अवस्थाओं का घनत्व

ठोस अवस्था भौतिकी और संघनित पदार्थ भौतिकी में, किसी प्रणाली की अवस्थाओं का घनत्व (डीओएस) प्रति इकाई आवृत्ति रेंज में मोड की संख्या का वर्णन करता है। अवस्थाओं के घनत्व को $$ D(E) = N(E)/V $$ के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ $$N(E)\delta E$$ मात्रा $$V$$ की प्रणाली में अवस्थाओं की संख्या है जिसकी ऊर्जा $$E$$ से $$E+\delta E$$ तक की सीमा में है. यह गणितीय रूप से संभाव्यता घनत्व फलन द्वारा वितरण के रूप में दर्शाया गया है, और यह सामान्यतः प्रणाली द्वारा अधिकृत किए गए विभिन्न अवस्थाओं के स्थान और समय डोमेन पर औसत है। अवस्थाओं का घनत्व सीधे प्रणाली के गुणों के विचरण संबंधों से संबंधित है। विशिष्ट ऊर्जा स्तर पर उच्च डीओएस का अर्थ है कि कई अवस्था व्यवसाय के लिए उपलब्ध हैं।

सामान्यतः, पदार्थ की अवस्थाओं का घनत्व निरंतर होता है। चूंकि पृथक प्रणालियों में, जैसे कि गैस चरण में परमाणु या अणु, घनत्व वितरण वर्णक्रमीय घनत्व की तरह असतत वितरण होता है। मूल प्रणाली की विकृतियों के कारण अधिकांशतः स्थानीय विविधताओं को अधिकांशतः अवस्थाओं के स्थानीय घनत्व (एलडीओएस) के रूप में संदर्भित किया जाता है।

परिचय
क्वांटम यांत्रिक प्रणालियों में, तरंगें, या तरंग जैसे कण, प्रणाली द्वारा निर्धारित तरंगदैर्घ्य और प्रसार दिशाओं वाले मोड या अवस्थाओं पर अधिकृत कर सकते हैं। इस प्रकार से उदाहरण के लिए, कुछ प्रणालियों में, अंतर-परमाण्विक रिक्ति और सामग्री का परमाणु आवेश केवल कुछ तरंग दैर्ध्य के इलेक्ट्रॉन को ही उपस्तिथ रहने की अनुमति दे सकता है। अन्य प्रणालियों में, सामग्री की क्रिस्टलीय संरचना तरंगों को दिशा में फैलाने की अनुमति दे सकती है, जबकि दूसरी दिशा में तरंग प्रसार को दबा सकती है। अधिकांशतः, केवल विशिष्ट अवस्थाओं को ही अनुमति दी जाती है। इस प्रकार, ऐसा हो सकता है कि कई अवस्था विशिष्ट ऊर्जा स्तर पर व्यवसाय के लिए उपलब्ध हों, जबकि अन्य ऊर्जा स्तरों पर कोई अवस्था उपलब्ध न हो।

चालन बैंड में इलेक्ट्रॉन के लिए अर्धचालक में वैलेंस और चालन बैंड के बीच बैंड किनारे पर इलेक्ट्रॉनों के अवस्थाओं के घनत्व को देखते हुए, इलेक्ट्रॉन ऊर्जा में वृद्धि अधिकृत के लिए अधिक अवस्थाओं को उपलब्ध कराती है। वैकल्पिक रूप से, ऊर्जा के अंतराल के लिए अवस्थाओं का घनत्व बंद है, जिसका अर्थ है कि सामग्री के बैंड अंतराल के अन्दर इलेक्ट्रॉनों के अधिकृत के लिए कोई अवस्था उपलब्ध नहीं हैं। इस स्थिति का यह भी अर्थ है कि वैलेंस बैंड में किसी अन्य अवस्था में संक्रमण के लिए चालन बैंड किनारे पर इलेक्ट्रॉन को सामग्री की कम से कम बैंड गैप ऊर्जा खोनी चाहिए।

यह निर्धारित करता है कि सामग्री प्रसार के आयाम में विसंवाहक (विद्युत) या विद्युत संचालक है या नहीं। इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना में अवस्थाओं की संख्या का परिणाम चालन गुणों की पूर्वानुमान करने के लिए भी उपयोगी है। उदाहरण के लिए, आयामी क्रिस्टलीय संरचना में प्रति परमाणु इलेक्ट्रॉनों की विषम संख्या का परिणाम अर्ध भरे हुए शीर्ष बैंड में होता है; फर्मी स्तर पर मुक्त इलेक्ट्रॉन होते हैं जिसके परिणामस्वरूप धातु बनती है। दूसरी ओर, इलेक्ट्रॉनों की सम संख्या वास्तव में पूरी संख्या में बैंड एकत्रित है, बाकी को खाली छोड़ देती है। यदि तब फर्मी स्तर उच्चतम व्याप्त अवस्था और निम्नतम खाली अवस्था के बीच अधिकृत बैंड गैप में स्थित है, तो सामग्री विसंवाहक या अर्धचालक होगी।

क्वांटम मैकेनिकल प्रणाली के आधार पर, अवस्थाओं के घनत्व की गणना इलेक्ट्रॉनों, फोटोन या फोनन के लिए की जा सकती है, और इसे या तो ऊर्जा या तरंग सदिश k के कार्य के रूप में दिया जा सकता है। डीओएस के बीच ऊर्जा के कार्य के रूप में और डीओएस को तरंग सदिश के कार्य के रूप में परिवर्तित करने के लिए, E और k के बीच प्रणाली-विशिष्ट ऊर्जा विचरण संबंध ज्ञात होना चाहिए।

सामान्य रूप पर, बैंड संरचना जैसे प्रणाली के टोपोलॉजिकल गुणों का अवस्थाओं के घनत्व के गुणों पर बड़ा प्रभाव पड़ता है। न्यूट्रॉन स्टार में न्यूट्रोनियम और मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल (पतित पदार्थ और फर्मी गैस के उदाहरण) जैसी सबसे प्रसिद्ध प्रणालियों में 3-आयामी यूक्लिडियन टोपोलॉजी है। ग्रेफाइट परतों में द्वि-आयामी इलेक्ट्रॉन गैस (2डीईजी) और मॉसफेट प्रकार के उपकरणों में क्वांटम हॉल प्रभाव प्रणाली जैसी कम परिचित प्रणालियों में 2-आयामी यूक्लिडियन टोपोलॉजी है। इससे भी कम परिचित कार्बन नैनोट्यूब, क्वांटम वायर और ल्यूटिंगर तरल हैं, जिनके 1-आयामी टोपोलॉजी हैं। 1D और 2D टोपोलॉजी वाले प्रणाली के और अधिक सामान्य होने की संभावना है, यह मानते हुए कि नैनो टेक्नोलॉजी और सामग्री विज्ञान आगे बढ़ता है।

परिभाषा
मात्रा V और N गणनीय ऊर्जा स्तरों से संबंधित अवस्थाओं के घनत्व को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
 * $$ D(E) = \frac{1}{V} \, \sum _{i=1}^N \delta (E - E({\mathbf{k}}_i)). $$

क्योंकि आयाम $$d$$ और लंबाई $$L$$ के एक बॉक्स में एक कण के लिए गति $$k$$ का सबसे छोटा अनुमत परिवर्तन $$ (\Delta k)^d = (\tfrac{2\pi}{L})^d $$ है, निरंतर ऊर्जा स्तरों के लिए अवस्थाओं का आयतन-संबंधित घनत्व सीमा $$L \to \infty$$ में प्राप्त होता है। जैसा
 * $$ D(E) := \int_{\mathbb{R}^d}{\frac{\mathrm{d}^d k}{(2\pi)^d}} \cdot \delta (E - E(\mathbf{k})),$$

जहाँ, $$d$$ माना प्रणाली का स्थानिक आयाम है और $$\mathbf{k}$$ तरंग सदिश है।

परवलयिक ऊर्जा विचरण के साथ समदैशिक एक-आयामी प्रणालियों के लिए, अवस्थाओं का घनत्व $$D_{1D}(E)=\tfrac{1}{2\pi\hbar}(\tfrac{2m}{E})^{1/2}$$ है. दो आयामों में अवस्थाओं का घनत्व स्थिर $$D_{2D}=\tfrac{m}{2\pi\hbar^2}$$ है, जबकि तीन आयामों में यह बन जाता है

$$D_{3D}(E)=\tfrac{m}{2\pi^2\hbar^3}(2mE)^{1/2}$$.

समतुल्य रूप से, अवस्थाओं के घनत्व को सूक्ष्मविहित विभाजन फलन $$ Z_m (E)$$ के व्युत्पन्न के रूप में भी समझा जा सकता है (अर्थात, से कम ऊर्जा वाले अवस्थाओं की कुल संख्या $$E$$) ऊर्जा के संबंध में:
 * $$ D(E) = \frac {1}{V} \cdot \frac{\mathrm{d} Z_m (E)}{\mathrm{d} E}$$.

ऊर्जा वाले अवस्थाओं की संख्या $$ E' $$ (पतन की डिग्री) द्वारा दिया गया है:
 * $$ g\left(E'\right) = \lim _{\Delta E\to 0} \int _{E'}^{E' + \Delta E} D(E) \mathrm{d} E = \lim _{\Delta E\to 0} D\left(E'\right) \Delta E,$$

जहां अंतिम समानता केवल तभी प्रयुक्त होती है जब इंटीग्रल के लिए औसत मूल्य प्रमेय मान्य हो।

समरूपता
कई प्रकार की प्रणालियाँ और प्रकार के अवस्था हैं जिनके लिए डीओएस गणना की जा सकती है।

कुछ संघनित पदार्थ प्रणालियों में सूक्ष्म माप पर क्रिस्टल संरचना समरूपता होती है जिसका अवस्थाओं के घनत्व की गणना को सरल बनाने के लिए उपयोग किया जा सकता है। वृत्ताकार रूप से सममित प्रणालियों में, कार्यों के अभिन्न अंग एक-आयामी होते हैं क्योंकि गणना में सभी वेरिएबल केवल विचरण संबंध के रेडियल पैरामीटर पर निर्भर करते हैं। तरल पदार्थ, कांच और अनाकार ठोस सममित प्रणाली के उदाहरण हैं जिनके विचरण संबंधों में घूर्णी समरूपता होती है।

पाउडर या पॉलीक्रिस्टलाइन नमूनों पर मापन के लिए ब्याज की प्रणाली के विचरण संबंधों के फलन के पूरे डोमेन पर मूल्यांकन और गणना कार्यों और इंटीग्रल की आवश्यकता होती है। कभी-कभी प्रणाली की समरूपता अधिक होती है, जो प्रणाली के विचरण संबंधों का वर्णन करने वाले कार्यों के आकार को विचरण संबंध के पूरे डोमेन पर कई बार प्रकट होने का कारण बनता है। ऐसे स्तिथियों में डीओएस की गणना करने का प्रयास बड़ी राशि से कम किया जा सकता है जब गणना कम क्षेत्र या मौलिक डोमेन तक सीमित हो। क्यूबिक क्रिस्टल प्रणाली का ब्रिलौइन ज़ोन | दाईं ओर की आकृति में चेहरा-केंद्रित क्यूबिक जालक (एफसीसी) पूर्ण अष्टफलकीय समरूपता अचिरल अष्टफलकीय समरूपता के साथ में तीन आयामों में बिंदु समूहों Oh की 48-गुना समरूपता है। इस आकृति का अर्थ है कि ब्रिलौइन ज़ोन के पूरे डोमेन पर एकीकरण को पूरे ब्रिलौइन ज़ोन के 48-वें हिस्से में घटाया जा सकता है। आवर्त सारणी (क्रिस्टल संरचना) के रूप में, एफसीसी क्रिस्टल संरचना वाले कई तत्व हैं, जैसे हीरा, सिलिकॉन और प्लैटिनम और उनके ब्रिलॉइन जोन और विचरण संबंधों में यह 48 गुना समरूपता है। दो अन्य परिचित क्रिस्टल संरचनाएं क्रमशः शरीर-केंद्रित क्यूबिक जालक (बीसीसी) और हेक्सागोनल बंद पैक संरचनाएं (एचसीपी) हैं जिनमें क्यूबिक और हेक्सागोनल लैटिस हैं। बीसीसी संरचना में बिंदु समूह Th की 24-गुना पाइरिटोहेड्रल समरूपता है। एचसीपी संरचना में बिंदु समूह D3h की 12-गुना प्रिज्मीय डायहेड्रल समरूपता है। बिंदु समूह के समरूपता गुणों की पूरी सूची बिंदु समूह वर्ण तालिकाओं में पाई जा सकती है।

सामान्य रूप पर जब प्रणाली की समरूपता अधिक होती है और विचरण संबंध के टोपोलॉजिकल आयामों की संख्या कम होती है, तो डीओएस की गणना करना आसान होता है। घूर्णी समरूपता के साथ विचरण संबंधों के डीओएस की गणना अधिकांशतः विश्लेषणात्मक रूप से की जा सकती है। यह परिणाम सौभाग्यशाली है, क्योंकि स्टील और सिलिकॉन जैसी व्यावहारिक रुचि की कई सामग्रियों में उच्च समरूपता होती है।

एनिस्ट्रोपिक संघनित पदार्थ प्रणालियों जैसे कि यौगिक के एकल क्रिस्टल में, अवस्थाओं का घनत्व क्रिस्टलोग्राफिक दिशा में दूसरे की तुलना में भिन्न हो सकता है। इसके कारण अवस्थाओं के अनिसोट्रोपिक घनत्व को कल्पना करना अधिक कठिन हो जाता है, और विशेष बिंदुओं या दिशाओं के लिए डीओएस की गणना करने या किसी विशेष क्रिस्टल अभिविन्यास के लिए अवस्थाओं (पीडीओएस) के अनुमानित घनत्व की गणना करने जैसी विधियों की आवश्यकता हो सकती है।

के-स्थान टोपोलॉजी
अवस्थाओं का घनत्व स्वयं वस्तु की विमीय सीमाओं पर निर्भर करता है। तीन ऑर्थोगोनल पैरामीटर्स (3 डायमेंशन) द्वारा वर्णित प्रणाली में, डीओएस की इकाई ऊर्जा1वॉल्यूम−1 है-, द्विविमीय प्रणाली में, डीओएस की इकाई ऊर्जा -1क्षेत्र−1 है, आयामी प्रणाली में, डीओएस की इकाई ऊर्जा-1लंबाई-1 है. संदर्भित आयतन k-स्थान का आयतन है; विचरण संबंध के माध्यम से प्राप्त प्रणाली की निरंतर ऊर्जा सतह से घिरा स्थान जो E से k से संबंधित है। चित्र 1 में 3-आयामी k-स्थान का उदाहरण दिया गया है। यह देखा जा सकता है कि प्रणाली की आयामीता प्रणाली के अंदर कणों की गति को सीमित करती है।

तरंग सदिश अवस्थाओं का घनत्व (वृत्ताकार)
डीओएस के लिए गणना एक निश्चित k पर N अनुमत अवस्थाओं की गिनती से प्रारंभ होती है जो प्रणाली के आयतन के अंदर [k, k + dk] के अन्दर समाहित होते हैं। यह प्रक्रिया k के संबंध में पूरे k-स्थान आयतन $$\Omega_{n, k}$$ को n-आयामों में एक इच्छानुसार k पर विभेदित करके की जाती है। 3, 2 या 1-आयामी वृत्ताकार k-स्थान में आयतन, क्षेत्रफल या लंबाई को व्यक्त किया जाता है
 * $$\Omega_n(k) = c_n k^n$$

स्थैतिक रूप से निर्धारित स्थिरांक के साथ n-आयामी के-स्थान के लिए
 * $$c_1 = 2,\ c_2 = \pi,\  c_3 = \frac{4 \pi}{3}$$

क्रमशः 1, 2 और 3-आयामी यूक्लिडियन के-स्थान में रैखिक, चक्र और वृत्ताकार सममित आकार के कार्यों के लिए है।

इस योजना के अनुसार, तरंग सदिश अवस्थाओं का घनत्व N है, विभेदन के माध्यम से $$\Omega_{n,k}$$ k के संबंध में, द्वारा व्यक्त किया गयाː
 * $$N_n(k) = \frac{{\rm d}\Omega_n(k)}{{\rm d}k} = n\; c_n\; k^{n - 1}$$

एक रेखा, चक्र या व्रत के लिए तरंग सदिश अवस्थाओं का 1, 2 और 3-आयामी घनत्व स्पष्ट रूप से लिखा जाता है
 * $$\begin{align}

N_1(k) &= 2 \\ N_2(k) &= 2 \pi k \\ N_3(k) &= 4 \pi k^2 \end{align}$$ तरंग दैर्ध्य λ वाले कणों को सम्मिलित करने के लिए अवस्था अधिक बड़ा है। तरंगदैर्घ्य संबंध के माध्यम से k से संबंधित है।
 * $$k = \frac{2\pi}{\lambda}$$

एक क्वांटम प्रणाली में λ की लंबाई प्रणाली L की विशिष्ट रिक्ति पर निर्भर करेगी जो कणों को सीमित कर रही है। अंत में अवस्थाओं N के घनत्व को कारक $$s/V_k$$ से गुणा किया जाता है, जहां s निरंतर अध: पतन कारक है जो स्पिन या ध्रुवीकरण जैसी भौतिक घटनाओं के कारण स्वतंत्रता की आंतरिक डिग्री के लिए उत्तरदायी है। यदि ऐसी कोई घटना उपस्तिथ नहीं है तब $$s = 1$$. Vk के-स्थान में आयतन है, जिसके वेववेक्टर प्रणाली की विशेषता रिक्ति द्वारा तय किए गए सबसे छोटे संभव वेववेक्टर से छोटे होते हैं।

ऊर्जा अवस्थाओं का घनत्व
डीओएस के लिए गणना समाप्त करने के लिए अंतराल $$[E, E+dE]$$ के अंदर ऊर्जा $$E$$ पर प्रति इकाई नमूना आयतन अवस्थाओं की संख्या ज्ञात करें। किसी प्रणाली के डीओएस का सामान्य रूप इस प्रकार दिया गया है
 * $$D_n\left(E\right) = \frac{{\rm d}\Omega_n(E)}{{\rm d}E}$$

अब तक बनाई गई योजना केवल नीरस रूप से बढ़ते और वृत्ताकार सममित विचरण संबंधों पर प्रयुक्त होती है। सामान्य तौर पर विचरण संबंध $$E(k)$$ वृत्ताकार रूप से सममित नहीं है और कई स्तिथियों में यह निरंतर बढ़ भी नहीं रहा है। D को E के फलन के रूप में व्यक्त करने के लिए परिक्षेपण संबंध $$E(k)$$ के व्युत्क्रम को ऊर्जा के फलन के रूप में $$\Omega_n(E)$$ की अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए k के फलन के रूप में $$\Omega_n(k)$$ की अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करना होगा। यदि विचरण संबंध वृत्ताकार रूप से सममित नहीं है या निरंतर बढ़ रहा है और सरलता से विपरीत नहीं किया जा सकता है तो अधिकतर स्तिथियों में डॉस की गणना संख्यात्मक रूप से की जानी चाहिए। अधिक विस्तृत व्युत्पत्तियाँ उपलब्ध हैं।

विचरण संबंध
एक ठोस में इलेक्ट्रॉनों के लिए विचरण संबंध इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना द्वारा दिया जाता है। किसी कण की गतिज ऊर्जा तरंग सदिश k के परिमाण और दिशा, कण के गुणों और उस वातावरण पर निर्भर करती है जिसमें कण गति कर रहा है। उदाहरण के लिए, फर्मी गैस में इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा द्वारा दिया जाता है
 * $$E = E_0 + \frac{\left(\hbar k\right)^2}{2m} \ ,$$

जहाँ m इलेक्ट्रॉन विराम द्रव्यमान है। विचरण संबंध वृत्ताकार सममित पैराबोला है और यह निरंतर बढ़ रहा है इसलिए डॉस की सरलता से गणना की जा सकती है।

परमाणुओं की स्ट्रिंग में अनुदैर्ध्य फ़ोनों के लिए, 1-आयामी के-स्थान में गतिज ऊर्जा का विचरण संबंध, जैसा कि चित्र 2 में दिखाया गया है, द्वारा दिया गया है
 * $$E = 2 \hbar \omega_0 \left|\sin\left(\frac{ka}{2}\right)\right| $$

जहाँ $$\omega_0 = \sqrt{k_{\rm F} / m}$$ थरथरानवाला आवृत्ति $$m$$ है, परमाणुओं $$k_{\rm F}$$ का द्रव्यमान, अंतर-परमाणु बल स्थिरांक और $$a$$ अंतर-परमाणु रिक्ति है। $$k \ll \pi / a $$ के छोटे मानो के लिए विचरण संबंध किन्तु रैखिक है:
 * $$E = \hbar \omega_0 ka $$

जब $$k \approx \pi / a $$ ऊर्जा है
 * $$E = 2 \hbar \omega_0 \left|\cos\left(\frac{\pi - ka}{2}\right)\right|$$

परिवर्तन के साथ $$q = k - \pi/a $$ और छोटा $$q$$ इस संबंध को रूपांतरित किया जा सकता है
 * $$E = 2 \hbar \omega_0 \left[1 - \left(\frac{qa}{2}\right)^2\right] $$

समदैशिक विचरण संबंध
जहाँ उल्लिखित दो उदाहरणों को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है
 * $$E = E_0 + c_k k^p$$

यह व्यंजक प्रकार का विचरण संबंध है क्योंकि यह दो तरंग गुणों को आपस में जोड़ता है और यह समदैशिक है क्योंकि व्यंजक में केवल लंबाई दिखाई देती है न कि दिशा। तरंग सदिश का परिमाण ऊर्जा से संबंधित है:
 * $$k = \left(\frac{E - E_0}{c_k}\right)^\frac{1}{p} \ ,$$

तदनुसार, n-आयामी के-स्थान की मात्रा जिसमें के से छोटे तरंग सदिश होते हैं:
 * $$\Omega_n(k) = c_n k^n$$

समदैशिक ऊर्जा संबंध का प्रतिस्थापन अधिग्रहीत अवस्थाओं का आयतन देता है
 * $$\Omega_n(E) = \frac{c_n}{{c_k}^\frac{n}{p}}\left(E - E_0\right)^\frac{n}{p}\ ,$$

ऊर्जा के संबंध में इस आयतन को विभेदित करने से समदैशिक विचरण संबंध के डीओएस के लिए अभिव्यक्ति मिलती है
 * $$D_n\left(E\right) = \frac {d}{dE}\Omega_n(E) = \frac{n c_n}{p {c_k}^\frac{n}{p}} \left(E - E_0\right)^{\frac{n}{p} - 1} $$

परवलयिक विचरण
परवलयिक विचरण संबंध (p = 2) के स्तिथि में, जैसे कि फर्मी गैस में मुक्त इलेक्ट्रॉनों पर लागू होता है, n-आयामी प्रणालियों में इलेक्ट्रॉनों के लिए अवस्थाओं का परिणामी घनत्व $$D_n\left(E\right)$$ है


 * $$\begin{align}

D_1\left(E\right) &= \frac{1}{2\sqrt{c_k \left(E - E_0\right)}} \\ D_2\left(E\right) &= \frac{\pi}{2c_k} \\ D_3\left(E\right) &= \pi \sqrt{\frac{E - E_0}{c_k^3}} \. \end{align}$$ के लिए $$E > E_0$$, साथ $$D(E) = 0$$ के लिए $$E < E_0$$.

1-आयामी प्रणालियों में डीओएस बैंड के निचले भाग में विचलन करता है क्योंकि $$E$$, $$E_0$$ पर गिरता है 2-आयामी प्रणालियों में डीओएस $$E$$ से स्वतंत्र हो जाता है अंत में 3-आयामी प्रणालियों के लिए डीओएस ऊर्जा के वर्गमूल के रूप में बढ़ जाता है।

प्रीफैक्टर सहित $$s/V_k$$ को सम्मिलित करते हुए 3डी डॉस के लिए अभिव्यक्ति है
 * $$N(E) = \frac {V}{2\pi^2} \left(\frac{2m}{\hbar^2}\right)^\frac{3}{2}\sqrt{E - E_0}$$,

जहाँ $$V$$ कुल मात्रा है, और $$N(E-E_0)$$ 2 गुना स्पिन अध: पतन सम्मिलित है।

रेखीय विचरण
एक रैखिक संबंध (P = 1) के स्तिथि में, जैसे कि फोटॉन, ध्वनिक फोनन, या ठोस में कुछ विशेष प्रकार के इलेक्ट्रॉनिक बैंड पर प्रयुक्त होता है, 1, 2 और 3 आयामी प्रणालियों में डीओएस ऊर्जा से संबंधित है :


 * $$\begin{align}

D_1\left(E\right) &= \frac{1}{c_k} \\ D_2\left(E\right) &= \frac{2 \pi}{c_k^2}\left(E - E_0\right) \\ D_3\left(E\right) &= \frac{4 \pi}{c_k^3}\left(E - E_0\right)^2 \end{align}$$

वितरण कार्य
ठोस पदार्थों के गतिज सिद्धांत में अवस्थाओं का घनत्व महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। अवस्थाओं के घनत्व और वितरण फलन (भौतिकी) का उत्पाद तापीय संतुलन में प्रणाली के लिए दी गई ऊर्जा पर प्रति इकाई मात्रा में व्याप्त अवस्थाओं की संख्या है। इस प्रकार से पदार्थ के विभिन्न भौतिक गुणों की जांच के लिए इस मान का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। निम्नलिखित उदाहरण हैं, दो सामान्य वितरण कार्यों का उपयोग करके, अवस्थाओं के घनत्व के लिए वितरण फलन को प्रयुक्त करने से भौतिक गुणों को कैसे उत्पत्ति दी जा सकता है।

फर्मी-डिराक सांख्यिकी: फर्मी-डिराक प्रायिकता वितरण फलन, चित्र 4, का उपयोग इस संभावना का पता लगाने के लिए किया जाता है कि तापीय संतुलन पर प्रणाली में फर्मियन विशिष्ट क्वांटम अवस्था में रहता है। फ़र्मियन कण होते हैं जो पाउली अपवर्जन सिद्धांत (जैसे इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन, न्यूट्रॉन) का पालन करते हैं। वितरण फलन के रूप में लिखा जा सकता है
 * $$f_{\mathrm{FD}}(E) = \frac{1}{\exp\left(\frac{E - \mu}{k_\mathrm{B} T}\right) + 1}$$.

$$\mu$$ रासायनिक क्षमता है जिसे EF के रूप में भी दर्शाया जाता है और T=0 होने पर इसे फर्मी स्तर कहा जाता है), $$k_\mathrm{B}$$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है, और $$T$$ तापमान है। चित्र 4 दिखाता है कि फर्मी-डिराक वितरण फलन का उत्पाद और अर्धचालक के लिए अवस्थाओं के त्रि-आयामी घनत्व कैसे वाहक एकाग्रता और ऊर्जा बैंड अंतराल जैसे भौतिक गुणों को अंतर्दृष्टि दे सकते हैं।

बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी: बोस-आइंस्टीन संभाव्यता वितरण फलन का उपयोग इस संभावना को खोजने के लिए किया जाता है कि बोसॉन थर्मल संतुलन में प्रणाली में विशिष्ट क्वांटम अवस्था में रहता है। बोसोन वे कण हैं जो पाउली अपवर्जन सिद्धांत (जैसे फोनन और फोटॉन) का पालन नहीं करते हैं। वितरण फलन के रूप में लिखा जा सकता है
 * $$f_{\mathrm{BE}}(E) = \frac{1}{\exp\left(\frac{E - \mu}{k_{\rm B} T}\right) - 1}$$

इन दो वितरणों से गुणों की गणना करना संभव है जैसे आंतरिक ऊर्जा $$u$$ प्रति इकाई आयतन, कणों की संख्या $$N$$, विशिष्ट ताप की क्षमता $$c$$, और तापीय चालकता $$k$$. इन गुणों और अवस्थाओं के घनत्व के उत्पाद और संभाव्यता वितरण के बीच संबंध, अवस्थाओं के घनत्व को $$g(E)$$ के अतिरिक्त $$D(E)$$, निरूपित किया जाता है
 * $$\begin{align}

u &= \int E\, f(E)\, g(E)\,{\rm d}E \\ N &= V \int f(E)\, g(E)\,{\rm d}E \\ c &= \frac{\partial}{\partial T} \int E\, f(E)\, g(E) \,{\rm d}E \\ k &= \frac{1}{d}\frac{\partial}{\partial T} \int E f(E)\, g(E)\, \nu(E)\, \Lambda(E)\,{\rm d}E \end{align}$$

$$d$$ आयाम है, $$\nu$$ ध्वनि वेग है और $$\Lambda$$ अर्थ मुक्त पथ है।

अनुप्रयोग
अवस्थाओं का घनत्व भौतिकी के कई क्षेत्रों में प्रकट होता है, और कई क्वांटम यांत्रिक घटनाओं की व्याख्या करने में सहायता करता है।

परिमाणीकरण
छोटी संरचनाओं के लिए अवस्थाओं के घनत्व की गणना से पता चलता है कि इलेक्ट्रॉनों के वितरण में परिवर्तन के रूप में आयाम कम हो जाता है। क्वांटम वायर के लिए, कुछ ऊर्जाओं के लिए डीओएस वास्तव में बल्क अर्धचालक के लिए डीओएस से अधिक हो जाता है, और क्वांटम डॉट्स के लिए इलेक्ट्रॉन कुछ ऊर्जाओं के लिए परिमाणित हो जाते हैं।

फोटोनिक क्रिस्टल
प्रकाश की तरंग दैर्ध्य के क्रम में लंबाई के माप के साथ आवधिक संरचनाओं का उपयोग करके अवस्थाओं के फोटॉन घनत्व में परिवर्तन किया जा सकता है। कुछ संरचनाएं कुछ रंगों (ऊर्जा) के प्रकाश के प्रसार को पूरी तरह से रोक सकती हैं, फोटोनिक बैंड गैप बना सकती हैं: उन फोटॉन ऊर्जाओं के लिए डीओएस शून्य है। अन्य संरचनाएं दर्पण, वेवगाइड और गुहा बनाने के लिए केवल कुछ दिशाओं में प्रकाश के प्रसार को रोक सकती हैं। ऐसी आवधिक संरचनाओं को फोटोनिक क्रिस्टल के रूप में जाना जाता है।   नैनोस्ट्रक्चर्ड मीडिया में अवस्थाओं के स्थानीय घनत्व (एलडीओएस) की अवधारणा अधिकांशतः डीओएस की तुलना में अधिक प्रासंगिक होती है, क्योंकि डीओएस बिंदु से दूसरे बिंदु पर अधिक भिन्न होता है।

अभिकलनात्मक गणना
रोचक प्रणालियाँ सामान्य रूप से सम्मिश्र हैं, उदाहरण के लिए यौगिक, जैव अणु, पॉलिमर, आदि। इन प्रणालियों की सम्मिश्रतः के कारण अवस्थाओं के घनत्व की विश्लेषणात्मक गणना अधिकांश स्तिथियों में असंभव है। कंप्यूटर अनुकरण उच्च स्पष्टतः के साथ अवस्थाओं के घनत्व का मूल्यांकन करने के लिए एल्गोरिदम का सम्मुचय प्रदान करते हैं। इनमें से एल्गोरिदम को वैंग और लैंडौ एल्गोरिदम कहा जाता है।

वांग और लन्दौ योजना के अन्दर अवस्थाओं के घनत्व के किसी भी पिछले ज्ञान की आवश्यकता है। निम्नानुसार आगे बढ़ता है: प्रणाली का निवेश फलन (उदाहरण के लिए ऊर्जा) असतत है। प्रत्येक बार जब बिन i पहुँचता है तो अवस्थाओं $$g(i)$$ के द्वारा घनत्व के लिए एक हिस्टोग्राम अद्यतन होता है,


 * $$ g(i) \rightarrow g(i) + f$$

जहाँ f को संशोधन कारक कहा जाता है। जैसे ही हिस्टोग्राम में प्रत्येक बिन को निश्चित संख्या में देखा जाता है

(10-15), संशोधन कारक कुछ मानदंड से कम हो जाता है, उदाहरण के लिए,


 * $$ f_{n+1} \rightarrow \frac{1}{2} f_{n}$$

जहाँ n n-वें अद्यतन चरण को दर्शाता है। अनुकरण तब समाप्त होता है जब संशोधन कारक निश्चित सीमा से कम होता है, उदाहरण के लिए

$$f_n < 10^{-8} $$.

वैंग और लैंडौ एल्गोरिथ्म के अन्य सामान्य एल्गोरिदम जैसे मल्टीकैनोनिकल पहनावा और समानांतर टेम्परिंग पर कुछ लाभ हैं। उदाहरण के लिए, अवस्थाओं के घनत्व को अनुकरण के मुख्य उत्पाद के रूप में प्राप्त किया जाता है। इसके अतिरिक्त, वांग और लैंडौ अनुकरण तापमान से पूरी तरह स्वतंत्र हैं। यह सुविधा प्रोटीन जैसे बहुत मोटे ऊर्जा परिदृश्य वाले प्रणाली के अवस्थाओं की घनत्व की गणना करने की अनुमति देती है।

गणितीय रूप से अवस्थाओं के घनत्व को आच्छादित चित्रों के स्तम्ब के रूप में तैयार किया जाता है।

अवस्थाओं का स्थानीय घनत्व
डीओएस की परिभाषा की महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि इसे किसी भी प्रणाली तक बढ़ाया जा सकता है। इसके गुणों में से अनुवादात्मक रूप से अपरिवर्तनीयता है जिसका अर्थ है कि अवस्थाओं का घनत्व सजातीय है और यह प्रणाली के प्रत्येक बिंदु पर समान है। किन्तु यह सिर्फ विशेष स्तिथि है और एलडीओएस प्रणाली के माध्यम से अवस्थाओं के विषम घनत्व के साथ व्यापक विवरण देता है।

अवधारणा
अवस्थाओं का स्थानीय घनत्व (एलडीओएस) अवस्थाओं के अंतरिक्ष-संकल्पित घनत्व का वर्णन करता है। सामग्री विज्ञान में, उदाहरण के लिए, यह शब्द स्कैनिंग टनलिंग माइक्रोस्कोप (एसटीएम) से डेटा की व्याख्या करते समय उपयोगी होता है, क्योंकि यह विधि परमाणु संकल्प वाले अवस्थाओं के इलेक्ट्रॉन घनत्वों को इमेजिंग करने में सक्षम है। किन्तु क्रिस्टल संरचना के अनुसार, इस मात्रा की गणना अभिकलनात्मक विधियों द्वारा की जा सकती है, उदाहरण के लिए घनत्व कार्यात्मक सिद्धांत के साथ है।

एक सामान्य परिभाषा
अवस्थाओं के स्थानीय घनत्व में प्रत्येक अवस्था का योगदान बिंदु पर उसके तरंग फलन के घनत्व से भारित होता है। $$N(E)$$ बन जाता है $$n(E,x)$$
 * $$n(E,x)=\sum_j |\phi_j (x)|^2\delta(E-\varepsilon_j)$$

$$|\phi_j (x)|^2$$ का कारक इसका अर्थ है कि प्रत्येक अवस्था उन क्षेत्रों में अधिक योगदान देता है जहाँ घनत्व अधिक है। औसत ओवर $$x$$ इस अभिव्यक्ति का डीओएस के लिए सामान्य सूत्र को पुनर्स्थापित करेगा। एलडीओएस विषम प्रणालियों में उपयोगी है, जहां $$n(E,x)$$ में $$n(E)$$ से अधिक जानकारी रखता है।

एक दीवार के साथ आयामी प्रणाली के लिए, साइन तरंगें देती हैं


 * $$n_{1D}(E,x)=\frac{2}{\pi\hbar}\sqrt{\frac{2m}{E}}\sin^2{kx}$$

जहाँ $$k=\sqrt{2mE}/\hbar$$.

$$x>0$$ के साथ त्रि-आयामी प्रणाली में अभिव्यक्ति है


 * $$n_{3D}(E,x)=\left(1-\frac{\sin{2kx}}{2kx}\right)n_{3D}(E)$$

वास्तव में, हम आगे के लिए अवस्थाओं के स्थानीय घनत्व का सामान्यीकरण कर सकते हैं


 * $$n(E,x,x')=\sum_j \phi_j (x)\phi^*_j (x')\delta(E-\varepsilon_j)$$

इसे वर्णक्रमीय फलन कहा जाता है और यह प्रत्येक तरंग फलन के साथ अलग-अलग वेरिएबल में अलग-अलग फलन होता है। अधिक उन्नत सिद्धांत में यह ग्रीन के कार्यों से जुड़ा हुआ है और अवशोषण (विद्युत चुम्बकीय विकिरण) जैसे कुछ परिणामों का सघन प्रतिनिधित्व प्रदान करता है।



ठोस अवस्था उपकरण
एलडीओएस का उपयोग ठोस-अवस्था उपकरण में लाभ प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, दाईं ओर का आंकड़ा ट्रांजिस्टर के एलडीओएस को दिखाता है क्योंकि यह बैलिस्टिक अनुकरण में चालू और बंद होता है। एलडीओएस की स्रोत और निकासी में स्पष्ट सीमा है, जो बैंड किनारे के स्थान से मेल खाती है। चैनल में, डीओएस बढ़ रहा है क्योंकि गेट वोल्टेज बढ़ता है और संभावित बाधा कम हो जाती है।

प्रकाशिकी और फोटोनिक्स
प्रकाशिकी और फोटोनिक्स में, अवस्थाओं के स्थानीय घनत्व की अवधारणा उन अवस्थाओं को संदर्भित करती है जिन्हें फोटॉन द्वारा अधिकृत किया जा सकता है। प्रकाश के लिए इसे सामान्यतः प्रतिदीप्ति विधियों, निकट-क्षेत्र स्कैनिंग विधियों या कैथोडोल्यूमिनेसेंस तकनीकों द्वारा मापा जाता है। जिससे विभिन्न फोटोनिक संरचनाओं के लिए, एलडीओएस के अलग-अलग व्यवहार होते हैं और वे अलग-अलग विधियों से सहज उत्सर्जन को नियंत्रित कर रहे हैं। और फोटोनिक क्रिस्टल में, लगभग शून्य एलडीओएस अपेक्षित होते हैं और वे सहज उत्सर्जन में अवरोध उत्पन्न करते हैं। एलडीओएस अभी भी फोटोनिक क्रिस्टल में हैं किन्तु अब वे गुहा में हैं। इस स्तिथि में, एलडीओएस को और अधिक बढ़ाया जा सकता है और वे सहज उत्सर्जन के पुरसेल संवर्द्धन के साथ आनुपातिक हैं। सैद्धांतिक गुहिका में भी इसी तरह के एलडीओएस एन्हांसमेंट की आशा है। चूंकि, अव्यवस्थित फोटोनिक नैनोसंरचना में, एलडीओएस अलग तरह से व्यवहार करता है। वे अपने आँकड़ों के साथ स्थानिक रूप से उतार-चढ़ाव करते हैं जो संरचनाओं की प्रकीर्णन शक्ति के समानुपाती होते हैं। इसके अतिरिक्त, प्रकीर्णन के माध्य के औसत मुक्त पथ के साथ संबंध नगण्य है क्योंकि एलडीओएस अभी भी उत्सर्जन के सशक्त परसेल वृद्धि के रूप में सशक्त विकारों के संक्षिप्त विवरण से प्रभावित हो सकता है। और अंत में, प्लास्मोनिक विकार के लिए, यह प्रभाव एलडीओएस उतार-चढ़ाव के लिए अधिक सशक्त है क्योंकि इसे सशक्त निकट-क्षेत्र स्थानीयकरण के रूप में देखा जा सकता है।

यह भी देखें
• * प्रभावी द्रव्यमान (ठोस अवस्था भौतिकी)

• बैंड संरचना

• के·पी विघ्न सिद्धांत

• अर्धचालक

• विद्युत चालन

• संयोजी बैंड

• क्रोनिग-पेनी मॉडल

• टाइट-बाइंडिंग मॉडल

• मफिन-टिन सन्निकटन

• ब्रिटनी स्पीयर्स की अर्धचालक भौतिकी पर मार्गदर्शिका

अग्रिम पठन

 * Chen, Gang. Nanoscale Energy Transport and Conversion. New York: Oxford, 2005
 * Streetman, Ben G. and Sanjay Banerjee. Solid State Electronic Devices. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2000.
 * Muller, Richard S. and Theodore I. Kamins. Device Electronics for Integrated Circuits. New York: John Wiley and Sons, 2003.
 * Kittel, Charles and Herbert Kroemer. Thermal Physics. New York: W.H. Freeman and Company, 1980
 * Sze, Simon M. Physics of Semiconductor Devices. New York: John Wiley and Sons, 1981

बाहरी संबंध

 * Online lecture:ECE 606 Lecture 8: Density of States by M. Alam
 * Scientists shed light on glowing materials How to measure the Photonic एलडीओएस