फर्मी-डिराक सांख्यिकी

फर्मी-डिराक सांख्यिकी (एफ-डी सांख्यिकी) एक प्रकार का क्वांटम सांख्यिकी है जो एक भौतिक प्रणाली के भौतिकी पर लागू होता है जिसमें कई गैर-अंतःक्रियात्मक, समान कण होते हैं जो पौली बहिष्करण सिद्धांत का पालन करते हैं। परिणाम सवरूप ऊर्जा स्तर पर कणों का फर्मी-डिराक वितरण है। इसका नाम एनरिको फर्मी और पॉल डिराक के नाम पर रखा गया है, जिनमें से प्रत्येक ने इसमे 1926 में स्वतंत्र रूप से वितरण प्राप्त किया था (हालांकि फर्मी ने इसे डिराक से पहले प्राप्त किया था)। फर्मी-डिराक सांख्यिकी सांख्यिकीय यांत्रिकी के क्षेत्र का एक भाग  है और क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांतों का उपयोग करती है।

ऊष्मा गतिकी संतुलन में अर्ध-पूर्णांक चक्रण (भौतिकी) (1/2, 3/2, आदि) के साथ समान और अप्रभेद्य कणों पर एफ-डी आँकड़े लागू होते हैं, जिन्हें फर्मियन कहा जाता है। कणों के बीच नगण्य संपर्क के मामले में, प्रणाली को एकल-कण ऊर्जा क्षेत्र  के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है। परिणाम इन क्षेत्रों पर कणों का एफ-डी वितरण है जहां कोई भी दो कण एक ही क्षेत्र पर अधिकार  नहीं कर सकते हैं, जिसका सिस्टम के गुणों पर काफी प्रभाव पड़ता है। एफ-डी आंकड़े सबसे अधिक विद्युदणु पर लागू होते हैं, चक्रण 1/2 के साथ एक प्रकार का फ़र्मियन है।

एफ-डी सांख्यिकी का एक समकक्ष बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी (B-E सांख्यिकी) है, जो पूर्णांक चक्रण (0, 1, 2, आदि) वाले समान और अप्रभेद्य कणों पर लागू होता है, जिसे बोसोन कहा जाता है। शास्त्रीय भौतिकी में, मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी (एम-बी सांख्यिकी) का उपयोग उन कणों का वर्णन करने के लिए किया जाता है, जो समान हैं और जिन्हें अलग-अलग माने जाता है। बी-ई और एम-बी दोनों आँकड़ों के लिए एक से अधिक कण एफ-डी आँकड़ों के विपरीत एक ही स्थिति पर अधिकार कर सकते हैं।

इतिहास
1926 में फर्मी-डिराक आँकड़ों की शुरुआत से पहले, प्रतीत होने वाली विरोधाभासी घटनाओं के कारण इलेक्ट्रॉन व्यवहार के कुछ पक्षों को समझना कठिन था। उदाहरण के रूप मे, कमरे के तापमान पर किसी धातु की इलेक्ट्रॉनिक ताप क्षमता विद्युत प्रवाह की तुलना में 100 गुना कम विद्युदणु से आती है। यह समझना भी कठिन था, कि कमरे के तापमान पर धातुओं पर उच्च विद्युत क्षेत्र लगाने से उत्पन्न क्षेत्र इलेक्ट्रॉन उत्सर्जन तापमान से लगभग स्वतंत्र क्यों थे।

ड्रूड प्रतिरूप के माध्यम से उस समय धातुओं के इलेक्ट्रॉनिक सिद्धांत के सामने आने वाली कठिनाई यह मानने के कारण थी, कि इलेक्ट्रॉन (शास्त्रीय सांख्यिकी सिद्धांत के अनुसार) सभी समकक्ष थे। दूसरे शब्दों में, यह माना जाता था कि प्रत्येक इलेक्ट्रॉन बोल्ट्जमैन स्थिरांक  kB के क्रम पर विशिष्ट ऊष्मा में एक राशि का योगदान करता है। एफ-डी सांख्यिकी के विकास की इस  समस्या का समाधान  नहीं हो पाया है।

एफ-डी आँकड़े पहली बार 1926 में एनरिको फर्मी और पॉल डिराक के माध्यम से प्रकाशित किए गए थे  मैक्स बोर्न  पास्कल जॉर्डन के अनुसार 1925 में उन्हीं आँकड़ों का विकास हुआ, जिसे उन्होंने वोल्फगैंग पौली सांख्यिकी कहा जाता था, लेकिन इसे समयबद्ध तरीके से प्रकाशित नहीं किया गया।  डिराक के अनुसार इसका अध्ययन सबसे पहले फर्मी के माध्यम से  किया गया था, और डिराक ने इसे "फर्मी सांख्यिकी" और संबंधित कणों को "फर्मियन" कहा था।

1926 में राल्फ फाउलर के माध्यम से एक सफेद बौने के लिए एक तारे के पतन का वर्णन करने के लिए एफ-डी आँकड़े लागू किए गए थे। 1927 में अर्नोल्ड सोमरफेल्ड ने इसे धातुओं में विद्युदणु पर लागू किया और मुक्त इलेक्ट्रॉन प्रतिरूप विकसित किया, और 1928 में फाउलर और लोथर वोल्फगैंग नॉर्डहाइम ने इसे धातुओं से क्षेत्र इलेक्ट्रॉन उत्सर्जन के लिए लागू किया। फर्मी-डिराक सांख्यिकी भौतिकी का एक महत्वपूर्ण भाग  बनी हुई है।

फर्मी-डिराक वितरण
ऊष्म-प्रवैगिकी संतुलन में समान फ़र्मियन की एक प्रणाली के लिए, एकल-कण अवस्था $i$  में फ़र्मियन की औसत संख्या फर्मी-डिराक (एफ-डी) वितरण के माध्यम से  दी गई है,

कहाँ $k_{B}$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है, $T$ पूर्ण तापमान है, $ε_{i}$ एकल-कण अवस्था की ऊर्जा है $i$, और $μ$ कुल रासायनिक क्षमता है। वितरण स्थिति से सामान्यीकृत है


 * $$\sum_i\bar n_i=N$$ जिसे व्यक्त किया जा सकता है $$\mu=\mu(T,N)$$ के कारण से $$\mu$$ या तो एक सकारात्मक या नकारात्मक मूल्य मान सकते हैं।

शून्य निरपेक्ष तापमान पर, $μ$ फर्मी ऊर्जा और संभावित ऊर्जा प्रति फर्मन के बराबर है, बशर्ते यह सकारात्मक वर्णक्रमीय घनत्व के पड़ोस (गणित) में हो। स्पेक्ट्रल गैप के मामले में, जैसे सेमीकंडक्टर में विद्युदणु के लिए, $μ$, समरूपता के बिंदु को आम तौर पर फर्मी स्तर या—विद्युदणु के लिए—विद्युतरासायनिक क्षमता कहा जाता है, और अंतराल के मध्य में स्थित होगा। एफ-डी वितरण केवल तभी मान्य होता है जब सिस्टम में फ़र्मियन की संख्या काफी बड़ी होती है ताकि सिस्टम में एक और फ़र्मियन जोड़ने से नगण्य प्रभाव पड़ता है $μ$. चूंकि एफ-डी वितरण पौली बहिष्करण सिद्धांत का उपयोग करके प्राप्त किया गया था, जो प्रत्येक संभावित स्थिति पर अधिकार करने के लिए अधिकतम एक फ़र्मियन की अनुमति देता है, एक परिणाम यह है कि $$0 < \bar{n}_i  < 1$$.  File:FD e mu.svg|ऊर्जा निर्भरता। उच्च 'टी' पर अधिक क्रमिक। $$\bar{n} = 0.5$$ कब $$\varepsilon = \mu$$. नहीं दिखाया गया है $$\mu$$ उच्च टी के लिए घट जाती है। File:FD kT e.svg|के लिए तापमान पर निर्भरता $$\varepsilon > \mu$$.  क्षेत्र में कणों की संख्या के विचरण की गणना उपरोक्त अभिव्यक्ति से की जा सकती है $$\bar{n}_i$$,
 * $$ V(n_i) = k_{\rm B}T\frac{\partial}{\partial \mu}\bar{n}_i= \bar{n}_i(1-\bar{n}_i).$$

ऊर्जा पर कणों का वितरण
क्षेत्रों पर फर्मी-डिराक कणों के वितरण से, ऊर्जा पर कणों के वितरण का पता लगाया जा सकता है। ऊर्जा के साथ fermions की औसत संख्या $$\varepsilon_i$$ F–D वितरण को गुणा करके पाया जा सकता है $$\bar{n}_i$$ पतित ऊर्जा स्तर के माध्यम से $$g_i$$ (यानी ऊर्जा वाले क्षेत्रों की संख्या $$\varepsilon_i$$),
 * $$ \begin{align}

\bar{n}(\varepsilon_i) &= g_i \bar{n}_i \\ &= \frac{g_i}{e^{(\varepsilon_i - \mu) / k_{\rm B} T} + 1}. \end{align} $$ कब $$g_i \ge 2$$, यह संभव है कि $$\bar{n}(\varepsilon_i) > 1$$, चूंकि एक से अधिक क्षेत्र हैं जो समान ऊर्जा वाले फर्मों के माध्यम से अधिकार  किए जा सकते हैं $$\varepsilon_i$$.

जब ऊर्जाओं का एक अर्ध-निरंतर $$\varepsilon$$ क्षेत्रों का संबद्ध घनत्व है $$g(\varepsilon)$$ (अर्थात प्रति इकाई आयतन प्रति इकाई ऊर्जा श्रेणी में क्षेत्रों की संख्या ), प्रति इकाई आयतन प्रति इकाई ऊर्जा श्रेणी में फ़र्मियन की औसत संख्या है


 * $$\bar{\mathcal{N}}(\varepsilon) = g(\varepsilon) F(\varepsilon),$$

कहाँ $$F(\varepsilon)$$ फर्मी फ़ंक्शन कहा जाता है और यह वही फ़ंक्शन (गणित) है जिसका उपयोग एफ-डी वितरण के लिए किया जाता है $$\bar{n}_i$$,
 * $$ F(\varepsilon) = \frac{1}{e^{(\varepsilon - \mu) / k_{\rm B}T} + 1}, $$

ताकि


 * $$ \bar{\mathcal{N}}(\varepsilon) = \frac{g(\varepsilon)}{e^{(\varepsilon - \mu) / k_{\rm B} T} + 1}. $$

क्वांटम और शास्त्रीय शासन
फर्मी-डिराक वितरण मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी#प्रयोज्यता | मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण को उच्च तापमान और कम कण घनत्व की सीमा में, बिना किसी तदर्थ धारणाओं की आवश्यकता के पास ले जाता है:

\bar{n}_i = \frac{1}{e^{(\varepsilon_i-\mu)/k_{\rm B}T}+1} \ll 1 $$, इसलिए $$ e^{(\varepsilon_i-\mu)/k_{\rm B}T}+1 \gg 1 $$ या समकक्ष $$ e^{(\varepsilon_i-\mu)/k_{\rm B}T} \gg 1 $$. उस मामले में, $$ \bar{n}_i \approx \frac{1}{e^{(\varepsilon_i-\mu)/k_{\rm B}T}}=\frac{N}{Z}e^{-\varepsilon_i/k_{\rm B}T} $$, जो मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन सांख्यिकी का परिणाम है। \bar{n}_i = \frac{1}{e^{(\varepsilon_i-\mu)/k_{\rm B}T}+1} \ll 1 $$. यह फिर से मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन के आँकड़ों को कम करता है।
 * कम कण घनत्व की सीमा में, $$
 * उच्च तापमान की सीमा में, कणों को ऊर्जा मूल्यों की एक बड़ी श्रृंखला में वितरित किया जाता है, इसलिए प्रत्येक क्षेत्र पर अधिभोग (विशेष रूप से उच्च ऊर्जा वाले) $$\varepsilon_i - \mu \gg k_{\rm B}T$$) फिर से बहुत छोटा है, $$

शास्त्रीय व्यवस्था, जहां मैक्सवेल-बोल्ट्जमान आंकड़ों को फर्मी-डिराक आंकड़ों के अनुमान के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है, उस स्थिति पर विचार करके पाया जाता है जो एक कण की स्थिति और गति के लिए हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत के माध्यम से लगाए गए सीमा से दूर है। उदाहरण के लिए, अर्धचालक की भौतिकी में, जब चालन बैंड की अवस्थाओं का घनत्व डोपिंग सांद्रता से बहुत अधिक होता है, तो चालन बैंड और फर्मी स्तर के बीच ऊर्जा अंतर की गणना मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी का उपयोग करके की जा सकती है। अन्यथा, यदि चालन बैंड के क्षेत्रों के घनत्व की तुलना में डोपिंग एकाग्रता नगण्य नहीं है, तो सटीक गणना के लिए एफ-डी वितरण का उपयोग किया जाना चाहिए। तब यह दिखाया जा सकता है कि शास्त्रीय स्थिति प्रबल होती है जब कणों की क्वांटम सांद्रता एक औसत अंतर-कण दूरी से मेल खाती है $$ \bar{R} $$ यह औसत डे ब्रोगली तरंग दैर्ध्य से बहुत अधिक है $$ \bar{\lambda} $$ कणों की:
 * $$\bar{R} \gg \bar{\lambda} \approx \frac{h}{\sqrt{3mk_{\rm B}T}}, $$

कहाँ $h$ प्लैंक स्थिरांक है, और $m$ प्राथमिक कण है।

एक विशिष्ट धातु में चालन विद्युदणु के मामले में $T$ = 300 केल्विन (अर्थात् लगभग कमरे का तापमान), प्रणाली शास्त्रीय व्यवस्था से बहुत दूर है क्योंकि $$ \bar{R} \approx \bar{\lambda}/25 $$. यह इलेक्ट्रॉन के छोटे द्रव्यमान और उच्च सांद्रता (अर्थात् छोटा $$\bar{R}$$) धातु में चालन विद्युदणु की। इस प्रकार एक विशिष्ट धातु में चालन विद्युदणु के लिए फर्मी-डिराक सांख्यिकी की आवश्यकता होती है।

एक प्रणाली का एक और उदाहरण जो शास्त्रीय व्यवस्था में नहीं है, वह प्रणाली है जिसमें एक तारे के इलेक्ट्रॉन होते हैं जो एक सफेद बौने के रूप में ढह गए हैं। हालांकि सफेद बौने का तापमान अधिक होता है (आमतौर पर $T$ = $10,000 K$ इसकी सतह पर ), इसकी उच्च इलेक्ट्रॉन सांद्रता और प्रत्येक इलेक्ट्रॉन का छोटा द्रव्यमान एक शास्त्रीय सन्निकटन का उपयोग करने से रोकता है, और फिर से फर्मी-डिराक सांख्यिकी की आवश्यकता होती है।

भव्य विहित पहनावा
फर्मी-डिराक वितरण, जो केवल गैर-अंतःक्रियात्मक फ़र्मों की एक क्वांटम प्रणाली पर लागू होता है, आसानी से भव्य विहित पहनावा से प्राप्त होता है। इस पहनावा में, सिस्टम एक जलाशय (तापमान T और रासायनिक क्षमता μ जलाशय के माध्यम से निर्धारित) के साथ ऊर्जा और विनिमय कणों का आदान-प्रदान करने में सक्षम है।

गैर-अंतःक्रियात्मक गुणवत्ता के कारण, प्रत्येक उपलब्ध एकल-कण स्तर (ऊर्जा स्तर ϵ के साथ) जलाशय के संपर्क में एक अलग ऊष्मा गतिकी प्रणाली बनाता है। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक एकल-कण स्तर एक अलग, छोटा भव्य विहित पहनावा है। पौली अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार, एकल-कण स्तर के लिए केवल दो संभावित माइक्रोस्टेट (सांख्यिकीय यांत्रिकी) हैं: कोई कण नहीं (ऊर्जा E = 0), या एक कण (ऊर्जा E = ε)। परिणामी विभाजन फ़ंक्शन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) उस एकल-कण स्तर के लिए इसलिए केवल दो शब्द हैं:
 * $$ \begin{align}

\mathcal Z &= \exp\big(0(\mu - \varepsilon)/k_{\rm B} T\big) + \exp\big(1(\mu - \varepsilon)/k_{\rm B} T\big) \\ &= 1 + \exp\big((\mu - \varepsilon)/k_{\rm B} T\big), \end{align}$$ और उस एकल-कण स्तर के उप-स्तर के लिए औसत कण संख्या के माध्यम से दिया गया है
 * $$ \langle N\rangle = k_{\rm B} T \frac{1}{\mathcal Z} \left(\frac{\partial \mathcal Z}{\partial \mu}\right)_{V,T} = \frac{1}{\exp\big((\varepsilon-\mu)/k_{\rm B} T\big) + 1}. $$

यह परिणाम प्रत्येक एकल-कण स्तर के लिए लागू होता है, और इस प्रकार सिस्टम की संपूर्ण स्थिति के लिए फर्मी-डिराक वितरण देता है।

कण संख्या (थर्मल उतार-चढ़ाव के कारण) में भिन्नता भी प्राप्त की जा सकती है (कण संख्या में एक साधारण बर्नौली वितरण है):
 * $$ \big\langle (\Delta N)^2 \big\rangle = k_{\rm B} T \left(\frac{d\langle N\rangle}{d\mu}\right)_{V,T} = \langle N\rangle \big(1 - \langle N\rangle\big). $$

यह मात्रा परिवहन परिघटनाओं में महत्वपूर्ण है जैसे कि विद्युत चालकता के लिए सीबेक गुणांक और थर्मोइलेक्ट्रिक प्रभाव # इलेक्ट्रॉन गैस के लिए आवेश वाहक प्रसार, जहां परिवहन घटना में योगदान करने के लिए ऊर्जा स्तर की क्षमता आनुपातिक है $$\big\langle (\Delta N)^2 \big\rangle$$.

विहित पहनावा
कैनोनिकल समेकन में फर्मी-डिराक आंकड़ों को प्राप्त करना भी संभव है। N समान फ़र्मियन से बनी एक बहु-कण प्रणाली पर विचार करें जिसमें नगण्य परस्पर क्रिया होती है और जो तापीय संतुलन में होती हैं। चूँकि फ़र्मियन, ऊर्जा के बीच नगण्य अंतःक्रिया होती है $$E_R$$ एक क्षेत्र का $$R$$ बहु-कण प्रणाली को एकल-कण ऊर्जा के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,


 * $$ E_R = \sum_{r} n_r \varepsilon_r $$

कहाँ $$ n_r $$ अधिभोग संख्या कहा जाता है और एकल-कण अवस्था में कणों की संख्या है $$r$$ ऊर्जा के साथ $$\varepsilon_r $$. योग सभी संभावित एकल-कण अवस्थाओं पर है $$r$$.

संभावना है कि बहु-कण प्रणाली क्षेत्र में है $$R$$, सामान्यीकृत विहित वितरण के माध्यम से दिया जाता है,
 * $$P_R = \frac { e^{-\beta E_R} }

{ \displaystyle \sum_{R'} e^{-\beta E_{R'}} } $$ कहाँ $$ \beta= 1/k_{\rm B}T$$, यह है$\scriptstyle -\beta E_R$ को Boltzmann फ़ैक्टर कहा जाता है, और योग सभी संभावित अवस्थाओं पर होता है $$R'$$ बहु-कण प्रणाली का। एक अधिभोग संख्या के लिए औसत मूल्य $$n_i \;$$ है


 * $$\bar{n}_i \ = \ \sum_R n_i \ P_R  $$

गौरतलब है कि क्षेत्र $$R$$ बहु-कण प्रणाली को एकल-कण क्षेत्रों के कण अधिभोग के माध्यम से निर्दिष्ट किया जा सकता है, अर्थात निर्दिष्ट करके $$n_1,\, n_2,\, \ldots \;,$$ ताकि


 * $$P_R = P_{n_1,n_2,\ldots} = \frac{ e^{-\beta (n_1 \varepsilon_1+n_2 \varepsilon_2+\cdots)} }

{\displaystyle \sum_{{n_1}',{n_2}',\ldots} e^{-\beta ({n_1}' \varepsilon_1+{n_2}' \varepsilon_2+\cdots)} } $$ और के लिए समीकरण $$\bar{n}_i$$ बन जाता है


 * $$\begin{alignat} {2}

\bar{n}_i & = \sum_{n_1,n_2,\dots} n_i \ P_{n_1,n_2,\dots} \\ \\          & = \frac{\displaystyle \sum_{n_1,n_2,\dots} n_i \ e^{-\beta (n_1\varepsilon_1 + n_2\varepsilon_2 + \cdots + n_i\varepsilon_i + \cdots)} } {\displaystyle \sum_{n_1,n_2,\dots} e^{-\beta (n_1\varepsilon_1 + n_2\varepsilon_2 + \cdots + n_i\varepsilon_i + \cdots)} } \\

\end{alignat} $$ जहां योग के मूल्यों के सभी संयोजनों पर है $$n_1, n_2, \ldots$$ जो पौली अपवर्जन सिद्धांत का पालन करते हैं, और $ n_r $ = 0 or 1 प्रत्येक के लिए $$r$$. इसके अलावा, मूल्यों का प्रत्येक संयोजन $$n_1, n_2, \ldots$$ बाधाओं को पूरा करता है कि कणों की कुल संख्या है $$N$$,


 * $$ \sum_r n_r = N. $$

योगों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,


 * $$ \bar{n}_i = \frac

{\displaystyle \sum_{n_i=0} ^1 n_i \ e^{-\beta (n_i\varepsilon_i)} \quad \sideset{ }{^{(i)}}\sum_{n_1,n_2,\dots} e^{-\beta (n_1\varepsilon_1+n_2\varepsilon_2+\cdots)} } {\displaystyle \sum_{n_i=0} ^1 e^{-\beta (n_i\varepsilon_i)} \qquad \sideset{ }{^{(i)}}\sum_{n_1,n_2,\dots} e^{-\beta (n_1\varepsilon_1 + n_2\varepsilon_2 + \cdots)} } $$ जहां $$^{(i)}$$ योग चिह्न पर इंगित करता है कि योग खत्म नहीं हुआ है $$n_i$$ और इस बाधा के अधीन है कि योग से जुड़े कणों की कुल संख्या है $$N_i = N-n_i$$. ध्यान दें कि $$\Sigma^{(i)}$$ अभी भी निर्भर करता है $$n_i$$ के माध्यम से $$N_i $$ बाधा, क्योंकि एक मामले में $$n_i=0 $$ और $$\Sigma^{(i)}$$ से मूल्यांकन किया जाता है $$N_i=N ,$$ जबकि दूसरे मामले में $$n_i=1 $$ और $$\Sigma^{(i)}$$ से मूल्यांकन किया जाता है $$N_i=N-1  .$$ संकेतन को सरल बनाने के लिए और स्पष्ट रूप से इंगित करने के लिए $$\Sigma^{(i)}$$ अभी भी निर्भर करता है $$n_i$$ के माध्यम से  $$N-n_i$$, परिभाषित करना


 * $$ Z_i(N-n_i) \equiv \ \sideset{ }{^{(i)}}\sum_{n_1,n_2,\ldots} e^{-\beta (n_1\varepsilon_1+n_2\varepsilon_2+\cdots)} \;$$

ताकि पिछली अभिव्यक्ति के लिए $$\bar{n}_i$$ के संदर्भ में फिर से लिखा और मूल्यांकन किया जा सकता है $$Z_i$$,


 * $$ \begin{alignat} {3}

\bar{n}_i \ & = \frac{ \displaystyle \sum_{n_i=0} ^1  n_i \ e^{-\beta (n_i\varepsilon_i)}  \ \   Z_i(N-n_i)} { \displaystyle  \sum_{n_i=0} ^1 e^{-\beta (n_i\varepsilon_i)} \qquad     Z_i(N-n_i)} \\[8pt] & = \ \frac { \quad 0 \quad \; + e^{-\beta\varepsilon_i}\; Z_i(N-1)} {Z_i(N) + e^{-\beta\varepsilon_i}\; Z_i(N-1)}  \\[6pt] & = \ \frac {1} {[Z_i(N)/Z_i(N-1)] \; e^{\beta\varepsilon_i}+1} \quad. \end{alignat} $$ निम्नलिखित सन्निकटन के लिए स्थानापन्न करने के लिए एक अभिव्यक्ति खोजने के लिए इस्तेमाल किया जाएगा $$ Z_i(N)/Z_i(N-1)$$.


 * $$\begin{alignat} {2}

\ln Z_i(N- 1) & \simeq \ln Z_i(N) - \frac {\partial \ln Z_i(N)} {\partial N } \\ & = \ln Z_i(N) - \alpha_i \; \end{alignat}$$ कहाँ $$\alpha_i \equiv \frac {\partial \ln Z_i(N)} {\partial N} \. $$ यदि कणों की संख्या $$N$$ काफी बड़ा है ताकि रासायनिक क्षमता में परिवर्तन हो $$\mu\;$$ बहुत छोटा होता है जब सिस्टम में एक कण जोड़ा जाता है, तब $$\alpha_i \simeq - \mu / k_{\rm B}T \ .$$ बेस ई एंटीलॉग लेना दोनों पक्षों की, के लिए प्रतिस्थापन $$\alpha_i \,$$, और पुनर्व्यवस्थित करना,


 * $$Z_i(N) / Z_i(N- 1) = e^{-\mu / k_{\rm B}T }. $$

के लिए समीकरण में उपरोक्त को प्रतिस्थापित करना $$\bar {n}_i$$, और की पिछली परिभाषा का उपयोग करना $$\beta\;$$ स्थानापन्न करना $$1/k_{\rm B}T $$ के लिए $$\beta\;$$, फर्मी-डिराक वितरण में परिणाम।


 * $$\bar{n}_i = \ \frac {1} {e^{(\varepsilon_i - \mu)/k_{\rm B}T }+1}$$

मैक्सवेल-बोल्ट्जमान वितरण और बोस-आइंस्टीन वितरण की तरह फर्मी-डिराक वितरण भी औसत मूल्यों के डार्विन-फाउलर विधि के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है।

माइक्रोकैनोनिकल पहनावा
प्रणाली की बहुलता का सीधे विश्लेषण करके और लैग्रेंज गुणक का उपयोग करके एक परिणाम प्राप्त किया जा सकता है।

मान लीजिए कि हमारे पास कई ऊर्जा स्तर हैं, जिन्हें इंडेक्स i के माध्यम से लेबल किया गया है, प्रत्येक स्तर ऊर्जा ε होनाiऔर कुल n युक्तiकण। मान लीजिए कि प्रत्येक स्तर में जी शामिल हैiअलग-अलग उपस्तर, जिनमें से सभी में समान ऊर्जा होती है, और जो अलग-अलग होते हैं। उदाहरण के लिए, दो कणों का संवेग भिन्न हो सकता है (अर्थात् उनका संवेग भिन्न दिशाओं में हो सकता है), जिस स्थिति में वे एक दूसरे से भिन्न होते हैं, फिर भी उनमें समान ऊर्जा हो सकती है। जी का मूल्यiस्तर I से जुड़ा हुआ उस ऊर्जा स्तर की अध: पतन कहलाता है। पौली बहिष्करण सिद्धांत कहता है कि केवल एक फर्मियन ऐसे किसी भी उपस्तर पर अधिकार कर सकता है।

एन वितरण के तरीकों की संख्याiजी के बीच अप्रभेद्य कणi एक ऊर्जा स्तर के उपस्तर, प्रति उपस्तर अधिकतम एक कण के साथ, द्विपद गुणांक के माध्यम से दिया जाता है, इसके द्विपद गुणांक#संयोजी व्याख्या का उपयोग करते हुए

w(n_i,g_i)=\frac{g_i!}{n_i!(g_i-n_i)!} \. $$ उदाहरण के लिए, दो कणों को तीन उपस्तरों में बांटने से कुल तीन तरीकों से 110, 101, या 011 की जनसंख्या संख्या मिलेगी जो 3!/(2!1!) के बराबर है।

तरीकों की संख्या जिसमें व्यवसाय संख्याओं का एक सेट n होता हैi महसूस किया जा सकता है उन तरीकों का उत्पाद है जिनसे प्रत्येक व्यक्तिगत ऊर्जा स्तर को आबाद किया जा सकता है:



W = \prod_i w(n_i,g_i) = \prod_i \frac{g_i!}{n_i!(g_i-n_i)!}. $$ मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मान सांख्यिकी प्राप्त करने में उपयोग की जाने वाली समान प्रक्रिया का पालन करते हुए, हम n का सेट खोजना चाहते हैंiजिसके लिए W को अधिकतम किया जाता है, इस बाधा के अधीन कि कणों की एक निश्चित संख्या और एक निश्चित ऊर्जा होती है। हम फ़ंक्शन बनाने वाले लैग्रेंज मल्टीप्लायरों का उपयोग करके अपने समाधान को विवश करते हैं:



f(n_i)=\ln(W)+\alpha\left(N-\sum n_i\right)+\beta\left(E-\sum n_i \varepsilon_i\right). $$ क्रमगुणों के लिए स्टर्लिंग के सन्निकटन का उपयोग करना, व्युत्पन्न को n के संबंध में लेनाi, परिणाम को शून्य पर सेट करना और n के लिए हल करनाiफर्मी-डिराक जनसंख्या संख्या प्राप्त करता है:



n_i = \frac{g_i}{e^{\alpha+\beta \varepsilon_i}+1}. $$ मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी लेख में उल्लिखित प्रक्रिया के समान एक प्रक्रिया के माध्यम से, यह ऊष्मा गतिकी रूप से दिखाया जा सकता है कि $\beta = \frac{1}{k_{\rm B}T}$  और $\alpha = - \frac{\mu}{k_{\rm B}T}$ , ताकि अंत में, संभावना है कि एक क्षेत्र पर अधिकार  कर लिया जाएगा:



\bar{n}_i = \frac{n_i}{g_i} = \frac{1}{e^{(\varepsilon_i-\mu)/k_{\rm B}T}+1}. $$

यह भी देखें

 * भव्य विहित पहनावा
 * पाउली अपवर्जन सिद्धांत
 * पूरा फर्मी-डिराक इंटीग्रल | पूरा फर्मी-डिराक इंटीग्रल
 * फर्मी स्तर
 * फर्मी गैस
 * मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन सांख्यिकी
 * बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी
 * पैरास्टैटिस्टिक्स
 * लॉजिस्टिक फंक्शन