बीएल (तर्क)

गणितीय तर्क में, बुनियादी फ़ज़ी लॉजिक (या शीघ्र ही बीएल), निरंतर कार्य टी-मानदंडों का तर्क, टी-मानदंड फ़ज़ी लॉजिक में से एक है। यह अवसंरचनात्मक लॉजिक्स के व्यापक वर्ग से संबंधित है, या अवशिष्ट लैटिस के लॉजिक्स; यह सभी बाएं-निरंतर टी-मानदंडों के तर्क मोनोइडल टी-मानदंड तर्क का विस्तार करता है।

भाषा
प्रोपोज़िशनल लॉजिक की भाषा BL में गणनीय कई प्रस्तावक चर और निम्नलिखित प्रिमिटिव तार्किक संयोजक ्स होते हैं: निम्नलिखित सबसे आम परिभाषित तार्किक संयोजक हैं:
 * निहितार्थ $$\rightarrow$$ (धैर्य)
 * प्रबल योग $$\otimes$$ (बाइनरी)। साइन एंड फ़ज़ी लॉजिक पर साहित्य में मजबूत संयोजन के लिए एक अधिक पारंपरिक संकेतन है, जबकि संकेतन $$\otimes$$ सबस्ट्रक्चरल लॉजिक्स की परंपरा का पालन करता है।
 * तल $$\bot$$ (शून्य - एक तार्किक स्थिरांक); $$0$$ या $$\overline{0}$$ सामान्य वैकल्पिक संकेत हैं और शून्य प्रस्तावक स्थिरांक के लिए एक सामान्य वैकल्पिक नाम है (क्योंकि अवसंरचनात्मक लॉजिक्स के स्थिरांक नीचे और शून्य MTL में मेल खाते हैं)।
 * कमजोर संयोग $$\wedge$$ (बाइनरी), जिसे जाली संयुग्मन भी कहा जाता है (जैसा कि बीजगणितीय शब्दार्थ में मीट (गणित) के जाली (क्रम) संचालन द्वारा हमेशा महसूस किया जाता है)। मोनोइडल टी-नॉर्म लॉजिक और कमजोर सबस्ट्रक्चरल लॉजिक के विपरीत, बीएल में कमजोर संयोजन निश्चित है
 * $$A \wedge B \equiv A \otimes (A \rightarrow B)$$


 * निषेध $$\neg$$ ( एकात्मक ऑपरेशन ), के रूप में परिभाषित किया गया
 * $$\neg A \equiv A \rightarrow \bot$$


 * समानता $$\leftrightarrow$$ (बाइनरी), के रूप में परिभाषित किया गया
 * $$A \leftrightarrow B \equiv (A \rightarrow B) \wedge (B \rightarrow A)$$
 * जैसा कि MTL में, परिभाषा इसके समकक्ष है $$(A \rightarrow B) \otimes (B \rightarrow A).$$


 * (कमजोर) संयोजन $$\vee$$ (बाइनरी), जिसे लैटिस डिसजंक्शन भी कहा जाता है (जैसा कि बीजगणितीय शब्दार्थ में ज्वाइन (गणित) के लैटिस (ऑर्डर) ऑपरेशन द्वारा हमेशा महसूस किया जाता है), के रूप में परिभाषित किया गया है
 * $$A \vee B \equiv ((A \rightarrow B) \rightarrow B) \wedge ((B \rightarrow A) \rightarrow A)$$


 * ऊपर $$\top$$ (शून्य), जिसे एक भी कहा जाता है और इसके द्वारा निरूपित किया जाता है $$1$$ या $$\overline{1}$$ (एमटीएल में अवसंरचनात्मक लॉजिक्स के स्थिरांक शीर्ष और शून्य के रूप में मेल खाते हैं), के रूप में परिभाषित किया गया है
 * $$\top \equiv \bot \rightarrow \bot$$

बीएल के अच्छी तरह से गठित सूत्रों को सामान्य रूप से मक तर्क में परिभाषित किया गया है। कोष्ठकों को बचाने के लिए, वरीयता के निम्नलिखित क्रम का उपयोग करना आम है:
 * यूनरी कनेक्टिव्स (सबसे बारीकी से बांधें)
 * निहितार्थ और तुल्यता के अलावा अन्य बाइनरी संयोजक
 * निहितार्थ और तुल्यता (सबसे शिथिल बाँधें)

अभिगृहीत
पेट्र हाजेक (1998) द्वारा बीएल के लिए हिल्बर्ट-शैली की कटौती प्रणाली की शुरुआत की गई है। इसका एकल व्युत्पत्ति नियम मूड सेट करना है:
 * से $$A$$ और $$A \rightarrow B$$ निकाले जाते हैं $$B.$$

इसकी स्वयंसिद्ध योजनाएँ निम्नलिखित हैं:
 * $$\begin{array}{ll}

{\rm (BL1)}\colon & (A \rightarrow B) \rightarrow ((B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow C)) \\ {\rm (BL2)}\colon & A \otimes B \rightarrow A\\ {\rm (BL3)}\colon & A \otimes B \rightarrow B \otimes A\\ {\rm (BL4)}\colon & A \otimes (A \rightarrow B) \rightarrow B \otimes (B \rightarrow A)\\ {\rm (BL5a)}\colon & (A \rightarrow (B \rightarrow C)) \rightarrow (A \otimes B \rightarrow C)\\ {\rm (BL5b)}\colon & (A \otimes B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow (B \rightarrow C))\\ {\rm (BL6)}\colon & ((A \rightarrow B) \rightarrow C) \rightarrow (((B \rightarrow A) \rightarrow C) \rightarrow C)\\ {\rm (BL7)}\colon & \bot \rightarrow A \end{array}$$ मूल स्वयंसिद्ध प्रणाली के स्वयंसिद्धों (BL2) और (BL3) को निरर्थक दिखाया गया था (च्वालोव्स्की, 2012) और (सिंटुला, 2005)। अन्य सभी स्वयंसिद्धों को स्वतंत्र दिखाया गया था (च्वालोवस्की, 2012)।

शब्दार्थ
अन्य प्रस्तावित टी-नॉर्म फज़ी लॉजिक्स की तरह, बीजगणितीय शब्दार्थ (गणितीय तर्क) मुख्य रूप से बीएल के लिए उपयोग किया जाता है, जिसमें बीजगणितीय संरचना के तीन मुख्य वर्ग होते हैं, जिसके संबंध में तर्क पूर्णता (तर्क) है:
 * सामान्य शब्दार्थ, सभी बीएल-अल्जेब्रस से निर्मित - अर्थात, सभी बीजगणित जिसके लिए तर्क साउंडनेस प्रमेय है
 * रेखीय शब्दार्थ, सभी रैखिक बीएल-अलजेब्रा से निर्मित - अर्थात, सभी बीएल-अलजेब्रा जिनका जाली (क्रम) क्रम कुल क्रम है
 * मानक शब्दार्थ, सभी मानक बीएल-अलजेब्रस से बनते हैं — यानी, सभी बीएल-अलजेब्रा जिनकी जाली रिडक्ट सामान्य क्रम के साथ वास्तविक इकाई अंतराल [0, 1] है; वे विशिष्ट रूप से उस फ़ंक्शन द्वारा निर्धारित किए जाते हैं जो मजबूत संयोजन की व्याख्या करता है, जो कि कोई भी निरंतर टी-मानदंड हो सकता है।

ग्रन्थसूची

 * Hájek P., 1998, Metamathematics of Fuzzy Logic. Dordrecht: Kluwer.
 * Ono, H., 2003, "Substructural logics and residuated lattices — an introduction". In F.V. Hendricks, J. Malinowski (eds.): Trends in Logic: 50 Years of Studia Logica, Trends in Logic 20: 177–212.
 * Cintula P., 2005, "Short note: On the redundancy of axiom (A3) in BL and MTL". Soft Computing 9: 942.
 * Chvalovský K., 2012, "On the Independence of Axioms in BL and MTL". Fuzzy Sets and Systems 197: 123–129,.