अतिप्रत्यास्थ भौतिक



हाइपरलास्टिक या अतिप्रत्यास्थ भौतिकी आदर्श रूप से प्रत्यास्थ (ठोस यांत्रिकी) भौतिकी के लिए एक प्रकार का संवैधानिक समीकरण है जिसके लिए तनाव-तनाव संबंध तनाव ऊर्जा घनत्व समारोह से प्राप्त होता है। हाइपरलास्टिक भौतिकी कॉची प्रत्यास्थ भौतिकी का एक विशेष मामला है।

कई सामग्रियों के लिए, रैखिक लोच मॉडल देखे गए भौतिक व्यवहार का सटीक वर्णन नहीं करते हैं। इस तरह की भौतिकी का सबसे आम उदाहरण रबर है, जिसके तनाव-तनाव (भौतिकी) संबंध को गैर-रैखिक रूप से प्रत्यास्थ, समदैशिक और असम्पीडित के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। हाइपरलास्टिक ऐसी सामग्रियों के तनाव-तनाव व्यवहार को मॉडलिंग करने का एक साधन प्रदान करता है। अपूर्ण, वल्केनाइज्ड इलास्टोमर्स का व्यवहार प्रायः हाइपरलास्टिक आदर्श के अनुरूप होता है। भरे हुए इलास्टोमर्स और जैविक ऊतक भी प्रायः हाइपरलास्टिक आदर्शीकरण के माध्यम से तैयार किए जाते हैं।

रोनाल्ड रिवलिन और मेल्विन मूनी ने नियो-हुकेन और मूनी-रिवलिन ठोस यांत्रिकी मॉडल के पहले हाइपरलास्टिक मॉडल को विकसित किया था इसके बाद से कई अन्य हाइपरलास्टिक मॉडल विकसित किए गए हैं। अन्य व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले हाइपरलास्टिक भौतिकी मॉडल में ओग्डेन मॉडल और अरुडा-बॉयस मॉडल सम्मिलित हैं।

सेंट वेनेंट-किरचॉफ मॉडल
सबसे साधारण हाइपरलास्टिक भौतिकी मॉडल सेंट वेनेंट-किरचॉफ मॉडल है जो ज्यामितीय रूप से गैर-रैखिक मॉडल के लिए ज्यामितीय रूप से रैखिक प्रत्यास्थ भौतिकी मॉडल का विस्तार है। इस मॉडल का क्रमशः सामान्य और समदैशिक रूप है: $$\begin{align} \boldsymbol{S} &= \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{S} &= \lambda~ \text{tr}(\boldsymbol{E})\boldsymbol{\mathit{I}} + 2\mu\boldsymbol{E} \text{.} \end{align}$$जहाँ $$\mathbin{:}$$ टेंसर संकुचन $$\boldsymbol{S}$$ है दूसरा पिओला-किरचॉफ तनाव $$\boldsymbol{C} : \R^{3 \times 3} \to \R^{3 \times 3}$$ है :और चौथा क्रम कठोरता टेन्सर $$\boldsymbol{E}$$ है, जिसे लग्रांगियन ग्रीन स्ट्रेन द्वारा दिया गया है:

$$\mathbf E =\frac{1}{2}\left[ (\nabla_{\mathbf X}\mathbf u)^\textsf{T} + \nabla_{\mathbf X}\mathbf u + (\nabla_{\mathbf X}\mathbf u)^\textsf{T} \cdot\nabla_{\mathbf X}\mathbf u\right]\,\!$$

$$\lambda$$ और $$\mu$$ स्थिरांक हैं और $$\boldsymbol{\mathit{I}}$$ दूसरा क्रम इकाई टेन्सर है। जो सेंट वेनांट-किरचॉफ मॉडल के लिए तनाव-ऊर्जा घनत्व कार्य है$$W(\boldsymbol{E}) = \frac{\lambda}{2}[\text{tr}(\boldsymbol{E})]^2 + \mu \text{tr}\mathord\left(\boldsymbol{E}^2\right)$$और दूसरा पिओला-किरचॉफ तनाव संबंध से प्राप्त किया जा सकता है:$$ \boldsymbol{S} = \frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{E}} ~. $$

हाइपरलास्टिक भौतिकी मॉडल का वर्गीकरण
हाइपरलास्टिक भौतिकी मॉडल को इस प्रकार वर्गीकृत किया जा सकता है:
 * 1) हाइपरलास्टिक भौतिकी गतिविधि का घटनात्मक विवरण
 * 2) * फंग
 * 3) * मूनी-रिवलिन
 * 4) * ओग्डेन (हाइपरलास्टिक मॉडल)
 * 5) * बहुपद (हाइपरलास्टिक मॉडल)
 * 6) * सेंट वेनेंट-किरचॉफ
 * 7) * योह (हाइपरलेस्टिक मॉडल)
 * 8) * मार्लो (हाइपरलास्टिक मॉडल)
 * 9) भौतिकी की अंतर्निहित संरचना के विषय में तर्कों से प्राप्त यांत्रिकीय मॉडल
 * 10) * अरुडा-बॉयस मॉडल
 * 11) * नियो-हुकेन मॉडल
 * 12) *बुके-सिल्बरस्टीन मॉडल
 * 13) यांत्रिकीय और परिघटनात्मक मॉडल के हाइब्रिड
 * 14) * जेंट (हाइपरलास्टिक मॉडल)
 * 15) * वैन डेर वाल्स (हाइपरेलेटिक मॉडल)

सामान्यतः एक हाइपरलास्टिक मॉडल को ड्रकर स्थिरता मानदंड को पूर्ण करने की आवश्यकता होती है। क्योकि कुछ हाइपरलास्टिक मॉडल वैलेनिस-लैंडल परिकल्पना को सिद्ध करते हैं जो प्रदर्शित करते है कि तनाव ऊर्जा कार्य को प्रमुख भागों $$(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$$ के अलग-अलग कार्यों के योग में विभाजित किया जा सकता है। $$ W = f(\lambda_1) + f(\lambda_2) + f(\lambda_3) \,. $$

पहला पिओला-किरचॉफ तनाव
यदि $$W(\boldsymbol{F})$$ तनाव ऊर्जा घनत्व फलन है, तो पहले पिओला-किरचॉफ तनाव टेन्सर की गणना हाइपरलास्टिक भौतिकी के रूप में की जा सकती है:

$$ \boldsymbol{P} = \frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{F}} \qquad \text{or} \qquad P_{iK} = \frac{\partial W}{\partial F_{iK}} $$

जहाँ $$\boldsymbol{F}$$ विरूपण प्रवणता है। लग्रांगियन तनाव $$\boldsymbol{E}$$ के संदर्भ में$$ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\cdot\frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{E}} \qquad \text{or} \qquad P_{iK} = F_{iL}~\frac{\partial W}{\partial E_{LK}} ~ $$

परिमित कॉची-ग्रीन विरूपण टेन्सर $$\boldsymbol{C}$$ के संदर्भ में $$ \boldsymbol{P} = 2~\boldsymbol{F}\cdot\frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{C}} \qquad \text{or} \qquad P_{iK} = 2~F_{iL}~\frac{\partial W}{\partial C_{LK}} ~. $$

दूसरा पियोला-किरचॉफ तनाव
यदि $$\boldsymbol{S}$$ दूसरा पिओला-किरचॉफ तनाव टेंसर है तो$$ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{F}^{-1}\cdot\frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{F}} \qquad \text{or} \qquad S_{IJ} = F^{-1}_{Ik}\frac{\partial W}{\partial F_{kJ}} ~. $$

लग्रांगियन तनाव के संदर्भ में $$ \boldsymbol{S} = \frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{E}} \qquad \text{or} \qquad S_{IJ} = \frac{\partial W}{\partial E_{IJ}} ~. $$ परिमित कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर के संदर्भ में $$ \boldsymbol{S} = 2~\frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{C}} \qquad \text{or} \qquad S_{IJ} = 2~\frac{\partial W}{\partial C_{IJ}} ~. $$ उपरोक्त संबंध को भौतिक विरूपण में "डॉयल-एरिक्सन सूत्र" के रूप में भी जाना जाता है।

कॉची तनाव
इसी प्रकार, यह तनाव (भौतिकी) द्वारा दिया जाता है: $$ \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}~ \frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{F}}\cdot\boldsymbol{F}^\textsf{T} ~; J := \det\boldsymbol{F} \qquad \text{or} \qquad \sigma_{ij} = \frac{1}{J}~ \frac{\partial W}{\partial F_{iK}}~F_{jK} ~. $$ लग्रांगियन ग्रीन तनाव के संदर्भ में $$ \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}~\boldsymbol{F}\cdot\frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{E}}\cdot\boldsymbol{F}^\textsf{T} \qquad \text{or} \qquad \sigma_{ij} = \frac{1}{J}~F_{iK}~\frac{\partial W}{\partial E_{KL}}~F_{jL} ~. $$ परिमित सही कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर के संदर्भ में $$ \boldsymbol{\sigma} = \frac{2}{J}~\boldsymbol{F}\cdot\frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{C}}\cdot\boldsymbol{F}^\textsf{T} \qquad \text{or} \qquad \sigma_{ij} = \frac{2}{J}~F_{iK}~\frac{\partial W}{\partial C_{KL}}~F_{jL} ~. $$ उपरोक्त भाव विषमदैशिक मीडिया के लिए भी मान्य हैं जिस स्थिति में, संभावित कार्य को प्रारंभिक फाइबर अभिविन्यास जैसे संदर्भ दिशात्मक राशियों पर निहित रूप से निर्भर करने के लिए समझा जाता है। समदैशिक की विशेष स्थिति में, कॉची तनाव को बाएं कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर के संदर्भ में निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है: $$ \boldsymbol{\sigma} = \frac{2}{J}\frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{B}}\cdot~\boldsymbol{B} \qquad \text{or} \qquad \sigma_{ij} = \frac{2}{J}~B_{ik}~\frac{\partial W}{\partial B_{kj}} ~. $$

असंपीड्य हाइपरलास्टिक भौतिकी
'''एक असंपीड्य भौतिकी के लिए $$J := \det\boldsymbol{F} = 1$$. असंपीड्यता बाधा''' इसलिए है $$J-1= 0$$. हाइपरलास्टिक भौतिकी की असंपीड्यता सुनिश्चित करने के लिए, तनाव-ऊर्जा फ़ंक्शन को फॉर्म में लिखा जा सकता है: $$W = W(\boldsymbol{F}) - p~(J-1)$$ जहां हाइड्रोस्टेटिक दबाव $$p$$ असंपीड्यता बाधा को लागू करने के लिए लैग्रेंज गुणक के रूप में कार्य करता है। पहला पिओला-किरचॉफ तनाव अब बन गया है $$ \boldsymbol{P}=-p~J\boldsymbol{F}^{-\textsf{T}} + \frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{F}} = -p~\boldsymbol{F}^{-\textsf{T}} + \boldsymbol{F}\cdot\frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{E}} = -p~\boldsymbol{F}^{-\textsf{T}} + 2~\boldsymbol{F}\cdot\frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{C}} ~. $$ यह तनाव टेन्सर बाद में तनाव (भौतिकी) में से किसी भी अन्य पारंपरिक तनाव टेन्सर में हो सकता है, जैसे कॉची तनाव टेन्सर जो द्वारा दिया गया है $$ \boldsymbol{\sigma}=\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{F}^\textsf{T} = -p~\boldsymbol{\mathit{1}} + \frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{F}}\cdot\boldsymbol{F}^\textsf{T} = -p~\boldsymbol{\mathit{1}} + \boldsymbol{F}\cdot\frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{E}}\cdot\boldsymbol{F}^\textsf{T} = -p~\boldsymbol{\mathit{1}} + 2~\boldsymbol{F}\cdot\frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{C}}\cdot\boldsymbol{F}^\textsf{T} ~. $$

संपीड़ित आइसोट्रोपिक हाइपरलास्टिक भौतिकी
आइसोट्रोपिक हाइपरलास्टिक सामग्रियों के लिए, कॉची तनाव को परिमित तनाव सिद्धांत के अपरिवर्तनीय के रूप में व्यक्त किया जा सकता है राइट कॉची-ग्रीन डिफॉर्मेशन टेंसर)। यदि तनाव ऊर्जा घनत्व समारोह है $$W(\boldsymbol{F})=\hat{W}(I_1,I_2,I_3) = \bar{W}(\bar{I}_1,\bar{I}_2, J) = \tilde{W}(\lambda_1,\lambda_2, \lambda_3),$$ तब $$\begin{align} \boldsymbol{\sigma} & = \frac{2}{\sqrt{I_3}}\left[\left(\frac{\partial\hat{W}}{\partial I_1} + I_1~\frac{\partial\hat{W}}{\partial I_2}\right)\boldsymbol{B} - \frac{\partial\hat{W}}{\partial I_2}~\boldsymbol{B} \cdot\boldsymbol{B} \right] + 2\sqrt{I_3}~\frac{\partial\hat{W}}{\partial I_3}~\boldsymbol{\mathit{1}} \\[5pt] & = \frac{2}{J}\left[\frac{1}{J^{2/3}}\left(\frac{\partial\bar{W}}{\partial \bar{I}_1} + \bar{I}_1~\frac{\partial\bar{W}}{\partial \bar{I}_2}\right)\boldsymbol{B} - \frac{1}{J^{4/3}}~\frac{\partial\bar{W}}{\partial \bar{I}_2}~\boldsymbol{B} \cdot\boldsymbol{B} \right] + \left[\frac{\partial\bar{W}}{\partial J} - \frac{2}{3J} \left(\bar{I}_1~\frac{\partial\bar{W}}{\partial \bar{I}_1} + 2~\bar{I}_2~\frac{\partial\bar{W}}{\partial \bar{I}_2}\right)\right] ~\boldsymbol{\mathit{1}} \\[5pt] & = \frac{2}{J} \left[\left(\frac{\partial\bar{W}}{\partial \bar{I}_1} + \bar{I}_1~\frac{\partial\bar{W}}{\partial \bar{I}_2}\right)\bar{\boldsymbol{B}} - \frac{\partial\bar{W}}{\partial \bar{I}_2}~\bar{\boldsymbol{B}} \cdot\bar{\boldsymbol{B}} \right] + \left[\frac{\partial\bar{W}}{\partial J} - \frac{2}{3J}\left(\bar{I}_1~\frac{\partial\bar{W}}{\partial \bar{I}_1} + 2~\bar{I}_2~\frac{\partial\bar{W}}{\partial \bar{I}_2}\right)\right] ~\boldsymbol{\mathit{1}} \\[5pt] & = \frac{\lambda_1}{\lambda_1\lambda_2\lambda_3}~\frac{\partial\tilde{W}}{\partial \lambda_1}~\mathbf{n}_1\otimes\mathbf{n}_1 + \frac{\lambda_2}{\lambda_1\lambda_2\lambda_3}~\frac{\partial\tilde{W}}{\partial \lambda_2}~\mathbf{n}_2\otimes\mathbf{n}_2 + \frac{\lambda_3}{\lambda_1\lambda_2\lambda_3}~\frac{\partial\tilde{W}}{\partial \lambda_3}~\mathbf{n}_3\otimes\mathbf{n}_3 \end{align} $$ (इन प्रतीकों की परिभाषाओं के लिए परिमित तनाव सिद्धांत # द लेफ्ट कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर पर पृष्ठ देखें। लेफ्ट कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर)।

असंपीड्य आइसोट्रोपिक हाइपरलास्टिक भौतिकी
असम्पीडित आइसोट्रोपिक हाइपरलास्टिक भौतिकी के लिए, तनाव ऊर्जा घनत्व कार्य है $$W(\boldsymbol{F})=\hat{W}(I_1,I_2)$$. कॉची तनाव तब द्वारा दिया जाता है $$\begin{align} \boldsymbol{\sigma} & = -p~\boldsymbol{\mathit{1}} + 2\left[\left(\frac{\partial\hat{W}}{\partial I_1} + I_1~\frac{\partial\hat{W}}{\partial I_2}\right)\boldsymbol{B} - \frac{\partial\hat{W}}{\partial I_2}~\boldsymbol{B} \cdot\boldsymbol{B} \right] \\ & = - p~\boldsymbol{\mathit{1}} + 2\left[\left(\frac{\partial W}{\partial \bar{I}_1} + I_1~\frac{\partial W}{\partial \bar{I}_2}\right)~\bar{\boldsymbol{B}} - \frac{\partial W}{\partial \bar{I}_2}~\bar{\boldsymbol{B}}\cdot\bar{\boldsymbol{B}}\right] \\ & = - p~\boldsymbol{\mathit{1}} + \lambda_1~\frac{\partial W}{\partial \lambda_1}~\mathbf{n}_1\otimes\mathbf{n}_1 + \lambda_2~\frac{\partial W}{\partial \lambda_2}~\mathbf{n}_2\otimes\mathbf{n}_2 + \lambda_3~\frac{\partial W}{\partial \lambda_3}~\mathbf{n}_3\otimes\mathbf{n}_3 \end{align} $$ कहाँ $$p$$ एक अनिश्चित दबाव है। तनाव के अंतर के संदर्भ में $$ \sigma_{11} - \sigma_{33} = \lambda_1~\frac{\partial W}{\partial \lambda_1} - \lambda_3~\frac{\partial W}{\partial \lambda_3}~; \sigma_{22} - \sigma_{33} = \lambda_2~\frac{\partial W}{\partial \lambda_2} - \lambda_3~\frac{\partial W}{\partial \lambda_3} $$ अगर इसके अलावा $$I_1 = I_2$$, तब $$ \boldsymbol{\sigma} = 2\frac{\partial W}{\partial I_1}~\boldsymbol{B} - p~\boldsymbol{\mathit{1}}~. $$ अगर $$\lambda_1 = \lambda_2$$, तब $$ \sigma_{11} - \sigma_{33} = \sigma_{22} - \sigma_{33} = \lambda_1~\frac{\partial W}{\partial \lambda_1} - \lambda_3~\frac{\partial W}{\partial \lambda_3} $$

रैखिक लोच के साथ संगति
रैखिक लोच के साथ संगति का उपयोग प्रायः हाइपरलास्टिक भौतिकी मॉडल के कुछ मापदंडों को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। इन स्थिरता स्थितियों को हुक के कानून की तुलना छोटे उपभेदों पर रैखिककृत हाइपरलास्टिकिटी के साथ करके पाया जा सकता है।

आइसोट्रोपिक हाइपरलास्टिक मॉडल
के लिए संगति की स्थिति आइसोट्रोपिक हाइपरलास्टिक भौतिकी के लिए आइसोट्रोपिक रैखिक लोच के अनुरूप होने के लिए, तनाव-तनाव संबंध में इनफिनिटिमल तनाव सिद्धांत सीमा में निम्न रूप होना चाहिए: $$ \boldsymbol{\sigma} = \lambda~\mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})~\boldsymbol{\mathit{1}} + 2\mu\boldsymbol{\varepsilon} $$ कहाँ $$\lambda, \mu$$ लमे स्थिरांक हैं। उपरोक्त संबंध से मेल खाने वाला तनाव ऊर्जा घनत्व कार्य है $$ W = \tfrac{1}{2}\lambda~[\mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})]^2 + \mu~\mathrm{tr}\mathord\left(\boldsymbol{\varepsilon}^2\right) $$ एक असंपीड्य भौतिकी के लिए $$\mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon}) = 0$$ और हमारे पास है $$ W = \mu~\mathrm{tr}\mathord\left(\boldsymbol{\varepsilon}^2\right) $$ किसी भी तनाव ऊर्जा घनत्व समारोह के लिए $$W(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$$ छोटे उपभेदों के लिए उपरोक्त रूपों को कम करने के लिए निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा $$\begin{align} & W(1,1,1) = 0 ~; \frac{\partial W}{\partial \lambda_i}(1,1,1) = 0 \\ & \frac{\partial^2 W}{\partial \lambda_i \partial \lambda_j}(1,1,1) = \lambda + 2\mu\delta_{ij} \end{align} $$ यदि भौतिकी असंपीड्य है, तो उपरोक्त शर्तों को निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जा सकता है। $$\begin{align} & W(1,1,1) = 0 \\ & \frac{\partial W}{\partial \lambda_i}(1,1,1) = \frac{\partial W}{\partial \lambda_j}(1,1,1) ~; \frac{\partial^2 W}{\partial \lambda_i^2}(1,1,1) = \frac{\partial^2 W}{\partial \lambda_j^2}(1,1,1) \\ & \frac{\partial^2 W}{\partial \lambda_i \partial \lambda_j}(1,1,1) = \mathrm{independent of}~i,j\ne i \\ & \frac{\partial^2 W}{\partial \lambda_i^2}(1,1,1) - \frac{\partial^2 W}{\partial \lambda_i \partial \lambda_j}(1,1,1) + \frac{\partial W}{\partial \lambda_i}(1,1,1) = 2\mu (i \ne j) \end{align} $$ इन स्थितियों का उपयोग किसी दिए गए हाइपरलास्टिक मॉडल और कतरनी और थोक मोडुली के पैरामीटर के बीच संबंधों को खोजने के लिए किया जा सकता है।

असम्पीडित के लिए संगति की स्थिति $I_{1}$ आधारित रबर भौतिकी
कई इलास्टोमर्स को तनाव ऊर्जा घनत्व फ़ंक्शन द्वारा पर्याप्त रूप से तैयार किया जाता है जो कि केवल पर निर्भर करता है $$I_1$$. ऐसी भौतिकी के लिए हमारे पास है $$ W = W(I_1) $$. के लिए असम्पीडित भौतिकी के लिए स्थिरता की स्थिति $$I_1 = 3, \lambda_i = \lambda_j = 1$$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$ \left.W(I_1)\right|_{I_1=3} = 0 \quad \text{and} \quad \left.\frac{\partial W}{\partial I_1}\right|_{I_1=3} = \frac{\mu}{2} \,. $$ ऊपर दी गई दूसरी स्थिरता की स्थिति को ध्यान में रखते हुए प्राप्त किया जा सकता है $$ \frac{\partial W}{\partial \lambda_i} = \frac{\partial W}{\partial I_1}\frac{\partial I_1}{\partial \lambda_i} = 2\lambda_i\frac{\partial W}{\partial I_1} \quad\text{and}\quad \frac{\partial^2 W}{\partial \lambda_i \partial \lambda_j} = 2\delta_{ij}\frac{\partial W}{\partial I_1} + 4\lambda_i\lambda_j \frac{\partial^2 W}{\partial I_1^2}\,. $$ इन संबंधों को तब आइसोट्रोपिक असंपीड्य हाइपरलास्टिक भौतिकी के लिए स्थिरता की स्थिति में प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * कॉची प्रत्यास्थ भौतिकी
 * सातत्यक यांत्रिकी
 * विरूपण (यांत्रिकी)
 * परिमित तनाव सिद्धांत
 * ओग्डेन-रॉक्सबर्ग मॉडल
 * रबर लोच
 * तनाव के उपाय
 * तनाव (यांत्रिकी)

श्रेणी:सातत्य यांत्रिकी श्रेणी:लोच (भौतिकी) श्रेणी:रबड़ गुण श्रेणी:ठोस यांत्रिकी