खुला सेट

गणित में, खुले सेट वास्तविक रेखा में खुले सेटों का सामान्यीकरण हैं।

एक मीट्रिक स्थान में (किसी भी दो बिंदुओं के बीच परिभाषित दूरी मीट्रिक (गणित) के साथ एक सेट (गणित)), खुले सेट वे सेट हैं जो प्रत्येक बिंदु P के साथ हैं, उन सभी बिंदुओं को सम्मालित करता है जो P के पर्याप्त निकट हैं (अर्थात, वे सभी बिंदु जिनकी P से दूरी P के आधार पर कुछ मान से कम है).

अधिक सामान्यतः, एक खुले सेट को किसी दिए गए सेट के सबसेट के दिए गए संग्रह के सदस्यों के रूप में परिभाषित करता है, एक संग्रह जिसमें इसके सदस्यों के प्रत्येक संघ (सेट सिद्धांत), इसके सदस्यों के प्रत्येक परिमित चौराहे (सेट सिद्धांत), खाली सेट, और पूरा सेट को ही सम्मालित करने का गुण होता है। एक सेट जिसमें ऐसा संग्रह दिया जाता है उसे टोपोलॉजिकल स्पेस कहा जाता है, और संग्रह को टोपोलॉजी (संरचना) कहा जाता है। ये स्थितियाँ बहुत अव्यवस्थित हैं, और खुले सेटों के चुनाव में अत्यधिक लचीलेपन की अनुमति देती हैं। उदाहरण के लिए, प्रत्येक सबसेट खुला ([ असतत टोपोलॉजी]) हो सकता है, केवल स्थान और खाली सेट (अविवेकी टोपोलॉजी) को छोड़कर, कोई भी सेट खुला नहीं हो सकता है।

व्यवहार में, चूंकि, खुले सेट सामान्यतः दूरी की धारणा के बिना, मीट्रिक रिक्त स्थान के समान निकटता की धारणा प्रदान करने के लिए चुने जाते हैं। विशेष रूप से, एक टोपोलॉजी निरंतर कार्य, जुड़ा हुआ स्थान और सघनता जैसे गुणों को परिभाषित करने की अनुमति देती है, जिन्हें मूल रूप से दूरी के माध्यम से परिभाषित किया गया था।

बिना किसी भी दूरी के एक टोपोलॉजी का सबसे साधारण स्थितिय विविध द्वारा दिया जाता है, जो टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान हैं, जो प्रत्येक बिंदु के पास, यूक्लिडियन अंतरिक्ष के एक खुले सेट के समान होते हैं, लेकिन जिस पर कोई दूरी सामान्य रूप से परिभाषित नहीं है। गणित की अन्य शाखाओं में टोपोलॉजी का प्रयोग कम किया जाता है; उदाहरण के लिए, जरिस्की टोपोलॉजी, जो बीजगणितीय ज्यामिति और योजना सिद्धांत में मौलिक है।

प्रेरणा
सहजता से, एक खुला सेट दो बिंदु (ज्यामिति) को अलग करने के लिए एक विधि प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, यदि एक टोपोलॉजिकल स्पेस में दो बिंदुओं में से एक के बारे में एक खुला सेट मौजूद है जिसमें अन्य (अलग) बिंदु नहीं है, तो दो बिंदुओं को टोपोलॉजिकल रूप से अलग-अलग कहा जाता है। इस विधि से, कोई इस बारे में बात कर सकता है कि एक टोपोलॉजिकल स्पेस के दो बिंदु, या अधिक सामान्यतः दो सबसेट दूरी को स्पष्ट रूप से परिभाषित किए बिना "निकट" हैं, इसलिए, टोपोलॉजिकल स्पेस को दूरी की धारणा से लैस स्पेस के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है, जिसे मेट्रिक स्पेस कहा जाता है।

सभी वास्तविक संख्याओ के सेट में, किसी के पास प्राकृतिक यूक्लिडियन मीट्रिक है; अर्थात, एक फलन जो दो वास्तविक संख्याओं के बीच की दूरी को मापता है: $x^{2} + y^{2} = r^{2}$. इसलिए, एक वास्तविक संख्या x दी गई है, उस वास्तविक संख्या के निकट सभी बिंदुओं के सेट के बारे में बात की जा सकती है; अर्थात्, x के ε के भीतर। संक्षेप में, x के ε के भीतर बिंदु ε घात की उपयुक्त के करीब x का अनुमान लगाते हैं। ध्यान दें कि ε> 0 हमेशा लेकिन जैसे-जैसे ε छोटा और छोटा होता जाता है, वैसे-वैसे अंक प्राप्त होते हैं जो x को उपयुक्त के उच्च और उच्च स्तर तक ले जाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि x = 0 और ε = 1, x के ε के भीतर के बिंदु अंतराल बिंदु ठीक अंतराल (−1, 1) के बिंदु हैं; अर्थात, -1 और 1 के बीच सभी वास्तविक संख्याओं का सेट है। चूंकि, ε = 0.5 के साथ, x के ε के भीतर बिंदु ठीक (-0.5, 0.5) के बिंदु हैं। स्पष्ट रूप से, ये बिंदु ε = 1 की तुलना में उपयुक्त की एक बड़ी घात के करीब x का अनुमान लगाते हैं।

पिछले उल्लेख से पता चलता है, केस x = 0 के लिए, कि ε को छोटा और छोटा परिभाषित करके x को उपयुक्त के उच्च और उच्च घात तक अनुमानित किया जा सकता है। विशेष रूप से, फॉर्म के सेट (−ε, ε) हमें x = 0 के करीब बिंदुओं के बारे में बहुत सारी जानकारी देते हैं। इस प्रकार, ठोस यूक्लिडियन मीट्रिक के बारे में बात करने के अतिरिक्त, x के निकटतम बिंदुओं का वर्णन करने के लिए सेट का प्रयोग किया जा सकता है। इस अभिनव विचार के दूरगामी परिणाम होते हैं; विशेष रूप से, 0 वाले समुच्चयों के विभिन्न संग्रहों को परिभाषित करके (समुच्चयों (−ε, ε) से अलग), कोई 0 और अन्य वास्तविक संख्याओं के बीच की दूरी के संबंध में भिन्न परिणाम प्राप्त कर सकता है। उदाहरण के लिए, यदि हम दूरी को मापने के लिए 'R' को एकमात्र ऐसे सेट के रूप में परिभाषित करते हैं, तो सभी बिंदु 0 के करीब हैं क्योंकि उपयुक्त की केवल एक ही संभावित घात है जिसे कोई 0 का 'R' का सदस्य होने के नाते अनुमान लगाने में प्राप्त कर सकता है। इस प्रकार, हम पाते हैं कि एक मायने में, प्रत्येक वास्तविक संख्या 0 से 0 की दूरी पर है। इस मामले में माप को एक द्विआधारी स्थिति के रूप में सोचने में सहायता मिल सकती है: 'R' में सभी चीजें समान रूप से 0 के करीब हैं, जबकि कोई भी वस्तु जो R में नहीं है वह 0 के करीब भी नहीं है।

सामान्यतः, एक 'निकट के आधार' के रूप में 0 वाले सेट के परिवार को संदर्भित करता है, जिसका प्रयोग लगभग 0 के लिए किया जाता है; इस निकट के आधार के एक सदस्य को 'ओपन सेट' के रूप में संदर्भित किया जाता है। यथार्थ, कोई इन धारणाओं को एक मनमाना सेट (X ) के लिए सामान्यीकृत कर सकता है; केवल वास्तविक संख्या के अतिरिक्त। इस मामले में, उस सेट का एक बिंदु (x) दिया गया है, कोई सेट के संग्रह को परिभाषित कर सकता है (अर्थात, युक्त) x, अनुमानित x के लिए प्रयोग किया जाता है। निःसंदेह, इस संग्रह को कुछ गुणों (जिन्हें 'स्वयंसिद्ध' के रूप में जाना जाता है) को पूरा करना होगा, अन्यथा हमारे पास दूरी मापने के लिए एक अच्छी तरह से परिभाषित विधि नहीं हो सकती है। उदाहरण के लिए, X के प्रत्येक बिंदु को कुछ हद तक उपयुक्त के साथ x का अनुमान लगाना चाहिए। इस प्रकार X को इस परिवार में होना चाहिए। एक बार जब हम x वाले छोटे सेट को परिभाषित करना शुरू करते हैं, तो हम x को अधिक उपयुक्त के साथ अनुमानित करते हैं। इसे ध्यान में रखते हुए, शेष X िओम्स को परिभाषित किया जा सकता है जिसे संतुष्ट करने के लिए x के बारे में समुच्चयों के परिवार की आवश्यकता होती है।

परिभाषाएँ
तकनीकीता के बढ़ते क्रम में, यहाँ कई परिभाषाएँ दी गई हैं। सभी एक अगले का एक विशेष स्थितिय है।

यूक्लिडियन स्थान
यूक्लिडियन $x^{2} + y^{2} &lt; r^{2}$-अंतरिक्ष $d(x, y) = |x − y|$ का एक सबसेट $$U$$ खुला है यदि,U में प्रत्येक बिन्दु $x$ के लिए एक धनात्मक वास्तविक संख्या $ε$ (इस पर निर्भर करते हुए $x$) उपस्थित है जैसे की $n$ में कोई बिन्दु जिसका  $x$ से यूक्लिडियन दूरी $ε$ से कम है  समान रूप से  $R^{n}$ का  सबसेट  $$U$$ खुला होता है यदि $$U$$ का प्रत्येक बिंदु $$U.$$ में  निहित एक खुली गेंद का केंद्र है।

$R^{n}$ के एक सबसेट का उदाहरण जो खुला नहीं है वह बंद अंतराल $[0,1]$ है, क्योकि न तो $R^{n}$ न $R$ किसी भी $0 - ε$ के लिए $[0,1]$ से संबंधित है, इससे कोई फर्क नहीं  सम्मालित़ता, कि कितना छोटा है।

मीट्रिक स्थान
मीट्रिक स्पेस का एक सबसेट U $1 + ε$ खुला कहा जाता है, यदि U में किसी भी बिंदु X के लिए, वास्तविक संख्या ε> 0 मौजूद है जैसे कि कोई बिंदु $$y \in M$$ संतुष्टि देने वाला $ε > 0$ U से संबंधित है। समान रूप से, U खुला है यदि U में प्रत्येक बिंदु U में निहित निकट है।

यह यूक्लिडियन अंतरिक्ष उदाहरण का सामान्यीकरण करता है, क्योंकि यूक्लिडियन दूरी के साथ यूक्लिडियन स्थान एक मीट्रिक स्थान है।

टोपोलॉजिकल स्पेस
सेट $X$ पर एक टोपोलॉजी (संरचना) $$\tau$$  नीचे के गुणों के साथ $X$  के सबसेट का सेट है।  $$\tau$$ के प्रत्येक सदस्य को एक खुला सेट कहा जाता है।


 * $$X \in \tau$$ तथा $$\varnothing \in \tau$$
 * $$\tau$$ में सेट का कोई भी संघ $$\tau$$ से संबंधित है: यदि $$\left\{ U_i : i \in I \right\} \subseteq \tau$$ फिर $$\bigcup_{i \in I} U_i \in \tau$$
 * $$\tau$$ में सेट का कोई भी परिमित चौराहा $$\tau$$ से संबंधित है: यदि $$U_1, \ldots, U_n \in \tau$$ फिर $$U_1 \cap \cdots \cap U_n \in \tau$$

$X$ और $$\tau$$ को टोपोलॉजिकल स्पेस कहा जाता है।

ओपन सेट के परिमित इंटरसेक्शन को ओपन होने की जरूरत नहीं है। उदाहरण के लिए, फॉर्म के सभी अंतरालों का प्रतिच्छेदन $$\left( -1/n, 1/n \right),$$ जहाँ $$n$$ एक धनात्मक पूर्णांक है, सेट $$\{ 0 \}$$है जो वास्तविक रेखा में नहीं खुलता है।

एक मेट्रिक स्पेस एक टोपोलॉजिकल स्पेस है, जिसकी टोपोलॉजी में सभी सबसेट का संग्रह होता है जो ओपन बॉल्स के समूह होते हैं। चूँकि, ऐसे टोपोलॉजिकल स्पेस हैं जो मेट्रिक स्पेस नहीं हैं।

क्लोपेन सेट और नॉन-ओपन और/या नॉन-क्लोज्ड सेट ASHIF
एक सेट खुला, बंद, दोनों या दोनों में से कोई भी हो सकता है। विशेष रूप से, खुले और बंद सेट पारस्परिक रूप से अनन्य नहीं होते हैं, जिसका अर्थ है कि यह सामान्य रूप से एक टोपोलॉजिकल स्पेस के सबसेट के लिए एक साथ एक ओपन सबसेट  एक बंद सबसेट दोनों के लिए संभव है।। ऐसे सबसेट  कहलाते हैं. स्पष्ट रूप से, एक उपसमूह $$S$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस का $$(X, \tau)$$ कहा जाता है यदि दोनों $$S$$ और इसका पूरक $$X \setminus S$$ के खुले सबसेट हैं $$(X, \tau)$$; या समकक्ष, यदि $$S \in \tau$$ तथा $$X \setminus S \in \tau.$$ में  टोपोलॉजिकल स्पेस $$(X, \tau),$$ खाली सेट $$\varnothing$$ और सेट $$X$$ खुद हमेशा क्लोपेन होते हैं। ये दो सेट क्लोपेन सबसेट के सबसे प्रसिद्ध उदाहरण हैं और वे दिखाते हैं कि क्लोपेन सबसेट मौजूद हैं  टोपोलॉजिकल स्पेस। देखने के लिए क्यों $$X$$ क्लोपेन है, यह याद करके शुरू करें कि सेट $$X$$ तथा $$\varnothing$$ परिभाषा के अनुसार, हमेशा खुले सबसेट (of $$X$$). साथ ही परिभाषा के अनुसार, एक सबसेट $$S$$ कहा जाता है यदि (और केवल यदि) इसका पूरक है $$X,$$ जो सेट है $$X \setminus S,$$ एक खुला सबसेट है। क्योंकि पूरक (में $$X$$) पूरे सेट का $$S := X$$ खाली सेट है (यानी $$X \setminus S = \varnothing$$), जो एक खुला सबसेट है, इसका मतलब है कि $$S = X$$ का बंद सबसेट है $$X$$ (बंद सबसेट की परिभाषा के अनुसार)। इसलिए, कोई फर्क नहीं  सम्मालित़ता कि टोपोलॉजी को किस पर रखा गया है $$X,$$ संपूर्ण स्थान $$X$$ एक साथ एक खुला सबसेट भी है और एक बंद सबसेट भी है $$X$$; अलग ढंग से कहा, $$X$$ है  का एक क्लोपेन सबसेट $$X.$$ क्योंकि खाली सेट का पूरक है $$X \setminus \varnothing = X,$$ जो एक खुला सबसेट है, उसी तर्क का प्रयोग निष्कर्ष निकालने के लिए किया जा सकता है $$S := \varnothing$$ का एक क्लोपेन सबसेट भी है $$X.$$ वास्तविक रेखा पर विचार करें $$\R$$ अपने सामान्य यूक्लिडियन टोपोलॉजी से संपन्न है, जिसके खुले सेट निम्नानुसार परिभाषित किए गए हैं: प्रत्येक अंतराल $$(a, b)$$ वास्तविक संख्याओं का संबंध टोपोलॉजी से है, ऐसे अंतरालों का प्रत्येक संघ, उदा। $$(a, b) \cup (c, d),$$ टोपोलॉजी से संबंधित है, और हमेशा की तरह, दोनों $$\R$$ तथा $$\varnothing$$ टोपोलॉजी से संबंधित हैं।


 * अंतराल $$I = (0, 1)$$ में खुला है $$\R$$ क्योंकि यह यूक्लिडियन टोपोलॉजी से संबंधित है। यदि $$I$$ एक खुला पूरक होना था, परिभाषा के अनुसार इसका अर्थ होगा कि $$I$$ हमने बंद कर दिया। परंतु $$I$$ एक खुला पूरक नहीं है; इसका पूरक है $$\R \setminus I = (-\infty, 0] \cup [1, \infty),$$ जो करता है यूक्लिडियन टोपोलॉजी से संबंधित हैं क्योंकि यह अंतराल (गणित) का एक संघ नहीं है # फॉर्म के अंत बिंदुओं को  सम्मालित करना या बाहर करना $$(a, b).$$ अत, $$I$$ एक ऐसे समुच्चय का उदाहरण है जो खुला है लेकिन बंद नहीं है।
 * इसी तरह के तर्क से, अंतराल $$J = [0, 1]$$ एक बंद सबसेट है लेकिन एक खुला सबसेट नहीं है।
 * अंत में, न तो $$K = [0, 1)$$ न ही इसका पूरक $$\R \setminus K = (-\infty, 0) \cup [1, \infty)$$ यूक्लिडियन टोपोलॉजी से संबंधित है (क्योंकि इसे फॉर्म के अंतराल के संघ के रूप में नहीं लिखा जा सकता है $$(a, b)$$), इस का मतलब है कि $$K$$ न तो खुला है और न ही बंद है।

यदि एक टोपोलॉजिकल स्पेस $$X$$ असतत टोपोलॉजी के साथ संपन्न है (ताकि परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक सबसेट $$X$$ खुला है) तो कासभीसबसेट $$X$$ एक क्लोपेन सबसेट है। असतत टोपोलॉजी की याद दिलाने वाले अधिक उन्नत उदाहरण के लिए, मान लीजिए $$\mathcal{U}$$ गैर-खाली सेट पर एक ultrafilter है $$X.$$ फिर संघ $$\tau := \mathcal{U} \cup \{ \varnothing \}$$ पर एक टोपोलॉजी है $$X$$ उस संपत्ति के साथ गैर-खाली उचित सबसेट $$S$$ का $$X$$ है  एक खुला सबसेट या फिर एक बंद सबसेट, लेकिन दोनों कभी नहीं; वह है, यदि $$\varnothing \neq S \subsetneq X$$ (कहाँ पे $$S \neq X$$) फिर  निम्नलिखित दो कथनों में से सत्य है: या तो (1) $$S \in \tau$$ या फिर, (2) $$X \setminus S \in \tau.$$ अलग ढंग से कहा,  सबसेट खुला या बंद है लेकिन   सबसेट जो दोनों हैं (अर्थात जो क्लोपेन हैं) हैं $$\varnothing$$ तथा $$X.$$

नियमित खुले सेट
सबसेट $$S$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस का $$X$$ ए कहा जाता हैयदि $$\operatorname{Int} \left( \overline{S} \right) = S$$ या समकक्ष, यदि $$\operatorname{Bd} \left( \overline{S} \right) = \operatorname{Bd} S,$$ कहाँ पे $$\operatorname{Bd} S$$ (प्रति. $$\operatorname{Int} S,$$ $$\overline{S}$$) की सीमा (टोपोलॉजी) (प्रतिक्रिया आंतरिक (टोपोलॉजी), क्लोजर (टोपोलॉजी)) को दर्शाता है $$S$$ में $$X.$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस जिसके लिए एक बेस (टोपोलॉजी) मौजूद होता है जिसमें रेगुलर ओपन सेट होते हैं a. का एक सबसेट $$X$$ एक नियमित खुला सेट है यदि और केवल यदि इसका पूरक है $$X$$ एक नियमित बंद सेट है, जहां परिभाषा के अनुसार एक सबसेट है $$S$$ का $$X$$ ए कहा जाता हैयदि $$\overline{\operatorname{Int} S} = S$$ या समकक्ष, यदि $$\operatorname{Bd} \left( \operatorname{Int} S \right) = \operatorname{Bd} S.$$ प्रत्येक नियमित खुला सेट (प्रति. नियमित बंद सेट) एक खुला सबसेट है (प्रति. एक बंद सबसेट है) हालांकि सामान्य तौर पर, बातचीत कर रहे हैं सच।

गुण
खुले सेटों की किसी भी संख्या, या असीम रूप से कई खुले सेटों का संघ (सेट सिद्धांत) खुला है। खुले सेटों की परिमित संख्या का प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) खुला है।

एक खुले सेट का एक पूरक (सेट सिद्धांत) (उस स्थान के सापेक्ष जिस पर टोपोलॉजी परिभाषित है) को एक बंद सेट कहा जाता है। एक सेट खुला और बंद दोनों हो सकता है (क्लोपेन सेट)। खाली सेट और पूरा स्थान ऐसे सेट के उदाहरण हैं जो खुले और बंद दोनों हैं।

प्रयोग
टोपोलॉजी में ओपन सेट का मौलिक महत्व है। अवधारणा को टोपोलॉजिकल स्पेस और अन्य टोपोलॉजिकल संरचनाओं को परिभाषित करने और समझने की आवश्यकता है जो मीट्रिक रिक्त स्थान और समान रिक्त स्थान जैसे रिक्त स्थान के लिए निकटता और अभिसरण की धारणाओं से निपटते हैं।

टोपोलॉजिकल स्पेस X केसभीसबसेट A में एक (संभवतः खाली) ओपन सेट होता है; अधिकतम ( सम्मालित किए जाने के तहत आदेशित) इस तरह के खुले सेट को ए के टोपोलॉजिकल इंटीरियर कहा जाता है। इसका निर्माण ए में निहित सभी खुले सेटों का संघ लेकर किया जा सकता है।

एक समारोह (गणित) $$f : X \to Y$$ दो टोपोलॉजिकल स्पेस के बीच $$X$$ तथा $$Y$$ है यदिसभीओपन सेट की preimage है $$Y$$ में खुला है $$X.$$ कार्यक्रम $$f : X \to Y$$ कहा जाता है यदि सभीखुले की छवि (गणित) में सेट है $$X$$ में खुला है $$Y.$$ वास्तविक रेखा पर एक खुले सेट की विशेषता संपत्ति है कि यह खुले अंतरालों को अलग करने का एक गणनीय संघ है।

ओपन को एक विशेष टोपोलॉजी
के सापेक्ष परिभाषित किया गया है

एक सेट खुला है या नहीं यह विचाराधीन टोपोलॉजी पर निर्भर करता है। संकेतन के दुरुपयोग का विकल्प चुनने के बाद, हम एक टोपोलॉजी के साथ संपन्न एक सेट X का उल्लेख करते हैं $$\tau$$ टोपोलॉजिकल स्पेस के अतिरिक्त टोपोलॉजिकल स्पेस X  के रूप में $$(X, \tau)$$, इस तथ्य के बावजूद कि सभी टोपोलॉजिकल डेटा में समाहित है $$\tau.$$ यदि एक ही सेट पर दो टोपोलॉजी हैं, तो एक सेट U जो पहली टोपोलॉजी में खुला है, दूसरी टोपोलॉजी में खुलने में विफल हो सकता है। उदाहरण के लिए, यदि X कोई टोपोलॉजिकल स्पेस है और Y, X का कोई सबसेट है, तो सेट Y को अपना स्वयं का टोपोलॉजी दिया जा सकता है (जिसे 'सबस्पेस टोपोलॉजी' कहा जाता है) एक सेट U द्वारा परिभाषित किया गया है, जो Y पर सबस्पेस टोपोलॉजी में खुला है और केवल यदि UX  पर मूल टोपोलॉजी से खुले सेट के साथ वाई का चौराहे है। यह संभावित रूप से नए खुले सेट पेश करता है: यदि वी X  पर मूल टोपोलॉजी में खुला है, लेकिन $$V \cap Y$$ X  पर मूल टोपोलॉजी में खुला नहीं है $$V \cap Y$$ वाई पर सबस्पेस टोपोलॉजी में खुला है।

इसका एक ठोस उदाहरण के रूप में, यदि U को अंतराल में परिमेय संख्याओं के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है $$(0, 1),$$ तब U परिमेय संख्याओं का एक खुला सबसेट है, लेकिन वास्तविक संख्याओं का नहीं। ऐसा इसलिए है क्योंकि जब आस-पास का स्थान परिमेय संख्या है, U में प्रत्येक बिंदु x के लिए, एक धनात्मक संख्या मौजूद होती है जैसे कि सभी x की दूरी a के भीतर बिंदु भी U में हैं। दूसरी ओर, जब आस-पास का स्थान वास्तविक है, तो U में प्रत्येक बिंदु x के लिए है  सकारात्मक ऐसा कि सभी  x की दूरी a के भीतर बिंदु U में हैं (क्योंकि U में कोई गैर-तर्कसंगत संख्या नहीं है)।

खुले सेटों का सामान्यीकरण
हर जगह, $$(X, \tau)$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस होगा।

सबसेट $$A \subseteq X$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस का $$X$$ कहा जाता है:

<उल> यदि $$A ~\subseteq~ \operatorname{int}_X \left( \operatorname{cl}_X \left( \operatorname{int}_X A \right) \right)$$, और ऐसे समुच्चय का पूरक कहलाता है. ,, यायदि यह निम्नलिखित समतुल्य शर्तों में से किसी को भी संतुष्ट करता है:  $$A ~\subseteq~ \operatorname{int}_X \left( \operatorname{cl}_X A \right).$$ सबसेट मौजूद हैं $$D, U \subseteq X$$ ऐसा है कि $$U$$ में खुला है $$X,$$ $$D$$ का सघन सबसेट है $$X,$$ तथा $$A = U \cap D.$$ एक खुला मौजूद है (में $$X$$) सबसेट $$U \subseteq X$$ ऐसा है कि $$A$$ का सघन सबसेट है $$U.$$  प्रीओपन सेट के पूरक को कहा जाता है.  यदि $$A ~\subseteq~ \operatorname{int}_X \left( \operatorname{cl}_X A \right) ~\cup~ \operatorname{cl}_X \left( \operatorname{int}_X A \right)$$. बी-ओपन सेट के पूरक को कहा जाता है. यायदि यह निम्नलिखित समतुल्य शर्तों में से किसी को भी संतुष्ट करता है:  $$A ~\subseteq~ \operatorname{cl}_X \left( \operatorname{int}_X \left( \operatorname{cl}_X A \right) \right)$$ $$ \operatorname{cl}_X A$$ का एक नियमित बंद सबसेट है $$X.$$ एक प्रीओपन सबसेट मौजूद है $$U$$ का $$X$$ ऐसा है कि $$U \subseteq A \subseteq \operatorname{cl}_X U.$$  β-ओपन सेट का पूरक कहलाता है.  यदि यह निम्नलिखित समतुल्य शर्तों में से किसी को भी संतुष्ट करता है:  जब भी कोई क्रम $$X$$ के किसी बिंदु पर अभिसरण करता है $$A,$$ तो वह क्रम अंततः अंदर है $$A.$$ स्पष्ट रूप से, इसका मतलब यह है कि यदि $$x_{\bull} = \left( x_i \right)_{i=1}^{\infty}$$ में क्रम है $$X$$ और यदि कुछ मौजूद है $$a \in A$$ इस प्रकार कि $$x_{\bull} \to x$$ में $$(X, \tau),$$ फिर $$x_{\bull}$$ अंत में है $$A$$ (अर्थात, कुछ पूर्णांक मौजूद हैं $$i$$ ऐसा कि यदि $$j \geq i,$$ फिर $$x_j \in A$$).</ली> $$A$$ इसके बराबर हैमें $$X,$$ जो परिभाषा के अनुसार सेट है
 * $$\begin{alignat}{4}

\operatorname{SeqInt}_X A
 * &= \{ a \in A ~:~ \text{ whenever a sequence in } X \text{ converges to } a \text{ in } (X, \tau), \text{ then that sequence is eventually in } A \} \\

&= \{ a \in A ~:~ \text{ there does NOT exist a sequence in } X \setminus A \text{ that converges in } (X, \tau) \text{ to a point in } A \} \\ \end{alignat} $$ </ली> </ओल> क्रमिक रूप से खुले सेट के पूरक को कहा जाता है. सबसेट $$S \subseteq X$$ में बंद कर दिया गया है $$X$$ यदि और केवल यदि $$S$$ इसके बराबर है, जो परिभाषा के अनुसार समुच्चय है $$\operatorname{SeqCl}_X S$$ सभी से मिलकर $$x \in X$$ जिसके लिए एक क्रम मौजूद है $$S$$ जो अभिसरण करता है $$x$$ (में $$X$$). </ली> और कहा जाता हैयदि कोई खुला सबसेट मौजूद है $$U \subseteq X$$ ऐसा है कि $$A \bigtriangleup U$$ एक अल्प समुच्चय है, जहाँ $$\bigtriangleup$$ सममित अंतर को दर्शाता है। यदि $$A ~\subseteq~ \operatorname{cl}_X \left( \operatorname{int}_X A \right)$$. में पूरक $$X$$ अर्ध-खुले सेट को कहा जाता है समूह। * द(में $$X$$) एक सबसेट का $$A \subseteq X,$$ द्वारा चिह्नित $$\operatorname{sCl}_X A,$$ के सभी अर्ध-बंद उपसमूहों का प्रतिच्छेदन है $$X$$ जिसमें सम्मालित है $$A$$ एक सबसेट के रूप में।</ली> यदि प्रत्येक के लिए $$x \in A$$ कुछ सेमीोपेन सबसेट मौजूद हैं $$U$$ का $$X$$ ऐसा है कि $$x \in U \subseteq \operatorname{sCl}_X U \subseteq A.$$</ली> (प्रति.) यदि इसका पूरक है $$X$$ एक θ-बंद (प्रतिक्रिया है। ) सेट, जहां परिभाषा के अनुसार, का एक सबसेट $$X$$ कहा जाता है(प्रति.) यदि यह अपने सभी θ-क्लस्टर पॉइंट्स (resp. δ-क्लस्टर पॉइंट्स) के सेट के बराबर है। एक बिंदु $$x \in X$$ ए कहा जाता है(सं. ए) एक सबसेट का $$B \subseteq X$$ यदि सभीखुले सम्मालित़ोस के लिए $$U$$ का $$x$$ में $$X,$$ चौराहा $$B \cap \operatorname{cl}_X U$$ खाली नहीं है (सं. $$B \cap \operatorname{int}_X\left( \operatorname{cl}_X U \right)$$ खाली नहीं है)।</ली> </ul>
 * सबसेट $$A \subseteq X$$ कहा जाता है कि प्रत्येक सबसेट के लिए प्रतिबंधित अर्थों में बायर संपत्ति है $$E$$ का $$X$$ चौराहा $$A\cap E$$ के सापेक्ष बायर संपत्ति है $$E$$. </ली>

इस तथ्य का प्रयोग करना कि
 * $$A ~\subseteq~ \operatorname{cl}_X A ~\subseteq~ \operatorname{cl}_X B$$    तथा     $$\operatorname{int}_X A ~\subseteq~ \operatorname{int}_X B ~\subseteq~ B$$

जब भी दो सबसेट $$A, B \subseteq X$$ संतुष्ट करना $$A \subseteq B,$$ निम्नलिखित निष्कर्ष निकाला जा सकता है:
 * हर α-खुला सबसेट सेमी-ओपन, सेमी-प्रीओपन, प्रीओपन और बी-ओपन होता है।
 * हर बी-ओपन सेट सेमी-प्रीओपन (यानी β-ओपन) है।
 * हर प्रीओपन सेट बी-ओपन और सेमी-प्रीओपन है।
 * हर सेमी-ओपन सेट बी-ओपन और सेमी-प्रीओपन है।

इसके अलावा, एक सबसेट एक नियमित खुला सेट है यदि और केवल यदि यह प्रीओपन और सेमी-क्लोज्ड है। एक α-ओपन सेट और सेमी-प्रीओपन (रेस्प। सेमी-ओपन, प्रीओपेन, बी-ओपन) सेट का इंटरसेक्शन एक सेमी-प्रीओपेन (रेस्प. सेमी-ओपन, प्रीओपन, बी-ओपन) सेट है। प्रीओपन सेट को सेमी-ओपन होने की आवश्यकता नहीं है और सेमी-ओपन सेट को प्रीओपन होने की आवश्यकता नहीं है। प्रीओपन (प्रति. α-ओपन, बी-ओपन, सेमी-प्रीओपेन) सेट के मनमाना संघ एक बार फिर से प्रीओपेन (प्रति. α-ओपन, बी-ओपन, सेमी-प्रीओपेन) हैं। हालाँकि, प्रीओपन सेट के परिमित चौराहों को प्रीओपन होने की आवश्यकता नहीं है। किसी स्थान के सभी α-खुले सबसेट का समुच्चय $$(X, \tau)$$ पर एक टोपोलॉजी बनाता है $$X$$ वह टोपोलॉजी की तुलना है $$\tau.$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस $$X$$ हॉसडॉर्फ स्पेस है यदि और केवल यदि सभीकॉम्पैक्ट जगह $$X$$ θ-बंद है। एक स्थान $$X$$ पूरी तरह से डिस्कनेक्ट हो जाता है यदि और केवल यदि सभी नियमित बंद सबसेट प्रीओपन या समकक्ष है, यदि सभी सेमी-ओपन सबसेट प्रीओपन है। इसके अलावा, अंतरिक्ष पूरी तरह से डिस्कनेक्ट हो गया है यदि और केवल यदिप्रत्येक प्रीओपन सबसेट खुला है।