ऋणात्मक संभाव्यता

किसी प्रयोग के परिणामों की संभाव्यता कभी भी ऋणात्मक नहीं होती है, यद्यपि अर्धसंभाव्यता वितरण कुछ घटनाओं के लिए ऋणात्मक संभाव्यता, या अर्धसंभाव्यता की अनुमति देता है। ये वितरण न देखी जा सकने वाली घटनाओं या प्रतिबंधित संभाव्यताओं पर प्रयुक्त हो सकते हैं।

भौतिकी और गणित
1942 में, पॉल डिराक ने क्वांटम यांत्रिकी की भौतिक व्याख्या नामक एक पेपर लिखा जहां उन्होंने ऋणात्मक ऊर्जा और ऋणात्मक संभाव्यताओं की अवधारणा को प्रस्तुत की:

"नकारात्मक ऊर्जाओं और संभावनाओं को व्यर्थ नहीं समझना चाहिए। वे गणितीय रूप से संपूर्ण रूप से परिभाषित अवधारणाएं होती हैं, जैसे धन का नकारात्मक।"

ऋणात्मक संभाव्यताओं के विचार पर पश्चात् में भौतिकी और विशेष रूप से क्वांटम यांत्रिकी में अधिक ध्यान दिया गया। रिचर्ड फेनमैन ने तर्क दिया की गणना में ऋणात्मक संख्याओं का उपयोग करने पर किसी को आपत्ति नहीं होती है: यद्यपि वास्तविक जीवन में "माइनस थ्री एप्पल्स" एक अवधारणा नहीं है, ऋणात्मक धन वैध होता है। इसी तरह उन्होंने तर्क दिया कि कैसे ऋणात्मक संभाव्यताएं और साथ ही 1 (संख्या) से ऊपर की संभाव्यताएं संभवतः संभाव्यता गणना में उपयोगी हो सकती हैं।

पश्चात् में कई समस्याओं और विरोधाभासों को हल करने के लिए ऋणात्मक संभाव्यताओं का सुझाव दिया गया है। आधे सिक्के ऋणात्मक संभाव्यताओं के लिए सरल उदाहरण प्रदान करते हैं। ये विचित्र सिक्के 2005 में गैबोर जे. शेकली द्वारा प्रस्तुत किए गए थे। आधे सिक्कों में अनंत रूप से कई पहलू होते हैं जिन पर 0,1,2,... अंकित होते हैं और सकारात्मक सम संख्याओं को ऋणात्मक संभाव्यताओं के साथ लिया जाता है। दो आधे सिक्के इस अर्थ में एक पूर्ण सिक्का बनाते हैं कि यदि हम दो आधे सिक्कों को उछालते हैं तो परिणामों का योग 0 या 1 होता है जिसकी प्रायिकता 1/2 होती है जैसे कि हमने एक निष्पक्ष सिक्के को उछाला हो।

गैर-ऋणात्मक निश्चित कार्यों के कनवल्शन भागफल में और बीजगणितीय संभाव्यता सिद्धांत इमरे ज़ेड रुज़सा और गैबोर जे शेकेली ने सिद्ध किया कि यदि एक यादृच्छिक चर X में हस्ताक्षरित या अर्ध वितरण होता है जहां कुछ संभावनाएं नकारात्मक होती हैं तो कोई भी सदैव दो यादृच्छिक चर, Y और Z, को को सामान्य (हस्ताक्षरित नहीं / अर्ध नहीं) वितरण के साथ पा सकता है, जैसे कि X, Y स्वतंत्र होतेहैं और वितरण में X + Y = Z होता है। इस प्रकार X की व्याख्या सदैव दो सामान्य यादृच्छिक चर, Z और Y के "अंतर" के रूप में की जा सकती है। यदि Y की व्याख्या X की माप त्रुटि के रूप में की जाती है और देखा गया मान Z है तो X के वितरण के नकारात्मक क्षेत्रों को त्रुटि Y द्वारा छुपाया/परिरक्षित किया जाता है।

चरण स्थान सूत्रीकरण में विग्नर वितरण के रूप में जाना जाने वाला एक अन्य उदाहरण, क्वांटम सुधारों का अध्ययन करने के लिए 1932 में यूजीन विग्नर द्वारा प्रस्तुत किया गया था, जो सामान्यतः ऋणात्मक संभाव्यताओं की ओर ले जाता है। इस कारण से, इसे पश्चात् में विग्नर क्वासिप्रोबेबिलिटी वितरण के रूप में जाना जाने लगा। 1945 में, एम. एस. बार्टलेट ने इस तरह के ऋणात्मक मूल्य की गणितीय और तार्किक स्थिरता पर काम किया। विग्नर वितरण फलन आजकल भौतिकी में नियमित रूप से उपयोग किया जाता है, और वेइल परिमाणीकरण चरण-अंतरिक्ष परिमाणीकरण की आधारशिला प्रदान करता है। इसकी ऋणात्मक विशेषताएं औपचारिकता के लिए एक परिसंपत्ति हैं, और सामान्यतः क्वांटम हस्तक्षेप का संकेत देती हैं। वितरण के ऋणात्मक क्षेत्रों को क्वांटम अनिश्चितता सिद्धांत द्वारा प्रत्यक्ष अवलोकन से बचाया जाता है: सामान्यतः, ऐसे गैर-सकारात्मक-अर्ध-निश्चित अर्धसंभाव्यता वितरण के क्षण अत्यधिक बाधित होते हैं, और वितरण के ऋणात्मक क्षेत्रों की प्रत्यक्ष मापनीयता को रोकते हैं। फिर भी ये क्षेत्र ऐसे वितरणों के माध्यम से गणना की गई अवलोकन योग्य मात्राओं के अपेक्षित मूल्यों में ऋणात्मक और महत्वपूर्ण योगदान देते हैं।

एक उदाहरण: डबल स्लिट प्रयोग
फोटॉन के साथ एक डबल स्लिट प्रयोग पर विचार करें। प्रत्येक स्लिट से निकलने वाली दो तरंगों को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $$f_1(x) = \sqrt{\frac{dN/dt}{2\pi/d}}\frac{1}{\sqrt{d^2+(x+a/2)^2}}\exp\left[i(h/\lambda)\sqrt{d^2+(x+a/2)^2}\right],$$ और $$f_2(x) = \sqrt{\frac{dN/dt}{2\pi/d}}\frac{1}{\sqrt{d^2+(x-a/2)^2}}\exp\left[i(h/\lambda)\sqrt{d^2+(x-a/2)^2}\right],$$ जहां d डिटेक्शन स्क्रीन की दूरी है, a दो स्लिट्स के बीच का पृथक्करण होता है, x स्क्रीन के केंद्र की दूरी है, λ तरंग दैर्ध्य है और dN/dt स्रोत पर प्रति यूनिट समय में उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या होती है। स्क्रीन के केंद्र से दूरी x पर एक फोटॉन को मापने का आयाम प्रत्येक छिद्र से निकलने वाले इन दो आयामों का योग होता है, और इसलिए स्थिति x पर एक फोटॉन का पता चलने की संभाव्यता इस योग के वर्ग द्वारा दी जाएगी: $$I(x) = \left\vert f_1(x)+f_2(x) \right\vert^2 = \left\vert f_1(x) \right\vert^2 + \left\vert f_2(x) \right\vert^2 + \left[f_1^*(x)f_2(x)+f_1(x)f_2^*(x)\right],$$ इसकी व्याख्या सुप्रसिद्ध संभाव्यता नियम के रूप में की जा सकती है:

$$\begin{align} P(\mathtt{photon\,\,reaches\,\,x\,\,going\,\,through\,\,either\,\,slit}) = \,&P(\mathtt{photon\,\,reaches\,\,x\,\,going\,\,through\,\,slit\,\,1}) \\ & + P(\mathtt{photon\,\,reaches\,\,x}\,\,\mathtt{going\,\,through\,\,slit\,\,2}) \\ & - P(\mathtt{photon\,\,reaches\,\,x}\,\,\mathtt{going\,\,through\,\,both\,\,slits}) \\ \\ =\,&P(\mathtt{photon\,\,reaches\,\,x}\,|\,\mathtt{went\,\,through\,\,slit\,\,1})\,P(\mathtt{going\,\,through\,\,slit\,\,1}) \\ & + P(\mathtt{photon\,\,reaches\,\,x}\,|\,\mathtt{went\,\,through\,\,slit\,\,2})\,P(\mathtt{going\,\,through\,\,slit\,\,2}) \\ & - P(\mathtt{photon\,\,reaches\,\,x}\,\,\mathtt{going\,\,through\,\,both\,\,slits}) \\ \\ =\,&P(\mathtt{photon\,\,reaches\,\,x}\,|\,\mathtt{went\,\,through\,\,slit\,\,1})\,\frac{1}{2} \\ & + P(\mathtt{photon\,\,reaches\,\,x}\,|\,\mathtt{went\,\,through\,\,slit\,\,2})\,\frac{1}{2} \\ & - P(\mathtt{photon\,\,reaches\,\,x}\,\,\mathtt{going\,\,through\,\,both\,\,slits}) \end{align}$$

अंतिम पद का जो भी अर्थ हो। वास्तव में, यदि कोई छिद्रों में से किसी एक को संवृत कर देता है जिससे फोटॉन को दूसरे स्लिट के माध्यम से जाना पड़ता है, तो दो संगत तीव्रताएं निम्न प्रकार होती हैं $$I_1(x) = \left\vert f_1(x) \right\vert^2 = \frac{1}{2}\frac{dN}{dt}\frac{d/\pi}{d^2+(x+a/2)^2}$$ और $$I_2(x) = \left\vert f_2(x) \right\vert^2 = \frac{1}{2}\frac{dN}{dt}\frac{d/\pi}{d^2+(x-a/2)^2}.$$ परन्तु अब, यदि कोई इनमें से प्रत्येक शब्द की इस तरह से व्याख्या करता है, तो संयुक्त संभाव्यता प्राक्कलित प्रत्येक $$\lambda\frac{d}{a}$$ का ऋणात्मक मान लेती है : $$\begin{align} I_{12}(x) & = \left[f_1^*(x)f_2(x)+f_1(x)f_2^*(x)\right] \\ & = \frac{1}{2} \frac{dN}{dt} \frac{d/\pi}{\sqrt{d^2+(x-a/2)^2}\sqrt{d^2+(x+a/2)^2}}2\cos\left[(h/\lambda)(\sqrt{d^2+(x+a/2)^2}-\sqrt{d^2+(x-a/2)^2})\right] \\ \end{align}$$ यद्यपि, इन ऋणात्मक संभाव्यताओं को कभी नहीं देखा जाता है क्योंकि कोई उन स्थितियों को अलग नहीं कर सकते है जिनमें फोटॉन दोनों स्लिटों के माध्यम से निकलता है, परन्तु प्रति-कणों के अस्तित्व पर संकेत दे सकता है।

वित्त
ऋणात्मक संभाव्यताओं को हाल ही में गणितीय वित्त पर प्रयुक्त किया गया है। मात्रात्मक वित्त में अधिकांश संभाव्यताएँ वास्तविक संभाव्यताएँ नहीं होती है जबकि स्यूडो संभाव्यताएँ होती हैं, जिन्हें सामान्यतः संकट तटस्थ संभाव्यताओं के रूप में जाना जाता है। ये वास्तविक संभाव्यताएँ नहीं होती हैं, जबकि मान्यताओं की एक श्रृंखला के तहत सैद्धांतिक संभाव्यताएँ होती हैं जो कुछ स्थितियों में ऐसी स्यूडो संभाव्यताओं को ऋणात्मक होने की अनुमति देकर गणना को सरल बनाने में सहायता करती हैं, जैसा कि सर्वप्रथम 2004 में एस्पेन गार्डर हॉग ने बताया था।

ऋणात्मक संभाव्यताओं और उनके गुणों की एक कठोर गणितीय परिभाषा हाल ही में मार्क बर्गिन और गुंटर मीस्नर (2011) द्वारा प्राप्त की गई थी। लेखक यह भी दिखाते हैं कि वित्तीय विकल्प मूल्य निर्धारण पर ऋणात्मक संभाव्यताओं को कैसे प्रयुक्त किया जा सकता है।

इंजीनियरिंग
विश्वसनीय सुविधा स्थान मॉडल के लिए ऋणात्मक संभाव्यताओं की अवधारणा भी प्रस्तावित की गई है, जहां सुविधा स्थान, ग्राहक आवंटन और पूर्तिकर सेवा योजनाएं एक साथ निर्धारित होने पर सुविधाएं ऋणात्मक रूप से सहसंबद्ध व्यवधान संकटों के अधीन होती हैं। ली एट अल. एक आभासी स्टेशन संरचना का प्रस्ताव रखा जो सकारात्मक रूप से सहसंबद्ध व्यवधानों वाले एक सुगमता पूर्ण नेटवर्क को अतिरिक्त आभासी सहायक स्टेशनों के साथ समकक्ष नेटवर्क में परिवर्तित कर देता है, और ये आभासी स्टेशन स्वतंत्र व्यवधानों के अधीन होते थे। यह दृष्टिकोण किसी समस्या को सहसंबद्ध व्यवधानों से घटाकर बिना व्यवधान वाली समस्या में परिवर्तित कर देता है। झी एट अल. ने पश्चात् में दिखाया गया कि कैसे ऋणात्मक रूप से सहसंबद्ध व्यवधानों को भी उसी मॉडलिंग ढांचे द्वारा संबोधित किया जा सकता है, अतिरिक्त इसके कि एक आभासी सहायक स्टेशन अब "विफलता प्रवृत्ति" के साथ बाधित हो सकता है जो

"... विफलता की संभावना की सभी गणितीय विशेषताओं और गुणों को विरासत के रूप में प्राप्त करते है अतिरिक्त इसके कि हम इसे 1 से बड़ा होने की अनुमति देते हैं..."

यह अन्वेषण साइट-निर्भर और सकारात्मक/ऋणात्मक/मिश्रित सुविधा व्यवधान सहसंबंधों के अनुसार सेवा सुविधाओं के विश्वसनीय स्थान को इष्टतम रूप से डिजाइन करने के लिए सघन मिश्रित-पूर्णांक गणितीय फलनों का उपयोग करने का मार्ग प्रशस्त करती है।

ज़ी एट अल में प्रस्तावित "प्रवृत्ति" अवधारणा होती है। यह वही सिद्ध हुआ जिसे फेनमैन और अन्य लोगों ने "अर्ध-संभाव्यता" कहा था। ध्यान दें कि जब एक अर्ध-संभाव्यता 1 से बड़ी होती है, तो 1 घटा यह मान एक ऋणात्मक संभाव्यता देता है। विश्वसनीय सुविधा स्थान संदर्भ में, वास्तव में भौतिक रूप से सत्यापन योग्य अवलोकन सुविधा व्यवधान स्थितियाँ होती हैं (जिनकी संभाव्यताएँ पारंपरिक सीमा [0,1] के भीतर सुनिश्चित की जाती हैं), परन्तु स्टेशन व्यवधान स्थितियों या उनकी संबंधित संभाव्यताओं पर कोई प्रत्यक्ष सूचना नहीं होती है। इसलिए स्टेशनों की व्यवधान संभाव्यताएं, जिसे "कल्पित मध्यस्थ राज्यों की संभाव्यताओं" के रूप में समझा जाता है, एकता से अधिक हो सकती है, और इस प्रकार इसे अर्ध-संभाव्यताओं के रूप में जाना जाता है।

यह भी देखें

 * ऋणात्मक मानक की अवस्थाओं का अस्तित्व (या गतिज शब्द के त्रुटिपूर्ण संकेत वाले क्षेत्र, जैसे कि पाउली-विलर्स घोस्ट्स) संभाव्यताओं को ऋणात्मक होने की अनुमति देता है। घोस्ट्स (भौतिकी) देखें।
 * हस्ताक्षरित माप
 * विग्नर क्वासिप्रोबेबिलिटी वितरण