अभ्यावेदन का टेंसर उत्पाद

गणित में, अभ्यावेदन का टेंसर उत्पाद, उत्पाद पर कारक-वार समूह कार्रवाई के साथ अंतर्निहित अभ्यावेदन के वेक्टर स्थानों का एक टेन्सर उत्पाद है। यदि कोई पहले से ही कुछ जानता है तो इस निर्माण का उपयोग क्लेबश-गॉर्डन प्रक्रिया के साथ मिलकर अतिरिक्त अपरिवर्तनीय अभ्यावेदन उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है।

समूह प्रतिनिधित्व
अगर $$V_1, V_2$$ एक समूह का रैखिक प्रतिनिधित्व हैं $$G$$, तो उनका टेंसर उत्पाद वेक्टर रिक्त स्थान का टेंसर उत्पाद है $$V_1 \otimes V_2$$ की रैखिक क्रिया के साथ $$G$$ उस स्थिति द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है
 * $$g \cdot (v_1 \otimes v_2) = (g\cdot v_1) \otimes (g\cdot v_2)$$

सभी के लिए $$v_1\in V_1$$ और $$v_2\in V_2$$. हालाँकि इसका हर तत्व नहीं $$V_1\otimes V_2$$ रूप में अभिव्यक्त होता है $$v_1\otimes v_2$$, Tensor उत्पाद # Tensor उत्पाद संचालन की सार्वभौमिक संपत्ति गारंटी देती है कि यह क्रिया अच्छी तरह से परिभाषित है।

समरूपता की भाषा में, यदि की क्रियाएँ $$G$$ पर $$V_1$$ और $$V_2$$ समरूपता द्वारा दिए गए हैं $$\Pi_1:G\rightarrow\operatorname{GL}(V_1)$$ और $$\Pi_2:G\rightarrow\operatorname{GL}(V_2)$$, तो टेंसर उत्पाद प्रतिनिधित्व समरूपता द्वारा दिया जाता है $$\Pi_1\otimes\Pi_2:G\rightarrow\operatorname{GL}(V_1\otimes V_2)$$ द्वारा दिए गए
 * $$\Pi_1\otimes\Pi_2(g)=\Pi_1(g)\otimes\Pi_2(g)$$,

कहाँ $$\Pi_1(g)\otimes\Pi_2(g)$$ रैखिक मानचित्रों का टेन्सर उत्पाद#टेन्सर उत्पाद है। कोई भी टेंसर उत्पादों की धारणा को किसी भी सीमित संख्या में प्रतिनिधित्व तक बढ़ा सकता है। यदि V समूह G का एक रैखिक प्रतिनिधित्व है, तो उपरोक्त रैखिक क्रिया के साथ, टेंसर बीजगणित $$T(V)$$ G का बीजगणितीय निरूपण है; यानी, G का प्रत्येक तत्व बीजगणित ऑटोमोर्फिज्म के रूप में कार्य करता है।

झूठ बीजगणित निरूपण
अगर $$(V_1,\pi_1)$$ और $$(V_2,\pi_2)$$ एक लाई बीजगणित का प्रतिनिधित्व हैं $$\mathfrak g$$, तो इन अभ्यावेदन का टेंसर उत्पाद मानचित्र है $$\pi_1\otimes\pi_2:\mathfrak g\rightarrow\operatorname{End}(V_1\otimes V_2)$$ द्वारा दिए गए
 * $$\pi_1\otimes\pi_2(X)=\pi_1(X)\otimes I+I\otimes\pi_2(X)$$,

कहाँ $$I$$ पहचान फ़ंक्शन एंडोमोर्फिज्म है। इसे क्रोनकर योग कहा जाता है, जिसे मैट्रिक्स जोड़#क्रोनकर_सम और क्रोनकर उत्पाद#गुण में परिभाषित किया गया है। इस परिभाषा में क्रोनकर योग के उपयोग की प्रेरणा उस मामले से आती है $$\pi_1$$ और $$\pi_2$$ अभ्यावेदन से आते हैं $$\Pi_1$$ और $$\Pi_2$$ एक झूठ समूह का $$G$$. उस मामले में, एक साधारण गणना से पता चलता है कि झूठ बीजगणित प्रतिनिधित्व से जुड़ा हुआ है $$\Pi_1\otimes\Pi_2$$ पूर्ववर्ती सूत्र द्वारा दिया गया है।

रेखीय मानचित्रों पर कार्रवाई
अगर $$(V_1,\Pi_1)$$ और $$(V_2,\Pi_2)$$ एक समूह का प्रतिनिधित्व हैं $$G$$, होने देना $$\operatorname{Hom}(V_1,V_2)$$ से सभी रैखिक मानचित्रों के स्थान को निरूपित करें $$V_1$$ को $$V_2$$. तब $$\operatorname{Hom}(V_1,V_2)$$ परिभाषित करके प्रतिनिधित्व की संरचना दी जा सकती है
 * $$g\cdot A=\Pi_2(g)A\Pi_1(g)^{-1}$$

सभी के लिए $$A\in\operatorname{Hom}(V,W)$$. अब, एक Tensor उत्पाद#Tensor उत्पाद बनाम होम है
 * $$\operatorname{Hom}(V, W)\cong V^* \otimes W$$

वेक्टर रिक्त स्थान के रूप में; यह सदिश समष्टि समरूपता वास्तव में अभ्यावेदन की एक समरूपता है। तुच्छ उपप्रतिनिधित्व $$\operatorname{Hom}(V, W)^G$$ समतुल्य मानचित्र से युक्त|जी-रेखीय मानचित्र; अर्थात।,
 * $$\operatorname{Hom}_G(V, W) = \operatorname{Hom}(V, W)^G.$$

होने देना $$E = \operatorname{End}(V)$$ V के एंडोमोर्फिज्म बीजगणित को निरूपित करें और A को उपबीजगणित को निरूपित करने दें $$E^{\otimes m}$$ सममित टेंसर से मिलकर। अपरिवर्तनीय सिद्धांत का मुख्य प्रमेय बताता है कि आधार क्षेत्र की विशेषता शून्य होने पर ए अर्धसरल बीजगणित है।

सामान्य समस्या
दो अघुलनशील अभ्यावेदन का टेंसर उत्पाद $$V_1,V_2$$ किसी समूह या झूठ बीजगणित का आमतौर पर अप्रासंगिक नहीं होता है। इसलिए इसे विघटित करने का प्रयास करना रुचिकर है $$V_1\otimes V_2$$ अपरिवर्तनीय टुकड़ों में. इस अपघटन समस्या को क्लेबश-गॉर्डन समस्या के रूप में जाना जाता है।

एसयू(2) मामला
इस समस्या का क्लेबश-गॉर्डन गुणांक रोटेशन समूह SO(3)-या इसके दोहरे आवरण, विशेष एकात्मक समूह#समूह SU(2)|विशेष एकात्मक समूह SU(2) का मामला है। एसयू(2) के अघुलनशील प्रतिनिधित्व को एक पैरामीटर द्वारा वर्णित किया गया है $$\ell$$, जिसके संभावित मान हैं
 * $$\ell=0, 1/2, 1, 3/2, \ldots.$$

(प्रतिनिधित्व का आयाम तब है $$2\ell+1$$.) आइए दो पैरामीटर लें $$\ell$$ और $$m$$ साथ $$\ell\geq m$$. फिर टेंसर उत्पाद प्रतिनिधित्व $$V_\ell\otimes V_m$$ फिर इस प्रकार विघटित होता है:
 * $$V_\ell\otimes V_m\cong V_{\ell+m}\oplus V_{\ell+m-1}\oplus\cdots\oplus V_{\ell-m+1}\oplus V_{\ell-m}.$$

उदाहरण के तौर पर, चार-आयामी प्रतिनिधित्व के टेंसर उत्पाद पर विचार करें $$V_{3/2}$$ और त्रि-आयामी प्रतिनिधित्व $$V_1$$. टेंसर उत्पाद प्रतिनिधित्व $$V_{3/2}\otimes V_1$$ इसका आयाम 12 है और यह विघटित हो जाता है
 * $$V_{3/2}\otimes V_1\cong V_{5/2}\oplus V_{3/2}\oplus V_{1/2}$$,

जहां दाहिनी ओर के अभ्यावेदन का आयाम क्रमशः 6, 4, और 2 है। हम इस परिणाम को अंकगणितीय रूप से संक्षेप में प्रस्तुत कर सकते हैं $$4\times 3= 6+4+2$$.

एसयू(3) मामला
समूह SU(3) के मामले में, सभी झूठ बीजगणित प्रतिनिधित्व#sl(3,C) का मामला मानक 3-आयामी प्रतिनिधित्व और इसके दोहरे से निम्नानुसार उत्पन्न किया जा सकता है। लेबल के साथ प्रतिनिधित्व उत्पन्न करने के लिए $$(m_1,m_2)$$, कोई टेंसर उत्पाद लेता है $$m_1$$ मानक प्रतिनिधित्व की प्रतियां और $$m_2$$ मानक प्रतिनिधित्व के दोहरे की प्रतियां, और फिर उच्चतम वजन वाले वैक्टर के टेंसर उत्पाद द्वारा उत्पन्न अपरिवर्तनीय उप-स्थान लेता है। एसयू(2) के लिए स्थिति के विपरीत, एसयू(3) के लिए क्लेबश-गॉर्डन अपघटन में, एक दिया गया अघुलनशील प्रतिनिधित्व $$W$$ के विघटन में एक से अधिक बार हो सकता है $$U\otimes V$$.

टेंसर शक्ति
वेक्टर रिक्त स्थान की तरह, कोई इसे परिभाषित कर सकता हैk प्रतिनिधित्व की टेंसर शक्ति V सदिश समष्टि होना $$V^{\otimes k}$$ ऊपर दी गई कार्रवाई के साथ.

सममित और प्रत्यावर्ती वर्ग
विशेषता शून्य के क्षेत्र में, सममित और वैकल्पिक वर्ग दूसरी टेंसर शक्ति के उप-प्रतिनिधित्व हैं। उनका उपयोग फ्रोबेनियस-शूर संकेतक को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है, जो इंगित करता है कि क्या दिया गया अपरिवर्तनीय चरित्र वास्तविक प्रतिनिधित्व, जटिल प्रतिनिधित्व, या क्वाटरनियोनिक प्रतिनिधित्व है। वे मैं काम कर रहा हूं के उदाहरण हैं। इन्हें इस प्रकार परिभाषित किया गया है।

होने देना V एक सदिश समष्टि हो. एंडोमोर्फिज्म को परिभाषित करें (स्व-मानचित्र) T का $$V\otimes V$$ निम्नलिखित नुसार:

\begin{align} T:V\otimes V &\longrightarrow V\otimes V \\ v\otimes w &\longmapsto w\otimes v. \end{align} $$ यह एक इनवोलुशन (गणित) है (यह अपना स्वयं का उलटा है), और इसी तरह एक स्वचालितता  (स्वयं- समाकृतिकता ) है $$V\otimes V$$.

की दूसरी टेंसर शक्ति के दो उपसमुच्चय परिभाषित करें V,

\begin{align} \operatorname{Sym}^2(V) &:= \{v\in V\otimes V\mid T(v)=v \} \\ \operatorname{Alt}^2(V) &:= \{v\in V\otimes V\mid T(v)=-v \} \end{align} $$ ये के सममित वर्ग हैं V, $$V\odot V $$, और का वैकल्पिक वर्ग V, $$V\wedge V $$, क्रमश। सममित और प्रत्यावर्ती वर्गों को टेंसर उत्पाद के सममित भाग और एंटीसिमेट्रिक भाग के रूप में भी जाना जाता है।

गुण
एक रैखिक प्रतिनिधित्व की दूसरी टेंसर शक्ति V एक समूह का G सममित और वैकल्पिक वर्गों के प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित होता है:


 * $$V^{\otimes 2}=V\otimes V \cong \operatorname{Sym}^2(V) \oplus \operatorname{Alt}^2(V)$$

अभ्यावेदन के रूप में। विशेष रूप से, दोनों दूसरी टेंसर शक्ति का उपप्रस्तुतिकरण हैं। समूह रिंग के ऊपर मॉड्यूल (गणित) की भाषा में, सममित और वैकल्पिक वर्ग हैं $$\mathbb{C}[G]$$-के उपमॉड्यूल $$V\otimes V$$.

अगर V का एक आधार है $$\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$$, तो सममित वर्ग का एक आधार होता है $$\{v_i\otimes v_j+v_j\otimes v_i\mid 1\leq i\leq j\leq n\}$$ और प्रत्यावर्ती वर्ग का एक आधार होता है $$\{v_i\otimes v_j-v_j\otimes v_i\mid 1\leq i<j\leq n\}$$. इसलिए,



\begin{align} \dim\operatorname{Sym}^2(V) &= \frac{\dim V(\dim V + 1)}{2}, \\ \dim\operatorname{Alt}^2(V) &= \frac{\dim V(\dim V - 1)}{2}. \end{align} $$

होने देना $$\chi:G\to\mathbb{C}$$ का चरित्र (प्रतिनिधित्व सिद्धांत) हो $$V$$. फिर हम सममित और वैकल्पिक वर्गों के वर्णों की गणना इस प्रकार कर सकते हैं: सभी के लिए g में G,

\begin{align} \chi_{\operatorname{Sym}^2(V)}(g) &= \frac{1}{2}(\chi(g)^2+\chi(g^2)), \\ \chi_{\operatorname{Alt}^2(V)}(g) &= \frac{1}{2}(\chi(g)^2-\chi(g^2)). \end{align} $$

सममित और बाह्य शक्तियां
बहुरेखीय बीजगणित की तरह, विशेषता शून्य के क्षेत्र पर, कोई अधिक सामान्यतः परिभाषित कर सकता है kवेंसममित शक्ति $$\operatorname{Sym}^n(V)$$ और kवेंबाहरी शक्ति $$\Lambda^n(V)$$, जो के उपस्थान हैं kवें टेंसर पावर (इस निर्माण पर अधिक विवरण के लिए उन पृष्ठों को देखें)। वे भी उप-प्रतिनिधित्व हैं, लेकिन उच्च टेंसर शक्तियां अब उनके प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित नहीं होती हैं।

शूर-वेइल द्वंद्व सामान्य रैखिक समूह के अभ्यावेदन की टेंसर शक्तियों में होने वाले अघुलनशील अभ्यावेदन की गणना करता है $$G = \operatorname{GL}(V)$$. सटीक रूप से, एक के रूप में $$S_n \times G$$-मापांक
 * $$V^{\otimes n} \simeq \bigoplus_\lambda M_{\lambda} \otimes S^{\lambda}(V)$$

कहाँ
 * $$M_{\lambda}$$ सममित समूह का एक अघुलनशील प्रतिनिधित्व है $$S_n$$ एक विभाजन के अनुरूप $$\lambda$$ n का (घटते क्रम में),
 * $$S^{\lambda}(V)$$ युवा सममिति की छवि है $$c_{\lambda}: V^{\otimes n} \to V^{\otimes n}$$.

मानचित्रण $$V \mapsto S^{\lambda}(V)$$ एक फ़नकार है जिसे शूर फ़नक्टर कहा जाता है। यह सममित और बाहरी शक्तियों के निर्माण का सामान्यीकरण करता है:
 * $$S^{(n)}(V) = \operatorname{Sym}^n V, \,\, S^{(1, 1, \dots, 1)}(V) = \wedge^n V.$$

विशेष रूप से, जी-मॉड्यूल के रूप में, उपरोक्त इसे सरल बनाता है
 * $$V^{\otimes n} \simeq \bigoplus_{\lambda} S^{\lambda}(V)^{\oplus m_{\lambda}}$$

कहाँ $$m_\lambda = \dim M_\lambda$$. इसके अलावा, बहुलता $$m_{\lambda}$$ फ्रोबेनियस सूत्र (या हुक लंबाई सूत्र) द्वारा गणना की जा सकती है। उदाहरण के लिए, लीजिए $$n = 3$$. फिर वास्तव में तीन विभाजन हैं: $$3 = 3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1$$ और, जैसा कि यह पता चला, $$m_{(3)} = m_{(1, 1, 1)} = 1, \, m_{(2, 1)} = 2$$. इस तरह,
 * $$V^{\otimes 3} \simeq \operatorname{Sym}^3 V \bigoplus \wedge^3 V \bigoplus S^{(2, 1)}(V)^{\oplus 2}.$$

शूर फ़ैक्टर्स से जुड़े टेंसर उत्पाद
होने देना $$S^{\lambda}$$ एक विभाजन के अनुसार परिभाषित शूर फ़ैक्टर को निरूपित करें $$\lambda$$. फिर निम्नलिखित अपघटन होता है:
 * $$S^{\lambda} V \otimes S^{\mu} V \simeq \bigoplus_{\nu} (S^{\nu} V)^{\oplus N_{\lambda \mu \nu}}$$

जहां बहुलता है $$N_{\lambda \mu \nu}$$ लिटिलवुड-रिचर्डसन नियम द्वारा दिए गए हैं।

परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान V, W, शूर फ़ैक्टर्स S दिए गए हैंλविघटन दीजिए
 * $$\operatorname{Sym}(W^* \otimes V) \simeq \bigoplus_{\lambda} S^{\lambda}(W^*) \otimes S^{\lambda}(V)$$

बाईं ओर की पहचान बहुपद फलनों के वलय से की जा सकती है|अंगूठी k[Hom(V, W)] = k[V * ⊗ W] Hom(V, W) पर बहुपद फलनों का और इसलिए उपरोक्त k[Hom(V, W)] का अपघटन भी देता है।

उत्पाद समूहों के प्रतिनिधित्व के रूप में टेंसर उत्पादों का प्रतिनिधित्व
मान लीजिए G, H दो समूह हैं और मान लीजिए $$(\pi,V)$$ और $$(\rho,W)$$ क्रमशः G और H का प्रतिनिधित्व करें। फिर हम प्रत्यक्ष उत्पाद समूह दे सकते हैं $$G\times H$$ टेंसर उत्पाद स्थान पर कार्य करें $$V\otimes W$$ सूत्र द्वारा
 * $$(g, h) \cdot (v \otimes w) = \pi(g) v \otimes \rho(h) w.$$

भले ही $$G=H$$, हम अभी भी इस निर्माण को निष्पादित कर सकते हैं, ताकि दो अभ्यावेदन का टेंसर उत्पाद $$G$$ वैकल्पिक रूप से, के प्रतिनिधित्व के रूप में देखा जा सकता है $$G\times G$$ के प्रतिनिधित्व के बजाय $$G$$. इसलिए यह स्पष्ट करना महत्वपूर्ण है कि क्या दो निरूपणों का टेंसर उत्पाद है $$G$$ के प्रतिनिधित्व के रूप में देखा जा रहा है $$G$$ या के प्रतिनिधित्व के रूप में $$G\times G$$.

ऊपर चर्चा की गई क्लेबश-गॉर्डन समस्या के विपरीत, दो अपरिवर्तनीय अभ्यावेदन का टेंसर उत्पाद $$G$$ उत्पाद समूह के प्रतिनिधित्व के रूप में देखे जाने पर यह अप्रासंगिक है $$G\times G$$.

यह भी देखें

 * दोहरा प्रतिनिधित्व
 * हर्माइट पारस्परिकता
 * क्लेबश-गॉर्डन गुणांक
 * झूठ समूह प्रतिनिधित्व
 * झूठ बीजगणित प्रतिनिधित्व
 * क्रोनकर उत्पाद
 * हॉपफ बीजगणित

संदर्भ

 * Claudio Procesi (2007) Lie Groups: an approach through invariants and representation, Springer, ISBN 9780387260402.
 * Claudio Procesi (2007) Lie Groups: an approach through invariants and representation, Springer, ISBN 9780387260402.
 * Claudio Procesi (2007) Lie Groups: an approach through invariants and representation, Springer, ISBN 9780387260402.
 * Claudio Procesi (2007) Lie Groups: an approach through invariants and representation, Springer, ISBN 9780387260402.