मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल

ठोस-अवस्था भौतिकी में, मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल एक धात्विक ठोस में आवेश वाहकों के व्यवहार के लिए एक क्वांटम यांत्रिकी मॉडल है। इसे 1927 में विकसित किया गया था, मुख्य रूप से अर्नोल्ड सोमरफेल्ड द्वारा, जिन्होंने शास्त्रीय भौतिकी ड्रूड मॉडल को क्वांटम मैकेनिकल फर्मी-डिराक सांख्यिकी के साथ जोड़ा और इसलिए इसे ड्रूड-सोमरफेल्ड मॉडल के रूप में भी जाना जाता है।

इसकी सरलता को देखते हुए यह विशेष रूप से अनेक प्रायोगिक परिघटनाओं की व्याख्या करने में आश्चर्यजनक रूप से सफल है
 * विडेमैन-फ्रांज कानून जो विद्युत चालकता और तापीय चालकता से संबंधित है;
 * इलेक्ट्रॉन ताप क्षमता की तापमान निर्भरता;
 * राज्यों के इलेक्ट्रॉनिक घनत्व का आकार;
 * बाध्यकारी ऊर्जा मूल्यों की सीमा;
 * विद्युत चालकता;
 * थर्मोइलेक्ट्रिक प्रभाव का सीबेक गुणांक;
 * थोक धातुओं से थर्मिओनिक उत्सर्जन और क्षेत्र इलेक्ट्रॉन उत्सर्जन।

मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल ने ड्रूड मॉडल से संबंधित कई विसंगतियों को हल किया और धातुओं के कई अन्य गुणों की जानकारी दी। मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल मानता है कि धातु एक क्वांटम इलेक्ट्रॉन गैस से बने होते हैं जहां आयन लगभग कोई भूमिका नहीं निभाते हैं। क्षार धातु और महान धातुओं पर लागू होने पर मॉडल बहुत भविष्य कहनेवाला हो सकता है।

विचार और धारणाएं
मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल में चार मुख्य मान्यताओं को ध्यान में रखा जाता है:
 * मुक्त इलेक्ट्रॉन सन्निकटन: सीमा स्थितियों को छोड़कर, आयनों और वैलेंस इलेक्ट्रॉनों के बीच की बातचीत को ज्यादातर उपेक्षित किया जाता है। आयन केवल धातु में आवेश की तटस्थता बनाए रखते हैं। ड्रूड मॉडल के विपरीत, आयन आवश्यक रूप से टकराव का स्रोत नहीं हैं।
 * स्वतंत्र इलेक्ट्रॉन सन्निकटन: इलेक्ट्रॉनों के बीच की बातचीत को नजरअंदाज कर दिया जाता है। स्क्रीनिंग प्रभाव के कारण धातुओं में इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र कमजोर होते हैं।
 * विश्राम-समय सन्निकटन: कुछ अज्ञात प्रकीर्णन तंत्र है जैसे कि टकराव की इलेक्ट्रॉन संभावना विश्राम समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है $$\tau$$, जो टक्करों के बीच औसत समय का प्रतिनिधित्व करता है। टकराव इलेक्ट्रॉनिक कॉन्फ़िगरेशन पर निर्भर नहीं करते हैं।
 * पाउली अपवर्जन सिद्धांत: प्रणाली के प्रत्येक क्वांटम राज्य को केवल एक इलेक्ट्रॉन द्वारा कब्जा किया जा सकता है। उपलब्ध इलेक्ट्रॉन राज्यों के इस प्रतिबंध को फर्मी-डिराक सांख्यिकी (फर्मी गैस भी देखें) द्वारा ध्यान में रखा गया है। फ्री-इलेक्ट्रॉन मॉडल की मुख्य भविष्यवाणियां फर्मी स्तर के आसपास ऊर्जा के लिए फर्मी-डिराक अधिभोग के सोमरफेल्ड विस्तार से प्राप्त होती हैं।

मॉडल का नाम पहली दो धारणाओं से आता है, क्योंकि प्रत्येक इलेक्ट्रॉन को ऊर्जा और संवेग के बीच संबंधित द्विघात संबंध के साथ मुक्त कण के रूप में माना जा सकता है।

मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल में क्रिस्टल जाली को स्पष्ट रूप से ध्यान में नहीं रखा गया है, लेकिन बलोच के प्रमेय द्वारा एक साल बाद (1928) एक क्वांटम-यांत्रिक औचित्य दिया गया था: इलेक्ट्रॉन द्रव्यमान m को छोड़कर, एक अनबाउंड इलेक्ट्रॉन एक आवधिक क्षमता में निर्वात में एक मुक्त इलेक्ट्रॉन के रूप में चलता हैeएक प्रभावी द्रव्यमान (ठोस-अवस्था भौतिकी) m* बनना जो m से काफी विचलित हो सकता हैe(इलेक्ट्रॉन छिद्रों द्वारा चालन का वर्णन करने के लिए कोई भी नकारात्मक प्रभावी द्रव्यमान का उपयोग कर सकता है)। प्रभावी द्रव्यमान बैंड संरचना संगणनाओं से प्राप्त किए जा सकते हैं जिन्हें मूल रूप से मुक्त इलेक्ट्रॉन छेद में ध्यान में नहीं रखा गया था।

ड्रूड मॉडल से
कई भौतिक गुण सीधे ड्रूड मॉडल से अनुसरण करते हैं, क्योंकि कुछ समीकरण कणों के सांख्यिकीय वितरण पर निर्भर नहीं करते हैं। मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण लेना # एक आदर्श गैस के वेग सदिश के लिए वितरण या फर्मी गैस के वेग वितरण में केवल इलेक्ट्रॉनों की गति से संबंधित परिणाम बदलते हैं।

मुख्य रूप से, मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल और ड्रूड मॉडल ओम के नियम के लिए समान डीसी विद्युत चालकता σ की भविष्यवाणी करते हैं, अर्थात
 * $$\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}\quad$$ साथ $$\quad\sigma = \frac{ne^2\tau}{m_e},$$

कहाँ पे $$\mathbf{J}$$ वर्तमान घनत्व है, $$\mathbf{E}$$ बाहरी विद्युत क्षेत्र है, $$n$$ इलेक्ट्रॉनिक घनत्व (इलेक्ट्रॉनों / मात्रा की संख्या) है, $$\tau$$ औसत खाली समय है और $$e$$ प्राथमिक शुल्क है। अन्य मात्राएं जो ड्रूड के मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल के तहत समान रहती हैं, एसी संवेदनशीलता, प्लाज्मा दोलन, magnetoresistance और हॉल प्रभाव से संबंधित हॉल गुणांक हैं।

एक इलेक्ट्रॉन गैस के गुण
मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल के कई गुण फर्मी गैस से संबंधित समीकरणों से सीधे अनुसरण करते हैं, क्योंकि स्वतंत्र इलेक्ट्रॉन सन्निकटन गैर-अंतःक्रियात्मक इलेक्ट्रॉनों के एक समूह की ओर जाता है। त्रि-आयामी इलेक्ट्रॉन गैस के लिए हम फर्मी ऊर्जा को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं
 * $$E_{\rm F} = \frac{\hbar^2}{2m_e}\left(3\pi^2n\right)^\frac{2}{3},$$

कहाँ पे $$\hbar$$ घटी हुई प्लैंक स्थिरांक है। फर्मी ऊर्जा शून्य तापमान पर उच्चतम ऊर्जा इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा को परिभाषित करती है। धातुओं के लिए फर्मी ऊर्जा मुक्त इलेक्ट्रॉन बैंड न्यूनतम ऊर्जा के ऊपर इलेक्ट्रॉन वोल्ट की इकाइयों के क्रम में होती है।



राज्यों का घनत्व
गैर-अंतःक्रियात्मक इलेक्ट्रॉन गैस के राज्यों की 3 डी घनत्व (ऊर्जा राज्यों की संख्या, प्रति ऊर्जा प्रति मात्रा) द्वारा दी गई है:
 * $$g(E) = \frac{m_e}{\pi^2\hbar^3}\sqrt{2m_eE} = \frac{3}{2}\frac{n}{E_{\rm F}}\sqrt{\frac{E}{E_{\rm F}}},$$

कहाँ पे $E \geq 0$ किसी दिए गए इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा है। यह सूत्र स्पिन अध: पतन को ध्यान में रखता है लेकिन वैलेंस और कंडक्शन बैंड के तल के कारण संभावित ऊर्जा बदलाव पर विचार नहीं करता है। 2D के लिए राज्यों का घनत्व स्थिर है और 1D के लिए इलेक्ट्रॉन ऊर्जा के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती है।

फर्मी स्तर
रासायनिक क्षमता $$\mu$$ एक ठोस में इलेक्ट्रॉनों की संख्या को फर्मी स्तर के रूप में भी जाना जाता है और, संबंधित फर्मी ऊर्जा की तरह, अक्सर निरूपित किया जाता है $$E_{\rm F}$$. सोमरफेल्ड विस्तार का उपयोग फर्मी स्तर की गणना के लिए किया जा सकता है ($$T>0$$) उच्च तापमान पर:
 * $$E_{\rm F}(T) = E_{\rm F}(T=0) \left[1 - \frac{\pi ^2}{12} \left(\frac{T}{T_{\rm F}}\right) ^2 - \frac{\pi^4}{80} \left(\frac{T}{T_{\rm F}}\right)^4 + \cdots \right], $$

कहाँ पे $$T$$ तापमान है और हम परिभाषित करते हैं $T_{\rm F} = E_{\rm F}/k_{\rm B}$ फर्मी तापमान के रूप में ($$k_{\rm B}$$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है)। परेशान करने वाला दृष्टिकोण उचित है क्योंकि फर्मी का तापमान आमतौर पर लगभग 10 होता है5 K किसी धातु के लिए, इसलिए कमरे के तापमान पर या फर्मी ऊर्जा को कम करता है $$E_{\rm F}(T=0)$$ और रासायनिक क्षमता $$E_{\rm F}(T>0)$$ व्यावहारिक रूप से समतुल्य हैं।

धातुओं की संपीड्यता और अध: पतन दबाव
कुल ऊर्जा प्रति इकाई आयतन (पर $T = 0$ ) सिस्टम के चरण स्थान पर एकीकृत करके भी गणना की जा सकती है, हम प्राप्त करते हैं
 * $$u(0) = \frac{3}{5}nE_{\rm F},$$

जो तापमान पर निर्भर नहीं करता है। एक आदर्श गैस की प्रति इलेक्ट्रॉन ऊर्जा के साथ तुलना करें: $\frac{3}{2}k_{\rm B}T$, जो शून्य तापमान पर शून्य है। एक आदर्श गैस के लिए इलेक्ट्रॉन गैस के समान ऊर्जा होने के लिए, तापमान को फर्मी तापमान के क्रम में होना चाहिए। थर्मोडायनामिक रूप से, इलेक्ट्रॉन गैस की यह ऊर्जा द्वारा दिए गए शून्य-तापमान दबाव से मेल खाती है
 * $$P = -\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T,\mu} = \frac{2}{3}u(0),$$

कहाँ पे $V$ मात्रा है और $U(T) = u(T) V$  कुल ऊर्जा है, तापमान और रासायनिक संभावित स्थिरांक पर किया गया व्युत्पन्न। इस दबाव को इलेक्ट्रॉन अध: पतन दबाव कहा जाता है और यह इलेक्ट्रॉनों के प्रतिकर्षण या गति से नहीं आता है, बल्कि इस प्रतिबंध से आता है कि दो से अधिक इलेक्ट्रॉन (स्पिन के दो मूल्यों के कारण) एक ही ऊर्जा स्तर पर कब्जा नहीं कर सकते हैं। यह दबाव धातु की संपीड्यता या थोक मापांक को परिभाषित करता है
 * $$B = -V\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{T,\mu} = \frac{5}{3}P = \frac{2}{3}nE_{\rm F}.$$

यह अभिव्यक्ति क्षार धातुओं और महान धातुओं के लिए बल्क मापांक के परिमाण का सही क्रम देती है, जो दर्शाती है कि यह दबाव धातु के अंदर के अन्य प्रभावों जितना ही महत्वपूर्ण है। अन्य धातुओं के लिए क्रिस्टलीय संरचना को ध्यान में रखना होता है।

ताप क्षमता
मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल के आने से पहले ठोस-अवस्था भौतिकी में एक खुली समस्या धातुओं की कम ताप क्षमता से संबंधित थी। यहां तक ​​कि जब ड्रूड मॉडल Wiedemann-Franz कानून के लॉरेंज संख्या के लिए एक अच्छा सन्निकटन था, तो शास्त्रीय तर्क इस विचार पर आधारित है कि एक आदर्श गैस की आयतनी ताप क्षमता है
 * $$c^\text{Drude}_V = \frac{3}{2}nk_{\rm B}$$.

यदि ऐसा होता, तो इस इलेक्ट्रॉनिक योगदान के कारण किसी धातु की ऊष्मा क्षमता बहुत अधिक हो सकती थी। फिर भी, इतनी बड़ी ताप क्षमता को कभी नहीं मापा गया, जिससे तर्क के बारे में संदेह पैदा हुआ। सोमरफेल्ड के विस्तार का उपयोग करके एक परिमित तापमान पर ऊर्जा घनत्व के सुधार प्राप्त कर सकते हैं और एक इलेक्ट्रॉन गैस की वॉल्यूमेट्रिक ताप क्षमता प्राप्त कर सकते हैं:
 * $$c_V=\left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_{n}=\frac{\pi^2}{2}\frac{T}{T_{\rm F}} nk_{\rm B}$$,

जहां प्रीफैक्टर है $$nk_B$$में पाए गए 3/2 से काफी छोटा है $c^{\text{Drude}}_V$, कमरे के तापमान पर लगभग 100 गुना छोटा और कम तापमान पर बहुत छोटा $T$. ड्रूड मॉडल में लॉरेंज संख्या का अच्छा अनुमान क्वांटम संस्करण की तुलना में लगभग 100 बड़े इलेक्ट्रॉन के शास्त्रीय माध्य वेग का परिणाम था, जो शास्त्रीय ताप क्षमता के बड़े मूल्य की भरपाई करता था। लॉरेंज कारक की मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल गणना ड्रूड के मूल्य से लगभग दोगुनी है और यह प्रायोगिक मूल्य के करीब है। इस ताप क्षमता के साथ मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल थर्मोइलेक्ट्रिक प्रभाव के सीबेक गुणांक के लिए कम टी पर परिमाण और तापमान निर्भरता के सही क्रम की भविष्यवाणी करने में भी सक्षम है।

जाहिर है, अकेले इलेक्ट्रॉनिक योगदान डुलोंग-पेटिट कानून की भविष्यवाणी नहीं करता है, यानी अवलोकन कि धातु की गर्मी क्षमता उच्च तापमान पर स्थिर होती है। जाली कंपन योगदान को जोड़कर इस अर्थ में मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल में सुधार किया जा सकता है। जाली को समस्या में शामिल करने की दो प्रसिद्ध योजनाएँ आइंस्टीन ठोस मॉडल और डेबी मॉडल हैं। बाद के जोड़ के साथ, कम तापमान पर धातु की वॉल्यूमेट्रिक ताप क्षमता को अधिक सटीक रूप में लिखा जा सकता है,
 * $$c_V\approx\gamma T + AT^3$$,

कहाँ पे $$\gamma$$ तथा $$A$$ सामग्री से संबंधित स्थिरांक हैं। रैखिक शब्द इलेक्ट्रॉनिक योगदान से आता है जबकि घन शब्द डेबी मॉडल से आता है। उच्च तापमान पर यह अभिव्यक्ति अब सही नहीं है, इलेक्ट्रॉनिक ताप क्षमता की उपेक्षा की जा सकती है, और धातु की कुल ताप क्षमता स्थिर हो जाती है।

मतलब मुक्त पथ
ध्यान दें कि विश्राम समय के सन्निकटन के बिना, इलेक्ट्रॉनों के पास अपनी गति को विक्षेपित करने का कोई कारण नहीं है, क्योंकि कोई अंतःक्रिया नहीं होती है, इस प्रकार माध्य मुक्त पथ अनंत होना चाहिए। ड्रूड मॉडल ने इलेक्ट्रॉनों के औसत मुक्त पथ को सामग्री में आयनों के बीच की दूरी के करीब माना, पहले के निष्कर्ष का अर्थ है कि इलेक्ट्रॉनों का प्रसार आयनों के साथ टकराव के कारण था। इसके बजाय मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल में माध्य मुक्त पथ दिए गए हैं $\lambda=v_{\rm F}\tau$ (कहाँ पे $v_{\rm F}=\sqrt{2E_{\rm F}/m_e}$  फर्मी गति है) और सैकड़ों ångströms के क्रम में हैं, किसी भी संभावित शास्त्रीय गणना से बड़े परिमाण का कम से कम एक क्रम। माध्य मुक्त पथ तब इलेक्ट्रॉन-आयन टकराव का परिणाम नहीं होता है, बल्कि इसके बजाय सामग्री में खामियों से संबंधित होता है, या तो क्रिस्टलोग्राफिक दोष और धातु में अशुद्धियों के कारण, या थर्मल उतार-चढ़ाव के कारण।

अशुद्धियाँ और विस्तार
मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल कई अपर्याप्तताओं को प्रस्तुत करता है जो प्रयोगात्मक अवलोकन द्वारा विरोधाभासी हैं। हम कुछ अशुद्धियों को नीचे सूचीबद्ध करते हैं:
 * तापमान निर्भरता: मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल कई भौतिक मात्राओं को प्रस्तुत करता है जिनमें गलत तापमान निर्भरता होती है, या विद्युत चालकता की तरह बिल्कुल भी कोई निर्भरता नहीं होती है। कम तापमान पर क्षार धातुओं के लिए तापीय चालकता और विशिष्ट गर्मी की अच्छी तरह से भविष्यवाणी की जाती है, लेकिन आयन गति और फोनन बिखरने से आने वाले उच्च तापमान व्यवहार की भविष्यवाणी करने में विफल रहता है।
 * हॉल इफेक्ट और मैग्नेटोरेसिस्टेंस: हॉल गुणांक का एक स्थिर मूल्य होता है $R_{H} = –1/(ne)$ ड्रूड के मॉडल में और मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल में। यह मान तापमान और चुंबकीय क्षेत्र की ताकत से स्वतंत्र है। हॉल गुणांक वास्तव में बैंड संरचना पर निर्भर है और मैग्नीशियम और अल्युमीनियम जैसे मजबूत चुंबकीय क्षेत्र निर्भरता वाले तत्वों का अध्ययन करते समय मॉडल के साथ अंतर काफी नाटकीय हो सकता है। मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल यह भी भविष्यवाणी करता है कि ट्रैवर्स मैग्नेटोरेसिस्टेंस, वर्तमान की दिशा में प्रतिरोध, क्षेत्र की ताकत पर निर्भर नहीं करता है। लगभग सभी मामलों में ऐसा होता है।
 * दिशात्मक: कुछ धातुओं की चालकता विद्युत क्षेत्र के संबंध में नमूने के उन्मुखीकरण पर निर्भर कर सकती है। कभी-कभी विद्युत धारा भी क्षेत्र के समानांतर नहीं होती है। इस संभावना का वर्णन नहीं किया गया है क्योंकि मॉडल धातुओं के क्रिस्टलीयता को एकीकृत नहीं करता है, यानी आयनों की आवधिक जाली का अस्तित्व।
 * चालकता में विविधता: सभी पदार्थ विद्युत के सुचालक नहीं होते हैं, कुछ बहुत अच्छी तरह से बिजली का संचालन नहीं करते हैं (इन्सुलेटर (बिजली)), कुछ अर्धचालक की तरह अशुद्धियों को जोड़ने पर आचरण कर सकते हैं। सेमीमेटल्स, संकीर्ण चालन बैंड के साथ भी मौजूद हैं। इस विविधता का मॉडल द्वारा अनुमान नहीं लगाया गया है और केवल वैलेंस और कंडक्शन बैंड का विश्लेषण करके समझाया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, इलेक्ट्रॉन धातु में एकमात्र आवेश वाहक नहीं होते हैं, इलेक्ट्रॉन रिक्तियों या इलेक्ट्रॉन छिद्र को सकारात्मक विद्युत आवेश वाले quisiparticle्स के रूप में देखा जा सकता है। हॉल और सीबेक गुणांकों के लिए छेदों का संचालन मॉडल द्वारा भविष्यवाणी की गई विपरीत संकेत की ओर जाता है।

अन्य कमियां Wiedemann-Franz कानून में मध्यवर्ती तापमान और ऑप्टिकल स्पेक्ट्रम में धातुओं की आवृत्ति-निर्भरता में मौजूद हैं।

विद्युत चालकता और विडेमैन-फ्रांज कानून के लिए अधिक सटीक मान बोल्ट्ज़मैन समीकरण या कुबो सूत्र को अपील करके विश्राम-समय सन्निकटन को नरम करके प्राप्त किया जा सकता है।

स्पिन (भौतिकी) को ज्यादातर मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल में उपेक्षित किया जाता है और इसके परिणाम अनुचुंबकत्व और लोह चुंबकत्व जैसी आकस्मिक चुंबकीय घटनाओं को जन्म दे सकते हैं।

खाली जाली सन्निकटन को मानकर मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल की तत्काल निरंतरता प्राप्त की जा सकती है, जो बैंड संरचना मॉडल का आधार है जिसे लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल के रूप में जाना जाता है।

इलेक्ट्रॉनों के बीच प्रतिकारक अन्योन्यक्रियाओं को जोड़ने से यहां प्रस्तुत चित्र बहुत अधिक नहीं बदलता है। लेव लैंडौ ने दिखाया कि प्रतिकूल बातचीत के तहत एक फर्मी गैस को समतुल्य क्वासिपार्टिकल्स की गैस के रूप में देखा जा सकता है जो धातु के गुणों को थोड़ा संशोधित करता है। लैंडौ के मॉडल को अब फर्मी तरल सिद्धांत के रूप में जाना जाता है। अतिचालकता जैसी अधिक विदेशी घटनाएं, जहां बातचीत आकर्षक हो सकती है, एक अधिक परिष्कृत सिद्धांत की आवश्यकता होती है।

यह भी देखें

 * बलोच की प्रमेय
 * इलेक्ट्रॉनिक एन्ट्रापी
 * टाइट बाइंडिंग
 * द्वि-आयामी इलेक्ट्रॉन गैस
 * बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी
 * फर्मी सतह
 * व्हाइट द्वार्फ
 * जेलियम

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * धातु
 * प्रभारी वाहक
 * भौतिक विज्ञान की ठोस अवस्था
 * ऊष्मीय चालकता
 * राज्यों का घनत्व
 * इलेक्ट्रिकल कंडक्टीविटी
 * किसी गर्म स्त्रोत से इलेक्ट्रॉन उत्सर्जन
 * अलकाली धातु
 * प्रभावी द्रव्यमान (ठोस अवस्था भौतिकी)
 * मतलब खाली समय
 * फर्मियन
 * वॉल्यूमेट्रिक ताप क्षमता
 * ताप की गुंजाइश
 * लोरेंज संख्या
 * मुक्त पथ मतलब
 * सेमीकंडक्टर
 * बोल्ट्जमैन समीकरण
 * विद्युत कंडक्टर
 * घन सूत्र

संदर्भ

 * General