फ्रैक्टल



गणित में, एक फ्रैक्टल एक ज्यामितीय आकार होता है जिसमें मनमाने ढंग से छोटे पैमाने पर विस्तृत संरचना होती है, आमतौर पर एक फ्रैक्टल आयाम सख्ती से स्थलीय आयाम से अधिक होता है। कई भग्न विभिन्न पैमानों पर समान दिखाई देते हैं, जैसा कि मैंडलब्रॉट सेट के क्रमिक आवर्धन में दिखाया गया है।   तेजी से छोटे पैमानों पर समान पैटर्न की इस प्रदर्शनी को स्व-समानता कहा जाता है, जिसे विस्तारित समरूपता या प्रकट समरूपता के रूप में भी जाना जाता है; यदि यह प्रतिकृति हर पैमाने पर बिल्कुल समान है, जैसा कि मेरा स्पंज में होता है, तो आकृति को एफ़िन ज्यामिति सेल्फ-समान कहा जाता है।  भग्न ज्यामिति माप सिद्धांत की गणितीय शाखा के अंतर्गत आती है।

एक तरीका यह है कि फ्रैक्टल्स परिमित ज्यामितीय आकृतियों से भिन्न होते हैं, यह है कि वे स्केलिंग (ज्यामिति) कैसे करते हैं। किसी भरे हुए बहुभुज के किनारे की लंबाई को दोगुना करने से उसका क्षेत्रफल चार से गुणा हो जाता है, जो दो है (नए से पुराने पक्ष की लंबाई का अनुपात) दो की शक्ति तक बढ़ जाता है (भरे हुए बहुभुज का पारंपरिक आयाम)। इसी तरह, यदि किसी भरे हुए गोले की त्रिज्या दोगुनी हो जाती है, तो इसका आयतन आठ से बढ़ जाता है, जो दो (पुराने त्रिज्या के लिए नए का अनुपात) तीन की शक्ति (भरे हुए गोले का पारंपरिक आयाम) है। हालांकि, अगर एक फ्रैक्टल की एक-आयामी लंबाई दोगुनी हो जाती है, तो फ्रैक्टल स्केल की स्थानिक सामग्री एक शक्ति द्वारा होती है जो जरूरी नहीं कि एक पूर्णांक हो और सामान्य रूप से इसके पारंपरिक आयाम से अधिक हो। इस शक्ति को ज्यामितीय वस्तु का भग्न आयाम कहा जाता है, इसे पारंपरिक आयाम (जिसे औपचारिक रूप से सांस्थितिक आयाम कहा जाता है) से अलग करने के लिए कहा जाता है। विश्लेषणात्मक रूप से, कई भग्न कहीं भी अलग-अलग कार्य नहीं करते हैं। एक अनंत भग्न वक्र को एक सामान्य रेखा से भिन्न रूप से अंतरिक्ष के माध्यम से घुमाने के रूप में माना जा सकता है - हालांकि यह अभी भी टोपोलॉजिकल आयाम है। टोपोलॉजिकल रूप से 1-आयामी, इसका फ्रैक्टल आयाम इंगित करता है कि यह स्थानीय रूप से सामान्य रेखा की तुलना में अधिक कुशलता से स्थान भरता है। 17वीं शताब्दी में पुनरावर्तन की धारणाओं के साथ शुरू होकर, फ्रैक्टल्स निरंतर कार्य के अध्ययन के लिए तेजी से कठोर गणितीय उपचार के माध्यम से चले गए हैं, लेकिन 19 वीं शताब्दी में बर्नार्ड बोलजानो, बर्नहार्ड रीमैन और कार्ल वीयरस्ट्रास के मौलिक कार्य द्वारा अलग-अलग कार्य नहीं किए गए हैं। और 20वीं शताब्दी में विक्ट: फ्रैक्टल शब्द के निर्माण पर, जिसके बाद 20वीं शताब्दी में फ्रैक्टल्स और कंप्यूटर-आधारित मॉडलिंग में रुचि बढ़ी।

भग्न की अवधारणा को औपचारिक रूप से कैसे परिभाषित किया जाना चाहिए, इस बारे में गणितज्ञों में कुछ असहमति है। मेंडेलब्रॉट ने स्वयं इसे सुंदर, कठिन, तेजी से उपयोगी के रूप में संक्षेपित किया। वह भग्न है। अधिक औपचारिक रूप से, 1982 में मैंडेलब्रॉट ने फ्रैक्टल को इस प्रकार परिभाषित किया: एक फ्रैक्टल परिभाषा के अनुसार एक सेट है जिसके लिए हॉसडॉर्फ आयाम|हॉसडॉर्फ-बेसिकोविच आयाम सांस्थितिक आयाम से सख्ती से अधिक है। बाद में, इसे बहुत अधिक प्रतिबंधात्मक के रूप में देखते हुए, उन्होंने इस परिभाषा को सरल और विस्तारित किया: एक फ्रैक्टल एक खुरदरी या खंडित आकृति है जिसे भागों में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक (कम से कम लगभग) पूरे की एक कम आकार की प्रति है। अभी भी बाद में, मैंडलब्रॉट ने फ्रैक्टल को बिना पांडित्यपूर्ण परिभाषा के उपयोग करने का प्रस्ताव दिया, ताकि फ्रैक्टल आयाम का उपयोग एक सामान्य शब्द के रूप में किया जा सके जो सभी प्रकारों पर लागू होता है। गणितज्ञों के बीच आम सहमति यह है कि सैद्धांतिक भग्न असीम रूप से स्व-समान पुनरावृति और विस्तृत गणितीय निर्माण हैं, जिनमें से हौसडॉर्फ आयाम द्वारा भग्नों की कई सूची तैयार की गई है और उनका अध्ययन किया गया है। भग्न ज्यामितीय पैटर्न तक ही सीमित नहीं हैं, बल्कि समय में प्रक्रियाओं का वर्णन भी कर सकते हैं।     स्व-समानता की विभिन्न डिग्री के साथ फ्रैक्टल पैटर्न को दृश्य, भौतिक और श्रव्य मीडिया में प्रस्तुत या अध्ययन किया गया है और प्रकृति में #भग्न में पाया जाता है,  #प्रौद्योगिकी में भग्न,   #रचनात्मक कार्यों में,  वास्तुकला और #भग्न कानून में। अराजकता सिद्धांत के क्षेत्र में भग्न विशेष रूप से प्रासंगिक हैं क्योंकि वे अधिकांश अराजक प्रक्रियाओं के ज्यामितीय चित्रण में दिखाई देते हैं (आमतौर पर या तो आकर्षण के रूप में या आकर्षण के घाटियों के बीच की सीमाओं के रूप में)।

व्युत्पत्ति
फ्रैक्टल शब्द 1975 में गणितज्ञ बेनोइट मैंडेलब्रॉट द्वारा गढ़ा गया था। मैंडेलब्रॉट ने इसे लैटिन पर आधारित किया frāctus, जिसका अर्थ है टूटा हुआ या खंडित, और इसका उपयोग सैद्धांतिक भिन्नात्मक भग्न आयाम की अवधारणा को प्रकृति में ज्यामितीय पैटर्न तक विस्तारित करने के लिए किया गया।

परिचय


भग्न कला का अक्सर आम जनता के लिए गणितज्ञों के विपरीत अलग-अलग अर्थ होते हैं, जहां जनता के गणितीय अवधारणा की तुलना में फ्रैक्टल कला से परिचित होने की अधिक संभावना होती है। गणितज्ञों के लिए भी गणितीय अवधारणा को औपचारिक रूप से परिभाषित करना कठिन है, लेकिन कुछ गणितीय पृष्ठभूमि के साथ प्रमुख विशेषताओं को समझा जा सकता है।

उदाहरण के लिए, स्व-समानता की विशेषता को एक लेंस या अन्य डिवाइस के साथ ज़ूम इन करने के सादृश्य द्वारा आसानी से समझा जा सकता है जो डिजिटल छवियों पर ज़ूम इन करता है ताकि बेहतर, पहले अदृश्य, नई संरचना को उजागर किया जा सके। यदि यह फ्रैक्टल्स पर किया जाता है, हालांकि, कोई नया विवरण प्रकट नहीं होता है; कुछ भी नहीं बदलता है और वही पैटर्न बार-बार दोहराता है, या कुछ फ्रैक्टल्स के लिए, लगभग वही पैटर्न बार-बार दिखाई देता है। स्व-समानता अपने आप में आवश्यक रूप से प्रति-सहज नहीं है (उदाहरण के लिए, लोगों ने अनौपचारिक रूप से आत्म-समानता पर विचार किया है जैसे कि समानांतर दर्पण या बौना में अनंत प्रतिगमन में, सिर के अंदर छोटे आदमी के सिर के अंदर का छोटा आदमी ...). फ्रैक्टल्स के लिए अंतर यह है कि पुनरुत्पादित पैटर्न विस्तृत होना चाहिए।

विस्तृत होने का यह विचार एक अन्य विशेषता से संबंधित है जिसे बहुत अधिक गणितीय पृष्ठभूमि के बिना समझा जा सकता है: उदाहरण के लिए, इसके टोपोलॉजिकल आयाम से अधिक फ्रैक्टल आयाम होने से यह संदर्भित होता है कि ज्यामितीय आकार आमतौर पर कैसे माना जाता है, इसकी तुलना में फ्रैक्टल स्केल कैसे होता है। उदाहरण के लिए, एक सीधी रेखा को पारंपरिक रूप से एक आयामी समझा जाता है; यदि इस तरह की आकृति को प्रत्येक 1/3 लंबाई के टुकड़ों में फिर से टाइल किया जाता है, तो हमेशा तीन बराबर टुकड़े होते हैं। एक ठोस वर्ग को द्वि-आयामी समझा जाता है; यदि इस तरह की आकृति को दोनों आयामों में 1/3 के कारक से घटाकर टुकड़ों में फिर से टाइल किया जाता है, तो कुल 3 होते हैं2 = 9 टुकड़े।

हम देखते हैं कि साधारण स्व-समान वस्तुओं के लिए, n-आयामी होने का अर्थ है कि जब इसे टुकड़ों में फिर से टाइल किया जाता है, तो प्रत्येक को 1/r के स्केल-कारक द्वारा घटाया जाता है, कुल r होते हैंn टुकड़े। अब, कोच वक्र पर विचार करें। इसे चार उप-प्रतियों में फिर से टाइल किया जा सकता है, प्रत्येक को 1/3 के पैमाने-कारक द्वारा घटाया जाता है। इसलिए, कड़ाई से समानता से, हम कोच वक्र के आयाम को अद्वितीय वास्तविक संख्या डी के रूप में मान सकते हैं जो 3 को संतुष्ट करता हैD = 4. यह वह संख्या है जिसे गणितज्ञ कोच वक्र का भग्न आयाम कहते हैं; यह निश्चित रूप से वह नहीं है जिसे पारंपरिक रूप से वक्र के आयाम के रूप में माना जाता है (यह संख्या पूर्णांक भी नहीं है!)। सामान्य तौर पर, भग्न की एक प्रमुख संपत्ति यह है कि भग्न आयाम पारंपरिक रूप से समझे जाने वाले आयाम (औपचारिक रूप से सांस्थितिक आयाम कहा जाता है) से भिन्न होता है।

यह एक तीसरी विशेषता को भी समझने की ओर ले जाता है, कि गणितीय समीकरणों के रूप में भग्न कहीं भी अलग-अलग फ़ंक्शन नहीं हैं। एक ठोस अर्थ में, इसका मतलब यह है कि भग्न को पारंपरिक तरीकों से नहीं मापा जा सकता है।  विस्तृत करने के लिए, एक लहराती गैर-भग्न वक्र की लंबाई खोजने की कोशिश में, कोई भी मापने वाले उपकरण के सीधे खंडों को लहरों पर अंत करने के लिए काफी छोटा पा सकता है, जहां टुकड़े काफी छोटे हो सकते हैं जिन्हें अनुरूप माना जा सकता है। एक टेप उपाय के साथ सुधार योग्य वक्र के सामान्य तरीके से वक्र। लेकिन कोच स्नोफ्लेक जैसे एक असीम रूप से घुमावदार फ्रैक्टल वक्र को मापने में, वक्र के अनुरूप होने के लिए एक छोटा सा पर्याप्त सीधा खंड कभी नहीं मिलेगा, क्योंकि दांतेदार पैटर्न हमेशा फिर से दिखाई देगा, मनमाने ढंग से छोटे पैमाने पर, अनिवार्य रूप से थोड़ा और खींचेगा टेप की माप कुल लंबाई में मापी जाती है, जिसे हर बार मापा जाता है और इसे वक्र में सख्त और कड़ा करने का प्रयास किया जाता है। नतीजा यह है कि पूरे वक्र को पूरी तरह से कवर करने के लिए अनंत टेप की आवश्यकता होती है, यानी बर्फ के टुकड़े में अनंत परिधि होती है।

इतिहास
फ्रैक्टल का इतिहास मुख्य रूप से सैद्धांतिक अध्ययन से लेकर कंप्यूटर ग्राफिक्स में आधुनिक अनुप्रयोगों तक के मार्ग का पता लगाता है, जिसमें कई उल्लेखनीय लोग विहित फ्रैक्टल रूपों में योगदान करते हैं। अफ्रीका की पारंपरिक वास्तुकला में एक आम विषय फ्रैक्टल स्केलिंग का उपयोग है, जिससे संरचना के छोटे हिस्से बड़े हिस्सों के समान दिखते हैं, जैसे परिपत्र घरों से बने गोलाकार गांव। क्लिफोर्ड ए. पिकओवर के अनुसार, भग्न के पीछे का गणित 17वीं शताब्दी में आकार लेने लगा जब गणितज्ञ और दार्शनिक गॉटफ्रीड लीबनिज ने पुनरावर्ती स्व-समानता पर विचार किया (हालांकि उन्होंने यह सोचने की गलती की कि इसमें केवल सीधी रेखा स्व-समान थी समझ)। अपने लेखन में, लीबनिज ने भिन्नात्मक घातांक शब्द का प्रयोग किया, लेकिन खेद व्यक्त किया कि ज्यामिति अभी तक उनके बारे में नहीं जानती थी। वास्तव में, विभिन्न ऐतिहासिक वृत्तांतों के अनुसार, उस बिंदु के बाद कुछ गणितज्ञों ने मुद्दों को सुलझाया और उन लोगों का काम जो इस तरह की अपरिचित उभरती अवधारणाओं के प्रतिरोध के कारण बड़े पैमाने पर अस्पष्ट रहे, जिन्हें कभी-कभी गणितीय राक्षसों के रूप में संदर्भित किया जाता था।   इस प्रकार, 18 जुलाई, 1872 को दो शताब्दियां बीतने तक कार्ल वेइरस्ट्रास ने वेइरस्ट्रास फ़ंक्शन की पहली परिभाषा को एक फ़ंक्शन के ग्राफ़ के साथ प्रस्तुत किया जिसे आज एक फ्रैक्टल माना जाएगा, जिसमें गैर-अंतर्ज्ञान (ज्ञान) की संपत्ति होगी। रॉयल प्रशिया एकेडमी ऑफ साइंसेज में हर जगह निरंतर कार्य करना लेकिन कहीं भी अलग नहीं होना।

इसके अलावा, योग सूचकांक बढ़ने पर भागफल अंतर मनमाने ढंग से बड़ा हो जाता है। उसके कुछ ही समय बाद, 1883 में, जॉर्ज कैंटर, जिन्होंने वीयरस्ट्रास के व्याख्यानों में भाग लिया, कैंटर सेट के रूप में जानी जाने वाली वास्तविक रेखा के सबसेट के प्रकाशित उदाहरण, जिनमें असामान्य गुण थे और अब फ्रैक्टल के रूप में पहचाने जाते हैं। साथ ही उस शताब्दी के अंतिम भाग में, फेलिक्स क्लेन और हेनरी पोंकारे ने फ्रैक्टल की एक श्रेणी पेश की जिसे सेल्फ-इनवर्स फ्रैक्टल्स कहा जाने लगा।

अगले मील के पत्थर में से एक 1904 में आया, जब हेल्ज वॉन कोच, पोनकारे के विचारों का विस्तार करते हुए और वीयरस्ट्रैस की अमूर्त और विश्लेषणात्मक परिभाषा से असंतुष्ट, एक समान फ़ंक्शन की हाथ से खींची गई छवियों सहित एक अधिक ज्यामितीय परिभाषा दी, जिसे अब कोच स्नोफ्लेक कहा जाता है। एक और मील का पत्थर एक दशक बाद 1915 में आया, जब वाक्लाव सिएरपिन्स्की ने अपने प्रसिद्ध सिएरपिन्स्की त्रिकोण का निर्माण किया, फिर एक साल बाद, अपने सिएरपिन्स्की कालीन। 1918 तक, दो फ्रांसीसी गणितज्ञ, पियरे फतौ और गैस्टन जूलिया, हालांकि स्वतंत्र रूप से काम कर रहे थे, अनिवार्य रूप से एक साथ परिणामों पर पहुंचे, जो कि जटिल संख्याओं और पुनरावृत्त कार्यों के मानचित्रण से जुड़े फ्रैक्टल व्यवहार के रूप में देखा जाता है और अजीब आकर्षण (यानी, अंक) के बारे में आगे के विचारों के लिए अग्रणी है। जो अन्य बिंदुओं को आकर्षित या प्रतिकर्षित करते हैं), जो भग्न के अध्ययन में बहुत महत्वपूर्ण हो गए हैं।

मार्च 1918 तक उस काम को प्रस्तुत करने के तुरंत बाद, फेलिक्स हॉसडॉर्फ ने आयाम की परिभाषा का विस्तार किया, महत्वपूर्ण रूप से भग्न की परिभाषा के विकास के लिए, सेट को गैर-पूर्णांक आयामों की अनुमति देने के लिए। पॉल लेवी (गणितज्ञ) | पॉल लेवी द्वारा स्व-समान वक्रों के विचार को आगे बढ़ाया गया, जिन्होंने अपने 1938 के पेपर प्लेन या स्पेस कर्व्स एंड सरफेसेस कंसिस्टिंग ऑफ पार्ट्स सिमिलर द होल में एक नए फ्रैक्टल कर्व, लेवी सी कर्व का वर्णन किया।.

विभिन्न शोधकर्ताओं ने यह माना है कि आधुनिक कंप्यूटर ग्राफिक्स की सहायता के बिना, शुरुआती जांचकर्ता मैनुअल ड्रॉइंग में जो चित्रित कर सकते थे, उस तक सीमित थे, इसलिए उनके पास सुंदरता की कल्पना करने और उनके द्वारा खोजे गए कई पैटर्नों के कुछ निहितार्थों की सराहना करने के साधनों की कमी थी। जूलिया सेट, उदाहरण के लिए, केवल कुछ पुनरावृत्तियों के माध्यम से बहुत ही सरल चित्र के रूप में देखा जा सकता है)। हालांकि, 1960 के दशक में यह बदल गया, जब बेनोइट मंडेलब्रॉट ने स्व-समानता के बारे में लिखना शुरू किया, जैसे ब्रिटेन का तट कितना लंबा है? सांख्यिकीय स्व-समानता और भिन्नात्मक आयाम,  जिसे लुईस फ्राई रिचर्डसन के पहले के काम पर बनाया गया था।

1975 में मैंडेलब्रॉट ने फ्रैक्टल शब्द गढ़ने में सैकड़ों वर्षों के विचार और गणितीय विकास को मजबूत किया और कंप्यूटर-निर्मित विज़ुअलाइज़ेशन के साथ अपनी गणितीय परिभाषा को चित्रित किया। इन छवियों, जैसे कि उनके विहित मैंडेलब्रॉट सेट ने लोकप्रिय कल्पना पर कब्जा कर लिया; उनमें से कई रिकर्सन पर आधारित थे, जिससे फ्रैक्टल शब्द का लोकप्रिय अर्थ निकला।

1980 में, लोरेन कारपेंटर ने SIGGRAPH में एक प्रस्तुति दी, जहां उन्होंने आंशिक रूप से उत्पन्न परिदृश्यों को उत्पन्न करने और प्रस्तुत करने के लिए अपना सॉफ्टवेयर पेश किया।

परिभाषा और विशेषताएं
एक अक्सर उद्धृत विवरण जो मैंडलब्रॉट ने ज्यामितीय भग्नों का वर्णन करने के लिए प्रकाशित किया था वह एक खुरदरी या खंडित आकृति है जिसे भागों में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक (कम से कम लगभग) पूरे की एक कम आकार की प्रति है; यह आम तौर पर सहायक है लेकिन सीमित है। लेखक फ्रैक्टल की सटीक परिभाषा पर असहमत हैं, लेकिन आमतौर पर स्व-समानता के मूल विचारों और फ्रैक्टल्स के असामान्य संबंध के बारे में विस्तार से बताया गया है, जिसमें वे एम्बेडेड हैं। एक बिंदु पर सहमति है कि फ्रैक्टल पैटर्न फ्रैक्टल आयामों की विशेषता है, लेकिन जहां ये संख्याएं जटिलता की मात्रा निर्धारित करती हैं (यानी, बदलते पैमाने के साथ विवरण बदलना), वे न तो विशिष्ट रूप से वर्णन करते हैं और न ही विशेष फ्रैक्टल पैटर्न का निर्माण करने के तरीके का विवरण निर्दिष्ट करते हैं। 1975 में जब मैंडेलब्रॉट ने फ्रैक्टल शब्द गढ़ा, तो उन्होंने ऐसा एक वस्तु को निरूपित करने के लिए किया, जिसका हॉसडॉर्फ-बेसिकोविच आयाम इसके लेबेस्ग कवरिंग आयाम से अधिक है। हालाँकि, यह आवश्यकता हिल्बर्ट वक्र जैसे स्थान-भरने वाले वक्रों से पूरी नहीं होती है।

फ्रैक्टल्स के लिए एक परिभाषा खोजने में शामिल परेशानी के कारण, कुछ लोगों का तर्क है कि फ्रैक्टल्स को सख्ती से बिल्कुल भी परिभाषित नहीं किया जाना चाहिए। केनेथ फाल्कनर (गणितज्ञ) के अनुसार, फ्रैक्टल्स को आम तौर पर केवल निम्नलिखित विशेषताओं के एक विक्ट: गेस्टाल्ट द्वारा चित्रित किया जाना चाहिए;


 * स्व-समानता, जिसमें शामिल हो सकते हैं:
 * सटीक स्व-समानता: सभी पैमानों पर समान, जैसे #कोच
 * अर्ध स्व-समानता: विभिन्न पैमानों पर समान पैटर्न का अनुमान लगाता है; विकृत और पतित रूपों में संपूर्ण भग्न की छोटी प्रतियां हो सकती हैं; उदाहरण के लिए, मैंडेलब्रॉट सेट के उपग्रह पूरे सेट के सन्निकटन हैं, लेकिन सटीक प्रतियां नहीं हैं।
 * सांख्यिकीय स्व-समानता: एक पैटर्न को दोहराता है ताकि संख्यात्मक या सांख्यिकीय उपायों को तराजू में संरक्षित किया जा सके; उदाहरण के लिए, #random ब्रिटेन का तट कितना लंबा है? के प्रसिद्ध उदाहरण की तरह है। सांख्यिकीय स्व-समानता और भिन्नात्मक आयाम जिसके लिए किसी को एक खंड को बड़े करीने से और बार-बार दोहराने वाली इकाई के रूप में खोजने की उम्मीद नहीं होगी जो कोच हिमपात की तरह भग्न को परिभाषित करती है। :* गुणात्मक स्व-समानता: एक समय श्रृंखला के रूप में
 * मल्टीफ्रैक्टल स्केलिंग: एक से अधिक फ्रैक्टल आयाम या स्केलिंग नियम द्वारा विशेषता


 * मनमाने ढंग से छोटे पैमाने पर ठीक या विस्तृत संरचना। इस संरचना का एक परिणाम यह है कि भग्न में आकस्मिक गुण हो सकते हैं (इस सूची में अगले मानदंड से संबंधित)।
 * स्थानीय और विश्व स्तर पर अनियमितता जिसे चरणों के पुनरावर्तन परिभाषित अनुक्रम की सीमा के अलावा पारंपरिक यूक्लिडियन ज्यामिति की भाषा में आसानी से वर्णित नहीं किया जा सकता है। भग्न पैटर्न की छवियों के लिए, यह वाक्यांशों द्वारा व्यक्त किया गया है जैसे सतहों को सुचारू रूप से जमा करना और भंवरों पर भंवर; #एल्गोरिदम देखें।

एक समूह के रूप में, ये मानदंड कुछ मामलों को बाहर करने के लिए दिशानिर्देश बनाते हैं, जैसे कि वे जो स्व-समान हो सकते हैं जिनमें अन्य विशिष्ट भग्न विशेषताएं नहीं होती हैं। उदाहरण के लिए, एक सीधी रेखा स्व-समान है, लेकिन भग्न नहीं है क्योंकि इसमें विस्तार की कमी है, और पुनरावृत्ति की आवश्यकता के बिना यूक्लिडियन भाषा में आसानी से वर्णित है।

भग्न उत्पन्न करने की सामान्य तकनीकें


फ्रैक्टल्स की छवियां फ्रैक्टल जनरेट करने वाला सॉफ्टवेयर द्वारा बनाई जा सकती हैं। तितली प्रभाव के कारण, एकल चर में एक छोटे से परिवर्तन का एक पूर्वानुमानित परिणाम हो सकता है।


 * पुनरावृत्त फ़ंक्शन सिस्टम (IFS) - निश्चित ज्यामितीय प्रतिस्थापन नियमों का उपयोग करें; स्टोकेस्टिक या नियतात्मक हो सकता है; जैसे, कोच स्नोफ्लेक, कैंटर सेट, हैफर्मन कालीन, सीरपिन्स्की कालीन, सीरपिंस्की गैसकेट, पियानो घटता है, ड्रैगन वक्र|हार्टर-हाइवे ड्रैगन कर्व, टी-स्क्वायर (फ्रैक्टल)|टी-स्क्वायर, मेरा स्पंज
 * अजीब आकर्षण - मानचित्र के पुनरावृत्तियों या प्रारंभिक-मूल्य अंतर या अंतर समीकरणों की प्रणाली के समाधान का उपयोग करें जो अराजकता प्रदर्शित करते हैं (उदाहरण के लिए, #multifractal छवि, या रसद मानचित्र देखें)
 * एएल प्रणाली - स्ट्रिंग पुनर्लेखन का उपयोग करें; पौधों, जैविक कोशिकाओं (जैसे, न्यूरॉन्स और प्रतिरक्षा प्रणाली कोशिकाओं) में शाखाओं के पैटर्न जैसा दिख सकता है ), रक्त वाहिकाओं, फुफ्फुसीय संरचना, आदि या कछुआ ग्राफिक्स पैटर्न जैसे कि स्पेस-फिलिंग कर्व्स और टाइलिंग
 * एस्केप-टाइम फ्रैक्टल्स - अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु पर एक सूत्र या पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग करें (जैसे कि जटिल तल); आमतौर पर अर्ध-स्व-समान; कक्षा भग्न के रूप में भी जाना जाता है; उदाहरण के लिए, मैंडलब्रॉट सेट, जूलिया सेट, बर्निंग शिप फ्रैक्टल, फ्रैक्टल नोवा और लायपुनोव फ्रैक्टल। 2d सदिश क्षेत्र जो एस्केप-टाइम फ़ार्मुलों के एक या दो पुनरावृत्तियों द्वारा उत्पन्न होते हैं, जब बिंदु (या पिक्सेल डेटा) बार-बार इस क्षेत्र से होकर गुजरते हैं तो एक भग्न रूप भी देते हैं।
 * रैंडम फ्रैक्टल्स - स्टोकेस्टिक नियमों का उपयोग करें; उदाहरण के लिए, लेवी उड़ान, परकोलेशन सिद्धांत, सेल्फ अवॉइडिंग वॉक, भग्न परिदृश्य, ब्राउनियन गति के प्रक्षेपवक्र और ब्राउनियन पेड़ (यानी, मॉडलिंग प्रसार-सीमित एकत्रीकरण या प्रतिक्रिया-सीमित एकत्रीकरण समूहों द्वारा उत्पन्न डेंड्राइटिक फ्रैक्टल्स)।

*परिमित उपखंड नियम - टाइलिंग को परिष्कृत करने के लिए एक पुनरावर्ती टोपोलॉजिकल एल्गोरिदम का उपयोग करें और वे कोशिका विभाजन की प्रक्रिया के समान हैं। कैंटर सेट और सिएरपिन्स्की कालीन बनाने में उपयोग की जाने वाली पुनरावृत्त प्रक्रियाएं परिमित उपखंड नियमों के उदाहरण हैं, जैसा कि बैरीसेंट्रिक उपखंड है।

नकली भग्न
भौतिक समय और स्थान की व्यावहारिक सीमाओं के कारण, फ्रैक्टल पैटर्न को बड़े पैमाने पर तैयार किया गया है, हालांकि असीमित के बजाय पैमाने की एक सीमा के भीतर। मॉडल प्रकृति में सैद्धांतिक भग्न या #भग्न का अनुकरण कर सकते हैं। मॉडलिंग प्रक्रिया के आउटपुट अत्यधिक कलात्मक रेंडरिंग, जांच के लिए आउटपुट या फ्रैक्टल विश्लेषण के लिए बेंचमार्क हो सकते हैं। प्रौद्योगिकी के लिए फ्रैक्टल्स के कुछ विशिष्ट अनुप्रयोगों को प्रौद्योगिकी में फ्रैक्टल्स सूचीबद्ध किया गया है। छवियों और मॉडलिंग के अन्य आउटपुट को आम तौर पर फ्रैक्टल्स के रूप में संदर्भित किया जाता है, भले ही उनके पास सख्ती से फ्रैक्टल विशेषताएं न हों, जैसे कि फ्रैक्टल छवि के एक क्षेत्र में ज़ूम करना संभव है जो किसी भी फ्रैक्टल गुणों को प्रदर्शित नहीं करता है। साथ ही, इनमें गणना या प्रदर्शन विरूपण साक्ष्य (त्रुटि) शामिल हो सकते हैं जो वास्तविक भग्न की विशेषताएं नहीं हैं।

प्रतिरूपित भग्न ध्वनियाँ हो सकती हैं, डिजिटल इमेज, इलेक्ट्रोकेमिकल पैटर्न, सर्कैडियन लय, आदि। भौतिक 3-आयामी अंतरिक्ष में फ्रैक्टल पैटर्न का पुनर्निर्माण किया गया है और वस्तुतः, अक्सर सिलिको मॉडलिंग में कहा जाता है। फ्रैक्टल्स के मॉडल आम तौर पर फ्रैक्टल-जनरेटिंग सॉफ़्टवेयर का उपयोग करके बनाए जाते हैं जो ऊपर उल्लिखित तकनीकों को लागू करते हैं।   एक उदाहरण के रूप में, पेड़, फर्न, तंत्रिका तंत्र की कोशिकाएं, रक्त और फेफड़े के वास्कुलचर, और प्रकृति में अन्य ब्रांचिंग पैटर्न को पुनरावर्ती कलन विधि और एल-सिस्टम तकनीकों का उपयोग करके कंप्यूटर पर तैयार किया जा सकता है।

कुछ प्रतिमानों की पुनरावर्ती प्रकृति कुछ उदाहरणों में स्पष्ट है—एक पेड़ की एक शाखा या एक फ़र्न की एक शाखा पूरे की एक लघु प्रतिकृति है: समान नहीं, लेकिन प्रकृति में समान। इसी तरह, यादृच्छिक फ्रैक्टल्स का उपयोग कई अत्यधिक अनियमित वास्तविक दुनिया की वस्तुओं का वर्णन/निर्माण करने के लिए किया गया है। मॉडलिंग फ्रैक्टल्स की एक सीमा यह है कि फ्रैक्टल मॉडल की प्राकृतिक घटना से समानता यह साबित नहीं करती है कि मॉडल की जा रही घटना मॉडलिंग एल्गोरिदम के समान प्रक्रिया द्वारा बनाई गई है।

भग्न सुविधाओं के साथ प्राकृतिक घटनाएं
प्रकृति में पाए जाने वाले अनुमानित भग्न विस्तारित, लेकिन परिमित, स्केल रेंज में आत्म-समानता प्रदर्शित करते हैं। उदाहरण के लिए, भग्न और पत्तियों के बीच संबंध का उपयोग वर्तमान में यह निर्धारित करने के लिए किया जा रहा है कि पेड़ों में कितना कार्बन निहित है। फ्रैक्टल विशेषताओं के लिए जानी जाने वाली घटनाओं में शामिल हैं:


 * एक्टिन साइटोस्केलेटन
 * शैवाल
 * पशु रंग पैटर्न
 * रक्त वाहिकाएं और फुफ्फुसीय वाहिकाएं * ब्राउनियन गति (एक आयामी वीनर प्रक्रिया द्वारा उत्पन्न)।
 * बादल और वर्षा वाले क्षेत्र
 * तटरेखाएँ
 * प्रभाव गड्ढा
 * क्रिस्टल
 * डीएनए
 * धूल के दाने
 * भूकंप
 * गलत लाइनें
 * ज्यामितीय प्रकाशिकी
 * ह्रदय दर
 * दिल की आवाज़
 * झील तटरेखा और क्षेत्र
 * विद्युत तीर
 * पहाड़ी बकरी के सींग
 * पॉलिमर
 * परकोलेशन
 * पर्वत
 * हवा की लहर
 * अनन्नास
 * प्रोटीन
 * साइकेडेलिक अनुभव
 * पुर्किंजे सेल
 * शनि के छल्ले
 * नदी
 * रोमनेस्को ब्रोकोली
 * बर्फ के गुच्छे
 * मिट्टी के छिद्र
 * टर्बुलेंस में सतहें बहती हैं
 * पेड़

कोशिका जीव विज्ञान में भग्न
फ्रैक्टल्स अक्सर जीवित जीवों के दायरे में दिखाई देते हैं जहां वे शाखाओं में बंटी प्रक्रियाओं और अन्य जटिल पैटर्न के गठन के माध्यम से उत्पन्न होते हैं। इयान वोंग और सहकर्मियों ने दिखाया है कि माइग्रेट करने वाली कोशिकाएं क्लस्टरिंग और ब्रांचिंग प्रक्रिया द्वारा फ्रैक्टल बना सकती हैं। कोशिका की सतह पर प्रक्रियाओं के माध्यम से न्यूरॉन कार्य करता है, ऐसी घटनाओं के साथ जो सतह से आयतन अनुपात को बड़े पैमाने पर बढ़ाकर बढ़ाया जाता है। एक परिणाम के रूप में तंत्रिका कोशिकाओं को अक्सर भग्न पैटर्न में पाया जाता है। सेल शरीर क्रिया विज्ञान और विभिन्न विकृति विज्ञान में ये प्रक्रियाएं महत्वपूर्ण हैं। कई उपकोशिकीय संरचनाएं भी भग्न में इकट्ठा होती पाई जाती हैं। डिएगो क्राफ ने दिखाया है कि शाखाओं की प्रक्रियाओं के माध्यम से मानव कोशिकाओं में एक्टिन तंतु फ्रैक्टल पैटर्न में इकट्ठा होते हैं। इसी तरह मैथियास वीस ने दिखाया कि अन्तः प्रदव्ययी जलिका फ्रैक्टल विशेषताओं को प्रदर्शित करता है। वर्तमान समझ यह है कि भग्न कोशिका जीव विज्ञान में, प्रोटीन से लेकर organelle तक, संपूर्ण कोशिकाओं तक सर्वव्यापी हैं।

रचनात्मक कार्यों में
1999 के बाद से कई वैज्ञानिक समूहों ने जैक्सन पोलक (1912-1956) द्वारा बनाई गई 50 से अधिक पेंटिंग्स पर सीधे क्षैतिज कैनवस पर पेंट डालकर फ्रैक्टल विश्लेषण किया है। हाल ही में, फ्रैक्टल विश्लेषण का उपयोग नकली पोलॉक से असली को अलग करने में 93% सफलता दर प्राप्त करने के लिए किया गया है। संज्ञानात्मक न्यूरोसाइंटिस्ट्स ने दिखाया है कि पोलक के फ्रैक्टल्स प्रेक्षकों में कंप्यूटर जनित फ्रैक्टल्स और प्रकृति के फ्रैक्टल्स के समान तनाव-कमी को प्रेरित करते हैं। डेकल, मैक्स अर्नेस्ट जैसे कलाकारों द्वारा उपयोग की जाने वाली एक तकनीक, फ्रैक्टल जैसे पैटर्न का उत्पादन कर सकती है। इसमें दो सतहों के बीच पेंट को दबाना और उन्हें अलग करना शामिल है।

साइबरनेटिसिस्ट रॉन एगलैश ने सुझाव दिया है कि फ्रैक्टल ज्यामिति और गणित अफ्रीकी कला, खेल, भविष्यवाणी, व्यापार और वास्तुकला में प्रचलित हैं। वृत्ताकार घर हलकों के घेरे में दिखाई देते हैं, आयताकार घर आयतों के आयतों में दिखाई देते हैं, और इसी तरह। इस तरह के स्केलिंग पैटर्न अफ्रीकी वस्त्रों, मूर्तिकला और यहां तक ​​​​कि कॉर्नो हेयर स्टाइल में भी पाए जा सकते हैं। होक्की सितुंगकिर ने पारंपरिक घरों में पाए जाने वाले इंडोनेशियाई पारंपरिक कला, बाटिक और आभूषण (कला) में समान गुणों का भी सुझाव दिया। नृजातीय गणितज्ञ रॉन एगलैश ने न केवल शहर और गांवों में बल्कि घरों के कमरों में भी फ्रैक्टल्स को आधार बनाकर बेनिन शहर के नियोजित लेआउट पर चर्चा की है। उन्होंने टिप्पणी की कि जब यूरोपीय पहली बार अफ्रीका आए, तो उन्होंने वास्तुकला को बहुत ही असंगठित और इस प्रकार आदिम माना। उन्हें कभी यह ख्याल नहीं आया कि अफ़्रीकी लोग गणित के ऐसे रूप का उपयोग कर रहे होंगे जिसे उन्होंने अभी तक खोजा भी नहीं था। 1996 में माइकल सिल्वरब्लाट के साथ एक साक्षात्कार में, डेविड फोस्टर वालेस ने स्वीकार किया कि अनंत जेस्ट के पहले मसौदे की संरचना उन्होंने अपने संपादक माइकल पिसेट को दी थी, जो फ्रैक्टल्स से प्रेरित था, विशेष रूप से सिएरपिन्स्की त्रिकोण (उर्फ सिएरपिन्स्की गैसकेट), लेकिन यह संपादित उपन्यास है एक असंतुलित सीरपिंस्की गैस्केट की तरह। डच कलाकार एम.सी. एस्चर के कुछ कार्य, जैसे कि सर्कल लिमिट III, में अनंत तक दोहराए जाने वाले आकार होते हैं जो छोटे और छोटे हो जाते हैं जैसे वे किनारों के पास आते हैं, एक ऐसे पैटर्न में जो ज़ूम इन करने पर हमेशा समान दिखाई देगा।

शारीरिक प्रतिक्रियाएं
मनुष्य 1.3 और 1.5 के बीच डी मान वाले फ्रैक्टल पैटर्न को संसाधित करने के लिए विशेष रूप से अच्छी तरह से अनुकूलित प्रतीत होता है। जब मनुष्य 1.3 और 1.5 के बीच डी मान के साथ फ्रैक्टल पैटर्न देखते हैं, तो यह शारीरिक तनाव को कम करता है।

प्रौद्योगिकी में अनुप्रयोग

 * भग्न एंटीना
 * फ्रैक्टल ट्रांजिस्टर
 * फ्रैक्टल हीट एक्सचेंजर्स
 * डिजिटल इमेजिंग
 * आर्किटेक्चर * शहरी विकास
 * ऊतकविकृतिविज्ञानी स्लाइड्स का वर्गीकरण
 * भग्न परिदृश्य या तटरेखा जटिलता
 * फ्रैक्टल विश्लेषण द्वारा 'जीवन को जिस रूप में हम नहीं जानते' का पता लगाना
 * एंजाइम (माइकलिस-मेंटेन कैनेटीक्स)
 * एल्गोरिथम रचना
 * सिग्नल (सूचना सिद्धांत) और भग्न संपीड़न
 * डिजिटल फोटोग्राफिक इज़ाफ़ा का निर्माण
 * मृदा यांत्रिकी में फ्रैक्टल
 * गेम डिजाइन
 * कंप्यूटर ग्राफिक्स
 * जीवन वातावरण
 * प्रक्रियात्मक पीढ़ी
 * फ्रैक्टोग्राफी और फ्रैक्चर यांत्रिकी
 * सैक्स
 * टी-शर्ट और अन्य फैशन
 * छलावरण के लिए पैटर्न तैयार करना, जैसे MARPAT
 * डिजिटल धूपघड़ी
 * मूल्य श्रृंखला का तकनीकी विश्लेषण
 * नेटवर्क पर भग्न आयाम
 * दवा * तंत्रिका विज्ञान * बीमारी के इलाज़ के लिए तस्वीरें लेना * विकृति विज्ञान
 * भूगर्भशास्त्र
 * भूगोल
 * पुरातत्व
 * सोइल मकैनिक्स * भूकंप विज्ञान * खोज और बचाव
 * तकनीकी विश्लेषण
 * मॉर्टन ऑर्डर # टेक्सचर मैपिंग में जीपीयू कैश सुसंगतता के लिए एप्लीकेशन स्पेस फिलिंग कर्व्स,  रेखांकन  और अशांति डेटा का अनुक्रमण।

यह भी देखें

 * बानाच निश्चित बिंदु प्रमेय
 * द्विभाजन सिद्धांत
 * डिब्बे की गिनती
 * साइमेटिक्स
 * नियतत्ववाद
 * डायमंड-स्क्वायर एल्गोरिथम
 * ड्रॉस्ट प्रभाव
 * फेगेनबाम समारोह
 * फॉर्म स्थिर
 * भग्न ब्रह्मांड विज्ञान
 * भग्न व्युत्पन्न
 * फ्रैक्टलग्रिड
 * फ्रैक्टल स्ट्रिंग
 * फ्रैक्टन
 * ग्राफ्टल
 * ग्रीबल
 * अनंत प्रतिगमन
 * कमी
 * हॉसडॉर्फ आयाम द्वारा भग्नों की सूची
 * मंडेलबुल
 * मंडेलबॉक्स
 * स्थूल जगत और सूक्ष्म जगत
 * मातृशोका गुड़िया
 * मेंजर स्पंज
 * मल्टीफ्रैक्टल सिस्टम
 * न्यूटन फ्रैक्टल
 * छिद्रण
 * शक्ति नियम
 * गणित में महत्वपूर्ण प्रकाशनों की सूची#फ़्रैक्टल ज्यामिति
 * यादृच्छिक चाल
 * आत्म-संदर्भ
 * स्व-समानता
 * सिस्टम सिद्धांत
 * अजीब पाश
 * अशांति
 * वीनर प्रक्रिया

आगे की पढाई

 * Barnsley, Michael F.; and Rising, Hawley; Fractals Everywhere. Boston: Academic Press Professional, 1993. ISBN 0-12-079061-0
 * Duarte, German A.; Fractal Narrative. About the Relationship Between Geometries and Technology and Its Impact on Narrative Spaces. Bielefeld: Transcript, 2014. ISBN 978-3-8376-2829-6
 * Falconer, Kenneth; Techniques in Fractal Geometry. John Wiley and Sons, 1997. ISBN 0-471-92287-0
 * Jürgens, Hartmut; Peitgen, Heinz-Otto; and Saupe, Dietmar; Chaos and Fractals: New Frontiers of Science. New York: Springer-Verlag, 1992. ISBN 0-387-97903-4
 * Mandelbrot, Benoit B.; The Fractal Geometry of Nature. New York: W. H. Freeman and Co., 1982. ISBN 0-7167-1186-9
 * Peitgen, Heinz-Otto; and Saupe, Dietmar; eds.; The Science of Fractal Images. New York: Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-96608-0
 * Pickover, Clifford A.; ed.; Chaos and Fractals: A Computer Graphical Journey – A 10 Year Compilation of Advanced Research. Elsevier, 1998. ISBN 0-444-50002-2
 * Jones, Jesse; Fractals for the Macintosh, Waite Group Press, Corte Madera, CA, 1993. ISBN 1-878739-46-8.
 * Lauwerier, Hans; Fractals: Endlessly Repeated Geometrical Figures, Translated by Sophia Gill-Hoffstadt, Princeton University Press, Princeton NJ, 1991. ISBN 0-691-08551-X, cloth. ISBN 0-691-02445-6 paperback. "This book has been written for a wide audience..." Includes sample BASIC programs in an appendix.
 * Wahl, Bernt; Van Roy, Peter; Larsen, Michael; and Kampman, Eric; Exploring Fractals on the Macintosh, Addison Wesley, 1995. ISBN 0-201-62630-6
 * Lesmoir-Gordon, Nigel; The Colours of Infinity: The Beauty, The Power and the Sense of Fractals. 2004. ISBN 1-904555-05-5 (The book comes with a related DVD of the Arthur C. Clarke documentary introduction to the fractal concept and the Mandelbrot set.)
 * Liu, Huajie; Fractal Art, Changsha: Hunan Science and Technology Press, 1997, ISBN 9787535722348.
 * Gouyet, Jean-François; Physics and Fractal Structures (Foreword by B. Mandelbrot); Masson, 1996. ISBN 2-225-85130-1, and New York: Springer-Verlag, 1996. ISBN 978-0-387-94153-0. Out-of-print. Available in PDF version at.
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बाहरी कड़ियाँ

 * Hunting the Hidden Dimension, PBS NOVA, first aired August 24, 2011
 * Benoit Mandelbrot: Fractals and the Art of Roughness, TED, February 2010
 * Technical Library on Fractals for controlling fluid
 * Equations of self-similar fractal measure based on the fractional-order calculus（2007）
 * Equations of self-similar fractal measure based on the fractional-order calculus（2007）