बरनौली संख्या

गणित में, बरनौली संख्या Bn परिमेय संख्याओं का एक क्रम है जो अक्सर विश्लेषण में होता है। बर्नौली नंबर स्पर्शरेखा और अतिपरवलय स्पशरिखीय कार्य के टेलर श्रृंखला विस्तार में प्रकट होती है  (और इसके द्वारा  परिभाषित किए जा सकते हैं), पहले n धनात्मक पूर्णांकों की m-वें घातांको के योग के लिए फौल्हबर के सूत्र में, यूलर-मैकलॉरिन के सूत्रों में, और रीमैन ज़ेटा फलन के कुछ मानों के लिए व्यंजकों में दिखाई देते हैं।

प्रथम 20 बरनौली संख्याओं के मान संलग्न तालिका में दिए गए हैं। साहित्य में दो सम्मेलनों का उपयोग किया जाता है, जिन्हें यहाँ $$B^{-{}}_n$$ और $$B^{+{}}_n$$ द्वारा दर्शाया गया है, वे केवल  $B± n$, जहां $$B^{-{}}_1=-1/2$$ और $$B^{+{}}_1=+1/2$$ के लिए भिन्न होते हैं l प्रत्येक विषम n > 1, के लिए,Bn = 0 है। प्रत्येक सम n > 0 के लिए, यदि n 4 से विभाज्य है तो Bn ऋणात्मक है, अन्यथा धनात्मक है। बरनौली संख्याएँ में बरनौली बहुपदों के विशेष मान $$B_n(x)$$, साथ $$B^{-{}}_n=B_n(0)$$ और $$B^+_n=B_n(1)$$ हैंl

बर्नौली नंबरों की खोज का श्रेय स्विस गणितज्ञ जैकब बर्नौली, जिनके नाम पर उनका नाम रखा गया है, और जापानी गणितज्ञ सेकी ताकाकाज़ु, दोनों को दिया जाता है, जिन्होंने स्वतंत्र रूप से एक ही समय के आसपास एक ही खोज की थी। सेकी की खोज 1712 में उनकी मृत्यु के बाद उनके काम कात्सुयो सैम्पो में प्रकाशित हुई थी, जबकि बर्नौली के मरणोपरांत 1713 के उनके अर्स कंजेकांडी में प्रकाशित हुई थी। 1842 में, एडा लवलेस ने विश्लेषणात्मक इंजन के बारे में एक नोट G लिखा, जिसमें उन्होंने बताया कि कलन विधि का उपयोग करके बर्नौली संख्या उत्पन्न करने के लिए जी. बैबेज की मशीन का उपयोग कैसे किया जाए।। फलस्वरूप, बर्नौली संख्याओं को पहले प्रकाशित जटिल कंप्यूटर प्रोग्राम का विषय होने का गौरव प्राप्त है।

अंकन
इस लेख में प्रयुक्त अधिलेख ± बर्नौली संख्याओं के लिए दो पारम्परिक संकेतो को अलग करता है। केवल $n = 1$ को प्रभावित करता है: नीचे दिए गए सूत्रों में, संबंध के साथ एक पारम्परिक संकेत से दूसरे संकेत में परिवर्तन किया जा सकता है $$B_n^{+}=(-1)^n B_n^{-}$$, या पूर्णांक $n$ = 2 या अधिक के लिए,बस इसे अनदेखा करें।
 * $n = 1$ साथ $B− n$ ( / ) एनआईएसटी और अधिकांश आधुनिक पाठ्यपुस्तकों द्वारा निर्धारित पारम्परिक संकेत है।
 * $B− 1 = −1⁄2$ साथ $B+ n$ ( / ) का उपयोग पिछले साहित्य में किया गया था,और वर्तमान में (2022 में) इसका उपयोग पीटर लुस्चनी के "बर्नौली मेनिफेस्टो" के बाद डोनाल्ड नुथ द्वारा किया जा रहा है।

चूँकि सभी विषम n > 1 के लिए Bn = 0, और कई सूत्र केवल सम-सूचकांक बर्नौली संख्याओं को शामिल करते हैं, कुछ लेखक B2n के बजाय "Bn" लिखते हैं।

प्रारंभिक इतिहास
बर्नौली संख्याएं पूर्णांक शक्तियों की गणना के प्रारंभिक इतिहास में निहित हैं, जो पुरातनता के बाद से गणितज्ञों के लिए रुचि रखते हैं।

पहले n धनात्मक पूर्णांकों, वर्गों के योग और पहले n धनात्मक पूर्णांकों के घनों के योग की गणना करने के तरीके ज्ञात थे, लेकिन कोई वास्तविक 'सूत्र' नहीं थे, केवल शब्दों में पूरी तरह से दिए गए विवरण थे। इस समस्या पर विचार करने वाले पुरातनता के महान गणितज्ञों में पाइथागोरस (सी. 572-497 ईसा पूर्व, ग्रीस), आर्किमिडी़ज (287-212 ईसा पूर्व, इटली), आर्यभट्ट (बी. 476, भारत), अबू बक्र अल-काराजी (डी. 1019, फारस) और अबू अली अल-हसन इब्न अल-हसन इब्न अल-हेथम (965-1039, इराक) थे।

सोलहवीं सदी के अंत और सत्रहवीं सदी की शुरुआत में गणितज्ञों ने महत्वपूर्ण प्रगति की। पश्चिम में इंग्लैंड के थॉमस हैरियट (1560-1621), जर्मनी के जॉन फौल्हाबर (1580-1635), पियरे डी फर्मेट (1601-1665) और फ्रांसीसी साथी गणितज्ञ ब्लेज़ पास्कल (1623-1662) सभी ने महत्वपूर्ण भूमिकाएँ निभाईं।

ऐसा प्रतीत होता है कि थॉमस हैरियट प्रतीकात्मक संकेतन का उपयोग करते हुए घातांक के योग के लिए सूत्रों को प्राप्त करने और लिखने वाले पहले व्यक्ति थे, लेकिन यहां तक ​​कि उन्होंने केवल चौथी घातांक के योग तक की गणना की। जोहान फॉल्हबर ने अपने 1631 एकेडेमिया बीजगणित में 17वीं घातांक तक की घातांको के योग के लिए सूत्र दिए, जो उससे पहले किसी से भी अधिक थे, लेकिन उन्होंने एक सामान्य सूत्र नहीं दिया।

1654 में ब्लेज़ पास्कल ने p = 0, 1, 2, ..., k के लिए पहले n धनात्मक पूर्णांकों की pth घातांको के योग से संबंधित पास्कल की पहचान को सिद्ध किया।

स्विस गणितज्ञ जैकब बर्नौली (1654-1705) स्थिरांक B0, B1, B2, ... के एकल अनुक्रम के अस्तित्व को महसूस करने वाले पहले व्यक्ति थे, जो सभी घातांको के योग के लिए एक समान सूत्र प्रदान करते हैं।

बर्नौली ने आनंद का अनुभव किया जब उन्होंने किसी भी धनात्मक पूर्णांक c के लिए cवे घातांको के योग के लिए अपने सूत्र के गुणांकों की त्वरित और आसानी से गणना करने के लिए आवश्यक पतिरूप पर सफलता मिली जिसे उनकी टिप्पणी से देखा जा सकता है। उन्होंने लिखा है:


 * "इस तालिका की मदद से, मुझे यह पता लगाने में आधे घंटे से भी कम समय लगा कि पहली 1000 संख्याओं की दसवीं घातांक को एक साथ जोड़ने पर योग 91,409,924,241,424,243,424,241,924,242,500 प्राप्त होगा।"

बर्नौली का परिणाम 1713 में अर्स कोंजेकटेंडी में मरणोपरांत प्रकाशित हुआ था। सेकी ताकाकाजु ने स्वतंत्र रूप से बर्नौली संख्याओं की खोज की और उसका परिणाम एक साल पहले, मरणोपरांत, 1712 में प्रकाशित हुआ था। हालाँकि, सेकी ने अपनी पद्धति को स्थिरांक के अनुक्रम पर आधारित सूत्र के रूप में प्रस्तुत नहीं किया।

घातांको के योग के लिए बर्नौली का सूत्र आज तक का सबसे उपयोगी और सामान्य सूत्रीकरण है। अब्राहम डी मोइवरे के एक सुझाव के बाद, बर्नौली के सूत्र में गुणांक अब बर्नौली संख्या कहलाते हैं।

बर्नौली के फार्मूले को कभी-कभी जोहान फॉल्हबर के नाम पर फौल्हबर का सूत्र कहा जाता है, जिन्होंने घातांको के योग की गणना करने के लिए उल्लेखनीय तरीके खोजे लेकिन बर्नौली के सूत्र को कभी नहीं बताया। नुथ के अनुसार फौल्हबर के फार्मूले का एक कठोर प्रमाण पहली बार 1834 में कार्ल जैकोबी द्वारा प्रकाशित किया गया था। नुथ का फॉल्हबर के सूत्र का गहन अध्ययन समाप्त होता है (एलएचएस पर गैर-मानक संकेतन आगे समझाया गया है):


 * फौल्हबर ने बर्नौली संख्याओं की खोज कभी नहीं की; यानी, उन्होंने कभी यह महसूस नहीं किया कि स्थिरांक B0, B1, B2, ... का एक अनुक्रम एक समान प्रदान करेगा
 * $\sum n^m = \frac 1{m+1}\left( B_0n^{m+1}-\binom{m+1} 1 B_1 n^m+\binom{m+1} 2B_2n^{m-1}-\cdots +(-1)^m\binom{m+1}mB_mn\right) $
 * सभी राशियों की घातांको के लिए। उदाहरण के लिए, उन्होंने कभी भी इस तथ्य का उल्लेख नहीं किया कि अपने सूत्रों में Σ nm के लिए N में बहुपदों को n बहुपदों में परिवर्तित करने के बाद लगभग आधे गुणांक शून्य हो गए।.

उपरोक्त नुथ में $$B_1^-$$ के बजाय $$B_1^+$$ सूत्र का उपयोग करके घटाव से बचा जाता है:
 * $ \sum n^m = \frac 1{m+1}\left( B_0n^{m+1}+\binom{m+1} 1 B^+_1 n^m+\binom{m+1} 2B_2n^{m-1}+\cdots+\binom{m+1}mB_mn\right). $

सर्वोच्च शक्तियों का पुनर्निर्माण
बर्नौली नंबर (N)/(एन) जेकब बर्नौली द्वारा अर्स कोंजेकटेंडी पुस्तक में 1713 पृष्ठ 97 में मरणोपरांत प्रकाशित की गई थी। मुख्य सूत्र को संबंधित प्रतिकृति के दूसरे भाग में देखा जा सकता है। बर्नौली द्वारा ए, बी, सी और डी को निरूपित करने वाले निरंतर गुणांक को अंकन के लिए मैप किया जाता है जो अब  A = B2, B = B4, C = B6, D = B8 के रूप में प्रचलित है। व्यंजक c·c−1·c−2·c−3 का अर्थ है  क्रमगुणितc·(c−1)·(c−2)·(c−3) – छोटे बिंदुओं को समूहीकरण प्रतीकों के रूप में उपयोग किया जाता है। आज की शब्दावली का प्रयोग करते हुए ये अभिव्यक्तियाँ घटती हुई तथ्यात्मक शक्तियाँ हैं $B+ 1 = +1⁄2$। क्रमगुणित अंकन k! 1 × 2 × ... × k के  सरल उपाय के रूप में 100 साल बाद तक पेश नहीं किया गया था।बाईं ओर का अभिन्न प्रतीक 1675 में गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज के पास जाता है, जिन्होंने इसे "सुम्मा" (योग) के लिए एक लंबे अक्षर S के रूप में इस्तेमाल किया था।बाईं ओर का अक्षर n योग का सूचक नहीं है, बल्कि योग की सीमा की ऊपरी सीमा देता है जिसे 1, 2, ..., n के रूप में समझा जाना है। चीजों को एक साथ रखकर, सकारात्मक C के लिए, आज एक गणितज्ञ बर्नौली के सूत्र को इस रूप में लिख सकता है :


 * $$ \sum_{k=1}^n k^c = \frac{n^{c+1}}{c+1}+\frac 1 2 n^c+\sum_{k=2}^c \frac{B_k}{k!} c^{\underline{k-1}}n^{c-k+1}.$$

यह सूत्र B1 = 1/2 सेट करने का सुझाव देता है जब तथाकथित 'पुरातन' गणना से बदलाव किया जाता है जो केवल 2, 4, 6 ... को भी आधुनिक रूप में उपयोग करता है (अगले पैराग्राफ में विभिन्न सम्मेलनों पर अधिक)।इस संदर्भ में सबसे उल्लेखनीय तथ्य यह है कि घटते क्रमगुणित ck−1 का k = 0 के लिए मान है $c^$ । इस प्रकार बरनौली का सूत्र लिखा जा सकता है
 * $$ \sum_{k=1}^n k^c = \sum_{k=0}^c \frac{B_k}{k!}c^{\underline{k-1}} n^{c-k+1}$$

अगर $1⁄c + 1$, बर्नौली द्वारा उस स्थिति पर गुणांक को दिए गए मान को पुनः प्राप्त करना।

बर्नौली द्वारा उपरोक्त उद्धरण के पहले भाग में $$\textstyle \sum_{k=1}^n k^9$$ के सूत्र में अंतिम पद पर एक त्रुटि है; यह$$-\tfrac {1}{12}n^2$$ के स्थान पर $$-\tfrac {3}{20}n^2$$होना चाहिए.

परिभाषाएँ
पिछले 300 वर्षों में बर्नौली संख्याओं के कई लक्षण पाए गए हैं, और प्रत्येक का उपयोग इन संख्याओं को प्रस्तुत करने के लिए किया जा सकता है। यहाँ केवल तीन सबसे उपयोगी का उल्लेख किया गया है:


 * एक पुनरावर्ती समीकरण,
 * एक स्पष्ट सूत्र,
 * एक जनक फलन।

तीन दृष्टिकोणों की समानता के प्रमाण के लिए।

पुनरावर्ती परिभाषा
बरनौली संख्याएँ योग सूत्रों का पालन करती हैं
 * $$ \begin{align} \sum_{k=0}^{m}\binom {m+1} k B^{-{}}_k &= \delta_{m, 0} \\ \sum_{k=0}^{m}\binom {m+1} k B^{+{}}_k &= m+1 \end{align}$$

कहाँ $$m=0,1,2...$$ और $B_{1} = 1/2$ क्रोनकर डेल्टा को दर्शाता है। $$B^{\mp{}}_m$$को हल करने से पुनरावर्ती सूत्र मिलते हैं
 * $$\begin{align}

B_m^{-{}} &= \delta_{m, 0} - \sum_{k=0}^{m-1} \binom{m}{k} \frac{B^{-{}}_k}{m - k + 1} \\ B_m^+ &= 1 - \sum_{k=0}^{m-1} \binom{m}{k} \frac{B^+_k}{m - k + 1}. \end{align}$$

स्पष्ट परिभाषा
1893 में लुइस साल्सचुट्ज़ ने बर्नौली संख्याओं के लिए कुल 38 स्पष्ट सूत्र सूचीबद्ध किए जो आमतौर पर पुराने साहित्य में कुछ संदर्भ देते थे। उनमें से एक है ($$m\geq 1$$के लिए):
 * $$\begin{align}

B^{-{}}_m &= \sum_{k=0}^m \sum_{v=0}^k (-1)^v \binom{k}{v} \frac{v^m}{k + 1} \\ B^+_m &= \sum_{k=0}^m \sum_{v=0}^k (-1)^v \binom{k}{v} \frac{(v + 1)^m}{k + 1}. \end{align}$$

जनक फलन
घातीय जनक फलन हैं
 * $$\begin{alignat}{3}

\frac{t}{e^t - 1}   &= \frac{t}{2} \left( \operatorname{coth} \frac{t}{2} -1 \right) &&= \sum_{m=0}^\infty \frac{B^{-{}}_m t^m}{m!}\\ \frac{t}{1 - e^{-t}} &= \frac{t}{2} \left( \operatorname{coth} \frac{t}{2} +1 \right) &&= \sum_{m=0}^\infty \frac{B^+_m t^m}{m!}. \end{alignat}$$ जहां प्रतिस्थापन है $$t \to - t$$.

(साधारण) जनक फलन
 * $$ z^{-1} \psi_1(z^{-1}) = \sum_{m=0}^{\infty} B^+_m z^m$$

एक उपगामी श्रृंखला है। इसमें $δ$ त्रिगामा समारोह होता है।

बर्नौली नंबर और रीमैन जीटा फलन
बर्नौली संख्या को रीमैन ज़ेटा फलन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:


 * $ψ_{1}$          के लिए $B+ n = −nζ(1 − n)$ .

यहाँ जीटा फलन का तर्क 0 या ऋणात्मक है।

जीटा कार्यात्मक समीकरण और गामा प्रतिबिंब सूत्र के माध्यम से निम्नलिखित संबंध प्राप्त किया जा सकता है:


 * $$ B_{2n} = \frac {(-1)^{n+1}2(2n)!} {(2\pi)^{2n}} \zeta(2n) \quad $$ $n ≥ 1$ के लिए

अब जीटा फलन का तर्क धनात्मक है।

इसके बाद यह अनुसरण करता है $n ≥ 1$ ($&zeta; &rarr; 1$) और स्टर्लिंग का सूत्र है कि
 * $$ |B_{2 n}| \sim 4 \sqrt{\pi n} \left(\frac{n}{ \pi e} \right)^{2n} \quad $$ $n &rarr; &infin;$ के लिए

बरनौली संख्याओं की कुशल संगणना
कुछ अनुप्रयोगों में बर्नौली संख्या B0 से लेकर Bp − 3 modulo p, जहाँ p एक अभाज्य संख्या है, की गणना करने में सक्षम होना उपयोगी है; उदाहरण के लिए यह परीक्षण करने के लिए कि क्या वांडिवर का अनुमान p के लिए मान्य है, या केवल यह निर्धारित करने के लिए कि क्या p एक अनियमित अभाज्य है। उपरोक्त पुनरावर्ती सूत्रों का उपयोग करके ऐसी गणना करना संभव नहीं है, क्योंकि कम से कम (एक निरंतर एकाधिक) p2अंकगणितीय संचालन की आवश्यकता होगी। सौभाग्य से, तेज़ तरीके विकसित किए गए हैं जिसके लिए केवल O(p (log p)2) संचालन की आवश्यकता होती है ($1⁄2$ अंकन देखें)।

डेविड हार्वे कई छोटे अभाज्य p के लिए Bn modulo p की गणना करके और फिर चीनी शेष प्रमेय के माध्यम से Bn का पुनर्निर्माण करके बर्नौली संख्या की गणना के लिए एक कलन विधि का वर्णन करता है। हार्वे लिखते हैं कि इस कलन विधि की स्पर्शोन्मुख समय जटिलता सिद्धांत है $n &rarr; &infin;$ और उनका दावा है कि यह कार्यान्वयन अन्य विधियों पर आधारित कार्यान्वयनों की तुलना में काफ़ी तेज़ है। इस कार्यान्वयन का उपयोग करते हुए हार्वे ने n = 108 के लिए Bn की गणना की। संस्करण 3.1 के बाद से हार्वे के कार्यान्वयन को सेजमैथ में शामिल किया गया है। इससे पहले, बर्न्ड केलनरने दिसंबर 2002 में n = 106 के लिए पूर्ण सटीकता के लिए Bn की गणना की और अप्रैल 2008 में गणित के साथ n = 107  के लिए ऑलेक्ज़ेंडर पाविलक  की गणना की।


 * {| class=wikitable style="text-align:right"

! Computer !! Year !! n !! Digits*
 * align=left| J. Bernoulli || ~1689 || 10 || 1
 * align=left| L. Euler || 1748 || 30 || 8
 * align=left| J. C. Adams || 1878 || 62 || 36
 * align=left| D. E. Knuth, T. J. Buckholtz || 1967 || $1⁄6$ || $1⁄30$
 * align=left| G. Fee, S. Plouffe || 1996 || $1⁄42$ || $1⁄30$
 * align=left| G. Fee, S. Plouffe || 1996 || $5⁄66$ || $691⁄2730$
 * align=left| B. C. Kellner || 2002 || $7⁄6$ || $3617⁄510$
 * align=left| O. Pavlyk || 2008 || $43867⁄798$ || $174611⁄330$
 * align=left| D. Harvey || 2008 || $n$ || $O$
 * }
 * * अंकों को 10 के घातांक के रूप में समझा जाना चाहिए जब $O(n^{2} log(n)^{2 + ε})$ सामान्यीकृत वैज्ञानिक संकेतन में वास्तविक संख्या के रूप में लिखा जाता है।
 * align=left| G. Fee, S. Plouffe || 1996 || $1,672$ || $3,330$
 * align=left| B. C. Kellner || 2002 || $10,000$ || $27,677$
 * align=left| O. Pavlyk || 2008 || $100,000$ || $376,755$
 * align=left| D. Harvey || 2008 || $1,000,000$ || $4,767,529$
 * }
 * * अंकों को 10 के घातांक के रूप में समझा जाना चाहिए जब $B_{n}$ सामान्यीकृत वैज्ञानिक संकेतन में वास्तविक संख्या के रूप में लिखा जाता है।
 * align=left| D. Harvey || 2008 || $10,000,000$ || $57,675,260$
 * }
 * * अंकों को 10 के घातांक के रूप में समझा जाना चाहिए जब $B− 1 = −1⁄2$ सामान्यीकृत वैज्ञानिक संकेतन में वास्तविक संख्या के रूप में लिखा जाता है।

जूलिया (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज) में बर्नौली संख्याओं की गणना के लिए एक संभावित कलन विधि द्वारा दिया गया है

स्पर्शोन्मुख विश्लेषण
तार्किक रूप से गणित में बर्नौली संख्याओं का सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोग यूलर-मैकलॉरिन सूत्र में उनका उपयोग है। यह मानते हुए कि f पर्याप्त रूप से अक्सर अवकलनीय फलन है, यूलर-मैकलॉरिन सूत्र को इस रूप में लिखा जा सकता है


 * $$\sum_{k=a}^{b-1} f(k) = \int_a^b f(x)\,dx + \sum_{k=1}^m \frac{B^-_k}{k!} (f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_-(f,m).$$

यह सूत्रीकरण सम्मेलन मानता है $B+ 1 = +1⁄2$. कन्वेंशन का उपयोग करना $s^{\overline{k}}|undefined$ सूत्र बन जाता है


 * $$\sum_{k=a+1}^{b} f(k) = \int_a^b f(x)\,dx + \sum_{k=1}^m \frac{B^+_k}{k!} (f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_+(f,m).$$

यहाँ $$f^{(0)}=f$$ (यानी शून्य-क्रम व्युत्पन्न $$f$$ बस है $$f$$). इसके अलावा, चलो $$f^{(-1)}$$ का एक प्रतिपक्षी निरूपित करें $$f$$. कलन के मौलिक प्रमेय द्वारा,


 * $$\int_a^b f(x)\,dx = f^{(-1)}(b) - f^{(-1)}(a).$$

इस प्रकार अंतिम सूत्र को यूलर-मैकलॉरिन सूत्र के निम्नलिखित संक्षिप्त रूप में और सरल बनाया जा सकता है


 * $$ \sum_{k=a}^{b}f(k)= \sum_{k=0}^m \frac{B_k}{k!} (f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R(f,m). $$

उदाहरण के लिए यह फॉर्म ज़ेटा फलन के महत्वपूर्ण यूलर-मैकलॉरिन विस्तार का स्रोत है


 * $$ \begin{align}

\zeta(s) & =\sum_{k=0}^m \frac{B^+_k}{k!} s^{\overline{k-1}} + R(s,m) \\ & = \frac{B_0}{0!}s^{\overline{-1}} + \frac{B^+_1}{1!} s^{\overline{0}} + \frac{B_2}{2!} s^{\overline{1}} +\cdots+R(s,m) \\ & = \frac{1}{s-1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{12}s + \cdots + R(s,m). \end{align} $$ यहाँ $m, n ≥ 0$ बढ़ती क्रमगुणित शक्ति को दर्शाता है.

बर्नौली संख्याओं का उपयोग अक्सर अन्य प्रकार के स्पर्शोन्मुख विस्तारों में भी किया जाता है।निम्नलिखित उदाहरण डिगामा फलन ψ का क्लासिकल पॉइनकेयर-प्रकार का स्पर्शोन्मुख विस्तार है।


 * $$\psi(z) \sim \ln z - \sum_{k=1}^\infty \frac{B^+_k}{k z^k} $$

घातांको का योग
बर्नौली संख्याएँ पहले n धनात्मक पूर्णांकों की mth घातों के योग के बंद रूप अभिव्यक्ति में प्रमुखता से दिखाई देती हैं। $( m + 1 k )$ के लिए परिभाषित करना


 * $$S_m(n) = \sum_{k=1}^n k^m = 1^m + 2^m + \cdots + n^m. $$

इस व्यंजक को घात m + 1 वाले n बहुपद के रूप में हमेशा लिखा जा सकता है। इन बहुपदों के गुणांक बर्नौली के सूत्र द्वारा बर्नौली संख्या से संबंधित हैं:
 * $$S_m(n) = \frac{1}{m + 1} \sum_{k=0}^m \binom{m + 1}{k} B^+_k n^{m + 1 - k} = m! \sum_{k=0}^m \frac{B^+_k n^{m + 1 - k}}{k! (m+1-k)!} ,$$

जहां $0, 1, 3, 6, ...$ द्विपद गुणांक को दर्शाता है।

उदाहरण के लिए ,m को 1 लेने पर त्रिकोणीय संख्या $0, 1, 5, 14, ...$ प्राप्त होता है.


 * $$ 1 + 2 + \cdots + n = \frac{1}{2} (B_0 n^2 + 2 B^+_1 n^1) = \tfrac12 (n^2 + n).$$

m को 2 लेने पर वर्ग पिरामिड संख्या $B_{0} = 1$ प्राप्त होती है।.


 * $$1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{1}{3} (B_0 n^3 + 3 B^+_1 n^2 + 3 B_2 n^1) = \tfrac13 \left(n^3 + \tfrac32 n^2 + \tfrac12 n\right).$$

कुछ लेखक बर्नौली संख्याओं के लिए वैकल्पिक परिपाटी का उपयोग करते हैं और बर्नौली के सूत्र को इस प्रकार बताते हैं:
 * $$S_m(n) = \frac{1}{m + 1} \sum_{k=0}^m (-1)^k \binom{m + 1}{k} B^{-{}}_k n^{m + 1 - k}.$$

बर्नौली के फार्मूले को कभी-कभी जोहान फॉल्हबर के बाद फौल्हबर का सूत्र कहा जाता है, जिन्होंने शक्तियों की गणना करने के लिए उल्लेखनीय तरीके भी खोजे।

फौल्हबर के सूत्र को वी. गुओ और जे. ज़ेंग द्वारा क्यू-एनालॉग के लिए सामान्यीकृत किया गया था।

टेलर श्रृंखला
कई त्रिकोणमितीय कार्यों और अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के टेलर श्रृंखला विस्तार में बर्नौली संख्याएं दिखाई देती हैं।


 * स्पर्शरेखा समारोह
 * $$ \begin{align}

\tan x &= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} }{(2n)!}\; x^{2n-1},& \left |x \right | &< \frac \pi 2 \\ \end{align} $$ स्पर्शरेखा
 * $$ \begin{align}

\cot x & {} = \frac{1}{x} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n B_{2n} (2x)^{2n}}{(2n)!},& \qquad 0 < |x| < \pi. \end{align} $$
 * अतिपरवलीय स्पर्शरेखा
 * $$\begin{align}

\tanh x &= \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}\;x^{2n-1},& |x| &< \frac \pi 2. \end{align}$$
 * अतिपरवलीय कोटिस्पर्श रेखा
 * $$ \begin{align}

\coth x & {} = \frac{1}{x} \sum_{n=0}^\infty \frac{B_{2n} (2x)^{2n}}{(2n)!},& \qquad \qquad 0 < |x| < \pi. \end{align} $$

लॉरेंट श्रृंखला
निम्नलिखित लॉरेंट श्रृंखला में बर्नौली संख्याएं दिखाई देती हैं: }

दिग्मा समारोह: $$ \psi(z)= \ln z- \sum_{k=1}^\infty \frac {B_k^{+{}}} {k z^k} $$

सांस्थिति में प्रयोग
एक्सोटिक (4n − 1) क्षेत्रों के रंगभेद वर्गों के चक्रीय समूह के क्रम के लिए केरवायर-मिल्नोर फॉर्मूला, जो समानांतर कई गुना बाध्य है, जिसमें बर्नौली नंबर शामिल हैं। मान लीजिए ESn  n ≥ 2, के लिए ऐसे विदेशी गोलों की संख्या है, तब


 * $$\textit{ES}_n = (2^{2n-2}-2^{4n-3}) \operatorname{Numerator}\left(\frac{B_{4n}}{4n} \right) .$$

आयाम 4N के सरल उन्मुख बंद कई गुना के L वर्ग के लिए हिर्जेब्रुक सिग्नेचर प्रमेय में बर्नौली नंबर भी शामिल हैं।

संयोजन संख्याओं के साथ संबंध
बर्नौली संख्या का विभिन्न प्रकार के संयोजी संख्याओं से संबंध, परिमित अंतरों के शास्त्रीय सिद्धांत पर आधारित है और बर्नौली संख्याओं के संयोजी व्याख्या पर एक मौलिक संयोजी सिद्धांत, समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत के उदाहरण के रूप में है।

वर्पित्जकी संख्याओं के साथ संबंध
आगे बढ़ने की परिभाषा 1883 में जूलियस वर्पिट्स्की द्वारा विकसित की गई थी। प्राथमिक अंकगणित के अलावा केवल भाज्य फलन n! और शक्ति फलन km कार्यरत है। संकेत रहित वर्पिट्स्की संख्याओं को इस रूप में परिभाषित किया गया है


 * $$ W_{n,k}=\sum_{v=0}^k (-1)^{v+k} (v+1)^n \frac{k!}{v!(k-v)!} . $$

उन्हें दूसरी तरह की स्टर्लिंग संख्या के माध्यम से भी व्यक्त किया जा सकता है


 * $$ W_{n,k}=k! \left\{ {n+1\atop k+1} \right\}.$$

एक बर्नौली संख्या को हार्मोनिक अनुक्रम 1 द्वारा भारित वर्पिट्स्की संख्याओं के समावेश-बहिष्करण योग के रूप में पेश किया जाता है,$100,000,000$, $676,752,569$, ...


 * $$ B_{n}=\sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{W_{n,k}}{k+1}\ =\ \sum_{k=0}^n \frac{1}{k+1} \sum_{v=0}^k (-1)^v (v+1)^n {k \choose v}\ . $$

यह प्रतिनिधित्व किया है $B_{1} = 1 − 1⁄2$.

क्रम पर विचार करें $B_{2} = 1 − 3⁄2 + 2⁄3$, $B_{3} = 1 − 7⁄2 + 12⁄3 − 6⁄4$. वर्पिट्स्की की संख्या से, के लिए आवेदन किया $B_{4} = 1 − 15⁄2 + 50⁄3 − 60⁄4 + 24⁄5$ $B_{5} = 1 − 31⁄2 + 180⁄3 − 390⁄4 + 360⁄5 − 120⁄6$ लागू किए गए अकियामा-तानिगावा रूपांतरण के समान है  (पहली तरह के स्टर्लिंग संख्याओं के साथ #कनेक्शन देखें)। इसे तालिका के माध्यम से देखा जा सकता है:


 * {| style="text-align:center"

पहली पंक्ति दर्शाती है $B_{6} = 1 − 63⁄2 + 602⁄3 − 2100⁄4 + 3360⁄5 − 2520⁄6 + 720⁄7$.
 * + Identity of Worpitzky's representation and Akiyama–Tanigawa transform
 * 1|| || || || || ||0||1|| || || || ||0||0||1|| || || ||0||0||0||1|| || ||0||0||0||0||1||
 * 1||−1|| || || || ||0||2||−2|| || || ||0||0||3||−3|| || ||0||0||0||4||−4|| || || || || || ||
 * 1||−3||2|| || || ||0||4||−10||6|| || ||0||0||9||−21||12|| || || || || || || || || || || || ||
 * 1||−7||12||−6|| || ||0||8||−38||54||−24|| || || || || || || || || || || || || || || || || || ||
 * 1||−15||50||−60||24|| || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || ||
 * }
 * 1||−7||12||−6|| || ||0||8||−38||54||−24|| || || || || || || || || || || || || || || || || || ||
 * 1||−15||50||−60||24|| || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || ||
 * }
 * 1||−15||50||−60||24|| || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || ||
 * }
 * }

इसलिए दूसरे भिन्नात्मक यूलर संख्या के लिए ($B+ 1 = +1⁄2$) /  ($s_{n}$):



वर्पिट्स्की संख्याओं द्वारा बर्नौली संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने वाला एक दूसरा सूत्र है $n ≥ 0$


 * $$ B_n=\frac n {2^{n+1}-2}\sum_{k=0}^{n-1} (-2)^{-k}\, W_{n-1,k} . $$

दूसरे बर्नौली संख्याओं का सरलीकृत दूसरा वर्पिट्स्की का प्रतिनिधित्व है:

($s_{0}, s_{0}, s_{1}, s_{0}, s_{1}, s_{2}, s_{0}, s_{1}, s_{2}, s_{3}, ...$) / ($s_{n}$) = $s_{0}, s_{1}, s_{2}, s_{3}, s_{4}$ × ($n$) / ($n + 1$)

जो दूसरे बर्नौली संख्याओं को दूसरे भिन्नात्मक यूलर संख्याओं से जोड़ता है। शुरुआत है:



पहले कोष्ठकों के अंश हैं (पहली तरह के स्टर्लिंग संख्याओं के साथ #कनेक्शन देखें)।

दूसरे प्रकार के स्टर्लिंग संख्याओं के साथ संबंध
अगर $E_{0} = 1$ दूसरी तरह की स्टर्लिंग संख्या को दर्शाता है तो एक के पास है:


 * $$j^k=\sum_{m=0}^k {j^{\underline{m}}} S(k,m)$$

कहाँ $E_{1} = 1 − 1⁄2$ घटते भाज्य को दर्शाता है।

यदि कोई बर्नोली बहुपदों को परिभाषित करता है $E_{2} = 1 − 3⁄2 + 2⁄4$ जैसा:


 * $$ B_k(j)=k\sum_{m=0}^{k-1}\binom{j}{m+1}S(k-1,m)m!+B_k $$

कहाँ $E_{3} = 1 − 7⁄2 + 12⁄4 − 6⁄8$ के लिए $E_{4} = 1 − 15⁄2 + 50⁄4 − 60⁄8 + 24⁄16$ बरनौली संख्याएँ हैं।

फिर द्विपद गुणांक की निम्नलिखित संपत्ति के बाद:


 * $$ \binom{j}{m}=\binom{j+1}{m+1}-\binom{j}{m+1} $$

किसी के पास,


 * $$ j^k=\frac{B_{k+1}(j+1)-B_{k+1}(j)}{k+1}. $$

बरनौली बहुपदों के लिए निम्नलिखित भी हैं,


 * $$ B_k(j)=\sum_{n=0}^k \binom{k}{n} B_n j^{k-n}. $$

$1⁄2$ का गुणांक $E_{5} = 1 − 31⁄2 + 180⁄4 − 390⁄8 + 360⁄16 − 120⁄32$ में $E_{6} = 1 − 63⁄2 + 602⁄4 − 2100⁄8 + 3360⁄16 − 2520⁄32 + 720⁄64$है.

बर्नौली बहुपद के दो भावों में j के गुणांक की तुलना करने पर, एक है:


 * $$ B_k=\sum_{m=0}^k (-1)^m \frac{m!}{m+1} S(k,m)$$

(जिसके परिणामस्वरूप $n ≥ 1$) जो बरनौली संख्याओं के लिए एक स्पष्ट सूत्र है और वॉन-स्टौड्ट क्लॉसन को सिद्ध करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है।

पहली तरह की स्टर्लिंग संख्या के साथ संबंध
पहली तरह $n + 1$ की अहस्ताक्षरित स्टर्लिंग संख्या और बर्नौली संख्या (के साथ $n + 1$) से संबंधित दो मुख्य सूत्र हैं


 * $$ \frac{1}{m!}\sum_{k=0}^m (-1)^{k} \left[{m+1\atop k+1}\right] B_k = \frac{1}{m+1}, $$

और इस राशि का उलटा (के लिए $n + 1⁄2^{n + 2} − 2$, $n$)


 * $$ \frac{1}{m!}\sum_{k=0}^m (-1)^k \left[{m+1\atop k+1}\right] B_{n+k} = A_{n,m}. $$

यहाँ संख्या $n + 1$ परिमेय अकियामा-तनिगावा संख्याएं हैं, जिनमें से कुछ निम्न तालिका में प्रदर्शित की गई हैं।


 * {| class="wikitable" style="text-align=center"

! !!0!!1!!2!!3!!4 ! 0 ! 1 ! 2 ! 3 ! 4 अकियामा-तनिगावा नंबर एक साधारण पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करते हैं जिसका उपयोग बर्नौली संख्याओं की पुनरावृत्त रूप से गणना करने के लिए किया जा सकता है।यह ऊपर 'एल्गोरिदमिक विवरण' खंड में दिखाए गए कलन विधि की ओर जाता है। देखो /.
 * + Akiyama–Tanigawa number
 * 1 || $1⁄3$ || $j$ || $n$ || $m$
 * 0 || $1⁄2$ || ... || ... || ...
 * }
 * }

एक स्वत:अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसका व्युत्क्रम द्विपद रूपांतरण हस्ताक्षरित अनुक्रम के बराबर होता है।यदि मुख्य विकर्ण शून्य =, है, तो स्वतःअनुक्रम पहली तरह का है। उदाहरण: , फाइबोनैचि संख्याएँ। यदि मुख्य विकर्ण पहले ऊपरी विकर्ण को 2 से गुणा करता है, तो यह दूसरे प्रकार का होता है। उदाहरण: /, दूसरी बर्नोली संख्याएं (देखें ). अकियामा-तनिगावा परिवर्तन लागू किया गया $1⁄2, 1⁄6, 0, −1⁄30, 0, 1⁄42, ... = (1⁄2, 1⁄3, 3⁄14, 2⁄15, 5⁄62, 1⁄21, ...) × (1, 1⁄2, 0, −1⁄4, 0, 1⁄2, ...)$ = 1/ ओर जाता है (n) /  (n+1)। इस तरह:


 * {| class="wikitable" style="text-align:center"

! !! 0 !! 1 !! 2 !! 3 !! 4 ! 0 ! 1 ! 2 ! 3 ! 4 देखो  और. ($S(k,m)$) / ($j^$) दूसरी (आंशिक) यूलर संख्याएं हैं और दूसरी तरह की स्वतः अनुक्रम हैं।
 * + Akiyama–Tanigawa transform for the second Euler numbers
 * 1 || $1⁄3$ || $1⁄4$ || $1⁄5$ || $1⁄2$
 * 0 || $1⁄3$ || $1⁄4$ || ... || ...
 * 0 || ... || ... || ... || ...
 * }



/ के लिए भी मूल्यवान है (वर्पिट्स्की संख्या के साथ संबंध देखें)।

पास्कल के त्रिकोण के साथ संबंध
पास्कल के त्रिभुज को बर्नौली संख्या से जोड़ने वाले सूत्र हैं
 * $$ B^{+}_n=\frac{|A_n|}{(n+1)!}$$

जहां $$|A_n|$$ पास्कल के त्रिभुज के एक n - by - n हेसनबर्ग मैट्रिक्स भाग का निर्धारक है, जिसके अवयव हैं:$$ a_{i, k} = \begin{cases} 0 & \text{if } k>1+i \\ {i+1 \choose k-1} & \text{otherwise} \end{cases} $$

उदाहरण:


 * $$ B^{+}_6 =\frac{\det\begin{pmatrix}

1& 2& 0& 0& 0& 0\\ 1& 3& 3& 0& 0& 0\\ 1& 4& 6& 4& 0& 0\\ 1& 5& 10& 10& 5& 0\\ 1& 6& 15& 20& 15& 6\\ 1& 7& 21& 35& 35& 21 \end{pmatrix}}{7!}=\frac{120}{5040}=\frac 1 {42} $$

यूलेरियन संख्या के साथ संबंध
यूलेरियन संख्या $B_{k}(j)$ को बर्नौली संख्या से जोड़ने वाले सूत्र हैं:


 * $$\begin{align}

\sum_{m=0}^n (-1)^m \left \langle {n\atop m} \right \rangle &= 2^{n+1} (2^{n+1}-1) \frac{B_{n+1}}{n+1}, \\ \sum_{m=0}^n (-1)^m \left \langle {n\atop m} \right \rangle \binom{n}{m}^{-1} &= (n+1) B_n. \end{align}$$ दोनों सूत्र के लिए मान्य हैं $B_{k}$ अगर $k = 0, 1, 2,...$ इसके लिए सेट है $1⁄5$ ।अगर $( j m + 1 )$ - $1⁄6$ पर सेट है, वे क्रमशः n ≥ 1 और n ≥ 2 के लिए मान्य हैं।

एक बाइनरी वृक्ष प्रतिनिधित्व
स्टर्लिंग बहुपद $(−1)^{m}⁄m + 1$, $B_{1} = +1⁄2$ द्वारा बर्नौली संख्या से संबंधित हैं। एस. सी. वून ने दो अंकों की संख्यात्मक प्रणाली वृक्ष के रूप में $[ n m ]$ की गणना करने के लिए एक कलन विधि का वर्णन किया:


 * [[File:SCWoonTree.png]]
 * वून का पुनरावर्ती कलन विधि (n ≥ 1 के लिए) रूट नोड N = [1,2] को नियत करके शुरू होता है। वृक्ष का एक नोड N = [a1, a2, ..., ak] दिया गया है, नोड का बायां वंशज L(N) = [−a1, a2 + 1, a3, ..., ak] है और दायां नोड वंशज R(N) = [a1, 2, a2, ..., ak]। एक नोडN = [a1, a2, ..., ak] को पेड़ के प्रारंभिक भाग में ±[a2, ..., ak] के रूप में लिखा गया है, जो ऊपर दर्शाए गए ± के साथ a1 के चिह्न को दर्शाता है।

एक नोड N को देखते हुए N के क्रमगुणित को परिभाषित किया गया है


 * $$ N! = a_1 \prod_{k=2}^{\operatorname{length}(N)} a_k!. $$

एक निश्चित ट्री-लेवल n के नोड्स N तक सीमित $B_{1} = +1⁄2$ का योग $n ≥ 0$ है, इस प्रकार


 * $$ B_n = \sum_\stackrel{N \text{ node of}}{\text{ tree-level } n} \frac{n!}{N!}. $$

उदाहरण के लिए:

अभिन्न प्रतिनिधित्व और निरंतरता
अभिन्न
 * $$ b(s) = 2e^{s i \pi/2}\int_0^\infty \frac{st^s}{1-e^{2\pi t}} \frac{dt}{t} = \frac{s!}{2^{s-1}}\frac{\zeta(s)}{{  }\pi^s{  }}(-i)^s= \frac{2s!\zeta(s)}{(2\pi i)^s}$$

विशेष मान के रूप में है $m ≥ 0$ $A_{n,m}$ के लिए

उदाहरण के लिए, $2^{−n}$ और $n$. यहाँ, $1⁄6$ रीमैन जीटा फलन है, और $3⁄20$ काल्पनिक इकाई है। लियोनहार्ड यूलर (ओपेरा ओम्निया, धारा 1, खंड 10, पृष्ठ 351) ने इन संख्याओं पर विचार किया और गणना की


 * $$ \begin{align}

p &= \frac{3}{2\pi^3}\left(1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots \right) = 0.0581522\ldots \\ q &= \frac{15}{2\pi^5}\left(1+\frac{1}{2^5}+\frac{1}{3^5}+\cdots \right) = 0.0254132\ldots \end{align}$$ एक और समान अभिन्न प्रतिनिधित्व है
 * $$ b(s) = -\frac{e^{s i \pi/2}}{2^{s}-1}\int_0^\infty \frac{st^{s}}{\sinh\pi t} \frac{dt}{t}= \frac{2e^{s i \pi/2}}{2^{s}-1}\int_0^\infty \frac{e^{\pi t}st^s}{1-e^{2\pi t}} \frac{dt}{t}. $$

यूलर संख्या और π से संबंध
यूलर संख्या पूर्णांकों का एक क्रम है जो बर्नौली संख्याओं के साथ घनिष्ठ रूप से जुड़ा हुआ है। बर्नौली और यूलर संख्याओं के स्पर्शोन्मुख विस्तारों की तुलना करने से पता चलता है कि यूलर संख्या E2n का परिमाण बर्नौली संख्या $n + 1$ से लगभग $n + 2$ गुना बड़ा है। परिणामस्वरूप:


 * $$ \pi \sim 2 (2^{2n} - 4^{2n}) \frac{B_{2n}}{E_{2n}}. $$

इस स्पर्शोन्मुख समीकरण से पता चलता है कि $\pi$ बर्नौली और यूलर संख्या दोनों की सामान्य जड़ में स्थित है। वास्तव में π की गणना इन तर्कसंगत सन्निकटनों से की जा सकती है।

बरनौली संख्या को यूलर संख्या के माध्यम से और इसके विपरीत व्यक्त किया जा सकता है। चूंकि, विषम के लिए $1⁄30$, $n + 2$ (अपवाद $1⁄6, 0, −1⁄30, 0, 1⁄42, ...$के साथ ), यह स्थिति पर विचार करने के लिए पर्याप्त है जब $1⁄30$ सम है।


 * $$\begin{align}

B_n &= \sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k} \frac{n}{4^n-2^n}E_k & n&=2, 4, 6, \ldots \\[6pt] E_n &= \sum_{k=1}^n \binom{n}{k-1} \frac{2^k-4^k}{k} B_k & n&=2,4,6,\ldots \end{align}$$ ये रूपांतरण सूत्र बर्नौली और यूलर संख्याओं के बीच संबंध को व्यक्त करते हैं।लेकिन अधिक महत्वपूर्ण, दोनों प्रकार की संख्याओं के लिए एक गहरा अंकगणितीय मूल है, जिसे संख्याओं के अधिक मौलिक अनुक्रम के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है, जो कि π से भी निकटता से जुड़ा हुआ है।इन संख्याओं को $2^{n + 3} − 2⁄n + 2$ के रूप में परिभाषित किया गया है


 * $$ S_n = 2 \left(\frac{2}{\pi}\right)^n \sum_{k=-\infty}^\infty (4k+1)^{-n} \qquad k=0,-1,1,-2,2,\ldots $$

और $3, 14⁄3, 15⁄2, 62⁄5, 21, ...$ परंपरागत ढंग से। इन संख्याओं का जादू इस तथ्य में निहित है कि ये परिमेय संख्याएँ बन जाती हैं। यह पहली बार लियोनहार्ड यूलर द्वारा एक लैंडमार्क पेपर डी सममिस सेरीरम रिसीप्रोकारम (ऑन द सम्स ऑफ सीरीज ऑफ रेसिप्रोकैल्स) में साबित किया गया था और तभी से गणितज्ञों को आकर्षित किया है। इनमें से पहले कुछ नंबर हैं


 * $$ S_n = 1,1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{5}{24}, \frac{2}{15},\frac{61}{720},\frac{17}{315},\frac{277}{8064},\frac{62}{2835},\ldots $$ ( / )

ये $n + 1$ के विस्तार में गुणांक हैं.

बर्नौली संख्या और यूलर संख्या को क्रम से चयनित इन संख्याओं के विशेष दृश्य के रूप में समझा जा सकता है,अनुक्रम Sn से चयनित और विशेष अनुप्रयोगों में उपयोग के लिए स्केल किया गया।


 * $$\begin{align}

B_{n} &= (-1)^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor} [ n \text{ even}] \frac{n! }{2^n - 4^n}\, S_{n}\, & n&= 2, 3, \ldots \\ E_n &= (-1)^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor} [ n \text{ even}] n! \, S_{n+1} & n &= 0, 1, \ldots \end{align}$$ व्यंजक [$n + 2$ सम] का मान 1 है यदि n सम है और अन्यथा 0 है (आइवरसन ब्रैकेट)।

इन सर्वसमिकाओं से पता चलता है कि इस खंड की शुरुआत में बरनौली और यूलर संख्याओं का भागफल $1⁄2, 0, −1⁄4, 0, 1⁄2, ...$ का विशेष स्थिति है जब n सम है। वह $⟨ n m ⟩$  π  के परिमेय सन्निकटन हैं और दो क्रमिक पद हमेशा π के सही मान को घेरते हैं।  $n ≥ 0$से क्रम शुरू होता है ( / ):


 * $$ 2, 4, 3, \frac{16}{5}, \frac{25}{8}, \frac{192}{61}, \frac{427}{136}, \frac{4352}{1385}, \frac{12465}{3968}, \frac{158720}{50521},\ldots \quad \longrightarrow \pi. $$

ये परिमेय संख्याएँ ऊपर उद्धृत यूलर के पेपर के अंतिम परिच्छेद में भी दिखाई देती हैं।

अनुक्रम के लिए अकियामा-तनिगावा रूपांतरण पर विचार करें ($B_{1}$) /  ($B_{1}$):


 * {| class="wikitable" style="text-align:right;"

! 0 ! 1 ! 2 ! 3 ! 4 ! 5 ! 6 दूसरे से, पहले स्तंभ के अंश यूलर के सूत्र के भाजक हैं। पहला स्तंभ -$n$ है ×.
 * 1||$m$||0||−$1⁄2$||−$1⁄4$||−$1⁄8$||0
 * $1⁄16$|| 1|| $1⁄2$|| 0|| −$1⁄2$|| −$3⁄8$||
 * −1|| −$1⁄4$|| −$1⁄4$|| $3⁄8$|| || ||
 * 8|| $1⁄4$|| || || || ||
 * }
 * }

एक कलन विधि दृश्य: सीडेल त्रिकोण
अनुक्रम Sn एक और अप्रत्याशित लेकिन महत्वपूर्ण गुण है: Sn के हर फैक्टोरियल $σ_{n}(x)$ को विभाजित करते हैं। दूसरे शब्दों में: संख्याएँ $B_{n} = n!σ_{n}(1)$, कभी-कभी यूलर ज़िगज़ैग नंबर कहलाते हैं, पूर्णांक होते हैं।


 * $$ T_n = 1,\,1,\,1,\,2,\,5,\,16,\,61,\,272,\,1385,\,7936,\,50521,\,353792,\ldots \quad n=0, 1, 2, 3, \ldots $$ . देखो.

इस प्रकार बर्नौली और यूलर संख्याओं के उपरोक्त निरूपण को इस क्रम के रूप में फिर से लिखा जा सकता है


 * $$\begin{align}

B_n &= (-1)^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor} [n\text{ even}] \frac{n }{2^n-4^n}\, T_{n-1}\ & n &= 2, 3, \ldots \\ E_n &= (-1)^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor} [n\text{ even}] T_{n+1} & n &= 0, 1, \ldots \end{align}$$ इन सर्वसमिकाओं से बर्नौली और यूलर संख्याओं की गणना करना आसान हो जाता है: यूलर संख्याएँ $σ_{n}(1)$ तुरंत $1⁄N!$ द्वारा दी जाती हैं और बर्नौली संख्याएँ $σ_{n}(1)$ से तर्कसंगत अंकगणित से बचते हुए कुछ आसान स्थानांतरण द्वारा प्राप्त की जाती हैं।

संख्या $B_{1} = 1!(1⁄2!)$ की गणना करने के लिए एक सुविधाजनक तरीका खोजना बाकी है। हालाँकि, पहले से ही 1877 में फिलिप लुडविग वॉन सेडेल ने एक सरल कलन विधि प्रकाशित किया, जो $B_{2} = 2!(−1⁄3! + 1⁄2!2!)$ की गणना करना आसान बनाता है.


 * 1) 1 को पंक्ति 0 में रखकर प्रारंभ करें और k को वर्तमान में भरी जा रही पंक्ति की संख्या को निरूपित करें
 * 2) यदि k विषम है, तो पंक्ति k के पहले स्थान पर k − 1 पंक्ति के बाएँ छोर पर संख्या रखें, और पंक्ति को बाएँ से दाएँ भरें, प्रत्येक प्रविष्टि संख्या का योग होने के साथ बाईं ओर और संख्या ऊपर की ओर
 * 3) पंक्ति के अंत में अंतिम संख्या को  प्रतिलिपि करें।
 * 4) अगर $B_{3} = 3!(1⁄4! − 1⁄2!3! − 1⁄3!2! + 1⁄2!2!2!)$ सम है, इसी प्रकार दूसरी दिशा में आगे बढ़ें।

सेडेल का कलन विधि वास्तव में बहुत अधिक सामान्य है (डोमिनिक ड्यूमॉन्ट की व्याख्या देखें ) और उसके बाद कई बार फिर से खोजा गया।

सीडेल के दृष्टिकोण के समान डी. ई. नुथ और टी. जे. बखोल्ट्ज़ ने संख्या $b(2n) = B_{2n}$ के लिए एक पुनरावृत्ति समीकरण दिया और $n > 0$ और $b(3) = 3⁄2ζ(3)&pi;^{−3}i$ 'इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटरों पर पूर्णांकों पर केवल सरल संचालन का उपयोग करने' के लिए इस विधि की अनुशंसित किया।

वी. आई. अर्नोल्ड ने सेडेल के कलन विधि को फिर से खोजा और बाद में मिलर, स्लोएन और यंग ने सेडेल के कलन विधि को बुस्ट्रोफेडन ट्रांसफॉर्म के नाम से लोकप्रिय बनाया।

त्रिकोणीय रूप:


 * {| style="text-align:right"

केवल, एक 1 के साथ, और , दो 1 के साथ, OEIS में हैं।
 * || || || || || || 1|| || || || || ||
 * || || || || || 1|| || 1|| || || || ||
 * || || || || 2|| || 2|| || 1|| || || ||
 * || || || 2|| || 4|| || 5|| || 5|| || ||
 * || || 16|| || 16|| || 14|| || 10|| || 5|| ||
 * || 16|| || 32|| || 46|| || 56|| || 61|| || 61||
 * 272|| ||272|| ||256|| ||224|| ||178|| ||122|| || 61
 * }
 * || || 16|| || 16|| || 14|| || 10|| || 5|| ||
 * || 16|| || 32|| || 46|| || 56|| || 61|| || 61||
 * 272|| ||272|| ||256|| ||224|| ||178|| ||122|| || 61
 * }
 * 272|| ||272|| ||256|| ||224|| ||178|| ||122|| || 61
 * }

निम्नलिखित पंक्तियों में एक पूरक 1 और एक 0 के साथ वितरण:


 * {| style="text-align:right"

यह है, का एक हस्ताक्षरित संस्करण. मुख्य अण्डकोणीय है. मुख्य विकर्ण है. केन्द्रीय स्तम्भ है. पंक्ति योग: 1, 1, -2, -5, 16, 61.... देखें. नीचे 1, 1, 0, -2, 0, 16, 0 से शुरू होने वाली सरणी देखें।
 * || || || || || || 1|| || || || || ||
 * || || || || || 0|| || 1|| || || || ||
 * || || || || −1|| || −1|| || 0|| || || ||
 * || || || 0|| || −1|| || −2|| || −2|| || ||
 * || || 5|| ||  5|| ||  4|| ||  2|| ||  0|| ||
 * || 0|| || 5|| || 10|| || 14|| || 16|| || 16||
 * −61|| ||−61|| ||−56|| ||−46|| ||−32|| ||−16|| || 0
 * }
 * || || 5|| ||  5|| ||  4|| ||  2|| ||  0|| ||
 * || 0|| || 5|| || 10|| || 14|| || 16|| || 16||
 * −61|| ||−61|| ||−56|| ||−46|| ||−32|| ||−16|| || 0
 * }
 * −61|| ||−61|| ||−56|| ||−46|| ||−32|| ||−16|| || 0
 * }

अकियामा-तनिगावा एल्गोरिथम लागू होता है ($b(5) = −15⁄2ζ(5)&pi;^{−5}i$) / ($B_{2n}$) पैदावार:


 * {| style="text-align:right"

1. पहला कॉलम है. इसके द्विपद परिवर्तन की ओर जाता है:
 * 1|| 1|| $1⁄4$|| 0|| −$($2⁄π(4^{2n} − 2^{2n})$)⁄($B_{n} = E_{n} = 0$)$|| −$($B_{1}$)⁄($n > 1$)$|| −$1⁄2$
 * 0|| 1|| $1⁄2$|| 1|| 0|| −$ζ$
 * −1|| −1|| $i$|| 4|| $n$
 * 0|| −5|| −$n$|| 1
 * 5|| 5|| −$1⁄2$
 * 0|| 61
 * −61
 * }
 * 5|| 5|| −$1⁄4$
 * 0|| 61
 * −61
 * }
 * −61
 * }


 * {| style="text-align:right"

इस सरणी की पहली पंक्ति है. बढ़ते एंटीडायगोनल्स के पूर्ण मूल्य हैं. प्रतिविषम का योग है − ($S_{1} = 1$).
 * 1|| 1|| 0|| −2|| 0|| 16|| 0
 * 0||−1||−2||2||16||−16
 * −1||−1||4||14||−32
 * 0||5||10||−46
 * 5||5||−56
 * 0||−61
 * −61
 * }
 * 5||5||−56
 * 0||−61
 * −61
 * }
 * −61
 * }
 * }

2. दूसरा स्तंभ है 1 1 −1 −5 5 61 −61 −1385 1385.... इसकी द्विपद परिवर्तन पैदावार:


 * {| style="text-align:right"

इस सरणी की पहली पंक्ति है 1 2 2 −4 −16 32 272 544 −7936 15872 353792 −707584.... दूसरे समद्विभाजन के निरपेक्ष मान पहले समद्विभाजन के निरपेक्ष मानों के दोगुने हैं।
 * 1|| 2|| 2|| −4|| −16|| 32|| 272
 * 1||0||−6||−12||48||240
 * −1||−6||−6||60||192
 * −5||0||66||32
 * 5||66||66
 * 61||0
 * −61
 * }
 * 5||66||66
 * 61||0
 * −61
 * }
 * −61
 * }
 * }

लागू किए गए अकियामा-तनिगावा एल्गोरिथम पर विचार करें ($sec x + tan x$) / ( ($n$) = एब्स ( ($1⁄4$)) + 1 = 1, 2, 2, $1⁄8$, 1, $1⁄2$, $3⁄4$, $5⁄8$, 1, $3⁄4$, $1⁄2$, $1⁄2$....


 * {| style="text-align:right"

पहला स्तंभ जिसके निरपेक्ष मान हैं त्रिकोणमितीय फलन का अंश हो सकता है।
 * 1||2||2||$9⁄4$||1||$5⁄2$||$5⁄8$
 * −1||0||$7⁄2$||2||$3⁄4$||0
 * −1||−3||−$15⁄2$||3||$5⁄2$
 * 2||−3||−$11⁄2$||−13
 * 5||21||−$99⁄4$
 * −16||45
 * −61
 * }
 * 5||21||−$77⁄2$
 * −16||45
 * −61
 * }
 * −61
 * }

पहली तरह का स्वतः अनुक्रम है (मुख्य विकर्ण है ). संबंधित सरणी है:


 * {| style="text-align:right"

पहले दो ऊपरी विकर्ण हैं −1 3 −24 402... = $R_{n} = 2S_{n}⁄S_{n + 1}$ × . प्रतिविषम का योग है 0 −2 0 10... = 2 × (एन + 1)।
 * 0||−1||−1||2||5||−16||−61
 * −1||0||3||3||−21||−45
 * 1||3||0||−24||−24
 * 2||−3||−24||0
 * −5||−21||24
 * −16||45
 * −61
 * }
 * −5||−21||24
 * −16||45
 * −61
 * }
 * −61
 * }

- उदाहरण के लिए, दूसरी तरह की स्वतः अनुक्रम है /. इसलिए सरणी:


 * {| style="text-align:right"

मुख्य विकर्ण, यहाँ 2 −2 8 −92..., यहाँ पहले ऊपरी वाले का दुगुना है. प्रतिविषम का योग है 2 0 −4 0... = 2 × ($R_{n}$1). −  = 2 × .
 * 2||1||−1||−2||5||16||−61
 * −1||−2||−1||7||11||−77
 * −1||1||8||4||−88
 * 2||7||−4||−92
 * 5||−11||−88
 * −16||−77
 * −61
 * }
 * 5||−11||−88
 * −16||−77
 * −61
 * }
 * −61
 * }
 * }

एक मिश्रित दृश्य: वैकल्पिक क्रमपरिवर्तन
1880 के आसपास, सेडेल के कलन विधि के प्रकाशन के तीन साल बाद, डेसिरे आंद्रे ने दहनशील विश्लेषण का अब एक उत्कृष्ट परिणाम साबित कर दिया। त्रिकोणमितीय कार्यों $n = 1$ और $n + 2$ के टेलर विस्तार की पहली शर्तों को देखते हुए आंद्रे ने एक चौंकाने वाली खोज की।


 * $$\begin{align}

\tan x &= x + \frac{2x^3}{3!} + \frac{16x^5}{5!} + \frac{272x^7}{7!} + \frac{7936x^9}{9!} + \cdots\\[6pt] \sec x &= 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{5x^4}{4!} + \frac{61x^6}{6!} + \frac{1385x^8}{8!} + \frac{50521x^{10}}{10!} + \cdots \end{align}$$ गुणांक क्रमशः विषम और सम सूचकांक की यूलर संख्याएँ हैं। परिणामस्वरूप $n + 1$ सामान्य विस्तार में परिमेय संख्याएँ गुणांक $(n − 1)!$ के रूप में होती हैं।


 * $$ \tan x + \sec x = 1 + x + \tfrac{1}{2}x^2 + \tfrac{1}{3}x^3 + \tfrac{5}{24}x^4 + \tfrac{2}{15}x^5 + \tfrac{61}{720}x^6 + \cdots $$

आन्द्रे तब एक पुनरावृत्ति तर्क के माध्यम से यह दिखाने में सफल हुए कि विषम आकार के वैकल्पिक क्रमपरिवर्तन विषम सूचकांक (जिसे स्पर्शरेखा संख्या भी कहा जाता है) के यूलर संख्याओं और सम सूचकांक के यूलर संख्याओं द्वारा सम आकार के वैकल्पिक क्रमपरिवर्तनों द्वारा गणना की जाती है। (इसे सेकेंट नंबर भी कहा जाता है)।

संबंधित अनुक्रम
पहली और दूसरी बर्नौली संख्याओं का अंकगणितीय माध्य सहयोगी बर्नौली संख्याएँ हैं: $T_{n} = S_{n}(n − 1)!$, $E_{n}$, $T_{2n + 1}$, $B_{2n}$, $T_{n}$, /. इसके व्युत्क्रम अकियामा-तनिगावा परिवर्तन की दूसरी पंक्ति के माध्यम से, वे बामर श्रृंखला का नेतृत्व करते हैं /.

अकियामा-तनिगावा एल्गोरिथम लागू होता है ($T_{n}$) /  ($61⁄2$) बरनौली संख्या की ओर ले जाता है  /,  / , या   बिना $T_{n}$, आंतरिक बर्नौली $k$ नंबर्स नाम दिया गया है.


 * {| style="text-align:center; padding-left; padding-right: 2em;"

इसलिए आंतरिक बर्नौली संख्या और बामर श्रृंखला के बीच एक और कड़ी ($T_{2n}$) है।
 * 1||$1⁄2$||$1⁄2$||$1⁄4$||$1⁄4$
 * 0||$1⁄8$||$3⁄2$||$3⁄4$||$3⁄2$
 * &minus;$15⁄4$||&minus;$15⁄2$||&minus;$51⁄2$||&minus;$n$||0
 * 0||&minus;$3⁄2$||&minus;$3⁄4$||&minus;$3⁄4$||&minus;$7⁄8$
 * }
 * 0||$17⁄16$||$17⁄16$||$33⁄32$||$3⁄2$
 * &minus;$3⁄4$||&minus;$3⁄4$||&minus;$3⁄2$||&minus;$5⁄4$||0
 * 0||&minus;$3⁄2$||&minus;$25⁄4$||&minus;$27⁄2$||&minus;$3⁄2$
 * }
 * 0||&minus;$n$||&minus;$5⁄6$||&minus;$3⁄4$||&minus;$7⁄10$
 * }

($B_{2n}$) = 0, 2, 1, 6,... गैर-ऋणात्मक संख्याओं का क्रमचय है।

पहली पंक्ति की शर्तें हैं f(n) = $E_{2n}$. 2, f(n) दूसरी तरह का स्वतःअनुक्रम है। 3/2, f(n) अपने व्युत्क्रम द्विपद परिवर्तन से 3/2 −1/2 1/3 −1/4 1/5 ... = 1/2 + log 2 में जाता है।

g(n) = 1/2 - 1 / (n + 2) = 0, 1/6, 1/4, 3/10, 1/3 पर विचार करें। अकियामा-तनागिवा रूपांतरण देता है:


 * {| style="text-align:center; padding-left; padding-right:2em;"

0, g(n), दूसरी तरह का स्वतःअनुक्रम है।
 * 0||$2⁄3$||$1⁄6$||$1⁄6$||$3⁄20$||$2⁄15$||...
 * &minus;$5⁄42$||&minus;$1⁄30$||&minus;$1⁄20$||&minus;$2⁄35$||&minus;$5⁄84$||&minus;$1⁄30$||...
 * 0||&minus;$1⁄30$||&minus;$3⁄140$||&minus;$1⁄105$||&minus;$1⁄42$||&minus;$1⁄28$||...
 * $4⁄105$||$1⁄28$||$1⁄6$||$1⁄4$||0||&minus;$3⁄10$||...
 * }
 * 0||&minus;$1⁄3$||&minus;$5⁄14$||&minus;$1⁄6$||&minus;$1⁄6$||&minus;$3⁄20$||...
 * $2⁄15$||$5⁄42$||$3⁄28$||$1⁄30$||0||&minus;$1⁄20$||...
 * }
 * }

यूलर ($n + 1$) /  ($n$) दूसरे कार्यकाल  ($2⁄35$) के बिना आंशिक आंतरिक यूलर संख्याएँ हैं $n + 1$ संगत अकियामा रूपांतरण है:


 * {| style="text-align:center; padding-left; padding-right: 2em;"

पहली पंक्ति $n$ है।. $n + 1$ शूशून्य से पहले पहली तरह का एक स्वत: क्रम है। यह ओरेस्मे संख्या से जुड़ा हुआ है। दूसरी पंक्ति के अंश के पहले 0 हैं। अंतर तालिका है:
 * 1||1||$5⁄84$||$5⁄84$||$1⁄30$
 * 0||$1⁄30$||$3⁄140$||$1⁄105$||$1⁄140$
 * −$1⁄2$||−$7⁄8$||0||$3⁄4$||$21⁄32$
 * 0||−$1⁄4$||−$3⁄8$||−$3⁄8$||−$5⁄16$
 * }
 * −$1⁄4$||−$1⁄4$||0||$1⁄4$||$25⁄64$
 * 0||−$1⁄2$||−$3⁄4$||−$9⁄16$||−$5⁄32$
 * }
 * }
 * }
 * }


 * {| style="text-align:center; padding-left; padding-right: 2em;"


 * 0||1||1||$1⁄2$||$1⁄2$||$9⁄16$||$13⁄8$
 * 1||0||−$125⁄64$||−$7⁄8$||−$3⁄4$||−$21⁄32$||−$19⁄32$
 * −1||−$1⁄8$||0||$1⁄8$||$3⁄32$||$1⁄16$||$5⁄128$
 * }
 * −1||−$1⁄8$||0||$1⁄32$||$1⁄32$||$3⁄128$||$1⁄64$
 * }
 * }

बर्नौली संख्याओं के अंकगणितीय गुण
बर्नौली संख्या को रीमैन ज़ेटा फलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है क्योंकि पूर्णांक $(−1)^{n + 1}$ के लिए $n +$ के लिए n = 0 प्रदान की गई अभिव्यक्ति $tan x$ को सीमित मान के रूप में समझा जाता है और सम्मेलन $sec x$ प्रयोग किया जाता है। यह उन्हें नकारात्मक पूर्णांकों पर जीटा फलन के मानों से घनिष्ठ रूप से संबंधित करता है। जैसे, उनसे गहरे अंकगणितीय गुणों के होने और होने की उम्मीद की जा सकती है। उदाहरण के लिए, अगोह-गिउगा अनुमान यह मानता है $p$ एक प्रमुख संख्या है अगर और केवल अगर $tan x + sec x$ -1 मॉड्यूलो के अनुरूप है $p$. बर्नौली संख्याओं की विभाज्यता गुण कुमेर के एक प्रमेय द्वारा साइक्लोटोमिक क्षेत्रों के आदर्श वर्ग समूहों से संबंधित हैं और हेरब्रांड-रिबेट प्रमेय में इसकी मजबूती और एंकेनी-आर्टिन-चावला द्वारा वास्तविक द्विघात क्षेत्रों की कक्षा संख्या से संबंधित हैं।

कुमार प्रमेय
बर्नौली संख्याएं फर्मेट के अंतिम प्रमेय (FLT), कुमेर के प्रमेय से संबंधित हैं, जो कहती है:


 * यदि विषम अभाज्य p बर्नौली संख्या B2, B4, ..., Bp − 3 के किसी भी अंश को विभाजित नहीं करता है, तोxp + yp + zp = 0 का शून्येतर पूर्णांकों में कोई हल नहीं है।

इस गुण वाली अभाज्य संख्याएँ नियमित अभाज्य कहलाती हैं। कुमेर का एक अन्य शास्त्रीय परिणाम निम्नलिखित सर्वांगसमताएं हैं।


 * मान लीजिए कि p एक विषम अभाज्य संख्या है और b एक सम संख्या है जिससे p − 1, b को विभाजित नहीं करता है।तब किसी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक $k$ के लिए
 * $$ \frac{B_{k(p-1)+b}}{k(p-1)+b} \equiv \frac{B_{b}}{b} \pmod{p}. $$

इन सर्वांगसमताओं का एक सामान्यीकरण $S_{n}$-ऐडिक निरंतरता के नाम से जाना जाता है ।

$B_{0} = 1$-ऐडिक निरंतरता
अगर $b$, $m$ और $n$ सकारात्मक पूर्णांक हैं जैसे कि $m$ और $n$ से विभाज्य नहीं हैं $B_{1} = 0$ और $B_{2} = 1⁄6$, तब


 * $$(1-p^{m-1})\frac{B_m}{m} \equiv (1-p^{n-1})\frac{B_n} n \pmod{p^b}.$$

तब से $B_{3} = 0$, यह भी लिखा जा सकता है


 * $$\left(1-p^{-u}\right)\zeta(u) \equiv \left(1-p^{-v}\right)\zeta(v) \pmod{p^b},$$

जहां $B_{4} = −1⁄30$ और $n + 4$, ताकि $u$ और $v$ सकारात्मक न हों और 1 मॉड्यूलो $B_{1}$ के सर्वांगसम न हों। यह हमें बताता है कि यूलर उत्पाद सूत्र से निकाले गए 1 − p−s के साथ रिमेंन ज़ेटा फलन विषम नकारात्मक पूर्णांकों पर $B_{i}(n)$-ऐडिक संख्याओं में निरंतर है, जो एक विशेष a ≢ 1 mod (p − 1) के अनुरूप मॉड्यूलो  p − 1, और इसलिए सभी $n$-ऐडिक पूर्णांकों  $n − 2$-ऐडिक zeta फलन के लिए एक सतत फलन ζp(s) तक बढ़ाया जा सकता है।

रामानुजन की सर्वांगसमताएं
निम्नलिखित संबंध, रामानुजन के कारण, बर्नौली संख्याओं की गणना के लिए एक विधि प्रदान करते हैं जो उनकी मूल पुनरावर्ती परिभाषा द्वारा दी गई तुलना में अधिक कुशल है:


 * $$\binom{m+3}{m} B_m=\begin{cases}

\frac{m+3}{3}-\sum\limits_{j=1}^\frac{m}{6}\binom{m+3}{m-6j}B_{m-6j}, & \text{if } m\equiv 0\pmod 6;\\ \frac{m+3}{3}-\sum\limits_{j=1}^\frac{m-2}{6}\binom{m+3}{m-6j}B_{m-6j}, & \text{if } m\equiv 2\pmod 6;\\ -\frac{m+3}{6}-\sum\limits_{j=1}^\frac{m-4}{6}\binom{m+3}{m-6j}B_{m-6j}, & \text{if } m\equiv 4\pmod 6.\end{cases}$$

वॉन स्टॉड्ट-क्लॉसन प्रमेय
वॉन स्टॉड्ट-क्लॉज़न प्रमेय कार्ल जॉर्ज क्रिश्चियन वॉन स्टॉड्ट और थॉमस क्लॉसन द्वारा स्वतंत्र रूप से 1840 में दिया गया था। प्रमेय कहता है कि प्रत्येक n > 0 के लिए,
 * $$ B_{2n} + \sum_{(p-1)\,\mid\,2n} \frac1p$$

एक पूर्णांक है। योग सभी अभाज्य संख्याओं तक फैला हुआ है $1⁄2 + 1⁄n + 2$ जिसके लिए $n$, $n + 1$ को विभाजित करता है।

इसका एक परिणाम यह है कि $E_{i}(n) = 1, 0, −1⁄4, 0, 1⁄2, 0, −17⁄8, 0, ...$ का भाजक सभी अभाज्य p के गुणनफल द्वारा दिया जाता है जिसके लिए $Eu(n)$, 2n को विभाजित करता है। विशेष रूप से, ये हर वर्ग रहित और 6 से विभाज्य हैं।

विषम बर्नौली संख्याएँ लुप्त क्यों हो जाती हैं?
योग


 * $$\varphi_k(n) = \sum_{i=0}^n i^k - \frac{n^k} 2$$

सूचकांक $Eu(n)$ के नकारात्मक मूल्यों के लिए योग का मूल्यांकन किया जा सकता है।ऐसा करने से पता चलेगा कि यह k के सम मानों के लिए एक विषम फलन है, जिसका तात्पर्य है कि योग में केवल विषम सूचकांक के पद हैं। यह और बर्नौली योग के सूत्र का अर्थ है $n ≥ 0$, $B_{n} = −nζ(1 − n)$ सम के लिए 0 है और $−nζ(1 − n)$; और यह कि B1 के लिए शब्द घटाव द्वारा रद्द कर दिया गया है।वॉरपिट्स्की के प्रतिनिधित्व के साथ संयुक्त वॉन स्टॉड्ट-क्लॉसन प्रमेय भी इस प्रश्न का एक संयुक्त उत्तर देता है (n> 1 के लिए मान्य)।

वॉन स्टॉड्ट-क्लॉसन प्रमेय से यह ज्ञात है कि विषम n > 1 के लिए संख्या 2Bn एक पूर्णांक है।यह मामूली लगता है अगर कोई पहले से जानता है कि प्रश्न में पूर्णांक शून्य है। हालाँकि, वर्पिट्स्की के प्रतिनिधित्व को लागू करने से प्राप्त होता है


 * $$ 2B_n =\sum_{m=0}^n (-1)^m \frac{2}{m+1}m! \left\{{n+1\atop m+1} \right\} = 0\quad(n>1 \text{ is odd})$$

पूर्णांकों के योग के रूप में, जो मामूली नहीं है।यहाँ एक मिश्रित तथ्य सामने आता है जो विषम सूचकांक पर बर्नौली संख्याओं के लुप्त होने की व्याख्या करता है। मान लीजिए कि $B_{1} = 1⁄2$ से विशेषण मानचित्रों की संख्या हो $pB_{p − 1}$ को $p$, तब $p$ वह अंतिम समीकरण तभी धारण कर सकता है जब


 * $$ \sum_{\text{odd }m=1}^{n-1} \frac 2 {m^2}S_{n,m}=\sum_{\text{even } m=2}^n \frac{2}{m^2} S_{n,m} \quad (n>2 \text{ is even}). $$

इस समीकरण को प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है। इस समीकरण के पहले दो उदाहरण हैं



इस प्रकार बेर्नौली संख्याएं विषम सूचकांक पर गायब हो जाती हैं क्योंकि कुछ गैर-स्पष्ट संयोजक पहचान बर्नौली संख्याओं में सन्निहित हैं।

रीमैन परिकल्पना का एक पुनर्कथन
बर्नौली संख्याओं और रीमैन ज़ेटा फलन के बीच का संबंध रीमैन परिकल्पना (RH) का एक वैकल्पिक सूत्रीकरण प्रदान करने के लिए पर्याप्त मजबूत है जो केवल बर्नौली संख्याओं का उपयोग करता है। वास्तव में मार्सेल रिज्ज़ ने सिद्ध किया कि RH निम्नलिखित अभिकथन के तुल्य है:

हर एक के लिए $p − 1$ वहाँ एक स्थिर मौजूद है $m ≡ n (mod p^{b − 1} (p − 1))$ (इस पर निर्भर करते हुए $B_{n} = −nζ(1 − n)$) ऐसा है कि $u = 1 − m$ जैसा $v = 1 − n$.

यहाँ $p − 1$ रिज समारोह है


 * $$ R(x) = 2 \sum_{k=1}^\infty

\frac{k^{\overline{k}} x^{k}}{(2\pi)^{2k}\left(\frac{B_{2k}}{2k}\right)} = 2\sum_{k=1}^\infty \frac{k^{\overline{k}}x^k}{(2\pi)^{2k}\beta_{2k}}. $$

$p$ डी. ई. नुथ के अंकन में बढ़ती तथ्यात्मक शक्ति को दर्शाता है। संख्याएँ βn = Bn/n जीटा फलन के अध्ययन में बार-बार आती हैं और महत्वपूर्ण हैं क्योंकि βn अभाज्य p के लिए एक p-पूर्णांक है जहाँ p - 1, n को विभाजित नहीं करता है। वह $p$ विभाजित बरनौली संख्याएँ कहलाती हैं।

सामान्यीकृत बरनौली संख्याएँ
सामान्यीकृत बर्नौली संख्याएं कुछ बीजगणितीय संख्याएं हैं, जो बर्नौली संख्याओं के समान परिभाषित हैं, जो डिरिचलेट $L$-फलन के विशेष मूल्यों से संबंधित हैं जैसे कि बर्नौली संख्याएं रीमैन जेटा फलन के विशेष मूल्यों से संबंधित हैं।

मान लीजिए कि $χ$ एक डिरिचलेट कैरेक्टर मोडुलो $f$. $χ$ से जुड़ी सामान्यीकृत बर्नौली संख्याएँ किसके द्वारा परिभाषित की जाती हैं


 * $$\sum_{a=1}^f \chi(a) \frac{te^{at}}{e^{ft}-1} = \sum_{k=0}^\infty B_{k,\chi}\frac{t^k}{k!}.$$

असाधारण के अलावा $p$, हमारे पास किसी भी डिरिचलेट चरित्र के लिए है $χ$, वह $p$ अगर $p − 1$.

गैर-सकारात्मक पूर्णांकों पर बर्नौली संख्याओं और रीमैन ज़ेटा फलन के मूल्यों के बीच संबंध को सामान्य बनाना, सभी पूर्णांकों के लिए $2n$ है:


 * $$L(1-k,\chi)=-\frac{B_{k,\chi}}k,$$

कहाँ $B_{2n}$, $χ$ का डिरिचलेट $L$-फलन है.

आइसेनस्टाइन-क्रोनकर संख्या
आइसेनस्टाइन-क्रोनेकर संख्याएं काल्पनिक द्विघात क्षेत्रों के लिए सामान्यीकृत बर्नौली संख्याओं का एक अनुरूप हैं। वे हेके पात्रों के महत्वपूर्ण $L$-मूल्यों से संबंधित हैं।

यह भी देखें

 * बरनौली बहुपद
 * दूसरी तरह के बरनौली बहुपद
 * बेल नंबर
 * यूलर नंबर
 * जेनोची संख्या
 * कुम्मेर की संगति
 * पॉली-बर्नौली संख्या
 * हर्विट्ज़ जीटा फ़ंक्शन
 * यूलर योग
 * स्टर्लिंग बहुपद
 * शक्तियों का योग

संदर्भ


Footnotes

बाहरी संबंध

 * The first 498 बर्नौली Numbers from Project Gutenberg
 * A multimodular algorithm for computing बर्नौली numbers
 * The बर्नौली Number Page
 * बर्नौली number programs at LiteratePrograms
 * बर्नौली number programs at LiteratePrograms