हाइपरऑपरेशन

गणित में, हाइपरऑपरेशन अनुक्रम अंकगणितीय संक्रियाओं का एक अनंत क्रम है (इस संदर्भ में हाइपरऑपरेशन कहा जाता है) यह एक एकात्मक ऑपरेशन (एन = 0 के साथ उत्तराधिकारी फ़ंक्शन) से शुरू होता है। अनुक्रम जोड़ (n = 1), गुणन (n = 2), और घातांक (n = 3) के द्विआधारी संचालन के साथ जारी है।

उसके बाद, ऑपरेटर सहयोगीता | सही-सहयोगीता का उपयोग करते हुए अनुक्रम आगे बाइनरी संचालन के साथ आगे बढ़ता है, एक्सपोनेंटिएशन से आगे बढ़ता है। घातांक से परे के संचालन के लिए, इस क्रम के n वें सदस्य का नाम रूबेन गुडस्टीन द्वारा n के संख्यात्मक उपसर्ग के बाद -ation के साथ दिया गया है (जैसे कि टेट्रेशन (n = 4), pentation (n = 5), हेक्सेशन (n = 6), आदि।) और नुथ के अप-एरो नोटेशन में n − 2 तीरों का उपयोग करके लिखा जा सकता है। प्रत्येक हाइपरऑपरेशन को पिछले एक के संदर्भ में पुनरावर्तन (कंप्यूटर विज्ञान) समझा जा सकता है:


 * $$a[n]b = \underbrace{a[n-1](a[n-1](a[n-1](\cdots[n-1](a[n-1](a[n-1]a))\cdots)))}_{\displaystyle b \mbox{ copies of } a},\quad n \ge 2$$

इसे परिभाषा के पुनरावर्तन नियम भाग के अनुसार भी परिभाषित किया जा सकता है, जैसा कि एकरमैन समारोह के नुथ के अप-एरो संस्करण में है:


 * $$a[n]b = a[n-1]\left(a[n]\left(b - 1\right)\right),\quad n \ge 1$$

इसका उपयोग उन संख्याओं की तुलना में बड़ी संख्या को आसानी से दिखाने के लिए किया जा सकता है जो वैज्ञानिक संकेतन कर सकते हैं, जैसे स्क्यूज़ संख्या और googleplexplex (उदा. $$50[50]50$$ Skewes की संख्या और googolplexplex से बहुत बड़ी है), लेकिन कुछ संख्याएँ ऐसी हैं जिन्हें वे भी आसानी से नहीं दिखा सकते हैं, जैसे ग्राहम की संख्या और TREE(3)।

यह पुनरावर्तन नियम हाइपरऑपरेशन के कई प्रकारों के लिए सामान्य है।

परिभाषा, सबसे आम
हाइपरऑपरेशन अनुक्रम $$H_n(a,b) \colon (\mathbb{N}_0)^3 \rightarrow \mathbb{N}_0$$ बाइनरी ऑपरेशंस का क्रम है $$H_n \colon (\mathbb{N}_0)^2 \rightarrow \mathbb{N}_0$$, परिभाषित पुनरावर्तन इस प्रकार है:



H_n(a,b) = a[n]b = \begin{cases} b + 1 & \text{if } n = 0 \\ a & \text{if } n = 1 \text{ and } b = 0 \\ 0 & \text{if } n = 2 \text{ and } b = 0 \\ 1 & \text{if } n \ge 3 \text{ and } b = 0 \\ H_{n-1}(a, H_n(a, b - 1)) & \text{otherwise} \end{cases} $$ (ध्यान दें कि n = 0 के लिए, बाइनरी ऑपरेशन पहले तर्क को अनदेखा करके अनिवार्य रूप से एक यूनरी ऑपरेशन (उत्तराधिकारी फ़ंक्शन) को कम कर देता है।)

n = 0, 1, 2, 3 के लिए, यह परिभाषा उत्तराधिकारी फलन (जो कि एक एकल संक्रिया है), योग, गुणन और घातांक के मूल अंकगणितीय संक्रियाओं को क्रमशः पुन: प्रस्तुत करती है, जैसा कि
 * $$\begin{align}

H_0(a, b) &= b + 1, \\ H_1(a, b) &= a + b, \\ H_2(a, b) &= a \times b, \\ H_3(a, b) &= a\uparrow{b} = a^{b}. \end{align}$$

$$H_n$$ n ≥ 3 के लिए h> संक्रियाएं नुथ के अप-एरो नोटेशन में लिखी जा सकती हैं।

तो घातांक के बाद अगला ऑपरेशन क्या होगा? हमने गुणन को परिभाषित किया ताकि $$ H_2(a, 3) = a[2]3 = a \times 3 = a + a + a,$$ और परिभाषित घातांक ताकि $$ H_3(a, 3) = a[3]3 = a\uparrow 3 = a^3 = a \times a \times a,$$ इसलिए अगले ऑपरेशन, टेट्रेशन को परिभाषित करना तर्कसंगत लगता है, ताकि $$ H_4(a, 3) = a[4]3 = a\uparrow\uparrow 3 = \operatorname{tetration}(a, 3) = a^{a^a}, $$ तीन 'ए' के ​​टॉवर के साथ। समान रूप से, (ए, 3) का पेंटेशन टेट्रेशन (ए, टेट्रेशन (ए, ए)) होगा, जिसमें तीन ए होंगे।


 * $$\begin{align}

H_4(a,b) &= a\uparrow\uparrow{b}, \\ H_5(a,b) &= a\uparrow\uparrow\uparrow{b}, \\ \ldots & \\ H_n(a,b) &= a\uparrow^{n-2}b \text{ for } n \ge 3, \\ \ldots & \\ \end{align}$$ नुथ के अंकन को ऋणात्मक सूचकांकों ≥ -2 तक इस तरह बढ़ाया जा सकता है जैसे कि अनुक्रमण में अंतराल को छोड़कर पूरे हाइपरऑपरेशन अनुक्रम से सहमत होना:
 * $$H_n(a, b) = a \uparrow^{n-2}b\text{ for } n \ge 0.$$

हाइपरऑपरेशंस को इस प्रकार प्रश्न के उत्तर के रूप में देखा जा सकता है कि अनुक्रम में अगला क्या है: उत्तरवर्ती कार्य, जोड़, गुणन, घातांक, और इसी तरह। नोट किया कि
 * $$\begin{align}

a + b &= (a + (b - 1)) + 1 \\ a \cdot b &= a + (a \cdot (b - 1)) \\ a^b &= a \cdot \left(a^{(b - 1)}\right) \\ a [4] b &= a^{a [4] (b - 1)} \end{align}$$ बुनियादी अंकगणितीय संचालन के बीच संबंध को चित्रित किया गया है, जिससे उच्च संचालन को ऊपर के रूप में स्वाभाविक रूप से परिभाषित किया जा सकता है। हाइपरऑपरेशन पदानुक्रम के मापदंडों को कभी-कभी उनके अनुरूप घातांक शब्द द्वारा संदर्भित किया जाता है; इसलिए a 'बेस' है, b 'एक्सपोनेंट' (या हाइपरएक्सपोनेंट) है, और n 'रैंक' (या ग्रेड) है, और इसके अलावा, $$H_n(a, b)$$ को a के bth n-ation के रूप में पढ़ा जाता है, उदा. $$H_4(7,9)$$ 7 के 9वें टेट्रेशन के रूप में पढ़ा जाता है, और $$H_{123}(456,789)$$ 456 के 789वें 123-एशन के रूप में पढ़ा जाता है।

सामान्य शब्दों में, हाइपरऑपरेशन कंपाउंडिंग नंबरों के तरीके हैं जो पिछले हाइपरऑपरेशन के पुनरावृत्ति के आधार पर वृद्धि में वृद्धि करते हैं। उत्तराधिकारी, जोड़, गुणा और घातांक की अवधारणाएं सभी हाइपरऑपरेशन हैं; उत्तराधिकारी ऑपरेशन (x से x + 1 का उत्पादन) सबसे आदिम है, अतिरिक्त ऑपरेटर निर्दिष्ट करता है कि अंतिम मूल्य का उत्पादन करने के लिए 1 को कितनी बार जोड़ा जाना है, गुणन निर्दिष्ट करता है कि किसी संख्या को कितनी बार जोड़ा जाना है। स्वयं, और घातांक उस संख्या को संदर्भित करता है जिसे किसी संख्या को स्वयं से गुणा किया जाना है।

परिभाषा, पुनरावृत्ति का प्रयोग
किसी फ़ंक्शन के पुनरावृत्ति को परिभाषित करें $f$ दो चर के रूप में

f^{x}(a,b) = \begin{cases} f(a,b)            & \text{if } x = 1 \\ f(a, f^{x-1}(a,b)) & \text{if } x > 1 \end{cases} $$ हाइपरऑपरेशन अनुक्रम को पुनरावृति के संदर्भ में निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है। सभी पूर्णांकों के लिए $$x,n,a,b \geq 0,$$ परिभाषित करना

\begin{array}{lcl} H_{0}(a,b) & = & b+1 \\ H_{1}(a,0) & = & a \\ H_{2}(a,0) & = & 0 \\ H_{n+3}(a,0) & = & 1 \\ H_{n+1}(a,b+1) & = & H^{b+1}_{n}(a,H_{n+1}(a,0)) \\ H^{x+2}_{n}(a,b) & = & H_{n}(a,H^{x+1}_{n}(a,b)) \end{array} $$ जैसा कि पुनरावृत्ति साहचर्य है, अंतिम पंक्ति को इसके द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है

\begin{array}{lcl} H^{x+2}_{n}(a,b) & = & H^{x+1}_{n}(a,H_{n}(a,b)) \end{array} $$

संगणना
हाइपरऑपरेशन अनुक्रम की परिभाषाएँ स्वाभाविक रूप से पुनर्लेखन | टर्म रीराइटिंग सिस्टम (TRS) में स्थानांतरित की जा सकती हैं।

टीआरएस परिभाषा उप 1.1
पर आधारित है हाइपरऑपरेशन अनुक्रम की मूल परिभाषा कमी नियमों से मेल खाती है

\begin{array}{lll} \text{(r1)} & H(0,a,b)         & \rightarrow & S(b) \\ \text{(r2)} & H(S(0),a,0)      & \rightarrow & a \\ \text{(r3)} & H(S(S(0)),a,0)   & \rightarrow & 0 \\ \text{(r4)} & H(S(S(S(n))),a,0) & \rightarrow & S(0) \\ \text{(r5)} & H(S(n),a,S(b))   & \rightarrow & H(n,a,H(S(n),a,b)) \end{array} $$ गणना करना $$H_{n}(a, b)$$ कोई स्टैक (अमूर्त डेटा प्रकार) का उपयोग कर सकता है, जिसमें प्रारंभ में तत्व होते हैं $$\langle n,a,b \rangle$$.

फिर, बार-बार जब तक संभव न हो, तीन तत्वों को पॉप किया जाता है और नियमों के अनुसार प्रतिस्थापित किया जाता है

\begin{array}{lllllllll} \text{(r1)} & 0    &,& a     &,& b     & \rightarrow & (b+1) \\ \text{(r2)} & 1    &,& a     &,& 0     & \rightarrow & a  \\ \text{(r3)} & 2    &,& a     &,& 0     & \rightarrow & 0 \\ \text{(r4)} & (n+3) &,& a    &,& 0     & \rightarrow & 1 \\ \text{(r5)} & (n+1) &,& a    &,& (b+1) & \rightarrow & n &,& a &,& (n+1) &,& a &,& b \end{array} $$ योजनाबद्ध रूप से, से शुरू $$\langle n,a,b \rangle$$:

जबकि ढेर की लंबाई <> 1 {   पीओपी 3 तत्व; PUSH 1 या 5 तत्व नियमों के अनुसार r1, r2, r3, r4, r5; }

उदाहरण

गणना करना $$H_2(2,2) \rightarrow_{*} 4$$. घटाव क्रम है

इनपुट पर स्टैक का उपयोग करते समय लागू किया गया $$\langle 2,2,2 \rangle$$

टीआरएस परिभाषा उप 1.2
पर आधारित है पुनरावृत्ति का उपयोग करने वाली परिभाषा में कमी के नियमों का एक अलग सेट होता है

\begin{array}{lll} \text{(r6)} & H(S(0),0,a,b)          & \rightarrow & S(b) \\ \text{(r7)} & H(S(0),S(0),a,0)       & \rightarrow & a \\ \text{(r8)} & H(S(0),S(S(0)),a,0)    & \rightarrow & 0 \\ \text{(r9)} & H(S(0),S(S(S(n))),a,0) & \rightarrow & S(0) \\ \text{(r10)} & H(S(0),S(n),a,S(b))   & \rightarrow & H(S(b),n,a,H(S(0),S(n),a,0)) \\ \text{(r11)} & H(S(S(x)),n,a,b)      & \rightarrow & H(S(0),n,a,H(S(x),n,a,b)) \end{array} $$ जैसा कि पुनरावृत्ति साहचर्य है, नियम r11 के बजाय परिभाषित किया जा सकता है

\begin{array}{lll} \text{(r12)} & H(S(S(x)),n,a,b)         & \rightarrow & H(S(x),n,a,H(S(0),n,a,b)) \end{array} $$ पिछले खंड की तरह की गणना $$H_n(a,b) = H^1_n(a,b)$$ स्टैक का उपयोग करके कार्यान्वित किया जा सकता है।

प्रारंभ में ढेर में चार तत्व होते हैं $$\langle 1,n,a,b \rangle$$.

फिर, समाप्ति तक, चार तत्वों को पॉपअप किया जाता है और नियमों के अनुसार प्रतिस्थापित किया जाता है :$$ \begin{array}{lllllllll} \text{(r6)} & 1     &, 0     &, a &, b     & \rightarrow & (b+1) \\ \text{(r7)} & 1     &, 1     &, a &, 0     & \rightarrow & a \\ \text{(r8)} & 1     &, 2     &, a &, 0     & \rightarrow & 0 \\ \text{(r9)} & 1     &, (n+3) &, a &, 0     & \rightarrow & 1 \\ \text{(r10)} & 1    &, (n+1) &, a &, (b+1) & \rightarrow & (b+1) &, n &, a &, 1     &, (n+1) &, a &, 0 \\ \text{(r11)} & (x+2) &, n    &, a &, b     & \rightarrow & 1     &, n &, a &, (x+1) &, n     &, a &, b \end{array} $$ योजनाबद्ध रूप से, से शुरू $$\langle 1,n,a,b \rangle$$: जबकि ढेर की लंबाई <> 1 {   पीओपी 4 तत्व; पुश 1 या 7 तत्व नियम r6, r7, r8, r9, r10, r11 के अनुसार; }

उदाहरण

गणना करना $$H_3(0,3) \rightarrow_{*} 0$$.

इनपुट पर $$\langle 1,3,0,3 \rangle$$ क्रमिक ढेर विन्यास हैं
 * $$\begin{align}

& \underline{1,3,0,3} \rightarrow_{r10} 3,2,0,\underline{1,3,0,0} \rightarrow_{r9} \underline{3,2,0,1} \rightarrow_{r11} 1,2,0,\underline{2,2,0,1} \rightarrow_{r11} 1,2,0,1,2,0,\underline{1,2,0,1} \\ & \rightarrow_{r10} 1,2,0,1,2,0,1,1,0,\underline{1,2,0,0} \rightarrow_{r8} 1,2,0,1,2,0,\underline{1,1,0,0} \rightarrow_{r7} 1,2,0,\underline{1,2,0,0} \rightarrow_{r8} \underline{1,2,0,0} \rightarrow_{r8} 0. \end{align}$$ संगत समानताएं हैं
 * $$\begin{align}

& H_3(0,3) = H^3_2(0,H_3(0,0)) = H^3_2(0,1) = H_2(0,H^2_2(0,1)) = H_2(0,H_2(0,H_2(0,1)) \\ & = H_2(0,H_2(0,H_1(0,H_2(0,0)))) = H_2(0,H_2(0,H_1(0,0)))  = H_2(0,H_2(0,0))  = H_2(0,0)  = 0. \end{align}$$ जब कमी नियम 11 को नियम r12 से बदल दिया जाता है, तो ढेर के अनुसार रूपांतरित हो जाता है
 * $$\begin{array}{lllllllll}

\text{(r12)} & (x+2) &, n &, a &, b & \rightarrow & (x+1) &, n &, a &, 1 &, n &, a &, b \end{array}$$ क्रमिक स्टैक कॉन्फ़िगरेशन तब होगा
 * $$\begin{align}

& \underline{1,3,0,3} \rightarrow_{r10} 3,2,0,\underline{1,3,0,0} \rightarrow_{r9} \underline{3,2,0,1} \rightarrow_{r12} 2,2,0,\underline{1,2,0,1} \rightarrow_{r10} 2,2,0,1,1,0,\underline{1,2,0,0} \\ & \rightarrow_{r8} 2,2,0,\underline{1,1,0,0} \rightarrow_{r7} \underline{2,2,0,0} \rightarrow_{r12} 1,2,0,\underline{1,2,0,0} \rightarrow_{r8} \underline{1,2,0,0} \rightarrow_{r8} 0 \end{align}$$ संगत समानताएं हैं
 * $$\begin{align}

& H_3(0,3) = H^3_2(0,H_3(0,0)) = H^3_2(0,1) = H^2_2(0,H_2(0,1)) = H^2_2(0,H_1(0,H_2(0,0))) \\ & = H^2_2(0,H_1(0,0)) = H^2_2(0,0) = H_2(0,H_2(0,0)) = H_2(0,0) = 0 \end{align}$$ टिप्पणियां
 * $$H_3(0,3) = 0$$ एक विशेष मामला है। नीचे देखें। * की गणना $$H_{n}(a,b)$$ नियमों के मुताबिक {आर 6 - आर 10, आर 11} भारी रिकर्सिव है। अपराधी वह क्रम है जिसमें पुनरावृत्ति निष्पादित होती है: $$H^{n}(a,b) = H(a, H^{n-1}(a,b))$$. सबसे पहला $$H$$ पूरे क्रम के सामने आने के बाद ही गायब हो जाता है। उदाहरण के लिए, $$H_4(2,4)$$ 2863311767 चरणों में 65536 में परिवर्तित हो जाता है, पुनरावर्तन की अधिकतम गहराई 65534 है।
 * नियमों के अनुसार गणना {r6 - r10, r12} उस संबंध में अधिक कुशल है। पुनरावृत्ति का कार्यान्वयन $$H^{n}(a,b)$$ जैसा $$H^{n-1}(a, H(a,b))$$ एक प्रक्रिया एच के बार-बार निष्पादन की नकल करता है। पुनरावर्तन की गहराई, (n+1), लूप नेस्टिंग से मेल खाती है। इस पत्राचार को औपचारिक रूप दिया। की गणना $$H_4(2,4)$$ नियमों के अनुसार {r6-r10, r12} को भी 65536 पर अभिसरण करने के लिए 2863311767 चरणों की आवश्यकता होती है, लेकिन पुनरावर्तन की अधिकतम गहराई केवल 5 है, क्योंकि हाइपरऑपरेशन अनुक्रम में टेट्रेशन 5वां ऑपरेटर है।
 * उपरोक्त विचार केवल पुनरावर्ती गहराई से संबंधित हैं। पुनरावृति का कोई भी तरीका समान नियमों को शामिल करते हुए समान संख्या में कटौती चरणों की ओर ले जाता है (जब नियम r11 और r12 को समान माना जाता है)। जैसा कि उदाहरण की कमी दर्शाता है $$H_3(0,3)$$ 9 चरणों में परिवर्तित होता है: 1 X r7, 3 X r8, 1 X r9, 2 X r10, 2 X r11/r12। कार्यप्रणाली केवल उस क्रम को प्रभावित करती है जिसमें कटौती नियम लागू होते हैं।

उदाहरण
नीचे पहले सात (0वें से 6वें) हाइपरऑपरेशन की सूची दी गई है (0⁰ को 1 के रूप में परिभाषित किया गया है)।

विशेष मामले
एचn(0, बी) =
 * बी + 1, जब एन = 0
 * बी, जब एन = 1
 * 0, जब एन = 2
 * 1, जब n = 3 और b = 0
 * 0, जब n = 3 और b > 0 :1, जब n > 3 और b सम हैं (0 सहित)
 * 0, जब n > 3 और b विषम है

एचn(1, बी) =
 * बी, जब एन = 2
 * 1, जब n ≥ 3

एचn(ए, 0) =
 * 0, जब एन = 2
 * 1, जब n = 0, या n ≥ 3
 * ए, जब एन = 1

एचn(ए, 1) =
 * ए, जब एन ≥ 2

एचn(ए, ए) =
 * एचn+1(ए, 2), जब एन ≥ 1

एचn(ए, -1) = : 0, जब n = 0, या n ≥ 4
 * ए - 1, जब एन = 1
 * −a, जब n = 2
 * $1⁄a$, जब एन = 3

एचn(2, 2) =
 * 3, जब n = 0
 * 4, जब n ≥ 1, पुनरावर्ती रूप से आसानी से प्रदर्शित होता है।

इतिहास
हाइपरऑपरेशंस की शुरुआती चर्चाओं में से एक अल्बर्ट बेनेट की थी 1914 में, जिन्होंने कम्यूटेटिव हाइपरऑपरेशंस के कुछ सिद्धांत विकसित किए (देखें #कम्यूटेटिव हाइपरऑपरेशन)। लगभग 12 साल बाद, विल्हेम एकरमैन ने समारोह को परिभाषित किया $$\phi(a, b, n)$$  जो कुछ हद तक हाइपरऑपरेशन सीक्वेंस जैसा दिखता है।

अपने 1947 के पेपर में, रूबेन गुडस्टीन ने संचालन के विशिष्ट अनुक्रम की शुरुआत की, जिसे अब हाइपरऑपरेशन कहा जाता है, और एक्सपोनेंटिएशन से परे विस्तारित संचालन के लिए ग्रीक नाम टेट्राटेशन, पेंटेशन आदि का भी सुझाव दिया (क्योंकि वे सूचकांक 4, 5, आदि के अनुरूप हैं)। तीन-तर्क फ़ंक्शन के रूप में, उदाहरण के लिए, $$G(n, a, b) = H_n(a, b)$$, संपूर्ण हाइपरऑपरेशन अनुक्रम को मूल एकरमैन फ़ंक्शन का एक संस्करण माना जाता है $$\phi(a, b, n)$$ - संगणनीय कार्य लेकिन आदिम पुनरावर्ती नहीं - जैसा कि गुडस्टीन द्वारा आदिम उत्तराधिकारी कार्य को अंकगणित (अतिरिक्त, गुणन, घातांक) के अन्य तीन बुनियादी कार्यों के साथ शामिल करने के लिए संशोधित किया गया है, और घातांक से परे इनका अधिक सहज विस्तार करने के लिए।

मूल तीन-तर्क वाला एकरमैन फ़ंक्शन $$\phi$$ उसी पुनरावर्तन नियम का उपयोग करता है जैसा कि गुडस्टीन के संस्करण (यानी, हाइपरऑपरेशन अनुक्रम) करता है, लेकिन इससे दो तरह से भिन्न होता है। प्रथम, $$\phi(a, b, n)$$ उत्तरवर्ती फलन के बजाय जोड़ (n = 0) से शुरू होने वाले संचालन के अनुक्रम को परिभाषित करता है, फिर गुणन (n = 1), घातांक (n = 2), आदि। दूसरे, के लिए प्रारंभिक शर्तें $$\phi$$ परिणाम होना $$\phi(a, b, 3) = G(4,a,b+1) = a [4] (b + 1)$$, इस प्रकार घातांक से परे हाइपरऑपरेशन से भिन्न। पिछले व्यंजक में b + 1 का महत्व यही है $$\phi(a, b, 3)$$ = $$a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^a}}}}$$, जहाँ b ऑपरेंड (a s) की संख्या की गणना करने के बजाय ऑपरेटर्स (घातांक) की संख्या की गणना करता है, जैसा कि b में होता है $$a [4] b$$, और इसी तरह उच्च-स्तरीय संचालन के लिए। (विवरण के लिए एकरमैन फ़ंक्शन आलेख देखें।)

नोटेशन
यह नोटेशन की एक सूची है जिसका उपयोग हाइपरऑपरेशन के लिए किया गया है।

एक
से शुरू होने वाला संस्करण

1928 में, विल्हेम एकरमैन ने एक 3-तर्क फ़ंक्शन को परिभाषित किया $$\phi(a, b, n)$$ जो धीरे-धीरे एक 2-तर्क फ़ंक्शन में विकसित हुआ जिसे एकरमैन फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है। मूल एकरमैन फ़ंक्शन $$\phi$$ आधुनिक हाइपरऑपरेशंस के समान कम था, क्योंकि उसकी शुरुआती स्थितियां शुरू होती हैं $$\phi(a, 0, n) = a$$ सभी n > 2 के लिए। साथ ही उन्होंने n = 0, गुणा को n = 1 और घातांक को n = 2 के लिए जोड़ दिया, इसलिए प्रारंभिक स्थितियां टेट्राटेशन और उससे आगे के लिए बहुत अलग संचालन उत्पन्न करती हैं।

एक और प्रारंभिक स्थिति जिसका उपयोग किया गया है $$A(0, b) = 2b + 1$$ (जहां आधार स्थिर है $$a = 2$$), Rózsa Péter के कारण, जो हाइपरऑपरेशन पदानुक्रम नहीं बनाता है।

0
से शुरू होने वाला संस्करण 1984 में, C. W. Clenshaw और F. W. J. Olver ने कंप्यूटर तैरनेवाला स्थल | फ़्लोटिंग-पॉइंट ओवरफ़्लो को रोकने के लिए हाइपरऑपरेशन का उपयोग करने की चर्चा शुरू की। तब से, कई अन्य लेखक फ़्लोटिंग पॉइंट | फ़्लोटिंग-पॉइंट प्रतिनिधित्व के लिए हाइपरऑपरेशन के अनुप्रयोग में नए सिरे से रुचि है। (चूंकि एचn(ए, बी) सभी बी = -1 के लिए परिभाषित हैं।) टेट्रेशन पर चर्चा करते समय, क्लेंशॉ एट अल। प्रारंभिक स्थिति मान ली $$F_n(a, 0) = 0$$, जो एक और हाइपरऑपरेशन पदानुक्रम बनाता है। पिछले संस्करण की तरह, चौथा ऑपरेशन टेट्रेशन के समान ही है, लेकिन एक से ऑफसेट होता है।

कम हाइपरऑपरेशन
इन हाइपरऑपरेशन के लिए एक विकल्प बाएं से दाएं मूल्यांकन द्वारा प्राप्त किया जाता है। तब से
 * $$\begin{align}

a + b &= (a + (b - 1)) + 1 \\ a \cdot b &= (a \cdot (b - 1)) + a \\ a^b &= \left(a^{(b-1)}\right) \cdot a \end{align}$$ परिभाषित करें (° या सबस्क्रिप्ट के साथ)
 * $$a_{(n+1)}b = \left(a_{(n + 1)}(b - 1)\right)_{(n)} a$$

साथ
 * $$\begin{align}

a_{(1)} b &= a + b \\ a_{(2)} 0 &= 0 \\ a_{(n)} 1 &= a & \text{for } n>2 \\ \end{align}$$ इसे डोनर और टार्स्की द्वारा क्रमिक संख्याओं तक बढ़ाया गया था, द्वारा :


 * $$\begin{align}

\alpha O_0 \beta &= \alpha + \beta \\ \alpha O_\gamma \beta &= \sup\limits_{\eta<\beta, \xi<\gamma}(\alpha O_\gamma \eta) O_\xi \alpha \end{align}$$ परिभाषा 1(i), उपप्रमेय 2(ii), और प्रमेय 9 से यह पता चलता है कि, a ≥ 2 और b ≥ 1 के लिए, कि
 * $$ a O_n b = a_{(n + 1)} b$$

लेकिन यह एक प्रकार के पतन से ग्रस्त है, पारंपरिक रूप से हाइपरऑपरेटर्स से अपेक्षित पावर टावर बनाने में विफल:
 * $$\alpha_{(4)}(1 + \beta) = \alpha^{\left(\alpha^\beta\right)}.$$

यदि α ≥ 2 और γ ≥ 2,[परिणाम 33(i)] :$$\alpha_{(1 + 2\gamma + 1)}\beta \leq \alpha_{(1 + 2\gamma)}(1 + 3\alpha\beta).$$

कम्यूटेटिव हाइपरऑपरेशन
1914 की शुरुआत में अल्बर्ट बेनेट द्वारा कम्यूटेटिव हाइपरऑपरेशंस पर विचार किया गया था, जो संभवतः किसी भी हाइपरऑपरेशन सीक्वेंस के बारे में सबसे पहली टिप्पणी है। कम्यूटेटिव हाइपरऑपरेशन को पुनरावर्तन नियम द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$F_{n+1}(a, b) = \exp(F_n(\ln(a), \ln(b)))$$

जो ए और बी में सममित है, जिसका अर्थ है कि सभी हाइपरऑपरेशन कम्यूटिव हैं। इस क्रम में घातांक शामिल नहीं है, और इसलिए यह हाइपरऑपरेशन पदानुक्रम नहीं बनाता है।

संख्या प्रणाली हाइपरऑपरेशन अनुक्रम
पर आधारित है

रूबेन गुडस्टीन|आर. एल गुडस्टीन गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के लिए अंकन की प्रणाली बनाने के लिए हाइपरऑपरेटर्स के अनुक्रम का उपयोग किया। स्तर k और बेस b पर पूर्णांक n का तथाकथित पूर्ण वंशानुगत प्रतिनिधित्व, केवल पहले k हाइपरऑपरेटर्स का उपयोग करके और आधार के साथ केवल 0, 1, ..., b - 1 अंकों के रूप में उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है। बी ही:


 * 0 ≤ n ≤ b − 1 के लिए, n को केवल संबंधित अंक द्वारा दर्शाया जाता है।
 * n > b − 1 के लिए, n का निरूपण पुनरावर्ती रूप से पाया जाता है, पहले रूप में n का प्रतिनिधित्व करता है
 * बी [के] एक्सk [के - 1] एक्सk &minus; 1 [के - 2] ... [2] एक्स2 [1] एक्स1
 * जहां एक्सk, ..., एक्स1 संतोषजनक सबसे बड़े पूर्णांक हैं (बदले में)


 * बी [के] एक्सk ≤ एन


 * बी [के] एक्सk [के - 1] एक्सk &minus; 1 ≤ एन




 * बी [के] एक्सk [के - 1] एक्सk &minus; 1 [के - 2] ... [2] एक्स2 [1] एक्स1 ≤ एन


 * कोई एक्सi b − 1 से अधिक होने पर उसी तरीके से फिर से व्यक्त किया जाता है, और इसी तरह, इस प्रक्रिया को तब तक दोहराया जाता है जब तक परिणामी रूप में केवल अंक 0, 1, ..., b − 1, आधार b के साथ न हो।

मूल्यांकन के क्रम में उच्च स्तरीय ऑपरेटरों को उच्च प्राथमिकता देकर अनावश्यक कोष्ठकों से बचा जा सकता है; इस प्रकार,


 * स्तर -1 अभ्यावेदन का रूप b [1] X है, जिसमें X भी इसी रूप का है;


 * स्तर -2 अभ्यावेदन का रूप b [2] X [1] Y है, जिसमें X, Y भी इसी रूप का है;


 * स्तर -3 अभ्यावेदन का रूप b [3] X [2] Y [1] Z है, जिसमें X, Y, Z भी इसी रूप का है;


 * स्तर -4 अभ्यावेदन का रूप b [4] X [3] Y [2] Z [1] W है, जिसमें X,Y,Z,W भी इसी रूप का है;

और इसी तरह।

इस प्रकार के आधार-बी वंशानुगत प्रतिनिधित्व में, आधार स्वयं अभिव्यक्तियों में प्रकट होता है, साथ ही सेट {0, 1, ..., बी - 1} से अंक भी प्रकट होता है। यह सामान्य आधार-2 प्रतिनिधित्व की तुलना करता है जब उत्तरार्द्ध आधार बी के संदर्भ में लिखा जाता है; उदाहरण के लिए, सामान्य आधार-2 अंकन में, 6 = (110)2 = 2 [3] 2 [2] 1 [1] 2 [3] 1 [2] 1 [1] 2 [3] 0 [2] 0, जबकि स्तर-3 आधार-2 वंशानुगत प्रतिनिधित्व 6 = 2 है [ 3] (2 [3] 1 [2] 1 [1] 0) [2] 1 [1] (2 [3] 1 [2] 1 [1] 0)। [1] 0, [2] 1, [3] 1, [4] 1, आदि के किसी भी उदाहरण को छोड़ कर वंशानुगत अभ्यावेदन को संक्षिप्त किया जा सकता है; उदाहरण के लिए, उपरोक्त स्तर -3 आधार -2 6 का प्रतिनिधित्व 2 [3] 2 [1] 2 को संक्षिप्त करता है।

उदाहरण: 1, 2, 3, 4 और 5 के स्तर पर संख्या 266 (संख्या) का अद्वितीय आधार-2 निरूपण इस प्रकार है:


 * स्तर 1: 266 = 2 [1] 2 [1] 2 [1] ... [1] 2 (133 2s के साथ)
 * स्तर 2: 266 = 2 [2] (2 [2] (2 [2] (2 [2] 2 [2] 2 [2] 2 [2] 2 [1] 1)) [1] 1)
 * स्तर 3: 266 = 2 [3] 2 [3] (2 [1] 1) [1] 2 [3] (2 [1] 1) [1] 2
 * स्तर 4: 266 = 2 [4] (2 [1] 1) [3] 2 [1] 2 [4] 2 [2] 2 [1] 2
 * स्तर 5: 266 = 2 [5] 2 [4] 2 [1] 2 [5] 2 [2] 2 [1] 2

यह भी देखें

 * बड़ी संख्या

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * अंक शास्त्र
 * ऑपरेटर साहचर्य
 * गुणा
 * बाइनरी ऑपरेशन
 * उत्तराधिकारी समारोह
 * रिकर्सन (कंप्यूटर विज्ञान)
 * प्रत्यावर्तन
 * जोड़नेवाला
 * ढेर (सार डेटा प्रकार)
 * गणना योग्य समारोह

ग्रन्थसूची