आठ रानियों की पहेली

आठ रानियों की पहेली आठ शतरंज रानियों को 8×8 शतरंज की बिसात (चेसबोर्ड) पर रखने की समस्या है ताकि कोई भी दो रानियाँ एक-दूसरे को सूचना न दें; इस प्रकार, समाधान के लिए आवश्यक है कि कोई भी दो रानियाँ एक ही पंक्ति, स्तंभ या विकर्ण साझा नहीं करतीं है। 92 समाधान हैं। यह समस्या पहली बार 19वीं सदी के मध्य में सामने आई थी। आधुनिक युग में, इसे प्रायः विभिन्न कंप्यूटर क्रमादेश तकनीकों के लिए एक उदाहरण समस्या के रूप में उपयोग किया है।

आठ रानियों की पहेली n×n शतरंज की बिसात पर n गैर-आक्रमणकारी रानियों को रखने की अधिक सामान्य n रानियों की समस्या का एक विशेष प्रकरण है। n = 2 और n = 3 के अपवाद सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए समाधान उपस्थित हैं। हालांकि समाधानों की यथार्थ संख्या केवल n ≤ 27 के लिए ज्ञात है, समाधानों की संख्या का अनंतस्पर्शी विश्लेषण लगभग (0.143 n)n है।

इतिहास
शतरंज रचयिता मैक्स बेज़ेल ने 1848 में आठ रानियों की पहेली प्रकाशित की थी। फ्रांज नॉक ने 1850 में पहला समाधान प्रकाशित किया था।डब्ल्यूडब्ल्यू राउज़ बॉल (1960) आठ क्वींस समस्या, गणितीय मनोरंजन और निबंध में, मैकमिलन, न्यूयॉर्क, पीपी 165-171। नॉक ने पहेली को एन क्वींस समस्या तक भी बढ़ाया, जिसमें शतरंज की बिसात पर एन क्वींस थे। n×n वर्ग।

तब से, कार्ल फ्रेडरिक गॉस सहित कई गणितज्ञों ने आठ रानियों की पहेली और इसके सामान्यीकृत एन-क्वींस संस्करण दोनों पर काम किया है। 1874 में, एस. गुंथर ने समाधान खोजने के लिए निर्धारकों का उपयोग करके एक विधि प्रस्तावित की। जेम्स व्हिटब्रेड ली ग्लैशर|जे.डब्ल्यू.एल. ग्लैशर ने गुंथर के दृष्टिकोण को परिष्कृत किया।

1972 में, एडवर्ड डिज्क्स्ट्रा ने इस समस्या का उपयोग उस चीज़ की शक्ति को दर्शाने के लिए किया जिसे उन्होंने संरचित प्रोग्रामिंग कहा था। उन्होंने गहराई-पहली खोज |डेप्थ-फर्स्ट  बैक ट्रैकिंग  का अत्यधिक विस्तृत विवरण प्रकाशित किया। नॉक ने पहेली को n रानियों की समस्या तक भी बढ़ाया, जिसमें n रानियाँ n×n वर्गों की शतरंज की बिसात पर थीं।

तब से, कार्ल फ्रेडरिक गॉस सहित कई गणितज्ञों ने आठ रानियों की पहेली और इसके सामान्यीकृत n-रानियों के संस्करण दोनों पर काम किया है। 1874 में, एस. गुंथर ने समाधान खोजने के लिए निर्धारकों का उपयोग करके एक विधि प्रस्तावित की है। जे.डब्ल्यू.एल. ग्लैशर ने गुंथर के दृष्टिकोण को परिष्कृत किया है।

1972 में, एडस्गर डिज्क्स्ट्रा ने इस समस्या का उपयोग उस व्यख्या की शक्ति को दर्शाने के लिए किया जिसे उन्होंने संरचित क्रमादेश कहा था। प्रथम-गहराई पश्चअनुमार्गण एल्गोरिदम का अत्यधिक विस्तृत विवरण प्रकाशित किया है।

n = 8 होने पर समाधान बनाना और गिनना
8-रानियों की समस्या के सभी समाधान खोजने की समस्या अभिकलनीयतः रूप से अत्यन्त क़ीमती हो सकती है, क्योंकि 8×8 बोर्ड पर आठ रानियों की 4,426,165,368 संभावित व्यवस्थाएं हैं, लेकिन केवल 92 समाधान हैं। ऐसे शॉर्टकट का उपयोग करना संभव है जो अभिकलनात्मक आवश्यकताओं को कम करते हैं या अंगुष्‍ठ के नियमों का उपयोग करते हैं जो ब्रूट-बल अभिकलनात्मक तकनीकों से बचते हैं। उदाहरण के लिए, एक सरल नियम उपयोजित करके, जो प्रत्येक स्तंभ से एक रानी का चयन करते है, संभावनाओं की संख्या को 16,777,216 (अर्थात, 88) संभावित संयोजनों तक कम करते है। क्रमपरिवृत्ति उत्पन्न करने से संभावनाएँ केवल 40,320 (अर्थात, 8!) तक कम हो जाती हैं, जिसे फिर विकर्ण आक्रमण के लिए जाँचा जा सकता है।

आठ रानियों की पहेली में 92 अलग-अलग समाधान हैं। यदि ऐसे समाधान जो केवल बोर्ड के घूर्णन और प्रतिबिंब के समरूपता संचालन से भिन्न होते हैं, उन्हें एक के रूप में गिना जाता है, तो पहेली में 12 समाधान हैं। इन्हें मौलिक समाधान कहा जाता है; प्रत्येक के प्रतिनिधि नीचे दिखाए गए हैं।

एक मौलिक समाधान में सामान्यतः आठ प्रकार होते हैं (इसके मूल स्वरूप सहित) जो 90, 180, या 270° घूर्णन प्राप्त किए जाते हैं और फिर चार घूर्णनशील प्रकारों में से प्रत्येक को एक निश्चित स्थिति में दर्पण में प्रतिबिंबित करते हैं। हालाँकि, 12 मूलभूत समाधानों में से एक (नीचे समाधान 12) अपने स्वयं के 180° घूर्णन के समान है, इसलिए इसके केवल चार प्रकार हैं (स्वयं और इसका प्रतिबिंब, इसका 90° घूर्णन और उसका प्रतिबिंब)। ऐसे समाधानों के केवल दो प्रकार होते हैं (स्वयं और उसका प्रतिबिंब)। इस प्रकार, अलग-अलग समाधानों की कुल संख्या 11×8 + 1×4 = 92 है।

सभी मूलभूत समाधान नीचे प्रस्तुत किए गए हैं:

समाधान 10 में अतिरिक्त गुण यह है कि कोई भी तीन रानियाँ एक सीधी रेखा में नहीं हैं।

समाधान का अस्तित्व
समाधानों की संख्या गिनने के लिए ब्रूट-बल एल्गोरिदम $n = 8$ के लिए अभिकलनात्मक रूप से प्रबंधनीय हैं, लेकिन $n ≥ 20$ की समस्याओं के लिए यह कठिन होगा, क्योंकि 20! = 2.433 × 1018 हैं। यदि लक्ष्य एकल समाधान खोज़ना है, तो कोई भी बिना किसी खोज के सभी n ≥ 4 के लिए समाधान उपस्थित दिखा सकता है। ये समाधान सीढ़ीदार प्रतिरुप प्रदर्शित करते हैं, जैसा कि n = 8, 9 और 10 के लिए निम्नलिखित उदाहरणों में है:

उपरोक्त उदाहरण निम्नलिखित सूत्रों से प्राप्त किए जा सकते हैं। मान लीजिए (i, j) n × n शतरंज की बिसात पर स्तंभ i और पंक्ति j में वर्ग है, k एक पूर्णांक है।

एक दृष्टिकोण है


 * 1) यदि n को 6 से विभाजित करने पर शेषफल 2 या 3 नहीं है तो सूची में सभी सम संख्याएँ हैं और उसके बाद सभी विषम संख्याएँ हैं जो n से बड़ी नहीं हैं।
 * 2) अन्यथा, सम और विषम संख्याओं (2, 4, 6, 8 - 1, 3, 5, 7) की अलग-अलग सूची लिखें।
 * 3) यदि शेषफल 2 है, तो 1 और 3 को विषम सूची में बदलें और 5 को अंत (3, 1, 7, 5) में ले जाएँ।
 * 4) यदि शेषफल 3 है, तो 2 को सम सूची के अंत में और 1,3 को विषम सूची के अंत (4, 6, 8, 2, - 5, 7, 9, 1, 3) में ले जाएँ।
 * 5) विषम सूची को सम सूची में जोड़ें और रानियों को इन संख्याओं द्वारा दी गई पंक्तियों में बाएँ से दाएँ (a2, b4, c6, d8, e3, f1, g7, h5) रखें।

$n = 8$ के लिए इसका परिणाम उपरोक्त मौलिक समाधान 1 है। कुछ और उदाहरण अनुसरण करते हैं।


 * 14 रानियाँ (शेष 2): 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 3, 1, 7, 9, 11, 13, 5।
 * 15 रानियाँ (शेष 3): 4, 6, 8, 10, 12, 14, 2, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 1, 3।
 * 20 रानियाँ (शेष 2): 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 3, 1, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 5।

यथार्थ गणना
$n × n$ बोर्ड पर n क्वींस को रखने के लिए समाधानों की यथार्थ संख्या के लिए कोई ज्ञात सूत्र नहीं है, अर्थात $n × n$ क्वीन के आलेख में आकार n के स्वतंत्र समुच्चय (ग्राफ़ सिद्धांत) की संख्या है। 27×27 बोर्ड उच्चतम-क्रम वाला बोर्ड है जिसकी पूरी तरह से गणना की गई है। निम्नलिखित सारिणी सभी ज्ञात प्रकरण के लिए n क्वींस समस्या के समाधानों की संख्या देती हैं, दोनों मौलिक (OEIS में अनुक्रम A002562) और सभी (OEIS में अनुक्रम A000170), है।

स्पर्शोन्मुख गणना
2021 में, माइकल सिम्किन ने सिद्ध किया कि बड़ी संख्या n के लिए, n क्वींस समस्या के समाधान की संख्या लगभग $$(0.143n)^n$$ है। अधिक यथार्थतः, समाधानों की संख्या $$\mathcal{Q}(n)$$ में स्पर्शोन्मुख वृद्धि होती है।$$ \mathcal{Q}(n) = ((1 \pm o(1))ne^{-\alpha})^n $$

जहाँ $$\alpha$$ एक स्थिरांक है जो 1.939 और 1.945 के मध्य स्थित है। (यहाँ o(1) छोटे o अंकन को दर्शाता है।)

यदि इसके बदले कोई एक टोराइडी शतरंज की बिसात पर विचार करता है (जहां विकर्ण शीर्ष किनारे से नीचे तक और बाएं किनारे से दाएं तक परिवेष्टन हैं), तो n रानियों को $$n \times n$$ बोर्ड पर रखना केवल तभी संभव है अगर $$n \equiv 1,5 \mod 6$$ है। इस प्रकरण में, समाधानों की स्पर्शोन्मुख संख्या है $$T(n) = ((1+o(1))ne^{-3})^n.$$

संबंधित समस्याएँ
गैर-आक्रमणकारी रानियों की संख्या ज्ञात कीजिए जिन्हें n आकार के d-आयामी शतरंज में रखा जा सकता है। n से अधिक रानियों को कुछ उच्च आयामों में रखा जा सकता है (सबसे छोटा उदाहरण 3×3×3 शतरंज समष्टि में चार गैर-आक्रमणकारी रानियां हैं), और यह वास्तव में ज्ञात है कि किसी भी k के लिए, उच्च आयाम हैं जहां nk रानियाँ सभी समष्टि पर आक्रमण करने के लिए पर्याप्त नहीं हैं। 8×8 बोर्ड पर कोई 32 शूरवीर, या 14 बिशप (शतरंज), 16 राजा या आठ रूक्स रख सकता है, ताकि कोई भी दो मोहरे एक-दूसरे पर आक्रमण न करें। शूरवीरों के प्रकरण में, एक आसान समाधान यह है कि किसी दिए गए रंग के प्रत्येक वर्ग पर एक रखा जाए, क्योंकि वे केवल विपरीत रंग की ओर बढ़ते हैं। इसका समाधान रूक्स और राजाओं के लिए भी आसान है। सोलह राजाओं को बोर्ड पर 2-दर-2 वर्गों में विभाजित करके और प्रत्येक वर्ग पर राजाओं को समान बिंदुओं पर रखकर रखा जा सकता है। n×n बोर्ड पर n रूक्स का स्थापन अनुक्रम-n क्रमपरिवर्तन मैट्रिसेस के साथ सीधे पत्राचार में होता है। शोगी जैसी शतरंज विविधताओं के लिए संबंधित समस्याएं पूछी जा सकती हैं। उदाहरण के लिए, n+k ड्रैगन किंग्स समस्या n×n शोगी प्यादों और n+k पारस्परिक रूप से गैर-आक्रमण करने वाले ड्रैगन किंग्स को रखने के लिए करता है। पोल्या ने टोरस्र्स ("डोनट-आकार") बोर्ड पर n क्वींस समस्या का अध्ययन किया और दिखाया कि n × n बोर्ड पर एक समाधान है यदि और केवल यदि n 2 या 3 से विभाज्य नहीं है। 2009 में पियर्सन और पियर्सन ने एल्गोरिदमिक रूप से त्रि-आयामी बोर्ड (n×n×n) को n2 रानियों के साथ तैयार किया, और प्रस्तावित किया कि इनमें से कई गुणक पहेली के चार-आयामी संस्करण के लिए समाधान दे सकते हैं। एक n×n बोर्ड को देखते हुए, वर्चस्व संख्या प्रत्येक वर्ग पर आक्रमण करने या कब्जा करने के लिए आवश्यक रानियों (या अन्य टुकड़ों) की न्यूनतम संख्या है। n = 8 के लिए रानी की प्रभुत्व संख्या 5 है। परिवर्ती में रानियों को अन्य टुकड़ों के साथ मिलाना सम्मिलित है; उदाहरण के लिए, n×n बोर्ड पर m क्वींस और m योद्धा को रखना ताकि कोई भी मोहरा दूसरे पर आक्रमण न करे या रानियों और प्यादों को रखे ताकि कोई भी दो रानियाँ एक दूसरे पर आक्रमण न कर सके। 1992 में, डेमिरोस, रफराफ और टैनिक ने कुछ जादुई वर्गों को n-क्वींस समाधानों में परिवर्तित करने और इसके विपरीत के लिए एक विधि प्रकाशित की है। n×n आव्यूह में, प्रत्येक अंक 1 से n को आव्यूह में n स्थानों पर रखें ताकि एक ही अंक के कोई भी दो उदाहरण एक ही पंक्ति या स्तंभ में नहीं हैं। बोर्ड के प्रत्येक n श्रेणी के लिए एक प्राथमिक स्तंभ, प्रत्येक n फ़ाइल के लिए एक प्राथमिक स्तंभ और बोर्ड के 4n - 6 गैर-तुच्छ विकर्णों में से प्रत्येक के लिए एक द्वितीयक स्तंभ वाले आव्यूह पर विचार करते है। आव्यूह में n2 पंक्तियाँ हैं: प्रत्येक संभावित क्वीन स्थापन के लिए एक, और प्रत्येक पंक्ति में उस वर्ग की श्रेणी, फ़ाइल और विकर्णों के अनुरूप स्तंभ में 1 और अन्य सभी स्तंभ में 0 है। फिर n क्वींस समस्या इस आव्यूह की पंक्तियों के उपसमुच्चय को चयन करने के समान है जैसे कि प्रत्येक प्राथमिक स्तंभ में चयन की गई पंक्तियों में से 1 होता है और प्रत्येक माध्यमिक स्तंभ में चयन की गई पंक्तियों में से अधिकतम 1 होता है; यह एक सामान्यीकृत यथार्थ आवरण समस्या का एक उदाहरण है, जिसमें से सुडोकू एक और उदाहरण है। पूर्णता समस्या पूछती है कि क्या एक n×n शतरंज की बिसात दी गई है जिस पर कुछ रानियाँ पहले से ही रखी हुई हैं, प्रत्येक शेष पंक्ति में एक रानी को रखना संभव है ताकि कोई भी दो रानियाँ एक दूसरे पर आक्रमण न करें। यह और संबंधित प्रश्न NP-पूर्ण और #P-पूर्ण हैं। अधिकतम n/60 रानियों का कोई भी स्थापन पूरा किया जा सकता है, जबकि स्थूलतः n/4 रानियों का आंशिक विन्यास है जिसे संपूर्ण नहीं किया जा सकता है।
 * उच्चतर आयाम
 * रानियों के अलावा अन्य टुकड़ों का उपयोग करना
 * शतरंज विविधताएँ
 * अमानक बोर्ड
 * वर्चस्व
 * रानियाँ और अन्य मोहरे
 * जादुई वर्ग
 * लैटिन वर्ग
 * यथार्थ आवरण
 * n-क्वींस समापन

एल्गोरिथम प्रारुप में अभ्यास
आठ रानियों की पहेली के सभी समाधान निष्कर्ष एक सरल लेकिन गैर-तुच्छ समस्या का एक अच्छा उदाहरण है। इस कारण से, इसे प्रायः विभिन्न क्रमादेश तकनीकों के लिए एक उदाहरण समस्या के रूप में उपयोग किया जाता है, जिसमें व्यवरोध क्रमादेश, तर्क क्रमादेश या आनुवंशिक एल्गोरिदम जैसे गैर-पारंपरिक दृष्टिकोण सम्मिलित हैं। प्रायः, इसका उपयोग किसी समस्या के उदाहरण के रूप में किया जाता है जिसे पुनरावर्ती एल्गोरिदम के साथ समाधान किया जा सकता है, n×n शतरंज की बिसात पर n−1 रानियों को रखने की समस्या के किसी भी समाधान में एक रानी को जोड़ने के संदर्भ में n रानियों की समस्या को आगमनात्मक रूप से वाक्यांशबद्ध करते है। प्रेरण शतरंज की बिसात पर 0 रानियों को रखने की 'समस्या' के समाधान के साथ सामने आता है, जो कि रिक्त शतरंज की बिसात है।

इस तकनीक का उपयोग ऐसे प्रकार से किया जा सकता है जो नैवे ब्रूट-बल खोज एल्गोरिदम की तुलना में कहीं अधिक सक्षम है, जो आठ रानियों के सभी 648 = 248 = 281,474,976,710,656 संभावित ब्लाइंड स्थापन पर विचार करते है, और फिर उन सभी स्थापन को हटाने के लिए इन्हें फ़िल्टर करते है जो दो रानियों को या तो एक ही वर्ग पर रखते हैं (केवल 64!/56! = 178,462,987,637,760 संभावित स्थापन को छोड़कर) या परस्पर रूप से आक्रमणकारी स्थिति में है। यह बहुत ही निर्बल एल्गोरिदम, अन्य बातों के अलावा, आठ रानियों के नियतन के सभी अलग-अलग क्रमपरिवर्तनों में बार-बार एक ही परिणाम देगा, साथ ही प्रत्येक के विभिन्न उपसमुच्चय के लिए एक ही गणना को बार-बार पुनरावृत्ति करता है। एक श्रेष्ठतर ब्रूट-बल एल्गोरिदम प्रत्येक पंक्ति में एक रानी रखता है, जिससे केवल 88 = 224 = 16,777,216 ब्लाइंड स्थापन होता हैं।

इससे कहीं श्रेष्ठतर करना संभव हैं। एक एल्गोरिथ्म 1 से 8 तक की संख्याओं (जिनमें 8! = 40,320 हैं) का क्रमपरिवर्तन उत्पन्न करके आठ रूक्स पहेली को समाधान करता है, और प्रत्येक पंक्ति पर एक रानी रखने के लिए प्रत्येक क्रमपरिवर्तन के तत्वों को सूचकांक के रूप में उपयोग करता है। यह विकर्ण आक्रमण स्थिति वाले उन बोर्डों को अस्वीकार करता है।

पश्चअनुमार्गण प्रथम-गहराई खोज क्रमादेश, क्रमपरिवर्तन विधि में थोड़ा सा सुधार, एक समय में बोर्ड की एक पंक्ति पर विचार करके खोज ट्री का निर्माण करता है, जिससे अधिकांश गैर समाधान बोर्ड पदों को उनके निर्माण के पूर्व चरण में ही समाप्त कर दिया जाता है। यह अपूर्ण बोर्डों पर भी रूक और विकर्ण आक्रमण को अस्वीकार करता है, यह केवल 15,720 संभावित क्वीन स्थापन की जांच करता है। एक और सुधार, जो केवल 5,508 संभावित क्वीन की जांच करता है, क्रमपरिवर्तन आधारित पद्धति को प्रारंभिक कृन्तन विधि के साथ संयोजित करता है: क्रमपरिवर्तन प्रथम-गहराई उत्पन्न होती हैं, और यदि आंशिक क्रमपरिवर्तन एक विकर्ण आक्रमण उत्पन्न करता है तो खोज समष्टि को कम कर दिया जाता है। इस समस्या पर प्रथम-गहराई बाधा क्रमादेशन भी बहुत प्रभावी होता है।संपूर्ण खोज का एक विकल्प एक 'पुनरावृत्तीय सुधार' एल्गोरिथ्म है, जो सामान्यतः बोर्ड पर सभी रानियों के साथ प्रारंभ होता है, उदाहरण के लिए प्रति स्तंभ एक रानी के साथ होता है। इसके बाद यह संघर्षों (आक्रमण) की संख्या को गिनता है, और रानियों की स्थिति में सुधार कैसे किया जाए यह निर्धारित करने के लिए एक अनुमान का उपयोग करता है। 'न्यूनतम-संघर्ष' अन्वेषण - सबसे बड़ी संख्या में संघर्षों वाले मोहरे को उसी स्तंभ में वर्ग में ले जाना जहां संघर्षों की संख्या सबसे छोटी है - विशेष रूप से प्रभावी है: यह आसानी से 1,000,000 रानियों की समस्या का भी समाधान अन्वेषण होता है। ऊपर उल्लिखित पश्चअनुमार्गण खोज के विपरीत, पुनरावृत्त सुधार किसी समाधान की गारंटी नहीं देता है: सभी बहुभक्षक एल्गोरिदम प्रक्रियाओं की तरह, यह स्थानीय इष्टतम पर रूद्ध सकता है। (ऐसे प्रकरण में, एल्गोरिदम को एक अलग प्रारंभिक विन्यास के साथ पुनः आरंभ किया जा सकता है।) दूसरी ओर, यह उन समस्या आकारों का समाधान कर सकता है जो प्रथम-गहराई खोज के कार्यक्षेत्र के अतिरिक्त परिमाण के कई क्रम हैं।

पश्चअनुमार्गण के विकल्प के रूप में, समाधानों को एक समय में एक पंक्ति में मान्य आंशिक समाधानों की पुनरावर्ती गणना करके गिना जा सकता है। संपूर्ण बोर्ड स्थितियों के निर्माण के बदले, अवरुद्ध विकर्णों और स्तंभों को बिटवाइज़ संचालन के साथ ट्रैक किया जाता है। यह व्यक्तिगत समाधानों की पुनर्प्राप्ति की अनुमति नहीं देता है।

प्रतिदर्श क्रमादेश
निम्नलिखित क्रमादेश निकोलस विर्थ के समाधान का पायथन (क्रमादेश भाषा) क्रमादेश भाषा में अनुवाद है, लेकिन मूल में पाए जाने वाले सूचकांक अंकगणित के बिना करता है और इसके बदले क्रमादेश कोड को यथासंभव सरल रखने के लिए सूची का उपयोग करता है। जनित्र फलन के रूप में एक कोरआउटिन का उपयोग करके, मूल के दोनों संस्करणों को एक या सभी समाधानों की गणना करने के लिए एकीकृत किया जा सकता है। केवल 15,720 संभावित क्वीन स्थापन की जांच की जाती है।

लोकप्रिय संस्कृति

 * खेल में 7वां अतिथि, 8वीं पहेली: स्टॉफ हवेली के खेल कक्ष में  रानी की दुविधा  वास्तव में आठ रानियों की पहेली है।
 * खेल प्राध्यापक लेटन और क्यूरियस गाँव में, 130वीं पहेली:  5 बहुत सारी रानियाँ  (クイーンの問題5) आठ रानियों की पहेली है।

यह भी देखें

 * गणितीय खेल
 * गणितीय पहेली
 * नो-थ्री-इन-लाइन समस्या
 * रूक बहुपद
 * कोस्टास सरणी

अग्रिम पठन

 * On The Modular N-Queen Problem in Higher Dimensions, Ricardo Gomez, Juan Jose Montellano and Ricardo Strausz (2004), Instituto de Matematicas, Area de la Investigacion Cientifica, Circuito Exterior, Ciudad Universitaria, Mexico.
 * On The Modular N-Queen Problem in Higher Dimensions, Ricardo Gomez, Juan Jose Montellano and Ricardo Strausz (2004), Instituto de Matematicas, Area de la Investigacion Cientifica, Circuito Exterior, Ciudad Universitaria, Mexico.
 * On The Modular N-Queen Problem in Higher Dimensions, Ricardo Gomez, Juan Jose Montellano and Ricardo Strausz (2004), Instituto de Matematicas, Area de la Investigacion Cientifica, Circuito Exterior, Ciudad Universitaria, Mexico.
 * On The Modular N-Queen Problem in Higher Dimensions, Ricardo Gomez, Juan Jose Montellano and Ricardo Strausz (2004), Instituto de Matematicas, Area de la Investigacion Cientifica, Circuito Exterior, Ciudad Universitaria, Mexico.
 * On The Modular N-Queen Problem in Higher Dimensions, Ricardo Gomez, Juan Jose Montellano and Ricardo Strausz (2004), Instituto de Matematicas, Area de la Investigacion Cientifica, Circuito Exterior, Ciudad Universitaria, Mexico.
 * On The Modular N-Queen Problem in Higher Dimensions, Ricardo Gomez, Juan Jose Montellano and Ricardo Strausz (2004), Instituto de Matematicas, Area de la Investigacion Cientifica, Circuito Exterior, Ciudad Universitaria, Mexico.

बाहरी संबंध

 * Eight Queens Puzzle in Turbo Pascal for CP/M
 * Eight Queens Puzzle one line solution in Python
 * Solutions in more than 100 different programming languages (on Rosetta Code)
 * Solutions in more than 100 different programming languages (on Rosetta Code)