वेबर समस्या

ज्यामिति में वेबर समस्या जिसका नाम अल्फ्रेड वेबर के नाम पर रखा गया है स्थान सिद्धांत में सबसे प्रसिद्ध समस्याओं में से एक है इसके लिए विमान में एक बिंदु खोजने की आवश्यकता होती है जो इस बिंदु से एन गंतव्य बिंदुओं तक परिवहन लागतों के योग को कम करता है जहां अलग-अलग गंतव्य बिंदु प्रति इकाई दूरी की अलग-अलग लागतों से जुड़े होते हैं।

वेबर समस्या ज्यामितीय माध्यिका का सामान्यीकरण करती है जो मानती है कि प्रति इकाई दूरी पर परिवहन लागत सभी गंतव्य बिंदुओं के लिए समान है और बाह्य रूप बिंदु की गणना करने की समस्या तीन बिंदुओं का ज्यामितीय माध्य इस कारण इसे कभी-कभी बाह्य रूप वेबर समस्या भी कहा जाता है जबकि इसी नाम का उपयोग भारित ज्यामितीय मध्यिका समस्या के लिए भी किया गया है वेबर समस्या बदले में आकर्षण-प्रतिकर्षण समस्या द्वारा सामान्यीकृत होती है जो कुछ लागतों को नकारात्मक होने की अनुमति देती है ताकि कुछ बिंदुओं से अधिक दूरी बेहतर हो।

बाह्य रूप वेबर और आकर्षण-प्रतिकर्षण समस्याओं की परिभाषा और इतिहास
त्रिभुज में बाह्य रूप समस्या में तीन बिंदु ए, बी और सी के संबंध में एक बिंदु डी का पता लगाने में सम्मिलित होता है ताकि डी और तीन अन्य बिंदुओं में से प्रत्येक के बीच की दूरी कम हो यह 1640 से पहले प्रसिद्ध फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे डी फर्मेट द्वारा तैयार किया गया था और इसे स्थान सिद्धांत और अंतरिक्ष-अर्थव्यवस्था दोनों की सच्ची शुरुआत के रूप में देखा जा सकता है टॉरिकेली ने 1645 के आसपास इस समस्या का एक ज्यामितीय समाधान खोजा लेकिन 325 से अधिक वर्षों के बाद भी इसका कोई प्रत्यक्ष संख्यात्मक समाधान नहीं था कुह्न और कुएन ने 1962 में सामान्य बाह्य रूप समस्या के लिए एक पुनरावृत्त समाधान मिला और 1972 में ल्यूक नॉर्मैंड टेलर बाह्य रूप त्रिभुज समस्या का सीधा संख्यात्मक समाधान मिला जो त्रिकोणमितीय है कुह्न और कुएने का समाधान तीन से अधिक भुजाओं वाले बहुभुजों की जगहों में लागू होता है जो आगे बताए गए कारणों के लिए टेलर के समाधान के स्थान में नहीं है।

वेबर समस्या में त्रिभुज के स्थान में तीन बिंदु ए, बी, और सी के संबंध में बिंदु डी का पता लगाने में इस तरह से होता है कि डी और तीन अन्य बिंदुओं में से प्रत्येक के बीच परिवहन लागत का योग न्यूनतम हो जाता है वेबर समस्या बाह्य रूप समस्या का एक सामान्यीकरण है क्योंकि इसमें समान और असमान आकर्षक बल दोनों सम्मिलित हैं जबकि बाह्य रूप समस्या केवल समान आकर्षक बलों से संबंधित है यह पहली बार 1750 में थॉमस सिम्पसन द्वारा त्रिभुज के स्थान में ज्यामितीय रूप से तैयार किया गया था और हल किया गया था इसे बाद में 1909 में अल्फ्रेड वेबर द्वारा लोकप्रिय बनाया गया 1962 में पाया गया कुह्न और कुएन का पुनरावृत्त समाधान और 1972 में पाया गया टेलर का समाधान वेबर त्रिकोण समस्या के साथ-साथ बाह्य रूप समस्या पर भी लागू होता है कुह्न और कुएन का समाधान तीन से अधिक भुजाओं वाले बहुभुजों के स्थानों में भी लागू होता है।

अपने सरलतम संस्करण में आकर्षण-प्रतिकर्षण समस्या में तीन बिंदु A के संबंध में एक बिंदु D का पता लगाना सम्मिलित है ए1, ए2 और आर इस तरह से कि आकर्षक बल बिंदु ए द्वारा लगाए गए हैं ए1, ए2 और बिंदु R द्वारा लगाया गया प्रतिकारक बल एक दूसरे को हटा कर देता है जैसा कि इसे इष्टतम करना चाहिए यह बाह्य रूप और वेबर दोनों समस्याओं का सामान्यीकरण करता है यह पहली बार 1985 में ल्यूक-नॉर्मंड टेलर द्वारा त्रिभुज जगहों में तैयार और हल किया गया था 1992 में चेन, हैनसेन, जौमर्ड और टीयू ने तीन से अधिक भुजाओं वाले बहुभुजों के स्थान में टेलर समस्या का समाधान खोजा।

बाह्य रूप त्रिकोण समस्या का टोरिकेली का ज्यामितीय समाधान
इवेंजलिस्ता टोरिकेली का बाह्य रूप त्रिभुज समस्या का ज्यामितीय समाधान दो अवलोकनों से उपयोगी है

1- बिंदु डी अपने इष्टतम स्थान पर है जब उस स्थान से कोई भी महत्वपूर्ण कदम संदर्भ बिंदु ए, बी और सी के लिए कुल दूरी की शुद्ध वृद्धि को प्रेरित करता है जिसका अर्थ है कि इष्टतम बिंदु एकमात्र बिंदु है जहां की ओर एक असीम गति है तीन संदर्भ बिंदुओं में से एक उस बिंदु की दूरी को कम करने के लिए प्रेरित करता है जो दो अन्य बिंदुओं की दूरी में प्रेरित परिवर्तनों के योग के बराबर है वास्तव में बाह्य रूप समस्या में ए से दूरी को एक किलोमीटर कम करने का लाभ बी से दूरी को एक किलोमीटर या सी से दूरी को समान लंबाई से कम करने के लाभ के बराबर है दूसरे शब्दों में डी पर स्थित होने वाली गतिविधि ए, बी और सी द्वारा समान रूप से आकर्षित होती है

2- यूक्लिडियन ज्यामिति के एक महत्वपूर्ण प्रमेय के अनुसार एक वृत्त में खुदे हुए उत्तल चतुर्भुज में विपरीत कोण पूरक होते हैं अर्थात उनका योग 180° के बराबर होता है यह प्रमेय निम्नलिखित रूप भी ले सकती है यदि हम जीवा AB से एक वृत्त को काटते हैं तो हमें दो वृत्त चाप मिलते हैं मान लीजिए AiB और AjB चाप AiB पर किसी भी चुने हुए बिंदु i के लिए कोई भी ∠AiB कोण समान होता है और चाप AjB पर किसी भी चुने हुए बिंदु j के लिए सभी ∠AjB बराबर होते हैं इसके अलावा ∠AiB और ∠AjB कोण संपूरक हैं।

इस प्रमेय में यह सिद्ध किया जा सकता है कि प्रथम प्रेक्षण का तात्पर्य इष्टतम पर AD, BD और CD सीधी रेखाओं के बीच के कोण 360° / 3 = 120° के बराबर होने चाहिए टोलोरिन ने निष्कर्ष निकाला कि

1– यदि कोई त्रिभुज ABD जिसका ∠ADB कोण 120° के बराबर है एक वृत्त में उत्कीर्ण ABDE उत्तल चतुर्भुज उत्पन्न करता है तो ABE त्रिभुज का ∠ABE कोण 180° − 120°= 60° के बराबर होना चाहिए

2- D के स्थानों के समूह को निर्धारित करने का एक तरीका जिसके लिए ∠ADB कोण 120° के बराबर है एक समबाहु ABE त्रिभुज बनाना है जिसमें एक समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° के बराबर है जहां E बाहर स्थित है ABC त्रिभुज और उस त्रिभुज के चारों ओर एक वृत्त बनाएं तो उस वृत्त की परिधि के सभी D बिंदु जो ABC वृत्त के भीतर ऐसे स्थित हैं कि ∠ADB कोण 120° के बराबर है

3– त्रिभुज ACD और BCD के संबंध में भी यही तर्क दिया जा सकता है

4– इससे दो अन्य समबाहु त्रिभुज ACF और BCG बनते हैं जहाँ F और G ABC त्रिभुज के बाहर स्थित हैं साथ ही इन समबाहु त्रिभुजों के चारों ओर दो अन्य वृत्त बनते हैं और उस स्थान को निर्धारित करने के लिए जहाँ तीन वृत्त उस स्थान को प्रतिच्छेद करते हैं जहाँ AD, BD, और CD सीधी रेखाओं के बीच के कोण आवश्यक रूप से 120° के बराबर होते हैं जो यह सिद्ध करता है कि यह इष्टतम स्थान है।

वेबर त्रिकोण समस्या का सिम्पसन का ज्यामितीय समाधान
तथाकथित वेबर त्रिभुज समस्या का सिम्पसन का ज्यामितीय समाधान जो पहली बार 1750 में थॉमस सिम्पसन द्वारा तैयार किया गया था जो सीधे टोरिकेली के समाधान से निकला है सिम्पसन और वेबर ने इस तथ्य पर जोर दिया कि कुल परिवहन न्यूनीकरण समस्या में प्रत्येक आकर्षण बिंदु ए, बी या सी के करीब पहुंचने का लाभ इस बात पर निर्भर करता है कि क्या किया जा रहा है और इसकी परिवहन लागत पर नतीजा ए, बी या सी के करीब एक किलोमीटर होने का लाभ भिन्न होता है और ∠ADB, ∠ADC और ∠BDC कोणों को अब 120° के बराबर होने की आवश्यकता नहीं है।

सिम्पसन ने प्रदर्शित किया कि उसी तरह जैसे बाह्य रूप त्रिकोण समस्या स्थान में निर्मित त्रिकोण एबीई, एसीएफ और बीसीजी समबाहु थे क्योंकि इसमें तीन आकर्षक बल समान थे वेबर त्रिकोण समस्या स्थान में निर्मित त्रिकोण एबीई, एसीएफ और बीसीजी जहां ई, एफ और जी एबीसी त्रिकोण के बाहर स्थित हैं जो स्थान प्रणाली की आकर्षक ताकतों के अनुपात में होना चाहिए।

समाधान ऐसा है कि

1- निर्मित त्रिभुज ABE में AB भुजा आकर्षक बल के समानुपाती होती है Cडब्ल्यू सी की ओर संकेत करते हुए एई पक्ष आकर्षक बल के समानुपाती होता है Bडब्ल्यू बी की ओर संकेत करते हुए और बीई पक्ष आकर्षक बल के समानुपाती होता है Aडब्ल्यू ए की ओर संकेत करते हुए कहा किट

2- निर्मित त्रिभुज BCG में BC भुजा आकर्षक बल के समानुपाती होती है Aडब्ल्यू ए की ओर संकेत करते हुए बी जी पक्ष आकर्षक बल के समानुपाती होता है Bडब्ल्यू बी की ओर संकेत करते हुए और सी जी पक्ष आकर्षक बल के समानुपाती होता है Cडब्ल्यू सी की ओर संकेत करते हुए कहा

3- इष्टतम बिंदु डी एबीई और बीसीजी निर्मित त्रिभुजों के चारों ओर खींची गई दो परिधि के चौराहे पर स्थित है।

बलों ACF का एक तीसरा त्रिभुज जहाँ F, ABC त्रिभुज के बाहर स्थित है को AC भुजा के आधार पर खींचा जा सकता है और उस त्रिभुज के चारों ओर एक तीसरी परिधि का पता लगाया जा सकता है वह तीसरी परिधि पिछली दो परिधियों को एक ही बिंदु D पर काटती है।

आकर्षण-प्रतिकर्षण त्रिकोण समस्या का टेलर का ज्यामितीय समाधान
आकर्षण-प्रतिकर्षण त्रिभुज समस्या के लिए एक ज्यामितीय समाधान एकत्र है इसकी खोज अपेक्षाकृत हाल की है यह ज्यामितीय समाधान पिछले दो से अलग हैं इस जगह में दो निर्मित बल त्रिकोण ए को एक ही समय में कार्य करते हैं ए1,ए2आर स्थान त्रिकोण जहां ए1 और ए2 आकर्षण बिंदु हैं और आर एक प्रतिकर्षण बिंदु जबकि पिछले स्थान में उन्होंने कभी ऐसा नहीं किया।

यह समाधान ऐसा है कि

1– निर्मित त्रिभुज RA में2एच जो आंशिक रूप से ए को पहले से कार्य करता है ए1,A2 आर स्थान त्रिकोण आर ए2 पक्ष आकर्षक बल के समानुपाती होता है A1डब्ल्यू ए की ओर संकेत करते हुए ए1 आर एच पक्ष आकर्षक बल के समानुपाती होता है A2डब्ल्यू ए की ओर संकेत करते हुए ए2, और H पक्ष प्रतिकारक बल के समानुपाती होता है Rw बिंदु R से दूर हटाना।

2- निर्मित त्रिभुज आर ए1 जो आंशिक रूप से A का कार्य करता है ए1,A2आर स्थान त्रिकोण आर ए1 पक्ष आकर्षक बल के समानुपाती होता है A2डब्ल्यू ए की ओर संकेत करते हुए2, RI पक्ष आकर्षक बल के समानुपाती होता है A1डब्ल्यू ए की ओर संकेत करते हुए ए1 और ए1अंदर प्रतिकारक बल के समानुपाती होता है Rw बिंदु R से दूर हटाना।

3- इष्टतम बिंदु डी, आर ए के चारों ओर खींची गई दो परिधि के चौराहे पर स्थित है ए2 एच और आरए1मैंने त्रिभुजों का निर्माण किया यह समाधान बेकार है यदि एक बल दो अन्य के योग से अधिक है या यदि कोण संगत नहीं हैं कुछ स्थान में कोई भी बल अन्य दो बल से बड़ा नहीं होता है और कोण संगत नहीं होते हैं फिर इष्टतम स्थान उस बिंदु पर स्थित होता है जो अधिक आकर्षक बल लगाता है।

बाह्य रूप और वेबर त्रिकोण समस्याओं का टेलर का त्रिकोणमितीय समाधान
332 से अधिक वर्षों में बाह्य रूप त्रिकोण समस्या का पहला सूत्रीकरण और इसके गैर-पुनरावृत्त संख्यात्मक समाधान की खोज अलग हो गई जबकि एक ज्यामितीय समाधान लगभग सभी समय के लिए एकत्र था क्या उसके लिए कोई स्पष्टीकरण है यह स्पष्टीकरण तीन आकर्षण बिंदुओं की ओर उन्मुख तीन सदिशों की उत्पत्ति की संभावना में निहित है जो मेल नहीं खाते यदि वे मूल संयोग करते हैं और इष्टतम स्थान P पर स्थित हैं तो सदिश A, B और C की ओर उन्मुख होते हैं और ABC स्थान त्रिकोण की भुजाएँ छह कोण बनाती हैं ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5, और ∠6, और तीन सदिश ∠α बनाते हैंA ∠αB और ∠αC कोण छह ज्ञात मानों कोण ∠A, ∠B, और ∠C के साथ छह अज्ञात कोण ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5, और ∠6 को जोड़ने वाले निम्नलिखित छह समीकरण लिखना आसान हैं जिनके मान और कोण ∠α दिए गए हैंA, ∠αB और ∠αC जिनके मान केवल ए, बी और सी आकर्षण बिंदुओं की ओर संकेत करते हुए तीन आकर्षक बलों के सापेक्ष परिमाण पर निर्भर करते हैं जो इस प्रकार हैं-


 * ∠1 + ∠2 = ∠सी
 * ∠3 + ∠4 = ∠ए
 * ∠5 + ∠6 = ∠बी
 * ∠1 + ∠6 + ∠αए = 180°
 * ∠2 + ∠3 + ∠αबी = 180ए°
 * ∠4 + ∠5 + ∠αसी = 180°

छह अज्ञात के साथ छह एक साथ समीकरणों की यह प्रणाली अनिर्धारित है और तीन आकर्षण बिंदुओं की ओर उन्मुख तीन सदिशों की उत्पत्ति की संभावना नहीं बताती है कि संयोग न होने की स्थिति में हम देखते हैं कि सभी छह समीकरण अभी भी मान्य हैं जबकि त्रिभुज के अंदर एकत्र त्रिकोणीय छेद के कारण इष्टतम स्थान P गायब हो गया है वास्तव में टेलर ने 1972 में दिखाया कि त्रिकोणीय छेद में बिल्कुल वही अनुपात था जो हमने सिम्पसन के ज्यामितीय समाधान में खींचे गए बल त्रिकोण के रूप में देखा था।

समस्या को हल करने के लिए हमें एक साथ छह समीकरणों में सातवीं आवश्यकता को जोड़ना होगा जो बताता है कि स्थान त्रिकोण के बीच में कोई त्रिकोणीय छेद नहीं होना चाहिए दूसरे शब्दों में तीन सदिशों की उत्पत्ति का मेल होना चाहिए।

बाह्य रूप और वेबर त्रिभुज समस्याओं के टेलर के समाधान में तीन चरण सम्मिलित हैं-

1– कोण ∠α निर्धारित करेंA, ∠αB और ∠αC जो ऐसे हैं कि तीन आकर्षक बल Aमें Bछड़ी Cडब्ल्यू संतुलन सुनिश्चित करने के लिए एक दूसरे को रद्द करें यह निम्नलिखित स्वतंत्र समीकरणों के माध्यम से किया जाता है-


 * क्योंकि ∠αA = −( Bw2 + Cw2 − Aw2) / (2 Bw Cडब्ल्यू)
 * क्योंकि ∠αB = −( Aw2 + Cw2 − Bw2) / (2 Aw Cडब्ल्यू)
 * क्योंकि ∠αC = −( Aw2 + Bw2 − Cw2) / (2 Aw Bडब्ल्यू)

2 कोण ∠3 का मान निर्धारित करें यह समीकरण इस आवश्यकता से निकला है कि बिंदु D को बिंदु E के साथ मेल खाना चाहिए


 * tan ∠3 = (k sin k') / (1 + k cos k');

जहाँ k = (CB/CA) (sin ∠αB /, ∠αA) और k' = (∠A +∠B + ∠αC) - 180°

3– युगपत समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें जहाँ ∠3 अब ज्ञात है कि


 * ∠1 + ∠2 = ∠सी
 * ∠3 + ∠4 = ∠ए
 * ∠5 + ∠6 = ∠बी
 * ∠1 + ∠6 + ∠αA = 180°
 * ∠2 + ∠3 + ∠αB = 180°
 * ∠4 + ∠5 + ∠αC = 180°

त्रिकोण आकर्षण-प्रतिकर्षण समस्या का टेलर का त्रिकोणमितीय समाधान
टेलर 1985 प्रतिकारक शक्तियों के स्थान में बाह्य रूप वेबर समस्या को बढ़ाया और हम त्रिभुज स्थान की जाँच करें जहाँ दो आकर्षक बल हैं A1एच A2डब्ल्यू और एक प्रतिकारक बल Rडब्ल्यू यहाँ पिछली जगहों की तरह तीन सदिशों की उत्पत्ति के संयोग न होने की संभावना है जिससे समाधान के लिए उनके संयोग की आवश्यकता होनी चाहिए इस समस्या का टेलर के त्रिकोणमितीय समाधान निम्नलिखित है

1– कोण ∠e निर्धारित करें


 * cos ∠e = -( A1w2 + A2w2 − Rw2) / (2 A1w A2डब्ल्यू)

2– कोण निर्धारित करें ∠p
 * cos ∠p = -( A1w2 + Rw2 − A2w2) / (2 A1w Rडब्ल्यू)

3– कोण ∠c निर्धारित करें
 * ∠c = 180° - ∠p

4– कोण ∠d निर्धारित करें
 * ∠d = ∠e − ∠c

5- कोण ∠3 का मान निर्धारित करें यह समीकरण आवश्यकता से उत्पन्न होती है कि बिंदु D को बिंदु E के साथ मेल खाना चाहिए-
 * tan ∠3 = x / y ;

जहाँ x = sin ∠f – (RA1/दिन2)(sin ∠d sin [∠e − ∠b] / sin ∠c); और वाई = (आरए1/दिन2)(sin ∠d cos [∠e − ∠b] / sin ∠c) − cos ∠f

6– निर्धारित करें ∠1
 * ∠1 = 180° - ∠e - ∠3

7– निर्धारित करें ∠5
 * ∠5 = 180° − ∠b − ∠c − ∠1

8– निर्धारित करें ∠2
 * ∠2 = ∠a − ∠5

बाह्य रूप वेबर और आकर्षण-प्रतिकर्षण समस्याओं का पुनरावृत्त समाधान
जब बलों की संख्या तीन से अधिक होती है तो स्थान बहुभुज की ज्यामिति को ध्यान में रखे बिना विभिन्न बलों को अलग करने वाले कोणों को निर्धारित करना संभव नहीं रह जाता है ज्यामितीय और त्रिकोणमितीय विधियां तब शक्तिहीन होती हैं जब कुछ जगहों में पुनरावृत्त अनुकूलन विधियों का उपयोग किया जाता है कुह्न और कुएन 1962 ज्यामितीय माध्यिका के के प्रारूप को सामान्य बनाने वाले पुनरावृत्त कम से कम वर्गों पर आधारित एक प्रारूप का सुझाव दिया उनकी पद्धति बाह्य रूप और वेबर समस्याओं के लिए मान्य है जिसमें कई बल सम्मिलित हैं लेकिन आकर्षण-प्रतिकर्षण समस्या के लिए नहीं इस विधि में दूरियों के भारित योग को न्यूनतम करते हुए बिंदु y का सन्निकटन ज्ञात करना होता है।
 * $$\sum_{i=1}^n w_i\, \|x_i-y\|,$$

समाधान y के लिए एक प्रारंभिक सन्निकटन0 पाया जाता है और फिर प्रारूप के प्रत्येक चरण में y समूह को इष्टतम समाधान के करीब ले जाया जाता है और दूरियों के योग का न्यूनतम का बिंदु होना सुनिश्चित करता है।
 * $$\sum_{i=1}^n \frac{w_i}{\|x_i-y_j\|} \|x_i-y\|^2$$

जहां प्रारंभिक भार डब्ल्यूi इनपुट बिंदुओं को प्रत्येक बिंदु से पिछले चरण से सन्निकटन तक की दूरी से विभाजित किया जाता है तथा भारित न्यूनतम वर्गों की समस्या के अद्वितीय इष्टतम समाधान के रूप में प्रत्येक उत्तरोत्तर सन्निकटन को भारित औसत के रूप में पाया जा सकता है
 * $$\left. y_{j+1}=\left( \sum_{i=1}^n \frac{w_ix_i}{\| x_i - y_j \|} \right) \right/ \left( \sum_{i=1}^n \frac{w_i}{\| x_i - y_j \|} \right).$$

वेबर समस्या का एक प्रायोगिक समाधान प्रदान करता है

आकर्षण-प्रतिकर्षण समस्या के लिए चेन, हैनसेन, जौमर्ड और टीयू 1992 द्वारा प्रस्तावित प्रारूप का सहारा लेना पड़ता है।

आकर्षण-प्रतिकर्षण समस्या के आलोक में भूमि लगान सिद्धांत की व्याख्या
स्थान सिद्धांत की दुनिया में प्रतिकारक शक्तियाँ सर्वव्यापी हैं भूमि मूल्य इनका प्रमुख उदाहरण है वास्तव में बोली किराया सिद्धांत का एक बड़ा हिस्सा दोनों ग्रामीण और शहरी निम्नलिखित तरीके से अभिव्यक्त किया जा सकता है।

ऐसे स्थान में जहां हर कोई एक आकर्षण बिंदु ग्रामीण बाजार या शहरी केंद्रीय व्यापार जिला से आकर्षित होता है विभिन्न बोलीदाताओं के बीच प्रतिस्पर्धा जो सभी केंद्र में स्थित होना चाहते हैं भूमि मूल्य उत्पन्न करेंगे जो अद्वितीय आकर्षण बिंदु को बदल देंगे भूमि मूल्य के दृष्टिकोण से एक प्रतिकर्षण बिंदु में प्रणाली और संतुलन पर प्रत्येक निवासी और गतिविधि उस बिंदु पर स्थित होगी जहां केंद्र द्वारा उन पर लगाए गए आकर्षक और प्रतिकारक बल रद्द हो जाएंगे।

आकर्षण-प्रतिकर्षण की समस्या और नया आर्थिक भूगोल
टेलर समस्या आर्थिक भूगोल नए आर्थिक भूगोल के दशक से पहले की थी यह ओटावियानो और थिस 2005 द्वारा देखा गया है 1990 के दशक में विकसित हुए नये अर्थशास्त्र, भूगोल एनईजी की प्रस्तावना के रूप में और 2008 में पॉल क्रुगमैन को आर्थिक विज्ञान में नोबेल मेमोरियल पुरस्कार मिला आकर्षक बल की अवधारणा एनईजी की समूह या केन्द्र प्रसारण बल की अवधारणा के समान है और प्रतिकारक बल की अवधारणा फैलाव या केन्द्र प्रसारण बल की एनईजी अवधारणा के समान है।

संदर्भ

 * Chen, Pey-Chun, Hansen, Pierre, Jaumard, Brigitte and Hoang Tuy, 1992, "Weber's Problem with Attraction and Repulsion," Journal of Regional Science 32, 467–486.
 * Kuhn, Harold W. and Robert E. Kuenne, 1962, "An Efficient Algorithm for the Numerical Solution of the Generalized Weber Problem in Spatial Economics." Journal of Regional Science 4, 21–34.
 * Ottaviano, Gianmarco and Jacques-François Thisse, 2005, « New Economic Geography: what about the N? », Environment and Planning A 37, 1707–1725.
 * Simpson, Thomas, 1750, The Doctrine and Application of Fluxions, London.
 * Tellier, Luc-Normand and Boris Polanski, 1989, "The Weber Problem: Frequency of Different Solution Types and Extension to Repulsive Forces and Dynamic Processes", Journal of Regional Science, vol 29, no. 3, p. 387–405.
 * Tellier, Luc-Normand, 1972, "The Weber Problem: Solution and Interpretation", Geographical Analysis, vol. 4, no. 3, pp. 215–233.
 * Tellier, Luc-Normand, 1985, Économie spatiale: rationalité économique de l'espace habité, Chicoutimi, Gaëtan Morin éditeur, 280 pages.
 * Tellier, Luc-Normand, 2013, « Annexe 1: Solution géométrique du cas triangulaire du problème d’attraction–répulsion », annex of the paper of Pierre Hansen, Christophe Meyer and Luc-Normand Tellier, « Modèles topodynamique et de la Nouvelle économie géographique : compatibilité, convergence et avantages comparés », in Marc-Urbain Proulx (ed.), 2013, Sciences du territoire II : méthodologies, Québec, Presses de l’Université du Québec.
 * Weber, Alfred, 1909, Über den Standort der Industrien, Tübingen, J.C.B. Mohr) — English translation: The Theory of the Location of Industries, Chicago, Chicago University Press, 1929, 256 pages.
 * Wesolowski, Georges, 1993, «The Weber problem: History and perspective», Location Science, Vol. 1, p. 5–23.