उपबीजगणित

गणित में, एक उपबीजगणित एक क्षेत्र पर बीजगणित का एक उपसमुच्चय है, जो इसके सभी परिचालनों के तहत बंद होता है, और प्रेरित संचालन करता है।

बीजगणित (बहुविकल्पी), जब किसी संरचना का जिक्र होता है, तो इसका मतलब अक्सर एक सदिश स्थल  या मॉड्यूल (गणित) होता है जो एक अतिरिक्त बिलिनियर ऑपरेशन से सुसज्जित होता है। सार्वभौमिक बीजगणित में बीजगणित कहीं अधिक सामान्य हैं: वे सभी बीजगणितीय संरचनाओं का एक सामान्य सामान्यीकरण हैं। उप-बीजगणित किसी भी मामले को संदर्भित कर सकता है।

किसी रिंग या फ़ील्ड पर बीजगणित के लिए उप-बीजगणित
किसी क्षेत्र पर बीजगणित का उपबीजगणित एक सदिश उपस्थान है जो सदिशों के गुणन के अंतर्गत बंद होता है। बीजगणित गुणन का प्रतिबंध इसे एक ही वलय या क्षेत्र पर बीजगणित बनाता है। यह धारणा अधिकांश विशेषज्ञताओं पर भी लागू होती है, जहां गुणन को अतिरिक्त गुणों को संतुष्ट करना होगा, जैसे साहचर्य बीजगणित या झूठ बीजगणित के लिए। केवल एकात्मक बीजगणित के लिए एकात्मक उपबीजगणित की एक मजबूत धारणा है, जिसके लिए यह भी आवश्यक है कि उपबीजगणित की इकाई बड़े बीजगणित की इकाई हो।

उदाहरण
वास्तविक पर 2×2-आव्यूह स्पष्ट तरीके से एक इकाई बीजगणित बनाते हैं। 2×2-आव्यूह जिसके विकर्ण पर पहले वाले को छोड़कर सभी प्रविष्टियाँ शून्य हैं, एक उपबीजगणित बनाते हैं। यह एकात्मक भी है, लेकिन यह एकात्मक उपबीजगणित नहीं है।

सार्वभौमिक बीजगणित में उप-बीजगणित
सार्वभौमिक बीजगणित में, एक संरचना (गणितीय तर्क) का एक उपबीजगणित ए ए का एक उपसमुच्चय एस है जिसमें बीजगणितीय संचालन प्रतिबंधित होने पर उसी प्रकार के बीजगणित की संरचना भी होती है एस को. यदि किसी प्रकार की बीजगणितीय संरचना के सिद्धांतों को विविधता (सार्वभौमिक बीजगणित) द्वारा वर्णित किया जाता है, जैसा कि आम तौर पर सार्वभौमिक बीजगणित में होता है, तो केवल एक चीज जिसे जांचने की आवश्यकता है वह यह है कि एस बंद सबसेट है|बंद  संचालन के तहत।

कुछ लेखक बीजगणित को आंशिक फलन वाला मानते हैं। इनके लिए उपबीजगणित को परिभाषित करने के विभिन्न तरीके हैं। बीजगणित का एक अन्य सामान्यीकरण संबंधों की अनुमति देना है। इन अधिक सामान्य बीजगणितों को आमतौर पर संरचना (गणितीय तर्क) कहा जाता है, और इनका अध्ययन मॉडल सिद्धांत और सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में किया जाता है। संबंधों वाली संरचनाओं के लिए कमजोर और प्रेरित सबस्ट्रक्चर (गणित) की धारणाएं हैं।

उदाहरण
उदाहरण के लिए, सार्वभौमिक बीजगणित में समूह (गणित) के लिए मानक हस्ताक्षर है (&bull;, −1, 1). (समरूपता की सही धारणा प्राप्त करने के लिए व्युत्क्रम और इकाई की आवश्यकता होती है और ताकि समूह कानूनों को समीकरणों के रूप में व्यक्त किया जा सके।) इसलिए, समूह जी का एक उपसमूह जी का एक उपसमूह एस है जैसे कि:
 * G की पहचान e, S से संबंधित है (ताकि S पहचान स्थिरांक ऑपरेशन के तहत बंद हो);
 * जब भी x, S से संबंधित होता है, तो x भी S से संबंधित होता है−1 (ताकि S व्युत्क्रम संक्रिया के अंतर्गत बंद हो);
 * जब भी x और y, S से संबंधित होते हैं, तो ऐसा ही होता है x &bull; y (ताकि S समूह के गुणन संक्रिया के अंतर्गत बंद हो जाए)।