गणनांक

गणित में, एक सेट (गणित)  की कार्डिनैलिटी सेट के  तत्व (गणित)  की संख्या का एक उपाय है। उदाहरण के लिए, सेट $$A = \{2, 4, 6\}$$ इसमें 3 तत्व होते हैं, और इसलिए $$A$$ 3 की कार्डिनैलिटी है। 19वीं शताब्दी के अंत में, इस अवधारणा को अनंत सेटों के लिए सामान्यीकृत किया गया था, जो किसी को विभिन्न प्रकार के अनंत के बीच अंतर करने और उन पर  कार्डिनल अंकगणित  करने की अनुमति देता है। कार्डिनैलिटी के दो दृष्टिकोण हैं: एक जो सीधे  द्विभाजन  और इंजेक्शन फ़ंक्शंस का उपयोग करके सेट की तुलना करता है, और दूसरा जो  बुनियादी संख्या ों का उपयोग करता है। एक सेट की कार्डिनैलिटी को उसका आकार भी कहा जाता है, जब आकार की अन्य धारणाओं के साथ कोई भ्रम नहीं होता है संभव है।

एक सेट की कार्डिनैलिटी $$A$$ आमतौर पर दर्शाया जाता है $$|A|$$, प्रत्येक तरफ एक लंबवत पट्टी के साथ; यह निरपेक्ष मूल्य  के समान संकेतन है, और अर्थ अस्पष्टता पर निर्भर करता है। एक सेट की कार्डिनैलिटी $$A$$ वैकल्पिक रूप से द्वारा निरूपित किया जा सकता है $$n(A)$$, <स्पैन स्टाइल = बॉर्डर-टॉप: 3px डबल ब्लैक; >$$A$$, $$\operatorname{card}(A)$$, या $$\#A$$.

इतिहास
कार्डिनैलिटी की एक क्रूड भावना, एक जागरूकता है कि चीजों या घटनाओं के समूह अन्य समूहों के साथ तुलना करते हैं, जिसमें अधिक, कम, या समान संख्या में उदाहरण होते हैं, वर्तमान में विभिन्न प्रकार की पशु प्रजातियों में मनाया जाता है, जो लाखों साल पहले एक उत्पत्ति का सुझाव देता है।. कार्डिनैलिटी की मानवीय अभिव्यक्ति को जल्द से जल्द देखा जाता है $40,000$ वर्षों पहले, रिकॉर्ड किए गए पायदानों के समूह के साथ एक समूह के आकार की बराबरी करने के साथ, या अन्य चीजों के प्रतिनिधि संग्रह, जैसे कि लाठी और गोले। एक संख्या के रूप में कार्डिनैलिटी की अमूर्तता 3000 ईसा पूर्व, गणित के सुमेरियन इतिहास और चीजों या घटनाओं के एक विशिष्ट समूह के संदर्भ के बिना संख्याओं के हेरफेर में स्पष्ट है। छठी शताब्दी ईसा पूर्व से, ग्रीक दार्शनिकों के लेखन अनंत सेटों की कार्डिनैलिटी के पहले संकेत दिखाते हैं। जबकि वे अनंत की धारणा को क्रियाओं की एक अंतहीन श्रृंखला के रूप में मानते थे, जैसे कि एक संख्या में बार-बार 1 जोड़ना, उन्होंने संख्याओं के अनंत सेट के आकार को एक चीज़ नहीं माना। अनंत की प्राचीन यूनानी धारणा ने चीजों के विभाजन को बिना सीमा के दोहराए गए भागों में भी माना। यूक्लिड के यूक्लिड के तत्वों में, अनुरूपता (गणित)  को दो रेखा खंडों की लंबाई की तुलना करने की क्षमता के रूप में वर्णित किया गया था, ए और बी, एक अनुपात के रूप में, जब तक कि एक तीसरा खंड था, चाहे कितना छोटा हो, जिसे अंत रखा जा सकता है -टू-एंड ए और बी दोनों में कई बार। लेकिन  अपरिमेय संख्या ओं की खोज के साथ, यह देखा गया कि सभी परिमेय संख्याओं का अनंत समुच्चय भी प्रत्येक संभावित रेखाखंड की लंबाई का वर्णन करने के लिए पर्याप्त नहीं था। फिर भी, अनंत समुच्चयों की कोई अवधारणा नहीं थी, जिसमें कार्डिनैलिटी थी।

अनंत समुच्चयों को बेहतर ढंग से समझने के लिए, सेट सिद्धांत के प्रवर्तक जॉर्ज कैंटोर  द्वारा लगभग 1880 में कार्डिनैलिटी की धारणा तैयार की गई थी। उन्होंने दो समुच्चयों को एक अद्वितीय संबंध के आधार पर दो सेटों के तत्वों के बीच एक-से-एक पत्राचार, एक-से-एक पत्राचार के साथ समीकरण करने की प्रक्रिया की जांच की। 1891 में, कैंटर के विकर्ण तर्क के प्रकाशन के साथ, उन्होंने प्रदर्शित किया कि संख्याओं के ऐसे सेट हैं जिन्हें प्राकृतिक संख्याओं के सेट के साथ एक-से-एक पत्राचार में नहीं रखा जा सकता है, अर्थात बेशुमार सेट जिनमें अनंत से अधिक तत्व होते हैं प्राकृतिक संख्याओं का समूह।

सेट की तुलना
जबकि एक परिमित सेट की कार्डिनैलिटी केवल उसके तत्वों की संख्या है, अनंत सेटों की धारणा को विस्तारित करना आम तौर पर मनमाना सेट (जिनमें से कुछ संभवतः अनंत हैं) की तुलना की धारणा को परिभाषित करने के साथ शुरू होता है।

परिभाषा 1: $|A|$ = $|B|$

 * दो सेट ए और बी में समान कार्डिनैलिटी होती है यदि ए से बी तक एक आक्षेप (उर्फ, एक-से-एक पत्राचार) मौजूद है, यानी, A से B तक एक फलन (गणित) जो इंजेक्शन  और  विशेषण  दोनों है। ऐसे समुच्चयों को समविभव, समविषम, या  समनुक्रमिक  कहा जाता है। इस संबंध को A ≈ B या A ~ B भी निरूपित किया जा सकता है।


 * उदाहरण के लिए, गैर-ऋणात्मक सम संख्याओं के समुच्चय E = {0, 2, 4, 6, ...} की कार्डिनैलिटी समुच्चय 'N' = {0, 1, 2, 3, ... } प्राकृत संख्याओं का, क्योंकि फलन f(n) = 2n 'N' से E की ओर एक द्विभाजन है (चित्र देखें)।


 * परिमित समुच्चय ए और बी के लिए, यदि ए से बी तक कुछ आक्षेप मौजूद है, तो ए से बी तक प्रत्येक इंजेक्शन या विशेषण कार्य एक आक्षेप है। यह अब अनंत ए और बी के लिए सच नहीं है। उदाहरण के लिए, जी (एन) = 4 एन द्वारा परिभाषित 'एन' से ई तक फ़ंक्शन जी इंजेक्शन है, लेकिन विशेषण नहीं है, और एच 'एन' से ई तक परिभाषित है। एच (एन) = एन - (एन मोडुलो ऑपरेशन  2) विशेषण है, लेकिन इंजेक्शन नहीं है। न तो g और न ही h चुनौती दे सकते हैं $|E|$ = $|N|$, जिसे f के अस्तित्व द्वारा स्थापित किया गया था।

परिभाषा 2: $|A|$ ≤ $|B|$

 * ए की कार्डिनैलिटी बी की कार्डिनैलिटी से कम या उसके बराबर है, अगर ए से बी में एक इंजेक्शन फ़ंक्शन मौजूद है।

परिभाषा 3: $|A|$ < $|B|$

 * ए में कार्डिनैलिटी बी की कार्डिनैलिटी से सख्ती से कम है, अगर कोई इंजेक्शन फ़ंक्शन है, लेकिन ए से बी तक कोई विशेषण कार्य नहीं है।


 * उदाहरण के लिए, सभी प्राकृतिक संख्याओं के सेट 'एन' में कार्डिनैलिटी अपने पावर सेट पी ('एन') से सख्ती से कम है, क्योंकि जी (एन) = {एन} 'एन' से पी ('एन) तक एक इंजेक्शन फ़ंक्शन है। '), और यह दिखाया जा सकता है कि 'एन' से पी ('एन') तक कोई भी कार्य विशेषण नहीं हो सकता है (चित्र देखें)। इसी तरह के तर्क से, 'एन' की कार्डिनैलिटी सभी वास्तविक संख्या ओं के सेट 'आर' की कार्डिनैलिटी से सख्ती से कम है। प्रमाण के लिए, कैंटर का विकर्ण तर्क या कैंटर का पहला बेशुमार प्रमाण देखें।

यदि $|A|$ ≤ $|B|$ तथा $|B|$ ≤ $|A|$, फिर $|A|$ = $|B|$ (एक तथ्य जिसे श्रोडर-बर्नस्टीन प्रमेय के रूप में जाना जाता है)। पसंद का स्वयंसिद्ध कथन के समतुल्य है कि $|A|$ ≤ $|B|$ या $|B|$ ≤ $|A|$ प्रत्येक ए, बी के लिए

कार्डिनल नंबर
उपरोक्त खंड में, एक सेट की कार्डिनैलिटी को कार्यात्मक रूप से परिभाषित किया गया था। दूसरे शब्दों में, इसे एक विशिष्ट वस्तु के रूप में परिभाषित नहीं किया गया था। हालाँकि, ऐसी वस्तु को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है।

समान कार्डिनैलिटी होने के संबंध को समरूपता  कहा जाता है, और यह सभी सेटों के वर्ग (सेट थ्योरी) पर एक  तुल्यता संबंध  है। इस संबंध के तहत एक सेट ए के समकक्ष वर्ग में, उन सभी सेटों का समावेश होता है जिनकी कार्डिनैलिटी ए के समान होती है। सेट की कार्डिनैलिटी को परिभाषित करने के दो तरीके हैं:


 * 1) समुच्चय A की कार्डिनैलिटी को समनुक्रमिकता के तहत इसके  तुल्यता वर्ग  के रूप में परिभाषित किया गया है।
 * 2) एक  प्रतिनिधि (गणित)  सेट को प्रत्येक समकक्ष वर्ग के लिए नामित किया गया है। सबसे आम पसंद  वॉन न्यूमैन कार्डिनल असाइनमेंट  है। इसे आमतौर पर  स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत  में कार्डिनल नंबर की परिभाषा के रूप में लिया जाता है।

पसंद के स्वयंसिद्ध को मानते हुए, अनंत सेटों की कार्डिनैलिटी को निरूपित किया जाता है
 * $$\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < \ldots . $$

प्रत्येक सामान्य संख्या के लिए $$\alpha$$, $$\aleph_{\alpha + 1}$$ से कम से कम कार्डिनल संख्या है $$\aleph_\alpha$$.

प्राकृतिक संख्या ओं की कार्डिनैलिटी को अलेफ नंबर  | एलेफ-नल ($$\aleph_0$$), जबकि वास्तविक संख्याओं की कार्डिनैलिटी को द्वारा निरूपित किया जाता है$$\mathfrak c$$(एक लोअरकेस फ्रैक्टूर (स्क्रिप्ट) सी), और इसे  सातत्य की कार्डिनैलिटी  के रूप में भी जाना जाता है। कैंटर ने कैंटर के विकर्ण तर्क का उपयोग करते हुए दिखाया कि $${\mathfrak c} >\aleph_0$$. हम दिखा सकते हैं कि $$\mathfrak c = 2^{\aleph_0}$$, यह प्राकृत संख्याओं के सभी उपसमुच्चयों के समुच्चय की प्रमुखता भी है।

सातत्य परिकल्पना कहती है कि $$\aleph_1 = 2^{\aleph_0}$$, अर्थात। $$2^{\aleph_0}$$ से बड़ी सबसे छोटी कार्डिनल संख्या है $$\aleph_0$$, यानी ऐसा कोई सेट नहीं है जिसकी कार्डिनैलिटी पूर्णांकों और वास्तविक संख्याओं के बीच सख्ती से हो। निरंतरता परिकल्पना ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत की स्वतंत्रता (गणितीय तर्क)  पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ है, सेट सिद्धांत का एक मानक स्वयंसिद्धकरण; अर्थात्, ZFC से सातत्य परिकल्पना या इसके निषेध को सिद्ध करना असंभव है - बशर्ते कि ZFC संगत हो। अधिक विवरण के लिए, कार्डिनैलिटी#कार्डिनैलिटी ऑफ़ द कॉन्टिनम|§ नीचे दिए गए कॉन्टिनम की कार्डिनैलिटी देखें।

परिमित, गणनीय और बेशुमार सेट
यदि पसंद का स्वयंसिद्ध धारण करता है, तो ट्राइकोटॉमी (गणित)  कार्डिनैलिटी के लिए है। इस प्रकार हम निम्नलिखित परिभाषाएँ बना सकते हैं:


 * कोई भी समुच्चय X जिसकी कार्डिनैलिटी प्राकृत संख्याओं से कम है, या | X | < | 'N' |, एक परिमित समुच्चय कहा जाता है।
 * कोई भी समुच्चय X जिसमें प्राकृत संख्याओं के समुच्चय के समान कार्डिनैलिटी हो, या | X | = | 'एन' | = $$\aleph_0$$, को एक अनंत अनंत समुच्चय कहा जाता है। *कोई भी सेट X जिसकी कार्डिनैलिटी प्राकृत संख्याओं से अधिक है, या | X | > | 'एन' |, उदाहरण के लिए | 'आर' | = $$\mathfrak c $$ > | N |, को बेशुमार समुच्चय कहा जाता है।

अनंत समुच्चय
परिमित समुच्चयों से प्राप्त हमारा अंतर्ज्ञान अनंत समुच्चयों के साथ व्यवहार करते समय टूट जाता है। उन्नीसवीं सदी के उत्तरार्ध में जॉर्ज कैंटर, थैंक गॉड फ्रीज,  रिचर्ड डेडेकिंड  और अन्य ने इस विचार को खारिज कर दिया कि पूरे हिस्से के आकार के समान नहीं हो सकते।  इसका एक उदाहरण ग्रैंड होटल के हिल्बर्ट का विरोधाभास है। दरअसल, डेडेकाइंड ने एक अनंत सेट को एक के रूप में परिभाषित किया है जिसे एक सख्त उपसमुच्चय के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है (अर्थात, कैंटर के अर्थ में समान आकार वाला); अनंत की इस धारणा को डेडेकाइंड अनंत  कहा जाता है। कैंटर ने कार्डिनल नंबरों को पेश किया, और दिखाया- आकार की उनकी आक्षेप-आधारित परिभाषा के अनुसार- कि कुछ अनंत सेट दूसरों की तुलना में बड़े हैं। सबसे छोटी अनंत कार्डिनैलिटी प्राकृतिक संख्याओं की है ($$\aleph_0$$).

सातत्य की कार्डिनैलिटी
कैंटर के सबसे महत्वपूर्ण परिणामों में से एक यह था कि सातत्य की प्रमुखता ($$\mathfrak{c}$$) प्राकृत संख्याओं से अधिक है ($$\aleph_0$$); अर्थात्, प्राकृत संख्याओं N से अधिक वास्तविक संख्याएँ R हैं। अर्थात्, कैंटर ने दिखाया कि $$\mathfrak{c} = 2^{\aleph_0} = \beth_1$$ (बेथ नंबर देखें#बेथ वन) संतुष्ट करता है:
 * $$2^{\aleph_0} > \aleph_0$$
 * (कैंटोर का विकर्ण तर्क या कैंटर का पहला बेशुमार प्रमाण देखें)।

सातत्य परिकल्पना में कहा गया है कि वास्तविक संख्याओं की कार्डिनैलिटी और प्राकृतिक संख्याओं की कार्डिनैलिटी के बीच कोई कार्डिनल संख्या नहीं है, अर्थात,
 * $$2^{\aleph_0} = \aleph_1$$

हालाँकि, इस परिकल्पना को व्यापक रूप से स्वीकृत ZFC  स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत के भीतर न तो सिद्ध किया जा सकता है और न ही अस्वीकृत किया जा सकता है, यदि ZFC सुसंगत है।

कार्डिनल अंकगणित का उपयोग न केवल यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि एक वास्तविक संख्या रेखा  में बिंदुओं की संख्या उस रेखा के किसी भी  रेखा खंड  में बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है, बल्कि यह कि यह एक समतल पर बिंदुओं की संख्या के बराबर है और वास्तव में, किसी भी परिमित-आयामी स्थान में। ये परिणाम अत्यधिक प्रतिकूल हैं, क्योंकि उनका अर्थ है कि अनंत सेट एस के उचित उपसमुच्चय और  उचित सुपरसेट  मौजूद हैं, जिनका आकार एस के समान है, हालांकि एस में ऐसे तत्व शामिल हैं जो इसके उपसमुच्चय से संबंधित नहीं हैं, और एस के सुपरसेट में ऐसे तत्व होते हैं जो इसमें शामिल नहीं हैं।

इनमें से पहला परिणाम, उदाहरण के लिए, स्पर्शरेखा फ़ंक्शन पर विचार करके स्पष्ट होता है, जो अंतराल (गणित)  (-½π, ½π) और 'आर' के बीच एक-से-एक पत्राचार प्रदान करता है (हिल्बर्ट के ग्रैंड के विरोधाभास को भी देखें) होटल)।

दूसरा परिणाम पहली बार 1878 में कैंटर द्वारा प्रदर्शित किया गया था, लेकिन यह 1890 में और अधिक स्पष्ट हो गया, जब ग्यूसेप पीनो  ने अंतरिक्ष-भरने वाले घटता, घुमावदार रेखाएं पेश कीं जो किसी भी वर्ग, या घन, या  अतिविम  को भरने के लिए पर्याप्त मोड़ और मोड़ देती हैं। या परिमित-आयामी स्थान। ये वक्र प्रत्यक्ष प्रमाण नहीं हैं कि एक रेखा में परिमित-आयामी स्थान के समान अंक होते हैं, लेकिन इनका उपयोग अंतरिक्ष-भरने वाले वक्र को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है # प्रमाण है कि एक वर्ग और उसके पक्ष में समान अंक होते हैं।

कैंटर ने यह भी दिखाया कि कार्डिनैलिटी वाले सेट सख्ती से से अधिक हैं $$\mathfrak c$$ मौजूद हैं (उनके कैंटर के विकर्ण तर्क # सामान्य सेट और कैंटर के प्रमेय देखें)। उनमें शामिल हैं, उदाहरण के लिए:


 * R के सभी उपसमुच्चय का समुच्चय, अर्थात, R का घात समुच्चय, लिखा हुआ P(R) या 2आर
 * सेट आरR R से R . तक सभी कार्यों का

दोनों में कार्डिनैलिटी है
 * $$2^\mathfrak {c} = \beth_2 > \mathfrak c $$
 * (बेथ संख्या#बेथ दो देखें)।

निरंतरता की कार्डिनैलिटी#कार्डिनल समानताएं $$\mathfrak{c}^2 = \mathfrak{c},$$ $$\mathfrak c^{\aleph_0} = \mathfrak c,$$ तथा $$\mathfrak c ^{\mathfrak c} = 2^{\mathfrak c}$$ कार्डिनल अंकगणित का उपयोग करके प्रदर्शित किया जा सकता है:
 * $$\mathfrak{c}^2 = \left(2^{\aleph_0}\right)^2 = 2^{2\times{\aleph_0}} = 2^{\aleph_0} = \mathfrak{c},$$
 * $$\mathfrak c^{\aleph_0} = \left(2^{\aleph_0}\right)^{\aleph_0} = 2^{{\aleph_0}\times{\aleph_0}} = 2^{\aleph_0} = \mathfrak{c},$$
 * $$ \mathfrak c ^{\mathfrak c} = \left(2^{\aleph_0}\right)^{\mathfrak c} = 2^{\mathfrak c\times\aleph_0} = 2^{\mathfrak c}.$$

उदाहरण और गुण

 * यदि एक्स = {ए, बी, सी} और वाई = {सेब, संतरे, आड़ू}, जहां ए, बी, और सी अलग हैं, तो | X | = | यू| क्योंकि {(ए, सेब), (बी, संतरे), (सी, आड़ू)} सेट एक्स और वाई के बीच एक आक्षेप है। एक्स और वाई में से प्रत्येक की कार्डिनैलिटी 3 है।
 * अगर | X | | Y |, तब Z का अस्तित्व इस प्रकार है कि | X | = | Z | और जेड वाई।
 * अगर | X | | यू| और | यू| | एक्स |, फिर | X | = | यू|. यह अनंत कार्डिनल्स के लिए भी मान्य है, और इसे कैंटर-बर्नस्टीन-श्रोएडर प्रमेय के रूप में जाना जाता है।
 * सातत्य की प्रधानता# सातत्य की प्रधानता के साथ समुच्चय में सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय, सभी अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय और अंतराल शामिल है $$[0, 1]$$.

संघ और चौराहा
यदि A और B असंयुक्त समुच्चय हैं, तो
 * $$\left\vert A \cup B \right\vert = \left\vert A \right\vert + \left\vert B \right\vert.$$

इससे, कोई यह दिखा सकता है कि सामान्य तौर पर, संघ (सेट थ्योरी) और इंटरसेक्शन (सेट थ्योरी) की कार्डिनैलिटी निम्नलिखित समीकरण से संबंधित हैं:
 * $$ \left\vert C \cup D \right\vert + \left\vert C \cap D \right\vert = \left\vert C \right\vert + \left\vert D \right\vert.$$

यह भी देखें

 * अलेफ नंबर
 * बेथ नंबर
 * कैंटोर का विरोधाभास
 * कैंटर की प्रमेय
 * गणनीय सेट
 * गिनती
 * साधारणता
 * कबूतर सिद्धांत