सकारात्मक-वास्तविक कार्य

सकारात्मक-वास्तविक कार्य जिसे अधिकांशतः PR कार्य या पीआरएफ के रूप में संक्षिप्त किया जाता है, एक प्रकार का गणितीय कार्य है जो सबसे पहले विद्युत नेटवर्क संश्लेषण में उत्पन्न हुआ था। वे जटिल चर, s के जटिल कार्य Z(s) हैं। एक तर्कसंगत कार्य को PR संपत्ति के रूप में परिभाषित किया जाता है यदि इसमें सकारात्मक वास्तविक भाग होता है और जटिल विमान के दाहिने आधे भाग में विश्लेषणात्मक होता है और वास्तविक अक्ष पर वास्तविक मान लेता है।

प्रतीकों में परिभाषा है,


 * $$ \begin{align}

& \Re[Z(s)]>0 \quad\text{if}\quad \Re(s) > 0 \\ & \Im[Z(s)]=0 \quad\text{if}\quad \Im(s)=0 \end{align} $$ विद्युत नेटवर्क विश्लेषण में, Z(s) विद्युत प्रतिबाधा अभिव्यक्ति का प्रतिनिधित्व करता है और s जटिल आवृत्ति चर है, जिसे अधिकांशतः इसके वास्तविक और काल्पनिक भागों के रूप में व्यक्त किया जाता है;


 * $$s=\sigma+i\omega \,\!$$

किन शब्दों में PR की स्थिति बताई जा सकती है;


 * $$ \begin{align}

& \Re[Z(s)]>0 \quad\text{if}\quad \sigma > 0 \\ & \Im[Z(s)]=0 \quad\text{if}\quad \omega=0 \end{align} $$ PR स्थिति के नेटवर्क विश्लेषण का महत्व वास्तविकता की स्थिति में निहित है। Z(s) पोर्ट तर्कसंगत प्रतिबाधा के रूप में पुनर्प्राप्ति योग्य है यदि और केवल यदि यह PR नियम को पूरा करता है। इस अर्थ में प्राप्य होने का अर्थ है कि प्रतिबाधा का निर्माण असतत आदर्श निष्क्रियता (इंजीनियरिंग) रैखिक तत्वों (प्रतिरोधों, प्रेरकों और विद्युत शब्दावली में संधारित्र ) की परिमित (इसलिए तर्कसंगत) संख्या से किया जा सकता है।

परिभाषा
सकारात्मक-वास्तविक कार्य शब्द को मूल रूप से किसी भी कार्य Z(s) का वर्णन करने के लिए ओटो ब्रुने द्वारा परिभाषित किया गया था कई लेखक स्पष्ट रूप से तर्कसंगतता की आवश्यकता के द्वारा इस परिभाषा का सख्ती से पालन करते हैं, या तर्कसंगत कार्यों पर ध्यान सीमित करके कम से कम पहली बार में. चूँकि समान अधिक सामान्य स्थिति जो तर्कसंगत कार्यों तक सीमित नहीं है पहले काउर द्वारा विचार किया गया था, और कुछ लेखक इस प्रकार की स्थिति के लिए सकारात्मक-वास्तविक शब्द का वर्णन करते हैं, जबकि अन्य इसे मूल परिभाषा का सामान्यीकरण मानते हैं।
 * तर्कसंगत फलन है (दो बहुपदों का भागफल),
 * वास्तविक है जब s वास्तविक है
 * सकारात्मक वास्तविक भाग होता है जब s का सकारात्मक वास्तविक भाग होता है

इतिहास
नियम पहली बार विल्हेम कॉयर (1926) द्वारा प्रस्तावित की गई थी जिन्होंने निर्धारित किया कि यह आवश्यक नियम थी। ओटो ब्रुने (1931) स्थिति के लिए सकारात्मक-वास्तविक शब्द गढ़ा और यह सिद्ध किया कि यह वास्तविकता के लिए आवश्यक और पर्याप्त दोनों था।

गुण

 * दो PR कार्यों का योग PR है।
 * दो PR कार्यों की कार्य संरचना PR है। विशेष रूप से, यदि Z(s) PR है, तो 1/Z(s) और Z(1/s) भी हैं।
 * PR फलन के सभी शून्य और ध्रुव बाएँ आधे तल में या काल्पनिक अक्ष की उसकी सीमा पर होते हैं।
 * काल्पनिक अक्ष पर कोई भी ध्रुव और शून्य सरल होते हैं (एक की बहुलता होती है)।
 * काल्पनिक अक्ष पर किसी भी ध्रुव का वास्तविक सख्ती से सकारात्मक अवशेष (जटिल विश्लेषण) होता है, और इसी तरह काल्पनिक अक्ष पर किसी भी शून्य पर, कार्य का वास्तविक सख्ती से सकारात्मक व्युत्पन्न होता है।
 * दाहिने आधे विमान पर, PR कार्य के वास्तविक भाग का न्यूनतम मान काल्पनिक अक्ष पर होता है (क्योंकि विश्लेषणात्मक कार्य का वास्तविक भाग विमान पर हार्मोनिक कार्य का गठन करता है, और इसलिए अधिकतम सिद्धांत को संतुष्ट करता है)।
 * किसी परिमेय फलन PR फलन के लिए, ध्रुवों की संख्या और शून्यों की संख्या में अधिक से अधिक का अंतर होता है।

सामान्यीकरण
निष्क्रिय रैखिक विद्युत नेटवर्क के व्यापक वर्ग के अपरिवर्तन कार्यों को चिह्नित करने के इरादे से कभी-कभी कुछ सामान्यीकरण किए जाते हैं।

तर्कहीन कार्य
एक नेटवर्क का प्रतिबाधा Z(s) जिसमें अनंत संख्या में घटक होते हैं (जैसे कि अर्ध-अनंत सीढ़ी_नेटवर्क या लैडर_टोपोलॉजी), s का तर्कसंगत कार्य होना आवश्यक नहीं है, और विशेष रूप से बाएं आधे भाग में शाखा बिंदु हो सकते हैं- विमान PR की परिभाषा में ऐसे कार्यों को समायोजित करने के लिए, इसलिए इस नियम को शिथिल करना आवश्यक है कि फलन सभी वास्तविक s के लिए वास्तविक हो, और केवल तभी आवश्यक हो जब s धनात्मक हो। इस प्रकार, संभवतः अपरिमेय फलन Z(s) PR है यदि और केवल यदि कुछ लेखक इस अधिक सामान्य परिभाषा से प्रारंभ करते हैं, और फिर इसे तर्कसंगत स्थिति में विशिष्ट करते हैं।
 * Z(s) विवर्त दाहिने आधे एस-प्लेन में विश्लेषणात्मक है (Re[s] > 0)
 * Z(s) वास्तविक है जब s सकारात्मक और वास्तविक है
 * Re[Z(s)] ≥ 0 जब Re[s] ≥ 0

आव्यूह -मूल्यवान कार्य
एक से अधिक पोर्ट (सर्किट सिद्धांत) वाले रैखिक विद्युत नेटवर्क को प्रतिबाधा पैरामीटर प्रवेश पैरामीटर द्वारा वर्णित किया जा सकता है। तो PR की परिभाषा को आव्यूह -मूल्यवान कार्यों तक विस्तारित करके रैखिक मल्टी-पोर्ट नेटवर्क जो निष्क्रिय हैं उन लोगों से अलग किया जा सकता है जो नहीं हैं। संभवतः अपरिमेय आव्यूह -मूल्यवान कार्य Z(s) PR है यदि और केवल यदि
 * Z(s) का प्रत्येक तत्व विवर्त दाहिने आधे s-प्लेन में विश्लेषणात्मक है (Re[s] > 0)
 * Z(s) का प्रत्येक तत्व वास्तविक है जब s धनात्मक और वास्तविक है
 * Z(s) का हर्मिटियन भाग (Z(s) + Z†(s))/2 सकारात्मक-निश्चित आव्यूह अर्ध-निश्चित है जब Re[s] ≥ 0

संदर्भ

 * Wilhelm Cauer (1932) The Poisson Integral for Functions with Positive Real Part, Bulletin of the American Mathematical Society 38:713–7, link from Project Euclid.
 * W. Cauer (1932) "Über Funktionen mit positivem Realteil", Mathematische Annalen 106: 369–94.