हिरज़ेब्रुच सतह

गणित में, हिरज़ेब्रुच सतह प्रक्षेप्य रेखा के ऊपर एक निर्णयिक सतह होती है। इनका अध्ययन द्वारा किया गया था।

परिभाषा
हिरज़ेब्रुच सतह $$\Sigma_n$$ $$\mathbb{P}^1$$-बंडल है, जिसे प्रोजेक्टिव बंडल कहा जाता है, जो शीफ़ से जुड़े $$\mathbb{P}^1$$ से अधिक है$$\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n).$$यहां नोटेशन का अर्थ है: $$\mathcal{O}(n)$$ सेरे ट्विस्ट शीफ की $n$-वें टेंसर शक्ति है $$\mathcal{O}(1)$$, संबंधित कार्टियर विभाजक एक बिंदु के साथ उलटा शीफ या लाइन बंडल सतह $$\Sigma_0$$ $P^{1} × P^{1}$ के लिए समरूपी है, और $$\Sigma_1$$ एक बिंदु पर उड़ाए गए $P^{2}$ के लिए समरूपी है, इसलिए न्यूनतम नहीं है।

जीआईटी भागफल
हिरज़ेब्रुच सतह के निर्माण की एक विधि जीआईटी भागफल का उपयोग करना है $$\Sigma_n = (\Complex^2-\{0\})\times (\Complex^2-\{0\})/(\Complex^*\times\Complex^*) $$जहां $$\Complex^*\times\Complex^*$$ की क्रिया दी गई है$$(\lambda, \mu)\cdot(l_0,l_1,t_0,t_1) = (\lambda l_0, \lambda l_1, \mu t_0,\lambda^{-n}\mu t_1)$$इस क्रिया की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है कि पहले दो कारकों पर $$\lambda$$ की क्रिया $$\mathbb{P}^1$$ को परिभाषित करने वाले $$\Complex^*$$ पर $$\Complex^2 - \{0\}$$ की क्रिया से आती है, और दूसरी क्रिया $$\mathbb{P}^1$$ पर लाइन बंडलों के प्रत्यक्ष योग के निर्माण और उनके प्रक्षेपीकरण का एक संयोजन है। प्रत्यक्ष योग $$\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n)$$ के लिए इसे भागफल विविधता द्वारा दिया जा सकता है $$\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n) = (\Complex^2-\{0\})\times \Complex^2/\Complex^*$$जहां $$\Complex^*$$की क्रिया दी गई है$$\lambda \cdot (l_0,l_1,t_0,t_1) = (\lambda l_0, \lambda l_1,\lambda^a t_0, \lambda^0 t_1 = t_1)$$फिर, प्रक्षेपीकरण $$\mathbb{P}(\mathcal{O}\oplus\mathcal{O}(-n))$$ एक अन्य $$\Complex^*$$-एक्शन  द्वारा एक तुल्यता वर्ग $$[l_0,l_1,t_0,t_1] \in\mathcal{O}\oplus\mathcal{O}(-n)$$ भेजकर दिया जाता है। $$\mu \cdot [l_0,l_1,t_0,t_1] = [l_0,l_1,\mu t_0,\mu t_1]$$इन दोनों क्रियाओं को मिलाने से मूल भागफल ऊपर आ जाता है।

संक्रमण मानचित्र
इस $$\mathbb{P}^1$$-बंडल को बनाने का एक विधि ट्रांज़िशन फलन का उपयोग करना है। चूँकि एफ़िन सदिश बंडल आवश्यक रूप से तुच्छ हैं, $$U_0,U_1$$ द्वारा परिभाषित $$\mathbb{P}^1$$ के चार्ट $$x_i \neq 0 $$ पर बंडल का स्थानीय मॉडल है$$U_i\times \mathbb{P}^1$$फिर, संक्रमण मानचित्र, $$\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n)$$ के संक्रमण मानचित्रों से प्रेरित होकर मानचित्र देते हैं$$U_0\times\mathbb{P}^1|_{U_1} \to U_1\times\mathbb{P}^1|_{U_0}$$भेजना$$(X_0, [y_0:y_1]) \mapsto (X_1, [y_0:x_0^n y_1])$$जहाँ $$X_i$$ $$U_i$$ एफ़िन समन्वय फलन चालू है

प्रक्षेप्य रैंक 2 बंडल P1 के ऊपर
ध्यान दें कि ग्रोथेंडिक के प्रमेय के अनुसार, किसी भी सदिश बंडल $$E$$ के लिए $$\mathbb P^1$$ पर संख्याएं $$a,b \in \mathbb Z$$ हैं जैसे कि$$E \cong \mathcal{O}(a)\oplus \mathcal{O}(b).$$चूंकि प्रक्षेप्य बंडल को एक लाइन बंडल द्वारा टेंसरिंग के तहत अपरिवर्तनीय है, $$E = \mathcal O(a) \oplus \mathcal O(b)$$ से जुड़ी निर्णयिक सतह हिरज़ेब्रुक सतह $$\Sigma_{b-a}$$ है क्योंकि इस बंडल को $$\mathcal{O}(-a)$$ द्वारा टेंसर किया जा सकता है।

हिरज़ेब्रुच सतहों की समरूपताएँ
विशेष रूप से, उपरोक्त अवलोकन बीच में एक समरूपता देता है $$\Sigma_n$$ और $$\Sigma_{-n}$$ चूँकि समरूपता सदिश बंडल है$$\mathcal{O}(n)\otimes(\mathcal{O} \oplus \mathcal{O}(-n)) \cong \mathcal{O}(n) \oplus \mathcal{O}$$

संबंधित सममित बीजगणित का विश्लेषण
याद रखें कि प्रोजेक्टिव बंडलों का निर्माण सापेक्ष परियोजना का उपयोग करके किया जा सकता है, जो कि बीजगणित के श्रेणीबद्ध शीफ से बनता है$$\bigoplus_{i=0}^\infty \operatorname{Sym}^i(\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n))$$पहले कुछ सममित मॉड्यूल विशेष हैं क्योंकि इसमें एक गैर-तुच्छ एंटी-सममित $$\operatorname{Alt}^2$$-मॉड्यूल $$\mathcal{O}\otimes \mathcal{O}(-n)$$ है। इन अनेक को तालिका में संक्षेपित किया गया है$$\begin{align} \operatorname{Sym}^0(\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n)) &= \mathcal{O} \\ \operatorname{Sym}^1(\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n)) &= \mathcal{O} \oplus \mathcal{O}(-n) \\ \operatorname{Sym}^2(\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n)) &= \mathcal{O} \oplus \mathcal{O}(-2n) \end{align}$$$$i > 2$$ के लिए सममित शीव्स दिए गए हैं$$\begin{align} \operatorname{Sym}^k(\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n)) &= \bigoplus_{i=0}^k \mathcal{O}^{\otimes (n-i)}\otimes \mathcal{O}(-in) \\ &\cong \mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n) \oplus \cdots \oplus \mathcal{O}(-kn) \end{align}$$

प्रतिच्छेदन सिद्धांत
$n > 0$ के लिए हिरज़ेब्रुक सतहों पर एक विशेष तर्कसंगत वक्र $C$ होता है: सतह $O(−n)$ का प्रक्षेप्य बंडल है और वक्र $C$ शून्य खंड है। इस वक्र में स्व-प्रतिच्छेदन संख्या $−n$ है, और यह ऋणात्मक स्व-प्रतिच्छेदन संख्या वाला एकमात्र अपरिवर्तनीय वक्र है। शून्य स्व-प्रतिच्छेदन संख्या वाले एकमात्र अघुलनशील वक्र हिरज़ेब्रुक सतह के फाइबर हैं ($P^{1}$ पर फाइबर बंडल के रूप में माना जाता है)। पिकार्ड समूह वक्र सी और फाइबर में से एक द्वारा उत्पन्न होता है, और इन जनरेटर में प्रतिच्छेदन आव्यूह होता है$$\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & -n \end{bmatrix}, $$

इसलिए द्विरेखीय रूप दो आयामी एक-मॉड्यूलर है, और यह सम या विषम है, यह इस पर निर्भर करता है कि $n$ सम है या विषम हिरज़ेब्रुक सतह $Σ_{n}$ ($n > 1$)को विशेष वक्र C पर एक बिंदु पर उड़ाया जाता है, यह $Σ_{n+1}$ के समरूपी है जो विशेष वक्र पर नहीं एक बिंदु पर उड़ाया जाता है।

यह भी देखें

 * प्रक्षेप्य बंडल

बाहरी संबंध

 * Manifold Atlas
 * https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/alggeom-2002/alggeom-2002-c10.pdf
 * https://mathoverflow.net/q/122952