर-शून्य संख्या के बराबर d सेट करना और इसे इन समीकरणों में प्रतिस्थापित करने से एक समाधान सेट प्राप्त होगा।

विधि 3
इस तल का वर्णन समतल (ज्यामिति) # बिंदु-सामान्य रूप और ऊपर दिए गए समतल नुस्खे के समीकरण के सामान्य रूप द्वारा भी किया जा सकता है। क्रॉस उत्पाद द्वारा एक उपयुक्त सामान्य वेक्टर दिया जाता है $$\boldsymbol n = ( \boldsymbol p_2 - \boldsymbol p_1 ) \times ( \boldsymbol p_3 - \boldsymbol p_1 ), $$ और बिंदु $r_{0}$ दिए गए बिंदुओं में से कोई भी लिया जा सकता है $p_{1}$, $p_{2}$ या $p_{3}$ (या विमान में कोई अन्य बिंदु)।

एक बिंदु से एक समतल की दूरी
विमान के लिए $$\Pi : ax + by + cz + d = 0$$ और एक बिंदु $$\boldsymbol p_1 = (x_1,y_1,z_1) $$ जरूरी नहीं कि विमान से ही सबसे कम दूरी पर पड़ा हो $$\boldsymbol p_1$$ विमान के लिए है
 * $$ D = \frac{\left | a x_1 + b y_1 + c z_1+d \right |}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}. $$

यह इस प्रकार है कि $$\boldsymbol p_1$$ तल में स्थित है यदि और केवल यदि D = 0 है।

यदि $$a^2+b^2+c^2=1$$, जिसका अर्थ है कि a, b, और c सामान्यीकृत हैं, तो समीकरण बन जाता है
 * $$ D = \left| a x_1 + b y_1 + c z_1+d \right|.$$

एक विमान के समीकरण के लिए एक अन्य वेक्टर रूप, जिसे हेस्से सामान्य रूप के रूप में जाना जाता है, पैरामीटर डी पर निर्भर करता है। यह रूप है: :$$\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{r} - D_0 = 0,$$ कहाँ पे $$\boldsymbol{n}$$ विमान के लिए एक इकाई सामान्य वेक्टर है, $$\boldsymbol{r}$$ विमान के एक बिंदु की स्थिति सदिश और डी0 मूल से विमान की दूरी।

वेक्टर संकेतन का उपयोग करके उच्च आयामों के लिए सामान्य सूत्र जल्दी से प्राप्त किया जा सकता है। माना हाइपरप्लेन का समीकरण है $$ \boldsymbol{n} \cdot (\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_0) = 0 $$, जहां $$\boldsymbol{n}$$ एक सामान्य वेक्टर है और $$\boldsymbol{r}_0 = (x_{10}, x_{20}, \dots, x_{N0})$$ हाइपरप्लेन में एक बिंदु के लिए एक स्थिति वेक्टर है। हम बिंदु से लंबवत दूरी चाहते हैं $$\boldsymbol{r}_1 = (x_{11}, x_{21}, \dots, x_{N1})$$. हाइपरप्लेन को स्केलर समीकरण द्वारा भी दर्शाया जा सकता है $\sum_{i=1}^N a_i x_i = -a_0$, स्थिरांक के लिए $$\{a_i\}$$. इसी तरह, एक संगत $$\boldsymbol{n}$$ रूप में दर्शाया जा सकता है $$(a_1,a_2, \dots, a_N)$$. हम वेक्टर के स्केलर प्रोजेक्शन की इच्छा रखते हैं $$\boldsymbol{r}_1 - \boldsymbol{r}_0$$ की दिशा में $$\boldsymbol{n}$$. नोट किया कि $$\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{r}_0 = \boldsymbol{r}_0 \cdot \boldsymbol{n} = -a_0$$ (जैसा $$\boldsymbol{r}_0$$ हाइपरप्लेन के समीकरण को संतुष्ट करता है) हमारे पास है
 * $$\begin{align}

D &= \frac{|(\boldsymbol{r}_1 - \boldsymbol{r}_0) \cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|} \\ &= \frac{|\boldsymbol{r}_1\cdot \boldsymbol{n} - \boldsymbol{r}_0 \cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|} \\ &= \frac{|\boldsymbol{r}_1\cdot \boldsymbol{n} + a_0|}{|\boldsymbol{n}|} \\ &= \frac{|a_1x_{11} + a_2x_{21} + \dots + a_Nx_{N1} + a_0|}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_N^2}}. \end{align}$$

लाइन-प्लेन चौराहा
विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, एक रेखा (गणित) और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक विमान का प्रतिच्छेदन खाली सेट, एक बिंदु (ज्यामिति), या एक रेखा हो सकता है।

दो विमानों के बीच चौराहे की रेखा
दो विमानों के बीच चौराहे की रेखा $$\Pi_1 : \boldsymbol {n}_1 \cdot \boldsymbol r = h_1$$ तथा $$\Pi_2 : \boldsymbol {n}_2 \cdot \boldsymbol r = h_2$$ कहाँ पे $$\boldsymbol {n}_i$$ द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है
 * $$ \boldsymbol {r} = (c_1 \boldsymbol {n}_1 + c_2 \boldsymbol {n}_2) + \lambda (\boldsymbol {n}_1 \times \boldsymbol {n}_2) $$

कहाँ पे
 * $$ c_1 = \frac{ h_1 - h_2(\boldsymbol {n}_1 \cdot \boldsymbol {n}_2) }{ 1 - (\boldsymbol {n}_1 \cdot \boldsymbol {n}_2)^2 } $$
 * $$ c_2 = \frac{ h_2 - h_1(\boldsymbol {n}_1 \cdot \boldsymbol {n}_2) }{ 1 - (\boldsymbol {n}_1 \cdot \boldsymbol {n}_2)^2 }.$$

यह ध्यान देकर पाया जाता है कि रेखा दोनों समतल मानदंडों के लंबवत होनी चाहिए, और इसलिए उनके क्रॉस उत्पाद के समानांतर होनी चाहिए $$\boldsymbol {n}_1 \times \boldsymbol {n}_2$$ (यह क्रॉस उत्पाद शून्य है यदि और केवल अगर विमान समानांतर हैं, और इसलिए गैर-प्रतिच्छेदन या पूरी तरह से संयोग हैं)।

व्यंजक का शेष भाग रेखा पर एक मनमाना बिंदु ज्ञात करके प्राप्त किया जाता है। ऐसा करने के लिए, विचार करें कि अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु को इस प्रकार लिखा जा सकता है $$\boldsymbol r = c_1\boldsymbol {n}_1 + c_2\boldsymbol {n}_2 + \lambda(\boldsymbol {n}_1 \times \boldsymbol {n}_2)$$, जबसे $$\{ \boldsymbol {n}_1, \boldsymbol {n}_2, (\boldsymbol {n}_1 \times \boldsymbol {n}_2) \}$$ एक आधार है (रैखिक बीजगणित)। हम एक ऐसा बिंदु खोजना चाहते हैं जो दोनों तलों पर हो (अर्थात उनके प्रतिच्छेदन पर), इसलिए दो समकालिक समीकरण प्राप्त करने के लिए इस समीकरण को तलों के प्रत्येक समीकरण में सम्मिलित करें जिन्हें हल किया जा सकता है $$c_1$$ तथा $$c_2$$.

अगर हम आगे यह मान लें कि $$\boldsymbol {n}_1$$ तथा $$\boldsymbol {n}_2$$ ऑर्थोनॉर्मल हैं तो प्रतिच्छेदन की रेखा पर मूल बिंदु का निकटतम बिंदु है $$\boldsymbol r_0 = h_1\boldsymbol {n}_1 + h_2\boldsymbol {n}_2$$. यदि ऐसा नहीं होता है, तो अधिक जटिल प्रक्रिया का उपयोग किया जाना चाहिए।

द्वितल कोण
द्वारा वर्णित दो प्रतिच्छेदी तलों को देखते हुए $$\Pi_1 : a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0$$ तथा $$\Pi_2 : a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0$$, उनके बीच के डायहेड्रल कोण को कोण के रूप में परिभाषित किया गया है $$\alpha$$ उनकी सामान्य दिशाओं के बीच:
 * $$\cos\alpha = \frac{\hat n_1\cdot \hat n_2}{|\hat n_1||\hat n_2|} = \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}. $$

गणित के विभिन्न क्षेत्रों में विमान
इसकी परिचित ज्यामितीय संरचना के अलावा, समरूपता के साथ जो सामान्य आंतरिक उत्पाद के संबंध में आइसोमेट्री हैं, विमान को अमूर्तता (गणित) के विभिन्न अन्य स्तरों पर देखा जा सकता है। अमूर्तता का प्रत्येक स्तर एक विशिष्ट श्रेणी (गणित) से मेल खाता है।

एक चरम पर, सभी ज्यामितीय और मीट्रिक (गणित) अवधारणाओं को टोपोलॉजिकल प्लेन को छोड़ने के लिए छोड़ दिया जा सकता है, जिसे एक आदर्श होमोटॉपी तुच्छ अनंत रबर शीट के रूप में माना जा सकता है, जो निकटता की धारणा को बरकरार रखता है, लेकिन कोई दूरी नहीं है। टोपोलॉजिकल प्लेन में एक रेखीय पथ की अवधारणा होती है, लेकिन एक सीधी रेखा की कोई अवधारणा नहीं होती है। टोपोलॉजिकल प्लेन, या इसके समकक्ष खुली डिस्क, निम्न-आयामी टोपोलॉजी में वर्गीकृत सतह (टोपोलॉजी) (या 2-मैनिफोल्ड) के निर्माण के लिए उपयोग किया जाने वाला मूल टोपोलॉजिकल पड़ोस है। टोपोलॉजिकल प्लेन के आइसोमॉर्फिज्म सभी निरंतर फंक्शन बायजेक्शन हैं। टोपोलॉजिकल प्लेन ग्राफ थ्योरी की उस शाखा के लिए प्राकृतिक संदर्भ है जो प्लानर ग्राफ से संबंधित है, और परिणाम जैसे कि चार रंग प्रमेय।

विमान को एक एफ़िन स्पेस के रूप में भी देखा जा सकता है, जिसका समरूपता अनुवाद और गैर-एकवचन रैखिक मानचित्रों का संयोजन है। इस दृष्टिकोण से कोई दूरियां नहीं हैं, लेकिन किसी भी रेखा पर संरेखता और दूरियों के अनुपात संरक्षित हैं।

डिफरेंशियल ज्योमेट्री एक प्लेन को 2-आयामी रियल मैनिफोल्ड के रूप में देखती है, एक टोपोलॉजिकल प्लेन जो डिफरेंशियल स्ट्रक्चर के साथ प्रदान किया जाता है। फिर से इस मामले में, दूरी की कोई धारणा नहीं है, लेकिन अब नक्शे की चिकनाई की एक अवधारणा है, उदाहरण के लिए एक अलग कार्य या चिकनी कार्य पथ (लागू अंतर संरचना के प्रकार के आधार पर)। इस मामले में आइसोमोर्फिज्म विभेदकता की चुनी हुई डिग्री के साथ पूर्वाग्रह हैं।

अमूर्तता की विपरीत दिशा में, हम ज्यामितीय तल पर एक संगत क्षेत्र संरचना लागू कर सकते हैं, जिससे जटिल तल और जटिल विश्लेषण के प्रमुख क्षेत्र को जन्म दिया जा सकता है। जटिल क्षेत्र में केवल दो समरूपताएं होती हैं जो वास्तविक रेखा को स्थिर छोड़ देती हैं, पहचान और जटिल संयुग्मन।

उसी तरह जैसे वास्तविक मामले में, विमान को सबसे सरल, एक-आयामी (जटिल संख्याओं पर) जटिल मैनिफोल्ड के रूप में भी देखा जा सकता है, जिसे कभी-कभी जटिल रेखा भी कहा जाता है। हालांकि, यह दृष्टिकोण विमान के मामले में 2-आयामी वास्तविक मैनिफोल्ड के रूप में तेजी से विपरीत है। समरूपता जटिल विमान के सभी अनुरूप मानचित्र विभाजन हैं, लेकिन केवल संभावनाएं नक्शे हैं जो एक जटिल संख्या और अनुवाद द्वारा गुणन की संरचना के अनुरूप हैं।

इसके अलावा, यूक्लिडियन ज्यामिति (जिसमें हर जगह शून्य वक्रता है) एकमात्र ज्यामिति नहीं है जो विमान में हो सकती है। स्टीरियोग्राफिक प्रोजेक्शन का उपयोग करके विमान को एक गोलाकार ज्यामिति दी जा सकती है। इसे समतल पर एक गोले (फर्श पर एक गेंद की तरह) रखने, शीर्ष बिंदु को हटाने और इस बिंदु से गोले को समतल पर प्रक्षेपित करने के बारे में सोचा जा सकता है। यह उन अनुमानों में से एक है जिसका उपयोग पृथ्वी की सतह के हिस्से का एक सपाट नक्शा बनाने में किया जा सकता है। परिणामी ज्यामिति में निरंतर सकारात्मक वक्रता होती है।

वैकल्पिक रूप से, विमान को एक मीट्रिक भी दिया जा सकता है जो इसे अतिपरवलयिक ज्यामिति देते हुए निरंतर नकारात्मक वक्रता देता है। बाद की संभावना सरलीकृत मामले में विशेष सापेक्षता के सिद्धांत में एक आवेदन पाती है जहां दो स्थानिक आयाम और एक समय आयाम होते हैं। (हाइपरबोलिक प्लेन त्रि-आयामी मिंकोव्स्की अंतरिक्ष में एक समयबद्ध हाइपरसर्फेस है।)

टोपोलॉजिकल और डिफरेंशियल ज्योमेट्रिक थ्योरी
विमान का एक-बिंदु संघनन एक गोले के लिए होमोमोर्फिक है (स्टीरियोग्राफिक प्रक्षेपण देखें); खुली डिस्क एक गोले के समरूप है जिसमें उत्तरी ध्रुव गायब है; उस बिंदु को जोड़ने से (कॉम्पैक्ट) क्षेत्र पूरा हो जाता है। इस संघनन का परिणाम कई गुना है जिसे रीमैन क्षेत्र या जटिल संख्या प्रक्षेपी रेखा कहा जाता है। यूक्लिडियन तल से एक बिंदु के बिना एक क्षेत्र में प्रक्षेपण एक भिन्नता है और यहां तक ​​​​कि एक अनुरूप नक्शा भी है।

एक खुली डिस्क (गणित) के लिए विमान ही होमोमोर्फिक (और डिफोमोर्फिक) है। अतिपरवलयिक ज्यामिति के लिए इस तरह की भिन्नता अनुरूप है, लेकिन यूक्लिडियन विमान के लिए यह नहीं है।

यह भी देखें

 * चेहरा (ज्यामिति)
 * फ्लैट (ज्यामिति)
 * आधा विमान
 * हाइपरप्लेन
 * लाइन-प्लेन चौराहा
 * विमान निर्देशांक
 * घटना का विमान
 * रोटेशन का विमान
 * बिंदु मूल के निकटतम विमान पर
 * बहुभुज
 * प्रोजेक्टिव प्लेन

बाहरी संबंध

 * "Easing the Difficulty of Arithmetic and Planar Geometry" is an Arabic manuscript, from the 15th century, that serves as a tutorial about plane geometry and arithmetic.
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