भिन्नात्मक ब्राउनियन गति

संभाव्यता सिद्धांत में, आंशिक ब्राउनियन गति (एफबीएम), जिसे आशिक ब्राउनियन गति भी कहा जाता है, ब्राउनियन गति का एक सामान्यीकरण है। शास्त्रीय ब्राउनियन गति के विपरीत, fBm की वृद्धि को स्वतंत्र होने की आवश्यकता नहीं है। fBm [0, T] पर एक सतत-समय वाली गाऊसी प्रक्रिया BH(t) है, जो शून्य से आरंभ होती है, [0, T] में सभी t के लिए अपेक्षा (गणित) शून्य है, और निम्नलिखित सहप्रसरण फलन है:


 * $$E[B_H(t) B_H (s)]=\tfrac{1}{2} (|t|^{2H}+|s|^{2H}-|t-s|^{2H}),$$

जहाँ H (0, 1) में एक वास्तविक संख्या है, जिसे हर्स्ट सूचकांक या भिन्नात्मक ब्राउनियन गति से जुड़ा हर्स्ट पैरामीटर कहा जाता है। हर्स्ट प्रतिपादक परिणामी गति की उग्रता का वर्णन करता है, जिसमें उच्च मूल्य एक समतल गति की ओर जाता है। इसे मैंडेलब्रॉट और वैन नेस (1968) द्वारा प्रस्तावित किया गया था।

H का मान निर्धारित करता है कि fBm किस प्रकार की प्रक्रिया है:
 * यदि H = 1/2 तो प्रक्रिया वास्तव में ब्राउनियन गति या वीनर प्रक्रिया है;
 * यदि H > 1/2 तो प्रक्रिया की वृद्धि सकारात्मक रूप से सहसंबद्ध है;
 * यदि H < 1/2 तो प्रक्रिया की वृद्धि नकारात्मक रूप से सहसंबद्ध है।

वार्धिक प्रक्रिया, X(t) = BH(t+1) − BH(t), को भिन्नात्मक गाउसीय रव के रूप में जाना जाता है।

भिन्नात्मक ब्राउनियन गति का एक सामान्यीकरण भी है: n-वें क्रम की भिन्नात्मक ब्राउनियन गति, जिसे संक्षेप में n-fBm कहा जाता है। n-fBm एक गाऊसी, स्व-समान, गैर-स्थिर प्रक्रिया है जिसके क्रम n की वृद्धि स्थिर है। n = 1 के लिए, n-fBm शास्त्रीय fBm है।

ब्राउनियन गति की तरह, जिसका यह सामान्यीकरण करता है, आंशिक ब्राउनियन गति का नाम 19वीं शताब्दी के जीवविज्ञानी रॉबर्ट ब्राउन (वनस्पतिशास्त्री, जन्म 1773) के नाम पर रखा गया है; आंशिक गॉसियन रव का नाम गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस के नाम पर रखा गया है।

पृष्ठभूमि और परिभाषा
आंशिक ब्राउनियन गति की प्रारंभ से पहले, ने प्रक्रिया को परिभाषित करने के लिए रीमैन-लिउविल भिन्नात्मक अभिन्न अंग का उपयोग किया था।
 * $$B_H(t) = \frac{1}{\Gamma(H+1/2)}\int_0^t (t-s)^{H-1/2} \, dB(s)$$

जहां एकीकरण ष्वेत रव माप dB(s) के संबंध में है। मूल पर अत्यधिक जोर देने के कारण यह अभिन्न अंग समाकल भिन्नात्मक ब्राउनियन गति के अनुप्रयोगों के लिए अनुपयुक्त सिद्ध होता है ।

इसके बदले प्रक्रिया को परिभाषित करने के लिए सफेद रव के एक अलग भिन्नात्मक अभिन्न अंग का उपयोग करने का विचार है: वेइल समाकल
 * $$B_H (t) = B_H (0) + \frac{1}{\Gamma(H+1/2)}\left\{\int_{-\infty}^0\left[(t-s)^{H-1/2}-(-s)^{H-1/2}\right]\,dB(s) + \int_0^t (t-s)^{H-1/2}\,dB(s)\right\}$$

t > 0 के लिए (और इसी प्रकार t < 0 के लिए)।

आंशिक ब्राउनियन गति और नियमित ब्राउनियन गति के मध्य मुख्य अंतर यह है कि जबकि ब्राउनियन गति में वृद्धि स्वतंत्र होती है, आंशिक ब्राउनियन गति के लिए वृद्धि स्वतंत्र नहीं होती है। यदि H > 1/2, सकारात्मक स्वसहसंबंध है: यदि पूर्व चरणों में एक बढ़ता हुआ प्रतिरूप है, तो यह संभावना है कि वर्तमान चरण भी बढ़ रहा होगा। यदि H < 1/2, स्वसहसंबंध नकारात्मक है।

स्व-समानता
यह प्रक्रिया स्व-समानता है | स्व-समानता, क्योंकि प्रायिकता वितरण के संदर्भ में:


 * $$B_H (at) \sim |a|^{H}B_H (t).$$

यह गुण इस तथ्य के कारण है कि सहप्रसरण फलन क्रम 2H का सजातीय है और इसे भग्न गुण के रूप में माना जा सकता है। FBm को अद्वितीय माध्य-शून्य गाऊसी प्रक्रिया, अशक्त के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है मूल में, स्थिर और स्व-समान वेतन वृद्धि के साथ।

स्थिर वेतन वृद्धि
इसमें स्थिर वेतन वृद्धि है:


 * $$B_H (t) - B_H (s)\;  \sim \;   B_H (t-s). $$

लंबी दूरी की निर्भरता
एच > ½ के लिए प्रक्रिया लंबी दूरी की निर्भरता प्रदर्शित करती है,


 * $$\sum_{n=1}^\infty E[B_H (1)(B_H (n+1)-B_H (n))] = \infty.$$

नियमितता
नमूना-पथ लगभग कहीं भी अलग-अलग नहीं हैं। हालांकि, लगभग निश्चित रूप से|लगभग-सभी प्रक्षेपवक्र स्थानीय रूप से होल्डर कंडीशन हैं|होल्डर निरंतर एच से कम किसी भी आदेश के लिए: प्रत्येक ऐसे प्रक्षेपवक्र के लिए, प्रत्येक टी > 0 के लिए और प्रत्येक ε > 0 के लिए एक (यादृच्छिक) निरंतर सी मौजूद होता है जैसे कि


 * $$ |B_H (t)-B_H (s)| \le c |t-s|^{H-\varepsilon}$$

0< s,t < T के लिए।

आयाम
संभाव्यता 1 के साथ, बी का ग्राफH(t) में हॉसडॉर्फ आयाम दोनों हैं और बॉक्स आयाम{{Citation needed|reason=Orey paper discusses just Hausdorff dimension|date=July 2018}2−एच का }।

एकीकरण
जहां तक ​​नियमित ब्राउनियन गति की बात है, कोई भी भिन्नात्मक ब्राउनियन गति के संबंध में आईटीओ कैलकुलस को परिभाषित कर सकता है, जिसे आमतौर पर भिन्नात्मक स्टोचैस्टिक इंटीग्रल कहा जाता है। हालांकि सामान्य तौर पर, नियमित ब्राउनियन गति के संबंध में इंटीग्रल के विपरीत, भिन्नात्मक स्टोकेस्टिक इंटीग्रल s  नहीं होते हैं।

आवृत्ति-डोमेन व्याख्या
जिस तरह ब्राउनियन गति को सफेद रव द्वारा फ़िल्टर किए जाने के रूप में देखा जा सकता है $$\omega^{-1}$$ (यानी एकीकृत), आंशिक ब्राउनियन गति सफेद रव द्वारा फ़िल्टर की गई है $$\omega^{-H-1/2}$$ (आंशिक एकीकरण के अनुरूप)।

नमूना पथ
एक fBm उत्पन्न किया जा सकता है की व्यावहारिक कंप्यूटर प्राप्ति, हालांकि वे केवल एक परिमित सन्निकटन हैं। चुने गए नमूना पथों के बारे में सोचा जा सकता है कि वे fBm प्रक्रिया पर असतत नमूने वाले बिंदु दिखा रहे हैं। तीन अहसास नीचे दिखाए गए हैं, प्रत्येक में हर्स्ट पैरामीटर 0.75 के साथ fBm के 1000 अंक हैं।

तीन अलग-अलग प्रकार के fBm की प्राप्ति नीचे दिखाई गई है, प्रत्येक 1000 अंक दिखा रहा है, पहला हर्स्ट पैरामीटर 0.15 के साथ, दूसरा हर्स्ट पैरामीटर 0.55 के साथ, और तीसरा हर्स्ट पैरामीटर 0.95 के साथ। हर्स्ट पैरामीटर जितना अधिक होगा, वक्र उतना ही चिकना होगा।

सिमुलेशन की विधि 1
ज्ञात कोवैरियंस फ़ंक्शन के साथ स्थिर गॉसियन प्रक्रियाओं को उत्पन्न करने के तरीकों का उपयोग करके एक एफबीएम के नमूना-पथ अनुकरण कर सकते हैं। सबसे आसान तरीका सहप्रसरण मैट्रिक्स (नीचे समझाया गया है) के चोल्स्की अपघटन पर निर्भर करता है, जो आकार के ग्रिड पर होता है $$ n$$ व्यवस्था की जटिलता है $$O(n^3) $$. एक अधिक जटिल, लेकिन कम्प्यूटेशनल रूप से तेज़ विधि की परिपत्र एम्बेडिंग  विधि है.

मान लीजिए कि हम समय-समय पर fBM के मूल्यों का अनुकरण करना चाहते हैं $$t_1, \ldots, t_n$$ चोल्स्की अपघटन का उपयोग करना।


 * मैट्रिक्स तैयार करें $$\Gamma=\bigl(R(t_i,\, t_j), i,j=1,\ldots,\, n\bigr)$$ कहाँ $$\,R(t,s)=(s^{2H}+t^{2H}-|t-s|^{2H})/2$$.
 * गणना करें $$\,\Sigma$$ का वर्गमूल मैट्रिक्स $$\,\Gamma$$, अर्थात। $$\,\Sigma^2 = \Gamma$$. शिथिल बोल, $$\,\Sigma$$ विचरण-सहप्रसरण मैट्रिक्स से जुड़ा मानक विचलन मैट्रिक्स है $$\,\Gamma$$.
 * एक वेक्टर बनाएँ $$\,v$$ एक मानक गाऊसी बंटन के अनुसार स्वतंत्र रूप से खींची गई n संख्याओं की संख्या,
 * अगर हम परिभाषित करते हैं $$\,u=\Sigma v$$ तब $$\,u$$ fBm का एक नमूना पथ देता है।

गणना करने के लिए $$\,\Sigma$$, हम उदाहरण के लिए Cholesky अपघटन का उपयोग कर सकते हैं। एक वैकल्पिक विधि के eigenvalues ​​​​का उपयोग करता है $$\,\Gamma$$:

ध्यान दें कि परिणाम वास्तविक मूल्यवान है क्योंकि $$\lambda_i>0$$.
 * तब से $$\,\Gamma$$ सममित मैट्रिक्स है, सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स | सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स, यह सभी eigenvalues ​​​​का अनुसरण करता है $$\,\lambda_i$$ का $$\,\Gamma$$ संतुष्ट करना $$\,\lambda_i>0$$, ($$i=1,\dots,n$$).
 * होने देना $$\,\Lambda$$ eigenvalues ​​​​का विकर्ण मैट्रिक्स हो, अर्थात $$\Lambda_{ij} = \lambda_i\,\delta_{ij}$$ कहाँ $$\delta_{ij}$$ क्रोनकर डेल्टा है। हम परिभाषित करते हैं $$\Lambda^{1/2}$$ प्रविष्टियों के साथ विकर्ण मैट्रिक्स के रूप में $$\lambda_i^ {1/2}$$, अर्थात। $$\Lambda_{ij}^{1/2} = \lambda_i^{1/2}\,\delta_{ij}$$.

ध्यान दें कि चूंकि ईजेनवेक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, इसलिए मैट्रिक्स $$\,P$$ उलटा है।
 * होने देना $$\,v_i$$ eigenvalue से जुड़ा एक eigenvector $$\,\lambda_i$$. परिभाषित करना $$\,P$$ मैट्रिक्स के रूप में जिसका $$i$$-वाँ स्तंभ ईजेनवेक्टर है $$\,v_i$$.


 * इसके बाद ऐसा होता है $$\Sigma = P\,\Lambda^{1/2}\,P^{-1}$$ क्योंकि $$\Gamma= P\,\Lambda\,P^{-1}$$.

सिमुलेशन की विधि 2
यह भी ज्ञात हुआ है
 * $$B_H (t)=\int_0^t K_H(t,s) \, dB(s)$$

जहाँ B एक मानक ब्राउनियन गति है और


 * $$K_H(t,s)=\frac{(t-s)^{H-\frac{1}{2}}}{\Gamma(H+\frac{1}{2})}\;_2F_1\left (H-\frac{1}{2};\, \frac{1}{2}-H;\; H+\frac{1}{2};\, 1-\frac{t}{s} \right).$$

कहाँ $$ _2F_1$$ यूलर हाइपरजियोमेट्रिक इंटीग्रल है।

कहें कि हम बिंदुओं पर एफबीएम अनुकरण करना चाहते हैं $$0=t_0< t_1< \cdots < t_n=T$$.


 * एक मानक गॉसियन वितरण के अनुसार खींची गई n संख्याओं का एक सदिश बनाएँ।
 * इसे घटक के अनुसार गुणा करें $\sqrt{T/n}$ [0, T] पर ब्राउनियन गति की वृद्धि प्राप्त करने के लिए। द्वारा इस वेक्टर को निरूपित करें $$ (\delta B_1, \ldots, \delta B_n)$$.
 * प्रत्येक के लिए $$ t_j$$, गणना करें
 * $$ B_H (t_j)=\frac{n}{T}\sum_{i=0}^{j-1} \int_{t_i}^{t_{i+1}} K_H(t_j,\, s)\, ds \ \delta B_i.$$

गौसियन चतुर्भुज द्वारा इंटीग्रल की कुशलता से गणना की जा सकती है।

यह भी देखें

 * ब्राउनियन सतह
 * ऑटोरेग्रेसिव आंशिक रूप से एकीकृत मूविंग एवरेज
 * मल्टीफ़्रैक्टल: भिन्नात्मक ब्राउनियन गतियों का सामान्यीकृत ढांचा।
 * गुलाबी रव
 * ट्वीडी वितरण

संदर्भ

 * Craigmile P.F. (2003), "Simulating a class of stationary Gaussian processes using the Davies–Harte Algorithm, with application to long memory processes", Journal of Times Series Analysis, 24: 505–511.
 * Perrin E. et al. (2001), "nth-order fractional Brownian motion and fractional Gaussian noises", IEEE Transactions on Signal Processing, 49: 1049-1059.
 * Samorodnitsky G., Taqqu M.S. (1994), Stable Non-Gaussian Random Processes, Chapter 7: "Self-similar processes" (Chapman & Hall).
 * Perrin E. et al. (2001), "nth-order fractional Brownian motion and fractional Gaussian noises", IEEE Transactions on Signal Processing, 49: 1049-1059.
 * Samorodnitsky G., Taqqu M.S. (1994), Stable Non-Gaussian Random Processes, Chapter 7: "Self-similar processes" (Chapman & Hall).
 * Perrin E. et al. (2001), "nth-order fractional Brownian motion and fractional Gaussian noises", IEEE Transactions on Signal Processing, 49: 1049-1059.
 * Samorodnitsky G., Taqqu M.S. (1994), Stable Non-Gaussian Random Processes, Chapter 7: "Self-similar processes" (Chapman & Hall).
 * Perrin E. et al. (2001), "nth-order fractional Brownian motion and fractional Gaussian noises", IEEE Transactions on Signal Processing, 49: 1049-1059.
 * Samorodnitsky G., Taqqu M.S. (1994), Stable Non-Gaussian Random Processes, Chapter 7: "Self-similar processes" (Chapman & Hall).