गोलीय निर्देशांक पद्धति



गणित में, गोलीय निर्देशांक प्रणाली, त्रि-विमीय समष्टि के लिए एक प्रकार की निर्देशांक प्रणाली होती है जहाँ किसी बिंदु की स्थिति को निर्दिष्ट करने के लिए तीन संख्याओं का उपयोग किया जाता है: किसी निश्चित मूल बिंदु से उस बिंदु की त्रिज्यीय (जेनिथ) दूरी, इसका ध्रुवीय कोण एक निश्चित जेनिथ दिशा से मापा जाता है, और किसी संदर्भ तल पर इसके लंबकोणीय प्रक्षेपण का दिगंशीय (दिगंशल) कोण जो मूल बिंदु से होकर गुजरता है और जेनिथ दिशा के लंबकोणीय है, जिसे उस तल पर किसी निश्चित संदर्भ दिशा से मापा जाता है। इसे ध्रुवीय निर्देशांक प्रणाली के त्रि-विमीय संस्करण के रूप में देखा जा सकता है।

त्रिज्यीय दूरी को त्रिज्या या त्रिज्यीय निर्देशांक भी कहा जाता है। ध्रुवीय कोण को कोलैटिट्यूड, जेनिथ कोण, अभिलंब कोण या आनति कोण कहा जा सकता है।

जब त्रिज्या स्थायी होती है, तो दो कोणीय निर्देशांक गोले (स्फीयर) पर एक निर्देशांक प्रणाली बनाते हैं जिसे कभी-कभी गोलीय ध्रुवीय निर्देशांक कहा जाता है।

प्रतीकों का उपयोग और निर्देशांकों का क्रम स्रोतों और विषयों के बीच भिन्न होता है। यह लेख आईएसओ परिपाटी का उपयोग करेगा जो प्रायः भौतिकी में सामने आता है: $$(r,\theta,\varphi)$$ त्रिज्यीय दूरी, ध्रुवीय कोण और दिगंशीय कोण देता है। इसके विपरीत, कई गणित की किताबों में, $$(\rho,\theta,\varphi)$$ या $$(r,\theta,\varphi)$$, θ और φ के अर्थ बदलते हुए त्रिज्यीय दूरी, दिगंशीय कोण और ध्रुवीय कोण प्रदान करता है। अन्य परिपाटियों का भी उपयोग किया जाता है, जैसे z-अक्ष से त्रिज्या के लिए r, इसलिए प्रतीकों के अर्थ की जांच करने के लिए बहुत सावधानी बरतने की आवश्यकता है।

भौगोलिक निर्देशांक प्रणालियों की परिपाटियों के अनुसार, स्थिति अक्षांश, देशांतर और ऊंचाई (ऊंचाई) द्वारा मापी जाती है। विभिन्न मूल समतलों पर आधारित और विभिन्न निर्देशांकों के लिए अलग-अलग शर्तों के साथ कई खगोलीय निर्देशांक प्रणालियां हैं। गणित में उपयोग की जाने वाली गोलीय निर्देशांक प्रणाली सामान्य रूप से डिग्री के बजाय रेडियन का उपयोग करती है और क्षैतिज निर्देशांक प्रणाली की तरह उत्तर (0°) से पूर्व (+90°) तक दक्षिणावर्त के बजाय x-अक्ष से y-अक्ष तक दिगंशीय कोण वामावर्त मापती है। ध्रुवीय कोण को प्रायः संदर्भ तल से धनात्मक Z अक्ष की ओर मापे गए उन्नयन कोण से बदल दिया जाता है, ताकि शून्य का उन्नयन कोण क्षितिज पर हो, अवनति कोण, उन्नयन कोण का ऋणात्मक होता है।

गोलीय निर्देशांक प्रणाली द्वि-विमीय ध्रुवीय निर्देशांक प्रणाली का सामान्यीकरण करती है। इसे उच्च-विमीय स्थानों तक भी बढ़ाया जा सकता है और फिर इसे हाइपरस्फेरिकल निर्देशांक प्रणाली के रूप में जाना जाता है।

परिभाषा
गोलीय निर्देशांक प्रणाली को परिभाषित करने के लिए, किसी को दो लाम्बिक दिशाओं, जेनिथ और दिगंश (अज़ीमुथ) संदर्भ, और समष्टि में मूल बिंदु चयन किया जाता है। ये विकल्प एक संदर्भ तल का निर्धारण करते हैं जिसमें मूल बिंदु होता है और जेनिथ के लिए लंबवत होता है। बिंदु $r$ के गोलीय निर्देशांक इस प्रकार परिभाषित किए जाते हैं:


 * त्रिज्या या त्रिज्यीय दूरी मूल बिंदु $θ$ से $φ$ तक यूक्लिडियन दूरी है।
 * दिगंश (या दिगंश कोण) दिगंश संदर्भ दिशा से संदर्भ तल पर रेखा खंड $ρ$ के लाम्बिक प्रक्षेपण के लिए मापा गया चिह्‍नत कोण है।
 * आनति (या ध्रुवीय कोण) जेनिथ दिशा और रेखा खंड $r$ के बीच का कोण है।

दिगंश का चिन्ह यह चुनकर निर्धारित किया जाता है कि जेनिथ के चारों ओर घुमाव का धनात्मक भाव क्या है। यह विकल्प यादृच्छिक है, और निर्देशांक प्रणाली की परिभाषा का एक भाग है।

उन्‍नयन कोण, 90 डिग्री ($r$ रेडियन) तथा आनति कोण का घटाव है।

यदि आनति शून्य या 180 डिग्री ($\pi$ रेडियन) है, तो दिगंश यादृच्छिक होता है। यदि त्रिज्या शून्य है, तो दिगंश और आनति दोनों यादृच्छिक होता हैं।

रैखिक बीजगणित में, मूल बिंदु $θ$ से बिंदु $φ$ तक के सदिश को प्रायः P का स्थिति सदिश कहा जाता है।

परिपाटी
तीन निर्देशांकों का प्रतिनिधित्व करने के लिए, और जिस क्रम में उन्हें लिखा जाना चाहिए, उसके लिए कई अलग-अलग परिपाटियाँ उपस्थित हैं। त्रिज्यीय दूरी, आनति (या ऊंचाई), और दिगंश, क्रमशः, को निरूपित करने के लिए $$(r,\theta,\varphi)$$ का उपयोग, भौतिकी में सामान्य अभ्यास है, और आईएसओ मानक 80000-2: 2019 और इससे पहले आईएसओ 31-11 (1992) में निर्दिष्ट है।

हालांकि, कुछ लेखक (गणितज्ञों सहित) त्रिज्यीय दूरी के लिए ρ का उपयोग करते हैं, आनति (या ऊंचाई) के लिए φ और दिगंश के लिए θ, और z-अक्ष से त्रिज्या के लिए r, जो "सामान्य ध्रुवीय निर्देशांक संकेतन का तार्किक विस्तार प्रदान करता है"। कुछ लेखक आनति (या ऊंचाई) से पहले दिगंश को भी सूचीबद्ध कर सकते हैं। इन विकल्पों के कुछ संयोजनों के परिणामस्वरूप एक बाएं हाथ की निर्देशांक प्रणाली होती है। मानक परिपाटि $$(r,\theta,\varphi)$$ द्वि-विमीय ध्रुवीय निर्देशांक और त्रि-विमीय बेलनी निर्देशांक के लिए सामान्य संकेतन के साथ संघर्ष करता है, जहाँ प्रायः दिगंश के लिए $θ$ का उपयोग किया जाता है।

सामान्यतः कोणों को डिग्री (°) या रेडियन (रेड) में मापा जाता है, जहाँ 360° = 2π रेड। डिग्री भूगोल, खगोल विज्ञान और अभियांत्रिकी में सबसे साधारण हैं, जबकि रेडियन सामान्यतः गणित और सैद्धांतिक भौतिकी में उपयोग किए जाते हैं। त्रिज्यीय दूरी की इकाई सामान्यतः संदर्भ से निर्धारित होती है।

जब प्रणाली का उपयोग भौतिक त्रि-समष्टि के लिए किया जाता है, तो यह दिगंश कोणों के लिए धनात्मक चिह्न का उपयोग करने के लिए प्रचलित है, जो संदर्भ तल पर संदर्भ दिशा से विपरीत दिशा में मापा जाता है, जैसा कि तल के जेनिथ पक्ष से देखा जाता है। इस परिपाटि का उपयोग विशेष रूप से भौगोलिक निर्देशांक के लिए किया जाता है, जहाँ "जेनिथ" दिशा उत्तर है और धनात्मक दिगंश (देशांतर) कोण कुछ प्रमुख मध्याह्न रेखा से पूर्व की ओर मापा जाता है।


 * {| class="wikitable" style="text-align:center"

! निर्देशांक !! संबंधित स्थानीय भौगोलिक दिशाएँ (Z, X, Y) ! दायां/बायां हाथ
 * + प्रमुख परिपाटियाँ
 * $(r, θ, φ)$ || $(r, θ_{inc}, φ_{az,right})$ || दायां
 * $(U, S, E)$|| $(r, φ_{az,right}, θ_{el})$ || दायां
 * $(U, E, N)$|| $(r, θ_{el}, φ_{az,right})$ || बायां
 * }
 * नोट: पूर्वान्तर ($φ$), उत्तरान्तर ($ρ$), ऊपर की ओर (ऊर्ध्वगामीता) ($r$). स्थानीय दिगंश कोण मापा जाएगा, उदाहरण के लिए, $(U, N, E)$ की स्थिति में $r$ से $P$ तक वामावर्त।
 * $(U, S, E)$|| $r ≥ 0,$ || बायां
 * }
 * नोट: पूर्वान्तर ($r$), उत्तरान्तर ($θ$), ऊपर की ओर (ऊर्ध्वगामीता) ($φ$). स्थानीय दिगंश कोण मापा जाएगा, उदाहरण के लिए, $0° ≤ θ ≤ 180° (\pi rad),$ की स्थिति में $P$ से $O$ तक वामावर्त।

एकमात्र निर्देशांक
कोई भी गोलीय निर्देशांक त्रिक $$(r,\theta,\varphi)$$ त्रि-विमीय स्थान के एक बिंदु को निर्दिष्ट करता है। दूसरी ओर, प्रत्येक बिंदु के अपरिमित रूप से अनेक समान गोलीय निर्देशांक होते हैं। कोणों को बदले बिना, और इसलिए बिंदु को बदले बिना, किसी भी संख्या में पूर्ण घुमावों को या तो कोणीय माप में जोड़ या घटा सकते हैं। कई संदर्भों में, ऋणात्मक त्रिज्यीय दूरी की अनुमति देना भी सुविधाजनक है, इस परिपाटी के साथ कि $$(-r,-\theta,\varphi{+}180^\circ)$$ किसी भी $P$, $OP$, तथा $OP$ के लिए $$(r,\theta,\varphi)$$ के बराबर है। साथ ही, $$(r,-\theta,\varphi)$$ $$(r,\theta,\varphi{+}180^\circ)$$के बराबर है।

यदि प्रत्येक बिंदु के लिए गोलीय निर्देशांक के एकमात्र समुच्चय को परिभाषित करना आवश्यक है, अतः उनकी सीमाओं को प्रतिबंधित करना होगा। एक सामान्य विकल्प निम्न है



हालांकि, दिगंश $\pi⁄2$ प्रायः [0, 360°) के बजाय रेडियन में अंतराल (−180°, +180°], या (−π, +π] तक ही सीमित है। यह भौगोलिक देशांतर के लिए मानक परिपाटि है।

$O$ के लिए, आनति के लिए सीमा [0°, 180°] ऊंचाई के लिए [−90°, +90°] के समतुल्य है। भूगोल में, अक्षांश ऊंचाई है।

इन प्रतिबंधों के साथ भी, यदि $P$, 0° या 180° है (ऊँचाई 90° या -90° है) तो दिगंश कोण यादृच्छिक है; और यदि $θ$ शून्य है, दिगंश और आनति/ऊंचाई दोनों मनमानी हैं। निर्देशांकों को एकमात्र बनाने के लिए, कोई भी परिपाटि का उपयोग कर सकता है कि इन स्थितियों में मनमाने निर्देशांक शून्य हैं।

आलेखन
अपने गोलीय निर्देशांक $0° ≤ φ < 360° (2\pi rad).$ से एक बिंदु को आलेखित करने के लिए, जहाँ $E$ आनति है, जेनिथ दिशा में मूल बिंदु से $N$ इकाइयों को ले जाएं, दिगंश संदर्भ दिशा की ओर मूल बिंदु के बारे में $U$ से घुमाएँ, और उचित दिशा में जेनिथ बिंदु के बारे में $S$ से घुमाएँ।

अनुप्रयोग
जिस प्रकार द्वि-विमीय कार्तीय निर्देशांक प्रणाली तल पर उपयोगी होती है, उसी प्रकार द्वि-विमीय गोलीय निर्देशांक प्रणाली एक गोले की सतह पर उपयोगी होती है। इस प्रणाली में, गोले को एक इकाई क्षेत्र के रूप में लिया जाता है, इसलिए त्रिज्या एकता है और साधारण तौर पर इसकी उपेक्षा की जा सकती है। घूर्णन-आव्यूह जैसी वस्तुओं के साथ डील करते समय यह सरलीकरण भी बहुत उपयोगी हो सकता है।

गोलीय निर्देशांक उन प्रणालियों का विश्लेषण करने में उपयोगी होते हैं जिनमें एक बिंदु के बारे में कुछ हद तक समरूपता होती है, जैसे कि एक गोले के अंदर आयतन समाकल, एक केंद्रित द्रव्यमान या चार्ज के आसपास संभावित ऊर्जा क्षेत्र, या ग्रह के वातावरण में वैश्विक मौसम सिमुलेशन। एक गोले का कार्तीय समीकरण $(r, θ, φ)$ गोलीय निर्देशांक में सरल समीकरण $x^{2} + y^{2} + z^{2} = c^{2}$ है।

कई भौतिक समस्याओं में उत्पन्न होने वाले दो महत्वपूर्ण आंशिक अवकल समीकरण, लाप्लास का समीकरण और हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण, गोलीय निर्देशांक में चरों को अलग करने की अनुमति देते हैं। इस तरह के समीकरणों के समाधान के कोणीय भाग गोलीय हार्मोनिक्स का रूप लेते हैं।

एक अन्य अनुप्रयोग एर्गोनोमिक डिज़ाइन है, जहाँ $E$ एक स्थिर व्यक्ति की बांह की लंबाई है और कोण हाथ की दिशा का वर्णन करते हैं, क्योंकि यह बाहर तक पहुँचता है।

लाउडस्पीकर के आउटपुट पैटर्न के तीन विमीय मॉडलिंग का उपयोग उनके प्रदर्शन का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है। आवृत्तियों के विस्तृत चयन पर कई ध्रुवीय भूखंडों की आवश्यकता होती है, क्योंकि आवृत्ति के साथ पैटर्न बहुत बदल जाता है। ध्रुवीय भूखंड यह दिखाने में मदद करते हैं कि कई लाउडस्पीकर कम आवृत्तियों पर सर्वदिशात्मकता की ओर जाते हैं।

खिलाड़ी की स्थिति के आसपास कैमरे को घुमाने के लिए गोलीय निर्देशांक प्रणाली का उपयोग सामान्यतः 3डी गेम के विकास में भी किया जाता है

भूगोल में
पहले सन्निकटन के लिए, भौगोलिक निर्देशांक प्रणाली आनति के बजाय $r = c$ की सीमा में, भूमध्य रेखा तल के उत्तर में डिग्री कोण (अक्षांश) का उपयोग करती है। अक्षांश या तो भूकेन्द्रिक अक्षांश है, जिसे पृथ्वी के केंद्र में मापा जाता है और $−90° ≤ φ ≤ 90°$ या भौगोलिक अक्षांश द्वारा विभिन्न रूप से निर्दिष्ट किया जाता है, जिसे पर्यवेक्षक के स्थानीय ऊर्ध्वाधर द्वारा मापा जाता है, और सामान्यतः नामित $r$। ध्रुवीय कोण, जो 90°, अक्षांश और सीमाओं को 0 से 180° तक घटाता है, इसे भूगोल में कोलैटिट्यूड कहा जाता है।

दिगंश कोण (देशांतर), जिसे सामान्यतः $θ$ द्वारा दर्शाया जाता है, को कुछ सांकेतिक संदर्भ भूमध्य रेखा (सामान्यतः आईईआरएस संदर्भ भूमध्य रेखा) से पूर्व या पश्चिम में डिग्री में मापा जाता है, इसलिए इसका डोमेन $ψ, q, φ′, φ_{c}, φ_{g}$ है। पृथ्वी या अन्य घन खगोलीय पिंड पर स्थितियों के लिए, संदर्भ तल को सामान्यतः घूर्णन के अक्ष के लम्बवत् समतल माना जाता है।

त्रिज्यीय दूरी के बजाय, भूगोलवेत्ता सामान्यतः कुछ संदर्भ सतह (ऊर्ध्वाधर डेटाम) के ऊपर या नीचे की ऊंचाई का उपयोग करते हैं, जो कि औसत समुद्र स्तर हो सकता है। त्रिज्यीय दूरी $φ$ की गणना पृथ्वी की त्रिज्या को जोड़कर ऊंचाई से की जा सकती है, जो लगभग 6,360 ± है।

हालाँकि, आधुनिक भौगोलिक निर्देशांक प्रणाली काफी जटिल हैं, और इन सरल सूत्रों द्वारा निहित स्थिति कई किलोमीटर तक गलत हो सकती है। अक्षांश, देशांतर और ऊंचाई के सटीक मानक अर्थ वर्तमान में विश्व भूगणितीय प्रणाली (डब्लूजीएस) द्वारा परिभाषित किए गए हैं, और ध्रुवों पर पृथ्वी के चपटेपन (लगभग 21 km) और कई अन्य विवरणों को ध्यान में रखते हैं।

ग्रहों की निर्देशांक प्रणालियाँ भौगोलिक निर्देशांक प्रणाली के अनुरूप सूत्रीकरण का उपयोग करती हैं।

खगोल विज्ञान में
विभिन्न मूल समतलों से उन्नयन कोण को मापने के लिए खगोलीय निर्देशांक प्रणालियों की एक श्रृंखला का उपयोग किया जाता है। ये संदर्भ तल पर्यवेक्षक का क्षितिज, आकाशीय भूमध्य रेखा (पृथ्वी के घूर्णन द्वारा परिभाषित), क्रांतिवृत्त का तल (सूर्य के चारों ओर पृथ्वी की कक्षा द्वारा परिभाषित किया गया), पृथ्वी टर्मिनेटर का तल (सूर्य के लिए तात्कालिक दिशा के लिए सामान्य), और गेलेक्टिक भूमध्य रेखा (आकाशगंगा के घूर्णन द्वारा परिभाषित) हैं)।

निर्देशांक प्रणाली रूपांतरण
चूंकि गोलीय निर्देशांक प्रणाली कई त्रि-विमीय निर्देशांक प्रणालियों में से एक है, गोलीय निर्देशांक प्रणाली और अन्य के बीच निर्देशांक परिवर्तित करने के लिए समीकरण उपस्थित हैं।

कार्तीय निर्देशांक
आईएसओ परिपाटि में एक बिंदु के गोलीय निर्देशांक (अर्थात भौतिकी के लिए: त्रिज्या $φ$, आनति $θ$, दिगंश $θ$) अपने कार्तीय निर्देशांक प्रणाली से प्राप्त किया जा सकता है $−180° ≤ λ ≤ 180°$ सूत्रों द्वारा


 * $$\begin{align}

r &= \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\ \theta &= \arccos\frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \arccos\frac{z}{r}=\arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z} \\ \varphi &= \begin{cases} \arctan(\frac{y}{x}) &\text{if } x > 0, \\ \arctan(\frac{y}{x}) + \pi &\text{if } x < 0 \text{ and } y \geq 0, \\ \arctan(\frac{y}{x}) - \pi &\text{if } x < 0 \text{ and } y < 0, \\ +\frac{\pi}{2} &\text{if } x = 0 \text{ and } y > 0, \\ -\frac{\pi}{2} &\text{if } x = 0 \text{ and } y < 0, \\ \text{undefined} &\text{if } x = 0 \text{ and } y = 0. \end{cases} \end{align}$$ $(x, y, z)$ के सही चतुर्थांश को ध्यान में रखते हुए, $(x, y)$ में दर्शाई गई प्रतिलोम स्पर्शरेखा को उपयुक्त रूप से परिभाषित किया जाना चाहिए। Atan2 पर आलेख देखें।

वैकल्पिक रूप से, रूपांतरण को ध्रुवीय रूपांतरणों के लिए दो अनुक्रमिक आयताकार के रूप में माना जा सकता है: कार्तीय $r$ तल में पहला $φ = arctan y⁄x$ से $(x, y)$ तक, जहाँ $θ$, $r$-तल पर $θ$ का प्रक्षेपण है, और कार्तीय $φ$-तल में दूसरा $(R, φ)$ से $(z, R)$ तक का प्रक्षेपण है। $r$ और $φ$ के लिए सही चतुर्भुज तलीय आयताकार से ध्रुवीय रूपांतरणों की शुद्धता से निहित हैं।

ये सूत्र मानते हैं कि दो प्रणालियों की उत्पत्ति समान है, गोलीय संदर्भ तल कार्तीय $λ$ तल है, कि $r$, $r$ दिशा से आनति है, और दिगंश कोणों को कार्तीय $θ$ अक्ष से मापा जाता है (ताकि $φ$ अक्ष में $(r, θ)$ हो)। यदि जेनिथ से आनति के बजाय संदर्भ तल से ऊंचाई को मापता है, तो ऊपर का चाप एक आर्कसिन बन जाता है, और नीचे का $φ = +90°$ और $cos θ$ स्विच हो जाता है।

इसके विपरीत, कार्तीय निर्देशांक को गोलीय निर्देशांक (त्रिज्या $xy$, आनति $R$, दिगंश $xy$) से प्राप्त किया जा सकता है, जहाँ $sin θ$, $r ∈ [0, ∞)$, $θ ∈ [0, \pi]$, द्वारा
 * $$\begin{align}

x &= r \sin\theta \, \cos\varphi, \\ y &= r \sin\theta \, \sin\varphi, \\ z &= r \cos\theta. \end{align}$$

बेलनी निर्देशांक
बेलनी निर्देशांक प्रणाली (अक्षीय त्रिज्या ρ, दिगंश $r$, उन्नयन z) सूत्रों द्वारा गोलीय निर्देशांक (केंद्रीय त्रिज्या $zR$, आनति $φ$, दिगंश $θ$) में परिवर्तित किया जा सकता है


 * $$\begin{align}

r &= \sqrt{\rho^2 + z^2}, \\ \theta &= \arctan\frac{\rho}{z} = \arccos\frac{z}{\sqrt{\rho^2 + z^2}}, \\ \varphi &= \varphi. \end{align}$$ इसके विपरीत, गोलीय निर्देशांक को सूत्रों द्वारा बेलनी निर्देशांक में परिवर्तित किया जा सकता है


 * $$\begin{align}

\rho &= r \sin \theta, \\ \varphi &= \varphi, \\ z &= r \cos \theta. \end{align}$$ ये सूत्र मानते हैं कि दो प्रणालियों का एक ही मूल और एक ही संदर्भ तल है, दिगंश कोण $xy$ को समान अक्ष से समान अर्थों में मापते हैं, और यह कि गोलीय कोण $θ$ बेलनाकार $z$ अक्ष से आनति है।

सामान्यीकरण
गोलीय निर्देशांक के एक संशोधित संस्करण का उपयोग करके कार्तीय निर्देशांक में दीर्घ वृत्तज पर चर्चा करना भी संभव है।

माना कि P स्तर समुच्चय द्वारा निर्दिष्ट एक दीर्घ वृत्तज है


 * $$ax^2 + by^2 + cz^2 = d.$$

आईएसओ परिपाटि में पी में एक बिंदु के संशोधित गोलीय निर्देशांक (अर्थात भौतिकी के लिए: त्रिज्या $x$, आनति $y$, दिगंश $r$) अपने कार्तीय निर्देशांक प्रणाली से प्राप्त किया जा सकता है $φ ∈ [0, 2\pi)$ सूत्रों द्वारा


 * $$\begin{align}

x &= \frac{1}{\sqrt{a}} r \sin\theta \, \cos\varphi, \\ y &= \frac{1}{\sqrt{b}} r \sin\theta \, \sin\varphi, \\ z &= \frac{1}{\sqrt{c}} r \cos\theta, \\ r^{2} &= ax^2 + by^2 + cz^2. \end{align}$$ एक अतिसूक्ष्म आयतन अवयव निम्न द्वारा दिया जाता है



\mathrm{d}V = \left|\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, \varphi)}\right| \, dr\,d\theta\,d\varphi = \frac{1}{\sqrt{abc}} r^2 \sin \theta \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\theta \,\mathrm{d}\varphi = \frac{1}{\sqrt{abc}} r^2 \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\Omega. $$ वर्ग-मूल कारक निर्धारक के गुण से प्राप्त होता है जो एक स्तंभ से स्थिरांक को निकालने की अनुमति देता है:



\begin{vmatrix} ka & b & c \\ kd & e & f \\ kg & h & i \end{vmatrix} = k \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}. $$

गोलीय निर्देशांकों में समाकलन और अवकलन
निम्नलिखित समीकरण (इयानगा 1977) यह मानते हैं कि कोलैटिट्यूड $θ$ से आनति है $φ$ (ध्रुवीय) अक्ष (अस्पष्ट के बाद से $φ$, $r$, तथा $θ$ पारस्परिक रूप से सामान्य हैं), जैसा कि भौतिकी परिपाटि में चर्चा की गई है।

$(x, y, z)$ से $(r, θ, φ)$ तक एक अतिसूक्ष्म विस्थापन के लिए रेखा अवयव निम्न है। $$ \mathrm{d}\mathbf{r} = \mathrm{d}r\,\hat{\mathbf r} + r\,\mathrm{d}\theta \,\hat{\boldsymbol\theta } + r \sin{\theta} \, \mathrm{d}\varphi\,\mathbf{\hat{\boldsymbol\varphi}},$$ जहाँ$$\begin{align} \hat{\mathbf r} &= \sin \theta \cos \varphi \,\hat{\mathbf x} + \sin \theta \sin \varphi \,\hat{\mathbf y} + \cos \theta \,\hat{\mathbf z}, \\ \hat{\boldsymbol\theta} &= \cos \theta \cos \varphi \,\hat{\mathbf x} + \cos \theta \sin \varphi \,\hat{\mathbf y} - \sin \theta \,\hat{\mathbf z}, \\ \hat{\boldsymbol\varphi} &= - \sin \varphi \,\hat{\mathbf x} + \cos \varphi \,\hat{\mathbf y} \end{align}$$

क्रमशः $φ$, $φ$, तथा $θ$ बढ़ने की दिशा में स्थानीय लांबिक इकाई सदिश हैं, और कार्टेशियन निर्देशांक में $(r + dr, θ + dθ, φ + dφ)$, $x̂$, तथा $ŷ$ इकाई सदिश हैं। इस दाएँ हाथ के निर्देशांक त्रिक में रैखिक रूपांतरण एक घूर्णन-आव्यूह है, $$R = \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\varphi&\sin\theta\sin\varphi& \cos\theta\\ \cos\theta\cos\varphi&\cos\theta\sin\varphi&-\sin\theta\\ -\sin\varphi&\cos\varphi  &0 \end{pmatrix}. $$ यह गोलीय से कार्तीय में रूपांतरण प्रदान करते है, इसके विपरीत इसके व्युत्क्रम द्वारा दिया जाता है। नोट: आव्यूह एक लांबिक आव्यूह है, अर्थात इसका व्युत्क्रम केवल इसका स्थानान्तरण है।

कार्तीय इकाई सदिश इस प्रकार गोलीय इकाई सदिश से संबंधित हैं: $$\begin{bmatrix}\mathbf{\hat x} \\ \mathbf{\hat y} \\ \mathbf{\hat z} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sin\theta\cos\varphi & \cos\theta\cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\theta\sin\varphi & \cos\theta\sin\varphi & \cos\varphi \\ \cos\theta        & -\sin\theta        & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \boldsymbol{\hat{r}} \\ \boldsymbol{\hat\theta} \\ \boldsymbol{\hat\varphi} \end{bmatrix}$$ अवकल रेखा तत्व को सिद्ध करने के सूत्र का सामान्य रूप है $$\mathrm{d}\mathbf{r} = \sum_i \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x_i} \,\mathrm{d}x_i = \sum_i \left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x_i}\right| \frac{\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x_i}}{\left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x_i}\right|} \, \mathrm{d}x_i = \sum_i \left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x_i}\right| \,\mathrm{d}x_i \, \hat{\boldsymbol{x}}_i, $$ अर्थात् में परिवर्तन $$\mathbf r$$ व्यक्तिगत निर्देशांक में परिवर्तन के अनुरूप अलग-अलग परिवर्तनों में विघटित हो जाता है।

इसे वर्तमान स्थिति में लागू करने के लिए, किसी को यह गणना करने की आवश्यकता है कि कैसे $$\mathbf r$$ प्रत्येक निर्देशांक के साथ परिवर्तन। उपयोग किए गए परिपाटियों में, $$\mathbf{r} = \begin{bmatrix} r \sin\theta \, \cos\varphi \\ r \sin\theta \, \sin\varphi \\ r \cos\theta \end{bmatrix}.$$ इस प्रकार, $$ \frac{\partial\mathbf r}{\partial r} = \begin{bmatrix} \sin\theta \, \cos\varphi \\ \sin\theta \, \sin\varphi \\ \cos\theta \end{bmatrix}, \quad \frac{\partial\mathbf r}{\partial \theta} = \begin{bmatrix} r \cos\theta \, \cos\varphi \\ r \cos\theta \, \sin\varphi \\ -r \sin\theta \end{bmatrix}, \quad \frac{\partial\mathbf r}{\partial \varphi} = \begin{bmatrix} -r \sin\theta \, \sin\varphi \\ r \sin\theta \, \cos\varphi \\ 0 \end{bmatrix}. $$ वांछित गुणांक इन सदिशों के परिमाण हैं: $$ \left|\frac{\partial\mathbf r}{\partial r}\right| = 1, \quad \left|\frac{\partial\mathbf r}{\partial \theta}\right| = r, \quad \left|\frac{\partial\mathbf r}{\partial \varphi}\right| = r \sin\theta. $$ (स्थिर) त्रिज्या $z$ पर एक गोलीय सतह पर $r$ से $ẑ$ और $θ$ से $θ + dθ$ तक फैला हुआ सतह अभिन्न है $$ \mathrm{d}S_r = \left\|\frac{\partial {\mathbf r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial {\mathbf r}}{\partial \varphi}\right\| \mathrm{d}\theta \,\mathrm{d}\varphi = \left|r {\hat \boldsymbol\theta} \times r \sin \theta {\boldsymbol\hat \varphi} \right|= r^2 \sin\theta \,\mathrm{d}\theta \,\mathrm{d}\varphi ~. $$ इस प्रकार अवकल घन कोण है $$\mathrm{d}\Omega = \frac{\mathrm{d}S_r}{r^2} = \sin\theta \,\mathrm{d}\theta \,\mathrm{d}\varphi.$$ ध्रुवीय कोण की सतह में सतह तत्व $φ$ स्थिर (शीर्ष मूल के साथ एक शंकु) है $$\mathrm{d}S_\theta = r \sin\theta \,\mathrm{d}\varphi \,\mathrm{d}r.$$ दिगंश की सतह में सतह तत्व $θ$ स्थिर (एक लंबवत अर्ध तल) है $$\mathrm{d}S_\varphi = r \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\theta.$$ $z$ से $φ + dφ$, $x$ से $r + dr$, और $y$ से $θ + dθ$ तक फैले आयतन तत्व को आंशिक अवकल के जैकोबियन आव्यूह के निर्धारक द्वारा निर्दिष्ट किया गया है, $$ J =\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)} =\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\varphi&r\cos\theta\cos\varphi&-r\sin\theta\sin\varphi\\ \sin\theta \sin\varphi&r\cos\theta\sin\varphi&r\sin\theta\cos\varphi\\ \cos\theta&-r\sin\theta&0 \end{pmatrix}, $$ अर्थात $$ \mathrm{d}V = \left|\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, \varphi)}\right| \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\theta \,\mathrm{d}\varphi= r^2 \sin\theta \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\theta \,\mathrm{d}\varphi = r^2 \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\Omega ~. $$ इस प्रकार, उदाहरण के लिए, एक फलन $φ + dφ$ को ट्रिपल समाकल द्वारा $f(r, θ, φ)$ में प्रत्येक बिंदु पर एकीकृत किया जा सकता है। $$\int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^\pi \int\limits_0^\infty f(r, \theta, \varphi) r^2 \sin\theta \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\theta \,\mathrm{d}\varphi ~.$$ इस प्रणाली में डेल ऑपरेटर ग्रेडिएंट, विचलन, कर्ल और (स्केलर) लाप्लासियन के लिए निम्नलिखित भावों की ओर ले जाता है, $$\begin{align} \nabla f = {} &{\partial f \over \partial r}\hat{\mathbf r} + {1 \over r}{\partial f \over \partial \theta}\hat{\boldsymbol\theta} + {1 \over r\sin\theta}{\partial f \over \partial \varphi}\hat{\boldsymbol\varphi}, \\[8pt] \nabla\cdot \mathbf{A} = {} & \frac{1}{r^2}{\partial \over \partial r}\left( r^2 A_r \right) + \frac{1}{r \sin\theta}{\partial \over \partial\theta} \left( \sin\theta A_\theta \right) + \frac{1}{r \sin \theta} {\partial A_\varphi \over \partial \varphi}, \\[8pt] \nabla \times \mathbf{A} = {} & \frac{1}{r\sin\theta}\left({\partial \over \partial \theta} \left( A_\varphi\sin\theta \right)   - {\partial A_\theta \over \partial \varphi}\right) \hat{\mathbf r} \\[8pt] & {} + \frac 1 r \left({1 \over \sin\theta}{\partial A_r \over \partial \varphi}   - {\partial \over \partial r} \left( r A_\varphi \right) \right) \hat{\boldsymbol\theta} \\[8pt] & {} + \frac 1 r \left({\partial \over \partial r} \left( r A_\theta \right)   - {\partial A_r \over \partial \theta}\right) \hat{\boldsymbol\varphi}, \\[8pt] \nabla^2 f = {} & {1 \over r^2}{\partial \over \partial r} \left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) + {1 \over r^2 \sin\theta}{\partial \over \partial \theta} \left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right) + {1 \over r^2 \sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2} \\[8pt] = {} & \left(\frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{2}{r} \frac{\partial}{\partial r}\right)f + {1 \over r^2 \sin\theta}{\partial \over \partial \theta} \left(\sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right)f + \frac{1}{r^2 \sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}f ~. \end{align}$$ इसके अलावा, कार्तीय निर्देशांक में व्युत्क्रम जैकोबियन है $$J^{-1} = \begin{pmatrix} \dfrac{x}{r}&\dfrac{y}{r}&\dfrac{z}{r}\\\\ \dfrac{xz}{r^2\sqrt{x^2+y^2}}&\dfrac{yz}{r^2\sqrt{x^2+y^2}}&\dfrac{-(x^2+y^2)}{r^2\sqrt{x^2+y^2}}\\\\ \dfrac{-y}{x^2+y^2}&\dfrac{x}{x^2+y^2}&0 \end{pmatrix}.$$ गोलीय निर्देशांक प्रणाली में मीट्रिक टेंसर $$g = J^T J $$ है।

गोलीय निर्देशांक में दूरी
गोलीय निर्देशांक में, दो बिंदु दिए गए हैं जिनमें $z$ दिगंशीय निर्देशांक है
 * $$\begin{align}

{\mathbf r} &= (r,\theta,\varphi), \\ {\mathbf r'} &= (r',\theta',\varphi') \end{align}$$ दो बिंदुओं के बीच की दूरी को निम्न रूप में दर्शाया जा सकता है
 * $$\begin{align}

{\mathbf D} &= \sqrt{r^2+r'^2-2rr'(\sin{\theta}\sin{\theta'}\cos{(\varphi-\varphi')} + \cos{\theta}\cos{\theta'})} \end{align}$$

शुद्धगतिकी
गोलीय निर्देशांक में, एक बिंदु या कण की स्थिति (यद्यपि ट्रिपल$(r,\theta, \varphi)$ के रूप में बेहतर लिखा जाता है) के रूप में लिखा जा सकता है
 * $$\mathbf{r} = r \mathbf{\hat r} .$$

इसका वेग तब है

$$\mathbf{v} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} = \dot{r} \mathbf{\hat r} + r\,\dot\theta\,\hat{\boldsymbol\theta } + r\,\dot\varphi \sin\theta\,\mathbf{\hat{\boldsymbol\varphi}}$$

और इसका त्वरण है

$$ \begin{align} \mathbf{a} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t} = {} & \left( \ddot{r} - r\,\dot\theta^2 - r\,\dot\varphi^2\sin^2\theta \right)\mathbf{\hat r} \\ & {} + \left( r\,\ddot\theta + 2\dot{r}\,\dot\theta - r\,\dot\varphi^2\sin\theta\cos\theta \right) \hat{\boldsymbol\theta } \\ & {} + \left( r\ddot\varphi\,\sin\theta + 2\dot{r}\,\dot\varphi\,\sin\theta + 2 r\,\dot\theta\,\dot\varphi\,\cos\theta \right) \hat{\boldsymbol\varphi} \end{align} $$

कोणीय गति निम्न है
 * $$ \mathbf{L} =

\mathbf{r} \times \mathbf{p} = \mathbf{r} \times m\mathbf{v} = m r^2 (- \dot\varphi \sin\theta\,\mathbf{\hat{\boldsymbol\theta}} + \dot\theta\,\hat{\boldsymbol\varphi }) $$ जहाँ $$m$$ द्रव्यमान है। स्थिर $r$ या अन्य $R^{3}$ के स्थिति में, यह ध्रुवीय निर्देशांकों में सदिश कलन में घट जाता है।

समरूपी कोणीय संवेग संचालक तब उपरोक्त के चरण-स्थान सुधार से अनुसरण करता है,
 * $$ \mathbf{L}= -i\hbar ~\mathbf{r} \times \nabla =i \hbar \left(\frac{\hat{\boldsymbol{\theta}}}{\sin(\theta)} \frac{\partial}{\partial\phi} - \hat{\boldsymbol{\phi}} \frac{\partial}{\partial\theta}\right). $$

आघूर्ण के रूप में दिया गया है

$$ \mathbf{\tau} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} = -m \left(2r\dot{r}\dot{\varphi}\sin\theta + r^2\ddot{\varphi}\sin{\theta} + 2r^2\dot{\theta}\dot{\varphi}\cos{\theta} \right)\hat{\boldsymbol\theta} + m \left(r^2\ddot{\theta} + 2r\dot{r}\dot{\theta} - r^2\dot{\varphi}^2\sin\theta\cos\theta \right) \hat{\boldsymbol\varphi} $$

गतिज ऊर्जा के रूप में दिया जाता है

$$ E_k = \frac{1}{2}m \left[ \left(\dot{r}^2\right) + \left(r\dot{\theta}\right)^2 + \left(r\dot{\varphi}\sin\theta\right)^2 \right] $$

बाहरी संबंध

 * MathWorld description of spherical coordinates
 * Coordinate Converter &mdash; converts between polar, Cartesian and spherical coordinates
 * Coordinate Converter &mdash; converts between polar, Cartesian and spherical coordinates

फाई: कोऑर्डिनेशन