मिश्रित टेंसर

टेन्सर विश्लेषण में, मिश्रित टेन्सर होता है जो न तो पूर्ण रूप से सहपरिवर्ती है और न ही पूर्ण रूप से विपरीत परिवर्ती है, मिश्रित टेन्सर में कम से कम सूचकांक सबस्क्रिप्ट (सहसंयोजक) और सुपरस्क्रिप्ट (प्रतिपरिवर्ती) होता है।

प्रकार या वैलेंस का मिश्रित टेंसर $\binom{M}{N}$, जिसे "टाइप (M, N)" भी लिखा गया है, M > 0 और N > 0 दोनों के साथ टेन्सर है जिसमें M प्रतिपरिवर्ती सूचकांक और N सहपरिवर्ती सूचकांक हैं। इस प्रकार के टेंसर को रैखिक फलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो M प्रपत्र और N वेक्टर (ज्यामिति) के (M + N) -ट्यूपल को स्केलर (गणित) में मैप करता है।

टेंसर प्रकार परिवर्तन
संबंधित टेंसरों के निम्नलिखित ऑक्टेट पर विचार करें: $$ T_{\alpha \beta \gamma}, \ T_{\alpha \beta} {}^\gamma, \ T_\alpha {}^\beta {}_\gamma, \ T_\alpha {}^{\beta \gamma}, \ T^\alpha {}_{\beta \gamma}, \ T^\alpha {}_\beta {}^\gamma, \ T^{\alpha \beta} {}_\gamma, \ T^{\alpha \beta \gamma} .$$ प्रथम सहपरिवर्ती है, अंतिम प्रतिपरिवर्ती है, और शेष मिश्रित हैं। सांकेतिक रूप से, ये टेन्सर एक दूसरे से उनके सूचकांकों के सहप्रसरण/प्रतिप्रसरण द्वारा भिन्न होते हैं। टेंसर के दिए गए प्रतिपरिवर्ती सूचकांक को मीट्रिक टेंसर $g_{μν}$ का उपयोग करके कम किया जा सकता है, और दिए गए सहपरिवर्ती सूचकांक को व्युत्क्रम मीट्रिक टेंसर $g^{μν}$ का उपयोग करके बढ़ाया जा सकता है। इस प्रकार, $g_{μν}$ को इंडेक्स लोअरिंग ऑपरेटर और $g^{μν}$ सूचकांक बढ़ाने वाला ऑपरेटर कहा जा सकता है।

सामान्यतः, सहपरिवर्ती मीट्रिक टेन्सर, प्रकार (M, N) के टेंसर के साथ अनुबंधित होता है, प्रकार (M-1, N+ 1) का टेंसर उत्पन्न करता है, जबकि इसका प्रतिपरिवर्ती व्युत्क्रम, प्रकार (M, N) के टेंसर के साथ अनुबंधित होता है। प्रकार (M + 1, N − 1) का टेंसर देता है।

उदाहरण
उदाहरण के रूप में, प्रकार (1, 2) का मिश्रित टेन्सर प्रकार (0, 3) के सहसंयोजक टेन्सर के सूचकांक को बढ़ाकर प्राप्त किया जा सकता है, $$ T_{\alpha \beta} {}^\lambda = T_{\alpha \beta \gamma} \, g^{\gamma \lambda} ,$$ जहाँ $$ T_{\alpha \beta} {}^\lambda $$ के समान टेंसर $$ T_{\alpha \beta} {}^\gamma $$ है, क्योंकि इस प्रकार: $$ T_{\alpha \beta} {}^\lambda \, \delta_\lambda {}^\gamma = T_{\alpha \beta} {}^\gamma, $$ क्रोनकर $δ$ के साथ यहां पहचान मैट्रिक्स के जैसे कार्य कर रहा है:

वैसे ही, $$ T_\alpha {}^\lambda {}_\gamma = T_{\alpha \beta \gamma} \, g^{\beta \lambda}, $$$$ T_\alpha {}^{\lambda \epsilon} = T_{\alpha \beta \gamma} \, g^{\beta \lambda} \, g^{\gamma \epsilon},$$$$ T^{\alpha \beta} {}_\gamma = g_{\gamma \lambda} \, T^{\alpha \beta \lambda},$$$$ T^\alpha {}_{\lambda \epsilon} = g_{\lambda \beta} \, g_{\epsilon \gamma} \, T^{\alpha \beta \gamma}. $$ मेट्रिक टेन्सर के सूचकांक को ऊपर उठाना इसके व्युत्क्रम के साथ इसे अनुबंधित करने के समान है, जो क्रोनकर डेल्टा को प्राप्त करता है, $$ g^{\mu \lambda} \, g_{\lambda \nu} = g^\mu {}_\nu = \delta^\mu {}_\nu ,$$ इसलिए मीट्रिक टेन्सर का कोई भी मिश्रित संस्करण क्रोनकर डेल्टा के समान होगा, जिसे भी मिश्रित किया जाएगा।

यह भी देखें

 * सहप्रसरण और सदिशों का प्रतिप्रसरण
 * आइंस्टीन संकेतन
 * घुंघराले पथरी
 * टेन्सर (आंतरिक परिभाषा)
 * दो-बिंदु टेंसर

बाहरी संबंध

 * Index Gymnastics, Wolfram Alpha