रैखिक स्वतंत्रता

सदिश समष्टि के सिद्धांत में, सदिश के समुच्चय को कहा जाता है यदि सदिशों का एक शून्य सदिश रैखिक संयोजन होता है जो शून्य सदिश के बराबर होता है। यदि ऐसा कोई रैखिक संयोजन उपस्थित नहीं है, तो सदिश को  कहा जाता है। ये अवधारणाएँ आयाम की परिभाषा के केंद्र में हैं।

एकघाततः स्वतंत्र सदिशों की अधिकतम संख्या के आधार पर एक सदिश समिष्ट परिमित आयाम या अपरिमित आयाम का हो सकता है। एकघाततः परतंत्र की परिभाषा और यह निर्धारित करने की क्षमता कि सदिश समष्टि में सदिशों का एक उपसमुच्चय एकघाततः परतंत्र है तथा सदिश समष्टि के आयाम को निर्धारित करने के लिए केंद्रीय होता हैं।

परिभाषा
सदिश का अनुक्रम $$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k$$ एक सदिश समष्टि मे $V$ अदिश उपस्थित है, तो इसे एकघाततः परतंत्र कहा जाता है। यदि $$a_1, a_2, \dots, a_k,$$ सभी शून्य नहीं है,

जैसे कि $$a_1\mathbf{v}_1 + a_2\mathbf{v}_2 + \cdots + a_k\mathbf{v}_k = \mathbf{0},$$

जहाँ $$\mathbf{0}$$ शून्य सदिश को दर्शाता है।

इसका अर्थ है कि कम से कम एक अदिश शून्य नहीं है, मान लीजिए $$a_1\ne 0$$ और उपरोक्त समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है
 * $$\mathbf{v}_1 = \frac{-a_2}{a_1}\mathbf{v}_2 + \cdots + \frac{-a_k}{a_1} \mathbf{v}_k,$$

यदि $$k>1,$$ और $$\mathbf{v}_1 = \mathbf{0}$$ यदि $$k=1.$$

इस प्रकार, सदिशों का एक समुच्चय एकघाततः परतंत्र होता है यदि और केवल यदि उनमें से एक शून्य हो या अन्य का एक रैखिक संयोजन हो।

सदिश का क्रम $$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n$$ को एकघाततः स्वतंत्र कहा जाता है यदि यह एकघाततः परतंत्र नहीं है, अर्थात यदि समीकरण
 * $$a_1\mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + a_n\mathbf{v}_n = \mathbf{0},$$

द्वारा ही संतुष्ट किया जा सकता है कि $$a_i=0$$ के लिए $$i=1,\dots,n.$$ इसका तात्पर्य यह है कि क्रम में कोई भी सदिश अनुक्रम के शेष सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, सदिशों का एक क्रम एकघाततः स्वतंत्र होता है यदि केवल प्रतिनिधित्व करता है कि $$\mathbf 0$$ इसके सदिशों के एक रैखिक संयोजन के रूप में तुच्छ प्रतिनिधित्व है जिसमें सभी $$a_i$$ अदिश शून्य हैं। इससे भी अधिक संक्षेप में, सदिशों का अनुक्रम एकघाततः स्वतंत्र होता है यदि और केवल $$\mathbf 0$$ को इसके सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में एक अद्वितीय तरीके से प्रदर्शित किया जा सकता है।

यदि सदिशों के अनुक्रम में एक ही सदिश दो बार होता है, तो यह आवश्यक रूप से परतंत्र होता है। सदिशों के अनुक्रम की एकघाततः परतंत्रता अनुक्रम में पदों के क्रम पर परतंत्र नहीं होती है। यह सदिशों के परिमित समुच्चय के लिए एकघाततः स्वतंत्रता को परिभाषित करने की अनुमति देता है सदिशों का एक परिमित समुच्चय एकघाततः स्वतंत्र होता है यदि उनके क्रम से प्राप्त अनुक्रम एकघाततः स्वतंत्र होता है। दूसरे शब्दों में, एक का निम्नलिखित परिणाम होता है जो प्रायः उपयोगी होता है।

सदिशों का एक क्रम एकघाततः स्वतंत्र होता है यदि इसमें एक ही सदिश दो बार नहीं होता है तब इसके सदिशों का समुच्चय एकघाततः स्वतंत्र होता है।

अपरिमित फलन
सदिशों का एक अपरिमित उपसमुच्चय एकघाततः स्वतंत्र होता है यदि प्रत्येक शून्य परिमित उपसमुच्चय एकघाततः स्वतंत्र होता है तो इसके विपरीत, सदिशों का एक अपरिमित समुच्चय एकघाततः परतंत्र होता है और इसमें एक परिमित उपसमुच्चय होता है जो एकघाततः परतंत्र या समतुल्य होता है यदि समुच्चय के कुछ सदिश समुच्चयों में अन्य सदिशों का एक रैखिक संयोजन होता है।

सदिशों का एक अनुक्रमित वर्ग एकघाततः स्वतंत्र होता है यदि इसमें एक ही सदिश दो बार नहीं होता है, और यदि इसके सदिशों का समुच्चय एकघाततः स्वतंत्र होता है। अन्यथा, अनुक्रमित वर्ग को एकघाततः परतंत्र कहा जाता है।

सदिशों का एक समूह जो एकघाततः स्वतंत्र है और कुछ सदिश समिष्ट को विस्तृत करता है तथा उस सदिश समिष्ट के लिए एक आधार (रैखिक बीजगणित) बनाता है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम $x$ में सभी बहुपदों के सदिश समिष्ट आधार के रूप में (अपरिमित) ${1, x, x^{2}, ... }$ उपसमुच्चय है।

ज्यामितीय उदाहरण



 * $$\vec u$$ और $$\vec v$$ स्वतंत्र हैं और समतल P को परिभाषित करते हैं।


 * $$\vec u$$, $$\vec v$$ और $$\vec w$$ परतंत्र हैं क्योंकि तीनों एक ही तल में केन्द्रित हैं।
 * $$\vec u$$ और $$\vec j$$ परतंत्र हैं क्योंकि वे एक दूसरे के समानांतर हैं।
 * $$\vec u$$, $$\vec v$$ और $$\vec k$$ स्वतंत्र हैं क्योंकि $$\vec u$$ और $$\vec v$$ एक दूसरे से स्वतंत्र हैं और $$\vec k$$ उनका एक रैखिक संयोजन नहीं है क्योंकि वे समतुल्य रूप से एक सामान्य तल से संबंधित नहीं हैं। तीन सदिश एक त्रि-विमीय समिष्ट को परिभाषित करते हैं।
 * सदिश $$\vec o$$ ( शून्य सदिश, जिसके घटक शून्य के बराबर हैं) और $$\vec k$$ से परतंत्र हैं क्योंकि $$\vec o = 0 \vec k$$

भौगोलिक स्थिति
एक निश्चित स्थिति के समिष्ट का वर्णन करने वाला व्यक्ति कह सकता है कि "यह यहाँ से 3 मील उत्तर और 4 मील पूर्व में है" समिष्ट का वर्णन करने के लिए यह पर्याप्त जानकारी है, क्योंकि भौगोलिक समन्वय प्रणाली को 2-आयामी सदिश समिष्ट (पृथ्वी की सतह की ऊंचाई और वक्रता की उपेक्षा) के रूप में माना जा सकता है। वह व्यक्ति जोड़ सकता है कि "यह समिष्ट यहाँ से 5 मील उत्तर पूर्व में है।" यह अंतिम कथन सत्य है, लेकिन समिष्ट का पता लगाना आवश्यक नहीं है। इस उदाहरण में 3 मील उत्तर सदिश और 4 मील पूर्व सदिश एकघाततः स्वतंत्र हैं। कहने का तात्पर्य यह है कि उत्तर सदिश को पूर्व सदिश के संदर्भ में वर्णित नहीं किया जा सकता है और इसके विपरीत तीसरा 5 मील पूर्वोत्तर सदिश अन्य दो सदिशों का एक रैखिक संयोजन है तथा यह सदिशों के समुच्चय को एकघाततः परतंत्र करता है अर्थात, तीन सदिशों में से एक समतल पर एक विशिष्ट समिष्ट को परिभाषित करने के लिए अनावश्यक होता है।

यह भी ध्यान दें कि यदि ऊंचाई की उपेक्षा नहीं किया जाता है, तो एकघाततः स्वतंत्र समुच्चय में तीसरा सदिश जोड़ना आवश्यक हो जाता है। समान्यतः $n$-आयामी समिष्ट में सभी समिष्टों का वर्णन करने के लिए $n$ एकघाततः स्वतंत्र सदिश की आवश्यकता होती है।

शून्य सदिश
यदि सदिशों के दिए गए अनुक्रम $$\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k$$ में से एक या अधिक सदिश $$\mathbf{0}$$ शून्य सदिश है तब सदिश $$\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k$$ आवश्यक रूप से एकघाततः परतंत्र हैं इसके परिणामस्वरूप, वे एकघाततः स्वतंत्र नहीं हैं। मान लीजिए $$i$$ एक सूचकांक है (अर्थात $$\{ 1, \ldots, k \}$$ का तत्व) इसी प्रकार $$\mathbf{v}_i = \mathbf{0}.$$ माना कि $$a_{i} := 1$$ (वैकल्पिक रूप से, $$a_{i}$$ के बराबर कोई अन्य शून्य अदिश भी कार्य करता है) और यदि अन्य सभी अदिश को $$0$$ होने दें (स्पष्ट रूप से, इसका अर्थ है कि किसी भी सूचकांक के लिए $$j$$ के अतिरिक्त अन्य $$i$$ अर्थात $$j \neq i$$ के लिए $$a_{j} := 0$$ ताकि इसके फलस्वरूप $$a_{j} \mathbf{v}_j = 0 \mathbf{v}_j = \mathbf{0}$$ समान्यतः $$a_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + a_k\mathbf{v}_k$$ प्राप्त होता है।
 * $$a_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + a_k\mathbf{v}_k = \mathbf{0} + \cdots + \mathbf{0} + a_i \mathbf{v}_i + \mathbf{0} + \cdots + \mathbf{0} = a_i \mathbf{v}_i = a_i \mathbf{0} = \mathbf{0}.$$

क्योंकि सभी अदिश शून्य नहीं होते (विशेष रूप से, $$a_{i} \neq 0$$), यह सिद्ध करता है कि सदिश $$\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k$$ रैखिक परतंत्र हैं।

परिणाम स्वरूप, शून्य सदिश संभवतः सदिश के किसी भी संग्रह से संबंधित नहीं हो सकता है, जो एकघाततः स्वतंत्र है।

अब विशेष स्थिति पर विचार करें, जहां का अनुक्रम कि $$\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k$$ लंबाई $$1$$ है (अर्थात इस स्थिति मे जहां $$k = 1$$) सदिशों का एक संग्रह जिसमें यथार्थ रूप से एक सदिश एकघाततः परतंत्र होता है यदि वह सदिश शून्य है। तो स्पष्ट रूप से $$\mathbf{v}_1$$ कोई सदिश है और अनुक्रम $$\mathbf{v}_1$$ (जो $$1$$ लंबाई का एक क्रम है) एकघाततः परतंत्र है यदि केवल $\mathbf{v}_1 = \mathbf{0}$; वैकल्पिक रूप से यदि $$\mathbf{v}_1 \neq \mathbf{0}.$$ है तो क्रम $$\mathbf{v}_1$$ एकघाततः स्वतंत्र होता है।

रैखिक परतंत्रता और दो सदिशों की स्वतंत्रता
यह उदाहरण उस विशेष स्थिति पर विचार करता है जहां दो समष्टि सदिश $$\mathbf{u}$$ और $$\mathbf{v}$$ वास्तविक या जटिल सदिश समष्टि हैं तथा सदिश $$\mathbf{u}$$ और $$\mathbf{v}$$ एकघाततः परतंत्र हैं और यदि ये निम्न में से कम से कम एक सत्य है: यदि $$\mathbf{u} = \mathbf{0}$$ तब समुच्चय द्वारा $$c := 0$$ हम $$c \mathbf{v} = 0 \mathbf{v} = \mathbf{0} = \mathbf{u}$$ (यह समानता महत्व नहीं रखती है कि $$\mathbf{v}$$ का मान क्या है), जो दर्शाता है कि (1) इस विशेष स्थिति में सत्य है। इसी प्रकार यदि $$\mathbf{v} = \mathbf{0}$$ तब (2) सत्य है क्योंकि $$\mathbf{v} = 0 \mathbf{u}.$$ यदि $$\mathbf{u} = \mathbf{v}$$ (उदाहरण के लिए, यदि वे दोनों $$\mathbf{0}$$ शून्य सदिश के बराबर हैं) तब $$c := 1$$ का उपयोग करने के लिए (1) और (2) दोनों सत्य हैं।
 * 1) $$\mathbf{u}$$ का अदिश गुणक $$\mathbf{v}$$ है (स्पष्ट रूप से, इसका अर्थ है कि एक अदिश $$c$$ उपस्थित है इसी प्रकार $$\mathbf{u} = c \mathbf{v}$$).
 * 2) $$\mathbf{v}$$ का अदिश गुणक $$\mathbf{u}$$ है (स्पष्ट रूप से, इसका अर्थ है कि एक अदिश $$c$$ उपस्थित है इसी प्रकार $$\mathbf{v} = c \mathbf{u}$$).

यदि $$\mathbf{u} = c \mathbf{v}$$ तब $$\mathbf{u} \neq \mathbf{0}$$ केवल तभी संभव है जब $$c \neq 0$$ और $$\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$$ की स्थिति में, दोनों पक्षों को $\frac{1}{c}$ से गुणा करके निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि $\mathbf{v} = \frac{1}{c} \mathbf{u}.$  है इससे यह पता चलता है कि यदि $$\mathbf{u} \neq \mathbf{0}$$ और $$\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$$ तब (1) सत्य है और केवल यदि (2) सत्य है अर्थात्, इस विशेष स्थिति में या तो दोनों (1) और (2) सत्य हैं और सदिश एकघाततः परतंत्र हैं या फिर दोनों (1) और (2) असत्य हैं और सदिश एकघाततः स्वतंत्र हैं।

यदि $$\mathbf{u} = c \mathbf{v}$$ लेकिन इसके अतिरिक्त $$\mathbf{u} = \mathbf{0}$$ है तब कम से कम एक $$c$$ और $$\mathbf{v}$$ शून्य होना चाहिए। इसके अतिरिक्त, यदि $$\mathbf{u}$$ और $$\mathbf{v}$$ पूर्णतः $$\mathbf{0}$$ है जबकि दूसरा शून्य नहीं है तो (1) और (2) में से एक सत्य है और दूसरा असत्य होता है।

सदिश $$\mathbf{u}$$ और $$\mathbf{v}$$ यदि केवल एकघाततः स्वतंत्र होते हैं जब $$\mathbf{u}$$ का अदिश गुणज $$\mathbf{v}$$ नहीं है और $$\mathbf{v}$$ का अदिश गुणज $$\mathbf{u}$$ नहीं होता है।

R2 में सदिश
तीन सदिश: सदिशों के समुच्चय $$\mathbf{v}_1 = (1, 1),$$ $$\mathbf{v}_2 = (-3, 2),$$ और $$\mathbf{v}_3 = (2, 4),$$ पर विचार करें, फिर एकघाततः परतंत्र की स्थि‍ति मे गैर-शून्य अदिशों के एक समुच्चय का आकलन करती है, जैसे कि
 * $$a_1 \begin{bmatrix} 1\\1\end{bmatrix} + a_2 \begin{bmatrix} -3\\2\end{bmatrix} + a_3 \begin{bmatrix} 2\\4\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix},$$

या
 * $$\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}.$$

इस पंक्ति को प्राप्त करने के लिए दूसरी से पहली पंक्ति घटाकर इस आव्यूह समीकरण को कम करें,
 * $$\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 0 & 5 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}.$$

आव्यूह (i) दूसरी पंक्ति को 5 से विभाजित करके, फिर (ii) को 3 से गुणा करके और पहली पंक्ति में जोड़कर पंक्ति घटाना प्रारम्भ करे, अर्थात
 * $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 16/5 \\ 0 & 1 & 2/5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}.$$

इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने से हमें यह प्राप्त होता है
 * $$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix}=-a_3\begin{bmatrix} 16/5\\2/5\end{bmatrix}.$$

जो दर्शाता है कि गैर-शून्य ai ऐसे उपस्थित हैं कि $$\mathbf{v}_3 = (2, 4)$$ को $$\mathbf{v}_1 = (1, 1)$$ और $$\mathbf{v}_2 = (-3, 2).$$ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है इस प्रकार तीन सदिश एकघाततः परतंत्र हैं।

दो सदिश: दो सदिशों $$\mathbf{v}_1 = (1, 1)$$ और $$\mathbf{v}_2 = (-3, 2),$$ की एकघाततः परतंत्रता पर विचार और जाँच करें,
 * $$a_1 \begin{bmatrix} 1\\1\end{bmatrix} + a_2 \begin{bmatrix} -3\\2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix},$$

या
 * $$\begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 2  \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}.$$

एक ही पंक्ति में पुनर्व्यवस्थित करने से प्राप्त आव्यूह,
 * $$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}.$$

यह दर्शाता है कि $$a_i = 0,$$ जिसका अर्थ है कि सदिश $$\mathbf{v}_1 = (1, 1)$$ और $$\mathbf{v}_2 = (-3, 2),$$ एकघाततः स्वतंत्र हैं।

R4 में सदिश
यह निर्धारित करने के लिए $$\mathbb{R}^4,$$ कि क्या तीन सदिश में $$\mathbf{v}_1= \begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}, \mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}, \mathbf{v}_3=\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}.$$

एकघाततः परतंत्र हैं, जो आव्यूह समीकरण बनाते हैं,


 * $$\begin{bmatrix}1&7&-2\\4& 10& 1\\2&-4&5\\-3&-1&-4\end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}.$$

पंक्ति प्राप्त करने के लिए इस समीकरण को घटाये,
 * $$\begin{bmatrix} 1& 7 & -2 \\ 0& -18& 9\\ 0 & 0 & 0\\ 0& 0& 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}.$$

v3 के लिए को हल करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करें और प्राप्त करें,
 * $$\begin{bmatrix} 1& 7 \\ 0& -18 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix} =  -a_3\begin{bmatrix}-2\\9\end{bmatrix}.$$

गैर-शून्य ai को परिभाषित करने के लिए इस समीकरण को सरलता से हल किया जा सकता है,
 * $$a_1 = -3 a_3 /2, a_2 = a_3/2,$$

जहाँ $$a_3$$ का अव्यवस्थित रूप से चयन जा सकता है। इस प्रकार, सदिश $$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,$$ और $$\mathbf{v}_3$$ एकघाततः परतंत्र हैं।

निर्धारकों के उपयोग के लिए वैकल्पिक विधि
एक वैकल्पिक तरीका इस तथ्य पर निर्भर करता है कि $$n$$ सदिश में $$\mathbb{R}^n$$ एकघाततः स्वतंत्र हैं यह केवल तभी जब सदिश को स्तंभ के रूप में चयन करने से निर्मित आव्यूह (गणित) का निर्धारक गैर-शून्य है।

इस स्थिति में, सदिश द्वारा निर्मित आव्यूह $$A = \begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix} .$$ है,

हम स्तंभ के एक रैखिक संयोजन को इस प्रकार लिख सकते हैं
 * $$A \Lambda = \begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\lambda_1 \\ \lambda_2 \end{bmatrix} .$$

इससे संबद्ध यह है कि क्या $AΛ = 0$ कुछ गैर-शून्य सदिश Λ के लिए, यह $$A$$ के निर्धारक पर निर्भर करता है, जो
 * $$\det A = 1\cdot2 - 1\cdot(-3) = 5 \ne 0.$$

चूंकि निर्धारक गैर-शून्य है, इसलिए सदिश $$(1, 1)$$ और $$(-3, 2)$$ एकघाततः स्वतंत्र हैं।

अन्यथा, मान कि हमारे पास $$m$$ सदिश $$n$$ निर्देशांक $$m < n.$$ है तब A एक m×n आव्यूह है और Λ एक स्तम्भ सदिश मे $$m$$ प्रविष्टियाँ है, और हम फिर से AΛ = '0' में संबद्ध हैं। जैसा कि हमने पहले देखा, यह $$n$$ समीकरण की एक सूची के बराबर है। $$A$$ की पहली $$m$$ पंक्तियों पर विचार करें, कि पहली $$m$$ समीकरणों की पूरी सूची का कोई भी हल घटी हुई सूची के लिए भी सही होना चाहिए। जिसके परिणाम स्वरूप, यदि $⟨i_{1},...,i_{m}⟩$ की कोई सूची मे $$m$$ पंक्तियाँ है, तो उन पंक्तियों के लिए समीकरण सत्य होना चाहिए।
 * $$A_{\lang i_1,\dots,i_m \rang} \Lambda = \mathbf{0} .$$

इसके अतिरिक्त, विपरीत सत्य है। अर्थात्, हम जाँच कर सकते हैं कि $$m$$ सदिश एकघाततः परतंत्र हैं या नहीं,
 * $$\det A_{\lang i_1,\dots,i_m \rang} = 0$$

$$m$$ पंक्तियों की सभी संभव सूचियों के लिए यदि $$m = n$$, इसके लिए केवल एक निर्धारक की आवश्यकता होती है, जैसा कि ऊपर बताया गया है। यदि $$m > n$$, यह एक प्रमेय है कि सदिश को एकघाततः परतंत्र होना चाहिए। यह तथ्य सिद्धांत के लिए बहुमूल्य है कि प्रयोगात्मक गणनाओं में अधिक कुशल विधियाँ उपलब्ध हैं।

आयामों मे अधिक सदिश
यदि आयामों की तुलना में अधिक सदिश हैं, तो सदिश एकघाततः परतंत्र हैं। यह $$\R^2.$$ के तीन सदिशों के ऊपर के उदाहरण में दिखाया गया है।

मानक आधार सदिश
माना कि $$V = \R^n$$ और $$V$$ मे निम्नलिखित तत्वों पर विचार करें, जिन्हे मानक आधार सदिश के रूप में जाना जाता है।


 * $$\begin{matrix}

\mathbf{e}_1 & = & (1,0,0,\ldots,0) \\ \mathbf{e}_2 & = & (0,1,0,\ldots,0) \\ & \vdots \\ \mathbf{e}_n & = & (0,0,0,\ldots,1).\end{matrix}$$ तब $$\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n$$ एकघाततः स्वतंत्र हैं।

$$

एकघाततः स्वतंत्र का फलन
माना कि $$V$$ एक वास्तविक चर $$t$$ के सभी अलग-अलग फलन का सदिश समिष्ट है तब $$V$$ में फलन $$e^t$$ और $$e^{2t}$$ एकघाततः स्वतंत्र हैं।

प्रमाण
माना कि $$a$$ और $$b$$ ऐसी दो वास्तविक संख्याएँ हैं


 * $$ae ^ t + be ^ {2t} = 0$$

उपरोक्त समीकरण का पहला व्युत्पन्न लें:


 * $$ae ^ t + 2be ^ {2t} = 0$$

के लिए के मान $$t.$$ हमें वह दिखाने की जरूरत है $$a = 0$$ और $$b = 0.$$ ऐसा करने के लिए, हम पहले समीकरण को दूसरे समीकरण से घटाकर देते हैं $$be^{2t} = 0$$. तब से $$e^{2t}$$ कुछ के लिए शून्य नहीं है $$t$$, $$b=0.$$ यह इस प्रकार है कि $$a = 0$$ भी। इसलिए, एकघाततः स्वतंत्र की परिभाषा के अनुसार, $$e^{t}$$ और $$e^{2t}$$ एकघाततः स्वतंत्र हैं।

रैखिक निर्भरता का स्थान
सदिशों के बीच एक रैखिक निर्भरता या रैखिक संबंध $v_{1}, ..., v_{n}$ एक टपल है $(a_{1}, ..., a_{n})$ साथ $n$ अदिश (गणित) घटक जैसे कि


 * $$a_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + a_n \mathbf{v}_n= \mathbf{0}.$$

यदि ऐसी रैखिक निर्भरता कम से कम एक अशून्य घटक के साथ उपस्थित है, तो $n$ सदिश एकघाततः परतंत्र हैं। के बीच रैखिक निर्भरता $v_{1}, ..., v_{n}$ एक सदिश समिष्ट बनाएँ।

यदि सदिश उनके निर्देशांक द्वारा व्यक्त किए जाते हैं, तो रैखिक निर्भरता रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली के समाधान हैं, जिसमें सदिशों के निर्देशांक गुणांक के रूप में होते हैं। रैखिक निर्भरता के सदिश समिष्ट का एक आधार (रैखिक बीजगणित) इसलिए गॉसियन विलोपन द्वारा गणना की जा सकती है।

आत्मीय स्वतंत्रता
सदिशों के एक समुच्चय को बंधुतापूर्ण रूप से आश्रित कहा जाता है यदि समुच्चय में सदिशों में से कम से कम एक सदिशों को दूसरों के सजातीय संयोजन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। अन्यथा, समुच्चय को आत्मीयता से स्वतंत्र कहा जाता है। कोई भी affine संयोजन एक रैखिक संयोजन है; इसलिए प्रत्येक आत्मीय आश्रित समुच्चय रैखिक परतंत्र होता है। इसके विपरीत, प्रत्येक एकघाततः स्वतंत्र समुच्चय आत्मीयता से स्वतंत्र होता है।

के एक समुच्चय पर विचार करें $$m$$ सदिश $$\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_m$$ आकार का $$n$$ प्रत्येक, और के समुच्चय पर विचार करें $$m$$ संवर्धित सदिश $\left(\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ \mathbf{v}_1\end{smallmatrix}\right], \ldots, \left[\begin{smallmatrix}1 \\ \mathbf{v}_m\end{smallmatrix}\right]\right)$ आकार का $$n + 1$$ प्रत्येक। मूल सदिश आत्मीयता से स्वतंत्र होते हैं यदि और केवल यदि संवर्धित सदिश एकघाततः स्वतंत्र हों।

एकघाततः स्वतंत्र सदिश उप- समिष्ट
दो सदिश उप- समिष्ट $$M$$ और $$N$$ एक सदिश समष्टि की $$X$$ कहा जाता है अगर $$M \cap N = \{0\}.$$ अधिक आम तौर पर, एक संग्रह $$M_1, \ldots, M_d$$ के उप- समिष्टों का $$X$$ कहा जाता है  अगर $M_i \cap \sum_{k \neq i} M_k = \{0\}$  प्रत्येक सूचकांक के लिए $$i,$$ कहाँ पे $\sum_{k \neq i} M_k = \Big\{m_1 + \cdots + m_{i-1} + m_{i+1} + \cdots + m_d : m_k \in M_k \text{ for all } k\Big\} = \operatorname{span} \bigcup_{k \in \{1,\ldots,i-1,i+1,\ldots,d\}} M_k.$  सदिश समिष्ट $$X$$ ए कहा जाता है  का $$M_1, \ldots, M_d$$ अगर ये सबस्पेस एकघाततः स्वतंत्र हैं और $$M_1 + \cdots + M_d = X.$$

बाहरी कड़ियाँ

 * Linearly Dependent Functions at WolframMathWorld.
 * Tutorial and interactive program on Linear Independence.
 * Introduction to Linear Independence at KhanAcademy.
 * Introduction to Linear Independence at KhanAcademy.