पर्याप्त लाइन बंडल

गणित में, बीजगणितीय ज्यामिति की एक विशिष्ट विशेषता यह है कि प्रक्षेप्य किस्म पर कुछ रेखा बंडलों को सकारात्मक माना जा सकता है, जबकि अन्य नकारात्मक (या दोनों का मिश्रण) होते हैं। सकारात्मकता की सबसे महत्वपूर्ण धारणा एक पर्याप्त लाइन बंडल की है, हालांकि लाइन बंडलों के कई संबंधित वर्ग हैं। मोटे तौर पर कहें तो, एक लाइन बंडल के सकारात्मकता गुण कई वैश्विक खंड (फाइबर बंडल) से संबंधित हैं। किसी दी गई किस्म X पर पर्याप्त लाइन बंडलों को समझना, X को प्रोजेक्टिव स्पेस में मैप करने के विभिन्न तरीकों को समझने के बराबर है। लाइन बंडलों और विभाजक (बीजगणितीय ज्यामिति) (संहिता-1 उपवर्गों से निर्मित) के बीच पत्राचार को ध्यान में रखते हुए, 'पर्याप्त विभाजक' की एक समतुल्य धारणा है।

अधिक विस्तार से, एक लाइन बंडल को 'बेसपॉइंट-फ्री' कहा जाता है यदि इसमें प्रक्षेप्य स्थान पर बीजगणितीय किस्मों का आकार देने के लिए पर्याप्त अनुभाग हैं। एक लाइन बंडल 'अर्ध-प्रचुर' है यदि इसकी कुछ सकारात्मक शक्ति बेसपॉइंट-मुक्त है; अर्ध-प्रचुरता एक प्रकार की गैर-नकारात्मकता है। अधिक मजबूती से, पूरी किस्म एक्स पर एक लाइन बंडल 'बहुत पर्याप्त' है यदि इसमें प्रोजेक्टिव स्पेस में एक्स के बंद विसर्जन (या एम्बेडिंग) देने के लिए पर्याप्त खंड हैं। यदि कोई सकारात्मक शक्ति बहुत प्रचुर है तो एक लाइन बंडल 'पर्याप्त' है।

प्रक्षेप्य किस्म

एक लाइन बंडल और हाइपरप्लेन विभाजक का पुलबैक
एक रूपवाद दिया गया $$f\colon X \to Y$$ योजना (गणित) में, Y पर एक वेक्टर बंडल E (या अधिक सामान्यतः Y पर एक सुसंगत शीफ) में X के लिए एक पुलबैक बंडल होता है, $$f^*E$$ (मॉड्यूल#ऑपरेशंस का शीफ ​​देखें)। वेक्टर बंडल का पुलबैक उसी रैंक का वेक्टर बंडल है। विशेष रूप से, एक लाइन बंडल का पुलबैक एक लाइन बंडल है। (संक्षेप में, का फाइबर $$f^*E$$ X में एक बिंदु x पर f(x) पर E का तंतु है।)

इस लेख में वर्णित धारणाएँ प्रक्षेप्य स्थान के रूपवाद के मामले में इस निर्माण से संबंधित हैं
 * $$f\colon X \to \mathbb P^n, $$

E = O(1) के साथ सुसंगत शीफ#वेक्टर बंडलों के उदाहरण जिनके वैश्विक खंड चर में डिग्री 1 (अर्थात, रैखिक कार्य) के सजातीय बहुपद हैं $$x_0,\ldots,x_n$$. लाइन बंडल O(1) को हाइपरप्लेन से जुड़े लाइन बंडल के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है $$\mathbb P^n$$ (क्योंकि O(1) के एक खंड का शून्य सेट एक हाइपरप्लेन है)। यदि एफ एक बंद विसर्जन है, उदाहरण के लिए, यह पुलबैक का अनुसरण करता है $$f^*O(1)$$ हाइपरप्लेन सेक्शन से जुड़े एक्स पर लाइन बंडल है (हाइपरप्लेन के साथ एक्स का प्रतिच्छेदन)। $$\mathbb{P}^n$$).

बेसपॉइंट-मुक्त लाइन बंडल
मान लीजिए कि X एक फ़ील्ड (गणित) k (उदाहरण के लिए, एक बीजगणितीय विविधता) पर एक लाइन बंडल L के साथ एक योजना है। (एक लाइन बंडल को एक उलटा शीफ ​​भी कहा जा सकता है।) मान लीजिए $$a_0,...,a_n$$ k-वेक्टर स्थान के तत्व बनें $$H^0(X,L)$$ एल के वैश्विक अनुभागों का। प्रत्येक अनुभाग का शून्य सेट एक्स का एक बंद उपसमुच्चय है; यू को उन बिंदुओं का खुला उपसमुच्चय बनने दें जिन पर कम से कम एक हो $$a_0,\ldots,a_n$$ शून्य नहीं है. फिर ये अनुभाग रूपवाद को परिभाषित करते हैं
 * $$f\colon U\to \mathbb{P}^{n}_k,\ x \mapsto [a_0(x),\ldots,a_n(x)].$$

अधिक विस्तार से: यू के प्रत्येक बिंदु एक्स के लिए, एक्स के ऊपर एल का फाइबर अवशेष क्षेत्र के (एक्स) पर एक 1-आयामी वेक्टर स्थान है। इस फाइबर के लिए आधार का चयन करना बनाता है $$a_0(x),\ldots,a_n(x)$$ n+1 संख्याओं के अनुक्रम में, सभी शून्य नहीं, और इसलिए प्रक्षेप्य स्थान में एक बिंदु। आधार की पसंद को बदलने से सभी संख्याएँ एक ही गैर-शून्य स्थिरांक द्वारा मापी जाती हैं, और इसलिए प्रक्षेप्य स्थान में बिंदु पसंद से स्वतंत्र होता है।

इसके अलावा, इस रूपवाद में यह गुण है कि एल से यू तक का प्रतिबंध पुलबैक के लिए आइसोमोर्फिक है $$f^*O(1)$$. स्कीम X पर लाइन बंडल L का आधार स्थान L के सभी वैश्विक अनुभागों के शून्य सेटों का प्रतिच्छेदन है। एक लाइन बंडल एल को बेसपॉइंट-मुक्त कहा जाता है यदि इसका आधार स्थान खाली है। अर्थात्, X के प्रत्येक बिंदु x के लिए L का एक वैश्विक खंड है जो x पर गैर-शून्य है। यदि X फ़ील्ड k पर उचित रूपवाद है, तो सदिश समष्टि $$H^0(X,L)$$ वैश्विक वर्गों का एक सीमित आयाम है; आयाम कहा जाता है $$h^0(X,L)$$. तो एक बेसपॉइंट-मुक्त लाइन बंडल एल एक रूपवाद निर्धारित करता है $$f\colon X\to \mathbb{P}^n$$ के ऊपर, कहाँ $$n=h^0(X,L)-1$$, के लिए एक आधार चुनकर दिया गया $$H^0(X,L)$$. बिना कोई विकल्प चुने इसे रूपवाद के रूप में वर्णित किया जा सकता है
 * $$f\colon X\to \mathbb{P}(H^0(X,L))$$

एक्स से हाइपरप्लेन के स्थान तक $$H^0(X,L)$$, कैनोनिक रूप से बेसपॉइंट-फ्री लाइन बंडल एल से जुड़ा हुआ है। इस रूपवाद में यह गुण है कि एल पुलबैक है $$f^*O(1)$$.

इसके विपरीत, किसी योजना X से प्रक्षेप्य स्थान तक किसी भी रूपवाद f के लिए $$\mathbb{P}^n$$ k के ऊपर, पुलबैक लाइन बंडल $$f^*O(1)$$ बेसपॉइंट-मुक्त है। वास्तव में, O(1) आधार-बिंदु-मुक्त है $$\mathbb{P}^n$$, क्योंकि प्रत्येक बिंदु y के लिए $$\mathbb{P}^n$$ एक हाइपरप्लेन है जिसमें y नहीं है। इसलिए, X में प्रत्येक बिंदु x के लिए, O(1) का एक खंड s है $$\mathbb{P}^n$$ यह f(x) पर शून्य नहीं है, और s का पुलबैक एक वैश्विक खंड है $$f^*O(1)$$ वह x पर शून्य नहीं है। संक्षेप में, बेसपॉइंट-मुक्त लाइन बंडल बिल्कुल वही हैं जिन्हें प्रोजेक्टिव स्पेस में कुछ आकारिकी द्वारा ओ (1) के पुलबैक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

नेफ, विश्व स्तर पर उत्पन्न, अर्ध-पर्याप्त
विभाजक (बीजगणितीय ज्यामिति)#विभाजक एक लाइन बंडल एल की रीमैन सतह पर एक उचित वक्र सी पर के पर विभाजक की डिग्री के रूप में परिभाषित किया गया है (एस) ) एल के किसी भी गैरशून्य तर्कसंगत खंड एस का। इस भाजक के गुणांक उन बिंदुओं पर सकारात्मक होते हैं जहां s गायब हो जाता है और जहां s का ध्रुव होता है वहां नकारात्मक होते हैं। इसलिए, कोई भी रेखा L को वक्र C पर इस प्रकार बांधती है $$H^0(C,L)\neq 0$$ इसमें गैर-नकारात्मक डिग्री है (क्योंकि तर्कसंगत वर्गों के विपरीत, सी के ऊपर एल के वर्गों में कोई ध्रुव नहीं है)। विशेष रूप से, वक्र पर प्रत्येक बेसपॉइंट-मुक्त लाइन बंडल में गैर-नकारात्मक डिग्री होती है। परिणामस्वरूप, किसी फ़ील्ड पर किसी भी उचित स्कीम अधिक सामान्यतः, एक शीफ एफ $$O_X$$यदि वैश्विक अनुभागों का एक सेट I है, तो स्कीम X पर मॉड्यूल को 'विश्व स्तर पर उत्पन्न' कहा जाता है $$s_i\in H^0(X,F)$$ ऐसा कि संगत रूपवाद
 * $$\bigoplus_{i\in I}O_X\to F$$

पूलों का विशेषण है। एक लाइन बंडल विश्व स्तर पर तभी उत्पन्न होता है जब वह बेसपॉइंट-मुक्त हो।

उदाहरण के लिए, एफ़िन योजना पर प्रत्येक अर्ध-सुसंगत शीफ़ विश्व स्तर पर उत्पन्न होता है। जटिल ज्यामिति में, कार्टन का प्रमेय ए कहता है कि स्टीन मैनिफोल्ड पर प्रत्येक सुसंगत शीफ विश्व स्तर पर उत्पन्न होता है।

किसी फ़ील्ड पर एक उचित योजना पर एक लाइन बंडल एल 'अर्ध-पर्याप्त' है यदि कोई सकारात्मक पूर्णांक आर है जैसे कि लाइन बंडलों का टेंसर उत्पाद $$L^{\otimes r}$$ बेसपॉइंट-मुक्त है। एक अर्ध-एम्पल लाइन बंडल नेफ है (बेसपॉइंट-फ्री लाइन बंडलों के लिए संबंधित तथ्य के अनुसार)।

बहुत विस्तृत लाइन बंडल
फ़ील्ड k पर उचित योजना X पर एक लाइन बंडल L को 'बहुत पर्याप्त' कहा जाता है यदि यह बेसपॉइंट-मुक्त और संबंधित रूपवाद
 * $$f\colon X\to\mathbb{P}^n_k$$

एक बंद विसर्जन है. यहाँ $$n=h^0(X,L)-1$$. समान रूप से, L बहुत प्रचुर है यदि बाद की परिभाषा का उपयोग किसी भी क्रमविनिमेय रिंग पर एक उचित योजना पर एक लाइन बंडल के लिए बहुत प्रचुरता को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।

यह नाम 1961 में अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक द्वारा पेश किया गया था। भाजक की रैखिक प्रणालियों के संदर्भ में पहले विभिन्न नामों का उपयोग किया गया था।

संबद्ध रूपवाद एफ के साथ एक क्षेत्र पर एक उचित योजना $$\mathbb{P}^n$$. तो X में प्रत्येक वक्र पर L की धनात्मक डिग्री होती है (क्योंकि प्रक्षेप्य स्थान की प्रत्येक उप-विविधता की धनात्मक डिग्री होती है)।

अर्ध-कॉम्पैक्ट योजनाओं पर पर्याप्त उलटा ढेर
पर्याप्त लाइन बंडलों का उपयोग अक्सर उचित योजनाओं पर किया जाता है, लेकिन उन्हें बहुत व्यापक व्यापकता में परिभाषित किया जा सकता है।

मान लीजिए कि X एक योजना है, और मान लीजिए $$\mathcal{L}$$ X पर एक व्युत्क्रमणीय शीफ बनें। प्रत्येक के लिए $$x \in X$$, होने देना $$\mathfrak{m}_x$$ केवल x पर समर्थित कम उपयोजना के आदर्श शीफ को निरूपित करें। के लिए $$s \in \Gamma(X, \mathcal{L})$$, परिभाषित करना $$X_s = \{x \in X \colon s_x \not\in \mathfrak{m}_x\mathcal{L}_x\}.$$ समान रूप से, यदि $$\kappa(x)$$ x पर अवशेष क्षेत्र को दर्शाता है (जिसे x पर समर्थित गगनचुंबी इमारत शीफ के रूप में माना जाता है)। $$X_s = \{x \in X \colon \bar s_x \neq 0 \in \kappa(x) \otimes \mathcal{L}_x\},$$ कहाँ $$\bar s_x$$ टेंसर उत्पाद में s की छवि है।

हल करना $$s \in \Gamma(X, \mathcal{L})$$. प्रत्येक एस के लिए, प्रतिबंध $$\mathcal{L}|_{X_s}$$ एक मुफ़्त है $$\mathcal{O}_X$$-मॉड्यूल को एस के प्रतिबंध द्वारा तुच्छीकृत किया गया है, जिसका अर्थ है गुणा-दर-एस रूपवाद $$\mathcal{O}_{X_s} \to \mathcal{L}|_{X_s}$$ एक समरूपता है. सेट $$X_s$$ हमेशा खुला रहता है, और समावेशन रूपवाद $$X_s \to X$$ एक एफ़िन रूपवाद है। बावजूद इसके, $$X_s$$ एक एफ़िन योजना होने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि $$s = 1 \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)$$, तब $$X_s = X$$ अपने आप में खुला है और अपने आप से जुड़ा हुआ है लेकिन आम तौर पर बंधा हुआ नहीं है।

मान लें कि X अर्ध-कॉम्पैक्ट है। तब $$\mathcal{L}$$ यदि, प्रत्येक के लिए पर्याप्त है $$x \in X$$, वहाँ एक मौजूद है $$n \ge 1$$ और एक $$s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})$$ ऐसा है कि $$x \in X_s$$ और $$X_s$$ एक एफ़िन योजना है. उदाहरण के लिए, तुच्छ रेखा बंडल $$\mathcal{O}_X$$ पर्याप्त है यदि और केवल यदि X अर्ध-एफ़िन रूपवाद है|अर्ध-एफ़िन है।

सामान्य तौर पर, यह सच नहीं है कि हर $$X_s$$ एफ़िन है. उदाहरण के लिए, यदि $$X = \mathbf{P}^2 \setminus \{O\}$$ किसी बिंदु O के लिए, और यदि $$\mathcal{L}$$ का प्रतिबंध है $$\mathcal{O}_{\mathbf{P}^2}(1)$$ एक्स के लिए, फिर $$\mathcal{L}$$ और $$\mathcal{O}_{\mathbf{P}^2}(1)$$ समान वैश्विक अनुभाग हैं, और एक अनुभाग का गैर-लुप्त होने वाला स्थान है $$\mathcal{L}$$ एफ़िन है यदि और केवल यदि संबंधित अनुभाग $$\mathcal{O}_{\mathbf{P}^2}(1)$$ ओ शामिल है.

की शक्तियों को अनुमति देना आवश्यक है $$\mathcal{L}$$ परिभाषा में. वास्तव में, प्रत्येक N के लिए, यह संभव है $$X_s$$ प्रत्येक के लिए असंबंधित है $$s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})$$ साथ $$n \le N$$. दरअसल, मान लीजिए कि Z अंकों का एक सीमित सेट है $$\mathbf{P}^2$$, $$X = \mathbf{P}^2 \setminus Z$$, और $$\mathcal{L} = \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2}(1)|_X$$. के अनुभागों का लुप्त हो रहा लोकी $$\mathcal{L}^{\otimes N}$$ डिग्री N के समतल वक्र हैं। Z को सामान्य स्थिति में बिंदुओं का पर्याप्त बड़ा समूह मानकर, हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि डिग्री N (और इसलिए किसी भी निचली डिग्री) के किसी भी समतल वक्र में Z के सभी बिंदु शामिल नहीं हैं। विशेष रूप से उनके गैर -लुप्त लोकी सभी असंबद्ध हैं।

परिभाषित करना $$\textstyle S = \bigoplus_{n \ge 0} \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})$$. होने देना $$p \colon X \to \operatorname{Spec} \mathbf{Z}$$ संरचनात्मक रूपवाद को निरूपित करें। के बीच एक प्राकृतिक समरूपता है $$\mathcal{O}_X$$-बीजगणित समरूपताएँ $$\textstyle p^*(\tilde S) \to \bigoplus_{n \ge 0} \mathcal{L}^{\otimes n}$$ और श्रेणीबद्ध रिंग एस की एंडोमोर्फिज्म। एस की पहचान एंडोमोर्फिज्म एक होमोमोर्फिज्म से मेल खाती है $$\varepsilon$$. को लागू करना $$\operatorname{Proj}$$ फ़ंक्टर निरूपित एक्स की एक खुली उप-योजना से एक रूपवाद उत्पन्न करता है $$G(\varepsilon)$$, को $$\operatorname{Proj} S$$.

पर्याप्त व्युत्क्रमणीय शीव्स के मूल लक्षण वर्णन में कहा गया है कि यदि एक्स एक अर्ध-कॉम्पैक्ट अर्ध-पृथक योजना है और $$\mathcal{L}$$ X पर एक उलटा शीफ ​​है, तो निम्नलिखित दावे समतुल्य हैं:
 * 1) $$\mathcal{L}$$ पर्याप्त है.
 * 2) खुले सेट $$X_s$$, कहाँ $$s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})$$ और $$n \ge 0$$, एक्स की टोपोलॉजी के लिए एक आधार बनाएं।
 * 3) खुले सेट $$X_s$$ स्नेह होने की संपत्ति के साथ, जहां $$s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})$$ और $$n \ge 0$$, एक्स की टोपोलॉजी के लिए एक आधार बनाएं।
 * 4) $$G(\varepsilon) = X$$ और रूपवाद $$G(\varepsilon) \to \operatorname{Proj} S$$ एक प्रमुख खुला विसर्जन है.
 * 5) $$G(\varepsilon) = X$$ और रूपवाद $$G(\varepsilon) \to \operatorname{Proj} S$$ इसकी छवि के साथ एक्स के अंतर्निहित टोपोलॉजिकल स्पेस का एक होमोमोर्फिज्म है।
 * 6) प्रत्येक अर्ध-सुसंगत शीफ़ के लिए $$\mathcal{F}$$ एक्स पर, विहित मानचित्र $$\bigoplus_{n \ge 0} \Gamma(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}) \otimes_{\mathbf{Z}} \mathcal{L}^{\otimes{-n}} \to \mathcal{F}$$ विशेषण है.
 * 7) आदर्शों के प्रत्येक अर्ध-सुसंगत ढेर के लिए $$\mathcal{J}$$ एक्स पर, विहित मानचित्र $$\bigoplus_{n \ge 0} \Gamma(X, \mathcal{J} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}) \otimes_{\mathbf{Z}} \mathcal{L}^{\otimes{-n}} \to \mathcal{J}$$ विशेषण है.
 * 8) आदर्शों के प्रत्येक अर्ध-सुसंगत ढेर के लिए $$\mathcal{J}$$ एक्स पर, विहित मानचित्र $$\bigoplus_{n \ge 0} \Gamma(X, \mathcal{J} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}) \otimes_{\mathbf{Z}} \mathcal{L}^{\otimes{-n}} \to \mathcal{J}$$ विशेषण है.
 * 9) प्रत्येक अर्ध-सुसंगत शीफ़ के लिए $$\mathcal{F}$$ X पर परिमित प्रकार का, एक पूर्णांक मौजूद है $$n_0$$ ऐसे कि के लिए $$n \ge n_0$$, $$\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}$$ इसके वैश्विक खंडों द्वारा उत्पन्न होता है।
 * 10) प्रत्येक अर्ध-सुसंगत शीफ़ के लिए $$\mathcal{F}$$ X पर परिमित प्रकार के, पूर्णांक मौजूद हैं $$n > 0$$ और $$k > 0$$ ऐसा है कि $$\mathcal{F}$$ के भागफल के लिए समरूपी है $$\mathcal{L}^{\otimes(-n)} \otimes \mathcal{O}_X^k$$.
 * 11) आदर्शों के प्रत्येक अर्ध-सुसंगत ढेर के लिए $$\mathcal{J}$$ X पर परिमित प्रकार के, पूर्णांक मौजूद हैं $$n > 0$$ और $$k > 0$$ ऐसा है कि $$\mathcal{J}$$ के भागफल के लिए समरूपी है $$\mathcal{L}^{\otimes(-n)} \otimes \mathcal{O}_X^k$$.

उचित योजनाओं पर
जब एक्स को अलग किया जाता है और एक एफ़िन योजना पर परिमित प्रकार दिया जाता है, तो एक उलटा शीफ $$\mathcal{L}$$ पर्याप्त है यदि और केवल यदि कोई धनात्मक पूर्णांक r मौजूद है जैसे कि टेंसर शक्ति $$\mathcal{L}^{\otimes r}$$ बहुत प्रचुर है. विशेष रूप से, R पर एक उचित योजना में पर्याप्त रेखा बंडल होता है यदि और केवल यदि यह R पर प्रक्षेप्य हो। अक्सर, इस लक्षण वर्णन को प्रचुरता की परिभाषा के रूप में लिया जाता है।

इस लेख का शेष भाग किसी क्षेत्र में उचित योजनाओं की प्रचुरता पर केंद्रित होगा, क्योंकि यह सबसे महत्वपूर्ण मामला है। किसी क्षेत्र के ऊपर एक उचित योजना

फ़ील्ड k पर एक उचित योजना X पर कार्टियर विभाजक D को पर्याप्त कहा जाता है यदि संबंधित लाइन बंडल O(D) पर्याप्त है। (उदाहरण के लिए, यदि X, k पर स्मूथ है, तो कार्टियर विभाजक को पूर्णांक गुणांकों के साथ

बहुत पर्याप्त से पर्याप्त की धारणा को कमजोर करने से विभिन्न विशेषताओं की एक विस्तृत विविधता के साथ एक लचीली अवधारणा मिलती है। पहला बिंदु यह है कि किसी भी सुसंगत शीफ के साथ एक पर्याप्त लाइन बंडल की उच्च शक्तियों को टेंसर करना कई वैश्विक वर्गों के साथ एक शीफ देता है। अधिक सटीक रूप से, एक क्षेत्र पर (या अधिक सामान्यतः नोथेरियन अंगूठी पर) एक उचित योजना $$F\otimes L^{\otimes r}$$ विश्व स्तर पर सभी के लिए तैयार किया गया है $$r\geq s$$. यहाँ s, F पर निर्भर हो सकता है। प्रचुरता का एक और लक्षण वर्णन, जिसे हेनरी कर्तन - जीन पियरे सेरे -ग्रोथेंडिक प्रमेय के रूप में जाना जाता है, सुसंगत शीफ कोहोलॉजी के संदर्भ में है। अर्थात्, एक फ़ील्ड पर (या अधिक सामान्यतः नोथेरियन रिंग पर) एक उचित स्कीम
 * $$H^i(X,F\otimes L^{\otimes r})=0$$

सभी के लिए $$i>0$$ और सभी $$r\geq s$$. विशेष रूप से, एक पर्याप्त लाइन बंडल की उच्च शक्तियाँ सकारात्मक डिग्री में सह-समरूपता को नष्ट कर देती हैं। इस निहितार्थ को सेरे वैनिशिंग प्रमेय कहा जाता है, जिसे जीन-पियरे सेरे ने अपने 1955 के पेपर फैसियो अल्जेब्रिक्स कोहेरेंट्स में सिद्ध किया है।

उदाहरण/गैर-उदाहरण

 * तुच्छ रेखा बंडल $$O_X$$ सकारात्मक आयाम की प्रक्षेप्य किस्म X पर बेसपॉइंट-मुक्त है लेकिन पर्याप्त नहीं है। अधिक आम तौर पर, किसी भी रूपवाद के लिए एफ एक प्रक्षेप्य किस्म एक्स से कुछ प्रक्षेप्य स्थान तक $$\mathbb{P}^n$$ एक फ़ील्ड के ऊपर, पुलबैक लाइन बंडल $$L=f^*O(1)$$ हमेशा आधार-बिंदु-मुक्त होता है, जबकि L पर्याप्त होता है यदि और केवल यदि रूपवाद f परिमित रूपवाद है (अर्थात, f के सभी तंतुओं का आयाम 0 है या वे खाली हैं)।
 * एक पूर्णांक d के लिए, लाइन बंडल O(d) के अनुभागों का स्थान $$\mathbb{P}^1_{\C}$$ चर x,y में घात d वाले सजातीय बहुपदों का सम्मिश्र संख्या सदिश समष्टि है। विशेष रूप से, यह स्थान d < 0 के लिए शून्य है $$d\geq 0$$, O(d) द्वारा दिए गए प्रक्षेप्य स्थान का रूपवाद है
 * $$\mathbb{P}^1\to\mathbb{P}^{d}$$
 * द्वारा
 * $$[x,y]\mapsto [x^d,x^{d-1}y,\ldots,y^d].$$
 * यह एक बंद विसर्जन है $$d\geq 1$$, छवि के साथ डिग्री डी का एक तर्कसंगत सामान्य वक्र $$\mathbb{P}^d$$. इसलिए, O(d) बेसपॉइंट-मुक्त है यदि और केवल यदि $$d\geq 0$$, और बहुत प्रचुर यदि और केवल यदि $$d\geq 1$$. इसका तात्पर्य यह है कि O(d) पर्याप्त है यदि और केवल यदि $$d\geq 1$$.


 * ऐसे उदाहरण के लिए जहां पर्याप्त और बहुत पर्याप्त भिन्न हैं, मान लीजिए कि X 'C' के ऊपर जीनस (गणित) 1 (एक अण्डाकार वक्र) का एक सहज प्रक्षेप्य वक्र है, और मान लीजिए कि p, X पर डिग्री 1 का संबद्ध लाइन बंडल बनें। फिर O(p) के वैश्विक खंडों के जटिल वेक्टर स्थान का आयाम 1 है, जो एक खंड द्वारा फैला हुआ है जो p पर गायब हो जाता है। अतः O(p) का आधार बिंदुपथ p के बराबर है। दूसरी ओर, O(2p) बेसपॉइंट-मुक्त है, और O(dp) इसके लिए बहुत पर्याप्त है $$d\geq 3$$ (एक्स को डिग्री डी के अण्डाकार वक्र के रूप में एम्बेड करना $$\mathbb{P}^{d-1}$$). इसलिए, O(p) पर्याप्त है लेकिन बहुत प्रचुर नहीं है। इसके अलावा, O(2p) पर्याप्त और बेसपॉइंट-मुक्त है लेकिन बहुत पर्याप्त नहीं है; प्रक्षेप्य स्थान से संबंधित रूपवाद एक शाखित दोहरा आवरण है $$X\to\mathbb{P}^1$$.
 * उच्च जीनस के वक्रों पर, पर्याप्त रेखा बंडल एल होते हैं, जिसके लिए प्रत्येक वैश्विक खंड शून्य होता है। (लेकिन परिभाषा के अनुसार, L के उच्च गुणकों में कई खंड होते हैं।) उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि X एक चिकना समतल चतुर्थक वक्र है (डिग्री 4 इंच का) $$\mathbb{P}^2$$) C के ऊपर, और p और q को X के अलग-अलग सम्मिश्र बिंदु होने दें। फिर लाइन बंडल $$L=O(2p-q)$$ पर्याप्त है लेकिन है $$H^0(X,L)=0$$.

प्रतिच्छेदन सिद्धांत
यह निर्धारित करने के लिए कि प्रक्षेप्य किस्म X पर दिया गया लाइन बंडल पर्याप्त है या नहीं, निम्नलिखित संख्यात्मक मानदंड (प्रतिच्छेदन संख्याओं के संदर्भ में) अक्सर सबसे उपयोगी होते हैं। यह पूछने के बराबर है कि एक्स पर कार्टियर विभाजक डी पर्याप्त है, जिसका अर्थ है कि संबंधित लाइन बंडल ओ (डी) पर्याप्त है। चौराहा नंबर $$D\cdot C$$ सी तक सीमित लाइन बंडल ओ (डी) की डिग्री के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। दूसरी दिशा में, एक प्रोजेक्टिव किस्म पर लाइन बंडल एल के लिए, कार्टियर विभाजक $$c_1(L)$$ इसका अर्थ है संबद्ध कार्टियर भाजक (रैखिक तुल्यता तक परिभाषित), एल के किसी भी गैर-शून्य तर्कसंगत खंड का भाजक।

बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड k पर एक चिकनी योजना प्रक्षेप्य वक्र X पर, एक लाइन बंडल L बहुत पर्याप्त है यदि और केवल यदि $$h^0(X,L\otimes O(-x-y))=h^0(X,L)-2$$ X में सभी k-तर्कसंगत बिंदुओं x,y के लिए। मान लीजिए कि g, X का वंश है। रीमैन-रोच प्रमेय के अनुसार, कम से कम 2g + 1 डिग्री का प्रत्येक पंक्ति बंडल इस शर्त को पूरा करता है और इसलिए यह बहुत पर्याप्त है। परिणामस्वरूप, किसी वक्र पर एक लाइन बंडल पर्याप्त होता है यदि और केवल यदि उसकी डिग्री सकारात्मक हो। उदाहरण के लिए, विहित बंडल $$K_X$$ वक्र X की डिग्री 2g - 2 है, और इसलिए यह पर्याप्त है यदि और केवल यदि $$g\geq 2$$. पर्याप्त विहित बंडल वाले वक्र एक महत्वपूर्ण वर्ग बनाते हैं; उदाहरण के लिए, जटिल संख्याओं पर, ये नकारात्मक अनुभागीय वक्रता की मीट्रिक वाले वक्र हैं। विहित बंडल बहुत प्रचुर है यदि और केवल यदि $$g\geq 2$$ और वक्र हाइपरलिप्टिक वक्र नहीं है। नाकाई-मोइशेज़ोन मानदंड (योशिकाज़ु नाकाई (1963) और बोरिस मोइशेज़ोन (1964) के नाम पर) बताता है कि एक फ़ील्ड पर एक उचित योजना एक्स पर एक लाइन बंडल एल पर्याप्त है यदि और केवल यदि $$\int_Y c_1(L)^{\text{dim}(Y)}>0$$ प्रत्येक (अघुलनशील घटक) के लिए X की बंद उप-विविधता Y (Y को एक बिंदु होने की अनुमति नहीं है)। भाजक के संदर्भ में, कार्टियर भाजक डी पर्याप्त है यदि और केवल यदि $$D^{\text{dim}(Y)}\cdot Y>0$$ X की प्रत्येक (गैर-शून्य-आयामी) उप-विविधता Y के लिए। X एक सतह के लिए, मानदंड कहता है कि एक भाजक D पर्याप्त है यदि और केवल यदि इसकी स्व-प्रतिच्छेदन संख्या $$D^2$$ सकारात्मक है और X पर प्रत्येक वक्र C पर है $$D\cdot C>0$$.

क्लेमन की कसौटी
क्लेमन की कसौटी (1966) बताने के लिए, X को एक क्षेत्र पर एक प्रक्षेप्य योजना होने दें। होने देना $$N_1(X)$$ 1-चक्रों का वास्तविक संख्या वेक्टर स्थान (X में वक्रों का वास्तविक रैखिक संयोजन) मॉड्यूलो संख्यात्मक तुल्यता हो, जिसका अर्थ है कि दो 1-चक्र A और B बराबर हैं $$N_1(X)$$ यदि और केवल यदि प्रत्येक पंक्ति बंडल की ए और बी पर समान डिग्री है। नेरॉन-सेवेरी समूह द्वारा | नेरॉन-सेवेरी प्रमेय, वास्तविक वेक्टर स्थान $$N_1(X)$$ परिमित आयाम है. क्लेमन के मानदंड में कहा गया है कि एक्स पर एक लाइन बंडल एल पर्याप्त है यदि और केवल तभी जब एल में वक्र एनई (एक्स) के शंकु के समापन (टोपोलॉजी) के प्रत्येक गैर-शून्य तत्व सी पर सकारात्मक डिग्री हो $$N_1(X)$$. (यह कहने से थोड़ा अधिक मजबूत है कि L की प्रत्येक वक्र पर सकारात्मक डिग्री है।) समान रूप से, एक लाइन बंडल पर्याप्त है यदि और केवल तभी जब इसका वर्ग दोहरे वेक्टर स्थान में हो $$N^1(X)$$ नेफ लाइन बंडल के अंदरूनी हिस्से में है। किसी क्षेत्र पर उचित (प्रक्षेपी के बजाय) योजनाओं प्रक्षेप्य किस्म पर एक लाइन बंडल को सख्ती से नेफ कहा जाता है यदि इसमें प्रत्येक वक्र पर सकारात्मक डिग्री होती है. और डेविड मम्फोर्ड  ने चिकनी प्रक्षेप्य सतहों पर लाइन बंडलों का निर्माण किया जो सख्ती से नेफ हैं लेकिन पर्याप्त नहीं हैं। इससे पता चलता है कि स्थिति $$c_1(L)^2>0$$ नाकाई-मोइशेज़ोन मानदंड में छोड़ा नहीं जा सकता है, और क्लेमन के मानदंड में एनई (एक्स) के बजाय एनई (एक्स) के समापन का उपयोग करना आवश्यक है। किसी सतह पर प्रत्येक नेफ लाइन बंडल में होता है $$c_1(L)^2\geq 0$$, और नागाटा और ममफोर्ड के उदाहरण हैं $$c_1(L)^2=0$$.

सी. एस. शेषाद्रि ने दिखाया कि बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड पर एक उचित योजना पर एक लाइन बंडल एल पर्याप्त है यदि और केवल तभी जब कोई सकारात्मक वास्तविक संख्या ε हो जैसे कि डिग्री (एल |C) ≥ εm(C) X में सभी (इरेड्यूसिबल) वक्र C के लिए, जहां m(C) C के बिंदुओं पर गुणकों की अधिकतम सीमा है। प्रचुरता के कई लक्षण फ़ील्ड k पर उचित बीजगणितीय स्थान पर लाइन बंडलों के लिए अधिक सामान्यतः लागू होते हैं। विशेष रूप से, नाकाई-मोइशेज़ोन मानदंड उस व्यापकता में मान्य है। कार्टन-सेरे-ग्रोथेंडिक मानदंड नोथेरियन रिंग आर पर एक उचित बीजगणितीय स्थान के लिए और भी अधिक सामान्यतः लागू होता है। (यदि R के ऊपर एक उचित बीजगणितीय स्थान में पर्याप्त रेखा बंडल है, तो यह वास्तव में R के ऊपर एक प्रक्षेप्य योजना है।) क्लेमन का मानदंड एक क्षेत्र पर उचित बीजगणितीय स्थान X के लिए विफल रहता है, भले ही X चिकना हो।

प्रचुरता का खुलापन
एक क्षेत्र पर प्रक्षेप्य योजना $$N^1(X)$$, इसकी टोपोलॉजी वास्तविक संख्याओं की टोपोलॉजी पर आधारित है। (एक आर-विभाजक को पर्याप्त के रूप में परिभाषित किया गया है यदि इसे पर्याप्त कार्टियर विभाजकों के सकारात्मक रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है। ) एक प्रारंभिक विशेष मामला है: एक पर्याप्त भाजक एच और किसी भी भाजक ई के लिए, एक सकारात्मक वास्तविक संख्या बी है जैसे कि $$H+aE$$ b से कम निरपेक्ष मान वाली सभी वास्तविक संख्याओं a के लिए पर्याप्त है। पूर्णांक गुणांक (या लाइन बंडल) वाले विभाजक के संदर्भ में, इसका मतलब है कि nH + E सभी पर्याप्त रूप से बड़े सकारात्मक पूर्णांक n के लिए पर्याप्त है।

प्रचुरता भी एक बिल्कुल अलग अर्थ में एक खुली स्थिति है, जब बीजगणितीय परिवार में विविधता या रेखा बंडल भिन्न होता है। अर्थात्, चलो $$f\colon X\to Y$$ योजनाओं का एक उचित रूपवाद हो, और L को X पर एक लाइन बंडल होने दें। फिर Y में बिंदुओं का सेट इस प्रकार है कि L योजना-सैद्धांतिक फाइबर पर पर्याप्त है $$X_y$$ खुला है (ज़ारिस्की टोपोलॉजी में)। अधिक दृढ़ता से, यदि एल एक फाइबर पर पर्याप्त है $$X_y$$, तो y का एक एफ़िन ओपन पड़ोस U इस प्रकार है कि L पर्याप्त है $$f^{-1}(U)$$ यू के ऊपर

क्लेमन की प्रचुरता के अन्य लक्षण
क्लेमन ने प्रचुरता के निम्नलिखित लक्षण भी सिद्ध किए, जिन्हें प्रचुरता की परिभाषा और संख्यात्मक मानदंड के बीच मध्यवर्ती चरणों के रूप में देखा जा सकता है। अर्थात्, किसी फ़ील्ड पर उचित योजना X पर एक लाइन बंडल L के लिए, निम्नलिखित समतुल्य हैं:
 * एल पर्याप्त है.
 * प्रत्येक (अपरिवर्तनीय) उप-विविधता के लिए $$Y\sub X$$ सकारात्मक आयाम का, एक सकारात्मक पूर्णांक r और एक खंड है $$s\in H^0(Y,\mathcal L^{\otimes r})$$ जो समान रूप से शून्य नहीं है लेकिन Y के किसी बिंदु पर गायब हो जाता है।
 * प्रत्येक (अपरिवर्तनीय) उप-विविधता के लिए $$Y\sub X$$ सकारात्मक आयाम में, Y पर L की शक्तियों की होलोमोर्फिक यूलर विशेषताएँ अनंत तक जाती हैं:
 * $$\chi(Y,\mathcal L^{\otimes r})\to\infty$$ जैसा $$ r\to \infty$$.

पर्याप्त वेक्टर बंडल
रॉबिन हार्टशॉर्न ने एक प्रोजेक्टिव स्कीम एक्स पर एक बीजगणितीय वेक्टर बंडल एफ को परिभाषित किया है, यदि लाइन बंडल 'पर्याप्त' है $$\mathcal{O}(1)$$ अंतरिक्ष पर $$\mathbb{P}(F)$$ एफ में हाइपरप्लेन की संख्या पर्याप्त है। पर्याप्त रेखा बंडलों के कई गुण पर्याप्त वेक्टर बंडलों तक विस्तारित होते हैं। उदाहरण के लिए, एक वेक्टर बंडल F पर्याप्त है यदि और केवल तभी जब F की उच्च सममित शक्तियां सह-समरूपता को समाप्त कर देती हैं $$H^i$$ सभी के लिए सुसंगत ढेरों का $$i>0$$. इसके अलावा, चेर्न वर्ग $$c_r(F)$$ एक पर्याप्त वेक्टर बंडल के लिए X की प्रत्येक r-आयामी उप-विविधता पर सकारात्मक डिग्री होती है $$1\leq r\leq \text{rank}(F)$$.

बड़ी लाइन बंडल
प्रचुरता का एक उपयोगी कमजोर होना, विशेष रूप से द्विवार्षिक ज्यामिति में, एक बड़ी लाइन बंडल की धारणा है। एक क्षेत्र के ऊपर आयाम n के प्रक्षेप्य प्रकार X पर एक लाइन बंडल L को बड़ा कहा जाता है यदि इसमें एक सकारात्मक वास्तविक संख्या a और एक सकारात्मक पूर्णांक है $$j_0$$ ऐसा है कि $$h^0(X,L^{\otimes j})\geq aj^n$$ सभी के लिए $$j\geq j_0$$. यह एल की शक्तियों के वर्गों के रिक्त स्थान के लिए अधिकतम संभव वृद्धि दर है, इस अर्थ में कि एक्स पर प्रत्येक लाइन बंडल एल के लिए एक सकारात्मक संख्या बी है $$h^0(X,L^{\otimes j})\leq bj^n$$ सभी j > 0 के लिए. बड़ी लाइन बंडलों की कई अन्य विशेषताएँ हैं। सबसे पहले, एक लाइन बंडल बड़ा होता है यदि और केवल तभी जब कोई सकारात्मक पूर्णांक r हो जैसे कि X से तर्कसंगत मानचित्र हो $$\mathbb P(H^0(X,L^{\otimes r}))$$ के अनुभागों द्वारा दिया गया $$L^{\otimes r}$$ इसकी छवि पर द्विवार्षिक है। इसके अलावा, एक लाइन बंडल एल बड़ा होता है यदि और केवल यदि इसमें एक सकारात्मक टेंसर शक्ति होती है जो एक पर्याप्त लाइन बंडल ए और एक प्रभावी लाइन बंडल बी का टेंसर उत्पाद है (जिसका अर्थ है कि $$H^0(X,B)\neq 0$$). अंत में, एक लाइन बंडल तभी बड़ा होता है जब उसकी कक्षा अंदर हो $$N^1(X)$$ प्रभावी विभाजक के शंकु के आंतरिक भाग में है। विशालता को प्रचुरता के द्विवार्षिक रूप से अपरिवर्तनीय एनालॉग के रूप में देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि $$f\colon X\to Y$$ समान आयाम की चिकनी प्रक्षेप्य किस्मों के बीच एक प्रमुख तर्कसंगत मानचित्र है, तो Y पर एक बड़ी लाइन बंडल का पुलबैक X पर बड़ा है। (पहली नजर में, पुलबैक केवल X के खुले उपसमुच्चय पर एक लाइन बंडल है जहां f है) एक रूपवाद, लेकिन यह एक्स के सभी पर एक लाइन बंडल तक विशिष्ट रूप से विस्तारित होता है।) पर्याप्त लाइन बंडलों के लिए, कोई केवल यह कह सकता है कि एक परिमित रूपवाद द्वारा एक पर्याप्त लाइन बंडल का पुलबैक पर्याप्त है।

उदाहरण: मान लीजिए कि X प्रक्षेप्य तल का ब्लो-अप|ब्लो-अप है $$\mathbb{P}^2$$ सम्मिश्र संख्याओं पर एक बिंदु पर. मान लीजिए कि H एक लाइन का X की ओर पुलबैक है $$\mathbb{P}^2$$, और मान लीजिए कि E ब्लो-अप का असाधारण वक्र है $$\pi\colon X\to\mathbb{P}^2$$. तब भाजक H + E बड़ा है लेकिन X पर पर्याप्त (या यहां तक ​​कि nef) नहीं है, क्योंकि
 * $$(H+E)\cdot E=E^2=-1<0.$$

इस नकारात्मकता का यह भी तात्पर्य है कि H + E (या किसी धनात्मक गुणज) के आधार बिंदुपथ में वक्र E शामिल है। वास्तव में, यह आधार बिंदुपथ E के बराबर है।

सापेक्ष प्रचुरता
योजनाओं की एक अर्ध-संक्षिप्त रूपात्मकता को देखते हुए $$f : X \to S$$, एक्स पर एक उलटा शीफ ​​एल को एफ या 'एफ-एम्पल' के सापेक्ष 'पर्याप्त' कहा जाता है यदि निम्नलिखित समकक्ष शर्तें पूरी होती हैं:
 * 1) प्रत्येक खुले एफ़िन उपसमुच्चय के लिए $$U \subset S$$, L का प्रतिबंध $$f^{-1}(U)$$ पर्याप्त उलटा पुलिंदा है (सामान्य अर्थ में)।
 * 2) एफ अर्ध-पृथक रूपवाद है|अर्ध-पृथक और एक खुला विसर्जन है $$X \hookrightarrow \operatorname{Proj}_S(\mathcal{R}), \, \mathcal{R} := f_*\left( \bigoplus_0^{\infty} L^{\otimes n} \right)$$ सहायक मानचित्र से प्रेरित:
 * $$f^* \mathcal{R} \to \bigoplus_0^{\infty} L^{\otimes n}$$.
 * 1) दशा 2. बिना खुला ।

शर्त 2 कहती है (मोटे तौर पर) कि एक्स को खुले तौर पर एक प्रक्षेप्य योजना के साथ संकुचित किया जा सकता है $$\mathcal{O}(1)= L$$ (सिर्फ एक उचित योजना के लिए नहीं)।

सामान्य बीजगणितीय ज्यामिति

 * प्रक्षेप्य स्थानों की बीजगणितीय ज्यामिति
 * फ़ानो किस्म: एक किस्म जिसका कैनोनिकल बंडल एंटीएम्पल है
 * मात्सुसाका का बड़ा प्रमेय
 * विभाजक योजना: लाइन बंडलों के पर्याप्त परिवार को स्वीकार करने वाली योजना

जटिल ज्यामिति में प्रचुरता

 * होलोमोर्फिक वेक्टर बंडल
 * कोडैरा एम्बेडिंग प्रमेय: एक कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड पर, प्रचुरता और सकारात्मकता मेल खाती है।
 * कोडैरा लुप्त प्रमेय
 * लेफ्शेट्ज़ हाइपरप्लेन प्रमेय: एक जटिल प्रक्षेप्य विविधता एक्स में एक पर्याप्त विभाजक स्थलीय रूप से एक्स के समान है।

बाहरी संबंध

 * The Stacks Project