डिजिटल बायकाड फिल्टर

संकेत आगे बढ़ाना में, एक डिजिटल बायकाड फ़िल्टर एक दूसरा क्रम पुनरावर्ती फ़िल्टर रैखिक फ़िल्टर होता है, जिसमें दो पोल-शून्य प्लॉट और दो पोल-शून्य प्लॉट होते हैं। Biquad biquadratic का एक संक्षिप्त नाम है, जो इस तथ्य को संदर्भित करता है कि Z- परिवर्तन में, इसका स्थानांतरण कार्य दो द्विघात कार्यों का अनुपात है:


 * $$\ H(z)=\frac{b_0+b_1z^{-1}+b_2z^{-2}} {a_0+a_1z^{-1}+a_2z^{-2} }$$

गुणांकों को अक्सर सामान्यीकृत किया जाता है जैसे कि ए0 = 1:


 * $$\ H(z)=\frac{b_0+b_1z^{-1}+b_2z^{-2}} {1+a_1z^{-1}+a_2z^{-2} }$$

उच्च क्रम अनंत आवेग प्रतिक्रिया फ़िल्टर उनके गुणांकों के क्वांटिज़ेशन (सिग्नल प्रोसेसिंग) के प्रति अत्यधिक संवेदनशील हो सकते हैं, और आसानी से बीआईबीओ स्थिरता बन सकते हैं। यह पहले और दूसरे क्रम के फिल्टर के साथ बहुत कम समस्या है; इसलिए, उच्च-क्रम के फ़िल्टर आमतौर पर क्रमिक रूप से कैस्केड किए गए बाइकाड अनुभागों (और यदि आवश्यक हो तो एक प्रथम-क्रम फ़िल्टर) के रूप में कार्यान्वित किए जाते हैं। बाइक्वाड फिल्टर के दो ध्रुव स्थिर होने के लिए यूनिट सर्कल के अंदर होने चाहिए। सामान्य तौर पर, यह सभी असतत फिल्टरों के लिए सही है यानी फिल्टर के स्थिर होने के लिए जेड-डोमेन में सभी ध्रुवों को यूनिट सर्कल के अंदर होना चाहिए।

प्रत्यक्ष रूप 1
सबसे सीधा कार्यान्वयन प्रत्यक्ष रूप 1 है, जिसमें निम्नलिखित अंतर समीकरण हैं:


 * $$\ y[n] = \frac{1}{a_0} \left ( b_0x[n] + b_1x[n-1] + b_2x[n-2] - a_1y[n-1] - a_2y[n-2] \right )$$

या, अगर सामान्यीकृत:


 * $$\ y[n] = b_0x[n] + b_1x[n-1] + b_2x[n-2] - a_1y[n-1] - a_2y[n-2] $$

यहां ही $$b_0$$, $$b_1$$ और $$b_2$$ गुणांक शून्य निर्धारित करते हैं, और $$a_1$$, $$a_2$$ ध्रुवों की स्थिति निर्धारित करें।

डायरेक्ट फॉर्म 1 में बायकाड फिल्टर का फ्लो ग्राफ:

जब इन वर्गों को 2 से अधिक क्रम के फिल्टर के लिए कैस्केड किया जाता है, तो कार्यान्वयन की दक्षता को ध्यान में रखकर सुधार किया जा सकता है $$z^{-1}$$ सेक्शन आउटपुट में देरी को अगले सेक्शन इनपुट में क्लोन किया जाता है। दो संग्रहण विलंब घटकों को अनुभागों के बीच समाप्त किया जा सकता है।

प्रत्यक्ष रूप 2
डायरेक्ट फॉर्म 2 समान सामान्यीकृत ट्रांसफर फ़ंक्शन को डायरेक्ट फॉर्म 1 के रूप में लागू करता है, लेकिन दो भागों में:


 * $$\ y[n]=b_0 w[n]+b_1 w[n-1]+b_2 w[n-2],$$

और अंतर समीकरण का उपयोग करना:


 * $$\ w[n]=x[n]-a_1 w[n-1]-a_2 w[n-2].$$

डायरेक्ट फॉर्म 2 में बायकाड फिल्टर का फ्लो ग्राफ:

प्रत्यक्ष रूप 2 कार्यान्वयन के लिए केवल N विलंब इकाइयों की आवश्यकता होती है, जहां N फ़िल्टर का क्रम है - संभावित रूप से प्रत्यक्ष रूप 1 जितना आधा। यह संरचना प्रत्यक्ष रूप 1 के अंश और भाजक वर्गों के क्रम को उलट कर प्राप्त की जाती है, क्योंकि वे वास्तव में दो रैखिक प्रणालियाँ हैं, और क्रमविनिमेयता गुण लागू होता है। फिर, कोई नोटिस करेगा कि देरी के दो कॉलम हैं ($$z^{-1}$$) जो केंद्र नेट को टैप करते हैं, और इन्हें जोड़ा जा सकता है क्योंकि वे बेमानी हैं, जैसा कि दिखाया गया कार्यान्वयन है।

नुकसान यह है कि प्रत्यक्ष रूप 2 उच्च क्यू या अनुनाद के फिल्टर के लिए अंकगणितीय अतिप्रवाह की संभावना को बढ़ाता है। यह दिखाया गया है कि जैसे-जैसे क्यू बढ़ता है, दोनों प्रत्यक्ष फॉर्म टोपोलॉजी का राउंड-ऑफ शोर बिना सीमा के बढ़ता है। ऐसा इसलिए है, क्योंकि वैचारिक रूप से, सिग्नल को पहले एक ऑल-पोल फिल्टर (जो आमतौर पर गुंजयमान आवृत्तियों पर लाभ को बढ़ाता है) के माध्यम से पारित किया जाता है, इससे पहले कि परिणाम संतृप्त होता है, फिर एक ऑल-जीरो फिल्टर के माध्यम से पारित किया जाता है (जो अक्सर बहुत कुछ क्षीण कर देता है) ऑल-पोल हाफ एम्पलीफाई करता है)।

प्रत्यक्ष रूप 2 कार्यान्वयन को विहित रूप कहा जाता है, क्योंकि यह न्यूनतम मात्रा में देरी, योजक और गुणक का उपयोग करता है, प्रत्यक्ष रूप 1 कार्यान्वयन के रूप में एक ही हस्तांतरण समारोह में उपज देता है।

ट्रांसपोज़्ड प्रत्यक्ष रूप
ट्रांसफर फ़ंक्शन को बदलने के बिना प्रवाह ग्राफ को उलट कर दो प्रत्यक्ष रूपों में से प्रत्येक को स्थानांतरित किया जा सकता है। शाखा बिंदुओं को ग्रीष्मकाल में बदल दिया जाता है और ग्रीष्मकाल को शाखा बिंदुओं में बदल दिया जाता है। ये संशोधित कार्यान्वयन प्रदान करते हैं जो समान स्थानांतरण फ़ंक्शन को पूरा करते हैं जो वास्तविक दुनिया के कार्यान्वयन में गणितीय रूप से महत्वपूर्ण हो सकता है जहां राज्य भंडारण में सटीकता खो सकती है।

ट्रांसपोज़्ड डायरेक्ट फॉर्म 2 के लिए अंतर समीकरण हैं:


 * $$\ y[n]=b_0 x[n]+s_1[n-1],$$

कहाँ


 * $$\ s_1[n]=s_2[n-1]+b_1 x[n]-a_1 y[n]$$ और
 * $$\ s_2[n]=b_2 x[n]-a_2 y[n].$$

ट्रांसपोज़्ड डायरेक्ट फॉर्म 1
प्रत्यक्ष रूप 1 में परिणत किया जाता है

ट्रांसपोज़्ड डायरेक्ट फॉर्म 2
प्रत्यक्ष रूप 2 में परिणत किया जाता है

शोर मात्रा
जब n बिट्स के नमूने को m बिट्स के गुणांक से गुणा किया जाता है, तो उत्पाद में n+m बिट्स होते हैं। ये उत्पाद आमतौर पर एक डीएसपी रजिस्टर में जमा होते हैं, पांच उत्पादों को जोड़ने के लिए 3 अतिप्रवाह बिट्स की आवश्यकता हो सकती है; यह रजिस्टर अक्सर n+m+3 बिट्स रखने के लिए काफी बड़ा होता है। जेड−1 एक नमूना समय के लिए एक मान संग्रहीत करके कार्यान्वित किया जाता है; यह स्टोरेज रजिस्टर आमतौर पर एन बिट्स होता है, संचायक रजिस्टर को एन बिट्स में फिट करने के लिए गोल किया जाता है, और यह क्वांटाइजिंग शोर पेश करता है।

प्रत्यक्ष रूप 1 व्यवस्था में, एकल परिमाणीकरण/पूर्णांक फलन Q(z) है: प्रत्यक्ष रूप 2 व्यवस्था में, एक मध्यवर्ती मान के लिए एक परिमाणीकरण/पूर्णांक कार्य भी होता है। कैस्केड में, मान को चरणों के बीच गोल करने की आवश्यकता नहीं हो सकती है, लेकिन अंतिम आउटपुट को गोल करने की आवश्यकता हो सकती है। फिक्स्ड पॉइंट डीएसपी आमतौर पर गैर ट्रांसपोज़्ड रूपों को पसंद करता है और इसमें बड़ी संख्या में बिट्स के साथ संचायक होता है, और मुख्य मेमोरी में संग्रहीत होने पर इसे गोल किया जाता है। फ़्लोटिंग पॉइंट डीएसपी आमतौर पर ट्रांसपोज़्ड फॉर्म को पसंद करते हैं, प्रत्येक गुणन और संभावित रूप से प्रत्येक जोड़ को गोल किया जाता है; जोड़ उच्च परिशुद्धता परिणाम हैं, जब दोनों ऑपरेंड में समान परिमाण होता है।

यह भी देखें

 * इलेक्ट्रॉनिक फिल्टर टोपोलॉजी#बिक्वाड फिल्टर टोपोलॉजी
 * डिजिटल फिल्टर

बाहरी संबंध

 * Cookbook formulae for audio EQ biquad filter coefficients
 * Biquad filter
 * JOS BiQuad section
 * https://ccrma.stanford.edu/~jos/fp/Transposed_Direct_Forms.html
 * WikiBook on digital signal processing
 * Matched Second Order Digital Filters