द्वयाधारी संख्या पद्धति (बाइनरी नंबर)

द्विआधारी (बाइनरी) संख्या, आधार-2 अंक प्रणाली या द्विआधारी अंक प्रणाली में व्यक्त की गई एक संख्या है; द्विआधारी अंक प्रणाली गणितीय अभिव्यक्ति की एक ऐसी विधि है, जो केवल दो प्रतीकों, "0" (शून्य) और "1" (एक) का उपयोग करती है।

आधार -2 अंक प्रणाली मूल अंक "2" के साथ एक स्थितीय संकेतन है। प्रत्येक अंक को बिट या द्विआधारी अंक कहा जाता है। तर्क द्वारों का उपयोग करते हुए अंकीय इलेक्ट्रॉनिक परिपथ तंत्र में इसके सीधे कार्यान्वयन के कारण, द्विआधारी प्रणाली का उपयोग भौतिक कार्यान्वयन में भाषा और शोर उन्मुक्ति की सरलता के कारण लगभग संचार की विभिन्न मानव तकनीकों और आधुनिक कम्प्यूटरों एवं कंप्यूटर-आधारित उपकरणों द्वारा उपयोग की एक पसंदीदा प्रणाली के रूप में किया जाता है।

इतिहास
आधुनिक द्विआधारी संख्या प्रणाली का अध्ययन यूरोप में 16वीं और 17वीं शताब्दी में थॉमस हैरियट, जुआन कारमुएल वाई लोबकोविट्ज़ और गॉटफ्राइड लाइबनिज़ो द्वारा किया गया था। हालाँकि, प्राचीन मिस्र, चीन और भारत सहित कई संस्कृतियों में द्विआधारी संख्या से संबंधित प्रणालियाँ पहले दिखाई दी हैं। लीबनिज़ विशेष रूप से चीनीआई चिंग से प्रेरित था।

मिस्र
प्राचीन मिस्र के शास्त्रियों ने अपने भिन्नों के लिए दो अलग-अलग प्रणालियों, मिस्र के भिन्न (द्विआधारी संख्या पद्धति से संबंधित नहीं) और होरस-आँख भिन्न (तथाकथित क्योंकि गणित के कई इतिहासकारों का मानना ​​है कि इस प्रणाली के लिए उपयोग किए गए प्रतीकों को होरस की आंख बनाने के लिए व्यवस्थित किया जा सकता है, हालांकि यह विवादित रहा है) का उपयोग किया था। होरस-आँख भिन्न अनाज, तरल पदार्थ या अन्य मापों की आंशिक मात्रा के लिए एक द्विआधारी संख्या पद्धति है, जिसमें एक हेकट के एक भिन्न को, द्विआधारी भिन्नों 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, और 1/64 के योग के रूप में व्यक्त किया जाता है। इस प्रणाली के प्रारंभिक रूपों को मिस्र के पांचवें राजवंश, लगभग 2400 ईसा पूर्व के दस्तावेजों में पाया जा सकता है, और इसका पूर्णतः विकसित चित्रलिपि रूप मिस्र के उन्नीसवें राजवंश, लगभग 1200 ईसा पूर्व का है।

प्राचीन मिस्र के गुणन के लिए उपयोग की जाने वाली विधि भी द्विआधारी संख्याओं से निकटता से संबंधित है। इस पद्धति में, एक संख्या का एक दूसरी संख्या से गुणन, चरणों के अनुक्रम द्वारा किया जाता है जिसमें एक मान (प्रारंभ में दो संख्याओं में से पहला) या तो दोगुना हो जाता है या इसमें पहली संख्या पुनः जुड़ जाती है; जिस क्रम में इन चरणों का पालन किया जाना है वह दूसरी संख्या के द्विआधारी निरूपण द्वारा दिया गया है। उदाहरण के लिए, इस पद्धति को रिहिंड गणितीय पेपिरस में प्रयोग में देखा जा सकता है, जो लगभग 1650 ईसा पूर्व की है।

चीन
आई चिंग चीन में 9वीं शताब्दी ईसा पूर्व से है। आई चिंग में द्विआधारी संकेतन का उपयोग इसकी चतुर्धातुक अनुमान तकनीक की व्याख्या करने के लिए किया जाता है।

यह यिन और यांग के ताओवादी द्वंद्व पर आधारित है। अष्ट त्रिकोण (बा गुआ) और 64 हेक्साग्राम ("चौसठ" गुआ) का एक समूह, तीन-बिट और छह-बिट द्विआधारी अंकों के समान, कम से कम प्राचीन चीन के झोउ राजवंश के पहले तक उपयोग में थे।

सोंग राजवंश के विद्वान शाओ योंग (1011-1077) ने हेक्साग्राम को एक ऐसे प्रारूप में पुनर्व्यवस्थित किया जो आधुनिक द्विआधारी संख्याओं से मिलता-जुलता है, हालांकि उनका उद्देश्य अपनी व्यवस्था का गणितीय रूप से उपयोग करने का नहीं था। शाओ योंग के वर्ग में एकल हेक्साग्राम के शीर्ष पर कम से कम महत्वपूर्ण बिट को देखना और पंक्तियों के साथ या तो नीचे से दाएँ से ऊपर बाईं ओर 0 के रूप में ठोस रेखाओं के साथ पढ़ना और 1 के रूप में टूटी हुई रेखाएं या ऊपर से बाएं से नीचे दाईं ओर ठोस रेखाएं 1 के रूप में पढ़ना और टूटी हुई रेखाओं को 0 हेक्साग्राम के रूप में 0 से 63 तक अनुक्रम के रूप में व्याख्यायित किया जा सकता है।[9]

भारत
भारतीय विद्वान पिंगला (सी. दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व) ने छंदशास्त्र का वर्णन करने के लिए एक द्विआधारी प्रणाली विकसित की। उन्होंने छोटे और लंबे अक्षरों के रूप में द्विआधारी संख्याओं का इस्तेमाल किया (बाद में दो छोटे अक्षरों की लंबाई के बराबर), जिससे यह मोर्स कोड के समान हो गया। उन्हें लघु (प्रकाश) और गुरु (भारी) शब्दांश के रूप में जाना जाता था।

पिंगला के हिंदू चिरसम्मत शीर्षक चंदशास्त्र (8.23) में प्रत्येक मीटर को एक अद्वितीय मान देने के लिए एक आव्यूह के गठन का वर्णन किया गया है। "चंदशास्त्र" का संस्कृत में शाब्दिक अर्थ मीटर के विज्ञान से है। पिंगला की प्रणाली में द्विआधारी निरूपण बाईं ओर की बजाय दाईं ओर बढ़ता है, जैसा कि आधुनिक स्थितीय संकेतन की द्विआधारी संख्या में होता है। पिंगला की प्रणाली में, संख्या शून्य से प्रारंभ होने के बजाय एक से शुरू होती है। चार छोटे अक्षर "0000" पहला पैटर्न है और मान एक से मिलता जुलता है। स्थानीय मानों के योग में एक जोड़कर संख्यात्मक मान को प्राप्त किया जाता है।

अन्य संस्कृतियाँ
फ़्रेन्च पॉलीनिशिया में मंगरेवा द्वीप के निवासी वर्ष 1450 से पहले एक संकर द्विआधारी-दशमलव प्रणाली का उपयोग कर रहे थे। पूरे अफ्रीका और एशिया में संदेशों को सांकेतिक शब्दों में बदलने के लिए द्विआधारी रंगत वाले भठ्ठा ड्रम का उपयोग किया जाता है। आई चिंग के समान द्विआधारी संयोजनों के सेट का उपयोग आईएफए और साथ ही मध्य युग पश्चिमी भूविज्ञान जैसी पारंपरिक अफ्रीकी अनुमान प्रणालियों में भी किया गया है।

लीबनिज़ के पश्चिमी पूर्ववर्ती
रेमन लुल की 13वीं शताब्दी के अंत में तत्कालीन मानव ज्ञान की प्रत्येक शाखा में सभी ज्ञान के लिए उत्तरदायी होने की महत्वाकांक्षा थी। इस उद्देश्य के लिए उन्होंने कई सरल बुनियादी सिद्धांतों या श्रेणियों के द्विआधारी संयोजनों के आधार पर एक सामान्य विधि या 'आर्स जनरलिस' विकसित की, जिसके लिए उन्हें कंप्यूटिंग विज्ञान और कृत्रिम बुद्धि का पूर्ववर्ती माना गया है।

वर्ष 1605 में फ़्रांसिस बेकन ने एक प्रणाली पर चर्चा की, जिसके तहत वर्णमाला के अक्षरों को द्विआधारी अंकों के अनुक्रम में कम किया जा सकता था, जिसे बाद में किसी भी यादृच्छिक शब्दों में लिपि में दुर्लभ रूप से दिखाई देने वाले परिवर्तनों के रूप में संकेतीकृत किया जा सकता था। उन्होंने द्विआधारी संकेतीकरण के सामान्य सिद्धांत के लिए महत्वपूर्ण रूप से कहा कि इस पद्धति का उपयोग किसी भी वस्तु के साथ किया जा सकता है: "इस शर्त के साथ कि वे वस्तुएँ केवल दो गुना अंतर करने में सक्षम हों; जैसे घंटियों द्वारा, शहनाई द्वारा, लाइट और टॉर्च द्वारा, बन्दूक की रिपोर्ट द्वारा और सामान व्यवहार के किसी भी उपकरण द्वारा"। (बेकन का सिफर देखें।)

वर्ष 1617 में जॉन नेपियर ने एक प्रणाली का वर्णन किया, जिसे उन्होंने अक्षरों द्वारा गैर-स्थितीय निरूपण का उपयोग करके द्विआधारी गणना करने के लिए स्थानीय अंकगणित कहा। थॉमस हैरियट ने द्विआधारी सहित कई स्थानीय अंक प्रणालियों की जाँच की, लेकिन अपने परिणाम प्रकाशित नहीं किए; जो कि बाद में उनके कागजात में पाए गए। इस प्रणाली का पहला प्रकाशन वर्ष 1700 में जुआन कारमुएल वाई लोबकोविट्ज़ द्वारा संभवतः यूरोप में किया गया था।

लीबनिज़ और आई चिंग
लीबनिज़ ने वर्ष 1679 में द्विआधारी संख्या पद्धति का अध्ययन किया; उनका काम वर्ष 1703 में प्रकाशित उनके लेख एक्सप्लीकेशन डी ल'अरिथमेटिक बाईनेयर (Explication de l'Arithmétique Binaire) में प्रदर्शित होता है। लीबनिज़ के लेख का पूरा शीर्षक अंग्रेजी में "द्विआधारी अंकगणित की व्याख्या" के रूप में अनुवादित है, जो केवल 1 और 0 वर्णों का उपयोग करता है, इसकी उपयोगिता पर कुछ टिप्पणियों के साथ, और यह फू शी (Fu Xi) के प्राचीन चीनी आंकड़ों पर प्रकाश डालता है"। लीबनिज़ की प्रणाली आधुनिक द्विआधारी अंक प्रणाली के समान ही 0 और 1 का उपयोग करती है। लीबनिज़ की द्विआधारी अंक प्रणाली का एक उदाहरण इस प्रकार है: :

0 0 0 1   संख्यात्मक मान 20
 * 0 0 1 0   संख्यात्मक मान 21
 * 0 1 0 0   संख्यात्मक मान 22
 * 1 0 0 0   संख्यात्मक मान 23

लीबनिज़ ने आई चिंग के हेक्साग्राम को द्विआधारी गणना के प्रमाण के रूप में व्याख्यायित किया। एक सिनोफाइल के रूप में, लीबनिज़ को आई चिंग के बारे में पता था, जो कि आकर्षण के साथ दर्ज किया गया था कि कैसे इसके हेक्साग्राम 0 से 111111 तक द्विआधारी संख्याओं के अनुरूप हैं, और निष्कर्ष निकाला कि यह मानचित्रण प्रमुख चीनी उपलब्धियों का सबूत था, जिस तरह के दार्शनिक गणित की उन्होंने प्रशंसा की थी। यह संबंध एक भाषा या विशेषता सार्वभौमिकता की उनकी सार्वभौमिक अवधारणा के लिए एक केंद्रीय लोकप्रिय विचार था, जिसका पालन आधुनिक प्रतीकात्मक तर्क बनाने में गोटलोब फ्रेगे और जॉर्ज बूले जैसे उनके उत्तराधिकारियों द्वारा बारीकी से किया जाएगा। लीबनिज़ को पहली बार आई चिंग से फ्रांसीसी जेसुइट जोआचिम बौवेटे के संपर्क के माध्यम से प्रस्तुत किया गया था, जो वर्ष 1685 में एक प्रचारक के रूप में चीन गए थे। लीबनिज़ ने आई चिंग हेक्साग्राम को एक ईसाई के रूप में अपने स्वयं के धार्मिक विश्वासों की सार्वभौमिकता की पुष्टि के रूप में देखा। द्विआधारी अंक लीबनिज़ के धर्मशास्त्र का केंद्र थे। उनका मानना ​​​​था कि द्विआधारी संख्या क्रिएटियो एक्स निहिलो (creatio ex nihilo) या कुछ नहीं से सृजन के ईसाई विचार का प्रतीक थे।

"ईश्वर की सर्वशक्तिमान शक्ति के माध्यम से कुछ नहीं से सृजन करने की अवधारणा विधर्मियों को प्रदान करना आसान नहीं है। अब यह कहा जा सकता है कि विश्व में संख्याओं की उत्पत्ति के अतिरिक्त कोई अन्य तथ्य इस शक्ति को बेहतर तरीके प्रस्तुत और प्रदर्शित नहीं कर सकता है, जैसा कि यहां एक और शून्य या कुछ भी नहीं की सरल और अलंकृत प्रस्तुति के माध्यम से प्रस्तुत किया गया है।"

- ड्यूक ऑफ़ ब्रुन्सविक को लीबनिज का पत्र आई चिंग हेक्साग्राम के साथ जुड़ा हुआ है

बाद के विकास
ब्रिटिश गणितज्ञ जॉर्ज बूले ने वर्ष 1854 में तर्क की एक बीजगणितीय प्रणाली का विवरण देते हुए एक ऐतिहासिक पत्र प्रकाशित किया, जिसे बूलियन बीजगणित के रूप में जाना जाता है। उनकी तार्किक गणना ने अंकीय इलेक्ट्रॉनिक परिपथ तंत्र की संरचना में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई।

क्लाउड शैनन ने वर्ष 1937 में एमआईटी में अपने परास्नातक में शोध किया, जिसने इतिहास में पहली बार इलेक्ट्रॉनिक प्रसारण और स्विच का उपयोग करके बूलियन बीजगणित और द्विआधारी अंकगणित को प्रयुक्त किया। शैनन के शोध प्रसारण और स्विचिंग परिपथ का एक प्रतीकात्मक विश्लेषण, ने अनिवार्य रूप से व्यावहारिक अंकीय परिपथ संरचना की स्थापना की।

बेल प्रयोगशाला में नवंबर, 1937 में कार्यरत जॉर्ज स्टिबिट्ज़ ने एक प्रसारण-आधारित कंप्यूटर के निर्माण को पूर्ण किया, जिसे उन्होंने "मॉडल K" ("किचन" के लिए, जहां उन्होंने इसे एकत्रित किया था) करार दिया, जिसकी गणना द्विआधारी जोड़ का उपयोग करके की गई। बेल प्रयोगशाला ने वर्ष 1938 के अंत में स्टिबिट्ज़ के साथ एक पूर्ण शोध कार्यक्रम को अधिकृत किया। उनका सम्मिश्र संख्या कंप्यूटर 8 जनवरी 1940 को पूर्ण हुआ, जो सम्मिश्र संख्याओं की गणना करने में सक्षम था। 11 सितंबर 1940 को डार्टमाउथ कॉलेज में अमेरिकी गणितीय संस्था सम्मेलन के प्रदर्शन में, स्टिबिट्ज़ एक टेलीटाइप द्वारा टेलीफोन लाइनों पर सम्मिश्र संख्या गणकों के रिमोट के आदेश भेजने में सक्षम था। यह पहला गणना यन्त्र था, जिसका उपयोग फोन लाइन पर रिमोट से किया गया था। सम्मेलन में प्रदर्शन देखने वाले प्रतिभागियों जॉन वॉन न्यूमैन, जॉन मौचली और नॉर्बर्ट वीनर ने अपने संस्मरणों में इसके बारे में उल्लेख किया था।

कोनराड ज़ुसे द्वारा वर्ष 1935 और 1938 के मध्य संरचित और निर्मित ज़ेड1 (कंप्यूटर), बूलियन तर्क और द्विआधारी फ्लोटिंग प्वाइंट संख्याओं का उपयोग करता था।

निरूपण
किसी भी संख्या को बिट (द्विआधारी अंक) के एक अनुक्रम द्वारा दर्शाया जा सकता है, जो बदले में दो परस्पर अनन्य अवस्थाओं में होने में सक्षम किसी भी प्रणाली द्वारा निरूपित किया जा सकता है। प्रतीकों की निम्नलिखित पंक्तियों में से कोई भी पंक्ति संख्या 667 के द्विआधारी संख्यात्मक मान के रूप में व्यक्त की जा सकती है:

प्रत्येक स्थिति में दर्शाया गया संख्यात्मक मान प्रत्येक प्रतीक को दिए गए मान पर निर्भर करता है। कंप्यूटिंग के प्रारम्भिक दिनों में द्विआधारी मानों का निरूपण करने के लिए स्विच, छिद्रित छेद और छिद्रित पेपर टेप का उपयोग किया जाता था। एक आधुनिक कंप्यूटर में संख्यात्मक मानों को दो अलग-अलग विभव द्वारा  चुंबकीय डिस्क पर या चुंबकीय ध्रुवता का उपयोग करके प्रदर्शित जा सकता है। यह आवश्यक नहीं है कि एक "सकारात्मक", "हाँ", या "चालू" स्थिति 1 के संख्यात्मक मान के बराबर हो; यह उपयोग की गई वास्तुकला पर निर्भर करता है।

अंकों के प्रथागत निरूपण को ध्यान में रख कर अरबी अंकों का उपयोग करते हुए द्विआधारी संख्याओं को सामान्यतः "0" और "1" के प्रतीकों का उपयोग करके लिखा जाता है। इनके लिखे जाने पर आधार या मूलांक को इंगित करने के लिए द्विआधारी अंकों को प्रायः अधोलिखित (सबस्क्रिप्ट), उपसर्ग या प्रत्यय दिया जाता है। निम्नलिखित संकेतन समतुल्य हैं:
 * 100101 द्विआधारी (प्रारूप का स्पष्ट विवरण)
 * 100101b (एक प्रत्यय जो द्विआधारी प्रारूप को दर्शाता है; जिसे इंटेल की परंपरा के रूप में भी जाना जाता है  )
 * 100101B (द्विआधारी प्रारूप को इंगित करने वाला प्रत्यय)
 * बिन 100101 (एक उपसर्ग जो द्विआधारी प्रारूप को दर्शाता है)
 * 1001012 (आधार-2 (द्विआधारी) संकेतन का संकेत देने वाली एक सबस्क्रिप्ट)
 * % 100101 (एक उपसर्ग जो द्विआधारी प्रारूप को दर्शाता है; जिसे मोटोरोला की परंपरा के रूप में भी जाना जाता है)
 * 0b100101 (प्रोग्रामिंग भाषाओं में सामान्य द्विआधारी प्रारूप को इंगित करने वाला एक उपसर्ग)
 * 6b100101 (द्विआधारी प्रारूप में बिट की संख्या को इंगित करने वाला एक उपसर्ग, प्रोग्रामिंग भाषाओं में सामान्य)
 * #b100101 (लिस्प प्रोग्रामिंग भाषाओं में सामान्य द्विआधारी प्रारूप को इंगित करने वाला एक उपसर्ग)

इन संख्याओं में द्विआधारी अंकों को दशमलव अंकों से अलग किये जाने के कारण सामान्यतः अंक-दर-अंक पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए, द्विआधारी अंक 100 को इसकी द्विआधारी प्रकृति को स्पष्ट करने और शुद्धता के उद्देश्यों के लिए एक सौ के स्थान पर, एक शून्य शून्य पढ़ा जाता है। चूंकि द्विआधारी अंक 100, संख्या "4" का निरूपण करता है, इसलिए इसे एक सौ के रूप में संदर्भित करना भ्रामक होगा, जो पूरी तरह से अलग मान या राशि का निरूपण करता है। वैकल्पिक रूप से, द्विआधारी अंक 100 को "चार" (सही मान) के रूप में पढ़ा जा सकता है, लेकिन यह इसकी द्विआधारी प्रकृति को स्पष्ट नहीं करता है।

द्विआधारी गणना
द्विआधारी गणना, किसी अन्य संख्या प्रणाली में गणना के ही समान है। यह गणना एक अंक से शुरू करते हुए प्रत्येक प्रतीक के माध्यम से बढ़ते क्रम में होती है। संदर्भ के एक ढाँचे के रूप में अधिक परिचित दशमलव गणना प्रणाली पर संक्षेप में चर्चा करना द्विआधारी गणना के परीक्षण से पहले अत्यंत उपयोगी है।

दशमलव गणना
दशमलव गणना में 0 से 9 तक के दस प्रतीकों का उपयोग किया जाता है। यह गणना अल्पतम महत्वपूर्ण अंक (सबसे दाहिने अंक) के वृद्धिशील प्रतिस्थापन के साथ प्रारंभ होती है जिसे प्रायः प्रथम अंक कहा जाता है। इस स्थान के लिए उपलब्ध प्रतीक समाप्त हो जाने पर अल्पतम महत्वपूर्ण अंक 0 पर पुनर्निर्धारित हो जाता है, और अधिक महत्व के अगले अंक में (बाईं ओर एक स्थान) वृद्धि होती है, और निम्न-क्रम अंक का वृद्धिशील प्रतिस्थापन फिर से प्रारंभ होता है। महत्व के प्रत्येक अंक के लिए पुनर्निर्धारण और अतिवृद्धि की यह विधि दोहराई जाती है। गणना इस प्रकार होती है:


 * 000, 001, 002, ... 007, 008, 009, (सबसे दाहिना अंक शून्य पर पुनर्निर्धारित है, और इसके बाईं ओर का अंक बढ़ा हुआ है)
 * 010, 011, 012, ...
 * 090, 091, 092, ... 097, 098, 099, (सबसे दाहिने दो अंक शून्य पर पुनर्निर्धारित हो जाते हैं, और अगला अंक बढ़ जाता है)
 * 100, 101, 102, ...
 * 100, 101, 102, ...

द्विआधारी गणना
द्विआधारी गणना ठीक इसी प्रक्रिया का अनुसरण करती है, और पुनः वृद्धिशील प्रतिस्थापन अल्पतम महत्वपूर्ण अंक या बिट (सबसे दाहिना वाला, जिसे पहला बिट भी कहा जाता है) से प्रारंभ होती है, जबकि इसमें केवल दो प्रतीक 0 और 1 उपलब्ध होते हैं। इस प्रकार, एक वृद्धि, बाइनरी में बिट 1 तक पहुंचने के बाद इसे 0 पर पुनर्निर्धारित कर देती है, लेकिन बाईं ओर अगले बिट की वृद्धि का कारण बनती है:


 * 0000,
 * 0001, (सबसे दाहिना बिट प्रारंभ होता है, और अगला अंक बढ़ जाता है)
 * 0010, 0011 (सबसे दाहिनी ओर दो बिट प्रारंभ होते हैं, और अगला बिट बढ़ जाता है)
 * 0100, 0101, 0110, 0111, (सबसे दाहिनी ओर तीन बिट प्रारंभ होते हैं, और अगला बिट बढ़ जाता है)
 * 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 ...

द्विआधारी प्रणाली में, प्रत्येक बिट 2 की बढ़ती हुई घात का निरूपण करता है, जिसमें सबसे दाहिना बिट 20, अगला बिट 21, फिर अगला बिट 22 इत्यादि का निरूपण करते हैं। द्विआधारी संख्या का मान प्रत्येक 1 बिट द्वारा दर्शाए गए 2 की घातों का योग है। उदाहरण के लिए, द्विआधारी संख्या 100101 को दशमलव रूप में निम्नानुसार परिवर्तित किया जाता है:


 * 1001012 = [ ( 1 ) × 25 ] + [ ( 0 ) × 24 ] + [ ( 0 ) × 23 ] + [ ( 1 ) × 22 ] + [ ( 0 ) × 21 ] + [ ( 1 ) × 20 ]
 * 1001012 = [ 1 × 32 ] + [ 0 × 16 ] + [ 0 × 8 ] + [ 1 × 4 ] + [ 0 × 2 ] + [ 1 × 1 ]
 * 1001012 = 3710

भिन्न
द्विआधारी अंकगणित में भिन्न केवल तभी समाप्त होती है, जब हर में अभाज्य गुणनखंड केवल "2" ही हो। फलस्वरूप, 1/10 के हर "10" में अभाज्य गुणनखंड 2 और 5 होने के कारण इसका एक सीमित द्विआधारी निरूपण नहीं है। अतः चलायमान-बिंदु (फ्लोटिंग-प्वाइंट) अंकगणित में 10 × 0.1 को ठीक 1 के बराबर नहीं माना जाता है। एक उदाहरण के रूप में, 1/3 = .010101... के द्विआधारी व्यंजक की व्याख्या करने के लिए, अर्थात्: 1/3 = 0 × 2−1 + 1 × 2−2 + 0 × 2−3 + 1 × 2−4 + ... = 0.3125 + ... एक सटीक मान दो की व्युत्क्रम घातों की एक सीमित संख्या के योग, शून्य और एक हमेशा के लिए वैकल्पिक 1/3 के द्विआधारी निरूपण के साथ नहीं प्राप्त किया जा सकता है।

द्विआधारी अंकगणित
द्विआधारी में अंकगणित अन्य अंक प्रणालियों में अंकगणित की सामान ही है। द्विआधारी अंकों पर जोड़, घटाना, गुणा और भाग किया जा सकता है।

जोड़
द्विआधारी में सबसे सरल अंकगणितीय संक्रिया जोड़ है। दो एकल-अंकीय द्विआधारी संख्याओं को हासिल के एक रूप का उपयोग करते हुए जोड़ना अपेक्षाकृत सरल है:


 * 0 + 0 → 0
 * 0 + 1 → 1
 * 1 + 0 → 1
 * 1 + 1 → 0, हासिल 1 (चूँकि 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 21))

दो "1" अंक जोड़ने से एक "0" अंक बनता है, जबकि 1 को अगले स्तम्भ में जोड़ना होता है। यह दशमलव प्रणाली के सामान ही होता है जब कुछ एकल-अंकीय संख्याओं को एक साथ जोड़ा जाता है; यदि परिणाम मूलांक (10) के मान के बराबर या उससे अधिक है, तो बाईं ओर का अंक बढ़ जाता है:


 * 5 + 5 → 0, हासिल 1 (चूँकि 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 101))
 * 7 + 9 → 6, हासिल 1 (चूँकि 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 101))

इसे हासिल के रूप में जाना जाता है। जब एक जोड़ का परिणाम एक अंक के मान से अधिक हो जाता है, तो यह प्रक्रिया मूलांक (अर्थात, 10/10) से विभाजित अतिरिक्त राशि को बाईं ओर ले जाती है, और इसे अगले स्थितीय मान में जोड़ देती है। यह सही है क्योंकि अगली स्थिति का मान मूलांक के बराबर एक गुणनखंड से अधिक होता है। यह हासिल प्रक्रिया द्विआधारी में भी समान रूप से कार्य करती है: 1 1 1 1 1    (हासिल अंक) 0 1 1 0 1 +  1 0 1 1 1 - = 1 0 0 1 0 0 = 36 इस उदाहरण में, दो अंकों को एक साथ जोड़ा जा रहा है: 011012 (1310) और 101112 (2310)। शीर्ष पंक्ति उपयोग किए गए हासिल बिट को प्रदर्शित करती है। सबसे दाहिने स्तम्भ से प्रारंभ होकर, 1 + 1 = 102। 1 को बाईं ओर ले जाया जाता है, और 0 को सबसे दाहिने स्तम्भ के नीचे लिखा जाता है। अब दाईं ओर से दूसरा स्तम्भ जोड़ने पर पुनः 1 + 0 + 1 = 102 प्राप्त होता है ; 1 हासिल लेकर, 0 को नीचे लिखा जाता है। तीसरा स्तम्भ: 1 + 1 + 1 = 112। इस बार, 1 ले हासिल लेकर नीचे की पंक्ति में 1 लिखा जाता है। इस तरह आगे बढ़ने से अंतिम उत्तर 1001002 (3610) मिलता है।

जब कंप्यूटर को दो संख्याओं को जोड़ना होता है, तो नियम: x xor y = (x + y) mod 2 किन्ही भी दो बिटों x और y के लिए, अति तीव्र गणना की सुविधा प्रदान करता है।

दीर्घ हासिल विधि
कई बाइनरी जोड़ समस्याओं के लिए एक सरलीकरण "दीर्घ हासिल विधि" या "द्विआधारी योग की ब्रुकहाउस विधि" है। यह विधि विशेष रूप से तब होती है जब संख्याओं में से एक में संख्याओं का एक लंबा खंड होता है। यह सरल आधार पर आधारित है कि बाइनरी सिस्टम के तहत, जब पूरी तरह से वाले (जहां  कोई पूर्णांक लंबाई है) से बना अंकों का एक खंड दिया जाता है, तो 1 जोड़ने पर संख्या 1 के बाद शून्य की एक स्ट्रिंग होगी। यह अवधारणा, तार्किक रूप से, दशमलव प्रणाली की तरह, जहाँ  9s की एक स्ट्रिंग में 1 जोड़ने पर संख्या 1 और उसके बाद  0s की एक स्ट्रिंग प्राप्त होगी:

द्विआधारी                      दशमलव 1 1 1 1 1    इसी प्रकार        9 9 9 9 9 +         1                  +          1    ———————————                   ———————————    1 0 0 0 0 0                   1 0 0 0 0 0

बाइनरी सिस्टम में इस तरह के लंबे तार काफी आम हैं। इससे पता चलता है कि अत्यधिक कैरी ऑपरेशंस के बिना, दो सरल चरणों का उपयोग करके बड़ी बाइनरी संख्याओं को जोड़ा जा सकता है। निम्नलिखित उदाहरण में, दो अंकों को एक साथ जोड़ा जा रहा है: 1 1 1 0 1 1 1 1 1 02 (95810) और 1 0 1 0 1 1 0 0 1 12 (69110), बाईं ओर पारंपरिक कैरी विधि का उपयोग करके, और दाईं ओर लंबी कैरी विधि: पारंपरिक हासिल विधि                             दीर्घ हासिल विधि बनाम 1 1 1  1 1 1 1 1          (हासिल अंक)    1 ←     1 ←            1 को तब तक ले जाएं जब तक कि यह नीचे "श्रृंखला" से एक अंक आगे न हो जाए 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0                      1 1 1 0 1 1 1 1 1 0  और उसमें जोड़े गए अंक को काट दें +  1 0 1 0 1 1 0 0 1 1                   +   1 0 1 0 1 1 0 0 1 1   ———————————————————————                    —————————————————————— = 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1                     1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 शीर्ष पंक्ति उपयोग किए गए हासिल बिट को दिखाती है। मानक को एक स्तम्भ से दूसरे स्तम्भ में ले जाने के स्थान पर, इसके नीचे संबंधित स्थान मान में "1" के साथ सबसे कम क्रम वाला "1" जोड़ा जा सकता है और एक "1" को श्रृंखला के अंत से पहले एक अंक तक ले जाया जा सकता है। । "प्रयुक्त" संख्याओं को काट दिया जाना चाहिए, क्योंकि वे पहले से ही जोड़े गए हैं। अन्य लंबी श्रृंखलाओं को भी उसी तकनीक का उपयोग करके ख़त्म किया जा सकता है। फिर, सामान्य रूप से किसी भी शेष अंक को एक साथ जोड़ दिया जाता है। इस तरह से आगे बढ़ने पर अंतिम उत्तर 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 12 (164910) प्राप्त होता है। हमारे सरल उदाहरण में छोटी संख्या का उपयोग करते हुए, पारंपरिक हासिल विधि के लिए आठ हासिल संचालनों की आवश्यकता होती है, फिर भी दीर्घ हासिल विधि के लिए केवल दो संचालनों की आवश्यकता होती है, जो प्रयास में पर्याप्त कमी निरूपित करती है।

जोड़ तालिका
द्विआधारी जोड़ तालिका, तार्किक वियोजन संचालन की सत्य तालिका $$\lor$$के समान, परन्तु समरूप नहीं है। अंतर यह है कि $$1 \lor 1 = 1$$, जबकि $$1+1=10$$ ।

घटाना
लगभग उसी तरह काम करता है:

घटाव की संक्रिया भी लगभग उसी तरह कार्य करती है:


 * 0 - 0 → 0
 * 0 - 1 → 1, उधार 1
 * 1 - 0 → 1
 * 1 - 1 → 0

"0" अंक से "1" अंक घटाने पर अंक "1" प्राप्त होता है, जबकि 1 को अगले स्तम्भ से घटाना होता है। इसे उधार के रूप में जाना जाता है। यह सिद्धांत, हासिल के लिए सिद्धांत के समान ही है। जब घटाव का परिणाम किसी अंक के अल्पतम संभव मान 0 से कम होता है, तो इसे अगले स्थानीय मान से घटाते हुए बाईं ओर से मूलांक (अर्थात, 10/10) से विभाजित शेष लेने की प्रक्रिया की जाती है।

*  * * *    (तारांकित स्तम्भ से उधार लिया गया है) 1 1 0 1 1 1 0 -    1 0 1 1 1 = 1 0 1 0 1 1 1

*             (तारांकित स्तम्भ से उधार लिया गया है) 1 0 1 1 1 1 1 -  1 0 1 0 1 1 = 0 1 1 0 1 0 0

एक धनात्मक संख्या को घटाना, बराबर निरपेक्ष मान की ऋणात्मक संख्या जोड़ने के समान है। ऋणात्मक संख्याओं को संभालने के लिए कंप्यूटर हस्ताक्षरित संख्या निरूपण, सामान्यतः "दो" के पूरक संकेतन का उपयोग करते हैं। इस तरह के निरूपण एक अलग "घटाव" संचालन की आवश्यकता को समाप्त करते हैं। दो के पूरक संकेतन का उपयोग करके घटाव को निम्न सूत्र द्वारा संक्षेपित किया जा सकता है:



गुणन
द्विआधारी में गुणन, इसके दशमलव समकक्ष के समान ही है। दो संख्याओं और  को आंशिक गुणनफलों से गुणा किया जा सकता है:  में प्रत्येक अंक के लिए  में उस अंक के गुणनफल की गणना की जाती है और इसे एक नई पंक्ति पर लिखा जाता है, जिसे बाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है ताकि इसका सबसे दाहिना अंक  में उपयोग किए गए अंक के साथ मिल जाए। इन सभी आंशिक गुणनफलों का योग अंतिम परिणाम प्रदान करता है।

चूँकि द्विआधारी में केवल दो अंक होते हैं, अतः प्रत्येक आंशिक गुणन के केवल दो संभावित परिणाम होते हैं: उदाहरण के लिए, द्विआधारी संख्या 1011 और 1010 को निम्नानुसार गुणा किया जाता है: 1 0 1 1            × 1 0 1 0             -            0 0 0 0   ←  में सबसे दाहिने 'शून्य' के संगत +    1 0 1 1     ←  में अगले 'एक' के संगत +  0 0 0 0    + 1 0 1 1    ---    = 1 1 0 1 1 1 0  द्विआधारी बिंदु  के बाद बाइनरी नंबर को बिट्स से भी गुणा किया जा सकता है: 1 0 1 . 1 0 1     (दशमलव में 5.625) × 1 1 0 . 0 1       (दशमलव में 6.25) ---                   1 . 0 1 1 0 1   ←  में एक 'एक' के संगत +          0 0 . 0 0 0 0     ←  में 'शून्य' के संगत +        0 0 0 . 0 0 0      +       1 0 1 1 . 0 1      +     1 0 1 1 0 . 1      ---      =   1 0 0 0 1 1 . 0 0 1 0 1 (दशमलव में 35.15625) बूथ का गुणन एल्गोरिथम भी देखें।
 * यदि में अंक 0 है, तो आंशिक गुणन भी 0 होता है
 * यदि में अंक 1 है, तो आंशिक गुणन  के बराबर होता है

गुणन तालिका
द्विआधारी गुणन तालिका के समान है#तार्किक संयोजन संचालन की सत्य तालिका.

द्विआधारी गुणन तालिका तार्किक संयोजन संचालन $$\land$$ की सत्य तालिका के समान है।

भाजन
द्विआधारी में दीर्घ भाजन पुनः अपने दशमलव समकक्ष के समान है।

नीचे दिए गए उदाहरण में, 1012 (दशमलव में 5) भाजक है, जबकि 110112 (दशमलव में 27) भाज्य है। यह प्रक्रिया दशमलव दीर्घ विभाजन के समान ही है; यहां, भाजक 1012 एक बार भाज्य के पहले तीन अंक 1102 में जाता है, इसलिए शीर्ष पंक्ति पर "1" लिखा जाता है। इस परिणाम को भाजक से गुणा किया जाता है, और भाज्य के पहले तीन अंकों से घटाया जाता है; एक नया तीन-अंकीय अनुक्रम प्राप्त करने के लिए अगला अंक ("1") सम्मिलित किया गया है:

1         ___________  1 0 1   ) 1 1 0 1 1          - 1 0 1            -            0 0 1

फिर प्रक्रिया को नए अनुक्रम के साथ दोहराया जाता है, यह तब तक जारी रहता है जब तक कि भाज्य में अंक समाप्त नहीं हो जाते:

1 0 1       ___________  1 0 1 ) 1 1 0 1 1        - 1 0 1          -              1 1 1            - 1 0 1              -              0 1 0

इस प्रकार, 110112 को 1012 विभाजित करने पर भागफल 1012 है, जैसा कि शीर्ष पंक्ति पर दिखाया गया है, जबकि शेष 102 को नीचे की पंक्ति पर दिखाया गया है। यह दशमलव में इस तथ्य से मिलता जुलता है कि 27 को 5 से विभाजित करने पर भागफल 5 और शेषफल 2 प्राप्त होता है।

दीर्घ विभाजन के अतिरिक्त, प्रत्येक पुनरावृत्ति पर आंशिक शेष से अधिक-घटाव की सुविधा देने के लिए कम व्यवस्थित और परिणामस्वरूप अधिक लचीली वैकल्पिक विधियों की ओर अग्रसर होते हुए एक प्रक्रिया भी तैयार की जा सकती है।

वर्गमूल
एक द्विआधारी संख्या का वर्गमूल अंक दर अंक लेने की प्रक्रिया दशमलव वर्गमूल के समान है और इसे यहाँ वर्णित किया गया है। इसका एक उदाहरण है:

1 0 0 1            -            √ 1010001              1             -       101     01                0       1001     100                  0       10001    10001                10001                    0

बिटवाइज़ संचालन
द्विआधारी प्रतीकों की संख्यात्मक व्याख्या से सीधे संबंधित न होते हुए भी बूलियन तर्क संचालकों का उपयोग करके बिटों के अनुक्रमों में हेरफेर किया जा सकता है। जब द्विआधारी प्रतीकों की एक स्ट्रिंग में इस तरह से किये गए हेरफेर को बिटवाइज़ संचालन कहा जाता है; दो द्विआधारी अंकों में संबंधित बिटों पर तार्किक संचालकों ऐंड (AND), और (OR), और एक्सओआर (XOR) को इनपुट के रूप में संचालित किया जा सकता है। इनपुट के रूप में प्रदान किए गए एकल द्विआधारी अंक में अलग-अलग बिटों पर तार्किक नॉट (NOT) संचालन को संचालित किया जा सकता है। कभी-कभी, इस तरह के संचालन का उपयोग अंकगणितीय शॉर्ट-कट के रूप में किया जा सकता है, और इसके अन्य गणनात्मक लाभ भी हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक द्विआधारी संख्या के बाईं ओर एक अंकगणितीय शिफ्ट, 2 की एक घात (धनात्मक, पूर्णांक) से गुणन के बराबर है।

दशमलव से द्विआधारी
आधार -10 पूर्णांक को उसके आधार -2 (द्विआधारी) समकक्ष में बदलने के लिए संख्या को दो से विभाजित किया जाता है। प्राप्त शेषफल सबसे कम-महत्वपूर्ण बिट होता है। भागफल को पुनः दो से विभाजित किया जाता है; इसका शेषफल अगला न्यूनतम सार्थक बिट बन जाता है। यह प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक कि भागफल "1" न पहुँच जाए। शेषफलों का क्रम (अंतिम भागफल "1" सहित) द्विआधारी मान बनाता है, क्योंकि दो से विभाजित होने पर प्रत्येक शेष या तो शून्य या एक होना चाहिए। उदाहरण के लिए, (357)10 को (101100101)2 के रूप में व्यक्त किया जाता है।

द्विआधारी से दशमलव
आधार -2 से आधार -10 में रूपांतरण केवल पूर्ववर्ती एल्गोरिदम को पलट देता है। द्विआधारी संख्या के बिटों का एक-एक करके उपयोग किया जाता है, जो सबसे महत्वपूर्ण (सबसे बाएं) बिट से प्रारंभ होता है। मान 0 से प्रारंभ होकर, पूर्व मान को दोगुना कर दिया जाता है, और अगला मान उत्पन्न करने के लिए अगले बिट को जोड़ा जाता है। इसे एक बहु-स्तंभ तालिका में व्यवस्थित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 100101011012 को दशमलव में बदलने के लिए:

इसका परिणाम 119710 है। 0 का प्रथम पूर्व मान एक सामान्य प्रारंभिक दशमलव मान होता है। यह विधि हॉर्नर योजना का एक अनुप्रयोग है।

किसी संख्या के भिन्नात्मक भागों को समान विधियों से परिवर्तित किया जाता है। वे दोगुना करने या आधा करने के साथ स्थानांतरण की तुल्यता पर पुनः आधारित हैं।

एक भिन्नात्मक द्विआधारी संख्या जैसे 0.110101101012 में $\frac{1}{2} $ पहला, $ (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} $  द्वितीय अंक है, आदि। तो यदि दशमलव के बाद पहले स्थान पर 1 है, तो संख्या कम से कम $ \frac{1}{2} $  है, और इसके विपरीत भी। उस संख्या का दोगुना कम से कम 1 होगा। यह इस एल्गोरिथम का सुझाव देता है: परिवर्तित होने वाली संख्या को बार-बार दोगुना करें, यदि परिणाम कम से कम 1 है तो दर्ज करें और फिर पूर्णांक भाग को छोड़ दें।

उदाहरण के लिए, $ (\frac{1}{3})_{10} $, द्विआधारी में है:

इस प्रकार दोहराई जाने वाली दशमलव भिन्न 0.3... दोहराई जाने वाली द्विआधारी भिन्न 0.01... के बराबर है।

या उदाहरण के लिए, 0.110, द्विआधारी में है:

यह भी एक आवर्ती द्विआधारी भिन्न 0.0$\overline{0011}$... है। यह एक आश्चर्य हो सकता है कि शांत दशमलव भिन्नों में द्विआधारी में आवर्त प्रसार हो सकते हैं। इसी कारण कई लोगों को यह जानकर आश्चर्य होता है कि फ्लोटिंग प्वाइंट अंकगणित में 0.1 + ... + 0.1, (10 योग), 1 से भिन्न होता है। वास्तव में, केवल शांत प्रसार वाले द्विआधारी भिन्न, 2 की एक घात से विभाजित एक पूर्णांक के रूप में होते हैं, जो कि 1/10 नहीं है।

अंतिम रूपांतरण द्विआधारी से दशमलव भिन्नों में होता है। आवर्ती भिन्नों के साथ उत्पन्न एकमात्र कठिनाई, लेकिन अन्यथा एक विधि, भिन्न को एक पूर्णांक में स्थानांतरित करना है, इसे उपर्युक्त विधि से ही परिवर्तित करते हैं, और फिर दशमलव आधार में दो की उपयुक्त घात से विभाजित करते हैं। उदाहरण के लिए:

$$\begin{align} x & = & 1100&.1\overline{01110}\ldots \\ x\times 2^6 & = & 1100101110&.\overline{01110}\ldots \\ x\times 2 & = & 11001&.\overline{01110}\ldots \\ x\times(2^6-2) & = & 1100010101 \\ x & = & 1100010101/111110 \\ x & = & (789/62)_{10} \end{align}$$द्विआधारी से दशमलव में परिवर्तित करने की एक और विधि, जो प्रायः षोडश-आधारी से परिचित व्यक्ति के लिए तीव्र होती है, में ऐसा अप्रत्यक्ष रूप से करना होता है—पहले ( द्विआधारी में $$x$$) का (षोडश-आधारी में $$x$$ ) में और फिर (षोडश-आधारी में $$x$$) का (दशमलव में $$x$$) परिवर्तन।

बहुत बड़ी संख्या के लिए, ये सरल तरीके अक्षम हैं क्योंकि वे बड़ी संख्या में गुणा या भाग करते हैं जहां एक संकार्य (ऑपरेंड) बहुत बड़ा होता है। एक साधारण डिवाइड-एंड-कॉनकर एल्गोरिथ्म स्पर्शोन्मुख रूप से अधिक प्रभावी होती है: एक द्विआधारी संख्या दी जाती है, इसे 10k से विभाजित किया जाता है, जहाँ k को इस प्रकार चयनित किया जाता है कि भागफल लगभग शेषफल के बराबर हो; फिर इनमें से प्रत्येक अंश को दशमलव में बदल दिया जाता है और दोनों को जोड़ दिया जाता है। दी गई दशमलव संख्या को लगभग एक ही आकार के दो टुकड़ों में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक को द्विआधारी में परिवर्तित किया जाता है, जहां पहले परिवर्तित टुकड़े को 10k से गुणा करके दूसरे परिवर्तित टुकड़े में जोड़ा जाता है, जहाँ k, रूपांतरण से पूर्व दूसरे (अल्पतम महत्वपूर्ण) अंश में दशमलव की संख्या है ।

षोडश-आधारी (हेक्साडेसिमल)
द्विआधारी को षोडश-आधारी (हेक्साडेसिमल) में और षोडश-आधारी से अधिक आसानी से परिवर्तित किया जा सकता है, क्योंकि षोडश-आधारी प्रणाली का मूलांक (16), द्विआधारी प्रणाली (2) के मूलांक की घात है। अधिक विशेष रूप से, 16 = 24, इसलिए षोडश-आधारी के एक अंक का निरूपण करने के लिए द्विआधारी के चार अंकों की आवश्यकता होती है, जैसा कि आसन्न तालिका में दिखाया गया है।

एक षोडश-आधारी संख्या को उसके द्विआधारी समकक्ष में परिवर्तित करने के लिए, केवल संबंधित द्विआधारी अंकों को प्रतिस्थापित करते हैं:


 * 3A16 = 0011 10102
 * E716 = 1110 01112

एक द्विआधारी संख्या को उसके षोडश-आधारी समकक्ष में बदलने के लिए इसे चार बिट के समूहों में विभाजित करते हैं। यदि बिट की संख्या चार का गुणज नहीं है, तो सामान्यतः बाईं ओर अतिरिक्त 0 बिट रख देते हैं (जिसे पैडिंग कहा जाता है)। उदाहरण के लिए:


 * 10100102 = 0101 0010 पैडिंग के साथ समूहीकृत = 5216
 * 110111012 = 1101 1101 समूहबद्ध = DD16

एक षोडश-आधारी संख्या को उसके दशमलव समकक्ष में परिवर्तित करने के लिए प्रत्येक षोडश-आधारी अंक के दशमलव समकक्ष को 16 की संगत घात से गुणा करके परिणामी मान जोड़ देते हैं:


 * C0E716 = (12 × 163) + (0 × 162) + (14 × 16 .)1) + (7 × 160) = (12 × 4096) + (0 × 256) + (14 × 16) + (7 × 1) = 49,38310

अष्ट-आधारी (ऑक्टल)
द्विआधारी भी आसानी से अष्ट-आधारी (ऑक्टल) अंक प्रणाली में परिवर्तित हो जाती है, क्योंकि अष्ट-आधारी, 8 के मूलांक का उपयोग करता है, जो दो की घात है (अर्थात्, 23, इसलिए यह एक अष्ट-आधारी अंक का निरूपण करने के लिए ठीक तीन द्विआधारी अंक लेता है)। अष्ट-आधारी और द्विआधारी अंकों के बीच सामंजस्य उपरोक्त तालिका में षोडश-आधारी के पहले आठ अंकों के सामान ही है। द्विआधारी 000, अष्ट-आधारी अंक 0 के बराबर है, द्विआधारी 111, अष्ट-आधारी 7 के बराबर है, और ऐसे ही आगे भी।

अष्ट-आधारी से द्विआधारी में परिवर्तन, षोडश-आधारी में परिवर्तन के सामान ही होता है:


 * 658 = 110 1012
 * 178 = 001 1112

और द्विआधारी से अष्ट-आधारी में:


 * 1011002 = 101 1002 समूहीकृत = 548
 * 100112 = 010 0112 पैडिंग के साथ समूहीकृत = 238

और अष्ट-आधारी से दशमलव में:


 * 658 = (6 × 81) + (5 × 8 .)0) = (6 × 8) + (5 × 1) = 5310
 * 1278 = (1 × 82) + (2 × 8 .)1) + (7 × 8 .)0) = (1 × 64) + (2 × 8) + (7 × 1) = 8710

वास्तविक संख्याओं का निरूपण
गैर-पूर्णांकों को ऋणात्मक घातों का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है, जिन्हें अन्य अंकों से मूलांक बिंदु (दशमलव प्रणाली में दशमलव बिंदु कहा जाता है) के माध्यम से सेट किया जाता हैं। उदाहरण के लिए, द्विआधारी संख्या 11.012 का अर्थ है:

1 × 21  (1 × 2 = 2)     +

1 × 20  (1 × 1 = 1)     +

0 × 2−1 (0 × $1/undefined$ = 0)   +

1 × 2−2 (1 × $1/undefined$ = 0.25)कुल 3.25 दशमलव के लिए।

सभी द्विआधारी भिन्न संख्याओं $$\frac{p}{2^a}$$ में एक शांत द्विआधारी अंक होता है- द्विआधारी निरूपण में मूलांक बिंदु के बाद सीमित संख्या में पद होते हैं। अन्य परिमेय संख्याओं में द्विआधारी निरूपण होता है, लेकिन वे समाप्त होने के स्थान पर अनिश्चित काल तक दोहराए जाने वाले अंकों के परिमित अनुक्रम के साथ पुनरावृत्ति करते हैं। उदाहरण के लिए

$$\frac{1_{10}}{3_{10}} = \frac{1_2}{11_2} = 0.01010101\overline{01}\ldots\,_2 $$$$\frac{12_{10}}{17_{10}} = \frac{1100_2}{10001_2} = 0.10110100 10110100\overline{10110100}\ldots\,_2 $$ किसी भी परिमेय का द्विआधारी निरूपण या तो समाप्त होता है या आवर्ती होता है; यह घटना अन्य मूलांक-आधारित अंक प्रणालियों में भी होती है। उदाहरण के लिए, दशमलव में व्याख्या देखें। एक और समानता किसी भी समाप्ति निरूपण के लिए वैकल्पिक निरूपण का अस्तित्व है, जो इस तथ्य पर निर्भर करता है कि 0.111111..., ज्यामितीय श्रृंखला 2−1 + 2−2 + 2−3 + ... का योग है जो कि 1 है।

द्विआधारी अंक, जो न तो समाप्त होते हैं और न ही पुनरावृत्ति करते हैं, अपरिमेय संख्याओं को निरूपित करते हैं। उदाहरण के लिए,
 * 0.10100100010000100000100... में एक पैटर्न है, लेकिन यह एक निश्चित-लंबाई आवर्ती पैटर्न नहीं है, इसलिए संख्या अपरिमेय है
 * 1.0110101000001001111001100110011111110..., 2 के वर्गमूल $$\sqrt{2}$$ का द्विआधारी निरूपण है, जो एक और अपरिमेय संख्या है। इसका कोई स्पष्ट पैटर्न नहीं है।

यह भी देखें

 * संतुलित त्रिचर
 * द्विआधारी कोड
 * द्विआधारी-कोडेड दशमलव
 * अंगुली द्विआधारी
 * ग्रे कोड
 * आईईईई 754
 * रैखिक प्रतिक्रिया शिफ्ट रजिस्टर
 * ऑफसेट द्विआधारी
 * पंच-संख्यक द्विआधारी
 * पद में कमी
 * अनावश्यक द्विआधारी निरूपण
 * आवर्ती दशमलव
 * दो का अनुपूरण