विल्लारसेउ वृत्त

ज्यामिति में, विल्लारसेउ सर्कल एक विशेष कोण पर केंद्र के माध्यम से एक  टोरस्र्स  को तिरछे काटकर उत्पादित मंडलियों की एक जोड़ी है।

एक टोरस पर एक मनमाना बिंदु दिया गया है, इसके माध्यम से चार वृत्त खींचे जा सकते हैं। एक टोरस के विषुवतीय तल के समानांतर एक तल में है और दूसरा उस तल के लंबवत है (ये पृथ्वी पर अक्षांश और देशांतर की रेखाओं के अनुरूप हैं)। अन्य दो विलारसेउ घेरा हैं। वे एक विमान के साथ टोरस के चौराहे के रूप में प्राप्त होते हैं जो टोरस के केंद्र से गुजरता है और इसे दो एंटीपोडल बिंदुओं पर स्पर्शरेखा से छूता है। यदि कोई इन सभी तलों पर विचार करे, तो वह धड़ पर वृत्तों के दो परिवार प्राप्त करता है। इन परिवारों में से प्रत्येक में अलग-अलग वृत्त होते हैं जो टोरस के प्रत्येक बिंदु को ठीक एक बार कवर करते हैं और इस प्रकार टोरस का 1-आयामी पत्तियों से सजाना  बनाते हैं।

विलारसेउ मंडलियों का नाम फ्रांसीसी खगोलशास्त्री और गणितज्ञ यवोन विलारसेउ (1813-1883) के नाम पर रखा गया है जिन्होंने 1848 में उनके बारे में लिखा था।

मैनहेम (1903) ने दिखाया कि विलारसेउ सर्कल एक ही कोण पर टोरस के सभी समानांतर परिपत्र क्रॉस-सेक्शन से मिलते हैं, जिसके परिणामस्वरूप उन्होंने कहा कि एक कर्नल शोएल्चर ने 1891 में एक कांग्रेस में प्रस्तुत किया था।

उदाहरण
xyz अंतरिक्ष में एक क्षैतिज टोरस पर विचार करें, जो मूल पर केंद्रित है और प्रमुख त्रिज्या 5 और मामूली त्रिज्या 3 है। इसका मतलब है कि टोरस त्रिज्या तीन के कुछ लंबवत मंडलियों का स्थान है जिसका केंद्र क्षैतिज xy में त्रिज्या पांच के चक्र पर है। विमान। इस टोरस पर बिंदु इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं:


 * $$ 0 = (x^2+y^2+z^2 + 16)^2 - 100(x^2+y^2). \,\! $$

z = 0 तल से स्लाइस करने पर दो संकेंद्रित वृत्त बनते हैं, x2 + और2 = 2 2 और x2 + और2 = 8 2, बाहरी और भीतरी भूमध्य रेखा। x = 0 तल से स्लाइस करने पर दो अगल-बगल वृत्त बनते हैं, (y − 5)2 + के साथ2 = 32 और (y + 5)2 + के साथ2 = 3 2।

प्लेन 3x = 4z के साथ स्लाइस करके दो उदाहरण विलारसेउ सर्कल बनाए जा सकते हैं। एक (0, +3, 0) पर और दूसरा (0, −3, 0) पर केंद्रित है; दोनों की त्रिज्या पाँच है। उन्हें पैरामीट्रिक समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है


 * $$ (x,y,z) = (4 \cos \vartheta, +3+5 \sin \vartheta, 3 \cos \vartheta) \,\!$$

और


 * $$ (x,y,z) = (4 \cos \vartheta, -3+5 \sin \vartheta, 3 \cos \vartheta) . \,\!$$

स्लाइसिंग प्लेन को इसके केंद्र से गुजरते हुए दो बिंदुओं पर स्पर्शरेखा के रूप में चुना जाता है। यह स्पर्शरेखा है (16⁄5, 0, 12⁄5) और कम से (−16⁄5, 0, −12⁄5). टुकड़ा करने का कोण विशिष्ट रूप से चुने हुए टोरस के आयामों द्वारा निर्धारित किया जाता है। Z-अक्ष के चारों ओर किसी भी एक ऐसे विमान को घुमाने से उस टोरस के लिए सभी विल्लारसेउ मंडलियां मिलती हैं।

अस्तित्व और समीकरण
हलकों के अस्तित्व का एक सबूत इस तथ्य से बनाया जा सकता है कि स्लाइसिंग विमान दो बिंदुओं पर टोरस के स्पर्शरेखा है। टोरस की एक विशेषता यह है कि यह क्रांति की सतह है। व्यापकता के नुकसान के बिना, एक समन्वय प्रणाली चुनें ताकि क्रांति की धुरी z अक्ष हो। (R, 0, 0) पर केंद्रित xz समतल में त्रिज्या r के एक वृत्त से प्रारंभ करें।


 * $$ 0 = (x-R)^2 + z^2 - r^2 \,\!$$

व्यापक रूप से x के स्थान पर (x2 + और2)1/2, और वर्गमूल को साफ़ करने से एक चतुर्थक समीकरण बनता है।


 * $$ 0 = (x^2+y^2+z^2 + R^2 - r^2)^2 - 4R^2(x^2+y^2) . \,\!$$

एक्सजेड प्लेन में स्वेप्ट सतह के क्रॉस-सेक्शन में अब एक दूसरा सर्कल शामिल है।


 * $$ 0 = (x+R)^2 + z^2 - r^2 \,\!$$

हलकों की इस जोड़ी में हलकों की दो स्पर्श रेखाएँ हैं, मूल में ढलान के साथ समकोण त्रिभुज से कर्ण R और विपरीत भुजा r (जिसका स्पर्शरेखा के बिंदु पर इसका समकोण है) से पाया जाता है। इस प्रकार z/x बराबर ±r / (R2 − आर 2)1/2, और धन चिह्न को चुनने से टोरस से स्पर्शरेखा तल के समीकरण का निर्माण होता है।


 * $$ 0 = x r - z\sqrt{R^2-r^2} \,\!$$

समरूपता से, z अक्ष के चारों ओर इस विमान के घूर्णन केंद्र के माध्यम से सभी स्पर्शरेखा विमानों को देते हैं। (टोरस के ऊपर और नीचे क्षैतिज तल भी हैं, जिनमें से प्रत्येक एक "डबल सर्कल" देता है, लेकिन विलारसेउ सर्कल नहीं।)


 * $$ 0 = x r \cos \varphi + y r \sin \varphi - z \sqrt{R^2-r^2} \,\!$$

हम विश्लेषणात्मक रूप से टोरस के साथ विमान (ओं) के चौराहे की गणना कर सकते हैं, और इस प्रकार दिखाते हैं कि परिणाम मंडलियों की एक सममित जोड़ी है, जिनमें से एक त्रिज्या आर का एक चक्र है जो पर केंद्रित है


 * $$ (-r \sin \varphi, r \cos \varphi, 0) . \,\!$$

इन पंक्तियों के साथ एक उपचार H.S.M. Coxeter (1969) में पाया जा सकता है।

हिर्श (2002) द्वारा प्रक्षेपी सेटिंग में बीजगणितीय ज्यामिति का उपयोग करते हुए एक अधिक सार - और अधिक लचीला - दृष्टिकोण का वर्णन किया गया था। टोरस के लिए सजातीय क्वार्टिक समीकरण में,


 * $$ 0 = (x^2+y^2+z^2 + R^2w^2 - r^2w^2)^2 - 4R^2w^2(x^2+y^2), \,\!$$

w को शून्य पर सेट करने से "इन्फिनिटी पर विमान" के साथ प्रतिच्छेदन मिलता है, और समीकरण को कम कर देता है


 * $$ 0 = (x^2+y^2+z^2)^2 . \,\!$$

यह चौराहा एक दोहरा बिंदु है, वास्तव में एक दोहरा बिंदु दो बार गिना जाता है। इसके अलावा, यह हर स्पर्शरेखा विमान में शामिल है। स्पर्शरेखा के दो बिंदु भी दोहरे बिंदु हैं। इस प्रकार प्रतिच्छेदन वक्र, जो सिद्धांत कहता है कि क्वार्टिक होना चाहिए, में चार दोहरे बिंदु होते हैं। लेकिन हम यह भी जानते हैं कि तीन से अधिक दोहरे बिंदुओं वाले क्वार्टिक को कारक होना चाहिए (यह इर्रिड्यूसिबल (गणित) नहीं हो सकता है), और समरूपता के अनुसार कारकों को दो सर्वांगसम शंकु खंड होना चाहिए। हिर्श इस तर्क को एक शांकव द्वारा उत्पन्न क्रांति की किसी भी सतह तक विस्तारित करता है, और दिखाता है कि चौराहे वक्र वास्तविक होने पर जनरेटर के रूप में एक ही प्रकार के दो शंकुओं का उत्पादन करना चाहिए।

जगह भरना
टोरस 3-गोले, एस के हॉफ फिब्रेशन में एक केंद्रीय भूमिका निभाता है3, साधारण गोले के ऊपर, एस2, जिसमें वृत्त हैं, S1, तंतुओं के रूप में। जब 3-गोले को यूक्लिडियन अंतरिक्ष  में मैप किया जाता है|यूक्लिडियन 3-स्पेस को  त्रिविम प्रक्षेपण  द्वारा, एस पर अक्षांश के एक चक्र की उलटी छवि2 तन्तु मानचित्र के नीचे एक टोरस है, और तंतु स्वयं विल्लारसेउ मंडल हैं।  थॉमस बंचोफ़  ने कंप्यूटर ग्राफिक्स इमेजरी के साथ ऐसे टोरस का पता लगाया है। मंडलियों के बारे में असामान्य तथ्यों में से एक यह है कि प्रत्येक अन्य सभी के माध्यम से लिंक करता है, न केवल अपने स्वयं के टोरस में बल्कि पूरे स्थान को भरने वाले संग्रह में; बर्जर के पास एक चर्चा और ड्राइंग है।

यह भी देखें

 * टोरिक खंड
 * मूत्राशय मछली

बाहरी संबंध

 * Flat Torus in the Three-Sphere
 * The circles of the torus (Les cercles du tore)
 * The circles of the torus (Les cercles du tore)