बीजगणितीय सिद्धांत

गणितीय तर्क में अनौपचारिक रूप से, एक बीजगणितीय सिद्धांत एक सिद्धांत (गणितीय तर्क) है जो मुक्त चर वाले पदों के बीच समीकरणों के संदर्भ में पूरी तरह से बताए गए सिद्धांतों का उपयोग करता है। असमानता (गणित) और परिमाणक (तर्क) विशेष रूप से अस्वीकृत हैं। वाक्यात्मक तर्क प्रथम-क्रम तर्क का सबसेट है जिसमें केवल बीजगणितीय वाक्य शामिल होते हैं।

यह धारणा बीजगणितीय संरचना की धारणा के बहुत करीब है, जो, यकीनन, सिर्फ एक पर्यायवाची हो सकती है।

यह कहना कि कोई सिद्धांत बीजगणितीय है, यह कहने से अधिक मजबूत स्थिति है कि यह प्राथमिक सिद्धांत है।

अनौपचारिक व्याख्या
एक बीजगणितीय सिद्धांत में अतिरिक्त नियमों (स्वयंसिद्ध) के साथ एन-एरी कार्यात्मक शब्दों का एक संग्रह होता है।

उदाहरण के लिए, समूह (गणित) का सिद्धांत एक बीजगणितीय सिद्धांत है क्योंकि इसमें तीन कार्यात्मक शब्द हैं: एक बाइनरी ऑपरेशन a × b, एक शून्य ऑपरेशन 1 (तटस्थ तत्व), और एक यूनरी ऑपरेशन x ↦ x−1क्रमशः साहचर्य, तटस्थता और व्युत्क्रम तत्व के नियमों के साथ। अन्य उदाहरणों में शामिल हैं:
 * अर्धसमूहों का सिद्धांत
 * जाली का सिद्धांत (क्रम)
 * वलय का सिद्धांत (गणित)

यह ज्यामितीय सिद्धांत का विरोध है जिसमें आंशिक कार्य (या द्विआधारी संबंध) या अस्तित्वगत क्वांटर शामिल हैं - उदाहरण देखें यूक्लिडियन ज्यामिति जहां बिंदुओं या रेखाओं का अस्तित्व माना जाता है।

श्रेणी-आधारित मॉडल-सैद्धांतिक व्याख्या
एक बीजगणितीय सिद्धांत टी एक श्रेणी (गणित) है जिसका उद्देश्य (श्रेणी सिद्धांत) प्राकृतिक संख्याएं 0, 1, 2,... हैं, और जो, प्रत्येक एन के लिए, एन-रूपवाद का टुपल है:


 * ''प्रोजi: एन → 1, आई = 1, ..., एन

यह n को 1 की n प्रतियों के कार्टेशियन उत्पाद के रूप में व्याख्या करने की अनुमति देता है।

उदाहरण: आइए एक बीजगणितीय सिद्धांत 'T' को परिभाषित करें जिसमें hom(n, m) को n मुक्त चर वाले बहुपदों का m-टुपल माना जाए।1, ..., एक्सn पूर्णांक गुणांकों के साथ और रचना के रूप में प्रतिस्थापन के साथ। इस मामले में प्रोiएक्स के समान हैi. इस सिद्धांत T को क्रमविनिमेय वलय का सिद्धांत कहा जाता है।

बीजगणितीय सिद्धांत में, किसी भी रूपवाद n → m को हस्ताक्षर n → 1 के m आकारवाद के रूप में वर्णित किया जा सकता है। इन बाद के आकारवाद को सिद्धांत के n-ary संचालन कहा जाता है।

यदि ई परिमित उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) के साथ एक श्रेणी है, तो फ़ंक्टर श्रेणी ['टी', ई] की पूर्ण उपश्रेणी एल्ग ('टी', ई) जिसमें उन फ़ैक्टर्स शामिल हैं जो परिमित उत्पादों को संरक्षित करते हैं, उन्हें 'टी'-मॉडल या 'टी'-बीजगणित की श्रेणी कहा जाता है।

ध्यान दें कि ऑपरेशन 2 → 1 के मामले के लिए, उपयुक्त बीजगणित ए एक रूपवाद को परिभाषित करेगा


 * ए(2) ≈ ए(1) × ए(1) → ए(1)

यह भी देखें

 * बीजगणितीय वाक्य
 * बीजगणितीय परिभाषा

संदर्भ

 * Lawvere, F. W., 1963, Functorial Semantics of Algebraic Theories, Proceedings of the National Academy of Sciences 50, No. 5 (November 1963), 869-872
 * Adámek, J., Rosický, J., Vitale, E. M., Algebraic Theories. A Categorical Introduction To General Algebra
 * Kock, A., Reyes, G., Doctrines in categorical logic, in Handbook of Mathematical Logic, ed. J. Barwise, North Holland 1977