हबर्ड मॉडल

हबर्ड मॉडल एक अनुमान है जिसका उपयोग चालन और विद्युत अवरोधी के बीच संक्रमण का वर्णन करने के लिए किया जाता है। यह ठोस अवस्था भौतिकी में विशेष रूप से उपयोगी है। मॉडल का नाम जॉन हबर्ड (भौतिक विज्ञानी) के नाम पर रखा गया है।

हबर्ड मॉडल कहता है कि प्रत्येक इलेक्ट्रॉन प्रतिस्पर्धी बलों का अनुभव करता है: एक इसे सुरंग में पड़ोसी परमाणुओं की ओर धकेलता है, जबकि दूसरा इसे अपने पड़ोसियों से दूर धकेलता है। इस प्रकार इसके हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) में दो शब्द हैं:जालक साइटों के बीच कणों की सुरंग निर्माण (हॉपिंग) के लिए अनुमति देने वाला एक गतिज शब्द और यथा स्थान पारस्परिक क्रिया को दर्शाने वाला एक स्थितिज शब्द। कण या तो फरमिओन्स हो सकते हैं, जैसा कि हबर्ड के मूल कार्य में है, या बोसोन, जिस स्थिति में मॉडल को बोस-हबर्ड मॉडल कहा जाता है।

हबर्ड मॉडल पर्याप्त रूप से कम तापमान पर आवधिक क्षमता में कणों के लिए एक उपयोगी सन्निकटन है, जहां सभी कणों को सबसे कम बलोच प्रमेय में माना जा सकता है, और कणों के बीच लंबी दूरी की पारस्परिक क्रिया को उपेक्षित किया जा सकता है। यदि जाली के विभिन्न स्थलों पर कणों के बीच परस्पर क्रियाओं को सम्मिलित किया जाता है, तो मॉडल को प्रायःविस्तारित हबर्ड मॉडल कहा जाता है। विशेष रूप से, हबर्ड शब्द, जिसे सामान्यतः U द्वारा निरूपित किया जाता है, घनत्व कार्यात्मक सिद्धांत, डीएफटी का उपयोग करते हुए पहले सिद्धांतों पर आधारित अनुकरण में लागू होता है। डीएफटी अनुकरण में हबर्ड शब्द को सम्मिलित करना महत्वपूर्ण है क्योंकि यह इलेक्ट्रॉन स्थानीयकरण की भविष्यवाणी में सुधार करता है और इस प्रकार यह रोधक प्रणाली में धातु चालन की गलत भविष्यवाणी को रोकता है।

हबर्ड मॉडल टाइट बाइंडिंग मॉडल में इलेक्ट्रॉनों के बीच कम दूरी में परस्पर क्रिया का परिचय देता है, जिसमें केवल गतिज ऊर्जा (एक हॉपिंग शब्द) और जाली के परमाणुओं (एक परमाणु क्षमता) के साथ पारस्परिक क्रिया सम्मिलित है। जब इलेक्ट्रॉनों के बीच परस्पर क्रिया मजबूत होती है, तो हबर्ड मॉडल का व्यवहार टाइट-बाइंडिंग मॉडल से गुणात्मक रूप से भिन्न हो सकता है। उदाहरण के लिए, हबर्ड मॉडल सही ढंग से मोट अवरोधक के अस्तित्व की भविष्यवाणी करता है सामग्री जो इलेक्ट्रॉनों के बीच मजबूत प्रतिकर्षण के कारण रोधक होती है, भले ही वे सुचालक के लिए सामान्य मानदंडों को पूरा करते हैं, जैसे कि प्रति ईकाई सेल में विषम संख्या में इलेक्ट्रॉन होते हैं।

इतिहास
मॉडल को मूल रूप से 1963 में ठोस पदार्थों में इलेक्ट्रॉनों का वर्णन करने के लिए प्रस्तावित किया गया था। हबर्ड, मार्टिन गुत्ज़विलर और जुन्जिरो कनामोरी प्रत्येक ने स्वतंत्र रूप से इसे प्रस्तावित किया।

तब से, इसे उच्च तापमान अतिचालकता, क्वांटम चुंबकत्व और आवेश घनत्व तरंगों के अध्ययन के लिए लागू किया गया है।

संकीर्ण ऊर्जा बैंड सिद्धांत
हबर्ड मॉडल ठोस अवस्था भौतिकी से टाइट-बाइंडिंग सन्निकटन पर आधारित है, जो आवधिक क्षमता में चलने वाले कणों का वर्णन करता है, जिसे सामान्यतः जाली समूह  के रूप में संदर्भित किया जाता है। वास्तविक  पदार्थो के लिए, प्रत्येक जाली साइट एक आयनिक अंतर्भाग के अनुरूप हो सकती है, और कण इन आयनों के संयोजी इलेक्ट्रॉन होंगे। टाइट बाइंडिंग सन्निकटन में, हैमिल्टनियन को वानियर अवस्था के संदर्भ में लिखा गया है, जो प्रत्येक जाली साइट पर केंद्रित स्थानीयकृत अवस्था हैं। पड़ोसी जाली साइटों पर वानियर अवस्था युग्मित हैं, जिससे एक साइट पर कण दूसरे स्थान पर जा सकते हैं। गणितीय रूप से, इस युग्मन की ताकत पास की साइटों के बीच एक हॉपिंग समाकल या स्थानान्तरण समाकल द्वारा दी जाती है। प्रणाली को टाइट-बाइंडिंग सीमा में कहा जाता है जब होपिंग समाकल की ताकत दूरी के साथ तेजी से गिरती है। यह युग्मन प्रत्येक जाली साइट से जुड़े राज्यों को संकरण करने की अनुमति देता है, और इस तरह के एक क्रिस्टलीय प्रणाली के ईजेन अवस्था अलग-अलग इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना में विभाजित ऊर्जा स्तरों के साथ बलोच के कार्य हैं।  बैंड की चौड़ाई होपिंग समाकल के मूल्य पर निर्भर करती है।

हबर्ड मॉडल जाली के प्रत्येक स्थल पर विपरीत चक्रण के कणों के बीच एक संपर्क का परिचय देता है। जब इलेक्ट्रॉन प्रणालियों का वर्णन करने के लिए हबर्ड मॉडल का उपयोग किया जाता है, इन अंतःक्रियाओं के प्रतिकारक होने की उम्मीद है, जो ओझल की गई कूलम्ब अंतःक्रिया से उत्पन्न हुई हैं। तथापि, आकर्षक पारस्परिक क्रिया पर भी प्रायःविचार किया गया है। हबर्ड मॉडल की भौतिकी को होपिंग समाकल की ताकत के बीच प्रतिस्पर्धा द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो प्रणाली की गतिज ऊर्जा की विशेषता है, और अंतःक्रियात्मक संबंध की ताकत है। हबर्ड मॉडल इसलिए कुछ अंतःक्रियात्मक प्रणालियों में धातु से कुचालक में संक्रमण की व्याख्या कर सकता है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग धातु के आक्साइड का वर्णन करने के लिए किया गया है क्योंकि वे गर्म होते हैं, जहां निकटतम-पड़ोसी अंतरण में इसी वृद्धि से उस बिंदु पर हॉपिंग समाकल कम हो जाता है जहां ऑन-साइट क्षमता प्रमुख होती है। इसी तरह, हबर्ड मॉडल दुर्लभ-पृथ्वी पाइरोक्लोर जैसे प्रणाली में सुचालक से अवरोधक तक संक्रमण की व्याख्या कर सकता है क्योंकि दुर्लभ-पृथ्वी धातु की परमाणु संख्या बढ़ जाती है, क्योंकि जालीदार मापदंड बढ़ता है (या परमाणुओं के बीच का कोण भी बदल सकता है) दुर्लभ-पृथ्वी तत्व परमाणु संख्या बढ़ जाती है, इस प्रकार यथा स्थान प्रतिकर्षण की तुलना में होपिंग समाकल के सापेक्ष महत्व को बदल देता है।

उदाहरण: एक आयामी हाइड्रोजन परमाणु श्रृंखला
तथाकथित s कक्षीय में हाइड्रोजन परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन होता है, जिसे या तो ऊपर चक्रण ($$\uparrow$$) या नीचे चक्रण($$\downarrow$$) किया जा सकता है ।इस कक्षीय में अधिकतम दो इलेक्ट्रॉन हो सकते हैं, एक चक्रण के साथ ऊपर और एक नीचे (पाउली अपवर्जन सिद्धांत देखें)।

बैंड सिद्धांत के तहत, हाइड्रोजन परमाणुओं की 1D श्रृंखला के लिए, 1s कक्षीय एक सतत बैंड बनाता है, जो बिल्कुल आधा भरा होगा। इस प्रकार हाइड्रोजन परमाणुओं की 1D श्रृंखला पारंपरिक बैंड सिद्धांत के तहत एक सुचालक होने की भविष्यवाणी की जाती है। यह 1D तार एक मात्र विन्यास है जो सीधे हल करने के लिए पर्याप्त सरल है।

लेकिन उस कारक में जहां हाइड्रोजन परमाणुओं के बीच की दूरी धीरे-धीरे बढ़ जाती है, किसी बिंदु पर श्रृंखला को एक कुचालक बनना चाहिए।

हबर्ड मॉडल का उपयोग करके व्यक्त किया गया, हैमिल्टनियन दो शब्दों से बना है। पहला शब्द प्रणाली की गतिज ऊर्जा का वर्णन करता है, जो होपिंग समाकल $$t$$ द्वारा परिचालित होता है। दूसरा कार्यकाल शक्ति की यथा स्थान सहभागिता $$U$$ है  जो इलेक्ट्रॉन प्रतिकर्षण का प्रतिनिधित्व करता है। दूसरे परिमाणीकरण चिन्हांकन में लिखा गया, हबर्ड हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) तब रूप लेता है।


 * $$ \hat{H} = -t \sum_{i,\sigma} \left( \hat{c}^\dagger_{i,\sigma} \hat{c}_{i+1,\sigma} + \hat{c}^\dagger_{i+1,\sigma} \hat{c}_{i,\sigma} \right) + U \sum_i \hat{n}_{i\uparrow} \hat{n}_{i\downarrow}, $$

जहाँ $$\hat{n}_{i\sigma} = \hat{c}_{i\sigma}^\dagger \hat{c}_{i\sigma}$$, $$\sigma$$$$i$$ साइट पर चक्रण के लिए स्पिन-घनत्व ऑपरेटर है। घनत्व ऑपरेटर है $$\hat{n}_i  = \hat{n}_{i \uparrow} + \hat{n}_{i\downarrow}$$ और तरंग फलन $$\Phi$$  के लिए $$i$$ साइट काअधिकार $$n_i = \langle \Phi \vert \hat{n}_i \vert \Phi \rangle$$ है।सामान्यतः  t को सकारात्मक माना जाता है, और U या तो सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है, लेकिन इलेक्ट्रॉनिक प्रणाली पर विचार करते समय इसे सकारात्मक माना जाता है।

दूसरे संबंध के योगदान के बिना, हैमिल्टन नियमित बैंड सिद्धांत से तंग बाध्यकारी सूत्र का समाधान करता है।

दूसरे संबंध को सम्मिलित करने से एक यथार्थवादी मॉडल उत्पन्न होता है जो सुचालक से अवरोधक तक एक संक्रमण की भविष्यवाणी करता है, जो कि होपिंग के लिए पारस्परिक क्रिया के अनुपात के रूप में होता है, $$U/t$$, विविध है। इस अनुपात को संशोधित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, अंतर-परमाणु रिक्ति को बढ़ाकर, जिससे $$U$$ प्रभावित किए बिना $$t$$ का परिमाण कम हो जाएगा। सीमा में जहाँ,  $$U/t \gg 1$$, श्रृंखला बस पृथक चुंबकीय क्षणों के एक सेट में हल हो जाती है। यदि $$U/t$$ बहुत बड़ा नहीं है, अतिव्यापन समाकल पड़ोसी चुंबकीय क्षणों के बीच  अति विनिमय पारस्परिक प्रभाव प्रदान करता है, जिससे मॉडल मापदंडों के आधार पर विभिन्न प्रकार के रोचक चुंबकीय सहसंबंध हो सकते हैं, जैसे कि लौहचुम्बकीय,प्रतिलौहचुम्बकीय आदि। एक आयामी हबर्ड मॉडल को इलियट एच. लीब और वू ने बेथे दृष्टिकोण का उपयोग करके हल किया था। 1990 के दशक में आवश्यक प्रगति हासिल की गई थी: एक गुप्त सममिति की खोज की गई थी, और   प्रकीर्णन मैट्रिक्स, सहसंबंध फलन, ऊष्मागतिक और क्वांटम जटिलता का मूल्यांकन किया गया था।

अधिक जटिल प्रणालियाँ
यद्यपि हबर्ड हाइड्रोजन परमाणुओं की 1डी श्रृंखला जैसी प्रणालियों का वर्णन करने में उपयोगी है, यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि अधिक जटिल प्रणालियां अन्य प्रभावों का अनुभव कर सकती हैं जिन पर हबर्ड मॉडल विचार नहीं करता है। सामान्यत: अवरोधक को मॉट-हबर्ड अवरोधक और आवेश-स्थानान्तरण अवरोधक  में विभाजित किया जा सकता है।

एक मॉट-हबर्ड कुचालक के रूप में वर्णित किया जा सकता है


 * $$(\mathrm{Ni}^{2+} \mathrm O^{2-})_2 \longrightarrow \mathrm{Ni}^{3+} \mathrm O^{2-} + \mathrm{Ni}^{1+} \mathrm{O}^{2-}.$$

इसे हाइड्रोजन श्रृंखलाओं के लिए हबर्ड मॉडल के अनुरूप देखा जा सकता है, जहां इकाई कोशिकाओं के बीच प्रवाहकत्त्व को स्थानांतरण अभिन्न द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

तथापि, इलेक्ट्रॉनों के लिए दूसरे प्रकार का व्यवहार प्रदर्शित करना संभव है:


 * $$\mathrm{Ni}^{2+} \mathrm O^{2-} \longrightarrow \mathrm{Ni}^{1+} \mathrm O^{1-}.$$

इसे आवेश स्थानान्तरण के रूप में जाना जाता है और आवेश-स्थानान्तरण अवरोधक में परिणाम होता है। मॉट-हबर्ड अवरोधक  के विपरीत इलेक्ट्रॉन स्थानांतरण केवल एक इकाई सेल के भीतर होता है।

ये दोनों प्रभाव उपस्थित हो सकते हैं और जटिल आयनिक प्रणालियों में प्रतिस्पर्धा कर सकते हैं।

संख्यात्मक उपचार
तथ्य यह है कि हबर्ड मॉडल को मनमाना आयामों में विश्लेषणात्मक रूप से हल नहीं किया गया है, इन दृढ़ता से सहसंबद्ध इलेक्ट्रॉन प्रणालियों के लिए संख्यात्मक तरीकों में गहन शोध किया गया है। इस शोध का एक प्रमुख लक्ष्य विशेष रूप से दो-आयामों में,इस मॉडल के निम्न-तापमान चरण आरेख को निर्धारित करना है। विभिन्न तरीकों से परिमित प्रणालियों पर हबर्ड मॉडल का अनुमानित संख्यात्मक उपचार संभव है।

ऐसी ही एक विधि, लैंक्ज़ोस एल्गोरिथम, प्रणाली के स्थिर और गतिशील गुणों का उत्पादन कर सकती है। इस पद्धति का उपयोग करके मूल अवस्था की गणना के लिए अवस्था की संख्या के आकार के तीन सदिश के भंडारण की आवश्यकता होती है। प्रणाली के आकार के साथ अवस्था की संख्या तेजी से बढ़ती है, जो जाली में साइटों की संख्या को 21 वीं सदी की यंत्र सामग्री पर लगभग 20 तक सीमित करती है। प्रोजेक्टर और परिमित-तापमान सहायक-क्षेत्र मोंटे कार्लो के साथ, दो सांख्यिकीय विधियां उपस्थित हैं जो प्रणाली के कुछ गुणों को प्राप्त कर सकती हैं। कम तापमान के लिए, अभिसरण समस्याएं दिखाई देती हैं जो तथाकथित फर्मियन साइन समस्या के कारण घटते तापमान के साथ एक घातीय कम्प्यूटेशनल प्रयास की ओर ले जाती हैं।

हबर्ड मॉडल का अध्ययन गतिशील माध्य-क्षेत्र सिद्धांत (DMFT) के भीतर किया जा सकता है। यह योजना हबर्ड हैमिल्टनियन को एकल-साइट अशुद्धता मॉडल पर मैप करती है, एक मैपिंग जो केवल अनंत आयामों में औपचारिक रूप से सटीक है और परिमित आयामों में केवल सभी विशुद्ध रूप से स्थानीय सहसंबंधों के सटीक उपचार से मेल खाती है। डीएमएफटी किसी दिए गए तापमान और दिए गए तापमान के लिए हबर्ड मॉडल के स्थानीय ग्रीन के कार्य की गणना करने की अनुमति देता है। DMFT के भीतर, वर्णक्रमीय कार्य के विकास की गणना की जा सकती है और ऊपरी और निचले हबर्ड पट्टियों की उपस्थिति को सहसंबंध बढ़ने के रूप में देखा जा सकता है।

अनुरूपक
एक से अधिक आयामों में ज्यामिति का अनुकरण करने के लिए विषम 2-आयामी संक्रमण धातु डाइक्लोजेनाइड्स (टीएमडी) के ढेर का उपयोग किया गया है। टंगस्टन सेलेनाइड और टंगस्टन सल्फाइड को ढेर कर दिया गया था। इसने हेक्सागोनल सुपरसेल (क्रिस्टल) (दो पदार्थ के संबंध द्वारा परिभाषित पुनरावृत्ति इकाइयों) से मिलकर एक मोरी अति जालक बनाया। प्रत्येक सुपरसेल तब ऐसा व्यवहार करता है जैसे कि वह एक ही परमाणु हो। सुपरसेल के बीच की दूरी उनके भीतर के परमाणुओं की दूरी से लगभग 100 गुना है। यह बड़ी दूरी सुपरसेल्स में इलेक्ट्रॉन टनलिंग को काफी कम कर देती है।

उनका उपयोग विग्नर क्रिस्टल बनाने के लिए किया जा सकता है। विद्युत क्षेत्र को विनियमित करने के लिए इलेक्ट्रोड संलग्न किए जा सकते हैं। विद्युत क्षेत्र नियंत्रित करता है कि प्रत्येक सुपरसेल में कितने इलेक्ट्रॉन भरते हैं। सुपरसेल प्रति इलेक्ट्रॉनों की संख्या प्रभावी ढंग से निर्धारित करती है कि जाली किस परमाणु का अनुकरण करती है। एक इलेक्ट्रॉन/सेल हाइड्रोजन की तरह, दो/सेल हीलियम की तरह, व्यवहार करता है आदि। 2022 तक, आठ इलेक्ट्रॉनों (ऑक्सीजन) तक के सुपरसेल को कृत्रिम किया जा सकता है। अनुकरण के एक परिणाम से पता चला है कि धातु और कुचालक के बीच का अंतर विद्युत क्षेत्र की ताकत का एक सतत कार्य है।

एक पीछे की ओर स्टैकिंग व्यवस्था विषम क्वांटम हॉल प्रभाव के माध्यम से एक चेर्न अवरोधक  के निर्माण की अनुमति देती है (उपकरण के किनारों के साथ एक सुचालक के रूप में कार्य करता है जबकि आंतरिक भाग एक कुचालक के रूप में कार्य करता है।) डिवाइस 5 केल्विन के तापमान पर काम करता है, जो कि ऊपर है उस तापमान से जिस पर पहली बार प्रभाव देखा गया था।

यह भी देखें

 * एंडरसन अशुद्धता मॉडल
 * बलोच की प्रमेय
 * इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना
 * भौतिक विज्ञान की ठोस अवस्था
 * बोस-हबर्ड मॉडल
 * टी-जे मॉडल
 * हाइजेनबर्ग मॉडल (क्वांटम)
 * डायनेमिकल मीन-फील्ड थ्योरी
 * स्टोनर कसौटी