अतिप्रत्यास्थ भौतिक



हाइपरलास्टिक या अतिप्रत्यास्थ भौतिकी आदर्श रूप से प्रत्यास्थ (ठोस यांत्रिकी) भौतिकी के लिए एक प्रकार का संवैधानिक समीकरण है जिसके लिए तनाव-तनाव संबंध तनाव ऊर्जा घनत्व समारोह से प्राप्त होता है। हाइपरलास्टिक भौतिकी कॉची प्रत्यास्थ भौतिकी का एक विशेष मामला है।

कई सामग्रियों के लिए, रैखिक लोच मॉडल देखे गए भौतिक व्यवहार का सटीक वर्णन नहीं करते हैं। इस तरह की भौतिकी का सबसे आम उदाहरण रबर है, जिसके तनाव-तनाव (भौतिकी) संबंध को गैर-रैखिक रूप से प्रत्यास्थ, समदैशिक और असम्पीडित के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। हाइपरलास्टिक ऐसी सामग्रियों के तनाव-तनाव व्यवहार को मॉडलिंग करने का एक साधन प्रदान करता है। अपूर्ण, वल्केनाइज्ड इलास्टोमर्स का व्यवहार प्रायः हाइपरलास्टिक आदर्श के अनुरूप होता है। भरे हुए इलास्टोमर्स और जैविक ऊतक भी प्रायः हाइपरलास्टिक आदर्शीकरण के माध्यम से तैयार किए जाते हैं।

रोनाल्ड रिवलिन और मेल्विन मूनी ने नियो-हुकेन और मूनी-रिवलिन ठोस यांत्रिकी मॉडल के पहले हाइपरलास्टिक मॉडल को विकसित किया था इसके बाद से कई अन्य हाइपरलास्टिक मॉडल विकसित किए गए हैं। अन्य व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले हाइपरलास्टिक भौतिकी मॉडल में ओग्डेन मॉडल और अरुडा-बॉयस मॉडल सम्मिलित हैं।

सेंट वेनेंट-किरचॉफ मॉडल
सबसे सामान्य हाइपरलास्टिक भौतिकी मॉडल सेंट वेनेंट-किरचॉफ मॉडल है जो ज्यामितीय रूप से गैर-रैखिक मॉडल के लिए ज्यामितीय रूप से रैखिक प्रत्यास्थ भौतिकी मॉडल का विस्तार है। इस मॉडल का क्रमशः सामान्य और समदैशिक रूप है: $$\begin{align} \boldsymbol{S} &= \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{S} &= \lambda~ \text{tr}(\boldsymbol{E})\boldsymbol{\mathit{I}} + 2\mu\boldsymbol{E} \text{.} \end{align}$$जहाँ $$\mathbin{:}$$ टेंसर संकुचन $$\boldsymbol{S}$$ है दूसरा पिओला-किरचॉफ तनाव $$\boldsymbol{C} : \R^{3 \times 3} \to \R^{3 \times 3}$$ है :और चौथा क्रम कठोरता टेन्सर $$\boldsymbol{E}$$ है, जिसे लग्रांगियन ग्रीन स्ट्रेन द्वारा दिया गया है:

$$\mathbf E =\frac{1}{2}\left[ (\nabla_{\mathbf X}\mathbf u)^\textsf{T} + \nabla_{\mathbf X}\mathbf u + (\nabla_{\mathbf X}\mathbf u)^\textsf{T} \cdot\nabla_{\mathbf X}\mathbf u\right]\,\!$$

$$\lambda$$ और $$\mu$$ स्थिरांक हैं और $$\boldsymbol{\mathit{I}}$$ दूसरा क्रम इकाई टेन्सर है। जो सेंट वेनांट-किरचॉफ मॉडल के लिए तनाव-ऊर्जा घनत्व कार्य है$$W(\boldsymbol{E}) = \frac{\lambda}{2}[\text{tr}(\boldsymbol{E})]^2 + \mu \text{tr}\mathord\left(\boldsymbol{E}^2\right)$$और दूसरा पिओला-किरचॉफ तनाव संबंध से प्राप्त किया जा सकता है:$$ \boldsymbol{S} = \frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{E}} ~. $$

हाइपरलास्टिक भौतिकी मॉडल का वर्गीकरण
हाइपरलास्टिक भौतिकी मॉडल को इस प्रकार वर्गीकृत किया जा सकता है:
 * 1) हाइपरलास्टिक भौतिकी गतिविधि का घटनात्मक विवरण
 * 2) * फंग
 * 3) * मूनी-रिवलिन
 * 4) * ओग्डेन (हाइपरलास्टिक मॉडल)
 * 5) * बहुपद (हाइपरलास्टिक मॉडल)
 * 6) * सेंट वेनेंट-किरचॉफ
 * 7) * योह (हाइपरलेस्टिक मॉडल)
 * 8) * मार्लो (हाइपरलास्टिक मॉडल)
 * 9) भौतिकी की अंतर्निहित संरचना के विषय में तर्कों से प्राप्त यांत्रिकीय मॉडल
 * 10) * अरुडा-बॉयस मॉडल
 * 11) * नियो-हुकेन मॉडल
 * 12) *बुके-सिल्बरस्टीन मॉडल
 * 13) यांत्रिकीय और परिघटनात्मक मॉडल के हाइब्रिड
 * 14) * जेंट (हाइपरलास्टिक मॉडल)
 * 15) * वैन डेर वाल्स (हाइपरेलेटिक मॉडल)

सामान्यतः एक हाइपरलास्टिक मॉडल को ड्रकर स्थिरता मानदंड को पूर्ण करने की आवश्यकता होती है। क्योकि कुछ हाइपरलास्टिक मॉडल वैलेनिस-लैंडल परिकल्पना को सिद्ध करते हैं जो प्रदर्शित करते है कि तनाव ऊर्जा कार्य को प्रमुख भागों $$(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$$ के अलग-अलग कार्यों के योग में विभाजित किया जा सकता है। $$ W = f(\lambda_1) + f(\lambda_2) + f(\lambda_3) \,. $$

पहला पिओला-किरचॉफ तनाव
यदि $$W(\boldsymbol{F})$$ तनाव ऊर्जा घनत्व फलन है, तो पहले पिओला-किरचॉफ तनाव टेन्सर की गणना हाइपरलास्टिक भौतिकी के रूप में की जा सकती है:

$$ \boldsymbol{P} = \frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{F}} \qquad \text{or} \qquad P_{iK} = \frac{\partial W}{\partial F_{iK}} $$

जहाँ $$\boldsymbol{F}$$ विरूपण प्रवणता है। लग्रांगियन तनाव $$\boldsymbol{E}$$ के संदर्भ में$$ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\cdot\frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{E}} \qquad \text{or} \qquad P_{iK} = F_{iL}~\frac{\partial W}{\partial E_{LK}} ~ $$

परिमित कॉची-ग्रीन विरूपण टेन्सर $$\boldsymbol{C}$$ के संदर्भ में $$ \boldsymbol{P} = 2~\boldsymbol{F}\cdot\frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{C}} \qquad \text{or} \qquad P_{iK} = 2~F_{iL}~\frac{\partial W}{\partial C_{LK}} ~. $$

दूसरा पियोला-किरचॉफ तनाव
यदि $$\boldsymbol{S}$$ दूसरा पिओला-किरचॉफ तनाव टेंसर है तो$$ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{F}^{-1}\cdot\frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{F}} \qquad \text{or} \qquad S_{IJ} = F^{-1}_{Ik}\frac{\partial W}{\partial F_{kJ}} ~. $$

लग्रांगियन तनाव के संदर्भ में $$ \boldsymbol{S} = \frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{E}} \qquad \text{or} \qquad S_{IJ} = \frac{\partial W}{\partial E_{IJ}} ~. $$ परिमित कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर के संदर्भ में $$ \boldsymbol{S} = 2~\frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{C}} \qquad \text{or} \qquad S_{IJ} = 2~\frac{\partial W}{\partial C_{IJ}} ~. $$ उपरोक्त संबंध को भौतिक विरूपण में "डॉयल-एरिक्सन सूत्र" के रूप में भी जाना जाता है।

कॉची तनाव
इसी प्रकार, यह तनाव (भौतिकी) द्वारा दिया जाता है: $$ \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}~ \frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{F}}\cdot\boldsymbol{F}^\textsf{T} ~; J := \det\boldsymbol{F} \qquad \text{or} \qquad \sigma_{ij} = \frac{1}{J}~ \frac{\partial W}{\partial F_{iK}}~F_{jK} ~. $$ लग्रांगियन ग्रीन तनाव के संदर्भ में $$ \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}~\boldsymbol{F}\cdot\frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{E}}\cdot\boldsymbol{F}^\textsf{T} \qquad \text{or} \qquad \sigma_{ij} = \frac{1}{J}~F_{iK}~\frac{\partial W}{\partial E_{KL}}~F_{jL} ~. $$ परिमित सही कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर के संदर्भ में $$ \boldsymbol{\sigma} = \frac{2}{J}~\boldsymbol{F}\cdot\frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{C}}\cdot\boldsymbol{F}^\textsf{T} \qquad \text{or} \qquad \sigma_{ij} = \frac{2}{J}~F_{iK}~\frac{\partial W}{\partial C_{KL}}~F_{jL} ~. $$ उपरोक्त भाव विषमदैशिक मीडिया के लिए भी मान्य हैं जिस स्थिति में, संभावित कार्य को प्रारंभिक फाइबर अभिविन्यास जैसे संदर्भ दिशात्मक राशियों पर निहित रूप से निर्भर करने के लिए समझा जाता है। समदैशिक की विशेष स्थिति में, कॉची तनाव को बाएं कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर के संदर्भ में निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है: $$ \boldsymbol{\sigma} = \frac{2}{J}\frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{B}}\cdot~\boldsymbol{B} \qquad \text{or} \qquad \sigma_{ij} = \frac{2}{J}~B_{ik}~\frac{\partial W}{\partial B_{kj}} ~. $$

असंपीड्य हाइपरलास्टिक भौतिकी
एक असंपीड्य भौतिकी $$J := \det\boldsymbol{F} = 1$$ के लिए असंपीड्यता अवरोध $$J-1= 0$$ है। हाइपरलास्टिक भौतिकी की असंपीड्यता सुनिश्चित करने के लिए तनाव-ऊर्जा फलन को निम्न प्रकार में लिखा जा सकता है:$$W = W(\boldsymbol{F}) - p~(J-1)$$जहां स्थैतिक दाब $$p$$ असंपीड्यता अवरोध को प्रयुक्त करने के लिए लैग्रेंज गुणक के रूप में कार्य करता है। अब पिओला-किरचॉफ तनाव पहला तनाव बन गया है: $$ \boldsymbol{P}=-p~J\boldsymbol{F}^{-\textsf{T}} + \frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{F}} = -p~\boldsymbol{F}^{-\textsf{T}} + \boldsymbol{F}\cdot\frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{E}} = -p~\boldsymbol{F}^{-\textsf{T}} + 2~\boldsymbol{F}\cdot\frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{C}} ~. $$ इस तनाव टेन्सर को बाद में किसी भी अन्य भौतिकी तनाव टेंसर में परिवर्तित किया जा सकता है, जैसे कॉची तनाव टेन्सर जो इसके द्वारा दिया जाता है $$ \boldsymbol{\sigma}=\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{F}^\textsf{T} = -p~\boldsymbol{\mathit{1}} + \frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{F}}\cdot\boldsymbol{F}^\textsf{T} = -p~\boldsymbol{\mathit{1}} + \boldsymbol{F}\cdot\frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{E}}\cdot\boldsymbol{F}^\textsf{T} = -p~\boldsymbol{\mathit{1}} + 2~\boldsymbol{F}\cdot\frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{C}}\cdot\boldsymbol{F}^\textsf{T} ~. $$

संपीड्य समदैशिक हाइपरलास्टिक भौतिकी
संपीड्य समदैशिक हाइपरलास्टिक भौतिकी के लिए कॉची तनाव को बाएं कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर या दाएं कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर के संपीड्यता के सिद्धांत के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यदि तनाव ऊर्जा घनत्व फलन है:$$W(\boldsymbol{F})=\hat{W}(I_1,I_2,I_3) = \bar{W}(\bar{I}_1,\bar{I}_2, J) = \tilde{W}(\lambda_1,\lambda_2, \lambda_3),$$ तब $$\begin{align} \boldsymbol{\sigma} & = \frac{2}{\sqrt{I_3}}\left[\left(\frac{\partial\hat{W}}{\partial I_1} + I_1~\frac{\partial\hat{W}}{\partial I_2}\right)\boldsymbol{B} - \frac{\partial\hat{W}}{\partial I_2}~\boldsymbol{B} \cdot\boldsymbol{B} \right] + 2\sqrt{I_3}~\frac{\partial\hat{W}}{\partial I_3}~\boldsymbol{\mathit{1}} \\[5pt] & = \frac{2}{J}\left[\frac{1}{J^{2/3}}\left(\frac{\partial\bar{W}}{\partial \bar{I}_1} + \bar{I}_1~\frac{\partial\bar{W}}{\partial \bar{I}_2}\right)\boldsymbol{B} - \frac{1}{J^{4/3}}~\frac{\partial\bar{W}}{\partial \bar{I}_2}~\boldsymbol{B} \cdot\boldsymbol{B} \right] + \left[\frac{\partial\bar{W}}{\partial J} - \frac{2}{3J} \left(\bar{I}_1~\frac{\partial\bar{W}}{\partial \bar{I}_1} + 2~\bar{I}_2~\frac{\partial\bar{W}}{\partial \bar{I}_2}\right)\right] ~\boldsymbol{\mathit{1}} \\[5pt] & = \frac{2}{J} \left[\left(\frac{\partial\bar{W}}{\partial \bar{I}_1} + \bar{I}_1~\frac{\partial\bar{W}}{\partial \bar{I}_2}\right)\bar{\boldsymbol{B}} - \frac{\partial\bar{W}}{\partial \bar{I}_2}~\bar{\boldsymbol{B}} \cdot\bar{\boldsymbol{B}} \right] + \left[\frac{\partial\bar{W}}{\partial J} - \frac{2}{3J}\left(\bar{I}_1~\frac{\partial\bar{W}}{\partial \bar{I}_1} + 2~\bar{I}_2~\frac{\partial\bar{W}}{\partial \bar{I}_2}\right)\right] ~\boldsymbol{\mathit{1}} \\[5pt] & = \frac{\lambda_1}{\lambda_1\lambda_2\lambda_3}~\frac{\partial\tilde{W}}{\partial \lambda_1}~\mathbf{n}_1\otimes\mathbf{n}_1 + \frac{\lambda_2}{\lambda_1\lambda_2\lambda_3}~\frac{\partial\tilde{W}}{\partial \lambda_2}~\mathbf{n}_2\otimes\mathbf{n}_2 + \frac{\lambda_3}{\lambda_1\lambda_2\lambda_3}~\frac{\partial\tilde{W}}{\partial \lambda_3}~\mathbf{n}_3\otimes\mathbf{n}_3 \end{align} $$ इन प्रतीकों की परिभाषाओं के लिए बाएँ कॉची-ग्रीन विरूपण टेन्सर सिद्धान्त को देखें।

असंपीड्य आइसोट्रोपिक हाइपरलास्टिक भौतिकी
असंपीड्य समदैशिक हाइपरलास्टिक भौतिकी के लिए, तनाव ऊर्जा घनत्व कार्य $$W(\boldsymbol{F})=\hat{W}(I_1,I_2)$$ है तब कॉची तनाव द्वारा दिया जाता है: $$\begin{align} \boldsymbol{\sigma} & = -p~\boldsymbol{\mathit{1}} + 2\left[\left(\frac{\partial\hat{W}}{\partial I_1} + I_1~\frac{\partial\hat{W}}{\partial I_2}\right)\boldsymbol{B} - \frac{\partial\hat{W}}{\partial I_2}~\boldsymbol{B} \cdot\boldsymbol{B} \right] \\ & = - p~\boldsymbol{\mathit{1}} + 2\left[\left(\frac{\partial W}{\partial \bar{I}_1} + I_1~\frac{\partial W}{\partial \bar{I}_2}\right)~\bar{\boldsymbol{B}} - \frac{\partial W}{\partial \bar{I}_2}~\bar{\boldsymbol{B}}\cdot\bar{\boldsymbol{B}}\right] \\ & = - p~\boldsymbol{\mathit{1}} + \lambda_1~\frac{\partial W}{\partial \lambda_1}~\mathbf{n}_1\otimes\mathbf{n}_1 + \lambda_2~\frac{\partial W}{\partial \lambda_2}~\mathbf{n}_2\otimes\mathbf{n}_2 + \lambda_3~\frac{\partial W}{\partial \lambda_3}~\mathbf{n}_3\otimes\mathbf{n}_3 \end{align} $$ जहाँ $$p$$ एक अनिश्चित दाब है। तनाव के संदर्भ में $$ \sigma_{11} - \sigma_{33} = \lambda_1~\frac{\partial W}{\partial \lambda_1} - \lambda_3~\frac{\partial W}{\partial \lambda_3}~; \sigma_{22} - \sigma_{33} = \lambda_2~\frac{\partial W}{\partial \lambda_2} - \lambda_3~\frac{\partial W}{\partial \lambda_3} $$ यदि इसके अतिरिक्त $$I_1 = I_2$$ तब, $$ \boldsymbol{\sigma} = 2\frac{\partial W}{\partial I_1}~\boldsymbol{B} - p~\boldsymbol{\mathit{1}}~. $$ यदि $$\lambda_1 = \lambda_2$$, तब $$ \sigma_{11} - \sigma_{33} = \sigma_{22} - \sigma_{33} = \lambda_1~\frac{\partial W}{\partial \lambda_1} - \lambda_3~\frac{\partial W}{\partial \lambda_3} $$

रैखिक प्रत्यास्थता के साथ संगतता
रैखिक प्रत्यास्थता के साथ संगतता का उपयोग प्रायः हाइपरलास्टिक भौतिकी मॉडल के कुछ मापदंडों को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। इन संगतता स्थितियों को हुक के सिद्धान्त की तुलना छोटे तनाव पर रैखिककृत अतिप्रत्यास्थता के साथ प्रयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।

संपीड्य प्रत्यास्थ भौतिकी मॉडल के लिए संगतता की स्थिति
संपीड्य प्रत्यास्थ भौतिकी मॉडल के लिए संपीड्य रैखिक प्रत्यास्थता के अनुरूप होने के लिए, किरचॉफ तनाव और लग्रांगियन विरूपण के संबंध में अतिसूक्ष्म तनाव सिद्धांत सीमा में निम्न रूप होना चाहिए:$$ \boldsymbol{\sigma} = \lambda~\mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})~\boldsymbol{\mathit{1}} + 2\mu\boldsymbol{\varepsilon} $$जहाँ $$\lambda, \mu$$ "लमे" स्थिरांक हैं। उपरोक्त संबंध के अनुरूप तनाव ऊर्जा घनत्व कार्य है: $$ W = \tfrac{1}{2}\lambda~[\mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})]^2 + \mu~\mathrm{tr}\mathord\left(\boldsymbol{\varepsilon}^2\right). $$एक असंपीड्य भौतिकी के लिए $$\mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon}) = 0$$ और $$ W = \mu~\mathrm{tr}\mathord\left(\boldsymbol{\varepsilon}^2\right). $$ है

किसी भी नाव ऊर्जा घनत्व फलन $$W(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$$ के लिए छोटे लग्रांगियन तनाव विरूपण के लिए उपरोक्त रूपों को कम करने के लिए निम्नलिखित शर्तों को पूर्ण करना आवश्यक होता है। $$\begin{align} & W(1,1,1) = 0 ~; \frac{\partial W}{\partial \lambda_i}(1,1,1) = 0 \\ & \frac{\partial^2 W}{\partial \lambda_i \partial \lambda_j}(1,1,1) = \lambda + 2\mu\delta_{ij} \end{align} $$ यदि भौतिकी असंपीड्य है, तो उपरोक्त शर्तों को निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जा सकता है: $$\begin{align} & W(1,1,1) = 0 \\ & \frac{\partial W}{\partial \lambda_i}(1,1,1) = \frac{\partial W}{\partial \lambda_j}(1,1,1) ~; \frac{\partial^2 W}{\partial \lambda_i^2}(1,1,1) = \frac{\partial^2 W}{\partial \lambda_j^2}(1,1,1) \\ & \frac{\partial^2 W}{\partial \lambda_i \partial \lambda_j}(1,1,1) = \mathrm{independent of}~i,j\ne i \\ & \frac{\partial^2 W}{\partial \lambda_i^2}(1,1,1) - \frac{\partial^2 W}{\partial \lambda_i \partial \lambda_j}(1,1,1) + \frac{\partial W}{\partial \lambda_i}(1,1,1) = 2\mu (i \ne j) \end{align} $$ इन स्थितियों का उपयोग किसी दिए गए अतिप्रत्यास्थ मॉडल, कर्तनी मॉडल और स्थूल मोडुली के पैरामीटर के बीच संबंधों को खोजने के लिए किया जा सकता है।

असंपीड्य $I_{1}$ पर आधारित संगतता की स्थिति
कई इलास्टोमर्स को तनाव ऊर्जा घनत्व फलन द्वारा पर्याप्त रूप से तैयार किया जाता है जो केवल $$I_1$$ पर निर्भर करता है। ऐसी भौतिकी के लिए हमारे पास $$ W = W(I_1) $$ है। $$I_1 = 3, \lambda_i = \lambda_j = 1$$ के लिए असम्पीडित भौतिकी के लिए स्थिरता की स्थिति तब निम्न समीकरण के रूप में व्यक्त की जा सकती है:$$ \left.W(I_1)\right|_{I_1=3} = 0 \quad \text{and} \quad \left.\frac{\partial W}{\partial I_1}\right|_{I_1=3} = \frac{\mu}{2} \,. $$

ऊपर दी गई दूसरी संगतता की स्थिति को ध्यान में रखते हुए प्राप्त किया जा सकता है कि $$ \frac{\partial W}{\partial \lambda_i} = \frac{\partial W}{\partial I_1}\frac{\partial I_1}{\partial \lambda_i} = 2\lambda_i\frac{\partial W}{\partial I_1} \quad\text{and}\quad \frac{\partial^2 W}{\partial \lambda_i \partial \lambda_j} = 2\delta_{ij}\frac{\partial W}{\partial I_1} + 4\lambda_i\lambda_j \frac{\partial^2 W}{\partial I_1^2}\,. $$ इन संबंधों को तब समदैशिक असंपीड्य हाइपरलास्टिक भौतिकी के लिए संगतता की स्थिति में प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * कॉची प्रत्यास्थ भौतिकी
 * सातत्यक यांत्रिकी
 * विरूपण (यांत्रिकी)
 * परिमित तनाव सिद्धांत
 * ओग्डेन-रॉक्सबर्ग मॉडल
 * रबर लोच
 * तनाव के उपाय
 * तनाव (यांत्रिकी)

श्रेणी:सातत्य यांत्रिकी श्रेणी:लोच (भौतिकी) श्रेणी:रबड़ गुण श्रेणी:ठोस यांत्रिकी