सममित अंतर

गणित में, दो समुच्चयो (गणित) का सममित अंतर, जिसे वियोगात्मक संघ के रूप में भी जाना जाता है, उन तत्वों का समुच्चय होता है जो किसी भी समुच्चय में होते हैं, लेकिन उनके प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) में नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, समुच्चय का सममित अंतर $$\{1,2,3\}$$ और $$\{3,4\}$$ है $$\{1,2,4\}$$.

समुच्चय A और B के सममितीय अंतर को सामान्यतया निरूपित किया जाता है $$A \ominus B,$$ या $$A\operatorname \triangle B.$$

सममित अंतर के संचालन के तहत किसी भी समुच्चय का घात समुच्चय के तटस्थ तत्व के रूप में रिक्त समुच्चय के साथ एक क्रमविनिमेय समूह बन जाता है और इस समूह में प्रत्येक तत्व का अपना व्युत्क्रम होता है। किसी भी समुच्चय का घात समुच्चय एक बूलियन रिंग बन जाता है, जिसमें रिंग के गुणन के रूप में रिंग और प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) के जोड़ के रूप में सममित अंतर होता है।

गुण
[[File:Venn 0110 1001.svg|thumb|का वेन आरेख $$~(A \triangle B) \triangle C$$

Venn 0110 0110.svg $~\triangle~$ Venn 0000 1111.svg $$~=~$$ ]]सममित अंतर दोनों पूरक (सेट सिद्धांत) के संघ (सेट सिद्धांत) के बराबर है, अर्थात:


 * $$A\,\triangle\,B = \left(A \setminus B\right) \cup \left(B \setminus A\right),$$

सेट-बिल्डर नोटेशन में दो सेटों का वर्णन करने वाले विधेय (गणितीय तर्क) पर एक्सक्लूसिव डिसजंक्शन एक तार्किक संचालन ⊕ का उपयोग करके सममित अंतर भी व्यक्त किया जा सकता है:


 * $$A\mathbin{\triangle}B = \{x : (x \in A) \oplus (x \in B)\}.$$

उसी तथ्य को संकेतक फलन के रूप में कहा जा सकता है (यहाँ द्वारा दर्शाया गया है $$\chi$$) सममित अंतर का, इसके दो तर्कों के संकेतक फलन का एक्सओआर (या अतिरिक्त मॉड्यूलर अंकगणितय प्रणाली) होने के नाते: $$\chi_{(A\,\triangle\,B)} = \chi_A \oplus \chi_B$$ या आइवरसन ब्रैकेट नोटेशन का उपयोग करना $$[x \in A\,\triangle\,B] = [x \in A] \oplus [x \in B]$$.

सममित अंतर को दो सेटों के मिलन के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है, उनके प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) को घटाकर:


 * $$A\,\triangle\,B = (A \cup B) \setminus (A \cap B),$$

विशेष रूप से, $$A \mathbin{\triangle} B\subseteq A\cup B$$; इस गैर-सख्त सबसेट में समानता तब होती है जब और केवल अगर $$A$$ और $$B$$ असंयुक्त समुच्चय हैं। इसके अलावा, निरूपण $$D = A \mathbin{\triangle} B$$ और $$I = A \cap B$$, तब $$D$$ और $$I$$ हमेशा अलग होते हैं, इसलिए $$D$$ और $$I$$ एक सेट का विभाजन $$A \cup B$$. नतीजतन, चौराहा (सेट सिद्धांत) और सममित अंतर को आदिम संचालन के रूप में मानते हुए, दो सेटों के मिलन को समानता के दाईं ओर सममित अंतर के संदर्भ में अच्छी तरह से परिभाषित किया जा सकता है


 * $$A\,\cup\,B = (A\,\triangle\,B)\,\triangle\,(A \cap B)$$.

सममित अंतर क्रमविनिमेयता और साहचर्य है:


 * $$\begin{align}

A\,\triangle\,B &= B\,\triangle\,A, \\ (A\,\triangle\,B)\,\triangle\,C &= A\,\triangle\,(B\,\triangle\,C). \end{align}$$ रिक्त समुच्चय पहचान तत्व होता है, और प्रत्येक सेट का अपना व्युत्क्रम होता है:
 * $$\begin{align}

A\,\triangle\,\varnothing &= A, \\ A\,\triangle\,A &= \varnothing. \end{align}$$ इस प्रकार, सममित अंतर ऑपरेशन के तहत किसी भी सेट X का घात समुच्चय एक एबेलियन समूह बन जाता है। (अधिक सामान्यतः, सेट का कोई भी क्षेत्र संक्रिया के रूप में सममितीय अंतर के साथ एक समूह बनाता है।) एक समूह जिसमें प्रत्येक तत्व का अपना व्युत्क्रम होता है (या, समतुल्य रूप से, जिसमें प्रत्येक तत्व का क्रम (समूह सिद्धांत) 2 होता है) को कभी-कभी बूलियन समूह कहा जाता है; सममित अंतर ऐसे समूहों का एक आदिरूप उदाहरण प्रदान करता है। कभी-कभी बूलियन समूह को वास्तव में समुच्चय पर सममित अंतर संचालन के रूप में परिभाषित किया जाता है। ऐसे स्थितियों में जहां X में केवल दो तत्व हैं, इस प्रकार प्राप्त समूह क्लेन चार-समूह होता है।

समतुल्य रूप से, एक बूलियन समूह एक प्राथमिक एबेलियन 2-समूह है। नतीजतन, सममित अंतर से प्रेरित समूह वास्तव में 2 तत्वों Z2 के साथ परिमित क्षेत्र पर एक सदिश स्थान है। यदि X परिमित है, तो सिंगलटन (गणित) इस सदिश स्थान का एक आधार (रैखिक बीजगणित) बनाते हैं, और इसका हेमल आयाम इसलिए X के तत्वों की संख्या के बराबर होता है। ग्राफ के चक्र स्थान को परिभाषित करने के लिए इस निर्माण का उपयोग ग्राफ सिद्धांत में किया जाता है।

बूलियन समूह में व्युत्क्रम के गुण से, यह निम्नानुसार है कि दो दोहराए गए सममित अंतरों का सममित अंतर दो मल्टीसेट्स के जुड़ने से दोहराए गए सममित अंतर के बराबर होता है। जहां प्रत्येक दोहरे सेट के लिए दोनों को हटाया जा सकता है। विशेष रूप से:


 * $$(A\,\triangle\,B)\,\triangle\,(B\,\triangle\,C) = A\,\triangle\,C.$$

इसका तात्पर्य त्रिभुज असमानता है: वह A और C का सममित अंतर A और B के सममित अंतर और B और C के सममित अंतर के मिलन में समाहित है।

चौराहा (सेट सिद्धांत) सममित अंतर पर वितरण करता है:
 * $$A \cap (B\,\triangle\,C) = (A \cap B)\,\triangle\,(A \cap C),$$

और इससे पता चलता है कि X का पावर समुच्चय एक रिंग (गणित) बन जाता है, जिसमें गुणा के रूप में जोड़ और चौराहा (सेट सिद्धांत) के रूप में सममित अंतर होता है। यह बूलियन रिंग का आदिरूप उदाहरण है।

सममित अंतर के गुणों में सम्मलित हैं:

सममित अंतर को किसी भी बूलियन बीजगणित (संरचना) में लिखकर परिभाषित किया जा सकता है
 * $$A \mathbin{\triangle} B = \emptyset$$ अगर और केवल अगर $$A = B$$.
 * $$A \mathbin{\triangle} B = A^c \mathbin{\triangle} B^c$$, जहां $$A^c$$, $$B^c$$ है $$A$$ का पूरक, $$B$$ का पूरक, क्रमशः, किसी भी (निश्चित) समुच्चय के सापेक्ष जिसमें दोनों सम्मलित हैं।
 * $$\left(\bigcup_{\alpha\in\mathcal{I}}A_\alpha\right)\triangle\left(\bigcup_{\alpha\in\mathcal{I}}B_\alpha\right)\subseteq\bigcup_{\alpha\in\mathcal{I}}\left(A_\alpha \mathbin{\triangle} B_\alpha\right)$$, जहां $$\mathcal{I}$$ एक इच्छानुसार गैर-खाली अनुक्रमणिका समुच्चय है।
 * अगर $$f : S \rightarrow T$$ कोई भी फलन है और $$A, B \subseteq T$$ किसी भी सेट में है $$f$$ का कोडोमेन हैं, फिर $$f^{-1}\left(A \mathbin{\triangle} B\right) = f^{-1}\left(A\right) \mathbin{\triangle} f^{-1}\left(B\right).$$
 * $$ x\,\triangle\,y = (x \lor y) \land \lnot(x \land y) = (x \land \lnot y) \lor (y \land \lnot x) = x \oplus y.$$

इस संचालन में समुच्चय के सममित अंतर के समान गुण हैं।

एन-एरी सममित अंतर
दोहराए गए सममित अंतर एक अर्थ में सेट के एक बहुसेट पर एक संचालन के बराबर है जो विषम संख्या में सेट वाले तत्वों का एक सेट देता है।

ऊपर के रूप में, सेट के संग्रह के सममित अंतर में केवल तत्व होते हैं जो संग्रह में सेट की विषम संख्या में होते हैं:$$\triangle M = \left\{ a \in \bigcup M: \left|\{A \in M:a \in A\}\right| \text{ is odd}\right\}.$$

जाहिर है, यह केवल तभी अच्छी तरह से परिभाषित होता है जब यूनियन के प्रत्येक तत्व $\bigcup M$ के तत्वों की एक सीमित संख्या द्वारा योगदान दिया जाता है $$M$$.

कल्पना करना $$M = \left\{M_1, M_2, \ldots, M_n\right\}$$ एक बहुसेट है और $$n \ge 2$$. फिर इसके लिए एक सूत्र है $$|\triangle M|$$, में तत्वों की संख्या $$\triangle M$$, केवल तत्वों के चौराहा (सेट सिद्धांत) के संदर्भ में दिया गया है $$M$$:$$|\triangle M| = \sum_{l=1}^n (-2)^{l-1} \sum_{1 \leq i_1 < i_2 < \ldots < i_l \leq n} \left|M_{i_1} \cap M_{i_2} \cap \ldots \cap M_{i_l}\right|.$$

माप रिक्त स्थान पर सममित अंतर
जब तक एक सेट "कितना बड़ा" है, तब तक दो सेटों के बीच सममित अंतर को एक उपाय माना जा सकता है कि वे कितने "दूर" हैं।

पहले एक परिमित समुच्चय S पर विचार करें और उनके आकार द्वारा दिए गए उपसमुच्चय पर गिनती माप हैं। अब S के दो उपसमुच्चयों पर विचार करें और उनकी दूरी को उनके सममित अंतर के आकार के रूप में सेट करें। यह दूरी वास्तव में एक मीट्रिक (गणित) है, जो एस के घात समुच्चय को एक मीट्रिक स्थान बनाती है। यदि S में n अवयव हैं, तो रिक्त समुच्चय से S तक की दूरी n है, और यह उपसमुच्चयों के किसी भी युग्म के लिए अधिकतम दूरी है

माप सिद्धांत के विचारों का उपयोग करते हुए, मापने योग्य सेटों के पृथक्करण को उनके सममित अंतर के माप के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। यदि μ एक σ-सीमित माप है जो σ-बीजगणित Σ पर परिभाषित है, तो फलन
 * $$d_\mu(X, Y) = \mu(X\,\triangle\,Y)$$

Σ पर स्यूडोमेट्रिक स्थान है। dμ एक मीट्रिक स्थान बन जाता है अगर Σ को तुल्यता संबंध X ~ Y माना जाता है यदि और केवल यदि $$\mu(X\,\triangle\,Y) = 0$$. इसे कभी-कभी फ्रेचेट-निकोडीम मीट्रिक कहा जाता है। परिणामी मीट्रिक स्थान वियोज्य स्थान है यदि और केवल यदि L2(μ) वियोज्य है।

अगर $$\mu(X), \mu(Y) < \infty$$, अपने पास: $$|\mu(X) - \mu(Y)| \leq \mu(X\,\triangle\,Y)$$. वास्तव में,
 * $$\begin{align}

|\mu(X) - \mu(Y)| &=   \left|\left(\mu\left(X \setminus Y\right) + \mu\left(X \cap Y\right)\right) - \left(\mu\left(X \cap Y\right) + \mu\left(Y \setminus X\right)\right)\right| \\ &=   \left|\mu\left(X \setminus Y\right) - \mu\left(Y \setminus X\right)\right| \\ &\leq \left|\mu\left(X \setminus Y\right)\right| + \left|\mu\left(Y \setminus X\right)\right| \\ &=   \mu\left(X \setminus Y\right) + \mu\left(Y \setminus X\right) \\ &=   \mu\left(\left(X \setminus Y\right) \cup \left(Y \setminus X\right)\right) \\ &=   \mu\left(X\, \triangle \, Y\right) \end{align}$$ अगर $$S = \left(\Omega, \mathcal{A},\mu\right)$$ एक माप स्थान है और $$F, G \in \mathcal{A}$$ मापने योग्य सेट हैं, तो उनका सममित अंतर भी मापने योग्य है: $$F \triangle G \in \mathcal{A}$$. मापने योग्य सेटों पर एक समतुल्य संबंध को परिभाषित कर सकते हैं $$F$$ और $$G$$ संबंधित हो अगर $$\mu\left(F \triangle G\right) = 0$$. तो इस संबंध को दर्शाया गया है $$F = G\left[\mathcal{A}, \mu\right]$$.

दिया गया $$\mathcal{D}, \mathcal{E} \subseteq \mathcal{A}$$, को लिखते है $$\mathcal{D}\subseteq\mathcal{E}\left[\mathcal{A}, \mu\right]$$ यदि प्रत्येक के लिए $$D\in\mathcal{D}$$ कुछ हैं $$E \in \mathcal{E}$$ ऐसा है कि $$D = E\left[\mathcal{A}, \mu\right]$$. रिश्ता $$\subseteq\left[\mathcal{A}, \mu\right]$$के उपसमुच्चयों के परिवार पर एक आंशिक क्रम है $$\mathcal{A}$$.

हम लिखते हैं $$\mathcal{D} = \mathcal{E}\left[\mathcal{A}, \mu\right]$$ अगर $$\mathcal{D}\subseteq\mathcal{E}\left[\mathcal{A}, \mu\right]$$ और $$\mathcal{E} \subseteq \mathcal{D}\left[\mathcal{A}, \mu\right]$$. रिश्ता$$= \left[\mathcal{A}, \mu\right]$$ के उपसमुच्चयों के बीच एक तुल्यता संबंध है $$\mathcal{A}$$.

का सममित समापन $$\mathcal{D}$$ सभी का संग्रह है $$\mathcal{A}$$-मापने योग्य सेट हैं जो $$= \left[\mathcal{A}, \mu\right]$$ कुछ के लिए $$D \in \mathcal{D}$$. का सममित समापन $$\mathcal{D}$$ में सम्मलित हैं $$\mathcal{D}$$. अगर $$\mathcal{D}$$ एक उप है $$\sigma$$-बीजगणित का $$\mathcal{A}$$, तो सममित बंद है $$\mathcal{D}$$.

$$F = G\left[\mathcal{A}, \mu\right]$$ आईएफएफ $$\left|\mathbf{1}_F - \mathbf{1}_G\right| = 0$$ $$\left[\mathcal{A}, \mu\right]$$ लगभग हर जगह।

हॉसडॉर्फ दूरी बनाम सममित अंतर
हॉसडॉर्फ दूरी और (क्षेत्र) सममित अंतर मापने योग्य ज्यामितीय आकृतियों के सेट पर दोनों छद्म-मेट्रिक्स हैं। चूंकि, वे काफी अलग व्यवहार करते हैं। दाईं ओर का आंकड़ा आकृतियों के दो अनुक्रमों को दिखाता है, "लाल" और "लाल ∪ हरा"। जब उनके बीच हॉसडॉर्फ की दूरी कम हो जाती है, तो उनके बीच सममित अंतर का क्षेत्र बड़ा हो जाता है, और जो इसके विपरीत भी सम्भव हैं। इन अनुक्रमों को दोनों दिशाओं में जारी रखते हुए, दो अनुक्रम प्राप्त करना संभव है जैसे कि उनके बीच हॉसडॉर्फ की दूरी 0 में परिवर्तित हो जाती है और उनके बीच की सममित दूरी अलग हो जाती है, या जो इसके विपरीत भी सम्भव हैं।

यह भी देखें

 * सेट का बीजगणित
 * बूलियन समारोह
 * पूरक (सेट सिद्धांत)
 * अंतर (सेट सिद्धांत)
 * एकमात्र
 * फजी सेट
 * चौराहा (सेट सिद्धांत)
 * जैकार्ड इंडेक्स
 * निर्धारित पहचान और संबंधों की सूची
 * तार्किक ग्राफ
 * सिग्मा-बीजगणित # वियोज्य .CF.83-बीजगणित
 * समुच्चय सिद्धान्त
 * समरूपता
 * संघ (सेट सिद्धांत)
 * समावेश-बहिष्करण सिद्धांत

ग्रन्थसूची

 * Symmetric difference of sets. In Encyclopaedia of Mathematics
 * Symmetric difference of sets. In Encyclopaedia of Mathematics