साधारण अवकल समीकरण

गणित में, साधारण अवकल समीकरण (ओडीई) एक अवकल समीकरण है, जिसके अज्ञातओं में एक चर (गणित) के एक या अधिक फलन से निर्मित होते हैं और उन फलनों के व्युत्पन्न से संबंधित होते हैं। साधारण इस शब्द का सामान्य प्रयोग आंशिक अवकल समीकरण शब्द के विपरीत किया जाता है, जो एक से अधिक स्वतंत्र चर के संदर्भ में हो सकता है।

अवकल समीकरण
एक रेखीय अवकल समीकरण एक अवकल समीकरण है जो एक रेखीय बहुपद द्वारा अज्ञात फलन और इसके व्युत्पन्न द्वारा परिभाषित होता है, जो इस समीकरण के रूप में होता है।
 * $$a_0(x)y +a_1(x)y' + a_2(x)y'' +\cdots +a_n(x)y^{(n)}+b(x)=0,$$

जहाँ $a_0(x)$, ..., $a_n(x)$ और $b(x)$ यादृच्छिक भांति से अलग-अलग कार्य हैं जिन्हें रैखिक होने की आवश्यकता नहीं है, और  $y', \ldots, y^{(n)}$ चर $x$.के अज्ञात फलन $y$ के क्रमिक अवकलज हैं।

साधारण अवकल समीकरणों में रैखिक अवकल समीकरण अनेक कारणों से प्रभावी भूमिका निभाते हैं। अधिकांश प्रारंभिक और विशेष फलन जो भौतिकी और अनुप्रयुक्त गणित में पाए जाते हैं, रैखिक अंतर समीकरणों के हल हैं (होलोनोमिक फलन देखें)। जब भौतिक परिघटना को अरेखीय समीकरणों द्वारा रूपांकित किया जाता है, तो वे सामान्यतया इन्हें सरल हल के लिए रैखिक अंतर समीकरणों द्वारा अनुमानित किया जाता है। कुछ अरेखीय ओडीई जिन्हें स्पष्ट रूप से हल किया जा सकता है, वे सामान्यतया समीकरण को समकक्ष रैखिक ओडीई में बदलकर हल किया जाता है (देखें, उदाहरण के लिए रिकाटी समीकरण)।

कुछ ओडीई को स्पष्ट रूप से ज्ञात फलन और समाकल के संदर्भ में हल किया जा सकता है। जब यह मुमकिन न हो कि, टेलर श्रृंखला के हल ों की गणना के लिए समीकरण उपयोगी हो सकता है। और अनुप्रयुक्त समस्याओं के लिए, सामान्य अवकल समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधियाँ का निकटतम प्रदान कर सकती हैं।

पृष्ठभूमि
साधारण अंतरण समीकरण गणित तथा सामाजिक एवं प्राकृतिक विज्ञानों के अनेक संदर्भों में उत्पन्न होते हैं।परिवर्तन के गणितीय वर्णन भिन्नता और व्युत्पन्न का उपयोग करें।विभिन्न विभेद, व्युत्पादन और प्रकार्य समीकरणों द्वारा इस प्रकार संबद्ध हो जाते हैं कि विभेदक समीकरण एक ऐसा परिणाम होता है जिसमें गतिशील रूप से बदलते परिघटना, विकास और विभिन्नता वर्णित होते हैं।बहुधा मात्राओं को अन्य राशियों में परिवर्तन की दर (उदाहरणार्थ, समय के संदर्भ में विस्थापन से व्युत्पन्न) अथवा मात्राओं के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।

विशिष्ट गणितीय क्षेत्रों में ज्यामिति और विश्लेषणात्मक यांत्रिकी में सम्मिलित हैं। वैज्ञानिक क्षेत्रों में अधिकांश भौतिकी और खगोल विज्ञान (खगोलीय यांत्रिकी), मौसम विज्ञान (मौसम मॉडलिंग), रसायन विज्ञान (प्रतिक्रिया दर), जीव विज्ञान (संक्रामक रोग, आनुवंशिक भिन्नता), पारिस्थितिकी और जनसंख्या मॉडलिंग (जनसंख्या प्रतियोगिता), अर्थशास्त्र (स्टॉक रुझान, ब्याज दरें और बाजार में संतुलन मूल्य परिवर्तन) के रूप में सम्मिलित होते है।

कई गणितज्ञों ने अवकल समीकरणों का अध्ययन किया है तथा  इस क्षेत्र में योगदान दिया है, जिसमें आइजैक न्यूटन,  गॉटफ्रीड लीबनिज, बर्नौली परिवार, रिकाटी, एलेक्सिस क्लाउड क्लेराट, डी'अलेम्बर्ट और यूलर सम्मिलित होते है।

एक सरल उदाहरण न्यूटन की गति का दूसरा नियम है, बल F के अनुसार किसी वस्तु के विस्थापन x और समय t के बीच संबंध, अंतर समीकरण द्वारा दिया जाता है।


 * $$m \frac{\mathrm{d}^2 x(t)}{\mathrm{d}t^2} = F(x(t))\,$$

जो स्थिर द्रव्यमान m के कणों की गति को बाधित करता है। सामान्यतः, F समय t पर कण की स्थिति x(t) का फलन होता है। अज्ञात फलन x(t) अवकल समीकरण के दोनों ओर प्रकट होता है, और इसे अंकन F(x(t)) में दर्शाया गया है।

परिभाषाएँ
निम्नलिखित में, मान लीजिए कि y एक आश्रित चर और x को एक स्वतंत्र चर के रूप में लेते, और y = f(x) x का एक अज्ञात फलन है। अवकलन के लिए अंकन लेखक के अनुसार भिन्न-भिन्न होता है। और जिस पर उनके अंकन कार्य के लिए सबसे उपयोगी होता है। इस संदर्भ में, लीबनिज के अंकन ($dy⁄dx$, $d^{2}y⁄dx^{2}$, …, $d^{n}y⁄dx^{n}$) अवकलन और समाकलन (गणित) के लिए अधिक उपयोगी है, जबकि अवकलन के लिए लैग्रेंज का संकेतन (y′, y′′, …, y(n)) किसी भी क्रम के व्युत्पन्न को सघन रूप से प्रदर्शित करने के लिए अधिक उपयोगी है, और और न्यूटन के अंकन के लिए अधिक उपयोगी है $$(\dot y, \ddot y, \overset{...}{y})$$ भौतिकी में अधिकांशता समय के संबंध में क्रम के व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रयोग किया जाता है।

सामान्य परिभाषा
दिया हुआ F, x, y का एक फलन, और y का डेरिवेटिव समीकरण इस रूप में सदर्भित किया है।


 * $$F\left (x,y,y',\ldots, y^{(n-1)} \right )=y^{(n)}$$

क्रम n का एक निहित और स्पष्ट फलन साधारण अवकल समीकरण कहा जाता है।

सामान्यता, क्रम एन के एक अंतर्निहित और स्पष्ट कार्य सामान्य अंतर समीकरण का रूप लेता है
 * $$F\left(x, y, y', y'',\ \ldots,\ y^{(n)}\right) = 0$$

और भी वर्गीकरण हैं।

Autonomous:एक अवकलन समीकरण जो x पर निर्भर नहीं करता है, उसे स्वायत्त कहा जाता है। रैखिक:एक अवकलन समीकरण को रैखिक कहा जाता है यदि F को y के डेरिवेटिव के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है।':
 * $y^{(n)} = \sum_{i=0}^{n - 1} a_i(x) y^{(i)} + r(x)$

where $ai(x)$ and $r(x)$ are continuous functions of $x$.

फलन आर (x) को स्रोत शब्द कहा जाता है, जिससे दो और महत्वपूर्ण वर्गीकरण होते हैंs:

Homogeneous:यदि r(x) = 0, और फलस्वरूप एक "स्वचालित" समाधान है trivial solution, y = 0. एक रैखिक समांगी समीकरण का हल एक 'पूरक फलन' होता है, जिसे यहाँ से निरूपित किया जाता है yc. गैर-सजातीय (या विषम):यदि आर (x) ≠ 0. पूरक फलन का अतिरिक्त हल 'विशेष समाकल' है, जिसे यहाँ से निरूपित किया गया है yp.

गैर-रैखिक अंतर समीकरण गैर-रैखिक:एक अवकल समीकरण जिसे रैखिक संयोजन के रूप में नहीं लिखा जा सकता।

ओडीई की प्रणाली
कई युग्मित अवकल समीकरण समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं। यदि y एक सदिश है जिसके अवयव फलन हैं, y(x) = [y1(x), y2(x),..., ym(x)], और 'एफ' 'वाई' और उसके व्युत्पन्न का सदिश का उपयोगी फलन है, तब


 * $$\mathbf{y}^{(n)} = \mathbf{F}\left(x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n-1)} \right)$$

क्रम n और आयाम m के साधारण अवकल समीकरणों की एक स्पष्ट प्रणाली है। स्तंभ सदिश रूप में,


 * $$\begin{pmatrix}

y_1^{(n)} \\ y_2^{(n)} \\ \vdots \\ y_m^{(n)} \end{pmatrix} =

\begin{pmatrix} f_1 \left (x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n-1)} \right ) \\ f_2 \left (x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n-1)} \right ) \\ \vdots \\ f_m \left (x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n-1)} \right) \end{pmatrix}$$ ये जरूरी रैखिक नहीं हैं। अंतर्निहित एनालॉग है:


 * $$\mathbf{F} \left(x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n)} \right) = \boldsymbol{0}$$

जहाँ 0 = (0, 0, ..., 0) शून्य सदिश है। आव्यूह रूप में है


 * $$\begin{pmatrix}

f_1(x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n)}) \\ f_2(x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n)}) \\ \vdots \\ f_m(x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n)}) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}$$ $$\mathbf{F} \left(x,\mathbf{y},\mathbf{y}'\right) = \boldsymbol{0}$$, की एक प्रणाली के लिए कुछ स्रोतों की भी आवश्यक होती है, कि जैकबियन आव्यूह $$\frac{\partial\mathbf{F}(x,\mathbf{u},\mathbf{v})}{\partial \mathbf{v}}$$ इसे एक अंतर्निहित ओडीई प्रणाली कहने के लिए गैर-एकवचन होना चाहिए। इस जैकोबियन गैर-विलक्षणता अवस्था को संतुष्ट करने वाली एक अंतर्निहित ओड सिस्टम को एक स्पष्ट ओड सिस्टम में बदला जा सकता है। इसी स्रोत में, एकल जेकोबियन के साथ निहित ऑड तंत्र को विभेदीय बीजीय समीकरण डीएएस कहा जाता है।यह भेद केवल एक शब्दावली में से एक नहीं है जो डीएईएस के मूल रूप से अलग-अलग लक्षण हैं और सामान्यतया गैर-विलक्षण ओड सिस्टमों की अपेक्षा उनका हल  करने में अधिक सहायक होते हैं।।  संभावित रूप से अतिरिक्त व्युत्पन्न के लिए, हेसियन आव्यूह और आगे भी इस योजना के अनुसार गैर-एकवचन माना जाता है, चूँकि, ध्यान दें कि एक से अधिक ऑर्डर का कोई भी ओडीई पहले ऑर्डर के ओडीई के सिस्टम के रूप में फिर से लिखा जा सकता है और सामान्यता होता है, जो इस वर्गीकरणो के लिए पर्याप्त होने के लिए जैकबियन विलक्षणता मानदंड को सभी आदेशों पर व्यापक बनाता है.।

एक चरण चित्र के उपयोग के माध्यम से ओडीई की एक प्रणाली के आचरण  की कल्पना की जा सकती है।

हल
एक अवकल समीकरण दिया है
 * $$F\left(x, y, y', \ldots, y^{(n)} \right) = 0$$

एक फलन u: I ⊂ R → R, जहाँ I एक अंतराल है, F के लिए एक हल या अभिन्न वक्र कहलाता है, यदि u I पर n-गुना अवकलनीय है, और
 * $$F(x,u,u',\ \ldots,\ u^{(n)})=0 \quad x \in I.$$

दो हल दिए u: J ⊂ R → R और v: I ⊂ R → R, u को v का प्रसार  कहा जाता है यदि I ⊂ J और
 * $$u(x) = v(x) \quad x \in I.\,$$

एक हल जिसमें कोई प्रसार  नहीं होता है, उसे उच्चिष् ठ हल  कहा जाता है। सभी 'आर' पर परिभाषित हल  को वैश्विक हल  कहा जाता है।

nवें क्रम के समीकरण का एक सामान्य हल एक ऐसा हल  है जिसमें एकीकरण का n यादृच्छिक  स्वतंत्र स्थिरांक होता है। एक विशेष हल  सामान्य हल  स्थिरांक को विशेष मूल्यों पर स्थापित करके, प्रायः प्राप्त किया जाता है, जिसे अधिकांशता  सेट 'प्रारंभिक मूल्य समस्या या सीमा मूल्य समस्या' को पूरा करने के लिए चुना जाता है। एक विलक्षण हल  एक ऐसा हल  है जिसे सामान्य हल  में यादृच्छिक अचरों को निश्चित मान देकर प्राप्त नहीं किया जा सकता है।

रेखीय ओडीई के संदर्भ में, इस शब्दावली विशेष हल  का संदर्भ प्रारंभिक परिस्थितियों को पूरा करने वाला ओडीई का कोई हल होता है, जिसे बाद में सजातीय हल  में जोड़ी जाती है जब मूल ओड का एक सामान्य समाधान होता है। इस अनुच्छेद में अनुमान विधि अनुभाग में इस शब्दावली का प्रयोग किया जाता है और अनिर्धारित गुणांक की पद्धति तथा प्राचलों की भिन्नता पर चर्चा करते समय इसका प्रयोग अक्सर इसका उपयोग किया जाता है।

परिमित अवधि के हल
अरेखीय स्वायत्त ओडीई के लिए कुछ स्थितियों के अनुसार  परिमित अवधि के हल  विकसित करना मुमकिन होता है, यहाँ अर्थ यह है कि अपनी स्वयं की गति-नियति से प्रणाली एक समाप्ति  समय पर मान शून्य तक पहुँच जाएगा और वहाँ पर सदा के लिए शून्य में रहता है। ये परिमित-अवधि के हल  संपूर्ण वास्तविक रेखा पर विश्लेषणात्मक फलन नहीं कर सकते हैं, और क्योंकि वे अपने अंतिम समय में गैर-लिप्सचिट्ज़ फलन करेंगे, वे लिप्सचिट्ज़ अंतर समीकरणों के हल  की विशिष्टता नहीं रखते हैं।

उदाहरण के रूप में, समीकरण:
 * $$y'= -\text{sgn}(y)\sqrt{|y|},\,\,y(0)=1$$

परिमित अवधि हल स्वीकार करता है
 * $$y(x)=\frac{1}{4}\left(1-\frac{x}{2}+\left|1-\frac{x}{2}\right|\right)^2$$

एकाकी उपाय
सामान्य और आंशिक अंतर समीकरणों के विलक्षण हल के सिद्धांत का विषय लीबनिज के समय से ही शोध का विषय था, लेकिन केवल उन्नीसवीं शताब्दी के मध्य से ही इस पर विशेष ध्यान दिया गया है। इस विषय पर एक मूल्यवान लेकिन बहुत कम जानी-मानी कृति हौटेन 1854 की है। जीन गैस्टन डार्बौक्स 1873 के सिद्धांत में एक अग्रलेख थे, और इन हल की ज्यामितीय विवेचन में उन्होंने अनेक  लेखकों, विशेष रूप से फेलिस कासोराती (गणितज्ञ) और आर्थर केली द्वारा काम किया का सूत्रपात किया। उत्तरार्द्ध के कारण (1872) प्रथम क्रम के अवकल समीकरणों के विलक्षण हल   के सिद्धांत के रूप में स्वीकृत लगभग 1900 में हुई।

चतुष्कोणों में कमी
अवकल समीकरणों से निपटने के पुराने  प्रयास में चतुर्भुज (गणित) में कमी को देखते हुए ध्यान में रखा गया था। जैसा कि अठारहवीं सदी के बीजगणितियों की आशा रही है कि वे  nवीं डिग्री के सामान्य समीकरण को हल करने के लिए एक विधि खोजने की आवश्यकता थी, इसलिए विश्लेषकों को किसी भी अंतर समीकरण को एकीकृत करने के लिए एक सामान्य विधि खोजने की उम्मीद थी। चूँकि, कार्ल फ्रेडरिक गॉस (1799) में दिखाया कि जटिल अंतर समीकरणों के लिए जटिल संख्याओं की आवश्यकता होती है। इसलिए, विश्लेषकों ने फलन के अध्ययन का  स्थान लेना शुरू किया, इस प्रकार एक नया और उपजाऊ क्षेत्र आरंभ किया। कॉची इस दृष्टिकोण के महत्व को समझने वाले पहले व्यक्ति थे। इसके बाद, वास्तविक प्रश्न यह नहीं रह गया कि ज्ञात फलनों या उनके समाकलों के माध्यम से कोई हल  मुमकिन  हो या उनके समांकों द्वारा, परंतु  यह कोई दिया गया अवकल समीकरण स्वतंत्र चर या चरों के फलन की परिभाषा के लिए पर्याप्त है, और, यदि हां, तो उसके विशिष्ट गुण क्या हैं।

फ्यूचियन सिद्धांत
लाजर फुच्स द्वारा दो संस्मरण एक उपन्यास दृष्टिकोण को प्रेरित किया, जिसे बाद में थॉमे और फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस द्वारा विस्तृत किया गया। 1869 की शुरुआत में कोलेट का एक प्रमुख योगदानकर्ता था। एक अरेखीय प्रणाली को एकीकृत करने की उनकी पद्धति को 1868 में बर्ट्रेंड को सूचित की गई थी। अल्फ्रेड क्लेब्सच (1873) ने एबेलियन अभिन्न के अपने सिद्धांत के समानांतर ही सिद्धांत पर हमला किया। जैसा कि उत्तरार्द्ध को मौलिक वक्र के गुणों के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है जो तर्कसंगत रूपांतरण के अधीन अपरिवर्तित रहता है, क्लेबश ने यह तर्कसंगत से एक से एक रूपांतरण के अधीन संगत सतहों के अपरिवर्तनीय गुणों f = 0 के अनुसार विभेद समीकरणों द्वारा परिभाषित उत्कृष्ट कार्यों को वर्गीकृत करने का प्रस्ताव करता है।

झूठ का सिद्धांत
1870 से, सोफस झूठ के काम ने अंतर समीकरणों के सिद्धांत को बेहतर नींव पर रखा। उन्होंने दिखाया कि पुराने गणितज्ञों के एकीकरण सिद्धांत, झूठ समूहों का उपयोग करके, एक सामान्य स्रोत को संदर्भित किया जा सकता है, और सामान्य अंतर समीकरण जो एक ही अतिसूक्ष्म परिवर्तन को स्वीकार करते हैं, तुलनीय एकीकरण कठिनाइयों को प्रस्तुत करते हैं। उन्होंने संपर्क परिवर्तन के विषय पर भी जोर दिया।

अवकल समीकरणों के लाई के समूह सिद्धांत को प्रमाणित किया गया है, अर्थात्: (1) कि यह अंतर समीकरणों को हल करने के लिए जाने जाने वाले कई तदर्थ तरीकों को एकीकृत करता है, और (2) कि यह हल  खोजने के शक्तिशाली विधि प्रदान करता है। सिद्धांत में साधारण और आंशिक अंतर समीकरणों दोनों के लिए अनुप्रयोग हैं। एक सामान्य हल दृष्टिकोण अंतर समीकरणों की समरूपता संपत्ति का उपयोग करता है, हल ों के हल ों के निरंतर अत्यल्प परिवर्तन (झूठे सिद्धांत)। निरंतर समूह सिद्धांत, लाई बीजगणित, और अंतर ज्यामिति का उपयोग रैखिक और अरेखीय  (आंशिक) अंतर समीकरणों की संरचना को समझने के लिए किया जाता है, इसलिये इसके लैक्स जोड़े, पुनरावर्तन संचालक, बैकलंड रूपांतरण और अंत में सटीक विश्लेषणात्मक हल  खोजे जा सकें। डे के लिए।

गणित, भौतिकी, इंजीनियरिंग और अन्य विषयों में उत्पन्न होने वाले अवकल समीकरणों पर समरूपता विधियों को लागू किया गया है।

स्टर्म-लिउविल सिद्धांत
स्टर्म-लिउविल सिद्धांत एक विशेष प्रकार के दूसरे क्रम के रैखिक साधारण अंतर समीकरण का सिद्धांत है। उनके हल अभिलक्षणिक मान ​​​​और रैखिक समीकरणों के दूसरे क्रम प्रणाली के माध्यम से परिभाषित रैखिक ऑपरेटरों के संबंधित अभिलक्षणिक फलन पर आधारित हैं। समस्याओं की पहचान स्टर्म-लिउविल प्रॉब्लम्स (एसएलपी) के रूप में की जाती है और इनका नाम जैक्स चार्ल्स फ्रांकोइस स्टर्म | जे.सी.एफ. स्टर्म और जोसेफ लिउविल|जे. लिउविल, जिन्होंने 1800 के दशक के मध्य में उनका अध्ययन किया था। एसएलपी में अनंत संख्या में अभिलक्षणिक मान ​​​​होते हैं, और संबंधित  अभिलक्षणिक फलन एक पूर्ण, ऑर्थोगोनल सेट बनाते हैं, जो ऑर्थोगोनल प्रसार  को मुमकिन बनाता है। अनुप्रयुक्त गणित, भौतिकी और इंजीनियरिंग में यह एक महत्वपूर्ण विचार है। एसएलपी कुछ आंशिक अंतर समीकरणों के विश्लेषण में भी उपयोगी होते हैं।

हल का अस्तित्व और विशिष्टता
ऐसे कई प्रमेय हैं जो स्थानीय और विश्व स्तर पर ओडीई से जुड़ी प्रारंभिक मूल्य समस्याओं के हल के अस्तित्व और विशिष्टता को स्थापित करते हैं। दो मुख्य प्रमेय हैं


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! प्रमेय ! मान्यता ! निष्कर्ष अपने मूल रूप में ये दोनों प्रमेय केवल स्थानीय परिणामों की गारंटी देते हैं, चूँकि बाद वाले को वैश्विक परिणाम देने के लिए बढ़ाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, यदि ग्रोनवॉल की असमानता की शर्तों को पूरा किया जाता है।
 * पियानो अस्तित्व प्रमेय
 * एफ निरंतर
 * केवल स्थानीय अस्तित्व
 * पिकार्ड-लिंडेलोफ प्रमेय
 * एफ लिप्सचिट्ज़ निरंतर
 * स्थानीय अस्तित्व और विशिष्टता
 * }
 * स्थानीय अस्तित्व और विशिष्टता
 * }
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इसके अलावा, अद्वितीयता प्रमेय जैसे लिप्सचिट्ज़ ऊपर वाला अवकलनात्मक बीजगणितीय समीकरण प्रणालियों पर लागू नहीं होता है, जिसमें अकेले उनके (अरेखीय ) बीजगणितीय भाग से उत्पन्न होने वाले कई हल हो सकते हैं।

स्थानीय अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेय सरलीकृत
प्रमेय को केवल इस प्रकार कहा जा सकता है। समीकरण और प्रारंभिक मान समस्या के लिए: $$ y' = F(x,y)\,,\quad y_0 = y(x_0)$$ यदि F और ∂F/∂y एक बंद आयत में निरंतर हैं $$R = [x_0-a,x_0+a] \times [y_0-b,y_0+b]$$ x-y समतल में, जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं (प्रतीकात्मक रूप से: $a, b ∈ R$) और $×$ कार्तीय उत्पाद को दर्शाता है, वर्ग कोष्ठक अंतराल अंकन को दर्शाता है, फिर एक अंतराल होता है $$I = [x_0-h,x_0+h] \subset [x_0-a,x_0+a]$$ कुछ के लिए $h ∈ R$ जहां उपरोक्त समीकरण और प्रारंभिक मूल्य समस्या का हल पाया जा सकता है। अर्थात एक उपाय है और वह अद्वितीय है। चूँकि F के रैखिक होने पर कोई प्रतिबंध नहीं है, यह अरेखीय  समीकरणों पर लागू होता है जो F(x, y) का रूप लेते हैं, और इसे समीकरणों के सिस्टम पर भी लागू किया जा सकता है।

वैश्विक विशिष्टता और हल का अधिकतम डोमेन
जब पिकार्ड-लिंडेलोफ प्रमेय की परिकल्पना संतुष्ट होती है, तो स्थानीय अस्तित्व और विशिष्टता को वैश्विक परिणाम तक बढ़ाया जा सकता है। ज्यादा ठीक: प्रत्येक प्रारंभिक स्थिति के लिए (x0, वाई0) एक अद्वितीय अधिकतम (संभवतः अनंत) खुला अंतराल मौजूद है


 * $$I_{\max} = (x_-,x_+), x_\pm \in \R \cup \{\pm \infty\}, x_0 \in I_{\max}$$

ऐसा कि कोई भी हल जो इस प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है, वह हल  का प्रतिबंध (गणित) है जो डोमेन के साथ इस प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है $$I_\max$$.

उस मामले में $$x_\pm \neq \pm\infty$$, वास्तव में दो संभावनाएँ हैं

जहां Ω खुला सेट है जिसमें F परिभाषित है, और $$\partial \bar{\Omega}$$ इसकी सीमा है।
 * परिमित समय में विस्फोट: $$\limsup_{x \to x_\pm} \|y(x)\| \to \infty$$
 * परिभाषा का डोमेन छोड़ता है: $$\lim_{x \to x_\pm} y(x)\ \in \partial \bar{\Omega}$$

ध्यान दें कि हल का अधिकतम डोमेन


 * हमेशा एक अंतराल होता है (विशिष्टता के लिए)
 * से छोटा हो सकता है $$\R$$
 * की विशिष्ट पसंद पर निर्भर हो सकता है (x0, वाई0).


 * उदाहरण।


 * $$y' = y^2$$

इसका अर्थ है कि F(x, y) = y2, जो सी है1 और इसलिए स्थानीय रूप से लिपशित्ज़ निरंतर, पिकार्ड-लिंडेलोफ़ प्रमेय को संतुष्ट करता है।

इतनी सरल सेटिंग में भी, हल का अधिकतम डोमेन सभी नहीं हो सकता $$\R$$ चूंकि हल  है


 * $$y(x) = \frac{y_0}{(x_0-x)y_0+1}$$

जिसका डोमेन अधिकतम है:


 * $$\begin{cases}\R & y_0 = 0 \\[4pt] \left (-\infty, x_0+\frac{1}{y_0} \right ) & y_0 > 0 \\[4pt] \left (x_0+\frac{1}{y_0},+\infty \right ) & y_0 < 0 \end{cases}$$

यह स्पष्ट रूप से दिखाता है कि अधिकतम अंतराल प्रारंभिक स्थितियों पर निर्भर हो सकता है। Y के प्रांत को अस्तित्व के रूप में लिया जा सकता है $$\R \setminus (x_0+ 1/y_0),$$ लेकिन यह एक ऐसे डोमेन की ओर ले जाएगा जो एक अंतराल नहीं है, जिससे प्रारंभिक स्थिति के विपरीत पक्ष प्रारंभिक स्थिति से डिस्कनेक्ट हो जाएगा, और इसलिए इसके द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं किया जाएगा।

अधिकतम डोमेन नहीं है $$\R$$ चूंकि


 * $$\lim_{x \to x_\pm} \|y(x)\| \to \infty,$$

जो उपरोक्त प्रमेय के अनुसार दो संभावित मामलों में से एक है।

आदेश में कमी
यदि समीकरण के क्रम को कम किया जा सकता है तो अवकल समीकरणों को सामान्यता अधिक आसानी से हल किया जा सकता है।

प्रथम-क्रम प्रणाली में कमी
क्रम n का कोई स्पष्ट अवकल समीकरण,


 * $$F\left(x, y, y', y'',\ \ldots,\ y^{(n-1)}\right) = y^{(n)}$$

अज्ञात फलनों के एक नए परिवार को परिभाषित करके n प्रथम-क्रम अंतर समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में लिखा जा सकता है


 * $$y_i = y^{(i-1)}.\!$$

मैं = 1, 2,..., एन के लिए। प्रथम-क्रम युग्मित अंतर समीकरणों की एन-आयामी प्रणाली तब है


 * $$\begin{array}{rcl}

y_1'&=&y_2\\ y_2'&=&y_3\\ &\vdots&\\ y_{n-1}'&=&y_n\\ y_n'&=&F(x,y_1,\ldots,y_n). \end{array} $$ सदिश संकेतन में अधिक सघन रूप से:


 * $$\mathbf{y}'=\mathbf{F}(x,\mathbf{y})$$

जहाँ
 * $$\mathbf{y}=(y_1,\ldots,y_n),\quad \mathbf{F}(x,y_1,\ldots,y_n)=(y_2,\ldots,y_n,F(x,y_1,\ldots,y_n)).$$

सटीक हलो का सारांश
कुछ अवकल समीकरणों के हल होते हैं जिन्हें सटीक और बंद रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ कई महत्वपूर्ण वर्ग दिए गए हैं।

नीचे दी गई तालिका में, $P(x)$, $Q(x)$, $P(y)$, $Q(y)$, और $M(x,y)$, $N(x,y)$ के कोई पूर्णांक फलन हैं $x$, $y$, और $b$ और $c$ वास्तविक दिए गए स्थिरांक हैं, और $C_{1}, C_{2}, ...$ यादृच्छिक स्थिरांक हैं (सामान्य रूप से जटिल संख्या)। अवकल  समीकरण उनके समतुल्य और वैकल्पिक रूपों में होते हैं जो एकीकरण के माध्यम से हल  की ओर ले जाते हैं।

अभिन्न हल में, λ और ε एकीकरण के डमी चर हैं (संकलन में सूचकांकों के निरंतर अनुरूप), और अंकन $∫^{x} F(λ) dλ$ सिर्फ एकीकृत करने का मतलब है $F(λ)$ इसके संबंध में $λ$, फिर एकीकरण स्थानापन्न के बाद $λ = x$, स्थिरांक जोड़े बिना (स्पष्ट रूप से कहा गया)।

nवें क्रम के समीकरण
के लिए रैखिक

अनुमान लगाने की विधि
जब एक ओडीई को हल करने के लिए अन्य सभी विधि विफल हो जाती हैं, या ऐसे मामलों में जहां हमें इस बारे में कुछ अंतर्ज्ञान होता है कि DE का हल कैसा दिख सकता है, तो कभी-कभी केवल हल  का अनुमान लगाकर और इसे मान्य करके DE को हल करना मुमकिन होता है। इस विधि का उपयोग करने के लिए, हम केवल अंतर समीकरण के हल  का अनुमान लगाते हैं, और फिर समीकरण को संतुष्ट करने के लिए हल  को अंतर समीकरण में प्लग करते हैं। यदि ऐसा होता है तो हमारे पास DE का एक विशेष हल  है, अन्यथा हम फिर से शुरू करते हैं और एक और अनुमान लगाने का प्रयास करते हैं। उदाहरण के लिए हम अनुमान लगा सकते हैं कि DE के हल  का रूप है: $$y = Ae^{\alpha t}$$ चूंकि यह एक बहुत ही सामान्य उपाय है जो शारीरिक रूप से साइनसोइडल विधि के रूप में आचरण  करता है।

पहले क्रम ओडीई के मामले में जो गैर-सजातीय है, हमें पहले DE के सजातीय भाग के लिए DE हल खोजने की आवश्यकता है, अन्यथा विशेषता समीकरण के रूप में जाना जाता है, और फिर अनुमान लगाकर पूरे गैर-सजातीय समीकरण का हल  खोजें. अंत में, हम ओडीई का कुल हल प्राप्त करने के लिए इन दोनों हल ों को एक साथ जोड़ते हैं, जो है:

$$\text{total solution} = \text{homogeneous solution} + \text{particular solution}$$

ओडीई हल करने के लिए सॉफ्टवेयर

 * मैक्सिमा (सॉफ्टवेयर), एक ओपन-सोर्स कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली।
 * कोपासिस, ओडीई के एकीकरण और विश्लेषण के लिए एक मुफ्त (आर्टिस्टिक लाइसेंस|आर्टिस्टिक लाइसेंस 2.0) सॉफ्टवेयर पैकेज।
 * मैटलैब, एक तकनीकी कंप्यूटिंग अनुप्रयोग (आव्यूह प्रयोगशाला)
 * जीएनयू ऑक्टेव, एक उच्च स्तरीय भाषा, मुख्य रूप से संख्यात्मक अभिकलन के लिए अभिप्रेत है।
 * साइलैब, संख्यात्मक अभिकलन के लिए एक खुला स्रोत अनुप्रयोग।
 * मेपल (सॉफ्टवेयर), सांकेतिक गणनाओं के लिए एक मालिकाना अनुप्रयोग।
 * मेथेमेटिका, मुख्य रूप से सांकेतिक गणनाओं के लिए एक मालिकाना अनुप्रयोग है।
 * सिम्पी, एक पायथन पैकेज जो ओडीई को प्रतीकात्मक रूप से हल कर सकता है
 * जूलिया (प्रोग्रामिंग भाषा), मुख्य रूप से संख्यात्मक संगणना के लिए एक उच्च स्तरीय भाषा है।
 * सेजमैथ, एक ओपन-सोर्स एप्लिकेशन जो गणित की कई शाखाओं में फैली क्षमताओं की एक विस्तृत श्रृंखला के साथ पायथन-जैसे सिंटैक्स का उपयोग करता है।
 * साईपाई, एक पाइथन पैकेज जिसमें एक ओडीई एकीकरण मॉड्यूल सम्मिलित है।
 * 15 अंकों की सटीकता के फलनों के साथ कंप्यूटिंग के लिए MATLAB में लिखा गया एक ओपन-सोर्स पैकेज चेबफन।
 * जीएनयू आर, मुख्य रूप से आँकड़ों के लिए एक खुला स्रोत कम्प्यूटेशनल वातावरण है, जिसमें ओडीई हल करने के लिए पैकेज सम्मिलित हैं।

यह भी देखें

 * सीमा मूल्य समस्या
 * अवकल समीकरणों के उदाहरण
 * लाप्लास परिवर्तन अंतर समीकरणों पर लागू होता है
 * डायनेमिक सिस्टम और डिफरेंशियल इक्वेशन विषयों की सूची
 * आव्यूह अंतर समीकरण
 * अनिर्धारित गुणांकों की विधि
 * पुनरावृत्ति संबंध

संदर्भ

 * Polyanin, A. D. and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
 * Polyanin, A. D. and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
 * Polyanin, A. D. and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
 * Polyanin, A. D. and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2

ग्रन्थसूची

 * W. Johnson, A Treatise on Ordinary and Partial Differential Equations, John Wiley and Sons, 1913, in University of Michigan Historical Math Collection
 * Witold Hurewicz, Lectures on Ordinary Differential Equations, Dover Publications, ISBN 0-486-49510-8
 * A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev, and A. Moussiaux, Handbook of First Order Partial Differential Equations, Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27267-X
 * D. Zwillinger, Handbook of Differential Equations (3rd edition), Academic Press, Boston, 1997.
 * Witold Hurewicz, Lectures on Ordinary Differential Equations, Dover Publications, ISBN 0-486-49510-8
 * A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev, and A. Moussiaux, Handbook of First Order Partial Differential Equations, Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27267-X
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 * A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev, and A. Moussiaux, Handbook of First Order Partial Differential Equations, Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27267-X
 * D. Zwillinger, Handbook of Differential Equations (3rd edition), Academic Press, Boston, 1997.

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बाहरी कड़ियाँ

 * EqWorld: The World of Mathematical Equations, containing a list of ordinary differential equations with their solutions.
 * Online Notes / Differential Equations by Paul Dawkins, Lamar University.
 * Differential Equations, S.O.S. Mathematics.
 * A primer on analytical solution of differential equations from the Holistic Numerical Methods Institute, University of South Florida.
 * Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems lecture notes by Gerald Teschl.
 * Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers An introductory textbook on differential equations by Jiri Lebl of UIUC.
 * Mओडीईling with ओडीई using Scilab A tutorial on how to mओडीईl a physical system described by ओडीई using Scilab standard programming language by Openeering team.
 * Solving an ordinary differential equation in Wolfram|Alpha
 * Solving an ordinary differential equation in Wolfram|Alpha