अनंत का अभिगृहीत

[[स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत]] और गणित और दर्शन की शाखाओं में जो इसका उपयोग करते हैं, अनंत का स्वयंसिद्ध जर्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के सिद्धांतों में से एक है। यह कम से कम एक अनंत सेट के अस्तित्व की गारंटी देता है, अर्थात् एक सेट जिसमें प्राकृतिक संख्याएँ होती हैं। यह पहली बार 1908 में अपने ज़र्मेलो सेट सिद्धांत के हिस्से के रूप में अर्नेस्ट ज़र्मेलो द्वारा प्रकाशित किया गया था।

औपचारिक वक्तव्य
ज़र्मेलो-फ्रेंकेल स्वयंसिद्धों की औपचारिक भाषा में, स्वयंसिद्ध पढ़ता है:
 * $$\exists \mathbf{I} \, ( \empty \in \mathbf{I} \, \land \, \forall x \in \mathbf{I} \, ( \, ( x \cup \{x\} ) \in \mathbf{I} ) ) .$$

शब्दों में, अस्तित्वगत परिमाणीकरण एक समुच्चय (गणित) I (वह समुच्चय जो अनंत माना जाता है), जैसे कि रिक्त समुच्चय I में है, और ऐसा कि जब भी कोई x I का सदस्य होता है, समुच्चय बनता है इसके सिंगलटन (गणित) के साथ x के मिलन का अभिगृहीत लेकर {x} भी I का एक सदस्य है। ऐसे समुच्चय को कभी-कभी आगमनात्मक समुच्चय कहा जाता है।

व्याख्या और परिणाम
यह स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत में प्राकृतिक संख्या#von_Neumann_ordinals से निकटता से संबंधित है, जिसमें x के उत्तराधिकारी क्रमांक को x ∪ {x} के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि x एक समुच्चय है, तो यह समुच्चय सिद्धांत के अन्य अभिगृहीतों से अनुसरण करता है कि यह उत्तराधिकारी भी एक विशिष्ट रूप से परिभाषित समुच्चय है। उत्तराधिकारियों का उपयोग प्राकृतिक संख्याओं के सामान्य सेट-सैद्धांतिक एन्कोडिंग को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। इस एन्कोडिंग में शून्य खाली सेट है:


 * 0 = {}।

नंबर 1 0 का उत्तराधिकारी है:


 * 1 = 0 ∪ {0} = {} ∪ {0} = {0} = –.

इसी तरह, 2 1 का उत्तराधिकारी है:


 * 2 = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = {0,1} = { {}, –  },

और इसी तरह:


 * 3 = {0,1,2} = { {}, –, {{},  – } };


 * 4 = {0,1,2,3} = { {}, –, { {},  –  }, { {},  – , {{},  – } } }.

इस परिभाषा का एक परिणाम यह है कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या पूर्ववर्ती सभी प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के बराबर होती है। प्रत्येक सेट में तत्वों की गिनती, शीर्ष स्तर पर, प्रतिनिधित्व की गई प्राकृतिक संख्या के समान है, और सबसे गहरे नेस्टेड खाली सेट {} की नेस्टिंग गहराई, जिसमें सेट में इसकी नेस्टिंग शामिल है जो उस संख्या का प्रतिनिधित्व करती है जिसकी वह है एक भाग, उस प्राकृतिक संख्या के बराबर भी होता है जिसका सेट प्रतिनिधित्व करता है।

यह निर्माण प्राकृतिक संख्या बनाता है। हालाँकि, अन्य अभिगृहीत सभी प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के अस्तित्व को सिद्ध करने के लिए अपर्याप्त हैं, $$\mathbb{N}_0$$. इसलिए, इसके अस्तित्व को एक स्वयंसिद्ध के रूप में लिया जाता है - अनंत का स्वयंसिद्ध। यह स्वयंसिद्ध दावा करता है कि एक सेट I है जिसमें 0 है और उत्तराधिकारी लेने के संचालन के तहत क्लोजर (गणित) है; अर्थात्, I के प्रत्येक तत्व के लिए, उस तत्व का उत्तराधिकारी भी I में है।

इस प्रकार स्वयंसिद्ध का सार है:


 * एक समुच्चय है, I, जिसमें सभी प्राकृत संख्याएँ शामिल हैं।

अनंत का स्वयंसिद्ध भी वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल स्वयंसिद्धों में से एक है।

अनंत सेट
से प्राकृतिक संख्या निकालना अनंत समुच्चय I प्राकृतिक संख्याओं का सुपरसेट है। यह दिखाने के लिए कि प्राकृतिक संख्याएं स्वयं एक सेट का गठन करती हैं, सभी प्राकृतिक संख्याओं के सेट एन को छोड़कर, अवांछित तत्वों को हटाने के लिए विनिर्देश के स्वयंसिद्ध स्कीमा को लागू किया जा सकता है। विस्तार के स्वयंसिद्ध द्वारा यह सेट अद्वितीय है।

प्राकृतिक संख्याएँ निकालने के लिए, हमें यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि कौन से सेट प्राकृतिक संख्याएँ हैं। प्राकृतिक संख्याओं को इस तरह से परिभाषित किया जा सकता है, जो विस्तार के स्वयंसिद्ध और एप्सिलॉन-प्रेरण को छोड़कर किसी भी स्वयंसिद्ध को नहीं मानता है - एक प्राकृतिक संख्या या तो शून्य या एक उत्तराधिकारी है और इसका प्रत्येक तत्व या तो शून्य है या इसके किसी अन्य का उत्तराधिकारी है। तत्व। औपचारिक भाषा में, परिभाषा कहती है:


 * $$\forall n (n \in \mathbf{N} \iff ([n = \empty \,\,\lor\,\, \exists k ( n = k \cup \{k\} )] \,\,\land\,\, \forall m \in n[m = \empty \,\,\lor\,\, \exists k \in n ( m = k \cup \{k\} )])).$$

या, और भी औपचारिक रूप से:


 * $$\forall n (n \in \mathbf{N} \iff ([\forall k (\lnot k \in n) \lor \exists k \forall j (j \in n \iff (j \in k \lor j = k))] \land$$
 * $$\forall m (m \in n \Rightarrow [\forall k (\lnot k \in m) \lor \exists k (k \in n \land \forall j (j \in m \iff (j \in k \lor j = k)))]))).$$

वैकल्पिक विधि
एक वैकल्पिक तरीका निम्नलिखित है। होने देना $$\Phi(x)$$ वह सूत्र बनें जो कहता है कि x आगमनात्मक है; अर्थात। $$\Phi(x) = (\emptyset \in x \wedge \forall y(y \in x \to (y \cup \{y\} \in x)))$$. अनौपचारिक रूप से, हम क्या करेंगे सभी आगमनात्मक सेटों के प्रतिच्छेदन को लें। अधिक औपचारिक रूप से, हम एक अद्वितीय सेट के अस्तित्व को सिद्ध करना चाहते हैं $$W$$ ऐसा है कि


 * $$\forall x(x \in W \leftrightarrow \forall I(\Phi(I) \to x \in I)).$$ (*)

अस्तित्व के लिए, हम विशिष्टता के स्वयंसिद्ध स्कीमा के साथ संयुक्त इन्फिनिटी के स्वयंसिद्ध का उपयोग करेंगे। होने देना $$I$$ इन्फिनिटी के स्वयंसिद्ध द्वारा गारंटीकृत आगमनात्मक सेट हो। फिर हम अपने सेट को परिभाषित करने के लिए विशिष्टता की स्वयंसिद्ध स्कीमा का उपयोग करते हैं $$W = \{x \in I:\forall J(\Phi(J) \to x \in J)\}$$ - अर्थात। $$W$$ के सभी तत्वों का समुच्चय है $$I$$ जो प्रत्येक दूसरे आगमनात्मक समुच्चय के अवयव भी होते हैं। यह स्पष्ट रूप से (*) की परिकल्पना को संतुष्ट करता है, क्योंकि यदि $$x \in W$$, तब $$x$$ हर आगमनात्मक सेट में है, और अगर $$x$$ प्रत्येक आगमनात्मक सेट में है, यह विशेष रूप से अंदर है $$I$$, तो यह अंदर भी होना चाहिए $$W$$.

विशिष्टता के लिए, पहले ध्यान दें कि कोई भी सेट जो संतुष्ट करता है (*) स्वयं आगमनात्मक है, क्योंकि 0 सभी आगमनात्मक सेटों में है, और यदि कोई तत्व $$x$$ सभी आगमनात्मक सेटों में है, फिर आगमनात्मक संपत्ति द्वारा इसका उत्तराधिकारी भी है। इस प्रकार अगर वहाँ एक और सेट थे $$W'$$ जो संतुष्ट (*) हमारे पास होगा $$W' \subseteq W$$ तब से $$W$$ आगमनात्मक है, और $$W \subseteq W'$$ तब से $$W'$$ आगमनात्मक है। इस प्रकार $$W = W'$$. होने देना $$\omega$$ इस अद्वितीय तत्व को निरूपित करें।

यह परिभाषा सुविधाजनक है क्योंकि गणितीय आगमन तुरंत अनुसरण करता है: यदि $$I \subseteq \omega$$ आगमनात्मक है, फिर भी $$\omega \subseteq I$$, ताकि $$I = \omega$$.

ये दोनों विधियाँ ऐसी प्रणालियाँ उत्पन्न करती हैं जो दूसरे क्रम के अंकगणित के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करती हैं, क्योंकि शक्ति सेट का स्वयंसिद्ध हमें शक्ति सेट पर मात्रा निर्धारित करने की अनुमति देता है $$\omega$$दूसरे क्रम के तर्क के रूप में। इस प्रकार वे दोनों पूरी तरह से समाकृतिकता सिस्टम निर्धारित करते हैं, और चूंकि वे पहचान समारोह के तहत आइसोमोर्फिक हैं, वे वास्तव में समानता (गणित) होना चाहिए।

स्पष्ट रूप से कमजोर संस्करण
कुछ पुराने ग्रंथ बुद्धि के लिए अनंत के स्वयंसिद्ध के स्पष्ट रूप से कमजोर संस्करण का उपयोग करते हैं:
 * $$ \exists x \, ( \exists y \, ( y \in x ) \, \land \, \forall y ( y \in x \, \rightarrow \, \exists z ( z \in x \, \land \, y \subsetneq z ) ) ) \,.$$

यह कहता है कि x में एक तत्व है और x के प्रत्येक तत्व y के लिए x का एक और तत्व है जो y का एक सख्त सुपरसेट है। इसका तात्पर्य है कि x इसकी संरचना के बारे में बहुत कुछ कहे बिना एक अनंत समुच्चय है। हालाँकि, ZF के अन्य अभिगृहीतों की सहायता से, हम दिखा सकते हैं कि यह ω के अस्तित्व को दर्शाता है। सबसे पहले, यदि हम किसी अनंत सेट x का पावरसेट लेते हैं, तो उस पावरसेट में ऐसे तत्व शामिल होंगे जो हर परिमित प्रमुखता (x के अन्य सबसेट के बीच) के x के सबसेट हैं। उन परिमित उपसमुच्चयों के अस्तित्व को साबित करने के लिए जुदाई के स्वयंसिद्ध या युग्मन और संघ के स्वयंसिद्धों की आवश्यकता हो सकती है। तब हम x के उस पॉवरसेट के प्रत्येक तत्व को समान कार्डिनलिटी के प्रारंभिक क्रमिक क्रमिक संख्या (या शून्य, यदि ऐसा कोई क्रमांक नहीं है) द्वारा प्रतिस्थापित करने के लिए प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध को लागू कर सकते हैं। परिणाम अध्यादेशों का एक अनंत सेट होगा। फिर हम ω से अधिक या उसके बराबर क्रमसूचक प्राप्त करने के लिए संघ के अभिगृहीत को लागू कर सकते हैं।

स्वतंत्रता
यदि वे सुसंगत हैं तो ZFC के अन्य स्वयंसिद्धों से अनन्तता का स्वयंसिद्ध सिद्ध नहीं किया जा सकता है। (क्यों देखने के लिए, ध्यान दें कि ZFC $$\vdash$$ Con(ZFC - अनंत) और गोडेल के Gödel%27s_incompleteness_theorems का उपयोग करें।)

यदि वे सुसंगत हैं, तो ZFC के बाकी स्वयंसिद्धों से अनन्तता के स्वयंसिद्ध का निषेध नहीं किया जा सकता है। (यह कहने के समान है कि ZFC संगत है, यदि अन्य स्वयंसिद्ध सुसंगत हैं।) हम इसे मानते हैं, लेकिन इसे साबित नहीं कर सकते (यदि यह सच है)।

दरअसल, वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड का उपयोग करके, हम जेडएफसी - इन्फिनिटी + (¬इन्फिनिटी) का एक मॉडल बना सकते हैं। यह है $$V_\omega \!$$विरासत में मिली सदस्यता संबंध के साथ, वंशानुगत परिमित सेट का वर्ग। ध्यान दें कि यदि रिक्त समुच्चय के स्वयंसिद्ध को इस प्रणाली के एक भाग के रूप में नहीं लिया जाता है (चूंकि इसे ZF + अनंत से प्राप्त किया जा सकता है), तो खाली डोमेन भी ZFC - अनंत + ¬इन्फिनिटी को संतुष्ट करता है, क्योंकि इसके सभी स्वयंसिद्ध सार्वभौमिक हैं मात्रात्मक, और यदि कोई सेट मौजूद नहीं है तो इस प्रकार तुच्छ रूप से संतुष्ट।

प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय की प्रमुखता, अलेफ नल ($$\aleph_0$$), एक बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्ध के कई गुण हैं। इस प्रकार अनंत के स्वयंसिद्ध को कभी-कभी पहले बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्ध के रूप में माना जाता है, और इसके विपरीत बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्धों को कभी-कभी अनंत के मजबूत स्वयंसिद्ध कहा जाता है।

यह भी देखें

 * पियानो स्वयंसिद्ध
 * फिनिटिज्म

संदर्भ

 * Paul Halmos (1960) Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company. Reprinted 1974 by Springer-Verlag. ISBN 0-387-90092-6.
 * Thomas Jech (2003) Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.
 * Kenneth Kunen (1980) Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.