प्रवणता

सदिश कलन में, कई चर राशि(variable) के एक अदिश-मूल्यवान अलग-अलग फलन $f$  का प्रवणता सदिश क्षेत्र (या सदिश-मूल्यवान फलन) है  $$\nabla f$$ जिसका मूल्य एक बिंदु पर है  $$p$$  सदिश है जिनके घटक के आंशिक व्युत्पन्न हैं $$f$$ पर $$p$$. वह इसके लिए $$f \colon \R^n \to \R$$, इसकी प्रवणता है $$\nabla f \colon \R^n \to \R^n$$ बिंदु पर परिभाषित किया गया है $$p = (x_1,\ldots,x_n)$$ n-आयामी अंतरिक्ष में सदिश के रूप में
 * $$\nabla f(p) = \begin{bmatrix}

\frac{\partial f}{\partial x_1}(p) \\ \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_n}(p) \end{bmatrix}.$$ नाबला प्रतीक $$\nabla$$,एक उल्टा त्रिभुज के रूप में लिखा गया है और "डेल" का उच्चारण किया गया है, सदिश विभेदक ऑपरेटर को दर्शाता है।

प्रवणता सदिश की व्याख्या "सबसे तेज वृद्धि की दिशा और दर" के रूप में की जा सकती है। यदि किसी फलन का प्रवणता एक बिंदु $p$ पर गैर-शून्य है, तो प्रवणता की दिशा वह दिशा है जिसमें फलन $p$ से सबसे जल्दी बढ़ जाता है, और प्रवणता का परिमाण उस दिशा में वृद्धि की दर है, सबसे बड़ा पूर्ण दिशात्मक व्युत्पन्न। इसके अलावा, एक बिंदु जहां प्रवणता शून्य सदिश है, एक स्थिर बिंदु के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार प्रवणता अनुकूलन सिद्धांत में एक मौलिक भूमिका निभाता है, जहां इसका उपयोग प्रवणता एसेंट द्वारा एक फलन को अधिकतम करने के लिए किया जाता है

प्रवणता कुल व्युत्पन्न के लिए दोहरी है $$df$$: एक बिंदु पर प्रवणता का मान एक स्पर्शरेखा सदिश है - प्रत्येक बिंदु पर एक सदिश; जबकि एक बिंदु पर व्युत्पन्न का मान एक कोटेंज सदिश है - सदिश पर एक रैखिक कार्यात्मक। वे संबंधित हैं कि के प्रवणता के डॉट उत्पाद $f$  एक बिंदु पर $p$ एक और स्पर्शरेखा सदिश के साथ $v$ के दिशात्मक व्युत्पन्न के बराबर है  $f$  पर $p$ समारोह के साथ $v$; वह है,

$\nabla f(p) \cdot \mathbf v = \frac{\partial f}{\partial\mathbf{v}}(p) = df_{p}(\mathbf{v}) $ .प्रवणता कई सामान्यीकरणों को कई गुना अधिक सामान्य कार्यों के लिए स्वीकार करता है; देखना

प्रेरणा
एक ऐसे कमरे पर विचार करें जहां तापमान एक अदिश क्षेत्र, $T$ द्वारा दिया जाता है, इसलिए प्रत्येक बिंदु $(x, y, z)$ पर तापमान समय से स्वतंत्र $T(x, y, z)$ होता है। कमरे के प्रत्येक बिंदु पर, उस बिंदु पर $T$ का प्रवणता उस दिशा को दिखाएगा जिसमें तापमान सबसे तेज़ी से बढ़ता है, $(x, y, z)$ से दूर जा रहा है। प्रवणता का परिमाण निर्धारित करेगा कि उस दिशा में तापमान कितनी तेजी से बढ़ता है।

एक सतह पर विचार करें जिसकी समुद्र तल से ऊंचाई बिंदु $(x, y)$ पर $H(x, y)$ है। एक बिंदु पर $H$  का प्रवणता एक समतल सदिश है जो उस बिंदु पर सबसे तेज ढलान या ग्रेड की दिशा में इंगित करता है। उस बिंदु पर ढलान की स्थिरता प्रवणता सदिश के परिमाण द्वारा दी जाती है।

प्रवणता का उपयोग यह मापने के लिए भी किया जा सकता है कि एक स्केलर क्षेत्र अन्य दिशाओं में कैसे बदलता है, न कि केवल सबसे बड़े परिवर्तन की दिशा में, एक डॉट उत्पाद लेकर। मान लीजिए कि एक पहाड़ी पर सबसे तेज ढलान 40% है। सीधे ऊपर की ओर जाने वाली सड़क का ढलान 40% है, लेकिन पहाड़ी के चारों ओर एक कोण पर जाने वाली सड़क का ढलान उथला होगा। उदाहरण के लिए, यदि सड़क ऊपर की दिशा से 60° के कोण पर है (जब दोनों दिशाओं को क्षैतिज तल पर प्रक्षेपित किया जाता है), तो सड़क के साथ ढलान सड़क के साथ प्रवणता सदिश और यूनिट सदिश के बीच डॉट उत्पाद होगा।, अर्थात् 60° की कोज्या का 40% गुना, या 20%।

अधिक आम तौर पर, यदि पहाड़ी ऊंचाई फलन $H$ अलग-अलग है, तो यूनिट सदिश के साथ बिंदीदार $H$ की प्रवणता सदिश की दिशा में पहाड़ी की ढलान देती है, यूनिट सदिश के साथ $H$ का दिशात्मक व्युत्पन्न।

संकेतन
बिंदु $$a$$ पर फलन $$f$$ का प्रवणता सामान्यतः पर इस प्रकार लिखा जाता है $$\nabla f (a)$$. इसे निम्नलिखित में से किसी के द्वारा भी दर्शाया जा सकता है:


 * $$\vec{\nabla} f (a)$$ : परिणाम की सदिश प्रकृति पर जोर देने के लिए।
 * $$\partial_i f$$ तथा $$f_{i}$$ : आइंस्टीन संकेतन।
 * $$\partial_i f$$ तथा $$f_{i}$$ : आइंस्टीन संकेतन।

परिभाषा
स्केलर फलन का प्रवणता (या प्रवणता सदिश क्षेत्र) $grad f$ निरूपित है $f(x,y) = −(cos^{2}x + cos^{2}y)^{2}$ या $f(x_{1}, x_{2}, x_{3}, …, x_{n})$ कहाँ पे $∇f$ (नाबला प्रतीक) सदिश अवकल ऑपरेटर, डेल को दर्शाता है। संकेतन $∇f$  सामान्यतः पर प्रवणता का प्रतिनिधित्व करने के लिए भी प्रयोग किया जाता है। का प्रवणता $∇$ अद्वितीय सदिश क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया गया है जिसका डॉट उत्पाद किसी भी यूक्लिडियन सदिश के साथ है $grad f$ प्रत्येक बिंदु पर $f$ का दिशात्मक व्युत्पन्न है $v$ साथ-साथ $x$. वह है,

एक अदिश फलन $f$ की प्रवणता (या प्रवणता सदिश क्षेत्र) को $v$ या →$$f$$ से निरूपित किया जाता है, जहां $f(x_{1}, x_{2}, x_{3}, …, x_{n})$ (नाबला) सदिश अंतर संकारक, डेल को दर्शाता है। प्रवणता का प्रतिनिधित्व करने के लिए अंकन ग्रेड एफ का भी सामान्यतः पर उपयोग किया जाता है। $$f$$ के प्रवणता को अद्वितीय सदिश क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया गया है जिसका डॉट उत्पाद प्रत्येक बिंदु x पर किसी भी सदिश v के साथ v के साथ $$f$$ का दिशात्मक व्युत्पन्न है। अर्थात,


 * $$\big(\nabla f(x)\big)\cdot \mathbf{v} = D_{\mathbf v}f(x)$$

जहां दाहिनी ओर का हाथ दिशात्मक व्युत्पन्न है और इसका प्रतिनिधित्व करने के कई तरीके हैं। औपचारिक रूप से, व्युत्पन्न प्रवणता के लिए दोहरी है; व्युत्पन्न के साथ संबंध देखें।

जब कोई फलन समय जैसे पैरामीटर पर भी निर्भर करता है, तो प्रवणता अक्सर केवल इसके स्थानिक डेरिवेटिव के सदिश को संदर्भित करता है (स्थानिक प्रवणता देखें)।

प्रवणता सदिश की परिमाण और दिशा विशेष समन्वय प्रतिनिधित्व से स्वतंत्र होती है।

कार्तीय निर्देशांक
यूक्लिडियन मीट्रिक के साथ त्रि-आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, प्रवणता, यदि यह मौजूद है, द्वारा दिया गया है:


 * $$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{k},$$

जहाँ $∇f$, $∇$, $i$ क्रमशः $j$, $k$ और $x$ निर्देशांकों की दिशा में मानक इकाई सदिश हैं। उदाहरण के लिए, फलन का प्रवणता
 * $$f(x,y,z)= 2x+3y^2-\sin(z)$$

है
 * $$\nabla f = 2\mathbf{i}+ 6y\mathbf{j} -\cos(z)\mathbf{k}.$$

कुछ अनुप्रयोगों में यह एक आयताकार समन्वय प्रणाली में अपने घटकों के एक पंक्ति सदिश या स्तंभ सदिश के रूप में प्रवणता का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रथागत है; यह लेख प्रवणता के कॉलम सदिश होने की परंपरा का अनुसरण करता है, जबकि व्युत्पन्न एक पंक्ति सदिश है।

बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक
एक यूक्लिडियन मीट्रिक के साथ बेलनाकार निर्देशांक में, प्रवणता द्वारा दिया जाता है:
 * $$\nabla f(\rho, \varphi, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho}\mathbf{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \varphi}\mathbf{e}_\varphi + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{e}_z,$$

जहाँ पे $y$ अक्षीय दूरी है, $z$ अज़ीमुथल या अज़ीमुथ कोण है, $ρ$ अक्षीय निर्देशांक है, और $φ$, $z$ और $e_{ρ}$ निर्देशांक दिशाओं की ओर इशारा करते हुए इकाई सदिश हैं।

गोलाकार निर्देशांक में, प्रवणता द्वारा दिया जाता है:
 * $$\nabla f(r, \theta, \varphi) = \frac{\partial f}{\partial r}\mathbf{e}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\mathbf{e}_\theta + \frac{1}{r \sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \varphi}\mathbf{e}_\varphi,$$

जहाँ $e_{φ}$ रेडियल दूरी है, $e_{z}$ अज़ीमुथल कोण है और $r$ ध्रुवीय कोण है, और $φ$, $θ$ तथा $e_{r}$ फिर से स्थानीय इकाई सदिश हैं जो निर्देशांक दिशाओं (अर्थात सामान्यीकृत सहसंयोजक आधार) की ओर इशारा करते हैं।

अन्य ऑर्थोगोनल कोऑर्डिनेट सिस्टम में प्रवणता के लिए, ऑर्थोगोनल कोऑर्डिनेट्स (तीन आयामों में डिफरेंशियल ऑपरेटर्स) देखें।

सामान्य निर्देशांक
हम सामान्य निर्देशांक पर विचार करते हैं, जिन्हें हम लिखते हैं $e_{θ}$, जहां n डोमेन के आयामों की संख्या है। यहां, ऊपरी सूचकांक समन्वय या घटक की सूची में स्थिति को संदर्भित करता है, इसलिए $e_{φ}$  दूसरे घटक को संदर्भित करता है-मात्रा $x^{1}, …, x^{i}, …, x^{n}$ वर्ग नहीं। सूचकांक चर $x^{2}$ एक मनमाना तत्व $x$ को संदर्भित करता है। आइंस्टीन संकेतन का उपयोग करते हुए, प्रवणता को तब इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x^{i}}g^{ij} \mathbf{e}_j$$ (ध्यान दें कि इसका दोहरा स्थान है $\mathrm{d}f = \frac{\partial f}{\partial x^{i}}\mathbf{e}^i$ ),

कहाँ पे $$\mathbf{e}_i = \partial \mathbf{x}/\partial x^i$$ तथा $$\mathbf{e}^i = \mathrm{d}x^i$$ असामान्य स्थानीय वक्रीय निर्देशांक देखें सहसंयोजक और विरोधाभासी आधार क्रमशः, $$g^{ij}$$ मीट्रिक प्रदिश # उलटा मीट्रिक है, और आइंस्टीन सारांश सम्मेलन i और j पर योग का तात्पर्य है।

यदि निर्देशांक ओर्थोगोनल हैं तो हम सामान्यीकृत आधारों के संदर्भ में प्रवणता (और विभेदक रूप) को आसानी से व्यक्त कर सकते हैं, जिसे हम इस रूप में संदर्भित करते हैं $$\hat{\mathbf{e}}_i$$ तथा  $$\hat{\mathbf{e}}^i$$, पैमाने के कारकों का उपयोग करना (जिन्हें लैमे गुणांक के रूप में भी जाना जाता है)  $$h_i= \lVert \mathbf{e}_i \rVert = \sqrt{g_{i i}} = 1\, / \lVert \mathbf{e}^i \rVert$$ :

$$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x^{i}}g^{ij} \hat{\mathbf{e}}_{j}\sqrt{g_{jj}} = \sum_{i=1}^n \, \frac{\partial f}{\partial x^{i}} \frac{1}{h_i} \mathbf{\hat{e}}_i$$ (तथा $\mathrm{d}f = \sum_{i=1}^n \, \frac{\partial f}{\partial x^{i}} \frac{1}{h_i} \mathbf{\hat{e}}^i$ ),

जहां हम आइंस्टीन संकेतन का उपयोग नहीं कर सकते, क्योंकि दो से अधिक सूचकांकों की पुनरावृत्ति से बचना असंभव है। ऊपरी और निचले सूचकांकों के उपयोग के बावजूद, $$\mathbf{\hat{e}}_i$$, $$\mathbf{\hat{e}}^i$$, तथा $$h_i$$ न तो विरोधाभासी हैं और न ही सहसंयोजक।

उत्तरार्द्ध अभिव्यक्ति बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक के लिए ऊपर दिए गए भावों का मूल्यांकन करती है।

कुल व्युत्पन्न के साथ संबंध
प्रवणता कुल व्युत्पन्न (कुल अंतर) से निकटता से संबंधित है $$df$$: वे एक दूसरे को स्थानांतरित (रैखिक मानचित्र का स्थानांतरण) कर रहे हैं। उस सम्मेलन का उपयोग करना जो सदिश में $$\R^n$$ कॉलम सदिश द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है, और वह कोसदिश (रैखिक मानचित्र .) $$\R^n \to \R$$) पंक्ति सदिश द्वारा दर्शाए जाते हैं, प्रवणता $$\nabla f$$ और व्युत्पन्न $$df$$ एक ही घटक के साथ क्रमशः एक स्तंभ और पंक्ति सदिश के रूप में व्यक्त किए जाते हैं, लेकिन एक दूसरे का स्थानान्तरण करते हैं:


 * $$\nabla f(p) = \begin{bmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}(p) \\ \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_n}(p) \end{bmatrix} ;$$
 * $$df_p = \begin{bmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}(p) & \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_n}(p) \end{bmatrix} .$$

जबकि इन दोनों में समान घटक होते हैं, वे किस प्रकार की गणितीय वस्तु का प्रतिनिधित्व करते हैं, वे भिन्न होते हैं: प्रत्येक बिंदु पर, व्युत्पन्न एक कोटेंजेंट सदिश होता है, एक रैखिक रूप (कोसदिश) जो व्यक्त करता है कि किसी दिए गए इनफिनिटिमल के लिए कितना (स्केलर) आउटपुट बदलता है (सदिश) इनपुट में परिवर्तन, जबकि प्रत्येक बिंदु पर, प्रवणता एक स्पर्शरेखा सदिश है, जो (सदिश) इनपुट में एक असीम परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। प्रतीकों में, प्रवणता एक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान का एक तत्व है, $$\nabla f(p) \in T_p \R^n$$, जबकि व्युत्पन्न स्पर्शरेखा स्थान से वास्तविक संख्याओं तक का नक्शा है, $$df_p \colon T_p \R^n \to \R$$. के प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान $$\R^n$$ स्वाभाविक रूप से पहचाना जा सकता है। सदिश स्पेस के साथ $$\R^n$$ स्वयं, और इसी तरह प्रत्येक बिंदु पर कोटैंजेंट स्पेस को दोहरी सदिश स्पेस के साथ स्वाभाविक रूप से पहचाना जा सकता है $$(\R^n)^*$$ कोसदिशों का; इस प्रकार एक बिंदु पर प्रवणता के मूल्य को मूल में एक सदिश के बारे में सोचा जा सकता है $$\R^n$$, न केवल एक स्पर्शरेखा सदिश के रूप में।

कम्प्यूटेशनल रूप से, एक स्पर्शरेखा सदिश दिया जाता है, सदिश को व्युत्पन्न (मैट्रिस के रूप में) से गुणा किया जा सकता है, जो कि प्रवणता के साथ डॉट उत्पाद लेने के बराबर है:

(df_p)(v) = \begin{bmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}(p) & \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_n}(p) \end{bmatrix} \begin{bmatrix}v_1 \\ \vdots \\ v_n\end{bmatrix} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(p) v_i = \begin{bmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}(p) \\ \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_n}(p) \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}v_1 \\ \vdots \\ v_n\end{bmatrix} = \nabla f(p) \cdot v$$

विभेदक या (बाहरी) व्युत्पन्न
एक अलग-अलग फलन के लिए सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन
 * $$f \colon \R^n \to \R$$

एक बिंदु पर $i$ में $x^{i}$ से एक रैखिक नक्शा है $x$ प्रति $R^{n}$ जिसे अक्सर द्वारा दर्शाया जाता है $R^{n}$ या $R$ और अंतर (कैलकुलस) या का कुल व्युत्पन्न कहा जाता है $df_{x}$ पर $Df(x)$. कार्यक्रम $f$, कौन सा नक्शा $x$ प्रति $df$, को का कुल अंतर या बाहरी व्युत्पन्न कहा जाता है $x$ और अंतर 1-रूप का एक उदाहरण है।

जितना एक एकल चर के किसी फलन का व्युत्पन्न फलन के किसी फलन के ग्राफ के स्पर्शरेखा के ढलान का प्रतिनिधित्व करता है, कई चर राशि में एक फलन का दिशात्मक व्युत्पन्न सदिश की दिशा में स्पर्शरेखा हाइपरप्लेन की ढलान का प्रतिनिधित्व करता है।

प्रवणता सूत्र द्वारा अंतर से संबंधित है
 * $$(\nabla f)_x\cdot v = df_x(v)$$

किसी के लिए $df_{x}$, कहाँ पे $$\cdot$$ डॉट उत्पाद है: प्रवणता के साथ सदिश का डॉट उत्पाद लेना सदिश के साथ दिशात्मक व्युत्पन्न लेने जैसा ही है।

यदि $f$ (आयाम) के स्थान के रूप में देखा जाता है $v ∈ R^{n}$) कॉलम सदिश (वास्तविक संख्याओं का), तो कोई मान सकता है $R^{n}$ घटकों के साथ पंक्ति सदिश के रूप में
 * $$\left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}\right),$$

ताकि $n$ मैट्रिक्स गुणन द्वारा दिया जाता है। मानक यूक्लिडियन मीट्रिक को मानते हुए $df$, प्रवणता तब संबंधित कॉलम सदिश होता है, अर्थात,
 * $$(\nabla f)_i = df^\mathsf{T}_i.$$

एक फलन के लिए रैखिक सन्निकटन
किसी फलन के लिए सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन व्युत्पन्न के बजाय प्रवणता के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। फलन का प्रवणता (गणित) $df_{x}(v)$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष से $R^{n}$ प्रति $f$ किसी विशेष बिंदु पर $R^{n}$ में $R$ सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन की विशेषता है $x_{0}$ पर $R^{n}$. सन्निकटन इस प्रकार है:


 * $$f(x) \approx f(x_0) + (\nabla f)_{x_0}\cdot(x-x_0)$$

के लिये $f$ के करीब $x_{0}$, कहाँ पे $x$ का प्रवणता है $x_{0}$ पर गणना की गई $(∇f&thinsp;)_{x_{0}}|undefined$, और बिंदु डॉट उत्पाद को दर्शाता है $f$. यह समीकरण टेलर श्रृंखला में पहले दो पदों के बराबर है#टेलर श्रृंखला के कई चर विस्तार में $x_{0}$ पर $R^{n}$.

फ़्रेचेट व्युत्पन्न के साथ संबंध
होने देना $f$ में एक खुला सेट बनें $x_{0}$. यदि समारोह $U$ अवकलनीय है, तो का अंतर $R^{n}$ फ्रेचेट का व्युत्पन्न है $f : U → R$. इस प्रकार $f$ से एक समारोह है $f$ अंतरिक्ष के लिए $∇f$ ऐसा है कि $$\lim_{h\to 0} \frac{|f(x+h)-f(x) -\nabla f(x)\cdot h|}{\|h\|} = 0,$$ जहां · डॉट उत्पाद है।

एक परिणाम के रूप में, व्युत्पन्न के सामान्य गुण प्रवणता के लिए धारण करते हैं, हालांकि प्रवणता स्वयं व्युत्पन्न नहीं है, बल्कि व्युत्पन्न के लिए दोहरी है:


 * रैखिकता
 * प्रवणता इस अर्थ में रैखिक है कि यदि $U$ तथा $R^{n}$ बिंदु पर अलग-अलग दो वास्तविक-मूल्यवान कार्य हैं $f$, तथा $α$ तथा $β$ दो अचर हैं, तो $g$ पर भिन्न है $a ∈ R^{n}$, और इसके अलावा $$\nabla\left(\alpha f+\beta g\right)(a) = \alpha \nabla f(a) + \beta\nabla g (a).$$


 * प्रॉडक्ट नियम
 * यदि $αf + βg$ तथा $a$ वास्तविक-मूल्यवान फलन एक बिंदु पर भिन्न होते हैं $f$, तो उत्पाद नियम यह दावा करता है कि उत्पाद $g$ पर भिन्न है $a ∈ R^{n}$, तथा $$\nabla (fg)(a) = f(a)\nabla g(a) + g(a)\nabla f(a).$$


 * श्रृंखला नियम
 * मान लो कि $fg$ एक सबसेट पर परिभाषित एक वास्तविक-मूल्यवान फलन है $a$ का $f : A → R$, और कि $A$ एक बिंदु पर अवकलनीय है $R^{n}$. प्रवणता पर लागू होने वाले चेन नियम के दो रूप हैं। सबसे पहले, मान लें कि फलन $f$ एक पैरामीट्रिक वक्र है; वह है, एक समारोह $a$ एक सबसेट को मैप करता है $g$ में $g : I → R^{n}$. यदि $I ⊂ R$ एक बिंदु पर अवकलनीय है $R^{n}$ ऐसा है कि $g$, फिर $$(f\circ g)'(c) = \nabla f(a)\cdot g'(c),$$ जहां कंपोजिशन ऑपरेटर है: $c ∈ I$.

अधिक सामान्यतः, यदि इसके बजाय $g(c) = a$, तो निम्नलिखित धारण करता है: $$\nabla (f\circ g)(c) = \big(Dg(c)\big)^\mathsf{T} \big(\nabla f(a)\big),$$ कहाँ पे $(f ∘ g)(x) = f(g(x))$T ट्रांसपोज़ जैकोबियन मैट्रिक्स को दर्शाता है।

श्रृंखला नियम के दूसरे रूप के लिए, मान लीजिए कि $I ⊂ R^{k}$ एक सबसेट पर एक वास्तविक मूल्यवान कार्य है $(Dg)$ का $h : I → R$, और कि $I$ बिंदु पर भिन्न है $R$. फिर $$\nabla (h\circ f)(a) = h'\big(f(a)\big)\nabla f(a).$$

स्तर सेट
एक स्तर की सतह, या आइसोसुरफेस, उन सभी बिंदुओं का समूह है जहां कुछ फलन का एक निश्चित मान होता है।

यदि $h$ अवकलनीय है, तो डॉट उत्पाद $f(a) ∈ I$ एक बिंदु पर प्रवणता का $f$ एक सदिश के साथ $(∇f&thinsp;)_{x} ⋅ v$ का दिशात्मक व्युत्पन्न देता है $x$ पर $v$ दिशा में $f$. यह इस प्रकार है कि इस मामले में का प्रवणता $x$ के स्तर सेट के लिए ओर्थोगोनल है $v$. उदाहरण के लिए, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक स्तर की सतह को फॉर्म के समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है $f$. का प्रवणता $f$ फिर सतह के लिए सामान्य है।

अधिक आम तौर पर, रिमेंनियन मैनिफोल्ड में किसी भी अंतर्निहित सबमनिफोल्ड उच्च सतह को फॉर्म के समीकरण द्वारा काटा जा सकता है $F(x, y, z) = c$ ऐसा है कि $F$ शून्य कहीं नहीं है। का प्रवणता $F(P) = 0$ फिर उच्च सतह के लिए सामान्य है।

इसी तरह, एक एफ़िन बीजीय किस्म को एक समीकरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है $dF$, कहाँ पे $F$ एक बहुपद है। का प्रवणता $F(x_{1}, ..., x_{n}) = 0$ उच्च सतह के एकवचन बिंदु पर शून्य है (यह एकवचन बिंदु की परिभाषा है)। एक गैर-एकवचन बिंदु पर, यह एक गैर-शून्य सामान्य सदिश है।

रूढ़िवादी सदिश क्षेत्र और प्रवणता प्रमेय
किसी फलन के प्रवणता को प्रवणता क्षेत्र कहा जाता है। ए (निरंतर) प्रवणता क्षेत्र हमेशा एक रूढ़िवादी सदिश क्षेत्र होता है: किसी भी पथ के साथ इसकी रेखा अभिन्न केवल पथ के अंत बिंदुओं पर निर्भर करती है, और प्रवणता प्रमेय (लाइन इंटीग्रल के लिए कैलकुस का मौलिक प्रमेय) द्वारा मूल्यांकन किया जा सकता है। इसके विपरीत, एक (निरंतर) रूढ़िवादी सदिश क्षेत्र हमेशा एक फलन का प्रवणता होता है।

जैकोबियन
जैकोबियन मैट्रिक्स कई चर के सदिश-मूल्यवान कार्यों के लिए प्रवणता का सामान्यीकरण है और यूक्लिडियन रिक्त स्थान के बीच अलग-अलग मानचित्रों या अधिक आम तौर पर कई गुना है।  बानाख रिक्त स्थान के बीच एक फलन के लिए एक और सामान्यीकरण फ़्रेचेट व्युत्पन्न है।

मान लीजिए $F$ एक ऐसा फलन है जिसका प्रत्येक प्रथम कोटि का आंशिक अवकलज मौजूद है $F$. तब का जैकोबियन मैट्रिक्स $f : R^{n} → R^{m}$ एक के रूप में परिभाषित किया गया है $ℝ^{n}$ मैट्रिक्स, द्वारा दर्शाया गया $$\mathbf{J}_\mathbb{f}(\mathbb{x})$$ या केवल $$\mathbf{J}$$. $f$)}}वीं प्रविष्टि है $$\mathbf J_{ij} = \frac{\partial f_i}{\partial x_j}$$. स्पष्ट रूप से $$\mathbf J = \begin{bmatrix}   \dfrac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}    \nabla^\mathsf{T} f_1 \\      \vdots \\    \nabla^\mathsf{T} f_m       \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}    \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n}\\    \vdots & \ddots & \vdots\\    \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}.$$

एक सदिश क्षेत्र का प्रवणता
चूँकि सदिश क्षेत्र का कुल व्युत्पन्न सदिशों से सदिशों तक एक रेखीय मानचित्रण है, यह एक प्रदिश मात्रा है।

आयताकार निर्देशांक में, एक सदिश क्षेत्र की प्रवणता $m×n$ द्वारा परिभाषित किया गया है:


 * $$\nabla \mathbf{f}=g^{jk}\frac{\partial f^i}{\partial x^j} \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_k,$$

(जहां आइंस्टीन योग संकेतन का उपयोग किया जाता है और सदिश का प्रदिश उत्पाद होता है $(i,j)$ तथा $f = (&thinsp;f, f, f)$ एक डाइडिक प्रदिश  प्रकार (2,0)) है। कुल मिलाकर, यह अभिव्यक्ति जैकोबियन मैट्रिक्स के स्थानान्तरण के बराबर है:


 * $$\frac{\partial f^i}{\partial x^j} = \frac{\partial (f^1,f^2,f^3)}{\partial (x^1,x^2,x^3)}.$$

वक्रीय निर्देशांक में, या अधिक आम तौर पर एक घुमावदार रीमैनियन अनेक पर, प्रवणता में क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक शामिल होते हैं:


 * $$\nabla \mathbf{f}=g^{jk}\left(\frac{\partial f^i}{\partial x^j}+{\Gamma^i}_{jl}f^l\right) \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_k,$$

कहाँ पे $e_{i}$ व्युत्क्रम मीट्रिक प्रदिश के घटक हैं और $e_{k}$ निर्देशांक आधार सदिश हैं।

अधिक अपरिवर्तनीय रूप से व्यक्त किया गया, एक सदिश क्षेत्र का प्रवणता $g$ लेवि-सिविटा कनेक्शन और मीट्रिक प्रदिश द्वारा परिभाषित किया जा सकता है ।
 * $$\nabla^a f^b = g^{ac} \nabla_c f^b ,$$

कहाँ पे $e_{i}$ कनेक्शन है।

रीमैनियन मैनिफोल्ड्स
किसी भी सुचारू कार्य के लिए $f$ रिमेंनियन मैनिफोल्ड पर $f$, का प्रवणता $∇_{c}$ सदिश क्षेत्र है $(M, g)$ ऐसा है कि किसी भी सदिश क्षेत्र के लिए $f$,
 * $$g(\nabla f, X) = \partial_X f,$$

वह है,
 * $$g_x\big((\nabla f)_x, X_x \big) = (\partial_X f) (x),$$

कहाँ पे $∇f$ स्पर्शरेखा सदिश के आंतरिक उत्पाद को दर्शाता है $X$ मीट्रिक द्वारा परिभाषित $g_{x}$ तथा $x$ वह कार्य है जो किसी भी बिंदु को लेता है $g$ के दिशात्मक व्युत्पन्न के लिए $∂_{X}&thinsp;f$ दिशा में $x ∈ M$, पर मूल्यांकन किया गया $f$. दूसरे शब्दों में, एक समन्वय चार्ट में $X$ के एक खुले उपसमुच्चय से $x$ के एक खुले उपसमुच्चय के लिए $φ$, $M$ द्वारा दिया गया है:
 * $$\sum_{j=1}^n X^{j} \big(\varphi(x)\big) \frac{\partial}{\partial x_{j}}(f \circ \varphi^{-1}) \Bigg|_{\varphi(x)},$$

कहाँ पे $R^{n}$ दर्शाता है $(∂_{X}&thinsp;f&thinsp;)(x)$का वां घटक $X$ इस समन्वय चार्ट में।

तो, प्रवणता का स्थानीय रूप रूप लेता है:


 * $$\nabla f = g^{ik} \frac{\partial f}{\partial x^k} {\textbf e}_i .$$

मामले का सामान्यीकरण $j$, किसी फलन का प्रवणता उसके बाहरी व्युत्पन्न से संबंधित होता है, क्योंकि
 * $$(\partial_X f) (x) = (df)_x(X_x) .$$

अधिक सटीक, प्रवणता $X$ अंतर 1-रूप से जुड़ा सदिश क्षेत्र है $M = R^{n}$ संगीत समरूपता का उपयोग करना
 * $$\sharp=\sharp^g\colon T^*M\to TM$$

(शार्प कहा जाता है) मीट्रिक द्वारा परिभाषित $∇f$. बाहरी व्युत्पन्न और किसी फलन के प्रवणता के बीच संबंध $df$ इसका एक विशेष मामला है जिसमें मीट्रिक डॉट उत्पाद द्वारा दिया गया फ्लैट मीट्रिक है।

यह भी देखें

 * कर्ल (गणित)
 * विचलन
 * चार प्रवणता
 * हेसियन मैट्रिक्स
 * तिरछा प्रवणता

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