अबेलिअन विविधता सीमांकन समीकरण

गणित में, एबेलियन विविधता की अवधारणा अण्डाकार वक्र का उच्च-आयामी सामान्यीकरण है। एबेलियन किस्मों को परिभाषित करने वाले समीकरण अध्ययन का विषय हैं क्योंकि प्रत्येक एबेलियन किस्म एक प्रक्षेपी किस्म है। हालाँकि, आयाम d ≥ 2 में, ऐसे समीकरणों पर चर्चा करना अब उतना सरल नहीं रह गया है।

इस प्रश्न पर एक बड़ा शास्त्रीय साहित्य है, जो जटिल बीजगणितीय ज्यामिति के लिए, थीटा कार्यों के बीच संबंधों का वर्णन करने का एक प्रश्न है। आधुनिक ज्यामितीय उपचार अब 1966 से 1967 तक डेविड मम्फोर्ड  के कुछ बुनियादी पत्रों को संदर्भित करता है, जिन्होंने सामान्य क्षेत्र (गणित) पर मान्य अमूर्त बीजगणितीय ज्यामिति के संदर्भ में उस सिद्धांत को दोबारा तैयार किया।

संपूर्ण चौराहे
एकमात्र 'आसान' मामले वे हैं जो d = 1 के लिए हैं, प्रक्षेप्य तल या प्रक्षेप्य 3-स्थान के रैखिक विस्तार के साथ एक अण्डाकार वक्र के लिए। समतल में, प्रत्येक अण्डाकार वक्र एक घन वक्र द्वारा दिया जाता है। पी में3, दो चतुर्भुजों के प्रतिच्छेदन के रूप में एक अण्डाकार वक्र प्राप्त किया जा सकता है।

सामान्य तौर पर एबेलियन किस्में पूर्ण प्रतिच्छेदन नहीं होती हैं। कंप्यूटर बीजगणित तकनीकें अब d > 1 के छोटे मानों के लिए समीकरणों के प्रत्यक्ष संचालन पर कुछ प्रभाव डालने में सक्षम हैं।

कुम्मर सतहें
कुमेर सतह में उन्नीसवीं सदी की ज्यामिति में रुचि आंशिक रूप से उस तरह से आई, जिस तरह से एक चतुर्थक सतह ने एबेलियन किस्म पर x → −x द्वारा उत्पन्न ऑटोमोर्फिज्म के क्रम 2 के समूह द्वारा d = 2 के साथ एक एबेलियन किस्म के भागफल का प्रतिनिधित्व किया था।

सामान्य मामला
ममफोर्ड ने एबेलियन किस्म ए पर एक उलटा शीफ ​​एल से जुड़े थीटा प्रतिनिधित्व को परिभाषित किया। यह एल के स्व-ऑटोमोर्फिज्म का एक समूह है, और हाइजेनबर्ग समूह का एक सीमित एनालॉग है। प्राथमिक परिणाम एल के वैश्विक वर्गों पर थीटा समूह की कार्रवाई पर हैं। जब एल बहुत प्रचुर मात्रा में होता है, तो थीटा समूह की संरचना के माध्यम से रैखिक प्रतिनिधित्व का वर्णन किया जा सकता है। वास्तव में थीटा समूह अमूर्त रूप से एक सरल प्रकार का निलपोटेंट समूह है, एक समूह विस्तार#ए पर मरोड़ बिंदुओं के समूह का केंद्रीय विस्तार, और विस्तार ज्ञात है (यह वास्तव में वेइल युग्मन द्वारा दिया गया है)। दिए गए केंद्रीय चरित्र के साथ थीटा समूह के अपरिवर्तनीय रैखिक प्रतिनिधित्व के लिए एक विशिष्टता परिणाम है, या दूसरे शब्दों में स्टोन-वॉन न्यूमैन प्रमेय का एक एनालॉग है। (इसके लिए यह माना जाता है कि गुणांक के क्षेत्र की विशेषता थीटा समूह के क्रम को विभाजित नहीं करती है।)

ममफोर्ड ने दिखाया कि कैसे यह अमूर्त बीजगणितीय सूत्रीकरण थीटा विशेषताओं के साथ थीटा कार्यों के शास्त्रीय सिद्धांत के लिए जिम्मेदार हो सकता है, जैसा कि उस मामले में था जहां थीटा समूह ए के दो-मरोड़ का विस्तार था।

इस क्षेत्र में एक नवाचार मुकाई-फूरियर रूपांतरण का उपयोग करना है।

निर्देशांक वलय
सिद्धांत का लक्ष्य एम्बेडेड एबेलियन किस्म ए के सजातीय समन्वय रिंग पर परिणाम साबित करना है, जो कि एक बहुत ही पर्याप्त एल और उसके वैश्विक खंडों के अनुसार प्रक्षेप्य स्थान में सेट है। श्रेणीबद्ध क्रमविनिमेय वलय जो वैश्विक खंडों के प्रत्यक्ष योग से बनता है


 * $$L^n,\ $$

जिसका अर्थ है कि स्वयं का एन-गुना टेंसर उत्पाद, एक सजातीय आदर्श I द्वारा बहुपद बीजगणित की भागफल अंगूठी के रूप में दर्शाया गया है। I के वर्गीकृत भाग गहन अध्ययन का विषय रहे हैं।

द्विघात संबंध बर्नहार्ड रीमैन द्वारा प्रदान किए गए थे। 'कोइज़ुमी का प्रमेय' बताता है कि एक पर्याप्त लाइन बंडल की तीसरी शक्ति सामान्य रूप से उत्पन्न होती है। 'ममफोर्ड-केम्फ प्रमेय' में कहा गया है कि एक पर्याप्त रेखा बंडल की चौथी शक्ति को चतुर्भुज रूप से प्रस्तुत किया जाता है। विशेषता शून्य के आधार क्षेत्र के लिए, ग्यूसेप पारेस्ची ने इन्हें शामिल करते हुए एक परिणाम साबित किया (जैसा कि मामले पी = 0, 1) जो लेज़र्सफेल्ड द्वारा अनुमान लगाया गया था: एल को एबेलियन किस्म ए पर एक पर्याप्त लाइन बंडल होने दें। यदि एन ≥ पी + 3, तो एल की एन-वें टेंसर शक्ति सजातीय समन्वय रिंग#प्रोजेक्टिव सामान्यता|स्थिति एन को संतुष्ट करती हैp. परेस्ची और पोपा द्वारा आगे के परिणाम सिद्ध किए गए हैं, जिसमें क्षेत्र में पिछला काम भी शामिल है।

यह भी देखें

 * एबेलियन किस्मों की समयरेखा
 * हॉरोक्स-ममफोर्ड बंडल

संदर्भ

 * David Mumford, On the equations defining abelian varieties I Invent. Math., 1  (1966)  pp. 287–354
 * ____, On the equations defining abelian varieties II–III  Invent. Math., 3  (1967)  pp. 71–135; 215–244
 * ____, Abelian varieties (1974)
 * Jun-ichi Igusa, Theta functions (1972)

अग्रिम पठन

 * David Mumford, Selected papers on the classification of varieties and moduli spaces, editorial comment by G. Kempf and H. Lange, pp. 293–5