पायथागॉरियन ट्रिपल

एक पायथागॉरियन ट्रिपल में तीन सकारात्मक पूर्णांक होते हैं $32 + 42 = 52$, $a$, तथा $b$, ऐसा है कि $c$. ऐसा त्रिगुण आमतौर पर लिखा जाता है $a2 + b2 = c2$, और एक प्रसिद्ध उदाहरण है $(a, b, c)$. यदि $(3, 4, 5)$ एक पायथागॉरियन ट्रिपल है, तो ऐसा ही है $(a, b, c)$ किसी भी सकारात्मक पूर्णांक के लिए $(ka, kb, kc)$. एक आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल वह है जिसमें $k$, $a$ तथा $b$ सह अभाज्य हैं (अर्थात, उनके पास 1 से बड़ा कोई सामान्य भाजक नहीं है)। उदाहरण के लिए, $c$ एक आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल है जबकि $(3, 4, 5)$ नहीं है। एक त्रिभुज जिसकी भुजाएँ पाइथागोरस त्रिक बनाती हैं, उसे पाइथागोरस त्रिभुज कहा जाता है, और यह आवश्यक रूप से एक समकोण त्रिभुज है।

यह नाम पाइथागोरस प्रमेय से लिया गया है, जिसमें कहा गया है कि प्रत्येक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई सूत्र को संतुष्ट करती है $$a^2+b^2=c^2$$; इस प्रकार, पाइथागोरियन ट्रिपल एक समकोण त्रिभुज की तीन पूर्णांक भुजाओं की लंबाई का वर्णन करते हैं। हालांकि, गैर-पूर्णांक भुजाओं वाले समकोण पाइथागोरस त्रिक नहीं बनाते हैं। उदाहरण के लिए, भुजाओं वाला त्रिभुज $$a=b=1$$ तथा $$c=\sqrt2$$ एक सही त्रिकोण है, लेकिन $$(1,1,\sqrt2)$$ पायथागॉरियन ट्रिपल नहीं है क्योंकि $$\sqrt2$$ पूर्णांक नहीं है। इसके अतिरिक्त, $$1$$ तथा $$\sqrt2$$ एक पूर्णांक सामान्य एकाधिक नहीं है क्योंकि $$\sqrt2$$ अपरिमेय संख्या # इतिहास है।

पाइथागोरस के त्रिगुण प्राचीन काल से ज्ञात हैं। सबसे पुराना ज्ञात रिकॉर्ड प्लिमपटन 322 से आता है, जो लगभग 1800 ईसा पूर्व की एक बेबीलोनियन मिट्टी की गोली है, जिसे साठवाँ संख्या प्रणाली में लिखा गया है। 1900 के तुरंत बाद एडगर जेम्स बैंक्स द्वारा इसकी खोज की गई, और 1922 में $10 में जॉर्ज आर्थर प्लैम्पटन को बेच दिया गया। पूर्णांक समाधानों की खोज करते समय, समीकरण $(6, 8, 10)$ एक डायोफैंटाइन समीकरण है। इस प्रकार पाइथागोरियन त्रिगुण एक रेखीय समीकरण डायोफैंटाइन समीकरण के सबसे पुराने ज्ञात समाधानों में से हैं।

उदाहरण
100 तक की संख्याओं के 16 आदिम पायथागॉरियन त्रिक हैं: अन्य छोटे पायथागॉरियन त्रिक जैसे (6, 8, 10) सूचीबद्ध नहीं हैं क्योंकि वे आदिम नहीं हैं; उदाहरण के लिए (6, 8, 10) (3, 4, 5) का गुणज है।

इनमें से प्रत्येक बिंदु (उनके गुणकों के साथ) दाईं ओर बिखराव प्लॉट में एक विकिरण रेखा बनाता है।

इसके अतिरिक्त, ये 300 तक की संख्याओं के शेष आदिम पायथागॉरियन त्रिक हैं:

एक ट्रिपल बनाना


यूक्लिड का सूत्र पूर्णांकों का एक मनमाना युग्म दिए जाने पर पायथागॉरियन त्रिक उत्पन्न करने का एक मौलिक सूत्र है $a2 + b2 = c2$ तथा $a$ साथ $b$. सूत्र बताता है कि पूर्णांक


 * $$ a = m^2 - n^2 ,\ \, b = 2mn ,\ \, c = m^2 + n^2 $$

एक पायथागॉरियन ट्रिपल बनाओ। यूक्लिड के सूत्र द्वारा उत्पन्न ट्रिपल आदिम है अगर और केवल अगर $a$ तथा $b$ कोप्राइम हैं और उनमें से एक सम है। कब दोनों $(a, b, c)$ तथा $(2a, 2b, 2c)$ अजीब हैं, फिर $(3a, 3b, 3c)$, $(ka, kb, kc)$, तथा $k$ सम होगा, और त्रिक आदिम नहीं होगा; हालाँकि, विभाजित करना $a$, $b$, तथा $m − n$ 2 से एक आदिम ट्रिपल मिलेगा जब $m + n$ तथा $z2 = x2 + y2$ कोप्राइम हैं। प्रत्येक आदिम ट्रिपल उत्पन्न होता है (के आदान-प्रदान के बाद $m$ तथा $n$, यदि $m$ सम है) कोप्राइम संख्याओं की एक अनूठी जोड़ी से $n$, $m > n > 0$, जिनमें से एक सम है। इससे पता चलता है कि असीम रूप से कई आदिम पायथागॉरियन त्रिक हैं। का यह रिश्ता $m$, $n$ तथा $m$ प्रति $n$ तथा $a$ यूक्लिड के सूत्र से इस लेख के बाकी हिस्सों में संदर्भित किया गया है।

सभी आदिम त्रिगुणों को उत्पन्न करने के बावजूद, यूक्लिड का सूत्र सभी त्रिगुणों का उत्पादन नहीं करता है - उदाहरण के लिए, (9, 12, 15) पूर्णांक का उपयोग करके उत्पन्न नहीं किया जा सकता है। $b$ तथा $c$. एक अतिरिक्त पैरामीटर डालकर इसका उपचार किया जा सकता है $a$ सूत्र के लिए। निम्नलिखित सभी पायथागॉरियन त्रिक विशिष्ट रूप से उत्पन्न करेंगे:


 * $$ a = k\cdot(m^2 - n^2)  ,\ \, b = k\cdot(2mn) ,\ \, c = k\cdot(m^2 + n^2)$$

कहाँ पे $b$, $c$, तथा $m$ के साथ धनात्मक पूर्णांक हैं $n$, और साथ $a$ तथा $b$ कोप्राइम और दोनों विषम नहीं।

इन सूत्रों से पाइथागोरस के त्रिक उत्पन्न होते हैं, इसे विस्तारित करके सत्यापित किया जा सकता है $a$ प्रारंभिक बीजगणित का उपयोग करना और सत्यापित करना कि परिणाम बराबर है $m$. चूँकि प्रत्येक पायथागॉरियन त्रिक को किसी पूर्णांक से विभाजित किया जा सकता है $n$ आदिम त्रिक प्राप्त करने के लिए, सूत्र का उपयोग करके प्रत्येक त्रिक को विशिष्ट रूप से उत्पन्न किया जा सकता है $a$ तथा $b$ इसके आदिम समकक्ष को उत्पन्न करने के लिए और फिर से गुणा करना $c$ पिछले समीकरण के रूप में।

का चयन $m$ तथा $n$ कुछ पूर्णांक अनुक्रमों से दिलचस्प परिणाम मिलते हैं। उदाहरण के लिए, अगर $m$ तथा $n$ लगातार पेल नंबर हैं, $k$ तथा $m$ 1 से भिन्न होगा। यूक्लिड के समय से विशेष गुणों वाले त्रिक उत्पन्न करने के लिए कई सूत्र विकसित किए गए हैं।

यूक्लिड के सूत्र का प्रमाण
ए, बी, सी द्वारा यूक्लिड के सूत्र की संतुष्टि आवश्यक है और त्रिभुज के पायथागॉरियन होने के लिए पर्याप्त स्थिति इस तथ्य से स्पष्ट है कि धनात्मक पूर्णांकों के लिए $n$ तथा $k$, $m > n$, द $m$, $n$, तथा $a2 + b2$ सूत्र द्वारा दिए गए सभी धनात्मक पूर्णांक हैं, और इस तथ्य से कि


 * $$ a^2+b^2 = (m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = (m^2 + n^2)^2 = c^2. $$

किसी आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल के लिए यूक्लिड के सूत्र द्वारा a, b, c को व्यक्त करने की आवश्यकता का प्रमाण इस प्रकार है। ऐसे सभी आदिम त्रिगुणों को इस रूप में लिखा जा सकता है $c2$ कहाँ पे $k$ तथा $m$, $n$, $k$ कोप्राइम हैं। इस प्रकार $m$, $n$, $m$ जोड़ीदार सहअभाज्य हैं (यदि एक अभाज्य संख्या उनमें से दो को विभाजित करती है, तो उसे तीसरे को भी विभाजित करने के लिए मजबूर किया जाएगा)। जैसा $n$ तथा $a$ कोप्राइम हैं, उनमें से कम से कम एक विषम है, इसलिए हम यह मान सकते हैं $b$ विषम है, विनिमय करके, यदि आवश्यक हो, $m$ तथा $n$. यह बताता है कि $m > n$ सम है और $a$ विषम है (यदि $b$ अजीब थे, $c$ सम होगा, और $(a, b, c)$ 4 का गुणक होगा, जबकि $a2 + b2 = c2$ 2 मॉड्यूल 4 के अनुरूप संबंध होगा, क्योंकि एक अजीब वर्ग 1 मॉड्यूलो 4 के अनुरूप है)।

से $$a^2+b^2=c^2$$ हमने प्राप्त किया $$c^2-a^2=b^2$$ और इसलिए $$(c-a)(c+a)=b^2$$. फिर $$\tfrac{(c+a)}{b}=\tfrac{b}{(c-a)}$$. तब से $$\tfrac{(c+a)}{b}$$ तर्कसंगत है, हम इसके बराबर सेट करते हैं $$\tfrac{m}{n}$$ सबसे कम शब्दों में। इस प्रकार $$\tfrac{(c-a)}{b}=\tfrac{n}{m}$$, का पारस्परिक होना $$\tfrac{(c+a)}{b}$$. फिर सुलझाना


 * $$\frac{c}{b}+\frac{a}{b}=\frac{m}{n}, \quad \quad \frac{c}{b}-\frac{a}{b}=\frac{n}{m}$$

के लिये $$\tfrac{c}{b}$$ तथा $$\tfrac{a}{b}$$ देता है


 * $$\frac{c}{b}=\frac{1}{2}\left(\frac{m}{n}+\frac{n}{m}\right)=\frac{m^2+n^2}{2mn}, \quad \quad \frac{a}{b}=\frac{1}{2}\left(\frac{m}{n}-\frac{n}{m}\right)=\frac{m^2-n^2}{2mn}.$$

जैसा $$\tfrac{m}{n}$$ पूरी तरह से कम हो गया है, $a$ तथा $b$ कोप्राइम हैं, और वे दोनों सम नहीं हो सकते। यदि वे दोनों विषम थे, का अंश $$\tfrac{m^2-n^2}{2mn}$$ 4 का गुणक होगा (क्योंकि एक विषम वर्ग 1 मॉड्यूल 4 के अनुरूप है), और भाजक 2mn 4 का गुणक नहीं होगा। चूंकि 4 अंश में न्यूनतम संभव कारक भी होगा और 2 अधिकतम संभव होगा भाजक में भी कारक, इसका अर्थ होगा $c$ इसे विषम के रूप में परिभाषित करने के बावजूद भी होना। इस प्रकार एक $a$ तथा $b$ विषम है और दूसरा सम है, और हर 2mn वाले दो भिन्नों के अंश विषम हैं। इस प्रकार ये अंश पूरी तरह से कम हो जाते हैं (इस भाजक को विभाजित करने वाला एक विषम अभाज्य इनमें से एक को विभाजित करता है $c$ तथा $a$ लेकिन दूसरा नहीं; इस प्रकार यह विभाजित नहीं होता है $b$). यूक्लिड का सूत्र देते हुए, इस प्रकार अंशों को अंशों से और हरों को हरों से बराबर किया जा सकता है
 * $$ a = m^2 - n^2  ,\ \, b = 2mn ,\ \, c = m^2 + n^2$$ साथ $a$ तथा $a$ कोप्राइम और विपरीत समताओं का।

मौर (2007) में एक लंबा लेकिन अधिक सामान्य प्रमाण दिया गया है और सीरपिन्स्की (2003)। में एक और प्रमाण दिया गया है, एक सामान्य विधि के उदाहरण के रूप में जो डिग्री दो के प्रत्येक सजातीय बहुपद डायोफैंटाइन समीकरण पर लागू होती है।

यूक्लिड के सूत्र में मापदंडों की व्याख्या
मान लीजिए कि पाइथागोरस त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई है $b$, $b$, तथा $c$, और लंबाई के पैर के बीच के कोण को मान लें $b$ और लंबाई का कर्ण $c$ के रूप में दर्शाया गया है $c2$. फिर $$\tan{\tfrac{\beta}{2}}=\tfrac{n}{m}$$ और पूर्ण-कोण त्रिकोणमितीय मान हैं $$\sin{\beta}=\tfrac{2mn}{m^2+n^2}$$, $$\cos{\beta}=\tfrac{m^2-n^2}{m^2+n^2}$$, तथा $$\tan{\beta}=\tfrac{2mn}{m^2-n^2}$$.

एक संस्करण
यूक्लिड के सूत्र का निम्नलिखित संस्करण कभी-कभी अधिक सुविधाजनक होता है, क्योंकि इसमें अधिक सममित होता है $a2 + b2$ तथा $m$ (समान समता की स्थिति पर $m$ तथा $n$).

यदि $n$ तथा $a$ ऐसे दो विषम पूर्णांक हैं $m$, फिर
 * $$ a = mn ,\ \, b =\frac {m^2 - n^2}{2} ,\ \, c = \frac{m^2 + n^2}{2} $$

तीन पूर्णांक हैं जो एक पायथागॉरियन ट्रिपल बनाते हैं, जो आदिम है अगर और केवल अगर $n$ तथा $m$ कोप्राइम हैं। इसके विपरीत, प्रत्येक आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल उत्पन्न होता है (के आदान-प्रदान के बाद $n$ तथा $m2 ± n2$, यदि $m$ सम है) एक अद्वितीय जोड़ी से $n$ कोप्राइम विषम पूर्णांकों का।

सामान्य गुण
आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल के गुण $m2 − n2$ साथ $2mn$ (बिना निर्दिष्ट किए कि कौन सा $m2 + n2$ या $m2 − n2$ सम है और जो विषम है) में शामिल हैं:
 * $$\tfrac{(c-a)(c-b)}{2}$$ हमेशा एक पूर्ण वर्ग होता है। चूंकि यह केवल एक आवश्यक शर्त है, लेकिन पर्याप्त नहीं है, इसका उपयोग यह जांचने में किया जा सकता है कि परीक्षण में विफल होने पर संख्याओं का एक ट्रिपल पायथागॉरियन ट्रिपल नहीं है या नहीं। उदाहरण के लिए, त्रिगुण $m2 + n2$ तथा $β$ प्रत्येक उस परीक्षा को पास करता है $m$ एक पूर्ण वर्ग है, लेकिन कोई भी पाइथागोरस का त्रिक नहीं है।
 * जब संख्याओं का तिगुना $n$, $m$ तथा $n$ तब एक आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल बनाता है $m > n$ और आधा $m$ दोनों पूर्ण वर्ग हैं; हालांकि यह संख्या के रूप में पर्याप्त स्थिति नहीं है $n$ पूर्ण वर्ग परीक्षण पास करें लेकिन तब से पाइथागोरियन ट्रिपल नहीं हैं $a$.
 * अधिक से अधिक एक $b$, $a$, $m > n > 0$ एक वर्ग है।
 * पाइथागोरस त्रिभुज का क्षेत्रफल वर्ग नहीं हो सकता या दो बार वर्ग  एक प्राकृतिक संख्या का।
 * बिल्कुल एक $(a, b, c)$, $a < b < c$ 2 से विभाज्य है (सम संख्या है), लेकिन कभी नहीं $a$.
 * बिल्कुल एक $b$, ${6, 12, 18}$ 3 से विभाज्य है, लेकिन कभी नहीं ${1, 8, 9}$.
 * बिल्कुल एक $(c − a)(c − b)/2$, $a$ 4 से विभाज्य है, लेकिन कभी नही $b$ (इसलिये $c$ कभी भी नहीं है)।
 * बिल्कुल एक $(c minus the even leg)$, $(c minus the odd leg)$, ${1, 8, 9}$ 5 से विभाज्य है। *सबसे बड़ी संख्या जो हमेशा ABC को विभाजित करती है वह 60 है। * फॉर्म की कोई भी विषम संख्या $12 + 82 ≠ 92$, कहाँ पे $a$ एक पूर्णांक है और $b$, आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल [PPT] का विषम पैर हो सकता है। नीचे पाइथागोरस ट्रिपल#लगभग-समद्विबाहु पाइथागोरस ट्रिपल्स|लगभग-समद्विबाहु पीपीटी अनुभाग देखें। हालाँकि, केवल 4 से विभाज्य सम संख्याएँ ही PPT की सम भुजा हो सकती हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि पाइथागोरस ट्रिपल#जनरेटिंग ए ट्रिपल|इवेन लेग के लिए यूक्लिड का सूत्र ऊपर दिया गया है $c$ और एक $a$ या $b$ सम होना चाहिए।
 * कर्ण $c$ दो वर्गों का योग है। इसके लिए आवश्यक है कि इसके सभी प्रमुख गुणक पाइथागोरस के अभाज्य | रूप के अभाज्य हों $a$. इसलिए, c का रूप है $b$. पीपीटी के लिए संभावित कर्ण संख्याओं का एक क्रम यहां पाया जा सकता है.
 * क्षेत्र $c$ एक सर्वांगसम संख्या है 6 से विभाज्य।
 * प्रत्येक पायथागॉरियन त्रिभुज में, अंतःवृत्त की त्रिज्या और तीन बहिर्वृत्तों की त्रिज्याएँ प्राकृतिक संख्याएँ होती हैं। विशेष रूप से, एक आदिम ट्रिपल के लिए अंतःवृत्त की त्रिज्या है $a$, और भुजाओं के विपरीत बाह्यवृत्तों की त्रिज्या $b$, 2mn, और कर्ण $c$ क्रमशः हैं $a$, $b$, तथा $c$.
 * किसी भी समकोण त्रिभुज के लिए, थेल्स प्रमेय का विलोम कहता है कि परिवृत्त का व्यास कर्ण के बराबर होता है; इसलिए आदिम त्रिगुणों के लिए परिधि है $c$, और परिधि इसका आधा है और इस प्रकार तर्कसंगत है लेकिन गैर-पूर्णांक (चूंकि $a$ तथा $b$ विपरीत समता है)।
 * जब एक पाइथागोरस त्रिभुज के क्षेत्रफल को उसके अंत:वृत्त और 3 बहिर्वृत्त की वक्रता से गुणा किया जाता है, तो परिणाम चार धनात्मक पूर्णांक होते हैं $c$, क्रमश। पूर्णांकों $2m+1$ डेसकार्टेस प्रमेय को संतुष्ट करें | डेसकार्टेस सर्कल समीकरण। समतुल्य रूप से, किसी समकोण त्रिभुज के समपरिमित बिंदु#Isoperimetric बिंदु और सॉडी वृत्त की त्रिज्या उसके अर्धपरिमाप के बराबर होती है। बाहरी सोड्डी केंद्र स्थित है $m$, कहाँ पे $m>1$ एक आयत है, $2mn$ सही त्रिकोण और $m$ इसका कर्ण।
 * एक आदिम पाइथागोरस त्रिक की केवल दो भुजाएँ एक साथ प्रधान हो सकती हैं क्योंकि पाइथागोरस त्रिक द्वारा#जनरेटिंग ए त्रिक|एक आदिम पाइथागोरस त्रिक उत्पन्न करने के लिए यूक्लिड का सूत्र, पैरों में से एक सम्मिश्र और सम होना चाहिए। हालाँकि, केवल एक पक्ष पूर्ण शक्ति का पूर्णांक हो सकता है $$p \ge 2$$ क्योंकि यदि दो भुजाएँ समान घात वाली पूर्ण घात वाली पूर्णांक हों $$p$$ यह इस तथ्य का खंडन करेगा कि बील अनुमान # आंशिक परिणाम के लिए कोई पूर्णांक समाधान नहीं हैं $$x^{2p} \pm y^{2p}=z^2$$, साथ $$x$$, $$y$$ तथा $$z$$ जोड़ीदार कोप्राइम होना।
 * ऐसा कोई पाइथागोरस त्रिभुज नहीं है जिसमें कर्ण और एक टाँग दूसरे पाइथागोरस त्रिभुज के पाद हों; यह फ़र्मेट के समकोण त्रिभुज प्रमेय के समकक्ष रूपों में से एक है।
 * प्रत्येक आदिम पाइथागोरस त्रिभुज का क्षेत्रफल का अनुपात होता है, $n$, अर्धपरिधि का वर्ग करने के लिए, $c$, जो अपने आप में अद्वितीय है और इसके द्वारा दिया गया है
 * $$\frac{K}{s^2} = \frac{n(m-n)}{m(m+n)} = 1-\frac{c}{s}.$$


 * किसी आदिम पाइथागोरस त्रिभुज का कर्ण से पूर्णांक ऊंचाई नहीं है; अर्थात्, प्रत्येक आदिम पाइथागोरस त्रिभुज अविघटनीय है। *सभी आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल्स का पेड़ प्राकृतिक तरीके से एक रूटेड त्रिगुट वृक्ष बनाता है; प्रिमिटिव पाइथोगोरियन ट्रिपल्स का ट्री देखें।
 * पाइथागोरस त्रिभुज का कोई भी तीव्र कोण डिग्री (कोण) की परिमेय संख्या नहीं हो सकता है। (यह निवेन के प्रमेय से आता है।)

विशेष मामले
इसके अलावा, कुछ अतिरिक्त गुणों के साथ विशेष पायथागॉरियन ट्रिपल के अस्तित्व की गारंटी दी जा सकती है:
 * 2 से बड़ा प्रत्येक पूर्णांक जो एक अकेला या दोगुना सम नहीं है (दूसरे शब्दों में, 2 से बड़ा प्रत्येक पूर्णांक जो इस रूप का नहीं है $4n + 1$) आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल का हिस्सा है। (यदि पूर्णांक का रूप है $4n + 1$, कोई ले सकता है $(K = ab/2)$ तथा $r = n(m &minus; n)$ यूक्लिड के सूत्र में; अगर पूर्णांक है $m2 &minus; n2$, कोई ले सकता है $m2 + n2$ तथा $m(m &minus; n)$.)
 * 2 से बड़ा प्रत्येक पूर्णांक आदिम या गैर-आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल का हिस्सा है। उदाहरण के लिए, पूर्णांक 6, 10, 14, और 18 आदिम त्रिक का हिस्सा नहीं हैं, लेकिन गैर-आदिम त्रिक का हिस्सा हैं $n(m + n)$, $m(m + n)$ तथा $m2 + n2$.
 * अपरिमित रूप से कई पायथागॉरियन ट्रिपल मौजूद हैं जिनमें कर्ण और सबसे लंबा पैर बिल्कुल एक से भिन्न होते हैं। ऐसे त्रिगुण आवश्यक रूप से आदिम होते हैं और उनका रूप होता है $m$. यह यूक्लिड के सूत्र से यह टिप्पणी करके निकलता है कि स्थिति का अर्थ है कि ट्रिपल आदिम है और इसे सत्यापित करना चाहिए $n$. यह संकेत करता है $w > x > y > z$, और इस तरह $−w, x, y, z$. इस प्रकार त्रिगुणों का उपरोक्त रूप प्रतिस्थापन का परिणाम है $D$ के लिये $ACBD$ यूक्लिड के सूत्र में।
 * असीम रूप से कई आदिम पाइथागोरस त्रिक मौजूद हैं जिनमें कर्ण और सबसे लंबे पैर में ठीक दो का अंतर होता है। वे सभी आदिम हैं, और डालकर प्राप्त किए जाते हैं $ACB$ यूक्लिड के सूत्र में। अधिक सामान्यतः, प्रत्येक पूर्णांक के लिए $AB$, असीम रूप से कई आदिम पायथागॉरियन त्रिक मौजूद हैं जिनमें कर्ण और विषम पैर भिन्न होते हैं $K$. लगाने से प्राप्त होते हैं $s$ यूक्लिड के सूत्र में।
 * अपरिमित रूप से कई पायथागॉरियन ट्रिपल मौजूद हैं जिनमें दो पैर बिल्कुल एक से भिन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, 20$2$ + 21$2$ = 29$2$; ये यूक्लिड के सूत्र द्वारा उत्पन्न होते हैं जब $$\tfrac{m-n}{n}$$ एक सामान्यीकृत निरंतर अंश है $$\sqrt2$$.
 * प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए $4k + 2$, वहां है $4k$ पायथागॉरियन ट्रिपल अलग-अलग कर्ण और एक ही क्षेत्र के साथ।
 * प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए $n = 1$, कम से कम मौजूद हैं $m = 2k$ विभिन्न आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल एक ही पैर के साथ $2k + 1$, कहाँ पे $n = k$ कुछ प्राकृतिक संख्या है (सम लेग की लंबाई 2mn है, और यह चुनने के लिए पर्याप्त है $m = k + 1$ कई कारकों के साथ, उदाहरण के लिए $(6, 8, 10)$, कहाँ पे $(14, 48, 50)$ का उत्पाद है $(18, 80, 82)$ विभिन्न विषम अभाज्य संख्याएँ; यह कम से कम पैदा करता है $(2n + 1, 2n2 + 2n, 2n2 + 2n +1)$ विभिन्न आदिम ट्रिपल)।
 * प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए $(m2 + n2) - 2mn = 1$, कम से कम मौजूद हैं $(m – n)2 = 1$ एक ही कर्ण के साथ विभिन्न पायथागॉरियन ट्रिपल।
 * यदि $m = n + 1$ एक प्रमुख शक्ति है, एक आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल मौजूद है $m$ अगर और केवल अगर प्रधान $n + 1$ रूप है $n = 1$; यह ट्रिपल ए और बी के आदान-प्रदान तक अद्वितीय है।
 * अधिक आम तौर पर, एक सकारात्मक पूर्णांक $c$ आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल का कर्ण है यदि और केवल यदि प्रत्येक प्रमुख कारक $c$ मॉड्यूलर अंकगणित # सर्वांगसम है $k > 0$ मापांक $2k2$; अर्थात्, प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड का रूप होता है $n = k$. इस मामले में, आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल की संख्या $k$ साथ $k$ है $k$, कहाँ पे $k$ के विशिष्ट प्रमुख कारकों की संख्या है $c$. *कर्ण दोनों के लिए वर्ग संख्या के साथ असीम रूप से कई पाइथागोरस त्रिक मौजूद हैं $k$ और पैरों का योग $a$. फ़र्मेट के अनुसार, सबसे छोटा ट्रिपल पक्ष हैं $a$; $a$; तथा $a = 4b$. यहां $b$ तथा $k$. यह यूक्लिड के सूत्र द्वारा पैरामीटर मानों के साथ उत्पन्न होता है $2^{k}$ तथा $k$.
 * कर्ण से पूर्णांक ऊंचाई के साथ गैर-आदिम पूर्णांक त्रिकोण#पाइथागोरस त्रिकोण मौजूद हैं। ऐसे पायथागॉरियन त्रिभुजों को विघटनीय के रूप में जाना जाता है क्योंकि उन्हें इस ऊंचाई के साथ दो अलग और छोटे पायथागॉरियन त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है।

एक इकाई वृत्त पर परिमेय बिंदु
पायथागॉरियन ट्रिपल के लिए यूक्लिड का सूत्र


 * $$a = m^2-n^2,\quad b=2mn,\quad c=m^2+n^2$$

यूनिट सर्कल पर तर्कसंगत बिंदुओं की ज्यामिति के संदर्भ में समझा जा सकता है.

वास्तव में, कार्टेशियन विमान में निर्देशांक के साथ एक बिंदु $k$ यूनिट सर्कल के अंतर्गत आता है यदि $c = pe$. बात तर्कसंगत है अगर $a2 + b2 = c2$ तथा $p$ परिमेय संख्याएँ हैं, अर्थात्, यदि सहअभाज्य पूर्णांक हैं $4n + 1$ ऐसा है कि
 * $$\biggl(\frac{a}{c}\biggr)^2 + \biggl(\frac{b}{c}\biggr)^2=1.$$

दोनों सदस्यों को से गुणा करके $1$, कोई यह देख सकता है कि वृत्त पर परिमेय बिंदु आदिम पाइथोगोरियन ट्रिपल के साथ एक-से-एक पत्राचार में हैं।

यूनिट सर्कल को पैरामीट्रिक समीकरण द्वारा भी परिभाषित किया जा सकता है
 * $$x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\quad y=\frac{2t}{1+t^2}.$$

पायथागॉरियन ट्रिपल और व्युत्क्रम संबंध के लिए यूक्लिड का सूत्र $4$ इसका मतलब है, को छोड़कर $4n + 1$, एक बिंदु $(a, b, c)$ वृत्त पर तर्कसंगत है यदि और केवल यदि का संगत मान $a < b$ एक परिमेय संख्या है। ध्यान दें कि $2k−1$ स्पर्शरेखा अर्ध-कोण सूत्र भी है जो लंबाई के त्रिभुज पक्ष के विपरीत है $c$.

त्रिविम दृष्टिकोण
यूनिट सर्कल और आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल पर तर्कसंगत बिंदुओं के समूह के बीच एक पत्राचार है। इस बिंदु पर, यूक्लिड के सूत्रों को या तो त्रिकोणमिति के तरीकों से या समतुल्य रूप से त्रिविम प्रक्षेपण का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।

स्टीरियोग्राफिक दृष्टिकोण के लिए, मान लीजिए $c$' पर एक बिंदु है $c$तर्कसंगत निर्देशांक के साथ अक्ष


 * $$P' = \left(\frac{m}{n},0\right).$$

फिर, यह मूल बीजगणित द्वारा दिखाया जा सकता है कि बिंदु $m + in$ निर्देशांक हैं



P = \left( \frac{2\left(\frac{m}{n}\right)}{\left(\frac{m}{n}\right)^2+1}, \frac{\left(\frac{m}{n}\right)^2-1}{\left(\frac{m}{n}\right)^2+1} \right) = \left( \frac{2mn}{m^2+n^2}, \frac{m^2-n^2}{m^2+n^2} \right).$$ यह स्थापित करता है कि प्रत्येक तर्कसंगत बिंदु $m$-एक्सिस यूनिट सर्कल के एक परिमेय बिंदु पर जाता है। विलोम, कि इकाई वृत्त का प्रत्येक परिमेय बिंदु ऐसे बिंदु से आता है $n$-अक्ष, व्युत्क्रम त्रिविम प्रक्षेपण को लागू करके अनुसरण करता है। मान लो कि $m + in$ के साथ इकाई वृत्त का एक बिंदु है $−1$ तथा $±i$ परिमेय संख्या। फिर बिंदु $mh > |nh|$' पर स्टीरियोग्राफिक प्रोजेक्शन द्वारा प्राप्त किया गया $m$-अक्ष के निर्देशांक हैं


 * $$\left(\frac{x}{1-y},0\right)$$

जो तर्कसंगत है।

बीजगणितीय ज्यामिति के संदर्भ में, यूनिट सर्कल पर परिमेय बिंदुओं की बीजगणितीय विविधता परिमेय संख्याओं पर संबंध रेखा के लिए द्विभाजित है। यूनिट सर्कल को इस प्रकार एक परिमेय वक्र कहा जाता है, और यह तथ्य है जो तर्कसंगत कार्यों के माध्यम से उस पर (तर्कसंगत संख्या) बिंदुओं के एक स्पष्ट पैरामीटरकरण को सक्षम बनाता है।

पायथागॉरियन त्रिकोण एक 2D जाली में
एक 2D जाली (समूह) पृथक बिंदुओं की एक नियमित सरणी है जहां यदि किसी एक बिंदु को कार्तीय उत्पत्ति (0, 0) के रूप में चुना जाता है, तो अन्य सभी बिंदु पर हैं $n$ कहाँ पे $nh$ तथा $0$ सभी धनात्मक और ऋणात्मक पूर्णांकों की श्रेणी। ट्रिपल के साथ कोई पायथागॉरियन त्रिकोण $m$ निर्देशांक पर कोने के साथ एक 2D जाली के भीतर खींचा जा सकता है $n$, $m + in$ तथा $nh$. त्रिकोण की सीमाओं के भीतर सख्ती से झूठ बोलने वाले जाली बिंदुओं की गिनती किसके द्वारा दी जाती है $$\tfrac{(a-1)(b-1)-\gcd{(a,b)}+1}{2};$$ आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल के लिए यह आंतरिक जाली गिनती है$$\tfrac{(a-1)(b-1)}{2}.$$ क्षेत्र (पिक के प्रमेय द्वारा आंतरिक जालक गणना से एक कम और आधा सीमा जालक गणना के बराबर) के बराबर है$$\tfrac{ab}{2}$$.

एक ही क्षेत्र को साझा करने वाले दो आदिम पाइथागोरियन ट्रिपल की पहली घटना भुजाओं वाले त्रिभुजों के साथ होती है $nh$ और सामान्य क्षेत्र 210. दो आदिम पाइथागोरियन ट्रिपल की पहली घटना एक ही आंतरिक जाली गणना को साझा करते हुए होती है $c$ और आंतरिक जाली गिनती 2287674594. तीन आदिम पायथागॉरियन त्रिक एक ही क्षेत्र साझा करते हुए पाए गए हैं: $a + b$, $a = 4,565,486,027,761$, $b = 1,061,652,293,520$ क्षेत्रफल 13123110 के साथ। अभी तक, तीन आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल का कोई सेट एक ही आंतरिक जाली गणना को साझा करते हुए नहीं पाया गया है।

आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल की गणना
यूक्लिड के सूत्र से सभी आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल को पूर्णांक से उत्पन्न किया जा सकता है $$m$$ तथा $$n$$ साथ $$m>n>0$$, $$m+n$$ विषम और $$\gcd(m, n)=1$$. इसलिए आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल के लिए परिमेय (न्यूनतम शब्दों में) की 1 से 1 मैपिंग है $$\tfrac{n}{m}$$ अंतराल में है $$(0,1)$$ तथा $$m+n$$ अजीब।

आदिम ट्रिपल से रिवर्स मैपिंग $$(a, b , c)$$ कहाँ पे $$c>b>a>0$$ एक तर्कसंगत के लिए $$\tfrac{n}{m}$$ दो राशियों का अध्ययन करके प्राप्त किया जाता है $$a+c$$ तथा $$b+c$$. इनमें से एक योग एक वर्ग होगा जिसकी बराबरी की जा सकती है $$(m+n)^2$$ और दूसरा दो बार एक वर्ग होगा जिसकी बराबरी की जा सकती है $$2m^2$$. तब तर्कसंगत निर्धारित करना संभव है $$\tfrac{n}{m}$$.

आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल्स की गणना करने के लिए तर्कसंगत को एक आदेशित जोड़ी के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$(n,m)$$ और कैंटर के पेयरिंग फंक्शन जैसे पेयरिंग फंक्शन का उपयोग करके एक पूर्णांक में मैप किया गया। एक उदाहरण पर देखा जा सकता है. यह शुरू होता है
 * $$8,18,19,32,33,34,\dots$$ और तर्क देता है
 * $$\tfrac{1}{2},\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{4},\tfrac{2}{5},\tfrac{1}{6},\dots$$ ये बदले में आदिम त्रिक उत्पन्न करते हैं
 * $$(3,4,5),(5,12,13),(8,15,17),(7,24,25),(20,21,29),(12,35,37),\dots$$

स्पिनर और मॉड्यूलर समूह
पाइथागोरियन त्रिगुणों को इसी प्रकार एक स्क्वायर मैट्रिक्स में एन्कोड किया जा सकता है
 * $$X = \begin{bmatrix}

c+b & a\\ a & c-b \end{bmatrix}. $$ इस रूप का एक मैट्रिक्स सममित मैट्रिक्स है। इसके अलावा, के निर्धारक $c = 4,687,298,610,289$ है
 * $$\det X = c^2 - a^2 - b^2\,$$

जो शून्य है जब ठीक है $a + b = 2,372,1592$ एक पायथागॉरियन ट्रिपल है। यदि $c = 2,165,0172$ एक पायथागॉरियन ट्रिपल से मेल खाता है, फिर एक मैट्रिक्स के रूप में यह एक मैट्रिक्स 1 का रैंक होना चाहिए।

तब से $m = 2,150,905$ सममित है, यह रेखीय बीजगणित के परिणाम से अनुसरण करता है कि एक स्तंभ सदिश है $n = 246,792$ जैसे कि बाहरी उत्पाद

रखती है, जहां $(x, y)$ मैट्रिक्स स्थानान्तरण को दर्शाता है। सदिश ξ को एक spinor कहा जाता है (लोरेंत्ज़ समूह SO(1, 2) के लिए)। अमूर्त शब्दों में, यूक्लिड सूत्र का अर्थ है कि प्रत्येक आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल को पूर्णांक प्रविष्टियों के साथ एक स्पिनर के बाहरी उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है, जैसा कि ($c$).

मॉड्यूलर समूह Γ पूर्णांक प्रविष्टियों के साथ 2×2 मैट्रिक्स का सेट है


 * $$A = \begin{bmatrix}\alpha&\beta\\ \gamma&\delta\end{bmatrix}$$

एक के बराबर निर्धारक के साथ: $x2 + y2 = 1$. यह सेट एक समूह (गणित) बनाता है, क्योंकि Γ में एक मैट्रिक्स का व्युत्क्रम फिर से Γ में होता है, जैसा कि Γ में दो आव्यूहों का गुणनफल होता है। सभी पूर्णांक स्पिनरों के संग्रह पर मॉड्यूलर समूह समूह क्रिया (गणित)। इसके अलावा, समूह अपेक्षाकृत प्रधान प्रविष्टियों के साथ पूर्णांक स्पिनरों के संग्रह पर सकर्मक है। यदि $x$ तब अपेक्षाकृत प्रमुख प्रविष्टियाँ हैं


 * $$\begin{bmatrix}m&-v\\n&u\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}m\\n\end{bmatrix}$$

कहाँ पे $y$ तथा $a, b, c$ चुने गए हैं (यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म द्वारा) ताकि $c2$.

स्पिनर ξ पर अभिनय करके ($c$), Γ की क्रिया पाइथागोरियन त्रिगुणों पर एक क्रिया पर जाती है, बशर्ते कोई संभावित नकारात्मक घटकों के साथ त्रिगुणों की अनुमति देता है। इस प्रकार यदि $t = y / (x + 1)$ में एक मैट्रिक्स है $(−1, 0)$, फिर

मैट्रिक्स पर एक क्रिया को जन्म देता है $(x, y)$ में ($n$). यह आदिम त्रिगुणों पर एक अच्छी तरह से परिभाषित क्रिया नहीं देता है, क्योंकि यह एक आदिम त्रिगुण को एक आदिम त्रिगुण में ले सकता है। यह इस बिंदु पर सुविधाजनक है (प्रति ) ट्रिपल कॉल करने के लिए $t$ मानक अगर $t = y / (x + 1) = b / (a + c) = n / m$ और या तो $x$ अपेक्षाकृत प्रमुख हैं या $P$ के साथ अपेक्षाकृत प्रमुख हैं $P$ अजीब। अगर स्पिनर $N = (0, 1)$ अपेक्षाकृत प्रमुख प्रविष्टियाँ हैं, फिर संबंधित ट्रिपल $P$ द्वारा निर्धारित ($n$) एक मानक ट्रिपल है। यह निम्नानुसार है कि मॉड्यूलर समूह की क्रिया मानक त्रिगुणों के सेट पर सकर्मक है।

वैकल्पिक रूप से, के उन मूल्यों पर ध्यान सीमित करें $x$ तथा $P$ जिसके लिए $P$ विषम है और $x$ सम है। मान लें कि Γ का उपसमूह Γ(2) समूह समरूपता का कर्नेल (बीजगणित) है


 * $$\Gamma=\mathrm{SL}(2,\mathbf{Z})\to \mathrm{SL}(2,\mathbf{Z}_2)$$

कहाँ पे $P$ परिमित क्षेत्र पर विशेष रैखिक समूह है $N$ मॉड्यूलर अंकगणित का। फिर Γ(2) यूनिमॉड्यूलर ट्रांसफॉर्मेशन का समूह है जो प्रत्येक प्रविष्टि की समानता को संरक्षित करता है। इस प्रकार यदि ξ की पहली प्रविष्टि विषम है और दूसरी प्रविष्टि सम है, तो वही सत्य है $P$ सभी के लिए $P$. वास्तव में, कार्रवाई के तहत ($b$), समूह Γ(2) आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल्स के संग्रह पर सकर्मक रूप से कार्य करता है.

समूह Γ(2) मुक्त समूह है जिसके जनरेटर मेट्रिसेस हैं
 * $$U=\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix},\qquad L=\begin{bmatrix}1&0\\2&1\end{bmatrix}.$$

नतीजतन, प्रत्येक आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल को मेट्रिसेस की प्रतियों के उत्पाद के रूप में एक अनोखे तरीके से प्राप्त किया जा सकता है $x$ तथा$P$.

माता-पिता/बच्चे के रिश्ते
के परिणाम से, सभी आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल तीन रैखिक परिवर्तनों T का उपयोग करके (3, 4, 5) त्रिभुज से उत्पन्न किए जा सकते हैं1, टी2, टी3 नीचे, कहाँ $x$, $x$, $P(x, y)$ एक त्रिक की भुजाएँ हैं: दूसरे शब्दों में, प्रत्येक आदिम त्रिक तीन अतिरिक्त आदिम त्रिक का जनक होगा। के साथ प्रारंभिक नोड से शुरू $x$, $y$, तथा $P$, आपरेशन $x$ नया ट्रिपल पैदा करता है
 * (3 − (2×4) + (2×5), (2×3) − 4 + (2×5), (2×3) − (2×4) + (3×5)) = ( 5, 12, 13),

और इसी तरह $(x, y)$ तथा $x$ त्रिक (21, 20, 29) और (15, 8, 17) उत्पन्न करें।

रैखिक परिवर्तन टी1, टी2, और टी3 द्विघात रूपों की भाषा में एक ज्यामितीय व्याख्या है। वे के ऑर्थोगोनल समूह को उत्पन्न करने वाले प्रतिबिंबों से निकटता से संबंधित हैं (लेकिन बराबर नहीं हैं)। $y$ पूर्णांकों पर।

गाऊसी पूर्णांकों से संबंध
वैकल्पिक रूप से, यूक्लिड के सूत्रों का विश्लेषण किया जा सकता है और गॉसियन पूर्णांकों का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है। गॉसियन पूर्णांक फॉर्म की जटिल संख्याएँ हैं $(a, b, c)$, कहाँ पे $(0, 0)$ तथा $(a, 0)$ साधारण पूर्णांक हैं और $(0, b)$ काल्पनिक इकाई है। गॉसियन पूर्णांकों की इकाई (रिंग थ्योरी) ±1 और ±i हैं। साधारण पूर्णांक परिमेय पूर्णांक कहलाते हैं और इसे 'के रूप में निरूपित किया जाता है।$(20, 21, 29), (12, 35, 37)$'। गॉसियन पूर्णांकों को निरूपित किया जाता है $(18108, 252685, 253333), (28077, 162964, 165365)$. पाइथागोरस प्रमेय के दाहिने हाथ की ओर गॉसियन पूर्णांकों में कारक हो सकते हैं:


 * $$c^2 = a^2+b^2 = (a+bi)\overline{(a+bi)} = (a+bi)(a-bi).$$

एक आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल वह है जिसमें $(4485, 5852, 7373)$ तथा $(3059, 8580, 9109)$ सहअभाज्य हैं, अर्थात, वे पूर्णांकों में कोई अभाज्य गुणनखंड साझा नहीं करते हैं। ऐसे ट्रिपल के लिए, या तो $(1380, 19019, 19069)$ या $X$ सम है, और दूसरा विषम है; इससे, यह इस प्रकार है $(a,b,c)$ भी विषम है।

दो कारक $X$ तथा $X$ एक आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल का प्रत्येक गॉसियन पूर्णांक के वर्ग के बराबर होता है। यह संपत्ति का उपयोग करके साबित किया जा सकता है कि प्रत्येक गॉसियन पूर्णांक को यूनिट (रिंग थ्योरी) तक गॉसियन प्रिम्स में विशिष्ट रूप से फैक्टर किया जा सकता है। (यह अद्वितीय गुणनखंडन इस तथ्य का अनुसरण करता है कि, मोटे तौर पर, यूक्लिडियन एल्गोरिथम के एक संस्करण को उन पर परिभाषित किया जा सकता है।) प्रमाण के तीन चरण हैं। सबसे पहले, अगर $ξ = [m n]^{T}$ तथा $T$ पूर्णांकों में कोई अभाज्य गुणनखंड साझा नहीं करते हैं, तो वे गॉसियन पूर्णांकों में भी कोई अभाज्य गुणनखंड साझा नहीं करते हैं। (मान लेना $αδ − βγ = 1$ तथा $[m n]^{T}$ गॉसियन पूर्णांकों के साथ $u$, $v$ तथा $mu + nv = 1$ तथा $A$ एक इकाई नहीं। फिर $Γ$ तथा $X$ मूल बिंदु से होकर एक ही रेखा पर स्थित हों। ऐसी रेखा पर सभी गॉसियन पूर्णांक कुछ गॉसियन पूर्णांक के पूर्णांक गुणक होते हैं $(a,b,c)$. लेकिन तब पूर्णांक gh ≠ ±1 दोनों को विभाजित करता है $c > 0$ तथा $(a,b,c)$।) दूसरा, यह इस प्रकार है $(a/2,b/2,c/2)$ तथा $a/2$ इसी तरह गॉसियन पूर्णांकों में कोई अभाज्य गुणनखंड साझा नहीं करते हैं। क्योंकि यदि उन्होंने किया, तो उनका उभयनिष्ठ विभाजक $[m n]^{T}$ भी बांट देंगे $(a,b,c)$ तथा $m$. तब से $n$ तथा $m$ कोप्राइम हैं, इसका मतलब है कि $n$ विभाजित$SL(2,Z_{2})$. सूत्र से $Z_{2}$, जिसका अर्थ यह होगा $Aξ$ सम है, एक आदिम पाइथोगोरियन ट्रिपल की परिकल्पना के विपरीत। तीसरा, चूंकि $A ∈ Γ(2)$ एक वर्ग है, इसके गुणनखंडन में प्रत्येक गॉसियन अभाज्य दुगुना होता है, अर्थात, एक सम संख्या में प्रकट होता है। तब से $U$ तथा $L$ कोई प्रमुख कारक साझा न करें, यह दोहरीकरण उनके लिए भी सत्य है। अत, $a$ तथा $b$ वर्ग हैं।

इस प्रकार, पहला कारक लिखा जा सकता है


 * $$a+bi = \varepsilon\left(m + ni \right)^2, \quad \varepsilon\in\{\pm 1, \pm i\}.$$

इस समीकरण के वास्तविक और काल्पनिक भाग दो सूत्र देते हैं:


 * $$\begin{cases}\varepsilon = +1, & \quad a = +\left( m^2 - n^2 \right),\quad b = +2mn; \\ \varepsilon = -1, & \quad a = -\left( m^2 - n^2 \right),\quad b = -2mn; \\ \varepsilon = +i, & \quad a = -2mn,\quad b = +\left( m^2 - n^2 \right); \\ \varepsilon = -i, & \quad a = +2mn,\quad b = -\left( m^2 - n^2 \right).\end{cases}$$

किसी भी आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल के लिए पूर्णांक होना चाहिए $c$ तथा $a$ जैसे कि ये दो समीकरण संतुष्ट हैं। इसलिए, प्रत्येक पायथागॉरियन ट्रिपल को इन पूर्णांकों के कुछ विकल्प से उत्पन्न किया जा सकता है।

पूर्ण वर्ग गॉसियन पूर्णांक के रूप में
यदि हम गॉसियन पूर्णांक के वर्ग पर विचार करते हैं, तो हमें यूक्लिड के सूत्र की निम्नलिखित सीधी व्याख्या मिलती है, जो गॉसियन पूर्णांक के पूर्ण वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है।


 * $$(m+ni)^2 = (m^2-n^2)+2mni.$$

इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि गॉसियन पूर्णांक एक यूक्लिडियन डोमेन हैं और गॉसियन पूर्णांक p के लिए $$|p|^2$$ हमेशा एक वर्ग होता है तो यह दिखाना संभव है कि यदि कर्ण अभाज्य है तो पायथागॉरियन त्रिक प्रधान गॉसियन पूर्णांक के वर्ग के अनुरूप होता है।

यदि गॉसियन पूर्णांक अभाज्य नहीं है तो यह दो गॉसियन पूर्णांक p और q का गुणनफल है $$|p|^2$$ तथा $$|q|^2$$ पूर्णांक। चूँकि परिमाण गाऊसी पूर्णांकों में गुणा होता है, इसलिए गुणनफल होना चाहिए $$|p||q|$$, जो एक पायथागॉरियन ट्रिपल खोजने के लिए वर्गित होने पर समग्र होना चाहिए। गर्भनिरोधक प्रमाण को पूरा करता है।

त्रिगुणों का वितरण
पायथागॉरियन त्रिक के वितरण पर कई परिणाम हैं। स्कैटर प्लॉट में, कई स्पष्ट पैटर्न पहले से ही स्पष्ट हैं। जब भी पैर $b$ प्लॉट में एक आदिम ट्रिपल दिखाई देता है, के सभी पूर्णांक गुणक $c$ प्लॉट में भी दिखाई देना चाहिए, और यह संपत्ति आरेख में उत्पत्ति से निकलने वाली रेखाओं की उपस्थिति का उत्पादन करती है।

बिखराव के भीतर, चारों दिशाओं में खुलने वाले बिंदुओं के उच्च घनत्व और मूल में उनके सभी फोकस के साथ पैराबोला पैटर्न के सेट होते हैं। अलग-अलग परवलय अक्षों पर प्रतिच्छेद करते हैं और 45 डिग्री के एक घटना कोण के साथ अक्ष को प्रतिबिंबित करते हुए दिखाई देते हैं, जिसमें एक तीसरा परवलय लंबवत फैशन में प्रवेश करता है। इस चतुर्भुज के भीतर, मूल पर केंद्रित प्रत्येक चाप परवलय के उस खंड को दर्शाता है जो इसके सिरे और इसके अर्ध-अक्षांश मलाशय के साथ चौराहे के बीच स्थित है।

इन प्रतिमानों की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है। यदि $$a^2/4n$$ एक पूर्णांक है, तब ($T_{1}$, $$|n-a^2/4n|$$, $$n+a^2/4n$$) एक पायथागॉरियन ट्रिपल है। (वास्तव में हर पायथागॉरियन ट्रिपल $a − 2b + 2c$ पूर्णांक के साथ इस प्रकार लिखा जा सकता है $2a − b + 2c$, संभवतः विनिमय के बाद $2a − 2b + 3c$ तथा $T_{2}$, जबसे $$n=(b+c)/2$$ तथा $a + 2b + 2c$ तथा $2a + b + 2c$ दोनों विषम नहीं हो सकते।) पाइथागोरस के त्रिक इस प्रकार दिए गए वक्रों पर स्थित हैं $$b = |n-a^2/4n|$$, यानी परवलय पर परिलक्षित होता है $2a + 2b + 3c$-अक्ष, और इसी वक्र के साथ $T_{3}$ तथा $−a + 2b + 2c$ अदला-बदली। यदि $−2a + b + 2c$ किसी दिए गए के लिए भिन्न है $−2a + 2b + 3c$ (यानी किसी दिए गए पैराबोला पर), के पूर्णांक मान $a = 3$ अपेक्षाकृत अक्सर होता है अगर $b = 4$ एक वर्ग या एक वर्ग का एक छोटा गुणक है। यदि इस तरह के कई मान एक-दूसरे के करीब होते हैं, तो संबंधित परवलय लगभग मेल खाते हैं, और एक संकीर्ण परवलयिक पट्टी में ट्रिपल क्लस्टर होते हैं। उदाहरण के लिए, $c = 5$, $T_{1}$, $T_{2}$, $T_{3}$ तथा $x2 + y2 − z2$; इसी परवलयिक पट्टी के आसपास $α = u + vi$ बिखराव की साजिश में स्पष्ट रूप से दिखाई दे रहा है।

ऊपर वर्णित कोणीय गुण परवलय के कार्यात्मक रूप से तुरंत अनुसरण करते हैं। परवलय पर परिलक्षित होते हैं $u$-अक्ष पर $v$, और व्युत्पन्न $i$ इसके संबंध में $Z$ इस बिंदु पर -1 है; इसलिए आपतन कोण 45° है। चूंकि क्लस्टर, सभी त्रिगुणों की तरह, पूर्णांक गुणकों पर दोहराए जाते हैं, मान $Z[i]$ क्लस्टर से भी मेल खाता है। संबंधित परबोला प्रतिच्छेद करता है $a$-अक्ष समकोण पर $b$, और इसलिए के आदान-प्रदान पर इसका प्रतिबिंब $a$ तथा $b$ प्रतिच्छेद करता है $c$-अक्ष समकोण पर $z := a + bi$, ठीक उसी जगह पर परवलय के लिए $z* := a − bi$ पर परिलक्षित होता है $a$-एक्सिस। (वही निश्चित रूप से सच है $b$ तथा $a = gu$ अदला-बदली।)

अल्बर्ट फस्लर और अन्य लोग अनुरूप मैपिंग के संदर्भ में इन पैराबोलस के महत्व में अंतर्दृष्टि प्रदान करते हैं।

प्लेटोनिक अनुक्रम
मुकदमा $b = gv$ पायथागॉरियन त्रिक के अधिक सामान्य निर्माण के बारे में लंबे समय से जाना जाता है। यूक्लिड के तत्वों की पहली पुस्तक के पाइथागोरस प्रमेय के लिए अपनी टिप्पणी में बंद किया हुआ|यूक्लिड के तत्व|यूक्लिड के तत्व, इसका वर्णन इस प्रकार करते हैं:

इस प्रकार के त्रिभुजों की खोज के लिए कुछ विधियाँ सौंपी गई हैं, जिनमें से एक प्लेटो को संदर्भित करती है, और दूसरी पाइथागोरस को। (उत्तरार्द्ध) विषम संख्या से शुरू होता है। क्योंकि यह विषम संख्या को समकोण की भुजाओं से छोटा बनाता है; फिर यह इसका वर्ग लेता है, एकता को घटाता है और समकोण के बारे में पक्षों के बड़े अंतर को आधा बनाता है; अंत में यह इसमें एकता जोड़ता है और शेष भाग, कर्ण बनाता है।

... प्लेटो की विधि सम संख्याओं से तर्क देती है। यह दी गई सम संख्या लेता है और इसे समकोण के चारों ओर एक भुजा बनाता है; फिर, इस संख्या को समद्विभाजित करने और आधे का वर्ग करने पर, यह कर्ण बनाने के लिए वर्ग में एकता जोड़ता है, और समकोण के बारे में दूसरी भुजा बनाने के लिए वर्ग से एकता घटाता है। ... इस प्रकार इसने वही त्रिभुज बनाया है जो अन्य विधि द्वारा प्राप्त किया गया था।

समीकरण के रूप में, यह बन जाता है:

$g$ विषम है (पाइथागोरस, सी. 540 ई.पू.):


 * $$\text{side }a : \text{side }b = {a^2 - 1 \over 2} : \text{side }c = {a^2 + 1 \over 2}.$$

$u$ सम है (प्लेटो, सी. 380 ई.पू.):


 * $$\text{side }a : \text{side }b = \left({a \over 2}\right)^2 - 1 : \text{side }c = \left({a \over 2}\right)^2 + 1$$

यह दिखाया जा सकता है कि सभी पाइथागोरस के त्रिक मूल प्लेटोनिक अनुक्रम से उचित पुन: स्केलिंग के साथ प्राप्त किए जा सकते हैं ($v$, $g$ तथा $u$) अनुमति द्वारा $v$ गैर-पूर्णांक तर्कसंगत मान लेने के लिए। यदि $h$ अंश से बदल दिया जाता है $a$ अनुक्रम में, परिणाम 'मानक' ट्रिपल जनरेटर (2mn, $b$,$z$) स्केलिंग के बाद। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि प्रत्येक त्रिक का संगत परिमेय होता है $z*$ मूल्य जिसका उपयोग एक समानता (ज्यामिति) त्रिकोण उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है (एक ही तीन कोणों के साथ और मूल के समान अनुपात में भुजाओं के साथ)। उदाहरण के लिए, के प्लेटोनिक समकक्ष $δ$ से उत्पन्न होता है $z + z* = 2a$ जैसा $z − z* = 2ib$. प्लेटोनिक अनुक्रम ही प्राप्त किया जा सकता है डायोफैंटस II.VIII में वर्णित 'स्क्वायर को विभाजित करने' के चरणों का पालन करके।

जैकोबी-मैडेन समीकरण
समीकरण,


 * $$a^4+b^4+c^4+d^4 = (a+b+c+d)^4$$

विशेष पायथागॉरियन ट्रिपल के बराबर है,


 * $$(a^2+ab+b^2)^2+(c^2+cd+d^2)^2 = ((a+b)^2+(a+b)(c+d)+(c+d)^2)^2$$

इस समीकरण के अनंत समाधान हैं क्योंकि चरों को हल करने के लिए एक अंडाकार वक्र शामिल है। छोटे हैं,


 * $$a, b, c, d = -2634, 955, 1770, 5400$$
 * $$a, b, c, d = -31764, 7590, 27385, 48150$$

दो वर्गों के बराबर योग
समाधान उत्पन्न करने का एक तरीका $$a^2+b^2=c^2+d^2$$ निम्नानुसार पूर्णांक एम, एन, पी, क्यू के संदर्भ में ए, बी, सी, डी को पैरामीट्रिज करना है:
 * $$(m^2+n^2)(p^2+q^2)=(mp-nq)^2+(np+mq)^2=(mp+nq)^2+(np-mq)^2.$$

दो चौथाई शक्तियों के बराबर योग
पायथागॉरियन ट्रिपल के दो सेट दिए गए हैं,


 * $$(a^2-b^2)^2+(2a b)^2 = (a^2+b^2)^2$$
 * $$(c^2-d^2)^2+(2c d)^2 = (c^2+d^2)^2$$

एक कैथेटस | गैर-कर्ण पक्ष और कर्ण के समान उत्पादों को खोजने की समस्या,


 * $$(a^2 -b^2)(a^2+b^2) = (c^2 -d^2)(c^2+d^2)$$

आसानी से समीकरण के समतुल्य देखा जाता है,


 * $$a^4 -b^4 = c^4 -d^4$$

और सबसे पहले यूलर द्वारा हल किया गया था $$a, b, c, d = 133,59,158,134$$. चूंकि उन्होंने दिखाया कि यह दीर्घवृत्त वक्र में एक तर्कसंगत बिंदु है, तो अनंत संख्या में समाधान हैं। वास्तव में, उन्होंने 7वीं डिग्री बहुपद मानकीकरण भी पाया।

डेसकार्टेस सर्कल प्रमेय
डेसकार्टेस प्रमेय | डेसकार्टेस सर्कल प्रमेय के मामले में जहां सभी चर वर्ग हैं,


 * $$2(a^4+b^4+c^4+d^4) = (a^2+b^2+c^2+d^2)^2$$

यूलर ने दिखाया कि यह एक साथ तीन पायथागॉरियन त्रिक के बराबर है,


 * $$(2ab)^2+(2cd)^2 = (a^2+b^2-c^2-d^2)^2$$
 * $$(2ac)^2+(2bd)^2 = (a^2-b^2+c^2-d^2)^2$$
 * $$(2ad)^2+(2bc)^2 = (a^2-b^2-c^2+d^2)^2$$

अनंत संख्या में समाधान भी हैं, और विशेष मामले के लिए जब $$a+b=c$$, तब समीकरण सरल हो जाता है,


 * $$4(a^2+a b+b^2) = d^2$$

जैसे छोटे समाधान के साथ $$a, b, c, d = 3, 5, 8, 14$$ और द्विघात रूपों के रूप में हल किया जा सकता है।

लगभग-समद्विबाहु पायथागॉरियन ट्रिपल
कोई पाइथागोरस का त्रिक समद्विबाहु नहीं है, क्योंकि कर्ण का किसी भी पक्ष से अनुपात है $$, लेकिन 2 का वर्गमूल#तर्कहीनता का सबूत|$$ 2 पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

हालाँकि, विशेष समकोण त्रिभुज हैं#लगभग-समद्विबाहु पायथागॉरियन त्रिक|अभिन्न पक्षों के साथ समकोण त्रिभुज जिसके लिए कैथेटस|गैर-कर्ण भुजाओं की लंबाई एक से भिन्न होती है, जैसे,


 * $$3^2+4^2 = 5^2$$
 * $$20^2+21^2 = 29^2$$

और अनंत संख्या में अन्य। उन्हें पूरी तरह से परिचालित किया जा सकता है,


 * $$\left(\tfrac{x-1}{2}\right)^2+\left(\tfrac{x+1}{2}\right)^2 = y^2$$

जहां {x, y} पेल समीकरण के समाधान हैं $$x^2-2y^2 = -1$$.

यदि $a$, $b$, $δ$ इस प्रकार के आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल (पीपीटी) के पक्ष हैं तो पेल समीकरण का समाधान पुनरावृत्ति संबंध द्वारा दिया जाता है


 * $$a_n=6a_{n-1}-a_{n-2}+2$$ साथ $$a_1=3$$ तथा $$a_2=20$$
 * $$b_n=6b_{n-1}-b_{n-2}-2$$ साथ $$b_1=4$$ तथा $$b_2=21$$
 * $$c_n=6c_{n-1}-c_{n-2}$$ साथ $$c_1=5$$ तथा $$c_2=29$$.

PPT का यह क्रम PPT के आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल्स के वृक्ष का केंद्रीय तना (ट्रंक) बनाता है। जब यह लंबे समय तक गैर-कर्ण पक्ष और कर्ण होता है जो एक से भिन्न होता है, जैसे कि में
 * $$5^2+12^2 = 13^2$$
 * $$7^2+24^2 = 25^2$$

तो पीपीटी के लिए पूरा समाधान $2 = (1 + i)(1 − i) = i(1 − i)2$, $c2 = zz*$, $c$ है


 * $$a=2m+1, \quad b=2m^2+2m, \quad c=2m^2+2m+1$$

तथा


 * $$(2m+1)^2+(2m^2+2m)^2=(2m^2+2m+1)^2$$

जहां पूर्णांक $$m>0$$ जनरेटिंग पैरामीटर है।

यह दर्शाता है कि सभी विषम संख्याएँ (1 से अधिक) इस प्रकार के लगभग-समद्विबाहु पीपीटी में दिखाई देती हैं। PPTs का यह क्रम PPTs के रूटेड टर्नरी ट्री के दाहिने हाथ की बाहरी तने का निर्माण करता है।

इस प्रकार के लगभग समद्विबाहु पीपीटी की एक और संपत्ति यह है कि पक्ष इस तरह से संबंधित हैं
 * $$a^b+b^a=Kc$$

कुछ पूर्णांक के लिए $$K$$. या दूसरे शब्दों में $$a^b+b^a$$ से विभाज्य है $$c$$ जैसे में
 * $$(5^{12}+12^5)/13 = 18799189$$.

पाइथागोरस के त्रिक में फाइबोनैचि संख्या
5 से शुरू होकर, प्रत्येक दूसरी फाइबोनैचि संख्या पूर्णांक भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज के कर्ण की लंबाई होती है, या दूसरे शब्दों में, पाइथागोरस के त्रिक में सबसे बड़ी संख्या, सूत्र से प्राप्त होती है $$(F_nF_{n+3})^2 + (2F_{n+1}F_{n+2})^2 = F_{2n+3}^2.$$ इस सूत्र से प्राप्त पाइथागोरस त्रिभुजों के अनुक्रम में भुजाओं की लंबाई होती है
 * (3,4,5), (5,12,13), (16,30,34), (39,80,89), ...

इनमें से प्रत्येक त्रिभुज की मध्य भुजा पूर्ववर्ती त्रिभुज की तीनों भुजाओं का योग है।

सामान्यीकरण
पायथागॉरियन ट्रिपल्स की अवधारणा को सामान्य बनाने के कई तरीके हैं।

पायथागॉरियन $c2$-टुपल
भावाभिव्यक्ति
 * $$\left(m_1^2 - m_2^2 - \ldots - m_n^2\right)^2 + \sum_{k=2}^n (2 m_1 m_k)^2 = \left(m_1^2 + \ldots + m_n^2\right)^2$$

एक पायथागॉरियन है $$सकारात्मक पूर्णांकों के किसी भी टपल के लिए -टुपल $z$ साथ $z*$. पायथागॉरियन $$-टपल को इसके मूल्यों के सबसे बड़े सामान्य विभाजक द्वारा विभाजित करके आदिम बनाया जा सकता है।

इसके अलावा, कोई भी आदिम पायथागॉरियन $$-टुपल $z$ इस दृष्टिकोण से पाया जा सकता है। प्रयोग करना $z*$ पायथागॉरियन प्राप्त करने के लिए $$-उपरोक्त सूत्र द्वारा टपल करें और सबसे बड़े सामान्य पूर्णांक भाजक द्वारा विभाजित करें, जो है $m$. इनमें से सबसे बड़े सामान्य भाजक द्वारा विभाजित करना $n$ मान समान आदिम पायथागॉरियन देता है $$-टुपल; और सेटवाइज कोप्राइम पॉज़िटिव पूर्णांकों के टुपल्स के बीच एक-से-एक पत्राचार होता है $(a,b)$ संतुष्टि देने वाला $a$ और आदिम पायथागॉरियन $\sqrt{2}$-टुपल्स।

सेटवाइज कोप्राइम वैल्यू के बीच संबंध के उदाहरण $$\vec{m}$$ और आदिम पायथागॉरियन $\sqrt{2}$-टुपल्स में शामिल हैं:
 * $$\begin{align}

\vec{m} = (1) & \leftrightarrow 1^2 = 1^2 \\ \vec{m} = (2, 1) & \leftrightarrow 3^2 + 4^2 = 5^2 \\ \vec{m} = (2, 1, 1) & \leftrightarrow 1^2 + 2^2 + 2^2 = 3^2 \\ \vec{m} = (3, 1, 1, 1) & \leftrightarrow 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 = 2^2 \\ \vec{m} = (5, 1, 1, 2, 3) & \leftrightarrow 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 = 4^2 \\ \vec{m} = (4, 1, 1, 1, 1, 2) & \leftrightarrow 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2 = 3^2 \\ \vec{m} = (5, 1, 1, 1, 2, 2, 2) & \leftrightarrow 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 = 4^2 \end{align}$$

लगातार वर्ग
योग के बाद से $b$ का $(a,b)$ के साथ शुरू होने वाले लगातार वर्ग $(a,b)$ सूत्र द्वारा दिया गया है,
 * $$F(k,m)=km(k-1+m)+\frac{k(k-1)(2k-1)}{6}$$

कोई मान पा सकता है $a$ ताकि $(a, b, c)$ एक वर्ग है, जैसे कि हिर्शोर्न द्वारा एक जहां पदों की संख्या स्वयं एक वर्ग है,
 * $$m=\tfrac{v^4-24v^2-25}{48},\; k=v^2,\; F(m,k)=\tfrac{v^5+47v}{48}$$

तथा $n$ क्या कोई पूर्णांक 2 या 3 से विभाज्य नहीं है। सबसे छोटे मामले के लिए $a$, इसलिये $b$, इससे एडौर्ड लुकास की प्रसिद्ध कैनोनबॉल-स्टैकिंग समस्या उत्पन्न होती है,


 * $$0^2+1^2+2^2+\dots+24^2 = 70^2$$

एक तथ्य जो जोंक जाली से जुड़ा हुआ है # लोरेंट्ज़ियन जाली II25,1 का उपयोग करना।

इसके अलावा, अगर एक पायथागॉरियन में $a$-टुपल ($b$) एक को छोड़कर सभी जोड़ लगातार हैं, कोई भी समीकरण का उपयोग कर सकता है,
 * $$F(k,m) + p^{2} = (p+1)^{2}$$

की दूसरी शक्ति के बाद से $a$ रद्द कर देता है, यह केवल रैखिक है और आसानी से हल हो जाता है $$p=\tfrac{F(k,m)-1}{2}$$ यद्यपि $a$, $b$ चुना जाना चाहिए ताकि $a$ एक पूर्णांक है, जिसका एक छोटा सा उदाहरण है $n$, $b$ उपज,


 * $$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+27^2=28^2$$

इस प्रकार, पायथागॉरियन उत्पन्न करने का एक तरीका $n$-tuples विभिन्न के लिए उपयोग कर रहा है $382 = 1444$,
 * $$x^2+(x+1)^2+\cdots +(x+q)^2+p^2=(p+1)^2,$$

जहाँ q = n–2 और कहाँ


 * $$p=\frac{(q+1)x^2+q(q+1)x+\frac{q(q+1)(2q+1)}{6} -1}{2}.$$

फर्मेट की अंतिम प्रमेय
पायथागॉरियन ट्रिपल्स की अवधारणा का एक सामान्यीकरण धनात्मक पूर्णांकों के ट्रिपल्स की खोज है $2 × 272 = 1458$, $3 × 222 = 1452$, तथा $5 × 172 = 1445$, ऐसा है कि $10 × 122 = 1440$, कुछ के लिए $n ≈ 1450$ सख्ती से 2 से अधिक। 1637 में पियरे डी फर्मेट ने दावा किया कि ऐसा कोई ट्रिपल मौजूद नहीं है, एक दावा जिसे फर्मेट के अंतिम प्रमेय के रूप में जाना जाता है क्योंकि फर्मेट द्वारा साबित या अस्वीकृत होने में किसी भी अन्य अनुमान से अधिक समय लगता है। पहला प्रमाण एंड्रयू विल्स ने 1994 में दिया था।

$a$ या $a = 2n$ $b$वें शक्तियों का योग $a$वें शक्ति
एक अन्य सामान्यीकरण के अनुक्रमों की खोज कर रहा है $2n$ सकारात्मक पूर्णांक जिसके लिए $b$अंतिम की वें शक्ति का योग है $b = 2n$पिछले शर्तों की वें शक्तियां। के ज्ञात मानों के लिए सबसे छोटा क्रम $a$ हैं:


 * $b$ = 3: {3, 4, 5; 6}.
 * $a$ = 4: {30, 120, 272, 315; 353}
 * $a = 2n$ = 5: {19, 43, 46, 47, 67; 72}
 * $n$ = 7: {127, 258, 266, 413, 430, 439, 525; 568}
 * $a$ = 8: {90, 223, 478, 524, 748, 1088, 1190, 1324; 1409}

के लिए $a$ मामला, जिसमें $$x^3+y^3+z^3=w^3,$$ फ़र्मेट क्यूबिक कहा जाता है, एक सामान्य सूत्र मौजूद है जो सभी समाधान देता है।

थोड़ा अलग सामान्यीकरण के योग की अनुमति देता है $b$ $n$वें शक्तियों के योग के बराबर करने के लिए $n = 1$ $a$वें शक्तियां। उदाहरण के लिए:
 * ($a$): 1$n$ + 12$n$ = 9$n$ + 10$n$, 1729 नंबर के बारे में रामानुजन के साथ बातचीत के हार्डी के स्मरण से प्रसिद्ध हुआ, जो कि सबसे छोटी संख्या है जिसे दो अलग-अलग तरीकों से दो घनों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

वहाँ भी हो सकता है $a$ सकारात्मक पूर्णांक जिसका $(a2 − 1)/2$वें शक्तियां एक के लिए योग $(a2 + 1)/2$शक्ति (सोचा, फर्मेट के अंतिम प्रमेय द्वारा, के लिए नहीं $a$; ये यूलर की शक्तियों के योग अनुमान के प्रति उदाहरण हैं। सबसे छोटे ज्ञात प्रति उदाहरण हैं
 * $a$: (95800, 217519, 414560; 422481)
 * $m/n$: (27, 84, 110, 133; 144)

हेरोनियन त्रिभुज ट्रिपल
एक हेरोनियन त्रिभुज को आमतौर पर पूर्णांक भुजाओं वाले एक के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसका क्षेत्रफल भी एक पूर्णांक होता है। ऐसे त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई एक हेरोनियन ट्रिपल बनाती है $m2 − n2$ के लिये $m2 + n2$. प्रत्येक पायथागॉरियन ट्रिपल एक हेरोनियन ट्रिपल है, क्योंकि कम से कम एक पैर $a$, $(56, 33, 65)$ पायथागॉरियन ट्रिपल में भी होना चाहिए, इसलिए क्षेत्र ab/2 एक पूर्णांक है। हालांकि, हर हेरोनियन ट्रिपल एक पायथागॉरियन ट्रिपल नहीं है, उदाहरण के लिए $a = m/n = 7/4$ एरिया 24 शो के साथ।

यदि $(a, (a2 –1)/2, (a2+1)/2) = (56/32, 33/32, 65/32)$ एक हेरोनियन ट्रिपल है, इसलिए है $a$ कहाँ पे $b$ कोई सकारात्मक पूर्णांक है; इसका क्षेत्रफल वह पूर्णांक होगा जो कि है $c$ के पूर्णांक क्षेत्र का गुना $a$ त्रिकोण। द हेरोनियन ट्रिपल $b$ प्रिमिटिव है बशर्ते a, b, c कोप्राइम इंटेजर#Coprimality सेट में हों। (आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल के साथ मजबूत बयान है कि वे 'जोड़ीदार'' कोप्राइम भी लागू होते हैं, लेकिन आदिम हेरोनियन त्रिकोण के साथ मजबूत बयान हमेशा सच नहीं होता है, जैसे कि $c$.) यहाँ कुछ सरल आदिम हेरोनियन त्रिक हैं जो पाइथागोरियन त्रिक नहीं हैं:


 * (4, 13, 15) क्षेत्रफल 24 के साथ
 * (3, 25, 26) क्षेत्रफल 36 के साथ
 * (7, 15, 20) क्षेत्रफल 42 के साथ
 * (6, 25, 29) क्षेत्रफल 60 के साथ
 * (11, 13, 20) क्षेत्रफल 66 के साथ
 * (13, 14, 15) क्षेत्रफल 84 के साथ
 * (13, 20, 21) क्षेत्रफल 126 के साथ

हीरोन के सूत्र द्वारा, धनात्मक पूर्णांकों के तिहरे के लिए अतिरिक्त शर्त $n$ साथ $(m1, ..., mn)$ हेरोनियन होना वह है



या समकक्ष

16 से विभाज्य एक शून्येतर पूर्ण वर्ग बनें।

क्रिप्टोग्राफी के लिए आवेदन
प्रिमिटिव पाइथोगोरियन ट्रिपल्स का उपयोग क्रिप्टोग्राफी में रैंडम सीक्वेंस के रूप में और चाबियों के निर्माण के लिए किया गया है।

यह भी देखें

 * बूलियन पायथागॉरियन ट्रिपल समस्या
 * अनुकूल
 * डायोफैंटस II.VIII
 * ईसेनस्टीन ट्रिपल
 * यूलर ईंट
 * हेरोनियन त्रिकोण
 * हिल्बर्ट का प्रमेय 90
 * पूर्णांक त्रिकोण
 * मॉड्यूलर अंकगणित
 * गैर-कर्ण संख्या
 * प्लिम्प्टन 322
 * पायथागॉरियन प्राइम
 * पायथागॉरियन चौगुनी
 * द्विघात
 * स्पर्शरेखा आधा कोण सूत्र
 * त्रिकोणमितीय पहचान

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * सही त्रिकोण
 * त्रिकोण
 * स्कैटर प्लॉट
 * शंकु खंड
 * प्राथमिक बीजगणित
 * आवश्यक और पर्याप्त स्थिति
 * जोड़ीदार कोप्राइम
 * सर्वांगसमता संबंध
 * संगत संख्या
 * अन्तःवृत्त
 * अर्द्धपरिधि
 * न्यून कोण
 * अकेले और दोगुने भी
 * सर्वोच्च शक्ति
 * मुख्य कारक है
 * तर्कसंगत बिंदु
 * कोप्राइम पूर्णांक
 * स्पर्शरेखा आधा कोण सूत्र
 * यूनिट सर्कल पर तर्कसंगत बिंदुओं का समूह
 * तर्कसंगत वक्र
 * द्विवार्षिक
 * एफ़िन लाइन
 * बीजगणितीय किस्म
 * सिद्ध
 * एक मैट्रिक्स की रैंक
 * लीनियर अलजेब्रा
 * कॉलम वेक्टर
 * यूनिट (रिंग थ्योरी)
 * तर्कसंगत पूर्णांक
 * अर्ध-सीधी तरफ
 * अण्डाकार वक्र
 * संकलित करना
 * अकर्ण संख्या
 * पाइथागोरस चौगुना
 * पूर्णांक त्रिभुज

बाहरी संबंध

 * Clifford Algebras and Euclid's Parameterization of Pythagorean triples
 * Curious Consequences of a Miscopied Quadratic
 * Discussion of Properties of Pythagorean triples, Interactive Calculators, Puzzles and Problems
 * Generating Pythagorean Triples Using Arithmetic Progressions
 * Interactive Calculator for Pythagorean Triples
 * The negative Pell equation and Pythagorean triples
 * Parameterization of Pythagorean Triples by a single triple of polynomials
 * Pythagorean Triples and the Unit Circle, chap. 2–3, in "A Friendly Introduction to Number Theory" by Joseph H. Silverman, 3rd ed., 2006, Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, ISBN 0-13-186137-9
 * Pythagorean Triples at cut-the-knot Interactive Applet showing unit circle relationships to Pythagorean Triples
 * Pythagorean Triplets
 * The Remarkable Incircle of a Triangle
 * Solutions to Quadratic Compatible Pairs in relation to Pythagorean Triples
 * Theoretical properties of the Pythagorean Triples and connections to geometry
 * The Trinary Tree(s) underlying Primitive Pythagorean Triples at cut-the-knot
 * Theoretical properties of the Pythagorean Triples and connections to geometry
 * The Trinary Tree(s) underlying Primitive Pythagorean Triples at cut-the-knot

नहीं: पाइथागोरस की लॉरीसेटिंग