रम्ब रेखा

मार्गनिर्देशन में, एक रंब रेखा, रंब, या एकदिश नौपथ एक चाप है जो एक ही कोण पर देशांतर के सभी भूमध्य रेखाओं को पार करता है, जोकि वास्तविक उत्तर दिशा के सापेक्ष मापा गया स्थिर दिक्कोण वाला पथ है।

परिचय
एक भूमंडल की सतह पर रंब रेखा पाठ्यक्रम का पालन करने के प्रभाव पर पहली बार 1537 में पुर्तगाली गणितज्ञ पेड्रो नून्स ने 1590 के दशक में थॉमस हैरियट द्वारा आगे के गणितीय विकास के साथ समुद्रीय रेखाचित्र की रक्षा में अपने ग्रंथ में चर्चा की थी।

एक रंब रेखा की तुलना एक बड़े वृत्त से की जा सकती है, जो एक वृत्त की सतह पर दो बिंदुओं के मध्य की सबसे छोटी दूरी का पथ है। एक बड़े वृत्त पर, गंतव्य बिंदु का दिक्कोण स्थिर नहीं रहता है। यदि किसी को बृहत् वृत के साथ एक मोटर गाड़ी चलानी होती है तो वह चालन चक्र को स्थिर रखता है, परन्तु रंब रेखाओं का पालन करने के लिए पहिये को घुमाना पड़ता है, जैसे-जैसे स्तंभ पास आते हैं, इसे और अधिक तीव्रता से घुमाते हैं। दूसरे शब्दों में, एक बड़ा वृत्त शून्य अल्पांतरी वक्रता के साथ स्थानीय रूप से "सीधा" होता है, जबकि एक रंब रेखा में गैर-शून्य अल्पांतरी वक्रता होती है।

देशांतर के याम्योत्तर और अक्षांश के समानांतर रंब रेखाओं की विशेष स्थितियां प्रदान करते हैं, जहां उनके प्रतिच्छेदन के कोण क्रमशः 0° और 90° होते हैं। एक उत्तर-दक्षिण पथ पर रंब रेखा पाठ्यक्रम एक बृहत् वृत के अनुरूप है, जैसे कि यह भूमध्य रेखाओं के साथ पूर्व-पश्चिम पथ पर होता है।

मर्केटर प्रक्षेपण मानचित्र पर, कोई भी रंब रेखा एक सीधी रेखा है; इस प्रकार के मानचित्रों पर पृथ्वी पर किन्हीं दो बिंदुओं के मध्य बिना मानचित्र के किनारे से हटे रंब रेखा खींची जा सकती है। परन्तु सैद्धांतिक रूप से एकदिश नौपथ मानचित्र के दाहिने किनारे से आगे बढ़ सकता है, जहां यह फिर उसी प्रवणता के साथ बाएं किनारे पर जारी रहता है (यह मानते हुए कि प्रतिचित्र बिल्कुल 360 डिग्री देशांतर को आच्छादित करता है)।

रंब रेखाएं जो भूमध्य रेखाओं को तिर्यक् कोणों पर काटती हैं, वे एकदिश नौपथ वक्र हैं जो ध्रुवों की ओर कुंडलित होती हैं। मर्केटर प्रक्षेपण पर उत्तरी ध्रुव और दक्षिणी ध्रुव अनंत पर होते हैं और इसलिए इन्हें कभी दर्शाया नहीं जाता है। हालांकि असीमित उच्च मानचित्रों पर पूर्ण एकदिश नौपथ में दो किनारों के मध्य अनंततः कई रेखा खंड सम्मिलित होंगे। त्रिविम प्रक्षेपण मानचित्र पर, एकदिश नौपथ एक समकोणीय कुंडली है जिसका केंद्र उत्तर या दक्षिण ध्रुव है।

सभी एकदिश नौपथ एक ध्रुव से दूसरे ध्रुव की ओर कुंडलित होते हैं। ध्रुवों के पास, वे लागेरिथ्मीय कुंडली होने के निकट हैं (जो कि वे एक त्रिविम प्रक्षेपण पर हैं, नीचे देखें), इसलिए वे प्रत्येक ध्रुव के चारों ओर अनंत बार चक्कर लगाते हैं परन्तु एक सीमित दूरी में ध्रुव तक पहुंचते हैं। एकदिश नौपथ की ध्रुव-से-ध्रुव लंबाई (एक आदर्श क्षेत्र मानते हुए) वास्तविक उत्तर दिशा से दूर दिक्कोण के कोज्या द्वारा विभाजित भूमध्य रेखाओं की लंबाई है। एकदिश नौपथो को ध्रुवों पर परिभाषित नहीं किया गया है।

व्युत्पत्ति और ऐतिहासिक विवरण
एकदिश नौपथ शब्द प्राचीन यूनानी भाषा λοξός loxos से आया है: तिर्यक् + δρόμος drómos: संचालन (δραμεῖν drameîn से: चलाने के लिए) है। रंब शब्द स्पेनी भाषा या पुर्तगाली भाषा रंबो/रंमो ("पाठ्यक्रम" या "दिशा") और यूनानी ῥόμβος rhómbos, से आया हो सकता है।

सार्वभौमिक सूचना के भूमंडलीय विश्वज्ञानकोष के 1878 संस्करण में एकदिश नौपथ रेखाओं का वर्णन इस प्रकार है:

एकदिश नौपथ रेखा एक वक्र है जो किसी दिए गए सतह की वक्रता की रेखाओं की प्रणाली के प्रत्येक भागो को एक ही कोण पर काटती है। दिक्सूचक के एक ही बिंदु की ओर जाने वाला पोत एक ऐसी रेखा का वर्णन करता है जो सभी याम्योत्तरों को एक ही कोण पर काटती है। मर्केटर के प्रक्षेपण (q.v.) में एकदिश नौपथ रेखाएँ स्पष्ट रूप से सीधी होती हैं।

एक असम्मति उत्पन्न हो सकती है क्योंकि शब्द "रंब" का प्रयोग में आने पर इसका कोई सटीक अर्थ नहीं था। यह पवन आरेख रेखाओं के लिए समान रूप से अच्छी तरह से अनुप्रयुक्त होता है क्योंकि यह एकदिश नौपथो के लिए किया जाता है क्योंकि यह शब्द केवल स्थानीय रूप से अनुप्रयुक्त होता है और इसका अर्थ है कि एक नौकाचालक ने स्थिर दिक्कोण के साथ नौकायन करने के लिए जो कुछ भी किया है, जोकि सभी अशुद्धियों के साथ होता है। इसलिए, रंब पत्तन दर्शिकाओं पर सीधी रेखाओं पर अनुप्रयुक्त होता था, जब पत्तन दर्शिका उपयोग में होते थे, साथ ही सदैव मर्केटर रेखाचित्र पर सीधी रेखाओं पर भी अनुप्रयुक्त होते थे। छोटी दूरी के लिए पत्तन दर्शिका "रंब" अर्थपूर्ण रूप से मर्केटर रंब से भिन्न नहीं होते हैं, लेकिन इन दिनों "रंब" गणितीय रूप से सटीक "एकदिश नौपथ" का पर्याय बन गया है क्योंकि इसे पूर्वव्यापी रूप से समानार्थी बना दिया गया है।

जैसा कि लियो बग्रो कहते हैं: शब्द ('रंब रेखा') इस अवधि के समुद्रीय-रेखाचित्रों पर अनुचित तरीके से अनुप्रयुक्त किया गया है, क्योंकि एक एकदिश नौपथ केवल एक सटीक पाठ्यक्रम देता है, जब रेखाचित्र एक उपयुक्त प्रक्षेपण पर खींचा जाता है। मानचित्रमितीय जांच से पता चला है कि प्रारम्भिक रेखाचित्रों में किसी प्रक्षेपण का उपयोग नहीं किया गया था, इसलिए हम 'पत्तन दर्शिका' नाम रखते हैं।

गणितीय विवरण
त्रिज्या 1 के वृत्तों के लिए, दिगंशीय कोण $λ$, ध्रुवीय कोण $−π⁄2 ≤ φ ≤ π⁄2$ (अक्षांश के अनुरूप यहां परिभाषित) और कार्तीय इकाई सदिश $i$, $j$, और $k$ का उपयोग त्रिज्या सदिश $r$ को लिखने के लिए किया जा सकता है।


 * $$\mathbf{r}(\lambda,\varphi) = (\cos{\lambda} \cdot \cos{\varphi}) \mathbf{i} + (\sin{\lambda} \cdot \cos{\varphi})  \mathbf{j} + (\sin{\varphi}) \mathbf{k} \, $$

वृत्तों के दिगंशीय और ध्रुवीय दिशाओं में लंबकोणीय इकाई सदिश लिखे जा सकते हैं;


 * $$\begin{align}

\boldsymbol{\hat\lambda}(\lambda,\varphi) &= \sec{\varphi} \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\lambda} = (-\sin{\lambda}) \mathbf{i} + (\cos{\lambda}) \mathbf{j} \, \\[8pt] \boldsymbol{\hat\varphi}(\lambda,\varphi) &= \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\varphi} = (-\cos{\lambda} \cdot \sin{\varphi}) \mathbf{i} + (-\sin{\lambda} \cdot \sin{\varphi}) \mathbf{j} + (\cos{\varphi}) \mathbf{k} \, \end{align}$$ जिनके पास अदिश गुणनफल है


 * $$\boldsymbol{\hat\lambda} \cdot \boldsymbol{\hat\varphi} = \boldsymbol{\hat\lambda} \cdot \mathbf{r} = \boldsymbol{\hat\varphi} \cdot \mathbf{r} = 0 \, $$

नियतांक $φ$ के लिए $λ̂$ अक्षांश के समानांतर का पता लगाता है, जबकि नियतांक $λ$ के लिए $φ̂$ देशांतर के भूमध्य रेखाओं का पता लगाता है और साथ में वे वृत्तों के लिए एक समतल स्पर्शरेखा उत्पन्न करते हैं।

इकाई सदिश
 * $$\mathbf{\boldsymbol{\hat\beta}}(\lambda,\varphi) = (\sin{\beta}) \boldsymbol{\hat\lambda} + (\cos{\beta}) \boldsymbol{\hat\varphi}$$

किसी भी $λ$ और $φ$ के लिए इकाई सदिश $φ̂$ के साथ एक स्थिर कोण $β$ है, क्योंकि उनका अदिश गुणनफल है।


 * $$\boldsymbol{\hat\beta} \cdot \boldsymbol{\hat\varphi} = \cos{\beta} \, .$$

एकदिश नौपथो को वृत्तों पर एक वक्र के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें देशांतर के सभी याम्योत्तरों के साथ एक स्थिर कोण $β$ होता है और इसलिए इकाई सदिश $β̂$ के समानांतर होना चाहिए। फलस्वरूप, एकदिश नौपथो के साथ एक अंतर लंबाई $ds$ एक अंतर विस्थापन का उत्पादन करेगा।


 * $$\begin{align}

d\mathbf{r} &= \boldsymbol{\hat\beta} \, ds \\[8px] \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\lambda} \, d\lambda + \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\varphi} \, d\varphi &= \bigl((\sin{\beta}) \, \boldsymbol{\hat\lambda} + (\cos{\beta}) \, \boldsymbol{\hat\varphi}\bigr) ds \\[8px] (\cos{\varphi}) \, d\lambda \, \boldsymbol{\hat\lambda} + d\varphi \, \boldsymbol{\hat\varphi} &= (\sin{\beta}) \, ds \, \boldsymbol{\hat\lambda} + (\cos{\beta}) \, ds \, \boldsymbol{\hat\varphi} \\[8px] ds &= \frac{\cos{\varphi} }{\sin{\beta}} \, d\lambda = \frac{d\varphi}{\cos{\beta}} \\[8px] \frac{d\lambda}{d\varphi} &= \tan{\beta} \cdot \sec{\varphi} \\[8px] \lambda(\varphi\,|\,\beta,\lambda_0,\varphi_0) &= \tan\beta \cdot \big( \operatorname{gd}^{-1}\varphi - \operatorname{gd}^{-1}\varphi_0 \big) + \lambda_0 \\[8px] \varphi(\lambda\,|\,\beta,\lambda_0,\varphi_0) &= \operatorname{gd} \big((\lambda - \lambda_0) \cot\beta + \operatorname{gd}^{-1}\varphi_0\big) \end{align}$$ जहाँ $$\operatorname{gd}$$ और $$\operatorname{gd}^{-1}$$ गुडेरमैनियन फलन और इसके व्युत्क्रम, $$\operatorname{gd}\psi = \arctan(\sinh\psi),$$ $$\operatorname{gd}^{-1}\varphi = \operatorname{arsinh}(\tan\varphi)$$ हैं और $$\operatorname{arsinh}$$ व्युत्क्रम अतिपरवलीय द्विज्या है।

$λ$ और $φ$ के मध्य इस संबंध के साथ, त्रिज्या सदिश एक चर का प्राचलिक फलन बन जाता है, जो वृत्तों पर एकदिश नौपथो का पता लगाता है:


 * $$\mathbf{r}(\lambda\,|\,\beta,\lambda_0,\varphi_0) = \big(\cos{\lambda} \cdot \operatorname{sech} \psi \big) \mathbf{i} +

\big(\sin{\lambda} \cdot \operatorname{sech}\psi\big) \mathbf{j} + \big(\tanh\psi\big) \mathbf{k} \, $$ जहाँ


 * $$\psi \equiv (\lambda - \lambda_0) \cot\beta + \operatorname{gd}^{-1}\varphi_0 = \operatorname{gd}^{-1}\varphi$$

सममितीय अक्षांश है।

रंब रेखाओं में, जैसे-जैसे अक्षांश ध्रुवों, $φ → ±π⁄2$, $sin φ → ±1$ की ओर जाता है, सममितीय अक्षांश $arsinh(tan φ) → ± ∞$ और देशांतर $λ$ बिना किसी सीमा के बढ़ता है, ध्रुवों की ओर एक कुंडली में इतनी तीव्रता से वृत्त का चक्कर लगाता है, जबकि एक परिमित कुल चाप लंबाई Δs द्वारा दी जाती है।
 * $$\Delta s = R \, \big|(\pm\pi/2 - \varphi_0) \cdot \sec \beta\big|$$

मर्केटर प्रक्षेपण से सम्बन्ध
मान लीजिए $λ$ वृत्त पर एक बिंदु का देशांतर है और $φ$ इसका अक्षांश है। फिर, यदि हम मर्केटर प्रक्षेपण के मानचित्र निर्देशांकों को परिभाषित करते हैं
 * $$\begin{align}

x &= \lambda - \lambda_0 \, \\ y &= \operatorname{gd}^{-1}\varphi = \operatorname{arsinh}(\tan\varphi)\, \end{align}$$ वास्तविक उत्तर दिशा से स्थिर दिक्कोण $β$ एकदिश नौपथ एक सीधी रेखा होगी, क्योंकि (पिछले अनुभाग में अभिव्यक्ति का उपयोग करके)
 * $$y = m x$$

प्रवणता के साथ
 * $$m=\cot\beta\,$$

दो दिए गए बिंदुओं के मध्य एकदिश नौपथो का पता लगाना एक मर्केटर प्रतिचित्र पर सुचित्रित रूप से किया जा सकता है, या दो अज्ञात $m = cot β$ और $λ_{0}$ में दो समीकरणों की एक गैर-रैखिक प्रणाली को हल करके किया जा सकता है। अपरिमित रूप से अनेक हल हैं; सबसे छोटा वह है जो वास्तविक देशांतर अन्तरो को आच्छादित करता है, अर्थात अतिरिक्त चक्कर नहीं लगाता है और "अनुचित तरीके से नहीं" जाता है।

एकदिश नौपथो के साथ मापी गई दो बिंदुओं $Δs$ के मध्य की दूरी, उत्तर-दक्षिण दूरी (अक्षांश के वृत्तों को छोड़कर जिसके लिए दूरी अनंत हो जाती है) के दिक्कोण (दिगंश) के छेदक का पूर्ण मान है:


 * $$\Delta s = R \, \big|(\varphi - \varphi_0)\cdot \sec \beta \big|$$

जहाँ $R$ पृथ्वी की औसत त्रिज्याओं में से एक है।

अनुप्रयोग
मार्गनिर्देशन में इसका उपयोग सीधे शैली से जुड़ा हुआ है, या कुछ मार्गनिर्देशक मानचित्रों का प्रक्षेपण है। मर्केटर प्रक्षेपण प्रतिचित्र पर रंब रेखा एक सीधी रेखा के रूप में दिखाई देती है।

यह नाम क्रमशः प्राचीन फ्रांसीसी या स्पेनी से लिया गया है: "रंब" या "रंबो" रेखाचित्र पर एक रेखा जो एक ही कोण पर सभी मध्याह्न रेखा को काटती है। समतल सतह पर यह दो बिंदुओं के मध्य की सबसे छोटी दूरी होगी। पृथ्वी की सतह पर कम अक्षांशों पर या कम दूरी पर इसका उपयोग किसी वाहन, विमान या पोतो के पाठ्यक्रम का आलेखन रचने के लिए किया जा सकता है। लंबी दूरी और/या उच्च अक्षांशों पर बृहत् वृत मार्ग समान दो बिंदुओं के मध्य की रेखाओं से काफी छोटा है। हालांकि, एक बृहत् वृत मार्ग का संचारण करते समय दिक्कोण को निरन्तर परिवर्तित करने की असुविधा कुछ उदाहरणों में रंब रेखा मार्गनिर्देशन को आकर्षक बनाती है।

बिंदु को भूमध्य रेखाओं के साथ 90 डिग्री देशांतर पर एक पूर्व-पश्चिम पंथ के साथ चित्रित किया जा सकता है, जिसके लिए 10,000 किलोमीटर (5,400 समुद्रीय मील) पर बृहत् वृत और रंब रेखाओं की दूरी समान हैं, 20 डिग्री उत्तर में बृहत् वृत दूरी 9,254 किमी (4,997 एनएमआई) है, जबकि रंब रेखाओं की दूरी 9,397 किमी (5,074 एनएमआई) है, लगभग 1.5% आगे है। परन्तु 60 डिग्री उत्तर में बृहत् वृत दूरी 4,602 किमी (2,485 समुद्रीय मील) है, जबकि रंब रेखा 5,000 किमी (2,700 समुद्रीय मील) है, जो 8.5% का अंतर है। एक अधिक चरम परिस्थिति न्यूयॉर्क शहर और हांगकांग के मध्य का विमान मार्ग है, जिसके लिए रंब रेखा पथ 18,000 किमी (9,700 एनएमआई) है। उत्तरी ध्रुव पर वृहत वृत्त पंथ 13,000 किमी (7,000 एनएमआई) है, या सामान्य परिभ्रमण चाल पर $5 1/2$ घंटे कम उड़ान समय है।

मर्केटर प्रक्षेपण के कुछ प्राचीन मानचित्रों में अक्षांश और देशांतर की रेखाओं से बने संजाल होते हैं, परन्तु रंब रेखाएं भी दिखाई देती हैं, जो सीधे उत्तर की ओर, उत्तर से समकोण पर, या उत्तर से कुछ कोण पर होती हैं, जो कि एक समकोण कुछ सरल परिमेय भाँग है। ये रुम्ब रेखाएँ खींची जाएँगी ताकि वे प्रतिचित्र के कुछ बिंदुओं पर अभिसरित हों: प्रत्येक दिशाओं में जाने वाली रेखाएँ इनमें से प्रत्येक बिंदु पर अभिसरित होंगी। दिक्सूचकआरेख देखें। इस प्रकार के प्रतिचित्र आवश्यक रूप से मर्केटर प्रक्षेपण में रहे होंगे इसलिए सभी प्राचीन प्रतिचित्र एकदिश नौपथ चिह्नों को दर्शाने में सक्षम नहीं रहे होंगे।

दिक्सूचकआरेख पर त्रिज्यीय रेखाओं को रंब भी कहा जाता है। 16वीं-19वीं शताब्दी में एक विशेष दिक्सूचक शीर्षक को इंगित करने के लिए अभिव्यक्ति "रंब पर नौकायन" का उपयोग किया गया था।

समुद्रीय कालमापी के आविष्कार से पूर्व के प्रारम्भिक नाविकों ने लंबे समुद्रीय मार्गों पर रंब रेखाओं अध्ययनों का उपयोग किया था, क्योंकि पोत का अक्षांश सूर्य या तारों को देखकर सटीक रूप से स्थापित किया जा सकता था परन्तु देशांतर निर्धारित करने का कोई सटीक तरीका नहीं था। गंतव्य के अक्षांश तक पहुंचने तक पोत उत्तर या दक्षिण की ओर जाएगा और पोत तब पूर्व या पश्चिम में रंब रेखा (वास्तव में एक समानांतर, जो कि एकदिश नौपथ की एक विशेष स्थिति है) के साथ एक स्थिर अक्षांश बनाए रखेगा और भूमि के साक्ष्य देखे जाने तक दूरी के नियमित अनुमानों को अंकित करना है।

रीमैन क्षेत्र पर
पृथ्वी की सतह को गणितीय रूप से रीमैन क्षेत्र के रूप में समझा जा सकता है, अर्थात, वृत्त के एक जटिल तल के प्रक्षेपण के रूप में समझा जा सकता है। इस स्थिति में, एकदिश नौपथ को मोबियस परिवर्तनों के कुछ वर्गों के रूप में समझा जा सकता है।

गोलाभ
उपरोक्त निरूपण को सरलता से गोलाभ तक बढ़ाया जा सकता है।    एकदिश नौपथ का मार्ग केवल दीर्घवृत्ताभ सममितीय अक्षांश का उपयोग करके पाया जाता है। इस पृष्ठ पर उपरोक्त सूत्रों में, वृत्त पर अक्षांश के लिए दीर्घवृत्ताभ पर अनुरूप अक्षांश को प्रतिस्थापित करें। इसी तरह, दिगंश के छेदक द्वारा दीर्घवृत्ताकार याम्योत्तर चाप की लंबाई को गुणा करके दूरियां प्राप्त की जाती हैं।

यह भी देखें

 * बृहत् वृत
 * एक दीर्घवृत्ताभ पर अल्पांतरी
 * बृहत् दीर्घवृत्त
 * इसोआज़ीमुथल
 * एकदिश नौपथ संजाल
 * सीफ़र्ट का कुंडली
 * लघु वृत्त

संदर्भ
Note: this article incorporates text from the 1878 edition of The Globe Encyclopaedia of Universal Information, a work in the public domain

बाहरी संबंध

 * Constant Headings and Rhumb Lines at MathPages.
 * RhumbSolve(1), a utility for ellipsoidal rhumb line calculations (a component of GeographicLib); supplementary documentation.
 * An online version of RhumbSolve.
 * Navigational Algorithms Paper: The Sailings.
 * Chart Work - Navigational Algorithms Chart Work free software: Rhumb line, Great Circle, Composite sailing, Meridional parts. Lines of position Piloting - currents and coastal fix.
 * Mathworld Loxodrome.