क्षमता के गुणांक

स्थिर वैद्युत भंडारण में, क्षमता के गुणांक विद्युत आवेश और स्थिरवैद्युत विभव (विद्युत क्षमता) के बीच संबंध निर्धारित करते हैं, जो विशुद्ध रूप से ज्यामितीय है:

\begin{matrix} \phi_1 = p_{11}Q_1 + \cdots + p_{1n}Q_n \\ \phi_2 = p_{21}Q_1 + \cdots + p_{2n}Q_n \\ \vdots \\ \phi_n = p_{n1}Q_1 + \cdots + p_{nn}Q_n \end{matrix}.$$ जहाँ $Q_{i}$ चालक पर सतही आवेश $i$ है। क्षमता के गुणांक गुणांक $p_{ij}$ हैं। $&phi;_{i}$ को i-वें संवाहक पर विभव के रूप में सही ढंग से पढ़ा जाना चाहिए, और इसलिए $$p_{21}$$संवाहक 2 पर प्रभार 1 के कारण $p$ है।
 * $$p_{ij} = {\partial \phi_i \over \partial Q_j} = \left({\partial \phi_i \over \partial Q_j} \right)_{Q_1,...,Q_{j-1}, Q_{j+1},...,Q_n}.$$

ध्यान दें कि:
 * 1) $p_{ij} = p_{ji}$, समरूपता द्वारा, और
 * 2) $p_{ij}$ प्रभार पर निर्भर नहीं है।

समरूपता की भौतिक विषयवस्तु इस प्रकार है:
 * यदि संवाहक j पर कोई प्रभार Q संवाहक i को संभावित φ पर लाता है, तो i पर रखा गया वही प्रभार j को समान क्षमता φ पर लाएगा।

सामान्यतः, गुणांक का उपयोग संवाहकों की प्रणाली का वर्णन जैसे कि संधारित्र में करते समय किया जाता है।

सिद्धांत
 संवाहकों की प्रणाली है। बिंदु $P$ पर स्थिरवैद्युत विभव $$\phi_P = \sum_{j = 1}^{n}\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{S_j}\frac{\sigma_j da_j}{R_{j}}$$ है।

किसी चालक सतह पर विद्युत क्षमता को देखते हुए $S_{i}$ (समविभव सतह या बिंदु $P$ सतह पर चुना गया $i$) संवाहकों की एक प्रणाली में $j = 1, 2, ..., n$ निहित है:
 * $$\phi_i = \sum_{j = 1}^{n}\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{S_j}\frac{\sigma_j da_j}{R_{ji}} \mbox{ (i=1, 2..., n)},$$

जहां Rji = |ri - rj|, यानी संवाहक i पर क्षेत्रफल-अवयव daj से एक विशेष बिंदु ri तक की दूरी है। $&sigma;_{j}$, सामान्यतः, सतह पर समान रूप से वितरित नहीं है। आइए हम कारक $f_{j}$ का परिचय दें जो बताता है कि $j$-वें संवाहक की सतह पर स्थिति पर वास्तविक प्रभार घनत्व औसत और खुद से कैसे भिन्न होता है:
 * $$\frac{\sigma_j}{\langle\sigma_j\rangle} = f_j,$$

या
 * $$\sigma_j = \langle\sigma_j\rangle f_j = \frac{Q_j}{S_j}f_j.$$

तब,
 * $$\phi_i = \sum_{j = 1}^n\frac{Q_j}{4\pi\epsilon_0S_j}\int_{S_j}\frac{f_j da_j}{R_{ji}}.$$

ऐसा दिखाया जा सकता है $$\int_{S_j}\frac{f_j da_j}{R_{ji}}$$ वितरण $$\sigma_j$$ से स्वतंत्र है। इसलिए, साथ
 * $$p_{ij} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 S_j}\int_{S_j}\frac{f_j da_j}{R_{ji}},$$

अपने पास
 * $$\phi_i=\sum_{j = 1}^n p_{ij}Q_j \mbox{ (i = 1, 2, ..., n)}. $$

उदाहरण
इस उदाहरण में, हम दो-संवाहक प्रणाली पर धारिता निर्धारित करने के लिए क्षमता के गुणांक की विधि का उपयोग करते हैं।

दो-संचालक प्रणाली के लिए, रैखिक समीकरणों की प्रणाली है

\begin{matrix} \phi_1 = p_{11}Q_1 + p_{12}Q_2 \\ \phi_2 = p_{21}Q_1 + p_{22}Q_2 \end{matrix}.$$ एक संधारित्र पर, दो चालकों पर आवेश बराबर और विपरीत होता है: $Q = Q_{1} = -Q_{2}$। इसलिए,

\begin{matrix} \phi_1 = (p_{11} - p_{12})Q \\ \phi_2 = (p_{21} - p_{22})Q \end{matrix},$$ और
 * $$\Delta\phi = \phi_1 - \phi_2 = (p_{11} + p_{22} - p_{12} - p_{21})Q.$$

इस तरह,
 * $$ C = \frac{1}{p_{11} + p_{22} - 2p_{12}}.$$

संबंधित गुणांक
ध्यान दें कि रैखिक समीकरणों की सरणी
 * $$\phi_i = \sum_{j = 1}^n p_{ij}Q_j \mbox{   (i = 1,2,...n)}$$

को उलटा किया जा सकता है
 * $$Q_i = \sum_{j = 1}^n c_{ij}\phi_j \mbox{   (i = 1,2,...n)}$$

जहां i = j के साथ $c_{ij}$ को क्षमता के गुणांक कहा जाता है और i ≠ j के साथ cij को स्थिर वैद्युत प्रेरण के गुणांक कहा जाता है।

एक ही क्षमता पर रखे गए दो गोलाकार संवाहकों की एक प्रणाली के लिए,
 * $$Q_a=(c_{11}+c_{12})V,  \qquad  Q_b=(c_{12}+c_{22})V$$

$$Q =Q_a+Q_b =(c_{11}+2c_{12}+c_{bb})V$$

यदि दो संवाहक समान और विपरीत प्रभार ले जाते हैं,
 * $$\phi_1=\frac{Q(c_{12}+c_{22})}  , \qquad  \quad   \phi_2=\frac{-Q(c_{12}+c_{11})} $$

$$ \quad C =\frac{Q}{\phi_1-\phi_2}= \frac{c_{11}c_{22} - c_{12}^2}{c_{11} + c_{22} + 2c_{12}}$$

संवाहकों की प्रणाली में समान समरूपता $c_{ij} = c_{ji}$ दिखाई जा सकती है।

संदर्भ

 * James Clerk Maxwell (1873) A Treatise on Electricity and Magnetism, § 86, page 89.