गामा मैट्रिक्स

गणितीय भौतिकी में, गामा मैट्रिक्स (गणित), $$\ \left\{ \gamma^0, \gamma^1, \gamma^2, \gamma^3 \right\}\ ,$$ पॉल डिराक मैट्रिसेस भी कहा जाता है, विशिष्ट कम्यूटेशन संबंध संबंधों के साथ पारंपरिक मैट्रिसेस का एक सेट है जो यह सुनिश्चित करता है कि वे क्लिफोर्ड बीजगणित का एक मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व सेट करें। $$\ \mathrm{Cl}_{1,3}(\mathbb{R}) ~.$$ उच्च-आयामी गामा मैट्रिक्स को परिभाषित करना भी संभव है। जब मिन्कोवस्की अंतरिक्ष में वेक्टर वेक्टर (गणित और भौतिकी) के सहप्रसरण और विरोधाभास के लिए ओर्थोगोनालिटी आधार वैक्टर के एक सेट की कार्रवाई के मैट्रिक्स के रूप में व्याख्या की जाती है, तो कॉलम वेक्टर जिस पर मैट्रिक्स कार्य करते हैं, स्पिनरों का एक स्थान बन जाता है, जिस पर क्लिफोर्ड बीजगणित स्पेसटाइम बीजगणित के कार्य। यह बदले में अनंतिम घुमावों और लोरेंत्ज़ बूस्ट का प्रतिनिधित्व करना संभव बनाता है। स्पिनर सामान्य रूप से स्पेसटाइम गणना की सुविधा प्रदान करते हैं, और विशेष रूप से सापेक्षतावादी स्पिन-1/2 के लिए डिराक समीकरण के लिए मौलिक हैं|spin $\tfrac{\ 1\ }{2}$ कण. गामा मैट्रिक्स को 1928 में डिराक द्वारा पेश किया गया था।
 * 1) Dirac आधार में, वैक्टर गामा मैट्रिक्स के चार सहप्रसरण और विरोधाभास हैं

\begin{align} \gamma^0 &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 &  0 & 0 \\   0 & 0 &  -1 & 0 \\  0 & 0 &  0 & -1 \end{pmatrix}, & \gamma^1 &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\   0 &  0 & 1 & 0 \\   0 & -1 & 0 & 0 \\  -1 &  0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \\ \\ \gamma^2 &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, & \gamma^3 &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\   0 & 0 & 0 & -1 \\  -1 & 0 & 0 &  0 \\   0 & 1 & 0 &  0 \end{pmatrix} ~. \end{align} $$

$$\gamma^0$$ समय-सदृश, हर्मिटियन मैट्रिक्स है। अन्य तीन अंतरिक्ष-जैसे, स्क्यू-हर्मिटियन मैट्रिक्स|एंटी-हर्मिटियन मैट्रिक्स हैं। अधिक सघनता से, $$\ \gamma^0 = \sigma^3 \otimes I_2\ ,$$ और $$\ \gamma^j = i \sigma^2 \otimes \sigma^j \ ,$$ कहाँ $$\ \otimes\ $$ क्रोनकर उत्पाद और को दर्शाता है $$\ \sigma^j\ $$ (के लिए $j$ = 1, 2, 3) पॉल के मैट्रिक्स को निरूपित करें।

इसके अलावा, समूह सिद्धांत की चर्चा के लिए पहचान मैट्रिक्स ($I$) को कभी-कभी चार गामा मैट्रिक्स के साथ शामिल किया जाता है, और नियमित गामा मैट्रिक्स के साथ संयोजन में एक सहायक, पांचवां ट्रेस (रैखिक बीजगणित) मैट्रिक्स का उपयोग किया जाता है
 * $$\begin{align}

\ I_4 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \, \qquad \gamma^5 \equiv i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\  1 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} ~. \end{align} $$ पांचवां मैट्रिक्स $$\ \gamma^5\ $$ चार के मुख्य समूह का उचित सदस्य नहीं है; इसका उपयोग नाममात्र बाएँ और दाएँ चिरलिटी (भौतिकी) को अलग करने के लिए किया जाता है।

गामा मैट्रिक्स में एक समूह संरचना होती है, उच्च-आयामी गामा मैट्रिक्स, जो कि मीट्रिक के किसी भी हस्ताक्षर के लिए, किसी भी आयाम में समूह के सभी मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व द्वारा साझा की जाती है। उदाहरण के लिए, 2×2 पाउली मैट्रिसेस यूक्लिडियन हस्ताक्षर (3,0) की मीट्रिक के साथ तीन आयामी अंतरिक्ष में गामा मैट्रिसेस का एक सेट है। पांच अंतरिक्ष समय  आयामों में, ऊपर दिए गए चार गामा, नीचे प्रस्तुत किए जाने वाले पांचवें गामा-मैट्रिक्स के साथ मिलकर क्लिफोर्ड बीजगणित उत्पन्न करते हैं।

गणितीय संरचना
क्लिफोर्ड बीजगणित उत्पन्न करने के लिए गामा मैट्रिक्स के लिए परिभाषित संपत्ति एंटीकम्यूटेशन संबंध है
 * $$\left\{ \gamma^\mu, \gamma^\nu \right\} = \gamma^\mu \gamma^\nu + \gamma^\nu \gamma^\mu = 2 \eta^{\mu \nu} I_4\ ,$$

जहां घुंघराले कोष्ठक हैं $$\ \{, \}\ $$ एंटीकम्यूटेटर का प्रतिनिधित्व करें, $$\ \eta_{\mu \nu}\ $$ हस्ताक्षर के साथ मिन्कोवस्की मीट्रिक है (+ − − −), और $$I_4$$ है 4 × 4 शिनाख्त सांचा।

यह परिभाषित करने वाली संपत्ति गामा मैट्रिक्स के विशिष्ट प्रतिनिधित्व में उपयोग किए जाने वाले संख्यात्मक मानों से अधिक मौलिक है। वैक्टर गामा मैट्रिक्स के सहप्रसरण और विरोधाभास को परिभाषित किया गया है
 * $$\ \gamma_\mu = \eta_{\mu \nu} \gamma^\nu = \left\{\gamma^0, -\gamma^1, -\gamma^2, -\gamma^3 \right\}\ ,$$

और आइंस्टीन संकेतन मान लिया गया है।

ध्यान दें कि मीट्रिक के लिए अन्य संकेत परिपाटी, (− + + +) या तो परिभाषित समीकरण में बदलाव की आवश्यकता है:
 * $$\ \left\{ \gamma^\mu, \gamma^\nu \right\} = -2 \eta^{\mu \nu} I_4\ $$

या सभी गामा आव्यूहों का गुणन $$i$$, जो निश्चित रूप से उनके धर्मोपदेश गुणों को बदलता है जिनका विवरण नीचे दिया गया है। मीट्रिक के लिए वैकल्पिक चिह्न परिपाटी के तहत सहसंयोजक गामा मैट्रिक्स को फिर परिभाषित किया जाता है
 * $$\ \gamma_\mu = \eta_{\mu \nu} \gamma^\nu = \left\{-\gamma^0, +\gamma^1, +\gamma^2, +\gamma^3 \right\} ~.$$

भौतिक संरचना
क्लिफ़ोर्ड बीजगणित $$\ \mathrm{Cl}_{1,3}(\mathbb{R})\ $$ अंतरिक्ष समय के ऊपर $V$ को वास्तविक रैखिक ऑपरेटरों के सेट के रूप में माना जा सकता है $V$ खुद को, $End(V)$, या अधिक सामान्यतः, जब जटिलीकरण करना $$\ \mathrm{Cl}_{1,3}(\mathbb{R})_\mathbb{C}\ ,$$ किसी भी चार-आयामी जटिल वेक्टर स्थान से रैखिक ऑपरेटरों के सेट के रूप में। अधिक सरलता से, इसके लिए एक आधार दिया गया है $V$, $$\ \mathrm{Cl}_{1,3}(\mathbb{R})_\mathbb{C}\ $$ बस सभी का सेट है $4×4$ जटिल मैट्रिक्स, लेकिन क्लिफ़ोर्ड बीजगणित संरचना से संपन्न। स्पेसटाइम को मिन्कोव्स्की मीट्रिक से संपन्न माना जाता है $ημν$. बिस्पिनर्स का एक स्थान, $Ux$, स्पेसटाइम में हर बिंदु पर लोरेंत्ज़ समूह के बिस्पिनोर से संपन्न माना जाता है। बिस्पिनर फ़ील्ड $Ψ$डिराक समीकरणों का, किसी भी बिंदु पर मूल्यांकन किया गया $x$स्पेसटाइम में, के तत्व हैं $Ux$ (नीचे देखें)। माना जाता है कि क्लिफ़ोर्ड बीजगणित पर कार्य किया जाता है $Ux$साथ ही (कॉलम वैक्टर के साथ मैट्रिक्स गुणन द्वारा $Ψ(x)$ में $Ux$ सभी के लिए $x$). यह के तत्वों का प्राथमिक दृश्य होगा $$\ \mathrm{Cl}_{1,3}(\mathbb{R})_\mathbb{C}\ $$ इस खंड में।

प्रत्येक रैखिक परिवर्तन के लिए $S$ का $Ux$, का परिवर्तन है $End(Ux)$ द्वारा दिए गए $S E S−1$ के लिए $E$ में $$\ \mathrm{Cl}_{1,3}(\mathbb{R})_\mathbb{C} \approx \operatorname{End}(U_x) ~.$$ अगर $S$ लोरेंत्ज़ समूह के प्रतिनिधित्व से संबंधित है, फिर प्रेरित कार्रवाई $E ↦ S E S−1$ लोरेंत्ज़ समूह के प्रतिनिधित्व से भी संबंधित होगा, लोरेंत्ज़ समूह का प्रतिनिधित्व सिद्धांत देखें।

अगर $S(Λ)$ बिस्पिनोर अभिनय कर रहा है $Ux$ एक मनमाना लोरेंत्ज़ परिवर्तन का $Λ$मानक (4 वेक्टर) प्रतिनिधित्व पर कार्य कर रहा है $V$, तो संबंधित ऑपरेटर चालू है $$\ \operatorname{End}\left( U_x \right) = \mathrm{Cl}_{1,3}\left( \mathbb{R} \right)_\mathbb{C}\ $$ समीकरण द्वारा दिया गया:


 * $$\ \gamma^\mu \ \mapsto \ S(\Lambda)\ \gamma^\mu\ {S(\Lambda)}^{-1} = {\left( \Lambda^{-1} \right)^\mu}_\nu\ \gamma^\nu = {\Lambda_\nu}^\mu\ \gamma^\nu \ ,$$

दिखा रहा है कि की मात्रा $γμ$ को लोरेंत्ज़ समूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के प्रतिनिधित्व स्थान के आधार के रूप में देखा जा सकता है|4 क्लिफोर्ड बीजगणित के अंदर बैठे लोरेंत्ज़ समूह का वेक्टर प्रतिनिधित्व। अंतिम पहचान को अनिश्चित ऑर्थोगोनल समूह से संबंधित मैट्रिक्स के लिए परिभाषित संबंध के रूप में पहचाना जा सकता है, जो है $$\ \eta\Lambda^\textsf{T}\eta = \Lambda^{-1}\ ,$$ अनुक्रमित अंकन में लिखा गया है। इसका मतलब है कि फॉर्म की मात्राएँ


 * $$a\!\!\!/ \equiv a_\mu\gamma^\mu$$

जोड़-तोड़ में 4 वैक्टर के रूप में माना जाना चाहिए। इसका मतलब यह भी है कि सूचकांकों को ऊपर और नीचे किया जा सकता है $γ$ मीट्रिक का उपयोग करना $ημν$ किसी भी 4 वेक्टर की तरह। नोटेशन को फेनमैन स्लैश नोटेशन कहा जाता है। स्लैश ऑपरेशन आधार को मैप करता है $eμ$ का $V$, या कोई 4 आयामी वेक्टर स्पेस, वेक्टर को आधार बनाने के लिए $γμ$. घटाई गई मात्राओं के लिए परिवर्तन नियम सरल है


 * $${a\!\!\!/}^\mu \mapsto {\Lambda^\mu}_\nu {a\!\!\!/}^\nu ~.$$

किसी को यह ध्यान रखना चाहिए कि यह परिवर्तन नियम से भिन्न है $γμ$, जिन्हें अब (निश्चित) आधार वैक्टर के रूप में माना जाता है। 4 ट्यूपल का पदनाम $$\left( \gamma^\mu \right)_{\mu=0}^{3} = \left(\gamma^0, \gamma^1, \gamma^2, \gamma^3 \right)$$ चूँकि साहित्य में कभी-कभी 4 वेक्टर पाया जाता है, इसलिए यह एक छोटा सा मिथ्या नाम है। बाद वाला परिवर्तन आधार के संदर्भ में कम मात्रा के घटकों के सक्रिय परिवर्तन से मेल खाता है $γμ$, और आधार के निष्क्रिय परिवर्तन के लिए पूर्व $γμ$ अपने आप।

अवयव $$\ \sigma^{\mu \nu} = \gamma^\mu \gamma^\nu - \gamma^\nu\ \gamma^\mu\ $$ लोरेंत्ज़ समूह के लाई बीजगणित का प्रतिनिधित्व तैयार करें। यह एक स्पिन प्रतिनिधित्व है. जब इन आव्यूहों और उनके रैखिक संयोजनों को घातांकित किया जाता है, तो वे लोरेंत्ज़ समूह के द्विस्पिनर निरूपण होते हैं, उदाहरण के लिए, S(Λ)}उपरोक्त में से }इस रूप में हैं। 6 आयामी स्थान $σ^{μν}$ स्पैन लोरेंत्ज़ समूह के टेंसर प्रतिनिधित्व का प्रतिनिधित्व स्थान है। सामान्य तौर पर क्लिफोर्ड बीजगणित के उच्च क्रम के तत्वों और उनके परिवर्तन नियमों के लिए, लेख डिराक बीजगणित देखें। लोरेंत्ज़ समूह का स्पिन प्रतिनिधित्व स्पिन समूह में एन्कोड किया गया है Spin(1, 3) (वास्तविक, अनावेशित स्पिनरों के लिए) और जटिल स्पिन समूह में Spin(1, 3) आवेशित (डायराक) स्पिनरों के लिए।

डिराक समीकरण को व्यक्त करना
प्राकृतिक इकाइयों में, डिराक समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है
 * $$\ \left(i \gamma^\mu \partial_\mu - m\right) \psi = 0\ $$

कहाँ $$\ \psi\ $$ एक डिराक स्पिनर है.

फेनमैन संकेतन पर स्विच करते हुए, डिराक समीकरण है
 * $$\ (i {\partial\!\!\!/} - m) \psi = 0 ~.$$

पाँचवाँ गामा मैट्रिक्स, 5
चार गामा मैट्रिक्स के उत्पाद को इस प्रकार परिभाषित करना उपयोगी है $$\gamma ^5 = \sigma_1\otimes I  $$, ताकि
 * $$\ \gamma^5 \equiv i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3 =

\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\  1 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad $$ (डिराक आधार पर)। हालांकि $$\ \gamma^5\ $$ गामा अक्षर का उपयोग करता है, यह  गामा मैट्रिक्स में से एक नहीं है $$\ \mathrm{Cl}_{1,3}(\mathbb{R}) ~.$$ सूचकांक संख्या 5 पुराने अंकन का अवशेष है: $$\ \gamma^0\ $$ कहा जाता था$$\gamma^4$$.

$$\ \gamma^5\ $$ इसका एक वैकल्पिक रूप भी है:
 * $$\ \gamma^5 = \tfrac{i}{4!} \varepsilon^{\mu \nu \alpha \beta} \gamma_{\mu} \gamma_{\nu} \gamma_{\alpha} \gamma_{\beta}\ $$

कन्वेंशन का उपयोग करना $$\varepsilon_{0 1 2 3} = 1\ ,$$ या
 * $$\ \gamma^5 = -\tfrac{i}{4!} \varepsilon^{\mu \nu \alpha \beta} \gamma_{\mu} \gamma_{\nu} \gamma_{\alpha} \gamma_{\beta}\ $$

कन्वेंशन का उपयोग करना $$\varepsilon^{0 1 2 3} = 1 ~.$$ सबूत:

इसे इस तथ्य का फायदा उठाकर देखा जा सकता है कि सभी चार गामा मैट्रिक्स एंटीकम्यूट हैं
 * $$ \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3 = \gamma^{[0} \gamma^1 \gamma^2 \gamma^{3]} = \tfrac{1}{4!} \delta^{0123}_{\mu\nu\varrho\sigma} \gamma^\mu \gamma^\nu \gamma^\varrho \gamma^\sigma\ ,$$

कहाँ $$\delta^{\alpha\beta\gamma\delta}_{\mu\nu\varrho\sigma}$$ पूर्ण एंटीसिमेट्रिक टेंसर#नोटेशन में, 4 आयामों में प्रकार (4,4) सामान्यीकृत क्रोनकर डेल्टा है। अगर $$\ \varepsilon_{\alpha \dots \beta}\ $$ में लेवी-सिविटा प्रतीक को दर्शाता है $n$ आयाम, हम पहचान का उपयोग कर सकते हैं $$ \delta^{\alpha\beta\gamma\delta}_{\mu\nu\varrho \sigma} = \varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} \varepsilon_{\mu\nu\varrho\sigma} $$. फिर हम सम्मेलन का उपयोग करते हुए प्राप्त करते हैं $$\ \varepsilon^{0123} = 1\ ,$$
 * $$\ \gamma^5 = i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3 = \frac{i}{4!} \varepsilon^{0123}\varepsilon_{\mu\nu\varrho\sigma} \,\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\varrho \gamma^\sigma = \tfrac{i}{4!} \varepsilon_{\mu\nu\varrho\sigma} \,\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\varrho \gamma^\sigma = -\tfrac{i}{4!} \varepsilon^{\mu\nu\varrho\sigma} \,\gamma_\mu\gamma_\nu\gamma_\varrho \gamma_\sigma$$

यह मैट्रिक्स क्वांटम मैकेनिकल चिरैलिटी (भौतिकी) की चर्चा में उपयोगी है। उदाहरण के लिए, एक डिराक क्षेत्र को इसके बाएं हाथ और दाएं हाथ के घटकों पर प्रक्षेपित किया जा सकता है:
 * $$\ \psi_{\mathrm L} = \frac{\ I - \gamma^5\ }{2}\ \psi, \qquad \psi_{\mathrm R} = \frac{\ I + \gamma^5\ }{2}\ \psi ~.$$

कुछ संपत्तियाँ हैं: वास्तव में, $$\ \psi_{\mathrm L}\ $$ और $$\ \psi_{\mathrm R}\ $$ के eigenvectors हैं $$\ \gamma^5\ $$ तब से
 * यह हर्मिटियन है:
 * $$\left(\gamma^5\right)^\dagger = \gamma^5 ~.$$
 * इसका eigenvalues ​​±1 है, क्योंकि:
 * $$\left(\gamma^5\right)^2 = I_4 ~.$$
 * यह चार गामा मैट्रिक्स के साथ एंटीकम्यूट करता है:
 * $$\left\{ \gamma^5,\gamma^\mu \right\} = \gamma^5 \gamma^\mu + \gamma^\mu \gamma^5 = 0 ~.$$
 * $$\gamma^5 \psi_{\mathrm L} = \frac{\ \gamma^5 - \left(\gamma^5\right)^2\ }{2} \psi = - \psi_{\mathrm L}\ ,$$ और $$ \gamma^5 \psi_{\mathrm R} = \frac{\ \gamma^5 + \left(\gamma^5\right)^2\ }{2} \psi = \psi_{\mathrm R} ~.$$

पाँच आयाम
विषम आयामों में क्लिफोर्ड बीजगणित एक कम आयाम की क्लिफोर्ड बीजगणित की दो प्रतियों की तरह व्यवहार करता है, एक बायीं प्रति और एक दाहिनी प्रति। इस प्रकार, कोई व्यक्ति पुन: उपयोग के लिए कुछ तरकीबें अपना सकता है $i γ5$ पांच आयामों में क्लिफोर्ड बीजगणित के जनरेटरों में से एक के रूप में। इस मामले में, सेट ${γ0, γ1, γ2, γ3, i γ5 }$ इसलिए, अंतिम दो गुणों द्वारा (उसे ध्यान में रखते हुए $i2 ≡ −1$) और 'पुराने' गामा, क्लिफोर्ड बीजगणित का आधार बनाते हैं $5$ मीट्रिक हस्ताक्षर के लिए स्पेसटाइम आयाम $(1,4)$. मीट्रिक हस्ताक्षर में $(Γ^{a}) = (γμ, i γ5 )$, सेट $a = (0, 1, 2, 3, 4)$ का प्रयोग किया जाता है, जहां ${Γa, Γb } = 2 ηab$ के लिए उपयुक्त हैं $(4,1)$ हस्ताक्षर। यह पैटर्न स्पेसटाइम आयाम के लिए दोहराया जाता है ${γ^{ 0}, γ^{ 1}, γ^{ 2}, γ^{ 3}, γ^{ 5} }$सम और अगला विषम आयाम $γ^{ μ}$ सभी के लिए $(3,1)$. अधिक विवरण के लिए, उच्च-आयामी गामा मैट्रिक्स देखें।

पहचान
निम्नलिखित पहचान मौलिक एंटीकम्युटेशन संबंध से अनुसरण करती हैं, इसलिए वे किसी भी आधार पर टिके रहते हैं (हालांकि अंतिम एक के लिए संकेत विकल्प पर निर्भर करता है) $$\gamma^5$$).

विविध पहचान
1. $$\gamma^\mu\gamma_\mu = 4 I_4$$

2. $$\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma_\mu = -2\gamma^\nu$$ 3. $$\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma_\mu = 4\eta^{\nu\rho} I_4$$

4. $$\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma\gamma_\mu = -2\gamma^\sigma\gamma^\rho\gamma^\nu$$

5. $$\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho = \eta^{\mu\nu}\gamma^\rho + \eta^{\nu\rho}\gamma^\mu - \eta^{\mu\rho}\gamma^\nu - i\epsilon^{\sigma\mu\nu\rho}\gamma_\sigma\gamma^5$$

6. $$\gamma^5\sigma^{\nu\rho} = \tfrac{i}{2} \epsilon^{\sigma\mu\nu\rho} \sigma_{\sigma\mu}\ ,$$ कहाँ $$\ \sigma_{\mu\nu} = \tfrac{i}{2} [\gamma_{\mu},\gamma_{\nu}] =  \tfrac{i}{2}(\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}-\gamma_{\nu}\gamma_{\mu}) \ $$

पहचान का पता लगाएं
गामा मैट्रिक्स निम्नलिखित ट्रेस पहचान का पालन करते हैं: 1. $\operatorname{tr} \left(\gamma^\mu\right) = 0$

2. Trace of any product of an odd number of $\gamma^\mu$ is zero

3. Trace of $\gamma^5$ times a product of an odd number of $\gamma^\mu$ is still zero

4. $\operatorname{tr} \left(\gamma^\mu\gamma^\nu\right) = 4\eta^{\mu\nu}$

5. $\operatorname{tr} \left(\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma\right) = 4\left(\eta^{\mu\nu}\eta^{\rho\sigma} - \eta^{\mu\rho}\eta^{\nu\sigma} + \eta^{\mu\sigma}\eta^{\nu\rho}\right)$

6. $\operatorname{tr} \left(\gamma^5\right) = \operatorname{tr} \left(\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^5\right) = 0$

7. $\operatorname{tr} \left(\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma\gamma^5\right) = -4i\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}$

8. $\operatorname{tr} \left(\gamma^{\mu_1}\dots\gamma^{\mu_n}\right) = \operatorname{tr} \left(\gamma^{\mu_n}\dots\gamma^{\mu_1}\right)$

उपरोक्त को साबित करने में ट्रेस (रैखिक बीजगणित) ऑपरेटर के तीन मुख्य गुणों का उपयोग शामिल है:
 * tr(ए + बी) = टीआर(ए) + टीआर(बी)
 * टीआर(आरए) = आर टीआर(ए)
 * tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA)

यह संकेत करता है $$\operatorname{tr}(\gamma^\nu) = 0$$
 * }

! 2 का प्रमाण
 * क्लास = विकिटेबल कोलैप्सिबल संक्षिप्त

जाहिर करना।
 * $$\operatorname{tr} (\text{odd num of } \gamma) = 0 $$

सबसे पहले उस पर ध्यान दें
 * $$\operatorname{tr} \left(\gamma^\mu\right) = 0. $$

हम पांचवें गामा मैट्रिक्स के बारे में दो तथ्यों का भी उपयोग करेंगे $$\gamma^5 $$ वह कहता है:
 * $$\left(\gamma^5 \right)^2 = I_4, \quad \mathrm{and} \quad \gamma^\mu \gamma^5 = - \gamma^5 \gamma^\mu $$

तो आइए पहले गैर-तुच्छ मामले के लिए इस पहचान को साबित करने के लिए इन दो तथ्यों का उपयोग करें: तीन गामा मैट्रिक्स का निशान। पहला कदम एक जोड़ा डालना है $$\gamma^5 $$तीन मूल के सामने है $$\gamma $$का, और चरण दो स्वैप करना है $$\gamma^5 $$ ट्रेस की चक्रीयता का उपयोग करने के बाद, मैट्रिक्स मूल स्थिति में वापस आ जाता है।

यह तभी पूरा हो सकता है जब
 * $$\operatorname{tr} \left( \gamma^\mu \gamma^\nu \gamma^\rho \right) $$
 * $$= \operatorname{tr} \left( \gamma^5 \gamma^5 \gamma^\mu \gamma^\nu \gamma^\rho \right) $$
 * $$= \operatorname{tr} \left(\gamma^5 \gamma^\mu \gamma^\nu \gamma^\rho \gamma^5 \right) $$
 * $$= -\operatorname{tr} \left( \gamma^5 \gamma^5 \gamma^\mu \gamma^\nu \gamma^\rho \right) $$ (using tr(ABC) = tr(BCA))
 * $$= -\operatorname{tr} \left(\gamma^\mu \gamma^\nu \gamma^\rho \right) $$
 * }
 * $$= -\operatorname{tr} \left( \gamma^5 \gamma^5 \gamma^\mu \gamma^\nu \gamma^\rho \right) $$ (using tr(ABC) = tr(BCA))
 * $$= -\operatorname{tr} \left(\gamma^\mu \gamma^\nu \gamma^\rho \right) $$
 * }
 * $$= -\operatorname{tr} \left(\gamma^\mu \gamma^\nu \gamma^\rho \right) $$
 * }
 * }
 * $$\operatorname{tr} \left(\gamma^\mu \gamma^\nu \gamma^\rho \right) = 0 $$

2n + 1 (n पूर्णांक) गामा मैट्रिक्स का विस्तार, ट्रेस में 2n-वें गामा-मैट्रिक्स के बाद (मान लीजिए) दो गामा-5s रखकर, एक को दाईं ओर ले जाकर (एक ऋण चिह्न देकर) और कम्यूट करके पाया जाता है अन्य गामा-5 2एन बाईं ओर कदम बढ़ाता है [चिह्न परिवर्तन के साथ (-1)^2एन = 1]। फिर हम दो गामा-5 को एक साथ लाने के लिए चक्रीय पहचान का उपयोग करते हैं, और इसलिए वे पहचान के वर्ग में आ जाते हैं, जिससे हमारे पास माइनस के बराबर ट्रेस यानी 0 रह जाता है।
 * }

! 3 का प्रमाण
 * क्लास = विकिटेबल कोलैप्सिबल संक्षिप्त

यदि किसी ट्रेस में विषम संख्या में गामा मैट्रिक्स दिखाई देते हैं $$\gamma^5$$, हमारा लक्ष्य आगे बढ़ना है $$\gamma^5$$ दाईं ओर से बाईं ओर. यह चक्रीय गुण द्वारा ट्रेस को अपरिवर्तनीय छोड़ देगा। इस कदम को करने के लिए, हमें इसे अन्य सभी गामा मैट्रिक्स के साथ एंटीकम्यूट करना होगा। इसका मतलब यह है कि हम इसे विषम संख्या में बार एंटीकम्यूट करते हैं और एक ऋण चिह्न चुनते हैं। स्वयं के ऋणात्मक के बराबर एक ट्रेस शून्य होना चाहिए।
 * }

! 4 का प्रमाण
 * क्लास = विकिटेबल कोलैप्सिबल संक्षिप्त

जाहिर करना।
 * $$\operatorname{tr} \left(\gamma^\mu\gamma^\nu\right) = 4\eta^{\mu\nu}$$

के साथ शुरू,


 * $$\operatorname{tr} (\gamma^\mu\gamma^\nu) $$
 * $$ = \tfrac{1}{2} \left(\operatorname{tr} \left(\gamma^\mu\gamma^\nu\right) + \operatorname{tr} \left(\gamma^\nu\gamma^\mu\right) \right) $$
 * $$ = \tfrac{1}{2} \operatorname{tr} \left(\gamma^\mu\gamma^\nu + \gamma^\nu\gamma^\mu\right) = \frac{1}{2} \operatorname{tr} \left(\left\{\gamma^\mu, \gamma^\nu\right\}\right)$$
 * $$ = \tfrac{1}{2} 2 \eta^{\mu \nu} \operatorname{tr} (I_4) = 4 \eta^{\mu \nu} $$
 * }
 * }
 * $$ = \tfrac{1}{2} 2 \eta^{\mu \nu} \operatorname{tr} (I_4) = 4 \eta^{\mu \nu} $$
 * }
 * }
 * }

! 5 का प्रमाण
 * क्लास = विकिटेबल कोलैप्सिबल संक्षिप्त



दाईं ओर के पद के लिए, हम स्वैपिंग का पैटर्न जारी रखेंगे $$\gamma^\sigma $$ बाईं ओर अपने पड़ोसी के साथ,
 * $$ \operatorname{tr} \left(\gamma^\mu \gamma^\nu \gamma^\rho \gamma^\sigma\right) $$
 * $$ = \operatorname{tr} \left(\gamma^\mu \gamma^\nu \left(2\eta^{\rho \sigma} - \gamma^\sigma \gamma^\rho\right) \right) $$
 * $$ = 2 \eta^{\rho \sigma} \operatorname{tr} \left(\gamma^\mu \gamma^\nu \right) - \operatorname{tr} \left( \gamma^\mu \gamma^\nu \gamma^\sigma \gamma^\rho \right) \quad \quad (1) $$
 * }
 * $$ = 2 \eta^{\rho \sigma} \operatorname{tr} \left(\gamma^\mu \gamma^\nu \right) - \operatorname{tr} \left( \gamma^\mu \gamma^\nu \gamma^\sigma \gamma^\rho \right) \quad \quad (1) $$
 * }

फिर से, सही स्वैप पर शब्द के लिए $$\gamma^\sigma$$ बाईं ओर अपने पड़ोसी के साथ,
 * $$\operatorname{tr} \left( \gamma^\mu \gamma^\nu \gamma^\sigma \gamma^\rho \right) $$
 * $$= \operatorname{tr} \left(\gamma^\mu \left(2 \eta^{\nu \sigma} - \gamma^\sigma \gamma^\nu\right) \gamma^\rho \right) $$
 * $$= 2 \eta^{\nu \sigma} \operatorname{tr} \left(\gamma^\mu \gamma^\rho \right) - \operatorname{tr} \left(\gamma^\mu \gamma^\sigma \gamma^\nu \gamma^\rho \right) \quad \quad (2) $$
 * }
 * $$= 2 \eta^{\nu \sigma} \operatorname{tr} \left(\gamma^\mu \gamma^\rho \right) - \operatorname{tr} \left(\gamma^\mu \gamma^\sigma \gamma^\nu \gamma^\rho \right) \quad \quad (2) $$
 * }

समीकरण (3) समीकरण (2) के दाईं ओर का पद है, और समीकरण (2) समीकरण (1) के दाईं ओर का पद है। हम शब्दों को सरल बनाने के लिए पहचान संख्या 3 का भी उपयोग करेंगे:
 * $$\operatorname{tr} \left( \gamma^\mu \gamma^\sigma \gamma^\nu \gamma^\rho \right)$$
 * $$ = \operatorname{tr} \left( \left(2 \eta^{\mu \sigma} - \gamma^\sigma \gamma^\mu\right) \gamma^\nu \gamma^\rho \right) $$
 * $$= 2 \eta^{\mu \sigma} \operatorname{tr} \left( \gamma^\nu \gamma^\rho \right) - \operatorname{tr} \left( \gamma^\sigma \gamma^\mu \gamma^\nu \gamma^\rho \right)\quad \quad (3) $$
 * }
 * $$= 2 \eta^{\mu \sigma} \operatorname{tr} \left( \gamma^\nu \gamma^\rho \right) - \operatorname{tr} \left( \gamma^\sigma \gamma^\mu \gamma^\nu \gamma^\rho \right)\quad \quad (3) $$
 * }
 * $$2 \eta^{\rho \sigma} \operatorname{tr} \left(\gamma^\mu \gamma^\nu \right) = 2 \eta^{\rho \sigma} \left(4 \eta^{\mu \nu}\right) = 8 \eta^{\rho \sigma} \eta^{\mu \nu} .$$

तो अंततः समीकरण (1), जब आप यह सारी जानकारी प्लग इन करते हैं तो देता है
 * $$\operatorname{tr} \left(\gamma^\mu \gamma^\nu \gamma^\rho \gamma^\sigma\right) = 8 \eta^{\rho \sigma} \eta^{\mu \nu} - 8 \eta^{\nu \sigma} \eta^{\mu \rho} + 8 \eta^{\mu \sigma} \eta^{\nu \rho} $$
 * $$ - \ \operatorname{tr} \left( \gamma^\sigma \gamma^\mu \gamma^\nu \gamma^\rho \right) \quad \quad \quad \quad \quad \quad (4) $$

ट्रेस के अंदर के शब्दों को चक्रित किया जा सकता है, इसलिए
 * $$\operatorname{tr} \left( \gamma^\sigma \gamma^\mu \gamma^\nu \gamma^\rho \right) = \operatorname{tr} \left(\gamma^\mu \gamma^\nu \gamma^\rho \gamma^\sigma\right). $$

तो वास्तव में (4) है
 * $$2 \ \operatorname{tr} \left(\gamma^\mu \gamma^\nu \gamma^\rho \gamma^\sigma\right) = 8 \eta^{\rho \sigma} \eta^{\mu \nu} - 8 \eta^{\nu \sigma} \eta^{\mu \rho} + 8 \eta^{\mu \sigma} \eta^{\nu \rho} $$

या
 * $$ \operatorname{tr} \left(\gamma^\mu \gamma^\nu \gamma^\rho \gamma^\sigma\right) = 4 \left( \eta^{\rho \sigma} \eta^{\mu \nu} - \eta^{\nu \sigma} \eta^{\mu \rho} + \eta^{\mu \sigma} \eta^{\nu \rho} \right) $$


 * }

! 6 का प्रमाण
 * क्लास = विकिटेबल कोलैप्सिबल संक्षिप्त

जाहिर करना।
 * $$\operatorname{tr}\left(\gamma^5\right) = 0$$,

के साथ शुरू

जोड़ना $$\operatorname{tr}\left(\gamma^5\right)$$ देखने के लिए ऊपर के दोनों तरफ
 * $$\operatorname{tr}\left(\gamma^5\right)$$
 * $$= \operatorname{tr}\left(\gamma^0 \gamma^0 \gamma^5\right)$$
 * (because $$\gamma^0 \gamma^0 = I_4$$)
 * $$= -\operatorname{tr}\left(\gamma^0 \gamma^5 \gamma^0\right)$$
 * (anti-commute the $$\gamma^5$$ with $$\gamma^0$$)
 * $$= -\operatorname{tr}\left(\gamma^0 \gamma^0 \gamma^5\right)$$
 * (rotate terms within trace)
 * $$= -\operatorname{tr}\left(\gamma^5\right)$$
 * (remove $$\gamma^0$$'s)
 * }
 * (rotate terms within trace)
 * $$= -\operatorname{tr}\left(\gamma^5\right)$$
 * (remove $$\gamma^0$$'s)
 * }
 * (remove $$\gamma^0$$'s)
 * }
 * $$2\operatorname{tr}\left(\gamma^5\right) = 0 $$.

अब, इस पैटर्न का उपयोग दिखाने के लिए भी किया जा सकता है
 * $$\operatorname{tr}\left(\gamma^\mu \gamma^\nu \gamma^5\right) = 0$$.

बस दो कारक जोड़ें $$\gamma^\alpha$$, साथ $$\alpha$$ से अलग $$\mu$$ और $$\nu$$. एक बार के बजाय तीन बार एंटीकम्यूट करें, तीन माइनस चिह्न उठाएं, और ट्रेस की चक्रीय संपत्ति का उपयोग करके चक्र करें।

इसलिए,
 * $$\operatorname{tr}\left(\gamma^\mu \gamma^\nu \gamma^5\right) = 0$$.


 * }

! 7 का प्रमाण
 * क्लास = विकिटेबल कोलैप्सिबल संक्षिप्त

पहचान 7 के प्रमाण के लिए, वही तरकीब अभी भी काम करती है जब तक कि $$\left(\mu \nu \rho \sigma\right)$$ (0123) का कुछ क्रमपरिवर्तन है, जिससे सभी 4 गामा प्रकट होते हैं। एंटीकम्यूटेशन नियमों का तात्पर्य यह है कि दो सूचकांकों को आपस में बदलने से ट्रेस का चिह्न बदल जाता है $$\operatorname{tr}\left(\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma\gamma^5\right)$$ के आनुपातिक होना चाहिए $$\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}$$ $$\left(\epsilon^{0123} = \eta^{0\mu}\eta^{1\nu}\eta^{2\rho}\eta^{3\sigma}\epsilon_{\mu \nu \rho \sigma} = \eta^{00}\eta^{11}\eta^{22}\eta^{33}\epsilon_{0123} = -1\right)$$. आनुपातिकता स्थिरांक है $$4i$$, जैसा कि प्लग इन करके जांचा जा सकता है $$(\mu \nu \rho \sigma) = (0123)$$, लिख रहा हूँ $$\gamma^5$$, और याद रखें कि पहचान का निशान 4 है।
 * }

! 8 का प्रमाण
 * क्लास = विकिटेबल कोलैप्सिबल संक्षिप्त

के उत्पाद को निरूपित करें $$n$$ गामा मैट्रिक्स द्वारा $$\Gamma = \gamma^{\mu 1} \gamma^{\mu 2} \dots \gamma^{\mu n}.$$ हर्मिटियन संयुग्म पर विचार करें $$\Gamma$$:

के साथ जुड़ना $$\gamma^0$$ दोनों से छुटकारा पाने के लिए एक बार और $$\gamma^0$$वह वहां हैं, हम उसे देखते हैं $$\gamma^0 \Gamma^\dagger \gamma^0$$ का उल्टा है $$\Gamma$$. अब,
 * $$\Gamma^\dagger$$
 * $$= \gamma^{\mu n \dagger} \dots \gamma^{\mu 2 \dagger} \gamma^{\mu 1 \dagger}$$
 * $$= \gamma^0 \gamma^{\mu n} \gamma^0 \dots \gamma^0 \gamma^{\mu 2} \gamma^0 \gamma^0 \gamma^{\mu 1} \gamma^0$$
 * (since conjugating a gamma matrix with $$\gamma^0$$ produces its Hermitian conjugate as described below)
 * $$= \gamma^0 \gamma^{\mu n} \dots \gamma^{\mu 2} \gamma^{\mu 1} \gamma^0$$
 * (all $$\gamma^0$$s except the first and the last drop out)
 * }
 * $$= \gamma^0 \gamma^{\mu n} \dots \gamma^{\mu 2} \gamma^{\mu 1} \gamma^0$$
 * (all $$\gamma^0$$s except the first and the last drop out)
 * }
 * }


 * $$\operatorname{tr} \left(\gamma^0 \Gamma^\dagger \gamma^0\right)$$
 * $$= \operatorname{tr} \left(\Gamma^\dagger\right)$$
 * (since trace is invariant under similarity transformations)
 * $$= \operatorname{tr} \left(\Gamma^*\right)$$
 * (since trace is invariant under transposition)
 * $$= \operatorname{tr} \left(\Gamma\right)$$
 * (since the trace of a product of gamma matrices is real)
 * }
 * }
 * $$= \operatorname{tr} \left(\Gamma\right)$$
 * (since the trace of a product of gamma matrices is real)
 * }
 * }

सामान्यीकरण
गामा मैट्रिक्स को अतिरिक्त हेर्मिटिसिटी स्थितियों के साथ चुना जा सकता है जो उपरोक्त एंटीकम्यूटेशन संबंधों द्वारा प्रतिबंधित हैं। हम थोप सकते हैं
 * $$\left( \gamma^0 \right)^\dagger = \gamma^0 $$, के साथ संगत $$\left( \gamma^0 \right)^2 = I_4$$

और अन्य गामा मैट्रिक्स के लिए (के लिए)। k = 1, 2, 3)
 * $$\left( \gamma^k \right)^\dagger = -\gamma^k $$, के साथ संगत $$\left( \gamma^k \right)^2 = -I_4.$$

कोई तुरंत जाँचता है कि ये साधुता संबंध डिराक प्रतिनिधित्व के लिए मान्य हैं।

उपरोक्त शर्तों को संबंध में जोड़ा जा सकता है
 * $$\left( \gamma^\mu \right)^\dagger = \gamma^0 \gamma^\mu \gamma^0. $$

क्रिया के अंतर्गत धर्मोपदेश की स्थितियाँ अपरिवर्तनीय नहीं हैं $$\gamma^\mu \to S(\Lambda) \gamma^\mu {S(\Lambda)}^{-1}$$ लोरेंत्ज़ परिवर्तन का $$\Lambda$$ क्योंकि $$S(\Lambda)$$ लोरेंत्ज़ समूह की गैर-संक्षिप्तता के कारण आवश्यक रूप से एकात्मक परिवर्तन नहीं है।

आवेश संयुग्मन
चार्ज संयुग्मन ऑपरेटर को किसी भी आधार पर परिभाषित किया जा सकता है
 * $$C\gamma_\mu C^{-1} = -(\gamma_\mu)^\textsf{T}$$

कहाँ $$(\cdot)^\textsf{T}$$ मैट्रिक्स स्थानान्तरण  को दर्शाता है। वह स्पष्ट रूप $$C$$ गामा मैट्रिक्स के लिए चुने गए विशिष्ट प्रतिनिधित्व पर निर्भर करता है (गामा मैट्रिक्स के उत्पाद के रूप में व्यक्त इसका रूप प्रतिनिधित्व पर निर्भर है, जबकि इसे देखा जा सकता है $$\ C = i\gamma^0\gamma^2\ $$ डिराक आधार पर:



\begin{align} C &= \begin{pmatrix} 0 &  0  & 0 &    -1  \\    0  &  0  & 1 &  0  \\    0  &    -1  & 0 &  0  \\    1  &  0  & 0 &  0 \end{pmatrix} ~, \end{align} $$ जो, उदाहरण के लिए, एक मनमाना चरण कारक तक, मेजराना आधार पर पकड़ बनाने में विफल रहता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि यद्यपि चार्ज संयुग्मन उच्च-आयामी गामा मैट्रिक्स का आंतरिक [[स्वचालितता]] है, यह (समूह का) आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म नहीं है। संयुग्मी मैट्रिक्स पाए जा सकते हैं, लेकिन वे प्रतिनिधित्व-निर्भर हैं।

प्रतिनिधित्व-स्वतंत्र पहचान में शामिल हैं:
 * $$\begin{align}

C\gamma_5 C^{-1} &= +(\gamma_5)^\textsf{T} \\ C\sigma_{\mu\nu} C^{-1} &= -(\sigma_{\mu\nu})^\textsf{T} \\ C\gamma_5\gamma_\mu C^{-1} &= +(\gamma_5\gamma_\mu)^\textsf{T} \\ \end{align}$$ आवेश संयुग्मन संचालिका भी एकात्मक है $$C^{-1}=C^\dagger$$, जबकि इसके लिए $$\mathrm{Cl}_{1,3}(\mathbb{R})$$ यह भी वैसा ही है $$C^T = -C$$ किसी भी प्रतिनिधित्व के लिए. गामा मैट्रिक्स के प्रतिनिधित्व को देखते हुए, चार्ज संयुग्मन ऑपरेटर के लिए मनमाना चरण कारक भी चुना जा सकता है $$ C^\dagger = -C$$, जैसा कि नीचे दिए गए चार अभ्यावेदन (डिराक, मेजराना और दोनों चिरल वेरिएंट) के मामले में है।

फेनमैन स्लैश नोटेशन
फेनमैन स्लैश नोटेशन द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $${a\!\!\!/} := \gamma^\mu a_\mu $$

किसी भी 4-वेक्टर के लिए $$a$$.

यहां ऊपर दी गई कुछ समान पहचानें दी गई हैं, लेकिन इसमें स्लैश नोटेशन शामिल है: कई लोग सीधे स्लैश नोटेशन के विस्तार और फॉर्म के अनुबंधित भावों का अनुसरण करते हैं $$\ a_\mu b_\nu c_\rho\ \ldots\ $$ गामा मैट्रिक्स के संदर्भ में उचित पहचान के साथ।
 * $${a\!\!\!/}{b\!\!\!/} = \left[a \cdot b - i a_\mu \sigma^{\mu\nu} b_\nu \right] I_4 $$
 * $${a\!\!\!/}{a\!\!\!/} = \left[ a^\mu a^\nu \gamma_\mu \gamma_\nu \right] I_4 = \left[\tfrac{1}{2} a^\mu a^\nu \left(\gamma_\mu \gamma_\nu + \gamma_\nu \gamma_\mu\right) \right] I_4 = \left[ \eta_{\mu\nu} a^\mu a^\nu \right] I_4 = a^2I_4$$
 * $$\operatorname{tr}\left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\right) = 4 (a \cdot b)$$
 * $$\operatorname{tr}\left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}\right) = 4 \left[(a \cdot b)(c \cdot d) - (a \cdot c)(b \cdot d) + (a \cdot d)(b \cdot c) \right]$$
 * $$\operatorname{tr}\left(\gamma_5 {a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\right) = 0$$
 * $$\operatorname{tr}\left(\gamma_5 {a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}\right) = -4 i \epsilon_{\mu \nu \rho \sigma} a^\mu b^\nu c^\rho d^\sigma$$
 * $$\gamma_\mu {a\!\!\!/} \gamma^\mu = -2 {a\!\!\!/} $$
 * $$\gamma_\mu {a\!\!\!/} {b\!\!\!/} \gamma^\mu = 4 (a \cdot b) I_4 $$
 * $$\gamma_\mu {a\!\!\!/} {b\!\!\!/} {c\!\!\!/} \gamma^\mu = -2 {c\!\!\!/} {b\!\!\!/} {a\!\!\!/}$$
 * कहाँ $$\epsilon_{\mu \nu \rho \sigma}$$ लेवी-सिविटा प्रतीक है और $$\sigma^{\mu\nu} = \tfrac{i}{2} \left[\gamma^\mu, \gamma^\nu\right] ~.$$ वास्तव में विषम संख्या के उत्पादों के निशान $$\ \gamma\ $$ शून्य है और इस प्रकार
 * $$\operatorname{tr}(a_1\!\!\!\!\!\!/ \,\,\, a_2\!\!\!\!\!\!/ \,\,\,\cdots a_n\!\!\!\!\!\!/\,\,\,) = 0\ $$ के लिए $n$ विषम।

अन्य प्रतिनिधित्व
मैट्रिक्स को कभी-कभी 2×2 पहचान मैट्रिक्स का उपयोग करके भी लिखा जाता है, $$I_2$$, और
 * $$ \gamma^k = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^k \\ -\sigma^k & 0 \end{pmatrix} $$

जहां k 1 से 3 और σ तक चलता हैkपॉली मैट्रिसेस हैं।

डिराक आधार
अब तक हमने जो गामा मैट्रिक्स लिखे हैं, वे डायराक आधार पर लिखे गए डायराक स्पिनरों पर कार्य करने के लिए उपयुक्त हैं; वास्तव में, डिराक आधार को इन आव्यूहों द्वारा परिभाषित किया गया है। संक्षेप में, डिराक आधार पर:


 * $$\gamma^0 = \begin{pmatrix} I_2 & 0 \\ 0 & -I_2 \end{pmatrix},\quad \gamma^k = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^k \\ -\sigma^k & 0 \end{pmatrix},\quad \gamma^5 = \begin{pmatrix} 0 & I_2 \\ I_2 & 0 \end{pmatrix} ~.$$

डिराक आधार पर, चार्ज संयुग्मन ऑपरेटर वास्तविक एंटीसिमेट्रिक है,

C = i\gamma^2\gamma^0 = \begin{pmatrix} 0 & -i\sigma^2 \\ -i\sigma^2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 &  -1 \\      0 & 0 &  1 & 0 \\      0 &  -1 &  0 & 0 \\      1 & 0 &  0 & 0      \end{pmatrix} ~. $$

वेइल (चिरल) आधार
एक अन्य सामान्य विकल्प वेइल या चिरल आधार है, जिसमें $$\gamma^k$$ लेकिन वही रहता है $$\gamma^0$$ अलग है, और इसलिए $$\gamma^5$$ भिन्न भी है, और विकर्ण भी,
 * $$\gamma^0 = \begin{pmatrix} 0 & I_2 \\ I_2 & 0 \end{pmatrix},\quad \gamma^k = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^k \\ -\sigma^k & 0 \end{pmatrix},\quad \gamma^5 = \begin{pmatrix} -I_2 & 0 \\ 0 & I_2 \end{pmatrix},$$

या अधिक संक्षिप्त संकेतन में:

\gamma^\mu = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^\mu \\ \overline{\sigma}^\mu & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma^\mu \equiv (1, \sigma^i), \quad \overline{\sigma}^\mu \equiv \left(1, -\sigma^i\right). $$ हरमन वेइल आधार का लाभ यह है कि इसकी चिरलिटी (भौतिकी) एक सरल रूप लेती है,

\psi_{\mathrm L} = \tfrac{1}{2}\left(1 - \gamma^5\right)\psi = \begin{pmatrix} I_2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\psi, \quad \psi_{\mathrm R} = \tfrac{1}{2}\left(1 + \gamma^5\right)\psi = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & I_2 \end{pmatrix}\psi ~. $$ चिरल अनुमानों की निष्क्रियता प्रकट है।

अंकन का थोड़ा दुरुपयोग करके और प्रतीकों का पुन: उपयोग करके $$\psi_{\mathrm L/R}$$ फिर हम पहचान सकते हैं
 * $$\psi = \begin{pmatrix} \psi_{\mathrm L} \\ \psi_{\mathrm R} \end{pmatrix},$$

कहाँ हैं $$\psi_{\mathrm L}$$ और $$\psi_{\mathrm R}$$ बाएं हाथ और दाएं हाथ के दो-घटक वेइल स्पिनर हैं।

इस आधार पर चार्ज संयुग्मन ऑपरेटर वास्तविक एंटीसिमेट्रिक है,
 * $$C = i\gamma^2\gamma^0 = \begin{pmatrix} i\sigma^2 & 0 \\ 0 & -i\sigma^2 \end{pmatrix}$$

डिराक आधार को वेइल आधार से प्राप्त किया जा सकता है
 * $$\gamma^\mu_{\mathrm W} = U \gamma^\mu_{\mathrm D} U^\dagger, \quad \psi_{\mathrm W} = U \psi_{\mathrm D}$$

एकात्मक परिवर्तन के माध्यम से
 * $$U = \tfrac{1}{\sqrt{2\ }\ } \left(1 + \gamma^5 \gamma^0 \right) = \tfrac{1}{\sqrt{2\ }\ } \begin{pmatrix}I_2 & -I_2 \\I_2 & I_2\end{pmatrix}.$$

वेइल (चिरल) आधार (वैकल्पिक रूप)
एक और संभावित विकल्प वेइल आधार का है
 * $$\gamma^0 = \begin{pmatrix} 0 & -I_2 \\ -I_2 & 0 \end{pmatrix},\quad \gamma^k = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^k \\ -\sigma^k & 0 \end{pmatrix},\quad \gamma^5 = \begin{pmatrix} I_2 & 0 \\ 0 & -I_2 \end{pmatrix}.$$

चिरैलिटी (भौतिकी) अन्य वेइल पसंद से थोड़ा अलग रूप लेती है,
 * $$\psi_{\mathrm R} = \begin{pmatrix} I_2 & 0 \\0 & 0 \end{pmatrix}\psi,\quad \psi_{\mathrm L} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\0 & I_2 \end{pmatrix}\psi.$$

दूसरे शब्दों में,
 * $$\psi = \begin{pmatrix} \psi_{\mathrm R} \\\psi_{\mathrm L} \end{pmatrix},$$

कहाँ $$\psi_{\mathrm L}$$ और $$\psi_{\mathrm R}$$ पहले की तरह, बाएं हाथ और दाएं हाथ के दो-घटक वेइल स्पिनर हैं।

इस आधार पर आवेश संयुग्मन संचालिका है
 * $$C = i\gamma^2\gamma^0

= \begin{pmatrix} -i\sigma^2 & 0 \\ 0 & i\sigma^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 &  0 & 0  \\      1 & 0 &  0 & 0  \\      0 & 0 &  0 & 1  \\      0 & 0 &   -1 & 0  \\     \end{pmatrix} ~ = -i\sigma^3\otimes\sigma^2. $$ यह आधार उपरोक्त डायराक आधार से प्राप्त किया जा सकता है $$\gamma^\mu_{\mathrm W} = U \gamma^\mu_{\mathrm D} U^\dagger, \psi_{\mathrm W} = U \psi_{\mathrm D}$$ एकात्मक परिवर्तन के माध्यम से
 * $$U = \tfrac{1}{\sqrt{2\ }\ }\left(1 - \gamma^5 \gamma^0\right)

= \tfrac{1}{\sqrt{2\ }\ } \begin{pmatrix} I_2 & I_2 \\ -I_2 & I_2 \end{pmatrix} ~.$$

मेजोराना आधार
मेजराना स्पिनर आधार भी है, जिसमें सभी डिराक मैट्रिक्स काल्पनिक हैं, और स्पिनर और डिराक समीकरण वास्तविक हैं। पाउली मैट्रिसेस के संबंध में, आधार को इस प्रकार लिखा जा सकता है :$$\begin{align} \gamma^0 &= \begin{pmatrix} 0 & \sigma^2 \\ \sigma^2 & 0 \end{pmatrix}\, ~& \gamma^1 &= \begin{pmatrix} i\sigma^3 & 0 \\ 0 & i\sigma^3 \end{pmatrix}\, ~& \gamma^2 &= \begin{pmatrix} 0 & -\sigma^2 \\ \sigma^2 & 0 \end{pmatrix},\\ \gamma^3 &= \begin{pmatrix} -i\sigma^1 & 0 \\ 0 & -i\sigma^1 \end{pmatrix}\, ~& \gamma^5 &= \begin{pmatrix} \sigma^2 & 0 \\ 0 & -\sigma^2 \end{pmatrix}\, ~& C &= \begin{pmatrix} 0 & -i\sigma^2 \\ -i\sigma^2 & 0 \end{pmatrix}\ , \end{align}$$ कहाँ $$C$$ चार्ज संयुग्मन मैट्रिक्स है, जो ऊपर परिभाषित डिराक संस्करण से मेल खाता है।

सभी गामा मैट्रिक्स को काल्पनिक बनाने का कारण केवल कण भौतिकी मीट्रिक प्राप्त करना है (+, −, −, −), जिसमें वर्ग द्रव्यमान धनात्मक होता है। हालाँकि, मेजराना प्रतिनिधित्व वास्तविक है। कोई इसका कारक बन सकता है $$\ i\ $$ चार घटक वास्तविक स्पिनरों और वास्तविक गामा मैट्रिक्स के साथ एक अलग प्रतिनिधित्व प्राप्त करने के लिए। को हटाने का परिणाम $$\ i\ $$ क्या यह वास्तविक गामा मैट्रिक्स के साथ एकमात्र संभावित मीट्रिक है (−, +, +, +).

मेजराना आधार उपरोक्त डायराक आधार से प्राप्त किया जा सकता है $$\gamma^\mu_{\mathrm M} = U \gamma^\mu_{\mathrm D} U^\dagger, \psi_{\mathrm M} = U \psi_{\mathrm D}$$ एकात्मक परिवर्तन के माध्यम से
 * $$U = U^\dagger = \tfrac{1}{\sqrt{2\ }\ } \begin{pmatrix}I_2 & \sigma^2 \\\sigma^2 & -I_2\end{pmatrix} ~.$$

सीएल1,3(सी) और सीएल1,3(आर)
डिराक बीजगणित को वास्तविक बीजगणित सीएल का एक जटिलीकरण माना जा सकता है1,3($$\mathbb{R}$$), जिसे अंतरिक्ष समय बीजगणित कहा जाता है:
 * $$ \mathrm{Cl}_{1,3}(\mathbb{C}) = \mathrm{Cl}_{1,3}(\mathbb{R}) \otimes \mathbb{C} $$

क्लोरीन1,3($$\mathbb{R}$$) सीएल से भिन्न है1,3($$\mathbb{C}$$): सीएल में1,3($$\mathbb{R}$$) केवल गामा मैट्रिक्स और उनके उत्पादों के वास्तविक रैखिक संयोजन की अनुमति है।

दो बातें ध्यान दिलाने योग्य हैं। क्लिफ़ोर्ड बीजगणित के रूप में, सीएल1,3($$\mathbb{C}$$) और सीएल4($$\mathbb{C}$$) समरूपी हैं, क्लिफ़ोर्ड बीजगणित का वर्गीकरण देखें। इसका कारण यह है कि स्पेसटाइम मीट्रिक का अंतर्निहित हस्ताक्षर जटिलता से गुजरने पर अपना हस्ताक्षर (1,3) खो देता है। हालाँकि, द्विरेखीय रूप को जटिल विहित रूप में लाने के लिए आवश्यक परिवर्तन लोरेंत्ज़ परिवर्तन नहीं है और इसलिए स्वीकार्य नहीं है (कम से कम अव्यावहारिक) क्योंकि सभी भौतिकी लोरेंत्ज़ समरूपता से मजबूती से जुड़ी हुई है और इसे प्रकट रखना बेहतर है।

ज्यामितीय बीजगणित के समर्थक जहां भी संभव हो वास्तविक बीजगणित के साथ काम करने का प्रयास करते हैं। उनका तर्क है कि भौतिक समीकरण में एक काल्पनिक इकाई की उपस्थिति की पहचान करना आम तौर पर संभव है (और आमतौर पर ज्ञानवर्धक)। ऐसी इकाइयाँ वास्तविक क्लिफ़ोर्ड बीजगणित में कई मात्राओं में से एक से उत्पन्न होती हैं, जिसका वर्ग -1 होता है, और बीजगणित के गुणों और इसके विभिन्न उप-स्थानों की परस्पर क्रिया के कारण इनका ज्यामितीय महत्व होता है। इनमें से कुछ प्रस्तावक यह भी सवाल करते हैं कि क्या डिराक समीकरण के संदर्भ में एक अतिरिक्त काल्पनिक इकाई पेश करना आवश्यक या उपयोगी है। रीमैनियन ज्यामिति के गणित में, क्लिफ़ोर्ड बीजगणित सीएल को परिभाषित करना पारंपरिक हैp,q($$\mathbb{R}$$) मनमाने आयामों के लिए $2n$. वेइल स्पिनर स्पिन समूह की कार्रवाई के तहत बदल जाते हैं $$\mathrm{Spin}(n)$$. स्पिन समूह का जटिलीकरण, जिसे स्पिन समूह कहा जाता है $$\mathrm{Spin}^\mathbb{C}(n)$$, एक उत्पाद है $$\mathrm{Spin}(n)\times_{\mathbb{Z}_2} S^1$$ वृत्त के साथ स्पिन समूह का $$S^1 \cong U(1).$$ उत्पाद $$\times_{\mathbb{Z}_2}$$ पहचानने के लिए बस एक सांकेतिक उपकरण $$(a,u)\in \mathrm{Spin}(n)\times S^1$$ साथ $$(-a, -u).$$ इसका ज्यामितीय बिंदु यह है कि यह वास्तविक स्पिनर को अलग करता है, जो लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के तहत सहसंयोजक है। $$U(1)$$ घटक, जिसे इसके साथ पहचाना जा सकता है $$\mathrm{U}(1)$$ विद्युत चुम्बकीय संपर्क का फाइबर। $$\times_{\mathbb{Z}_2}$$ h> डायराक कण/एंटी-कण राज्यों (समकक्ष, वेइल आधार में चिरल राज्यों) से संबंधित करने के लिए उपयुक्त तरीके से समता और आवेश संयुग्मन को उलझा रहा है। बाइस्पिनर, जहां तक ​​इसमें रैखिक रूप से स्वतंत्र बाएं और दाएं घटक हैं, विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के साथ बातचीत कर सकता है। यह मेजराना स्पिनर और ईएलकेओ स्पिनर के विपरीत है, जो ऐसा नहीं कर सकते (यानी वे विद्युत रूप से तटस्थ हैं), क्योंकि वे स्पष्ट रूप से स्पिनर को बाधित करते हैं ताकि वे इसके साथ बातचीत न कर सकें। $$S^1$$ भाग जटिलता से आ रहा है।

हालाँकि, भौतिकी में समकालीन अभ्यास में, अंतरिक्ष-समय बीजगणित के बजाय डिराक बीजगणित मानक वातावरण बना हुआ है जिसमें डिराक समीकरण के स्पिनर रहते हैं।

अन्य प्रतिनिधित्व-मुक्त गुण
गामा आव्यूह eigenvalues ​​​​के साथ विकर्णीय हैं $$\pm 1$$ के लिए $$\gamma^0$$, और eigenvalues $$\pm i$$ के लिए $$\gamma^i$$.

विशेषकर, इसका तात्पर्य यह है $$\gamma^0$$ एक साथ हर्मिटियन और एकात्मक है, जबकि $$\gamma^i$$ एक साथ हर्मिटियन विरोधी और एकात्मक हैं।

इसके अलावा, प्रत्येक eigenvalue की बहुलता दो है।

अधिक सामान्यतः, यदि $$\ \gamma^\mu X_\mu\ $$ शून्य नहीं है, समान परिणाम रहता है। ठोसता के लिए, हम सकारात्मक मानक मामले तक ही सीमित हैं $$\ \gamma^\mu p_\mu = p\!\!\! / \ $$ साथ $$\ p \cdot p = m^2 > 0 ~.$$ नकारात्मक मामला भी इसी प्रकार है।

यह इस प्रकार है कि समाधान स्थान $$\ p\!\!\! / - m = 0\ $$ (अर्थात, बाईं ओर का कर्नेल) का आयाम 2 है। इसका मतलब है कि डिराक के समीकरण के समतल तरंग समाधान के लिए समाधान स्थान का आयाम 2 है।

यह परिणाम अभी भी द्रव्यमान रहित डिराक समीकरण के लिए लागू है। दूसरे शब्दों में, यदि $$p_\mu$$ शून्य, फिर $$p\!\!\! /$$ शून्यता है 2.

यूक्लिडियन डिराक मैट्रिसेस
क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में कोई विक मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष से यूक्लिडियन अंतरिक्ष तक पारगमन के लिए समय अक्ष को घुमा सकता है। यह कुछ पुनर्सामान्यीकरण प्रक्रियाओं के साथ-साथ जाली गेज सिद्धांत में विशेष रूप से उपयोगी है। यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, डिराक मैट्रिसेस के दो आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले प्रतिनिधित्व हैं:

चिरल प्रतिनिधित्व

 * $$\gamma^{1, 2, 3} = \begin{pmatrix}

0 & i\sigma^{1, 2, 3} \\ -i\sigma^{1, 2, 3} & 0 \end{pmatrix}, \quad \gamma^4 = \begin{pmatrix} 0 & I_2 \\ I_2 & 0 \end{pmatrix} $$ ध्यान दें कि के कारक $$i$$ स्थानिक गामा मैट्रिक्स में डाला गया है ताकि यूक्लिडियन क्लिफ़ोर्ड बीजगणित
 * $$\left\{\gamma^\mu, \gamma^\nu \right\} = 2\delta^{\mu\nu} I_4$$

उभरेगा. यह भी ध्यान देने योग्य है कि इसके ऐसे वेरिएंट भी हैं जो इसके स्थान पर सम्मिलित होते हैं $$-i$$ किसी एक मैट्रिक्स पर, जैसे जाली QCD कोड में जो किरल आधार का उपयोग करते हैं।

यूक्लिडियन अंतरिक्ष में,
 * $$\gamma_{\mathrm M}^5 = i \left(\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3\right)_{\mathrm M} = \tfrac{1}{i^2} \left(\gamma^4\gamma^1\gamma^2\gamma^3 \right)_{\mathrm E} = \left(\gamma^1\gamma^2\gamma^3\gamma^4\right)_{\mathrm E} = \gamma^5_{\mathrm E} ~.$$

एंटी-कम्यूटेटर का उपयोग करना और उसे यूक्लिडियन स्पेस में नोट करना $$\left(\gamma^\mu\right)^\dagger = \gamma^\mu$$, एक वह दिखाता है
 * $$\left( \gamma^5 \right)^\dagger = \gamma^5$$

यूक्लिडियन अंतरिक्ष में चिरल आधार पर,
 * $$\gamma^5 = \begin{pmatrix} -I_2 & 0\\ 0 & I_2 \end{pmatrix}$$

जो इसके मिन्कोव्स्की संस्करण से अपरिवर्तित है।

गैर-सापेक्षवादी प्रतिनिधित्व

 * $$\gamma^{1,2,3} = \begin{pmatrix} 0 & -i \sigma^{1,2,3} \\ i \sigma^{1,2,3} & 0 \end{pmatrix}\, \quad

\gamma^4 = \begin{pmatrix} I_2 & 0 \\ 0 & -I_2 \end{pmatrix}, \quad \gamma^5 = \begin{pmatrix} 0 & -I_2 \\ -I_2 & 0 \end{pmatrix} $$

यह भी देखें

 * पॉली मैट्रिसेस
 * गेल-मान मैट्रिसेस
 * उच्च-आयामी गामा मैट्रिक्स
 * फिर्ज़ पहचान

बाहरी संबंध

 * Dirac matrices on mathworld including their group properties
 * Dirac matrices as an abstract group on GroupNames