ज़ारिस्की स्पर्शरेखा समष्टि

बीजगणितीय ज्यामिति में, ज़ारिस्की स्पर्शरेखा समष्टि एक ऐसा निर्माण है जो बीजगणितीय विविधता V (और अधिक सामान्यतः) पर बिंदु P पर स्पर्शरेखा समष्टि को परिभाषित करता है। यह प्रत्यक्षतः अमूर्त बीजगणित पर आधारित होने के कारण अंतर कलन का उपयोग नहीं करता है, और सबसे ठोस स्थितियों में मात्र रैखिक समीकरणों की प्रणाली का सिद्धांत है।

प्रेरणा
उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि बहुपद समीकरण द्वारा परिभाषित समतल वक्र C दिया गया है


 * F(X,Y) = 0

और P को मूल बिंदु (0,0) मानें। 1 से अधिक क्रम के पदों को मिटाने से


 * L(X,Y) = 0

पढ़ने वाला एक 'रैखिकीकृत' समीकरण तैयार होगा जिसमें a + b > 1 होने पर सभी पद XaYb को हटा दिया जाएगा।

हमारे निकट दो स्थिति हैं: L 0 हो सकता है, या यह रेखा का समीकरण हो सकता है। पहली स्थिति में (0,0) पर C का (ज़ारिस्की) स्पर्शरेखा समष्टि संपूर्ण तल है, जिसे द्वि-विमीय सजातीय समष्टि माना जाता है। दूसरी स्थिति में, स्पर्शरेखा समष्टि वह रेखा है, जिसे सजातीय समष्टि माना जाता है। (उत्पत्ति का प्रश्न तब सामने आता है, जब हम P को C पर सामान्य बिंदु के रूप में लेते हैं; 'सजातीय समष्टि' कहना ठीक होता है और फिर ध्यान दें कि P प्राकृतिक उत्पत्ति है, इसके अतिरिक्त कि प्रत्यक्षतः इस बात पर बल दिया जाए कि यह सदिश समष्टि है। )

यह देखना सरल है कि वास्तविक संख्या पर हम F के पहले आंशिक व्युत्पन्न के संदर्भ में L प्राप्त कर सकते हैं। जब वे दोनों P पर 0 होते हैं, तो हमारे निकट गणितीय विलक्षणता (दोहरा बिंदु, पुच्छ (विलक्षण) या कुछ और अधिक जटिल) होती है। सामान्य परिभाषा यह है कि C के विलक्षण बिंदु ऐसी स्थिति हैं जब स्पर्शरेखा समष्टि की विमा 2 होती है।

परिभाषा
अधिकतम आदर्श $$\mathfrak{m}$$ के साथ स्थानीय वलय R की कोटिस्पर्श रेखा समष्टि
 * $$\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$$

के रूप में परिभाषित किया गया है जहां $$\mathfrak{m}$$2आदर्शों के गुणनफल द्वारा दिया गया है। यह अवशेष क्षेत्र k:= R/$$\mathfrak{m}$$ पर सदिश समष्टि है। इसके दोहरे सदिश समष्टि (k-सदिश समष्टि के रूप में) को R का 'स्पर्शरेखा समष्टि' कहा जाता है।

यह परिभाषा उपरोक्त उदाहरण का उच्च विमाओं के लिए एक सामान्यीकरण है: मान लीजिए कि एक सजातीय बीजगणितीय विविधता V और V का एक बिंदु v दिया गया है। नैतिक रूप से, $$\mathfrak{m}$$2 को संशोधित करना कुछ सजातीय समष्टि के भीतर V को परिभाषित करने वाले समीकरणों से गैर-रैखिक शब्दों को हटाने से मेल खाता है, इसलिए रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली दी जाती है जो स्पर्शरेखा समष्टि को परिभाषित करती है।

यह बिंदु $$T_P(X)$$ पर योजना X के लिए स्पर्शरेखा समष्टि P और सह-स्पर्शरेखा समष्टि $$T_P^*(X)$$ $$\mathcal{O}_{X,P}$$ की (सह)स्पर्शरेखा समष्टि है। वलय के वर्णक्रम फलनात्मकता के कारण, प्राकृतिक भागफल प्रतिचित्र $$f:R\rightarrow R/I$$ एक समरूपता $$g:\mathcal{O}_{X,f^{-1}(P)}\rightarrow \mathcal{O}_{Y,P}$$ को प्रेरित करता है, X=Spec(R), P के लिए Y=Spec(R/I) में एक बिंदु है। इसका उपयोग $$T_{f^{-1}P}(X)$$ में $$T_P(Y)$$ को अन्तः स्थापित करने के लिए किया जाता है। चूँकि क्षेत्रों की आकृतियाँ अंतःक्षेपक योग्य होती हैं, g द्वारा प्रेरित अवशेष क्षेत्रों का प्रक्षेपण समरूपता है। फिर कोटिस्पर्श रेखा रिक्त समष्टि का रूपवाद k,


 * $$\mathfrak{m}_P/\mathfrak{m}_P^2$$
 * $$\cong (\mathfrak{m}_{f^{-1}P}/I)/((\mathfrak{m}_{f^{-1}P}^2+I)/I)$$
 * $$\cong \mathfrak{m}_{f^{-1}P}/(\mathfrak{m}_{f^{-1}P}^2+I)$$
 * $$\cong (\mathfrak{m}_{f^{-1}P}/\mathfrak{m}_{f^{-1}P}^2)/\mathrm{Ker}(k)$$ द्वारा दिए गए g से प्रेरित होता है।

चूँकि यह एक अनुमान है, कि स्थानांतर $$k^*:T_P(Y) \rarr T_{f^{-1}P}(X)$$ एक अंतःक्षेपक है।

(प्रायः समान विधि से कई गुना के लिए स्पर्शरेखा समष्टि और कोटिस्पर्श रेखा समष्टि को परिभाषित किया जाता है।)

विश्लेषणात्मक फलन
यदि V आदर्श I द्वारा परिभाषित n-विमीय सदिश समष्टि की उप-विविधता है, तो R = Fn/ I, जहां Fn इस सदिश समष्टि पर सहज/विश्लेषणात्मक/होलोमोर्फिक फलनों का वलय है। x पर ज़ारिस्की स्पर्शरेखा समष्टि
 * mn / (I+mn2),

है, जहां mn अधिकतम आदर्श है जिसमें x पर लुप्त होने वाले Fnx में वे फलन सम्मिलित हैं।

उपरोक्त समतलीय उदाहरण में, I = (F(X,Y)), और I+m2 = (L(X,Y))+m2।

गुण
यदि R नोथेरियन वलय स्थानीय वलय है, तो स्पर्शरेखा समष्टि का विमा कम से कम R का क्रुल विमा है:
 * dim m/m2 ≧ dim R

यदि समानता निश्चित रहे तो R को नियमित स्थानीय वलय कहा जाता है। अधिक ज्यामितीय भाषा में, जब R बिंदु v पर विविधता V का स्थानीय वलय है, तो कोई यह भी कहता है कि v नियमित बिंदु है। अन्यथा इसे 'विलक्षण बिंदु' कहा जाता है।

स्पर्शरेखा समष्टि की व्याख्या K[t]/(t2) के संदर्भ में है, जो K के लिए दोहरी संख्या है; योजना (गणित) की भाषा में, Spec K[t]/(t2) से k समरूपता के ऊपर एक योजना x ∈ X(k) से K के ऊपर एक योजना fx तक की आकृतियाँ एक तर्कसंगत बिंदु lx की पसंद और x पर स्पर्शरेखा स्थान के एक तत्व के अनुरूप होती हैं। इसलिए, कोई स्पर्शरेखा सदिशों के बारे में भी बात करता है। यह भी देखें: फ़नकार का स्पर्शरेखा समष्टि।

सामान्य तौर पर, ज़ारिस्की स्पर्शरेखा समष्टि का विमा बहुत बड़ा हो सकता है। उदाहरण के लिए, चलो $$C^1(\mathbf{R})$$ निरंतर विभेदित वास्तविक-मूल्यवान फलनों का वलय बनें $$\mathbf{R}$$. परिभाषित करना $$R = C_0^1(\mathbf{R})$$ मूल में ऐसे फलनों के रोगाणुओं की वलय होना। फिर आर स्थानीय वलय है, और इसके अधिकतम आदर्श m में सभी रोगाणु सम्मिलित हैं जो मूल पर गायब हो जाते हैं। फलन $$x^\alpha$$ के लिए $$\alpha \in (1, 2)$$ ज़ारिस्की कोटिस्पर्श रेखा समष्टि में रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर को परिभाषित करें $$m/m^2$$, तो का विमा $$m/m^2$$ कम से कम है $$\mathfrak{c}$$, सातत्य की प्रमुखता। ज़ारिस्की स्पर्शरेखा समष्टि का विमा $$(m/m^2)^*$$ इसलिए कम से कम है $$2^\mathfrak{c}$$. दूसरी ओर, एन-मैनिफोल्ड में बिंदु पर सुचारू फलनों के रोगाणुओं की वलय में एन-विमीय ज़ारिस्की कोटिस्पर्श रेखा समष्टि होता है।

यह भी देखें

 * स्पर्शरेखा शंकु
 * जेट (गणित)

बाहरी संबंध

 * Zariski tangent space. V.I. Danilov (originator), Encyclopedia of Mathematics.