नेबरहुड प्रणाली

टोपोलॉजी और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, पड़ोस प्रणाली, पड़ोस की पूरी प्रणाली, या पड़ोस फ़िल्टर $$\mathcal{N}(x)$$ एक बिंदु के लिए $$x$$ टोपोलॉजिकल स्पेस में सभी नेबरहुड (गणित) का संग्रह होता है $$x.$$

परिभाषाएँ
किसी बिंदु या समुच्चय का पड़ोस

एक एक बिंदु (या उपसमुच्चय) का  $$x$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस में $$X$$ कोई खुला सेट है $$U$$ का $$X$$ उसमें सम्मिलित है $$x.$$ A कोई उपसमुच्चय है $$N \subseteq X$$ उसमें सम्मिलित है  का खुला पड़ोस $$x$$; स्पष्ट रूप से, $$N$$ का पड़ोस है $$x$$ में $$X$$ यदि और केवल यदि कुछ खुला उपसमुच्चय मौजूद है $$U$$ साथ $$x \in U \subseteq N$$. समान रूप से, का एक पड़ोस $$x$$ क्या कोई सेट है जिसमें शामिल है $$x$$ इसके आंतरिक भाग (टोपोलॉजी) में।

महत्वपूर्ण रूप से, एक पड़ोस ऐसा करता है एक खुला सेट होना चाहिए; वह पड़ोस जो खुले सेट भी होते हैं, खुले पड़ोस के रूप में जाने जाते हैं। इसी प्रकार, एक पड़ोस जो एक बंद सेट (क्रमशः, सघन स्थान,  जुड़ा हुआ स्थान  इत्यादि) सेट भी है, को ए कहा जाता है  (क्रमश, , , वगैरह।)। कई अन्य प्रकार के पड़ोस हैं जिनका उपयोग टोपोलॉजी और कार्यात्मक विश्लेषण जैसे संबंधित क्षेत्रों में किया जाता है। एक निश्चित उपयोगी संपत्ति रखने वाले सभी पड़ोस के परिवार अक्सर #पड़ोस का आधार बनाते हैं, हालांकि कई बार, ये पड़ोस आवश्यक रूप से खुले नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान, वे स्थान हैं, जिनमें हर बिंदु पर पड़ोस का आधार होता है, जिसमें पूरी तरह से कॉम्पैक्ट सेट होते हैं।

पड़ोस फ़िल्टर

एक बिंदु के लिए पड़ोस प्रणाली (या खाली सेट | गैर-रिक्त उपसमुच्चय) $$x$$ एक फ़िल्टर (सेट सिद्धांत) है जिसे कहा जाता है एक बिंदु के लिए पड़ोस फ़िल्टर $$x \in X$$ सिंगलटन सेट के पड़ोस फ़िल्टर के समान है $$\{x\}.$$

पड़ोस का आधार
ए या  (या  या ) एक बिंदु के लिए $$x$$ पड़ोस फ़िल्टर का फ़िल्टर आधार है; इसका मतलब यह है कि यह एक उपसमुच्चय है $$\mathcal{B} \subseteq \mathcal{N}(x)$$ ऐसा कि सभी के लिए $$V \in \mathcal{N}(x),$$ वहाँ कुछ मौजूद है $$B \in \mathcal{B}$$ ऐसा है कि $$B \subseteq V.$$ यानी किसी भी पड़ोस के लिए $$V$$ हम एक पड़ोस ढूंढ सकते हैं $$B$$ पड़ोस के आधार में जो निहित है $$V.$$ समान रूप से, $$\mathcal{B}$$ पर एक स्थानीय आधार है $$x$$ यदि और केवल यदि पड़ोस फ़िल्टर $$\mathcal{N}$$ से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है $$\mathcal{B}$$ इस अर्थ में कि निम्नलिखित समानता कायम है: $$\mathcal{N}(x) = \left\{ V \subseteq X ~:~ B \subseteq V \text{ for some } B \in \mathcal{B} \right\}\!\!\;.$$ एक परिवार $$\mathcal{B} \subseteq \mathcal{N}(x)$$ के लिए पड़ोस का आधार है $$x$$ अगर और केवल अगर $$\mathcal{B}$$ का एक कोफ़ाइनल सेट है $$\left(\mathcal{N}(x), \supseteq\right)$$ आंशिक आदेश के संबंध में $$\supseteq$$ (महत्वपूर्ण बात यह है कि यह आंशिक क्रम सुपरसेट संबंध है न कि उपसमुच्चय संबंध)।

पड़ोस उपआधार
ए पर $$x$$ एक परिवार है $$\mathcal{S}$$ के उपसमुच्चय $$X,$$ जिनमें से प्रत्येक में शामिल है $$x,$$ जैसे कि तत्वों के सभी संभावित परिमित प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) का संग्रह $$\mathcal{S}$$ पर पड़ोस का आधार बनता है $$x.$$

उदाहरण
अगर $$\R$$ इसके पड़ोस की तुलना में इसकी सामान्य यूक्लिडियन टोपोलॉजी है $$0$$ वे सभी उपसमुच्चय हैं $$N \subseteq \R$$ जिसके लिए कुछ वास्तविक संख्या मौजूद है $$r > 0$$ ऐसा है कि $$(-r, r) \subseteq N.$$ उदाहरण के लिए, निम्नलिखित सभी सेट पड़ोस के हैं $$0$$ में $$\R$$: $$(-2, 2), \; [-2,2], \; [-2, \infty), \; [-2, 2) \cup \{10\}, \; [-2, 2] \cup \Q, \; \R$$ लेकिन निम्नलिखित में से कोई भी सेट का पड़ोस नहीं है $$0$$: $$\{0\}, \; \Q, \; (0,2), \; [0, 2), \; [0, 2) \cup \Q, \; (-2, 2) \setminus \left\{1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \ldots\right\}$$ कहाँ $$\Q$$ तर्कसंगत संख्याओं को दर्शाता है।

अगर $$U$$ टोपोलॉजिकल स्पेस का एक खुला उपसमुच्चय है $$X$$ फिर हर एक के लिए $$u \in U,$$ $$U$$ का पड़ोस है $$u$$ में $$X.$$ अधिक सामान्यतः, यदि $$N \subseteq X$$ क्या कोई सेट है और $$\operatorname{int}_X N$$ के आंतरिक भाग (टोपोलॉजी) को दर्शाता है $$N$$ में $$X,$$ तब $$N$$ एक पड़ोस है (में) $$X$$) हर बिंदु का $$x \in \operatorname{int}_X N$$ और इसके अलावा, $$N$$ है किसी अन्य बिंदु का पड़ोस। अलग ढंग से कहा, $$N$$ एक बिंदु का पड़ोस है $$x \in X$$ अगर और केवल अगर $$x \in \operatorname{int}_X N.$$ पड़ोस के अड्डे

किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस में, किसी बिंदु के लिए पड़ोस प्रणाली भी बिंदु के लिए पड़ोस का आधार है। एक बिंदु पर सभी खुले पड़ोस का सेट उस बिंदु पर पड़ोस का आधार बनाता है। किसी भी बिंदु के लिए $$x$$ एक मीट्रिक स्थान में, चारों ओर खुली गेंदों का क्रम $$x$$ त्रिज्या के साथ $$1/n$$ एक गणनीय पड़ोस आधार बनाएं $$\mathcal{B} = \left\{B_{1/n} : n = 1,2,3,\dots \right\}$$. इसका मतलब यह है कि प्रत्येक मीट्रिक स्थान प्रथम-गणनीय है।

जगह दी गई $$X$$ अविवेकी टोपोलॉजी के साथ किसी भी बिंदु के लिए पड़ोस प्रणाली $$x$$ केवल संपूर्ण स्थान समाहित है, $$\mathcal{N}(x) = \{X\}$$.

किसी स्थान पर माप के स्थान पर कमजोर टोपोलॉजी में $$E,$$ एक पड़ोस आधार के बारे में $$\nu$$ द्वारा दिया गया है $$\left\{\mu \in \mathcal{M}(E) : \left|\mu f_i - \nu f_i\right| < r_i, \, i = 1,\dots,n\right\}$$ कहाँ $$f_i$$ सतत कार्य (टोपोलॉजी) से बंधे हुए कार्य हैं $$E$$ वास्तविक संख्याओं के लिए और $$r_1, \dots, r_n$$ सकारात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं।

सेमीनोर्म्ड अर्ध मानकीकृत स्थान टोपोलॉजिकल समूह

एक सेमिनोर्म ्ड स्पेस में, जो एक सेमिनॉर्म से प्रेरित टोपोलॉजिकल स्पेस वाला एक  सदिश स्थल  है, सभी पड़ोस प्रणालियों का निर्माण मूल के लिए पड़ोस प्रणाली के अनुवाद (ज्यामिति) द्वारा किया जा सकता है, $$\mathcal{N}(x) = \mathcal{N}(0) + x.$$ ऐसा इसलिए है, क्योंकि धारणा के अनुसार, प्रेरित टोपोलॉजी में वेक्टर जोड़ अलग से निरंतर होता है। इसलिए, टोपोलॉजी मूल में इसकी पड़ोस प्रणाली द्वारा निर्धारित की जाती है। अधिक सामान्यतः, यह तब भी सत्य रहता है जब स्थान एक टोपोलॉजिकल समूह होता है या टोपोलॉजी को स्यूडोमेट्रिक स्पेस द्वारा परिभाषित किया जाता है।

गुण
कल्पना करना $$u \in U \subseteq X$$ और जाने $$\mathcal{N}$$ के लिए पड़ोस का आधार बनें $$u$$ में $$X.$$ निर्माण $$\mathcal{N}$$ सुपरसेट समावेशन द्वारा आंशिक क्रम द्वारा निर्देशित सेट में $$\,\supseteq.$$ तब $$U$$ है का एक पड़ोस $$u$$ में $$X$$ यदि और केवल यदि कोई मौजूद है $$\mathcal{N}$$-अनुक्रमित नेट (गणित) $$\left(x_N\right)_{N \in \mathcal{N}}$$ में $$X \setminus U$$ ऐसा है कि $$x_N \in N \setminus U$$ हरएक के लिए $$N \in \mathcal{N}$$ (जिसका तात्पर्य यह है $$\left(x_N\right)_{N \in \mathcal{N}} \to u$$ में $$X$$).