सीमा बिंदु सघन

गणित में, एक टोपोलॉजिकल स्पेस $$X$$ सीमा बिंदु सघन कहा जाता है या कमजोर रूप से गणनीय रूप से कॉम्पैक्ट यदि प्रत्येक अनंत उपसमुच्चय $$X$$ में एक सीमा बिंदु है $$X.$$ यह संपत्ति  सघन स्थान  की संपत्ति को सामान्यीकृत करती है। एक मीट्रिक स्थान में, सीमा बिंदु सघनता, सघनता, और अनुक्रमिक सघनता सभी समतुल्य हैं। हालाँकि, सामान्य टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए, कॉम्पैक्टनेस की ये तीन धारणाएँ समतुल्य नहीं हैं।

गुण और उदाहरण

 * टोपोलॉजिकल स्पेस में, सीमा बिंदु के बिना उपसमुच्चय बिल्कुल वही होते हैं जो सबस्पेस टोपोलॉजी में बंद और अलग होते हैं। तो एक स्थान सीमा बिंदु कॉम्पैक्ट है यदि और केवल तभी जब इसके सभी बंद असतत उपसमुच्चय परिमित हों।
 * एक स्थान $$X$$ है सीमा बिंदु संहत यदि और केवल यदि इसमें एक अनंत बंद असतत उपस्थान है। चूँकि किसी बंद असतत उपसमुच्चय का कोई उपसमुच्चय $$X$$ अपने आप में बंद है $$X$$ और असतत, यह उसकी आवश्यकता के बराबर है $$X$$ इसमें गणनीय रूप से अनंत बंद असतत उपस्थान है।
 * रिक्त स्थान के कुछ उदाहरण जो सीमा बिंदु सघन नहीं हैं: (1) समुच्चय $$\Reals$$ अपनी सामान्य टोपोलॉजी के साथ सभी वास्तविक संख्याओं का, क्योंकि पूर्णांक एक अनंत सेट हैं लेकिन इसमें कोई सीमा बिंदु नहीं है $$\Reals$$; (2) असतत टोपोलॉजी के साथ एक अनंत सेट; (3) बेशुमार सेट पर गणनीय पूरक टोपोलॉजी।
 * प्रत्येक गणनीय रूप से सघन स्थान (और इसलिए प्रत्येक सघन स्थान) सीमा बिंदु सघन है।
 * T1 स्पेस के लिए|T1 रिक्त स्थान, सीमा बिंदु सघनता गणनीय सघनता के बराबर है।
 * सीमा बिंदु कॉम्पैक्ट स्पेस का एक उदाहरण जो गणनीय रूप से कॉम्पैक्ट नहीं है, पूर्णांक को दोगुना करके प्राप्त किया जाता है, अर्थात् उत्पाद लेना $$X = \Z \times Y$$ कहाँ $$\Z$$ असतत टोपोलॉजी के साथ सभी पूर्णांकों का समुच्चय है और $$Y = \{0,1\}$$ अविवेकी टोपोलॉजी है. अंतरिक्ष $$X$$ सम-विषम टोपोलॉजी के समरूप है। यह स्थान T0 स्थान|T नहीं है0. यह सीमा बिंदु सघन है क्योंकि प्रत्येक गैररिक्त उपसमुच्चय का एक सीमा बिंदु होता है।
 * टी का एक उदाहरण0 वह स्थान जो सीमा बिंदु सघन है और गणनीय रूप से सघन नहीं है $$X = \Reals,$$ ऑर्डर टोपोलॉजी#बाएं और दाएं ऑर्डर टोपोलॉजी के साथ सभी वास्तविक संख्याओं का सेट, यानी, सभी अंतरालों द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी $$(x, \infty).$$ अंतरिक्ष सीमा बिंदु सघन है क्योंकि कोई भी बिंदु दिया गया है $$a \in X,$$ प्रत्येक $$x<a$$ का एक सीमा बिंदु है $$\{a\}.$$
 * मेट्रिज़ेबल स्पेस के लिए, कॉम्पैक्टनेस, गणनीय कॉम्पैक्टनेस, सीमा बिंदु कॉम्पैक्टनेस और अनुक्रमिक रूप क्रमिक रूप से संकुचित स्थान सभी बराबर हैं।
 * एक सीमा बिंदु सघन स्थान के बंद उपस्थान सीमा बिंदु सघन होते हैं।
 * किसी सीमा बिंदु सघन स्थान की सतत छवि को सीमा बिंदु सघन होने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि $$X = \Z \times Y$$ साथ $$\Z$$ असतत और $$Y$$ उपरोक्त उदाहरण की तरह अविवेकी, मानचित्र $$f = \pi_{\Z}$$ पहले निर्देशांक पर प्रक्षेपण द्वारा दिया गया निरंतर है, लेकिन $$f(X) = \Z$$ सीमा बिंदु सघन नहीं है.
 * एक सीमा बिंदु कॉम्पैक्ट स्पेस को छद्मकॉम्पैक्ट होने की आवश्यकता नहीं है। इसी का एक उदाहरण दिया गया है $$X = \Z \times Y$$ साथ $$Y$$ अविवेकी दो-बिंदु स्थान और मानचित्र $$f = \pi_{\Z},$$ जिसकी छवि सीमाबद्ध नहीं है $$\Reals.$$
 * एक स्यूडोकॉम्पैक्ट स्पेस को सीमा बिंदु कॉम्पैक्ट होने की आवश्यकता नहीं है। सहगणनीय टोपोलॉजी के साथ एक बेशुमार सेट द्वारा एक उदाहरण दिया गया है।
 * प्रत्येक सामान्य स्यूडोकॉम्पैक्ट स्पेस सीमा बिंदु कॉम्पैक्ट है। प्रमाण: मान लीजिए $$X$$ एक सामान्य स्थान है जो सीमा बिंदु सघन नहीं है। वहाँ एक अनगिनत अनंत बंद असतत उपसमुच्चय मौजूद है $$A = \{x_1, x_2, x_3, \ldots\}$$ का $$X.$$ टिट्ज़ विस्तार प्रमेय द्वारा निरंतर कार्य $$f$$ पर $$A$$ द्वारा परिभाषित $$f(x_n) = n$$ सभी पर एक (अनबाउंड) वास्तविक-मूल्यवान निरंतर फ़ंक्शन तक बढ़ाया जा सकता है $$X.$$ इसलिए $$X$$ छद्मसंक्षिप्त नहीं है.
 * सीमा बिंदु कॉम्पैक्ट रिक्त स्थान में गणनीय कार्डिनल फ़ंक्शन #टोपोलॉजी में कार्डिनल फ़ंक्शन होते हैं।
 * अगर $$(X, \tau)$$ और $$(X, \sigma)$$ के साथ टोपोलॉजिकल स्पेस हैं $$\sigma$$ से भी बेहतर $$\tau$$ और $$(X, \sigma)$$सीमा बिंदु सघन है, तो ऐसा है $$(X, \tau).$$