उपव्युत्पन्न

गणित में, सब यौगिक, सबग्रेडिएंट और सबडिफरेंशियल व्युत्पन्न को उत्तल कार्यों के लिए सामान्यीकृत करते हैं जो आवश्यक रूप से भिन्न कार्य नहीं होते हैं। उत्तल विश्लेषण में उप-व्युत्पन्न उत्पन्न होते हैं, उत्तल कार्यों का अध्ययन, अक्सर उत्तल अनुकूलन के संबंध में।

होने देना $$f:I \to \mathbb{R}$$ वास्तविक रेखा के खुले अंतराल पर परिभाषित एक वास्तविक संख्या-मूल्यवान उत्तल फ़ंक्शन बनें। ऐसे फ़ंक्शन को सभी बिंदुओं पर भिन्न होने की आवश्यकता नहीं है: उदाहरण के लिए, निरपेक्ष मान फ़ंक्शन $$f(x)=|x|$$ जब यह गैर-विभेदित होता है $$x=0$$. हालाँकि, जैसा कि दाईं ओर के ग्राफ़ में देखा गया है (जहाँ $$f(x)$$ नीले रंग में निरपेक्ष मान फ़ंक्शन के समान गैर-विभेदित किंक हैं), किसी के लिए $$x_0$$ फ़ंक्शन के डोमेन में कोई एक रेखा खींच सकता है जो बिंदु से होकर जाती है $$(x_0,f(x_0))$$ और जो हर जगह या तो एफ के ग्राफ को छू रहा है या नीचे है। ऐसी रेखा की ढलान को उप-व्युत्पन्न कहा जाता है।

परिभाषा
कठोरता से, उत्तल फलन का एक उपव्युत्पन्न $$f:I \to \mathbb{R}$$ एक बिंदु पर $$x_0$$ खुले अंतराल में $$I$$ एक वास्तविक संख्या है $$c$$ ऐसा है कि $$f(x)-f(x_0)\ge c(x-x_0)$$ सभी के लिए $$x\in I$$. माध्य मान प्रमेय के व्युत्क्रम द्वारा, उपअवकलजों का समुच्चय (गणित)। $$x_0$$ उत्तल फ़ंक्शन के लिए एक खाली सेट बंद अंतराल है $$[a,b]$$, कहाँ $$a$$ और $$b$$ एकतरफ़ा सीमाएँ हैं $$a=\lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},$$ $$b=\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$ सेट $$[a,b]$$ सभी उपअवकलन को फलन का उपविभेदक कहा जाता है $$f$$ पर $$x_0$$, द्वारा चिह्नित $$\partial f(x_0)$$. अगर $$f$$ उत्तल है, तो किसी भी बिंदु पर इसका उपविभेदक गैर-रिक्त है। इसके अलावा, यदि यह उपविभेदक है $$x_0$$ तो, इसमें बिल्कुल एक उप-व्युत्पन्न शामिल है $$\partial f(x_0)=\{f'(x_0)\}$$ और $$f$$ पर भिन्न है $$x_0$$.

उदाहरण
फ़ंक्शन पर विचार करें $$f(x)=|x|$$ जो उत्तल है. फिर, मूल पर उपविभेदक अंतराल है $$[-1,1]$$. किसी भी बिंदु पर उपविभेदक $$x_0<0$$ सिंगलटन सेट है $$\{-1\}$$, जबकि किसी भी बिंदु पर उपविभेदक $$x_0>0$$ सिंगलटन सेट है $$\{1\}$$. यह साइन फ़ंक्शन के समान है, लेकिन एकल-मूल्यवान नहीं है $$0$$, इसके बजाय सभी संभावित उप-व्युत्पन्न शामिल हैं।

गुण

 * एक उत्तल कार्य $$f:I\to\mathbb{R}$$ पर भिन्न है $$x_0$$ यदि और केवल यदि उपविभेदक एक सिंगलटन सेट है, जो है $$\{f'(x_0)\}$$.
 * एक बिंदु $$x_0$$ उत्तल फलन का वैश्विक न्यूनतम है $$f$$ यदि और केवल यदि शून्य उपविभेदक में निहित है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त चित्र में, कोई ग्राफ़ के लिए एक क्षैतिज उपस्पर्शरेखा रेखा खींच सकता है $$f$$ पर $$(x_0,f(x_0))$$. यह अंतिम गुण इस तथ्य का सामान्यीकरण है कि स्थानीय न्यूनतम पर अवकलनीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य है।
 * अगर $$f$$ और $$g$$ उपविभेदकों के साथ उत्तल फलन हैं $$\partial f(x)$$ और $$\partial g(x)$$ साथ $$x$$ कार्यों में से किसी एक का आंतरिक बिंदु होने के नाते, फिर उपविभेदक $$f + g$$ है $$\partial(f + g)(x) = \partial f(x) + \partial g(x)$$ (जहां अतिरिक्त ऑपरेटर मिन्कोव्स्की योग को दर्शाता है)। इसे इस प्रकार पढ़ा जाता है कि किसी योग का उपअंतर, उपविभेदकों का योग होता है।

उपग्रेडिएंट
उप-व्युत्पन्न और उप-अंतर की अवधारणाओं को कई चर के कार्यों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। अगर $$f:U\to\mathbb{R}$$ यूक्लिडियन स्थान  में उत्तल सेट  खुला सेट  पर परिभाषित एक वास्तविक-मूल्यवान उत्तल फ़ंक्शन है $$\mathbb{R}^n$$, एक वेक्टर $$ v$$ उस स्थान को उपग्रेडिएंट कहा जाता है $$x_0\in U$$ यदि किसी के लिए $$x\in U$$ एक के पास वह है
 * $$f(x)-f(x_0)\ge v\cdot (x-x_0),$$

जहां डॉट डॉट उत्पाद को दर्शाता है। सभी उपग्रेडिएंट्स का सेट $$x_0$$ x पर उपविभेदक कहा जाता है0 और दर्शाया गया है $$\partial f(x_0)$$. उपविभेदक हमेशा एक गैर-रिक्त उत्तल कॉम्पैक्ट सेट होता है।

ये अवधारणाएँ उत्तल कार्यों को और अधिक सामान्यीकृत करती हैं $$f:U\to\mathbb{R}$$ स्थानीय रूप से उत्तल स्थान में उत्तल सेट पर $$V$$. एक कार्यात्मक $$v^*$$ दोहरे स्थान में $$V^*$$ को उपग्रेडिएंट कहा जाता है $$x_0$$ में $$U$$ यदि सभी के लिए $$x\in U$$,
 * $$f(x)-f(x_0)\ge v^*(x-x_0).$$

सभी उपग्रेडिएंट्स का सेट $$x_0$$ पर उपविभेदक कहा जाता है $$x_0$$ और फिर से दर्शाया गया है $$\partial f(x_0)$$. उपविभेदक हमेशा एक उत्तल बंद सेट होता है। यह एक खाली सेट हो सकता है; उदाहरण के लिए एक अनबाउंड ऑपरेटर पर विचार करें, जो उत्तल है, लेकिन उसका कोई सबग्रेडिएंट नहीं है। अगर $$f$$ सतत है, उपविभेदक अरिक्त है।

इतिहास
उत्तल कार्यों पर उपविभेदक की शुरुआत 1960 के दशक की शुरुआत में जीन-जैक्स मोरो  और आर. टायरेल रॉकफेलर द्वारा की गई थी। गैर-उत्तल कार्यों के लिए सामान्यीकृत उपविभेदक एफ.एच. क्लार्क और आर.टी. द्वारा पेश किया गया था। 1980 के दशक की शुरुआत में रॉकफेलर।

यह भी देखें
उपग्रेडिएंट विधि विधि
 * कमजोर व्युत्पन्न