सामान्य (ज्यामिति)

ज्यामिति में, सामान्य एक वस्तु है जैसे कि एक रेखा, किरण, या सदिश जो किसी दिए गए वस्तु के लंबवत है। उदाहरण के लिए, किसी दिए गए बिंदु पर समतल वक्र की सामान्य रेखा बिंदु पर वक्र की स्पर्श रेखा के लंबवत (अनंत) रेखा होती है। एक सामान्य वेक्टर की लंबाई एक (एक इकाई वेक्टर) हो सकती है या इसकी लंबाई वस्तु की वक्रता (एक वक्रता वेक्टर) का प्रतिनिधित्व कर सकती है; इसका बीजगणितीय चिह्न पक्षों (आंतरिक या बाहरी) को इंगित करता है।

तीन आयामों में, बिंदु $$P$$ पर एक सतह के लिए सामान्य, $$P$$ पर सतह के स्पर्शरेखा तल के लिए एक सदिश लम्बवत है। "सामान्य" शब्द का प्रयोग विशेषण के रूप में भी किया जाता है: किसी सतह के लिए सामान्य रेखा, एक बल का सामान्य घटक, सामान्य वेक्टर, आदि। सामान्यता की अवधारणा समकोणीय के लिए सामान्य है।

अवधारणा को यूक्लिडियन समतल में सन्निहित मनचाहे आयाम के अलग-अलग कई गुना करने के लिए सामान्यीकृत किया गया है। बिंदु $$P$$ पर मैनिफोल्ड का सामान्य सदिश स्थान या सामान्य स्थान सदिशों का समूह है जो $$P$$ पर स्पर्शरेखा स्थान के लिए समकोणीय हैं। चिकनी वक्रों और चिकनी सतहों के मामले में सामान्य वैक्टर विशेष रुचि रखते हैं।

समतल छायांकन के लिए एक प्रकाश स्रोत की ओर एक सतह के उन्मुखीकरण को निर्धारित करने के लिए सामान्य का उपयोग अधिकांशतः 3d कंप्यूटर ग्राफिक्स में किया जाता है (विलक्षण पर ध्यान दें, केवल एक सामान्य को परिभाषित किया जाएगा), या सतह के प्रत्येक कोने के उन्मुखीकरण को नकल करने के लिए फोंग छायांकन के साथ घुमावदार सतह के द्वारा उपयोग किया जाता है।

बिंदु Q पर एक सामान्य लंबवत आधार के समान सतह पर बिंदु $$P$$ पर परिभाषित किया जा सकता है जहां सामान्य वेक्टर में Q होता है। एक वक्र या सतह के लिए बिंदु Q की सामान्य दूरी Q और उसके आधार $$P$$ के बीच यूक्लिडियन दूरी है।

सामान्य सतह की गणना
एक उत्तल बहुभुज (जैसे त्रिभुज) के लिए, एक सतह सामान्य की गणना बहुभुज के दो (असमानांतर) किनारों के वेक्टर क्रॉस उत्पाद के रूप में की जा सकती है।

समीकरण द्वारा दिए गए समतल $$ax + by + cz + d = 0,$$ के लिए एक सामान्य वेक्टर $$\mathbf n = (a, b, c)$$ है।

किसी समतल के लिए जिसका समीकरण पैरामीट्रिक रूप में दिया गया है$$\mathbf{r}(s,t) = \mathbf{r}_0 + s \mathbf{p} + t \mathbf{q},$$जहाँ पर $$\mathbf{r}_0$$ तल पर एक बिंदु है और $$\mathbf{p}, \mathbf{q}$$ तल के साथ इंगित करने वाले असमानांतर वैक्टर हैं, तल के लिए सामान्य दोनों के लिए सामान्य वेक्टर है $$\mathbf{p}$$ तथा $$\mathbf{q},$$ जिसे क्रॉस उत्पाद के रूप में पाया जा सकता है $$\mathbf{n}=\mathbf{p}\times\mathbf{q}.$$ यदि एक (संभवतः गैर-सपाट) सतह $$S$$ 3-डी स्पेस में $$\R^3$$ वक्रीय निर्देशांक की एक प्रणाली द्वारा समन्वय प्रणाली है $$\mathbf{r}(s, t) = (x(s, t), y(s, t), z(s, t)),$$ साथ $$s$$ तथा $$t$$ वास्तविक संख्या वाले वैरिएबल फिर S के लिए सामान्य परिभाषा के अनुसार स्पर्शरेखा तल के लिए सामान्य है, जो आंशिक व्युत्पन्न के क्रॉस उत्पाद द्वारा दिया गया है$$\mathbf{n}=\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial s} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}.$$

यदि कोई सतह $$S$$$$(x, y, z)$$ बिंदुओं के समुच्चय के रूप में निहित कार्य दिया जाता है तब संतुष्टि देने वाला $$F(x, y, z) = 0,$$ फिर एक बिंदु पर सामान्य $$(x, y, z)$$ सतह पर ढाल द्वारा दिया जाता है$$\mathbf{n} = \nabla F(x, y, z).$$चूँकि किसी भी बिंदु पर ग्रेडिएंट लेवल सेट $$S$$ के लंबवत होता है।

इस प्रकार इस सतह के लिए $$S$$ में $$\R^3$$ एक फ़ंक्शन के ग्राफ़ $$z = f(x, y),$$ के रूप में दिया गया है, जो यहाँ पर पैरामीट्रिजेशन $$\mathbf{r}(x,y)=(x,y,f(x,y)),$$ के रूप में व्याप्त है$$\mathbf{n} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y} = \left(1,0,\tfrac{\partial f}{\partial x}\right) \times \left(0,1,\tfrac{\partial f}{\partial y}\right) = \left(-\tfrac{\partial f}{\partial x}, -\tfrac{\partial f}{\partial y},1\right);$$या इसे यदि और अधिक सरलता से अपने निहित रूप से देखे तो $$F(x, y, z) = z-f(x,y) = 0,$$ इस प्रकार है कि $$\mathbf{n} = \nabla F(x, y, z) = \left(-\tfrac{\partial f}{\partial x}, -\tfrac{\partial f}{\partial y}, 1 \right).$$होगा। चूंकि इस सतह के पास एक विलक्षण बिंदु पर स्पर्शरेखा समतल नहीं है, इसलिए इस बिंदु पर कोई अच्छी तरह से परिभाषित विकल्प सामान्य नहीं है: उदाहरण के लिए, शंकु का शीर्ष। सामान्यतः, इस सतह के लिए लगभग हर स्थान पर सामान्य को परिभाषित करना संभव है इस प्रकार यहाँ पर लिप्सचिट्ज़ निरंतर है।

सामान्य का विकल्प
हाइपर सतह के सामान्य को सामान्यतः इकाई में लंबाई के लिए बढ़ाया जा सकता है, लेकिन इसकी कोई निश्चित दिशा नहीं होती है, क्योंकि इसके विपरीत भी एक इकाई होती है जो सामान्य रहती है। इस सतह के लिए जो तीन आयामों में एक सेट की सामयिक सीमा है, जिसे आंतरिक रूप से इंगित करने के लिए सामान्य और बाहरी समन्वय के कारण इंगित करने के लिए सामान्य के बीच अंतर कर सकता है। एक उन्मुख सतह के लिए, सामान्यतः दाहिने हाथ के नियम या उच्च आयामों में इसके अनुरूप द्वारा निर्धारित किया जाता है।

यहाँ पर सामान्य को स्पर्शरेखा सदिशों के क्रॉस उत्पाद के रूप में बनाया गया है (जैसा कि ऊपर पाठ में वर्णित है), यह एक स्यूडोवेक्टर है।

नॉर्म्स बदलना
किसी सतह पर परिवर्तन लागू करते समय परिणामी सतह के लिए मूल मानदंडों से मानदंड प्राप्त करना अधिकांशतः उपयोगी होता है।

विशेष रूप से, एक 3×3 रूपांतरण आव्यूह दिया गया है $$\mathbf{M},$$ हम आव्यूह $$\mathbf{W}$$ निर्धारित कर सकते हैं जो एक सदिश $$\mathbf{n}$$ को स्पर्शरेखा तल के लंबवत $$\mathbf{t}$$ को सदिश $$\mathbf{n}^{\prime}$$ में रूपांतरित करता है। निम्नलिखित तर्क द्वारा n रूपांतरित स्पर्शरेखा तल के लंबवत $$\mathbf{Mt},$$ n' को $$\mathbf{Wn}.$$ के रूप में लिखें। हमें $$\mathbf{W}.$$ खोजना चाहिए। $$\begin{alignat}{5} W\mathbb n \text{ is perpendicular to } M\mathbb t \quad \, &\text{ if and only if } \quad 0 = (W \mathbb n) \cdot (M \mathbb t) \\ &\text{ if and only if } \quad 0 = (W \mathbb{n})^\mathrm{T} (M \mathbb{t}) \\ &\text{ if and only if } \quad 0 = \left(\mathbb{n}^\mathrm{T} W^\mathrm{T}\right) (M \mathbb{t}) \\ &\text{ if and only if } \quad 0 = \mathbb{n}^\mathrm{T} \left(W^\mathrm{T} M\right) \mathbb{t} \\ \end{alignat}$$

$$\mathbf{W}$$का चयन ऐसा है कि a देते हुए $$W^\mathrm{T} M = I,$$ या $$W = (M^{-1})^\mathrm{T},$$ उपरोक्त समीकरण को संतुष्ट करेगा $$W \mathbb n$$ के लम्बवत $$M \mathbb t,$$ या एक $$\mathbf{n}^{\prime}$$ के लम्बवत $$\mathbf{t}^{\prime},$$ जैसी ज़रूरत हैं।

इसलिए, सतह के सामान्यों को बदलते समय किसी को रैखिक परिवर्तन के व्युत्क्रम स्थानान्तरण का उपयोग करना चाहिए। व्युत्क्रम स्थानान्तरण मूल आव्यूह के बराबर होता है यदि आव्यूह ऑर्थोनॉर्मल है, अर्थात बिना किसी स्केलिंग या शियरिंग के विशुद्ध रूप से घूर्णी।

एन-डायमेंशनल स्पेस में हाइपरसर्फेस
किसी $$(n-1)$$ के लिए  n-आयामी समतल में -आयामी हाइपरप्लेन |$$n$$-आयामी स्थान $$\R^n$$ इसके पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व द्वारा दिया गया$$\mathbf{r}\left(t_1, \ldots, t_{n-1}\right) = \mathbf{p}_0 + t_1 \mathbf{p}_1 + \cdots + t_{n-1}\mathbf{p}_{n-1},$$जहाँ पे $$\mathbf{p}_0$$ हाइपरप्लेन पर एक बिंदु है और $$\mathbf{p}_i$$ के लिये $$i = 1, \ldots, n - 1$$ हाइपरप्लेन के साथ इंगित करने वाले रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर हैं, हाइपरप्लेन के लिए सामान्य कोई भी वेक्टर है $$\mathbf n$$ आव्यूह के शून्य स्थान में $$P = \begin{bmatrix}\mathbf{p}_1 & \cdots &\mathbf{p}_{n-1}\end{bmatrix},$$ अर्थ $$P\mathbf n = \mathbf 0.$$ यही है, सभी इन-प्लेन वैक्टर के लिए कोई भी वेक्टर ऑर्थोगोनल परिभाषा के अनुसार एक सतह सामान्य है। वैकल्पिक रूप से, यदि हाइपरप्लेन को एकल रैखिक समीकरण के परिणाम सेट के रूप में परिभाषित किया जाता है $$a_1x_1+\cdots+a_nx_n = c,$$ यहाँ वेक्टर $$\mathbb{n} = \left(a_1, \ldots, a_n\right)$$ सामान्य है।

त्रि-आयामी प्लेन में सतह से सामान्य की परिभाषा को बढ़ाया जा सकता है $$(n - 1)$$-आयामी हाइपरसर्फेस $$\R^n.$$ एक हाइपरसफेस स्थानीय संपत्ति हो सकती है जिसे बिंदुओं के सेट के रूप में स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है $$(x_1, x_2, \ldots, x_n)$$ एक समीकरण को संतुष्ट करना $$F(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0,$$ जहाँ पे $$F$$ दिया गया अदिश क्षेत्र है। यदि $$F$$ लगातार अलग-अलग होता है तो हाइपरसर्फेस उन बिंदुओं के पड़ोस में एक अलग-अलग कई गुना होता है जहां ग्रेडिएंट शून्य नहीं होता है। इन बिंदुओं पर ग्रेडिएंट द्वारा एक सामान्य वेक्टर दिया जाता है: $$\mathbb n = \nabla F\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) = \left( \tfrac{\partial F}{\partial x_1}, \tfrac{\partial F}{\partial x_2}, \ldots, \tfrac{\partial F}{\partial x_n} \right)\,.$$सामान्य रेखा आधार के साथ एक आयामी उपसमष्टि है $$\{\mathbf{n}\}.$$

एन-डायमेंशनल स्पेस में निहित समीकरणों द्वारा परिभाषित
एन-डायमेंशनल स्पेस में निहित समीकरणों द्वारा परिभाषित प्रकारों में अंतर्निहित समीकरणों द्वारा परिभाषित एक 'विश्लेषणात्मक विविधता' $$n$$-आयामी स्थान $$\R^n$$ भिन्न-भिन्न कार्यों के परिमित समुच्चय के सामान्य शून्य का समुच्चय है $$n$$ चर$$ f_1\left(x_1, \ldots, x_n\right), \ldots, f_k\left(x_1, \ldots, x_n\right).$$इस प्रकार का जैकोबियन आव्यूह है $$k \times n$$ आव्यूह जिसका $$i$$-वें पंक्ति का ग्रेडिएंट $$f_i.$$ है, अंतर्निहित कार्य प्रमेय द्वारा, विविधता एक बिंदु के पड़ोस में कई गुना है जहां जैकोबियन आव्यूह का रैंक $$k.$$ है, ऐसे बिंदु पर $$P,$$ सामान्य सदिश स्थान है जो $$P$$ के मानों द्वारा उत्पन्न होता है इस  प्रकार के ढाल वैक्टर $$f_i.$$ को दूसरे शब्दों में, विविधता को प्रतिच्छेदन $$k$$ के रूप में परिभाषित किया गया है  हाइपरसर्फ्स और एक बिंदु पर सामान्य सदिश स्थान बिंदु पर हाइपरसर्फ्स के सामान्य सदिशों द्वारा उत्पन्न सदिश स्थान है।

एक बिंदु पर सामान्य स्थान $$P$$ के लिए विविधता के माध्यम से गुजरने वाला एफ़िन उप-स्थान $$P$$ है और सामान्य सदिश $$P.$$ स्थान द्वारा उत्पन्न किए गए इन परिभाषाओं को बढ़ाया जा सकता है, उन बिंदुओं पर जहां विविधता कई गुना नहीं है।

उदाहरण
मान लीजिए V समीकरणों द्वारा त्रिविमीय समष्टि में परिभाषित विविधता है$$x\,y = 0, \quad z = 0.$$यह इन विविधताओं $$x$$-अक्ष और $$y$$-अक्ष का संघ है।

जहाँ बिंदु  $$(a, 0, 0),$$ पर  $$a \neq 0,$$ जैकोबियन आव्यूह की पंक्तियाँ  $$(0, 0, 1)$$ तथा $$(0, a, 0).$$ हैं इस प्रकार सामान्य एफ़िन स्पेस समीकरण का तल $$x = a.$$ है  इसी प्रकार, यदि $$b \neq 0,$$ सामान्य तल (ज्यामिति) पर $$(0, b, 0)$$ समीकरण का तल $$y = b.$$ है,  बिंदु $$(0, 0, 0)$$ पर जैकोबियन आव्यूह की पंक्तियाँ $$(0, 0, 1)$$ तथा $$(0, 0, 0).$$  हैं इस प्रकार सामान्य सदिश स्थान और सामान्य संबंध स्थान का आयाम 1 है और सामान्य संबंध स्थान है $$z$$-एक्सिस।

उपयोग

 * भूतल मानदंड वेक्टर क्षेत्रों के सतही समाकलन को परिभाषित करने में उपयोगी होते हैं।
 * कंप्यूटर ग्राफिक्स प्रकाश गणना (लैम्बर्ट के कोसाइन कानून देखें) के लिए सामान्यतः 3 डी कंप्यूटर ग्राफिक्स में भूतल मानक का उपयोग किया जाता है, जिसे अधिकांशतः सामान्य मानचित्रण द्वारा समायोजित किया जाता है।
 * रेंडर किए गए तत्वों की स्पष्ट रोशनी को बदलने के लिए डिजिटल कंपोजिटिंग में सतह की सामान्य जानकारी वाली रेंडर परतों का उपयोग किया जा सकता है।
 * कंप्यूटर दृष्टि में, फोटोमेट्रिक स्टीरियो का उपयोग करके सतह के मानक से 3 डी वस्तुओं के आकार का अनुमान लगाया जाता है।

ज्यामितीय प्रकाशिकी में सामान्य
किसी दिए गए बिंदु पर एक ऑप्टिकल माध्यम की सतह के लिए लंबवत किरण है। प्रकाश के परावर्तन में, आपतन कोण (ऑप्टिक्स) और परावर्तन कोण क्रमशः अभिलंब और आपतित किरण (आपतन तल पर) के बीच का कोण और अभिलंब और परावर्तित किरण के बीच का कोण होता है।

बाहरी संबंध

 * An explanation of normal vectors from Microsoft's MSDN
 * Clear pseudocode for calculating a surface normal from either a triangle or polygon.
 * Clear pseudocode for calculating a surface normal from either a triangle or polygon.