द्वितीय अवकलज

कलन में, किसी फलन का दूसरा अवकलज, या दूसरा क्रम अवकलज (गणित) $f$ के व्युत्पन्न का व्युत्पन्न है $f$. मोटे तौर पर, दूसरा व्युत्पन्न यह मापता है कि मात्रा के परिवर्तन की दर स्वयं कैसे बदल रही है; उदाहरण के लिए, समय के संबंध में किसी वस्तु की स्थिति का दूसरा व्युत्पन्न वस्तु का तात्कालिक त्वरण है, या वह दर जिस पर समय के संबंध में वस्तु का वेग बदल रहा है। लीबनिज संकेतन में:


 * $$\mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d^2\boldsymbol{x}}{dt^2},$$

जहाँ a त्वरण है, v वेग है, t समय है, x स्थिति है, और d तात्क्षणिक डेल्टा या परिवर्तन है। अंतिम अभिव्यक्ति $$\tfrac{d^2\boldsymbol{x}}{dt^2}$$ समय के संबंध में स्थिति (x) का दूसरा व्युत्पन्न है।

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर, दूसरा व्युत्पन्न ग्राफ़ के वक्रता या उत्तल फ़ंक्शन से मेल खाता है। एक सकारात्मक दूसरे व्युत्पन्न के साथ एक फ़ंक्शन का ग्राफ ऊपर की ओर अवतल होता है, जबकि एक नकारात्मक दूसरे व्युत्पन्न के साथ एक फ़ंक्शन का ग्राफ विपरीत तरीके से घटता है।

दूसरा व्युत्पन्न शक्ति नियम
पहले व्युत्पन्न के लिए शक्ति नियम, यदि दो बार लागू किया जाता है, तो दूसरा व्युत्पन्न शक्ति नियम निम्नानुसार उत्पन्न होगा:


 * $$\frac{d^2}{dx^2}\left[x^n\right] = \frac{d}{dx}\frac{d}{dx}\left[x^n\right] = \frac{d}{dx}\left[nx^{n-1}\right] = n\frac{d}{dx}\left[x^{n-1}\right] = n(n - 1)x^{n-2}.$$

नोटेशन
किसी फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न $$f(x)$$ सामान्यतया निरूपित किया जाता है $$f''(x)$$. वह है:
 * $$f'' = \left(f'\right)'$$

डेरिवेटिव के लिए लीबनिज़ के संकेतन का उपयोग करते समय, आश्रित चर का दूसरा डेरिवेटिव $y$ एक स्वतंत्र चर के संबंध में $x$ लिखा है
 * $$\frac{d^2y}{dx^2}.$$

यह संकेतन निम्नलिखित सूत्र से लिया गया है:
 * $$\frac{d^2y}{dx^2} \,=\, \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right).$$

वैकल्पिक संकेतन
जैसा कि पिछले खंड नोट करता है, दूसरे डेरिवेटिव के लिए मानक लीबनिज़ संकेतन है $\frac{d^2y}{dx^2}$. हालाँकि, यह रूप बीजगणितीय रूप से हेरफेर करने योग्य नहीं है। अर्थात्, हालांकि यह अंतर के एक अंश की तरह बनता है, अंश को टुकड़ों में विभाजित नहीं किया जा सकता है, शर्तों को रद्द नहीं किया जा सकता है, आदि। हालांकि, दूसरे व्युत्पन्न के लिए एक वैकल्पिक सूत्र का उपयोग करके इस सीमा को दूर किया जा सकता है। यह भागफल नियम को पहले व्युत्पन्न पर लागू करने से प्राप्त होता है। ऐसा करने से सूत्र प्राप्त होता है:


 * $$y''(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx} = \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx}\frac{d^2x}{dx^2}$$

इस सूत्र में, $$du$$ लागू अंतर ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करता है $$u$$, अर्थात।, $$d(u)$$, $$d^2u$$ अंतर ऑपरेटर को दो बार लागू करने का प्रतिनिधित्व करता है, अर्थात, $$d(d(u))$$, और $$du^2$$ लागू किए गए अंतर ऑपरेटर के वर्ग को संदर्भित करता है $$u$$, अर्थात।, $$(d(u))^2$$.

जब इस तरह से लिखा जाता है (और ऊपर दिए गए अंकन के अर्थ को ध्यान में रखते हुए), दूसरे व्युत्पन्न की शर्तों को किसी अन्य बीजगणितीय शब्द के रूप में स्वतंत्र रूप से जोड़-तोड़ किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, दूसरे व्युत्पन्न के लिए व्युत्क्रम फ़ंक्शन सूत्र को उपरोक्त सूत्र के बीजगणितीय जोड़-तोड़ के साथ-साथ दूसरे व्युत्पन्न के लिए श्रृंखला नियम से भी निकाला जा सकता है। क्या अंकन में इस तरह का बदलाव करना मुसीबत के लायक होने के लिए पर्याप्त रूप से मददगार है, इस पर अभी भी बहस चल रही है।

उदाहरण
समारोह दिया
 * $$f(x) = x^3,$$

का व्युत्पन्न $f$ कार्य है
 * $$f^{\prime}(x) = 3x^2.$$

का दूसरा व्युत्पन्न $f$ का व्युत्पन्न है $$f^{\prime}$$, अर्थात्
 * $$f^{\prime\prime}(x) = 6x.$$

अवतलता
किसी फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न $f$ के ग्राफ की अवतलता ज्ञात करने के लिए उपयोग किया जा सकता है $f$. एक फ़ंक्शन जिसका दूसरा व्युत्पन्न धनात्मक है अवतल होगा (जिसे उत्तल भी कहा जाता है), जिसका अर्थ है कि स्पर्शरेखा रेखा फ़ंक्शन के ग्राफ़ के नीचे स्थित होगी। इसी तरह, एक फ़ंक्शन जिसका दूसरा व्युत्पन्न ऋणात्मक है, अवतल होगा (जिसे केवल अवतल भी कहा जाता है), और इसकी स्पर्शरेखाएँ फ़ंक्शन के ग्राफ़ के ऊपर स्थित होंगी।

मोड़ बिंदु
यदि किसी फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न चिह्न बदलता है, तो फ़ंक्शन का ग्राफ़ अवतल से अवतल से ऊपर या इसके विपरीत स्विच करेगा। एक बिंदु जहां यह होता है एक विभक्ति बिंदु कहा जाता है। मान लें कि दूसरा व्युत्पन्न निरंतर है, इसे किसी भी मोड़ बिंदु पर शून्य का मान लेना चाहिए, हालांकि हर बिंदु जहां दूसरा व्युत्पन्न शून्य है, अनिवार्य रूप से मोड़ का बिंदु नहीं है।

दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण
दूसरे व्युत्पन्न और ग्राफ के बीच के संबंध का परीक्षण करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है कि क्या फ़ंक्शन के लिए एक स्थिर बिंदु (यानी, एक बिंदु जहां $$f'(x)=0$$) स्थानीय अधिकतम या स्थानीय न्यूनतम है। विशेष रूप से, दूसरा व्युत्पन्न इन परिणामों को उत्पन्न करने का कारण एक वास्तविक दुनिया सादृश्य के माध्यम से देखा जा सकता है। एक वाहन पर विचार करें जो पहले एक बड़े वेग से आगे बढ़ रहा है, लेकिन नकारात्मक त्वरण के साथ। स्पष्ट रूप से, उस बिंदु पर वाहन की स्थिति जहाँ वेग शून्य तक पहुँचता है, प्रारंभिक स्थिति से अधिकतम दूरी होगी - इस समय के बाद, वेग ऋणात्मक हो जाएगा और वाहन उल्टा हो जाएगा। न्यूनतम के लिए भी यही सच है, एक वाहन के साथ जिसमें पहले तो बहुत नकारात्मक वेग होता है लेकिन सकारात्मक त्वरण होता है।
 * अगर $$f^{\prime\prime}(x) < 0$$, तब $$f$$ पर स्थानीय अधिकतम है $$x$$.
 * अगर $$f^{\prime\prime}(x) > 0$$, तब $$f$$ स्थानीय न्यूनतम है $$x$$.
 * अगर $$f^{\prime\prime}(x) = 0$$, दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण बिंदु के बारे में कुछ नहीं कहता है $$x$$, एक संभावित विभक्ति बिंदु।

सीमा
दूसरे व्युत्पन्न के लिए एकल सीमा (गणित) लिखना संभव है:
 * $$f''(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2}.$$

सीमा को दूसरा सममित व्युत्पन्न कहा जाता है। ध्यान दें कि दूसरा सममित व्युत्पन्न तब भी मौजूद हो सकता है जब (सामान्य) दूसरा व्युत्पन्न नहीं होता है।

दाईं ओर की अभिव्यक्ति को अंतर भागफलों के अंतर भागफल के रूप में लिखा जा सकता है:
 * $$\frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2} = \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h}.$$

इस सीमा को अनुक्रम (गणित) के दूसरे अंतर के निरंतर संस्करण के रूप में देखा जा सकता है।

हालाँकि, उपरोक्त सीमा के अस्तित्व का अर्थ यह नहीं है कि function $$f$$ दूसरा व्युत्पन्न है। ऊपर दी गई सीमा सिर्फ दूसरे व्युत्पन्न की गणना करने की संभावना देती है - लेकिन परिभाषा प्रदान नहीं करती है। एक प्रति उदाहरण साइन समारोह है $$\sgn(x)$$, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:


 * $$\sgn(x) = \begin{cases}

-1 & \text{if } x < 0, \\ 0 & \text{if } x = 0, \\ 1 & \text{if } x > 0. \end{cases}$$ साइन फ़ंक्शन शून्य पर निरंतर नहीं है, और इसलिए दूसरा व्युत्पन्न है $$x=0$$ मौजूद नहीं होना। लेकिन उपरोक्त सीमा के लिए मौजूद है $$x=0$$:


 * $$\begin{align}

\lim_{h \to 0} \frac{\sgn(0+h) - 2\sgn(0) + \sgn(0-h)}{h^2} &= \lim_{h \to 0} \frac{\sgn(h) - 2\cdot 0 + \sgn(-h)}{h^2} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\sgn(h) + (-\sgn(h))}{h^2} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h^2} = 0. \end{align}$$

द्विघात सन्निकटन
जिस प्रकार पहला अवकलज रेखीय सन्निकटन से संबंधित होता है, उसी प्रकार दूसरा अवकलज किसी फलन के सर्वोत्तम द्विघात सन्निकटन से संबंधित होता है। $f$. यह द्विघात फलन है जिसका पहला और दूसरा अवकलज वही है जो का है $f$ एक निश्चित बिंदु पर। किसी फ़ंक्शन के सर्वोत्तम द्विघात सन्निकटन का सूत्र $f$ बिंदु के आसपास $x = a$ है
 * $$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \tfrac12 f''(a)(x-a)^2.$$

यह द्विघात सन्निकटन पर केन्द्रित फलन के लिए दूसरे क्रम का टेलर बहुपद है $x = a$.

दूसरे व्युत्पन्न के eigenvalues ​​​​और eigenvectors
सीमा शर्तों के कई संयोजनों के लिए दूसरे व्युत्पन्न के eigenvalues ​​​​और eigenvectors के लिए स्पष्ट सूत्र प्राप्त किए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए मान लेना $$x \in [0,L]$$ और सजातीय डिरिचलेट सीमा की स्थिति (यानी, $$ v(0)=v(L)=0$$), eigenvalues ​​​​हैं $$ \lambda_j = -\tfrac{j^2 \pi^2}{L^2}$$ और संबंधित eigenvectors (जिसे eigenfunctions भी कहा जाता है) हैं $$ v_j(x) = \sqrt{\tfrac{2}{L}} \sin\left(\tfrac{j \pi x}{L}\right) $$. यहाँ, $$ v''_j(x) = \lambda_j v_j(x), \, j=1,\ldots,\infty.$$ अन्य प्रसिद्ध मामलों के लिए, दूसरे डेरिवेटिव के आइगेनवैल्यू और ईजेनवेक्टर देखें।

हेसियन
दूसरा व्युत्पन्न दूसरे आंशिक डेरिवेटिव की धारणा के माध्यम से उच्च आयामों को सामान्य करता है। किसी फलन f: 'R' के लिए3 → R, इनमें तीन सेकंड-ऑर्डर आंशिक शामिल हैं


 * $$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \; \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}, \text{ and }\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$$

और मिश्रित आंशिक


 * $$\frac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}, \; \frac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial z}, \text{ and }\frac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial z}.$$

यदि फ़ंक्शन की छवि और डोमेन दोनों में क्षमता है, तो ये एक साथ एक सममित मैट्रिक्स में फिट होते हैं जिसे हेसियन के रूप में जाना जाता है। इस मैट्रिक्स के eigenvalues ​​दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के एक बहुभिन्नरूपी एनालॉग को लागू करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है। (दूसरा आंशिक व्युत्पन्न परीक्षण भी देखें।)

लाप्लासियन
दूसरे व्युत्पन्न का एक अन्य सामान्य सामान्यीकरण लाप्लासियन है। यह डिफरेंशियल ऑपरेटर है $$\nabla^2$$ (या $$\Delta$$) द्वारा परिभाषित
 * $$\nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.$$

किसी फ़ंक्शन का लाप्लासियन ग्रेडियेंट के विचलन और हेस्सियन मैट्रिक्स के ट्रेस (रैखिक बीजगणित) के बराबर है।

यह भी देखें

 * चंचलता, तात्कालिक चरण का दूसरा व्युत्पन्न
 * परिमित अंतर, दूसरे व्युत्पन्न का अनुमान लगाने के लिए उपयोग किया जाता है
 * दूसरा आंशिक व्युत्पन्न परीक्षण
 * दूसरे डेरिवेटिव की समरूपता

बाहरी संबंध

 * Discrete Second Derivative from Unevenly Spaced Points