अनुवाद (ज्यामिति)

फ़ाइल: Simx2 =transl OK.svg|right|thumb|एक धुरी के खिलाफ एक लाल आकृति का प्रतिबिंब (गणित)  जिसके परिणामस्वरूप हरे रंग की आकृति का प्रतिबिंब दूसरे अक्ष के समानांतर होता है, जिसके परिणामस्वरूप कुल गति होती है, जो नीले आकार की स्थिति के लिए लाल आकार का अनुवाद है।.

यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक अनुवाद एक  ज्यामितीय परिवर्तन  है जो किसी दिए गए दिशा में समान  दूरी ज्यामिति  द्वारा आकृति, आकार या स्थान के प्रत्येक बिंदु को स्थानांतरित करता है। एक अनुवाद को हर बिंदु पर एक स्थिर सदिश स्थान के अतिरिक्त, या समन्वय प्रणाली के मूल (गणित) को स्थानांतरित करने के रूप में भी व्याख्या किया जा सकता है।  यूक्लिडियन अंतरिक्ष  में, कोई भी अनुवाद एक  आइसोमेट्री  है।

एक समारोह के रूप में
यदि $$\mathbf{v} $$ एक निश्चित सदिश है, जिसे अनुवाद सदिश के रूप में जाना जाता है, और $$\mathbf{p}$$ किसी वस्तु की प्रारंभिक स्थिति है, फिर अनुवाद कार्य $$T_{\mathbf{v}} $$ रूप में काम करेगा $$ T_{\mathbf{v}}(\mathbf{p})=\mathbf{p}+\mathbf{v}$$.

यदि $$ T$$ एक अनुवाद है, फिर एक सबसेट की छवि (गणित) । $$ A $$ समारोह के तहत (गणित) $$ T$$ का अनुवाद है $$ A $$ द्वारा $$ T $$. का अनुवाद $$A $$ द्वारा $$T_{\mathbf{v}} $$ अक्सर लिखा जाता है $$A+\mathbf{v} $$.

क्षैतिज और लंबवत अनुवाद
ज्यामिति में, वर्टिकल ट्रांसलेशन (जिसे वर्टिकल शिफ्ट के रूप में भी जाना जाता है)  कार्तीय समन्वय प्रणाली  के वर्टिकल एक्सिस के समानांतर दिशा में एक ज्यामितीय वस्तु का अनुवाद है।

अक्सर, फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए लंबवत अनुवादों पर विचार किया जाता है। अगर f, x का कोई फ़ंक्शन है, तो फ़ंक्शन f(x) + c का ग्राफ़ (जिसके मान f के मानों में कॉन्स्टेंट (गणित) c जोड़कर दिए गए हैं) के ग्राफ़ के वर्टिकल ट्रांसलेशन से प्राप्त किया जा सकता है f(x) दूरी c द्वारा। इस कारण फ़ंक्शन f(x) + c को कभी-कभी f(x) का 'ऊर्ध्वाधर अनुवाद' कहा जाता है। उदाहरण के लिए, एक फ़ंक्शन के antiderivative  सभी एक दूसरे से  एकीकरण की निरंतरता  से भिन्न होते हैं और इसलिए एक दूसरे के लंबवत अनुवाद होते हैं। समारोह रेखांकन में, एक क्षैतिज अनुवाद एक  परिवर्तन (फ़ंक्शन)  होता है जिसके परिणामस्वरूप एक ग्राफ़ होता है जो आधार ग्राफ़ को x-अक्ष की दिशा में बाएँ या दाएँ स्थानांतरित करने के बराबर होता है। ग्राफ k इकाइयों को क्षैतिज रूप से ग्राफ पर प्रत्येक बिंदु को स्थानांतरित करके क्षैतिज रूप से 'k' इकाइयों का अनुवाद किया जाता है।

आधार फ़ंक्शन f(x) और एक स्थिरांक (गणित) k के लिए, g(x) = f द्वारा दिया गया फंक्शन (x − k), स्केच किया जा सकता है f(x) k इकाइयों को क्षैतिज रूप से स्थानांतरित किया जा सकता है।

यदि ज्यामितीय परिवर्तनों के संदर्भ आधार समारोह  परिवर्तन के बारे में बात की गई थी, तो यह स्पष्ट हो सकता है कि कार्य क्षैतिज रूप से अनुवाद क्यों करते हैं जिस तरह से वे करते हैं। कार्तीय तल पर अनुवादों को संबोधित करते समय इस प्रकार के संकेतन में अनुवाद प्रस्तुत करना स्वाभाविक है:


 * $$(x,y)\rightarrow(x+a,y+b)$$

या


 * $$T(x,y) = (x+a,y+b)$$

कहाँ पे $$a$$ तथा $$b$$ क्रमशः क्षैतिज और लंबवत परिवर्तन हैं।

उदाहरण
परवलय y = x लेना2, दाईं ओर 5 इकाइयों का एक क्षैतिज अनुवाद T(x, y) = (x + 5, y) द्वारा दर्शाया जाएगा। अब हमें इस परिवर्तन संकेतन को बीजगणितीय संकेतन से जोड़ना चाहिए। मूल पैराबोला पर बिंदु (ए, बी) पर विचार करें जो अनुवादित पैराबोला पर बिंदु (सी, डी) पर जाता है। हमारे अनुवाद के अनुसार, c = a + 5 और d = b। मूल परवलय पर बिंदु b = a था 2. हमारे नए बिंदु को उसी समीकरण में d और c के संबंध में वर्णित किया जा सकता है। बी = डी और ए = सी - 5। तो डी = बी = ए2 = (सी − 5) 2. चूंकि यह हमारे नए परवलय के सभी बिंदुओं के लिए सही है, इसलिए नया समीकरण y = (x − 5) है। 2.

शास्त्रीय भौतिकी में आवेदन
शास्त्रीय भौतिकी में, अनुवाद संबंधी गति वह गति है जो किसी वस्तु की स्थिति (ज्यामिति)  को घूर्णन के विपरीत बदलती है। उदाहरण के लिए, व्हिटेकर के अनुसार:

एक अनुवाद सभी बिंदुओं की स्थिति को बदलने वाला ऑपरेशन है $$(x, y, z)$$ सूत्र के अनुसार किसी वस्तु का


 * $$(x,y,z) \to (x+\Delta x,y+\Delta y, z+\Delta z)$$

कहाँ पे $$(\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)$$ वस्तु के प्रत्येक बिंदु के लिए समान यूक्लिडियन वेक्टर  है। अनुवाद वेक्टर $$(\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)$$ वस्तु के सभी बिंदुओं के लिए सामान्य वस्तु के एक विशेष प्रकार के  विस्थापन (वेक्टर)  का वर्णन करता है, जिसे आमतौर पर एक रैखिक विस्थापन कहा जाता है ताकि इसे रोटेशन से जुड़े विस्थापन से अलग किया जा सके, जिसे कोणीय विस्थापन कहा जाता है।

अंतरिक्ष समय पर विचार करते  समय, समय निर्देशांक में परिवर्तन को अनुवाद माना जाता है।

एक ऑपरेटर के रूप में
शिफ्ट ऑपरेटर मूल स्थिति के एक फ़ंक्शन को बदल देता है, $$f(\mathbf{v})$$, अंतिम स्थिति के एक समारोह में, $$f(\mathbf{v}+\mathbf{\delta})$$. दूसरे शब्दों में, $$T_\mathbf{\delta}$$ परिभाषित किया गया है कि $$T_\mathbf{\delta} f(\mathbf{v}) = f(\mathbf{v}+\mathbf{\delta}).$$ यह ऑपरेटर (गणित)  एक फ़ंक्शन से अधिक सार है, क्योंकि $$T_\mathbf{\delta}$$ अंतर्निहित वैक्टर के बजाय दो कार्यों के बीच संबंध को परिभाषित करता है। अनुवाद ऑपरेटर कई प्रकार के कार्यों पर कार्य कर सकता है, जैसे जब  अनुवाद ऑपरेटर (क्वांटम यांत्रिकी), जिसका अध्ययन क्वांटम यांत्रिकी के क्षेत्र में किया जाता है।

एक समूह
के रूप में

सभी अनुवादों का समूह अनुवाद समूह बनाता है $$\mathbb{T} $$, जो अंतरिक्ष के लिए ही समरूपी है, और यूक्लिडियन समूह  का एक  सामान्य उपसमूह  है $$ E(n) $$. का भागफल समूह  $$E(n) $$ द्वारा $$\mathbb{T} $$ ऑर्थोगोनल समूह के लिए आइसोमोर्फिक है $$ O(n)$$:
 * $$E(n)/\mathbb{T}\cong O(n) $$

क्योंकि अनुवाद क्रम विनिमेय है, अनुवाद समूह  एबेलियन समूह  है। असीमित संख्या में संभावित अनुवाद हैं, इसलिए अनुवाद समूह एक  अनंत समूह  है।

सापेक्षता के सिद्धांत में, अंतरिक्ष और समय के एक ही स्थान-समय के रूप में व्यवहार के कारण, अनुवाद भी समन्वय समय  में परिवर्तन का उल्लेख कर सकते हैं। उदाहरण के लिए,  गैलीलियन समूह  और पोंकारे समूह में समय के संबंध में अनुवाद शामिल हैं।

जाली समूह
त्रि-आयामी अनुवाद समूह का एक प्रकार का उपसमूह   जाली (समूह)  है, जो अनंत समूह हैं, लेकिन अनुवाद समूहों के विपरीत,  अंतिम रूप से उत्पन्न समूह  हैं। अर्थात्, एक समूह का एक परिमित जनन समुच्चय पूरे समूह को उत्पन्न करता है।

मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व
एक अनुवाद एक निश्चित परिवर्तन है जिसमें कोई निश्चित बिंदु (गणित)  नहीं है।  मैट्रिक्स गुणन  हमेशा एक निश्चित बिंदु के रूप में मूल (गणित) होता है। फिर भी, मैट्रिक्स गुणन के साथ सदिश स्थान के अनुवाद का प्रतिनिधित्व करने के लिए  सजातीय निर्देशांक  का उपयोग करके एक सामान्य समाधान है: 3-आयामी वेक्टर लिखें $$\mathbf{v}=(v_x, v_y, v_z) $$ के रूप में 4 सजातीय निर्देशांक का उपयोग करना $$\mathbf{v}=(v_x, v_y, v_z, 1) $$. किसी वस्तु का वेक्टर (ज्यामिति)  द्वारा अनुवाद करना $$\mathbf{v} $$, प्रत्येक सजातीय वेक्टर $$\mathbf{p} $$ (सजातीय निर्देशांक में लिखा गया) इस अनुवाद मैट्रिक्स द्वारा गुणा किया जा सकता है:


 * $$ T_{\mathbf{v}} =

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & v_x \\ 0 & 1 & 0 & v_y \\ 0 & 0 & 1 & v_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$ जैसा कि नीचे दिखाया गया है, गुणा अपेक्षित परिणाम देगा:
 * $$ T_{\mathbf{v}} \mathbf{p} =

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & v_x \\ 0 & 1 & 0 & v_y\\ 0 & 0 & 1 & v_z\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_x \\ p_y \\ p_z \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p_x + v_x \\ p_y + v_y \\ p_z + v_z \\ 1 \end{bmatrix} = \mathbf{p} + \mathbf{v} $$ वेक्टर की दिशा को उलट कर एक अनुवाद मैट्रिक्स का व्युत्क्रम प्राप्त किया जा सकता है:
 * $$ T^{-1}_{\mathbf{v}} = T_{-\mathbf{v}} . \! $$

इसी तरह, अनुवाद मैट्रिक्स का उत्पाद वैक्टर जोड़कर दिया जाता है:
 * $$ T_{\mathbf{v}}T_{\mathbf{w}} = T_{\mathbf{v}+\mathbf{w}} . \! $$

क्योंकि सदिशों का योग क्रमविनिमेय है, इसलिए अनुवाद आव्यूहों का गुणन भी क्रमविनिमेय है (मनमाने आव्यूहों के गुणन के विपरीत)।

कुल्हाड़ियों का अनुवाद
जबकि ज्यामितीय अनुवाद को अक्सर एक सक्रिय प्रक्रिया के रूप में देखा जाता है जो एक ज्यामितीय वस्तु की स्थिति को बदलता है, एक निष्क्रिय परिवर्तन द्वारा एक सक्रिय और निष्क्रिय परिवर्तन  प्राप्त किया जा सकता है जो समन्वय प्रणाली को ही स्थानांतरित करता है लेकिन वस्तु को स्थिर छोड़ देता है। सक्रिय ज्यामितीय अनुवाद के निष्क्रिय संस्करण को अक्षों के अनुवाद के रूप में जाना जाता है।

अनुवाद संबंधी समरूपता
एक वस्तु जो अनुवाद से पहले और बाद में एक जैसी दिखती है, उसे अनुवाद संबंधी समरूपता कहा जाता है। एक सामान्य उदाहरण एक आवधिक कार्य  है, जो एक अनुवाद ऑपरेटर का एक  eigenfunction  है।

वाहन की गतिशीलता
वाहन की गतिशीलता (या किसी कठोर शरीर  की गति) का वर्णन करने के लिए,  जहाज की गति  और विमान के प्रमुख कुल्हाड़ियों सहित, एक यांत्रिक मॉडल का उपयोग करना आम है जिसमें छह डिग्री की स्वतंत्रता (यांत्रिकी) शामिल है, जिसमें तीन संदर्भ अक्षों के साथ-साथ अनुवाद भी शामिल है। उन तीन अक्षों के बारे में घुमाव।

इन अनुवादों को अक्सर कहा जाता है:
 * शिप मोशन # सर्ज, फ्लाइट कंट्रोल सरफेस के साथ अनुवाद # अनुदैर्ध्य अक्ष (आगे या पीछे)
 * शिप मोशन # स्वे, फ्लाइट कंट्रोल सरफेस के साथ ट्रांसलेशन # ट्रांसवर्स एक्सिस (साइड टू साइड)
 * शिप मोशन#हीव, फ्लाइट कंट्रोल सरफेस के साथ ट्रांसलेशन#वर्टिकल एक्सिस (ऊपर या नीचे जाने के लिए)।

इसी घुमाव को अक्सर कहा जाता है:
 * रोल कोण, अनुदैर्ध्य अक्ष के बारे में
 * पिच कोण (कीनेमेटीक्स), अनुप्रस्थ अक्ष के बारे में
 * यव कोण, ऊर्ध्वाधर अक्ष के बारे में।

यह भी देखें

 * अभिवहन
 * समानांतर परिवहन
 * रोटेशन मैट्रिक्स
 * स्केलिंग (ज्यामिति)
 * परिवर्तन मैट्रिक्स
 * अनुवादिक समरूपता

बाहरी संबंध

 * Translation Transform at cut-the-knot
 * Geometric Translation (Interactive Animation) at Math Is Fun
 * Understanding 2D Translation and Understanding 3D Translation by Roger Germundsson, The Wolfram Demonstrations Project.

संदर्भ

 * Zazkis, R., Liljedahl, P., & Gadowsky, K. Conceptions of function translation: obstacles, intuitions, and rerouting. Journal of Mathematical Behavior, 22, 437-450. Retrieved April 29, 2014, from www.elsevier.com/locate/jmathb
 * Transformations of Graphs: Horizontal Translations. (2006, January 1). BioMath: Transformation of Graphs. Retrieved April 29, 2014