अपसरण प्रमेय

सदिश कलन में, विचलन प्रमेय, जिसे गॉस के प्रमेय या ओस्ट्रोग्रैडस्की के प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है, एक प्रमेय है जो एक बंद सतह (गणित) के माध्यम से एक सदिश क्षेत्र के प्रवाह को बंद मात्रा में क्षेत्र के विचलन से संबंधित करता है।

अधिक सटीक रूप से, विचलन प्रमेय बताता है कि एक बंद सतह पर एक सदिश क्षेत्र की सतह अभिन्न, जिसे सतह के माध्यम से प्रवाह कहा जाता है, सतह के अंदर के क्षेत्र में विचलन के आयतन अभिन्न के बराबर है। सहज रूप से, यह बताता है कि एक क्षेत्र में क्षेत्र के सभी स्रोतों का योग (सिंक को नकारात्मक स्रोत माना जाता है) क्षेत्र से शुद्ध प्रवाह देता है।

विचलन प्रमेय भौतिकी और अभियांत्रिकी के गणित के लिए एक महत्वपूर्ण परिणाम है, विशेष रूप से इलेक्ट्रोस्टाटिक्स और द्रव गतिकी में। इन क्षेत्रों में, यह आमतौर पर तीन आयामों में लागू होता है। हालाँकि, यह किसी भी संख्या में आयामों का सामान्यीकरण करता है। एक आयाम में, यह भागों द्वारा एकीकरण के बराबर है। दो आयामों में, यह ग्रीन के प्रमेय के बराबर है।

तरल प्रवाह का उपयोग करके स्पष्टीकरण
सदिश क्षेत्रों को अक्सर द्रव के वेग क्षेत्र, जैसे गैस या तरल के उदाहरण का उपयोग करके चित्रित किया जाता है। एक गतिमान तरल का एक वेग होता है - एक गति और एक दिशा - प्रत्येक बिंदु पर, जिसे एक वेक्टर (गणित और भौतिकी) द्वारा दर्शाया जा सकता है, ताकि किसी भी समय तरल का वेग एक वेक्टर क्षेत्र बना सके। तरल के एक शरीर के अंदर एक काल्पनिक बंद सतह एस पर विचार करें, जो तरल की मात्रा को घेरे हुए है। आयतन से तरल का प्रवाह इस सतह को पार करने वाले द्रव के आयतन की दर के बराबर होता है, यानी सतह पर वेग का सतही अभिन्न अंग।

चूँकि तरल पदार्थ असंपीड्य होते हैं, एक बंद आयतन के अंदर तरल की मात्रा स्थिर होती है; यदि वॉल्यूम के अंदर कोई स्रोत या सिंक नहीं हैं, तो एस से तरल का प्रवाह शून्य है। यदि तरल चल रहा है, तो यह सतह S पर कुछ बिंदुओं पर आयतन में प्रवाहित हो सकता है और अन्य बिंदुओं पर आयतन से बाहर हो सकता है, लेकिन किसी भी क्षण अंदर और बाहर बहने वाली मात्रा बराबर होती है, इसलिए तरल का शुद्ध प्रवाह मात्रा शून्य है।

हालाँकि यदि तरल का कोई स्रोत बंद सतह के अंदर है, जैसे कि एक पाइप जिसके माध्यम से तरल पेश किया जाता है, तो अतिरिक्त तरल आसपास के तरल पर दबाव डालेगा, जिससे सभी दिशाओं में बाहरी प्रवाह होगा। यह सतह एस के माध्यम से एक शुद्ध बाहरी प्रवाह का कारण होगा। एस के माध्यम से बाहरी प्रवाह पाइप से एस में तरल पदार्थ के प्रवाह की मात्रा दर के बराबर होता है। इसी तरह अगर S के अंदर एक सिंक या नाली है, जैसे कि एक पाइप जो तरल को बंद कर देता है, तो तरल का बाहरी दबाव नाली के स्थान की ओर निर्देशित पूरे तरल में एक वेग पैदा करेगा। सतह S के माध्यम से अंदर की ओर तरल के प्रवाह की मात्रा दर सिंक द्वारा हटाए गए तरल की दर के बराबर होती है।

यदि S के अंदर तरल के कई स्रोत और सिंक हैं, तो सतह के माध्यम से प्रवाह की गणना स्रोतों द्वारा जोड़े गए तरल की मात्रा दर को जोड़कर और सिंक द्वारा निकाले जाने वाले तरल की दर को घटाकर की जा सकती है। एक स्रोत या सिंक के माध्यम से तरल के प्रवाह की मात्रा दर (एक नकारात्मक संकेत दिए गए सिंक के माध्यम से प्रवाह के साथ) पाइप मुंह पर वेग क्षेत्र के विचलन के बराबर है, इसलिए पूरे तरल के विचलन को जोड़ना (एकीकृत करना) एस द्वारा संलग्न मात्रा एस के माध्यम से प्रवाह की मात्रा दर के बराबर होती है। यह विचलन प्रमेय है। विचलन प्रमेय किसी भी संरक्षण कानून में नियोजित है जो बताता है कि सभी सिंक और स्रोतों की कुल मात्रा, जो विचलन का आयतन अभिन्न है, आयतन की सीमा के पार शुद्ध प्रवाह के बराबर है।

गणितीय कथन
मान लीजिए $V$ का उपसमुच्चय है $$\mathbb{R}^n$$ (के मामले में $n = 3, V$ त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक मात्रा का प्रतिनिधित्व करता है) जो कॉम्पैक्ट जगह है और इसकी एक टुकड़े की चिकनी सतह है $n$ (के साथ भी दर्शाया गया है $$\partial V = S$$). यदि $F$ के एक पड़ोस (गणित) पर परिभाषित एक सतत अवकलनीय सदिश क्षेत्र है $V$, फिर: बाईं ओर वॉल्यूम पर एक वॉल्यूम इंटीग्रल है $S$, दाईं ओर वॉल्यूम की सीमा पर सतह का अभिन्न अंग है $V$. बंद कई गुना $$\partial V$$ आउटवर्ड-पॉइंटिंग नॉर्मल (ज्यामिति) द्वारा उन्मुख है, और $$\mathbf{\hat{n}}$$ सीमा पर प्रत्येक बिंदु पर सामान्य बाहरी ओर इंगित करने वाली इकाई है $$\partial V$$. ($$\mathrm{d} \mathbf{S}$$ के लिए आशुलिपि के रूप में प्रयुक्त किया जा सकता है $$\mathbf{n} \mathrm{d} S$$।) ऊपर दिए गए सहज विवरण के संदर्भ में, समीकरण के बाईं ओर मात्रा में कुल स्रोतों का प्रतिनिधित्व करता है $V$, और दाईं ओर सीमा के पार कुल प्रवाह का प्रतिनिधित्व करता है $V$.

यूक्लिडियन स्पेस के बाउंडेड ओपन सबसेट के लिए
हम निम्नलिखित सिद्ध करने जा रहे हैं: $V$ प्रमेय का प्रमाण। (1) पहला कदम उस मामले को कम करना है जहां $$u \in C_c^1(\mathbb{R}^n)$$. चुनना $$\phi \in C_c^{\infty}(O)$$ ऐसा है कि $$\phi = 1$$ पर $$\overline{\Omega}$$. ध्यान दें कि $$\phi u \in C_c^{1}(O) \subset C_c^1(\mathbb{R}^n)$$ तथा $$\phi u = u$$ पर $$\overline{\Omega}$$. इसलिए यह प्रमेय को सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है $$\phi u$$. इसलिए हम यह मान सकते हैं $$u \in C_c^1(\mathbb{R}^n)$$.

(2) चलो $$x_0 \in \partial \Omega$$ मनमाना होना। धारणा है कि $$\overline{\Omega}$$ है $$C^1$$ सीमा का अर्थ है कि एक खुला पड़ोस है $$U$$ का $$x_0$$ में $$\mathbb{R}^n$$ ऐसा है कि $$\partial \Omega \cap U$$ ए का ग्राफ है $$C^1$$ के साथ कार्य करें $$\Omega \cap U$$ इस ग्राफ के एक तरफ झूठ बोल रहा है। अधिक सटीक रूप से, इसका मतलब है कि अनुवाद और रोटेशन के बाद $$\Omega$$, वहाँ हैं $$r > 0$$ तथा $$h > 0$$ और ए $$C^1$$ समारोह $$g : \mathbb{R}^{n - 1} \to \mathbb{R}$$, जैसे कि अंकन के साथ $$x' = (x_1, \dots, x_{n - 1}),$$ यह मानता है $$U = \{x \in \mathbb{R}^n : |x'| < r \text{ and } |x_n - g(x')| < h\}$$ और के लिए $$x \in U$$, $$ \begin{align} x_n = g(x') & \implies x \in \partial \Omega, \\ -h < x_n - g(x') < 0 & \implies x \in \Omega, \\ 0 < x_n - g(x') < h & \implies x \notin \Omega. \\ \end{align} $$ तब से $$\partial \Omega$$ कॉम्पैक्ट है, हम कवर कर सकते हैं $$\partial \Omega$$ निश्चित रूप से कई पड़ोस के साथ $$U_1, \dots, U_N$$ उपरोक्त प्रपत्र का। ध्यान दें कि $$\{\Omega, U_1, \dots, U_N\}$$ का खुला आवरण है $$\overline{\Omega} = \Omega \cup \partial \Omega$$. ए का उपयोग करके $$C^{\infty}$$ इस कवर के अधीन एकता का विभाजन, यह प्रमेय को उस मामले में साबित करने के लिए पर्याप्त है जहां या तो $$u$$ में कॉम्पैक्ट सपोर्ट (गणित) है $$\Omega$$ या $$u$$ कुछ में कॉम्पैक्ट सपोर्ट है $$U_j$$. यदि $$u$$ में कॉम्पैक्ट सपोर्ट है $$\Omega$$, तो सभी के लिए $$i \in \{1, \dots, n\}$$, $$\int_{\Omega} u_{x_i}\,dV = \int_{\mathbb{R}^n}u_{x_i}\,dV = \int_{\mathbb{R}^{n - 1}} \int_{-\infty}^{\infty}u_{x_i}(x)\,dx_i\,dx' = 0$$ पथरी के मौलिक प्रमेय द्वारा, और $$\int_{\partial \Omega}u\nu_i\,dS = 0$$ जबसे $$u$$ के पड़ोस में गायब हो जाता है $$\partial \Omega$$. इस प्रकार प्रमेय के लिए है $$u$$ में कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ $$\Omega$$. इस प्रकार हम उस मामले में कम हो गए हैं जहां $$u$$ कुछ में कॉम्पैक्ट सपोर्ट है $$U_j$$.

(3) तो मान लीजिए $$u$$ कुछ में कॉम्पैक्ट सपोर्ट है $$U_j$$. अंतिम चरण अब यह दिखाना है कि प्रमेय प्रत्यक्ष संगणना द्वारा सत्य है। नोटेशन को बदलें $$U = U_j$$, और वर्णन करने के लिए प्रयुक्त (2) से संकेतन लाएँ $$U$$. ध्यान दें कि इसका मतलब है कि हमने घुमाया और अनुवाद किया है $$\Omega$$. यह एक वैध कमी है क्योंकि प्रमेय रोटेशन और निर्देशांक के अनुवाद के तहत अपरिवर्तनीय है। तब से $$u(x) = 0$$ के लिये $$|x'| \geq r$$ और के लिए $$|x_n - g(x')| \geq h$$, हमारे पास प्रत्येक के लिए है $$i \in \{1, \dots, n\}$$ वह $$ \begin{align} \int_{\Omega}u_{x_i}\,dV &= \int_{|x'| < r}\int_{g(x') - h}^{g(x')}u_{x_i}(x', x_n)\,dx_n\,dx' \\ &= \int_{\mathbb{R}^{n - 1}}\int_{-\infty}^{g(x')}u_{x_i}(x', x_n)\,dx_n\,dx'. \end{align} $$ के लिये $$i = n$$ हमारे पास कलन के मौलिक प्रमेय द्वारा है $$\int_{\mathbb{R}^{n - 1}}\int_{-\infty}^{g(x')}u_{x_n}(x', x_n)\,dx_n\,dx' = \int_{\mathbb{R}^{n - 1}}u(x', g(x'))\,dx'.$$ अब ठीक करो $$i \in \{1, \dots, n - 1\}$$. ध्यान दें कि $$\int_{\mathbb{R}^{n - 1}}\int_{-\infty}^{g(x')}u_{x_i}(x', x_n)\,dx_n\,dx' = \int_{\mathbb{R}^{n - 1}}\int_{-\infty}^{0}u_{x_i}(x', g(x') + s)\,ds\,dx'$$ परिभाषित करना $$v : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$$ द्वारा $$v(x', s) = u(x', g(x') + s)$$. श्रृंखला नियम द्वारा, $$v_{x_i}(x', s) = u_{x_i}(x', g(x') + s) + u_{x_n}(x', g(x') + s)g_{x_i}(x').$$ लेकिन जबसे $$v$$ कॉम्पैक्ट समर्थन है, हम एकीकृत कर सकते हैं $$dx_i$$ पहले यह निष्कर्ष निकालने के लिए $$\int_{\mathbb{R}^{n - 1}}\int_{-\infty}^{0}v_{x_i}(x', s)\,ds\,dx' = 0.$$ इस प्रकार $$ \begin{align} \int_{\mathbb{R}^{n - 1}}\int_{-\infty}^{0}u_{x_i}(x', g(x') + s)\,ds\,dx' &= \int_{\mathbb{R}^{n - 1}}\int_{-\infty}^{0}-u_{x_n}(x', g(x') + s)g_{x_i}(x')\,ds\,dx' \\ &= \int_{\mathbb{R}^{n - 1}}-u(x', g(x'))g_{x_i}(x')\,dx'. \end{align} $$ संक्षेप में, के साथ $$\nabla u = (u_{x_1}, \dots, u_{x_n})$$ अपने पास $$\int_{\Omega}\nabla u\,dV = \int_{\mathbb{R}^{n - 1}}\int_{-\infty}^{g(x')}\nabla u\,dV = \int_{\mathbb{R}^{n - 1}}u(x', g(x'))(-\nabla g(x'), 1)\,dx'.$$ याद रखें कि बाहरी इकाई ग्राफ के लिए सामान्य है $$\Gamma$$ का $$g$$ एक बिंदु पर $$(x', g(x')) \in \Gamma$$ है $$\nu(x', g(x')) = \frac{1}{\sqrt{1 + |\nabla g(x')|^2}}(-\nabla g(x'), 1)$$ और वह सतह तत्व $$dS$$ द्वारा दिया गया है $$dS = \sqrt{1 + |\nabla g(x')|^2}\,dx'$$. इस प्रकार $$\int_{\Omega}\nabla u\,dV = \int_{\partial \Omega}u\nu\,dS.$$ यह प्रमाण को पूरा करता है।

सीमा के साथ कॉम्पैक्ट रीमानियन मैनिफोल्ड के लिए
हम निम्नलिखित सिद्ध करने जा रहे हैं: $S$ प्रमेय का प्रमाण। हम आइंस्टीन समन कन्वेंशन का उपयोग करते हैं। एकता के विभाजन का उपयोग करके, हम यह मान सकते हैं $$u$$ तथा $$X$$ एक समन्वय पैच में कॉम्पैक्ट समर्थन है $$O \subset \overline{\Omega}$$. पहले उस मामले पर विचार करें जहां पैच अलग है $$\partial \Omega$$. फिर $$O$$ के एक खुले उपसमुच्चय के साथ पहचाना जाता है $$\mathbb{R}^n$$ और भागों द्वारा एकीकरण कोई सीमा शर्तों का उत्पादन नहीं करता है: $$ \begin{align} (\operatorname{grad} u, X) &= \int_{O}\langle \operatorname{grad} u, X \rangle \sqrt{g}\,dx \\ &= \int_{O}\partial_j u X^j \sqrt{g}\,dx \\ &= -\int_{O}u \partial_j(\sqrt{g}X^j)\,dx \\ &= -\int_{O} u \frac{1}{\sqrt{g}}\partial_j(\sqrt{g}X^j)\sqrt{g}\,dx \\ &= (u, -\frac{1}{\sqrt{g}}\partial_j(\sqrt{g}X^j)) \\ &= (u, -\operatorname{div} X). \end{align} $$ पिछली समानता में हमने विचलन के लिए वॉस-वेइल समन्वय सूत्र का उपयोग किया था, हालांकि पूर्ववर्ती पहचान को परिभाषित करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता था $$-\operatorname{div}$$ के औपचारिक जोड़ के रूप में $$\operatorname{grad}$$. अब मान लीजिए $$O$$ काटती है $$\partial \Omega$$. फिर $$O$$ में एक खुले सेट के साथ पहचाना जाता है $$\mathbb{R}_{+}^n = \{x \in \mathbb{R}^n : x_n \geq 0\}$$. हम शून्य विस्तार करते हैं $$u$$ तथा $$X$$ प्रति $$\mathbb{R}_+^n$$ और प्राप्त करने के लिए भागों द्वारा एकीकरण करें $$ \begin{align} (\operatorname{grad} u, X) &= \int_{O}\langle \operatorname{grad} u, X \rangle \sqrt{g}\,dx \\ &= \int_{\mathbb{R}_+^n}\partial_j u X^j \sqrt{g}\,dx \\ &= (u, -\operatorname{div} X) - \int_{\mathbb{R}^{n - 1}}u(x', 0)X^n(x', 0)\sqrt{g(x', 0)}\,dx', \end{align} $$ कहाँ पे $$dx' = dx_1 \dots dx_{n - 1}$$. सदिश क्षेत्रों के लिए स्ट्रेटनिंग प्रमेय के एक संस्करण द्वारा, हम चुन सकते हैं $$O$$ ताकि $$\frac{\partial}{\partial x_n}$$ आवक इकाई सामान्य है $$-N$$ पर $$\partial \Omega$$. इस मामले में $$\sqrt{g(x', 0)}\,dx' = \sqrt{g_{\partial \Omega}(x')}\,dx' = dS$$ वॉल्यूम तत्व चालू है $$\partial \Omega$$ और उपरोक्त सूत्र पढ़ता है $$ (\operatorname{grad} u, X) = (u, -\operatorname{div} X) + \int_{\partial \Omega}u\langle X, N \rangle \,dS. $$ यह प्रमाण को पूरा करता है।

अनौपचारिक व्युत्पत्ति
विचलन प्रमेय इस तथ्य से अनुसरण करता है कि यदि कोई आयतन $$ को अलग-अलग भागों में विभाजित किया जाता है, मूल आयतन का प्रवाह प्रत्येक घटक आयतन के प्रवाह के योग के बराबर होता है। यह इस तथ्य के बावजूद सच है कि नए उपखंडों में ऐसी सतहें हैं जो मूल मात्रा की सतह का हिस्सा नहीं थीं, क्योंकि ये सतहें दो उपखंडों के बीच विभाजन हैं और उनके माध्यम से प्रवाह सिर्फ एक मात्रा से दूसरी मात्रा में जाता है और इसलिए रद्द हो जाता है जब उपखंडों में से फ्लक्स का योग किया जाता है।

आरेख देखें। एक बंद, बंधी हुई मात्रा $$ दो खण्डों में विभक्त है $V_{1}$ तथा $V_{2}$ एक सतह द्वारा $S_{3}$ <अवधि शैली = रंग: हरा; >(हरा). प्रवाह $Φ(V_{i})$ प्रत्येक घटक क्षेत्र से बाहर $V_{i}$ इसके दो चेहरों के माध्यम से प्रवाह के योग के बराबर है, इसलिए दो भागों में से प्रवाह का योग है


 * $$\Phi(V_\text{1}) + \Phi(V_\text{2}) = \Phi_\text{1} + \Phi_\text{31} + \Phi_\text{2} + \Phi_\text{32}$$

कहाँ पे $Φ_{1}$ तथा $Φ_{2}$ सतहों से बाहर प्रवाह हैं $S_{1}$ तथा $S_{2}$, $Φ_{31}$ के माध्यम से प्रवाह है $S_{3}$ वॉल्यूम 1 से बाहर, और $Φ_{32}$ के माध्यम से प्रवाह है $S_{3}$ वॉल्यूम 2 ​​से बाहर। बिंदु वह सतह है $S_{3}$ दोनों खंडों की सतह का हिस्सा है। सामान्य वेक्टर की बाहरी दिशा $$\mathbf{\hat n}$$ प्रत्येक आयतन के लिए विपरीत है, इसलिए एक के माध्यम से प्रवाह $S_{3}$ दूसरे से प्रवाह के नकारात्मक के बराबर है


 * $$\Phi_\text{31} = \iint_{S_3} \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \; \mathrm{d}S = -\iint_{S_3} \mathbf{F} \cdot (-\mathbf{\hat n}) \; \mathrm{d}S = -\Phi_\text{32}$$

इसलिए ये दो फ्लक्स योग में रद्द हो जाते हैं। इसलिए
 * $$\Phi(V_\text{1}) + \Phi(V_\text{2}) = \Phi_\text{1} + \Phi_\text{2}$$

सतहों के मिलन के बाद से $S_{1}$ तथा $S_{2}$ है $V$
 * $$\Phi(V_\text{1}) + \Phi(V_\text{2}) = \Phi(V)$$

यह सिद्धांत किसी भी संख्या में विभाजित मात्रा पर लागू होता है, जैसा कि आरेख में दिखाया गया है। चूँकि प्रत्येक आंतरिक विभाजन पर समाकलित (हरी सतहें) दो आसन्न खंडों के प्रवाह में विपरीत संकेतों के साथ प्रकट होता है जिसे वे रद्द कर देते हैं, और प्रवाह में एकमात्र योगदान बाहरी सतहों पर अभिन्न अंग है (ग्रे) । चूँकि सभी घटक आयतन की बाहरी सतहें मूल सतह के बराबर होती हैं।
 * $$\Phi(V) = \sum_{V_\text{i}\subset V} \Phi(V_\text{i})$$

प्रवाह $Φ$ प्रत्येक आयतन में से सदिश क्षेत्र का पृष्ठीय समाकल है $F(x)$ सतह के ऊपर


 * $$\iint_{S(V)} \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \; \mathrm{d}S = \sum_{V_\text{i}\subset V} \iint_{S(V_\text{i})} \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \; \mathrm{d}S$$

लक्ष्य मूल आयतन को असीम रूप से अनेक अतिसूक्ष्म आयतनों में विभाजित करना है। चूंकि आयतन को छोटे और छोटे भागों में विभाजित किया जाता है, दाईं ओर सतह अभिन्न, प्रत्येक उपखंड से प्रवाह, शून्य तक पहुंचता है क्योंकि सतह क्षेत्र $S(V_{i})$ शून्य के करीब पहुंच जाता है। हालाँकि, विचलन की परिभाषा से, फ्लक्स से आयतन का अनुपात, $$\frac{\Phi(V_\text{i})}{|V_\text{i}|} = \frac{1}{|V_\text{i}|} \iint_{S(V_\text{i})} \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \; \mathrm{d}S$$, नीचे कोष्ठकों में दिया गया हिस्सा सामान्य रूप से गायब नहीं होता है लेकिन विचलन तक पहुंचता है $div F$ जैसे ही मात्रा शून्य के करीब पहुंचती है।


 * $$\iint_{S(V)} \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \; \mathrm{d}S = \sum_{V_\text{i} \subset V} \left(\frac{1}{|V_\text{i}|} \iint_{S(V_\text{i})} \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \; \mathrm{d}S\right) |V_\text{i}|$$

जब तक वेक्टर क्षेत्र $F(x)$ निरंतर डेरिवेटिव है, ऊपर का योग उस सीमा (गणित) में भी रहता है जब वॉल्यूम को असीम रूप से छोटे वेतन वृद्धि में विभाजित किया जाता है


 * $$\iint_{S(V)} \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \; \mathrm{d}S = \lim_{|V_\text{i}|\to 0}\sum_{V_\text{i}\subset V} \left(\frac{1}{|V_\text{i}|}\iint_{S(V_\text{i})} \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \; \mathrm{d}S\right) |V_\text{i}|$$

जैसा $$|V_\text{i}|$$ शून्य आयतन तक पहुँचता है, तो यह अतिसूक्ष्म हो जाता है $dV$, कोष्ठक में भाग विचलन बन जाता है, और योग एक आयतन अभिन्न अंग बन जाता है $V$ $S$ चूंकि यह व्युत्पत्ति समन्वय मुक्त है, यह दर्शाता है कि विचलन उपयोग किए गए निर्देशांक पर निर्भर नहीं करता है।

परिणाम
बदल कर $F$ विशिष्ट रूपों के साथ विचलन प्रमेय में, अन्य उपयोगी सर्वसमिकाएँ प्राप्त की जा सकती हैं (cf. सदिश सर्वसमिकाएँ)।
 * साथ $$\mathbf{F}\rightarrow \mathbf{F}g$$ स्केलर फ़ंक्शन के लिए $V$ और एक वेक्टर क्षेत्र $F$,


 * इसका एक खास मामला है $$\mathbf{F} = \nabla f$$, इस मामले में प्रमेय ग्रीन की सर्वसमिकाओं का आधार है।
 * इसका एक खास मामला है $$\mathbf{F} = \nabla f$$, इस मामले में प्रमेय ग्रीन की सर्वसमिकाओं का आधार है।


 * साथ $$\mathbf{F}\rightarrow \mathbf{F}\times \mathbf{G}$$ दो वेक्टर क्षेत्रों के लिए $F$ तथा $G$, कहाँ पे $$\times$$ एक क्रॉस उत्पाद को दर्शाता है,


 * साथ $$\mathbf{F}\rightarrow \mathbf{F}\cdot \mathbf{G}$$ दो वेक्टर क्षेत्रों के लिए $F$ तथा $G$, कहाँ पे $$\cdot $$ एक डॉट उत्पाद को दर्शाता है,
 * साथ $$\mathbf{F}\rightarrow \mathbf{F}\cdot \mathbf{G}$$ दो वेक्टर क्षेत्रों के लिए $&thinsp;f&thinsp;$ तथा $F$, कहाँ पे $$\cdot $$ एक डॉट उत्पाद को दर्शाता है,


 * साथ $$\mathbf{F}\rightarrow f\mathbf{c}$$ स्केलर फ़ंक्शन के लिए $F$ और सदिश क्षेत्र c:
 * दाईं ओर का अंतिम पद स्थिरांक के लिए ग़ायब हो जाता है $$\mathbf{c}$$ या कोई विचलन मुक्त (सोलनॉइडल) वेक्टर क्षेत्र, उदा। चरण परिवर्तन या रासायनिक प्रतिक्रियाओं आदि जैसे स्रोतों या सिंक के बिना असंपीड्य प्रवाह। विशेष रूप से, लेना $$\mathbf{c}$$ स्थिर होना:
 * दाईं ओर का अंतिम पद स्थिरांक के लिए ग़ायब हो जाता है $$\mathbf{c}$$ या कोई विचलन मुक्त (सोलनॉइडल) वेक्टर क्षेत्र, उदा। चरण परिवर्तन या रासायनिक प्रतिक्रियाओं आदि जैसे स्रोतों या सिंक के बिना असंपीड्य प्रवाह। विशेष रूप से, लेना $$\mathbf{c}$$ स्थिर होना:
 * दाईं ओर का अंतिम पद स्थिरांक के लिए ग़ायब हो जाता है $$\mathbf{c}$$ या कोई विचलन मुक्त (सोलनॉइडल) वेक्टर क्षेत्र, उदा। चरण परिवर्तन या रासायनिक प्रतिक्रियाओं आदि जैसे स्रोतों या सिंक के बिना असंपीड्य प्रवाह। विशेष रूप से, लेना $$\mathbf{c}$$ स्थिर होना:


 * साथ $$\mathbf{F}\rightarrow \mathbf{c}\times\mathbf{F}$$ वेक्टर क्षेत्र के लिए $4π⁄3$ और निरंतर वेक्टर सी:
 * साथ $$\mathbf{F}\rightarrow \mathbf{c}\times\mathbf{F}$$ वेक्टर क्षेत्र के लिए $F$ और निरंतर वेक्टर सी:


 * दाहिने हाथ की तरफ ट्रिपल उत्पाद को फिर से व्यवस्थित करके और इंटीग्रल के निरंतर वेक्टर को निकालकर,
 * दाहिने हाथ की तरफ ट्रिपल उत्पाद को फिर से व्यवस्थित करके और इंटीग्रल के निरंतर वेक्टर को निकालकर,


 * अत,
 * अत,



उदाहरण
मान लीजिए हम मूल्यांकन करना चाहते हैं

कहाँ पे $$ द्वारा परिभाषित इकाई क्षेत्र है


 * $$S = \left \{ (x,y, z) \in \mathbb{R}^3 \ : \ x^2+y^2+z^2 = 1 \right \},$$

तथा $(n − 1)$ वेक्टर क्षेत्र है


 * $$\mathbf{F} = 2x\mathbf{i}+y^2\mathbf{j}+z^2\mathbf{k}.$$

इस इंटीग्रल की सीधी गणना काफी कठिन है, लेकिन हम डायवर्जेंस प्रमेय का उपयोग करके परिणाम की व्युत्पत्ति को सरल बना सकते हैं, क्योंकि डाइवर्जेंस प्रमेय कहता है कि इंटीग्रल इसके बराबर है:


 * $$\iiint_W (\nabla \cdot \mathbf{F})\,\mathrm{d}V = 2\iiint_W (1 + y + z)\, \mathrm{d}V = 2\iiint_W \mathrm{d}V + 2\iiint_W y\, \mathrm{d}V + 2\iiint_W z\, \mathrm{d}V,$$

कहाँ पे $g$ यूनिट बॉल है:


 * $$W = \left \{ (x,y, z) \in \mathbb{R}^3 \ : \ x^2+y^2+z^2\leq 1 \right \}.$$

समारोह के बाद से $S$ के एक गोलार्द्ध में सकारात्मक है $W$ और नकारात्मक दूसरे में, एक समान और विपरीत तरीके से, इसका कुल अभिन्न अंग $y$ शून्य है। के लिए भी यही सच है $W$:


 * $$\iiint_W y\, \mathrm{d}V = \iiint_W z\, \mathrm{d}V = 0.$$

इसलिए,

क्योंकि यूनिट बॉल $W$ मात्रा है $F$.

भौतिक नियमों के विभेदक और अभिन्न रूप
डाइवर्जेंस प्रमेय के परिणामस्वरूप, भौतिक नियमों के एक मेजबान को अंतर रूप (जहां एक मात्रा दूसरे का विचलन है) और एक अभिन्न रूप (जहां एक बंद सतह के माध्यम से एक मात्रा का प्रवाह दूसरे के बराबर होता है) दोनों में लिखा जा सकता है। मात्रा)। गॉस का नियम (इलेक्ट्रोस्टैटिक्स में), चुंबकत्व के लिए गॉस का नियम और गुरुत्वाकर्षण के लिए गॉस का नियम तीन उदाहरण हैं।

निरंतरता समीकरण
निरंतरता समीकरण विचलन प्रमेय द्वारा एक दूसरे से संबंधित अंतर और अभिन्न रूपों दोनों के साथ कानूनों के अधिक उदाहरण प्रस्तुत करते हैं। द्रव गतिशीलता, विद्युत चुंबकत्व, क्वांटम यांत्रिकी, सापेक्षता सिद्धांत और कई अन्य क्षेत्रों में निरंतरता समीकरण हैं जो द्रव्यमान, संवेग, ऊर्जा, संभाव्यता या अन्य मात्राओं के संरक्षण का वर्णन करते हैं। आम तौर पर, ये समीकरण बताते हैं कि संरक्षित मात्रा के प्रवाह का विचलन उस मात्रा के स्रोतों या सिंक के वितरण के बराबर होता है। डाइवर्जेंस प्रमेय में कहा गया है कि इस तरह के किसी भी निरंतरता समीकरण को डिफरेंशियल फॉर्म (डाइवर्जेंस के संदर्भ में) और इंटीग्रल फॉर्म (फ्लक्स के संदर्भ में) में लिखा जा सकता है।

उलटा-वर्ग कानून
किसी भी व्युत्क्रम-वर्ग कानून को इसके बजाय गॉस के कानून-प्रकार के रूप में लिखा जा सकता है (ऊपर वर्णित एक अंतर और अभिन्न रूप के साथ)। दो उदाहरण हैं गॉस का नियम | गॉस का नियम (इलेक्ट्रोस्टैटिक्स में), जो व्युत्क्रम-वर्ग कूलम्ब के नियम का अनुसरण करता है, और गुरुत्वाकर्षण के लिए गॉस का नियम | गुरुत्वाकर्षण के लिए गॉस का नियम, जो न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के व्युत्क्रम-वर्ग के नियम से अनुसरण करता है। व्युत्क्रम-वर्ग सूत्रीकरण या इसके विपरीत गॉस के कानून-प्रकार के समीकरण की व्युत्पत्ति दोनों मामलों में बिल्कुल समान है; विवरण के लिए उन लेखों में से कोई भी देखें।

इतिहास
जोसेफ-लुई लाग्रेंज ने 1760 में और फिर से 1811 में अधिक सामान्य शब्दों में, अपने मेकानिक एनालिटिक | मेकानिक एनालिटिक के दूसरे संस्करण में सतह के अभिन्न अंग की धारणा पेश की। द्रव यांत्रिकी पर अपने काम में लैग्रेंज ने सतह के अभिन्न अंग का इस्तेमाल किया। उन्होंने 1762 में विचलन प्रमेय की खोज की। कार्ल फ्रेडरिक गॉस भी 1813 में एक अण्डाकार गोलाकार के गुरुत्वाकर्षण आकर्षण पर काम करते समय सतह के अभिन्न अंग का उपयोग कर रहे थे, जब उन्होंने विचलन प्रमेय के विशेष मामलों को सिद्ध किया। उन्होंने 1833 और 1839 में अतिरिक्त विशेष मामलों को सिद्ध किया। लेकिन यह मिखाइल ओस्ट्रोग्रैडस्की थे, जिन्होंने 1826 में गर्मी के प्रवाह की जांच के हिस्से के रूप में सामान्य प्रमेय का पहला प्रमाण दिया था। Mikhail Ostragradsky presented his proof of the divergence theorem to the Paris Academy in 1826; however, his work was not published by the Academy. He returned to St. Petersburg, Russia, where in 1828–1829 he read the work that he'd done in France, to the St. Petersburg Academy, which published his work in abbreviated form in 1831.
 * His proof of the divergence theorem – "Démonstration d'un théorème du calcul intégral" (Proof of a theorem in integral calculus) – which he had read to the Paris Academy on February 13, 1826, was translated, in 1965, into Russian together with another article by him. See:   Юшкевич А.П. (Yushkevich A.P.) and Антропова В.И. (Antropov V.I.) (1965) "Неопубликованные работы М.В. Остроградского" (Unpublished works of MV Ostrogradskii), Историко-математические исследования (Istoriko-Matematicheskie Issledovaniya / Historical-Mathematical Studies), 16: 49–96; see the section titled:  "Остроградский М.В. Доказательство одной теоремы интегрального исчисления" (Ostrogradskii M. V. Dokazatelstvo odnoy teoremy integralnogo ischislenia / Ostragradsky M.V.  Proof of a theorem in integral calculus).
 * M. Ostrogradsky (presented: November 5, 1828 ; published: 1831)  "Première note sur la théorie de la chaleur" (First note on the theory of heat) Mémoires de l'Académie impériale des sciences de St. Pétersbourg, series 6, 1: 129–133; for an abbreviated version of his proof of the divergence theorem, see pages 130–131.
 * Victor J. Katz (May1979) "The history of Stokes' theorem," Mathematics Magazine, 52(3): 146–156;  for Ostragradsky's proof of the divergence theorem, see pages 147–148. 1828 में जॉर्ज ग्रीन (गणितज्ञ) द्वारा बिजली और चुंबकत्व के सिद्धांतों के गणितीय विश्लेषण के अनुप्रयोग पर एक निबंध में विशेष मामलों को सिद्ध किया गया था। लोच पर एक पेपर में 1824 में सिमोन डेनिस पोइसन, और 1828 में फ़्लोटिंग बॉडी पर अपने काम में पियरे फ़्रेडरिक सर्रस | फ़्रेडरिक सर्रस।

उदाहरण 1
एक क्षेत्र के लिए अपसरण प्रमेय के तलीय संस्करण को सत्यापित करने के लिए $$R$$:


 * $$R = \left \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \ : \ x^2 + y^2 \leq 1 \right \},$$

और वेक्टर क्षेत्र:


 * $$ \mathbf{F}(x,y)= 2 y\mathbf{i} + 5x \mathbf{j}.$$

की सीमा $$R$$ यूनिट सर्कल है, $$C$$, जिसे पैरामीट्रिक रूप से दर्शाया जा सकता है:


 * $$x = \cos(s), \quad y = \sin(s)$$

ऐसा है कि $$0 \leq s \leq 2\pi$$ कहाँ पे $$s$$ इकाई बिंदु से लंबाई चाप है $$s = 0$$ मुद्दे पर $$P$$ पर $$C$$. फिर एक सदिश समीकरण $$C$$ है


 * $$C(s) = \cos(s)\mathbf{i} + \sin(s)\mathbf{j}.$$

एक बिंदु पर $$P$$ पर $$C$$:


 * $$ P = (\cos(s),\, \sin(s)) \, \Rightarrow \, \mathbf{F} = 2\sin(s)\mathbf{i} + 5\cos(s)\mathbf{j}.$$

इसलिए,


 * $$\begin{align}

\oint_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\, \mathrm{d}s &= \int_0^{2\pi} (2 \sin(s) \mathbf{i} + 5 \cos(s) \mathbf{j}) \cdot (\cos(s) \mathbf{i} + \sin(s) \mathbf{j})\, \mathrm{d}s\\ &= \int_0^{2\pi} (2 \sin(s) \cos(s) + 5 \sin(s) \cos(s))\, \mathrm{d}s\\ &= 7\int_0^{2\pi} \sin(s) \cos(s)\, \mathrm{d}s\\ &= 0. \end{align}$$ इसलिये $$M = 2y$$, हम मूल्यांकन कर सकते हैं $\frac{\partial M}{\partial x} = 0$, और क्योंकि $N = 5x$, $$\frac{\partial N}{\partial y} = 0$$. इस प्रकार


 * $$\iint_R \, \mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{F} \, \mathrm{d}A = \iint_R \left (\frac{\partial M}{\partial x} + \frac{\partial N}{\partial y} \right) \, \mathrm{d}A = 0. $$

उदाहरण 2
मान लीजिए कि हम द्वारा परिभाषित निम्नलिखित सदिश क्षेत्र के प्रवाह का मूल्यांकन करना चाहते हैं $$ \mathbf{F}=2x^2 \textbf{i} +2y^2 \textbf{j} +2z^2\textbf{k} $$ निम्नलिखित असमानताओं से घिरा:


 * $$\left\{0\le x \le 3\right\} \left\{-2\le y \le 2\right\} \left\{0\le z \le 2\pi\right\}$$

विचलन प्रमेय द्वारा,

हमें अब के विचलन को निर्धारित करने की आवश्यकता है $$\textbf{F}$$. यदि $$\mathbf{F}$$ एक त्रि-आयामी सदिश क्षेत्र है, फिर का विचलन $$\textbf{F}$$ द्वारा दिया गया है $\nabla \cdot \textbf{F} = \left( \frac{\partial}{\partial x}\textbf{i} + \frac{\partial}{\partial y}\textbf{j} + \frac{\partial}{\partial z}\textbf{k} \right) \cdot \textbf{F}$.

इस प्रकार, हम निम्नलिखित फ्लक्स इंटीग्रल सेट कर सकते हैं निम्नलिखित नुसार:

\begin{align} I &=\iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} \, \mathrm{d}V\\[6pt] &=\iiint_V \left( \frac{\partial\mathbf{F_x}}{\partial x}+\frac{\partial\mathbf{F_y}}{\partial y}+\frac{\partial\mathbf{F_z}}{\partial z} \right) \mathrm{d}V\\[6pt] &=\iiint_V (4x+4y+4z) \, \mathrm{d}V\\[6pt] &=\int_0^3 \int_{-2}^2 \int_0^{2\pi} (4x+4y+4z) \, \mathrm{d}V \end{align} $$ अब जबकि हमने समाकल स्थापित कर लिया है, हम इसका मूल्यांकन कर सकते हैं।


 * $$\begin{align}

\int_0^3 \int_{-2}^2 \int_0^{2\pi} (4x+4y+4z) \, \mathrm{d}V &=\int_{-2}^2 \int_0^{2\pi} (12y+12z+18) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z\\[6pt] &=\int_0^{2\pi} 24 (2z+3)\, \mathrm{d}z\\[6pt] &=48\pi(2\pi+3) \end{align}

$$

एकाधिक आयाम
समान करने के लिए कोई सामान्य स्टोक्स प्रमेय का उपयोग कर सकता है $z$एक वेक्टर क्षेत्र के विचलन का आयामी आयतन अभिन्न $n = 2$ एक क्षेत्र के ऊपर $W$ को $n = 1$-आयामी सतह का अभिन्न अंग $F$ की सीमा के ऊपर $n$:


 * $$ \underbrace{ \int \cdots \int_U }_n \nabla \cdot \mathbf{F} \, \mathrm{d}V = \underbrace{ \oint_{} \cdots \oint_{\partial U} }_{n-1} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, \mathrm{d}S $$

इस समीकरण को विचलन प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है।

कब ᙭᙭᙭᙭᙭, यह ग्रीन के प्रमेय के बराबर है।

कब ᙭᙭᙭᙭᙭, यह कैलकुलस के मौलिक प्रमेय, भाग 2 तक कम हो जाता है।

टेन्सर क्षेत्र
आइंस्टीन संकेतन में प्रमेय लिखना:

सदिश क्षेत्र की जगह ᙭᙭᙭᙭᙭ रैंक के साथ-$U$ टेंसर क्षेत्र $U$, इसे सामान्यीकृत किया जा सकता है:

जहां प्रत्येक तरफ कम से कम एक इंडेक्स के लिए टेन्सर संकुचन होता है। प्रमेय का यह रूप अभी भी 3डी में है, प्रत्येक सूचकांक मान 1, 2 और 3 लेता है। इसे उच्च (या निम्न) आयामों के लिए और भी सामान्यीकृत किया जा सकता है (उदाहरण के लिए सामान्य सापेक्षता में 4डी अंतरिक्ष समय के लिए) ).

यह भी देखें

 * केल्विन-स्टोक्स प्रमेय

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * वेक्टर पथरी
 * फ्लक्स
 * सामान्यकरण
 * वेक्टर क्षेत्र
 * मात्रा अभिन्न
 * द्रव गतिविज्ञान
 * भौतिक विज्ञान
 * सौम्य सतह
 * त्रि-आयामी स्थान
 * खंड अनुसार
 * सामान्य (ज्यामिति)
 * समर्थन (गणित)
 * वेक्टर क्षेत्रों के लिए सीधा प्रमेय
 * वेक्टर पहचान
 * सातत्य समीकरण
 * व्युत्क्रम वर्ग नियम
 * कैलकुलस का मौलिक प्रमेय
 * टेंसर संकुचन

बाहरी संबंध

 * Differential Operators and the Divergence Theorem at MathPages
 * The Divergence (Gauss) Theorem by Nick Bykov, Wolfram Demonstrations Project.
 * – This article was originally based on the GFDL article from PlanetMath at https://web.archive.org/web/20021029094728/http://planetmath.org/encyclopedia/Divergence.html 
 * – This article was originally based on the GFDL article from PlanetMath at https://web.archive.org/web/20021029094728/http://planetmath.org/encyclopedia/Divergence.html