असमानता (गणित)

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गणित में, एक असमानता एक ऐसा संबंध है जो दो संख्याओं या अन्य गणितीय अभिव्यक्तियों के बीच एक गैर-समान तुलना करता है। इसका उपयोग अक्सर उनके आकार से संख्या रेखा पर दो नंबरों की तुलना करने के लिए किया जाता है।विभिन्न प्रकार की असमानताओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए कई अलग -अलग सूचनाएं हैं: या तो मामले में, ए बी के बराबर नहीं है।इन संबंधों को 'सख्त असमानताओं' के रूप में जाना जाता है, का अर्थ है कि ए सख्ती से कम या कड़ाई से बी से अधिक है।समतुल्यता को बाहर रखा गया है।
 * संकेतन a  b का अर्थ है कि a 'b से अधिक' है।

सख्त असमानताओं के विपरीत, दो प्रकार के असमानता संबंध हैं जो सख्त नहीं हैं: संबंध 'से अधिक नहीं' भी एक ≯ b द्वारा प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, एक स्लैश द्वारा द्विभाजित से अधिक के लिए प्रतीक, नहीं।'' से कम नहीं 'के लिए भी यही सच है।
 * संकेतन a ≤ b या a b का अर्थ है कि a 'b से कम या बराबर' b (या, समतुल्य, अधिकांश b पर, या b से अधिक नहीं) है।
 * संकेतन a or b या a b का अर्थ है कि a 'b से अधिक या बराबर' b (या, समतुल्य, कम से कम b, या b से कम नहीं) से अधिक है।

संकेतन a ≠ B का मतलब है कि A B के बराबर नहीं है;इस असमानता को कभी -कभी सख्त असमानता का एक रूप माना जाता है। यह नहीं कहता है कि एक दूसरे से अधिक है;इसके लिए A और B को ऑर्डर किए गए सेट के सदस्य होने की भी आवश्यकता नहीं है।

इंजीनियरिंग विज्ञान में, नोटेशन का कम औपचारिक उपयोग यह बताना है कि एक मात्रा दूसरे से बहुत अधिक है, आम तौर पर परिमाण के कई आदेशों द्वारा।
 * संकेतन a ≪ b का मतलब है कि a 'b से बहुत कम' है। * संकेतन a ≫ b का मतलब है कि a 'b से बहुत अधिक है। इसका तात्पर्य यह है कि कम मूल्य को एक सन्निकटन की सटीकता पर थोड़ा प्रभाव के साथ उपेक्षित किया जा सकता है (जैसे कि भौतिकी में अल्ट्रैलेटिविस्टिक सीमा का मामला)।

ऊपर दिए गए सभी मामलों में, एक दूसरे को प्रतिबिंबित करने वाले कोई भी दो प्रतीक सममित हैं;A  A समकक्ष हैं, आदि।

संख्या रेखा पर गुण
असमानताएं निम्नलिखित गुणों द्वारा शासित होती हैं।इन सभी गुणों को भी पकड़ लिया जाता है यदि सभी गैर-सख्त असमानताओं (and और and) को उनकी संगत सख्त असमानताओं (<और>) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है और-एक फ़ंक्शन को लागू करने के मामले में-मोनोटोनिक फ़ंक्शन सख्ती से मोनोटोनिक कार्यों तक सीमित होते हैं।

कॉनवर्स
संबंध and और and एक -दूसरे के रूप में हैं, जिसका अर्थ है कि किसी भी वास्तविक संख्या के लिए A और B:
 * A ≤ B और B ≥ A समतुल्य हैं।

ट्रांजिटिविटी
असमानता की सकर्मक संपत्ति में कहा गया है कि किसी भी वास्तविक संख्या के लिए, बी, सी: : यदि ≤ b और b ≤ c, तो a ≤ c। यदि कोई भी परिसर एक सख्त असमानता है, तो निष्कर्ष एक सख्त असमानता है:
 * यदि ≤ b और b  0 है, तो AC AC BC और A/C/B/C।
 * यदि A B B और C <0 है, तो AC AC BC और A/C/B/C।

दूसरे शब्दों में, असमानता संबंध को सकारात्मक स्थिरांक के साथ गुणा और विभाजन के तहत संरक्षित किया जाता है, लेकिन एक नकारात्मक स्थिरांक शामिल होने पर उलट होता है।आम तौर पर, यह एक आदेशित क्षेत्र के लिए लागू होता है।अधिक जानकारी के लिए, § ऑर्डर किए गए फ़ील्ड देखें।

एडिटिव व्युत्क्रम
Additive उलटा के लिए संपत्ति बताती है कि किसी भी वास्तविक संख्या A और B के लिए:
 * यदि एक ≤ b, तो −a ≥ −b।

गुणक व्युत्क्रम
यदि दोनों संख्याएँ सकारात्मक हैं, तो गुणात्मक व्युत्क्रमों के बीच असमानता का संबंध मूल संख्याओं के बीच के विपरीत है।विशेष रूप से, किसी भी गैर-शून्य वास्तविक संख्याओं के लिए ए और बी जो दोनों सकारात्मक (या दोनों नकारात्मक) हैं:


 * यदि a b, तो $1⁄a$ ≥ $1⁄b$।

ए और बी के संकेतों के सभी मामलों को जंजीर संकेतन में भी लिखा जा सकता है, निम्नानुसार है:


 * यदि 0  0।
 * यदि a b b <0, तो 0> $1⁄a$ ≥ $1⁄b$।
 * यदि a <0 <b, तो $1⁄a$ <0 < $1⁄b$।

दोनों पक्षों को एक फ़ंक्शन लागू करना
इसकी परिभाषा से किसी भी नीरस रूप से बढ़ते कार्य, असमानता के संबंध को तोड़े बिना एक असमानता के दोनों किनारों पर लागू किया जा सकता है (बशर्ते कि दोनों अभिव्यक्ति उस फ़ंक्शन के डोमेन में हों)।हालांकि, एक असमानता के दोनों किनारों पर एक नीरस रूप से घटते कार्य को लागू करने का मतलब है कि असमानता संबंध उलट हो जाएगा।एडिटिव व्युत्क्रम के लिए नियम, और सकारात्मक संख्या के लिए गुणक उलटा, दोनों एक मोनोटोनिक रूप से घटते कार्य को लागू करने के उदाहरण हैं।

यदि असमानता सख्त है (ए <बी, ए> बी) और कार्य कड़ाई से एकरस है, तो असमानता सख्त बनी हुई है।यदि इनमें से केवल एक स्थितियां सख्त हैं, तो परिणामी असमानता गैर-सख्ती है।वास्तव में, additive और गुणक व्युत्क्रमों के नियम दोनों एक सख्ती से नीरस रूप से घटने वाले फ़ंक्शन को लागू करने के उदाहरण हैं।

इस नियम के कुछ उदाहरण हैं:
 * एक असमानता के दोनों किनारों को एक शक्ति n> 0 (equiv।, −n <0) के लिए उठाना, जब A और B सकारात्मक वास्तविक संख्याएं हैं:
 * 0 ≤ a ≤ b ⇔ 0 ≤ an ≤ bn।
 * 0 ≤ a ≤ b ⇔ a−n ≥ b−n≥ 0।


 * एक असमानता के दोनों किनारों पर प्राकृतिक लघुगणक लेना, जब ए और बी सकारात्मक वास्तविक संख्याएं हैं:
 * 0 <a ≤ b ⇔ ln (a) ≤ ln (b)।
 * 0 <a <b ⇔ ln (a) <ln (b)।
 * (यह सच है क्योंकि प्राकृतिक लघुगणक एक कड़ाई से बढ़ता कार्य है।)

औपचारिक परिभाषाएँ और सामान्यीकरण
A (गैर-सख्ती) आंशिक आदेश एक द्विआधारी संबंध है, जो एक सेट  P  पर है, जो रिफ्लेक्टिव, एंटीसिमेट्रिक और सकर्मक है। यानी, सभी ए, बी, और सी में पी के लिए, यह तीन निम्नलिखित खंडों को संतुष्ट करना चाहिए:


 * 1) ए (ए (रिफ्लेक्सिटी)
 * 2) यदि ≤ b और b ≤ a, तो a = b (एंटीसिमेट्री)
 * 3) यदि ≤ b और b ≤ c, तो a (c (संक्रमण)

आंशिक आदेश के साथ एक सेट को 'आंशिक रूप से आदेशित सेट' कहा जाता है। वे बहुत ही बुनियादी स्वयंसिद्ध हैं जिन्हें हर तरह के आदेश को संतुष्ट करना पड़ता है।एक सेट पी पर आदेशों की अन्य परिभाषाओं के लिए मौजूद अन्य स्वयंसिद्ध शामिल हैं:


 * 1) पी में प्रत्येक ए और बी के लिए, एक ≤ बी या बी (ए (कुल क्रम)।
 * 2) पी में सभी ए और बी के लिए, जिसके लिए ए <बी, पी में एक सी है जैसे कि ए <सी <बी (घने क्रम)।
 * 3) ऊपरी बाउंड के साथ पी के प्रत्येक गैर-खाली सबसेट में पी (कम से कम-ऊँचा-बाध्य संपत्ति) में कम से कम ऊपरी बाउंड (सुप्रीम) होता है।

ऑर्डर किए गए फ़ील्ड
If (f, +, ×) एक फ़ील्ड है और of f पर कुल ऑर्डर है, तो (f, +, ×, ≤) को 'ऑर्डर किए गए फ़ील्ड' कहा जाता है यदि और केवल अगर:
 * A ≤ B का अर्थ है A + C ≤ B + C;
 * 0 ≤ ए और 0 ≤ b का तात्पर्य 0 × a × b है।

दोनों ('q', +, ×, and) और ('r', +, ×, ≤) को ऑर्डर किया जाता है, लेकिन are को ('C', +, ×, ≤) बनाने के लिए परिभाषित नहीं किया जा सकता है।खेत, क्योंकि −1 मैं का वर्ग है और इसलिए सकारात्मक होगा।

एक आदेशित क्षेत्र होने के अलावा, 'आर' में कम से कम-ऊँचा-बाध्य संपत्ति भी है।वास्तव में, 'आर' को उस गुणवत्ता के साथ एकमात्र आदेशित क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

जंजीर संकेतन
अंकन                                                 ऊपर की गई संपत्ति, यह भी इस प्रकार है कि       ।उपरोक्त कानूनों द्वारा, कोई तीनों शब्दों में एक ही संख्या को जोड़ या घटाया जा सकता है, या सभी तीन शब्दों को एक ही नॉनज़ेरो नंबर से गुणा या विभाजित कर सकता है और सभी असमानताओं को उलट सकता है यदि यह संख्या नकारात्मक है।इसलिए, उदाहरण के लिए,                                                                 ''C' ' -' 'E' '।

इस संकेतन को किसी भी संख्या में सामान्यीकृत किया जा सकता है: उदाहरण के लिए,  ए 1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an' means that ai ≤ ai+1 for i = 1, 2, ..., n'' − 1. By transitivity, this condition is equivalent to ai ≤ ajकिसी भी 1 ≤ i ≤ j ≤ n के लिए।

जंजीर संकेतन का उपयोग करके असमानताओं को हल करते समय, स्वतंत्र रूप से शर्तों का मूल्यांकन करना संभव है और कभी -कभी आवश्यक है।उदाहरण के लिए, असमानता को हल करने के लिए 4x <2x + 1 ≤ 3x + 2, अतिरिक्त या घटाव के माध्यम से असमानता के किसी एक हिस्से में एक्स को अलग करना संभव नहीं है।इसके बजाय, असमानताओं को स्वतंत्र रूप से हल किया जाना चाहिए, क्रमशः x <1/2 और x −11 की उपज, जिसे अंतिम समाधान −1 ≤ x <1/2 में जोड़ा जा सकता है।

कभी -कभी, जंजीर संकेतन का उपयोग अलग -अलग दिशाओं में असमानताओं के साथ किया जाता है, जिस स्थिति में अर्थ आसन्न शब्दों के बीच असमानताओं का तार्किक संयोजन है।उदाहरण के लिए, एक ज़िगज़ैग पोज़िट की परिभाषित सम्मेलन एक के रूप में लिखा गया है1 < a2 > a3 < a4 > a5 < a6> ...मिश्रित जंजीर संकेतन का उपयोग अधिक बार संगत संबंधों के साथ किया जाता है, जैसे <, =,,।उदाहरण के लिए, a <b = c ≤ d का अर्थ है कि a <b, b = c, और c ≤ d।यह संकेतन कुछ प्रोग्रामिंग भाषाओं जैसे पायथन में मौजूद है।इसके विपरीत, प्रोग्रामिंग भाषाओं में जो तुलनात्मक परिणामों के प्रकार पर एक ऑर्डर प्रदान करते हैं, जैसे कि सी, यहां तक कि सजातीय श्रृंखलाओं का भी पूरी तरह से अलग अर्थ हो सकता है।

तेज असमानताएं
एक असमानता को तेज कहा जाता है यदि इसे आराम नहीं किया जा सकता है और अभी भी सामान्य रूप से मान्य है।औपचारिक रूप से, एक सार्वभौमिक रूप से परिमाणित असमानता φ को तेज कहा जाता है, अगर प्रत्येक वैध सार्वभौमिक रूप से मात्रा निर्धारित असमानता के लिए, अगर, अगर ψ ⇒ φ होल्ड्स, फिर ψ ⇔ φ इसके अलावा।उदाहरण के लिए, असमानता ∀a ∈ ℝ. a2 ≥ 0 तेज है, जबकि असमानता ∀a ∈ ℝ. a2 ≥ −1 तेज नहीं है।

साधन के बीच असमानताएं
साधनों के बीच कई असमानताएं हैं।उदाहरण के लिए, किसी भी सकारात्मक संख्या के लिए1, a2, …, anअपने पास H ≤ G ≤ A ≤ Q, कहाँ पे


 * {|शैली = ऊंचाई: 200px

--- --- --- ---
 * $$H = \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}}$$ ||(अनुकूल माध्य),
 * $$G = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdots a_n} $$ ||(जियोमेट्रिक माध्य),
 * $$A = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}$$ ||(अंकगणित औसत),
 * $$Q = \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}{n}}$$ ||(द्विघात माध्य)।
 * }

Cauchy -Schwarz असमानता
Cauchy -Schwarz असमानता में कहा गया है कि सभी वैक्टर U और V के लिए एक आंतरिक उत्पाद स्थान के लिए यह सच है कि यह सच है
 * $$|\langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle| ^2 \leq \langle \mathbf{u},\mathbf{u}\rangle \cdot \langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle,$$

कहाँ पे $$\langle\cdot,\cdot\rangle$$ आंतरिक उत्पाद है।आंतरिक उत्पादों के उदाहरणों में वास्तविक और जटिल डॉट उत्पाद शामिल हैं;यूक्लिडियन स्पेस आर मेंnमानक आंतरिक उत्पाद के साथ, Cauchy -Schwarz असमानता है
 * $$\left(\sum_{i=1}^n u_i v_i\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^n u_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right).$$

पावर असमानताएं
एक शक्ति असमानता एक असमानता है जिसमें   '' की शर्तें हैंb जहां ए और बी वास्तविक सकारात्मक संख्या या चर अभिव्यक्ति हैं।वे अक्सर गणितीय ओलंपियाड अभ्यास में दिखाई देते हैं।

उदाहरण

 * किसी भी वास्तविक एक्स के लिए,
 * $$e^x \ge 1+x.$$


 * यदि x> 0 और p> 0, तो
 * $$\frac{x^p - 1}{p} \ge \ln(x) \ge \frac{1 - \frac{1}{x^p}}{p}.$$
 * P → 0 की सीमा में, ऊपरी और निचले सीमाएँ ln (x) में परिवर्तित होती हैं।


 * अगर x> 0, तो
 * $$x^x \ge \left( \frac{1}{e}\right)^\frac{1}{e}.$$


 * अगर x> 0, तो
 * $$x^{x^x} \ge x.$$


 * यदि x, y, z> 0, तो
 * $$\left(x+y\right)^z + \left(x+z\right)^y + \left(y+z\right)^x > 2.$$


 * किसी भी वास्तविक अलग संख्या के लिए ए और बी,
 * $$\frac{e^b-e^a}{b-a} > e^{(a+b)/2}.$$


 * यदि x, y> 0 और 0  \left(x+y\right)^p.$$


 * यदि x, y, z> 0, तो
 * $$x^x y^y z^z \ge \left(xyz\right)^{(x+y+z)/3}.$$


 * यदि a, b> 0, तो :: $$a^a + b^b \ge a^b + b^a.$$
 * यदि a, b> 0, तो :: $$a^{ea} + b^{eb} \ge a^{eb} + b^{ea}.$$
 * यदि a, b, c> 0, तो
 * $$a^{2a} + b^{2b} + c^{2c} \ge a^{2b} + b^{2c} + c^{2a}.$$


 * यदि a, b> 0, तो
 * $$a^b + b^a > 1.$$

प्रसिद्ध असमानताएं
गणितज्ञ अक्सर असमानताओं का उपयोग बाध्य मात्राओं के लिए करते हैं जिनके लिए सटीक सूत्र आसानी से गणना नहीं किया जा सकता है।कुछ असमानताओं का उपयोग इतनी बार किया जाता है कि उनके नाम होते हैं:


 * अज़ुमा की असमानता
 * बर्नौली की असमानता
 * बेल की असमानता
 * बोले की असमानता
 * Cauchy -Schwarz असमानता
 * चेबीशेव की असमानता
 * चेरनॉफ की असमानता
 * Cramér -rao असमानता
 * होफिंग की असमानता
 * होल्डर की असमानता
 * अंकगणित और ज्यामितीय साधनों की असमानता
 * जेन्सेन की असमानता
 * कोलमोगोरोव की असमानता
 * मार्कोव की असमानता
 * मिंकोव्स्की असमानता
 * नेस्बिट की असमानता
 * पेडो की असमानता
 * Poincaré असमानता
 * सैमुएलसन की असमानता
 * असमानित त्रिकोण

जटिल संख्या और असमानताएं
इसके अलावा और गुणन के संचालन के साथ जटिल संख्याओं का सेट एक क्षेत्र है, लेकिन किसी भी संबंध को परिभाषित करना असंभव है। (ℂ, +, ×, ≤) एक आदेशित क्षेत्र बन जाता है।बनाने के लिए (ℂ, +, ×, ≤) एक आदेशित क्षेत्र, इसे निम्नलिखित दो गुणों को संतुष्ट करना होगा:
 * यदि a ≤ b, फिर a + c ≤ b + c;
 * यदि 0 ≤ a तथा 0 ≤ b, फिर 0 ≤ ab।

क्योंकि, कुल आदेश है, किसी भी संख्या के लिए, या तो 0 ≤ a या a ≤ 0 (जिस स्थिति में ऊपर की पहली संपत्ति का अर्थ है कि 0 ≤ −a)।किसी भी मामले में 0 ≤ a2;इस का मतलब है कि i2 > 0 तथा 12 > 0;इसलिए −1 > 0 तथा 1 > 0, जिसका अर्थ है (−1 + 1)> 0;अंतर्विरोध।

हालांकि, एक ऑपरेशन to को परिभाषित किया जा सकता है ताकि केवल पहली संपत्ति को संतुष्ट किया जा सके (अर्थात्, यदि) a ≤ b, फिर a + c ≤ b + c)।कभी -कभी लेक्सोग्राफिक ऑर्डर परिभाषा का उपयोग किया जाता है: यह आसानी से साबित हो सकता है कि इस परिभाषा के लिए {NowRap | A ≤ B}} का अर्थ है {NowRap | a + c ≤ b + c}}
 * a ≤ b, यदि
 * Re(a) < Re(b), या
 * और {NowRap | im (a) ≤ im (b)}}}

वेक्टर असमानताएं
ऊपर परिभाषित किए गए लोगों के समान असमानता संबंध भी कॉलम वैक्टर के लिए परिभाषित किए जा सकते हैं।अगर हम वैक्टर को देते हैं $$x, y \in \mathbb{R}^n$$ (जिसका अर्थ है कि $$x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)^\mathsf{T}$$ तथा $$y = (y_1, y_2, \ldots, y_n)^\mathsf{T}$$, कहाँ पे $$x_i$$ तथा $$y_i$$ के लिए वास्तविक संख्याएं हैं $$i = 1, \ldots, n$$), हम निम्नलिखित संबंधों को परिभाषित कर सकते हैं:
 * $$x = y $$, यदि $$x_i = y_i$$ के लिये $$i = 1, \ldots, n$$।
 * $$x < y $$, यदि $$x_i < y_i$$ के लिये $$i = 1, \ldots, n$$।
 * $$x \leq y $$, यदि $$x_i \leq y_i $$ के लिये $$i = 1, \ldots, n$$ तथा $$x \neq y$$।
 * $$x \leqq y $$, यदि $$x_i \leq y_i $$ के लिये $$i = 1, \ldots, n$$।

इसी तरह, हम रिश्तों को परिभाषित कर सकते हैं $$x > y$$, $$x \geq y$$, तथा $$x \geqq y$$।यह संकेतन मल्टीक्रिटेरिया ऑप्टिमाइज़ेशन (संदर्भ देखें) में मैथियस एरगॉट द्वारा उपयोग किया जाता है।

ट्राइकोटॉमी संपत्ति (जैसा कि ऊपर कहा गया है) वेक्टर संबंधों के लिए मान्य नहीं है।उदाहरण के लिए, जब $$x = (2, 5)^\mathsf{T}$$ तथा $$y = (3, 4)^\mathsf{T}$$, इन दो वैक्टर के बीच कोई वैध असमानता संबंध मौजूद नहीं है।हालांकि, उपरोक्त संपत्तियों के बाकी हिस्सों के लिए, वेक्टर असमानताओं के लिए एक समानांतर संपत्ति मौजूद है।

असमानताओं की प्रणाली
रैखिक असमानताओं की प्रणालियों को फूरियर -मॉट्ज़किन उन्मूलन द्वारा सरल किया जा सकता है।

बेलनाकार बीजगणितीय अपघटन एक एल्गोरिथ्म है जो परीक्षण की अनुमति देता है कि क्या बहुपद समीकरणों और असमानताओं की एक प्रणाली में समाधान हैं, और, यदि समाधान मौजूद हैं, तो उनका वर्णन करते हैं।इस एल्गोरिथ्म की जटिलता चर की संख्या में दोगुना घातीय है।यह एल्गोरिदम को डिजाइन करने के लिए एक सक्रिय अनुसंधान डोमेन है जो विशिष्ट मामलों में अधिक कुशल हैं।

यह भी देखें

 * द्विआधारी संबंध
 * ब्रैकेट (गणित), समान और ›संकेतों के लिए कोष्ठक के रूप में संकेत
 * समावेश (सेट सिद्धांत)
 * असमानता
 * अंतराल (गणित)
 * असमानताओं की सूची
 * त्रिकोण असमानताओं की सूची
 * आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट
 * संबंधपरक ऑपरेटर, असमानता को निरूपित करने के लिए प्रोग्रामिंग भाषाओं में उपयोग किया जाता है

बाहरी संबंध

 * Graph of Inequalities by Ed Pegg, Jr.
 * AoPS Wiki entry about Inequalities
 * AoPS Wiki entry about Inequalities

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