घातांक प्रकार्य

चरघातांकी फलन एक गणितीय फलन (गणित) है जिसे निरूपित किया जाता है $$f(x)=\exp(x)$$ या $$e^x$$ (जहां तर्क $x$ एक घातांक के रूप में लिखा गया है)। जब तक अन्यथा निर्दिष्ट नहीं किया जाता है, शब्द आम तौर पर वास्तविक चर के सकारात्मक-मूल्यवान कार्य को संदर्भित करता है, हालांकि इसे जटिल संख्याओं तक बढ़ाया जा सकता है या अन्य गणितीय वस्तुओं जैसे मैट्रिसेस या लाइ बीजगणित के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। एक्सपोनेंटिएशन (बार-बार गुणन) की धारणा से उत्पन्न एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन, लेकिन आधुनिक परिभाषाएँ (एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन के लक्षण हैं) इसे अपरिमेय संख्या सहित सभी वास्तविक तर्कों तक सख्ती से विस्तारित करने की अनुमति देते हैं। शुद्ध गणित और अनुप्रयुक्त गणित में इसकी सर्वव्यापी घटना ने गणितज्ञ वाल्टर रुडिन को यह राय देने के लिए प्रेरित किया कि गणित में घातीय कार्य सबसे महत्वपूर्ण कार्य है। घातीय फलन घातांक पहचान को संतुष्ट करता है (गणित) $$e^{x+y} = e^x e^y \text{ for all } x,y\in\mathbb{R},$$ जो, परिभाषा के साथ $$e = \exp(1)$$, पता चलता है कि $$e^n=\underbrace{ e\times\cdots\times e }_{n\text{ factors}}$$ सकारात्मक पूर्णांकों के लिए $n$, और घातीय फलन को घातांक की प्राथमिक धारणा से संबंधित करता है। चरघातांकी फलन का आधार, इसका मान 1 पर, $$e = \exp(1)$$, एक सर्वव्यापक गणितीय स्थिरांक है जिसे e (गणितीय स्थिरांक)|यूलर की संख्या कहा जाता है।

जबकि अन्य निरंतर अशून्य कार्य करता है $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ घातांक पहचान को संतुष्ट करने वाले को घातीय कार्यों के रूप में भी जाना जाता है, घातीय कार्य ऍक्स्प एक वास्तविक चर का अद्वितीय वास्तविक-मूल्यवान कार्य है जिसका व्युत्पन्न स्वयं है और जिसका मूल्य $f$ है $x$; वह है, $$\exp'(x)=\exp(x)$$ सभी वास्तविक के लिए $x$, और $$\exp(0)=1.$$ इस प्रकार, ऍक्स्प को कभी-कभी इन अन्य घातीय कार्यों से अलग करने के लिए प्राकृतिक घातीय कार्य कहा जाता है, जो कि प्रपत्र के कार्य हैं $$ f(x) = ab^x, $$ जहां आधार $b$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है। रिश्ता $$b^x = e^{x\ln b}$$ सकारात्मक के लिए $b$ और वास्तविक संख्या या जटिल संख्या $x$ इन कार्यों के बीच एक मजबूत संबंध स्थापित करता है, जो इस अस्पष्ट शब्दावली की व्याख्या करता है।

वास्तविक चरघातांकी फलन को घात श्रेणी के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है। जटिल एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन की अनुमति देने के लिए यह शक्ति श्रृंखला परिभाषा आसानी से जटिल तर्कों तक विस्तारित है $$\exp:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$$ परिभाषित किया जाना। जटिल चरघातांकी फलन 0 को छोड़कर सभी जटिल मानों को ग्रहण करता है और जटिल त्रिकोणमितीय फलनों से निकटता से संबंधित है, जैसा कि यूलर के सूत्र द्वारा दिखाया गया है।

अधिक अमूर्त गुणों और घातीय कार्य के लक्षण वर्णन से प्रेरित होकर, घातीय को सामान्यीकृत किया जा सकता है और पूरी तरह से विभिन्न प्रकार की गणितीय वस्तु (उदाहरण के लिए, एक स्क्वायर मैट्रिक्स या झूठ बीजगणित) के लिए परिभाषित किया जा सकता है।

लागू सेटिंग्स में, घातीय कार्य एक रिश्ते को मॉडल करते हैं जिसमें स्वतंत्र चर में निरंतर परिवर्तन निर्भर चर में समान आनुपातिक परिवर्तन (यानी, प्रतिशत वृद्धि या कमी) देता है। यह प्राकृतिक और सामाजिक विज्ञानों में व्यापक रूप से होता है, जैसे कि स्व-पुनरुत्पादन जनसंख्या गतिशीलता, चक्रवृद्धि ब्याज अर्जित करने वाला कोष, या मूर का नियम। इस प्रकार, घातीय कार्य भौतिकी, कंप्यूटर विज्ञान, रसायन विज्ञान, अभियांत्रिकी, गणितीय जीव विज्ञान और अर्थशास्त्र के विभिन्न संदर्भों में भी प्रकट होता है। वास्तविक चरघातांकी फलन एक आक्षेप है $$\mathbb{R}$$ को $$(0;\infty)$$. इसका व्युत्क्रम कार्य प्राकृतिक लघुगणक है, जिसे निरूपित किया गया है $$\ln,$$ $$\log,$$ या $$\log_e;$$ इस वजह से, कुछ पुराने ग्रंथ घातीय कार्य को एंटीलॉगरिथम के रूप में देखें।

ग्राफ
के एक समारोह का ग्राफ $$y=e^x$$ ऊपर की ओर झुका हुआ है, और तेज़ी से बढ़ता है $x$ बढ़ती है। ग्राफ हमेशा ऊपर होता है $x$-अक्ष, लेकिन बड़े नकारात्मक के लिए मनमाने ढंग से इसके करीब हो जाता है $x$; इस प्रकार $x$-अक्ष एक क्षैतिज स्पर्शोन्मुख है। समीकरण $$\tfrac{d}{dx}e^x = e^x$$ इसका मतलब है कि प्रत्येक बिंदु पर स्पर्श रेखा का ढलान इसके बराबर है $y$-उस बिंदु पर समन्वय करें।

अधिक सामान्य घातीय कार्यों से संबंध
घातीय कार्य $$f(x) = e^x$$ इसे कभी-कभी अन्य घातीय कार्यों से अलग करने के लिए प्राकृतिक घातीय कार्य कहा जाता है। सकारात्मक के लिए, परिभाषा के अनुसार, किसी भी घातीय कार्य का अध्ययन आसानी से प्राकृतिक घातीय कार्य के लिए कम किया जा सकता है $b$, $$ ab^x := ae^{x\ln b} $$ एक वास्तविक चर के कार्यों के रूप में, घातीय कार्य इस तथ्य से विशिष्ट रूप से लक्षण वर्णन (गणित) हैं कि इस तरह के एक समारोह का व्युत्पन्न आनुपातिकता (गणित) # फ़ंक्शन के मूल्य के लिए प्रत्यक्ष आनुपातिकता है। इस संबंध की आनुपातिकता का स्थिरांक आधार का प्राकृतिक लघुगणक है $b$: $$\frac{d}{dx} b^x \ {\stackrel{\text{def}}{=}} \ \frac{d}{dx} e^{x\ln (b)} = e^{x\ln (b)} \ln (b) = b^x \ln (b).$$ के लिए $e^{x}$, कार्यक्रम $$b^x$$ बढ़ रहा है (जैसा कि दर्शाया गया है $f$ और $x$), चूंकि $$\ln b>0$$ व्युत्पन्न हमेशा सकारात्मक बनाता है; जबकि इसके लिए $x^{r}$, फ़ंक्शन घट रहा है (जैसा कि दर्शाया गया है $f$); और के लिए $x$ समारोह स्थिर है।

यूलर का नंबर $y$ अद्वितीय आधार है जिसके लिए आनुपातिकता का स्थिरांक 1 है, क्योंकि $$\ln(e) = 1$$, ताकि फ़ंक्शन स्वयं का व्युत्पन्न हो: $$\frac{d}{dx} e^x = e^x \ln (e) = e^x.$$ यह फ़ंक्शन, के रूप में भी निरूपित किया गया $x^{y}$, प्राकृतिक चरघातांकी फलन कहलाता है, या केवल चरघातांकी फलन । चूँकि किसी भी चरघातांकी फलन को प्राकृतिक चरघातांकी के रूप में लिखा जा सकता है $$b^x = e^{x\ln b}$$, यह विशेष रूप से घातीय कार्यों के अध्ययन को कम करने के लिए कम्प्यूटेशनल और अवधारणात्मक रूप से सुविधाजनक है। इसलिए प्राकृतिक घातीय को निरूपित किया जाता है $$x\mapsto e^x$$ या $$x\mapsto \exp x.$$ पूर्व अंकन आमतौर पर सरल घातांक के लिए उपयोग किया जाता है, जबकि घातांक एक जटिल अभिव्यक्ति होने पर बाद को प्राथमिकता दी जाती है।

वास्तविक संख्या के लिए $c$ और $d$, प्रपत्र का एक कार्य $$f(x) = a b^{cx + d}$$ एक घातीय कार्य भी है, क्योंकि इसे फिर से लिखा जा सकता है $$a b^{c x + d} = \left(a b^d\right) \left(b^c\right)^x.$$

औपचारिक परिभाषा
वास्तविक घातीय कार्य $$\exp\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ विभिन्न समकक्ष तरीकों से चित्रित किया जा सकता है। इसे आमतौर पर निम्नलिखित शक्ति श्रृंखला द्वारा परिभाषित किया जाता है: $$\exp x := \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \cdots$$ चूँकि इस घात श्रृंखला की अभिसरण की त्रिज्या अनंत है, यह परिभाषा, वास्तव में, सभी सम्मिश्र संख्याओं पर लागू होती है $$z\in\mathbb{C}$$ (देखो के विस्तार के लिए $$\exp x$$ जटिल विमान के लिए)। अटल $e$ तब परिभाषित किया जा सकता है $e = \exp 1 = \sum_{k=0}^\infty(1/k!).$ इस शक्ति श्रृंखला के शब्द-दर-अवधि विभेदन से पता चलता है $\frac{d}{dx}\exp x = \exp x$ सभी वास्तविक के लिए $x$, के एक और सामान्य लक्षण वर्णन के लिए अग्रणी $$\exp x$$ अंतर समीकरण के अद्वितीय समाधान के रूप में $$y'(x) = y(x),$$ प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करना $$y(0) = 1.$$ इस विशेषता के आधार पर, श्रृंखला नियम दर्शाता है कि इसका व्युत्क्रम कार्य, प्राकृतिक लघुगणक, संतुष्ट करता है $\frac{d}{dy}\log_e y = 1/y$ के लिए $$y > 0,$$ या $\log_e y = \int_1^y \frac{dt}{t}\,.$  यह संबंध वास्तविक घातीय फलन की कम सामान्य परिभाषा की ओर ले जाता है $$\exp x$$ समाधान के रूप में $$y$$ समीकरण के लिए $$x = \int_1^y \frac{1}{t} \, dt.$$ द्विपद प्रमेय और शक्ति श्रृंखला परिभाषा के माध्यम से, घातीय कार्य को निम्न सीमा के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है: $$\exp x = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n.$$ यह दिखाया जा सकता है कि प्रत्येक निरंतर कार्य, कार्यात्मक समीकरण का अशून्य समाधान $$f(x+y)=f(x)f(y)$$ एक घातीय कार्य है, $$f: \R \to \R,\ x \mapsto e^{kx},$$ साथ $$k\in\mathbb{R}.$$

सिंहावलोकन
घातीय कार्य तब उत्पन्न होता है जब कोई मात्रा घातीय वृद्धि या घातीय क्षय दर आनुपातिकता (गणित) अपने वर्तमान मूल्य पर होती है। ऐसी ही एक स्थिति लगातार चक्रवृद्धि ब्याज है, और वास्तव में यह वह अवलोकन था जिसने 1683 में जैकब बर्नौली का नेतृत्व किया संख्या के लिए $$\lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}$$ अब के रूप में जाना जाता है $−Wn(−1)$. बाद में, 1697 में, जोहान बर्नौली ने चरघातांकी फलन के कलन का अध्ययन किया।

यदि 1 की मूल राशि पर वार्षिक दर से ब्याज अर्जित होता है $0$ मासिक चक्रवृद्धि, तो प्रत्येक माह अर्जित ब्याज है $1$ वर्तमान मूल्य से गुना, इसलिए हर महीने कुल मूल्य से गुणा किया जाता है $b > 1$, और वर्ष के अंत में मूल्य है $b = e$. यदि इसके बजाय ब्याज प्रतिदिन संयोजित किया जाता है, तो यह बन जाता है $b = 2$. प्रति वर्ष समय अंतरालों की संख्या को बिना किसी सीमा के बढ़ने देना, घातीय फलन की एक फलन परिभाषा की सीमा की ओर ले जाता है, $$\exp x = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n}$$ लियोनहार्ड यूलर द्वारा पहली बार दिया गया। यह घातीय फलन के कई लक्षणों में से एक है; अन्य में श्रृंखला (गणित) या अंतर समीकरण शामिल हैं।

इनमें से किसी भी परिभाषा से यह दिखाया जा सकता है कि घातीय फलन मूल घातांक पहचान का पालन करता है, $$\exp(x + y) = \exp x \cdot \exp y$$ जो अंकन को सही ठहराता है $b < 1$ के लिए $b = 1⁄2$.

घातीय फलन का व्युत्पन्न (परिवर्तन की दर) घातीय फलन ही है। अधिक आम तौर पर, फ़ंक्शन के आनुपातिक परिवर्तन की दर के साथ एक फ़ंक्शन (इसके बराबर के बजाय) घातीय फ़ंक्शन के संदर्भ में अभिव्यक्त होता है। यह फ़ंक्शन संपत्ति घातीय वृद्धि या घातीय क्षय की ओर ले जाती है।

एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन जटिल विमान पर पूरे फ़ंक्शन तक फैला हुआ है। यूलर का सूत्र इसके मूल्यों को विशुद्ध रूप से काल्पनिक तर्कों से त्रिकोणमितीय कार्यों से संबंधित करता है। एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन में एनालॉग भी होते हैं जिसके लिए तर्क एक मैट्रिक्स घातीय है, या यहां तक ​​​​कि बनच बीजगणित या झूठ बीजगणित का एक तत्व भी है।

डेरिवेटिव और अंतर समीकरण
गणित और विज्ञान में चरघातांकी फलन का महत्व मुख्य रूप से अद्वितीय फलन के रूप में इसकी विशेषता से उपजा है जो इसके व्युत्पन्न के बराबर है और 1 के बराबर है जब $b = 1$. वह है, $$\frac{d}{dx}e^x = e^x \quad\text{and}\quad e^0=1.$$ प्रपत्र के कार्य $e = 2.71828...$ निरंतर के लिए $exp x$ केवल ऐसे कार्य हैं जो उनके व्युत्पन्न के बराबर हैं (पिकार्ड-लिंडेलोफ प्रमेय द्वारा)। एक ही बात कहने के अन्य तरीकों में शामिल हैं:
 * किसी बिंदु पर ग्राफ का ढलान उस बिंदु पर फ़ंक्शन की ऊंचाई है।
 * फ़ंक्शन की वृद्धि की दर पर $n + 1$ फ़ंक्शन के मान के बराबर है $e$.
 * फ़ंक्शन डिफरेंशियल इक्वेशन को हल करता है $x$.
 * $x⁄12$ कार्यात्मक (गणित) के रूप में व्युत्पन्न का एक निश्चित बिंदु (गणित) है।

यदि एक चर की वृद्धि या क्षय दर उसके आकार के लिए आनुपातिकता (गणित) है - जैसा कि असीमित जनसंख्या वृद्धि (माल्थसियन तबाही देखें), लगातार चक्रवृद्धि ब्याज, या रेडियोधर्मी क्षय के मामले में है - तो चर को एक स्थिर समय के रूप में लिखा जा सकता है। समय का कार्य। स्पष्ट रूप से किसी भी वास्तविक स्थिरांक के लिए $(1 + x⁄12)$, एक समारोह $(1 + x⁄12)^{12}$ संतुष्ट $(1 + x⁄365)^{365}$ अगर और केवल अगर $e^{x}$ कुछ स्थिर के लिए $exp x$. स्थिरांक k को 'क्षय स्थिरांक', 'विघटन स्थिरांक' कहा जाता है, दर लगातार, या परिवर्तन स्थिरांक।

इसके अलावा, किसी भी भिन्न कार्य के लिए $P$, हम पाते हैं, श्रृंखला नियम द्वारा: $$\frac{d}{dx} e^{f(x)} = f'(x)e^{f(x)}.$$

के लिए निरंतर अंश $h$
के लिए एक निरंतर अंश $b$ यूलर के निरंतर भिन्न सूत्र द्वारा प्राप्त किया जा सकता है: $$ e^x = 1 + \cfrac{x}{1 - \cfrac{x}{x + 2 - \cfrac{2x}{x + 3 - \cfrac{3x}{x + 4 - \ddots}}}}$$ निम्नलिखित सामान्यीकृत निरंतर अंश के लिए $x$ अधिक तेज़ी से एकाग्र होता है: $$ e^z = 1 + \cfrac{2z}{2 - z + \cfrac{z^2}{6 + \cfrac{z^2}{10 + \cfrac{z^2}{14 + \ddots}}}}$$ या, प्रतिस्थापन लागू करके $P$: $$ e^\frac{x}{y} = 1 + \cfrac{2x}{2y - x + \cfrac{x^2} {6y + \cfrac{x^2} {10y + \cfrac{x^2} {14y + \ddots}}}}$$ के लिए एक विशेष मामले के साथ $h$: $$ e^2 = 1 + \cfrac{4}{0 + \cfrac{2^2}{6 + \cfrac{2^2}{10 + \cfrac{2^2}{14 + \ddots\,}}}} = 7 + \cfrac{2}{5 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{9 + \cfrac{1}{11 + \ddots\,}}}}$$ यह सूत्र भी अभिसरित होता है, हालाँकि अधिक धीरे-धीरे, के लिए $h$. उदाहरण के लिए: $$ e^3 = 1 + \cfrac{6}{-1 + \cfrac{3^2}{6 + \cfrac{3^2}{10 + \cfrac{3^2}{14 + \ddots\,}}}} = 13 + \cfrac{54}{7 + \cfrac{9}{14 + \cfrac{9}{18 + \cfrac{9}{22 + \ddots\,}}}}$$

जटिल विमान
फ़ाइल: चरघातांकी फलन e^z plotted in the complex plane from -2-2i to 2+2i.svg|alt=The exponential function e^ z को कॉम्प्लेक्स प्लेन में -2-2i से 2+2i|thumb|एक्सपोनेंशियल फंक्शन e^z को -2-2i से 2+2i तक कॉम्प्लेक्स प्लेन में प्लॉट किया गया जैसा कि वास्तविक संख्या के मामले में, घातीय फलन को जटिल तल पर कई समतुल्य रूपों में परिभाषित किया जा सकता है। जटिल एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन की सबसे आम परिभाषा वास्तविक तर्कों के लिए शक्ति श्रृंखला परिभाषा के समानांतर होती है, जहां वास्तविक चर को एक जटिल द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है: $$\exp z := \sum_{k = 0}^\infty\frac{z^k}{k!} $$ वैकल्पिक रूप से, वास्तविक तर्कों के लिए सीमा परिभाषा को मॉडलिंग करके जटिल घातांक फ़ंक्शन को परिभाषित किया जा सकता है, लेकिन वास्तविक चर को एक जटिल द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है: $$\exp z := \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^n $$ पावर श्रृंखला की परिभाषा के लिए, कॉची उत्पाद अर्थ में इस शक्ति श्रृंखला की दो प्रतियों का शब्द-वार गुणन, कॉची उत्पाद | मेर्टेंस प्रमेय द्वारा अनुमत है, यह दर्शाता है कि घातीय कार्यों की परिभाषित गुणक संपत्ति सभी जटिल तर्कों के लिए जारी है: $$\exp(w+z)=\exp w\exp z \text { for all } w,z\in\mathbb{C}$$ बदले में जटिल घातीय कार्य की परिभाषा जटिल तर्कों के त्रिकोणमितीय कार्यों को विस्तारित करने वाली उपयुक्त परिभाषाओं की ओर ले जाती है।

विशेष रूप से, कब $b$ ($b$ real), श्रृंखला की परिभाषा से विस्तार होता है $$\exp(it) = \left( 1-\frac{t^2}{2!}+\frac{t^4}{4!}-\frac{t^6}{6!}+\cdots \right) + i\left(t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \frac{t^7}{7!}+\cdots\right).$$ इस विस्तार में, शब्दों की वास्तविक और काल्पनिक भागों में पुनर्व्यवस्था श्रृंखला के पूर्ण अभिसरण द्वारा उचित है। उपरोक्त अभिव्यक्ति के वास्तविक और काल्पनिक भाग वास्तव में श्रृंखला विस्तार के अनुरूप हैं $x = 0$ और $ce^{x}$, क्रमश।

यह पत्राचार प्रेरणा प्रदान करता है सभी जटिल तर्कों के लिए कोसाइन और साइन $$\exp(\pm iz)$$ और समतुल्य शक्ति श्रृंखला: $$\begin{align} & \cos z:= \frac{\exp(iz)+\exp(-iz)}{2} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{z^{2k}}{(2k)!}, \\[5pt] \text{and } \quad & \sin z := \frac{\exp(iz)-\exp(-iz)}{2i} =\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!} \end{align}$$ सबके लिए $ z\in\mathbb{C}.$ कार्य $c$, $x$, और $x$ इसलिए परिभाषित अनुपात परीक्षण द्वारा अभिसरण की अनंत त्रिज्या है और इसलिए संपूर्ण कार्य हैं (अर्थात, होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन ऑन $$\mathbb{C}$$). घातीय कार्य की सीमा है $$\mathbb{C}\setminus \{0\}$$, जबकि जटिल ज्या और कोज्या कार्यों की श्रेणियाँ दोनों हैं $$\mathbb{C}$$ अपनी संपूर्णता में, पिकार्ड प्रमेय के अनुसार | पिकार्ड की प्रमेय, जो दावा करती है कि एक गैर-स्थिर संपूर्ण कार्य की सीमा या तो सभी है $$\mathbb{C}$$, या $$\mathbb{C}$$ एक लाख मूल्य को छोड़कर।

घातीय और त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए ये परिभाषाएं यूलर के फार्मूले के लिए तुच्छ रूप से आगे बढ़ती हैं: $$\exp(iz)=\cos z+i\sin z \text { for all } z\in\mathbb{C}.$$ हम वैकल्पिक रूप से इस संबंध के आधार पर जटिल घातीय फलन को परिभाषित कर सकते हैं। यदि $y′ = y$, कहां $t$ और $x$ दोनों वास्तविक हैं, तो हम इसके घातांक को परिभाषित कर सकते हैं $$\exp z = \exp(x+iy) := (\exp x)(\cos y + i \sin y)$$ कहां $exp$, $k$, और $f: R → R$ परिभाषा चिह्न के दाईं ओर एक वास्तविक चर के कार्यों के रूप में व्याख्या की जानी है, जिसे पहले अन्य तरीकों से परिभाषित किया गया था।

के लिए $$t\in\R$$, संबंध $$\overline{\exp(it)}=\exp(-it)$$ रखता है, ताकि $$\left|\exp(it)\right| = 1$$ वास्तव में $$t$$ और $$t \mapsto \exp(it)$$ वास्तविक रेखा को मैप करता है (mod $f′ = kf$) कॉम्प्लेक्स प्लेन में यूनिट सर्कल के लिए। इसके अलावा, से जा रहा है $$t = 0$$ को $$t = t_0$$, द्वारा परिभाषित वक्र $$\gamma(t)=\exp(it)$$ लंबाई के यूनिट सर्कल के एक खंड का पता लगाता है $$\int_0^{t_0}|\gamma'(t)| \, dt = \int_0^{t_0} |i\exp(it)| \, dt = t_0,$$ से शुरू $f(x) = ce^{kx}$ जटिल विमान में और वामावर्त जा रहा है। इन अवलोकनों और इस तथ्य के आधार पर कि रेडियन में कोण का माप कोण द्वारा अंतरित इकाई वृत्त पर चाप की लंबाई है, यह देखना आसान है कि, वास्तविक तर्कों तक सीमित, साइन और कोसाइन फ़ंक्शन, जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, के साथ मेल खाता है ज्यामितीय धारणाओं के माध्यम से प्रारंभिक गणित में पेश किए गए साइन और कोसाइन फ़ंक्शंस।

जटिल घातीय कार्य अवधि के साथ आवधिक है $c$ और $$\exp(z+2\pi i k)=\exp z$$ सभी के लिए रखता है $$z \in \mathbb{C}, k \in \mathbb{Z}$$.

जब इसका डोमेन वास्तविक रेखा से जटिल विमान तक बढ़ाया जाता है, तो घातीय कार्य निम्नलिखित गुणों को बरकरार रखता है: $$\begin{align} & e^{z + w} = e^z e^w\, \\[5pt] & e^0 = 1\, \\[5pt] & e^z \ne 0 \\[5pt] & \frac{d}{dz} e^z = e^z \\[5pt] & \left(e^z\right)^n = e^{nz}, n \in \mathbb{Z} \end{align} $$ सबके लिए $ w,z\in\mathbb C.$ प्राकृतिक लघुगणक को जटिल तर्कों तक विस्तारित करने से जटिल लघुगणक प्राप्त होता है $f$, जो एक बहुविकल्पीय कार्य है।

फिर हम एक अधिक सामान्य घातांक को परिभाषित कर सकते हैं: $$z^w = e^{w \log z}$$ सभी जटिल संख्याओं के लिए $e^{x}$ और $e^{x}$. यह एक बहुविकल्पीय कार्य भी है, भले ही $e^{z}$ सत्य है। बहुविकल्पीय कार्यों के रूप में यह भेद समस्याग्रस्त है $z = x⁄y$ और $z = 2$ के लिए एक वास्तविक संख्या को प्रतिस्थापित करते समय आसानी से अपने एकल-मूल्य समकक्षों के साथ भ्रमित हो जाते हैं $z > 2$. सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के मामले में घातांकों को गुणा करने के नियम को एक बहु-मूल्यवान संदर्भ में संशोधित किया जाना चाहिए:

शक्तियों के संयोजन के साथ समस्याओं के बारे में अधिक जानकारी के लिए घातांक # शक्ति की विफलता और लघुगणक पहचान देखें।

एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन कॉम्प्लेक्स प्लेन में किसी भी रेखा (गणित) को ओरिजिन (गणित) में केंद्र के साथ जटिल प्लेन में लॉगरिदमिक सर्पिल में मैप करता है। दो विशेष मामले मौजूद हैं: जब मूल रेखा वास्तविक अक्ष के समानांतर होती है, तो परिणामी सर्पिल अपने आप में कभी बंद नहीं होता है; जब मूल रेखा काल्पनिक अक्ष के समानांतर होती है, तो परिणामी सर्पिल कुछ त्रिज्या का एक चक्र होता है।

 Image:ExponentialAbs_real_SVG.svg| $z = it$ Image:ExponentialAbs_image_SVG.svg| $cos t$ Image:ExponentialAbs_SVG.svg| $sin t$ 

चार वास्तविक चर वाले फ़ंक्शन के रूप में जटिल घातीय फ़ंक्शन को ध्यान में रखते हुए: $$v + i w = \exp(x + i y)$$ एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक द्वि-आयामी सतह है जो चार आयामों के माध्यम से घुमावदार है।

के रंग-कोडित हिस्से से शुरू करना $$xy$$ डोमेन, निम्नलिखित दो या तीन आयामों में विभिन्न प्रकार से प्रक्षेपित ग्राफ के चित्रण हैं।

 File: Complex exponential function graph domain xy dimensions.svg|चेकर बोर्ड की: $$x> 0:\; \text{green}$$ $$x< 0:\; \text{red}$$ $$ y> 0:\; \text{yellow}$$ $$ y< 0:\; \text{blue}$$ File: Complex exponential function graph range vw dimensions.svg|रेंज कॉम्प्लेक्स प्लेन (V/W) पर प्रोजेक्शन। अगले, परिप्रेक्ष्य चित्र से तुलना करें। File: Complex exponential function graph horn shape xvw dimensions.jpg|में प्रक्षेपण $$x$$, $$v$$, और $$w$$ आयाम, एक फ्लेयर्ड हॉर्न या फ़नल आकार का निर्माण (2-डी परिप्रेक्ष्य छवि के रूप में कल्पना)। File: Complex exponential function graph spiral shape yvw dimensions.jpg|में प्रक्षेपण $$y$$, $$v$$, और $$w$$ आयाम, एक सर्पिल आकार का निर्माण। ($$y$$ रेंज को ±2 तक बढ़ाया गया$\pi$, फिर से 2-डी परिप्रेक्ष्य छवि के रूप में)। 

दूसरी छवि दिखाती है कि डोमेन कॉम्प्लेक्स प्लेन को रेंज कॉम्प्लेक्स प्लेन में कैसे मैप किया जाता है:
 * शून्य को 1 पर मैप किया गया है
 * असली $$x$$ अक्ष को सकारात्मक वास्तविक में मैप किया गया है $$v$$ एक्सिस
 * काल्पनिक $$y$$ अक्ष को एक स्थिर कोणीय दर पर इकाई वृत्त के चारों ओर लपेटा जाता है
 * नकारात्मक वास्तविक भागों वाले मान यूनिट सर्कल के अंदर मैप किए जाते हैं
 * सकारात्मक वास्तविक भागों वाले मान यूनिट सर्कल के बाहर मैप किए जाते हैं
 * एक निरंतर वास्तविक भाग वाले मान शून्य पर केंद्रित मंडलियों में मैप किए जाते हैं
 * निरंतर काल्पनिक भाग वाले मान शून्य से विस्तारित किरणों के लिए मैप किए जाते हैं

तीसरी और चौथी छवियां दिखाती हैं कि दूसरी छवि में ग्राफ़ कैसे दूसरी छवि में नहीं दिखाए गए अन्य दो आयामों में से एक में विस्तारित होता है।

तीसरी छवि वास्तविक के साथ विस्तारित ग्राफ़ को दिखाती है $$x$$ एक्सिस। यह दर्शाता है कि ग्राफ क्रांति की एक सतह है $$x$$ वास्तविक चरघातांकी फलन के ग्राफ की धुरी, जो सींग या कीप के आकार का निर्माण करती है।

चौथी छवि काल्पनिक के साथ विस्तारित ग्राफ को दिखाती है $$y$$ एक्सिस। यह दर्शाता है कि सकारात्मक और नकारात्मक के लिए ग्राफ की सतह $$y$$ मूल्य वास्तव में नकारात्मक वास्तविक के साथ नहीं मिलते हैं $$v$$ अक्ष, बल्कि इसके चारों ओर एक सर्पिल सतह बनाता है $$y$$ एक्सिस। क्योंकि यह है $$y$$ मूल्यों को बढ़ाया गया है $exp$, यह छवि काल्पनिक रूप से 2π आवर्तता को भी बेहतर ढंग से दर्शाती है $$y$$ कीमत।

की गणना $cos$ जहां दोनों $sin$ और $z = x + iy$ जटिल हैं
जटिल घातांक $exp$ परिवर्तित करके परिभाषित किया जा सकता है $cos$ ध्रुवीय निर्देशांक और पहचान का उपयोग करने के लिए $sin$: $$a^b = \left(re^{\theta i}\right)^b = \left(e^{(\ln r) + \theta i}\right)^b = e^{\left((\ln r) + \theta i\right)b}$$ हालाँकि, कब $2π$ एक पूर्णांक नहीं है, यह फ़ंक्शन बहुविकल्पीय फ़ंक्शन है, क्योंकि $z = 1$ अद्वितीय नहीं है (घातांक#शक्ति की विफलता और लघुगणक पहचान देखें)।

मैट्रिसेस और बनच अल्जेब्रा
घातीय फलन की शक्ति श्रृंखला परिभाषा वर्ग मैट्रिक्स (गणित) के लिए समझ में आती है (जिसके लिए फ़ंक्शन को मैट्रिक्स घातीय कहा जाता है) और अधिक सामान्यतः किसी भी यूनिटल बानाच बीजगणित में $2πi$. इस सेटिंग में, $log z$, और $z$ उलटा के साथ उलटा है $w$ किसी के लिए $z$ में $log z$. यदि $z^{w}$, तब $z$, लेकिन यात्रा न करने पर यह पहचान विफल हो सकती है $(ez)w ≠ ezw$ और $(ez)w = e(z + 2niπ)w$.

कुछ वैकल्पिक परिभाषाएँ समान कार्य की ओर ले जाती हैं। उदाहरण के लिए, $n$ रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n} \right)^n .$$ या $z = Re(e^{x + iy})$ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $z = Im(e^{x + iy})$, कहां $z = |e^{x + iy}|$ अवकल समीकरण का हल है $±2π$, प्रारंभिक स्थिति के साथ $a^{b}$; यह इस प्रकार है कि $a$ हरएक के लिए $y$ में $b$.

झूठ बीजगणित
एक झूठ समूह दिया $a^{b}$ और इससे जुड़े झूठ बीजगणित $$\mathfrak{g}$$घातांक मानचित्र (झूठ सिद्धांत) एक मानचित्र है $$\mathfrak{g}$$ $a$ समान गुणों को संतुष्ट करना। वास्तव में, चूंकि $(e^{ln a})b = a^{b}$ गुणन के तहत सभी सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के लाई समूह का लाई बीजगणित है, वास्तविक तर्कों के लिए सामान्य घातीय कार्य लाई बीजगणित स्थिति का एक विशेष मामला है। इसी तरह, झूठ समूह के बाद से $b$ उलटा का $θ$ मेट्रिसेस में झूठ बीजगणित होता है $B$, सभी का स्थान $e^{0} = 1$ मेट्रिसेस, स्क्वायर मैट्रिसेस के लिए एक्सपोनेंशियल फंक्शन लाई बीजगणित एक्सपोनेंशियल मैप का एक विशेष मामला है।

पहचान $e^{x}$ झूठ बीजगणित तत्वों के लिए विफल हो सकता है $e^{−x}$ और $x$ जो यात्रा नहीं करते; बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ सूत्र आवश्यक सुधार शर्तों की आपूर्ति करता है।

श्रेष्ठता
कार्यक्रम $B$ इसमें नहीं है $xy = yx$ (अर्थात् जटिल गुणांक वाले दो बहुपदों का भागफल नहीं है)।

यदि $e^{x + y} = e^{x}e^{y}$ विशिष्ट सम्मिश्र संख्याएँ हैं, तब $x$ पर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं $y$. यह इस प्रकार है कि $e^{x}$ पारलौकिक कार्य खत्म हो गया है $e^{x}$.

गणना
तर्क के पास एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन की गणना (एक अनुमान) करते समय $f_{x}(1)$, परिणाम 1 के करीब होगा, और अंतर के मान की गणना करेगा $$e^x-1$$ फ्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित के साथ (संभवतः सभी) महत्वपूर्ण आंकड़ों का नुकसान हो सकता है, एक बड़ी गणना त्रुटि उत्पन्न हो सकती है, संभवतः एक अर्थहीन परिणाम भी।

विलियम कहाँ के एक प्रस्ताव के बाद, इस प्रकार समर्पित दिनचर्या के लिए उपयोगी हो सकता है, जिसे अक्सर कहा जाता है, कंप्यूटिंग के लिए  $f_{x} : R → B$ सीधे, की गणना को दरकिनार कर $df_{x}⁄dt(t) = xf_{x}(t)$. उदाहरण के लिए, यदि घातांक की गणना इसकी टेलर श्रृंखला का उपयोग करके की जाती है $$e^x = 1 + x + \frac {x^2}2 + \frac{x^3}6 + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots,$$ कोई टेलर श्रृंखला का उपयोग कर सकता है $$e^x-1$$: $$e^x-1=x+\frac {x^2}2 + \frac{x^3}6+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\cdots.$$ यह पहली बार 1979 में Hewlett-Packard HP-41C कैलकुलेटर में लागू किया गया था, और कई कैलकुलेटर द्वारा प्रदान किया गया था, ऑपरेटिंग सिस्टम (उदाहरण के लिए बर्कले यूनिक्स 4.3BSD ), कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली और प्रोग्रामिंग भाषाएं (उदाहरण के लिए C99)।

आधार के अलावा $f_{x}(0) = 1$, IEEE 754-2008 मानक आधार 2 और 10 के लिए 0 के पास समान घातीय कार्यों को परिभाषित करता है: $$2^x - 1$$ और $$10^x - 1$$.

लघुगणक के लिए एक समान दृष्टिकोण का उपयोग किया गया है (देखें lnp1)।

अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शरेखा के संदर्भ में एक पहचान, $$\operatorname{expm1} (x) = e^x - 1 = \frac{2 \tanh(x/2)}{1 - \tanh(x/2)},$$ के छोटे मूल्यों के लिए एक उच्च-परिशुद्धता मान देता है $f_{x}(t) = e^{tx}$ उन प्रणालियों पर जो लागू नहीं होती हैं $R$.

वैकल्पिक रूप से, इस अभिव्यक्ति का उपयोग किया जा सकता है: का उपयोग करते हुए एक सीमा गणना
 * $$e^x - 1 = \lim_{n \to \infty} \frac{x}{n} \sum_{k=1}^n \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{kx} $$

यह भी देखें

 * कार्लिट्ज एक्सपोनेंशियल, एक विशेषता $G$ अनुरूप
 * गाऊसी समारोह
 * अर्ध-घातीय फलन, किसी चरघातांकी फलन का संयोजनात्मक वर्गमूल
 * घातीय विषयों की सूची
 * घातीय कार्यों के इंटीग्रल की सूची
 * Mittag-Leffler समारोह, घातीय समारोह का एक सामान्यीकरण
 * पी-एडिक आधा घातीय समारोह |$↦ G$-एडिक एक्सपोनेंशियल फंक्शन
 * चरघातांकी फलन के लिए पद तालिका - बहुपद फलन के अंश द्वारा चरघातांकी फलन का पद सन्निकटन
 * पी-एडिक आधा घातीय समारोह |$R$-एडिक एक्सपोनेंशियल फंक्शन
 * चरघातांकी फलन के लिए पद तालिका - बहुपद फलन के अंश द्वारा चरघातांकी फलन का पद सन्निकटन

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