बहुरेखीय प्रमुख घटक विश्लेषण

बहुरेखीय प्रमुख घटक विश्लेषण (एमपीसीए) प्रिंसिपल घटक विश्लेषण (पीसीए) का "बहुरेखीय बीजगणित विस्तार है। एमपीसीए का उपयोग एम-वे सारणियों के विश्लेषण में किया जाता है, अर्थात संख्याओं का घन या हाइपर-क्यूब, जिसे अनौपचारिक रूप से डेटा टेंसर भी कहा जाता है। एम-वे सारणियों को इसके द्वारा प्रतिरूपित किया जा सकता है| एमपीसीए की उत्पत्ति का पता टकर अपघटन से लगाया जा सकता है और पीटर क्रूनबर्ग का 3-मोड पीसीए कार्य से लगाया जा सकता हैं। 2000 में, डी लाथौवर एट अल। टकर और क्रूनेनबर्ग के काम को उनके एसआईएएम पेपर में बहुरेखीय एकवचन मान अपघटन नामक (एचओएसवीडी) और उनके पेपर में सर्वश्रेष्ठ रैंक-1 और रैंक-(आर) पर1, आर2, ..., आरN ) स्पष्ट और संक्षिप्त संख्यात्मक कम्प्यूटेशनल शब्दों में दोहराया गया है, और यह उच्च-क्रम टेन्सर्स का अनुमान हैं।
 * रैखिक टेंसर मॉडल जैसे कैंडेकॉम्प/पैराफैक, या
 * "बहुरेखीय टेंसर मॉडल, जैसे "बहुरेखीय प्रिंसिपल घटक विश्लेषण (एमपीसीए), या "बहुरेखीय स्वतंत्र घटक विश्लेषण (एमआईसीए), आदि हैं।

लगभग 2001 में, वासिलेस्कु और टेरज़ोपोलोस ने डेटा विश्लेषण, पहचान और संश्लेषण समस्याओं को मल्टीलाइनर टेंसर समस्याओं के रूप में पुनः परिभाषित किया। टेन्सर फ़ैक्टर विश्लेषण डेटा निर्माण के कई कारण कारकों का संरचनात्मक परिणाम है, और मल्टी-मोडल डेटा टेन्सर विश्लेषण के लिए उपयुक्त है। निम्नलिखित कार्यों में डेटा निर्माण के उनके कारण कारकों के संदर्भ में मानव गति संयुक्त कोणों, चेहरे की छवियों या बनावट का विश्लेषण करके टेंसर ढांचे की शक्ति का प्रदर्शन किया गया था: मानव गति हस्ताक्षर (सीवीपीआर 2001, आईसीपीआर 2002), चेहरा पहचान - टेन्सरफेसेस, (ईसीसीवी 2002, सी वीपी आर 2003, आदि) और कंप्यूटर ग्राफ़िक्स - टेंसर टेक्सचर (सिग्राफ 2004)।

ऐतिहासिक रूप से, एमपीसीए को एम-मोड पीसीए के रूप में संदर्भित किया गया है, शब्दावली जिसे 1980 में पीटर क्रूनबर्ग द्वारा गढ़ा गया था। 2005 में, वासिलेस्कु और दिमित्रिस टेरज़ोपोलोस ने रैखिक और बहुरेखीय टेंसर अपघटन के बीच बेहतर अंतर करने के साथ-साथ कार्य के बीच बेहतर अंतर करने के तरीके के रूप में शब्दावली की शुरुआत की हैं|   जिसने प्रत्येक डेटा टेंसर मोड (अक्ष) से ​​जुड़े दूसरे क्रम के आँकड़ों की गणना की गई, और बहुरेखीय स्वतंत्र घटक विश्लेषण पर बाद में काम किया। जिसमे प्रत्येक टेंसर मोड/अक्ष से जुड़े उच्च क्रम के आँकड़ों की गणना की गई हैं है।

बहुरेखीय पीसीए को डेटा निर्माण के कारण कारकों की गणना करने के लिए या डेटा टेंसर पर सिग्नल प्रोसेसिंग उपकरण के रूप में लागू किया जा सकता है, जिनके व्यक्तिगत अवलोकन को या तो सदिश किया गया है,  या जिनके अवलोकनों को संग्रह के रूप में माना जाता है स्तंभ/पंक्ति अवलोकनों, डेटा आव्युह के और डेटा टेंसर में संयोजित किया जाता है। इस दृष्टिकोण का मुख्य नुकसान सभी संभावित संयोजनों की गणना करना है

एमपीसीए डेटा टेंसर के प्रत्येक मोड से जुड़े ऑर्थोनॉर्मल आव्युह के सेट की गणना करता है जो आव्युह एसवीडी द्वारा गणना किए गए आव्युह की ऑर्थोनॉर्मल पंक्ति और स्तंभ सम्मिस्ट के अनुरूप होते हैं। इस परिवर्तन का उद्देश्य प्रत्येक डेटा टेंसर मोड (अक्ष) से ​​जुड़े डेटा में अधिक से अधिक परिवर्तनशीलता को ध्यान में रखते हुए, जितना संभव हो उतना उच्च भिन्नता प्राप्त करते है।

एल्गोरिथ्म
एमपीसीए समाधान वैकल्पिक न्यूनतम वर्ग (एएलएस) दृष्टिकोण का पालन करता है। और यह प्रकृति में पुनरावर्ती है. पीसीए की तरह, एमपीसीए केंद्रित डेटा पर काम करता है। टेंसरों के लिए केंद्रीकरण थोड़ा अधिक जटिल है, और यह समस्या पर निर्भर करता है।

सुविधा चयन
एमपीसीए विशेषताएं: पर्यवेक्षित एमपीसीए को कारण कारक विश्लेषण में नियोजित किया जाता है जो वस्तु पहचान की सुविधा प्रदान करता है जबकि अर्ध-पर्यवेक्षित एमपीसीए सुविधा चयन आभासीकरण कार्यों में नियोजित किया जाता है।

एक्सटेंशन
एमपीसीए के विभिन्न विस्तार:
 * मजबूत एमपीसीए (आरएमपीसीए)
 * बहु-टेंसर गुणन, जो स्वचालित रूप से घटकों की (एमटीएफ) संख्या भी ढूंढता है|

बाहरी संबंध

 * Matlab code: MPCA.
 * Matlab code: UMPCA (including data).
 * R code: MTF