लेनिया

लेनिया बर्ट वांग-चाक चान द्वारा निर्मित सेलुलर ऑटोमेटन का एक परिवार है। इसका उद्देश्य सतत ऑटोमेटन, सतत स्थानिक ऑटोमेटन के साथ कॉनवे के जीवन के खेल का एक सतत कार्य सामान्यीकरण होना है। इसके निरंतर, उच्च-रिज़ॉल्यूशन डोमेन के परिणामस्वरूप, लेनिया में उत्पन्न जटिल स्वायत्त पैटर्न (जीवनरूप या स्पेसशिप (सेलुलर ऑटोमेटन)) को ज्यामितीय, मेटामेरिज्म (जीव विज्ञान)जीवविज्ञान), फजी होने के कारण अन्य सेलुलर ऑटोमेटा में दिखने वाले पैटर्न से भिन्न बताया गया है। लचीला, अनुकूली और नियम-सामान्य। लेनिया ने क्योटो में  आनुवंशिक और विकासवादी संगणना सम्मेलन  में 2018 वर्चुअल क्रिएचर्स प्रतियोगिता जीती। टोक्यो में ALIFE 2018 में ALIFE कला पुरस्कार के लिए एक सम्मानजनक उल्लेख, और इंटरनेशनल सोसाइटी फॉर आर्टिफिशियल लाइफ (आईएसएएल) द्वारा 2019 का उत्कृष्ट प्रकाशन।

पुनरावृत्तीय अद्यतन
होने देना $$\mathcal{L}$$ राज्यों के एक सेट वाली जाली या ग्रिड बनें $$S^\mathcal{L}$$. कई सेलुलर ऑटोमेटा की तरह, लेनिया को पुनरावृत्त रूप से अद्यतन किया जाता है; प्रत्येक आउटपुट स्थिति पिछली स्थिति का एक शुद्ध कार्य है, जैसे कि

$$\Phi(A^0) = A^{\Delta t}, \Phi(A^{\Delta t}) = A^{2\Delta t}, \ldots, \Phi(A^t) = A^{t + \Delta t},\ldots$$ कहाँ $$A^0$$ प्रारंभिक अवस्था है और $$\Phi : S^\mathcal{L} \rightarrow S^\mathcal{L}$$ वैश्विक नियम है, जो प्रत्येक साइट पर स्थानीय नियम के अनुप्रयोग का प्रतिनिधित्व करता है $$\mathbf{x}\in\cal{L}$$. इस प्रकार $$\Phi^N(A^t) = A^{t + N\Delta t}$$.

यदि सिमुलेशन द्वारा उन्नत किया गया है $$\Delta t$$ प्रत्येक समय कदम पर, फिर समय संकल्प $$T = \frac{1}{\Delta t}$$.

राज्य सेट
होने देना $$S = \{0, 1, \ldots, P-1, P\}$$ अधिकतम के साथ $$P \in \Z$$. यह ऑटोमेटन का राज्य सेट है और प्रत्येक साइट पर पाए जाने वाले संभावित राज्यों की विशेषता बताता है। बड़ा $$P$$ सिमुलेशन में उच्च राज्य संकल्पों के अनुरूप। कई सेलुलर ऑटोमेटा न्यूनतम संभव राज्य रिज़ॉल्यूशन का उपयोग करते हैं, अर्थात। $$P = 1$$. लेनिया बहुत अधिक रिज़ॉल्यूशन की अनुमति देता है। ध्यान दें कि प्रत्येक साइट पर वास्तविक मूल्य नहीं है $$[0,P]$$ बल्कि इसका एक पूर्णांक गुणज है $$\Delta p = \frac{1}{P}$$; इसलिए हमारे पास है $$A^t(\mathbf{x}) \in [0, 1]$$ सभी के लिए $$\mathbf{x} \in \mathcal{L}$$. उदाहरण के लिए दिया गया $$P = 4$$, $$\mathbf{A}^t(\mathbf{x}) \in [0, 0.25, 0.75, 1]$$.

पड़ोस
गणितीय रूप से, गेम ऑफ लाइफ जैसे पड़ोस को स्थिति यूक्लिडियन वेक्टर के एक सेट का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है $$\R^2$$. उदाहरण के लिए, गेम ऑफ लाइफ द्वारा उपयोग किए जाने वाले क्लासिक मूर पड़ोस के लिए, $$\mathcal{N} = \{-1, 0, 1\}^2$$; यानी प्रत्येक साइट पर केन्द्रित आकार 3 का एक वर्ग।

लेनिया के मामले में, पड़ोस त्रिज्या की एक गेंद है $$R$$ एक साइट पर केन्द्रित, $$\mathcal{N} = \{\mathbf{x} \in \mathcal{L} : \lVert \mathbf{x} \rVert_2 \leq R\}$$, जिसमें मूल साइट भी शामिल हो सकती है।

ध्यान दें कि पड़ोस के वैक्टर तत्वों की पूर्ण स्थिति नहीं हैं, बल्कि किसी भी साइट के संबंध में सापेक्ष स्थिति (डेल्टा) का एक सेट हैं।

स्थानीय नियम
लेनिया के असतत समूह और सतत कार्य संस्करण हैं। होने देना $$\mathbf{x}$$ में एक वेक्टर बनें $$\R^2$$ अंदर $$\mathcal{L}$$ किसी दी गई साइट की स्थिति का प्रतिनिधित्व करना, और $$\mathcal{N}$$ पड़ोसी साइटों का समूह बनें $$\mathbf{x}$$. दोनों विविधताओं में दो चरण शामिल हैं:

एक बार $$\mathbf{G}^t$$ गणना की जाती है, इसे चुने गए समय रिज़ॉल्यूशन द्वारा स्केल किया जाता है $$\Delta t$$ और मूल स्थिति मान में जोड़ा गया:$$\mathbf{A}^{t+\Delta t}(\mathbf{x}) = \text{clip}(\mathbf{A}^{t} + \Delta t \;\mathbf{G}^t(\mathbf{x}),\; 0,\; 1)$$यहां, क्लिप फ़ंक्शन को परिभाषित किया गया है $$\operatorname{clip}(v,a,b):=\min(\max(u,a),b)$$.
 * 1) कनवल्शन कर्नेल का उपयोग करना $$\mathbf{K} : \mathcal{N} \rightarrow S$$ संभावित वितरण की गणना करने के लिए $$\mathbf{U}^t(\mathbf{x})=\mathbf{K} * \mathbf{A}^t(\mathbf{x})$$.
 * 2) ग्रोथ मैपिंग का उपयोग करना $$G : [0, 1] \rightarrow [-1, 1]$$ अंतिम वृद्धि वितरण की गणना करने के लिए $$\mathbf{G}^t(\mathbf{x})=G(\mathbf{U}^t(\mathbf{x}))$$.

असतत और निरंतर लेनिया के लिए स्थानीय नियमों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$\begin{align} \mathbf{U}^t(\mathbf{x}) &= \begin{cases} \sum_{\mathbf{n} \in \mathcal{N}} \mathbf{K(n)}\mathbf{A}^t(\mathbf{x}+\mathbf{n})\Delta x^2, & \text{discrete Lenia} \\ \int_{\mathbf{n} \in \mathcal{N}} \mathbf{K(n)}\mathbf{A}^t(\mathbf{x}+\mathbf{n})dx^2, & \text{continuous Lenia} \end{cases} \\ \mathbf{G}^t(\mathbf{x}) &= G(\mathbf{U}^t(\mathbf{x})) \\ \mathbf{A}^{t+\Delta t}(\mathbf{x}) &= \text{clip}(\mathbf{A}^t(\mathbf{x}) + \Delta t\;\mathbf{G}^t(\mathbf{x}),\; 0,\; 1) \end{align}$$

कर्नेल पीढ़ी
कनवल्शन कर्नेल उत्पन्न करने के कई तरीके हैं $$\mathbf{K}$$. अंतिम कर्नेल कर्नेल शेल की संरचना है $$K_C$$ और एक गिरी कंकाल $$K_S$$.

कर्नेल शैल के लिए $$K_C$$, चैन कई फ़ंक्शन देता है जिन्हें रेडियल फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है। कर्नेल शेल फ़ंक्शंस एकरूपता वाले हैं और बाधा के अधीन हैं $$K_C(0) = K_C(1) = 0 $$ (और आम तौर पर $$K_C\left(\frac{1}{2}\right) = 1$$ भी)। उदाहरण कर्नेल फ़ंक्शंस में शामिल हैं:

$$K_C(r) = \begin{cases} \exp\left(\alpha - \frac{\alpha}{4r(1-r)}\right), & \text{exponential}, \alpha=4 \\ (4r(1-r))^\alpha, & \text{polynomial}, \alpha=4 \\ \mathbf{1}_{\left[\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right]}(r), & \text{rectangular} \\ \ldots, & \text{etc.} \end{cases}$$ यहाँ, $$\mathbf{1}_A(r)$$ सूचक कार्य है.

एक बार कर्नेल शेल परिभाषित हो जाने के बाद, कर्नेल कंकाल $$K_S$$ इसे विस्तारित करने और शेल को संकेन्द्रित वस्तुएँ रिंगों की एक श्रृंखला में परिवर्तित करके कर्नेल के वास्तविक मूल्यों की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है। प्रत्येक रिंग की ऊंचाई कर्नेल पीक वेक्टर द्वारा नियंत्रित की जाती है $$\beta = (\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_B) \in [0,1]^B$$, कहाँ $$B$$ पैरामीटर वेक्टर की रैंक है. फिर कर्नेल कंकाल $$K_S$$ परिभाषित किया जाता है

$$K_S(r;\beta)=\beta_{\lfloor Br \rfloor} K_C(Br \text{ mod } 1)$$ अंतिम गिरी $$\mathbf{K}(\mathbf{n})$$ इसलिए

$$\mathbf{K}(\mathbf{n}) = \frac{K_S(\lVert \mathbf{n} \rVert_2)}{|K_S|}$$ ऐसा है कि $$\mathbf{K}$$ का तत्व योग होना सामान्यीकृत है $$1$$ और $$\mathbf{K} * \mathbf{A} \in [0, 1]$$ (द्रव्यमान के संरक्षण के लिए). $$|K_S| = \textstyle \sum_{\mathcal{N}} \displaystyle K_S \, \Delta x^2$$ असतत मामले में, और $$\int_{N} K_S \,dx^2$$ निरंतर मामले में.

ग्रोथ मैपिंग
विकास मानचित्रण $$G : [0, 1] \rightarrow [-1,1]$$, जो एक सक्रियण फ़ंक्शन के अनुरूप है, कोई भी फ़ंक्शन हो सकता है जो यूनिमोडल, मोनोटोनिक फ़ंक्शन है, और पैरामीटर स्वीकार करता है $$\mu,\sigma \in \R$$. उदाहरणों में शामिल

$$G(u;\mu,\sigma) = \begin{cases} 2\exp\left(-\frac{(u-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)-1, & \text{exponential} \\ 2\cdot\mathbf{1}_{[\mu\pm3\sigma]}(u)\left(1-\frac{(u-\mu)^2}{9\sigma^2}\right)^\alpha-1, & \text{polynomial}, \alpha=4 \\ 2\cdot\mathbf{1}_{[\mu\pm\sigma]}(u)-1, & \text{rectangular} \\ \ldots, & \text{etc.} \end{cases}$$ कहाँ $$u$$ से लिया गया एक संभावित मूल्य है $$\mathbf{U}^t$$.

जीवन का खेल
जीवन के खेल को असतत लेनिया का एक विशेष मामला माना जा सकता है $$R = T = P = 1$$. इस मामले में, फ़ंक्शन के साथ कर्नेल आयताकार होगा$$K_C(r) = \mathbf{1}_{\left[\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right]}(r) + \frac{1}{2}\mathbf{1}_{\left[0,\frac{1}{4}\right)}(r)$$और विकास नियम भी आयताकार, के साथ $$\mu = 0.35, \sigma = 0.07$$.

पैटर्न
कनवल्शनल कर्नेल, ग्रोथ मैपिंग और प्रारंभिक स्थिति को अलग-अलग करके, लेनिया में जीवन की 400 से अधिक प्रजातियों की खोज की गई है, जो स्व-संगठन, स्व-मरम्मत, द्विपक्षीय और रेडियल समरूपता, लोकोमोटिव गतिशीलता और कभी-कभी अराजक प्रकृति को प्रदर्शित करती हैं। चैन ने इन पैटर्नों के लिए एक वर्गीकरण बनाया है।

संबंधित कार्य
अन्य कार्यों में सेलुलर ऑटोमेटा अपडेट नियमों और कनवल्शन के बीच मजबूत समानता देखी गई है। दरअसल, इन कार्यों ने सरलीकृत संवादात्मक तंत्रिका नेटवर्क  का उपयोग करके सेलुलर ऑटोमेटा को पुन: प्रस्तुत करने पर ध्यान केंद्रित किया है। मोर्डविंटसेव एट अल। स्व-मरम्मत पैटर्न पीढ़ी के उद्भव की जांच की। गिलपिन ने पाया कि किसी भी सेलुलर ऑटोमेटन को एक दृढ़ तंत्रिका नेटवर्क के रूप में दर्शाया जा सकता है, और मौजूदा सेलुलर ऑटोमेटा को पुन: उत्पन्न करने के लिए तंत्रिका नेटवर्क को प्रशिक्षित किया जा सकता है। इस प्रकाश में, सेलुलर ऑटोमेटा को आवर्तक तंत्रिका नेटवर्क दृढ़ तंत्रिका नेटवर्क के एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है। लेनिया के अद्यतन नियम को एकल-परत कनवल्शन (संभावित क्षेत्र) के रूप में भी देखा जा सकता है $$\mathbf{K}$$) एक सक्रियण फ़ंक्शन (ग्रोथ मैपिंग) के साथ $$G$$). हालाँकि, लेनिया कहीं अधिक बड़े, स्थिर, कर्नेल का उपयोग करता है और ग्रेडिएंट डिसेंट के माध्यम से प्रशिक्षित नहीं है।

यह भी देखें

 * कॉनवे का जीवन का खेल
 * सेलुलर ऑटोमेटन
 * स्वयं प्रतिकृति
 * पैटर्न निर्माण
 * मोर्फोजेनेसिस

बाहरी संबंध

 * The Github repository for Lenia
 * Chan's website for Lenia
 * An invited seminar at Stanford given by Chan