जेट (गणित)

गणित में, जेट एक संक्रिया है जो एक भिन्न फलन एफ लेता है और अपने कार्यक्षेत्र के प्रत्येक बिंदु पर एक बहुपद, एफ का छोटा टेलर बहुपद उत्पन्न करता है। हालाँकि यह एक जेट की परिभाषा है, जेट का सिद्धांत इन बहुपदों को बहुपद फलनों के बजाय बहुपद#सार बीजगणित के रूप में मानता है।

यह आलेख पहले एक वास्तविक चर में एक वास्तविक मूल्यवान फलन के जेट की धारणा की पड़ताल करता है, इसके बाद कई वास्तविक चर के सामान्यीकरण की चर्चा होती है। इसके बाद यह यूक्लिडीय स्थानों के मध्य जेट और जेट रिक्त स्थान का एक कठोर निर्माण देता है। यह कई गुना ्स के मध्य जेट्स के विवरण के साथ समाप्त होता है, और इन जेट्स को आंतरिक रूप से कैसे बनाया जा सकता है। इस अधिक सामान्य संदर्भ में, यह विभेदक ज्यामिति और विभेदक समीकरणों के सिद्धांत में जेट के कुछ अनुप्रयोगों का सारांश प्रस्तुत करता है।

यूक्लिडीय स्थानों के मध्य फलनों के जेट
जेट की कठोर परिभाषा देने से पहले, कुछ विशेष स्थितियों की जांच करना उपयोगी है।

एक-आयामी मामला
लगता है कि $$f: {\mathbb R}\rightarrow{\mathbb R}$$ एक वास्तविक-मूल्यवान फलन है जिसमें बिंदु के पड़ोस (गणित) यू में कम से कम k + 1 व्युत्पन्न होता है $$x_0$$. फिर टेलर के प्रमेय द्वारा,


 * $$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\cdots+\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^{k}+\frac{R_{k+1}(x)}{(k+1)!}(x-x_0)^{k+1}$$

जहाँ
 * $$|R_{k+1}(x)|\le\sup_{x\in U} |f^{(k+1)}(x)|.$$

फिर बिंदु पर f का k-जेट $$x_0$$ बहुपद के रूप में परिभाषित किया गया है
 * $$(J^k_{x_0}f)(z)

=\sum_{i=0}^k \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}z^i =f(x_0)+f'(x_0)z+\cdots+\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}z^k.$$ जेट को सामान्यतः चर z में बहुपद#सार बीजगणित के रूप में माना जाता है, न कि उस चर में वास्तविक बहुपद फलन के रूप में। दूसरे शब्दों में, z एक अनिश्चित (चर) है जो जेट के मध्य विभिन्न अमूर्त बीजगणित करने की अनुमति देता है। वास्तव में यह आधार-बिंदु है $$x_0$$ जिससे जेट अपनी कार्यात्मक निर्भरता प्राप्त करते हैं। इस प्रकार, आधार-बिंदु को अलग-अलग करके, एक जेट प्रत्येक बिंदु पर अधिकतम k क्रम का बहुपद उत्पन्न करता है। यह जेट और संक्षिप्त टेलर श्रृंखला के मध्य एक महत्वपूर्ण वैचारिक अंतर को दर्शाता है: सामान्यतः टेलर श्रृंखला को इसके आधार-बिंदु के बजाय इसके चर पर कार्यात्मक रूप से निर्भर माना जाता है। दूसरी ओर, जेट, टेलर श्रृंखला के बीजगणितीय गुणों को उनके कार्यात्मक गुणों से अलग करते हैं। हम लेख में बाद में इस विभाजन के कारणों और अनुप्रयोगों पर चर्चा करेंगे।

एक यूक्लिडीय स्थान से दूसरे तक मानचित्रण
लगता है कि $$f:{\mathbb R}^n\rightarrow{\mathbb R}^m$$ एक यूक्लिडीय समष्टि से दूसरे यूक्लिडीय समष्टि में कम से कम (k + 1) अवकलज वाला एक फलन है। इस स्थिति में, टेलर का प्रमेय इस बात पर जोर देता है



\begin{align} f(x)=f(x_0)+ (Df(x_0))\cdot(x-x_0)+ {} & \frac{1}{2}(D^2f(x_0))\cdot (x-x_0)^{\otimes 2} + \cdots \\[4pt] & \cdots +\frac{D^kf(x_0)}{k!}\cdot(x-x_0)^{\otimes k}+\frac{R_{k+1}(x)}{(k+1)!}\cdot(x-x_0)^{\otimes (k+1)}. \end{align} $$ तब f के k-जेट को बहुपद के रूप में परिभाषित किया जाता है


 * $$(J^k_{x_0}f)(z)=f(x_0)+(Df(x_0))\cdot z+\frac{1}{2}(D^2f(x_0))\cdot z^{\otimes 2} + \cdots + \frac{D^kf(x_0)}{k!}\cdot z^{\otimes k}$$

में $${\mathbb R}[z]$$, जहाँ $$z=(z_1,\ldots,z_n)$$.

जेट्स के बीजगणितीय गुण
दो बुनियादी बीजगणितीय संरचनाएँ हैं जिन्हें जेट ले जा सकते हैं। पहला उत्पाद संरचना है, हालाँकि अंततः यह सबसे कम महत्वपूर्ण सिद्ध होता है। दूसरा जेटों की संरचना की संरचना है।

यदि $$f,g:{\mathbb R}^n\rightarrow {\mathbb R}$$ वास्तविक-मूल्यवान फलनों का एक युग्म है, तो हम उनके जेट के उत्पाद को इसके माध्यम से परिभाषित कर सकते हैं


 * $$J^k_{x_0}f\cdot J^k_{x_0}g=J^k_{x_0}(f\cdot g).$$

यहां हमने अनिश्चित z को दबा दिया है, क्योंकि यह समझा जाता है कि जेट औपचारिक बहुपद हैं। यह उत्पाद केवल z, मॉड्यूलो (शब्दजाल) में सामान्य बहुपदों का उत्पाद है $$z^{k+1}$$. दूसरे शब्दों में, यह वलय में गुणन है $${\mathbb R}[z]/(z^{k+1})$$, जहाँ $$(z^{k+1})$$ क्रम ≥ k + 1 के सजातीय बहुपदों द्वारा उत्पन्न आदर्श (वलय सिद्धांत) है।

अब हम जेटों की संरचना की ओर बढ़ते हैं। अनावश्यक तकनीकीताओं से बचने के लिए, हम फलनों के जेट पर विचार करते हैं जो मूल को मूल से मैप करते हैं। यदि $$f:{\mathbb R}^m\rightarrow{\mathbb R}^\ell$$ और $$g:{\mathbb R}^n\rightarrow{\mathbb R}^m$$ फिर f(0)=0 और g(0)=0 के साथ $$f\circ g:{\mathbb R}^n \rightarrow{\mathbb R}^\ell$$. जेट की संरचना को परिभाषित किया गया है $$J^k_0 f\circ J^k_0 g=J^k_0 (f\circ g).$$ श्रृंखला नियम का उपयोग करके इसे सरलता से सत्यापित किया जाता है, कि यह मूल में जेट के स्थान पर एक सहयोगी गैर-अनुवांशिक संचालन का गठन करता है।

वास्तव में, के-जेट्स की संरचना बहुपद मॉड्यूलो की संरचना से अधिक कुछ नहीं है, क्रम के सजातीय बहुपदों का आदर्श $$> k$$.

उदाहरण:
 * एक आयाम में, चलो $$f(x)=\log(1-x)$$ और $$g(x)=\sin\,x$$. तब


 * $$(J^3_0f)(x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}$$
 * $$(J^3_0g)(x)=x-\frac{x^3}{6}$$

और



\begin{align} & (J^3_0f)\circ (J^3_0g)=-\left(x-\frac{x^3}{6}\right)-\frac{1}{2}\left(x-\frac{x^3}{6}\right)^2-\frac{1}{3} \left(x-\frac{x^3}{6}\right)^3 \pmod{x^4} \\[4pt] = {} & -x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6} \end{align} $$

विश्लेषणात्मक परिभाषा
निम्नलिखित परिभाषा जेट और जेट समष्टि को परिभाषित करने के लिए गणितीय विश्लेषण के विचारों का उपयोग करती है। इसे बानाच स्थानों के मध्य सुचारू फलनों, वास्तविक या जटिल विश्लेषण के मध्य विश्लेषणात्मक फलनों, p-एडिक विश्लेषण और विश्लेषण के अन्य क्षेत्रों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

मान लीजिए कि $$C^\infty({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)$$ सुचारू फलनों का सदिश स्थान बनें $$f:{\mathbb R}^n\rightarrow {\mathbb R}^m$$. मान लीजिए कि k एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, और मान लीजिए कि p एक बिंदु है $${\mathbb R}^n$$. हम एक तुल्यता संबंध को परिभाषित करते हैं $$E_p^k$$ इस स्थान पर यह घोषणा करके कि दो फलन f और g अनुक्रम के के बराबर हैं यदि f और g का p पर समान मूल्य है, और उनके सभी आंशिक अवकलज अपने k-वें-अनुक्रम अवकलज तक (और इसमें सम्मिलित) p पर सहमत हैं। संक्षेप में,$$f \sim g \,\!$$ आईएफएफ $$ f-g = 0 $$ से k-वें क्रम तक.

का k-वें-अनुक्रम जेट समष्टि' $$C^\infty({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)$$ p पर समतुल्य वर्गों के समुच्चय $$E^k_p$$ के रूप में परिभाषित किया गया है, और $$J^k_p({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)$$ द्वारा दर्शाया गया है

एक सुचारू फलन के p पर के-वें-अनुक्रम जेट $$f\in C^\infty({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)$$ इसे f के समतुल्य वर्ग $$J^k_p({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)$$ के रूप में परिभाषित किया गया है

बीजगणितीय-ज्यामितीय परिभाषा
निम्नलिखित परिभाषा जेट और जेट समष्टि की धारणा स्थापित करने के लिए बीजगणितीय ज्यामिति और क्रमविनिमेय बीजगणित के विचारों का उपयोग करती है। हालाँकि यह परिभाषा बीजगणितीय ज्यामिति में उपयोग के लिए विशेष रूप से उपयुक्त नहीं है, क्योंकि इसे सहज श्रेणी में रखा गया है, इसे सरलता से ऐसे उपयोगों के अनुरूप बनाया जा सकता है।

मान लीजिए कि $$C_p^\infty({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)$$ सुचारू फलनों के रोगाणु (गणित) का सदिश स्थान बनें $$f:{\mathbb R}^n\rightarrow {\mathbb R}^m$$ एक बिंदु पर p में $${\mathbb R}^n$$. मान लीजिए कि $${\mathfrak m}_p$$ फलनों के रोगाणुओं से युक्त आदर्श बनें जो p पर लुप्त हो जाते हैं। (यह स्थानीय वलय के लिए अधिकतम आदर्श है $$C_p^\infty({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)$$.) फिर आदर्श $${\mathfrak m}_p^{k+1}$$ इसमें सभी कार्यशील रोगाणु सम्मिलित होते हैं जो p पर k क्रम में लुप्त हो जाते हैं। अब हम 'जेट समष्टि' को p द्वारा परिभाषित कर सकते हैं


 * $$J^k_p({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)=C_p^\infty({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)/{\mathfrak m}_p^{k+1}$$

यदि $$f:{\mathbb R}^n\rightarrow {\mathbb R}^m$$ एक सहज फलन है, हम p पर f के k-जेट को $$J^k_p({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)$$ व्यवस्थित करके तत्व के रूप में परिभाषित कर सकते हैं


 * $$J^k_pf=f \pmod {{\mathfrak m}_p^{k+1}}$$

यह अधिक सामान्य निर्माण है. स्थानीय रूप से वलयित स्थान के लिए|$$\mathbb{F}$$-समष्टि $$M$$, मान लीजिए कि $$\mathcal{F}_p$$ संरचना शीफ ​​का आधार (शेफ) बनें $$p$$ और जाने $${\mathfrak m}_p$$ स्थानीय वलय का अधिकतम आदर्श बनें $$\mathcal{F}_p$$. केथ जेट समष्टि पर $$p$$ वलय के रूप में परिभाषित किया गया है $$J^k_p(M)=\mathcal{F}_p/{\mathfrak m}_p^{k+1}$$($${\mathfrak m}_p^{k+1}$$ आदर्श (वलय सिद्धांत)#आदर्श संचालन) है।

टेलर का प्रमेय
परिभाषा के बावजूद, टेलर का प्रमेय सदिश स्थानों के मध्य एक विहित समरूपता स्थापित करता है $$J^k_p({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)$$ और $${\mathbb R}^m[z_1, \dotsc, z_n]/(z_1, \dotsc, z_n)^{k+1}$$. तो यूक्लिडीय संदर्भ में, जेट को सामान्यतः इस समरूपता के तहत उनके बहुपद प्रतिनिधियों के साथ पहचाना जाता है।

एक बिंदु से एक बिंदु तक जेट रिक्त स्थान
हमने समष्टि को परिभाषित किया है $$J^k_p({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)$$ एक बिंदु पर जेट की $$p\in {\mathbb R}^n$$. इसका उपस्थान फलन f के जेटों से युक्त है जिससे कि f(p)=q द्वारा निरूपित किया जाता है
 * $$J^k_p({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)_q=\left\{J^kf\in J^k_p({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m) \mid f(p) = q \right\}$$

दो बहुविध के मध्य फलनों के जेट
यदि m और n दो भिन्न-भिन्न बहुविध हैं, तो हम किसी फलन के जेट को कैसे परिभाषित करते हैं $$f:M\rightarrow N$$? हम सम्भवतः m और एन पर बहुविध का उपयोग करके ऐसे जेट को परिभाषित करने का प्रयास कर सकते हैं। इसका हानि यह है कि जेट को इस प्रकार अपरिवर्तनीय तरीके से परिभाषित नहीं किया जा सकता है। जेट टेंसर के रूप में परिवर्तित नहीं होते हैं। इसके बजाय, दो बहुविध के मध्य फलनों के जेट एक जेट समूह से संबंधित होते हैं।

वास्तविक रेखा से बहुविध तक फलनों के जेट
मान लीजिए कि m एक सहज बहुविध है जिसमें एक बिंदु p है। हम p के माध्यम से वक्रों के जेट को परिभाषित करेंगे, जिसके द्वारा अब हमारा तात्पर्य सुचारू फलनों से है $$f:{\mathbb R}\rightarrow M$$ ऐसा कि f(0)=p. तुल्यता संबंध को परिभाषित करें $$E_p^k$$ निम्नलिखित नुसार। मान लीजिए कि f और g, p से होकर गुजरने वाले वक्रों का एक युग्म हैं। हम तब कहेंगे कि एफ और जी p पर अनुक्रम के के बराबर हैं यदि p का कुछ पड़ोस (गणित) यू है, जैसे कि, हर सुचारू कार्य के लिए $$\varphi : U \rightarrow {\mathbb R}$$, $$J^k_0 (\varphi\circ f)=J^k_0 (\varphi\circ g)$$. ध्यान दें कि ये जेट समग्र फलनों के बाद से अच्छी तरह से परिभाषित हैं $$\varphi\circ f$$ और $$\varphi\circ g$$ वास्तविक लाइन से स्वयं तक केवल मैपिंग हैं। इस तुल्यता संबंध को कभी-कभी p पर वक्रों के मध्य के-वें-क्रम संपर्क (गणित) कहा जाता है।

अब हम p से p तक वक्र के 'k-जेट' को f के समतुल्य वर्ग के रूप में परिभाषित करते हैं $$E^k_p$$, निरूपित $$J^k\! f\,$$ या $$J^k_0f$$. के-वें-अनुक्रम जेट समष्टि $$J^k_0({\mathbb R},M)_p$$ फिर p पर के-जेट्स का सेट है। चूँकि p, M से भिन्न होता है, $$J^k_0({\mathbb R},M)_p$$ m के ऊपर एक फाइबर समूह बनाता है: के-वें-क्रम स्पर्शरेखा समूह, जिसे प्रायः साहित्य में टी द्वारा दर्शाया जाता हैकM (हालाँकि यह संकेतन कभी-कभी भ्रम उत्पन्न कर सकता है)। स्थिति में k=1, तो प्रथम-क्रम स्पर्शरेखा समूह सामान्य स्पर्शरेखा समूह है: T1M=TM.

यह सिद्ध करने के लिए कि टीकेm वास्तव में एक फाइबर समूह है, इसके गुणों की जांच करना शिक्षाप्रद है $$J^k_0({\mathbb R},M)_p$$ स्थानीय निर्देशांक में. चलो (xi)= (x1,...,xn) p के पड़ोस यू में m के लिए एक स्थानीय समन्वय प्रणाली बनें। अंकन का थोड़ा दुरुपयोग, हम (x) पर विचार कर सकते हैंi) एक स्थानीय भिन्नता के रूप में $$(x^i):M\rightarrow\R^n$$.

दावा करना। p से होकर गुजरने वाले दो वक्र एफ और जी समतुल्य मॉड्यूल हैं $$E_p^k$$ यदि और केवल यदि $$J^k_0\left((x^i)\circ f\right)=J^k_0\left((x^i)\circ g\right)$$.


 * दरअसल, केवल तभी भाग स्पष्ट है, क्योंकि प्रत्येक n कार्य x करता है1,...,xnM से एक सुचारु कार्य है $${\mathbb R}$$. तो तुल्यता संबंध की परिभाषा के अनुसार $$E_p^k$$, दो समतुल्य वक्र होने चाहिए $$J^k_0(x^i\circ f)=J^k_0(x^i\circ g)$$.


 * इसके विपरीत, मान लीजिए $$\varphi$$; p के पड़ोस में m पर एक सहज वास्तविक-मूल्यवान फलन है। चूँकि प्रत्येक सुचारु कार्य की एक स्थानीय समन्वय अभिव्यक्ति होती है, हम व्यक्त कर सकते हैं $$\varphi$$; निर्देशांक में एक फलन के रूप में। विशेष रूप से, यदि q, p के निकट M का एक बिंदु है, तो


 * $$\varphi(q)=\psi(x^1(q),\dots,x^n(q))$$
 * एन वास्तविक चर के कुछ सहज वास्तविक-मूल्यवान फलन ψ के लिए। इसलिए, p से होकर गुजरने वाले दो वक्रों एफ और जी के लिए, हमारे पास है


 * $$\varphi\circ f=\psi(x^1\circ f,\dots,x^n\circ f)$$
 * $$\varphi\circ g=\psi(x^1\circ g,\dots,x^n\circ g)$$
 * श्रृंखला नियम अब दावे के if भाग को स्थापित करता है। उदाहरण के लिए, यदि f और g वास्तविक चर t के फलन हैं, तो


 * $$\left. \frac{d}{dt} \left( \varphi\circ f \right) (t) \right|_{t=0}= \sum_{i=1}^n\left.\frac{d}{dt}(x^i\circ f)(t)\right|_{t=0}\ (D_i\psi)\circ f(0)$$
 * जो f के बजाय g के विरुद्ध मूल्यांकन करने पर समान अभिव्यक्ति के बराबर है, यह याद करते हुए कि f(0)=g(0)=p और f और g समन्वय प्रणाली में k-वें-क्रम संपर्क में हैं (x)मैं).

इसलिए प्रत्यक्ष फाइबर समूह टीकेm प्रत्येक समन्वयित पड़ोस में स्थानीय तुच्छीकरण को स्वीकार करता है। इस बिंदु पर, यह सिद्ध करने के लिए कि यह प्रत्यक्ष फाइबर समूह वास्तव में एक फाइबर समूह है, यह स्थापित करना पर्याप्त है कि इसमें निर्देशांक के परिवर्तन के तहत गैर-एकवचन संक्रमण कार्य हैं। मान लीजिए कि $$(y^i):M\rightarrow{\mathbb R}^n$$ एक अलग समन्वय प्रणाली बनें और चलो $$\rho=(x^i)\circ (y^i)^{-1}:{\mathbb R}^n\rightarrow {\mathbb R}^n$$ यूक्लिडीय समष्टि के निर्देशांक भिन्नता के संबंधित परिवर्तन स्वयं से संबंधित हों। के एक एफ़िन परिवर्तन के माध्यम से $${\mathbb R}^n$$, हम व्यापकता खोए बिना यह मान सकते हैं कि ρ(0)=0. इस धारणा के साथ, यह सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है $$J^k_0\rho:J^k_0({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^n)\rightarrow J^k_0({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^n)$$ जेट संरचना के अंतर्गत एक व्युत्क्रम परिवर्तन है। (जेट समूह भी देखें।) लेकिन चूँकि ρ एक भिन्नरूपता है, $$\rho^{-1}$$ यह एक सहज मानचित्रण भी है। इस तरह,


 * $$I=J^k_0I=J^k_0(\rho\circ\rho^{-1})=J^k_0(\rho)\circ J^k_0(\rho^{-1})$$

जो यह सिद्ध करता है $$J^k_0\rho$$ गैर-एकवचन है. इसके अतिरिक्त, यह सहज है, हालाँकि हम यहाँ उस तथ्य को सिद्ध नहीं करते हैं।

सहज रूप से, इसका अर्थ यह है कि हम m पर स्थानीय निर्देशांक में टेलर श्रृंखला के संदर्भ में p के माध्यम से एक वक्र के जेट को व्यक्त कर सकते हैं।

स्थानीय निर्देशांक में उदाहरण:


 * जैसा कि पहले संकेत दिया गया है, p के माध्यम से वक्र का 1-जेट एक स्पर्शरेखा सदिश है। p पर एक स्पर्शरेखा सदिश एक प्रथम-क्रम अंतर प्रचालक है जो p पर सुचारू वास्तविक-मूल्य वाले फलनों पर कार्य करता है। स्थानीय निर्देशांक में, प्रत्येक स्पर्शरेखा सदिश का रूप होता है


 * $$v=\sum_iv^i\frac{\partial}{\partial x^i}$$
 * ऐसे स्पर्शरेखा सदिश v को देखते हुए, मान लीजिए कि x में दिया गया वक्र f हैमैंद्वारा समन्वय प्रणाली $$x^i\circ f(t)=tv^i$$. यदि φ(p)=0 के साथ p के पड़ोस में एक सुचारू फलन है, तो


 * $$\varphi\circ f:{\mathbb R}\rightarrow {\mathbb R}$$
 * एक वेरिएबल का एक सहज वास्तविक-मूल्यवान फलन है जिसका 1-जेट द्वारा दिया गया है


 * $$J^1_0(\varphi\circ f)(t)=\sum_itv^i \frac{\partial \varphi}{\partial x^i}(p).$$
 * जो यह सिद्ध करता है कि कोई व्यक्ति स्वाभाविक रूप से उस बिंदु से गुजरने वाले वक्रों के 1-जेट के साथ एक बिंदु पर स्पर्शरेखा सदिश की पहचान कर सकता है।


 * एक बिंदु से होकर गुजरने वाले वक्रों के 2-जेटों का स्थान।
 * एक स्थानीय समन्वय प्रणाली में xi एक बिंदु p पर केन्द्रित, हम वक्र f(t) से p तक के दूसरे क्रम के टेलर बहुपद को व्यक्त कर सकते हैं


 * $$J_0^2(x^i(f))(t)=t\frac{dx^i(f)}{dt}(0)+\frac{t^2}{2}\frac{d^2x^i(f)}{dt^2}(0).$$
 * तो x समन्वय प्रणाली में, p के माध्यम से वक्र के 2-जेट को वास्तविक संख्याओं की सूची से पहचाना जाता है $$(\dot{x}^i,\ddot{x}^i)$$. एक बिंदु पर स्पर्शरेखा सदिशों (वक्रों के 1-जेट्स) की तरह, वक्रों के 2-जेट्स समन्वय संक्रमण फलनों के अनुप्रयोग पर एक परिवर्तन नियम का पालन करते हैं।


 * चलो (यi) एक और समन्वय प्रणाली बनें। शृंखला नियम से,



\begin{align} \frac{d}{dt}y^i(f(t)) & = \sum_j\frac{\partial y^i}{\partial x^j}(f(t))\frac{d}{dt}x^j(f(t)) \\[5pt] \frac{d^2}{dt^2}y^i(f(t)) & = \sum_{j,k}\frac{\partial^2 y^i}{\partial x^j \, \partial x^k}(f(t))\frac{d}{dt}x^j(f(t)) \frac{d}{dt}x^k(f(t))+\sum_j\frac{\partial y^i}{\partial x^j}(f(t))\frac{d^2}{dt^2}x^j(f(t)) \end{align} $$
 * इसलिए, परिवर्तन नियम इन दो अभिव्यक्तियों का t = 0 पर मूल्यांकन करके दिया गया है।



\begin{align} & \dot{y}^i=\sum_j\frac{\partial y^i}{\partial x^j}(0)\dot{x}^j \\[5pt] & \ddot{y}^i=\sum_{j,k}\frac{\partial^2 y^i}{\partial x^j \, \partial x^k}(0)\dot{x}^j\dot{x}^k+\sum_j\frac{\partial y^i}{\partial x^j}(0)\ddot{x}^j. \end{align} $$
 * ध्यान दें कि 2-जेट के लिए परिवर्तन नियम समन्वय संक्रमण फलनों में दूसरे क्रम का है।

बहुविध से बहुविध तक फलनों के जेट
अब हम किसी फलन के जेट को बहुविध से बहुविध तक परिभाषित करने के लिए तैयार हैं।

मान लीजिए कि m और एन दो चिकने बहुविध हैं। मान लीजिए p, M का एक बिंदु है। स्थान पर विचार करें $$C^\infty_p(M,N)$$ चिकने मानचित्रों से युक्त $$f:M\rightarrow N$$ p के कुछ पड़ोस में परिभाषित। हम एक तुल्यता संबंध को परिभाषित करते हैं $$E^k_p$$ पर $$C^\infty_p(M,N)$$ निम्नलिखित नुसार। दो मानचित्र f और g को समतुल्य कहा जाता है यदि, प्रत्येक वक्र γ से p के लिए (याद रखें कि हमारे सम्मेलनों के अनुसार यह एक मानचित्रण है) $$\gamma:{\mathbb R}\rightarrow M$$ ऐसा है कि $$\gamma(0)=p$$), अपने पास $$J^k_0(f\circ \gamma)=J^k_0(g\circ \gamma)$$ 0 के कुछ पड़ोस पर.

जेट समष्टि $$J^k_p(M,N)$$ फिर इसे समतुल्य वर्गों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है $$C^\infty_p(M,N)$$ तुल्यता संबंध मॉड्यूलो $$E^k_p$$. ध्यान दें कि क्योंकि लक्ष्य स्थान N में कोई बीजगणितीय संरचना होनी आवश्यक नहीं है, $$J^k_p(M,N)$$ ऐसी संरचना की भी आवश्यकता नहीं है। वास्तव में, यह यूक्लिडीय रिक्त स्थान के स्थिति से एकदम विपरीत है।

यदि $$f:M\rightarrow N$$ p के पास परिभाषित एक सहज कार्य है, तो हम p पर एफ के के-जेट को परिभाषित करते हैं, $$J^k_pf$$, f मॉड्यूलो का समतुल्य वर्ग होना $$E^k_p$$.

मल्टीजेट्स
जॉन माथेर (गणितज्ञ) ने मल्टीजेट की धारणा पेश की। संक्षेप में कहें तो, मल्टीजेट विभिन्न आधार-बिंदुओं पर जेटों की एक सीमित सूची है। माथेर ने मल्टीजेट ट्रांसवर्सेलिटी प्रमेय को सिद्ध किया, जिसका उपयोग उन्होंने स्थिर मैपिंग के अपने अध्ययन में किया।

खंडों के जेट
मान लीजिए कि ई प्रक्षेपण के साथ कई गुना m पर एक परिमित-आयामी सहज सदिश समूह है $$\pi:E\rightarrow M$$. फिर ई के अनुभाग सुचारु कार्य हैं $$s:M\rightarrow E$$ ऐसा है कि $$\pi\circ s$$ m की पहचान स्वचालितता  है। एक बिंदु p के पड़ोस पर एक खंड एस का जेट m से ई तक p पर इस सहज फलन का जेट है।

p पर अनुभागों के जेट के स्थान को निरूपित किया जाता है $$J^k_p(M,E)$$. यद्यपि यह संकेतन दो बहुविध्स के मध्य फलनों के अधिक सामान्य जेट स्थानों के साथ भ्रम उत्पन्न कर सकता है, संदर्भ सामान्यतः ऐसी किसी भी अस्पष्टता को समाप्त कर देता है।

एक बहुविध से दूसरे बहुविध में फलनों के जेट के विपरीत, p पर अनुभागों के जेट का स्थान स्वयं अनुभागों पर सदिश समष्टि संरचना से विरासत में मिली सदिश समष्टि की संरचना को वहन करता है। चूंकि p m पर भिन्न होता है, जेट रिक्त स्थान $$J^k_p(M,E)$$ m के ऊपर एक सदिश समूह बनाएं, जो कि ई का के-वें-अनुक्रम जेट समूह है, जिसे जे द्वारा दर्शाया गया हैक(ई).


 * उदाहरण: स्पर्शरेखा समूह का प्रथम-क्रम जेट समूह।
 * हम एक बिंदु पर स्थानीय निर्देशांक में काम करते हैं और आइंस्टीन संकेतन  का उपयोग करते हैं। एक सदिश क्षेत्र पर विचार करें


 * $$v=v^i(x)\partial/\partial x^i$$
 * m में p के पड़ोस में। वी का 1-जेट सदिश क्षेत्र के गुणांक के पहले क्रम के टेलर बहुपद को लेकर प्राप्त किया जाता है:


 * $$J_0^1v^i(x)=v^i(0)+x^j\frac{\partial v^i}{\partial x^j}(0)=v^i+v^i_jx^j.$$
 * एक्स निर्देशांक में, एक बिंदु पर 1-जेट को वास्तविक संख्याओं की सूची से पहचाना जा सकता है $$(v^i,v^i_j)$$. उसी तरह जैसे किसी बिंदु पर स्पर्शरेखा सदिश को सूची (v) से पहचाना जा सकता हैi), समन्वय संक्रमण के तहत एक निश्चित परिवर्तन नियम के अधीन, हमें यह जानना होगा कि सूची कैसी है $$(v^i,v^i_j)$$ परिवर्तन से प्रभावित है।


 * तो किसी अन्य समन्वय प्रणाली y को पारित करने में परिवर्तन नियम पर विचार करेंमैं. चलो डब्ल्यूky निर्देशांक में सदिश क्षेत्र v के गुणांक हों। फिर y निर्देशांक में, v का 1-जेट वास्तविक संख्याओं की एक नई सूची है $$(w^i,w^i_j)$$. तब से


 * $$v=w^k(y)\partial/\partial y^k=v^i(x)\partial/\partial x^i,$$
 * यह इस प्रकार है कि


 * $$w^k(y)=v^i(x)\frac{\partial y^k}{\partial x^i}(x).$$
 * इसलिए


 * $$w^k(0)+y^j\frac{\partial w^k}{\partial y^j}(0)=\left(v^i(0)+x^j\frac{\partial v^i}{\partial x^j}\right)\frac{\partial y^k}{\partial x^i}(x)$$
 * टेलर श्रृंखला द्वारा विस्तार, हमारे पास है


 * $$w^k=\frac{\partial y^k}{\partial x^i}(0) v^i$$
 * $$w^k_j=v^i\frac{\partial^2 y^k}{\partial x^i \, \partial x^j}+v_j^i\frac{\partial y^k}{\partial x^i}. $$
 * ध्यान दें कि समन्वय संक्रमण फलनों में परिवर्तन नियम दूसरे क्रम का है।

यह भी देखें

 * जेट समूह
 * जेट समूह
 * लैग्रेंजियन प्रणाली

संदर्भ

 * Krasil'shchik, I. S., Vinogradov, A. M., [et al.], Symmetries and conservation laws for differential equations of mathematical physics, American Mathematical Society, Providence, RI, 1999, ISBN 0-8218-0958-X.
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