श्रृंखला परिसरों की होमोटोपी श्रेणी

गणित में समरूप बीजगणित में, योगात्मक श्रेणी ए में श्रृंखला परिसरों की समरूप श्रेणी के(ए) श्रृंखला समरूपता और समरूपता समकक्षों के साथ काम करने के लिए एक रूपरेखा है। यह श्रृंखला संकुलों की श्रेणी ए के कोम(ए) और ए की व्युत्पन्न श्रेणी डी(ए) के बीच मध्यवर्ती स्थिति में है, जब ए एबेलियन श्रेणी है ; पहले के विपरीत यह एक त्रिकोणीय श्रेणी है, और बाद के विपरीत इसके गठन के लिए यह आवश्यक नहीं है कि ए एबेलियन हो। दार्शनिक रूप से, जबकि डी(ए) कोम(ए) में अर्ध-समरूपता वाले कॉम्प्लेक्स के किसी भी मानचित्र को समरूपता में बदल देता है, के(ए) केवल उन लोगों के लिए ऐसा करता है जो अर्ध-आइसोमोर्फिज्म हैं एक अच्छे कारण के लिए समरूपता, अर्थात् वास्तव में समरूप समतुल्यता का व्युत्क्रम होना। इस प्रकार, K(A) D(A)'' से अधिक समझने योग्य है।

परिभाषाएँ
माना A एक योगात्मक श्रेणी है। होमोटॉपी श्रेणी K(A) निम्नलिखित परिभाषा पर आधारित है: यदि हमारे पास कॉम्प्लेक्स ए, बी और मानचित्र एफ, जी ए से बी तक हैं, तो एफ से जी तक एक 'श्रृंखला होमोटॉपी' मानचित्रों का एक संग्रह है $$h^n \colon A^n \to B^{n - 1}$$ (कॉम्प्लेक्स का नक्शा नहीं) ऐसा
 * $$f^n - g^n = d_B^{n - 1} h^n + h^{n + 1} d_A^n,$$ या केवल $$ f - g = d_B h + h d_A.$$

इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
 * [[Image:Chain homotopy.svg|650 पीएक्स]]हम यह भी कहते हैं कि एफ और जी 'चेन होमोटोपिक' हैं, या वह $$f - g$$ 0 के लिए शून्य-समरूप या समस्थानिक है। परिभाषा से यह स्पष्ट है कि परिसरों के मानचित्र जो शून्य-समरूप हैं, जोड़ के तहत एक समूह बनाते हैं।

श्रृंखला परिसरों K(A) की समरूप श्रेणी को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: इसकी वस्तुएं Kom(A) की वस्तुओं के समान हैं, अर्थात् श्रृंखला परिसर। इसके आकारिकी मॉड्यूलो होमोटॉपी श्रृंखला जटिल मानचित्र हैं: अर्थात, हम एक तुल्यता संबंध को परिभाषित करते हैं
 * $$f \sim g\ $$ यदि f, g का समस्थानिक है

और परिभाषित करें
 * $$\operatorname{Hom}_{K(A)}(A, B) = \operatorname{Hom}_{Kom(A)}(A,B)/\sim$$

इस संबंध द्वारा भागफल होना. यह स्पष्ट है कि इसका परिणाम एक योगात्मक श्रेणी में होता है यदि कोई नोट करता है कि यह अशक्त-होमोटोपिक मानचित्रों के उपसमूह द्वारा भागफल लेने के समान है।

परिभाषा के निम्नलिखित प्रकार भी व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं: यदि कोई केवल बाउंडेड-नीचे (ए) लेता हैn=0 के लिए n<<0), परिबद्ध-ऊपर (एn=0 के लिए n>>0), या परिबद्ध (एn=0 |n|>>0) के लिए अनबाउंड कॉम्प्लेक्स के बजाय, एक बाउंडेड-नीचे होमोटॉपी श्रेणी आदि की बात करता है। उन्हें K द्वारा निरूपित किया जाता है+(ए),के−(ए) और केबी(ए), क्रमशः।

एक रूपवाद $$f : A \rightarrow B$$ जो K(A) में एक समरूपता है उसे 'समरूप तुल्यता' कहा जाता है। विस्तार से, इसका मतलब है कि एक और नक्शा है $$g : B \rightarrow A$$, जैसे कि दो रचनाएँ पहचान के लिए समरूप हैं: $$f \circ g \sim Id_B$$ और $$g \circ f \sim Id_A$$.

होमोटॉपी नाम इस तथ्य से आया है कि टोपोलॉजिकल स्पेस के समस्थानिक  मानचित्र एकवचन श्रृंखलाओं के होमोटोपिक (उपरोक्त अर्थ में) मानचित्रों को प्रेरित करते हैं।

टिप्पणियाँ
दो श्रृंखला समस्थानिक मानचित्र f और g समरूपता पर समान मानचित्र प्रेरित करते हैं क्योंकि (f - g) चेन_कॉम्प्लेक्स#फंडामेंटल_टर्मिनोलॉजी को चेन_कॉम्प्लेक्स#फंडामेंटल_टर्मिनोलॉजी भेजता है, जो समरूपता में शून्य हैं। विशेष रूप से एक समरूप समतुल्यता एक अर्ध-समरूपता है। (विपरीत सामान्यतः गलत है।) इससे पता चलता है कि एक विहित फ़नकार है $$K(A) \rightarrow D(A)$$ व्युत्पन्न श्रेणी में (यदि ए एबेलियन श्रेणी है)।

त्रिकोणीय संरचना
एक कॉम्प्लेक्स A का शिफ्ट A[1] निम्नलिखित कॉम्प्लेक्स है
 * $$A[1]: ... \to A^{n+1} \xrightarrow{d_{A[1]}^n} A^{n+2} \to ...$$ (ध्यान दें कि $$(A[1])^n = A^{n + 1}$$),

अंतर कहां है $$d_{A[1]}^n := - d_A^{n+1}$$.

रूपवाद के शंकु के लिए हम मानचित्रण शंकु (होमोलॉजिकल बीजगणित) लेते हैं। प्राकृतिक मानचित्र हैं
 * $$A \xrightarrow{f} B \to C(f) \to A[1]$$

इस आरेख को त्रिभुज कहा जाता है। होमोटॉपी श्रेणी K(A) एक त्रिकोणीय श्रेणी है, यदि कोई मनमाने ढंग से A, B और f के लिए, ऊपर दिए गए त्रिकोणों के लिए अलग-अलग त्रिकोणों को आइसोमोर्फिक (K(A में, यानी होमोटॉपी समकक्ष) के रूप में परिभाषित करता है। परिबद्ध वेरिएंट K के लिए भी यही सच है+(ए),के−(ए) और केख(ए). हालाँकि, कॉम (ए) में भी त्रिकोण का अर्थ होता है, लेकिन इन विशिष्ट त्रिकोणों के संबंध में उस श्रेणी को त्रिकोणित नहीं किया गया है; उदाहरण के लिए,
 * $$X \xrightarrow{id} X \to 0 \to$$

अलग नहीं किया गया है क्योंकि पहचान मानचित्र का शंकु जटिल 0 के लिए समरूपी नहीं है (हालाँकि, शून्य मानचित्र $$C(id) \to 0$$ एक समरूप तुल्यता है, ताकि यह त्रिभुज K(A)) में प्रतिष्ठित हो। इसके अलावा, एक प्रतिष्ठित त्रिभुज का घूर्णन स्पष्ट रूप से कोम (ए) में प्रतिष्ठित नहीं है, लेकिन (कम स्पष्ट रूप से) के (ए) में प्रतिष्ठित है। विवरण के लिए संदर्भ देखें.

सामान्यीकरण
अधिक आम तौर पर, एक विभेदक श्रेणीबद्ध श्रेणी सी की होमोटॉपी श्रेणी हो (सी) को सी के समान वस्तुओं के रूप में परिभाषित किया जाता है, लेकिन आकारिकी को इसके द्वारा परिभाषित किया जाता है $$\operatorname{Hom}_{Ho(C)}(X, Y) = H^0 \operatorname{Hom}_C (X, Y)$$. (यह श्रृंखला परिसरों की समरूपता पर निर्भर करता है यदि C उन परिसरों की श्रेणी है जिनके आकारिकी को विभेदकों का सम्मान करने की आवश्यकता नहीं है)। यदि C में उपयुक्त अर्थ में शंकु और बदलाव हैं, तो Ho(C) भी एक त्रिकोणीय श्रेणी है।