ग्राफ (असतत गणित)

असतत गणित में, और अधिक विशेष रूप शीर्ष ([[ग्राफ सिद्धांत)]] में, एक ग्राफ एक संरचना है जो वस्तुओं के एक सेट (गणित) के बराबर होती है जिसमें वस्तुओं के कुछ जोड़े कुछ अर्थों में संबंधित होते हैं। वस्तुएं  वर्टेक्स (ग्राफ थ्योरी)  (जिसे 'नोड्स' या  पॉइंट्स  भी कहा जाता है) कहे जाने वाले गणितीय सार से मेल खाती हैं और संबंधित जोड़े में से प्रत्येक को 'एज' (जिसे 'एज' भी कहा जाता है) कहा जाता है लिंक या लाइन). आमतौर पर, एक ग्राफ को आरेखीय रूप में बिंदुओं या मंडलियों के एक सेट के रूप में चित्रित किया जाता है, जो किनारों के लिए रेखाओं या वक्रों से जुड़ा होता है। रेखांकन असतत गणित में अध्ययन की वस्तुओं में से एक है।

किनारों को निर्देशित या अप्रत्यक्ष किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि शिखर किसी पार्टी में लोगों का प्रतिनिधित्व करते हैं, और यदि दो लोग हाथ मिलाते हैं तो उनके बीच एक किनारा है, तो यह ग्राफ अप्रत्यक्ष है क्योंकि कोई व्यक्ति A किसी व्यक्ति B से तभी हाथ मिला सकता है जब B भी A से हाथ मिलाए। इसके विपरीत, यदि किसी व्यक्ति A से किसी व्यक्ति B के किनारे का अर्थ है कि A का B के लिए धन बकाया है, तो यह ग्राफ निर्देशित है, क्योंकि धन का बकाया होना जरूरी नहीं है।

रेखांकन मूल विषय हैं जिनका अध्ययन ग्राफ सिद्धांत द्वारा किया जाता है। इस अर्थ में ग्राफ शब्द का सर्वप्रथम प्रयोग जेम्स जोसेफ सिलवेस्टर|जे. जे. सिल्वेस्टर ने 1878 में गणित और रासायनिक संरचना के बीच सीधे संबंध के कारण (जिसे उन्होंने केमिको-ग्राफिकल इमेज कहा था)।

परिभाषाएँ
ग्राफ सिद्धांत में परिभाषाएँ भिन्न होती हैं। ग्राफ़ और संबंधित गणितीय संरचनाओं को परिभाषित करने के कुछ और बुनियादी तरीके निम्नलिखित हैं।

ग्राफ
एक ग्राफ़ (कभी-कभी इसे 'अप्रत्यक्ष ग्राफ़'' कहा जाता है ताकि इसे #Directed ग्राफ़ से अलग किया जा सके, या इसे मल्टीग्राफ़ से अलग करने के लिए 'सरल ग्राफ़' कहा जा सके) क्रमित युग्म है $G = (V, E)$, कहाँ पे $V$ एक समुच्चय है जिसके अवयवों को शीर्ष कहा जाता है (एकवचन: शीर्ष), और $E$ युग्मित शीर्षों का एक समूह है, जिसके तत्वों को किनारा (कभी-कभी लिंक या रेखाएं) कहा जाता है।

शिखर $x$ तथा $y$ एक किनारे का ${x, y}$ किनारे के अंतिम बिंदु कहलाते हैं। किनारा मिलाना कहा जाता है $x$ तथा $y$ और घटना होना $x$ तथा $y$. एक शीर्ष का कोई किनारा नहीं हो सकता है, जिस स्थिति में यह किसी अन्य शीर्ष से जुड़ा नहीं होता है।

एक मल्टीग्राफ एक सामान्यीकरण है जो कई किनारों को समापन बिंदुओं की एक ही जोड़ी की अनुमति देता है। कुछ पाठों में, मल्टीग्राफ को केवल रेखांकन कहा जाता है। कभी-कभी, ग्राफ़ को लूप (ग्राफ़ सिद्धांत) शामिल करने की अनुमति दी जाती है, जो किनारे होते हैं जो अपने आप में एक शीर्ष से जुड़ते हैं। लूप की अनुमति देने के लिए, उपरोक्त परिभाषा को किनारों को सेट के बजाय दो वर्टिकल के multiset के रूप में परिभाषित करके बदला जाना चाहिए। इस तरह के सामान्यीकृत ग्राफ़ को लूप के साथ ग्राफ़ या केवल ग्राफ़ कहा जाता है जब यह संदर्भ से स्पष्ट होता है कि लूप की अनुमति है।

आम तौर पर, शिखर का सेट $V$ परिमित माना जाता है; इसका अर्थ है कि किनारों का समुच्चय भी परिमित है। कभी-कभी अनंत रेखांकन पर विचार किया जाता है, लेकिन अक्सर इसे एक विशेष प्रकार के द्विआधारी संबंध के रूप में देखा जाता है, क्योंकि परिमित रेखांकन पर अधिकांश परिणाम अनंत मामले तक विस्तारित नहीं होते हैं, या एक अलग प्रमाण की आवश्यकता होती है।

एक खाली ग्राफ़ एक ऐसा ग्राफ़ होता है जिसमें वर्टिकल का एक खाली सेट होता है (और इस तरह किनारों का एक खाली सेट)। एक ग्राफ का क्रम इसके शीर्षों की संख्या है $|V|$. एक ग्राफ का आकार उसके किनारों की संख्या है $|E|$. हालाँकि, कुछ संदर्भों में, जैसे कि एल्गोरिदम की कम्प्यूटेशनल जटिलता को व्यक्त करने के लिए, आकार है $|V| + |E|$ (अन्यथा, एक गैर-रिक्त ग्राफ़ का आकार 0 हो सकता है)। किसी शीर्ष की डिग्री या संयोजकता उसके साथ आपतित किनारों की संख्या है; रेखांकन के लिए लूप के साथ, एक लूप को दो बार गिना जाता है।

क्रम के ग्राफ में $n$, प्रत्येक शीर्ष की अधिकतम डिग्री है $n − 1$ (या $n$ if लूप की अनुमति है), और किनारों की अधिकतम संख्या है $n(n − 1)/2$ (या $n(n + 1)/2$ अगर लूप की अनुमति है)।

ग्राफ़ के किनारे कोने पर एक सममित संबंध को परिभाषित करते हैं, जिसे आसन्नता संबंध कहा जाता है। विशेष रूप से, दो शिखर $x$ तथा $y$ यदि निकट हैं ${x, y}$ एक किनारा है। एक ग्राफ को उसके आसन्न मैट्रिक्स द्वारा पूरी तरह से निर्दिष्ट किया जा सकता है $A$, जो एक है $n × n$ स्क्वायर मैट्रिक्स, के साथ $Aij$ वर्टेक्स से कनेक्शन की संख्या निर्दिष्ट करना $i$ शीर्ष पर $j$. एक साधारण ग्राफ के लिए, $Aij$ या तो 0 है, वियोग का संकेत है, या 1, कनेक्शन का संकेत है; इसके अतिरिक्त $Aii = 0$ क्योंकि एक साधारण ग्राफ में एक किनारा एक ही शीर्ष पर शुरू और समाप्त नहीं हो सकता। सेल्फ़-लूप वाले ग्राफ़ कुछ या सभी द्वारा अभिलक्षित होंगे $Aii$ एक सकारात्मक पूर्णांक के बराबर होने के नाते, और मल्टीग्राफ (कोने के बीच कई किनारों के साथ) कुछ या सभी की विशेषता होगी $Aij$ धनात्मक पूर्णांक के बराबर होना। अप्रत्यक्ष रेखांकन में एक सममित मैट्रिक्स आसन्न मैट्रिक्स होगा (अर्थ $Aij = Aji$).

निर्देशित ग्राफ
एक निर्देशित ग्राफ या डिग्राफ एक ऐसा ग्राफ है जिसमें किनारों का झुकाव होता है।

एक प्रतिबंधित लेकिन शब्द के बहुत सामान्य अर्थ में, एक निर्देशित ग्राफ एक जोड़ी है $G = (V, E)$ शामिल: अस्पष्टता से बचने के लिए, इस प्रकार की वस्तु को सटीक रूप से निर्देशित सरल ग्राफ कहा जा सकता है।
 * $V$, शीर्षों का एक सेट (गणित) (जिसे नोड या बिंदु भी कहा जाता है);
 * $E$, किनारों का एक सेट (गणित) (जिसे निर्देशित किनारे, निर्देशित लिंक, निर्देशित रेखाएँ, तीर या चाप भी कहा जाता है), जो अलग-अलग कोने के जोड़े हैं: $$E \subseteq \{(x,y) \mid (x,y) \in V^2 \;\textrm{ and }\; x \neq y \}$$.

किनारे में $(x, y)$ से निर्देशित $x$ प्रति $y$, शिखर $x$ तथा $y$ किनारे के अंत बिंदु कहलाते हैं, $x$ किनारे की पूंछ और $y$ किनारे का सिर। किनारा मिलाना कहा जाता है $x$ तथा $y$ और घटना होना $x$ और पर $y$. एक वर्टेक्स एक ग्राफ़ में मौजूद हो सकता है और किनारे से संबंधित नहीं हो सकता है। किनारा $(y, x)$ का उल्टा किनारा कहा जाता है $(x, y)$. ऊपर दी गई परिभाषा के तहत एकाधिक किनारों की अनुमति नहीं है, एक ही पूंछ और एक ही सिर के साथ दो या दो से अधिक किनारे हैं।

कई किनारों की अनुमति देने वाले शब्द के एक और सामान्य अर्थ में, एक निर्देशित ग्राफ एक आदेशित ट्रिपल है $G = (V, E, ϕ)$ शामिल:
 * $V$, शीर्षों का एक सेट (गणित) (जिसे नोड या बिंदु भी कहा जाता है);
 * $E$, किनारों का एक सेट (गणित) (जिसे निर्देशित किनारे, निर्देशित लिंक, निर्देशित रेखाएँ, तीर या चाप भी कहा जाता है);
 * $ϕ$, एक घटना फ़ंक्शन प्रत्येक किनारे को वर्टिकल की एक ऑर्डर की गई जोड़ी से मैप करता है (यानी, एक एज दो अलग-अलग वर्टिकल से जुड़ा होता है): $$\phi : E \to \{(x,y) \mid (x,y) \in V^2 \;\textrm{ and }\; x \neq y \}$$.

अस्पष्टता से बचने के लिए, इस प्रकार की वस्तु को सटीक रूप से निर्देशित मल्टीग्राफ कहा जा सकता है।

एक लूप (ग्राफ थ्योरी) एक किनारा है जो एक शीर्ष को अपने आप से जोड़ता है। उपरोक्त दो परिभाषाओं में परिभाषित निर्देशित ग्राफ़ में लूप नहीं हो सकते, क्योंकि एक लूप एक वर्टेक्स से जुड़ता है $$x$$ अपने आप में बढ़त है (एक निर्देशित सरल ग्राफ के लिए) या घटना है (एक निर्देशित मल्टीग्राफ के लिए) $$(x,x)$$ जो में नहीं है $$\{(x,y) \mid (x,y) \in V^2 \;\textrm{ and }\; x \neq y \}$$. तो लूप को अनुमति देने के लिए परिभाषाओं का विस्तार किया जाना चाहिए। निर्देशित सरल रेखांकन के लिए, की परिभाषा $$E$$ में संशोधित किया जाना चाहिए $$E \subseteq \{(x,y) \mid (x,y) \in V^2 \}$$. निर्देशित मल्टीग्राफ के लिए, की परिभाषा $$\phi$$ में संशोधित किया जाना चाहिए $$\phi : E \to \{(x,y) \mid (x,y) \in V^2 \}$$. अस्पष्टता से बचने के लिए, इस प्रकार की वस्तुओं को क्रमशः एक निर्देशित सरल ग्राफ अनुमति लूप और एक निर्देशित मल्टीग्राफ अनुमति लूप (या  तरकश (गणित) ) कहा जा सकता है।

लूप की अनुमति देने वाले निर्देशित सरल ग्राफ़ के किनारे $G$ एक द्विआधारी संबंध है # सजातीय संबंध ~ के शीर्ष पर $G$ का सन्निकट संबंध कहलाता है $G$. विशेष रूप से, प्रत्येक किनारे के लिए $(x, y)$, इसके अंतिम बिंदु $x$ तथा $y$ एक दूसरे से सटे हुए कहे जाते हैं, जिसे निरूपित किया जाता है $x ~ y$.

मिश्रित ग्राफ
एक मिश्रित ग्राफ एक ऐसा ग्राफ है जिसमें कुछ किनारे निर्देशित हो सकते हैं और कुछ अप्रत्यक्ष हो सकते हैं। यह एक आदेशित ट्रिपल है $G = (V, E, A)$ एक मिश्रित सरल ग्राफ के लिए और $G = (V, E, A, ϕE, ϕA)$ के साथ एक मिश्रित मल्टीग्राफ के लिए $V$, $E$ (अप्रत्यक्ष किनारे), $A$ (निर्देशित किनारों), $ϕE$ तथा $ϕA$ ऊपर के रूप में परिभाषित किया गया है। निर्देशित और अप्रत्यक्ष रेखांकन विशेष मामले हैं।

भारित ग्राफ
एक भारित ग्राफ या एक नेटवर्क एक ग्राफ है जिसमें प्रत्येक किनारे पर एक संख्या (वजन) निर्दिष्ट की जाती है।  इस तरह के वजन हाथ में समस्या के आधार पर उदाहरण के लिए लागत, लंबाई या क्षमता का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। इस तरह के ग्राफ़ कई संदर्भों में उत्पन्न होते हैं, उदाहरण के लिए सबसे छोटी पथ समस्याओं जैसे ट्रैवलिंग सेल्समैन की समस्या।

ओरिएंटेड ग्राफ
ओरिएंटेड ग्राफ़ की एक परिभाषा यह है कि यह एक निर्देशित ग्राफ़ है जिसमें अधिकतम एक (x, y) तथा (y, x) ग्राफ के किनारे हो सकते हैं। अर्थात्, यह एक निर्देशित ग्राफ है जिसे एक अप्रत्यक्ष (सरल) ग्राफ के अभिविन्यास (ग्राफ सिद्धांत) के रूप में बनाया जा सकता है।

कुछ लेखक उन्मुख ग्राफ का उपयोग निर्देशित ग्राफ के समान करने के लिए करते हैं। कुछ लेखक ओरिएंटेड ग्राफ़ का उपयोग किसी दिए गए अप्रत्यक्ष ग्राफ़ या मल्टीग्राफ़ के किसी भी ओरिएंटेशन के लिए करते हैं।

नियमित ग्राफ
एक नियमित ग्राफ एक ऐसा ग्राफ होता है जिसमें प्रत्येक शीर्ष के पड़ोसियों की संख्या समान होती है, अर्थात प्रत्येक शीर्ष की एक ही डिग्री होती है। डिग्री k के शीर्ष वाले नियमित ग्राफ़ को k-नियमित ग्राफ़ या डिग्री k का नियमित ग्राफ़ कहा जाता है।

पूरा ग्राफ
एक पूर्ण ग्राफ़ एक ऐसा ग्राफ़ होता है जिसमें प्रत्येक जोड़ी को एक किनारे से जोड़ा जाता है। एक पूर्ण ग्राफ़ में सभी संभावित किनारे होते हैं।

परिमित ग्राफ
एक परिमित ग्राफ एक ऐसा ग्राफ है जिसमें वर्टेक्स सेट और एज सेट परिमित सेट होते हैं। अन्यथा, इसे अनंत ग्राफ कहा जाता है।

आमतौर पर ग्राफ़ सिद्धांत में यह निहित है कि चर्चा की गई रेखांकन परिमित हैं। यदि रेखांकन अनंत हैं, तो यह आमतौर पर विशेष रूप से कहा जाता है।

जुड़ा हुआ ग्राफ
एक अप्रत्यक्ष ग्राफ़ में, वर्टिकल का एक अनियंत्रित युग्म $\{x, y\}$ को कनेक्टेड कहा जाता है यदि कोई पथ x से y की ओर जाता है। अन्यथा, अक्रमित जोड़ी को डिस्कनेक्टेड कहा जाता है।

एक कनेक्टेड ग्राफ़ एक अप्रत्यक्ष ग्राफ़ है जिसमें ग्राफ़ में प्रत्येक अनियंत्रित युग्म जुड़ा हुआ है। अन्यथा, इसे डिस्कनेक्टेड ग्राफ़ कहा जाता है।

निर्देशित ग्राफ़ में, शीर्षों का एक क्रमित युग्म (x, y) यदि एक निर्देशित पथ x से y की ओर जाता है तो दृढ़ता से जुड़ा हुआ कहा जाता है। अन्यथा, आदेशित जोड़ी को कमजोर रूप से जुड़ा हुआ कहा जाता है यदि एक अप्रत्यक्ष पथ अपने सभी निर्देशित किनारों को अप्रत्यक्ष किनारों से बदलने के बाद x से y की ओर जाता है। अन्यथा, आदेशित जोड़ी को डिस्कनेक्ट किया गया कहा जाता है।

एक दृढ़ता से जुड़ा हुआ ग्राफ एक निर्देशित ग्राफ है जिसमें ग्राफ में प्रत्येक क्रमित युग्म दृढ़ता से जुड़ा हुआ है। अन्यथा, इसे कमजोर रूप से जुड़ा हुआ ग्राफ कहा जाता है, अगर ग्राफ में प्रत्येक क्रमित युग्म कमजोर रूप से जुड़ा हुआ है। अन्यथा इसे डिस्कनेक्टेड ग्राफ कहा जाता है।

एक के-वर्टेक्स-कनेक्टेड ग्राफ़ या के-एज-कनेक्टेड ग्राफ़ एक ग्राफ़ है जिसमें कोई सेट नहीं है k − 1 कोने (क्रमशः, किनारे) मौजूद होते हैं, जिन्हें हटाए जाने पर, ग्राफ़ को डिस्कनेक्ट कर देता है। एक k-वर्टेक्स-कनेक्टेड ग्राफ़ को अक्सर केवल k-कनेक्टेड ग्राफ़ कहा जाता है।

द्विपक्षीय ग्राफ
एक द्विदलीय ग्राफ एक सरल ग्राफ है जिसमें वर्टेक्स सेट एक सेट का दो सेटों, W और X में विभाजन हो सकता है, ताकि W में कोई भी दो कोने एक सामान्य किनारे को साझा न करें और X में कोई भी दो कोने एक सामान्य किनारे को साझा न करें। वैकल्पिक रूप से, यह 2 की रंगीन संख्या वाला एक ग्राफ है।

एक पूर्ण द्विदलीय ग्राफ में, वर्टेक्स सेट दो अलग-अलग सेटों, W और X का मिलन होता है, ताकि W में प्रत्येक शीर्ष X में प्रत्येक शीर्ष के निकट हो, लेकिन W या X के भीतर कोई किनारा न हो।

पथ ग्राफ
एक पथ ग्राफ या आदेश का रैखिक ग्राफ n ≥ 2 एक ग्राफ है जिसमें शीर्षों को एक क्रम v में सूचीबद्ध किया जा सकता है1, में2, …, मेंn ऐसे कि किनारे हैं $\{v_{i}, v_{i+1}\}$ जहां i = 1, 2, ..., n - 1. पथ ग्राफ़ को कनेक्टेड ग्राफ़ के रूप में वर्णित किया जा सकता है जिसमें दो शीर्षों को छोड़कर सभी की डिग्री 2 है और दो शेष शीर्षों की डिग्री 1 है। यदि पथ ग्राफ़ के रूप में होता है ग्राफ थ्योरी की शब्दावली # दूसरे ग्राफ के सबग्राफ, यह उस ग्राफ में एक पाथ (ग्राफ थ्योरी) है।

प्लानर ग्राफ
एक प्लेनर ग्राफ एक ऐसा ग्राफ है जिसके कोने और किनारों को एक समतल में खींचा जा सकता है जैसे कि किनारों में से कोई भी एक दूसरे को नहीं काटता।

चक्र ग्राफ
एक चक्र ग्राफ या आदेश का परिपत्र ग्राफ n ≥ 3 एक ग्राफ है जिसमें शीर्षों को एक क्रम v में सूचीबद्ध किया जा सकता है1, में2, …, मेंn ऐसे कि किनारे हैं $\{v_{i}, v_{i+1}\}$ जहां i = 1, 2, ..., n − 1, प्लस किनारा $\{v_{n}, v_{1}\}$. साइकिल ग्राफ़ को कनेक्टेड ग्राफ़ के रूप में चित्रित किया जा सकता है जिसमें सभी कोने की डिग्री 2 है। यदि एक चक्र ग्राफ़ दूसरे ग्राफ़ के सबग्राफ के रूप में होता है, तो यह उस ग्राफ़ में एक चक्र या सर्किट होता है।

पेड़
एक पेड़ एक अप्रत्यक्ष ग्राफ है जिसमें कोई भी दो वर्टेक्स (ग्राफ सिद्धांत) बिल्कुल एक पथ (ग्राफ सिद्धांत) से जुड़ा होता है, या समकक्ष रूप से एक जुड़ा हुआ ग्राफ साइकिल (ग्राफ सिद्धांत) अप्रत्यक्ष ग्राफ होता है।

एक जंगल एक अप्रत्यक्ष ग्राफ है जिसमें किसी भी दो शिखरों को एक पथ से जोड़ा जाता है, या समतुल्य रूप से एक अचक्रीय अप्रत्यक्ष ग्राफ, या समकक्ष रूप से वृक्षों के ग्राफ का एक असंबद्ध संघ होता है।

पॉलीट्री
एक पॉलीट्री (या निर्देशित पेड़ या उन्मुख पेड़ या अकेले जुड़े नेटवर्क) एक निर्देशित अचक्रीय ग्राफ (डीएजी) है जिसका अंतर्निहित अप्रत्यक्ष ग्राफ एक पेड़ है।

एक पॉलीफॉरेस्ट (या निर्देशित वन या उन्मुख वन) एक निर्देशित चक्रीय ग्राफ है जिसका अंतर्निहित अप्रत्यक्ष ग्राफ एक जंगल है।

उन्नत कक्षाएं
अधिक उन्नत प्रकार के रेखांकन हैं:
 * पीटरसन ग्राफ और इसके सामान्यीकरण;
 * सही रेखांकन;
 * कोग्राफ;
 * कॉर्डल रेखांकन;
 * बड़े ग्राफ ऑटोमोर्फिज्म के साथ अन्य ग्राफ़: वर्टेक्स-सकर्मक ग्राफ|वर्टेक्स-ट्रांसिटिव, चाप-सकर्मक ग्राफ|आर्क-ट्रांसिटिव, और दूरी-सकर्मक ग्राफ;
 * दृढ़ता से नियमित रेखांकन और उनके सामान्यीकरण दूरी-नियमित रेखांकन।

रेखांकन के गुण
एक ग्राफ के दो किनारों को सन्निकट कहा जाता है यदि वे एक सामान्य शीर्ष साझा करते हैं। निर्देशित ग्राफ़ के दो किनारों को लगातार कहा जाता है यदि पहले वाले का सिर दूसरे की पूंछ है। इसी तरह, दो शीर्षों को आसन्न कहा जाता है यदि वे एक सामान्य किनारे को साझा करते हैं (लगातार यदि पहला एक पूंछ है और दूसरा एक किनारे का सिर है), इस मामले में सामान्य किनारे को दो शीर्षों में शामिल होने के लिए कहा जाता है। एक किनारे और उस किनारे पर एक शीर्ष घटना कहलाती है।

केवल एक शीर्ष और बिना किनारे वाले ग्राफ को तुच्छ ग्राफ कहा जाता है। एक ग्राफ जिसमें केवल कोने होते हैं और कोई किनारा नहीं होता है, उसे किनारे रहित ग्राफ के रूप में जाना जाता है। बिना कोने और किनारों वाले ग्राफ़ को कभी-कभी शून्य ग्राफ़ या खाली ग्राफ़ कहा जाता है, लेकिन शब्दावली सुसंगत नहीं है और सभी गणितज्ञ इस वस्तु की अनुमति नहीं देते हैं।

आम तौर पर, एक ग्राफ के कोने, एक सेट के तत्वों के रूप में उनकी प्रकृति से, अलग-अलग होते हैं। इस तरह के ग्राफ को वर्टेक्स-लेबल कहा जा सकता है। हालांकि, कई प्रश्नों के लिए शीर्षों को अप्रभेद्य मानना ​​बेहतर है। (बेशक, शीर्ष अभी भी ग्राफ़ के गुणों द्वारा अलग-अलग हो सकते हैं, उदाहरण के लिए, घटना किनारों की संख्या से।) वही टिप्पणी किनारों पर लागू होती है, इसलिए लेबल वाले किनारों वाले ग्राफ़ को किनारे-लेबल कहा जाता है। किनारों या कोने से जुड़े लेबल वाले ग्राफ़ को आमतौर पर लेबल के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है। नतीजतन, ऐसे ग्राफ़ जिनमें कोने अप्रभेद्य होते हैं और किनारे अप्रभेद्य होते हैं, उन्हें लेबल रहित कहा जाता है। (साहित्य में, लेबल किया गया शब्द अन्य प्रकार के लेबलिंग पर भी लागू हो सकता है, इसके अलावा जो केवल विभिन्न कोने या किनारों को अलग करने के लिए कार्य करता है।)

सभी ग्राफ़ का श्रेणी सिद्धांत अल्पविराम श्रेणी सेट ↓ D है जहाँ D: सेट → सेट एक सेट s को s × s पर ले जाने वाला ऑपरेटर है।

उदाहरण
* आरेख शीर्षों के साथ ग्राफ का एक योजनाबद्ध प्रतिनिधित्व है $$V = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$ और किनारों $$E = \{\{1, 2\}, \{1, 5\}, \{2, 3\}, \{2, 5\}, \{3, 4\}, \{4, 5\}, \{4, 6\}\}.$$
 * कंप्यूटर विज्ञान में, निर्देशित रेखांकन का उपयोग ज्ञान (जैसे, वैचारिक ग्राफ), परिमित राज्य मशीनों और कई अन्य असतत संरचनाओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है।
 * एक सेट एक्स पर एक बाइनरी रिलेशन आर एक निर्देशित ग्राफ को परिभाषित करता है। X का एक तत्व x, X के एक तत्व y का प्रत्यक्ष पूर्ववर्ती है यदि और केवल यदि xRy।
 * एक निर्देशित ग्राफ ट्विटर जैसे सूचना नेटवर्क को मॉडल कर सकता है, जिसमें एक उपयोगकर्ता दूसरे का अनुसरण करता है। * विशेष रूप से निर्देशित ग्राफ़ के नियमित उदाहरण केली ग्राफ़ द्वारा अंतिम रूप से उत्पन्न समूहों के साथ-साथ श्रेयर कॉस्टेट ग्राफ द्वारा दिए गए हैं
 * श्रेणी के सिद्धांत में, प्रत्येक छोटी श्रेणी में एक अंतर्निहित निर्देशित मल्टीग्राफ होता है, जिसके कोने श्रेणी की वस्तुएं हैं, और जिनके किनारे श्रेणी के तीर हैं। श्रेणी सिद्धांत की भाषा में कहा जाता है कि छोटी श्रेणियों की श्रेणी से लेकर तरकश (गणित) तक एक भुलक्कड़ फनकार है।

ग्राफ संचालन
ऐसे कई ऑपरेशन हैं जो शुरुआती से नए ग्राफ़ बनाते हैं, जिन्हें निम्नलिखित श्रेणियों में वर्गीकृत किया जा सकता है:
 * यूनरी ऑपरेशंस, जो शुरुआती एक से एक नया ग्राफ बनाते हैं, जैसे:
 * किनारा संकुचन,
 * लाइन ग्राफ,
 * दोहरा ग्राफ,
 * पूरक ग्राफ,
 * ग्राफ पुनर्लेखन;
 * बाइनरी ऑपरेशंस, जो दो शुरुआती लोगों से एक नया ग्राफ बनाते हैं, जैसे:
 * रेखांकन का संघ अलग करना,
 * रेखांकन का कार्टेशियन उत्पाद,
 * रेखांकन का टेंसर उत्पाद,
 * रेखांकन का मजबूत उत्पाद,
 * रेखांकन का शब्दकोष उत्पाद,
 * श्रृंखला-समानांतर रेखांकन।

सामान्यीकरण
hypergraph में, एक किनारा दो से अधिक शीर्षों को जोड़ सकता है।

एक अप्रत्यक्ष ग्राफ को सिंप्लेक्स (किनारों) और 0-सरलता (कोने) से मिलकर एक साधारण परिसर के रूप में देखा जा सकता है। जैसे, कॉम्प्लेक्स ग्राफ़ के सामान्यीकरण हैं क्योंकि वे उच्च-आयामी सरलताओं की अनुमति देते हैं।

हर ग्राफ एक matroid को जन्म देता है।

मॉडल सिद्धांत में, एक ग्राफ सिर्फ एक संरचना (मॉडल सिद्धांत) है। लेकिन उस स्थिति में, किनारों की संख्या पर कोई सीमा नहीं है: यह कोई भी मुख्य संख्या हो सकती है, निरंतर ग्राफ देखें।

कम्प्यूटेशनल बायोलॉजी विज्ञान में, पावर ग्राफ़ विश्लेषण अप्रत्यक्ष ग्राफ़ के वैकल्पिक प्रतिनिधित्व के रूप में पावर ग्राफ़ का परिचय देता है।

भौगोलिक सूचना प्रणाली में, ज्यामितीय नेटवर्क को ग्राफ़ के बाद बारीकी से तैयार किया जाता है, और सड़क नेटवर्क या उपयोगिता ग्रिड पर स्थानिक विश्लेषण करने के लिए ग्राफ़ सिद्धांत से कई अवधारणाएँ उधार ली जाती हैं।

यह भी देखें

 * वैचारिक ग्राफ
 * ग्राफ (सार डेटा प्रकार)
 * ग्राफ डेटाबेस
 * ग्राफ ड्राइंग
 * ग्राफ सिद्धांत विषयों की सूची
 * गणित में प्रकाशनों की सूची#ग्राफ सिद्धांत
 * नेटवर्क सिद्धांत

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 * गणित पृथक करें
 * पाश (ग्राफ सिद्धांत)
 * अनंत ग्राफ
 * अभिकलनात्मक जटिलता
 * सहखंडज मैट्रिक्स
 * एकाधिक किनारे
 * द्विपक्षीय ग्राफ
 * एक सेट का विभाजन
 * पथ (ग्राफ सिद्धांत)
 * चक्र (ग्राफ सिद्धांत)
 * रेखांकन का असंयुक्त संघ
 * दृढ़ता से नियमित ग्राफ
 * कॉर्डल ग्राफ
 * सही ग्राफ
 * दूरी-नियमित ग्राफ
 * परिमित अवस्था मशीन
 * भुलक्कड़ कारक
 * रेखांकन के लेक्सिकोग्राफिक उत्पाद
 * धार संकुचन
 * सरल जटिल
 * बुनियादी संख्या
 * पावर ग्राफ विश्लेषण
 * ग्राफ़ (सार डेटा प्रकार)