कार्टन मैट्रिक्स

गणित में, कार्टन मैट्रिक्स शब्द के तीन अर्थ हैं। इन सभी का नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ एली कार्टन के नाम पर रखा गया है। आश्चर्यजनक रूप से, झूठ बीजगणित के संदर्भ में कार्टन मैट्रिसेस की पहली बार विल्हेम हत्या द्वारा जांच की गई थी, जबकि मारक रूप  कार्टन के कारण है।

झूठ बीजगणित
ए (सममित) सामान्यीकृत कार्टन मैट्रिक्स एक स्क्वायर मैट्रिक्स है $$A = (a_{ij})$$ पूर्णांक प्रविष्टियों के साथ जैसे कि


 * 1) विकर्ण प्रविष्टियों के लिए, $$a_{ii} = 2 $$.
 * 2) गैर-विकर्ण प्रविष्टियों के लिए, $$a_{ij} \leq 0 $$.
 * 3) $$a_{ij} = 0$$ अगर और केवल अगर $$a_{ji} = 0$$
 * 4) $$A$$ रूप में लिखा जा सकता है $$DS$$, कहाँ $$D$$ एक विकर्ण मैट्रिक्स है, और $$S$$ एक सममित मैट्रिक्स है।

उदाहरण के लिए, G2 (गणित) #Dynkin आरेख और Cartan मैट्रिक्स|G के लिए कार्टन मैट्रिक्स2इस प्रकार विघटित किया जा सकता है:

\begin{bmatrix} 2 & -3 \\   -1 &  2  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3&0\\   0&1  \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{2}{3} & -1 \\ -1          &  2  \end{bmatrix}. $$ तीसरी स्थिति स्वतंत्र नहीं है, बल्कि वास्तव में पहली और चौथी स्थिति का परिणाम है।

हम हमेशा सकारात्मक विकर्ण प्रविष्टियों के साथ डी चुन सकते हैं। उस स्थिति में, यदि उपरोक्त अपघटन में S सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स है, तो A को 'कार्टन मैट्रिक्स' कहा जाता है।

एक साधारण झूठ बीजगणित का कार्टन मैट्रिक्स वह मैट्रिक्स है जिसके तत्व स्केलर उत्पाद हैं


 * $$a_{ji}=2 {(r_i,r_j)\over (r_j,r_j)}$$

(कभी-कभी कार्टन पूर्णांक कहा जाता है) जहां '' riबीजगणित की जड़ प्रणाली हैं। प्रविष्टियाँ मूल प्रक्रिया  के गुणों में से एक से अभिन्न हैं। पहली शर्त परिभाषा से आती है, दूसरी इस तथ्य से कि के लिए $$i\neq j, r_j-{2(r_i,r_j)\over (r_i,r_i)}r_i$$ एक जड़ है जो सरल जड़ों r का एक रैखिक संयोजन हैiऔर आरjआर के लिए एक सकारात्मक गुणांक के साथjऔर इसलिए, r के लिए गुणांकiअऋणात्मक होना चाहिए। तीसरा सत्य है क्योंकि लांबिकता एक सममित संबंध है। और अंत में, चलो $$D_{ij}={\delta_{ij}\over (r_i,r_i)}$$ और $$S_{ij}=2(r_i,r_j)$$. क्योंकि साधारण जड़ें एक यूक्लिडियन अंतरिक्ष को फैलाती हैं, S सकारात्मक निश्चित है।

इसके विपरीत, एक सामान्यीकृत कार्टन मैट्रिक्स दिया गया है, कोई इसके संबंधित लाई बीजगणित को पुनर्प्राप्त कर सकता है। (अधिक विवरण के लिए केएसी-मूडी बीजगणित देखें)।

वर्गीकरण
एक $$n \times n$$ यदि कोई गैर-रिक्त उचित उपसमुच्चय मौजूद है, तो मैट्रिक्स A 'विघटित' है $$I \subset \{1,\dots,n\}$$ ऐसा है कि $$a_{ij} = 0$$ जब कभी भी $$i \in I$$ और $$j \notin I$$. A 'अविघटनीय' है यदि यह अपघटनीय नहीं है।

मान लीजिए A एक अपघटनीय सामान्यीकृत कार्टन मैट्रिक्स है। हम कहते हैं कि A 'परिमित प्रकार' का है यदि उसके सभी प्रमुख नाबालिग सकारात्मक हैं, A 'एफ़ाइन प्रकार' का है यदि उसके उचित प्रमुख नाबालिग सकारात्मक हैं और A का निर्धारक 0 है, और यह कि A 'अनिश्चित प्रकार' का है अन्यथा.

परिमित प्रकार के अविघटनीय आव्यूह, परिमित आयामी सरल झूठ बीजगणित (प्रकार के) को वर्गीकृत करते हैं $$A_n, B_n, C_n, D_n, E_6, E_7, E_8, F_4, G_2 $$), जबकि affine प्रकार के अविवेकी मेट्रिसेस affine Lie algebras को वर्गीकृत करते हैं (विशेषता 0 के कुछ बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर कहते हैं)।

साधारण झूठ बीजगणित के कार्टन मैट्रिसेस के निर्धारक
सरल झूठ बीजगणित के कार्टन मैट्रिक्स के निर्धारक निम्नलिखित तालिका में दिए गए हैं (ए के साथ)1= बी1= सी1, बी2= सी2, डी3= ए3, डी2= ए1A1, और5= डी5, और4= ए4, और ई3= ए2A1). इस निर्धारक की एक और संपत्ति यह है कि यह संबंधित जड़ प्रणाली के सूचकांक के बराबर है, यानी यह इसके बराबर है $$|P/Q| $$ कहाँ $P, Q$ क्रमशः वजन जाली और जड़ जाली को दर्शाता है।

परिमित-आयामी बीजगणित का प्रतिनिधित्व
मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सिद्धांत में, और अधिक आम तौर पर परिमित-आयामी साहचर्य बीजगणित ए के प्रतिनिधित्व के सिद्धांत में, जो अर्ध-सरल बीजगणित नहीं हैं, एक 'कार्टन मैट्रिक्स' को प्रमुख अविघटनीय मॉड्यूल के एक (परिमित) सेट पर विचार करके और उनके लिए रचना श्रृंखला लिखकर परिभाषित किया गया है। अलघुकरणीय मॉड्यूल  के संदर्भ में, एक इरेड्यूसबल मॉड्यूल की घटनाओं की संख्या की गणना करने वाले पूर्णांकों के मैट्रिक्स की उपज।

एम-सिद्धांत
में कार्टन मैट्रिसेस एम-थ्योरी में, साइकिल ग्राफ के साथ एक ज्यामिति पर विचार किया जा सकता है | दो-चक्र जो एक दूसरे के साथ बिंदुओं की एक सीमित संख्या में प्रतिच्छेद करते हैं, उस सीमा पर जहां दो-चक्रों का क्षेत्र शून्य हो जाता है। इस सीमा पर, एक गेज समूह दिखाई देता है। दो-चक्रों के आधार के प्रतिच्छेदन संख्याओं के मैट्रिक्स को इस स्थानीय समरूपता समूह के लाई बीजगणित के कार्टन मैट्रिक्स के रूप में माना जाता है। इस प्रकार इसे समझाया जा सकता है। एम-थ्योरी में सॉलिटन होते हैं जो द्वि-आयामी सतह होते हैं जिन्हें मेम्ब्रेन या 2-ब्रैन कहा जाता है। एक 2-ब्रेन में तनाव (भौतिकी) होता है और इस प्रकार सिकुड़ जाता है, लेकिन यह दो चक्रों के चारों ओर लपेट सकता है जो इसे शून्य से सिकुड़ने से रोकता है।

एक संघनन (भौतिकी)भौतिकी) एक आयाम हो सकता है जो सभी दो-चक्रों और उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं द्वारा साझा किया जाता है, और फिर उस सीमा को ले जाता है जहां यह आयाम शून्य तक सिकुड़ जाता है, इस प्रकार इस आयाम पर एक आयामी कमी प्राप्त होती है। फिर किसी को एम-थ्योरी की सीमा के रूप में टाइप IIA स्ट्रिंग सिद्धांत मिलती है, जिसमें 2-ब्रेन दो-साइकिल को लपेटते हैं, जिसे अब डी-brane ्स के बीच एक ओपन स्ट्रिंग द्वारा वर्णित किया जाता है। प्रत्येक डी-ब्रेन के लिए एक यू (1) स्थानीय समरूपता समूह है, जो इसके अभिविन्यास को बदले बिना इसे स्थानांतरित करने की स्वतंत्रता (भौतिकी और रसायन विज्ञान) की डिग्री के समान है। वह सीमा जहां दो-चक्रों का शून्य क्षेत्र है वह सीमा है जहां ये डी-ब्रेन एक दूसरे के ऊपर हैं, ताकि एक को एक बढ़ाया स्थानीय समरूपता समूह मिल सके।

अब, दो डी-ब्रेन्स के बीच फैला एक खुला स्ट्रिंग एक लाई बीजगणित जनरेटर का प्रतिनिधित्व करता है, और ऐसे दो जनरेटर का कम्यूटेटर एक तीसरा है, जो एक खुली स्ट्रिंग द्वारा दर्शाया जाता है, जो दो खुले तारों के किनारों को एक साथ जोड़कर प्राप्त करता है। अलग-अलग खुले तारों के बीच बाद का संबंध इस बात पर निर्भर करता है कि 2-ब्रेन मूल एम-सिद्धांत में कैसे प्रतिच्छेद कर सकते हैं, यानी दो-चक्रों के प्रतिच्छेदन संख्या में। इस प्रकार झूठ बीजगणित पूरी तरह से इन प्रतिच्छेदन संख्याओं पर निर्भर करता है। कार्टन मैट्रिक्स से सटीक संबंध इसलिए है क्योंकि बाद वाला सरल रूट (रूट सिस्टम) के कम्यूटेटर का वर्णन करता है, जो कि चुने गए आधार में दो-चक्र से संबंधित हैं।

यह सबलजेब्रा परीक्षण में जेनरेटर खुले तारों द्वारा दर्शाए जाते हैं जो डी-ब्रेन और स्वयं के बीच फैले होते हैं।

यह भी देखें

 * डनकिन आरेख
 * असाधारण जॉर्डन बीजगणित
 * मौलिक प्रतिनिधित्व
 * संहार रूप
 * सरल झूठ समूह