असतत फूरियर रूपांतरण



गणित में, असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म (डीएफटी) असतत-समय फूरियर ट्रांसफॉर्म (डीएफटीटी) के समान दूरी वाले नमूने के समान-लंबाई अनुक्रम में फ़ंक्शन (गणित) के समान रूप से दूरी वाले नमूनाकरण (सिग्नल प्रोसेसिंग) के एक सीमित अनुक्रम को परिवर्तित करता है।, जो एक सम्मिश्र संख्या है | आवृत्ति का जटिल-मूल्यवान फलन। जिस अंतराल पर DTFT का नमूना लिया जाता है, वह इनपुट अनुक्रम की अवधि का व्युत्क्रम होता है। एक व्युत्क्रम डीएफटी एक फूरियर श्रृंखला है, जो डीटीएफटी नमूनों का उपयोग संबंधित डीटीएफटी आवृत्तियों पर जटिल संख्या साइन तरंगों के गुणांक के रूप में करती है। इसमें मूल इनपुट अनुक्रम के समान नमूना-मान हैं। इसलिए डीएफटी को मूल इनपुट अनुक्रम का आवृत्ति डोमेन प्रतिनिधित्व कहा जाता है। यदि मूल अनुक्रम किसी फ़ंक्शन के सभी गैर-शून्य मानों को फैलाता है, तो इसका DTFT निरंतर (और आवधिक) है, और DFT एक चक्र के असतत नमूने प्रदान करता है। यदि मूल अनुक्रम आवधिक कार्य का एक चक्र है, तो डीएफटी एक डीटीएफटी चक्र के सभी गैर-शून्य मान प्रदान करता है।

डीएफटी सबसे महत्वपूर्ण असतत परिवर्तन है, जिसका उपयोग कई व्यावहारिक अनुप्रयोगों में फूरियर विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। अंकीय संकेत प्रक्रिया में, फ़ंक्शन कोई भी मात्रा या संकेत (सूचना सिद्धांत) है जो समय के साथ बदलता रहता है, जैसे ध्वनि तरंग का दबाव, एक रेडियो सिग्नल, या दैनिक तापमान रीडिंग, एक परिमित समय अंतराल पर नमूना (अक्सर एक द्वारा परिभाषित) खिड़की समारोह ). छवि प्रसंस्करण में, नमूने रेखापुंज छवि की पंक्ति या स्तंभ के साथ पिक्सेल के मान हो सकते हैं। डीएफटी का उपयोग आंशिक अंतर समीकरणों को कुशलतापूर्वक हल करने के लिए भी किया जाता है, और अन्य कार्यों जैसे दृढ़ संकल्प या बड़े पूर्णांक को गुणा करने के लिए किया जाता है।

चूंकि यह डेटा की एक सीमित मात्रा से संबंधित है, इसे संगणक में संख्यात्मक एल्गोरिदम या यहां तक ​​कि समर्पित डिजिटल सर्किट द्वारा कार्यान्वित किया जा सकता है। ये कार्यान्वयन आमतौर पर कुशल तेज़ फूरियर ट्रांसफ़ॉर्म (FFT) एल्गोरिदम को नियोजित करते हैं; इतना अधिक कि FFT और DFT शब्द अक्सर एक दूसरे के स्थान पर उपयोग किए जाते हैं। इसके वर्तमान उपयोग से पहले, FFT प्रथमाक्षर का उपयोग अस्पष्ट शब्द परिमित फूरियर रूपांतरण (बहुविकल्पी) के लिए भी किया जा सकता है।

परिभाषा
असतत फूरियर रूपांतरण एन जटिल संख्याओं के अनुक्रम को रूपांतरित करता है $$  \left \{ \mathbf{x}_n \right \} := x_0, x_1, \ldots, x_{N-1}$$ जटिल संख्याओं के दूसरे क्रम में,  $$\left \{ \mathbf{X}_k \right \} := X_0, X_1, \ldots, X_{N-1},$$ जिसके द्वारा परिभाषित किया गया है

जहां अंतिम अभिव्यक्ति यूलर के सूत्र द्वारा पहली अभिव्यक्ति का अनुसरण करती है।

रूपांतरण को कभी-कभी प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है $$\mathcal{F}$$, जैसे की $$\mathbf{X} = \mathcal{F} \left \{ \mathbf{x} \right \} $$ या $$\mathcal{F} \left ( \mathbf{x} \right )$$ या $$\mathcal{F} \mathbf{x}$$.

प्रेरणा
$$ डोमेन के बाहर भी मूल्यांकन किया जा सकता है $$k \in [0,N-1]$$, और वह विस्तारित क्रम है $$N$$-आवधिक अनुक्रम। तदनुसार, के अन्य क्रम $$N$$ सूचकांक कभी-कभी उपयोग किए जाते हैं, जैसे $\left[-\frac{N}{2}, \frac{N}{2} - 1\right]$ (यदि $$N$$ सम है) और $\left[-\frac{N-1}{2}, \frac{N-1}{2}\right]$  (यदि $$N$$ विषम है), जो परिवर्तन के परिणाम के बाएँ और दाएँ हिस्सों की अदला-बदली करता है।

$$ व्याख्या की जा सकती है या विभिन्न तरीकों से प्राप्त की जा सकती है, उदाहरण के लिए:

डीएफटी और आईडीएफटी को गुणा करने वाला सामान्यीकरण कारक (यहां 1 और $\frac{1}{N}$ ) और प्रतिपादकों के संकेत केवल चिह्न परिपाटी हैं, और कुछ उपचारों में भिन्न हैं। इन सम्मेलनों की एकमात्र आवश्यकताएं हैं कि डीएफटी और आईडीएफटी के विपरीत-साइन एक्सपोनेंट हैं और उनके सामान्यीकरण कारकों का उत्पाद होना चाहिए। $\frac{1}{N}$. का सामान्यीकरण $\sqrt{\frac{1}{N}}$ उदाहरण के लिए, डीएफटी और आईडीएफटी दोनों के लिए, रूपांतरण को एकात्मक बनाता है। एक असतत आवेग, $$x_n=1$$ n = 0 और 0 पर अन्यथा; में परिवर्तित हो सकता है $$X_k = 1$$ सभी k के लिए (DFT और के लिए सामान्यीकरण कारक 1 का उपयोग करें $\frac{1}{N}$  आईडीएफटी के लिए)। एक डीसी संकेत, $$X_k = 1$$ k = 0 और 0 पर अन्यथा; में उलटा रूपांतरित हो सकता है $$x_n = 1$$ सभी के लिए $$n$$ (उपयोग $\frac{1}{N}$  डीएफटी के लिए और 1 आईडीएफटी के लिए) जो सिग्नल के मीन#अरिथमेटिक मीन (एएम) के रूप में एकदिश धारा को देखने के अनुरूप है।

उदाहरण
यह उदाहरण दर्शाता है कि लंबाई के क्रम में DFT को कैसे लागू किया जाए $$N=4$$ और इनपुट वेक्टर

$$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_0 \\ x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2-i \\ -i \\ -1+2i \end{pmatrix}. $$ के डीएफटी की गणना $$\mathbf{x}$$ का उपयोग करते हुए $$

$$X_0 = e^{-i 2 \pi 0 \cdot 0 / 4} \cdot 1 + e^{-i 2 \pi 0 \cdot 1 / 4} \cdot (2-i) + e^{-i 2 \pi 0 \cdot 2 / 4} \cdot (-i) + e^{-i 2 \pi 0 \cdot 3 / 4} \cdot (-1+2i) = 2$$ $$X_1 = e^{-i 2 \pi 1 \cdot 0 / 4} \cdot 1 + e^{-i 2 \pi 1 \cdot 1 / 4} \cdot (2-i) + e^{-i 2 \pi 1 \cdot 2 / 4} \cdot (-i) + e^{-i 2 \pi 1 \cdot 3 / 4} \cdot (-1+2i) = -2-2i$$ $$X_2 = e^{-i 2 \pi 2 \cdot 0 / 4} \cdot 1 + e^{-i 2 \pi 2 \cdot 1 / 4} \cdot (2-i) + e^{-i 2 \pi 2 \cdot 2 / 4} \cdot (-i) + e^{-i 2 \pi 2 \cdot 3 / 4} \cdot (-1+2i) = -2i$$ $$X_3 = e^{-i 2 \pi 3 \cdot 0 / 4} \cdot 1 + e^{-i 2 \pi 3 \cdot 1 / 4} \cdot (2-i) + e^{-i 2 \pi 3 \cdot 2 / 4} \cdot (-i) + e^{-i 2 \pi 3 \cdot 3 / 4} \cdot (-1+2i) = 4+4i$$ का परिणाम $$\mathbf{X} = \begin{pmatrix} X_0 \\ X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2-2i \\ -2i \\ 4+4i \end{pmatrix}. $$

उलटा परिवर्तन
असतत फूरियर रूपांतरण एक उलटा, रैखिक परिवर्तन है
 * $$\mathcal{F}\colon\mathbb{C}^N \to \mathbb{C}^N$$

साथ $$\mathbb{C}$$ सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय को निरूपित करना। इसके व्युत्क्रम को व्युत्क्रम असतत फूरियर ट्रांसफ़ॉर्म (IDFT) के रूप में जाना जाता है। दूसरे शब्दों में, किसी के लिए $$N>0$$, एक एन-डायमेंशनल कॉम्प्लेक्स वेक्टर में एक डीएफटी और एक आईडीएफटी होता है जो बारी-बारी से होते हैं $$N$$-आयामी जटिल वैक्टर।

उलटा परिवर्तन इसके द्वारा दिया गया है:

रैखिकता
डीएफटी एक रैखिक परिवर्तन है, यानी अगर $$\mathcal{F}(\{x_n\})_k=X_k$$ तथा $$\mathcal{F}(\{y_n\})_k=Y_k$$, फिर किसी भी सम्मिश्र संख्या के लिए $$a,b$$:
 * $$\mathcal{F}(\{a x_n + b y_n\})_k=a X_k + b Y_k$$

समय और आवृत्ति उत्क्रमण
समय को उलटना (यानी बदलना $$n$$ द्वारा $$N-n$$) में $$x_n$$ आवृत्ति को उलटने के अनुरूप है (यानी $$k$$ द्वारा $$N-k$$). गणितीय रूप से, यदि $$\{x_n\}$$ सदिश x को निरूपित करता है


 * यदि $$\mathcal{F}(\{x_n\})_k=X_k$$
 * फिर $$\mathcal{F}(\{ x_{N-n} \})_k=X_{N-k}$$

समय में संयुग्मन
यदि $$\mathcal{F}(\{x_n\})_k = X_k$$ फिर $$\mathcal{F}(\{ x_n^* \})_k = X_{N-k}^*$$.

वास्तविक और काल्पनिक भाग
यह तालिका कुछ गणितीय संक्रियाओं को दर्शाती है $$x_n$$ समय डोमेन में और इसके डीएफटी पर संबंधित प्रभाव $$X_k$$ आवृत्ति डोमेन में।

ओर्थोगोनलिटी
वैक्टर $$u_k = \left[\left. e^{ \frac{i 2\pi}{N} kn} \;\right|\; n=0,1,\ldots,N-1 \right]^\mathsf{T}$$ एन-डायमेंशनल कॉम्प्लेक्स वैक्टर के सेट पर एक ऑर्थोगोनल आधार बनाएं:


 * $$u^\mathsf{T}_k u_{k'}^*

= \sum_{n=0}^{N-1} \left(e^{ \frac{i 2\pi}{N} kn}\right) \left(e^{\frac{i 2\pi}{N} (-k')n}\right) = \sum_{n=0}^{N-1} e^{ \frac{i 2\pi}{N} (k-k') n} = N~\delta_{kk'} $$ कहाँ पे $$\delta_{kk'}$$ क्रोनकर डेल्टा है। (अंतिम चरण में, योग तुच्छ है यदि $$k=k'$$, यह कहाँ है 1 + 1 + ⋯ = N, और अन्यथा एक ज्यामितीय श्रृंखला है जिसे शून्य प्राप्त करने के लिए स्पष्ट रूप से अभिव्यक्त किया जा सकता है।) इस ऑर्थोगोनलिटी की स्थिति का उपयोग डीएफटी की परिभाषा से आईडीएफटी के सूत्र को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है, और नीचे एकात्मकता संपत्ति के बराबर है।

प्लांचेरल प्रमेय और पारसेवल प्रमेय
यदि $$X_k$$ तथा $$Y_k$$ के डीएफटी हैं $$x_n$$ तथा $$y_n$$ क्रमशः पारसेवल प्रमेय कहता है:


 * $$\sum_{n=0}^{N-1} x_n y^*_n = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X_k Y^*_k$$

जहाँ तारा जटिल संयुग्म को दर्शाता है। प्लैंकेरल प्रमेय पारसेवल प्रमेय का एक विशेष मामला है और कहता है:


 * $$\sum_{n=0}^{N-1} |x_n|^2 = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} |X_k|^2.$$

ये प्रमेय नीचे दी गई एकात्मक स्थिति के समतुल्य भी हैं।

आवधिकता
आवधिकता को सीधे परिभाषा से दिखाया जा सकता है:


 * $$X_{k+N} \ \triangleq \ \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-\frac{i 2\pi}{N} (k+N) n} =

\sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-\frac{i 2\pi}{N} k n} \underbrace{e^{-i 2 \pi n}}_{1} = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-\frac{i 2\pi}{N} k n} = X_k. $$ इसी तरह, यह दिखाया जा सकता है कि आईडीएफटी सूत्र एक आवधिक विस्तार की ओर ले जाता है।

शिफ्ट प्रमेय
गुणा $$x_n$$ एक रैखिक चरण द्वारा $$e^{\frac{i 2\pi (n-1)}{N} m}$$ कुछ पूर्णांक के लिए m आउटपुट के एक गोलाकार बदलाव से मेल खाता है $$X_k$$: $$X_k$$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $$X_{k-m}$$, जहां सबस्क्रिप्ट की व्याख्या मॉड्यूलर अंकगणितीय एन (यानी, समय-समय पर) की जाती है। इसी तरह, इनपुट का एक गोलाकार बदलाव $$x_n$$ आउटपुट को गुणा करने के अनुरूप है $$X_k$$ एक रैखिक चरण द्वारा। गणितीय रूप से, यदि $$\{x_n\}$$ सदिश x को निरूपित करता है


 * यदि $$\mathcal{F}(\{x_n\})_k=X_k$$
 * फिर $$\mathcal{F}\left(\left\{ x_n \cdot e^{\frac{i 2\pi}{N}n m} \right\}\right)_k=X_{k-m}$$
 * तथा $$\mathcal{F}\left(\left\{x_{n-m}\right\}\right)_k=X_k \cdot e^{-\frac{i 2\pi}{N}k m}$$

सर्कुलर कनवल्शन प्रमेय और क्रॉस-सहसंबंध प्रमेय
असतत-समय फूरियर ट्रांसफ़ॉर्म (DTFT) के लिए DTFT#Convolution इंगित करता है कि दो अनुक्रमों का कनवल्शन अलग-अलग ट्रांसफ़ॉर्म के उत्पाद के व्युत्क्रम ट्रांसफ़ॉर्म के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। एक महत्वपूर्ण सरलीकरण तब होता है जब अनुक्रमों में से एक एन-आवधिक होता है, जिसे यहां द्वारा निरूपित किया जाता है $$y_{_N},$$ इसलिये $$\scriptstyle \text{DTFT} \displaystyle \{y_{_N}\}$$ केवल असतत आवृत्तियों पर गैर-शून्य है (देखें ), और इसलिए इसका उत्पाद निरंतर कार्य के साथ है $$\scriptstyle \text{DTFT} \displaystyle \{x\}.$$इससे उलटा परिवर्तन का काफी सरलीकरण होता है।


 * $$x * y_{_N}\ =\ \scriptstyle{\rm DTFT}^{-1} \displaystyle \left[\scriptstyle{\rm DTFT} \displaystyle \{x\}\cdot \scriptstyle{\rm DTFT} \displaystyle \{y_{_N}\}\right]\ =\ \scriptstyle{\rm DFT}^{-1} \displaystyle \left[\scriptstyle{\rm DFT} \displaystyle \{x_{_N}\}\cdot \scriptstyle{\rm DFT} \displaystyle \{y_{_N}\}\right],$$

कहाँ पे $$x_{_N}$$ का आवर्त योग है $$x$$ क्रम: $$(x_{_N})_n\ \triangleq \sum_{m=-\infty}^{\infty} x_{(n-mN)}.$$ कस्टम रूप से, डीएफटी और उलटा डीएफटी सारांश डोमेन पर ले लिए जाते हैं $$[0,N-1]$$. उन डीएफटी को परिभाषित करना $$X$$ तथा $$Y$$, परिणाम है:



(x * y_{_N})_n \triangleq \sum_{\ell=-\infty}^{\infty}x_\ell \cdot (y_{_N})_{n-\ell} = \underbrace{\mathcal{F}^{-1}}_{\rm DFT^{-1}} \left \{ X\cdot Y \right \}_n.$$ व्यवहार में, द $$x$$ अनुक्रम आमतौर पर लंबाई N या उससे कम होता है, और $$y_{_N}$$ एन-लंबाई का आवधिक विस्तार है $$y$$-अनुक्रम, जिसे एक वृत्ताकार फलन':' के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है


 * $$(y_{_N})_n = \sum_{p=-\infty}^\infty y_{(n-pN)} = y_{(n\operatorname{mod}N)}, \quad n\in\mathbb{Z}.$$

तब कनवल्शन को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

जो व्याख्या को एक गोलाकार कनवल्शन के रूप में जन्म देता है गणित> एक्स  और गणित> वाई।   इसका उपयोग अक्सर उनके रैखिक कनवल्शन की कुशलतापूर्वक गणना करने के लिए किया जाता है। (देखें सर्कुलर कनवल्शन#उदाहरण, कनवल्शन#फास्ट कनवल्शन एल्गोरिदम, और ओवरलैप-सेव विधि|ओवरलैप-सेव)

इसी तरह, का क्रॉस-सहसंबंध $$x$$ तथा $$y_{_N}$$ द्वारा दिया गया है:


 * $$(x \star y_{_N})_n \triangleq \sum_{\ell=-\infty}^{\infty} x_\ell^* \cdot (y_{_N})_{n+\ell} = \mathcal{F}^{-1} \left \{ X^* \cdot Y \right \}_n.$$

यह दिखाया गया है कोई भी रेखीय परिवर्तन जो कनवल्शन को पॉइंटवाइज़ उत्पाद में बदल देता है, वह DFT (गुणांकों के क्रमपरिवर्तन तक) है।

कनवल्शन प्रमेय द्वैत
यह भी दिखाया जा सकता है कि:


 * $$\mathcal{F} \left \{ \mathbf{x\cdot y} \right \}_k \ \triangleq

\sum_{n=0}^{N-1} x_n \cdot y_n \cdot e^{-i \frac{2\pi}{N} k n}$$
 * $$=\frac{1}{N} (\mathbf{X * Y_N})_k, $$ जो कि वृत्ताकार कनवल्शन है $$\mathbf{X}$$ तथा $$\mathbf{Y}$$.

त्रिकोणमितीय प्रक्षेप बहुपद
त्रिकोणमितीय प्रक्षेप बहुपद
 * $$p(t) = \begin{cases}

\frac{1}{N} \left[ X_0 + X_1 e^{i 2\pi t} + \cdots + X_{N/2-1} e^{i 2\pi(N/2-1) t} + X_{N/2} \cos(N\pi t) + X_{N/2+1} e^{-i 2\pi(N/2-1) t} + \cdots + X_{N-1} e^{-i 2\pi t} \right] & N\text{ even} \\ \frac{1}{N} \left[ X_0 + X_1 e^{i 2\pi t} + \cdots + X_{(N-1)/2} e^{i \pi(N-1) t} + X_{(N+1)/2} e^{-i \pi(N-1) t} + \cdots + X_{N-1} e^{-i 2\pi t} \right] & N\text{ odd} \end{cases}$$ जहां गुणांक Xk एक्स के डीएफटी द्वारा दिया जाता हैn उपरोक्त, इंटरपोलेशन संपत्ति को संतुष्ट करता है $$p(n/N) = x_n$$ के लिये $$n = 0, \ldots, N-1$$.

एन के लिए भी, ध्यान दें कि Nyquist आवृत्ति $\frac{X_{N/2}}{N} \cos(N\pi t)$ विशेष रूप से संभाला जाता है।

यह इंटरपोलेशन अद्वितीय नहीं है: अलियासिंग का तात्पर्य है कि कोई जटिल-साइनसॉइड आवृत्तियों में से किसी में एन जोड़ सकता है (उदाहरण के लिए बदलना $$e^{-it}$$ प्रति $$e^{i(N-1)t}$$) इंटरपोलेशन प्रॉपर्टी को बदले बिना, लेकिन बीच में अलग-अलग वैल्यू दे रहा है $$x_n$$ अंक। हालाँकि, उपरोक्त विकल्प विशिष्ट है क्योंकि इसमें दो उपयोगी गुण हैं। सबसे पहले, इसमें साइनसॉइड होते हैं जिनकी आवृत्तियों में सबसे छोटा संभव परिमाण होता है: प्रक्षेप बैंड-सीमित होता है। दूसरा, अगर $$x_n$$ वास्तविक संख्याएँ हैं, तब $$p(t)$$ वास्तविक भी है।

इसके विपरीत, सबसे स्पष्ट त्रिकोणमितीय प्रक्षेप बहुपद वह है जिसमें आवृत्तियों की सीमा 0 से $$N-1$$ (मोटे तौर पर के बजाय $$-N/2$$ प्रति $$+N/2$$ ऊपर के रूप में), उलटा डीएफटी सूत्र के समान। यह प्रक्षेप ढलान को कम नहीं करता है, और आम तौर पर वास्तविक के लिए वास्तविक-मूल्यवान नहीं होता है $$x_n$$; इसका उपयोग एक सामान्य गलती है।

एकात्मक डीएफटी
डीएफटी को देखने का एक अन्य तरीका यह ध्यान रखना है कि उपरोक्त चर्चा में, डीएफटी को डीएफटी मैट्रिक्स, एक वैंडरमोंड मैट्रिक्स के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, पाउली मैट्रिसेस का सामान्यीकरण # निर्माण: 1867 में घड़ी और शिफ्ट मैट्रिसेस,
 * $$\mathbf{F} =

\begin{bmatrix} \omega_N^{0 \cdot 0}    & \omega_N^{0 \cdot 1}     & \cdots & \omega_N^{0 \cdot (N-1)}     \\ \omega_N^{1 \cdot 0}    & \omega_N^{1 \cdot 1}     & \cdots & \omega_N^{1 \cdot (N-1)}     \\ \vdots                  & \vdots                   & \ddots & \vdots                       \\ \omega_N^{(N-1) \cdot 0} & \omega_N^{(N-1) \cdot 1} & \cdots & \omega_N^{(N-1) \cdot (N-1)} \\ \end{bmatrix} $$ कहाँ पे $$\omega_N = e^{-i 2 \pi/N}$$ एकता की आदिम जड़ें हैं।

व्युत्क्रम रूपांतरण तब उपरोक्त मैट्रिक्स के व्युत्क्रम द्वारा दिया जाता है,
 * $$\mathbf{F}^{-1}=\frac{1}{N}\mathbf{F}^*$$

एकात्मक ऑपरेटर सामान्यीकरण स्थिरांक के साथ $1/\sqrt{N}$, डीएफटी एक एकात्मक परिवर्तन बन जाता है, जिसे एकात्मक मैट्रिक्स द्वारा परिभाषित किया जाता है:


 * $$\begin{align}

\mathbf{U} &= \frac{1}{\sqrt{N}}\mathbf{F} \\ \mathbf{U}^{-1} &= \mathbf{U}^* \\ \left|\det(\mathbf{U})\right| &= 1 \end{align}$$ कहाँ पे $$\det$$ निर्धारक कार्य है। निर्धारक eigenvalues ​​​​का उत्पाद है, जो हमेशा होता है $$\pm 1$$ या $$\pm i$$ निम्नलिखित अनुसार। एक वास्तविक सदिश स्थान में, एकात्मक परिवर्तन को समन्वय प्रणाली के केवल एक कठोर रोटेशन के रूप में माना जा सकता है, और एक कठोर रोटेशन के सभी गुण एकात्मक डीएफटी में पाए जा सकते हैं।

डीएफटी की ओर्थोगोनलिटी अब एक ऑर्थोनॉर्मलिटी स्थिति के रूप में व्यक्त की जाती है (जो गणित के कई क्षेत्रों में उत्पन्न होती है जैसा कि एकता की जड़ में वर्णित है):
 * $$\sum_{m=0}^{N-1}U_{km}U_{mn}^* = \delta_{kn}$$

यदि X को सदिश x के एकात्मक DFT के रूप में परिभाषित किया जाता है, तब
 * $$X_k = \sum_{n=0}^{N-1} U_{kn} x_n$$

और पारसेवल प्रमेय को इस रूप में अभिव्यक्त किया जाता है
 * $$\sum_{n=0}^{N-1}x_n y_n^* = \sum_{k=0}^{N-1}X_k Y_k^*$$

यदि हम डीएफटी को केवल एक समन्वय परिवर्तन के रूप में देखते हैं जो केवल एक नए समन्वय प्रणाली में वेक्टर के घटकों को निर्दिष्ट करता है, तो उपरोक्त केवल यह बयान है कि दो वैक्टरों का डॉट उत्पाद एकात्मक डीएफटी परिवर्तन के तहत संरक्षित है। विशेष मामले के लिए $$\mathbf{x} = \mathbf{y}$$, इसका तात्पर्य है कि एक सदिश की लंबाई भी संरक्षित है - यह सिर्फ प्लैंकेरल प्रमेय है,
 * $$\sum_{n=0}^{N-1} |x_n|^2 = \sum_{k=0}^{N-1} |X_k|^2$$

असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म # सर्कुलर कनवल्शन प्रमेय और क्रॉस-सहसंबंध प्रमेय का एक परिणाम यह है कि डीएफटी मैट्रिक्स $$ किसी भी परिचालित मैट्रिक्स को विकर्ण करता है।

व्युत्क्रम DFT को DFT
के संदर्भ में व्यक्त करना डीएफटी की एक उपयोगी संपत्ति यह है कि प्रतिलोम डीएफटी को (फॉरवर्ड) डीएफटी के संदर्भ में कई प्रसिद्ध युक्तियों के माध्यम से आसानी से व्यक्त किया जा सकता है। (उदाहरण के लिए, संगणनाओं में, केवल एक रूपांतरण दिशा के अनुरूप एक तेज़ फूरियर रूपांतरण लागू करना और फिर पहले से दूसरी परिवर्तन दिशा प्राप्त करना सुविधाजनक होता है।)

सबसे पहले, हम सभी इनपुटों में से एक को छोड़कर उलटा डीएफटी की गणना कर सकते हैं (डुहामेल एट अल।, 1988):


 * $$\mathcal{F}^{-1}(\{x_n\}) = \frac{1}{N}\mathcal{F}(\{x_{N - n}\})$$

(हमेशा की तरह, सबस्क्रिप्ट्स की व्याख्या मॉड्यूलर अंकगणित एन की जाती है; इस प्रकार, के लिए $$n = 0$$, अपने पास $$x_{N-0} = x_0$$.)

दूसरा, कोई भी इनपुट और आउटपुट को संयुग्मित कर सकता है:


 * $$\mathcal{F}^{-1}(\mathbf{x}) = \frac{1}{N}\mathcal{F}\left(\mathbf{x}^*\right)^*$$

तीसरा, इस संयुग्मन चाल का एक प्रकार, जो कभी-कभी बेहतर होता है क्योंकि इसमें डेटा मानों के संशोधन की आवश्यकता नहीं होती है, इसमें वास्तविक और काल्पनिक भागों की अदला-बदली शामिल होती है (जो कंप्यूटर पर केवल सूचक (कंप्यूटर प्रोग्रामिंग) को संशोधित करके किया जा सकता है)। परिभाषित करना $\operatorname{swap}(x_n)$ जैसा $$x_n$$ इसके वास्तविक और काल्पनिक भागों की अदला-बदली की जाती है - अर्थात, यदि $$x_n = a + b i$$ फिर $\operatorname{swap}(x_n)$  है $$b + a i$$. समान रूप से, $\operatorname{swap}(x_n)$ बराबरी $$i x_n^*$$. फिर


 * $$\mathcal{F}^{-1}(\mathbf{x}) = \frac{1}{N}\operatorname{swap}(\mathcal{F}(\operatorname{swap}(\mathbf{x})))$$

यही है, उलटा परिवर्तन वही है जो सामान्यीकरण तक इनपुट और आउटपुट दोनों के लिए वास्तविक और काल्पनिक भागों की अदला-बदली के साथ आगे के परिवर्तन के समान है (डुहामेल एट अल।, 1988)।

संयुग्मन चाल का उपयोग एक नए परिवर्तन को परिभाषित करने के लिए भी किया जा सकता है, जो डीएफटी से निकटता से संबंधित है, जो कि इनवोल्यूशन (गणित) है - जो कि इसका स्वयं का व्युत्क्रम है। विशेष रूप से, $$T(\mathbf{x}) = \mathcal{F}\left(\mathbf{x}^*\right) / \sqrt{N}$$ स्पष्ट रूप से इसका उलटा है: $$T(T(\mathbf{x})) = \mathbf{x}$$. एक निकट से संबंधित अनैच्छिक परिवर्तन (के एक कारक द्वारा $\frac{1 + i}{\sqrt{2}}$ ) है $$H(\mathbf{x}) = \mathcal{F}\left((1 + i) \mathbf{x}^*\right) / \sqrt{2N}$$, के बाद से $$(1 + i)$$ में कारक $$H(H(\mathbf{x}))$$ रद्द करें 2. वास्तविक आदानों के लिए $$\mathbf{x}$$, का असली हिस्सा $$H(\mathbf{x})$$ असतत हार्टले परिवर्तन के अलावा और कोई नहीं है, जो अनैच्छिक भी है।

ईजेनवैल्यू और ईजेनवेक्टर
डीएफटी मैट्रिक्स के eigenvalues ​​​​सरल और प्रसिद्ध हैं, जबकि eigenvectors जटिल हैं, अद्वितीय नहीं हैं, और चल रहे शोध का विषय हैं।

एकात्मक रूप पर विचार करें $$\mathbf{U}$$ लंबाई एन के डीएफटी के लिए ऊपर परिभाषित, जहां
 * $$\mathbf{U}_{m,n} = \frac 1{\sqrt{N}}\omega_N^{(m-1)(n-1)} = \frac 1{\sqrt{N}}e^{-\frac{i 2\pi}N (m-1)(n-1)}.$$

यह मैट्रिक्स मैट्रिक्स बहुपद समीकरण को संतुष्ट करता है:
 * $$\mathbf{U}^4 = \mathbf{I}.$$

यह उपरोक्त विपरीत गुणों से देखा जा सकता है: संचालन $$\mathbf{U}$$ दो बार मूल डेटा को उल्टे क्रम में देता है, इसलिए संचालन करता है $$\mathbf{U}$$ चार बार मूल डेटा वापस देता है और इस प्रकार पहचान मैट्रिक्स है। इसका मतलब है कि eigenvalues $$\lambda$$ समीकरण को संतुष्ट करें:
 * $$\lambda^4 = 1.$$

इसलिए, के eigenvalues $$\mathbf{U}$$ एकता की चौथी जड़ें हैं: $$\lambda$$ +1, -1, +i, या -i है।

चूंकि इसके लिए केवल चार अलग-अलग आइगेनवैल्यू हैं $$N\times N$$ मैट्रिक्स, उनके पास कुछ बीजगणितीय बहुलता है। बहुलता प्रत्येक eigenvalue के अनुरूप रैखिक रूप से स्वतंत्र eigenvectors की संख्या देती है। (एन स्वतंत्र ईजेनवेक्टर हैं; एकात्मक मैट्रिक्स कभी भी दोषपूर्ण मैट्रिक्स नहीं होता है।)

उनकी बहुलता की समस्या को मैकक्लेलन एंड पार्क्स (1972) द्वारा हल किया गया था, हालांकि बाद में यह कार्ल फ्रेडरिक गॉस (डिकिन्सन और स्टिग्लिट्ज, 1982) द्वारा हल की गई समस्या के बराबर दिखाया गया था। बहुलता एन मॉड्यूलर अंकगणितीय 4 के मान पर निर्भर करती है, और निम्न तालिका द्वारा दी गई है:

अन्यथा कहा गया है, की विशेषता बहुपद $$\mathbf{U}$$ है:
 * $$\det (\lambda I - \mathbf{U})=

(\lambda-1)^{\left\lfloor \tfrac {N+4}{4}\right\rfloor} (\lambda+1)^{\left\lfloor \tfrac {N+2}{4}\right\rfloor} (\lambda+i)^{\left\lfloor \tfrac {N+1}{4}\right\rfloor} (\lambda-i)^{\left\lfloor \tfrac {N-1}{4}\right\rfloor}.$$ सामान्य ईजेनवेक्टरों के लिए कोई सरल विश्लेषणात्मक सूत्र ज्ञात नहीं है। इसके अलावा, eigenvectors अद्वितीय नहीं हैं क्योंकि समान eigenvalue के लिए eigenvectors का कोई भी रैखिक संयोजन भी उस eigenvalue के लिए एक eigenvector है। विभिन्न शोधकर्ताओं ने ईजेनवेक्टरों के विभिन्न विकल्पों का प्रस्ताव दिया है, जो ओर्थोगोनालिटी जैसे उपयोगी गुणों को पूरा करने के लिए चुने गए हैं और सरल रूप हैं (जैसे, मैकक्लेलन एंड पार्क्स, 1972; डिकिन्सन एंड स्टिग्लिट्ज, 1982; ग्रुनबाम, 1982; अताकिशियेव और वुल्फ, 1997; कैंडन एट अल। 2000; हन्ना एट अल।, 2004; गुरेविच और हदानी, 2008)।

एक सीधा दृष्टिकोण निरंतर फूरियर रूपांतरण के एक ईजेनफंक्शन को अलग करना है, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध गाऊसी समारोह है। चूँकि फ़ंक्शन के आवधिक योग का अर्थ है इसकी आवृत्ति स्पेक्ट्रम को अलग करना और विवेक का अर्थ है स्पेक्ट्रम का आवधिक योग, असतत और समय-समय पर अभिव्यक्त गॉसियन फ़ंक्शन असतत परिवर्तन का एक ईजेनवेक्टर उत्पन्न करता है: श्रृंखला के लिए बंद रूप की अभिव्यक्ति को जैकोबी थीटा कार्यों द्वारा व्यक्त किया जा सकता है
 * $$F(m) = \sum_{k\in\mathbb{Z}} \exp\left(-\frac{\pi\cdot(m+N\cdot k)^2}{N}\right).$$

विशेष डीएफटी अवधि एन के लिए दो अन्य सरल बंद-रूप विश्लेषणात्मक ईजेनवेक्टर पाए गए (कोंग, 2008):
 * $$F(m) = \frac1{\sqrt{N}}\vartheta_3\left(\frac{\pi m}N, \exp\left(-\frac{\pi}N \right)\right).$$

DFT अवधि के लिए N = 2L + 1 = 4K + 1, जहाँ K एक पूर्णांक है, निम्नलिखित DFT का आइजनवेक्टर है: DFT अवधि के लिए N = 2L = 4K, जहाँ K एक पूर्णांक है, निम्नलिखित DFT का आइजनवेक्टर है: डीएफटी मैट्रिक्स के ईजेनवेक्टरों का चुनाव हाल के वर्षों में महत्वपूर्ण हो गया है ताकि आंशिक फूरियर रूपांतरण के असतत एनालॉग को परिभाषित किया जा सके- डीएफटी मैट्रिक्स को ईजेनवेल्यूज (जैसे, रुबियो और संथानम, 2005) को एक्सपोनेंटिएट करके आंशिक शक्तियों में ले जाया जा सकता है। निरंतर फूरियर परिवर्तन के लिए, प्राकृतिक ऑर्थोगोनल ईजेनफंक्शन हर्मिट कार्य हैं, इसलिए इनमें से विभिन्न असतत एनालॉग्स को डीएफटी के ईजेनवेक्टरों के रूप में नियोजित किया गया है, जैसे कि क्रावचुक बहुपद (एताकिशियेव और वुल्फ, 1997)। हालांकि, आंशिक असतत फूरियर रूपांतरण को परिभाषित करने के लिए ईजेनवेक्टरों का सबसे अच्छा विकल्प एक खुला प्रश्न बना हुआ है।
 * $$F(m) = \prod_{s=K+1}^L \left[\cos\left(\frac{2\pi}{N}m\right) - \cos\left(\frac{2\pi}{N}s\right)\right]$$
 * $$F(m) = \sin\left(\frac{2\pi}{N}m\right) \prod_{s=K+1}^{L-1}\left[\cos\left(\frac{2\pi}{N}m\right)- \cos\left(\frac{2\pi}{N}s\right)\right]$$

संभाव्य अनिश्चितता सिद्धांत
यदि यादृच्छिक चर $n ∈ [0, N − 1]$ से विवश है
 * $$\sum_{n=0}^{N-1} |X_n|^2 = 1 ,$$

फिर
 * $$P_n=|X_n|^2$$ के असतत संभाव्यता द्रव्यमान समारोह का प्रतिनिधित्व करने के लिए माना जा सकता है $$रूपांतरित चर से निर्मित संबद्ध प्रायिकता द्रव्यमान फ़ंक्शन के साथ,
 * $$Q_m = N |x_m|^2 .$$

निरंतर कार्यों के मामले में $$P(x)$$ तथा $$Q(k)$$, हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत कहता है कि
 * $$D_0(X)D_0(x)\ge\frac{1}{16\pi^2}$$

कहाँ पे $$D_0(X)$$ तथा $$D_0(x)$$ के पर्याय हैं $$|X|^2$$ तथा $$|x|^2$$ क्रमशः, उपयुक्त सामान्यीकृत गॉसियन वितरण के मामले में प्राप्त समानता के साथ। हालांकि भिन्नताओं को डीएफटी के लिए समान रूप से परिभाषित किया जा सकता है, एक समान अनिश्चितता सिद्धांत उपयोगी नहीं है, क्योंकि अनिश्चितता बदलाव-अपरिवर्तनीय नहीं होगी। फिर भी, मसार और स्पिंडल द्वारा एक सार्थक अनिश्चितता सिद्धांत पेश किया गया है।

हालांकि, डीएफटी के मामले में हिर्शमैन एंट्रोपिक अनिश्चितता का एक उपयोगी एनालॉग होगा। हिर्शमैन अनिश्चितता सिद्धांत दो संभाव्यता कार्यों के एंट्रॉपी (सूचना सिद्धांत) के संदर्भ में व्यक्त किया गया है।

असतत मामले में, शैनन एन्ट्रापी को इस रूप में परिभाषित किया गया है
 * $$H(X)=-\sum_{n=0}^{N-1} P_n\ln P_n$$

तथा
 * $$H(x)=-\sum_{m=0}^{N-1} Q_m\ln Q_m ,$$

और एंट्रोपिक अनिश्चितता सिद्धांत बन जाता है :$$H(X)+H(x) \ge \ln(N) .$$ के लिए समानता प्राप्त होती है $$P_n$$ अवधि के एक उपयुक्त सामान्यीकृत क्रोनकर कंघी के अनुवाद और संशोधन के बराबर $$A$$ कहाँ पे $$A$$ का कोई सटीक पूर्णांक विभाजक है $$N$$. संभाव्यता द्रव्यमान समारोह $$Q_m$$ तब अवधि के एक उपयुक्त रूप से अनुवादित क्रोनकर कंघी के समानुपाती होगा $$B=N/A$$.

नियतात्मक अनिश्चितता सिद्धांत
एक प्रसिद्ध निर्धारक अनिश्चितता सिद्धांत भी है जो सिग्नल स्पार्सिटी (या गैर-शून्य गुणांक की संख्या) का उपयोग करता है। होने देना $$\left\|x\right\|_0$$ तथा $$\left\|X\right\|_0$$ समय और आवृत्ति क्रम के गैर-शून्य तत्वों की संख्या हो $$x_0,x_1,\ldots,x_{N-1}$$ तथा $$X_0,X_1,\ldots,X_{N-1}$$, क्रमश। फिर,
 * $$N \leq \left\|x\right\|_0 \cdot \left\|X\right\|_0.$$

अंकगणित-ज्यामितीय माध्य के तत्काल परिणाम के रूप में, एक भी है $$2\sqrt{N} \leq \left\|x\right\|_0 + \left\|X\right\|_0$$. दोनों अनिश्चितता सिद्धांतों को विशेष रूप से चुने गए पिकेट-बाड़ अनुक्रमों (असतत आवेग ट्रेनों) के लिए तंग दिखाया गया था, और सिग्नल रिकवरी अनुप्रयोगों के लिए व्यावहारिक उपयोग पाया गया।

वास्तविक और विशुद्ध रूप से काल्पनिक संकेतों का डीएफटी

 * यदि $$x_0, \ldots, x_{N-1}$$ वास्तविक संख्याएं हैं, क्योंकि वे अक्सर व्यावहारिक अनुप्रयोगों में होती हैं, फिर डीएफटी $$X_0, \ldots, X_{N-1}$$ सम और विषम कार्य है:
 * $$x_n \in \mathbb{R} \quad \forall n \in \{0,\ldots,N-1 \} \implies X_k = X_{-k \mod N}^* \quad \forall k \in \{0,\ldots,N-1 \}$$, कहाँ पे $$X^*\,$$ जटिल संयुग्म को दर्शाता है।

यह उसके लिए भी अनुसरण करता है $$N$$ $$X_0$$ तथा $$X_{N/2}$$ वास्तविक-मूल्यवान हैं, और शेष डीएफटी पूरी तरह से बस द्वारा निर्दिष्ट है $$N/2-1$$ जटिल आंकड़े।


 * यदि $$x_0, \ldots, x_{N-1}$$ विशुद्ध रूप से काल्पनिक संख्याएँ हैं, फिर DFT $$X_0, \ldots, X_{N-1}$$ सम और विषम कार्य है:
 * $$x_n \in i \mathbb{R} \quad \forall n \in \{0,\ldots,N-1 \} \implies X_k = -X_{-k \mod N}^* \quad \forall k \in \{0,\ldots,N-1 \}$$, कहाँ पे $$X^*\,$$ जटिल संयुग्म को दर्शाता है।

सामान्यीकृत डीएफटी (स्थानांतरित और गैर-रैखिक चरण)
क्रमशः कुछ वास्तविक पारियों ए और बी द्वारा समय और / या आवृत्ति डोमेन में परिवर्तन नमूने को स्थानांतरित करना संभव है। इसे कभी-कभी 'सामान्यीकृत डीएफटी' (या 'जीडीएफटी') के रूप में जाना जाता है, जिसे 'स्थानांतरित डीएफटी' या 'ऑफसेट डीएफटी' भी कहा जाता है, और इसमें सामान्य डीएफटी के अनुरूप गुण होते हैं:


 * $$X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-\frac{i 2 \pi}{N} (k+b) (n+a)} \quad \quad k = 0, \dots, N-1.$$

सबसे अधिक बार, की पाली $$1/2$$ (आधा नमूना) का उपयोग किया जाता है। जबकि साधारण डीएफटी समय और आवृत्ति डोमेन दोनों में आवधिक संकेत से मेल खाती है, $$a=1/2$$ एक संकेत उत्पन्न करता है जो आवृत्ति डोमेन में आवधिक विरोधी है ($$X_{k+N} = - X_k$$) और इसके विपरीत $$b=1/2$$. इस प्रकार, का विशिष्ट मामला $$a = b = 1/2$$ विषम-समय विषम-आवृत्ति असतत फूरियर रूपांतरण के रूप में जाना जाता है (या O2 डीएफटी)। इस तरह के स्थानांतरित परिवर्तनों का उपयोग अक्सर सममित डेटा के लिए किया जाता है, विभिन्न सीमा समरूपताओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए, और वास्तविक-सममित डेटा के लिए वे असतत असतत कोसाइन परिवर्तन और असतत साइन परिवर्तन के विभिन्न रूपों के अनुरूप होते हैं।

एक और दिलचस्प विकल्प है $$a=b=-(N-1)/2$$, जिसे केंद्रित डीएफटी (या सीडीएफटी) कहा जाता है। केंद्रित डीएफटी में उपयोगी संपत्ति है, जब 'एन' चार में से एक गुणक है, तो इसके सभी चार eigenvalues ​​​​(ऊपर देखें) में समान गुणक हैं (रूबियो और संथानम, 2005)

जीडीएफटी शब्द का प्रयोग डीएफटी के गैर-रैखिक चरण विस्तार के लिए भी किया जाता है। इसलिए, जीडीएफटी विधि रैखिक और गैर-रैखिक चरण प्रकारों सहित निरंतर आयाम ऑर्थोगोनल ब्लॉक ट्रांसफॉर्म के लिए सामान्यीकरण प्रदान करती है। जीडीएफटी एक ढांचा है पारंपरिक डीएफटी के समय और आवृत्ति डोमेन गुणों में सुधार करने के लिए, उदा। ऑटो/क्रॉस-सहसंबंध, उचित रूप से डिज़ाइन किए गए चरण को आकार देने वाले फ़ंक्शन (गैर-रैखिक, सामान्य रूप से) को मूल रैखिक चरण कार्यों (अकांसु और एग्रीमैन-तोसुन, 2010) के अलावा।

असतत फूरियर रूपांतरण को z-परिणत के एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है, जिसका मूल्यांकन जटिल विमान में यूनिट सर्कल पर किया जाता है; अधिक सामान्य जेड-रूपांतरण ऊपर ए और बी जटिल बदलावों के अनुरूप हैं।

बहुआयामी डीएफटी
साधारण डीएफटी एक आयामी अनुक्रम या मैट्रिक्स (गणित) को रूपांतरित करता है $$x_n$$ यह बिल्कुल एक असतत चर n का कार्य है। बहुआयामी सरणी का बहुआयामी डीएफटी $$x_{n_1, n_2, \dots, n_d}$$ यह डी असतत चर का एक कार्य है $$n_\ell = 0, 1, \dots, N_\ell-1$$ के लिये $$\ell$$ में $$1, 2, \dots, d$$ द्वारा परिभाषित किया गया है:


 * $$X_{k_1, k_2, \dots, k_d} = \sum_{n_1=0}^{N_1-1} \left(\omega_{N_1}^{~k_1 n_1} \sum_{n_2=0}^{N_2-1} \left( \omega_{N_2}^{~k_2 n_2} \cdots \sum_{n_d=0}^{N_d-1} \omega_{N_d}^{~k_d n_d}\cdot x_{n_1, n_2, \dots, n_d} \right) \right), $$

कहाँ पे $$\omega_{N_\ell} = \exp(-i 2\pi/N_\ell)$$ ऊपर के रूप में और डी आउटपुट इंडेक्स से चलते हैं $$k_\ell = 0, 1, \dots, N_\ell-1$$. यह अधिक सघन रूप से निर्देशांक सदिश संकेतन में अभिव्यक्त होता है, जहाँ हम परिभाषित करते हैं $$\mathbf{n} = (n_1, n_2, \dots, n_d)$$ तथा $$\mathbf{k} = (k_1, k_2, \dots, k_d)$$ 0 से सूचकांकों के डी-आयामी वैक्टर के रूप में $$\mathbf{N} - 1$$, जिसे हम परिभाषित करते हैं $$\mathbf{N} - 1 = (N_1 - 1, N_2 - 1, \dots, N_d - 1)$$:


 * $$X_\mathbf{k} = \sum_{\mathbf{n}=\mathbf{0}}^{\mathbf{N}-1} e^{-i 2\pi \mathbf{k} \cdot (\mathbf{n} / \mathbf{N})} x_\mathbf{n} \, ,$$

जहां विभाजन $$\mathbf{n} / \mathbf{N}$$ की तरह परिभाषित किया गया है $$\mathbf{n} / \mathbf{N} = (n_1/N_1, \dots, n_d/N_d)$$ तत्व-वार किया जाना है, और योग उपरोक्त नेस्टेड योगों के सेट को दर्शाता है।

बहु-आयामी डीएफटी का व्युत्क्रम, एक-आयामी मामले के अनुरूप है, इसके द्वारा दिया गया है:


 * $$x_\mathbf{n} = \frac{1}{\prod_{\ell=1}^d N_\ell} \sum_{\mathbf{k}=\mathbf{0}}^{\mathbf{N}-1} e^{i 2\pi \mathbf{n} \cdot (\mathbf{k} / \mathbf{N})} X_\mathbf{k} \, .$$

जैसा कि एक आयामी डीएफटी इनपुट व्यक्त करता है $$x_n$$ साइनसोइड्स के सुपरपोज़िशन के रूप में, बहुआयामी डीएफटी इनपुट को समतल तरंगों, या बहुआयामी साइनसॉइड्स के सुपरपोज़िशन के रूप में व्यक्त करता है। अंतरिक्ष में दोलन की दिशा है $$\mathbf{k} / \mathbf{N}$$. आयाम हैं $$X_\mathbf{k}$$. आंशिक अंतर समीकरणों को हल करने के लिए डिजिटल इमेज प्रोसेसिंग (द्वि-आयामी) से सब कुछ के लिए यह अपघटन बहुत महत्वपूर्ण है। समाधान समतल तरंगों में टूट जाता है।

बहुआयामी डीएफटी की गणना प्रत्येक आयाम के साथ एक आयामी डीएफटी के अनुक्रम की कार्य संरचना द्वारा की जा सकती है। द्वि-आयामी मामले में $$x_{n_1,n_2}$$ $$N_1$$ पंक्तियों के स्वतंत्र डीएफटी (यानी, साथ $$n_2$$) की गणना पहले एक नई सरणी बनाने के लिए की जाती है $$y_{n_1,k_2}$$. फिर $$N_2$$ स्तंभों के साथ y के स्वतंत्र DFTs (साथ में $$n_1$$) की गणना अंतिम परिणाम बनाने के लिए की जाती है $$X_{k_1,k_2}$$. वैकल्पिक रूप से स्तंभों की गणना पहले की जा सकती है और फिर पंक्तियों की। क्रम सारहीन है क्योंकि क्रमविनिमेय संचालन के ऊपर नेस्टेड योग।

एक आयामी डीएफटी की गणना करने के लिए एक एल्गोरिदम इस प्रकार एक बहुआयामी डीएफटी की कुशलता से गणना करने के लिए पर्याप्त है। इस दृष्टिकोण को पंक्ति-स्तंभ एल्गोरिथम के रूप में जाना जाता है। आंतरिक रूप से फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म#बहुआयामी एफएफटी भी हैं।

वास्तविक-इनपुट बहुआयामी डीएफटी
इनपुट डेटा के लिए $$x_{n_1, n_2, \dots, n_d}$$ वास्तविक संख्याओं से मिलकर, डीएफटी आउटपुट में उपरोक्त एक-आयामी मामले के समान संयुग्मित समरूपता होती है:


 * $$X_{k_1, k_2, \dots, k_d} = X_{N_1 - k_1, N_2 - k_2, \dots, N_d - k_d}^* ,$$

जहाँ तारा फिर से जटिल संयुग्मन को दर्शाता है और $$\ell$$-वें सबस्क्रिप्ट को फिर से मॉड्यूलो की व्याख्या की जाती है $$N_\ell$$ (के लिये $$\ell = 1,2,\ldots,d$$).

अनुप्रयोग
बड़ी संख्या में क्षेत्रों में डीएफटी का व्यापक उपयोग देखा गया है; हम केवल नीचे कुछ उदाहरणों को स्केच करते हैं (अंत में संदर्भ भी देखें)। डीएफटी के सभी अनुप्रयोग असतत फूरियर रूपांतरण और उनके व्युत्क्रम, एक तेज फूरियर रूपांतरण की गणना करने के लिए एक तेज एल्गोरिदम की उपलब्धता पर महत्वपूर्ण रूप से निर्भर करते हैं।

स्पेक्ट्रल विश्लेषण
जब सिग्नल स्पेक्ट्रल विश्लेषण के लिए डीएफटी का उपयोग किया जाता है, तो $$\{x_n\}$$ अनुक्रम आमतौर पर कुछ सिग्नल के समान रूप से दूरी वाले समय-नमूने के एक सीमित सेट का प्रतिनिधित्व करता है $$x(t)\,$$, कहाँ पे $$t$$ समय का प्रतिनिधित्व करता है। निरंतर समय से नमूने (असतत-समय) में रूपांतरण अंतर्निहित निरंतर फूरियर रूपांतरण को बदल देता है $$x(t)$$ असतत-समय फूरियर रूपांतरण (DTFT) में, जो आम तौर पर एक प्रकार की विकृति को दर्शाता है जिसे अलियासिंग कहा जाता है। एक उपयुक्त नमूना-दर (Nyquist दर देखें) का चुनाव उस विकृति को कम करने की कुंजी है। इसी तरह, एक बहुत लंबे (या अनंत) अनुक्रम से एक प्रबंधनीय आकार में रूपांतरण में एक प्रकार की विकृति होती है जिसे स्पेक्ट्रल रिसाव कहा जाता है, जो डीटीएफटी में विस्तार (ए.के.ए. संकल्प) के नुकसान के रूप में प्रकट होता है। उपयुक्त उप-अनुक्रम लंबाई का चुनाव उस प्रभाव को कम करने की प्राथमिक कुंजी है। जब उपलब्ध डेटा (और इसे संसाधित करने का समय) वांछित आवृत्ति रिज़ॉल्यूशन प्राप्त करने के लिए आवश्यक राशि से अधिक है, तो एक मानक तकनीक कई डीएफटी निष्पादित करना है, उदाहरण के लिए एक spectrogram बनाना। यदि वांछित परिणाम एक पावर स्पेक्ट्रम है और डेटा में शोर या यादृच्छिकता मौजूद है, तो कई डीएफटी के परिमाण घटकों का औसत स्पेक्ट्रम के विचरण को कम करने के लिए एक उपयोगी प्रक्रिया है (इस संदर्भ में एक पीरियोग्राम भी कहा जाता है); वेल्च विधि और बार्टलेट विधि ऐसी तकनीकों के दो उदाहरण हैं; शोर सिग्नल के पावर स्पेक्ट्रम का आकलन करने का सामान्य विषय स्पेक्ट्रल अनुमान कहा जाता है।

विरूपण (या शायद भ्रम) का एक अंतिम स्रोत डीएफटी ही है, क्योंकि यह डीटीएफटी का एक असतत नमूना है, जो निरंतर आवृत्ति डोमेन का एक कार्य है। डीएफटी के संकल्प को बढ़ाकर इसे कम किया जा सकता है। उस प्रक्रिया को सचित्र किया गया है.
 * प्रक्रिया को कभी-कभी जीरो-पैडिंग के रूप में संदर्भित किया जाता है, जो एक विशेष कार्यान्वयन है जिसका उपयोग फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म (FFT) एल्गोरिथम के संयोजन के साथ किया जाता है। शून्य-मूल्यवान नमूनों के साथ गुणन और परिवर्धन करने की अक्षमता FFT की अंतर्निहित दक्षता द्वारा ऑफसेट से अधिक है।
 * जैसा कि पहले ही कहा गया है, लीकेज डीटीएफटी के अंतर्निहित समाधान पर एक सीमा लगाता है, इसलिए सूक्ष्म डीएफटी से प्राप्त किए जा सकने वाले लाभ की एक व्यावहारिक सीमा है।

प्रकाशिकी, विवर्तन और टोमोग्राफी
असतत फूरियर रूपांतरण व्यापक रूप से मॉडलिंग में स्थानिक आवृत्तियों के साथ उपयोग किया जाता है जिस तरह से प्रकाश, इलेक्ट्रॉन और अन्य जांच ऑप्टिकल सिस्टम के माध्यम से यात्रा करते हैं और दो और तीन आयामों में वस्तुओं से बिखरते हैं। तीन आयामी वस्तुओं का दोहरा (प्रत्यक्ष/पारस्परिक) वेक्टर स्थान आगे एक तीन आयामी पारस्परिक जाली उपलब्ध कराता है, जिसका पारभासी वस्तु छाया से निर्माण (प्रोजेक्शन-स्लाइस प्रमेय के माध्यम से) अनुप्रयोगों की एक विस्तृत श्रृंखला के साथ तीन आयामी वस्तुओं के टोमोग्राफिक पुनर्निर्माण की अनुमति देता है। आधुनिक चिकित्सा में।

फ़िल्टर बैंक
देखना तथा.

डेटा संपीड़न
डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग का क्षेत्र फ़्रीक्वेंसी डोमेन (यानी फूरियर ट्रांसफ़ॉर्म पर) के संचालन पर बहुत अधिक निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, कई हानिपूर्ण संपीड़न छवि और ध्वनि संपीड़न विधियाँ असतत फूरियर रूपांतरण को नियोजित करती हैं: सिग्नल को छोटे खंडों में काटा जाता है, प्रत्येक को रूपांतरित किया जाता है, और फिर उच्च आवृत्तियों के फूरियर गुणांक, जिन्हें अगोचर माना जाता है, को छोड़ दिया जाता है। डीकंप्रेसर फूरियर गुणांकों की इस घटी हुई संख्या के आधार पर व्युत्क्रम परिवर्तन की गणना करता है। (संपीड़न अनुप्रयोग अक्सर डीएफटी के एक विशेष रूप का उपयोग करते हैं, असतत कोज्या परिवर्तन या कभी-कभी संशोधित असतत कोज्या परिवर्तन।) कुछ अपेक्षाकृत हालिया संपीड़न एल्गोरिदम, हालांकि, तरंगिका रूपांतरण का उपयोग करते हैं, जो समय और आवृत्ति डोमेन के बीच डेटा को खंडों में काटकर और प्रत्येक खंड को बदलने के बजाय अधिक समान समझौता करते हैं। [[JPEG2000]] के मामले में, यह नकली छवि सुविधाओं से बचा जाता है जो तब दिखाई देती हैं जब छवियों को मूल JPEG के साथ अत्यधिक संकुचित किया जाता है।

आंशिक अंतर समीकरण
असतत फूरियर रूपांतरण अक्सर आंशिक अंतर समीकरणों को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है, जहां फिर से डीएफटी का उपयोग फूरियर श्रृंखला के लिए सन्निकटन के रूप में किया जाता है (जो अनंत एन की सीमा में पुनर्प्राप्त किया जाता है)। इस दृष्टिकोण का लाभ यह है कि यह जटिल घातांक में संकेत का विस्तार करता है $$e^{inx}$$, जो विभेदीकरण के आइगेनफंक्शन हैं: $${\text{d} \big( e^{inx} \big) }/\text{d}x = in e^{inx}$$. इस प्रकार, फूरियर प्रतिनिधित्व में, विभेदीकरण सरल है - हम केवल से गुणा करते हैं $$in$$. (हालांकि, की पसंद $$n$$ अलियासिंग के कारण अद्वितीय नहीं है; अभिसारी होने की विधि के लिए, डिस्क्रीट फूरियर ट्रांसफॉर्म #त्रिकोणमितीय प्रक्षेप बहुपद खंड में समान विकल्प का उपयोग किया जाना चाहिए।) निरंतर गुणांक वाले एक रैखिक अंतर समीकरण को आसानी से हल करने योग्य बीजगणितीय समीकरण में बदल दिया जाता है। परिणाम को वापस सामान्य स्थानिक प्रतिनिधित्व में बदलने के लिए उलटा डीएफटी का उपयोग करता है। इस तरह के दृष्टिकोण को वर्णक्रमीय विधि कहा जाता है।

बहुपद गुणन
मान लीजिए कि हम बहुपद उत्पाद c(x) = a(x) · b(x) की गणना करना चाहते हैं। सी के गुणांकों के लिए सामान्य उत्पाद अभिव्यक्ति में एक रैखिक (एसाइक्लिक) दृढ़ संकल्प शामिल होता है, जहां सूचकांक चारों ओर लपेटते नहीं हैं। इसे ए (एक्स) और बी (एक्स) के गुणांक वैक्टरों को स्थिर अवधि के साथ ले कर एक चक्रीय दृढ़ संकल्प के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, फिर शून्य को जोड़ना ताकि परिणामी गुणांक वैक्टर 'ए' और 'बी' का आयाम हो d > deg(a(x)) + deg(b(x)). फिर,


 * $$\mathbf{c} = \mathbf{a} * \mathbf{b}$$

जहाँ c c(x) के गुणांकों का सदिश है, और कनवल्शन ऑपरेटर है $$*\,$$ ऐसा परिभाषित किया गया है


 * $$c_n = \sum_{m=0}^{d-1}a_m b_{n-m\ \mathrm{mod}\ d} \qquad\qquad\qquad n=0,1\dots,d-1$$

लेकिन डीएफटी के तहत दृढ़ संकल्प गुणन बन जाता है:


 * $$\mathcal{F}(\mathbf{c}) = \mathcal{F}(\mathbf{a})\mathcal{F}(\mathbf{b})$$

यहां वेक्टर उत्पाद को तत्ववार लिया जाता है। इस प्रकार गुणनफल बहुपद c(x) के गुणांक गुणांक सदिश के पद 0, ..., deg(a(x)) + deg(b(x)) हैं


 * $$\mathbf{c} = \mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}(\mathbf{a})\mathcal{F}(\mathbf{b})).$$

एक तेज़ फूरियर रूपांतरण के साथ, परिणामी एल्गोरिथ्म O(N log N) अंकगणितीय संचालन लेता है। इसकी सरलता और गति के कारण, कूली-टुकी एफएफटी एल्गोरिद्म, जो संमिश्र संख्या आकारों तक सीमित है, को अक्सर ट्रांसफ़ॉर्म ऑपरेशन के लिए चुना जाता है। इस मामले में, डी को इनपुट बहुपद डिग्री के योग से अधिक सबसे छोटे पूर्णांक के रूप में चुना जाना चाहिए जो छोटे प्रमुख कारकों (जैसे 2, 3, और 5, एफएफटी कार्यान्वयन के आधार पर) में कारक है।

बड़े पूर्णांकों का गुणन
बहुत बड़े पूर्णांकों के गुणन के लिए सबसे तेज़ ज्ञात गुणन एल्गोरिदम ऊपर उल्लिखित बहुपद गुणन विधि का उपयोग करते हैं। पूर्णांकों को विशेष रूप से संख्या आधार पर मूल्यांकन किए गए बहुपद के मान के रूप में माना जा सकता है, उस आधार में अंकों के अनुरूप बहुपद के गुणांक के साथ (उदा। $$123 = 1 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 3 \cdot 10^0$$). बहुपद गुणन के बाद, एक अपेक्षाकृत कम-जटिलता कैरी-प्रचार चरण गुणन को पूरा करता है।

कनवल्शन
जब डेटा व्यापक समर्थन वाले फ़ंक्शन के साथ रूपांतरण होता है, जैसे कि एक बड़े नमूनाकरण अनुपात द्वारा डाउनसैंपलिंग के लिए, कनवल्शन प्रमेय और एफएफटी एल्गोरिदम के कारण, इसे बदलने के लिए तेज़ हो सकता है, फ़िल्टर के परिवर्तन से बिंदुवार गुणा करें और फिर रिवर्स करें इसे रूपांतरित करें। वैकल्पिक रूप से, एक अच्छा फ़िल्टर केवल रूपांतरित डेटा को छोटा करके और संक्षिप्त किए गए डेटा सेट को फिर से बदलकर प्राप्त किया जाता है।

प्रतिनिधित्व सिद्धांत
डीएफटी को परिमित चक्रीय समूह के जटिल-मूल्यवान प्रतिनिधित्व सिद्धांत के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, का एक क्रम $$n$$ सम्मिश्र संख्याओं को एक तत्व के रूप में माना जा सकता है $$n$$-आयामी जटिल स्थान $$\mathbb{C}^n$$ या समकक्ष एक समारोह $$f$$ क्रम के परिमित चक्रीय समूह से $$n$$ जटिल संख्या के लिए, $$\mathbb{Z}_n \mapsto \mathbb{C}$$. इसलिए $$f$$ परिमित चक्रीय समूह पर एक वर्ग कार्य है, और इस प्रकार इस समूह के अलघुकरणीय वर्णों के एक रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो एकता की जड़ें हैं।

इस दृष्टिकोण से, कोई सामान्य रूप से प्रतिनिधित्व सिद्धांत के लिए डीएफटी को सामान्यीकृत कर सकता है, या परिमित समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के लिए अधिक संकीर्ण हो सकता है।

अधिक संकीर्ण रूप से अभी भी, सीक्वेल में विस्तृत रूप में, या तो लक्ष्य को बदलकर (जटिल संख्याओं के अलावा किसी क्षेत्र में मान लेना), या डोमेन (परिमित चक्रीय समूह के अलावा एक समूह) को बदलकर डीएफटी को सामान्यीकृत किया जा सकता है।

अन्य क्षेत्र
डीएफटी के कई गुण केवल इस तथ्य पर निर्भर करते हैं कि $$e^{-\frac{i 2 \pi}{N}}$$ एकता का आदिम मूल है, जिसे कभी-कभी निरूपित किया जाता है $$\omega_N$$ या $$W_N$$ (ताकि $$\omega_N^N = 1$$). इस तरह के गुणों में पूर्णता, ऑर्थोगोनैलिटी, प्लांचरेल/पार्सेवल, आवधिकता, शिफ्ट, कनवल्शन, और यूनिटेरिटी गुण शामिल हैं, साथ ही साथ कई एफएफटी एल्गोरिदम भी शामिल हैं। इस कारण से, असतत फूरियर रूपांतरण को जटिल संख्याओं के अलावा क्षेत्र (गणित) में एकता की जड़ों का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है, और ऐसे सामान्यीकरणों को परिमित क्षेत्रों के मामले में आमतौर पर संख्या-सैद्धांतिक रूपांतरण (एनटीटी) कहा जाता है। अधिक जानकारी के लिए, संख्या-सैद्धांतिक परिवर्तन और असतत फूरियर रूपांतरण (सामान्य) देखें।

अन्य परिमित समूह
मानक डीएफटी अनुक्रम x पर कार्य करता है0, एक्स1, ..., एक्सN&minus;1 सम्मिश्र संख्याओं का, जिसे फलन {0, 1, ..., N − 1} → 'C' के रूप में देखा जा सकता है। बहुआयामी डीएफटी बहुआयामी अनुक्रमों पर कार्य करता है, जिसे कार्यों के रूप में देखा जा सकता है
 * $$ \{0, 1, \ldots, N_1-1\} \times \cdots \times \{0, 1, \ldots, N_d-1\} \to \mathbb{C}. $$

यह परिमित समूहों पर फूरियर रूपांतरण के सामान्यीकरण का सुझाव देता है, जो कार्य G → 'C' पर कार्य करता है जहां G एक परिमित समूह है। इस ढांचे में, मानक डीएफटी को चक्रीय समूह पर फूरियर रूपांतरण के रूप में देखा जाता है, जबकि बहुआयामी डीएफटी चक्रीय समूहों के प्रत्यक्ष योग पर फूरियर रूपांतरण है।

इसके अलावा, फूरियर रूपांतरण समूह के कोसेट पर हो सकता है।

विकल्प
विभिन्न अनुप्रयोगों के लिए डीएफटी के कई विकल्प हैं, जिनमें से प्रमुख तरंगिकाओं हैं। डीएफटी का एनालॉग असतत तरंगिका रूपांतरण (डीडब्ल्यूटी) है। समय-आवृत्ति विश्लेषण के दृष्टिकोण से, फूरियर रूपांतरण की एक प्रमुख सीमा यह है कि इसमें स्थान की जानकारी शामिल नहीं है, केवल आवृत्ति की जानकारी है, और इस प्रकार ग्राहकों का प्रतिनिधित्व करने में कठिनाई होती है। चूंकि तरंगों में स्थान के साथ-साथ आवृत्ति भी होती है, वे आवृत्ति का प्रतिनिधित्व करने में अधिक कठिनाई की कीमत पर, स्थान का प्रतिनिधित्व करने में बेहतर होती हैं। विवरण के लिए, डिस्क्रीट वेवलेट ट्रांसफ़ॉर्म देखें# फ़्यूरियर ट्रांसफ़ॉर्म के साथ तुलना करें।

यह भी देखें

 * साथी मैट्रिक्स
 * डीएफटी मैट्रिक्स
 * फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म
 * एफएफटीपैक
 * एफएफटीडब्ल्यू
 * पाउली मेट्रिसेस का सामान्यीकरण
 * कम से कम वर्ग वर्णक्रमीय विश्लेषण
 * फूरियर से संबंधित रूपांतरणों की सूची
 * बहुआयामी परिवर्तन
 * ज़क परिवर्तन
 * क्वांटम फूरियर रूपांतरण

अग्रिम पठन

 * esp. section 30.2: The DFT and FFT, pp. 830–838.
 * (Note that this paper has an apparent typo in its table of the eigenvalue multiplicities: the +i/&minus;i columns are interchanged. The correct table can be found in McClellan and Parks, 1972, and is easily confirmed numerically.)
 * esp. section 30.2: The DFT and FFT, pp. 830–838.
 * (Note that this paper has an apparent typo in its table of the eigenvalue multiplicities: the +i/&minus;i columns are interchanged. The correct table can be found in McClellan and Parks, 1972, and is easily confirmed numerically.)
 * (Note that this paper has an apparent typo in its table of the eigenvalue multiplicities: the +i/&minus;i columns are interchanged. The correct table can be found in McClellan and Parks, 1972, and is easily confirmed numerically.)
 * (Note that this paper has an apparent typo in its table of the eigenvalue multiplicities: the +i/&minus;i columns are interchanged. The correct table can be found in McClellan and Parks, 1972, and is easily confirmed numerically.)

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बाहरी संबंध

 * Interactive explanation of the DFT
 * Matlab tutorial on the Discrete Fourier Transformation
 * Interactive flash tutorial on the DFT
 * Mathematics of the Discrete Fourier Transform by Julius O. Smith III
 * FFTW: Fast implementation of the DFT - coded in C and under General Public License (GPL)
 * General Purpose FFT Package: Yet another fast DFT implementation in C &amp; FORTRAN, permissive license
 * Explained: The Discrete Fourier Transform
 * Discrete Fourier Transform
 * Indexing and shifting of Discrete Fourier Transform
 * Discrete Fourier Transform Properties
 * Generalized Discrete Fourier Transform (GDFT) with Nonlinear Phase

सीएस: फूरियरोवा ट्रांसफॉर्मेस पीटी: ट्रांसफॉर्माडा डे फूरियर फाई:फूरियर'एन मुन्नोस