रैंडम क्लस्टर मॉडल

सांख्यिकीय यांत्रिकी, संभाव्यता सिद्धांत, ग्राफ सिद्धांत आदि में यादृच्छिक क्लस्टर मॉडल एक यादृच्छिक ग्राफ है जो आइसिंग मॉडल, पॉट्स मॉडल और परकोलेशन सिद्धांत को सामान्यीकृत और एकीकृत करता है। इसका उपयोग अनियमितता  साहचर्य संरचनाओं, विद्युत नेटवर्क आदि का अध्ययन करने के लिए किया जाता है।  इसके संस्थापकों सीज़ फोर्टुइन और पीट कस्टेले के बाद इसे आरसी मॉडल या कभी-कभी एफके प्रतिनिधित्व के रूप में भी जाना जाता है।

परिभाषा
होने देना $$G = (V,E)$$ एक ग्राफ बनें (अलग गणित), और $$\omega: E \to \{0,1\}$$ ग्राफ़ पर एक बॉन्ड कॉन्फ़िगरेशन हो जो प्रत्येक किनारे को 0 या 1 के मान पर मैप करता है। हम कहते हैं कि एक बॉन्ड किनारे पर बंद है $$e\in E$$ अगर $$\omega(e)=0$$, और यदि खोलें $$\omega(e)=1$$. अगर हम जाने देंगे $$A(\omega) = \{e\in E : \omega(e)=1 \}$$ खुले बांडों का सेट हो, तो एक खुला क्लस्टर कोई भी जुड़ा हुआ घटक है $$A(\omega)$$. ध्यान दें कि एक खुला क्लस्टर एक एकल शीर्ष हो सकता है (यदि वह शीर्ष किसी भी खुले बांड के लिए घटना (ग्राफ़) नहीं है)।

मान लीजिए कि एक किनारा संभाव्यता के साथ स्वतंत्र रूप से खुला है $$p$$ और अन्यथा बंद कर दिया गया है, तो यह केवल मानक बर्नौली अंतःस्राव प्रक्रिया है। किसी कॉन्फ़िगरेशन की संभाव्यता माप $$\omega$$ के रूप में दिया गया है


 * $$\mu(\omega) = \prod_{e \in E} p^{\omega(e)}(1-p)^{1-\omega(e)}.$$

आरसी मॉडल परकोलेशन का एक सामान्यीकरण है, जहां प्रत्येक क्लस्टर को एक कारक द्वारा भारित किया जाता है $$q$$. एक कॉन्फ़िगरेशन दिया गया $$\omega$$, हम जाने $$C(\omega)$$ खुले समूहों की संख्या हो, या वैकल्पिक रूप से खुले बांडों द्वारा गठित कनेक्टेड घटक (ग्राफ सिद्धांत) की संख्या हो। फिर किसी के लिए $$q>0$$, किसी कॉन्फ़िगरेशन की संभाव्यता माप $$\omega$$ के रूप में दिया गया है


 * $$\mu(\omega) = \frac{1}{Z} q^{C(\omega)}\prod_{e \in E} p^{\omega(e)}(1-p)^{1-\omega(e)}. $$

Z विभाजन फ़ंक्शन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) है, या सभी कॉन्फ़िगरेशन के असामान्य भार का योग है,


 * $$Z = \sum_{\omega \in \Omega} \left\{q^{C(\omega)}\prod_{e \in E(G)} p^{\omega(e)}(1-p)^{1-\omega(e)} \right\}. $$

आरसी मॉडल का विभाजन फ़ंक्शन टुटे बहुपद का एक विशेषज्ञता है, जो स्वयं बहुभिन्नरूपी टुटे बहुपद का एक विशेषज्ञता है।

q के विशेष मान
पैरामीटर $$q$$ यादृच्छिक क्लस्टर मॉडल मनमाना जटिल मान ले सकता है। इसमें निम्नलिखित विशेष मामले शामिल हैं:


 * $$q\to 0$$: विद्युत नेटवर्क. * $$q < 1$$: नकारात्मक रूप से सहसंबद्ध अंतःस्राव।
 * $$q=1$$: बर्नौली टपकन, के साथ $$Z=1$$.
 * $$q=2$$: आइसिंग मॉडल।
 * $$q\in \mathbb{Z}^{+}$$: $$q$$-स्टेट पॉट्स मॉडल.

एडवर्ड्स-सोकल प्रतिनिधित्व
एडवर्ड्स-सोकल (ईएस) प्रतिनिधित्व पॉट्स मॉडल का नाम रॉबर्ट जी. एडवर्ड्स और एलन सोकल|एलन डी. सोकल के नाम पर रखा गया है। यह स्पिन और बॉन्ड कॉन्फ़िगरेशन के संयुक्त संभाव्यता वितरण के संदर्भ में पॉट्स और यादृच्छिक क्लस्टर मॉडल का एकीकृत प्रतिनिधित्व प्रदान करता है।

होने देना $$G = (V, E)$$ शीर्षों की संख्या के साथ एक ग्राफ बनें $$n = |V|$$ और किनारों की संख्या हो रही है $$m = |E|$$. हम एक स्पिन कॉन्फ़िगरेशन को इस प्रकार निरूपित करते हैं $$\sigma\in \mathbb{Z}_q^n$$ और एक बांड विन्यास के रूप में $$\omega\in \{0,1\}^m$$. का संयुक्त माप $$(\sigma,\omega)$$ के रूप में दिया गया है
 * $$ \mu(\sigma,\omega) = Z^{-1}\psi(\sigma)\phi_p(\omega)1_A(\sigma,\omega), $$

कहाँ $$\psi$$ एकसमान माप है, $$\phi_p$$ घनत्व के साथ उत्पाद माप है $$p = 1-e^{-\beta}$$, और $$ Z $$ एक उपयुक्त सामान्यीकरण स्थिरांक है। महत्वपूर्ण रूप से, सूचक कार्य $$1_A$$ निम्नलिखित बाधा लागू करता है,
 * $$ A = \{ (\sigma,\omega) : \sigma_i = \sigma_j \text{ for any edge } (i,j) \text{ where } \omega = 1 \}, $$

इसका अर्थ यह है कि एक बंधन केवल एक किनारे पर खुला हो सकता है यदि आसन्न स्पिन एक ही स्थिति के हों, जिसे स्वेंडसेन-वांग एल्गोरिदम के रूप में भी जाना जाता है।

पॉट्स स्पिन के आँकड़े क्लस्टर आँकड़ों (और इसके विपरीत) से पुनर्प्राप्त किए जा सकते हैं, ईएस प्रतिनिधित्व की निम्नलिखित विशेषताओं के लिए धन्यवाद:


 * सीमांत वितरण $$ \mu(\sigma) $$ स्पिन का उलटा तापमान पर क्यू-स्टेट पॉट्स मॉडल का बोल्टज़मैन वितरण है $$ \beta $$.
 * सीमांत माप $$ \phi_{p, q}(\omega) $$ बांड का पैरामीटर q और p के साथ यादृच्छिक-क्लस्टर माप है।
 * सशर्त संभाव्यता वितरण $$ \mu(\sigma \,|\, \omega) $$ स्पिन का प्रत्येक कनेक्ट घटक पर स्पिन राज्यों के एक समान यादृच्छिक असाइनमेंट का प्रतिनिधित्व करता है।
 * सशर्त उपाय $$ \phi_{p,q}(\omega \,|\, \sigma) $$ बांड किनारों पर एक अंतःस्राव प्रक्रिया (अनुपात पी का) का प्रतिनिधित्व करता है जहां आसन्न स्पिन संरेखित होते हैं।
 * आइसिंग मॉडल के मामले में, संभावना है कि दो शीर्ष $$ (i,j) $$ एक ही जुड़े हुए घटक में सहसंबंध फ़ंक्शन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) के बराबर होता है | स्पिन के दो-बिंदु सहसंबंध फ़ंक्शन $$ \sigma_i \text{ and } \sigma_j $$, या $$\phi_{p,q}(i \leftrightarrow j) = \langle \sigma_i\sigma_j \rangle$$.

निराशा
एक बार स्पिन मॉडल में ज्यामितीय हताशा मौजूद होने पर ईएस प्रतिनिधित्व की कई जटिलताएं होती हैं (उदाहरण के लिए एक ही जाली में फेरोमैग्नेटिक और एंटी-फेरोमैग्नेटिक कपलिंग के साथ आइसिंग मॉडल)। विशेष रूप से, स्पिन आँकड़ों और क्लस्टर आँकड़ों के बीच अब कोई पत्राचार नहीं है, और परकोलेशन महत्वपूर्ण घातांक # परकोलेशन सीमा के करीब महत्वपूर्ण व्यवहार स्पिन मॉडल की सहसंबंध लंबाई से अधिक होगा। निराश प्रणालियों के अनुकरण के लिए एसडब्ल्यू एल्गोरिदम की अक्षमता के पीछे यही कारण है।

द्वि-आयामी मामला
यदि अंतर्निहित ग्राफ $$G$$ एक समतलीय ग्राफ़ है, इस पर यादृच्छिक क्लस्टर मॉडल के बीच द्वंद्व है $$G$$ और दोहरे ग्राफ़ पर $$G^*$$. विभाजन फ़ंक्शन के स्तर पर, द्वंद्व पढ़ता है

\tilde{Z}_G(q,v) = q^{|V|-|E|-1}v^{|E|} \tilde{Z}_{G^*}\left(q, \frac{q}{v}\right) \qquad \text{with} \qquad v = \frac{p}{1-p}\quad \text{and}\quad \tilde{Z}_G(q,v) = (1-p)^{-|E|}Z_G(q,v) $$ वर्गाकार जाली जैसे स्व-दोहरे ग्राफ़ पर, एक चरण संक्रमण केवल स्व-दोहरे युग्मन पर ही हो सकता है $$v_\text{self-dual}=\sqrt{q}$$. समतल ग्राफ पर यादृच्छिक क्लस्टर मॉडल को संबंधित औसत दर्जे के ग्राफ पर लूप मॉडल के रूप में पुन: तैयार किया जा सकता है। एक कॉन्फ़िगरेशन के लिए $$\omega$$ यादृच्छिक क्लस्टर मॉडल में, संबंधित लूप कॉन्फ़िगरेशन स्वयं-बचने वाले लूप का सेट होता है जो क्लस्टर को दोहरे क्लस्टर से अलग करता है। स्थानांतरण-मैट्रिक्स विधि में, लूप मॉडल को पैरामीटर के साथ टेम्परली-लिब बीजगणित के संदर्भ में लिखा जाता है $$\delta = q$$.

इतिहास और अनुप्रयोग
आरसी मॉडल 1969 में फोर्टुइन और पीटर कस्टेली द्वारा द्वारा पेश किए गए थे, मुख्य रूप से कॉम्बिनेटरियल समस्याओं को हल करने के लिए। उनके संस्थापकों के नाम पर, इसे कभी-कभी एफके मॉडल के रूप में जाना जाता है। 1971 में उन्होंने इसका उपयोग एफकेजी असमानता प्राप्त करने के लिए किया। 1987 के बाद, सांख्यिकीय भौतिकी में मॉडल और अनुप्रयोगों में रुचि फिर से जागृत हुई। यह पॉट्स मॉडल के समय-विकास का वर्णन करने वाले स्वेंडसेन-वांग एल्गोरिदम के लिए प्रेरणा बन गया। माइकल एज़ेनमैन और सह-लेखकों ने इसका उपयोग 1डी इज़िंग और पॉट्स मॉडल में चरण सीमा का अध्ययन करने के लिए किया।

यह भी देखें

 * टुटे बहुपद
 * आइज़िंग मॉडल
 * यादृच्छिक ग्राफ
 * स्वेंडसेन-वांग एल्गोरिदम
 * एफकेजी असमानता

बाहरी संबंध

 * Random-Cluster Model – Wolfram MathWorld