ग्राफ एम्बेडिंग

टोपोलॉजिकल ग्राफ़ सिद्धांत में, एक ग्राफ़ (असतत गणित) का एक एम्बेडिंग (इम्बेडिंग भी लिखा जाता है) $$G$$ एक सतह पर (गणित) $$\Sigma$$ का प्रतिनिधित्व है $$G$$ पर $$\Sigma$$ के किन बिंदुओं में $$\Sigma$$ ग्राफ सिद्धांत और सरल चाप (होमियोमोर्फिज्म छवियां) से जुड़े हैं $$[0,1]$$) ग्राफ़ सिद्धांत से इस प्रकार जुड़े हैं कि:

यहाँ एक सतह एक सघन स्थान है, जुड़ा हुआ स्थान $$2$$-कई गुना.
 * एक किनारे से जुड़े चाप के अंतिम बिंदु $$e$$ के अंतिम शीर्षों से जुड़े बिंदु हैं $$e,$$
 * किसी भी चाप में अन्य शीर्षों से जुड़े बिंदु शामिल नहीं हैं,
 * दो चाप कभी भी ऐसे बिंदु पर प्रतिच्छेद नहीं करते जो किसी भी चाप का आंतरिक भाग हो।

अनौपचारिक रूप से, किसी ग्राफ़ को किसी सतह पर एम्बेड करना सतह पर ग्राफ़ को इस तरह से चित्रित करना है कि इसके किनारे केवल अपने अंतिम बिंदुओं पर ही प्रतिच्छेद कर सकें। यह सर्वविदित है कि किसी भी परिमित ग्राफ को 3-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एम्बेड किया जा सकता है $$\mathbb{R}^3$$. एक समतलीय ग्राफ वह है जिसे 2-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एम्बेड किया जा सकता है $$\mathbb{R}^2.$$ अक्सर, एम्बेडिंग को एक तुल्यता वर्ग (होमोमॉर्फिज्म के तहत) के रूप में माना जाता है $$\Sigma$$) अभी वर्णित प्रकार के अभ्यावेदन।

कुछ लेखक किनारों के लिए गैर-प्रतिच्छेदन स्थिति को छोड़कर ग्राफ एम्बेडिंग की परिभाषा के कमजोर संस्करण को परिभाषित करते हैं। ऐसे संदर्भों में सख्त परिभाषा को नॉन-क्रॉसिंग ग्राफ एम्बेडिंग के रूप में वर्णित किया गया है। यह आलेख केवल ग्राफ़ एम्बेडिंग की सख्त परिभाषा से संबंधित है। ग्राफ ड्राइंग और क्रॉसिंग नंबर (ग्राफ सिद्धांत) लेखों में कमजोर परिभाषा पर चर्चा की गई है।

शब्दावली
एक ग्राफ का $$G$$ एक बंद सतह पर जड़ा हुआ है $$\Sigma$$, से जुड़े बिंदुओं और चापों के मिलन का पूरक के शीर्ष और किनारे $$G$$ क्षेत्रों (या फलक (ग्राफ़ सिद्धांत)) का एक परिवार है। 2-सेल एम्बेडिंग, सेल्युलर एम्बेडिंग या मैप एक एम्बेडिंग है जिसमें प्रत्येक चेहरा एक खुली डिस्क के लिए होमियोमॉर्फिक होता है। एक बंद 2-सेल एम्बेडिंग एक एम्बेडिंग है जिसमें प्रत्येक चेहरे का बंद होना एक बंद डिस्क के होमियोमॉर्फिक है।

ग्राफ़ का जीनस (असतत गणित) न्यूनतम पूर्णांक है $$n$$ इस तरह कि ग्राफ़ को जीनस (गणित) की सतह में एम्बेड किया जा सकता है $$n$$. विशेष रूप से, एक समतलीय ग्राफ़ में जीनस होता है $$0$$, क्योंकि इसे स्वयं-क्रॉसिंग के बिना एक गोले पर खींचा जा सकता है। एक ग्राफ जिसे टोरस्र्स  पर एम्बेड किया जा सकता है उसे टोरॉयडल ग्राफ कहा जाता है।

ग्राफ़ (असतत गणित) का गैर-उन्मुख जीनस न्यूनतम पूर्णांक है $$n$$ ऐसा कि ग्राफ़ को (गैर-उन्मुख) जीनस की एक गैर-उन्मुख सतह में एम्बेड किया जा सकता है $$n$$.

ग्राफ़ का यूलर जीनस न्यूनतम पूर्णांक है $$n$$ ऐसा कि ग्राफ़ को (ओरिएंटेबल) जीनस की ओरिएंटेबल सतह में एम्बेड किया जा सकता है $$n/2$$ या (गैर-उन्मुख) जीनस की एक गैर-उन्मुख सतह में $$n$$. एक ग्राफ उन्मुख रूप से सरल होता है यदि इसका यूलर जीनस इसके गैर-उन्मुख जीनस से छोटा है।

ग्राफ़ (असतत गणित) का अधिकतम जीनस अधिकतम पूर्णांक है $$n$$ ऐसा कि ग्राफ हो सकता है $$2$$-सेल जीनस (गणित) की एक उन्मुख सतह में एम्बेडेड है $$n$$.

कॉम्बिनेटोरियल एम्बेडिंग
एक एम्बेडेड ग्राफ़ एक ही शीर्ष पर आपतित किनारों के चक्रीय क्रम को विशिष्ट रूप से परिभाषित करता है। इन सभी चक्रीय आदेशों के समुच्चय को घूर्णन प्रणाली कहा जाता है। समान रोटेशन प्रणाली  वाले एंबेडिंग्स को समतुल्य माना जाता है और एंबेडिंग्स के संबंधित समतुल्य वर्ग को कॉम्बिनेटोरियल एंबेडिंग कहा जाता है (टोपोलॉजिकल एंबेडिंग शब्द के विपरीत, जो बिंदुओं और वक्रों के संदर्भ में पिछली परिभाषा को संदर्भित करता है)। कभी-कभी, रोटेशन सिस्टम को ही कॉम्बिनेटोरियल एम्बेडिंग कहा जाता है। एक एम्बेडेड ग्राफ़ किनारों के प्राकृतिक चक्रीय क्रम को भी परिभाषित करता है जो एम्बेडिंग के चेहरों की सीमाओं का गठन करता है। हालाँकि इन फेस-आधारित आदेशों को संभालना कम सरल है, क्योंकि कुछ मामलों में कुछ किनारों को फेस सीमा के साथ दो बार पार किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यह हमेशा पेड़ों के एम्बेडिंग के मामले में होता है, जिनका एक ही चेहरा होता है। इस संयुक्त उपद्रव को दूर करने के लिए, कोई यह मान सकता है कि प्रत्येक किनारे को लंबाई में दो आधे-किनारों, या किनारों में विभाजित किया गया है। इस परिपाटी के तहत सभी फेस सीमा ट्रैवर्सल में प्रत्येक आधे किनारे को केवल एक बार पार किया जाता है और एक ही किनारे के दो आधे किनारों को हमेशा विपरीत दिशाओं में पार किया जाता है।

सेलुलर एम्बेडिंग के लिए अन्य समकक्ष प्रतिनिधित्व में रिबन ग्राफ, एक एम्बेडेड ग्राफ के कोने और किनारों के लिए टोपोलॉजिकल डिस्क को एक साथ जोड़कर गठित एक टोपोलॉजिकल स्पेस, ग्राफ़-एन्कोडेड मानचित्र मानचित्र, प्रत्येक किनारे के लिए चार कोने के साथ एक किनारे-रंगीन घन ग्राफ  शामिल है। एम्बेडेड ग्राफ़.

कम्प्यूटेशनल जटिलता
ग्राफ़ जीनस को खोजने की समस्या एनपी कठिन  है (यह निर्धारित करने की समस्या कि क्या कोई $$n$$-वर्टेक्स ग्राफ में जीनस है $$g$$ एनपी-पूर्ण है)। साथ ही, ग्राफ़ जीनस समस्या फिक्स्ड-पैरामीटर ट्रैक्टेबिलिटी है। फिक्स्ड-पैरामीटर ट्रैक्टेबल, यानी, बहुपद समय एल्गोरिदम यह जांचने के लिए जाने जाते हैं कि ग्राफ़ को किसी दिए गए निश्चित जीनस की सतह में एम्बेड किया जा सकता है या नहीं और साथ ही एम्बेडिंग भी ढूंढी जा सकती है।.

इस संबंध में पहली सफलता 1979 में हुई, जब समय जटिलता के एल्गोरिदम परओ(जी)) को स्वतंत्र रूप से कंप्यूटिंग के सिद्धांत पर वार्षिक एसीएम संगोष्ठी में प्रस्तुत किया गया था: आई. फिलोटी और गैरी मिलर (कंप्यूटर वैज्ञानिक)|जी.एल. मिलर और दूसरा जॉन रीफ़ द्वारा। उनके दृष्टिकोण बिल्कुल अलग थे, लेकिन कार्यक्रम समिति के सुझाव पर उन्होंने एक संयुक्त पत्र प्रस्तुत किया। हालाँकि, वेंडी मायरवॉल्ड और विलियम लॉरेंस कोके ने 2011 में साबित किया कि फिलोटी, मिलर और रीफ द्वारा दिया गया एल्गोरिदम गलत था। 1999 में यह बताया गया कि फिक्स्ड-जीनस मामले को ग्राफ आकार में रैखिक समय और जीनस में दोहरा घातीय कार्य में हल किया जा सकता है।

उच्च-आयामी स्थानों में ग्राफ़ का एम्बेडिंग
यह ज्ञात है कि किसी भी परिमित ग्राफ को त्रि-आयामी स्थान में एम्बेड किया जा सकता है।

ऐसा करने का एक तरीका यह है कि बिंदुओं को अंतरिक्ष में किसी भी रेखा पर रखा जाए और किनारों को वक्र के रूप में खींचा जाए, जिनमें से प्रत्येक एक अलग आधे तल में स्थित हो, सभी आधे तलों में वह रेखा उनकी सामान्य सीमा के रूप में हो। इस तरह की एम्बेडिंग जिसमें किनारों को आधे समतल पर खींचा जाता है, ग्राफ़ की पुस्तक एम्बेडिंग  कहलाती है। यह रूपक इस कल्पना से आता है कि प्रत्येक तल जहां एक किनारा खींचा गया है, एक किताब के एक पृष्ठ की तरह है। यह देखा गया कि वास्तव में एक ही पृष्ठ में कई किनारे बनाये जा सकते हैं; ग्राफ़ की पुस्तक की मोटाई ऐसे चित्र के लिए आवश्यक आधे तलों की न्यूनतम संख्या है।

वैकल्पिक रूप से, किसी भी परिमित ग्राफ को उसके शीर्षों को सामान्य स्थिति में रखकर तीन आयामों में सीधी रेखा के किनारों के साथ बिना किसी क्रॉसिंग के खींचा जा सकता है ताकि कोई भी चार समतलीय न हो। उदाहरण के लिए, इसे ith शीर्ष को बिंदु (i,i) पर रखकर प्राप्त किया जा सकता है2,i3) क्षण वक्र का।

एक ग्राफ़ को त्रि-आयामी स्थान में एम्बेड करना जिसमें कोई भी दो चक्र टोपोलॉजिकल रूप से जुड़े हुए नहीं हैं, लिंकलेस एम्बेडिंग कहलाता है। एक ग्राफ़ में लिंक रहित एम्बेडिंग होती है यदि और केवल तभी जब इसमें पीटरसन परिवार के सात ग्राफ़ों में से एक नाबालिग (ग्राफ़ सिद्धांत) के रूप में न हो।

यह भी देखें

 * एंबेडिंग, अन्य प्रकार की एंबेडिंग के लिए
 * पुस्तक की मोटाई
 * ग्राफ मोटाई
 * दोगुनी कनेक्टेड एज सूची, समतल (ज्यामिति) में ग्राफ एम्बेडिंग का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक डेटा संरचना
 * नियमित मानचित्र (ग्राफ़ सिद्धांत)
 * फ़ेरी का प्रमेय, जो कहता है कि एक समतलीय ग्राफ़ का एक सीधी रेखा समतलीय एम्बेडिंग हमेशा संभव है।
 * त्रिकोणासन (ज्यामिति)