समान भुजाओं वाला त्रिकोण

ज्यामिति में, एक समबाहु त्रिभुज एक त्रिभुज होता है जिसमें तीनों भुजाओं की लंबाई समान होती है। परिचित यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक समबाहु त्रिभुज समबाहु बहुभुज भी होता है; अर्थात्, तीनों आंतरिक कोण भी एक-दूसरे के सर्वांगसम (ज्यामिति) हैं और प्रत्येक 60° के हैं। यह एक नियमित बहुभुज भी है, इसलिए इसे एक नियमित त्रिभुज भी कहा जाता है।

प्रमुख गुण


समबाहु त्रिभुज की भुजाओं की उभयनिष्ठ लंबाई को निरूपित करना $$a$$, हम पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करके निर्धारित कर सकते हैं कि: परिधि वाले वृत्त की त्रिज्या को R के रूप में नकारते हुए, हम त्रिकोणमिति का उपयोग करके यह निर्धारित कर सकते हैं कि: $$ इनमें से कई राशियों का विपरीत दिशा से प्रत्येक शीर्ष के शीर्षलंब ( h ) से सरल संबंध है: एक समबाहु त्रिभुज में, शीर्षलंब, कोण समद्विभाजक, लंब समद्विभाजक, और प्रत्येक भुजा की माध्यिकाएँ संपाती होती हैं।
 * क्षेत्र है $$A=\frac{\sqrt{3}}{4} a^2,$$
 * परिधि है $$p=3a\,\!$$
 * परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$
 * एक त्रिभुज के अंतःवृत्त और बहिर्वृत्त की त्रिज्या है $$r=\frac{\sqrt{3}}{6} a$$ या $$ r=\frac{R}{2}$$
 * त्रिकोण का ज्यामितीय केंद्र परिचालित और खुदा हुआ हलकों का केंद्र है
 * किसी भी ओर से ऊँचाई (त्रिकोण) (ऊंचाई) है $$h=\frac{\sqrt{3}}{2} a$$
 * त्रिभुज का क्षेत्रफल है $$\mathrm{A}=\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2
 * क्षेत्र है $$A=\frac{h^2}{\sqrt{3}}$$
 * हर तरफ से केंद्र की ऊंचाई, या अंतःत्रिज्या, है $$\frac{h}{3} $$
 * तीन शीर्षों को घेरने वाले वृत्त की त्रिज्या है $$R=\frac{2h}{3} $$
 * अंकित वृत्त की त्रिज्या है $$r=\frac{h}{3}$$

लक्षण वर्णन
एक त्रिकोण $$ABC$$ जिसकी भुजाएँ हैं $$a$$, $$b$$, $$c$$, अर्धपरिधि $$s$$, क्षेत्र $$T$$, त्रिभुज के अंतःवृत्त और बहिर्वृत्त# त्रिभुज के क्षेत्रफल से संबंध $$r_{a}$$, $$r_{b}$$, $$r_{c}$$ (स्पर्शरेखा $$a$$, $$b$$, $$c$$ क्रमशः), और कहाँ $$R$$ और $$r$$ परिबद्ध वृत्त#त्रिभुजों और त्रिभुज के अंतःवृत्त और बाह्यवृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः समबाहु होती हैं यदि और केवल यदि निम्नलिखित नौ श्रेणियों में से कोई एक कथन सत्य है। इस प्रकार ये ऐसे गुण हैं जो समबाहु त्रिभुजों के लिए अद्वितीय हैं, और यह जानना कि उनमें से कोई एक सत्य है, सीधे तौर पर यह दर्शाता है कि हमारे पास एक समबाहु त्रिभुज है।

भुजाएँ

 * $$ a=b=c$$
 * $$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{\sqrt{25Rr-2r^2}}{4Rr}$$

अर्धपरिधि

 * $$ s = 2R + \left(3\sqrt{3} - 4\right)r$$ (सोमवार)
 * $$ s^2=3r^2+12Rr$$
 * $$ s^2=3\sqrt{3}T$$
 * $$ s=3\sqrt{3}r$$
 * $$ s=\frac{3\sqrt{3}}{2}R$$

कोण

 * $$ A=B=C=60^\circ$$
 * $$ \cos{A}+\cos{B}+\cos{C}=\frac{3}{2}$$
 * $$ \sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}\sin{\frac{C}{2}}=\frac{1}{8}$$

क्षेत्र

 * $$ T=\frac{a^2+b^2+c^2}{4\sqrt{3}}\quad$$ (वीटजेनबॉक की असमानता|वीटजेनबॉक)
 * $$ T=\frac{\sqrt{3}}{4}(abc)^\frac{2}{3}$$

परित्रिज्या, अंतःत्रिज्या और बाह्यत्रिज्या

 * $$ R=2r$$ (चैपल-यूलर)
 * $$ 9R^2=a^2+b^2+c^2$$ *$$ r=\frac{r_a+r_b+r_c}{9}$$
 * $$ r_a=r_b=r_c$$

समान cevian
समबाहु त्रिभुजों के लिए (और केवल के लिए) तीन प्रकार के सेवियाँ मेल खाते हैं, और बराबर हैं:
 * तीन ऊंचाई (त्रिकोण) की लंबाई समान है।
 * तीन माध्यिकाओं (ज्यामिति) की लंबाई समान होती है।
 * तीन समद्विभाजक#कोण द्विभाजक की लंबाई समान होती है।

संयोग त्रिकोण केंद्र
एक समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक त्रिभुज केंद्र उसके केन्द्रक के साथ मेल खाता है, जिसका तात्पर्य है कि समबाहु त्रिभुज एकमात्र त्रिभुज है जिसमें कुछ केंद्रों को जोड़ने वाली कोई यूलर रेखा नहीं है। त्रिभुज केंद्रों के कुछ युग्मों के लिए, तथ्य यह है कि वे मेल खाते हैं यह सुनिश्चित करने के लिए पर्याप्त है कि त्रिभुज समबाहु है। विशेष रूप से:


 * एक त्रिभुज समबाहु होता है यदि त्रिभुज, केन्द्रक, या ऊँचाई (त्रिकोण) के परिबद्ध वृत्त, अंतःवृत्त और बहिर्वृत्त में से कोई दो संयोग करते हैं।
 * यह भी समबाहु है यदि इसका परिकेन्द्र नागल बिंदु के साथ मेल खाता है, या यदि इसका अंतःकेन्द्र इसके नौ-बिंदु वृत्त के साथ मेल खाता है#नौ-बिंदु वृत्त के अन्य गुण|नौ-बिंदु केंद्र।

माध्यकों द्वारा विभाजन करके गठित छह त्रिकोण
किसी भी त्रिभुज के लिए, तीन माध्यिकाएँ (ज्यामिति) त्रिभुज को छह छोटे त्रिभुजों में विभाजित करती हैं।
 * एक त्रिभुज समबाहु होता है यदि और केवल यदि किन्हीं तीन छोटे त्रिभुजों का परिमाप समान हो या अंतःत्रिज्या समान हो।
 * एक त्रिभुज समबाहु होता है यदि और केवल यदि किन्हीं तीन छोटे त्रिभुजों के परिकेन्द्रों के केन्द्रक से समान दूरी हो।

विमान में बिंदु

 * एक त्रिभुज समबाहु है यदि और केवल यदि, प्रत्येक बिंदु के लिए $$P$$ विमान में, दूरियों के साथ $$p$$, $$q$$, और $$r$$ त्रिभुज की भुजाओं और दूरियों के लिए $$x$$, $$y$$, और $$z$$ इसके शिखर तक, $$4\left(p^2 + q^2 + r^2\right) \geq x^2 + y^2 + z^2.$$

उल्लेखनीय प्रमेय
मॉर्ले के ट्राइसेक्टर प्रमेय में कहा गया है कि, किसी भी त्रिकोण में, आसन्न कोण तिरछा के चौराहे के तीन बिंदु एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं।

नेपोलियन के प्रमेय में कहा गया है कि, यदि समबाहु त्रिभुज किसी भी त्रिभुज की भुजाओं पर, या तो पूरी तरह से बाहर की ओर, या सभी अंदर की ओर बनाए जाते हैं, तो उन समबाहु त्रिभुजों के केंद्र स्वयं एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं।

त्रिभुजों के लिए समपरिमितीय असमानता के एक संस्करण में कहा गया है कि दी गई परिधि वाले सभी के बीच सबसे बड़े क्षेत्र का त्रिभुज समबाहु है।

विवियनी के प्रमेय में कहा गया है कि, किसी भी आंतरिक बिंदु के लिए $$P$$ दूरियों के साथ एक समबाहु त्रिभुज में $$d$$, $$e$$, और $$f$$ पक्षों और ऊंचाई से $$h$$, $$d+e+f = h,$$ के स्थान से स्वतंत्र $$P$$. पोम्पेयू के प्रमेय में कहा गया है कि, यदि $$P$$ एक समबाहु त्रिभुज के तल में एक मनमाना बिंदु है $$ABC$$ लेकिन इसके परिवृत्त पर नहीं, तो लम्बाई की भुजाओं वाला एक त्रिभुज मौजूद है $$PA$$, $$PB$$, और $$PC$$. वह है, $$PA$$, $$PB$$, और $$PC$$ त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करें कि उनमें से किन्हीं दो का योग तीसरे से अधिक है। अगर $$P$$ परिवृत्त पर है तो दो छोटे का योग सबसे लंबे समय के बराबर है और त्रिकोण एक रेखा में पतित हो गया है, इस मामले को वैन शूटेन के प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

ज्यामितीय निर्माण
एक सीधा किनारा और कम्पास का उपयोग करके एक समबाहु त्रिभुज का निर्माण आसानी से किया जा सकता है, क्योंकि 3 एक फर्मेट प्राइम है। एक सीधी रेखा खींचें, और रेखा के एक छोर पर कम्पास के बिंदु को रखें, और उस बिंदु से रेखा खंड के दूसरे बिंदु पर एक चाप घुमाएँ। पंक्ति के दूसरी ओर दोहराएं। अंत में, उस बिंदु को कनेक्ट करें जहां रेखा खंड के प्रत्येक छोर के साथ दो चाप प्रतिच्छेद करते हैं

त्रिज्या के साथ एक वृत्त खींचना एक वैकल्पिक तरीका है $$r$$, कम्पास के बिंदु को वृत्त पर रखें और उसी त्रिज्या के साथ एक और वृत्त बनाएं। दो वृत्त दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करेंगे। वृत्तों के दो केंद्रों और प्रतिच्छेदन बिंदुओं में से किसी एक को लेकर एक समबाहु त्रिभुज का निर्माण किया जा सकता है।

दोनों विधियों में एक उप-उत्पाद मछली मूत्राशय  का निर्माण होता है।

प्रमाण है कि परिणामी आकृति एक समबाहु त्रिभुज है, यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक I में पहला प्रस्ताव है|यूक्लिड के तत्व।



क्षेत्र सूत्र की व्युत्पत्ति
क्षेत्र सूत्र $$A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$ पक्ष की लंबाई के संदर्भ में $$a$$ पाइथागोरस प्रमेय या त्रिकोणमिति का उपयोग करके सीधे प्राप्त किया जा सकता है।

पायथागॉरियन प्रमेय का प्रयोग
त्रिभुज का क्षेत्रफल एक भुजा का आधा होता है $$a$$ ऊंचाई से गुना $$h$$ उस तरफ से: $$A = \frac{1}{2} ah.$$

समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई से बने किसी भी समकोण त्रिभुज के पैर आधार के आधे होते हैं $$a$$, और कर्ण भुजा है $$a$$ समबाहु त्रिभुज का। पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करके एक समबाहु त्रिभुज की ऊंचाई पाई जा सकती है $$\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = a^2$$ ताकि $$h = \frac{\sqrt{3}}{2}a.$$ स्थानापन्न $$h$$ क्षेत्र सूत्र में $$\frac{1}{2}ah$$ समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र देता है: $$A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2.$$

त्रिकोणमिति का प्रयोग
त्रिकोणमिति का उपयोग करते हुए किन्हीं भी दो भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $$a$$ और $$b$$, और एक कोण $$C$$ उनके बीच है $$A = \frac{1}{2} ab \sin C.$$ एक समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° का होता है, इसलिए $$A = \frac{1}{2} ab \sin 60^\circ.$$ 60° की ज्या है $$\tfrac{\sqrt{3}}{2}$$. इस प्रकार $$A = \frac{1}{2} ab \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}ab = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$ चूँकि एक समबाहु त्रिभुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।

अन्य गुण
एक समबाहु त्रिभुज सबसे सममित त्रिभुज है, जिसमें प्रतिबिंब समरूपता की 3 रेखाएँ और इसके केंद्र के बारे में क्रम 3 की घूर्णी समरूपता होती है, जिसका सममिति समूह क्रम 6 का द्वितल समूह है, $$\mathrm D_{3}$$. पूर्णांक-पक्षीय समबाहु त्रिभुज एकमात्र पूर्णांक त्रिभुज है, और तीन परिमेय कोणों को डिग्री में मापा जाता है। यह एकमात्र तीव्र त्रिकोण है जो इसके ऑर्थोथिक त्रिकोण के समान है (ऊंचाई (ज्यामिति) के पैरों पर कोने के साथ), और एकमात्र त्रिभुज जिसका स्टाइनर इनलिप्स एक वृत्त है (विशेष रूप से, अंतःवृत्त)। किसी दिए गए वृत्त में अंकित सभी के सबसे बड़े क्षेत्र का त्रिभुज समबाहु है, और किसी दिए गए वृत्त के चारों ओर परिचालित सभी के सबसे छोटे क्षेत्र का त्रिभुज भी समबाहु है। वर्ग के अलावा यह एकमात्र नियमित बहुभुज है जिसे किसी अन्य नियमित बहुभुज के अंदर अंकित किया जा सकता है।

ज्यामिति में यूलर के प्रमेय द्वारा|यूलर की असमानता, समबाहु त्रिभुज में परिधि का सबसे छोटा अनुपात होता है $$R$$ अंतःत्रिज्या के लिए $$r$$ किसी भी त्रिकोण के साथ $$\frac {R}{r} = 2.$$ एक बिंदु दिया $$P$$ एक समबाहु त्रिभुज के आंतरिक भाग में, शीर्षों से इसकी दूरियों के योग का भुजाओं से इसकी दूरियों के योग का अनुपात 2 से अधिक या बराबर होता है, समानता धारण जब $$P$$ केन्द्रक है। किसी अन्य त्रिभुज में ऐसा कोई बिंदु नहीं है जिसके लिए यह अनुपात 2 जितना छोटा हो। यह एर्डोस-मोर्डेल असमानता है; इसका एक मजबूत संस्करण बैरो की असमानता है, जो लंबवत दूरियों को दूरियों से बदल देता है $$P$$ उन बिन्दुओं तक जहाँ कोण का द्विभाजक है $$\angle APB$$, $$\angle BPC$$, और $$\angle CPA$$ पक्षों को पार करें ($$A$$, $$B$$, और $$C$$ शिखर होना)। त्रिभुज असमानताओं की कई अन्य सूचियाँ हैं जो समानता के साथ हैं यदि और केवल यदि त्रिभुज समबाहु है।

किसी भी बिंदु के लिए $$P$$ विमान में, दूरियों के साथ $$p$$, $$q$$, और $$t$$ शिखर से $$A$$, $$B$$, और $$C$$ क्रमश, $$ 3 \left(p^4 + q^4 + t^4 + a^4\right) = \left(p^2 + q^2 + t^2 + a^2\right)^2.$$ किसी भी बिंदु के लिए $$P$$ विमान में, दूरियों के साथ $$p$$, $$q$$, और $$t$$ शिखर से, $$ p^2+q^2+t^2 = 3\left(R^2 + L^2\right),$$ $$ p^4+q^4+t^4 = 3\left[\left(R^2 + L^2\right)^2 + 2 R^2 L^2\right],$$ कहाँ $$R$$ परिबद्ध त्रिज्या है और $$L$$ बिंदु के बीच की दूरी है $$P$$ और समबाहु त्रिभुज का केन्द्रक।

किसी भी बिंदु के लिए $$P$$ दूरियों के साथ एक समबाहु त्रिभुज के खुदे हुए वृत्त पर $$p$$, $$q$$, और $$t$$ शिखर से, $$ 4 \left(p^2 + q^2 + t^2\right) = 5a^2,$$ $$ 16 \left(p^4 + q^4 + t^4\right) = 11a^4.$$ किसी भी बिंदु के लिए $$P$$ लघु चाप पर $$BC$$ परिवृत्त का, दूरियों के साथ $$p$$, $$q$$, और $$t$$ से $$A$$, $$B$$, और $$C$$, क्रमश $$ p = q + t,$$ $$ q^2 + qt + t^2=a^2 .$$ इसके अलावा, यदि बिंदु $$D$$ ओर $$BC$$ विभाजित $$PA$$ खंडों में $$PD$$ और $$DA$$ साथ $$DA$$ लंबाई होना $$z$$ और $$PD$$ लंबाई होना $$y$$, तब $$z = \frac{t^2 + tq + q^2}{t + q},$$ जो बराबर भी है $\tfrac{t^3 - q^3}{t^2 - q^2}$ अगर $$t \neq q$$ और $$\frac{1}{q}+\frac{1}{t}=\frac{1}{y} ,$$ जो ऑप्टिक समीकरण है।

समबाहु त्रिभुज के लिए:


 * इसके क्षेत्रफल का अंतवृत्त के क्षेत्रफल से अनुपात, $$\frac{\pi}{3\sqrt{3}}$$, किसी भी त्रिभुज में सबसे बड़ा है।

$$\frac{7}{9} \leq \frac{A_1}{A_2} \leq \frac{9}{7}.$$ यदि एक त्रिभुज को जटिल समतल में जटिल शीर्षों के साथ रखा गया है $$z_{1}$$, $$z_{2}$$, और $$z_{3}$$, फिर गैर-वास्तविक घनमूल के लिए $$\omega$$ 1 का त्रिभुज समबाहु है यदि और केवल यदि $$z_1 + \omega z_2 + \omega^2 z_3 = 0.$$
 * इसके क्षेत्रफल का इसके परिमाप के वर्ग से अनुपात, $$\frac{1}{12\sqrt{3}},$$ किसी भी गैर-समबाहु त्रिभुज से बड़ा है।
 * यदि एक खंड एक समबाहु त्रिभुज को समान परिमाप वाले और क्षेत्रफल वाले दो क्षेत्रों में विभाजित करता है $$A_{1}$$ और $$A_{2}$$, तब

विशेष रूप से, उत्तल नियमित बहुभुज द्वारा समबाहु त्रिभुज यूक्लिडियन टाइलिंग # नियमित टाइलिंग दो आयामी स्थान जिसमें छह त्रिकोण एक शीर्ष पर मिलते हैं, जिसका दोहरा टेसलेशन हेक्सागोनल टाइलिंग है। ट्रंकेटेड हेक्सागोनल टाइलिंग|3.122, रॉम्बिट्रीहेक्सागोनल टाइलिंग|3.4.6.4, ट्राइहेक्सागोनल टाइलिंग|(3.6)2, स्नब स्क्वायर टाइलिंग|32.4.3.4, और स्नब हेक्सागोनल टाइलिंग|34.6 उत्तल नियमित बहुभुजों द्वारा सभी यूक्लिडियन टाइलिंग हैं#आर्किमिडीन, समान या अर्ध-नियमित टाइलिंग|समबाहु त्रिभुजों के साथ निर्मित अर्ध-नियमित टेसेलेशन।

तीन आयामों में, समबाहु त्रिभुज नियमित और समान बहुकोणीय आकृति  के चेहरे बनाते हैं। पाँच में से तीन प्लेटोनिक ठोस समबाहु त्रिभुजों से बने हैं:  चतुर्पाश्वीय, अष्टफलक और विंशतिफलक  विशेष रूप से, चतुष्फलक, जिसमें फलकों के लिए चार समबाहु त्रिभुज हैं, को त्रिभुज का त्रि-आयामी अनुरूप माना जा सकता है। सभी प्लेटोनिक ठोस टेट्राहेड्रा को अंकित कर सकते हैं, साथ ही टेट्राहेड्रा के अंदर खुदे हुए हो सकते हैं। समबाहु त्रिभुज त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एंटीप्रिज्म#यूनिफॉर्म एंटीप्रिज्म के साथ-साथ यूनिफॉर्म एंटीप्रिज्म#स्टार एंटीप्रिज्म भी बनाते हैं। एंटीप्रिज्म के लिए, नियमित बहुभुजों की दो (गैर-प्रतिबिंबित) समानांतर (ज्यामिति) प्रतियाँ वैकल्पिक बैंड द्वारा जुड़ी हुई हैं $$2n$$ समबाहु त्रिभुज। विशेष रूप से स्टार एंटीप्रिज्म के लिए, प्रोग्रेड और रेट्रोग्रेड (क्रॉस) समाधान हैं जो प्रतिबिंबित और गैर-प्रतिबिंबित समांतर स्टार बहुभुज # नियमित स्टार बहुभुज में शामिल होते हैं।  प्लेटोनिक ऑक्टाहेड्रॉन भी एक त्रिकोणीय एंटीप्रिज्म है, जो एंटीप्रिज्म के अनंत परिवार का पहला सच्चा सदस्य है (टेट्राहेड्रॉन, डिगोनल एंटीप्रिज्म के रूप में, कभी-कभी पहले माना जाता है)।

सामान्यीकरण के रूप में, समबाहु त्रिभुज के अनंत परिवार से संबंधित है $$n$$-सिम्प्लेक्स (ज्यामिति), के साथ $$n = 2$$.

संस्कृति और समाज में
मानव निर्मित निर्माणों में समबाहु त्रिभुज अक्सर दिखाई देते हैं:
 * आकार आधुनिक वास्तुकला में होता है जैसे कि गेटवे आर्क का क्रॉस-सेक्शन।
 * झंडों और हेरलड्री में इसके अनुप्रयोगों में निकारागुआ का झंडा शामिल है और फिलीपींस का झंडा।
 * यह उपज चिह्न सहित विभिन्न प्रकार के यातायात चिह्नों का आकार है।

यह भी देखें

 * हेरोनियन त्रिभुज#लगभग-समबाहु हेरोनियन त्रिभुज|लगभग-समबाहु हेरोनियन त्रिभुज
 * समद्विबाहु त्रिकोण
 * त्रिगुट प्लॉट
 * त्रिरेखीय निर्देशांक