वैन डेन बर्ग-केस्टेन असमानता

संभाव्यता सिद्धांत में, वैन डेन बर्ग-केस्टन (बीके) असमानता या वैन डेन बर्ग-केस्टन-रेइमर (बीकेआर) असमानता बताती है कि दो घटनाओं (संभावना सिद्धांत) के घटित होने की संभावना है, और एक ही समय में कोई भी असम्बद्धता पा सकता है। यह दिखाने के लिए कि वे दोनों घटित होते हैं, प्रमाण-पत्र अधिक से अधिक उनकी व्यक्तिगत संभावनाओं का उत्पाद है। दो मोनोटोन घटनाओं (एफकेजी असमानता में प्रयुक्त धारणा) के लिए विशेष मामला पहली बार वैन डेन बर्ग और हैरी चेस्टनट द्वारा सिद्ध किया गया था। 1985 में, जिन्होंने यह भी अनुमान लगाया कि असमानता सामान्य रूप से कायम है, इसमें एकरसता की आवश्यकता नहीं है। David Reimer (mathematician) बाद में इस अनुमान को सिद्ध किया।  असमानता को उत्पाद माप के साथ संभाव्यता स्थानों पर लागू किया जाता है, जैसे कि अंतःस्राव समस्याओं में।

कथन
होने देना $$\Omega_1, \Omega_2, \ldots, \Omega_n$$ संभाव्यता स्थान बनें, प्रत्येक परिमित रूप से कई तत्वों में से। असमानता प्रपत्र के रिक्त स्थान पर लागू होती है $$\Omega = \Omega_1 \times \Omega_2 \times \cdots \times \Omega_n$$, उत्पाद माप से सुसज्जित, ताकि प्रत्येक तत्व $$x = (x_1, \ldots, x_n) \in \Omega$$ संभावना दी गई है

दो घटनाओं के लिए $$A, B\subseteq \Omega$$, उनकी असंयुक्त घटना $$A \mathbin{\square} B$$ कॉन्फ़िगरेशन से युक्त घटना के रूप में परिभाषित किया गया है $$x$$ जिनकी सदस्यता में $$A$$ और में $$B$$ सूचकांकों के असंयुक्त उपसमुच्चय पर सत्यापित किया जा सकता है। औपचारिक रूप से, $$x \in A \mathbin{\square} B$$ यदि उपसमुच्चय मौजूद हैं $$I, J \subseteq [n]$$ ऐसा है कि: असमानता का दावा है कि:
 * 1) $$I \cap J = \varnothing,$$
 * 2) सभी के लिए $$y$$ जिससे सहमत है $$x$$ पर $$I$$ (दूसरे शब्दों में, $$y_i = x_i\  \forall i \in I$$), $$y$$ में भी है $$A,$$ और
 * 3) इसी तरह हर $$z$$ जिससे सहमत है $$x$$ पर $$J$$ में है $$B.$$

घटनाओं की प्रत्येक जोड़ी के लिए $$A$$ और $$B.$$

सिक्का उछालना
अगर $$\Omega$$ यह एक उचित सिक्के को उछालने के समान है $$n = 10$$ बार, फिर प्रत्येक $$\Omega_i = \{ H, T\}$$ इसमें समान संभावना वाले दो संभावित परिणाम, चित या पट, शामिल होते हैं। घटना पर विचार करें $$A$$ कि लगातार 3 शीर्ष मौजूद हैं, और घटना $$B$$ कुल मिलाकर कम से कम 5 सिर हैं। तब $$A \mathbin \square B$$ निम्नलिखित घटना होगी: लगातार 3 शीर्ष हैं, और उन्हें त्यागने पर अन्य 5 शीर्ष शेष हैं। इस घटना की अधिकतम संभावना है $$ \mathbb P ( A) \mathbb P ( B),$$ जिसका अर्थ है प्राप्त करने की संभावना $$A$$ 10 टॉस में, और प्राप्त करना $$B$$ अन्य 10 टॉस में, एक दूसरे से स्वतंत्र (संभावना)।

संख्यात्मक रूप से, $$\mathbb P ( A) = 520/1024 \approx 0.5078,$$ $$\mathbb P ( B) = 638/1024 \approx 0.6230,$$ और उनकी असंयुक्त घटना का अर्थ कम से कम 8 सिर होगा, इसलिए $$\mathbb P ( A\mathbin \square B) \le \mathbb P(\text{8 heads or more}) = 56/1024 \approx 0.0547.$$

अंतःस्राव
(बर्नौली) एक ग्राफ (असतत गणित) के बंधन अंतःक्षेपण में $$\Omega_i$$किनारों द्वारा अनुक्रमित हैं। प्रत्येक किनारे को कुछ संभावनाओं के साथ रखा (या खुला) रखा जाता है $$p,$$ या अन्यथा हटा दिया गया (या बंद कर दिया गया), अन्य किनारों से स्वतंत्र, और कोई शेष ग्राफ़ की कनेक्टिविटी के बारे में प्रश्नों का अध्ययन करता है, उदाहरण के लिए घटना $$u \leftrightarrow v $$ कि दो शीर्षों के बीच एक पथ है $$u$$ और $$v$$ केवल खुले किनारों का उपयोग करना। इस प्रकार की घटनाओं के लिए, असंयुक्त घटना $$A \mathbin \square B$$ वह घटना है जहां दो खुले रास्ते मौजूद हैं जिनका कोई किनारा नहीं है (उपसमुच्चय के अनुरूप)। $$I$$ और $$J$$ परिभाषा में), जैसे कि पहले वाला आवश्यक कनेक्शन प्रदान करता है $$A,$$ और दूसरे के लिए $$B.$$ असमानता का उपयोग परकोलेशन सिद्धांत # सबक्रिटिकल और सुपरक्रिटिकल में घातीय क्षय घटना के एक संस्करण को साबित करने के लिए किया जा सकता है, अर्थात् पूर्णांक जाली ग्राफ पर $$\mathbb Z^d,$$ के लिए $$ p < p_\mathrm c$$ एक उपयुक्त रूप से परिभाषित अंतःस्राव दहलीज, मूल वाले जुड़े घटक की त्रिज्या तेजी से छोटी पूंछ वाले वितरण का पालन करती है:

कुछ स्थिरांक के लिए $$c > 0$$ इस पर निर्भर करते हुए $$p.$$ यहाँ $$\partial [-r, r]^d$$ शीर्षों से मिलकर बना है $$x$$ जो संतुष्ट करता है $$\max_{1 \le i \le d} |x_i| = r.$$

एकाधिक घटनाएँ
जब तीन या अधिक इवेंट हों, तो ऑपरेटर $$\square$$ सहयोगी नहीं हो सकता, क्योंकि सूचकांकों का एक उपसमूह दिया गया है $$K$$ जिस पर $$x \in A \mathbin \square B$$ सत्यापित किया जा सकता है, इसे विभाजित करना संभव नहीं हो सकता है $$K$$ एक असंयुक्त संघ $$I \sqcup J$$ ऐसा है कि $$I$$ गवाहों $$x \in A$$ और $$J$$ गवाहों $$x \in B$$. उदाहरण के लिए, एक घटना मौजूद है $$A \subseteq \{0, 1\}^6$$ ऐसा है कि $$\left((A \mathbin \square A) \mathbin \square A\right) \mathbin \square A \neq (A \mathbin \square A) \mathbin \square (A \mathbin \square A).$$

फिर भी, कोई इसे परिभाषित कर सकता है $$k$$-एरी बीकेआर घटनाओं का संचालन $$A_1, A_2, \ldots, A_k$$ कॉन्फ़िगरेशन के सेट के रूप में $$x$$ जहां सूचकांकों के जोड़ीवार असंयुक्त उपसमुच्चय हैं $$I_i \subseteq [n]$$ ऐसा है कि $$I_i$$ की सदस्यता का गवाह है $$x$$ में $$A_i.$$ यह ऑपरेशन संतुष्ट करता है:

जहां से मूल बीके असमानता के बार-बार उपयोग से। यह असमानता फ्लोरिडा लॉटरी के विजेता आँकड़ों का विश्लेषण करने और यह पहचानने के लिए उपयोग किया जाने वाला एक कारक था कि गणित पत्रिका ने किसे अविश्वसनीय रूप से भाग्यशाली कहा है  व्यक्ति, बाद में प्रवर्तन जांच द्वारा पुष्टि की गई इसमें कानून का उल्लंघन शामिल था।

बड़ी कार्डिनैलिटी के स्थान
कब $$\Omega_i$$ अनंत होने की अनुमति है, माप सैद्धांतिक मुद्दे उठते हैं। के लिए $$\Omega = [0, 1]^n$$ और $$\mathbb P$$ लेबेस्ग्यू माप में, मापने योग्य उपसमुच्चय हैं $$A, B \subseteq \Omega$$ ऐसा है कि $$A \mathbin \square B$$ गैर-मापने योग्य है (इसलिए) $$\mathbb P(A \mathbin \square B)$$ असमानता परिभाषित नहीं है), लेकिन निम्नलिखित प्रमेय अभी भी कायम है:  अगर $$A, B \subseteq [0, 1]^n$$ क्या लेबेस्ग मापने योग्य है, फिर कुछ बोरेल सेट है $$C$$ ऐसा है कि: 
 * $$A \mathbin \square B \subseteq C,$$ और
 * $$\mathbb P(C) \le \mathbb P(A) \mathbb P(B).$$