यूक्लिडियन वेक्टर

गणित, भौतिकी और इंजीनियरिंग में, एक यूक्लिडियन वेक्टर या बस एक वेक्टर (कभी -कभी एक ज्यामितीय वेक्टर कहा जाता है या स्थानिक वेक्टर ) एक ज्यामितीय वस्तु है जिसमें परिमाण (या लंबाई) और दिशा है।वेक्टर बीजगणित के अनुसार वैक्टर को अन्य वैक्टर में जोड़ा जा सकता है।एक यूक्लिडियन वेक्टर को अक्सर एक निर्देशित लाइन खंड द्वारा दर्शाया जाता है, या ग्राफिक रूप से एक तीर के रूप में एक प्रारंभिक बिंदु ए को एक टर्मिनल बिंदु बी के साथ जोड़ता है, और द्वारा निरूपित किया $$\overrightarrow{AB}$$ ।

एक वेक्टर वह है जो बिंदु ए को बिंदु बी तक ले जाने के लिए आवश्यक है;लैटिन शब्द वेक्टर का अर्थ वाहक है। इसका उपयोग पहली बार 18 वीं शताब्दी के खगोलविदों द्वारा किया गया था, जो सूर्य के आसपास ग्रह क्रांति की जांच कर रहे थे। वेक्टर का परिमाण दो बिंदुओं के बीच की दूरी है, और दिशा ए से बी से विस्थापन की दिशा को संदर्भित करती है। वास्तविक संख्या पर कई बीजीय संचालन जैसे कि जोड़, घटाव, गुणा और नकारात्मकता में वैक्टर के लिए घनिष्ठ एनालॉग्स हैं, संचालन जो कम्यूटेटिविटी, एसोसिएटिविटी और डिस्ट्रीब्यूशन के परिचित बीजगणितीय कानूनों का पालन करते हैं।ये संचालन और संबंधित कानून यूक्लिडियन वैक्टर को एक वेक्टर अंतरिक्ष के तत्वों के रूप में परिभाषित वैक्टर की अधिक सामान्यीकृत अवधारणा के उदाहरण के रूप में योग्य बनाते हैं।

वैक्टर भौतिकी में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं: एक चलती वस्तु का वेग और त्वरण और उस पर काम करने वाले बलों को सभी वैक्टर के साथ वर्णित किया जा सकता है। कई अन्य भौतिक मात्राओं को उपयोगी रूप से वैक्टर के रूप में सोचा जा सकता है।यद्यपि उनमें से अधिकांश दूरी का प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं (उदाहरण के लिए, स्थिति या विस्थापन के अलावा), उनकी परिमाण और दिशा को अभी भी एक तीर की लंबाई और दिशा द्वारा दर्शाया जा सकता है।एक भौतिक वेक्टर का गणितीय प्रतिनिधित्व इसका वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले समन्वय प्रणाली पर निर्भर करता है।अन्य वेक्टर जैसी वस्तुएं जो भौतिक मात्रा का वर्णन करती हैं और समन्वय प्रणाली के परिवर्तनों के तहत एक समान तरीके से रूपांतरित होती हैं, उनमें स्यूडोवेक्टर और टेनर्स शामिल हैं। ref>

इतिहास
वेक्टर की अवधारणा, जैसा कि हम आज जानते हैं, 200 से अधिक वर्षों की अवधि में क्रमिक विकास का परिणाम है।लगभग एक दर्जन लोगों ने इसके विकास में महत्वपूर्ण योगदान दिया। 1835 में, Giusto Bellavitis ने मूल विचार को अलग कर दिया जब उन्होंने लैस की अवधारणा की स्थापना की।एक यूक्लिडियन विमान में काम करते हुए, उन्होंने समान लंबाई और अभिविन्यास के समानांतर लाइन खंडों के किसी भी जोड़े को सुसज्जित किया।अनिवार्य रूप से, उन्होंने विमान में बिंदुओं (Bipoints) के जोड़े पर एक समानता संबंध का एहसास किया, और इस तरह विमान में वैक्टर के पहले स्थान को खड़ा किया। वेक्टर शब्द विलियम रोवन हैमिल्टन द्वारा एक चतुर्भुज के हिस्से के रूप में पेश किया गया था, जो एक राशि है $q = s + v$ एक वास्तविक संख्या का $s$ (जिसे स्केलर भी कहा जाता है) और एक 3-आयामी वेक्टर।बेलाविटिस की तरह, हैमिल्टन ने वैक्टर को सुसज्जित निर्देशित खंडों के वर्गों के प्रतिनिधि के रूप में देखा।जैसा कि जटिल संख्या वास्तविक रेखा के पूरक के लिए एक काल्पनिक इकाई का उपयोग करती है, हैमिल्टन ने वेक्टर पर विचार किया $v$ एक चतुर्भुज का काल्पनिक हिस्सा होने के लिए:

"The algebraically imaginary part, being geometrically constructed by a straight line, or radius vector, which has, in general, for each determined quaternion, a determined length and determined direction in space, may be called the vector part, or simply the vector of the quaternion." कई अन्य गणितज्ञों ने उन्नीसवीं शताब्दी के मध्य में वेक्टर जैसी प्रणालियों को विकसित किया, जिनमें ऑगस्टिन कॉची, हर्मन ग्रासमैन, अगस्त मोबियस, कॉम्टे डे सेंट-वेन्ट, और मैथ्यू ओ'ब्रायन (गणितज्ञ) शामिल हैं।ग्रासमैन के 1840 वर्क थेरी डेर एबबे अंडर फ्लूट (ईब और फ्लो का सिद्धांत) स्थानिक विश्लेषण की पहली प्रणाली थी जो आज की प्रणाली के समान है, और क्रॉस उत्पाद, स्केलर उत्पाद और वेक्टर भेदभाव के अनुरूप विचार थे।1870 के दशक तक ग्रासमैन के काम को काफी हद तक उपेक्षित किया गया था।

पीटर गुथरी टैट ने हैमिल्टन के बाद चतुर्भुज मानक को आगे बढ़ाया।उनके 1867 के प्राथमिक ग्रंथ में चतुर्भुजों में NABLA या DEL ऑपरेटर का व्यापक उपचार शामिल था।

1878 में, विलियम किंगडन क्लिफोर्ड द्वारा डायनेमिक्स के तत्वों को प्रकाशित किया गया था।क्लिफोर्ड ने डॉट उत्पाद और दो वैक्टर के क्रॉस प्रोडक्ट को पूर्ण चतुर्भुज उत्पाद से अलग करके क्वाटरनियन अध्ययन को सरल बनाया।इस दृष्टिकोण ने वेक्टर गणनाओं को इंजीनियरों के लिए उपलब्ध कराया - और अन्य तीन आयामों में काम कर रहे हैं और चौथे के संदेह में हैं।

जोशिया विलार्ड गिब्स, जो बिजली और चुंबकत्व पर जेम्स क्लर्क मैक्सवेल के ग्रंथ के माध्यम से चतुर्भुज के संपर्क में थे, ने स्वतंत्र उपचार के लिए अपने वेक्टर भाग को अलग कर दिया।1881 में प्रकाशित वेक्टर विश्लेषण के गिब्स के तत्वों की पहली छमाही प्रस्तुत करती है, जो अनिवार्य रूप से वेक्टर विश्लेषण की आधुनिक प्रणाली है। 1901 में, एडविन बिडवेल विल्सन ने वेक्टर विश्लेषण प्रकाशित किया, जो गिब के व्याख्यान से अनुकूलित किया गया, जिसने वेक्टर कैलकुलस के विकास में चतुर्भुज के किसी भी उल्लेख को गायब कर दिया।

अवलोकन
भौतिकी और इंजीनियरिंग में, एक वेक्टर को आमतौर पर एक ज्यामितीय इकाई के रूप में माना जाता है जो एक परिमाण और एक दिशा द्वारा विशेषता है।यह औपचारिक रूप से एक निर्देशित लाइन खंड, या तीर के रूप में एक यूक्लिडियन स्थान में परिभाषित किया गया है। शुद्ध गणित में, एक वेक्टर को आम तौर पर वेक्टर स्थान के किसी भी तत्व के रूप में परिभाषित किया जाता है।इस संदर्भ में, वैक्टर अमूर्त संस्थाएं हैं जो एक परिमाण और एक दिशा की विशेषता हो सकती हैं या नहीं।इस सामान्यीकृत परिभाषा का अर्थ है कि उपर्युक्त ज्यामितीय संस्थाएं एक विशेष प्रकार के वैक्टर हैं, क्योंकि वे एक विशेष प्रकार के वेक्टर अंतरिक्ष के तत्व हैं जिन्हें यूक्लिडियन स्पेस कहा जाता है।

यह लेख वैक्टर के बारे में है जिसे यूक्लिडियन अंतरिक्ष में तीर के रूप में परिभाषित किया गया है।जब शुद्ध गणित में परिभाषित वैक्टर से इन विशेष वैक्टर को अलग करना आवश्यक हो जाता है, तो उन्हें कभी -कभी ज्यामितीय, स्थानिक या यूक्लिडियन वैक्टर के रूप में संदर्भित किया जाता है।

एक तीर होने के नाते, एक यूक्लिडियन वेक्टर के पास एक निश्चित 'प्रारंभिक बिंदु' 'और' 'टर्मिनल पॉइंट' 'होता है।निश्चित प्रारंभिक और टर्मिनल बिंदु के साथ एक वेक्टर को एक बाध्य वेक्टर कहा जाता है। जब केवल वेक्टर पदार्थ की परिमाण और दिशा, तो विशेष प्रारंभिक बिंदु का कोई महत्व नहीं है, और वेक्टर को एक मुक्त वेक्टर कहा जाता है।इस प्रकार दो तीर $$\stackrel {\,\longrightarrow}{AB}$$ तथा $$\stackrel {\,\longrightarrow}{A'B'}$$ अंतरिक्ष में एक ही मुक्त वेक्टर का प्रतिनिधित्व करते हैं यदि उनके पास एक ही परिमाण और दिशा है: अर्थात्, वे लैस हैं यदि चतुर्भुज abb ′ ′ ′ एक समानांतर चुम्बचय है।यदि यूक्लिडियन स्थान मूल की पसंद से सुसज्जित है, तो एक मुक्त वेक्टर उसी परिमाण और दिशा के बाध्य वेक्टर के बराबर है जिसका प्रारंभिक बिंदु मूल है।

वेक्टर शब्द में उच्च आयामों के लिए सामान्यीकरण भी हैं, और बहुत व्यापक अनुप्रयोगों के साथ अधिक औपचारिक दृष्टिकोण हैं।

अधिक जानकारी
शास्त्रीय यूक्लिडियन ज्यामिति (यानी, सिंथेटिक ज्यामिति) में, वैक्टर को (19 वीं शताब्दी के दौरान) को इक्विपोलेंस के तहत समतुल्य वर्गों के रूप में, अंक के आदेशित जोड़े के रूप में पेश किया गया था;दो जोड़े $(A, B)$ तथा $(C, D)$ इक्विपोलेंट होने पर अगर अंक $A, B, D, C$, इस क्रम में, एक समांतर चतुर्भुज बनाते हैं।इस तरह के एक तुल्यता वर्ग को एक वेक्टर कहा जाता है, अधिक सटीक रूप से, एक यूक्लिडियन वेक्टर। की समानता वर्ग $(A, B)$ अक्सर निरूपित किया जाता है $$\overrightarrow{AB}.$$ एक यूक्लिडियन वेक्टर इस प्रकार एक ही परिमाण के साथ निर्देशित खंडों का एक समानता वर्ग है (जैसे, लाइन खंड की लंबाई $(A, B)$) और एक ही दिशा (जैसे, दिशा से दिशा $A$ प्रति $B$)। भौतिकी में, यूक्लिडियन वैक्टर का उपयोग भौतिक मात्रा का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है, जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होती हैं, लेकिन स्केलर के विपरीत, एक विशिष्ट स्थान पर स्थित नहीं होते हैं, जिनकी कोई दिशा नहीं है। उदाहरण के लिए, वेग, बल और त्वरण को वैक्टर द्वारा दर्शाया जाता है।

आधुनिक ज्यामिति में, यूक्लिडियन रिक्त स्थान को अक्सर रैखिक बीजगणित से परिभाषित किया जाता है।अधिक सटीक रूप से, एक यूक्लिडियन स्थान $E$ एक सेट के रूप में परिभाषित किया गया है, जो कि रियल पर परिमित आयाम के एक आंतरिक उत्पाद स्थान से जुड़ा है $$\overrightarrow{E},$$ और additive समूह की एक समूह कार्रवाई $$\overrightarrow{E},$$ जो स्वतंत्र और सकर्मक है (इस निर्माण के विवरण के लिए affine स्थान देखें)।के तत्व $$\overrightarrow{E}$$ अनुवाद कहा जाता है।

यह साबित हो गया है कि यूक्लिडियन रिक्त स्थान की दो परिभाषाएँ समतुल्य हैं, और यह कि अनुवादों के साथ समतुल्य वर्गों की पहचान की जा सकती है।

कभी -कभी, यूक्लिडियन वैक्टर को यूक्लिडियन स्पेस के संदर्भ के बिना माना जाता है।इस मामले में, एक यूक्लिडियन वेक्टर वास्तविक पर परिमित आयाम के एक आदर्श वेक्टर स्थान का एक तत्व है, या, आमतौर पर, एक तत्व $$\mathbb R^n$$ डॉट उत्पाद से लैस।यह समझ में आता है, क्योंकि इस तरह के एक वेक्टर अंतरिक्ष में इसके अलावा वेक्टर अंतरिक्ष पर ही स्वतंत्र रूप से और संक्रमणकालीन रूप से कार्य करता है।वह है, $$\mathbb R^n$$ एक यूक्लिडियन अंतरिक्ष है, एक संबद्ध वेक्टर अंतरिक्ष के रूप में, और एक आंतरिक उत्पाद के रूप में डॉट उत्पाद है।

यूक्लिडियन स्पेस $$\mathbb R^n$$ अक्सर आयाम के यूक्लिडियन स्थान के रूप में प्रस्तुत किया जाता है $n$।यह इस तथ्य से प्रेरित है कि आयाम के प्रत्येक यूक्लिडियन स्थान $n$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष के लिए आइसोमोर्फिक है $$\mathbb R^n.$$ अधिक सटीक रूप से, इस तरह के यूक्लिडियन स्थान को देखते हुए, कोई भी कोई भी बिंदु चुन सकता है $O$ एक मूल के रूप में।ग्राम -श्मिट प्रक्रिया द्वारा, किसी को भी संबंधित वेक्टर स्पेस का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार भी मिल सकता है (एक आधार जैसे कि दो आधार वैक्टर का आंतरिक उत्पाद 0 है यदि वे अलग हैं और 1 यदि वे समान हैं)।यह किसी भी बिंदु के कार्टेशियन निर्देशांक को परिभाषित करता है $P$ अंतरिक्ष की, वेक्टर के इस आधार पर निर्देशांक के रूप में $$\overrightarrow{OP}.$$ ये विकल्प दिए गए यूक्लिडियन स्पेस के एक आइसोमोर्फिज्म को परिभाषित करते हैं $$\mathbb R^n,$$ किसी भी बिंदु को मैप करके$n$इसके कार्टेशियन निर्देशांक का, और प्रत्येक वेक्टर को इसके समन्वय वेक्टर के लिए।

एक आयाम में उदाहरण
चूंकि भौतिक विज्ञानी के बल की अवधारणा में एक दिशा और एक परिमाण है, इसलिए इसे एक वेक्टर के रूप में देखा जा सकता है।एक उदाहरण के रूप में, 15 न्यूटन के एक सही बल एफ पर विचार करें।यदि सकारात्मक अक्ष को भी सही निर्देश दिया जाता है, तो F को वेक्टर 15 n द्वारा दर्शाया जाता है, और यदि सकारात्मक बिंदु बचे हुए हैं, तो F के लिए वेक्टर −15 N है। या तो मामले में, वेक्टर का परिमाण 15 N है, इसी तरह,4 मीटर के विस्थापन Δs का वेक्टर प्रतिनिधित्व 4 मीटर या and4 मीटर होगा, इसकी दिशा के आधार पर, और इसकी परिमाण 4 मीटर की परवाह किए बिना होगी।

भौतिकी और इंजीनियरिंग में
वैक्टर भौतिक विज्ञान में मौलिक हैं।उनका उपयोग किसी भी मात्रा का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जा सकता है जिसमें परिमाण है, दिशा है, और जो वेक्टर जोड़ के नियमों का पालन करता है।एक उदाहरण वेग है, जिसकी परिमाण गति है।उदाहरण के लिए, वेग 5 मीटर प्रति सेकंड ऊपर की ओर वेक्टर (0, 5) (सकारात्मक y- अक्ष के साथ 2 आयामों में 'अप' के रूप में) द्वारा दर्शाया जा सकता है।एक वेक्टर द्वारा दर्शाया गया एक और मात्रा बल है, क्योंकि इसमें एक परिमाण और दिशा है और वेक्टर जोड़ के नियमों का पालन करता है। वैक्टर कई अन्य भौतिक मात्राओं का भी वर्णन करते हैं, जैसे कि रैखिक विस्थापन, विस्थापन, रैखिक त्वरण, कोणीय त्वरण, रैखिक गति और कोणीय गति।अन्य भौतिक वैक्टर, जैसे कि विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र, को भौतिक स्थान के प्रत्येक बिंदु पर वैक्टर की एक प्रणाली के रूप में दर्शाया जाता है;वह है, एक वेक्टर क्षेत्र।उन मात्राओं के उदाहरण जिनमें परिमाण और दिशा होती है, लेकिन वेक्टर जोड़ के नियमों का पालन करने में विफल होते हैं, कोणीय विस्थापन और विद्युत प्रवाह हैं।नतीजतन, ये वैक्टर नहीं हैं।

कार्टेशियन अंतरिक्ष में
कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, एक बाध्य वेक्टर को इसके प्रारंभिक और टर्मिनल बिंदु के निर्देशांक की पहचान करके प्रतिनिधित्व किया जा सकता है।उदाहरण के लिए, अंक $(A, B)$ तथा $A = (1, 0, 0)$ अंतरिक्ष में बाध्य वेक्टर निर्धारित करें $$\overrightarrow{AB}$$ बिंदु से इशारा करते हुए $B = (0, 1, 0)$ एक्स-एक्सिस पर बिंदु पर $x = 1$ y- अक्ष पर।

कार्टेशियन निर्देशांक में, एक मुक्त वेक्टर को एक संबंधित बाध्य वेक्टर के संदर्भ में सोचा जा सकता है, इस अर्थ में, जिनके प्रारंभिक बिंदु में मूल के निर्देशांक हैं $y = 1$।यह तब उस बाध्य वेक्टर के टर्मिनल बिंदु के निर्देशांक द्वारा निर्धारित किया जाता है।इस प्रकार (1, 0, 0) द्वारा दर्शाया गया मुक्त वेक्टर सकारात्मक एक्स-अक्ष की दिशा के साथ इकाई लंबाई का एक वेक्टर है।

मुक्त वैक्टर का यह समन्वय प्रतिनिधित्व उनके बीजीय सुविधाओं को एक सुविधाजनक संख्यात्मक फैशन में व्यक्त करने की अनुमति देता है।उदाहरण के लिए, दो (मुक्त) वैक्टर (1, 2, 3) और (−2, 0, 4) का योग (मुक्त) वेक्टर है $$(1, 2, 3) + (-2, 0, 4) = (1-2, 2+0, 3+4) = (-1, 2, 7)\,.$$

Euclidean और affine वैक्टर
ज्यामितीय और भौतिक सेटिंग्स में, कभी -कभी यह संभव होता है, एक प्राकृतिक तरीके से, एक लंबाई या परिमाण और वैक्टर की दिशा में। इसके अलावा, दिशा की धारणा दो वैक्टर के बीच एक कोण की धारणा के साथ कड़ाई से जुड़ी हुई है। यदि दो वैक्टर के डॉट उत्पाद को परिभाषित किया गया है-दो वैक्टर का एक स्केलर-मूल्यवान उत्पाद-तो एक लंबाई को परिभाषित करना भी संभव है; डॉट उत्पाद दोनों कोण (किसी भी दो गैर-शून्य वैक्टर के बीच डॉट उत्पाद का एक कार्य) और लंबाई (अपने आप में एक वेक्टर के डॉट उत्पाद का वर्गमूल) का एक सुविधाजनक बीजगणितीय लक्षण वर्णन देता है। तीन आयामों में, क्रॉस उत्पाद को परिभाषित करना और संभव है, जो दो वैक्टर (समानांतर चैमली के किनारों के रूप में उपयोग किया जाता है) द्वारा परिभाषित समांतर चतुर्भुज के अंतरिक्ष में क्षेत्र के एक बीजगणितीय लक्षण वर्णन और अभिविन्यास की आपूर्ति करता है। किसी भी आयाम (और, विशेष रूप से, उच्च आयामों) में, बाहरी उत्पाद को परिभाषित करना संभव है, जो (अन्य चीजों के बीच) एन वैक्टर द्वारा परिभाषित एन-डायमेंशनल समानांतरण के अंतरिक्ष में क्षेत्र के एक बीजीय लक्षण वर्णन और अभिविन्यास की आपूर्ति करता है।

एक छद्म-यूक्लिडियन स्थान में, एक वेक्टर की चुकता लंबाई सकारात्मक, नकारात्मक या शून्य हो सकती है। एक महत्वपूर्ण उदाहरण मिंकोव्स्की स्पेस (जो विशेष सापेक्षता की हमारी समझ के लिए महत्वपूर्ण है) है।

हालांकि, वेक्टर की लंबाई को परिभाषित करना हमेशा संभव या वांछनीय नहीं होता है। यह अधिक सामान्य प्रकार का स्थानिक वेक्टर वेक्टर रिक्त स्थान (मुक्त वैक्टर के लिए) और एफाइन रिक्त स्थान (बाध्य वैक्टर के लिए, जैसा कि प्रत्येक अंक की जोड़ी द्वारा दर्शाया गया है) का विषय है। एक भौतिक उदाहरण थर्मोडायनामिक्स से आता है, जहां कई मात्रा में रुचि को एक स्थान पर वैक्टर माना जा सकता है जिसमें लंबाई या कोण की धारणा नहीं है। <रेफ नाम = थर्मो-फॉर्म्स > थर्मोडायनामिक्स और विभेदक रूप

सामान्यीकरण
भौतिकी में, साथ ही गणित में, एक वेक्टर को अक्सर घटकों के एक टपल, या संख्याओं की सूची के साथ पहचाना जाता है, जो आधार वैक्टर के एक सेट के लिए स्केलर गुणांक के रूप में कार्य करते हैं। जब आधार बदल जाता है, उदाहरण के लिए रोटेशन या स्ट्रेचिंग द्वारा, तो उस आधार के संदर्भ में किसी भी वेक्टर के घटक भी एक विपरीत अर्थ में बदल जाते हैं। वेक्टर स्वयं नहीं बदला है, लेकिन आधार है, इसलिए वेक्टर के घटकों को क्षतिपूर्ति के लिए बदलना होगा। वेक्टर को सहसंयोजक या कॉन्ट्रावेरियन कहा जाता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि वेक्टर के घटकों का परिवर्तन आधार के परिवर्तन से कैसे संबंधित है। सामान्य तौर पर, कॉन्ट्रैवेरिएंट वैक्टर नियमित वैक्टर होते हैं जो दूरी की इकाइयों (जैसे विस्थापन), या दूरी के समय के साथ कुछ अन्य इकाई (जैसे वेग या त्वरण); दूसरी ओर, सहसंयोजक वैक्टर, एक-ओवर-डिस्टेंस जैसे ग्रेडिएंट की इकाइयाँ हैं। यदि आप मीटर से मिलीमीटर तक इकाइयों (आधार के परिवर्तन का एक विशेष मामला) बदलते हैं, तो 1/1000 का एक पैमाना कारक, 1 & nbsp का विस्थापन; m 1000 & nbsp; mm- संख्यात्मक मूल्य में एक कॉन्ट्रैवेरियन परिवर्तन हो जाता है। इसके विपरीत, 1 & nbsp; k/m का एक ढाल 0.001 & nbsp; k/mm- मूल्य में एक सहसंयोजक परिवर्तन (अधिक के लिए, वैक्टर के सहसंयोजक और कॉन्ट्रैवेरियन देखें)। टेन्सर एक अन्य प्रकार की मात्रा हैं जो इस तरह से व्यवहार करते हैं; एक वेक्टर एक प्रकार का टेंसर है।

शुद्ध गणित में, एक वेक्टर कुछ क्षेत्र पर एक वेक्टर स्थान का कोई भी तत्व होता है और इसे अक्सर एक समन्वय वेक्टर के रूप में दर्शाया जाता है। इस लेख में वर्णित वैक्टर इस सामान्य परिभाषा का एक बहुत ही विशेष मामला हैं, क्योंकि वे परिवेशी स्थान के संबंध में कंट्रैथेरियन हैं। कॉन्ट्रैवेरियन इस विचार के पीछे भौतिक अंतर्ज्ञान को पकड़ लेता है कि एक वेक्टर में परिमाण और दिशा है।

अभ्यावेदन
वैक्टर आमतौर पर लोअरकेस बोल्डफेस में निरूपित होते हैं, जैसे $$\mathbf{u}$$, $$\mathbf{v}$$तथा $$\mathbf{w}$$, या लोअरकेस इटैलिक बोल्डफेस में, जैसा कि  ए  में है।(अपरकेस अक्षर आमतौर पर मैट्रिसेस का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।) अन्य सम्मेलनों में शामिल हैं $$\vec{a}$$ या a, विशेष रूप से लिखावट में।वैकल्पिक रूप से, कुछ एक टिल्ड (~) या प्रतीक के नीचे खींची गई एक लहराते हुए एक लहराती का उपयोग करते हैं, उदा। $$\underset{^\sim}a$$, जो बोल्डफेस प्रकार को इंगित करने के लिए एक सम्मेलन है।यदि वेक्टर एक बिंदु A से एक बिंदु B तक एक निर्देशित दूरी या विस्थापन का प्रतिनिधित्व करता है (चित्र देखें), तो इसे भी निरूपित किया जा सकता है $$\stackrel{\longrightarrow}{AB}$$ या ab ।जर्मन साहित्य में, यह विशेष रूप से सामान्य रूप से छोटे फ्रैक्चर पत्रों के साथ वैक्टर का प्रतिनिधित्व करना आम था $$\mathfrak{a}$$।

वैक्टर आमतौर पर ग्राफ़ या अन्य आरेखों में तीर (निर्देशित लाइन खंड) के रूप में दिखाए जाते हैं, जैसा कि चित्र में सचित्र है।यहां, बिंदु A को मूल, पूंछ, आधार, या प्रारंभिक बिंदु कहा जाता है, और बिंदु B को सिर, टिप, समापन बिंदु, टर्मिनल बिंदु या अंतिम बिंदु कहा जाता है।तीर की लंबाई वेक्टर के परिमाण के लिए आनुपातिक है, जबकि वह दिशा जिसमें तीर बिंदु वेक्टर की दिशा को इंगित करता है।

दो-आयामी आरेख पर, आरेख के विमान के लिए एक वेक्टर लंबवत कभी-कभी वांछित होता है।इन वैक्टर को आमतौर पर छोटे घेरे के रूप में दिखाया जाता है।इसके केंद्र में एक डॉट के साथ एक सर्कल (यूनिकोड यू+2299 ⊙) एक वेक्टर को दर्शाता है जो आरेख के सामने से बाहर, दर्शक की ओर इंगित करता है।इसमें एक क्रॉस के साथ एक सर्कल (यूनिकोड यू+2297 ⊗) आरेख के पीछे और पीछे एक वेक्टर को इंगित करता है।इन्हें एक तीर के सिर की नोक को देखने और पीछे से एक तीर की उड़ानों को देखने के रूप में सोचा जा सकता है।

वैक्टर के साथ गणना करने के लिए, ग्राफिकल प्रतिनिधित्व बहुत बोझिल हो सकता है।एक एन-डायमेंशनल यूक्लिडियन स्पेस में वैक्टर को एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में समन्वय वैक्टर के रूप में दर्शाया जा सकता है।एक वेक्टर के समापन बिंदु को n वास्तविक संख्याओं (n-tuple) की एक आदेशित सूची के साथ पहचाना जा सकता है।ये संख्याएँ वेक्टर के समापन बिंदु के निर्देशांक हैं, जो किसी दिए गए कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के संबंध में हैं, और आमतौर पर समन्वय प्रणाली के अक्षों पर वेक्टर के 'स्केलर घटक' (या 'स्केलर अनुमान') कहा जाता है।

दो आयामों में एक उदाहरण के रूप में (आंकड़ा देखें), मूल से वेक्टर o = (0, 0) बिंदु a = (2, 3) को बस के रूप में लिखा गया है $$\mathbf{a} = (2,3).$$ यह धारणा कि वेक्टर की पूंछ मूल के साथ मेल खाती है, निहित है और आसानी से समझा जाता है।इस प्रकार, अधिक स्पष्ट संकेतन $$\overrightarrow{OA}$$ आमतौर पर आवश्यक नहीं माना जाता है (और वास्तव में शायद ही कभी उपयोग किया जाता है)।

तीन आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में (या $O = (0, 0, 0)$), वैक्टर को स्केलर घटकों के ट्रिपल के साथ पहचाना जाता है: $$\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3).$$ यह भी लिखा, $$\mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z).$$ यह एन-आयामी यूक्लिडियन स्थान के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है (या $R^{3}$)। $$\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3, \cdots, a_{n-1}, a_n).$$ इन नंबरों को अक्सर एक कॉलम वेक्टर या पंक्ति वेक्टर में व्यवस्थित किया जाता है, खासकर जब मेट्रिसेस के साथ काम करते हैं, निम्नानुसार हैं: $$\mathbf{a} = \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3\\ \end{bmatrix} = [ a_1\ a_2\ a_3 ]^{\operatorname{T}}. $$ एन-आयामों में एक वेक्टर का प्रतिनिधित्व करने का एक और तरीका मानक आधार वैक्टर को पेश करना है।उदाहरण के लिए, तीन आयामों में, उनमें से तीन हैं: $${\mathbf e}_1 = (1,0,0),\ {\mathbf e}_2 = (0,1,0),\ {\mathbf e}_3 = (0,0,1).$$ इनमें क्रमशः एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के x-, y-, और z- अक्ष को इंगित करने वाले इकाई लंबाई के वैक्टर के रूप में सहज ज्ञान की व्याख्या है।इनके संदर्भ में, किसी भी वेक्टर 'ए' में $R^{n}$ फॉर्म में व्यक्त किया जा सकता है: $$\mathbf{a} = (a_1,a_2,a_3) = a_1(1,0,0) + a_2(0,1,0) + a_3(0,0,1), \ $$ या $$\mathbf{a} = \mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2 + \mathbf{a}_3 = a_1{\mathbf e}_1 + a_2{\mathbf e}_2 + a_3{\mathbf e}_3,$$ जहाँ एक1, एक2, एक3 आधार वैक्टर पर वेक्टर घटक (या वेक्टर अनुमान) कहा जाता है, या, समान रूप से, इसी कार्टेशियन कुल्हाड़ियों  x ,  y , और  z  (चित्र देखें) पर, जबकि एक1, एक2, एक3 संबंधित स्केलर घटक (या स्केलर अनुमान) हैं।

परिचयात्मक भौतिकी पाठ्यपुस्तकों में, मानक आधार वैक्टर अक्सर निरूपित किए जाते हैं $$\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$$ इसके बजाय (या $$\mathbf{\hat{x}}, \mathbf{\hat{y}}, \mathbf{\hat{z}}$$, जिसमें टोपी प्रतीक ^ आमतौर पर यूनिट वैक्टर को दर्शाता है)।इस मामले में, स्केलर और वेक्टर घटकों को क्रमशः '' 'को निरूपित किया जाता हैx, एकy, एकz, और 'ए'x, एकy, एकz (बोल्डफेस में अंतर पर ध्यान दें)।इस प्रकार,

$$\mathbf{a} = \mathbf{a}_x + \mathbf{a}_y + \mathbf{a}_z = a_x{\mathbf i} + a_y{\mathbf j} + a_z{\mathbf k}.$$ संकेतन ईi सूचकांक संकेतन और संक्षेप सम्मेलन के साथ संगत है जो आमतौर पर उच्च स्तर के गणित, भौतिकी और इंजीनियरिंग में उपयोग किया जाता है।

अपघटन या संकल्प
जैसा कि ऊपर बताया गया है, एक वेक्टर को अक्सर वेक्टर घटकों के एक सेट द्वारा वर्णित किया जाता है जो दिए गए वेक्टर को बनाने के लिए जोड़ते हैं।आमतौर पर, ये घटक पारस्परिक रूप से लंबवत संदर्भ कुल्हाड़ियों (आधार वैक्टर) के एक सेट पर वेक्टर के अनुमान हैं।कहा जाता है कि वेक्टर को उस सेट के संबंध में विघटित या हल किया जाता है।

अपघटन या संकल्प घटकों में एक वेक्टर अद्वितीय नहीं है, क्योंकि यह उन कुल्हाड़ियों की पसंद पर निर्भर करता है जिस पर वेक्टर का अनुमान लगाया जाता है।

इसके अलावा, कार्टेशियन यूनिट वैक्टर का उपयोग $$\mathbf{\hat{x}}, \mathbf{\hat{y}}, \mathbf{\hat{z}}$$ एक आधार के रूप में जिसमें एक वेक्टर का प्रतिनिधित्व करना अनिवार्य नहीं है।वैक्टर को एक मनमाना आधार के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है, जिसमें एक बेलनाकार समन्वय प्रणाली के यूनिट वैक्टर शामिल हैं ($$\boldsymbol{\hat{\rho}}, \boldsymbol{\hat{\phi}}, \mathbf{\hat{z}}$$) या गोलाकार समन्वय प्रणाली ($$\mathbf{\hat{r}}, \boldsymbol{\hat{\theta}}, \boldsymbol{\hat{\phi}}$$)।बाद के दो विकल्प उन समस्याओं को हल करने के लिए अधिक सुविधाजनक हैं जो क्रमशः बेलनाकार या गोलाकार समरूपता रखते हैं।

एक आधार का विकल्प परिवर्तनों के तहत एक वेक्टर या उसके व्यवहार के गुणों को प्रभावित नहीं करता है।

एक वेक्टर को गैर-फिक्स्ड आधार वैक्टर के संबंध में भी तोड़ा जा सकता है जो समय या स्थान के एक समारोह के रूप में अपने अभिविन्यास को बदलते हैं।उदाहरण के लिए, तीन-आयामी स्थान में एक वेक्टर को दो कुल्हाड़ियों के संबंध में क्रमशः सामान्य, और एक सतह के लिए स्पर्शरेखा (चित्र देखें) के साथ विघटित किया जा सकता है।इसके अलावा, एक वेक्टर के रेडियल और स्पर्शरेखा घटक किसी वस्तु के रोटेशन के त्रिज्या से संबंधित हैं।पूर्व त्रिज्या के समानांतर है और बाद वाला इसके लिए ऑर्थोगोनल है। इन मामलों में, प्रत्येक घटक एक निश्चित समन्वय प्रणाली या आधार सेट (जैसे, एक वैश्विक समन्वय प्रणाली, या जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम) के संबंध में विघटित हो सकता है।

मूल गुण
निम्न अनुभाग आधार वैक्टर के साथ कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का उपयोग करता है $${\mathbf e}_1 = (1,0,0),\ {\mathbf e}_2 = (0,1,0),\ {\mathbf e}_3 = (0,0,1)$$ और मानता है कि सभी वैक्टर की उत्पत्ति एक सामान्य आधार बिंदु के रूप में होती है।एक वेक्टर ए के रूप में लिखा जाएगा $${\mathbf a} = a_1{\mathbf e}_1 + a_2{\mathbf e}_2 + a_3{\mathbf e}_3.$$

समानता
दो वैक्टर को समान रूप से कहा जाता है यदि उनके पास समान परिमाण और दिशा है।समान रूप से वे समान होंगे यदि उनके निर्देशांक समान हैं।तो दो वैक्टर $${\mathbf a} = a_1{\mathbf e}_1 + a_2{\mathbf e}_2 + a_3{\mathbf e}_3$$ तथा $${\mathbf b} = b_1{\mathbf e}_1 + b_2{\mathbf e}_2 + b_3{\mathbf e}_3$$ समान हैं $$a_1 = b_1,\quad a_2=b_2,\quad a_3=b_3.\,$$

विपरीत, समानांतर, और एंटीपैरल वैक्टर
दो वैक्टर विपरीत हैं यदि उनके पास समान परिमाण लेकिन विपरीत दिशा है।तो दो वैक्टर $${\mathbf a} = a_1{\mathbf e}_1 + a_2{\mathbf e}_2 + a_3{\mathbf e}_3$$ तथा $${\mathbf b} = b_1{\mathbf e}_1 + b_2{\mathbf e}_2 + b_3{\mathbf e}_3$$ अगर इसके विपरीत हैं $$a_1 = -b_1,\quad a_2=-b_2,\quad a_3=-b_3.\,$$ दो वैक्टर समानांतर होते हैं यदि उनके पास एक ही दिशा होती है, लेकिन जरूरी नहीं कि एक ही परिमाण, या एंटीपैरलल हो, यदि उनके विपरीत दिशा है, लेकिन जरूरी नहीं कि समान परिमाण हो।

जोड़ और घटाव
अब मान लें कि ए और बी जरूरी नहीं कि समान वैक्टर हैं, लेकिन यह कि उनके पास अलग -अलग परिमाण और दिशाएँ हो सकती हैं।ए और बी का योग है $$\mathbf{a}+\mathbf{b} =(a_1+b_1)\mathbf{e}_1 +(a_2+b_2)\mathbf{e}_2 +(a_3+b_3)\mathbf{e}_3.$$ इसके अलावा तीर ए के सिर पर तीर बी की पूंछ को रखकर ग्राफिक रूप से प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, और फिर ए की पूंछ से बी के सिर तक एक तीर खींचता है।निकाला गया नया तीर वेक्टर ए + बी का प्रतिनिधित्व करता है, जैसा कि नीचे सचित्र है:

इस जोड़ विधि को कभी -कभी समानांतर चारा नियम कहा जाता है क्योंकि 'ए' और 'बी' एक समानांतर चुम्बचनों के किनारों को बनाते हैं और 'ए' + 'बी' विकर्णों में से एक है।यदि 'A' और 'B' बाध्य वैक्टर हैं जिनके पास एक ही आधार बिंदु है, तो यह बिंदु 'A' + 'B' का आधार बिंदु भी होगा।कोई भी ज्यामितीय रूप से जांच कर सकता है कि 'A' + 'B' = 'B' + 'A' और ('A' + 'B') + 'C' = 'A' + ('B' + 'C')।

'ए' और 'बी' का अंतर है

$$\mathbf{a}-\mathbf{b} =(a_1-b_1)\mathbf{e}_1 +(a_2-b_2)\mathbf{e}_2 +(a_3-b_3)\mathbf{e}_3.$$ दो वैक्टरों के घटाव को ज्यामितीय रूप से इस प्रकार चित्रित किया जा सकता है: बी से बी को घटाने के लिए, एक ही बिंदु पर ए और बी की पूंछ रखें, और फिर बी के सिर से सिर तक एक तीर खींचें।यह नया तीर वेक्टर (-b) + a का प्रतिनिधित्व करता है, (-b) B के विपरीत होने के साथ, ड्राइंग देखें।और (-b) + a = a-b।



स्केलर गुणन
छवि: r = द्वारा स्केलर गुणन3.svg|250px|thumb|right|3 के एक कारक द्वारा एक वेक्टर का स्केलर गुणन वेक्टर को बाहर निकालता है। एक वेक्टर को एक वास्तविक संख्या r द्वारा गुणा, या फिर से स्केल किया जा सकता है।पारंपरिक वेक्टर बीजगणित के संदर्भ में, इन वास्तविक संख्याओं को अक्सर वैक्टर से अलग करने के लिए 'स्केलर' (स्केल से) कहा जाता है।एक स्केलर द्वारा एक वेक्टर को गुणा करने के संचालन को स्केलर गुणन कहा जाता है।परिणामी वेक्टर है

$$r\mathbf{a}=(ra_1)\mathbf{e}_1 +(ra_2)\mathbf{e}_2 +(ra_3)\mathbf{e}_3.$$ सहज रूप से, एक स्केलर आर द्वारा गुणा करना आर के एक कारक द्वारा एक वेक्टर को फैलाता है।ज्यामितीय रूप से, यह कल्पना की जा सकती है (कम से कम मामले में जब आर एक पूर्णांक होता है) वेक्टर की आर प्रतियों को एक पंक्ति में रखने के रूप में जहां एक वेक्टर का समापन बिंदु अगले वेक्टर का प्रारंभिक बिंदु होता है।

यदि आर नकारात्मक है, तो वेक्टर दिशा बदल देता है: यह 180 ° के कोण से चारों ओर फड़फड़ाता है।दो उदाहरण (r = −1 और r = 2) नीचे दिए गए हैं:

स्केलर गुणा निम्नलिखित अर्थों में वेक्टर जोड़ पर वितरणात्मक है: r ('a' + 'b') = r'a ' + r'b' सभी वैक्टर 'A' और 'B' और सभी स्केलर r के लिए।कोई यह भी दिखा सकता है कि 'A' - 'B' = 'A' + 1) 'B'।

लंबाई
वेक्टर 'ए' की लंबाई या परिमाण या मानदंड को out'a'‖ या, कम सामान्यतः, | 'ए' द्वारा निरूपित किया जाता है, जो कि निरपेक्ष मान (एक स्केलर मानदंड) के साथ भ्रमित नहीं है।

वेक्टर की लंबाई 'ए' की गणना यूक्लिडियन मानदंड के साथ की जा सकती है,

$$\left\|\mathbf{a}\right\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2},$$ जो आधार वैक्टर ई के बाद से पाइथागोरियन प्रमेय का एक परिणाम है1, इ2, इ3 ऑर्थोगोनल यूनिट वैक्टर हैं।

यह डॉट उत्पाद के वर्गमूल के बराबर होता है, नीचे चर्चा की गई, वेक्टर के साथ वेक्टर:

$$\left\|\mathbf{a}\right\|=\sqrt{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}.$$

यूनिट वेक्टर


एक यूनिट वेक्टर एक की लंबाई वाला कोई भी वेक्टर होता है;आम तौर पर यूनिट वैक्टर का उपयोग केवल दिशा को इंगित करने के लिए किया जाता है।एक यूनिट वेक्टर बनाने के लिए मनमानी लंबाई के एक वेक्टर को इसकी लंबाई से विभाजित किया जा सकता है। इसे एक वेक्टर को सामान्य करने के रूप में जाना जाता है।एक यूनिट वेक्टर को अक्सर टोपी के साथ 'Â' के रूप में इंगित किया जाता है।

एक वेक्टर को सामान्य करने के लिए a = (a1, a2, a3), अपनी लंबाई के पारस्परिक द्वारा वेक्टर को स्केल करें।वह है:

$$\mathbf{\hat{a}} = \frac{\mathbf{a}}{\left\|\mathbf{a}\right\|} = \frac{a_1}{\left\|\mathbf{a}\right\|}\mathbf{e}_1 + \frac{a_2}{\left\|\mathbf{a}\right\|}\mathbf{e}_2 + \frac{a_3}{\left\|\mathbf{a}\right\|}\mathbf{e}_3$$

शून्य वेक्टर
शून्य वेक्टर लंबाई शून्य के साथ वेक्टर है।निर्देशांक में लिखा गया है, वेक्टर है (0, 0, 0), और इसे आमतौर पर निरूपित किया जाता है $$\vec{0}$$।किसी भी वेक्टर ए के साथ शून्य वेक्टर का योग ए (यानी है, 0 + a = a)।

डॉट उत्पाद
दो वैक्टर 'ए' और 'बी' के डॉट उत्पाद (कभी -कभी इनर प्रोडक्ट कहा जाता है, या, चूंकि इसका परिणाम एक स्केलर है, स्केलर उत्पाद) को 'ए' & nbsp; ∙ & nbsp; 'b,' और IS द्वारा निरूपित किया जाता है।के रूप में परिभाषित किया गया है:

$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} =\left\|\mathbf{a}\right\|\left\|\mathbf{b}\right\|\cos\theta,$$ जहां and 'ए' और 'बी' के बीच के कोण का माप है (कोसाइन के स्पष्टीकरण के लिए त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन देखें)।ज्यामितीय रूप से, इसका मतलब है कि 'ए' और 'बी' को एक सामान्य प्रारंभ बिंदु के साथ खींचा जाता है, और फिर 'ए' की लंबाई 'बी' के घटक की लंबाई के साथ गुणा की जाती है जो 'ए' के समान दिशा में इंगित करती है।।

डॉट उत्पाद को प्रत्येक वेक्टर के घटकों के उत्पादों के योग के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.$$

क्रॉस प्रोडक्ट
क्रॉस उत्पाद (जिसे वेक्टर उत्पाद या बाहरी उत्पाद भी कहा जाता है) केवल तीन या सात-आयामी क्रॉस उत्पाद में सार्थक है। सात आयाम।क्रॉस उत्पाद मुख्य रूप से डॉट उत्पाद से भिन्न होता है कि दो वैक्टर के क्रॉस उत्पाद का परिणाम एक वेक्टर है।क्रॉस उत्पाद, 'a' & nbsp; × & nbsp; 'b' को दर्शाया गया है, जो 'A' और 'B' दोनों के लिए एक वेक्टर लंबवत है और इसे परिभाषित किया गया है।

$$\mathbf{a}\times\mathbf{b} =\left\|\mathbf{a}\right\|\left\|\mathbf{b}\right\|\sin(\theta)\,\mathbf{n}$$ जहां and 'ए' और 'बी' के बीच के कोण का माप है, और 'एन' 'ए' और 'बी' दोनों के लिए एक इकाई वेक्टर लंबवत है जो एक दाहिने हाथ का नियम पूरा करता है। दाएं हाथ की प्रणाली।दाएं हाथ की बाधा आवश्यक है क्योंकि वहाँ दो इकाई वैक्टर मौजूद हैं जो 'ए' और 'बी' दोनों के लंबवत हैं, अर्थात्, 'एन' और (−'n ')। क्रॉस उत्पाद a & nbsp; × & nbsp; b को परिभाषित किया गया है ताकि a, b, और a & nbsp; × & nbsp; B भी एक दाएं हाथ की प्रणाली बन जाए (हालांकि A और B जरूरी नहीं कि ऑर्थोगोनल हो)।यह दाहिने हाथ का नियम है।

A & nbsp; × & nbsp; b की लंबाई की व्याख्या समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के रूप में की जा सकती है, जो पक्षों के रूप में है।

क्रॉस उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है $${\mathbf a}\times{\mathbf b} = (a_2 b_3 - a_3 b_2) {\mathbf e}_1 + (a_3 b_1 - a_1 b_3) {\mathbf e}_2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1) {\mathbf e}_3.$$ स्थानिक अभिविन्यास के मनमाने विकल्पों के लिए (यानी, बाएं हाथ के साथ-साथ दाएं हाथ के समन्वय प्रणाली के लिए अनुमति देना) दो वैक्टर का क्रॉस उत्पाद एक वेक्टर के बजाय एक स्यूडोवेक्टर है (नीचे देखें)।

स्केलर ट्रिपल उत्पाद
स्केलर ट्रिपल उत्पाद (जिसे बॉक्स उत्पाद या मिश्रित ट्रिपल उत्पाद भी कहा जाता है) वास्तव में एक नया ऑपरेटर नहीं है, लेकिन अन्य दो गुणा ऑपरेटरों को तीन वैक्टर में लागू करने का एक तरीका है।स्केलर ट्रिपल उत्पाद को कभी -कभी ('' 'बी' 'सी') द्वारा निरूपित किया जाता है और इसे परिभाषित किया जाता है:

$$(\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c}) =\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}).$$ इसके तीन प्राथमिक उपयोग हैं।सबसे पहले, बॉक्स उत्पाद का निरपेक्ष मान उस समानांतर की मात्रा है जिसमें किनारे हैं जो तीन वैक्टर द्वारा परिभाषित किए गए हैं।दूसरा, स्केलर ट्रिपल उत्पाद शून्य है यदि और केवल अगर तीन वैक्टर रैखिक रूप से निर्भर हैं, जिसे आसानी से यह विचार करके साबित किया जा सकता है कि तीन वैक्टर के लिए वॉल्यूम नहीं बनाने के लिए, उन्हें सभी एक ही विमान में झूठ बोलना चाहिए।तीसरा, बॉक्स उत्पाद सकारात्मक है यदि और केवल अगर तीन वैक्टर ए, बी और सी दाएं हाथ के होते हैं।

घटकों में ( एक दाएं हाथ के ऑर्थोनॉर्मल आधार के संबंध में ), यदि तीन वैक्टर को पंक्तियों (या कॉलम, लेकिन एक ही क्रम में) के रूप में सोचा जाता है, तो स्केलर ट्रिपल उत्पाद केवल 3 का निर्धारक है-BY-3 मैट्रिक्स में तीन वैक्टर हैं जो पंक्तियों के रूप में हैं $$(\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c})=\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \end{vmatrix}$$ स्केलर ट्रिपल उत्पाद सभी तीन प्रविष्टियों में रैखिक है और निम्नलिखित अर्थों में विरोधी सममितीय है: $$ (\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c}) = (\mathbf{c}\ \mathbf{a}\ \mathbf{b}) = (\mathbf{b}\ \mathbf{c}\ \mathbf{a})= -(\mathbf{a}\ \mathbf{c}\ \mathbf{b}) = -(\mathbf{b}\ \mathbf{a}\ \mathbf{c}) = -(\mathbf{c}\ \mathbf{b}\ \mathbf{a}).$$

कई कार्टेशियन ठिकानों के बीच रूपांतरण
इस प्रकार अब तक सभी उदाहरणों ने एक ही आधार के संदर्भ में व्यक्त वैक्टर से निपटा है, अर्थात्, ई आधार {'ई'1, इ2, इ3}।हालांकि, एक वेक्टर को विभिन्न आधारों की किसी भी संख्या के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है जो जरूरी नहीं कि एक दूसरे के साथ संरेखित हो, और अभी भी एक ही वेक्टर बने हुए हैं।ई आधार में, एक वेक्टर 'ए' को व्यक्त किया जाता है, परिभाषा के अनुसार, जैसा

$$\mathbf{a} = p\mathbf{e}_1 + q\mathbf{e}_2 + r\mathbf{e}_3.$$ ई आधार में स्केलर घटक परिभाषा के अनुसार हैं,

$$\begin{align} p &= \mathbf{a}\cdot\mathbf{e}_1, \\ q &= \mathbf{a}\cdot\mathbf{e}_2, \\ r &= \mathbf{a}\cdot\mathbf{e}_3. \end{align}$$ In -onh का किफायती आधार नहीं = {'नहीं'1, एन2, एन3} यह आवश्यक रूप से ई के साथ संरेखित नहीं है, वेक्टर 'ए' के रूप में व्यक्त किया गया है

$$\mathbf{a} = u\mathbf{n}_1 + v\mathbf{n}_2 + w\mathbf{n}_3$$ और n आधार में स्केलर घटक परिभाषा के अनुसार हैं,

$$\begin{align} u &= \mathbf{a}\cdot\mathbf{n}_1, \\ v &= \mathbf{a}\cdot\mathbf{n}_2, \\ w &= \mathbf{a}\cdot\mathbf{n}_3. \end{align}$$ P, Q, R, और U, V, W के मान यूनिट वैक्टर से इस तरह से संबंधित हैं कि परिणामी वेक्टर योग दोनों मामलों में बिल्कुल भौतिक वेक्टर 'A' है।विभिन्न ठिकानों के संदर्भ में ज्ञात वैक्टर का सामना करना आम है (उदाहरण के लिए, पृथ्वी के लिए तय एक आधार और एक चलती वाहन के लिए दूसरा आधार)।ऐसे मामले में आधारों के बीच परिवर्तित करने के लिए एक विधि विकसित करना आवश्यक है ताकि मूल वेक्टर संचालन जैसे कि जोड़ और घटाव किया जा सके।P, q, r के संदर्भ में u, v, w को व्यक्त करने का एक तरीका यह है कि एक दिशा कोसाइन मैट्रिक्स के साथ कॉलम मैट्रिसेस का उपयोग किया जाए, जिसमें दो आधारों से संबंधित जानकारी होती है।इस तरह की अभिव्यक्ति उपरोक्त समीकरणों के प्रतिस्थापन द्वारा बनाई जा सकती है

$$\begin{align} u &= (p\mathbf{e}_1 + q\mathbf{e}_2 + r\mathbf{e}_3)\cdot\mathbf{n}_1, \\ v &= (p\mathbf{e}_1 + q\mathbf{e}_2 + r\mathbf{e}_3)\cdot\mathbf{n}_2, \\ w &= (p\mathbf{e}_1 + q\mathbf{e}_2 + r\mathbf{e}_3)\cdot\mathbf{n}_3. \end{align}$$ डॉट-मल्टीप्लिकेशन वितरित करना देता है

$$\begin{align} u &= p\mathbf{e}_1\cdot\mathbf{n}_1 + q\mathbf{e}_2\cdot\mathbf{n}_1 + r\mathbf{e}_3\cdot\mathbf{n}_1, \\ v &= p\mathbf{e}_1\cdot\mathbf{n}_2 + q\mathbf{e}_2\cdot\mathbf{n}_2 + r\mathbf{e}_3\cdot\mathbf{n}_2, \\ w &= p\mathbf{e}_1\cdot\mathbf{n}_3 + q\mathbf{e}_2\cdot\mathbf{n}_3 + r\mathbf{e}_3\cdot\mathbf{n}_3. \end{align}$$ प्रत्येक डॉट उत्पाद को एक अद्वितीय स्केलर के साथ बदलना देता है

$$\begin{align} u &= c_{11}p + c_{12}q + c_{13}r, \\ v &= c_{21}p + c_{22}q + c_{23}r, \\ w &= c_{31}p + c_{32}q + c_{33}r, \end{align}$$ और इन समीकरणों को एकल मैट्रिक्स समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$$\begin{bmatrix} u \\ v \\ w \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p \\ q \\ r \end{bmatrix}.$$ यह मैट्रिक्स समीकरण                                                                          ')p ,  q , और  r )।प्रत्येक मैट्रिक्स तत्व  C jk क्या दिशा कोसाइन से संबंधित हैj एचk. शब्द दिशा कोसाइन दो यूनिट वैक्टर के बीच कोण के कोसाइन को संदर्भित करता है, जो उनके डॉट उत्पाद के बराबर भी है। इसलिए,

$$\begin{align} c_{11} &= \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{e}_1 \\ c_{12} &= \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{e}_2 \\ c_{13} &= \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{e}_3 \\ c_{21} &= \mathbf{n}_2\cdot\mathbf{e}_1 \\ c_{22} &= \mathbf{n}_2\cdot\mathbf{e}_2 \\ c_{23} &= \mathbf{n}_2\cdot\mathbf{e}_3 \\ c_{31} &= \mathbf{n}_3\cdot\mathbf{e}_1 \\ c_{32} &= \mathbf{n}_3\cdot\mathbf{e}_2 \\ c_{33} &= \mathbf{n}_3\cdot\mathbf{e}_3 \end{align}$$ सामूहिक रूप से ई का उल्लेख करके1, इ2, इ3 ई आधार के रूप में और 'एन' के लिए1, एन2, एन3 एन आधार के रूप में, मैट्रिक्स जिसमें सभी सी हैंjk  ई  से  एन , या  ई  से  एन  तक रोटेशन मैट्रिक्स के रूप में जाना जाता है।दूसरे के लिए), या  ई  से  एन  तक की दिशा कोसाइन मैट्रिक्स (क्योंकि इसमें दिशा कोसाइन होती है)।एक रोटेशन मैट्रिक्स के गुण ऐसे होते हैं कि इसका व्युत्क्रम इसके ट्रांसपोज़ के बराबर होता है।इसका मतलब यह है कि ई से एन तक रोटेशन मैट्रिक्स एन से ई तक रोटेशन मैट्रिक्स का ट्रांसपोज़ है।

एक दिशा कोसाइन मैट्रिक्स के गुण, सी हैं:
 * निर्धारक एकता है, | c |= 1;
 * उलटा ट्रांसपोज़ के बराबर है;
 * पंक्तियाँ और कॉलम ऑर्थोगोनल यूनिट वैक्टर हैं, इसलिए उनके डॉट उत्पाद शून्य हैं।

इस पद्धति का लाभ यह है कि एक दिशा कोसाइन मैट्रिक्स आमतौर पर दो वेक्टर आधारों से संबंधित करने के लिए यूलर कोणों या एक चतुर्धातुक का उपयोग करके स्वतंत्र रूप से प्राप्त किया जा सकता है, इसलिए आधार रूपांतरण सीधे किए जा सकते हैं, ऊपर वर्णित सभी डॉट उत्पादों को बाहर निकालने के बिना।।

उत्तराधिकार में कई मैट्रिक्स गुणन को लागू करके, किसी भी वेक्टर को किसी भी आधार पर व्यक्त किया जा सकता है जब तक कि दिशा कोसाइन का सेट क्रमिक आधारों से संबंधित है।

अन्य आयाम
क्रॉस और ट्रिपल उत्पादों के अपवाद के साथ, उपरोक्त सूत्र दो आयामों और उच्च आयामों के लिए सामान्यीकरण करते हैं।उदाहरण के लिए, इसके अलावा दो आयामों के लिए सामान्यीकरण $$(a_1{\mathbf e}_1 + a_2{\mathbf e}_2)+(b_1{\mathbf e}_1 + b_2{\mathbf e}_2) = (a_1+b_1){\mathbf e}_1 + (a_2+b_2){\mathbf e}_2,$$ और चार आयामों में $$\begin{align} (a_1{\mathbf e}_1 + a_2{\mathbf e}_2 + a_3{\mathbf e}_3 + a_4{\mathbf e}_4) &+ (b_1{\mathbf e}_1 + b_2{\mathbf e}_2 + b_3{\mathbf e}_3 + b_4{\mathbf e}_4) =\\ (a_1+b_1){\mathbf e}_1 + (a_2+b_2){\mathbf e}_2 &+ (a_3+b_3){\mathbf e}_3 + (a_4+b_4){\mathbf e}_4. \end{align}$$ क्रॉस उत्पाद अन्य आयामों के लिए आसानी से सामान्य नहीं करता है, हालांकि निकट से संबंधित बाहरी उत्पाद करता है, जिसका परिणाम एक bivector है।दो आयामों में यह केवल एक स्यूडोस्कोलर है $$(a_1{\mathbf e}_1 + a_2{\mathbf e}_2)\wedge(b_1{\mathbf e}_1 + b_2{\mathbf e}_2) = (a_1 b_2 - a_2 b_1)\mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2.$$ एक सात-आयामी क्रॉस उत्पाद क्रॉस उत्पाद के समान है कि इसका परिणाम दो तर्कों के लिए एक वेक्टर ऑर्थोगोनल है;हालांकि ऐसे उत्पादों में से एक का चयन करने का कोई प्राकृतिक तरीका नहीं है।

भौतिकी
वैक्टर भौतिकी और अन्य विज्ञानों में कई उपयोग करते हैं।

लंबाई और इकाइयाँ
अमूर्त वेक्टर रिक्त स्थान में, तीर की लंबाई एक आयाम रहित पैमाने पर निर्भर करती है।यदि यह प्रतिनिधित्व करता है, उदाहरण के लिए, एक बल, पैमाना भौतिक आयाम लंबाई/बल का है।इस प्रकार आम तौर पर एक ही आयाम की मात्रा के बीच पैमाने में स्थिरता होती है, लेकिन अन्यथा पैमाने अनुपात भिन्न हो सकते हैं;उदाहरण के लिए, यदि 1 न्यूटन और 5 मीटर दोनों को 2 & nbsp; cm के तीर के साथ दर्शाया गया है, तो तराजू क्रमशः 1 m: 50 n और 1: 250 हैं।विभिन्न आयामों के वैक्टर की समान लंबाई का कोई विशेष महत्व नहीं है जब तक कि सिस्टम में कुछ आनुपातिक निरंतरता निहित न हो जो आरेख का प्रतिनिधित्व करता है।एक इकाई वेक्टर की लंबाई (आयाम लंबाई की लंबाई, लंबाई/बल, आदि) का कोई समन्वय-प्रणाली-अपरिवर्तनीय महत्व नहीं है।

वेक्टर-मूल्यवान कार्य
अक्सर भौतिकी और गणित के क्षेत्रों में, एक वेक्टर समय में विकसित होता है, जिसका अर्थ है कि यह एक समय पैरामीटर टी पर निर्भर करता है।उदाहरण के लिए, यदि 'r' एक कण की स्थिति वेक्टर का प्रतिनिधित्व करता है, तो 'r' (t) कण के प्रक्षेपवक्र का एक पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व देता है।वेक्टर-मूल्यवान कार्यों को वेक्टर के घटकों को अलग या एकीकृत करके विभेदित और एकीकृत किया जा सकता है, और कैलकुलस से कई परिचित नियम वेक्टर-मूल्यवान कार्यों के व्युत्पन्न और अभिन्न अंग के लिए धारण करते हैं।

स्थिति, वेग और त्वरण
एक बिंदु x = ( x  की स्थिति1, एक्स2, एक्स3) तीन-आयामी स्थान में एक स्थिति वेक्टर के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है जिसका आधार बिंदु मूल है $${\mathbf x} = x_1 {\mathbf e}_1 + x_2{\mathbf e}_2 + x_3{\mathbf e}_3.$$ स्थिति वेक्टर में लंबाई के आयाम हैं।

दो अंक x = ( x  दिया1, एक्स2, एक्स3), y = ( और 1, y2, y3) उनका विस्थापन एक वेक्टर है $${\mathbf y}-{\mathbf x}=(y_1-x_1){\mathbf e}_1 + (y_2-x_2){\mathbf e}_2 + (y_3-x_3){\mathbf e}_3.$$ जो x के सापेक्ष y की स्थिति को निर्दिष्ट करता है।इस वेक्टर की लंबाई x से y तक सीधी रेखा की दूरी देती है।विस्थापन में लंबाई के आयाम होते हैं।

एक बिंदु या कण का वेग 'V' एक वेक्टर है, इसकी लंबाई गति देती है।लगातार वेग के लिए समय टी पर स्थिति होगी $${\mathbf x}_t= t {\mathbf v} + {\mathbf x}_0,$$ जहां एक्स0 समय t = 0. वेग की स्थिति है, स्थिति का समय व्युत्पन्न है।इसके आयाम लंबाई/समय हैं।

एक बिंदु का त्वरण 'ए' वेक्टर है जो वेग का समय व्युत्पन्न है।इसके आयाम लंबाई/समय हैं2।

बल, ऊर्जा, कार्य
बल द्रव्यमान × लंबाई/समय के आयाम के साथ एक वेक्टर है2 और न्यूटन का दूसरा कानून स्केलर गुणा है $${\mathbf F} = m{\mathbf a}$$ काम बल और विस्थापन का डॉट उत्पाद है $$E = {\mathbf F} \cdot ({\mathbf x}_2 - {\mathbf x}_1).$$

वैक्टर, स्यूडोवेक्टर और ट्रांसफॉर्मेशन
यूक्लिडियन वैक्टर का एक वैकल्पिक लक्षण वर्णन, विशेष रूप से भौतिकी में, उन्हें मात्राओं की सूची के रूप में वर्णित करता है जो एक समन्वय परिवर्तन के तहत एक निश्चित तरीके से व्यवहार करते हैं।एक कॉन्ट्रैवेरिएंट वेक्टर के पास ऐसे घटक होते हैं जो आधार के परिवर्तनों के तहत आधार के विपरीत रूपांतरित होते हैं।जब आधार बदल जाता है तो वेक्टर स्वयं नहीं बदलता है;इसके बजाय, वेक्टर के घटक एक परिवर्तन करते हैं जो आधार में परिवर्तन को रद्द कर देता है।दूसरे शब्दों में, यदि संदर्भ कुल्हाड़ियों (और उससे प्राप्त आधार) को एक दिशा में घुमाया गया था, तो वेक्टर का घटक प्रतिनिधित्व एक ही अंतिम वेक्टर उत्पन्न करने के लिए विपरीत तरीके से घूमेगा।इसी तरह, यदि संदर्भ अक्षों को एक दिशा में फैलाया गया था, तो वेक्टर के घटक बिल्कुल क्षतिपूर्ति तरीके से कम हो जाएंगे।गणितीय रूप से, यदि आधार एक इनवर्टिबल मैट्रिक्स एम द्वारा वर्णित परिवर्तन से गुजरता है, तो एक समन्वय वेक्टर 'एक्स' को बदल दिया जाता है x′ = Mx, फिर एक कॉन्ट्रैवेरियन वेक्टर वी को इसी तरह से बदल दिया जाना चाहिए v′ = M$^{-1}$v। यह महत्वपूर्ण आवश्यकता यह है कि शारीरिक रूप से सार्थक मात्रा के किसी भी अन्य ट्रिपल से एक कॉन्ट्रैवेरियन वेक्टर को अलग करता है। उदाहरण के लिए, यदि v वेग के x, y, और z- घटक के होते हैं, तो V एक कंट्रैवेरियन वेक्टर है: यदि अंतरिक्ष के निर्देशांक को फैलाया जाता है, घुमाया जाता है, या मुड़ जाता है, तो वेग के घटक उसी तरह से बदल जाते हैं। । दूसरी ओर, उदाहरण के लिए, एक आयताकार बॉक्स की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई से युक्त एक ट्रिपल एक अमूर्त वेक्टर के तीन घटकों को बना सकता है, लेकिन यह वेक्टर कॉन्ट्रावेरियन नहीं होगा, क्योंकि बॉक्स को घुमाते हुए नहीं बदलता है बॉक्स की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई। कॉन्ट्रैवेरिएंट वैक्टर के उदाहरणों में विस्थापन, वेग, विद्युत क्षेत्र, गति, बल और त्वरण शामिल हैं।

अंतर ज्यामिति की भाषा में, यह आवश्यकता है कि एक वेक्टर के घटक समन्वय संक्रमण के एक ही मैट्रिक्स के अनुसार रूपांतरित होते हैं, एक कॉन्ट्रैवेरियन वेक्टर को परिभाषित करने के बराबर है, जो कॉन्ट्रैवेरियन रैंक एक का टेंसर है। वैकल्पिक रूप से, एक कॉन्ट्रैवेरिएंट वेक्टर को एक स्पर्शरेखा वेक्टर के रूप में परिभाषित किया गया है, और एक कॉन्ट्रैवेरियन वेक्टर को चेन नियम से बदलने के लिए नियम।

कुछ वैक्टर कॉन्ट्रैवेरिएंट वैक्टर की तरह बदलते हैं, सिवाय इसके कि जब वे एक दर्पण के माध्यम से परिलक्षित होते हैं, तो वे फ्लिप करते हैं एक माइनस चिन्ह हासिल करें।एक परिवर्तन जो दाएं-हाथ को बाएं हाथ में बदल देता है और इसके विपरीत एक दर्पण की तरह होता है, जिसे अंतरिक्ष के उन्मुखीकरण को बदलने के लिए कहा जाता है।एक वेक्टर जो एक माइनस साइन प्राप्त करता है जब अंतरिक्ष परिवर्तन के अभिविन्यास को एक स्यूडोवेक्टर या एक अक्षीय वेक्टर कहा जाता है।साधारण वैक्टर को कभी -कभी सच्चे वैक्टर या ध्रुवीय वैक्टर कहा जाता है ताकि उन्हें स्यूडोवेक्टर से अलग किया जा सके।Pseudovectors दो साधारण वैक्टर के क्रॉस उत्पाद के रूप में सबसे अधिक बार होते हैं।

एक स्यूडोवेक्टर का एक उदाहरण कोणीय वेग है।एक कार में ड्राइविंग, और आगे देखते हुए, प्रत्येक पहियों में एक कोणीय वेग वेक्टर होता है जो बाईं ओर इशारा करता है।यदि दुनिया एक दर्पण में परिलक्षित होती है जो कार के बाएं और दाईं ओर स्विच करती है, तो इस कोणीय वेग वेक्टर का प्रतिबिंब दाईं ओर इंगित करता है, लेकिन पहिया का कोणीय वेग वेक्टर अभी भी बाईं ओर इंगित करता है, जो कि माइनस साइन के अनुरूप है।Pseudovectors के अन्य उदाहरणों में चुंबकीय क्षेत्र, टोक़, या अधिक आम तौर पर दो (सच) वैक्टर के किसी भी क्रॉस उत्पाद शामिल हैं।

वैक्टर और स्यूडोवेक्टर के बीच इस अंतर को अक्सर नजरअंदाज कर दिया जाता है, लेकिन यह समरूपता गुणों का अध्ययन करने में महत्वपूर्ण हो जाता है।समता (भौतिकी) देखें।

यह भी देखें

 * Affine अंतरिक्ष, जो वैक्टर और बिंदुओं के बीच अंतर करता है
 * सरणी डेटा संरचना या वेक्टर (कंप्यूटर विज्ञान)
 * बानाच स्पेस
 * क्लिफोर्ड बीजगणित
 * जटिल संख्या
 * निर्देशांक तरीका
 * वैक्टर के सहसंयोजक और कॉन्ट्रैवेरियन
 * चार-वेक्टर, मिंकोव्स्की अंतरिक्ष में एक गैर-यूक्लिडियन वेक्टर (यानी चार-आयामी स्पेसटाइम), सापेक्षता में महत्वपूर्ण
 * फंक्शन स्पेस
 * ग्रासमैन के औसडेनुंगसलेहे
 * हिल्बर्ट स्पेस
 * सामान्य वेक्टर
 * नल वेक्टर
 * स्थिति (ज्यामिति)
 * Pseudovector
 * चतुर्भुज
 * स्पर्शरेखा और सामान्य घटक (एक वेक्टर के)
 * टेंसर
 * इकाई वेक्टर
 * वेक्टर बंडल
 * वेक्टर कैलकुलस
 * वेक्टर संकेतन
 * वेक्टर-मूल्यवान कार्य

बाहरी संबंध

 * Online vector identities (PDF)
 * Introducing Vectors A conceptual introduction (applied mathematics)
 * Introducing Vectors A conceptual introduction (applied mathematics)

]

] ] ]