फलनात्मक विश्लेषण

कार्यात्मक विश्लेषण गणितीय विश्लेषण की एक शाखा है, जिसका मूल वेक्टर रिक्त स्थान के अध्ययन से बनता है जो किसी प्रकार की सीमा-संबंधित संरचना से संपन्न होता है (जैसे आंतरिक उत्पाद स्थान#परिभाषा, मानदंड (गणित)#परिभाषा, सामयिक स्थान#परिभाषा, इत्यादि) और इन रिक्त स्थानों पर परिभाषित रैखिक परिवर्तन और उपयुक्त अर्थों में इन संरचनाओं का सम्मान करना। कार्यात्मक विश्लेषण की ऐतिहासिक जड़ें कार्य स्थान के अध्ययन और कार्यों के परिवर्तनों के गुणों के निर्माण में निहित हैं जैसे कि फुरियर रूपांतरण निरंतर फ़ंक्शन, एकात्मक ऑपरेटर आदि को फ़ंक्शन रिक्त स्थान के बीच ऑपरेटरों को परिभाषित करता है। यह दृष्टिकोण अंतर समीकरणों और अभिन्न समीकरणों के अध्ययन के लिए विशेष रूप से उपयोगी निकला।

एक संज्ञा के रूप में 'कार्यात्मक (गणित)' शब्द का उपयोग विविधताओं के कलन पर वापस जाता है, जो उच्च-क्रम के कार्य को लागू करता है। इस शब्द का पहली बार इस्तेमाल जैक्स हैडमार्ड की 1910 की पुस्तक में उस विषय पर किया गया था। हालांकि, एक कार्यात्मक की सामान्य अवधारणा को पहले 1887 में इतालवी गणितज्ञ और भौतिक विज्ञानी वीटो वोल्टेरा द्वारा पेश किया गया था। हैडमार्ड के छात्रों, विशेष रूप से मौरिस रेने फ्रेचेट|फ्रेचेट और पॉल लेवी (गणितज्ञ)|लेवी द्वारा अरैखिक कार्यों के सिद्धांत को जारी रखा गया था। हैडमर्ड ने रेखीय प्रकार्यात्मक विश्लेषण के आधुनिक स्कूल की भी स्थापना की, जिसे स्टीफन बानाच के आस-पास फ्रिगिज़ रिज़्ज़ और पोलैंड के गणितज्ञों के ल्वॉव स्कूल ऑफ़ मैथेमेटिक्स द्वारा विकसित किया गया।

कार्यात्मक विश्लेषण पर आधुनिक परिचयात्मक ग्रंथों में, विषय को एक टोपोलॉजी के साथ सदिश रिक्त स्थान के अध्ययन के रूप में देखा जाता है, विशेष रूप से आयाम (वेक्टर स्थान) | अनंत-आयामी स्थान। इसके विपरीत, रैखिक बीजगणित ज्यादातर परिमित-आयामी रिक्त स्थान से संबंधित है, और टोपोलॉजी का उपयोग नहीं करता है। कार्यात्मक विश्लेषण का एक महत्वपूर्ण हिस्सा माप के सिद्धांत (गणित), अभिन्न और अनंत आयामी रिक्त स्थान की संभावना का विस्तार है, जिसे अनंत आयामी विश्लेषण भी कहा जाता है।

नॉर्म्ड वेक्टर स्पेस
कार्यात्मक विश्लेषण में अध्ययन किए गए मूल और ऐतिहासिक रूप से प्रथम श्रेणी के रिक्त स्थान वास्तविक संख्या या जटिल संख्याओं पर पूर्ण स्थान मानक वेक्टर स्थान हैं। ऐसे स्थानों को बनच स्थान कहा जाता है। एक महत्वपूर्ण उदाहरण हिल्बर्ट स्पेस है, जहां एक आंतरिक उत्पाद से आदर्श उत्पन्न होता है। ये स्थान कई क्षेत्रों में मौलिक महत्व के हैं, जिनमें क्वांटम यांत्रिकी के गणितीय सूत्रीकरण, कर्नेल हिल्बर्ट अंतरिक्ष का पुनरुत्पादन, आंशिक अंतर समीकरण और फूरियर विश्लेषण शामिल हैं।

अधिक आम तौर पर, कार्यात्मक विश्लेषण में फ्रेचेट रिक्त स्थान और अन्य टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस स्थान का अध्ययन शामिल होता है जो मानक के साथ संपन्न नहीं होता है।

कार्यात्मक विश्लेषण में अध्ययन का एक महत्वपूर्ण उद्देश्य बनच और हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर परिभाषित निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) रैखिक परिवर्तन है। ये स्वाभाविक रूप से C*सी * - बीजगणित और अन्य ऑपरेटर बीजगणित की परिभाषा की ओर ले जाते हैं।

हिल्बर्ट रिक्त स्थान
हिल्बर्ट रिक्त स्थान को पूरी तरह से वर्गीकृत किया जा सकता है: ऑर्थोनॉर्मल आधार के प्रत्येक बुनियादी संख्या के लिए समरूपता तक एक अद्वितीय हिल्बर्ट स्थान है। परिमित-आयामी हिल्बर्ट रिक्त स्थान पूरी तरह से रैखिक बीजगणित में समझाए जाते हैं, और अनंत-आयामी अलग-अलग स्थान हिल्बर्ट स्थान अनुक्रम स्थान # ℓp रिक्त स्थान के लिए आइसोमोर्फिक हैं।$$\ell^{\,2}(\aleph_0)\,$$. अनुप्रयोगों के लिए पृथक्करणीयता महत्वपूर्ण है, हिल्बर्ट रिक्त स्थान के कार्यात्मक विश्लेषण के परिणामस्वरूप ज्यादातर इस स्थान से संबंधित हैं। कार्यात्मक विश्लेषण में खुली समस्याओं में से एक यह साबित करना है कि हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर प्रत्येक परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर के पास एक उचित अपरिवर्तनीय उपस्थान है। इस अपरिवर्तनीय उपस्थान समस्या के कई विशेष मामले पहले ही सिद्ध हो चुके हैं।

बनच स्पेस
जनरल बानाच स्थान हिल्बर्ट स्थानों की तुलना में अधिक जटिल हैं, और उन्हें इतने सरल तरीके से वर्गीकृत नहीं किया जा सकता है। विशेष रूप से, कई बानाच रिक्त स्थान में एक अलौकिक आधार के समान धारणा की कमी होती है।

बनच स्पेस के उदाहरण हैं एलपी स्पेस |$$L^p$$-किसी भी वास्तविक संख्या के लिए स्थान $p\geq1$. उपाय भी दिया $$\mu$$ सेट पर $X$, फिर $L^p(X)$, कभी-कभी निरूपित भी $$L^p(X,\mu)$$ या $L^p(\mu)$, इसके सदिश तुल्यता वर्ग हैं $$[\,f\,]$$ Lebesgue-मापने योग्य कार्यों का जिनके पूर्ण मूल्य हैं $$p$$-वें शक्ति का परिमित अभिन्न है; वह है, कार्य $$f$$ जिसके लिए किसी के पास है
 * $$\int_{X}\left|f(x)\right|^p\,d\mu(x) < +\infty.$$

यदि $$\mu$$ गणना माप है, तो समाकल को एक योग द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। यानी हमें चाहिए
 * $$\sum_{x\in X}\left|f(x)\right|^p<+\infty .$$

फिर समतुल्य वर्गों से निपटने के लिए जरूरी नहीं है, और अंतरिक्ष को निरूपित किया जाता है $\ell^p(X)$, अधिक सरलता से लिखा गया है $$\ell^p$$ मामले में जब $$X$$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का समुच्चय है।

बानाच रिक्त स्थान में, अध्ययन के एक बड़े हिस्से में निरंतर दोहरी शामिल है: अंतरिक्ष से सभी निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) रैखिक मानचित्रों का स्थान इसके अंतर्निहित क्षेत्र में, तथाकथित कार्यात्मक। एक बैनाच स्थान को इसकी बोली के एक उप-स्थान के साथ प्रामाणिक रूप से पहचाना जा सकता है, जो इसके दोहरे स्थान का दोहरा है। संबंधित नक्शा एक आइसोमेट्री है लेकिन सामान्य तौर पर आच्छादक नहीं है। परिमित-आयामी स्थिति के विपरीत, एक सामान्य बनच स्थान और इसकी बोली-प्रक्रिया को किसी भी तरह से आइसोमेट्रिक रूप से आइसोमोर्फिक होने की आवश्यकता नहीं है। यह दोहरे अंतरिक्ष लेख में समझाया गया है।

इसके अलावा, यौगिक की धारणा को बनच रिक्त स्थान के बीच मनमाना कार्यों के लिए बढ़ाया जा सकता है। उदाहरण के लिए देखें, फ्रेचेट व्युत्पन्न लेख।

प्रमुख और मूलभूत परिणाम
चार प्रमुख प्रमेय हैं जिन्हें कभी-कभी कार्यात्मक विश्लेषण के चार स्तंभ कहा जाता है: हैन-बनाक प्रमेय, ओपन मैपिंग प्रमेय (कार्यात्मक विश्लेषण), बंद ग्राफ प्रमेय (कार्यात्मक विश्लेषण) और समान सीमा सिद्धांत, जिसे बनच के रूप में भी जाना जाता है। -स्टाइनहॉस प्रमेय। कार्यात्मक विश्लेषण के महत्वपूर्ण परिणामों में शामिल हैं:

समान सीमा सिद्धांत
समान परिबद्धता सिद्धांत या बनच-स्टीनहॉस प्रमेय कार्यात्मक विश्लेषण में मौलिक परिणामों में से एक है। हैन-बनाक प्रमेय और ओपन मैपिंग प्रमेय (कार्यात्मक विश्लेषण) के साथ, इसे क्षेत्र के कोने में से एक माना जाता है। अपने मूल रूप में, यह दावा करता है कि निरंतर रैखिक ऑपरेटरों (और इस प्रकार बाध्य ऑपरेटरों) के एक परिवार के लिए जिसका डोमेन एक बनच स्थान है, बिंदुवार सीमा ऑपरेटर मानदंड में समान सीमा के बराबर है।

प्रमेय पहली बार 1927 में स्टीफन बानाच और ह्यूगो स्टीनहॉस द्वारा प्रकाशित किया गया था, लेकिन यह हंस हैन (गणितज्ञ) द्वारा स्वतंत्र रूप से सिद्ध भी किया गया था।

प्रमेय (यूनिफ़ॉर्म बाउंडेडनेस प्रिंसिपल)। होने देना $$X$$ एक बनच स्थान बनें और $$Y$$ एक नॉर्मड वेक्टर स्पेस बनें। मान लो कि $$F$$ से निरंतर रैखिक ऑपरेटरों का एक संग्रह है $$X$$ प्रति $$Y$$. अगर सभी के लिए $$x$$ में $$X$$ किसी के पास


 * $$\sup\nolimits_{T \in F} \|T(x)\|_Y < \infty, $$

फिर


 * $$\sup\nolimits_{T \in F} \|T\|_{B(X,Y)} < \infty.$$

स्पेक्ट्रल प्रमेय
वर्णक्रमीय प्रमेय के रूप में जाने जाने वाले कई प्रमेय हैं, लेकिन विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण में कई अनुप्रयोग हैं।

स्पेक्ट्रल प्रमेय। होने देना $$A$$ हिल्बर्ट स्पेस पर एक बाउंडेड सेल्फ-एडजॉइंट ऑपरेटर बनें $$H$$. फिर एक माप स्थान है $$(X,\Sigma,\mu)$$ और एक वास्तविक-मूल्यवान निबंध सुपर औसत दर्जे का कार्य $$f$$ पर $$X$$ और एक एकात्मक ऑपरेटर $$U:H\to L^2_\mu(X)$$ ऐसा है कि


 * $$ U^* T U = A \;$$

जहाँ T गुणन संकारक है:


 * $$ [T \varphi](x) = f(x) \varphi(x). \;$$

तथा $$\|T\| = \|f\|_\infty$$

यह ऑपरेटर सिद्धांत नामक कार्यात्मक विश्लेषण के विशाल शोध क्षेत्र की शुरुआत है; स्पेक्ट्रल माप # स्पेक्ट्रल माप भी देखें।

हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर बंधे सामान्य ऑपरेटरों के लिए एक समान वर्णक्रमीय प्रमेय भी है। निष्कर्ष में केवल इतना ही अंतर है कि अब $$f$$ जटिल-मूल्यवान हो सकता है।

हैन-बनच प्रमेय
हैन-बनाक प्रमेय कार्यात्मक विश्लेषण में एक केंद्रीय उपकरण है। यह पूरे अंतरिक्ष में कुछ सदिश स्थान के एक उप-स्थान पर परिभाषित परिबद्ध संचालिका के विस्तार की अनुमति देता है, और यह भी दर्शाता है कि दोहरे स्थान के अध्ययन को दिलचस्प बनाने के लिए प्रत्येक आदर्श सदिश स्थान पर परिभाषित पर्याप्त निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) रैखिक कार्यात्मक हैं।.

हैन-बनाक प्रमेय: यदि $$p:V\to\mathbb{R}$$ एक उपरैखिक समारोह है, और $$\varphi:U\to\mathbb{R}$$ एक रेखीय उपसमष्टि पर एक रेखीय फलन है $$U\subseteq V$$ जो (गणित) द्वारा हावी है $$p$$ पर $$U$$; वह है,


 * $$\varphi(x) \leq p(x)\qquad\forall x \in U$$

तो वहाँ एक रेखीय विस्तार मौजूद है $$\psi:V\to\mathbb{R}$$ का $$\varphi$$ पूरे अंतरिक्ष के लिए $$V$$ जो (गणित) द्वारा हावी है $$p$$ पर $$V$$; अर्थात्, एक रैखिक कार्यात्मक मौजूद है $$\psi$$ ऐसा है कि


 * $$\psi(x)=\varphi(x)\qquad\forall x\in U,$$
 * $$\psi(x) \le p(x)\qquad\forall x\in V.$$

ओपन मैपिंग प्रमेय
ओपन मैपिंग प्रमेय (कार्यात्मक विश्लेषण), जिसे बानाच-शाउडर प्रमेय (स्टीफन बानाच और जूलियस शॉडर के नाम पर रखा गया) के रूप में भी जाना जाता है, एक मौलिक परिणाम है जो बताता है कि यदि बानाच रिक्त स्थान के बीच एक परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर विशेषण है तो यह एक खुला नक्शा है. ज्यादा ठीक,:


 * ओपन मैपिंग प्रमेय। यदि $$X$$ तथा $$Y$$ बनच स्थान हैं और $$A:X\to Y$$ तब एक विशेषण सतत रैखिक संकारक है $$A$$ एक खुला नक्शा है (यानी, अगर $$U$$ में एक खुला सेट है $$X$$, फिर $$A(U)$$ में खुला है $$Y$$).

सबूत बायर श्रेणी प्रमेय और दोनों की पूर्णता का उपयोग करता है $$X$$ तथा $$Y$$ प्रमेय के लिए आवश्यक है। प्रमेय का कथन अब सत्य नहीं है यदि कोई भी स्थान केवल एक मानक स्थान माना जाता है, लेकिन सत्य है यदि $$X$$ तथा $$Y$$ फ्रेचेट रिक्त स्थान के रूप में लिया जाता है।

बंद ग्राफ प्रमेय
बंद ग्राफ प्रमेय निम्नलिखित बताता है: यदि $$X$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस है और $$Y$$ एक कॉम्पैक्ट जगह हॉसडॉर्फ स्पेस है, फिर एक रेखीय मानचित्र का ग्राफ $$T$$ से $$X$$ प्रति $$Y$$ बंद है अगर और केवल अगर $$T$$ निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) है।

गणित के विचारों की नींव
कार्यात्मक विश्लेषण में माने जाने वाले अधिकांश स्थानों में अनंत आयाम होते हैं। ऐसे स्थानों के लिए सदिश स्थान आधार के अस्तित्व को दिखाने के लिए ज़ोर्न के लेम्मा की आवश्यकता हो सकती है। हालांकि, कुछ भिन्न अवधारणा, शाउडर आधार, आमतौर पर कार्यात्मक विश्लेषण में अधिक प्रासंगिक है। कई बहुत महत्वपूर्ण प्रमेयों के लिए हान-बनाक प्रमेय की आवश्यकता होती है, आमतौर पर पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग करके सिद्ध किया जाता है, हालांकि सख्ती से कमजोर बूलियन प्रधान आदर्श प्रमेय पर्याप्त है। कई महत्वपूर्ण प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए आवश्यक बायर श्रेणी प्रमेय के लिए पसंद के स्वयंसिद्ध रूप की भी आवश्यकता होती है।

दृष्टिकोण
इसके में कार्यात्मक विश्लेषण निम्नलिखित प्रवृत्तियाँ शामिल हैं:
 * सार विश्लेषण। टोपोलॉजिकल समूहों, टोपोलॉजिकल रिंग्स और टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस के आधार पर विश्लेषण के लिए एक दृष्टिकोण।
 * बनच रिक्त स्थान की ज्यामिति में कई विषय शामिल हैं। एक जॉन बौर्गेन से जुड़ा जुझारूपन दृष्टिकोण है; दूसरा बनच स्थानों का लक्षण वर्णन है जिसमें बड़ी संख्या के कानून के विभिन्न रूप धारण करते हैं।
 * गैर अनुमेय ज्यामिति एलेन कॉन्स द्वारा विकसित, आंशिक रूप से पूर्व धारणाओं पर निर्माण, जैसे जॉर्ज मैके के एर्गोडिक सिद्धांत के दृष्टिकोण।
 * क्वांटम यांत्रिकी के साथ संबंध। या तो संकीर्ण रूप से गणितीय भौतिकी के रूप में परिभाषित किया गया है, या व्यापक रूप से व्याख्या की गई है, उदाहरण के लिए, इज़राइल गेलफैंड, अधिकांश प्रकार के प्रतिनिधित्व सिद्धांत को शामिल करने के लिए।

यह भी देखें

 * कार्यात्मक विश्लेषण विषयों की सूची
 * वर्णक्रमीय सिद्धांत

अग्रिम पठन

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 * Conway, J. B.: A Course in Functional Analysis, 2nd edition, Springer-Verlag, 1994, ISBN 0-387-97245-5
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 * Yosida, K.: Functional Analysis, Springer-Verlag, 6th edition, 1980

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बाहरी संबंध

 * Topics in Real and Functional Analysis by Gerald Teschl, University of Vienna.
 * Lecture Notes on Functional Analysis by Yevgeny Vilensky, New York University.
 * Lecture videos on functional analysis by Greg Morrow from University of Colorado Colorado Springs
 * Lecture videos on functional analysis by Greg Morrow from University of Colorado Colorado Springs