वेइल सह-समरूपता सिद्धांत

बीजगणितीय ज्यामिति में, वेइल सह-समरूपता या वेइल सह-समरूपता सिद्धांत एक सह-समरूपता है जो बीजगणितीय चक्रों और सह-समरूपता समूहों के परस्पर क्रिया से संबंधित कुछ स्वयंसिद्ध सिद्धांतों को संतुष्ट करता है। यह नाम एन्ड्रे वेइल के सम्मान में है। कोई भी वेइल सह-समरूपता सिद्धांत चाउ उद्देश्यों की श्रेणी के माध्यम से विशिष्ट रूप से कारक बनता है, लेकिन चाउ उद्देश्यों की श्रेणी स्वयं वेइल सह-समरूपता सिद्धांत नहीं है, क्योंकि यह एक एबेलियन श्रेणी नहीं है।

परिभाषा
मनमाना विशेषता का एक आधार फ़ील्ड k और विशेषता शून्य का एक "गुणांक फ़ील्ड" K ठीक करें। एक वेइल सह-समरूपता सिद्धांत एक विरोधाभासी फ़ैनक्टर है।


 * $$H^*: \{\text{smooth projective varieties over } k \} \longrightarrow \{\text{graded } K\text{-algebras}\}$$

नीचे दिए गए सिद्धांतों को संतुष्ट करते हुए। प्रत्येक चिकनी प्रक्षेप्य बीजगणितीय विविधता X के आयाम n से अधिक k के लिए, फिर वर्गीकृत K-बीजगणित


 * $$H^*(X) = \bigoplus\nolimits_i H^i(X)$$

निम्नलिखित को संतुष्ट करना आवश्यक है:


 * $$H^i(X)$$ प्रत्येक पूर्णांक i के लिए एक सीमित-आयामी K-सदिश स्थान है।


 * $$H^i(X) = 0$$ प्रत्येक i < 0 या i > 2n के लिए।


 * $$H^{2n}(X)$$ K (तथाकथित अभिविन्यास मानचित्र) के समरूपी है।


 * पोंकारे द्वंद्व: एक आदर्श युग्मन है
 * $$H^i(X) \times H^{2n-i}(X) \to H^{2n}(X) \cong K.$$


 * एक विहित कुनेथ समरूपतावाद है
 * $$H^*(X) \otimes H^*(Y) \to H^*(X\times Y).$$


 * प्रत्येक पूर्णांक r के लिए, X पर कोडिमेंशन r के बीजगणितीय चक्रों के समूह $$Z^r(X)$$ पर एक चक्र मानचित्र परिभाषित है,
 * $$\gamma_X : Z^r(X) \to H^{2r}(X),$$
 * H और कुनेथ आइसोमोर्फिज्म की कार्यक्षमता के संबंध में कुछ अनुकूलता शर्तों को पूरा करना। यदि X एक बिंदु है, तो साइकिल मानचित्र में Z ⊂ K का समावेश आवश्यक है।


 * कमज़ोर लेफ्सचेत्ज़ सिद्धांत: किसी भी चिकने हाइपरप्लेन अनुभाग के लिए j: W ⊂
 * $$j^*: H^i(X) \to H^i(W)$$
 * के लिए समरूपताएँ हैं $$i \leqslant n-2$$ और इंजेक्शन के लिए $$i \leqslant n-1.$$


 * हार्ड लेफ्शेट्ज़ अभिगृहीत: मान लीजिए कि W एक हाइपरप्लेन सेक्शन है और $$w =\gamma_X(W) \in H^2(X)$$ चक्र वर्ग मानचित्र के अंतर्गत इसकी छवि बनें। लेफ्शेट्ज़ ऑपरेटर को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 * $$\begin{cases} L: H^i(X) \to H^{i+2}(X) \\ x \mapsto x \cdot w, \end{cases}$$
 * जहां बिंदु बीजगणित में उत्पाद को दर्शाता है $$H^*(X).$$ तब
 * $$L^i : H^{n-i}(X) \to H^{n+i}(X)$$
 * i = 1, ..., n के लिए एक समरूपता है।

उदाहरण
चार तथाकथित शास्त्रीय वेइल सह-समरूपता सिद्धांत हैं:


 * बेटी सह-समरूपता|एकवचन (=बेटी) सह-समरूपता, उनके विश्लेषणात्मक टोपोलॉजी का उपयोग करके टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के रूप में सी से अधिक किस्मों के बारे में (जीएजीए देखें),


 * विशेषता (बीजगणित) शून्य के आधार क्षेत्र पर डॉ कहलमज गर्भाशय: सी से अधिक अंतर रूपों द्वारा परिभाषित और सामान्य तौर पर काहलर अंतर के परिसर के माध्यम से (बीजगणितीय डी राम सह-समरूपता देखें),


 * एटेले सह-समरूपता|$$\ell$$-विभिन्न विशेषताओं के क्षेत्रों में किस्मों के लिए एडिक सह-समरूपता $$\ell$$,


 * क्रिस्टलीय सहसंरचना.

बेट्टी सह-समरूपता और डी राम सह-समरूपता के लिए स्वयंसिद्धों के प्रमाण तुलनात्मक रूप से आसान और शास्त्रीय हैं। के लिए $$\ell$$-एडिक सह-समरूपता, उदाहरण के लिए, उपरोक्त अधिकांश गुण गहरे प्रमेय हैं।

दोगुने से अधिक आयाम वाले बेट्टी सह-समरूपता समूहों का लुप्त होना इस तथ्य से स्पष्ट है कि जटिल आयाम n के एक (जटिल) मैनिफोल्ड का वास्तविक आयाम 2n है, इसलिए ये उच्च सह-समरूपता समूह गायब हो जाते हैं (उदाहरण के लिए उन्हें सरल होमोलॉजी से तुलना करके | सरल (सह) समरूपता)।

डी राम चक्र मानचित्र में एक व्यावहारिक व्याख्या भी है: जटिल आयाम n की पूर्ण विविधता X में जटिल कोड आयाम r की एक उप-विविधता Y को देखते हुए, Y का वास्तविक आयाम 2n−2r है, इसलिए कोई भी किसी भी अंतर को एकीकृत कर सकता है ( 2n−2r)-एक जटिल संख्या उत्पन्न करने के लिए Y के अनुदिश रूप बनाएं। यह एक रैखिक कार्यात्मकता को प्रेरित करता है $$\textstyle\int_Y \colon \; H^{2n-2r}_{\text{dR}}(X) \to \mathbf{C}$$. पोंकारे द्वंद्व के अनुसार, इस तरह की कार्यक्षमता देना एक तत्व देने के बराबर है $$H^{2r}_{\text{dR}}(X)$$; वह तत्व चक्र मानचित्र के अंतर्गत Y की छवि है।

संदर्भ

 * (contains proofs of all of the axioms for Betti and de-Rham cohomology)
 * (idem for l-adic cohomology)