टोरसन (बीजगणित)

गणित में, विशेष रूप से अंगूठी सिद्धांत  में, एक मरोड़ वाला तत्व एक मॉड्यूल (गणित) का एक तत्व होता है जो रिंग (गणित) के कुछ गैर-शून्य-भाजक द्वारा गुणा किए जाने पर शून्य उत्पन्न करता है। एक मॉड्यूल का मरोड़ submodule, मरोड़ तत्वों द्वारा गठित सबमॉड्यूल है। एक टोरसन मॉड्यूल एक मॉड्यूल है जो इसके टोरसन सबमिशन के बराबर होता है। एक मॉड्यूल मरोड़-मुक्त मॉड्यूल है। मरोड़-मुक्त अगर इसके मरोड़ वाले सबमॉड्यूल में केवल शून्य तत्व शामिल है।

यह शब्दावली आमतौर पर एक डोमेन (रिंग थ्योरी) पर मॉड्यूल के लिए उपयोग की जाती है, अर्थात, जब रिंग के नियमित तत्व इसके सभी गैर-शून्य तत्व होते हैं।

यह शब्दावली एबेलियन समूहों पर लागू होती है (मॉड्यूल और सबमॉड्यूल के साथ समूह (गणित) और उपसमूह द्वारा प्रतिस्थापित)। यह इस तथ्य से अनुमत है कि एबेलियन समूह पूर्णांक # बीजगणितीय_गुणों की अंगूठी पर मॉड्यूल हैं (वास्तव में, यह शब्दावली का मूल है, जिसे एबेलियन समूहों के लिए मॉड्यूल के सामान्यीकृत होने से पहले पेश किया गया है)।

समूह (गणित) के मामले में जो गैर-अनुक्रमिक हैं, एक मरोड़ तत्व परिमित आदेश (समूह सिद्धांत) का एक तत्व है। एबेलियन समूह के मामले के विपरीत, मरोड़ वाले तत्व सामान्य रूप से उपसमूह नहीं बनाते हैं।

परिभाषा
एक मॉड्यूल (बीजगणित) एम का एक तत्व एम एक अंगूठी (गणित) आर पर मॉड्यूल का एक मरोड़ तत्व कहा जाता है यदि अंगूठी के नियमित तत्व (रिंग सिद्धांत) आर मौजूद है (एक तत्व जो न तो बाएं और न ही दाएं है शून्य भाजक) जो m का सत्यानाश करता है, अर्थात, r&thinsp;m = 0. एक अभिन्न डोमेन (शून्य विभाजक के बिना एक क्रमविनिमेय अंगूठी ) में, प्रत्येक गैर-शून्य तत्व नियमित होता है, इसलिए एक अभिन्न डोमेन पर एक मॉड्यूल का एक मरोड़ तत्व अभिन्न डोमेन के एक गैर-शून्य तत्व द्वारा विलोपित होता है। कुछ लेखक इसे मरोड़ तत्व की परिभाषा के रूप में उपयोग करते हैं, लेकिन यह परिभाषा अधिक सामान्य रिंगों पर अच्छी तरह से काम नहीं करती है।

एक रिंग R के ऊपर एक मॉड्यूल M को एक मरोड़ मॉड्यूल कहा जाता है यदि इसके सभी तत्व मरोड़ वाले तत्व हैं, और मरोड़-मुक्त मॉड्यूल | मरोड़-मुक्त यदि शून्य केवल मरोड़ वाला तत्व है। यदि रिंग R एक अभिन्न डोमेन है, तो सभी मरोड़ तत्वों का सेट M का एक सबमॉड्यूल बनाता है, जिसे M का टॉर्सियन सबमॉड्यूल कहा जाता है, जिसे कभी-कभी T (M) कहा जाता है। यदि R क्रमविनिमेय नहीं है, तो T(M) एक सबमॉड्यूल हो भी सकता है और नहीं भी। में दिखाया गया है कि आर सही अयस्क की स्थिति है अगर और केवल अगर टी (एम) सभी सही आर-मॉड्यूल के लिए एम का सबमॉड्यूल है। चूँकि राइट नोथेरियन डोमेन ओरे हैं, यह उस मामले को कवर करता है जब R एक राइट नोथेरियन रिंग डोमेन (रिंग थ्योरी) है (जो कम्यूटिव नहीं हो सकता है)।

अधिक आम तौर पर, एम को रिंग आर पर एक मॉड्यूल होने दें और एस, आर का गुणनात्मक रूप से बंद उपसमुच्चय हो। एम के एक तत्व एम को एस-टोरसन तत्व कहा जाता है यदि एस में एक तत्व मौजूद है जैसे एस एम को नष्ट कर देता है, यानी। s&thinsp;m = 0. विशेष रूप से, कोई S के लिए रिंग R के नियमित तत्वों का सेट ले सकता है और उपरोक्त परिभाषा को पुनर्प्राप्त कर सकता है।

समूह (गणित) के एक तत्व g को समूह का मरोड़ वाला तत्व कहा जाता है यदि इसका परिमित क्रम है, अर्थात, यदि कोई सकारात्मक पूर्णांक m है जैसे कि gm = e, जहां e समूह के पहचान तत्व को दर्शाता है, और gm g की m प्रतियों के गुणनफल को दर्शाता है। एक समूह को एक मरोड़ समूह कहा जाता है | मरोड़ (या आवधिक) समूह यदि इसके सभी तत्व मरोड़ वाले तत्व हैं, और एक 'torsion-free group यदि इसका एकमात्र मरोड़ तत्व पहचान तत्व है। किसी भी एबेलियन समूह को पूर्णांक के वलय Z पर एक मॉड्यूल के रूप में देखा जा सकता है, और इस मामले में मरोड़ की दो धारणाएँ मेल खाती हैं।

उदाहरण

 * 1) एम को किसी भी अंगूठी आर पर एक मुक्त मॉड्यूल होने दें। फिर यह परिभाषाओं से तुरंत अनुसरण करता है कि एम टोरसन-फ्री है (यदि रिंग आर एक डोमेन नहीं है तो टोरसन को गैर-शून्य-विभाजक के सेट एस के संबंध में माना जाता है आर)। विशेष रूप से, कोई भी मुक्त एबेलियन समूह मरोड़-मुक्त होता है और क्षेत्र (गणित) K पर कोई भी सदिश स्थान K के मुफ्त मॉड्यूल के रूप में देखे जाने पर मरोड़-मुक्त होता है।
 * 2) उदाहरण 1 के विपरीत, कोई परिमित समूह (एबेलियन या नहीं) आवधिक और अंतिम रूप से उत्पन्न समूह है। बर्नसाइड की समस्या, इसके विपरीत, पूछती है कि क्या कोई भी निश्चित रूप से उत्पन्न आवधिक समूह परिमित होना चाहिए? उत्तर सामान्य तौर पर नहीं है, भले ही अवधि निश्चित हो।
 * 3) एक क्षेत्र के गुणक समूह के मरोड़ वाले तत्व इसकी एकता की जड़ हैं।
 * 4) मॉड्यूलर समूह में, 2 × 2 पूर्णांक मैट्रिक्स (गणित) के समूह SL (2, 'Z') से प्राप्त 'Γ' इकाई निर्धारक के साथ इसके केंद्र (समूह सिद्धांत) को फैक्टर करके, किसी भी गैर-तुच्छ मरोड़ वाले तत्व में या तो क्रम होता है दो और तत्व S के लिए संयुग्मन (समूह सिद्धांत) है या इसका क्रम तीन है और तत्व ST के लिए संयुग्मित है। इस मामले में, मरोड़ वाले तत्व उपसमूह नहीं बनाते हैं, उदाहरण के लिए, एस · ST = T, जिसका क्रम अनंत है।
 * 5) एबेलियन समूह 'Q'/'Z', जिसमें परिमेय संख्या मॉड्यूल 1 शामिल है, आवधिक है, अर्थात प्रत्येक तत्व का परिमित क्रम है। अनुरूप रूप से, मॉड्यूल 'के'(टी)/'के'[टी] रिंग आर = 'के'[टी] पर बहुपद एक चर में शुद्ध मरोड़ है। इन दोनों उदाहरणों को निम्नानुसार सामान्यीकृत किया जा सकता है: यदि R एक अभिन्न डोमेन है और Q इसके अंशों का क्षेत्र है, तो Q/R एक मरोड़ वाला R-मॉड्यूल है।
 * 6) ('आर'/'जेड', +) का मरोड़ उपसमूह ('क्यू'/'जेड', +) है जबकि समूह ('आर', +) और ('जेड', +) मरोड़ मुक्त हैं . एक उपसमूह द्वारा मरोड़-मुक्त एबेलियन समूह का भाग मरोड़-मुक्त होता है, जब उपसमूह एक शुद्ध उपसमूह होता है।
 * 7) एक आयाम (वेक्टर स्थान) पर अभिनय करने वाले एक रैखिक ऑपरेटर 'L' पर विचार करें। परिमित-आयामी वेक्टर स्थान 'V'। यदि हम 'वी' को 'एफ' ['एल'] -मॉड्यूल के रूप में प्राकृतिक तरीके से देखते हैं, तो (कई चीजों के परिणामस्वरूप, या तो परिमित-आयामीता से या केली-हैमिल्टन प्रमेय के परिणामस्वरूप), 'वी' एक मरोड़ 'एफ' ['एल'] -मॉड्यूल है।

एक प्रमुख आदर्श डोमेन का मामला
मान लीजिए कि R एक (कम्यूटेटिव) प्रमुख आदर्श डोमेन है और M एक अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल | अंतिम रूप से उत्पन्न R-मॉड्यूल है। फिर एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल के लिए संरचना प्रमेय मॉड्यूल एम का समरूपता तक विस्तृत विवरण देता है। विशेष रूप से, यह दावा करता है


 * $$M \simeq F\oplus T(M),$$

जहां एफ परिमित मुक्त मॉड्यूल (केवल एम पर निर्भर करता है) का एक मुक्त आर-मॉड्यूल है और टी (एम) एम का मरोड़ सबमॉड्यूल है। एक परिणाम के रूप में, आर पर कोई भी परिमित रूप से उत्पन्न मरोड़-मुक्त मॉड्यूल मुफ्त है। यह उपप्रमेय अधिक सामान्य क्रमविनिमेय डोमेन के लिए मान्य नहीं है, यहां तक ​​कि R = 'K'[x,y], दो चरों में बहुपदों की अंगूठी के लिए भी। गैर-सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल के लिए, उपरोक्त प्रत्यक्ष अपघटन सत्य नहीं है। एबेलियन समूह का मरोड़ उपसमूह इसका प्रत्यक्ष योग नहीं हो सकता है।

मरोड़ और स्थानीयकरण
मान लें कि R एक क्रमविनिमेय डोमेन है और M एक R-मॉड्यूल है। Q को वलय R का भागफल क्षेत्र होने दें। तब कोई Q-मॉड्यूल पर विचार कर सकता है


 * $$M_Q = M \otimes_R Q,$$

स्केलर्स के विस्तार से एम से प्राप्त किया गया। चूंकि क्यू एक क्षेत्र है, क्यू पर एक मॉड्यूल एक सदिश स्थान है, संभवतः अनंत-आयामी। एम से एम तक एबेलियन समूहों का एक विहित समूह समरूपता हैQ, और इस समरूपता का कर्नेल (बीजगणित) बिल्कुल मरोड़ वाला सबमॉड्यूल T(M) है। अधिक आम तौर पर, यदि S रिंग R का गुणात्मक रूप से बंद उपसमुच्चय है, तो हम R-मॉड्यूल M के एक मॉड्यूल के स्थानीयकरण पर विचार कर सकते हैं,


 * $$M_S = M \otimes_R R_S,$$

जो एक रिंग आर के स्थानीयकरण पर एक मॉड्यूल हैS. M से M तक एक विहित मानचित्र हैS, जिसका कर्नेल ठीक M का S- मरोड़ वाला सबमॉड्यूल है। इस प्रकार M के मरोड़ वाले सबमॉड्यूल की व्याख्या उन तत्वों के समूह के रूप में की जा सकती है जो स्थानीयकरण में गायब हो जाते हैं। अयस्क की स्थिति को संतुष्ट करने वाले छल्ले के लिए गैर-कम्यूटेटिव सेटिंग में एक ही व्याख्या जारी है, या अधिक आम तौर पर किसी भी अयस्क की स्थिति के लिए # गुणक सेट एस और सही आर-मॉड्यूल एम।

सजातीय बीजगणित में मरोड़
समरूप बीजगणित में मरोड़ की अवधारणा एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। यदि एम और एन एक कम्यूटिव डोमेन आर पर दो मॉड्यूल हैं (उदाहरण के लिए, दो एबेलियन समूह, जब आर = 'जेड'), टोर काम करता है आर-मॉड्यूल टोर का एक परिवार उत्पन्न करते हैंi&thinsp;(एम, एन)। आर-मॉड्यूल एम का एस-मरोड़ विहित रूप से टोर के लिए आइसोमोर्फिक है आर1(श्रीS/ आर) टोर के लंबे सटीक अनुक्रम द्वारा आर*: लघु सटीक अनुक्रम $$0\to R\to R_S \to R_S/R \to 0$$ आर-मॉड्यूल का एक सटीक अनुक्रम उत्पन्न करता है $$0\to\operatorname{Tor}^R_1(M, R_S/R)\to M\to M_S$$, इस तरह $$\operatorname{Tor}^R_1(M, R_S/R)$$ एम के स्थानीयकरण मानचित्र का कर्नेल है। प्रतीक $Tor$ फंक्शनलर्स को निरूपित करना बीजगणितीय मरोड़ के साथ इस संबंध को दर्शाता है। यही परिणाम गैर-विनिमेय छल्लों के साथ-साथ तब तक रहता है जब तक सेट S एक अयस्क स्थिति#गुणात्मक सेट है।

एबेलियन किस्में
एक एबेलियन किस्म के मरोड़ वाले तत्व मरोड़ बिंदु हैं या, एक पुरानी शब्दावली में, विभाजन बिंदु। अण्डाकार वक्रों पर उनकी गणना विभाजन बहुपदों के रूप में की जा सकती है।

यह भी देखें

 * विश्लेषणात्मक मरोड़
 * अंकगणितीय गतिशीलता
 * फ्लैट मॉड्यूल
 * विनाशक (अंगूठी सिद्धांत)
 * एक मॉड्यूल का स्थानीयकरण
 * एक एबेलियन समूह की रैंक
 * रे–गायक मरोड़
 * मरोड़ मुक्त एबेलियन समूह
 * सार्वभौमिक गुणांक प्रमेय

स्रोत

 * अर्न्स्ट कुंज, इंट्रोडक्शन टू कम्यूटेटिव अलजेब्रा एंड एलजेब्रिक ज्योमेट्री, बिरखौसर 1985, ISBN 0-8176-3065-1
 * इरविंग कपलान्स्की, Infinite एबेलियन समूह, मिशिगन विश्वविद्यालय, 1954।

श्रेणी:एबेलियन समूह सिद्धांत श्रेणी:मॉड्यूल सिद्धांत श्रेणी:समरूप बीजगणित