कुराटोव्स्की क्लोजर एक्सिओम्स

टोपोलॉजी और गणित की संबंधित शाखाओं में, कुराटोव्स्की क्लोजर स्वयंसिद्ध स्वयंसिद्धों का समूह है जिसका उपयोग समुच्चय (गणित) पर सांस्थितिकीय संरचना को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। वे अधिक सामान्यतः उपयोग किए जाने वाले खुले समुच्चय की परिभाषा के सामान्य हैं। उन्हें सबसे पहले काज़िमिर्ज़ कुराटोव्स्की द्वारा औपचारिक रूप दिया गया था। और इस विचार का आगे अन्य गणितज्ञों जैसे वाक्ला सिएरपिन्स्की और एंटोनियो मोंटेइरो द्वारा अध्ययन किया गया।

इंटीरियर (टोपोलॉजी) या इंटीरियर ऑपरेटर की केवल दोहरी धारणा का उपयोग करके टोपोलॉजिकल संरचना को परिभाषित करने के लिए स्वयंसिद्धों के समान समुच्चय का उपयोग किया जा सकता है।

कुराटोव्स्की क्लोजर ऑपरेटर्स और कमजोरियाँ
$$X$$ इच्छानुसार समुच्चय हो और $$\wp(X)$$ इसका सत्ता स्थापित कुराटोव्स्की क्लोजर ऑपरेटर एकात्मक ऑपरेशन है $$\mathbf{c}:\wp(X) \to \wp(X)$$ निम्नलिखित गुणों के साथ:

का परिणाम $$\mathbf{c}$$ बाइनरी यूनियनों को संरक्षित करना निम्न शर्त है:

वास्तव में यदि हम [K4] में समानता को समावेशन के रूप में फिर से लिखते हैं, तो कमजोर स्वयंसिद्ध [K4 '' ] (सबअडिटीविटी) देते हुए:

तो यह देखना आसान है कि अभिगृहीत [K4'] और [K4 '' ] एक साथ [K4] के समतुल्य हैं (नीचे प्रमाण 2 का अगला-से-अंतिम पैराग्राफ देखें)।

पाँचवाँ (वैकल्पिक) स्वयंसिद्ध सम्मिलित है जिसके लिए आवश्यक है कि सिंगलटन समुच्चय क्लोजर के अनुसार स्थिर होना चाहिए: सभी के लिए $$x \in X$$, $$\mathbf{c}(\{x\}) = \{x\}$$. वह टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान को संदर्भित करता है जो सभी पांच सिद्धांतों को टी1 के रूप में संतुष्ट करता है अधिक सामान्य स्थानों के विपरीत स्थान जो केवल चार सूचीबद्ध स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करते हैं। वास्तव में, ये रिक्त स्थान बिल्कुल टी1 स्थान है | टोपोलॉजिकल टी1 के अनुरूप हैं-सामान्य पत्राचार के माध्यम से रिक्त स्थान (नीचे देखें)।

यदि आवश्यकता [K3] को छोड़ दिया जाता है, तो सिद्धांत चेक क्लोजर ऑपरेटर को परिभाषित करते हैं। यदि इसके अतिरिक्त [K1] को छोड़ दिया जाता है, तो [K2], [K3] और [K4'] को संतुष्ट करने वाले ऑपरेटर को मूर क्लोजर ऑपरेटर कहा जाता है। एक जोड़ी $$(X, \mathbf{c})$$ से संतुष्ट स्वयंसिद्धों के आधार पर कुराटोस्की, चेक या मूर क्लोजर स्पेस कहा जाता है $$\mathbf{c}$$.

वैकल्पिक स्वयंसिद्धीकरण
चार कुराटोव्स्की क्लोजर स्वयंसिद्धों को एक ही स्थिति से बदला जा सकता है, जिसे पेरविन द्वारा दिया गया है:

अभिगृहीत [K1]-[K4] इस आवश्यकता के परिणामस्वरूप प्राप्त किया जा सकता है:


 * 1) चुनना $$A = B = \varnothing$$. तब $$\varnothing \cup \mathbf{c}(\varnothing) \cup \mathbf{c}(\mathbf{c}(\varnothing)) = \mathbf{c}(\varnothing) \setminus \mathbf{c}(\varnothing) = \varnothing$$, या $$\mathbf{c}(\varnothing) \cup \mathbf{c}(\mathbf{c}(\varnothing)) = \varnothing$$. यह तुरंत [K1] का तात्पर्य है।
 * 2) इच्छानुसार चुनें $$A \subseteq X$$ और $$B = \varnothing$$. फिर अभिगृहीत [K1] को प्रयुक्त करने पर, $$A \cup \mathbf{c}(A) = \mathbf{c}(A)$$, जिसका अर्थ है [K2]।
 * 3) चुनना $$A = \varnothing$$ और इच्छानुसार $$B \subseteq X$$. फिर अभिगृहीत [K1] को प्रयुक्त करने पर, $$\mathbf{c}(\mathbf{c}(B)) = \mathbf{c}(B)$$, जो [K3] है।
 * 4) इच्छानुसार चुनें $$A,B \subseteq X$$. अभिगृहीत [K1]-[K3] को प्रयुक्त करने पर, [K4] की व्युत्पत्ति होती है।

वैकल्पिक रूप से, कमजोर अभिगृहीत का प्रस्ताव किया था जिसमें केवल [K2]-[K4] सम्मिलित है:

आवश्यकता [K1] [M] से स्वतंत्र है: वास्तव में, यदि $$X \neq \varnothing$$, परिचालक $$\mathbf{c}^\star : \wp(X) \to \wp(X)$$ निरंतर असाइनमेंट द्वारा परिभाषित $$A \mapsto \mathbf{c}^\star(A) := X$$ संतुष्ट करता है [एम] किन्तुखाली समुच्चय को संरक्षित नहीं करता है, क्योंकि $$\mathbf{c}^\star(\varnothing) = X$$. ध्यान दें कि, परिभाषा के अनुसार, [एम] को संतुष्ट करने वाला कोई भी ऑपरेटर मूर क्लोजर ऑपरेटर है।

[एम] के लिए अधिक सममित विकल्प भी एम. ओ. बोटेल्हो और एम. एच.टेक्सेरा द्वारा स्वयंसिद्ध [K2] - [K4] को प्रयुक्त करने के लिए सिद्ध किया गया था:

आंतरिक, बाहरी और सीमा संचालक
कुराटोव्स्की क्लोजर ऑपरेटरों के लिए दोहरी धारणा कुराटोव्स्की इंटीरियर ऑपरेटर की है, जो एक नक्शा है $$\mathbf{i} : \wp(X) \to \wp(X)$$ निम्नलिखित समान आवश्यकताओं को पूरा करना:

इन ऑपरेटरों के लिए, कोई भी ऐसे निष्कर्ष पर पहुंच सकता है जो पूरी तरह से कुराटोव्स्की बंद होने के अनुमान के अनुरूप है। उदाहरण के लिए, सभी कुराटोव्स्की इंटीरियर ऑपरेटर आइसोटोनिक हैं, अर्थात वे '[K4']' को संतुष्ट करते हैं, और तीव्रता '[आई2]' के कारण, '[आई3]' में समानता को साधारण समावेशन में कमजोर करना संभव है।

कुराटोव्स्की क्लोजर और इंटीरियर के बीच का द्वंद्व प्राकृतिक 'पूरक ऑपरेटर' द्वारा प्रदान किया गया है $$\wp(X)$$, वो नक्शा $$\mathbf{n} : \wp(X) \to \wp(X)$$ भेजना $$A \mapsto \mathbf{n}(A):= X \setminus A$$. यह नक्शा पावर समुच्चय जाली पर ऑर्थोकोमप्लिमेंटेशन है, जिसका अर्थ है कि यह डी मॉर्गन के नियमों को संतुष्ट करता है: यदि $$\mathcal{I}$$ सूचकांकों का एक इच्छानुसार समुच्चय है और $$\{A_i\}_{i\in\mathcal I} \subseteq \wp(X)$$, $$ \mathbf{n}\left(\bigcup_{i \in \mathcal I} A_i\right) = \bigcap_{i\in \mathcal I} \mathbf{n}(A_i), \qquad \mathbf{n}\left(\bigcap_{i \in \mathcal I} A_i\right) = \bigcup_{i\in \mathcal I} \mathbf{n}(A_i). $$ के परिभाषित गुणों के साथ, इन कानूनों को नियोजित करके $$\mathbf{n}$$, कोई यह दिखा सकता है कि परिभाषित संबंध के माध्यम से कोई भी कुराटोव्स्की इंटीरियर कुराटोव्स्की क्लोजर (और इसके विपरीत) को प्रेरित करता है $$\mathbf {c} := \mathbf{nin}$$ (और $$\mathbf {i} := \mathbf{ncn}$$). संबंधित हर परिणाम प्राप्त किया $$\mathbf{c}$$ संबंधित परिणाम में परिवर्तित किया जा सकता है $$\mathbf{i}$$ इन संबंधों को ऑर्थोकोमप्लिमेंटेशन के गुणों के साथ जोड़कर $$\mathbf{n}$$.

आगे कुराटोव्स्की बाहरी संचालकों के लिए अनुरूप अभिगृहीत प्रदान करता है और कुराटोव्स्की सीमा संचालक, जो संबंधों के माध्यम से कुराटोव्स्की को भी बंद कर देता है $$\mathbf{c} := \mathbf{ne}$$ और $$\mathbf{c}(A):= A \cup \mathbf{b}(A)$$.

सार संचालक
ध्यान दें कि अभिगृहीत [K1]-[K4] को अमूर्त एकात्मक संक्रिया को परिभाषित करने के लिए अनुकूलित किया जा सकता है $$\mathbf c : L \to L$$ सामान्य परिबद्ध जाली पर $$(L,\land,\lor,\mathbf 0, \mathbf 1)$$, जाली से जुड़े आंशिक क्रम के साथ समुच्चय-सैद्धांतिक समावेशन को औपचारिक रूप से प्रतिस्थापित करके, समुच्चय-सैद्धांतिक संघ को जोड़ने के संचालन के साथ, और समुच्चय-सैद्धांतिक चौराहों को मिलने के संचालन के साथ; इसी प्रकार अभिगृहीतों के लिए [आई1]-[आई4]। यदि जालक ऑर्थोकम्प्लिमेंटेड है, तो ये दो अमूर्त संक्रियाएँ सामान्य तरीके से एक दूसरे को प्रेरित करती हैं। जाली पर सामान्यीकृत टोपोलॉजी को परिभाषित करने के लिए सार बंद या आंतरिक ऑपरेटरों का उपयोग किया जा सकता है।

चूंकि मूर क्लोजर ऑपरेटर की आवश्यकता में न तो यूनियन और न ही खाली समुच्चय दिखाई देता है, इसलिए परिभाषा को अमूर्त यूनरी ऑपरेटर को परिभाषित करने के लिए अनुकूलित किया जा सकता है $$\mathbf{c} : S \to S$$ इच्छानुसार से आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय $$S$$ है.

बंद होने से टोपोलॉजी का समावेश
क्लोजर ऑपरेटर स्वाभाविक रूप से टोपोलॉजिकल स्पेस को निम्नानुसार प्रेरित करता है। होने देना $$X$$ इच्छानुसार समुच्चय हो। हम कहेंगे कि उपसमुच्चय $$ C\subseteq X $$ कुराटोव्स्की क्लोजर ऑपरेटर के संबंध में बंद है $$\mathbf{c} : \wp(X) \to \wp(X)$$ यदि और केवल यदि यह उक्त ऑपरेटर का निश्चित बिंदु है, या दूसरे शब्दों में यह स्थिर है $$\mathbf{c}$$, अर्थात। $$ \mathbf{c}(C) = C $$. प्रमाणित यह है कि कुल स्थान के सभी उपसमुच्चयों का परिवार जो बंद समुच्चयों का पूरक है, टोपोलॉजी के लिए तीन सामान्य आवश्यकताओं को पूरा करता है, या समकक्ष, परिवार $$\mathfrak{S}[\mathbf{c}]$$ सभी बंद समुच्चय निम्नलिखित को संतुष्ट करते हैं:

ध्यान दें कि, आलस्य [K3] द्वारा, कोई संक्षेप में लिख सकता है $$\mathfrak{S}[\mathbf{c}] = \operatorname{im}(\mathbf{c})$$.

[T1] व्यापकता से [K2], $$ X\subseteq\mathbf{c}(X) $$ और चूंकि क्लोजर के पावर सेट को मैप करता है $$X$$ अपने आप में (अर्थात, किसी उपसमुच्चय की छवि का एक उपसमुच्चय है $$X$$), $$ \mathbf{c}(X)\subseteq X $$ अपने पास $$ X = \mathbf{c}(X)$$. इस प्रकार $$ X \in \mathfrak{S}[\mathbf{c}]$$. रिक्त समुच्चय [K1] के संरक्षण का तत्काल तात्पर्य है $$ \varnothing \in\mathfrak{S}[\mathbf{c}] $$.

[T2] अगला, चलो $$ \mathcal{I} $$ सूचकांकों का एक मनमाना सेट बनें और दें $$ C_i $$ प्रत्येक के लिए बंद रहेगा $$ i\in\mathcal{I}$$. व्यापकता से [K2], $ \bigcap_{i\in\mathcal{I}}C_i \subseteq \mathbf{c}\left(\bigcap_{i\in\mathcal{I}}C_i\right)$. इसके अलावा, इसोटोनिसिटी [K4'] द्वारा, यदि $\bigcap_{i\in\mathcal I} C_i \subseteq C_i$ सभी सूचकांकों के लिए $$i \in \mathcal I$$, तब $ \mathbf{c}\left(\bigcap_{i\in\mathcal{I}}C_i \right) \subseteq \mathbf{c}(C_i) = C_i$ सभी के लिए $$i \in \mathcal I$$, जो ये दर्शाता हे $\mathbf{c}\left(\bigcap_{i\in\mathcal{I}}C_i \right) \subseteq \bigcap_{i\in\mathcal{I}}C_i$. इसलिए, $ \bigcap_{i\in\mathcal{I}}C_i = \mathbf{c}\left(\bigcap_{i\in\mathcal{I}}C_i\right) $, अर्थ $\bigcap_{i\in\mathcal{I}}C_i \in \mathfrak{S}[\mathbf{c}]$.

[टी3] अंत में, चलो $$ \mathcal{I} $$ सूचकांकों का एक परिमित सेट बनें और दें $$ C_i $$ प्रत्येक के लिए बंद रहेगा $$ i\in\mathcal{I} $$. बाइनरी यूनियनों [K4] के संरक्षण से, और उन उपसमुच्चयों की संख्या पर गणितीय आगमन का उपयोग करते हुए, जिन्हें हम संघ लेते हैं, हमारे पास है $ \bigcup_{i\in\mathcal{I}}C_i = \mathbf{c}\left(\bigcup_{i\in\mathcal{I}}C_i \right) $. इस प्रकार, $ \bigcup_{i\in\mathcal{I}}C_i \in \mathfrak{S}[\mathbf{c}] $.

टोपोलॉजी से क्लोजर का इंडक्शन
इसके विपरीत, परिवार दिया $$\kappa$$ संतोषजनक अभिगृहीत [टी1]-[टी3], निम्नलिखित तरीके से कुराटोव्स्की क्लोजर ऑपरेटर का निर्माण संभव है: यदि $$A \in \wp(X)$$ और $$A^\uparrow = \{B \in \wp(X)\ |\ A \subseteq B \}$$ समावेशन का ऊपरी समुच्चय है $$A$$, तब $$\mathbf{c}_\kappa(A) := \bigcap_{B \in (\kappa \cap A^\uparrow)} B$$ कुराटोव्स्की क्लोजर ऑपरेटर को परिभाषित करता है $$\mathbf{c}_\kappa$$ पर $$\wp(X)$$.

[के1] चूंकि $$\varnothing^\uparrow = \wp(X)$$, $$\mathbf{c}_\kappa(\varnothing)$$ परिवार में सभी सेटों के प्रतिच्छेदन को कम कर देता है $$\kappa$$; लेकिन $$\varnothing \in \kappa$$ स्वयंसिद्ध [T1] द्वारा, इसलिए चौराहा शून्य सेट तक गिर जाता है और [K1] अनुसरण करता है।

[के2] की परिभाषा के अनुसार $$A^\uparrow$$, हमारे पास वह है $$A \subseteq B$$ सभी के लिए $$B \in \left(\kappa \cap A^\uparrow\right)$$, और इस तरह $$A$$ ऐसे सभी सेटों के प्रतिच्छेदन में समाहित होना चाहिए। इसलिए व्यापकता [K2] का अनुसरण करता है।

[के3] ध्यान दें कि, सभी के लिए $$A \in \wp(X)$$, परिवार $$\mathbf{c}_\kappa(A)^\uparrow \cap \kappa$$ रोकना $$\mathbf{c}_\kappa(A)$$ खुद को एक न्यूनतम तत्व के रूप में w.r.t. समावेश। इस तरह $\mathbf{c}_\kappa^2(A) = \bigcap_{B \in \mathbf{c}_\kappa(A)^\uparrow \cap \kappa}B = \mathbf{c}_\kappa(A)$, जो कि आलस्य [K3] है।

[के4'] चलो $$A \subseteq B \subseteq X$$: तब $$B^\uparrow \subseteq A^\uparrow$$, और इस तरह $$\kappa \cap B^\uparrow \subseteq \kappa \cap A^\uparrow$$. चूंकि बाद वाले परिवार में पूर्व की तुलना में अधिक तत्व हो सकते हैं, हम पाते हैं $$\mathbf{c}_\kappa(A) \subseteq \mathbf{c}_\kappa(B)$$, जो आइसोटोनिकिटी [K4'] है। ध्यान दें कि isotonicity का तात्पर्य है $$\mathbf{c}_\kappa(A) \subseteq \mathbf{c}_\kappa(A\cup B)$$ और $$\mathbf{c}_\kappa(B) \subseteq \mathbf{c}_\kappa(A\cup B)$$, जिसका अर्थ एक साथ है $$\mathbf{c}_\kappa(A) \cup \mathbf{c}_\kappa(B) \subseteq \mathbf{c}_\kappa(A\cup B)$$.

[के4] अंत में, ठीक करें $$A,B \in \wp(X)$$. अभिगृहीत [टी2] का तात्पर्य है $$\mathbf{c}_\kappa(A), \mathbf{c}_\kappa(B) \in \kappa$$; इसके अलावा, अभिगृहीत [T2] का अर्थ है कि $$\mathbf{c}_\kappa(A) \cup \mathbf{c}_\kappa(B) \in \kappa$$. व्यापकता से [K2] किसी के पास है $$\mathbf{c}_\kappa(A) \in A^\uparrow$$ और $$\mathbf{c}_\kappa(B) \in B^\uparrow$$, ताकि $$\mathbf{c}_\kappa(A) \cup \mathbf{c}_\kappa(B) \in \left(A^\uparrow\right) \cap \left(B^\uparrow\right)$$. लेकिन $$\left(A^\uparrow\right) \cap \left(B^\uparrow\right) = (A \cup B)^\uparrow$$, ताकि सब कुछ $$\mathbf{c}_\kappa(A) \cup \mathbf{c}_\kappa(B) \in \kappa\cap (A \cup B)^\uparrow$$. के बाद से $$\mathbf{c}_\kappa(A \cup B)$$ का न्यूनतम तत्व है $$\kappa \cap (A \cup B)^\uparrow$$ w.r.t. समावेशन, हम पाते हैं $$\mathbf{c}_\kappa(A \cup B) \subseteq \mathbf{c}_\kappa(A) \cup \mathbf{c}_\kappa(B)$$. प्वाइंट 4. एडिटिविटी [के 4] सुनिश्चित करता है।

दो संरचनाओं के बीच त्रुटिहीन पत्राचार
वास्तव में, ये दो पूरक निर्माण एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं: यदि $$\mathrm{Cls}_\text{K}(X)$$ पर सभी कुराटोव्स्की क्लोजर ऑपरेटरों का संग्रह है $$X$$, और $$\mathrm{Atp}(X)$$ टोपोलॉजी में सभी समुच्चयों के पूरक वाले सभी परिवारों का संग्रह है, अर्थात सभी परिवारों का संग्रह [टी1]-[टी3] को संतुष्ट करता है, फिर $$\mathfrak{S} : \mathrm{Cls}_\text{K}(X) \to \mathrm{Atp}(X)$$ ऐसा है कि $$\mathbf{c} \mapsto \mathfrak{S}[\mathbf{c}]$$ एक आक्षेप है, जिसका प्रतिलोम नियतन द्वारा दिया गया है $$\mathfrak{C}: \kappa \mapsto \mathbf{c}_\kappa$$.

पहले हम सिद्ध करते हैं $$\mathfrak{C} \circ \mathfrak{S} = \mathfrak{1}_{\mathrm{Cls}_\text{K}(X)}$$, पहचान ऑपरेटर चालू $$\mathrm{Cls}_\text{K}(X)$$. दिए गए Kuratowski बंद होने के लिए $$\mathbf{c} \in \mathrm{Cls}_\text{K}(X)$$, परिभाषित करना $$\mathbf{c}' := \mathfrak{C}[\mathfrak{S}[\mathbf{c}]]$$; तो अगर $$A \in \wp(X)$$ इसका प्राइमेड क्लोजर $$\mathbf{c}'(A)$$ सभी का चौराहा है $$\mathbf{c}$$-स्थिर सेट जिसमें शामिल हैं $$A$$. इसका नॉन-प्राइमेड क्लोजर $$\mathbf{c}(A)$$ इस विवरण को संतुष्ट करता है: व्यापकता से [K2] हमारे पास है $$A \subseteq \mathbf{c}(A)$$, और आलस्य से [K3] हमारे पास है $$\mathbf{c}(\mathbf{c}(A)) = \mathbf{c}(A)$$, और इस तरह $$\mathbf{c}(A) \in \left(A^\uparrow \cap \mathfrak{S}[\mathbf{c}]\right)$$. अब चलो $$C \in \left(A^\uparrow \cap \mathfrak{S}[\mathbf{c}]\right)$$ ऐसा है कि $$A \subseteq C \subseteq \mathbf{c}(A)$$: isotonicity [K4'] द्वारा हमारे पास है $$\mathbf{c}(A) \subseteq \mathbf{c}(C)$$, और तबसे $$\mathbf{c}(C) = C$$ हम यह निष्कर्ष निकालते हैं $$C = \mathbf{c}(A)$$. इस तरह $$\mathbf{c}(A)$$ का न्यूनतम तत्व है $$A^\uparrow \cap \mathfrak{S}[\mathbf{c}]$$ w.r.t. समावेशन, अर्थ $$\mathbf{c}'(A) = \mathbf{c}(A)$$.

अब हम इसे सिद्ध करते हैं $$\mathfrak{S} \circ \mathfrak{C} = \mathfrak{1}_{\mathrm{Atp}(X)}$$. अगर $$\kappa \in \mathrm{Atp}(X)$$ और $$\kappa':= \mathfrak{S}[\mathfrak{C}[\kappa]]$$ सभी सेटों का परिवार है जो स्थिर हैं $$\mathbf{c}_\kappa$$, परिणाम दोनों का अनुसरण करता है $$\kappa' \subseteq \kappa$$ और $$\kappa \subseteq \kappa'$$. होने देना $$A \in \kappa'$$: इस तरह $$\mathbf{c}_\kappa(A) = A$$. तब से $$\mathbf{c}_\kappa(A)$$ की मनमाना उपपरिवार का प्रतिच्छेदन है $$\kappa$$, और बाद वाला मनमाना चौराहों के तहत [T2] द्वारा पूरा हो जाता है, फिर $$A = \mathbf{c}_\kappa(A) \in \kappa$$. इसके विपरीत यदि $$A \in \kappa$$, तब $$\mathbf{c}_\kappa(A)$$ का न्यूनतम सुपरसेट है $$A$$ जिसमें निहित है $$\kappa$$. लेकिन यह तुच्छ है $$A$$ स्वयं, जिसका अर्थ है $$A \in \kappa'$$.

हम देखते हैं कि कोई आपत्ति का विस्तार भी कर सकता है $$\mathfrak{S}$$ संग्रह के लिए $$\mathrm{Cls}_{\check C}(X)$$ सभी चेक क्लोजर ऑपरेटर्स, जिनमें सख्ती से सम्मिलित हैं $$\mathrm{Cls}_\text{K}(X)$$; यह विस्तार $$\overline{\mathfrak{S}}$$ विशेषण भी है, जो दर्शाता है कि सभी चेक क्लोजर ऑपरेटर चालू हैं $$X$$ टोपोलॉजी को भी प्रेरित करें $$X$$. चूंकि, इसका मतलब यह है $$\overline{\mathfrak{S}}$$ अब आपत्ति नहीं है।

उदाहरण
\varnothing & A = \varnothing, \\ X & A \neq \varnothing, \end{cases} \qquad \mathbf{c}_\bot(A) = A\quad \forall A \in \wp(X),$$कुराटोव्स्की क्लोजर हैं। पहले तुच्छ टोपोलॉजी को प्रेरित करता है $$\{\varnothing,X\}$$, जबकि दूसरा असतत टोपोलॉजी को प्रेरित करता है $$\wp(X)$$.
 * जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, सामयिक स्थान दिया गया है $$X$$ हम किसी भी सबसमुच्चय के समापन को परिभाषित कर सकते हैं $$A \subseteq X$$ समुच्चय होना $$\mathbf{c}(A)=\bigcap\{C\text{ a closed subset of }X| A\subseteq C\}$$, अर्थात के सभी बंद समुच्चयों का प्रतिच्छेदन $$X$$ किसमें है $$A$$. समुच्चय $$\mathbf{c}(A)$$ का सबसे छोटा बंद समुच्चय है $$X$$ युक्त $$A$$, और ऑपरेटर $$\mathbf{c}:\wp(X) \to \wp(X)$$ कुराटोव्स्की क्लोजर ऑपरेटर है।
 * यदि $$X$$ कोई समुच्चय है, ऑपरेटर्स $$\mathbf{c}_\top, \mathbf{c}_\bot : \wp(X) \to \wp(X)$$ ऐसा है कि $$\mathbf{c}_\top(A) = \begin{cases}

A & \operatorname{crd}(A) < \lambda, \\ X & \operatorname{crd}(A) \geq \lambda \end{cases}$$सभी चार कुराटोव्स्की स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है। यदि $$\lambda = \aleph_0$$, यह ऑपरेटर सहमित टोपोलॉजी को प्रेरित करता है $$X$$; यदि $$\lambda = \aleph_1$$, यह सहगणनीय टोपोलॉजी को प्रेरित करता है।
 * इच्छानुसार तय करें $$S \subsetneq X$$, और जाने $$\mathbf{c}_S: \wp(X) \to \wp(X)$$ ऐसा हो कि $$\mathbf{c}_S(A) := A \cup S$$ सभी के लिए $$A \in \wp(X)$$. तब $$\mathbf{c}_S$$ कुराटोव्स्की समापन को परिभाषित करता है; बंद समुच्चयों का संगत परिवार $$\mathfrak{S}[\mathbf{c}_S]$$ के साथ मेल खाता है $$S^\uparrow$$, सभी उपसमुच्चयों का परिवार जिसमें सम्मिलित है $$S$$. कब $$S = \varnothing$$, हम एक बार फिर असतत टोपोलॉजी को पुनः प्राप्त करते हैं $$\wp(X)$$ (अर्थात। $$\mathbf{c}_{\varnothing}=\mathbf{c}_\bot$$, जैसा कि परिभाषाओं से देखा जा सकता है)।
 * यदि $$\lambda$$ अनंत कार्डिनल संख्या है जैसे कि $$\lambda \leq \operatorname{crd}(X)$$, फिर ऑपरेटर $$\mathbf{c}_\lambda : \wp(X) \to \wp(X)$$ ऐसा है कि$$\mathbf{c}_\lambda(A) = \begin{cases}

गुण

 * चूंकि कोई भी कुराटोव्स्की क्लोजर आइसोटोनिक है, और इसलिए स्पष्ट रूप से कोई भी समावेशन मैपिंग है, किसी का (आइसोटोनिक) गाल्वा कनेक्शन है $$\langle \mathbf{c}: \wp(X) \to \mathrm{im}(\mathbf{c});\iota : \mathrm{im}(\mathbf{c}) \hookrightarrow \wp(X) \rangle$$, एक दृश्य प्रदान किया $$\wp(X)$$समावेशन के संबंध में पोसमुच्चय के रूप में, और $$\mathrm{im}(\mathbf{c})$$ उपसमुच्चय के रूप में $$\wp(X)$$. वास्तव में, यह आसानी से सत्यापित किया जा सकता है कि, सभी के लिए $$A \in \wp(X)$$ और $$C \in \mathrm{im}(\mathbf{c})$$, $$\mathbf{c}(A) \subseteq C$$ यदि और केवल यदि $$A \subseteq \iota(C)$$.
 * यदि $$\{A_i\}_{i\in\mathcal I}$$ का उपपरिवार है $$\wp(X)$$, तब $$\bigcup_{i\in\mathcal I} \mathbf{c}(A_i) \subseteq \mathbf{c}\left(\bigcup_{i\in\mathcal I} A_i\right), \qquad \mathbf{c}\left(\bigcap_{i\in\mathcal I} A_i\right) \subseteq \bigcap_{i\in\mathcal I} \mathbf{c}(A_i). $$
 * यदि $$A,B \in \wp(X)$$, तब $$\mathbf{c}(A) \setminus \mathbf{c}(B) \subseteq \mathbf{c}(A\setminus B)$$.

क्लोजर
के संदर्भ में सामयिक अवधारणाएँ

शोधन और उप-स्थान
कुराटोव्स्की की जोड़ी बंद हो जाती है $$\mathbf{c}_1, \mathbf{c}_2 : \wp(X) \to \wp(X)$$ ऐसा है कि $$\mathbf{c}_2(A) \subseteq \mathbf{c}_1(A)$$ सभी के लिए $$A \in \wp(X)$$ टोपोलॉजी प्रेरित करें $$\tau_1,\tau_2$$ ऐसा है कि $$\tau_1 \subseteq \tau_2$$, और इसके विपरीत। दूसरे शब्दों में, $$\mathbf{c}_1$$ हावी $$\mathbf{c}_2$$ यदि और केवल यदि उत्तरार्द्ध द्वारा प्रेरित टोपोलॉजी पूर्व द्वारा प्रेरित या समकक्ष रूप से प्रेरित टोपोलॉजी का परिशोधन है $$\mathfrak{S}[\mathbf{c}_1] \subseteq \mathfrak{S}[\mathbf{c}_2]$$. उदाहरण के लिए, $$\mathbf{c}_\top$$ स्पष्ट रूप से हावी है $$\mathbf{c}_\bot$$(उत्तरार्द्ध सिर्फ पहचान होने पर $$\wp(X)$$). चूँकि एक ही निष्कर्ष को प्रतिस्थापित करके पहुँचा जा सकता है $$\tau_i$$ सपरिवार $$\kappa_i$$ इसके सभी सदस्यों के पूरक सम्मिलित हैं, यदि $$\mathrm{Cls}_\text{K}(X)$$ आंशिक आदेश के साथ संपन्न है $$\mathbf{c} \leq \mathbf{c}' \iff \mathbf{c}(A) \subseteq \mathbf{c}'(A)$$ सभी के लिए $$A \in \wp(X)$$ और $$\mathrm{Atp}(X)$$ परिशोधन क्रम से संपन्न है, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं $$\mathfrak{S}$$ पॉसमुच्चय्स के बीच एंटीटोनिक मैपिंग है।

किसी भी प्रेरित टोपोलॉजी (सबसमुच्चय ए के सापेक्ष) में बंद समुच्चय नए क्लोजर ऑपरेटर को प्रेरित करते हैं जो केवल मूल क्लोजर ऑपरेटर है जो ए तक सीमित है: $$ \mathbf{c}_A(B) = A \cap \mathbf{c}_X(B) $$, सभी के लिए $$B \subseteq A$$.

निरंतर नक्शे, बंद नक्शे और होमोमोर्फिज्म
समारोह $$f:(X,\mathbf{c})\to (Y,\mathbf{c}')$$ एक बिंदु पर निरंतरता (टोपोलॉजी) है $$p$$ आईएफएफ $$p\in\mathbf{c}(A) \Rightarrow f(p)\in\mathbf{c}'(f(A))$$, और यह iff हर जगह निरंतर है $$f(\mathbf{c}(A)) \subseteq \mathbf{c}'(f(A))$$ सभी उपसमूहों के लिए $$A \in \wp(X)$$. मानचित्रण $$f$$ बंद नक्शा है यदि रिवर्स समावेशन धारण करता है, और यह समरूपता है यदि यह निरंतर और बंद दोनों है, अर्थात यदि समानता है।

पृथक्करण स्वयंसिद्ध
होने देना $$(X, \mathbf{c})$$ एक कुराटोव्स्की क्लोजर स्पेस बनें। तब


 * $$X$$ टी0 स्थान है|टी0-अंतरिक्ष आईएफ़ $$x \neq y$$ तात्पर्य $$\mathbf{c}(\{x\}) \neq \mathbf{c}(\{y\})$$;
 * $$X$$ टी1 स्पेस है|टी1-अंतरिक्ष आईएफ़ $$\mathbf{c}(\{x\})=\{x\}$$ सभी के लिए $$x \in X$$;
 * $$X$$ हॉसडॉर्फ स्पेस है|टी2-अंतरिक्ष आईएफ़ $$x \neq y$$ तात्पर्य है कि समुच्चय उपस्थित है $$A \in \wp(X)$$ ऐसा कि दोनों $$x \notin \mathbf{c}(A)$$ और $$y \notin \mathbf{c}(\mathbf{n}(A))$$, कहाँ $$\mathbf{n}$$ समुच्चय पूरक ऑपरेटर है।

निकटता और अलगाव
बिंदु $$p$$ सबसमुच्चय के लिए निकटता (टोपोलॉजी) है $$A$$ यदि $$p\in\mathbf{c}(A).$$इसका उपयोग समुच्चय के बिंदुओं और सबसमुच्चय पर निकटता स्थान संबंध को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है।

दो समुच्चय $$A,B \in \wp(X)$$ अलग हो गए हैं $$(A \cap \mathbf{c}(B)) \cup (B \cap \mathbf{c}(A)) = \varnothing$$. अंतरिक्ष $$X$$ जुड़ा हुआ स्थान है यदि इसे दो अलग-अलग उपसमुच्चयों के मिलन के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।

बाहरी संबंध

 * Alternative Characterizations of Topological Spaces