बीजगणितीय विविधताओं का मॉर्फिज्म

बीजगणितीय ज्यामिति में, बीजगणितीय विविधताओं के मध्य एक नियम-निष्ठता उन विविधताओं के मध्य एक कार्य होता है जो स्थानीय रूप से बहुपदों द्वारा दिया जाता है। इसे नियमित मानचित्र भी कहा जाता है। बीजगणितीय विविधता से एफ़िन लाइन तक के नियम-निष्ठता को नियमित फलन भी कहा जाता है। एक नियमित मानचित्र जिसका व्युत्क्रम भी नियमित होता है, द्विनियमित कहलाता है, और द्विनियमित मानचित्र बीजगणितीय विविधताओं की समरूपताएँ होती हैं। क्योंकि नियमित और द्विनियमित बहुत ही प्रतिबंधात्मक स्थितियाँ हैं - प्रक्षेप्य विविधता पर कोई गैर-निरंतर नियमित कार्य नहीं होता हैं - युक्तिपूर्वक मानचित्र और द्विवार्षिक मानचित्र की अवधारणाओं का भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है; वे आंशिक फलन हैं जिन्हें स्थानीय रूप से बहुपदों के अतिरिक्त युक्तिपूर्वक भिन्नों द्वारा परिभाषित किया जाता है।

एक बीजगणितीय विविधता में स्वाभाविक रूप से स्थानीय रूप से चक्राकार स्थान की संरचना होती है; बीजगणितीय विविधताओं के मध्य एक नियम-निष्ठता   वास्तव में अंतर्निहित स्थानीय रिंग वाले स्थानों का एक नियम-निष्ठता होता है।

परिभाषा
यदि X और Y की बंद उप-विविधता $$\mathbb{A}^n$$और $$\mathbb{A}^m$$ होती हैं (इसलिए वे एफ़िन विविधताएँ हैं), फिर एक नियमित मानचित्र $$f\colon X\to Y$$ बहुपद मानचित्र $$\mathbb{A}^n\to \mathbb{A}^m$$ का प्रतिबंध होता है। स्पष्ट रूप से, इसका निम्न प्रकार से है:
 * $$f = (f_1, \dots, f_m)$$

जहां $$f_i$$s, X के निर्देशांक वलय में हैं:
 * $$k[X] = k[x_1, \dots, x_n]/I,$$

जहां I, X को परिभाषित करने वाला आदर्श (रिंग सिद्धांत) है (ध्यान दें: दो बहुपद f और g, X पर समान फलन को परिभाषित करते हैं यदि और मात्र यदि f - g I में है)। छवि f(X) Y में स्थित है, और इसलिए Y के परिभाषित समीकरणों को संतुष्ट करती है। अर्थात्, एक नियमित मानचित्र $$f: X \to Y$$ एक बहुपद मानचित्र के प्रतिबंध के समान है जिसके घटक परिभाषित समीकरणों $$Y$$ को संतुष्ट करते हैं।

अधिक सामान्यतः, दो अमूर्त विविधताओं के मध्य एक मानचित्र f:X→Y 'एक बिंदु x पर नियमित' होता है यदि x का समीपस्थ U और f(x) का समीपस्थ V है जैसे कि f(U) ⊂ V और प्रतिबंधित फलन f:U→V, U और V के कुछ एफ़िन चार्ट पर एक फलन के रूप में नियमित होता है। फिर f को नियमित कहा जाता है, यदि यह X के सभी बिंदुओं पर नियमित होता है।


 * नोट: यह तात्कालिक स्पष्ट नहीं होता है कि दोनों परिभाषाएँ समरूप होती हैं: यदि साथ ही, यह तात्कालिक स्पष्ट नहीं है कि क्या नियमितता एफ़िन चार्ट की विकल्प पर निर्भर करती है (ऐसा नहीं है)।) यघपि, यदि कोई औपचारिक परिभाषा अपनाता है तो इस प्रकार की स्थिरता का उद्देश्य विलुप्त हो जाता है। औपचारिक रूप से, एक (अमूर्त) बीजगणितीय विविधता को एक विशेष प्रकार के स्थानीय रिंग वाले स्थान के रूप में परिभाषित किया जाता है। जब इस परिभाषा का उपयोग किया जाता है, तो विविधताओं का नियम-निष्ठता स्थानीय रूप से चक्रित स्थानों का नियम-निष्ठता मात्र होता है।

नियमित मानचित्रों की संरचना पुनः नियमित होती है; इस प्रकार, बीजगणितीय विविधताएँ बीजगणितीय ज्यामिति एफ़िन विविधताओं की आकृतिवाद बनाती हैं जहां नियम-निष्ठता नियमित मानचित्र होते हैं।

एफ़िन विविधताओं के मध्य नियमित मानचित्र समन्वय रिंगों के मध्य एक-से-एक बीजगणित समरूपता में विपरीत रूप से समरूप होते हैं: यदि f:X→Y एफ़िन विविधताओं का एक नियम-निष्ठता है, तो यह बीजगणित समरूपता को परिभाषित करता है
 * $$f^{\#}: k[Y] \to k[X], \, g \mapsto g \circ f$$

जहाँ $$k[X], k[Y]$$ X और Y के निर्देशांक वलय हैं; इन्हें अच्छी तरह से $$g \circ f = g(f_1, \dots, f_m)$$ परिभाषित होता है के तत्वों में एक $$k[X]$$ बहुपद होता हैयुक्तिपूर्वक इसके विपरीत, यदि $$\phi: k[Y] \to k[X]$$ एक बीजगणित समरूपता है, तो यह नियम-निष्ठता को प्रेरित करता है
 * $$\phi^a: X \to Y$$

द्वारा दिया गया: लेखन $$k[Y] = k[y_1, \dots, y_m]/J,$$
 * $$\phi^a = (\phi(\overline{y_1}), \dots, \phi(\overline{y_m}))$$

जहाँ $$\overline{y}_i$$ $$y_i$$'s की छवियां होती है। टिप्पणी $${\phi^a}^{\#} = \phi$$ साथ ही $${f^{\#}}^a = f$$ विशेष रूप से, एफ एफ़िन विविधताओं का एक समरूपता है यदि और मात्र यदि f# निर्देशांक वलय का एक समरूपता होतो है।

उदाहरण के लिए, यदि f# Y से X पर नियमित कार्यों का प्रतिबंध होता है। अधिक उदाहरणों के लिए नीचे # उदाहरण देखें।

नियमित कार्य
विशेष स्थिति में Y, A1 के बराबर होता है नियमित मानचित्र f:X→A1को नियमित फलन कहा जाता है, और विभेदक ज्यामिति में अध्ययन किए गए सुचारु फलनों के बीजगणितीय एनालॉग होता हैं। नियमित कार्यों का वलय (जो समन्वय वलय या अधिक संक्षेप में संरचना शीफ ​​के वैश्विक खंडों का वलय है) एफ़िन बीजगणितीय ज्यामिति में एक मौलिक वस्तु होती है। प्रक्षेप्य विविधता पर एकमात्र नियमित कार्य स्थिर है (इसे लिउविले के प्रमेय (जटिल विश्लेषण) के बीजगणितीय एनालॉग के रूप में देखा जा सकता है। जटिल विश्लेषण में लिउविले का प्रमेय)।

एक अदिश फलन f:X→A1 एक बिंदु x पर नियमित होता है यदि, x के कुछ विवृत एफ़िन समीपस्थ में, यह एक युक्तिपूर्वक कार्य है जो x पर नियमित होता है; अर्थात्, x के निकट नियमित फलन g, h इस प्रकार हैं कि f = g/h और x पर h लुप्त नहीं होता है। सावधानी: नियम कुछ जोड़ी (g, h) के लिए है, सभी जोड़ियों (g, h) के लिए नहीं होती है ; #उदाहरण देखें.

यदि X एक अर्ध-प्रक्षेपी विविधता है; अर्थात्, जब एक प्रक्षेप्य विविधता की एक खुली उप-विविधता होती है, तो फलन क्षेत्र k(X) समाप्ति के समान होती है $$\overline{X}$$ X का एक युक्तिपूर्वक फलन होता है जो कुछ सजातीय तत्वों के लिए g/h के रूप का है, सजातीय समन्वय रिंग में समान डिग्री के g, h $$k[\overline{X}]$$ का $$\overline{X}$$ (सीएफ. प्रक्षेप्य विविधता#विविधता संरचना।) तब एक्स पर एक युक्तिपूर्वक  फलन एफ एक बिंदु x पर नियमित होता है यदि और मात्र तभी जब इसमें समान डिग्री के कुछ सजातीय तत्व g, h हों $$k[\overline{X}]$$ जैसे कि f = g/h और h x पर लुप्त नहीं होता है। इस लक्षण वर्णन को कभी-कभी एक नियमित कार्य की परिभाषा के रूप में लिया जाता है।

योजनाओं के नियम-निष्ठता के साथ तुलना
यदि X = स्पेक A and Y = स्पेक B एफ़िन योजनाएं हैं, तो प्रत्येक रिंग समरूपता है φ : B → A एक नियम-निष्ठता निर्धारित करता है


 * $$\phi^a: X \to Y, \, \mathfrak{p} \mapsto \phi^{-1}(\mathfrak{p})$$

प्रमुख आदर्श की पूर्व-छवियाँ ) लेकर। एफ़िन योजनाओं के मध्य सभी नियम-निष्ठता इस प्रकार के होते हैं और ऐसे नियम-निष्ठताओं को जोड़ने से सामान्य रूप से योजनाओं का एक नियम-निष्ठता प्राप्त होता है।

अब, यदि X, Y एफ़िन विविधताएँ हैं; अर्थात्,A, B अभिन्न कार्यक्षेत्र हैं जो बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र के अंतिम रूप से उत्पन्न बीजगणित हैं, फिर, मात्र संवृत बिंदुओं के साथ काम करते हुए, उपरोक्त #परिभाषा में दी गई परिभाषा से समरूप होता है। (प्रमाण: यदि f : X → Y एक नियम-निष्ठता   है, फिर लिखना $$\phi = f^{\#}$$, जो निम्न प्रकार होता है


 * $$\mathfrak{m}_{f(x)} = \phi^{-1}(\mathfrak{m}_x)$$

जहाँ $$\mathfrak{m}_x, \mathfrak{m}_{f(x)}$$ बिंदु x और f(x) के संगत अधिकतम आदर्श होता हैं; अर्थात, $$\mathfrak{m}_x = \{ g \in k[X] \mid g(x) = 0 \}$$. यह तत्काल होता है।)

इस तथ्य का अर्थ है कि एफ़िन विविधताओं की श्रेणी को k से अधिक एफ़िन योजनाओं की पूर्ण उपश्रेणी के साथ पहचाना जा सकता है। चूँकि विविधताओं की आकृतियाँ एफ़िन विविधताओं की आकृतियों को चिपकाकर प्राप्त की जाती हैं, उसी प्रकार योजनाओं की आकृतियाँ एफ़िन योजनाओं की आकृतियों को चिपकाकर प्राप्त की जाती हैं, यह इस प्रकार है कि विविधताओं की श्रेणी k से अधिक योजनाओं की श्रेणी की एक पूर्ण उपश्रेणी होती है।

अधिक विवरण के लिए, देखें।

उदाहरण

 * An पर नियमित फलन बिल्कुल n चरों में बहुपद हैं और Pn पर नियमित फलन मात्र स्थिरांक होता हैं।
 * मान लीजिए कि X एफ़िन वक्र $$y = x^2$$ है। तब $$f: X \to \mathbf{A}^1, \, (x, y) \mapsto x$$ एक नियम-निष्ठता है; यह व्युत्क्रम $$g(x) = (x, x^2)$$ के साथ विशेषण है। चूँकि g भी एक नियम-निष्ठता है, f विविधताओं का एक समरूपता है।
 * मान लीजिए कि X एफ़िन $$y^2 = x^3 + x^2$$ वक्र है। तब $$f: \mathbf{A}^1 \to X, \, t \mapsto (t^2 - 1, t^3 - t)$$ एक नियम-निष्ठता है। यह वलय समरूपता से समान होता है $$f^{\#}: k[X] \to k[t], \, g \mapsto g(t^2 - 1, t^3 - t),$$ जिसे विशेषण के रूप में देखा जाता है (चूँकि f विशेषण है)।
 * पिछले उदाहरण को निरंतर रखते हुए, मान लीजिए U = 'A'1--{1} होता है। चूँकि U हाइपरप्लेन t = 1 का पूरक होता है, जहाँ U एफ़िन है। प्रतिबंध $$f: U \to X$$ वस्तुनिष्ठ है। चूकिं संगत वलय समरूपता समावेशन $$k[X] = k[t^2 - 1, t^3 - t] \hookrightarrow k[t, (t - 1)^{-1}]$$ होता है, जो एक समरूपता नहीं है और इसलिए प्रतिबंध f |U एक समरूपता नहीं है।
 * मान लीजिए कि X एफ़िन वक्र x2 + y2 = 1 है और मान लीजिए $$f(x, y) = {1 - y \over x}.$$ तब f, X पर एक परिमेय फलन होता है। अभिव्यक्ति के बाद भी यह (0, 1) पर नियमित होता है, क्योंकि, X पर एक परिमेय फलन के रूप में, f को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है $$f(x, y) = {x \over 1 + y}$$.
 * माना X = A2 − (0, 0) है। फिर X एक बीजगणितीय विविधता होती है क्योंकि यह एक विविधता का विवृत उपसमुच्चय होता है। यदि f, X पर एक नियमित फलन होता है, तो f नियमित रूप से निरंतर $$D_{\mathbf{A}^2}(x) = \mathbf{A}^2 - \{ x = 0 \}$$ होता है और इसी तरह अंदर भी $$k[D_{\mathbf{A}^2}(x)] = k[\mathbf{A}^2][x^{-1}] = k[x, x^{-1}, y]$$ होता है। इसी प्रकार, यह $$k[x, y, y^{-1}]$$ में होता है। इस प्रकार, हम लिख सकते हैं: $$f = {g \over x^n} = {h \over y^m}$$ जहाँ g, h k[x, y] में बहुपद हैं। चूकिं इसका तात्पर्य यह है कि g, xn से विभाज्य होता है और इसलिए f वास्तव में एक बहुपद होता है। इसलिए, X पर नियमित फलनों का वलय मात्र k[x, y] होता है। (इससे यह भी पता चलता है कि X को एफ़िन नहीं किया जा सकता क्योंकि यदि ऐसा होता, तो X = A2होता है।)
 * कल्पना करें $$\mathbf{P}^1 = \mathbf{A}^1 \cup \{ \infty \}$$ A1 पर बिंदु x के साथ बिंदुओं (x : 1) की पहचान करके A1और ∞ = (1 : 0) है। P का एक ऑटोमोर्फिज्म σ है P1 द्वारा दिया गया σ(x : y) = (y : x); विशेष रूप से, σ 0 और ∞ का आदान-प्रदान करता है। यदि P1 पर f एक परिमेय फलन होता है, तो और f ∞ पर नियमित है यदि और मात्र यदि f(1/z) शून्य पर नियमित होती है।
 * एक अपरिवर्तनीय विविधता के बीजगणितीय वक्र V के बीजगणितीय विविधता k(V) के फलन क्षेत्र को लेते हुए, फलन क्षेत्र में फलन F को V से k के ऊपर प्रक्षेप्य रेखा तक आकारिकी के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। (सी एफ #गुण) छवि या तो एक बिंदु होगी, या संपूर्ण प्रक्षेप्य रेखा होगी (यह प्रक्षेप्य विविधताओं की पूर्णता का परिणाम है)। अर्थात्, जब तक F वास्तव में स्थिर न हो, हमें V के कुछ बिंदुओं पर F का मान ∞ देना होता है।
 * किसी भी बीजगणितीय विविधताओं X, Y के लिए, प्रक्षेपण $$p: X \times Y \to X, \, (x, y) \mapsto x$$ विविधताओं का एक नियम-निष्ठता है। यदि X और Y एफ़िन होता हैं, तो संगत वलय समरूपता होती है $$ p^{\#}: k[X] \to k[X \times Y] = k[X] \otimes_k k[Y], \, f \mapsto f \otimes 1$$जहाँ $$(f \otimes 1)(x, y) = f(p(x, y)) = f(x)$$।

गुण
स्रोत और लक्ष्य पर ज़ारिस्की सांस्थिति के संबंध में विविधताओं के मध्य एक नियम-निष्ठता निरंतर मानचित्र होता है।

विविधताओं के नियम-निष्ठता की छवि को न तो विवृत होना चाहिए और न ही संवृत होना चाहिए (उदाहरण के लिए, की छवि)। $$\mathbf{A}^2 \to \mathbf{A}^2, \, (x, y) \mapsto (x, xy)$$ न तो विवृत है और न ही संवृत है)।यघपि, कोई अभी भी कह सकता है: यदि f विविधताओं के मध्य एक नियम-निष्ठता   है, तो f की छवि में इसके समापन का एक विवृत सघन उपसमुच्चय सम्मलित होता है। (सीएफ. रचनात्मक सेट (सांस्थिति)।)

बीजगणितीय विविधताओं के एक नियम-निष्ठता f:X→Y को प्रभावी कहा जाता है यदि इसकी छवि सघन हो। ऐसे f के लिए, यदि V, Y का एक गैर-रिक्त विवृत एफ़िन उपसमुच्चय है, तो X का एक गैर-रिक्त विवृत एफ़िन उपसमुच्चय U होता है, जैसे कि f(U) ⊂ V और फिर $$f^{\#}: k[V] \to k[U]$$ इंजेक्शन है. इस प्रकार, प्रमुख मानचित्र f फलन क्षेत्र के स्तर पर एक इंजेक्शन प्रेरित करता है:
 * $$k(Y) = \varinjlim k[V] \hookrightarrow k(X), \, g \mapsto g \circ f$$

जहां सीमा Y के सभी गैर-रिक्त खुले एफ़िन उपसमुच्चय पर चलती है। (अधिक संक्षेप में, यह Y के सामान्य बिंदु के अवशेष क्षेत्र से X के अवशेष क्षेत्र तक प्रेरित मानचित्र होता है।) इसके विपरीत,क्षेत्र का प्रत्येक समावेश $$k(Y) \hookrightarrow k(X)$$ X से Y तक एक प्रमुख युक्तिपूर्वक मानचित्र द्वारा प्रेरित है। इसलिए, उपरोक्त निर्माण एक क्षेत्र k पर बीजगणितीय विविधताओं की श्रेणी और उनके मध्य प्रमुख युक्तिपूर्वक मानचित्रों और k के अंतिम रूप से उत्पन्न क्षेत्र विस्तार की श्रेणी के मध्य एक विरोधाभास-समतुल्यता निर्धारित करता है।

यदि X एक सहज पूर्ण वक्र है (उदाहरण के लिए, P1) और यदि f, X से प्रक्षेप्य स्थान Pm तक का एक युक्तिपूर्वक मानचित्र है, तो f एक नियमित मानचित्र होता X → Pm होता है। विशेष रूप से, जब X एक सहज पूर्ण वक्र है, तो X पर किसी भी युक्तिपूर्वक  कार्य का नियम-निष्ठता होता है।

एक सामान्य विविधता (विशेष रूप से, एक समतल विविधता ) पर, एक युक्तिपूर्वक कार्य नियमित होता है यदि और मात्र तभी जब इसमें कोडिमेंशन एक का कोई ध्रुव न हो। यह हार्टोग्स के विस्तार प्रमेय का बीजगणितीय एनालॉग होता है। इस तथ्य का एक सापेक्ष संस्करण भी है;  देखें।

बीजगणितीय विविधताओं के मध्य एक नियम-निष्ठता जो अंतर्निहित स्थलाकृतिक रिक्त स्थान के मध्य एक होमियोमोर्फिज्म है, उसे आइसोमोर्फिज्म होने की आवश्यकता नहीं है (एक प्रति उदाहरण फ्रोबेनियस नियम-निष्ठता   द्वारा दिया गया है) $$t \mapsto t^p$$।) दूसरी ओर, यदि f विशेषण द्विवार्षिक है और f का लक्ष्य स्थान एक सामान्य विविधता होती है, तो f द्विनियमित है। (सीएफ. ज़ारिस्की का मुख्य प्रमेय।)

जटिल बीजगणितीय विविधता के मध्य एक नियमित मानचित्र एक होलोमोर्फिक मानचित्र होता है। (वास्तव में थोड़ा सा तकनीकी अंतर है: एक नियमित मानचित्र एक मेरोमोर्फिक मानचित्र होता है जिसके एकवचन बिंदु हटाने योग्य विलक्षणता होते हैं, चूकिं व्यवहार में अंतर को सामान्यतः नजरअंदाज कर दिया जाता है।) विशेष रूप से, जटिल संख्याओं में एक नियमित मानचित्र मात्र एक सामान्य होलोमोर्फिक फलन होता है ( जटिल-विश्लेषणात्मक कार्य)।

एक प्रक्षेप्य स्थान के लिए आकृतियाँ
माना
 * $$f: X \to \mathbf{P}^m$$

एक प्रक्षेप्य विविधता से एक प्रक्षेप्य स्थान तक एक नियम-निष्ठता   बनें। मान लीजिए कि x, X का एक बिंदु है। तब f(x) का कुछ i-वें सजातीय निर्देशांक अशून्य है; कहें, सरलता के लिए i = 0। फिर, निरंतरता से, x का एक विवृत एफ़िन समीपस्थ U इस प्रकार है
 * $$f: U \to \mathbf{P}^m - \{ y_0 = 0 \}$$

एक नियम-निष्ठता   है, जहाँ yi सजातीय निर्देशांक हैं। ध्यान दें कि लक्ष्य स्थान एफ़िन स्थान Am पहचान के माध्यम से होता है $$(a_0 : \dots : a_m) = (1 : a_1 / a_0 : \dots : a_m / a_0) \sim (a_1 / a_0, \dots, a_m / a_0)$$ इस प्रकार, परिभाषा के अनुसार, प्रतिबंध f |U द्वारा दिया गया है
 * $$f|_U(x) = (g_1(x), \dots, g_m(x))$$

जहाँ gi U पर नियमित कार्य होता हैं। चूंकि एक्स प्रक्षेप्य है, प्रत्येक gii X के सजातीय निर्देशांक वलय k[X] में समान डिग्री के सजातीय तत्वों का एक अंश होता है। हम भिन्नों को व्यवस्थित कर सकते हैं जिससे उन सभी का एक ही सजातीय हर हो, मान लीजिए f0 होता है। तब हम gi = fi/f0 लिख सकते है कुछ सजातीय तत्वों के लिए fii 'k[X] में होता है। इसलिए, सजातीय निर्देशांक पर वापस जा रहे हैं,
 * $$f(x) = (f_0(x) : f_1(x) : \dots : f_m(x))$$

x में सभी एक्स के लिए और एक्स में सभी x के लिए निरंतरता द्वारा जब तक एफix पर एक साथ लुप्त नहीं होता। यदि वे X के बिंदु x पर एक साथ गायब हो जाते हैं, तो, उपरोक्त प्रक्रिया द्वारा, कोई व्यक्ति f का एक अलग सेट चुन सकता हैiजो x पर एक साथ गायब नहीं होते हैं (अनुभाग के अंत में नोट देखें।)

वास्तव में, उपरोक्त विवरण किसी भी अर्ध-प्रोजेक्टिव विविधता x के लिए मान्य है, जो एक प्रोजेक्टिव विविधता की एक खुली उप-विविधता है $$\overline{X}$$; अंतर यह है कि fi के सजातीय समन्वय वलय $$\overline{X}$$ में होता हैं।

ध्यान दें: ऊपर यह नहीं कहा गया है कि एक प्रक्षेप्य विविधता से एक प्रक्षेप्य स्थान तक का नियम-निष्ठता   बहुपदों के एक सेट द्वारा दिया जाता है (एफ़िन केस के विपरीत)। उदाहरण के लिए, मान लीजिए X शंकु है $$y^2 = xz$$ P2 में होता है। फिर दो मानचित्र $$(x : y : z) \mapsto (x : y)$$ और $$(x : y : z) \mapsto (y : z)$$ विवृत उपसमुच्चय पर सहमत हों $$\{ (x : y : z) \in X \mid x \ne 0, z \ne 0 \}$$ X का (तब से) $$(x : y) = (xy : y^2) = (xy: xz) = (y : z)$$) और इसलिए नियम-निष्ठता    $$f: X \to \mathbf{P}^1$$ को परिभाषित करता है।

एक नियम-निष्ठता के रेशे
महत्वपूर्ण तथ्य निम्नलिखित है: $$

{{math_theorem|name=उपफल|1=मान लीजिए f: X → Y बीजगणितीय विविधताओं का एक रूप होता है। x में प्रत्येक x के लिए, परिभाषित करें। e(x) = अधिकतम {dm Z {{!}} Z, f^-1(f(x)) का एक अपरिवर्तनीय घटक है जिसमें x होता है X n ={ x € X{{!}}e(x)>= n} संवृत होता है।}}

ममफोर्ड की लाल किताब में, प्रमेय को नोएदर के सामान्यीकरण लेम्मा के माध्यम से सिद्ध किया गया है। एक बीजगणितीय दृष्टिकोण के लिए जहां सामान्य स्वतंत्रता एक मुख्य भूमिका निभाती है और सार्वभौमिक रूप से कैटेनरी रिंग की धारणा प्रमाण में एक कुंजी है, ईसेनबड, सीएच देखें। बीजगणितीय ज्यामिति की ओर एक दृष्टिकोण के साथ क्रमविनिमेय बीजगणित का 14 वास्तव में, वहाँ प्रमाण से पता चलता है कि यदि एफ फ्लैट आकारवाद है, तो प्रमेय के 2 में आयाम समानता सामान्य रूप से लागू होती है (मात्र सामान्य रूप से नहीं)।

एक परिमित नियम-निष्ठता  की डिग्री
मान लीजिए f: X → Y एक क्षेत्र k पर बीजगणितीय विविधताओं के मध्य एक परिमित नियम-निष्ठता   विशेषण नियम-निष्ठता    है। फिर, परिभाषा के अनुसार, f की डिग्री f पर फलन क्षेत्र k(X) के परिमितक्षेत्र विस्तार की डिग्री k(Y) है। सामान्य फ़्रीनेस के अनुसार, Y में कुछ गैर-रिक्त विवृत उपसमुच्चय U होता है, जैसे कि संरचना शीफ़ OX का प्रतिबंध f−1(U) OY|U-मापांक के शीफ के रूप में मुक्त होता है । फिर f की डिग्री इस मुक्त मॉड्यूल की रैंक भी होती है।

यदि F ईटाले होता है और यदि X, Y पूर्ण विविधता, तो Y पर किसी भी सुसंगत शीफ़ F के लिए, यूलर विशेषता के लिए χ लिखना,
 * $$\chi(f^* F) = \deg(f) \chi (F).$$

(एक व्यापक आवरण के लिए रीमैन-हर्विट्ज़ फॉर्मूला दिखाता है कि यहां ईटेल को छोड़ा नहीं जा सकता है।)

सामान्यतः, यदि एफ एक परिमित विशेषण नियम-निष्ठता   है, यदि X, Y पूर्ण विविधता है और F Y पर एक सुसंगत शीफ है, तो लेरे वर्णक्रमीय अनुक्रम से $$\operatorname{H}^p(Y, R^q f_* f^* F) \Rightarrow \operatorname{H}^{p+q}(X, f^* F)$$, किसी को मिलता है:
 * $$\chi(f^* F) = \sum_{q=0}^{\infty} (-1)^{q} \chi(R^q f_* f^* F).$$

विशेष रूप से, यदि F एक टेंसर शक्ति $$L^{\otimes n}$$ है फिर एक लाइन बंडल का $$R^q f_*(f^* F) = R^q f_* \mathcal{O}_X \otimes L^{\otimes n}$$ और के समर्थन के बाद से $$R^q f_* \mathcal{O}_X$$ यदि q सकारात्मक है, तो इसका सकारात्मक कोड आयाम है, प्रमुख शब्दों की तुलना करने पर, किसी के पास यह है:
 * $$\operatorname{deg}(f^* L) = \operatorname{deg}(f) \operatorname{deg}(L)$$

(के सामान्य रैंक के बाद से $$f_* \mathcal{O}_X$$ F की डिग्री है)

यदि f ईटाले होता है और k बीजगणितीय रूप से संवृत होता है, तो प्रत्येक ज्यामितीय फाइबर f−1(y) में मात्र deg(f) अंक होते हैं।

यह भी देखें

 * बीजीय फलन
 * समतल नियम-निष्ठता
 * एटले मोर्फिज्म - स्थानीय भिन्नता का बीजगणितीय एनालॉग।
 * विलक्षणताओं का समाधान
 * संकुचन नियम-निष्ठता

संदर्भ

 * Milne, Algebraic geometry, old version v. 5.xx.
 * Milne, Algebraic geometry, old version v. 5.xx.
 * Milne, Algebraic geometry, old version v. 5.xx.
 * Milne, Algebraic geometry, old version v. 5.xx.