हाइपरफैक्टोरियल

गणित में, और विशेष रूप से संख्या सिद्धांत में, एक सकारात्मक पूर्णांक का हाइपरफैक्टोरियल $$n$$ प्रपत्र की संख्याओं का गुणनफल है $$x^x$$ से $$1^1$$ को $$n^n$$.

परिभाषा
एक धनात्मक पूर्णांक का हाइपरफैक्टोरियल $$n$$ संख्याओं का गुणनफल है $$1^1, 2^2, \dots, n^n$$. वह है, $$ H(n) = 1^1\cdot 2^2\cdot \cdots n^n = \prod_{i=1}^{n} i^i = n^n H(n-1).$$ खाली उत्पाद के लिए सामान्य परंपरा का पालन करते हुए, 0 का हाइपरफैक्टोरियल 1 है। हाइपरफैक्टोरियल का पूर्णांक अनुक्रम, से शुरू होता है $$H(0)=1$$, है:

प्रक्षेप और सन्निकटन
हाइपरफैक्टोरियल का अध्ययन 19वीं सदी की शुरुआत में हरमन किंकेलिन द्वारा किया गया था और जेम्स व्हिटब्रेड ली ग्लैशर। जैसा कि किंकेलिन ने दिखाया, जिस तरह कारख़ाने का  को गामा फ़ंक्शन द्वारा लगातार इंटरपोल किया जा सकता है, उसी तरह हाइपरफैक्टोरियल को K-फ़ंक्शन द्वारा लगातार इंटरपोल किया जा सकता है।

ग्लैशर ने हाइपरफैक्टोरियल के लिए एक एसिम्प्टोटिक विश्लेषण फॉर्मूला प्रदान किया, जो फैक्टरियल के लिए स्टर्लिंग के फॉर्मूले के अनुरूप है: $$H(n) = An^{(6n^2+6n+1)/12}e^{-n^2/4}\left(1+\frac{1}{720n^2}-\frac{1433}{7257600n^4}+\cdots\right)\!,$$ कहाँ $$A\approx 1.28243$$ ग्लैशर-किंकलिन स्थिरांक है।

अन्य गुण
फैक्टोरियल मॉड्यूलर अंकगणित अभाज्य संख्या संख्याओं के व्यवहार पर विल्सन के प्रमेय के एक एनालॉग के अनुसार, जब $$p$$ एक समता (गणित) अभाज्य संख्या है $$H(p-1)\equiv(-1)^{(p-1)/2}(p-1)!!\pmod{p},$$ कहाँ $$!!$$ दोहरा भाज्य  के लिए संकेतन है।

हाइपरफैक्टोरियल्स उनके संभाव्य सूत्रीकरण में हर्माइट बहुपद के विभेदकों का अनुक्रम देते हैं।