हुक का नियम



भौतिकी में, हुक का नियम एक अनुभवजन्य नियम है जो बताता है कि बल ($F$) किसी स्प्रिंग (उपकरण)उपकरण) को कुछ दूरी तक बढ़ाने या संपीड़ित करने के लिए आवश्यक ($x$) समानुपातिकता (गणित)#प्रत्यक्ष_आनुपातिकता उस दूरी के संबंध में—अर्थात्, $Fs = kx$, जहां $k$ स्प्रिंग की एक स्थिर कारक विशेषता है (अर्थात, इसकी कठोरता), और $x$ स्प्रिंग के कुल संभावित विरूपण की तुलना में छोटा है। नियम का नाम 17वीं सदी के ब्रिटिश भौतिक विज्ञानी रॉबर्ट हुक के नाम पर रखा गया है। उन्होंने पहली बार 1676 में नियम को लैटिन अनाग्राम के रूप में बताया। उन्होंने 1678 में अपने विपर्यय का समाधान प्रकाशित किया जैसा: ut tensio, sic vis (विस्तार के रूप में, इसलिए बल या विस्तार बल के समानुपाती होता है)। हूक ने 1678 के काम में कहा है कि वह 1660 से नियम के बारे में जानता था।

हूक का समीकरण कई अन्य स्थितियों में (कुछ हद तक) होता है जहां एक प्रत्यास्थ (भौतिकी) पिंड विरूपण (भौतिकी) है, जैसे कि एक ऊंची इमारत पर हवा का बहना, और एक संगीतकार गिटार की एक तार (संगीत) बजाता है। एक प्रत्यास्थ पिंड या पदार्थ जिसके लिए इस समीकरण को ग्रहण किया जा सकता है, उसे रैखिक प्रत्यास्थ कहा जाता है। रैखिक-प्रत्यास्थ या हुकियन।

हुक का नियम प्रयुक्त बलों के लिए स्प्रिंग्स और अन्य प्रत्यास्थ निकायों की वास्तविक प्रतिक्रिया के लिए केवल एक टेलर श्रृंखला | प्रथम-क्रम रैखिक सन्निकटन है। एक बार जब बल कुछ सीमा से अधिक हो जाते हैं, तो यह अंततः विफल हो जाता है, क्योंकि कोई भी पदार्थ एक निश्चित न्यूनतम आकार से परे संकुचित नहीं हो सकती है, या बिना किसी स्थायी विरूपण या राज्य के परिवर्तन के अधिकतम आकार से आगे बढ़ाया जा सकता है। उन प्रत्यास्थ सीमाओं तक पहुंचने से पहले कई सामग्रियां हूक के नियम से स्पष्ट रूप से विचलित हो जाएंगी।

दूसरी ओर, हूक का नियम अधिकांश ठोस पिंडों के लिए एक सटीक सन्निकटन है, जब तक कि बल और विकृति अपेक्षाकृत अधिक कम हैं। इस कारण से, विज्ञान और अभियांत्रिकी की सभी शाखाओं में हूक के नियम का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, और यह भूकंप विज्ञान, आणविक यांत्रिकी और ध्वनिकी जैसे कई विषयों की नींव है। यह स्प्रिंग पैमाने,  दबाव नापने का यंत्र ,  बिजली की शक्ति नापने का यंत्र  और  यांत्रिक घड़ी  के बैलेंस व्हील के पीछे भी मूलभूत सिद्धांत है।

प्रत्यास्थता का आधुनिक सिद्धांत हूक के नियम को यह कहने के लिए सामान्यीकृत करता है कि एक प्रत्यास्थ वस्तु या पदार्थ का विरूपण (यांत्रिकी) (विरूपण) उस पर प्रयुक्त प्रतिबल (यांत्रिकी) के समानुपाती होता है। हालांकि, चूंकि सामान्य प्रतिबल और प्रतिबल में कई स्वतंत्र घटक हो सकते हैं, आनुपातिकता कारक अब केवल एक वास्तविक संख्या नहीं हो सकता है, बल्कि एक रैखिक मानचित्र (एक प्रदिश) है जिसे वास्तविक संख्याओं के आव्यूह (गणित) द्वारा दर्शाया जा सकता है।

इस सामान्य रूप में, हुक का नियम उन पदार्थों के आंतरिक गुणों के संदर्भ में जटिल वस्तुओं के लिए प्रतिबल और प्रतिबल के बीच संबंध को कम करना संभव बनाता है जिससे वे बने हैं। उदाहरण के लिए, कोई यह निष्कर्ष निकाल सकता है कि समान अनुप्रस्थ काट (ज्यामिति) के साथ एक सजातीय छड़ एक साधारण स्प्रिंग की तरह व्यवहार करेगी जब उसे खींचा जाएगा, एक कठोरता के साथ $k$ इसके क्रॉस-सेक्शन क्षेत्र के सीधे आनुपातिक और इसकी लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती।

रैखिक स्प्रिंग्स के लिए
एक साधारण कुंडलित वक्रता  स्प्रिंग पर विचार करें जिसका एक सिरा किसी स्थिर वस्तु से जुड़ा है, जबकि मुक्त सिरे को एक बल द्वारा खींचा जा रहा है जिसका परिमाण है $F_{s}$. मान लीजिए कि स्प्रिंग यांत्रिक संतुलन की स्थिति में पहुंच गया है, जहां इसकी लंबाई अब नहीं बदल रही है। होने देना $x$ वह राशि हो जिससे स्प्रिंग का मुक्त सिरा अपनी आराम की स्थिति से विस्थापित हो गया (जब इसे खींचा नहीं जा रहा हो)। हूक का नियम कहता है कि F_s = kx या, समकक्ष, $$x = \frac{F_s}{k}$$ जहां $k$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है, जो स्प्रिंग की विशेषता है। इसके अतिरिक्त, एक ही सूत्र धारण करता है जब स्प्रिंग को संकुचित किया जाता है $F_{s}$ और $x$ उस स्थिति में दोनों ऋणात्मक। इस सूत्र के अनुसार, प्रयुक्त बल के एक कार्य का ग्राफ $F_{s}$ विस्थापन के एक फलन के रूप में $x$ कार्तीय निर्देशांकों से गुजरने वाली एक सीधी रेखा होगी, जिसका ढाल है $k$.

एक स्प्रिंग के लिए हुक का नियम कभी-कभी, लेकिन संभव्यता ही कभी, सम्मेलन के अंतर्गत कहा गया है कि $F_{s}$ जो कुछ भी इसके मुक्त सिरे को खींच रहा है, उस पर स्प्रिंग द्वारा लगाया गया प्रत्यानयन बल है। ऐसे में समीकरण बन जाता है $$F_s = -kx$$ क्योंकि प्रत्यानयन बल की दिशा विस्थापन की दिशा के विपरीत होती है।

सामान्य स्केलर स्प्रिंग्स
हूक का स्प्रिंग नियम सामान्य रूप से किसी भी प्रत्यास्थ वस्तु पर प्रयुक्त होता है, यादृच्छिक ढंग से जटिलता के रूप में, जब तक विरूपण और प्रतिबल दोनों को एक ही संख्या द्वारा व्यक्त किया जा सकता है जो धनात्मक और ऋणात्मक दोनों हो सकता है।

उदाहरण के लिए, जब दो समानांतर प्लेटों से जुड़ा रबर का एक ब्लॉक खींच या संपीड़न के अतिरिक्त सरल कर्तन द्वारा विकृत होता है, तो अपरूपण बल $F_{s}$ और पार्श्व में प्लेटों का विस्थापन $x$ हुक के नियम का अनुसरण करें (पर्याप्त छोटी विकृतियों के लिए)।

हुक का नियम तब भी प्रयुक्त होता है जब एक सीधी स्टील बार या कंक्रीट बीम (जैसे कि इमारतों में इस्तेमाल की जाने वाली बीम), दोनों सिरों पर समर्थित होती है, वजन से मुड़ी होती है $F$ किसी मध्यवर्ती बिंदु पर रखा गया। विस्थापन $x$ इस स्थिति में बीम का विचलन है, जिसे अनुप्रस्थ दिशा में मापा जाता है, इसके अनलोड आकार के सापेक्ष।

यह नियम तब भी प्रयुक्त होता है जब एक तने हुए स्टील के तार को एक सिरे से जुड़े लीवर को खींचकर मरोड़ा जाता है। ऐसे में प्रतिबल $F_{s}$ को लीवर पर लगाए गए बल के रूप में लिया जा सकता है, और $x$ उसके द्वारा अपने वृत्ताकार पथ के साथ तय की गई दूरी के रूप में। या, समकक्ष, कोई दे सकता है $F_{s}$ लीवर द्वारा तार के अंत में लगाया गया टॉर्कः  हो, और $x$ वह कोण हो जिससे वह सिरा मुड़ता है। किसी भी स्थिति में $F_{s}$ के लिए आनुपातिक है $x$ (हालांकि स्थिर $k$ प्रत्येक स्थिति में अलग है।)

सदिश सूत्रीकरण
एक पेचदार स्प्रिंग के स्थिति में जो अपनी धुरी (गणित) के साथ फैला या संकुचित होता है, प्रयुक्त (या बहाल) बल और परिणामी बढ़ाव या संपीड़न की एक ही दिशा होती है (जो उक्त अक्ष की दिशा है)। इसलिए, अगर $F_{s}$ और $x$ को सदिश (गणित) के रूप में परिभाषित किया गया है, हुक का समीकरण अभी भी कायम है और कहता है कि बल सदिश विस्थापन (सदिश) एक निश्चित स्केलर (गणित) से गुणा है।

सामान्य प्रदिश रूप
एक अलग दिशा के बल के अधीन होने पर कुछ प्रत्यास्थ निकाय एक दिशा में विकृत हो जाएंगे। एक उदाहरण गैर-स्क्वायर आयताकार क्रॉस सेक्शन वाला एक क्षैतिज लकड़ी का बीम है जो अनुप्रस्थ भार से मुड़ा हुआ है जो न तो लंबवत है और न ही क्षैतिज है। ऐसे स्थितियों में, विस्थापन का परिमाण $x$ बल के परिमाण के समानुपाती होगा $F_{s}$, जब तक बाद की दिशा समान रहती है (और इसका मान बहुत बड़ा नहीं है); इसलिए हुक के नियम का अदिश संस्करण $F_{s} = −kx$ रोक लेंगे। हालाँकि, बल और विस्थापन सदिश एक दूसरे के अदिश गुणक नहीं होंगे, क्योंकि उनकी अलग-अलग दिशाएँ हैं। इसके अतिरिक्त, अनुपात $k$ उनके परिमाण के बीच सदिश की दिशा पर निर्भर करेगा $F_{s}$.

फिर भी, ऐसे स्थितियों में प्रायः बल और विरूपण सदिशों के बीच एक निश्चित रेखीय नक्शा होता है, जब तक कि वे अपेक्षाकृत अधिक छोटे होते हैं। अर्थात्, एक कार्य है (गणित) $κ$ वैक्टर से वैक्टर तक, जैसे कि $F = κ(X)$, और $κ(αX_{1} + βX_{2}) = ακ(X_{1}) + βκ(X_{2})$ किसी भी वास्तविक संख्या के लिए $α$, $β$ और कोई भी विस्थापन सदिश $X_{1}$, $X_{2}$. इस तरह के फलन को (द्वितीय क्रम) प्रदिश कहा जाता है।

यादृच्छिक कार्टेशियन निर्देशांक के संबंध में, बल और विस्थापन वैक्टर को वास्तविक संख्याओं के 3 × 1 आव्यूह (गणित) द्वारा दर्शाया जा सकता है। फिर प्रदिश $κ$ उन्हें जोड़ने को 3 × 3 आव्यूह द्वारा दर्शाया जा सकता है κ}वास्तविक गुणांकों का }, कि, जब आव्यूह गुणनफल विस्थापन सदिश द्वारा, बल सदिश देता है: $$ \mathbf{F} \,=\, \begin{bmatrix} F_1\\ F_2 \\ F_3 \end{bmatrix} \,=\, \begin{bmatrix} \kappa_{11}& \kappa_{12}& \kappa_{13}\\ \kappa_{21}& \kappa_{22}& \kappa_{23}\\ \kappa_{31}& \kappa_{32}& \kappa_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_1\\ X_2 \\ X_3 \end{bmatrix} \,=\, \boldsymbol{\kappa} \mathbf{X}$$ वह है, $$F_i = \kappa_{i1} X_1 + \kappa_{i2} X_2 + \kappa_{i3} X_3$$ के लिए $i = 1, 2, 3$. इसलिए, हुक का नियम $F = κX$ को प्रग्रहण करने के लिए भी कहा जा सकता है $X$ और $F$ परिवर्तनशील दिशाओं वाले सदिश हैं, इसके अतिरिक्त  कि वस्तु की कठोरता एक प्रदिश है $κ$, एक वास्तविक संख्या के अतिरिक्त $k$.

निरंतर मीडिया के लिए हुक का नियम
एक सतत यांत्रिकी प्रत्यास्थ पदार्थ (जैसे रबड़ का एक ब्लॉक, बायलर  की दीवार, या स्टील बार) के अंदर पदार्थ के प्रतिबल और उपभेद एक रैखिक संबंध से जुड़े होते हैं जो हुक के स्प्रिंग नियम के समान गणितीय रूप से समान होता है, और प्रायः होता है उस नाम से जाना जाता है।

हालाँकि, किसी बिंदु के आसपास ठोस माध्यम में प्रतिबल की स्थिति को एक सदिश द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है। पदार्थ का एक ही पार्सल, चाहे वह कितना भी छोटा क्यों न हो, एक ही समय में अलग-अलग दिशाओं में संकुचित, खींचा और कतरा जा सकता है। इसी तरह, उस पार्सल में प्रतिबल एक साथ धकेलना, खींचना और कतरना हो सकता है।

इस जटिलता को पकड़ने के लिए, एक बिंदु के आसपास माध्यम की प्रासंगिक स्थिति को दो-द्वितीय क्रम के प्रदिश, प्रतिबल प्रदिश द्वारा दर्शाया जाना चाहिए $ε$ (विस्थापन के बदले में $X$) और कौशी प्रतिबल प्रदिश $σ$ (पुनर्स्थापना बल की जगह $F$). निरंतर मीडिया के लिए हुक के स्प्रिंग नियम का अनुरूप है $$ \boldsymbol{\sigma} = \mathbf{c} \boldsymbol{\varepsilon},$$ जहां $c$ एक चौथे क्रम का प्रदिश है (अर्थात, दूसरे क्रम के टेंसरों के बीच एक रेखीय मानचित्र) जिसे सामान्य रूप से कठोरता प्रदिश या प्रत्यास्थ प्रदिश कहा जाता है। कोई इसे इस रूप में भी लिख सकता है $$ \boldsymbol{\varepsilon} = \mathbf{s} \boldsymbol{\sigma},$$ जहां प्रदिश $s$, जिसे कठोरता प्रदिश कहा जाता है, उक्त रेखीय मानचित्र के व्युत्क्रम का प्रतिनिधित्व करता है।

कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, प्रतिबल और प्रतिबल टेंसरों को 3 × 3 आव्यूहों द्वारा दर्शाया जा सकता है $$ \boldsymbol{\varepsilon} \,=\, \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13}\\ \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23}\\ \varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33} \end{bmatrix} \,;\qquad \boldsymbol{\sigma} \,=\, \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \end{bmatrix}$$ नौ नंबरों के बीच एक रेखीय मानचित्रण होना $σ_{ij}$ और नौ नंबर $ε_{kl}$, कठोरता प्रदिश $c$ के आव्यूह द्वारा दर्शाया गया है $3 × 3 × 3 × 3 = 81$ वास्तविक संख्या $c_{ijkl}$. हुक का नियम तब कहता है $$\sigma_{ij} = \sum_{k=1}^3 \sum_{l=1}^3 c_{ijkl} \varepsilon_{kl}$$ जहां $i,j = 1,2,3$.

तीनों प्रदिश सामान्य रूप से माध्यम के अंदर एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक भिन्न होते हैं, और समय के साथ-साथ भिन्न भी हो सकते हैं। प्रतिबल प्रदिश $ε$ केवल बिंदु के प्रतिवेश में मध्यम कणों के विस्थापन को निर्दिष्ट करता है, जबकि प्रतिबल प्रदिश $σ$ उन बलों को निर्दिष्ट करता है जो माध्यम के प्रतिवेश पार्सल एक दूसरे पर कार्य कर रहे हैं। इसलिए, वे पदार्थ की संरचना और भौतिक स्थिति से स्वतंत्र हैं। कठोरता प्रदिश $c$, दूसरी ओर, पदार्थ का एक गुण है, और प्रायः तापमान, दबाव और सूक्ष्म  जैसे भौतिक अवस्था चर पर निर्भर करता है।

की अंतर्निहित समरूपता के कारण $σ$, $ε$, और $c$, बाद के केवल 21 प्रत्यास्थ गुणांक स्वतंत्र हैं। पदार्थ की समरूपता द्वारा इस संख्या को और कम किया जा सकता है: 9 एक ऑर्थोरोम्बिक क्रिस्टल प्रणाली क्रिस्टल के लिए, 5 हेक्सागोनल क्रिस्टल परिवार संरचना के लिए, और 3 घन क्रिस्टल प्रणाली  समरूपता के लिए।  समदैशिक  मीडिया के लिए (जिसमें किसी भी दिशा में समान भौतिक गुण होते हैं), $c$ को केवल दो स्वतंत्र संख्याओं, थोक मापांक तक घटाया जा सकता है $K$ और अपरूपण मापांक $G$, जो क्रमशः मात्रा में परिवर्तन और अपरूपण विकृतियों के लिए पदार्थ के प्रतिरोध को मापता है।

अनुरूप नियम
चूंकि हुक का नियम दो मात्राओं के बीच एक सरल आनुपातिकता है, इसके सूत्र और परिणाम गणितीय रूप से कई अन्य भौतिक नियमों के समान हैं, जैसे कि तरल पदार्थ की गति का वर्णन करने वाले, या विद्युत क्षेत्र द्वारापरावैद्युत का आयनिक ध्रुवीकरण।

विशेष रूप से, प्रदिश समीकरण $σ = cε$ इलास्टिक स्ट्रेस को स्ट्रेन से संबंधित करना पूरी तरह से समीकरण के समान है $τ = με&#x307;$ चिपचिपा प्रतिबल प्रदिश से संबंधित $τ$ और प्रतिबल दर प्रदिश $ε&#x307;$ चिपचिपापन तरल पदार्थ के प्रवाह में; हालांकि पूर्व स्थिति-विज्ञान  स्ट्रेस (विरूपण की मात्रा से संबंधित) से संबंधित है, जबकि बाद वाला गतिकी (भौतिकी)भौतिकी) स्ट्रेस (विरूपण की दर से संबंधित) से संबंधित है।

माप की इकाइयाँ
इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली में, विस्थापन मीटर (एम) में मापा जाता है, और न्यूटन (यूनिट) एस (एन या किग्रा·एम/एस) में बल2). इसलिए, स्प्रिंग स्थिरांक $k$, और प्रदिश का प्रत्येक तत्व $κ$, न्यूटन प्रति मीटर (N/m), या किलोग्राम प्रति वर्ग सेकंड (kg/s) में मापा जाता है2).

निरंतर मीडिया के लिए, प्रतिबल प्रदिश का प्रत्येक तत्व $σ$ एक क्षेत्र द्वारा विभाजित बल है; इसलिए इसे दबाव की इकाइयों में मापा जाता है, अर्थात् पास्कल (यूनिट) s (Pa, या N/m2, या किग्रा/(मि·से2). प्रतिबल प्रदिश के तत्व $ε$ आयामहीन होते हैं (विस्थापनों को दूरियों से विभाजित किया जाता है)। इसलिए, की प्रविष्टियाँ $c_{ijkl}$ को दबाव की इकाइयों में भी व्यक्त किया जाता है।

प्रत्यास्थ पदार्थ के लिए सामान्य आवेदन
वस्तुएं जो एक बल द्वारा विकृत होने के बाद शीघ्र से अपने मूल आकार को पुनः प्राप्त कर लेती हैं, उनकी पदार्थ के अणुओं या परमाणुओं के साथ स्थिर संतुलन की प्रारंभिक स्थिति में लौट आती हैं, प्रायः हुक के नियम का अनुसरण करती हैं।

हुक का नियम केवल कुछ पदार्थों के लिए कुछ लोडिंग शर्तों के अंतर्गत प्रयुक्त होता है। अधिकांश अभियांत्रिकी अनुप्रयोगों में स्टील रैखिक-प्रत्यास्थ व्यवहार प्रदर्शित करता है; हूक का नियम इसके पूरे प्रत्यास्थ रेंज (अर्थात, उपज (अभियांत्रिकी) के नीचे के तनावों के लिए) के लिए मान्य है। कुछ अन्य पदार्थों के लिए, जैसे कि एल्यूमीनियम, हुक का नियम केवल प्रत्यास्थ सीमा के एक हिस्से के लिए मान्य है। इन पदार्थों के लिए एक आनुपातिक सीमा प्रतिबल परिभाषित किया गया है, जिसके नीचे रैखिक सन्निकटन से जुड़ी त्रुटियां नगण्य हैं।

रबर को सामान्य रूप से एक गैर-हुकेन पदार्थ के रूप में माना जाता है क्योंकि इसकी प्रत्यास्थ प्रतिबल पर निर्भर होती है और तापमान और लोडिंग दर के प्रति संवेदनशील होती है।

परिमित प्रतिबल सिद्धांत के स्थिति में हुक के नियम का सामान्यीकरण नव-हुकियन ठोस और मूनी-रिवलिन ठोस के मॉडल द्वारा प्रदान किया गया है।

एक समान पट्टी का प्रतिबल प्रतिबल
किसी भी प्रत्यास्थ (भौतिकी) पदार्थ की एक छड़ को रैखिक स्प्रिंग (उपकरण) के रूप में देखा जा सकता है। छड़ की लम्बाई होती है $L$ और पार के अनुभागीय क्षेत्र $A$. इसका तन्यता प्रतिबल $σ$ इसके भिन्नात्मक विस्तार या प्रतिबल के रैखिक रूप से आनुपातिक है $ε$ प्रत्यास्थ के मापांक द्वारा $E$: $$\sigma = E \varepsilon.$$ प्रत्यास्थ के मापांक को प्रायः स्थिर माना जा सकता है। के बदले में, $$\varepsilon = \frac{\Delta L}{L}$$ (अर्थात, लंबाई में भिन्नात्मक परिवर्तन), और तब से $$\sigma = \frac{F}{A} \,,$$ यह इस प्रकार है कि: $$ \varepsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{F}{A E}\,.$$ लंबाई में परिवर्तन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$\Delta L = \varepsilon L = \frac{F L}{A E}\,.$$

स्प्रिंग ऊर्जा
संभावित ऊर्जा $U_{el}(x)$ एक स्प्रिंग में संग्रहीत द्वारा दिया जाता है $$U_\mathrm{el}(x) = \tfrac 1 2 kx^2$$ जो स्प्रिंग को संवर्धित रूप से संपीडित करने में लगने वाली ऊर्जा को जोड़ने से आता है। अर्थात्, विस्थापन पर बल का समाकलन। चूंकि बाहरी बल की दिशा विस्थापन के समान ही होती है, स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा हमेशा गैर-ऋणात्मक होती है।

यह क्षमता $U_{el}$ पर परवलय के रूप में देखा जा सकता है $Ux$-विमान ऐसा कि $U_{el}(x) = 1⁄2kx^{2}$. चूंकि स्प्रिंग धनात्मक में विस्तृत है $x$-दिशा, संभावित ऊर्जा परवलयिक रूप से बढ़ती है (स्प्रिंग के संकुचित होने पर भी ऐसा ही होता है)। चूँकि संभावित ऊर्जा में परिवर्तन एक स्थिर दर से बदलता है: $$ \frac{d^2 U_\mathrm{el}}{dx^2}=k\,.$$ ध्यान दें कि परिवर्तन में परिवर्तन $U$ विस्थापन और त्वरण शून्य होने पर भी स्थिर रहता है।

शिथिल बल स्थिरांक (सामान्यीकृत अनुपालन स्थिरांक)
आराम से बल स्थिरांक (सामान्यीकृत अनुपालन स्थिरांक के व्युत्क्रम) आणविक प्रणालियों के लिए विशिष्ट रूप से परिभाषित होते हैं, जो सामान्य कठोर बल स्थिरांक के विपरीत होते हैं, और इस प्रकार उनका उपयोग अभिकारकों, संक्रमण अवस्थाओं और उत्पादों के लिए गणना किए गए बल क्षेत्रों के बीच सार्थक सहसंबंध बनाने की अनुमति देता है। एक रासायनिक प्रतिक्रिया। जिस प्रकार स्थितिज ऊर्जा को आंतरिक निर्देशांकों में द्विघात रूप में लिखा जा सकता है, उसी प्रकार इसे सामान्यीकृत बलों के रूप में भी लिखा जा सकता है। परिणामी गुणांकों को अनुपालन स्थिरांक कहा जाता है। सामान्य मोड विश्लेषण करने की आवश्यकता के बिना, अणु के किसी भी आंतरिक समन्वय के लिए अनुपालन स्थिरांक की गणना के लिए एक प्रत्यक्ष विधि मौजूद है। सहसंयोजक बंधन शक्ति वर्णनकर्ता के रूप में शिथिल बल स्थिरांक (प्रतिलोम अनुपालन स्थिरांक) की उपयुक्तता को 1980 के प्रारंभ में प्रदर्शित किया गया था। हाल ही में, गैर-सहसंयोजक बंधन शक्ति वर्णनकर्ता के रूप में उपयुक्तता का भी प्रदर्शन किया गया था।

हार्मोनिक ऑसिलेटर
एक द्रव्यमान $m$ एक स्प्रिंग के अंत से जुड़ी एक लयबद्ध दोलक का एक उत्कृष्ट उदाहरण है। द्रव्यमान पर थोड़ा सा खींचकर और फिर इसे छोड़ कर, प्रणाली संतुलन की स्थिति के बारे में साइन लहर दोलन गति में स्थिर हो जाएगा। जिस हद तक कमानी हुक के नियम का अनुसरण करती है, और कोई घर्षण और कमानी के द्रव्यमान की उपेक्षा कर सकता है, दोलन का आयाम स्थिर रहेगा; और इसकी आवृत्ति $f$ इसके आयाम से स्वतंत्र होगा, केवल द्रव्यमान और स्प्रिंग की कठोरता से निर्धारित होता है: $$f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt\frac{k}{m}$$ इस घटना ने सटीक यांत्रिक घड़ियों और घड़ियों के निर्माण को संभव बनाया जिन्हें जहाजों और लोगों की जेबों पर ले जाया जा सकता था।

गुरुत्व मुक्त स्थान में घूर्णन
यदि द्रव्यमान $m$ बल स्थिरांक वाले स्प्रिंग से जुड़े थे $k$ और मुक्त स्थान में घूमते हुए, स्प्रिंग प्रतिबल ($F_{t}$) आवश्यक केन्द्रापसारक बल की आपूर्ति करेगा ($F_{c}$): $$F_\mathrm{t} = kx\,; \qquad F_\mathrm{c} = m \omega^2 r$$ तब से $F_{t} = F_{c}$ और $x = r$, तब: $$k = m \omega^2$$ मान लें कि $ω = 2πf$, यह उपरोक्त के समान आवृत्ति समीकरण की ओर जाता है: $$f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt\frac{k}{m}$$

आइसोट्रोपिक पदार्थ
आइसोट्रोपिक पदार्थों की विशेषता उन गुणों से होती है जो अंतरिक्ष में दिशा से स्वतंत्र होते हैं। आइसोटोपिक पदार्थों से जुड़े भौतिक समीकरणों को उनका प्रतिनिधित्व करने के लिए चुनी गई समन्वय प्रणाली से स्वतंत्र होना चाहिए। प्रतिबल प्रदिश एक सममित प्रदिश है। चूंकि किसी भी प्रदिश का ट्रेस (रैखिक बीजगणित) किसी भी समन्वय प्रणाली से स्वतंत्र है, एक सममित प्रदिश का सबसे पूर्ण समन्वय-मुक्त अपघटन इसे एक निरंतर प्रदिश और एक ट्रेसलेस सममित प्रदिश के योग के रूप में प्रस्तुत करना है। इस प्रकार रिक्की कलन में: $$ \varepsilon_{ij} = \left(\tfrac13\varepsilon_{kk}\delta_{ij}\right) + \left(\varepsilon_{ij}-\tfrac13\varepsilon_{kk}\delta_{ij}\right)$$ जहां $δ_{ij}$ क्रोनकर डेल्टा है। प्रत्यक्ष प्रदिश संकेतन में: $$ \boldsymbol{\varepsilon} = \operatorname{vol}(\boldsymbol{\varepsilon}) + \operatorname{dev}(\boldsymbol{\varepsilon}) \,; \qquad \operatorname{vol}(\boldsymbol{\varepsilon}) = \tfrac13\operatorname{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})~\mathbf{I} \,; \qquad \operatorname{dev}(\boldsymbol{\varepsilon}) = \boldsymbol{\varepsilon} - \operatorname{vol}(\boldsymbol{\varepsilon}) $$ जहां $I$ दूसरे क्रम का आइडेंटिटी प्रदिश है।

दाईं ओर पहला शब्द स्थिर प्रदिश है, जिसे वॉल्यूमेट्रिक स्ट्रेन प्रदिश के रूप में भी जाना जाता है, और दूसरा शब्द ट्रैसलेस सिमेट्रिक प्रदिश है, जिसे डेविएटोरिक स्ट्रेन प्रदिश या अपरूपण प्रदिश के रूप में भी जाना जाता है।

आइसोटोपिक पदार्थों के लिए हुक के नियम का सबसे सामान्य रूप अब इन दो टेंसरों के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है: $$ \sigma_{ij}=3K\left(\tfrac{1}{3}\varepsilon_{kk}\delta_{ij}\right) +2G\left(\varepsilon_{ij}-\tfrac{1}{3}\varepsilon_{kk}\delta_{ij}\right)\,; \qquad \boldsymbol{\sigma} = 3K\operatorname{vol}(\boldsymbol{\varepsilon}) + 2G\operatorname{dev}(\boldsymbol{\varepsilon})$$ जहां $K$ थोक मापांक है और $G$ अपरूपण मापांक है।

प्रत्यास्थ मॉड्यूलस के बीच संबंधों का उपयोग करके, इन समीकरणों को अन्य तरीकों से भी व्यक्त किया जा सकता है। समदैशिक पदार्थों के लिए हुक के नियम का एक सामान्य रूप, प्रत्यक्ष प्रदिश संकेतन में व्यक्त किया गया है $$ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\operatorname{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\mathbf{I} + 2\mu\boldsymbol{\varepsilon} = \mathsf{c}:\boldsymbol{\varepsilon} \,; \qquad \mathsf{c} = \lambda\mathbf{I}\otimes\mathbf{I} + 2\mu\mathsf{I} $$ जहां $λ = K − 2⁄3G = c_{1111} − 2c_{1212}$ और $μ = G = c_{1212}$ लेमे स्थिरांक हैं, $I$ दूसरी रैंक की पहचान प्रदिश है, और I चौथी रैंक की पहचान प्रदिश का सममित हिस्सा है। इंडेक्स संकेतन में: $$ \sigma_{ij} = \lambda\varepsilon_{kk}~\delta_{ij} + 2\mu\varepsilon_{ij} = c_{ijkl}\varepsilon_{kl} \,;\qquad c_{ijkl} = \lambda\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\left(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}\right) $$ उलटा संबंध है $$ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2\mu}\boldsymbol{\sigma} - \frac{\lambda}{2\mu(3\lambda+2\mu)}\operatorname{tr}(\boldsymbol{\sigma})\mathbf{I} = \frac{1}{2G} \boldsymbol{\sigma} + \left(\frac{1}{9K} - \frac{1}{6G}\right)\operatorname{tr}(\boldsymbol{\sigma})\mathbf{I} $$ इसलिए, संबंध में अनुपालन प्रदिश $ε = s : σ$ है $$ \mathsf{s} = - \frac{\lambda}{2\mu(3\lambda+2\mu)}\mathbf{I}\otimes\mathbf{I} + \frac{1}{2\mu}\mathsf{I} = \left(\frac{1}{9K} - \frac{1}{6G}\right)\mathbf{I}\otimes\mathbf{I} + \frac{1}{2G}\mathsf{I} $$ यंग के मापांक और पॉसों के अनुपात के संदर्भ में, आइसोटोपिक पदार्थों के लिए हुक के नियम को तब व्यक्त किया जा सकता है $$ \varepsilon_{ij}=\frac{1}{E}\big(\sigma_{ij}-\nu(\sigma_{kk}\delta_{ij}-\sigma_{ij})\big) \,; \qquad \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{E} \big(\boldsymbol{\sigma} - \nu(\operatorname{tr}(\boldsymbol{\sigma})\mathbf{I} - \boldsymbol{\sigma})\big) = \frac{1+\nu}{E}\boldsymbol{\sigma} - \frac{\nu}{E}\operatorname{tr}(\boldsymbol{\sigma})\mathbf{I} $$ यह वह रूप है जिसमें अभियांत्रिकी में प्रतिबल प्रदिश के संदर्भ में प्रतिबल व्यक्त किया जाता है। विस्तारित रूप में अभिव्यक्ति है $$ \begin{align} \varepsilon_{11} & = \frac{1}{E} \big(\sigma_{11} - \nu(\sigma_{22}+\sigma_{33}) \big) \\ \varepsilon_{22} & = \frac{1}{E} \big(\sigma_{22} - \nu(\sigma_{11}+\sigma_{33}) \big) \\ \varepsilon_{33} & = \frac{1}{E} \big(\sigma_{33} - \nu(\sigma_{11}+\sigma_{22}) \big) \\ \varepsilon_{12} & = \frac{1}{2G} \sigma_{12} \,;\qquad \varepsilon_{13} = \frac{1}{2G}\sigma_{13} \,;\qquad \varepsilon_{23} = \frac{1}{2G}\sigma_{23} \end{align}$$ जहां $E$ यंग का मापांक है और $ν$ प्वासों का अनुपात है। (3-डी प्रत्यास्थ देखें)।

आव्यूह रूप में, समदैशिक पदार्थों के लिए हुक के नियम को इस प्रकार लिखा जा सकता है $$ \begin{bmatrix}\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2\varepsilon_{23} \\ 2\varepsilon_{13} \\ 2\varepsilon_{12} \end{bmatrix} \,=\, \begin{bmatrix}\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ \gamma_{23} \\ \gamma_{13} \\ \gamma_{12} \end{bmatrix} \,=\, \frac{1}{E} \begin{bmatrix} 1 & -\nu & -\nu & 0 & 0 & 0 \\ -\nu & 1 & -\nu & 0 & 0 & 0 \\ -\nu & -\nu & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2+2\nu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2+2\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2+2\nu \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{13} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix} $$ जहां $ε_{i} = ε_{i}&prime; + ε_{i}&Prime; + ε_{i}‴$ अभियांत्रिकी अपरूपण विकृति है। व्युत्क्रम संबंध के रूप में लिखा जा सकता है $$ \begin{bmatrix}\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{13} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix} \,=\, \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 & 0 & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 & 0 & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1-2\nu}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1-2\nu}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2\varepsilon_{23} \\ 2\varepsilon_{13} \\ 2\varepsilon_{12} \end{bmatrix} $$ जिसे Lame स्थिरांक के लिए सरल बनाया जा सकता है: $$ \begin{bmatrix}\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{13} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix} \,=\, \begin{bmatrix} 2\mu+\lambda & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & 2\mu+\lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & 2\mu+\lambda & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2\varepsilon_{23} \\ 2\varepsilon_{13} \\ 2\varepsilon_{12} \end{bmatrix} $$ सदिश संकेतन में यह बन जाता है $$ \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{12} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{13} & \sigma_{23} & \sigma_{33} \end{bmatrix} \,=\, 2\mu \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ \varepsilon_{12} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\ \varepsilon_{13} & \varepsilon_{23} & \varepsilon_{33} \end{bmatrix} + \lambda \mathbf{I}\left(\varepsilon_{11} + \varepsilon_{22} + \varepsilon_{33} \right)$$ जहां $σ_{1}$ पहचान प्रदिश है।

विमान प्रतिबल
प्लेन स्ट्रेस के अंतर्गत # प्लेन स्ट्रेस की स्थिति, $σ_{1}$. उस स्थिति में हुक का नियम रूप ले लेता है $$ \begin{bmatrix}\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix} \,=\, \frac{E}{1-\nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1-\nu}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2\varepsilon_{12} \end{bmatrix} $$ सदिश संकेतन में यह बन जाता है $$ \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} \\ \sigma_{12} & \sigma_{22} \end{bmatrix} \,=\, \frac{E}{1-\nu^2} \left((1-\nu) \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} \\ \varepsilon_{12} & \varepsilon_{22} \end{bmatrix} + \nu \mathbf{I} \left(\varepsilon_{11} + \varepsilon_{22} \right) \right)$$ व्युत्क्रम संबंध सामान्य रूप से कम रूप में लिखा जाता है $$ \begin{bmatrix}\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2\varepsilon_{12} \end{bmatrix} \,=\, \frac{1}{E} \begin{bmatrix} 1 & -\nu & 0 \\ -\nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2+2\nu \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix} $$

प्लेन स्ट्रेन
अतिसूक्ष्म प्रतिबल सिद्धांत के अंतर्गत#विमान प्रतिबल की स्थिति, $γ_{ij} = 2ε_{ij}$. इस स्थिति में हुक का नियम रूप लेता है $$ \begin{bmatrix}\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix} \,=\, \frac{E}{(1 + \nu)(1 - 2\nu)} \begin{bmatrix} 1 - \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1 - \nu & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1 - 2\nu}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2\varepsilon_{12} \end{bmatrix} $$

अनिसोट्रोपिक पदार्थ
प्रतिबल की समरूपता (भौतिकी) ($I$) और सामान्यीकृत हुक के नियम ($σ_{31} = σ_{13} = σ_{32} = σ_{23} = σ_{33} = 0$) इसका आशय है $ε_{31} = ε_{13} = ε_{32} = ε_{23} = ε_{33} = 0$. इसी प्रकार, अतिसूक्ष्म प्रतिबल सिद्धांत की समरूपता का तात्पर्य है $σ_{ij} = σ_{ji}$. इन समरूपताओं को कठोरता प्रदिश c की छोटी समरूपता कहा जाता है। यह प्रत्यास्थ स्थिरांक की संख्या को 81 से घटाकर 36 कर देता है।

यदि इसके अतिरिक्त, चूंकि विस्थापन प्रवणता और कौशी प्रतिबल कार्य संयुग्मी हैं, तो प्रतिबल-प्रतिबल संबंध एक विकृति ऊर्जा घनत्व क्रियात्मक (कार्यात्मक) से प्राप्त किया जा सकता है।$ν$), तब $$ \sigma_{ij} = \frac{\partial U}{\partial \varepsilon_{ij}} \quad \implies \quad c_{ijkl} = \frac{\partial^2 U}{\partial \varepsilon_{ij}\partial \varepsilon_{kl}}\,. $$ विभेदीकरण के क्रम की एकपक्षीय का तात्पर्य है $σ_{ij} = c_{ijkl}ε_{kl}$. इन्हें कठोरता प्रदिश की प्रमुख समरूपता कहा जाता है। यह प्रत्यास्थ स्थिरांक की संख्या को 36 से घटाकर 21 कर देता है। प्रमुख और छोटी समरूपता दर्शाती है कि कठोरता प्रदिश में केवल 21 स्वतंत्र घटक हैं।

आव्यूह प्रतिनिधित्व (कठोरता प्रदिश)
आव्यूह संकेतन में हुक के नियम के अनिसोट्रोपिक रूप को व्यक्त करना प्रायः उपयोगी होता है, जिसे वायगट संकेतन भी कहा जाता है। ऐसा करने के लिए हम प्रतिबल और विकृति प्रदिश की समरूपता का लाभ उठाते हैं और उन्हें ऑर्थोनॉर्मल कोऑर्डिनेट प्रणाली में छह-आयामी वैक्टर के रूप में व्यक्त करते हैं ($c_{ijkl} = c_{jikl}$) जैसा $$ [\boldsymbol{\sigma}] \,=\, \begin{bmatrix}\sigma_{11}\\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{13} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix} \,\equiv\, \begin{bmatrix} \sigma_1 \\ \sigma_2 \\ \sigma_3 \\ \sigma_4 \\ \sigma_5 \\ \sigma_6 \end{bmatrix} \,;\qquad [\boldsymbol{\varepsilon}] \,=\, \begin{bmatrix}\varepsilon_{11}\\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2\varepsilon_{23} \\ 2\varepsilon_{13} \\ 2\varepsilon_{12} \end{bmatrix} \,\equiv\, \begin{bmatrix} \varepsilon_1 \\ \varepsilon_2 \\ \varepsilon_3 \\ \varepsilon_4 \\ \varepsilon_5 \\ \varepsilon_6 \end{bmatrix} $$ फिर कठोरता प्रदिश (सी) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$ [\mathsf{c}] \,=\, \begin{bmatrix} c_{1111} & c_{1122} & c_{1133} & c_{1123} & c_{1131} & c_{1112} \\ c_{2211} & c_{2222} & c_{2233} & c_{2223} & c_{2231} & c_{2212} \\ c_{3311} & c_{3322} & c_{3333} & c_{3323} & c_{3331} & c_{3312} \\ c_{2311} & c_{2322} & c_{2333} & c_{2323} & c_{2331} & c_{2312} \\ c_{3111} & c_{3122} & c_{3133} & c_{3123} & c_{3131} & c_{3112} \\ c_{1211} & c_{1222} & c_{1233} & c_{1223} & c_{1231} & c_{1212} \end{bmatrix} \,\equiv\, \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\ C_{12} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\ C_{14} & C_{24} & C_{34} & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\ C_{15} & C_{25} & C_{35} & C_{45} & C_{55} & C_{56} \\ C_{16} & C_{26} & C_{36} & C_{46} & C_{56} & C_{66} \end{bmatrix} $$ और हुक का नियम इस प्रकार लिखा जाता है $$ [\boldsymbol{\sigma}] = [\mathsf{C}][\boldsymbol{\varepsilon}] \qquad \text{or} \qquad \sigma_i = C_{ij} \varepsilon_j \,. $$ इसी प्रकार अनुपालन प्रदिश (ओं) को इस रूप में लिखा जा सकता है $$ [\mathsf{s}] \,=\, \begin{bmatrix} s_{1111} & s_{1122} & s_{1133} & 2s_{1123} & 2s_{1131} & 2s_{1112} \\ s_{2211} & s_{2222} & s_{2233} & 2s_{2223} & 2s_{2231} & 2s_{2212} \\ s_{3311} & s_{3322} & s_{3333} & 2s_{3323} & 2s_{3331} & 2s_{3312} \\ 2s_{2311} & 2s_{2322} & 2s_{2333} & 4s_{2323} & 4s_{2331} & 4s_{2312} \\ 2s_{3111} & 2s_{3122} & 2s_{3133} & 4s_{3123} & 4s_{3131} & 4s_{3112} \\ 2s_{1211} & 2s_{1222} & 2s_{1233} & 4s_{1223} & 4s_{1231} & 4s_{1212} \end{bmatrix} \,\equiv\, \begin{bmatrix} S_{11} & S_{12} & S_{13} & S_{14} & S_{15} & S_{16} \\ S_{12} & S_{22} & S_{23} & S_{24} & S_{25} & S_{26} \\ S_{13} & S_{23} & S_{33} & S_{34} & S_{35} & S_{36} \\ S_{14} & S_{24} & S_{34} & S_{44} & S_{45} & S_{46} \\ S_{15} & S_{25} & S_{35} & S_{45} & S_{55} & S_{56} \\ S_{16} & S_{26} & S_{36} & S_{46} & S_{56} & S_{66} \end{bmatrix} $$

समन्वय प्रणाली का परिवर्तन
यदि एक रैखिक प्रत्यास्थ पदार्थ को एक संदर्भ विन्यास से दूसरे में घुमाया जाता है, तो पदार्थ रोटेशन के संबंध में सममित होती है यदि घुमाए गए विन्यास में कठोरता प्रदिश के घटक संबंध द्वारा संदर्भ विन्यास में घटकों से संबंधित होते हैं $$ c_{pqrs} = l_{pi}l_{qj}l_{rk}l_{sl}c_{ijkl} $$ जहां $E$ एक ऑर्थोगोनल आव्यूह के घटक हैं $c_{ijkl} = c_{ijlk}$. यही संबंध व्युत्क्रमों के लिए भी है।

आव्यूह संकेतन में, यदि रूपांतरित आधार (घुमाया या उलटा) द्वारा संदर्भ आधार से संबंधित है $$ [\mathbf{e}_i'] = [L][\mathbf{e}_i] $$ तब $$ C_{ij}\varepsilon_i\varepsilon_j = C_{ij}'\varepsilon'_i\varepsilon'_j \,. $$ इसके अतिरिक्त, यदि पदार्थ परिवर्तन के संबंध में सममित है $c_{ijkl} = c_{klij}$ तब $$ C_{ij} = C'_{ij} \quad \implies \quad C_{ij}(\varepsilon_i\varepsilon_j - \varepsilon'_i\varepsilon'_j) = 0 \,. $$

ऑर्थोट्रोपिक पदार्थ
ऑर्थोट्रोपिक पदार्थ में समरूपता के तीन ओर्थोगोनल  प्लेन होते हैं। यदि आधार वैक्टर ($e_{1},e_{2},e_{3}$) समरूपता के विमानों के लिए सामान्य हैं तो समन्वय परिवर्तन संबंध इसका मतलब है $$ \begin{bmatrix} \sigma_1 \\ \sigma_2 \\ \sigma_3 \\ \sigma_4 \\ \sigma_5 \\ \sigma_6 \end{bmatrix} \,=\, \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} & 0 & 0 & 0 \\ C_{12} & C_{22} & C_{23} & 0 & 0 & 0 \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & C_{55} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & C_{66} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_1 \\ \varepsilon_2 \\ \varepsilon_3 \\ \varepsilon_4 \\ \varepsilon_5 \\ \varepsilon_6 \end{bmatrix} $$ इस संबंध का व्युत्क्रम सामान्य रूप से इस प्रकार लिखा जाता है $$ \begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} \\ \varepsilon_{yy} \\ \varepsilon_{zz} \\ 2\varepsilon_{yz} \\ 2\varepsilon_{zx} \\ 2\varepsilon_{xy} \end{bmatrix} \,=\, \begin{bmatrix} \frac{1}{E_{x}} & - \frac{\nu_{yx}}{E_{y}} & - \frac{\nu_{zx}}{E_{z}} & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{\nu_{xy}}{E_{x}} & \frac{1}{E_{y}} & - \frac{\nu_{zy}}{E_{z}} & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{\nu_{xz}}{E_{x}} & - \frac{\nu_{yz}}{E_{y}} & \frac{1}{E_{z}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{G_{yz}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{G_{zx}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{G_{xy}} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_{xx} \\ \sigma_{yy} \\ \sigma_{zz} \\ \sigma_{yz} \\ \sigma_{zx} \\ \sigma_{xy} \end{bmatrix} $$ जहां
 * $νσ$ अक्ष के साथ यंग का मापांक है $μ$
 * $λ$ दिशा में अपरूपण मापांक है $U$ जिस तल पर सामान्य दिशा में है $l_{ab}$
 * $E_{i}$ प्वासों का अनुपात है जो दिशा में एक संकुचन से मेल खाता है $i$ जब एक विस्तार दिशा में प्रयुक्त किया जाता है $G_{ij}$.

विमान प्रतिबल की स्थिति के अंतर्गत, $[L]$, ऑर्थोट्रोपिक पदार्थ के लिए हुक का नियम रूप लेता है $$ \begin{bmatrix}\varepsilon_{xx} \\ \varepsilon_{yy} \\ 2\varepsilon_{xy} \end{bmatrix} \,=\, \begin{bmatrix} \frac{1}{E_{x}} & -\frac{\nu_{yx}}{E_{y}} & 0 \\ -\frac{\nu_{xy}}{E_{x}} & \frac{1}{E_{y}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{G_{xy}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\sigma_{xx} \\ \sigma_{yy} \\ \sigma_{xy} \end{bmatrix} \,. $$ उलटा संबंध है $$ \begin{bmatrix}\sigma_{xx} \\ \sigma_{yy} \\ \sigma_{xy} \end{bmatrix} \,=\, \frac{1}{1-\nu_{xy}\nu_{yx}} \begin{bmatrix} E_{x} & \nu_{yx}E_{x} & 0 \\ \nu_{xy}E_{y} & E_{y} & 0 \\ 0 & 0 & G_{xy}(1-\nu_{xy}\nu_{yx}) \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\varepsilon_{xx} \\ \varepsilon_{yy} \\ 2\varepsilon_{xy} \end{bmatrix} \,. $$ उपरोक्त कठोरता आव्यूह का ट्रांसपोज़्ड फॉर्म भी प्रायः उपयोग किया जाता है।

अनुप्रस्थ आइसोट्रोपिक पदार्थ
समरूपता के अक्ष के बारे में घूर्णन के संबंध में एक ट्रांसवर्सली आइसोटोपिक पदार्थ सममित है। ऐसी पदार्थ के लिए, यदि $[L]$ सममिति की धुरी है, हुक के नियम को इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$ \begin{bmatrix} \sigma_1 \\ \sigma_2 \\ \sigma_3 \\ \sigma_4 \\ \sigma_5 \\ \sigma_6 \end{bmatrix} \,=\, \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} & 0 & 0 & 0 \\ C_{12} & C_{11} & C_{13} & 0 & 0 & 0 \\ C_{13} & C_{13} & C_{33} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{C_{11}-C_{12}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_1 \\ \varepsilon_2 \\ \varepsilon_3 \\ \varepsilon_4 \\ \varepsilon_5 \\ \varepsilon_6 \end{bmatrix} $$ अधिक बार, $e_{1},e_{2},e_{3}$ अक्ष को सममिति का अक्ष माना जाता है और व्युत्क्रम हुक के नियम को इस रूप में लिखा जाता है $$ \begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} \\ \varepsilon_{yy} \\ \varepsilon_{zz} \\ 2\varepsilon_{yz} \\ 2\varepsilon_{zx} \\ 2\varepsilon_{xy} \end{bmatrix} \,=\, \begin{bmatrix} \frac{1}{E_{x}} & - \frac{\nu_{yx}}{E_{y}} & - \frac{\nu_{zx}}{E_{z}} & 0               & 0                & 0 \\ -\frac{\nu_{xy}}{E_{x}} &         \frac{1}{E_{y}} & - \frac{\nu_{zy}}{E_{z}} & 0                & 0                & 0 \\ -\frac{\nu_{xz}}{E_{x}} & - \frac{\nu_{yz}}{E_{y}} &         \frac{1}{E_{z}} & 0                & 0                & 0 \\ 0                      & 0                        & 0                        & \frac{1}{G_{yz}} & 0                & 0 \\ 0                      & 0                        & 0                        &  0               & \frac{1}{G_{xz}} & 0 \\ 0                      & 0                        & 0                        & 0                & 0                & \frac{1}{G_{xy}} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_{xx} \\ \sigma_{yy} \\ \sigma_{zz} \\ \sigma_{yz} \\ \sigma_{zx} \\ \sigma_{xy} \end{bmatrix} $$

यूनिवर्सल इलास्टिक अनिसोट्रॉपी इंडेक्स
किसी भी वर्ग के अनिसोट्रॉपी की डिग्री को समझने के लिए, एक यूनिवर्सल इलास्टिक अनिसोट्रॉपी इंडेक्स (एयू) सूत्रबद्ध किया गया था। यह जेनर अनुपात की जगह लेता है, जो क्यूबिक क्रिस्टल प्रणाली के लिए अनुकूल है।

थर्मोडायनामिक आधार
प्रत्यास्थ पदार्थ के रैखिक विकृतियों को स्थिरोष्म  के रूप में अनुमानित किया जा सकता है। इन शर्तों के अंतर्गत और अर्धस्थैतिक प्रक्रियाओं के लिए विकृत पिंड के लिए ऊष्मप्रवैगिकी के पहले नियम को व्यक्त किया जा सकता है $$ \delta W = \delta U $$ जहां $j$ आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि है और $i$ बाह्य बलों द्वारा किया गया कार्य (भौतिकी) है। कार्य को दो शब्दों में विभाजित किया जा सकता है $$ \delta W = \delta W_\mathrm{s} + \delta W_\mathrm{b} $$ जहां $σ_{zz} = σ_{zx} = σ_{yz} = 0$ पृष्ठीय बलों द्वारा किया गया कार्य है जबकि $e_{3}$ पिंड बलों द्वारा किया गया कार्य है। अगर $x ≡ e_{1}$ विस्थापन क्षेत्र की विविधताओं का एक कलन है $δW_{s}$ पिंड में, तो दो बाहरी कार्य शर्तों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$ \delta W_\mathrm{s} = \int_{\partial\Omega} \mathbf{t}\cdot\delta\mathbf{u}\,dS \,; \qquad \delta W_\mathrm{b} = \int_{\Omega} \mathbf{b}\cdot\delta\mathbf{u}\,dV $$ जहां $δW_{b}$ सतही प्रतिबल (यांत्रिकी) सदिश है, $δu$ बॉडी फोर्स सदिश है, $ν_{ij}$ पिंड का प्रतिनिधित्व करता है और $u$ इसकी सतह का प्रतिनिधित्व करता है। प्रतिबल (यांत्रिकी) और सतह कर्षण के बीच संबंध का उपयोग करना, $t$ (जहां $b$ से बाहर की ओर सामान्य इकाई है $∂Ω$), अपने पास $$ \delta W = \delta U = \int_{\partial\Omega} (\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\sigma})\cdot\delta\mathbf{u}\,dS + \int_{\Omega} \mathbf{b}\cdot\delta\mathbf{u}\,dV\,. $$ डायवर्जेंस प्रमेय के माध्यम से सतह अभिन्न को मात्रा अभिन्न  में परिवर्तित करना देता है $$ \delta U = \int_{\Omega} \big(\nabla\cdot(\boldsymbol{\sigma}\cdot\delta\mathbf{u}) + \mathbf{b}\cdot\delta\mathbf{u}\big)\, dV \,. $$ कॉची प्रतिबल और पहचान की समरूपता का उपयोग करना $$\nabla\cdot(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}) = (\nabla\cdot\mathbf{a})\cdot\mathbf{b}+\tfrac12\left(\mathbf{a}^\mathsf{T} : \nabla\mathbf{b}+ \mathbf{a}:(\nabla\mathbf{b})^\mathsf{T}\right)$$ हमारे पास निम्नलिखित है $$ \delta U = \int_{\Omega} \left(\boldsymbol{\sigma}:\tfrac12\left(\nabla\delta\mathbf{u}+(\nabla\delta\mathbf{u})^\mathsf{T}\right) + \left(\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}+\mathbf{b}\right)\cdot\delta\mathbf{u}\right)\,dV \,. $$ अतिसूक्ष्म प्रतिबल सिद्धांत की परिभाषा से और हमारे पास रैखिक प्रत्यास्थ के समीकरणों से $$ \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \tfrac12\left(\nabla\delta\mathbf{u}+(\nabla\delta\mathbf{u})^\mathsf{T}\right) \,;\qquad \nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}+\mathbf{b}=\mathbf{0} \,. $$ इसलिए हम लिख सकते हैं $$ \delta U = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma}:\delta\boldsymbol{\varepsilon}\,dV $$ और इसलिए आंतरिक ऊर्जा घनत्व में परिवर्तन द्वारा दिया जाता है $$ \delta U_0 = \boldsymbol{\sigma}:\delta\boldsymbol{\varepsilon} \,. $$ एक प्रत्यास्थ (भौतिकी) पदार्थ को एक के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें कुल आंतरिक ऊर्जा आंतरिक बलों की संभावित ऊर्जा के बराबर होती है (जिसे प्रत्यास्थ प्रतिबल ऊर्जा भी कहा जाता है)। इसलिए, आंतरिक ऊर्जा घनत्व उपभेदों का एक कार्य है, $t = n · σ$ और आंतरिक ऊर्जा की भिन्नता के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$ \delta U_0 = \frac{\partial U_0}{\partial\boldsymbol{\varepsilon}}:\delta\boldsymbol{\varepsilon} \,. $$ चूंकि प्रतिबल की भिन्नता मनमाना है, एक प्रत्यास्थ पदार्थ का प्रतिबल-प्रतिबल संबंध किसके द्वारा दिया जाता है $$ \boldsymbol{\sigma} = \frac{\partial U_0}{\partial\boldsymbol{\varepsilon}}\,. $$ एक रैखिक प्रत्यास्थ पदार्थ के लिए, मात्रा $n$ का एक रैखिक कार्य है $∂Ω$, और इसलिए के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$ \boldsymbol{\sigma} = \mathsf{c}:\boldsymbol{\varepsilon} $$ जहाँ c पदार्थ स्थिरांक का चौथा-श्रेणी का प्रदिश है, जिसे स्टिफनेस प्रदिश भी कहा जाता है। एक रैखिक प्रत्यास्थ पदार्थ के लिए, हम देख सकते हैं कि c को चौथी रैंक का प्रदिश क्यों होना चाहिए, $$ \frac{\partial}{\partial\boldsymbol{\varepsilon}}\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{\varepsilon}) = \text{constant} = \mathsf{c} \,. $$ इंडेक्स संकेतन में $$ \frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial\varepsilon_{kl}} = \text{constant} = c_{ijkl} \,. $$ दाहिनी ओर के स्थिरांक के लिए चार सूचकों की आवश्यकता होती है और यह चौथी कोटि की मात्रा है। हम यह भी देख सकते हैं कि यह मात्रा एक प्रदिश होनी चाहिए क्योंकि यह एक रैखिक परिवर्तन है जो प्रतिबल प्रदिश को प्रतिबल प्रदिश में ले जाता है। हम यह भी दिखा सकते हैं कि स्थिरांक चौथे क्रम के टेंसरों के लिए प्रदिश रूपांतरण नियमों का अनुसरण करता है।

यह भी देखें

 * ध्वनिक प्रत्यास्थ प्रभाव
 * प्रत्यास्थ ऊर्जा क्षमता
 * विज्ञान के नियम
 * लोगों के नाम पर वैज्ञानिक नियमों की सूची
 * द्विघात रूप
 * श्रृंखला और समानांतर स्प्रिंग्स
 * स्प्रिंग प्रणाली
 * सरल आवर्त गति#स्प्रिंग पर द्रव्यमान
 * साइन लहर
 * ठोस यांत्रिकी
 * स्प्रिंग पेंडुलम

संदर्भ

 * Hooke’s law - The Feynman Lectures on Physics
 * Hooke's Law - Classical Mechanics - Physics - MIT OpenCourseWare

बाहरी संबंध

 * JavaScript Applet demonstrating Springs and Hooke's law
 * JavaScript Applet demonstrating Spring Force