माध्य-क्षेत्र सिद्धांत

भौतिकी और संभाव्यता सिद्धांत में, मीन-फील्ड सिद्धांत (एमएफटी) या स्व-सुसंगत क्षेत्र सिद्धांत एक सरल मॉडल का अध्ययन करके उच्च-आयामी यादृच्छिक (स्टोकेस्टिक) मॉडल के व्यवहार का अध्ययन करता है जो स्वतंत्रता की डिग्री (सांख्यिकी) पर औसत से मूल का अनुमान लगाता है ( एक आंकड़े की अंतिम गणना में मूल्यों की संख्या जो भिन्न होने के लिए स्वतंत्र हैं)। ऐसे मॉडल कई अलग-अलग घटकों पर विचार करते हैं जो एक दूसरे के साथ बातचीत करते हैं।

एमएफटी का मुख्य विचार सभी विक्षनरी: इंटरैक्शन को बदलना है औसत या प्रभावी अंतःक्रिया वाले किसी एक पिंड के लिए, जिसे कभी-कभी आणविक क्षेत्र कहा जाता है। यह किसी भी कई-शरीर की समस्या को एक प्रभावी एक-शरीर की समस्या में कम कर देता है | एक-शरीर की समस्या। एमएफटी समस्याओं को हल करने में आसानी का मतलब है कि सिस्टम के व्यवहार में कुछ अंतर्दृष्टि कम कम्प्यूटेशनल लागत पर प्राप्त की जा सकती है।

तब से MFT को भौतिकी के बाहर के क्षेत्रों की एक विस्तृत श्रृंखला में लागू किया गया है, जिसमें सांख्यिकीय अनुमान, ग्राफिकल मॉडल, तंत्रिका विज्ञान, कृत्रिम बुद्धिमत्ता, महामारी मॉडल, कतार सिद्धांत, नेटवर्क प्रदर्शन | कंप्यूटर-नेटवर्क प्रदर्शन और औसत क्षेत्र खेल सिद्धांत, जैसा कि मात्रात्मक प्रतिक्रिया संतुलन में है.

उत्पत्ति
पियरे क्यूरी के काम में पहली बार विचार भौतिकी (सांख्यिकीय यांत्रिकी) में दिखाई दिया और पियरे वीस चरण संक्रमण का वर्णन करने के लिए। ब्रैग-विलियम्स सन्निकटन में एमएफटी का उपयोग किया गया है, बेथे जाली पर मॉडल, लैंडौ सिद्धांत, पियरे-वीस सन्निकटन, फ्लोरी-हगिंस समाधान सिद्धांत, और शेटजेंस-फ्लेयर सिद्धांत।

स्वतंत्रता की कई (कभी-कभी अनंत) डिग्री के साथ कई-निकाय प्रणाली आम तौर पर कुछ सरल मामलों (जैसे कुछ गॉसियन यादृच्छिक-क्षेत्र सिद्धांत, 1डी आइसिंग मॉडल) को छोड़कर, सटीक रूप से हल करने या बंद, विश्लेषणात्मक रूप में गणना करने के लिए कठिन होती है। अक्सर संयोजी समस्याएं उत्पन्न होती हैं जो सिस्टम के विभाजन फ़ंक्शन (गणित) की गणना करने जैसी चीजों को कठिन बनाती हैं। एमएफटी एक सन्निकटन विधि है जो अक्सर मूल को हल करने योग्य और गणना के लिए खुला बनाती है, और कुछ मामलों में एमएफटी बहुत सटीक सन्निकटन दे सकता है।

शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत में, क्षेत्र के माध्यम के आसपास उतार-चढ़ाव के परिमाण के संदर्भ में हैमिल्टनियन का विस्तार किया जा सकता है। इस संदर्भ में, एमएफटी को उतार-चढ़ाव में हैमिल्टनियन के शून्य-क्रम विस्तार के रूप में देखा जा सकता है। शारीरिक रूप से, इसका मतलब है कि एक एमएफटी प्रणाली में कोई उतार-चढ़ाव नहीं है, लेकिन यह इस विचार के साथ मेल खाता है कि एक माध्य क्षेत्र के साथ सभी इंटरैक्शन को बदल रहा है।

अक्सर, एमएफटी उच्च-क्रम के उतार-चढ़ाव का अध्ययन करने के लिए एक सुविधाजनक लॉन्च बिंदु प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, विभाजन फ़ंक्शन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) की गणना करते समय, हैमिल्टनियन यांत्रिकी में अंतःक्रिया शर्तों के संयोजन का अध्ययन करना कभी-कभी सबसे अच्छा गड़बड़ी सिद्धांत  परिणाम या फेनमैन आरेख उत्पन्न कर सकता है जो माध्य-क्षेत्र सन्निकटन को सही करता है।

वैधता
सामान्य तौर पर, आयामीता यह निर्धारित करने में एक सक्रिय भूमिका निभाती है कि क्या माध्य-क्षेत्र दृष्टिकोण किसी विशेष समस्या के लिए काम करेगा या नहीं। कभी-कभी एक महत्वपूर्ण आयाम होता है जिसके ऊपर MFT मान्य होता है और जिसके नीचे नहीं होता है।

हेरिस्टिक रूप से, कई इंटरैक्शन एमएफटी में एक प्रभावी इंटरैक्शन द्वारा प्रतिस्थापित किए जाते हैं। इसलिए यदि क्षेत्र या कण मूल प्रणाली में कई यादृच्छिक इंटरैक्शन प्रदर्शित करता है, तो वे एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं, इसलिए औसत प्रभावी बातचीत और एमएफटी अधिक सटीक होंगे। यह उच्च आयामीता के मामलों में सच है, जब हैमिल्टनियन में लंबी दूरी की ताकतें शामिल होती हैं, या जब कण विस्तारित होते हैं (जैसे पॉलीमर )। गिन्ज़बर्ग कसौटी औपचारिक अभिव्यक्ति है कि कैसे थर्मल उतार-चढ़ाव एमएफटी को एक खराब सन्निकटन प्रदान करते हैं, जो अक्सर ब्याज की प्रणाली में स्थानिक आयामों की संख्या पर निर्भर करता है।

औपचारिक दृष्टिकोण (हैमिल्टनियन)
माध्य-क्षेत्र सिद्धांत का औपचारिक आधार हेल्महोल्ट्ज़ मुक्त ऊर्जा#बोगोलीबॉव असमानता है। यह असमानता बताती है कि हैमिल्टन के साथ एक प्रणाली की थर्मोडायनामिक मुक्त ऊर्जा


 * $$\mathcal{H} = \mathcal{H}_0 + \Delta \mathcal{H}$$

निम्नलिखित ऊपरी सीमा है:


 * $$F \leq F_0 \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \langle \mathcal{H}_0 \rangle - T S_0,$$

कहाँ $$S_0$$ एन्ट्रापी है, और $$F$$ और $$F_0$$ हेल्महोल्ट्ज़ मुक्त ऊर्जा हैं। हैमिल्टनियन के साथ संदर्भ प्रणाली के संतुलन सांख्यिकीय पहनावा (गणितीय भौतिकी) पर औसत लिया जाता है $$\mathcal{H}_0$$. विशेष मामले में हैमिल्टनियन का संदर्भ एक गैर-अंतःक्रियात्मक प्रणाली का है और इस प्रकार इसे लिखा जा सकता है


 * $$\mathcal{H}_0 = \sum_{i=1}^N h_i(\xi_i),$$

कहाँ $$\xi_i$$ हमारी सांख्यिकीय प्रणाली के व्यक्तिगत घटकों (परमाणु, स्पिन और आगे) की स्वतंत्रता (भौतिकी और रसायन विज्ञान) की डिग्री हैं, कोई असमानता के दाहिने पक्ष को कम करके ऊपरी सीमा को तेज करने पर विचार कर सकता है। न्यूनतम संदर्भ प्रणाली तब स्वतंत्रता की गैर-सहसंबद्ध डिग्री का उपयोग करके सच्ची प्रणाली का सबसे अच्छा सन्निकटन है और इसे माध्य क्षेत्र सन्निकटन के रूप में जाना जाता है।

सबसे आम मामले के लिए कि हैमिल्टन के लक्ष्य में केवल जोड़ीदार अंतःक्रियाएँ होती हैं, अर्थात,


 * $$\mathcal{H} = \sum_{(i,j) \in \mathcal{P}} V_{i,j}(\xi_i, \xi_j),$$

कहाँ $$\mathcal{P}$$ बातचीत करने वाले जोड़े का सेट है, कम करने की प्रक्रिया औपचारिक रूप से की जा सकती है। परिभाषित करना $$\operatorname{Tr}_i f(\xi_i)$$ अवलोकनीय के सामान्यीकृत योग के रूप में $$f$$ एकल घटक की स्वतंत्रता की डिग्री पर (असतत चर के लिए योग, निरंतर वाले के लिए अभिन्न)। अनुमानित मुक्त ऊर्जा द्वारा दिया जाता है
 * $$\begin{align}

F_0 &= \operatorname{Tr}_{1,2,\ldots,N} \mathcal{H}(\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_N) P^{(N)}_0(\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_N) \\ &+ kT \,\operatorname{Tr}_{1,2,\ldots,N} P^{(N)}_0(\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_N) \log P^{(N)}_0(\xi_1, \xi_2, \ldots,\xi_N), \end{align}$$ कहाँ $$P^{(N)}_0(\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_N)$$ चर द्वारा निर्दिष्ट राज्य में संदर्भ प्रणाली को खोजने की संभावना है $$(\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_N)$$. यह प्रायिकता सामान्यीकृत Boltzmann कारक द्वारा दी गई है
 * $$\begin{align}

P^{(N)}_0(\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_N) &= \frac{1}{Z^{(N)}_0} e^{-\beta \mathcal{H}_0(\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_N)} \\ &= \prod_{i=1}^N \frac{1}{Z_0} e^{-\beta h_i(\xi_i)} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \prod_{i=1}^N P^{(i)}_0(\xi_i), \end{align}$$ कहाँ $$Z_0$$ विभाजन कार्य (सांख्यिकीय यांत्रिकी) है। इस प्रकार
 * $$\begin{align}

F_0 &= \sum_{(i,j) \in \mathcal{P}} \operatorname{Tr}_{i,j} V_{i,j}(\xi_i, \xi_j) P^{(i)}_0(\xi_i) P^{(j)}_0(\xi_j) \\ &+ kT \sum_{i=1}^N \operatorname{Tr}_i P^{(i)}_0(\xi_i) \log P^{(i)}_0(\xi_i). \end{align}$$ कम से कम करने के लिए, हम एकल-डिग्री-ऑफ-फ्रीडम संभावनाओं के संबंध में व्युत्पन्न लेते हैं $$P^{(i)}_0$$ उचित सामान्यीकरण सुनिश्चित करने के लिए लैग्रेंज गुणक का उपयोग करना। अंतिम परिणाम स्व-संगति समीकरणों का सेट है
 * $$P^{(i)}_0(\xi_i) = \frac{1}{Z_0} e^{-\beta h_i^{MF}(\xi_i)},\quad i = 1, 2, \ldots, N,$$

जहां माध्य क्षेत्र द्वारा दिया गया है
 * $$h_i^\text{MF}(\xi_i) = \sum_{\{j \mid (i,j) \in \mathcal{P}\}} \operatorname{Tr}_j V_{i,j}(\xi_i, \xi_j) P^{(j)}_0(\xi_j).$$

अनुप्रयोग
माध्य क्षेत्र सिद्धांत को कई भौतिक प्रणालियों पर लागू किया जा सकता है ताकि चरण संक्रमण जैसी घटनाओं का अध्ययन किया जा सके।

औपचारिक व्युत्पत्ति
ऊपर दिखाई गई बोगोलीबॉव असमानता का उपयोग द्वि-आयामी आइसिंग जाली के माध्य क्षेत्र मॉडल की गतिशीलता को खोजने के लिए किया जा सकता है। परिणामी अनुमानित हेल्महोल्ट्ज मुक्त ऊर्जा से एक चुंबकीयकरण समारोह की गणना की जा सकती है। पहला कदम सही हेमिल्टनियन का एक अधिक सुगम सन्निकटन चुनना है। एक गैर-बातचीत या प्रभावी फ़ील्ड हैमिल्टनियन का उपयोग करना,


 * $$ -m \sum_i s_i $$,

परिवर्तनशील मुक्त ऊर्जा है


 * $$ F_V = F_0 + \left \langle \left( -J \sum s_i s_j - h \sum s_i \right) - \left(-m\sum s_i\right) \right \rangle_0. $$

Bogoliubov असमानता द्वारा, इस मात्रा को सरल बनाना और चुंबकीयकरण समारोह की गणना करना कि गणितीय अनुकूलन भिन्नता मुक्त ऊर्जा वास्तविक चुंबकत्व के लिए सबसे अच्छा सन्निकटन पैदा करती है। न्यूनतम है
 * $$ m = J\sum\langle s_j \rangle_0 + h, $$

जो स्पिन का पहनावा औसत (सांख्यिकीय यांत्रिकी) है। यह करने के लिए सरल करता है
 * $$ m = \text{tanh}(zJ\beta m) + h. $$

सभी स्पिनों द्वारा महसूस किए गए प्रभावी क्षेत्र को औसत स्पिन मान के बराबर करना, उतार-चढ़ाव के दमन के लिए परिवर्तनशील दृष्टिकोण से संबंधित है। मैग्नेटिसेशन फ़ंक्शन की भौतिक व्याख्या तब अलग-अलग स्पिन के लिए माध्य मानों का एक क्षेत्र है।

गैर-अंतःक्रियात्मक स्पिन सन्निकटन
एक पर आइसिंग मॉडल पर विचार करें $$d$$-आयामी जाली। हैमिल्टनियन द्वारा दिया गया है
 * $$H = -J \sum_{\langle i, j \rangle} s_i s_j - h \sum_i s_i,$$

जहां $$\sum_{\langle i, j \rangle}$$ निकटतम पड़ोसियों की जोड़ी पर योग इंगित करता है $$\langle i, j \rangle$$, और $$s_i, s_j = \pm 1$$ पड़ोसी ईज़िंग स्पिन हैं।

आइए हम अपने स्पिन चर को उसके माध्य मान से उतार-चढ़ाव का परिचय देकर रूपांतरित करें $$m_i \equiv \langle s_i \rangle$$. हम हैमिल्टनियन को इस रूप में फिर से लिख सकते हैं
 * $$H = -J \sum_{\langle i, j \rangle} (m_i + \delta s_i) (m_j + \delta s_j) - h \sum_i s_i,$$

जहां हम परिभाषित करते हैं $$\delta s_i \equiv s_i - m_i$$; यह स्पिन का उतार-चढ़ाव है।

यदि हम दाईं ओर विस्तार करते हैं, तो हमें एक शब्द मिलता है जो पूरी तरह से स्पिन के औसत मूल्यों पर निर्भर करता है और स्पिन कॉन्फ़िगरेशन से स्वतंत्र होता है। यह तुच्छ शब्द है, जो सिस्टम के सांख्यिकीय गुणों को प्रभावित नहीं करता है। अगला शब्द स्पिन के औसत मूल्य और उतार-चढ़ाव मूल्य के उत्पाद को शामिल करने वाला है। अंत में, अंतिम शब्द में दो उतार-चढ़ाव मूल्यों का उत्पाद शामिल होता है।

माध्य क्षेत्र सन्निकटन में इस दूसरे क्रम के उतार-चढ़ाव की अवधि की उपेक्षा करना शामिल है:
 * $$H \approx H^\text{MF} \equiv -J \sum_{\langle i, j \rangle} (m_i m_j + m_i \delta s_j + m_j \delta s_i) - h \sum_i s_i.$$

इन उतार-चढ़ावों को कम आयामों पर बढ़ाया जाता है, जिससे एमएफटी उच्च आयामों के लिए बेहतर सन्निकटन बन जाता है।

फिर से, सारांश को फिर से विस्तारित किया जा सकता है। इसके अलावा, हम उम्मीद करते हैं कि प्रत्येक स्पिन का माध्य मान साइट-स्वतंत्र है, क्योंकि ईज़िंग श्रृंखला पारभासी रूप से अपरिवर्तनीय है। यह प्रदान करता है


 * $$H^\text{MF} = -J \sum_{\langle i, j \rangle} \big(m^2 + 2m(s_i - m)\big) - h \sum_i s_i.$$

पड़ोसी स्पिनों पर योग को फिर से लिखा जा सकता है $$\sum_{\langle i, j \rangle} = \frac{1}{2} \sum_i \sum_{j \in nn(i)}$$, कहाँ $$nn(i)$$ का मतलब निकटतम पड़ोसी $$i$$, और यह $$1/2$$ प्रीफैक्टर डबल काउंटिंग से बचता है, क्योंकि प्रत्येक बॉन्ड दो स्पिन में भाग लेता है। सरलीकरण अंतिम अभिव्यक्ति की ओर ले जाता है


 * $$H^\text{MF} = \frac{J m^2 N z}{2} - \underbrace{(h + m J z)}_{h^\text{eff.}} \sum_i s_i,$$

कहाँ $$z$$ समन्वय संख्या है। इस बिंदु पर, इस्सिंग हैमिल्टनियन को एक प्रभावी माध्य क्षेत्र के साथ एक-निकाय हैमिल्टनियन के योग में अलग कर दिया गया है $$h^\text{eff.} = h + J z m$$, जो बाहरी क्षेत्र का योग है $$h$$ और पड़ोसी स्पिन द्वारा प्रेरित माध्य क्षेत्र का। यह ध्यान देने योग्य है कि यह औसत क्षेत्र सीधे निकटतम पड़ोसियों की संख्या पर निर्भर करता है और इस प्रकार सिस्टम के आयाम पर निर्भर करता है (उदाहरण के लिए, आयाम के हाइपरक्यूबिक जाली के लिए $$d$$, $$z = 2 d$$).

इस हैमिल्टनियन को विभाजन समारोह में प्रतिस्थापित करना और प्रभावी 1D समस्या को हल करना, हम प्राप्त करते हैं


 * $$ Z = e^{-\frac{\beta J m^2 Nz}{2}} \left[2 \cosh\left(\frac{h + m J z}{k_\text{B} T}\right)\right]^N,$$

कहाँ $$N$$ जाली साइटों की संख्या है। यह सिस्टम के विभाजन कार्य के लिए एक बंद और सटीक अभिव्यक्ति है। हम सिस्टम की मुक्त ऊर्जा प्राप्त कर सकते हैं और महत्वपूर्ण घातांक की गणना कर सकते हैं। विशेष रूप से, हम चुंबकत्व प्राप्त कर सकते हैं $$m$$ के एक समारोह के रूप में $$h^\text{eff.}$$.

इस प्रकार हमारे बीच दो समीकरण हैं $$m$$ और $$h^\text{eff.}$$, हमें निर्धारित करने की अनुमति देता है $$m$$ तापमान के एक समारोह के रूप में। यह निम्नलिखित अवलोकन की ओर जाता है:
 * एक निश्चित मान से अधिक तापमान के लिए $$T_\text{c}$$, एक मात्र उपाय है $$m = 0$$. सिस्टम पैरामैग्नेटिक है।
 * के लिए $$T < T_\text{c}$$, दो गैर-शून्य समाधान हैं: $$m = \pm m_0$$. सिस्टम फेरोमैग्नेटिक है।

$$T_\text{c}$$ निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया गया है: $$T_\text{c} = \frac{J z}{k_B}$$.

इससे पता चलता है कि एमएफटी फेरोमैग्नेटिक फेज ट्रांजिशन के लिए जिम्मेदार हो सकता है।

अन्य प्रणालियों के लिए आवेदन
इसी प्रकार, निम्नलिखित मामलों में एमएफटी को अन्य प्रकार के हैमिल्टनियन पर लागू किया जा सकता है: माध्य क्षेत्र सिद्धांत की तरह भिन्न रूप से न्यूनीकरण का उपयोग वैरिएशनल बायेसियन विधियों | सांख्यिकीय अनुमान में भी किया जा सकता है।
 * धातु-अतिचालक संक्रमण का अध्ययन करना। इस मामले में, चुंबकीयकरण का एनालॉग सुपरकंडक्टर गैप है $$\Delta$$.
 * एक तरल स्फ़टिक  का आणविक क्षेत्र जो निदेशक क्षेत्र के लाप्लासियन गैर-शून्य होने पर उभरता है।
 * प्रोटीन संरचना भविष्यवाणी में एक निश्चित तृतीयक संरचना दी गई इष्टतम एमिनो एसिड  पक्ष श्रृंखला पैकिंग का निर्धारण करने के लिए (स्व-संगत माध्य क्षेत्र (जीव विज्ञान) देखें)।
 * एक मिश्रित सामग्री की लोच (भौतिकी) निर्धारित करने के लिए।

समय-निर्भर माध्य क्षेत्रों का विस्तार
माध्य क्षेत्र सिद्धांत में, एकल-स्थल समस्या में दिखाई देने वाला माध्य क्षेत्र समय-स्वतंत्र अदिश या सदिश मात्रा है। हालांकि, यह हमेशा मामला नहीं होता है: गतिशील औसत क्षेत्र सिद्धांत (डीएमएफटी) नामक औसत क्षेत्र सिद्धांत के एक प्रकार में, औसत क्षेत्र समय-निर्भर मात्रा बन जाता है। उदाहरण के लिए, धातु-मोट-इन्सुलेटर संक्रमण का अध्ययन करने के लिए डीएमएफटी को हबर्ड मॉडल पर लागू किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * गतिशील माध्य क्षेत्र सिद्धांत
 * मीन फील्ड गेम थ्योरी
 * सामान्यीकृत महामारी माध्य क्षेत्र मॉडल