श्रेणीबद्ध वलय

गणित में, विशेष रूप से अमूर्त बीजगणित में, एक श्रेणीबद्ध वलय एक वलय (गणित) है जैसे कि अंतर्निहित योगात्मक समूह एबेलियन समूहों का प्रत्यक्ष योग है $$R_i$$ ऐसा है कि $$R_i R_j \subseteq R_{i+j}$$. सूचकांक सेट आमतौर पर गैर-नकारात्मक पूर्णांकों का सेट या पूर्णांकों का सेट होता है, लेकिन कोई भी मोनोइड हो सकता है। प्रत्यक्ष योग अपघटन को आमतौर पर ग्रेडेशन या ग्रेडिंग के रूप में जाना जाता है।

एक श्रेणीबद्ध मॉड्यूल को इसी तरह परिभाषित किया गया है (सटीक परिभाषा के लिए नीचे देखें)। यह श्रेणीबद्ध वेक्टर रिक्त स्थान का सामान्यीकरण करता है। एक श्रेणीबद्ध मॉड्यूल जो एक श्रेणीबद्ध रिंग भी है, श्रेणीबद्ध बीजगणित कहलाता है। एक श्रेणीबद्ध रिंग को श्रेणीबद्ध के रूप में भी देखा जा सकता है $$\Z$$-बीजगणित.

ग्रेडेड रिंग की परिभाषा में साहचर्यता महत्वपूर्ण नहीं है (वास्तव में इसका उपयोग बिल्कुल नहीं किया गया है); इसलिए, यह धारणा गैर-सहयोगी बीजगणित पर भी लागू होती है; उदाहरण के लिए, कोई श्रेणीबद्ध लाई बीजगणित पर विचार कर सकता है।

प्रथम गुण
आम तौर पर, एक श्रेणीबद्ध रिंग के सूचकांक सेट को गैर-नकारात्मक पूर्णांकों का सेट माना जाता है, जब तक कि अन्यथा स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट न किया गया हो। इस लेख में यही मामला है.

एक श्रेणीबद्ध वलय एक वलय (गणित) है जो प्रत्यक्ष योग में विघटित होता है
 * $$R = \bigoplus_{n=0}^\infty R_n = R_0 \oplus R_1 \oplus R_2 \oplus \cdots$$ का

योगात्मक समूह, जैसे कि
 * $$R_mR_n \subseteq R_{m+n}$$

सभी गैरऋणात्मक पूर्णांकों के लिए $$m$$ और $$n$$.

का एक अशून्य तत्व $$R_n$$ डिग्री में सजातीय कहा जाता है $$n$$. प्रत्यक्ष योग की परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक गैर-शून्य तत्व $$a$$ का $$R$$ योग के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है $$a=a_0+a_1+\cdots +a_n$$ जहां प्रत्येक $$a_i$$ या तो 0 है या डिग्री का सजातीय है $$i$$. शून्येतर $$a_i$$ के सजातीय घटक हैं$$a$$.

कुछ बुनियादी गुण हैं:
 * $$R_0$$ का एक उपरिंग है $$R$$; विशेष रूप से, गुणात्मक पहचान $$1$$ शून्य डिग्री का एक सजातीय तत्व है।
 * किसी के लिए $$n$$, $$R_n$$ दोतरफा है $$R_0$$-मॉड्यूल (गणित), और प्रत्यक्ष योग अपघटन का प्रत्यक्ष योग है $$R_0$$-मॉड्यूल.
 * $$R$$ एक साहचर्य बीजगणित है|सहयोगी $$R_0$$-बीजगणित.

एक आदर्श (रिंग सिद्धांत) $$I\subseteq R$$ सजातीय है, यदि प्रत्येक के लिए $$a \in I$$, के सजातीय घटक $$a$$ का भी है $$I.$$ (समकक्ष रूप से, यदि यह एक श्रेणीबद्ध सबमॉड्यूल है $$R$$; देखना .) एक सजातीय आदर्श का प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत)। $$I$$ साथ $$R_n$$ एक $$R_0$$-सबमॉड्यूल का $$R_n$$ डिग्री का सजातीय भाग कहलाता है $$n$$ का $$I$$. एक सजातीय आदर्श उसके सजातीय भागों का प्रत्यक्ष योग है।

अगर $$I$$ में एक दोतरफा सजातीय आदर्श है $$R$$, तब $$R/I$$ एक श्रेणीबद्ध वलय भी है, जो विघटित होता है
 * $$R/I = \bigoplus_{n=0}^\infty R_n/I_n,$$

कहाँ $$I_n$$ डिग्री का सजातीय भाग है $$n$$ का $$I$$.

बुनियादी उदाहरण

 * किसी भी (गैर-वर्गीकृत) रिंग आर को अनुमति देकर ग्रेडेशन दिया जा सकता है $$R_0=R$$, और $$R_i=0$$ i ≠ 0 के लिए। इसे R पर 'तुच्छ ग्रेडेशन' कहा जाता है।
 * बहुपद वलय $$R = k[t_1, \ldots, t_n]$$ एक बहुपद की घात द्वारा वर्गीकृत किया जाता है: यह इसका प्रत्यक्ष योग है $$R_i$$ घात I के सजातीय बहुपदों से मिलकर बना है।
 * मान लीजिए कि S एक श्रेणीबद्ध अभिन्न डोमेन  R में सभी गैर-शून्य सजातीय तत्वों का सेट है। फिर S के संबंध में R की रिंग का स्थानीयकरण एक है $$\Z$$-श्रेणीबद्ध अंगूठी.
 * यदि I क्रमविनिमेय वलय R में एक आदर्श है, तो $$\bigoplus_{n=0}^{\infty} I^n/I^{n+1}$$ एक श्रेणीबद्ध वलय है जिसे I के साथ R का संबद्ध श्रेणीबद्ध वलय कहा जाता है; ज्यामितीय रूप से, यह I द्वारा परिभाषित उपविविधता के साथ सामान्य शंकु की समन्वय अंगूठी है।
 * मान लीजिए कि X एक टोपोलॉजिकल स्पेस है, H&hairsp;i(X; R) एक रिंग R में गुणांक के साथ ith कोहोमोलोजी समूह। फिर H*(X; R), R में गुणांक के साथ X की कोहोमोलोजी रिंग, एक श्रेणीबद्ध रिंग है जिसका अंतर्निहित एबेलियन समूह है $$\bigoplus_{i = 0}^\infty H^i(X; R)$$ कप उत्पाद द्वारा दी गई गुणात्मक संरचना के साथ।

ग्रेडेड मॉड्यूल
मॉड्यूल सिद्धांत में संबंधित विचार एक श्रेणीबद्ध मॉड्यूल का है, अर्थात् एक बायां मॉड्यूल (गणित) एम एक श्रेणीबद्ध रिंग आर के ऊपर भी है
 * $$M = \bigoplus_{i\in \mathbb{N}}M_i ,$$

और
 * $$R_iM_j \subseteq M_{i+j}.$$

उदाहरण: एक ग्रेडेड वेक्टर स्पेस एक फ़ील्ड (गणित) पर ग्रेडेड मॉड्यूल का एक उदाहरण है (फ़ील्ड में तुच्छ ग्रेडिंग होती है)।

उदाहरण: एक ग्रेडेड रिंग अपने आप में एक ग्रेडेड मॉड्यूल है। एक श्रेणीबद्ध रिंग में एक आदर्श सजातीय होता है यदि और केवल तभी जब यह एक श्रेणीबद्ध सबमॉड्यूल हो। श्रेणीबद्ध मॉड्यूल का संहारक (रिंग सिद्धांत) एक सजातीय आदर्श है।

उदाहरण: एक क्रमविनिमेय वलय R और एक R-मॉड्यूल M में एक आदर्श I दिया गया है, प्रत्यक्ष योग $$\bigoplus_{n=0}^{\infty} I^n M/I^{n+1} M$$ संबंधित ग्रेडेड रिंग के ऊपर एक ग्रेडेड मॉड्यूल है $$\bigoplus_0^{\infty} I^n/I^{n+1}$$.

एक रूपवाद $$f: N \to M$$ ग्रेडेड मॉड्यूल के बीच, जिसे ग्रेडेड मॉर्फिज्म कहा जाता है, अंतर्निहित मॉड्यूल का एक मॉर्फिज्म है जो ग्रेडिंग का सम्मान करता है; अर्थात।, $$f(N_i) \subseteq M_i$$. एक ग्रेडेड सबमॉड्यूल एक सबमॉड्यूल है जो अपने आप में एक ग्रेडेड मॉड्यूल है और ऐसा है कि सेट-सैद्धांतिक समावेशन मानचित्र ग्रेडेड मॉड्यूल का एक रूप है। स्पष्ट रूप से, एक श्रेणीबद्ध मॉड्यूल एन एम का एक श्रेणीबद्ध सबमॉड्यूल है यदि और केवल यदि यह एम का एक सबमॉड्यूल है और संतुष्ट करता है $$N_i = N \cap M_i$$. श्रेणीबद्ध मॉड्यूल के रूपवाद के कर्नेल (बीजगणित) और छवि (गणित) श्रेणीबद्ध उपमॉड्यूल हैं।

टिप्पणी: एक श्रेणीबद्ध रिंग से दूसरी श्रेणीबद्ध रिंग को केंद्र में पड़ी छवि के साथ एक श्रेणीबद्ध आकारिकी देना (रिंग सिद्धांत) बाद वाली रिंग को एक श्रेणीबद्ध बीजगणित की संरचना देने के समान है।

एक श्रेणीबद्ध मॉड्यूल दिया गया $$M$$, द $$\ell$$-का मोड़ $$M$$ द्वारा परिभाषित एक श्रेणीबद्ध मॉड्यूल है $$M(\ell)_n = M_{n+\ell}$$. (सीएफ. बीजगणितीय ज्यामिति में सेरे का घुमाव वाला शीफ।)

मान लीजिए कि एम और एन ग्रेडेड मॉड्यूल हैं। अगर $$f\colon M \to N$$ मॉड्यूल का एक रूपवाद है, तो एफ को डिग्री डी कहा जाता है यदि $$f(M_n) \subseteq N_{n+d}$$. विभेदक ज्यामिति में विभेदक रूपों का एक बाहरी व्युत्पन्न डिग्री 1 वाले ऐसे रूपवाद का एक उदाहरण है।

श्रेणीबद्ध मॉड्यूल के अपरिवर्तनीय
एक क्रमविनिमेय श्रेणीबद्ध रिंग आर पर एक श्रेणीबद्ध मॉड्यूल एम को देखते हुए, कोई औपचारिक शक्ति श्रृंखला को जोड़ सकता है $$P(M, t) \in \Z[\![t]\!]$$:
 * $$P(M, t) = \sum \ell(M_n) t^n$$

(मानते हुए $$\ell(M_n)$$ परिमित हैं।) इसे एम की हिल्बर्ट-पोंकारे श्रृंखला कहा जाता है।

एक श्रेणीबद्ध मॉड्यूल को परिमित रूप से उत्पन्न कहा जाता है यदि अंतर्निहित मॉड्यूल परिमित रूप से उत्पन्न मॉड्यूल है। जनरेटरों को सजातीय माना जा सकता है (जनरेटरों को उनके सजातीय भागों से प्रतिस्थापित करके।)

मान लीजिए R एक बहुपद वलय है $$k[x_0, \dots, x_n]$$, k एक फ़ील्ड, और M इसके ऊपर एक बारीक रूप से उत्पन्न ग्रेडेड मॉड्यूल है। फिर फ़ंक्शन $$n \mapsto \dim_k M_n$$ इसे M का हिल्बर्ट फलन कहा जाता है। यह फलन बड़े n के लिए पूर्णांक-मान वाले बहुपद से मेल खाता है जिसे M का हिल्बर्ट बहुपद कहा जाता है।

श्रेणीबद्ध बीजगणित
एक वलय A के ऊपर एक बीजगणित, एक वलय R के ऊपर एक बीजगणित एक 'श्रेणीबद्ध बीजगणित' है यदि इसे एक वलय के रूप में वर्गीकृत किया गया है।

सामान्य मामले में जहां रिंग आर को वर्गीकृत नहीं किया जाता है (विशेष रूप से यदि आर एक क्षेत्र है), तो इसे तुच्छ ग्रेडिंग दी जाती है (आर का प्रत्येक तत्व डिग्री 0 का है)। इस प्रकार, $$R\subseteq A_0$$ और वर्गीकृत टुकड़े $$A_i$$ आर-मॉड्यूल हैं.

ऐसे मामले में जहां रिंग आर भी एक वर्गीकृत रिंग है, तो किसी को इसकी आवश्यकता होती है
 * $$R_iA_j \subseteq A_{i+j}$$

दूसरे शब्दों में, हमें आवश्यकता है कि A, R के ऊपर एक श्रेणीबद्ध बायां मॉड्यूल हो।

गणित में श्रेणीबद्ध बीजगणित के उदाहरण आम हैं:


 * बहुपद वलय. घात n के सजातीय तत्व बिल्कुल घात n के सजातीय बहुपद हैं।
 * टेंसर बीजगणित $$T^{\bullet} V$$ एक सदिश समष्टि V के। डिग्री n के सजातीय तत्व क्रम n के टेन्सर  हैं, $$T^{n} V$$.
 * बाहरी बीजगणित $$\textstyle\bigwedge\nolimits^{\bullet} V$$ और सममित बीजगणित $$S^{\bullet} V$$ श्रेणीबद्ध बीजगणित भी हैं।
 * कोहोमोलोजी रिंग $$H^{\bullet} $$ किसी भी कोहोमोलॉजी सिद्धांत को भी वर्गीकृत किया जाता है, जो कि कोहोमोलॉजी समूहों का प्रत्यक्ष योग है $$H^n$$.

श्रेणीबद्ध बीजगणित का उपयोग क्रमविनिमेय बीजगणित और बीजगणितीय ज्यामिति, समजात बीजगणित और बीजगणितीय टोपोलॉजी में बहुत अधिक किया जाता है। एक उदाहरण सजातीय बहुपदों और प्रक्षेप्य किस्मों (cf. सजातीय समन्वय वलय) के बीच घनिष्ठ संबंध है।

जी-ग्रेडेड रिंग और बीजगणित
उपरोक्त परिभाषाओं को इंडेक्स सेट के रूप में किसी भी मोनॉइड जी का उपयोग करके वर्गीकृत रिंगों के लिए सामान्यीकृत किया गया है। 'जी-ग्रेडेड रिंग' आर एक सीधा योग अपघटन वाला रिंग है
 * $$R = \bigoplus_{i\in G}R_i $$

ऐसा है कि
 * $$ R_i R_j \subseteq R_{i \cdot j}. $$

आर के तत्व जो अंदर स्थित हैं $$R_i$$ कुछ के लिए $$i \in G$$ ग्रेड आई के सजातीय कहा जाता है।

ग्रेडेड रिंग की पहले से परिभाषित धारणा अब एक जैसी ही हो गई है $$\N$$-श्रेणीबद्ध अंगूठी, कहाँ $$\N$$ जोड़ के अंतर्गत प्राकृतिक संख्याओं का मोनोइड है। अनुक्रमणिका सेट को प्रतिस्थापित करके श्रेणीबद्ध मॉड्यूल और बीजगणित की परिभाषाओं को भी इस तरह बढ़ाया जा सकता है $$\N$$ किसी भी मोनोइड जी के साथ।

टिप्पणियां:
 * यदि हमें यह आवश्यक नहीं है कि रिंग में एक पहचान तत्व हो, तो अर्धसमूह मोनोइड्स का स्थान ले सकते हैं।

उदाहरण:
 * एक समूह (गणित) स्वाभाविक रूप से संबंधित समूह रिंग को ग्रेड करता है; इसी तरह, मोनोइड रिंग को संबंधित मोनॉइड द्वारा वर्गीकृत किया जाता है।
 * एक (साहचर्य) सुपरबीजगणित एक चक्रीय समूह के लिए एक और शब्द है|$$\Z_2$$-वर्गीकृत बीजगणित. उदाहरणों में क्लिफ़ोर्ड बीजगणित शामिल हैं। यहां सजातीय तत्व या तो घात 0 (सम) या 1 (विषम) के हैं।

प्रतिसंक्रामक िटी
कुछ श्रेणीबद्ध वलय (या बीजगणित) एक एंटीकम्यूटेटिव संरचना से संपन्न होते हैं। इस धारणा के लिए मोनॉइड के मोनॉइड # मोनॉइड समरूपता की आवश्यकता होती है, जो कि योगात्मक मोनॉइड में क्रमबद्ध होता है। $$\Z/2\Z$$, दो तत्वों वाला क्षेत्र। विशेष रूप से, एक हस्ताक्षरित मोनॉइड में एक जोड़ी होती है $$(\Gamma, \varepsilon)$$ कहाँ $$\Gamma$$ एक मोनोइड है और $$\varepsilon \colon \Gamma \to\Z/2\Z$$ योगात्मक मोनोइड्स का एक समरूपता है। एक प्रतिसंक्रामक $$\Gamma$$-ग्रेडेड रिंग एक रिंग ए है जिसे Γ के संबंध में इस प्रकार वर्गीकृत किया गया है:
 * $$xy=(-1)^{\varepsilon (\deg x) \varepsilon (\deg y)}yx ,$$

सभी सजातीय तत्वों x और y के लिए।

उदाहरण

 * एक बाहरी बीजगणित एक एंटीकम्यूटेटिव बीजगणित का एक उदाहरण है, जिसे संरचना के संबंध में वर्गीकृत किया गया है $$(\Z, \varepsilon)$$ कहाँ $$\varepsilon \colon \Z \to\Z/2\Z$$ भागफल मानचित्र है.
 * एक सुपरकम्यूटेटिव बीजगणित (जिसे कभी-कभी स्क्यू-कम्यूटेटिव एसोसिएटिव रिंग भी कहा जाता है) एक एंटीकम्यूटेटिव के समान ही है $$(\Z, \varepsilon)$$-श्रेणीबद्ध बीजगणित, कहाँ $$\varepsilon$$ की योगात्मक संरचना का पहचान मानचित्र है $$\Z/2\Z$$.

ग्रेडेड मोनॉइड
सहज रूप से, एक श्रेणीबद्ध मोनॉइड एक श्रेणीबद्ध रिंग का सबसेट है, $$\bigoplus_{n\in \mathbb N_0}R_n$$, द्वारा उत्पन्न $$R_n$$', योज्य भाग का उपयोग किए बिना। अर्थात् श्रेणीबद्ध मोनॉइड के तत्वों का समुच्चय है $$\bigcup_{n\in\mathbb N_0}R_n$$.

औपचारिक रूप से, एक श्रेणीबद्ध मोनॉइड एक मोनोइड है $$(M,\cdot)$$, एक ग्रेडेशन फ़ंक्शन के साथ $$\phi:M\to\mathbb N_0$$ ऐसा है कि $$\phi(m\cdot m')=\phi(m)+\phi(m')$$. ध्यान दें कि का ग्रेडेशन $$1_M$$ आवश्यक रूप से 0 है। कुछ लेखक इसके अलावा यह भी अनुरोध करते हैं $$\phi(m)\ne 0$$ जब m पहचान नहीं है.

यह मानते हुए कि गैर-पहचान तत्वों के ग्रेडेशन गैर-शून्य हैं, ग्रेडेशन n के तत्वों की संख्या अधिकतम है $$g^n$$ जहां जी मोनॉयड के जनरेटर (मोनॉइड) जी की कार्डिनैलिटी है। इसलिए ग्रेडेशन n या उससे कम के तत्वों की संख्या अधिकतम है $$n+1$$ (के लिए $$g=1$$) या $$\frac{g^{n+1}-1}{g-1}$$ अन्यथा। वास्तव में, ऐसा प्रत्येक तत्व G के अधिकतम n तत्वों का ही उत्पाद है $$\frac{g^{n+1}-1}{g-1}$$ ऐसे उत्पाद मौजूद हैं. इसी प्रकार, पहचान तत्व को दो गैर-पहचान तत्वों के उत्पाद के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। अर्थात्, ऐसे श्रेणीबद्ध मोनॉयड में कोई इकाई विभाज्यता_(रिंग_सिद्धांत)#परिभाषा नहीं है।

श्रेणीबद्ध मोनॉइड द्वारा अनुक्रमित पावर श्रृंखला
यह धारणा शक्ति श्रृंखला रिंग की धारणा को विस्तारित करने की अनुमति देती है। अनुक्रमणिका परिवार होने के बजाय $$\mathbb N$$, अनुक्रमण परिवार कोई भी श्रेणीबद्ध मोनॉइड हो सकता है, यह मानते हुए कि प्रत्येक पूर्णांक n के लिए डिग्री n के तत्वों की संख्या सीमित है।

अधिक औपचारिक रूप से, आइए $$(K,+_K,\times_K)$$ एक मनमाना मोटी हो जाओ बनें और $$(R,\cdot,\phi)$$ एक श्रेणीबद्ध मोनॉइड। तब $$K\langle\langle R\rangle\rangle$$ R द्वारा अनुक्रमित K में गुणांकों के साथ शक्ति श्रृंखला के सेमीरिंग को दर्शाता है। इसके तत्व R से K तक कार्य हैं। दो तत्वों का योग $$s,s'\in K\langle\langle R\rangle\rangle$$ बिंदुवार परिभाषित किया गया है, यह फ़ंक्शन भेज रहा है $$m\in R$$ को $$s(m)+_Ks'(m)$$, और उत्पाद भेजने वाला फ़ंक्शन है $$m\in R$$ अनंत राशि तक $$\sum_{p,q \in R \atop p \cdot q=m}s(p)\times_K s'(q)$$. इस योग को सही ढंग से परिभाषित किया गया है (अर्थात, परिमित) क्योंकि, प्रत्येक m के लिए, जोड़े की केवल एक सीमित संख्या होती है (p, q) ऐसा है कि pq = m.

उदाहरण
औपचारिक भाषा सिद्धांत में, वर्णमाला ए दिए जाने पर, ए के ऊपर शब्दों के मुक्त मोनोइड को एक श्रेणीबद्ध मोनोइड के रूप में माना जा सकता है, जहां किसी शब्द का ग्रेडेशन उसकी लंबाई है।

यह भी देखें

 * एसोसिएटेड ग्रेडेड रिंग
 * विभेदक श्रेणीबद्ध बीजगणित
 * फ़िल्टर्ड बीजगणित, एक सामान्यीकरण
 * ग्रेडेड (गणित)
 * श्रेणीबद्ध श्रेणी
 * श्रेणीबद्ध वेक्टर स्थान
 * टेंसर बीजगणित
 * विभेदक श्रेणीबद्ध मॉड्यूल