सदिश-मूल्यवान अवकल रूप

गणित में, मैनिफोल्ड M पर सदिश - मूल्यवान अवकल रूप है जिसमे कि ऐसा सदिश समिष्ट है जो कि V के मूल्यवानों के साथ M पर अवकल रूप है तथा जिसमे अधिक सामूल्यवान्यतः, यह है की M के ऊपर कुछ ऐसे सदिश मूल्यवान है जो कि E में मूल्यवानों के साथ अवकल रूप है। साधारण अवकल रूपों को R-मूल्यवान के अवकल रूपों के रूप में देखा जा सकता है।

सदिश मूल्यवान अवकल रूपों का महत्वपूर्ण स्तिथि बीजगणित-मूल्यवान रूप हैं। ( कनेक्शन प्रपत्र ऐसे रूप का उदाहरण है।)

परिभाषा
मूल्यवान लीजिए कि M स्मूथ मैनिफोल्ड है और जिसमे E → M, M के ऊपर स्मूथ सदिश मूल्यवान है। हम मूल्यवान E के अनुभाग (फाइबर मूल्यवान) के स्थान को Γ(E) से निरूपित करते हैं। इस प्रकार डिग्री P का ' E-मूल्यवान अवकल रूप' Λp(T ∗M), के साथ E के टेंसर उत्पाद मूल्यवान का स्मूथ खंड है | जिसमे M के कोटैंजेंट मूल्यवान की p-th बाहरी शक्ति है तथा ऐसे रूपों का स्थान निम्न द्वारा दर्शाया गया है
 * $$\Omega^p(M,E) = \Gamma(E\otimes\Lambda^pT^*M).$$

क्योंकि यह Γ स्ट्रोंग मोनोइडल फ़ैक्टर है, इसका अर्थ इस प्रकार भी निकाला जा सकता है|
 * $$\Gamma(E\otimes\Lambda^pT^*M) = \Gamma(E) \otimes_{\Omega^0(M)} \Gamma(\Lambda^pT^*M) = \Gamma(E) \otimes_{\Omega^0(M)} \Omega^p(M),$$

जहां बाद के दो टेंसर उत्पाद है तथा रिंग के ऊपर भी मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद हैं जिसमे (गणित) Ω0(M) M पर सुचारू रूप से 'R '-मूल्यवान वाले फलन में (सातवां उदाहरण मॉड्यूल देखें (गणित) या (उदाहरण)। परंपरा के अनुसार, E-मूल्यवान 0-रूप मूल्यवान E का केवल खंड है। अथार्त ,
 * $$\Omega^0(M,E) = \Gamma(E).\,$$

समूल्यवान रूप से, E-मूल्यवान में अवकल रूप को सदिश मूल्यवान आकारिकी के रूप में परिभाषित किया जा सकता है
 * $$TM\otimes\cdots\otimes TM \to E$$

जो पूरी तरह से तिरछा-सममित मैट्रिक्स है तथा तिरछा-सममित है।

मूल्यवान लीजिए V निश्चित सदिश समष्टि है। जिसमे डिग्री P का V-मूल्यवान अवकल रूप' है तथा सामूल्यवान्य मूल्यवान M × V में मूल्यवानों के साथ डिग्री P का अवकल रूप है। ऐसे रूपों का स्थान ΩP(M, V) द्वारा दर्शाया गया है जब V = 'R साधारण अवकल रूप की परिभाषा को पुनः प्राप्त करता है। तो कोई यह भी दिखा सकता है कि प्राकृतिक समरूपता V परिमित-आयामी है|
 * $$\Omega^p(M) \otimes_\mathbb{R} V \to \Omega^p(M,V),$$

समरूपता वह है, जहां पहला टेंसर उत्पाद R पर सदिश रिक्त स्थानों का उपयोग किया जाता है|,

पुलबैक
कोई सामूल्यवान्य रूपों की तरह ही स्मूथ मूल्यवानचित्रों द्वारा सदिश -मूल्यवान रूपों के पुलबैक (अवकल ज्यामिति) को परिभाषित कर सकता है तथा सहज मूल्यवानचित्र द्वारा N पर E-मूल्यवान रूप का पुलबैक जो φ : M → N, M पर (φ*E) का मूल्यवान रूप है, जहां φ*E है जिसमे φ द्वारा E का पुलबैक मूल्यवान दर्शाया गया है।

सूत्र सामूल्यवान्य स्तिथि की तरह ही दिया गया है। तथा N पर किसी भी E-मूल्यवान P-रूप को ω के लिए पुलबैक φ*ω द्वारा दिया जाता है
 * $$ (\varphi^*\omega)_x(v_1,\cdots, v_p) = \omega_{\varphi(x)}(\mathrm d\varphi_x(v_1),\cdots,\mathrm d\varphi_x(v_p)).$$

वेज उत्पाद

सामूल्यवान्य अवकल रूपों की तरह है, कोई सदिश -मूल्यवान रूपों के वेज उत्पाद को परिभाषित कर सकता है। E2 -मूल्यवान P -रूप के साथ तथा E1 मूल्यवान - Q-रूप का वेज उत्पाद स्वाभाविक रूप से (E1⊗ E2) है | तथा मूल्यांकित (p+q)-रूप में होता है |
 * $$\wedge : \Omega^p(M,E_1) \times \Omega^q(M,E_2) \to \Omega^{p+q}(M,E_1\otimes E_2).$$

यह परिभाषा सामूल्यवान्य रूपों की तरह ही होती है, तथा इस अपवाद के साथ कि वास्तविक गुणन को टेंसर उत्पाद से बदल दिया जाता है|:
 * $$(\omega\wedge\eta)(v_1,\cdots,v_{p+q}) = \frac{1}{p! q!}\sum_{\sigma\in S_{p+q}}\sgn(\sigma)\omega(v_{\sigma(1)},\cdots,v_{\sigma(p)})\otimes \eta(v_{\sigma(p+1)},\cdots,v_{\sigma(p+q)}).$$

विशेष रूप से, E-मूल्यवान Q-रूप के साथ साधारण (R-मूल्यवान) P-रूप का वेज उत्पाद है जो कि स्वाभाविक रूप से E -मूल्यवान होता है तथा ( p+q)-रूप (चूंकि सामूल्यवान्य मूल्यवान M × R के साथ E का टेंसर उत्पाद स्वाभाविक रूप से E के समरूपी है)। जिसमे ω ∈ ΩP(M) और η ∈ ΩQ(M, E) के लिए इसमें सामूल्यवान्य क्रमपरिवर्तन संबंध होता है:
 * $$\omega\wedge\eta = (-1)^{pq}\eta\wedge\omega.$$

सामूल्यवान्यतः दो E-मूल्यवान रूपों का वेज उत्पाद है और E-मूल्यवान रूप नहीं है, किन्तु (E⊗ E) मूल्यवान रूप है। चूँकि, यदि E बीजगणित मूल्यवान है (अर्थात केवल सदिश रिक्त स्थान के अतिरिक्त क्षेत्र पर बीजगणित का मूल्यवान) तो कोई E-मूल्यवान रूप प्राप्त करने के लिए E में गुणन के साथ रचना कर सकता है। यदि E क्रमविनिमेय बीजगणित, साहचर्य बीजगणित का मूल्यवान है, तो इस संशोधित पच्चर उत्पाद के साथ, सभी E-मूल्यवान अवकल रूपों का समुच्चय
 * $$\Omega(M,E) = \bigoplus_{p=0}^{\dim M}\Omega^p(M,E)$$

श्रेणीबद्ध-क्रमविनिमेय साहचर्य बीजगणित बन जाता है। यदि E के तंतु क्रमविनिमेय नहीं हैं तो Ω(M,E) श्रेणीबद्ध-क्रमविनिमेय नहीं होंगे।

बाहरी व्युत्पन्न
किसी भी सदिश समष्टि V के लिए V-मूल्यवान रूपों के समष्टि पर प्राकृतिक बाह्य व्युत्पन्न होता है। यह V के किसी भी आधार (रैखिक बीजगणित) के सापेक्ष घटक-वार सामूल्यवान्य बाहरी व्युत्पन्न अभिनय है। स्पष्ट रूप से, यदि {Eα} V के लिए आधार है तो V-मूल्यवान P-रूप को ω = ωαeα का अवकल द्वारा दिया गया है
 * $$d\omega = (d\omega^\alpha)e_\alpha.\,$$

V-मूल्यवान रूपों पर बाहरी व्युत्पन्न की पूरी तरह से सामूल्यवान्य संबंधों द्वारा विशेषता है:
 * $$\begin{align}

&d(\omega+\eta) = d\omega + d\eta\\ &d(\omega\wedge\eta) = d\omega\wedge\eta + (-1)^p\,\omega\wedge d\eta\qquad(p=\deg\omega)\\ &d(d\omega) = 0. \end{align}$$ अधिक सामूल्यवान्यतः उपरोक्त टिप्पणियाँ E-मूल्यवान रूपों पर प्रयुक्त होती हैं जहां E M पर कोई फ्लैट सदिश मूल्यवान है (अर्थात सदिश मूल्यवान जिसका संक्रमण कार्य स्थिर है)। E के किसी भी स्थानीय सामूल्यवान्यीकरण पर बाहरी व्युत्पन्न को उपरोक्त के रूप में परिभाषित किया गया है।

यदि E समतल नहीं है तो E -मूल्यवान रूपों पर अभिनय करने वाले बाहरी व्युत्पन्न की कोई प्राकृतिक धारणा नहीं है। तथा E पर कनेक्शन (सदिश मूल्यवान) के विकल्प की आवश्यकता है। E पर कनेक्शन रैखिक अवकल ऑपरेटर है जो E के अनुभागों को E -मूल्यवान रूप में लेता है:
 * $$\nabla : \Omega^0(M,E) \to \Omega^1(M,E).$$

यदि E कनेक्शन ∇ से सुसज्जित है तो अद्वितीय सहसंयोजक बाहरी व्युत्पन्न है
 * $$d_\nabla: \Omega^p(M,E) \to \Omega^{p+1}(M,E)$$

विस्तार ∇. सहसंयोजक बाहरी व्युत्पन्न रैखिकता और समीकरण द्वारा विशेषता है
 * $$d_\nabla(\omega\wedge\eta) = d_\nabla\omega\wedge\eta + (-1)^p\,\omega\wedge d\eta$$

जहां ω E-मूल्यवान P-रुप है और η सामूल्यवान्य Q-रूप है। सामूल्यवान्यतः किसी को d∇2 = 0 होना आवश्यक नहीं है. वास्तव में, ऐसा तभी होता है जब कनेक्शन ∇ समतल हो (अर्थात लुप्त हो रही वक्रता का रूप हो)।

प्रमुख बंडलो पर मूल या तन्य रूप
मूल्यवान लीजिए कि E → M, M के ऊपर रैंक k का सहज सदिश मूल्यवान है और π : F(E) → M, E का (संबद्ध मूल्यवान) फ़्रेम मूल्यवान है, जो कि प्रमुख मूल्यवान GLk(R) है M पर मूल्यवान । E का π द्वारा [u, v] →u(v) के व्युत्क्रम के माध्यम से पुलबैक मूल्यवान विहित रूप से F(E) ×ρ Rk के समरूपी है | जहां ρ मूल्यवानक प्रतिनिधित्व है। इसलिए, M पर E-मूल्यवान रूप के π द्वारा पुलबैक 'Rk' को निर्धारित करता है -जहाँ F(E) पर मूल्यांकित रूप है । जबकि यह जाँचना कठिन नहीं है कि यह खींचा हुआ रूप GLk(R) F(E)× Rk की प्राकृतिक समूह क्रिया (गणित) के संबंध में सही समतुल्य दाएँ-समतुल्य है। और ऊर्ध्वाधर मूल्यवान (F(E) के स्पर्शरेखा सदिश जो dπ के कर्नेल में स्थित हैं) पर विलुप्त हो जाता है। F(E) पर ऐसे सदिश -मूल्यवान रूप विशेष शब्दावली की गारंटी देने के लिए काफी महत्वपूर्ण हैं: उन्हें F(E) पर मूल या टेंसोरियल रूप कहा जाता है।

मूल्यवान लीजिए π : P → M (सुचारू) प्रिंसिपल G-मूल्यवान है तथा मूल्यवान लीजिए कि V निरूपण ρ : G → GL(V) के साथ निश्चित सदिश स्थान है। जहाँ P पर ρ प्रकार का मूल या तन्य रूप, P पर चूँकि V-मूल्यवान रूप ω है जो इस अर्थ में समतुल्य और क्षैतिज है कि यहां Rg कुछ g ∈ G के लिए P पर G की सही क्रिया को दर्शाता है। ध्यान दें कि 0-रूपों के लिए दूसरी नियम शून्य रूप से सत्य है।
 * 1) $$(R_g)^*\omega = \rho(g^{-1})\omega\,$$ सभी जी ∈ जी के लिए, और
 * 2) $$\omega(v_1, \ldots, v_p) = 0$$ जब भी कम से कम Vi ऊर्ध्वाधर हैं (अर्थात्, dπ(vi) = 0).

उदाहरण: यदि ρ ली बीजगणित पर G का संयुक्त प्रतिनिधित्व है, तो कनेक्शन रूप पहली नियम को संतुष्ट करता है (किन्तु दूसरी नहीं)। संबंधित वक्रता रूप Ω दोनों को संतुष्ट करता है; इसलिए Ω आसन्न प्रकार का तन्य रूप है। दो कनेक्शन रूपों का अवकल तन्य रूप है।

उपरोक्त P और ρ को देखते हुए कोई संबंधित सदिश मूल्यवान E = P ×ρ V का निर्माण कर सकता है | P पर टेन्सोरिअल q-रूप, M पर E-मूल्य वाले q-रूप के साथ प्राकृतिक -से- पत्राचार में हैं। जैसा कि ऊपर प्रमुख मूल्यवान F(E) के स्तिथि में है, जिसे q-रूप दिया गया है $$\overline{\phi}$$ E में मूल्यवानों के साथ M पर, P पर φ को फ़ाइबरवाइज द्वारा परिभाषित करें, मूल्यवान लीजिए u पर ,
 * $$\phi = u^{-1}\pi^*\overline{\phi}$$

जहां U को रैखिक समरूपता के रूप में देखा जाता है $$V \overset{\simeq}\to E_{\pi(u)} = (\pi^*E)_u, v \mapsto [u, v]$$. φ तो प्रकार ρ का तन्य रूप है। इसके विपरीत, प्रकार ρ का तन्य रूप φ दिया गया है, वही सूत्र E -मूल्यवान रूप को परिभाषित करता है $$\overline{\phi}$$ M पर (सीएफ. चेर्न-वेइल होमोमोर्फिज्म।) विशेष रूप से, सदिश रिक्त स्थान का प्राकृतिक आइसोमोर्फिज्म है
 * $$\Gamma(M, E) \simeq \{ f: P \to V | f(ug) = \rho(g)^{-1}f(u) \}, \, \overline{f} \leftrightarrow f$$.

उदाहरण: मूल्यवान लीजिए E, M का स्पर्शरेखा मूल्यवान है। फिर पहचान मूल्यवान मूल्यवानचित्र idE: E →E, M पर E-मूल्यवान वन रूप है। टॉटोलॉजिकल वन-रूप E के फ्रेम मूल्यवान पर अद्वितीय वन-रूप है जो idE से मेल खाता है. θ द्वारा निरूपित, यह मूल्यवानक प्रकार का तन्य रूप है।

अब, मूल्यवान लीजिए कि P पर कनेक्शन है ताकि P पर (विभिन्न) सदिश -मूल्यवान रूपों पर बाहरी सहसंयोजक भेदभाव D हो। उपरोक्त पत्राचार के माध्यम से, D E -मूल्यवान रूपों पर भी कार्य करता है: ∇ द्वारा परिभाषित करें |
 * $$\nabla \overline{\phi} = \overline{D \phi}.$$

विशेष रूप से शून्य-रूपों के लिए,
 * $$\nabla: \Gamma(M, E) \to \Gamma(M, T^*M \otimes E)$$.

यह बिल्कुल कनेक्शन (सदिश मूल्यवान) के लिए सहसंयोजक व्युत्पन्न है।

उदाहरण
सील मॉड्यूलर रूप सीगल मॉड्यूलर विविधता पर सदिश -मूल्यवान अवकल रूपों के रूप में उत्पन्न होते हैं।

संदर्भ

 * Shoshichi Kobayashi and Katsumi Nomizu (1963) Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley Interscience.