रेजोल्यूशन (बीजगणित)

गणित में, और अधिक विशेष रूप से होमोलॉजिकल बीजगणित में, एक संकल्प (या बाएं संकल्प; दोहरी रूप से एक सहसंबंध या सही संकल्प ) मॉड्यूल (गणित) का एक सटीक अनुक्रम है (या, अधिक आम तौर पर, एबेलियन श्रेणी के ऑब्जेक्ट (श्रेणी सिद्धांत) का), जिसका उपयोग किसी विशिष्ट मॉड्यूल या ऑब्जेक्ट की संरचना को चिह्नित करने वाले इनवेरिएंट (गणित) को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। वर्ग। जब, आमतौर पर, तीरों को दाईं ओर उन्मुख किया जाता है, तो अनुक्रम को (बाएं) संकल्पों के लिए बाईं ओर अनंत माना जाता है, और दाएं संकल्पों के लिए दाईं ओर। हालाँकि, एक परिमित रिज़ॉल्यूशन वह है जहाँ अनुक्रम में केवल बहुत सी वस्तुएँ [[शून्य वस्तु]] हैं। गैर-शून्य; यह आमतौर पर एक परिमित सटीक अनुक्रम द्वारा दर्शाया जाता है जिसमें सबसे बाईं वस्तु (रिज़ॉल्यूशन के लिए) या सबसे दाहिनी वस्तु (सहसंयोजन के लिए) शून्य-ऑब्जेक्ट होती है। आम तौर पर, अनुक्रम में वस्तुओं को कुछ संपत्ति पी (उदाहरण के लिए मुक्त होने के लिए) प्रतिबंधित किया जाता है। इस प्रकार एक पी संकल्प की बात करता है। विशेष रूप से, प्रत्येक मॉड्यूल में 'फ्री रेजोल्यूशन', 'प्रोजेक्टिव रेजोल्यूशन' और 'फ्लैट रेजोल्यूशन' होते हैं, जो क्रमशः मुक्त मॉड्यूल, प्रक्षेपी मॉड्यूल  या फ्लैट मॉड्यूल से युक्त होते हैं। इसी तरह मुफ्त मॉड्यूल में 'इंजेक्शन रेजोल्यूशन' होता है, जो इंजेक्शन मॉड्यूल से मिलकर बने सही रेजोल्यूशन होते हैं।

परिभाषाएं
रिंग आर पर एक मॉड्यूल एम दिया गया है, एम का 'बायां संकल्प' (या बस 'रिज़ॉल्यूशन') आर-मॉड्यूल का एक सटीक अनुक्रम (संभवतः अनंत) है
 * $$\cdots\overset{d_{n+1}}{\longrightarrow}E_n\overset{d_n}{\longrightarrow}\cdots\overset{d_3}{\longrightarrow}E_2\overset{d_2}{\longrightarrow}E_1\overset{d_1}{\longrightarrow}E_0\overset{\varepsilon}{\longrightarrow}M\longrightarrow0.$$

समरूपता डीiसीमा मानचित्र कहलाते हैं। मानचित्र ε को 'वृद्धि मानचित्र' कहा जाता है। संक्षिप्तता के लिए, उपरोक्त संकल्प को इस प्रकार लिखा जा सकता है
 * $$E_\bullet\overset{\varepsilon}{\longrightarrow}M\longrightarrow0.$$

द्वैत (श्रेणी सिद्धांत) एक सही संकल्प (या सह-संकल्प, या केवल संकल्प) का है। विशेष रूप से, एक रिंग आर के ऊपर एक मॉड्यूल एम दिया गया है, एक सही रेजोल्यूशन आर-मॉड्यूल का संभवतः अनंत सटीक अनुक्रम है
 * $$0\longrightarrow M\overset{\varepsilon}{\longrightarrow}C^0\overset{d^0}{\longrightarrow}C^1\overset{d^1}{\longrightarrow}C^2\overset{d^2}{\longrightarrow}\cdots\overset{d^{n-1}}{\longrightarrow}C^n\overset{d^n}{\longrightarrow}\cdots,$$

जहां प्रत्येक सीi एक आर-मॉड्यूल है (इस तरह के रिज़ॉल्यूशन की दोहरी प्रकृति को इंगित करने के लिए रिज़ॉल्यूशन में ऑब्जेक्ट्स और उनके बीच के मानचित्रों पर सुपरस्क्रिप्ट का उपयोग करना आम है)। संक्षिप्तता के लिए, उपरोक्त संकल्प को इस प्रकार लिखा जा सकता है
 * $$0\longrightarrow M\overset{\varepsilon}{\longrightarrow}C^\bullet.$$

ए (सह) संकल्प परिमित कहा जाता है यदि केवल सूक्ष्म रूप से शामिल कई मॉड्यूल गैर-शून्य हैं। एक परिमित रिज़ॉल्यूशन की लंबाई अधिकतम सूचकांक 'एन' है जो परिमित रिज़ॉल्यूशन में एक गैर-शून्य मॉड्यूल को लेबल करता है।

मुक्त, प्रक्षेपी, अंतःक्षेपी, और सपाट संकल्प
कई परिस्थितियों में मॉड्यूल ई पर शर्तें लगाई जाती हैंi दिए गए मॉड्यूल एम को हल करना। उदाहरण के लिए, मॉड्यूल एम का एक मुक्त संकल्प एक बाएं संकल्प है जिसमें सभी मॉड्यूल ईi मुक्त आर-मॉड्यूल हैं। इसी तरह, प्रक्षेपी और सपाट संकल्प बाएं संकल्प हैं जैसे कि सभी ईi क्रमशः प्रोजेक्टिव मॉड्यूल और फ्लैट मॉड्यूल आर-मॉड्यूल हैं। अंतःक्षेपी संकल्प सही संकल्प हैं जिनके सीi सभी इंजेक्शन मॉड्यूल हैं।

प्रत्येक आर-मॉड्यूल में एक मुक्त बायां संकल्प होता है। दुर्भाग्य से, प्रत्येक मॉड्यूल प्रक्षेपी और समतल संकल्पों को भी स्वीकार करता है। सबूत विचार ई को परिभाषित करना है0 एम के तत्वों द्वारा उत्पन्न मुक्त आर-मॉड्यूल होने के लिए, और फिर ई1 प्राकृतिक मानचित्र ई के कर्नेल के तत्वों द्वारा उत्पन्न मुक्त आर-मॉड्यूल होना0 → एम आदि। वास्तव में, प्रत्येक आर-मॉड्यूल में एक इंजेक्शन संकल्प होता है। टोर काम करता है की गणना करने के लिए प्रक्षेपी संकल्प (और, अधिक आम तौर पर, फ्लैट संकल्प) का उपयोग किया जा सकता है।

एक मॉड्यूल एम का प्रोजेक्टिव रेज़ोल्यूशन एक चेन होमोटॉपी तक अद्वितीय है, यानी, दो प्रोजेक्टिव रेज़ोल्यूशन पी दिए गए हैं0 → एम और पी1 → M का M उनके बीच एक श्रृंखला होमोटॉपी मौजूद है।

समजातीय आयाम (बहुविकल्पी) को परिभाषित करने के लिए संकल्पों का उपयोग किया जाता है। एक मॉड्यूल एम के एक परिमित प्रोजेक्टिव रिज़ॉल्यूशन की न्यूनतम लंबाई को इसका प्रोजेक्टिव डायमेंशन कहा जाता है और इसे पीडी (एम) के रूप में दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, एक मॉड्यूल में प्रक्षेपी आयाम शून्य होता है यदि और केवल यदि यह एक प्रक्षेपी मॉड्यूल है। यदि एम परिमित प्रक्षेपी संकल्प को स्वीकार नहीं करता है तो प्रक्षेपी आयाम अनंत है। उदाहरण के लिए, एक कम्यूटेटिव स्थानीय अंगूठी  R के लिए, प्रोजेक्टिव डायमेंशन परिमित है अगर और केवल अगर R  नियमित स्थानीय अंगूठी  है और इस मामले में यह R के क्रुल आयाम के साथ मेल खाता है। अनुरूप रूप से, इंजेक्शन आयाम आईडी (M) और  समतल आयाम  fd (एम) को मॉड्यूल के लिए भी परिभाषित किया गया है।

इंजेक्शन और प्रक्षेपी आयामों का उपयोग सही आर मॉड्यूल की श्रेणी में आर के लिए एक होमोलॉजिकल आयाम को परिभाषित करने के लिए किया जाता है जिसे आर का सही वैश्विक आयाम कहा जाता है। इसी तरह, कमजोर वैश्विक आयाम को परिभाषित करने के लिए फ्लैट आयाम का उपयोग किया जाता है। इन आयामों का व्यवहार रिंग की विशेषताओं को दर्शाता है। उदाहरण के लिए, एक रिंग का सही वैश्विक आयाम 0 है यदि और केवल यदि यह एक अर्ध-सरल रिंग है, और एक रिंग का कमजोर वैश्विक आयाम 0 है यदि और केवल अगर यह वॉन न्यूमैन नियमित रिंग है।

वर्गीकृत मॉड्यूल और बीजगणित
बता दें कि एम एक ग्रेडेड बीजगणित पर एक ग्रेडेड मॉड्यूल है, जो सकारात्मक डिग्री के तत्वों द्वारा एक क्षेत्र पर उत्पन्न होता है। फिर एम के पास एक मुफ्त संकल्प है जिसमें मुफ्त मॉड्यूल ईi इस तरह से वर्गीकृत किया जा सकता है कि di और ε ​​वर्गीकृत सदिश स्थान#रैखिक मानचित्र हैं। इन श्रेणीबद्ध मुक्त संकल्पों में न्यूनतम मुक्त संकल्प वे हैं जिनके लिए प्रत्येक ई के आधार तत्वों की संख्याi न्यूनतम है। प्रत्येक ई के आधार तत्वों की संख्याi और उनकी डिग्री एक ग्रेडेड मॉड्यूल के सभी न्यूनतम मुक्त संकल्पों के लिए समान हैं।

अगर मैं एक क्षेत्र पर एक बहुपद अंगूठी में एक सजातीय आदर्श है, तो I द्वारा परिभाषित प्रोजेक्टिव बीजगणितीय सेट की Castelnuovo-Mumford नियमितता न्यूनतम पूर्णांक आर है जैसे कि ई के आधार तत्वों की डिग्रीi I के न्यूनतम मुक्त रिज़ॉल्यूशन में सभी r-i से कम हैं।

उदाहरण
एक स्थानीय अंगूठी में एक नियमित अनुक्रम के कोज़ुल परिसर या एक क्षेत्र में अंतिम रूप से उत्पन्न एक वर्गीकृत बीजगणित में एक सजातीय नियमित अनुक्रम द्वारा एक मुक्त संकल्प का एक उत्कृष्ट उदाहरण दिया जाता है।

मान लीजिए X एक एस्फेरिकल स्पेस है, यानी इसका सार्वभौमिक आवरण  E सिकुड़ा हुआ है। तब E का प्रत्येक विलक्षण होमोलॉजी (या एकवचन समरूपता) चेन कॉम्प्लेक्स मॉड्यूल 'Z' का एक मुक्त रिज़ॉल्यूशन है, जो न केवल रिंग 'Z' के ऊपर है, बल्कि  समूह की अंगूठी  'Z' [π] पर भी है।1(एक्स)]।

एबेलियन श्रेणियों में संकल्प
एबेलियन श्रेणी ए में ऑब्जेक्ट एम के संकल्प की परिभाषा उपरोक्त के समान है, लेकिन ईiऔर सीi A में वस्तुएँ हैं, और शामिल सभी मानचित्र A में आकारिकी हैं।

प्रोजेक्टिव और इंजेक्शन मॉड्यूल की समान धारणा प्रक्षेपण वस्तु  और इंजेक्शन वस्तु हैं, और तदनुसार, प्रोजेक्टिव और इंजेक्शन संकल्प। हालांकि, इस तरह के संकल्पों को सामान्य एबेलियन श्रेणी ए में मौजूद होने की आवश्यकता नहीं है। यदि ए के प्रत्येक ऑब्जेक्ट में प्रोजेक्टिव (प्रतिक्रियात्मक) संकल्प है, तो ए को पर्याप्त पर्याप्त परियोजनाएँप्रतिक्रिया पर्याप्त इंजेक्शन) कहा जाता है। भले ही वे मौजूद हों, ऐसे संकल्पों के साथ काम करना अक्सर मुश्किल होता है। उदाहरण के लिए, जैसा कि ऊपर बताया गया है, प्रत्येक आर-मॉड्यूल में एक इंजेक्शन रिज़ॉल्यूशन होता है, लेकिन यह रिज़ॉल्यूशन कार्यात्मक नहीं होता है, यानी, एक समरूपता M → M' दिया जाता है, साथ में इंजेक्शन रिज़ॉल्यूशन
 * $$0 \rightarrow M \rightarrow I_*, \ \ 0 \rightarrow M' \rightarrow I'_*,$$

सामान्य तौर पर बीच का नक्शा प्राप्त करने का कोई क्रियात्मक तरीका नहीं है $$I_*$$ और $$I'_*$$.

सामान्य रूप से प्रक्षेपी संकल्पों के बिना एबेलियन श्रेणियां
अनुमानित प्रस्तावों के बिना एबेलियन श्रेणियों के उदाहरणों का एक वर्ग श्रेणियां हैं $$\text{Coh}(X)$$ एक योजना पर सुसंगत शीफ का (गणित) $$X$$. उदाहरण के लिए, अगर $$X = \mathbb{P}^n_S$$ प्रोजेक्टिव स्पेस है, कोई सुसंगत शीफ $$\mathcal{M}$$ पर $$X$$ एक सटीक अनुक्रम द्वारा दी गई प्रस्तुति है
 * $$\bigoplus_{i,j=0} \mathcal{O}_X(s_{i,j}) \to \bigoplus_{i=0} \mathcal{O}_X(s_i) \to \mathcal{M} \to 0.$$

पहले दो शब्द सामान्य रूप से प्रोजेक्टिव नहीं हैं $$H^n(\mathbb{P}^n_S,\mathcal{O}_X(s)) \neq 0$$ के लिए $$s > 0$$. लेकिन, दोनों शर्तें स्थानीय रूप से मुफ़्त हैं, और स्थानीय रूप से सपाट हैं। कुछ व्युत्पन्न फ़ैक्टरों की गणना के लिए प्रोजेक्टिव संकल्पों को प्रतिस्थापित करने के लिए, कुछ कंप्यूटेशंस के लिए शेव के दोनों वर्गों का उपयोग किया जा सकता है।

चक्रीय संकल्प
कई मामलों में वास्तव में एक संकल्प में दिखाई देने वाली वस्तुओं में कोई दिलचस्पी नहीं है, लेकिन किसी दिए गए फ़ैक्टर के संबंध में संकल्प के व्यवहार में। इसलिए, कई स्थितियों में, चक्रीय संकल्पों की धारणा का उपयोग किया जाता है: बाएं सटीक फ़ैक्टर एफ दिया गया: ए → बी दो एबेलियन श्रेणियों के बीच, एक संकल्प
 * $$0 \rightarrow M \rightarrow E_0 \rightarrow E_1 \rightarrow E_2 \rightarrow \cdots$$

ए के एक ऑब्जेक्ट एम को एफ-एसाइक्लिक कहा जाता है, अगर व्युत्पन्न फ़ैक्टर आरiएफ (ईn) सभी i > 0 और n ≥ 0 के लिए गायब हो जाते हैं। यदि इसके व्युत्पन्न फ़ैक्टर रिज़ॉल्यूशन की वस्तुओं पर गायब हो जाते हैं, तो एक सही सटीक फ़ंक्टर के संबंध में दोहरे रूप से, एक बायाँ रिज़ॉल्यूशन चक्रीय होता है।

उदाहरण के लिए, एक आर मॉड्यूल एम, टेंसर उत्पाद दिया गया$$\otimes_R M$$ एक सही सटीक फ़ैक्टर मॉड (आर) → मॉड (आर) है। इस फ़ैक्टर के संबंध में प्रत्येक फ्लैट रिज़ॉल्यूशन विश्वकोश है। एक फ्लैट रेजोल्यूशन प्रत्येक एम द्वारा टेन्सर उत्पाद के लिए विश्वकोश है। इसी तरह, सभी फ़ैक्टर होम ( ⋅, M) के लिए एसाइक्लिक रेज़ोल्यूशन प्रोजेक्टिव रेज़ोल्यूशन हैं और फ़ैक्टर्स होम (M,  ⋅ ) के लिए एसाइक्लिक इंज़ेक्टिव रिज़ॉल्यूशन हैं।

कोई भी इंजेक्शन (प्रक्षेपी) संकल्प 'एफ' है - किसी भी बाएं सटीक (दाएं सटीक, क्रमशः) फ़ैक्टर के लिए चक्रीय।

विश्वकोश संकल्पों का महत्व इस तथ्य में निहित है कि व्युत्पन्न कारक आरiF (एक बाएं सटीक फ़ैक्टर का, और इसी तरह Liएक सही सटीक फ़ंक्टर का F) F-एसाइक्लिक रिज़ॉल्यूशन के होमोलॉजी के रूप में प्राप्त किया जा सकता है: एक एसाइक्लिक रिज़ॉल्यूशन दिया गया $$E_*$$ एक वस्तु एम की, हमारे पास है
 * $$R_i F(M) = H_i F(E_*),$$

जहां दाहिने हाथ की ओर कॉम्प्लेक्स की आई-वें समरूपता वस्तु है $$F(E_*).$$ यह स्थिति कई स्थितियों में लागू होती है। उदाहरण के लिए, लगातार शीफ आर के लिए अलग-अलग कई गुना एम पर शेवों द्वारा हल किया जा सकता है $$\mathcal C^*(M)$$ चिकनी अंतर रूपों की:


 * $$0 \rightarrow R \subset \mathcal C^0(M) \stackrel d \rightarrow \mathcal C^1(M) \stackrel d \rightarrow \cdots \stackrel d \rightarrow \mathcal C^{\dim M}(M) \rightarrow 0.$$

पूले $$\mathcal C^*(M)$$ ठीक पुलिया हैं, जिन्हें वैश्विक खंड  फंक्टर के संबंध में एसाइक्लिक के रूप में जाना जाता है $$\Gamma: \mathcal F \mapsto \mathcal F(M)$$... ... इसलिए, शेफ कोहोलॉजी, जो वैश्विक खंड functor Γ के व्युत्पन्न फ़ैक्टर है, के रूप में गणना की जाती है $$\mathrm H^i(M, \mathbf R) = \mathrm H^i( \mathcal C^*(M)).$$ इसी प्रकार वैश्विक खंड फ़ैक्टर के संबंध में गोडेमेंट संकल्प विश्वकोश हैं।

यह भी देखें

 * मानक संकल्प
 * हिल्बर्ट-बर्च प्रमेय
 * हिल्बर्ट की सहक्रिया प्रमेय
 * मुफ्त प्रस्तुति
 * मैट्रिक्स गुणनखंड (बीजगणित)