लेबेस्ग माप

माप (गणित) में, गणित की एक शाखा, फ्रांस के गणितज्ञ हेनरी लेबेस्ग्यू ए के नाम पर लेबेसेग माप, एन-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष के सबसेट के लिए एक माप (गणित) निर्दिष्ट करने का मानक तरीका है। n = 1, 2, या 3 के लिए, यह लंबाई, क्षेत्रफल, या आयतन के मानक माप के साथ मेल खाता है। सामान्य तौर पर, इसे एन-डायमेंशनल वॉल्यूम, एन-वॉल्यूम, या बस वॉल्यूम भी कहा जाता है। इसका उपयोग पूरे वास्तविक विश्लेषण में किया जाता है, विशेष रूप से लेबेसेग एकीकरण को परिभाषित करने के लिए। ऐसे समुच्चय जिन्हें लेबेसेग माप निर्दिष्ट किया जा सकता है, लेबेसेग-मापने योग्य कहलाते हैं; Lebesgue-measurable सेट A का माप यहाँ λ(A) द्वारा दर्शाया गया है।

हेनरी लेबेस्ग ने इस उपाय का वर्णन वर्ष 1901 में किया, उसके बाद अगले वर्ष लेबेस्ग इंटीग्रल के अपने विवरण के द्वारा। दोनों को 1902 में उनके शोध प्रबंध के हिस्से के रूप में प्रकाशित किया गया था।

परिभाषा
किसी भी अंतराल के लिए (गणित) $$I = [a,b]$$, या $$I = (a, b)$$, सेट में $$\mathbb{R}$$ वास्तविक संख्याओं की, चलो $$\ell(I)= b - a$$ इसकी लंबाई को निरूपित करें। किसी उपसमुच्चय के लिए $$E\subseteq\mathbb{R}$$, लेबेस्ग बाहरी माप $$\lambda^{\!*\!}(E)$$ इसे सबसे कम के रूप में परिभाषित किया गया है
 * $$\lambda^{\!*\!}(E) = \inf \left\{\sum_{k=1}^\infty \ell(I_k) : {(I_k)_{k \in \mathbb N}} \text{ is a sequence of open intervals with } E\subset \bigcup_{k=1}^\infty I_k\right\}.$$

उपरोक्त परिभाषा को निम्नानुसार उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। किसी भी आयताकार घनाभ के लिए $$C$$ जो एक कार्टेशियन उत्पाद है $$C=I_1\times\cdots\times I_n$$ खुले अंतराल की, चलो $$\operatorname{vol}(C)=\ell(I_1)\times\cdots\times \ell(I_n)$$ इसकी मात्रा को निरूपित करें। किसी उपसमुच्चय के लिए $$E\subseteq\mathbb{R^n}$$,
 * $$\lambda^{\!*\!}(E) = \inf \left\{\sum_{k=1}^\infty \operatorname{vol}(C_k) : {(C_k)_{k \in \mathbb N}} \text{ is a sequence of products of open intervals with } E\subset \bigcup_{k=1}^\infty C_k\right\}.$$

कुछ सेट $$E$$ कैराथियोडोरी की कसौटी पर खरे $$ A\subseteq \mathbb{R}$$,
 * $$\lambda^{\!*\!}(A) = \lambda^{\!*\!}(A \cap E) + \lambda^{\!*\!}(A \cap E^c).$$

ऐसे सभी का सेट $$E$$ एक सिग्मा-बीजगणित बनाता है|σ-बीजगणित। ऐसे किसी के लिए $$E$$, इसके Lebesgue माप को इसके Lebesgue बाहरी माप के रूप में परिभाषित किया गया है: $$\lambda(E) = \lambda^{\!*\!}(E)$$.

एक सेट $$E$$ जो कैराथियोडोरी कसौटी पर खरा नहीं उतरता है वह लेबेसेग-मापने योग्य नहीं है। ZFC साबित करता है कि गैर-मापने योग्य सेट मौजूद हैं; एक उदाहरण विटाली सेट है।

अंतर्ज्ञान
परिभाषा के पहले भाग में कहा गया है कि सबसेट $$E$$ खुले अंतराल के सेट द्वारा कवरेज द्वारा वास्तविक संख्याओं को इसके बाहरी माप में घटा दिया जाता है। अंतराल के इन सेटों में से प्रत्येक $$I$$ कवर $$E$$ एक मायने में, चूंकि इन अंतरालों का मिलन होता है $$E$$. किसी भी कवरिंग अंतराल सेट की कुल लंबाई के माप को अधिक अनुमानित कर सकती है $$E,$$ क्योंकि $$E$$ अंतरालों के मिलन का एक उपसमुच्चय है, और इसलिए अंतरालों में वे बिंदु शामिल हो सकते हैं जो अंदर नहीं हैं $$E$$. Lebesgue बाहरी माप निम्नतम और उच्चतम के रूप में उभर कर आता है | ऐसे सभी संभावित सेटों में से लंबाई की सबसे निचली सीमा (इन्फिनिमम)। सहज रूप से, यह उन अंतराल सेटों की कुल लंबाई है जो फिट होते हैं $$E$$ सबसे कसकर और ओवरलैप न करें।

यह Lebesgue बाहरी माप की विशेषता है। क्या यह बाहरी उपाय लेबेस्गु माप में उचित अनुवाद करता है, यह एक अतिरिक्त शर्त पर निर्भर करता है। उपसमुच्चय लेकर इस स्थिति का परीक्षण किया जाता है $$A$$ वास्तविक संख्याओं का उपयोग करके $$E$$ विभाजित करने के साधन के रूप में $$A$$ दो भागों में: का हिस्सा $$A$$ जो साथ प्रतिच्छेद करता है $$E$$ और का शेष भाग $$A$$ जो में नहीं है $$E$$: का सेट अंतर $$A$$ और $$E$$. ये विभाजन $$A$$ बाहरी माप के अधीन हैं। यदि संभव हो तो ऐसे सबसेट $$A$$ वास्तविक संख्याओं का, का विभाजन $$A$$ द्वारा अलग करना $$E$$ बाहरी उपाय हैं जिनका योग बाहरी माप है $$A$$, फिर बाहरी Lebesgue उपाय $$E$$ इसका लेबेस्ग उपाय देता है। सहज रूप से, इस स्थिति का अर्थ है कि सेट $$E$$ कुछ जिज्ञासु गुण नहीं होने चाहिए जो दूसरे सेट के माप में विसंगति का कारण बनते हैं $$E$$ उस सेट को क्लिप करने के लिए एक मास्क के रूप में उपयोग किया जाता है, सेट के अस्तित्व पर इशारा करते हुए जिसके लिए लेबेसेग बाहरी उपाय लेबेसेग माप नहीं देता है। (इस तरह के सेट, वास्तव में, लेबेसेग-मापने योग्य नहीं हैं।)

उदाहरण

 * कोई बंद अंतराल (गणित) {{nowrap|[a, b]}वास्तविक संख्याओं का } Lebesgue-मापने योग्य है, और इसका Lebesgue माप लंबाई है b &minus; a. खुला अंतराल (a, b) का एक ही माप है, क्योंकि दो सेटों के बीच सेट अंतर में केवल अंतिम बिंदु a और b होते हैं, जिनमें से प्रत्येक का माप शून्य होता है।
 * अंतराल का कोई कार्टेशियन उत्पाद [a, b] और [c, d] Lebesgue-measurable है, और इसका Lebesgue माप है (b &minus; a)(d &minus; c), संगत आयत का क्षेत्रफल।
 * इसके अलावा, हर बोरेल सेट Lebesgue-मापने योग्य है। हालांकि, Lebesgue-मापने योग्य सेट हैं जो बोरेल सेट नहीं हैं।
 * वास्तविक संख्याओं के किसी भी गणनीय सेट का Lebesgue माप 0 है। विशेष रूप से, बीजगणितीय संख्याओं के सेट का Lebesgue माप 0 है, भले ही सेट R में Dense सेट है।
 * कैंटर सेट और लिउविल संख्या का सेट बेशुमार सेटों के उदाहरण हैं जिनमें लेबेस्गु माप 0 है।
 * यदि नियतत्व का स्वयंसिद्ध सिद्धांत मान्य है तो वास्तविक के सभी सेट Lebesgue-मापने योग्य हैं। हालांकि निर्धारण पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ संगत नहीं है।
 * विटाली सेट उन सेटों के उदाहरण हैं जो लेबेस्ग माप के संबंध में गैर-मापने योग्य सेट हैं। उनका अस्तित्व पसंद के स्वयंसिद्ध पर निर्भर करता है।
 * ओस्गुड वक्र सकारात्मक संख्या लेबेस्गु माप के साथ सरल समतल वक्र हैं (इसे पीनो वक्र निर्माण के छोटे बदलाव से प्राप्त किया जा सकता है)। ड्रैगन वक्र एक और असामान्य उदाहरण है।
 * कोई भी लाइन $$\mathbb{R}^n$$, के लिए $$n \geq 2$$, एक शून्य Lebesgue माप है। सामान्य तौर पर, प्रत्येक उचित hyperplane  के परिवेश स्थान में एक शून्य लेबेस्गु माप होता है।

गुण
आर पर लेबेस्ग उपायn के निम्नलिखित गुण हैं:


 * 1) यदि A अंतराल (गणित) I का कार्टेशियन उत्पाद है1 × मैं2 × ⋯ × मैंn, तो A Lebesgue-measurable and है $$\lambda (A)=|I_1|\cdot |I_2|\cdots |I_n|.$$
 * 2) यदि A गणनीय असंयुक्त Lebesgue-मापने योग्य समुच्चयों का एक असंयुक्त संघ है, तो A स्वयं Lebesgue-मापने योग्य है और λ(A) शामिल मापन योग्य सेटों के उपायों के योग (या अनंत श्रृंखला) के बराबर है।
 * 3) यदि A Lebesgue-मापने योग्य है, तो इसका पूरक (सेट सिद्धांत) भी है।
 * 4) λ(A) ≥ 0 प्रत्येक Lebesgue-मापने योग्य सेट A के लिए।
 * 5) यदि A और B Lebesgue-मापने योग्य हैं और A, B का उपसमुच्चय है, तो λ(A) ≤ λ(B). (2. का परिणाम)
 * 6) Lebesgue-measurable सेट के काउंटेबल  संघ (सेट सिद्धांत)  और  चौराहा (सेट सिद्धांत)  Lebesgue-measurable हैं। (2 और 3 का परिणाम नहीं है, क्योंकि सेट का एक परिवार जो पूरक और असंबद्ध गणनीय यूनियनों के तहत बंद है, को गणनीय यूनियनों के तहत बंद करने की आवश्यकता नहीं है: $$\{\emptyset, \{1,2,3,4\}, \{1,2\}, \{3,4\}, \{1,3\}, \{2,4\}\}$$.)
 * 7) यदि A 'R' का एक खुला सेट या बंद सेट सबसेट हैn (या यहां तक ​​कि बोरेल सेट, मीट्रिक स्थान देखें), तो A Lebesgue-मापने योग्य है।
 * 8) यदि ए एक लेबेसेग-मापने योग्य सेट है, तो यह लेबेसेग माप के अर्थ में लगभग खुला और लगभग बंद है।
 * 9) एक Lebesgue-मापने योग्य सेट को एक खुले सेट और एक निहित बंद सेट के बीच निचोड़ा जा सकता है। इस संपत्ति का उपयोग Lebesgue मापनीयता की वैकल्पिक परिभाषा के रूप में किया गया है। ज्यादा ठीक, $$E\subset \mathbb{R}$$ Lebesgue-मापने योग्य है अगर और केवल अगर सबके लिए $$\varepsilon>0$$ वहाँ एक खुला सेट मौजूद है $$G$$ और एक बंद सेट $$F$$ ऐसा है कि $$F\subset E\subset G$$ और $$\lambda(G\setminus F)<\varepsilon$$.
 * 10) एक Lebesgue-मापने योग्य सेट को युक्त Gδ सेट के बीच निचोड़ा जा सकता है|Gδ सेट और एक निहित Fσ सेट | एफσ. यानी, अगर A Lebesgue-measurable है तो Gδ सेट मौजूद है | Gδ समुच्चय G और एक Fσ समुच्चय|FσF ऐसा कि G ⊇ A ⊇ F और λ(G \ A) = λ(A \ F) = 0।
 * 11) Lebesgue माप स्थानीय रूप से परिमित माप और आंतरिक नियमित माप दोनों है, और इसलिए यह एक रेडॉन माप है।
 * 12) Lebesgue माप गैर-खाली खुले सेटों पर सख्ती से सकारात्मक उपाय है, और इसलिए इसका समर्थन (माप सिद्धांत) संपूर्ण 'R' हैएन.
 * 13) यदि A λ(A) = 0 (एक अशक्त समुच्चय) के साथ एक Lebesgue-मापने योग्य समुच्चय है, तो A का प्रत्येक उपसमुच्चय भी एक अशक्त समुच्चय है। ए फोर्टियोरी, ए का प्रत्येक उपसमुच्चय औसत दर्जे का है।
 * 14) यदि A Lebesgue-मापने योग्य है और x 'R' का एक तत्व हैn, तो A + x = {a + x : a ∈ A} द्वारा परिभाषित x द्वारा A का अनुवाद भी Lebesgue-मापने योग्य है और A के समान माप है।
 * 15) यदि ए लेबेस्ग-मापने योग्य है और $$\delta>0$$, फिर का फैलाव $$A$$ द्वारा $$\delta$$द्वारा परिभाषित $$\delta A=\{\delta x:x\in A\}$$ Lebesgue-measurable भी है और इसका माप है $$\delta^{n}\lambda\,(A).$$
 * 16) अधिक आम तौर पर, यदि टी एक रैखिक परिवर्तन है और ए 'आर' का मापनीय उपसमुच्चय हैn, तो T(A) भी Lebesgue-measurable है और इसका माप है $$\left|\det(T)\right| \lambda(A)$$.

उपरोक्त सभी को संक्षेप में संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है (हालांकि पिछले दो दावे गैर-तुच्छ रूप से निम्नलिखित से जुड़े हुए हैं):


 * Lebesgue-measurable सेट एक sigma-algebra|σ-बीजगणित बनाते हैं जिसमें अंतराल के सभी उत्पाद होते हैं, और λ अद्वितीय पूर्ण माप अनुवाद संबंधी व्युत्क्रम है। अनुवाद-अपरिवर्तनीय माप (गणित) उस σ-बीजगणित पर $$\lambda([0,1]\times [0, 1]\times \cdots \times [0, 1])=1.$$

Lebesgue माप में सिग्मा-परिमित माप|σ-परिमित होने का गुण भी है।

अशक्त सेट
R का एक उपसमुच्चयn एक रिक्त समुच्चय है, यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए, इसे n अंतरालों के गिने-चुने कई उत्पादों से कवर किया जा सकता है, जिनकी कुल मात्रा अधिकतम ε है। सभी गणनीय समुच्चय अशक्त समुच्चय होते हैं।

यदि 'R' का उपसमुच्चयn का हौसडॉर्फ आयाम n से कम है तो यह n-आयामी Lebesgue माप के संबंध में एक शून्य सेट है। यहाँ हॉसडॉर्फ आयाम 'आर' पर यूक्लिडियन मीट्रिक के सापेक्ष हैn (या इसके समतुल्य कोई मीट्रिक रूडोल्फ लिपशिट्ज)। दूसरी ओर, एक सेट में एन से कम टोपोलॉजिकल आयाम हो सकता है और सकारात्मक एन-आयामी लेबेस्गु माप हो सकता है। इसका एक उदाहरण स्मिथ-वोल्तेरा-कैंटर सेट है, जिसका सामयिक आयाम 0 है, फिर भी सकारात्मक 1-आयामी लेबेस्गु माप है।

यह दिखाने के लिए कि दिया गया समुच्चय A लेबेस्गु-मापने योग्य है, आमतौर पर एक अच्छे समुच्चय B को खोजने का प्रयास किया जाता है जो A से केवल एक शून्य समुच्चय से भिन्न होता है (इस अर्थ में कि सममित अंतर (A − B) ∪ (B − A) ) एक शून्य सेट है) और फिर दिखाएं कि खुले या बंद सेटों से काउंटेबल यूनियनों और चौराहों का उपयोग करके बी उत्पन्न किया जा सकता है।

लेबेसेग उपाय का निर्माण
लेबेस्ग उपाय का आधुनिक निर्माण कैराथोडोरी के विस्तार प्रमेय का एक अनुप्रयोग है। यह निम्नानुसार आगे बढ़ता है।

हल करना n &isin; N. आर में एक बॉक्सn फॉर्म का एक सेट है
 * $$B=\prod_{i=1}^n [a_i,b_i] \, ,$$

कहाँ bi &ge; ai, और यहां उत्पाद प्रतीक कार्टेशियन उत्पाद का प्रतिनिधित्व करता है। इस बॉक्स की मात्रा को परिभाषित किया गया है
 * $$\operatorname{vol}(B)=\prod_{i=1}^n (b_i-a_i) \, .$$

'R' के किसी उपसमुच्चय A के लिएn, हम इसके बाहरी माप λ*(A) को निम्न द्वारा परिभाषित कर सकते हैं:


 * $$\lambda^*(A) = \inf \left\{\sum_{B\in \mathcal{C}}\operatorname{vol}(B) : \mathcal{C}\text{ is a countable collection of boxes whose union covers }A\right\} .$$

फिर हम समुच्चय A को Lebesgue-मापने योग्य के रूप में परिभाषित करते हैं यदि 'R' के प्रत्येक उपसमुच्चय S के लिएएन,
 * $$\lambda^*(S) = \lambda^*(S \cap A) + \lambda^*(S \setminus A) \, .$$

ये Lebesgue-measurable सेट एक σ-algebra|σ-algebra बनाते हैं, और Lebesgue माप द्वारा परिभाषित किया गया है किसी भी लेबेसेग-मापने योग्य सेट ए के लिए।

सेट का अस्तित्व जो लेबेस्ग-मापने योग्य नहीं हैं, पसंद के सेट-सैद्धांतिक सिद्धांत का परिणाम है, जो सेट सिद्धांत के लिए स्वयंसिद्धों के कई पारंपरिक प्रणालियों से स्वतंत्र है। विटाली सेट, जो स्वयंसिद्ध से अनुसरण करता है, कहता है कि 'आर' के उपसमुच्चय मौजूद हैं जो लेबेसेग-मापने योग्य नहीं हैं। पसंद के स्वयंसिद्ध को मानते हुए, कई आश्चर्यजनक गुणों के साथ गैर-मापने योग्य सेट प्रदर्शित किए गए हैं, जैसे कि बनच-टार्स्की विरोधाभास।

1970 में, रॉबर्ट एम. सोलोवे ने दिखाया कि पसंद के स्वयंसिद्ध के अभाव में ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के ढांचे के भीतर लेबेस्ग्यू-मापने योग्य नहीं होने वाले सेट का अस्तित्व साबित नहीं होता है (सोलोवे का मॉडल देखें)।

अन्य उपायों से संबंध
बोरेल उपाय उन सेटों पर लेबेस्ग माप से सहमत है जिसके लिए इसे परिभाषित किया गया है; हालांकि, बोरल उपाय योग्य सेटों की तुलना में कई अधिक लेबेसेग-मापने योग्य सेट हैं। बोरेल माप अनुवाद-अपरिवर्तनीय है, लेकिन पूर्ण माप नहीं है।

हार उपाय को किसी भी स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूह पर परिभाषित किया जा सकता है और यह लेबेसेग उपाय (आरn जोड़ के साथ एक स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूह है)।

हॉसडॉर्फ माप, लेबेस्गु माप का एक सामान्यीकरण है जो 'आर' के सबसेट को मापने के लिए उपयोगी है।n से कम आयामों का n, जैसे कि सबमेनिफोल्ड, उदाहरण के लिए, 'R' में सतहें या वक्र3 और भग्न  सेट। हॉसडॉर्फ माप को हॉसडॉर्फ आयाम की धारणा से भ्रमित नहीं होना चाहिए।

यह दिखाया जा सकता है कि कोई अनंत-आयामी लेबेस्ग माप नहीं है | लेबेसेग माप का कोई अनंत-आयामी एनालॉग नहीं है।

यह भी देखें

 * लेबेस्ग्यू का घनत्व प्रमेय
 * लिउविल संख्या # लिउविल संख्याएं और माप
 * गैर-मापने योग्य सेट
 * विटाली सेट