अदिश क्षेत्र सिद्धांत

सैद्धांतिक भौतिकी में, अदिश क्षेत्र सिद्धांत एक सापेक्षिक रूप से अपरिवर्तनीय शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत या अदिश क्षेत्रों के क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत का उल्लेख कर सकता है। किसी भी लोरेंत्ज़ परिवर्तन के तहत एक अदिश क्षेत्र अपरिवर्तनीय है। प्रकृति में देखा गया एकमात्र मौलिक अदिश क्वांटम क्षेत्र हिग्स क्षेत्र है। हालांकि, कई भौतिक घटनाओं के प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत विवरण में स्केलर क्वांटम फ़ील्ड की विशेषता है। एक उदाहरण पिओन है, जो वास्तव में एक छद्म अदिश  है। चूँकि उनमें फोटॉन ध्रुवीकरण शामिल नहीं है#ध्रुवीकरण जटिलताओं को बताता है, स्केलर फ़ील्ड अक्सर कैनोनिकल क्वांटिज़ेशन की सराहना करने के लिए सबसे आसान होते हैं#रियल स्केलर फ़ील्ड के माध्यम से। इस कारण से, अदिश क्षेत्र सिद्धांतों का प्रयोग अक्सर नवीन अवधारणाओं और तकनीकों के परिचय के प्रयोजनों के लिए किया जाता है। नीचे नियोजित मीट्रिक हस्ताक्षर है $(0, 0)$.

शास्त्रीय अदिश क्षेत्र सिद्धांत
इस खंड के लिए एक सामान्य संदर्भ रामोंड, पियरे (2001-12-21) है। फील्ड थ्योरी: ए मॉडर्न प्राइमर (द्वितीय संस्करण)। यूएसए: वेस्टव्यू प्रेस। ISBN 0-201-30450-3, अध्याय 1।

रेखीय (मुक्त) सिद्धांत
सबसे बुनियादी अदिश क्षेत्र सिद्धांत रेखीय सिद्धांत है। खेतों के फूरियर रूपांतरण के माध्यम से, यह सामान्य मोड का प्रतिनिधित्व करता है # क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर के युग्मित ऑसिलेटर # हार्मोनिक ऑसिलेटर जाली: फोनन जहां ऑसिलेटर इंडेक्स की निरंतर सीमा i को अब निरूपित किया जाता है $x$. सापेक्षता के मुक्त सिद्धांत के लिए क्रिया (भौतिकी) अदिश क्षेत्र सिद्धांत तब है
 * $$\begin{align}

\mathcal{S} &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \mathrm{d}t \mathcal{L} \\ &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \mathrm{d}t \left[\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi - \frac{1}{2} m^2\phi^2\right] \\[6pt] &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \mathrm{d}t \left[\frac{1}{2}(\partial_t\phi)^2 - \frac{1}{2}\delta^{ij}\partial_i\phi \partial_j\phi -\frac{1}{2} m^2\phi^2\right], \end{align}$$ कहाँ $$\mathcal{L}$$ Lagrangian घनत्व के रूप में जाना जाता है; $(+, −, −, −)$ तीन स्थानिक निर्देशांकों के लिए; $d^{4&minus;1}x ≡ dx ⋅ dy ⋅ dz ≡ dx^{1} ⋅ dx^{2} ⋅ dx^{3}$ क्रोनकर डेल्टा फलन है; और $δ^{ij}$ के लिए $ρ$-वाँ समन्वय $∂_{ρ} = ∂/∂x^{ρ}$.

यह एक द्विघात क्रिया का एक उदाहरण है, क्योंकि प्रत्येक पद क्षेत्र में द्विघात है, $φ$. शब्द आनुपातिक है m2}कण द्रव्यमान के संदर्भ में, इस सिद्धांत के मात्रात्मक संस्करण में, इसके बाद की व्याख्या के कारण, कभी-कभी द्रव्यमान शब्द के रूप में जाना जाता है।

इस सिद्धांत के लिए गति का समीकरण Euler-Lagrange ऊपर की कार्रवाई द्वारा प्राप्त किया गया है। यह निम्न रूप लेता है, रैखिक में $φ$,


 * $$\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu\phi+m^2\phi=\partial^2_t\phi-\nabla^2\phi+m^2\phi=0 ~,$$

कहाँ ∇2 डेल#लैपलेसियन है। यह क्लेन-गॉर्डन समीकरण है, क्वांटम-यांत्रिक तरंग समीकरण के बजाय शास्त्रीय क्षेत्र समीकरण के रूप में व्याख्या के साथ।

अरेखीय (बातचीत) सिद्धांत
उपरोक्त रैखिक सिद्धांत का सबसे आम सामान्यीकरण एक स्केलर क्षमता को जोड़ना है $x^{ρ}$ Lagrangian यांत्रिकी के लिए, जहां आम तौर पर, द्रव्यमान शब्द के अतिरिक्त, V एक बहुपद है $Φ$. इस तरह के सिद्धांत को कभी-कभी अंतःक्रियात्मक कहा जाता है, क्योंकि यूलर-लग्रेंज समीकरण|यूलर-लग्रेंज समीकरण अब अरैखिक है, जिसका अर्थ है आत्म-ऊर्जा|आत्म-बातचीत। इस तरह के सबसे सामान्य सिद्धांत के लिए क्रिया है


 * $$\begin{align}

\mathcal{S} &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \, \mathrm{d}t \mathcal{L} \\[3pt] &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \mathrm{d}t \left[\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi - V(\phi) \right] \\[3pt] &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \, \mathrm{d}t \left[ \frac{1}{2}(\partial_t\phi)^2 - \frac{1}{2}\delta^{ij}\partial_i\phi\partial_j\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2 - \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n!} g_n\phi^n \right] \end{align}$$ तब! विस्तार में कारक पेश किए गए हैं क्योंकि वे क्वांटम सिद्धांत के रिचर्ड फेनमैन आरेख विस्तार में उपयोगी हैं, जैसा कि नीचे वर्णित है।

गति का संगत यूलर-लैग्रेंज समीकरण अब है
 * $$\eta^{\mu\nu} \partial_\mu \partial_\nu\phi + V'(\phi) = \partial^2_t \phi - \nabla^2 \phi + V'(\phi) = 0.$$

आयामी विश्लेषण और स्केलिंग
इन अदिश क्षेत्र सिद्धांतों में भौतिक मात्रा में लंबाई, समय या द्रव्यमान या तीनों के कुछ संयोजन के आयाम हो सकते हैं।

हालाँकि, एक सापेक्षवादी सिद्धांत में, कोई भी मात्रा $t$, समय के आयामों के साथ, लंबाई में आसानी से परिवर्तित किया जा सकता है, $V(Φ)$, प्रकाश के वेग का उपयोग करके,  $c$. इसी प्रकार, कोई लम्बाई $l$ एक व्युत्क्रम द्रव्यमान के बराबर है, $l =ct$, प्लांक स्थिरांक का उपयोग करके, $ħ$. प्राकृतिक इकाइयों में, एक समय को लंबाई के रूप में, या या तो समय या लंबाई को व्युत्क्रम द्रव्यमान के रूप में माना जाता है।

संक्षेप में, कोई भी किसी भी भौतिक मात्रा के आयामों के बारे में सोच सकता है, जैसा कि तीनों के बजाय केवल एक स्वतंत्र आयाम के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। इसे अक्सर मात्रा का शास्त्रीय स्केलिंग आयाम कहा जाता है। प्रत्येक मात्रा के आयामों को जानने के बाद, इस द्रव्यमान आयाम के संदर्भ में प्राकृतिक इकाइयों की अभिव्यक्ति से पारंपरिक आयामों को अद्वितीय रूप से पुनर्स्थापित करने की अनुमति मिलती है, केवल अपेक्षित शक्तियों को पुन: स्थापित करके $ħ$ और $c$ आयामी स्थिरता के लिए आवश्यक है।

एक बोधगम्य आपत्ति यह है कि यह सिद्धांत शास्त्रीय है, और इसलिए यह स्पष्ट नहीं है कि प्लैंक स्थिरांक सिद्धांत का एक हिस्सा कैसे होना चाहिए। यदि वांछित है, तो वास्तव में द्रव्यमान आयामों के बिना सिद्धांत को फिर से तैयार किया जा सकता है: हालांकि, यह क्वांटम स्केलर क्षेत्र के साथ संबंध को थोड़ा अस्पष्ट करने की कीमत पर होगा। यह देखते हुए कि किसी के पास द्रव्यमान के आयाम हैं, प्लैंक स्थिरांक | प्लैंक स्थिरांक को क्रिया की एक अनिवार्य रूप से मनमाना निश्चित संदर्भ मात्रा के रूप में माना जाता है (जरूरी नहीं कि परिमाणीकरण से जुड़ा हो), इसलिए द्रव्यमान और व्युत्क्रम लंबाई के बीच परिवर्तित करने के लिए उपयुक्त आयामों के साथ।

स्केलिंग आयाम
शास्त्रीय स्केलिंग आयाम, या द्रव्यमान आयाम, $Δ$, का  $φ$ निर्देशांकों के पुनर्विक्रय के तहत क्षेत्र के परिवर्तन का वर्णन करता है:
 * $$x\rightarrow\lambda x$$
 * $$\phi\rightarrow\lambda^{-\Delta}\phi ~.$$

कार्रवाई की इकाइयां कार्रवाई की इकाइयों के समान हैं $ħ$, और इसलिए क्रिया में शून्य द्रव्यमान आयाम है। यह क्षेत्र के स्केलिंग आयाम को ठीक करता है $φ$ होना
 * $$\Delta =\frac{D-2}{2}.$$

स्केल इनवेरियन
एक विशिष्ट अर्थ है जिसमें कुछ स्केलर क्षेत्र सिद्धांत स्केल इनवेरियन | स्केल-इनवेरिएंट हैं। जबकि उपरोक्त सभी क्रियाएं शून्य द्रव्यमान आयाम के लिए बनाई गई हैं, स्केलिंग परिवर्तन के तहत सभी क्रियाएं अपरिवर्तनीय नहीं हैं
 * $$x\rightarrow\lambda x $$
 * $$\phi\rightarrow\lambda^{-\Delta}\phi ~.$$

सभी क्रियाएं अपरिवर्तनीय नहीं होने का कारण यह है कि व्यक्ति आमतौर पर पैरामीटर m और के बारे में सोचता है $ħ=lmc$ निश्चित मात्रा के रूप में, जो उपरोक्त परिवर्तन के तहत पुन: स्केल नहीं किए गए हैं। एक स्केलर फील्ड थ्योरी के स्केल इनवेरिएंट होने की स्थिति तब काफी स्पष्ट है: कार्रवाई में दिखाई देने वाले सभी पैरामीटर आयाम रहित मात्रा में होने चाहिए। दूसरे शब्दों में, एक स्केल इनवेरिएंट सिद्धांत सिद्धांत में बिना किसी निश्चित लंबाई के पैमाने (या समतुल्य, बड़े पैमाने पर) के बिना एक है।

के साथ एक अदिश क्षेत्र सिद्धांत के लिए $g_{n}$ स्पेसटाइम आयाम, एकमात्र आयाम रहित पैरामीटर $D$ संतुष्ट करता है  $n$ =  $g_{n}$. उदाहरण के लिए, में $2D⁄(D − 2)$ = 4, केवल $D$ शास्त्रीय रूप से आयाम रहित है, और इसलिए केवल शास्त्रीय रूप से स्केल-इनवेरिएंट स्केलर फील्ड थ्योरी में $g_{4}$ = 4 मासलेस क्वार्टिक इंटरेक्शन है |$φ$4 सिद्धांत।

क्लासिकल स्केल इनवेरियन, हालांकि, सामान्य रूप से क्वांटम स्केल इनवेरियन का मतलब नहीं है, क्योंकि पुनर्सामान्यीकरण समूह में शामिल है - नीचे बीटा फ़ंक्शन की चर्चा देखें।

अनुरूप आक्रमण
एक परिवर्तन
 * $$x\rightarrow \tilde{x}(x)$$

यदि परिवर्तन संतुष्ट करता है तो अनुरूप समरूपता कहा जाता है
 * $$\frac{\partial\tilde{x^\mu}}{\partial x^\rho}\frac{\partial\tilde{x^\nu}}{\partial

x^\sigma}\eta_{\mu\nu}=\lambda^2(x)\eta_{\rho\sigma}$$ किसी समारोह के लिए $D$.

अनुरूप समूह में उपसमूहों के रूप में मीट्रिक की आइसोमेट्री होती है $$\eta_{\mu\nu}$$ (पोंकारे समूह) और साथ ही स्केलिंग ट्रांसफ़ॉर्मेशन (या स्केल इनवेरिएंस) ऊपर विचार किया गया। वास्तव में, पिछले खंड में स्केल-इनवेरिएंट सिद्धांत भी अनुरूप-अपरिवर्तनीय हैं।

$φ$4 सिद्धांत
बड़ा $φ$4 सिद्धांत अदिश क्षेत्र सिद्धांत में कई दिलचस्प घटनाओं को दिखाता है।

Lagrangian घनत्व है
 * $$\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_t\phi)^2 -\frac{1}{2}\delta^{ij}\partial_i\phi\partial_j\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2-\frac{g}{4!}\phi^4.$$

स्वतःस्फूर्त समरूपता टूटना
परिवर्तन के तहत इस Lagrangian में ℤ₂ समरूपता है $λ(x)$. यह स्पेसटाइम समरूपता|स्पेस-टाइम समरूपता के विपरीत आंतरिक समरूपता का एक उदाहरण है।

अगर $φ→ −φ$ सकारात्मक है, क्षमता
 * $$V(\phi)=\frac{1}{2}m^2\phi^2 +\frac{g}{4!}\phi^4$$ मूल में एक न्यूनतम है। समाधान φ=0 ℤ₂ समरूपता के तहत स्पष्ट रूप से अपरिवर्तनीय है।

इसके विपरीत यदि $m^{2}$ ऋणात्मक है, तो कोई आसानी से देख सकता है कि क्षमता
 * $$\, V(\phi)=\frac{1}{2}m^2\phi^2+\frac{g}{4!}\phi^4\!$$ दो मिनिमा हैं। इसे एक डबल वेल पोटेंशियल के रूप में जाना जाता है, और इस तरह के सिद्धांत में निम्नतम ऊर्जा अवस्थाएं (क्वांटम फील्ड सैद्धांतिक भाषा में वैकुआ के रूप में जानी जाती हैं) हैं कार्रवाई के ℤ₂ समरूपता के तहत अपरिवर्तनीय (वास्तव में यह दो वैकुआ में से प्रत्येक को दूसरे में मैप करता है)। इस मामले में, ℤ₂ समरूपता को सहज समरूपता तोड़ना कहा जाता है।

गुत्थी समाधान
$φ}|च$4 नकारात्मक के साथ सिद्धांत $m$2 में एक किंक सॉल्यूशन भी है, जो सॉलिटन का एक कैनोनिकल उदाहरण है। ऐसा समाधान रूप का है
 * $$\phi(\vec{x}, t) = \pm\frac{m}{2\sqrt{\frac{g}{4!}}}\tanh\left[\frac{m(x - x_0)}{\sqrt{2}}\right]$$

कहाँ $x$ स्थानिक चरों में से एक है ($φ$ से स्वतंत्र माना जाता है  $t$, और शेष स्थानिक चर)। समाधान दोहरे कुएं की क्षमता के दो अलग-अलग रिक्तिका के बीच प्रक्षेपित करता है। अपरिमित ऊर्जा के विलयन से गुजरे बिना किंक को निरंतर विलयन में बदलना संभव नहीं है और इसी कारण से किंक को स्थिर कहा जाता है। D>2 के लिए (यानी, एक से अधिक स्थानिक आयाम वाले सिद्धांत), इस समाधान को  डोमेन दीवार  कहा जाता है।

गुत्थी समाधान के साथ एक अदिश क्षेत्र सिद्धांत का एक अन्य प्रसिद्ध उदाहरण साइन-गॉर्डन सिद्धांत है।

जटिल अदिश क्षेत्र सिद्धांत
एक जटिल अदिश क्षेत्र सिद्धांत में, अदिश क्षेत्र वास्तविक संख्याओं के बजाय जटिल संख्याओं में मान लेता है। जटिल अदिश क्षेत्र चार्ज के साथ स्पिन-0 कणों और एंटीपार्टिकल्स का प्रतिनिधित्व करता है। सामान्य रूप से मानी जाने वाली क्रिया रूप लेती है
 * $$\mathcal{S}=\int \mathrm{d}^{D-1}x \, \mathrm{d}t

\mathcal{L} = \int \mathrm{d}^{D-1}x \, \mathrm{d}t \left[\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi^*\partial_\nu\phi -V(|\phi|^2)\right]$$ इसमें U(1), समतुल्य O(2) समरूपता है, जिसकी क्रिया क्षेत्र के स्थान पर घूमती है $$\phi\rightarrow e^{i\alpha}\phi$$, कुछ वास्तविक चरण कोण के लिए $α$.

जहां तक ​​वास्तविक अदिश क्षेत्र की बात है, सहज सममिति का टूटना तब पाया जाता है जब मी2 ऋणात्मक है। यह गोल्डस्टोन की मेक्सिकन हैट क्षमता को जन्म देता है जो वास्तविक स्केलर की डबल-वेल क्षमता का घूर्णन है V के परितः 2π रेडियन द्वारा क्षेत्र$$ (\phi) $$ एक्सिस। समरूपता टूटना एक उच्च आयाम में होता है, अर्थात निर्वात का चुनाव असतत के बजाय निरंतर U(1) समरूपता को तोड़ता है। स्केलर क्षेत्र के दो घटकों को बड़े पैमाने पर मोड और द्रव्यमान रहित गोल्डस्टोन बोसोन के रूप में पुन: कॉन्फ़िगर किया गया है।

हे (एन) सिद्धांत
जटिल अदिश क्षेत्र सिद्धांत को दो वास्तविक क्षेत्रों, φ के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है1 = रे φ और φ2 = Im φ, जो U(1) = O(2) आंतरिक समरूपता के सदिश प्रतिनिधित्व में रूपांतरित होता है। हालांकि इस तरह के क्षेत्र आंतरिक समरूपता के तहत एक सदिश के रूप में परिवर्तित होते हैं, फिर भी वे लोरेंत्ज़ स्केलर हैं।

यह ऑर्थोगोनल समूह | ओ (एन) समरूपता के वेक्टर प्रतिनिधित्व में परिवर्तित एन स्केलर फ़ील्ड के सिद्धांत के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। O(N)-इनवेरिएंट स्केलर फील्ड थ्योरी के लिए Lagrangian आमतौर पर फॉर्म का होता है
 * $$\mathcal{L}=\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi\cdot\partial_\nu\phi -V(\phi\cdot\phi)$$

उपयुक्त O(N)-इनवेरिएंट आंतरिक उत्पाद का उपयोग करना। सिद्धांत को जटिल वेक्टर क्षेत्रों के लिए भी व्यक्त किया जा सकता है, अर्थात $$\phi\in\Complex^n$$, जिस स्थिति में सममिति समूह लाई समूह SU(N) है।

गेज-फील्ड कपलिंग
जब स्केलर क्षेत्र सिद्धांत को यांग-मिल्स क्रिया के लिए गेज अपरिवर्तनीय तरीके से जोड़ा जाता है, तो सुपरकंडक्टर्स के गिन्ज़बर्ग-लैंडौ सिद्धांत को प्राप्त किया जाता है। उस सिद्धांत के टोपोलॉजिकल सॉलिटॉन एक सुपरकंडक्टर में भंवरों के अनुरूप हैं; मैक्सिकन टोपी की न्यूनतम क्षमता सुपरकंडक्टर के ऑर्डर पैरामीटर से मेल खाती है।

क्वांटम स्केलर क्षेत्र सिद्धांत
इस खंड के लिए एक सामान्य संदर्भ रामोंड, पियरे (2001-12-21) है। फील्ड थ्योरी: ए मॉडर्न प्राइमर (द्वितीय संस्करण)। यूएसए: वेस्टव्यू प्रेस। ISBN 0-201-30450-3, च. 4

क्वांटम फील्ड थ्योरी में, फील्ड और उनसे निर्मित सभी ऑब्जर्वेबल्स को हिल्बर्ट स्पेस पर क्वांटम ऑपरेटरों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यह हिल्बर्ट अंतरिक्ष एक निर्वात स्थिति पर बनाया गया है, और गतिकी एक क्वांटम हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) द्वारा नियंत्रित होती है, जो एक सकारात्मक-निश्चित ऑपरेटर है जो निर्वात को नष्ट कर देता है। क्वांटम स्केलर फील्ड थ्योरी का निर्माण विहित परिमाणीकरण लेख में विस्तृत है, जो क्षेत्रों के बीच कैनोनिकल कम्यूटेशन संबंधों पर निर्भर करता है। अनिवार्य रूप से, क्लासिकल ऑसिलेटर्स की अनन्तता को स्केलर क्षेत्र में इसके (डिकॉउल्ड) सामान्य मोड्स के रूप में पुन: व्यवस्थित किया गया है, अब मानक तरीके से परिमाणित किया गया है, इसलिए संबंधित क्वांटम ऑपरेटर फ़ील्ड संबंधित फॉक स्पेस पर कार्य करने वाले क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर्स की अनंतता का वर्णन करता है।

संक्षेप में, मूल चर क्वांटम क्षेत्र हैं $φ$ और इसकी विहित गति $π$. ये दोनों ऑपरेटर-मूल्यवान फ़ील्ड हर्मिटियन ऑपरेटर हैं। स्थानिक बिंदुओं पर $x$, $y$ और समान समय पर, उनके विहित रूपान्तरण संबंध द्वारा दिए गए हैं


 * $$\begin{align}

\left[\phi\left(\vec{x}\right), \phi\left(\vec{y}\right)\right] = \left[\pi\left(\vec{x}\right), \pi\left(\vec{y}\right)\right] &= 0,\\ \left[\phi\left(\vec{x}\right), \pi\left(\vec{y}\right)\right] &= i \delta\left(\vec{x} - \vec{y}\right), \end{align}$$ जबकि मुक्त हैमिल्टनियन (क्वांटम सिद्धांत), ऊपर के समान है,
 * $$H = \int d^3x \left[{1 \over 2}\pi^2 + {1 \over 2}(\nabla \phi)^2 + {m^2 \over 2}\phi^2\right].$$

एक स्थानिक फूरियर परिवर्तन गति अंतरिक्ष क्षेत्रों की ओर जाता है
 * $$\begin{align}

\widetilde{\phi}(\vec{k}) &= \int d^3x e^{-i\vec{k}\cdot\vec{x}}\phi(\vec{x}),\\ \widetilde{\pi}(\vec{k}) &= \int d^3x e^{-i\vec{k}\cdot\vec{x}}\pi(\vec{x}) \end{align}$$ जो संहार और निर्माण संचालकों का संकल्प लेते हैं
 * $$\begin{align}

a(\vec{k}) &= \left(E\widetilde{\phi}(\vec{k}) + i\widetilde{\pi}(\vec{k})\right),\\ a^\dagger(\vec{k}) &= \left(E\widetilde{\phi}(\vec{k}) - i\widetilde{\pi}(\vec{k})\right), \end{align}$$ कहाँ $$E = \sqrt{k^2 + m^2}$$.

ये ऑपरेटर कम्यूटेशन संबंधों को पूरा करते हैं
 * $$\begin{align}

\left[a(\vec{k}_1), a(\vec{k}_2)\right] = \left[a^\dagger(\vec{k}_1), a^\dagger(\vec{k}_2)\right] &= 0,\\ \left[a(\vec{k}_1), a^\dagger(\vec{k}_2)\right] &= (2\pi)^3 2E \delta(\vec{k}_1 - \vec{k}_2). \end{align}$$ राज्य $$| 0\rangle$$ सभी ऑपरेटरों द्वारा सत्यानाश a की पहचान नंगे निर्वात और गति के साथ एक कण के रूप में की जाती है $k$ लगाकर बनाया जाता है $$a^\dagger(\vec{k})$$ निर्वात को।

निर्माण संचालकों के सभी संभावित संयोजनों को वैक्यूम में लागू करने से संबंधित हिल्बर्ट स्पेस का निर्माण होता है: इस निर्माण को फॉक स्पेस कहा जाता है। हैमिल्टनियन द्वारा निर्वात का सत्यानाश कर दिया जाता है
 * $$H = \int {d^3k\over (2\pi)^3}\frac{1}{2} a^\dagger(\vec{k}) a(\vec{k}), $$

जहां बाती आदेश  द्वारा शून्य-बिंदु ऊर्जा को हटा दिया गया है। (विहित परिमाणीकरण देखें।)

इंटरेक्शन हैमिल्टनियन जोड़कर इंटरैक्शन को शामिल किया जा सकता है। φ के लिए4 सिद्धांत, यह एक विक आदेशित शब्द g:φ जोड़ने के अनुरूप है4:/4! हैमिल्टनियन के लिए, और एक्स पर एकीकृत करना। परस्पर क्रिया चित्र  में इस हैमिल्टनियन से स्कैटरिंग एम्पलीट्यूड की गणना की जा सकती है। इनका निर्माण डायसन श्रृंखला के माध्यम से पर्टर्बेशन सिद्धांत (क्वांटम यांत्रिकी) में किया गया है, जो समय-आदेशित उत्पाद, या एन-कण ग्रीन के कार्य देता है। $$\langle 0|\mathcal{T}\{\phi(x_1) \cdots \phi(x_n)\}|0\rangle$$ जैसा कि डायसन श्रृंखला लेख में वर्णित है। ग्रीन के कार्यों को श्विंगर-डायसन समीकरण के समाधान के रूप में निर्मित जनरेटिंग फ़ंक्शन से भी प्राप्त किया जा सकता है।

फेनमैन पथ अभिन्न
फेनमैन आरेख विस्तार फेनमैन पथ अभिन्न सूत्रीकरण से भी प्राप्त किया जा सकता है। समय में बहुपदों के निर्वात अपेक्षा मूल्यों का आदेश दिया $φ$, जिसे एन-पार्टिकल ग्रीन के कार्यों के रूप में जाना जाता है, का निर्माण सभी संभावित क्षेत्रों को एकीकृत करके किया जाता है, बिना किसी बाहरी क्षेत्र के वैक्यूम अपेक्षा मान द्वारा सामान्य किया जाता है,


 * $$\langle 0|\mathcal{T}\{\phi(x_1)\cdots \phi(x_n)\}|0\rangle =

\frac {\int \mathcal{D}\phi \phi(x_1) \cdots \phi(x_n) e^{i\int d^4x \left({1 \over 2}\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi - {m^2 \over 2}\phi^2 - {g \over 4!}\phi^4\right)}} {\int \mathcal{D}\phi e^{i\int d^4x \left({1 \over 2}\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi - {m^2 \over 2}\phi^2 - {g \over 4!}\phi^4\right)}}. $$ इन सभी ग्रीन के कार्यों को जनरेटिंग फ़ंक्शन में जे (एक्स) φ (एक्स) में घातांक का विस्तार करके प्राप्त किया जा सकता है

Z[J] = \int \mathcal{D}\phi e^{i\int d^4x \left({1 \over 2}\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi - {m^2 \over 2}\phi^2 - {g \over 4!}\phi^4 + J\phi\right)} = Z[0] \sum_{n=0}^{\infty} \frac{i^n}{n!} J(x_1) \cdots J(x_n) \langle 0|\mathcal{T}\{\phi(x_1) \cdots \phi(x_n)\}|0\rangle. $$ समय को काल्पनिक बनाने के लिए एक बाती घुमाव लागू किया जा सकता है। सिग्नेचर को (++++) में बदलने के बाद फेनमैन इंटीग्रल को यूक्लिडियन अंतरिक्ष  में एक विभाजन फ़ंक्शन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) में बदल देता है,
 * $$Z[J] = \int \mathcal{D}\phi e^{-\int d^4x \left[{1 \over 2}(\nabla\phi)^2 + {m^2 \over 2}\phi^2 + {g \over 4!}\phi^4 + J\phi\right]}.$$

आम तौर पर, यह नियत संवेग वाले कणों के प्रकीर्णन पर लागू होता है, जिस स्थिति में, फूरियर रूपांतरण उपयोगी होता है, इसके बदले देता है
 * $$\tilde{Z}[\tilde{J}]=\int \mathcal{D}\tilde\phi e^{-\int {d^4p \over (2\pi)^4} \left({1\over 2}(p^2+m^2)\tilde\phi^2-\tilde{J}\tilde\phi+{g \over 4!}{\int {d^4p_1 \over (2\pi)^4}{d^4p_2 \over (2\pi)^4}{d^4p_3 \over (2\pi)^4}\delta(p-p_1-p_2-p_3)\tilde\phi(p)\tilde\phi(p_1)\tilde\phi(p_2)\tilde\phi(p_3)}\right)}.$$

कहाँ $$\delta(x)$$ डिराक डेल्टा समारोह है।

इस कार्यात्मक अभिन्न का मूल्यांकन करने के लिए मानक चाल इसे घातीय कारकों के उत्पाद के रूप में लिखना है, योजनाबद्ध रूप से,
 * $$\tilde{Z}[\tilde{J}]=\int \mathcal{D}\tilde\phi \prod_p \left[e^{-(p^2+m^2)\tilde\phi^2/2} e^{-g/4!\int {d^4p_1 \over (2\pi)^4}{d^4p_2 \over (2\pi)^4}{d^4p_3 \over (2\pi)^4}\delta(p-p_1-p_2-p_3)\tilde\phi(p)\tilde\phi(p_1)\tilde\phi(p_2)\tilde\phi(p_3)} e^{\tilde{J}\tilde\phi}\right].$$

दूसरे दो घातीय कारकों को शक्ति श्रृंखला के रूप में विस्तारित किया जा सकता है, और इस विस्तार के कॉम्बिनेटरिक्स को क्वार्टिक इंटरेक्शन के फेनमैन आरेखों के माध्यम से ग्राफिक रूप से प्रदर्शित किया जा सकता है।

जी = 0 के साथ अभिन्न को अनंत रूप से कई प्राथमिक गॉसियन इंटीग्रल के उत्पाद के रूप में माना जा सकता है: परिणाम को फेनमैन आरेखों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसकी गणना निम्नलिखित फेनमैन नियमों का उपयोग करके की जाती है:
 * प्रत्येक क्षेत्र $~ φ$(पी) एन-पॉइंट यूक्लिडियन ग्रीन के फ़ंक्शन को ग्राफ़ में एक बाहरी रेखा (आधा-किनारे) द्वारा दर्शाया गया है, और गति पी के साथ जुड़ा हुआ है।
 * प्रत्येक शीर्ष को गुणक -g द्वारा दर्शाया जाता है।
 * दिए गए आदेश पर जीk, n बाहरी रेखाओं वाले सभी आरेख और $k$ शीर्षों का निर्माण इस प्रकार किया जाता है कि प्रत्येक शीर्ष में बहने वाला संवेग शून्य होता है। प्रत्येक आंतरिक रेखा को एक प्रचारक द्वारा दर्शाया जाता है 1/(q2 + मी2), जहां $q$ उस रेखा से बहने वाली गति है।
 * कोई भी अप्रतिबंधित क्षण सभी मूल्यों पर एकीकृत होते हैं।
 * परिणाम को एक समरूपता कारक द्वारा विभाजित किया जाता है, जो कि ग्राफ़ की रेखाओं और शीर्षों को इसकी कनेक्टिविटी को बदले बिना पुनर्व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या है।
 * निर्वात बुलबुले वाले ग्राफ़ शामिल न करें, बिना किसी बाहरी रेखा वाले कनेक्टेड सबग्राफ़।

अंतिम नियम द्वारा विभाजित करने के प्रभाव को ध्यान में रखता है ~|Z}[0]। मिन्कोव्स्की-स्पेस फेनमैन नियम समान हैं, सिवाय इसके कि प्रत्येक शीर्ष को -ig द्वारा दर्शाया गया है, जबकि प्रत्येक आंतरिक रेखा को एक प्रचारक i/(q) द्वारा दर्शाया गया है।2−मी 2+iε), जहां $ε$ शब्द मिन्कोव्स्की-स्पेस गॉसियन इंटीग्रल कन्वर्ज बनाने के लिए आवश्यक छोटे विक रोटेशन का प्रतिनिधित्व करता है।

नवीनीकरण
अप्रतिबंधित गति पर अभिन्न, जिसे लूप इंटीग्रल कहा जाता है, फेनमैन ग्राफ में आमतौर पर विचलन होता है। यह आम तौर पर पुनर्सामान्यीकरण द्वारा नियंत्रित किया जाता है, जो लैग्रेंजियन के लिए अलग-अलग काउंटर-टर्म्स को इस तरह से जोड़ने की एक प्रक्रिया है कि मूल लैग्रेंजियन और काउंटर-टर्म्स से निर्मित आरेख परिमित हैं। प्रक्रिया में एक पुनर्सामान्यीकरण पैमाना पेश किया जाना चाहिए, और युग्मन स्थिरांक और द्रव्यमान इस पर निर्भर हो जाते हैं।

युग्मन स्थिरांक की निर्भरता $g$ पैमाने पर $λ$ बीटा फ़ंक्शन (भौतिकी) द्वारा एन्कोड किया गया है, $m^{2}$, द्वारा परिभाषित
 * $$\beta(g) = \lambda\,\frac{\partial g}{\partial \lambda} ~.$$

ऊर्जा पैमाने पर इस निर्भरता को युग्मन पैरामीटर के चलने के रूप में जाना जाता है, और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में इस व्यवस्थित पैमाने-निर्भरता के सिद्धांत को पुनर्संरचना समूह द्वारा वर्णित किया गया है।

बीटा-फ़ंक्शंस की गणना आमतौर पर एक सन्निकटन योजना में की जाती है, सबसे सामान्य रूप से पर्टर्बेशन थ्योरी (क्वांटम यांत्रिकी), जहाँ कोई मानता है कि युग्मन स्थिरांक छोटा है। इसके बाद कोई युग्मन पैरामीटर की शक्तियों में विस्तार कर सकता है और उच्च-क्रम शर्तों को कम कर सकता है (संबंधित फेनमैन ग्राफ में लूप की संख्या के कारण उच्च फेनमैन ग्राफ योगदान के रूप में भी जाना जाता है)। $β(g)$ - के लिए एक लूप (पहला परेशान योगदान) पर कार्य करें $φ$4 सिद्धांत है
 * $$\beta(g) = \frac{3}{16\pi^2}g^2 + O\left(g^3\right) ~.$$

तथ्य यह है कि निम्नतम-क्रम अवधि के सामने संकेत सकारात्मक है, यह बताता है कि युग्मन स्थिरांक ऊर्जा के साथ बढ़ता है। यदि यह व्यवहार बड़े युग्मों पर बना रहता है, तो यह क्वांटम तुच्छता से उत्पन्न होने वाली परिमित ऊर्जा पर लैंडौ ध्रुव की उपस्थिति का संकेत देगा। हालाँकि, प्रश्न का उत्तर केवल गैर-विक्षोभ रूप से दिया जा सकता है, क्योंकि इसमें मजबूत युग्मन शामिल है।

एक क्वांटम फील्ड थ्योरी को तुच्छ कहा जाता है, जब बीटा फ़ंक्शन (भौतिकी) के माध्यम से गणना की जाने वाली रेनॉर्मलाइज़्ड कपलिंग शून्य हो जाती है, जब पराबैंगनी कटऑफ़ हटा दी जाती है। नतीजतन, प्रचारक एक मुक्त कण बन जाता है और क्षेत्र अब बातचीत नहीं कर रहा है।

एक के लिए $φ$4 बातचीत, माइकल आइज़ेनमैन ने साबित किया कि अंतरिक्ष-समय के आयाम के लिए सिद्धांत वास्तव में तुच्छ है $D$ ≥ 5. के लिए $4 d$ = 4, तुच्छता को अभी तक कठोरता से सिद्ध किया जाना बाकी है, लेकिन क्वांटम तुच्छता ने इसके लिए पुख्ता सबूत प्रदान किए हैं। यह तथ्य महत्वपूर्ण है क्योंकि क्वांटम तुच्छता का उपयोग हिग्स बॉसन द्रव्यमान जैसे मापदंडों को बाध्य करने या भविष्यवाणी करने के लिए भी किया जा सकता है। यह असम्बद्ध रूप से सुरक्षित गुरुत्वाकर्षण के भौतिक अनुप्रयोगों में एक अनुमानित हिग्स द्रव्यमान का कारण बन सकता है # हिग्स बोसोन परिदृश्यों का द्रव्यमान।

यह भी देखें

 * पुनर्सामान्यीकरण
 * क्वांटम तुच्छता
 * लैंडौ पोल
 * स्केल इनवेरियन#सीएफटी विवरण|स्केल इनवेरियन (सीएफटी विवरण)
 * स्केलर इलेक्ट्रोडायनामिक्स

बाहरी संबंध

 * The Conceptual Basis of Quantum Field Theory Click on the link for Chap. 3 to find an extensive, simplified introduction to scalars in relativistic quantum mechanics and quantum field theory.