सममित समष्टि

गणित में, सममित समष्टि स्यूडो- रीमानियन कई गुना (या अधिक सामान्यतः, छद्म-रीमानियन मैनिफोल्ड) होता है, जिसके समरूपता के समूह में प्रत्येक बिंदु के बारे में उलटा समरूपता होती है। इसका अध्ययन रीमानियन ज्यामिति के उपकरणों के साथ किया जा सकता है, जिससे होलोनोमी के सिद्धांत में परिणाम सामने आते हैं, या बीजगणितीय रूप से असत्य सिद्धांत के माध्यम से, जिसने एली कार्टन को पूर्ण वर्गीकरण देने की अनुमति दी जाती हैं। सममित समष्टि सामान्यतः अंतर ज्यामिति, प्रतिनिधित्व सिद्धांत और हार्मोनिक विश्लेषण में होते हैं।

ज्यामितीय शब्दों में, पूर्ण, बस जुड़ा हुआ रीमानियन मैनिफोल्ड सममित समष्टि है यदि और केवल यदि इसका वक्रता टेंसर समानांतर परिवहन के अनुसार अपरिवर्तनीय है। अधिक सामान्यतः, रिमेंनियन मैनिफोल्ड (एम, जी) को सममित कहा जाता है यदि और केवल यदि एम के प्रत्येक बिंदु पी के लिए, आइसोमेट्री सम्मिलित है। 'एम' 'पी' को ठीक करता है और स्पर्शरेखा समष्टि $$T_pM$$ पर अभिनय करता है, इस प्रकार शून्य से पहचान के रूप में (प्रत्येक सममित समष्टि पूर्ण रूप से कई गुना है, क्योंकि किसी भी जियोडेसिक को समापन बिंदुओं के बारे में समरूपता के माध्यम से अनिश्चित काल तक बढ़ाया जा सकता है)। दोनों विवरणों को स्वाभाविक रूप से स्यूडो-रीमानियन मैनिफोल्ड्स की सेटिंग तक बढ़ाया जा सकता है।

लाई सिद्धांत के दृष्टिकोण से, सममित समष्टि लाई उपसमूह एच द्वारा जुड़े लाई समूह जी का भागफल जी/एच है जो जी के समावेशन (गणित) के अपरिवर्तनीय समूह का (एक जुड़ा हुआ घटक) है। यह परिभाषा में रिमेंनियन परिभाषा से अधिक सम्मिलित है, और एच कॉम्पैक्ट होने पर इसे कम कर देता है।

रीइमेन्नियन सममित समष्टि गणित और भौतिकी दोनों में विभिन्न प्रकार की स्थितियों में उत्पन्न होते हैं। होलोनॉमी के सिद्धांत में उनकी केंद्रीय भूमिका की खोज मार्सेल बर्जर ने की थी। वे प्रतिनिधित्व सिद्धांत और हार्मोनिक विश्लेषण के साथ-साथ अंतर ज्यामिति में अध्ययन की महत्वपूर्ण वस्तुएं हैं।

ज्यामितीय परिभाषा
एम को जुड़ा हुआ रिमेंनियन मैनिफोल्ड और एम का बिंदु है। पी के समीप के भिन्नता एफ को 'जियोडेसिक समरूपता' कहा जाता है यदि यह बिंदु पी को ठीक करता है और उस बिंदु के माध्यम से भूगर्भ विज्ञान को उलट देता है, अर्ताथ यदि γ भूगर्भीय है $$ \gamma(0)=p$$ तब $$f(\gamma(t))=\gamma(-t).$$ होता हैं। यह इस प्रकार है कि पी पर मानचित्र एफ का व्युत्पन्न पी के स्पर्शरेखा समष्टि पर पहचान मानचित्र घटा है। सामान्य रीमानियन मैनिफोल्ड पर, f को आइसोमेट्रिक होने की आवश्यकता नहीं है, न ही इसे सामान्य रूप से, p के समीप से M के सभी तक बढ़ाया जा सकता है।

M को 'समष्टिीय रूप से रिमेंनियन सममित' कहा जाता है यदि इसकी भूगणित समरूपता वास्तव में सममितीय है। यह वक्रता टेंसर के सहसंयोजक व्युत्पन्न के लुप्त होने के बराबर है। एक समष्टिीय रूप से सममित समष्टि को '(वैश्विक रूप से) सममित समष्टि' कहा जाता है, यदि इसके अतिरिक्त इसके जियोडेसिक समरूपता को सभी एम पर आइसोमेट्री तक बढ़ाया जा सकता है।

मूल गुण
कार्टन-एम्ब्रोस-हिक्स प्रमेय का अर्थ है कि एम समष्टिीय रूप से रिमेंनियन सममित है यदि और केवल यदि इसका वक्रता टेंसर सहसंयोजक व्युत्पन्न है, और इसके अतिरिक्त यह कि प्रत्येक सरल रूप से जुड़ा हुआ, पूर्ण समष्टि समष्टिीय रूप से रीमानियन सममित समष्टि वास्तव में रीमानियन सममित है।

प्रत्येक रिमेंनियन सममित समष्टि M पूर्ण है और रीमानियन सजातीय समष्टि (जिसका अर्थ है कि M का आइसोमेट्री समूह M पर सकर्मक रूप से कार्य करता है)। वास्तव में, आइसोमेट्री समूह का पहले से ही पहचान घटक एम पर सकर्मक रूप से कार्य करता है (क्योंकि एम जुड़ा हुआ है)। समष्टिीय रूप से रिमेंनियन सममित रिक्त समष्टि जो रिमेंनियन सममित नहीं हैं, को रीमानियन सममित रिक्त समष्टि के भागफल के रूप में आइसोमेट्री के असतत समूहों द्वारा बिना किसी निश्चित बिंदु के, और (समष्टिीय रूप से) रीमानियन सममित रिक्त समष्टि के खुले उपसमुच्चय के रूप में बनाया जा सकता है।

उदाहरण
रिमेंनियन सममित रिक्त समष्टि के मूल उदाहरण यूक्लिडियन समष्टि, गोले, प्रक्षेपी समष्टि और अतिपरवलयिक समष्टि हैं, जिनमें से प्रत्येक अपने मानक रीमानियन मैट्रिक्स के साथ हैं। अधिक उदाहरण कॉम्पैक्ट, अर्ध-सरल लाई समूहों द्वारा प्रदान किए जाते हैं जो द्वि-अपरिवर्तनीय रिमेंनियन मीट्रिक से लैस होते हैं।

1 से अधिक जीनस की प्रत्येक कॉम्पैक्ट रीमैन सतह (निरंतर वक्रता -1 की अपनी सामान्य मीट्रिक के साथ) समष्टिीय रूप से सममित समष्टि है, लेकिन सममित समष्टि नहीं है।

प्रत्येक लेंस समष्टि समष्टिीय रूप से सममित है लेकिन सममित नहीं है, इसके अपवाद के साथ $$L(2,1)$$ जो सममित है। लेंस रिक्त समष्टि असतत आइसोमेट्री द्वारा 3-गोले के भागफल हैं जिनका कोई निश्चित बिंदु नहीं है।

एक गैर-रिमेंनियन सममित समष्टि का उदाहरण एंटी-डी सिटर समष्टि है।

बीजगणितीय परिभाषा
यहाँ पर बता दें कि G कनेक्टेड लाइ ग्रुप है। फिर जी के लिए 'सममित समष्टि' सजातीय समष्टि जी/एच है जहां विशिष्ट बिंदु का स्टेबलाइज़र एच ऑट (जी) में इनवॉल्यूशन (गणित) σ के निश्चित बिंदु सेट का खुला उपसमूह है। इस प्रकार σ σ के साथ G2 = आईडीG का ऑटोमोर्फिज्म है, और एच अपरिवर्तनीय सेट का खुला उपसमूह है


 * $$ G^\sigma=\{ g\in G: \sigma(g) = g\}.$$

क्योंकि H खुला है, यह G के घटकों का संघ हैσ (बेशक, पहचान घटक सहित)।

जी के ऑटोमोर्फिज्म के रूप में, σ पहचान तत्व को ठीक करता है, और इसलिए, पहचान में अंतर करके, यह लाई बीजगणित के ऑटोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है। $$\mathfrak g$$ G का, जिसे σ द्वारा भी निरूपित किया जाता है, जिसका वर्ग सर्वसमिका है। यह इस प्रकार है कि σ के eigenvalues ​​​​± 1 हैं। +1 आइगेनसमष्टि लाई बीजगणित है $$\mathfrak h$$ एच का (चूंकि यह जी का असत्य बीजगणित हैσ), और −1 आइगेनसमष्टि को दर्शाया जाएगा $$\mathfrak m$$. चूंकि σ का स्वाकारीकरण $$\mathfrak g$$ है, यह असत्य बीजगणित अपघटन का प्रत्यक्ष योग देता है
 * $$ \mathfrak g = \mathfrak h\oplus\mathfrak m$$

इसके साथ
 * $$ [\mathfrak h,\mathfrak h]\subset \mathfrak h,\; [\mathfrak h,\mathfrak m]\subset \mathfrak m,\; [\mathfrak m,\mathfrak m]\subset \mathfrak h.$$

किसी भी सजातीय समष्टि के लिए पहली स्थिति स्वचालित है: यह केवल अतिसूक्ष्म स्टेबलाइजर $$\mathfrak h$$ का ले सबलजेब्रा $$\mathfrak g$$ है, इस प्रकार इसकी दूसरी शर्त का अर्थ $$\mathfrak m$$ $$\mathfrak h$$-अपरिवर्तनीय पूरक $$\mathfrak h$$ में $$\mathfrak g$$ से है, इस प्रकार कोई भी सममित समष्टि रिडक्टिव सजातीय समष्टि है, लेकिन कई रिडक्टिव सजातीय समष्टि हैं जो सममित समष्टि नहीं हैं। सममित रिक्त समष्टि की मुख्य विशेषता तीसरी शर्त है कि $$\mathfrak m$$ कोष्ठक में $$\mathfrak h$$ के समान हैं।

इसके विपरीत, कोई असत्य बीजगणित दिया गया है $$ \mathfrak g$$ इन तीन स्थितियों को संतुष्ट करने वाले प्रत्यक्ष योग अपघटन के साथ, रैखिक मानचित्र σ, पर पहचान के बराबर $$\mathfrak h$$ और माइनस आइडेंटिटी ऑन $$\mathfrak m$$, समावेशी ऑटोमोर्फिज्म है।

रिमेंनियन सममित समष्टि असत्य-सैद्धांतिक विशेषता को संतुष्ट करते हैं
यदि M रिमेंनियन सममित समष्टि है, तो M के आइसोमेट्री समूह का पहचान घटक G Lie समूह है जो M पर सकर्मक रूप से कार्य करता है (अर्थात, M रीइमेन्नियन सजातीय है)। इसलिए, यदि हम M के कुछ बिंदु p को ठीक करते हैं, तो M भागफल G/K के लिए भिन्न है, जहाँ K, P पर M पर G की क्रिया के समसमष्टििक समूह को दर्शाता है। p पर क्रिया को अवकलित करके हम T पर K की सममितीय क्रिया प्राप्त करते हैंpएम। यह क्रिया वफादार है (उदाहरण के लिए, कोस्टेंट के प्रमेय द्वारा, पहचान घटक में किसी भी आइसोमेट्री को इसके जेट बंडल द्वारा निर्धारित किया जाता है। किसी भी बिंदु पर 1-जेट) और इसलिए के टी के ऑर्थोगोनल समूह का उपसमूह हैpएम, इसलिए कॉम्पैक्ट। इसके अतिरिक्त, यदि हम एस द्वारा निरूपित करते हैंp: M → M p पर M की जियोडेसिक समरूपता को मानचित्र से प्रदर्शित किया जा सकता हैं।
 * $$\sigma: G \to G, h \mapsto s_p \circ h \circ s_p$$

एक इनवोल्यूशन (गणित) असत्य समूह आटोमार्फिज्म है जैसे कि आइसोट्रॉपी समूह K निश्चित बिंदु समूह $$G^\sigma$$ के बीच समाहित है और इसका पहचान घटक (इसलिए खुला उपसमूह) $$(G^\sigma)_o\,,$$ अधिक जानकारी के लिए पृष्ठ 209, अध्याय IV, हेल्गसन की डिफरेंशियल ज्योमेट्री, लाई ग्रुप्स, और सिमेट्रिक समष्टिेस में सेक्शन 3 पर परिभाषा और निम्नलिखित प्रस्ताव देखें।

संक्षेप में, M कॉम्पैक्ट आइसोट्रॉपी समूह K के साथ सममित समष्टि G/K है। इसके विपरीत, कॉम्पैक्ट आइसोट्रॉपी समूह के साथ सममित समष्टि रीमानियन सममित समष्टि हैं, हालांकि यह अद्वितीय तरीके से जरूरी नहीं है। रिमेंनियन सममित समष्टि संरचना प्राप्त करने के लिए हमें पहचान कोसेट eK पर G/K के स्पर्शरेखा समष्टि पर K-इनवैरियेंट आंतरिक उत्पाद को ठीक करने की आवश्यकता है: ऐसा आंतरिक उत्पाद हमेशा औसत से सम्मिलित होता है, क्योंकि K कॉम्पैक्ट है, और G के साथ अभिनय करके, हम G/K पर G-इनवैरियेंट रीइमेन्नियन मीट्रिक g प्राप्त करते हैं।

यह दिखाने के लिए कि G/K रीमानियन सममित है, किसी भी बिंदु p = hK (K का सहसमुच्चय, जहाँ h ∈ G) पर विचार करें और परिभाषित करें
 * $$s_p: M \to M,\quad h'K \mapsto h \sigma(h^{-1}h')K$$

जहां σ जी फिक्सिंग के का समावेश है। फिर कोई उस एस की जांच कर सकता हैp (स्पष्ट रूप से) एस के साथ आइसोमेट्री हैp(पी) = पी और (अंतर करके) डीएसp टी पर पहचान घटा के बराबरpएम। इस प्रकार एसp जियोडेसिक समरूपता है और, चूंकि p मनमाना था, M रिमेंनियन सममित समष्टि है।

यदि कोई रिमेंनियन सममित समष्टि M से प्रारंभ करता है, और फिर इन दो निर्माणों को अनुक्रम में करता है, तो प्राप्त रिमेंनियन सममित समष्टि मूल के लिए सममितीय है। इससे पता चलता है कि बीजगणितीय डेटा (जी, के, σ, जी) पूरी तरह से एम की संरचना का वर्णन करता है।

रीमानियन सममित रिक्त समष्टि का वर्गीकरण
1926 में रीमानियन सममित समष्टिों के बीजगणितीय विवरण ने एली कार्टन को उनका पूर्ण वर्गीकरण प्राप्त करने में सक्षम बनाया जाता हैं।

किसी दिए गए रीमानियन सममित समष्टि एम के लिए (जी, के, σ, जी) इससे जुड़े बीजगणितीय डेटा हो। एम के संभावित आइसोमेट्री वर्गों को वर्गीकृत करने के लिए पहले ध्यान दें कि रिमेंनियन सममित समष्टि का सार्वभौमिक कवर फिर से रीमानियन सममित है, और कवरिंग मैप को इसके केंद्र के उपसमूह द्वारा कवरिंग के जुड़े आइसोमेट्री समूह जी को विभाजित करके वर्णित किया गया है। इसलिए, हम व्यापकता के नुकसान के बिना मान सकते हैं कि एम बस जुड़ा हुआ है। (इसका अर्थ है कि के कंपन के लंबे सटीक अनुक्रम से जुड़ा हुआ है, क्योंकि जी धारणा से जुड़ा हुआ है।)

वर्गीकरण योजना
एक साधारण रूप से जुड़े हुए रिमेंनियन सममित समष्टि को इरेड्यूसिबल कहा जाता है यदि यह दो या अधिक रीमानियन सममित समष्टिों का उत्पाद नहीं है। तब यह दिखाया जा सकता है कि कोई भी आसानी से जुड़ा हुआ रिमेंनियन सममित समष्टि इर्रिडिएबल का रिमेंनियन उत्पाद है। इसलिए, हम खुद को इरेड्यूसिबल, बस जुड़े हुए रिमेंनियन सममित समष्टिों को वर्गीकृत करने के लिए खुद को प्रतिबंधित कर सकते हैं।

अगला कदम यह दिखाना है कि कोई भी अप्रासंगिक, बस जुड़ा हुआ रिमेंनियन सममित समष्टि एम निम्नलिखित तीन प्रकारों में से है:

1. यूक्लिडियन प्रकार: M की वक्रता गायब हो जाती है, और इसलिए यह यूक्लिडियन समष्टि के लिए सममितीय है।

2. कॉम्पैक्ट प्रकार: 'एम' में गैर-ऋणात्मक (लेकिन समान रूप से शून्य नहीं) अनुभागीय वक्रता है।

3. गैर-कॉम्पैक्ट प्रकार: 'एम' में गैर-धनात्मक (लेकिन समान रूप से शून्य नहीं) अनुभागीय वक्रता है।

एक अधिक परिष्कृत अपरिवर्तनीय रैंक है, जो स्पर्शरेखा समष्टि (किसी भी बिंदु पर) के उप-समष्टि का अधिकतम आयाम है, जिस पर वक्रता समान रूप से शून्य है। रैंक हमेशा कम से कम है, समानता के साथ यदि अनुभागीय वक्रता धनात्मक या ऋणात्मक है। यदि वक्रता धनात्मक है, तो समष्टि सघन प्रकार का है, और यदि ऋणात्मक है, तो यह असंहत प्रकार का है। यूक्लिडियन प्रकार के रिक्त समष्टि उनके आयाम के बराबर रैंक रखते हैं और उस आयाम के यूक्लिडियन समष्टि के लिए आइसोमेट्रिक हैं। इसलिए, यह कॉम्पैक्ट और गैर-कॉम्पैक्ट प्रकार के इरेड्यूसिबल, बस जुड़े हुए रिमेंनियन सममित रिक्त समष्टि को वर्गीकृत करने के लिए बना हुआ है। दोनों ही स्थितियों में दो वर्ग हैं।

ए जी (वास्तविक) सरल असत्य समूह है;

B. G या तो खुद के साथ कॉम्पैक्ट सिंपल लाइ ग्रुप (कॉम्पैक्ट टाइप) का उत्पाद है, या इस तरह के लाइ ग्रुप (नॉन-कॉम्पैक्ट टाइप) का जटिलता है।

कक्षा बी के उदाहरण पूरी तरह से सरल असत्य समूहों के वर्गीकरण द्वारा वर्णित हैं। कॉम्पैक्ट प्रकार के लिए, M कॉम्पैक्ट बस जुड़ा हुआ सरल लाइ समूह है, G M×M है और K विकर्ण उपसमूह है। गैर-कॉम्पैक्ट प्रकार के लिए, जी सरल रूप से जुड़ा हुआ जटिल सरल लाइ समूह है और के इसका अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह है। दोनों ही स्थितियों में, रैंक लाई ग्रुप की रैंक है|G की रैंक है।

कॉम्पैक्ट बस जुड़े हुए असत्य समूह शास्त्रीय असत्य समूहों $$\mathrm{SO}(n)$$, $$\mathrm{SU}(n)$$, $$\mathrm{Sp}(n)$$ के सार्वभौमिक आवरण हैं और पांच असाधारण असत्य समूह ई6, और7, और8, एफ4, जी2 असाधारण बीजगणित को प्रदर्शित करते हैं।

कक्षा ए के उदाहरण पूरी तरह से गैर-कॉम्पैक्ट के वर्गीकरण द्वारा वास्तविक सरल असत्य समूहों से जुड़े हुए हैं। गैर-कॉम्पैक्ट प्रकार के लिए, G ऐसा समूह है और K इसका अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह है। इस तरह के प्रत्येक उदाहरण में कॉम्पैक्ट प्रकार का समान उदाहरण है, जी के जटिलता के अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह पर विचार करके जिसमें के सम्मिलित है। संयुग्मन)। इस तरह के अंतर्विरोध G के जटिलीकरण के अंतर्वलन तक विस्तारित होते हैं, और ये बदले में G के गैर-कॉम्पैक्ट वास्तविक रूपों को वर्गीकृत करते हैं।

कक्षा ए और कक्षा बी दोनों में कॉम्पैक्ट प्रकार और गैर-कॉम्पैक्ट प्रकार के सममित रिक्त समष्टि के बीच पत्राचार होता है। यह रिमेंनियन सममित रिक्त समष्टि के लिए द्वैत के रूप में जाना जाता है।

वर्गीकरण परिणाम
वर्ग ए और कॉम्पैक्ट प्रकार के रिमेंनियन सममित समष्टिों के लिए विशेषज्ञता, कार्टन ने पाया कि निम्नलिखित सात अनंत श्रृंखलाएं और बारह असाधारण रीमानियन सममित समष्टि जी / के हैं। वे यहाँ G और K के संदर्भ में दिए गए हैं, साथ में ज्यामितीय व्याख्या के साथ, यदि आसानी से उपलब्ध हो। इन जगहों की लेबलिंग कार्टन द्वारा दी गई है।

ग्रासमैनियन के रूप में
एक और आधुनिक वर्गीकरण फ्रायडेंथल जादू वर्ग निर्माण के माध्यम से समान रूप से कॉम्पैक्ट और गैर-कॉम्पैक्ट दोनों, रिमेंनियन सममित रिक्त समष्टि वर्गीकृत करता है। अलघुकरणीय कॉम्पैक्ट रीमानियन सममित रिक्त समष्टि, परिमित आवरण तक, या तो कॉम्पैक्ट सरल लाइ समूह, ग्रासमैनियन, लैगरेंजियन ग्रासमैन्नियन, या उप-समष्टिों का डबल लैगरेंजियन ग्रासमैन्नियन है। $$(\mathbf A \otimes \mathbf B)^n,$$ नॉर्म्ड डिवीजन बीजगणित ए और बी के लिए किया जाता हैं। समान निर्माण इरेड्यूसिबल गैर-कॉम्पैक्ट रीमानियन सममित रिक्त समष्टि का उत्पादन करता है।

सामान्य सममित समष्टि
रिमेंनियन सममित रिक्त समष्टि को सामान्य करने वाले सममित रिक्त समष्टि का महत्वपूर्ण वर्ग छद्म-रीमानियन सममित समष्टि है, जिसमें रीमानियन मीट्रिक को छद्म-रीमानियन मीट्रिक (प्रत्येक स्पर्शरेखा समष्टि पर धनात्मक निश्चित के अतिरिक्त नॉनजेनरेट) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। विशेष रूप से, लोरेंत्ज़ियन सममित समष्टि, अर्ताथ, एन आयामी छद्म-रीमानियन हस्ताक्षर के सममित समष्टि (एन - 1,1), सामान्य सापेक्षता में महत्वपूर्ण हैं, सबसे उल्लेखनीय उदाहरण मिंकोव्स्की समष्टि, डी सिटर हैं समष्टि और एंटी-डी सिटर समष्टि (क्रमशः शून्य, धनात्मक और ऋणात्मक वक्रता के साथ) रहता हैं। इस प्रकार आयाम n के डी सिटर समष्टि की पहचान आयाम n +1 के मिन्कोवस्की समष्टि में 1-शीट वाले हाइपरबोलॉइड से की जा सकती है।

सममित और समष्टिीय रूप से सममित रिक्त समष्टि को सामान्य रूप से सममित सममित समष्टि माना जा सकता है। यदि एम = जी/एच सममित समष्टि है, तो नोमिजु ने दिखाया कि जी-अपरिवर्तनीय मरोड़-मुक्त संबंध संबंध है (अर्थात संबंध संबंध जिसका मरोड़ तनाव गायब हो जाता है) 'एम' पर जिसका कनेक्शन का वक्रता समानांतर परिवहन है। इसके विपरीत, इस तरह के कनेक्शन के साथ कई गुना समष्टिीय रूप से सममित है (अर्ताथ, इसका सार्वभौमिक आवरण सममित समष्टि है)। इस तरह के मैनिफोल्ड्स को उन एफाइन मैनिफोल्ड्स के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है, जिनकी जियोडेसिक समरूपताएं विश्व स्तर पर परिभाषित एफिन डिफियोमोर्फिज्म हैं, जो रिमेंनियन और छद्म-रीमानियन स्थिति को सामान्य करती हैं।

वर्गीकरण परिणाम
रीमानियन सममित रिक्त समष्टि का वर्गीकरण सामान्य कारण के लिए सामान्य स्थिति में आसानी से विस्तार नहीं करता है कि सममित समष्टि का कोई सामान्य विभाजन इरेड्यूसिबल्स के उत्पाद में नहीं होता है। यहाँ लाई बीजगणित के साथ सममित समष्टि G/H है
 * $$\mathfrak g = \mathfrak h\oplus \mathfrak m$$

अप्रासंगिक कहा जाता है यदि $$\mathfrak m$$ का अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व $$\mathfrak h$$ है इस कारण तब से $$\mathfrak h$$ सामान्य रूप से सेमीसिम्पल (या यहां तक ​​कि रिडक्टिव) नहीं है, इसमें अविघटनीय मॉड्यूल अभ्यावेदन हो सकते हैं जो इरेड्यूसेबल नहीं हैं।

हालांकि, अलघुकरणीय सममित रिक्त समष्टि वर्गीकृत किया जा सकता है। जैसा कि और अपरिष्कृत पानी द्वारा दिखाया गया है, द्विभाजन है: अलघुकरणीय सममित समष्टि G/H या तो समतल है (अर्थात, सजातीय समष्टि) या $$\mathfrak g$$ अर्धसरल है। यह यूक्लिडियन रिक्त समष्टि और कॉम्पैक्ट या गैर-कॉम्पैक्ट प्रकार के बीच रिमेंनियन द्विभाजन का एनालॉग है, और इसने एम. बर्जर को सेमीसिम्पल सममित रिक्त समष्टि (अर्ताथ, वाले) को वर्गीकृत करने के लिए प्रेरित किया $$\mathfrak g$$ सेमीसिंपल) और निर्धारित करें कि इनमें से कौन सा अलघुकरणीय है। बाद वाला प्रश्न रीमानियन स्थिति की तुलना में अधिक सूक्ष्म है: भले ही $$\mathfrak g$$ सरल है, G/H अलघुकरणीय नहीं हो सकता है।

जैसा कि रीमानियन स्थिति में जी = एच × एच के साथ अर्ध-सरल सममित समष्टि हैं। कोई भी अर्ध-सरल सममित समष्टि सममित रिक्त समष्टि के साथ इस रूप के सममित रिक्त समष्टि का उत्पाद है जैसे कि $$\mathfrak g$$ साधारण है। यह बाद के स्थिति का वर्णन करने के लिए बनी हुई है। इसके लिए, (वास्तविक) सरल लाई बीजगणित के इनवोल्यूशन σ को वर्गीकृत करने की आवश्यकता है, इस प्रकार $$\mathfrak g$$ यदि $$\mathfrak g^c$$ सरल नहीं है, तो $$\mathfrak g$$ जटिल सरल लाई बीजगणित है, और संबंधित सममित रिक्त समष्टि का रूप G/H है, जहां H, G का वास्तविक रूप है: ये रीइमेन्नियन सममित रिक्त समष्टि G/K के अनुरूप हैं, जिसमें G जटिल सरल लाई समूह है, और K अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह प्रकट करता हैं।

इस प्रकार हम मान सकते हैं $$\mathfrak g^c$$ साधारण है। असली सबलजेब्रा $$\mathfrak g$$ के जटिल एंटीलाइनर इनवोल्यूशन τ के निश्चित बिंदु सेट के रूप में देखा जा सकता है $$\mathfrak g^c$$, जबकि σ जटिल एंटीलाइनर इनवोल्यूशन तक फैला हुआ है $$\mathfrak g^c$$ τ के साथ आ रहा है और इसलिए जटिल रैखिक आक्रमण σ∘τ भी है।

इसलिए वर्गीकरण जटिल लाई बीजगणित के एंटीलाइनियर इन्वोल्यूशन के आने वाले जोड़े के वर्गीकरण को कम कर देता है। समग्र σ∘τ जटिल सममित समष्टि निर्धारित करता है, जबकि τ वास्तविक रूप निर्धारित करता है। इससे किसी दिए गए के लिए सममित रिक्त समष्टि की सारणी से $$\mathfrak g^c$$ बनाना सरल है, और इसके अतिरिक्त, σ और τ का आदान-प्रदान करके स्पष्ट द्वैत दिया जाता है। यह रिमेंनियन स्थिति से कॉम्पैक्ट/गैर-कॉम्पैक्ट द्वंद्व को बढ़ाता है, जहां या तो σ या τ कार्टन इनवोल्यूशन है, अर्ताथ, इसका निश्चित बिंदु सेट अधिकतम कॉम्पैक्ट सबलजेब्रा है।

टेबल्स
निम्न तालिका प्रत्येक शास्त्रीय और असाधारण जटिल सरल असत्य समूह के लिए जटिल सममित रिक्त समष्टि और वास्तविक रूपों द्वारा वास्तविक सममित रिक्त समष्टि को अनुक्रमित करती है।

असाधारण सरल असत्य समूहों के लिए, रिमेंनियन स्थिति को स्पष्ट रूप से नीचे सम्मिलित किया गया है, जिससे σ को पहचान का समावेश (डैश द्वारा इंगित) किया जा सके। उपरोक्त तालिकाओं में यह स्पष्ट रूप से केस kl = 0 द्वारा कवर किया गया है।

कमजोर सममित रीमानियन रिक्त समष्टि
1950 के दशक में एटले सेलबर्ग ने कार्टन की सममित समष्टि की परिभाषा को कमजोर सममित रिमेंनियन समष्टि या वर्तमान शब्दावली में कमजोर सममित समष्टि तक विस्तारित किया। इन्हें रीइमेन्नियन manifolds M के रूप में परिभाषित किया गया है, जो कि आइसोमैट्रिक G के सकर्मक जुड़े हुए समूह के साथ है और isometry σ normalizing G जैसे कि x, y में दिया गया है। 'M G में आइसोमेट्री s है जैसे कि sx = σy और sy = σx। (सेलबर्ग की धारणा है कि σ2 जी का तत्व होना चाहिए जिसे बाद में अर्नेस्ट विनबर्ग द्वारा अनावश्यक दिखाया गया था।) सेलबर्ग ने प्रमाणित किया कि कमजोर सममित समष्टि गेलफैंड जोड़े को जन्म देते हैं, इसलिए विशेष रूप से एल पर जी का एकात्मक प्रतिनिधित्व2(M) बहुलता मुक्त है।

सेल्बर्ग की परिभाषा को जियोडेसिक समरूपता के सामान्यीकरण के संदर्भ में समान रूप से अभिव्यक्त किया जा सकता है। यह आवश्यक है कि M में प्रत्येक बिंदु x और x पर स्पर्शरेखा सदिश X के लिए, x और X पर निर्भर करते हुए, M की आइसोमेट्री s है, जैसे कि


 * एस फिक्स एक्स;
 * x पर s का डेरिवेटिव X को –X को भेजता है।

जब s, X से स्वतंत्र होता है, तो M सममित समष्टि होता है। जटिल सेमीसिंपल लाई बीजगणित के आवधिक ऑटोमोर्फिज्म के वर्गीकरण के आधार पर, अख़ीज़र और विनबर्ग द्वारा कमजोर सममित रिक्त समष्टि और उनके वर्गीकरण का विवरण दिया गया है।.

गुण
सममित समष्टिों के कुछ गुणों और रूपों पर ध्यान दिया जा सकता है।

मीट्रिक टेंसर उठाना
रीमानियन मैनिफोल्ड पर मीट्रिक टेंसर $$M$$ स्केलर उत्पाद पर उठाया जा सकता है $$G$$ इसे मारक रूप के साथ जोड़कर यह परिभाषित करके किया जाता है


 * $$\langle X,Y\rangle_\mathfrak{g}=\begin{cases}

\langle X,Y\rangle_p \quad & X,Y\in T_pM\cong \mathfrak{m}   \\ -B(X,Y) \quad & X,Y\in \mathfrak{h} \\ 0 & \mbox{otherwise} \end{cases} $$ यहाँ, $$\langle\cdot,\cdot\rangle_p$$ रिमेंनियन मीट्रिक पर परिभाषित किया गया है $$T_pM$$, और $$B(X,Y)=\operatorname{trace} ( \operatorname{ad} X \circ \operatorname{ad} Y)$$ संहार का रूप है। इस प्रकार माइनस साइन दिखाई देता है क्योंकि किलिंग फॉर्म नेगेटिव-डेफिनेट ऑन है $$\mathfrak{h}~;$$ यह बनाता है $$ \langle \cdot,\cdot\rangle_\mathfrak{g}$$ धनात्मक रूप से निश्चित हैं।

गुणनखंड
स्पर्शरेखा समष्टि $$\mathfrak{m}$$ किलिंग फॉर्म द्वारा वर्गीकृत ईजेनसमष्टि में आगे फैक्टर किया जा सकता है। यह निकटवर्ती मानचित्र को परिभाषित करके पूरा किया जाता है $$\mathfrak{m}\to\mathfrak{m}$$ ले रहा $$Y\mapsto Y^\#$$ जैसा


 * $$\langle X,Y^\# \rangle = B(X,Y)$$

कहाँ $$\langle \cdot,\cdot \rangle$$ रिमेंनियन मीट्रिक चालू है $$\mathfrak{m}$$ और $$B(\cdot,\cdot)$$ संहार रूप है। इस प्रकार इस मानचित्र को कभी-कभी सामान्यीकृत समष्टिांतरण कहा जाता है, जैसा कि ऑर्थोगोनल समूहों के लिए समष्टिांतरण और एकात्मक समूहों के लिए हर्मिटियन संयुग्म से मेल खाता है। यह रेखीय कार्यात्मक है, और यह स्व-संलग्न है, और इसलिए कोई यह निष्कर्ष निकालता है कि अलौकिक आधार है $$Y_1,\ldots,Y_n$$ का $$\mathfrak{m}$$ साथ उक्त समीकरण देता हैं।
 * $$Y^\#_i=\lambda_iY_i$$

इसमें मीट्रिक के संबंध में ये ऑर्थोगोनल हैं
 * $$\langle Y^\#_i,Y_j \rangle = \lambda_i \langle Y_i,Y_j \rangle = B(Y_i,Y_j) = \langle Y^\#_j,Y_i \rangle = \lambda_j \langle Y_j,Y_i \rangle$$

चूंकि किलिंग फॉर्म सममित है। यह $$\mathfrak{m}$$ ईजेनसमष्टि में गुणनखंड करता है
 * $$\mathfrak{m}=\mathfrak{m}_1\oplus\cdots\oplus\mathfrak{m}_d$$

इसके साथ
 * $$[\mathfrak{m}_i,\mathfrak{m}_j]=0$$

जिसके लिए $$i\ne j$$. के स्थिति के लिए $$\mathfrak{g}$$ सेमीसिंपल, जिससे कि किलिंग फॉर्म नॉन-डिजनरेट हो, मेट्रिक इसी प्रकार फ़ैक्टराइज़ करता है:
 * $$\langle\cdot,\cdot\rangle=\frac{1}{\lambda_1}\left.B\right|_{\mathfrak{m}_1}+\cdots +\frac{1}{\lambda_d}\left.B\right|_{\mathfrak{m}_d}$$

कुछ व्यावहारिक अनुप्रयोगों में, इस गुणनखंड की व्याख्या ऑपरेटरों के स्पेक्ट्रम के रूप में की जा सकती है, इस प्रकार उदाहरण के लिए हाइड्रोजन परमाणु का स्पेक्ट्रम, कक्षीय के कोणीय गति के विभिन्न मूल्यों के अनुरूप किलिंग फॉर्म के eigenvalues ​​​​के साथ (अर्ताथ किलिंग फॉर्म कासिमिर संचालक है जो विभिन्न अभ्यावेदन को वर्गीकृत कर सकता है जिसके अनुसार विभिन्न ऑर्बिटल्स रूपांतरित होते हैं।)

सिमिट्रिक समष्टि का वर्गीकरण इस आधार पर आगे बढ़ता है कि किलिंग फॉर्म धनात्मक/ऋणात्मक निश्चित है या नहीं इस बात का ध्यान रखा जाता हैं।

सममित समष्टि और समरूपता
यदि बिंदु पर होलोनॉमी समूह का पहचान घटक रीमानियन मैनिफोल्ड का रीमानियन होलोनॉमी टेंगेंट समष्टि पर इरेड्यूसिव रूप से कार्य करता है, तो या तो मैनिफोल्ड समष्टिीय रूप से रिमेंनियन सममित समष्टि है, या यह होलोनॉमी समूह द बर्जर वर्गीकरण में से है।

हर्मिटियन सममित समष्टि
एक रिमेंनियन सममित समष्टि जो अतिरिक्त रूप से रीमानियन मीट्रिक के साथ संगत समानांतर जटिल संरचना से सुसज्जित है, हर्मिटियन सममित समष्टि कहलाता है। कुछ उदाहरण जटिल सदिश समष्टि और जटिल प्रक्षेपी समष्टि हैं, दोनों अपने सामान्य रिमेंनियन मीट्रिक के साथ, और उपयुक्त मीट्रिक के साथ जटिल इकाई गेंदें जिससे कि वे पूर्ण और रीमानियन सममित हो जाते हैं।

एक अलघुकरणीय सममित समष्टि G/K हर्मिटियन है यदि और केवल यदि K में केंद्रीय वृत्त है। इस प्रकार इस वृत्त द्वारा चौथाई मोड़ पहचान कोसेट पर स्पर्शरेखा समष्टि पर i से गुणा के रूप में कार्य करता है। इस प्रकार हर्मिटियन सममित समष्टि वर्गीकरण से आसानी से पढ़े जाते हैं। कॉम्पैक्ट और गैर-कॉम्पैक्ट दोनों स्थितियों में यह पता चला है कि चार अनंत श्रृंखलाएं हैं, अर्थात् AIII, BDI p = 2, DIII और CI के साथ, और दो असाधारण समष्टि, अर्थात् EIII और EVII। गैर-कॉम्पैक्ट हर्मिटियन सममित रिक्त समष्टि को जटिल वेक्टर रिक्त समष्टि में बंधे हुए सममित डोमेन के रूप में महसूस किया जा सकता है।

क्वाटरनियन-कहलर सममित समष्टि
एक रिमेंनियन सममित समष्टि जो प्रत्येक बिंदु पर काल्पनिक चतुर्भुजों के लिए एंड (टीएम) आइसोमोर्फिक के समानांतर सबबंडल से सुसज्जित है, और रीमानियन मीट्रिक के साथ संगत है, जिसे क्वाटरनियन-कहलर सममित समष्टि कहा जाता है।

एक अलघुकरणीय सममित समष्टि G/K चतुष्कोणीय-कहलर है यदि और केवल यदि K के समदैशिक निरूपण में Sp(1) योग होता है और चतुर्भुज सदिश समष्टि पर इकाई चतुष्कोणों की तरह कार्य करता है। इस प्रकार चतुष्कोणीय-कहलर सममित समष्टि वर्गीकरण से आसानी से पढ़े जाते हैं। कॉम्पैक्ट और गैर-कॉम्पैक्ट दोनों स्थितियों में यह पता चला है कि प्रत्येक जटिल सरल लाई समूह के लिए बिल्कुल है, अर्थात् पी = 2 या क्यू = 2 के साथ एआई (ये आइसोमोर्फिक हैं), पी = 4 या क्यू = 4 के साथ बीडीआई, सीआईआई पी = 1 या क्यू = 1, ईआईआई, ईवीआई, ईआईएक्स, एफआई और जी के साथ देता हैं।

बॉटल आवधिकता प्रमेय
बॉटल आवधिकता प्रमेय में, स्थिर ऑर्थोगोनल समूह के लूप रिक्त समष्टि को रिडक्टिव सममित रिक्त समष्टि के रूप में व्याख्या किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * ओर्थोगोनल सिमेट्रिक ले बीजगणित
 * सटेक आरेख
 * कार्टन इनवोल्यूशन

संदर्भ

 * Contains a compact introduction and many tables.
 * The standard book on रीइमेन्नियन symmetric spaces.
 * Chapter XI contains a good introduction to रीइमेन्नियन symmetric spaces.
 * Contains a compact introduction and many tables.
 * The standard book on रीइमेन्नियन symmetric spaces.
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 * The standard book on रीइमेन्नियन symmetric spaces.
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 * Chapter XI contains a good introduction to रीइमेन्नियन symmetric spaces.
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