क्लिफोर्ड विश्लेषण

क्लिफोर्ड विश्लेषण, विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड के नाम पर क्लिफोर्ड बीजगणित का उपयोग करते हुए, विश्लेषण और ज्यामिति में डिरैक संक्रियकों और डिरैक प्रकार के संक्रियकों का उनके अनुप्रयोगों के साथ अध्ययन है। डिरैक प्रकार के संक्रियकों के उदाहरणों में हॉज-डिरैक संक्रियक, रीमैनियन कई गुना पर $$d+{\star}d{\star}$$, यूक्लिडियन समष्टि में डिरैक संक्रियक और $$C_{0}^{\infty}(\mathbf{R}^{n})$$ पर इसका व्युत्क्रम और गोले पर उनके अनुरूप समकक्ष, यूक्लिडियन एन-समष्टि में लाप्लासियन और कई गुना चक्रण पर माइकल अतियाह-गायक-डिरैक संक्रियक, रारिटा-श्विंगर/स्टीन-वीस प्रकार के संक्रियक, जटिल चक्रण पर अनुरूप लाप्लाशियन, स्पिनोरियल लाप्लाशियन और डिरैक चक्रणc कई गुना, डिरैक संक्रियकों की प्रणालियाँ, पैनिट्ज़ संक्रियक, अतिपरवलीय समष्टि पर डिरैक संक्रियक, अतिपरवलीय लाप्लासियन और वीनस्टीन समीकरण सम्मिलित हैं, परन्तु ये इन्हीं तक सीमित नहीं हैं।

यूक्लिडियन समष्टि
इस प्रकार से यूक्लिडियन समष्टि में डिरैक संक्रियक का रूप
 * $$D=\sum_{j=1}^{n}e_{j}\frac{\partial}{\partial x_{j}}$$
 * होता है, जहां e1, ..., en Rn के लिए लम्बवत् आधार है, Rn को एक जटिल क्लिफोर्ड बीजगणित,Cln(C) में अंतःस्थापित माना जाता है ताकि ej2 = −1।
 * इस प्रकार से यह


 * $$D^{2} = -\Delta_{n}$$
 * देता है जहां Δn एन-यूक्लिडियन समष्टि में लाप्लासियन है।

यूक्लिडियन डिरैक संक्रियक का मौलिक हल
 * $$G(x-y):=\frac{1}{\omega_{n}}\frac{x-y}{\|x-y\|^n}$$

है, जहां ωn इकाई गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल Sn−1 का सतह क्षेत्र है।

इस प्रकार से ध्यान दें कि
 * $$D\frac{1}{(n-2)\omega_{n}\|x-y\|^{n-2}}=G(x-y)$$
 * जहां
 * $$\frac{1}{(n-2)\;\omega_{n}\;\|x-y\|^{n-2}}$$,
 * n ≥ 3 के लिए लाप्लास के समीकरण का मूलभूत हल है।
 * n ≥ 3 के लिए लाप्लास के समीकरण का मूलभूत हल है।

इस प्रकार से डिरैक संक्रियक का सबसे मूलभूत उदाहरण जटिल तल में कॉची-रीमैन संक्रियक
 * $$\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}$$
 * है। वस्तुतः, चर जटिल विश्लेषण के कई मूलभूत गुण कई प्रथम क्रम डिरैक प्रकार संक्रियकों के लिए अनुसरण करते हैं। यूक्लिडियन समष्टि में इसमें कॉची की प्रमेय (ज्यामिति), कॉची अभिन्न सूत्र, मोरेरा की प्रमेय, टेलर श्रृंखला, लॉरेंट श्रृंखला और लिउविले की प्रमेय (जटिल विश्लेषण) सम्मिलित हैं। अतः इस स्थिति में कॉची कर्नेल G(x−y) है। कॉची समाकलन सूत्र का प्रमाण जटिल चर के समान है और इस तथ्य का उपयोग करता है कि यूक्लिडियन समष्टि में प्रत्येक गैर-शून्य सदिश x में क्लिफोर्ड बीजगणित में गुणक व्युत्क्रम होता है, अर्थात्
 * $$-\frac{x}{\|x\|^{2}}\in\mathbf{R}^{n}.$$
 * इस प्रकार से चिह्न तक यह व्युत्क्रम x का केल्विन व्युत्क्रम है। यूक्लिडियन डिरैक समीकरण Df = 0 के हल को (बाएं) एकजीनी फलन कहा जाता है। एकजीनी फलन चक्रण कई गुना पर संनादी स्पाइनर की विशेष स्थिति हैं।

3 और 4 विमाओं में क्लिफोर्ड विश्लेषण को कभी-कभी चतुर्धातुक विश्लेषण के रूप में जाना जाता है। जब n = 4, डिरैक संक्रियक को कभी-कभी कॉची-रीमैन-फ्यूटर संक्रियक के रूप में जाना जाता है। इसके अतिरिक्त क्लिफोर्ड विश्लेषण के कुछ गुणों को अतिमिश्र विश्लेषण कहा जाता है।

इस प्रकार से क्लिफोर्ड विश्लेषण में कॉची परिवर्तन, बर्गमैन कर्नेल, स्ज़ेगो कर्नेल, प्लेमेलज संक्रियक, हार्डी रिक्त समष्टि, केर्जमैन-स्टीन सूत्र और Π, या बेर्लिंग-अहलफोर्स परिवर्तन, परिवर्तन के एनालॉग हैं। इन सभी में सीमा मान समस्याओं को हल करने में अनुप्रयोग पाए गए हैं, जिनमें चलती सीमा मान समस्याएं, एकल समाकलन और उत्कृष्ट संनादी विश्लेषण सम्मिलित हैं। अतः विशेष रूप से क्लिफोर्ड विश्लेषण का उपयोग कुछ सोबोलेव समष्टि में, 3डी में पूर्ण जल तरंग समस्या को हल करने के लिए किया गया है। यह विधि 2 से बड़े सभी विमाओं में कार्य करती है।

यदि हम जटिल क्लिफोर्ड बीजगणित को वास्तविक क्लिफोर्ड बीजगणित, Cln से प्रतिस्थापित करते हैं तो अधिकांश क्लिफोर्ड विश्लेषण करता है। यद्यपि यह स्थिति नहीं है जब हमें डिरैक संक्रियक और फूरियर परिवर्तन के बीच परस्पर क्रिया से निपटने की आवश्यकता होती है।

फूरियर परिवर्तन
इस प्रकार से जब हम सीमा 'Rn−1 के साथ ऊपरी अर्ध स्थान Rn+ पर विचार करते हैं, तो फूरियर रूपांतरण के अंतर्गत e1, ..., en−1, का विस्तार, डिरैक संक्रियक


 * $$D_{n-1} = \sum_{j=1}^{n-1} \frac \partial {\partial x_j}$$

का प्रतीक iζ है जहां


 * $$\zeta=\zeta_1 e_1 +\cdots+ \zeta_{n-1}e_{n-1}$$ है।

अतः इस समायोजन में सोखोटस्की-प्लेमेलज प्रमेय
 * $$\pm\tfrac{1}{2}+G(x-y)|_{\mathbf{R}^{n-1}}$$ और इन संक्रियकों के प्रतीक, एक चिह्न तक,
 * $$\frac{1}{2} \left (1\pm i\frac{\zeta}{\|\zeta\|} \right )$$ हैं।

इस प्रकार से ये Rn−1 पर Cln(C) मानित वर्ग पूर्णांक फलन के स्थान पर प्रक्षेपण संक्रियक हैं, जिन्हें अन्यथा पारस्परिक रूप से विनाशकारी निष्क्रियता के रूप में जाना जाता है।

अतः ध्यान दें कि


 * $$G|_{\mathbf{R}^n}=\sum_{j=1}^{n-1} e_j R_j$$

जहां Rj J-वें रिज़्ज़ क्षमता है,


 * $$\frac{x_j}{\|x\|^n}.$$

चूंकि $$G|_{\mathbf{R}^{n}}$$ का प्रतीक


 * $$\frac{i\zeta}{\|\zeta\|}$$

है, इसलिए क्लिफोर्ड गुणन से यह सरलता से निर्धारित होता है कि


 * $$\sum_{j=1}^{n-1} R_j^2=1.$$

तो संवलन संक्रियक $$G|_{\mathbf{R}^{n}}$$ हिल्बर्ट परिवर्तन के यूक्लिडियन समष्टि का प्राकृतिक सामान्यीकरण है।

इस प्रकार से मान लीजिए U' Rn−1 में एक प्रांत है और g(x) एक Cln(C) मान वाला वास्तविक विश्लेषणात्मक फलन है। फिर g के निकट Rn में U′ के कुछ निकटवर्ती पर डिरैक समीकरण का कॉची-कोवालेवस्की विस्तार है। अतः विस्तार स्पष्ट रूप से


 * $$\sum_{j=0}^\infty \left (x_n e_n^{-1}D_{n-1} \right )^j g(x)$$ द्वारा दिया गया है।

जब यह विस्तारक


 * $$e^{-i\langle x,\zeta\rangle} \left (\tfrac{1}{2} \left (1\pm i\frac{\zeta}{\|\zeta\|} \right ) \right )$$

में परिवर्ती x पर लागू होता है तो हमें पता चलता है कि


 * $$e^{-i\langle x,\zeta\rangle}$$

E+ + E− के Rn−1 का प्रतिबंध है, जहां E+ ऊपरी अर्ध समष्टि में एक एकजीनी फलन है और E− निम्न अर्ध समष्टि में एकजीनी फलन है।

इस प्रकार से क्लिफोर्ड विश्लेषण में एन-यूक्लिडियन समष्टि में पैली-वीनर प्रमेय भी सामने आया है।

अनुरूप संरचना
अतः कई डिरैक प्रकार के संक्रियकों के निकट मापीय में अनुरूप परिवर्तन के अंतर्गत सहप्रसरण होता है। यह यूक्लिडियन समष्टि में डिरैक संक्रियक और मोबियस परिवर्तनों के अंतर्गत क्षेत्र पर डिरैक संक्रियक के लिए सत्य है। फलस्वरूप, यह डिरैक संक्रियकों के लिए अनुरूप रूप से अनुरूप कई गुना और अनुरूप कई गुना पर सत्य है जो साथ चक्रण कई गुना हैं।

केली परिवर्तन (त्रिविम प्रक्षेपण)
इस प्रकार से Rn से इकाई क्षेत्र Sn केली परिवर्तन या त्रिविम प्रक्षेपण यूक्लिडियन डिरैक संक्रियक को गोलाकार डिरैक संक्रियक DS में बदल देता है। स्पष्ट रूप से


 * $$D_S=x \left(\Gamma_n + \frac n 2 \right)$$

जहां Γn गोलाकार बेल्ट्रामी-डिरैक संक्रियक


 * $$\sum\nolimits_{1\leq i<j\leq n+1}e_{i}e_{j} \left (x_{i}\frac{\partial}{\partial x_{j}}-x_{j}\frac{\partial}{\partial x_{i}} \right )$$

और Sn में x है।

अतः एन-समष्टि पर केली परिवर्तन


 * $$y=C(x)=(e_{n+1}x+1)(x+e_{n+1})^{-1}, \qquad x \in \mathbf{R}^n$$ है।

इसका व्युत्क्रम


 * $$x=(-e_{n+1}+1)(y-e_{n+1})^{-1}$$ है।

इस प्रकार से एन-यूक्लिडियन समष्टि में प्रांत U पर परिभाषित फलन f(x) और डिरैक समीकरण के हल के लिए,


 * $$J(C^{-1},y) f(C^{-1}(y))$$

को C(U) पर DS द्वारा नष्ट कर दिया गया है जहां


 * $$J(C^{-1},y)=\frac{y-e_{n+1}}{\|y-e_{n+1}\|^n}$$

अतः इसके अतिरिक्त


 * $$D_S(D_S-x)=\triangle_S,$$

Sn पर कंफर्मल लाप्लासियन या यामाबे संक्रियक।

स्पष्ट रूप से
 * $$\triangle_S = -\triangle_{LB}+\tfrac 1 4 n(n-2)$$

जहां $$\triangle_{LB}$$ Sn पर लाप्लास-बेल्ट्रामी संक्रियक है। संक्रियक $$\triangle_S$$ केली परिवर्तन के माध्यम से, यूक्लिडियन लाप्लासियन के अनुरूप है। इस प्रकार से इसके अतिरिक्त


 * $$D_s(D_S-x)(D_S-x)(D_S-2x)$$

n-क्षेत्र पैनिट्ज़ संक्रियक,


 * $$-\triangle_S(\triangle_S+2)$$

है। अतः केली परिवर्तन के माध्यम से यह संक्रियक द्वि-लाप्लासियन, $$\triangle_n^2$$ के अनुरूप है। ये सभी डिरैक प्रकार के संक्रियकों के उदाहरण हैं।

मोबियस परिवर्तन
इस प्रकार से एन-यूक्लिडियन समष्टि पर मोबियस परिवर्तन को
 * $$\frac{ax+b}{cx+d}$$
 * के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहां a, b, c और d ∈ Cln और कुछ बाधाओं को संतुष्ट करते हैं। संबद्ध 2 × 2 आव्यूह को अहलफोर्स-वाहलेन आव्यूह कहा जाता है। यदि
 * $$y=M(x)+\frac{ax+b}{cx+d}$$
 * और Df(y) = 0 है तो $$J(M,x)f(M(x))$$ डिरैक समीकरण का हल है जहां
 * $$J(M,x)=\frac{\widetilde{cx+d}}{\|cx+d\|^{n}}$$
 * और ~ क्लिफोर्ड बीजगणित पर कार्य करने वाला मूलभूत प्रतिस्वसमाकृतिकता है। संक्रियक Dk, या Δnk/2 जब k सम है, तो केली परिवर्तन सहित मोबियस परिवर्तन के अंतर्गत समान सहप्रसरण प्रदर्शित करते है।

इस प्रकार से जब ax+b और cx+d गैर-शून्य होते हैं तो वे दोनों क्लिफोर्ड समूह के सदस्य होते हैं।


 * $$\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{-ax-b}{-cx-d}$$
 * के रूप में तो हमारे निकट J(M, x) को परिभाषित करने में संकेत करने का विकल्प है। इसका अर्थ यह है कि अनुरूप रूप से समतल कई गुना M के लिए हमें स्पाइनर बंडल को परिभाषित करने के लिए M पर चक्रण संरचना की आवश्यकता होती है, जिसके अनुभागों पर हम डिरैक संक्रियक को कार्य करने की अनुमति दे सकते हैं। स्पष्ट सरल उदाहरणों में एन-सिलेंडर, एन-यूक्लिडियन समष्टि से मूल को छोड़कर प्राप्त हॉपफ कई गुना, और ऊपरी अर्ध समष्टि पर पूर्ण रूप से सतत कार्य करने वाले सामान्यीकृत मॉड्यूलर समूहों के फलनों द्वारा इसे फैक्टरिंग करके ऊपरी अर्ध समष्टि से प्राप्त के-हैंडल टोरस के सामान्यीकरण सम्मिलित हैं। इन संदर्भों में डिरैक संक्रियक को प्रस्तुत किया जा सकता है। ये डिरैक संक्रियक अतियाह-गायक-डिरैक संक्रियकों के विशेष उदाहरण हैं।

अतियाह-गायक-डिरैक संक्रियक
अतः एक चक्रण कई गुना M को स्पाइनर बंडल S और S में सहज खंड s(x) के साथ दिया गया है, फिर स्थानीय प्रसामान्य आधार e1(x), ..., en(x) M के स्पर्शरेखा बंडल के संदर्भ में, S पर कार्य करने वाले अतियाह-गायक-डिरैक संक्रियक को
 * $$Ds(x)=\sum_{j=1}^{n}e_{j}(x)\tilde{\Gamma}_{e_{j}(x)}s(x) $$
 * के रूप में परिभाषित किया गया है जहां $$\widetilde{\Gamma}$$ चक्रण संपर्क है, M पर लेवी-सिविटा संपर्क के S को उठाना। इस प्रकार से जब M एन-यूक्लिडियन समष्टि है तो हम यूक्लिडियन डिरैक संक्रियक पर लौटते हैं।

अतः अतियाह-गायक-डिरैक संक्रियक D से हमारे निकट लिचनेरोविक्ज़ सूत्र
 * $$D^{2}=\Gamma^{*}\Gamma+\tfrac{\tau}{4} $$
 * है, जहां τ कई गुना पर अदिश वक्रता है, और Γ∗ Γ का अभिसम्युक्त है। इस प्रकार से संक्रियक D2 स्पिनोरियल लाप्लासियन के रूप में जाना जाता है।

यदि M सघन है और $τ ≥ 0$ और $τ > 0$ कहीं है तो कई गुना पर कोई गैर-तुच्छ संनादी स्पाइनर नहीं हैं। यह लिचनेरोविक्ज़ प्रमेय है। यह सरलता से देखा जा सकता है कि लिचनेरोविक्ज़ प्रमेय चर जटिल विश्लेषण से लिउविले के प्रमेय (जटिल विश्लेषण) का सामान्यीकरण है। अतः यह हमें यह ध्यान देने की अनुमति देता है कि सहज स्पाइनर अनुभागों के समष्टि पर संक्रियक D इस प्रकार के कई गुना व्युत्क्रम है।

इस प्रकार से ऐसी स्थितियों में जहां अतियाह-गायक-डिरैक संक्रियक संहत समर्थन के साथ सहज स्पाइनर अनुभागों के समष्टि पर व्युत्क्रम है, कोई
 * $$C(x,y):=D^{-1}*\delta_{y}, \qquad x \neq y \in M$$
 * प्रस्तुत कर सकता है, जहां δy डिरैक डेल्टा फलन है जिसका मूल्यांकन y पर किया जाता है। अतः यह कॉची कर्नेल को जन्म देता है, जो इस डिरैक संक्रियक का मौलिक हल है। इससे संनादी स्पाइनरों के लिए कॉची समाकलन सूत्र प्राप्त किया जा सकता है। इस कर्नेल के साथ इस प्रविष्टि के पूर्व खंड में वर्णित अधिकांश वस्तुएं व्युत्क्रम अतियाह-गायक-डिरैक संक्रियकों के लिए होती हैं।

इस प्रकार से स्टोक्स के प्रमेय का उपयोग करके, या अन्यथा, कोई यह निर्धारित कर सकता है कि मापीय के अनुरूप परिवर्तन के अंतर्गत प्रत्येक मापीय से संयोजित डिरैक संक्रियक दूसरे के लिए आनुपातिक हैं, और परिणामस्वरूप उनके व्युत्क्रम भी हैं, यदि वे स्थित हैं।

अतः यह सब अतियाह-गायक निर्देशिका सिद्धांत और डिरैक प्रकार के संक्रियकों से संयोजित ज्यामितीय विश्लेषण के अन्य गुणों के लिए संभावित श्रंखला प्रदान करता है।

अतिपरवलीय डिरैक प्रकार संक्रियक
इस प्रकार से क्लिफ़ोर्ड विश्लेषण में अतिपरवलीय या पोंकारे मापीय के संबंध में ऊपरी अर्ध समष्टि, डिस्क, या हाइपरबोला पर अंतर संक्रियकों पर भी विचार किया जाता है।

अतः ऊपरी अर्ध समष्टि के लिए क्लिफोर्ड बीजगणित,Cln को Cln−1 + Cln−1en में विभाजित किया जाता है। तो Cln में a के लिए कोई a को b + cen के साथ Cln−1 में a, b के रूप में व्यक्त कर सकता है। इसके बाद प्रक्षेपण संक्रियकों P और Q को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: P(a) = b और Q(a) = c। ऊपरी अर्ध समष्टि में अतिपरवलीय मापीय के संबंध में फलन f पर कार्य करने वाले हॉज-डिरैक संक्रियक को अब
 * $$Mf=Df+\frac{n-2}{x_{n}}Q(f)$$ के रूप में परिभाषित किया गया है।

इस प्रकार से इस स्थिति में
 * $$M^{2}f=-\triangle_{n}P(f)+\frac{n-2}{x_{n}}\frac{\partial P(f)}{\partial x_{n}}- \left (\triangle_{n}Q(f)-\frac{n-2}{x_{n}}\frac{\partial Q(f)}{\partial x_{n}}+ \frac{n-2}{x_{n}^{2}}Q(f) \right )e_{n}$$.

पोंकारे मापीय के संबंध में संक्रियक
 * $$\triangle_{n}-\frac{n-2}{x_{n}}\frac{\partial}{\partial x_{n}}$$
 * लाप्लासियन है जबकि दूसरा संक्रियक वेनस्टीन संक्रियक का उदाहरण है।

इस प्रकार से अतिपरवलीय लाप्लासियन अनुरूप समूह की क्रियाओं के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है, जबकि अतिपरवलीय डिरैक संक्रियक ऐसी क्रियाओं के अंतर्गत सहसंयोजक है।

रारिता-श्विंगर/स्टीन-वीस संक्रियक
अतः रारिटा-श्विंगर समीकरण संक्रियक, जिन्हें स्टीन-वीस संक्रियक के रूप में भी जाना जाता है, चक्रण और पिन समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में उत्पन्न होते हैं। संक्रियक Rk एक अनुरूप सहसंयोजक प्रथम क्रम विभेदक संक्रियक है। इस प्रकार से यहां k = 0, 1, 2, .... जब k = 0, रारिटा-श्विंगर संक्रियक मात्र डिरैक संक्रियक है। लाम्बिक समूह, O(n) के लिए प्रतिनिधित्व सिद्धांत में सजातीय संनादी बहुपद के समष्टि में मान लेने वाले फलनों पर विचार करना सामान्य बात है। जब कोई इस प्रतिनिधित्व सिद्धांत को O(n) के दोहरे आवरण Pin(n) में परिष्कृत करता है, तो वह सजातीय संनादी बहुपद के समष्टि को डिरैक समीकरण के सजातीय बहुपद हलों के समष्टि से बदल देता है, अन्यथा के एकजीनी बहुपद के रूप में जाना जाता है। अतः कोई एक फलन f(x, u) पर विचार करता है जहां U में x, Rn में प्रांत, और u Rn पर भिन्न होता है। इसके अतिरिक्त f(x, u) u में k-एकजीनी बहुपद है। अब x से f(x, u) में डिरैक संक्रियक Dx लागू करें। अब चूँकि क्लिफ़ोर्ड बीजगणित क्रमविनिमेय Dxf(x, u) नहीं है तो यह फलन अब k एकजीनी नहीं है बल्कि u में सजातीय संनादी बहुपद है। इस प्रकार से अब घात h के प्रत्येक संनादी बहुपद hkसजातीय के लिए एक अलमांसी-फिशर अपघटन
 * $$ h_{k}(x)=p_{k}(x)+xp_{k-1}(x) $$
 * है जहां pk और pk−1 क्रमशः k और k−1 मोनिक बहुपद हैं। मान लीजिए P, hk से pk का प्रक्षेपण है तो रारिटा-श्विंगर संक्रियक को PDk के रूप में परिभाषित किया जाता है, और इसे Rk द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रकार से यूलर लेम्मा का उपयोग करके कोई यह निर्धारित कर सकता है कि
 * $$D_{u}up_{k-1}(u)=(-n-2k+2)p_{k-1}.$$

इसलिए
 * $$R_{k}=\left(I+\frac{1}{n+2k-2}uD_{u}\right)D_{x}.$$

सम्मेलन और पत्रिकाएँ
अतः क्लिफ़ोर्ड और ज्यामितीय बीजगणित के आसनिकट अनुप्रयोगों की विस्तृत श्रृंखला के साथ जीवंत और अंतःविषय समुदाय है। इस प्रकार से इस विषय में मुख्य सम्मेलनों में क्लिफोर्ड बीजगणित और गणितीय भौतिकी में उनके अनुप्रयोगों (आईसीसीए) और पर अंतर्राष्ट्रीय सम्मेलन सम्मिलित हैं। cz/main.php कंप्यूटर विज्ञान और इंजीनियरिंग में ज्यामितीय बीजगणित के अनुप्रयोग (एजीएसीएसई) श्रृंखला। मुख्य प्रकाशन आउटलेट स्प्रिंगर जर्नल एप्लाइड क्लिफ़ोर्ड बीजगणित में प्रगति है।

यह भी देखें

 * क्लिफोर्ड बीजगणित
 * जटिल चक्रण संरचना
 * अनुरूप कई गुना
 * अनुरूप रूप से सपाट कई गुना
 * डिरैक संक्रियक
 * पोंकारे मापीय
 * चक्रण समूह
 * चक्रण संरचना
 * स्पाइनर बंडल

बाहरी संबंध

 * Lecture notes on डिरैक operators in analysis and geometry