एपेरियोडिक टाइलिंग

एपेरियोडिक टाइलिंग गैर-आवधिक टाइलिंग है जिसमें अतिरिक्त गुण है कि इसमें स्वैच्छिक विधि से बड़े आवधिक क्षेत्र या पैच नहीं होते हैं। टाइल-प्रकार (या प्रोटोटाइल्स के लिए ) का सेट प्रोटोटाइल्स का एपेरियोडिक सेट है यदि इन टाइलों की प्रतियां केवल गैर-आवधिक टाइलिंग बना सकती हैं।

पेनरोज़ टाइलिंग एपेरियोडिक टाइलिंग का एक प्रसिद्ध उदाहरण है। मार्च 2023 में, चार शोधकर्ताओं, डेविड स्मिथ, जोसेफ सैमुअल मायर्स, क्रेग एस. कापलान और चैम गुडमैन-स्ट्रॉस ने एपरियोडिक मोनोटाइल की खोज की घोषणा की थी। एपेरियोडिक टिलिंग क्वैसिक क्रिस्टल, भौतिक ठोस के लिए गणितीय मॉडल के रूप में काम करते हैं जिन्हें 1982 में डैन शेचमैन द्वारा खोजा गया था। जिन्होंने बाद में 2011 में नोबेल पुरस्कार जीता था। चूंकि, इन सामग्रियों की विशिष्ट स्थानीय संरचना अभी भी खराब समझी जाती है।

एपेरियोडिक टाइलिंग के निर्माण के लिए कई विधियाँ ज्ञात हैं।

परिभाषा और चित्रण
यूनिट वर्गों (यह अनंत ग्राफ़ पेपर जैसा दिखता है) द्वारा आवधिक टाइलिंग पर विचार करें। अब एक वर्ग को दो आयतों में काट लें। इस प्रकार से प्राप्त टाइलिंग गैर-आवधिक है: कोई गैर-शून्य बदलाव नहीं है जो इस टाइलिंग को स्थिर रखता है। किन्तु स्पष्ट रूप से यह उदाहरण पेनरोज टाइलिंग की तुलना में बहुत कम रोचक है। इस प्रकार के बोरिंग उदाहरणों को निरस्त करने के लिए, एपेरियोडिक टाइलिंग को परिभाषित किया जाता है जिसमें स्वैच्छिक विधि से बड़े आवधिक भाग नहीं होते हैं।

एक टाइलिंग को एपेरियोडिक कहा जाता है यदि इसकी आवरण (टाइलिंग) में केवल गैर-आवधिक टाइलिंग होती है। एक टाइलिंग $$T \subset \R^d$$ के आवरण में T के सभी अनुवाद T + x होते हैं, साथ में सभी टाइलिंग होते हैं जिन्हें T के अनुवाद द्वारा अनुमानित किया जा सकता है। औपचारिक रूप से यह स्थानीय टोपोलॉजी में सेट $$\{ T+x \, : \, x \in \R^d \}$$ का बंद होना है। स्थानीय टोपोलॉजी में (संबंधित मीट्रिक के अनुसार) दो टाइलिंग हैं $$\varepsilon$$-बंद अगर वे मूल (संभवतः किसी टाइलिंग को इससे कम राशि से स्थानांतरित करने के बाद $$\varepsilon$$) के चारों ओर त्रिज्या $$1/\varepsilon$$ की गेंद में सहमत हैं।

उपरोक्त से भी सरल उदाहरण देने के लिए, रेखा के आयामी टाइलिंग T पर विचार करें जो दिखता है ...aaaaaabaaaaa... जहां a लंबाई के अंतराल का प्रतिनिधित्व करता है, b लंबाई दो के अंतराल का प्रतिनिधित्व करता है। इस प्रकार टाइलिंग T में a की अपरिमित रूप से कई प्रतियाँ और b की प्रति (केंद्र 0 के साथ, कहते हैं) सम्मिलित हैं। अब T के सभी अनुवाद b के साथ कहीं और के रूप में टाइलिंग हैं। टाइलिंग का क्रम जहां b पर केंद्रित है $$1,2,4, \ldots,2^n,\ldots$$ अभिसरण - स्थानीय टोपोलॉजी में - आवधिक टाइलिंग में केवल के रूप में। इस प्रकार टी एपरियोडिक टाइलिंग नहीं है, क्योंकि इसकी आवरण में आवधिक टाइलिंग ...aaaaaa.... होती है।

अच्छी प्रकार से व्यवहार किए गए टाइलिंग के लिए (उदाहरण के लिए कई स्थानीय पैटर्न के साथ प्रतिस्थापन टाइलिंग) धारण करता है: यदि टाइलिंग गैर-आवधिक और दोहरावदार टाइलिंग है (अर्थात् प्रत्येक पैच पूरे टाइलिंग में समान रूप से घने विधियाँ से होता है), तो यह एपेरियोडिक है।

इतिहास
एपेरियोडिक टाइलिंग की पहली विशिष्ट घटना 1961 में उत्पन्न हुई, जब लॉजिशियन हाओ वांग ने यह निर्धारित करने का प्रयास किया कि क्या डोमिनोज़ समस्या निर्णायक है - अर्थात्, क्या यह तय करने के लिए एल्गोरिथ्म उपस्थित है कि प्रोटोटाइल्स का दिया गया परिमित सेट समतल की टाइलिंग को स्वीकार करता है या नहीं। वैंग ने एल्गोरिदम को उन टाइलों की गणना करने के लिए पाया जो विमान को टाइल नहीं कर सकते हैं, और टाइलसेट जो इसे समय-समय पर टाइल करते हैं; इसके द्वारा उन्होंने दिखाया कि इस प्रकार का निर्णय एल्गोरिथ्म उपस्थित है यदि विमान के टाइलिंग को स्वीकार करने वाले प्रोटोटाइल्स का हर परिमित सेट आवधिक टाइलिंग को भी स्वीकार करता है। 1964 में, रॉबर्ट बर्जर (गणितज्ञ) ने प्रोटोटाइल्स का एपेरियोडिक सेट पाया, जिससे उन्होंने प्रदर्शित किया कि टाइलिंग समस्या वास्तव में निर्णायक नहीं है। इस प्रकार के पहले सेट, जिसे बर्जर ने अपने अनिर्णीतता के प्रमाण में उपयोग किया, के लिए 20,426 वांग टाइलों की आवश्यकता थी। बर्जर ने बाद में अपने सेट को घटाकर 104 कर दिया, और हंस लॉचली ने बाद में एपरियोडिक सेट पाया जिसमें केवल 40 वांग टाइलों की आवश्यकता थी। 1971 में राफेल एम. रॉबिन्सन द्वारा छह एपरियोडिक टाइलों (वांग टाइलों पर आधारित) का छोटा सेट खोजा गया था। रोजर पेनरोज़ ने 1973 और 1974 में तीन और सेटों की खोज की, आवश्यक टाइलों की संख्या घटाकर दो कर दी, और रॉबर्ट अम्मन ने 1977 में कई नए सेटों की खोज किया था। 2023 में डेविड स्मिथ, जोसेफ सैमुअल मायर्स, क्रेग एस. कापलान और चैम गुडमैन-स्ट्रॉस द्वारा आवश्यक टाइलों की संख्या घटाकर कर दी गई थी।

एपेरियोडिक पेनरोज़ टाइलिंग न केवल प्रोटोटाइल्स के एपेरियोडिक सेट द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है, किन्तु प्रतिस्थापन टाइलिंग और कट-एंड-प्रोजेक्ट विधि द्वारा भी उत्पन्न किया जा सकता है। क्वासिक क्रिस्टल की खोज के बाद एपेरियोडिक टिलिंग का भौतिकविदों और गणितज्ञों द्वारा गहन अध्ययन किया जाता है। पेनरोज़ टिलिंग्स के लिए एनजी डी ब्रुइजन की कट-एंड-प्रोजेक्ट पद्धति अंततः मेयर सेट के सिद्धांत का उदाहरण बन गया। आज एपेरियोडिक टाइलिंग पर बड़ी मात्रा में साहित्य है।

आइंस्टीन समस्या (ईन स्टीन, पत्थर) एपेरियोडिक टाइलिंग है जो केवल एक आकार का उपयोग करती है। इस प्रकार की पहली टाइल 2013 में सोकोलर-टेलर टाइल में खोजी गई थी, जो चूंकि एक टुकड़े में जुड़ी नहीं है। 2023 में एक "हैट" नामक आकार का उपयोग करके एक कनेक्टेड टाइल की खोज की गई थी।

निर्माण
एपेरियोडिक टाइलिंग के कुछ निर्माण ज्ञात हैं। कुछ निर्माण टाइलों के एपेरियोडिक सेट के अनंत परिवारों पर आधारित हैं। जो निर्माण पाए गए हैं, वे मुख्य रूप से कुछ प्रकार के गैर-आवधिक पदानुक्रमित संरचना को विवश करके कुछ विधियों से बनाए गए हैं। इसके अतिरिक्त, डोमिनोज़ समस्या की अनिर्णीत समस्या यह सुनिश्चित करती है कि निर्माण के अनंत रूप से कई अलग-अलग सिद्धांत होने चाहिए, और वास्तव में, टाइलों के एपेरियोडिक सेट उपस्थित हैं, जिनके लिए उनकी एपरियोडिकिटी का कोई प्रमाण नहीं हो सकता है।

एपेरियोडिक पदानुक्रमित झुकाव
आज तक, टाइलिंग में पदानुक्रमित संरचना होने पर वर्णन करने वाली कोई औपचारिक परिभाषा नहीं है; परन्तु, यह स्पष्ट है कि प्रतिस्थापन झुकाव उनके पास है, जैसा कि बर्जर, डोनाल्ड नुथ, हंस लॉचली और राफेल रॉबिन्सन की टाइलिंग करते हैं। जैसा कि एपरियोडिक टाइलिंग शब्द के साथ ही, "एपेरियोडिक पदानुक्रमित टाइलिंग" शब्द एक सुविधाजनक आशुलिपि है, जिसका अर्थ है "टाइल्स का एक सेट जो केवल गैर-आवधिक झुकाव को एक पदानुक्रमित संरचना के साथ स्वीकार करता है"।

टाइल्स के इन सेटों में से प्रत्येक, किसी भी टाइलिंग में वे स्वीकार करते हैं, विशेष पदानुक्रमित संरचना को बल देते हैं। (बाद के कई उदाहरणों में, इस संरचना को प्रतिस्थापन टाइलिंग प्रणाली के रूप में वर्णित किया जा सकता है; यह नीचे वर्णित है)। इस प्रकार के टाइलों के सेट द्वारा स्वीकृत कोई भी टाइलिंग आवधिक नहीं हो सकती है, केवल इसलिए कि कोई एकल अनुवाद संपूर्ण पदानुक्रमित संरचना को अपरिवर्तनीय नहीं छोड़ सकता है। रॉबिन्सन की 1971 की टाइलों पर विचार करें:

इन टाइलों द्वारा कोई भी टाइलिंग केवल चौकोर जाली के पदानुक्रम को प्रदर्शित कर सकती है, किसी भी नारंगी वर्ग का केंद्र भी एक बड़े नारंगी वर्ग विज्ञापन अनंत का एक कोना है। कोई भी अनुवाद वर्ग के आकार से छोटा होना चाहिए और इसलिए ऐसा कोई टाइलिंग अपरिवर्तनीय नहीं छोड़ा जा सकता है।

रॉबिन्सन सिद्ध करता है कि इन टाइलों को इस संरचना को अनिवार्य रूप से बनाना चाहिए; वास्तव में, टाइलों को ऐसे ब्लॉक बनाने चाहिए जो स्वयं मूल टाइलों के बड़े संस्करणों के रूप में साथ फिट हों, और इसी प्रकार आगे भी होना चाहिये। टाइल्स के सेट खोजने का यह विचार जो केवल पदानुक्रमित संरचनाओं को स्वीकार कर सकता है - आज तक टाइल्स के सबसे ज्ञात एपरियोडिक सेट के निर्माण में उपयोग किया गया है।

प्रतिस्थापन
प्रतिस्थापन टाइलिंग प्रणाली एपेरियोडिक टाइलिंग का समृद्ध स्रोत प्रदान करते हैं। टाइल्स का सेट जो प्रतिस्थापन संरचना को उभरने के लिए विवश करता है, प्रतिस्थापन संरचना को प्रायुक्त करने के लिए कहा जाता है। उदाहरण के लिए, नीचे दिखाई गई चेयर टाइलें प्रतिस्थापन स्वीकार करती हैं, और प्रतिस्थापन टाइलिंग का भाग ठीक नीचे दिखाया गया है। ये प्रतिस्थापन टिलिंग आवश्यक रूप से गैर-आवधिक हैं, जैसा कि ऊपर वर्णित है, ठीक उसी प्रकार से, किन्तु कुर्सी टाइल स्वयं एपेरियोडिक नहीं है - अचिह्नित कुर्सी टाइलों द्वारा आवधिक टिलिंग को खोजना आसान है।

चूँकि, नीचे दिखाई गई टाइलें कुर्सी प्रतिस्थापन संरचना को उभरने के लिए विवश करती हैं, और इसलिए वे स्वयं अपरियोडिक हैं।

पेनरोज़ टाइलें, और उसके तुरंत बाद अम्मान की टाइलों के कई अलग-अलग सेट, एक प्रतिस्थापन टाइलिंग संरचना को उभरने के लिए स्पष्ट रूप से विवश करने के आधार पर पहला उदाहरण था। जोशुआ सोकोलर, रोजर पेनरोज़, लुडविग डेंजर, और चैम गुडमैन-स्ट्रॉस ने बाद के कई सेट खोजे हैं। शाहर मूसा ने पहला सामान्य निर्माण दिया, जिसमें दिखाया गया है कि एक आयामी प्रतिस्थापन प्रणाली के प्रत्येक उत्पाद को मिलान नियमों द्वारा प्रायुक्त किया जा सकता है। चार्ल्स रेडिन ने पाया कि कॉनवे-पिनव्हील प्रतिस्थापन टाइलिंग प्रणाली को प्रायुक्त करने वाले नियम हैं। 1998 में, गुडमैन-स्ट्रॉस ने दिखाया कि कि कुछ हल्के परिस्थितियों के अधीन, किसी भी प्रतिस्थापन टाइलिंग संरचना को प्रायुक्त करने के लिए स्थानीय मिलान नियमों को पाया जा सकता है।

कट-एंड-प्रोजेक्ट विधि
गैर-आवधिक टाइलिंग को उच्च-आयामी संरचनाओं के प्रक्षेपण से निम्न आयाम वाले स्थानों में भी प्राप्त किया जा सकता है और कुछ परिस्थितियों में ऐसी टाइलें हो सकती हैं जो इस गैर-आवधिक संरचना को प्रायुक्त करती हैं और इसलिए एपेरियोडिक हैं। पेनरोज़ टाइलें इसका पहला और सबसे प्रसिद्ध उदाहरण हैं, जैसा कि सबसे पहले निकोलस गवर्नमेंट डी ब्रुजन के अग्रणी कार्य में उल्लेख किया गया है। कट और प्रोजेक्ट टाइलिंग का अभी तक कोई पूर्ण (बीजगणितीय) लक्षण वर्णन नहीं है, जिसे मिलान नियमों द्वारा प्रायुक्त किया जा सकता है, चूंकि कई आवश्यक या पर्याप्त शर्तें ज्ञात हैं।



अन्य विधियाँ
केवल कुछ भिन्न प्रकार के निर्माण पाए गए हैं। विशेष रूप से, जार्को कारी ने टाइलों की पंक्तियों द्वारा एन्कोड किए गए वास्तविक संख्याओं के 2 या 2/3 गुणा के आधार पर वैंग टाइलों का एपेरियोडिक सेट दिया (एन्कोडिंग स्टर्मियन शब्द से संबंधित है जो बीट्टी अनुक्रमों के लगातार तत्वों के अंतर के रूप में बनाया गया है), साथ में अनियमितता मुख्य रूप से इस तथ्य पर निर्भर करता है कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक n और m के लिए 2n/3m कभी भी 1 के बराबर नहीं होता है। इस विधि को बाद में चैम गुडमैन-स्ट्रॉस द्वारा अतिशयोक्तिपूर्ण तल में टाइलों का एक जोरदार एपेरियोडिक सेट देने के लिए अनुकूलित किया गया था। शाहर मोज़ेस ने टाइलों के एपेरियोडिक सेटों के कई वैकल्पिक निर्माण पाए हैं, कुछ अधिक विदेशी सेटिंग्स में; उदाहरण के लिए अर्ध-सरल लाइ समूहों में। ब्लॉक और वेनबर्गर ने सभी गैर-सहयोगी समूह के लिए टाइलों के एपेरियोडिक सेट के निर्माण के लिए होमोलॉजिकल विधियों का उपयोग किया था। जोशुआ सोकोलर ने वैकल्पिक स्थिति के संदर्भ में, एपेरियोडिसिटी को प्रायुक्त करने का और विधि भी दिया। यह सामान्यतः प्रतिस्थापन से प्राप्त टाइल की तुलना में बहुत छोटे टाइल सेट की ओर जाता है।

भौतिकी
1984 तक एपेरियोडिक टिलिंग को गणितीय कलाकृतियों के रूप में माना जाता था, जब भौतिक विज्ञानी डैन शेचमैन ने एल्यूमीनियम-मैंगनीज मिश्र धातु के चरण की खोज की घोषणा की, जो स्पष्ट पांच गुना समरूपता के साथ तेज डिफ्रेक्टोग्राम का उत्पादन करता था। - तो यह क्रिस्टलीय पदार्थ होना चाहिए जिसमें आईकोसाहेड्रल समरूपता हो। 1975 में रॉबर्ट अम्मन ने पहले ही पेनरोज़ निर्माण को त्रि-आयामी आईकोसाहेड्रल समकक्ष तक बढ़ा दिया था। ऐसे स्थितियों में 'टाइलिंग' शब्द का अर्थ 'अंतरिक्ष को भरना' माना जाता है। फोटोनिक उपकरणों को वर्तमान में विभिन्न परतों के एपेरियोडिकल अनुक्रमों के रूप में बनाया गया है, इस प्रकार दिशा में एपेरियोडिक और अन्य दो में आवधिक है। Cd-Te की अर्ध-क्रिस्टल संरचनाएँ परमाणु परतों से बनी प्रतीत होती हैं जिनमें परमाणु समतलीय अपरियोडिक पैटर्न में व्यवस्थित होते हैं। कभी-कभी ऐसी एपेरियोडिक संरचनाओं के लिए ऊर्जावान न्यूनतम या अधिकतम एंट्रॉपी होती है। स्टाइनहार्ट ने दिखाया है कि गममेल्ट के अतिव्यापी डेकागन चरम सिद्धांत के अनुप्रयोग की अनुमति देते हैं और इस प्रकार एपेरियोडिक टाइलिंग के गणित और क्वासिक क्रिस्टल की संरचना के बीच की कड़ी प्रदान करते हैं। फैराडे तरंगों को एपेरियोडिक पैटर्न के बड़े पैच बनाने के लिए देखा गया है। इस खोज की भौतिकी ने असामान्य संरचनाओं और आवृत्तियों में रुचि को पुनर्जीवित किया है जो एपेरियोडिक झुकाव को हस्तक्षेप (तरंग प्रसार) घटना के साथ जोड़ने का सुझाव देता है।

शब्दावली के संबंध में भ्रम
एपेरियोडिक शब्द का उपयोग गणितीय साहित्य में विभिन्न विधियों (और अन्य गणितीय क्षेत्रों में भी, जैसे कि डायनेमिक प्रणाली या ग्राफ सिद्धांत, पूरी प्रकार से अलग अर्थों के साथ) से किया गया है। टाइलिंग के संबंध में एपेरियोडिक शब्द को कभी-कभी गैर-आवधिक शब्द के साथ समानार्थी रूप से प्रयोग किया जाता था। एक गैर-आवधिक टाइलिंग केवल एक है जो किसी भी गैर-तुच्छ अनुवाद द्वारा तय नहीं की जाती है। कभी-कभी यह शब्द परोक्ष रूप से या स्पष्ट रूप से प्रोटोटाइल्स के एपेरियोडिक सेट द्वारा उत्पन्न एक टाइलिंग के रूप में वर्णित है। बार-बार एपेरियोडिक शब्द का उपयोग भौतिक एपेरियोडिक सॉलिड्स जैसे कि क्वासिक क्रिस्टल, या किसी प्रकार की वैश्विक व्यवस्था के साथ गैर-आवधिक के संदर्भ में विचाराधीन संरचनाओं का वर्णन करने के लिए अस्पष्ट रूप से किया गया था।।

टाइलिंग शब्द का उपयोग इसकी सीधी परिभाषा के अतिरिक्त भी समस्याग्रस्त है। कोई एकल पेनरोज़ टाइलिंग नहीं है, उदाहरण के लिए: पेनरोज़ रॉम्ब असीमित रूप से कई टाइलिंग (जिन्हें स्थानीय रूप से अलग नहीं किया जा सकता है) स्वीकार करते हैं। तकनीकी लेखन में शब्दों का सावधानीपूर्वक उपयोग करने का प्रयास करना सामान्य समाधान है, किन्तु अनौपचारिक शब्दों के व्यापक उपयोग को पहचानना है।

यह भी देखें

 * गिरिह टाइल्स
 * टाइलों के एपेरियोडिक सेट की सूची
 * क्वासिक्रिस्टल
 * ज़ुल्ली

बाहरी संबंध

 * The Geometry Junkyard
 * Aperiodic Tilings
 * The Infinite Pattern That Never Repeats