प्रसार ग्राफ

प्रसार रेखांकन रेडियो प्रसार चैनलों के लिए एक गणितीय मॉडलिंग  पद्धति है। एक प्रसार ग्राफ एक  सिग्नल-फ्लो ग्राफ  है जिसमें कोने ट्रांसमीटर, रिसीवर या स्कैटर का प्रतिनिधित्व करते हैं। कोने के बीच ग्राफ मॉडल प्रसार की स्थिति में किनारे। प्रसार ग्राफ मॉडल शुरू में ट्रॉल्स पेडर्सन, एट अल द्वारा विकसित किए गए थे। मल्टीपल स्कैटरिंग वाले परिदृश्यों में मल्टीपाथ प्रचार के लिए, जैसे इनडोर  रेडियो प्रचार ।   इसे बाद में कई अन्य परिदृश्यों में लागू किया गया है।

गणितीय परिभाषा
एक प्रसार ग्राफ एक सरल निर्देशित ग्राफ  है $$\mathcal G = (\mathcal V, \mathcal E)$$ वर्टेक्स सेट के साथ $$\mathcal V$$ और बढ़त सेट $$\mathcal E$$.

प्रसार परिदृश्य में वर्टिकल मॉडल ऑब्जेक्ट्स। वर्टेक्स सेट $$\mathcal V$$ के रूप में तीन असंयुक्त सेटों में विभाजित है $$\mathcal V = \mathcal V_t \cup \mathcal V_r \cup\mathcal V_s$$ कहां $$\mathcal V_t $$ ट्रांसमीटरों का सेट है, $$\mathcal V_r$$ रिसीवर का सेट है और $$\mathcal V_s $$ स्कैटर नामक वस्तुओं का समूह है।

किनारा सेट $$\mathcal E $$ वर्टिकल के बीच प्रोपेगेशन मॉडल प्रोपेगेशन की स्थिति को मॉडल करता है। तब से $$\mathcal G$$ सरल माना जाता है, $$\mathcal E \subset \mathcal V^2$$ और एक किनारे को एक जोड़ी वर्टिकल द्वारा पहचाना जा सकता है $$e = (v,v')$$ एक किनारा $$e = (v,v')$$ में शामिल है $$\mathcal E$$ यदि वर्टेक्स द्वारा उत्सर्जित सिग्नल $$v$$ प्रचार प्रसार कर सकते हैं $$v'$$. प्रचार ग्राफ में, ट्रांसमीटरों के आने वाले किनारे नहीं हो सकते हैं और रिसीवर के पास बाहर जाने वाले किनारे नहीं हो सकते हैं।

दो प्रचार नियम ग्रहण किए जाते हैं
 * एक वर्टेक्स अपने आने वाले किनारों के माध्यम से आने वाले संकेतों को बताता है और आउटगोइंग किनारों के माध्यम से एक स्केल किए गए संस्करण को भेजता है।
 * प्रत्येक किनारा $$e=(v,v')$$ से सिग्नल ट्रांसफर करता है $$v$$ को $$v'$$ ट्रांसफर फ़ंक्शन द्वारा स्केल किया गया।

वर्टेक्स गेन स्केलिंग और एज ट्रांसफर फ़ंक्शंस की परिभाषा को विशेष परिदृश्यों को समायोजित करने के लिए अनुकूलित किया जा सकता है और सिमुलेशन में मॉडल का उपयोग करने के लिए परिभाषित किया जाना चाहिए। प्रकाशित साहित्य में विभिन्न प्रसार ग्राफ मॉडल के लिए ऐसी कई परिभाषाओं पर विचार किया गया है। एज ट्रांसफर फ़ंक्शंस (फूरियर डोमेन में) को ट्रांसफर मैट्रिसेस में समूहीकृत किया जा सकता है कहां $$f$$ आवृत्ति चर है।
 * $$\mathbf D(f)$$ ट्रांसमीटर से रिसीवर तक सीधा प्रसार
 * $$\mathbf T(f)$$ बिखरने वालों को ट्रांसमीटर
 * $$\mathbf R(f)$$ रिसीवर के लिए स्कैटर
 * $$\mathbf B(f)$$ बिखरने वाले से बिखरने वाले,

द्वारा प्रेषित सिग्नल के फूरियर रूपांतरण  को नकारना $$\mathbf X(f)$$, प्राप्त संकेत आवृत्ति डोमेन में पढ़ता है $$\mathbf Y (f) = \mathbf  D(f) \mathbf X (f) + \mathbf R (f)\mathbf T (f) \mathbf X (f) +  \mathbf R (f)\mathbf B(f) \mathbf T (f) \mathbf X (f) +\mathbf R (f)\mathbf B^2(f) \mathbf T (f) \mathbf X (f) + \cdots$$

ट्रांसफर फंक्शन
स्थानांतरण समारोह $$\mathbf H(f)$$ प्रचार ग्राफ का एक अनंत श्रृंखला बनाता है $$ \begin{align} \mathbf H(f) &= \mathbf D(f)+ \mathbf R (f)[ \mathbf I+ \mathbf B(f) + \mathbf B(f)^{2} + \cdots ] \mathbf T (f)\\ &= \mathbf D(f)+ \mathbf R (f) \sum_{k=0}^\infty \mathbf B(f)^k \mathbf T(f) \end{align} $$ ट्रांसफर फ़ंक्शन ऑपरेटरों की एक न्यूमैन श्रृंखला  है। वैकल्पिक रूप से, इसे मेट्रिसेस की ज्यामितीय श्रृंखला के रूप में आवृत्ति में बिंदुवार देखा जा सकता है। यह अवलोकन स्थानांतरण समारोह के लिए एक बंद फॉर्म अभिव्यक्ति उत्पन्न करता है $$\mathbf H(f) = \mathbf D(f) + \mathbf R(f) [\mathbf I - \mathbf B(f)]^{-1} \mathbf T(f),\qquad \rho(\mathbf B(f))<1 $$ कहां $$\mathbf I$$ पहचान मैट्रिक्स को दर्शाता है और $$\rho(\cdot)$$ तर्क के रूप में दिए गए मैट्रिक्स का वर्णक्रमीय त्रिज्या  है। ट्रांसफर फ़ंक्शन 'बाउंस' की संख्या के बावजूद प्रसार पथों के लिए खाता है। श्रृंखला कई बिखरने वाले सिद्धांत से पैदा हुई श्रृंखला के समान है।

आवेग प्रतिक्रियाएँ $$\mathbf h(\tau)$$ के व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण द्वारा प्राप्त किए जाते हैं $$\mathbf H(f)$$

आंशिक स्थानांतरण समारोह
आंशिक राशियों के लिए बंद फॉर्म एक्सप्रेशन उपलब्ध हैं, यानी ट्रांसफर फ़ंक्शन में केवल कुछ शर्तों पर विचार करके। कम से कम के माध्यम से संकेत घटकों के प्रसार के लिए आंशिक स्थानांतरण समारोह $$K$$ और अधिक से अधिक $$L$$ इंटरैक्शन के रूप में परिभाषित किया गया है कहां $$\mathbf H_k(f) = \begin{cases} \mathbf D(f),& k=0\\ \mathbf R(f) \mathbf B^{k-1}(f) \mathbf T(f), & k = 1,2,3,\ldots \end{cases} $$ यहां $$k$$ इंटरैक्शन या बाउंसिंग ऑर्डर की संख्या को दर्शाता है।

आंशिक स्थानांतरण समारोह तब है $$\mathbf H_{K:L}(f) = \begin{cases} \mathbf D(f) + \mathbf R(f) [\mathbf I-\mathbf B^L(f)] \cdot [\mathbf I-\mathbf B(f)]^{-1} \cdot \mathbf T(f), & K = 0\\ \mathbf R(f) [\mathbf B^{K-1}(f)-\mathbf B^L(f)] \cdot [\mathbf I-\mathbf B(f)]^{-1} \cdot \mathbf T(f), & \text{otherwise}.\\ \end{cases} $$ विशेष स्थितियां:
 * $$\mathbf H_{0:\infty}(f) = \mathbf H(f) $$: पूर्ण स्थानांतरण समारोह।
 * $$\mathbf H_{1:\infty}(f) = \mathbf R(f) [\mathbf I-\mathbf B(f)]^{-1} \mathbf T(f) $$: केवल अप्रत्यक्ष शब्द।
 * $$\mathbf H_{0:L}(f)$$: केवल शर्तों के साथ $$L$$ या कम बाउंस रखे जाते हैं ($$L$$-बाउंस ट्रंकेशन)।
 * $$\mathbf H_{L+1:\infty}(f)$$: एरर टर्म ए के कारण $$L$$-बाउंस ट्रंकेशन।

आंशिक स्थानांतरण कार्यों का एक अनुप्रयोग हाइब्रिड मॉडल में है, जहां प्रसार ग्राफ को प्रतिक्रिया के मॉडल भाग (आमतौर पर उच्च-क्रम की बातचीत) में नियोजित किया जाता है।

आंशिक आवेग प्रतिक्रियाएं $$\mathbf h_{K:L}(\tau) $$ से प्राप्त होते हैं $$\mathbf H_{K:L}(f) $$ उलटा फूरियर रूपांतरण द्वारा।

प्रसार ग्राफ मॉडल
रेडियो चैनल मॉडल बनाने के लिए प्रसार ग्राफ पद्धति को विभिन्न सेटिंग्स में लागू किया गया है। ऐसे मॉडल को प्रचार ग्राफ मॉडल कहा जाता है। ऐसे मॉडल सहित परिदृश्यों के लिए व्युत्पन्न किए गए हैं
 * एकध्रुवीकृत इनरूम चैनल। प्रारंभिक प्रसार ग्राफ मॉडल  कमरे के चैनलों में गैर-ध्रुवीकृत के लिए व्युत्पन्न किए गए थे।
 * में एक पोलरिमेट्रिक प्रोपेगेशन ग्राफ मॉडल को इनरूम प्रोपेगेशन परिदृश्य के लिए विकसित किया गया है।
 * प्रचार ग्राफ ढांचे को विस्तारित किया गया है समय-भिन्न परिदृश्यों के लिए (जैसे वाहन-से-वाहन)। स्थलीय संचार के लिए, जहां वस्तुओं के सापेक्ष वेग सीमित हैं, चैनल को अर्ध-स्थैतिक माना जा सकता है और स्थिर मॉडल को हर समय कदम पर लागू किया जा सकता है।
 * सहित अनेक कार्यों में   पुनर्संयोजन घटना के अनुकरण को सक्षम करने के लिए प्रसार ग्राफ को किरण-अनुरेखण मॉडल में एकीकृत किया गया है। ऐसे मॉडलों को हाइब्रिड मॉडल कहा जाता है।
 * बाहरी-से-इनडोर मामलों सहित जटिल वातावरण। इन परिदृश्यों के प्रचार ग्राफ की विशेष संरचना का लाभ उठाकर अध्ययन किया जा सकता है। में बहुत जटिल वातावरण के लिए प्रतिक्रिया प्राप्त करने के लिए संगणना विधियों का विकास किया गया है * ग्राफ मॉडल कार्यप्रणाली का उपयोग स्थानिक रूप से सुसंगत MIMO चैनल मॉडल बनाने के लिए किया गया है। * हाई-स्पीड ट्रेन संचार के लिए कई प्रसार ग्राफ मॉडल प्रकाशित किए गए हैं।

प्रसार ग्राफ मॉडल का अंशांकन
प्रसार ग्राफ मॉडल को जांचने के लिए, इसके मापदंडों को उचित मूल्यों पर सेट किया जाना चाहिए। अलग-अलग तरीके अपनाए जा सकते हैं। कमरे के सरलीकृत ज्यामिति से कुछ पैरामीटर प्राप्त किए जा सकते हैं। विशेष रूप से, पुनर्संयोजन समय की गणना कमरे के इलेक्ट्रोमैग्नेटिक्स के माध्यम से की जा सकती है। वैकल्पिक रूप से, मापदंडों को अनुमान तकनीकों का उपयोग करके माप डेटा के अनुसार सेट किया जा सकता है जैसे कि क्षणों की विधि (सांख्यिकी),  अनुमानित बायेसियन संगणना ।, या  गहरे तंत्रिका नेटवर्क

संबंधित रेडियो चैनल मॉडल प्रकार
प्रसार ग्राफ मॉडलिंग की विधि अन्य विधियों से संबंधित है। उल्लेखनीय रूप से,
 * एकाधिक बिखरने का सिद्धांत
 * रेडियोसिटी (कंप्यूटर ग्राफिक्स)
 * किरण अनुरेखण (भौतिकी) भौतिकी)
 * ज्यामिति आधारित स्टोकेस्टिक चैनल मॉडल (जीबीएससीएम)

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * जियोमीट्रिक श्रंखला
 * जन्म श्रृंखला
 * एकाधिक बिखराव