बलोच क्षेत्र

परिमाण यांत्रिकी और परिमाण कम्प्यूटिंग में, बलोच क्षेत्र एक दो-स्तरीय प्रणाली के शुद्ध अवस्था स्थान का एक ज्यामितीय प्रतिनिधित्व है। दो-स्तरीय परिमाण यांत्रिक तन्त्र (क्विबिट), जिसका नाम भौतिक विज्ञानी फेलिक्स बलोच के नाम पर रखा गया है। परिमाण यांत्रिकी गणितीय रूप से हिल्बर्ट स्थल अथवा प्रक्षेपीय हिल्बर्ट स्थल अंतरिक्ष में तैयार की गई है। एक परिमाण प्रणाली की शुद्ध अवस्था संबंधित हिल्बर्ट अंतरिक्ष (और प्रक्षेपीय हिल्बर्ट अंतरिक्ष के बिंदु) के एक आयामी उप-स्थान के अनुरूप होती है। द्वि-आयामी हिल्बर्ट अंतरिक्ष के लिए, ऐसे सभी दिक् का स्थान जटिल प्रक्षेपण रेखा $$\mathbb{CP}^1$$ है यह बलोच क्षेत्र है, जिसे रीमैन क्षेत्र में मानचित्र किया जा सकता है।

बलोच क्षेत्र एक इकाई एन-क्षेत्र 2-वृत्त है, जिसमें पारस्परिक रूप से आयतीय स्थिति सदिश की एक जोड़ी के अनुरूप एंटीपोडल बिंदु होते हैं। बलोच क्षेत्र के उत्तरी और दक्षिणी ध्रुवों को आमतौर पर मानक आधार सदिश के अनुरूप चुना जाता है $$|0\rangle$$ और $$|1\rangle$$, क्रमशः, जो बदले में उदा। एक इलेक्ट्रॉन की स्पिन (भौतिकी)-अप और स्पिन (भौतिकी)-डाउन अवस्थाओं के लिए। हालाँकि यह चुनाव मनमाना है। गोले की सतह पर बिंदु सिस्टम की शुद्ध अवस्थाओं की परिमाण अवस्था#सुपरपोजिशन के अनुरूप होते हैं, जबकि आंतरिक बिंदु परिमाण अवस्था#मिश्रित अवस्थाओं के अनुरूप होते हैं। बलोच स्फीयर को एन-लेवल परिमाण सिस्टम के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, लेकिन तब विज़ुअलाइज़ेशन कम उपयोगी होता है।

ऐतिहासिक कारणों से, प्रकाशिकी में बलोच क्षेत्र को पोंकारे क्षेत्र (ऑप्टिक्स) | पोंकारे क्षेत्र के रूप में भी जाना जाता है और विशेष रूप से विभिन्न प्रकार के ध्रुवीकरण (तरंगों) का प्रतिनिधित्व करता है। छह सामान्य ध्रुवीकरण प्रकार मौजूद हैं और उन्हें जोन्स कैलकुलस#जोन्स सदिश कहा जाता है। वास्तव में हेनरी पोंकारे 19वीं शताब्दी के अंत में इस तरह के ज्यामितीय प्रतिनिधित्व के उपयोग का सुझाव देने वाले पहले व्यक्ति थे, स्टोक्स मापदंडों के त्रि-आयामी प्रतिनिधित्व के रूप में। बलोच क्षेत्र पर प्राकृतिक मीट्रिक (गणित) फ़ुबिनी-अध्ययन मीट्रिक है। द्वि-आयामी स्थिति अंतरिक्ष में इकाई 3-क्षेत्र से मानचित्रण $$\mathbb{C}^2$$ बलोच क्षेत्र के लिए हॉप फ़िब्रेशन है, जिसमें स्पिनरों के प्रत्येक प्रक्षेपीय हिल्बर्ट स्पेस के साथ बलोच क्षेत्र पर एक बिंदु पर मैपिंग होती है।

परिभाषा
एक अलौकिक आधार दिया गया है, कोई भी शुद्ध अवस्था $$|\psi\rangle$$ दो-स्तरीय परिमाण प्रणाली की संरचना को आधार सदिशों के अध्यारोपण के रूप में लिखा जा सकता है $$|0\rangle$$ और $$|1\rangle$$, जहां दो आधार सदिशों में से प्रत्येक का गुणांक (या योगदान) एक सम्मिश्र संख्या है। इसका अर्थ है कि स्थिति को चार वास्तविक संख्याओं द्वारा वर्णित किया गया है। हालाँकि दो आधार सदिश के गुणांक के बीच केवल सापेक्ष चरण का कोई भौतिक अर्थ है (परिमाण प्रणाली का चरण सीधे परिमाण यांत्रिकी में माप नहीं है), ताकि इस विवरण में अतिरेक हो। हम का गुणांक ले सकते हैं $$|0\rangle$$ वास्तविक और गैर-नकारात्मक होना। यह बलोच क्षेत्र के तीन आयामों को जन्म देते हुए स्थिति को केवल तीन वास्तविक संख्याओं द्वारा वर्णित करने की अनुमति देता है।

हम परिमाण यांत्रिकी से यह भी जानते हैं कि सिस्टम की कुल संभावना एक होनी चाहिए:
 * $$\langle\psi | \psi\rangle = 1$$, या समकक्ष $$\big\| |\psi\rangle \big\|^2 = 1$$.

इस बाधा को देखते हुए हम लिख सकते हैं $$|\psi\rangle$$ निम्नलिखित प्रतिनिधित्व का उपयोग करना:

|\psi\rangle = \cos\left(\theta /2\right) |0 \rangle \, + \, e^{i\phi} \sin\left(\theta /2\right) |1\rangle = \cos\left(\theta /2\right) |0 \rangle \, + \, (\cos\phi + i\sin\phi) \, \sin\left(\theta /2\right) |1\rangle $$, कहाँ $$ 0 \leq \theta \leq \pi$$ और $$0 \leq \phi < 2 \pi$$.

प्रतिनिधित्व हमेशा अनूठा होता है, क्योंकि, भले ही का मूल्य $$\phi$$ अद्वितीय नहीं है जब $$|\psi\rangle$$ राज्यों में से एक है (ब्रा-केट नोटेशन देखें) $$|0\rangle$$ या $$|1\rangle$$, द्वारा दर्शाया गया बिंदु $$\theta$$ और $$\phi$$ निराला है।

पैरामीटर $$\theta\,$$ और $$\phi\,$$, गोलीय समन्वय प्रणाली में क्रमशः z-अक्ष के संबंध में समांतरता और x-अक्ष के संबंध में देशांतर के रूप में फिर से व्याख्या की गई, एक बिंदु निर्दिष्ट करें
 * $$\vec{a} = (\sin\theta \cos\phi,\; \sin\theta \sin\phi,\; \cos\theta) = (u, v, w)$$ इकाई क्षेत्र पर में $$\mathbb{R}^3$$.

मिश्रित अवस्था (भौतिकी) के लिए, एक घनत्व ऑपरेटर पर विचार करता है। कोई द्वि-आयामी घनत्व ऑपरेटर $ρ$ पहचान का उपयोग करके विस्तारित किया जा सकता है $I$ और हर्मिटियन मैट्रिक्स, ट्रेस (रैखिक बीजगणित) पॉल मैट्रिसेस $$\vec{\sigma}$$,
 * $$\begin{align}

\rho &= \frac{1}{2}\left(I + \vec{a} \cdot \vec{\sigma}\right) \\ &= \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\           0 & 1          \end{pmatrix} + \frac{a_x}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\           1 & 0          \end{pmatrix} + \frac{a_y}{2}\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} + \frac{a_z}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\            0 & -1          \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 + a_z & a_x - ia_y \\ a_x + ia_y &  1 -  a_z \end{pmatrix} \end{align}$$, कहाँ $$\vec{a} \in \mathbb{R}^3$$ बलोच वेक्टर कहा जाता है।

यह सदिश क्षेत्र के भीतर उस बिंदु को इंगित करता है जो किसी दिए गए मिश्रित स्थिति से मेल खाता है। विशेष रूप से, पाउली मैट्रिसेस # पाउली वेक्टर की मूल विशेषता के रूप में, के आइगेनवेल्यूज़ $ρ$ हैं $$\frac{1}{2}\left(1 \pm |\vec{a}|\right)$$. घनत्व ऑपरेटरों को सकारात्मक-अर्ध-परिमित होना चाहिए, इसलिए यह उसी का अनुसरण करता है $$\left|\vec{a}\right| \le 1$$.

शुद्ध राज्यों के लिए, एक के पास है
 * $$\operatorname{tr}\left(\rho^2\right) = \frac{1}{2}\left(1 + \left|\vec{a}\right|^2 \right) = 1 \quad \Leftrightarrow \quad \left|\vec{a}\right| = 1 ~,$$

उपरोक्त के अनुरूप। नतीजतन, बलोच क्षेत्र की सतह द्वि-आयामी परिमाण प्रणाली के सभी शुद्ध राज्यों का प्रतिनिधित्व करती है, जबकि आंतरिक सभी मिश्रित राज्यों से मेल खाती है।

यू, वी, डब्ल्यू प्रतिनिधित्व
बलोच वेक्टर $$\vec{a} = (u,v,w)$$ घनत्व ऑपरेटर के संदर्भ में निम्नलिखित आधार पर प्रतिनिधित्व किया जा सकता है $$\rho$$:
 * $$u = \rho_{10} + \rho_{01} = 2 \operatorname{Re}(\rho_{01})$$
 * $$v = i(\rho_{01} - \rho_{10}) = 2 \operatorname{Im}(\rho_{10})$$
 * $$w = \rho_{00} - \rho_{11}$$

कहाँ


 * $$\rho =

\begin{pmatrix} \rho_{00} & \rho_{01} \\ \rho_{10} & \rho_{11} \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1+w & u-iv \\ u+iv & 1-w \end{pmatrix}. $$ यह आधार अक्सर लेज़र  सिद्धांत में प्रयोग किया जाता है, जहां $$w$$ जनसंख्या व्युत्क्रमण के रूप में जाना जाता है। इस आधार पर, संख्याएँ $$u, v, w$$ तीन पाउली मेट्रिसेस की अपेक्षाएं हैं $$X, Y, Z$$, एक को xy और z अक्षों के साथ तीन निर्देशांकों की पहचान करने की अनुमति देता है।

शुद्ध अवस्थाएँ
एक एन-लेवल परिमाण मैकेनिकल सिस्टम पर विचार करें। इस प्रणाली का वर्णन एन-डायमेंशनल हिल्बर्ट स्पेस एच द्वारा किया गया हैn. परिभाषा के अनुसार शुद्ध अवस्था स्थान H की 1-आयामी किरणों का समुच्चय हैn.

प्रमेय। U(N)|U(n) आकार n के एकात्मक मैट्रिसेस का झूठा समूह होने दें। फिर 'एच' का शुद्ध स्थिति स्थानn कॉम्पैक्ट कोसेट स्पेस के साथ पहचाना जा सकता है
 * $$ \operatorname{U}(n) /(\operatorname{U}(n - 1) \times \operatorname{U}(1)). $$

इस तथ्य को सिद्ध करने के लिए, ध्यान दें कि H की अवस्थाओं के समुच्चय पर U(n) की एक प्राकृतिक रूपांतरण समूह क्रिया (गणित) है।n. यह क्रिया शुद्ध अवस्थाओं पर निरंतर और सकर्मक समूह क्रिया है। किसी भी स्थिति के लिए $$|\psi\rangle$$, का आइसोट्रॉपी समूह $$|\psi\rangle$$, (तत्वों के सेट के रूप में परिभाषित $$g$$ यू (एन) की ऐसी है कि $$g |\psi\rangle = |\psi\rangle$$) उत्पाद समूह के लिए आइसोमोर्फिक है


 * $$ \operatorname{U}(n - 1) \times \operatorname{U}(1). $$

रैखिक बीजगणित के संदर्भ में, इसे निम्नानुसार उचित ठहराया जा सकता है। कोई $$g$$ यू (एन) का जो छोड़ देता है $$|\psi\rangle$$ अपरिवर्तनीय होना चाहिए $$|\psi\rangle$$ एक आइजन्वेक्टर के रूप में। चूंकि संबंधित eigenvalue मापांक 1 की एक सम्मिश्र संख्या होनी चाहिए, यह आइसोट्रॉपी समूह का U(1) कारक देता है। आइसोट्रॉपी समूह के दूसरे भाग को आयतीय पूरक पर एकात्मक मैट्रिसेस द्वारा पैरामीट्रिज किया गया है $$|\psi\rangle$$, जो U(n − 1) के लिए तुल्याकारी है। इससे प्रमेय का अभिकथन कॉम्पैक्ट समूहों के सकर्मक समूह कार्यों के बारे में बुनियादी तथ्यों से होता है।

ऊपर ध्यान देने योग्य महत्वपूर्ण तथ्य यह है कि एकात्मक समूह शुद्ध अवस्थाओं पर सकर्मक रूप से कार्य करता है।

अब U(n) का (वास्तविक) आयाम n है 2। घातीय मानचित्र के बाद से यह देखना आसान है
 * $$ A \mapsto e^{i A} $$

स्व-संलग्न जटिल मैट्रिसेस के स्थान से यू (एन) तक एक स्थानीय होमोमोर्फिज्म है। स्व-संलग्न जटिल आव्यूहों के स्थान का वास्तविक आयाम n है 2।

परिणाम। 'एच' के शुद्ध स्थिति स्थान का वास्तविक आयामn 2n - 2 है।

वास्तव में,
 * $$ n^2 - \left((n - 1)^2 + 1\right) = 2n - 2. \quad $$

आइए इसे m qubit परिमाण रजिस्टर के वास्तविक आयाम पर विचार करने के लिए लागू करें। संबंधित हिल्बर्ट स्पेस का आयाम 2 हैमी.

'परिणाम'। m-qubit परिमाण रजिस्टर के शुद्ध अवस्था स्थान का वास्तविक आयाम 2 हैएम+1 − 2.

स्टीरियोग्राफिक प्रोजेक्शन
के माध्यम से शुद्ध दो-स्पिनर स्टेट्स प्लॉट करना शुद्ध अवस्था दी
 * $$ \alpha \left|\uparrow \right\rangle + \beta \left|\downarrow \right\rangle = \left|\nearrow \right\rangle $$

कहाँ $$\alpha$$ और $$\beta$$ जटिल संख्याएँ हैं जिन्हें सामान्यीकृत किया जाता है ताकि
 * $$ |\alpha|^2 + |\beta|^2 = \alpha^* \alpha + \beta^* \beta = 1$$

और ऐसा है $$\langle\downarrow | \uparrow\rangle = 0$$ और $$\langle\downarrow | \downarrow\rangle = \langle\uparrow | \uparrow\rangle = 1$$, अर्थात्, ऐसा कि $$\left|\uparrow\right\rangle$$ और $$\left|\downarrow\right\rangle$$ एक आधार बनाते हैं और बलोच क्षेत्र पर बिल्कुल विपरीत प्रतिनिधित्व करते हैं, फिर चलो
 * $$ u = {\beta \over \alpha} = {\alpha^* \beta \over \alpha^* \alpha} = {\alpha^* \beta \over |\alpha|^2} = u_x + i u_y$$

उनका अनुपात हो।

यदि बलोच क्षेत्र को अंतर्निहित माना जाता है $$\mathbb{R}^3$$ मूल में इसके केंद्र के साथ और त्रिज्या एक के साथ, फिर विमान z = 0 (जो बलोच क्षेत्र को एक बड़े वृत्त पर काटता है; गोले का भूमध्य रेखा, जैसा कि था) को अरगंड आरेख के रूप में माना जा सकता है। इस विमान में प्लॉट पॉइंट यू - ताकि अंदर $$\mathbb{R}^3$$ इसके निर्देशांक हैं $$(u_x, u_y, 0)$$.

यू के माध्यम से और प्रतिनिधित्व करने वाले गोले पर बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचें $$\left|\downarrow\right\rangle$$. (चलो (0,0,1) प्रतिनिधित्व करते हैं $$\left|\uparrow\right\rangle$$ और (0,0,−1) प्रतिनिधित्व करते हैं $$\left|\downarrow\right\rangle$$.) यह रेखा गोले को इसके अलावा एक अन्य बिंदु पर काटती है $$\left|\downarrow\right\rangle$$. (एकमात्र अपवाद है जब $$u = \infty$$, यानी कब $$\alpha = 0$$ और $$\beta \ne 0$$.) इस बिंदु को P कहते हैं। समतल z = 0 पर बिंदु u बलोच क्षेत्र पर बिंदु P का त्रिविमीय प्रक्षेपण है। मूल बिंदु पर पूंछ और पी पर टिप वाला वेक्टर स्पिनर के अनुरूप 3-डी अंतरिक्ष में दिशा है $$\left|\nearrow\right\rangle$$. P के निर्देशांक हैं


 * $$ P_x = {2 u_x \over 1 + u_x^2 + u_y^2} $$
 * $$ P_y = {2 u_y \over 1 + u_x^2 + u_y^2} $$
 * $$ P_z = {1 - u_x^2 - u_y^2 \over 1 + u_x^2 + u_y^2} $$.

गणितीय रूप से दो-स्पिनर स्थिति के लिए बलोच क्षेत्र को रीमैन क्षेत्र या एक जटिल 2-आयामी प्रक्षेपीय हिल्बर्ट स्पेस में मानचित्र किया जा सकता है, जिसे निरूपित किया जा सकता है $$\mathbb{P} \mathbf{H}^2$$. जटिल द्वि-आयामी हिल्बर्ट अंतरिक्ष $$\mathbf{H}^2$$ (जिसका कि $$\mathbb{P} \mathbf{H}^2$$ एक प्रक्षेपण है) SO(3) का प्रतिनिधित्व स्थान है।

घनत्व ऑपरेटर
पृथक प्रणालियों के लिए शुद्ध अवस्थाओं के संदर्भ में परिमाण यांत्रिकी के सूत्रीकरण पर्याप्त हैं; घनत्व मैट्रिक्स के संदर्भ में सामान्य परिमाण यांत्रिक प्रणालियों में वर्णित करने की आवश्यकता है। बलोच क्षेत्र न केवल शुद्ध अवस्थाओं बल्कि 2-स्तरीय प्रणालियों के लिए मिश्रित अवस्थाओं का पैरामीट्रिज़ करता है। 2-स्तरीय परिमाण सिस्टम (qubit) के मिश्रित-स्थिति का वर्णन करने वाला घनत्व ऑपरेटर निम्नलिखित निर्देशांक के साथ बलोच क्षेत्र के अंदर एक बिंदु से मेल खाता है:
 * $$ \left( \sum p_i x_i, \sum p_i y_i,  \sum p_i z_i \right),$$

कहाँ $$p_i$$ पहनावा के भीतर अलग-अलग राज्यों की संभावना है और $$x_i, y_i, z_i$$ अलग-अलग राज्यों के निर्देशांक हैं (बलोच क्षेत्र की सतह पर)। बलोच स्फेयर पर और अंदर सभी बिंदुओं के सेट को बलोच बॉल के रूप में जाना जाता है।

उच्च आयाम वाले राज्यों के लिए इसे मिश्रित राज्यों तक विस्तारित करने में कठिनाई होती है। टोपोलॉजिकल विवरण इस तथ्य से जटिल है कि एकात्मक समूह घनत्व संचालकों पर सकर्मक रूप से कार्य नहीं करता है। इसके अलावा, कक्षाएँ अत्यंत विविध हैं, जैसा कि निम्नलिखित अवलोकन से पता चलता है:

'प्रमेय'। मान लीजिए A एक n स्तर परिमाण मैकेनिकल सिस्टम पर घनत्व ऑपरेटर है जिसका अलग-अलग eigenvalues ​​​​μ हैं1, ..., एमk गुणन के साथ एन1, ..., एनk. फिर एकात्मक संकारकों का समूह V ऐसा कि V A V* = A समरूपी (एक झूठ समूह के रूप में) है
 * $$\operatorname{U}(n_1) \times \cdots \times \operatorname{U}(n_k).$$

विशेष रूप से ए की कक्षा आइसोमोर्फिक है
 * $$\operatorname{U}(n)/\left(\operatorname{U}(n_1) \times \cdots \times \operatorname{U}(n_k)\right).$$

बलोच गेंद के निर्माण को 2 से बड़े आयामों के लिए सामान्यीकृत करना संभव है, लेकिन ऐसे बलोच शरीर की ज्यामिति गेंद की तुलना में अधिक जटिल होती है।

परिक्रमण
बलोच क्षेत्र के प्रतिनिधित्व का एक उपयोगी लाभ यह है कि बलोच क्षेत्र के घुमावों द्वारा क्वबिट स्थिति का विकास वर्णित है। ऐसा क्यों है, इसकी सबसे संक्षिप्त व्याख्या यह है कि एकात्मक और हर्मिटियन मैट्रिसेस के समूह के लिए झूठ बीजगणित $$SU(2)$$ तीन आयामी घुमावों के समूह के लाई बीजगणित के लिए आइसोमोर्फिक है $$SO(3)$$.

बलोच आधार के बारे में रोटेशन ऑपरेटर
बलोच आधार में कार्तीय कुल्हाड़ियों के बारे में बलोच क्षेत्र के रोटेशन द्वारा दिया जाता है
 * $$\begin{align}

R_x(\theta) &= e^{(-i \theta X/2)} = \cos(\theta /2)I - i\sin(\theta/2)X = \begin{bmatrix} \cos \theta/2 & -i \sin \theta/2 \\ -i \sin \theta/2 & \cos \theta/2 \end{bmatrix} \\ R_y(\theta) &= e^{(-i \theta Y/2)} = \cos(\theta /2)I - i\sin(\theta/2)Y = \begin{bmatrix} \cos \theta/2 & -\sin \theta/2 \\ \sin \theta/2 & \cos \theta/2 \end{bmatrix} \\ R_z(\theta) &= e^{(-i \theta Z/2)} = \cos(\theta /2)I - i\sin(\theta/2)Z = \begin{bmatrix} e^{-i \theta/2} & 0 \\ 0 & e^{i \theta/2} \end{bmatrix} \end{align}$$

एक सामान्य अक्ष के चारों ओर घूमना
अगर $$ \hat{n} = (n_x, n_y, n_z) $$ तीन आयामों में एक वास्तविक इकाई वेक्टर है, इस अक्ष के बारे में बलोच क्षेत्र का रोटेशन निम्न द्वारा दिया गया है:


 * $$ R_{\hat{n}}(\theta) = \exp\left(-i\theta\hat{n} \cdot \frac{1}{2}\vec{\sigma}\right) $$

ध्यान देने वाली एक दिलचस्प बात यह है कि यह अभिव्यक्ति चतुष्कोणों और स्थानिक घुमाव के लिए विस्तारित यूलर सूत्र के पुन: लेबलिंग के समान है।


 * $$ \mathbf{q} =

e^{\frac{1}{2}\theta(u_x\mathbf{i} + u_y\mathbf{j} + u_z\mathbf{k})} = \cos \frac{\theta}{2} + (u_x\mathbf{i} + u_y\mathbf{j} + u_z\mathbf{k}) \sin \frac{\theta}{2} $$

बलोच रोटेशन जनरेटर
की व्युत्पत्ति बैलेंटाइन अतिसूक्ष्म एकात्मक परिवर्तन के लिए एक सहज व्युत्पत्ति प्रस्तुत करता है। यह समझने के लिए महत्वपूर्ण है कि बलोच क्षेत्रों के घूर्णन पाउली मेट्रिसेस के रैखिक संयोजनों के घातीय क्यों हैं। अतः इसका संक्षिप्त उपचार यहाँ दिया जा रहा है। परिमाण मैकेनिकल संदर्भ में एक अधिक पूर्ण विवरण रोटेशन ऑपरेटर (परिमाण यांत्रिकी) पाया जा सकता है।

एकात्मक संचालकों के एक परिवार पर विचार करें $$U$$ किसी अक्ष के परितः घूर्णन को निरूपित करना। चूंकि रोटेशन में स्वतंत्रता की एक डिग्री होती है, ऑपरेटर स्केलर्स के क्षेत्र में कार्य करता है $$S$$ ऐसा है कि:
 * $$ U(0) = I $$
 * $$ U(s_1 + s_2) = U(s_1)U(s_2) $$

कहाँ $$ 0, s_1, s_2, \in S $$ हम असीम एकात्मक को परिभाषित करते हैं क्योंकि टेलर का विस्तार दूसरे क्रम में छोटा है।
 * $$ U(s) = I + \frac{dU}{ds} \Bigg|_{s=0} s + O\left(s^2\right) $$

एकात्मक स्थिति से:
 * $$ U^{\dagger}U = I $$

इस तरह
 * $$ U^{\dagger}U = I + s\left(\frac{dU}{ds}\Bigg|_{s=0} + \frac{dU^{\dagger}}{ds}\Bigg|_{s=0}\right) + O\left(s^2\right) = I $$

इस समानता को सत्य मानने के लिए (माना जाता है $$O\left(s^2\right)$$ नगण्य है) हमें चाहिए
 * $$\frac{dU}{ds} \Bigg|_{s=0} + \frac{dU^{\dagger}}{ds} \Bigg|_{s=0}= 0$$.

इसका परिणाम फॉर्म के समाधान में होता है:
 * $$ \frac{dU}{ds} \Bigg|_{s=0} = iK $$

कहाँ $$K$$ कोई हर्मिटियन परिवर्तन है, और इसे एकात्मक परिवार का जनक कहा जाता है।

इस तरह:
 * $$ U(s) = e^{iKs} $$

पाउली मेट्रिसेस के बाद से $$(\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z)$$ एकात्मक हर्मिटियन मैट्रिसेस हैं और बलोच आधार के अनुरूप ईजेनवेक्टर हैं, $$(\hat{x}, \hat{y}, \hat{z})$$, हम स्वाभाविक रूप से देख सकते हैं कि कैसे बलोच का घूर्णन एक मनमाना अक्ष के बारे में है $$\hat{n}$$ द्वारा वर्णित है
 * $$ R_{\hat{n}}(\theta) = \exp(-i \theta \hat{n} \cdot \vec{\sigma}/2) $$

द्वारा दिए गए रोटेशन जनरेटर के साथ $$K = \hat{n} \cdot \vec{\sigma}/2 $$

यह भी देखें

 * परमाणु इलेक्ट्रॉन संक्रमण
 * जायरोवेक्टर स्पेस
 * पोंकारे क्षेत्र (प्रकाशिकी)
 * वर्सेज
 * बलोच क्षेत्र के विशिष्ट कार्यान्वयनों की गणना क्यूबिट#भौतिक कार्यान्वयन लेख के तहत की गई है।