सममित फलन वलय

बीजगणित में और विशेष रूप से बीजगणितीय साहचर्य में, सममित फलन की रिंग 'n' निर्धारक में सममित बहुपद की रिंग (गणित) की विशिष्ट सीमा है, क्योंकि 'n' अनंत तक जाती है। यह वलय सार्वभौमिक संरचना के रूप में कार्य करता है जिसमें सममित बहुपदों के बीच संबंधों को निर्धारकों की संख्या n से स्वतंत्र विधियों से व्यक्त किया जा सकता है (किन्तु इसके तत्व न तो बहुपद हैं और न ही कार्य)। अन्य बातों के अतिरिक्त, यह वलय सममित समूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

सममित फलन की रिंग को सह-उत्पाद और द्विरेखीय रूप दिया जा सकता है जो इसे सकारात्मक स्वसम्मिलित श्रेणीबद्ध बीजगणित हॉपफ बीजगणित में बनाता है जो क्रमविनिमेय और सहसम्बन्धी दोनों है।

सममित बहुपद
सममित फलन का अध्ययन सममित बहुपदों पर आधारित है। अनिश्चितकों के कुछ परिमित समुच्चय में बहुपद वलय में, बहुपद को सममित कहा जाता है यदि यह वही रहता है जब भी किसी भी प्रकार से निर्धारक को अनुमति दी जाती है। अधिक औपचारिक रूप से,n निर्धारक में बहुपद की रिंग पर सममित समूह Sn के रिंग ऑटोमोर्फिज्म द्वारा समूह क्रिया होती है, जहां क्रमचय उपयोग किए गए क्रमपरिवर्तन के अनुसार प्रत्येक निर्धारक को साथ प्रतिस्थापित करके बहुपद पर कार्य करता है। अपरिवर्तनीय (गणित) इस क्रिया के लिए समूह क्रिया के अंतर्गत अपरिवर्तित सममित बहुपदों का उपसमूह बनाता है, यदि निर्धारक X1, ..., Xn हैं, तो ऐसे सममित बहुपदों के उदाहरण हैं।


 * $$X_1+X_2+\cdots+X_n, \, $$
 * $$X_1^3+X_2^3+\cdots+X_n^3, \, $$

और


 * $$X_1X_2\cdots X_n. \, $$

कुछ और जटिल उदाहरण है X13X2X3 + X1X23X3 + X1X2X33 + X13X2X4 + X1X23X4 + X1X2X43 + ... जहां योग कुछ चर और दो अन्य चर की तीसरी शक्ति के सभी उत्पादों को सम्मलित करने के लिए आगे बढ़ता है। कई विशिष्ट प्रकार के सममित बहुपद हैं, जैसे प्राथमिक सममित बहुपद, शक्ति योग सममित बहुपद, एकपद सममित बहुपद, पूर्ण सजातीय सममित बहुपद, और शूर बहुपद हैं।

सममित फलन की रिंग
सममित बहुपदों के बीच अधिकांश संबंध अनिर्धारकों की संख्या n पर निर्भर नहीं करते हैं, अतिरिक्त इसके कि संबंध में कुछ बहुपदों को n को परिभाषित करने के लिए अधिक बड़ा होना आवश्यक हो सकता है। उदाहरण के लिए तीसरी शक्ति  योग बहुपद p3 के लिए न्यूटन की पहचान ओर जाता है
 * $$p_3(X_1,\ldots,X_n)=e_1(X_1,\ldots,X_n)^3-3e_2(X_1,\ldots,X_n)e_1(X_1,\ldots,X_n)+3e_3(X_1,\ldots,X_n),$$

जहां $$e_i$$ प्रारंभिक सममित बहुपदों को निरूपित करें; यह सूत्र सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए मान्य है और इस पर एकमात्र उल्लेखनीय निर्भरता यह है कि ek(X1,...,Xn) = 0 जब भी n < k हो। कोई इसे पहचान के रूप में लिखना चाहेगा
 * $$p_3=e_1^3-3e_2 e_1 + 3e_3$$

यह n पर बिल्कुल भी निर्भर नहीं करता है और यह सममित फलन के वलय में किया जा सकता है। उस वलय में सभी पूर्णांक k ≥ 1 के लिए अशून्य तत्व ek होते हैं और रिंग के किसी भी अवयव  को ek अवयवों  में बहुपद व्यंजक द्वारा दिया जा सकता है।

परिभाषाएँ
सममित फलन की रिंग को किसी भी क्रमविनिमेय रिंग R पर परिभाषित किया जा सकता है और इसे ΛR के रूप में दर्शाया जाएगा; मूल स्थिति R = 'Z' के लिए है। रिंग ΛR वास्तव में वलय के ऊपर वर्गीकृत वलय R-बीजगणित है। इसके लिए दो मुख्य निर्माण हैं; नीचे दिया गया पहला (स्टेनली, 1999) में पाया जा सकता है और दूसरा अनिवार्य रूप से (मैकडोनाल्ड, 1979) में दिया गया है।

औपचारिक शक्ति श्रृंखला की रिंग के रूप में
सबसे सरल (चूंकि कुछ सीमा तक भारी) निर्माण कई चर में औपचारिक शक्ति श्रृंखला शक्ति श्रृंखला की रिंग से प्रारंभ होता है $$RX_1,X_2,...$$ R पर असीम रूप से (गणना करने योग्य अनंत) कई अनिश्चित; इस शक्ति श्रृंखला रिंग के तत्व शर्तों के औपचारिक अनंत योग हैं, जिनमें से प्रत्येक में R से गुणांक एकपद द्वारा गुणा किया जाता है, जहां प्रत्येक एकपद निर्धारक रूप से कई परिमित शक्तियों का उत्पाद होता है। ΛR को परिभाषित करता है इसके उप-वलय के रूप में उन शक्ति श्रृंखला S से मिलकर बनता है जो संतुष्ट करती हैं ध्यान दें कि दूसरी स्थिति के कारण, घात श्रृंखला का उपयोग यहां केवल निश्चित डिग्री के असीम रूप से कई पदों को अनुमति देने के लिए किया जाता है, अतिरिक्त सभी संभावित डिग्री के पदों के योग के लिए। इसकी अनुमति देना आवश्यक है क्योंकि तत्व जिसमें उदाहरण के लिए X1 शब्द होता है  सममित होने के लिए प्रत्येक i > 1 के लिए Xi शब्द भी होना चाहिए। पूरी शक्ति श्रृंखला रिंग के विपरीत, सबरिंग ΛR एकपदीयों की कुल डिग्री द्वारा वर्गीकृत किया जाता है: स्थिति 2 के कारण, ΛR का प्रत्येक तत्व ΛR के सजातीय बहुपद तत्वों का परिमित योग है (जो स्वयं समान कोटि के पदों के अनंत योग हैं)। प्रत्येक k ≥ 0 के लिए, तत्व ek∈ ΛR को k विशिष्ट निर्धारक के सभी उत्पादों के औपचारिक योग के रूप में परिभाषित किया गया है, जो डिग्री k का स्पष्ट रूप से सजातीय है।
 * 1) S निर्धारक के किसी भी क्रमपरिवर्तन के अनुसार अपरिवर्तनीय है, और
 * 2) S में होने वाले एकपदों के बहुपद की कोटि परिबद्ध है।

बीजगणितीय सीमा के रूप में
ΛR का एक और निर्माण वर्णन करने में कुछ अधिक समय लगता है, किन्तु n निर्धारक में सममित बहुपदों के रिंग R[X1,...,Xn]Sn के साथ संबंध को श्रेष्ठतर विधि से इंगित करता है। निर्धारक में सममित बहुपदों का प्रत्येक n के लिए समरूप वलय R[X1,...,Xn+1]Sn+1 पर विशेषण वलय समरूपता ρn है,  जिसमें  R[X1,...,Xn]Sn  पर एक और निर्धारक  है, जिसे सेट करके परिभाषित किया गया है। अंतिम निर्धारक को सेट करके Xn+1से 0 । चूंकि ρn गैर-तुच्छ कर्नेल (बीजगणित) है, उस कर्नेल के गैर-शून्य तत्वों में कम से कम डिग्री $$n+1$$ है ।(वे X के गुणक हैं X1X2...Xn+1)  इसका मतलब यह है कि ρn का प्रतिबंध अधिक से अधिक डिग्री के तत्वों के लिए विशेषण रैखिक नक्शा है, और ρn(ek(X1,...,Xn+1)) = ek(X1,...,Xn) सभी के लिए k ≤ n है। इस प्रतिबंध के व्युत्क्रम को विशिष्ट रूप से रिंग समरूपता φn तक बढ़ाया जा सकता है R[X1,...,Xn]Sn से R[X1,...,Xn+1]Sn+1, जैसा कि उदाहरण के लिए सममित बहुपदों के मूलभूत प्रमेय से लिया गया है। छवियों के बाद से φn(ek(X1,...,Xn)) = ek(X1,...,Xn+1), k = 1,...,n के लिए अभी भी R, समाकारिता φn पर अन्तःक्षेपण बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र हैं और इसे रिंग के समावेश (कुछ असामान्य) के रूप में देखा जा सकता है; φn लागू करना से पहले उपस्तिथ एकपद से समरूपता द्वारा प्राप्त नए निर्धारक वाले सभी एकपद को जोड़ने के लिए बहुपद राशि। रिंग ΛR तब इन समावेशन के अधीन इन सभी अंगूठियो का संघ (प्रत्यक्ष सीमा) है। चूंकि सभी φn सम्मलित रिंग की कुल डिग्री द्वारा ग्रेडिंग के साथ संगत हैं, ΛR वर्गीकृत रिंग की संरचना प्राप्त करता है।

यह निर्माण (मैकडोनाल्ड, 1979) में से थोड़ा अलग है। वह निर्माण केवल विशेषण आकारिकी ρn का उपयोग करता है अन्तःक्षेपण रूपवाद φn का उल्लेख किए बिना। यह ΛR के सजातीय घटकों का निर्माण करता है अलग से, एक और ρn का उपयोग करके उनके प्रत्यक्ष योग को रिंग संरचना से तैयार करता है। यह भी देखा गया है कि परिणाम को वर्गीकृत अंगूठियो की श्रेणी (गणित) में व्युत्क्रम सीमा के रूप में वर्णित किया जा सकता है। चूंकि यह विवरण कुछ सीमा तक इंजेक्शन आकारिता की सीधी सीमा के लिए विशिष्ट महत्वपूर्ण संपत्ति को अस्पष्ट करता है, अर्थात् प्रत्येक व्यक्तिगत तत्व (सममित कार्य) पहले से ही सीमा निर्माण में उपयोग की जाने वाली किसी वस्तु में eमानदारी से प्रतिनिधित्व किया जाता है, यहां रिंग R[X1,...,Xd]Sd यह d के लिए सममित फलन की डिग्री लेने के लिए पर्याप्त है, क्योंकि उस रिंग के डिग्री d में भाग को समरूप रूप से मैप किया जाता है, जो कि φn द्वारा अधिक निर्धारक होता है। सभी के लिए n≥ d। इसका तात्पर्य है कि अलग-अलग तत्वों के बीच संबंधों का अध्ययन करने के लिए सममित बहुपदों और सममित फलन के बीच कोई मूलभूत अंतर नहीं है।

व्यक्तिगत सममित फलन को परिभाषित करना
ΛR के तत्वों के लिए नाम सममित कार्य मिथ्या नाम है: न तो निर्माण में तत्व कार्य (गणित) हैं और वास्तव में, सममित बहुपदों के विपरीत, ऐसे तत्वों से स्वतंत्र चर का कोई कार्य नहीं जोड़ा जा सकता है (उदाहरण के लिए e1 सभी असीम रूप से कई चरों का योग होगा, जो तब तक परिभाषित नहीं होता है जब तक कि चर पर प्रतिबंध नहीं लगाया जाता है)। चूँकि नाम पारंपरिक और अच्छी प्रकार से स्थापित है; यह (मैकडॉनल्ड, 1979) दोनों में पाया जा सकता है, जो कहता है (पृष्ठ 12 पर फुटनोट) "Λ के तत्व (Λn के तत्वों के विपरीत) अब बहुपद नहीं हैं: वे एकपदी के औपचारिक अनंत योग हैं। इसलिए हम सममित फलन की पुरानी शब्दावली पर वापस आ गए हैं।" (यहाँ Λn एन निर्धारक में सममित बहुपदों की रिंग को दर्शाता है), और (स्टेनली, 1999) में भी।

सममित फलन को परिभाषित करने के लिए या तो पहले निर्माण के रूप में सीधे शक्ति श्रृंखला का संकेत देना चाहिए, या दूसरे निर्माण के साथ संगत विधियों से प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए n निर्धारक में सममित बहुपद देना चाहिए। उदाहरण के लिए, निर्धारक संख्या में अभिव्यक्ति दोनों कर सकती है
 * $$e_2=\sum_{i<j}X_iX_j\,$$

प्राथमिक सममित फलन की परिभाषा के रूप में लिया जा सकता है यदि निर्धारक की संख्या अनंत है, या किसी भी परिमित संख्या में प्राथमिक सममित बहुपद की परिभाषा के रूप में। समान सममित फलन के लिए सममित बहुपदों को समरूपता ρn के साथ संगत होना चाहिए (उनमें से कुछ को शून्य पर सेट करके अनिश्चितताओं की संख्या घटाकर प्राप्त की जाती है, जिससे शेष अनिश्चितताओं में किसी भी एकपद के गुणांक अपरिवर्तित रहें), और उनकी डिग्री बंधी रहनी चाहिए। (सममित बहुपदों के परिवार का उदाहरण जो दोनों स्थितियों में विफल रहता है $$\textstyle\prod_{i=1}^nX_i$$; परिवार $$\textstyle\prod_{i=1}^n(X_i+1)$$ केवल दूसरी स्थिति में विफल रहता है।) n निर्धारक में किसी भी सममित बहुपद का उपयोग सममित बहुपदों के संगत परिवार के निर्माण के लिए किया जा सकता है, समरूपता का उपयोग करके ρi i < n निर्धारक की संख्या कम करने के लिए, और φi i ≥ n के लिए अनिश्चितताओं की संख्या बढ़ाने के लिए (जो पहले से उपस्तिथ एकपदीयों से समरूपता द्वारा प्राप्त नए अनिश्चितकों में सभी एकपदीयों को जोड़ने के बराबर है)।

निम्नलिखित सममित फलन के मूलभूत उदाहरण हैं।
 * 'एकपद सममित फलन ' mα. मान लीजिए α = (α1,α2,...) गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का अनुक्रम है, जिनमें से केवल बहुत से गैर-शून्य हैं। तब हम α: X द्वारा परिभाषित एकपद पर विचार कर सकते हैंα: Xα = X1α1X2α2X3α3.... फिर mα Xα द्वारा निर्धारित सममित कार्य है, अर्थात Xα से प्राप्त सभी एकपदीयों का योग समरूपता द्वारा। औपचारिक परिभाषा के लिए, β ~ α को परिभाषित करें जिसका अर्थ है कि अनुक्रम β अनुक्रम α और सेट का क्रमपरिवर्तन है
 * $$m_\alpha=\sum\nolimits_{\beta\sim\alpha}X^\beta.$$
 * यह सममित कार्य एकपद सममित बहुपद mα(X1,...,Xn) से मेल खाता है किसी भी बड़े n के लिए एकपदी Xα रखने के लिए पर्याप्त है। अलग-अलग एकपद सममित फलन को पूर्णांक विभाजन द्वारा पैरामीटर किया जाता है (प्रत्येक mα अद्वितीय प्रतिनिधि एकपदी Xλ है भागों के साथ λi कमजोर घटते क्रम में)। चूंकि किसी भी सममित फलन में कुछ mα के एकपद सम्मलित हैं एक ही गुणांक के साथ उन सभी को सम्मलित करना चाहिए, प्रत्येक सममित फलन को एकपद सममित फलन के आर-रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है, और विशिष्ट एकपद सममित फलन इसलिए ΛR का आधार बनाते हैं आर-मॉड्यूल (गणित) के रूप में।

X^\alpha=\prod_{i=1}^kX_i$$ है। शक्ति श्रृंखला के रूप में, यह k विशिष्ट निर्धारक के सभी विशिष्ट उत्पादों का योग है। यह सममित कार्य प्राथमिक सममित बहुपद किसी भी n ≥ k के लिए ek(X1,...,Xn) से मेल खाता है ।
 * 'प्राथमिक सममित कार्य' ek, किसी प्राकृत संख्या k के लिए; के पास ek = mα जहां $$\textstyle
 * 'शक्ति योग सममित कार्य' pk, किसी भी धनात्मक पूर्णांक k के लिए; pk = m(k) है, एकपदी X के लिए एकपदी सममित फलन1 यह सममित कार्य शक्ति योग सममित बहुपद p pk(X1,...,Xn) = X1k + ... + Xnk से मेल खाता है किसी भी n ≥ 1 के लिए।
 * 'पूर्ण सजातीय सममित कार्य' hk, किसी प्राकृत संख्या k के लिए; hk सभी एकपदी सममितीय फलन mα का योग है जहां α k का पूर्णांक विभाजन है। शक्ति श्रृंखला के रूप में, यह डिग्री k के सभी एकपदीयों का योग है, जो इसके नाम को प्रेरित करता है। यह सममित कार्य पूर्ण सजातीय सममित बहुपद hk(X1,...,Xn) से मेल खाता है किसी भी n ≥ k के लिए।
 * 'शूर फलन ' Sλ किसी भी विभाजन λ के लिए, जो शूर बहुपद sλ(X1,...,Xn) के संगत है किसी भी बड़े n के लिए एकपदी Xλ रखने के लिए पर्याप्त है।

कोई घात योग सममित फलन p0 नहीं है: चूंकि परिभाषित करना संभव है (और कुछ संदर्भों में प्राकृतिक)। $$\textstyle p_0(X_1,\ldots,X_n)=\sum_{i=1}^nX_i^0=n$$ n चरों में सममित बहुपद के रूप में, ये मान आकारिकी ρn के साथ संगत नहीं हैं। भेद करनेवाला $$\textstyle(\prod_{i<j}(X_i-X_j))^2$$ सभी n के लिए सममित बहुपद देने वाली अभिव्यक्ति का और उदाहरण है, किन्तु किसी भी सममित कार्य को परिभाषित नहीं करता है। प्रत्यावर्ती बहुपदों के भागफल के रूप में शूर बहुपदों को परिभाषित करने वाले भाव कुछ सीमा तक विवेचक के समान हैं, किन्तु बहुपद sλ(X1,...,Xn) अलग-अलग n के लिए संगत हो जाते हैं और इसलिए सममित कार्य को परिभाषित करते हैं।

सममित बहुपदों और सममित फलन से संबंधित सिद्धांत
किसी भी सममित फलन P के लिए, n में संबंधित सममित बहुपद किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए निर्धारक होते हैं, जिन्हें P(X1,...,Xn) द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। सममित फलन के वलय की दूसरी परिभाषा का तात्पर्य निम्नलिखित मूलभूत सिद्धांत से है।


 * यदि P और Q डिग्री d के सममित कार्य हैं, तो की पहचान है $$P=Q$$ सममित फलन की यदि और केवल यदि किसी की पहचान है P(X1,...,Xd) = Q(X1,...,Xd) निर्धारक में सममित बहुपदों की। इस मामले में वास्तव में P(X1,...,Xn) = Q(X1,...,Xn) किसी भी संख्या n के लिए निर्धारक हैं।

ऐसा इसलिए है क्योंकि कुछ चरों के लिए शून्य को प्रतिस्थापित करके चरों की संख्या को सदैव कम किया जा सकता है और समाकारिता φn को लागू करके चरों की संख्या में वृद्धि की जा सकती है। उन समरूपताओं की परिभाषा आश्वस्त करती है कि φn(P(X1,...,Xn)) = P(X1,...,Xn+1) (और इसी प्रकार Q के लिए) जब भी n ≥ d. इस सिद्धांत के प्रभावी अनुप्रयोग के लिए न्यूटन की पहचान की व्युत्पत्ति न्यूटन की पहचान का प्रमाण देखें।

पहचान
सममितीय फलनों का वलय सममित बहुपदों के बीच सर्वसमिकाओं को लिखने के लिए सुविधाजनक उपकरण है, जो कि निर्धारकों की संख्या से स्वतंत्र होते हैं: ΛR में ऐसी कोई संख्या नहीं है, फिर भी उपरोक्त सिद्धांत द्वारा ΛR में कोई पहचान है स्वचालित रूप से किसी भी संख्या में अनिश्चितताओं में R पर सममित बहुपदों के छल्ले की पहचान देता है। कुछ मौलिक पहचान हैं
 * $$\sum_{i=0}^k(-1)^ie_ih_{k-i}=0=\sum_{i=0}^k(-1)^ih_ie_{k-i}\quad\mbox{for all }k>0,$$

जो प्रारंभिक और पूर्ण सजातीय सममित फलन के बीच समरूपता दिखाता है, इन संबंधों को पूर्ण सजातीय सममित बहुपद के अनुसार समझाया गया है।
 * $$ke_k=\sum_{i=1}^k(-1)^{i-1}p_ie_{k-i}\quad\mbox{for all }k\geq0,$$

न्यूटन की पहचान, जिसमें पूर्ण सजातीय सममित फलन के लिए संस्करण भी है।
 * $$kh_k=\sum_{i=1}^kp_ih_{k-i}\quad\mbox{for all }k\geq0.$$

ΛR के संरचनात्मक गुण
ΛR के महत्वपूर्ण गुण निम्नलिखित को सम्मलित कीजिए।


 * 1) विभाजनों द्वारा पैरामीट्रिज्ड एकपद सममित फलन का सेट ΛR का आधार बनता है श्रेणीबद्ध आर-मॉड्यूल (गणित) के रूप में, d के विभाजन द्वारा पैरामीट्रिज्ड डिग्री डी के सजातीय होने के कारण; शूर फलन के सेट के लिए भी यही सच है (विभाजन द्वारा पैरामीट्रिज्ड)।
 * 2) ΛR बहुपद वलय R[Y1,Y2, ...] के लिए श्रेणीबद्ध R-बीजगणित के रूप में समरूपी है, अपरिमित रूप से अनेक चरों में, जहाँ Yi सभी i > 0 के लिए डिग्री i दी गई है, समरूपता वह है जो Yi भेजता है तब i∈ ΛR प्रत्येक i के लिए।
 * 3) ΛR का इनवॉल्यूशन (गणित) automorphism ω है जो प्रारंभिक सममित फलन को बदल देता है ei और पूर्ण सजातीय सममित फलन hi सभी के लिए मैं यह प्रत्येक शक्ति योग सममित फलन pi भी भेजता है pi से (−1)i−1pi, और यह Sλ को बदलाव करते हुए दूसरे के बीच शूर फलन की अनुमति देता है और Sλt जहां Λt λ का स्थानान्तरण विभाजन है।

संपत्ति 2 सममित बहुपदों के मौलिक प्रमेय का सार है। इसका तात्पर्य तुरंत कुछ अन्य गुणों से है:
 * ΛR का सबरिंग n चर में R पर सममित बहुपदों की रिंग के लिए अधिकतम n में डिग्री के अपने तत्वों द्वारा उत्पन्न समरूप है;
 * ΛR की हिल्बर्ट-पॉइनकेयर श्रृंखला है $$\textstyle\prod_{i=1}^\infty\frac1{1-t^i}$$, विभाजन (संख्या सिद्धांत) पूर्णांक विभाजन का कार्य उत्पन्न करना (यह संपत्ति 1 से भी अनुसरण करता है);
 * प्रत्येक n > 0 के लिए, ΛR के सजातीय भाग द्वारा गठित R-मॉड्यूल डिग्री n की, डिग्री के अपने तत्वों द्वारा उत्पन्न सबरिंग के साथ मॉड्यूलो एन से सख्ती से कम है, रैंक 1 का मुफ्त मॉड्यूल है, और (की छवि) en इस R-मॉड्यूल का उत्पादक है;
 * सममित फलन के प्रत्येक परिवार के लिए (Fi)i>0 जिसमें Fi डिग्री i का सजातीय है और पिछले बिंदु (सभी i के लिए) के मुक्त आर-मॉड्यूल का उत्पादक देता है, R[Y1,Y2, ...] से श्रेणीबद्ध आर-अलजेब्रस का वैकल्पिक समरूपता है ऊपर के रूप में ΛR Yi भेजता है Fi के लिए; दूसरे शब्दों में, परिवार (fi)i>0 ΛR के मुक्त बहुपद उत्पादक का सेट बनाता है।

यह अंतिम बिंदु विशेष रूप से परिवार पर लागू होता है पूर्ण सजातीय सममित फलन की (hi)i>0 ।यदि R में क्षेत्र है (गणित)$$\mathbb Q$$ परिमेय संख्याओं के संबंध में, यह परिवार पर भी लागू होता है (pi)i>0 शक्ति योग सममित फलन की। यह बताता है कि इन परिवारों में से प्रत्येक के पहले n तत्व सममित बहुपदों के सेट को n चर में परिभाषित करते हैं जो सममित बहुपदों की उस रिंग के मुक्त बहुपद उत्पादक हैं।

तथ्य यह है कि पूर्ण सजातीय सममित कार्य ΛR के मुक्त बहुपद उत्पादक का सेट बनाते हैं पहले से ही ऑटोमोर्फिज्म के अस्तित्व को दर्शाता है ω प्राथमिक सममित फलन को पूर्ण सजातीय फलन में भेज रहा है, जैसा कि संपत्ति 3 में उल्लिखित है। तथ्य यह है कि ω ΛR का अंतर्वलन है ऊपर दिए गए संबंधों के पहले सेट द्वारा व्यक्त प्राथमिक और पूर्ण सजातीय सममित फलन के बीच समरूपता से अनुसरण करता है।

सममित फलन की रिंग ΛZ पूर्णांक Z का ऍक्स्प वलय है। यह प्राकृतिक अंदाज में लैम्ब्डा-रिंग भी है; वास्तव में यह एक उत्पादक में सार्वभौमिक लैम्ब्डा-रिंग है।

निर्माण कार्य
ΛR की पहली परिभाषा के सबरिंग के रूप में $$RX_1, X_2, ...$$ सममित फलन के कई अनुक्रमों के उत्पन्न फलन को सुरुचिपूर्ण विधि से व्यक्त करने की अनुमति देता है। पहले बताए गए संबंधों के विपरीत, जो ΛR के लिए आंतरिक हैं, इन भावों में RX1,X2,...;t में संक्रियाएँ सम्मलित हैं किन्तु इसके उपसमूह ΛRt के बाहर, इसलिए वे केवल तभी अर्थपूर्ण हैं जब सममित फलन को निर्धारक Xi में औपचारिक शक्ति श्रृंखला के रूप में देखा जाता है। हम इस व्याख्या पर जोर देने के लिए सममित फलन के बाद (X) लिखेंगे।

प्रारंभिक सममित फलन के लिए उत्पादक फलन है
 * $$E(t) = \sum_{k \geq 0} e_k(X)t^k = \prod_{i=1}^\infty (1+X_it).$$

इसी प्रकार किसी के पास पूर्ण सजातीय सममित कार्य हैं
 * $$H(t) = \sum_{k \geq 0} h_k(X)t^k = \prod_{i=1}^\infty \left(\sum_{k \geq 0} (X_it)^k\right) = \prod_{i=1}^\infty \frac1{1-X_it}.$$

स्पष्ट तथ्य यह है कि $$E(-t)H(t) = 1 = E(t)H(-t)$$ प्रारंभिक और पूर्ण सजातीय सममित फलन के बीच समरूपता की व्याख्या करता है। शक्ति योग सममित फलन के लिए उत्पादक फलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
 * $$P(t) = \sum_{k>0} p_k(X)t^k = \sum_{k>0}\sum_{i=1}^\infty (X_it)^k = \sum_{i=1}^\infty\frac{X_it}{1-X_it} = \frac{tE'(-t)}{E(-t)} = \frac{tH'(t)}{H(t)}$$

((मैकडॉनल्ड, 1979) P(T) को Σk>0 pk(X)tk−1 के रूप में परिभाषित करता है और इसके व्यंजकों में यहाँ दिए गए कारकों के संबंध में कारक t का अभाव है। दो अंतिम व्यंजक, जिनमें जनक फलन E(t) और H(t) के औपचारिक अवकलज सम्मलित हैं, न्यूटन की सर्वसमिका और पूर्ण सजातीय सममित फलन के लिए उनके रूपों को दर्शाते हैं। इन अभिव्यक्तियों को कभी-कभी लिखा जाता है।
 * $$P(t) = -t\frac d{dt}\log(E(-t)) = t\frac d{dt}\log(H(t)),$$

जिसकी मात्रा समान है, किन्तु इसके लिए आवश्यक है कि R में परिमेय संख्याएँ हों, जिससे निरंतर पद 1 के साथ घात श्रृंखला का लघुगणक (द्वारा $$\textstyle\log(1-tS) = -\sum_{i>0} \frac1i(tS)^i$$ परिभाषित किया जा सके) ।

विशेषज्ञता
होने देना $$\Lambda$$ सममित फलन की रिंग बनें और $$R$$ इकाई तत्व के साथ क्रमविनिमेय बीजगणित है। बीजगणित समरूपता $$\varphi:\Lambda\to R,\quad f\mapsto f(\varphi)$$ विशेषज्ञता कहा जाता है। उदाहरण:
 * कुछ वास्तविक संख्याएँ दी गई हैं $$a_1,\dots,a_k$$ और $$f(x_1,x_2,\dots,)\in \Lambda$$, फिर प्रतिस्थापन $$x_1=a_1,\dots,x_k=a_k$$ और $$x_j=0,\forall j>k$$ विशेषज्ञता है।
 * होने देना $$f\in \Lambda$$, तब $$\operatorname{ps}(f):=f(1,q,q^2,q^3,\dots)$$ प्रमुख विशेषज्ञता कहा जाता है।

यह भी देखें

 * न्यूटन की पहचान
 * क्वैसममित फ़ंक्शन

संदर्भ

 * Macdonald, I. G. Symmetric functions and Hall polynomials. Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford, 1979. viii+180 pp. ISBN 0-19-853530-9
 * Macdonald, I. G. Symmetric functions and Hall polynomials. Second edition. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1995. x+475 pp. ISBN 0-19-853489-2
 * Stanley, Richard P. Enumerative Combinatorics, Vol. 2, Cambridge University Press, 1999. ISBN 0-521-56069-1 (hardback) ISBN 0-521-78987-7 (paperback).