क्वांटम यांत्रिकी का गणितीय सूत्रीकरण

क्वांटम यांत्रिकी का गणितीय सूत्रीकरण एक ऐसी गणितीय औपचारिकता हैं जो क्वांटम यांत्रिकी के समिश्र विवरण की स्वीकृति देती हैं। यह गणितीय औपचारिकता मुख्य रूप से कार्यात्मक विश्लेषण के एक भाग का उपयोग करती है, विशेष रूप से हिल्बर्ट रिक्त समष्टि, जो एक प्रकार का रैखिक समष्टि है। अमूर्त गणितीय संरचनाओं, जैसे अनंत-आयामी हिल्बर्ट समष्टि (मुख्य रूप से L2 समष्टि) और इन समष्टि पर संचालकों के उपयोग से 1900 के दशक के प्रारंभ से पहले विकसित भौतिकी सिद्धांतों के लिए गणितीय औपचारिकताओं से अलग हैं। संक्षेप में, ऊर्जा और संवेग जैसे भौतिक प्रेक्षणों के मानों को अब चरण समष्टि पर फलन के मानों के रूप में नहीं माना जाता था लेकिन आइगेन मान के रूप में हिल्बर्ट समष्टि में रैखिक संचालकों के स्पेक्ट्र संबंधी मानों के रूप में अधिक प्रयुक्त किया जाता है।

क्वांटम यांत्रिकी के इन सूत्रों का आज भी उपयोग किया जाता है। विवरण के केंद्र में क्वांटम यांत्रिकी और क्वांटम समिश्र की अवधारणाए हैं जो भौतिक वास्तविकता के पिछले मॉडल में उपयोग किए गए मौलिक से भिन्न हैं। जबकि गणित कई राशियों की गणना की स्वीकृति देता है जिन्हें प्रयोगात्मक रूप से मापा जा सकता है, मानों की एक निश्चित सैद्धांतिक सीमा होती है जिन्हें एक साथ मापा जा सकता है। इस सीमा को पहली बार हाइजेनबर्ग अनिश्चितता द्वारा एक विचार प्रयोग के माध्यम से स्पष्ट किया गया था और क्वांटम समिश्र का प्रतिनिधित्व करने वाले संचालकों की गैर-अविनिमेय द्वारा नई औपचारिकता में गणितीय रूप से प्रतिनिधित्व किया गया है।

एक अलग सिद्धांत के रूप में क्वांटम यांत्रिकी के विकास से पहले, भौतिकी में उपयोग किए जाने वाले गणित में मुख्य रूप से औपचारिक गणितीय विश्लेषण सम्मिलित था जिसका विकास प्रारम्भिक कैलकुलस से हुआ था और क्वांटम समिश्र में अवकल ज्यामिति और आंशिक अवकल समीकरणों तक बढ़ रहा था। विरूपण सिद्धांत का उपयोग सांख्यिकीय यांत्रिकी में किया गया था। ज्यामितीय अंतर्ज्ञान ने पहले दो में एक निश्चित भूमिका निभाई और तदनुसार, सापेक्षता भौतिकी के सिद्धांत को पूर्ण रूप से अवकल ज्यामितीय अवधारणाओं के संदर्भ में तैयार किया था क्वांटम भौतिकी की परिघटना सामान्यतः 1895 और 1915 के बीच उत्पन्न हुई और क्वांटम यांत्रिकी (1925 के आसपास) के विकास से पहले 10 से 15 वर्षों तक भौतिकविदों ने क्वांटम सिद्धांत के विषय में सोचना प्रारम्भ रखा था जिसे अब "प्राचीन भौतिकी" कहा जाता है और विशेष रूप से समान गणितीय संरचनाओं के भीतर इसका सबसे परिष्कृत उदाहरण "सोमरफेल्ड-विल्सन-इशिवारा परिमाणीकरण नियम" है, जिसे पूर्ण रूप से प्राचीन भौतिकी समष्टि पर तैयार किया गया था।

पुराने क्वांटम सिद्धांत और नए गणित की आवश्यकता
1890 के दशक में, मैक्स प्लैंक ब्लैकबॉडी-स्पेक्ट्रम को प्राप्त करने में सक्षम था जिसे बाद में पराबैंगनी विपात से बचने के लिए अपरंपरागत धारणा बनाकर उपयोग किया गया था कि पदार्थ के साथ विद्युत चुम्बकीय विकिरण की परस्पर क्रिया में ऊर्जा का केवल असतत इकाइयों में रूपांतरण किया जा सकता है जिसे उन्होंने क्वांटा कहा और प्लैंक ने विकिरण की आवृत्ति उस आवृत्ति पर ऊर्जा की स्थिति के बीच प्रत्यक्ष आनुपातिकता को अभिगृहीत किया। तथा आनुपातिकता स्थिरांक h को अब उनके सम्मान में प्लांक स्थिरांक कहा जाता है।

1905 में, अल्बर्ट आइंस्टीन ने प्रकाश विद्युत प्रभाव की कुछ विशेषताओं को यह मानकर समझाया कि प्लैंक की ऊर्जा क्वांटा वास्तविक कण थे, जिन्हें बाद में फोटॉन का दिया गया था। ये सभी घटनाक्रम घटनात्मक थे और उस समय के सैद्धांतिक भौतिकी को चुनौती दी थी। बोह्र और सोमरफेल्ड ने पहले सिद्धांतों से बोहर मॉडल को विकसित करने के प्रयास में क्वांटम यांत्रिकी को संशोधित किया। उन्होंने प्रस्तावित किया कि अपने चरण (फेज़) समष्टि में एक यांत्रिक प्रणाली द्वारा खोजी गई सभी विवृत विस्तृत कक्षाओं में, केवल उन लोगों को जो एक क्षेत्र को घेरते थे जो कि प्लैंक के स्थिरांक का गुणक था वास्तव में स्वीकृति दी गई थी। इस औपचारिकता का सबसे परिष्कृत संस्करण तथाकथित सोमरफेल्ड-विल्सन-इशिवारा परिमाणीकरण था। हालांकि हाइड्रोजन परमाणु के बोह्र मॉडल को इस प्रकार से समझाया जा सकता है कि हीलियम परमाणु के स्पेक्ट्रम (समिश्र रूप से एक अविलेय 3-क्रम समस्या) का पूर्वानुमान नहीं की जा सकता है। क्वांटम सिद्धांत की गणितीय समष्टि कुछ समय तक अनिश्चित थी। और 1923 में, लुइस डी ब्रोगली ने प्रस्तावित किया कि तरंग-कण न केवल फोटॉनों पर बल्कि इलेक्ट्रॉनों और प्रत्येक दूसरे भौतिक तंत्र पर प्रयुक्त होता है।

1925 से 1930 के वर्षों में स्थिति तीव्रता से परिवर्तित हुई जब इरविन श्रोडिंगर, वर्नर हाइजेनबर्ग, मैक्स बोर्न, पास्कल जॉर्डन और जॉन वॉन न्यूमैन, हरमन वेइल और पॉल डिराक के आधारभूत कार्य के माध्यम से कार्यशील गणितीय नींव पाई गई और नए विचारों के संदर्भ में कई अलग-अलग दृष्टिकोणों को एकीकृत करना संभव हो गया था और वर्नर हाइजेनबर्ग द्वारा अनिश्चितता संबंधों की खोज और नील्स बोह्र द्वारा पूरकता (भौतिकी) के विचार को प्रस्तुत करने के बाद इन वर्षों में सिद्धांत की भौतिकी व्याख्या को भी स्पष्ट किया गया था।

नया क्वांटम सिद्धांत
वर्नर हाइजेनबर्ग का क्वांटम यांत्रिकी परमाणु स्पेक्ट्रा के अवलोकित सूत्रीकरण को रूपांतरित करने का पहला सफल प्रयास था। बाद में उसी वर्ष, श्रोडिंगर ने अपनी तरंग यांत्रिकी बनाई और श्रोडिंगर की औपचारिकता को समझना, कल्पना करना और गणना करना आसान माना जाता था क्योंकि इससे अवकल समीकरणों का विकास हुआ, जिसे हल करने से भौतिक विज्ञानी पहले से ही परिचित थे। एक वर्ष के भीतर यह प्रदर्शित गया कि दो सिद्धांत समान थे।

श्रोडिंगर ने प्रारम्भ में क्वांटम यांत्रिकी की मौलिक प्रायिकतात्मक प्रकृति को नहीं समझ पाए, क्योंकि उन्होंने सोचा था कि एक इलेक्ट्रॉन के तरंग फलन के पूर्ण वर्ग को एक विस्तारित, संभवतः अवकल समष्टि के आयतन पर विस्तृत हुई वस्तु के आवेश घनत्व के रूप में व्याख्या की जानी चाहिए। यह मैक्स बोर्न था जिसने तरंग फलन के निरपेक्ष वर्ग की व्याख्या को एक बिंदु जैसी वस्तु की स्थिति के प्रायिकता वितरण के रूप में प्रस्तुत किया था। बोर्न के विचार को शीघ्र ही कोपेनहेगन में नील्स बोह्र ने ले लिया, जो तब क्वांटम यांत्रिकी की कोपेनहेगन व्याख्या के "जनक" बन गए। श्रोडिंगर के तरंग फलन को हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण की निकटता से देखा जा सकता है। हाइजेनबर्ग के क्वांटम यांत्रिकी में समिश्र यांत्रिकी के साथ समानता और भी अधिक स्पष्ट थी हालांकि कुछ अधिक औपचारिक थी। अपनी "पीएचडी थीसिस परियोजना" में पॉल डिराक ने पाया कि हाइजेनबर्ग प्रतिनिधित्व में संचालकों के लिए समीकरण, जैसा कि अब कहा जाता है समिश्र यांत्रिकी के हैमिल्टनियन औपचारिकता में कुछ राशि की गतिशीलता के लिए शास्त्रीय समीकरणों का सूक्ष्मता से अनुवाद करता है जब उन्हें पोइसन भाग के माध्यम से व्यक्त करता है। और एक प्रक्रिया जिसे अब विहित परिमाणीकरण के रूप में जाना जाता है।

अधिक सही प्रयुक्त होने के लिए पहले से ही श्रोडिंगर ने पहले, युवा पोस्टडॉक्टोरल वर्नर हाइजेनबर्ग ने अपने क्वांटम यांत्रिकी का आविष्कार किया, जो कि पहला सही क्वांटम यांत्रिकी था आवश्यक सफलता हाइजेनबर्ग का क्वांटम यांत्रिकी सूत्रीकरण अपरिमित क्वांटम यांत्रिकी के बीजगणितीय सिद्धान्त पर आधारित था प्राचीन भौतिकी के गणित के प्रकाश में एक बहुत ही कट्टरपंथी सूत्रीकरण, हालांकि उन्होंने उस समय के प्रयोगवादियों की सूचकांक-शब्दावली से प्रारम्भ किया था यह भी नहीं पता था कि उनकी "सूचकांक-योजनाएं" मेट्रिसेस थी जैसा कि बोर्न ने ही उन्हें बताया। कि वास्तव में, इन प्रारम्भिक वर्षों में, रेखीय बीजगणित अपने वर्तमान रूप में भौतिकविदों के साथ सामान्यतः लोकप्रिय नहीं थी।

हालांकि श्रोडिंगर ने स्वयं एक वर्ष के बाद अपने तरंग-यांत्रिकी और हाइजेनबर्ग के क्वांटम यांत्रिकी की समानता को सिद्ध कर दिया, हिल्बर्ट समष्टि में गति के रूप में दो दृष्टिकोणों और उनके आधुनिक अमूर्तता के सामंजस्य को सामान्यतः पॉल डिराक के लिए उत्तरदायी माना जाता है जिन्होंने अपने 1930 के सिद्धान्त में एक स्पष्ट लिखा था। क्वांटम यांत्रिकी का सिद्धांत वह उस क्षेत्र का तीसरा, और संभवतः सबसे महत्वपूर्ण स्तंभ है (वह शीघ्र ही सिद्धांत के एक सापेक्षवादी सामान्यीकरण की खोज करने वाला एकमात्र व्यक्ति था)। अपने उपर्युक्त सिद्धान्त में, उन्होंने कार्यात्मक विश्लेषण में प्रयुक्त हिल्बर्ट समष्टि के संदर्भ में एक अमूर्त सूत्रीकरण के साथ, ब्रा-केट संकेतन प्रस्तुत किया था उन्होंने दिखाया कि श्रोडिंगर और हाइजेनबर्ग के दृष्टिकोण एक ही सिद्धांत के दो अलग-अलग प्रतिनिधित्व थे और एक तीसरा, सबसे सामान्य पाया जो प्रणाली की गतिशीलता का प्रतिनिधित्व करता था। उनका कार्य क्षेत्र के कई प्रकार के सामान्यीकरणों में विशेष रूप से लाभदायक था।

इस दृष्टिकोण का पहला पूर्ण गणितीय सूत्रीकरण, जिसे डिराक-वॉन न्यूमैन एक्सिओम्स के रूप में जाना जाता है सामान्यतः जॉन वॉन न्यूमैन की 1932 की पुस्तक को क्वांटम यांत्रिकी की गणितीय नींव में श्रेय दिया जाता है, हालांकि हरमन वेइल ने हिल्बर्ट समष्टि (जिसे उन्होंने एकात्मक समष्टि कहा था) को पहले ही संदर्भित कर दिया था। उनका 1927 का प्रारम्भिक पेपर और पुस्तक मे यह एक पीढ़ी पहले डेविड हिल्बर्ट के दृष्टिकोण वाले द्विघात रूपों के अतिरिक्त रैखिक संचालको के आधार पर गणितीय रैखिक सिद्धांत के लिए एक नए दृष्टिकोण के समानांतर विकसित किया गया था। हालांकि क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांत आज भी विकसित हो रहे हैं, क्वांटम यांत्रिकी के गणितीय सूत्रीकरण के लिए एक आधारित संरचना है जो अधिकांश दृष्टिकोणों को रेखांकित करती है और जॉन वॉन न्यूमैन के गणितीय कार्यों में वापस खोजा जा सकता है। दूसरे शब्दों में, सिद्धांत की व्याख्या और इसके विस्तार के विषय में चर्चा अब अधिकांश गणितीय नींव के विषय में साझा धारणाओं के आधार पर आयोजित की जाती है।

बाद के घटनाक्रम
विद्युत् चुंबकत्व के लिए नए क्वांटम सिद्धांत के अनुप्रयोग के परिणामस्वरूप क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत का विकास हुआ जिसे 1930 के आसपास प्रारम्भ किया गया था। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत ने क्वांटम यांत्रिकी के अधिक परिष्कृत योगों के विकास को प्रेरित किया है जिनमें से यहां प्रस्तुत कुछ सामान्य उदाहरण हैं:
 * समाकलन सूत्रीकरण
 * क्वांटम यांत्रिकी और ज्यामितीय परिमाणीकरण का फेज़ समष्टि सूत्रीकरण
 * कर्व्ड स्पेसटाइम में क्वांटम क्षेत्र सिद्धान्त
 * वेटमैन स्वयंसिद्ध, स्थानीय क्वांटम भौतिकी और संरचनात्मक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत
 * सी * - बीजगणित औपचारिकता (गणित)
 * क्वांटम यांत्रिकी का सामान्यीकृत सांख्यिकीय मॉडल (पीओवीएम)

क्वांटम यांत्रिकी के संबंध मे एक संबंधित विषय है। किसी भी नए भौतिक सिद्धांत को कुछ सन्निकटन में सफल पुराने सिद्धांतों को कम करना चाहिए। क्वांटम यांत्रिकी के लिए, यह क्वांटम यांत्रिकी की तथाकथित क्वांटम सीमा का अध्ययन करने की आवश्यकता में अनुवाद करता है। इसके अतिरिक्त, जैसा कि बोह्र ने महत्व दिया कि मानव संज्ञानात्मक क्षमताएं और भाषा समिश्र रूप से क्वांटम क्षेत्र से सम्बद्ध हैं और इसलिए रैखिक विवरण सहज रूप से क्वांटम की तुलना में अधिक सुलभ हैं। विशेष रूप से परिमाणीकरण (भौतिकी) अर्थात् एक क्वांटम सिद्धांत का निर्माण जिसकी क्वांटम सीमा एक दी गई और ज्ञात क्वांटम सिद्धांत है, अपने आप में क्वांटम भौतिकी का एक महत्वपूर्ण क्षेत्र बन जाता है।

अंत में, क्वांटम सिद्धांत के कुछ प्रवर्तक (विशेष रूप से आइंस्टीन और श्रोडिंगर) क्वांटम यांत्रिकी के दार्शनिक निहितार्थों से खुश नही थे। विशेष रूप से, आइंस्टीन ने निर्धारित किया कि क्वांटम यांत्रिकी अधूरी होनी चाहिए, जिसने तथाकथित छिपे-चर सिद्धांतों में शोध को प्रेरित किया और क्वांटम प्रकाशिकी की सहायता से छिपे हुए चर का कारण एक प्रायोगिक कारण बन गया है।

क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांत
भौतिक प्रणाली को सामान्यतः तीन मूल अवयवों द्वारा वर्णित किया जाता है: यांत्रिकी, अवकनीयता और गतिशीलता (या समय के विकास का नियम) या अधिक सामान्यतः भौतिक समरूपता का एक समूह यांत्रिकी के एक फेज़ समष्टि मॉडल द्वारा एक क्वांटम विवरण लगभग प्रत्यक्ष रूप से दिया जा सकता है: यांत्रिकी एक फेज़ समष्टि में बिंदु हैं जो सहानुभूतिपूर्ण कई गुना द्वारा तैयार किए जाते हैं, वेधशालाएं वास्तविक-मान वाले फलन हैं, समय विकास एक-पैरामीटर समूह द्वारा दिया जाता है फेज़ समष्टि की समानताएं परिवर्तनों और भौतिक समरूपता को सहानुभूतिपूर्ण परिवर्तनों द्वारा विचार किया जाता है। एक क्वांटम विवरण में समान्यतः यांत्रिकी के हिल्बर्ट समष्टि होते हैं, वेधशालाएँ यांत्रिकी के समष्टि पर स्व-संबद्ध संचालक होते हैं, समय विकास यांत्रिकी के हिल्बर्ट समष्टि पर एकात्मक परिवर्तनों के एक-पैरामीटर समूह द्वारा दिया जाता है और भौतिक समरूपता पर विचार किया जाता है एकात्मक रूपांतरण इस हिल्बर्ट-समष्टि को एक फेज समष्टि सूत्रीकरण में चित्रित करता है। (नीचे देखें।)

क्वांटम यांत्रिकी की गणितीय संरचना के निम्नलिखित सारांश को आंशिक रूप से डायराक-वॉन न्यूमैन स्वयंसिद्धों में देखा जा सकता है।

एक प्रणाली की स्थिति का विवरण
प्रत्येक पृथक भौतिक प्रणाली आंतरिक उत्पाद $⟨φ|ψ⟩$ के साथ एक (स्थलीय रूप से) वियोज्य परिसर हिल्बर्ट समष्टि $H$ से सम्बद्ध है। $H$ में किरणें (अर्थात, समिश्र आयाम 1 के उप-समष्टि) प्रणाली की क्वांटम स्थितियों से सम्बद्ध हैं।

दूसरे शब्दों में, क्वांटम यांत्रिकी को $H$ में लंबाई 1 के सदिशों के समतुल्य वर्गों (किरणों) के साथ पहचाना जा सकता है जहां दो सदिश एक ही स्थिति का प्रतिनिधित्व करते हैं यदि वे केवल एक फेज़ कारक से भिन्न होते हैं। पृथक्करण एक गणितीय रूप से सुविधाजनक परिकल्पना है भौतिक व्याख्या के साथ कि स्थिति को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए कई अवलोकन पर्याप्त हैं। एक क्वांटम यांत्रिकी स्थिति प्रक्षेपीय हिल्बर्ट समष्टि में एक सदिश किरण नही है। कई पाठ्यपुस्तकें इस समीकरण को बनाने में विफल रहती हैं जो आंशिक रूप से इस तथ्य का परिणाम हो सकता है कि श्रोडिंगर समीकरण में ही हिल्बर्ट-समष्टि "सदिश" सम्मिलित है, जिसके परिणामस्वरूप किरण के अतिरिक्त "स्थिति सदिश" के उपयुक्त उपयोग से बचना बहुत जटिल होता है। यह एक निम्नलिखित समग्र प्रणाली अभिधारणा है:

क्वांटम यांत्रिकी की उपस्थिति में, समग्र प्रणाली की क्वांटम यांत्रिकी को इसके स्थानीय घटकों की स्थिति के टेंसर उत्पाद के रूप में नहीं माना जा सकता है इसके अतिरिक्त इसे घटक उप-प्रणालियों की स्थिति के टेंसर उत्पादों के योग या क्वांटम अध्यारोपण के रूप में व्यक्त किया जाता है। क्वांटम यांत्रिकी समग्र प्रणाली में एक उप-प्रणाली को समान्यतः एक स्थिति सदिश (या एक किरण) द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है, बल्कि इसके अतिरिक्त एक घनत्व संचालक द्वारा वर्णित किया जाता है ऐसी क्वांटम स्थिति को समिश्र स्थिति (भौतिकी) के रूप में जाना जाता है। एक मिश्रित स्थिति का घनत्व संचालन एक नियंत्रक वर्ग है गैर-ऋणात्मक (धनात्मक अर्ध-निश्चित यांत्रिकी) स्व-संबद्ध संचालक ρ ट्रेस 1 के लिए सामान्यीकृत होता है। उसके स्थान में, समिश्र स्थिति के किसी भी घनत्व संचालन को एक विस्तृत उप-प्रणाली के रूप में दर्शाया जा सकता है (निम्न प्रमेय देखें)।

क्वांटम यांत्रिकी की अनुपस्थिति में, समग्र प्रणाली की क्वांटम स्थिति को वियोज्य स्थिति कहा जाता है। एक वियोज्य स्थिति में द्विदलीय प्रणाली के घनत्व यांत्रिकी को व्यक्त किया जा सकता है:

$$ \rho=\sum_k p_k \rho_1^k \otimes \rho_2^k $$, :

जहाँ $$\; \sum_k p_k = 1 $$ यदि केवल एक $$p_k$$अशून्य है तब यांत्रिकी स्थिति को उसी रूप $ \rho = \rho_1 \otimes \rho_2, $ मे व्यक्त किया जा सकता है और इसे केवल वियोज्य या उत्पाद स्थिति कहा जाता है।

भौतिक राशियों का विवरण
भौतिक वेधशालाओं को हर्मिटियन मैट्रिक्स मैट्रिसेस ऑन द्वारा दर्शाया गया है $H$. चूंकि ये ऑपरेटर हर्मिटियन हैं, इसलिए उनका ईगेनवैल्यू हमेशा वास्तविक होता है, और संबंधित अवलोकन योग्य को मापने से संभावित परिणामों/परिणामों का प्रतिनिधित्व करता है। यदि अवलोकन योग्य का स्पेक्ट्रम असतत स्पेक्ट्रम है, तो संभावित परिणाम परिमाणित होते हैं।

मापन के परिणाम
वर्णक्रमीय सिद्धांत द्वारा, हम संभाव्यता माप को के मानों से जोड़ सकते हैं $A$ किसी भी राज्य में $ψ$. हम यह भी दिखा सकते हैं कि अवलोकन योग्य के संभावित मूल्य $A$ किसी भी राज्य में एक ऑपरेटर के स्पेक्ट्रम से संबंधित होना चाहिए $A$. अवलोकन योग्य का अपेक्षित मूल्य (संभाव्यता सिद्धांत के अर्थ में)। $A$ यूनिट वेक्टर द्वारा दर्शाए गए राज्य में सिस्टम के लिए $ψ$ ∈ एच है $$\langle\psi|A|\psi\rangle$$. अगर हम राज्य का प्रतिनिधित्व करते हैं $ψ$ के eigenvectors द्वारा गठित आधार में $A$, तो किसी दिए गए ईजेनवेक्टर से जुड़े घटक के मॉड्यूलस का वर्ग इसके संबंधित ईजेनवेल्यू को देखने की संभावना है।

मिश्रित अवस्था के लिए $ρ$, का अपेक्षित मूल्य $A$ राज्य में $ρ$ है $$ \operatorname{tr}(A\rho)$$, और एक eigenvalue प्राप्त करने की संभावना $$ a_n $$ इसी प्रेक्षणीय के असतत, अविकृत स्पेक्ट्रम में $$ A $$ द्वारा दिया गया है $$ \mathbb P(a_n)=\operatorname{tr}(|a_n\rangle\langle a_n|\rho)=\langle a_n|\rho|a_n\rangle $$.

यदि आइगेनवैल्यू $$ a_n $$ पतित, ऑर्थोनॉर्मल ईजेनवेक्टर हैं $$ \{|a_{n1}\rangle,|a_{n2}\rangle, \dots, |a_{nm}\rangle\} $$, तो eigensubspace पर प्रोजेक्शन (रैखिक बीजगणित) को eigensubspace में आइडेंटिटी ऑपरेटर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है: $$ P_n=|a_{n1}\rangle\langle a_{n1}|+|a_{n2}\rangle\langle a_{n2}| + \dots + |a_{nm}\rangle\langle a_{nm}|, $$ और तब $$ \mathbb P(a_n)=\operatorname{tr}(P_n\rho) $$.

अभिधारणाओं II.a और II.b को सामूहिक रूप से क्वांटम यांत्रिकी के जन्म नियम के रूप में जाना जाता है।

राज्य पर मापन का प्रभाव
मिश्रित अवस्था के लिए $ρ$, एक eigenvalue प्राप्त करने के बाद $$ a_n $$ इसी प्रेक्षणीय के असतत, अविकृत स्पेक्ट्रम में $$ A $$, द्वारा अद्यतन स्थिति दी गई है $ \rho'=\frac{P_n\rho P_n^\dagger}{\operatorname{tr}(P_n\rho P_n^\dagger)} $. यदि आइगेनवैल्यू $$ a_n $$ पतित, ऑर्थोनॉर्मल ईजेनवेक्टर हैं $$ \{|a_{n1}\rangle,|a_{n2}\rangle, \dots ,|a_{nm}\rangle\} $$, तो eigensubspace पर प्रोजेक्शन (रैखिक बीजगणित) है $$ P_n=|a_{n1}\rangle\langle a_{n1}|+|a_{n2}\rangle\langle a_{n2}| + \dots + |a_{nm}\rangle\langle a_{nm}| $$.

अभिधारणाएँ II.c को कभी-कभी राज्य अद्यतन नियम या पतन नियम कहा जाता है; बॉर्न रूल (पोस्टुलेट्स II.a और II.b) के साथ मिलकर, वे क्वांटम यांत्रिकी में मापन का एक पूर्ण प्रतिनिधित्व करते हैं, और कभी-कभी सामूहिक रूप से मापन पोस्टुलेट (एस) कहलाते हैं।

ध्यान दें कि प्रक्षेपण-मूल्यवान उपाय | प्रोजेक्शन-वैल्यूड उपायों (पीवीएम) को माप पोस्टुलेट (एस) में वर्णित किया जा सकता है जिसे पीओवीएम | पॉजिटिव ऑपरेटर-वैल्यूड उपायों (पीओवीएम) में सामान्यीकृत किया जा सकता है, जो क्वांटम यांत्रिकी में माप का सबसे सामान्य प्रकार है। एक पीओवीएम को एक घटक सबसिस्टम पर प्रभाव के रूप में समझा जा सकता है जब एक पीवीएम एक बड़े, मिश्रित सिस्टम पर किया जाता है (नैमार्क के फैलाव प्रमेय देखें)।

एक प्रणाली का समय विकास
हालांकि श्रोडिंगर समीकरण को प्राप्त करना संभव है, जो वर्णन करता है कि समय में एक राज्य वेक्टर कैसे विकसित होता है, अधिकांश ग्रंथ समीकरण को अभिधारणा के रूप में मानते हैं। सामान्य व्युत्पत्तियों में डेब्रोग्ली परिकल्पना या श्रोडिंगर के समीकरण के बीच संबंध और क्वांटम यांत्रिकी के पथ अभिन्न सूत्रीकरण का उपयोग करना सम्मिलित है।

समतुल्य रूप से, समय विकास अभिधारणा को इस प्रकार कहा जा सकता है:

मिश्रित अवस्था में बंद व्यवस्था के लिए $ρ$, समय विकास है $$\rho(t)=U(t;t_0)\rho(t_0) U^\dagger(t;t_0)$$.

एक खुली क्वांटम प्रणाली के विकास को क्वांटम ऑपरेशन (क्वांटम ऑपरेशन # प्रमेय औपचारिकता के बयान में) और क्वांटम उपकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है, और सामान्यतः एकात्मक होना जरूरी नहीं है।

अभिधारणाओं के अन्य निहितार्थ

 * विग्नर के प्रमेय के कारण भौतिक समरूपता क्वांटम स्टेट्स एकात्मक संचालिका या प्रतिएकात्मकता के हिल्बर्ट स्थान पर कार्य करती है (सुपरसिमेट्री पूरी तरह से एक और मामला है)।


 * घनत्व ऑपरेटर वे हैं जो एक-आयामी ऑर्थोगोनल प्रोजेक्टर के उत्तल पतवार के बंद होने में हैं। इसके विपरीत, एक-आयामी ऑर्थोगोनल प्रोजेक्टर घनत्व ऑपरेटरों के सेट के चरम बिंदु हैं। भौतिक विज्ञानी एक आयामी ऑर्थोगोनल प्रोजेक्टर को शुद्ध अवस्थाएँ और अन्य घनत्व संचालिकाएँ मिश्रित अवस्थाएँ भी कहते हैं।
 * कोई भी इस औपचारिकता में हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत को बता सकता है और इसे एक प्रमेय के रूप में साबित कर सकता है, हालांकि घटनाओं का सटीक ऐतिहासिक अनुक्रम, जो कि किसने और किस ढांचे के तहत प्राप्त किया, इस लेख के दायरे से बाहर ऐतिहासिक जांच का विषय है।
 * हाल के शोध से पता चला है कि कंपोजिट सिस्टम पोस्टुलेट (टेंसर प्रोडक्ट पोस्टुलेट) स्टेट पोस्टुलेट (पोस्टुलेट I) और माप पोस्टुलेट्स (पोस्टुलेट्स II) से प्राप्त किया जा सकता है; इतना ही नहीं दिखाया भी गया है कि माप अभिगृहीत (अभिधारणा II) एकात्मक क्वांटम यांत्रिकी से प्राप्त किया जा सकता है, जिसमें केवल अवस्था अभिधारणा (अभिधारणा I), समग्र प्रणाली अभिधारणा (टेंसर उत्पाद अभिधारणा) और एकात्मक विकास अभिधारणा (अभिधारणा III) सम्मिलित हैं।

इसके अलावा, क्वांटम यांत्रिकी के अभिधारणाओं में स्पिन (भौतिकी) और पाउली के पाउली अपवर्जन सिद्धांत के गुणों पर बुनियादी बयान भी जोड़ना चाहिए, नीचे देखें।

स्पिन
उनके अन्य गुणों के अलावा, सभी कणों में एक मात्रा होती है जिसे स्पिन (भौतिकी) कहा जाता है, एक आंतरिक कोणीय गति। नाम के बावजूद, कण वस्तुतः एक धुरी के चारों ओर नहीं घूमते हैं, और क्वांटम मैकेनिकल स्पिन का शास्त्रीय भौतिकी में कोई पत्राचार नहीं है। स्थिति प्रतिनिधित्व में, स्पिनलेस वेवफंक्शन की स्थिति होती है $r$ और समय $t$ निरंतर चर के रूप में, $ψ = ψ(r, t)$. स्पिन वेवफंक्शन के लिए स्पिन एक अतिरिक्त असतत चर है: $ψ = ψ(r, t, σ)$, कहाँ $σ$ मान लेता है; $$\sigma = -S \hbar, -(S-1) \hbar , \dots, 0, \dots ,+(S-1) \hbar ,+S \hbar \,.$$ यानी स्पिन के साथ एक कण की स्थिति $S$ को a द्वारा प्रदर्शित किया जाता है $(2S + 1)$-कॉम्प्लेक्स-वैल्यू वेव फ़ंक्शंस का घटक स्पिनर।

बहुत भिन्न व्यवहार वाले कणों के दो वर्ग बोसॉन होते हैं जिनमें पूर्णांक स्पिन होता है ($S = 0, 1, 2, ...$), और अर्ध-पूर्णांक चक्रण वाले फर्मियन ($S = 1/2, 3/2, 5/2, ...$).

पाउली का सिद्धांत
स्पिन की संपत्ति एक अन्य बुनियादी संपत्ति से संबंधित प्रणालियों से संबंधित है $N$ समान कण: पाउली का पाउली अपवर्जन सिद्धांत, जो एक के निम्नलिखित क्रमपरिवर्तन व्यवहार का परिणाम है $N$-कण तरंग समारोह; फिर से स्थिति प्रतिनिधित्व में किसी को यह मान लेना चाहिए कि किसी भी दो के स्थानान्तरण के लिए $N$ कण हमेशा होने चाहिए

यानी, किन्हीं दो कणों के तर्कों के ट्रांसपोज़िशन (गणित) पर वेवफंक्शन को प्रीफ़ेक्टर के अलावा, पुन: उत्पन्न करना चाहिए $(−1)^{2S}$ जो है $+1$ बोसोन के लिए, लेकिन ($−1$) फरमिओन्स के लिए। इलेक्ट्रॉन फर्मन होते हैं $S = 1/2$; प्रकाश की मात्राएँ बोसोन हैं $S = 1$. असापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी में सभी कण या तो बोसॉन या फ़र्मियन होते हैं; आपेक्षिकीय क्वांटम सिद्धांतों में भी सुपरसिमेट्री| सुपरसिमेट्रिक सिद्धांत मौजूद हैं, जहां एक कण एक बोसोनिक और एक फर्मीओनिक भाग का एक रैखिक संयोजन है। केवल आयाम में $d = 2$ क्या कोई संस्थाओं का निर्माण कर सकता है $(−1)^{2S}$ परिमाण 1 के साथ एक मनमाना जटिल संख्या द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जिसे कोई भी कहा जाता है।

यद्यपि स्पिन और पाउली सिद्धांत केवल क्वांटम यांत्रिकी के सापेक्षवादी सामान्यीकरण से ही प्राप्त किए जा सकते हैं, पिछले दो पैराग्राफों में वर्णित गुण पहले से ही गैर-सापेक्षतावादी सीमा में मूल अभिधारणाओं से संबंधित हैं। विशेष रूप से, प्राकृतिक विज्ञान में कई महत्वपूर्ण गुण, उदा। रसायन विज्ञान की आवधिक प्रणाली, दो गुणों के परिणाम हैं।

प्रतिनिधित्व
श्रोडिंगर समीकरण का मूल रूप वर्नर हाइजेनबर्ग के विहित रूपांतरण संबंध के एक विशेष प्रतिनिधित्व को चुनने पर निर्भर करता है। स्टोन-वॉन न्यूमैन प्रमेय यह निर्धारित करता है कि परिमित-आयामी हाइजेनबर्ग कम्यूटेशन संबंधों के सभी अलघुकरणीय निरूपण एकात्मक रूप से समकक्ष हैं। इसके परिणामों की एक व्यवस्थित समझ ने क्वांटम यांत्रिकी के चरण स्थान निर्माण को प्रेरित किया है, जो हिल्बर्ट समष्टि के बजाय पूर्ण चरण समष्टि में काम करता है, इसलिए इसकी शास्त्रीय सीमा के लिए अधिक सहज लिंक के साथ। यह चित्र भी विचार को सरल करता है क्वांटिज़ेशन (भौतिकी) का, शास्त्रीय से क्वांटम यांत्रिकी तक विरूपण विस्तार।

क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर एक बिल्कुल सॉल्वेबल सिस्टम है जहां विभिन्न अभ्यावेदन आसानी से तुलना किए जाते हैं। वहां, हाइजेनबर्ग, या श्रोडिंगर (स्थिति या संवेग), या चरण-स्थान अभ्यावेदन के अलावा, एक फॉक (संख्या) प्रतिनिधित्व और ऑसिलेटर प्रतिनिधित्व का भी सामना करता है। सेगल-बार्गमैन (फॉक-स्पेस या सुसंगत राज्य) प्रतिनिधित्व (नाम के बाद इरविंग सेगल और वेलेंटाइन बर्गमैन)। चारों एकात्मक रूप से समकक्ष हैं।

एक ऑपरेटर के रूप में समय
अब तक प्रस्तुत रूपरेखा समय को उस पैरामीटर के रूप में एकल करती है जिस पर सब कुछ निर्भर करता है। यांत्रिकी को इस तरह से तैयार करना संभव है कि समय स्वयं एक स्व-सम्मिलित संकारक से जुड़ा एक अवलोकनीय बन जाता है। शास्त्रीय स्तर पर, एक अभौतिक पैरामीटर के संदर्भ में कणों के प्रक्षेपवक्र को मनमाने ढंग से मापना संभव है $R$, और उस स्थिति में समय t भौतिक तंत्र का एक अतिरिक्त सामान्यीकृत निर्देशांक बन जाता है। क्वांटम स्तर पर, में अनुवाद $⟨$ हैमिल्टनियन द्वारा उत्पन्न किया जाएगा $t$, जहां ई ऊर्जा ऑपरेटर है और $H$ साधारण हैमिल्टनियन है। हालाँकि, चूंकि s एक अभौतिक पैरामीटर है, भौतिक अवस्थाओं को s-evolution द्वारा अपरिवर्तनीय छोड़ दिया जाना चाहिए, और इसलिए भौतिक स्थिति स्थान का कर्नेल है $i$ (इसके लिए कठोर हिल्बर्ट स्थान के उपयोग और आदर्श के पुनर्सामान्यीकरण की आवश्यकता होती है)।

यह डायराक ब्रैकेट और गेज सिद्धांतों के परिमाणीकरण से संबंधित है। यह घटनाओं का एक क्वांटम सिद्धांत तैयार करना भी संभव है जहां समय अवलोकनीय हो जाता है (डी। एडवर्ड्स देखें)।

माप की समस्या
पिछले पैराग्राफ में दिया गया चित्र पूरी तरह से पृथक प्रणाली के वर्णन के लिए पर्याप्त है। हालांकि, यह क्वांटम यांत्रिकी और शास्त्रीय यांत्रिकी के बीच मुख्य अंतरों में से एक के लिए जिम्मेदार नहीं है, अर्थात माप के प्रभाव। एक प्रेक्षण योग्य के क्वांटम मापन का वॉन न्यूमैन विवरण $ħ$, जब सिस्टम शुद्ध अवस्था में तैयार किया जाता है $H$ निम्नलिखित है (ध्यान दें, हालांकि, वॉन न्यूमैन का विवरण 1930 के दशक का है और उस समय के दौरान किए गए प्रयोगों पर आधारित है - अधिक विशेष रूप से कॉम्पटन स्कैटरिंग | कॉम्पटन-साइमन प्रयोग; यह अधिकांश वर्तमान मापों पर लागू नहीं है क्वांटम डोमेन के भीतर):


 * होने देना $U(t)$ वर्णक्रमीय संकल्प है $$ A = \int \lambda \, d \operatorname{E}_A(\lambda),$$ कहाँ $H → H$ संबंधित पहचान (जिसे प्रोजेक्शन-वैल्यूड माप भी कहा जाता है) का संकल्प है $s, t$. फिर अंतराल में झूठ बोलने वाले माप परिणाम की संभावना $H$ का $H$ है $t_{0} = 0$. दूसरे शब्दों में, की विशेषता फ़ंक्शन को एकीकृत करके संभावना प्राप्त की जाती है $A = A(t)$ गिने-चुने योगात्मक माप के विरुद्ध $$ \langle \psi \mid \operatorname{E}_A \psi \rangle. $$
 * यदि मापा मूल्य में निहित है $H = H_{0} + V$, फिर माप के तुरंत बाद, सिस्टम (समान्यतः गैर-सामान्यीकृत) स्थिति में होगा $V$. यदि मापा मूल्य अंदर नहीं है $H_{0}$, बदलना $s$ उपरोक्त राज्य के लिए इसके पूरक द्वारा।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि राज्य स्थान है $s$-आयामी जटिल हिल्बर्ट समष्टि $H − E$ और $H$ eigenvalues ​​​​के साथ एक हर्मिटियन मैट्रिक्स है $H − E$, संबंधित eigenvectors के साथ $A$. प्रोजेक्शन-वैल्यू माप से जुड़ा हुआ है $ψ$, $A$, तब है

$$ \operatorname{E}_A (B) = | \psi_i\rangle \langle \psi_i|, $$ कहाँ $E_{A}$ एक बोरेल सेट है जिसमें केवल एक ईजेनवेल्यू होता है $A$. यदि राज्य में सिस्टम तैयार है

$$| \psi \rangle $$ फिर मान लौटाने वाले माप की संभावना $B$ वर्णक्रमीय माप को एकीकृत करके गणना की जा सकती है

$$ \langle \psi \mid \operatorname{E}_A \psi \rangle $$ ऊपर $R$. यह तुच्छ देता है

$$ \langle \psi| \psi_i\rangle \langle \psi_i \mid \psi \rangle = | \langle \psi \mid \psi_i\rangle | ^2. $$ वॉन न्यूमैन माप योजना की विशेषता यह है कि एक ही माप को दोहराने से समान परिणाम मिलेंगे। इसे प्रोजेक्शन पोस्टुलेट भी कहा जाता है।

एक अधिक सामान्य फॉर्मूलेशन प्रोजेक्शन-वैल्यू माप को POVM|पॉजिटिव-ऑपरेटर वैल्यूड माप (POVM) से बदल देता है। वर्णन करने के लिए, फिर से परिमित-आयामी मामला लें। यहां हम रैंक-1 अनुमानों को बदल देंगे $$ | \psi_i\rangle \langle \psi_i| $$ सकारात्मक ऑपरेटरों के एक परिमित सेट द्वारा $$ F_i F_i^* $$ जिसका योग अभी भी पहले की तरह पहचान संकारक है (पहचान का संकल्प)। संभावित परिणामों के एक सेट के रूप में $|E_{A}(B) ψ|^{2}$ एक प्रक्षेपण-मूल्यवान माप से जुड़ा है, वही POVM के लिए कहा जा सकता है। मान लीजिए माप परिणाम है $B$. (असामान्यीकृत) अवस्था में गिरने के बजाय $$ | \psi_i\rangle \langle \psi_i |\psi\rangle $$ मापी के बाद अब प्रदेश में लगेगी व्यवस्था $$ F_i |\psi\rangle. $$ के बाद से $B$ ऑपरेटरों को पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल अनुमानों की आवश्यकता नहीं है, वॉन न्यूमैन के प्रक्षेपण अभिधारणा अब धारण नहीं करती है।

समान सूत्रीकरण सामान्य मिश्रित अवस्था (भौतिकी) पर लागू होता है।

वॉन न्यूमैन के दृष्टिकोण में, माप के कारण राज्य परिवर्तन कई तरीकों से समय के विकास के कारण भिन्न होता है। उदाहरण के लिए, समय विकास नियतात्मक और एकात्मक है जबकि माप गैर-नियतात्मक और गैर-एकात्मक है। हालाँकि, चूंकि दोनों प्रकार के राज्य परिवर्तन एक क्वांटम अवस्था को दूसरे में ले जाते हैं, इस अंतर को कई लोगों ने असंतोषजनक के रूप में देखा। पीओवीएम औपचारिकता माप को कई अन्य क्वांटम परिचालनों में से एक के रूप में देखती है, जो पूरी तरह से सकारात्मक मानचित्रों द्वारा वर्णित हैं जो ट्रेस में वृद्धि नहीं करते हैं।

किसी भी मामले में ऐसा लगता है कि उपर्युक्त समस्याओं को केवल तभी हल किया जा सकता है जब समय के विकास में न केवल क्वांटम प्रणाली सम्मिलित है, बल्कि अनिवार्य रूप से शास्त्रीय माप तंत्र (ऊपर देखें) भी सम्मिलित है।

सापेक्ष राज्य व्याख्या
माप की एक वैकल्पिक व्याख्या एवरेट की कई-विश्व व्याख्या है, जिसे बाद में क्वांटम भौतिकी की कई-दुनिया की व्याख्या करार दिया गया।

गणितीय उपकरणों की सूची
इस विषय की लोककथाओं का एक हिस्सा डेविड हिल्बर्ट के गौटिंगेन विश्वविद्यालय के पाठ्यक्रमों से रिचर्ड कुरेंट द्वारा गणितीय भौतिकी की पाठ्यपुस्तक गणितीय भौतिकी के तरीके से संबंधित है। कहानी (गणितज्ञों द्वारा) बताई जाती है कि भौतिकविदों ने श्रोडिंगर के समीकरण के आगमन तक सामग्री को वर्तमान अनुसंधान क्षेत्रों में दिलचस्प नहीं होने के कारण खारिज कर दिया था। उस समय यह महसूस किया गया था कि इसमें नए क्वांटम यांत्रिकी का गणित पहले से ही रखा गया था। यह भी कहा जाता है कि हाइजेनबर्ग ने अपने मैट्रिक्स यांत्रिकी के बारे में हिल्बर्ट से परामर्श किया था, और हिल्बर्ट ने देखा कि अनंत-आयामी मैट्रिसेस के साथ उनका अपना अनुभव अंतर समीकरणों से प्राप्त हुआ था, सलाह जिसे हाइजेनबर्ग ने अनदेखा कर दिया, सिद्धांत को एकीकृत करने का अवसर खो दिया जैसा कि वेइल और डिराक ने किया था। कुछ साल बाद। उपाख्यानों का आधार जो भी हो, सिद्धांत का गणित उस समय पारंपरिक था, जबकि भौतिकी मौलिक रूप से नई थी।

मुख्य उपकरण में सम्मिलित हैं:


 * रेखीय बीजगणित: जटिल संख्याएं, आइजन्वेक्टर, ईजेनवेल्यूज
 * कार्यात्मक विश्लेषण: हिल्बर्ट रिक्त समष्टि, रैखिक ऑपरेटर, वर्णक्रमीय सिद्धांत
 * अंतर समीकरण: आंशिक अंतर समीकरण, चर का पृथक्करण, साधारण अंतर समीकरण, स्टर्म-लिउविल सिद्धांत, eigenfunction
 * हार्मोनिक विश्लेषण: फूरियर रूपांतरण

संदर्भ

 * J. von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics (1932), Princeton University Press, 1955. Reprinted in paperback form.
 * H. Weyl, The Theory of Groups and Quantum Mechanics, Dover Publications, 1950.
 * A. Gleason, Measures on the Closed Subspaces of a Hilbert Space, Journal of Mathematics and Mechanics, 1957.
 * G. Mackey, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, W. A. Benjamin, 1963 (paperback reprint by Dover 2004).
 * R. F. Streater and A. S. Wightman, PCT, Spin and Statistics and All That, Benjamin 1964 (Reprinted by Princeton University Press)
 * R. Jost, The General Theory of Quantized Fields, American Mathematical Society, 1965.
 * J. M. Jauch, Foundations of quantum mechanics, Addison-Wesley Publ. Cy., Reading, Massachusetts, 1968.
 * G. Emch, Algebraic Methods in Statistical Mechanics and Quantum Field Theory, Wiley-Interscience, 1972.
 * M. Reed and B. Simon, Methods of Mathematical Physics, vols I–IV, Academic Press 1972.
 * T. S. Kuhn, Black-Body Theory and the Quantum Discontinuity, 1894–1912, Clarendon Press, Oxford and Oxford University Press, New York, 1978.
 * D. Edwards, The Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Synthese, 42 (1979),pp. 1–70.
 * R. Shankar, "Principles of Quantum Mechanics", Springer, 1980.
 * E. Prugovecki, Quantum Mechanics in Hilbert Space, Dover, 1981.
 * S. Auyang, How is Quantum Field Theory Possible?, Oxford University Press, 1995.
 * N. Weaver, Mathematical Quantization, Chapman & Hall/CRC 2001.
 * G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashvily, Geometric and Algebraic Topological Methods in Quantum Mechanics, World Scientific, 2005.
 * D. McMahon, Quantum Mechanics Demystified, 2nd Ed., McGraw-Hill Professional, 2005.
 * G. Teschl, Mathematical Methods in Quantum Mechanics with Applications to Schrödinger Operators, https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/, American Mathematical Society, 2009.
 * V. Moretti, Spectral Theory and Quantum Mechanics: Mathematical Foundations of Quantum Theories, Symmetries and Introduction to the Algebraic Formulation, 2nd Edition, Springer, 2018.
 * B. C. Hall, Quantum Theory for Mathematicians, Springer, 2013.
 * V. Moretti, Fundamental Mathematical Structures of Quantum Theory, Springer, 2019.
 * K. Landsman, Foundations of Quantum Theory, Springer 2017