आइसोटॉक्सल आंकड़ा

ज्यामिति में, एक बहुतलीय (उदाहरण के लिए एक बहुभुज या एक बहुफलक) या एक टाइलिंग (टाइल का छत) आइसोटॉक्सल ( ग्रीक  τόξον 'चाप' से) या किनारे-संक्रमणीय है यदि इसकी सममितीय इसके किनारों पर संक्रामक रूप से कार्य करती है। अनौपचारिक रूप से, इसका अर्थ है कि वस्तु का केवल एक प्रकार का किनारा है: दो किनारे दिए गए हैं, एक स्थानांतरण, घूर्णन और/या परावर्तन है जो एक किनारे को दूसरे किनारे पर ले जाएगा, जबकि वस्तु के अधिकृत वाले क्षेत्र को अपरिवर्तित छोड़ देता है |

आइसोटॉक्सल बहुभुज
एक आइसोटॉक्सल बहुभुज एक सम-पक्षीय यानी समबाहु बहुभुज होता है, लेकिन सभी समबाहु बहुभुज आइसोटॉक्सल नहीं होते हैं। समकोणीय बहुभुजों के द्वैत आइसोटॉक्सल बहुभुज हैं। आइसोटॉक्सल $$4n$$-गोन्स केंद्रीय सममित हैं, इसलिए ज़ोनोगोन भी हैं।

सामान्य तौर पर, एक आइसोटॉक्सल $$2n$$-गोन्स $$\mathrm{D}_n, (^*nn)$$ द्वितल सममित है। उदाहरण के लिए, एक समचर्तुभुज एक आइसोटॉक्सल $$2$$×$$2$$-गोन्स (चतुर्भुज) के साथ $$\mathrm{D}_2, (^*22)$$ सममित हैं। सभी सम बहुभुज (समबाहु त्रिभुज, वर्ग, आदि) आइसोटॉक्सल होते हैं, जिनमें न्यूनतम सममिति क्रम दोगुना होता है: एक सम $$n$$-गोन्स $$\mathrm{D}_n, (^*nn)$$ द्वितल सममित है।

एक आइसोटॉक्सल $$\bold{2}n$$-गोन्स के साथ बाहरी आंतरिक कोण $$\alpha$$ के रूप में {nα} अंकितक किया जा सकता है। आंतर आंतरिक कोण $$(\beta)$$ 180 डिग्री से बड़ा या छोटा हो सकता है,तथा उत्तल या अवतल बहुभुज बनाता है।

स्टार (तारक) बहुभुज भी आइसोटॉक्सल हो सकते हैं, जिन्हें $$\{(n/q)_\alpha\}$$ पर अंकितक किया गया तथा साथ ही $$q \le n - 1$$ और सबसे बड़े सामान्य विभाजक $$\gcd(n,q) = 1$$ के साथ, जहां $$q$$ वर्तन संख्या या घनत्व है। अवतल आंतरिक शीर्ष $$q < n/2$$ को परिभाषित किया जा सकता है| यदि $$D = \gcd(n,q) \ge 2$$ तब $$\{(n/q)_\alpha\} = \{(Dm/Dp)_\alpha\}$$ एक मिश्र में "समानयन" किया जाता है, $$D \{(m/p)_\alpha\}$$ की $$D$$ द्वारा क्रमावर्तित की गई प्रतियां $$\{(m/p)_\alpha\}$$ है।

सावधान: $$\{(n/q)_\alpha\}$$ के शीर्ष हमेशा ऐसे नहीं रखे जाते हैं जैसे $$\{n_\alpha\},$$ जबकि समभुजकोणीय शीर्ष $$\{n/q\}$$ सममित $$\{n\}$$ की तरह रखे जाते है।

"एकसमान टाइलिंग" का एक समुच्चय, वास्तव में आइसोटॉक्सल बहुभुजों का उपयोग करते हुए समकोणीय टाइलिंग सम अभिन्न की तुलना में कम सममित फलक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

आइसोटॉक्सल बहुकोणीय आकृति और टाइलिंग
सम बहुकोणीय आकृति आइसोहेड्रल (फलक-संक्रामक), समकोणीय (शीर्ष-संक्रामक) और आइसोटॉक्सल (किनारा-संक्रामक) हैं।

अर्धसम बहुफलक, क्यूबोक्टाहेड्रॉन और इकोसिडोडेकाहेड्रॉन की तरह समकोणीय और आइसोटॉक्सल हैं, लेकिन आइसोहेड्रल नहीं हैं। समचतुर्भुज द्वादशफलक और समचतुर्भुज त्रिकोटाहेडेरॉन समेत उनके द्वैत, आइसोहेड्रल और आइसोटॉक्सल हैं, लेकिन समकोणीय नहीं हैं।

सम बहुभुजों से निर्मित प्रत्येक बहुफलक या 2-आयामी चौकोर आइसोटॉक्सल नहीं है। उदाहरण के लिए, रुंडित विंशफलक (सामान्य सॉकरबॉल) आइसोटॉक्सल नहीं है, क्योंकि इसके दो किनारे इस प्रकार हैं: षट्कोण-षट्कोण और षट्कोण-पंचकोण, और ठोस की सममिति के लिए एक षट्कोण-षट्कोण किनारे को षट्कोण -पंचकोण किनारे पर स्थानांतरित करना संभव नहीं है।

एक आइसोटॉक्सल बहुफलक में सभी किनारों के लिए समान द्वितल कोण होता है।

एक अवमुखबहुफलक का द्वैत भी एक अवमुखबहुफलक होता है।

एक गैर-अवमुखबहुफलक का द्वैत भी एक गैर-अवमुखबहुफलक होता है। (समुख स्थिति द्वारा।)

एक आइसोटॉक्सल बहुफलक का द्वैत एक आइसोटॉक्सल बहुफलक भी है। (द्वैत बहुफलक लेख देखें।)

नौ अवमुख आइसोटॉक्सल बहुकोणीय आकृति हैं: पांच (सम) प्लेटोनिक ठोस, दो (अर्धसम) द्वैत प्लेटोनिक ठोस के सामान्य कोर, और उनके दो द्वैत है।

चौदह गैर-अवमुख आइसोटॉक्सल बहुकोणीय आकृति हैं: चार (सम) केप्लर-पॉइन्सॉट बहुफलक के दो (अर्धसम) सामान्य कोर, और उनके दो द्वैत, इसके अतिरिक्त्त तीन अर्धसम द्वितीभुज (3 | p q) तारक बहुकोणीय आकृति, और उनके तीन द्वैत है।

कम से कम पांच आइसोटॉक्सल बहुफलकीय मिश्र हैं: पांच सम बहुफलकीय मिश्र ; उनके पांच द्वैत भी पांच सम बहुफलकीय मिश्र (या एक किरेल प्रतरूप) हैं।

यूक्लिडियन तल के कम से कम पांच आइसोटॉक्सल बहुभुजी टाइलिंग हैं, और अतिपरवलयिक तल के अपरिमित रूप से कई आइसोटॉक्सल बहुभुजी टाइलिंग हैं, जिसमें सम अतिपरवलयिक टाइलिंग {p,q}, और गैर-सम (p q r) समूहों से वायथॉफ निर्माण सम्मिलित हैं।

यह भी देखें

 * बहुफलक द्वितल कोणों की तालिका
 * शीर्ष -संक्रामक
 * फलक-संक्रामक
 * सेल-संक्रामक

संदर्भ

 * Peter R. Cromwell, Polyhedra, Cambridge University Press 1997, ISBN 0-521-55432-2, p. 371 Transitivity
 * (6.4 Isotoxal tilings, 309-321)