घर्षण संपर्क यांत्रिकी

घर्षण संपर्क यांत्रिकी एक या अधिक बिंदुओं पर एक दूसरे को छूने वाले ठोस पदार्थों के विरूपण (यांत्रिकी) का अध्ययन है। इसे इंटरफ़ेस के लंबवत दिशा में संपीड़न और चिपकने वाली ताकतों और स्पर्शरेखा दिशा में घर्षण बलों में विभाजित किया जा सकता है। घर्षण संपर्क यांत्रिकी घर्षण प्रभावों की उपस्थिति में पिंडों के विरूपण का अध्ययन है, जबकि घर्षण रहित संपर्क यांत्रिकी ऐसे प्रभावों की अनुपस्थिति को मानता है।

घर्षण संपर्क यांत्रिकी विभिन्न पैमानों की एक बड़ी श्रृंखला से संबंधित है। यह पृष्ठ मुख्य रूप से दूसरे पैमाने से संबंधित है: संपर्क पैच में और उसके पास के तनावों और विकृतियों में बुनियादी अंतर्दृष्टि प्राप्त करना, विस्तृत तंत्र पर बहुत अधिक ध्यान दिए बिना जिससे वे उत्पन्न होते है।
 * मैक्रोस्कोपिक पैमाने पर, यह संपर्क निकायों की गति की जांच के लिए लागू होता है (संपर्क गतिशीलता देखें)। उदाहरण के लिए किसी सतह पर रबर की गेंद का उछलना संपर्क इंटरफ़ेस पर घर्षण संबंधी अन्योन्य क्रिया पर निर्भर करता है। यहां कुल बल बनाम इंडेंटेशन और पार्श्व विस्थापन मुख्य चिंता का विषय है।
 * मध्यवर्ती पैमाने पर, संपर्क क्षेत्र में और उसके पास संपर्क निकायों के स्थानीय तनाव (यांत्रिकी) और विकृतियों में रुचि रखता है। उदाहरण के लिए मैक्रोस्कोपिक पैमाने पर संपर्क मॉडल को प्राप्त करने या मान्य करने के लिए, या संपर्क निकायों की सतहों के पहनने और क्षति की जांच करने के लिए। इस पैमाने के अनुप्रयोग क्षेत्र टायर-फुटपाथ इंटरैक्शन, रेलवे व्हील-रेल इंटरैक्शन, रोलर बियरिंग विश्लेषण आदि है।
 * अंत में, सूक्ष्म और नैनो-पैमाने पर, संपर्क यांत्रिकी का उपयोग जनजातीय प्रणालियों (जैसे, घर्षण की उत्पत्ति की जांच) और परमाणु बल सूक्ष्मदर्शी और एमईएमएस उपकरणों जैसे उन्नत उपकरणों की इंजीनियरिंग के बारे में हमारी समझ को बढ़ाने के लिए किया जाता है।

इतिहास
कई प्रसिद्ध वैज्ञानिकों, अभियंत्रिकों और गणितज्ञों ने घर्षण की हमारी समझ में योगदान दिया। इनमें लियोनार्डो दा विंसी, गिलाउम एमोंटन्स, जॉन थियोफिलस डिसागुलायर्स, लियोनहार्ड यूलर और चार्ल्स-अगस्टिन डी कूलम्ब सम्मलित है। बाद में, निकोलाई पावलोविच पेट्रोव , ओसबोर्न रेनॉल्ड्स और रिचर्ड स्ट्रीबेक ने इस समझ को स्नेहन के सिद्धांतों के साथ पूरक किया।

17वीं और 18वीं सदी में रॉबर्ट हूक, जोसेफ लुइस लैग्रेंज और 19वीं और 20वीं सदी में डी’अलेम्बर्ट और स्टीफन टिमोशेंको द्वारा ठोस पदार्थों के विरूपण की जांच की गई थी। संपर्क यांत्रिकी के संबंध में हेनरिक हर्ट्ज का मौलिक योगदान विशिष्ट है। इसके अतिरिक्त बौसिनस्क और सेरुति द्वारा मौलिक समाधान (रैखिक रूप से) लोचदार शासन में घर्षण संपर्क समस्याओं की जांच के लिए प्राथमिक महत्व के है।

वास्तविक घर्षण संपर्क समस्या के मौलिक परिणाम एफ.डब्ल्यू. कार्टर (1926) और एच. फ्रॉम (1927) के शोधपत्रों से संबंधित है। उन्होंने स्वतंत्र रूप से कूलम्ब के शुष्क घर्षण नियम (नीचे देखें) का उपयोग करते हुए एक समतल पर एक सिलेंडर के लिए या स्थिर रोलिंग संपर्क में दो सिलेंडरों के लिए रेंगना बनाम रेंगना बल संबंध प्रस्तुत किया। ये रेलवे लोकोमोटिव कर्षण पर और रेलवे वाहनों के शिकार दोलन को समझने के लिए लागू होते है। फिसलने के संबंध में, मौलिक समाधान सी. कट्टानियो (1938) और आर.डी. मिंडलिन (1949) के कारण है, जिन्होंने एक तल पर एक गोले के स्पर्शरेखा स्थानांतरण पर विचार किया।

1950 के दशक में रेलवे पहियों के रोलिंग संपर्क में रुचि बढ़ी। 1958 में, केनेथ एल. जॉनसन ने हर्टज़ियन ज्यामिति के साथ 3डी घर्षण समस्या के लिए एक अनुमानित दृष्टिकोण प्रस्तुत किया, जिसमें पार्श्व या स्पिन क्रीपेज सम्मलित थे। दूसरों के बीच उन्होंने पाया कि स्पिन क्रीपेज, जो संपर्क पैच के केंद्र के बारे में सममित है, रोलिंग स्थितियों में शुद्ध पार्श्व बल की ओर जाता है। यह संपर्क पैच में ट्रैक्शन के वितरण में फ्रंट-आफ्टर अंतर के कारण है।

1967 में, जोस्ट जैक्स कल्कर ने रोलिंग संपर्क के लिए रैखिक सिद्धांत पर अपनी मील का पत्थर पीएचडी थीसिस प्रकाशित की। यह सिद्धांत एक अनंत घर्षण गुणांक की स्थिति के लिए त्रुटिहीन है, जिस स्थिति में स्लिप क्षेत्र गायब हो जाता है, और गैर-लुप्त होने वाले रेंगने के लिए अनुमानित है। यह कूलम्ब के घर्षण कानून को मानता है, जिसके लिए अधिक या कम साफ सतहों की आवश्यकता होती है। यह सिद्धांत बड़े पैमाने पर निकायों जैसे रेलवे व्हील-रेल संपर्क के लिए है। रोड-टायर इंटरेक्शन के संबंध में, एक महत्वपूर्ण योगदान हंस पेसेजका द्वारा तथाकथित मैजिक टायर फॉर्मूला से संबंधित है।

1970 के दशक में, कई संख्यात्मक मॉडल तैयार किए गए थे। विशेष रूप से परिवर्तनशील दृष्टिकोण, जैसे कि डुवौट और लायन के अस्तित्व और विशिष्टता सिद्धांतों पर भरोसा करने वाले। समय के साथ, ये सामान्य सामग्री मॉडल और ज्यामिति के साथ संपर्क समस्याओं के लिए परिमित तत्व दृष्टिकोण में और रैखिक रूप से लोचदार सामग्री के लिए तथाकथित चिकनी-किनारे वाली संपर्क समस्याओं के लिए आधे-अंतरिक्ष आधारित दृष्टिकोण में विकसित हुए। पहली श्रेणी के मॉडल लॉरेन और रिगर्स द्वारा प्रस्तुत किए गए थे। बाद वाली श्रेणी का एक उदाहरण काल्कर का संपर्क मॉडल है।

अच्छी तरह से स्थापित परिवर्तनशील दृष्टिकोणों की एक खामी उनकी बड़ी संगणना समय है। इसलिए, कई अलग-अलग अनुमानित दृष्टिकोण भी तैयार किए गए थे। रोलिंग संपर्क समस्या के लिए कई जाने-माने अनुमानित सिद्धांत कल्कर के फास्टसिम दृष्टिकोण, शेन-हेड्रिक-एल्किंस सूत्र और पोलाच के दृष्टिकोण है।

पहिया/रेल संपर्क समस्या के इतिहास के बारे में अधिक जानकारी नोथे के पेपर में प्रदान की गई है। इसके अतिरिक्त जॉनसन ने अपनी पुस्तक में संपर्क यांत्रिकी और संबंधित विषयों पर भारी मात्रा में जानकारी एकत्र की। रोलिंग संपर्क यांत्रिकी के संबंध में कल्कर द्वारा विभिन्न सिद्धांतों का एक सिंहावलोकन भी प्रस्तुत किया गया है। अंत में सीआईएसएम पाठ्यक्रम की कार्यवाही रोचक है, जो रोलिंग संपर्क सिद्धांत के अधिक उन्नत पहलुओं का परिचय प्रदान करती है।

समस्या सूत्रीकरण
घर्षण संपर्क समस्याओं के विश्लेषण में केंद्रीय यह समझ है कि प्रत्येक शरीर की सतह पर तनाव स्थानिक रूप से भिन्न होते है। परिणाम स्वरुप, शरीर के तनाव और विकृतियां भी स्थिति के साथ बदलती रहती है। और संपर्क करने वाले निकायों के कणों की गति अलग-अलग स्थानों पर अलग-अलग हो सकती है: संपर्क पैच के हिस्से में विरोधी निकायों के कण एक-दूसरे का पालन (छड़ी) कर सकते है, जबकि संपर्क पैच के अन्य हिस्सों में सापेक्ष गति होती है। इस स्थानीय सापेक्ष फिसलन को माइक्रो-स्लिप कहा जाता है।

स्टिक (चिपकने वाला) और स्लिप क्षेत्रों में संपर्क क्षेत्र का यह उपविभाजन स्वयं को प्रकट करता है ए.ओ. झल्लाहट पहनने में। ध्यान दें कि टूट-फूट केवल वहीं होती है जहां शक्ति का क्षय होता है, जिसके लिए दो सतहों के बीच तनाव और स्थानीय सापेक्ष विस्थापन (पर्ची) की आवश्यकता होती है।

संपर्क पैच का आकार और आकार और इसके आसंजन और स्लिप क्षेत्र सामान्यतः पहले से अज्ञात होते है। यदि ये ज्ञात होते, तो दो पिंडों में लोचदार क्षेत्रों को एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से हल किया जा सकता था और समस्या अब संपर्क समस्या नहीं होगी।

एक संपर्क समस्या में तीन विभिन्न घटकों की पहचान की जा सकती है।
 * 1) सबसे पहले, उनकी सतहों पर लगाए गए भारों की प्रतिक्रिया में अलग-अलग निकायों का विरूपण होता है। यह सामान्य सातत्य यांत्रिकी का विषय है। यह अधिक हद तक पिंडों की ज्यामिति और उनके (संवैधानिक) भौतिक व्यवहार (जैसे लोचदार बनाम प्लास्टिक प्रतिक्रिया, सजातीय बनाम स्तरित संरचना आदि) पर निर्भर करता है।
 * 2) दूसरी बात, एक दूसरे के सापेक्ष पिंडों की समग्र गति होती है। उदाहरण के लिए शरीर आराम (स्थैतिकी) पर हो सकता है या एक दूसरे के पास जल्दी (प्रभाव) आ सकता है, और एक दूसरे के ऊपर स्थानांतरित (स्लाइडिंग) या घुमाया (रोलिंग) किया जा सकता है। इन समग्र गतियों का सामान्यतः मौलिक यांत्रिकी में अध्ययन किया जाता है, उदाहरण के लिए बहुभुज गतिशीलता देखें।
 * 3) अंत में संपर्क इंटरफ़ेस पर प्रक्रियाएं है: इंटरफ़ेस के लंबवत दिशा में संपीड़न और आसंजन, और स्पर्शरेखा दिशाओं में घर्षण और माइक्रो-स्लिप।

अंतिम पहलू संपर्क यांत्रिकी की प्राथमिक चिंता है। यह तथाकथित संपर्क स्थितियों के संदर्भ में वर्णित है। इंटरफ़ेस के लंबवत दिशा के लिए, सामान्य संपर्क समस्या, आसंजन प्रभाव सामान्यतः छोटे होते है (बड़े स्थानिक पैमाने पर) और निम्नलिखित स्थितियों को सामान्यतः नियोजित किया जाता है: गणितीय रूप से: $$ e_n \ge 0, p_n \ge 0, e_n\cdot p_n = 0\,\!$$। यहां $$e_n, p_n$$ ऐसे कार्य है जो निकायों की सतहों के साथ स्थिति के साथ भिन्न होते है।
 * 1) अन्तर $$e_n$$ दो सतहों के बीच शून्य (संपर्क) या कड़ाई से सकारात्मक होना चाहिए (अलगाव, $$e_n>0$$);
 * 2) सामान्य तनाव $$p_n$$ प्रत्येक शरीर पर अभिनय शून्य (पृथक्करण) या संपीड़ित है ($$p_n > 0$$ संपर्क में)।

स्पर्शरेखा दिशाओं में निम्नलिखित स्थितियों का अधिकांशतः उपयोग किया जाता है:
 * 1) स्थानीय (स्पर्शरेखा) कतरनी तनाव $$\vec{p} = (p_x, p_y)^\mathsf{T}\,\!$$ (सामान्य दिशा को समानांतर मानते हुए $$z$$-एक्सिस) एक निश्चित स्थिति-निर्भर अधिकतम से अधिक नहीं हो सकता है, तथाकथित कर्षण बाध्य $$g$$;
 * 2) जहां स्पर्शरेखा कर्षण की भयावहता कर्षण से नीचे गिरती है $$\|\vec{p}\|<g\,\!$$, विरोधी सतह एक साथ पालन करती है और सूक्ष्म-पर्ची गायब हो जाती है, $$\vec{s} = (s_x, s_y)^\mathsf{T} = \vec{0}\,\!$$;
 * 3) माइक्रो-स्लिप वह होता है जहां स्पर्शरेखा ट्रैक्शन कर्षण में होते है;स्पर्शरेखा कर्षण की दिशा फिर माइक्रो-स्लिप की दिशा के विपरीत है $$\vec{p} = -g\vec{s}/\|\vec{s}\|\,\!$$।

कर्षण बाध्य का त्रुटिहीन रूप तथाकथित स्थानीय घर्षण कानून है। इसके लिए कूलम्ब (वैश्विक) घर्षण कानून अधिकांशतः स्थानीय रूप से लागू होता है: $$\|\vec{p}\|\le g = \mu p_n\,\!$$, साथ $$\mu$$ घर्षण गुणांक। उदाहरण के लिए, अधिक विस्तृत सूत्र भी संभव है $$\mu$$ तापमान पर निर्भर करता है $$T$$, स्थानीय स्लाइडिंग वेग $$\|\vec{s}\|$$, आदि।

एक बोलार्ड पर रस्सी, कैप्स्टन समीकरण
एक रस्सी पर विचार करें जहां समान बल (जैसे, $$F_\text{hold} = 400\,\mathrm{N}$$) दोनों पक्षों पर लगाए जाते है। इसके द्वारा रस्सी को थोड़ा और एक आंतरिक तनाव फैलाया जाता है $$T$$ प्रेरित है ($$T = 400\,\mathrm{N}$$ रस्सी के साथ हर स्थिति पर)। रस्सी को एक निश्चित आइटम जैसे कि अंटा के चारों ओर लपेटा जाता है;यह मुड़ा हुआ है और एक संपर्क कोण पर आइटम की सतह पर संपर्क करता है (जैसे, $$180^\circ$$)। सामान्य दबाव रस्सी और बोलार्ड के बीच होता है, लेकिन अभी तक कोई घर्षण नहीं होता है। अगला बोलार्ड के एक तरफ बल को उच्च मूल्य तक बढ़ाया जाता है (जैसे, $$F_\text{load} = 600\,\mathrm{N}$$)। यह संपर्क क्षेत्र में घर्षण कतरनी तनाव का कारण बनता है। अंतिम स्थिति में बोलार्ड रस्सी पर एक घर्षण बल का अभ्यास करता है जैसे कि एक स्थिर स्थिति होती है।

इस अंतिम स्थिति में रस्सी में तनाव वितरण को कैप्स्टन समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है, समाधान के साथ:


 * $$\begin{align}

T(\phi) &= T_\text{hold},             & \phi &\in \left[\phi_\text{hold}, \phi_\text{intf}\right] \\ T(\phi) &= T_\text{load} e^{-\mu\phi}, & \phi &\in \left[\phi_\text{intf}, \phi_\text{load}\right] \\ \phi_\text{intf} &= \frac{1}{\mu} \log\left(\frac{T_\text{load}}{T_\text{hold}}\right) & \end{align}$$ तनाव बढ़ता है $$T_\text{hold}$$ स्लैक की तरफ ($$\phi = \phi_\text{hold}$$) को $$T_\text{load}$$ ऊँची तरफ $$\phi = \phi_\text{load}$$। जब उच्च पक्ष से देखा जाता है, तो तनाव तेजी से गिरता है, जब तक कि यह निचले लोड पर नहीं पहुंच जाता है $$\phi = \phi_\text{intf}$$। वहाँ से इस मूल्य पर स्थिर है। संक्रमण बिंदु $$\phi_\text{intf}$$ दो भार और घर्षण गुणांक के अनुपात से निर्धारित होता है। यहाँ तनाव $$T$$ न्यूटन और कोणों में है $$\phi$$ रेडियन में होता है।

तनाव $$T$$ अंतिम स्थिति में रस्सी में प्रारंभिक राज्य के संबंध में वृद्धि हुई है। इसलिए, रस्सी थोड़ी बढ़ जाती है। इसका मतलब यह है कि रस्सी के सभी सतह कणों ने बोलार्ड सतह पर अपनी प्रारंभिक स्थिति नहीं रखी हो सकती है। लोडिंग प्रक्रिया के दौरान, स्लिप एरिया में बोलार्ड की सतह के साथ रस्सी थोड़ी फिसल गई $$\phi \in [\phi_\text{intf}, \phi_\text{load}]$$। यह पर्ची ठीक से बड़ी है जो अंतिम अवस्था में होती है। ध्यान दें कि अंतिम स्थिति में कोई फिसलने नहीं चल रही है;शब्द पर्ची क्षेत्र लोडिंग प्रक्रिया के दौरान होने वाली स्लिपेज को संदर्भित करता है। आगे ध्यान दें कि पर्ची क्षेत्र का स्थान प्रारंभिक अवस्था और लोडिंग प्रक्रिया पर निर्भर करता है। यदि प्रारंभिक तनाव है $$600\,\mathrm{N}$$ और तनाव कम हो गया है $$400\,\mathrm{N}$$ स्लैक की तरफ, फिर पर्ची क्षेत्र संपर्क क्षेत्र के सुस्त पक्ष में होता है। के बीच प्रारंभिक तनाव के लिए $$400$$ और $$600\,\mathrm{N}$$, बीच में एक छड़ी क्षेत्र के साथ दोनों तरफ पर्ची क्षेत्र हो सकते है।

मनमाने ढंग से ऑर्थोट्रोपिक सतह पर पड़ी रस्सी के लिए सामान्यीकरण
यदि एक रस्सी किसी न किसी ऑर्थोट्रोपिक सतह पर स्पर्शरेखा बलों के अनुसार संतुलन में बिछा रही है, तो तीन निम्नलिखित स्थितियां (उन सभी) को संतुष्ट करते है:

1. No separation – normal reaction $N$ is positive for all points of the rope curve:


 * $N = -k_nT > 0$, where $k_n$ is a normal curvature of the rope curve.

2. Dragging coefficient of friction $\mu_g$ and angle $\alpha$ are satisfying the following criteria for all points of the curve
 * $-\mu_g < \tan \alpha < +\mu_g$

3. Limit values of the tangential forces:

The forces at both ends of the rope $T$ and $T_0$ are satisfying the following inequality


 * $T_0 e^{-\int_s \omega \mathrm{d}s} \le T \le T_0 e^{\int_s \omega \mathrm{d}s}$

with $\omega = \mu_\tau \sqrt{ k_n^2 - \frac{k_g^2}{\mu_g^2} } = \mu_\tau k \sqrt{ \cos^2 \alpha - \frac{\sin^2 \alpha}{\mu_g^2}}$,

कहाँ पे $k_g$रस्सी वक्र का एक जियोडेसिक वक्रता है, $k$ एक रस्सी वक्र की वक्रता है, $\mu_\tau$स्पर्शरेखा दिशा में घर्षण का एक गुणांक है।

यदि $\omega$ तब स्थिर है $T_0 e^{-\mu_\tau k s \, \sqrt{ \cos^2 \alpha - \frac{\sin^2 \alpha}{\mu_g^2}}} \le T \le T_0 e^{\mu_\tau k s \, \sqrt{ \cos^2 \alpha - \frac{\sin^2 \alpha}{\mu_g^2}}}$।
 * undefined

यह सामान्यीकरण कोनुखोव ए द्वारा प्राप्त किया गया है,

विमान पर गोला, (3डी) कट्टानियो समस्या
एक ऐसे क्षेत्र पर विचार करें जो एक विमान (आधा स्थान) पर दबाया जाता है और फिर विमान की सतह पर स्थानांतरित हो जाता है। यदि क्षेत्र और विमान को कठोर निकायों के रूप में आदर्श बनाया जाता है, तो संपर्क केवल एक बिंदु में होगा, और क्षेत्र तब तक नहीं चलेगा जब तक कि लागू होने वाली स्पर्शरेखा बल अधिकतम घर्षण बल तक नहीं पहुंच जाता है। तब यह सतह पर फिसलने लगता है जब तक कि लागू बल फिर से कम नहीं हो जाता है।

वास्तव में, लोचदार प्रभावों को ध्यान में रखते हुए, स्थिति बहुत अलग है। यदि एक लोचदार गोला को एक ही सामग्री के एक लोचदार विमान पर दबाया जाता है, तो दोनों शरीर विकृत हो जाते है, एक गोलाकार संपर्क क्षेत्र अस्तित्व में आता है, और एक (हर्ट्जियन) सामान्य दबाव वितरण उत्पन्न होता है। क्षेत्र के केंद्र को दूर से नीचे ले जाया जाता है $$\delta_n$$ दृष्टिकोण कहा जाता है, जो कि अपरिचित सतहों के अधिकतम प्रवेश के बराबर है। त्रिज्या के क्षेत्र के लिए $$R$$ और लोचदार स्थिरांक $$E, \nu$$ यह हर्ट्जियन समाधान पढ़ता है:


 * $$\begin{align}

p_n(x, y) &= p_0 \sqrt{1 - \frac{r^2}{a^2}} & r &= \sqrt{x^2 + y^2} \le a & a &= \sqrt{R\delta_n} \\ p_0 &= \frac{2}{\pi} E^* \sqrt{\frac{\delta_n}{R}} & F_n &= \frac{4}{3} E^* \sqrt{R} \delta_n^\frac{3}{2} & E^* &= \frac{E}{2\left(1 - \nu^2\right)} \end{align}$$ अब एक स्पर्शरेखा बल पर विचार करें $$F_x$$ लागू किया जाता है कि कूलम्ब घर्षण बाध्य से कम है $$\mu F_n$$। गोले का केंद्र तब एक छोटी दूरी से बग़ल में ले जाया जाएगा $$\delta_x$$ इसे शिफ्ट कहा जाता है। एक स्थिर संतुलन प्राप्त किया जाता है जिसमें लोचदार विकृति के साथ -साथ संपर्क इंटरफ़ेस में घर्षण कतरनी तनाव होता है। इस स्थिति में, यदि स्पर्शरेखा बल कम हो जाता है, तो लोचदार विकृति और कतरनी तनाव कम हो जाते है। संपर्क पैच में स्थानीय पर्ची के कारण उत्पन्न होने वाले घर्षण नुकसान को छोड़कर, बड़े पैमाने पर अपनी मूल स्थिति में वापस आ जाता है।

यह संपर्क समस्या लगभग एक विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण का उपयोग करके कट्टानियो द्वारा हल की गई थी। संतुलन राज्य में तनाव वितरण में दो भाग होते है:


 * $$\begin{align}

p_x(x, y) &= \mu p_0 \left(\sqrt{1 - \frac{r^2}{a^2}} - \frac{c}{a}\sqrt{1 - \frac{r^2}{c^2}} \right) & 0 \le {} &r \le c \\ p_x(x, y) &= \mu p_n(x, y) & c \le {} &r \le a \\ p_x(x, y) &= 0 & a \le {} &r \end{align}$$ केंद्रीय, चिपके हुए क्षेत्र में $$0 \le r \le c$$, विमान की सतह के कण विस्थापित हो जाते है $$u_x = \delta_x/2$$ दाईं ओर जबकि गोले की सतह के कण विस्थापित हो जाते है $$u_x = -\delta_x/2$$ बांई ओर। यदि एक पूरी चाल के रूप में गोला खत्म हो जाता है $$\delta_x$$ विमान के सापेक्ष, ये सतह कण एक दूसरे के सापेक्ष नहीं चले गए। बाहरी एनलस में $$c \le r \le r$$, सतह के कण एक दूसरे के सापेक्ष चले गए। उनके स्थानीय बदलाव के रूप में प्राप्त किया जाता है:


 * $$s_x(x, y) = \delta_x + u_x^\text{sphere}(x, y) - u_x^\text{plane}(x, y)$$

यह शिफ्ट $$s_x(x, y)$$ ठीक है जैसे कि इस तथाकथित पर्ची क्षेत्र में बंधे कर्षण में कतरनी तनाव के साथ एक स्थिर संतुलन प्राप्त किया जाता है।

तो, गोले के स्पर्शरेखा लोडिंग के दौरान, आंशिक स्लाइडिंग होती है। इस प्रकार संपर्क क्षेत्र को एक पर्ची क्षेत्र में विभाजित किया जाता है जहां सतह एक दूसरे के सापेक्ष और एक छड़ी क्षेत्र के सापेक्ष चलती है जहां वे नहीं करते है। संतुलन की स्थिति में कोई और स्लाइडिंग नहीं चल रही है।

गतिशील स्लाइडिंग समस्याओं के समाधान
एक संपर्क समस्या के समाधान में इंटरफ़ेस में राज्य होता है (जहां संपर्क है, छड़ी और पर्ची क्षेत्रों में संपर्क क्षेत्र का विभाजन, और सामान्य और कतरनी तनाव वितरण) और शरीर के अंदरूनी हिस्सों में लोचदार क्षेत्र। यह समाधान संपर्क के इतिहास पर निर्भर करता है। यह ऊपर वर्णित कट्टानियो समस्या के विस्तार द्वारा देखा जा सकता है।
 * कट्टानियो समस्या में, गोले को पहले विमान पर दबाया जाता है और फिर स्पर्शरेखा को स्थानांतरित कर दिया जाता है। यह ऊपर वर्णित के रूप में आंशिक पर्ची देता है।
 * यदि क्षेत्र को पहले स्पर्शरेखा को स्थानांतरित किया जाता है और फिर विमान पर दबाया जाता है, तो विरोधी सतहों के बीच कोई स्पर्शरेखा विस्थापन अंतर नहीं होता है और परिणामस्वरूप संपर्क इंटरफ़ेस में कोई स्पर्शरेखा तनाव नहीं होता है।
 * यदि सामान्य दिशा और स्पर्शरेखा शिफ्ट में दृष्टिकोण एक साथ बढ़ जाता है (तिरछा संपीड़न) तो एक स्थिति स्पर्शरेखा तनाव के साथ प्राप्त की जा सकती है लेकिन स्थानीय पर्ची के बिना।

यह दर्शाता है कि संपर्क इंटरफ़ेस में राज्य न केवल दो निकायों के सापेक्ष पदों पर निर्भर है, बल्कि उनके गति इतिहास पर भी निर्भर है। इसका एक और उदाहरण तब होता है जब क्षेत्र को अपनी मूल स्थिति में वापस स्थानांतरित कर दिया जाता है। प्रारंभ में संपर्क इंटरफ़ेस में कोई स्पर्शरेखा तनाव नहीं था। प्रारंभिक पारी के बाद माइक्रो-स्लिप हुई है। यह माइक्रो-स्लिप पूरी तरह से वापस स्थानांतरित करने से पूर्ववत नहीं है। तो अंतिम स्थिति में स्पर्शरेखा तनाव इंटरफ़ेस में रहता है, जो मूल के समान समान कॉन्फ़िगरेशन की तरह दिखता है।

गतिशील संपर्कों (प्रभावों) पर घर्षण के प्रभाव को विस्तार से माना जाता है।

रोलिंग संपर्क समस्याओं का समाधान
रोलिंग संपर्क समस्याएं गतिशील समस्याएं है जिनमें संपर्क निकाय लगातार एक दूसरे के संबंध में आगे बढ़ रहे है। डायनेमिक स्लाइडिंग संपर्क समस्याओं में एक अंतर यह है कि विभिन्न सतह कणों की अवस्था में अधिक विविधता होती है। जबकि एक स्लाइडिंग समस्या में संपर्क पैच में लगातार कमोबेश एक जैसे कण होते है, एक रोलिंग संपर्क समस्या में कण लगातार संपर्क पैच में प्रवेश करते है और छोड़ते है। इसके अतिरिक्त, एक स्लाइडिंग समस्या में संपर्क पैच में सतह के कण सभी जगह कमोबेश एक ही स्पर्शरेखा बदलाव के अधीन होते है, जबकि एक रोलिंग समस्या में सतह के कणों पर अलग-अलग तरीकों से जोर दिया जाता है। संपर्क पैच में प्रवेश करते समय वे तनाव से मुक्त होते है, फिर विरोधी सतह के एक कण से चिपक जाते है, दो निकायों के बीच समग्र गति के अंतर से तनावग्रस्त हो जाते है, जब तक कि स्थानीय कर्षण सीमा पार नहीं हो जाती है और स्थानीय स्लिप सेट हो जाती है। यह प्रक्रिया संपर्क क्षेत्र के विभिन्न भागों के लिए विभिन्न चरण में होती है।

यदि निकायों की समग्र गति स्थिर है, तो एक समग्र स्थिर अवस्था प्राप्त की जा सकती है। यहां प्रत्येक सतह कण की स्थिति समय के साथ बदलती रहती है, लेकिन समग्र वितरण स्थिर हो सकता है। यह एक समन्वय प्रणाली का उपयोग करके औपचारिक रूप दिया गया है जो संपर्क पैच के साथ चल रहा है।

समतल पर लुढ़कता हुआ बेलन, (2डी) कार्टर-फ्रॉम समाधान
एक सिलेंडर पर विचार करें जो स्थिर परिस्थितियों में एक विमान (आधे स्थान) पर लुढ़क रहा है, एक समय-स्वतंत्र अनुदैर्ध्य रेंगना के साथ $$\xi$$। (अपेक्षाकृत) सिलेंडर के सिरों से दूर विमान के तनाव की स्थिति होती है और समस्या 2-आयामी होती है।

यदि सिलेंडर और विमान में समान सामग्री होती है, तो सामान्य संपर्क समस्या कतरनी तनाव से अप्रभावित है। संपर्क क्षेत्र एक पट्टी है $$x \in [-a, a]$$, और दबाव (2 डी) हर्ट्ज समाधान द्वारा वर्णित है:


 * $$\begin{align}

p_n(x) &= \frac{p_0}{a} \sqrt{a^2 - x^2} & |x| &\le a & a^2 &= \frac{4 F_n R}{\pi E^*} \\ p_0 &= \frac{2 F_n}{\pi a} &&& E^* &= \frac{E}{2\left(1 - \nu^2\right)} & \end{align}$$ कतरनी तनाव के वितरण को कार्टर-फ्रॉम समाधान द्वारा वर्णित किया गया है। इसमें संपर्क क्षेत्र के अग्रणी किनारे पर एक आसंजन क्षेत्र और अनुगामी किनारे पर एक पर्ची क्षेत्र सम्मलित है। आसंजन क्षेत्र की लंबाई को निरूपित किया गया है $$2a'$$। इसके अतिरिक्त आसंजन समन्वय द्वारा प्रस्तुत किया गया है $$x' = x + a - a'$$। एक सकारात्मक शक्ति के स्थिति में $$F_x > 0$$ (नकारात्मक रेंगना $$\xi < 0$$) यह है:


 * $$\begin{align}

p_x(x) &= 0 & |&x| \ge a \\ p_x(x) &= \frac{\mu p_0}{a} \left( \sqrt{a^2 - x^2} - \sqrt{a'^2 - x'^2} \right) & a - 2a' \le {} &x \le a \\ p_x(x) &= \mu p_n(x) & &x \le a - 2a' \end{align}$$ आसंजन क्षेत्र का आकार रेंगने, पहिया त्रिज्या और घर्षण गुणांक पर निर्भर करता है:


 * $$\begin{align}

a' &= a \sqrt{1 - \frac{|F_x|}{\mu F_n}}, & \mbox{for } |F_x| \le \mu F_n \\ \xi &= -\operatorname{sign}(F_x) \, \frac{\mu (a - a')}{R}, & \mbox{i.e. } |\xi| \le \frac{\mu a}{R} \\ F_x &= -\operatorname{sign}(\xi) \,\mu F_n \left( 1 - \left( 1 + \frac{R |\xi|}{\mu a}\right)^2 \right) \end{align}$$ बड़े रेंगने के लिए $$a' = 0$$ इस तरह से पूर्ण स्लाइडिंग होती है।

आधा-स्थान आधारित दृष्टिकोण
मध्यवर्ती स्थानिक पैमानों पर संपर्क समस्याओं पर विचार करते समय, छोटे पैमाने की सामग्री की असमानता और सतह खुरदरापन को नजरअंदाज कर दिया जाता है। निकायों को चिकनी सतहों और सजातीय सामग्रियों से युक्त माना जाता है। एक सतत दृष्टिकोण लिया जाता है जहां तनाव, तनाव और विस्थापन को (टुकड़ेवार) निरंतर कार्यों द्वारा वर्णित किया जाता है।

आधे स्थान एप्रोच तथाकथित "स्मूथ-एज्ड" या "कंसंट्रेटेड" संपर्क समस्याओं के लिए एक सुरुचिपूर्ण समाधान रणनीति है। आधे स्थान के लिए मौलिक समाधान का उपयोग करते हुए, पूर्ण 3डी संपर्क समस्या निकायों की बाउंडिंग सतहों के लिए 2डी समस्या में कम हो जाती है।
 * 1) यदि एक बड़े पैमाने पर लोचदार शरीर को उसकी सतह के एक छोटे से हिस्से पर लोड किया जाता है, तो लोचदार तनाव आनुपातिक को जन्म देता है $$1/distance^2$$ और द्वारा लोचदार विस्थापन $$1/distance$$ जब कोई इस सतह क्षेत्र से दूर चला जाता है।
 * 2) यदि किसी शरीर में संपर्क क्षेत्र में या उसके आस-पास कोई तेज कोने नहीं है, तो एक सतह के लोड के लिए इसकी प्रतिक्रिया एक लोचदार आधे स्थान की प्रतिक्रिया से अच्छी तरह से अनुमानित की जा सकती है (जैसे सभी बिंदु $$(x, y, z)^\mathsf{T} \in \R^3\,\!$$ साथ $$z>0\,\!$$)।
 * 3) लोचदार अर्ध-स्थान समस्या विश्लेषणात्मक रूप से हल हो गई है, बौसिनस्क-सेरुति समाधान देखें।
 * 4) इस दृष्टिकोण की रैखिकता के कारण, कई आंशिक समाधान सुपर-लगाए जा सकते है।

एक और सरलीकरण तब होता है जब दो निकाय "ज्यामितीय और प्रत्यास्थ रूप से समान" होते है। सामान्यतः, एक दिशा में शरीर के अंदर तनाव सीधा दिशाओं में भी विस्थापन को प्रेरित करता है। परिणाम स्वरुप, संपर्क समस्या में सामान्य तनाव और स्पर्शरेखा विस्थापन के बीच एक बातचीत होती है, और स्पर्शरेखा तनाव और सामान्य विस्थापन के बीच एक बातचीत होती है। लेकिन यदि संपर्क इंटरफ़ेस में सामान्य तनाव दोनों संपर्क निकायों में समान स्पर्शरेखा विस्थापन को प्रेरित करता है, तो दो सतहों का कोई सापेक्ष स्पर्शरेखा विस्थापन नहीं होता है। उस स्थिति में, सामान्य और स्पर्शरेखा संपर्क समस्याएँ अलग हो जाती है। यदि ऐसा है तो दो निकायों को अर्ध-समान कहा जाता है। यह उदाहरण के लिए होता है यदि संपर्क तल के संबंध में पिंड दर्पण-सममित है और समान लोचदार स्थिरांक है।

अर्ध-अंतरिक्ष दृष्टिकोण पर आधारित मौलिक समाधान है:
 * 1) हर्ट्ज़ ने घर्षण की अनुपस्थिति में एक साधारण ज्यामिति (वक्रता की निरंतर त्रिज्या के साथ घुमावदार सतह) के लिए संपर्क समस्या को हल किया।
 * 2) जैसा कि ऊपर वर्णित है, कार्टर ने एक सिलेंडर और एक विमान के बीच रोलिंग संपर्क पर विचार किया। स्पर्शरेखा कर्षण के लिए एक पूर्ण विश्लेषणात्मक समाधान प्रदान किया जाता है।
 * 3) जैसा कि ऊपर बताया गया है, कट्टानियो ने दो क्षेत्रों के संपीड़न और स्थानांतरण पर विचार किया। ध्यान दें कि यह विश्लेषणात्मक समाधान अनुमानित है। हकीकत में छोटे स्पर्शरेखा कर्षण $$p_y$$ होते है जिन्हें अनदेखा कर दिया जाता है।

यह भी देखें

 * एस
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बाहरी कड़ियाँ

 * Biography of Prof.dr.ir. J.J. Kalker (Delft University of Technology).
 * Kalker's Hertzian/non-Hertzian CONTACT software.