राका बहुपद

गणित में, राकाह बहुपद गिउलिओ राकाह के नाम पर ऑर्थोगोनल बहुपद हैं, क्योंकि उनके ऑर्थोगोनलिटी संबंध राका गुणांक के लिए उनके ऑर्थोगोनलिटी संबंधों के बराबर हैं।

राका बहुपदों को सबसे पहले किसके द्वारा परिभाषित किया गया था और द्वारा दिया जाता है
 * $$p_n(x(x+\gamma+\delta+1)) = {}_4F_3\left[\begin{matrix} -n &n+\alpha+\beta+1&-x&x+\gamma+\delta+1\\

\alpha+1&\gamma+1&\beta+\delta+1\\ \end{matrix};1\right].$$

ऑर्थोगोनलिटी

 * $$\sum_{y=0}^N\operatorname{R}_n(x;\alpha,\beta,\gamma,\delta)

\operatorname{R}_m(x;\alpha,\beta,\gamma,\delta)\frac{\gamma+\delta+1+2y}{\gamma+\delta+1+y} \omega_y=h_n\operatorname{\delta}_{n,m},$$
 * कब $$\alpha+1=-N$$,
 * कहाँ $$\operatorname{R}$$ राचा बहुपद है,
 * $$x=y(y+\gamma+\delta+1),$$
 * $$\operatorname{\delta}_{n,m}$$ क्रोनकर डेल्टा फ़ंक्शन है और भार फलन हैं
 * $$\omega_y=\frac{(\alpha+1)_y(\beta+\delta+1)_y(\gamma+1)_y(\gamma+\delta+2)_y}{(-\alpha+\gamma+\delta+1)_y(-\beta+\gamma+1)_y(\delta+1)_yy!},$$
 * और
 * $$h_n=\frac{(-\beta)_N(\gamma+\delta+1)_N}{(-\beta+\gamma+1)_N(\delta+1)_N}\frac{(n+\alpha+\beta+1)_nn!}{(\alpha+\beta+2)_{2n}}\frac{(\alpha+\delta-\gamma+1)_n(\alpha-\delta+1)_n(\beta+1)_n}{(\alpha+1)_n(\beta+\delta+1)_n(\gamma+1)_n},$$
 * $$(\cdot)_n$$ इस थे पोछाम्मेर सिंबल.

रोड्रिग्स-टाइप फॉर्मूला

 * $$\omega(x;\alpha,\beta,\gamma,\delta)\operatorname{R}_n(\lambda(x);\alpha,\beta,\gamma,\delta)=(\gamma+\delta+1)_n\frac{\nabla^n}{\nabla\lambda(x)^n}\omega(x;\alpha+n,\beta+n,\gamma+n,\delta),$$
 * कहाँ $$\nabla$$ पिछड़ा अंतर ऑपरेटर है,
 * $$\lambda(x)=x(x+\gamma+\delta+1).$$

कार्य उत्पन्न करना
के लिए तीन जनरेटिंग फ़ंक्शन हैं $$x\in\{0,1,2,...,N\}$$
 * कब $$\beta+\delta+1=-N\quad$$या$$\quad\gamma+1=-N,$$
 * $${}_2F_1(-x,-x+\alpha-\gamma-\delta;\alpha+1;t){}_2F_1(x+\beta+\delta+1,x+\gamma+1;\beta+1;t)$$
 * $$\quad=\sum_{n=0}^N\frac{(\beta+\delta+1)_n(\gamma+1)_n}{(\beta+1)_nn!}\operatorname{R}_n(\lambda(x);\alpha,\beta,\gamma,\delta)t^n,$$
 * कब $$\alpha+1=-N\quad$$या$$\quad\gamma+1=-N,$$
 * $${}_2F_1(-x,-x+\beta-\gamma;\beta+\delta+1;t){}_2F_1(x+\alpha+1,x+\gamma+1;\alpha-\delta+1;t)$$
 * $$\quad=\sum_{n=0}^N\frac{(\alpha+1)_n(\gamma+1)_n}{(\alpha-\delta+1)_nn!}\operatorname{R}_n(\lambda(x);\alpha,\beta,\gamma,\delta)t^n,$$
 * कब $$\alpha+1=-N\quad$$या$$\quad\beta+\delta+1=-N,$$
 * $${}_2F_1(-x,-x-\delta;\gamma+1;t){}_2F_1(x+\alpha+1;x+\beta+\gamma+1;\alpha+\beta-\gamma+1;t)$$
 * $$\quad=\sum_{n=0}^N\frac{(\alpha+1)_n(\beta+\delta+1)_n}{(\alpha+\beta-\gamma+1)_nn!}\operatorname{R}_n(\lambda(x);\alpha,\beta,\gamma,\delta)t^n.$$

विल्सन बहुपद
के लिए कनेक्शन सूत्र कब $$\alpha=a+b-1,\beta=c+d-1,\gamma=a+d-1,\delta=a-d,x\rightarrow-a+ix,$$
 * $$\operatorname{R}_n(\lambda(-a+ix);a+b-1,c+d-1,a+d-1,a-d)=\frac{\operatorname{W}_n(x^2;a,b,c,d)}{(a+b)_n(a+c)_n(a+d)_n},$$
 * कहाँ $$\operatorname{W}$$ विल्सन बहुपद हैं।

क्यू-एनालॉग
ने मौलिक हाइपरज्यामितीय कार्यों के संदर्भ में परिभाषित क्यू-राकाह बहुपदों को  प्रस्तुत  किया
 * $$p_n(q^{-x}+q^{x+1}cd;a,b,c,d;q) = {}_4\phi_3\left[\begin{matrix} q^{-n} &abq^{n+1}&q^{-x}&q^{x+1}cd\\

aq&bdq&cq\\ \end{matrix};q;q\right].$$ उन्हें कभी-कभी चर के परिवर्तन के साथ दिया जाता है
 * $$W_n(x;a,b,c,N;q) = {}_4\phi_3\left[\begin{matrix} q^{-n} &abq^{n+1}&q^{-x}&cq^{x-n}\\

aq&bcq&q^{-N}\\ \end{matrix};q;q\right].$$