मीट्रिक स्थान

गणित में, मीट्रिक स्थान या दूरीक समष्टि, इसके तत्वों (सामान्यतः बिंदु) के बीच की दूरी की धारणा के साथ एक समुच्चय है। इस दूरी को मीट्रिक या दूरी फलन नामक फलन द्वारा मापा जाता है। गणितीय विश्लेषण और ज्यामिति की कई अवधारणाओं का अध्ययन करने के लिए मीट्रिक स्थान सबसे सामान्य समायोजन हैं।

मीट्रिक स्थान का सबसे व्यावहारिक उदाहरण दूरी की सामान्य धारणा के साथ यूक्लिड का त्रि-विमीय अंतरिक्ष है। इसका एक अन्य प्रसिद्ध उदाहरण कोणीय दूरी और अतिपरवलयिक तल से सुसज्जित एक गोला है। एक मीट्रिक, भौतिक दूरी की धारणा के स्थान पर एक लाक्षणिक दूरी की धारणा के अनुरूप हो सकता है: उदाहरण के लिए, 100-वर्णीय एकल कूट श्रृंखलाओं (यूनिकोड स्ट्रिंग्स) के समुच्चय को हैमिंग दूरी से सुसज्जित किया जा सकता है, यह उन वर्णों की संख्या को मापता है जिन्हें प्राप्त करने के लिए एक श्रृंखला से दूसरी श्रृंखला में बदलने की आवश्यकता होती है।

मीट्रिक स्थान के अधिक सामान्य होने के कारण, यह गणित की कई विभिन्न शाखाओं में उपयोग किया जाने वाला उपकरण है। कई प्रकार की गणितीय वस्तुओं में दूरी की एक स्वाभाविक धारणा होती है और इसलिए ये एक मीट्रिक स्थान की संरचना को स्वीकार करते हैं, जिसमें रीमैनियन मैनिफोल्ड, आदर्श सदिश स्थान और ग्राफ (असतत गणित) सम्मिलित हैं। अमूर्त बीजगणित में, p-एडिक संख्याएँ परिमेय संख्याओं पर एक मीट्रिक संरचना की पूर्णता के तत्वों के रूप में उत्पन्न हुई हैं। मीट्रिक ज्यामिति और मीट्रिक स्थान के विश्लेषण में मीट्रिक स्थान का भी स्वयं में अध्ययन किया गया है।

गेंद, पूर्ण मीट्रिक स्थान, साथ ही समान सततता, लिप्सचिट्ज़ सततता और होल्डर सततता सहित गणितीय विश्लेषण के कई मौलिक धारणाओं को मीट्रिक स्थान के समायोजन में परिभाषित किया जा सकता है। सततता, सघनता, और खुले एवं बंद समुच्चय जैसी अन्य धारणाओं को मीट्रिक स्थान के लिए परिभाषित किया जा सकता है, लेकिन सांस्थितीय स्थान के और भी सामान्य समायोजन में भी परिभाषित किया जा सकता है।

प्रेरणा
दूरी की विभिन्न धारणाओं की उपयोगिता को देखने के लिए, पृथ्वी की सतह को बिन्दुओं के समुच्चय के रूप में लें। हम सतह के साथ सबसे छोटे पथ की लंबाई (ग्रेट-सर्कल दूरी) द्वारा दो ऐसे बिंदुओं के बीच की दूरी को माप सकते हैं, "जैसे कौआ उड़ता है"; यह नौवहन और विमानन के लिए विशेष रूप से उपयोगी है। हम पृथ्वी के आंतरिक भाग से होते हुए दो बिंदुओं के बीच की सीधी-रेखा की दूरी को भी माप सकते हैं; उदाहरण के लिए, यह धारणा भूकंप विज्ञान में स्वाभाविक है, क्योंकि यह उन दो बिंदुओं के बीच यात्रा करने के लिए भूकंपीय तरंगों के लिए लगने वाले समय के संगत है।

मीट्रिक स्थान अभिगृहीतों द्वारा एन्कोड की गई दूरी की धारणा में अपेक्षाकृत कम आवश्यकताएँ हैं। यह सामान्यतः मीट्रिक स्थान को बहुत अधिक लचीलापन प्रदान करती है। साथ ही, दूरी के अर्थ के बारे में कई सहज ज्ञान युक्त तथ्यों को एन्कोड करने के लिए यह धारणा काफी सुदृढ़ है। इसका अर्थ है कि मीट्रिक स्थान के बारे में सामान्य परिणाम कई अलग-अलग संदर्भों में प्रयुक्त किए जा सकते हैं।

कई मूलभूत गणितीय अवधारणाओं के समान, मीट्रिक स्थान पर मीट्रिक की कई अलग-अलग तरीकों से व्याख्या की जा सकती है। भौतिक दूरी को मापने के रूप में एक विशेष मीट्रिक को सर्वोत्तम नहीं माना जा सकता है, लेकिन एक अवस्था से दूसरे में बदलने की लागत (मापों के स्थान पर वासरस्टीन मीट्रिक के साथ के समान) या दो वस्तुओं के बीच अंतर की कोटि (उदाहरण के लिए, वर्णों की दो श्रृंखलाओं के बीच की हैमिंग दूरी, या स्वयं मीट्रिक स्थान के बीच ग्रोमोव-हॉसडॉर्फ दूरी) के रूप में सर्वोत्तम माना जा सकता है।

परिभाषा
औपचारिक रूप से, एक मीट्रिक स्थान एक क्रमित युग्म $(M, d)$ है, जहाँ $P$ एक समुच्चय है और $Q$, $M$ पर एक मीट्रिक है, अर्थात्, एक फलन$$d\,\colon M \times M \to \mathbb{R}$$सभी बिंदुओं $$x,y,z \in M$$ के लिए निम्नलिखित अभिगृहीतों को संतुष्ट करते हुए :

1. किसी बिंदु की स्वयं से दूरी शून्य होती है:

$$d(x, x) = 0.$$

2. (धनात्मकता) दो अलग-अलग बिंदुओं के बीच की दूरी हमेशा धनात्मक होती है:

$$x \neq y\text{, then }d(x, y)>0.$$

3. (समरूपता) एक बिंदु को स्वयं तक पहुँचने के लिए कभी कोई दूरी तय नहीं करनी पड़ती है।

$$d(x, y) = d(y, x)$$

इसमें लागत की असममित धारणाएँ असम्मिलित हैं, जो स्वाभाविक रूप से इस अवलोकन से उत्पन्न होती हैं कि नीचे की तुलना में ऊपर की ओर चलना कठिन होता है।

4. त्रिभुज की असमिका धारण करती है:

$$d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z).$$

यह दूरी की भौतिक और लाक्षणिक दोनों धारणाओं का एक प्राकृतिक गुण है: आप $d$ से होकर हुए एक चक्कर लगाते हुए $M$ से $y$ तक पहुंच सकते हैं, लेकिन यह आपकी यात्रा को सबसे छोटे पथ से तेज नहीं बनाएगा।

यदि मीट्रिक $x$ स्पष्ट है, तो इसे प्रायः " मेट्रिक स्थान $z$ " में संकेतन के दुरुपयोग से संदर्भित किया जाता है।

वास्तविक संख्याएँ
दूरी फलन $$d(x,y) = | y - x |$$ के साथ वास्तविक संख्याएँ शुद्ध अंतर द्वारा दी गई एक मीट्रिक स्थान बनाती हैं। उनके बीच मीट्रिक स्थान और कार्यों के कई गुण वास्तविक विश्लेषण में अवधारणाओं के सामान्यीकरण हैं और वास्तविक रेखा पर प्रयुक्त होने पर उन अवधारणाओं के साथ संगत होते हैं।

यूक्लिड स्थानों पर मीट्रिक
यूक्लिड समतल $$\R^2$$ कई अलग-अलग मीट्रिक से सुसज्जित हो सकता है। विद्यालयीय गणित से सम्बंधित यूक्लिड दूरी को निम्न समीकरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:$$d_2((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.$$टैक्सीकैब या मनहट्टन ज्यामिति को निम्न समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है:$$d_1((x_1,y_1),(x_2,y_2))=|x_2-x_1|+|y_2-y_1|$$और उस दूरी के बारे में विचार किया जा सकता है जो आपको एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक जाने के लिए क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाओं के साथ तय करने की आवश्यकता होती है, जैसा कि लेख के शीर्ष पर दिखाया गया है। अधिकतम, $$L^\infty$$ या चेबीशेव दूरी दूरी को निम्न समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है:$$d_\infty((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\max\{|x_2-x_1|,|y_2-y_1|\}.$$समतल में पथों के संदर्भ में इस दूरी की व्याख्या आसान नहीं है, लेकिन यह मीट्रिक स्थान अभिगृहीतों को संतुष्ट करती है।

वास्तव में, ये तीन दूरियाँ अलग-अलग गुण होने पर भी कुछ मायनों में समान हैं। अनौपचारिक रूप से, जो बिंदु एक में निकट हैं, वे दूसरों में भी निकट होते हैं। इस अवलोकन को निम्न सूत्र द्वारा परिमाणित किया जा सकता है:$$d_\infty(p,q) \leq d_2(p,q) \leq d_1(p,q) \leq 2d_\infty(p,q),$$जो प्रत्येक बिंदु-युग्म $$p, q \in \R^2$$ के लिए परिभाषित है

मौलिक रूप से भिन्न दूरी को निम्न समायोजन द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:$$d(p,q)=\begin{cases}0, & \text{if }p=q, \\ 1, & \text{otherwise.}\end{cases}$$इस असतत मीट्रिक में, सभी भिन्न बिंदु परस्पर 1 इकाई की दूरी पर होते हैं: इनमें से कोई भी बिंदु एक दूसरे के न ही समीप और न ही बहुत दूर होते हैं। सहज रूप से, असतत मीट्रिक अब इस पर ध्यान केन्द्रित नहीं करता है कि यह समुच्चय एक समतल है, बल्कि इसके साथ केवल बिंदुओं के एक अविभाज्य समुच्चय के रूप में व्यवहार करता है।

ये सभी मीट्रिक $$\R^2$$ के साथ-साथ $$\R^n$$ पर भी सत्य होते हैं।

उप-स्थान
एक दिए हुए मीट्रिक स्थान $(M, d)$ और एक उपसमुच्चय $$A \subseteq M$$ के साथ, हम $d$ को, $M$ के समान दूरियों को मापकर एक मीट्रिक स्थान मान सकते हैं। औपचारिक रूप से, $A$ पर प्रेरित मीट्रिक, निम्न द्वारा परिभाषित एक फलन $$d_A:A \times A \to \R$$ है:  $$d_A(x,y)=d(x,y).$$उदाहरण के लिए, यदि हम द्वि-विमीय गोले $S^{2}$ को $$\R^3$$ के उपसमुच्चय के रूप में लेते हैं, तो $$\R^3$$ पर यूक्लिड मीट्रिक, ऊपर वर्णित $S^{2}$ पर सरल-रेखा मीट्रिक को प्रेरित करता है। इसके दो और उपयोगी उदाहरण खुला अंतराल (0, 1) और बंद अंतराल $M$ हैं, जिन्हें वास्तविक रेखा के उप-स्थान माना जाता है।

इतिहास
वर्ष 1906 में मौरिस फ्रेचेट ने कार्यात्मक विश्लेषण के संदर्भ में अपने कार्य कार्यात्मक कलन के कुछ बिंदुओं पर में मीट्रिक स्थान का प्रारंभ किया: उनकी मुख्य रुचि कई या अपरिमित रूप से कई चरों वाले फलनों के सिद्धांत को सामान्य बनाते हुए एक मीट्रिक स्थान से वास्तविक-मान फलनों का अध्ययन करने में थी, जैसा कि सिसारे अरजेला जैसे गणितज्ञों द्वारा अग्रणी है। इस विचार को और विकसित किया गया और फ़ेलिक्स हॉसडॉर्फ़ ने इसे इसके उचित संदर्भ में समुच्चय सिद्धांत की अपनी महान कृति के सिद्धांतों में स्थान दिया, जिसने एक (हॉसडॉर्फ स्थान) सांस्थितीय स्थान की धारणा भी प्रस्तुत की।

सामान्य मीट्रिक स्थान, गणितीय पाठ्यक्रम का मूलभूत हिस्सा बन गए हैं। गणितीय अनुसंधान में मीट्रिक स्थान के प्रमुख उदाहरणों में रीमैनियन मैनिफोल्ड और आदर्श सदिश स्थान सम्मिलित हैं, जो क्रमशः अवकल ज्यामिति और कार्यात्मक विश्लेषण के क्षेत्र हैं। आंशिक (फ्रैक्टल) ज्यामिति कुछ विदेशी मीट्रिक स्थानों का एक स्रोत है। इसके अन्य स्थान अलग-अलग या कोमल वस्तुओं के अध्ययन के माध्यम से सीमा के रूप में उत्पन्न हुए हैं, जिसमें सांख्यिकीय भौतिकी में पैमाने की अपरिवर्तनीय सीमाएँ, एलेक्जेंड्रोव स्थानों के रूप में उत्पन्न रीमैनियन मैनिफोल्ड के अनुक्रमों की ग्रोमोव-हॉसडॉर्फ सीमाएँ, और ज्यामितीय समूह सिद्धांत में सीमाएँ और स्पर्शोन्मुख शंकु आदि सम्मिलित हैं। अंततः, कंप्यूटर विज्ञान में परिमित और असतत मीट्रिक स्थान के कई नए अनुप्रयोग उत्पन्न हुए हैं।

मूल धारणाएं
निकटता और अभिसरण की धारणाओं को परिभाषित करने के लिए एक दूरी का कार्य पर्याप्त है जो वास्तविक विश्लेषण में पहली बार विकसित हुए थे। गुण जो मीट्रिक स्थान की संरचना पर निर्भर करते हैं उन्हें मीट्रिक गुण कहा जाता है। प्रत्येक मेट्रिक स्थान भी एक सांस्थितीय स्थान है, और कुछ मेट्रिक गुणों को टोपोलॉजी की भाषा में दूरी के संदर्भ के बिना भी रीफ़्रेश किया जा सकता है; अर्थात्, वे वास्तव में सामयिक गुण हैं।

एक मीट्रिक स्थान की टोपोलॉजी
मीट्रिक स्थान $A$ में किसी भी बिंदु $[0, 1]$ के लिए और कोई वास्तविक संख्या $r > 0$, $M$ के चारों ओर त्रिज्या $x$ की खुली गेंद को उन बिंदुओं के सेट के रूप में परिभाषित किया गया है जो $x$ से अधिकतम दूरी $r$ पर हैं:$$B_r(x)=\{y \in M : d(x,y) < r\}.$$यह उन बिंदुओं के समूह को परिभाषित करने का एक स्वाभाविक तरीका है जो $x$ के अपेक्षाकृत निकट हैं। इसलिए, एक समुच्चय $$N \subseteq M$$, $r$ का एक पड़ोस है (अनौपचारिक रूप से, इसमें $x$ के "पर्याप्त रूप से" सभी बिंदु होते हैं) यदि इसमें कुछ $r > 0$ के लिए $x$ के चारों ओर त्रिज्या $x$ की एक खुली गेंद होती है।

एक खुला सेट एक सेट है जो इसके सभी बिंदुओं का पड़ोस है। यह इस प्रकार है कि खुली गेंदें $x$ पर आधार (टोपोलॉजी) के लिए आधार बनाती हैं। दूसरे शब्दों में, $r$ के खुले सेट बिल्कुल खुली गेंदों के संघ हैं। किसी भी टोपोलॉजी की तरह, बंद सेट खुले सेट के पूरक हैं। सेट खुले और बंद दोनों हो सकते हैं और साथ ही न तो खुले और न ही बंद।

यह टोपोलॉजी मीट्रिक स्थान के बारे में सारी जानकारी नहीं रखती है। उदाहरण के लिए, ऊपर दी गई दूरियां $d_{1}$, $d_{2}$, तथा $d_{∞}$ $$\R^2$$ पर समान टोपोलॉजी को प्रेरित करती हैं, हालांकि वे कई मायनों में अलग व्यवहार करती हैं। इसी तरह, $$\R$$ यूक्लिडियन मीट्रिक के साथ और इसके उप-अंतराल (0, 1) प्रेरित मीट्रिक के साथ समरूपता (होमियोमॉर्फिक) हैं लेकिन बहुत अलग मीट्रिक गुण हैं।

इसके विपरीत, प्रत्येक स्थलीय स्थान को एक मीट्रिक नहीं दिया जा सकता है। सांस्थितीय स्थान जो एक मीट्रिक के साथ संगत होते हैं, उन्हें मेट्रिज़ेबल कहा जाता है और विशेष रूप से कई तरह से अच्छा व्यवहार किया जाता है: विशेष रूप से, वे पैराकॉम्पैक्ट स्थान हौसडॉर्फ स्थान (इसलिए सामान्य) और प्रथम-गणनीय स्थान योग्य हैं। नागाटा– स्मिरनोव मेट्रिज़ेशन प्रमेय मेट्रिक्स के संदर्भ के बिना, अन्य सांस्थितीय गुणों के संदर्भ में मेट्रिज़ेबिलिटी का लक्षण वर्णन करता है।

अभिसरण
यूक्लिडियन अंतरिक्ष में अनुक्रमों के अभिसरण को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:
 * एक अनुक्रम $(x_{n})$ एक बिंदु $M$ में परिवर्तित हो जाता है यदि प्रत्येक $ε > 0$ के लिए एक पूर्णांक $M$ है जैसे कि सभी $n > N$, $d(x_{n}, x) < ε$ के लिए।

सांस्थितीय स्थान में अनुक्रमों का अभिसरण निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:
 * एक अनुक्रम $(x_{n})$ एक बिंदु $x$ पर अभिसरण करता है यदि प्रत्येक खुले सेट $x$ के लिए जिसमें $N$ है, एक पूर्णांक $x$ है जैसे कि सभी $n > N$ के लिए, $$x_n \in U$$.

मीट्रिक रिक्त स्थान में, ये दोनों परिभाषाएँ समझ में आती हैं और वे समान हैं। यह मीट्रिक रिक्त स्थान के सांस्थितीय गुणों के लिए एक सामान्य पैटर्न है: जबकि उन्हें विशुद्ध रूप से सांस्थितीय तरीके से परिभाषित किया जा सकता है, अक्सर एक ऐसा तरीका होता है जो मीट्रिक का उपयोग करता है जो कि राज्य के लिए आसान है या वास्तविक विश्लेषण से अधिक परिचित है।

पूर्णता
अनौपचारिक रूप से, एक मीट्रिक स्थान पूर्ण होता है यदि इसमें कोई "लापता बिंदु" नहीं होता है: प्रत्येक क्रम जो ऐसा दिखता है कि उसे वास्तव में अभिसरण करना चाहिए।

इसे सटीक बनाने के लिए: मीट्रिक स्थान $U$ में एक अनुक्रम $(x_{n})$कॉची है यदि प्रत्येक $ε > 0$ के लिए एक पूर्णांक $x$ है जैसे कि सभी $m, n > N$, $d(x_{m}, x_{n}) < ε$ के लिए। त्रिभुज असमानता से, कोई भी अभिसरण अनुक्रम कॉची है: यदि $N$ और $M$ दोनों सीमा से $ε$ से कम दूर हैं, तो वे एक दूसरे से $2ε$ से कम दूर हैं। यदि विलोम सत्य है - $N$ में प्रत्येक कॉची अनुक्रम अभिसरण करता है - तो $x_{m}$ पूर्ण है।

यूक्लिडियन रिक्त स्थान पूर्ण हैं, जैसा कि $$\R^2$$ ऊपर वर्णित अन्य मैट्रिक्स के साथ है। रिक्त स्थान के दो उदाहरण जो पूर्ण नहीं हैं (0, 1) और परिमेय हैं, जिनमें से प्रत्येक $$\R$$ से प्रेरित मीट्रिक के साथ है। कोई भी (0, 1) के बारे में सोच सकता है कि इसके समापन बिंदु 0 और 1 "अनुपलब्ध" हैं। परिमेय सभी अपरिमेय को याद कर रहे हैं, क्योंकि किसी भी अपरिमेय के पास $$\R$$ में परिमेय का एक क्रम होता है। {आर} (उदाहरण के लिए, इसके क्रमिक दशमलव सन्निकटन)। इन उदाहरणों से पता चलता है कि पूर्णता एक सांस्थितिक गुण नहीं है, क्योंकि $$\R$$ पूर्ण है, लेकिन होमियोमॉर्फिक स्थान (0, 1) नहीं है।

"लापता अंक" की इस धारणा को सटीक बनाया जा सकता है। वास्तव में, प्रत्येक मीट्रिक स्थान में एक अद्वितीय पूर्णता होती है, जो एक पूर्ण स्थान होता है जिसमें दिए गए स्थान को घने उपसमुच्चय के रूप में शामिल किया जाता है। उदाहरण के लिए, $x_{n}$ (0, 1) की पूर्णता है, और वास्तविक संख्याएँ परिमेय की पूर्णता हैं।

चूंकि पूर्ण रिक्त स्थान के साथ काम करना आम तौर पर आसान होता है, पूरे गणित में पूर्णता महत्वपूर्ण होती है। उदाहरण के लिए, अमूर्त बीजगणित में, p-adic संख्या|p-adic संख्याओं को एक अलग मीट्रिक के तहत परिमेय के पूरा होने के रूप में परिभाषित किया गया है। कार्यात्मक विश्लेषण में एक उपकरण के रूप में पूर्णता विशेष रूप से आम है। अक्सर किसी के पास अच्छे कार्यों का एक सेट होता है और उनके बीच की दूरी को मापने का एक तरीका होता है। इस मीट्रिक स्थान को पूरा करने से कार्यों का एक नया सेट मिलता है जो कम अच्छा हो सकता है, लेकिन फिर भी उपयोगी हो सकता है क्योंकि वे महत्वपूर्ण तरीकों से मूल अच्छे कार्यों के समान व्यवहार करते हैं। उदाहरण के लिए, विभेदक समीकरणों के आम तौर पर अच्छे कार्यों के मूल स्थान के बजाय एक पूर्णता (एक ) में रहते हैं, जिसके लिए  वास्तव में समझ में आता है।

चूंकि पूर्ण स्थान के साथ काम करना आम तौर पर आसान होता है, पूरे गणित में पूर्णता महत्वपूर्ण होती है। उदाहरण के लिए, सार बीजगणित में, पी-एडिक संख्या को एक अलग मीट्रिक के तहत परिमेय के पूरा होने के रूप में परिभाषित किया गया है। समापन कार्यात्मक विश्लेषण में एक उपकरण के रूप में विशेष रूप से आम है। अक्सर किसी के पास अच्छे कार्यों का एक सेट होता है और उनके बीच दूरियों को मापने का एक तरीका होता है। इस मीट्रिक स्थान को पूरा करने से कार्यों का एक नया सेट मिलता है जो कम अच्छा हो सकता है, लेकिन फिर भी उपयोगी होता है क्योंकि वे महत्वपूर्ण तरीकों से मूल अच्छे कार्यों के समान व्यवहार करते हैं। उदाहरण के लिए, अंतर समीकरणों के कमजोर समाधान आम तौर पर अच्छे कार्यों के मूल स्थान के बजाय पूर्णता (एक सोबोलेव स्थान) में रहते हैं जिसके लिए अवकल समीकरण वास्तव में समझ में आता है।

बंधे और पूरी तरह से बंधे हुए स्थान


एक मीट्रिक स्थान $M$ को घेरा जाता है यदि कोई $M$ ऐसा हो कि $[0, 1]$ में कोई भी बिंदु $M$r दूरी से अधिक न हो। कम से कम ऐसे $r$ को $M$ का कहा जाता है।

अंतरिक्ष $r$ को प्रीकॉम्पैक्ट या पूरी तरह से घिरा हुआ कहा जाता है यदि प्रत्येक $r > 0$ के लिए त्रिज्या $r$ की खुली गेंदों द्वारा $M$ का एक सीमित कवर होता है। हर पूरी तरह से घिरा हुआ स्थान घिरा हुआ है। इसे देखने के लिए, कुछ मनमाना आर के लिए $M$-बॉल्स द्वारा सीमित कवर से शुरू करें। चूँकि इन गेंदों के केंद्रों से मिलकर $r$ का उपसमुच्चय परिमित है, इसका परिमित व्यास है, $M$ कहते हैं। त्रिभुज असमानता से, पूरे स्थान का व्यास अधिकतम $D + 2r$ है। आक्षेप धारण नहीं करता है: एक मीट्रिक स्थान का एक उदाहरण जो घिरा हुआ है लेकिन पूरी तरह से घिरा नहीं है $$\R^2$$ असतत मीट्रिक के साथ।

सघनता
कॉम्पैक्टनेस एक सांस्थितीय प्रॉपर्टी है जो यूक्लिडियन स्थान के एक बंद और बंधे हुए उपसमुच्चय के गुणों को सामान्य करती है। मीट्रिक रिक्त स्थान में कॉम्पैक्टनेस की कई समान परिभाषाएँ हैं: एक कॉम्पैक्ट स्थान का एक उदाहरण बंद अंतराल $r$ है।
 * 1) एक मीट्रिक स्थान $M$ कॉम्पैक्ट है यदि प्रत्येक खुले कवर में एक परिमित उपकवर (सामान्य सांस्थितीय परिभाषा) है।
 * 2) एक मीट्रिक स्थान एम कॉम्पैक्ट होता है यदि प्रत्येक अनुक्रम में एक अभिसरण अनुक्रम होता है। (सामान्य सांस्थितीय स्थान के लिए इसे अनुक्रमिक कॉम्पैक्टनेस कहा जाता है और कॉम्पैक्टनेस के बराबर नहीं है।)
 * 3) एक मीट्रिक स्थान $D$ कॉम्पैक्ट है अगर यह पूर्ण और पूरी तरह से घिरा हुआ है। (यह परिभाषा मीट्रिक गुणों के संदर्भ में लिखी गई है और सामान्य सांस्थितीय स्थान के लिए इसका कोई अर्थ नहीं है, लेकिन फिर भी यह स्थैतिक रूप से अपरिवर्तनीय है क्योंकि यह कॉम्पैक्टनेस के बराबर है।)

पूर्णता के समान कारणों के लिए कॉम्पैक्टनेस महत्वपूर्ण है: इससे सीमाएँ खोजना आसान हो जाता है। एक अन्य महत्वपूर्ण उपकरण लेब्सग्यू का नंबर लेम्मा है, जो दर्शाता है कि किसी कॉम्पैक्ट स्थान के किसी भी खुले कवर के लिए, कवर के किसी एक सेट के अंदर प्रत्येक बिंदु अपेक्षाकृत गहरा होता है।

गुणनफल मीट्रिक स्थान
यदि $$(M_1,d_1),\ldots,(M_n,d_n)$$ मीट्रिक स्थान हैं, और $M$, $$\mathbb R^n$$ पर यूक्लिड का मानक है, तब $$\bigl(M_1 \times \cdots \times M_n, d_\times\bigr)$$ एक मीट्रिक स्थान है, जहाँ गुणनफल मीट्रिक को निम्न प्रकार से परिभाषित किया जाता है:$$d_\times\bigl((x_1,\ldots,x_n),(y_1,\ldots,y_n)\bigr) = N\bigl(d_1(x_1,y_1),\ldots,d_n(x_n,y_n)\bigr),$$और प्रेरित सांस्थिति, गुणनफल सांस्थिति से सहमत है। परिमित विमाओं में मानकों की तुल्यता से, एक सांस्थितीय समकक्ष मीट्रिक को प्राप्त किया जाता है यदि $M$, टैक्सीकैब मानक, एक p-मानक, अधिकतम मानक, या कोई अन्य मानक है जो धनात्मक $[0, 1]$-ट्यूपल के निर्देशांक में वृद्धि होने पर कम नहीं होता है (त्रिभुज की असमिका को स्वीकार करते हुए)।

इसी प्रकार, मीट्रिक का उपयोग करके कई मीट्रिक स्थानों के सांस्थितीय गुणनफल पर एक मीट्रिक प्राप्त किया जा सकता है:$$d(x,y)=\sum_{i=1}^\infty \frac1{2^i}\frac{d_i(x_i,y_i)}{1+d_i(x_i,y_i)}.$$असंख्य रूप से कई मीट्रिक स्थानों के सांस्थितीय गुणनफल को मीट्रिक-योग्य होने की आवश्यकता नहीं होती है। उदाहरण के लिए, $$\mathbb{R}$$ की प्रतियों का एक असंख्य गुणनफल प्रथम-गणनीय, और इस प्रकार मीट्रिक-योग्य नहीं है।

विभाग मीट्रिक स्थान
यदि $N$, मीट्रिक $N$ के साथ एक मीट्रिक स्थान है, और $$\sim$$, $n$ पर एक तुल्यता संबंध है, तो हम विभाग समुच्चय $$M/\!\sim$$ को एक छद्ममितीय के साथ पूर्ण कर सकते हैं। दो तुल्यता वर्गों के बीच की दूरी $$[x]$$ और $$[y]$$ को निम्न प्रकार से परिभाषित किया गया है:$$d'([x],[y]) = \inf\{d(p_1,q_1)+d(p_2,q_2)+\dotsb+d(p_{n},q_{n})\},$$जहाँ इन्फिमम को सभी परिमित अनुक्रमों $$(p_1, p_2, \dots, p_n)$$ और $$(q_1, q_2, \dots, q_n)$$ $$p_1 \sim x$$ को $$q_n \sim y$$, $$q_i \sim p_{i+1}, i=1,2,\dots, n-1$$ के साथ, पर अधिकतम लिया जाता है। सामान्य रूप से यह केवल एक छद्ममितीय, अर्थात्, $$d'([x],[y])=0$$ को परिभाषित करेगा, इसका आवश्यक रूप से यह अर्थ नहीं है कि $$[x]=[y]$$। हालांकि, कुछ तुल्यता संबंधों के लिए (उदाहरण के लिए, फलकों के साथ पॉलीहेड्रा को एक साथ चिपकाकर दिया गया), $$d'$$ एक मीट्रिक है। विभाग मीट्रिक $$d'$$ की विशेषता निम्नलिखित सार्वभौमिक गुण द्वारा होती है। यदि $$f\,\colon(M,d)\to(X,\delta)$$, $f(x) = f(y)$ जब भी $$x \sim y$$, को संतुष्ट करने वाले मीट्रिक स्थान के बीच प्रतिचित्रित एक मीट्रिक (अर्थात् 1-लिप्सचिट्ज़) है, तब  $$\overline{f}([x])=f(x)$$ द्वारा दिया गया प्रेरित फलन $$\overline{f}\,\colon {M/\sim}\to X$$, एक मीट्रिक प्रतिचित्रण $$\overline{f}\,\colon (M/\sim,d')\to (X,\delta).$$ है।

विभाग मीट्रिक सदैव विभाग सांस्थिति को प्रेरित नहीं करता है। उदाहरण के लिए, मीट्रिक स्थान $$\N \times [0,1]$$ का सांस्थिति विभाग $$(n, 0)$$ मीट्रिक-योग्य नहीं है, क्योंकि यह प्रथम-गणनीय नहीं है, लेकिन विभाग मीट्रिक उसी समुच्चय पर एक सुपरिभाषित मीट्रिक है जो स्थूलतर सांस्थिति को प्रेरित करता है। इसके अतिरिक्त, मूल सांस्थितीय स्थान पर अलग-अलग मीट्रिक (गणनीय रूप से कई अंतरालों का एक असंबद्ध संघ) विभाग पर विभिन्न सांस्थितियों का कारण बनते हैं।

एक सांस्थितीय स्थान अनुक्रमिक होता है, यदि और केवल यदि यह एक मीट्रिक स्थान का (सांस्थितीय) विभाग है।

मीट्रिक स्थानों का सामान्यीकरण
स्थानों की कई धारणाएँ हैं, जिनमें एक मीट्रिक स्थान की तुलना में कम, लेकिन एक सांस्थितीय स्थान से अधिक संरचना होती है।
 * एकसमान स्थान, वे स्थान होते हैं जिनमें दूरियाँ परिभाषित नहीं होती हैं, लेकिन एकसमान निरंतरता होती है।
 * दृष्टिकोण स्थान, वे स्थान होते हैं जिनमें बिंदु-से-बिंदु की दूरियों के स्थान पर बिंदु-से-समुच्चय की दूरी को परिभाषित किया जाता है। श्रेणी सिद्धांत के दृष्टिकोण से इनके पास विशेष रूप से अच्छे गुण हैं।
 * निरंतरता स्थान, मीट्रिक स्थान और पॉसेट का एक सामान्यीकरण है, जिसका उपयोग मीट्रिक स्थान और क्षेत्रीय-धारणाओं को एकीकृत करने के लिए किया जा सकता है।

मीट्रिक के लिए अभिगृहीतों को शिथिल करने की कई विधियाँ हैं, जो सामान्यीकृत मीट्रिक स्थान की विभिन्न धारणाओं को उत्पन्न करते हैं। इन सामान्यीकरणों को भी संयुक्त किया जा सकता है। इनका वर्णन करने के लिए प्रयुक्त शब्दावली पूरी तरह से मानकीकृत नहीं है। सबसे विशेष रूप से, कार्यात्मक विश्लेषण में छद्मितीय प्रायः सदिश स्थान पर अर्द्धमानकों से आते हैं, और इसलिए इन्हें "अर्द्धमीट्रिक" कहना स्वाभाविक है। यह सांस्थिति में इस शब्द के उपयोग का विरोध करता है।

विस्तारित मेट्रिक्स
कुछ लेखक दूरी फलन $$$$ को ∞ मान प्राप्त करने की अनुमति देते हुए मीट्रिक को परिभाषित करते हैं, अर्थात् विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा पर दूरी गैर-ऋणात्मक संख्याएँ हैं। इस तरह के फलन को एक विस्तारित मीट्रिक या "∞-मीट्रिक" भी कहा जाता है। प्रत्येक विस्तारित मीट्रिक को एक परिमित मीट्रिक द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है जो सांस्थितीय रूप से समतुल्य है। इसे एक उप-योगात्मक एकदिष्टतः बढ़ते हुए प्रतिबंधित फलन का उपयोग करके किया जा सकता है, जो शून्य पर शून्य है, उदा: $$d'(x, y) = d(x, y) / (1 + d(x, y))$$ या $$d''(x, y) = \min(1, d(x, y))$$।

वास्तविक संख्याओं के अतिरिक्त अन्य संरचनाओं में मीट्रिक का मान
मीट्रिक $$[0,\infty)$$ में मान ग्रहण करता है, इस आवश्यकता को अन्य संरचनाओं में मानों के साथ मीट्रिक पर विचार करने के लिए स्वतंत्र किया जा सकता है, जिसमें निम्नलिखित संरचनाएँ सम्मिलित हैं: ये सामान्यीकरण अभी भी स्थान पर एक समान संरचना को प्रेरित करते हैं।
 * आदेशित क्षेत्र, एक सामान्यीकृत मीट्रिक की धारणा प्रदान करते हैं।
 * अधिक सामान्य निर्देशित समुच्चय, एक योग की संक्रिया की अनुपस्थिति में, त्रिभुज असमिका का कोई अर्थ नहीं है और इसे अल्ट्रामीट्रिक स्थान से प्रतिस्थापित किया जाता है। यह सामान्यीकृत अल्ट्रामीट्रिक की धारणा की ओर ले जाता है।

छद्मितीय स्थान
$$X$$ पर एक छद्मितीय, एक फलन $$d: X \times X \to \R$$ है, जो एक मीट्रिक के लिए अभिगृहीतों को संतुष्ट करता है, इसको छोड़कर कि दूसरे के स्थान पर (अबोधगम्यता की पहचान) केवल $$d(x,x)=0$$ सभी $$x$$ के लिए आवश्यक है। दूसरे शब्दों में, छद्ममितीय के लिए अभिगृहीत हैं:


 * 1) $$d(x, y) \geq 0$$
 * 2) $$d(x,x)=0$$
 * 3) $$d(x,y)=d(y,x)$$
 * 4) $$d(x,z)\leq d(x,y) + d(y,z)$$.

कुछ संदर्भों में, छद्मितीय को अर्द्धमीट्रिक के रूप में संदर्भित किया जाता है क्योंकि इनका संबंध अर्धमानकों से होता है।

क्वासिमेट्रिक्स
कभी-कभी, एक क्वासिमेट्रिक को एक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया जाता है जो समरूपता के संभावित अपवाद के साथ एक मीट्रिक के लिए सभी अभिगृहीतों को संतुष्ट करता है। इस सामान्यीकरण का नाम पूरी तरह से मानकीकृत नहीं है। वास्तविक जीवन में क्वासिमेट्रिक्स आम हैं। उदाहरण के लिए, पहाड़ के गाँवों का एक सेट $M$ दिया गया है, $d$ के तत्वों के बीच विशिष्ट चलने का समय एक क्वासिमेट्रिक बनाता है क्योंकि यात्रा की चढ़ाई नीचे की यात्रा की तुलना में अधिक समय लेती है। एक अन्य उदाहरण एक तरफ़ा सड़कों वाले शहर में कार की सवारी की लंबाई है: यहाँ, बिंदु $M$ से बिंदु $X$ तक का सबसे छोटा रास्ता $X$ से $A$ तक के सबसे छोटे रास्ते की तुलना में सड़कों के एक अलग सेट के साथ जाता है और इसकी लंबाई अलग हो सकती है। वास्तविक पर एक अर्ध मीट्रिक को सेटिंग द्वारा परिभाषित किया जा सकता है$$d(x,y)=\begin{cases} x-y & \text{if }x\geq y,\\ 1 & \text{otherwise.} \end{cases}$$1 को, उदाहरण के लिए, अनंत द्वारा या $$1 + \sqrt{y-x}$$ या $y-x$ के किसी अन्य सबएडिटिव फ़ंक्शन द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। यह क्वासिमेट्रिक धातु की छड़ी को संशोधित करने की लागत का वर्णन करता है: इसे दर्ज करके इसका आकार कम करना आसान है, लेकिन इसे बढ़ाना मुश्किल या असंभव है।
 * 1) $$d(x, y) \geq 0$$
 * 2) $$d(x,y)=0 \iff x=y $$
 * 3) $$d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$$

$B$ पर क्वासिमेट्रिक दिए जाने पर, कोई भी $B$ के चारों ओर एक $A$-गेंद को सेट $$\{y \in X | d(x,y) \leq R\}$$ के रूप में परिभाषित कर सकता है। जैसा कि एक मीट्रिक के मामले में, ऐसी गेंदें $X$ पर एक टोपोलॉजी के लिए आधार बनाती हैं, लेकिन इस टोपोलॉजी को मेट्रिज़ेबल होने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, ऊपर वर्णित वास्तविकताओं पर क्वासिमेट्रिक द्वारा प्रेरित टोपोलॉजी (उलट) सोरगेनफ्रे लाइन है।

मेटामेट्रिक्स या आंशिक मेट्रिक्स
एक मेटामेट्रिक में, एक मीट्रिक के सभी स्वयंसिद्ध संतुष्ट होते हैं सिवाय इसके कि समान बिंदुओं के बीच की दूरी आवश्यक रूप से शून्य नहीं है। दूसरे शब्दों में, मेटामेट्रिक के स्वयंसिद्ध हैं:

ग्रोमोव हाइपरबोलिक मीट्रिक रिक्त स्थान और उनकी सीमाओं के अध्ययन में मेटामेट्रिक्स दिखाई देते हैं। ऐसे स्थान पर दृश्य मेटामेट्रिक सीमा पर $$d(x,x)=0$$ बिंदुओं के लिए संतुष्ट करता है, लेकिन अन्यथा $$d(x,x)$$ लगभग $$x$$ से सीमा तक की दूरी है। मेटामेट्रिक्स को सबसे पहले जुसी वैसाला द्वारा परिभाषित किया गया था। अन्य कार्यों में, इन अभिगृहीतों को संतुष्ट करने वाला एक फ़ंक्शन आंशिक मीट्रिक या एक अव्यवस्थित मीट्रिक कहलाता है।
 * 1) $$d(x,y)\geq 0$$
 * 2) $$d(x,y)=0 \implies x=y$$
 * 3) $$d(x,y)=d(y,x)$$
 * 4) $$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).$$

सेमीमेट्रिक्स
$$X$$ पर एक सेमीमेट्रिक एक फ़ंक्शन है $$d: X \times X \to \R$$ जो पहले वाले को संतुष्ट करता है तीन स्वयंसिद्ध, लेकिन जरूरी नहीं कि त्रिभुज असमानता:

कुछ लेखक त्रिभुज असमानता के कमजोर रूप के साथ काम करते हैं, जैसे
 * 1) $$d(x,y)\geq 0$$
 * 2) $$d(x,y)=0 \iff x=y$$
 * 3) $$d(x,y)=d(y,x)$$



ρ-इन्फ्रामेट्रिक असमानता का अर्थ है ρ-रिलैक्स्ड त्रिकोण असमानता (पहली स्वयंसिद्ध मानकर), और ρ-रिलैक्स्ड त्रिकोण असमानता का अर्थ है 2ρ-इन्फ्रामेट्रिक असमानता। इन समतुल्य शर्तों को पूरा करने वाले सेमिमेट्रिक्स को कभी-कभी क्वासिमेट्रिक्स, नियरमेट्रिक्स या इन्फ्रामेट्रिक्स के रूप में संदर्भित किया जाता है।
 * $$d(x,z)\leq \rho\,(d(x,y)+d(y,z))$$
 * ρ-relaxed triangle inequality
 * $$d(x,z)\leq \rho\,\max\{d(x,y),d(y,z)\}$$
 * ρ-inframetric inequality
 * }
 * }

इंटरनेट में राउंड-ट्रिप विलम्ब समय को मॉडल करने के लिए -इन्फ़्रैमेट्रिक असमानताओं को पेश किया गया था। त्रिभुज असमानता का अर्थ है 2-इन्फ़्रैमेट्रिक असमानता, और अल्ट्रामेट्रिक असमानता बिल्कुल 1-इन्फ़्रैमेट्रिक असमानता है।

प्रीमेट्रिक्स
पिछले तीन अभिगृहीतों को शिथिल करने से एक प्रीमेट्रिक की धारणा बनती है, अर्थात एक ऐसा कार्य जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:

यह एक मानक शब्द नहीं है। कभी-कभी इसका उपयोग मेट्रिक्स के अन्य सामान्यीकरणों जैसे स्यूडोसेमिमेट्रिक्स या स्यूडोमेट्रिक्स को संदर्भित करने के लिए किया जाता है; रूसी पुस्तकों के अनुवाद में यह कभी-कभी "प्रैमेट्रिक" के रूप में प्रकट होता है। एक प्रीमेट्रिक जो समरूपता को संतुष्ट करता है, यानी एक स्यूडोसेमीमेट्रिक, को दूरी भी कहा जाता है।
 * 1) $$d(x,y)\geq 0$$
 * 2) $$d(x,x)=0$$

कोई भी प्रीमीट्रिक एक टोपोलॉजी को निम्नानुसार जन्म देता है। एक सकारात्मक वास्तविक $$r$$ के लिए, $r$-ball एक बिंदु पर केंद्रित है $$p$$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 * $$B_r(p)=\{ x | d(x,p) < r \}.$$

एक सेट को ओपन कहा जाता है यदि किसी भी बिंदु के लिए $$p$$ सेट में एक $r$-ball है जो $$p$$ पर केंद्रित है जो सेट में निहित है। प्रत्येक प्रीमेट्रिक स्थान एक सांस्थितीय स्थान है, और वास्तव में एक अनुक्रमिक स्थान है। सामान्य तौर पर, इस टोपोलॉजी के संबंध में $r$-balls को स्वयं खुले सेट होने की आवश्यकता नहीं है। मेट्रिक्स के लिए, दो सेट $$A$$ और $$B$$ के बीच की दूरी को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 * $$d(A,B)=\underset{x\in A, y\in B}\inf d(x,y).$$

यह प्रीमेट्रिक स्थान के अधि-समुच्चय पर प्रीमेट्रिक को परिभाषित करता है। यदि हम एक (स्यूडोसेमी-) मीट्रिक स्थान से शुरू करते हैं, तो हमें एक स्यूडोसेमिमेट्रिक मिलता है, यानी एक सममित प्रीमेट्रिक। कोई भी प्रीमैट्रिक एक प्रीक्लोजर ऑपरेटर $$cl$$ को निम्नानुसार उत्पन्न करता है:
 * $$cl(A)=\{ x | d(x,A) = 0 \}.$$

स्यूडोक्वासिमेट्रिक्स
छद्म-, अर्ध- और अर्ध- उपसर्गों को भी जोड़ा जा सकता है, उदाहरण के लिए, एक स्यूडोक्वासिमेट्रिक (कभी-कभी हेमिमेट्रिक कहा जाता है) अविवेकी स्वयंसिद्ध और समरूपता स्वयंसिद्ध दोनों को आराम देता है और त्रिकोण असमानता को संतुष्ट करने वाला एक पूर्वमितीय है। स्यूडोक्वासिमेट्रिक स्थान के लिए ओपन $r$-balls ओपन सेट का आधार बनते हैं। स्यूडोक्वासिमेट्रिक स्थान का एक बहुत ही बुनियादी उदाहरण सेट है $$\{0,1\}$$} प्रीमेट्रिक के साथ $$d(0,1) = 1$$ और $$d(1,0) = 0.$$ संबंधित सांस्थितीय स्थान सीरपिन्स्की स्थान है।

एक विस्तारित स्यूडोक्वासिमेट्रिक से लैस सेटों का अध्ययन विलियम लॉवेरे द्वारा "सामान्यीकृत मीट्रिक रिक्त स्थान" के रूप में किया गया था। एक स्पष्ट दृष्टिकोण से, विस्तारित स्यूडोमेट्रिक रिक्त स्थान और विस्तारित छद्म क्वासिमेट्रिक रिक्त स्थान, उनके संबंधित गैर-विस्तार वाले मानचित्रों के साथ, मीट्रिक स्थान श्रेणियों का सबसे अच्छा व्यवहार किया जाता है। कोई व्यक्ति मनमाने उत्पाद और उत्पाद ले सकता है और दी गई श्रेणी के भीतर भागफल वस्तुएँ बना सकता है। यदि कोई "विस्तारित" छोड़ता है, तो वह केवल परिमित उत्पाद और सह-उत्पाद ले सकता है। यदि कोई "छद्म" छोड़ता है, तो कोई भागफल नहीं ले सकता।

लॉवरे ने के रूप में ऐसे रिक्त स्थान की वैकल्पिक परिभाषा भी दी। आदेश दिया सेट  एक रूपवाद के साथ एक   (गणित) के रूप में देखा जा सकता है  यदि  और कोई अन्यथा नहीं। का उपयोग करते हुए $+$  के रूप में और 0  के रूप में इस श्रेणी को एक  में बनाता है. प्रत्येक (विस्तारित स्यूडोक्वासी-)मीट्रिक स्थान अब एक श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है  अधिक समृद्ध :

लॉवरे ने समृद्ध श्रेणियों के रूप में ऐसे रिक्त स्थान की वैकल्पिक परिभाषा भी दी। आदेशित सेट $$(\mathbb{R},\geq)$$ को एक रूपवाद के साथ एक श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है $$a\to b$$ यदि $$a\geq b$$ और कोई नहीं। + को टेंसर उत्पाद के रूप में और 0 को तत्समक तत्व के रूप में उपयोग करने से यह श्रेणी एक मोनोइडल श्रेणी में आ जाती है $$R^*$$। प्रत्येक (विस्तारित स्यूडोक्वासी-) मीट्रिक स्थान $$(M,d)$$ को अब एक श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है $$M^*$$ से अधिक समृद्ध $$R^*$$:
 * श्रेणी की वस्तुएं $x$ के बिंदु हैं।
 * अंक $R$ और $X$ की प्रत्येक जोड़ी के लिए जैसे कि $$d(x,y)<\infty$$, एक एकल रूपवाद है जिसे ऑब्जेक्ट सौंपा गया है $$d(x,y)$$ $$R^*$$ का।
 * त्रिभुज असमानता और तथ्य यह है कि $$d(x,x)=0$$ सभी बिंदुओं के लिए $M$ एक समृद्ध श्रेणी में रचना और पहचान के गुणों से प्राप्त होता है।
 * चूंकि $$R^*$$ एक पोसेट है, इसलिए एक समृद्ध श्रेणी के लिए आवश्यक सभी आरेख स्वचालित रूप से कम्यूट हो जाते हैं।

बहुसमुच्चयों पर मेट्रिक्स
एक मीट्रिक की धारणा को दो तत्वों के बीच की दूरी से तत्वों के एक मल्टीसेट को सौंपी गई संख्या तक सामान्यीकृत किया जा सकता है। एक मल्टीसेट एक सेट की धारणा का एक सामान्यीकरण है जिसमें एक तत्व एक से अधिक बार हो सकता है। मल्टीसेट यूनियन $$U=XY$$ को निम्नानुसार परिभाषित करें: यदि कोई तत्व $x$, $y$ में $x$ बार और $x$ में $X$ बार आता है, तो यह $m$ में $m + n$ बार आता है। एक सेट $Y$ के तत्वों के गैर-रिक्त परिमित मल्टीसेट का सेट एक मीट्रिक है यदि अभिगृहीत 1 और 2 के मामलों पर विचार करके जिसमें मल्टीसेट $n$ में दो तत्व होते हैं और स्वयंसिद्ध 3 के मामले में जिसमें मल्टीसेट $U$, $M$, तथा $X$ में प्रत्येक में एक तत्व होता है, एक मीट्रिक के लिए सामान्य सिद्धांतों को पुनर्प्राप्त करता है। अर्थात्, प्रत्येक मल्टीसेट मीट्रिक दो तत्वों के सेट तक सीमित होने पर एक सामान्य मीट्रिक उत्पन्न करता है।
 * 1) $$d(X)=0$$ यदि के सभी तत्व $X$ बराबर हैं और $$d(X) > 0$$ अन्यथा ( सकारात्मक निश्चितता )
 * 2) $$d(X)$$ केवल (अनियंत्रित) मल्टीसेट पर निर्भर करता है $X$ ( समरूपता )
 * 3) $$d(XY) \leq d(XZ)+d(ZY)$$ (असमानित त्रिकोण)

एक सरल उदाहरण $$d(X)=\max (X)- \min (X)$$ के साथ पूर्णांकों के सभी गैर-रिक्त परिमित मल्टीसेट्स $$X$$ का सेट है। (एक्स) - \ मिनट (एक्स)}। अधिक जटिल उदाहरण मल्टीसेट्स में सूचना दूरी हैं; और मल्टीसेट्स में सामान्यीकृत संपीडन दूरी (एनसीडी) ।

संदर्भ




बाहरी संबंध

 * Far and near &mdash; several examples of distance functions at cut-the-knot.
 * Far and near &mdash; several examples of distance functions at cut-the-knot.

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A metric is called an ultrametric if it satisfies the following stronger version of the triangle inequality for all $$x,y,z\in X$$:
 * $$d(x, y) \leq \max \{ d(x, z), d(y, z) \}.$$

A metric $$d$$ on a group $$G$$ (written multiplicatively) is said to be (resp. ) if for all $$x, y, z \in G$$
 * $$d(zx, zy) = d(x, y)$$ [resp. $$d(xz,yz)=d(x,y)$$].

A metric $$d$$ on a commutative additive group $$X$$ is said to be if for all $$x,y,z\in X$$
 * $$d(x, y) = d(x + z, y + z),$$or equivalently $$d(x, y) = d(x - y, 0).$$

Examples

 * The normed space $$(\R, {|\cdot |})$$ is a Banach space where the absolute value is a norm on the real line $$\R$$ that induces the usual Euclidean topology on $$\R.$$ Define a metric $$d : \R \times \R \to \R$$ on $$\R$$ by $$d(x, y) = {|\arctan(x) - \arctan(y)|}$$ for all $$x,y\in\R.$$ Just like ${ induced metric, the metric $$d$$ also induces the usual Euclidean topology on $$\R$$. However, $$d$$ is not a complete metric because the sequence $$x_{\bull} = \left(x_i\right)_{i=1}^{\infty}$$ defined by $$x_i := i$$ is a $d$‑Cauchy sequence but it does not converge to any point of $$\R$$. As a consequence of not converging, this $d$-Cauchy sequence cannot be a Cauchy sequence in $$(\R, {|\cdot |})$$ (i.e. it is not a Cauchy sequence with respect to the norm $${\|\cdot \|}$$) because if it was $ then the fact that $$(\R, {|\cdot |})$$ is a Banach space would imply that it converges (a contradiction).

Equivalence of metrics
For a given set X, two metrics $$d_1$$ and $$d_2$$ are called topologically equivalent (uniformly equivalent) if the identity mapping
 * $${\rm id}: (X,d_1)\to (X,d_2)$$

is a homeomorphism (uniform isomorphism).

For example, if $$d$$ is a metric, then $$\min (d, 1)$$ and $$\frac{d}{1+d}$$ are metrics equivalent to $$d.$$