कनेक्शन प्रपत्र

गणित में, और विशेष रूप से अंतर ज्यामिति में, एक कनेक्शन फॉर्म एक कनेक्शन (गणित) के डेटा को व्यवस्थित करने का एक विधि ा है जो चलती फ्रेम और अंतर रूपों की भाषा का उपयोग करता है।

ऐतिहासिक रूप से, एली कार्टन द्वारा 20 वीं शताब्दी के पहले छमाही में कनेक्शन रूपों को प्रस्तुत किया गया था, और फ्रेम को स्थानांतरित करने की उनकी पद्धति के लिए प्रमुख प्रेरणाओं में से एक था। कनेक्शन प्रपत्र  सामान्यतः  फ्रेम बंडल की पसंद पर निर्भर करता है, और इसलिए यह एक तन्य वस्तु नहीं है। कार्टन के प्रारंभिक  काम के बाद कनेक्शन फॉर्म के विभिन्न सामान्यीकरण और पुनर्व्याख्या तैयार की गई थी। विशेष रूप से, एक प्रिंसिपल बंडल पर, एक  कनेक्शन ([[प्रमुख बंडल) ]] एक तन्य वस्तु के रूप में कनेक्शन फॉर्म की एक प्राकृतिक पुनर्व्याख्या है। दूसरी ओर, कनेक्शन फॉर्म का यह फायदा है कि यह अलग-अलग मैनिफोल्ड पर परिभाषित एक अंतर रूप है, बजाय इसके ऊपर एक अमूर्त प्रिंसिपल बंडल पर। इसलिए, उनकी तन्यता की कमी के बावजूद, उनके साथ गणना करने में अपेक्षाकृत आसानी के कारण कनेक्शन फॉर्म का उपयोग जारी है। भौतिकी में, गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न के माध्यम से, गेज सिद्धांत के संदर्भ में कनेक्शन रूपों का भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

एक कनेक्शन प्रपत्र एक सदिश बंडल के सदिश स्थान के प्रत्येक आधार से भिन्न रूपों के एक मैट्रिक्स (गणित) को जोड़ता है। कनेक्शन फॉर्म टेन्सोरियल नहीं है क्योंकि आधार के परिवर्तन के अनुसार, कनेक्शन फॉर्म इस तरह से बदल जाता है जिसमें एटलस (टोपोलॉजी) #ट्रांज़िशन मैप्स के बाहरी डेरिवेटिव सम्मलित होते हैं, वैसे ही जैसे लेवी-Civita कनेक्शन के लिए क्रिस्टोफेल प्रतीक. कनेक्शन फॉर्म का मुख्य टेन्सोरियल इनवेरिएंट इसका वक्रता रूप है। स्पर्शरेखा बंडल के साथ वेक्टर बंडल की पहचान करने वाले सोल्डर फॉर्म की उपस्थिति में, एक अतिरिक्त अपरिवर्तनीय है: मरोड़ (अंतर ज्यामिति)। कई स्थितियों में, अतिरिक्त संरचना वाले वेक्टर बंडलों पर कनेक्शन प्रपत्रों पर विचार किया जाता है: एक लाइ समूह के साथ एक फाइबर बंडल का।

वेक्टर बंडल पर फ्रेम
बता दें कि ई एक अलग-अलग कई गुना एम पर फाइबर आयाम k का एक वेक्टर बंडल है। ई के लिए एक 'स्थानीय फ्रेम' ई के खंड (फाइबर बंडल) के वेक्टर स्थान का एक आदेशित आधार है। स्थानीय फ्रेम का निर्माण करना हमेशा संभव होता है, सदिश बंडलों को हमेशा स्थानीय तुच्छता के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है, कई गुना के एटलस (टोपोलॉजी) के अनुरूप। यही है, बेस मैनिफोल्ड एम पर कोई बिंदु एक्स दिया गया है, वहां एक खुला पड़ोस यू ⊂ एम एक्स उपस्थित है जिसके लिए यू पर वेक्टर बंडल अंतरिक्ष यू × आर के लिए आइसोमोर्फिक हैk: यह स्थानीय तुच्छीकरण है। आर पर वेक्टर अंतरिक्ष संरचनाk इस प्रकार संपूर्ण स्थानीय तुच्छीकरण तक बढ़ाया जा सकता है, और R के आधार परk को बढ़ाया भी जा सकता है; यह स्थानीय फ्रेम को परिभाषित करता है। (यहाँ, R का आशय वास्तविक संख्याओं से है $$\mathbb{R}$$, चूंकि  यहां अधिकांश विकास सामान्य रूप से छल्ले पर मॉड्यूल और जटिल संख्याओं पर वेक्टर रिक्त स्थान तक बढ़ाया जा सकता है $$\mathbb{C}$$ विशेष रूप से।)

चलो ई = (ईα)undefined ई पर एक स्थानीय फ्रेम हो। इस फ्रेम का उपयोग स्थानीय रूप से ई के किसी भी खंड को व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि ξ एक स्थानीय खंड है, जिसे उसी खुले सेट पर फ्रेम 'ई' के रूप में परिभाषित किया गया है। तब
 * $$\xi = \sum_{\alpha=1}^k e_\alpha \xi^\alpha(\mathbf e)$$

जहां ξα(e) फ्रेम e में ξ के घटकों को दर्शाता है। मैट्रिक्स समीकरण के रूप में, यह पढ़ता है
 * $$\xi = {\mathbf e}

\begin{bmatrix} \xi^1(\mathbf e)\\ \xi^2(\mathbf e)\\ \vdots\\ \xi^k(\mathbf e) \end{bmatrix}= {\mathbf e}\, \xi(\mathbf e) $$ सामान्य सापेक्षता में, ऐसे फ्रेम क्षेत्रों को टेट्राद औपचारिकता कहा जाता है। टेट्रैड विशेष रूप से स्थानीय फ्रेम को बेस मैनिफोल्ड एम (एम पर समन्वय प्रणाली एटलस द्वारा स्थापित किया जा रहा है) पर एक स्पष्ट समन्वय प्रणाली से संबंधित है।

बाहरी कनेक्शन
ई में एक कनेक्शन (वेक्टर बंडल) एक प्रकार का अंतर ऑपरेटर है
 * $$D : \Gamma(E) \rightarrow \Gamma(E\otimes\Omega^1M)$$

जहां Γ वेक्टर बंडल के स्थानीय खंड (फाइबर बंडल) के शीफ (गणित) को दर्शाता है, और Ω1M, M पर डिफरेंशियल 1-फॉर्म्स का बंडल है। D के लिए एक कनेक्शन होने के लिए, इसे बाहरी डेरिवेटिव के साथ सही ढंग से जोड़ा जाना चाहिए। विशेष रूप से, यदि v E का एक स्थानीय खंड है, और f एक सहज कार्य है, तो
 * $$D(fv) = v\otimes (df) + fDv$$

जहाँ df, f का बाह्य व्युत्पन्न है।

कभी-कभी डी की परिभाषा को मनमाने ढंग से वेक्टर-वैल्यू डिफरेंशियल फॉर्म | ई-वैल्यूड फॉर्म में विस्तारित करना सुविधाजनक होता है, इस प्रकार इसे ई के टेंसर उत्पाद पर डिफरेंशियल फॉर्म के पूर्ण बाहरी बीजगणित के साथ एक डिफरेंशियल ऑपरेटर के रूप में माना जाता है। इस संगतता संपत्ति को संतुष्ट करने वाले बाहरी कनेक्शन डी को देखते हुए, डी का एक अनूठा विस्तार उपस्थित है:
 * $$D : \Gamma(E\otimes\Omega^*M) \rightarrow \Gamma(E\otimes\Omega^*M)$$

ऐसा है कि
 * $$ D(v\wedge\alpha) = (Dv)\wedge\alpha + (-1)^{\text{deg}\, v}v\wedge d\alpha$$

जहाँ v डिग्री deg v का सजातीय है। दूसरे शब्दों में, D ग्रेडेड मॉड्यूल के शीफ पर एक व्युत्पत्ति (सार बीजगणित) है Γ(E ⊗ Ω*म).

कनेक्शन प्रपत्र
कनेक्शन फॉर्म तब उत्पन्न होता है जब बाहरी कनेक्शन को किसी विशेष फ्रेम में लागू किया जाता है। ई के बाहरी कनेक्शन को लागू करने परα, यह अद्वितीय k × k मैट्रिक्स (ωαβ) M पर एक-रूप का ऐसा है कि
 * $$D e_\alpha = \sum_{\beta=1}^k e_\beta\otimes\omega^\beta_\alpha.$$

कनेक्शन फॉर्म के संदर्भ में, ई के किसी भी खंड के बाहरी कनेक्शन को अब व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि ξ = Σα eαξα. तब
 * $$D\xi = \sum_{\alpha=1}^k D(e_\alpha\xi^\alpha(\mathbf e)) = \sum_{\alpha=1}^k e_\alpha\otimes d\xi^\alpha(\mathbf e) + \sum_{\alpha=1}^k\sum_{\beta=1}^k e_\beta\otimes\omega^\beta_\alpha \xi^\alpha(\mathbf e).$$

दोनों पक्षों पर घटकों को लेना,
 * $$D\xi(\mathbf e) = d\xi(\mathbf e)+\omega \xi(\mathbf e) = (d+\omega)\xi(\mathbf e)$$

जहां यह समझा जाता है कि डी और ω फ्रेम 'ई' के संबंध में घटक-वार डेरिवेटिव का संदर्भ देते हैं, और क्रमशः 1-रूपों का मैट्रिक्स, ξ के घटकों पर कार्य करते हैं। इसके विपरीत, 1-फॉर्म ω का एक मैट्रिक्स खुले सेट पर स्थानीय रूप से कनेक्शन को पूरी तरह से निर्धारित करने के लिए पर्याप्त प्राथमिकता है, जिस पर खंड 'ई' का आधार परिभाषित किया गया है।

फ्रेम का परिवर्तन
एक उपयुक्त वैश्विक वस्तु के लिए ω का विस्तार करने के लिए, यह जांचना आवश्यक है कि जब ई के बुनियादी वर्गों का एक अलग विकल्प चुना जाता है तो यह कैसा व्यवहार करता है। ω लिखोαβ = ωα β('e') 'ई' के विकल्प पर निर्भरता को इंगित करने के लिए।

मान लीजिए कि 'ई' स्थानीय आधार का एक अलग विकल्प है। फिर फ़ंक्शन g का एक व्युत्क्रमणीय k × k मैट्रिक्स होता है जैसे कि
 * $${\mathbf e}' = {\mathbf e}\, g,\quad \text{i.e., }\,e'_\alpha = \sum_\beta e_\beta g^\beta_\alpha.$$

दोनों पक्षों के बाहरी कनेक्शन को लागू करने से ω के लिए परिवर्तन कानून मिलता है:
 * $$\omega(\mathbf e\, g) = g^{-1}dg+g^{-1}\omega(\mathbf e)g.$$

विशेष रूप से ध्यान दें कि ω एक तन्य विधि े से बदलने में विफल रहता है, क्योंकि एक फ्रेम से दूसरे फ्रेम में जाने के नियम में संक्रमण मैट्रिक्स जी के डेरिवेटिव सम्मलित होते हैं।

वैश्विक कनेक्शन प्रपत्र
यदि तुमp} M का एक खुला आवरण है, और प्रत्येक Up एक तुच्छीकरण ई से लैस हैp ई के, तो ओवरलैप क्षेत्रों पर स्थानीय कनेक्शन रूपों के बीच पैचिंग डेटा के संदर्भ में वैश्विक कनेक्शन फॉर्म को परिभाषित करना संभव है। विस्तार से, M पर एक 'कनेक्शन फॉर्म' मैट्रिक्स ω('e') की एक प्रणाली हैp) प्रत्येक यू पर परिभाषित 1-फॉर्मp जो निम्नलिखित अनुकूलता शर्त को पूरा करते हैं
 * $$\omega(\mathbf e_q) = (\mathbf e_p^{-1}\mathbf e_q)^{-1}d(\mathbf e_p^{-1}\mathbf e_q)+(\mathbf e_p^{-1}\mathbf e_q)^{-1}\omega(\mathbf e_p)(\mathbf e_p^{-1}\mathbf e_q).$$

यह संगतता स्थिति विशेष रूप से सुनिश्चित करती है कि E के एक खंड का बाहरी कनेक्शन, जब सार रूप से E ⊗ Ω के एक खंड के रूप में माना जाता है1एम, कनेक्शन को परिभाषित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले आधार अनुभाग की पसंद पर निर्भर नहीं करता है।

वक्रता
ई में एक कनेक्शन फार्म के वक्रता दो रूप द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$\Omega(\mathbf e) = d\omega(\mathbf e) + \omega(\mathbf e)\wedge\omega(\mathbf e).$$

कनेक्शन फॉर्म के विपरीत, वक्रता फ्रेम के परिवर्तन के अनुसार अस्थायी रूप से व्यवहार करती है, जिसे पॉइनकेयर लेम्मा का उपयोग करके सीधे चेक किया जा सकता है। विशेष रूप से, यदि ई → ई जी फ्रेम का परिवर्तन है, तो वक्रता दो-रूप से बदल जाती है
 * $$\Omega(\mathbf e\, g) = g^{-1}\Omega(\mathbf e)g.$$

इस परिवर्तन नियम की एक व्याख्या इस प्रकार है। चलो ई* फ्रेम ई के अनुरूप दोहरा आधार हो। फिर 2-रूप
 * $$\Omega={\mathbf e}\Omega(\mathbf e){\mathbf e}^*$$

फ्रेम की पसंद से स्वतंत्र है। विशेष रूप से, Ω एंडोमोर्फिज्म रिंग होम (ई, ई) में मूल्यों के साथ एम पर एक वेक्टर-मूल्यवान दो-रूप है। प्रतीकात्मक रूप से,
 * $$\Omega\in \Gamma(\Omega^2M\otimes \text{Hom}(E,E)).$$

बाहरी कनेक्शन डी के संदर्भ में, वक्रता एंडोमोर्फिज्म द्वारा दिया जाता है
 * $$\Omega(v) = D(D v) = D^2v\, $$

v ∈ E के लिए। इस प्रकार वक्रता अनुक्रम की विफलता को मापती है
 * $$\Gamma(E)\ \stackrel{D}{\to}\ \Gamma(E\otimes\Omega^1M)\ \stackrel{D}{\to}\ \Gamma(E\otimes\Omega^2M)\ \stackrel{D}{\to}\ \dots\ \stackrel{D}{\to}\ \Gamma(E\otimes\Omega^n(M))$$

एक चेन कॉम्प्लेक्स होना (डॉ कहलमज गर्भाशय के अर्थ में)।

सोल्डरिंग और मरोड़
मान लीजिए कि E का फाइबर आयाम k कई गुना M के आयाम के बराबर है। इस स्थिति में, वेक्टर बंडल E कभी-कभी इसके कनेक्शन के अतिरिक्त  डेटा के एक अतिरिक्त टुकड़े से सुसज्जित होता है: एक सोल्डर फॉर्म। एक 'सोल्डर फॉर्म' विश्व स्तर पर परिभाषित वेक्टर-मूल्यवान रूप है | वेक्टर-वैल्यू वन-फॉर्म θ ∈ Ω1(M,E) ऐसा है कि मैपिंग
 * $$\theta_x : T_xM \rightarrow E_x$$

सभी एक्स ∈ एम के लिए एक रैखिक समरूपता है। यदि एक सोल्डर फॉर्म दिया गया है, तो कनेक्शन के 'मरोड़ (अंतर ज्यामिति)' को परिभाषित करना संभव है (बाहरी कनेक्शन के संदर्भ में)
 * $$\Theta = D\theta.\, $$

मरोड़ Θ एम पर एक ई-वैल्यू 2-फॉर्म है।

सोल्डर फॉर्म और संबंधित मरोड़ दोनों को ई के स्थानीय फ्रेम 'ई' के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है। यदि θ एक सोल्डर फॉर्म है, तो यह फ्रेम घटकों में विघटित हो जाता है
 * $$\theta = \sum_i \theta^i(\mathbf e) e_i.$$

मरोड़ के घटक तब हैं
 * $$\Theta^i(\mathbf e) = d\theta^i(\mathbf e) + \sum_j \omega_j^i(\mathbf e)\wedge \theta^j(\mathbf e).$$

वक्रता की तरह, यह दिखाया जा सकता है कि Θ फ्रेम में बदलाव के अनुसार सहप्रसरण और सदिशों के प्रतिप्रसरण के रूप में व्यवहार करता है:
 * $$\Theta^i(\mathbf e\, g)=\sum_j g_j^i \Theta^j(\mathbf e).$$

फ़्रेम-स्वतंत्र मरोड़ को फ़्रेम घटकों से भी पुनर्प्राप्त किया जा सकता है:
 * $$\Theta = \sum_i e_i \Theta^i(\mathbf e).$$

बियांची पहचान
बियांची की पहचान मरोड़ को वक्रता से संबंधित करती है। पहली बियांची पहचान बताती है कि


 * $$D\Theta=\Omega\wedge\theta$$

जबकि दूसरी बियांची पहचान बताती है कि


 * $$\, D \Omega = 0.$$

उदाहरण: लेवी-सिविता कनेक्शन
एक उदाहरण के रूप में, मान लीजिए कि M में रिमेंनियन मीट्रिक है। यदि किसी के पास M के ऊपर एक वेक्टर बंडल E है, तो बंडल मीट्रिक के रूप में मीट्रिक को पूरे वेक्टर बंडल तक बढ़ाया जा सकता है। कोई तब एक कनेक्शन परिभाषित कर सकता है जो इस बंडल मीट्रिक के साथ संगत है, यह मीट्रिक कनेक्शन है। ई के स्पर्शरेखा बंडल टीएम होने के विशेष स्थिति के लिए, मीट्रिक कनेक्शन को रिमानियन कनेक्शन कहा जाता है। एक रिमेंनियन कनेक्शन को देखते हुए, हमेशा एक अद्वितीय, समतुल्य कनेक्शन मिल सकता है जो मरोड़ तनाव | मरोड़-मुक्त है। यह एम के टेंगेंट बंडल टीएम पर लेवी-सिविता कनेक्शन है। स्पर्शरेखा बंडल पर एक स्थानीय फ्रेम सदिश क्षेत्रों की एक क्रमबद्ध सूची है e = (ei, कहाँ n = dim M, M के एक खुले उपसमुच्चय पर परिभाषित किया गया है जो अपने डोमेन के प्रत्येक बिंदु पर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। क्रिस्टोफेल प्रतीक लेवी-सिविता कनेक्शन को परिभाषित करते हैं
 * $$\nabla_{e_i}e_j = \sum_{k=1}^n\Gamma_{ij}^k(\mathbf e)e_k.$$

यदि θ = $\{1=θ^{i} | i = 1, 2, ..., n\}$, स्पर्शरेखा बंडल के दोहरे आधार को दर्शाता है, जैसे कि θमैं(औरj) = डी मैंj (क्रोनकर डेल्टा), तो कनेक्शन फॉर्म है
 * $$\omega_i^j(\mathbf e) = \sum_k \Gamma^j{}_{ki}(\mathbf e)\theta^k.$$

कनेक्शन फॉर्म के संदर्भ में, वेक्टर क्षेत्र पर बाहरी कनेक्शन v = Σieivi द्वारा दिया गया है
 * $$ Dv=\sum_k e_k\otimes(dv^k) + \sum_{j,k}e_k\otimes\omega^k_j(\mathbf e)v^j.$$

ई के साथ अनुबंध करके, सामान्य अर्थों में, लेवी-सिविता कनेक्शन को पुनर्प्राप्त कर सकते हैंi:
 * $$ \nabla_{e_i} v = \langle Dv, e_i\rangle = \sum_k e_k \left(\nabla_{e_i} v^k + \sum_j\Gamma^k_{ij}(\mathbf e)v^j\right)$$

वक्रता
लेवी-सिविता कनेक्शन का वक्रता 2-रूप मैट्रिक्स (Ωij) द्वारा दिया गया

\Omega_i{}^j(\mathbf e) = d\omega_i{}^j(\mathbf e)+\sum_k\omega_k{}^j(\mathbf e)\wedge\omega_i{}^k(\mathbf e). $$ सादगी के लिए, मान लीजिए कि फ्रेम ई होलोनोमिक आधार है, जिससे कि dθi = 0. फिर, अब दोहराए गए सूचकांकों पर योग परिपाटी का उपयोग करते हुए,
 * $$\begin{array}{ll}

\Omega_i{}^j &= d(\Gamma^j{}_{qi}\theta^q) + (\Gamma^j{}_{pk}\theta^p)\wedge(\Gamma^k{}_{qi}\theta^q)\\ &\\ &=\theta^p\wedge\theta^q\left(\partial_p\Gamma^j{}_{qi}+\Gamma^j{}_{pk}\Gamma^k{}_{qi})\right)\\ &\\ &=\tfrac12\theta^p\wedge\theta^q R_{pqi}{}^j \end{array} $$ जहाँ R रीमैन वक्रता टेन्सर है।

मरोड़
लेवी-सिविता कनेक्शन को शून्य मरोड़ के साथ स्पर्शरेखा बंडल में अद्वितीय मीट्रिक कनेक्शन के रूप में वर्णित किया गया है। मरोड़ का वर्णन करने के लिए, ध्यान दें कि सदिश बंडल E स्पर्शरेखा बंडल है। इसमें एक कैनोनिकल सोल्डर फॉर्म होता है (जिसे कभी-कभी विहित एक रूप कहा जाता है, विशेष रूप से मौलिक यांत्रिकी के संदर्भ में) जो कि खंड θ है Hom(TM, TM) = T∗M ⊗ TM स्पर्शरेखा रिक्त स्थान की पहचान एंडोमोर्फिज्म के अनुरूप। फ्रेम ई में, सोल्डर फॉर्म है, जहां फिर से θi दोहरा आधार है।

कनेक्शन का मरोड़ किसके द्वारा दिया जाता है Θ = Dθ, या सोल्डर फॉर्म के फ्रेम घटकों के संदर्भ में
 * $$\Theta^i(\mathbf e) = d\theta^i+\sum_j\omega^i_j(\mathbf e)\wedge\theta^j.$$

सादगी के लिए फिर से यह मानते हुए कि ई होलोनोमिक है, यह अभिव्यक्ति कम हो जाती है
 * $$\Theta^i = \Gamma^i{}_{kj} \theta^k\wedge\theta^j$$,

जो गायब हो जाता है यदि और केवल यदि  Γ मैंkj अपने निचले सूचकांकों पर सममित है।

मरोड़ के साथ एक मीट्रिक कनेक्शन दिया गया है, एक बार हमेशा एक एकल, अद्वितीय कनेक्शन मिल सकता है जो मरोड़ से मुक्त है, यह लेवी-सिविता कनेक्शन है। एक रिमेंनियन कनेक्शन और उससे जुड़े लेवी-सिविता कनेक्शन के बीच का अंतर विरूपण टेंसर है।

संरचना समूह
एक अधिक विशिष्ट प्रकार के कनेक्शन फॉर्म का निर्माण तब किया जा सकता है जब वेक्टर बंडल ई एक संबद्ध बंडल रखता है। यह ई पर फ्रेम 'ई' के एक पसंदीदा वर्ग के बराबर है, जो एक लाइ समूह जी से संबंधित हैं। उदाहरण के लिए, ई में एक मीट्रिक (वेक्टर बंडल) की उपस्थिति में, एक फ्रेम के साथ काम करता है जो प्रत्येक पर एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाता है बिंदु। संरचना समूह तब ओर्थोगोनल समूह है, क्योंकि यह समूह फ़्रेमों की ऑर्थोनॉर्मलिटी को संरक्षित करता है। अन्य उदाहरणों में सम्मलित हैं: सामान्यतः, E को फाइबर आयाम k का एक दिया गया वेक्टर बंडल और G ⊂ GL(k) 'R' के सामान्य रैखिक समूह का एक दिया गया उपसमूह है।क. यदि (ईα) ई का स्थानीय फ्रेम है, फिर एक मैट्रिक्स-मूल्यवान फ़ंक्शन (जीi j): M → G, e पर कार्य कर सकता हैα एक नया फ्रेम बनाने के लिए
 * पूर्ववर्ती खंड में विचार किए गए सामान्य फ्रेम में संरचनात्मक समूह जीएल (के) होता है जहां के ई का फाइबर आयाम होता है।
 * एक जटिल मैनिफोल्ड (या लगभग जटिल मैनिफोल्ड) का होलोमोर्फिक स्पर्शरेखा बंडल। यहाँ संरचना समूह जीएल हैn(C) ⊂ GL2n(आर)। यदि एक हर्मिटियन मीट्रिक दिया जाता है, तो संरचना समूह एकात्मक फ्रेम पर अभिनय करने वाले एकात्मक समूह को कम कर देता है। * स्पिन संरचना से सुसज्जित कई गुना पर स्पिनर। स्पिन स्पेस पर एक अपरिवर्तनीय आंतरिक उत्पाद के संबंध में फ्रेम एकात्मक हैं, और समूह स्पिन समूह को कम कर देता है।
 * सीआर कई गुना ्स पर होलोमॉर्फिक स्पर्शरेखा बंडल।
 * $$e_\alpha' = \sum_\beta e_\beta g_\alpha^\beta.$$

ऐसे दो फ्रेम जी से संबंधित हैं। अनौपचारिक रूप से, वेक्टर बंडल ई में जी-बंडल की संरचना होती है, यदि फ्रेम का पसंदीदा वर्ग निर्दिष्ट किया जाता है, जो सभी स्थानीय रूप से जी-एक दूसरे से संबंधित हैं। औपचारिक शब्दों में, 'ई' संरचना समूह 'जी' के साथ एक फाइबर बंडल है जिसका विशिष्ट फाइबर आर हैk GL(k) के एक उपसमूह के रूप में G की प्राकृतिक क्रिया के साथ।

संगत कनेक्शन
ई पर जी-बंडल की संरचना के साथ एक कनेक्शन मीट्रिक संगत है, बशर्ते संबंधित समानांतर परिवहन मानचित्र हमेशा एक जी-फ्रेम को दूसरे में भेजते हैं। औपचारिक रूप से, एक वक्र γ के साथ, निम्नलिखित को स्थानीय रूप से धारण करना चाहिए (अर्थात, टी के पर्याप्त छोटे मूल्यों के लिए):
 * $$\Gamma(\gamma)_0^t e_\alpha(\gamma(0)) = \sum_\beta e_\beta(\gamma(t))g_\alpha^\beta(t) $$

कुछ मैट्रिक्स जी के लिएαβ (जो t पर भी निर्भर हो सकता है)। t=0 पर अवकलन देता है
 * $$\nabla_{\dot{\gamma}(0)} e_\alpha = \sum_\beta e_\beta \omega_\alpha^\beta(\dot{\gamma}(0))$$

जहां गुणांक ωαβ लाई समूह जी के लाई बीजगणित जी में हैं।

इस अवलोकन के साथ, कनेक्शन ω बनाता हैαβ द्वारा परिभाषित
 * $$D e_\alpha = \sum_\beta e_\beta\otimes \omega_\alpha^\beta(\mathbf e)$$

संरचना के साथ संगत है यदि एक-रूपों का मैट्रिक्स ω हैαβ(e) इसका मान g में लेता है।

एक संगत कनेक्शन का वक्रता रूप, इसके अतिरिक्त, एक जी-मूल्यवान दो-रूप है।

फ्रेम का परिवर्तन
फ्रेम के बदलाव के अनुसार
 * $$e_\alpha' = \sum_\beta e_\beta g_\alpha^\beta$$

जहाँ g एक G-मूल्यवान फ़ंक्शन है जो M के एक खुले उपसमुच्चय पर परिभाषित है, कनेक्शन प्रपत्र के माध्यम से रूपांतरित होता है
 * $$\omega_\alpha^\beta(\mathbf e\cdot g) = (g^{-1})_\gamma^\beta dg_\alpha^\gamma + (g^{-1})_\gamma^\beta \omega_\delta^\gamma(\mathbf e)g_\alpha^\delta.$$

या, मैट्रिक्स उत्पादों का उपयोग करना:
 * $$\omega({\mathbf e}\cdot g) = g^{-1}dg + g^{-1}\omega g.$$

इनमें से प्रत्येक पद की व्याख्या करने के लिए याद रखें कि g : M → G एक G-मूल्यवान (स्थानीय रूप से परिभाषित) फलन है। इसे ध्यान में रखकर,
 * $$\omega({\mathbf e}\cdot g) = g^*\omega_{\mathfrak g} + \text{Ad}_{g^{-1}}\omega(\mathbf e)$$

कहाँ ωg समूह जी के लिए मौरर-कार्टन फॉर्म है, यहां फ़ंक्शन जी के साथ एम को पुलबैक (अंतर ज्यामिति) है, और विज्ञापन इसके लाई बीजगणित पर जी का आसन्न प्रतिनिधित्व है।

प्रिंसिपल बंडल
कनेक्शन फॉर्म, जैसा कि अब तक प्रस्तुत किया गया है, फ्रेम के एक विशेष विकल्प पर निर्भर करता है। पहली परिभाषा में, फ्रेम केवल अनुभागों का एक स्थानीय आधार है। प्रत्येक फ्रेम के लिए, एक फ्रेम से दूसरे फ्रेम में जाने के लिए परिवर्तन कानून के साथ एक कनेक्शन फॉर्म दिया जाता है। दूसरी परिभाषा में, फ्रेम स्वयं एक लाई समूह द्वारा प्रदान की गई कुछ अतिरिक्त संरचना को ले जाते हैं, और फ्रेम के परिवर्तन उन लोगों के लिए विवश होते हैं जो इसमें अपना मान लेते हैं। 1940 के दशक में चार्ल्स एह्रेसमैन द्वारा अग्रणी प्रमुख बंडलों की भाषा, इन कई कनेक्शन रूपों को व्यवस्थित करने का एक विधि ा प्रदान करती है और परिवर्तन के लिए एक ही नियम के साथ उन्हें एक आंतरिक रूप में जोड़ने वाले परिवर्तन कानून प्रदान करती है। इस दृष्टिकोण का नुकसान यह है कि रूपों को अब कई गुना पर ही परिभाषित नहीं किया जाता है, बल्कि एक बड़े प्रिंसिपल बंडल पर।

कनेक्शन फॉर्म के लिए मुख्य कनेक्शन
मान लीजिए कि E → M संरचना समूह G के साथ एक सदिश बंडल है। मान लीजिए कि {U} M का एक खुला आवरण है, प्रत्येक U पर G-फ्रेम के साथ, जिसे 'e' द्वारा दर्शाया गया है।U. ये द्वारा ओवरलैपिंग ओपन सेट के चौराहों पर संबंधित हैं
 * $${\mathbf e}_V={\mathbf e}_U\cdot h_{UV}$$

कुछ जी-वैल्यू फ़ंक्शन एच के लिएUV यू ∩ वी पर परिभाषित।

चलो एफGई, एम के प्रत्येक बिंदु पर लिए गए सभी जी-फ्रेमों का सेट है। यह एम पर एक प्रमुख जी-बंडल है। विस्तार से, इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि जी-फ्रेम सभी जी-संबंधित हैं, एफGखुले आवरण के सेटों के बीच ग्लूइंग डेटा के संदर्भ में ई को महसूस किया जा सकता है:
 * $$F_GE = \left.\coprod_U U\times G\right/\sim$$

जहां तुल्यता संबंध $$\sim$$ द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$((x,g_U)\in U\times G) \sim ((x,g_V) \in V\times G) \iff {\mathbf e}_V={\mathbf e}_U\cdot h_{UV} \text{ and } g_U = h_{UV}^{-1}(x) g_V. $$

एफ परGE, प्रत्येक उत्पाद U × G पर एक 'g'-मूल्यवान एक-रूप निर्दिष्ट करके, एक कनेक्शन (प्रिंसिपल बंडल) | प्रिंसिपल G-कनेक्शन को निम्नानुसार परिभाषित करें, जो ओवरलैप क्षेत्रों पर समानता संबंध का सम्मान करता है। पहले चलो
 * $$\pi_1:U\times G \to U,\quad \pi_2 : U\times G \to G$$

प्रक्षेपण नक्शे हो। अब, एक बिंदु (x,g) के लिए ∈ U × G, समुच्चय कीजिए
 * $$\omega_{(x,g)} = Ad_{g^{-1}}\pi_1^*\omega(\mathbf e_U)+\pi_2^*\omega_{\mathbf g}.$$

इस तरह से निर्मित 1-फॉर्म ω अतिव्यापी सेटों के बीच संक्रमण का सम्मान करता है, और इसलिए प्रमुख बंडल एफ पर विश्व स्तर पर परिभाषित 1-फॉर्म देने के लिए उतरता है।Gई। यह दिखाया जा सकता है कि ω इस अर्थ में एक प्रमुख कनेक्शन है कि यह एफ पर सही जी कार्रवाई के जनरेटर को पुन: उत्पन्न करता हैGE, और समान रूप से T(F) पर सही कार्रवाई को परस्पर जोड़ता हैGई) जी के आसन्न प्रतिनिधित्व के साथ।

प्रिंसिपल कनेक्शन से जुड़े कनेक्शन फॉर्म
इसके विपरीत, एक प्रमुख G-बंडल P→M में एक प्रमुख G-कनेक्शन ω, M पर कनेक्शन रूपों के संग्रह को जन्म देता है। मान लीजिए कि 'e': M → P, P का एक स्थानीय खंड है। फिर ω का पुलबैक 'ई' एम पर 'जी'-मूल्यवान एक-रूप को परिभाषित करता है:
 * $$\omega({\mathbf e}) = {\mathbf e}^*\omega.$$

जी-वैल्यू फ़ंक्शन जी द्वारा फ्रेम बदलना, कोई देखता है कि ω('e') लीबनिज़ नियम और संयोजन का उपयोग करके आवश्यक विधि े से बदलता है:
 * $$\langle X, ({\mathbf e}\cdot g)^*\omega\rangle = \langle [d(\mathbf e\cdot g)](X), \omega\rangle$$

जहां एक्स एम पर एक वेक्टर है, और डी पुशफॉरवर्ड (अंतर) को दर्शाता है।

यह भी देखें

 * एह्रेसमैन कनेक्शन
 * कार्टन कनेक्शन
 * एफ़िन कनेक्शन
 * वक्रता रूप

संदर्भ

 * Chern, S.-S., Topics in Differential Geometry, Institute for Advanced Study, mimeographed lecture notes, 1951.