दो वर्गों का अंतर

गणित में, दो वर्गों का अंतर एक वर्ग (स्वयं से गुणा किया हुआ) संख्या होती है, जिसे किसी अन्य वर्ग संख्या से घटाया जाता है। तथा प्रारम्भिक बीजगणित में वर्गों के प्रत्येक अंतर का पहचान(आइडेंटिटी) के अनुसार गुणनखण्ड किया जा सकता है।


 * $$a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$$

प्रमाण (Proof)
गुणनखंडन पहचान का गणितीय प्रमाण सीधा है। बायीं ओर से प्रारंभ करते हुए, प्राप्त करने के लिए वितरणात्मक नियम लागू करें।
 * $$(a+b)(a-b) = a^2+ba-ab-b^2$$

क्रमविनिमेय नियम के अनुसार, बीच के दो पद निरस्त होते हैं।
 * $$ba - ab = 0$$

छोड़ने पर
 * $$(a+b)(a-b) = a^2-b^2$$

परिणामी पहचान गणित में सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली पहचान है। कई उपयोगों के बीच, यह दो चर(वेरिएबल) राशि में AM–GM असमानता का एक सरल प्रमाण देता है।

प्रमाण किसी भी क्रमविनिमेय वलय (गणित) में धारण करता है।

इसके विपरीत, यदि यह पहचान तत्वों(elements) a और b के सभी युग्मों के लिए एक वलय R में धारण करती है, तो R क्रमविनिमेय है। इसे देखने के लिए, वितरणात्मक नियम को समीकरण के दाईं ओर लागू करें और प्राप्त करें।
 * $$a^2 + ba - ab - b^2$$.

इसे $$a^2 - b^2$$ के बराबर होने के लिए, हमारे पास होना चाहिए
 * $$ba - ab = 0$$

सभी युग्मों के लिए a, b, अतः R क्रमविनिमेय है।

ज्यामितीय स्पष्टीकरण
दो वर्गों के अंतर को ज्यामितीय रूप से एक समतल में दो वर्ग क्षेत्रों के अंतर के रूप में भी चित्रित किया जा सकता है। आरेख में, छायांकित भाग दो वर्गों के क्षेत्रों के बीच के अंतर को दर्शाता है, अर्थात $$a^2 - b^2$$ छायांकित भाग का क्षेत्रफल दो आयतों के क्षेत्रफलों को जोड़कर पाया जा सकता है। जिसका$$a(a-b) + b(a-b)$$, गुणनखंड किया जा सकता है $$(a+b)(a-b)$$ इसलिए, $$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$$.

एक और ज्यामितीय प्रमाण निम्नानुसार आगे बढ़ता है। हम नीचे दिए गए पहले आरेख में दिखाए गए चित्र से प्रारम्भ करते हैं, एक बड़ा वर्ग जिसमें से एक छोटा वर्ग हटा दिया गया है। पूरे वर्ग की भुजा a है, और छोटे हटाए गए वर्ग की भुजा b है। छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल $$a^2-b^2$$ है। एक चिन्ह(cut) बनाया जाता है, तथा इस क्षेत्र को दो आयताकार टुकड़ों में विभाजित किया जाता है, जैसा कि दूसरे आरेख में दिखाया गया है। कि शीर्ष पर स्थित बड़े टुकड़े की चौड़ाई a और ऊँचाई (a-b) है। नीचे के छोटे टुकड़े की चौड़ाई a-b और ऊंचाई b है। अब छोटे टुकड़े को अलग किया जा सकता है, तथा घुमाया जा सकता है और बड़े टुकड़े के दाहिनी ओर रखा जा सकता है। इस नई स्थिति में, नीचे अंतिम चित्र में दिखाया गया है, दो टुकड़े मिलकर एक आयत बनाते हैं, जिसकी चौड़ाई $$a+b$$ और ऊंचाई $$a-b$$ है। तथा इस आयत का क्षेत्रफल $$(a+b)(a-b)$$ है। चूँकि यह आयत मूल आकृति को पुनर्व्यवस्थित करने से प्राप्त हुआ है, अतः इसका क्षेत्रफल मूल आकृति के क्षेत्रफल के समान होना चाहिए। इसलिए, $$a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$$.

बहुपदों का गुणनखंडन और व्यंजकों का सरलीकरण
दो वर्गों के अंतर के सूत्र का उपयोग उन बहुपदों को गुणनखंड करने के लिए किया जा सकता है जिनमें पहली मात्रा का घटा (minus) वर्ग दूसरी मात्रा का वर्ग होता है। उदाहरण के लिए, बहुपद $$x^4 - 1$$ का गुणनखंड निम्नानुसार किया जा सकता है।


 * $$x^4 - 1 = (x^2 + 1)(x^2 - 1) = (x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)$$

दूसरे उदाहरण के रूप में $$x^2 - y^2 + x - y$$ के पहले दो पदों को $$(x + y)(x - y)$$, इसलिए हमारे पास है।


 * $$x^2 - y^2 + x - y = (x + y)(x - y) + x - y = (x - y)(x + y + 1)$$

इसके अतिरिक्त, इस सूत्र का उपयोग व्यंजक को सरल बनाने के लिए भी किया जा सकता है।


 * $$(a+b)^2-(a-b)^2=(a+b+a-b)(a+b-a+b)=(2a)(2b)=4ab$$

सम्मिश्र संख्या का उदाहरण: दो वर्गों का योग
सम्मिश्र संख्या गुणांक का उपयोग करके दो वर्गों के योग के रैखिक गुणनखण्ड को खोजने के लिए दो वर्गों के अंतर का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण के लिए, $$z^2 + 4$$ का सम्मिश्र वर्गमूल दो वर्गों के अंतर का उपयोग करके पाया जा सकता है।


 * $$z^2 + 4$$
 * $$ = z^2 - 4i^2$$ (चूंकि $$i^2 = -1$$)
 * $$ = z^2 - (2 i)^2$$
 * $$ = (z + 2 i)(z - 2 i)$$

इसलिए, रैखिक गुणनखण्ड $$(z + 2 i)$$ और $$(z - 2 i)$$ हैं।

चूंकि इस विधि द्वारा पाए गए दो गुणनखण्ड सम्मिश्र संयुग्म हैं, इसलिए हम वास्तविक संख्या प्राप्त करने के लिए सम्मिश्र संख्या को गुणा करने की विधि के रूप में इसका विपरीत(reverse) उपयोग कर सकते हैं। इसका उपयोग सम्मिश्र भिन्नों में वास्तविक भाजक(denominator) प्राप्त करने के लिए किया जाता है।

भाजक का परिमेयकरण
अपरिमेय संख्या भाजक के परिमेयकरण में दो वर्गों के अंतर का भी उपयोग किया जा सकता है। यह व्यंजकों (या कम से कम उन्हें स्थानांतरित करने) से अघोष(surds) व्यंजन को हटाने की एक विधि है, वर्गमूल से जुड़े कुछ संयोजनों द्वारा विभाजन के लिए अनुप्रयोग किया जाता है।

उदाहरण के लिए: $$\dfrac{5}{\sqrt{3} + 4}$$ का भाजक निम्नानुसार परिमेयकरण किया जा सकता है।


 * $$\dfrac{5}{\sqrt{3} + 4}$$
 * $$ = \dfrac{5}{\sqrt{3} + 4} \times \dfrac{\sqrt{3} - 4}{\sqrt{3} - 4}$$
 * $$ = \dfrac{5(\sqrt{3} - 4)}{(\sqrt{3} + 4)(\sqrt{3} - 4)}$$
 * $$ = \dfrac{5(\sqrt{3} - 4)}{\sqrt{3}^2 - 4^2}$$
 * $$ = \dfrac{5(\sqrt{3} - 4)}{3 - 16}$$
 * $$ = -\dfrac{5(\sqrt{3} - 4)}{13}.$$

यहाँ, अपरिमेय भाजक $$\sqrt{3} + 4$$ परिमेयकरण $$13$$ बनाया गया है।

मौखिक गणित (Mental arithmetic)
दो वर्गों के अंतर को अंकगणितीय सरल उपाय के रूप में भी उपयोग किया जा सकता है। यदि दो संख्याएँ (जिसकी औसत एक संख्या है जो सरल से वर्ग है) को गुणा किया जाता है, तो दो वर्गों के अंतर का उपयोग आपको मूल दो संख्याओं का गुणनफल देने के लिए किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए:
 * $$ 27 \times 33 = (30 - 3)(30 + 3)$$

दो वर्गों के अंतर का उपयोग करते हुए, $$27 \times 33$$ को इस तरह से पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है
 * $$a^2 - b^2$$ जो है $$30^2 - 3^2 = 891$$.

दो लगातार पूर्ण वर्गों का अंतर
दो क्रमागत पूर्ण वर्गों का अंतर दो आधारों n और n+1 का योग होता है। इस प्रकार इसे देखा जा सकता है।



\begin{array}{lcl} (n+1)^2 - n^2 & = & ((n+1)+n)((n+1)-n) \\ & = & 2n+1 \end{array} $$ इसलिए, दो क्रमागत पूर्ण वर्गों का अंतर एक विषम संख्या है। इसी प्रकार, दो स्वेच्छ(arbitrary) पूर्ण वर्गों के अंतर की गणना निम्न प्रकार से की जाती है।



\begin{array}{lcl} (n+k)^2 - n^2 & = & ((n+k)+n)((n+k)-n) \\ & = & k(2n+k) \end{array} $$ इसलिए, दो सम पूर्ण वर्गों का अंतर 4 का गुणक है और दो विषम पूर्ण वर्गों का अंतर 8 का गुणज है।

पूर्णांकों का गुणनखण्ड
संख्या सिद्धांत और क्रिप्टोग्राफी में कई कलनविधि पूर्णांक के व्यंजकों को खोजने और मिश्रित संख्याओं का पता लगाने के लिए वर्गों के अंतर का उपयोग करते हैं। एक सरल उदाहरण (Fermat) फर्मेट गुणनखंडन विधि है, जो संख्याओं के अनुक्रम पर विचार करती है $$x_i:=a_i^2-N$$, के लिए $$a_i:=\left\lceil \sqrt{N}\right\rceil+i$$. यदि एक में से $$x_i$$ एक पूर्ण वर्ग के बराबर $$b^2$$ है। तब $$N=a_i^2-b^2=(a_i+b)(a_i-b)$$ का (संभावित रूप से गैर-तुच्छ(non-trivial)) गुणनखंड $$N$$ है।

इस तरीके को निम्नानुसार सामान्यीकृत किया जा सकता है। यदि $$a^2\equiv b^2$$ विरुद्ध $$N$$ और $$a\not\equiv \pm b$$ विरुद्ध $$N$$, तब $$N$$ गैर-तुच्छ कारकों के साथ संयुक्त है। $$\gcd(a-b,N)$$ और $$\gcd(a+b,N)$$ यह कई गुणनखंडन कलनविधि (जैसे द्विघात छलनी(sieve)) का आधार बनाता है और जटिल मिलर-राबिन प्रारंभिक परीक्षण देने के लिए फर्मेट प्रारंभिक परीक्षण के साथ जोड़ा जा सकता है।

सामान्यीकरण (Generalizations)
पहचान वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र (गणित) पर आंतरिक उत्पाद रिक्त स्थान में भी होती है, जैसे यूक्लिडियन वेक्टर के डॉट उत्पाद के लिए:
 * $${\mathbf a}\cdot{\mathbf a} - {\mathbf b}\cdot{\mathbf b} = ({\mathbf a}+{\mathbf b})\cdot({\mathbf a}-{\mathbf b})$$

प्रमाण समान है। विशेष मामले के लिए कि $a$ और $b$ समान मानक सदिश स्थान है (जिसका अर्थ है कि उनके डॉट वर्ग समान हैं), यह विश्लेषणात्मक ज्यामिति को दर्शाता है कि एक समचतुर्भुज के दो विकर्ण समकोण हैं। यह समीकरण के बाईं ओर से शून्य के बराबर होता है, जिसके लिए दाईं ओर भी शून्य के बराबर होने की आवश्यकता होती है, और इसलिए सदिश योग $a + b$ (समचतुर्भुज का लंबा विकर्ण) सदिश अंतर के साथ बिंदीदार $a$ (समचतुर्भुज का छोटा विकर्ण) शून्य के बराबर होना चाहिए, जो इंगित करता है कि विकर्ण लंबवत हैं।

दो nवें घात का अंतर
यदि a और b क्रमविनिमेय वलय R के दो अवयव हैं, तब $$a^n-b^n=\left(a-b\right)\left(\sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k}b^k\right)$$.

इतिहास
ऐतिहासिक रूप से, बेबीलोनियों ने गुणन की गणना के लिए दो वर्गों के अंतर का उपयोग किया। उदाहरण के लिए:

93 x 87 = 90² - 3² = 8091

64 x 56 = 60² - 4² = 3584

यह भी देखें

 * Congruum, अंकगणितीय प्रगति में तीन वर्गों का साझा अंतर
 * संयुग्म (बीजगणित)
 * गुणनखंडन

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