प्रक्षेपी समतल

गणित में, प्रक्षेपी तल वह ज्यामितीय संरचना है जिसमें किसी समतल की अवधारणा को विस्तारित किया जाता है। साधारण यूक्लिडियन तल में, दो रेखाएँ साधारणतयः एक बिंदु पर एक दुसरे को प्रतिच्छेदित करती हैं, लेकिन इनमें कुछ समांतर रेखाएँ ऐसी होती हैं जो एक दुसरे को प्रतिच्छेदित नहीं करती हैं। वास्तविक रूप से प्रक्षेपी समतल को अनंत पर अतिरिक्त बिंदुओं से सुसज्जित किया जाता है और इन्हें एक साधारण तल के रूप में मान लिया जाता है जहाँ समानांतर रेखाएँ प्रतिच्छेदित करती हैं। इस प्रकार किसी भी प्रक्षेपी समतल में अलग-अलग रेखाएँ एक बिंदु एक दुसरे को प्रतिच्छेद करती हैं।

पुनर्जागरण के कलाकारों ने, परिप्रेक्ष्य में ड्राइंग की तकनीक विकसित करने में, इस गणितीय विषय के लिए आधार तैयार किया। पुरातन उदाहरण वास्तविक प्रक्षेपी तल है, जिसे विस्तारित यूक्लिडियन तल के रूप में भी जाना जाता है। यह उदाहरण, थोड़े अलग रूप में, बीजगणितीय ज्यामिति, टोपोलॉजी और प्रक्षेपी ज्यामिति में महत्वपूर्ण है जहां इसे PG(2, R), RP2, या P2 (R) द्वारा अन्य नोटेशन के साथ विभिन्न रूप से दर्शाया जा सकता है। कई अन्य प्रक्षेपी तल हैं, दोनों अनंत, जैसे कि जटिल प्रक्षेपी तल, और परिमित, जैसे कि फ़ानो तल।

एक प्रक्षेपी समतल एक 2 डायमेंशनल प्रक्षेपण स्थान है, लेकिन सभी प्रोजेक्टिव प्लेन को 3-डायमेंशनल प्रोजेक्टिव स्पेस में एम्बेड नहीं किया जा सकता है। इस तरह की एम्बेडिंग एक संपत्ति का परिणाम है जिसे डेसार्ग्स प्रमेय के रूप में जाना जाता है, जो सभी प्रक्षेपी समतलों द्वारा साझा नहीं किया जाता है।

परिभाषा
एक प्रक्षेपी तल में रेखाओं का एक समूह, बिंदुओं का एक समूह होता है, और बिंदुओं और रेखाओं के बीच एक संबंध जिसे घटना कहा जाता है, जिसमें निम्नलिखित गुण होते हैं: दूसरी स्थिति का अर्थ है कि कोई समानांतर (ज्यामिति) रेखाएँ नहीं हैं। अंतिम स्थिति में तथाकथित पतित मामले शामिल नहीं हैं (नीचे देखें)। "घटना" शब्द का प्रयोग बिंदुओं और रेखाओं के बीच संबंधों की सममित प्रकृति पर जोर देने के लिए किया जाता है। इस प्रकार व्यंजक बिंदु P रेखा ℓ के साथ आपतित होती है या फिर P के अतिरिक्त प्रयोग की जाती है और इसके अतिरिक्त या फिर ℓ पर या ℓ P से होकर गुजरती है।
 * 1) किन्हीं भी दो अलग-अलग बिंदुओं को देखते हुए, उन दोनों के साथ बिल्कुल एक ही रेखा की घटना होती है।
 * 2) किन्हीं दो अलग-अलग रेखाओं को देखते हुए, उन दोनों के साथ ठीक एक बिंदु की घटना होती है।
 * 3) चार बिंदु ऐसे हैं कि उनमें से दो से अधिक के साथ कोई भी रेखा आपतित नहीं है।

विस्तारित यूक्लिडियन समतल
साधारण यूक्लिडियन समतल को प्रक्षेपी समतल में परिवर्तित करने के लिए निम्नानुसार आगे बढ़ें:
 * 1) रेखाओं के प्रत्येक समानांतर वर्ग के लिए (पारस्परिक रूप से समानांतर रेखाओं का अधिकतम समूह प्रयोग करें) नये बिंदु को जोड़ते हैं। इस प्रकार उस बिंदु को उसकी कक्षा में प्रत्येक पंक्ति के साथ आपतित किया जाता है। जोड़े गए नए बिंदु एक दूसरे से पृथक किया जाता हैं। इन नए बिंदुओं को अनंत बिंदु कहा जाता है।
 * 2) नई पंक्तियों को जोड़ा जाता है, जिसे अनंत पर सभी बिंदुओं के साथ आपतित किया जाता है। इस रेखा को अनंत रेखा कहते हैं।

विस्तारित संरचना प्रक्षेपी समतल कहलाती है और इसे 'विस्तारित यूक्लिडियन तल' या वास्तविक प्रक्षेपी तल कहा जाता है। ऊपर उल्लिखित प्रक्रिया द्वारा इसे प्राप्त करने के लिए उपयोग किया जाता है, तथा इसे प्रक्षेपी पूर्णता या प्रक्षेपीकरण कहा जाता है। इस समतल का निर्माण 'R'3 से शुरू किया जाता है। सदिश स्थान के रूप के लिए नीचे देखें।

प्रोजेक्टिव मौलटन प्लेन
मौलटन समतल के बिंदु यूक्लिडियन तल के बिंदु कहलाते हैं, जिसमें सामान्य विधि से निर्देशांक प्राप्त किये जाते हैं। यूक्लिडियन तल से मौलटन तल बनाने के लिए कुछ पंक्तियों को पुनर्परिभाषित किया जाता है। अर्ताथ उनके बिंदु समूहों को परिवर्तित कर दिया जाता है, लेकिन इसके अतिरिक्त अन्य लाइनें अपरिवर्तित रहती हैं। सभी रेखाओं को ऋणात्मक झूकाव के साथ पुनः परिभाषित किया जाता है जिससे वे मुड़ी हुई रेखाओं समान दिखाई दे, इस प्रकार इसका अर्थ है कि ये रेखाएँ अपने बिंदुओं को ऋणात्मक x-निर्देशांक के साथ रखती हैं, लेकिन उनके बचे हुए बिंदुओं को उसी y-अवरोधन वाली रेखा के बिंदुओं से परिवर्तित कर दिया जाता है लेकिन यहाँ पर दो बार झुकाव होता है विशेषकर जब x-निर्देशांक धनात्मक हो।

मौलटन समतल में लाइनों के समानांतर वर्ग होते हैं और यह एफाइन समतल (इंसीडेंस ज्योमेट्री) होता है। इसे प्रक्षेपित किया जा सकता है, जैसा कि पिछले उदाहरण में देखा गया है, 'प्रोजेक्टिव मौलटन प्लेन' प्राप्त करने के लिए डिसारगस की प्रमेय माउल्टेन तल या प्रोजेक्टिव माउल्टेन तल में मान्य प्रमेय नहीं है।

एक परिमित उदाहरण
इस उदाहरण में सिर्फ तेरह बिंदु और तेरह रेखाएँ हैं। हम अंक P को लेबल करते हैं1, ..., पी13 और रेखाएँ एम1, ..., एम13. घटना संबंध (कौन से बिंदु किस रेखा पर हैं) निम्नलिखित घटना मैट्रिक्स द्वारा दिए जा सकते हैं। पंक्तियों को बिंदुओं द्वारा लेबल किया जाता है और स्तंभों को रेखाओं द्वारा लेबल किया जाता है। पंक्ति i और स्तंभ j में A 1 का अर्थ है कि बिंदु Pi एम लाइन पर हैj, जबकि एक 0 (जिसे हम आसानी से पढ़ने के लिए एक खाली सेल द्वारा यहां प्रदर्शित करते हैं) का अर्थ है कि वे घटना नहीं हैं। मैट्रिक्स पैज-वेक्स्लर सामान्य रूप में है।
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! ! m1 ! m2 !! m3 !! m4 ! m5 !! m6 !! m7 ! m8 !! m9 !! m10 ! m11!! m12!! m13 ! P1 ! P2 ! P3 ! P4 ! P5 ! P6 ! P7 ! P8 ! P9 ! P10 ! P11 ! P12 ! P13 उन स्थितियों को सत्यापित करने के लिए जो इसे प्रक्षेपी तल बनाते हैं, निरीक्षण करें कि प्रत्येक दो पंक्तियों में बिल्कुल एक सामान्य स्तंभ होता है जिसमें 1s दिखाई देता है (प्रत्येक जोड़े के अलग-अलग बिंदु बिल्कुल एक सामान्य रेखा पर होते हैं) और यह कि प्रत्येक दो स्तंभों में ठीक एक सामान्य पंक्ति होती है जिसमें 1 दिखाई देते हैं (अलग-अलग रेखाओं का प्रत्येक जोड़ा ठीक एक बिंदु पर मिलता है)। कई संभावनाओं के बीच, बिंदु P1, पी4, पी5, और पी8, उदाहरण के लिए, तीसरी शर्त को पूरा करेगा। इस उदाहरण को क्रम तीन के प्रक्षेपी तल के रूप में जाना जाता है।
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वेक्टर अंतरिक्ष निर्माण
यद्यपि विस्तारित वास्तविक तल की अनंतता पर रेखा उस प्रक्षेपी तल की अन्य रेखाओं की तुलना में एक भिन्न प्रकृति की प्रतीत हो सकती है, यह मामला नहीं है। समान प्रक्षेपी तल की एक अन्य रचना दर्शाती है कि किसी भी रेखा को (ज्यामितीय आधार पर) किसी अन्य से अलग नहीं किया जा सकता है। इस निर्माण में, वास्तविक प्रक्षेपी तल का प्रत्येक बिंदु 3-आयामी सदिश स्थान में उत्पत्ति के माध्यम से एक आयामी उप-स्थान (एक ज्यामितीय रेखा) है, और प्रक्षेपी तल में एक रेखा उत्पत्ति के माध्यम से (ज्यामितीय) तल से उत्पन्न होती है। 3-अंतरिक्ष में। इस विचार को सामान्यीकृत किया जा सकता है और निम्नानुसार अधिक सटीक बनाया जा सकता है।

K को कोई भी विभाजन वलय (तिरछा क्षेत्र) होने दें। चलो के3 सभी त्रिगुणों के समुच्चय x = को दर्शाता है (x0, x1, x2) K के तत्वों की संख्या (एक कार्तीय उत्पाद एक सदिश स्थान के रूप में देखा जाता है)। K में किसी भी अशून्य x के लिए3, K की न्यूनतम उपसमष्टि3 युक्त x (जिसे उत्पत्ति के माध्यम से एक पंक्ति में सभी वैक्टर के रूप में देखा जा सकता है) सबसेट है
 * $$\{ k x : k \in K \}$$

के3। इसी प्रकार, मान लीजिए कि x और y K के रैखिकतः स्वतंत्र अवयव हैं 3, जिसका अर्थ है kx + my = 0 इसका आशय है k = m = 0. K का न्यूनतम उपस्थान3 युक्त x और y (जिसे मूल के माध्यम से एक समतल में सभी वैक्टर के रूप में देखा जा सकता है) सबसेट है
 * $$\{k x + m y : k, m \in K\}$$

के 3। इस 2-आयामी उप-समष्टि में उत्पत्ति के माध्यम से विभिन्न 1-आयामी उप-स्थान शामिल हैं जो k और m को ठीक करके और परिणामी सदिश के गुणकों को लेकर प्राप्त किया जा सकता है। k और m के अलग-अलग विकल्प जो एक ही अनुपात में हैं, एक ही रेखा देंगे।

K के ऊपर 'प्रक्षेपी तल', PG(2, K)}} या K'P' को दर्शाता है2, बिंदुओं का एक समूह है जिसमें K में सभी 1-आयामी उपसमष्टियाँ शामिल हैं3। PG(2, K) के बिंदुओं का एक सबसेट L, PG(2, K) में एक रेखा है, यदि K का 2-आयामी उप-स्थान मौजूद है 3 जिसकी 1-आयामी उपसमष्टि का समुच्चय ठीक L है।

यह सत्यापित करना कि यह निर्माण एक प्रक्षेपी समतल का उत्पादन करता है, आमतौर पर एक रेखीय बीजगणित अभ्यास के रूप में छोड़ दिया जाता है।

इस निर्माण का एक वैकल्पिक (बीजीय) दृश्य इस प्रकार है। इस प्रक्षेपी तल के बिंदु समुच्चय के तुल्यता वर्ग हैं K3 ∖ {(0, 0, 0)} मॉड्यूलो तुल्यता संबंध
 * x ~ kx, K में सभी k के लिए×.

प्रक्षेपी तल में रेखाओं को बिल्कुल ऊपर के रूप में परिभाषित किया गया है।

निर्देशांक (x0, x1, x2) PG(2, K) में किसी बिंदु के 'सजातीय निर्देशांक' कहलाते हैं। प्रत्येक ट्रिपल (x0, x1, x2) ट्रिपल को छोड़कर PG(2, K) में एक अच्छी तरह से परिभाषित बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है (0, 0, 0), जो बिना बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है। पीजी(2, के) में प्रत्येक बिंदु, हालांकि, कई ट्रिपल द्वारा दर्शाया जाता है।

यदि K एक सामयिक स्थान है, तो K'P'2, उत्पाद टोपोलॉजी, सबस्पेस टोपोलॉजी, और भागफल टोपोलॉजी टोपोलॉजी के माध्यम से एक टोपोलॉजी प्राप्त करता है।

शास्त्रीय उदाहरण
वास्तविक प्रक्षेप्य समतल आरपी2 तब उत्पन्न होता है जब K को वास्तविक संख्या, 'R' के रूप में लिया जाता है। एक बंद, गैर-उन्मुख वास्तविक 2-कई गुना के रूप में, यह टोपोलॉजी में एक मौलिक उदाहरण के रूप में कार्य करता है। इस निर्माण में, आर में मूल पर केंद्रित इकाई क्षेत्र पर विचार करें3। प्रत्येक आर इस रचना में 3 रेखाएँ गोले को दो प्रतिमुख बिंदुओं पर काटती हैं। चूंकि आर 3 रेखा RP के एक बिंदु का प्रतिनिधित्व करती है2, हम RP का वही मॉडल प्राप्त करेंगे2 गोले के प्रतिमुख बिंदुओं की पहचान करके। आरपी की पंक्तियाँ2 प्रतिध्रुव बिंदुओं की इस पहचान के बाद गोले के बड़े वृत्त होंगे। यह विवरण अण्डाकार ज्यामिति का मानक मॉडल देता है।

जटिल प्रक्षेपी समतल सी.पी2 तब उत्पन्न होता है जब K को सम्मिश्र संख्या, 'C' के रूप में लिया जाता है। यह एक बंद परिसर 2-कई गुना है, और इसलिए एक बंद, उन्मुख वास्तविक 4-कई गुना है। यह और अन्य फील्ड (बीजगणित) (पुजारी का समतल' के रूप में जाना जाता है) पर प्रक्षेपी समतल बीजगणितीय ज्यामिति में मौलिक उदाहरण के रूप में काम करते हैं। क्वाटरनियोनिक प्रोजेक्टिव स्पेस एचपी2 भी स्वतंत्र हित का है।

परिमित क्षेत्र समतल
वेडरबर्न की छोटी प्रमेय द्वारा | वेडरबर्न की प्रमेय, एक परिमित विभाजन वलय क्रमविनिमेय होना चाहिए और इसलिए एक क्षेत्र होना चाहिए। इस प्रकार, इस निर्माण के परिमित उदाहरणों को फील्ड प्लेन के रूप में जाना जाता है। K को परिमित क्षेत्र के रूप में लेना q = pn अभाज्य p वाले तत्व एक प्रक्षेपी तल का निर्माण करते हैं q2 + q + 1 अंक। क्षेत्र तल आमतौर पर PG(2, q) द्वारा निरूपित होते हैं जहां PG प्रक्षेपी ज्यामिति के लिए है, 2 आयाम है और q को तल का 'आदेश' कहा जाता है (यह किसी भी रेखा पर बिंदुओं की संख्या से एक कम है). फैनो समतल, जिसकी चर्चा नीचे की गई है, को पीजी(2, 2) द्वारा निरूपित किया जाता है। #A परिमित उदाहरण प्रक्षेपी समतल PG(2, 3) है।

फ़ानो समतल दो तत्वों के क्षेत्र से उत्पन्न होने वाला प्रक्षेपी समतल है। यह सबसे छोटा प्रोजेक्टिव प्लेन है, जिसमें केवल सात बिंदु और सात रेखाएँ हैं। दाईं ओर की आकृति में, सात बिंदुओं को छोटी गेंदों के रूप में दिखाया गया है, और सात रेखाओं को छह रेखा खंडों और एक वृत्त के रूप में दिखाया गया है। हालाँकि, कोई समान रूप से गेंदों को रेखाएँ और रेखा खंड और वृत्त को बिंदु मान सकता है - यह प्रक्षेपी तल में द्वैत (प्रक्षेपी ज्यामिति) का एक उदाहरण है: यदि रेखाएँ और बिंदु परस्पर जुड़े हुए हैं, तो परिणाम अभी भी है एक प्रक्षेपी समतल (देखें #द्वंद्व)। सात बिंदुओं का एक क्रमचय जो आपतन (ज्यामिति) बिंदुओं (एक ही रेखा पर स्थित बिंदुओं) को संरेख बिंदुओं तक ले जाता है, समतल का समतलीकरण या समरूपता कहलाता है। संरचना के तहत एक ज्यामिति के संयोजन एक समूह (गणित) बनाते हैं, और फ़ानो समतल के लिए यह समूह (PΓL(3, 2) = PGL(3, 2)) में 168 तत्व हैं।

Desargues प्रमेय और Desarguesian समतल
Desargues 'प्रमेय सार्वभौमिक रूप से एक प्रक्षेपी समतल में मान्य है अगर और केवल अगर समतल को #वेक्टर अंतरिक्ष निर्माण के रूप में तिरछा क्षेत्र पर तीन आयामी वेक्टर अंतरिक्ष से बनाया जा सकता है। इन समतलों को डेसर्ग्यूसियन समतल कहा जाता है, जिसका नाम गिरार्ड देसार्गेस के नाम पर रखा गया है। वास्तविक (या जटिल) प्रोजेक्टिव प्लेन और ऑर्डर 3 के प्रोजेक्टिव प्लेन दिए गए प्रोजेक्टिव प्लेन # कुछ उदाहरण डेसार्गेसियन प्रोजेक्टिव प्लेन के उदाहरण हैं। इस तरह से निर्मित नहीं किए जा सकने वाले प्रक्षेपी तलों को गैर-डेसार्गेसियन तल कहा जाता है, और मौलटन तल को प्रक्षेपी तल दिया जाता है # कुछ उदाहरण एक का उदाहरण है। PG(2, K) अंकन Desarguesian समतलों के लिए आरक्षित है। जब के एक फील्ड (गणित) है, एक बहुत ही सामान्य मामला है, तो उन्हें फील्ड प्लेन्स के रूप में भी जाना जाता है और यदि फील्ड एक परिमित क्षेत्र है तो उन्हें गैलोइस ज्योमेट्री कहा जा सकता है।गैलोइस प्लेन्स.

सबप्लेन
एक प्रोजेक्टिव प्लेन का एक सबप्लेन प्लेन के उन बिंदुओं का एक उपसमुच्चय होता है जो खुद एक समान घटना संबंधों के साथ एक प्रोजेक्टिव प्लेन बनाते हैं।

निम्नलिखित प्रमेय को सिद्ध करता है। चलो Π एक उचित सबप्लेन Π के साथ क्रम N का एक परिमित प्रक्षेपी समतल है0 ऑर्डर एम। फिर या तो एन = एम2 या N ≥ M2 + एम.

जब एन एक वर्ग है, आदेश के उप-प्लेन √N बेयर उप-समतल कहलाते हैं। समतल का प्रत्येक बिंदु बायर उप-तल की एक रेखा पर स्थित होता है और समतल की प्रत्येक पंक्ति में बेयर उप-तल का एक बिंदु होता है।

परिमित डेसार्ग्यूसियन समतलों में पीजी (2, पृn), सबप्लेन के ऑर्डर होते हैं जो परिमित फ़ील्ड GF(p) के सबफ़ील्ड के ऑर्डर होते हैंn), यानी pi जहां i, n का भाजक है। हालांकि, गैर-डिसार्गेसियन समतलों में, ब्रुक का प्रमेय सबप्लेन ऑर्डर के बारे में एकमात्र जानकारी देता है। इस प्रमेय की असमानता में समानता का मामला ज्ञात नहीं है। एम के साथ ऑर्डर एन के समतल में ऑर्डर एम का एक सबप्लेन मौजूद है या नहीं2 + M = N एक खुला प्रश्न है। यदि इस तरह के सबप्लेन मौजूद हैं तो समग्र (गैर-प्राइम पावर) ऑर्डर के प्रोजेक्टिव प्लेन होंगे।

फैनो सबप्लेन
एक फ़ानो सबप्लेन पीजी (2, 2) के लिए एक सबप्लेन आइसोमोर्फिक है, ऑर्डर 2 का अद्वितीय प्रोजेक्टिव प्लेन।

यदि आप इस तल में एक चतुर्भुज (4 बिन्दुओं का कोई तीन संरेखी समुच्चय) पर विचार करते हैं, तो बिन्दु समतल की छह रेखाओं को निर्धारित करते हैं। शेष तीन बिंदु (जिन्हें चतुष्कोण का विकर्ण बिंदु कहा जाता है) वे बिंदु हैं जहाँ वे रेखाएँ मिलती हैं जो चतुर्भुज के एक बिंदु पर नहीं मिलती हैं। सातवीं पंक्ति में सभी विकर्ण बिंदु होते हैं (आमतौर पर एक वृत्त या अर्धवृत्त के रूप में खींचा जाता है)।

परिमित desarguesian समतलों में, PG(2, q), Fano सबप्लेन मौजूद हैं अगर और केवल अगर q सम है (अर्थात, 2 की शक्ति)। गैर-डीसरग्यूसियन समतलों में स्थिति अस्थिर है। वे 6 से अधिक के क्रम के किसी भी गैर-डिसरग्यूसियन समतल में मौजूद हो सकते हैं, और वास्तव में, वे सभी गैर-डिसरग्यूसियन समतलों में पाए गए हैं जिनमें उन्हें (विषम और यहां तक ​​​​कि दोनों क्रमों में) खोजा गया है।

हैना न्यूमैन के कारण एक खुला प्रश्न, हालांकि उसके द्वारा प्रकाशित नहीं किया गया है, यह है: क्या प्रत्येक गैर-डीसार्गेसियन समतल में एक फ़ानो सबप्लेन होता है?

फ़ानो सबप्लेन के कारण एक प्रमेय है:


 * यदि एक परिमित प्रोजेक्टिव प्लेन में प्रत्येक चतुर्भुज में विकर्ण बिंदु समरेखित होते हैं, तो समतल डिसार्गेसियन (सम क्रम का) होता है।

Affine समतल
यूक्लिडियन समतल के प्रक्षेपण ने वास्तविक प्रक्षेपी समतल का उत्पादन किया। उलटा ऑपरेशन - एक प्रोजेक्टिव प्लेन से शुरू होकर, एक लाइन को हटाता है और उस लाइन के साथ होने वाले सभी पॉइंट्स - एक एफ़िन प्लेन का निर्माण करता है।

परिभाषा
अधिक औपचारिक रूप से एक एफिन प्लेन (घटना ज्यामिति) में रेखाओं का एक समूह और बिंदुओं का एक समूह होता है, और बिंदुओं और रेखाओं के बीच एक संबंध होता है, जिसे घटना कहा जाता है, जिसमें निम्नलिखित गुण होते हैं: दूसरी स्थिति का अर्थ है कि समानांतर (ज्यामिति) हैं और इसे जॉन प्लेफेयर के रूप में जाना जाता है|प्लेफेयर का स्वयंसिद्ध। इस स्थिति में अभिव्यक्ति नहीं मिलती है, यह आशुलिपि है क्योंकि दोनों पंक्तियों के साथ एक बिंदु घटना मौजूद नहीं है।
 * 1) दिए गए किन्हीं भी दो अलग-अलग बिंदुओं के साथ, उन दोनों के साथ ठीक एक पंक्ति की घटना है।
 * 2) दिए गए किसी भी लाइन 'एल' और किसी भी बिंदु 'पी' 'एल' के साथ घटना नहीं है, वहां 'पी' के साथ बिल्कुल एक पंक्ति घटना है जो 'एल' से नहीं मिलती है।
 * 3) चार बिंदु ऐसे हैं कि उनमें से दो से अधिक के साथ कोई रेखा नहीं है।

यूक्लिडियन प्लेन और मौलटन प्लेन अनंत एफ़ाइन प्लेन के उदाहरण हैं। एक परिमित प्रोजेक्टिव प्लेन एक परिमित एफ़िन प्लेन का उत्पादन करेगा, जब उसकी एक रेखा और उस पर स्थित बिंदुओं को हटा दिया जाएगा। एक परिमित संबंध तल का क्रम इसकी किसी भी रेखा पर बिंदुओं की संख्या है (यह प्रक्षेपी तल के क्रम के समान संख्या होगी जिससे यह आता है)। प्रोजेक्टिव प्लेन PG(2, q) से उत्पन्न होने वाले एफाइन प्लेन को AG(2, q) द्वारा दर्शाया जाता है।

क्रम N का एक प्रक्षेपी तल है यदि और केवल यदि आदेश N का एक affine तल (घटना ज्यामिति) है। जब क्रम 'एन' का केवल एक संबंध तल होता है तो क्रम 'एन' का केवल एक प्रक्षेपी तल होता है, लेकिन विलोम सत्य नहीं होता है। प्रोजेक्टिव प्लेन की अलग-अलग लाइनों को हटाने से बनने वाले एफाइन प्लेन आइसोमोर्फिक होंगे अगर और केवल तभी हटाए गए लाइन प्रोजेक्टिव प्लेन के कोलाइनेशन ग्रुप की एक ही कक्षा में हों। ये कथन अनंत प्रक्षेपी समतलों के लिए भी मान्य हैं।

एफ़िन तलों से प्रक्षेपी तलों का निर्माण
एफ़िन प्लेन के2 K से अधिक K'P' में एम्बेड होता है2 मानचित्र के माध्यम से जो सजातीय निर्देशांक के लिए affine (गैर-सजातीय) निर्देशांक भेजता है,
 * $$(x_1, x_2) \mapsto (1, x_1, x_2).$$

छवि का पूरक रूप के बिंदुओं का समूह है (0, x1, x2). अभी दिए गए एम्बेडिंग के दृष्टिकोण से, ये बिंदु अनंत पर बिंदु हैं। वे K'P' में एक रेखा बनाते हैं2—अर्थात्, समतल से निकलने वाली रेखा
 * $$\{k (0, 0, 1) + m (0, 1, 0) : k, m \in K\}$$

के. में3—अनंत रेखा कहलाती है। अनंत पर बिंदु अतिरिक्त बिंदु हैं जहां विस्तारित वास्तविक समतल के निर्माण में समानांतर रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं; बिंदु (0, एक्स1, एक्स2) वह जगह है जहाँ ढलान x की सभी रेखाएँ हैं2 / एक्स1 काटना। उदाहरण के लिए दो पंक्तियों पर विचार करें
 * $$u = \{(x, 0) : x \in K\}$$
 * $$y = \{(x, 1) : x \in K\}$$

affine तल में K2। इन रेखाओं का ढलान 0 है और ये प्रतिच्छेद नहीं करती हैं। उन्हें K'P' का उपसमुच्चय माना जा सकता है। 2 उपरोक्त एम्बेडिंग के माध्यम से, लेकिन ये उपसमुच्चय K'P' में पंक्तियाँ नहीं हैं 2। बिंदु जोड़ें (0, 1, 0) प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए; वह है, चलो
 * $$\bar{u} = \{(1, x, 0) : x \in K\} \cup \{(0, 1, 0)\}$$
 * $$\bar{y} = \{(1, x, 1) : x \in K\} \cup \{(0, 1, 0)\}$$

ये K'P' में पंक्तियाँ हैं2; ū समतल से उत्पन्न होता है
 * $$\{k (1, 0, 0) + m (0, 1, 0) : k, m \in K\}$$

के. में3, जबकि ȳ समतल से उत्पन्न होता है
 * $${k (1, 0, 1) + m (0, 1, 0) : k, m \in K}.$$

प्रक्षेपी रेखाएँ ū और ȳ पर प्रतिच्छेद करती हैं (0, 1, 0). वास्तव में, K में सभी पंक्तियाँढलान 0 का 2, जब इस तरीके से प्रक्षेपित किया जाता है, पर प्रतिच्छेद करता है (0, 1, 0) के'पी' में 2।

के. का एम्बेडिंग2 K'P' मेंऊपर दिया गया 2 अद्वितीय नहीं है। प्रत्येक एम्बेडिंग अनंत पर बिंदुओं की अपनी धारणा पैदा करता है। उदाहरण के लिए, एम्बेडिंग
 * $$(x_1, x_2) \to (x_2, 1, x_1),$$

रूप के उन बिंदुओं के पूरक के रूप में है (x0, 0, x2), जिन्हें तब अनंत पर बिंदु माना जाता है।

जब एक सजातीय तल में K का रूप नहीं होता है2 K एक विभाजन वलय के साथ, इसे अभी भी एक प्रक्षेपी तल में एम्बेड किया जा सकता है, लेकिन ऊपर उपयोग किया गया निर्माण कार्य नहीं करता है। इस मामले में एम्बेडिंग करने के लिए आमतौर पर इस्तेमाल की जाने वाली विधि में एफाइन निर्देशांक के सेट का विस्तार करना और अधिक सामान्य बीजगणित में काम करना शामिल है।

सामान्यीकृत निर्देशांक
कोई एक समन्वित रिंग का निर्माण कर सकता है - एक तथाकथित प्लानर टर्नरी रिंग (वास्तविक रिंग नहीं) - किसी भी प्रक्षेपी समतल के अनुरूप। एक प्लेनर टर्नरी रिंग को फ़ील्ड या डिवीजन रिंग नहीं होना चाहिए, और ऐसे कई प्रक्षेपी समतल हैं जो एक डिवीजन रिंग से निर्मित नहीं होते हैं। उन्हें गैर-डिसार्गेसियन प्रक्षेपी समतल कहा जाता है और अनुसंधान का एक सक्रिय क्षेत्र है। केली समतल (ओ.पी2), ऑक्टोनियन के ऊपर एक प्रोजेक्टिव प्लेन, इनमें से एक है क्योंकि ऑक्टोनियंस एक डिवीजन रिंग नहीं बनाते हैं।

इसके विपरीत, एक प्लानर टर्नरी रिंग (आर, टी) दिया गया है, एक प्रक्षेपी समतल का निर्माण किया जा सकता है (नीचे देखें)। संबंध एक से एक नहीं है। एक प्रोजेक्टिव प्लेन कई गैर-आइसोमॉर्फिक प्लेनर टर्नरी रिंग्स से जुड़ा हो सकता है। टर्नरी ऑपरेटर टी का उपयोग सेट आर पर दो बाइनरी ऑपरेटरों का उत्पादन करने के लिए किया जा सकता है:
 * ए + बी = टी (ए, 1, बी), और
 * ए ⋅ बी = टी (ए, बी, 0)।

टर्नरी ऑपरेटर 'रैखिक' है यदि T(x, m, k) = x⋅m + k. जब एक प्रोजेक्टिव प्लेन के निर्देशांक का सेट वास्तव में एक रिंग बनाता है, तो एक रैखिक टर्नरी ऑपरेटर को इस तरह से परिभाषित किया जा सकता है, एक प्लानर टर्नरी रिंग का उत्पादन करने के लिए दाईं ओर रिंग ऑपरेशंस का उपयोग किया जाता है।

इस प्लेनर टर्नरी कोऑर्डिनेट रिंग के बीजगणितीय गुण समतल के ज्यामितीय आपतन गुणों के अनुरूप होते हैं। उदाहरण के लिए, Desargues प्रमेय एक डिवीजन रिंग से प्राप्त होने वाली समन्वय अंगूठी से मेल खाती है, जबकि पप्पस के हेक्सागोन प्रमेय | पप्पस के प्रमेय इस अंगूठी से मेल खाती है जो एक कम्यूटेटिव क्षेत्र से प्राप्त किया जा रहा है। पैपस के प्रमेय को सार्वभौमिक रूप से संतुष्ट करने वाला एक प्रक्षेपी समतल एक पैपियन समतल कहलाता है। वैकल्पिक बीजगणित, जरूरी नहीं कि साहचर्य, विभाजन बीजगणित जैसे कि ऑक्टोनियन मौफांग समतलों के अनुरूप हों।

विशुद्ध रूप से ज्यामितीय कथन का कोई ज्ञात विशुद्ध रूप से ज्यामितीय प्रमाण नहीं है कि Desargues 'प्रमेय का अर्थ पप्पस प्रमेय एक परिमित प्रक्षेप्य समतल में है (परिमित Desarguesian समतल Pappian हैं)। (विपरीत किसी भी प्रक्षेपी तल में सत्य है और ज्यामितीय रूप से सिद्ध किया जा सकता है, लेकिन इस कथन में परिमितता आवश्यक है क्योंकि अनंत Desarguesian समतल हैं जो पप्पियन नहीं हैं।) सबसे आम प्रमाण एक विभाजन वलय और वेडरबर्न के छोटे प्रमेय में निर्देशांक का उपयोग करता है। वेडरबर्न का प्रमेय वह परिमित विभाजन वलय क्रमविनिमेय होना चाहिए; एक उपपत्ति दें जो विभाजन वलयों के बारे में केवल अधिक प्रारंभिक बीजगणितीय तथ्यों का उपयोग करता है।

गैर-सजातीय निर्देशांक और एक प्लानर टर्नरी रिंग का उपयोग करते हुए एन (≥ 2) क्रम के परिमित प्रोजेक्टिव समतल का वर्णन करने के लिए:
 * मान लीजिए कि एक बिंदु को (∞) लेबल किया गया है।
 * लेबल एन अंक, (आर) जहां आर = 0, ..., (एन − 1)।
 * लेबल एन2 अंक, (आर, सी) जहां आर, सी = 0, ..., (एन − 1)।

इन बिंदुओं पर निम्नलिखित पंक्तियाँ बनाएँ:
 * एक पंक्ति [ ∞ ] = { (∞), (0), ..., (N − 1)}
 * N पंक्तियाँ [ c ] = {(∞), (c, 0), ..., (c, N − 1)}, जहाँ c = 0, ..., (एन − 1)
 * एन2 पंक्तियां [ r, c ] = {(r) और बिंदु (x, 'T'(x, r, c)) }, जहां x, r, c = 0, ..., (N − 1) और 'T' प्लानर टर्नरी रिंग का टर्नरी ऑपरेटर है।

उदाहरण के लिए, के लिए N = 2 हम ऑर्डर 2 के परिमित क्षेत्र से जुड़े प्रतीकों {0, 1} का उपयोग कर सकते हैं। टर्नरी ऑपरेशन द्वारा परिभाषित T(x, m, k) = xm + k क्षेत्र में गुणन और जोड़ दाईं ओर संचालन के साथ निम्नलिखित उपज देता है:
 * एक लाइन [ ∞ ] = { (∞), (0), (1)},
 * 2 पंक्तियाँ [ c ] = {(∞), (c,0), (c,1): c = 0, 1},
 * [ 0 ] = {(∞), (0,0), (0,1)}
 * [ 1 ] = {(∞), (1,0), (1,1)}
 * 4 पंक्तियाँ [ r, c ] : (r) और बिंदु (i, ir + c), जहाँ i = 0, 1 : r, c = 0, 1.
 * [ 0,0 ] : {(0), (0,0), (1,0)}
 * [ 0,1 ] : {(0), (0,1), (1,1)}
 * [ 1,0 ] : {(1), (0,0), (1,1)}
 * [ 1,1 ] : {(1), (0,1), (1,0)}

पतित समतल
डीजेनरेट प्लेन प्रोजेक्टिव प्लेन की परिभाषा में #एक्सिओम्स-ऑफ-प्रोजेक्टिव-प्लेन को पूरा नहीं करते हैं। वे संरचनात्मक रूप से अपने आप में दिलचस्प होने के लिए पर्याप्त जटिल नहीं हैं, लेकिन समय-समय पर वे सामान्य तर्कों में विशेष मामलों के रूप में उत्पन्न होते हैं। के अनुसार पतित तल सात प्रकार के होते हैं. वे हैं:


 * 1) खाली सेट;
 * 2) एक बिंदु, कोई रेखा नहीं;
 * 3) एक पंक्ति, कोई अंक नहीं;
 * 4) एक बिंदु, रेखाओं का एक संग्रह, बिंदु सभी रेखाओं के साथ घटना है;
 * 5) एक पंक्ति, बिंदुओं का संग्रह, बिंदु सभी रेखा के साथ घटित होते हैं;
 * 6) एक बिंदु पी एक लाइन एम के साथ घटना, लाइनों का एक मनमाना संग्रह सभी पी के साथ घटना और सभी बिंदुओं का एक मनमाना संग्रह एम के साथ घटना;
 * 7) एक बिंदु पी एक लाइन एम के साथ घटना नहीं है, एक मनमाना (खाली हो सकता है) पी के साथ सभी घटनाओं का संग्रह और एम के साथ इन पंक्तियों के चौराहे के सभी बिंदु।

ये सात मामले स्वतंत्र नहीं हैं, चौथे और पांचवें को छठे के विशेष मामले माना जा सकता है, जबकि दूसरे और तीसरे क्रमशः चौथे और पांचवें के विशेष मामले हैं। बिना किसी अतिरिक्त रेखा के सातवें समतल के विशेष मामले को आठवें समतल के रूप में देखा जा सकता है। इसलिए सभी मामलों को पतित समतलों के दो परिवारों में निम्नानुसार व्यवस्थित किया जा सकता है (यह प्रतिनिधित्व परिमित पतित समतलों के लिए है, लेकिन प्राकृतिक तरीके से अनंत लोगों तक बढ़ाया जा सकता है):

1) कितने भी अंकों के लिए P1, ..., पीn, और रेखाएँ एल1, ..., एलm,


 * एल1 = {पी1, पी2, ..., पीn}
 * एल2 = {पी1 }
 * एल3 = {पी1 }
 * एलm = {पी1 }
 * एलm = {पी1 }

2) किसी भी अंक के लिए पी1, ..., पीn, और रेखाएँ एल1, ..., एलn, (रेखाओं के समान अंक)


 * एल1 = {पी2, पी3, ..., पीn }
 * एल2 = {पी1, पी2 }
 * एल3 = {पी1, पी3 }
 * एलn = {पी1, पीn }
 * एलn = {पी1, पीn }

मिलीभगत
एक प्रक्षेपी तल का समतलीकरण अपने आप में समतल का एक विशेषण है जो मानचित्र बिंदुओं को इंगित करता है और रेखाओं को रेखाएँ बनाता है जो घटना को संरक्षित करता है, जिसका अर्थ है कि यदि σ एक आक्षेप है और बिंदु P रेखा m पर है, तो Pσ m पर हैएस. यदि σ एक प्रक्षेपी समतल का समतलीकरण है, तो P = P के साथ एक बिंदु Pσ को σ का 'निश्चित बिंदु' कहा जाता है, और m = m वाली रेखा mσ को σ की 'स्थिर रेखा' कहा जाता है। एक निश्चित रेखा पर बिंदुओं को निश्चित बिंदु नहीं होना चाहिए, σ के तहत उनकी छवियां इस रेखा पर झूठ बोलने के लिए बाध्य हैं। निश्चित बिंदुओं और निश्चित रेखाओं का संग्रह एक 'बंद विन्यास' बनाता है, जो बिंदुओं और रेखाओं की एक प्रणाली है जो पहले दो को संतुष्ट करती है लेकिन जरूरी नहीं कि एक प्रक्षेप्य समतल की # परिभाषा में तीसरी स्थिति हो। इस प्रकार, किसी भी समतलीकरण के लिए निश्चित बिंदु और निश्चित रेखा संरचना या तो स्वयं द्वारा एक प्रक्षेपी तल बनाती है, या एक #Degenerate तल बनाती है। संरेखन जिनकी निश्चित संरचना एक तल बनाती है, 'तलीय संरेखन' कहलाते हैं।

होमोग्राफी
PG(2, K) की होमोग्राफी (या प्रोजेक्टिव ट्रांसफॉर्मेशन) इस प्रकार के प्रोजेक्टिव प्लेन का एक संयोजन है जो अंतर्निहित वेक्टर स्पेस का एक रैखिक परिवर्तन है। सजातीय निर्देशांक का उपयोग करके उन्हें व्युत्क्रमणीय द्वारा दर्शाया जा सकता है 3 × 3 K पर आव्यूह जो PG(2, K) के बिंदुओं पर कार्य करते हैं y = M xT, जहाँ x और y K में बिंदु हैं3 (वैक्टर) और M एक व्युत्क्रमणीय है 3 × 3 K पर मैट्रिक्स। दो आव्यूह एक ही प्रक्षेपी परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करते हैं यदि एक दूसरे का स्थिर गुणक है। इस प्रकार प्रोजेक्टिव ट्रांसफॉर्मेशन का समूह स्केलर मैट्रिक्स द्वारा सामान्य रैखिक समूह का हिस्सा है जिसे प्रोजेक्टिव रैखिक समूह कहा जाता है।

PG(2, K) का एक अन्य प्रकार का संरेखन K के किसी भी automorphism से प्रेरित होता है, इन्हें 'ऑटोमॉर्फिक कॉलिनेशन' कहा जाता है। यदि α K का एक ऑटोमोर्फिज्म है, तो इसके द्वारा दिया गया संरेखन (x0, x1, x2) → (x0α, x1α, x2α) एक ऑटोमोर्फिक कॉलिनेशन है। प्रक्षेपी ज्यामिति का मौलिक प्रमेय कहता है कि PG(2, K) के सभी संरेखन समरूपता और ऑटोमोर्फिक संरेखन की रचनाएँ हैं। ऑटोमोर्फिक कॉलिनेशन प्लानर कॉलिनेशन हैं।

समतल द्वैत
एक प्रक्षेपी तल को स्वयंसिद्ध रूप से एक घटना संरचना के रूप में परिभाषित किया जाता है, बिंदुओं के एक सेट P, रेखाओं के एक सेट L और एक घटना संबंध I के संदर्भ में जो यह निर्धारित करता है कि कौन से बिंदु किस रेखा पर स्थित हैं। जैसा कि पी और एल केवल सेट हैं, कोई भी अपनी भूमिकाओं को बदल सकता है और 'समतल दोहरी संरचना' को परिभाषित कर सकता है।

बिंदुओं और रेखाओं की भूमिका को आपस में बदलकर
 * सी = (पी, एल, आई)

हम दोहरी संरचना प्राप्त करते हैं
 * सी * = (एल, पी, आई *),

जहाँ I*, I का विलोम सम्बन्ध है।

एक प्रक्षेपी तल में बिंदुओं, रेखाओं और उनके बीच आपतन को शामिल करने वाला एक कथन जो ऐसे अन्य कथन से प्राप्त होता है, जो शब्द बिंदु और रेखा को आपस में बदलकर और जो भी व्याकरणिक समायोजन आवश्यक होता है, को पहले का 'समतल द्वैत कथन' कहा जाता है। दो बिंदुओं का समतल द्वैत कथन एक अद्वितीय रेखा पर है। दो रेखाएँ एक अद्वितीय बिंदु पर मिलती हैं। किसी कथन का समतल द्वैत बनाना कथन का द्वैतकरण कहलाता है।

यदि प्रक्षेपी समतल C में कोई कथन सत्य है, तो उस कथन का तल द्वैत द्वैत तल C* में सत्य होना चाहिए। यह इस प्रकार है क्योंकि C में प्रमाण में प्रत्येक कथन को दोहराते हुए C* में प्रमाण का एक कथन मिलता है।

प्रोजेक्टिव प्लेन C में, यह दिखाया जा सकता है कि चार रेखाएँ मौजूद हैं, जिनमें से कोई भी तीन समवर्ती नहीं हैं। प्रक्षेपी तल की परिभाषा में इस प्रमेय और पहले दो अभिगृहीतों को द्वैत करने से पता चलता है कि तल द्वैत संरचना C* भी एक प्रक्षेपी तल है, जिसे C का 'द्वैत तल' कहा जाता है।

यदि C और C* तुल्याकारी हैं, तो C को 'स्व-द्वैत' कहा जाता है। प्रक्षेपी तल PG(2, K) किसी भी विभाजन वलय K के लिए स्व-द्वैत हैं। हालांकि, गैर-डेसार्गेसियन समतल हैं जो आत्म-दोहरी नहीं हैं, जैसे कि हॉल समतल और कुछ ऐसे हैं, जैसे ह्यूजेस समतल।

'तल द्वैत का सिद्धांत' कहता है कि स्व-द्वैत प्रक्षेपी तल C में किसी भी प्रमेय को द्वैत करने से C में मान्य एक और प्रमेय उत्पन्न होता है।

सहसंबंध
एक द्वंद्व एक प्रक्षेपी तल से एक नक्शा है C = (P, L, I) इसके दोहरे समतल के लिए C* = (L, P, I*) (#प्लेन द्वैत देखें) जो घटना को संरक्षित करता है। अर्थात्, एक द्वैत σ बिंदुओं को रेखाओं से और रेखाओं को बिंदुओं से मैप करेगा (Pσ = L तथा Lσ = P) इस तरह से कि यदि एक बिंदु क्यू एक लाइन एम पर है (द्वारा चिह्नित Q I m) फिर Qσ I* mσ ⇔ mσ I Qσ. एक द्वैत जो एक तुल्याकारिता है, सहसंबंध कहलाता है। यदि कोई सहसंबंध मौजूद है तो प्रोजेक्टिव प्लेन सी स्व-द्वैत है।

विशेष मामले में कि प्रोजेक्टिव प्लेन प्रोजेक्टिव स्पेस का है|PG(2, K) टाइप, K एक डिवीजन रिंग के साथ, एक द्वैत को 'पारस्परिकता' कहा जाता है। ये समतल हमेशा स्व-द्वैत होते हैं। प्रक्षेपी ज्यामिति के मौलिक प्रमेय के अनुसार एक पारस्परिकता K और एक होमोग्राफी के एक ऑटोमोर्फिक फ़ंक्शन की संरचना है। यदि इसमें शामिल ऑटोमोर्फिज्म पहचान है, तो पारस्परिकता को 'प्रोजेक्टिव सहसंबंध' कहा जाता है।

क्रम दो (एक अंतर्वलन (गणित)) के सहसंबंध को 'ध्रुवीयता' कहा जाता है। यदि एक सहसंबंध φ एक ध्रुवीयता नहीं है तो φ2 एक गैर-तुच्छ संयोजन है।

परिमित प्रक्षेपी समतल
यह दिखाया जा सकता है कि एक प्रक्षेपी तल में उतनी ही रेखाएँ होती हैं जितनी कि इसमें बिंदु (अनंत या परिमित) होते हैं। इस प्रकार, प्रत्येक परिमित प्रक्षेपी तल के लिए एक पूर्णांक N ≥ 2 होता है, जैसे कि तल में होता है
 * एन2 + N + 1 अंक,
 * एन2 + N + 1 पंक्तियां,
 * प्रत्येक पंक्ति पर N + 1 अंक, और
 * प्रत्येक बिंदु के माध्यम से एन + 1 लाइनें।

संख्या N को प्रक्षेपी तल का 'क्रम' कहा जाता है।

ऑर्डर 2 के प्रोजेक्टिव प्लेन को फैनो प्लेन कहा जाता है। परिमित ज्यामिति पर लेख भी देखें।

परिमित क्षेत्रों के साथ सदिश स्थान निर्माण का उपयोग करते हुए क्रम का एक प्रक्षेपी समतल मौजूद है N = pn, प्रत्येक प्रधान शक्ति पी के लिएएन. वास्तव में, सभी ज्ञात परिमित प्रोजेक्टिव समतलों के लिए, एन ऑर्डर एक प्रमुख शक्ति है।

अन्य आदेशों के परिमित प्रक्षेपी समतलों का अस्तित्व एक खुला प्रश्न है। ऑर्डर पर ज्ञात एकमात्र सामान्य प्रतिबंध ब्रुक-रायसर-चावला प्रमेय है कि यदि ऑर्डर एन 1 या 2 मॉड 4 के मॉड्यूलर अंकगणितीय है, तो यह दो वर्गों का योग होना चाहिए। यह नियम है N = 6. अगला मामला N = 10 बड़े पैमाने पर कंप्यूटर गणनाओं द्वारा खारिज कर दिया गया है। अधिक कुछ ज्ञात नहीं है; विशेष रूप से, यह प्रश्न कि क्या क्रम का एक परिमित प्रक्षेपी तल मौजूद है N = 12 अभी भी खुला है।

एक और पुरानी खुली समस्या यह है कि क्या मुख्य क्रम के परिमित प्रक्षेपी समतल मौजूद हैं जो परिमित क्षेत्र के समतल नहीं हैं (समतुल्य रूप से, क्या प्रधान क्रम के गैर-देसार्गेसियन प्रक्षेपी समतल मौजूद हैं)।

क्रम N का एक प्रक्षेपी तल एक स्टेनर है S(2, N + 1, N2 + N + 1) व्यवस्था (स्टेनर प्रणाली देखें)। इसके विपरीत, कोई यह सिद्ध कर सकता है कि इस रूप के सभी स्टेनर तंत्र (λ = 2) प्रक्षेपी समतल हैं।

क्रम N के परस्पर ऑर्थोगोनल लैटिन वर्ग की संख्या अधिक से अधिक है N &minus; 1. N &minus; 1 मौजूद है अगर और केवल अगर ऑर्डर एन का एक प्रक्षेप्य समतल है।

जबकि सभी प्रक्षेपी समतलों का वर्गीकरण पूर्ण से बहुत दूर है, परिणाम छोटे आदेशों के लिए जाने जाते हैं:
 * 2 : पीजी(2, 2) के लिए सभी आइसोमोर्फिक
 * 3 : सभी आइसोमॉर्फिक टू पीजी(2, 3)
 * 4 : पीजी(2, 4) के लिए सभी आइसोमॉर्फिक
 * 5 : पीजी के लिए सभी आइसोमोर्फिक (2, 5)
 * 6: प्रोजेक्टिव प्लेन के क्रम के रूप में असंभव, गैस्टन टैरी द्वारा सिद्ध किया गया जिसने दिखाया कि यूलर की छत्तीस अधिकारियों की समस्या का कोई समाधान नहीं है। हालाँकि, इन समस्याओं के बीच संबंध तब तक ज्ञात नहीं था जब तक कि आर सी बोस ने इसे 1938 में सिद्ध नहीं कर दिया था। *7 : पीजी(2, 7) के लिए सभी आइसोमॉर्फिक
 * 8 : पीजी(2, 8) के लिए सभी आइसोमॉर्फिक
 * 9 : पीजी(2, 9), और तीन और अलग (गैर-आइसोमॉर्फिक) गैर-डिसार्ग्यूजियन समतल#उदाहरण|गैर-डिसार्गेसियन समतल: एक ह्यूजेस समतल, एक हॉल समतल, और इस हॉल समतल का दोहरा। में सबका वर्णन किया गया है.
 * 10: प्रोजेक्टिव प्लेन के क्रम के रूप में असंभव, भारी कंप्यूटर गणना द्वारा सिद्ध।
 * 11 : कम से कम पीजी(2, 11), अन्य ज्ञात नहीं हैं लेकिन संभव है।
 * 12 : प्रक्षेपी तल के क्रम के रूप में इसे असंभव माना जाता है।

उच्च-आयामी प्रोजेक्टिव स्पेस में प्रोजेक्टिव प्लेन
प्रोजेक्टिव समतलों को ज्यामितीय आयाम दो के प्रोजेक्टिव ज्यामिति के रूप में माना जा सकता है। उच्च-आयामी प्रक्षेपी ज्यामिति को प्रक्षेपी तल की परिभाषा के अनुरूप घटना संबंधों के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। ये प्रक्षेपी समतलों की तुलना में कम हो जाते हैं क्योंकि स्वतंत्रता की अतिरिक्त डिग्री डेसार्ग्स के प्रमेय को उच्च-आयामी ज्यामिति में ज्यामितीय रूप से सिद्ध करने की अनुमति देती है। इसका अर्थ यह है कि ज्यामिति से संबंधित समन्वय वलय एक विभाजन वलय (तिरछा क्षेत्र) K होना चाहिए, और प्रक्षेपी ज्यामिति सदिश स्थान K से निर्मित एक के लिए आइसोमोर्फिक है।d+1, यानी पीजी(डी, के). जैसा कि पहले दिए गए निर्माण में, डी-डायमेंशनल प्रोजेक्टिव स्पेस PG(d, K) के बिंदु K में मूल से होकर जाने वाली रेखाएँ हैंd+1 और PG(d, K) में एक रेखा K में उत्पत्ति के माध्यम से एक समतल के अनुरूप हैडी+1. वास्तव में, PG(d, K) में प्रत्येक i-आयामी वस्तु, के साथ i &lt; d, एक (i + 1)K का -विमीय (बीजीय) सदिश उपस्थानd+1 (मूल से होकर जाता है)। बदले में प्रोजेक्टिव रिक्त स्थान ग्रासमानियन को सामान्यीकृत करते हैं।

यह दिखाया जा सकता है कि यदि देसरग्यूस प्रमेय दो से अधिक आयाम के प्रक्षेप्य स्थान में धारण करता है, तो उसे उस स्थान में निहित सभी समतलों में भी धारण करना चाहिए। चूँकि ऐसे प्रक्षेपी तल हैं जिनमें Desargues का प्रमेय विफल हो जाता है (गैर-Desarguesian समतल), इन तलों को एक उच्च-आयामी प्रक्षेपी स्थान में एम्बेड नहीं किया जा सकता है। सदिश स्थान निर्माण PG(2, K) से केवल समतल उच्च आयाम के प्रक्षेपी स्थानों में दिखाई दे सकते हैं। गणित के कुछ विषय प्रक्षेपी तल के अर्थ को केवल इस प्रकार के प्रक्षेपी तल तक ही सीमित रखते हैं क्योंकि अन्यथा प्रक्षेपी रिक्त स्थान के बारे में सामान्य कथनों में हमेशा अपवादों का उल्लेख करना होगा जब ज्यामितीय आयाम दो हों।

यह भी देखें

 * ब्लॉक डिजाइन - एक परिमित प्रक्षेपी समतल का एक सामान्यीकरण।
 * संयुक्त डिजाइन
 * घटना संरचना
 * सामान्यीकृत बहुभुज
 * प्रक्षेपी ज्यामिति
 * गैर-डिसरग्यूसियन समतल
 * चिकना प्रक्षेपी समतल
 * हाइपरग्राफ्स में वर्टेक्स कवर#परिमित प्रक्षेपी समतलों में ट्रांसवर्सल्स
 * छंटे हुए प्रोजेक्टिव प्लेन - चिकना प्रक्षेप्य समतल जिसमें एक शीर्ष हटा दिया गया है।
 * वीसी आयाम # वीसी आयाम एक परिमित प्रक्षेपी समतल का

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * लोपी बिन्दु
 * अंक शास्त्र
 * समतल ज्यामिति)
 * affine समतल (घटना ज्यामिति)
 * विभाजन की अंगूठी
 * सदिश स्थल
 * कार्तीय गुणन
 * टोपोलॉजिकल स्पेस
 * विविध
 * क्षेत्र (बीजगणित)
 * जटिल संख्या
 * घटना (ज्यामिति)
 * समरेखण
 * क्षेत्र (गणित)
 * गैर-कार्टेशियन समतल
 * गैर Desarguesian प्रक्षेपी समतल
 * जोड़नेवाला
 * द्विभाजित
 * प्रक्षेपी रैखिक समूह
 * विपरीत संबंध
 * इन्वोल्यूशन (गणित)
 * संयोजन डिजाइन
 * छोटा प्रोजेक्टिव प्लेन

बाहरी संबंध

 * G. Eric Moorhouse, Projective Planes of Small Order, (2003)
 * Ch. Weibel: Survey of Nondesarguesian planes