प्रकीर्णन आयाम

परिमाण भौतिकी में, प्रकीर्णन आयाम एक स्थिर-अवस्था प्रकीर्णन प्रक्रिया में आने वाली समतल तरंग के सापेक्ष निवर्तमान गोलाकार तरंग की संभाव्यता आयाम है। केंद्रीय सममित प्रकीर्णन केंद्र से बड़ी दूरी पर, समतल तरंग का वर्णन तरंग फलन द्वारा किया जाता है

\psi(\mathbf{r}) = e^{ikz} + f(\theta)\frac{e^{ikr}}{r} \;, $$ जहाँ $$\mathbf{r}\equiv(x,y,z)$$ स्थिति सदिश $$r\equiv|\mathbf{r}|$$ है; $$e^{ikz}$$ अक्ष के अनुदिश तरंग संख्या k के साथ आने वाली समतल तरंग है; $$e^{ikr}/r$$ निवर्तमान गोलाकार तरंग है;$θ$ प्रकीर्णन कोण है (घटना और प्रकीर्णन दिशा के बीच का कोण); और $$f(\theta)$$ प्रकीर्णन आयाम है। प्रकीर्णन आयाम का आयामी विश्लेषण लंबाई है। प्रकीर्णन आयाम एक संभाव्यता आयाम है; प्रकीर्णन कोण के एक फलन के रूप में विभेदक अनुप्रस्थ परिच्छेद (भौतिकी) को इसके मापांक वर्ग के रूप में दिया जाता है,

d\sigma = |f(\theta)|^2 \;d\Omega. $$ स्वेच्छाचारी बाह्य क्षेत्र में तरंग फलन का स्पर्शोन्मुख रूप रूप धारण कर लेता है
 * $$\psi = e^{ikr\mathbf n\cdot\mathbf n'} + f(\mathbf n,\mathbf n') \frac{e^{ikr}}{r}$$

जहाँ $$\mathbf n$$ आपतित कणों की दिशा है और $$\mathbf n'$$ बिखरे हुए कणों की दिशा है।

एकात्मक स्थिति
जब प्रकीर्णन के उपरान्त कणों की संख्या का संरक्षण सही रहता है, तो यह प्रकीर्णन आयाम के लिए एकात्मक स्थिति की ओर ले जाता है। सामान्य स्तिथि में, हमारे पास निम्न है
 * $$f(\mathbf{n},\mathbf{n}') -f^*(\mathbf{n}',\mathbf{n})= \frac{ik}{2\pi} \int f(\mathbf{n},\mathbf{n})f^*(\mathbf{n},\mathbf{n})\,d\Omega''$$

प्रकाशिक प्रमेय यहाँ से $$\mathbf n=\mathbf n'$$ समायोजन द्वारा अनुसरण करता है

केन्द्रीय सममितीय क्षेत्र में एकात्मक स्थिति बन जाती है
 * $$\mathrm{Im} f(\theta)=\frac{k}{4\pi}\int f(\gamma)f(\gamma')\,d\Omega''$$

जहाँ $$\gamma$$ और $$\gamma'$$ के बीच के कोण $$\mathbf{n}$$ और $$\mathbf{n}'$$ और कुछ दिशा $$\mathbf{n}''$$ हैं। यह परिस्थिति अनुमत फॉर्म $$f(\theta)$$ पर बाधा डालती है, अर्थात, प्रकीर्णन आयाम का वास्तविक और काल्पनिक भाग इस स्तिथि में स्वतंत्र नहीं हैं। उदाहरण के लिए, यदि $$|f(\theta)|$$ में $$f=|f|e^{2i\alpha}$$ (मान लीजिए, अनुप्रस्थ परिच्छेद के माप से) ज्ञात होता है तब $$\alpha(\theta)$$ इस प्रकार निर्धारित किया जा सकता है कि $$f(\theta)$$ $$f(\theta)\rightarrow -f^*(\theta)$$ विकल्प के भीतर विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जा सके।

आंशिक तरंग विस्तार
आंशिक तरंग विस्तार में प्रकीर्णन आयाम को आंशिक तरंगों के योग के रूप में दर्शाया जाता है,
 * $$f=\sum_{\ell=0}^\infty (2\ell+1) f_\ell P_\ell(\cos \theta)$$,

जहाँ $f_{ℓ}$ आंशिक प्रकीर्णन आयाम है और $P_{ℓ}$ लीजेंड्रे बहुपद हैं। आंशिक आयाम को आंशिक तरंग एस आव्यूह तत्व $S_{ℓ}$ ($$=e^{2i\delta_\ell}$$) और प्रकीर्णन चरण बदलाव $δ_{ℓ}$ के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है, जैसे
 * $$f_\ell = \frac{S_\ell-1}{2ik} = \frac{e^{2i\delta_\ell}-1}{2ik} = \frac{e^{i\delta_\ell} \sin\delta_\ell}{k} = \frac{1}{k\cot\delta_\ell-ik} \;.$$

फिर कुल अनुप्रस्थ परिच्छेद
 * $$\sigma = \int |f(\theta)|^2d\Omega $$,

के रूप में विस्तारित किया जा सकता है
 * $$\sigma = \sum_{l=0}^\infty \sigma_l, \quad \text{where} \quad \sigma_l = 4\pi(2l+1)|f_l|^2=\frac{4\pi}{k^2}(2l+l)\sin^2\delta_l$$

आंशिक अनुप्रस्थ परिच्छेद है। ऑप्टिकल प्रमेय के कारण कुल अनुप्रस्थ परिच्छेद $$\sigma=(4\pi/k)\,\mathrm{Im} f(0)$$ भी बराबर है।

$$\theta\neq 0$$ के लिए, हम निम्न लिख सकते हैं
 * $$f=\frac{1}{2ik}\sum_{\ell=0}^\infty (2\ell+1) e^{2i\delta_l} P_\ell(\cos \theta).$$

एक्स-रे
एक्स-रे के लिए प्रकीर्णन लंबाई थॉमसन प्रकीर्णन लंबाई या शास्त्रीय इलेक्ट्रॉन त्रिज्या $r$0 है।

न्यूट्रॉन
परमाणु न्यूट्रॉन प्रकीर्णन प्रक्रिया में सुसंगत न्यूट्रॉन प्रकीर्णन लंबाई सम्मिलित होती है, जिसका वर्णन प्रायः $b$ के रूप में किया जाता है।

परिमाण यांत्रिक औपचारिकता
एस आव्यूह औपचारिकता द्वारा एक परिमाण यांत्रिक दृष्टिकोण दिया जाता है।

माप
प्रकीर्णन आयाम को निम्न-ऊर्जा शासन में प्रकीर्णन लंबाई द्वारा निर्धारित किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * वेनेज़ियानो आयाम
 * समतल तरंग विस्तार