स्पोराडिक समूह

गणित में, स्पोराडिक समूह 26 असाधारण समूह (गणित) में से एक है, जो परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण में पाया जाता है।

साधारण समूह एक समूह G होता है जिसमें सतहीय समूह और G को छोड़कर कोई सामान्य उपसमूह नहीं होता है। वर्गीकरण प्रमेय में कहा गया है कि परिमित सरल समूहों की सूची में 18 गिने-चुने अनंत वर्ग सम्मिलित हैं और 26 अपवाद जो इस प्रकार के एक व्यवस्थित प्रतिरूप का पालन नहीं करते हैं। ये 26 अपवाद स्पोराडिक समूह हैं। उन्हें स्पोराडिक सरल समूहों या स्पोराडिक परिमित समूहों के रूप में भी जाना जाता है। क्योंकि यह पूर्ण रूप से लाइ प्रकार का समूह नहीं है, टिट्स समूह को कभी-कभी स्पोराडिक समूह के रूप में माना जाता है, इस स्थिति में 27 स्पोराडिक समूह होंगे।

मॉन्स्टर समूह स्पोराडिक समूहों में सबसे बड़ा है, और छह अन्य स्पोराडिक समूहों को छोड़कर सभी इसके उपखंड हैं।

नाम
1860 के दशक में एमिल लियोनार्ड मैथ्यू द्वारा स्पोराडिक समूहों में से पांच की खोज की गई थी और अन्य 21 1965 और 1975 के बीच पाए गए थे। इनमें से कई समूहों के निर्माण से पहले उनके अस्तित्व की भविष्यवाणी की गई थी। अधिकांश समूहों का नाम उस गणितज्ञ (कों) के नाम पर रखा गया है जिन्होंने सबसे पहले उनके अस्तित्व की भविष्यवाणी की थी। पूरी सूची है:

* मैथ्यू समूह मैथ्यू समूह M11 (M11), मैथ्यू समूह M12 (M12), मैथ्यू समूह M22 (M22), मैथ्यू समूह M23 (M23), मैथ्यू समूहM24 (M 24) टिट्स समूह T को कभी-कभी स्पोराडिक समूह के रूप में भी माना जाता है (यह लगभग नहीं बल्कि वस्तुतः लाइ प्रकार का समूह है), यही कारण है कि कुछ स्रोतों में स्पोराडिक समूहों की संख्या 26 के अतिरिक्त 27 दी गई है। कुछ अन्य स्रोतों में, टिट्स समूह को न तो स्पोराडिक और न ही लाइ प्रकार के रूप में माना जाता है। टिट्स समूह 2F4(2)′ दिक्परिवर्ती समूह 2F4(22n+1)′ के अनंत वर्ग का है; इस प्रकार परिभाषा के अनुसार स्पोराडिक नहीं। n > 0 के लिए ये परिमित सरल समूह लाई प्रकार 2F4(22n+1) के समूहों के साथ मेल खाते हैं, जिन्हें 2F4 प्रकार के री समूह के रूप में भी जाना जाता है।
 * जांको समूह J1 (J1), जांको समूह J2 या HJ (J2), जानको समूह J3 या HJM (J3), जानको समूह J4 (J4)
 * कॉनवे समूह कॉनवे समूह Co1 (Co1), कॉनवे समूह Co2 (Co2), कॉनवे समूह Co3 (Co3)
 * फिशर समूह फिशर समूह Fi22 (Fi22), फिशर समूह Fi23 (Fi23), फिशर समूह Fi24' या F3+ (Fi24)
 * हिगमैन-सिम्स समूह HS
 * मैकलॉघलिन समूह (गणित) MCL
 * आयोजित समूह He या F7+ या F7
 * रुदवालिस समूह Ru
 * सुजुकी समूह (गणित) सुज या F3&minus;
 * O'N समूह O'N (ON)
 * हरदा-नॉर्टन समूह HN या F5+ या F5
 * ल्यों समूह लाइ
 * थॉम्पसन समूह (गणित) Th या F3 या F3
 * बेबी मॉन्स्टर समूह B या F2+ या F2
 * फिशर-ग्रिस मॉन्स्टर समूह M या F1

सभी स्पोराडिक समूहों के लिए परिमित क्षेत्रों पर आव्यूह समूह प्रतिनिधित्व का निर्माण किया गया है। स्पोराडिक समूहों और लगभग संबंधित समूहों के लिए वर्ण सारणी में उनके बाहरी स्वसमाकृतिकता और शूर गुणक के क्रमों के साथ-साथ अधिकतम उपसमूहों और विभिन्न निर्माणों की सूची प्रत्येक स्पोराडिक समूह के लिए अलग-अलग संयुग्मन वर्ग  का एटलस ऑफ फाइनाइट समूह रिप्रेजेंटेशन में सूचीबद्ध हैं।। विशेषता P ≥ 0 के क्षेत्रों न्यूनतम विश्वसनीय प्रतिनिधित्व या मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सिद्धांत के परिमाण की गणना भी सभी स्पोराडिक समूहों और उनके कुछ समुपयोग समूहों के लिए की गई है। ये  विस्तृत हैं।

स्पोराडिक समूह शब्द का सबसे पहला उपयोग हो सकता है जहां वह मैथ्यू समूहों के विषय में टिप्पणी करता है: "ये स्पष्ट रूप से स्पोराडिक सरल समूह संभवतः अभी तक प्राप्त की तुलना में निकटवर्ती परीक्षण का भुगतान करेंगे।"

दाईं ओर का आरेख पर आधारित है। यह स्पोराडिक समूहों के कई गैर-स्पोराडिक सरल उपश्रेणियों को नहीं दिखाता है।

सुखी वर्ग
26 स्पोराडिक समूहों में से 20 को मॉन्स्टर समूह के अंदर उपसमूहों या उपसमूहों के गुणक समूह (अनुभाग (समूह सिद्धांत) S) के रूप में देखा जा सकता है। इन बीसों को रॉबर्ट ग्रिस ने सुखी वर्ग कहा है, और इन्हें तीन पीढ़ियों में संगठित किया जा सकता है।

प्रथम पीढ़ी (5 समूह) : मैथ्यू समूह
n = 11, 12, 22, 23 और 24 के लिए Mn, n बिंदुओं पर सकर्मक क्रमपरिवर्तन समूह हैं। वे सभी M24, के उपसमूह हैं जो 24 (संख्या) बिंदुओं पर क्रमचय समूह है।

द्वितीय पीढ़ी (7 समूह) : लीच जालक
24 (संख्या) आयामों में एक जालक के स्वसमाकृतिकता समूह के सभी उपखंडों को लीच जालक कहा जाता है:
 * Co1 अपने केंद्र {±1} द्वारा स्वसमाकृतिकता समूह का गुणक है
 * Co2 प्रकार 2 (अर्थात, लंबाई 2) सदिश का स्थिरक है
 * Co3 प्रकार 3 (अर्थात, लंबाई $\sqrt{6}$) सदिश का स्थिरक है
 * सुज स्वसमाकृतिकता का समूह है जो एक जटिल संरचना को संरक्षित करता है (मॉड्यूलो इसका केंद्र)
 * McL एक प्रकार के 2-2-3 त्रिकोण का स्थिरक है
 * HS एक प्रकार के 2-3-3 त्रिभुज का स्थिरक है
 * J2 स्वसमाकृतिकता का समूह है जो चतुष्कोणीय संरचना को संरक्षित करता है (मॉड्यूलो इसका केंद्र)।

तृतीय पीढ़ी (8 समूह) : मॉन्स्टर के अन्य उपसमूह
उपसमूहों से मिलकर बनता है जो मॉन्स्टर समूह M से निकटता से संबंधित हैं:
 * B या F2 में दोहरा आवरण होता है जो M में क्रम 2 के तत्व का केंद्रक होता है
 * Fi24′ में एक तिहरा आवरण है जो M में क्रम 3 के एक तत्व का केंद्रीकरण है (संयुग्मन वर्ग "3A" में)
 * Fi23 Fi24' का एक उपसमूह है
 * Fi22 का दोहरा आवरण है जो Fi23 का एक उपसमूह है
 * Th = F3 के गुणनफल और क्रम 3 के एक समूह M में क्रम 3 के एक तत्व का केंद्रक है (संयुग्मता वर्ग 3C में)
 * HN = F5 के गुणनफल और क्रम 5 के समूह M में क्रम 5 के तत्व का केंद्रक है
 * He= F7 के गुणनफल और क्रम 7 के एक समूह M में क्रम 7 के एक तत्व का केंद्रक है।
 * अंत में मॉन्स्टर समूह ही इस पीढ़ी में माना जाता है।

(यह श्रृंखला आगे भी जारी है: M12 का गुणनफल और क्रम 11 के एक समूह M में क्रम 11 के एक तत्व का केंद्रक है।)

टिट्स समूह, यदि स्पोराडिक समूह के रूप में माना जाता है,तो इस पीढ़ी में सम्मिलित होगा: वहाँ एक उपसमूह S4 ×2F4 (2) ' है जो B के 2C2 उपसमूह को सामान्य करते है, जिससे एक उपसमूह 2·S4 ×2F4 (2) ' बनता है, जो मॉन्स्टर के निश्चित Q8 उपसमूह को सामान्य करते है। 2F4 (2) ' भी फिशर समूह Fi22 का एक उपभाग है, और इस प्रकार Fi23 और Fi24’ का भी, और बेबी मॉन्स्टर B का भी। 2F4 (2) ' भी (पारिया) रुदवालिस समूह Ru का एक उपभाग है, और स्पोराडिक सरल समूहों में कोई भागीदारी नहीं है, अतिरिक्त इसके कि पहले से ही उल्लेख किया गया है।

परियाह
छह अपवाद J1, J3, J4, O'N, Ru और Ly, हैं, जिन्हें कभी-कभी पारियाह कहा जाता है।

उद्धृत कार्य













 * (जर्मन)















बाहरी संबंध

 * Atlas of Finite समूह Representations: Sporadic समूहs
 * Atlas of Finite समूह Representations: Sporadic समूहs

משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות