नेटवर्क संश्लेषण (नेटवर्क सिंथेसिस)

नेटवर्क संश्लेषण, रैखिक विद्युत परिपथों के लिए बनावट तकनीक है। संश्लेषण आवृत्ति या आवृत्ति प्रतिक्रिया के निर्धारित विद्युत प्रतिबाधा फलन से प्रारम्भ होता है और फिर संभावित नेटवर्क निर्धारित करता है जो आवश्यक प्रतिक्रिया उत्पन्न करेगा। तकनीक की तुलना नेटवर्क विश्लेषण से की जानी है जिसमें किसी दिए गए परिपथ की प्रतिक्रिया (या अन्य व्यवहार) की गणना की जाती है। नेटवर्क संश्लेषण से पूर्व, मात्र नेटवर्क विश्लेषण उपलब्ध था, परन्तु इसके लिए आवश्यक है कि किसी को पूर्व से ही ज्ञात हो कि किस प्रकार के परिपथ का विश्लेषण किया जाना है। अतः इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि चुना गया परिपथ वांछित प्रतिक्रिया के सबसे निकट संभव मिलान होगा,और न ही परिपथ सबसे सरल संभव है। नेटवर्क संश्लेषण इन दोनों फलनो को प्रत्यक्षतः संबोधित करता है। नेटवर्क संश्लेषण ऐतिहासिक रूप से निष्क्रिय नेटवर्क के संश्लेषण से संबंधित रहा है, परन्तु यह ऐसे परिपथ तक सीमित नहीं है।

इस प्रकार से क्षेत्र की स्थापना रोनाल्ड एम. फोस्टर के 1924 के "पेपर ए प्रतिक्रिया" प्रमेय को पढ़ने के पश्चात विल्हेम कॉयर द्वारा की गई थी। फोस्टर के प्रमेय ने प्रतिबाधा फलनों के आंशिक भिन्न विस्तार द्वारा अवयवों की किसी संख्या के साथ एलसी परिपथ को संश्लेषित करने की विधि प्रदान की थी। काउर ने आरसी परिपथ और आरएल परिपथ के लिए फोस्टर की विधि को और आगे तक विस्तार किया और उन्होंने नवीन संश्लेषण विधियों को पाया जो सामान्य आरएलसी परिपथ को संश्लेषित कर सकते थे। अतः द्वितीय विश्व युद्ध से पूर्व अन्य महत्वपूर्ण प्रगति ओटो ब्राउन और सिडनी डार्लिंगटन के कारण हैं। 1940 के समय में राउल बॉट और रिचर्ड डफिन ने संश्लेषण तकनीक प्रकाशित की जिसमें सामान्य स्थिति में बदलने की आवश्यकता नहीं थी (जिसका उन्मूलन कुछ समय के लिए शोधकर्ताओं को व्याकुल कर रहा था)। 1950 के दशक में, संश्लेषण में आवश्यक अवयवों की संख्या को कम करने के प्रश्न पर बहुत प्रयास किया गया था, 2000 के दशक तक इस क्षेत्र में बहुत कम किया गया था जब न्यूनीकरण की समस्या फिर से अनुसंधान का सक्रिय क्षेत्र बन गई, परन्तु 2023 तक अभी भी अनसुलझी समस्या है।

इस प्रकार से नेटवर्क संश्लेषण का प्राथमिक अनुप्रयोग नेटवर्क संश्लेषण निस्पंदन का बनावट है परन्तु यह इसका एकमात्र अनुप्रयोग नहीं है। दूसरों के बीच प्रतिबाधा मिलान नेटवर्क,एनालॉग विलंब रेखा, समय-विलंब नेटवर्क, दिशात्मक युग्मक और समकारी हैं। अतः 2000 के दशक में, नेटवर्क संश्लेषण को मैकेनिकल प्रणाली के साथ-साथ इलेक्ट्रिकल, विशेष रूप से फार्मूला वन रेसिंग में लागू किया जाने लगा था।

अवलोकन
इस प्रकार से नेटवर्क संश्लेषण विद्युत नेटवर्क को डिजाइन करने के विषय में है जो नेटवर्क रूप के किसी भी पूर्वकल्पना के बिना निर्धारित विधि से व्यवहार करता है। सामान्यतः, निष्क्रिय घटकों का उपयोग करके विद्युत प्रतिबाधा को संश्लेषित करने की आवश्यकता होती है। अर्थात, नेटवर्क जिसमें विद्युत प्रतिरोध (R), प्रेरकत्व (L) और धारिता (C) सम्मिलित हैं। ऐसे नेटवर्क में सदैव प्रतिबाधा होती है, जिसे $$Z(s)$$ निरूपित किया जाता है। अर्थात् प्रतिबाधा s में दो बहुपदों का अनुपात है।

अतः नेटवर्क संश्लेषण में अध्ययन के तीन व्यापक क्षेत्र हैं; तर्कसंगत फलन के साथ आवश्यकता का अनुमान लगाना, उस फलन को नेटवर्क में संश्लेषित करना और संश्लेषित नेटवर्क के समकक्षों का निर्धारण करना है।

सन्निकटन
इस प्रकार से आदर्शीकृत निर्धारित फलन बहुपदों द्वारा यथार्थ रूप से वर्णित होने में संभवतः कभी सक्षम होंगे। इसलिए इसे पुन: उत्पन्न करने के लिए किसी नेटवर्क को संश्लेषित करना संभव नहीं है। ईंट-दीवार निस्पंदन सरल और सामान्य उदाहरण है। अतः यह निम्न पारण निस्पंदन की आदर्श प्रतिक्रिया है, परन्तु इसके टुकड़े-टुकड़े निरंतर प्रतिक्रिया को बहुपदों के साथ प्रदर्शित करना असंभव है क्योंकि विच्छिन्नताएं हैं। इस प्रकार से इस कठिनाई को दूर करने के लिए, तर्कसंगत फलन पाया जाता है जो सन्निकटन सिद्धांत का उपयोग करके निर्धारित फलन को स्पष्टता से अनुमानित करता है। सामान्यतः, सन्निकटन जितना निकट होना आवश्यक है, बहुपद की उच्च घात और नेटवर्क में उतने ही अधिक अवयवों की आवश्यकता होगी।

इस प्रकार से इस प्रयोजन के लिए नेटवर्क संश्लेषण में कई बहुपदों और फलनों का उपयोग किया जाता है। अतः चुनाव इस बात पर निर्भर करती है कि डिज़ाइनर किस निर्धारित फलन के पैरामीटर को अनुकूलित करना चाहता है। सबसे पूर्व उपयोग किया जाने वाला बटरवर्थ बहुपद था, जिसके परिणामस्वरूप पारण बैंड में अधिकतम समतल प्रतिक्रिया होती है। इस प्रकार से चेबीशेव सन्निकटन सामान्य चुनाव है जिसमें डिज़ाइनर निर्दिष्ट करता है कि अन्य मापदंडों में सुधार के स्थान पर पारण बैंड प्रतिक्रिया आदर्श से कितना विचलित हो सकती है। अतः समय विलंब, प्रतिबाधा मिलान, अपवेल्लन और कई अन्य आवश्यकताओं को अनुकूलित करने के लिए अन्य सन्निकटन उपलब्ध हैं।

विक्रय
इस प्रकार से एक तर्कसंगत फलन को देखते हुए, सामान्यतः यह निर्धारित करना आवश्यक होता है कि क्या फलन असतत निष्क्रिय नेटवर्क के रूप में प्राप्य है। ऐसे सभी नेटवर्क तर्कसंगत फलन द्वारा वर्णित हैं, परन्तु असतत निष्क्रिय नेटवर्क के रूप में सभी तर्कसंगत फलनों को साकार नहीं किया जा सकता है। ऐतिहासिक रूप से, नेटवर्क संश्लेषण विशेष रूप से ऐसे नेटवर्कों से संबंधित था। अतः आधुनिक सक्रिय घटकों ने इस सीमा को कई अनुप्रयोगों में कम प्रासंगिक बना दिया है, परन्तु उच्च रेडियो आवृति पर निष्क्रिय नेटवर्क अभी भी चुनाव की तकनीक है। तर्कसंगत फलनों का धनात्मक-वास्तविक फलन है जो भविष्यवाणी करता है कि क्या फलन निष्क्रिय नेटवर्क के रूप में प्राप्त हो सकता है या नहीं। बार जब यह निर्धारित हो जाता है कि फलन प्राप्त करने योग्य है, तो वहां कई एल्गोरिदम उपलब्ध हैं जो इससे नेटवर्क को संश्लेषित करेंगे।

समानता
इस प्रकार से तर्कसंगत फलन से नेटवर्क प्राप्ति अद्वितीय नहीं है। एक ही फलन कई समतुल्य नेटवर्क को समझ सकता है। यह ज्ञात है कि किसी नेटवर्क के जाल विश्लेषण में बनने वाले प्रतिबाधा आव्यूह के संबधित परिवर्तन समतुल्य नेटवर्क के सभी प्रतिबाधा आव्यूह हैं (अग्रिम सूचना पर )। अतः अन्य समतुल्य प्रतिबाधा परिवर्तन ज्ञात हैं, परन्तु क्या और भी समतुल्य वर्ग हैं जो खोजे जाने शेष हैं, यह विवृत प्रश्न है।

इस प्रकार से नेटवर्क संश्लेषण में अनुसंधान का प्रमुख क्षेत्र उस बोध का पता लगाना रहा है जो अवयवों की न्यूनतम संख्या का उपयोग करता है। अतः सामान्य स्थिति के लिए यह प्रश्न पूर्ण रूप से हल नहीं किया गया है, परन्तु व्यावहारिक अनुप्रयोगों के साथ कई नेटवर्कों के लिए हल उपलब्ध हैं।

इतिहास
नेटवर्क संश्लेषण के क्षेत्र की स्थापना जर्मन गणितज्ञ और वैज्ञानिक विल्हेम कॉयर (1900-1945) ने की थी। सिद्धांत की ओर प्रथम संकेत अमेरिकी गणितज्ञ रोनाल्ड एम. फोस्टर (1896-1998) से आया जब उन्होंने 1924 में फोस्टर की प्रतिक्रिया प्रमेय प्रकाशित की थी। काउर ने तुरंत इस कार्य के महत्व को पहचाना और इसे सामान्य बनाने और विस्तारित करने के विषय में निर्धारित किया था। इस प्रकार से 1926 में उनकी अभिधारणा निर्धारित आवृत्ति निर्भरता के प्रतिबाधाओं की प्राप्ति पर थी और यह क्षेत्र की प्रारम्भ है। काउर का सबसे विस्तृत फलन द्वितीय विश्व युद्ध के समय किया गया था, परन्तु युद्ध के अंत से कुछ ही समय पूर्व वह मारा गया था। युद्ध के समय उनका कार्य व्यापक रूप से प्रकाशित नहीं हो सका, और यह 1958 तक नहीं था कि उनके परिवार ने उनके प्रलेख एकत्र किए और उन्हें व्यापक संसार के लिए प्रकाशित किया था। इस बीच, युद्ध के समय अधिकृत किए गए कायर के पूर्व-युद्ध प्रकाशनों और विवरण के आधार पर संयुक्त राज्य अमेरिका में प्रगति की गई थी। इस प्रकार से अंग्रेज स्वयं-सिखाए गणितज्ञ और वैज्ञानिक ओलिवर हीविसाइड (1850-1925) सबसे पूर्व यह दिखाने वाले थे कि आरएलसी नेटवर्क का प्रतिबाधा सदैव आवृत्ति संचालक का तर्कसंगत फलन था, परन्तु तर्कसंगत फलन से नेटवर्क को साकार करने की कोई विधि नहीं दी गई थी। इस प्रकार से निष्क्रिय नेटवर्क के रूप में साकार होने के लिए काउर ने तर्कसंगत फलन के लिए आवश्यक प्रतिबन्ध पाई गई। अतः दक्षिण अफ़्रीकी ओटो ब्रुने (1901-1982) ने बाद में इस स्थिति के लिए धनात्मक-वास्तविक फलन (पीआरएफ) पद गढ़ा था। काउर ने माना कि पीआरएफ आवश्यक और पर्याप्त स्थिति थी, परन्तु इसे सिद्ध नहीं कर सका था, और ब्रुने को शोध परियोजना के रूप में सुझाव दिया, जो उस समय संयुक्त राज्य अमेरिका में उनके स्नातक छात्र थे। ब्रुने ने अपने 1931 के चिकित्सक संबंधी अभिधारणा में अनुपस्थित प्रमाण प्रकाशित किया था। इस प्रकार से फोस्टर की प्राप्ति एलसी नेटवर्क तक सीमित थी और दो रूपों में से में थी; या तो श्रृंखला में कई श्रृंखला एलसी परिपथ, या श्रृंखला में कई समानांतर एलसी परिपथ है। फोस्टर की विधि $$Z(s)$$ को आंशिक भिन्नों में विस्तारित करना था। काउर ने दर्शाया कि फोस्टर की पद्धति को आरएल और आरसी नेटवर्क तक बढ़ाया जा सकता है। अतः कायर ने एक और विधि भी खोजी; $$Z(s)$$ को निरंतर भिन्न के रूप में विस्तारित करना जिसके परिणामस्वरूप सोपानी नेटवर्क बनता है, फिर से दो संभावित रूपों में होता है। सामान्यतः, पीआरएफ आरएलसी नेटवर्क का प्रतिनिधित्व करेगा; सभी तीन प्रकार के अवयवों के साथ यह बोध जटिल है। इस प्रकार से काउर और ब्रुने दोनों ने आरएलसी नेटवर्क की अपनी प्राप्ति में आदर्श ट्रांसफार्मर का उपयोग किया था। परिपथ के व्यावहारिक कार्यान्वयन में ट्रांसफार्मर सम्मिलित करना अवांछनीय है। इस प्रकार से 1949 में हंगेरियन-अमेरिकी गणितज्ञ राउल बॉट (1923-2005) और अमेरिकी भौतिक विज्ञानी रिचर्ड डफिन (1909-1996) द्वारा ट्रांसफॉर्मर की आवश्यकता नहीं होने की प्राप्ति की विधि प्रदान की गई थी। अतः बॉट और डफिन विधि रिचर्ड्स प्रमेय के बार-बार अनुप्रयोग द्वारा विस्तार प्रदान करती है, जो अमेरिकी भौतिक विज्ञानी और व्यावहारिक गणितज्ञ पॉल आई. रिचर्ड्स (1923-1978) के कारण 1947 का परिणाम है। परिणामी बॉट-डफिन नेटवर्क का सीमित व्यावहारिक उपयोग होता है (कम से कम बहुपद की उच्च घात के तर्कसंगत फलनों के लिए) क्योंकि आवश्यक घटकों की संख्या घात के साथ तीव्रता से बढ़ती है। मूल बॉट-डफिन विधि की कई भिन्नताएं प्रत्येक खंड में अवयवों की संख्या को छह से पांच तक कम कर देती हैं, परन्तु फिर भी समग्र संख्या में तीव्रता से वृद्धि होती है। इसे प्राप्त करने वाले पत्रों में पेंटेल (1954), रेजा (1954), स्टोरर (1954) और फियाल्कोव और गेस्ट (1955) सम्मिलित हैं। 2010 तक, तर्कसंगत फलनों को संश्लेषित करने में कोई और महत्वपूर्ण प्रगति नहीं हुई है।

इस प्रकार से 1939 में, अमेरिकी इलेक्ट्रिकल इंजीनियर सिडनी डार्लिंगटन ने दर्शाया कि किसी भी पीआरएफ को दो-पोर्ट नेटवर्क के रूप में समझा जा सकता है जिसमें मात्र एल और सी अवयव होते हैं और अवरोधक के साथ इसके निर्गम पर समाप्त हो जाते हैं। अर्थात, किसी भी नेटवर्क में मात्र प्रतिरोध की आवश्यकता होती है, शेष घटक दोषरहित होते हैं। प्रमेय स्वतंत्र रूप से कॉयर और जियोवानी कोसी दोनों द्वारा खोजा गया था। परिणामी समस्या, मात्र प्रारंभ करनेवाले के साथ आर और सी अवयवों का उपयोग करके पीआरएफ के संश्लेषण को खोजने के लिए, नेटवर्क सिद्धांत में अनसुलझी समस्या है। और अनसुलझी समस्या डार्लिंगटन के अनुमान (1955) का प्रमाण पा रही है कि किसी भी आरसी 2-पोर्ट को सामान्य टर्मिनल के साथ श्रृंखला-समानांतर नेटवर्क के रूप में समझा जा सकता है। व्यावहारिक नेटवर्क में महत्वपूर्ण विचार घटकों की संख्या को कम करना है, विशेष रूप से कुंडलित घटकों-प्रेरक और ट्रांसफार्मर आदि। इस प्रकार से कम से कम करने के अत्यधिक प्रयासों के अतिरिक्त, न्यूनीकरण का कोई सामान्य सिद्धांत कभी भी खोजा नहीं गया है जैसा कि बूलियन फलनों के न्यूनीकरण के लिए है।

कॉयर ने आदर्श निस्पंदनों के सन्निकटन उत्पन्न करने के लिए अण्डाकार तर्कसंगत फलनों का उपयोग किया। अण्डाकार तर्कसंगत फलनों की विशेष स्थिति पफनुटी चेबीशेव (1821-1894) के कारण चेबिशेव बहुपद है और सन्निकटन सिद्धांत का महत्वपूर्ण भाग है। चेबिशेव बहुपद व्यापक रूप से निस्पंदन डिजाइन करने के लिए उपयोग किए जाते हैं। 1930 में, ब्रिटिश भौतिक विज्ञानी स्टीफन बटरवर्थ (1885-1958) ने बटरवर्थ बहुपदों का उपयोग करते हुए बटरवर्थ निस्पंदन को डिजाइन किया, जिसे अन्यथा अधिकतम-समतल निस्पंदन के रूप में जाना जाता है। बटरवर्थ का कार्य कॉयर से पूर्ण रूप से स्वतंत्र था, परन्तु बाद में यह पाया गया कि बटरवर्थ बहुपद चेबीशेव बहुपदों का सीमित स्थिति था। पूर्व भी (1929) और फिर से स्वतंत्र रूप से, अमेरिकी इंजीनियर और वैज्ञानिक एडवर्ड लॉरी नॉर्टन (1898-1983) ने बटरवर्थ के विद्युत निस्पंदन के पूर्ण रूप से अनुरूप प्रतिक्रिया के साथ अधिकतम-समतल यांत्रिक निस्पंदन डिजाइन किया था।

इस प्रकार से 2000 के दशक में, नेटवर्क संश्लेषण सिद्धांत को और विकसित करने में रुचि को बढ़ावा दिया गया जब सिद्धांत को बड़े यांत्रिक प्रणालियों पर लागू किया जाने लगा। घटकों के आकार और लागत के कारण विद्युत की तुलना में यांत्रिक प्रांत में न्यूनीकरण की अनसुलझी समस्या बहुत अधिक महत्वपूर्ण है। 2017 में, कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय के शोधकर्ताओं ने स्वयं को तर्कसंगत फलन घात पर विचार करने के लिए सीमित कर दिया, यह निर्धारित किया कि सभी श्रृंखला-समानांतर नेटवर्क और अधिकांश यादृच्छिक नेटवर्क के लिए इस प्रकार के फलनों के बॉट-डफिन की प्राप्ति में प्रतिक्रियाओं की न्यूनतम संख्या थी (ह्यूजेस, 2017)। उन्होंने इस परिणाम को आश्चर्यजनक पाया क्योंकि इससे पता चलता है कि बॉट-डफिन विधि इतनी गैर-न्यूनतम नहीं थी जितना कि पूर्व सोचा गया था। यह शोध आंशिक रूप से लाडेनहाइम कैटलॉग पर दोबारा ध्यान करने पर केंद्रित था। यह दो से अधिक प्रतिघातों और तीन प्रतिरोधों वाले सभी विशिष्ट आरएलसी नेटवर्कों की गणना है। इस प्रकार से एडवर्ड लादेनहेम ने 1948 में फोस्टर के छात्र के रूप में इस कार्य को समाप्त किया। कैटलॉग की प्रासंगिकता यह है कि इन सभी नेटवर्कों को द्विवर्गीय फलनों द्वारा समझा जाता है।

अनुप्रयोग
इस प्रकार से नेटवर्क संश्लेषण का एकल सबसे व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला अनुप्रयोग निस्पंदन (संकेत प्रोसेसिंग) के डिजाइन में है। ऐसे निस्पंदन के आधुनिक डिजाइन लगभग सदैव नेटवर्क संश्लेषण निस्पंदन के कुछ रूप होते हैं। एक अन्य अनुप्रयोग प्रतिबाधा मिलान नेटवर्क का डिज़ाइन है। आवृत्ति पर प्रतिबाधा मिलान के लिए मात्र नगण्य नेटवर्क की आवश्यकता होती है - सामान्यतः घटक। विस्तृत बैंड पर प्रतिबाधा मिलान, यद्यपि, अधिक जटिल नेटवर्क की आवश्यकता होती है, यद्यपि स्रोत और भार प्रतिरोध आवृत्ति के साथ भिन्न न हों। निष्क्रिय अवयवों के साथ और ट्रांसफॉर्मर के उपयोग के बिना ऐसा करने से निस्पंदन जैसी डिज़ाइन होती है। इसके अतिरिक्त, यदि भार शुद्ध विद्युत प्रतिरोध नहीं है, तो मात्र असतत आवृत्तियों की संख्या पर परिपूर्ण मिलान प्राप्त करना संभव है; पूर्ण बैंड के मिलान का अनुमान लगाया जाना चाहिए। डिज़ाइनर पूर्व आवृति बैंड निर्धारित करता है जिस पर मिलान नेटवर्क को संचालित करना है, और फिर उस बैंड के लिए बैंड पारक निस्पंदन डिज़ाइन करता है। इस प्रकार से मानक निस्पंदन और मेल खाने वाले नेटवर्क के बीच एकमात्र आवश्यक अंतर यह है कि स्रोत और भार प्रतिबाधा समान नहीं हैं। निस्पंदन और मेल खाने वाले नेटवर्क के बीच अंतर हैं जिनमें पैरामीटर महत्वपूर्ण हैं। जब तक कि नेटवर्क का द्वैध फलन न हो, डिज़ाइनर पारण बैंड के बाहर प्रतिबाधा मिलान नेटवर्क के व्यवहार पर बहुत अधिक चिंतित नहीं होता है। इससे कोई अंतर नहीं पड़ता कि संक्रमण बैंड बहुत संकीर्ण नहीं है, या विराम बैंड में निकृष्ट क्षीणन है। वस्तुतः, अत्यंत आवश्यक के अतिरिक्त बैंडविस्तार (संकेत प्रोसेसिंग) में सुधार करने का प्रयास प्रतिबाधा मिलान की यथार्थता से अलग हो जाएगा। नेटवर्क में दिए गए अवयवों की संख्या के साथ, डिज़ाइन बैंडविस्तार को कम करने से मिलान में सुधार होता है और इसके विपरीत। प्रतिबाधा मिलान नेटवर्क की सीमाओं की जांच पहली बार 1945 में अमेरिकी इंजीनियर और वैज्ञानिक हेनरी वेड बोडे द्वारा की गई थी, और यह सिद्धांत कि उन्हें आवश्यक रूप से निस्पंदन जैसा होना चाहिए, 1950 में इतालवी-अमेरिकी कंप्यूटर वैज्ञानिक रॉबर्ट फानो द्वारा स्थापित किया गया था। इस प्रकार से पारण बैंड में पैरामीटर जो सामान्यतः निस्पंदन के लिए समूहित किया जाता है वह अधिकतम सम्मिलन हानि है। प्रतिबाधा मिलान नेटवर्क के लिए, न्यूनतम हानि भी निर्धारित करके ठीक मिलान प्राप्त किया जा सकता है। अर्थात लाभ कभी भी एकता तक नहीं पहुंचता है।

इस प्रकार से समय-विलंब नेटवर्क को निस्पंदन जैसी संरचनाओं के साथ नेटवर्क संश्लेषण द्वारा डिज़ाइन किया जा सकता है। विलंब नेटवर्क को डिज़ाइन करना संभव नहीं है जिसमें बैंड में सभी आवृत्तियों पर निरंतर विलंब हो। इस व्यवहार के सन्निकटन का उपयोग निर्धारित बैंडविस्तार तक सीमित होना चाहिए। निर्धारित विलंब अधिक से अधिकस्थलीय आवृत्‍ति की सीमित संख्या में होगा। बेसल निस्पंदन में अधिकतम-समतल समय-विलंब होता है।

नेटवर्क संश्लेषण का अनुप्रयोग विद्युत प्रांत तक ही सीमित नहीं है। इसे किसी भी ऊर्जा प्रांत में प्रणाली पर लागू किया जा सकता है जिसे रैखिक घटकों के नेटवर्क के रूप में दर्शाया जा सकता है। विशेष रूप से, नेटवर्क संश्लेषण ने यांत्रिक प्रांत में यांत्रिक नेटवर्क में अनुप्रयोग पाया है। इस प्रकार से यांत्रिक नेटवर्क संश्लेषण पर विचार करते हुए मैल्कम सी. स्मिथ ने नवीन यांत्रिक नेटवर्क अवयव, जड़ (यांत्रिक नेटवर्क) प्रस्तावित किया, जो विद्युत संधारित्र के अनुरूप है। जड़ता गुण वाले यांत्रिक घटकों को फ़ॉर्मूला वन रेसिंग कारों के निलंबन में अनुप्रयोग मिला है।

संश्लेषण तकनीक
इस प्रकार से संश्लेषण सन्निकटन तकनीक को चुनकर प्रारम्भ होता है जो नेटवर्क के आवश्यक फलन का अनुमान लगाते हुए तर्कसंगत फलन प्रदान करता है। यदि फलन को निष्क्रिय घटकों के साथ कार्यान्वित किया जाना है, तो फलन को धनात्मक-वास्तविक फलन (पीआरएफ) की प्रतिबन्धों को भी पूरा करना होगा। उपयोग की जाने वाली संश्लेषण तकनीक इस बात पर निर्भर करती है कि किस प्रकार का नेटवर्क वांछित है, और आंशिक रूप से नेटवर्क में कितने प्रकार के अवयवों की आवश्यकता है। एक-अवयव-प्रकार का नेटवर्क नगण्य स्थिति है, जो एकल अवयव की प्रतिबाधा को कम करता है। इस प्रकार से दो-अवयव-प्रकार का नेटवर्क (एलसी, आरसी, या आरएल) को फोस्टर या कॉयर संश्लेषण के साथ संश्लेषित किया जा सकता है। तीन-अवयव-प्रकार के नेटवर्क (एक आरएलसी नेटवर्क) के लिए अधिक उन्नत उपचार की आवश्यकता होती है जैसे कि ब्रुने या बॉट-डफिन संश्लेषण।

कौन से और कितने प्रकार के अवयवों की आवश्यकता है, यह फलन के ध्रुवों और शून्यों (सामूहिक रूप से महत्वपूर्ण आवृत्तियों कहा जाता है) की जांच करके निर्धारित किया जा सकता है। इस प्रकार से प्रत्येक प्रकार के नेटवर्क के लिए महत्वपूर्ण आवृत्तियों की आवश्यकता नीचे संबंधित अनुभागों में दी गई है।

फोस्टर संश्लेषण
इस प्रकार से फोस्टर का संश्लेषण, अपने मूल रूप में, मात्र एलसी नेटवर्क पर ही लागू किया जा सकता है। एक पीआरएफ दो-अवयव-प्रकार के एलसी नेटवर्क का प्रतिनिधित्व करता है यदि $$Z(s)$$ की सभी महत्वपूर्ण आवृत्तियां $$s = \sigma + i \omega$$ (एस-समतल) के जटिल तल के $$i \omega$$ अक्ष पर स्थित हैं और ध्रुवों और शून्य के बीच वैकल्पिक होंगी। मूल और अनंत पर ही महत्वपूर्ण आवृत्ति होनी चाहिए, शेष सभी संयुग्म युग्म में होने चाहिए। $$Z(s)$$ सम और विषम बहुपद का अनुपात होना चाहिए और उनकी घातों में ठीक एक का अंतर होना चाहिए। अतः ये आवश्यकताएं फोस्टर की प्रतिक्रिया प्रमेय का परिणाम हैं।

फोस्टर I रूप
फोस्टर का प्रथम रूप (फोस्टर I रूप) श्रृंखला में समांतर एलसी परिपथ के समुच्चय के रूप में $$Z(s)$$ को संश्लेषित करता है। इस प्रकार से उदाहरण के लिए,


 * $$Z(s) = \frac {9s^5 + 30s^3 + 24s}{18s^4 + 36s^2 + 8} $$

को


 * $$Z(s) = {s \over 2} + \frac {(25 + 11 \sqrt 5)s}{5(9 + 3 \sqrt 5)s^2 +20} + \frac {(25 - 11 \sqrt 5)s}{5(9 - 3 \sqrt 5)s^2 +20} \approx {s \over 2} + \frac {2.48s}{3.93s^2 +1} + \frac {0.020s}{0.573s^2 + 1}$$
 * के रूप में आंशिक भिन्नों में विस्तारित किया जा सकता है।

इस प्रकार से पहला पद एक श्रृंखला प्रारंभकर्ता का प्रतिनिधित्व करता है, जो $$Z(s)$$ का ध्रुव अनंत पर होने का परिणाम है। अतः यदि इसके मूल में ध्रुव होता है, तो यह श्रृंखला संधारित्र का प्रतिनिधित्व करता है। शेष दो पद $$i \omega$$ अक्ष पर ध्रुवों के संयुग्मी युग्मों का प्रतिनिधित्व करते हैं। इनमें से प्रत्येक पद को ऐसे परिपथ के लिए प्रतिबाधा अभिव्यक्ति,
 * $$Z_{LC}(s) = \frac {Ls}{LCs^2 + 1} $$ के साथ तुलना करके समांतर एलसी परिपथ के रूप में संश्लेषित किया जा सकता है।

परिणामी परिपथ को चित्र में दर्शाया गया है।

फोस्टर II रूप
इस प्रकार से फोस्टर II समानांतर में श्रृंखला एलसी परिपथ के एक समुच्चय के रूप में $$Z(s)$$ को संश्लेषित करता है। आंशिक भिन्नों में विस्तार करने की वही विधि फोस्टर I रूप के लिए उपयोग की जाती है, परन्तु इसे $$Z(s)$$ के अतिरिक्त प्रवेश, $$Y(s)$$ पर लागू किया जाता है। पूर्व के समान पीआरएफ उदाहरण का उपयोग करते हुए,


 * $$Y(s) = {1 \over Z(s)} = \frac {18s^4 + 36s^2 + 8}{9s^5 + 30s^3 + 24s} $$

आंशिक भिन्नों में विस्तारित,


 * $$Y(s) \simeq {1 \over 3s} + \frac {2.498s}{0.6346s^2 +1} + \frac {1.415s}{0.4719s^2 + 1}$$

वह पहला पद एक शंट प्रारंभ करनेवाला का प्रतिनिधित्व करता है, जो $$Y(s)$$ के मूल में एक ध्रुव होने का परिणाम है (या, समकक्ष, $$Z(s)$$ के मूल में एक शून्य है)। यदि इसमें अनंत पर ध्रुव होता, तो यह शंट संधारित्र का प्रतिनिधित्व करता। इस प्रकार से शेष दो पद $$i \omega$$ अक्ष पर ध्रुवों के संयुग्मी युग्मों का प्रतिनिधित्व करते हैं। इन प्रतिबन्धों में से प्रत्येक को ऐसे परिपथ के लिए प्रवेश अभिव्यक्ति के साथ तुलना करके श्रृंखला एलसी परिपथ के रूप में संश्लेषित किया जा सकता है,
 * $$Y_{LC}(s) = \frac {Cs}{LCs^2 + 1} $$

परिणामी परिपथ को चित्र में दर्शाया गया है।

आरसी या आरएल नेटवर्क का विस्तार
इस प्रकार से फोस्टर संश्लेषण को किसी भी दो-अवयव-प्रकार के नेटवर्क तक बढ़ाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, फोस्टर I रूप में आरसी नेटवर्क के आंशिक भिन्न पद समानांतर में आर और सी अवयव का प्रतिनिधित्व करेंगे। इस स्थिति में, आंशिक भिन्न का रूप होगा,
 * $$Z_{RC}(s) = \frac {R}{RCs + 1} $$

अन्य रूप और अवयव प्रकार सादृश्य द्वारा अनुसरण करते हैं। एलसी नेटवर्क के जैसे, महत्वपूर्ण आवृत्तियों की जांच करके पीआरएफ का परीक्षण यह देखने के लिए किया जा सकता है कि यह आरसी या आरएल नेटवर्क है या नहीं। इस प्रकार से क्रांतिक आवृत्तियों को सभी ऋणात्मक वास्तविक अक्ष पर होना चाहिए और ध्रुवों और शून्यों के बीच वैकल्पिक होना चाहिए, और प्रत्येक की समान संख्या होनी चाहिए। यदि निकटतम या मूल बिंदु पर महत्वपूर्ण आवृत्ति एक ध्रुव है, तो पीआरएफ एक आरसी नेटवर्क है यदि यह $$Z(s)$$ का प्रतिनिधित्व करता है, या यह एक आरएल नेटवर्क है यदि यह $$Y(s)$$ का प्रतिनिधित्व करता है। इसके विपरीत यदि महत्वपूर्ण आवृत्ति निकटतम, या मूल पर शून्य है। सिद्धांत के ये विस्तार नीचे वर्णित कॉयर रूपों पर भी लागू होते हैं।

प्रतिबाधा प्रवेश्यता
इस प्रकार से उपरोक्त फोस्टर संश्लेषण में, फोस्टर I रूप और फोस्टर II रूप दोनों में फलन का विस्तार ही प्रक्रिया है। यह सुविधाजनक है, विशेष रूप से सैद्धांतिक फलनों में, उन्हें अलग-अलग प्रतिबाधा या प्रवेश के अतिरिक्त साथ प्रतिबाधा प्रवेश्यता के रूप में व्यवहार करने के लिए है। मात्र यह घोषित करना आवश्यक है कि क्या फलन उस बिंदु पर प्रतिबाधा या प्रवेश का प्रतिनिधित्व करता है जिसे वास्तविक परिपथ को साकार करने की आवश्यकता है। अतः प्रतिबाधा प्रवेश्यता का उपयोग कॉयर I और कॉयर II रूप और अन्य प्रक्रियाओं के साथ भी किया जा सकता है।

कायर संश्लेषण
इस प्रकार से कॉयर संश्लेषण फोस्टर संश्लेषण का वैकल्पिक संश्लेषण है और पीआरएफ को मिलने वाली प्रतिबन्धें निश्चित ही फोस्टर संश्लेषण जैसी ही होती हैं। फोस्टर संश्लेषण के जैसे, कॉयर संश्लेषण के दो रूप हैं, और दोनों को आरसी और आरएल नेटवर्क तक बढ़ाया जा सकता है।

कॉयर I रूप
कॉयर I रूप $$Z(s)$$ को एक निरंतर भिन्न में विस्तारित करता है। फोस्टर I रूप,


 * $$Z(s) = 0.5s + \cfrac{1}{1.5s+\cfrac{1}{2s+\cfrac{1}{1.5s+\cfrac{1}{0.5s}}}}$$

या, अधिक सघन अंकन में,


 * $$Z(s) = [0.5s;1.5s,2s,1.5s,0.5s]$$ के लिए उपयोग किए गए समान उदाहरण का उपयोग करना।

इस विस्तार की प्रतिबन्धों को प्रत्यक्षतः सोपानी नेटवर्क के घटक मानों के रूप में लागू किया जा सकता है जैसा कि आंकड़े में दर्शाया गया है। इस प्रकार से दिए गए पीआरएफ में भाजक हो सकता है जिसकी घात भिन्न से अधिक हो। ऐसी स्थितियों में, इसके अतिरिक्त फलन का गुणक व्युत्क्रम विस्तारित होता है। अर्थात, यदि फलन $$Z(s)$$ का प्रतिनिधित्व करता है, तो इसके अतिरिक्त $$Y(s)$$ का विस्तार किया जाता है और इसके विपरीत।

कॉयर II रूप
इस प्रकार से कायर II रूप ठीक उसी प्रकार $$Z(s)$$ का विस्तार करता है जैसे काउर I का रूप, बनता है अतिरिक्त इसके कि निम्नतम घात पद को उच्चतम घात पद के अतिरिक्त निरंतर भिन्न विस्तार में पूर्व निकाला जाता है जैसा कि काउर I रूप में किया जाता है। काउर I रूप और फोस्टर रूप के लिए उपयोग किया गया उदाहरण जब कॉयर II रूप के रूप में विस्तारित किया जाता है, तो कुछ अवयवों में ऋणात्मक मान होते हैं। इसलिए, यह विशेष पीआरएफ ट्रांसफॉर्मर या पारस्परिक प्रेरण को सम्मिलित किए बिना निष्क्रिय घटकों में कॉयर II रूप के रूप में समझा नहीं जा सकता है। अतः आवश्यक कारण यह है कि उदाहरण $$Z(s)$$ को काउर II रूप के रूप में समझा नहीं जा सकता है, यह है कि इस रूप में एक उच्च पास सांस्थिति है। उच्च-पास साँस्थिति। इस प्रकार से निरंतर भिन्न में निकाला गया प्रथम अवयव श्रृंखला संधारित्र है। इससे मूल बिंदु पर $$Z(s)$$का शून्य प्राप्त होना असंभव हो जाता है। इस प्रकार से दूसरी ओर, कॉयर I रूप में निम्न-पास निस्पंदन है और स्वाभाविक रूप से मूल में शून्य है। यद्यपि इस फलन के $$Y(s)$$ को कायर द्वितीय रूप के रूप में समझा जा सकता है क्योंकि निकाला गया प्रथम अवयव शंट प्रारंभ करनेवाला है। यह $$Y(s)$$ के लिए मूल बिंदु पर एक ध्रुव देता है, परन्तु यह $$Z(s)$$ के लिए मूल बिंदु पर आवश्यक शून्य का अनुवाद करता है। निरंतर भिन्न विस्तार,


 * $$Y(s) \simeq \left [ {1 \over 3s}; {1 \over 1.083s}, {1 \over 0.2175s} , {1 \over 1.735s} \right ]$$

है और वास्तविक नेटवर्क चित्र में दर्शाया गया है।

ब्रुने संश्लेषण
इस प्रकार से ब्रुने संश्लेषण किसी भी यादृच्छिक पीआरएफ को संश्लेषित कर सकता है, इसलिए सामान्य रूप से 3-अवयव-प्रकार (अर्थात आरएलसी) नेटवर्क का परिणाम होगा। ध्रुव और शून्य जटिल तल के बायें हाथ के आधे भाग में कहीं भी स्थित हो सकते हैं। फोस्टर विधि के रूप में काल्पनिक धुरी पर महत्वपूर्ण आवृत्तियों को समाप्त करने के लिए ब्रुने विधि कुछ प्रारंभिक चरणों से प्रारम्भ होती है। इन प्रारंभिक चरणों को कभी-कभी फोस्टर प्रस्तावना कहा जाता है। इसके पश्चात ब्रुने वर्गों के सोपानी सम्पर्क का निर्माण करने के लिए चरणों का चक्र होता है।

काल्पनिक अक्ष पर महत्वपूर्ण आवृत्तियों को हटाना
$$j \omega$$ अक्ष पर ध्रुव और शून्य एल और सी अवयवों का प्रतिनिधित्व करते हैं जिन्हें पीआरएफ से निकाला जा सकता है। विशेष रूप से, इस प्रकार से इन निष्कर्षणों के पश्चात, शेष पीआरएफ की काल्पनिक अक्ष पर कोई महत्वपूर्ण आवृत्ति नहीं होती है और इसे न्यूनतम विद्युत प्रतिघात, न्यूनतम संवेदन फलन के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार के फलन के साथ ब्रुने संश्लेषण उचित प्रारम्भ होता है।
 * मूल पर ध्रुव श्रृंखला संधारित्र का प्रतिनिधित्व करता है
 * अनंत पर ध्रुव श्रृंखला प्रेरण का प्रतिनिधित्व करता है
 * मूल बिंदु पर शून्य शंट प्रारंभ करनेवाले का प्रतिनिधित्व करता है
 * अनंत पर शून्य शंट संधारित्र का प्रतिनिधित्व करता है
 * $$s= \pm i \omega_c$$ पर ध्रुवों की एक युग्म श्रृंखला में अनुनाद आवृत्ति $$\omega_c$$ के समानांतर एलसी परिपथ का प्रतिनिधित्व करती है
 * $$s= \pm i \omega_c$$ पर शून्य के एक युग्म शंट में अनुनाद आवृत्ति $$\omega_c$$ की श्रृंखला एलसी परिपथ का प्रतिनिधित्व करती है

विधि की व्यापक रूपरेखा
ब्रुने विधि का सार उस आवृत्ति पर फलन के वास्तविक और काल्पनिक भागों को निकालकर $$i \omega$$ अक्ष पर शून्य की एक संयुग्मित युग्म बनाना है, और फिर एक अनुनादी परिपथ के रूप में शून्य के युग्म को निकालना है। यह संश्लेषित नेटवर्क का प्रथम ब्रुने खंड है। अतः परिणामी शेष अन्य न्यूनतम प्रतिघात फलन है जो दो घात कम है। चक्र तब दोहराया जाता है, जब प्रत्येक चक्र अंतिम नेटवर्क के और ब्रुने खंड का उत्पादन करता है जब तक कि मात्र स्थिर मान (एक प्रतिरोध) बना रहता है। ब्रुने संश्लेषण विहित है, अर्थात्, अंतिम संश्लेषित नेटवर्क में अवयवों की संख्या प्रतिबाधा फलन में यादृच्छिक गुणांक की संख्या के बराबर है। इसलिए संश्लेषित परिपथ में अवयवों की संख्या को और कम नहीं किया जा सकता है।

न्यूनतम प्रतिरोध को हटाना
इस प्रकार से एक न्यूनतम प्रतिक्रिया फलन में कुछ आवृत्ति $$\omega_0$$ पर न्यूनतम वास्तविक भाग, $$R_ \text {min}$$ होगा। अतः इस प्रतिरोध को अन्य पीआरएफ के शेष को छोड़कर फलन से निकाला जा सकता है जिसे न्यूनतम धनात्मक-वास्तविक फलन या मात्र न्यूनतम फलन कहा जाता है। उदाहरण के लिए, न्यूनतम प्रतिक्रिया फलन


 * $$Z(s) = \frac {3s^2 + 3s + 6}{2s^2 + s + 2} $$

में $$\omega_ \text {min} = \sqrt 2$$ और $$R_ \text {min} = 1$$ है। इसलिए, न्यूनतम फलन, $$Z_1(s)$$,


 * $$Z_1(s) = Z(s) - R_ \text {min} = \frac {s^2 + 2s + 4}{2s^2 + s + 2}$$ है।

एक ऋणात्मक प्रेरण या धारिता को हटाना
चूँकि $$Z_1(i \omega_0)$$ का कोई वास्तविक भाग नहीं है, हम लिख सकते हैं,


 * $$Z_1(i \omega_0) = iX \ .$$

उदाहरण फलन के लिए,


 * $$Z_1(i \omega_0) = -i \sqrt 2 = iX \ .$$

इस स्थिति में, $$X$$ ऋणात्मक है, और हम इसे ऋणात्मक-मान वाले प्रारंभकर्ता, $$L_1$$ की प्रतिक्रिया के रूप में व्याख्या करते हैं। इस प्रकार,


 * $$iX = i \omega_0 L_1$$ और


 * $$L_1 = -1 $$

के मानों में प्रतिस्थापित करने के पश्चात $$\omega_0$$ और $$iX$$ है। फिर यह प्रेरण $$Z_1(s)$$ से निकाला जाता है, जिससे एक और पीआरएफ छोड़कर, $$Z_2(s)$$,


 * $$Z_2(s) = Z_1(s) - sL_1 = \frac {2s^3 + 2s^2 + 4s +4}{2s^2 + s +2} \ $$ निकल जाता है।

इस प्रकार से ऋणात्मक मान निकालने का कारण यह है कि $$- sL_1$$ एक पीआरएफ है, जो कि यदि $$L_1$$ धनात्मक होता तो ऐसा नहीं होता। यह गारंटी देता है कि $$Z_2(s)$$ भी पीआरएफ होंगे (क्योंकि दो पीआरएफ का योग भी पीआरएफ है)। ऐसी स्थितियों के लिए जहां $$X$$ धनात्मक मान है, इसके अतिरिक्त प्रवेश फलन का उपयोग किया जाता है और ऋणात्मक धारिता निकाली जाती है। इन ऋणात्मक मानों को कैसे लागू किया जाता है, इसे बाद के खंड में समझाया गया है।

शून्य के संयुग्मित युग्म को हटाना
पूर्व चरणों में $$Z(i \omega_0)$$ के वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग हटा दिए गए हैं। यह $$Z_2(s)$$ में $$\pm i \omega_0$$ पर शून्यों के युग्म छोड़ता है जैसा कि उदाहरण फलन को गुणनखंडित करके दिखाया गया है;
 * $$Z_2(s) = \frac {2s^3 + 2s^2 + 4s +4}{2s^2 + s +2} = \frac {(s^2 + 2)(2s + 2)}{2s^2 + s + 2} \ .$$

चूंकि शून्य की ऐसी युग्म शंट अनुनाद परिपथ का प्रतिनिधित्व करती है, हम इसे प्रवेश फलन से ध्रुवों के युग्म के रूप में निकालते हैं,


 * $$ \begin{align}

Y_2(s) & = {1 \over Z_2(s)} = \frac {2s^2 + s + 2}{(s^2 + 2)(2s + 2)} \\ & = {1 \over {2s +2}} + \frac {s/2}{s^2 + 2} \\ & = Y_3(s) + \frac {s/2}{s^2 + 2} \\ \end{align} $$ सबसे दाहिना पद $$L_2 = 2$$ और $$C_2 = 1/4$$ के साथ निकाला गया अनुनाद परिपथ है। अब तक संश्लेषित नेटवर्क को चित्र में दर्शाया गया है।

अनंत पर ध्रुव को हटाना
इस प्रकार से $$Z_3 (s)$$ में अनंत पर एक ध्रुव होना चाहिए, क्योंकि वहां एक ध्रुव एक ऋणात्मक प्रेरण के निष्कर्षण द्वारा बनाया गया था। इस ध्रुव को अब धनात्मक प्रेरकत्व के रूप में निकाला जा सकता है।
 * $$Z_3 (s) = {1 \over Y_3 (s)} = 2s + 2 = Z_4 (s) + 2s.$$

इस प्रकार $$L_3 = 2$$ जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है।

एक ट्रांसफार्मर के साथ ऋणात्मक प्रेरण के स्थान
अतः ऋणात्मक प्रेरण प्रत्यक्षतः निष्क्रिय घटकों के साथ लागू नहीं किया जा सकता है। यद्यपि, प्रेरक के "टी" को परस्पर युग्मित प्रेरक में परिवर्तित किया जा सकता है जो ऋणात्मक प्रेरकत्व को अवशोषित करता है। प्रेरण के साथ एकता के युग्मन गुणांक (दृढ युग्मित) पारस्परिक प्रेरण, $$M$$, उदाहरण के स्थिति में 2.0 है।

रिंस और दोहराना
सामान्य रूप में, $$Z_4(s)$$ अन्य न्यूनतम प्रतिघात फलन होगा और पुनः ब्रुने चक्र को एक और ब्रुने अनुभाग निकालने के लिए दोहराया जाता है उदाहरण की स्थिति में, मूल पीआरएफ घात 2 की थी, इसलिए इसे दो घात कम करने के पश्चात, मात्र स्थिर पद रह जाता है, जो नगण्य रूप से, प्रतिरोध के रूप में संश्लेषित होता है।

धनात्मक एक्स
इस प्रकार से चक्र के चरण दो में यह उल्लेख किया गया था कि पीआरएफ शेष की गारंटी के लिए ऋणात्मक अवयव मान निकाला जाना चाहिए। यदि $$X$$ धनात्मक है, यदि अवयव ऋणात्मक होना है, तो निकाला गया अवयव श्रृंखला प्रारंभ करनेवाला के अतिरिक्त शंट संधारित्र होना चाहिए। अतः इसे प्रतिबाधा $$Z_1(s)$$ के अतिरिक्त प्रवेश $$Y_1(s)$$ से निकाला जाता है। चक्र के चरण चार में प्राप्त परिपथ सांस्थिति संधारित्र के एक Π (pi) धन एक प्रेरकत्व के अतिरिक्त प्रेरक के एक टी और एक संधारित्र है। यह दर्शाया जा सकता है कि संधारित्र धन प्रेरकत्व का यह Π प्रेरक धन संधारित्र के टी के बराबर परिपथ है। इस प्रकार, यह धनात्मक प्रेरण निकालने और फिर आगे बढ़ने की अनुमति है जैसे कि $$Z_2(s)$$ पीआरएफ था, यद्यपि ऐसा नहीं है। उचित परिणाम अभी भी आ जाएगा और शेष फलन पीआरएफ होगा ताकि अगले चक्र में सिंचित किया जा सके।

बॉट-डफिन संश्लेषण
इस प्रकार से बॉट-डफिन संश्लेषण $$i \omega$$ अक्ष पर सभी ध्रुवों और शून्यों को हटाकर ब्रुने संश्लेषण के जैसे प्रारंभ होता है। फिर रिचर्ड्स के प्रमेय को लागू किया जाता है, जो बताता है,


 * $$R(s) = \frac {kZ(s)-sZ(k)}{kZ(k)-sZ(s)} $$

यदि $$Z(s)$$ पीआरएफ है तो $$R(s)$$ $$k$$ के सभी वास्तविक, धनात्मक मानों के लिए पीआरएफहै।

$$Z(s)$$ को अभिव्यक्ति का विषय बनाने से,
 * $$Z(s) = \left ( \frac {R(s)}{Z(k)} + \frac {k}{sZ(k)} \right )^{-1} + \left ( \frac {1}{Z(k)R(s)} + \frac {s}{kZ(k)} \right )^{-1}$$ प्राप्त होता है

इस प्रकार से बॉट-डफिन संश्लेषण के चक्र का उदाहरण चित्रों में दर्शाया गया है। इस अभिव्यक्ति में चार पद क्रमशः पीआरएफ ($$Z_2 (s)$$ आरेख में), प्रेरकत्व, $$L$$, इसके समानांतर, और एक पीआरएफ ($$Z_1 (s)$$ आरेख में), और धारिता, $$C$$, इसके समानांतर हैं। फिर $$i \omega$$ अक्ष पर महत्वपूर्ण आवृत्तियों के युह्म को दो नवीन पीआरएफ (विवरण यहां नहीं दिया गया है) में से प्रत्येक से निकाला जाता है, प्रत्येक को एक अनुनादी परिपथ के रूप में समझा जाता है। दो अवशिष्ट पीआरएफ ($$Y_3 (s)$$ और $$Z_4 (s)$$ आरेख में) प्रत्येक $$Z(s)$$ से दो घात कम हैं। अतः उसी प्रक्रिया को फिर से उत्पन्न नवीन पीआरएफ पर बार-बार लागू किया जाता है जब तक कि मात्र ही अवयव शेष न हो। चूंकि प्रत्येक चक्र के साथ पीआरएफ उत्पन्न होने की संख्या दोगुनी हो जाती है, इसलिए संश्लेषित अवयवों की संख्या तीव्रता से बढ़ेगी। यद्यपि बॉट-डफिन विधि ट्रांसफॉर्मर के उपयोग से बचती है और इसे निष्क्रिय नेटवर्क के रूप में साकार करने में सक्षम किसी भी अभिव्यक्ति पर लागू किया जा सकता है, आवश्यक उच्च घटक गणना के कारण इसका सीमित व्यावहारिक उपयोग है।

बायर्ड संश्लेषण
इस प्रकार से बायर्ड संश्लेषण एलयू अपघटन पर आधारित अवस्था-समष्टि संश्लेषण विधि है। यह विधि प्रतिरोधों की न्यूनतम संख्या का उपयोग करके संश्लेषण लौटाती है और इसमें कोई जाइरेटर नहीं होता है। यद्यपि, विधि गैर-विहित है और सामान्यतः, प्रतिक्रिया अवयवों की गैर-न्यूनतम संख्या लौटाती है।

डार्लिंगटन संश्लेषण
डार्लिंगटन संश्लेषण अब तक चर्चा की गई तकनीकों के अलग दृष्टिकोण से प्रारम्भ होता है, जो सभी निर्धारित तर्कसंगत फलन से प्रारम्भ होते हैं और इसे एक-पोर्ट प्रतिबाधा के रूप में समझा करते हैं। डार्लिंगटन संश्लेषण निर्धारित तर्कसंगत फलन से प्रारम्भ होता है जो दो-पोर्ट नेटवर्क का वांछित स्थानांतरण फलन है। इस प्रकार से डार्लिंगटन ने दर्शाया कि किसी भी पीआरएफ को दो-पोर्ट नेटवर्क के रूप में मात्र एल और सी अवयवों का उपयोग करके निर्गम पोर्ट को समाप्त करने वाले एकल प्रतिरोधी के रूप में समझा जा सकता है। डार्लिंगटन और संबंधित विधियों को सम्मिलन हानि विधि कहा जाता है। विधि को बहु-पोर्ट नेटवर्क तक बढ़ाया जा सकता है, जिसमें प्रत्येक पोर्ट को प्रतिरोधक के साथ समाप्त किया जाता है।

इस प्रकार से डार्लिंगटन विधि, सामान्यतः, ट्रांसफार्मर या युग्मित प्रेरकों की आवश्यकता होगी। यद्यपि, इन अवांछनीय सुविधाओं के बिना डार्लिंगटन विधि द्वारा अधिकांश सामान्य निस्पंदन प्रकारों का निर्माण किया जा सकता है।

सक्रिय और डिजिटल प्राप्तियां
यदि मात्र निष्क्रिय अवयवों के उपयोग की आवश्यकता को हटा दिया जाए, तो बोध को बहुत सरल किया जा सकता है। प्रवर्धकों का उपयोग बफर प्रवर्धक नेटवर्क के भागों को दूसरे से बफर करने के लिए किया जा सकता है ताकि वे अन्तःक्रिया न करें। इस प्रकार से प्रत्येक बफ़र्ड सेल तर्कसंगत फलन के ध्रुवों के युग्म को प्रत्यक्षतः समझा जा सकता है। तब फलन के किसी भी प्रकार के पुनरावृत्त विस्तार की आवश्यकता नहीं होती है। इस प्रकार के संश्लेषण का प्रथम उदाहरण 1930 में स्टीफन बटरवर्थ के कारण है। उनके द्वारा उत्पादित बटरवर्थ निस्पंदन निस्पंदन डिज़ाइन का उत्कृष्ट बन गया, परन्तु सक्रिय घटकों के अतिरिक्त विशुद्ध रूप से निष्क्रिय के साथ अधिक बार लागू किया गया था। इस प्रकार के अधिक सामान्यतः लागू होने वाले डिजाइनों में एमआईटी लिंकन प्रयोगशाला में 1955 में आर. पी. सैलेन और ई. एल. की के कारण सैलेन-की साँस्थिति और द्विवर्गीय निस्पंदन सम्मिलित हैं। इस प्रकार से डार्लिंगटन दृष्टिकोण के जैसे, बटरवर्थ और सैलेन-की प्रतिबाधा के अतिरिक्त निर्धारित स्थानांतरण फलन से प्रारम्भ होता है। सक्रिय कार्यान्वयन का प्रमुख व्यावहारिक लाभ यह है कि यह कुंडलित घटकों (ट्रांसफार्मर और प्रेरक) के उपयोग से पूर्ण रूप से बच सकता है। ये निर्माण कारणों से अवांछनीय हैं। सक्रिय डिजाइनों की अन्य विशेषता यह है कि वे पीआरएफ तक सीमित नहीं हैं। इस प्रकार से डिजिटल प्राप्ति, जैसे सक्रिय परिपथ, पीआरएफ तक सीमित नहीं हैं और किसी भी तर्कसंगत फलन को मात्र प्रोग्रामन करके कार्यान्वित कर सकते हैं। यद्यपि, फलन स्थिर नहीं हो सकता है। अर्थात, यह इलेक्ट्रॉनिक दोलन का कारण बन सकता है। अतः पीआरएफ के स्थिर होने की गारंटी है, परन्तु अन्य फलन नहीं हो सकते हैं। परिमेय फलन की स्थिरता का निर्धारण फलन के ध्रुवों और शून्यों की जांच करके और नाइक्विस्ट स्थिरता मापदण्ड को लागू करके किया जा सकता है।

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