अलेक्जेंड्रिया के पप्पस

अलेक्जेंड्रिया के पप्पस (Πάππος ὁ Ἀλεξανδρεύς; c. 290 AD) प्राचीनतम अंतिम महान यूनानी गणितों में से एक थे, जिसे उसके सिनेगॉग (Συναγωγή) या संग्रह (c. 340), और प्रक्षेपी ज्यामिति में पप्पस के षट्भुज प्रमेय के लिए जाना जाता है। उनके जीवन के बारे में कुछ भी ज्ञात नहीं है। इसके अतिरिक्त उनके द्वारा लिखे गए लेख से यह ज्ञात हुआ है कि उनके एक पुत्र भी था और वह सिकंदरिया में एक शिक्षक था। उनका सबसे प्रसिद्ध काम गणित का संग्रह करना है, जिसके आठ खण्ड हैं। यह गणित के विषयों की एक विस्तृत श्रृंखला को शामिल करता है, जिसमें ज्यामिति, मनोरंजक गणित, घन को दोगुना करना, बहुभुज और बहुतल आदि सम्मिलित हैं।

संदर्भ
गणितीय अध्ययन में सामान्य ठहराव की अवधि में पप्पस चौथी शताब्दी में सक्रिय था। वह एक उल्लेखनीय असामान्यता के रूप में सामने आता है। वह अपने समकालीन से अधिकांशतः ऊपर था। उनकी जितनी भी प्रसंशा की जाए वो कम है। यह अन्य ग्रीक लेखकों में उनके संदर्भों की अनुपस्थिति से दिखाया गया है और इस तथ्य को थॉमस लिटिल हीथ लिखता है कि उनके काम का गणितीय विज्ञान के क्षय को रोकने में कोई प्रभाव नहीं पड़ा है। इस संबंध में पप्पस का भाग्य आश्चर्यजनक रूप से डायोफैंटस के समान प्रदर्शित होता है।

समयकाल
अपने बचे हुए लेखन में, पप्पस उन लेखकों की दिनांक का कोई संकेत नहीं देता है, जिनके कार्यों का वह उपयोग करता है या उस समय का (लेकिन नीचे देखें) जब उसने खुद लिखा था। यदि कोई अन्य तारीख की जानकारी उपलब्ध नहीं थी। लेकिन यह ज्ञात किया जा सकता था कि वह टॉलेमी (मृत्यु सी। 168 ईस्वी) के बाद का था। जिसे वह उद्धृत करता है और बंद किया हुआ (जन्म) से पहले c. 411)।10वीं सदी के सूडा में कहा गया है कि पप्पू की उम्र अलेक्जेंड्रिया के थियोन के समान उम्र थी। जो सम्राट थियोडोसियस आई (372-395) के शासनकाल में सक्रिय था। 10वीं सदी के अंत की पांडुलिपि के लिए एक आसानी से प्राप्त नोट द्वारा एक अलग तारीख दी गई है (उसी थियोन द्वारा एक कालानुक्रमिक तालिका की एक प्रति)। जिसमें कहा गया है कि उस समय सम्राट Diocletian (284–305 पर शासन किया) पर एक प्रविष्टि के बगल में पप्पस लिखा था।चूंकि पप्पस द्वारा स्वयं वर्णित सूर्य ग्रहण की दिनांक से एक सत्यापन योग्य तिथि आती है। अल्मागेस्ट पर अपनी टिप्पणी में उन्होंने संयोजन के स्थान और समय की गणना की। जिसने नबोनासर के बाद 1068 में टोबी के महीने में ग्रहण को उत्पन्न किया। यह 18 अक्टूबर 320 के रूप में काम करता है। इसलिए हम कह सकते हैं कि पप्पस 320 के समयकालीन सक्रिय रहा होगा।

कार्य
पप्पस के द्वारा किये गये लगभग सभी महान कार्य आठ पुस्तकों में और सिनेगॉग या संग्रह शीर्षक से पूर्ण रूप में नहीं बचे हैॆ। उनके द्वारा लिखी गयी पहली पुस्तक खो गई है और अन्य पुस्तकों को काफी नुकसान हुआ है। सूडा पप्पस के अन्य कार्यों की गणना (बसे हुए दुनिया का नृत्यकला इकुमीन या विवरण) टॉलेमी के अल्मागेस्ट की चार पुस्तकों पर की गयी है। पप्पस ने खुद अलेक्जेंड्रिया के डियोडोरस के (एनालेम्मा) पर अपनी स्वयं की एक और टिप्पणी का उल्लेख विस्तारपूर्वक किया है। पप्पस ने यूक्लिड (प्राचीन यूनान का एक गणितज्ञ) के यूक्लिड के तत्वों पर टिप्पणियां भी लिखीं (जिनमें से टुकड़े प्रोक्लस और स्कूल में संरक्षित हैं, जबकि दसवीं पुस्तक पर एक अरबी पांडुलिपि में पाया गया है) और प्रसिद्ध गणितज्ञ टालोमी ने हारमोनिका पर टिप्पणियां लिखी हैं। फेडेरिको कमांडिनो ने 1588 में पैपस के संग्रह का लैटिन भाषा में अनुवाद किया है। जर्मनी के क्लासिकिस्ट और गणितीय इतिहासकार फ्रेडरिक हल्टश (1833-1908) ने ग्रीक भाषा और लैटिन भाषा दोनों संस्करणों (बर्लिन, 1875-1878) के साथ कमांडिनो के अनुवाद की एक निश्चित तीन-खंड प्रस्तुति को प्रकाशित की। हल्श के काम का प्रयोग करते हुए बेल्जियम के गणितीय इतिहासकार पॉल वर् एके आधुनिक यूरोपीय भाषा में संग्रह का अनुवाद प्रकाशित करने वाले पहले व्यक्ति थे। उनके दो-खंड के फ्रेंच भाषा में अनुवाद का शीर्षक पप्पस डी'अलेक्जेंड्री है। जो अपने समयकाल में अत्यधिक प्रसिद्ध हुई थी।

संग्रह
पप्पस के संग्रह की विशेषताएं यह हैं कि इसमें उनके पूर्ववर्तियों द्वारा प्राप्त किए गए सबसे महत्वपूर्ण परिणामों का व्यवस्थित रूप है और दूसरी विशेषता यह है कि पिछली खोजों की व्याख्यात्मक या विस्तार करने वाले महत्वपूर्ण तथ्य सम्मिलित हैं। ये खोजें एक ऐसा पाठ बनाती हैं, जिस पर पप्पू बहुत ही विवेकपूर्ण और अत्यधिक खोज करके विस्तारपूर्वक वर्णन करता है। हीथ ने विभिन्न पुस्तकों के लिए व्यवस्थित परिचय को मूल्यवान माना क्योंकि वे स्पष्ट रूप से सामग्री की रूपरेखा और विषयों के सामान्य घेरे का इलाज करते हैं। इन परिचयों से कोई भी पप्पू के लेखन की शैली का अनुमान लगा सकता है। जो उस समय उत्कृष्ट और सुरुचिपूर्ण है। जब वह गणितीय सूत्रों और अभिव्यक्तियों के बंधनों से मुक्त होता है। हीथ ने यह भी पाया कि उनकी विशिष्ट सटीकता ने उनके संग्रह को पहले के गणितज्ञों के कई मूल्यवान ग्रंथों के ग्रंथों के लिए एक सबसे सराहनीय विकल्प बना दिया था, जिसमें समय ने हमें वंचित कर दिया था।संग्रह के बचे हुए अंशों को नियमानुसार संक्षेपित किया जा सकता है। हम केवल अनुमान लगा सकते हैं कि खोई हुई पुस्तक I, पुस्तक II की तरह अंकगणित से संबंधित थी। पुस्तक III स्पष्ट रूप से एक नए विषय की शुरुआत के रूप में पेश की जा रही थी।संपूर्ण पुस्तक II (जिसका पूर्व भाग खो गया है, प्राप्त खंड 14वें प्रस्ताव के मध्य में प्रारंभ होता है) पेरगा के एपोलोनियस द्वारा एक अनाम पुस्तक से गुणन की एक विधि पर चर्चा करता है। अंतिम प्रस्ताव कविता की दो पंक्तियों में ग्रीक अक्षरों के संख्यात्मक मूल्यों को एक साथ गुणा करने से संबंधित है। जो दो बहुत बड़ी संख्याओं को लगभग बराबर बनाता है $2,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000$ तथा $200,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000$. पुस्तक III में ज्यामितीय समस्याएं तल और ठोस शामिल हैं। इसे पाँच वर्गों में विभाजित किया जा सकता है: पुस्तक IV का शीर्षक और प्रस्तावना दोनों ही खो गये हैं। इसलिए पुस्तक से ही कार्यक्रम को एकत्रित करना पड़ता है। आरम्भ में यूक्लिड I.47 (पप्पस का क्षेत्र प्रमेय) का प्रसिद्ध सामान्यीकरण है, फिर वृत्त पर विभिन्न प्रमेयों का पालन करें, जिससे एक वृत्त के निर्माण की समस्या उत्पन्न होती है, जो तीन दिए गए वृत्तों को घेरता है, एक दूसरे को दो स्पर्श करता है और दो। यह और संपर्क पर कई अन्य प्रस्ताव, उदा. हलकों के मामले एक दूसरे को छूते हैं और तीन अर्धवृत्तों से बनी आकृति में खुदे हुए हैं और जिन्हें arbelos (शोमेकर चाकू) के रूप में जाना जाता है, पुस्तक का पहला भाग बनाते हैं; पप्पस फिर आर्किमिडीज के सर्पिल के कुछ गुणों पर विचार करने के लिए मुड़ता है, निकोमेड्स का शंकुवृक्ष (पुस्तक I में पहले से ही घन को दोगुना करने की एक विधि की आपूर्ति के रूप में वर्णित है), और वक्र की खोज संभवतः एलिस के हिप्पियास द्वारा लगभग 420 ईसा पूर्व में की गई थी, और इसके द्वारा जाना जाता है। नाम, τετραγωνισμός, या quadratrix। प्रस्ताव 30 दोहरे वक्रता के एक वक्र के निर्माण का वर्णन करता है जिसे पप्पस द हेलिक्स एक गोले पर कहते हैं; यह एक बड़े वृत्त के चाप के साथ समान रूप से घूमते हुए एक बिंदु द्वारा वर्णित है, जो स्वयं अपने व्यास के बारे में समान रूप से घूमता है, एक चतुर्भुज का वर्णन करने वाला बिंदु और एक ही समय में महान वृत्त एक पूर्ण क्रांति है। इस वक्र और इसके आधार के बीच शामिल सतह का क्षेत्र पाया जाता है - एक घुमावदार सतह के चतुर्भुज का पहला ज्ञात उदाहरण। शेष पुस्तक एक कोण के तिराहे का इलाज करती है, और उसी तरह की अधिक सामान्य समस्याओं का समाधान चतुर्भुज और सर्पिल के माध्यम से करती है। पूर्व समस्या के एक समाधान में फोकस और डायरेक्ट्रिक्स के संदर्भ में शंकु (एक हाइपरबोला) की संपत्ति का पहला रिकॉर्ड किया गया उपयोग है। पुस्तक V में, नियमित बहुभुजों से संबंधित एक दिलचस्प प्रस्तावना के बाद, और मधुकोश अनुमान पर टिप्पणी युक्त, पप्पस खुद को विभिन्न समतल आकृतियों के क्षेत्रों की तुलना करने के लिए संबोधित करता है, जिसमें सभी समान परिधि होती है (इस पर ज़ेनोडोरस (गणितज्ञ) के ग्रंथ के बाद) सब्जेक्ट), और विभिन्न ठोस आकृतियों के आयतन जिनमें सभी समान सतही क्षेत्र हैं, और अंत में, प्लेटो के पांच नियमित ठोसों की तुलना। संयोग से पप्पस समबाहु और समकोणीय लेकिन समान बहुभुजों से घिरे तेरह अन्य पॉलीहेड्रा का वर्णन करता है, जो आर्किमिडीज़ द्वारा खोजा गया था, और आर्किमिडीज़ की सतह और आयतन को याद करते हुए एक विधि द्वारा पाता है। प्रस्तावना के अनुसार, बुक VI का उद्देश्य तथाकथित कम खगोलीय कार्यों (Μικρὸς Ἀστρονοµούµενος) में होने वाली कठिनाइयों को हल करना है, यानी अल्मागेस्ट के अलावा अन्य काम करता है। यह तदनुसार बिथिनिया के थियोडोसियस के स्पैरिका, पिटेन के ऑटोलिकस के मूविंग स्फीयर, डे एंड नाइट पर थियोडोसियस की पुस्तक, समोस का एरिस्टार्चस के ग्रंथ ऑन द साइज एंड डिस्टेंस (एरिस्टार्कस), और यूक्लिड के ऑप्टिक्स और फेनोमेना पर टिप्पणी करता है।
 * 1) दो दी गई रेखाओं के बीच दो औसत अनुपात खोजने की प्रसिद्ध समस्या पर, जो क्यूब को डुप्लिकेट करने से उत्पन्न हुई थीऔर जिसे क्योस के हिप्पोक्रेट्स ने पूर्व में घटाया था। पप्पस इस समस्या के कई समाधान देता है। जिसमें समाधान के लिए क्रमिक सन्निकटन बनाने की एक विधि सम्मिलित की गयी है, जिसके महत्व की वह सराहना करने में स्पष्ट रूप से विफल रहा वह घन की भुजा को ज्यामितीय रूप से खोजने की अधिक सामान्य समस्या का अपना समाधान जोड़ता है जिसकी सामग्री किसी दिए गए अनुपात में होती है।
 * 2) अंकगणित, ज्यामितीय और हार्मोनिक पर दो सीधी रेखाओं के बीच और तीनों को एक और एक ही ज्यामितीय आकृति में दर्शाने की समस्या। यह साधनों के एक सामान्य सिद्धांत के परिचय के रूप में कार्य करता है, जिनमें से पप्पस दस प्रकारों को अलग करता है और एक सारणी देता है जो पूर्ण संख्याओं में प्रत्येक के उदाहरणों का प्रतिनिधित्व करता है।
 * 3) यूक्लिड I. 21 द्वारा सुझाई गई एक जिज्ञासु समस्या पर आधारित पुस्तक।
 * 4) एक गोले में पाँच नियमित पॉलीहेड्रा में से प्रत्येक के उत्कीर्णन पर पप्पस ने देखा कि एक नियमित द्वादशफलक और एक नियमित विकोषफलक एक ही क्षेत्र में अंकित किए जा सकते हैं जैसे कि उनके कोने अक्षांश के समान 4 वृत्तों पर होते हैं। प्रत्येक वृत्त पर आइसोसहेड्रान के 12 शीर्षों में से 3 और द्वादशफलक के 20 शीर्षों में से 5 प्रत्येक घेरे पर स्थित हैं। यह अवलोकन उच्च आयामी दोहरे पॉलीटॉप के लिए सामान्यीकृत किया गया है।
 * 5) पुस्तक की पहली समस्या के एक अन्य समाधान को बाद के लेखक द्वारा जोड़ा गया है।

 सातवीं पुस्तक 

चूंकि माइकल चेसल्स ने ज्यामितीय विधियों के अपने इतिहास में पप्पस की इस पुस्तक का हवाला दिया, यह काफी ध्यान का विषय बन गया है।

पुस्तक VII की प्रस्तावना शब्दों के विश्लेषण और संश्लेषण, और प्रमेय और समस्या के बीच के अंतर को स्पष्ट करती है। पप्पस तब यूक्लिड, पेरगा के एपोलोनियस, एरिस्टियस द एल्डर और एराटोस्थनीज, सभी में तैंतीस पुस्तकों की गणना करता है, जिस पदार्थ को वह देने का इरादा रखता है, उनकी व्याख्या के लिए आवश्यक नींबू के साथ। यूक्लिड के उपप्रमेय के उल्लेख के साथ हमारे पास पोरिज़्म के प्रमेय और समस्या के संबंध का लेखा-जोखा है। उसी प्रस्तावना में शामिल है (ए) पप्पस के नाम से जानी जाने वाली प्रसिद्ध समस्या, जिसे अक्सर इस प्रकार प्रतिपादित किया जाता है: कई सीधी रेखाएँ देने के बाद, एक बिंदु के ज्यामितीय स्थान को खोजने के लिए, जैसे कि लंबों की लंबाई, या (अधिक आम तौर पर) ) दिए गए झुकावों पर तिरछे रूप से खींची गई रेखाएँ, दी गई रेखाएँ इस शर्त को पूरा करती हैं कि उनमें से कुछ का उत्पाद शेष लोगों के उत्पाद के लिए एक स्थिर अनुपात रख सकता है; (पप्पस इसे इस रूप में नहीं बल्कि अनुपातों की संरचना के माध्यम से व्यक्त करता है, यह कहते हुए कि यदि अनुपात दिया जाता है जो एक सेट में से एक जोड़े के अनुपात और इस तरह खींची गई रेखाओं में से एक के अनुपात से जुड़ा होता है, और अनुपात का दी गई सीधी रेखा के लिए विषम का, यदि कोई हो, बिंदु स्थिति में दिए गए वक्र पर स्थित होगा); (बी) प्रमेय जिन्हें पॉल गुल्डिन द्वारा फिर से खोजा गया था और उनके नाम पर रखा गया था, लेकिन ऐसा लगता है कि पप्पस ने स्वयं की खोज की थी। पुस्तक VII में भी शामिल है

पप्पस के चेसल्स का उद्धरण विल्हेम ब्लाश्के द्वारा दोहराया गया था और डिर्क स्ट्रुइक। कैंब्रिज, इंग्लैंड में, जॉन जे. मिल्ने ने पाठकों को पप्पू के अपने पढ़ने का लाभ दिया। 1985 में अलेक्जेंडर जोन्स ने इस विषय पर ब्राउन विश्वविद्यालय में अपनी थीसिस लिखी थी। अगले वर्ष स्प्रिंगर-वर्लाग द्वारा उनके अनुवाद और टिप्पणी का एक संशोधित रूप प्रकाशित किया गया था। जोन्स यह दिखाने में सफल रहे कि कैसे पप्पस ने पूर्ण चतुष्कोण में हेरफेर किया, प्रक्षेपी हार्मोनिक संयुग्मों के संबंध का उपयोग किया, और बिंदुओं और रेखाओं के क्रॉस-अनुपात के बारे में जागरूकता प्रदर्शित की। इसके अलावा, पुस्तक VII में ध्रुव और ध्रुवीय की अवधारणा को एक लेम्मा के रूप में प्रकट किया गया है।
 * 1) एपोलोनियस के डी सेक्शन डिटरमिनाटा के शीर्ष के तहत, लेम्मास, जिसकी बारीकी से जांच की गई, को छह बिंदुओं के शामिल होने के मामलों के रूप में देखा जाता है;
 * 2) यूक्लिड के पोरिज्म पर महत्वपूर्ण नींबू, जिसे पप्पस की षट्भुज प्रमेय कहा जाता है;
 * 3) यूक्लिड के सरफेस लोकी पर एक लेम्मा जो बताता है कि एक बिंदु का स्थान इस तरह है कि किसी दिए गए बिंदु से इसकी दूरी एक दी गई सीधी रेखा से इसकी दूरी के अनुपात में एक स्थिर अनुपात रखती है, और इसके बाद प्रमाण मिलता है कि शंकु है एक परवलय, दीर्घवृत्त, या अतिपरवलय के अनुसार स्थिर अनुपात 1 से कम या अधिक के बराबर है (गुणों का पहला रिकॉर्ड किया गया प्रमाण, जो एपोलोनियस में प्रकट नहीं होता है)।

आठवीं पुस्तक
अंत में, पुस्तक VIII मुख्य रूप से यांत्रिकी, गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के गुणों और कुछ यांत्रिक शक्तियों का व्यवहार करती है। बीच-बीच में शुद्ध ज्यामिति पर कुछ प्रस्ताव हैं। प्रस्ताव 14 दिखाता है कि पांच दिए गए बिंदुओं के माध्यम से एक दीर्घवृत्त कैसे बनाया जाए, और प्रस्ताव 15 दीर्घवृत्त के अक्षों के लिए एक सरल निर्माण देता है जब संयुग्मित व्यास की एक जोड़ी दी जाती है।

विरासत
पप्पस का संग्रह वास्तव में अरब और मध्यकालीन यूरोपीय लोगों के लिए अज्ञात था, लेकिन फेडेरिको कमांडिनो द्वारा लैटिन में अनुवाद किए जाने के बाद 17 वीं शताब्दी के गणित पर काफी प्रभाव पड़ा। डायोफैंटस का अरिथमेटिका और पप्पस का संग्रह वियत के इसागोगे इन आर्टेम एनालिटिकैम (1591) के दो प्रमुख स्रोत थे। पप्पस की समस्या और इसके सामान्यीकरण ने डेसकार्टेस को विश्लेषणात्मक ज्यामिति के विकास के लिए प्रेरित किया। फर्मेट ने एपोलोनियस की खोई हुई कृतियों प्लेन लोकी और ऑन डिटरमिनेट सेक्शन के पप्पस के सारांश से विश्लेषणात्मक ज्यामिति के अपने संस्करण और मैक्सिमा और मिनिमा की अपनी पद्धति को भी विकसित किया। पैपस से प्रभावित अन्य गणितज्ञ थे पैसिओली, दा विंची, केपलर, एड्रियन वैन रूमेन, ब्लेस पास्कल, आइजैक न्यूटन, जैकब बर्नौली, यूलर, गॉस, Gergonne, जैकब स्टेनर और जीन-विक्टर पोंसेलेट

यह भी देखें

 * पप्पस की षट्भुज प्रमेय
 * पप्पस का केन्द्रक प्रमेय
 * पप्पू चेन
 * पप्पस विन्यास
 * पप्पू ग्राफ

संदर्भ


Attribution:

अग्रिम पठन






बाहरी संबंध

 * Pappos (Bibliotheca Augustana)
 * "Pappus", Columbia Electronic Encyclopedia, Sixth Edition at Answer.com.
 * Pappus's Theorem at MathPages
 * Pappus's work on the Isoperimetric Problem at Convergence
 * Pappus's work on the Isoperimetric Problem at Convergence