नियमित बहुभुज

यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक नियमित बहुभुज एक बहुभुज होता है जो समकोणिक बहुभुज (सभी कोण माप में समान होते हैं) और [[समबाहु बहुभुज]] (सभी पक्षों की लंबाई समान होती है)। नियमित बहुभुज या तो उत्तल बहुभुज, तारा बहुभुज या तिरछा बहुभुज हो सकते हैं। सीमा (गणित) में, भुजाओं की बढ़ती संख्या के साथ नियमित बहुभुजों का एक क्रम एक वृत्त का अनुमान लगाता है, यदि परिधि या क्षेत्र निश्चित है, या एक नियमित एपिरोगोन (प्रभावी रूप से एक रेखा (ज्यामिति)), यदि किनारे की लंबाई तय है।

सामान्य गुण
ये गुण सभी नियमित बहुभुजों पर लागू होते हैं, चाहे वे उत्तल हों या तारा बहुभुज।

एक नियमित n-पक्षीय बहुभुज में क्रम n की घूर्णी समरूपता होती है।

एक नियमित बहुभुज के सभी शीर्ष एक सामान्य वृत्त (परिवृत्त वृत्त) पर स्थित होते हैं; यानी, वे चक्रीय बिंदु हैं। अर्थात्, एक नियमित बहुभुज एक चक्रीय बहुभुज है।

समान-लंबाई वाली भुजाओं के गुण के साथ, इसका तात्पर्य यह है कि प्रत्येक नियमित बहुभुज में एक खुदा हुआ वृत्त या अंतःवृत्त भी होता है जो मध्य बिंदु पर हर तरफ स्पर्शरेखा होता है। इस प्रकार एक नियमित बहुभुज एक स्पर्शरेखा बहुभुज है।

एक नियमित एन-पक्षीय बहुभुज को कंपास और सीधीज के साथ बनाया जा सकता है यदि और केवल तभी एन के विषम संख्या वाले प्रमुख संख्या कारक अलग-अलग फर्मेट प्राइम हैं। निर्माण योग्य बहुभुज देखें।

ओरिगेमी के साथ एक नियमित एन-पक्षीय बहुभुज का निर्माण किया जा सकता है यदि और केवल यदि $$n = 2^{a} 3^{b} p_1 \cdots p_r$$ कुछ के लिए $$r \in \mathbb{N}$$, जहां प्रत्येक अलग $$p_i$$एक पियरपोंट प्राइम है।

समरूपता
एन-पक्षीय नियमित बहुभुज का समरूपता समूह डायहेड्रल समूह डी हैn (क्रम 2n का): डी2, ऑर्डर 6 का डायहेड्रल समूह | डी3, समूहों के उदाहरण#A समरूपता समूह|D4, ... इसमें C में घुमाव होते हैंn, केंद्र से होकर गुजरने वाले n अक्षों में प्रतिबिंब समरूपता के साथ। यदि n सम है तो इनमें से आधे अक्ष दो विपरीत शीर्षों से गुजरते हैं, और अन्य आधे विपरीत पक्षों के मध्य बिंदु से होकर गुजरते हैं। यदि n विषम है तो सभी कुल्हाड़ियाँ एक शीर्ष और विपरीत दिशा के मध्य बिंदु से होकर गुजरती हैं।

नियमित उत्तल बहुभुज
सभी नियमित सरल बहुभुज (एक साधारण बहुभुज वह है जो स्वयं को कहीं भी नहीं काटता है) उत्तल होते हैं। भुजाओं की संख्या समान होने पर भी समानता (ज्यामिति) कहलाती है।

एक n-पक्षीय उत्तल नियमित बहुभुज को उसके श्लाफली प्रतीक {n} द्वारा निरूपित किया जाता है। n <3 के लिए, हमारे पास अध: पतन (गणित) के दो मामले हैं:
 * मोनोगोन {1}: यूक्लिडियन ज्यामिति में पतित। (ज्यादातर अधिकारी मोनोगोन को एक सच्चे बहुभुज के रूप में नहीं मानते हैं, आंशिक रूप से इस वजह से, और इसलिए भी कि नीचे दिए गए सूत्र काम नहीं करते हैं, और इसकी संरचना किसी अमूर्त पॉलीटॉप की नहीं है।)
 * डिगॉन {2}; एक दोहरी रेखा खंड: यूक्लिडियन ज्यामिति में पतित। (इस वजह से कुछ अधिकारी डिगॉन को एक सच्चे बहुभुज के रूप में नहीं मानते हैं।)

कुछ संदर्भों में विचार किए गए सभी बहुभुज नियमित होंगे। ऐसी परिस्थितियों में यह नियमित रूप से उपसर्ग को छोड़ने की प्रथा है। उदाहरण के लिए, समान पॉलीहेड्रा के सभी फलक नियमित होने चाहिए और फलकों को सरलता से त्रिभुज, वर्ग, पंचकोण, आदि के रूप में वर्णित किया जाएगा।

कोण
एक नियमित उत्तल एन-गॉन के लिए, प्रत्येक आंतरिक कोण का माप होता है:
 * $$\frac{180(n - 2)}{n}$$ डिग्री;
 * $$\frac{(n - 2)\pi}{n}$$ रेडियन; या
 * $$\frac{(n - 2)}{2n}$$ पूर्ण मोड़ (ज्यामिति),

और प्रत्येक आंतरिक और बाहरी कोण (अर्थात् आंतरिक कोण के पूरक कोण) का माप होता है $$\tfrac{360}{n}$$ डिग्री, 360 डिग्री या 2π रेडियन या एक पूर्ण मोड़ के बराबर बाहरी कोणों के योग के साथ।

जैसे ही n अनंत तक पहुंचता है, आंतरिक कोण 180 डिग्री तक पहुंच जाता है। 10,000 भुजाओं वाले एक नियमित बहुभुज के लिए आंतरिक कोण 179.964° है। जैसे-जैसे भुजाओं की संख्या बढ़ती है, आंतरिक कोण 180° के बहुत करीब आ सकता है, और बहुभुज का आकार वृत्त के आकार जैसा हो जाता है। हालाँकि बहुभुज कभी भी एक वृत्त नहीं बन सकता है। आंतरिक कोण का मान कभी भी 180° के बराबर नहीं हो सकता, क्योंकि परिधि प्रभावी रूप से एक सीधी रेखा बन जाएगी। इस कारण से, एक वृत्त अनंत भुजाओं वाला बहुभुज नहीं है।

विकर्ण
n > 2 के लिए विकर्णों की संख्या है $$\tfrac{1}{2}n(n - 3)$$; यानी, 0, 2, 5, 9, ..., त्रिकोण, वर्ग, पेंटागन, हेक्सागोन, ... के लिए। विकर्ण बहुभुज को 1, 4, 11, 24, ... टुकड़ों में विभाजित करते हैं.

एक इकाई-त्रिज्या सर्कल में खुदा हुआ एक नियमित एन-गॉन के लिए, किसी दिए गए शीर्ष से अन्य सभी शीर्षों (आसन्न कोने और एक विकर्ण से जुड़े कोने सहित) की दूरी का गुणनफल n के बराबर होता है।

विमान में बिंदु
परिधि आर और दूरी डी के साथ नियमित सरल एन-गॉन के लिएiसमतल में किसी मनमाना बिंदु से शिखर तक, हमारे पास है
 * $$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n d_i^4 + 3R^4 = \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n d_i^2 + R^2\right)^2.$$

दूरी की उच्च शक्तियों के लिए $$d_i$$ विमान में एक मनमाना बिंदु से एक नियमित के कोने तक $$n$$-गॉन, अगर


 * $$S^{(2m)}_{n}=\frac 1n\sum_{i=1}^n d_i^{2m}$$,

फिर
 * $$S^{(2m)}_{n} = \left(S^{(2)}_{n}\right)^m + \sum_{k=1}^{\left\lfloor\frac{m}{2}\right\rfloor}\binom{m}{2k}\binom{2k}{k}R^{2k}\left(S^{(2)}_{n} - R^2\right)^k\left(S^{(2)}_{n}\right)^{m-2k}$$,

तथा


 * $$ S^{(2m)}_{n} = \left(S^{(2)}_{n}\right)^m + \sum_{k=1}^{\left\lfloor\frac{m}{2}\right\rfloor}\frac{1}{2^k}\binom{m}{2k}\binom{2k}{k} \left(S^{(4)}_{n} -\left(S^{(2)}_{n}\right)^2\right)^k\left(S^{(2)}_{n}\right)^{m-2k}$$,

कहाँ पे $$m$$ से कम धनात्मक पूर्णांक है $$n$$.

यदि $$L$$ विमान में एक मनमाना बिंदु से एक नियमित के केन्द्रक की दूरी है $$n$$-परित्रिज्या के साथ $$R$$, फिर


 * $$\sum_{i=1}^n d_i^{2m}=n\left(\left(R^2+L^2\right)^m+ \sum_{k=1}^{\left\lfloor\frac{m}{2}\right\rfloor}\binom{m}{2k}\binom{2k}{k}R^{2k}L^{2k}\left(R^2+L^2\right)^{m-2k}\right)$$,

कहाँ पे $$m$$ = 1, 2, …, $$n - 1$$.

आंतरिक बिंदु
एक नियमित n-गॉन के लिए, किसी भी आंतरिक बिंदु से n भुजाओं तक लंबवत दूरियों का योग अंतःत्रिज्या का n गुना होता है (एपोटेम केंद्र से किसी भी तरफ की दूरी है)। यह n = 3 स्थिति के लिए विवियानी के प्रमेय का सामान्यीकरण है।

परिधि


एक नियमित बहुभुज के केंद्र से किसी एक कोने तक की परित्रिज्या R भुजा की लंबाई s या अंतःत्रिज्या a से संबंधित है
 * $$R = \frac{s}{2 \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)} = \frac{a}{\cos\left(\frac{\pi}{n} \right)} \quad_,\quad a = \frac{s}{2 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)}$$

निर्माण योग्य बहुभुजों के लिए, इन संबंधों के लिए बीजगणितीय व्यंजक मौजूद होते हैं; द्विकेन्द्रीय बहुभुज#नियमित बहुभुज देखें।

एक नियमित n-गॉन के कोने से किसी भी रेखा पर परिवृत्त के स्पर्शरेखा का योग परिधि के n गुना के बराबर होता है। एक नियमित एन-गॉन के कोने से उसके परिवृत्त पर किसी भी बिंदु पर वर्ग दूरी का योग 2nR के बराबर होता है2 जहां R परित्रिज्या है। नियमित एन-गॉन के किनारों के मध्य बिंदुओं से परिधि पर किसी भी बिंदु पर वर्ग की दूरी का योग 2nR है2 − $1⁄4$एनएस2, जहां s भुजा की लंबाई है और R परिधि है।

यदि $$d_i$$ एक नियमित के शिखर से दूरी हैं $$n$$-इसके परिवृत्त पर किसी भी बिंदु पर जाएं, फिर


 * $$3\left(\sum_{i=1}^n d_i^2\right)^2 = 2n \sum_{i=1}^n d_i^4 $$.

विच्छेदन
कॉक्सेटर कहता है कि प्रत्येक ज़ोनोगोन (एक 2m-गॉन जिसकी विपरीत भुजाएँ समानांतर और समान लंबाई की हैं) को विभाजित किया जा सकता है $$\tbinom{n}{2}$$ या $1⁄2$m(m − 1) समांतर चतुर्भुज। ये झुकाव ओर्थोगोनल प्रोजेक्शन Hypercube|m-cubes में शीर्षों, किनारों और चेहरों के सबसेट के रूप में समाहित हैं। विशेष रूप से, यह सम भुजाओं वाले किसी भी नियमित बहुभुज के लिए सत्य है, इस स्थिति में सभी समांतर चतुर्भुज समचतुर्भुज होते हैं। सूची छोटे बहुभुजों के लिए समाधानों की संख्या देता है।

क्षेत्र
किनारे (ज्यामिति) s, परिबद्ध वृत्त R, अंतःत्रिज्या a, और परिमाप p वाले एक उत्तल नियमित n-भुजा वाले बहुभुज का क्षेत्रफल A द्वारा दिया जाता है
 * $$A = \tfrac{1}{2}nsa = \tfrac{1}{2}pa = \tfrac{1}{4}ns^2\cot\left(\tfrac{\pi}{n}\right) = na^2\tan\left(\tfrac{\pi}{n}\right) = \tfrac{1}{2}nR^2\sin\left(\tfrac{2\pi}{n}\right)$$

भुजा s = 1, परित्रिज्या R = 1, या अंतःत्रिज्या a = 1 वाले नियमित बहुभुजों के लिए, यह निम्न तालिका उत्पन्न करता है: (ध्यान दें कि त्रिकोणमितीय फलन|से $$\cot x \rightarrow 1/x$$ जैसा $$x \rightarrow 0$$, क्षेत्र जब $$s = 1$$ आदत है $$n^2/4\pi$$ जैसा $$n$$ बड़ा होता है।) 

किसी दिए गए परिधि वाले सभी एन-गॉन में से, सबसे बड़ा क्षेत्र नियमित है।

बिल्ड करने योग्य बहुभुज
कुछ नियमित बहुभुज कंपास-और-सीधा निर्माण के लिए आसान होते हैं; अन्य नियमित बहुभुज बिल्कुल भी रचनात्मक नहीं होते हैं। यूनानी गणित जानता था कि 3, 4, या 5 भुजाओं वाला एक नियमित बहुभुज कैसे बनाया जाता है, और वे जानते थे कि किसी दिए गए नियमित बहुभुज की भुजाओं की दोगुनी संख्या के साथ एक नियमित बहुभुज कैसे बनाया जाता है।  इससे यह सवाल सामने आया: क्या कम्पास और स्ट्रेटेज के साथ सभी नियमित एन-गॉन का निर्माण संभव है? यदि नहीं, तो कौन से एन-गॉन रचनात्मक हैं और कौन से नहीं हैं?

कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने 1796 में नियमित heptadecagon|17-गॉन की निर्माण क्षमता को साबित किया। पांच साल बाद, उन्होंने अपने अंकगणितीय शोध में गॉसियन काल के सिद्धांत को विकसित किया। इस सिद्धांत ने उन्हें नियमित बहुभुजों की निर्माण क्षमता के लिए पर्याप्त स्थिति तैयार करने की अनुमति दी:


 * कम्पास और स्ट्रेटेज के साथ एक नियमित एन-गॉन का निर्माण किया जा सकता है यदि एन 2 की शक्ति का उत्पाद है और किसी भी संख्या में अलग-अलग फर्मेट प्राइम्स (कोई नहीं सहित)।

(एक फर्मेट प्राइम फॉर्म की एक प्रमुख संख्या है $$2^{\left(2^n\right)} + 1.$$) गॉस ने बिना प्रमाण के कहा कि यह शर्त भी आवश्यक शर्त थी, लेकिन उन्होंने अपना प्रमाण कभी प्रकाशित नहीं किया। 1837 में पियरे वांजेल द्वारा आवश्यकता का पूर्ण प्रमाण दिया गया था। परिणाम को गॉस-वांटजेल प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

समतुल्य रूप से, एक नियमित एन-गॉन रचनात्मक है अगर और केवल अगर इसके सामान्य कोण का कोज्या एक रचनात्मक संख्या है-अर्थात, चार बुनियादी अंकगणितीय परिचालनों और वर्गमूलों के निष्कर्षण के संदर्भ में लिखा जा सकता है।

नियमित तिरछा बहुभुज
3-स्पेस में एक नियमित तिरछा बहुभुज दो समानांतर विमानों के बीच ज़िग-ज़ैगिंग नॉनप्लानर पथ के रूप में देखा जा सकता है, जिसे एक समान प्रतिवाद के साइड-एज के रूप में परिभाषित किया गया है। सभी किनारे और आंतरिक कोण बराबर होते हैं। अधिक आम तौर पर नियमित तिरछे बहुभुजों को एन-स्पेस में परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरणों में पेट्री बहुभुज, किनारों के बहुभुज पथ शामिल हैं जो नियमित पॉलीटॉप को दो हिस्सों में विभाजित करते हैं, और ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन में नियमित बहुभुज के रूप में देखा जाता है।

अनंत सीमा में नियमित तिरछा बहुभुज तिरछा एपिरोगोन बन जाता है।

नियमित स्टार बहुभुज
एक गैर-उत्तल नियमित बहुभुज एक नियमित तारा बहुभुज है। सबसे आम उदाहरण पेंटाग्राम है, जिसमें एक पेंटागन के समान कोने होते हैं, लेकिन वैकल्पिक कोने को जोड़ता है।

एन-साइड स्टार बहुभुज के लिए, बहुभुज के घनत्व या तारकीयता एम को {n/m} के रूप में इंगित करने के लिए श्लाफली प्रतीक को संशोधित किया गया है। उदाहरण के लिए, यदि m 2 है, तो प्रत्येक दूसरा बिंदु जुड़ जाता है। यदि m 3 है, तो प्रत्येक तीसरा बिंदु जुड़ जाता है। केंद्र के चारों ओर बहुभुज हवाओं की सीमा मी बार।

12 भुजाओं तक के (गैर-पतित) नियमित तारे हैं:
 * पेंटाग्राम - {5/2}
 * हेप्टाग्राम - {7/2} और {7/3}
 * ऑक्टाग्राम – {8/3}
 * एनीग्राम (ज्यामिति) – {9/2} और {9/4}
 * डेकाग्राम (ज्यामिति) – {10/3}
 * hendicagram - {11/2}, {11/3}, {11/4} और {11/5}
 * डोडेकाग्राम - {12/5}

m और n सहअभाज्य होने चाहिए, अन्यथा आकृति पतित हो जाएगी।

12 भुजाओं तक के पतित नियमित तारे हैं:
 * टेट्रागन - {4/2}
 * हेक्सागोन – {6/2}, {6/3}
 * अष्टकोना - {8/2}, {8/4}
 * एनेगॉन - {9/3}
 * दसभुज – {10/2}, {10/4}, और {10/5}
 * डोडेकागॉन - {12/2}, {12/3}, {12/4}, और {12/6}

! ग्रुनबाउम {6/2} या 2{3} ! कॉक्सेटर 2{3} या {6}[2{3}]{6} ! दोहरा-घाव षट्कोण ! दो त्रिकोणों के यौगिक के रूप में हेक्साग्राम श्लाफली प्रतीक की सटीक व्युत्पत्ति के आधार पर, पतित आकृति की प्रकृति के अनुसार राय भिन्न होती है। उदाहरण के लिए, {6/2} का इलाज दो तरीकों से किया जा सकता है:
 * क्लास = विकिटेबल फ्लोटराइट
 * + {6/2} की दो व्याख्याएं
 * Doubly wound hexagon.png
 * Regular star figure 2(3,1).svg|-
 * Regular star figure 2(3,1).svg|-
 * }
 * 20वीं शताब्दी के अधिकांश भाग के लिए (उदाहरण के लिए देखें ), हमने आमतौर पर दो त्रिकोणों, या hexagram के नियमित यौगिक बहुभुज को प्राप्त करने के लिए उत्तल {6} के प्रत्येक शीर्ष को उसके निकटवर्ती पड़ोसियों से दो कदम दूर जोड़ने के लिए /2 लिया है। कॉक्सेटर इस नियमित यौगिक को यौगिक {p/k} के लिए एक अंकन {kp}[k{p}]{kp} के साथ स्पष्ट करता है, इसलिए हेक्साग्राम को {6}[2{3}]{6} के रूप में दर्शाया जाता है। अधिक कॉम्पैक्ट रूप से कॉक्सेटर 2{n/2} भी लिखता है, जैसे 2{3} एक हेक्साग्राम के लिए नियमित सम-पक्षीय बहुभुजों के वैकल्पिक (ज्यामिति) के रूप में यौगिक के रूप में, प्रमुख कारक पर इटैलिक के साथ इसे संयोग की व्याख्या से अलग करने के लिए।
 * कई आधुनिक जियोमीटर, जैसे ग्रुनबाम (2003), इसे गलत मानते हैं। वे प्रत्येक चरण में {6} के चारों ओर दो स्थानों को स्थानांतरित करने का संकेत देने के लिए /2 लेते हैं, एक डबल-वाउंड त्रिकोण प्राप्त करते हैं जिसमें प्रत्येक कोने के बिंदु पर दो कोने और प्रत्येक रेखा खंड के साथ दो किनारे होते हैं। यह न केवल अमूर्त पॉलीटॉप्स के आधुनिक सिद्धांतों के साथ बेहतर ढंग से फिट बैठता है, बल्कि यह उस तरीके की भी अधिक बारीकी से नकल करता है जिसमें पॉइन्सॉट (1809) ने अपने स्टार पॉलीगॉन बनाए - तार की एक लंबाई लेकर और इसे समान कोण के माध्यम से लगातार बिंदुओं पर झुकाकर। जब तक आंकड़ा बंद नहीं हो जाता।

नियमित बहुभुजों का द्वैत
सभी नियमित बहुभुज सर्वांगसमता के लिए स्व-द्वैत हैं, और विषम n के लिए वे सर्वसमिका के लिए स्व-द्वैत हैं।

इसके अलावा, नियमित बहुभुजों से बने नियमित स्टार आंकड़े (यौगिक) भी स्व-द्वैत हैं।

पॉलीहेड्रा के चेहरों के रूप में नियमित बहुभुज
एक समान पॉलीहेड्रॉन में चेहरे के रूप में नियमित बहुभुज होते हैं, जैसे कि प्रत्येक दो कोने के लिए एक आइसोमेट्री मैपिंग एक दूसरे में होती है (जैसा कि एक नियमित बहुभुज के लिए होता है)।

एक क्वासिरेगुलर पॉलीहेड्रॉन एक समान पॉलीहेड्रॉन होता है जिसमें प्रत्येक शीर्ष के चारों ओर केवल दो प्रकार के चेहरे होते हैं।

एक नियमित पॉलीहेड्रॉन एक समान पॉलीहेड्रॉन होता है जिसका केवल एक प्रकार का चेहरा होता है।

नियमित चेहरों वाले शेष (गैर-समान) उत्तल पॉलीहेड्रा को जॉनसन ठोस के रूप में जाना जाता है।

एक बहुफलक जिसमें नियमित त्रिभुज फलक के रूप में होते हैं, डेल्टा फलक कहलाते हैं।

यह भी देखें

 * उत्तल नियमित बहुभुजों द्वारा यूक्लिडियन झुकाव
 * प्लेटोनिक ठोस
 * एपिरोगोन – एक अनंत भुजाओं वाला बहुभुज नियमित, {∞} भी हो सकता है।
 * नियमित पॉलीटोप्स और यौगिकों की सूची
 * समबाहु बहुभुज
 * कार्लाइल सर्कल

संदर्भ

 * Lee, Hwa Young; "Origami-Constructible Numbers".
 * Grünbaum, B.; Are your polyhedra the same as my polyhedra?, Discrete and comput. geom: the Goodman-Pollack festschrift, Ed. Aronov et al., Springer (2003), pp. 461–488.
 * Poinsot, L.; Memoire sur les polygones et polyèdres. J. de l'École Polytechnique 9 (1810), pp. 16–48.
 * Poinsot, L.; Memoire sur les polygones et polyèdres. J. de l'École Polytechnique 9 (1810), pp. 16–48.



बाहरी संबंध

 * Regular Polygon description With interactive animation
 * Incircle of a Regular Polygon With interactive animation
 * Area of a Regular Polygon Three different formulae, with interactive animation
 * Renaissance artists' constructions of regular polygons at Convergence
 * Renaissance artists' constructions of regular polygons at Convergence