बाइनरी ऑपरेशन

गणित में, एक बाइनरी ऑपरेशन या डाइएडिक ऑपरेशन एक अन्य तत्व उत्पन्न करने के लिए दो तत्वों (गणित) (ऑपरेंड कहा जाता है) के संयोजन के लिए एक नियम है। अधिक औपचारिक रूप से, एक बाइनरी ऑपरेशन arity दो का एक ऑपरेशन (गणित) है।

अधिक विशेष रूप से, एक सेट (गणित) पर एक आंतरिक बाइनरी ऑपरेशन एक बाइनरी ऑपरेशन है जिसका फ़ंक्शन के दो डोमेन और कोडोमेन एक ही सेट हैं। उदाहरणों में जोड़, घटाव और गुणा की परिचित अंकगणितीय संक्रियाएं शामिल हैं। अन्य उदाहरण गणित के विभिन्न क्षेत्रों में आसानी से पाए जाते हैं, जैसे सदिश जोड़, मैट्रिक्स गुणन और संयुग्मन (समूह सिद्धांत)।

एरीटी दो का एक ऑपरेशन जिसमें कई सेट शामिल होते हैं, कभी-कभी 'बाइनरी ऑपरेशन' भी कहा जाता है। उदाहरण के लिए, सदिश स्थानों का अदिश गुणन एक सदिश उत्पन्न करने के लिए एक अदिश और एक सदिश लेता है, और अदिश गुणनफल एक अदिश उत्पन्न करने के लिए दो सदिश लेता है। ऐसे बाइनरी ऑपरेशंस को केवल बाइनरी फ़ंक्शन कहा जा सकता है।

बाइनरी ऑपरेशंस अधिकांश बीजगणितीय संरचनाओं की कुंजीशिला हैं जिनका अध्ययन बीजगणित में किया जाता है, विशेष रूप से semigroup्स, मोनोइड्स, समूह (गणित), रिंग (बीजगणित), फ़ील्ड (गणित), और वेक्टर रिक्त स्थान में।

शब्दावली
अधिक सटीक रूप से, एक सेट (गणित) पर एक बाइनरी ऑपरेशन $$S$$ कार्तीय गुणनफल के तत्वों का मानचित्र (गणित) है $$S \times S$$ प्रति $$S$$:
 * $$\,f \colon S \times S \rightarrow S.$$

क्योंकि तत्वों की एक जोड़ी पर ऑपरेशन करने का परिणाम $$S$$ पुन: का एक अंग है $$S$$, ऑपरेशन को बंद (या आंतरिक) बाइनरी ऑपरेशन कहा जाता है $$S$$ (या कभी-कभी बंद करने की संपत्ति के रूप में व्यक्त किया जाता है (गणित))। यदि $$f$$ एक फ़ंक्शन (गणित) नहीं है, लेकिन एक आंशिक फ़ंक्शन है $$f$$ आंशिक बाइनरी ऑपरेशन कहा जाता है। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं का विभाजन आंशिक बाइनरी ऑपरेशन है, क्योंकि शून्य से विभाजन नहीं किया जा सकता है: $$\frac{a}{0}$$ प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए अपरिभाषित है $$a$$. सार्वभौमिक बीजगणित और मॉडल सिद्धांत दोनों में, द्विआधारी संक्रियाओं को सभी तत्वों पर परिभाषित करने की आवश्यकता होती है $$S \times S$$.

कभी-कभी, विशेष रूप से कंप्यूटर विज्ञान में, बाइनरी ऑपरेशन शब्द का उपयोग किसी बाइनरी फ़ंक्शन के लिए किया जाता है।

गुण और उदाहरण
बाइनरी संक्रियाओं के विशिष्ट उदाहरण हैं योग ($$+$$) और गुणा ($$\times$$) संख्या और मैट्रिक्स (गणित) के साथ-साथ एक सेट पर कार्यों की संरचना। उदाहरण के लिए,
 * वास्तविक संख्या के सेट पर $$\mathbb R$$, $$f(a,b)=a+b$$ एक बाइनरी ऑपरेशन है क्योंकि दो वास्तविक संख्याओं का योग एक वास्तविक संख्या है।
 * प्राकृतिक संख्या के सेट पर $$\mathbb N$$, $$f(a,b)=a+b$$ एक बाइनरी ऑपरेशन है क्योंकि दो प्राकृतिक संख्याओं का योग एक प्राकृतिक संख्या है। यह पिछले वाले की तुलना में एक अलग बाइनरी ऑपरेशन है क्योंकि सेट अलग हैं।
 * मंच पर $$M(2,\mathbb R)$$ का $$2 \times 2$$ वास्तविक प्रविष्टियों के साथ मैट्रिसेस, $$f(A,B)=A+B$$ एक द्विआधारी संक्रिया है क्योंकि ऐसे दो आव्यूहों का योग a है $$2 \times 2$$ आव्यूह।
 * मंच पर $$M(2,\mathbb R)$$ का $$2 \times 2$$ वास्तविक प्रविष्टियों के साथ मैट्रिसेस, $$f(A,B)=AB$$ एक द्विआधारी संक्रिया है क्योंकि ऐसे दो आव्यूहों का गुणनफल a होता है $$2 \times 2$$ आव्यूह।
 * दिए गए सेट के लिए $$C$$, होने देना $$S$$ सभी कार्यों का सेट बनें $$h \colon C \rightarrow C$$. परिभाषित करना $$f \colon S \times S \rightarrow S$$ द्वारा $$f(h_1,h_2)(c)=(h_1 \circ h_2)(c)=h_1(h_2(c))$$ सभी के लिए $$c \in C$$, दो कार्यों की संरचना $$h_1$$ तथा $$h_2$$ में $$S$$. फिर $$f$$ एक बाइनरी ऑपरेशन है क्योंकि दो कार्यों की संरचना फिर से सेट पर एक फ़ंक्शन है $$C$$ (अर्थात् सदस्य है $$S$$).

बीजगणित और औपचारिक तर्क दोनों में रुचि के कई द्विआधारी संक्रियाएँ क्रमविनिमेय, संतोषजनक हैं $$f(a,b)=f(b,a)$$ सभी तत्वों के लिए $$a$$ तथा $$b$$ में $$S$$, या साहचर्य, संतोषजनक $$f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c))$$ सभी के लिए $$a$$, $$b$$, तथा $$c$$ में $$S$$. कई में पहचान तत्व और उलटा तत्व भी होते हैं।

उपरोक्त पहले तीन उदाहरण क्रमविनिमेय हैं और उपरोक्त सभी उदाहरण साहचर्य हैं।

वास्तविक संख्या के सेट पर $$\mathbb R$$, घटाव, अर्थात्, $$f(a,b)=a-b$$, एक बाइनरी ऑपरेशन है जो कम्यूटिव नहीं है, क्योंकि सामान्य तौर पर, $$a-b \neq b-a$$. यह साहचर्य भी नहीं है, क्योंकि, सामान्य तौर पर, $$a-(b-c) \neq (a-b)-c$$; उदाहरण के लिए, $$1-(2-3)=2$$ लेकिन $$(1-2)-3=-4$$.

प्राकृतिक संख्या के सेट पर $$\mathbb N$$, बाइनरी ऑपरेशन घातांक, $$f(a,b)=a^b$$, क्रमविनिमेय नहीं है, क्योंकि $$a^b \neq b^a$$ (cf. समीकरण x^y = y^x|समीकरण xवाई  = वाई x), और तब से सहयोगी भी नहीं है $$f(f(a,b),c) \neq f(a,f(b,c))$$. उदाहरण के लिए, साथ $$a=2$$, $$b=3$$, तथा $$c=2$$, $$f(2^3,2)=f(8,2)=8^2=64$$, लेकिन $$f(2,3^2)=f(2,9)=2^9=512$$. सेट में बदलाव करके $$\mathbb N$$ पूर्णांकों के समुच्चय के लिए $$\mathbb Z$$, यह बाइनरी ऑपरेशन एक आंशिक बाइनरी ऑपरेशन बन जाता है क्योंकि यह अब अपरिभाषित है कब $$a=0$$ तथा $$b$$ कोई ऋणात्मक पूर्णांक है। किसी भी सेट के लिए, इस ऑपरेशन की सही पहचान है (जो है $$1$$) जबसे $$f(a,1)=a$$ सभी के लिए $$a$$ सेट में, जो एक पहचान (दो तरफा पहचान) नहीं है $$f(1,b) \neq b$$ सामान्य रूप में।

विभाजन (गणित) ($$\div$$), वास्तविक या परिमेय संख्याओं के समुच्चय पर एक आंशिक बाइनरी संक्रिया क्रमविनिमेय या साहचर्य नहीं है। टेट्रेशन ($$\uparrow\uparrow$$), प्राकृतिक संख्याओं पर एक बाइनरी ऑपरेशन के रूप में, क्रमविनिमेय या साहचर्य नहीं है और इसमें कोई पहचान तत्व नहीं है।

नोटेशन
बाइनरी ऑपरेशंस को अक्सर इंफिक्स नोटेशन का उपयोग करके लिखा जाता है जैसे $$a \ast b$$, $$a+b$$, $$a \cdot b$$ या (जुगलबंदी द्वारा#बिना प्रतीक वाला गणित) $$ab$$ प्रपत्र के कार्यात्मक अंकन के बजाय $$f(a, b)$$. शक्तियाँ आमतौर पर ऑपरेटर के बिना भी लिखी जाती हैं, लेकिन दूसरे तर्क के साथ ऊपर की ओर लिखा हुआ के रूप में।

बाइनरी ऑपरेशंस को कभी-कभी प्रीफिक्स या (अधिक बार) पोस्टफिक्स नोटेशन का उपयोग करते हुए लिखा जाता है, जिनमें से दोनों को कोष्ठक से अलग किया जाता है। उन्हें क्रमशः पोलिश संकेतन और रिवर्स पोलिश नोटेशन भी कहा जाता है।

बाइनरी ऑपरेशंस टर्नरी रिलेशनशिप
के रूप में

एक बाइनरी ऑपरेशन $$f$$ एक सेट पर $$S$$ एक टर्नरी संबंध के रूप में देखा जा सकता है $$S$$, यानी ट्रिपल का सेट $$(a, b, f(a,b))$$ में $$S \times S \times S$$ सभी के लिए $$a$$ तथा $$b$$ में $$S$$.

बाहरी बाइनरी ऑपरेशंस
एक बाहरी बाइनरी ऑपरेशन एक बाइनरी फ़ंक्शन है $$K \times S$$ प्रति $$S$$. यह उस अर्थ में एक सेट पर एक बाइनरी ऑपरेशन से अलग है $$K$$ जरूरत नहीं है $$S$$; इसके तत्व बाहर से आते हैं।

बाह्य बाइनरी संक्रिया का एक उदाहरण रेखीय बीजगणित में अदिश गुणन है। यहां $$K$$ एक क्षेत्र (गणित) है और $$S$$ उस क्षेत्र पर एक सदिश स्थान है।

वैकल्पिक रूप से कुछ बाहरी बाइनरी संक्रियाओं को समूह क्रिया (गणित) के रूप में देखा जा सकता है $$K$$ पर $$S$$. इसमें एक साहचर्य गुणन के अस्तित्व की आवश्यकता है $$K$$, और फ़ॉर्म का संगतता नियम $$a(bs)=(ab)s$$, कहाँ पे $$a,b\in K$$ तथा $$s\in S$$ (यहाँ, बाह्य संक्रिया और गुणन दोनों में $$K$$ संयोजन द्वारा निरूपित किया जाता है)।

दो सदिश मानचित्रों का डॉट उत्पाद $$S \times S$$ प्रति $$K$$, कहाँ पे $$K$$ एक क्षेत्र है और $$S$$ एक सदिश स्थान है $$K$$. यह लेखकों पर निर्भर करता है कि क्या इसे बाइनरी ऑपरेशन माना जाता है।

यह भी देखें

 * :श्रेणी:द्विआधारी संक्रियाओं के गुण
 * पुनरावृत्त बाइनरी ऑपरेशन
 * ऑपरेटर (प्रोग्रामिंग)
 * त्रिगुट संचालन
 * ट्रुथ टेबल # बाइनरी ऑपरेशंस
 * यूनरी ऑपरेशन
 * मैग्मा (बीजगणित), एक बाइनरी ऑपरेशन से लैस एक सेट।

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