प्राकृतिक घातीय परिवार

संभाव्यता और आंकड़ों में, प्राकृतिक घातीय समूह (एनईएफ) संभाव्यता वितरण का वर्ग है, जो घातीय समूह (ईएफ) की विशेष स्थिति को प्रदर्शित करता है।

अविभाज्य की स्थिति
प्राकृतिक घातीय समूह (एनईएफ) घातीय समूहों का उपसमूह हैं। इस प्रकार एनईएफ ऐसा घातीय समूह है, जिसमें प्राकृतिक पैरामीटर η और प्राकृतिक सांख्यिकी T(X) दोनों की पहचान होती हैं। इसके पैरामीटर θ के साथ घातीय समूह में वितरण को संभाव्यता घनत्व फलन (पीडीएफ) के साथ लिखा जा सकता है
 * $$ f_X(x\mid \theta) = h(x)\ \exp\Big(\ \eta(\theta) T(x) - A(\theta)\ \Big) \,\! ,$$

जहाँ $$h(x)$$ और $$A(\theta)$$ ज्ञात कार्य हैं, इसके लिए पैरामीटर θ के साथ प्राकृतिक घातीय समूह में वितरण इस प्रकार पीडीएफ के साथ लिखा जा सकता है।
 * $$ f_X(x\mid \theta) = h(x)\ \exp\Big(\ \theta x - A(\theta)\ \Big) \,\! .$$

ध्यान दें कि एनईएफ के प्रवर्तक कार्ल मॉरिस द्वारा थोड़ा अलग नोटेशन का उपयोग किया जाता है। इसके आधार पर मॉरिस η के बजाय ω और A के अतिरिक्त ψ का उपयोग करता है।

सामान्य बहुभिन्नरूपी स्थिति
इस प्रकार हम कह सकते हैं, कि $$\mathbf{x} \in \mathcal{X} \subseteq \mathbb{R}^p$$, तो क्रम पी के प्राकृतिक घातीय समूह में फॉर्म का घनत्व या द्रव्यमान के लिए एक फलन होता है:
 * $$ f_X(\mathbf{x} \mid \boldsymbol\theta) = h(\mathbf{x})\ \exp\Big(\boldsymbol\theta^{\rm T} \mathbf{x} - A(\boldsymbol\theta)\ \Big) \,\! ,$$

इस स्थिति में पैरामीटर $$\boldsymbol\theta \in \mathbb{R}^p .$$ प्राप्त होता है।

क्षण और संचयी उत्पन्न करने वाले कार्य
प्राकृतिक घातीय समूह के सदस्य के पास प्रपत्र का क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य (एमजीएफ) होता है, जो इस प्रकार हैं-


 * $$M_X(\mathbf{t}) = \exp\Big(\ A(\boldsymbol\theta + \mathbf{t}) - A(\boldsymbol\theta)\ \Big) \, .$$

संचयी व्युत्पन्न फलन परिभाषा के अनुसार एमजीएफ का लघुगणक है, इसलिए यह है


 * $$K_X(\mathbf{t}) = A(\boldsymbol\theta + \mathbf{t}) - A(\boldsymbol\theta) \, .$$

उदाहरण
पांच सबसे महत्वपूर्ण अविभाज्य स्थितियाँ हैं: ये पाँच उदाहरण - पॉइसन, द्विपद, ऋणात्मक द्विपद, सामान्य और गामा - एनईएफ का विशेष उपसमुच्चय हैं, जिसे द्विघात विचरण फलन एनईएफ-क्यूवीएफ के साथ एनईएफ कहा जाता है, क्योंकि विचरण को माध्य के द्विघात फलन के रूप में लिखा जा सकता है। इस प्रकार एनईएफ-क्यूवीएफ पर नीचे चर्चा की गई है।
 * ज्ञात विचरण के साथ सामान्य वितरण
 * पॉसों वितरण
 * ज्ञात आकार पैरामीटर α के साथ गामा वितरण (या उपयोग किए गए नोटेशन सेट के आधार पर k)
 * परीक्षणों की ज्ञात संख्या के साथ द्विपद वितरण, एन
 * ज्ञात के साथ ऋणात्मक द्विपद वितरण $$r$$

घातीय वितरण, बर्नौली वितरण और ज्यामितीय वितरण जैसे वितरण उपरोक्त पांच वितरणों की विशेष स्थिति हैं। उदाहरण के लिए बर्नौली वितरण n = 1 परीक्षण के साथ द्विपद वितरण है, घातीय वितरण आकार पैरामीटर α = 1 (या k = 1) के साथ गामा वितरण है, और ज्यामितीय वितरण नकारात्मक द्विपद वितरण की विशेष स्थिति है।

कुछ घातीय पारिवारिक वितरण एनईएफ नहीं हैं। लॉगनॉर्मल और बीटा वितरण घातीय समूह में हैं, अपितु प्राकृतिक घातीय समूह में नहीं हैं। इसके दो मापदंडों के साथ गामा वितरण घातीय समूह है, अपितु एनईएफ नहीं है, और ची-वर्ग वितरण निश्चित पैमाने के साथ गामा वितरण की विशेष स्थिति को प्रकट करती है, इस पैरामीटर के अनुसार यह घातीय समूह भी है, अपितु इसका मान एनईएफ में प्रकट नहीं होता है, यहाँ पर ध्यान दें कि केवल निश्चित आकार वाला गामा वितरण पैरामीटर एनईएफ है।

व्युत्क्रम गाऊसी वितरण घन विचरण फलन वाला एनईएफ है।

उपरोक्त अधिकांश वितरणों का पैरामीटरीकरण सामान्यतः पाठ्यपुस्तकों और उपरोक्त लिंक किए गए पृष्ठों में उपयोग किए जाने वाले पैरामीटराइजेशन की अलग विधियों से लिखा गया है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त पैरामीटराइज़ेशन पॉइसन मामले में लिंक किए गए आलेख में पैरामीटराइज़ेशन से भिन्न है। दो पैरामीटरीकरण $$ \theta = \log(\lambda) $$ से संबंधित हैं, जहां λ माध्य पैरामीटर है, और जिससे कि घनत्व को इस प्रकार लिखा जा सके-
 * $$f(k;\theta) = \frac{1}{k!} \exp\Big(\ \theta\ k - \exp(\theta)\ \Big) \ ,$$

जिसके लिए $$ \theta \in \mathbb{R}$$ का मान इस प्रकार हैं कि-
 * $$h(k) = \frac{1}{k!}, \text{ and } A(\theta) = \exp(\theta)\ .$$

यह वैकल्पिक मानकीकरण गणितीय आंकड़ों में गणना को बहुत सरल बना सकता है। उदाहरण के लिए, बायेसियन अनुमान में, पश्च संभाव्यता वितरण की गणना दो वितरणों के उत्पाद के रूप में की जाती है। सामान्यतः इस गणना के लिए संभाव्यता वितरण कार्यों (पीडीएफ) को लिखने और एकीकृत करने की आवश्यकता होती है, चूंकि उपरोक्त मानकीकरण के साथ, उस गणना से बचा जा सकता है। इसके अतिरिक्त नीचे वर्णित एनईएफ के गुणों के कारण वितरण के बीच संबंधों को अमूर्त किया जा सकता है। बहुभिन्नरूपी मामले का उदाहरण परीक्षणों की ज्ञात संख्या के साथ बहुपद वितरण है।

गुण
प्राकृतिक घातीय समूह के गुणों का उपयोग इन वितरणों से जुड़ी गणनाओं को सरल बनाने के लिए किया जा सकता है।

अविभाज्य स्थिति
1. एनईएफ के संचयी की गणना एनईएफ के संचयी व्युत्पन्न फलन के डेरिवेटिव के रूप में की जा सकती है। इस प्रकार nवे क्यूम्युलेंट t = 0 पर मूल्यांकन किए गए हैं। जिसके लिए t के संबंध में क्यूम्युलेंट व्युत्पन्न फलन का nवां व्युत्पन्न है।

संचयी व्युत्पन्न फलन है
 * $$K_X(t) = A(\theta + t) - A(\theta) \, .$$

पहला संचयक है
 * $$ \kappa_1 = K_X'(t)\Big|_{t = 0} = \left. \frac{d}{d t} A(\theta + t) \right|_{t = 0} \, .$$माध्य पहला क्षण है और हमेशा पहले संचयक के बराबर होता है, इसलिए


 * $$ \mu_1 = \kappa_1 = \operatorname{E}[X] = K'_X(0) = A'(\theta)\, .$$

विचरण सदैव दूसरा संचयी होता है, और यह सदैव पहले और दूसरे क्षण से संबंधित होता है।
 * $$ \operatorname{Var}[X] = \kappa_2 = \mu_2 - \mu_1^2 \, ,$$

जिससे कि
 * $$ \operatorname{Var}[X] = K_X(0) = A(\theta) \, .$$

इसी प्रकार, nवाँ संचयी है
 * $$ \kappa_n = A^{(n)}(\theta) \, .$$

2. प्राकृतिक घातीय समूह (एनईएफ) कनवल्शन के अनुसार विवृत हैं।

स्वतंत्र समान रूप से वितरित (आईआईडी) $$X_1,\ldots,X_n$$ दिया गया हैं। इसके पश्चात यह पुनः एनईएफ से वितरण के साथ $$\sum_{i=1}^n X_i\,$$ एनईएफ को प्रदर्शित करता है, चूंकि आवश्यक नहीं हैं कि मूल एनईएफ हो। यह संचयी व्युत्पन्न फलन के गुणों से निम्नानुसार है।

3. एनईएफ वितरण के साथ यादृच्छिक चर के लिए विचरण फलन को माध्य के संदर्भ में लिखा जा सकता है।


 * $$\operatorname{Var}(X) = V(\mu).$$

4. एनईएफ वितरण के पहले दो क्षण वितरण के उस समूह के भीतर वितरण को विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट करते हैं।


 * $$ X \sim \operatorname{NEF} [\mu, V(\mu)] .$$

बहुभिन्नरूपी स्थिति
बहुभिन्नरूपी स्थिति में, माध्य सदिश और सहप्रसरण आव्यूह हैं-


 * $$ \operatorname{E}[X] = \nabla A(\boldsymbol\theta) \text{ and } \operatorname{Cov}[X] = \nabla \nabla^{\rm T} A(\boldsymbol\theta)\, ,$$

जहाँ$$\nabla$$ प्रवणता है और $$\nabla \nabla^{\rm T} $$ हेस्सियन आव्यूह है।

द्विघात विचरण फलन वाले प्राकृतिक घातीय समूह (NEF-QVF)
प्राकृतिक घातीय समूहों का विशेष मामला द्विघात विचरण कार्यों वाले हैं। इस कारण यह छह एनईएफ में द्विघात विचरण फलन (क्यूवीएफ) होते हैं, जिसमें वितरण के विचरण को माध्य के द्विघात फलन के रूप में लिखा जा सकता है। इन्हें NEF-QVF कहा जाता है, इन वितरणों के गुणों का वर्णन सबसे पहले कार्ल मॉरिस (सांख्यिकीविद्) द्वारा किया गया था।
 * $$ \operatorname{Var}(X) = V(\mu) = \nu_0 + \nu_1 \mu + \nu_2 \mu^2.$$

छह एनईएफ-क्यूवीएफ
छह एनईएफ-क्यूवीएफ यहां विचरण और माध्य के बीच संबंधों की बढ़ती जटिलता में लिखे गए हैं।

1. निश्चित विचरण के साथ सामान्य वितरण $$X \sim N(\mu, \sigma^2) $$ NEF-QVF है, क्योंकि विचरण स्थिर है। इस कारण $$ \operatorname{Var}(X) = V(\mu) = \sigma^2$$ द्वारा इस विचरण को लिखा जा सकता है, इसलिए विचरण माध्य का डिग्री 0 फलन है।

2. पॉइसन वितरण $$X \sim \operatorname{Poisson}(\mu) $$ एनईएफ-क्यूवीएफ है क्योंकि सभी पॉइसन वितरणों में माध्य $$\operatorname{Var}(X) = V(\mu) = \mu$$ के बराबर भिन्नता होती है, इसलिए विचरण माध्य का रैखिक फलन है।

3. गामा वितरण $$X \sim \operatorname{Gamma}(r, \lambda) $$ NEF-QVF है, क्योंकि गामा वितरण $$\mu = r\lambda$$ का माध्य है, और गामा वितरण का विचरण $$\operatorname{Var}(X) = V(\mu) = \mu^2/r$$ है, इसलिए विचरण माध्य का द्विघात फलन है।

4. द्विपद वितरण $$ X \sim \operatorname{Binomial}(n, p) $$ NEF-QVF है, क्योंकि माध्य $$\mu = np$$ है और भिन्नता $$ \operatorname{Var}(X) = np(1-p) $$ है, जिसे $$V(X) = - np^2 + np = -\mu^2/n + \mu.$$ माध्य के रूप में लिखा जा सकता है।

5. ऋणात्मक द्विपद बंटन $$ X \sim \operatorname{NegBin}(n, p) $$ NEF-QVF है, क्योंकि माध्य $$\mu = np/(1-p)$$ है और भिन्नता $$V(\mu) = \mu^2/n + \mu.$$ है।

6. सामान्यीकृत द्वारा उत्पन्न (बहुत प्रसिद्ध नहीं) वितरण अतिशयोक्तिपूर्ण सेकेंट वितरण (एनईएफ-जीएचएस) $$V(\mu) = \mu^2/n +n$$ और $$\mu > 0.$$ है।

एनईएफ-क्यूवीएफ के गुण
एनईएफ-क्यूवीएफ के गुण इन वितरणों का उपयोग करने वाली गणनाओं को सरल बना सकते हैं।

1. द्विघात विचरण फलन (एनईएफ-क्यूवीएफ) वाले प्राकृतिक घातीय समूह रैखिक परिवर्तन के संकल्प के अनुसार बंद होते हैं। अर्थात्, एनईएफ-क्यूवीएफ के रैखिक परिवर्तन का कनवल्शन भी एनईएफ-क्यूवीएफ है, चूंकि यह आवश्यक नहीं है कि यह मूल हो।

इस कारण स्वतंत्र समान रूप से वितरित होने वाले आईआईडी का मान $$X_1,\ldots,X_n$$ एनईएफ-क्यूवीएफ से वितरण के साथ दिया गया हैं। इस प्रकार एनईएफ-क्यूवीएफ के रैखिक परिवर्तन का कनवल्शन भी एनईएफ-क्यूवीएफ है।

इस प्रकार $$Y = \sum_{i=1}^n (X_i - b)/c \,$$ X के रैखिक परिवर्तन का कनवल्शन बनें रहते हैं।

Y का माध्य $$ \mu^* = n(\mu - b)/c \,$$है, इस प्रकार Y का प्रसरण मूल NEF-QVF के प्रसरण फलन के संदर्भ में लिखा जा सकता है। यदि मूल NEF-QVF में विचरण फलन था तो निम्न समीकरण प्राप्त होता हैं।


 * $$ \operatorname{Var}(X) = V(\mu) = \nu_0 + \nu_1 \mu + \nu_2 \mu^2,$$

तो नए NEF-QVF में विचरण फलन है।
 * $$ \operatorname{Var}(Y) = V^*(\mu^*) = \nu^*_0 + \nu^*_1 \mu + \nu^*_2 \mu^2 ,$$

जहाँ
 * $$ \nu^*_0 = nV(b)/c^2 \, ,$$
 * $$ \nu^*_1 = V'(b)/c \, ,$$
 * $$ \nu^*_2/n = \nu_2/n \, .$$

2. इस प्रकार $$ X_1$$ और $$X_2$$ समान पैरामीटर के साथ स्वतंत्र एनईएफ θ बनें रहते हैं। इस प्रकार $$ Y = X_1 + X_2 $$. के लिए सशर्त वितरण $$X_1$$ दिया गया हैं जहाँ पर $$Y$$ में द्विघात विचरण $$Y$$ है, इस प्रकार यदि $$ X_1$$ और $$X_2$$ एनईएफ-क्यूवीएफ हैं। ऐसे सशर्त वितरण के उदाहरण सामान्य वितरण, द्विपद वितरण, बीटा वितरण, हाइपरजियोमेट्रिक वितरण और ज्यामितीय वितरण हैं, जो सभी एनईएफ-क्यूवीएफ नहीं हैं।

3. एनईएफ-क्यूवीएफ ने वितरण की पियर्सन प्रणाली में μ पर पूर्व वितरण को संयुग्मित किया है, जिसे पियर्सन वितरण भी कहा जाता है, चूंकि वितरण की पियर्सन प्रणाली वास्तव में एकल वितरण के अतिरिक्त वितरण का समूह है। इस प्रकार एनईएफ के संयुग्मित पूर्व वितरण के उदाहरण- क्यूवीएफ वितरण सामान्य वितरण, गामा वितरण, पारस्परिक गामा, बीटा वितरण, एफ-वितरण|एफ-, और छात्र का टी-वितरण प्राप्त होता हैं। इस प्रकार पुनः ये संयुग्मी मान सभी NEF-QVF के लिए नहीं हैं।

4. यदि $$ X \mid \mu $$ NEF-QVF वितरण है और μ का संयुग्मित पूर्व वितरण है तो सीमांत वितरण प्रसिद्ध वितरण हैं।

उपरोक्त संकेतन के साथ ये गुण गणितीय आंकड़ों में गणनाओं को सरल बना सकते हैं जो सामान्यतः जटिल गणनाओं और कैलकुलस का उपयोग करके किया जाता है।

यह भी देखें

 * सामान्यीकृत रैखिक मॉडल
 * पियर्सन वितरण
 * शेफ़र क्रम
 * ऑर्थोगोनल बहुपद

संदर्भ

 * Morris C. (1982) Natural exponential families with quadratic variance functions: statistical theory. Dept of mathematics, Institute of Statistics, University of Texas, Austin.