दर्पण समरूपता (स्ट्रिंग सिद्धांत)

बीजगणितीय ज्यामिति और सैद्धांतिक भौतिकी में दर्पण समरूपता ज्यामितीय वस्तुओं के बीच एक संबंध है जिसे कैलाबी-याउ बहुआयाम कहा जाता है। यह शब्द ऐसी स्थिति को संदर्भित करता है जहां दो कैलाबी-याउ बहुआयाम ज्यामितीय रूप से बहुत अलग दिखते हैं लेकिन फिर भी स्ट्रिंग सिद्धांत के अतिरिक्त आयामों के रूप में उपयोग किए जाने पर समतुल्य होते हैं।

भौतिकविदों द्वारा दर्पण समरूपता की प्रारम्भिक स्थिति की खोज की गई थी। 1990 के आसपास गणितज्ञों की इस संबंध में रुचि हो गई जब फिलिप चन्देलास, ज़ेनिया डे ला ओसा, पॉल ग्रीन और लिंडा पार्क्स ने दिखाया कि इसका उपयोग गणनात्मक ज्यामिति में एक उपकरण के रूप में किया जा सकता है, जो गणित की एक शाखा है जो ज्यामितीय प्रश्नों के समाधानों की संख्या की गणना करने से संबंधित है। कैंडेलस और उनके सहयोगियों ने दिखाया कि दर्पण समरूपता का उपयोग कैलाबी-याउ बहुआयाम पर तर्कसंगत वक्रों की गणना के लिए किया जा सकता है। इस प्रकार एक लंबे समय से चली आ रही समस्या का समाधान हो सकता है। हालाँकि दर्पण समरूपता का मूल दृष्टिकोण उन भौतिक विचारों पर आधारित था जिन्हें गणित मे प्रमाणिक रूप से समझा नही गया था। इसके बाद से इसके कुछ गणितीय अनुमानों को प्रमाणिक रूप से सिद्ध किया गया है।

वर्तमान मे दर्पण समरूपता बीजगणितीय ज्यामिति में एक प्रमुख शोध का विषय है और गणितज्ञ भौतिकविदों के शोध के आधार पर संबंधों की गणितीय समझ विकसित करने के लिए कार्य कर रहे हैं। स्ट्रिंग सिद्धांत में गणना करने के लिए दर्पण समरूपता भी एक मौलिक उपकरण है। इसका उपयोग क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के औपचारिक दृष्टिकोणों को समझने के लिए किया गया है। जिसका उपयोग भौतिक विज्ञानी प्राथमिक कणों का वर्णन करने के लिए करते हैं। दर्पण समरूपता के प्रमुख दृष्टिकोणों में मैक्सिम कोंटसेविच की होमोलॉजिकल दर्पण समरूपता, एंड्रयू स्ट्रोमिंगर, शिंग-तुंग याउ और एरिक ज़स्लो का SYZ अनुमान सम्मिलित हैं।

स्ट्रिंग और संघनन
भौतिकी में स्ट्रिंग सिद्धांत एक गणितीय सिद्धांत है, जिसमें कण भौतिकी के बिंदु जैसे कणों को आयामी वस्तुओं द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है जिन्हें स्ट्रिंग कहा जाता है। ये स्ट्रिंग सामान्यतः छोटे विभाजन या लूपों की तरह दिखते हैं। स्ट्रिंग सिद्धांत वर्णन करता है कि स्ट्रिंग समष्टि के माध्यम से कैसे विस्तृत होती है और एक-दूसरे के साथ कैसे परस्पर प्रभावी होती है। स्ट्रिंग स्केल से बड़ी दूरी के स्केल पर एक स्ट्रिंग सामान्य कण की तरह दिखाई देती है। जिसका द्रव्यमान, आवेश और अन्य गुण स्ट्रिंग की कंपन स्थिति द्वारा निर्धारित होता है। स्ट्रिंग का विभाजन कण उत्सर्जन और अवशोषण के अनुरूप होता है, जिससे कणों के बीच परस्पर क्रिया को बढ़ावा मिलता है। स्ट्रिंग सिद्धांत द्वारा वर्णित अनुमान और आधुनिक अनुमान के बीच उल्लेखनीय अंतर है। आधुनिक अनुमान में स्पेसटाइम के तीन परिचित आयाम (ऊपर/नीचे, बाएं/दाएं और आगे/पीछे) है। इस प्रकार आधुनिक भौतिकी की भाषा में कहा जाता है कि स्पेसटाइम चार-आयामी है। स्ट्रिंग सिद्धांत की एक मुख्य विशेषता यह है कि इसकी गणितीय स्थिरता के लिए स्पेसटाइम के अतिरिक्त आयामों की आवश्यकता होती है। सुपरस्ट्रिंग सिद्धांत में सिद्धांत का वह प्रारूप जिसमें अतिसममिति नामक एक सैद्धांतिक विचार सम्मिलित है, आधुनिक अनुमान से परिचित चार के अतिरिक्त स्पेसटाइम के छह अतिरिक्त आयाम हैं।

स्ट्रिंग सिद्धांत में वर्तमान शोध का एक लक्ष्य ऐसे मॉडल को विकसित करना है जिसमें स्ट्रिंग उच्च ऊर्जा भौतिकी प्रयोगों में देखे गए कणों का प्रतिनिधित्व करते हैं। ऐसे मॉडल को अवलोकनों के अनुरूप बनाने के लिए, इसका स्पेसटाइम प्रासंगिक दूरी के पैमाने पर चार-आयामी होना चाहिए, इसलिए किसी को अतिरिक्त आयामों को छोटे पैमाने तक सीमित करने के तरीकों की खोज करनी चाहिए। स्ट्रिंग सिद्धांत पर आधारित भौतिकी के अधिकांश यथार्थवादी मॉडलों में इसे संघनन नामक एक प्रक्रिया द्वारा पूरा किया जाता है। जिसमें अतिरिक्त आयामों को वृत्त बनाने के लिए स्वयं स्थिर करने के लिए माना जाता है। उस सीमा में जहां ये घूर्णी आयाम बहुत छोटे हो जाते हैं, एक सिद्धांत प्राप्त होता है जिसमें स्पेसटाइम में प्रभावी रूप से आयामों की संख्या कम होती है। इसके लिए एक मानक सादृश्य गार्डन होस जैसी बहुआयामी वस्तु पर विचार करना है। यदि गार्डन होस को पर्याप्त दूरी से देखा जाए, तो इसका केवल एक ही आयाम इसकी लंबाई प्रदर्शित करता है। हालाँकि जैसे ही कोई गार्डन होस के पास जाता है उसे पता चलता है कि इसमें एक दूसरे आयाम के रूप मे इसकी परिधि सम्मिलित है। इस प्रकार गार्डन होस की सतह पर रेंगने वाली चीटियाँ दो आयामों में घूम सकती है।

कैलाबी-यौ बहुआयाम
संघनन का उपयोग उन मॉडलों के निर्माण के लिए किया जा सकता है जिनमें स्पेसटाइम प्रभावी रूप से चार-आयामी होता है। हालाँकि अतिरिक्त आयामों को संकुचित करने का प्रत्येक तरीका प्रकृति का वर्णन करने के लिए सही गुणों वाला एक मॉडल तैयार नहीं करता है। कण भौतिकी के एक मॉडल में संघनन के अतिरिक्त आयामों को कैलाबी-याउ बहुआयाम के आकार का होना चाहिए। कैलाबी-याउ बहुआयाम एक विशेष सांस्थितिक आयाम है, जिसे सामान्यतः स्ट्रिंग सिद्धांत के अनुप्रयोगों में छह-आयामी माना जाता है। इसका नाम गणितज्ञ यूजेनियो कैलाबी और शिंग-तुंग याउ के नाम पर रखा गया है। अतिरिक्त आयामों को संकुचित करने के तरीके के रूप में कैलाबी-याउ बहुआयाम के भौतिकी में प्रवेश करने के बाद कई भौतिकविदों ने इन बहुआयामी मॉडलों का अध्ययन करना प्रारम्भ कर दिया था। 1980 के दशक के अंत में लांस डिक्सन, वोल्फगैंग लेर्चे, कमरुन वफ़ा और निक वार्नर ने स्ट्रिंग सिद्धांत के इस प्रकार के एकीकरण को देखते हुए कहा कि विशिष्ट रूप से संबंधित कैलाबी-याउ बहुआयाम का पुनर्निर्माण करना संभव नहीं है। इसके अतिरिक्त स्ट्रिंग सिद्धांत के दो अलग-अलग प्रारूप है जिन्हें टाइप आईआईए स्ट्रिंग सिद्धांत और टाइप आईआईबी स्ट्रिंग सिद्धांत कहा जाता है जो एक ही भौतिकी पर पूरी तरह से कैलाबी-याउ बहुआयाम के रूप मे संकुचित किया जा सकता है। इस स्थिति में बहुआयाम को दर्पण बहुआयामी कहा जाता है और दो भौतिक सिद्धांतों के बीच के संबंध को दर्पण समरूपता कहा जाता है।

दर्पण समरूपता संबंध का एक विशेष उदाहरण है जिसे भौतिक विज्ञानी भौतिक स्ट्रिंग द्विविधता कहते हैं। सामान्यतः भौतिक द्विविधता शब्द उस स्थिति को संदर्भित करता है जहां दो अलग-अलग प्रतीत होने वाले भौतिक सिद्धांत एक गैर-तुच्छ तरीके से समतुल्य हो जाते हैं। जहां एक सिद्धांत को रूपांतरित किया जा सकता है ताकि वह दूसरे सिद्धांत की तरह ही दिखे, तो उस परिवर्तन के अंतर्गत दोनों को द्विविधता सिद्धांत कहा जाता है। अन्य प्रकार से कहें तो, दोनों सिद्धांत गणितीय रूप से एक ही घटना के अलग-अलग विवरण हैं। इस प्रकार के द्विविधता सिद्धान्त आधुनिक भौतिकी में स्ट्रिंग सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

यद्यपि स्ट्रिंग सिद्धांत के कैलाबी-याउ संघनन प्रकृति का सही विवरण प्रदान करते है तब विभिन्न स्ट्रिंग सिद्धांतों के बीच दर्पण द्विविधता के अस्तित्व के महत्वपूर्ण गणितीय परिणाम होते हैं। स्ट्रिंग सिद्धांत में उपयोग किए जाने वाले कैलाबी-याउ बहुआयाम शुद्ध गणित में रुचि रखते हैं और दर्पण समरूपता गणितज्ञों को गणनात्मक बीजगणितीय ज्यामिति में समस्याओं को हल करने की स्वीकृति देती है, जो गणित की एक शाखा है। प्रायः यह ज्यामितीय प्रश्नों के समाधान की संख्या की गणना से संबंधित है। गणनात्मक ज्यामिति की एक चिरसम्मत समस्या कैलाबी-याउ बहुआयाम पर तर्कसंगत वक्रों की गणना करना है, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है कि दर्पण समरूपता को प्रयुक्त करके गणितज्ञों ने इस समस्या को दर्पण कैलाबी-याउ के समकक्ष समस्या में परिवर्तित कर दिया है, जिसे हल करना अपेक्षाकृत सरल हो गया है।

भौतिकी में दर्पण समरूपता को भौतिक आधार पर उपयुक्त रूप से सिद्ध किया जाता है। हालाँकि गणितज्ञों को सामान्यतः जटिल प्रमाणों की आवश्यकता होती है जिनके लिए भौतिक अंतर्ज्ञान के अनुरोध की आवश्यकता नहीं होती है। गणितीय दृष्टिकोण से ऊपर वर्णित दर्पण समरूपता का प्रारूप अभी भी केवल एक अनुमान है, लेकिन सांस्थितिक स्ट्रिंग सिद्धांत के संदर्भ में दर्पण समरूपता का एक और प्रारूप एडवर्ड विटेन द्वारा प्रस्तुत स्ट्रिंग सिद्धांत का एक सरलीकृत प्रारूप है, जिसे गणितज्ञों द्वारा जटिलता से सिद्ध किया गया है। सांस्थितिक स्ट्रिंग सिद्धांत के संदर्भ में दर्पण समरूपता बताती है कि ए-मॉडल और बी-मॉडल नामक दो सिद्धांत इस अर्थ में समतुल्य हैं कि उनसे संबंधित द्विविधता वर्तमान मे दर्पण समरूपता गणित अनुसंधान का एक सक्रिय क्षेत्र है। जहां गणितज्ञ भौतिकविदों के आधार पर दर्पण समरूपता की अधिक संपूर्ण गणितीय समझ विकसित करने के लिए कार्य कर रहे हैं।

इतिहास
दर्पण समरूपता का विचार 1980 के दशक के मध्य में खोजा जा सकता है जब यह देखा गया था कि त्रिज्या R के एक वृत्त पर विस्तृत होने वाली एक स्ट्रिंग उपयुक्त इकाइयों में त्रिज्या 1/R के एक वृत्त पर विस्तृत होने वाली स्ट्रिंग के भौतिक रूप से बराबर है। इस घटना को अब टी-द्विविधता के रूप में जाना जाता है और इसे दर्पण समरूपता की निकटता से संबंधित माना जाता है। 1985 के एक पेपर में फिलिप कैंडेलस, गैरी होरोविट्ज़, एंड्रयू स्ट्रोमिंगर और एडवर्ड विटन ने दिखाया कि कैलाबी-याउ बहुआयाम पर स्ट्रिंग सिद्धांत का संघनन करने से कण भौतिकी के मानक मॉडल के समान एक सिद्धांत प्राप्त होता है जिसमें लगास्ट्रिंग अतिसममिति नामक एक विचार भी सम्मिलित होता है। इस विकास के बाद कई भौतिकविदों ने स्ट्रिंग सिद्धांत के आधार पर कण भौतिकी के यथार्थवादी मॉडल बनाने की संभावना में कैलाबी-याउ संघनन का अध्ययन करना प्रारम्भ कर दिया था। कमरुन वफ़ा और अन्य लोगों ने इस प्रकार के भौतिक मॉडल को देखते हुए कहा कि विशिष्ट रूप से संबंधित कैलाबी-याउ बहुआयाम का पुनर्निर्माण करना संभव नहीं है। इसके अतिरिक्त दो कैलाबी-याउ बहुआयाम हैं जो समान भौतिकी को जन्म देते हैं।

कैलाबी-याउ बहुआयाम और गेपनर मॉडल नामक कुछ कोन्फोर्मल क्षेत्र सिद्धांतों के बीच संबंधों का अध्ययन करके, ब्रायन ग्रीन और रोनेन प्लेसर ने दर्पण समरूपता के गैर-तुच्छ उदाहरण प्राप्त किए। इस संबंध के लिए फिलिप कैंडेलस, मोनिका लिंकर और रॉल्फ शिम्रिग्क के कार्य के प्रमाण प्राप्त हुए, जिन्होंने कंप्यूटर द्वारा बड़ी संख्या में कैलाबी-याउ बहुआयामों का सर्वेक्षण किया और पाया कि वे दर्पण समरूपता से संबद्ध थे।

1990 के आसपास गणितज्ञों की दर्पण समरूपता में रुचि हो गई जब भौतिक विज्ञानी फिलिप कैंडेलस, ज़ेनिया डी ला ओसा, पॉल ग्रीन और लिंडा पार्क्स ने दिखाया कि दर्पण समरूपता का उपयोग गणनात्मक ज्यामिति में समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है। जो दशकों या उससे अधिक समय से समाधान का विरोध कर रहे थे। ये परिणाम मई 1991 में बर्कले, कैलिफोर्निया में गणितीय विज्ञान अनुसंधान संस्थान (एमएसआरआई) में एक सम्मेलन में गणितज्ञों के सामने प्रस्तुत किए गए थे। इस सम्मेलन के समय यह देखा गया कि कैंडेलस ने तर्कसंगत वक्रों की गणना के लिए जिन संख्याओं की गणना की थी, उनमें से एक नॉर्वेजियन गणितज्ञ गीर एलिंग्सरुड और स्टीन एरिल्ड स्ट्रोमे द्वारा स्पष्ट रूप से अधिक जटिल तकनीकों का उपयोग करके प्राप्त संख्या से असहमत थी। सम्मेलन में कई गणितज्ञों ने माना कि कैंडेलस के कार्य गलत था क्योंकि यह समिश्र गणितीय तर्कों पर आधारित नहीं था। हालाँकि अपने समाधान का परीक्षण करने के बाद एलिंग्सरुड और स्ट्रोमे को अपने कंप्यूटर कोड में एक त्रुटि का पता चला और कोड को ठीक करने पर उन्हें एक परिणाम प्राप्त हुआ जो कैंडेलस और उनके सहयोगियों द्वारा प्राप्त परिणाम के अनुरूप था।

1990 में एडवर्ड विटन ने सांस्थितिक स्ट्रिंग सिद्धांत प्रस्तुत किया था। स्ट्रिंग सिद्धांत का एक और सरलीकृत प्रारूप भौतिकविदों ने दिखाया कि सांस्थितिक स्ट्रिंग सिद्धांत के लिए दर्पण समरूपता का एक प्रारूप है। सांस्थितिक स्ट्रिंग सिद्धांत के विषय में यह कथन सामान्यतः गणितीय साहित्य में दर्पण समरूपता की परिभाषा के रूप में लिया जाता है। 1994 में गणितज्ञों की अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस के एक संबोधन में गणितज्ञ मैक्सिम कोंटसेविच ने सांस्थितिक स्ट्रिंग सिद्धांत में दर्पण समरूपता के भौतिक विचार के आधार पर एक नया गणितीय अनुमान प्रस्तुत किया था जिसे होमोलॉजिकल दर्पण समरूपता के रूप में जाना जाता है, यह अनुमान दो गणितीय संरचनाओं कैलाबी-याउ बहुआयाम पर सुसंगत शीव्स की व्युत्पन्न श्रेणी और इसके दर्पण की फुकाया श्रेणी मे समतुल्यता के रूप में दर्पण समरूपता को औपचारिक बनाता है।

इसके अतिरिक्त 1995 के आसपास कोंटसेविच ने कैंडेलस के परिणामों का विश्लेषण किया, जिसने क्विंटिक थ्रीफोल्ड पर तर्कसंगत वक्रों की गणना की समस्या के लिए एक सामान्य सूत्र प्रस्तुत किया और उन्होंने इन परिणामों को एक शुद्ध गणितीय अनुमान के रूप में पुनः तैयार किया। 1996 में अलेक्जेंडर गिवेनटल ने एक पेपर प्रकाशित किया जिसमें कोंटसेविच के इस अनुमान को सिद्ध करने का दावा किया गया था। प्रारंभ में कई गणितज्ञों को यह पेपर समझने में कठिनाई हुई, इसलिए इसकी शुद्धता पर संदेह था। इसके बाद बोंग लियान, केफेंग लियू और शिंग-तुंग याउ ने पत्रों की एक श्रृंखला में एक स्वतंत्र प्रमाण प्रकाशित किया। इस विषय पर विवाद था कि पहला प्रमाण किसने प्रकाशित किया था। प्रायः अब इन पत्रों को सामूहिक रूप से दर्पण समरूपता का उपयोग करके भौतिकविदों द्वारा प्राप्त परिणामों का गणितीय प्रमाण प्रदान करने के रूप में देखा जाता है। 2000 में केंटारो होरी और कमरुन वफ़ा ने टी-द्विविधता पर आधारित दर्पण समरूपता का एक और भौतिक प्रमाण प्रस्तुत किया था।

दर्पण समरूपता वाली सतहों पर स्ट्रिंग सिद्धान्त के संदर्भ में प्रमुख विकास के साथ दर्पण समरूपता पर कार्य आज भी प्रारम्भ है। इसके अतिरिक्त दर्पण समरूपता गणित अनुसंधान के कई सक्रिय क्षेत्रों जैसे मैके समानता, सांस्थितिक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और स्थिरता की स्थिति के सिद्धांत से संबंधित है। साथ ही कई सवाल है जो गणितज्ञों के अभी भी यह समझ नहीं है कि दर्पण कैलाबी-याउ बहुआयाम के उदाहरण कैसे बनाए जा सकते है। हालांकि इस विषय को समझने में अपेक्षाकृत प्रगति हुई है।

गणनात्मक ज्यामिति
दर्पण समरूपता के कई महत्वपूर्ण गणितीय अनुप्रयोग गणित की उस शाखा से संबंधित हैं जिसे संख्यात्मक ज्यामिति कहा जाता है। गणनात्मक ज्यामिति में व्यक्ति सामान्यतः बीजगणितीय ज्यामिति की तकनीकों का उपयोग करके ज्यामितीय प्रश्नों के समाधानों की संख्या की गणना में रुचि रखता है। गणनात्मक ज्यामिति की सबसे प्रारंभिक समस्याओं में से वर्ष 200 ईसा पूर्व के आसपास प्राचीन यूनानी गणितज्ञ अपोलोनियस द्वारा प्रस्तुत की गई थी। जिन्होंने पूछा कि समतल में कितने वृत्त दिए गए है जो तीन वृत्तों की स्पर्शरेखाए हैं। सामान्यतः अपोलोनियस की समस्या का समाधान यह है कि ऐसे आठ वृत्त हैं।

गणित में गणनात्मक समस्याएं प्रायः ज्यामितीय वस्तुओं के एक वर्ग से संबंधित होती हैं जिन्हें बीजगणितीय विविधता कहा जाता है जो बहुपदों के लुप्त होने से परिभाषित होती है। उदाहरण के लिए क्लेब्स क्यूबिक (चित्रण देखें) को चार चरों में डिग्री तीन के एक निश्चित बहुपद का उपयोग करके परिभाषित किया गया है। उन्नीसवीं सदी के गणितज्ञों आर्थर केली और जॉर्ज सैल्मन के एक प्रसिद्ध परिणाम में कहा गया है कि ऐसी सतह पर पूरी तरह से 27 सीधी रेखाएँ होती हैं। इस समस्या को सामान्यीकृत करते हुए, कोई भी यह पूछ सकता है कि क्विंटिक कैलाबी-याउ मैनिफ़ोल्ड पर कितनी रेखाएँ खींची जा सकती हैं, जैसे कि ऊपर चित्रित एक वृत्त, जिसे डिग्री पाँच के बहुपद द्वारा परिभाषित किया गया है। इस समस्या को उन्नीसवीं सदी के जर्मन गणितज्ञ हरमन शूबर्ट ने हल किया, जिन्होंने पाया कि ऐसी कुल 2,875 रेखाएँ हैं। 1986 में जियोमीटर शेल्डन काट्ज़ ने सिद्ध किया कि वक्रों की संख्या, जैसे कि वृत्त जो डिग्री दो के बहुपदों द्वारा परिभाषित होते हैं और पूरी तरह से क्विंटिक में स्थित होते हैं उनमे प्रायः 609,250 रेखाएँ हो सकती हैं।

वर्ष 1991 तक गणनात्मक ज्यामिति की अधिकांश समस्याएं हल हो चुकी थीं और गणनात्मक ज्यामिति में रुचि कम होने लगी थी। गणितज्ञ मार्क ग्रॉस (गणितज्ञ) के अनुसार, "चूंकि पुरानी समस्याएं हल हो गई थीं, इसलिए लोग आधुनिक तकनीकों के साथ शुबर्ट की संख्याओं की जांच करने के लिए वापस चले गए थे लेकिन यह अपेक्षाकृत पुराना होता जा रहा था। " कैंडेलस और उनके सहयोगियों ने पाया कि इन छह-आयामी कैलाबी-याउ बहुआयाम में डिग्री तीन के 317,206,375 वक्र हो सकते हैं।

क्विंटिक थ्री-फोल्ड पर डिग्री-तीन वक्रों की गणना के अतिरिक्त कैंडेलस और उनके सहयोगियों ने तर्कसंगत वक्रों की गणना के लिए कई सामान्य परिणाम प्राप्त किए जो गणितज्ञों द्वारा प्राप्त परिणामों से कहीं आगे निकल गए है। हालाँकि इस कार्य में प्रयुक्त विधियाँ भौतिक शोध पर आधारित थीं। गणितज्ञों ने दर्पण समरूपता के कुछ अनिमानों को जटिलता से सिद्ध किया है। विशेष रूप से दर्पण समरूपता के गणनात्मक पूर्वानुमान अब जटिलता से सिद्ध हो चुके हैं।

सैद्धांतिक भौतिकी
गणनात्मक ज्यामिति में इसके अनुप्रयोगों के अतिरिक्त, स्ट्रिंग सिद्धांत में गणना करने के लिए दर्पण समरूपता एक मौलिक उपकरण है। सांस्थितिक स्ट्रिंग सिद्धांत के ए-मॉडल में भौतिक रूप से आयामों को ग्रोमोव-विटन तत्व कहे जाने वाले अनंत संख्याओं के रूप में व्यक्त किया जाता है, जिनकी गणना करना अपेक्षाकृत जटिल है। बी-मॉडल में गणनाओं को समाकलन में घटाया जा सकता है और यह बहुत आसान होता है। दर्पण समरूपता प्रयुक्त करके सिद्धांतकार ए-मॉडल में कठिन गणनाओं को बी-मॉडल में समकक्ष लेकिन तकनीकी रूप से आसान गणनाओं में अनुवाद कर सकते हैं। फिर इन गणनाओं का उपयोग स्ट्रिंग सिद्धांत में विभिन्न भौतिक प्रक्रियाओं की संभावनाओं को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। एक सिद्धांत में गणनाओं को दूसरे सिद्धांत में समकक्ष गणनाओं में अनुवाद करने के लिए दर्पण समरूपता को अन्य द्विविधता के साथ जोड़ा जा सकता है। इस प्रकार से गणनाओं को विभिन्न सिद्धांतों पर आउटसोर्स करके, सिद्धांतकार उन आयामों की गणना कर सकते हैं जिनकी गणना द्विविधता के उपयोग के बिना असंभव है।

स्ट्रिंग सिद्धांत के बाहर दर्पण समरूपता का उपयोग क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के औपचारिक दृष्टिकोणों को समझने के लिए किया जाता है, जिसका उपयोग भौतिक विज्ञानी प्राथमिक कणों का वर्णन करने के लिए करते हैं। उदाहरण के लिए, गेज सिद्धांत कण भौतिकी के मानक मॉडल और सैद्धांतिक भौतिकी के अन्य भागों में प्रदर्शित होने वाले अत्यधिक सममित भौतिक सिद्धांतों का एक वर्ग है। कुछ गेज सिद्धांत जो मानक मॉडल का भाग नहीं हैं, लेकिन फिर भी सैद्धांतिक कारणों से महत्वपूर्ण हैं, लगभग एकल परिप्रेक्ष्य पर प्रसारित स्ट्रिंग से उत्पन्न होते हैं। ऐसे सिद्धांतों के लिए दर्पण समरूपता एक उपयोगी कम्प्यूटेशनल उपकरण है। प्रायः दर्पण समरूपता का उपयोग चार स्पेसटाइम आयामों में एक महत्वपूर्ण गेज सिद्धांत में गणना करने के लिए किया जा सकता है। जिसका अध्ययन नाथन सीबर्ग और एडवर्ड विटन द्वारा किया गया था और यह डोनाल्डसन अपरिवर्तनीय के संदर्भ में गणितीय रूप से विस्तृत है। दर्पण समरूपता का एक सामान्यीकरण भी है जिसे 3डी दर्पण समरूपता कहा जाता है जो तीन स्पेसटाइम आयामों में क्वांटम क्षेत्र सिद्धांतों से संबंधित है।

होमोलॉजिकल दर्पण समरूपता
भौतिकी में स्ट्रिंग सिद्धांत और संबंधित सिद्धांतों में ब्रैन एक भौतिक वस्तु है जो एक बिंदु कण की धारणा को उच्च आयामों तक सामान्यीकृत करती है। उदाहरण के लिए एक बिंदु कण को ​​शून्य आयाम के ब्रैन के रूप में देखा जा सकता है, जबकि स्ट्रिंग को एक आयाम के ब्रैन के रूप में देखा जा सकता है। जहां उच्च-आयामी शाखाओं पर विचार करना भी संभव है। ब्रैन शब्द "मेम्ब्रेन" शब्द से आया है जो द्वि-आयामी ब्रैन को संदर्भित करता है। स्ट्रिंग सिद्धांत में एक स्ट्रिंग विवृत (दो समापन बिंदुओं के साथ एक खंड बना सकती है) हो सकती है या सवृत (एक बंद लूप बना सकती है) हो सकती है। डी-ब्रेन, ब्रैन का एक महत्वपूर्ण वर्ग है जो तब उत्पन्न होता है जब कोई विवृत स्ट्रिंग पर विचार करता है। चूँकि एक विवृत स्ट्रिंग स्पेसटाइम के माध्यम से विस्तृत होती है। इसके समापन बिंदुओं को डी-ब्रेन पर स्थित होना आवश्यक है। डी-ब्रेन में "D" अक्षर उस शर्त को संदर्भित करता है कि यह डिरिचलेट सीमा शर्त को पूरा करता है।

गणितीय रूप से ब्रैन को एक श्रेणी (गणित) की धारणा का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है। यह एक गणितीय संरचना है जिसमें वस्तुएं सम्मिलित हैं और वस्तुओं की किसी भी युग्म के लिए उनके बीच आकारिकी का एक समूह होता है। अधिकांश उदाहरणों में वस्तुएँ गणितीय संरचनाएँ हैं जैसे समुच्चय (गणित), सदिश समष्टि या सांस्थितिक समष्टि और आकारिकी इन संरचनाओं के बीच के फलन हैं। कोई भी उन श्रेणियों पर भी विचार कर सकता है जहां वस्तुएं डी-ब्रेन हैं और दो ब्रैन $$\alpha$$ और $$\beta$$ के बीच आकारिकी $$\alpha$$ और $$\beta$$ के बीच विस्तृत विवृत स्ट्रिंग की संरचनाएँ हैं।

सांस्थितिक स्ट्रिंग सिद्धांत के बी-मॉडल में डी-ब्रेन अतिरिक्त डेटा के साथ कैलाबी-याउ के समिश्र उपबहुआयामी हैं जो स्ट्रिंग के अंतिम बिंदुओं पर आवेशित होने से भौतिक रूप से उत्पन्न होते हैं। सहज रूप से कोई भी उपबहुआयाम को कैलाबी-याउ के अंदर अंतर्निहित सतह के रूप में विचार कर सकता है। हालांकि उपबहुआयाम दो से भिन्न आयामों में भी सम्मिलित हो सकते हैं। गणितीय भाषा में इन शाखाओं को अपनी वस्तुओं के रूप में रखने वाली श्रेणी को कैलाबी-याउ पर सुसंगत शीव्स की व्युत्पन्न श्रेणी के रूप में जाना जाता है। ए-मॉडल में डी-ब्रेन को पुनः से कैलाबी-याउ बहुआयामी के उपबहुआयाम के रूप में देखा जा सकता है। सामान्य रूप से कहें तो ये वही हैं जिन्हें गणितज्ञ लैग्रेंजियन उपबहुआयामी कहते हैं। अन्य अनुमानों के अतिरिक्त इसका अर्थ यह है कि जिस स्थान पर वे प्रयुक्त होते हैं उनका आयाम उनके आधा होता है और लंबाई, क्षेत्रफल या आयतन न्यूनतम होता है। जिस श्रेणी में ये शाखाएँ वस्तु के रूप में होती हैं उसे फुकाया श्रेणी कहा जाता है। सुसंगत समूहों की व्युत्पन्न श्रेणी का निर्माण समिश्र ज्यामिति के उपकरणों का उपयोग करके किया गया है, जो गणित की एक शाखा है जो बीजगणितीय शब्दों में ज्यामितीय वक्रों का वर्णन करती है और बीजगणितीय समीकरण का उपयोग करके ज्यामितीय समस्याओं को हल करती है। दूसरी ओर, फुकाया श्रेणी का निर्माण समिश्र ज्यामिति का उपयोग करके किया गया है, जो गणित की एक शाखा है जो चिरसममत भौतिकी के अध्ययन से उत्पन्न हुई है। समिश्र ज्यामिति एक संसुघटित रूप से निर्धारित स्थानों का अध्ययन करती है। एक गणितीय उपकरण जिसका उपयोग दो-आयामी उदाहरणों में क्षेत्र की गणना करने के लिए किया जा सकता है।

मैक्सिम कोंटसेविच के होमोलॉजिकल दर्पण समरूपता अनुमान में कहा गया है कि एक कैलाबी-याउ बहुआयाम पर सुसंगत शीव्स की व्युत्पन्न श्रेणी एक निश्चित अर्थ में इसके दर्पण की फुकाया श्रेणी के बराबर है। यह समतुल्यता सांस्थितिक स्ट्रिंग सिद्धांत में दर्पण समरूपता का एक गणितीय सूत्रीकरण प्रदान करती है। इसके अतिरिक्त यह ज्यामिति की दो शाखाओं अर्थात् समिश्र ज्यामिति और सममिति ज्यामिति के बीच एक अप्रत्याशित संबंध प्रदान करता है।

स्ट्रोमिंगर-यॉ-ज़स्लो अनुमान
दर्पण समरूपता को समझने के लिए एक और दृष्टिकोण 1996 में एंड्रयू स्ट्रोमिंगर, शिंग-तुंग याउ और एरिक ज़ास्लो द्वारा प्रस्तुत किया गया था। उनके अनुमान के अनुसार जिसे अब SYZ अनुमान के रूप में जाना जाता है। दर्पण समरूपता के कैलाबी-याउ बहुआयाम को सरल टुकड़ों में विभाजित करके पुनः उन्हें दर्पण समरूपता मे कैलाबी-याउ बहुआयाम प्राप्त करने के लिए परिवर्तित करके समझा जा सकता है। कैलाबी-याउ बहुआयाम का सबसे सरल उदाहरण एक द्वि-आयामी टोरस या डोनट आकार है। इस सतह पर एक वृत्त पर विचार करें जो एक बार डोनट के छिद्र से होकर गुजरता है। उदाहरण चित्र में लाल वृत्त है जिसमे टोरस पर इसके जैसे अनंत वृत्त हैं। वास्तव में संपूर्ण सतह ऐसे वृत्तों का एक संघ है। जहां $$B$$ (आकृति में गुलाबी वृत्त) इस प्रकार है कि टोरस को विघटित करने वाले अनंत वृत्तों में से प्रत्येक $$B$$ के एक बिंदु से होकर गुजरता है। इस सहायक वृत्त को अपघटन के वृत्तों को पैरामीट्रिज करने के लिए कहा जाता है, जिसका अर्थ है कि $$B$$ के बिंदुओं के बीच एक संबंध है। वृत्त $$B$$ केवल एक सूची से कहीं अधिक है, क्योंकि यह निर्धारित करता है कि इन वृत्तों को टोरस पर कैसे व्यवस्थित किया जाता है। यह सहायक स्थान SYZ अनुमान में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

टोरस को एक सहायक वृत्त द्वारा पैरामीट्रिज्ड टुकड़ों में विभाजित करने के विचार को सामान्यीकृत किया जा सकता है। आयाम को दो से चार वास्तविक आयामों तक बढ़ाने पर कैलाबी-याउ K-3 सतह बन जाता है। जिस प्रकार टोरस को वृत्तों में विघटित किया गया था। उसी प्रकार एक चार-आयामी K-3 सतह को दो-आयामी टोरस में विघटित किया जा सकता है। इस स्थिति में वृत्त $$B$$ एक साधारण वृत्त है। वृत्त पर प्रत्येक बिंदु संकुचित या एकल टोरस से संबंधित 24 बिंदुओं को छोड़कर दो-आयामी टोरस में से एक के अनुरूप है।

स्ट्रिंग सिद्धांत में प्राथमिक रुचि के कैलाबी-याउ बहुआयाम के छह आयाम हैं। इस प्रकार के बहुआयाम को 3-टोरी (तीन आयामी वस्तुएं जो टोरस की धारणा को सामान्यीकृत करती है) में 3-वृत्त $$B$$ (एक वृत्त का त्रि-आयामी सामान्यीकरण) द्वारा पैरामीट्रिज्ड में विभाजित किया जा सकता है। वृत्त $$B$$ का प्रत्येक बिंदु 3-टोरस के अनुरूप है। सामान्यतः कई जटिल बिंदुओं को छोड़कर कैलाबी-याउ बहुआयाम पर विभाजित वृत्तों का एक ग्रिड जैसा पैटर्न बनाते हैं जो एकल टोरी के अनुरूप होते हैं।

जब कैलाबी-याउ बहुआयाम को सरल भागों में विभाजित कर दिया जाता है तब दर्पण समरूपता को सहज ज्यामितीय रूप से समझा जा सकता है। उदाहरण के रूप मे ऊपर वर्णित टोरस पर विचार करें। कि यह टोरस एक भौतिक सिद्धांत के लिए "स्पेसटाइम" का प्रतिनिधित्व करता है। इस सिद्धांत की मूलभूत वस्तुएँ क्वांटम यांत्रिकी के नियमों के अनुसार स्पेसटाइम के माध्यम से प्रसारित होने वाली स्ट्रिंग है। स्ट्रिंग सिद्धांत के मूल द्विविधता सिद्धान्त में से एक टी-द्विविधता है जो प्रदर्शित करती है कि त्रिज्या R के एक वृत्त के चारों ओर विस्तृत होने वाली स्ट्रिंग त्रिज्या $$1/R$$ के एक चक्र के चारों ओर विस्तृत होने वाली स्ट्रिंग के बराबर है। इस अर्थ में कि एक विवरण में सभी अवलोकन योग्य आयाम दोहरे विवरण में आयामों के साथ सम्मिलित हैं। उदाहरण के लिए एक स्ट्रिंग में गति होती है क्योंकि यह एक वृत्त के चारों ओर विस्तृत है और यह वृत्त के चारों ओर एक या अधिक बार घूम भी सकती है। किसी वृत्त के चारों ओर डोरी जितनी बार घूमती है उसे वाइंडिंग संख्या कहा जाता है। यदि स्ट्रिंग में एक विवरण गति $$p$$ और घूर्णन संख्या $$n$$ है, तो दोहरे विवरण में इसकी गति $$n$$ और घूर्णन संख्या $$p$$ होगी। टोरस को विघटित करने वाले सभी वृत्तों पर एक साथ टी-द्विविधता प्रयुक्त करने से इन वृत्तों की त्रिज्या व्युत्क्रम हो जाती है और एक नया टोरस रह जाता है जो मूल टोरस की तुलना में "मोटा" या "पतला" होता है। यह टोरस मूल कैलाबी-यॉ का दर्पण है। टी-द्विविधता के सिद्धान्त को वृत्तों से K-3 सतह के अपघटन में दिखने वाले दो-आयामी टोरी तक या छह आयामी कैलाबी-याउ बहुआयाम के अपघटन में दिखने वाले त्रि-आयामी टोरी तक विस्तृत किया जा सकता है। सामान्यतः SYZ अनुमान बताता है कि दर्पण समरूपता इन टोरी के लिए टी-द्विविधता सिद्धान्त के एक अनुप्रयोग के बराबर है। प्रत्येक स्थिति में वृत्त $$B$$ एक प्रकार का ब्लूप्रिंट प्रदान करता है जो बताता है कि इन टोरी को कैलाबी-याउ बहुआयाम में कैसे एकत्र किया जा जाता है।

यह भी देखें

 * डोनाल्डसन-थॉमस सिद्धांत
 * वेल-क्रॉस सिद्धांत

पाठ्यपुस्तकें


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