वासेरस्टीन मेट्रिक

गणित में, लियोनिड वेसरस्टीन दूरी या लियोनिद कांटोरोविच-गेनाडी रुबिनस्टीन मीट्रिक एक मीट्रिक (गणित) है जो किसी दिए गए मीट्रिक स्थान पर संभाव्यता वितरण के बीच परिभाषित किया गया है। $$M$$. इसका नाम लियोनिद वेसरस्टीन |लियोनिद वेसरस्टीन के नाम पर रखा गया है।

सहज रूप से, यदि प्रत्येक वितरण को पृथ्वी (मिट्टी) की एक इकाई राशि के रूप में देखा जाता है$$M$$, मीट्रिक एक ढेर को दूसरे में बदलने की न्यूनतम लागत है, जिसे पृथ्वी की वह मात्रा माना जाता है जिसे स्थानांतरित करने के लिए औसत दूरी से गुणा करने की आवश्यकता होती है। इस समस्या को पहली बार 1781 में गैसपार्ड मोंगे द्वारा औपचारिक रूप दिया गया था। इस समानता के कारण, मीट्रिक को कंप्यूटर विज्ञान में अर्थ मूवर की दूरी के रूप में जाना जाता है।

नाम वासेरस्टीन दूरी रोलैंड डोब्रुशिन द्वारा गढ़ा गया था|आर। 1970 में एल. डोब्रुशिन, लियोनिद वेसरस्टीन के काम में इसे सीखने के बाद | ऑटोमेटा की बड़ी प्रणालियों का वर्णन करने वाली मार्कोव प्रक्रियाओं पर लियोनिद वेसरस्टीन (रूसी, 1969)। हालांकि मीट्रिक को पहली बार उत्पादन योजना और संगठन की गणितीय विधि में लियोनिद कांटोरोविच द्वारा परिभाषित किया गया था (रूसी मूल 1939) माल और सामग्रियों की इष्टतम परिवहन योजना के संदर्भ में। कुछ विद्वान इस प्रकार कांटोरोविच मीट्रिक और कांटोरोविच दूरी शब्दों के उपयोग को प्रोत्साहित करते हैं। अधिकांश अंग्रेजी भाषा-भाषा के प्रकाशन जर्मन भाषा की वर्तनी वासेरस्टीन का उपयोग करते हैं (जर्मनिक भाषा मूल के होने के कारण वासेरस्टीन नाम के लिए जिम्मेदार)।

परिभाषा
होने देना $$(M,d)$$ एक मीट्रिक स्पेस बनें जो एक पोलिश_स्पेस#रेडॉन_स्पेस है। के लिए $$p \in [1, \infty)$$वासेरस्टीन $$p$$दो संभाव्यता उपायों के बीच की दूरी $$\mu$$ और $$\nu$$ पर $$M$$ परिमित के साथ $$p$$-मोमेंट (गणित) है
 * $$W_p(\mu, \nu) = \left( \inf_{\gamma \in \Gamma(\mu, \nu)} \mathbf{E}_{(x, y) \sim \gamma} d(x, y)^p \right)^{1/p}$$

कहाँ $$\Gamma(\mu, \nu)$$ के सभी युग्मन (संभाव्यता) का समुच्चय है $$\mu$$ और $$\nu$$. एक युग्मन $$\gamma$$ पर एक संयुक्त संभाव्यता माप है $$M \times M$$ जिनका सीमान्त वितरण है $$\mu$$ और $$\nu$$ क्रमशः पहले और दूसरे कारकों पर। वह है,
 * $$\int_M \gamma(x, y) \,\mathrm{d}y = \mu(x)$$
 * $$\int_M \gamma(x, y) \,\mathrm{d}x = \nu(y)$$

अंतर्ज्ञान और इष्टतम परिवहन से संबंध
उपरोक्त परिभाषा को समझने का एक तरीका इष्टतम परिवहन समस्या पर विचार करना है। यानी द्रव्यमान के वितरण के लिए $$\mu(x)$$ एक स्थान पर $$X$$, हम द्रव्यमान को इस तरह से परिवहन करना चाहते हैं कि यह वितरण में परिवर्तित हो जाए $$\nu(x)$$ एक ही स्थान पर; 'पृथ्वी के ढेर' को बदलना $$\mu$$ ढेर के लिए $$\nu$$. यह समस्या केवल तभी समझ में आती है जब बनाए जाने वाले ढेर का द्रव्यमान उतना ही हो जितना ढेर को स्थानांतरित किया जाना है; इसलिए व्यापकता के नुकसान के बिना यह मान लें $$\mu$$ और $$\nu$$ प्रायिकता बंटन हैं जिनका कुल द्रव्यमान 1 है। यह भी मान लें कि कुछ लागत फलन दिया गया है


 * $$c(x,y) \geq 0$$

जो एक इकाई द्रव्यमान को बिंदु से ले जाने की लागत देता है $$x$$ मुद्दे पर $$y$$. स्थानांतरित करने के लिए एक परिवहन योजना $$\mu$$ में $$\nu$$ एक समारोह द्वारा वर्णित किया जा सकता है $$\gamma(x,y)$$ जो स्थानांतरित करने के लिए द्रव्यमान की मात्रा देता है $$x$$ को $$y$$. आप कल्पना कर सकते हैं कि आकार की पृथ्वी के ढेर को स्थानांतरित करने की आवश्यकता के रूप में कार्य $$\mu$$ आकार की जमीन में छेद करने के लिए $$\nu$$ ऐसा कि अंत में, मिट्टी का ढेर और जमीन में छेद दोनों पूरी तरह से गायब हो जाते हैं। इस योजना के सार्थक होने के लिए, इसे निम्नलिखित गुणों को पूरा करना होगा



\begin{align} \int \gamma(x,y) \,\mathrm{d} y = \mu(x) & \qquad \text{(the amount of earth moved out of point } x \text{ needs to equal the amount that was there to begin with)} \\ \int \gamma(x,y) \,\mathrm{d} x = \nu(y) & \qquad \text{(the amount of earth moved into point } y \text{ needs to equal the depth of the hole that was there at the beginning)} \end{align} $$ यही है, कि कुल द्रव्यमान एक असीम क्षेत्र से बाहर चला गया $$x$$ के बराबर होना चाहिए $$\mu(x) \mathrm{d}x$$ और कुल द्रव्यमान आसपास के क्षेत्र में चला गया $$y$$ होना चाहिए $$\nu(y)\mathrm{d}y$$. यह उस आवश्यकता के बराबर है $$\gamma$$ मार्जिन के साथ एक संयुक्त संभाव्यता वितरण हो $$\mu$$ और $$\nu$$. इस प्रकार, अपरिमेय द्रव्यमान से पहुँचाया गया $$x$$ को $$y$$ है $$\gamma(x,y) \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y$$, और चलने की लागत है $$c(x,y) \gamma(x,y) \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y$$, लागत समारोह की परिभाषा के बाद। इसलिए, एक परिवहन योजना की कुल लागत $$\gamma$$ है

\iint c(x,y) \gamma(x,y) \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y = \int c(x,y) \, \mathrm{d} \gamma(x,y) $$ योजना $$\gamma$$ अद्वितीय नहीं है; इष्टतम परिवहन योजना सभी संभावित परिवहन योजनाओं में से न्यूनतम लागत वाली योजना है। जैसा कि उल्लेख किया गया है, एक योजना के वैध होने की आवश्यकता यह है कि यह सीमांत के साथ एक संयुक्त वितरण है $$\mu$$ और $$\nu$$; दे $$\Gamma$$ ऐसे सभी उपायों के सेट को निरूपित करें, जैसा कि पहले खंड में, इष्टतम योजना की लागत है

C = \inf_{\gamma \in \Gamma(\mu, \nu)} \int c(x,y) \, \mathrm{d} \gamma(x,y) $$ यदि एक चाल की लागत केवल दो बिंदुओं के बीच की दूरी है, तो इष्टतम लागत की परिभाषा के समान है $$W_1$$ दूरी।

नियतात्मक वितरण
होने देना $$\mu_{1} = \delta_{a_{1}}$$ और $$\mu_{2} = \delta_{a_{2}}$$ बिंदुओं पर स्थित दो पतित वितरण (अर्थात डायराक डेल्टा वितरण)। $$a_{1}$$ और $$a_{2}$$ में $$\mathbb{R}$$. इन दो मापों का केवल एक ही संभावित युग्मन है, अर्थात् बिंदु द्रव्यमान $$\delta_{(a_{1}, a_{2})}$$ पर स्थित $$(a_{1}, a_{2}) \in \mathbb{R}^{2}$$. इस प्रकार, सामान्य निरपेक्ष मान फ़ंक्शन का उपयोग दूरी फ़ंक्शन के रूप में किया जाता है $$\mathbb{R}$$, किसी के लिए $$p \geq 1$$, द $$p$$-वासेरस्टीन के बीच की दूरी $$\mu_{1}$$ और $$\mu_2$$ है
 * $$W_p (\mu_1, \mu_2) = | a_1 - a_2 | .$$

इसी तरह के तर्क से, अगर $$\mu_{1} = \delta_{a_{1}}$$ और $$\mu_{2} = \delta_{a_{2}}$$ बिंदुओं पर स्थित बिंदु द्रव्यमान हैं $$a_{1}$$ और $$a_{2}$$ में $$\mathbb{R}^{n}$$, और हम सामान्य यूक्लिडियन मानदंड का उपयोग करते हैं $$\mathbb{R}^{n}$$ दूरी समारोह के रूप में, तब
 * $$W_p (\mu_1, \mu_2) = \| a_1 - a_2 \|_2 .$$

एक आयाम
अगर $$P$$ नमूने के साथ एक अनुभवजन्य उपाय है $$X_1, \ldots, X_n$$ और $$Q$$ नमूने के साथ एक अनुभवजन्य उपाय है $$Y_1, \ldots, Y_n$$, दूरी आदेश आँकड़ों का एक सरल कार्य है:
 * $$W_p(P, Q) = \left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \|X_{(i)} - Y_{(i)}\|^p \right)^{1/p}$$

उच्च आयाम
अगर $$P$$ और $$Q$$ अनुभवजन्य वितरण हैं, प्रत्येक पर आधारित है $$n$$ अवलोकन, फिर


 * $$W_p(P, Q) = \inf_\pi \left( \sum_{i=1}^n \|X_i - Y_{\pi(i)}\|^p \right)^{1/p}$$

जहां infimum सभी क्रमपरिवर्तन से अधिक है $$\pi$$ का $$n$$ तत्व। यह एक रेखीय असाइनमेंट समस्या है, और हंगेरियन एल्गोरिथम द्वारा घन समय में हल किया जा सकता है।

सामान्य वितरण
होने देना $$\mu_1 = \mathcal{N}(m_1, C_1)$$ और $$\mu_2 = \mathcal{N}(m_2, C_2)$$ दो गैर-पतित गॉसियन उपायों (यानी सामान्य वितरण) पर हो $$\mathbb{R}^n$$, संबंधित अपेक्षित मूल्यों के साथ $$m_1$$ और $$m_2 \in \mathbb{R}^n$$ और सममित सकारात्मक निश्चित | सममित सकारात्मक अर्ध-निश्चित सहप्रसरण मैट्रिक्स $$C_{1}$$ और $$C_2 \in \mathbb{R}^{n \times n}$$. तब, सामान्य यूक्लिडियन मानदंड के संबंध में $$\mathbb{R}^{n}$$, 2-वासेरस्टीन के बीच की दूरी $$\mu_{1}$$ और $$\mu_{2}$$ है
 * $$W_{2} (\mu_1, \mu_2)^2 = \| m_1 - m_2 \|_2^2 + \mathop{\mathrm{trace}} \bigl( C_1 + C_2 - 2 \bigl( C_2^{1/2} C_1 C_2^{1/2} \bigr)^{1/2} \bigr) .$$

ध्यान दें कि दूसरा शब्द (ट्रेस शामिल) ठीक (असामान्यीकृत) के बीच मीट्रिक है $$C_1$$ और $$C_2$$. यह परिणाम दो बिंदुओं के द्रव्यमान (कम से कम मामले में) के बीच वासेरस्टीन दूरी के पहले के उदाहरण को सामान्य करता है $$p = 2$$), चूंकि एक बिंदु द्रव्यमान को सहप्रसरण मैट्रिक्स के साथ सामान्य वितरण के रूप में शून्य के बराबर माना जा सकता है, जिस स्थिति में ट्रेस (रैखिक बीजगणित) शब्द गायब हो जाता है और केवल साधनों के बीच यूक्लिडियन दूरी को शामिल करने वाला शब्द रहता है।

एक आयामी वितरण
होने देना $$\mu_1, \mu_2 \in P_p(\mathbb{R})$$ संभाव्यता उपायों पर हो $$\mathbb{R}$$, और उनके संचयी वितरण समारोह को निरूपित करें $$F_1(x)$$ और $$F_2(x)$$. फिर परिवहन समस्या का एक विश्लेषणात्मक समाधान है: इष्टतम परिवहन संभाव्यता द्रव्यमान तत्वों के क्रम को संरक्षित करता है, इसलिए मात्रा पर द्रव्यमान $$q$$ का $$\mu_1$$ क्वांटाइल में जाता है $$q$$ का $$\mu_2$$. इस प्रकार $$p$$-वासेरस्टीन के बीच की दूरी $$\mu_1$$ और $$\mu_2$$ है
 * $$W_p(\mu_1, \mu_2) = \left(\int_0^1 \left| F_1^{-1}(q) - F_2^{-1}(q) \right|^p \, \mathrm{d} q\right)^{1/p} $$

कहाँ $$F_1^{-1}$$ और $$F_2^{-1}$$ मात्रात्मक समारोह (उलटा सीडीएफ) हैं। के मामले में $$p=1$$, चरों का परिवर्तन सूत्र की ओर ले जाता है
 * $$W_1(\mu_1, \mu_2) = \int_{\mathbb{R}} \left| F_1(x) - F_2(x) \right| \, \mathrm{d} x $$.

अनुप्रयोग
वासेरस्टीन मीट्रिक दो चर X और Y के प्रायिकता वितरण की तुलना करने का एक स्वाभाविक तरीका है, जहां एक चर दूसरे से छोटे, गैर-समान गड़बड़ी (यादृच्छिक या नियतात्मक) द्वारा प्राप्त किया जाता है।

कंप्यूटर विज्ञान में, उदाहरण के लिए, मीट्रिक W1 असतत वितरणों की तुलना करने के लिए व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, उदा। दो डिजिटल छवियों का रंग हिस्टोग्राम; अधिक विवरण के लिए अर्थ मूवर की दूरी देखें।

उनके पेपर 'वासेरस्टीन जीएएन' में, अरजोव्स्की एट अल। वासेरस्टीन -1 मीट्रिक का उपयोग जनरेटिव प्रतिकूल नेटवर्क (GAN) के मूल ढांचे को बेहतर बनाने के तरीके के रूप में करें, ताकि लुप्त हो रही ढाल की समस्या और मोड के पतन के मुद्दों को कम किया जा सके। सामान्य वितरण के विशेष मामले का उपयोग फ़्रेचेट स्थापना दूरी में किया जाता है।

वासेरस्टीन मेट्रिक का प्रोक्रिस्ट्स विश्लेषण के साथ एक औपचारिक लिंक है, जिसमें चिरायता उपायों के लिए आवेदन किया गया है, और विश्लेषण को आकार देने के लिए। कम्प्यूटेशनल जीव विज्ञान में, साइटोमेट्री डेटासेट के लगातार समरूपता के बीच तुलना करने के लिए वासेरस्टीन मीट्रिक का उपयोग किया जा सकता है। भूभौतिकी में व्युत्क्रम समस्याओं में वासेरस्टीन मीट्रिक का भी उपयोग किया गया है। वासेरस्टीन मीट्रिक का उपयोग एकीकृत सूचना सिद्धांत में अवधारणाओं और वैचारिक संरचनाओं के बीच अंतर की गणना करने के लिए किया जाता है।

मीट्रिक संरचना
यह दिखाया जा सकता है कि डब्ल्यूp पी पर एक मीट्रिक (गणित) के सभी सिद्धांतों को संतुष्ट करता हैp(एम)। इसके अलावा, डब्ल्यू के संबंध में अभिसरणp उपायों के सामान्य कमजोर अभिसरण और पहले pth क्षणों के अभिसरण के बराबर है।

डब्ल्यू का दोहरा प्रतिनिधित्व1
W का निम्नलिखित दोहरा प्रतिनिधित्व1 लियोनिद कांटोरोविच और रुबिनस्टीन (1958) के द्वैत प्रमेय का एक विशेष मामला है: जब μ और ν में घिरा हुआ सेट  सपोर्ट (माप सिद्धांत) होता है,


 * $$W_1 (\mu, \nu) = \sup \left\{ \left. \int_{M} f(x) \, \mathrm{d} (\mu - \nu) (x) \right| \text{continuous } f : M \to \mathbb{R}, \operatorname{Lip} (f) \leq 1 \right\},$$

जहां लिप (एफ) एफ के लिए न्यूनतम लिप्सचिट्ज़ निरंतरता को दर्शाता है।

इसकी तुलना रैडॉन मीट्रिक की परिभाषा से करें:


 * $$\rho (\mu, \nu) := \sup \left\{ \left. \int_M f(x) \, \mathrm{d} (\mu - \nu) (x) \right| \text{continuous } f : M \to [-1, 1] \right\}.$$

यदि मीट्रिक d कुछ स्थिर C से घिरा है, तब


 * $$2 W_1 (\mu, \nu) \leq C \rho (\mu, \nu),$$

और इसलिए रैडॉन मीट्रिक में अभिसरण ('एम' एक पोलिश स्थान होने पर कुल भिन्नता अभिसरण के समान) का तात्पर्य वासरस्टीन मीट्रिक में अभिसरण से है, लेकिन इसके विपरीत नहीं।

प्रमाण
निम्नलिखित एक सहज प्रमाण है जो तकनीकी बिंदुओं पर छोड़ देता है। में पूर्णतः कठोर प्रमाण मिलता है। असतत मामला: कब $$M$$ असतत है, 1-वासेरस्टीन दूरी के लिए हल करना रैखिक प्रोग्रामिंग में एक समस्या है:$$\begin{cases} \min_\gamma \sum_{x, y} c(x, y) \gamma(x, y) \\ \sum_y \gamma(x, y) = \mu(x) \\ \sum_x \gamma(x, y) = \nu(y) \\ \gamma \geq 0 \end{cases}$$कहाँ $$c: M \times M \to [0, \infty)$$ एक सामान्य लागत फलन है।

उपरोक्त समीकरणों को सावधानीपूर्वक मैट्रिक्स समीकरणों के रूप में लिखने पर, हमें इसका द्विरेखीय कार्यक्रम प्राप्त होता है :$$\begin{cases} \max_{f, g} \sum_x \mu(x)f(x) + \sum_y \nu(y)g(y)\\ f(x) + g(y) \leq c(x, y)	 \end{cases}$$और दोहरे रेखीय कार्यक्रम # मजबूत द्वैत द्वारा, चूंकि मूल समस्या संभव और बंधी हुई है, इसलिए दोहरी समस्या है, और पहली समस्या में न्यूनतम दूसरी समस्या में अधिकतम के बराबर है। अर्थात्, समस्या युग्म प्रबल द्वैत प्रदर्शित करता है।

सामान्य स्थिति के लिए, योगों को अभिन्न में परिवर्तित करके दोहरी समस्या पाई जाती है:$$\begin{cases} \sup_{f, g} \mathbb E_{x\sim \mu}[f(x)] + \mathbb E_{y\sim \nu}[g(y)]\\ f(x) + g(y) \leq c(x, y)	 \end{cases}$$और मजबूत द्वैत अभी भी कायम है। यह 'कांटोरोविच द्वैत प्रमेय' है। सेड्रिक विलानी ने लुइस कैफरेली से निम्नलिखित व्याख्या की गणना की: <ब्लॉककोट> मान लीजिए कि आप खानों से कुछ कोयले को भेजना चाहते हैं, के रूप में वितरित किया गया $$\mu$$, कारखानों को, के रूप में वितरित किया गया $$\nu$$. परिवहन का लागत फलन है $$c$$. अब एक शिपर आता है और आपके लिए परिवहन करने की पेशकश करता है। आप उसे भुगतान करेंगे $$f(x)$$ कोयले को लोड करने के लिए प्रति कोयला $$x$$, और उसे भुगतान करें $$g(y)$$ कोयले को उतारने के लिए प्रति कोयला $$y$$.

आपके लिए सौदा स्वीकार करने के लिए, मूल्य अनुसूची को पूरा करना होगा $$f(x) + g(y) \leq c(x, y)$$. कांटोरोविच द्वैत कहता है कि शिपर एक मूल्य अनुसूची बना सकता है जो आपको लगभग उतना ही भुगतान करता है जितना आप स्वयं शिप करेंगे। इस परिणाम को प्राप्त करने के लिए आगे दबाया जा सकता है:$$

संभाव्यता स्थान होने पर दो अनौपचारिक दृढ़ संकल्प चरण स्पष्ट रूप से स्पष्ट होते हैं $$\R$$.

सांकेतिक सुविधा के लिए, आइए $$\square$$ अनंत कनवल्शन ऑपरेशन को निरूपित करें।

पहले चरण के लिए, जहाँ हमने प्रयोग किया $$f = cone\square (-g)$$, का वक्र आरेखित करें $$-g$$, फिर प्रत्येक बिंदु पर, ढलान 1 का एक शंकु बनाएं, और शंकु के निचले लिफाफे को इस प्रकार लें $$f$$, जैसा कि आरेख में दिखाया गया है, तब $$f$$ 1 से अधिक ढलान के साथ नहीं बढ़ सकता है। इस प्रकार इसके सभी छेदकों में ढलान है $$\Big| \frac{f(x) - f(y)}{x-y}\Big| \leq 1$$.

दूसरे चरण के लिए, शिशु कनवल्शन को चित्रित करें $$cone \square (-f)$$, तो यदि सभी सेकेंट $$f$$ अधिकतम 1 पर ढलान है, फिर का निचला लिफाफा $$cone \square (-f) $$ इस प्रकार, केवल शंकु-शीर्ष हैं $$cone \square (-f)=-f$$.

1डी उदाहरण। कब दोनों $$\mu, \nu$$ वितरण कर रहे हैं $$\R$$, फिर भागों द्वारा एकीकरण देते हैं$$\mathbb{E}_{x\sim \mu}[f(x)] - \mathbb E_{y\sim \nu}[f(y)] = \int f'(x) (F_\nu(x) - F_\mu(x)) dx$$इस प्रकार$$ f(x) = K \cdot \mathop{sign}(F_\nu(x) - F_\mu(x))$$

डब्ल्यू की द्रव यांत्रिकी व्याख्या2
बेनमौ और ब्रेनियर को इसका दोहरा प्रतिनिधित्व मिला $$W_2$$ द्रव यांत्रिकी द्वारा, जो उत्तल अनुकूलन द्वारा कुशल समाधान की अनुमति देता है। पर दो प्रायिकता बंटन दिए गए हैं $$\R^n$$ घनत्व के साथ $$p, q$$, तब $$W_2(p, q) = \min_v \int_0^T \int_{\R^n} \|v(x, t)\|^2 \rho(x, t)dxdt$$कहाँ $$v(x, t)$$ एक वेग क्षेत्र है, और $$\rho(x, t)$$ द्रव घनत्व क्षेत्र है, जैसे कि $$\begin{aligned} &\frac{\partial \rho(\cdot, t)}{\partial t}=-\operatorname{div}\left( \rho(\cdot, t) v \right) \\ &\rho(x, 0)=p \\ &\rho(x, T)=q \end{aligned}$$यही है, द्रव्यमान को संरक्षित किया जाना चाहिए, और वेग क्षेत्र को संभाव्यता वितरण को परिवहन करना चाहिए $$p$$ को $$q$$ समय अंतराल के दौरान $$[0, T]$$.

डब्ल्यू की समानता2 और एक नकारात्मक-क्रम सोबोलेव मानदंड
उपयुक्त धारणाओं के तहत, वासेरस्टीन दूरी $$W_2$$ ऑर्डर दो का लिप्सचिट्ज़ नकारात्मक-क्रम सजातीय सोबोलिव अंतरिक्ष के बराबर है। अधिक सटीक, अगर हम लेते हैं $$M$$ एक सकारात्मक माप से लैस एक जुड़ा हुआ स्थान रीमैनियन कई गुना होना $$\pi$$, तो हम के लिए परिभाषित कर सकते हैं $$f \colon M \to \mathbb{R}$$ सेमिनोर्म
 * $$\| f \|_{\dot{H}^{1}(\pi)}^{2} = \int_{M} | \nabla f(x) |^{2} \, \pi(\mathrm{d} x)$$

और एक हस्ताक्षरित उपाय के लिए $$\mu$$ पर $$M$$ दोहरा मानदंड
 * $$\| \mu \|_{\dot{H}^{-1}(\pi)} = \sup \bigg\{ | \langle f, \mu \rangle | \,\bigg|\, \| f \|_{\dot{H}^{1}(\pi)} \leq 1 \bigg\} .$$

तब किन्हीं दो प्रायिकता मापों को $$\mu$$ और $$\nu$$ पर $$M$$ ऊपरी सीमा को संतुष्ट करें
 * $$W_{2} (\mu, \nu) \leq 2 \| \mu - \nu \|_{\dot{H}^{-1}(\pi)} .$$

दूसरी दिशा में यदि $$\mu$$ और $$\nu$$ प्रत्येक में वॉल्यूम फॉर्म के संबंध में घनत्व होता है $$M$$ जो दोनों कुछ से ऊपर बंधे हुए हैं $$0 < C < \infty$$, और $$M$$ गैर-नकारात्मक रिक्की वक्रता है, तब
 * $$\| \mu - \nu \|_{\dot{H}^{-1}(\pi)} \leq \sqrt{C} W_{2} (\mu, \nu) .$$

पृथक्करणीयता और पूर्णता
किसी भी p ≥ 1 के लिए मीट्रिक स्थान ('P'p(एम), डब्ल्यूp) वियोज्य स्थान है, और पूर्ण स्थान है यदि (M, d) वियोज्य और पूर्ण है।

यह भी देखें

 * हचिंसन मीट्रिक
 * लेवी मीट्रिक
 * लेवी-प्रोखोरोव मीट्रिक
 * फ्रेचेट दूरी
 * संभाव्यता उपायों की कुल भिन्नता दूरी
 * परिवहन सिद्धांत (गणित)
 * पृथ्वी मूवर की दूरी
 * वासेरस्टीन जीएएन