दशमलव

दशमलव अंक प्रणाली (जिसे बेस-टेन पोजीशनल अंक प्रणाली और डेफरी भी कहा जाता है या decanary) पूर्णांक और गैर-पूर्णांक संख्याओं को दर्शाने के लिए मानक प्रणाली है।यह हिंदू-अरबिक अंक प्रणाली के गैर-पूर्णांक संख्या का विस्तार है। दशमलव प्रणाली में संख्याओं को दर्शाने के तरीके को अक्सर दशमलव संकेतन के रूप में संदर्भित किया जाता है। एक दशमलव अंक (अक्सर केवल दशमलव या, कम सही ढंग से, दशमलव संख्या), आम तौर पर दशमलव अंक प्रणाली में एक संख्या के अंकन को संदर्भित करता है।दशमलव को कभी -कभी एक दशमलव विभाजक (आमतौर पर। या, के रूप में पहचाना जा सकता है $25.9703$ या $3,1415$)। दशमलव विशेष रूप से दशमलव विभाजक के बाद विशेष रूप से अंकों को संदर्भित कर सकता है, जैसे$3.14$ का अनुमान है $\pi$ दो दशमलव के लिए।एक दशमलव विभाजक के बाद शून्य-अंक एक मूल्य की सटीकता को इंगित करने के उद्देश्य को पूरा करते हैं।

दशमलव प्रणाली में जिन संख्याओं का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, वे #DECIMAL अंश हैं।वह है, रूप का अंश (गणित) $a/10^{n}$, कहाँ पे $a$ एक पूर्णांक है, और $n$ एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है।

दशमलव प्रणाली को दशमलव विभाजक (दशमलव प्रतिनिधित्व देखें) के बाद अंकों के अनुक्रम (गणित) का उपयोग करके, किसी भी वास्तविक संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए अनंत दशमलव तक बढ़ाया गया है।इस संदर्भ में, दशमलव विभाजक के बाद गैर-शून्य अंकों की एक परिमित संख्या के साथ दशमलव अंकों को कभी-कभी समाप्ति को समाप्त करने के लिए कहा जाता है।एक दोहराने वाला दशमलव एक अनंत दशमलव है, जो कुछ जगह के बाद, अनिश्चित काल के लिए अंकों का एक ही अनुक्रम दोहराता है (जैसे, $5.123144144144144... = 5.123\overline{144}$)। एक अनंत दशमलव एक तर्कसंगत संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, दो पूर्णांक का भागफल, यदि और केवल अगर यह एक दोहराया दशमलव है या गैर-शून्य अंकों की एक सीमित संख्या है।

मूल
प्राचीन सभ्यताओं के कई अंक प्रणाली संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए दस और इसकी शक्तियों का उपयोग करते हैं, संभवतः क्योंकि दो हाथों पर दस उंगलियां होती हैं और लोगों ने अपनी उंगलियों का उपयोग करके गिनती शुरू कर दी।उदाहरण सबसे पहले मिस्र के अंक हैं, फिर ब्राह्मी अंक, ग्रीक अंक, हिब्रू अंक, रोमन अंक और चीनी अंक।इन पुराने अंक प्रणालियों में बहुत बड़ी संख्या का प्रतिनिधित्व करना मुश्किल था, और केवल सबसे अच्छा गणितज्ञ बड़ी संख्या में गुणा या विभाजित करने में सक्षम थे।इन कठिनाइयों को पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करने के लिए हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली की शुरूआत के साथ पूरी तरह से हल किया गया था।इस प्रणाली को दशमलव अंक प्रणाली बनाने के लिए कुछ गैर-पूर्णांक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए बढ़ाया गया है, जिसे #Decimal अंश या दशमलव संख्या कहा जाता है।

दशमलव अंकन
संख्या लिखने के लिए, दशमलव प्रणाली दस दशमलव अंकों का उपयोग करती है, एक दशमलव चिह्न, और, नकारात्मक संख्याओं के लिए, एक घटाव का चिन्ह  -।दशमलव अंक 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 हैं; दशमलव विभाजक डॉट है$.$कई देशों में (ज्यादातर अंग्रेजी बोलने वाले), और एक अल्पविराम$,$अन्य देशों में।

एक गैर-नकारात्मक संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए, एक दशमलव अंक होता है
 * या तो अंकों का एक (परिमित) अनुक्रम (जैसे 2017), जहां पूरा अनुक्रम एक पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करता है,
 * $$a_ma_{m-1}\ldots a_0$$
 * या एक दशमलव चिह्न अंक के दो अनुक्रमों को अलग करना (जैसे कि 20.70828)
 * $$a_ma_{m-1}\ldots a_0.b_1b_2\ldots b_n$$।

यदि $m > 0$, अर्थात्, यदि पहले अनुक्रम में कम से कम दो अंक होते हैं, तो यह आमतौर पर माना जाता है कि पहला अंक $a_{m}$ शून्य नहीं है।कुछ परिस्थितियों में बाईं ओर एक या एक से अधिक 0 होना उपयोगी हो सकता है;यह दशमलव द्वारा दर्शाए गए मूल्य को नहीं बदलता है: उदाहरण के लिए, $3.14 = 03.14 = 003.14$।इसी तरह, यदि दशमलव चिह्न के दाईं ओर अंतिम अंक शून्य है - यानी, तो, अगर $b_{n} = 0$- इसे हटाया जा सकता है;इसके विपरीत, ट्रेनिंग शून्य को दशमलव चिह्न के बाद प्रतिनिधित्व संख्या को बदलने के बिना जोड़ा जा सकता है; उदाहरण के लिए, $15 = 15.0 = 15.00$ और $5.2 = 5.20 = 5.200$।

एक नकारात्मक संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए, एक माइनस चिन्ह पहले रखा गया है $a_{m}$।

अंक $$a_ma_{m-1}\ldots a_0.b_1b_2\ldots b_n$$ संख्या का प्रतिनिधित्व करता है
 * $$a_m10^m+a_{m-1}10^{m-1}+\cdots+a_{0}10^0+\frac{b_1}{10^1}+\frac{b_2}{10^2}+\cdots+\frac{b_n}{10^n}$$।

दशमलव अंक का पूर्णांक भाग या अभिन्न अंग दशमलव विभाजक के बाईं ओर लिखा पूर्णांक है (यह भी देखें)।एक गैर-नकारात्मक दशमलव अंक के लिए, यह सबसे बड़ा पूर्णांक है जो दशमलव से अधिक नहीं है।दशमलव विभाजक से दाईं ओर का हिस्सा आंशिक भाग है, जो संख्या और उसके पूर्णांक भाग के बीच अंतर के बराबर है।

जब एक अंक का अभिन्न अंग शून्य होता है, तो यह हो सकता है, आमतौर पर कम्प्यूटिंग  में, कि पूर्णांक भाग नहीं लिखा जाता है (उदाहरण के लिए, $.1234$, के बजाय $0.1234$)।सामान्य लेखन में, यह आम तौर पर बचा जाता है, क्योंकि दशमलव निशान और अन्य विराम चिह्न के बीच भ्रम के जोखिम के कारण।

संक्षेप में, एक संख्या के मूल्य में प्रत्येक अंक का योगदान अंक में इसकी स्थिति पर निर्भर करता है।अर्थात्, दशमलव प्रणाली एक स्थितीय संख्या प्रणाली है।

दशमलव अंश
दशमलव अंश (कभी -कभी दशमलव संख्या कहा जाता है, विशेष रूप से स्पष्ट अंशों को शामिल करने वाले संदर्भों में) तर्कसंगत संख्याएं हैं जिन्हें एक अंश (गणित) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसका भाजक दस का घातांक है। उदाहरण के लिए, दशमलव $$0.8, 14.89, 0.00079, 1.618, 3.14159$$ अंशों का प्रतिनिधित्व करते हैं $4⁄5$, $1489⁄100$, $79⁄100000$, $809⁄500$ और $314159⁄100000$, और इसलिए दशमलव संख्या हैं।

अधिक आम तौर पर, एक दशमलव के साथ $n$ दशमलव विभाजक (एक बिंदु या अल्पविराम) के बाद अंकों में हर $10^{n}$, जिसका अंश विभाजक को हटाकर प्राप्त पूर्णांक है।

यह इस प्रकार है कि एक संख्या एक दशमलव अंश है यदि और केवल अगर इसमें एक परिमित दशमलव प्रतिनिधित्व है।

पूरी तरह से कम किए गए अंश के रूप में व्यक्त किया गया, दशमलव संख्या वे हैं जिनके भाजक 2 की शक्ति और 5 की शक्ति का एक उत्पाद है। इस प्रकार दशमलव संख्या के सबसे छोटे भाजक हैं
 * $$1=2^0\cdot 5^0, 2=2^1\cdot 5^0, 4=2^2\cdot 5^0, 5=2^0\cdot 5^1, 8=2^3\cdot 5^0, 10=2^1\cdot 5^1, 16=2^4\cdot 5^0, 20=2^2\cdot5^1, 25=2^0\cdot 5^2, \ldots$$

वास्तविक संख्या सन्निकटन
दशमलव अंक सभी वास्तविक संख्याओं के लिए एक सटीक प्रतिनिधित्व की अनुमति नहीं देते हैं, उदा।असली नंबर के लिए PI |π।फिर भी, वे किसी भी वांछित सटीकता के साथ हर वास्तविक संख्या को अनुमानित करने की अनुमति देते हैं, उदाहरण के लिए, दशमलव 3.14159 वास्तविक का अनुमान लगाता है π, 10 से कम होने के नाते−5 बंद;इसलिए विज्ञान, अभियांत्रिकी  और रोजमर्रा की जिंदगी में दशमलव का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

अधिक सटीक रूप से, हर वास्तविक संख्या के लिए $...5.123$ और हर सकारात्मक पूर्णांक $x$, दो दशमलव हैं $n$ और $L$ सबसे अधिक$u$दशमलव चिह्न के बाद अंक जैसे कि $L ≤ x ≤ u$ और $(u − L) = 10^{−n}$।

माप के परिणाम के रूप में संख्या बहुत बार प्राप्त की जाती है।जैसा कि माप एक ज्ञात ऊपरी सीमा के साथ माप अनिश्चितता के अधीन हैं, एक माप का परिणाम एक दशमलव द्वारा अच्छी तरह से प्रतिनिधित्व किया जाता है $n$ दशमलव चिह्न के बाद अंक, जैसे ही पूर्ण माप त्रुटि ऊपर से बंधी हुई है $10^{−n}$।व्यवहार में, माप के परिणाम अक्सर दशमलव बिंदु के बाद एक निश्चित संख्या में अंकों के साथ दिए जाते हैं, जो त्रुटि सीमा का संकेत देते हैं।उदाहरण के लिए, हालांकि 0.080 और 0.08 एक ही संख्या को दर्शाते हैं, दशमलव अंक 0.080 0.001 से कम त्रुटि के साथ एक माप का सुझाव देता है, जबकि अंक 0.08 0.01 से बंधी एक पूर्ण त्रुटि को इंगित करता है।दोनों मामलों में, मापा मात्रा का सही मूल्य, उदाहरण के लिए, 0.0803 या 0.0796 (महत्वपूर्ण आंकड़े भी देखें) हो सकता है।

अनंत दशमलव विस्तार
एक वास्तविक संख्या के लिए $n$ और एक पूर्णांक $n ≥ 0$, होने देना $[x]_{n}$ सबसे बड़ी संख्या के (परिमित) दशमलव विस्तार को निरूपित करें जो इससे अधिक नहीं है$x$यह बिल्कुल है $x$ दशमलव चिह्न के बाद अंक।होने देना $d_{i}$ के अंतिम अंक को निरूपित करें $[x]_{i}$।यह देखना सीधा है $[x]_{n}$ अपील करके प्राप्त किया जा सकता है $d_{n}$ के अधिकार के लिए $[x]_{n−1}$।इस तरह से एक है

और का अंतर $[x]_{n} = [x]_{0}.d_{1}d_{2}...d_{n−1}d_{n}$ और $[x]_{n−1}$ के बराबर
 * $$\left\vert \left [ x \right ]_n-\left [ x \right ]_{n-1} \right\vert=d_n\cdot10^{-n}<10^{-n+1}$$,

जो या तो 0 है, अगर $[x]_{n}$, या मनमाने ढंग से छोटा हो जाता है$n$अनंत की ओर जाता है।एक सीमा (गणित) की परिभाषा के अनुसार,$n$की सीमा है $d_{n} = 0$ जब$x$अनंत की ओर जाता है।यह के रूप में लिखा है$\; x = \lim_{n\rightarrow\infty} [x]_n \;$ या

जिसे '' का अनंत दशमलव विस्तार कहा जाता है$n$।

इसके विपरीत, किसी भी पूर्णांक के लिए $[x]_{n}$ और अंकों का कोई भी क्रम$\;(d_n)_{n=1}^{\infty}$ (अनंत) अभिव्यक्ति $x = [x]_{0}.d_{1}d_{2}...d_{n}...$ एक वास्तविक संख्या का एक अनंत दशमलव विस्तार है$x$।यह विस्तार अद्वितीय है अगर न तो सभी $[x]_{0}$ 9 के बराबर हैं और न ही सभी $[x]_{0}.d_{1}d_{2}...d_{n}...$ के लिए 0 के बराबर हैं$x$पर्याप्त (सभी के लिए)$n$कुछ प्राकृतिक संख्या से अधिक $n$)।

मैं गिरा $d_{n}$ के लिए $d_{n}$ 9 के बराबर और $d_{n}$, अनुक्रम की सीमा$\;([x]_n)_{n=1}^{\infty}$ क्या दशमलव अंश अंतिम अंक को बदलकर प्राप्त किया गया है जो 9 नहीं है, अर्थात:: $n > N$, द्वारा $[x]_{n} = [x]_{0}.d_{1}d_{2}...d_{n}$, और बाद के सभी 9s को 0s द्वारा प्रतिस्थापित करना (0.999 देखें ...)।

इस तरह के किसी भी दशमलव अंश, यानी: $d_{N}$ के लिए $d_{N} + 1$, प्रतिस्थापित करके इसके समकक्ष अनंत दशमलव विस्तार में परिवर्तित किया जा सकता है $d_{n} = 0$ द्वारा $n > N$ और सभी बाद के 0s को 9s द्वारा प्रतिस्थापित करना (0.999 देखें ...)।

सारांश में, प्रत्येक वास्तविक संख्या जो दशमलव अंश नहीं है, उसका एक अद्वितीय अनंत दशमलव विस्तार होता है।प्रत्येक दशमलव अंश में बिल्कुल दो अनंत दशमलव विस्तार होते हैं, जिनमें से केवल कुछ जगह के बाद 0s होता है, जो उपरोक्त परिभाषा द्वारा प्राप्त किया जाता है $d_{N}$, और दूसरा जिसमें कुछ जगह के बाद केवल 9s होते हैं, जो परिभाषित करके प्राप्त होता है $d_{N} − 1$ सबसे बड़ी संख्या के रूप में जो कम है $N$, बिल्कुल हो रहा है$x$दशमलव चिह्न के बाद अंक।

तर्कसंगत संख्या
लम्बा विभाजन एक तर्कसंगत संख्या के अनंत दशमलव विस्तार की गणना करने की अनुमति देता है।यदि तर्कसंगत संख्या एक #Decimal अंश है, तो विभाजन अंततः रुक जाता है, एक दशमलव अंक का उत्पादन करता है, जो कि अनंत रूप से कई शून्य जोड़कर अनंत विस्तार में लंबे समय तक हो सकता है।यदि तर्कसंगत संख्या दशमलव अंश नहीं है, तो विभाजन अनिश्चित काल तक जारी रह सकता है।हालांकि, चूंकि सभी क्रमिक अवशेष विभाजक से कम होते हैं, इसलिए केवल संभावित अवशेषों की एक परिमित संख्या होती है, और कुछ जगह के बाद, अंक के समान अनुक्रम को भागफल में अनिश्चित काल तक दोहराया जाना चाहिए।यानी, एक को दोहराया दशमलव है।उदाहरण के लिए,
 * $n$ = 0। 012345679 012 ... (समूह के साथ 012345679 अनिश्चित काल के लिए)।

यह भी सच है: यदि, किसी संख्या के दशमलव प्रतिनिधित्व में कुछ बिंदु पर, अंकों के समान स्ट्रिंग अनिश्चित काल तक दोहराने लगती है, तो संख्या तर्कसंगत है। या, दोनों अंश और हर दोनों को विभाजित करना, 6, $1⁄81$।

दशमलव गणना
अधिकांश आधुनिक संगणक  हार्डवेयर और सॉफ्टवेयर सिस्टम आमतौर पर आंतरिक रूप से एक बाइनरी अंक प्रणाली का उपयोग करते हैं (हालांकि कई शुरुआती कंप्यूटर, जैसे कि ENIAC या IBM 650, आंतरिक रूप से दशमलव प्रतिनिधित्व का उपयोग करते हैं)। कंप्यूटर विशेषज्ञों द्वारा बाहरी उपयोग के लिए, यह बाइनरी प्रतिनिधित्व कभी -कभी संबंधित अष्टभुजाकार  या हेक्साडेसिमल सिस्टम में प्रस्तुत किया जाता है।

अधिकांश उद्देश्यों के लिए, हालांकि, द्विआधारी मूल्यों को मनुष्यों से प्रस्तुति या इनपुट के लिए समतुल्य दशमलव मूल्यों में या परिवर्तित किया जाता है;कंप्यूटर प्रोग्राम डिफ़ॉल्ट रूप से दशमलव में शाब्दिक व्यक्त करते हैं।(123.1, उदाहरण के लिए, कंप्यूटर प्रोग्राम में इस तरह लिखा जाता है, भले ही कई कंप्यूटर भाषाएं उस संख्या को ठीक से एनकोड करने में असमर्थ हों।)

कंप्यूटर हार्डवेयर और सॉफ्टवेयर दोनों भी आंतरिक अभ्यावेदन का उपयोग करते हैं जो दशमलव मानों को संग्रहीत करने और अंकगणित करने के लिए प्रभावी रूप से दशमलव हैं।अक्सर यह अंकगणित डेटा पर किया जाता है जो बाइनरी-कोडित दशमलव के कुछ प्रकार का उपयोग करके एन्कोड किया जाता है, विशेष रूप से डेटाबेस कार्यान्वयन में, लेकिन उपयोग में अन्य दशमलव अभ्यावेदन हैं (दशमलव अस्थायी बिंदु जैसे कि IEEE 754 के नए संशोधन में। फ्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित के लिए IEEE 754 मानक)। Ref> दशमलव फ़्लोटिंग-पॉइंट: कंप्यूटर के लिए अल्गोरिज्म, माइक काउलिशॉव | Cowlishaw, माइक एफ।, कार्यवाही 16 वीं IEEE संगोष्ठी कंप्यूटर अंकगणित पर, ISBN 0-7695-1894-X, पीपी। 104–11, IEEE COMP।Soc।, 2003

दशमलव अंकगणित का उपयोग कंप्यूटर में किया जाता है ताकि उनके आंशिक भाग की एक निश्चित लंबाई के साथ मूल्यों को जोड़ने (या घटाने) के दशमलव आंशिक परिणाम हमेशा सटीकता की समान लंबाई के लिए गणना की जाती हैं।यह विशेष रूप से वित्तीय गणना के लिए महत्वपूर्ण है, उदाहरण के लिए, उनके परिणामों की आवश्यकता होती है, जो कि पुस्तक रखने के उद्देश्यों के लिए सबसे छोटी मुद्रा इकाई के पूर्णांक गुणकों की आवश्यकता होती है।यह बाइनरी में संभव नहीं है, क्योंकि नकारात्मक शक्तियां $$10$$ कोई परिमित द्विआधारी आंशिक प्रतिनिधित्व नहीं है;और आमतौर पर गुणा (या विभाजन) के लिए असंभव है। सटीक गणना के लिए मनमानी-सटीक अंकगणित देखें।

इतिहास
कई प्राचीन संस्कृतियों की गणना दस के आधार पर अंकों के साथ की जाती है, कभी -कभी मानव हाथों के कारण तर्क दिया जाता है कि आमतौर पर दस उंगलियां/अंक होते हैं। सिंधु घाटी सभ्यता में उपयोग किए जाने वाले मानकीकृत भार (c. 3300–1300 BCE) अनुपात पर आधारित थे: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 100, 200, और 500, जबकि उनके मानकीकृत शासक- मोहनजो-दारो शासक - को दस समान भागों में विभाजित किया गया था।  लगभग 3000 ईसा पूर्व के बाद से सबूतों में मिस्र के चित्रलिपि, एक विशुद्ध रूप से दशमलव प्रणाली का उपयोग करते हैं, जैसा कि क्रेटन हाइरोग्लिफ़्स (c. 1625−1500 BCE) उन  मीनियों का  जिनके अंक मिस्र के मॉडल पर बारीकी से आधारित हैं।  दशमलव प्रणाली को लगातार कांस्य युग ग्रीस को सौंप दिया गया था, जिसमें रैखिक ए (सी। 18 वीं शताब्दी ईसा पूर्व bc1450 ईसा पूर्व) और रैखिक बी (सी। 1375−1200 ईसा पूर्व) शामिल थे - शास्त्रीय ग्रीस की संख्या प्रणाली ने दस की शक्तियों का भी इस्तेमाल किया,सहित, रोमन अंक, 5 का एक मध्यवर्ती आधार। विशेष रूप से, पॉलीमैथ आर्किमिडीज (सी। 287–212 ईसा पूर्व) ने अपने रेत रेकनर में एक दशमलव स्थिति प्रणाली का आविष्कार किया जो 10 पर आधारित था8 और बाद में जर्मन गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस का नेतृत्व किया, जो कि हाइट्स साइंस ने अपने दिनों में पहले ही पहुंच लिया होगा यदि आर्किमिडीज ने अपनी सरल खोज की क्षमता को पूरी तरह से महसूस किया होता। हित्तियों (15 वीं शताब्दी ईसा पूर्व के बाद से) भी सख्ती से दशमलव थे। कुछ गैर-पारिश्रमिक प्राचीन ग्रंथ जैसे कि वेदों, 1700-900 ईसा पूर्व में डेटिंग दशमलव और गणितीय दशमलव अंशों का उपयोग करते हैं। मिस्र के हायरैटिक अंक, ग्रीक वर्णमाला अंक, हिब्रू वर्णमाला अंक, रोमन अंक, चीनी अंक और प्रारंभिक भारतीय ब्राह्मी अंक सभी गैर-स्थिति दशमलव प्रणालियों हैं, और बड़ी संख्या में प्रतीकों की आवश्यकता है।उदाहरण के लिए, मिस्र के अंकों ने 10, 20 से 90, 100, 200 से 900, 1000, 2000, 3000, 4000, से 10,000 के लिए अलग -अलग प्रतीकों का उपयोग किया। दुनिया की सबसे पुरानी स्थिति दशमलव प्रणाली चीनी रॉड कैलकुलस थी।

दशमलव अंशों का इतिहास
दशमलव अंशों को पहली बार 4 वीं शताब्दी के अंत में चीनी द्वारा विकसित और उपयोग किया गया था, और फिर मध्य पूर्व में और वहां से यूरोप तक फैल गया। लिखित चीनी दशमलव अंश गैर-स्थिति में थे। हालांकि, रॉड कैलकुलस#अंश स्थितिगत थे। नौ खंडों में अपनी पुस्तक गणितीय ग्रंथ (1247 (1247 ) 0.96644 को निरूपित किया


 * 寸
 * [[File:Counting rod 0.png]] [[File:Counting rod h9 num.png]] [[File:Counting rod v6.png]] [[File:Counting rod h6.png]] [[File:Counting rod v4.png]] [[File:Counting rod h4.png]], अर्थ
 * 寸
 * 096644

जे। लेनार्ट बर्गग्रेन ने नोट किया कि 10 वीं शताब्दी में लिखे गए अरब गणितज्ञ अबू'ल-हसन अल-उक्लिडिसी की एक पुस्तक में पहली बार स्थित दशमलव अंश दिखाई देते हैं। यहूदी गणितज्ञ इमैनुएल बोनफिल्स ने साइमन स्टीविन की आशंका के साथ 1350 के आसपास दशमलव अंशों का इस्तेमाल किया, लेकिन उनका प्रतिनिधित्व करने के लिए कोई संकेतन विकसित नहीं किया। फारसी गणितज्ञ जमशिद अल-कशी ने दावा किया कि 15 वीं शताब्दी में खुद दशमलव अंशों की खोज की गई थी। अलखावरिज़्मी ने 9 वीं शताब्दी की शुरुआत में इस्लामी देशों में अंश पेश किया;एक चीनी लेखक ने आरोप लगाया है कि उनकी अंश प्रस्तुति सूरज बैंगनी सु शांत से पारंपरिक चीनी गणितीय अंश की एक सटीक प्रति थी। एक क्षैतिज बार के बिना नीचे और नीचे की तरफ अंश पर अंश के साथ अंश का यह रूप अल-उक्लिडिसी द्वारा और अल-काशी द्वारा उनके कार्य अंकगणितीय कुंजी में भी उपयोग किया गया था। 

16 वीं शताब्दी में साइमन स्टीविन द्वारा आधुनिक यूरोपीय दशमलव संकेतन का एक अग्रदूत पेश किया गया था। जॉन नेपियर ने 1620 में मरणोपरांत प्रकाशित, लॉगरिथम्स के निर्माण तालिकाओं पर अपनी पुस्तक में एक दशमलव संख्या के पूर्णांक भाग को अलग करने के लिए अवधि (।) का उपयोग करके शुरू किया।

प्राकृतिक भाषाएँ
भारत में दस प्रतीकों के एक सेट का उपयोग करके हर संभव प्राकृतिक संख्या को व्यक्त करने की एक विधि।कई भारतीय भाषाएं एक सीधी दशमलव प्रणाली दिखाती हैं।कई इंडो-आर्यन भाषाएँ | इंडो-आर्यन और द्रविड़ियन भाषाओं में 10 और 20 के बीच संख्या 10 के अलावा नियमित पैटर्न में व्यक्त की गई है। हंगेरियन भाषा एक सीधी दशमलव प्रणाली का भी उपयोग करती है।10 और 20 के बीच सभी संख्याएं नियमित रूप से बनती हैं (जैसे कि 11 को टिज़ेगी के रूप में शाब्दिक रूप से दस पर एक के रूप में व्यक्त किया जाता है), जैसे कि 20 से 100 (23 के बीच 23 के रूप में हुसोनह्रोम = बीस पर तीन)।

प्रत्येक आदेश के लिए एक शब्द के साथ एक सीधा दशमलव रैंक प्रणाली (10) 十, 100 百, 1000 千, 10,000 万), और जिसमें 11 को दस-एक के रूप में और 23 को दो-दस-तीन के रूप में व्यक्त किया गया है, और 89,345 को 8 (दस हजारों) के रूप में व्यक्त किया गया है 万 9 (हजार) 千 3 (सौ) 百 4 (दसियों) 十 5 चीनी भाषा में, और वियतनामी भाषा में कुछ अनियमितताओं के साथ पाया जाता है।जापानी भाषा, कोरियाई भाषा और थाई भाषा ने चीनी दशमलव प्रणाली का आयात किया है।दशमलव प्रणाली वाली कई अन्य भाषाओं में 10 और 20 और दशकों के बीच संख्याओं के लिए विशेष शब्द हैं।उदाहरण के लिए, अंग्रेजी में 11 ग्यारह नहीं दस-एक या एक-किशोरावस्था है।

INCAN भाषाओं जैसे कि क्वेशुआ भाषाओं और आयमारा भाषा में लगभग सीधी दशमलव प्रणाली होती है, जिसमें 11 को दस के साथ एक और 23 के रूप में दो-दस के रूप में व्यक्त किया जाता है।

कुछ मनोवैज्ञानिक सुझाव देते हैं कि अंकों के अंग्रेजी नामों की अनियमितता बच्चों की गिनती की क्षमता में बाधा डाल सकती है।

अन्य आधार
कुछ संस्कृतियां संख्याओं के अन्य ठिकानों का उपयोग करती हैं, या करती हैं।
 * पूर्व-कोलंबियन मेसोअमेरिका संस्कृतियों जैसे कि माया अंकों ने एक विजय का इस्तेमाल किया। बेस -20 सिस्टम (शायद सभी बीस उंगलियों और पैर की उंगलियों का उपयोग करने के आधार पर)।
 * कैलिफोर्निया और पामियन भाषाओं में युकी जनजाति भाषा मेक्सिको में ऑक्टल ( सूत्र -8) सिस्टम हैं क्योंकि वक्ताओं ने अपनी उंगलियों के बजाय खुद को उंगलियों के बजाय रिक्त स्थान का उपयोग करके गिना है।
 * जर्मनिक भाषाओं के शुरुआती निशान में एक गैर-दशमलव आधार का अस्तित्व शब्दों और शब्दावली की उपस्थिति से संबंधित है, जिसका अर्थ है कि गिनती दशमलव में है (दस-गिनती या टेंटी-वार के लिए संज्ञानात्मक);इस तरह की उम्मीद की जाएगी यदि सामान्य गिनती दशमलव नहीं है, और अगर यह असामान्य है। जहां यह गिनती प्रणाली ज्ञात है, यह लंबे सौ = 120 पर आधारित है, और 1200 का एक लंबा हजार है। लंबे समय के विवरण केवल छोटे सौ 100 के बाद दिखाई देते हैं जो ईसाइयों के साथ दिखाई देते हैं।गॉर्डन का परिचय पुराने नॉर्स के लिए]  p। & nbsp; 293, इस प्रणाली से संबंधित संख्या नाम देता है।'वन हंड्रेड एंड अस्सी' के लिए एक अभिव्यक्ति संज्ञानात्मक 200 का अनुवाद करती है, और 'टू हंड्रेड' का संज्ञानात्मक 240 पर अनुवाद करता है।/pdf/vol_123/123_395_418.pdf गुडारे] मध्य युग में स्कॉटलैंड में लंबे सौ के उपयोग का विवरण देते हैं, जैसे कि गणना जैसे कि कैरी का अर्थ है कि मैं (यानी एक सौ) 120 के रूप में, आदि।इस तरह के नंबरों का सामना करने के लिए चिंतित नहीं होने से सामान्य उपयोग का पता चलता है।पाउंड की लंबी गिनती के बजाय मध्यवर्ती इकाइयों, जैसे पत्थरों और पाउंड जैसे मध्यवर्ती इकाइयों का उपयोग करके सौ-जैसी संख्याओं से बचना भी संभव है।Goodare VII स्कोर जैसी संख्याओं का उदाहरण देता है, जहां कोई विस्तारित स्कोर का उपयोग करके सौ से बचता है।डब्ल्यू.एच। द्वारा एक पेपर भी है।स्टीवेन्सन, 'लॉन्ग हंड्रेड एंड इट्स यूज्स इन इंग्लैंड' पर।
 * कई या सभी चुमाशान भाषाओं ने मूल रूप से एक चतुर्धातुक संख्यात्मक प्रणाली का उपयोग किया था। बेस -4 काउंटिंग सिस्टम, जिसमें संख्याओं के नाम 4 और हेक्साडेसिमल के गुणकों के अनुसार संरचित किए गए थे।
 * बहुत सारी भाषाएं पाँच का  का उपयोग करें | क्विनरी (बेस -5) नंबर सिस्टम, जिसमें Gumatj Language, Nunggubuyu भाषा शामिल है, कुरन कोपन नोट लैंग्वेज और सरवका।इनमें से, Gumatj केवल 5-25 भाषा ज्ञात है, जिसमें 25 5 का उच्च समूह है।
 * कुछ नाइजीरियाई डुओडेसिमल सिस्टम का उपयोग करते हैं। इसलिए भारत और नेपाल में कुछ छोटे समुदायों ने उनकी भाषाओं द्वारा संकेत दिया।
 * पापुआ न्यू गिनी की हुली भाषा में प्रशासक  | बेस -15 नंबर होने की सूचना है। NGGUI का अर्थ है 15, NGUI KI MENS 15 × 2 2 = 30, और NGUI का अर्थ है 15 × 15 = 225।
 * Urg-consage | gnow, यह भी काकोली के रूप में जानते हुए, आधार 24 | बेस -24 नंबर के लिए सूचना दी गई है। तोकापू का अर्थ 24 है, तोकापू तालु का अर्थ 24 × 2 = 48 है, और तोकापू टोकापु का अर्थ 24 × 24 = 576 है।
 * Ngiti भाषा में आधार -4 चक्रों के साथ आधार 32 | बेस -32 नंबर सिस्टम होने की सूचना है। * पापुआ न्यू गिनी की ndom भाषा में बेस -6 अंक होने की सूचना है। मेर का अर्थ है 6, मेर एक thef का अर्थ है 6 × 2 = 12, NIF का अर्थ है 36, और NIF THEF का अर्थ है 36 × 2 = 72।

यह भी देखें
• Algorism

• Binary-coded decimal (BCD)

• Decimal classification

• Decimal computer

• Decimal time

• Decimal representation

• Decimal section numbering

• Decimal separator

• Decimalisation

• Densely packed decimal (DPD)

• Duodecimal

• Octal

• Scientific notation

• Serial decimal

• SI prefix