कारणात्मक फ़र्मियन सिस्टम

मौलिक भौतिकी का वर्णन करने के लिए कारणात्मक फ़र्मियन प्रणाली का सिद्धांत दृष्टिकोण है। यह मौलिक क्षेत्र सिद्धांत के स्तर पर अशक्त एकीकरण, शक्तिशाली एकीकरण और गुरुत्वाकर्षण के साथ विद्युत चुंबकत्व का एकीकरण प्रदान करता है। इसके अतिरिक्त, यह क्वांटम यांत्रिकी को सीमित स्थिति (विज्ञान के दर्शन) के रूप में देता है और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के साथ घनिष्ठ संबंध प्रकट करता है।  इसलिए, यह एकीकृत भौतिक सिद्धांत के लिए उम्मीदवार है।

पहले से उपस्थित स्पेसटाइम मैनिफोल्ड पर भौतिक वस्तुओं को प्रस्तुत करने के अतिरिक्त, सामान्य अवधारणा स्पेसटाइम के साथ-साथ सभी वस्तुओं को अंतर्निहित कारणात्मक फर्मियन प्रणाली की संरचनाओं से द्वितीयक वस्तुओं के रूप में प्राप्त करना है। यह अवधारणा गैर-चिकनी समुच्चयिंग के लिए विभेदक ज्यामिति की धारणाओं को सामान्य बनाना भी संभव बनाती है। विशेष रूप से, कोई ऐसी स्थितियों का वर्णन कर सकता है । जब स्पेसटाइम में अब सूक्ष्म मापदंड परमैनिफोल्ड संरचना नहीं होती है (जैसे स्पेसटाइम जाली या अन्य असतत या प्लैंक स्केल पर निरंतर संरचनाएं)। परिणाम स्वरुप, कारणात्मक फर्मियन प्रणाली का सिद्धांत क्वांटम ज्यामिति और क्वांटम गुरुत्व के लिए दृष्टिकोण के लिए प्रस्ताव है।

फेलिक्स फिनस्टर और सहयोगियों द्वारा कॉज़ल फ़र्मियन प्रणाली प्रस्तुत किए गए थे।

प्रेरणा और भौतिक अवधारणा
भौतिक प्रारंभिक बिंदु यह तथ्य है कि मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष में डायराक समीकरण में नकारात्मक ऊर्जा के समाधान हैं । जो सामान्यतः डिराक समुद्र से जुड़े होते हैं। इस अवधारणा को गंभीरता से लेते हुए कि डिराक समुद्र की स्थिति भौतिक प्रणाली का अभिन्न अंग है, कोई पाता है कि कई संरचनाएं (जैसे कारणात्मक (भौतिकी) और आव्यूह टेन्सर (सामान्य सापेक्षता) संरचनाएं और साथ ही बोसोनिक क्षेत्र) को पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। समुद्री स्तरों के तरंग कार्यों से यह इस विचार की ओर ले जाता है कि सभी अधिकृत स्तरों (समुद्री स्तरों सहित) के तरंग कार्यों को मूलभूत भौतिक वस्तुओं के रूप में माना जाना चाहिए, और यह कि स्पेसटाइम में सभी संरचनाएं एक दूसरे के साथ समुद्री स्तरों की सामूहिक एकीकरण के परिणामस्वरूप उत्पन्न होती हैं और अतिरिक्त कणों और डायराक समीकरण के साथ होल सिद्धांत में समुद्र में छेद होता है। इस तस्वीर को गणितीय रूप से कार्यान्वित करने से कारणात्मक फर्मियन प्रणाली के रूपरेखा की ओर अग्रसर होता है।

अधिक स्पष्ट रूप से, उपरोक्त भौतिक स्थिति और गणितीय रूपरेखा के बीच पत्राचार निम्नानुसार प्राप्त किया जाता है। सभी अधिकृत स्तर मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष में हिल्बर्ट अंतरिक्ष ऑफ़ वेव फ़ंक्शंस $$\hat{M}$$ का विस्तार करते हैं । स्पेसटाइम में तरंग कार्यों के वितरण पर अवलोकन योग्य जानकारी स्पेसीय सहसंबंध संचालकों में $$F(x), x \in \hat{M},$$ एन्कोड की गई है । जो अलौकिक आधार पर $$(\psi_i)$$ आव्यूह प्रतिनिधित्व है ।
 * $$ \big( F(x) \big)^i_j = - \overline{\psi_i(x)} \psi_j(x) $$

(जहाँ $$\overline{\psi}$$ डिराक आसन्न है)। मूलभूत भौतिक वस्तुओं में तरंग कार्य करने के लिए, समुच्चय $$ \{ F(x) \,|\, x \in \hat{M} \} $$ पर विचार किया जाता है । अमूर्त हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर रैखिक संचालक के समुच्चय के रूप में आयतन माप $$d^4x$$ को छोड़कर, मिन्कोवस्की अंतरिक्ष की सभी संरचनाओं की अवहेलना की जाती है । जो रैखिक संचालकों (सार्वभौमिक माप) पर संबंधित माप (गणित) में परिवर्तित हो जाता है। परिणामी संरचनाएं, अर्थात् हिल्बर्ट स्पेस साथ रैखिक संचालकों पर माप के साथ, कारण फर्मियन प्रणाली के मूल तत्व हैं।

उपरोक्त निर्माण वैश्विक रूप से अतिपरवलय स्पेसटाइम्स के कारणात्मक फर्मियन प्रणाली लोरेंट्ज़ियन स्पिन ज्यामिति में भी किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, अमूर्त परिभाषा को प्रारंभिक बिंदु के रूप में लेते हुए, कारणात्मक फ़र्मियन प्रणाली सामान्यीकृत क्वांटम स्पेसटाइम के विवरण के लिए अनुमति देते हैं। भौतिक चित्र यह है कि कारणात्मक फ़र्मियन प्रणाली स्पेसटाइम का वर्णन करती है । जिसमें सभी संरचनाएं और वस्तुएं होती हैं (जैसे कारणात्मक और आव्यूह संरचनाएं, तरंग कार्य और क्वांटम क्षेत्र)। भौतिक रूप से स्वीकार्य कारणात्मक फर्मियन प्रणालियों को एकल करने के लिए, भौतिक समीकरणों को तैयार करना होगा। मौलिक क्षेत्र सिद्धांत के लाग्रंगियन (क्षेत्र सिद्धांत) के निर्माण के अनुरूप, कारणात्मक फ़र्मियन प्रणालियों के भौतिक समीकरणों को भिन्नता सिद्धांत, तथाकथित कारणात्मक क्रिया सिद्धांत के माध्यम से तैयार किया जाता है। चूंकि कोई विभिन्न मूलभूत वस्तुओं के कम करता है । कारणात्मक कार्य सिद्धांत में उपन्यास गणितीय संरचना होती है । जहां कोई सार्वभौमिक माप के बदलावों के अनुसार सकारात्मक कार्य को कम करता है। पारंपरिक भौतिक समीकरणों का संबंध निश्चित सीमित स्थिति (सातत्य सीमा) में प्राप्त किया जाता है । जिसमें कण और एंटीपार्टिकल्स से जुड़े गेज क्षेत्र द्वारा एकीकरण को प्रभावी ढंग से वर्णित किया जा सकता है, जबकि डायराक समुद्र अब स्पष्ट नहीं है।

सामान्य गणितीय समुच्चयिंग
इस भाग में कारणात्मक फर्मियन प्रणालियों के गणितीय रूपरेखा को प्रस्तुत किया गया है।

एक कारणात्मक फर्मियन प्रणाली की परिभाषा
स्पिन आयाम $$n \in \mathbb{N} $$ का कारणात्मक फर्मियन प्रणाली ट्रिपल $$(\mathcal H, \mathcal F, \rho)$$ है जहाँ जैसा कि नीचे रेखांकित किया जाएगा, यह परिभाषा भौतिक सिद्धांतों को तैयार करने के लिए आवश्यक गणितीय संरचनाओं के अनुरूपों को एन्कोड करने के लिए पर्याप्त समृद्ध है। विशेष रूप से, कारणात्मक फ़र्मियन प्रणाली अतिरिक्त संरचनाओं के साथ स्पेसटाइम को जन्म देती है जो स्पिनर आव्यूह टेन्सर (सामान्य सापेक्षता) और वक्रता जैसी वस्तुओं को सामान्य करती है। इसके अतिरिक्त, इसमें क्वांटम ऑब्जेक्ट्स जैसे तरंग कार्य और फर्मिओनिक फॉक स्तर सम्मिलित हैं।
 * $$(\mathcal H, \langle .|. \rangle_{\mathcal{H}})$$ जटिल हिल्बर्ट स्पेस है।
 * $$\mathcal F$$ $$\mathcal H$$ परिमित-स्तर संचालक के सभी स्व-आसन्न संचालक का समुच्चय है | जो (ज्यामितीय बहुलता की गिनती) में अधिक से अधिक $$n$$ सकारात्मक और अधिकतम $$n$$ नकारात्मक आइगेनवैल्यू है।
 * $$\rho$$ $$\mathcal F$$ पर माप है (गणित) मापदंड $$\rho$$ सार्वभौम माप कहा जाता है।

कारणात्मक क्रिया सिद्धांत
मौलिक क्षेत्र सिद्धांत के लैंग्रैंगियन फॉर्मूलेशन से प्रेरित होकर, कॉसल फर्मियन प्रणाली पर डायनेमिक्स को वैरिएबल सिद्धांत द्वारा वर्णित किया गया है, जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है।

हिल्बर्ट स्पेस $$(\mathcal H, \langle .|. \rangle_{\mathcal{H}})$$ दिया और स्पिन आयाम $$n$$, समुच्चय $$\mathcal F$$ ऊपर के रूप में परिभाषित किया गया है। फिर किसी के लिए $$x,y \in {\mathcal{F}}$$, उत्पाद $$x y$$ अधिक से अधिक स्तर का संचालिका $$2n$$ है । यह आवश्यक रूप से स्व-संबद्ध नहीं है । क्योकि सामान्य $$(xy)^* = y x \neq xy$$. हम संचालक $$x y$$ (बीजगणितीय बहुलता की गिनती) द्वारा गैर-सामान्य आइगेनमानों ​​​​को निरूपित करते हैं
 * $$ \lambda^{xy}_1, \ldots, \lambda^{xy}_{2n} \in {\mathbb{C}} . $$

इसके अतिरिक्त, वर्णक्रमीय भार $$|. |$$ द्वारा परिभाषित किया गया है ।
 * $$|xy| = \sum_{i=1}^{2n} |\lambda^{xy}_i| \quad \text{and} \quad

\big| (xy)^2 \big| = \sum_{i=1}^{2n} |\lambda^{xy}_i|^2 {\,}.$$ लाग्रंगियन द्वारा प्रस्तुत किया गया है ।
 * $${\mathcal{L}}(x,y) = \big| (xy)^2 \big| - \frac{1}{2n} {\,}|xy|^2

= \frac{1}{4n} \sum_{i,j=1}^{2n} \big( |\lambda^{xy}_i| - |\lambda^{xy}_j| \big)^2 \geq 0 {\,}.$$ कारणात्मक क्रिया द्वारा परिभाषित किया गया है ।
 * $${\mathcal{S}}= \iint_{{\mathcal{F}}\times {\mathcal{F}}} {\mathcal{L}}(x,y){\,}d\rho(x){\,}d\rho(y) {\,}.$$

निम्नलिखित बाधाओं के अनुसार (सकारात्मक) बोरेल मापों की श्रेणी के अन्दर $$\rho$$ की विविधताओं के अनुसार कारणात्मक कार्य सिद्धांत $${\mathcal{S}}$$ को कम करना है । यहाँ पर $${\mathcal{F}}\subset {\mathrm{L}}({\mathcal{H}})$$$$\sup$$ द्वारा प्रेरित टोपोलॉजी पर विचार करता है । जो $${\mathcal{H}}$$ पर सीमाबद्ध रैखिक संचालकों पर होता है ।
 * परिबद्धता बाधा: $$ \iint_{{\mathcal{F}}\times {\mathcal{F}}} |xy|^2 {\,}d\rho(x){\,}d\rho(y) \leq C$$ कुछ सकारात्मक स्थिरांक $$C$$ के लिए.
 * ट्रेस बाधा: $$\;\;\;\int_{\mathcal{F}} \text{tr}(x) {\,}d\rho(x)$$ स्थिर रखा जाता है।
 * कुल मात्रा $$\rho({\mathcal{F}})$$ संरक्षित है।

बाधाएं सामान्य न्यूनतमकर्ताओं को रोकती हैं और अस्तित्व सुनिश्चित करती हैं, बशर्ते कि $${\mathcal{H}}$$ परिमित-आयामी है।

यह भिन्नता सिद्धांत भी इस स्थिति में समझ में आता है कि कुल मात्रा $$\rho({\mathcal{F}})$$ अनंत है। यदि कोई $$(\delta \rho)({\mathcal{F}})=0$$ के साथ परिबद्ध भिन्नताओं $$\delta \rho$$ पर विचार करता है।

अंतर्निहित संरचनाएं
समकालीन भौतिक सिद्धांतों में, स्पेसटाइम शब्द लोरेंट्ज़ियनमैनिफोल्ड को संदर्भित करता है । $$(M,g)$$. इसका कारण यह है कि स्पेसटाइम टोपोलॉजिकल और ज्यामितीय संरचनाओं से समृद्ध बिंदुओं का समुच्चय (गणित) है। कारणात्मक फ़र्मियन प्रणालियों के संदर्भ में, दिक्-समय के लिएमैनिफोल्ड संरचना की आवश्यकता नहीं होती है। इसके अतिरिक्त, स्पेसटाइम $$M$$ हिल्बर्ट स्पेस पर संचालकों का समुच्चय है (का एक सबसमुच्चय $$\mathcal F$$). इसका तात्पर्य अतिरिक्त अंतर्निहित संरचनाओं से है । जो स्पेसटाइम मैनिफोल्ड पर सामान्य वस्तुओं के अनुरूप और सामान्यीकृत करती हैं।

एक कारणात्मक फर्मियन प्रणाली के लिए $$(\mathcal H, \mathcal F, \rho)$$, स्पेसटाइम को परिभाषित करते हैं । $$M$$ सार्वभौमिक माप के समर्थन (माप सिद्धांत) के रूप में है ।
 * $$ M := \text{supp} \, \rho \subset \mathcal{F}. $$

द्वारा प्रेरित टोपोलॉजी के साथ $$\mathcal{F}$$,स्पेसटाइम $$M$$ टोपोलॉजिकल स्पेस है।

कारणात्मक संरचना
$$x,y \in M$$ के लिए, $$ \lambda^{xy}_1, \ldots, \lambda^{xy}_{2n} \in {\mathbb{C}} $$ यदि सभी $$\lambda^{xy}_j$$ का निरपेक्ष मान समान है, तो बिंदुओं $$x$$ और $$y$$ को स्पेसलाइक से अलग होने के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि $$\lambda^{xy}_j$$ सभी का समान निरपेक्ष मान नहीं है और सभी $$\lambda^{xy}_j$$ वास्तविक हैं, तो वे समय के समान अलग हो जाते हैं। अन्य सभी स्थितियों में बिंदु $$x$$ और $$y$$ हल्के समान पृथक हैं।

कार्य-कारणात्मक की यह धारणा उपरोक्त कारणात्मक क्रिया के कारणात्मक के साथ इस अर्थ में सही बैठती है । कि यदि दो दिक्-समय बिंदु $$x,y \in M$$ अंतरिक्ष की तरह अलग हो गए हैं, फिर लाग्रंगियन $${\mathcal{L}}(x,y)$$ गायब हो जाता है। यह करणीय (भौतिकी) की भौतिक धारणा से मेल खाता है जो स्पेसिक रूप से अलग किए गए स्पेसटाइम बिंदुओं पर एकीकरण नहीं करता है। यह कारणात्मक संरचना कारणात्मक फर्मियन प्रणाली और कारणात्मक कार्य में कारणात्मक धारणा का कारण है।

माना $$\pi_x$$ सबस्पेस $$S_x := x({\mathcal{H}}) \subset {\mathcal{H}}$$ पर ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण को निरूपित करें । फिर कार्यात्मक का संकेत
 * $$ i \text{Tr} \big( x\, y \, \pi_x \, \pi_y - y \, x \, \pi_y \, \pi_x) $$

भविष्य को अतीत से अलग करता है। आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय की संरचना के विपरीत, संबंध भविष्य में सामान्य रूप से सकर्मक नहीं है। किंतु यह विशिष्ट उदाप्रत्येकणों में स्थूल मापदंड पर सकर्मक है।

स्पिनर और तरंग कार्य
प्रत्येक के लिए $$x \in M$$ स्पिन स्पेस द्वारा परिभाषित किया गया है । $$S_x = x({\mathcal{H}})$$; यह उप-स्पेस है । $${\mathcal{H}}$$ अधिक से अधिक आयाम $$2n$$. स्पिन स्केलर उत्पाद को $${\prec} \cdot | \cdot {\succ}_x$$ द्वारा परिभाषित किया जाता है ।
 * $${\prec}u | v {\succ}_x = -{\langle}u | x v {\rangle}_{\mathcal{H}}\qquad \text{for all } u,v \in S_x$$

$$p,q \leq n$$ के साथ हस्ताक्षर $$(p,q)$$ के $$S_x$$ पर एक अनिश्चित आंतरिक उत्पाद है ।

तरंग फलन $$\psi$$ एक मैपिंग है ।
 * $$\psi {\,}:{\,}M \rightarrow {\mathcal{H}}\qquad \text{with} \qquad \psi(x) \in S_x \quad \text{for all } x \in M{\,}.$$

तरंग कार्यों पर जिसके लिए आदर्श $${|\!|\!|}\cdot {|\!|\!|}$$ द्वारा परिभाषित है ।
 * $${|\!|\!|}\psi {|\!|\!|}^2 = \int_M \left\langle\psi(x) \bigg|\, |x|\, \psi(x) \right\rangle_{\mathcal{H}}{\,}d\rho(x)$$

परिमित (जहां $$|x|= \sqrt{x^2}$$ सममित संकारक का निरपेक्ष मान है $$x$$), कोई आंतरिक उत्पाद को परिभाषित कर सकता है ।
 * $${\mathopen{<}}\psi | \phi {\mathclose{>}}= \int_M {\prec}\psi(x) | \phi(x) {\succ}_x {\,}d\rho(x) {\,}.$$

आदर्श द्वारा प्रेरित टोपोलॉजी के साथ $${|\!|\!|}\cdot {|\!|\!|}$$, केरीन स्पेस $$(, {\mathopen{<}}\cdot|\cdot {\mathclose{>}})$$ प्राप्त करता है ।

किसी भी सदिश के लिए $$u \in \mathcal{H}$$ हम तरंग फलन को जोड़ सकते हैं ।
 * $$\psi^u(x) := \pi_x u$$

(जहाँ $$\pi_x : \mathcal{H} \rightarrow S_x$$ स्पिन स्पेस के लिए फिर से ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण है)। यह तरंग कार्यों के विशिष्ट वर्ग को जन्म देता है, जिसे अधिकृत स्तरों के तरंग कार्य कहा जाता है ।

फर्मिओनिक प्रक्षेपक
फर्मियोनिक प्रक्षेपक को $$P(x,y)$$ द्वारा परिभाषित किया गया है ।
 * $$P(x,y) = \pi_x \,y|_{S_y} {\,}:{\,}S_y \rightarrow S_x$$

(जहाँ $$\pi_x : \mathcal{H} \rightarrow S_x$$ स्पिन स्पेस पर फिर से ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण है, और $$|_{S_y}$$ $$S_y$$ पर प्रतिबंध को दर्शाता है ). फर्मिओनिक प्रक्षेपक $$P$$ संचालिका है।
 * $$P {\,}:{\,}\rightarrow {\,},\qquad (P \psi)(x) = \int_M P(x,y)\, \psi(y)\, d\rho(y){\,},$$

जिसमें सभी सदिशो द्वारा दी गई परिभाषा का सघन डोमेन $$\psi \in $$ है ।
 * $$\phi := \int_M x\, \psi(x)\, d\rho(x) {\,}\in {\,}{\mathcal{H}}\quad \text{and} \quad {|\!|\!|}\phi {|\!|\!|}< \infty{\,}.$$

कारणात्मक कार्य सिद्धांत के परिणामस्वरूप, फर्मीओनिक प्रक्षेपक के कर्नेल में अतिरिक्त सामान्यीकरण गुण होते हैं । जो प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित) नाम को सही सिद्ध करते हैं।

संबंध और वक्रता
स्पिन स्पेस से दूसरे में संचालक होने पर, फर्मीओनिक प्रक्षेपक का कर्नेल अलग-अलग स्पेसटाइम बिंदुओं के बीच संबंध देता है। स्पिन संबंध प्रस्तुत करने के लिए इस तथ्य का उपयोग किया जा सकता है ।
 * $$D_{x,y} \,:\, S_y \rightarrow S_x \quad \text{unitary}\,. $$

मूल विचार का ध्रुवीय अपघटन $P(x,y)$ लेना है । निर्माण इस तथ्य से अधिक सम्मिलित हो जाता है कि स्पिन संबंध को इसी आव्यूह संबंध को प्रेरित करना चाहिए ।
 * $$\nabla_{x,y}\,:\, T_y \rightarrow T_x \quad \text{isometric}\,,$$

जहां स्पर्शरेखा स्पेस $$T_x$$ पर रैखिक संचालकों का विशिष्ट उप-स्पेस $$S_x$$ है । लोरेंट्ज़ियन आव्यूह के साथ संपन्न स्पिन वक्रता को स्पिन संबंध की पवित्रता के रूप में परिभाषित किया गया है ।
 * $$\mathfrak{R}(x,y,z) = D_{x,y} \,D_{y,z} \,D_{z,x} \,:\, S_x \rightarrow S_x\,. $$

इसी तरह, आव्यूह संबंध आव्यूह वक्रता को जन्म देता है। ये ज्यामितीय संरचनाएं क्वांटम ज्यामिति के प्रस्ताव को जन्म देती हैं।

यूलर-लैग्रेंज समीकरण और रैखिक क्षेत्र समीकरण
मिनिमाइज़र $$\rho$$ कार्य-कारणात्मक क्रिया का संबंध संगत यूलर-लैग्रेंज समीकरणों को संतुष्ट करता है। वे कहते हैं कि फलन $$\ell_\kappa$$ द्वारा परिभाषित है ।
 * $$ \ell_\kappa(x) := \int_M \big( {\mathcal{L}}_\kappa(x,y) + \kappa\, |xy|^2 \big) \, d\rho(y) \,-\, \mathfrak{s} $$

(दो लैग्रेंज मापदंडों के साथ $$\kappa$$ और $$\mathfrak{s}$$) गायब हो जाता है और $$\rho$$ के समर्थन पर न्यूनतम है ।
 * $$\ell_\kappa|_M \equiv \inf_{x \in \mathcal{F}} \ell_\kappa(x) = 0 \,. $$

विश्लेषण के लिए, जेट्स $${\mathfrak{u}} := (a, u)$$ को प्रस्तुत करना सुविधाजनक है । $$M$$ पर वास्तविक-मूल्यवान फलन $$a$$ से मिलकर और सदिश क्षेत्र $$u$$ पर $$T\mathcal{F}$$ साथ में $$M$$, और $$\nabla_{\mathfrak{u}} g(x) := a(x)\, g(x) + \big(D_u g \big)(x)$$ द्वारा गुणन और दिशात्मक व्युत्पन्न के संयोजन को निरूपित करता है । फिर यूलर-लैग्रेंज समीकरणों का अर्थ है कि अशक्त यूलर-लैग्रेंज समीकरण है ।
 * $$\nabla_{\mathfrak{u}} \ell|_M = 0$$

किसी भी टेस्ट जेट $$\mathfrak{u}$$ के लिए रुकें ।

यूलर-लैग्रेंज समीकरणों के समाधान के वर्ग जेट द्वारा असीम रूप से उत्पन्न होते हैं । जो रैखिकीकृत क्षेत्र समीकरणों $${\mathfrak{v}}$$ को संतुष्ट करता है ।
 * $$\langle \mathfrak{u}, \Delta \mathfrak{v} \rangle|_M = 0 \,, $$

सभी परीक्षाओं से संतुष्ट होने के लिए $$\mathfrak{u}$$, जहां लाप्लासियन $$\Delta$$ द्वारा परिभाषित किया गया है ।
 * $$ \langle \mathfrak{u}, \Delta \mathfrak{v} \rangle(x) := \nabla_{\mathfrak{u}} \bigg( \int_M \big( \nabla_{1, \mathfrak{v}} + \nabla_{2, \mathfrak{v}} \big) \mathcal{L}(x,y)\, d\rho(y) - \nabla_\mathfrak{v} \mathfrak{s} \bigg) \,. $$

यूलर-लैग्रेंज समीकरण कारणात्मक फर्मियन प्रणाली की गतिशीलता का वर्णन करते हैं । जबकि प्रणाली के छोटे गड़बड़ी को रैखिक क्षेत्र समीकरणों द्वारा वर्णित किया जाता है।

संरक्षित सतह परत अभिन्न
कारणात्मक फ़र्मियन प्रणाली की समुच्चयिंग में, स्पेसिक इंटीग्रल तथाकथित सतह परत इंटीग्रल द्वारा व्यक्त किए जाते हैं। सामान्य शब्दों में, सतह परत अभिन्न रूप का एक दोप्रत्येका अभिन्न अंग है ।
 * $$ \int_\Omega \bigg( \int_{M \setminus \Omega} \cdots {\mathcal{L}}(x,y) \, d\rho(y) \bigg) \, d\rho(x) \,, $$

जहां चर एक सबसमुच्चय $$\Omega \subset M$$ पर एकीकृत होता है और अन्य चर के पूरक पर एकीकृत $$\Omega$$ है । आवेश, ऊर्जा, के लिए सामान्य संरक्षण नियमों को सतह परत समाकलन के रूप में व्यक्त करना संभव है। संबंधित संरक्षण कानून कारणात्मक क्रिया सिद्धांत के यूलर-लग्रेंज समीकरणों और रैखिक क्षेत्र समीकरणों का परिणाम हैं। अनुप्रयोगों के लिए, सबसे महत्वपूर्ण सतह परत इंटीग्रल वर्तमान इंटीग्रल $$\gamma^\Omega_\rho(\mathfrak{v})$$ हैं । सहानुभूतिपूर्ण रूप $$\sigma^\Omega_\rho(\mathfrak{u}, \mathfrak{v})$$, सतह परत आंतरिक उत्पाद $$\langle \mathfrak{u}, \mathfrak{v}\rangle^\Omega_\rho$$ और अरेखीय सतह परत $$\gamma^\Omega(\tilde{\rho}, \rho)$$ अभिन्न है ।

बोसोनिक फॉक स्पेस डायनेमिक्स
उपरोक्त सतह परत इंटीग्रल के लिए संरक्षण कानूनों के आधार पर, कारणात्मक कार्य सिद्धांत के अनुरूप यूलर-लग्रेंज समीकरणों द्वारा वर्णित कारणात्मक फर्मियन प्रणाली की गतिशीलता को निर्मित बोसोनिक फॉक स्पेस पर रैखिक, मानक-संरक्षण गतिशीलता के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। रेखीय क्षेत्र समीकरणों के समाधान के ऊपर तथाकथित होलोमोर्फिक सन्निकटन में, समय का विकास जटिल संरचना का सम्मान करता है, जिससे बोसोनिक फॉक स्पेस पर एकात्मक समय के विकास को जन्म मिलता है।

एक फर्मीनिक फॉक अवस्था
यदि $${\mathcal{H}}$$ परिमित आयाम है तो $$f$$, एन ऑर्थोनॉर्मल बेसिस चुनना $$u_1, \ldots, u_f$$ का $${\mathcal{H}}$$ और संबंधित तरंग कार्यों का उत्पाद लेना होता है ।
 * $$ \big( \psi^{u_1} \wedge \cdots \wedge \psi^{u_f} \big)(x_1, \ldots, x_f)$$

एक कण $$f$$-पार्टिकल फर्मिओनिक फॉक स्पेस स्थिति देता है। कुल विरोधी सममितता के कारणात्मक, यह स्तर $${\mathcal{H}}$$ के आधार की पसंद पर केवल चरण कारक द्वारा निर्भर करता है । यह पत्राचार बताता है कि क्यों कण अंतरिक्ष में सदिश को फ़र्मियन के रूप में व्याख्या किया जाना चाहिए। यह नाम कारणात्मक फर्मियन प्रणाली को भी प्रेरित करता है।

अंतर्निहित भौतिक सिद्धांत
कॉसल फ़र्मियन प्रणाली विशिष्ट विधि से कई भौतिक सिद्धांतों को सम्मिलित करते हैं:
 * स्पेसीय गेज सिद्धांत: घटकों में तरंग कार्यों का प्रतिनिधित्व करने के लिए, कोई स्पिन रिक्त स्पेस के आधार चुनता है। स्पिन स्केलर उत्पाद के आव्यूह हस्ताक्षर को अस्वीकार करना $$x$$ द्वारा $$({\mathfrak{p}}_x, {\mathfrak{q}}_x)$$, छद्म-ऑर्थोनॉर्मल आधार $$(\mathfrak{e}_\alpha(x))_{\alpha=1,\ldots, {\mathfrak{p}}_x+{\mathfrak{q}}_x}$$ का $$S_x$$ द्वारा दिया गया है
 * $${\prec}\mathfrak{e}_\alpha | \mathfrak{e}_\beta {\succ}= s_\alpha{\,}\delta_{\alpha \beta}

\quad \text{with} \quad s_1, \ldots, s_{{\mathfrak{p}}_x} = 1,\;\; s_{{\mathfrak{p}}_x+1}, \ldots, s_{{\mathfrak{p}}_x+{\mathfrak{q}}_x} =-1 {\,}.$$
 * फिर तरंग फलन $$\psi$$ घटक कार्यों के साथ प्रतिनिधित्व किया जा सकता है,।
 * $$\psi(x) = \sum_{\alpha=1}^{{\mathfrak{p}}_x+{\mathfrak{q}}_x} \psi^\alpha(x){\,}\mathfrak{e}_\alpha(x) {\,}.$$ :आधारों को चुनने की स्वतंत्रता $$(\mathfrak{e}_\alpha(x))$$ स्वतंत्र रूप से प्रत्येक स्पेसटाइम बिंदु पर तरंग कार्यों के स्पेसीय एकात्मक परिवर्तनों से मेल खाता है ।
 * $$\psi^\alpha(x) \rightarrow \sum_{\beta=1}^{{\mathfrak{p}}_x+{\mathfrak{q}}_x} U(x)^\alpha_\beta \,\, \psi^\beta(x)

\quad \text{with} \quad U(x)\in \text{U}({\mathfrak{p}}_x, {\mathfrak{q}}_x) {\,}.$$
 * इन परिवर्तनों की स्पेसीय गेज परिवर्तन के रूप में व्याख्या है। गेज समूह को स्पिन स्केलर उत्पाद के आइसोमेट्री समूह के रूप में निर्धारित किया जाता है। कारणात्मक क्रिया इस अर्थ में गेज आक्रमण है कि यह स्पिनर आधारों की पसंद पर निर्भर नहीं करती है।


 * तुल्यता सिद्धांत: स्पेसटाइम के स्पष्ट विवरण के लिए स्पेसीय निर्देशांक के साथ काम करना चाहिए। ऐसे निर्देशांकों को चुनने की स्वतंत्रता स्पेसटाइम मैनिफोल्ड में सामान्य संदर्भ फ़्रेमों को चुनने की स्वतंत्रता को सामान्यीकृत करती है। इसलिए, सामान्य सापेक्षता के तुल्यता सिद्धांत का सम्मान किया जाता है। कारणात्मक क्रिया सामान्य सहप्रसरण इस अर्थ में है कि यह निर्देशांक की पसंद पर निर्भर नहीं करती है।
 * पाउली बहिष्करण सिद्धांत: कारणात्मक फर्मियन प्रणाली से जुड़ी फर्मियोनिक फॉक स्थिति पूरी तरह से एंटीसिमेट्रिक तरंग फलन द्वारा कई-कण अवस्था का वर्णन करना संभव बनाती है। यह पाउली अपवर्जन सिद्धांत के साथ समझौता करता है।
 * कार्य-कारणात्मक के सिद्धांत को इस अर्थ में कार्य-कारणात्मक क्रिया के रूप में सम्मिलित किया गया है कि स्पेसटाइम के बिंदु अंतरिक्ष-समान अलगाव के साथ परस्पर क्रिया नहीं करते हैं।

स्थितियों को सीमित करना
कॉसल फर्मियन प्रणाली में गणितीय रूप से ध्वनि सीमित स्थिति होते हैं । जो पारंपरिक भौतिक संरचनाओं से संबंध देते हैं। विश्व स्तर पर अतिपरवलय स्पेसटाइम की लोरेंट्ज़ियन स्पिन ज्यामिति है ।

किसी भी विश्व स्तर पर हाइपरबोलिक लॉरेंट्ज़ियन मैनिफोल्ड स्पिन संरचना मैनिफोल्ड पर प्रारंभ करना $$(\hat{M}, g)$$ स्पिनर बंडल के साथ $$S\hat{M}$$, कोई चुनकर कारणात्मक फर्मियन प्रणाली के रूपरेखा में आ जाता है । डिराक समीकरण $$({\mathcal{H}}, {\langle}.|. {\rangle}_{\mathcal{H}})$$ के समाधान स्पेस के उप-स्पेस के रूप में तथाकथित स्पेसीय सहसंबंध संचालक को परिभाषित करना $$F(p)$$ के लिए $$p \in \hat{M}$$ द्वारा होता है ।
 * $${\langle}\psi | F(p) \phi {\rangle}_{\mathcal{H}} = -{\prec}\psi | \phi {\succ}_p$$

(जहाँ $${\prec}\psi | \phi {\succ}_p$$ फाइबर पर आंतरिक उत्पाद $$S_p \hat{M}$$ है) और वॉल्यूम माप के पुश-फॉरवर्ड के रूप में सार्वभौमिक माप $$\hat{M}$$ का परिचय देता है ।
 * $$\rho = F_* d\mu {\,},$$

एक कारणात्मक फर्मियन प्रणाली प्राप्त करता है। स्पेसीय सहसंबंध संचालकों को अच्छी तरह से परिभाषित करने के लिए, $${\mathcal{H}}$$ निरंतर वर्गों से युक्त होना चाहिए, सामान्यतः सूक्ष्म मापदंड पर नियमितीकरण (भौतिकी) को प्रस्तुत करना आवश्यक होता है । $$\varepsilon$$. सीमा में $$\varepsilon \searrow 0$$, कारणात्मक फर्मियन प्रणाली पर सभी आंतरिक संरचनाएं (जैसे कारणात्मक संरचना, संबंध और वक्रता) लोरेंट्ज़ियन स्पिन मैनिफोल्ड पर संबंधित संरचनाओं पर जाती हैं। इस प्रकार स्पेसटाइम की ज्यामिति पूरी तरह से संबंधित कारणात्मक फर्मियन प्रणाली में एन्कोड की गई है।

क्वांटम यांत्रिकी और मौलिक क्षेत्र समीकरण
कारणात्मक क्रिया सिद्धांत के अनुरूप यूलर-लैग्रेंज समीकरणों की अच्छी तरह से परिभाषित सीमा होती है । यदि स्पेसटाइम $$M:=\text{supp}\, \rho$$ कारणात्मक फ़र्मियन प्रणालियाँ मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष में जाती हैं। अधिक विशेष रूप से, कोई कारक फर्मियन प्रणाली के अनुक्रम पर विचार करता है ।(उदाप्रत्येकण के लिए $${\mathcal{H}}$$ परिमित-आयामी जिससे फ़र्मियोनिक फॉक स्तर के साथ-साथ कारणात्मक क्रिया के मिनिमाइज़र के अस्तित्व को सुनिश्चित किया जा सके), जैसे कि संबंधित तरंग कार्य अतिरिक्त कण स्तरों या समुद्रों में छिद्रों को सम्मिलित करने वाले डायराक समुद्रों के परस्पर क्रिया के विन्यास पर जाते हैं। यह प्रक्रिया, जिसे सातत्य सीमा के रूप में संदर्भित किया जाता है । मौलिक क्षेत्र समीकरण के साथ मिलकर डायराक समीकरण की संरचना वाले प्रभावी समीकरण देती है। उदाप्रत्येकण के लिए, सरलीकृत मॉडल के लिए जिसमें तीन प्राथमिक फ़र्मोनिक कण सम्मिलित हैं । स्पिन आयाम दो में, मौलिक अक्षीय गेज क्षेत्र के माध्यम से एकीकरण $$A$$ प्राप्त करता है । युग्मित डिराक और यांग-मिल्स समीकरण द्वारा वर्णित है ।
 * $$\begin{align}

(i \partial \!\!\!/\ + \gamma^5 A \!\!\!/\ - m) \psi &= 0 \\ C_0 (\partial^k_j A^j - \Box A^k) - C_2 A^k &= 12 \pi^2 \bar \psi \gamma^5 \gamma^k \psi \,. \end{align}$$ डिराक समीकरण की गैर-सापेक्षतावादी सीमा को लेते हुए, कोई पाउली समीकरण या श्रोडिंगर समीकरण प्राप्त करता है, जो क्वांटम यांत्रिकी के अनुरूप है। यहाँ $$ C_0$$ और $$ C_2$$ नियमितीकरण पर निर्भर करते हैं और युग्मन स्थिरांक के साथ-साथ शेष द्रव्यमान का निर्धारण करते हैं।

इसी तरह, स्पिन डायमेंशन 4 में न्यूट्रिनो को सम्मिलित करने वाली प्रणाली के लिए, प्रभावी रूप से $$SU(2)$$ द्रव्यमान प्राप्त होता है । डायराक स्पिनरों के बाएं हाथ के घटक के साथ युग्मित गेज क्षेत्र स्पिन डायमेंशन 16 में मानक मॉडल के फर्मियन विन्यास का वर्णन किया जा सकता है।

आइंस्टीन फील्ड समीकरण
न्यूट्रिनो को सम्मिलित करने वाली अभी-अभी उल्लिखित प्रणाली के लिए, सातत्य सीमा भी डायराक स्पिनरों के साथ मिलकर आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों का उत्पादन करती है ।
 * $$R_{jk} - \frac{1}{2}\,R\, g_{jk} + \Lambda\, g_{jk} = \kappa\, T_{jk}[\Psi, A] \,,$$

वक्रता टेन्सर में उच्च क्रम के सुधार तक यहाँ ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक $$\Lambda$$ अनिर्धारित है, और $$T_{jk}$$ स्पिनर्स के एनर्जी-मोमेंटम टेंसर को दर्शाता है और $$SU(2)$$ गेज क्षेत्र। गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक $$\kappa$$ नियमितीकरण की लंबाई पर निर्भर करता है।

मिंकोस्की अंतरिक्ष में क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत
सातत्य सीमा में प्राप्त समीकरणों की युग्मित प्रणाली से प्रारंभ होकर और युग्मन स्थिरांक की शक्तियों में विस्तार करते हुए अभिन्नता प्राप्त करता है । जो पेड़ के स्तर पर फेनमैन आरेख के अनुरूप होता है। फेरमोनिक लूप डायग्राम समुद्री स्तरों के साथ परस्पर क्रिया के कारणात्मक उत्पन्न होते हैं । जबकि बोसोनिक लूप डायग्राम तब दिखाई देते हैं । जब सूक्ष्म (सामान्यतः गैर-चिकनी) स्पेसटाइम स्ट्रक्चर पर कॉसल फर्मियन प्रणाली (तथाकथित माइक्रोस्कोपिक मिक्सिंग) का औसत लेते हैं। मानक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के साथ विस्तृत विश्लेषण और तुलना का कार्य प्रगति पर है।

अग्रिम पठन

 * Web platform on causal fermion systems