सेंसर सरणी

संवेदक (सेंसर) सरणी संवेदको का एक समूह है, जो सामान्य रूप से एक निश्चित ज्यामिति पैटर्न में परिनियोजित किया जाता है, जिसका उपयोग विद्युत चुम्बकीय या ध्वनिक संकेतों को संग्रहित करने और संसाधित करने के लिए किया जाता है। एकल संवेदक का उपयोग करने की तुलना में संवेदक सरणी का उपयोग करने का लाभ इस तथ्य में निहित है कि एक सरणी अवलोकन में नए आयाम जोड़ती है, जिससे अधिक मापदंडों का अनुमान लगाने और अनुमान प्रदर्शन में संशोधन करने में सहायता मिलती है। उदाहरण के लिए, किरण-अभिरूपण के लिए उपयोग किए जाने वाले रेडियो एंटीना तत्वों की एक श्रृंखला सिग्नल की दिशा में एंटीना लाभ को बढ़ा सकती है जबकि अन्य दिशाओं में लाभ को कम कर सकती है, अर्थात सिग्नल को सुसंगत रूप से बढ़ाकर संकेत-ध्वनि अनुपात (एसएनआर) बढ़ा सकती है। संवेदक सरणी अनुप्रयोग का एक अन्य उदाहरण विद्युत चुम्बकीय तरंगों के आगमन की दिशा का अनुमान लगाना है। संबंधित प्रक्रमन विधि को सरणी संकेत प्रक्रमन कहा जाता है। तीसरे उदाहरण में रासायनिक संवेदक सरणियाँ सम्मिलित हैं, जो जटिल मिश्रण या संवेदन वातावरण में फिंगरप्रिंट ( उँगली का निशान) का पता लगाने के लिए कई रासायनिक संवेदक का उपयोग करती हैं। सरणी संकेत प्रक्रमन के अनुप्रयोग उदाहरणों में रडार/सोनार, ताररहित संचार, भूकंप विज्ञान, मशीन की स्थिति की सुरक्षा, ​​खगोलीय अवलोकन दोष निदान आदि सम्मिलित हैं।

सरणी संकेत प्रक्रमन का उपयोग करके, संवेदक सरणी द्वारा एकत्र किए गए डेटा में ध्वनि से अंतःक्षेप करने वाले और गुप्त संकेतों के अस्थायी और स्थानिक गुणों (या पैरामीटर) का अनुमान लगाया और प्रकट किया जा सकता है। इसे पैरामीटर अनुमान के रूप में जाना जाता है।



समतल तरंग, समय प्रक्षेत्र किरण-निर्माण
चित्र 1 एक छह-तत्व समान रैखिक सरणी (यूएलए) दिखाता है। इस उदाहरण में, संवेदक सरणी को सिग्नल स्रोत के दूर-क्षेत्र में माना जाता है ताकि इसे समतल तरंग के रूप में माना जा सके।

पैरामीटर अनुमान इस तथ्य का लाभ उठाता है कि सरणी में स्रोत से प्रत्येक एंटीना की दूरी अलग-अलग है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक एंटीना पर निविष्ट डेटा एक-दूसरे की कला विस्थापन प्रतिकृतियां होंगी। समीकरण (1) पहले एंटीना के सापेक्ष सरणी में प्रत्येक एंटीना तक पहुंचने में लगने वाले अतिरिक्त समय की गणना दिखाता है, जहां c तरंग का वेग है।

$$\Delta t_i = \frac{(i-1)d \cos \theta}{c}, i = 1, 2, ..., M \ \ (1) $$

प्रत्येक संवेदक एक अलग विलंब से जुड़ा है। विलंब लघु है लेकिन सामान्य नहीं है। आवृत्ति प्रक्षेत्र में, उन्हें संवेदक द्वारा प्राप्त संकेतों के बीच कला विस्थापन के रूप में प्रदर्शित किया जाता है। विलंब आपतन कोण और संवेदक सरणी की ज्यामिति से निकटता से संबंधित है। सरणी की ज्यामिति को देखते हुए, आपतन कोण का अनुमान लगाने के लिए विलंब या कलांतर का उपयोग किया जा सकता है। समीकरण (1) सरणी संकेत प्रक्रमन के पीछे का गणितीय आधार है। सिर्फ संवेदक द्वारा प्राप्त संकेतों का योग और औसत मान की गणना करके परिणाम दें

$$y = \frac{1}{M}\sum_{i=1}^{M} \boldsymbol x_i (t-\Delta t_i) \ \ (2) $$.

क्योंकि प्राप्त संकेत प्रावस्था से बाहर हैं, यह औसत मान मूल स्रोत की तुलना में एक बढ़ा हुआ संकेत नहीं देता है। ह्यूरिस्टिक रूप से, यदि हम प्राप्त संकेतों में से प्रत्येक के विलंब का पता लगा सकते हैं और योग से पहले उन्हें हटा सकते हैं, तब औसत मान

$$y = \frac{1}{M}\sum_{i=1}^{M} \boldsymbol x_i (t) \ \ (3) $$

परिणामस्वरूप एक उन्नत सिग्नल प्राप्त होगा। संवेदक सरणी के प्रत्येक चैनल के लिए विलंब के एक अच्छी तरह से चयनित सेट का उपयोग करके समय-विस्थापन सिग्नल की प्रक्रिया ताकि सिग्नल को रचनात्मक रूप से जोड़ा जा सके, किरण-अपरूपण कहा जाता है। ऊपर वर्णित विलंब-और-योग दृष्टिकोण के अतिरिक्त, कई वर्णक्रमीय आधारित (गैर-प्राचलिक) दृष्टिकोण और प्राचलिक दृष्टिकोण सम्मिलित हैं जो विभिन्न प्रदर्शन आव्यूह में संशोधन करते हैं। इन किरण-अपरूपण एल्गोरिदम का संक्षेप में वर्णन इस प्रकार किया गया है

सरणी डिजाइन
संवेदक सरणियों में अलग-अलग ज्यामितीय डिज़ाइन होते हैं, जिनमें रैखिक, गोलाकार, समतल, बेलनाकार और गोलाकार सरणियाँ सम्मिलित हैं। यादृच्छिक सरणी विन्यास के साथ संवेदक सरणी हैं, जिन्हें पैरामीटर अनुमान के लिए अधिक जटिल संकेत प्रक्रमन तकनीकों की आवश्यकता होती है। एकसमान रैखिक सरणी (यूएलए) में आने वाले सिग्नल $$\omega\tau$$  का प्रावस्था  ग्रेटिंग (कठोर) तरंगों से संरक्षण के लिए $$\pm\pi$$ तक सीमित होना चाहिए। इसका तात्पर्य है कि आगमन के कोण  $$\theta$$ के लिए अंतराल में $$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$$ संवेदक रिक्ति अर्ध-तरंगदैर्ध्य   $$d \leq \lambda/2$$ से कम होनी चाहिए।  हालांकि, मुख्य किरणपुंज की चौड़ाई, अर्थात सरणी के विभेदन या दिशिकता, तरंग दैर्ध्य की तुलना में सरणी की लंबाई से निर्धारित होती है। सामान्य दिशात्मक विभेदन प्राप्त करने के लिए सरणी की लंबाई रेडियो तरंगदैर्ध्य से कई गुना बड़ी होनी चाहिए।

एंटीना सरणी

 * एंटीना सरणी (विद्युत चुम्बकीय), ऐन्टेना तत्वों की एक ज्यामितीय व्यवस्था, उनके धाराओं के बीच एक सुविचारित संबंध के साथ, एक वांछित विकिरण पैटर्न प्राप्त करने के लिए सामान्य रूप से एक ऐन्टेना बनाते हैं
 * दिशात्मक सरणी, दिशात्मकता के लिए अनुकूलित एक एंटीना सरणी
 * प्रावस्थाबद्ध सरणी, एक एंटीना सरणी जहां तत्वों पर प्रयुक्त कला विस्थापन (और आयाम) को सक्रिय भागों के उपयोग के बिना एंटीना प्रणाली के दिशात्मक पैटर्न को संचालित करने के लिए इलेक्ट्रॉनिक रूप से संशोधित किया जाता है।
 * स्मार्ट एंटीना, एक प्रावस्थाबद्ध सरणी जिसमें एक संकेत संसाधित्र  संग्रहण और/या अभिग्राही के लिए संचारण को अनुकूलित करने के लिए कला विस्थापन की गणना करता है, जैसे कि  सेल फ़ोन टावरों द्वारा किया जाता है
 * डिजिटल एंटीना सरणी, यह सामान्य रूप से तीव्र फूरियर रूपांतरण का उपयोग करके  बहु-चैनल डिजिटल किरण-अभिरूपण वाला स्मार्ट एंटीना है।
 * व्यतिकरणमितिक सहसंबंध के माध्यम से उच्च विभेदन प्राप्त करने के लिए रेडियो दूरबीन या प्रकाशीय दूरबीन की व्यतिकरणमितिक का उपयोग किया जाता है
 * वॉटसन-वाट / एडकॉक एंटीना सरणी, वॉटसन-वाट तकनीक का उपयोग करते हुए, जिसके अंतर्गत आने वाले सिग्नल पर आयाम तुलना करने के लिए दो एडकॉक एंटीना युग्म का उपयोग किया जाता है।

ध्वनिक सरणी

 * माइक्रोफोन सरणी का उपयोग ध्वनिक माप और किरण-अभिरूपण में किया जाता है
 * ध्वनि विस्तारक सरणी का उपयोग ध्वनिक माप और किरण-अभिरूपण में किया जाता है

अन्य सरणियाँ

 * परावर्तन भूकम्प विज्ञान में जियोफोन (भूकंपीय तरंगों को ज्ञात करने वाला यंत्र) सरणी का उपयोग किया जाता है
 * सोनार सरणी, अन्तर्जलीय प्रतिबिम्बन में उपयोग किए जाने वाले हाइड्रोफ़ोन (पानी में ध्वनि-तरंगों को पता लगाने का यंत्र) की एक सरणी है

विलंब और योग किरण-अभिरूपण
यदि प्रत्येक माइक्रोफ़ोन से रिकॉर्ड किए गए सिग्नल में एक समय विलंब जोड़ा जाता है जो अतिरिक्त प्रगमन अवधि के कारण होने वाले विलंब के बराबर और विपरीत होता है, तब इसका परिणाम उन संकेतों में होगा जो एक दूसरे के साथ पूरी तरह से प्रावस्था मे हैं। प्रावस्था मे संकेतों को सारांशित करने के लिए रचनात्मक अंतःक्षेप होगा जो एसएनआर को सरणी में एंटेना की संख्या से बढ़ा देगा। इसे विलंब-और-योग किरण-अभिरूपण के रूप में जाना जाता है। आगमन की दिशा (डीओए) के अनुमान के लिए, कोई भी सभी संभावित दिशाओं के लिए समय की विलंब का परीक्षण कर सकता है। यदि अनुमान असत्य है, तब सिग्नल को विनाशकारी रूप से बाधित किया जाएगा, जिसके परिणामस्वरूप निर्गम सिग्नल कम हो जाएगा, लेकिन सही अनुमान के परिणामस्वरूप ऊपर वर्णित सिग्नल प्रवर्धन होगा।

समस्या यह है कि घटना के कोण का अनुमान लगाने से पहले, यह जानना कैसे संभव हो सकता है कि अतिरिक्त प्रगमन अवधि के कारण होने वाली विलंबता 'बराबर' और विपरीत है? यह असंभव है। इसका समाधान यह है कि पर्याप्त उच्च विभेदन पर $$\hat{\theta} \in [0, \pi]$$ में कोणों की एक श्रृंखला को आज़माएं, और समीकरण (3) का उपयोग करके सरणी के परिणामी माध्य निर्गम सिग्नल की गणना करें परीक्षण कोण जो संगत निर्गम को अधिकतम करता है वह विलंब-और-योग किरण-प्ररूपण द्वारा दिया गया डीओए का अनुमान है। निविष्ट सिग्नल में विपरीत विलंब जोड़ना संवेदक सरणी को भौतिक रूप से घूर्णन के बराबर है। इसलिए इसे किरणपुंज अभिदिशन के नाम से भी जाना जाता है।

वर्णक्रम आधारित किरण-अभिरूपण
विलंब और योग किरण-अभिरूपण (बीमफॉर्मिंग) एक समय प्रक्षेत्र दृष्टिकोण है। इसे लागू करना आसान है, लेकिन यह आगमन की दिशा (डीओए) का विकृत अनुमान लगा सकता है। इसका समाधान एक आवृत्ति प्रक्षेत्र दृष्टिकोण है। फूरियर रूपांतरण सिग्नल को समय प्रक्षेत्र से आवृत्ति प्रक्षेत्र में बदल देता है। यह आसन्न संवेदकों के बीच समय विलंब को कला विस्थापन में परिवर्तित करता है। इस प्रकार, किसी भी समय t पर सरणी निर्गम सदिश को $$ \boldsymbol x(t) = x_1(t)\begin{bmatrix} 1 & e^{-j\omega\Delta t} & \cdots & e^{-j\omega(M-1)\Delta t} \end{bmatrix}^T $$ के रूप में दर्शाया जा सकता है। जहां  $$x_1(t)$$पहले संवेदक द्वारा प्राप्त सिग्नल को दर्शाता है। आवृत्ति प्रक्षेत्र किरण-अभिरूपण एल्गोरिदम द्वारा दर्शाए गए  $$ \boldsymbol R=E\{ \boldsymbol x(t) \boldsymbol x^T(t)\}$$ स्थानिक सहप्रसरण आव्यूह का उपयोग करते हैं यह M द्वारा  M आव्यूह आने वाले संकेतों की स्थानिक और वर्णक्रमीय जानकारी रखता है। शून्य-माध्य गाऊसी श्वेत रव मानकर, स्थानिक सहप्रसरण आव्यूह का मूल मॉडल द्वारा दिया जाता है

$$ \boldsymbol R = \boldsymbol V \boldsymbol S \boldsymbol V^H + \sigma^2 \boldsymbol I \ \ (4) $$

जहां $$\sigma^2 $$ श्वेत रव का विचरण है, सर्वसम आव्यूह $$ \boldsymbol I  $$ है और $$ \boldsymbol V  $$ सरणी प्रसमष्टि सदिश  $$ \boldsymbol V = \begin{bmatrix} \boldsymbol v_1 & \cdots & \boldsymbol v_k \end{bmatrix}^T  $$ साथ $$ \boldsymbol v_i = \begin{bmatrix} 1 & e^{-j\omega\Delta t_i} & \cdots & e^{-j\omega(M-1)\Delta t_i} \end{bmatrix}^T  $$ होता है।  आवृत्ति प्रक्षेत्र किरण-अभिरूपण एल्गोरिदम में यह मॉडल केंद्रीय महत्व का है।

कुछ वर्णक्रम-आधारित किरण-अभिरूपण दृष्टिकोण नीचे सूचीबद्ध हैं।

पारंपरिक (बार्टलेट) किरण-प्ररूपण
बार्टलेट किरण-प्ररूपण संवेदक सरणी के लिए पारंपरिक वर्णक्रमीय विश्लेषण ( स्पेक्ट्रम चित्र ) का एक स्वाभाविक विस्तार है। इसकी वर्णक्रमीय शक्ति द्वारा दर्शाया गया है

$$ \hat{P}_{Bartlett}(\theta)=\boldsymbol v^H \boldsymbol R \boldsymbol v \ \ (5) $$.

वह कोण जो इस घात को अधिकतम करता है वह आगमन के कोण का अनुमान है।

एमवीडीआर (कैपोन) किरण-प्ररूपण
न्यूनतम विचरण विरूपण रहित प्रतिक्रिया किरण-प्ररूपण, जिसे कैपोन किरण-अभिरूपण एल्गोरिथम के रूप में भी जाना जाता है, जिसमे दी गई घात है

$$ \hat{P}_{Capon}(\theta)=\frac{1}{\boldsymbol v^H \boldsymbol R^{-1} \boldsymbol v} \ \ (6) $$.

हालांकि एमवीडीआर/कैपोन किरण-प्ररूपण परंपरागत (बार्टलेट) दृष्टिकोण से उच्च विभेदन प्राप्त कर सकता है, पूर्ण-रैंक आव्यूह प्रतिवर्त होने के कारण इस एल्गोरिदम में उच्च जटिलता है। ग्राफिक्स प्रसंस्करण इकाइयों पर सामान्य प्रयोजन गणना में तकनीकी प्रगति ने इस अंतर को कम करना प्रारंभ कर दिया है और वास्तविक-समय कैपॉन किरण-अभिरूपण संभव बना दिया है।

संगीत किरण-प्ररूपण EDIT
म्यूजिक ( एकाधिक संकेत वर्गीकरण ) किरण-अभिरूपण एल्गोरिथम Eq द्वारा दिए गए सहप्रसरण आव्यूह को विघटित करने के साथ प्रारंभ होता है। (4) सिग्नल भाग और शोर भाग दोनों के लिए। ईजन-अपघटन द्वारा दर्शाया गया है

$$ \boldsymbol R = \boldsymbol U_s \boldsymbol \Lambda_s \boldsymbol U_s^H + \boldsymbol U_n \boldsymbol \Lambda_n \boldsymbol U_n^H \ \ (7) $$.

MUSIC Capon एल्गोरिथम के विभाजक में स्थानिक सहप्रसरण आव्यूह के शोर उप-स्थान का उपयोग करता है

$$ \hat{P}_{MUSIC}(\theta)=\frac{1}{\boldsymbol v^H \boldsymbol U_n \boldsymbol U_n^H\boldsymbol v} \ \ (8) $$.

इसलिए म्यूजिक किरण-प्ररूपण को सबस्पेस किरण-प्ररूपण के नाम से भी जाना जाता है। कैपोन किरण-प्ररूपण की तुलना में, यह डीओए का बेहतर अनुमान देता है।

SAMV किरण-प्ररूपण
एसएएमवी (एल्गोरिदम) किरण-अभिरूपण एल्गोरिदम एक विरल सिग्नल पुनर्निर्माण आधारित एल्गोरिदम है जो सहप्रसरण आव्यूह के समय अपरिवर्तनीय सांख्यिकीय विशेषता का स्पष्ट रूप से शोषण करता है। यह सुपर- विभेदन इमेजिंग प्राप्त करता है और अत्यधिक सहसंबद्ध संकेतों के लिए मजबूत होता है।

पैरामीट्रिक बीमफॉर्मर्स
वर्णक्रम आधारित बीमफॉर्मर्स के प्रमुख लाभों में से एक कम कम्प्यूटेशनल जटिलता है, लेकिन यदि सिग्नल सहसंबद्ध या सुसंगत हैं तब वे सटीक डीओए अनुमान नहीं दे सकते हैं। एक वैकल्पिक दृष्टिकोण पैरामीट्रिक बीमफॉर्मर्स हैं, जिन्हें अधिकतम संभावना | अधिकतम संभावना (एमएल) बीमफॉर्मर्स के रूप में भी जाना जाता है। इंजीनियरिंग में सामान्य रूप से उपयोग की जाने वाली अधिकतम संभावना पद्धति का एक उदाहरण सबसे कम वर्ग विधि है। कम से कम वर्ग दृष्टिकोण में, द्विघात पेनल्टी फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है। द्विघात दंड फलन (या वस्तुनिष्ठ फलन) का न्यूनतम मान (या कम से कम चुकता त्रुटि) प्राप्त करने के लिए, इसका व्युत्पन्न (जो रैखिक है) लें, इसे शून्य के बराबर होने दें और रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें।

एमएल बीमफॉर्मर्स में द्विघात पेनल्टी फ़ंक्शन का उपयोग स्थानिक सहप्रसरण आव्यूह और सिग्नल मॉडल के लिए किया जाता है। एमएल किरण-प्ररूपण पेनल्टी फंक्शन का एक उदाहरण है

$$L_{ML}(\theta)=\|\hat{\boldsymbol R}- \boldsymbol R\|_F^2 = \|\hat{\boldsymbol R}-( \boldsymbol V \boldsymbol S \boldsymbol V^H + \sigma^2 \boldsymbol I )\|_F^2 \ \ (9) $$ ,

जहां $$\| \cdot \|_F $$ फ्रोबेनियस मानदंड है। इसे Eq में देखा जा सकता है। (4) कि Eq का दंड कार्य। (9) नमूना सहप्रसरण आव्यूह के सिग्नल मॉडल को यथासंभव सटीक रूप से अनुमानित करके कम किया जाता है। दूसरे शब्दों में, किरण-प्ररूपण की अधिकतम संभावना डीओए खोजने की है $$\theta$$, आव्यूह का स्वतंत्र चर $$ \boldsymbol V $$, ताकि Eq में दंड कार्य करे। (9) कम किया गया है। व्यवहार में, सिग्नल और शोर मॉडल के आधार पर पेनल्टी फ़ंक्शन अलग दिख सकता है। इस कारण से, अधिकतम संभावना वाले बीमफॉर्मर्स की दो प्रमुख श्रेणियां हैं: नियतात्मक एमएल बीमफॉर्मर्स और स्टोचैस्टिक एमएल बीमफॉर्मर्स, क्रमशः एक नियतात्मक और एक स्टोकेस्टिक मॉडल के अनुरूप।

पूर्व पेनल्टी समीकरण को बदलने का एक अन्य विचार पेनल्टी फ़ंक्शन के विभेदीकरण द्वारा न्यूनीकरण को सरल बनाने पर विचार है। अनुकूलन एल्गोरिदम को सरल बनाने के लिए, कुछ एमएल बीमफॉर्मर्स में लॉगरिदमिक ऑपरेशंस और संभावना घनत्व फ़ंक्शन | प्रेक्षणों की संभावना घनत्व फ़ंक्शन (पीडीएफ) का उपयोग किया जा सकता है।

पेनल्टी फ़ंक्शन के डेरिवेटिव की जड़ों को शून्य के बराबर करने के बाद ऑप्टिमाइज़िंग समस्या हल हो जाती है। क्योंकि समीकरण गैर-रैखिक है, न्यूटन-रैफसन विधि जैसे संख्यात्मक खोज दृष्टिकोण सामान्य रूप से नियोजित होते हैं। न्यूटन-रैफसन विधि पुनरावृति के साथ पुनरावृत्त मूल खोज विधि है

$$ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \ \ (10)$$.

खोज एक प्रारंभिक अनुमान से प्रारंभ होती है $$x_0$$. यदि किरण-अभिरूपण पेनल्टी फंक्शन को कम करने के लिए न्यूटन-रैफसन सर्च मेथड को नियोजित किया जाता है, तब परिणामी किरण-प्ररूपण को न्यूटन एमएल किरण-प्ररूपण कहा जाता है। अभिव्यक्तियों की जटिलता के कारण अधिक विवरण प्रदान किए बिना कई प्रसिद्ध एमएल बीमफॉर्मर्स का वर्णन नीचे किया गया है।

नियतात्मक अधिकतम संभावना किरण-प्ररूपण
 * नियतात्मक अधिकतम संभावना किरण-प्ररूपण (डीएमएल) में, शोर को एक स्थिर गॉसियन सफेद यादृच्छिक प्रक्रियाओं के रूप में तैयार किया जाता है, जबकि सिग्नल वेवफॉर्म को नियतात्मक (लेकिन यादृच्छिक) और अज्ञात के रूप में।

स्टोचैस्टिक अधिकतम संभावना किरण-प्ररूपण
 * स्टोचैस्टिक अधिकतम संभावना किरण-प्ररूपण (एसएमएल) में, शोर को स्थिर गॉसियन सफेद यादृच्छिक प्रक्रियाओं (डीएमएल के समान) के रूप में तैयार किया जाता है जबकि गॉसियन यादृच्छिक प्रक्रियाओं के रूप में सिग्नल तरंग।

दिशा अनुमान की विधि
 * मेथड ऑफ डायरेक्शन एस्टीमेशन (MODE) सबस्पेस अधिकतम संभावना किरण-प्ररूपण है, ठीक उसी तरह जैसे म्यूजिक, सबस्पेस स्पेक्ट्रल आधारित किरण-प्ररूपण है। सबस्पेस एमएल किरण-अभिरूपण एक आव्यूह के ईजेनडीकम्पोजीशन द्वारा प्राप्त किया जाता है। नमूना सहप्रसरण आव्यूह के ईजन-अपघटन।

अग्रिम पठन

 * H. L. Van Trees, “Optimum array processing – Part IV of detection, estimation, and modulation theory”, John Wiley, 2002
 * H. Krim and M. Viberg, “Two decades of array signal processing research”, IEEE Transactions on Signal Processing Magazine, July 1996
 * S. Haykin, Ed., “Array Signal Processing”, Eaglewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1985
 * S. U. Pillai, “Array Signal Processing”, New York: Springer-Verlag, 1989
 * P. Stoica and R. Moses, “Introduction to Spectral Analysis", Prentice-Hall, Englewood Cliffs, USA, 1997. available for download.
 * J. Li and P. Stoica, “Robust Adaptive Beamforming", John Wiley, 2006.
 * J. Cadzow, “Multiple Source Location—The Signal Subspace Approach”, IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, Vol. 38, No. 7, July 1990
 * G. Bienvenu and L. Kopp, “Optimality of high resolution array processing using the eigensystem approach”, IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Process, Vol. ASSP-31, pp. 1234–1248, October 1983
 * I. Ziskind and M. Wax, “Maximum likelihood localization of multiple sources by alternating projection”, IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Process, Vol. ASSP-36, pp. 1553–1560, October 1988
 * B. Ottersten, M. Verberg, P. Stoica, and A. Nehorai, “Exact and large sample maximum likelihood techniques for parameter estimation and detection in array processing”, Radar Array Processing, Springer-Verlag, Berlin, pp. 99–151, 1993
 * M. Viberg, B. Ottersten, and T. Kailath, “Detection and estimation in sensor arrays using weighted subspace fitting”, IEEE Transactions on Signal Processing, vol. SP-39, pp 2346–2449, November 1991
 * M. Feder and E. Weinstein, “Parameter estimation of superimposed signals using the EM algorithm”, IEEE Transactions on Acoustic, Speech and Signal Proceeding, vol ASSP-36, pp. 447–489, April 1988
 * Y. Bresler and Macovski, “Exact maximum likelihood parameter estimation of superimposed exponential signals in noise”, IEEE Transactions on Acoustic, Speech and Signal Proceeding, vol ASSP-34, pp. 1081–1089, October 1986
 * R. O. Schmidt, “New mathematical tools in direction finding and spectral analysis”, Proceedings of SPIE 27th Annual Symposium, San Diego, California, August 1983