वेग

वेग गति  में एक  भौतिक वस्तु  की  दिशात्मक व्युत्पन्न  गति है, जो स्थिति(सदिश) में उसके  समय व्युत्पन्न  के संकेत के रूप देखी जाती है, जैसा कि समय के एक विशेष मानक (जैसे $$v$$  उत्तर  की ओर) द्वारा मापा जाता है। गति  गतिकी  में वेग एक मौलिक अवधारणा है,  चिरसम्मत यांत्रिकी की शाखा जो निकायों की गति का वर्णन करती है।

वेग एक भौतिक सदिश(ज्यामिति) भौतिक मात्रा  है; इसे परिभाषित करने के लिए परिमाण और दिशा दोनों की आवश्यकता होती है। वेग के अदिश (भौतिकी) निरपेक्ष मान(परिमाण (गणित)) गति कहा जाता है, एक सुसंगत व्युत्पन्न इकाई होने के कारण जिसकी मात्रा  इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली  ( मीट्रिक प्रणाली ) में  मीटर प्रति सेकंड  (m/s या m⋅s-1) के रूप में मापी जाती है)। उदाहरण के लिए, "5 मीटर प्रति सेकंड" एक अदिश राशि है, जबकि "5 मीटर प्रति सेकंड पूर्व" एक सदिश है। यदि गति, दिशा या दोनों में कोई परिवर्तन होता है, तो कहा जाता है कि वस्तु  त्वरण से गुजर रही है।

निरंतर वेग बनाम त्वरण
एक स्थिर वेग रखने के लिए, किसी वस्तु की गति एक स्थिर दिशा में होनी चाहिए। स्थिर दिशा वस्तु को एक सीधे रास्ते में गति के लिए बाधित करती है, इस प्रकार एक स्थिर वेग का अर्थ है एक सीधी रेखा में एक स्थिर गति से गति।

उदाहरण के लिए, एक वृत्ताकार पथ में निरंतर 20 किलोमीटर प्रति घंटे की गति से चलने वाली कार की गति स्थिर होती है, लेकिन उसका वेग स्थिर नहीं होता क्योंकि उसकी दिशा बदलती है। इसलिए, कार को त्वरण के दौर से गुजरना माना जाता है।

गति और वेग में अंतर
गति, एक वेग सदिश का अदिश (गणित)  परिमाण, केवल यह दर्शाता है कि कोई वस्तु कितनी तेजी से आगे बढ़ रही है।

औसत वेग
वेग को समय के साथ स्थिति के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसे औसत वेग से अंतर पर जोर देने के लिए तात्कालिक वेग भी कहा जा सकता है। कुछ अनुप्रयोगों में किसी वस्तु के औसत वेग की आवश्यकता हो सकती है, अर्थात स्थिर वेग जो एक ही समय अंतराल v(t) में कुछ समय अवधि में Δt एक चर वेग के रूप में एक ही परिणामी विस्थापन प्रदान करता है। औसत वेग की गणना इस प्रकार की जा सकती है:



औसत वेग सदैव किसी वस्तु की औसत गति से कम या उसके बराबर होता है। यह अनुभव करके देखा जा सकता है कि दूरी सदैव निरंतरता से बढ़ रही है, विस्थापन परिमाण में वृद्धि या कमी के साथ-साथ दिशा बदल सकता है।

विस्थापन-समय (x बनाम t) ग्राफ के संदर्भ में, तात्कालिक वेग (या, बस, वेग) को किसी भी बिंदु पर वक्र पर स्पर्शरेखा रेखा की ढलान और औसत वेग को ढलान के रूप में माना जा सकता है। औसत वेग के लिए समय अवधि की सीमाओं के बराबर t निर्देशांक वाले दो बिंदुओं के बीच की छेदक रेखा  का।

औसत वेग समय के साथ औसत वेग के समान होता है - अर्थात, इसका समय-भारित औसत, जिसे वेग के समय अभिन्न के रूप में गणना की जा सकती है:


 * $$\boldsymbol{\bar{v}} = {1 \over t_1 - t_0 } \int_{t_0}^{t_1} \boldsymbol{v}(t) \ dt ,$$

जहां हम पहचान सकते हैं


 * $$ \Delta \boldsymbol{x} = \int_{t_0}^{t_1} \boldsymbol{v}(t) \ dt $$

तथा
 * $$ \Delta t = t_1 - t_0 .$$

तात्कालिक वेग
यदि हम v को वेग के रूप में और x को विस्थापन(स्थिति में परिवर्तन) सदिश के रूप में मानते हैं, तो हम किसी कण या वस्तु के(तात्कालिक) वेग को, किसी विशेष समय t पर, समय के संबंध में स्थिति के व्युत्पन्न के रूप में व्यक्त कर सकते हैं:


 * $$\boldsymbol{v} = \lim_{{\Delta t}\to 0} \frac{\Delta \boldsymbol{x}}{\Delta t} = \frac{d\boldsymbol{x}}{dt} .$$

इस व्युत्पन्न समीकरण से, एक-आयामी सन्दर्भ में यह देखा जा सकता है कि वेग बनाम समय(v बनाम t ग्राफ) के तहत क्षेत्र विस्थापन, x है। कलन के संदर्भ में, वेग फलन v(t) का समाकल अभिन्न विस्थापन फलन x(t) है। चित्र में, यह s लेबल वाले वक्र के नीचे के पीले क्षेत्र से समानता रखता है(विस्थापन के लिए एक वैकल्पिक संकेतन होने के कारण)।



चूँकि समय के संबंध में स्थिति का व्युत्पन्न स्थिति में परिवर्तन(मीटर में) को समय में परिवर्तन(सेकंड में) से विभाजित करता है, वेग को मीटर प्रति सेकंड  (m/s) में मापा जाता है। हालांकि तात्कालिक वेग की अवधारणा पहली बार में प्रति-सहज प्रतीत हो सकती है, इसे उस वेग के रूप में माना जा सकता है जिस पर वस्तु उस समय गति करना बंद कर देती है।

त्वरण से संबंध
यद्यपि वेग को स्थिति के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है, किसी वस्तु के त्वरण के लिए अभिव्यक्ति के साथ शुरू करना प्रायः अधिक सामान्य होता है। जैसा कि चित्र में तीन हरी स्पर्शरेखा रेखाओं द्वारा देखा गया है, किसी बिंदु पर किसी वस्तु का तात्कालिक त्वरण उस बिंदु पर v(t) ग्राफ के वक्र के स्पर्शरेखा का ढलान  है। दूसरे शब्दों में, त्वरण को समय के सापेक्ष वेग के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया जाता है:



वहां से, हम वेग के लिए a(t) त्वरण बनाम समय ग्राफ के तहत क्षेत्र के रूप में एक अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकते हैं। जैसा कि ऊपर बताया गया है, यह इंटीग्रल की अवधारणा का उपयोग करके किया जाता है:


 * $$\boldsymbol{v} = \int \boldsymbol{a} \ dt .$$

निरंतर त्वरण
स्थिर त्वरण के विशेष सन्दर्भ में, गति के समीकरण का उपयोग करके वेग का अध्ययन किया जा सकता है। यह मानते हुए कि a को कुछ मनमाना स्थिर सदिश के बराबर माना जाता है, यह दिखाना तुच्छ है कि
 * $$\boldsymbol{v} = \boldsymbol{u} + \boldsymbol{a}t$$

समय t पर वेग के रूप में v और समय t = 0 पर वेग के रूप में u, इस समीकरण को प्रसिद्ध समीकरण $v$, के साथ जोड़कर, विस्थापन और औसत वेग के बीच संबंध स्थापित करना संभव है।
 * $$\boldsymbol{x} = \frac{(\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v})}{2} t = \boldsymbol{\bar{v}}t.$$

समय से स्वतंत्र वेग के लिए व्यंजक व्युत्पन्न करना भी संभव है, जिसे टोरिसेली समीकरण के रूप में जाना जाता है, जो इस प्रकार है:
 * $$v^{2} = \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{v} = (\boldsymbol{u}+\boldsymbol{a}t)\cdot(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{a}t) = u^{2} + 2t(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{u})+a^{2}t^{2}$$
 * $$(2\boldsymbol{a})\cdot\boldsymbol{x} = (2\boldsymbol{a})\cdot(\boldsymbol{u}t + \tfrac{1}{2} \boldsymbol{a}t^{2}) = 2t (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{u}) + a^{2}t^{2} = v^{2} - u^{2}$$
 * $$\therefore v^{2} = u^{2} + 2(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{x})$$

जहाँ पर $v$ आदि।

उपरोक्त समीकरण न्यूटोनियन यांत्रिकी  और विशेष सापेक्षता दोनों के लिए मान्य हैं। जहां न्यूटोनियन यांत्रिकी और विशेष सापेक्षता भिन्न होती है, वहीं विभिन्न पर्यवेक्षक एक ही स्थिति का वर्णन कैसे करेंगे। विशेष रूप से, न्यूटोनियन यांत्रिकी में, सभी पर्यवेक्षक टी के मूल्य पर सहमत होते हैं और स्थिति नियमों में परिवर्तन एक ऐसी स्थिति पैदा करता है जिसमें सभी गैर-त्वरित पर्यवेक्षक समान मूल्यों के साथ किसी वस्तु के त्वरण का वर्णन करेंगे। वही विशेष सापेक्षता के लिए सही नहीं है। दूसरे शब्दों में, केवल आपेक्षिक वेग की गणना की जा सकती है।

वेग पर निर्भर मात्रा
किसी गतिमान वस्तु की  गतिज ऊर्जा  उसके वेग पर निर्भर करती है और इसे समीकरण द्वारा दिया जाता है:

विशेष सापेक्षता की उपेक्षा करना, जहाँ ईk संवेग h ऊर्जा है और m द्रव्यमान है। गति ज ऊर्जा एक अदिश राशि है क्योंकि यह वेग के वर्ग पर निर्भर करती है, हालांकि संबंधित मात्रा, संवेग, एक सदिश है और इसे इसके द्वारा परिभाषित किया जाता है:

विशेष सापेक्षता में, आयामहीन लोरेंत्ज़ कारक  प्रायःप्रकट होता है, और इसके द्वारा दिया जाता है:

जहां लोरेंत्ज़ कारक है और c प्रकाश की गति है।

पलायन वेग वह न्यूनतम गति है जो एक बैलिस्टिक वस्तु को पृथ्वी जैसे विशाल पिंड से बचने के लिए आवश्यक है। यह गतिज ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करता है, जब वस्तु की गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा  (जो सदैव नकारात्मक होती है) में जोड़ा जाता है, शून्य के बराबर होता है। M द्रव्यमान वाले किसी ग्रह के केंद्र से r दूरी पर स्थित किसी वस्तु के पलायन वेग का सामान्य सूत्र है:
 * $$v_{\text{e}} = \sqrt{\frac{2GM}{r}} = \sqrt{2gr},$$

जहाँ G गुरुत्वीय स्थिरांक है और g गुरुत्वीय त्वरण है। पृथ्वी की सतह से पलायन वेग लगभग 11,200 m/s है, और यह वस्तु की दिशा की परवाह किए बिना है। यह कुछ हद तक एक मिथ्या नाम से बचने की गति बनाता है, क्योंकि अधिक सही शब्द बच निकलने की गति होगी: किसी भी वस्तु को उस परिमाण का वेग प्राप्त होता है, पर्यावरण की परवाह किए बिना, जब तक वह आधार निकाय के आसपास के क्षेत्र को छोड़ देता है। जब तक कि वह किसी चीज से प्रतिच्छेद न कर दे। अपनी राह पर।

सापेक्ष वेग
सापेक्ष वेग एक निर्देशांक प्रणाली में परिभाषित दो वस्तुओं के बीच वेग का माप है। सापेक्ष वेग चिरसम्मत और आधुनिक दोनों भौतिकी में मौलिक है, क्योंकि भौतिकी में कई प्रणालियाँ दो या दो से अधिक कणों की सापेक्ष गति से निपटती हैं। न्यूटनियन यांत्रिकी में, सापेक्ष वेग चुने हुए जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम से स्वतंत्र है। यह अब विशेष सापेक्षता में ऐसा नहीं है जिसमें वेग संदर्भ फ्रेम की पसंद पर निर्भर करते हैं।

यदि कोई वस्तु A वेग सदिश (ज्यामिति) v के साथ गतिमान है और कोई वस्तु B वेग सदिश w से गतिमान है, तो वस्तु A के सापेक्ष वस्तु B का वेग दो वेग सदिशों के अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है:
 * $$\boldsymbol{v}_{A\text{ relative to }B} = \boldsymbol{v} - \boldsymbol{w}$$

इसी प्रकार, वेग w से गतिमान वस्तु B का आपेक्षिक वेग, वेग v से गतिमान वस्तु A के सापेक्ष है:
 * $$\boldsymbol{v}_{B\text{ relative to }A} = \boldsymbol{w} - \boldsymbol{v}$$

सामान्यतः, चुना गया जड़त्वीय फ्रेम वह होता है जिसमें दो उल्लिखित वस्तुओं में से उत्तरार्द्ध आराम पर होता है।

अदिश वेग
एक आयामी सन्दर्भ में, वेग अदिश हैं और समीकरण या तो है:
 * $$ v_\text{rel} = v - (-w)$$, अगर दो ऑब्जेक्ट विपरीत दिशाओं में चल रहे हैं, या:
 * $$ v_\text{rel} = v -(+w)$$, यदि दो वस्तुएँ एक ही दिशा में गतिमान हैं।

ध्रुवीय निर्देशांक
ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में, एक द्वि-आयामी वेग को  रेडियल वेग  द्वारा वर्णित किया जाता है जिसे मूल रूप से एक कोणीय वेग के घटक के रूप में परिभाषित किया जाता है, और ।, जो मूल रूप से घूर्णन की दर है(दाएं हाथ के समन्वय प्रणाली में धनात्मक मात्राएं वामावर्त घूर्णन का प्रतिनिधित्व करती हैं और ऋणात्मक मात्राएं दक्षिणावर्त घूर्णन का प्रतिनिधित्व करती हैं)।

रेडियल और कोणीय वेगों को रेडियल और अनुप्रस्थ घटकों में वेग सदिश को विघटित करके कार्टेशियन वेग और विस्थापन वैक्टर से प्राप्त किया जा सकता है। अनुप्रस्थ(गणित) वेग मूल बिंदु पर केन्द्रित वृत्त के अनुदिश वेग का घटक है।


 * $$\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}_T+\boldsymbol{v}_R$$

जहाँ पर रेडियल वेग का परिमाण विस्थापन की दिशा में वेग सदिश और इकाई सदिश का डॉट उत्पाद  है।
 * $$\boldsymbol{v}_T$$ अनुप्रस्थ वेग है
 * $$\boldsymbol{v}_R$$ रेडियल वेग है।
 * $$v_R=\frac{\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{r}}{\left|\boldsymbol{r}\right|}$$

जहाँ पर $$\boldsymbol{r}$$ विस्थापन है।

अनुप्रस्थ वेग का परिमाण विस्थापन और वेग सदिश की दिशा में इकाई सदिश का क्रॉस उत्पाद है। यह कोणीय वेग का गुणनफल भी है $$\omega$$ और विस्थापन का परिमाण।
 * $$v_T=\frac{|\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{v}|}{|\boldsymbol{r}|}=\omega|\boldsymbol{r}|$$

ऐसा है कि
 * $$\omega=\frac{|\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{v}|}{|\boldsymbol{r}|^2}.$$

अदिश रूप में कोणीय संवेग, अनुप्रस्थ वेग के मूल समय से दूरी का द्रव्यमान गुणा है, या समतुल्य रूप से, कोणीय गति  से दूरी के वर्ग गुणा का द्रव्यमान गुणा है। कोणीय संवेग के लिए संकेत परिपाटी कोणीय वेग के समान ही है।
 * $$L=mrv_T=mr^2\omega$$

जहाँ पर भावाभिव्यक्ति $$mr^2$$ जड़त्व के क्षण के रूप में जाना जाता है। यदि बल केवल व्युत्क्रम वर्ग निर्भरता के साथ रेडियल दिशा में हैं, जैसा कि गुरुत्वाकर्षण कक्षा के सन्दर्भ में, कोणीय गति स्थिर है, और अनुप्रस्थ गति दूरी के व्युत्क्रमानुपाती होती है, कोणीय गति दूरी वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होती है, और वह दर जिस पर क्षेत्र बह गया है वह स्थिर है। इन संबंधों को केपलर के ग्रहों की गति के नियम के रूप में जाना जाता है।
 * $$m$$ द्रव्यमान है
 * $$r=|\boldsymbol{r}|.$$

यह भी देखें
• Four-velocity (relativistic version of velocity for Minkowski spacetime)

• Group velocity

• Hypervelocity

• Phase velocity

• Proper velocity (in relativity, using traveler time instead of observer time)

• Rapidity (a version of velocity additive at relativistic speeds)

• Terminal velocity

• Velocity vs. time graph

संदर्भ

 * Robert Resnick and Jearl Walker, Fundamentals of Physics, Wiley; 7 Sub edition (June 16, 2004). ISBN 0-471-23231-9.

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 * मील प्रति घंटे
 * आदर्श सिद्धान्त
 * रफ़्तार
 * स्थिति सदिश)
 * निरपेक्ष मूल्य
 * सदिश (ज्यामिति)
 * यौगिक
 * स्पर्शरेखा
 * एस्केप वेलोसिटी
 * गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक
 * गुरुत्वाकर्षण त्वरण
 * ट्रांसवर्सलिटी (गणित)
 * कोणीय गति
 * पार उत्पाद
 * कोणीय गति
 * की परिक्रमा
 * निष्क्रियता के पल

बाहरी संबंध

 * Velocity and Acceleration
 * Introduction to Mechanisms (Carnegie Mellon University)