नियमित ग्राफ

ग्राफ़ सिद्धांत में, एक नियमित ग्राफ़ एक ग्राफ़ (असतत गणित) होता है जहाँ प्रत्येक वर्टेक्स (ग्राफ़ सिद्धांत) में पड़ोसियों की संख्या समान होती है; यानी हर शीर्ष में एक ही डिग्री (ग्राफ सिद्धांत) या वैलेंसी होती है। एक नियमित रूप से निर्देशित ग्राफ़ को मजबूत स्थिति को भी पूरा करना चाहिए कि प्रत्येक आंतरिक शीर्ष के इंडिग्री और आगे की डिग्री  एक दूसरे के बराबर हैं। डिग्री के शिखर के साथ एक नियमित ग्राफ $k$ कहा जाता है$k$‑regular ग्राफ या डिग्री का नियमित ग्राफ $k$. साथ ही, हाथ मिलाना लेम्मा  से, एक नियमित ग्राफ़ में विषम डिग्री वाले शीर्षों की सम संख्या होती है।

ज़्यादा से ज़्यादा 2 डिग्री के नियमित ग्राफ़ को वर्गीकृत करना आसान है: a 0-regular ग्राफ़ में डिस्कनेक्ट किए गए शीर्ष होते हैं, a 1-regular ग्राफ़ में डिस्कनेक्ट किए गए किनारे होते हैं, और a 2-regular ग्राफ़ में चक्र (ग्राफ़ थ्योरी) और अनंत श्रृंखलाओं के ग्राफ़ का एक असंबद्ध मिलन होता है।

ए 3-regular ग्राफ को क्यूबिक ग्राफ के रूप में जाना जाता है।

एक दृढ़ता से नियमित ग्राफ़ एक नियमित ग्राफ़ होता है जहां प्रत्येक आसन्न जोड़े के कोने में समान संख्या होती है $l$ पड़ोसियों की उभयनिष्ठता, और प्रत्येक गैर-निकटवर्ती जोड़ी के शीर्षों की संख्या समान है $n$ आम पड़ोसियों में से। सबसे छोटे ग्राफ़ जो नियमित हैं लेकिन दृढ़ता से नियमित नहीं हैं, चक्र ग्राफ़ और 6 वर्टिकल पर गोलाकार ग्राफ ़ हैं।

पूरा ग्राफ $Km$ किसी के लिए दृढ़ता से नियमित है $m$.

क्रिस्पिन सेंट जेए नैश-विलियम्स द्वारा एक प्रमेय | नैश-विलियम्स का कहना है कि हर $k$‑regular ग्राफ पर $2k + 1$ शीर्षों में हैमिल्टनियन चक्र होता है।

अस्तित्व
यह सर्वविदित है कि ए के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें $$k$$ आदेश का नियमित ग्राफ $$n$$ मौजूद हैं $$ n \geq k+1 $$ ओर वो $$ nk $$ सम है।

प्रमाण: जैसा कि हम जानते हैं कि एक पूर्ण ग्राफ में अलग-अलग शीर्षों की प्रत्येक जोड़ी एक अद्वितीय किनारे से एक दूसरे से जुड़ी होती है। इसलिए पूरे ग्राफ में किनारे अधिकतम होते हैं और किनारों की संख्या होती है $$\binom{n}{2} = \dfrac{n(n-1)}{2}$$ और डिग्री यहाँ है $$n-1$$. इसलिए $$k=n-1,n=k+1$$. यह न्यूनतम है $$n$$ एक विशेष के लिए $$k$$. यह भी ध्यान दें कि यदि किसी नियमित ग्राफ में क्रम है $$n$$ तो किनारों की संख्या है $$\dfrac{nk}{2}$$ इसलिए $$nk$$ सम होना चाहिए। ऐसे मामले में परिसंचारी ग्राफ के लिए उपयुक्त मापदंडों पर विचार करके नियमित ग्राफ बनाना आसान है।

बीजगणितीय गुण
A को एक ग्राफ का आसन्न मैट्रिक्स होने दें। फिर ग्राफ नियमित है अगर और केवल अगर $$\textbf{j}=(1, \dots ,1)$$ A का आइजन्वेक्टर है। इसका eigenvalue ग्राफ की निरंतर डिग्री होगी। अन्य eigenvalues ​​​​के अनुरूप eigenvectors ओर्थोगोनल हैं $$\textbf{j}$$, इसलिए ऐसे ईजेनवेक्टरों के लिए $$v=(v_1,\dots,v_n)$$, अपने पास $$\sum_{i=1}^n v_i = 0$$.

डिग्री k का एक नियमित ग्राफ जुड़ा हुआ है अगर और केवल अगर eigenvalue k में बहुलता है। केवल अगर दिशा पेरोन-फ्रोबेनियस प्रमेय का परिणाम है।

नियमित और जुड़े हुए रेखांकन के लिए भी एक मानदंड है: एक ग्राफ जुड़ा हुआ है और नियमित है अगर और केवल अगर जे के मैट्रिक्स के साथ $$J_{ij}=1$$, ग्राफ के आसन्न बीजगणित में है (अर्थात् यह ए की शक्तियों का एक रैखिक संयोजन है)। G को व्यास D और आसन्न मैट्रिक्स के eigenvalues ​​​​के साथ एक k-नियमित ग्राफ होने दें $$k=\lambda_0 >\lambda_1\geq \cdots\geq\lambda_{n-1}$$. यदि जी द्विपक्षीय नहीं है, तो


 * $$D\leq \frac{\log{(n-1)}}{\log(\lambda_0/\lambda_1)}+1. $$

पीढ़ी
आइसोमॉर्फिज्म तक, दी गई डिग्री और शीर्षों की संख्या के साथ सभी नियमित रेखांकन की गणना करने के लिए फास्ट एल्गोरिदम मौजूद हैं।

यह भी देखें

 * यादृच्छिक नियमित ग्राफ
 * मजबूत नियमित ग्राफ
 * मूर ग्राफ
 * केज ग्राफ
 * अत्यधिक अनियमित ग्राफ

बाहरी संबंध

 * GenReg software and data by Markus Meringer.
 * GenReg software and data by Markus Meringer.
 * GenReg software and data by Markus Meringer.