हेगन-पॉइज़ुइल समीकरण

गैर-आदर्श द्रव गतिशीलता में, हेगन-पॉइज़ुइल समीकरण, जिसे हेगन-पोइज़ुइल नियम, पॉइज़ुइल नियम या पॉइज़ुइल समीकरण के रूप में भी जाना जाता है, एक भौतिक नियम है जो निरंतर क्रॉस सेक्शन के एक लंबे सिलिंडर पाइप के माध्यम से बहने वाले स्तरीय प्रवाह में एक असंपीड्य और न्यूटोनियन द्रव पदार्थ में दाब ड्रॉप देता है। इसे फेफड़ों के एल्वियोली में वायु प्रवाह, या पीने के स्ट्रा के माध्यम से या हाइपोडर्मिक नीडल के माध्यम से प्रवाह पर सफलतापूर्वक उपयोजित किया जा सकता है। इसे प्रयोगात्मक रूप से 1838 में जीन लियोनार्ड मैरी पॉइज़ुइल और गोथिल्फ़ हेनरिक लुडविग हेगन द्वारा स्वतंत्र रूप से प्राप्त किया गया था, और 1840-41 और 1846 में पॉइज़ुइल द्वारा प्रकाशित किया गया था। पॉइज़ुइल नियम का सैद्धांतिक औचित्य 1845 में जॉर्ज स्टोक्स द्वारा दिया गया था।

समीकरण की धारणा यह है कि द्रव असंपीड्य और न्यूटोनियन है; प्रवाह निरंतर गोलाकार क्रॉस-सेक्शन के एक पाइप के माध्यम से लामिना होता है जो इसके व्यास से मूल रूप से लंबा होता है; और पाइप में द्रव का कोई त्वरण नहीं है। एक सीमा से ऊपर के वेग और पाइप व्यास के लिए, वास्तविक द्रव प्रवाह लैमिनर नहीं सामन्यतःप्रक्षुब्ध है, जिससे हेगन-पॉइज़ुइल समीकरण द्वारा गणना की तुलना में बृहत्तर प्रभाव गिरता है।

पॉइज़ुइल का समीकरण द्रव की श्यानता के कारण प्रभाव में गिरावट का वर्णन करता है; तरल पदार्थ में अन्य प्रकार की दाब ह्रास अभी भी हो सकती हैं (यहां एक प्रदर्शन देखें)। उदाहरण के लिए, एक श्यान द्रव पदार्थ को गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध ऊपर ले जाने के लिए आवश्यक दाब में पॉइज़ुइल के नियम के अनुसार आवश्यक दाब और बर्नौली के समीकरण में आवश्यक दाब दोनों सम्मिलित होंगे, जैसे कि प्रवाह के किसी भी बिंदु पर शून्य से अधिक दाब होगा (अन्यथा कोई प्रवाह नहीं होगा)।

एक अन्य उदाहरण यह है कि जब रक्त एक संकीर्ण संकुचन में प्रवाहित होता है, तो इसकी गति बड़े व्यास की तुलना में अधिक होगी (आयतनमितीय प्रवाह दर की निरंतरता समीकरण के कारण), और इसका दाब बड़े व्यास (बर्नौली के समीकरण के कारण) से कम होता है । हालाँकि, रक्त की श्यानता प्रवाह की दिशा में अतिरिक्त दाब में गिरावट का कारण बनेगी, जो यात्रा की गई लंबाई के समानुपाती होती है (पॉइज़ुइले के नियम के अनुसार)। दोनों प्रभाव वास्तविक दाब ड्रॉप में योगदान करते हैं।

समीकरण
मानक द्रव-गतिकी संकेतन में:
 * $$ \Delta p = \frac{8 \mu L Q}{\pi R^4} = \frac{8 \pi \mu L Q}{A^2}, $$

जहाँ
 * $Δp$ दोनों सिरों के मध्य दाब का अंतर है,
 * $L$ पाइप की लंबाई है,
 * $μ$ गतिक श्यानता है,
 * $Q$ आयतनमितीय प्रवाह दर है,
 * $R$ पाइप त्रिज्या है,
 * $A$ पाइप का क्रॉस सेक्शन (ज्यामिति) क्षेत्र है।

समीकरण पाइप प्रवेश के सीमित नहीं है।

समीकरण कम श्यानता, चौड़े और/या छोटे पाइप की सीमा में विफल रहता है। कम श्यानता या चौड़े पाइप के परिणामस्वरूप प्रक्षुब्ध प्रवाह हो सकता है, जिससे अधिक सम्मिश्र मॉडल, जैसे कि डार्सी-वेस्बैक समीकरण का उपयोग करना आवश्यक हो जाता है। हेगन-पॉइज़ुइल नियम के वैध होने के लिए पाइप की लंबाई और त्रिज्या का अनुपात रेनॉल्ड्स संख्या के 1/48 से अधिक होना चाहिए। यदि पाइप बहुत छोटा है, तो हेगन-पॉइज़ुइल समीकरण के परिणामस्वरूप अभौतिक रूप से उच्च प्रवाह दर हो सकती है; प्रवाह कम प्रतिबंधात्मक परिस्थितियों में, बर्नौली के सिद्धांत द्वारा सीमित है


 * $$\begin{align}

\Delta p = \frac{1}{2} \rho \overline{v}_\text{max}^2 &= \frac{1}{2} \rho \left(\frac{Q_\text{max}}{\pi R^2}\right)^2 \\ \Rightarrow \quad Q_\max{} &= \pi R^2 \sqrt\frac{2 \Delta p}{\rho}, \end{align}$$ क्योंकि असंपीड्य प्रवाह में ऋणात्मक (पूर्ण) दाब (गेज दाब के साथ अस्पष्ट न होना) होना असंभव है।

डार्सी-वेस्बैक समीकरण से संबंध
सामान्यतः, हेगन-पॉइज़ुइल प्रवाह का तात्पर्य न केवल दाब ड्रॉप के लिए संबंध से है, परंतु लामिना प्रवाह परिच्छेदिका के लिए पूर्ण समाधान से भी है, जो परवलयिक है। हालाँकि, दाब में गिरावट के परिणाम को प्रक्षुब्ध प्रवाह के प्रकरण में एक प्रभावी प्रक्षुब्ध श्यानता का अनुमान लगाकर प्रक्षुब्ध प्रवाह तक बढ़ाया जा सकता है, यद्यपि प्रक्षुब्ध प्रवाह में प्रवाह परिच्छेदिका वास्तव में परवलयिक नहीं है। दोनों विषय में, लैमिनर या प्रक्षुब्ध, दाब ड्रॉप दीवार पर तनाव से संबंधित है, जो तथाकथित घर्षण कारक को निर्धारित करता है। रेनॉल्ड्स संख्या के संदर्भ में घर्षण कारक के संबंध को देखते हुए, हाइड्रॉलिक्स के क्षेत्र में डार्सी-वेस्बैक समीकरण द्वारा दीवार के तनाव को परिघटनात्मक निर्धारित किया जा सकता है। लामिना प्रवाह के प्रकरण में, एक गोलाकार क्रॉस सेक्शन के लिए:


 * $$ \Lambda = \frac{64}{\mathrm{Re}}, \quad \mathrm{Re} = \frac{\rho v d}{\mu}, $$

जहाँ $Re$ रेनॉल्ड्स संख्या है, $ρ$ द्रव घनत्व है, और $v$ माध्य प्रवाह वेग है, जो लामिना प्रवाह के प्रकरण में अधिकतम प्रवाह वेग का अर्ध है। माध्य प्रवाह वेग के संदर्भ में रेनॉल्ड्स संख्या को परिभाषित करना अधिक उपयोगी सिद्ध होता है क्योंकि यह मात्रा प्रक्षुब्ध प्रवाह के प्रकरण में भी अच्छी तरह से परिभाषित रहती है, जबकि अधिकतम प्रवाह वेग नहीं हो सकता है, या किसी भी प्रकरण में, इसका अनुमान लगाना कठिन हो सकता है। इस रूप में नियम सिलिंडर ट्यूब में बहुत कम वेग पर लैमिनर प्रवाह में डार्सी घर्षण गुणक, ऊर्जा (सिर) हानि गुणक, घर्षण हानि गुणक या डार्सी (घर्षण) गुणक $Λ$ का अनुमान लगाता है। नियम के थोड़े अलग रूप की सैद्धांतिक व्युत्पत्ति 1856 में विडमैन और 1858 में न्यूमैन और ई. हेगेनबैक द्वारा की गई थी (1859, 1860)। हेगेनबैक पहले व्यक्ति थे जिन्होंने इस नियम को पॉइज़ुइल का नियम कहा था।

यह नियम शरीरक्रिया विज्ञान के दोनों क्षेत्रों, हेमोरियोलॉजी और हेमोडायनामिक्स में भी बहुत महत्वपूर्ण है।

हेगेनबैक के काम के आधार पर, पॉइज़ुइले के नियम को बाद में 1891 में एल. आर. विल्बरफोर्स द्वारा प्रक्षुब्ध प्रवाह तक विस्तारित किया गया है।

व्युत्पत्ति
हेगन-पॉइज़ुइल समीकरण को नेवियर-स्टोक्स समीकरण से प्राप्त किया जा सकता है। एकसमान (गोलाकार) क्रॉस-सेक्शन के पाइप के माध्यम से लैमिनर प्रवाह को हेगन-पॉइज़ुइल प्रवाह के रूप में जाना जाता है। हेगन-पॉइज़ुइल प्रवाह को नियंत्रित करने वाले समीकरणों को निम्नलिखित मान्यताओं का समुच्चय बनाकर 3 डी बेलनाकार निर्देशांक $(r,θ,x)$ में नेवियर-स्टोक्स गति समीकरणों से सीधे प्राप्त किया जा सकता है:


 * 1) प्रवाह स्थिर ( $∂...⁄∂t = 0$ ) है।
 * 2) द्रव वेग के त्रिज्य और अज़ीमुथल घटक शून्य ( $u_{r} = u_{θ} = 0$ ) है।
 * 3) प्रवाह अक्षसममितीय ( $∂...⁄∂θ = 0$ ) है।
 * 4) प्रवाह पूर्णतः विकसित ( $∂u_{x}⁄∂x = 0$ ) है। हालाँकि, यहाँ इसे संहति संरक्षण और उपरोक्त धारणाओं के माध्यम से सिद्ध किया जा सकता है।

तब संवेग समीकरणों में कोणीय समीकरण और निरंतरता समीकरण समान रूप से संतुष्ट होते हैं। रेडियल गति समीकरण $∂p⁄∂r = 0$ तक कम हो जाता है, अर्थात, दाब $p$ केवल अक्षीय निर्देशांक $x$ का एक कार्य है। संक्षिप्तता के लिए, $$u_x$$ के बदले $u$ का उपयोग करें। अक्षीय संवेग समीकरण कम हो जाता है


 * $$ \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u}{\partial r}\right)= \frac{1}{\mu} \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}$$

जहाँ $μ$ द्रव की गतिशील श्यानता है। उपरोक्त समीकरण में, वामहस्त का पद केवल $r$ का एक फलन है और दक्षिणावर्ती का पद केवल $x$ का एक फलन है, जिसका अर्थ है कि दोनों पद समान स्थिरांक होने चाहिए। इस स्थिरांक का मूल्यांकन करना स्पष्ट है। यदि हम पाइप की लंबाई $L$ लेते हैं और पाइप के दोनों सिरों के मध्य दाब अंतर को $Δp$ (उच्च दाब शून्य से कम दाब) से दर्शाते हैं, तो केवल स्थिरांक है
 * $$-\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} = \frac{\Delta p}{L} = G$$

परिभाषित इस प्रकार है कि G धनात्मक है। समाधान
 * $$ u = -\frac{Gr^2}{4\mu} + c_1 \ln r + c_2 $$

तब से $u$ को $r = 0$, $c_{1} = 0$ पर परिमित होना आवश्यक है। पाइप की दीवार पर नो स्लिप बाउंड्री की स्थिति के लिए आवश्यक है कि $r = R$ (पाइप की त्रिज्या) पर $u = 0$, जिससे $c_{2} = GR^{2}⁄4μ$ प्राप्त होता है। इस प्रकार अंततः हमारे पास निम्नलिखित परवलयिक वेग परिच्छेदिका है:


 * $$ u = \frac{G}{4\mu} \left(R^2 - r^2\right). $$

अधिकतम वेग पाइप केंद्र रेखा ($r = 0$), $u_{max} = GR^{2}⁄4μ$ पर होता है। औसत वेग पाइप क्रॉस सेक्शन को एकीकृत करके औसत वेग प्राप्त किया जा सकता है,
 * $$ {u}_\mathrm{avg}=\frac{1}{\pi R^2} \int_0^R 2\pi ru \mathrm{d}r = \tfrac{1}{2} {u}_\mathrm{max}. $$

प्रयोगों में आसानी से मापने योग्य मात्रा आयतनमितीय प्रवाह दर $Q = πR^{2} u_{avg}$ है। इसकी पुनर्व्यवस्था हेगन-पॉइज़ुइल समीकरण देती है
 * $$ \Delta p = \frac{8\mu Q L}{\pi R^4}. $$

हालांकि सीधे नेवियर-स्टोक्स समीकरणों का उपयोग करने की तुलना में अधिक लंबा, हेगन-पॉइज़ुइल समीकरण प्राप्त करने का एक वैकल्पिक तरीका इस प्रकार है।

एक पाइप के माध्यम से तरल प्रवाह
मान लें कि तरल लामिनायर प्रवाह प्रदर्शित करता है। एक गोल पाइप में लैमिनर प्रवाह निर्धारित करता है कि तरल की गोलाकार परतों (लैमिना) का एक गुच्छा होता है, जिनमें से प्रत्येक का वेग केवल ट्यूब के केंद्र से उनकी रेडियल दूरी से निर्धारित होता है। यह भी मान लें कि केंद्र सबसे तेजी से घूम रहा है जबकि ट्यूब की दीवारों को छूने वाला तरल स्थिर है (फिसलन न होने की स्थिति के कारण)।

तरल की गति का पता लगाने के लिए, प्रत्येक लामिना पर कार्य करने वाले सभी बलों को ज्ञात होना चाहिए:
 * 1) ट्यूब के माध्यम से तरल को धकेलने वाला दबाव बल क्षेत्र द्वारा गुणा किए गए दबाव में परिवर्तन है: $F = −A Δp$. यह बल द्रव की गति की दिशा में होता है। नकारात्मक संकेत हमारे द्वारा परिभाषित पारंपरिक तरीके से आता है $Δp = p_{end} − p_{top} < 0$.
 * 2) चिपचिपापन प्रभाव तेज लैमिना से तुरंत ट्यूब के केंद्र के करीब आ जाएगा।
 * 3) चिपचिपापन प्रभाव धीमी लैमिना से तुरंत ट्यूब की दीवारों के करीब आ जाएगा।

श्यानता
जब तरल की दो परतें एक-दूसरे के संपर्क में अलग-अलग गति से चलती हैं, तो उनके बीच एक कतरनी बल लगेगा। यह बल संपर्क क्षेत्र की आनुपातिकता (गणित) है $x$, प्रवाह की दिशा के लंबवत वेग प्रवणता $Δv_{x}⁄Δy$, और एक आनुपातिकता स्थिरांक (चिपचिपापन) और द्वारा दिया जाता है


 * $$ F_\text{viscosity, top} = - \mu A \frac{\Delta v_x}{\Delta y}.$$

नकारात्मक संकेत वहां इसलिए है क्योंकि हम तेज गति से चलने वाले तरल (आकृति में ऊपर) से चिंतित हैं, जिसे धीमे तरल (आकृति में नीचे) द्वारा धीमा किया जा रहा है। न्यूटन के गति के नियमों के अनुसार|न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार, धीमे तरल पर लगने वाला बल तेज़ तरल पर लगने वाले बल के बराबर और विपरीत (कोई नकारात्मक संकेत नहीं) होता है। यह समीकरण मानता है कि संपर्क का क्षेत्र इतना बड़ा है कि हम किनारों से किसी भी प्रभाव को अनदेखा कर सकते हैं और तरल पदार्थ न्यूटोनियन तरल पदार्थ के रूप में व्यवहार करते हैं।

तेज़ लैमिना
मान लें कि हम त्रिज्या के साथ लैमिना पर बल का पता लगा रहे हैं $A$. उपरोक्त समीकरण से, हमें संपर्क का क्षेत्र और वेग प्रवणता जानने की आवश्यकता है। लैमिना को त्रिज्या की एक अंगूठी के रूप में सोचें $r$, मोटाई $r$, और लंबाई $Δx$. लैमिना और तेज़ लैमिना के बीच संपर्क का क्षेत्र केवल सिलेंडर का सतह क्षेत्र है: $A = 2πr Δx$. हम अभी तक ट्यूब के भीतर तरल के वेग का सटीक रूप नहीं जानते हैं, लेकिन हम जानते हैं (उपरोक्त हमारी धारणा से) कि यह त्रिज्या पर निर्भर है। इसलिए, वेग प्रवणता इन दो लैमिना के प्रतिच्छेदन पर व्युत्पन्न है। की त्रिज्या पर वह चौराहा है $dr$. इसलिए, यह मानते हुए कि यह बल तरल की गति के संबंध में सकारात्मक होगा (लेकिन वेग का व्युत्पन्न नकारात्मक है), समीकरण का अंतिम रूप बन जाता है


 * $$ F_\text{viscosity, fast} = - 2 \pi r \mu \, \Delta x \, \left. \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} \right|_r $$

जहां वर्टिकल बार और सबस्क्रिप्ट है $r$ व्युत्पन्न का अनुसरण यह दर्शाता है कि इसे के दायरे में लिया जाना चाहिए $r$.

धीमी लैमिना
इसके बाद आइए धीमी लैमिना से खींचने का बल ज्ञात करें। हमें उन्हीं मानों की गणना करने की आवश्यकता है जो हमने तेज़ लैमिना से बल के लिए किए थे। इस मामले में, संपर्क का क्षेत्र पर है $r + dr$ के बजाय $r$. साथ ही, हमें यह भी याद रखना होगा कि यह बल तरल पदार्थ की गति की दिशा का विरोध करता है और इसलिए नकारात्मक होगा (और वेग का व्युत्पन्न नकारात्मक है)।


 * $$ F_\text{viscosity, slow} = 2 \pi (r + \mathrm{d}r)\mu \, \Delta x \left. \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} \right|_{r+\mathrm{d}r} $$

यह सब एक साथ रखना
एक ट्यूब के माध्यम से लैमिनर परत के प्रवाह का समाधान खोजने के लिए, हमें एक आखिरी धारणा बनाने की आवश्यकता है। पाइप में तरल का कोई त्वरण नहीं है, और न्यूटन के गति के नियमों के अनुसार|न्यूटन के पहले नियम के अनुसार, कोई शुद्ध बल नहीं है। यदि कोई शुद्ध बल नहीं है तो हम सभी बलों को एक साथ जोड़कर शून्य प्राप्त कर सकते हैं


 * $$ 0 = F_\text{pressure} + F_\text{viscosity, fast} + F_\text{viscosity, slow} $$

या


 * $$ 0 = - \Delta p 2 \pi r\,\mathrm{d}r - 2 \pi r \mu \,\Delta x \left. \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} \right|_r + 2 \pi (r + \mathrm{d}r) \mu \,\Delta x \,\left. \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} \right \vert_{r+\mathrm{d}r}. $$

सबसे पहले, सब कुछ एक ही बिंदु पर हो रहा है यह जानने के लिए, टेलर के वेग प्रवणता के प्रमेय के पहले दो शब्दों का उपयोग करें:


 * $$ \left. \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} \right|_{r+\mathrm{d}r} = \left. \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} \right|_r + \left. \frac{\mathrm{d}^2 v}{\mathrm{d}r^2} \right|_r \,\mathrm{d}r .$$

यह अभिव्यक्ति सभी लैमिनाई के लिए मान्य है। समान पदों को समूहीकृत करना और ऊर्ध्वाधर पट्टी को हटाना क्योंकि सभी व्युत्पन्नों को त्रिज्या पर माना जाता है $r$,


 * $$ 0 = - \Delta p 2 \pi r \, \mathrm{d}r + 2 \pi \mu \, \mathrm{d}r \, \Delta x \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} + 2 \pi r \mu \, \mathrm{d}r \, \Delta x \frac{\mathrm{d}^2 v}{\mathrm{d}r^2} + 2 \pi \mu (\mathrm{d}r)^2 \, \Delta x \frac{\mathrm{d}^2 v}{\mathrm{d}r^2}. $$

अंत में, द्विघात शब्द को हटाकर इस अभिव्यक्ति को एक अवकल समीकरण के रूप में रखें $r$.


 * $$ \frac{1}{\mu} \frac{\Delta p}{\Delta x} = \frac{\mathrm{d}^2 v}{\mathrm{d}r^2} + \frac{1}{r} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} $$

उपरोक्त समीकरण वही है जो नेवियर-स्टोक्स समीकरण से प्राप्त किया गया है और यहां से व्युत्पत्ति पहले की तरह ही है।

पाइप में पॉइज़ुइल प्रवाह का स्टार्टअप
जब एक निरंतर दाब प्रवणता $G = −dp⁄dx$ को एक लंबे पाइप के दो सिरों के मध्य लगाया जाता है, प्रवाह तुरंत पॉइज़ुइल प्रोफ़ाइल प्राप्त नहीं करेगा, बल्कि यह समय के साथ विकसित होता है और स्थिर अवस्था में पॉइज़ुइल प्रोफ़ाइल तक पहुंचता है। नेवियर-स्टोक्स समीकरण कम हो जाते हैं


 * $$\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{G}{\rho} + \nu \left(\frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r}\right)$$

प्रारंभिक और सीमा शर्तों के साथ,


 * $$u(r,0) = 0, \quad u(R,t) = 0.$$

वेग वितरण द्वारा दिया गया है


 * $$u(r,t) = \frac{G}{4\mu}\left(R^2-r^2\right) - \frac{2GR^2}{\mu} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\lambda_n^3} \frac{J_0(\lambda_n r/R)}{J_1(\lambda_n)} e^{-\lambda_n^2 \nu t/R^2}, \quad J_0\left(\lambda_n\right)=0$$

कहाँ $J_{0}(λ_{n}r⁄R)$ पहले प्रकार के ऑर्डर शून्य का बेसेल फ़ंक्शन है और $dr$ इस फ़ंक्शन की सकारात्मक जड़ें हैं और $J_{1}(λ_{n})$ पहले प्रकार के ऑर्डर का बेसेल फ़ंक्शन है। जैसा $t → ∞$, पॉइज़ुइल समाधान पुनर्प्राप्त किया गया है।

कुंडलाकार खंड में पॉइज़ुइल प्रवाह
फ़ाइल:Poi.pdf|अंगूठे अगर $R_{1}$ आंतरिक सिलेंडर त्रिज्या है और $R_{2}$ बाहरी सिलेंडर त्रिज्या है, जिसके दोनों सिरों के मध्य निरंतर दाब प्रवणता होती है $G = −dp⁄dx$, कुंडलाकार पाइप के माध्यम से वेग वितरण और आयतन प्रवाह हैं



\begin{align} u(r) &= \frac{G}{4\mu}\left(R_1^2-r^2\right) + \frac{G}{4\mu}\left(R_2^2-R_1^2\right) \frac{\ln r/R_1}{\ln R_2/R_1},\\[6pt] Q &= \frac{G \pi}{8\mu}\left[R_2^4-R_1^4- \frac{\left(R_2^2-R_1^2\right)^2}{\ln R_2/R_1}\right]. \end{align} $$ कब $R_{2} = R$, $R_{1} = 0$, मूल समस्या पुनर्प्राप्त हो गई है।

एक दोलनशील दाब प्रवणता के साथ एक पाइप में पॉइज़ुइल प्रवाह
एक दोलनशील दाब प्रवणता के साथ पाइपों के माध्यम से प्रवाह बड़ी धमनियों के माध्यम से रक्त प्रवाह में अनुप्रयोग पाता है।   आरोपित दाब प्रवणता द्वारा दिया गया है


 * $$\frac{\partial p}{\partial x} = -G -\alpha \cos\omega t-\beta\sin\omega t$$

कहाँ $λ_{n}$, $G$ और $α$ स्थिरांक हैं और $β$आवृत्ति है. वेग क्षेत्र द्वारा दिया गया है


 * $$u(r,t)=\frac{G}{4\mu}\left(R^2-r^2\right) + [\alpha F_2 + \beta (F_1-1)]\frac{\cos\omega t}{\rho \omega} + [\beta F_2 - \alpha (F_1-1)]\frac{\sin\omega t}{\rho \omega} $$

कहाँ


 * $$\begin{align}

F_1(kr) &= \frac{\mathrm{ber}(kr)\mathrm{ber}(kR) + \mathrm{bei}(kr) \mathrm{bei}(kR)}{\mathrm{ber}^2(kR) + \mathrm{bei}^2(kR)}, \\[6pt] F_2(kr) &= \frac{\mathrm{ber}(kr)\mathrm{bei}(kR) - \mathrm{bei}(kr) \mathrm{ber}(kR)}{\mathrm{ber}^2(kR) + \mathrm{bei}^2(kR)}, \end{align}$$ कहाँ $ber$ और $bei$ केल्विन कार्य करता है हैं और $k^{2} = ρω⁄μ$.

विमान पॉइज़ुइल प्रवाह
समतल पॉइज़ुइल प्रवाह एक दूरी से अलग की गई दो अनंत लंबी समानांतर प्लेटों के मध्य निर्मित प्रवाह है $ω$ निरंतर दाब प्रवणता के साथ $G = −dp⁄dx$ प्रवाह की दिशा में लगाया जाता है। अनंत लंबाई के कारण प्रवाह मूलतः एकदिशात्मक है। नेवियर-स्टोक्स समीकरण कम हो जाते हैं


 * $$\frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d}y^2} = - \frac{G}{\mu}$$

दोनों दीवारों पर फिसलन रहित स्थिति के साथ


 * $$u(0)=0, \quad u(h)=0$$

इसलिए, वेग वितरण और प्रति इकाई लंबाई मात्रा प्रवाह दर हैं


 * $$u(y) = \frac{G}{2\mu} y(h-y), \quad Q = \frac{Gh^3}{12\mu}.$$

कुछ गैर-गोलाकार क्रॉस-सेक्शन के माध्यम से पॉइज़ुइल प्रवाह
जोसेफ वैलेन्टिन बौसिनस्क ने 1868 में आयताकार चैनल और समबाहु त्रिकोणीय क्रॉस-सेक्शन के ट्यूबों और अण्डाकार क्रॉस-सेक्शन के लिए वेग प्रोफ़ाइल और वॉल्यूम प्रवाह दर प्राप्त की। जोसेफ प्राउडमैन ने 1914 में समद्विबाहु त्रिभुजों के लिए इसे निकाला। होने देना $G = −dp⁄dx$ गति के समानांतर दिशा में कार्य करने वाली निरंतर दाब प्रवणता बनें।

ऊँचाई के एक आयताकार चैनल में वेग और आयतन प्रवाह दर $0 ≤ y ≤ h$ और चौड़ाई $0 ≤ z ≤ l$ हैं


 * $$\begin{align}

u(y,z) &= \frac{G}{2\mu} y(h-y) - \frac{4Gh^2}{\mu \pi^3} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^3} \frac{\sinh(\beta_n z) + \sinh [\beta_n (l-z)]}{\sinh (\beta_n l)} \sin (\beta_n y), \quad \beta_n = \frac{(2n-1)\pi}{h},\\[6pt] Q &= \frac{Gh^3l}{12\mu} - \frac{16 G h^4}{\pi^5 \mu} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^5} \frac{\cosh(\beta_n l) - 1}{\sinh(\beta_n l)}. \end{align}$$ साइड की लंबाई के समबाहु त्रिकोणीय क्रॉस-सेक्शन के साथ ट्यूब का वेग और वॉल्यूम प्रवाह दर $2h⁄√3$ हैं


 * $$\begin{align}

u(y,z) &= - \frac{G}{4\mu h} (y-h)\left(y^2-3z^2\right),\\[6pt] Q &= \frac{Gh^4}{60\sqrt 3 \mu}. \end{align}$$ समकोण समद्विबाहु त्रिभुज में वेग और आयतन प्रवाह दर $y = π$, $y ± z = 0$ हैं


 * $$\begin{align}

u(y,z) &= \frac{G}{2\mu}(y+z)(\pi-y) - \frac{G}{\pi\mu} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\beta_n^3 \sinh(2\pi\beta_n)} \left\{\sinh[\beta_n (2\pi-y+z)]\sin[\beta_n(y+z)] - \sinh[\beta_n(y+z)]\sin[\beta_n(y-z)] \right\}, \quad \beta_n = n+\tfrac{1}{2},\\[6pt] Q &= \frac{G \pi^4}{12\mu} - \frac{G}{2\pi\mu} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\beta_n^5} \left[\coth (2\pi\beta_n) + \csc (2\pi\beta_n)\right]. \end{align}$$ अर्धअक्षों के साथ अण्डाकार क्रॉस-सेक्शन की ट्यूबों के लिए वेग वितरण $h$ और $a$ है



\begin{align} u(y,z) &= \frac{G}{2\mu \left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)} \left(1- \frac{y^2}{a^2} - \frac{z^2}{b^2}\right),\\[6pt] Q &= \frac{\pi G a^3 b^3}{4\mu \left(a^2 + b^2\right)}. \end{align} $$ यहाँ, जब $a = b$, गोलाकार पाइप के लिए पॉइज़ुइल प्रवाह पुनर्प्राप्त किया जाता है और कब $a → ∞$, समतल पॉइज़ुइल प्रवाह पुनः प्राप्त हो गया है। क्रॉस-सेक्शन के साथ अधिक स्पष्ट समाधान जैसे घोंघे के आकार के अनुभाग, अर्धवृत्त के बाद एक पायदान सर्कल के आकार वाले अनुभाग, होमोफोकल दीर्घवृत्त के मध्य कुंडलाकार अनुभाग, गैर-संकेंद्रित सर्कल के मध्य कुंडलाकार अनुभाग भी उपलब्ध हैं, जैसा कि समीक्षा की गई है।.

मनमाना क्रॉस-सेक्शन के माध्यम से पॉइज़ुइल प्रवाह
मनमाना क्रॉस-सेक्शन के माध्यम से प्रवाह $u(y,z)$ शर्त को पूरा करता है $u = 0$ दीवार पर। गवर्निंग समीकरण कम हो जाता है
 * $$\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = -\frac{G}{\mu}.$$

यदि हम एक नया आश्रित चर प्रस्तुत करते हैं


 * $$U = u +\frac{G}{4\mu}\left(y^2+z^2\right),$$

तब यह देखना आसान है कि समस्या लाप्लास समीकरण को एकीकृत करने तक कम हो जाती है


 * $$\frac{\partial^2 U}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 U}{\partial z^2}=0$$

शर्त को संतुष्ट करना


 * $$U = \frac{G}{4\mu}\left(y^2+z^2\right)$$

दीवार पर।

एक आदर्श इज़ोटेर्मल गैस के लिए पॉइज़ुइल का समीकरण
एक ट्यूब में संपीड़ित द्रव पदार्थ के लिए वॉल्यूमेट्रिक प्रवाह दर $Q(x)$ और ट्यूब के अनुदिश अक्षीय वेग स्थिर नहीं है; लेकिन ट्यूब की लंबाई के साथ द्रव्यमान प्रवाह दर स्थिर है। वॉल्यूमेट्रिक प्रवाह दर आमतौर पर आउटलेट दाब पर व्यक्त की जाती है। जैसे ही द्रव को संपीड़ित या विस्तारित किया जाता है, कार्य किया जाता है और द्रव को गर्म या ठंडा किया जाता है। इसका मतलब यह है कि प्रवाह दर द्रव पदार्थ में और उससे निकलने वाले ताप स्थानांतरण पर निर्भर करती है। इज़ोटेर्मल प्रकरण में एक आदर्श गैस के लिए, जहां द्रव पदार्थ के तापमान को उसके परिवेश के साथ संतुलित करने की अनुमति दी जाती है, दाब ड्रॉप के लिए एक अनुमानित संबंध प्राप्त किया जा सकता है। स्थिर तापमान प्रक्रिया के लिए राज्य के आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करना (यानी, $$p/\rho$$ स्थिर है) और द्रव्यमान प्रवाह दर का संरक्षण (अर्थात्, $$\dot m=\rho Q$$ स्थिर है), संबंध $Qp = Q_{1}p_{1} = Q_{2}p_{2}$ प्राप्त किया जा सकता है। पाइप के एक छोटे खंड पर, पाइप के माध्यम से बहने वाली गैस को असम्पीडित माना जा सकता है ताकि पॉइज़ुइल नियम का स्थानीय रूप से उपयोग किया जा सके,


 * $$-\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} = \frac{8\mu Q}{\pi R^4} = \frac{8\mu Q_2p_2}{\pi p R^4} \quad \Rightarrow \quad  -p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} =  \frac{8\mu Q_2p_2}{\pi R^4}.$$

यहां हमने मान लिया कि स्थानीय दाब प्रवणता किसी भी संपीड़न प्रभाव के लिए बहुत बढ़िया नहीं है। हालाँकि स्थानीय स्तर पर हमने घनत्व भिन्नता के कारण दाब भिन्नता के प्रभावों को नजरअंदाज कर दिया, लंबी दूरी पर इन प्रभावों को ध्यान में रखा जाता है। तब से $b$ दाब से स्वतंत्र है, उपरोक्त समीकरण को लंबाई पर एकीकृत किया जा सकता है $μ$ दे देना


 * $$p_1^2-p_2^2 = \frac{16 \mu L Q_2 p_2}{\pi R^4}.$$

इसलिए पाइप आउटलेट पर वॉल्यूमेट्रिक प्रवाह दर द्वारा दी गई है


 * $$ Q_2 =\frac{\pi R^4}{16 \mu L} \left( \frac{ p_1^2-p_2^2}{p_2}\right) = \frac{\pi R^4 \left( p_1-p_2\right)}{8 \mu L} \frac{\left( p_1+p_2\right)}{2 p_2}.$$

इस समीकरण को एक अतिरिक्त सुधार कारक के साथ पॉइज़ुइल के नियम के रूप में देखा जा सकता है $p_{1} + p_{2}⁄2p_{2}$ आउटलेट दाब के सापेक्ष औसत दाब व्यक्त करना।

विद्युत परिपथ सादृश्य
बिजली को मूलतः एक प्रकार का द्रव पदार्थ समझा जाता था। यह हाइड्रोलिक सादृश्य अभी भी सर्किट को समझने के लिए वैचारिक रूप से उपयोगी है। इस सादृश्य का उपयोग सर्किट टूल का उपयोग करके द्रव-यांत्रिक नेटवर्क की आवृत्ति प्रतिक्रिया का अध्ययन करने के लिए भी किया जाता है, जिस स्थिति में द्रव नेटवर्क को हाइड्रोलिक सर्किट कहा जाता है। पॉइज़ुइल का नियम विद्युत परिपथों के लिए ओम के नियम से मेल खाता है, $V = IR$. चूँकि द्रव पर लगने वाला शुद्ध बल बराबर होता है $ΔF = SΔp$, कहाँ $S = πr^{2}$, अर्थात। $ΔF = πr^{2} ΔP$, फिर पॉइज़ुइले के नियम से, यह इसका अनुसरण करता है


 * $$\Delta F = \frac{8 \mu LQ}{r^2}$$.

विद्युत परिपथों के लिए, आइए $L$ मुक्त आवेशित कणों की सांद्रता (मीटर में) हो−3) और चलो $q*$ प्रत्येक कण का आवेश हो (कूलम्ब (इकाई) में)। (इलेक्ट्रॉनों के लिए, $q* = e = 1.6 C$।) तब $n$ आयतन में कणों की संख्या है $nQ$, और $nQq*$ उनका कुल चार्ज है. यह वह चार्ज है जो प्रति यूनिट समय में क्रॉस सेक्शन से प्रवाहित होता है, यानी करंट (बिजली) $Q$. इसलिए, $I = nQq*$. फलस्वरूप, $Q = I⁄nq*$, और


 * $$\Delta F = \frac{8 \mu LI}{nr^2 q^*}.$$

लेकिन $ΔF = Eq$, कहाँ $I$ ट्यूब के आयतन में कुल आवेश है। ट्यूब का आयतन बराबर है $πr^{2}L$, अतः इस आयतन में आवेशित कणों की संख्या बराबर है $nπr^{2}L$, और उनका कुल चार्ज है $q = nπr^{2} Lq*$. वोल्टेज के बाद से $V = EL$, यह तब अनुसरण करता है


 * $$V = \frac{8\mu LI}{n^2\pi r^4 \left(q^*\right)^2}.$$

यह बिल्कुल ओम का नियम है, जहां विद्युत प्रतिरोध होता है $R = V⁄I$ सूत्र द्वारा वर्णित है


 * $$R = \frac{8\mu L}{n^2\pi r^4 \left(q^*\right)^2}$$.

यह इस प्रकार है कि प्रतिरोध $q$ लंबाई के समानुपाती है $R$ अवरोधक का, जो सत्य है। हालाँकि, इससे यह भी पता चलता है कि प्रतिरोध $L$ त्रिज्या की चौथी घात के व्युत्क्रमानुपाती है $R$, यानी प्रतिरोध $r$ क्रॉस सेक्शन क्षेत्र की दूसरी शक्ति के व्युत्क्रमानुपाती है $S = πr^{2}$ अवरोधक का, जो विद्युत सूत्र से भिन्न है। प्रतिरोध के लिए विद्युत संबंध है


 * $$R=\frac{\rho L}{S},$$

कहाँ $R$ प्रतिरोधकता है; यानी प्रतिरोध $ρ$ क्रॉस सेक्शन क्षेत्र के व्युत्क्रमानुपाती है $R$ अवरोधक का। यही कारण है कि पॉइज़ुइल का नियम प्रतिरोध के लिए एक अलग सूत्र की ओर ले जाता है $S$ द्रव प्रवाह और विद्युत धारा के मध्य का अंतर है। जेलियम अदृश्य प्रवाह है, इसलिए इसका वेग कंडक्टर की दीवारों की दूरी पर निर्भर नहीं करता है। प्रतिरोध प्रवाहित इलेक्ट्रॉनों और चालक के परमाणुओं के मध्य परस्पर क्रिया के कारण होता है। इसलिए, बिजली पर उपयोजित होने पर पॉइज़ुइल का नियम और हाइड्रोलिक सादृश्य केवल कुछ सीमाओं के भीतर ही उपयोगी होते हैं। ओम का नियम और पॉइज़ुइल का नियम दोनों परिवहन घटना को दर्शाते हैं।

चिकित्सा अनुप्रयोग - अंतःशिरा पहुंच और द्रव वितरण
हेगन-पॉइज़ुइल समीकरण संवहनी प्रतिरोध को निर्धारित करने में उपयोगी है और इसलिए अंतःशिरा द्रव पदार्थ की प्रवाह दर | अंतःशिरा (IV) द्रव पदार्थ जो परिधीय और केंद्रीय नलिकाओं के विभिन्न आकारों का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। समीकरण में कहा गया है कि प्रवाह दर चौथी शक्ति की त्रिज्या के समानुपाती होती है, जिसका अर्थ है कि प्रवेशनी के आंतरिक व्यास में थोड़ी सी वृद्धि से IV द्रव पदार्थों की प्रवाह दर में महत्वपूर्ण वृद्धि होती है। IV कैनुला की त्रिज्या आमतौर पर गेज में मापी जाती है, जो कि है त्रिज्या तक. परिधीय IV कैनुला आमतौर पर (बड़े से छोटे तक) 14G, 16G, 18G, 20G, 22G, 26G के रूप में उपलब्ध हैं। उदाहरण के तौर पर, 14G कैनुला का प्रवाह सामान्यतः चारों ओर होता है वह 16जी का, और  वह 20G का. इसमें यह भी कहा गया है कि प्रवाह लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती होता है, जिसका अर्थ है कि लंबी लाइनों में प्रवाह दर कम होती है। यह याद रखना महत्वपूर्ण है क्योंकि आपातकालीन स्थिति में, कई चिकित्सक लंबे, संकीर्ण कैथेटर की तुलना में छोटे, बड़े कैथेटर का पक्ष लेते हैं। कम नैदानिक ​​महत्व के होते हुए भी, दाब में बढ़ा हुआ परिवर्तन ($∆p$) - जैसे द्रव पदार्थ की थैली पर दाब डालकर, थैली को निचोड़कर, या थैली को ऊंचा लटकाकर (प्रवेशनी के स्तर के सापेक्ष) - प्रवाह दर को तेज करने के लिए उपयोग किया जा सकता है। यह समझना भी उपयोगी है कि चिपचिपे द्रव पदार्थ धीमी गति से बहेंगे (उदाहरण के लिए रक्त आधान में)।

यह भी देखें

 * कूएट प्रवाह
 * डार्सी का नियम
 * नाड़ी
 * लहर
 * हाइड्रोलिक सर्किट

बाहरी संबंध

 * Poiseuille's law for power-law non-Newtonian fluid
 * Poiseuille's law in a slightly tapered tube
 * Hagen–Poiseuille equation calculator