आइसिंग मॉडल

ईईज़िंग मॉडल (जर्मन उच्चारण: [iːzɪŋ]) (या लेन्ज़-आइज़िंग मॉडल या इस्सिंग-लेनज़ मॉडल), जिसका नाम भौतिकविदों अर्नस्ट इस्सिंग और विल्हेम लेन्ज़ के नाम पर रखा गया है, सांख्यिकीय यांत्रिकी में लोह-चुंबकत्व का एक गणितीय मॉडल है। मॉडल में असतत चर होते हैं जो परमाणु "प्रचक्रण" के चुंबकीय द्विध्रुवीय आघूर्ण का प्रतिनिधित्व करते हैं जो दो स्थितियों (+1 या -1) में से एक में हो सकते हैं। प्रचक्रण (स्पिन) को एक रेखाचित्र में व्यवस्थित किया जाता है, सामान्य रूप से लैटिस (जहां स्थानीय संरचना सभी दिशाओं में समय-समय पर पुनरावृत्त करती है), जिससे प्रत्येक प्रचक्रण अपने प्रतिवेशों के साथ संपर्क कर सके। प्रतिवेशी प्रचक्रण जो सहमत हैं उनमें असहमत होने वालों की तुलना में कम ऊर्जा होती है; प्रणाली सबसे कम ऊर्जा की ओर जाता है लेकिन ऊष्मा इस प्रवृत्ति को विक्षुब्ध करती है, इस प्रकार विभिन्न संरचनात्मक चरणों की संभावना उत्पन्न करती है। मॉडल वास्तविकता के सरलीकृत मॉडल के रूप में प्रावस्था संक्रमण की पहचान की स्वीकृति देता है। प्रावस्था संक्रमण दिखाने के लिए द्वि-आयामी वर्ग-लैटिस आइसिंग मॉडल सबसे सरल सांख्यिकीय मॉडल में से एक है।

ईज़िंग मॉडल का आविष्कार भौतिक विज्ञानी विल्हेम लेन्ज़ (1920) द्वारा किया गया था, जिन्होंने इसे अपने छात्र अर्न्स्ट इस्सिंग को एक समस्या के रूप में दिया था। एक आयामी ईज़िंग मॉडल को ईज़िंग (1925) ने अकेले 1924 की अपनी अभिधारणा में संशोधन किया था; इसका कोई प्रावस्था संक्रमण नहीं है। द्वि-आयामी वर्ग-लैटिस ईज़िंग मॉडल बहुत कठिन है और लार्स ऑनसेगर (1944) द्वारा केवल एक विश्लेषणात्मक विवरण दिया गया था। यह सामान्य रूप से स्थानांतरण-आव्यूह विधि द्वारा संशोधन किया जाता है, हालांकि क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत से संबंधित विभिन्न दृष्टिकोण सम्मिलित हैं।

चार से अधिक आयामों में, ईज़िंग मॉडल के प्रावस्था संक्रमण को माध्य-क्षेत्र सिद्धांत द्वारा वर्णित किया गया है। 1970 के दशक के उत्तरार्ध में विभिन्न ट्री सांस्थिति के संबंध में अधिक आयामों के लिए ईज़िंग मॉडल का भी पता लगाया गया, जो जो शून्य-क्षेत्र समय-स्वतंत्र बर्थ (1981) मॉडल के परिशुद्ध समाधान के रूप में यादृच्छिक शाखाओं के अनुपात के संवृत केली ट्री के लिए और इस तरह ट्री शाखाओं के अंदर यादृच्छिक रूप से बड़ी आयामीता का पता लगाया गया था। इस मॉडल के समाधान ने गैर-लुप्त होने वाली लंबी दूरी और निकटतम-प्रतिवेशी प्रचक्रण-प्रचक्रण सहसंबंधों के साथ एक नया, असामान्य प्रावस्था संक्रमण व्यवहार प्रदर्शित किया, जो इसके संभावित अनुप्रयोगों में से एक के रूप में बड़े तंत्रिका नेटवर्क के लिए प्रासंगिक माना जाता है।

बाहरी क्षेत्र के बिना ईज़िंग समस्या को समतुल्य रूप से एक रेखाचित्र (असतत गणित) अधिकतम विभाजन (मैक्स-विभाजन) समस्या के रूप में निर्मित किया जा सकता है जिसे संयोजी अनुकूलन के माध्यम से संशोधन किया जा सकता है।

परिभाषा
लैटिस भागों के समुच्चय $$\Lambda$$, पर विचार करें, प्रत्येक आसन्न भागों के समुच्चय के साथ (जैसे एक रेखाचित्र (असतत गणित)) एक बनाने $$d$$-आयामी लैटिस का निर्माण करता है। प्रत्येक लैटिस भाग के लिए $$k\in\Lambda$$ एक असतत चर $$\sigma_k$$ है जैसे कि $$\sigma_k\in\{-1, +1\}$$, भाग के प्रचक्रण का प्रतिनिधित्व करता है। प्रचक्रण विन्यास, $${\sigma} = \{\sigma_k\}_{k\in\Lambda}$$ प्रत्येक लैटिस भाग के लिए प्रचक्रण मान का एक निर्दिष्टीकरण है।

किसी भी दो आसन्न भागों $$i, j\in\Lambda$$ के लिए अंतःक्रिया $$J_{ij}$$ होती है। साथ ही एक भाग $$j\in\Lambda$$ बाहरी चुंबकीय क्षेत्र $$h_j$$ है। जो इसके साथ परस्पर क्रिया करता है। विन्यास की ऊर्जा $${\sigma}$$ हैमिल्टनीय फलन द्वारा दी गई है


 * $$H(\sigma) = -\sum_{\langle ij\rangle} J_{ij} \sigma_i \sigma_j - \mu \sum_j h_j \sigma_j,$$

जहां पहला योग आसन्न प्रचक्रण के जोड़े पर है (प्रत्येक जोड़ी को एक बार गिना जाता है)। संकेतन $$\langle ij\rangle$$ भागों को इंगित करता है कि भाग $$i$$ और $$j$$ निकटतम प्रतिवेशी हैं। चुंबकीय आघूर्ण $$\mu$$ द्वारा दिया जाता है ध्यान दें कि उपरोक्त हैमिल्टनियन के दूसरे पद में संकेत वास्तव में धनात्मक होना चाहिए क्योंकि इलेक्ट्रॉन का चुंबकीय आघूर्ण इसके प्रचक्रण के समानांतर है, लेकिन ऋणात्मक पद पारंपरिक रूप से प्रयोग किया जाता है। अभिविन्यास की संभावना बोल्ट्जमैन वितरण द्वारा व्युत्क्रम तापमान $$\beta\geq0$$ के साथ दी गई है:


 * $$P_\beta(\sigma) = \frac{e^{-\beta H(\sigma)}}{Z_\beta},$$

जहाँ $$\beta = (k_{\rm B} T)^{-1}$$, और सामान्यीकरण स्थिरांक


 * $$Z_\beta = \sum_\sigma e^{-\beta H(\sigma)}$$

विभाजन फलन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) है। फलन के लिए स्पिन की संख्या (देखने योग्य), $$f$$ द्वारा इंगित करता है


 * $$\langle f \rangle_\beta = \sum_\sigma f(\sigma) P_\beta(\sigma)$$

$$f$$ की अपेक्षा (माध्य) मान।

अभिविन्यास संभावनाएं $$P_{\beta}(\sigma)$$ संभाव्यता का प्रतिनिधित्व करते हैं कि (संतुलन में) प्रणाली अभिविन्यास $$\sigma$$ के साथ एक अवस्था में है

विचार-विमर्श
हैमिल्टनियन फलन $$H(\sigma)$$ के प्रत्येक पद पर ऋण चिह्न पारंपरिक है। इस चिह्न व्यवहार का उपयोग करते हुए, ईज़िंग मॉडल को यदि, किसी युग्म i, j के लिए अन्योन्यक्रिया के चिह्न के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है:
 * $$J_{ij} > 0$$, पारस्परिक क्रिया को लौह-चुंबकीय कहा जाता है,
 * $$J_{ij} < 0$$, पारस्परिक क्रिया को प्रति-लौहचुंबकीय कहा जाता है,
 * $$J_{ij} = 0$$, प्रचक्रण गैर-सहभागी हैं।

प्रणाली को लोह चुंबकीय या प्रतिलोहचुंबकीय कहा जाता है यदि सभी पारस्परिक क्रिया लोह चुंबकीय हैं या सभी प्रतिलोहचुंबकीय हैं। मूल ईज़िंग मॉडल लोह चुंबकीय थे, और यह अभी भी प्रायः माना जाता है कि ईज़िंग मॉडल का अर्थ लोह चुंबकीय ईज़िंग मॉडल है।

लोह चुंबकीय आइसिंग मॉडल में, प्रचक्रण को संरेखित करने का विचार होता है: अभिविन्यास जिसमें आसन्न प्रचक्रण समान संकेत के होते हैं, जिसमे उच्च संभावना होती है। प्रतिलोहचुंबकीय मॉडल में, आसन्न स्पिनों में विपरीत संकेत होते हैं।

H(σ) की चिह्न समागम यह भी बताती है कि प्रचक्रण भाग j बाहरी क्षेत्र के साथ कैसे परस्पर क्रिया करती है। अर्थात्, प्रचक्रण भाग बाहरी क्षेत्र के साथ पंक्तिबद्ध करना चाहती है। यदि:
 * $$h_j > 0$$, प्रचक्रण भाग j धनात्मक दिशा में पंक्तिबद्ध करना चाहता है,
 * $$h_j < 0$$, प्रचक्रण भाग j ऋणात्मक दिशा में पंक्तिबद्ध करना चाहता है,
 * $$h_j = 0$$, प्रचक्रण भाग पर कोई बाहरी प्रभाव नहीं पड़ता है।

सरलीकरण
आइसिंग मॉडल की प्रायः लैटिस के साथ परस्पर क्रिया करने वाले बाहरी क्षेत्र के बिना जांच की जाती है, अर्थात लैटिस Λ में सभी j के लिए h = 0 है। इस सरलीकरण का उपयोग करते हुए हैमिल्टनियन बन जाता है


 * $$H(\sigma) = -\sum_{\langle i~j\rangle} J_{ij} \sigma_i \sigma_j.$$

जब बाहरी क्षेत्र प्रत्येक जगह शून्य h = 0 होता है, आइसिंग मॉडल सभी लैटिस भागों में प्रचक्रण के मान को स्विच करने के अंतर्गत सममित होता है; अशून्य क्षेत्र इस समरूपता को विभाजित करता है।

अन्य सामान्य सरलीकरण यह मान लेना है कि सभी निकटतम प्रतिवेशी ⟨ij⟩ की अंतःक्रिया सामर्थ्य समान है। तब हम Λ में सभी जोड़े i, j के लिए Jij = J स्थापित कर सकते हैं। इस स्थिति में हैमिल्टनियन को अधिक सरल बनाया गया है


 * $$H(\sigma) = -J \sum_{\langle i~j\rangle} \sigma_i \sigma_j.$$

रेखाचित्र से संयोजन (असतत गणित) अधिकतम विभाजन
शीर्ष (रेखाचित्र सिद्धांत) का एक उपसमुच्चय S एक भारित अप्रत्यक्ष रेखाचित्र G का V(G) समुच्चय करता है जो S में रेखाचित्र G का एक विभाजन निर्धारित करता है और इसका पूरक रेखाचित्र उपसमुच्चय G\S है। विभाजन का आकार S और G\S के बीच कोर के भार का योग है। अधिकतम विभाजन आकार कम से कम किसी अन्य विभाजन के आकार का होता है, जो अलग-अलग S होता है।

रेखाचित्र G पर बाहरी क्षेत्र के बिना ईज़िंग मॉडल के लिए, हैमिल्टनियन रेखाचित्र कोर E(G) पर निम्नलिखित योग बन जाता है।

$$H(\sigma) = -\sum_{ij\in E(G)} J_{ij}\sigma_i\sigma_j$$.

यहाँ रेखाचित्र का प्रत्येक शीर्ष i एक प्रचक्रण भाग है जो एक प्रचक्रण मान $$\sigma_i = \pm 1 $$ लेती है। एक दिया गया प्रचक्रण विन्यास $$\sigma$$ शीर्षों के समुच्चय को विभाजित करता है $$V(G)$$ में दो $$\sigma$$ आश्रित उपसमुच्चय, प्रचक्रित $$V^+$$ और नीचे प्रचक्रण वाले $$V^-$$ हम $$\delta(V^+)$$ द्वारा निरूपित करते हैं और $$\sigma$$ कोर का आश्रित समुच्चय जो दो पूरक शीर्ष $$V^+$$ और $$V^-$$उपसमुच्चय को जोड़ता है अतः $$\left|\delta(V^+)\right|$$ विभाजन का $$\delta(V^+)$$ आकार अनिर्दिष्ट रेखाचित्र के लिए भारित अप्रत्यक्ष रेखाचित्र G को इस रूप में परिभाषित किया जा सकता है

$$\left|\delta(V^+)\right|=\frac12\sum_{ij\in \delta(V^+)} W_{ij}$$,

जहाँ $$W_{ij}$$ कोर $$ij$$ के भार को दर्शाता है और अनुमाप परिवर्तन 1/2 समान भार $$W_{ij}=W_{ji}$$ की दोहरी गणना के लिए समतुल्य करने के लिए प्रस्तुत किया गया है

सर्वसमिका

$$\begin{align} H(\sigma) &= -\sum_{ij\in E(V^+)} J_{ij} - \sum_{ij\in E(V^-)} J_{ij} + \sum_{ij\in \delta(V^+)} J_{ij} \\ &= - \sum_{ij \in E(G)} J_{ij} + 2 \sum_{ij\in \delta(V^+)} J_{ij}, \end{align}$$

जहां पहले पद में समग्र योग $$\sigma$$ निर्भर नहीं करता है इसका तात्पर्य है कि $$H(\sigma)$$ में $$\sigma$$ कम करना $$\sum_{ij\in \delta(V^+)} J_{ij}$$ कम करने के बराबर है। कोर के भार को परिभाषित करना $$W_{ij}=-J_{ij}$$ इस प्रकार किसी बाहरी क्षेत्र के बिना ईज़िंग समस्या को रेखाचित्र अधिकतम-विभाजन समस्या में बदल देता है विभाजन आकार $$\left|\delta(V^+)\right|$$ को अधिकतम करना, जो इस्सिंग हैमिल्टनियन से निम्नानुसार संबंधित है,

$$H(\sigma) = \sum_{ij \in E(G)} W_{ij} - 4 \left|\delta(V^+)\right|.$$

प्रश्न
इस मॉडल के बारे में पूछने के लिए महत्वपूर्ण संख्या में सांख्यिकीय प्रश्न बड़ी संख्या में प्रचक्रण की सीमा में हैं:
 * विशिष्ट विन्यास में, अधिकांश प्रचक्रण +1 या -1 हैं, या क्या वे समान रूप से विभाजित हैं?
 * यदि किसी दिए गए स्थान i पर प्रचक्रण 1 है, तो क्या संभावना है कि स्थिति j पर प्रचक्रण भी 1 है?
 * यदि β बदल दिया गया है, तो क्या कोई प्रावस्था संक्रमण है?
 * लैटिस Λ पर, +1 चक्रणों के एक बड़े समूह के आकार का फ्रैक्टल आयाम क्या है?

मूल गुण और इतिहास
ईज़िंग मॉडल का सबसे अधिक अध्ययन किया गया स्थिति d-आयाम लैटिस पर अनुवाद अपरिवर्तनीय लोह चुंबकीय शून्य क्षेत्र मॉडल है, अर्थात् जिसका नाम Λ = 'Z'd, Jij= 1, h = 0 है।

आयाम में कोई प्रावस्था संक्रमण नहीं
अपने 1924 के पीएचडी अभिधारणा में, ईज़िंग ने d = 1 स्थिति के लिए मॉडल को संशोधन किया, जिसे एक रैखिक क्षैतिज लैटिस के रूप में माना जा सकता है जहां प्रत्येक भाग केवल अपने बाएं और दाएं प्रतिवेशी के साथ परस्पर क्रिया करती है। आयाम में, समाधान प्रावस्था संक्रमण को स्वीकार नहीं करता है। अर्थात्, किसी भी धनात्मक β के लिए, पारस्परिक संबंध ⟨σiσj⟩ |i − j| में चरघातांकी रूप से क्षय होता है:


 * $$\langle \sigma_i \sigma_j \rangle_\beta \leq C \exp\big(-c(\beta) |i - j|\big),$$

और व्यवस्था अव्यवस्थित है। इस परिणाम के आधार पर उन्होंने गलत निष्कर्ष निकाला कि यह मॉडल किसी भी आयाम में चरण व्यवहार प्रदर्शित नहीं करता है।

प्रावस्था संक्रमण और दो आयामों में परिशुद्ध समाधान
ईज़िंग मॉडल एक क्रमित चरण और एक अव्यवस्थित चरण के बीच 2 आयामों या अधिक में एक प्रावस्था संक्रमण से गुजरता है। अर्थात्, प्रणाली छोटे β के लिए अव्यवस्थित है, जबकि बड़े β के लिए प्रणाली लोह चुंबकीय क्रम प्रदर्शित करता है:


 * $$\langle \sigma_i \sigma_j \rangle_\beta \geq c(\beta) > 0.$$

यह पहली बार 1936 में रुडोल्फ पीयरल्स द्वारा सिद्ध किया गया था, जिसे अब पीयरल्स तर्क कहा जाता है।

लार्स ऑनसेगर (1944) द्वारा बिना किसी चुंबकीय क्षेत्र वाले द्वि-आयामी वर्ग लैटिस पर ईज़िंग मॉडल को विश्लेषणात्मक रूप से संशोधन किया गया था। कि ईज़िंग मॉडल के पारस्परिक संबंध फलन और ऊष्मप्रवैगिकी मुक्त ऊर्जा एक गैर-बाधित लैटिस फ़र्मियन द्वारा निर्धारित की जाती है। ऑनसेजर ने 1949 में 2-आयामी मॉडल के लिए स्वतःप्रवर्तित चुंबकीयकरण के सूत्र की घोषणा की, लेकिन कोई व्युत्पत्ति नहीं दी। ने इस सूत्र का पहला प्रकाशित प्रमाण दिया, फ्रेडहोम निर्धारकों के लिए एक ज़ेगो सीमा प्रमेय का उपयोग करते हुए, 1951 में ऑनसेगर स्ज़ेगो द्वारा सिद्ध किया गया।

पारस्परिक संबंध असमानताएं
ईज़िंग प्रचक्रण सहसंबंधों (सामान्य लैटिस संरचनाओं के लिए) के लिए कई पारस्परिक संबंध असमानताओं को दृढ़ता से प्राप्त किया गया है,जिसने गणितज्ञों को ईज़िंग मॉडल को संपर्क विच्छेद महत्व दोनों का अध्ययन करने में सक्षम बनाया।

ग्रिफ़िथ असमानता
प्रचक्रण के किसी भी उपसमुच्चय को देखते हुए $$\sigma_A$$ और $$\sigma_B$$ लैटिस पर, निम्नलिखित असमानता रखती है,

$$\langle \sigma_A \sigma_B \rangle \geq \langle \sigma_A \rangle \langle \sigma_B \rangle$$,

जिसका अर्थ है कि ईज़िंग लोह-चुंबक पर प्रचक्रण धनात्मक रूप से सहसंबद्ध हैं। इसका एक तात्कालिक अनुप्रयोग यह है कि प्रचक्रण के किसी भी समुच्चय का चुंबकीयकरण $$\langle \sigma_A \rangle$$ युग्मन स्थिरांक $$J_B$$ के किसी भी समुच्चय के संबंध में बढ़ रहा है।

साइमन-लिब असमानता
साइमन-लीब असमानता बताता है कि किसी भी समुच्चय $$S$$ के लिए $$x$$ से $$y$$ असंबद्ध कर रहा है (उदाहरण के साथ एक बॉक्स की सीमा $$x$$ बॉक्स के अंदर और $$y$$ बाहरी है),

$$\langle \sigma_x \sigma_y \rangle \leq \sum_{z\in S} \langle \sigma_x \sigma_z \rangle \langle \sigma_z \sigma_y \rangle$$.

इस असमानता का उपयोग ईज़िंग मॉडल के लिए प्रावस्था संक्रमण की तीव्रता को स्थापित करने के लिए किया जा सकता है।

एफकेजी असमानता
यह असमानता पहले एक प्रकार के यादृच्छिक क्लस्टर मॉडल के लिए सिद्ध होती है। इसका उपयोग अन्त:स्रवण तर्कों (जिसमें एक विशेष स्थिति के रूप में ईज़िंग मॉडल सम्मिलित है) का उपयोग करके समतलीय पॉट्स मॉडल के महत्वपूर्ण तापमान को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

ऐतिहासिक महत्व
परमाणुवाद के समर्थन में डेमोक्रिटस के तर्कों में से एक यह था कि परमाणु स्वाभाविक रूप से सामग्रियों में देखी गई तीव्र प्रवस्था सीमाओं की व्याख्या करते हैं, जैसे कि जब बर्फ पिघल कर पानी बन जाती है या पानी भाप बन जाता है। उनका विचार था कि परमाणु-पैमाने के गुणों में छोटे परिवर्तन से समग्र व्यवहार में बड़े परिवर्तन होंगे। दूसरों का मानना ​​था कि पदार्थ स्वाभाविक रूप से निरंतर है, परमाणु नहीं है, और यह कि पदार्थ के बड़े पैमाने के गुण मौलिक परमाणु गुणों के लिए कम करने योग्य नहीं हैं।

जबकि रासायनिक बंधन के नियमों ने उन्नीसवीं शताब्दी के रसायनज्ञों को यह स्पष्ट कर दिया था कि परमाणु वास्तविक थे, भौतिकविदों के बीच तर्क बीसवीं शताब्दी के प्रारंभ में अच्छी तरह से प्रकाशित रही। एटमिस्ट्स, विशेष रूप से जेम्स क्लर्क मैक्सवेल और लुडविग बोल्ट्जमैन ने हैमिल्टन के न्यूटन के नियमों को बड़ी प्रणालियों पर प्रयुक्त किया, और पाया कि परमाणुओं के सांख्यिकीय यांत्रिकी कमरे के तापमान गैसों का सही वर्णन करते हैं। लेकिन उत्कृष्ट सांख्यिकीय यांत्रिकी ने तरल और ठोस के सभी गुणों का विवरण नहीं दिया, न ही कम तापमान पर गैसों का विवरण दिया।

एक बार आधुनिक क्वांटम यांत्रिकी निर्मित हो जाने के बाद, परमाणुवाद प्रयोग के साथ संघर्ष में नहीं था, लेकिन इससे सांख्यिकीय यांत्रिकी की सार्वभौमिक स्वीकृति नहीं हुई, जो परमाणुवाद से आगे निकल गई। योशिय्याह विलार्ड गिब्स ने यांत्रिकी के नियमों से ऊष्मप्रवैगिकी के नियमों को पुन: उत्पन्न करने के लिए एक पूर्ण औपचारिकता प्रदान की थी। लेकिन 19वीं शताब्दी से कई दोषपूर्ण तर्क बच गए, जब सांख्यिकीय यांत्रिकी को संदिग्ध माना जाता था। अंतर्ज्ञान में त्रुटि अधिकतम इस तथ्य से उत्पन्न हुई है कि एक अनंत सांख्यिकीय प्रणाली की सीमा में कई शून्य-एक नियम (बहुविकल्पी) हैं। शून्य-एक नियम जो परिमित प्रणालियों में अनुपस्थित हैं: डेमोक्रिटस की अपेक्षा के अनुसार, पैरामीटर में एक अतिसूक्ष्म परिवर्तन समग्र, समग्र व्यवहार में बड़े अंतर उत्पन्न कर सकता है।

परिमित मात्रा में कोई प्रावस्था संक्रमण नहीं
बीसवीं शताब्दी के प्रारम्भिक भाग में, कुछ लोगों का मानना ​​था कि निम्नलिखित तर्क के आधार पर विभाजन फलन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) कभी भी एक प्रावस्था संक्रमण का वर्णन नहीं कर सकता:


 * 1) विभाजन फलन सभी विन्यासों पर e−βE का योग है।
 * 2) चरघातांकी फलन प्रत्येक स्थान पर β के फलन के रूप में विश्लेषणात्मक फलन है।
 * 3) विश्लेषणात्मक फलनों का योग एक विश्लेषणात्मक फलन है।

यह तर्क घातांकों के परिमित योग के लिए काम करता है, और सही रूप से स्थापित करता है कि परिमित आकार की प्रणाली की मुक्त ऊर्जा में कोई विलक्षणता नहीं है। उन प्रणालियों के लिए जो ऊष्मप्रवैगिकी सीमा में हैं (अर्थात, अनंत प्रणालियों के लिए) अनंत राशि विलक्षणता को उत्पन्न कर सकती है। ऊष्मप्रवैगिकी सीमा का अभिसरण तीव्र है, ताकि चरण व्यवहार पहले से ही अपेक्षाकृत छोटी लैटिस पर स्पष्ट हो, तथापि प्रणाली के परिमित आकार से विलक्षणताओं को सामान्य कर दिया गया हो।

इसे सबसे पहले रुडोल्फ पेयर्ल्स ने ईजिंग मॉडल में स्थापित किया था।

पीयरल बिंदुक
लेन्ज़ और ईज़िंग द्वारा ईज़िंग मॉडल का निर्माण करने के तुरंत बाद, पीयरल्स स्पष्ट रूप से यह दिखाने में सक्षम थे कि एक प्रावस्था संक्रमण दो आयामों में होता है।

ऐसा करने के लिए, उन्होंने उच्च-तापमान और निम्न-तापमान सीमा की तुलना की। अनंत तापमान (β = 0) पर सभी विन्यासों की समान संभावना होती है। प्रत्येक प्रचक्रण किसी भी अन्य से पूरी तरह से स्वतंत्र है, और यदि अनंत तापमान पर सामान्य अभिविन्यास आलेखित किए जाते हैं ताकि धन/ऋण को काले और सफेद द्वारा दर्शाया जा सके, तो वे दूरदर्शन (वीडियो) की तरह दिखते हैं। उच्च, लेकिन अनंत तापमान के लिए नहीं, प्रतिवेशी स्थितियों के बीच छोटे-छोटे पारस्परिक संबंध होते हैं, बर्फ थोड़ी सी जम जाती है, लेकिन स्क्रीन अव्यवस्थित रूप से दिखती रहती है, और काले या सफेद रंग की कोई अधिकता नहीं होती है।

अधिकता का एक मात्रात्मक माप चुंबकीयकरण है, जो प्रचक्रण का औसत मान है:


 * $$M = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \sigma_i.$$

पूर्व अनुभाग में तर्क के अनुरूप कल्पित तर्क यह स्थापित करता है कि ईज़िंग मॉडल में चुंबकीयकरण सदैव शून्य होता है।
 * 1) प्रचक्रण के प्रत्येक अभिविन्यास में अभिविन्यास के बराबर ऊर्जा होती है, जिसमें सभी प्रचक्रण प्रतिवर्त होते हैं।
 * 2) इसलिए चुंबकत्व M के साथ प्रत्येक विन्यास के लिए समान संभाव्यता के साथ चुंबकत्व -M के साथ विन्यास होता है।
 * 3) इसलिए प्रणाली को चुंबकीयकरण M के साथ अभिविन्यास में समान मात्रा में समय क्षीण करना चाहिए जैसा कि चुंबकीयकरण -M के साथ होता है।
 * 4) तो औसत चुंबकीयकरण (प्रत्येक समय) शून्य है।

पहले की तरह, यह केवल यह प्रमाणित करता है कि औसत चुंबकीयकरण किसी भी सीमित मात्रा में शून्य है। अनंत प्रणाली के लिए, अस्थिरता एक गैर-शून्य संभाव्यता के साथ अधिकतम धनात्मक अवस्था से अधिकतम शून्य से प्रणाली को आघात में सक्षम नहीं हो सकता है।

बहुत अधिक तापमान के लिए, चुंबकीयकरण शून्य होता है, क्योंकि यह अनंत तापमान पर होता है। इसे देखने के लिए, ध्यान दें कि यदि प्रचक्रण A में प्रचक्रण B के साथ केवल एक छोटा पारस्परिक संबंध ε है, और B केवल C के साथ दुर्बल रूप से सहसंबंधित है, लेकिन C अन्यथा A से स्वतंत्र है, A और C के पारस्परिक संबंध की मात्रा ε2 की तरह हो जाती है दूरी L द्वारा अलग किए गए दो चक्रो के लिए, पारस्परिक संबंध की मात्रा ε L के रूप में हो जाती है, लेकिन यदि एक से अधिक पथ हैं जिनके द्वारा पारस्परिक संबंध संचरण कर सकते हैं, तो यह राशि पथों की संख्या से बढ़ जाती है।

d विमाओं में एक वर्गाकार जालक(लैटिस) पर लंबाई L के पथों की संख्या है
 * $$N(L) = (2d)^L,$$

चूंकि प्रत्येक चरण पर कहां जाना है इसके लिए 2d विकल्प हैं।

समग्र पारस्परिक संबंध पर एक सीमा को दो बिंदुओं को जोड़ने वाले सभी पथों के योग द्वारा पारस्परिक संबंध में योगदान द्वारा दिया जाता है, जो कि लंबाई L के सभी पथों के योग द्वारा ऊपर से विभाजित होता है
 * $$\sum_L (2d)^L \varepsilon^L,$$

जो ε छोटा होने पर शून्य हो जाता है।

कम तापमान (β ≫ 1) पर विन्यास निम्नतम-ऊर्जा विन्यास के पास होता है, वह जहां सभी प्रचक्रण धनात्मक या सभी प्रचक्रण ऋणात्मक होते हैं। पीयरल्स ने पूछा कि क्या यह कम तापमान पर सांख्यिकीय रूप से संभव है, सभी प्रचक्रण ऋणात्मक से प्रारंभ होकर, उस स्थिति में अस्थिरता करना जहां अधिकांश प्रचक्रण धनात्मक हैं। ऐसा होने के लिए, धनात्मक प्रचक्रण की बूंदों को धनात्मक स्थिति बनाने के लिए जमने में सक्षम होना चाहिए।

ऋणात्मक परिप्रेक्ष्य में धनात्मक प्रचक्रण की एक छोटी बूंद की ऊर्जा बिन्दुक L की परिधि के समानुपाती होती है, जहां धनात्मक प्रचक्रण और ऋणात्मक प्रचक्रण एक दूसरे के प्रतिवेशी होते हैं। परिमाप L वाली छोटी बूंद के लिए, क्षेत्रफल (L − 2)/2 (सीधी रेखा) और (L/4)2 (वर्गाकार बॉक्स) के बीच कहीं है। एक छोटी बूंद को प्रस्तुत करने की संभाव्यता कीमत का कारक e−βL है, लेकिन यह परिधि L के साथ बूंदों की समग्र संख्या से गुणा किए गए विभाजन फलन में योगदान देता है, जो लंबाई L के पथों की समग्र संख्या से कम है:
 * $$N(L) < 4^{2L}.$$

ताकि बूंदों से समग्र प्रचक्रण योगदान, यहां तक ​​​​कि प्रत्येक भाग को एक अलग बूंद रखने की स्वीकृति देकर, ऊपर से घिरा हुआ है
 * $$\sum_L L^2 4^{2L} e^{-4\beta L},$$

जो बड़े β पर शून्य हो जाता है। पर्याप्त रूप से बड़े β के लिए, यह घातीय रूप से लंबे कुंडलन को दबा देता है, ताकि वे उत्पन्न न हो सकें, और चुंबकीयकरण -1 से बहुत अधिक अस्थिरता नहीं करता है।

इसलिए पीयरल्स ने स्थापित किया कि ईज़िंग मॉडल में चुंबकीयकरण अंततः अधि- प्रवरण क्षेत्रों को परिभाषित करता है, पृथक किए गए प्रक्षेत्र परिमित अस्थिरता से जुड़े नहीं होते हैं।

क्रेमर्स-वनियर द्वैत
क्रेमर्स और वेनियर यह दिखाने में सक्षम थे कि मॉडल का उच्च तापमान विस्तार और निम्न तापमान विस्तार मुक्त ऊर्जा के समग्र पुनर्विक्रय के बराबर है। इसने द्वि-आयामी मॉडल में चरण-संक्रमण बिंदु को परिशुद्ध रूप से निर्धारित करने की स्वीकृति दी (इस धारणा के अंतर्गत कि एक अद्वितीय महत्वपूर्ण बिंदु है)।

यांग-ली शून्य
ऑनसेजर के समाधान के बाद, यांग और ली ने उस तरीके की जांच की जिसमें तापमान महत्वपूर्ण तापमान तक पहुंचने पर विभाजन फलन विशिष्ट हो जाता है।

परिभाषाएं
यदि प्रणाली में कई अवस्था हैं तो ईज़िंग मॉडल प्रायः संख्यात्मक रूप से मूल्यांकन करना कठिन हो सकता है। इसके साथ एक ईज़िंग मॉडल पर विचार करें
 * L = |Λ|: लैटिस पर भागों की समग्र संख्या,
 * σj ∈ {−1, +1}: लैटिस पर एक व्यक्तिगत प्रचक्रण भाग, J = 1, ..., L,
 * SS ∈ {−1, +1}L: प्रणाली की स्थिति।

चूंकि प्रत्येक प्रचक्रण भाग में ±1 प्रचक्रण है, इसलिए 2L विभिन्न अवस्था हैं,जो संभव हैं। यह मोंटे कार्लो विधियों का उपयोग करके ईज़िंग मॉडल को अनुकरण करने के कारण को प्रेरित करता है।

मोंटे कार्लो विधियों का उपयोग करते समय सामान्य रूप से मॉडल की ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करने के लिए हैमिल्टनियन यांत्रिकी का उपयोग किया जाता है
 * $$H(\sigma) = -J \sum_{\langle i~j\rangle} \sigma_i \sigma_j - h \sum_j \sigma_j.$$

इसके अतिरिक्त, हैमिल्टनियन को शून्य बाहरी क्षेत्र h मानकर और सरल किया जाता है, क्योंकि मॉडल का उपयोग करके संशोधन किए जाने वाले कई प्रश्नों का उत्तर बाहरी क्षेत्र की अनुपस्थिति में दिया जा सकता है। यह हमें अवस्था σ के लिए निम्नलिखित ऊर्जा समीकरण की ओर ले जाता है:
 * $$H(\sigma) = -J \sum_{\langle i~j\rangle} \sigma_i \sigma_j.$$

इस हैमिल्टनियन को देखते हुए, किसी दिए गए तापमान पर विशिष्ट ताप या चुंबक के चुंबकीयकरण जैसे संबंध की मात्रा की गणना की जा सकती है।

संक्षिप्त विवरण
मेट्रोपोलिस-हेस्टिंग्स एल्गोरिथ्म ईज़िंग मॉडल अनुमानों की गणना करने के लिए सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला मोंटे कार्लो एल्गोरिथम है। एल्गोरिथम पहले चयन संभावनाओं g (μ, ν) को चयन करता है, जो इस संभावना का प्रतिनिधित्व करता है कि अवस्था ν को एल्गोरिथम द्वारा सभी अवस्थाओ में से चयन किया गया है, यह देखते हुए कि एक अवस्था μ में है। यह तब स्वीकृति संभावनाओं A (μ, ν) का उपयोग करता है ताकि विस्तृत संतुलन संतुष्ट हो। यदि नई स्थिति ν को स्वीकार कर लिया जाता है, तो हम उस स्थिति में चले जाते हैं और एक नए अवस्था का चयन करने और इसे स्वीकार करने का निर्णय लेने के साथ पुनरावृत्त की जाती हैं। यदि ν स्वीकार नहीं किया जाता है तो हम μ में रहते हैं। यह प्रक्रिया तब तक पुनरावृत्त की जाती है जब तक कि कुछ रोक मानदंड पूरा नहीं हो जाता है, जो ईज़िंग मॉडल के लिए प्रायः तब होता है जब लैटिस लोह चुंबकीय हो जाती है, जिसका अर्थ है कि सभी स्थल समान दिशा में इंगित करती हैं।

एल्गोरिथ्म को प्रयुक्त करते समय, यह सुनिश्चित करना चाहिए कि g (μ, ν) का चयन इस तरह किया जाता है कि अभ्यतिप्रायता पूरी हो जाती है। तापीय संतुलन में एक प्रणाली की ऊर्जा केवल एक छोटी सी सीमा के अंदर अस्थिरता करती है। यह एकल-प्रचक्रण-प्रतिवर्त गतिकी की अवधारणा के पीछे की प्रेरणा है, जिसमें कहा गया है कि प्रत्येक संक्रमण में, हम लैटिस पर केवल एक प्रचक्रण भाग को परिवर्तित कर देंगे। इसके अतिरिक्त, एकल-प्रचक्रण-प्रतिवर्त गतिकी का उपयोग करके, एक समय में दो अवस्थाओ के बीच भिन्न होने वाली प्रत्येक भाग को प्रतिवर्त करके किसी भी अवस्था से किसी भी अन्य अवस्था में प्राप्त किया जा सकता है।

वर्तमान अवस्था की ऊर्जा के बीच परिवर्तन की अधिकतम मात्रा, Hμ और किसी भी संभावित नए अवस्था की ऊर्जा Hν (एकल-प्रचक्रण-प्रतिवर्त गतिकी का उपयोग करके) प्रचक्रण के बीच 2J है जिसे हम नए अवस्था में जाने के लिए प्रतिवर्त चयन करते हैं और वह प्रचक्रण का प्रतिवेशी है। इस प्रकार, 1d आइसिंग मॉडल में, जहां प्रत्येक भाग के दो प्रतिवेशी (बाएं और दाएं) हैं, ऊर्जा में अधिकतम अंतर 4J होगा।

मान लीजिए C 'लैटिस समन्वय संख्या' का प्रतिनिधित्व करते हैं जो किसी भी लैटिस स्थल के निकटतम प्रतिवेशों की संख्या है।। हम मानते हैं कि आवधिक सीमा स्थितियों के कारण सभी भागों के प्रतिवेशों की संख्या समान है। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि मेट्रोपोलिस-हेस्टिंग्स एल्गोरिथम अत्यधिक मंद होने के कारण महत्वपूर्ण बिंदु के आसपास अच्छा प्रदर्शन नहीं करता है। सिस्टम के महत्वपूर्ण घातांक निर्धारित करने के लिए महत्वपूर्ण बिंदु के पास मॉडल को हल करने के लिए मल्टीग्रिड विधियों, निडरमेयर के एल्गोरिदम, स्वेनडेन-वांग एल्गोरिदम, या वोल्फ एल्गोरिदम जैसी अन्य तकनीकों की आवश्यकता होती है।

इन एल्गोरिदम को प्रयुक्त करने वाले मुक्त स्रोत पैकेज उपलब्ध हैं।

विशिष्टता
विशेष रूप से ईज़िंग मॉडल के लिए और एकल-प्रचक्रण-प्रतिवर्त गतिकी का उपयोग करके, निम्नलिखित को स्थापित किया जा सकता है।

चूँकि लैटिस पर L समग्र स्थल हैं, एकल-प्रचक्रण-प्रतिवर्त का उपयोग करके हम दूसरे अवस्था में संक्रमण करते हैं, हम देख सकते हैं कि हमारे वर्तमान अवस्था μ से समग्र L नए अवस्था ν हैं। एल्गोरिथ्म मानता है कि चयन संभावनाएं L अवस्थाओ g(μ, ν) = 1/L के बराबर हैं। विस्तृत संतुलन हमें बताता है कि निम्नलिखित समीकरण धारण करना चाहिए:


 * $$\frac{P(\mu, \nu)}{P(\nu, \mu)} =

\frac{g(\mu, \nu) A(\mu, \nu)}{g(\nu, \mu) A(\nu, \mu)} = \frac{A(\mu, \nu)}{A(\nu, \mu)} = \frac{P_\beta(\nu)}{P_\beta(\mu)} = \frac{\frac{1}{Z} e^{-\beta(H_\nu)}}{\frac{1}{Z} e^{-\beta(H_\mu)}} = e^{-\beta(H_\nu - H_\mu)}.$$ इस प्रकार, हम अपने एल्गोरिथ्म को संतुष्ट करने के लिए स्वीकृति संभावना का चयन करना चाहते हैं


 * $$\frac{A(\mu, \nu)}{A(\nu, \mu)} = e^{-\beta(H_\nu - H_\mu)}.$$

यदि Hν > Hμ, तब A(ν, μ) > A(μ, ν). मेट्रोपोलिस A(μ, ν) या A(ν, μ) के बड़े फलन को 1 पर स्थापित करता है। इस तर्क से स्वीकृति एल्गोरिथम है:


 * $$A(\mu, \nu) = \begin{cases}

e^{-\beta(H_\nu - H_\mu)}, & \text{if } H_\nu - H_\mu > 0, \\ 1 & \text{otherwise}. \end{cases}$$ एल्गोरिथ्म का मूल रूप इस प्रकार है:
 * 1) चयन प्रायिकता g(μ, ν) का उपयोग करके प्रचक्रण भाग चयन करे और इस प्रचक्रण से जुड़ी ऊर्जा में योगदान की गणना करें।
 * 2) प्रचक्रण के मान को प्रतिवर्त करे और नए योगदान की गणना करें।
 * 3) यदि नई ऊर्जा कम है, तो प्रतिवर्त मान रखें।
 * 4) नई ऊर्जा ज्यादा हो तो संभावना के $$e^{-\beta(H_\nu - H_\mu)}$$साथ ही रखे
 * 5) पुनरावृत्ति।

ऊर्जा में परिवर्तन Hν − Hμ केवल प्रचक्रण और उसके निकटतम रेखाचित्र प्रतिवेशों के मान पर निर्भर करता है। इसलिए यदि रेखाचित्र बहुत अधिक जुड़ा हुआ नहीं है, तो एल्गोरिथम तीव्र है। यह प्रक्रिया अंततः वितरण से एक चयन का उत्पादन करेगी।

मार्कोव श्रृंखला के रूप में ईज़िंग मॉडल को देखना
ईज़िंग मॉडल को मार्कोव श्रृंखला के रूप में देखना संभव है, तत्काल संभावना Pβ(ν) के रूप में भविष्य की अवस्था में संक्रमण का ν केवल वर्तमान अवस्था μ पर निर्भर करती है। मेट्रोपोलिस एल्गोरिदम वास्तव में मार्कोव चेन मोंटे कार्लो अनुकरण का एक संस्करण है, और चूंकि हम मेट्रोपोलिस एल्गोरिदम में एकल-प्रचक्रण-प्रतिवर्त गतिशीलता का उपयोग करते हैं, इसलिए प्रत्येक अवस्था को एल अन्य अवस्थाओ के लिंक के रूप में देखा जा सकता है, जहां प्रत्येक संक्रमण प्रतिवर्त विपरीत मान के लिए एकल प्रचक्रण भाग से अनुरूप है। इसके अतिरिक्त, चूंकि ऊर्जा समीकरण Hσ परिवर्तन केवल निकटतम-प्रतिवेशी संपर्क सामर्थ्य J पर निर्भर करता है, ईज़िंग मॉडल और इसके परिवर्त रूप जैसे स्ज़नाजद मॉडल को एक अनुमानित गतिशीलता के लिए संपर्क मॉडल (गणित) के एक रूप मे देखा जा सकता है।

एक आयाम
ऊष्मप्रवैगिकी सीमा तब तक सम्मिलित रहती है जब तक $$J_{ij} \sim |i - j|^{-\alpha}$$ α> 1 के साथ अंतःक्रियात्मक क्षय होता है।
 * लोह चुंबकीय पारस्परिक क्रिया के स्थिति में $$J_{ij} \sim |i - j|^{-\alpha} $$ 1 < α < 2 के साथ, डायसन ने पदानुक्रमित स्थिति के साथ तुलना करके प्रमाणित किया कि छोटे पर्याप्त तापमान पर प्रावस्था संक्रमण होता है।
 * लोह चुंबकीय पारस्परिक क्रिया के स्थिति में $$J_{ij} \sim |i - j|^{-2}$$, फ्रॉलीच और स्पेंसर ने प्रमाणित किया कि छोटे पर्याप्त तापमान पर (पदानुक्रमित स्थिति के विपरीत) प्रावस्था संक्रमण होता है।
 * संपर्क के स्थिति में $$J_{ij} \sim |i - j|^{-\alpha}$$ Α > 2 (जिसमें परिमित-श्रेणी की अंतःक्रियाओं की स्थिति सम्मिलित है) के साथ, किसी भी सकारात्मक तापमान (अर्थात परिमित β) पर कोई प्रावस्था संक्रमण नहीं होता है, क्योंकि मुक्त ऊर्जा ऊष्मप्रवैगिकी मापदंडों में विश्लेषणात्मक होती है।
 * निकटतम प्रतिवेशी की संपर्क के स्थिति में, ई. इसिंग ने मॉडल का एक परिशुद्ध समाधान प्रदान किया। किसी भी प्रभावयुक्त तापमान (अर्थात परिमित β) पर मुक्त ऊर्जा ऊष्मप्रवैगिकी मापदंडों में विश्लेषणात्मक होती है, और छोटा दो-बिंदु प्रचक्रण पारस्परिक संबंध तीव्रता से कम होता है। शून्य तापमान (अर्थात अनंत β) पर, एक दूसरे क्रम का प्रावस्था संक्रमण होता है: मुक्त ऊर्जा अनंत होती है, और दो-बिंदु प्रचक्रण पारस्परिक संबंध को छोटा कर दिया जाता है (स्थिर रहता है)। इसलिए, T = 0 इस स्थिति का महत्वपूर्ण तापमान है। अतः अनुमाप परिवर्तन सूत्र संतुष्ट हैं।

इसिंग का परिशुद्ध समाधान
निकटतम प्रतिवेशी स्थिति में (आवधिक या मुक्त सीमा शर्तों के साथ) एक परिशुद्ध समाधान उपलब्ध है। आवधिक सीमा शर्तों के साथ L भागों की लैटिस(जाली) पर एक आयामी आइसिंग मॉडल का हैमिल्टनियन है
 * $$H(\sigma) = -J \sum_{i=1,\ldots,L-1} \sigma_i \sigma_{i+1} - h \sum_i \sigma_i,$$

जहाँ J और h कोई भी संख्या हो सकती है, क्योंकि इस सरलीकृत स्थिति में J निकटतम प्रतिवेशों के बीच परस्पर क्रिया सामर्थ्य का प्रतिनिधित्व करने वाला एक स्थिरांक है और h लैटिस स्थलों पर प्रयुक्त होने वाला स्थिर बाहरी चुंबकीय क्षेत्र है। फिरऊष्मप्रवैगिकी मुक्त ऊर्जा है
 * $$f(\beta, h) = -\lim_{L \to \infty} \frac{1}{\beta L} \ln Z(\beta) = -\frac{1}{\beta} \ln\left(e^{\beta J} \cosh \beta h + \sqrt{e^{2\beta J}(\sinh\beta h)^2 + e^{-2\beta J}}\right),

$$ और प्रचक्रण-प्रचक्रण पारस्परिक संबंध (अर्थात सहप्रसरण) है
 * $$\langle\sigma_i \sigma_j\rangle - \langle\sigma_i\rangle \langle\sigma_j\rangle = C(\beta) e^{-c(\beta)|i - j|},$$

जहां C(β) और c(β) T > 0 के लिए धनात्मक फलन हैं। T → 0 के लिए, हालांकि, व्युत्क्रम पारस्परिक संबंध लंबाई c(β) समाप्त हो जाती है।

प्रमाण
इस परिणाम का प्रमाण एक साधारण संगणना है।

यदि h = 0, मुक्त सीमा स्थिति के स्थिति में मुक्त ऊर्जा प्राप्त करना बहुत आसान है, अर्थात जब
 * $$H(\sigma) = -J(\sigma_1 \sigma_2 + \cdots + \sigma_{L-1} \sigma_L).$$

तब मॉडल चर के परिवर्तन के अंतर्गत गुणनखंड करता है
 * $$\sigma'_j = \sigma_j \sigma_{j-1}, \quad j \ge 2.$$

यह देता है
 * $$Z(\beta) = \sum_{\sigma_1,\ldots, \sigma_L} e^{\beta J \sigma_1 \sigma_2} e^{\beta J \sigma_2 \sigma_3} \cdots e^{\beta J \sigma_{L-1} \sigma_L} = 2 \prod_{j=2}^L \sum_{\sigma'_j} e^{\beta J\sigma'_j} = 2 \left[e^{\beta J} + e^{-\beta J}\right]^{L-1}. $$

इसलिए, मुक्त ऊर्जा है


 * $$f(\beta, 0) = -\frac{1}{\beta} \ln\left[e^{\beta J} + e^{-\beta J}\right].$$

चर के समान परिवर्तन के साथ


 * $$\langle\sigma_j\sigma_{j+N}\rangle = \left[\frac{e^{\beta J} - e^{-\beta J}}{e^{\beta J} + e^{-\beta J}}\right]^N,$$

इसलिए जैसे ही T ≠ 0 होता है, इसका चरघातांकी क्षय होता है; लेकिन T = 0 के लिए, अर्थात β → ∞ की सीमा में कोई क्षय नहीं है।

यदि h ≠ 0 हमें स्थानांतरण आव्यूह विधि की आवश्यकता है। आवधिक सीमा स्थितियों के स्थिति में निम्नलिखित है। विभाजन फलन है
 * $$Z(\beta) = \sum_{\sigma_1,\ldots,\sigma_L} e^{\beta h \sigma_1} e^{\beta J\sigma_1\sigma_2} e^{\beta h \sigma_2} e^{\beta J\sigma_2\sigma_3} \cdots e^{\beta h \sigma_L} e^{\beta J\sigma_L\sigma_1} = \sum_{\sigma_1,\ldots,\sigma_L} V_{\sigma_1,\sigma_2} V_{\sigma_2,\sigma_3} \cdots V_{\sigma_L,\sigma_1}.$$

गुणांक $$V_{\sigma, \sigma'}$$ एक आव्यूह की प्रविष्टियों के रूप में देखा जा सकता है। अलग-अलग संभावित विकल्प हैं: एक सुविधाजनक (क्योंकि आव्यूह सममित है) है
 * $$V_{\sigma, \sigma'} = e^{\frac{\beta h}{2} \sigma} e^{\beta J\sigma\sigma'} e^{\frac{\beta h}{2} \sigma'}$$

या
 * $$V = \begin{bmatrix}

e^{\beta(h+J)} & e^{-\beta J} \\ e^{-\beta J} & e^{-\beta(h-J)} \end{bmatrix}.$$ आव्यूह औपचारिकता में
 * $$Z(\beta) = \operatorname{Tr} \left(V^L\right) = \lambda_1^L + \lambda_2^L = \lambda_1^L \left[1 + \left(\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^L\right],$$

जहां λ1 V का उच्चतम इगनमान है, जबकि λ2 अन्य इगनमान है:
 * $$\lambda_1 = e^{\beta J} \cosh \beta h + \sqrt{e^{2\beta J} (\sinh\beta h)^2 + e^{-2\beta J}},$$

और |λ2| < λ1 यह मुक्त ऊर्जा का सूत्र देता है।

टिप्पणियाँ
निम्नतम अवस्था की ऊर्जा -JL होती है, जब सभी चक्रण समान होते हैं। किसी भी अन्य अभिविन्यास के लिए, अतिरिक्त ऊर्जा 2J गुणा के बराबर होती है जो अभिविन्यास को बाएं से दाएं स्कैन करते समय सामने आने वाले चिन्ह परिवर्तनों की संख्या होती है।

यदि हम किसी विन्यास में चिन्ह परिवर्तन की संख्या को k के रूप में निर्दिष्ट करते हैं, तो निम्नतम ऊर्जा अवस्था से ऊर्जा में अंतर 2k है। चूँकि ऊर्जा प्रतिवर्त की संख्या में योज्य है, प्रत्येक स्थिति में प्रचक्रण-प्रतिवर्त होने की प्रायिकता p स्वतंत्र है। एक प्रतिवर्न नहीं मिलने की संभावना के लिए एक प्रतिवर्न खोजने की संभावना का अनुपात बोल्ट्जमान कारक है:


 * $$\frac{p}{1 - p} = e^{-2\beta J}.$$

समस्या को स्वतंत्र अभिनत सिक्का उत्क्षेपण के लिए कम किया गया है। यह अनिवार्य रूप से गणितीय विवरण को पूरा करता है।

स्वतंत्र टॉस (उत्क्षेपण) के संदर्भ में विवरण से, लंबी रेखाओ के मॉडल के आंकड़ों को समझा जा सकता है। रेखा प्रक्षेत्र में विभाजित होती है। प्रत्येक प्रक्षेत्र औसत लंबाई ऍक्स्प (2β) का है। एक प्रक्षेत्र की लंबाई चरघातांकी रूप से वितरित की जाती है, क्योंकि किसी भी चरण पर एक प्रतिवर्न का सामना करने की निरंतर संभावना होती है। प्रक्षेत्र कभी भी अनंत नहीं बनते, इसलिए एक लंबी प्रणाली कभी चुम्बकित नहीं होती है। प्रत्येक चरण एक प्रचक्रण और उसके प्रतिवेशी के बीच पारस्परिक संबंध को p के समानुपातिक रूप से कम करता है, इसलिए पारस्परिक संबंध चरघातांकी रूप से कम हो जाते हैं।


 * $$\langle S_i S_j \rangle \propto e^{-p|i-j|}.$$

विभाजन फलन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) अभिविन्यास की मात्रा है, प्रत्येक अभिविन्यास को उसके बोल्टज़मान भार द्वारा भारित किया जाता है। चूंकि प्रत्येक अभिविन्यास को चिन्ह-परिवर्तन द्वारा वर्णित किया गया है, इसलिए विभाजन फलन गुणनखण्ड करता है:


 * $$Z = \sum_{\text{configs}} e^{\sum_k S_k} = \prod_k (1 + p ) = (1 + p)^L.$$

L द्वारा विभाजित लघुगणक मुक्त ऊर्जा घनत्व है:


 * $$\beta f = \log(1 + p) = \log\left(1 + \frac{e^{-2\beta J}}{1 + e^{-2\beta J}}\right),$$

जो β = ∞ से दूर विश्लेषणात्मक है। प्रावस्था संक्रमण का संकेत एक गैर-विश्लेषणात्मक मुक्त ऊर्जा है, इसलिए एक-आयामी मॉडल में प्रावस्था संक्रमण नहीं होता है।

अनुप्रस्थ क्षेत्र के साथ एक आयामी समाधान
प्रचक्रण के क्वांटम यांत्रिक विवरण का उपयोग करके इस्सिंग हैमिल्टनियन को व्यक्त करने के लिए, हम प्रचक्रण चर को उनके संबंधित पाउली आव्यूहों से परिवर्तित कर देते हैं। हालांकि, चुंबकीय क्षेत्र की दिशा के आधार पर, हम अनुप्रस्थ-क्षेत्र या अनुदैर्ध्य-क्षेत्र हैमिल्टनियन बना सकते हैं। अनुप्रस्थ-क्षेत्र हैमिल्टनियन द्वारा दिया गया है


 * $$H(\sigma) = -J \sum_{i=1,\ldots,L} \sigma_i^z \sigma_{i+1}^z - h \sum_i \sigma_i^x.$$

अनुप्रस्थ-क्षेत्र मॉडल J ~ h पर एक क्रमित और अव्यवस्थित अव्यवस्था के बीच एक प्रावस्था संक्रमण का अनुभव करता है। इसे पाउली आव्यूहों के मानचित्रण द्वारा दिखाया जा सकता है


 * $$\sigma_n^z = \prod_{i=1}^n T_i^x,$$
 * $$\sigma_n^x = T_n^z T_{n+1}^z.$$

इस परिवर्तन-के-आधार आव्यूह के संदर्भ में हैमिल्टनियन को पुनः लिखने पर, हम प्राप्त करते हैं


 * $$H(\sigma) = -h \sum_{i=1,\ldots,L} T_i^z T_{i+1}^z - J \sum_i T_i^x.$$

चूँकि h और J की भूमिकाओं को परिवर्तित कर दिया जाता है, हैमिल्टनियन J = h पर एक संक्रमण से गुजरता है।

दो आयाम

 * लोह चुंबकीय स्थिति में एक प्रावस्था संक्रमण होता है। कम तापमान पर, पीयरल्स तर्क निकटतम प्रतिवेशी स्थिति के लिए धनात्मक चुंबकीयकरण प्रमाणित करता है और फिर ग्रिफ़िथ असमानता द्वारा, जब लंबी दूरी की परस्पर क्रिया भी जोड़ दी जाती है। इस बीच, उच्च तापमान पर, क्लस्टर विस्तार ऊष्मप्रवैगिकी कार्यों की विश्लेषणात्मकता देता है।
 * निकटतम-प्रतिवेशी स्थिति में, लैटिस पर मुक्त फर्मीअन्स के साथ मॉडल के तुल्यता के माध्यम से, मुक्त ऊर्जा की गणना ऑनसेगर द्वारा की गई थी। प्रचक्रण-प्रचक्रण पारस्परिक संबंध फलनों की गणना मैककॉय और वू द्वारा की गई थी।

ऑनसेजर का परिशुद्ध समाधान
ने विषमदैशिक वर्ग लैटिस पर ईज़िंग मॉडल की मुक्त ऊर्जा के लिए निम्नलिखित विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति प्राप्त की जब चुंबकीय क्षेत्र $$h=0$$ ऊष्मप्रवैगिकी सीमा में तापमान और क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर संपर्क ऊर्जा के एक फलन के रूप में $$J_1$$ और $$J_2$$, क्रमश


 * $$ -\beta f = \ln 2 + \frac{1}{8\pi^2}\int_0^{2\pi}d\theta_1\int_0^{2\pi}d\theta_2 \ln[\cosh(2\beta J_1)\cosh(2\beta J_2) -\sinh(2\beta J_1)\cos(\theta_1)-\sinh(2\beta J_2)\cos(\theta_2)]. $$

मुक्त ऊर्जा के लिए इस अभिव्यक्ति से, मॉडल के सभी ऊष्मप्रवैगिकी कार्यों की गणना उपयुक्त व्युत्पन्न का उपयोग करके की जा सकती है। 2d ईज़िंग मॉडल एक प्रभावयुक्त तापमान पर एक सतत प्रावस्था संक्रमण प्रदर्शित करने वाला पहला मॉडल था। यह तापमान $$T_c$$पर होता है जो समीकरण को संशोधन करता है


 * $$ \sinh\left(\frac{2J_1}{kT_c}\right)\sinh\left(\frac{2J_2}{kT_c}\right) = 1. $$

समदैशिक स्थिति में जब क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर संपर्क ऊर्जा $$J_1=J_2=J$$ बराबर होती है, महत्वपूर्ण तापमान $$T_c$$ निम्न बिन्दु पर होता है


 * $$ T_c = \frac{2J}{k\ln(1+\sqrt{2})} $$

जब अंतःक्रिया ऊर्जा $$J_1$$, $$J_2$$ दोनों ऋणात्मक हैं, ईज़िंग मॉडल एक प्रतिलोहचुंबक बन जाता है। चूँकि वर्ग जालक अनिर्दिष्ट है, यह चुंबकीय क्षेत्र में इस परिवर्तन के अंतर्गत $$h=0$$ अपरिवर्तनीय है, इसलिए मुक्त ऊर्जा और महत्वपूर्ण तापमान प्रतिलोहचुंबकीय स्थिति के लिए समान हैं। त्रिकोणीय लैटिस के लिए, जो द्वि-पक्षीय नहीं है, लोह चुंबकीय और प्रतिलोहचुंबकीय आइसिंग मॉडल विशेष रूप से अलग व्यवहार करते हैं।

स्थानांतरण आव्यूह
क्वांटम यांत्रिकी के साथ समानता से प्रारंभ करें। दीर्घ आवधिक लैटिस पर ईज़िंग मॉडल में एक विभाजन फलन होता है


 * $$\sum_{\{S\}} \exp\biggl(\sum_{ij} S_{i,j} \left( S_{i,j+1} + S_{i+1,j} \right)\biggr).$$

i दिशा को स्थान के रूप में और j दिशा को समय के रूप में विचार करे। यह उन सभी मानो पर एक स्वतंत्र योग है जो प्रचक्रण प्रत्येक बार भाग में ले सकते हैं। यह एक प्रकार का पथ समाकलन सूत्रीकरण है, यह सभी प्रचक्रण इतिहासों का योग है।

एक पथ समाकलन को हैमिल्टन के विकास के रूप में पुनः लिखा जा सकता है। समय t और समय t + Δt के बीच एकात्मक घूर्णन करके समय के माध्यम से हैमिल्टनियन चरण:
 * $$ U = e^{i H \Delta t}$$

U आव्यूह का गुणन, एक के बाद एक, समग्र समय विकास संक्रियक है, जो कि पथ समाकलन है जिसके साथ हमने प्रारंभ की थी।


 * $$ U^N = (e^{i H \Delta t})^N = \int DX e^{iL}$$

जहां N समय भाग की संख्या है। सभी पथों का योग आव्यूह के गुणन द्वारा दिया जाता है, प्रत्येक आव्यूह तत्व एक भाग से दूसरे में संक्रमण की संभावना है।

इसी तरह, कोई भी सभी विभाजन फलन अभिविन्यास के योग को खंड में विभाजित कर सकता है, जहां प्रत्येक खंड समय 1 पर एक-आयामी अभिविन्यास है। यह परिवर्तन-आव्यूह विधि को परिभाषित करता है:
 * $$T_{C_1 C_2}.$$

प्रत्येक खंड में अभिविन्यास प्रचक्रण का एक आयामी संग्रह है। प्रत्येक समय खंड में, t में प्रचक्रण के दो विन्यासों के बीच आव्यूह तत्व होते हैं, एक निकट भविष्य में और एक निकट पूर्व में होते है। ये दो विन्यास हैं C1 और C2 है, और वे सभी एक आयामी प्रचक्रण विन्यास हैं। हम वेकर समष्टि के बारे में सोच सकते हैं कि T इनमें से सभी जटिल रैखिक संयोजनों के रूप में फलन करता है। क्वांटम यांत्रिकी संकेतन का उपयोग करना:
 * $$|A\rangle = \sum_S A(S) |S\rangle$$

जहां प्रत्येक आधार वेक्टर $$|S\rangle$$ एक आयामी ईज़िंग मॉडल का प्रचक्रण अभिविन्यास है।

हैमिल्टनियन की तरह, स्थानांतरण आव्यूह अवस्थाओ के सभी रैखिक संयोजनों पर फलन करता है। विभाजन फलन T का एक आव्यूह फलन है, जिसे सभी इतिहासों पर योग (रैखिक बीजगणित) द्वारा परिभाषित किया गया है जो N चरणों के बाद मूल अभिविन्यास पर वापस आते हैं:
 * $$Z= \mathrm{tr}(T^N).$$

चूंकि यह एक आव्यूह समीकरण है, इसका मूल्यांकन किसी भी आधार पर किया जा सकता है। इसलिए यदि हम आव्यूह T को विकर्ण कर सकते हैं, तो हम Z पर प्राप्त कर सकते हैं।

पाउली आव्यूह के संदर्भ में T
एक खंड पर अभिविन्यास के प्रत्येक पिछले/भविष्य के जोड़े के लिए विभाजन फलन में योगदान दो शब्दों का योग है। पिछले खंड में प्रचक्रण प्रतिवर्त की संख्या है और अतीत और भविष्य के खंड के बीच प्रचक्रण प्रतिवर्त की संख्या है। अभिविन्यास पर एक संक्रियक को परिभाषित करें जो प्रचक्रण को भाग i पर प्रतिवर्त करता है:


 * $$\sigma^x_i.$$

सामान्य ईज़िंग आधार में, पिछले विन्यासों के किसी भी रैखिक संयोजन पर कार्य करते हुए, यह समान रैखिक संयोजन का उत्पादन करता है, लेकिन प्रत्येक आधार की स्थिति i पर प्रचक्रण के साथ वेक्टर प्रतिवर्त किया जाता है।

एक दूसरे संक्रियक को परिभाषित करें जो स्थिति i पर प्रचक्रण के अनुसार आधार वेक्टर को +1 और -1 से गुणा करता है:


 * $$\sigma^z_i.$$

T को इनके संदर्भ में लिखा जा सकता है:


 * $$\sum_i A \sigma^x_i + B \sigma^z_i \sigma^z_{i+1}$$

जहां A और B स्थिरांक हैं जिन्हें विभाजन फलन को पुन: उत्पन्न करने के लिए निर्धारित किया जाना है। व्याख्या यह है कि इस खंड पर सांख्यिकीय अभिविन्यास खंड में प्रचक्रण प्रतिवर्त की संख्या के अनुसार योगदान देता है, और क्या स्थिति में प्रचक्रण प्रतिवर्त किया गया है या नहीं किया गया है।

प्रचक्रण प्रतिवर्त निर्माण और विलोपन संकारक
जैसे एक आयामी स्थिति में, हम प्रचक्रण से प्रचक्रण-प्रतिवर्त पर ध्यान देंगे। t में σz पद प्रचक्रण प्रतिवर्त की संख्या की गणना करता है, जिसे हम प्रचक्रण-प्रतिवर्त निर्माण और विलोपन संक्रियक के संदर्भ में लिख सकते हैं:


 * $$ \sum C \psi^\dagger_i \psi_i. \,$$

पहला पद एक प्रचक्रण को प्रतिवर्न करता है, इसलिए मूल के आधार पर इसे या तो बताएं:
 * 1) प्रचक्रण-प्रतिवर्त को एक इकाई दाईं ओर ले जाता है
 * 2) प्रचक्रण-प्रतिवर्त को एक इकाई बाईं ओर ले जाता है
 * 3) प्रतिवेशी भागों पर दो प्रचक्रण-प्रतिवर्त बनाता है
 * 4) प्रतिवेशी भागों पर दो प्रचक्रण-प्रतिवर्त को नष्ट करता है।

निर्माण और विलोपन संक्रियक के संदर्भ में इसे लिखना:
 * $$ \sigma^x_i = D {\psi^\dagger}_i \psi_{i+1} + D^* {\psi^\dagger}_i \psi_{i-1} + C\psi_i \psi_{i+1} + C^* {\psi^\dagger}_i {\psi^\dagger}_{i+1}.$$

निरंतर गुणांकों पर ध्यान न दें, और आकृति पर ध्यान केंद्रित करें। वे सभी द्विघात हैं। चूंकि गुणांक स्थिर हैं, इसका तात्पर्य है कि T आव्यूह को फूरियर रूपांतरण द्वारा विकर्ण किया जा सकता है।

विकर्णीकरण करने से ऑनसेजर मुक्त ऊर्जा उत्पन्न होती है।

सामान्य चुम्बकत्व के लिए ऑनसेजर का सूत्र
ऑनसेजर ने 1948 में दो अलग-अलग सम्मेलनों में वर्ग जालक पर द्वि-आयामी आइसिंग लोह-चुंबक के सामान्य चुंबकीयकरण M के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति की घोषणा की, हालांकि प्रमाण के बिना की गई :$$M = \left(1 - \left[\sinh 2\beta J_1 \sinh 2\beta J_2\right]^{-2}\right)^{\frac{1}{8}}$$

जहाँ $$J_1$$ और $$J_2$$ क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर अंतःक्रियात्मक ऊर्जा हैं।

एक पूर्ण व्युत्पत्ति केवल 1951 में अंतरण आव्यूह ईजेनमान की एक सीमित प्रक्रिया का उपयोग करके द्वारा दी गई थी। बाद में 1963 में मॉन्ट्रोल, पॉट्स और वार्ड द्वारा टोप्लिट्ज निर्धारकों के लिए स्ज़ेगो के सीमा सूत्र का उपयोग करके चुंबकत्व को सहसंबंध फलनों की सीमा के रूप में मानते हुए प्रमाण को बहुत सरल बना दिया गया।

न्यूनतम मॉडल
महत्वपूर्ण बिंदु पर, द्वि-आयामी आइसिंग मॉडल एक द्वि-आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत है। प्रचक्रण और ऊर्जा पारस्परिक संबंध फलनों को न्यूनतम मॉडल (भौतिकी) द्वारा वर्णित किया गया है, जिसे परिशुद्ध रूप से संशोधित किया गया है।

तीन आयाम
तीन के रूप में दो आयामों में, ईज़िंग मॉडल का सबसे अधिक अध्ययन किया गया स्थिति शून्य चुंबकीय क्षेत्र में निकटतम-प्रतिवेशी युग्मन के साथ घन लैटिस पर अनुवाद-अपरिवर्तनीय मॉडल है। कई सिद्धांतकारों ने कई दशकों तक एक विश्लेषणात्मक त्रि-आयामी समाधान की खोज की, जो द्वि-आयामी स्थिति में ऑनसेजर के समाधान के अनुरूप होगा। ऐसा कोई समाधान अब तक नहीं मिला है, हालांकि इस बात का कोई प्रमाण नहीं है कि यह सम्मिलित नहीं हो सकता है।

तीन आयामों में, ईज़िंग मॉडल को अलेक्जेंडर मार्कोविच पॉलाकोव और व्लादिमीर डॉट्सेंको द्वारा गैर-अंतःक्रियात्मक फ़र्मोनिक शृंखला के संदर्भ में एक प्रतिनिधित्व दिखाया गया था। यह निर्माण लैटिस पर किया गया है, और सातत्य सीमा, विशेष रूप से महत्वपूर्ण बिंदु का वर्णन अज्ञात है।

प्रावस्था संक्रमण
तीन में दो आयामों में, पियरल का तर्क दर्शाता है कि एक प्रावस्था संक्रमण है। इस प्रावस्था संक्रमण को कठोर रूप से निरंतर जाना जाता है (इस अर्थ में कि पारस्परिक संबंध की लंबाई अलग हो जाती है और चुंबकीयकरण शून्य हो जाता है), और इसे महत्वपूर्ण बिंदु (ऊष्मप्रवैगिकी) कहा जाता है। यह माना जाता है कि महत्वपूर्ण बिंदु को विल्सन-कडानॉफ़ पुनर्सामान्यीकरण समूह परिवर्तन के एक पुनर्सामान्यीकरण समूह निश्चित बिंदु द्वारा वर्णित किया जा सकता है। यह भी माना जाता है कि प्रावस्था संक्रमण को त्रि-आयामी एकात्मक अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जैसा कि मेट्रोपोलिस-हेस्टिंग्स एल्गोरिथम अनुकरण द्वारा प्रमाणित है, क्वांटम मॉडल में परिशुद्ध विकर्णीकरण परिणाम, और क्वांटम क्षेत्र सैद्धांतिक तर्क से स्पष्ट है। यद्यपि पुनर्सामान्यीकरण समूह चित्र या अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत चित्र को कठोर रूप से स्थापित करना एक विवृत समस्या है, सैद्धांतिक भौतिकविदों ने प्रावस्था संक्रमण के महत्वपूर्ण घातांकों की गणना करने के लिए इन दो विधियों का उपयोग किया है, जो प्रयोगों और मोंटे कार्लो अनुरूपण से सहमत हैं।

त्रि-आयामी आइसिंग महत्वपूर्ण बिंदु का वर्णन करने वाला यह अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत, अनुरूप बूटस्ट्रैप की विधि का उपयोग करके सक्रिय जांच के अधीन है।  यह विधि वर्तमान में महत्वपूर्ण सिद्धांत की संरचना के बारे में सबसे परिशुद्ध जानकारी देती है (देखें महत्वपूर्ण घातांक ईज़िंग)।

सामान्य प्रचक्रण ग्लास (आवर्धक लैन्स) मॉडल के लिए इस्त्राइल का एनपी-पूर्णता परिणाम
सन् 2000 में, सांडिया राष्ट्रीय प्रयोगशालाएँ के सोरिन इज़राइल ने प्रमाणित किया कि गैर-विभिन्न-तलीय जालक पर प्रचक्रण ग्लास आइसिंग मॉडल एनपी-पूर्ण है। यही, P ≠ NP मानते हुए, सामान्य प्रचक्रण ग्लास आइसिंग मॉडल केवल समतलीय रेखाचित्र स्थितियो में ही संशोधन करने योग्य है, इसलिए आयामों के लिए समाधान जो दो भी अधिक जटिल हैं। इस्त्राइल का परिणाम केवल प्रचक्रण ग्लास मॉडल को स्थानिक रूप से अलग-अलग युग्मन के साथ प्रयोजन करता है, और ईज़िंग के मूल लोह चुंबकीय मॉडल के बारे में समान युग्मन के बारे में कुछ नहीं बताता है।

चार आयाम और उससे अधिक
किसी भी आयाम में, ईज़िंग मॉडल को स्थानीय रूप से भिन्न माध्य क्षेत्र द्वारा उत्पादक रूप से वर्णित किया जा सकता है। क्षेत्र को एक बड़े क्षेत्र में औसत प्रचक्रण मान के रूप में परिभाषित किया गया है, लेकिन इतना बड़ा नहीं है कि पूरे प्रणाली को सम्मिलित किया जा सके। क्षेत्र में अभी भी बिंदु से बिंदु तक मंद भिन्नताएं हैं, क्योंकि औसत मात्रा चलती है। क्षेत्र में ये अस्थिरता अनंत प्रणाली सीमा में एक सतत क्षेत्र सिद्धांत द्वारा वर्णित हैं।

स्थानीय क्षेत्र
क्षेत्र H को प्रचक्रण चर के लंबे तरंग दैर्ध्य फूरियर घटकों के रूप में परिभाषित किया गया है, इस सीमा में कि तरंग दैर्ध्य लंबे हैं। लंबी तरंगदैर्घ्य का औसत निकालने के कई तरीके हैं, यह इस बात पर निर्भर करता है कि उच्च तरंगदैर्घ्य को कैसे परिच्छेद किया जाता है। विवरण बहुत महत्वपूर्ण नहीं हैं, क्योंकि लक्ष्य H के आंकड़े खोजना है न कि प्रचक्रण को पता लगाना है। एक बार H में पारस्परिक संबंध ज्ञात हो जाने के बाद, प्रचक्रण के बीच लंबी दूरी के संबंध H में लंबी दूरी के पारस्परिक संबंध के समानुपाती होंगे।

धीरे-धीरे बदलते क्षेत्र H के किसी भी मान के लिए, मुक्त ऊर्जा (लॉग-प्रायिकता) H और उसके प्रवणता का एक स्थानीय विश्लेषणात्मक फलन है। मुक्त ऊर्जा F(H) को सभी आइसिंग विन्यासों के योग के रूप में परिभाषित किया गया है जो लंबी तरंग दैर्ध्य क्षेत्र के अनुरूप हैं। चूँकि H एक स्थूल विवरण है, H के प्रत्येक मान के अनुरूप कई आइसिं विन्यास हैं, जब तक कि अन्योन्य मेल के लिए बहुत अधिक परिशुद्धता की आवश्यकता नहीं है।

चूँकि किसी भी क्षेत्र में प्रचक्रण के मानो की स्वीकृत सीमा केवल उस क्षेत्र से एक औसत आयतन के अंदर H के मानो पर निर्भर करती है, प्रत्येक क्षेत्र से मुक्त ऊर्जा योगदान केवल वहाँ और प्रतिवेशी क्षेत्रों में H के मान पर निर्भर करता है। तो F स्थानीय योगदान के सभी क्षेत्रों पर एक योग है, जो केवल H और उसके अवकलज पर निर्भर करता है।

H में समरूपता के द्वारा, केवल घात भी योगदान करती हैं। एक वर्ग लैटिस पर प्रतिबिंब समरूपता से, केवल प्रवणता की घात भी योगदान करती हैं। मुक्त ऊर्जा में पहले कुछ पद लिखना:


 * $$\beta F =  \int d^dx \left[ A H^2 + \sum_{i=1}^d Z_i (\partial_i H)^2 + \lambda H^4 +\cdots \right].$$

वर्ग लैटिस पर, समरूपता प्रत्याभूति देती है कि गुणांक Zi अवकलज पदों के सभी बराबर हैं। लेकिन एक विषमदैशिक आइसिंग मॉडल के लिए भी, जहां Zi'अलग-अलग दिशाओं में अलग-अलग हैं, H में अस्थिरता एक समन्वय प्रणाली में समदैशिक हैं जहां अंतराल की अलग-अलग दिशाओं को पुनः बढ़ाया जाता है।

किसी भी लैटिस पर, अवकलज पद
 * $$Z_{ij} \, \partial_i H \, \partial_j H $$

धनात्मक निश्चित द्विघात रूप है, और समष्टि के लिए आव्यूह को परिभाषित करने के लिए उपयोग किया जा सकता है। तो कोई भी अनुवाद रूप से अपरिवर्तनीय ईज़िंग मॉडल लंबी दूरी पर घूर्णी रूप से अपरिवर्तनीय है, निर्देशांक में जो Zij = δij बनाता है। घूर्णी समरूपता स्वतः ही बड़ी दूरी पर प्रदर्शित हो जाती है क्योंकि बहुत कम क्रम की शर्तें नहीं हैं। उच्च क्रम के बहु-महत्वपूर्ण बिंदुओं पर, यह अप्रत्याशित समरूपता नष्ट हो जाती है।

चूंकि βF धीरे-धीरे स्थानिक रूप से भिन्न क्षेत्र का एक फलन है, किसी भी क्षेत्र विन्यास की संभावना है:


 * $$P(H) \propto e^{ - \int d^dx \left[ AH^2 + Z |\nabla H|^2 + \lambda H^4 \right]}.$$

H पदों के किसी भी गुणन का सांख्यिकीय औसत बराबर है:


 * $$\langle H(x_1) H(x_2)\cdots H(x_n) \rangle = { \int DH \, P(H) H(x_1) H(x_2) \cdots H(x_n) \over \int DH \, P(H) }.$$

इस अभिव्यक्ति में भाजक को विभाजन फलन कहा जाता है, और H के सभी संभावित मानो पर समाकलन एक सांख्यिकीय पथ समाकलन है। यह प्रचक्रण के सभी लंबे तरंग दैर्ध्य फूरियर घटकों पर H के सभी मानो पर ऍक्स्प (βF) को एकीकृत करता है। F क्षेत्र H के लिए एक यूक्लिडियन लैग्रेंजियन है, इस और अदिश क्षेत्र के क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के बीच एकमात्र अंतर यह है कि सभी अवकलज पद एक धनात्मक संकेत के साथ प्रवेश करते हैं, और i का कोई समग्र कारक नहीं है।


 * $$Z = \int DH \, e^{ - \int d^dx \left[ A H^2 + Z |\nabla H|^2 + \lambda H^4 \right]}$$

आयामी विश्लेषण
F के रूप का उपयोग यह अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है कि आयामी विश्लेषण द्वारा कौन से पद सबसे महत्वपूर्ण हैं। आयामी विश्लेषण पूरी तरह से प्रत्यक्ष नहीं है, क्योंकि H के अनुमाप परिवर्तन को निर्धारित करने की आवश्यकता है।

सामान्य स्थिति में, H के लिए अनुमाप परिवर्तन नियम चयन करना आसान है, क्योंकि योगदान देने वाला एकमात्र पहला पद है,


 * $$F = \int d^dx \, A H^2.$$

यह पद सबसे महत्वपूर्ण है, लेकिन यह सामान्य व्यवहार देता है। मुक्त ऊर्जा का यह रूप अति-स्थानीय है, जिसका अर्थ है कि यह प्रत्येक बिंदु से एक स्वतंत्र योगदान का योग है। यह एक आयामी आइसिंग मॉडल में प्रचक्रण-प्रतिवर्त की तरह है। किसी भी बिंदु पर H का प्रत्येक मान किसी अन्य बिंदु पर मान से पूरी तरह स्वतंत्र रूप से अस्थिरता करता है।

गुणांक A को अवशोषित करने के लिए क्षेत्र के पैमाने को पुनः परिभाषित किया जा सकता है, और फिर यह स्पष्ट है कि A केवल अस्थिरता के समग्र पैमाने को निर्धारित करता है। अति-स्थानीय मॉडल ईज़िंग मॉडल के लंबे तरंग दैर्ध्य उच्च तापमान व्यवहार का वर्णन करता है, क्योंकि इस सीमा में अस्थिरता औसत बिंदु से बिंदु तक स्वतंत्र होते हैं।

महत्वपूर्ण बिंदु खोजने के लिए, तापमान कम करें। जैसे-जैसे तापमान नीचे जाता है, H में अस्थिरता बढ़ता जाता है क्योंकि अस्थिरता अधिक सहसंबद्ध होते हैं। इसका तात्पर्य यह है कि बड़ी संख्या में प्रचक्रण का औसत इतनी शीघ्रता से छोटा नहीं हो जाता है जैसे कि वे असंबद्ध हों, क्योंकि वे समान होते हैं। यह इकाइयों की प्रणाली में AA को कम करने के अनुरूप है जहां H, A को अवशोषित नहीं करता है। प्रावस्था संक्रमण केवल तभी हो सकता है जब में उप-अग्रणी शर्तों में योगदान हो सकता है, लेकिन चूंकि पहली अवधि लंबी दूरी पर निर्भर होती है, इसलिए गुणांक A को शून्य पर समायोजित किया जाना चाहिए। यह महत्वपूर्ण बिंदु का स्थान है:


 * $$F= \int d^dx \left[ t H^2 + \lambda H^4  + Z (\nabla H)^2 \right],$$

जहाँ t एक प्राचल है जो संक्रमण के समय शून्य से होकर जाता है।

चूंकि T नष्ट हो रहा है, इस पद का उपयोग करके क्षेत्र के पैमाने को सही करने से अन्य शर्तों को परिवर्धन कर दिया जाता है। एक बार t छोटा हो जाने पर, क्षेत्र के पैमाने को या तो H4 पद के गुणांक को नियत करने के लिए सेट किया जा सकता है या (∇H)2 पद को 1 पर नियत किया जा सकता है।

चुंबकीयकरण
चुंबकीयकरण खोजने के लिए, H के अनुमाप परिवर्तन को ठीक करें ताकि λ एक हो। अब क्षेत्र H का आयाम -d/4 है, जिससे कि H4ddx आयाम रहित है, और Z का आयाम 2 − d/2 है। इस अनुमाप परिवर्तन में, ढाल पद केवल d ≤ 4 के लिए लंबी दूरी पर महत्वपूर्ण है। चार आयामों से ऊपर, लंबी तरंग दैर्ध्य पर, समग्र चुंबकीयकरण केवल अति-स्थानीय शर्तों से प्रभावित होता है।

अतः एक सूक्ष्म बिंदु है। क्षेत्र H सांख्यिकीय रूप से परिवर्तन कर रहा है, और अस्थिरता t के शून्य बिंदु को स्थानांतरित कर सकता है। यह देखने के लिए कि कैसे, H​​4 को निम्न तरीके से विभाजित करें:


 * $$H(x)^4 = -\langle H(x)^2\rangle^2 + 2\langle H(x)^2\rangle H(x)^2 + \left(H(x)^2 - \langle H(x)^2\rangle\right)^2$$

पहला पद मुक्त ऊर्जा के लिए एक निरंतर योगदान है, और इसे उपेक्षित किया जा सकता है। दूसरा पद t में एक परिमित परिवर्तन होता है। तीसरी अवधि एक मात्रा है जो लंबी दूरी पर शून्य हो जाती है। इसका तात्पर्य यह है कि आयामी विश्लेषण द्वारा t के अनुमाप परिवर्तन का विश्लेषण करते समय, यह स्थानांतरित t है जो महत्वपूर्ण है। यह ऐतिहासिक रूप से बहुत भ्रमित करने वाला था, क्योंकि किसी परिमित λ पर t में बदलाव परिमित है, लेकिन संक्रमण t के पास बहुत कम है। t में आंशिक परिवर्तन बहुत बड़ा है, और इकाइयों में जहां t निश्चित है, बदलाव अनंत दिखता है।

चुम्बकीयकरण मुक्त ऊर्जा के न्यूनतम पर है, और यह एक विश्लेषणात्मक समीकरण है। स्थानांतरित t के संदर्भ में,


 * $${\partial \over \partial H } \left( t H^2 + \lambda H^4 \right ) = 2t H + 4\lambda H^3 = 0$$

t <0 के लिए, न्यूनतम t के वर्गमूल के आनुपातिक H पर हैं। तो लन्दौ का विपात सिद्धांत तर्क 5 से बड़े आयामों में सही है। 5 से अधिक आयामों में चुंबकीयकरण प्रतिपादक माध्य-क्षेत्र मान के बराबर है।

जब t ऋणात्मक होता है, तो नए न्यूनतम के अस्थिरता को एक नए धनात्मक द्विघात गुणांक द्वारा वर्णित किया जाता है। चूंकि यह पद सदैव निर्भर रहता है, संक्रमण के नीचे के तापमान पर अस्थिरता पुनः लंबी दूरी पर अति-स्थानीय हो जाता है।

अस्थिरता
अस्थिरता के व्यवहार का पता लगाने के लिए, प्रवणता पद को ठीक करने के लिए क्षेत्र को पुनः मापन करें। फिर क्षेत्र की लंबाई अनुमाप परिवर्तन आयाम 1 − d/2 है। अतः क्षेत्र में सभी तापमानों पर सतत द्विघात स्थानिक अस्थिरता होता है। H2 का पैमाना आयाम पद 2 है, जबकि H4 का पैमाना आयाम पद 4 − d है। d <4 के लिए, H4 पद का धनात्मक पैमाना आयाम है। 4 से अधिक आयामों में इसका ऋणात्मक पैमाना आयाम है।

यह एक आवश्यक अंतर है। 4 से अधिक आयामों में, प्रवणता पद के पैमाने को ठीक करने का अर्थ है कि H4 का गुणांक पद लंबी और लंबी तरंग दैर्ध्य में कम और कम महत्वपूर्ण होता है। जिस आयाम पर गैर-चतुर्भुज योगदान करना प्रारंभ करते हैं उसे महत्वपूर्ण आयाम के रूप में जाना जाता है। ईज़िंग मॉडल में, महत्वपूर्ण आयाम 4 है।

4 से ऊपर के आयामों में, महत्वपूर्ण अस्थिरता लंबी तरंग दैर्ध्य पर विशुद्ध रूप से द्विघात मुक्त ऊर्जा द्वारा वर्णित हैं। इसका तात्पर्य यह है कि पारस्परिक संबंध फलन गॉसियन वितरण औसत के रूप में सभी गणना योग्य हैं:


 * $$\langle S(x)S(y)\rangle \propto \langle H(x)H(y)\rangle = G(x-y) = \int {dk \over (2\pi)^d} { e^{ik(x-y)}\over k^2 + t }$$

मान्य जब x−y बड़ा हो। फलन G(x− y) प्रसारक के काल्पनिक समय के लिए विश्लेषणात्मक निरंतरता है, क्योंकि मुक्त ऊर्जा मुक्त अदिश क्षेत्र के लिए क्वांटम क्षेत्र क्रिया की विश्लेषणात्मक निरंतरता है। आयाम 5 और उच्चतर के लिए, लंबी दूरी पर अन्य सभी सहसंबंध फलनों को विक के प्रमेय द्वारा निर्धारित किया जाता है। और ± सममिति द्वारा सभी विषम आघूर्ण शून्य हैं। सम आघूर्ण प्रत्येक जोड़ी के लिए G(x− y) के गुणन के जोड़े में सभी विभाजनों का योग है।


 * $$\langle S(x_1) S(x_2) \cdots S(x_{2n})\rangle = C^n \sum G(x_{i1},x_{j1}) G(x_{i2},x_{j2}) \ldots G(x_{in},x_{jn})$$

जहाँ C आनुपातिकता स्थिरांक है। इसलिए G को जानना ही अधिकतम है। यह क्षेत्र के सभी बहुबिंदु सहसंबंधों को निर्धारित करता है।

महत्वपूर्ण दो-बिंदु फलन
G के रूप को निर्धारित करने के लिए, विचार करें कि पथ अभिन्न में क्षेत्र मुक्त ऊर्जा को अलग करके गति के उत्कृष्ट समीकरणों का अनुसरण करते हैं:


 * $$\begin{align}

&&\left(-\nabla_x^2 + t\right) \langle H(x)H(y) \rangle &= 0 \\ \rightarrow {} &&                               \nabla^2 G(x) + tG(x) &= 0 \end{align}$$ यह केवल गैर-संयोगी बिंदुओं पर मान्य है, क्योंकि जब बिंदु आपस मे मिलते हैं तो H के पारस्परिक संबंध अद्वितीय होते हैं। H गति के उत्कृष्ट समीकरणों का उसी कारण से अनुसरण करता है जिस कारण से क्वांटम यांत्रिकी संक्रियक उनका अनुसरण करते हैं - इसके अस्थिरता को एक पथ एकीकृत द्वारा परिभाषित किया जाता है।

महत्वपूर्ण बिंदु t = 0 पर, यह लाप्लास का समीकरण है, जिसे स्थिर वैद्युत से गॉस की विधि द्वारा हल किया जा सकता है। विद्युत क्षेत्र के अनुरूप को परिभाषित कीजिए


 * $$E = \nabla G$$

उत्पत्ति से दूर:


 * $$\nabla \cdot E = 0$$

चूँकि G, d आयामों में गोलाकार रूप से सममित है, और E, G का रेडियल प्रवणता है। एक बड़े d − 1 आयामी क्षेत्र पर समाकलन,


 * $$\int d^{d-1}S E_r = \mathrm{constant}$$

यह देता है:


 * $$E = {C \over r^{d-1} }$$

और G को R के संबंध में एकीकृत करके पाया जा सकता है।


 * $$G(r) = {C \over r^{d-2} }$$

स्थिर C क्षेत्र के समग्र सामान्यीकरण को सही करता है।

G (r ) महत्वपूर्ण बिंदु से दूर
जब t शून्य के बराबर नहीं होता है, ताकि H महत्वपूर्ण से आंशिक दूर तापमान पर अस्थिरता कर रहा हो, दो बिंदु फलन लंबी दूरी पर कम होता है। यह जिस समीकरण का अनुसरण करता है वह परिवर्तित हो जाता है:


 * $$\nabla^2 G + t G = 0 \to {1 \over r^{d - 1}} {d \over dr} \left( r^{d-1} {dG \over dr} \right) + t G(r) = 0$$

r के साथ तुलना में $$\sqrt{t}$$ छोटा है, समाधान उसी तरह से विचलन करता है जैसे महत्वपूर्ण स्थिति में होता है, लेकिन लंबी दूरी के व्यवहार को संशोधित किया जाता है।

यह देखने के लिए कि कैसे, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में श्विंगर द्वारा प्रस्तुत किए गए समाकलन के रूप में दो बिंदु फलन का प्रतिनिधित्व करना सुविधाजनक है:


 * $$G(x) = \int d\tau {1 \over \left(\sqrt{2\pi\tau}\right)^d} e^{-{x^2 \over 4\tau} - t\tau}$$

यह G है, क्योंकि इस समाकलन का फूरियर रूपांतरण आसान है। प्रत्येक निश्चित τ योगदान x में एक गॉसियन है, जिसका फूरियर रूपांतरण k में पारस्परिक चौड़ाई का अन्य गॉसियन है।


 * $$G(k) = \int d\tau e^{-(k^2 - t)\tau} = {1 \over k^2 - t}$$

यह संकारक ∇2−t का व्युत्क्रम है  k-समष्टि में, k-समष्टि में इकाई फलन पर कार्य करता है, जो मूल में स्थानीयकृत डेल्टा फलन स्रोत का फूरियर रूपांतरण है। तो यह G के समान समीकरण को उसी सीमा शर्तों के साथ संतुष्ट करता है जो 0 पर विचलन की सामर्थ्य निर्धारित करता है।

उपयुक्त समय τ पर समाकलन प्रतिनिधित्व की व्याख्या यह है कि दो बिंदु फलन सभी यादृच्छिक संक्रामक वाले पथों का योग है जो समय τ के साथ स्थिति 0 को स्थिति x से जोड़ता है। स्थिति x पर समय τ पर इन पथों का घनत्व गॉसियन है, लेकिन यादृच्छिक संक्रामक t के समानुपाती स्थिर दर पर समाप्त हो जाते हैं ताकि समय पर गॉसियन एक कारक द्वारा ऊंचाई में कम हो जाए जो निरंतर तेजी से कम होती है। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में, ये एक औपचारिकता में सापेक्षिक रूप से स्थानीयकृत क्वांटा के पथ हैं जो व्यक्तिगत कणों के पथ का अनुसरण करते हैं। शुद्ध सांख्यिकीय संदर्भ में, ये पथ अभी भी गणितीय पत्राचार द्वारा क्वांटम क्षेत्रों के साथ दिखाई देते हैं, लेकिन उनकी व्याख्या प्रत्यक्ष रूप से कम भौतिक है।

समाकलन प्रतिनिधित्व तुरंत दिखाता है कि G(r) धनात्मक है, क्योंकि यह धनात्मक गॉसियन के भारित योग के रूप में दर्शाया गया है। यह बड़े r पर क्षय की दर भी देता है, क्योंकि यादृच्छिक संक्रामक के लिए स्थिति τ तक पहुंचने का उपयुक्त समय r2 है और इस समय में, गॉसियन ऊंचाई $$e^{-t\tau} = e^{-tr^2}$$का क्षय हो गया है। इसलिए स्थिति r के लिए उपयुक्त क्षय $$e^{-\sqrt t r}$$कारक है।

G(r) के लिए अनुमानी सन्निकटन है:


 * $$G(r) \approx { e^{-\sqrt t r} \over r^{d-2}}$$

यह एक परिशुद्ध रूप नहीं है, इसके अतिरिक्त तीन आयामों के, जहां पथों के बीच अंतःक्रिया महत्वपूर्ण हो जाती है। उच्च आयामों में परिशुद्ध रूप बेसेल फलनों के प्रकार हैं।

सिमांजिक बहुलक व्याख्या
यादृच्छिक संक्रामक के साथ संचरण करने वाले निश्चित आकार के क्वांटा के रूप में सहसंबंधों की व्याख्या यह समझने का एक तरीका देती है कि H4 परस्पर क्रिया का महत्वपूर्ण आयाम 4 क्यों है। H4 पद को किसी भी बिंदु पर यादृच्छिक संक्रामक के घनत्व के वर्ग के रूप में माना जा सकता है। इस तरह के एक पद के लिए परिमित क्रम पारस्परिक संबंध फलनों को बदलने के लिए, जो अस्थिरता वाले वातावरण में केवल कुछ नए यादृच्छिक संक्रामक का परिचय देते हैं, नए पथों को प्रतिच्छेद करना चाहिए। अन्यथा, घनत्व का वर्ग घनत्व के समानुपाती होता है और केवल H2 को एक स्थिरांक द्वारा गुणांक स्थानांतरित करता है। लेकिन यादृच्छिक संक्रामक की प्रतिच्छेदन संभावना आयाम पर निर्भर करती है, और 4 से अधिक आयाम में यादृच्छिक संक्रामक प्रतिच्छेद नहीं करता है।

साधारण यादृच्छिक संक्रामक का फ्रैक्टल आयाम 2 है। पथ को कवर करने के लिए आवश्यक ε आकार की गेंदों की संख्या ε−2 के रूप में बढ़ती है फ्रैक्टल आयाम 2 की दो समस्या केवल आयाम 4 या उससे कम के स्थान में संभावित संभावना के साथ प्रतिच्छेदित तत्व, समान स्थिति जो भिन्न की एक सामान्य युग्म के लिए है। कर्ट सिमांजिक ने तर्क दिया कि इसका तात्पर्य है कि 4 से अधिक विस्तृत में महत्वपूर्ण ईजिंग अस्थिरता को एक मुक्त क्षेत्र द्वारा वर्णित किया जाना चाहिए। यह तर्क अंततः एक गणितीय प्रमाण बन गया।

4 − ε आयाम – पुनर्सामान्यीकरण समूह
चार आयामों में ईज़िंग मॉडल को अस्थिरता वाले क्षेत्र द्वारा वर्णित किया गया है, लेकिन अब अस्थिरता परस्पर क्रिया कर रहे हैं। बहुलक प्रतिनिधित्व में, यादृच्छिक संक्रामक की परस्पर क्रिया सामान्य रूप से संभव हैं। क्वांटम क्षेत्र की निरंतरता में, क्वांटा परस्पर क्रिया करता है।

किसी भी क्षेत्र विन्यास H की प्रायिकता का ऋणात्मक लघुगणक ऊष्मागतिकी मुक्त ऊर्जा फलन है


 * $$F= \int d^4 x \left[ {Z \over 2} |\nabla H|^2 + {t\over 2} H^2  + {\lambda \over 4!} H^4 \right] \,$$

गति के समीकरणों को सरल बनाने के लिए संख्यात्मक कारक हैं। इसका लक्ष्य सांख्यिकीय परिवर्तन को समझना है। किसी भी अन्य गैर-द्विघात पथ समाकलन की तरह, पारस्परिक संबंध कार्यों में एक फेनमैन आरेख होता है, जैसे कण यादृच्छिक संक्रामक के साथ संचरण करते हैं, और विभाजित होते हैं और शीर्ष पर पुनः जुड़ते हैं। परस्पर क्रिया सामर्थ्य को उत्कृष्ट रूप से आयाम रहित मात्रा λ द्वारा पैरामीट्रिज किया जाता है।

हालांकि आयामी विश्लेषण से पता चलता है कि λ और Z दोनों ही आयाम रहित हैं, यह भ्रामक है। लंबी तरंग दैर्ध्य सांख्यिकीय अस्थिरता शुद्ध पैमाने पर अपरिवर्तनीय नहीं होते हैं, और जब अंतःक्रिया सामर्थ्य समाप्त हो जाती है तो केवल पैमाना अपरिवर्तनीय हो जाती है।

इसका कारण यह है कि H को परिभाषित करने के लिए कटऑफ(सीमा) का उपयोग किया जाता है, और कटऑफ सबसे कम तरंग दैर्ध्य को परिभाषित करता है। कटऑफ के पास तरंग दैर्ध्य में H का अस्थिरता लंबी-तरंग दैर्ध्य में अस्थिरता को प्रभावित कर सकता है। यदि प्रणाली को कटऑफ के साथ मापन किया जाता है, तो पैरामीटर आयामी विश्लेषण द्वारा मापन किए जाएंगे, लेकिन फिर पैरामीटर की तुलना व्यवहार की तुलना नहीं करती है क्योंकि पुनः मापन किए गए प्रणाली में अधिक मोड होते हैं। यदि प्रणाली को इस तरह से बदला जाता है कि लघु तरंग दैर्ध्य सीमा स्थिर रहती है, तो दीर्घ-तरंग दैर्ध्य के अस्थिरता को संशोधित किया जाता है।

विल्सन पुनर्सामान्यीकरण
अनुमाप परिवर्तन का अध्ययन करने का एक त्वरित अनुमानी तरीका एक बिंदु λ पर H तरंगों को परिच्छेद करना है। λ से बड़े तरंग-संख्या वाले H के फूरियर मोड में अस्थिरता की स्वीकृति नहीं है। लंबाई का पुनर्विक्रय जो पूरे प्रणाली को छोटा बनाता है, सभी तरंगों को बढ़ाता है, और कुछ अस्थिरता को सीमा से ऊपर ले जाता है।

पुराने कटऑफ़ को पुनर्स्थापित करने के लिए, उन सभी तरंगों पर आंशिक एकीकरण करें जो निषिद्ध हुआ करते थे, लेकिन अब परिवर्तन कर रहे हैं। फेनमैन आरेखों में, तरंग-संख्या k पर एक अस्थिर मोड पर एकीकरण, व्युत्क्रम प्रसारक के एक कारक के साथ जोड़े में एक पारस्परिक संबंध फलन में संवेग k ले जाने वाली रेखाओं को जोड़ता है।

पुनः मापन के अंतर्गत, जब प्रणाली (1+b) के एक कारक से संकुचित हो जाता है, विमीय विश्लेषण द्वारा t गुणांक एक कारक (1+b)2 से बढ़ जाता है। अत्यल्प b के लिए t में परिवर्तन 2bt है। अन्य दो गुणांक विमाहीन हैं और कभी नहीं बदलते हैं।

एकीकरण के निम्नतम क्रम के प्रभाव की गणना गति के समीकरणों से की जा सकती है:


 * $$\nabla^2 H + t H = - {\lambda \over 6} H^3.$$

यह समीकरण अन्य सम्मिलन से दूर किसी भी पारस्परिक संबंध फलन के अंदर एक पहचान है। मोड को Λ <k <(1+b)Λ के साथ एकीकृत करने के बाद, यह आंशिक रूप से अलग पहचान होगी।

चूंकि समीकरण के रूप को संरक्षित किया जाएगा, गुणांक में परिवर्तन का पता लगाने के लिए H3 पद में परिवर्तन का विश्लेषण करना पर्याप्त है। फेनमैन आरेख विस्तार में, H3 एक पारस्परिक संबंध फलन में एक पारस्परिक संबंध के अंदर तीन गति करती हुई रेखाएं हैं। बड़ी तरंग संख्या k पर उनमें से दो को मिलाने से H3 में परिवर्तन होता है एक गति करती रेखा के साथ, H के समानुपाती:


 * $$\delta H^3 = 3H \int_{\Lambda<|k|<(1 + b)\Lambda} {d^4k \over (2\pi)^4} {1\over (k^2 + t)}$$

3 का कारक इस तथ्य से आता है कि लूप को तीन अलग-अलग तरीकों से बंद किया जा सकता है।

समाकलन को दो भागों में विभाजित किया जाना चाहिए:


 * $$\int dk {1 \over k^2} - t \int dk { 1\over k^2(k^2 + t)} = A\Lambda^2 b + B b t$$

पहला भाग t के समानुपाती नहीं है, और गति के समीकरण में इसे t में निरंतर बदलाव से अवशोषित किया जा सकता है। यह इस तथ्य के कारण होता है कि H3 पद का एक रेखीय भाग है। केवल दूसरा पद, जो t से t तक भिन्न होता है, महत्वपूर्ण अनुमाप परिवर्तन में योगदान देता है।

यह नया रेखीय पद बाईं ओर के पहले पद में जोड़ता है, t को t के समानुपातिक राशि से बदलता है। और t में समग्र परिवर्तन आयामी विश्लेषण से पद का योग है और संक्रियक गुणन विस्तार से यह दूसरा पद है:


 * $$\delta t = \left(2 - {B\lambda \over 2} \right)b t$$

इसलिए t को पुनर्विक्रय किया जाता है, लेकिन इसका आयाम विषम आयाम है, इसे λ के मान के आनुपातिक राशि से परिवर्तित कर दिया जाता है।

लेकिन λ भी बदलता है। λ में बदलाव के लिए रेखाओ को विभाजित करने और फिर शीघ्रता से जुड़ने पर विचार करने की आवश्यकता है। सबसे कम क्रम प्रक्रिया वह है जहां H3 से तीन पंक्तियों में से एक है तीन में विभाजित हो जाता है, जो समान शीर्ष से अन्य पंक्तियों में से एक के साथ शीघ्रता से जुड़ जाता है। शीर्ष पर संशोधन है


 * $$\delta \lambda = - {3 \lambda^2 \over 2} \int_k dk {1 \over (k^2 + t)^2} = -{3\lambda^2 \over 2} b$$

संख्यात्मक कारक तीन गुना बड़ा है क्योंकि अनुबंध करने के लिए तीन नई रेखाओ में से किसे चयन करने में तीन का एक अतिरिक्त कारक है। इसलिए


 * $$\delta \lambda = - 3 B \lambda^2 b$$

ये दो समीकरण मिलकर पुनर्सामान्यीकरण समूह समीकरणों को चार आयामों में परिभाषित करते हैं:


 * $$\begin{align}

{dt \over t} &= \left(2 - {B\lambda \over 2}\right) b \\ {d\lambda \over \lambda} &= {-3 B \lambda \over 2} b \end{align}$$ गुणांक B सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है
 * $$B b = \int_{\Lambda<|k|<(1+b)\Lambda} {d^4k\over (2\pi)^4} {1 \over k^4}$$

और त्रिज्या λ के त्रि-आयामी क्षेत्र के क्षेत्रफल के आनुपातिक है, एकीकरण क्षेत्र की चौड़ाई bΛ, Λ4 द्वारा विभाजित:
 * $$B= (2 \pi^2 \Lambda^3) {1\over (2\pi)^4} { b \Lambda} {1 \over b\Lambda^4} = {1\over 8\pi^2} $$

अन्य आयामों में, निरंतर B बदलता है, लेकिन वही स्थिरांक t प्रवाह और युग्मन प्रवाह दोनों में दिखाई देता है। इसका कारण यह है कि एकल शीर्ष के साथ बंद लूप के t के संबंध में व्युत्पन्न दो शीर्षों वाला एक बंद लूप है। इसका तात्पर्य यह है कि युग्मन और t के अनुमाप परिवर्तन के बीच एकमात्र अंतर जुड़ने और बंटने से संयोजन कारक है।

विल्सन-फिशर निश्चित बिंदु
चार-आयामी सिद्धांत से प्रारंभ होने वाले तीन आयामों की जांच करना संभव होना चाहिए, क्योंकि यादृच्छिक संक्रामक की प्रतिच्छेदन संभावनाएं अंतरिक्ष की आयामता पर निरंतर निर्भर करती हैं। फेनमैन रेखाचित्र की भाषा में, आयाम बदलने पर युग्मन बहुत अधिक नहीं बदलता है।

आयाम 4 से दूर रहने की प्रक्रिया पूरी तरह से परिभाषित नहीं है कि यह कैसे करना है। निर्देश केवल आरेखों पर अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है। यह आयाम 4 में श्विंगर प्रतिनिधित्व को आयाम 4 में श्विंगर प्रतिनिधित्व के साथ प्रतिस्थापित करता है − ε द्वारा परिभाषित:
 * $$ G(x-y) = \int d\tau {1 \over t^{d\over 2}} e^{{x^2 \over 2\tau} + t \tau} $$

आयाम 4 − ε में, युग्मन λ का धनात्मक पैमाना आयाम ε है, और इसे प्रवाह में जोड़ा जाना चाहिए।


 * $$\begin{align}

{d\lambda \over \lambda} &= \varepsilon - 3 B \lambda \\ {dt \over t} &= 2 - \lambda B \end{align}$$ गुणांक B आयाम पर निर्भर है, लेकिन यह अस्वीकृत हो जाएगा। λ के लिए निश्चित बिंदु अब शून्य नहीं है, लेकिन पर:
 * $$\lambda = {\varepsilon \over 3B} $$

जहां t के पैमाना आयाम को λB = ε/3 राशि से परिवर्तित कर दिया जाता है।

चुंबकीयकरण प्रतिनिधि को आनुपातिक रूप से परिवर्तित कर दिया जाता है:
 * $$\tfrac{1}{2} \left( 1 - {\varepsilon \over 3}\right)$$

जो .333 3 आयामों (ε = 1) और .166 2 आयामों (ε = 2) में है। यह मापी गई घातांक .308 और ऑनसेजर दो आयामी घातांक .125 से बहुत दूर नहीं है।

अनंत आयाम - औसत क्षेत्र
पूरी तरह से जुड़े हुए रेखाचित्र पर ईज़िंग मॉडल के व्यवहार को माध्य-क्षेत्र सिद्धांत द्वारा पूरी तरह से समझा जा सकता है। इस प्रकार का विवरण अति-उच्च-आयामी वर्गाकार जालियों के लिए उपयुक्त है, क्योंकि तब प्रत्येक स्थान के पास बहुत बड़ी संख्या में प्रतिवेशी होते हैं।

विचार यह है कि यदि प्रत्येक प्रचक्रण बड़ी संख्या में प्रचक्रण से जुड़ा है, तो केवल धनात्मक प्रचक्रण से ऋणात्मक प्रचक्रण का औसत अनुपात महत्वपूर्ण है, क्योंकि इस माध्य के बारे में अस्थिरता कम होगी। मध्य क्षेत्र H प्रचक्रण का औसत अंश है जो धनात्मक, ऋणात्मक प्रचक्रण का औसत अंश है जो ऋणात्मक है। औसत क्षेत्र H में एक प्रचक्रण को प्रतिवर्त करने की ऊर्जा कीमत ± 2JNH है। कारक N को अवशोषित करने के लिए J को पुनः परिभाषित करना सुविधाजनक है, ताकि सीमा N → ∞ सरल हो। नए J के संदर्भ में, प्रचक्रण को प्रतिवर्त करने की ऊर्जा कीमत ±2JH है।

यह ऊर्जा कीमत प्रचक्रण के धनात्मक होने की प्रायिकता p और प्रचक्रण के 1−p होने की संभावना ऋणात्मक का अनुपात देती है। यह अनुपात बोल्टमन कारक है:
 * $${p\over 1-p} = e^{2\beta JH}$$

ताकि
 * $$p = {1 \over 1 + e^{-2\beta JH} }$$

प्रचक्रण का औसत मान 1 और -1 के औसत से p और 1− p भार के साथ दिया जाता है, इसलिए औसत मान 2p − 1 है। लेकिन यह औसत सभी प्रचक्रण के लिए समान है, और इसलिए H के बराबर है।
 * $$ H = 2p - 1 = { 1 - e^{-2\beta JH} \over 1 + e^{-2\beta JH}} = \tanh (\beta JH)$$

इस समीकरण के समाधान संभावित सुसंगत माध्य क्षेत्र हैं। और βJ < 1 के लिए H = 0 पर केवल समान समाधान है। β के बड़े मानो के लिए तीन समाधान हैं, और H = 0 पर समाधान अस्थिर है।

अस्थिरता का अर्थ है कि माध्य क्षेत्र को शून्य से आंशिक ऊपर बढ़ाना प्रचक्रण के एक सांख्यिकीय अंश का उत्पादन करता है जो धनात्मक है जो माध्य क्षेत्र के मान से बड़ा है। तो एक माध्य क्षेत्र जो शून्य से ऊपर अस्थिरता करता है, अन्य भी अधिक माध्य क्षेत्र उत्पन्न करेगा, और अंततः स्थिर समाधान पर स्थिर हो जाएगा। इसका तात्पर्य यह है कि महत्वपूर्ण मान βJ = 1 से नीचे के तापमान के लिए मध्य-क्षेत्र आइसिंग मॉडल बड़े n की सीमा में एक प्रावस्था संक्रमण से गुजरता है।

महत्वपूर्ण तापमान से ऊपर, H में अस्थिरता कम हो जाता है क्योंकि माध्य क्षेत्र अस्थिरता को शून्य क्षेत्र में पुनर्स्थापित करता है। महत्वपूर्ण तापमान के नीचे, माध्य क्षेत्र को एक नए संतुलन मान पर ले जाया जाता है, जो समीकरण के लिए धनात्मक H या ऋणात्मक H समाधान है।

βJ = 1 + ε के लिए, महत्वपूर्ण तापमान के यथार्थ नीचे, H के मान की गणना अतिपरवयलिक स्पर्शरेखा के टेलर विस्तार से की जा सकती है:
 * $$H = \tanh(\beta J H) \approx (1+\varepsilon)H - {(1+\varepsilon)^3H^3\over 3}$$

H = 0 पर अस्थिर समाधान को छोड़ने के लिए H द्वारा विभाजित, स्थिर समाधान हैं:
 * $$H = \sqrt{3\varepsilon}$$

तापमान में परिवर्तन के वर्गमूल के रूप में सहज चुंबकीयकरण H महत्वपूर्ण बिंदु के पास बढ़ता है। यह सत्य है जब भी H की गणना एक विश्लेषणात्मक समीकरण के समाधान से की जा सकती है जो धनात्मक और ऋणात्मक मानो के बीच सममित है, जिससे लेव लैंडौ को संदेह हुआ कि सभी आयामों में सभी प्रकार के चरण संक्रमणों को इस नियम का अनुसरण करना चाहिए।

माध्य-क्षेत्र प्रतिपादक सार्वभौमिकता (गतिशील प्रणाली) है क्योंकि विश्लेषणात्मक समीकरणों के समाधान के विशेषता में परिवर्तन सदैव टेलर श्रृंखला में विपत्ति सिद्धांत द्वारा वर्णित किया जाता है, जो एक बहुपद समीकरण है। समरूपता के अनुसार, H के समीकरण में दाहिनी ओर केवल H की विषम घात होनी चाहिए। β को बदलने से केवल गुणांकों में आसानी से परिवर्तन होना चाहिए। संक्रमण तब होता है जब दाहिनी ओर H का गुणांक 1 होता है। संक्रमण के पास:
 * $$H = {\partial (\beta F) \over \partial h} = (1+A\varepsilon) H + B H^3 + \cdots$$

जो कुछ भी A और B हैं, जब तक उनमें से कोई भी शून्य पर निर्धारित नहीं किया जाता है, सामान्य चुंबकीयकरण ε के वर्गमूल के रूप में बढ़ेगा। यह तर्क केवल तभी विफल हो सकता है जब मुक्त ऊर्जा βF या तो गैर-विश्लेषणात्मक या गैर-सामान्य हो, जहां संक्रमण होता है।

लेकिन चुंबकीय प्रणालियों में सामान्य चुंबकीयकरण और महत्वपूर्ण बिंदु के पास गैसों में घनत्व बहुत परिशुद्ध रूप से मापा जाता है। तीन आयामों में घनत्व और चुंबकीयकरण में महत्वपूर्ण बिंदु के निकट तापमान पर समान सामर्थ्य-नियम निर्भरता होती है, लेकिन प्रयोगों से व्यवहार है:
 * $$H \propto \varepsilon^{0.308}$$

घातांक भी सार्वभौमिक है, क्योंकि यह ईज़िंग मॉडल में प्रायोगिक चुंबक और गैस के समान है, लेकिन यह माध्य-क्षेत्र मान के बराबर नहीं है। यह बड़ा आश्चर्य था।

यह दो आयामों में भी सत्य है, जहाँ
 * $$H \propto \varepsilon^{0.125}$$

लेकिन वहाँ यह कोई आश्चर्य की बात नहीं थी, क्योंकि इसकी भविष्यवाणी लार्स ऑनसेगर ने की थी।

निम्न आयाम – ब्लॉक प्रचक्रण
तीन आयामों में, क्षेत्र सिद्धांत से अनुगामी श्रृंखला एक युग्मन स्थिरांक λ में एक विस्तार है जो विशेष रूप से छोटा नहीं है। निश्चित बिंदु पर युग्मन का प्रभावी आकार कण पथों के शाखाकरण कारक से एक है, इसलिए विस्तार पैरामीटर लगभग 1/3 है। दो आयामों में, अपेक्षाकृत अधिक अच्छा आयाम पैरामीटर 2/3 है।

लेकिन एक औसत क्षेत्र में जाने के बिना, पुनर्सामान्यीकरण को सीधे प्रचक्रण पर उत्पादक रूप से प्रयुक्त किया जा सकता है। ऐतिहासिक रूप से, यह दृष्टिकोण लियो कडनॉफ़ के कारण है और पर्टुरेटिव (अच्छे) ε विस्तार से पहले का है।

युग्मन में एक प्रवाह उत्पन्न करते हुए, लैटिस प्रचक्रण को पुनरावृत्त रूप से एकीकृत करने का विचार है। लेकिन अब युग्मन लैटिस ऊर्जा गुणांक हैं। तथ्य यह है कि एक निरंतर विवरण सम्मिलित है, यह प्रत्याभूति देता है कि यह पुनरावृत्ति एक निश्चित बिंदु पर अभिसरण करेगी जब तापमान को गंभीरता से निर्धारित किया जाएगा।

मिग्दल-कडानॉफ़ पुनर्सामान्यीकरण
संभावित उच्च क्रम की अंतःक्रियाओं की अनंत संख्या के साथ द्वि-आयामी आइसिंग मॉडल लिखें। प्रचक्रण प्रतिबिंब समरूपता रखने के लिए, केवल घात भी योगदान देती हैं:
 * $$E = \sum_{ij} J_{ij} S_i S_j + \sum J_{ijkl} S_i S_j S_k S_l \ldots.$$

अनुवाद निश्चरता से, Jij केवल i-j का एक फलन है। आकस्मिक घूर्णी समरूपता के द्वारा, बड़े पैमाने पर i और j इसका आकार केवल द्वि-आयामी वेक्टर i − j के परिमाण पर निर्भर करता है। उच्च क्रम गुणांक भी समान रूप से प्रतिबंधित हैं।

पुनर्सामान्यीकरण पुनरावृत्ति लैटिस को दो भागों - सम चक्रण और विषम चक्रण मे विभाजित करता है। विषम प्रचक्रण विषम- शतरंज-फलक लैटिस पदों पर, और सम- शतरंज-फलक पर भी रहते हैं। जब प्रचक्रण को स्थिति (i,j) द्वारा अनुक्रमित किया जाता है, तो विषम स्थल i+j विषम वाली होती हैं और सम स्थल i+j सम वाली होती हैं, और सम स्थल केवल विषम भागों से जुड़ी होती हैं।

विषम प्रचक्रण के दो संभावित मानों को दोनों संभावित मानों के योग द्वारा एकीकृत किया जाएगा। यह नए समायोजित युग्मन के साथ, शेष समान प्रचक्रण के लिए एक नया मुक्त ऊर्जा फलन उत्पन्न करेगा। यहां तक ​​​​कि प्रचक्रण पुनः लैटिस में हैं, अक्ष को विषम के लिए 45 डिग्री पर झुकाया गया है। प्रणाली को आघूर्णित करना विषम अभिविन्यास को, लेकिन नए पैरामीटर के साथ पुनर्स्थापित करता है। ये पैरामीटर दूरी पर प्रचक्रण के बीच की $$\scriptstyle \sqrt{2}$$ बड़ा संपर्क का वर्णन करते हैं।

ईज़िंग मॉडल से प्रारंभ होकर और इस पुनरावृत्ति को दोहराते हुए अंततः सभी युग्मन परिवर्तित कर जाते हैं। जब तापमान महत्वपूर्ण तापमान से अधिक होता है, तो युग्मन शून्य हो जाएगा, क्योंकि बड़ी दूरी पर प्रचक्रण असंबद्ध होते हैं। लेकिन जब तापमान महत्वपूर्ण होता है, तो सभी आदेशों पर प्रचक्रण को जोड़ने वाले अशून्य गुणांक होंगे। केवल पहले कुछ शब्दों पर विचार करके प्रवाह का अनुमान लगाया जा सकता है। जब अधिक पद सम्मिलित किए जाते हैं तो यह छोटा प्रवाह महत्वपूर्ण घातांकों के लिए अधिकतम और अधिकतम सन्निकटन उत्पन्न करेगा।

सबसे सरल सन्निकटन केवल सामान्य J पद रखना है, और शेष सब कुछ त्याग देना है। यह ε विस्तार में λ के निश्चित बिंदु पर t में प्रवाह के समान J में एक प्रवाह उत्पन्न करेगा।

J में परिवर्तन ज्ञात करने के लिए, एक विषम स्थल के चार प्रतिवेशों पर विचार करें। ये एकमात्र प्रचक्रण हैं जो इसके साथ परस्पर क्रिया करते हैं। विषम स्थान पर प्रचक्रण के दो मानों के योग से विभाजन फलन में गुणात्मक योगदान है:
 * $$ e^{J (N_+ - N_-)} + e^{J (N_- - N_+)} = 2 \cosh(J[N_+ - N_-])$$

जहां N± प्रतिवेशों की संख्या है जो ± हैं। 2 के कारक को उपेक्षित करते हुए, इस विषम स्थान से मुक्त ऊर्जा योगदान है:
 * $$ F = \log(\cosh[J(N_+ - N_-)]).$$

इसमें अपेक्षित रूप से निकटतम प्रतिवेशी और अगले-निकटतम प्रतिवेशी पारस्परिक क्रिया सम्मिलित हैं, लेकिन एक चार-प्रचक्रण पारस्परिक क्रिया भी सम्मिलित है जिसे छोड़ दिया जाना है। निकटतम प्रतिवेशी पारस्परिक क्रिया को कम करने के लिए, विचार करें कि सभी स्पिनों के बीच समान और समान संख्या + और - के बीच ऊर्जा का अंतर है:
 * $$ \Delta F = \ln(\cosh[4J]).$$

निकटतम प्रतिवेशी युग्मन से, सभी स्पिनों के बराबर और कंपित स्पिनों के बीच ऊर्जा का अंतर 8J है। सभी चक्रणों के बीच ऊर्जा का अंतर बराबर और स्थिर लेकिन शुद्ध शून्य चक्रण 4J है। चार-प्रचक्रण अंतःक्रियाओं को उपेक्षित करते हुए, इन दो ऊर्जाओं का औसत या 6J एक उपयुक्त खंडन है। चूंकि प्रत्येक लिंक दो विषम चक्रों में योगदान देगा, पूर्व के साथ तुलना करने का सही मान अर्ध है:
 * $$3J' = \ln(\cosh[4J]).$$

छोटे जे के लिए, यह शीघ्रता से शून्य युग्मन में परिणाम होता है। बड़े युग्मन के लिए बड़े J का प्रवाह है। चुंबकीयकरण घातांक निश्चित बिंदु पर समीकरण की प्रवणता से निर्धारित होता है।

जब दो और तीन आयामों में कई पद सम्मिलित किए जाते हैं, तो इस पद्धति के परिवर्त रूप महत्वपूर्ण घातांक के लिए अच्छे संख्यात्मक अनुमान उत्पन्न करते हैं।

चुंबकत्व
मॉडल के लिए मूल प्रेरणा लोह-चुंबकत्व की घटना थी। लोहा चुंबकीय है; एक बार चुम्बकित होने के बाद यह किसी भी परमाणु समय की तुलना में लंबे समय तक चुम्बकित रहता है।

19वीं शताब्दी में, यह विचार किया गया था कि चुंबकीय क्षेत्र पदार्थ में धाराओं के कारण होते हैं, और आंद्रे-मैरी एम्पीयर ने माना कि स्थायी चुम्बक स्थायी परमाणु धाराओं के कारण होते हैं। उत्कृष्ट आवेशित कणों की गति हालांकि स्थायी धाराओं की व्याख्या नहीं कर सकती, जैसा कि जोसेफ लारमोर द्वारा दिखाया गया है। लोह-चुंबकत्व होने के लिए, परमाणुओं में स्थायी चुंबकीय आघूर्ण होने चाहिए जो उत्कृष्ट आवेशों की गति के कारण नहीं होते हैं।

एक बार इलेक्ट्रॉन के चक्रण की खोज हो जाने के बाद, यह स्पष्ट हो गया था कि चुम्बकत्व समान दिशा में उन्मुख सभी इलेक्ट्रॉन प्रचक्रणों की एक बड़ी संख्या के कारण होना चाहिए। यह पूछना स्वाभाविक था कि इलेक्ट्रॉनों के प्रचक्रण कैसे होते हैं, सभी जानते हैं कि किस दिशा में इंगित करना है, क्योंकि चुंबक के एक तरफ के इलेक्ट्रॉन दूसरी तरफ के इलेक्ट्रॉनों के साथ सीधे संपर्क नहीं करते हैं। वे केवल अपने प्रतिवेशों को प्रभावित कर सकते हैं। ईज़िंग मॉडल को यह जांचने के लिए डिज़ाइन किया गया था कि क्या इलेक्ट्रॉन प्रचक्रण का एक बड़ा अंश केवल स्थानीय बलों का उपयोग करके उसी दिशा में उन्मुख हो सकता है।

लैटिस गैस
ईज़िंग मॉडल को परमाणुओं की गति के लिए एक सांख्यिकीय मॉडल के रूप में पुनर्व्याख्या की जा सकती है। चूँकि गतिज ऊर्जा केवल संवेग पर निर्भर करती है न कि स्थिति पर, जबकि स्थितियों के आँकड़े केवल स्थितिज ऊर्जा पर निर्भर करते हैं, गैस का ऊष्मप्रवैगिकी केवल परमाणुओं के प्रत्येक विन्यास के लिए संभावित ऊर्जा पर निर्भर करता है।

स्थूल मॉडल के लिए समष्टि-समय को लैटिस बनाना है और कल्पना करना है कि प्रत्येक स्थिति में या तो एक परमाणु होता है या नहीं है। अभिविन्यास का स्थान स्वतंत्र बिट्स Bi का है, जहां स्थिति के आधार पर प्रत्येक बिट या तो 0 या 1 है या नहीं है। एक आकर्षक अन्योन्यक्रिया पास के दो परमाणुओं की ऊर्जा को कम कर देती है। यदि आकर्षण केवल निकटतम प्रतिवेशों के बीच है, तो ऊर्जा -4JB से कम iBj, प्रत्येक प्रग्रहण वाले प्रतिवेशी जोड़े के लिए हो जाती है।

रासायनिक क्षमता को जोड़कर परमाणुओं के घनत्व को नियंत्रित किया जा सकता है, जो कि अन्य परमाणु जोड़ने के लिए गुणक संभाव्यता कीमत है। संभाव्यता में एक गुणक कारक को लघुगणक - ऊर्जा में एक योगात्मक पद के रूप में पुनर्व्याख्या की जा सकती है। एन परमाणुओं के साथ एक विन्यास की अतिरिक्त ऊर्जा μN द्वारा परिवर्तित कर दी जाती है। अन्य परमाणु की प्रायिकता कीमत exp(−βμ) का गुणनखंड है।

तो लैटिस गैस की ऊर्जा है:
 * $$E = - \frac{1}{2} \sum_{\langle i,j \rangle} 4 J B_i B_j + \sum_i \mu B_i$$

प्रचक्रण के स्थिति में बिट्स $$B_i = (S_i + 1)/2 $$ को पुनः लिखना।
 * $$E = - \frac{1}{2} \sum_{\langle i,j \rangle} J S_i S_j - \frac{1}{2} \sum_i (4 J - \mu) S_i$$

लैटिस के लिए जहां प्रत्येक भाग में प्रतिवेशों की समान संख्या होती है, यह चुंबकीय क्षेत्र h = (zJ − μ)/2 के साथ आइसिंग मॉडल है, जहां z प्रतिवेशों की संख्या है।

जैविक प्रणालियों में, बाध्यकारी व्यवहारों की एक श्रृंखला को समझने के लिए लैटिस गैस मॉडल के संशोधित संस्करणों का उपयोग किया गया है। इनमें कोशिका की सतह में अभिग्राहक के लिए लिगैंड्स का बंधन, कशाभिका मोटर के लिए रसायन अनुचलन प्रोटीन का बंधन, और डीएनए का संघनन सम्मिलित है।

तंत्रिका विज्ञान
मस्तिष्क में तन्त्रिका कोशिका की गतिविधि को सांख्यिकीय रूप से प्रतिरूपित किया जा सकता है। प्रत्येक तन्त्रिका कोशिका किसी भी समय या तो सक्रिय + या निष्क्रिय - होता है। सक्रिय तन्त्रिका कोशिका वे होते हैं जो किसी निश्चित समयावधि में अक्षतंतु के नीचे एक क्रिया सामर्थ्य भेजते हैं, और निष्क्रिय वे होते हैं जो ऐसा नहीं करते। क्योंकि किसी भी समय तंत्रिका गतिविधि को स्वतंत्र बिट्स द्वारा प्रतिरूपित किया जाता है, जे जे होपफील्ड ने सुझाव दिया कि एक गतिशील आइसिंग मॉडल एक तंत्रिका नेटवर्क को एक हॉपफील्ड नेट प्रदान करेगा जो सीखने में सक्षम है।

जेन्स के सामान्य दृष्टिकोण के बाद, श्नाइडमैन, बेरी, सेगेव और बेलेक की हाल की व्याख्या, यह है कि ईज़िंग मॉडल तंत्रिका कार्य के किसी भी मॉडल के लिए उपयोगी है, क्योंकि तंत्रिका गतिविधि के लिए एक सांख्यिकीय मॉडल को अधिकतम एन्ट्रापी के सिद्धांत का उपयोग करके चयन किया जाना चाहिए। तन्त्रिका कोशिका के संग्रह को देखते हुए, एक सांख्यिकीय मॉडल जो प्रत्येक तन्त्रिका कोशिका के लिए औसत उत्तेजन दर को पुन: उत्पन्न कर सकता है, प्रत्येक तन्त्रिका कोशिका के लिए लैग्रेंज गुणक प्रस्तुत करता है:
 * $$E = - \sum_i h_i S_i$$

लेकिन इस मॉडल में प्रत्येक तन्त्रिका कोशिका की गतिविधि सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र है। जोड़ी सहसंबंधों की स्वीकृति देने के लिए, जब एक तन्त्रिका कोशिका दूसरे के साथ ताप लगाने (या ताप नहीं लगाने) के लिए जाता है, तो युग्म के अनुसार लैग्रेंज प्रवर्धक प्रस्तुत करें:
 * $$E= - \tfrac{1}{2} \sum_{ij} J_{ij} S_i S_j - \sum_i h_i S_i$$

जहाँ $$J_{ij}$$ प्रतिवेशों तक ही सीमित नहीं हैं। ध्यान दें कि ईज़िंग मॉडल के इस सामान्यीकरण को कभी-कभी सांख्यिकी में द्विघात घातीय बाइनरी वितरण कहा जाता है। यह ऊर्जा फलन केवल एक मान वाले प्रचक्रण के लिए और समान मान वाले प्रचक्रण की एक जोड़ी के लिए संभाव्यता पूर्वाग्रहों का परिचय देता है। उच्च क्रम के पारस्परिक संबंध गुणकों द्वारा अप्रतिबंधित हैं। इस वितरण से नमूना किए गए एक गतिविधि विभाजन को कंप्यूटर में संग्रह करने के लिए बिट्स की सबसे बड़ी संख्या की आवश्यकता होती है, सबसे सक्षम कोडिंग योजना में, समान औसत गतिविधि और युग्म सहसंबंधों के साथ किसी अन्य वितरण की तुलना में आवश्यकता होती है। इसका तात्पर्य यह है कि ईज़िंग मॉडल किसी भी प्रणाली के लिए प्रासंगिक हैं जो बिट्स द्वारा वर्णित हैं जो यथासंभव यादृच्छिक हैं, युग्म सहसंबंधों पर बाधाओं और 1s की औसत संख्या के साथ, जो प्रायः भौतिक और सामाजिक विज्ञान दोनों में होता है।

प्रचक्रण दूरबीन
ईज़िंग मॉडल के साथ तथाकथित प्रचक्रण दूरबीन, सामान्य हैमिल्टनियन द्वारा $$\hat H=-\frac{1}{2}\,\sum J_{i,k}\,S_i\,S_k$$ का भी वर्णन किया जा सकता है। जहां S-चर ईज़िंग प्रचक्रण का वर्णन करते हैं, जबकि Ji,kएक यादृच्छिक वितरण से लिया जाता है। प्रचक्रण दूरबीन के लिए एक विशिष्ट वितरण प्रायिकता P के साथ प्रतिलोहचुंबकीय बॉन्ड और प्रायिकता 1 − P के साथ लोह चुंबकीय बंध चयन करता है। तापीय अस्थिरता की उपस्थिति में भी ये बंधन स्थिर रहते हैं या नष्ट हो जाते हैं। जब p = 0 हमारे पास मूल आइसिंग मॉडल होता है। यह प्रणाली अपने आप में रुचि की पात्र है; विशेष रूप से एक में गैर-ऊर्जापथी गुण होते हैं जो द्वितीय शिथिलता व्यवहार की ओर ले जाते हैं। संबंधित बॉन्ड और भाग तनु ईज़िंग मॉडल द्वारा भी बहुत ध्यान आकर्षित किया गया है, विशेष रूप से दो आयामों में, जो महत्वपूर्ण व्यवहार की ओर ले जाता है।

समुद्री हिम
आइसिंग मॉडल का उपयोग करके 2डी गलित तालाब सन्निकटन बनाए जा सकते हैं; समुद्री हिम स्थलाकृति डेटा परिणामों पर भारी पड़ता है। अवस्था चर एक साधारण 2D सन्निकटन के लिए द्विआधारी है, या तो पानी या बर्फ है।

केली ट्री सांस्थिति और बड़े तंत्रिका नेटवर्क
1979 में क्रिज़न के सुझाव पर बड़े (उदाहरण के लिए $$10^4$$ या $$10^5$$ परस्पर क्रिया प्रति नोड) तंत्रिका जाल के लिए संभावित प्रासंगिकता वाले एक ईज़िंग मॉडल की जांच करने के लिए, 1979 में क्रिज़न के सुझाव पर, शून्य-बाहरी चुंबकीय क्षेत्र (ऊष्मप्रवैगिकी सीमा में) के तरीकों को प्रयुक्त करके संवृत केली ट्री (व्यवस्थित रूप से बड़े शाखन अनुपात के साथ) पर ईज़िंग मॉडल की मुक्त ऊर्जा के लिए परिशुद्ध विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति प्राप्त की।  और $$-\beta f = \ln 2  + \frac{2\gamma}{(\gamma+1)}\ln (\cosh J) + \frac{\gamma(\gamma-1)}{(\gamma+1)}\sum_{i=2}^z\frac{1}{\gamma^i}\ln J_i (\tau) $$

जहां $$\gamma$$ एक यादृच्छिक शाखाकरण अनुपात (2 से अधिक या उसके बराबर), t ≡ $$tanh J$$, $$\tau$$ ≡ $$t^2$$, J ≡ $$\beta\epsilon$$ (साथ $$\epsilon$$ निकटतम-प्रतिवेशी अंतःक्रियात्मक ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करते हैं) और प्रत्येक ट्री शाखाओं में k (→ ∞ ऊष्मप्रवैगिकी सीमा में) उत्पादन हैं (संवृत ट्री संरचना को दिए गए संवृत केली ट्री आरेख में दिखाया गया है।) अंतिम पद में योग है। समान रूप से और तेजी से अभिसरण करने के लिए दिखाया जा सकता है (अर्थात z → ∞ के लिए, यह परिमित रहता है) एक सतत और एकरूप फलन उत्पन्न करता है, जो कि $$\gamma$$ 2 से अधिक या उसके बराबर स्थापित करता है, मुक्त ऊर्जा तापमान T का एक सतत फलन है। मुक्त ऊर्जा के आगे के विश्लेषण से संकेत मिलता है कि यह महत्वपूर्ण तापमान पर (, असामान्य असंतत पहला व्युत्पन्न प्रदर्शित करता है

ट्री पर भागों (सामान्य रूप से, M और N) के बीच प्रचक्रण-प्रचक्रण पारस्परिक संबंध को कोने (जैसे A और A, इसका प्रतिबिंब), उनके संबंधित प्रतिवेशी भागों (जैसे B और इसके) पर विचार करने पर एक संक्रमण परावर्तन बिंदु पाया गया।), और दो ट्री (जैसे A और B) के शीर्ष और निम्नतम अधिकतम शीर्षों से लगे स्थलों के बीच, जैसा कि इससे निर्धारित किया जा सकता है

$$\langle s_m s_n \rangle = {Z_N}^{-1}(0,T)[cosh J]^{N_b}2^N\sum_{l=1}^z g_{mn}(l)t^l$$

जहाँ $$N_b$$ बंध की संख्या $$g_{mn}(l)t^l$$ के बराबर है मध्यवर्ती भागों के साथ विषम शीर्षों के लिए गिने जाने वाले रेखाचित्र की संख्या है (विस्तृत गणना के लिए उद्धृत कार्यप्रणाली और संदर्भ देखें), और $$2^N$$ द्वि-मान प्रचक्रण संभावनाओं और विभाजन फलन $${Z_N}$$ से लिया गया है और $$\sum_{\{s\}}e^{-\beta H}$$ से उत्पन्न बहुलता है (टिप्पणी: $$s_i $$ इस खंड में संदर्भित साहित्य के अनुरूप है और इसके समकक्ष है $$S_i$$ या $$\sigma_i$$ ऊपर और पिछले अनुभागों में उपयोग किया गया; इसका मान है $$\pm 1 $$।) महत्वपूर्ण तापमान $$T_C$$ द्वारा दिया गया है

$$T_C = \frac{2\epsilon}{k_B[ln(\sqrt \gamma+1) - ln(\sqrt \gamma-1)]}$$.

इस मॉडल के लिए महत्वपूर्ण तापमान केवल शाखाओं के अनुपात $$\gamma$$ से निर्धारित होता है और भाग-से-भाग पारस्परिक क्रिया ऊर्जा $$\epsilon$$, एक ऐसा तथ्य जिसका तंत्रिका संरचना बनाम इसके फलन से जुड़ा प्रत्यक्ष प्रभाव हो सकता है (इसमें यह संपर्क की ऊर्जा और इसके संक्रमणकालीन व्यवहार को शाखाओं में बांटने के अनुपात से संबंधित है।) उदाहरण के लिए,तंत्रिका की गतिविधियों के संक्रमण व्यवहार के बीच एक संबंध और उत्पन्न अवस्थाएँ (जो प्रचक्रण-प्रचक्रण प्रकार के प्रावस्था संक्रमण के साथ सहसंबद्ध हो सकती हैं) तंत्रिका अंतर्संबंध में परिवर्तन के संदर्भ में ($$\gamma$$) और/या प्रतिवेशी-से-प्रतिवेशी पारस्परिक क्रिया ($$\epsilon$$), समय के साथ, इस तरह की घटना में आगे की प्रायोगिक जांच के लिए सुझाया गया एक संभावित तरीका है। किसी भी स्थिति में, इस ईज़िंग मॉडल के लिए यह स्थापित किया गया था कि "लंबी दूरी के पारस्परिक संबंध की स्थिरता बढ़ने के साथ बढ़ती है $$\gamma$$ या $$\epsilon$$ बढ़ रहा है।”

इस सांस्थिति के लिए, प्रचक्रण-प्रचक्रण पारस्परिक संबंध अत्याधिक शीर्षों और केंद्रीय स्थलों के बीच शून्य पाया गया, जहां दो ट्री (या शाखाएं) जुड़े हुए हैं (अर्थात A और व्यक्तिगत रूप से C, d, या E के बीच)। यह व्यवहार है इस तथ्य के कारण समझाया गया है कि, जैसे-जैसे k बढ़ता है, लिंक की संख्या तेजी से बढ़ती है (अत्याधिक कोर के बीच) और इसलिए तथापि प्रचक्रण सहसंबंधों में योगदान तेजी से घटता है, अत्याधिक शीर्ष (A) जैसी भागों के बीच पारस्परिक संबंध जुड़े हुए ट्री में एक ट्री और अत्याधिक शीर्ष (A) परिमित (महत्वपूर्ण तापमान से ऊपर) रहता है। (A स्तर के साथ), "क्लस्टर" माना जाता है जो उत्तेजन के तुल्यकालन को प्रदर्शित करता है।

तुलना के रूप में अन्य उत्कृष्ट नेटवर्क मॉडल की समीक्षा के आधार पर, एक संवृत केली ट्री पर ईज़िंग मॉडल को गैर-लुप्त होने वाले प्रचक्रण-प्रचक्रण सहसंबंधों के साथ स्थानीय और लंबी दूरी की भागों को प्रदर्शित करने वाला पहला उत्कृष्ट सांख्यिकीय यांत्रिक मॉडल होना निर्धारित किया गया था, जबकि समान समय में मध्यवर्ती भागों को शून्य पारस्परिक संबंध के साथ प्रदर्शित करना, जो वास्तव में इसके विचार के समय बड़े तंत्रिका नेटवर्क के लिए एक प्रासंगिक स्थिति था। मॉडल का व्यवहार किसी अन्य अपसारी-अभिसरण वृक्ष भौतिक (या जैविक) प्रणाली के लिए भी प्रासंगिक है, जो ईज़िंग-प्रकार की संपर्क के साथ एक संवृत केली ट्री सांस्थिति प्रदर्शित करता है। इस सांस्थिति को उपेक्षित नहीं किया जाना चाहिए क्योंकि ईज़िंग मॉडल के लिए इसका व्यवहार परिशुद्ध रूप से संशोधन किया गया है, और संभवतः प्रकृति ने अपने डिजाइनों के कई स्तरों पर ऐसी सरल समरूपता का लाभ उठाने का एक तरीका खोज लिया होगा।

प्रारंभिक रूप से (1) उत्कृष्ट बड़े तंत्रिका नेटवर्क मॉडल (समान युग्मित अपसारी-अभिसरण सांस्थिति के साथ) (2) एक अंतर्निहित सांख्यिकीय क्वांटम यांत्रिकी मॉडल (सांस्थिति से स्वतंत्र और मौलिक क्वांटम अवस्थाओ में दृढ़ता के साथ) के बीच अंतर्संबंधों की संभावना पर ध्यान दिया गया:

"संवृत केली ट्री मॉडल से प्राप्त सबसे महत्वपूर्ण परिणाम में मध्यवर्ती-श्रेणी के सहसंबंध की अनुपस्थिति में लंबी दूरी के सहसंबंध की घटना सम्मिलित है। यह परिणाम अन्य उत्कृष्ट मॉडलों द्वारा प्रदर्शित नहीं किया गया है। इस घटना के लिए आवेग संचरण के उत्कृष्ट दृष्टिकोण की विफलता को कई जांचकर्ताओं (रिकियार्डी और उमेज़ावा, 1967, होक्यो 1972, स्टुअर्ट, ताकाहाशी और उमेज़ावा 1978, 1979) द्वारा उद्धृत किया गया है, जो एक बहुत ही महत्वपूर्ण आधार पर मौलिक रूप से नई मान्यताओं को स्वीकृत करने के लिए पर्याप्त है। मौलिक स्तर और मस्तिष्क संविभाग के अंदर क्वांटम सहकारी मोड के स्थिति का सुझाव दिया है ... इसके अतिरिक्त, यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि (मॉडलिंग) ... गोल्डस्टोन कण या बोसोन (उमेज़ावा, एट अल के अनुसार) ... मस्तिष्क संविभाग के अंदर, लंबे समय तक प्रदर्शित करता है।"

प्रारम्भिक तंत्रिका भौतिक विज्ञानी (जैसे उमेज़ावा, क्रिज़न, बार्थ, आदि) के बीच यह एक स्वाभाविक और सामान्य धारणा थी कि उत्कृष्ट तंत्रिका मॉडल (सांख्यिकीय यांत्रिक स्वरूपों वाले लोगों सहित) को एक दिन क्वांटम भौतिकी (क्वांटम सांख्यिकीय स्वरूपों के साथ) के साथ एकीकृत करना होगा। इसी तरह संभव्यता रसायन विज्ञान के प्रक्षेत्र ने ऐतिहासिक रूप से स्वयं को क्वांटम रसायन विज्ञान के माध्यम से क्वांटम भौतिकी में एकीकृत किया है।

समय-निर्भर स्थिति और बाहरी क्षेत्र की स्थिति के साथ-साथ अंतर्निहित क्वांटम घटकों और उनके भौतिकी के साथ अंतर्संबंधों को समझने के उद्देश्य से सैद्धांतिक प्रयासों सहित, संवृत केली के ट्री के लिए रूचि की कई अतिरिक्त सांख्यिकीय यांत्रिक समस्याओं का समाधान किया जाना बाकी है।

यह भी देखें

 * एएनएनआई मॉडल
 * बांधने वाला पैरामीटर
 * बोल्ट्जमैन मशीन
 * अनुरूप बूटस्ट्रैप
 * ज्यामितीय रूप से असंतुष्ट चुंबक
 * हाइजेनबर्ग मॉडल (उत्कृष्ट)
 * हाइजेनबर्ग मॉडल (क्वांटम)
 * होपफील्ड पाश
 * महत्वपूर्ण घातांक
 * जॉन क्लाइव वार्ड|जे. सी वार्ड
 * कुरामोटो मोड एल
 * अधिकतम समरूपता
 * क्रम संचालिका
 * पॉट्स मॉडल (अश्किन-टेलर मॉडल के साथ सामान्य)
 * स्पिन मॉडल
 * वर्ग-जाली आइसिंग मॉडल
 * स्वेंडसेन-वांग एल्गोरिथम
 * t-J मॉडल
 * द्वि-आयामी महत्वपूर्ण आइसिंग मॉडल
 * वोल्फ एल्गोरिथम
 * XY मॉडल
 * Z N मॉडल

संदर्भ

 * Ross Kindermann and J. Laurie Snell (1980), Markov Random Fields and Their Applications. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3381-2.
 * Kleinert, H (1989), Gauge Fields in Condensed Matter, Vol. I, "Superflow and Vortex Lines", pp. 1–742, Vol. II,  "Stresses and Defects", pp. 743–1456,  World Scientific (Singapore);  Paperback ISBN 9971-5-0210-0  (also available online: Vol. I and Vol. II)
 * Kleinert, H and Schulte-Frohlinde, V (2001), Critical Properties of φ4-Theories, World Scientific (Singapore); Paperback ISBN 981-02-4658-7 (also available online)
 * Barry M. McCoy and Tai Tsun Wu (1973), The Two-Dimensional Ising Model. Harvard University Press, Cambridge Massachusetts, ISBN 0-674-91440-6
 * John Palmer (2007), Planar Ising Correlations. Birkhäuser, Boston, ISBN 978-0-8176-4248-8.
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बाहरी संबंध

 * Ising model at The Net Advance of Physics
 * Barry Arthur Cipra, "The Ising model is NP-complete", SIAM News, Vol. 33, No. 6; online edition (.pdf)
 * Science World article on the Ising Model
 * A dynamical 2D Ising java applet by UCSC
 * A dynamical 2D Ising java applet
 * A larger/more complicated 2D Ising java applet
 * Ising Model simulation by Enrique Zeleny, the Wolfram Demonstrations Project
 * Phase transitions on lattices
 * Three-dimensional proof for Ising Model impossible, Sandia researcher claims
 * Interactive Monte Carlo simulation of the Ising, XY and Heisenberg models with 3D graphics(requires WebGL compatible browser)
 * Ising Model code, image denoising example with Ising Model
 * David Tong's Lecture Notes provide a good introduction
 * The Cartoon Picture of Magnets That Has Transformed Science - Quanta Magazine article about Ising model
 * Simulation of the 2-dimensional Ising model in Julia: https://github.com/cossio/SquareIsingModel.jl