परवलय का चतुर्भुज

परवलय का चतुर्भुज (Τετραγωνισμὸς παραβολῆς) ज्यामिति पर एक ग्रंथ है, जो आर्किमिडीज़ द्वारा तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व में लिखा गया था और उनके अलेक्जेंड्रियन परिचित डोसिथियस को संबोधित किया गया था। इसमें परवलय के संबंध में 24 प्रस्ताव शामिल हैं, जो दो प्रमाणों में परिणत होते हैं जो दिखाते हैं कि एक परवलय खंड का क्षेत्रफल (एक परवलय और एक रेखा (ज्यामिति) से घिरा क्षेत्र) है $$\tfrac43$$ एक निश्चित उत्कीर्ण त्रिभुज का।

यह आर्किमिडीज़ के सबसे प्रसिद्ध कार्यों में से एक है, विशेष रूप से थकावट की विधि के सरल उपयोग और ज्यामितीय श्रृंखला के दूसरे भाग में। आर्किमिडीज़ क्षेत्र को अनंत रूप से कई त्रिभुजों में विभाजित करता है जिनके क्षेत्र एक ज्यामितीय प्रगति बनाते हैं। फिर वह परिणामी ज्यामितीय श्रृंखला के योग की गणना करता है, और साबित करता है कि यह परवलयिक खंड का क्षेत्र है। यह प्राचीन ग्रीक गणित में कमी और बेतुकापन तर्क के सबसे परिष्कृत उपयोग का प्रतिनिधित्व करता है, और आर्किमिडीज़ का समाधान 17 वीं शताब्दी में समाकलन गणित  के विकास तक नायाब रहा, जिसके बाद कैवलियरी का चतुर्भुज सूत्र आया।

मुख्य प्रमेय
परवलयिक खंड एक परवलय और रेखा से घिरा क्षेत्र है। एक परवलयिक खंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आर्किमिडीज़ एक निश्चित उत्कीर्ण त्रिभुज पर विचार करता है। इस त्रिभुज का आधार परवलय की दी गई जीवा (ज्यामिति) है, और तीसरा शीर्ष परवलय का बिंदु है जैसे कि उस बिंदु पर परवलय की स्पर्श रेखा जीवा के समानांतर होती है। कार्य के प्रस्ताव 1 में कहा गया है कि अक्ष के समानांतर खींची गई तीसरे शीर्ष से एक रेखा जीवा को समान खंडों में विभाजित करती है। मुख्य प्रमेय का दावा है कि परवलयिक खंड का क्षेत्रफल है $$\tfrac43$$ अंकित त्रिभुज का.

पाठ की संरचना
पैराबोला जैसे शंकुधारी खंड एक सदी पहले मेनैक्मस  की बदौलत आर्किमिडीज़ के समय में पहले से ही प्रसिद्ध थे। हालाँकि,  अंतर कलन  और इंटीग्रल कैलकुलस के आगमन से पहले, शंकु खंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने का कोई आसान साधन नहीं था। आर्किमिडीज़ परवलय और जीवा से घिरे क्षेत्र पर विशेष रूप से ध्यान केंद्रित करके इस समस्या का पहला प्रमाणित समाधान प्रदान करता है। आर्किमिडीज़ मुख्य प्रमेय के दो प्रमाण देते हैं: एक अमूर्त यांत्रिकी का उपयोग करके और दूसरा शुद्ध ज्यामिति द्वारा। पहले प्रमाण में, आर्किमिडीज़ गुरुत्वाकर्षण की क्रिया के तहत संतुलन में एक उत्तोलक पर विचार करता है, जिसमें परवलय के भारित खंड और आधार से विशिष्ट दूरी पर लीवर की भुजाओं के साथ एक त्रिकोण निलंबित होता है। जब त्रिभुज के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र ज्ञात होता है, तो लीवर के संतुलन से त्रिभुज के क्षेत्रफल के संदर्भ में परवलय का क्षेत्रफल प्राप्त होता है जिसका आधार समान और ऊंचाई समान होती है। यहां आर्किमिडीज़ विमानों के संतुलन पर में पाई गई प्रक्रिया से भटक गया है, जिसमें उसके गुरुत्वाकर्षण के केंद्र संतुलन के स्तर से नीचे हैं। दूसरा और अधिक प्रसिद्ध प्रमाण शुद्ध ज्यामिति का उपयोग करता है, विशेषकर ज्यामितीय श्रृंखला के योग का।

चौबीस प्रस्तावों में से, पहले तीन को यूक्लिड के एलिमेंट्स ऑफ कॉनिक्स (शंकु वर्गों पर यूक्लिड द्वारा एक खोया हुआ काम) से बिना सबूत के उद्धृत किया गया है। प्रस्ताव 4 और 5 परवलय के प्रारंभिक गुण स्थापित करते हैं। प्रस्ताव 6-17 मुख्य प्रमेय का यांत्रिक प्रमाण देते हैं; प्रस्ताव 18-24 ज्यामितीय प्रमाण प्रस्तुत करते हैं।

परवलयिक खंड का विच्छेदन
प्रमाण का मुख्य विचार परवलयिक खंड को अनंत रूप से कई त्रिभुजों में विच्छेदित करना है, जैसा कि दाईं ओर के चित्र में दिखाया गया है। इनमें से प्रत्येक त्रिभुज अपने स्वयं के परवलयिक खंड में उसी प्रकार अंकित है जिस प्रकार नीला त्रिभुज बड़े खंड में अंकित है।

त्रिभुजों का क्षेत्रफल
अठारह से इक्कीस तक के प्रस्तावों में, आर्किमिडीज़ साबित करता है कि प्रत्येक हरे त्रिकोण का क्षेत्रफल है $$\tfrac18$$ नीले त्रिभुज का क्षेत्रफल, ताकि दोनों हरे त्रिभुजों का योग एक साथ हो $$\tfrac14$$ नीले त्रिभुज का क्षेत्रफल. आधुनिक दृष्टिकोण से, ऐसा इसलिए है क्योंकि हरा त्रिकोण है $$\tfrac12$$ चौड़ाई और $$\tfrac14$$ नीले त्रिकोण की ऊंचाई:

एक ही तर्क के बाद, प्रत्येक $$4$$ पीला त्रिकोण है $$\tfrac18$$ हरे त्रिकोण का क्षेत्रफल या $$\tfrac1{64}$$ नीले त्रिभुज का क्षेत्रफल, योग $$\tfrac4{64} = \tfrac1{16}$$ नीले त्रिभुज का क्षेत्रफल; हरेक $$2^3 = 8$$ लाल त्रिकोण है $$\tfrac18$$ एक पीले त्रिकोण का क्षेत्रफल, योग $$\tfrac{2^3}{8^3} = \tfrac1{64}$$ नीले त्रिभुज का क्षेत्रफल; आदि। थकावट की विधि का उपयोग करते हुए, यह निम्नानुसार है कि परवलयिक खंड का कुल क्षेत्रफल किसके द्वारा दिया गया है


 * $$\text{Area}\;=\;T \,+\, \frac14T \,+\, \frac1{4^2}T \,+\, \frac1{4^3}T \,+\, \cdots.$$

यहाँ T बड़े नीले त्रिभुज के क्षेत्रफल को दर्शाता है, दूसरा पद दो हरे त्रिभुजों के कुल क्षेत्रफल को दर्शाता है, तीसरा पद चार पीले त्रिभुजों के कुल क्षेत्रफल को दर्शाता है, इत्यादि। इससे देना आसान हो जाता है


 * $$\text{Area}\;=\;\left(1 \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \frac{1}{64} \,+\, \cdots\right)T.$$

श्रृंखला का योग
प्रमाण को पूरा करने के लिए, आर्किमिडीज़ उसे दिखाता है


 * $$1 \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \frac{1}{64} \,+\, \cdots\;=\; \frac{4}{3}.$$

उपरोक्त सूत्र एक ज्यामितीय श्रृंखला है - प्रत्येक क्रमिक पद पिछले पद का एक चौथाई है। आधुनिक गणित में, वह सूत्र ज्यामितीय श्रृंखला#Sum का एक विशेष मामला है।

आर्किमिडीज़ पूरी तरह से ज्यामितीय विधि का उपयोग करके योग का मूल्यांकन करता है, निकटवर्ती चित्र में दर्शाया गया है। यह चित्र एक इकाई वर्ग को दर्शाता है जिसे अनंत छोटे वर्गों में विच्छेदित किया गया है। प्रत्येक क्रमिक बैंगनी वर्ग का क्षेत्रफल पिछले वर्ग का एक चौथाई होता है, जिसमें कुल बैंगनी क्षेत्रफल का योग होता है


 * $$\frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \frac{1}{64} \,+\, \cdots.$$

हालाँकि, बैंगनी वर्ग पीले वर्गों के किसी भी सेट के अनुरूप हैं, और इसलिए कवर करते हैं $$\tfrac13$$ इकाई वर्ग के क्षेत्रफल का. इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि उपरोक्त श्रृंखला का सार यही है $$\tfrac43$$ (तब से $1 + \tfrac13 = \tfrac43$).

यह भी देखें

 * कलन का इतिहास

अग्रिम पठन

 * Dijksterhuis, E.J. (1987) "Archimedes", Princeton U. Press ISBN 0-691-08421-1
 * Dijksterhuis, E.J. (1987) "Archimedes", Princeton U. Press ISBN 0-691-08421-1
 * Dijksterhuis, E.J. (1987) "Archimedes", Princeton U. Press ISBN 0-691-08421-1
 * Dijksterhuis, E.J. (1987) "Archimedes", Princeton U. Press ISBN 0-691-08421-1

बाहरी संबंध

 * Full text, as translated by T.L. Heath.
 * . Text of propositions 1–3 and 20–24, with commentary.
 * http://planetmath.org/ArchimedesCalculus