अर्धसंभाव्यता वितरण

अर्धसंभाव्यता वितरण, संभाव्यता वितरण के समान गणितीय वस्तु है, किन्तु जो संभाव्यता सिद्धांत के कोलमोगोरोव के कुछ सिद्धांतों को अशक्त करता है। अर्धसंभावनाएं सामान्य संभावनाओं के साथ विभिन्न सामान्य विशेषताएं साझा करती हैं, जैसे, महत्वपूर्ण रूप से, वितरण के भार के संबंध में अपेक्षित मान उत्पन्न करने की क्षमता है। चूँकि, वह σ -एडिटिविटी सिद्धांत का उल्लंघन कर सकते हैं उन पर एकीकरण करने से परस्पर अनन्य स्थिति की संभावनाएं उत्पन्न नहीं होती हैं। वास्तव में, अर्धसंभाव्यता वितरण में ऋणात्मक संभाव्यता घनत्व के क्षेत्र भी होते हैं, जो कि पहले सिद्धांत का खंडन करते हैं। इस प्रकार अर्धसंभाव्यता वितरण क्वांटम यांत्रिकी के अध्ययन में उत्पन्न होते हैं जब इसे चरण समष्टि सूत्र में विचार किया जाता है, जो क्वांटम प्रकाशिकी, समय-आवृत्ति विश्लेषण और अन्य समष्टि में सामान्यत: प्रयुक्त होता है।

परिचय
सामान्यतः, क्वांटम यांत्रिकी प्रणाली की गतिशीलता हिल्बर्ट समष्टि में मास्टर समीकरण द्वारा निर्धारित की जाती है: प्रणाली के घनत्व संचालक के लिए गति का समीकरण (सामान्यत: $$\widehat{\rho}$$ लिखा जाता है)। घनत्व संचालक को पूर्ण ऑर्थोनॉर्मल आधार के संबंध में परिभाषित किया गया है। यद्यपि इस समीकरण को बहुत छोटी प्रणालियों (अर्थात, कुछ कणों या स्वतंत्रता की डिग्री वाले प्रणाली) के लिए प्रत्यक्ष एकीकृत करना संभव है, यह बड़ी प्रणालियों के लिए शीघ्र ही कठिन हो जाता है। चूँकि, यह सिद्ध करना संभव है घनत्व संचालक को सदैव विकर्ण आव्युह रूप में लिखा जा सकता है, परंतु कि यह अतिपूर्णता के आधार पर उपयोग किया जाता है। इस प्रकार जब घनत्व संचालक को इस प्रकार के पूर्ण आधार पर दर्शाया जाता है, इस प्रकार इसे सामान्य फलन के समान विधि से लिखा जा सकता है, इस मान पर कि फलन में अर्धसंभाव्यता वितरण की विशेषताएं होती हैं। प्रणाली का विकास तब पूर्ण रूप से अर्धसंभाव्यता वितरण फलन के विकास से निर्धारित होता है।

सुसंगत स्थिति, अर्थात् क्षय संचालिका की सही स्वदेशी स्थिति $$\widehat{a}$$ ऊपर वर्णित निर्माण में अपूर्ण आधार के रूप में कार्य करती हैं। परिभाषा के अनुसार, सुसंगत स्थिति में निम्नलिखित प्रोपर्टी होती है,
 * $$\begin{align}\widehat{a}|\alpha\rangle&=\alpha|\alpha\rangle \\

\langle\alpha|\widehat{a}^{\dagger}&=\langle\alpha|\alpha^*. \end{align}$$ इनमें कुछ और रोचक गुण भी होते हैं। उदाहरण के लिए, कोई भी दो सुसंगत स्थिति एक-दूसरे के लिए सममान नहीं हैं। वास्तव में, यदि |α〉और |β〉 सुसंगत स्थितिओं का युग्म हैं, तो
 * $$\langle\beta\mid\alpha\rangle=e^{-{1\over2}(|\beta|^2+|\alpha|^2-2\beta^*\alpha)}\neq\delta(\alpha-\beta).$$

ध्यान दें कि इन स्थिति को चूंकि 〈α |α〉 = 1 के साथ सही विधि से सामान्यीकृत किया गया है, फॉक स्थिति के आधार की पूर्णता के कारण सुसंगत स्थिति के आधार का विकल्प अधूरा होना चाहिए। अनौपचारिक प्रमाण दिखाने के लिए क्लिक करें।

सुसंगत स्थितिओं की अपूर्णता का प्रमाण
चूँकि, सुसंगत स्थिति के आधार पर, घनत्व संचालक को विकर्ण रूप में व्यक्त करना सदैव संभव है
 * $$\widehat{\rho} = \int f(\alpha,\alpha^*) |\alpha\rangle \langle \alpha| \, d^2\alpha$$

जहाँ f चरण समष्टि वितरण का निरूपण है। इस फलन f को अर्धसंभाव्यता घनत्व माना जाता है क्योंकि इसमें निम्नलिखित गुण हैं:
 * $$\int f(\alpha,\alpha^*) \, d^2\alpha = \operatorname{tr}(\widehat{\rho}) = 1 $$ (सामान्यीकरण)
 * यदि $$g_\Omega (\widehat{a},\widehat{a}^\dagger)$$ संचालक है जिसे क्रमबद्ध Ω में निर्माण और क्षय संचालकों की शक्ति श्रृंखला के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तो इसका अपेक्षित मान है
 * $$\langle g_{\Omega} (\widehat{a},\widehat{a}^\dagger) \rangle = \int f(\alpha,\alpha^*) g_\Omega(\alpha,\alpha^*) \, d\alpha \, d\alpha^*$$ (ऑप्टिकल तुल्यता प्रमेय)।

इस प्रकार फलन f अद्वितीय नहीं है। विभिन्न निरूपण Ω से सम्बंधित वर्ग की उपस्थित है, प्रत्येक भिन्न Ω क्रम से जुड़ा हुआ है। इनमें से सामान्य भौतिकी साहित्य में सबसे लोकप्रिय और ऐतिहासिक रूप से इनमें से पहला विग्नर अर्धसंभाव्यता वितरण,है जो सममित संचालक निरूपण से संबंधित है। विशेष रूप से क्वांटम ऑप्टिक्स में, अधिकांशतः इंटरेस्ट के संचालक, विशेष रूप से कण संख्या संचालक, स्वाभाविक रूप से सामान्य क्रम में व्यक्त किए जाते हैं। उस स्थिति में, चरण समष्टि वितरण का संगत निरूपण ग्लौबर-सुदर्शन P निरूपण है। इन चरण समष्टि वितरणों की अर्धसंभाव्य प्रकृति को निम्नलिखित मुख्य कथन के कारण $P$ प्रतिनिधित्व में सबसे स्पष्ट रूप से निरुपित किया जाता है

यह व्यापक कथन अन्य निरूपण में निष्क्रिय है। उदाहरण के लिए, ईपीआर स्थिति का विग्नर फलन धनात्मक निश्चित है किन्तु इसका कोई मौलिक रूपांतर नहीं है।

ऊपर परिभाषित निरूपण के अतिरिक्त, विभिन्न अन्य अर्धसंभाव्यता वितरण हैं जो चरण समष्टि वितरण के वैकल्पिक निरूपण में उत्पन्न होते हैं। अन्य लोकप्रिय निरूपण हुसिमी Q निरूपण है, जो तब उपयोगी होता है जब संचालक सामान्य-विरोधी क्रम में होंते है। वर्तमान में, धनात्मक $P$ निरूपण और सामान्यीकृत $P$ का व्यापक वर्ग क्वांटम ऑप्टिक्स में सम्मिश्र समस्याओं को हल करने के लिए निरूपण का उपयोग किया गया है। यह सभी एक दूसरे के समान हैं और एक दूसरे में परिवर्तित हो सकते हैं, जैसा कि कोहेन का वर्ग वितरण फलन का है।

विशिष्ट फलन
संभाव्यता सिद्धांत के अनुरूप, क्वांटम अर्धसंभाव्यता वितरण को विशिष्ट समूहों के रूप में लिखा जा सकता है, इस प्रकार जिनसे सभी संचालक संभावित मानो को प्राप्त किया जा सकता है। एन मोड प्रणाली के विग्नर, ग्लॉबर P और Q प्रवृत्तियों के लिए विशिष्ट फलन इस प्रकार हैं:

यहाँ $$\widehat{\mathbf{a}}$$ और $$\widehat{\mathbf{a}}^{\dagger}$$ प्रत्येक मोड के लिए क्षय और निर्माण संचालक वाले सदिश हैं। इन विशिष्ट फलन का उपयोग संचालक समय के अपेक्षित मानो का प्रत्यक्ष मूल्यांकन करने के लिए किया जा सकता है। इस प्रकार इस समय में क्षय और निर्माण संचालकों का क्रम विशिष्ट फलन के लिए विशिष्ट होता है। उदाहरण के लिए, क्षय संचालकों से पूर्ववर्ती निर्माण संचालक) समय के मूल्यांकन $$\chi_P\,$$को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है :
 * $$\chi_W(\mathbf{z},\mathbf{z}^*)= \operatorname{tr}(\rho e^{i\mathbf{z}\cdot\widehat{\mathbf{a}}+i\mathbf{z}^*\cdot\widehat{\mathbf{a}}^{\dagger}})$$
 * $$\chi_P(\mathbf{z},\mathbf{z}^*)= \operatorname{tr}(\rho e^{i\mathbf{z}^*\cdot\widehat{\mathbf{a}}^{\dagger}}e^{i\mathbf{z}\cdot\widehat{\mathbf{a}}})$$
 * $$\chi_Q(\mathbf{z},\mathbf{z}^*)=\operatorname{tr}(\rho e^{i\mathbf{z}\cdot\widehat{\mathbf{a}}}e^{i\mathbf{z}^*\cdot\widehat{\mathbf{a}}^{\dagger}})$$


 * $$\langle\widehat{a}_j^{\dagger m}\widehat{a}_k^n\rangle = \frac{\partial^{m+n}}{\partial(iz_j^*)^m\partial(iz_k)^n}\chi_P(\mathbf{z},\mathbf{z}^*)\Big|_{\mathbf{z}=\mathbf{z}^*=0}$$

उसी प्रकार, क्षय और निर्माण संचालकों के सामान्य रूप से आदेशित और सममित रूप से आदेशित संयोजनों की अपेक्षित मानो का मूल्यांकन क्रमशः Q और विग्नर वितरण के लिए विशेषता फलन से किया जा सकता है। इस प्रकारअर्धसंभाव्यता फलन को स्वयं उपरोक्त विशिष्ट फलन के फूरियर परिवर्तनों के रूप में परिभाषित किया गया है। अर्थात,


 * $$\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf{\alpha},\mathbf{\alpha}^*)=\frac{1}{\pi^{2N}}\int \chi_{\{W\mid P\mid Q\}}(\mathbf{z},\mathbf{z}^*)e^{-i\mathbf{z}^*\cdot\mathbf{\alpha}^*}e^{-i\mathbf{z} \cdot \mathbf{\alpha}} \, d^{2N}\mathbf{z}.$$

यहाँ $$\alpha_j\,$$ और $$\alpha^*_k$$ ग्लॉबर P और Q वितरण के स्थितियों में सुसंगत स्थिति आयाम के रूप में पहचाना जा सकता है, किन्तु विग्नर फलन के लिए केवल C-संख्याएँ होती हैं। चूंकि सामान्य समष्टि में विभेदन फूरियर समष्टि में गुणन बन जाता है, इसलिए इन फलन से समय की गणना निम्नलिखित विधि से की जा सकती है: यहाँ $$(\cdots)_S$$ सममित क्रम को दर्शाता है।
 * $$\langle\widehat{\mathbf{a}}_j^{\dagger m}\widehat{\mathbf{a}}_k^n\rangle=\int P(\mathbf{\alpha},\mathbf{\alpha}^*)\alpha_j^n\alpha_k^{*m} \, d^{2N}\mathbf{\alpha}$$
 * $$\langle\widehat{\mathbf{a}}_j^m\widehat{\mathbf{a}}_k^{\dagger n}\rangle=\int Q(\mathbf{\alpha},\mathbf{\alpha}^*)\alpha_j^m\alpha_k^{*n} \, d^{2N}\mathbf{\alpha}$$
 * $$\langle(\widehat{\mathbf{a}}_j^{\dagger m}\widehat{\mathbf{a}}_k^n)_S\rangle=\int W(\mathbf{\alpha},\mathbf{\alpha}^*)\alpha_j^m\alpha_k^{*n} \, d^{2N}\mathbf{\alpha}$$

यह सभी निरूपण गॉसियन फलन, वीयरस्ट्रैस परिवर्तन, द्वारा कनवल्शन के माध्यम से परस्पर जुड़े हुए हैं। या, उस प्रोपर्टी का उपयोग करते हुए जो कनवल्शन संबद्ध है, यह इस प्रकार है कि अधिकांशतः अपसारी इंटीग्रल संकेत करता है कि P अधिकांशतः वितरण है। समान घनत्व आव्युह के लिए Q सदैव P से अधिक विस्तृत है।
 * $$W(\alpha,\alpha^*)= \frac{2}{\pi} \int P(\beta,\beta^*) e^{-2|\alpha-\beta|^2} \, d^2\beta$$
 * $$Q(\alpha,\alpha^*)= \frac{2}{\pi} \int W(\beta,\beta^*) e^{-2|\alpha-\beta|^2} \, d^2\beta$$
 * $$Q(\alpha,\alpha^*)= \frac{1}{\pi} \int P(\beta,\beta^*) e^{-|\alpha-\beta|^2} \, d^2\beta ~.$$
 * $$P(\alpha,\alpha^*)= \frac{1}{\pi^2} \int Q(\beta,\beta^*) e^{|\lambda|^2+\lambda^* ( \alpha-\beta) -\lambda ( \alpha-\beta) ^*} \, d^2\beta ~d^2\lambda,$$

उदाहरण के लिए, तापीय स्थिति के लिए,
 * $$\hat \rho= \frac{1}{\bar n +1}\sum_{n=0}^\infty \left (\frac{\bar n}{1+\bar n }\right)^n |n\rangle \langle n|, $$

किसी के निकट
 * $$P(\alpha)= \frac{1}{\pi \bar n } e^{-\frac{|\alpha|^2}{\bar n}}, \qquad

Q(\alpha)= \frac{1}{\pi (1+ \bar n) } e^{-\frac{|\alpha|^2}{1+\bar n}}.$$

समय विकास और संचालक अनुरूपता
चूँकि $ρ$ से वितरण फलन तक उपरोक्त प्रत्येक परिवर्तन रैखिक है, प्रत्येक वितरण के लिए गति का समीकरण $$\dot{\rho}$$ में समान परिवर्तन करके प्राप्त किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, चूंकि कोई भी मास्टर समीकरण जिसे लिंडब्लैड फॉर्म में व्यक्त किया जा सकता है, उसे घनत्व संचालक पर क्षय और निर्माण संचालको के संयोजन के फलन द्वारा पूर्ण रूप से वर्णित किया गया है, ऐसे संचालन के प्रत्येक अर्धसंभाव्यता फलन पर होने वाले प्रभाव पर विचार करना उपयोगी है।

उदाहरण के लिए, $ρ$ पर कार्य करने वाले क्षय संचालिका $$\widehat{a}_j\,$$ पर विचार करें। P वितरण के विशिष्ट फलन के लिए हमारे निकट है
 * $$\operatorname{tr}(\widehat{a}_j\rho e^{i\mathbf{z}^*\cdot\widehat{\mathbf{a}}^{\dagger}} e^{i\mathbf{z}\cdot\widehat{\mathbf{a}}}) = \frac{\partial}{\partial(iz_j)}\chi_P(\mathbf{z},\mathbf{z}^*).$$

इस प्रकार ग्लॉबर P फलन पर संबंधित क्रिया को खोजने के लिए $$\mathbf{z}\,$$ के संबंध में फूरियर रूपांतरण को लेते हुए हम पाते हैं
 * $$\widehat{a}_j\rho \rightarrow \alpha_j P(\mathbf{\alpha},\mathbf{\alpha}^*).$$

इस प्रक्रिया का उपयोग करके ऊपर दिए गए प्रत्येक वितरण के लिए, निम्नलिखित संचालक सम्बन्ध की पहचान की जा सकती हैं: इस प्रकार यहाँ $κ = 0, 1/2$ या क्रमशः P, विग्नर और Q वितरणों के लिए 1 है। इस प्रकार, मास्टर समीकरणों को समीकरणों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है`।
 * $$\widehat{a}_j\rho \rightarrow \left(\alpha_j + \kappa\frac{\partial}{\partial\alpha_j^*}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf{\alpha},\mathbf{\alpha}^*)$$
 * $$\rho\widehat{a}^\dagger_j \rightarrow \left(\alpha_j^* + \kappa\frac{\partial}{\partial\alpha_j}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf{\alpha},\mathbf{\alpha}^*)$$
 * $$\widehat{a}^\dagger_j\rho \rightarrow \left(\alpha_j^* - (1-\kappa)\frac{\partial}{\partial\alpha_j}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf{\alpha},\mathbf{\alpha}^*)$$
 * $$\rho\widehat{a}_j \rightarrow \left(\alpha_j - (1-\kappa)\frac{\partial}{\partial\alpha_j^*}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf{\alpha},\mathbf{\alpha}^*)$$

सुसंगत स्थिति
इस प्रकार निर्माण के अनुसार, सुसंगत स्थिति $$|\alpha_0\rangle$$ के लिए P डेल्टा समीकरण है:
 * $$P(\alpha,\alpha^*)=\delta^2(\alpha-\alpha_0).$$

विग्नर और Q निरूपण उपरोक्त गॉसियन संलयन सूत्रों से प्रत्यक्ष रूप से आते हैं,
 * $$W(\alpha,\alpha^*)=\frac{2}{\pi} \int \delta^2(\beta-\alpha_0) e^{-2|\alpha-\beta|^2} \, d^2\beta=\frac{2}{\pi}e^{-2|\alpha-\alpha_0|^2}$$
 * $$Q(\alpha,\alpha^*)=\frac{1}{\pi} \int \delta^2(\beta-\alpha_0) e^{-|\alpha-\beta|^2} \, d^2\beta=\frac{1}{\pi}e^{-|\alpha-\alpha_0|^2}.$$

हुसिमी निरूपण को दो सुसंगत स्थितियों के आंतरिक उत्पाद के लिए उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके भी पाया जा सकता है,
 * $$Q(\alpha,\alpha^*)=\frac{1}{\pi}\langle \alpha|\widehat{\rho}|\alpha\rangle =\frac{1}{\pi}|\langle \alpha_0|\alpha\rangle|^2 = \frac{1}{\pi}e^{-|\alpha-\alpha_0|^2}$$

फॉक स्थिति
फॉक स्थिति $$|n\rangle$$ का P निरूपण है
 * $$P(\alpha,\alpha^*)=\frac{e^{|\alpha|^2}}{n!} \frac{\partial^{2n}}{\partial\alpha^{*n}\,\partial\alpha^n} \delta^2(\alpha).$$

चूँकि n>0 के लिए यह डेल्टा समीकरण से अधिक असमीकरण है, फ़ॉक स्थिति का कोई मौलिक स्वीकृति नहीं है। गॉसियन संकल्पों के साथ आगे बढ़ने पर गैर-मौलिकता कम पारदर्शी होती है। यदि Ln लैगुएरे बहुपद W है, तो
 * $$W(\alpha,\alpha^*) = (-1)^n\frac{2}{\pi} e^{-2|\alpha|^2} L_n\left(4|\alpha|^2\right) ~,$$

जो ऋणात्मक हो सकता है किन्तु सीमित है।

इसके विपरीत Q सदैव धनात्मक और सीमित रहता है
 * $$Q(\alpha,\alpha^*)=\frac{1}{\pi}\langle \alpha|\widehat{\rho}|\alpha\rangle =\frac{1}{\pi}|\langle n|\alpha\rangle|^2 =\frac{1}{\pi n!}|\langle 0|\widehat{a}^n|\alpha\rangle|^2 = \frac{|\alpha|^{2n}}{\pi n!} |\langle 0|\alpha\rangle|^2 ~.$$

डम्प्ड क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर
निम्नलिखित मास्टर समीकरण के साथ डम्प्ड क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर पर विचार करें,
 * $$\frac{d\widehat{\rho}}{dt} = i\omega_0 [\widehat{\rho},\widehat{a}^\dagger\widehat{a}] + \frac{\gamma}{2} (2\widehat{a}\widehat{\rho}\widehat{a}^\dagger - \widehat{a}^\dagger\widehat{a} \widehat{\rho} - \rho\widehat{a}^\dagger \widehat{a}) + \gamma \langle n \rangle (\widehat{a} \widehat{\rho} \widehat{a}^\dagger + \widehat{a}^\dagger\widehat{\rho}\widehat{a} - \widehat{a}^\dagger\widehat{a}\widehat{\rho}-\widehat{\rho} \widehat{a} \widehat{a}^\dagger).$$

इसका परिणाम फोककर-प्लैंक समीकरण में होता है,
 * $$\frac{\partial}{\partial t} \{W\mid P\mid Q\}(\alpha,\alpha^*,t) = \left[(\gamma+i\omega_0)\frac{\partial}{\partial \alpha}\alpha + (\gamma-i\omega_0)\frac{\partial}{\partial \alpha^*}\alpha^* + \frac{\gamma}{2}(\langle n \rangle + \kappa)\frac{\partial^2}{\partial\alpha\,\partial\alpha^*}\right]\{W\mid P\mid Q\}(\alpha,\alpha^*,t), $$

जहां P, W, और Q निरूपण के लिए क्रमशः κ = 0, 1/2, 1 है।

यदि प्रणाली प्रारंभ में सुसंगत स्थिति $$|\alpha_0\rangle$$ में है तो इस समीकरण का हल है
 * $$\{W\mid P\mid Q\}(\alpha,\alpha^*,t) = \frac{1}{\pi \left[\kappa + \langle n \rangle\left(1-e^{-2\gamma t}\right)\right]} \exp{\left(-\frac{\left|\alpha-\alpha_0 e^{-(\gamma +i\omega_0) t}\right|^2}{\kappa + \langle n \rangle\left(1-e^{-2\gamma t}\right)}\right)}.$$