अक्षीय सदिश

भौतिकी और गणित में, एक छद्मवेक्टर (या अक्षीय वेक्टर) एक मात्रा है जो कई स्थितियों में एक वेक्टर (गणित और भौतिकी) की तरह व्यवहार करती है, लेकिन इसकी दिशा तब अनुरूप नहीं होती है जब वस्तु घूर्णन, अनुवाद (ज्यामिति), प्रतिबिंब द्वारा कठोर परिवर्तन करती है (गणित), आदि। यह तब भी हो सकता है जब अंतरिक्ष का अभिविन्यास (स्थान) बदल दिया जाता है। उदाहरण के लिए, कोणीय गति एक छद्मवेक्टर है क्योंकि इसे अक्सर एक वेक्टर के रूप में वर्णित किया जाता है, लेकिन केवल संदर्भ की स्थिति को बदलने (और स्थिति वेक्टर को बदलने) से, कोणीय गति 'वेक्टर' दिशा को उलट सकता है। यह दिशा उलटाव सच्चे वैक्टर के साथ नहीं होना चाहिए।

तीन आयामों में, एक बिंदु पर एक ध्रुवीय वेक्टर क्षेत्र का कर्ल (गणित) और दो ध्रुवीय वैक्टर का क्रॉस उत्पाद छद्मवेक्टर हैं। छद्मवेक्टर का एक उदाहरण एक उन्मुख विमान (ज्यामिति) का सामान्य है। एक उन्मुख विमान को दो गैर-समानांतर वैक्टर, ए और बी द्वारा परिभाषित किया जा सकता है, जो विमान को फैलाता है। सदिश a × b समतल के लिए एक सामान्य है (दो सामान्य हैं, प्रत्येक तरफ एक - दाहिने हाथ का नियम यह निर्धारित करेगा कि कौन सा), और एक छद्मवेक्टर है। कंप्यूटर ग्राफ़िक्स में इसके परिणाम होते हैं, जहां सरफेस नॉर्मल#ट्रांसफॉर्मिंग नॉर्मल होने पर इस पर विचार करना पड़ता है।

भौतिकी में कई मात्राएँ ध्रुवीय वैक्टर के बजाय छद्मवेक्टर के रूप में व्यवहार करती हैं, जिनमें चुंबकीय क्षेत्र और कोणीय वेग शामिल हैं। गणित में, तीन-आयामों में, स्यूडोवेक्टर bivector के बराबर होते हैं, जिससे स्यूडोवेक्टर के परिवर्तन नियम प्राप्त किए जा सकते हैं। अधिक आम तौर पर एन-आयामी ज्यामितीय बीजगणित में स्यूडोवेक्टर आयाम के साथ बीजगणित के तत्व होते हैं n − 1,लिखित ⋀n−1'R'n. लेबल स्यूडो को आगे स्यूडोस्केलर और स्यूडो[[टेन्सर]] के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जो दोनों एक सच्चे स्केलर (गणित) या टेंसर की तुलना में अनुचित घुमाव के तहत एक अतिरिक्त संकेत फ्लिप प्राप्त करते हैं।

भौतिक उदाहरण
छद्मवेक्टरों के भौतिक उदाहरणों में टॉर्कः, कोणीय वेग, कोणीय संवेग, चुंबकीय क्षेत्र, और चुंबकीय द्विध्रुवीय क्षण।

छद्मवेक्टर कोणीय गति पर विचार करें L = Σ(r × p). कार में ड्राइविंग करते समय, और आगे देखते हुए, प्रत्येक पहिये में बाईं ओर इंगित करने वाला एक कोणीय गति वेक्टर होता है। यदि दुनिया एक दर्पण में प्रतिबिंबित होती है जो कार के बाएं और दाएं तरफ स्विच करती है, तो इस कोणीय गति वेक्टर का प्रतिबिंब (एक साधारण वेक्टर के रूप में देखा जाता है) दाईं ओर इंगित करता है, लेकिन पहिया का वास्तविक कोणीय गति वेक्टर (जो है) अभी भी प्रतिबिंब में आगे की ओर मुड़ना) अभी भी बाईं ओर इंगित करता है, एक छद्मवेक्टर के प्रतिबिंब में अतिरिक्त संकेत फ्लिप के अनुरूप।

भौतिकी में समरूपता को समझने में ध्रुवीय वैक्टर और छद्मवेक्टर के बीच अंतर महत्वपूर्ण हो जाता है। में एक विद्युत धारा लूप पर विचार करें z = 0 वह समतल जो लूप के अंदर z दिशा में उन्मुख एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है। यह प्रणाली इस विमान के माध्यम से दर्पण प्रतिबिंब के तहत सममित (अपरिवर्तनीय) है, प्रतिबिंब द्वारा चुंबकीय क्षेत्र अपरिवर्तित है। लेकिन उस तल के माध्यम से चुंबकीय क्षेत्र को एक वेक्टर के रूप में प्रतिबिंबित करने से इसके उलट होने की उम्मीद की जाएगी; इस अपेक्षा को यह समझकर ठीक किया जाता है कि चुंबकीय क्षेत्र एक छद्मवेक्टर है, जिसमें अतिरिक्त संकेत फ्लिप इसे अपरिवर्तित छोड़ देता है।

भौतिकी में, छद्मवेक्टर आम तौर पर दो ध्रुवीय वैक्टरों के क्रॉस उत्पाद या ध्रुवीय वेक्टर क्षेत्र के कर्ल (गणित) को लेने का परिणाम होते हैं। क्रॉस उत्पाद और कर्ल को परंपरा के अनुसार, दाहिने हाथ के नियम के अनुसार परिभाषित किया गया है, लेकिन इसे बाएं हाथ के नियम के संदर्भ में भी उतनी ही आसानी से परिभाषित किया जा सकता था। भौतिकी का संपूर्ण निकाय जो (दाएँ हाथ के) छद्मवेक्टरों और दाएँ हाथ के नियम से संबंधित है, बिना किसी समस्या के (बाएँ हाथ के) छद्मवेक्टरों और बाएँ हाथ के नियम का उपयोग करके प्रतिस्थापित किया जा सकता है। इस प्रकार परिभाषित (बाएं) छद्मवेक्टर दाएं हाथ के नियम द्वारा परिभाषित दिशा में विपरीत होंगे।

जबकि भौतिकी में वेक्टर संबंधों को समन्वय-मुक्त तरीके से व्यक्त किया जा सकता है, वैक्टर और छद्मवेक्टर को संख्यात्मक मात्रा के रूप में व्यक्त करने के लिए एक समन्वय प्रणाली की आवश्यकता होती है। सदिशों को संख्याओं के क्रमित त्रिक के रूप में दर्शाया जाता है: उदाहरण के लिए $$\mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z)$$, और छद्मवेक्टरों को इस रूप में भी दर्शाया गया है। बाएं और दाएं हाथ के समन्वय प्रणालियों के बीच रूपांतरण करते समय, छद्मवेक्टरों का प्रतिनिधित्व वैक्टर के रूप में परिवर्तित नहीं होता है, और उन्हें वेक्टर प्रतिनिधित्व के रूप में मानने से गलत संकेत परिवर्तन हो जाएगा, इसलिए इस बात का ध्यान रखना होगा कि कौन से ऑर्डर किए गए ट्रिपल वैक्टर का प्रतिनिधित्व करते हैं, और जो छद्मवेक्टरों का प्रतिनिधित्व करते हैं। यह समस्या मौजूद नहीं है यदि दो वैक्टरों के क्रॉस उत्पाद को दो वैक्टरों के बाहरी उत्पाद द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जो एक बायवेक्टर उत्पन्न करता है जो 2 रैंक टेंसर है और 3×3 मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाता है। 2-टेंसर का यह प्रतिनिधित्व किन्हीं दो समन्वय प्रणालियों के बीच, उनकी सहजता से स्वतंत्र रूप से, सही ढंग से रूपांतरित होता है।

विवरण
भौतिकी में एक वेक्टर की परिभाषा (ध्रुवीय वेक्टर और स्यूडोवेक्टर दोनों सहित) वेक्टर की गणितीय परिभाषा (अर्थात्, एक अमूर्त सदिश स्थल का कोई भी तत्व) की तुलना में अधिक विशिष्ट है। भौतिकी की परिभाषा के तहत, एक वेक्टर में टुपल होना आवश्यक है जो एक घूर्णन (गणित) के तहत एक निश्चित तरीके से बदलता है: विशेष रूप से, यदि ब्रह्मांड में सब कुछ घुमाया जाता, तो वेक्टर बिल्कुल उसी तरह से घूमता। (इस चर्चा में समन्वय प्रणाली तय की गई है; दूसरे शब्दों में यह सक्रिय और निष्क्रिय परिवर्तन का परिप्रेक्ष्य है।) गणितीय रूप से, यदि ब्रह्मांड में सब कुछ एक रोटेशन मैट्रिक्स आर द्वारा वर्णित रोटेशन से गुजरता है, तो एक विस्थापन वेक्टर 'x' है में परिवर्तित हो गया x = Rx, तो किसी भी वेक्टर v को इसी तरह से रूपांतरित किया जाना चाहिए v = Rv. यह महत्वपूर्ण आवश्यकता ही एक वेक्टर (जो उदाहरण के लिए, वेग के x-, y- और z-घटकों से बना हो सकता है) को भौतिक मात्राओं के किसी भी अन्य त्रिक (उदाहरण के लिए, लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई) से अलग करती है। एक आयताकार बॉक्स के तीन घटकों को वेक्टर के तीन घटकों पर विचार नहीं किया जा सकता है, क्योंकि बॉक्स को घुमाने से ये तीन घटक उचित रूप से परिवर्तित नहीं होते हैं।)

( विभेदक ज्यामिति की भाषा में, यह आवश्यकता एक वेक्टर को सहप्रसरण का टेंसर और रैंक एक के वैक्टर के कॉन्ट्रावेरिएंस को परिभाषित करने के बराबर है। इस अधिक सामान्य ढांचे में, उच्च रैंक टेंसर में मनमाने ढंग से कई और मिश्रित सहसंयोजक और कॉन्ट्रावेरिएंट रैंक भी हो सकते हैं। एक ही समय, आइंस्टीन सारांश सम्मेलन के भीतर ऊंचे और निचले सूचकांकों द्वारा दर्शाया गया है।

सामान्य मैट्रिक्स गुणन ऑपरेटर के तहत पंक्ति और स्तंभ वैक्टर का एक बुनियादी और ठोस उदाहरण है: एक क्रम में वे डॉट उत्पाद प्राप्त करते हैं, जो सिर्फ एक अदिश है और इस तरह एक रैंक शून्य टेंसर है, जबकि दूसरे में वे डायडिक उत्पन्न करते हैं उत्पाद, जो एक मैट्रिक्स है जो एक रैंक दो मिश्रित टेंसर का प्रतिनिधित्व करता है, जिसमें एक कंट्रावेरिएंट और एक सहसंयोजक सूचकांक होता है। इस प्रकार, मानक मैट्रिक्स बीजगणित की गैर-अनुवर्तनीयता का उपयोग सहसंयोजक और विरोधाभासी वैक्टर के बीच अंतर का ट्रैक रखने के लिए किया जा सकता है। वास्तव में, अधिक औपचारिक और सामान्यीकृत टेंसर नोटेशन के आने से पहले बहीखाता पद्धति इसी प्रकार की जाती थी। यह अभी भी स्वयं प्रकट होता है कि व्यावहारिक हेरफेर के लिए सामान्य टेंसर रिक्त स्थान के आधार वैक्टर को कैसे प्रदर्शित किया जाता है।)

अब तक की चर्चा केवल उचित घूर्णन, यानी एक अक्ष के चारों ओर घूर्णन से संबंधित है। हालाँकि, कोई अनुचित घुमाव पर भी विचार कर सकता है, यानी दर्पण-प्रतिबिंब के बाद संभवतः उचित घुमाव। (अनुचित घूर्णन का एक उदाहरण 3-आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु के माध्यम से व्युत्क्रमण है।) मान लीजिए कि ब्रह्मांड में हर चीज अनुचित घूर्णन मैट्रिक्स आर द्वारा वर्णित एक अनुचित घूर्णन से गुजरती है, जिससे एक स्थिति वेक्टर 'x' में बदल जाता है। x = Rx. यदि वेक्टर v एक ध्रुवीय वेक्टर है, तो इसे रूपांतरित किया जाएगा v = Rv. यदि यह एक छद्मवेक्टर है, तो इसे रूपांतरित किया जाएगा v = −Rv.

ध्रुवीय सदिशों और छद्मवेक्टरों के लिए परिवर्तन नियमों को संक्षिप्त रूप से इस प्रकार बताया जा सकता है



\begin{align} \mathbf{v}' & = R\mathbf{v} & & \text{(polar vector)} \\ \mathbf{v}' & = (\det R)(R\mathbf{v}) & & \text{(pseudovector)} \end{align} $$ जहां प्रतीक ऊपर वर्णित अनुसार हैं, और रोटेशन मैट्रिक्स आर या तो उचित या अनुचित हो सकता है। प्रतीक det निर्धारक को दर्शाता है; यह सूत्र काम करता है क्योंकि उचित और अनुचित रोटेशन मैट्रिक्स के निर्धारक क्रमशः +1 और -1 हैं।

जोड़, घटाव, अदिश गुणन के अंतर्गत व्यवहार
मान लीजिए वी1 और वी2 ज्ञात छद्मवेक्टर हैं, और वी3 उनके योग के रूप में परिभाषित किया गया है, v3 = v1 + v2. यदि ब्रह्मांड एक घूर्णन मैट्रिक्स आर द्वारा रूपांतरित होता है, तो 'v'3 में परिवर्तित हो जाता है



\begin{align} \mathbf{v_3}' = \mathbf{v_1}'+\mathbf{v_2}' & = (\det R)(R\mathbf{v_1}) + (\det R)(R\mathbf{v_2}) \\ & = (\det R)(R(\mathbf{v_1}+\mathbf{v_2}))=(\det R)(R\mathbf{v_3}). \end{align} $$ तो वि3 एक छद्मवेक्टर भी है. इसी प्रकार कोई यह दिखा सकता है कि दो छद्मवेक्टरों के बीच का अंतर एक छद्मवेक्टर है, कि दो ध्रुवीय वैक्टरों का योग या अंतर एक ध्रुवीय वेक्टर है, कि एक ध्रुवीय वेक्टर को किसी भी वास्तविक संख्या से गुणा करने पर एक और ध्रुवीय वेक्टर प्राप्त होता है, और एक छद्मवेक्टर को किसी भी वास्तविक संख्या से गुणा करने पर एक ध्रुवीय वेक्टर प्राप्त होता है। संख्या एक और छद्मवेक्टर उत्पन्न करती है।

दूसरी ओर, मान लीजिए वी1 एक ध्रुवीय वेक्टर के रूप में जाना जाता है, वी2 एक छद्मवेक्टर के रूप में जाना जाता है, और वी3 उनके योग के रूप में परिभाषित किया गया है, v3 = v1 + v2. यदि ब्रह्माण्ड एक अनुचित घूर्णन मैट्रिक्स R द्वारा रूपांतरित होता है, तो 'v'3 में परिवर्तित हो जाता है



\mathbf{v_3}' = \mathbf{v_1}'+\mathbf{v_2}' = (R\mathbf{v_1}) + (\det R)(R\mathbf{v_2}) = R(\mathbf{v_1}+(\det R) \mathbf{v_2}). $$ इसलिए, वी3 न तो ध्रुवीय वेक्टर है और न ही छद्मवेक्टर (हालांकि भौतिकी की परिभाषा के अनुसार यह अभी भी एक वेक्टर है)। अनुचित घुमाव के लिए, वी3 सामान्यतः समान परिमाण भी नहीं रखता:


 * $$|\mathbf{v_3}| = |\mathbf{v_1}+\mathbf{v_2}|, \text{ but } \left|\mathbf{v_3}'\right| = \left|\mathbf{v_1}'-\mathbf{v_2}'\right|$$.

यदि v का परिमाण3 एक मापने योग्य भौतिक मात्रा का वर्णन करने के लिए, इसका मतलब यह होगा कि यदि ब्रह्मांड को दर्पण में देखा जाए तो भौतिकी के नियम समान नहीं दिखेंगे। वास्तव में, कमज़ोर अंतःक्रिया में ठीक यही होता है: कुछ रेडियोधर्मी क्षय बाएँ और दाएँ अलग-अलग व्यवहार करते हैं, एक ऐसी घटना जिसे अंतर्निहित सिद्धांत में एक छद्मवेक्टर के साथ एक ध्रुवीय वेक्टर के योग का पता लगाया जा सकता है। (समता उल्लंघन देखें।)

क्रॉस उत्पादों के अंतर्गत व्यवहार
रोटेशन मैट्रिक्स आर के लिए, चाहे उचित हो या अनुचित, निम्नलिखित गणितीय समीकरण हमेशा सत्य होता है:
 * $$(R\mathbf{v_1})\times(R\mathbf{v_2}) = (\det R)(R(\mathbf{v_1}\times\mathbf{v_2}))$$,

जहां वी1 और वी2 कोई त्रि-आयामी वेक्टर हैं। (यह समीकरण या तो ज्यामितीय तर्क के माध्यम से या बीजगणितीय गणना के माध्यम से सिद्ध किया जा सकता है।)

मान लीजिए वी1 और वी2 ज्ञात ध्रुवीय सदिश हैं, और v3 उनके क्रॉस उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है, v3 = v1 × v2. यदि ब्रह्मांड एक घूर्णन मैट्रिक्स आर द्वारा रूपांतरित होता है, तो 'v'3 में परिवर्तित हो जाता है
 * $$\mathbf{v_3}' = \mathbf{v_1}' \times \mathbf{v_2}' = (R\mathbf{v_1}) \times (R\mathbf{v_2}) = (\det R)(R(\mathbf{v_1} \times \mathbf{v_2})) = (\det R)(R\mathbf{v_3}).$$

तो वि3 एक छद्मवेक्टर है. इसी प्रकार, कोई यह दिखा सकता है: यह जोड़ मॉड्यूलो 2 का समरूपी है, जहां ध्रुवीय 1 और छद्म 0 से मेल खाता है।
 * ध्रुवीय सदिश × ध्रुवीय सदिश = छद्मवेक्टर
 * स्यूडोवेक्टर × स्यूडोवेक्टर = स्यूडोवेक्टर
 * ध्रुवीय वेक्टर × स्यूडोवेक्टर = ध्रुवीय वेक्टर
 * छद्मवेक्टर × ध्रुवीय वेक्टर = ध्रुवीय वेक्टर

उदाहरण
परिभाषा से यह स्पष्ट है कि विस्थापन वेक्टर एक ध्रुवीय वेक्टर है। वेग वेक्टर एक विस्थापन वेक्टर (एक ध्रुवीय वेक्टर) है जो समय (एक अदिश राशि) से विभाजित होता है, इसलिए यह एक ध्रुवीय वेक्टर भी है। इसी तरह, संवेग वेक्टर वेग वेक्टर (एक ध्रुवीय वेक्टर) गुना द्रव्यमान (एक अदिश) है, इसलिए एक ध्रुवीय वेक्टर है। कोणीय संवेग एक विस्थापन (एक ध्रुवीय वेक्टर) और संवेग (एक ध्रुवीय वेक्टर) का क्रॉस उत्पाद है, और इसलिए यह एक छद्मवेक्टर है। इस तरह से जारी रखते हुए, भौतिकी में किसी भी सामान्य वेक्टर को छद्मवेक्टर या ध्रुवीय वेक्टर के रूप में वर्गीकृत करना सीधा है। (कमजोर-अंतर्क्रिया के सिद्धांत में समता-उल्लंघन करने वाले वेक्टर हैं, जो न तो ध्रुवीय वेक्टर हैं और न ही छद्मवेक्टर हैं। हालांकि, ये भौतिकी में बहुत कम ही होते हैं।)

दाहिने हाथ का नियम
ऊपर, सक्रिय और निष्क्रिय परिवर्तनों का उपयोग करके छद्मवेक्टरों पर चर्चा की गई है। एक वैकल्पिक दृष्टिकोण, सक्रिय और निष्क्रिय परिवर्तनों की तर्ज पर, ब्रह्मांड को स्थिर रखना है, लेकिन गणित और भौतिकी में हर जगह दाएं हाथ के नियम को बाएं हाथ के नियम से बदलना है, जिसमें क्रॉस उत्पाद और कर्ल की परिभाषा भी शामिल है ( अंक शास्त्र)। कोई भी ध्रुवीय वेक्टर (उदाहरण के लिए, एक अनुवाद वेक्टर) अपरिवर्तित होगा, लेकिन छद्मवेक्टर (उदाहरण के लिए, एक बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र वेक्टर) संकेतों को बदल देगा। फिर भी, समता उल्लंघन के अलावा, कुछ रेडियोधर्मी क्षय जैसी समता-उल्लंघन घटनाओं को छोड़कर, कोई भौतिक परिणाम नहीं होगा।

औपचारिकीकरण
छद्मवेक्टरों को औपचारिक बनाने का एक तरीका इस प्रकार है: यदि V एक n-आयाम (वेक्टर स्थान) वेक्टर स्थान है, तो V का एक छद्मवेक्टर (n − 1)-वें बाहरी बीजगणित#V की बाहरी शक्ति का एक तत्व है: ⋀n−1(V). V के छद्मवेक्टर V के समान आयाम वाला एक सदिश स्थान बनाते हैं।

यह परिभाषा उस परिभाषा के समतुल्य नहीं है जिसके लिए अनुचित घुमाव के तहत साइन फ़्लिप की आवश्यकता होती है, लेकिन यह सभी वेक्टर स्थानों के लिए सामान्य है। विशेष रूप से, जब n समता (गणित) है, तो ऐसे छद्मवेक्टर को साइन फ़्लिप का अनुभव नहीं होता है, और जब V के अंतर्निहित फ़ील्ड (गणित) की विशेषता (बीजगणित) 2 होती है, तो साइन फ़्लिप का कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। अन्यथा, परिभाषाएँ समतुल्य हैं, हालाँकि यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि अतिरिक्त संरचना (विशेष रूप से, या तो वॉल्यूम फॉर्म या अभिविन्यास (वेक्टर स्थान) ) के बिना, की कोई प्राकृतिक पहचान नहीं हैn−1(V) V के साथ।

उन्हें औपचारिक बनाने का दूसरा तरीका उन्हें प्रतिनिधित्व सिद्धांत के तत्वों के रूप में मानना ​​है $$\text{O}(n)$$. वेक्टर मौलिक प्रतिनिधित्व में रूपांतरित होते हैं $$\text{O}(n)$$ द्वारा दिए गए डेटा के साथ $$(\mathbb{R}^n, \rho_{\text{fund}}, \text{O}(n))$$, ताकि किसी भी मैट्रिक्स के लिए $$R$$ में $$\text{O}(n)$$, किसी के पास $$\rho_{\text{fund}}(R) = R$$. छद्मवेक्टर एक छद्म मौलिक प्रतिनिधित्व में बदल जाते हैं $$(\mathbb{R}^n, \rho_{\text{pseudo}}, \text{O}(n))$$, साथ $$\rho_{\text{pseudo}}(R) = \det(R)R$$. इस समरूपता को देखने का दूसरा तरीका $$n$$ इस मामले में यह अजीब है $$\text{O}(n) \cong \text{SO}(n)\times \mathbb{Z}_2$$. तब $$\rho_{\text{pseudo}}$$ समूह समरूपता का प्रत्यक्ष उत्पाद है; यह मौलिक समरूपता का प्रत्यक्ष उत्पाद है $$\text{SO}(n)$$ तुच्छ समरूपता के साथ $$\mathbb{Z}_2$$.

ज्यामितीय बीजगणित
ज्यामितीय बीजगणित में मूल तत्व वेक्टर होते हैं, और इनका उपयोग इस बीजगणित में उत्पादों की परिभाषाओं का उपयोग करके तत्वों का पदानुक्रम बनाने के लिए किया जाता है। विशेष रूप से, बीजगणित सदिशों से छद्मवेक्टर बनाता है।

ज्यामितीय बीजगणित में मूल गुणन ज्यामितीय उत्पाद है, जिसे एबी में दो वैक्टरों को जोड़कर दर्शाया जाता है। यह उत्पाद इस प्रकार व्यक्त किया गया है:


 * $$ \mathbf {ab} = \mathbf {a \cdot b} +\mathbf {a \wedge b} \, $$

जहां अग्रणी पद प्रथागत वेक्टर डॉट उत्पाद है और दूसरे पद को वेज उत्पाद कहा जाता है। बीजगणित की अभिधारणाओं का उपयोग करके, डॉट और वेज उत्पादों के सभी संयोजनों का मूल्यांकन किया जा सकता है। विभिन्न संयोजनों का वर्णन करने के लिए एक शब्दावली प्रदान की गई है। उदाहरण के लिए, एक मल्टीवेक्टर#ज्यामितीय बीजगणित विभिन्न के-मानों के के-फोल्ड वेज उत्पादों का एक योग है। के-फ़ोल्ड वेज उत्पाद को ब्लेड (ज्यामिति)|के-ब्लेड के रूप में भी जाना जाता है।

वर्तमान संदर्भ में छद्मवेक्टर इन संयोजनों में से एक है। यह शब्द अंतरिक्ष के आयामों (अर्थात्, अंतरिक्ष में रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर की संख्या) के आधार पर एक अलग मल्टीवेक्टर से जुड़ा हुआ है। तीन आयामों में, सबसे सामान्य 2-ब्लेड या बाइवेक्टर को दो वैक्टरों के वेज उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है और यह एक छद्मवेक्टर है। हालाँकि, चार आयामों में, छद्मवेक्टर मल्टीवेक्टर होते हैं। सामान्य तौर पर, यह एक है (n − 1)-ब्लेड, जहां n स्थान और बीजगणित का आयाम है। एक n-आयामी स्थान में n आधार वैक्टर और n आधार छद्मवेक्टर भी होते हैं। प्रत्येक आधार स्यूडोवेक्टर n आधार वैक्टरों में से एक को छोड़कर सभी के बाहरी (वेज) उत्पाद से बनता है। उदाहरण के लिए, चार आयामों में जहां आधार वैक्टर को {'ई'' माना जाता है1, यह है2, यह है3, यह है4}, छद्मवेक्टरों को इस प्रकार लिखा जा सकता है: {e234, यह है134, यह है124, यह है123}.

तीन आयामों में परिवर्तन
तीन आयामों में स्यूडोवेक्टर के परिवर्तन गुणों की तुलना बेलिस द्वारा वेक्टर क्रॉस उत्पाद से की गई है। वह कहते हैं: अक्षीय वेक्टर और स्यूडोवेक्टर शब्दों को अक्सर पर्यायवाची माना जाता है, लेकिन एक बायवेक्टर को उसके दोहरे से अलग करने में सक्षम होना काफी उपयोगी है। बायलिस की व्याख्या करने के लिए: तीन आयामों में दो ध्रुवीय वैक्टर (अर्थात, सच्चे वेक्टर) 'ए' और 'बी' को देखते हुए, 'ए' और 'बी' से बना क्रॉस उत्पाद उनके विमान के लिए सामान्य वेक्टर है जो द्वारा दिया गया है c = a × b. दाएं हाथ के ऑर्थोनॉर्मल आधार वैक्टर का एक सेट दिया गया है { eℓ }, क्रॉस उत्पाद को इसके घटकों के संदर्भ में इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:


 * $$\mathbf {a} \times \mathbf{b} = \left(a^2b^3 - a^3b^2\right) \mathbf {e}_1 + \left(a^3b^1 - a^1b^3\right) \mathbf {e}_2 + \left(a^1b^2 - a^2b^1\right) \mathbf {e}_3 ,$$

जहां सुपरस्क्रिप्ट वेक्टर घटकों को लेबल करते हैं। दूसरी ओर, दो वैक्टरों के तल को बाहरी उत्पाद या वेज उत्पाद द्वारा दर्शाया जाता है a ∧ b. ज्यामितीय बीजगणित के इस संदर्भ में, इस द्विवेक्टर को छद्मवेक्टर कहा जाता है, और यह क्रॉस उत्पाद का हॉज दोहरे  है। 'ई' का द्वैत1 के रूप में पेश किया गया है e23 ≡  e2 ∧ e3, इत्यादि। अर्थात ई का द्वैत1 ई के लिए लंबवत उप-स्थान है1, अर्थात् ई द्वारा फैलाया गया उपस्थान2 और ई3. इस समझ के साथ,
 * $$ \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = \left(a^2b^3 - a^3b^2\right) \mathbf {e}_{23} + \left(a^3b^1 - a^1b^3\right) \mathbf {e}_{31} + \left(a^1b^2 - a^2b^1\right) \mathbf {e}_{12} \ . $$

विवरण के लिए देखें. क्रॉस उत्पाद और वेज उत्पाद निम्न से संबंधित हैं:


 * $$\mathbf {a} \ \wedge \ \mathbf{b} = \mathit i \ \mathbf {a} \ \times \ \mathbf{b} \ ,$$

कहाँ को स्यूडोस्केलर (क्लिफ़ोर्ड बीजगणित)#यूनिट स्यूडोस्केलर कहा जाता है।  इसकी संपत्ति है:
 * $$\mathit{i}^2 = -1 \ . $$

उपरोक्त संबंधों का उपयोग करते हुए, यह देखा गया है कि यदि आधार वैक्टर को स्थिर छोड़ते हुए वेक्टर ए और बी को उनके घटकों के संकेतों को बदलकर उलट दिया जाता है, तो छद्मवेक्टर और क्रॉस उत्पाद दोनों अपरिवर्तनीय हैं। दूसरी ओर, यदि घटक निश्चित हैं और आधार वैक्टर ईℓ उलटे हैं, तो छद्मवेक्टर अपरिवर्तनीय है, लेकिन क्रॉस उत्पाद संकेत बदलता है। क्रॉस उत्पादों का यह व्यवहार वेक्टर-जैसे तत्वों के रूप में उनकी परिभाषा के अनुरूप है, जो ध्रुवीय वैक्टर के विपरीत, दाएं हाथ से बाएं हाथ के समन्वय प्रणाली में परिवर्तन के तहत संकेत बदलते हैं।

उपयोग पर ध्यान दें
एक तरफ, यह ध्यान दिया जा सकता है कि ज्यामितीय बीजगणित के क्षेत्र में सभी लेखक स्यूडोवेक्टर शब्द का उपयोग नहीं करते हैं, और कुछ लेखक ऐसी शब्दावली का पालन करते हैं जो स्यूडोवेक्टर और क्रॉस उत्पाद के बीच अंतर नहीं करता है। हालाँकि, क्योंकि क्रॉस उत्पाद तीन आयामों के अलावा अन्य के लिए सामान्यीकरण नहीं करता है, क्रॉस उत्पाद पर आधारित छद्मवेक्टर की धारणा को किसी अन्य संख्या के आयामों वाले स्थान तक विस्तारित नहीं किया जा सकता है। छद्मवेक्टर के रूप में (n – 1)-एन-डायमेंशनल स्पेस में ब्लेड इस तरह से प्रतिबंधित नहीं है।

एक और महत्वपूर्ण बात यह है कि छद्मवेक्टर, अपने नाम के बावजूद, एक सदिश स्थान के तत्व होने के अर्थ में सदिश हैं। यह विचार कि एक छद्मवेक्टर एक वेक्टर से भिन्न होता है, केवल ऊपर चर्चा की गई वेक्टर शब्द की एक अलग और अधिक विशिष्ट परिभाषा के साथ ही सत्य है।

यह भी देखें

 * बाहरी बीजगणित
 * क्लिफोर्ड बीजगणित
 * एंटीवेक्टर, क्लिफोर्ड बीजगणित में स्यूडोवेक्टर का एक सामान्यीकरण
 * उन्मुखता - गैर-ओरिएंटेबल स्थानों के बारे में चर्चा।
 * टेंसर घनत्व

संदर्भ

 * Axial vector at Encyclopaedia of Mathematics
 * : The dual of the wedge product a ∧ b is the cross product a × b.
 * Axial vector at Encyclopaedia of Mathematics
 * : The dual of the wedge product a ∧ b is the cross product a × b.
 * : The dual of the wedge product a ∧ b is the cross product a × b.
 * : The dual of the wedge product a ∧ b is the cross product a × b.
 * : The dual of the wedge product a ∧ b is the cross product a × b.