व्युत्पन्न

गणित में, व्युत्पन्न एक प्रस्तावित ढांचा है पृष्ठ 190-195 [[समरूप बीजगणित]] के लिए एबेलियन और गैर-अबेलियन समरूप बीजगणित और इसके विभिन्न सामान्यीकरण दोनों के लिए एक आधार प्रदान करता है। उन्हें व्युत्पन्न श्रेणी (जैसे शंकु निर्माण की गैर-कार्यक्षमता) की कमियों को दूर करने के लिए पेश किया गया था और एक ही समय में होमोटोपिकल बीजगणित के लिए एक भाषा प्रदान की गई थी।

डेरीवेटर्स को पहली बार अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक ने अपनी लंबी अप्रकाशित 1983 की पांडुलिपि स्टैक का पीछा करना  में पेश किया था। इसके बाद उनके द्वारा लगभग 2000 पृष्ठों की विशाल अप्रकाशित 1991 पांडुलिपि लेस डेरिवेटर्स में विकसित किया गया। अनिवार्य रूप से एक ही अवधारणा को एलेक्स हेलर द्वारा (जाहिरा तौर पर स्वतंत्र रूप से) पेश किया गया था।

पाण्डुलिपि को जार्ज माल्टसिनियोटिस द्वारा ऑनलाइन प्रकाशन के लिए संपादित किया गया है। सिद्धांत को कई अन्य लोगों द्वारा विकसित किया गया है, जिनमें हेलर, जेन्स फ्रांके, केलर और ग्रोथ शामिल हैं।

प्रेरणा
डेरिवेटिव्स पर विचार करने के प्रेरक कारणों में से एक त्रिकोणीय श्रेणी के साथ शंकु निर्माण के साथ कार्यात्मकता की कमी है। व्युत्पन्न इस समस्या को हल करने में सक्षम हैं, और एक श्रेणी के स्थानीयकरण और एक दूसरे के बीच उनके संबंधों के साथ श्रेणी में सभी संभावित आरेखों का ट्रैक रखकर, सामान्य होमोटॉपी कोलिमिट्स को शामिल करने का समाधान करते हैं। ह्यूरिस्टिकली, दिया गया डायग्राम"$\bullet \to \bullet$"जो दो वस्तुओं और एक गैर-पहचान वाले तीर के साथ एक श्रेणी है, और एक functor"$F:(\bullet \to \bullet) \to A$"एक श्रेणी के लिए $$A$$ कमजोर समकक्षों के एक वर्ग के साथ $$W$$ (और सही परिकल्पनाओं को संतुष्ट करते हुए), हमारे पास एक संबद्ध फ़ंक्टर <ब्लॉककोट> होना चाहिए$$C(F): \bullet \to A[W^{-1}]$$ जहां लक्ष्य वस्तु कमजोर समतुल्यता तक अद्वितीय है $$\mathcal{C}[W^{-1}]$$. डेरिवेटर इस तरह की जानकारी को एनकोड करने में सक्षम हैं और व्युत्पन्न श्रेणी और होमोटोपी सिद्धांत में उपयोग करने के लिए एक आरेख कलन प्रदान करते हैं।

प्रीडेरिवेटर्स
औपचारिक रूप से, एक पूर्ववर्ती $$\mathbb{D}$$ यह एक 2-फंक्शन <ब्लॉककोट> है$$\mathbb{D}: \text{Ind}^{op} \to \text{CAT}$$ सूचकांकों की उपयुक्त 2-श्रेणी से श्रेणियों की श्रेणी तक। आम तौर पर ऐसे 2-फ़ंक्टर श्रेणियों पर विचार करने से आते हैं $$\underline{\text{Hom}}(I^{op}, A)$$ कहाँ $$A$$ गुणांक की श्रेणी कहा जाता है। उदाहरण के लिए, $$\text{Ind}$$ फ़िल्टर की गई छोटी श्रेणियों की श्रेणी हो सकती है, जिनकी वस्तुओं को फ़िल्टर किए गए कॉलिमिट के लिए इंडेक्सिंग सेट के रूप में माना जा सकता है। फिर, डायग्राम <ब्लॉकक्वोट> का आकार दिया गया$$f:I \to J$$ निरूपित करें $$f^*$$ by"$f^*:\mathbb{D}(J) \to \mathbb{D}(I)$"इसे उलटा छवि फ़ैक्टर कहा जाता है। प्रेरक उदाहरण में, यह केवल पूर्वसम्मिलन है, इसलिए एक फ़ंक्टर दिया गया है $$F_I \in \underline{\text{Hom}}(I^{op}, A)$$ एक संबद्ध कारक है $$F_J = F_I \circ f$$. ध्यान दें कि इन 2-फ़ंक्टरों को <ब्लॉककोट> के रूप में लिया जा सकता है$$\underline{\text{Hom}}(-,A[W^{-1}])$$ कहाँ $$W$$ एक श्रेणी में कमजोर समकक्षों का एक उपयुक्त वर्ग है $$A$$.

अनुक्रमण श्रेणियां
अनुक्रमणन श्रेणियों के अनेक उदाहरण हैं जिनका उपयोग इस निर्माण में किया जा सकता है


 * 2-श्रेणी $$\text{FinCat}$$ परिमित श्रेणियों का, इसलिए वस्तुएँ वे श्रेणियाँ हैं जिनके वस्तुओं का संग्रह परिमित समुच्चय हैं।
 * क्रमिक श्रेणी $$\Delta$$ दो श्रेणियों में वर्गीकृत किया जा सकता है, जहां वस्तुएं एक वस्तु के साथ श्रेणियां होती हैं, और कारक क्रमसूचक श्रेणी में तीर बनाते हैं।
 * एक अन्य विकल्प केवल छोटी श्रेणियों की श्रेणी का उपयोग करना है।
 * इसके अलावा, किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस से जुड़ा हुआ है $$X$$ एक श्रेणी है $$\text{Open}(X)$$ जिसे इंडेक्सिंग श्रेणी के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है।
 * इसके अलावा, जरिस्की टोपोलॉजी, इटली साइट, आदि के टोपोस के अंतर्निहित ग्रोथेंडिक साइट $$(X)_\tau$$ कुछ योजना (गणित) या बीजगणितीय स्थान के लिए $$X$$ अनुक्रमणन श्रेणी के लिए उनके आकारिकी के साथ प्रयोग किया जा सकता है
 * इसे किसी भी टोपोस के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है $$T$$, इसलिए अनुक्रमण श्रेणी अंतर्निहित साइट है।

व्युत्पन्न
डेरिवेटिव्स तब प्रीडेरिवेटरों का स्वयंसिद्धीकरण है जो आसन्न फंक्शंस से लैस होते हैं


 * $$f^? \dashv f_! \dashv f^* \dashv f_* \dashv f^!$$

कहाँ $$f_!$$ से सटा हुआ है $$f^*$$ और इसी तरह। अनुमान के अनुसार, $$f_*$$ व्युत्क्रम सीमाओं के अनुरूप होना चाहिए, $$f_!$$ कोलिमिट्स के लिए।

बाहरी संबंध

 * derivator in nLab
 * Subtopoi, open subtopos and closed subtopos
 * https://golem.ph.utexas.edu/category/2018/03/stabilization_of_derivators.html