ब्राउनियन गति

ब्राउनियन गति, या पेडेसिस (से πήδησις "लीपिंग"), माध्यम (तरल या गैस) में निलंबित कणों की यादृच्छिक गति है। गति के इस पैटर्न में सामान्यतः द्रव उप-डोमेन के अंदर कण की स्थिति में यादृच्छिक उतार-चढ़ाव होते हैं, इसके पश्चात दूसरे उप-डोमेन में स्थानांतरण होता है। प्रत्येक स्थानांतरण के पश्चात  नई बंद मात्रा में अधिक उतार-चढ़ाव होता है। यह पैटर्न किसी दिए गए तापमान द्वारा परिभाषित थर्मल संतुलन पर तरल पदार्थ का वर्णन करता है। ऐसे तरल पदार्थ के भीतर, प्रवाह की कोई तरजीही दिशा उपस्थित  नहीं होती है (जैसा कि परिवहन घटना में)। अधिक विशेष रूप से, तरल पदार्थ की समग्र रैखिक गति और कोणीय गति गति समय के साथ शून्य रहती है। आणविक ब्राउनियन गतियों की गतिज ऊर्जा, आणविक घुमावों और कंपनों के साथ मिलकर, तरल पदार्थ की आंतरिक ऊर्जा (समविभाजन प्रमेय) के कैलोरी घटक के समान होती है।

इस गति का नाम वनस्पतिशास्त्री रॉबर्ट ब्राउन (वनस्पतिशास्त्री, जन्म 1773) के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने पहली बार 1827 में इस घटना का वर्णन किया था, जब उन्होंने पानी में डूबे पौधे सुंदर क्लार्किया के पराग पर माइक्रोस्कोप से देखा। 1905 में, लगभग अस्सी साल पश्चात, सैद्धांतिक भौतिक विज्ञानी अल्बर्ट आइंस्टीन ने Über die von dermolkularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten Susdierten Teilchen को प्रकाशित किया, जहां उन्होंने पराग कणों की गति को अलग-अलग पानी के अणुओं द्वारा स्थानांतरित किए जाने के रूप में प्रतिरूपित किया, जिससे उनका पहला प्रमुख वैज्ञानिक योगदान। परमाणु बमबारी के बल की दिशा लगातार बदल रही है, और अलग-अलग समय पर कण तरफ से दूसरी तरफ अधिक टकराते हैं, जिससे गति की यादृच्छिक प्रकृति प्रतीत होती है। ब्राउनियन गति की इस व्याख्या ने परमाणु और अणुओं के अस्तित्व के ठोस सबूत के रूप में कार्य किया और 1908 में जीन-बैप्टिस्ट पेरिन द्वारा प्रायोगिक रूप से इसे और सत्यापित किया गया। पेरिन को पदार्थ की असतत संरचना पर उनके काम के लिए 1926 में भौतिकी में नोबेल पुरस्कार से सम्मानित किया गया था। कई-शरीर की समस्या | कई-शरीर की बातचीत जो ब्राउनियन पैटर्न उत्पन्न करती है, प्रत्येक सम्मिलित अणु के लिए मॉडल लेखांकन द्वारा हल नहीं किया जा सकता है। परिणामस्वरूप, इसका वर्णन करने के लिए केवल सांख्यिकीय पहनावा पर लागू होने वाले संभाव्य मॉडल को नियोजित किया जा सकता है। सांख्यिकीय यांत्रिकी के दो ऐसे मॉडल, आइंस्टीन और स्मोलुचोव्स्की के कारण, नीचे प्रस्तुत किए गए हैं। मॉडलों का और शुद्ध संभाव्य वर्ग स्टोकेस्टिक प्रक्रिया मॉडल का वर्ग है। सरल और अधिक जटिल स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं दोनों के अनुक्रम उपस्थित  हैं जो ब्राउनियन गति के लिए अभिसरण (फलन की सीमा में) (यादृच्छिक चलना और डोंस्कर प्रमेय देखें)।

इतिहास
रोमन दार्शनिक-कवि ल्यूक्रेटियस की वैज्ञानिक कविता चीजों की प्रकृति पर (सी. 60 ई.पू.) में पुस्तक II के पद 113-140 में धूल के कणों की गति का उल्लेखनीय वर्णन है। वह इसे परमाणुओं के अस्तित्व के प्रमाण के रूप में उपयोग करता है:

"निरीक्षण करें कि क्या होता है जब सूर्य की किरणें किसी भवन में प्रवेश करती हैं और उसके छायादार स्थानों पर प्रकाश डालती हैं। आप बहुत से छोटे कणों को अनेक प्रकार से मिश्रित होते हुए देखेंगे, उनका नाचना पदार्थ की अंतर्निहित गतिविधियों का वास्तविक संकेत है जो हमारी दृष्टि से छिपा हुआ है, यह उन परमाणुओं से उत्पन्न होता है जो स्वयं चलते हैं [अर्थात, अनायास ]। फिर वे छोटे यौगिक पिंड जो परमाणुओं के आवेग से अल्प से अल्प दूर होते हैं, उनके अदृश्य प्रहारों के प्रभाव से और थोड़े बड़े पिंडों के परिवर्तित तोप के प्रभाव से गति में आ जाते हैं। तो गति परमाणुओं से ऊपर उठती है और धीरे-धीरे हमारी इंद्रियों के स्तर तक उभरती है जिससे कि वे शरीर गति में हों जिन्हें हम सूर्य की किरणों में देखते हैं, जो अदृश्य रहने वाले प्रहारों से चलते हैं।"

चूँकि धूल के कणों की आपस में टकराने, हिलने-डुलने की गति मुख्य रूप से हवा की धाराओं के कारण होती है, किन्तु छोटे धूल कणों की चमकदार, हिलती-डुलती गति मुख्य रूप से सच्चे ब्राउनियन गतिकी के कारण होती है; ल्युक्रेटियस गलत उदाहरण द्वारा ब्राउनियन आंदोलन का पूरी तरह से वर्णन और व्याख्या करता है। जबकि जान इंजेनहौज ने 1785 में इथेनॉल की सतह पर कोयलायले की धूल के कणों की अनियमित गति का वर्णन किया, इस घटना की शोध का श्रेय प्रायः 1827 में वनस्पतिशास्त्री रॉबर्ट ब्राउन (वनस्पतिशास्त्री, जन्म 1773) को दिया जाता है। ब्राउन क्लार्किया पौधे के पराग कणों का अध्ययन कर रहे थे। पल्चेला को सूक्ष्मदर्शी के नीचे पानी में निलंबित कर दिया गया जब उन्होंने सूक्ष्म कणों को देखा, जो पराग कणों द्वारा निकाले गए थे, झटकेदार गति को अंजाम दे रहे थे। अकार्बनिक पदार्थ के कणों के साथ प्रयोग को दोहराकर वह इस बात से इंकार करने में सक्षम था कि गति जीवन से संबंधित थी, चूँकि इसकी उत्पत्ति की व्याख्या अभी बाकी थी।

ब्राउनियन गति के पीछे के गणित का वर्णन करने वाले पहले व्यक्ति थे थोरवाल्ड एन. थिएले ने 1880 में प्रकाशित अल्प से अल्प वर्गों की विधि पर पेपर में। इसके पश्चात स्वतंत्र रूप से 1900 में लुइस बैचलर ने अपनी पीएचडी थीसिस द थ्योरी ऑफ स्पेकुलेशन में प्रस्तुत किया, जिसमें उन्होंने प्रस्तुत किया स्टॉक और विकल्प बाजारों का स्टोकेस्टिक विश्लेषण। शेयर बाजार के ब्राउनियन गति मॉडल को प्रायः उद्धृत किया जाता है, किन्तु बेनोइट मंडेलब्रॉट ने शेयर की कीमतों में उतार-चढ़ाव के लिए इसकी प्रयोज्यता को आंशिक रूप से खारिज कर दिया क्योंकि ये बंद हैं। अल्बर्ट आइंस्टीन (ऊष्मा के आणविक-गतिज सिद्धांत द्वारा आवश्यक तरल पदार्थ में निलंबित कणों की गति पर) और मैरियन स्मोलुचोव्स्की (1906) ने भौतिकविदों के ध्यान में समस्या का समाधान लाया, और इसे के रूप में प्रस्तुत किया। अप्रत्यक्ष रूप से परमाणुओं और अणुओं के अस्तित्व की पुष्टि करने का तरीका। ब्राउनियन गति का वर्णन करने वाले उनके समीकरण पश्चात में 1908 में जीन बैप्टिस्ट पेरिन के प्रायोगिक कार्य द्वारा सत्यापित किए गए।

आइंस्टीन का सिद्धांत
आइंस्टीन के सिद्धांत के दो भाग हैं: पहले भाग में ब्राउनियन कणों के लिए प्रसार समीकरण तैयार करना सम्मिलित है, जिसमें प्रसार गुणांक ब्राउनियन कण के औसत वर्ग विस्थापन से संबंधित है, जबकि दूसरा भाग प्रसार गुणांक से संबंधित है। मापने योग्य भौतिक मात्रा के लिए। इस तरह आइंस्टीन परमाणुओं के आकार को निर्धारित करने में सक्षम थे, और गैस के मोल में कितने परमाणु हैं, या ग्राम में आणविक भार। अवोगाद्रो के नियम के अनुसार, यह आयतन सभी आदर्श गैसों के लिए समान होता है, जो मानक तापमान और दबाव पर 22.414 लीटर होता है। इस आयतन में निहित परमाणुओं की संख्या को अवोगाद्रो संख्या के रूप में संदर्भित किया जाता है, और इस संख्या का निर्धारण परमाणु के द्रव्यमान के ज्ञान के समान है, क्योंकि उत्तरार्द्ध को गैस के दाढ़ द्रव्यमान को अवोगाद्रो द्वारा विभाजित करके प्राप्त किया जाता है। नियत।

आइंस्टीन के तर्क का पहला भाग यह निर्धारित करना था कि ब्राउनियन कण निश्चित समय अंतराल में कितनी दूर तक यात्रा करता है। शास्त्रीय यांत्रिकी इस दूरी को निर्धारित करने में असमर्थ है क्योंकि भारी संख्या में बमबारी से ब्राउनियन कण गुजरेगा, मोटे तौर पर 10 के क्रम में14 टक्कर प्रति सेकंड।

उन्होंने समय के साथ कण की स्थिति में वृद्धि पर विचार किया $$\tau$$ आयामी (x) स्थान में (चुने गए निर्देशांक के साथ जिससे किमूल कण की प्रारंभिक स्थिति में हो) यादृच्छिक चर के रूप में ($$\Delta$$) कुछ संभाव्यता घनत्व समारोह के साथ $$\varphi(\Delta)$$ (अर्थात।, $$\varphi(\Delta) $$ परिमाण की छलांग के लिए प्रायिकता घनत्व है $$\Delta$$, अर्थात, कण की प्रायिकता घनत्व से इसकी स्थिति में वृद्धि $$x$$ को $$x+\Delta$$ समय अंतराल में $$\tau$$). इसके अतिरिक्त, कण संख्या के संरक्षण को मानते हुए, उन्होंने संख्या घनत्व का विस्तार किया $$\rho(x,t+\tau)$$ (चारों ओर प्रति इकाई आयतन कणों की संख्या $$x$$) समय पर $$t + \tau$$ टेलर श्रृंखला में,

$$\begin{align} \rho(x,t) + \tau \frac{\partial\rho(x,t)}{\partial t} + \cdots ={}& \rho(x, t+\tau) \\ ={}& \int_{-\infty}^{\infty} \rho(x + \Delta, t) \cdot \varphi(\Delta) \, \mathrm{d} \Delta = \mathbb{E}_\Delta[\rho(x + \Delta, t)] \\ ={}& \rho(x, t) \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \varphi(\Delta) \, \mathrm{d} \Delta + \frac{\partial\rho}{\partial x} \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \Delta \cdot \varphi(\Delta) \, \mathrm{d} \Delta \\ &{}+ \frac{\partial^2 \rho}{\partial x^2} \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\Delta^2}{2} \cdot \varphi(\Delta) \, \mathrm{d} \Delta + \cdots \\ ={}& \rho(x, t) \cdot 1 + 0 + \frac{\partial^2 \rho}{\partial x^2} \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\Delta^2}{2} \cdot \varphi(\Delta) \, \mathrm{d} \Delta + \cdots \end{align}$$ जहां दूसरी समानता की परिभाषा के अनुसार है $$\varphi$$. संभाव्यता की परिभाषा के अनुसार पहले पद में समाकलन के समान है, और दूसरा और अन्य सम पद (अर्थात् पहला और अन्य विषम क्षण (गणित)) अंतरिक्ष समरूपता के कारण लुप्त हो जाते हैं। जो बचा है वह निम्नलिखित संबंध को जन्म देता है:

$$\frac{\partial\rho}{\partial t} = \frac{\partial^2 \rho}{\partial x^2} \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\Delta^2}{2\, \tau} \cdot \varphi(\Delta) \, \mathrm{d} \Delta + \text{higher-order even moments.}$$ जहां लाप्लासियन के पश्चात गुणांक, विस्थापन की संभावना का दूसरा क्षण $$\Delta$$, बड़े पैमाने पर प्रसार डी के रूप में व्याख्या की जाती है:

$$D = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\Delta^2}{2\, \tau} \cdot \varphi(\Delta) \, \mathrm{d} \Delta.$$ फिर ब्राउनियन कणों का घनत्व ρ बिंदु x पर समय t पर प्रसार समीकरण को संतुष्ट करता है:

$$\frac{\partial\rho}{\partial t} = D\cdot \frac{\partial^2\rho}{\partial x^2},$$ यह मानते हुए कि एन कण प्रारंभिक समय टी = 0 पर मूल से प्रारंभ होते हैं, प्रसार समीकरण का समाधान होता है

$$\rho(x,t) = \frac{N}{\sqrt{4\pi Dt}}e^{-\frac{x^2}{4Dt}}.$$ यह अभिव्यक्ति (जो माध्य के साथ सामान्य वितरण है $$ \mu=0$$ और विचरण $$ \sigma^2=2Dt$$ सामान्यतः ब्राउनियन गति कहा जाता है $$ B_t$$) आइंस्टीन को पल (गणित) की सीधे गणना करने की अनुमति दी। पहले क्षण को गायब होते हुए देखा जाता है, जिसका अर्थ है कि ब्राउनियन कण के बाईं ओर जाने की उतनी ही संभावना है जितनी कि दाईं ओर जाने की। चूँकि, दूसरा क्षण गैर-गायब है, द्वारा दिया जा रहा है

$$\overline{x^2}=2\,D\,t.$$ यह समीकरण बीता हुआ समय और विसारकता के संदर्भ में माध्य वर्ग विस्थापन को व्यक्त करता है। इस अभिव्यक्ति से आइंस्टीन ने तर्क दिया कि ब्राउनियन कण का विस्थापन बीता हुआ समय के समानुपाती नहीं है, जबकिइसके वर्गमूल के समानुपाती है। उनका तर्क ब्राउनियन कणों के संयोजन से एकल ब्राउनियन कण तक वैचारिक स्विच पर आधारित है: हम ही पल में कणों की सापेक्ष संख्या के साथ-साथ ब्राउनियन कण को ​​​​एक निश्चित बिंदु तक पहुंचने में लगने वाले समय के बारे में बात कर सकते हैं।. आइंस्टीन के सिद्धांत का दूसरा भाग प्रसार स्थिरांक को शारीरिक रूप से मापने योग्य मात्राओं से संबंधित करता है, जैसे कि निश्चित समय अंतराल में कण का औसत वर्ग विस्थापन। यह परिणाम अवोगाद्रो संख्या के प्रायोगिक निर्धारण और इसलिए अणुओं के आकार को सक्षम बनाता है। आइंस्टीन ने विरोधी ताकतों के मध्य स्थापित होने वाले गतिशील संतुलन का विश्लेषण किया। उनके तर्क की सुंदरता यह है कि अंतिम परिणाम इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि गतिशील संतुलन स्थापित करने में कौन सी ताकतें सम्मिलित हैं।

अपने मूल उपचार में, आइंस्टीन ने आसमाटिक दबाव प्रयोग माना, किन्तु अन्य तरीकों से भी यही निष्कर्ष निकाला जा सकता है।

उदाहरण के लिए, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में चिपचिपे द्रव में निलंबित कणों पर विचार करें। गुरुत्वाकर्षण कणों को व्यवस्थित करने के लिए जाता है, जबकि प्रसार उन्हें समरूप बनाने के लिए कार्य करता है, जिससे उन्हें अल्प सांद्रता वाले क्षेत्रों में ले जाया जाता है। गुरुत्वाकर्षण की क्रिया के तहत, कण v = μmg की नीचे की गति प्राप्त करता है, जहाँ m कण का द्रव्यमान है, g गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है, और μ द्रव में कण का आइंस्टीन संबंध (काइनेटिक सिद्धांत) है। सर जॉर्ज स्टोक्स, प्रथम बैरोनेट ने दिखाया था कि त्रिज्या r वाले गोलाकार कण के लिए गतिशीलता है $$\mu=\tfrac{1}{6\pi\eta r}$$, जहां η द्रव की गतिशील चिपचिपाहट है। गतिशील संतुलन की स्थिति में, और इज़ोटेर्मल द्रव की परिकल्पना के तहत, कणों को बैरोमेट्रिक सूत्र के अनुसार वितरित किया जाता है

$$\rho=\rho_o\,e^{-\frac{m\,g\,h}{k_{\rm B}\,T}},$$ जहां ρ - ρo ऊंचाई के अंतर से अलग किए गए कणों के घनत्व में अंतर है $$h = z - z_o$$, कB बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है (सार्वभौमिक गैस स्थिरांक, R का अवोगाद्रो स्थिरांक, N से अनुपात$A$), और टी थर्मोडायनामिक तापमान है।

गतिशील संतुलन स्थापित होता है क्योंकि जितना अधिक कण गुरुत्वाकर्षण द्वारा नीचे खींचे जाते हैं, कणों की अल्प सांद्रता वाले क्षेत्रों में प्रवास करने की प्रवृत्ति उतनी ही अधिक होती है। फ़्लक्स फ़िक के विसरण के नियमों द्वारा दिया गया है | फ़िक का नियम,

$$J=-D\frac{d\rho}{dh},$$ जहां जे = ρv। ρ के सूत्र को प्रस्तुत करने पर, हम पाते हैं कि

$$v=\frac{Dmg}{k_{\rm B}T}.$$ गतिशील संतुलन की स्थिति में, यह गति भी v = μmg के समान होनी चाहिए। v के लिए दोनों भाव mg के समानुपाती हैं, यह दर्शाता है कि व्युत्पत्ति माने जाने वाले बलों के प्रकार से स्वतंत्र है। इसी प्रकार, परिमाण E के एकसमान विद्युत क्षेत्र में आवेश q के समान आवेशित कणों के लिए तुल्य सूत्र व्युत्पन्न किया जा सकता है, जहाँ mg को विद्युतस्थैतिक बल qE से प्रतिस्थापित किया जाता है। इन दो भावों की बराबरी करने से आइंस्टीन रिलेशन (काइनेटिक थ्योरी) पैदा होता है, जो एमजी या क्यूई या ऐसे अन्य बलों से स्वतंत्र होता है:

$$ \frac{\overline{x^2}}{2t}= D=\mu k_{\rm B}T =\frac{\mu RT}{N_\text{A}}= \frac{RT}{6\pi\eta rN_\text{A}}.$$ यहाँ पहली समानता आइंस्टीन के सिद्धांत के पहले भाग से आती है, तीसरी समानता बोल्ट्जमैन स्थिरांक की परिभाषा से k के रूप में अनुसरण करती हैB = आर / एन$A$, और चौथी समानता गतिशीलता के लिए स्टोक्स के सूत्र से आती है। सार्वभौमिक गैस स्थिरांक R, तापमान T, चिपचिपाहट η, और कण त्रिज्या r, अवोगाद्रो स्थिरांक N के साथ समय अंतराल पर माध्य वर्ग विस्थापन को मापकर$A$ निर्धारित किया जा सकता है।

आइंस्टीन द्वारा प्रस्तावित गतिशील संतुलन का प्रकार नया नहीं था। यह पहले जे जे थॉमसन द्वारा बताया गया था मई 1903 में येल विश्वविद्यालय में अपने व्याख्यान की श्रृंखला में कि फिक के नियम द्वारा दिए गए सांद्रण प्रवणता द्वारा उत्पन्न वेग और आयनों के गतिमान होने पर आंशिक दबाव की भिन्नता के कारण वेग के मध्य गतिशील संतुलन हमें विधि देता है अवोगाद्रो स्थिरांक का निर्धारण करना जो अणुओं के आकार या आकार के रूप में किसी भी परिकल्पना से स्वतंत्र है, या जिस तरह से वे दूसरे पर कार्य करते हैं।

1888 में वाल्थर नर्नस्ट  द्वारा प्रसार गुणांक के लिए आइंस्टीन के सूत्र की समान अभिव्यक्ति भी पाई गई थी। जिसमें उन्होंने प्रसार गुणांक को आसमाटिक दबाव के अनुपात के रूप में घर्षण के अनुपात और जिस गति से यह वृद्धि देता है, के रूप में व्यक्त किया। पूर्व को वैन 'टी हॉफ कारक | वैन' टी हॉफ के कानून के समान किया गया था जबकि पश्चात  वाले को स्टोक्स के कानून द्वारा दिया गया था। वह लिखता है $$k' = p_o/k$$ प्रसार गुणांक k' के लिए, जहाँ $$p_o$$ आसमाटिक दबाव है और k आणविक चिपचिपाहट के लिए घर्षण बल का अनुपात है जिसे वह मानते हैं कि चिपचिपाहट के लिए स्टोक्स के सूत्र द्वारा दिया गया है। आसमाटिक दबाव के लिए आदर्श गैस नियम प्रति इकाई आयतन प्रस्तुत करने पर, सूत्र आइंस्टीन के समान हो जाता है। नर्नस्ट के मामले में स्टोक्स के नियम का उपयोग, साथ ही साथ आइंस्टीन और स्मोलुचोव्स्की में, सख्ती से लागू नहीं होता है क्योंकि यह उस मामले पर लागू नहीं होता है जहां औसत मुक्त पथ की तुलना में गोले की त्रिज्या छोटी होती है। सबसे पहले, आइंस्टीन के सूत्र की भविष्यवाणियों को 1906 और 1907 में स्वेडबर्ग द्वारा प्रयोगों की श्रृंखला द्वारा खंडन किया गया था, जिसने कणों के विस्थापन को अनुमानित मान से 4 से 6 गुना और हेनरी द्वारा 1908 में विस्थापन को 3 गुना अधिक पाया। आइंस्टीन के सूत्र की भविष्यवाणी की। किन्तु आइंस्टीन की भविष्यवाणियों की अंततः 1908 में चाउडेसिग्यूज और 1909 में पेरिन द्वारा किए गए प्रयोगों की श्रृंखला में पुष्टि की गई। आइंस्टीन के सिद्धांत की पुष्टि ने गैसों के गतिज सिद्धांत के लिए अनुभवजन्य प्रगति का गठन किया। संक्षेप में, आइंस्टीन ने दिखाया कि गति की भविष्यवाणी सीधे थर्मल संतुलन के गतिज मॉडल से की जा सकती है। सिद्धांत का महत्व इस तथ्य में निहित है कि यह अनिवार्य रूप से सांख्यिकीय कानून होने के नाते उष्मागतिकी के दूसरे नियम के गतिज सिद्धांत के खाते की पुष्टि करता है।



स्मोलुचोव्स्की मॉडल
स्मोलुचोव्स्की का ब्राउनियन गति का सिद्धांत आइंस्टीन के समान आधार से प्रारंभ होता है और समय t में x के साथ ब्राउनियन कण के विस्थापन के लिए समान संभावना वितरण ρ(x, t) प्राप्त करता है। इसलिए उन्हें औसत वर्ग विस्थापन के लिए समान अभिव्यक्ति मिलती है: $$\overline{(\Delta x)^2}$$ चूँकि, जब वह इसे वेग से गतिमान द्रव्यमान m के कण से संबंधित करता है $$u$$ जो स्टोक्स के नियम द्वारा शासित घर्षण बल का परिणाम है, वह पाता है
 * $$\overline{(\Delta x)^2}=2Dt=t\frac{32}{81}\frac{mu^2}{\pi\mu a}=t\frac{64}{27}\frac{\frac{1}{2}mu^2}{3\pi\mu a},$$

जहां μ चिपचिपापन गुणांक है, और $$a$$ कण की त्रिज्या है। गतिज ऊर्जा को संबद्ध करना $$mu^2/2$$ तापीय ऊर्जा RT/N के साथ, माध्य वर्ग विस्थापन के लिए व्यंजक आइंस्टीन द्वारा शोध किये गए व्यंजक का 64/27 गुना है। अंश 27/64 पर अर्नोल्ड सोमरफेल्ड ने स्मोलुचोव्स्की पर अपने नेक्रोलॉजी में टिप्पणी की थी: आइंस्टीन का संख्यात्मक गुणांक, जो 27/64 से स्मोलुचोव्स्की से भिन्न है, केवल संदेह में रखा जा सकता है।

स्मोलुचोव्स्की इस प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करता है कि ब्राउनियन कण को ​​छोटे कणों की बमबारी से विस्थापित क्यों किया जाना चाहिए जब अग्रिम और पीछे की दिशाओं में इससे टकराने की संभावनाएँ समान होती हैं।

यदि m लाभ और n−m हानियों की प्रायिकता द्विपद बंटन के पश्चात होती है,


 * $$P_{m,n}=\binom{n}{m} 2^{-n},$$

1/2 की समान प्राथमिक संभावनाओं के साथ, औसत कुल लाभ है


 * $$\overline{2m-n}=\sum_{m=\frac{n}{2}}^n (2m-n)P_{m,n}=\frac{n n!}{2^n \left [ \left (\frac{n}{2} \right )! \right ]^2}.$$

यदि n इतना बड़ा है कि स्टर्लिंग के सन्निकटन को रूप में प्रयोग किया जा सके
 * $$n!\approx\left(\frac{n}{e}\right)^n\sqrt{2\pi n},$$

तो अपेक्षित कुल लाभ होगा
 * $$\overline{2m-n}\approx\sqrt{\frac{2n}{\pi}},$$

यह दर्शाता है कि यह कुल जनसंख्या के वर्गमूल के रूप में बढ़ता है।

मान लीजिए कि द्रव्यमान M का ब्राउनियन कण द्रव्यमान m के हल्के कणों से घिरा हुआ है जो गति u से यात्रा कर रहे हैं। फिर, स्मोलुचोव्स्की के कारण, निकट के और ब्राउनियन कणों के मध्य किसी भी टक्कर में, अंत वाले का प्रेषित वेग mu/M होगा। यह अनुपात 10−7 cm/s/ के क्रम का है। किन्तु हमें यह भी ध्यान रखना होगा कि गैस में एक सेकंड में 1016 से अधिक टकराव होंगे, और तरल में उससे भी अधिक जहां हम उम्मीद करते हैं कि एक सेकंड में 1020 टकराव होंगे। इनमें से कुछ टक्करों की प्रवृत्ति ब्राउनियन कण को ​​गति देने की होगी; अन्य इसे धीमा करने के लिए प्रवृत्त होंगे। यदि एक सेकंड में 108 से 1010 टक्करों के क्रम में एक प्रकार की टक्कर या दूसरे की औसत अधिकता है, तो ब्राउनियन कण का वेग कहीं भी 10 और 1000 cm/s के मध्य हो सकता है। इस प्रकार, भले ही आगे और पीछे की टक्करों के लिए समान संभावनाएं हों, ब्राउनियन कण को ​​गति में रखने की शुद्ध प्रवृत्ति होगी, जैसा कि मतपत्र प्रमेय भविष्यवाणी करता है।

परिमाण के ये आदेश सटीक नहीं हैं क्योंकि वे ब्राउनियन कण, यू के वेग को ध्यान में नहीं रखते हैं, जो उन टक्करों पर निर्भर करता है जो इसे तेज और धीमा करते हैं। यू जितना बड़ा होगा, टक्कर उतनी ही अधिक होगी जो इसे मंद कर देगी जिससे किब्राउनियन कण का वेग बिना सीमा के कभी नहीं बढ़ सकता। क्या ऐसी प्रक्रिया हो सकती है, यह दूसरे प्रकार की सतत गति के समान होगी। और चूँकि ऊर्जा का समविभाजन लागू होता है, ब्राउनियन कण की गतिज ऊर्जा, $$MU^2/2$$, औसतन, आसपास के द्रव कण की गतिज ऊर्जा के समान होगा, $$mu^2/2$$.

1906 में स्मोलुचोव्स्की ने ब्राउनियन गति से गुजर रहे कण का वर्णन करने के लिए आयामी मॉडल प्रकाशित किया। मॉडल एम ≫ एम के साथ टकराव मानता है जहां एम परीक्षण कण का द्रव्यमान है और द्रव बनाने वाले व्यक्तिगत कणों में से का द्रव्यमान है। यह माना जाता है कि कण टकराव आयाम तक ही सीमित हैं और परीक्षण कण के बाईं ओर से हिट होने की समान संभावना है। यह भी माना जाता है कि प्रत्येक टक्कर हमेशा ΔV का समान परिमाण प्रदान करती है। यदि एनR दाईं ओर से टकरावों की संख्या है और NL बाईं ओर से टक्करों की संख्या N टक्करों के पश्चात कण के वेग में ΔV(2N) का परिवर्तन होगाR− एन). बहुलता (गणित) तब सरलता से दी जाती है:


 * $$ \binom{N}{N_{\rm R}} = \frac{N!}{N_{\rm R}!(N-N_{\rm R})!}$$

और संभावित राज्यों की कुल संख्या 2 द्वारा दी गई हैएन. इसलिए, कण के दाएँ N से टकराने की संभावनाRसमय है:


 * $$P_N(N_{\rm R})=\frac{N!}{2^NN_{\rm R}!(N-N_{\rm R})!}$$

इसकी सादगी के परिणामस्वरूप, स्मोलुचोव्स्की का 1डी मॉडल केवल गुणात्मक रूप से ब्राउनियन गति का वर्णन कर सकता है। तरल पदार्थ में ब्राउनियन गति से गुजरने वाले यथार्थवादी कण के लिए, कई धारणाएँ लागू नहीं होती हैं। उदाहरण के लिए, यह धारणा है कि कण के गति में होने पर औसतन दाईं ओर से उतनी ही संख्या में टक्कर होती है जितनी बाईं ओर से गिरती है। साथ ही, यथार्थवादी स्थिति में हमेशा केवल के अतिरिक्त विभिन्न संभावित ΔV का वितरण होगा।

आंशिक अवकल समीकरणों का उपयोग करने वाले अन्य भौतिकी मॉडल
प्रसार समीकरण भौतिक परिभाषा के अंतर्गत ब्राउनियन आंदोलन के अंतर्गत जाने वाले कण की स्थिति से जुड़े संभाव्यता घनत्व फलन के समय के विकास का अनुमान लगाता है। सन्निकटन अल्प समय के पर मान्य है।

ब्राउनियन कण की स्थिति के समय विकास को लैंगविन समीकरण का उपयोग करके सबसे अच्छा वर्णित किया गया है, समीकरण जिसमें कण पर विलायक के थर्मल उतार-चढ़ाव के प्रभाव का प्रतिनिधित्व करने वाला यादृच्छिक बल क्षेत्र सम्मिलित है।

ब्राउनियन गति से गुजर रहे कण का विस्थापन उचित सीमा स्थितियों के अंतर्गत प्रसार समीकरण का समाधान करके और समाधान के rms को ज्ञात करके प्राप्त किया जाता है। इससे ज्ञात होता है कि विस्थापन समय के वर्गमूल (रैखिक रूप से नहीं) के रूप में भिन्न होता है, जो बताता है कि ब्राउनियन कणों के वेग से संबंधित प्राचीन प्रायोगिक परिणामों ने निरर्थक परिणाम क्यों दिए। रेखीय समय निर्भरता को त्रुटिपूर्ण प्रकार से ग्रहण किया गया था।

चूँकि, बहुत अल्प समय के पैमाने पर, कण की गति इसकी जड़ता से प्रभावित होती है और इसका विस्थापन रैखिक रूप से समय पर निर्भर करेगा: Δx = vΔt तो ब्राउनियन गति के तात्कालिक वेग को v = Δx/Δt के रूप में मापा जा सकता है, जब Δt << τ, जहां τ संवेग विश्राम समय है। 2010 में, ब्राउनियन कण (ऑप्टिकल चिमटी के साथ हवा में फंसा कांच का माइक्रोस्फीयर) का तात्कालिक वेग सफलतापूर्वक मापा गया था। वेग डेटा ने मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वेग वितरण, और ब्राउनियन कण के समविभाजन प्रमेय को सत्यापित किया।

खगोल भौतिकी: आकाशगंगाओं के अंदर तारों की गति
तारकीय गतिशीलता में, विशाल पिंड (तारा, ब्लैक होल, आदि) ब्राउनियन गति का अनुभव कर सकता है क्योंकि यह निकट के सितारों से गुरुत्वाकर्षण के प्रति प्रतिक्रिया करता है। बड़े पैमाने पर वस्तु का rms वेग V, द्रव्यमान M का, rms वेग से संबंधित है $$v_\star$$ द्वारा पृष्ठभूमि सितारों की
 * $$ MV^2 \approx m v_\star^2 $$

जहाँ $$m\ll M$$ पृष्ठभूमि सितारों का द्रव्यमान है। विशाल वस्तु से गुरुत्वाकर्षण बल निकट के सितारों को तीव्रता से आगे बढ़ने का कारण बनता है, अन्यथा $$v_\star$$ और V दोनों में वृद्धि होती है। मिल्की वे आकाशगंगा के केंद्र में अत्यधिक द्रव्यमान वाला ब्लैक होल Sgr A* का ब्राउनियन वेग, इस सूत्र से 1 km s-1 अल्प होने का अनुमान लगाया गया है।

गणित
गणित में, ब्राउनियन गति का वर्णन वीनर प्रक्रिया द्वारा किया जाता है, नॉर्बर्ट वीनर के सम्मान में नामित निरंतर-समय की स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है। यह सबसे प्रसिद्ध लेवी प्रक्रियाओं में से है, (स्थिर स्वतंत्र वेतन वृद्धि के साथ कैडलैग स्टोकेस्टिक प्रक्रिया) और प्रायः शुद्ध और अनुप्रयुक्त गणित, अर्थव्यवस्था और भौतिकी में होती है। वीनर प्रक्रिया Wt की विशेषता चार तथ्यों से है: $$\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$$ अपेक्षित मान μ और विचरण σ2 के साथ सामान्य वितरण को दर्शाता है । शर्त यह है कि इसमें स्वतंत्र वेतन वृद्धि है, इसका तात्पर्य है कि यदि $0 \leq s_1 < t_1 \leq s_2 < t_2$ तब $W_{t_1}-W_{s_1}$ और $W_{t_2}-W_{s_2}$ स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं। इसके अतिरिक्त, कुछ निस्पंदन (संभावना सिद्धांत) के लिए $\mathcal{F}_t$, $W_t$ है $\mathcal{F}_t$ सभी के लिए मापने योग्य $t\geq 0$ है।
 * 1) W0 = 0
 * 2) Wtलगभग निश्चित रूप से निरंतर है
 * 3) Wt की स्वतंत्र वृद्धि होती है
 * 4) $$W_t-W_s\sim \mathcal{N}(0,t-s)$$ (के लिए $$0 \leq s \le t$$).

वीनर प्रक्रिया का वैकल्पिक लक्षण वर्णन तथाकथित लेवी लक्षण वर्णन है जो कहता है कि वीनर प्रक्रिया W0 = 0 और द्विघात भिन्नता $$[W_t, W_t] = t$$ के साथ लगभग निश्चित रूप से निरंतर मार्टिंगेल है।

तीसरा लक्षण वर्णन यह है कि वीनर प्रक्रिया में साइन श्रृंखला के रूप में वर्णक्रमीय प्रतिनिधित्व होता है जिसके गुणांक स्वतंत्र होते हैं $$\mathcal{N}(0, 1)$$ यादृच्छिक चर हैं। यह प्रतिनिधित्व कोसंबी-करहुनेन-लोव प्रमेय का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।

वीनर प्रक्रिया को यादृच्छिक चलने की स्केलिंग सीमा, या स्थिर स्वतंत्र वेतन वृद्धि के साथ अन्य असतत-समय स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के रूप में बनाया जा सकता है। इसे डोंस्कर प्रमेय के रूप में जाना जाता है। रैंडम वॉक के जैसे, वीनर प्रक्रिया एक या दो आयामों में आवर्तक होती है (जिसका अर्थ है कि यह निश्चित रूप से मूल के किसी भी निश्चित निकट में असीम रूप से लौटती है) जबकि यह तीन और उच्चतर आयामों में आवर्तक नहीं है। रैंडम वॉक के विपरीत, यह स्केल इनवेरियन है।

ब्राउनियन कण की स्थिति के समय के विकास को लगभग लैंग्विन समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है, समीकरण जिसमें यादृच्छिक बल क्षेत्र सम्मिलित होता है जो ब्राउनियन कण पर विलायक के थर्मल उतार-चढ़ाव के प्रभाव का प्रतिनिधित्व करता है। लंबे समय के पैमाने पर, गणितीय ब्राउनियन गति को लैंगविन समीकरण द्वारा अच्छे प्रकार से वर्णित किया गया है। छोटे समय के पैमाने पर, लैंग्विन समीकरण में जड़त्वीय प्रभाव प्रचलित हैं। चूँकि गणितीय ब्राउनियन गति ऐसे जड़त्वीय प्रभावों से मुक्त है। लैंगविन समीकरण में जड़त्वीय प्रभावों पर विचार करना होगा, अन्यथा समीकरण एकवचन बन जाता है। जिससे कि इस समीकरण से केवल जड़ता शब्द को विस्थापित करने से त्रुटिहीन विवरण न मिले, जबकि विलक्षण व्यवहार जिसमें कण पूर्णतः गति नहीं करता है।

सांख्यिकी
ब्राउनियन गति को यादृच्छिक चाल द्वारा प्रतिरूपित किया जा सकता है।

सामान्य स्थिति में, ब्राउनियन गति मार्कोव प्रक्रिया है और स्टोचैस्टिक कैलकुलस द्वारा वर्णित है।

लेवी लक्षण वर्णन
फ्रांसीसी गणितज्ञ पॉल लेवी ने निम्नलिखित प्रमेय को सिद्ध किया, जो निरंतर Rn-मूल्यवान स्टोकेस्टिक प्रक्रिया X के लिए वास्तव में n-आयामी ब्राउनियन गति होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति देता है। इसलिए, लेवी की स्थिति वास्तव में ब्राउनियन गति की वैकल्पिक परिभाषा के रूप में उपयोग की जा सकती है।

माना X= (X1, ...,Xn) Rn में मान लेने वाले प्रायिकता स्थान (Ω, Σ, P) पर सतत स्टोकेस्टिक प्रक्रिया हो। उसके पश्चात निम्न समान हैं:


 * X, 'P' के संबंध में ब्राउनियन गति है, अर्थात, 'P' के संबंध में X का नियम n-आयामी ब्राउनियन गति के नियम के समान है, अर्थात, पुश-फॉरवर्ड माप X∗(P) C0([0, +∞); Rn) पर शास्त्रीय वीनर माप है।
 * 1) दोनों
 * X, 'P' (और अपने स्वयं के प्राकृतिक निस्पंदन) के संबंध में मार्टिंगेल है; और
 * 1) सभी के लिए 1 ≤ i, j ≤ n, Xi(t) Xj(t) -δijt  'P' (और अपने स्वयं के प्राकृतिक निस्पंदन) के संबंध में मार्टिंगेल है, जहां δij क्रोनकर डेल्टा को दर्शाता है।

वर्णक्रमीय सामग्री
स्टोकेस्टिक प्रक्रिया की वर्णक्रमीय सामग्री $$X_t$$ औपचारिक रूप से परिभाषित शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व से पाया जा सकता है

$$S(\omega)=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\mathbb{E}\left\{ \left|\int^T_0 e^{i \omega t} X_t dt \right|^2\right\}, $$ जहाँ $$\mathbb{E}$$ अपेक्षित मान दर्शाता है। ब्राउनियन गति का शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व पाया जाता है

$$S_{BM}(\omega)=\frac{4 D}{\omega^2}.$$ जहाँ $$D$$, $$X_t$$का प्रसार गुणांक है। स्वाभाविक रूप से होने वाले संकेतों के लिए, वर्णक्रमीय सामग्री को एकल प्राप्ति के शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व से परिमित उपलब्ध समय के साथ पाया जा सकता है। अर्थात,

$$S^{(1)}(\omega,T)=\frac{1}{T}\left|\int^T_0 e^{i \omega t}X_t dt\right|^2 ,$$ जो ब्राउनियन गति प्रक्षेपवक्र के व्यक्तिगत अहसास के लिए, यह अपेक्षित मान पाया जाता है $$\mu_{BM}(\omega,T)$$

$$\mu_{BM}(\omega,T)=\frac{4 D}{\omega^2}\left[1-\frac{\sin\left(\omega T\right)}{\omega T}\right]$$ और विचरण $$\sigma_{BM}^2(\omega,T)$$

$$\sigma_S^2(f,T)=\mathbb{E}\left\{\left(S^{(j)}_T(f)\right)^2\right\}-\mu_S^2 (f,T) =\frac{20 D^2}{f^4}\left[1-\Big(6-\cos\left(f T\right)\Big) \frac{2\sin\left( fT\right)}{5fT} +\frac{\Big(17-\cos\left(2fT\right) - 16\cos\left(f T\right)\Big)}{10 f^2 T^2} \right].$$ पर्याप्त रूप से लंबे अहसास के समय के लिए, एकल प्रक्षेपवक्र के पावर स्पेक्ट्रम का अपेक्षित मान औपचारिक रूप से परिभाषित पावर वर्णक्रमीय घनत्व $$S(\omega)$$ में परिवर्तित हो जाता है, किन्तु इसकी भिन्नता का गुणांक $$\gamma = \sqrt{\sigma^2}/\mu$$ $$\sqrt{5}/2$$ की ओर जाता है इसका तात्पर्य वितरण $$S^{(1)}(\omega,T)$$ से है, जो अनंत समय सीमा में भी व्यापक है।

रीमानियन मैनिफोल्ड
Rn पर ब्राउनियन गति का अत्यल्प जनित्र (और इसलिए विशिष्ट संकारक) की गणना सरलता से ½Δ के रूप में की जाती है, जहां Δ लाप्लास संकारक को दर्शाता है।  मूर्ति प्रोद्योगिकी और कंप्यूटर दृष्टि में, लाप्लासियन ऑपरेटर का उपयोग ब्लॉब और एज डिटेक्शन जैसे विभिन्न कार्यों के लिए किया गया है। यह अवलोकन ब्राउनियन गति को एम-आयामी रीमैनियन मैनिफोल्ड (M, g) पर परिभाषित करने में उपयोगी है: 'M पर ब्राउनियन गति' को एम पर प्रसार के रूप में परिभाषित किया गया है जिसका विशेषता ऑपरेटर $$\mathcal{A}$$ स्थानीय निर्देशांक में xi, 1 ≤ i ≤ m, ½ΔLB द्वारा दिया जाता है, जहां ΔLB द्वारा स्थानीय निर्देशांक में दिया गया लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर है


 * $$\Delta_{\mathrm{LB}}=\frac{1}{\sqrt{\det(g)}} \sum_{i=1}^m \frac{\partial}{\partial x_i} \left(\sqrt{\det(g)} \sum_{j=1}^m g^{ij} \frac{\partial}{\partial x_j} \right),$$

जहां [gij] = [gij]-1 वर्ग आव्यूह के अर्थ में है।

संकीर्ण पलायन
संकरे पलायन की समस्या जीव विज्ञान, जीवभौतिकी और कोशिकीय जीव विज्ञान में सर्वव्यापी समस्या है जिसका निम्नलिखित सूत्रीकरण है: ब्राउनियन कण (आयन, अणु, या प्रोटीन) परावर्तक सीमा द्वारा परिबद्ध डोमेन (कक्ष या कोशिका) तक सीमित है, छोटी सी खिड़की को छोड़कर जिसके माध्यम से वह बच सकता है। संकीर्ण पलायन समस्या माध्य पलायन समय की गणना करना है। यह समय खिड़की के सिकुड़ने के कारण अलग हो जाता है, इस प्रकार गणना को विलक्षण गड़बड़ी की समस्या के रूप में प्रस्तुत करता है।

यह भी देखें

 * ब्राउनियन पुल : एक ब्राउनियन गति जो निर्दिष्ट समय पर निर्दिष्ट मूल्यों को पाटने के लिए आवश्यक है
 * ब्राउनियन सहप्रसरण
 * ब्राउनियन गतिकी
 * सॉल कणों की ब्राउनियन गति
 * ब्राउनियन पेड़
 * ब्राउनियन शोर (मार्टिन गार्डनर ने यादृच्छिक अंतराल के साथ उत्पन्न ध्वनि के लिए यह नाम प्रस्तावित किया। यह ब्राउनियन गति और सफेद शोर पर एक वाक्य है।)
 * ब्राउनियन शाफ़्ट
 * ब्राउनियन सतह
 * ब्राउनियन वृक्ष
 * ब्राउनियन वेब
 * घूर्णी ब्राउनियन गति
 * पुरातनता में स्वतंत्र इच्छा#Epicureanism
 * जटिल सिस्टम
 * सातत्य समीकरण
 * प्रसार समीकरण
 * ज्यामितीय ब्राउनियन गति
 * इतो प्रसार: ब्राउनियन गति का एक सामान्यीकरण
 * लैंग्विन समीकरण
 * लेवी आर्क्सिन कानून
 * स्थानीय समय (गणित)
 * अनेक-शरीर की समस्या
 * मारंगोनी प्रभाव
 * नैनोपार्टिकल ट्रैकिंग विश्लेषण
 * संकरे बचने की समस्या
 * असमस
 * यादृच्छिक चाल
 * श्रैम-लोवेनर विकास
 * एकल कण प्रक्षेपवक्र
 * एकल कण ट्रैकिंग
 * सांख्यिकीय यांत्रिकी
 * भूतल प्रसार: एक प्रकार की विवश ब्राउनियन गति।
 * थर्मल संतुलन
 * थर्मोडायनामिक संतुलन
 * त्रिभुज संवेदन
 * टिंडल प्रभाव: एक ऐसी घटना जिसमें कण शामिल होते हैं; विभिन्न प्रकार के मिश्रणों के बीच अंतर करने के लिए उपयोग किया जाता है।
 * अल्ट्रामाइक्रोस्कोप

अग्रिम पठन

 * Also includes a subsequent defense by Brown of his original observations, Additional remarks on active molecules.
 * Lucretius, On The Nature of Things, translated by William Ellery Leonard. (on-line version, from Project Gutenberg. See the heading 'Atomic Motions'; this translation differs slightly from the one quoted).
 * Nelson, Edward, (1967). Dynamical Theories of Brownian Motion. (PDF version of this out-of-print book, from the author's webpage.) This is primarily a mathematical work, but the first four chapters discuss the history of the topic, in the era from Brown to Einstein.
 * See also Perrin's book "Les Atomes" (1914).
 * Theile, T. N.
 * Danish version: "Om Anvendelse af mindste Kvadraters Methode i nogle Tilfælde, hvor en Komplikation af visse Slags uensartede tilfældige Fejlkilder giver Fejlene en 'systematisk' Karakter".
 * French version: "Sur la compensation de quelques erreurs quasi-systématiques par la méthodes de moindre carrés" published simultaneously in Vidensk. Selsk. Skr. 5. Rk., naturvid. og mat. Afd., 12:381–408, 1880.
 * Lucretius, On The Nature of Things, translated by William Ellery Leonard. (on-line version, from Project Gutenberg. See the heading 'Atomic Motions'; this translation differs slightly from the one quoted).
 * Nelson, Edward, (1967). Dynamical Theories of Brownian Motion. (PDF version of this out-of-print book, from the author's webpage.) This is primarily a mathematical work, but the first four chapters discuss the history of the topic, in the era from Brown to Einstein.
 * See also Perrin's book "Les Atomes" (1914).
 * Theile, T. N.
 * Danish version: "Om Anvendelse af mindste Kvadraters Methode i nogle Tilfælde, hvor en Komplikation af visse Slags uensartede tilfældige Fejlkilder giver Fejlene en 'systematisk' Karakter".
 * French version: "Sur la compensation de quelques erreurs quasi-systématiques par la méthodes de moindre carrés" published simultaneously in Vidensk. Selsk. Skr. 5. Rk., naturvid. og mat. Afd., 12:381–408, 1880.
 * Theile, T. N.
 * Danish version: "Om Anvendelse af mindste Kvadraters Methode i nogle Tilfælde, hvor en Komplikation af visse Slags uensartede tilfældige Fejlkilder giver Fejlene en 'systematisk' Karakter".
 * French version: "Sur la compensation de quelques erreurs quasi-systématiques par la méthodes de moindre carrés" published simultaneously in Vidensk. Selsk. Skr. 5. Rk., naturvid. og mat. Afd., 12:381–408, 1880.
 * French version: "Sur la compensation de quelques erreurs quasi-systématiques par la méthodes de moindre carrés" published simultaneously in Vidensk. Selsk. Skr. 5. Rk., naturvid. og mat. Afd., 12:381–408, 1880.

बाहरी संबंध

 * Einstein on Brownian Motion
 * Discusses history, botany and physics of Brown's original observations, with videos
 * "Einstein's prediction finally witnessed one century later" : a test to observe the velocity of Brownian motion
 * Large-Scale Brownian Motion Demonstration