अनिश्चितता सिद्धांत

क्वांटम यांत्रिकी में, अनिश्चितता सिद्धांत (जिसे हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के रूप में भी जाना जाता है) विभिन्न प्रकार की असमिका (गणित) है। सटीकता के लिए आधारभूत सीमा पर जोर देना जिसके साथ किसी कण की भौतिक मात्राओं के कुछ जोड़े, जैसे स्थिति सदिश, x, और संवेग, p, के लिए प्रारंभिक स्थितियों से प्रागुक्त की जा सकती है।

ऐसे चर युग्मों को संपूरकता (भौतिकी) या विहित निर्देशांक के रूप में जाना जाता है; और, व्याख्या के आधार पर, अनिश्चितता का सिद्धांत किस हद तक इस तरह के संयुग्म गुण अपने अनुमानित अर्थ को बनाए रखता है, क्योंकि क्वांटम यांत्रिकी का गणितीय ढांचा एक ही मान द्वारा व्यक्त एक साथ अच्छी तरह से परिभाषित संयुग्म गुणों की धारणा का समर्थन नहीं करता है। अनिश्चितता सिद्धांत का अर्थ है कि सामान्य रूप से मनमाना निश्चितता के साथ किसी मात्रा के मान की प्रागुक्त करना भले ही सभी प्रारंभिक शर्तें निर्दिष्ट हों संभव नहीं है।

जर्मन भौतिक विज्ञानी वर्नर हाइजेनबर्ग द्वारा पहली बार 1927 में पेश किया गया, अनिश्चितता सिद्धांत बताता है कि किसी कण की स्थिति जितनी अधिक सटीक रूप से निर्धारित की जाती है, उतनी ही सटीक रूप से प्रारंभिक स्थितियों से इसकी गति का अनुमान लगाया जा सकता है, और इसके विपरीत अनुमान लगाया जा सकता है। 1927 के प्रकाशित पत्र में, हाइजेनबर्ग ने मूल रूप से निष्कर्ष निकाला कि अनिश्चितता सिद्धांत ΔpΔq ≈ h पूर्ण प्लैंक स्थिरांक का उपयोग कर रहा था।  बाद में उस वर्ष और हरमन वेइल द्वारा 1928 में:

जहाँ $ħ$ घटा हुआ प्लैंक स्थिरांक है, $h/(2π$).

ऐतिहासिक रूप से, अनिश्चितता सिद्धांत भ्रमित किया गया है भौतिकी में संबंधित प्रभाव के साथ, पर्यवेक्षक प्रभाव (भौतिकी) कहा जाता है, जो नोट करता है कि प्रणाली को प्रभावित किए बिना कुछ प्रणालियों का मापन नहीं किया जा सकता है, अर्थात, प्रणाली  में कुछ बदलाव किए बिना मापन नहीं किया जा सकता है। क्वांटम अनिश्चितता के भौतिक स्पष्टीकरण के रूप में हाइजेनबर्ग ने क्वांटम स्तर (नीचे देखें) पर इस तरह के पर्यवेक्षक प्रभाव का उपयोग किया  है। हालांकि, यह तब से स्पष्ट हो गया है कि अनिश्चितता का सिद्धांत सभी तरंग | तरंग जैसी प्रणालियों के गुणों में निहित है, और यह क्वांटम यांत्रिकी में सभी क्वांटम वस्तुओं की पदार्थ तरंग प्रकृति के कारण उत्पन्न होता है। इस प्रकार, अनिश्चितता सिद्धांत वास्तव में क्वांटम प्रणाली  की आधारभूत संपत्ति बताता है और वर्तमान प्रौद्योगिकी की अवलोकन संबंधी सफलता के बारे में एक बयान नहीं है। वास्तव में अनिश्चितता के सिद्धांत की जड़ें इस बात में हैं कि हम यांत्रिकी के बुनियादी समीकरणों को लिखने के लिए कलन को कैसे लागू करते हैं। इस बात पर जोर दिया जाना चाहिए कि माप का मतलब केवल एक प्रक्रिया नहीं है जिसमें एक भौतिक विज्ञानी-पर्यवेक्षक भाग लेता है, बल्कि किसी भी पर्यवेक्षक की परवाह किए बिना शास्त्रीय और क्वांटम वस्तुओं के बीच कोई भी बातचीत होती है।

चूँकि अनिश्चितता सिद्धांत क्वांटम यांत्रिकी में एक ऐसा मूल परिणाम है, क्वांटम यांत्रिकी में विशिष्ट प्रयोग नियमित रूप से इसके पहलुओं का निरीक्षण करते हैं। हालाँकि, कुछ प्रयोग, उनके मुख्य शोध कार्यक्रम के भाग के रूप में जानबूझकर अनिश्चितता सिद्धांत के एक विशेष रूप का परीक्षण कर सकते हैं। इनमें शामिल हैं, उदाहरण के लिए, अतिचालकता में संख्या-चरण अनिश्चितता संबंधों के परीक्षण या क्वांटम प्रकाशिकी  प्रणाली । उनके संचालन के लिए अनिश्चितता सिद्धांत पर निर्भर अनुप्रयोगों में अत्यंत कम शोर वाली तकनीक शामिल है जैसे कि गुरुत्वाकर्षण-तरंग इंटरफेरोमीटर में आवश्यक है।

परिचय
यह स्पष्ट करना महत्वपूर्ण है कि सिद्धांत अपेक्षाकृत सुगम भौतिक स्थितियों पर कैसे लागू होता है क्योंकि यह मैक्रोस्कोपिक पर अविवेकी है पैमाने जो मनुष्य अनुभव करते हैं। क्वांटम भौतिकी के लिए दो वैकल्पिक ढांचे अनिश्चितता सिद्धांत के लिए अलग-अलग स्पष्टीकरण प्रदान करते हैं। अनिश्चितता सिद्धांत का श्रोडिंगर समीकरण चित्र अधिक दृष्टिगत रूप से सहज है, लेकिन अधिक अमूर्त मैट्रिक्स यांत्रिकी चित्र इसे इस तरह से तैयार करता है जो अधिक आसानी से सामान्यीकरण करता है।

गणितीय रूप से, तरंग यांत्रिकी में, स्थिति और संवेग के बीच अनिश्चितता का संबंध उत्पन्न होता है क्योंकि हिल्बर्ट अंतरिक्ष में दो संगत ऑर्थोनॉर्मल आधार (रैखिक बीजगणित) में तरंग के भाव एक दूसरे के फूरियर रूपांतरण हैं (यानी, स्थिति और संवेग संयुग्म चर हैं)। एक गैर-शून्य फ़ंक्शन और इसके फूरियर रूपांतरण दोनों को एक ही समय में तेजी से स्थानीयकृत नहीं किया जा सकता है। फूरियर विश्लेषण द्वारा रेखांकित सभी प्रणालियों में फूरियर संयुग्मों के प्रसरण के बीच एक समान व्यापार उत्पन्न होता है, उदाहरण के लिए ध्वनि तरंगों में: एक शुद्ध स्वर एकल आवृत्ति पर एक डिराक डेल्टा समारोह है, जबकि इसका फूरियर रूपांतरण ध्वनि तरंग का आकार देता है टाइम डोमेन, जो पूरी तरह से डेलोकलाइज्ड साइन वेव है। क्वांटम यांत्रिकी में, दो प्रमुख बिंदु हैं कि कण की स्थिति एक पदार्थ तरंग का रूप लेती है, और संवेग इसका फूरियर संयुग्म है, जो पदार्थ तरंग द्वारा सुनिश्चित होता है $p = ħk$, जहाँ $k$ तरंग संख्या है।

मैट्रिक्स यांत्रिकी में, क्वांटम यांत्रिकी का गणितीय सूत्रीकरण # क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांत, गैर-कम्यूटेटर स्व-आसन्न ऑपरेटरों की कोई भी जोड़ी वेधशालाओं का प्रतिनिधित्व करती है जो समान अनिश्चितता सीमाओं के अधीन हैं। एक नमूदार का एक eigenstate एक निश्चित माप मान (eigenvalue) के लिए तरंग समारोह की स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है। उदाहरण के लिए, यदि एक अवलोकनीय का माप $A$ किया जाता है, तो प्रणाली एक विशेष ईजेनस्टेट में है Ψ}उस अवलोकनीय का }। हालाँकि, अवलोकन योग्य का विशेष eigenstate $A$ किसी अन्य प्रेक्षण योग्य का स्वदेशी होना आवश्यक नहीं है $B$: यदि ऐसा है, तो इसके लिए इसके लिए एक विशिष्ट संबद्ध माप नहीं है, क्योंकि प्रणाली  उस अवलोकनीय के एक ईजेनस्टेट में नहीं है।

तरंग यांत्रिकी की व्याख्या
(संदर्भ )

द्रव्य तरंग के अनुसार ब्रह्मांड की प्रत्येक वस्तु एक तरंग है, अर्थात ऐसी स्थिति जो इस घटना को जन्म देती है। कण की स्थिति को एक तरंग क्रिया द्वारा वर्णित किया जाता है $$\Psi(x,t)$$. वेवनंबर k के सिंगल-मोडेड प्लेन वेव का टाइम-इंडिपेंडेंट वेव फंक्शन0 या गति पी0 है $$\psi(x) \propto e^{ik_0 x} = e^{ip_0 x/\hbar} ~.$$ बोर्न नियम कहता है कि इसे संभाव्यता घनत्व समारोह के रूप में इस अर्थ में व्याख्या किया जाना चाहिए कि ए और बी के बीच कण खोजने की संभावना है $$ \operatorname P [a \leq X \leq b] = \int_a^b |\psi(x)|^2 \, \mathrm{d}x ~.$$ सिंगल-मोडेड प्लेन वेव के मामले में, $$|\psi(x)|^2$$ एक समान वितरण (निरंतर) है। दूसरे शब्दों में, कण की स्थिति इस अर्थ में अत्यंत अनिश्चित है कि यह अनिवार्य रूप से तरंग पैकेट के साथ कहीं भी हो सकता है।

दूसरी ओर, एक तरंग फलन पर विचार करें जो एक अध्यारोपण सिद्धांत है, जिसे हम इस रूप में लिख सकते हैं $$\psi(x) \propto \sum_n A_n e^{i p_n x/\hbar}~, $$ जहाँ एकn मोड पी के सापेक्ष योगदान का प्रतिनिधित्व करता हैn कुल मिलाकर। दाईं ओर के आंकड़े दिखाते हैं कि कैसे कई समतल तरंगों के जुड़ने से तरंग पैकेट अधिक स्थानीयकृत हो सकता है। हम इसे सातत्य की सीमा तक एक कदम और आगे ले जा सकते हैं, जहां तरंग फलन सभी संभावित विधाओं का एक अभिन्न अंग है $$\psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int_{-\infty}^\infty \varphi(p) \cdot e^{i p x/\hbar} \, dp ~, $$ साथ $$\varphi(p)$$ इन विधाओं के आयाम का प्रतिनिधित्व करता है और इसे संवेग स्थान में तरंग फलन कहा जाता है। गणितीय शब्दों में, हम कहते हैं कि $$\varphi(p)$$ का फूरियर रूपांतरण है $$\psi(x)$$ और वह x और p संयुग्मी चर हैं। इन सभी समतल तरंगों को एक साथ जोड़ने पर लागत आती है, अर्थात् संवेग कम सटीक हो गया है, जो कई अलग-अलग संवेगों की तरंगों का मिश्रण बन गया है।

स्थिति और संवेग की सटीकता को निर्धारित करने का एक तरीका मानक विचलन σ है। तब से $$|\psi(x)|^2$$ स्थिति के लिए प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन है, हम इसके मानक विचलन की गणना करते हैं।

स्थिति की सटीकता में सुधार हुआ है, अर्थात σ घटाया गया हैx, कई समतल तरंगों का उपयोग करके, जिससे संवेग की शुद्धता कमजोर हो जाती है, अर्थात σ बढ़ जाती हैp. इसे बताने का दूसरा तरीका यह है कि σx और पीp उलटा संबंध है या कम से कम नीचे से बंधे हैं। यह अनिश्चितता का सिद्धांत है, जिसकी सटीक सीमा केनार्ड बाउंड है। तरंग यांत्रिकी का उपयोग करके केनार्ड असमिका की अर्ध-औपचारिक व्युत्पत्ति देखने के लिए नीचे दिए गए शो बटन पर क्लिक करें।

मैट्रिक्स यांत्रिकी व्याख्या
(संदर्भ

मैट्रिक्स यांत्रिकी में, अवलोकनीय जैसे स्थिति और संवेग को स्व-संलग्न ऑपरेटरों द्वारा दर्शाया जाता है। वेधशालाओं के जोड़े पर विचार करते समय, एक महत्वपूर्ण मात्रा कम्यूटेटर है। ऑपरेटरों की एक जोड़ी के लिए $Â$ और $$\hat{B}$$, कोई उनके कम्यूटेटर को परिभाषित करता है $$[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}.$$ स्थिति और संवेग के मामले में, कम्यूटेटर विहित रूपान्तरण संबंध है $$[\hat{x},\hat{p}]=i \hbar.$$ स्थिति और संवेग eigenstates पर कम्यूटेटर के प्रभाव पर विचार करके गैर-कम्यूटेटिविटी का भौतिक अर्थ समझा जा सकता है। होने देना $$|\psi\rangle$$ एक स्थिर eigenvalue के साथ स्थिति का सही eigenstate होना $x_{0}$. परिभाषा के अनुसार, इसका मतलब यह है $$\hat{x}|\psi\rangle = x_0 |\psi\rangle.$$ कम्यूटेटर को लागू करना $$|\psi\rangle$$ पैदावार $$[\hat{x},\hat{p}] | \psi \rangle = (\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x}) | \psi \rangle = (\hat{x} - x_0 \hat{I}) \hat{p} \, | \psi \rangle = i \hbar | \psi \rangle,$$ जहाँ $Î$ पहचान मैट्रिक्स है।

मान लीजिए, विरोधाभास द्वारा प्रमाण के लिए, कि $$|\psi\rangle$$ संवेग का एक सही आइजेनस्टेट भी है, जिसमें निरंतर आइगेनवैल्यू है $p_{0}$. अगर यह सच होता, तो कोई लिख सकता था $$(\hat{x} - x_0 \hat{I}) \hat{p} \, | \psi \rangle = (\hat{x} - x_0 \hat{I}) p_0 \, | \psi \rangle = (x_0 \hat{I} - x_0 \hat{I}) p_0 \, | \psi \rangle=0.$$ दूसरी ओर, उपरोक्त विहित रूपांतरण संबंध की आवश्यकता है $$[\hat{x},\hat{p}] | \psi \rangle=i \hbar | \psi \rangle \ne 0.$$ इसका तात्पर्य यह है कि कोई भी क्वांटम स्थिति एक साथ स्थिति और संवेग दोनों नहीं हो सकती है।

जब एक राज्य को मापा जाता है, तो इसे प्रासंगिक अवलोकन के आधार पर एक ईजेनस्टेट पर पेश किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि एक कण की स्थिति को मापा जाता है, तो स्थिति एक स्थिति ईजेनस्टेट के बराबर होती है। इसका मतलब यह है कि राज्य एक संवेग आइजनस्टेट नहीं है, बल्कि, बल्कि इसे कई संवेग आधार ईजेनस्टेट्स के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, गति कम सटीक होनी चाहिए। यह सटीकता मानक विचलन द्वारा निर्धारित की जा सकती है, $$\sigma_x=\sqrt{\langle \hat{x}^2 \rangle-\langle \hat{x}\rangle^2}$$ $$\sigma_p=\sqrt{\langle \hat{p}^2 \rangle-\langle \hat{p}\rangle^2}.$$ ऊपर तरंग यांत्रिकी की व्याख्या के अनुसार, अनिश्चितता सिद्धांत द्वारा परिमाणित, दो की संबंधित सटीकता के बीच एक व्यापार को देखता है।

हाइजेनबर्ग सीमा
क्वांटम मेट्रोलॉजी और विशेष रूप से इंटरफेरोमेट्री में, हाइजेनबर्ग सीमा इष्टतम दर है जिस पर माप की सटीकता माप में उपयोग की जाने वाली ऊर्जा के साथ मापी जा सकती है। आमतौर पर, यह एक चरण का माप है ( बीम फाड़नेवाला के एक हाथ पर लागू होता है) और ऊर्जा एक इंटरफेरोमीटर में उपयोग किए जाने वाले फोटॉन की संख्या से दी जाती है। हालांकि कुछ लोग हाइजेनबर्ग सीमा को तोड़ने का दावा करते हैं, यह स्केलिंग संसाधन की परिभाषा पर असहमति को दर्शाता है। उपयुक्त रूप से परिभाषित, हाइजेनबर्ग सीमा क्वांटम यांत्रिकी के मूल सिद्धांतों का एक परिणाम है और इसे पीटा नहीं जा सकता है, हालांकि कमजोर हाइजेनबर्ग सीमा को पीटा जा सकता है।

रॉबर्टसन-श्रोडिंगर अनिश्चितता संबंध
अनिश्चितता सिद्धांत का सबसे आम सामान्य रूप हावर्ड पर्सी रॉबर्टसन अनिश्चितता संबंध है। एक मनमाना स्व-आसन्न ऑपरेटर के लिए $$\hat{\mathcal{O}}$$ हम एक मानक विचलन को संबद्ध कर सकते हैं $$\sigma_{\mathcal{O}} = \sqrt{\langle \hat{\mathcal{O}}^2 \rangle-\langle \hat{\mathcal{O}}\rangle^2},$$ जहां कोष्ठक $$\langle\mathcal{O}\rangle$$ एक अपेक्षा मान (क्वांटम यांत्रिकी) इंगित करें। ऑपरेटरों की एक जोड़ी के लिए $$\hat{A}$$ और $$\hat{B}$$, हम उनके कम्यूटेटर को परिभाषित कर सकते हैं $$[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A},$$ इस अंकन में, रॉबर्टसन अनिश्चितता संबंध द्वारा दिया गया है $$\sigma_A \sigma_B \geq \left| \frac{1}{2i}\langle[\hat{A},\hat{B}]\rangle \right| = \frac{1}{2}\left|\langle[\hat{A},\hat{B}]\rangle \right|,$$ रॉबर्टसन अनिश्चितता संबंध तुरंत तार्किक परिणाम थोड़ा मजबूत असमिका, श्रोडिंगर अनिश्चितता संबंध,

जहां हमने एंटीकम्यूटेटर पेश किया है, $$\{\hat{A},\hat{B}\}=\hat{A}\hat{B}+\hat{B}\hat{A}.$$

मिश्रित राज्य
घनत्व मैट्रिक्स का वर्णन करने के लिए रॉबर्टसन-श्रोडिंगर अनिश्चितता संबंध को सीधे तरीके से सामान्यीकृत किया जा सकता है। $$\sigma_A^2 \sigma_B^2 \geq \left | \frac{1}{2}\operatorname{tr}(\rho\{A,B\}) - \operatorname{tr}(\rho A)\operatorname{tr}(\rho B)\right |^2 +\left | \frac{1}{2i} \operatorname{tr}(\rho[A,B])\right | ^2 .$$

मैककोन-पति अनिश्चितता संबंध
रॉबर्टसन-श्रोडिंगर अनिश्चितता संबंध तुच्छ हो सकता है यदि प्रणाली की स्थिति को अवलोकन योग्य में से किसी एक के ईजेनस्टेट के रूप में चुना जाता है। मैककोन और पाटी द्वारा सिद्ध किए गए मजबूत अनिश्चितता संबंध दो असंगत वेधशालाओं के लिए भिन्नताओं के योग पर गैर-तुच्छ सीमाएं प्रदान करते हैं। (पूर्व में भिन्नताओं के योग के रूप में तैयार किए गए अनिश्चितता संबंधों पर किए गए कार्यों में शामिल हैं, उदाहरण के लिए, रेफ। हुआंग के कारण।) दो गैर-आगंतुक वेधशालाओं के लिए $$A$$ और $$B$$ पहला मजबूत अनिश्चितता संबंध किसके द्वारा दिया जाता है $$ \sigma_{A}^2 + \sigma_{ B}^2 \ge \pm i \langle \Psi\mid [A, B]|\Psi \rangle + \mid \langle \Psi\mid(A \pm i B)\mid{\bar \Psi} \rangle|^2, $$ जहाँ $$ \sigma_{A}^2 = \langle \Psi |A^2 |\Psi \rangle - \langle \Psi \mid A \mid \Psi \rangle^2 $$, $$ \sigma_{B}^2 = \langle \Psi |B^2 |\Psi \rangle - \langle \Psi \mid B \mid\Psi \rangle^2 $$, $$|{\bar \Psi} \rangle $$ एक सामान्यीकृत वेक्टर है जो प्रणाली की स्थिति के लिए ऑर्थोगोनल है $$|\Psi \rangle $$ और किसी का चिन्ह चुनना चाहिए $$\pm i \langle \Psi\mid[A, B]\mid\Psi \rangle $$ इस वास्तविक मात्रा को एक सकारात्मक संख्या बनाने के लिए।

दूसरा मजबूत अनिश्चितता संबंध द्वारा दिया गया है $$ \sigma_A^2 + \sigma_B^2 \ge \frac{1}{2}| \langle {\bar \Psi}_{A+B} \mid(A + B)\mid \Psi \rangle|^2 $$ जहाँ $$| {\bar \Psi}_{A+B} \rangle $$ के लिए एक राज्य ऑर्थोगोनल है $$ |\Psi \rangle $$. का रूप $$| {\bar \Psi}_{A+B} \rangle $$ तात्पर्य यह है कि नए अनिश्चितता संबंध का दाहिना हाथ गैर-शून्य है जब तक कि $$| \Psi\rangle $$ का एक स्वदेशी है $$(A + B)$$. कोई इसे नोट कर सकता है $$|\Psi \rangle $$ का एक स्वदेशी हो सकता है $$( A+ B)$$ दोनों में से एक के बिना $$ A$$ या $$ B $$. हालाँकि, कब $$ |\Psi \rangle $$ हाइजेनबर्ग-श्रोडिंगर अनिश्चितता संबंध तुच्छ हो जाता है। लेकिन जब तक नए संबंध में निचली सीमा शून्य नहीं है $$ |\Psi \rangle $$ दोनों का एक स्वदेशी है।

घनत्व मैट्रिक्स के अपघटन के आधार पर रॉबर्टसन-श्रोडिंगर अनिश्चितता संबंध में सुधार
रॉबर्टसन-श्रोडिंगर अनिश्चितता को ध्यान में रखते हुए सुधार किया जा सकता है कि यह सभी घटकों के लिए होना चाहिए $$\varrho_k$$ के रूप में दिए गए घनत्व मैट्रिक्स के किसी भी अपघटन में $$ \varrho=\sum_k p_k \varrho_k. $$ यहाँ, संभावनाओं के लिए $$p_k\ge0$$ और $$\sum_k p_k=1$$ पकड़ना। फिर, संबंध का उपयोग करना $$ \sum_k a_k \sum_k b_k \ge \left(\sum_k \sqrt{a_k b_k}\right)^2 $$ के लिए $$ a_k,b_k\ge 0$$, यह इस प्रकार है कि $$ \sigma_A^2 \sigma_B^2 \geq \left[\sum_k p_k L(\varrho_k)\right]^2, $$ जहां बाउंड में फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है $$ L(\varrho) = \sqrt{\left | \frac{1}{2}\operatorname{tr}(\rho\{A,B\}) - \operatorname{tr}(\rho A)\operatorname{tr}(\rho B)\right |^2 +\left | \frac{1}{2i} \operatorname{tr}(\rho[A,B])\right | ^2}. $$ उपरोक्त संबंध में अक्सर मूल रॉबर्टसन-श्रोडिंगर अनिश्चितता संबंध की तुलना में एक बड़ी सीमा होती है। इस प्रकार, हमें क्वांटम राज्य के बजाय क्वांटम राज्य के मिश्रित घटकों के लिए रॉबर्टसन-श्रोडिंगर अनिश्चितता की सीमा की गणना करने की आवश्यकता है, और उनकी वर्ग जड़ों की औसत गणना करें। निम्नलिखित अभिव्यक्ति रॉबर्टसन-श्रोडिंगर अनिश्चितता संबंध से अधिक मजबूत है $$ \sigma_A^2 \sigma_B^2 \geq \left[\max_{p_k,\varrho_k} \sum_k p_k L(\varrho_k)\right]^2, $$ जहां दाहिनी ओर घनत्व मैट्रिक्स के अपघटन पर एक अवतल छत है। उपरोक्त सुधारित संबंध सभी एकल-क्विट क्वांटम राज्यों द्वारा संतृप्त है।

इसी तरह के तर्कों के साथ, दाईं ओर एक उत्तल छत के साथ एक संबंध प्राप्त किया जा सकता है $$ \sigma_A^2 F_Q[\varrho,B] \geq 4 \left[\min_{p_k,\Psi_k} \sum_k p_k L(\vert \Psi_k\rangle\langle \Psi_k\vert)\right]^2 $$ जहाँ $$F_Q[\varrho,B]$$ क्वांटम फिशर जानकारी को दर्शाता है और घनत्व मैट्रिक्स को शुद्ध अवस्थाओं में विघटित किया जाता है $$ \varrho=\sum_k p_k \vert \Psi_k\rangle \langle \Psi_k\vert. $$ व्युत्पत्ति इस तथ्य का लाभ उठाती है कि क्वांटम फिशर सूचना प्रसरण गुणा चार की उत्तल छत है। उत्तल छत के बिना एक सरल असमिका का पालन होता है $$ \sigma_A^2 F_Q[\varrho,B] \geq \vert \langle i[A,B]\rangle\vert^2, $$ जो हाइजेनबर्ग अनिश्चितता संबंध से अधिक मजबूत है, क्योंकि हमारे पास क्वांटम फिशर की जानकारी है $$ F_Q[\varrho,B]\le 4 \sigma_B, $$ जबकि शुद्ध राज्यों के लिए समानता है।

चरण स्थान
क्वांटम यांत्रिकी के चरण अंतरिक्ष निर्माण में, रॉबर्टसन-श्रोडिंगर संबंध वास्तविक स्टार-स्क्वायर फ़ंक्शन पर सकारात्मकता की स्थिति से अनुसरण करता है। एक विग्नर अर्ध-प्रायिकता बंटन दिया गया है $$W(x,p)$$ Moyal उत्पाद ★ और एक समारोह f के साथ, निम्नलिखित आम तौर पर सच है: $$\langle f^* \star f \rangle =\int (f^* \star f) \, W(x,p) \, dx \, dp \ge 0 ~.$$ का चयन $$f = a + bx + cp$$, हम पहुँचते हैं $$\langle f^* \star f \rangle =\begin{bmatrix}a^* & b^* & c^* \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & \langle x \rangle & \langle p \rangle \\ \langle x \rangle & \langle x \star x \rangle & \langle x \star p \rangle \\ \langle p \rangle & \langle p \star x \rangle & \langle p \star p \rangle \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a \\ b \\ c\end{bmatrix} \ge 0 ~.$$ चूँकि यह धनात्मक स्थिति सभी a, b, और c के लिए सत्य है, यह इस प्रकार है कि मैट्रिक्स के सभी eigenvalues ​​​​गैर-ऋणात्मक हैं।

गैर-ऋणात्मक eigenvalues ​​तब निर्धारक पर एक संबंधित गैर-नकारात्मक स्थिति का संकेत देते हैं, $$\det\begin{bmatrix}1 & \langle x \rangle & \langle p \rangle \\ \langle x \rangle & \langle x \star x \rangle & \langle x \star p \rangle \\ \langle p \rangle & \langle p \star x \rangle & \langle p \star p \rangle \end{bmatrix} = \det\begin{bmatrix}1 & \langle x \rangle & \langle p \rangle \\ \langle x \rangle & \langle x^2 \rangle & \left\langle xp + \frac{i\hbar}{2} \right\rangle \\ \langle p \rangle & \left\langle xp - \frac{i\hbar}{2} \right\rangle & \langle p^2 \rangle \end{bmatrix} \ge 0~,$$ या, स्पष्ट रूप से, बीजगणितीय हेरफेर के बाद, $$\sigma_x^2 \sigma_p^2 = \left( \langle x^2 \rangle - \langle x \rangle^2 \right)\left( \langle p^2 \rangle - \langle p \rangle^2 \right)\ge \left( \langle xp \rangle - \langle x \rangle \langle p \rangle \right)^2 + \frac{\hbar^2}{4} ~.$$

उदाहरण
चूंकि रॉबर्टसन और श्रोडिंगर संबंध सामान्य ऑपरेटरों के लिए हैं, विशिष्ट अनिश्चितता संबंधों को प्राप्त करने के लिए संबंधों को किन्हीं दो अवलोकनों पर लागू किया जा सकता है। साहित्य में पाए जाने वाले कुछ सबसे सामान्य संबंध नीचे दिए गए हैं। <!--
 * स्थिति और रैखिक गति के लिए, विहित रूपांतरण संबंध $$[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar$$ ऊपर से केनार्ड असमिका का तात्पर्य है: $$\sigma_x \sigma_p \geq \frac{\hbar}{2}.$$
 * किसी वस्तु के कोणीय संवेग संचालक के दो ओर्थोगोनल घटकों के लिए: $$\sigma_{J_i} \sigma_{J_j} \geq \frac{\hbar}{2} \big|\langle J_k\rangle\big|,$$ जहां मैं, जे, कश्मीर अलग हैं, और जेi x के साथ कोणीय गति को दर्शाता हैi एक्सिस। इस संबंध का तात्पर्य है कि जब तक सभी तीन घटक एक साथ गायब नहीं हो जाते, तब तक प्रणाली के कोणीय गति के केवल एक घटक को मनमाना सटीकता के साथ परिभाषित किया जा सकता है, सामान्य रूप से बाहरी (चुंबकीय या विद्युत) क्षेत्र के समानांतर घटक। इसके अलावा, के लिए $$[J_x, J_y] = i \hbar \varepsilon_{xyz} J_z$$, एक विकल्प $$\hat{A} = J_x$$, $$\hat{B} = J_y$$, कोणीय संवेग गुणक में, ψ = |j, m⟩, कासिमिर अपरिवर्तनीय सीमा (कोणीय संवेग वर्ग, $$\langle J_x^2+ J_y^2 + J_z^2 \rangle$$) नीचे से और इस प्रकार उपयोगी बाधाओं को उत्पन्न करता है जैसे j(j + 1) ≥ m(m + 1), और इसलिए j ≥ m, दूसरों के बीच में।
 * गैर-सापेक्षवादी यांत्रिकी में, समय को एक स्वतंत्र चर के रूप में विशेषाधिकार प्राप्त है। फिर भी, 1945 में, लियोनिद मंडेलश्टम|एल. आई. मैंडेलश्टम और इगोर टैम|I. ई। टैम ने एक गैर-सापेक्षवादी समय-ऊर्जा अनिश्चितता संबंध को निम्नानुसार व्युत्पन्न किया है। एक गैर-स्थिर अवस्था में क्वांटम प्रणाली के लिए $$ और एक स्व-संलग्न ऑपरेटर द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाने वाला एक नमूदार बी $$\hat B$$, निम्नलिखित सूत्र धारण करता है: $$ \sigma_E \frac{\sigma_B}{\left| \frac{d\langle \hat B \rangle}{dt}\right |} \ge \frac{\hbar}{2},$$ जहां पE राज्य में ऊर्जा ऑपरेटर (हैमिल्टनियन) का मानक विचलन है $$, पीB बी के मानक विचलन के लिए खड़ा है। हालांकि बाईं ओर के दूसरे कारक में समय का आयाम है, यह उस समय पैरामीटर से अलग है जो श्रोडिंगर समीकरण में प्रवेश करता है। यह राज्य का जीवन भर है $$ अवलोकन योग्य बी के संबंध में: दूसरे शब्दों में, यह समय अंतराल (Δt) है जिसके बाद उम्मीद मान $$\langle\hat B\rangle$$ प्रशंसनीय रूप से बदलता है। सिद्धांत का एक अनौपचारिक, अनुमानी अर्थ निम्नलिखित है: एक राज्य जो केवल थोड़े समय के लिए मौजूद होता है, उसमें एक निश्चित ऊर्जा नहीं हो सकती। एक निश्चित ऊर्जा होने के लिए, राज्य की आवृत्ति को सटीक रूप से परिभाषित किया जाना चाहिए, और इसके लिए राज्य को कई चक्रों के लिए घूमने की आवश्यकता होती है, आवश्यक सटीकता का पारस्परिक। उदाहरण के लिए,  विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रोस्कोपी  में, उत्तेजित अवस्थाओं का जीवनकाल सीमित होता है। समय-ऊर्जा अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार, उनके पास एक निश्चित ऊर्जा नहीं होती है, और हर बार जब वे क्षय होते हैं, तो उनके द्वारा छोड़ी जाने वाली ऊर्जा थोड़ी भिन्न होती है। आउटगोइंग फोटॉन की औसत ऊर्जा राज्य की सैद्धांतिक ऊर्जा पर एक चोटी है, लेकिन वितरण की एक परिमित चौड़ाई है जिसे स्पेक्ट्रल लाइनविड्थ कहा जाता है। तेजी से सड़ने वाले राज्यों में एक विस्तृत रेखाचौड़ाई होती है, जबकि धीमी गति से सड़ने वाले राज्यों में एक संकीर्ण रेखाचौड़ाई होती है।  इसी लाइनविड्थ प्रभाव से कण भौतिकी में अस्थिर, तेजी से सड़ने वाले कणों के बाकी द्रव्यमान को निर्दिष्ट करना भी मुश्किल हो जाता है। जितनी तेजी से कण का क्षय होता है (जितना कम उसका जीवनकाल होता है), उसका द्रव्यमान उतना ही कम होता है (कण का अनुनाद (कण भौतिकी) जितना बड़ा होता है)।
 * एक सुपरकंडक्टर में इलेक्ट्रॉनों की संख्या और इसके गिन्ज़बर्ग-लैंडौ सिद्धांत के चरण कारक के लिए। गिंज़बर्ग-लैंडौ ऑर्डर पैरामीटर $$ \Delta N \, \Delta \varphi \geq 1. $$

एक प्रति उदाहरण
मान लीजिए कि हम एक रिंग में एक क्वांटम कण पर विचार करते हैं, जहां वेव फंक्शन एक कोणीय चर पर निर्भर करता है $$\theta$$, जिसे हम अंतराल में ले सकते हैं $$[0,2\pi]$$. स्थिति और संवेग ऑपरेटरों को परिभाषित करें $$\hat{A}$$ और $$\hat{B}$$ द्वारा $$\hat{A}\psi(\theta)=\theta\psi(\theta),\quad \theta\in [0,2\pi],$$ और $$\hat{B}\psi=-i\hbar\frac{d\psi}{d\theta},$$ जहां हम आवधिक सीमा शर्तों को लागू करते हैं $$\hat{B}$$. की परिभाषा $$\hat{A}$$ करने की हमारी पसंद पर निर्भर करता है $$\theta$$ 0 से रेंज $$2\pi$$. ये ऑपरेटर स्थिति और संवेग ऑपरेटरों के लिए सामान्य रूपान्तरण संबंधों को संतुष्ट करते हैं, $$[\hat{A},\hat{B}]=i\hbar$$. अब चलो $$\psi$$ के स्वदेशी में से कोई भी हो $$\hat{B}$$द्वारा दिया गया है $$\psi(\theta)=e^{2\pi in\theta}$$. लाइन पर संवेग संचालक के आइजेनस्टेट्स के विपरीत, ये राज्य सामान्य हैं। संचालिका भी $$\hat{A}$$ बाध्य है, क्योंकि $$\theta$$ एक सीमित अंतराल पर होता है। ऐसे में राज्य में $$\psi$$, की अनिश्चितता $$B$$ शून्य है और की अनिश्चितता है $$A$$ परिमित है, इसलिए $$\sigma_A\sigma_B=0.$$ यद्यपि यह परिणाम रॉबर्टसन अनिश्चितता सिद्धांत का उल्लंघन करता प्रतीत होता है, जब हम ध्यान देते हैं तो विरोधाभास हल हो जाता है $$\psi$$ ऑपरेटर के अधिकार क्षेत्र में नहीं है $$\hat{B}\hat{A}$$, से गुणा करके $$\theta$$ पर लगाए गए आवधिक सीमा शर्तों को बाधित करता है $$\hat{B}$$. इस प्रकार, रॉबर्टसन संबंध की व्युत्पत्ति, जिसकी आवश्यकता है $$\hat{A}\hat{B}\psi$$ और $$\hat{B}\hat{A}\psi$$ परिभाषित किया जाना है, लागू नहीं होता। (ये उन ऑपरेटरों का उदाहरण भी प्रस्तुत करते हैं जो कैनोनिकल कम्यूटेशन संबंधों को संतुष्ट करते हैं, लेकिन कैननिकल कम्यूटेशन रिलेशन # द वेइल रिलेशंस को नहीं। )

सामान्य स्थिति और गति ऑपरेटरों के लिए $$\hat{X}$$ और $$\hat{P}$$ वास्तविक रेखा पर, ऐसा कोई प्रति उदाहरण नहीं हो सकता। जब तक कि $$\sigma_x$$ और $$\sigma_p$$ राज्य में परिभाषित किया गया है $$\psi$$, हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत धारण करता है, भले ही $$\psi$$ के क्षेत्र में नहीं आता है $$\hat{X}\hat{P}$$ या का $$\hat{P}\hat{X}$$.

उदाहरण
(संदर्भ

क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर स्टेशनरी स्टेट्स
एक आयामी क्वांटम हार्मोनिक ऑसीलेटर पर विचार करें। सृजन और विनाश ऑपरेटरों के संदर्भ में स्थिति और गति ऑपरेटरों को व्यक्त करना संभव है: $$\hat x = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(a+a^\dagger)$$ $$\hat p = i\sqrt{\frac{m \omega\hbar}{2}}(a^\dagger-a).$$ ऊर्जा eigenstates पर निर्माण और विनाश ऑपरेटरों के लिए मानक नियमों का उपयोग करना, $$a^{\dagger}|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle$$ $$a|n\rangle=\sqrt{n}|n-1\rangle, $$ भिन्नताओं की सीधे गणना की जा सकती है, $$\sigma_x^2 = \frac{\hbar}{m\omega} \left( n+\frac{1}{2}\right)$$ $$\sigma_p^2 = \hbar m\omega \left( n+\frac{1}{2}\right)\, .$$ इन मानक विचलनों का उत्पाद तब है $$\sigma_x \sigma_p = \hbar \left(n+\frac{1}{2}\right) \ge \frac{\hbar}{2}.~$$ विशेष रूप से, उपरोक्त केनार्ड बाध्य जमीनी स्थिति के लिए संतृप्त है $n=0$, जिसके लिए प्रायिकता घनत्व केवल सामान्य वितरण है।

गॉसियन प्रारंभिक स्थिति के साथ क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर
विशेषता कोणीय आवृत्ति ω के क्वांटम हार्मोनिक ऑसीलेटर में, एक राज्य रखें जो कुछ विस्थापन x द्वारा क्षमता के नीचे से ऑफसेट हो0 जैसा $$\psi(x)=\left(\frac{m \Omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \exp{\left( -\frac{m \Omega (x-x_0)^2}{2\hbar}\right)},$$ जहां Ω प्रारंभिक अवस्था की चौड़ाई का वर्णन करता है लेकिन ω के समान नहीं होना चाहिए। प्रचारक पर एकीकरण के माध्यम से # मूल उदाहरण: मुक्त कण और हार्मोनिक ऑसीलेटर के प्रचारक, हम इसके लिए हल कर सकते हैं full time-निर्भर समाधान। कई रद्दीकरणों के बाद, प्रायिकता घनत्व घटकर $$|\Psi(x,t)|^2 \sim \mathcal{N}\left( x_0 \cos{(\omega t)}, \frac{\hbar}{2 m \Omega} \left( \cos^2(\omega t) + \frac{\Omega^2}{\omega^2} \sin^2{(\omega t)} \right)\right)$$ $$|\Phi(p,t)|^2 \sim \mathcal{N}\left( -m x_0 \omega \sin(\omega t), \frac{\hbar m \Omega}{2} \left( \cos^2{(\omega t)} + \frac{\omega^2}{\Omega^2} \sin^2{(\omega t)} \right)\right),$$ जहाँ हमने संकेतन का प्रयोग किया है $$\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$$ माध्य μ और विचरण σ के सामान्य वितरण को निरूपित करने के लिए 2। उपरोक्त प्रसरणों को कॉपी करके और त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची को लागू करके, हम मानक विचलनों के गुणनफल को इस प्रकार लिख सकते हैं $$\begin{align} \sigma_x \sigma_p&=\frac{\hbar}{2}\sqrt{\left( \cos^2{(\omega t)} + \frac{\Omega^2}{\omega^2} \sin^2{(\omega t)} \right)\left( \cos^2{(\omega t)} + \frac{\omega^2}{\Omega^2} \sin^2{(\omega t)} \right)} \\ &= \frac{\hbar}{4}\sqrt{3+\frac{1}{2}\left(\frac{\Omega^2}{\omega^2}+\frac{\omega^2}{\Omega^2}\right)-\left(\frac{1}{2}\left(\frac{\Omega^2}{\omega^2}+\frac{\omega^2}{\Omega^2}\right)-1\right) \cos{(4 \omega t)}} \end{align}$$ सम्बन्धों से $$\frac{\Omega^2}{\omega^2}+\frac{\omega^2}{\Omega^2} \ge 2, \quad |\cos(4 \omega t)| \le 1,$$ हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकते हैं: (सबसे सही समानता केवल तभी होती है जब Ω = ω)। $$\sigma_x \sigma_p \ge \frac{\hbar}{4}\sqrt{3+\frac{1}{2} \left(\frac{\Omega^2}{\omega^2}+\frac{\omega^2}{\Omega^2}\right)-\left(\frac{1}{2} \left(\frac{\Omega^2}{\omega^2}+\frac{\omega^2}{\Omega^2}\right)-1\right)} = \frac{\hbar}{2}. $$

सुसंगत राज्य
एक सुसंगत राज्य सर्वनाश संचालक का एक सही स्वदेशी है, $$\hat{a}|\alpha\rangle=\alpha|\alpha\rangle,$$ जिसे फॉक राज्यों के रूप में दर्शाया जा सकता है $$|\alpha\rangle =e^{-{|\alpha|^2\over2}} \sum_{n=0}^\infty {\alpha^n \over \sqrt{n!}}|n\rangle$$ तस्वीर में जहां सुसंगत अवस्था एक क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर में एक विशाल कण है, स्थिति और संवेग संचालकों को उपरोक्त समान सूत्रों में सर्वनाश संचालकों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है और प्रसरण की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है, $$\sigma_x^2 = \frac{\hbar}{2 m \omega},$$ $$\sigma_p^2 = \frac{\hbar m \omega}{2}.$$ इसलिए, प्रत्येक सुसंगत राज्य केनार्ड बाउंड को संतृप्त करता है $$\sigma_x \sigma_p = \sqrt{\frac{\hbar}{2 m \omega}} \, \sqrt{\frac{\hbar m \omega}{2}} = \frac{\hbar}{2}. $$ स्थिति और गति के साथ प्रत्येक एक राशि का योगदान देता है $\sqrt{\hbar/2}$ संतुलित तरीके से। इसके अलावा, प्रत्येक निचोड़ा हुआ सुसंगत राज्य भी केनार्ड बाउंड को संतृप्त करता है, हालांकि स्थिति और गति के व्यक्तिगत योगदान को सामान्य रूप से संतुलित करने की आवश्यकता नहीं है।

एक बॉक्स में कण
लंबाई के एक आयामी बॉक्स में एक कण पर विचार करें $$L$$. एक बॉक्स में कण#Wavefunctions हैं $$\psi_n(x,t) =\begin{cases} A \sin(k_n x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_n t}, & 0 < x < L,\\ 0, & \text{otherwise,} \end{cases}$$ और $$\varphi_n(p,t)=\sqrt{\frac{\pi L}{\hbar}}\,\,\frac{n\left(1-(-1)^ne^{-ikL} \right) e^{-i \omega_n t}}{\pi ^2 n^2-k^2 L^2},$$ कहाँ $\omega_n=\frac{\pi^2 \hbar n^2}{8 L^2 m}$ और हमने डी ब्रोगली संबंध का उपयोग किया है $$p=\hbar k$$. की विषमताएँ $$x$$ और $$p$$ स्पष्ट रूप से गणना की जा सकती है: $$\sigma_x^2=\frac{L^2}{12}\left(1-\frac{6}{n^2\pi^2}\right)$$ $$\sigma_p^2=\left(\frac{\hbar n\pi}{L}\right)^2. $$ मानक विचलन का उत्पाद इसलिए है $$\sigma_x \sigma_p = \frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{n^2\pi^2}{3}-2}.$$ सभी के लिए $$n=1, \, 2, \, 3,\, \ldots$$, मात्रा $\sqrt{\frac{n^2\pi^2}{3}-2}$ 1 से बड़ा है, इसलिए अनिश्चितता के सिद्धांत का कभी उल्लंघन नहीं होता है। संख्यात्मक संक्षिप्तता के लिए, सबसे छोटा मान तब होता है जब $$n = 1$$, किस स्थिति में $$\sigma_x \sigma_p = \frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{\pi^2}{3}-2} \approx 0.568 \hbar > \frac{\hbar}{2}.$$

निरंतर क्षण
मान लें कि एक कण में प्रारंभ में एक गति अंतरिक्ष तरंग फ़ंक्शन होता है जिसे सामान्य वितरण द्वारा कुछ स्थिर गति पी के आसपास वर्णित किया जाता है0 के अनुसार $$\varphi(p) = \left(\frac{x_0}{\hbar \sqrt{\pi}} \right)^{1/2} \exp\left(\frac{-x_0^2 (p-p_0)^2}{2\hbar^2}\right),$$ जहां हमने एक संदर्भ पैमाना पेश किया है $x_0=\sqrt{\hbar/m\omega_0}$, साथ $$\omega_0>0$$ वितरण की चौड़ाई का वर्णन-cf. गैर-विमीयकरण। यदि राज्य को मुक्त स्थान में विकसित होने की अनुमति दी जाती है, तो समय-निर्भर गति और स्थिति अंतरिक्ष तरंग कार्य हैं $$\Phi(p,t) = \left(\frac{x_0}{\hbar \sqrt{\pi}} \right)^{1/2} \exp\left(\frac{-x_0^2 (p-p_0)^2}{2\hbar^2}-\frac{ip^2 t}{2m\hbar}\right),$$ $$\Psi(x,t) = \left(\frac{1}{x_0 \sqrt{\pi}} \right)^{1/2} \frac{e^{-x_0^2 p_0^2 /2\hbar^2}}{\sqrt{1+i\omega_0 t}} \, \exp\left(-\frac{(x-ix_0^2 p_0/\hbar)^2}{2x_0^2 (1+i\omega_0 t)}\right).$$ तब से $$ \langle p(t) \rangle = p_0$$ और $$\sigma_p(t) = \hbar /(\sqrt{2}x_0)$$, इसे मनमाने ढंग से उच्च परिशुद्धता पर निरंतर गति के साथ चलने वाले कण के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। दूसरी ओर, स्थिति का मानक विचलन है $$\sigma_x = \frac{x_0}{\sqrt{2}} \sqrt{1+\omega_0^2 t^2}$$ जैसे कि अनिश्चितता उत्पाद केवल समय के साथ ही बढ़ सकता है $$\sigma_x(t) \sigma_p(t) = \frac{\hbar}{2} \sqrt{1+\omega_0^2 t^2}$$

व्यवस्थित और सांख्यिकीय त्रुटियाँ
ऊपर दी गई असमानताएँ मानक विचलन द्वारा परिमाणित वेधशालाओं की सांख्यिकीय अशुद्धि पर ध्यान केंद्रित करती हैं $$\sigma$$. हाइजेनबर्ग का मूल संस्करण, हालांकि, व्यवस्थित त्रुटि से निपट रहा था, मापने वाले उपकरण द्वारा उत्पादित क्वांटम सिस्टम की गड़बड़ी, यानी, एक पर्यवेक्षक प्रभाव (भौतिकी)।

अगर हम जाने दें $$\varepsilon_A$$ एक नमूदार ए और के माप की त्रुटि (यानी, सटीकता) का प्रतिनिधित्व करते हैं $$\eta_B$$ ए के पूर्व माप द्वारा संयुग्म चर बी के बाद के माप पर उत्पन्न अशांति, फिर ओजावा द्वारा प्रस्तावित असमानता - दोनों व्यवस्थित और सांख्यिकीय त्रुटियों को शामिल करते हुए - धारण करता है:

हाइजेनबर्ग का अनिश्चितता सिद्धांत, जैसा कि मूल रूप से 1927 के सूत्रीकरण में वर्णित है, व्यवस्थित त्रुटि के संबंध में ओजावा असमानता की केवल पहली अवधि का उल्लेख करता है। अनुक्रमिक मापों (पहले A, फिर B) की त्रुटि/अशांति प्रभाव का वर्णन करने के लिए उपरोक्त संकेतन का उपयोग करके इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है

हाइजेनबर्ग संबंध की औपचारिक व्युत्पत्ति संभव है लेकिन सहज ज्ञान से दूर है। यह हाइजेनबर्ग द्वारा प्रस्तावित नहीं किया गया था, लेकिन केवल हाल के वर्षों में गणितीय रूप से सुसंगत तरीके से तैयार किया गया था। साथ ही, इस बात पर जोर दिया जाना चाहिए कि हाइजेनबर्ग फॉर्मूलेशन आंतरिक सांख्यिकीय त्रुटियों को ध्यान में नहीं रख रहा है $$\sigma_A$$ और $$\sigma_B$$. प्रायोगिक साक्ष्य बढ़ रहे हैं  कि कुल क्वांटम अनिश्चितता को केवल हाइजेनबर्ग शब्द द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है, लेकिन इसके लिए ओजावा असमानता के तीनों पदों की उपस्थिति की आवश्यकता होती है।

इसी औपचारिकता का उपयोग करते हुए, दूसरी तरह की भौतिक स्थिति को पेश करना भी संभव है, जो अक्सर पिछले एक के साथ भ्रमित होती है, अर्थात् एक साथ माप (एक ही समय में ए और बी) का मामला:

ए और बी पर एक साथ दो माप जरूरी हैं अनशार्प या कमजोर माप।

एक अनिश्चितता संबंध प्राप्त करना भी संभव है, जैसा कि ओजावा का है, सांख्यिकीय और व्यवस्थित त्रुटि घटकों दोनों को जोड़ता है, लेकिन एक रूप को हाइजेनबर्ग मूल असमानता के बहुत करीब रखता है। रॉबर्टसन को जोड़कर

और ओजावा संबंध हम प्राप्त करते हैं $$\varepsilon_A \eta_B + \varepsilon_A \, \sigma_B + \sigma_A \, \eta_B + \sigma_A \sigma_B \geq \left|\Bigl\langle \bigl[\hat{A},\hat{B}\bigr] \Bigr\rangle \right| .$$ चार शब्दों को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $$(\varepsilon_A + \sigma_A) \, (\eta_B + \sigma_B) \, \geq \, \left|\Bigl\langle\bigl[\hat{A},\hat{B} \bigr] \Bigr\rangle \right| .$$ परिभाषित करना: $$\bar \varepsilon_A \, \equiv \, (\varepsilon_A + \sigma_A)$$ चर ए और के मापा मूल्यों में अशुद्धि के रूप में $$\bar \eta_B \, \equiv \, (\eta_B + \sigma_B)$$ संयुग्म चर बी में परिणामी उतार-चढ़ाव के रूप में, फुजिकावा हाइजेनबर्ग मूल के समान एक अनिश्चितता संबंध स्थापित किया, लेकिन व्यवस्थित और सांख्यिकीय दोनों त्रुटियों के लिए मान्य:

क्वांटम एंट्रोपिक अनिश्चितता सिद्धांत
कई वितरणों के लिए, मानक विचलन संरचना को मापने का विशेष रूप से प्राकृतिक तरीका नहीं है। उदाहरण के लिए, अनिश्चितता संबंध जिसमें एक प्रेक्षणीय कोण एक कोण है, एक अवधि से बड़े उतार-चढ़ाव के लिए बहुत कम भौतिक अर्थ रखता है।  अन्य उदाहरणों में अत्यधिक बिमोडल वितरण, या अपसारी विचरण के साथ असमान वितरण शामिल हैं।

एक समाधान जो इन मुद्दों पर काबू पाता है, वह भिन्नता के उत्पाद के बजाय एंट्रोपिक अनिश्चितता पर आधारित अनिश्चितता है। 1957 में क्वांटम यांत्रिकी की कई-दुनिया की व्याख्या तैयार करते समय, ह्यूग एवरेट III ने एंट्रोपिक निश्चितता के आधार पर अनिश्चितता सिद्धांत के एक मजबूत विस्तार का अनुमान लगाया। यह अनुमान, हिर्शमैन द्वारा भी अध्ययन किया गया और 1975 में बेकनर द्वारा सिद्ध किया गया और इवो बिआलिनिकी-बिरुला और जेरज़ी माइसिल्स्की द्वारा यह है कि, दो सामान्यीकृत, आयाम रहित फूरियर रूपांतरण जोड़े के लिए $f(a)$ और $g(b)$ कहाँ
 * $$f(a) = \int_{-\infty}^\infty g(b)\ e^{2\pi i a b}\,db$$    और      $$ \,\,\,g(b) = \int_{-\infty}^\infty f(a)\ e^{- 2\pi i a b}\,da$$

शैनन सूचना एन्ट्रापी $$H_a = \int_{-\infty}^\infty f(a) \log(f(a))\,da,$$ और $$H_b = \int_{-\infty}^\infty g(b) \log(g(b))\,db$$ निम्नलिखित प्रतिबंध के अधीन हैं,

जहाँ लघुगणक किसी भी आधार पर हो सकते हैं।

प्रायिकता बंटन फलन स्थिति तरंग फलन से संबद्ध है $ψ(x)$ और गति तरंग समारोह $φ(x)$ में क्रमशः व्युत्क्रम लंबाई और संवेग के आयाम हैं, लेकिन एन्ट्रापी को इसके द्वारा आयाम रहित किया जा सकता है $$H_x = - \int |\psi(x)|^2 \ln \left(x_0 \, |\psi(x)|^2 \right) dx =-\left\langle \ln \left(x_0 \, \left|\psi(x)\right|^2 \right) \right\rangle$$ $$H_p = - \int |\varphi(p)|^2 \ln (p_0\,|\varphi(p)|^2) \,dp =-\left\langle \ln (p_0\left|\varphi(p)\right|^2 ) \right\rangle$$ कहाँ $x_{0}$ और $p_{0}$ क्रमशः कुछ मनमाने ढंग से चुनी गई लंबाई और संवेग हैं, जो लघुगणक के तर्कों को आयाम रहित करते हैं। ध्यान दें कि एंट्रॉपी इन चुने हुए पैरामीटर के कार्य होंगे। वेवफंक्शन के कारण # पोजीशन वेव फंक्शन के बीच वेव फंक्शन के बीच संबंध $ψ(x)$ और गति तरंग $φ(p)$, उपरोक्त बाधा को संबंधित एन्ट्रापी के रूप में लिखा जा सकता है

कहाँ $$ प्लांक नियतांक है।

किसी की पसंद के आधार पर $x_{0} p_{0}$ उत्पाद, अभिव्यक्ति को कई तरह से लिखा जा सकता है। अगर $x_{0} p_{0}$ को चुना गया है $$, तब $$H_x + H_p \ge \log \left(\frac{e}{2}\right)$$ अगर, इसके बजाय, $x_{0} p_{0}$ को चुना गया है $$, तब $$H_x + H_p \ge \log (e\,\pi)$$ अगर $x_{0}$ और $p_{0}$ इकाइयों की जो भी प्रणाली उपयोग की जा रही है, उसमें एकता के लिए चुना जाता है $$H_x + H_p \ge \log \left(\frac{e\,h }{2}\right)$$ कहाँ $$ की व्याख्या एक आयाम रहित संख्या के रूप में की जाती है जो इकाइयों की चुनी हुई प्रणाली में प्लैंक स्थिरांक के मान के बराबर होती है। ध्यान दें कि इन असमानताओं को मल्टीमोड क्वांटम राज्यों, या एक से अधिक स्थानिक आयामों में वेवफंक्शन तक बढ़ाया जा सकता है। क्वांटम एंट्रोपिक अनिश्चितता सिद्धांत हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत की तुलना में अधिक प्रतिबंधात्मक है। व्युत्क्रम लघुगणकीय सोबोलेव असमानताओं से $$H_x \le \frac{1}{2} \log ( 2e\pi \sigma_x^2 / x_0^2 )~,$$ $$H_p \le \frac{1}{2} \log ( 2e\pi \sigma_p^2 /p_0^2 )~,$$ (समतुल्य रूप से, इस तथ्य से कि सामान्य वितरण किसी दिए गए विचरण के साथ ऐसे सभी की एन्ट्रापी को अधिकतम करता है), यह आसानी से अनुसरण करता है कि यह एंट्रोपिक अनिश्चितता सिद्धांत मानक विचलन पर आधारित एक से अधिक मजबूत है, क्योंकि $$\sigma_x \sigma_p \ge \frac{\hbar}{2} \exp\left(H_x + H_p - \log \left(\frac{e\,h}{2\,x_0\,p_0}\right)\right) \ge \frac{\hbar}{2}~.$$ दूसरे शब्दों में, हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत, क्वांटम एंट्रोपिक अनिश्चितता सिद्धांत का परिणाम है, लेकिन इसके विपरीत नहीं। इन असमानताओं पर कुछ टिप्पणी। सबसे पहले, आधार ई का चुनाव भौतिकी में लोकप्रिय परंपरा का विषय है। लघुगणक वैकल्पिक रूप से किसी भी आधार में हो सकता है, बशर्ते कि यह असमानता के दोनों पक्षों पर संगत हो। दूसरा, याद रखें कि शैनन एंट्रॉपी का उपयोग किया गया है, क्वांटम वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी नहीं। अंत में, सामान्य वितरण असमानता को संतृप्त करता है, और यह इस संपत्ति के साथ एकमात्र वितरण है, क्योंकि यह निश्चित विचरण वाले लोगों के बीच अधिकतम एन्ट्रापी संभाव्यता वितरण है (cf. डिफरेंशियल एंट्रोपी#मैक्सिमाइजेशन इन नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन फॉर प्रूफ)।

एक माप उपकरण के पास बिन में अपने संभावित आउटपुट के विवेचन द्वारा निर्धारित परिमित रिज़ॉल्यूशन होगा, जिसमें बोर्न नियम द्वारा दिए गए डिब्बे में से किसी एक के भीतर झूठ बोलने की संभावना होगी। हम सबसे आम प्रायोगिक स्थिति पर विचार करेंगे, जिसमें डिब्बे एक समान आकार के होते हैं। चलो δx स्थानिक संकल्प का एक उपाय हो। हम ज़ीरोथ बिन को मूल के पास केंद्रित होने के लिए लेते हैं, संभवतः कुछ छोटे स्थिर ऑफसेट सी के साथ। चौड़ाई δx के jवें अंतराल के भीतर पड़ने की प्रायिकता है $$\operatorname P[x_j]= \int_{(j-1/2)\delta x-c}^{(j+1/2)\delta x-c}| \psi(x)|^2 \, dx$$ इस विवेक के लिए, हम किसी दिए गए माप उपकरण के लिए तरंग फ़ंक्शन के शैनन एंट्रॉपी को परिभाषित कर सकते हैं $$H_x=-\sum_{j=-\infty}^\infty \operatorname P[x_j] \ln \operatorname P[x_j].$$ उपरोक्त परिभाषा के तहत, एंट्रोपिक अनिश्चितता संबंध है $$H_x + H_p > \ln\left(\frac{e}{2}\right)-\ln\left(\frac{\delta x \delta p}{h} \right).$$ यहाँ हम ध्यान दें कि $δx δp/h$ विभाजन फ़ंक्शन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) की गणना में उपयोग किया जाने वाला एक विशिष्ट अपरिमेय चरण स्थान आयतन है। असमानता भी सख्त है और संतृप्त नहीं है। इस सीमा को सुधारने के प्रयास अनुसंधान का एक सक्रिय क्षेत्र है।

तीन कोणीय संवेग घटकों के साथ अनिश्चितता का संबंध
स्पिन के एक कण के लिए-$$j$$ निम्नलिखित अनिश्चितता संबंध रखता है $$ \sigma_{J_x}^2+\sigma_{J_y}^2+\sigma_{J_z}^2\ge j, $$ कहाँ $$J_l$$ कोणीय संवेग घटक हैं। सम्बन्ध से प्राप्त किया जा सकता है $$ \langle J_x^2+J_y^2+J_z^2\rangle = j(j+1), $$ और $$ \langle J_x\rangle^2+\langle J_y\rangle^2+\langle J_z\rangle^2\le j. $$ सम्बन्धों को इस प्रकार प्रगाढ़ किया जा सकता है $$ \sigma_{J_x}^2+\sigma_{J_y}^2+F_Q[\varrho,J_z]/4\ge j, $$ कहाँ $$F_Q[\varrho,J_z]$$ क्वांटम फिशर सूचना है।

हार्मोनिक विश्लेषण
हार्मोनिक विश्लेषण के संदर्भ में, गणित की एक शाखा, अनिश्चितता सिद्धांत का अर्थ है कि एक ही समय में एक समारोह के मूल्य और उसके फूरियर रूपांतरण को स्थानीयकृत नहीं किया जा सकता है। बुद्धि के लिए, निम्नलिखित असमानता रखती है, $$\left(\int_{-\infty}^\infty x^2 |f(x)|^2\,dx\right)\left(\int_{-\infty}^\infty \xi^2 |\hat{f}(\xi)|^2\,d\xi\right)\ge \frac{\|f\|_2^4}{16\pi^2}.$$ आगे की गणितीय अनिश्चितता असमानताएं, उपरोक्त एंट्रोपिक अनिश्चितता सहित, एक फ़ंक्शन के बीच होती हैं $ψ$ और इसका फूरियर रूपांतरण $ƒ̂$: $$H_x+H_\xi \ge \log(e/2)$$

सिग्नल प्रोसेसिंग
संकेत आगे बढ़ाना के संदर्भ में, और विशेष रूप से समय-आवृत्ति विश्लेषण में, अनिश्चितता के सिद्धांतों को डेनिस गैबोर के बाद, या कभी-कभी 'हाइजेनबर्ग-गेबोर सीमा' के रूप में गैबर सीमा के रूप में संदर्भित किया जाता है। मूल परिणाम, जो बेनेडिक्स के प्रमेय से नीचे आता है, यह है कि एक फ़ंक्शन समय सीमित और बैंड सीमित दोनों नहीं हो सकता है (एक फ़ंक्शन और इसके फूरियर रूपांतरण दोनों में सीमित डोमेन नहीं हो सकता है) - देखें Bandlimiting#Bandlimited बनाम timelimited। अधिक सटीक रूप से, समय-बैंडविड्थ या अवधि-बैंडविड्थ उत्पाद संतुष्ट करता है $$\sigma_{\text{energy},t} \cdot \sigma_{\text{energy},f} \ge \frac{1}{4\pi} \approx 0.08 \text{ cycles},$$ कहाँ $$\sigma_{\text{energy},t}$$ और $$\sigma_{\text{energy},f}$$ क्रमशः समय और आवृत्ति ऊर्जा या शक्ति (अर्थात चुकता) प्रतिनिधित्व के मानक विचलन हैं। गाऊसी समारोह -शेप्ड पल्स (गेबर वेवलेट) के लिए न्यूनतम प्राप्त किया जाता है [अन-स्क्वेर्ड गॉसियन (यानी सिग्नल आयाम) और इसके अन-स्क्वेर्ड फूरियर ट्रांसफॉर्म परिमाण के लिए $$\sigma_t\sigma_f=1/2\pi$$; चुकता करना प्रत्येक को कम करता है $$\sigma$$ एक कारक द्वारा $$\sqrt 2$$।] एक अन्य सामान्य माप समय और आवृत्ति की पूर्ण चौड़ाई आधी अधिकतम (शक्ति/ऊर्जा) का उत्पाद है, जो गॉसियन के बराबर है $$2 \ln 2 / \pi \approx 0.44$$ (बैंडविड्थ-सीमित पल्स देखें)।

वैकल्पिक रूप से कहा गया है, एक साथ एक संकेत को तेजी से स्थानीयकृत नहीं किया जा सकता है (फ़ंक्शन $ψ$) दोनों समय डोमेन और आवृत्ति डोमेन में ($ƒ̂$, इसका फूरियर रूपांतरण)।

जब फ़िल्टर (सिग्नल प्रोसेसिंग) पर लागू किया जाता है, तो परिणाम का अर्थ है कि एक ही समय में उच्च अस्थायी रिज़ॉल्यूशन और फ़्रीक्वेंसी रिज़ॉल्यूशन प्राप्त नहीं किया जा सकता है; एक ठोस उदाहरण हैं शॉर्ट-टाइम फूरियर ट्रांसफॉर्म # रेजोल्यूशन इश्यूज। शॉर्ट-टाइम फूरियर ट्रांसफॉर्म के रिज़ॉल्यूशन इश्यू- अगर कोई एक विस्तृत विंडो का उपयोग करता है, तो वह टेम्पोरल रिज़ॉल्यूशन की कीमत पर अच्छा फ़्रीक्वेंसी रिज़ॉल्यूशन प्राप्त करता है, जबकि एक संकीर्ण विंडो के विपरीत होता है अदला - बदली।

वैकल्पिक प्रमेय अधिक सटीक मात्रात्मक परिणाम देते हैं, और, समय-आवृत्ति विश्लेषण में, (1-आयामी) समय और आवृत्ति डोमेन की अलग-अलग व्याख्या करने के बजाय, इसके बजाय (2) में एक फ़ंक्शन के समर्थन पर एक निचली सीमा के रूप में सीमा की व्याख्या की जाती है। -आयामी) समय-आवृत्ति विमान। व्यवहार में, गैबर सीमा एक साथ समय-आवृत्ति संकल्प को सीमित करती है जिसे कोई हस्तक्षेप के बिना प्राप्त कर सकता है; उच्च रिज़ॉल्यूशन प्राप्त करना संभव है, लेकिन सिग्नल के विभिन्न घटकों की कीमत पर एक दूसरे के साथ हस्तक्षेप करना।

नतीजतन, संकेतों का विश्लेषण करने के लिए जहां क्षणिक (ध्वनिक) महत्वपूर्ण हैं, अक्सर फूरियर के बजाय तरंगिका रूपांतरण  का उपयोग किया जाता है।

असतत फूरियर रूपांतरण
होने देना $$\left \{ \mathbf{ x_n } \right \} := x_0, x_1, \ldots, x_{N-1}$$ एन जटिल संख्याओं का एक क्रम हो और $$\left \{ \mathbf{X_k} \right \} := X_0, X_1, \ldots, X_{N-1},$$ इसका असतत फूरियर रूपांतरण।

द्वारा निरूपित करें $$\|x\|_0$$ समय क्रम में गैर-शून्य तत्वों की संख्या $$x_0,x_1,\ldots,x_{N-1}$$ और तक $$\|X\|_0$$ आवृत्ति अनुक्रम में गैर-शून्य तत्वों की संख्या $$X_0,X_1,\ldots,X_{N-1}$$. तब, $$\|x\|_0 \cdot \|X\|_0 \ge N.$$ यह असमानता असमानता है (गणित) # तीव्र असमानताएँ, समानता के साथ जब x या X एक डायराक द्रव्यमान होता है, या अधिक आम तौर पर जब x एक डिराक कंघी का एक शून्येतर गुणक होता है जो पूर्णांक मॉड्यूलो N के एक उपसमूह पर समर्थित होता है (जिस स्थिति में X एक पूरक उपसमूह पर समर्थित एक डायराक कंघी भी है, और इसके विपरीत)।

अधिक आम तौर पर, यदि T और W पूर्णांक मॉड्यूलो N के उपसमुच्चय हैं, मान लीजिए $$L_T,R_W : \ell^2(\mathbb Z/N\mathbb N)\to\ell^2(\mathbb Z/N\mathbb N)$$ क्रमशः समय-सीमित ऑपरेटर और बैंड-सीमित ऑपरेटर को निरूपित करें। तब $$\|L_TR_W\|^2 \le \frac{|T||W|}{|G|} $$ जहां मानक हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर ऑपरेटरों के ऑपरेटर मानदंड हैं $$\ell^2(\mathbb Z/N\mathbb Z)$$ पूर्णांक मॉड्यूलो एन पर कार्यों की संख्या। इस असमानता के संकेत पुनर्निर्माण के निहितार्थ हैं। जब N एक अभाज्य संख्या है, तो एक मजबूत असमानता धारण करती है: $$\|x\|_0 + \|X\|_0 \ge N + 1.$$ टेरेंस ताओ द्वारा खोजी गई यह असमानता भी तीखी है।

बेनेडिक्स प्रमेय
अमरीन-बर्थियर और बेनेडिक्स की प्रमेय सहज रूप से कहते हैं कि बिंदुओं का समूह जहां $ψ$ गैर-शून्य है और बिंदुओं का सेट जहां $ƒ̂$ शून्य नहीं है दोनों छोटे नहीं हो सकते।

विशेष रूप से, किसी फ़ंक्शन के लिए यह असंभव है $h$ में $L^{2}(R)$ और इसका फूरियर रूपांतरण $ƒ̂$ दोनों परिमित Lebesgue माप के सेट पर एक फ़ंक्शन का समर्थन करते हैं। एक अधिक मात्रात्मक संस्करण है $$\|f\|_{L^2(\mathbf{R}^d)}\leq Ce^{C|S||\Sigma|} \bigl(\|f\|_{L^2(S^c)} + \| \hat{f} \|_{L^2(\Sigma^c)} \bigr) ~.$$ एक उम्मीद करता है कि कारक $Ce^{C|S||Σ|}$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है $Ce^{C(|S||Σ|)^{1/d}}|undefined$, जिसे केवल तभी जाना जाता है $h$ या $ħ$ उत्तल है।

हार्डी का अनिश्चितता सिद्धांत
गणितज्ञ जी एच हार्डी ने निम्नलिखित अनिश्चितता सिद्धांत तैयार किया: के लिए संभव नहीं है $h$ और $ƒ̂$ दोनों में बहुत तेजी से कमी आ रही है। विशेष रूप से, अगर $f$ में $$L^2(\mathbb{R})$$ इस प्रकार कि $$|f(x)|\leq C(1+|x|)^Ne^{-a\pi x^2}$$ और $$|\hat{f}(\xi)|\leq C(1+|\xi|)^Ne^{-b\pi \xi^2}$$ ($$C>0,N$$ पूर्णांक),

तो अगर $ab > 1, f = 0$, जबकि अगर $ab = 1$, तो एक बहुपद है $f$ डिग्री $≤ N$ ऐसा है कि $$f(x)=P(x)e^{-a\pi x^2}. $$ इसे बाद में इस प्रकार सुधारा गया: यदि $$f \in L^2(\mathbb{R}^d)$$ इस प्रकार कि

$$\int_{\mathbb{R}^d}\int_{\mathbb{R}^d}|f(x)||\hat{f}(\xi)|\frac{e^{\pi|\langle x,\xi\rangle|}}{(1+|x|+|\xi|)^N} \, dx \, d\xi < +\infty ~,$$ तब $$f(x)=P(x)e^{-\pi\langle Ax,x\rangle} ~,$$ कहाँ $f$ डिग्री का बहुपद है $(N − d)/2$ और $f$ एक वास्तविक है $d × d$ सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स।

यह परिणाम बेर्लिंग के पूर्ण कार्यों में बिना प्रमाण के बताया गया था और होर्मेंडर में सिद्ध किया गया था (मामला $$d=1,N=0$$) और बोनामी, डेमेंज और जैमिंग सामान्य मामले के लिए। ध्यान दें कि हॉरमैंडर-बेर्लिंग के संस्करण का तात्पर्य मामले से है $ab > 1$ हार्डी के प्रमेय में जबकि बोनामी-डेमेंज-जैमिंग के संस्करण में हार्डी के प्रमेय की पूरी ताकत शामिल है। लिउविले के प्रमेय पर आधारित बेर्लिंग के प्रमेय का एक अलग प्रमाण रेफरी में दिखाई दिया। मामले की पूरी जानकारी $ab < 1$ साथ ही Schwartz वर्ग वितरण के लिए निम्नलिखित विस्तार रेफरी में दिखाई देता है।

$S$

इतिहास
क्वांटम यांत्रिकी की गणितीय नींव पर काम करते हुए, वर्नर हाइजेनबर्ग ने कोपेनहेगन में नील्स बोह्र के संस्थान में अनिश्चितता सिद्धांत तैयार किया। 1925 में, हेनरी क्रेमर्स के साथ अग्रणी काम के बाद, हाइजेनबर्ग ने मैट्रिक्स यांत्रिकी विकसित की, जिसने आधुनिक क्वांटम यांत्रिकी के साथ तदर्थ पुराने क्वांटम सिद्धांत को बदल दिया। केंद्रीय आधार यह था कि गति की शास्त्रीय अवधारणा क्वांटम स्तर पर फिट नहीं होती है, क्योंकि परमाणु में इलेक्ट्रॉन स्पष्ट रूप से परिभाषित कक्षाओं में यात्रा नहीं करते हैं। बल्कि, उनकी गति को एक अजीब तरीके से धुंधला कर दिया जाता है: इसकी समय निर्भरता के फूरियर रूपांतरण में केवल उन आवृत्तियों को शामिल किया जाता है जो उनके विकिरण के क्वांटम कूद में देखे जा सकते हैं।

हाइजेनबर्ग के पेपर ने किसी भी समय कक्षा में इलेक्ट्रॉन की सटीक स्थिति जैसी किसी भी अप्राप्य मात्रा को स्वीकार नहीं किया; उन्होंने केवल सिद्धांतकार को गति के फूरियर घटकों के बारे में बात करने की अनुमति दी। चूंकि फूरियर घटकों को शास्त्रीय आवृत्तियों पर परिभाषित नहीं किया गया था, इसलिए उनका उपयोग एक सटीक प्रक्षेपवक्र के निर्माण के लिए नहीं किया जा सकता था, ताकि औपचारिकता कुछ अति सटीक प्रश्नों का उत्तर न दे सके कि इलेक्ट्रॉन कहाँ था या यह कितनी तेजी से जा रहा था।

एक खाते के अनुसार: हाइजेनबर्ग के पेपर ने केवल देखने योग्य मात्राओं का उपयोग करके परमाणु समस्याओं को हल करने के पिछले प्रयासों से एक क्रांतिकारी प्रस्थान किया। उन्होंने 9 जुलाई 1925 को लिखे एक पत्र में लिखा, 'मेरा पूरा अल्प प्रयास कक्षीय पथों की अवधारणा को नष्ट करने और उपयुक्त रूप से बदलने की ओर जाता है।' यह वास्तव में आइंस्टीन थे जिन्होंने पहली बार 1926 में हाइजेनबर्ग के सामने अपनी पहली वास्तविक चर्चा में समस्या को उठाया था। आइंस्टीन ने मैट्रिक्स यांत्रिकी की शुरूआत पर चर्चा के लिए हाइजेनबर्ग को अपने घर आमंत्रित किया था। जैसा कि हाइजेनबर्ग चर्चा का वर्णन करते हैं: घर के रास्ते में, उन्होंने मुझसे मेरी पृष्ठभूमि, सोमरफेल्ड के साथ मेरी पढ़ाई के बारे में पूछताछ की। लेकिन आगमन पर उन्होंने तुरंत नए क्वांटम यांत्रिकी के दार्शनिक आधार के बारे में एक केंद्रीय प्रश्न के साथ शुरुआत की। उन्होंने मुझे बताया कि मेरे गणितीय विवरण में 'इलेक्ट्रॉन पथ' की धारणा बिल्कुल भी नहीं होती है, लेकिन क्लाउड-कक्ष में इलेक्ट्रॉन का ट्रैक निश्चित रूप से सीधे देखा जा सकता है। उसे यह दावा बेतुका लग रहा था कि क्लाउड-कक्ष में वास्तव में एक इलेक्ट्रॉन पथ था, लेकिन परमाणु के आंतरिक भाग में कोई नहीं था। इस स्थिति में, निश्चित रूप से, हम [हाइजेनबर्ग और बोह्र] ने कई चर्चाएँ, कठिन चर्चाएँ कीं, क्योंकि हम सभी ने महसूस किया कि क्वांटम या तरंग यांत्रिकी की गणितीय योजना पहले से ही अंतिम थी। इसे बदला नहीं जा सकता था, और हमें अपनी सारी गणना इसी योजना से करनी होगी। दूसरी ओर, कोई नहीं जानता था कि इस योजना में क्लाउड कक्ष के माध्यम से इलेक्ट्रॉन के पथ के रूप में इस तरह के एक साधारण मामले का प्रतिनिधित्व कैसे किया जाए। मार्च 1926 में, बोह्र के संस्थान में काम करते हुए, हाइजेनबर्ग ने महसूस किया कि गैर- क्रमविनिमेयता का अर्थ अनिश्चितता सिद्धांत है। इस निहितार्थ ने गैर-कम्यूटेटिविटी के लिए एक स्पष्ट भौतिक व्याख्या प्रदान की, और इसने नींव रखी जिसे क्वांटम यांत्रिकी की कोपेनहेगन व्याख्या के रूप में जाना जाता है। हाइजेनबर्ग ने दिखाया कि रूपान्तरण संबंध एक अनिश्चितता, या बोह्र की भाषा में एक पूरकता (भौतिकी) का अर्थ है। कोई भी दो वेरिएबल्स जो कम्यूट नहीं करते हैं, उन्हें एक साथ नहीं मापा जा सकता है - जितना अधिक सटीक रूप से जाना जाता है, उतना ही कम सटीक रूप से दूसरे को जाना जा सकता है। हाइजेनबर्ग ने लिखा: इसे इसके सरलतम रूप में निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है: कोई भी उन दो महत्वपूर्ण कारकों के बारे में पूर्ण सटीकता के साथ कभी नहीं जान सकता है जो सबसे छोटे कणों में से एक की गति को निर्धारित करते हैं - इसकी स्थिति और इसका वेग। एक ही पल में किसी कण की स्थिति और दिशा और गति दोनों का सटीक निर्धारण करना असंभव है। 

Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik (ऑन द परसेप्चुअल कंटेंट ऑफ़ क्वांटम थ्योरेटिकल किनेमेटिक्स एंड मैकेनिक्स) में, हाइजेनबर्ग ने इस अभिव्यक्ति को किसी भी स्थिति माप के कारण होने वाली अपरिहार्य संवेग गड़बड़ी की न्यूनतम मात्रा के रूप में स्थापित किया, लेकिन उन्होंने अनिश्चितताओं Δx और Δp के लिए एक सटीक परिभाषा नहीं दी। इसके बजाय, उन्होंने प्रत्येक मामले में अलग-अलग कुछ प्रशंसनीय अनुमान दिए। अपने शिकागो व्याख्यान में उन्होंने अपने सिद्धांत को परिष्कृत किया:

अर्ल हेस्से केनार्ड 1927 में पहली बार आधुनिक असमानता साबित हुई:

कहाँ $d × d$, और $ħ = h⁄2π$, $σ_{x}$ स्थिति और संवेग के मानक विचलन हैं। हाइजेनबर्ग ने केवल संबंध सिद्ध किया ($Σ$) गाऊसी राज्यों के विशेष मामले के लिए।

शब्दावली और अनुवाद
जर्मन में लिखे गए अपने मूल 1927 के पेपर के मुख्य भाग में, हाइजेनबर्ग ने अनगेनॉइगकेट (अनिश्चितता) शब्द का इस्तेमाल किया, बुनियादी सैद्धांतिक सिद्धांत का वर्णन करने के लिए। केवल एंडनोट में उन्होंने अनसिकेरहाइट (अनिश्चितता) शब्द पर स्विच किया। जब हाइजेनबर्ग की पाठ्यपुस्तक का अंग्रेजी-भाषा संस्करण, द फिजिकल प्रिंसिपल्स ऑफ द क्वांटम थ्योरी, 1930 में प्रकाशित हुआ था, हालांकि, अनुवाद अनिश्चितता का उपयोग किया गया था, और यह उसके बाद अंग्रेजी भाषा में अधिक सामान्य रूप से इस्तेमाल किया जाने वाला शब्द बन गया।

हाइजेनबर्ग का माइक्रोस्कोप


सिद्धांत काफी प्रति-सहज है, इसलिए क्वांटम सिद्धांत के शुरुआती छात्रों को आश्वस्त करना पड़ा कि इसका उल्लंघन करने के लिए भोले माप हमेशा असाध्य होने के लिए बाध्य थे। एक तरीका जिसमें हाइजेनबर्ग ने मूल रूप से अनिश्चितता सिद्धांत का उल्लंघन करने की आंतरिक असंभवता को चित्रित किया है, वह एक मापने वाले उपकरण के रूप में एक काल्पनिक माइक्रोस्कोप के पर्यवेक्षक प्रभाव (भौतिकी) का उपयोग कर रहा है।

वह कल्पना करता है कि एक प्रयोगकर्ता एक इलेक्ट्रॉन की स्थिति और संवेग को उस पर एक फोटॉन शूट करके मापने की कोशिश कर रहा है।
 * समस्या 1 - अगर फोटॉन की तरंग दैर्ध्य कम है, और इसलिए, एक बड़ी गति है, तो स्थिति को सटीक रूप से मापा जा सकता है। लेकिन फोटॉन एक यादृच्छिक दिशा में बिखरता है, इलेक्ट्रॉन को गति की एक बड़ी और अनिश्चित मात्रा स्थानांतरित करता है। यदि फोटॉन की लंबी तरंग दैर्ध्य और कम गति है, तो टक्कर इलेक्ट्रॉन की गति को बहुत अधिक परेशान नहीं करती है, लेकिन बिखरने से इसकी स्थिति केवल अस्पष्ट रूप से प्रकट होगी।
 * समस्या 2 - यदि सूक्ष्मदर्शी के लिए एक बड़े छिद्र का उपयोग किया जाता है, तो इलेक्ट्रॉन का स्थान अच्छी तरह से हल किया जा सकता है (देखें रेले मानदंड); लेकिन संवेग के संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार, आने वाले फोटॉन का अनुप्रस्थ संवेग इलेक्ट्रॉन की बीमलाइन गति को प्रभावित करता है और इसलिए, इलेक्ट्रॉन का नया संवेग खराब रूप से हल होता है। यदि एक छोटे APERTURE का उपयोग किया जाता है, तो दोनों संकल्पों की सटीकता इसके विपरीत होती है।

इन ट्रेड-ऑफ्स के संयोजन का अर्थ है कि कोई फर्क नहीं पड़ता कि फोटॉन तरंग दैर्ध्य और एपर्चर आकार का उपयोग किया जाता है, मापी गई स्थिति में अनिश्चितता का उत्पाद और मापी गई गति कम सीमा से अधिक या उसके बराबर होती है, जो (एक छोटे संख्यात्मक कारक तक) ) प्लांक स्थिरांक के बराबर। हाइजेनबर्ग ने अनिश्चितता सिद्धांत को एक सटीक सीमा के रूप में तैयार करने की परवाह नहीं की, और इसके बजाय इसका उपयोग करना पसंद किया, एक अनुमानी मात्रात्मक बयान के रूप में, छोटे संख्यात्मक कारकों तक सही, जो क्वांटम यांत्रिकी की मौलिक रूप से नई गैर-अनुरूपता को अपरिहार्य बनाता है।

आलोचनात्मक प्रतिक्रियाएँ
क्वांटम यांत्रिकी और हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत की कोपेनहेगन व्याख्या, वास्तव में, एक अंतर्निहित नियतत्ववाद और वैज्ञानिक यथार्थवाद में विश्वास करने वाले विरोधियों द्वारा जुड़वां लक्ष्यों के रूप में देखी गई थी। क्वांटम यांत्रिकी की कोपेनहेगन व्याख्या के अनुसार, क्वांटम राज्य का वर्णन करने वाली कोई मौलिक वास्तविकता नहीं है, प्रयोगात्मक परिणामों की गणना के लिए केवल एक नुस्खा है। यह कहने का कोई तरीका नहीं है कि मूल रूप से सिस्टम की स्थिति क्या है, केवल अवलोकनों का नतीजा क्या हो सकता है।

अल्बर्ट आइंस्टीन का मानना ​​था कि यादृच्छिकता वास्तविकता की कुछ मौलिक संपत्ति के बारे में हमारी अज्ञानता का प्रतिबिंब है, जबकि नील्स बोह्र का मानना ​​था कि संभाव्यता वितरण मौलिक और अपरिवर्तनीय हैं, और यह निर्भर करता है कि हम किस माप का प्रदर्शन करना चुनते हैं। बोह्र-आइंस्टीन अनिश्चितता सिद्धांत पर कई वर्षों से बहस कर रहे हैं।

निर्लिप्त प्रेक्षक का आदर्श
वोल्फगैंग पाउली ने अनिश्चितता के सिद्धांत पर आइंस्टीन की मौलिक आपत्ति को अलग पर्यवेक्षक का आदर्श कहा (जर्मन से अनुवादित वाक्यांश): "'Like the moon has a definite position' Einstein said to me last winter, 'whether or not we look at the moon, the same must also hold for the atomic objects, as there is no sharp distinction possible between these and macroscopic objects. Observation cannot create an element of reality like a position, there must be something contained in the complete description of physical reality which corresponds to the possibility of observing a position, already before the observation has been actually made.' I hope, that I quoted Einstein correctly; it is always difficult to quote somebody out of memory with whom one does not agree. It is precisely this kind of postulate which I call the ideal of the detached observer.
 * Letter from Pauli to Niels Bohr, February 15, 1955"

आइंस्टीन की भट्ठा
अनिश्चितता सिद्धांत को चुनौती देने वाले आइंस्टीन के पहले विचार प्रयोग इस प्रकार थे:


 * चौड़ाई की एक भट्ठा से गुजरने वाले एक कण पर विचार करें $f$. भट्ठा लगभग की गति में अनिश्चितता का परिचय देता है $f$ क्योंकि कण दीवार से होकर गुजरता है। लेकिन आइए दीवार के प्रतिक्षेप को मापकर कण का संवेग ज्ञात करें। ऐसा करने में, हम संवेग के संरक्षण द्वारा कण के संवेग को मनमाना सटीकता पाते हैं।

बोह्र की प्रतिक्रिया थी कि दीवार क्वांटम मैकेनिकल भी है, और वह सटीकता के लिए पुनरावृत्ति को मापने के लिए है $σ_{p}$, कण के गुजरने से पहले दीवार का संवेग इतनी सटीकता से ज्ञात होना चाहिए। यह दीवार की स्थिति में अनिश्चितता का परिचय देता है और इसलिए भट्ठा की स्थिति बराबर होती है $Δp$, और यदि दीवार का संवेग रिकॉइल को मापने के लिए सटीक रूप से पर्याप्त रूप से जाना जाता है, तो स्लिट की स्थिति स्थिति माप को अस्वीकार करने के लिए पर्याप्त अनिश्चित है।

कई स्लिट्स के माध्यम से विवर्तन करने वाले कणों के साथ एक समान विश्लेषण रिचर्ड फेनमैन द्वारा दिया गया है।

आइंस्टीन का डिब्बा
बोह्र उपस्थित थे जब आइंस्टीन ने विचार प्रयोग प्रस्तावित किया था जिसे आइंस्टीन के बॉक्स के रूप में जाना जाता है। आइंस्टीन ने तर्क दिया कि हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता समीकरण का तात्पर्य है कि समय में अनिश्चितता ऊर्जा में अनिश्चितता से संबंधित थी, दोनों का उत्पाद प्लैंक स्थिरांक से संबंधित है। विचार करें, उन्होंने कहा, एक आदर्श बॉक्स, दर्पणों के साथ रेखांकित ताकि इसमें अनिश्चित काल तक प्रकाश हो सके। घड़ी की कल की व्यवस्था से पहले एक चुने हुए पल में एक आदर्श शटर खोलने से पहले बॉक्स को तौला जा सकता था ताकि एक एकल फोटॉन बच सके। अब हम जानते हैं, आइंस्टीन ने समझाया, ठीक उसी समय जब फोटॉन ने बॉक्स छोड़ा था। अब, बॉक्स को फिर से तौलें। द्रव्यमान का परिवर्तन उत्सर्जित प्रकाश की ऊर्जा को बताता है। इस तरीके से, आइंस्टीन ने कहा, अनिश्चितता सिद्धांत के विपरीत, उत्सर्जित ऊर्जा को माप सकता है और वांछित सटीकता के साथ इसे जारी किया जा सकता है।

बोह्र ने इस तर्क पर विचार करते हुए रात की नींद हराम कर दी, और अंततः महसूस किया कि यह त्रुटिपूर्ण था। उन्होंने बताया कि यदि बॉक्स को तौला जाता है, तो मान लें कि एक स्प्रिंग और एक पैमाने पर सूचक द्वारा, क्योंकि बॉक्स को अपने वजन में परिवर्तन के साथ लंबवत चलना चाहिए, इसके ऊर्ध्वाधर वेग में अनिश्चितता होगी और इसलिए इसकी अनिश्चितता होगी तालिका के ऊपर ऊँचाई। ... इसके अलावा, पृथ्वी की सतह के ऊपर ऊंचाई के बारे में अनिश्चितता के परिणामस्वरूप घड़ी की दर में अनिश्चितता होगी, गुरुत्वाकर्षण समय फैलाव के आइंस्टीन के अपने सिद्धांत के कारण | समय पर गुरुत्वाकर्षण का प्रभाव। अनिश्चितताओं की इस श्रृंखला के माध्यम से, बोह्र ने दिखाया कि आइंस्टीन का लाइट बॉक्स प्रयोग एक साथ फोटॉन की ऊर्जा और इसके पलायन के समय दोनों को सटीक रूप से नहीं माप सकता।

उलझे हुए कणों के लिए EPR विरोधाभास
आइंस्टीन द्वारा एक और विचार प्रयोग के बाद बोर को अनिश्चितता सिद्धांत की अपनी समझ को संशोधित करने के लिए मजबूर होना पड़ा। 1935 में, आइंस्टीन, पोडॉल्स्की और रोसेन ने व्यापक रूप से अलग किए गए क्वांटम उलझाव कणों (EPR विरोधाभास) का विश्लेषण प्रकाशित किया। एक कण को ​​मापने, आइंस्टीन ने महसूस किया, दूसरे के संभाव्यता वितरण को बदल देगा, फिर भी यहां दूसरे कण को ​​संभवतः परेशान नहीं किया जा सकता था। इस उदाहरण ने बोर को सिद्धांत की अपनी समझ को संशोधित करने के लिए प्रेरित किया, यह निष्कर्ष निकाला कि अनिश्चितता प्रत्यक्ष बातचीत के कारण नहीं थी। लेकिन आइंस्टीन उसी विचार प्रयोग से कहीं अधिक दूरगामी निष्कर्ष पर पहुंचे। उनका मानना ​​था कि प्राकृतिक बुनियादी धारणा है कि वास्तविकता का एक पूर्ण विवरण स्थानीय रूप से बदलते नियतात्मक मात्रा से प्रयोगों के परिणामों की भविष्यवाणी करना होगा और इसलिए अनिश्चितता सिद्धांत द्वारा अनुमत अधिकतम संभव से अधिक जानकारी शामिल करनी होगी।

1964 में, जॉन स्टीवर्ट बेल ने दिखाया कि इस धारणा को गलत साबित किया जा सकता है, क्योंकि यह विभिन्न प्रयोगों की संभावनाओं के बीच एक निश्चित असमानता को दर्शाता है। प्रायोगिक परिणाम क्वांटम यांत्रिकी की भविष्यवाणियों की पुष्टि करते हैं, आइंस्टीन की मूल धारणा को खारिज करते हुए जो उन्हें अपने छिपे हुए चर के सुझाव के लिए प्रेरित करती है। ये छिपे हुए चर एक भ्रम के कारण छिपे हो सकते हैं जो बहुत बड़ी या बहुत छोटी वस्तुओं के अवलोकन के दौरान होता है। इस भ्रम की तुलना घूमने वाले पंखे के ब्लेड से की जा सकती है जो अलग-अलग स्थानों पर अस्तित्व में और बाहर पॉप लगते हैं और कभी-कभी एक ही समय में एक ही स्थान पर दिखाई देते हैं। यही भ्रम उप-परमाणु कणों के अवलोकन में प्रकट होता है। पंखे के ब्लेड और उप-परमाण्विक कण दोनों इतनी तेजी से आगे बढ़ रहे हैं कि प्रेक्षक को भ्रम दिखाई देता है। इसलिए, यह संभव है कि उप-परमाण्विक कणों के व्यवहार और विशेषताओं की उच्च गति ट्रैकिंग में सक्षम एक रिकॉर्डिंग डिवाइस के लिए भविष्यवाणी की जाएगी .... विडंबना यह है कि यह तथ्य कार्ल पॉपर के मिथ्याकरण के दर्शन का समर्थन करने वाले साक्ष्यों में से एक है। मिथ्याकरण-प्रयोगों द्वारा एक सिद्धांत का। कहने का तात्पर्य यह है कि यहाँ बेल परीक्षण प्रयोगों द्वारा आइंस्टीन की मूल धारणा को गलत साबित कर दिया गया। बेल की असमानताओं पर आधारित प्रयोग। हाइजेनबर्ग असमानता पर कार्ल पॉपर की आपत्तियों के लिए, नीचे देखें।

हालांकि यह मानना ​​संभव है कि क्वांटम यांत्रिक भविष्यवाणियां गैर-स्थानीय, छिपे हुए चरों के कारण होती हैं, और वास्तव में डेविड बोहम ने इस तरह के सूत्रीकरण का आविष्कार किया, यह संकल्प भौतिकविदों के विशाल बहुमत के लिए संतोषजनक नहीं है। एक गैर-स्थानीय सिद्धांत द्वारा एक यादृच्छिक परिणाम पूर्व निर्धारित है या नहीं, यह सवाल दार्शनिक हो सकता है, और यह संभावित रूप से अट्रैक्टिव हो सकता है। यदि छिपे हुए चर विवश नहीं थे, तो वे केवल यादृच्छिक अंकों की एक सूची हो सकते हैं जिनका उपयोग माप परिणाम उत्पन्न करने के लिए किया जाता है। इसे समझदार बनाने के लिए, गैर-स्थानीय छिपे हुए चर की धारणा को कभी-कभी दूसरी धारणा से संवर्धित किया जाता है - कि देखने योग्य ब्रह्मांड का आकार उन संगणनाओं पर एक सीमा डालता है जो ये चर कर सकते हैं। इस प्रकार का एक गैर-स्थानीय सिद्धांत भविष्यवाणी करता है कि लगभग 10,000 अंकों या उससे अधिक की संख्या को कारक करने का प्रयास करते समय एक एक कंप्यूटर जितना  मौलिक बाधाओं का सामना करेगा; क्वांटम यांत्रिकी में एक संभावित शोर का एल्गोरिदम।

पॉपर की आलोचना
कार्ल पॉपर ने एक तर्कशास्त्री और दार्शनिक यथार्थवाद के रूप में अनिश्चितता की समस्या का सामना किया। वह अलग-अलग कणों के लिए अनिश्चितता संबंधों के आवेदन से असहमत थे, बजाय इसके कि वे समान रूप से तैयार कणों के क्वांटम समेकन को सांख्यिकीय बिखराव संबंधों के रूप में संदर्भित करते हैं। इस सांख्यिकीय व्याख्या में, क्वांटम सिद्धांत को अमान्य किए बिना मनमाना सटीकता के लिए एक विशेष माप किया जा सकता है। यह सीधे क्वांटम यांत्रिकी की कोपेनहेगन व्याख्या के विपरीत है, जो नियतत्ववाद है। गैर-नियतात्मक लेकिन स्थानीय छिपे हुए चर का अभाव है।

1934 में, पॉपर ने Naturwissenchaften में Zur Kritik der Ungenauigkeitsrelationen (अनिश्चितता संबंधों की आलोचना) को प्रकाशित किया, और उसी वर्ष वैज्ञानिक खोज का तर्क (1959 में द लॉजिक ऑफ़ साइंटिफिक डिस्कवरी के रूप में लेखक द्वारा अनुवादित और अद्यतन), सांख्यिकीय व्याख्या के लिए अपने तर्कों को रेखांकित करते हुए। 1982 में, उन्होंने क्वांटम सिद्धांत और भौतिकी में विद्वता में अपने सिद्धांत को और विकसित किया, लेखन:  [हाइजेनबर्ग के] सूत्र निस्संदेह क्वांटम सिद्धांत के व्युत्पन्न सांख्यिकीय सूत्र हैं। लेकिन उन क्वांटम सिद्धांतकारों द्वारा आदतन गलत व्याख्या की गई है जिन्होंने कहा था कि इन सूत्रों की व्याख्या हमारे माप की सटीकता के लिए कुछ ऊपरी सीमा निर्धारित करने के रूप में की जा सकती है। [मूल जोर] 

पॉपर ने अनिश्चितता संबंधों के मिथ्याकरण के लिए एक प्रयोग प्रस्तावित किया, हालांकि बाद में उन्होंने कार्ल फ्रेडरिक वॉन वीज़स्कर | वीज़स्कर, वर्नर हाइजेनबर्ग और अल्बर्ट आइंस्टीन के साथ चर्चा के बाद अपना प्रारंभिक संस्करण वापस ले लिया; इस प्रयोग ने ईपीआर विरोधाभास के निर्माण को प्रभावित किया हो सकता है।

कई-दुनिया की अनिश्चितता
मूल रूप से 1957 में ह्यूग एवरेट III द्वारा उल्लिखित कई-दुनिया की व्याख्या आंशिक रूप से आइंस्टीन और बोह्र के विचारों के बीच के अंतर को दूर करने के लिए बोह्र के वेव फ़ंक्शन पतन को नियतात्मक और स्वतंत्र ब्रह्मांडों के एक समूह के साथ बदलने के लिए है, जिसका वितरण तरंग कार्यों और श्रोडिंगर समीकरण द्वारा नियंत्रित होता है।. इस प्रकार, कई-दुनिया की व्याख्या में अनिश्चितता किसी भी ब्रह्मांड के भीतर प्रत्येक पर्यवेक्षक से होती है, जो अन्य ब्रह्मांडों में क्या चल रहा है, इसका कोई ज्ञान नहीं है।

स्वतंत्र इच्छा
आर्थर कॉम्पटन सहित कुछ वैज्ञानिक और मार्टिन हाइजेनबर्ग ने सुझाव दिया है कि अनिश्चितता सिद्धांत, या कम से कम क्वांटम यांत्रिकी की सामान्य संभाव्य प्रकृति, मुक्त इच्छा के दो-चरण मॉडल के लिए सबूत हो सकती है। हालांकि, एक समालोचना यह है कि रसायन विज्ञान की नींव के रूप में क्वांटम यांत्रिकी की मूल भूमिका के अलावा, कमरे के तापमान पर क्वांटम सिस्टम के तेजी से क्वांटम विकृति समय के कारण क्वांटम जीव विज्ञान की संभावना नहीं है। इस सिद्धांत के समर्थकों का आमतौर पर कहना है कि जैविक कोशिकाओं में पाए जाने वाले स्क्रीनिंग और डिकॉरेन्स-मुक्त उप-स्थानों दोनों से यह विकृति दूर हो जाती है।

ऊष्मप्रवैगिकी
यह विश्वास करने का कारण है कि अनिश्चितता सिद्धांत का उल्लंघन करने से ऊष्मप्रवैगिकी के दूसरे नियम का उल्लंघन भी दृढ़ता से होता है। गिब्स विरोधाभास देखें।

यह भी देखें

 * अफशार प्रयोग
 * कैनोनिकल कम्यूटेशन रिलेशन
 * पत्राचार सिद्धांत
 * ग्रोमोव का गैर-निचोड़ने वाला प्रमेय
 * असतत फूरियर रूपांतरण#अनिश्चितता सिद्धांत
 * आइंस्टीन के विचार प्रयोग
 * हाइजेनबग
 * क्वांटम यांत्रिकी का परिचय
 * कुप्फमूलर का अनिश्चितता सिद्धांत
 * संचालन
 * पर्यवेक्षक प्रभाव (सूचना प्रौद्योगिकी)
 * प्रेक्षक प्रभाव (भौतिकी)
 * क्वांटम अनिश्चितता
 * क्वांटम गैर-संतुलन
 * क्वांटम टनलिंग
 * भौतिकी और परे (पुस्तक)
 * प्लैंक लंबाई
 * मजबूत अनिश्चितता संबंध
 * कमजोर माप

बाहरी संबंध

 * Matter as a Wave – a chapter from an online textbook
 * Quantum mechanics: Myths and facts
 * Stanford Encyclopedia of Philosophy entry
 * Fourier Transforms and Uncertainty at MathPages
 * aip.org: Quantum mechanics 1925–1927 – The uncertainty principle
 * Eric Weisstein's World of Physics – Uncertainty principle
 * John Baez on the time–energy uncertainty relation
 * The certainty principle
 * Common Interpretation of Heisenberg's Uncertainty Principle Is Proved False
 * Common Interpretation of Heisenberg's Uncertainty Principle Is Proved False

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