पुनरावृत्त सीमा

बहुपरिवर्तनीय कलन में, एक पुनरावृत्त सीमा किसी अनुक्रम की सीमा या किसी फ़ंक्शन की सीमा होती है


 * $$\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} a_{n,m} = \lim_{m \to \infty} \left( \lim_{n \to \infty} a_{n,m} \right)$$,


 * $$\lim_{y \to b} \lim_{x \to a} f(x, y) = \lim_{y \to b} \left( \lim_{x \to a} f(x, y) \right)$$,

या अन्य समान रूप.

एक पुनरावृत्त सीमा केवल उस अभिव्यक्ति के लिए परिभाषित की जाती है जिसका मान कम से कम दो चर पर निर्भर करता है। ऐसी सीमा का मूल्यांकन करने के लिए, कोई व्यक्ति सीमित करने की प्रक्रिया अपनाता है क्योंकि दो चर में से एक किसी संख्या के करीब पहुंचता है, एक अभिव्यक्ति प्राप्त करता है जिसका मान केवल दूसरे चर पर निर्भर करता है, और फिर जब दूसरा चर किसी संख्या के करीब पहुंचता है तो कोई सीमा लेता है।

पुनरावृत्त सीमाओं के प्रकार
यह खंड दो चरों में पुनरावृत्त सीमाओं की परिभाषाएँ प्रस्तुत करता है। इन्हें अनेक चरों में आसानी से सामान्यीकृत किया जा सकता है।

अनुक्रम की पुनरावृत्त सीमा
प्रत्येक के लिए $$n, m \in \mathbf{N}$$, होने देना $$a_{n,m} \in \mathbf{R}$$ एक वास्तविक दोहरा अनुक्रम बनें। फिर पुनरावृत्त सीमाओं के दो रूप हैं, अर्थात्


 * $$\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} a_{n,m} \qquad \text{and} \qquad \lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} a_{n,m}$$.

उदाहरण के लिए, चलो


 * $$a_{n,m} = \frac{n}{n+m}$$.

तब


 * $$\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} a_{n,m} = \lim_{m \to \infty} 1 = 1$$, और


 * $$\lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} a_{n,m} = \lim_{n \to \infty} 0 = 0$$.

फ़ंक्शन की पुनरावृत्त सीमा
होने देना $$f: X\times Y \to \mathbf{R}$$. फिर पुनरावृत्त सीमाओं के भी दो रूप हैं, अर्थात्


 * $$\lim_{y \to b} \lim_{x \to a} f(x, y) \qquad \text{and} \qquad \lim_{x \to a} \lim_{y \to b} f(x, y)$$.

उदाहरण के लिए, चलो $$f : \mathbf{R}^2\setminus\{(0,0)\} \to \mathbf{R}$$ ऐसा है कि


 * $$f(x,y) = \frac{x^2}{x^2+y^2}$$.

तब


 * $$\lim_{y \to 0} \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2+y^2} = \lim_{y \to 0} 0 = 0$$, और

x और/या y के लिए सीमा(ओं) को अनंत पर भी लिया जा सकता है, यानी,
 * $$\lim_{x \to 0} \lim_{y\to0} \frac{x^2}{x^2+y^2} = \lim_{x \to 0} 1 = 1$$.


 * $$\lim_{y \to \infty} \lim_{x \to \infty} f(x, y) \qquad \text{and} \qquad \lim_{x \to \infty} \lim_{y \to \infty} f(x, y)$$.

कार्यों के अनुक्रम की पुनरावृत्त सीमा
प्रत्येक के लिए $$n \in \mathbf{N}$$, होने देना $$f_n : X \to \mathbf{R}$$ कार्यों का एक क्रम हो. फिर पुनरावृत्त सीमाओं के दो रूप हैं, अर्थात्


 * $$\lim_{n \to \infty} \lim_{x \to a} f_n(x) \qquad \text{and} \qquad \lim_{x \to a} \lim_{n \to \infty} f_n(x)$$.

उदाहरण के लिए, चलो $$f_n : [0, 1] \to \mathbf{R}$$ ऐसा है कि


 * $$f_n(x) = x^n$$.

तब


 * $$\lim_{n \to \infty} \lim_{x \to 1} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} 1^n = 1$$, और

x में सीमा अनंत पर भी ली जा सकती है, अर्थात,
 * $$\lim_{x \to 1} \lim_{n \to \infty} f_n(x) = \lim_{x \to 1} 0 = 0$$.


 * $$\lim_{n \to \infty} \lim_{x \to \infty} f_n(x) \qquad \text{and} \qquad \lim_{x \to \infty} \lim_{n \to \infty} f_n(x)$$.

ध्यान दें कि n में सीमा अलग से ली जाती है, जबकि x में सीमा लगातार ली जाती है।

कई चरों में अन्य सीमाओं के साथ तुलना
यह खंड दो चरों में सीमाओं की विभिन्न परिभाषाएँ प्रस्तुत करता है। इन्हें अनेक चरों में आसानी से सामान्यीकृत किया जा सकता है।

अनुक्रम की सीमा
दोहरे क्रम के लिए $$a_{n,m} \in \mathbf{R}$$, किसी अनुक्रम की सीमा की एक और परिभाषा है, जिसे आमतौर पर दोहरी सीमा के रूप में जाना जाता है, द्वारा निरूपित करें
 * $$L = \lim_{\begin{smallmatrix}

n \to \infty \\ m \to \infty \end{smallmatrix}} a_{n,m}$$, जिसका मतलब है कि सभी के लिए $$\epsilon > 0$$, वहां है $$N=N(\epsilon) \in \mathbf{N}$$ ऐसा है कि $$n,m > N$$ तात्पर्य $$\left| a_{n,m} - L \right| < \epsilon$$. निम्नलिखित प्रमेय दोहरी सीमा और पुनरावृत्त सीमा के बीच संबंध बताता है।


 * प्रमेय 1. अगर $$\lim_{\begin{smallmatrix}

n \to \infty \\ m \to \infty \end{smallmatrix}} a_{n,m}$$ मौजूद है और L के बराबर है, $$\lim_{n \to \infty}a_{n,m}$$ प्रत्येक बड़े मी के लिए मौजूद है, और $$\lim_{m \to \infty}a_{n,m}$$ तब प्रत्येक बड़े n के लिए मौजूद है $$\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} a_{n,m}$$ और $$\lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} a_{n,m}$$ भी मौजूद हैं, और वे L के बराबर हैं, यानी,
 * $$\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} a_{n,m} = \lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} a_{n,m} = \lim_{\begin{smallmatrix}

n \to \infty \\ m \to \infty \end{smallmatrix}} a_{n,m}$$. उदाहरण के लिए, चलो
 * $$a_{n,m} = \frac{1}{n} + \frac{1}{m}$$.

तब से $$\lim_{\begin{smallmatrix} n \to \infty \\ m \to \infty \end{smallmatrix}} a_{n,m} = 0$$, $$\lim_{n \to \infty} a_{n,m} = \frac{1}{m}$$, और $$\lim_{m \to \infty} = \frac{1}{n}$$, अपने पास
 * $$\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} a_{n,m} = \lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} a_{n,m} = 0 $$.

इस प्रमेय के लिए एकल सीमा की आवश्यकता है $$\lim_{n \to \infty} a_{n,m}$$ और $$\lim_{m \to \infty} a_{n,m}$$ जुटना. इस शर्त को छोड़ा नहीं जा सकता. उदाहरण के लिए, विचार करें


 * $$a_{n,m} = (-1)^m\left( \frac{1}{n} + \frac{1}{m} \right)$$.

तब हम उसे देख सकते हैं


 * $$\lim_{\begin{smallmatrix}

n \to \infty \\ m \to \infty \end{smallmatrix}} a_{n,m} = \lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} a_{n,m} = 0$$,
 * लेकिन $$\lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} a_{n,m}$$ मौजूद नहीं होना।

यह है क्योंकि $$ \lim_{m \to \infty} a_{n,m}$$ प्रथम स्थान पर मौजूद नहीं है.

फ़ंक्शन की सीमा
दो-चर वाले फ़ंक्शन के लिए $$f : X \times Y \to \mathbf{R}$$, किसी फ़ंक्शन की सीमा दो अन्य प्रकार की होती है#एक से अधिक वेरिएबल के फ़ंक्शन। एक सामान्य सीमा है, जिसे द्वारा दर्शाया गया है


 * $$L = \lim_{(x,y) \to (a, b)} f(x, y)$$,

जिसका मतलब है कि सभी के लिए $$\epsilon > 0$$, वहां है $$\delta=\delta(\epsilon) > 0$$ ऐसा है कि $$0 < \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} < \delta $$ तात्पर्य $$\left| f(x,y) - L \right| < \epsilon$$. इस सीमा के अस्तित्व के लिए, f(x, y) को बिंदु (a, b) तक पहुंचने वाले हर संभावित पथ के साथ इच्छानुसार L के करीब बनाया जा सकता है। इस परिभाषा में, बिंदु (ए, बी) को पथ से बाहर रखा गया है। इसलिए, बिंदु (ए, बी) पर एफ का मान, भले ही परिभाषित हो, सीमा को प्रभावित नहीं करता है।

दूसरा प्रकार 'दोहरी सीमा' है, जिसे द्वारा दर्शाया गया है
 * $$L = \lim_{\begin{smallmatrix}

x \to a \\ y \to b \end{smallmatrix}} f(x,y)$$, जिसका मतलब है कि सभी के लिए $$\epsilon > 0$$, वहां है $$\delta=\delta(\epsilon) > 0$$ ऐसा है कि $$0 < \left|x - a \right| < \delta$$ और $$0 < \left|y - b \right| < \delta$$ तात्पर्य $$\left| f(x,y) - L \right| < \epsilon$$. इस सीमा के अस्तित्व के लिए, रेखाओं x=a और y=b को छोड़कर, बिंदु (a, b) तक पहुंचने वाले हर संभावित पथ पर f(x, y) को इच्छानुसार L के करीब बनाया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, x=a और y=b रेखाओं के अनुदिश f का मान सीमा को प्रभावित नहीं करता है। यह सामान्य सीमा से भिन्न है जहां केवल बिंदु (ए, बी) को बाहर रखा गया है। इस अर्थ में, साधारण सीमा दोहरी सीमा से अधिक मजबूत धारणा है:
 * प्रमेय 2. अगर $$\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y)$$ तब अस्तित्व में है और L के बराबर है$$\lim_{\begin{smallmatrix}

x \to a \\ y \to b \end{smallmatrix}} f(x, y)$$ मौजूद है और L के बराबर है, यानी,


 * $$\lim_{\begin{smallmatrix}

x \to a \\ y \to b \end{smallmatrix}} f(x, y) = \lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y)$$.

इन दोनों सीमाओं में पहले एक सीमा और फिर दूसरी सीमा लेना शामिल नहीं है। यह पुनरावृत्त सीमाओं के विपरीत है जहां सीमित प्रक्रिया को पहले x-दिशा में और फिर y-दिशा में (या उल्टे क्रम में) लिया जाता है।

निम्नलिखित प्रमेय दोहरी सीमा और पुनरावृत्त सीमा के बीच संबंध बताता है:


 * प्रमेय 3. अगर $$\lim_{\begin{smallmatrix}

x \to a \\ y \to b \end{smallmatrix}} f(x, y)$$ मौजूद है और L के बराबर है, $$\lim_{x \to a} f(x,y)$$ b, और के पास प्रत्येक y के लिए मौजूद है $$\lim_{y \to b} f(x,y)$$ फिर, a के पास प्रत्येक x के लिए मौजूद है $$\lim_{x \to a} \lim_{y \to b} f(x, y)$$ और $$\lim_{y \to b} \lim_{x \to a} f(x, y)$$ भी मौजूद हैं, और वे L के बराबर हैं, यानी,
 * $$\lim_{x \to a} \lim_{y \to b} f(x, y) = \lim_{y \to b} \lim_{x \to a} f(x, y) = \lim_{\begin{smallmatrix}

x \to a \\ y \to b \end{smallmatrix}} f(x, y)$$.

उदाहरण के लिए, चलो


 * $$f(x,y) = \begin{cases}

1 \quad \text{for} \quad xy \ne 0 \\ 0 \quad \text{for} \quad xy = 0 \end{cases}$$.

तब से $$\lim_{\begin{smallmatrix} x \to 0 \\ y \to 0 \end{smallmatrix}} f(x, y) = 1$$, $$\lim_{x \to 0} f(x, y) = \begin{cases} 1 \quad \text{for} \quad y \ne 0 \\ 0 \quad \text{for} \quad y = 0 \end{cases}$$ और $$\lim_{y \to 0} f(x, y) = \begin{cases} 1 \quad \text{for} \quad x \ne 0 \\ 0 \quad \text{for} \quad x = 0 \end{cases}$$, अपने पास
 * $$\lim_{x \to 0} \lim_{y \to 0} f(x, y) = \lim_{y \to 0} \lim_{x \to 0} f(x, y) = 1$$.

(ध्यान दें कि इस उदाहरण में, $$\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$$ मौजूद नहीं होना।)

इस प्रमेय के लिए एकल सीमा की आवश्यकता है $$\lim_{x \to a} f(x, y)$$ और $$\lim_{y \to b} f(x, y)$$ अस्तित्व के लिए। इस शर्त को छोड़ा नहीं जा सकता. उदाहरण के लिए, विचार करें


 * $$f(x, y) = x \sin \left( \frac{1}{y} \right)$$.

तब हम उसे देख सकते हैं


 * $$\lim_{\begin{smallmatrix}

x \to 0 \\ y \to 0 \end{smallmatrix}} f(x, y) = \lim_{y \to 0} \lim_{x \to 0} f(x,y) = 0$$,
 * लेकिन $$\lim_{x \to 0} \lim_{y \to 0} f(x,y)$$ मौजूद नहीं होना।

यह है क्योंकि $$\lim_{y \to 0} f(x,y)$$ पहले स्थान पर 0 के निकट x के लिए अस्तित्व नहीं है।

प्रमेय 2 और 3 को मिलाने पर हमें निम्नलिखित परिणाम मिलते हैं:


 * परिणाम 3.1. अगर $$\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x, y)$$ मौजूद है और L के बराबर है, $$\lim_{x \to a} f(x,y)$$ b, और के पास प्रत्येक y के लिए मौजूद है $$\lim_{y \to b} f(x,y)$$ फिर, a के पास प्रत्येक x के लिए मौजूद है $$\lim_{x \to a} \lim_{y \to b} f(x, y)$$ और $$\lim_{y \to b} \lim_{x \to a} f(x, y)$$ भी मौजूद हैं, और वे L के बराबर हैं, यानी,
 * $$\lim_{x \to a} \lim_{y \to b} f(x, y) = \lim_{y \to b} \lim_{x \to a} f(x, y) = \lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x, y)$$.

फ़ंक्शन की अनंत पर सीमा
दो-चर वाले फ़ंक्शन के लिए $$f : X \times Y \to \mathbf{R}$$, हम अनंत पर दोहरी सीमा को भी परिभाषित कर सकते हैं
 * $$L = \lim_{\begin{smallmatrix}

x \to \infty \\ y \to \infty \end{smallmatrix}} f(x,y)$$, जिसका मतलब है कि सभी के लिए $$\epsilon > 0$$, वहां है $$M = M(\epsilon) > 0$$ ऐसा है कि $$x > M$$ और $$y > M$$ तात्पर्य $$\left| f(x,y) - L \right| < \epsilon$$.

ऋणात्मक अनंत की सीमाओं के लिए भी ऐसी ही परिभाषाएँ दी जा सकती हैं।

निम्नलिखित प्रमेय अनंत पर दोहरी सीमा और अनंत पर पुनरावृत्त सीमा के बीच संबंध बताता है:


 * प्रमेय 4. अगर $$\lim_{\begin{smallmatrix}

x \to \infty \\ y \to \infty \end{smallmatrix}} f(x, y)$$ मौजूद है और L के बराबर है, $$\lim_{x \to \infty} f(x,y)$$ प्रत्येक बड़े y के लिए मौजूद है, और $$\lim_{y \to \infty} f(x,y)$$ प्रत्येक बड़े x के लिए मौजूद है $$\lim_{x \to \infty} \lim_{y \to \infty} f(x, y)$$ और $$\lim_{y \to \infty} \lim_{x \to \infty} f(x, y)$$ भी मौजूद हैं, और वे L के बराबर हैं, यानी,
 * $$\lim_{x \to \infty} \lim_{y \to \infty} f(x, y) = \lim_{y \to \infty} \lim_{x \to \infty} f(x, y) = \lim_{\begin{smallmatrix}

x \to \infty \\ y \to \infty \end{smallmatrix}} f(x, y)$$.

उदाहरण के लिए, चलो
 * $$f(x,y) = \frac{x\sin y}{xy + y}$$.

तब से $$\lim_{\begin{smallmatrix} x \to \infty \\ y \to \infty \end{smallmatrix}}(x,y) = 0$$, $$\lim_{x \to \infty}f(x, y) = \frac{\sin y}{y}$$ और $$\lim_{y \to \infty} f(x, y) = 0$$, अपने पास
 * $$\lim_{y \to \infty} \lim_{x \to \infty} f(x,y) = \lim_{x \to \infty} \lim_{y \to \infty} f(x,y) = 0$$.

पुनः, इस प्रमेय के लिए एकल सीमा की आवश्यकता है $$\lim_{x \to \infty} f(x, y)$$ और $$\lim_{y \to \infty} f(x, y)$$ अस्तित्व के लिए। इस शर्त को छोड़ा नहीं जा सकता. उदाहरण के लिए, विचार करें


 * $$f(x, y) =\frac{\cos x}{y}$$.

तब हम उसे देख सकते हैं


 * $$\lim_{\begin{smallmatrix}

x \to \infty \\ y \to \infty \end{smallmatrix}} f(x, y) = \lim_{x \to \infty} \lim_{y \to \infty} f(x,y) = 0$$,
 * लेकिन $$\lim_{y \to \infty} \lim_{x \to \infty} f(x,y)$$ मौजूद नहीं होना।

यह है क्योंकि $$\lim_{x \to \infty} f(x,y)$$ पहले स्थान पर निश्चित y के लिए मौजूद नहीं है।

प्रमेयों की अमान्य बातचीत
प्रमेय 1, 3 और 4 के व्युत्क्रम मान्य नहीं हैं, अर्थात, पुनरावृत्त सीमाओं का अस्तित्व, भले ही वे समान हों, दोहरी सीमा के अस्तित्व का संकेत नहीं देते हैं। एक प्रति-उदाहरण है


 * $$f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$$

बिंदु (0, 0) के निकट। एक तरफ़,


 * $$\lim_{x \to 0} \lim_{y \to 0} f(x,y) = \lim_{y \to 0} \lim_{x \to 0} f(x,y) = 0$$.

दूसरी ओर, दोगुनी सीमा $$\lim_{\begin{smallmatrix} x \to a \\ y \to b \end{smallmatrix}} f(x, y)$$ मौजूद नहीं होना। इसे पथ (x, y) = (t, t) → (0,0) के अनुदिश सीमा लेकर देखा जा सकता है, जो देता है


 * $$\lim_{\begin{smallmatrix}

t \to 0 \\ t \to 0 \end{smallmatrix}} f(t,t) = \lim_{t \to 0} \frac{t^2}{t^2+t^2} = \frac{1}{2}$$,

और पथ के अनुदिश (x, y) = (t, t2) → (0,0), जो देता है


 * $$\lim_{\begin{smallmatrix}

t \to 0 \\ t^2 \to 0 \end{smallmatrix}} f(t,t^2) = \lim_{t \to 0} \frac{t^3}{t^2+t^4} = 0$$.

सीमाओं के आदान-प्रदान के लिए मूर-ऑस्गुड प्रमेय
उपरोक्त उदाहरणों में, हम देख सकते हैं कि अदला-बदली सीमाएँ समान परिणाम दे भी सकती हैं और नहीं भी। सीमाओं के आदान-प्रदान के लिए एक पर्याप्त शर्त मूर-ऑसगूड प्रमेय द्वारा दी गई है। विनिमेयता का सार एकसमान अभिसरण पर निर्भर करता है।

अनुक्रमों की अदला-बदली सीमा
निम्नलिखित प्रमेय हमें अनुक्रमों की दो सीमाओं को बदलने की अनुमति देता है।


 * प्रमेय 5. अगर $$\lim_{n \to \infty} a_{n,m} = b_m$$ समान रूप से (एम में), और $$\lim_{m \to \infty} a_{n,m} = c_n$$ प्रत्येक बड़े n के लिए, फिर दोनों $$\lim_{m \to \infty} b_m$$ और $$\lim_{n \to \infty} c_n$$ मौजूद हैं और दोगुनी सीमा के बराबर हैं, यानी,


 * $$\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} a_{n,m} = \lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} a_{n,m} = \lim_{\begin{smallmatrix}

n \to \infty \\ m \to \infty \end{smallmatrix}} a_{n,m}$$.


 * सबूत। एक समान अभिसरण द्वारा, किसी के लिए $$\epsilon > 0$$ वहां है $$N_1(\epsilon)\in\mathbf{N}$$ ऐसा कि सभी के लिए $$m \in \mathbf{N}$$, $$n, k > N_1$$ तात्पर्य $$\left| a_{n,m} - a_{k,m} \right| < \frac{\epsilon}{3}$$.


 * जैसा $$m \to \infty$$, अपने पास $$\left|c_{n} - c_{k} \right| < \frac{\epsilon}{3}$$, जिसका अर्थ है कि $$c_n$$ एक कॉची अनुक्रम है जो एक सीमा तक परिवर्तित होता है $$L$$. इसके अलावा, जैसे $$k \to \infty$$, अपने पास $$\left|c_n - L\right| < \frac{\epsilon}{3}$$.


 * दूसरी ओर, यदि हम लेते हैं $$k \to \infty$$ सबसे पहले, हमारे पास है $$\left| a_{n,m} - b_m \right| < \frac{\epsilon}{3}$$.


 * बिंदुवार अभिसरण द्वारा, किसी के लिए $$\epsilon > 0$$ और $$n > N_1$$, वहां है $$N_2(\epsilon, n) \in \mathbf{N}$$ ऐसा है कि $$m > N_2$$ तात्पर्य $$\left| a_{n,m} - c_n \right| < \frac{\epsilon}{3}$$.


 * फिर उसके लिए तय हो गया $$n$$, $$m > N_2$$ तात्पर्य $$\left| b_m - L \right| \le \left| b_m - a_{n,m} \right| + \left| a_{n,m} - c_n \right| + \left| c_n - L \right| \le \epsilon$$.


 * इससे यह सिद्ध होता है $$\lim_{m \to \infty}b_m = L = \lim_{n \to \infty}c_n$$.


 * इसके अलावा, ले कर $$N = \max\{N_1, N_2\}$$, हम देखते हैं कि यह सीमा भी बराबर है $$\lim_{\begin{smallmatrix}

n \to \infty \\ m \to \infty \end{smallmatrix}} a_{n,m}$$.

एक परिणाम अनंत राशि की विनिमेयता के बारे में है।


 * परिणाम 5.1. अगर $$\sum^\infty_{n=1} a_{n,m}$$ समान रूप से अभिसरण (एम में), और $$\sum^\infty_{m =1} a_{n,m}$$ फिर, प्रत्येक बड़े n के लिए अभिसरण होता है $$\sum^\infty_{m=1} \sum^\infty_{n=1} a_{n,m} = \sum^\infty_{n=1} \sum^\infty_{m=1} a_{n,m}$$.


 * सबूत। प्रमेय 5 का प्रत्यक्ष अनुप्रयोग $$S_{k,\ell} = \sum_{m=1}^k \sum_{n=1}^\ell a_{n,m}$$.

फ़ंक्शंस की अदला-बदली सीमाएँ
समान परिणाम बहुपरिवर्तनीय कार्यों के लिए होते हैं।


 * प्रमेय 6. अगर $$\lim_{x \to a} f(x,y) = g(y)$$ समान रूप से (y में) चालू $$Y \setminus\{b\}$$, और $$\lim_{y \to b} f(x,y) = h(x)$$ ए के पास प्रत्येक एक्स के लिए, फिर दोनों $$\lim_{y \to b} g(y)$$ और $$\lim_{x \to a} h(x)$$ मौजूद हैं और दोगुनी सीमा के बराबर हैं, यानी,


 * $$\lim_{y \to b} \lim_{x \to a} f(x,y) = \lim_{x \to a} \lim_{y \to b} f(x,y) = \lim_{\begin{smallmatrix}

x \to a \\ y \to b \end{smallmatrix}} f(x,y)$$.
 * यहाँ a और b संभवतः अनंत हो सकते हैं।


 * सबूत। अस्तित्व से एक समान सीमा, किसी के लिए $$\epsilon > 0$$ वहां है $$\delta_1(\epsilon) > 0$$ ऐसा कि सभी के लिए $$y \in Y \setminus \{b\}$$, $$0 <\left|

x - a \right| < \delta_1$$ और $$0 <\left| w - a \right| < \delta_1$$ तात्पर्य $$\left| f(x,y) - f(w,y) \right| < \frac{\epsilon}{3}$$.


 * जैसा $$y \to b$$, अपने पास $$\left|h(x) - h(w) \right| < \frac{\epsilon}{3}$$. कॉची मानदंड से, $$\lim_{x\to a}h(x)$$ मौजूद है और एक संख्या के बराबर है $$L$$. इसके अलावा, जैसे $$w \to a$$, अपने पास $$\left|h(x) - L\right| < \frac{\epsilon}{3}$$.


 * दूसरी ओर, यदि हम लेते हैं $$w \to a$$ सबसे पहले, हमारे पास है $$\left| f(x,y) - g(y) \right| < \frac{\epsilon}{3}$$.


 * बिंदुवार सीमा के अस्तित्व से, किसी के लिए $$\epsilon > 0$$ और $$x$$ पास में $$a$$, वहां है $$\delta_2(\epsilon, x) > 0$$ ऐसा है कि $$0 < \left| y - b \right| < \delta_2$$ तात्पर्य $$\left| f(x,y) - h(x) \right| < \frac{\epsilon}{3}$$.


 * फिर उसके लिए तय हो गया $$x$$, $$0 < \left| y - b \right| < \delta_2$$ तात्पर्य $$\left| g(y) - L \right| \le \left| g(y) - f(x,y) \right| + \left| f(x,y) - h(x) \right| + \left| h(x) - L \right| \le \epsilon$$.


 * इससे यह सिद्ध होता है $$\lim_{y \to b}g(y) = L = \lim_{x \to a}h(x)$$.


 * इसके अलावा, ले कर $$\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$$, हम देखते हैं कि यह सीमा भी बराबर है $$\lim_{\begin{smallmatrix}

x \to a \\ y \to b \end{smallmatrix}} f(x,y)$$.

ध्यान दें कि यह प्रमेय अस्तित्व का संकेत नहीं देता है $$\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)$$. एक प्रति-उदाहरण है $$f(x,y) = \begin{cases} 1 \quad \text{for} \quad xy \ne 0 \\ 0 \quad \text{for} \quad xy = 0 \end{cases}$$ निकट (0,0).

फ़ंक्शंस के अनुक्रमों की अदला-बदली सीमाएँ
मूर-ऑस्गुड प्रमेय का एक महत्वपूर्ण बदलाव विशेष रूप से कार्यों के अनुक्रम के लिए है।


 * प्रमेय 7. अगर $$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$$ समान रूप से (x में) चालू $$X\setminus\{a\}$$, और $$\lim_{x \to a} f_n(x) = L_n$$ प्रत्येक बड़े n के लिए, फिर दोनों $$\lim_{x \to a} f(x)$$ और $$\lim_{n \to \infty} L_n$$ मौजूद हैं और समान हैं, यानी,


 * $$\lim_{n \to \infty} \lim_{x \to a} f_n(x) = \lim_{x \to a} \lim_{n \to \infty} f_n(x) $$.
 * यहाँ a संभवतः अनंत हो सकता है।


 * सबूत। एक समान अभिसरण द्वारा, किसी के लिए $$\epsilon > 0$$ वहां है $$N(\epsilon)\in\mathbf{N}$$ ऐसा कि सभी के लिए $$x \in D\setminus\{a\}$$, $$n, m > N$$ तात्पर्य $$\left| f_n(x) - f_m(x) \right| < \frac{\epsilon}{3}$$.


 * जैसा $$x \to a$$, अपने पास $$\left|L_n - L_m \right| < \frac{\epsilon}{3}$$, जिसका अर्थ है कि $$L_n$$ एक कॉची अनुक्रम है जो एक सीमा तक परिवर्तित होता है $$L$$. इसके अलावा, जैसे $$m \to \infty$$, अपने पास $$\left|L_n - L\right| < \frac{\epsilon}{3}$$.


 * दूसरी ओर, यदि हम लेते हैं $$m \to \infty$$ सबसे पहले, हमारे पास है $$\left| f_n(x) - f(x) \right| < \frac{\epsilon}{3}$$.


 * बिंदुवार सीमा के अस्तित्व से, किसी के लिए $$\epsilon > 0$$ और $$n > N$$, वहां है $$\delta(\epsilon, n) > 0$$ ऐसा है कि $$0 < \left| x - a \right| < \delta$$ तात्पर्य $$\left| f_n(x) - L_n \right| < \frac{\epsilon}{3}$$.


 * फिर उसके लिए तय हो गया $$n$$, $$0 < \left| x - a \right| < \delta$$ तात्पर्य $$\left| f(x) - L \right| \le \left| f(x) - f_n(x) \right| + \left| f_n(x) - L_n \right| + \left| L_n - L \right| \le \epsilon$$.


 * इससे यह सिद्ध होता है $$\lim_{x \to a}f(x) = L = \lim_{n \to \infty}L_n$$.

एकसमान अभिसरण के लिए एक परिणाम निरंतरता प्रमेय इस प्रकार है:


 * परिणाम 7.1. अगर $$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$$ समान रूप से (x में) चालू $$X$$, और $$f_n(x)$$ पर सतत कार्य कर रहे हैं $$x=a \in X$$, तब $$f(x)$$ पर भी निरंतर है $$x=a$$.


 * दूसरे शब्दों में, सतत फलनों की एकसमान सीमा सतत होती है।


 * सबूत। प्रमेय 7 के अनुसार, $$\lim_{x\to a}f(x) = \lim_{x\to a} \lim_{n \to \infty} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} \lim_{x\to a} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(a) = f(a) $$.

एक अन्य परिणाम सीमा और अनंत राशि की विनिमेयता के बारे में है।


 * परिणाम 7.2. अगर $$\sum^\infty_{n=0} f_n(x)$$ पर समान रूप से (x में) अभिसरित होता है $$X \setminus \{a\}$$, और $$\lim_{x \to a} f_n(x)$$ तब प्रत्येक बड़े n के लिए मौजूद है $$\lim_{x \to a} \sum^\infty_{n=0} f_n(x) = \sum^\infty_{n=0} \lim_{x \to a} f_n(x)$$.


 * सबूत। प्रमेय 7 का प्रत्यक्ष अनुप्रयोग $$S_k(x) = \sum_{n=0}^k f_n(x)$$ पास में $$x = a$$.

मैट्रिक्स में अनंत प्रविष्टियों का योग
अनंत प्रविष्टियों के एक मैट्रिक्स (गणित) पर विचार करें
 * $$\begin{bmatrix}

1 & -1 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 1 & -1 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 1 & -1 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix}$$.

मान लीजिए हम सभी प्रविष्टियों का योग ज्ञात करना चाहेंगे। यदि हम इसे पहले कॉलम दर कॉलम जोड़ते हैं, तो हम पाएंगे कि पहला कॉलम 1 देता है, जबकि अन्य सभी कॉलम 0 देते हैं। इसलिए सभी कॉलमों का योग 1 है। हालाँकि, यदि हम इसे पहले पंक्ति दर पंक्ति जोड़ते हैं, तो यह पाएंगे कि सभी पंक्तियाँ 0 देती हैं। इसलिए सभी पंक्तियों का योग 0 है।

इस विरोधाभास की व्याख्या यह है कि ऊर्ध्वाधर योग से अनंत और क्षैतिज योग से अनंत तक दो सीमित प्रक्रियाएं हैं जिन्हें आपस में बदला नहीं जा सकता है। होने देना $$S_{n,m}$$ प्रविष्टियों (एन, एम) तक प्रविष्टियों का योग बनें। तो हमारे पास हैं $$\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} S_{n,m} = 1$$, लेकिन $$\lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} S_{n,m} = 0$$. इस मामले में, दोगुनी सीमा $$\lim_{\begin{smallmatrix} n \to \infty \\ m \to \infty \end{smallmatrix}} S_{n,m}$$ अस्तित्व में नहीं है, और इस प्रकार यह समस्या अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है।

असीमित अंतराल पर एकीकरण
एक समान अभिसरण के लिए एकीकरण प्रमेय द्वारा, एक बार हमारे पास $$\lim_{n \to \infty} f_n(x)$$ पर समान रूप से अभिसरित होता है $$X$$, n में सीमा और एक बंधे हुए अंतराल पर एकीकरण $$[a, b] \subseteq X$$ आपस में बदला जा सकता है:
 * $$ \lim_{n\to \infty} \int_a^b f_n(x) \mathrm{d}x = \int_a^b \lim_{n\to \infty} f_n(x) \mathrm{d}x$$.

हालाँकि, ऐसी संपत्ति एक असीमित अंतराल पर अनुचित अभिन्न अंग के लिए विफल हो सकती है $$[a, \infty) \subseteq X$$. इस मामले में, कोई मूर-ऑस्गुड प्रमेय पर भरोसा कर सकता है।

विचार करना $$L = \int_0^\infty \frac{x^2}{e^x - 1} \mathrm{d}x = \lim_{b\to \infty} \int_0^b\frac{x^2}{e^x - 1} \mathrm{d}x $$ उदहारण के लिए।

हम सबसे पहले इंटीग्रैंड का विस्तार करते हैं $$\frac{x^2}{e^x - 1} = \frac{x^2 e^{-x}}{1- e^{-x}} = \sum_{k=0}^\infty x^2 e^{-kx}$$ के लिए $$x \in [0, \infty)$$. (यहाँ x=0 एक सीमित मामला है।)

कोई भी इसे गणना  द्वारा सिद्ध कर सकता है $$x \in [0, \infty)$$ और $$k \ge 1$$, अपने पास $$x^2 e^{-kx} \le \frac{4}{e^2 k^2}$$. वीयरस्ट्रैस एम-टेस्ट द्वारा, $$\sum_{k=0}^\infty x^2 e^{-kx}$$ पर समान रूप से अभिसरित होता है $$[0, \infty)$$.

फिर एकसमान अभिसरण के लिए एकीकरण प्रमेय द्वारा, $$L = \lim_{b \to \infty} \int_0^b \sum_{k=0}^\infty x^2 e^{-kx} \mathrm{d}x = \lim_{b \to \infty} \sum_{k=0}^\infty \int_0^b x^2 e^{-kx} \mathrm{d}x$$.

सीमा को और अधिक बदलने के लिए $$\lim_{b \to \infty}$$ अनंत योग के साथ $$\sum_{k=0}^\infty$$, मूर-ओस्गुड प्रमेय के लिए अनंत श्रृंखला को समान रूप से अभिसरण की आवश्यकता होती है।

ध्यान दें कि $$\int_0^b x^2 e^{-kx}\mathrm{d}x \le \int_0^\infty x^2 e^{-kx} \mathrm{d}x = \frac{2}{k^3}$$. फिर से, वीयरस्ट्रैस एम-टेस्ट द्वारा, $$\sum_{k=0}^\infty \int_0^b x^2 e^{-kx}$$ पर समान रूप से अभिसरित होता है $$[0, \infty)$$.

फिर मूर-ओस्गुड प्रमेय द्वारा, $$L = \lim_{b \to \infty} \sum_{k=0}^\infty \int_0^b x^2 e^{-kx} = \sum_{k=0}^\infty \lim_{b \to \infty} \int_0^b x^2 e^{-kx} = \sum_{k=0}^\infty \frac{2}{k^3} = 2 \zeta(3)$$. (यहां रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन है।)

यह भी देखें

 * अनुक्रम की सीमा
 * किसी फ़ंक्शन की सीमा
 * एकसमान अभिसरण
 * सीमित संचालन का आदान-प्रदान

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