सम्मिश्र-अभिविन्यस्त सह समरूपता सिद्धांत

बीजगणितीय टोपोलॉजी में, जटिल-उन्मुख सह-समरूपता सिद्धांत गुणात्मक सह-समरूपता सिद्धांत E है जैसे कि प्रतिबंध मानचित्र $$E^2(\mathbb{C}\mathbf{P}^\infty) \to E^2(\mathbb{C}\mathbf{P}^1)$$ विशेषण है। तत्व $$E^2(\mathbb{C}\mathbf{P}^\infty)$$ को कम किए गए सिद्धांत के विहित जनरेटर तक सीमित है $$\widetilde{E}^2(\mathbb{C}\mathbf{P}^1)$$ को जटिल अभिविन्यास कहा जाता है। यह धारणा औपचारिक समूह नियमों के सह-समरूपता से संबंधित क्विलेन के कार्य के केंद्र में है।

यदि E सम-वर्गीकृत सिद्धांत का अर्थ है $$\pi_3 E = \pi_5 E = \cdots$$, तो E जटिल-उन्मुख है। यह अतियाह-हिर्ज़ेब्रुच वर्णक्रमीय अनुक्रम से अनुसरण करता है।

उदाहरण:
 * किसी भी गुणांक वलय R के साथ सामान्य सह-समरूपता जटिल उन्मुख है, जैसे $$\operatorname{H}^2(\mathbb{C}\mathbf{P}^\infty; R) \simeq \operatorname{H}^2(\mathbb{C}\mathbf{P}^1;R)$$
 * जटिल के-सिद्धांत, जिसे केयू कहा जाता है, जटिल-उन्मुख है, क्योंकि यह सम-वर्गीकृत है। (बॉट आवधिकता प्रमेय)
 * जटिल सह-बॉर्डिज्म, जिसका स्पेक्ट्रम एमयू द्वारा दर्शाया गया है, जटिल-उन्मुख है।

जटिल अभिविन्यास, इसे t कहा जाता है, औपचारिक समूह नियम को इस प्रकार उत्पन्न करता है: कि मान लीजिए m गुणन है:
 * $$\mathbb{C}\mathbf{P}^\infty \times \mathbb{C}\mathbf{P}^\infty \to \mathbb{C}\mathbf{P}^\infty, ([x], [y]) \mapsto [xy]$$

जहाँ $$[x]$$ अंतर्निहित सदिश स्थान में x से निकलने वाली रेखा को $$\mathbb{C}[t]$$ का $$\mathbb{C}\mathbf{P}^\infty$$ दर्शाता है, यह यूनिवर्सल लाइन बंडल ओवर के टेंसर उत्पाद को वर्गीकृत करने वाला मानचित्र $$ \mathbb{C}\mathbf{P}^\infty $$ है:
 * $$E^*(\mathbb{C}\mathbf{P}^\infty) = \varprojlim E^*(\mathbb{C}\mathbf{P}^n) = \varprojlim R[t]/(t^{n+1}) = R[\![t]\!], \quad R =\pi_* E $$,

मान लीजिये $$f = m^*(t)$$ m के अनुदिश t का पुलबैक में रहता है:
 * $$E^*(\mathbb{C}\mathbf{P}^\infty \times \mathbb{C}\mathbf{P}^\infty) = \varprojlim E^*(\mathbb{C}\mathbf{P}^n \times \mathbb{C}\mathbf{P}^m) = \varprojlim R[x,y]/(x^{n+1},y^{m+1}) = R[\![x, y]\!]$$

लाइन बंडलों E के टेंसर उत्पाद के गुणों का उपयोग करके दिखाया जा सकता है, यह औपचारिक समूह नियम है (उदाहरण के लिए, साहचर्य को संतुष्ट करता है)।

यह भी देखें

 * क्रोमैटिक होमोटॉपी सिद्धांत

संदर्भ

 * M. Hopkins, Complex oriented cohomology theory and the language of stacks
 * J. Lurie, Chromatic Homotopy Theory (252x)