मिये प्रकीर्णन

Radar cross section of metal sphere from Mie theory.svg (आरसीएस) (एमआईई सिद्धांत द्वारा गणना)। कम-आवृत्ति रेले प्रकीर्णन सीमा में, जहां परिधि तरंग दैर्ध्य से कम है, सामान्यीकृत आरसीएस है'''

$$\tfrac{\sigma}{\pi R^2} \sim 9(kR)^4.$$ उच्च-आवृत्ति ऑप्टिकल सीमा में, $$\tfrac{\sigma}{\pi R^2} \sim 1.$$

]]विद्युत चुंबकत्व में, मैक्सवेल के समीकरणों का Mie समाधान (जिसे लोरेंज-Mie समाधान, लोरेंज-Mie-डेबी समाधान या Mie स्कैटरिंग के रूप में भी जाना जाता है) एक सजातीय क्षेत्र द्वारा विद्युत चुम्बकीय समतल तरंग के प्रकीर्णन का वर्णन करता है। समाधान सदिश गोलाकार हार्मोनिक्स की एक अनंत श्रृंखला का रूप लेता है। इसका नाम जर्मन भौतिक विज्ञानी गुस्ताव मि के नाम पर रखा गया है।

मी समाधान शब्द का उपयोग स्तरीकृत क्षेत्रों या अनंत सिलेंडरों, या अन्य ज्यामिति द्वारा बिखरने के लिए मैक्सवेल के समीकरणों के समाधान के लिए भी किया जाता है, जहां कोई समाधान की रेडियल और कोणीय निर्भरता के लिए चर के पृथक्करण को लिख सकता है। मी सिद्धांत शब्द का प्रयोग कभी-कभी समाधानों और विधियों के इस संग्रह के लिए किया जाता है; यह किसी स्वतंत्र भौतिक सिद्धांत या नियम का उल्लेख नहीं करता है। अधिक मोटे तौर पर, माई प्रकीर्णन सूत्र उन स्थितियों में सबसे उपयोगी होते हैं जहां प्रकीर्णन कणों का आकार बहुत छोटे या बहुत बड़े होने के अतिरिक्त प्रकाश की तरंग दैर्ध्य के सामान्तर होता है।

माइ स्कैटरिंग (कभी-कभी इसे गैर-आणविक स्कैटरिंग या एयरोसोल कण स्कैटरिंग भी कहा जाता है) निचले हिस्से में होता है 4500 m पृथ्वी के वायुमंडल का, जहां किरण (ऑप्टिक्स) घटना किरण की तरंग दैर्ध्य के लगभग सामान्तर व्यास वाले अनेक अनिवार्य रूप से गोलाकार कण उपस्तिथ हो सकते हैं। माई स्कैटरिंग सिद्धांत की कोई ऊपरी आकार सीमा नहीं है, और बड़े कणों के लिए ज्यामितीय प्रकाशिकी की सीमा में परिवर्तित हो जाता है।

परिचय
किसी गोले पर प्रकीर्णन की समस्या के लिए Mie समाधान का एक आधुनिक सूत्रीकरण अनेक पुस्तकों में पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, जूलियस एडम्स स्ट्रैटन|जे। ए. स्ट्रैटन का विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत। इस सूत्रीकरण में, आपतित समतल तरंग, साथ ही प्रकीर्णन क्षेत्र, को विकिरणित गोलाकार सदिश गोलाकार हार्मोनिक्स में विस्तारित किया जाता है। आंतरिक क्षेत्र को नियमित सदिश गोलाकार हार्मोनिक्स में विस्तारित किया गया है। गोलाकार सतह पर सीमा की स्थिति प्रयुक्त करके, बिखरे हुए क्षेत्र के विस्तार गुणांक की गणना की जा सकती है।

बिखरे हुए प्रकाश की तरंग दैर्ध्य से बहुत बड़े या बहुत छोटे कणों के लिए सरल और त्रुटिहीन अनुमान हैं जो पद्धति के व्यवहार का वर्णन करने के लिए पर्याप्त हैं। किन्तु उन वस्तुओं के लिए जिनका आकार तरंग दैर्ध्य के परिमाण के कुछ आदेशों के भीतर है, उदाहरण के लिए, वायुमंडल में पानी की बूंदें, पेंट में लेटेक्स कण, दूध सहित इमल्शन में बूंदें, और जैविक कोशिकाएं और सेलुलर घटक, अधिक विस्तृत दृष्टिकोण आवश्यक है।

माई समाधान इसका नाम इसके डेवलपर, जर्मन भौतिक विज्ञानी गुस्ताव मी के नाम पर रखा गया है। डेनिश भौतिक विज्ञानी लुडविग लोरेन्ज़ और अन्य ने स्वतंत्र रूप से एक ढांकता हुआ क्षेत्र द्वारा विद्युत चुम्बकीय समतल तरंग प्रकीर्णन का सिद्धांत विकसित किया।

औपचारिकता एक गोलाकार वस्तु के अंदर और बाहर विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों की गणना की अनुमति देती है और सामान्यतः इसका उपयोग यह गणना करने के लिए किया जाता है कि कितना प्रकाश बिखरा हुआ है (कुल ऑप्टिकल क्रॉस सेक्शन), या यह कहां जाता है (फॉर्म फैक्टर)। इन परिणामों की उल्लेखनीय विशेषताएं माई प्रतिध्वनि हैं, आकार जो विशेष रूप से दृढ़ता से या अशक्त रूप से बिखरते हैं। यह छोटे कणों के लिए रेले स्कैटरिंग और बड़े कणों के लिए रेले-गैन्स-डेबी स्कैटरिंग (लॉर्ड रेले, रिचर्ड गन्स और पीटर डेबी के पश्चात्) के विपरीत है। कणों के आकार को मापने के लिए बिखरे हुए प्रकाश का उपयोग करते समय प्रतिध्वनि और माई स्कैटरिंग की अन्य विशेषताओं का अस्तित्व इसे विशेष रूप से उपयोगी औपचारिकता बनाता है।

रेले सन्निकटन (प्रकीर्णन)
रेले स्कैटरिंग उन क्षेत्रों द्वारा प्रकाश के लोचदार प्रकीर्णन का वर्णन करता है जो प्रकाश की तरंग दैर्ध्य से बहुत छोटे होते हैं। प्रकीर्णित विकिरण की तीव्रता I द्वारा दी गई है
 * $$ I = I_0 \left( \frac{1 + \cos^2 \theta}{2 R^2} \right) \left( \frac{2\pi}{\lambda} \right)^4 \left(\frac{n^2 - 1}{n^2 + 2} \right)^2 \left( \frac{d}{2} \right)^6,$$

जहां मैं0कण के साथ संपर्क से पहले प्रकाश की तीव्रता है, R कण और पर्यवेक्षक के मध्य की दूरी है, θ प्रकीर्णन कोण है, λ विचाराधीन प्रकाश की तरंग दैर्ध्य है, n कण का अपवर्तनांक है, और d है कण का व्यास.

उपरोक्त समीकरण से यह देखा जा सकता है कि रेले का प्रकीर्णन कण के आकार और तरंग दैर्ध्य पर अत्यधिक निर्भर है। जैसे-जैसे कण आकार और तरंग दैर्ध्य का अनुपात बढ़ता है, रेले बिखरे हुए विकिरण की तीव्रता तेजी से बढ़ती है। इसके अतिरिक्त, रेले बिखरे विकिरण की तीव्रता आगे और पीछे की दिशाओं में समान है।

रेले स्कैटरिंग मॉडल तब टूट जाता है जब कण का आकार आपतित विकिरण की तरंग दैर्ध्य के लगभग 10% से बड़ा हो जाता है। इससे अधिक आयाम वाले कणों के स्थितियों में, बिखरे हुए विकिरण की तीव्रता का पता लगाने के लिए Mie के प्रकीर्णन मॉडल का उपयोग किया जा सकता है। Mie बिखरे हुए विकिरण की तीव्रता एक सरल गणितीय अभिव्यक्ति के अतिरिक्त शब्दों की अनंत श्रृंखला के योग द्वारा दी जाती है। हालाँकि, यह दिखाया जा सकता है कि कण आकार की इस सीमा में प्रकीर्णन अनेक स्थितियों में रेले प्रकीर्णन से भिन्न होता है: यह मोटे तौर पर तरंग दैर्ध्य से स्वतंत्र होता है और यह विपरीत दिशा की तुलना में आगे की दिशा में बड़ा होता है। कण का आकार जितना बड़ा होगा, उतना ही अधिक प्रकाश आगे की दिशा में प्रकीर्णित होगा।

आकाश का नीला रंग रेले प्रकीर्णन के कारण होता है, क्योंकि वायुमंडल में गैस के कणों का आकार दृश्य प्रकाश की तरंग दैर्ध्य से बहुत छोटा होता है। नीली रोशनी में रेले का प्रकीर्णन उसकी कम तरंगदैर्घ्य के कारण अन्य रंगों की तुलना में बहुत अधिक होता है। जैसे ही सूर्य का प्रकाश वायुमंडल से होकर गुजरता है, इसका नीला घटक रेले वायुमंडलीय गैसों द्वारा दृढ़ता से बिखरा हुआ होता है किन्तु लंबी तरंग दैर्ध्य (जैसे लाल/पीला) घटक नहीं होते हैं। इसलिए सूर्य से सीधे आने वाला सूर्य का प्रकाश थोड़ा पीला दिखाई देता है, जबकि आकाश के बाकी हिस्सों से बिखरा हुआ प्रकाश नीला दिखाई देता है। सूर्योदय और सूर्यास्त के समय, संचरित प्रकाश के स्पेक्ट्रम पर रेले के प्रकीर्णन का प्रभाव बहुत अधिक होता है क्योंकि प्रकाश किरणों को पृथ्वी की सतह के पास उच्च घनत्व वाली हवा के माध्यम से अधिक दूरी तय करनी पड़ती है।

इसके विपरीत, पश्चात्ल बनाने वाली पानी की बूंदें दृश्य प्रकाश में तरंग दैर्ध्य के तुलनीय आकार की होती हैं, और प्रकीर्णन का वर्णन रेले के मॉडल के अतिरिक्त मिए के मॉडल द्वारा किया जाता है। यहां, दृश्य प्रकाश की सभी तरंग दैर्ध्य लगभग समान रूप से बिखरी हुई हैं, और इसलिए पश्चात्ल सफेद या भूरे रंग के दिखाई देते हैं।

रेले-गैन्स सन्निकटन
रेले-गैन्स सन्निकटन प्रकाश प्रकीर्णन का एक अनुमानित समाधान है जब कण का सापेक्ष अपवर्तनांक पर्यावरण के करीब होता है, और इसका आकार |n − 1| द्वारा विभाजित प्रकाश की तरंग दैर्ध्य की तुलना में बहुत छोटा होता है, जहां n अपवर्तनांक है:


 * $$\begin{align}

|n - 1| &\ll 1 \\ kd|n - 1| &\ll 1 \end{align}$$ कहाँ $k$ प्रकाश का तरंगसदिश है ($k=\frac{2 \pi}{\lambda}$ ), और $$d$$ कण के रैखिक आयाम को संदर्भित करता है। पूर्व स्थिति को अधिकांशतः ऑप्टिकली सॉफ्ट के रूप में संदर्भित किया जाता है और यह सन्निकटन मनमाने आकार के कणों के लिए होता है।

वैन डे हुल्स्ट का विषम विवर्तन सन्निकटन
विषम विवर्तन सिद्धांत बड़े (तरंग दैर्ध्य की तुलना में) और ऑप्टिकली नरम क्षेत्रों के लिए मान्य है; प्रकाशिकी के संदर्भ में नरम का अर्थ है कि कण का अपवर्तक सूचकांक (एम) पर्यावरण के अपवर्तक सूचकांक से केवल थोड़ा भिन्न होता है, और कण तरंग को केवल एक छोटे चरण बदलाव के अधीन करता है। इस सन्निकटन में विलुप्त होने की दक्षता दी गई है
 * $$ Q = 2 - \frac{4}{p} \sin p + \frac{4}{p^2} (1 - \cos p),$$

जहां Q प्रकीर्णन का दक्षता कारक है, जिसे प्रकीर्णन क्रॉस-सेक्शन और ज्यामितीय क्रॉस-सेक्शन πa के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है2.

शब्द p = 4πa(n − 1)/λ का भौतिक अर्थ गोले के केंद्र से गुजरने वाली तरंग का चरण विलंब है, जहां a गोले की त्रिज्या है, n गोले के अंदर और बाहर अपवर्तक सूचकांकों का अनुपात है गोला, और λ प्रकाश की तरंग दैर्ध्य।

समीकरणों के इस समूह का वर्णन सबसे पहले हेंड्रिक सी. वैन डे हुल्स्ट ने (1957) में किया था।

गणित
गोलाकार नैनोकण द्वारा प्रकीर्णन को कण आकार की परवाह किए बिना बिल्कुल हल किया जाता है। हम x-अक्ष के अनुदिश ध्रुवीकृत z-अक्ष के अनुदिश प्रसारित एक समतल तरंग द्वारा प्रकीर्णन पर विचार करते हैं। एक कण की ढांकता हुआ और चुंबकीय पारगम्यताएं हैं $$\varepsilon_1$$ और $$\mu_1$$, और $$\varepsilon$$ और $$\mu$$ पर्यावरण के लिए।

बिखराव की समस्या को हल करने के लिए, हम पहले गोलाकार निर्देशांक में सदिश हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण के समाधान लिखते हैं, क्योंकि कणों के अंदर और बाहर के क्षेत्रों को इसे संतुष्ट करना होगा। हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण:

\nabla^{2} \mathbf{E} + {k}^{2} \mathbf{E} = 0, \quad \nabla^{2} \mathbf{H} + {k}^{2} \mathbf{H} = 0. $$ हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण के अतिरिक्त, फ़ील्ड को शर्तों को पूरा करना होगा $$ \nabla \cdot \mathbf{E}=\nabla \cdot \mathbf{H}=0$$ और $$ \nabla \times \mathbf{E}=i \omega\mu \mathbf{H}$$, $$ \nabla \times \mathbf{H}=-i \omega\varepsilon \mathbf{E}$$.

सदिश गोलाकार हार्मोनिक्स में सभी आवश्यक गुण होते हैं, जिन्हें निम्नानुसार प्रस्तुत किया गया है:

\mathbf{M}_{^e_o m n}=\nabla \times\left(\mathbf{r} \psi_{^e_o m n}\right) $$- चुंबकीय हार्मोनिक्स (टीई),

\mathbf{N}_{^e_o m n}=\frac{\nabla \times \mathbf{M}_{^e_o m n}} $$- इलेक्ट्रिक हार्मोनिक्स (टीएम),

कहाँ

{\psi_{e m n} = \cos m \varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta) z_{n}({k} r),} $$

{\psi_{o m n} = \sin m \varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta) z_{n}({k} r),} $$ और $$P_{n}^{m}(\cos \theta)$$- एसोसिएटेड लीजेंड्रे बहुपद, और $$ z_{n}({k} r) $$- बेसेल वेरिएबल में से कोई #गोलाकार बेसेल वेरिएबल।

इसके पश्चात्, हम सदिश गोलाकार हार्मोनिक्स में आपतित समतल तरंग का विस्तार करते हैं:
 * $$\begin{align}

\mathbf{E}_{inc} &= E_0e^{ikr\cos\theta}\mathbf{e}_x=E_{0}\sum_{n=1}^{\infty} i^n\frac{2n+1}{n(n+1)}\left( \mathbf{M}^{(1)}_{o1n}(k, \mathbf{r})-i \mathbf{N}_{e1n}^{(1)}(k, \mathbf{r})\right), \\ \mathbf{H}_{inc} &= \frac{-k}{\omega\mu}E_{0}\sum_{n=1}^{\infty} i^n\frac{2n+1}{n(n+1)}\left( \mathbf{M}^{(1)}_{e1n}(k, \mathbf{r})+i \mathbf{N}_{o1n}^{(1)}(k, \mathbf{r})\right). \end{align}$$ यहाँ सुपरस्क्रिप्ट है $$(1)$$ इसका कारणहै कि कार्यों के रेडियल भाग में $$\psi_{^e_omn}$$ प्रथम प्रकार के गोलाकार बेसेल फलन हैं। विस्तार गुणांक प्रपत्र के अभिन्न अंग लेकर प्राप्त किए जाते हैं



\frac{\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\mathbf{E}_{inc}\cdot\mathbf{M}^{(1)}_{^e_omn}\sin\theta d\theta d\varphi }{\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\left|\mathbf{M}^{(1)}_{^e_omn}\right|^2\sin\theta d\theta d\varphi }. $$ इस स्थितियों में, सभी गुणांक पर $$m\neq 1$$ शून्य हैं, चूँकि कोण पर समाकलन है $$\varphi$$ अंश में शून्य है.

फिर निम्नलिखित शर्तें लगाई जाती हैं:
 * 1) गोले और पर्यावरण के मध्य की सीमा पर विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों के लिए इंटरफ़ेस स्थितियां (जो हमें घटना, आंतरिक और बिखरे हुए क्षेत्रों के विस्तार गुणांक से संबंधित करने की अनुमति देती हैं)
 * 2) शर्त यह है कि समाधान मूल बिंदु पर (इसलिए, उत्पन्न करने वाले कार्यों के रेडियल भाग में) घिरा हुआ है $$\psi_{^e_omn}$$, पहली तरह के गोलाकार बेसेल वेरिएबल आंतरिक क्षेत्र के लिए चुने गए हैं),
 * 3) एक बिखरे हुए क्षेत्र के लिए, अनंत पर स्पर्शोन्मुखता एक अपसारी गोलाकार तरंग से मेल खाती है (इसके संबंध में, उत्पन्न करने वाले कार्यों के रेडियल भाग में बिखरे हुए क्षेत्र के लिए) $$\psi_{^e_omn}$$ पहली तरह के गोलाकार हैंकेल वेरिएबल चुने गए हैं)।

बिखरे हुए क्षेत्रों को सदिश हार्मोनिक विस्तार के रूप में लिखा जाता है

\mathbf{E}_{s}=\sum_{n=1}^{\infty} E_{n}\left(i a_{n} \mathbf{N}_{e 1n}^{(3)}(k, \mathbf{r})-b_{n} \mathbf{M}_{o 1 n}^{(3)}(k, \mathbf{r})\right), $$

\mathbf{H}_{s}=\frac{k}{\omega\mu}\sum_{n=1}^{\infty} E_{n}\left(a_{n} \mathbf{M}_{e 1n}^{(3)}(k, \mathbf{r})+ib_{n} \mathbf{N}_{o 1 n}^{(3)}(k, \mathbf{r})\right). $$ यहाँ सुपरस्क्रिप्ट है $$(3)$$ इसका कारणहै कि कार्यों के रेडियल भाग में $$\psi_{^e_omn}$$पहले प्रकार के गोलाकार हैंकेल वेरिएबल हैं (दूसरे प्रकार के होंगे)। $$(4)$$), और $$E_n= \frac{i^n E_0 (2n+1)}{n (n+1)}$$,

आंतरिक क्षेत्र:

\mathbf{E}_{1}=\sum_{n=1}^{\infty} E_{n}\left(-i d_{n} \mathbf{N}_{e 1n}^{(1)}(k_1, \mathbf{r})+c_{n} \mathbf{M}_{o 1 n}^{(1)}(k_1, \mathbf{r})\right), $$

\mathbf{H}_{1}=\frac{-k_1}{\omega\mu_1}\sum_{n=1}^{\infty} E_{n}\left(d_{n} \mathbf{M}_{e 1n}^{(1)}(k_1, \mathbf{r})+ic_{n} \mathbf{N}_{o 1 n}^{(1)}(k_1, \mathbf{r})\right). $$ $k = \frac{\omega}{c}n$ कण के बाहर तरंग सदिश है $k_1 = \frac {\omega}{c}{n_1}$ कण सामग्री से माध्यम में तरंग सदिश है, $$n$$ और $$n_1$$ माध्यम और कण के अपवर्तनांक हैं।

इंटरफ़ेस शर्तों को प्रयुक्त करने के पश्चात्, हम गुणांकों के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:

c_n(\omega) = \frac {\mu_1\left[ \rho h_n(\rho)\right]'j_n(\rho) - \mu_1\left[ \rho j_n(\rho)\right]'h_n(\rho)}{\mu_1\left[ \rho h_n(\rho)\right]'j_n(\rho_1) - \mu\left[ \rho_1 j_n(\rho_1)\right]'h_n(\rho)}, $$

d_n(\omega) = \frac {\mu_1n_1n\left[ \rho h_n(\rho)\right]'j_n(\rho) - \mu_1n_1n\left[ \rho j_n(\rho)\right]'h_n(\rho)}{\mu n_1^2\left[ \rho h_n(\rho)\right]'j_n(\rho_1) - \mu_1 n^2\left[ \rho_1 j_n(\rho_1)\right]'h_n(\rho)}, $$

b_n(\omega) = \frac {\mu_1\left[ \rho j_n(\rho)\right]'j_n(\rho_1) - \mu\left[ \rho_1 j_n(\rho_1)\right]'j_n(\rho)}{\mu_1\left[ \rho h_n(\rho)\right]'j_n(\rho_1) - \mu\left[ \rho_1 j_n(\rho_1)\right]'h_n(\rho)}, $$

a_n(\omega) = \frac {\mu n_1^2\left[ \rho j_n(\rho)\right]'j_n(\rho_1) - \mu_1 n^2\left[ \rho_1 j_n(\rho_1)\right]'j_n(\rho)}{\mu n_1^2\left[ \rho h_n(\rho)\right]'j_n(\rho_1) - \mu_1 n^2\left[ \rho_1 j_n(\rho_1)\right]'h_n(\rho)}, $$ कहाँ
 * $$\rho=ka,$$
 * $$\rho_1=k_1a$$ साथ $$a$$ गोले की त्रिज्या होना।

$$j_n$$ और $$h_n$$क्रमशः प्रथम प्रकार के बेसेल और हैंकेल के गोलाकार कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

बिखराव और विलुप्ति क्रॉस-सेक्शन
सामान्यतः Mie सिद्धांत का उपयोग करके गणना किए गए मानों में क्षीणन गुणांक के लिए दक्षता गुणांक सम्मिलित होते हैं $$Q_e$$, बिखराव $$Q_s$$, और अवशोषण (विद्युत चुम्बकीय विकिरण) $$Q_a$$. यह दक्षता गुणांक संबंधित प्रक्रिया के क्रॉस सेक्शन (भौतिकी)#क्रॉस सेक्शन और एमआई सिद्धांत के अनुपात हैं, $$\sigma_i$$, कण संरक्षित क्षेत्र के लिए, $$ Q_i = \frac{\sigma_i}{\pi a^2} $$, जहां a कण त्रिज्या है। विलुप्ति की परिभाषा के अनुसार,
 * $$ \sigma_e = \sigma_s + \sigma_a$$ और $$Q_e = Q_s + Q_a $$.

प्रकीर्णन और विलुप्ति गुणांक को अनंत श्रृंखला के रूप में दर्शाया जा सकता है:
 * $$Q_s = \frac{2}{k^2a^2}\sum_{n=1}^\infty (2n + 1)\left(|a_{n}|^2 + |b_{n}|^2\right)$$
 * $$Q_e = \frac{2}{k^2a^2}\sum_{n=1}^\infty (2n + 1)\Re(a_{n} + b_{n})$$

एन द्वारा अनुक्रमित इन राशियों में योगदान, मल्टीपोल विस्तार के आदेशों के अनुरूप है द्विध्रुवीय पद होने के कारण,  चतुर्भुज पद है, इत्यादि।

बड़े कणों पर अनुप्रयोग
यदि कण का आकार सामग्री में अनेक तरंग दैर्ध्य के सामान्तर है, तब बिखरे हुए क्षेत्रों में कुछ विशेषताएं हैं।

आगे हम विद्युत क्षेत्र के स्वरूप के बारे में बात करेंगे क्योंकि रोटर लेकर उससे चुंबकीय क्षेत्र प्राप्त किया जाता है।

सभी Mie गुणांक आवृत्ति पर निर्भर करते हैं और अधिकतम होते हैं जब हर शून्य के करीब होता है (समष्टि आवृत्तियों के लिए शून्य की त्रुटिहीन समानता प्राप्त की जाती है)। इस स्थितियों में, यह संभव है, कि बिखरने में एक विशिष्ट हार्मोनिक का योगदान हावी हो। फिर कण से बड़ी दूरी पर, बिखरे हुए क्षेत्र का विकिरण पैटर्न सदिश गोलाकार हार्मोनिक्स के कोणीय भाग के संबंधित विकिरण पैटर्न के समान होगा। हार्मोनिक्स $$ \mathbf{N}_{^e_om1}$$ विद्युत द्विध्रुव के अनुरूप (यदि इस हार्मोनिक का योगदान विद्युत क्षेत्र के विस्तार में हावी है, तब क्षेत्र विद्युत द्विध्रुव क्षेत्र के समान है), $$ \mathbf{M}_{^e_om1}$$ चुंबकीय द्विध्रुव के विद्युत क्षेत्र के अनुरूप, $$ \mathbf{N}_{^e_om2} $$ और $$ \mathbf{M}_{^e_om2}$$ - विद्युत और चुंबकीय चतुर्भुज, $$ \mathbf{N}_{^e_om3}$$ और $$ \mathbf{M}_{^e_om3} $$ - ऑक्टोपोल, इत्यादि। प्रकीर्णन गुणांक की अधिकतम सीमा (साथ ही उनके चरण में परिवर्तन)। $$ \pi $$) बहुध्रुव अनुनाद कहलाते हैं।

तरंग दैर्ध्य पर बिखरने वाले क्रॉस-सेक्शन की निर्भरता और विशिष्ट अनुनादों का योगदान कण सामग्री पर दृढ़ता से निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, 100 एनएम की त्रिज्या वाले एक सोने के कण के लिए, बिखरने में विद्युत द्विध्रुव का योगदान ऑप्टिकल रेंज में प्रबल होता है, जबकि एक सिलिकॉन कण के लिए स्पष्ट चुंबकीय द्विध्रुव और चतुर्ध्रुव प्रतिध्वनि होती है। धातु के कणों के लिए, प्रकीर्णन क्रॉस-सेक्शन में दिखाई देने वाली चोटी को स्थानीयकृत स्थानीयकृत सतह प्लास्मोन भी कहा जाता है।

रेले प्रकीर्णन की सीमा में, प्रकीर्णन क्रॉस-सेक्शन में विद्युत द्विध्रुव योगदान हावी होता है।

आपतित समतल तरंग की अन्य दिशाएँ
x-ध्रुवीकृत समतल तरंग के स्थितियों में, जो z-अक्ष के साथ आपतित होती है, सभी क्षेत्रों के अपघटन में केवल m= 1 के साथ हार्मोनिक्स होते हैं, किन्तु एक इच्छानुसार आपतित तरंग के लिए यह मामला नहीं है। एक घुमाए गए समतल तरंग के लिए, विस्तार गुणांक प्राप्त किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, इस तथ्य का उपयोग करके कि रोटेशन के समय, सदिश गोलाकार हार्मोनिक्स विग्नर डी-मैट्रिक्स| विग्नर डी-मैट्रिक्स द्वारा एक दूसरे के माध्यम से परिवर्तित होते हैं।

इस स्थितियों में, बिखरे हुए क्षेत्र को सभी संभावित हार्मोनिक्स द्वारा विघटित किया जाएगा:



\mathbf{E}_s = \sum_{n=1}^\infty \sum_{m=0}^n E_0( D_{Memn} \mathbf{M}_{emn}^{(3)}(k,\mathbf{r})+ D_{Momn} \mathbf{M}_{omn}^{(3)}(k,\mathbf{r})+ D_{Nemn} \mathbf{N}_{emn}^{(3)}(k,\mathbf{r})+ D_{Nomn} \mathbf{N}_{omn}^{(3)}(k,\mathbf{r})) $$ फिर बिखरने वाले क्रॉस सेक्शन को गुणांक के संदर्भ में निम्नानुसार व्यक्त किया जाएगा:

C_{sca} = \frac{2\pi}{\pi a^2 k^2} \sum_{n=1}^\infty \frac{n(n + 1)}{(2n + 1)} \times \left[ \sum\limits_{m=1}^{n}\frac{(n + m)!}{(n - m)!} \left(|D_{Memn}|^2 + |D_{Momn}|^2 + |D_{Nemn}|^2 + |D_{Nomn}|^2\right )+ 2|D_{Me0n}|^2 + 2|D_{Ne0n}|^2 \right]. $$

केर्कर प्रभाव
केर्कर प्रभाव प्रकीर्णन दिशात्मकता में एक घटना है, जो तब होता है जब विभिन्न मल्टीपोल प्रतिक्रियाएं प्रस्तुत की जाती हैं और नगण्य नहीं होती हैं।

1983 में, मिल्टन कालकोठरी, वांग और ली गाइल्स के काम में। कणों द्वारा प्रकीर्णन की दिशा $$\mu \neq 1$$ जांच की गई। विशेष रूप से, यह दिखाया गया कि काल्पनिक कणों के लिए $$\mu = \varepsilon$$ पिछड़ा प्रकीर्णन पूरी तरह से दबा दिया गया है। इसे समान अपवर्तक सूचकांकों वाली समतल सतह पर परावर्तन के लिए जाइल्स और वाइल्ड के गोलाकार सतह के विस्तार के रूप में देखा जा सकता है, जहां परावर्तन और संचरण स्थिर और घटना के कोण से स्वतंत्र होता है। इसके अतिरिक्त, आगे और पीछे की दिशाओं में बिखरने वाले क्रॉस सेक्शन को केवल Mie गुणांक के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है:
 * $$\begin{align}

C_{sca}^\text{backward} &= \frac{1}{a^2 k^2}\left|\sum_{n=1}^\infty {(2n + 1)}(-1)^n(a_n - b_n)\right|^2 \\ C_{sca}^\text{forward} &= \frac{1}{a^2 k^2}\left|\sum_{n=1}^\infty {(2n + 1)}(a_n + b_n)\right|^2 \end{align}$$ गुणांकों के कुछ संयोजनों के लिए, उपरोक्त अभिव्यक्तियों को कम किया जा सकता है।

इसलिए, उदाहरण के लिए, जब शर्तों के साथ $$n>1$$ उपेक्षित किया जा सकता है (क्रॉस सेक्शन (भौतिकी) #प्रकीर्णन क्रॉस सेक्शन के लिए द्विध्रुव सन्निकटन), $$(a_1 - b_1) = 0 $$, बैकस्कैटरिंग में न्यूनतम से मेल खाता है (चुंबकीय और विद्युत द्विध्रुव परिमाण में समान हैं और चरण में हैं, इसे प्रथम केर्कर या शून्य-पिछली तीव्रता की स्थिति भी कहा जाता है ). और $$(a_1 + b_1) = 0$$ आगे बिखरने में न्यूनतम से मेल खाती है, इसे दूसरी केर्कर स्थिति (या लगभग-शून्य आगे की तीव्रता की स्थिति) भी कहा जाता है। ऑप्टिकल प्रमेय से, यह दिखाया गया है कि एक निष्क्रिय कण के लिए $$(a_1=-b_1)$$ संभव नहीं है। समस्या के त्रुटिहीन समाधान के लिए सभी बहुध्रुवों के योगदान को ध्यान में रखना आवश्यक है। विद्युत और चुंबकीय द्विध्रुवों का योग हेयरी बॉल प्रमेय बनाता है

ढांकता हुआ कणों के लिए, चुंबकीय द्विध्रुव अनुनाद की तरंग दैर्ध्य से अधिक लंबी तरंग दैर्ध्य पर अधिकतम आगे की ओर बिखराव देखा जाता है, और छोटे कणों पर अधिकतम पीछे की ओर बिखराव देखा जाता है। पश्चात् में, प्रभाव की अन्य किस्में पाई गईं। उदाहरण के लिए, अनुप्रस्थ केर्कर प्रभाव, लगभग पूर्ण एक साथ

आगे और पीछे दोनों बिखरे हुए क्षेत्रों का दमन (साइड-स्कैटरिंग पैटर्न), ऑप्टोमैकेनिकल केर्कर प्रभाव, ध्वनिक बिखराव में, और पौधों में भी पाया जाता है।

एक लघु भी है प्रभाव की व्याख्या के साथ।

डायडिक ग्रीन का एक गोले का कार्य
ग्रीन का वेरिएबल निम्नलिखित समीकरण का समाधान है:

\nabla\times\nabla\times {\bf \hat G}(\omega,\mathbf{r},\mathbf{r}') = \left(\frac{\omega}{c}\right)^{2}\varepsilon(\mathbf{r}, \omega){\bf \hat G}(\omega,\mathbf{r},\mathbf{r}')+ {\bf \hat 1}\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}'), $$ कहाँ $$\hat{\bf 1}$$- शिनाख्त सांचा $$\varepsilon(\mathbf{r}, \omega) = \varepsilon_{1} (\omega)$$ के लिए $$r < a$$, और $$\varepsilon(\mathbf{r}, \omega) = \varepsilon$$ के लिए $$r > a$$. चूँकि सभी फ़ील्ड सदिश हैं, ग्रीन वेरिएबल 3 बटा 3 मैट्रिक्स है और इसे डायडिक कहा जाता है। यदि ध्रुवीकरण $$\mathbf{P}(\mathbf{r})$$ पद्धति में प्रेरित किया जाता है, जब फ़ील्ड को इस प्रकार लिखा जाता है

\mathbf{E}^{\omega}({\mathbf{r}}) = \omega^2\mu\int\limits_V dV' \hat ({\bf r,r'},k) \mathbf{P}^{\omega} (\mathbf{r}') $$ फ़ील्ड्स की तरह ही, ग्रीन के वेरिएबल को सदिश गोलाकार हार्मोनिक्स में विघटित किया जा सकता है।

डायडिक ग्रीन का मुक्त स्थान का कार्य а:
 * $$\begin{align}

&\hat ^0({\mathbf{r}, \mathbf{r}', k}) \\ {}={} &\frac{\mathbf{e_r} \otimes \mathbf{e_r}}{k^2}\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}') + \frac{i k}{4 \pi} \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=0}^n (2 - \delta_{m,0}) \frac {2n + 1}{n(n + 1)} \frac{(n - m)!}{(n + m)!} \cdot {} \\ &\quad \begin{cases} \left(\left(\mathbf{M}_{e mn}^{(1)}[k, \mathbf{r}] \otimes{\mathbf{M}}^{(3)}_{e mn}[k, \mathbf{r}'] + \mathbf{M}_{omn}^{(1)}[k, \mathbf{r}] \otimes{\mathbf{M}}^{(3)}_{o mn}[k, \mathbf{r}']\right) +                \left({\mathbf{N}}_{e mn}^{(1)}[k,\mathbf{ r}] \otimes {\mathbf{N}}^{(3)}_{emn}[k, \mathbf{r}'] + \mathbf{N}_{omn}^{(1)}[k, \mathbf{r}] \otimes {\mathbf{N}}^{(3)}_{o mn}[k, \mathbf{r}']\right)         \right), &\text{if } r < r' \\ \left(\left(\mathbf{M}_{e mn}^{(3)}[k, \mathbf{r}] \otimes{\mathbf{M}}^{(1)}_{e mn}[k, \mathbf{r}'] + \mathbf{M}_{omn}^{(3)}[k, \mathbf{r}] \otimes {\mathbf{M}}^{(1)}_{o mn}[k, \mathbf{r}']\right) +                \left({\mathbf{N}}_{e mn}^{(3)}[k,\mathbf{ r}] \otimes {\mathbf{N}}^{(1)}_{emn}[k, \mathbf{r}'] + \mathbf{N}_{omn}^{(3)}[k, \mathbf{r}] \otimes {\mathbf{N}}^{(1)}_{o mn}[k, \mathbf{r}']\right)          \right), &\text{if } r > r'          \end{cases} \end{align}$$ एक गोले की उपस्थिति में, ग्रीन का कार्य भी सदिश गोलाकार हार्मोनिक्स में विघटित हो जाता है। इसका स्वरूप उस वातावरण पर निर्भर करता है जिसमें बिंदु हैं $$\mathbf{r}$$ और $$\mathbf{r}'$$ स्थित हैं।

जब दोनों बिंदु गोले के बाहर हों ($$r > a, r' > a$$):
 * $$\begin{align}

&\hat^{00}({\mathbf{r},\mathbf{r}', k, k_1}) \\ {}={} &\hat^0({\mathbf{r},\mathbf{r}', k}) + \frac {i k}{4 \pi} \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=0}^n (2 - \delta_{m,0}) \frac {2n + 1}{n(n + 1)} \frac {(n - m)!}{(n + m)!} \cdot {} \\ &\quad \left( a_n^{(0)}(\omega)\left(\mathbf{M}_{^e_o mn}^{(3)}[k, \mathbf{r}] \otimes {\mathbf{M}}^{(3)}_{^e_o mn}[k, \mathbf{r}']\right) + b_n^{(0)}(\omega)\left({\mathbf{N}}_{^e_o mn}^{(3)}[k, \mathbf{r}] \otimes {\mathbf{N}}^{(3)}_{^e_omn}[k, \mathbf{r}']\right)\right) \end{align}$$ गुणांक कहां हैं:
 * $$\begin{align}

a_n^{(0)}(\omega) &= \frac {\mu/\mu_1 \left[ \rho_1 j_n(\rho_1)\right]'j_n(\rho) - \left[ \rho j_n(\rho)\right]'j_n(\rho_1)}{\left[ \rho h_n(\rho)\right]'j_n(\rho_1) -\mu/\mu_1 \left[ \rho_1 j_n(\rho_1)\right]'h_n(\rho)}, \\ b_n^{(0)}(\omega) &= \frac {n^2\mu_1/\mu \left[ \rho_1 j_n(\rho_1)\right]'j_n(\rho) - n_1^2\left[ \rho j_n(\rho)\right]'j_n(\rho_1)}{n_1^2\left[ \rho h_n(\rho)\right]'j_n(\rho_1) - n^2 \mu_1/\mu \left[ \rho_1 j_n(\rho_1)\right]'h_n(\rho)}. \end{align}$$ जब दोनों बिंदु गोले के अंदर हों ($$r < a, r' < a$$) :
 * $$\begin{align}

&\hat ^{11}({\mathbf{r},\mathbf{r}', k, k_1}) \\ {}={} &\hat ^0({\mathbf{r},\mathbf{r}', k_1}) + \frac {i k_1}{4 \pi} \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=0}^n (2 - \delta_{m,0}) \frac {2n + 1}{n(n + 1)} \frac {(n - m)!}{(n + m)!} \cdot {} \\ &\quad \left( c_n^{(1)}(\omega) \left(\mathbf{M}_{^e_o mn}^{(1)}[k_1, \mathbf{r}] \otimes {\mathbf{M}}^{(1)}_{^e_o mn}[k_1, \mathbf{r}']\right) + d_n^{(1)}(\omega)\left({\mathbf{N}}_{^e_o mn}^{(1)}[k_1, \mathbf{ r}] \otimes {\mathbf{N}}^{(1)}_{^e_omn}[k_1, \mathbf{r}']\right)\right), \end{align}$$ गुणांक:
 * $$\begin{align}

c_n^{(1)}(\omega) &= \frac {\mu_1/\mu \left[ \rho h_n(\rho)\right]'h_n(\rho_1) - \left[ \rho_1 h_n(\rho_1)\right]'h_n(\rho)}{\left[ \rho_1 j_n(\rho_1)\right]'h_n(\rho) -\mu_1/\mu \left[ \rho h_n(\rho)\right]'j_n(\rho_1)}, \\ d_n^{(1)}(\omega) &= \frac {n_1^2\mu/\mu_1 \left[ \rho h_n(\rho)\right]'h_n(\rho_1) - n^2\left[ \rho_1 h_n(\rho_1)\right]'h_n(\rho)}{n^2\left[ \rho_1 j_n(\rho_1)\right]'h_n(\rho) - n_1^2 \mu/\mu_1 \left[ \rho h_n(\rho)\right]'j_n(\rho_1)}. \end{align}$$ स्रोत गोले के अंदर है और अवलोकन बिंदु बाहर है ($$r > a, r' < a$$):
 * $$\begin{align}

&\hat^{01}({\mathbf{r},\mathbf{r}',k, k_1}) \\ {}={} &\frac {i k_1}{4 \pi} \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=0}^n (2-\delta_{m,0}) \frac {2n+1}{n(n+1)} \frac {(n-m)!}{(n+m)!} \cdot {} \\ &\quad \left( a_n^{(1)}(\omega) (\mathbf{M}_{^e_o mn}^{(3)}[k, \mathbf{r}] \otimes {\mathbf{M}}^{(1)}_{^e_o mn}[k_1, \mathbf{r}']) + b_n^{(1)}(\omega)\left(\mathbf{N}_{^e_o mn}^{(3)}[k, \mathbf{r}] \otimes {\mathbf{N}}^{(1)}_{^e_omn}[k_1, \mathbf{r}']\right)\right) \end{align}$$ गुणांक:
 * $$\begin{align}

a_n^{(1)}(\omega) &= \frac {\left[ \rho_1 j_n(\rho_1)\right]'h_n(\rho_1) - \left[ \rho_1 h_n(\rho_1)\right]'j_n(\rho_1)}{\left[ \rho_1 j_n(\rho_1)\right]'h_n(\rho) -\mu_1/\mu \left[ \rho h_n(\rho)\right]'j_n(\rho_1)}, \\ b_n^{(1)}(\omega) &= \frac {nn_1 \left[ \rho_1 j_n(\rho_1)\right]'h_n(\rho_1) - nn_1\left[ \rho_1 h_n(\rho_1)\right]'j_n(\rho_1)}{ n^2\mu_1/\mu\left[ \rho_1 j_n(\rho_1)\right]'h_n(\rho) - n_1^2  \left[ \rho h_n(\rho)\right]'j_n(\rho_1)}. \end{align}$$ स्रोत गोले के बाहर है और अवलोकन बिंदु अंदर है ($$ra$$) :
 * $$\begin{align}

&\hat{\bf{G}}^{10}({\mathbf{r}, \mathbf{r}', k, k_1}) \\ {}={} &\frac{i k}{4 \pi} \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=0}^n (2 - \delta_{m,0}) \frac {2n + 1}{n(n + 1)} \frac{(n - m)!}{(n + m)!} \cdot {} \\ &\quad \left( c_n^{(0)}(\omega) (\mathbf{M}_{^e_o mn}^{(1)}[k, \mathbf{r}] \otimes {\mathbf{M}}^{(3)}_{^e_o mn}[k_1, \mathbf{r}']) + d_n^{(0)}(\omega)({\mathbf{N}}_{^e_o mn}^{(1)}[k, \mathbf{r}] \otimes {\mathbf{N}}^{(3)}_{^e_omn}[k_1, \mathbf{r}'])\right) \end{align}$$ गुणांक:
 * $$\begin{align}

c_n^{(0)}(\omega) &= \frac{\left[ \rho h_n(\rho) \right]'j_n(\rho) - \left[ \rho j_n(\rho)\right]'h_n(\rho)}{\left[ \rho h_n(\rho)\right]'j_n(\rho_1) - \mu/\mu_1 \left[ \rho_1 j_n(\rho_1) \right]' h_n(\rho)}, \\ d_n^{(0)}(\omega) &= \frac{nn_1 \left[ \rho h_n(\rho) \right]'j_n(\rho) - nn_1\left[ \rho j_n(\rho) \right]'h_n(\rho)}{n_1^2\mu/\mu_1\left[ \rho h_n(\rho)\right]'j_n(\rho_1) - n^2 \left[ \rho_1 j_n(\rho_1) \right]'j_n(\rho)}. \end{align}$$

कम्प्यूटेशनल कोड
Mie समाधान विभिन्न कंप्यूटर भाषाओं जैसे फोरट्रान, कारणऔर मेथेमेटिका में लिखे गए अनेक प्रोग्रामों में कार्यान्वित किए जाते हैं। यह समाधान एक अनंत श्रृंखला का अनुमान लगाते हैं, और आउटपुट के रूप में बिखरने वाले चरण वेरिएबल, विलुप्त होने, बिखरने और अवशोषण क्षमता, और असममिति पैरामीटर या विकिरण टोक़ जैसे अन्य मापदंडों की गणना प्रदान करते हैं। Mie समाधान शब्द का वर्तमान उपयोग मैक्सवेल के समीकरणों के समाधान के लिए एक श्रृंखला सन्निकटन को इंगित करता है। ऐसी अनेक ज्ञात वस्तुएं हैं जो इस तरह के समाधान की अनुमति देती हैं: गोले, संकेंद्रित गोले, अनंत सिलेंडर, गोले के समूह और सिलेंडर के समूह। दीर्घवृत्ताकार कणों द्वारा प्रकीर्णन के लिए ज्ञात श्रृंखला समाधान भी हैं। इन विशिष्ट समाधानों को प्रयुक्त करने वाले कोड की एक सूची निम्नलिखित में दी गई है:
 * गोले द्वारा विद्युत चुम्बकीय प्रकीर्णन के लिए कोड - एकल गोले, लेपित गोले, बहुपरत गोले और गोले के समूह के लिए समाधान;
 * सिलेंडरों द्वारा विद्युत चुम्बकीय प्रकीर्णन के लिए कोड - एकल सिलेंडर, बहुपरत सिलेंडर और सिलेंडरों के समूह के लिए समाधान।

एक सामान्यीकरण जो अधिक सामान्य आकार के कणों के उपचार की अनुमति देता है वह टी-मैट्रिक्स विधि है, जो मैक्सवेल के समीकरणों के समाधानों की श्रृंखला सन्निकटन पर भी निर्भर करता है।

अन्य कोड और कैलकुलेटर के लिए #बाहरी_लिंक भी देखें।

अनुप्रयोग
मौसम विज्ञान प्रकाशिकी में माई सिद्धांत बहुत महत्वपूर्ण है, जहां धुंध और पश्चात्ल बिखरने से संबंधित अनेक समस्याओं के लिए एकता और बड़े क्रम के व्यास-से-तरंग दैर्ध्य अनुपात की विशेषता है। एक और अनुप्रयोग ऑप्टिकल प्रकीर्णन माप द्वारा एयरोसोल के लक्षण वर्णन में है। Mie समाधान दूध, जैविक ऊतक और कंडोम पेंट जैसी सामान्य सामग्रियों की उपस्थिति को समझने के लिए भी महत्वपूर्ण है।

वायुमंडलीय विज्ञान
माई स्कैटरिंग तब होती है जब वायुमंडलीय कणों का व्यास प्रकाश की तरंग दैर्ध्य के समान या उससे बड़ा होता है। धूल, पराग, धुआं और पश्चात्लों का निर्माण करने वाली सूक्ष्म पानी की बूंदें मी प्रकीर्णन के सामान्य कारण हैं। माई प्रकीर्णन अधिकतर वायुमंडल के निचले हिस्सों में होता है, जहां बड़े कण अधिक प्रचुर मात्रा में होते हैं, और पश्चात्ल की स्थिति में हावी होते हैं।

कैंसर का पता लगाना और स्क्रीनिंग
Mie सिद्धांत का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया गया है कि क्या ऊतक से बिखरी हुई रोशनी स्वस्थ या कैंसरग्रस्त कोशिका नाभिक से मेल खाती है, कोण-संकल्पित कम-सुसंगति इंटरफेरोमेट्री का उपयोग करके।

नैदानिक ​​​​प्रयोगशाला विश्लेषण
मिई सिद्धांत नेफेलोमेट्री_(चिकित्सा) आधारित परख के अनुप्रयोग में एक केंद्रीय सिद्धांत है, जिसका व्यापक रूप से विभिन्न रक्त_प्रोटीन को मापने के लिए चिकित्सा में उपयोग किया जाता है। नेफेलोमेट्री द्वारा रक्त_प्रोटीन की एक विस्तृत श्रृंखला का पता लगाया और मात्रा निर्धारित की जा सकती है।

चुम्बकीय कण
चुंबकीय क्षेत्रों के लिए अनेक असामान्य विद्युत चुम्बकीय प्रकीर्णन प्रभाव होते हैं। जब सापेक्ष पारगम्यता पारगम्यता (विद्युत चुंबकत्व) के सामान्तर होती है, तब बैक-स्कैटर लाभ शून्य होता है। इसके अतिरिक्त, बिखरा हुआ विकिरण आपतित विकिरण के समान ही ध्रुवीकृत होता है। छोटे-कण (या लंबी-तरंग दैर्ध्य) सीमा में, शून्य आगे बिखरने, अन्य दिशाओं में बिखरे हुए विकिरण के पूर्ण ध्रुवीकरण के लिए, और आगे बिखरने से पीछे बिखरने की विषमता के लिए स्थितियाँ उत्पन्न हो सकती हैं। छोटे-कण सीमा में विशेष मामला पूर्ण ध्रुवीकरण और फॉरवर्ड-स्कैटर-टू-बैकस्कैटर विषमता के रोचक विशेष उदाहरण प्रदान करता है।

मेटामटेरियल
मेटामटेरियल्स को डिजाइन करने के लिए माई सिद्धांत का उपयोग किया गया है। वह सामान्यतः समय-समय पर या यादृच्छिक रूप से कम-पारगम्यता मैट्रिक्स में एम्बेडेड धातु या गैर-धातु समावेशन के त्रि-आयामी कंपोजिट से बने होते हैं। ऐसी योजना में, ऋणात्मक संवैधानिक मापदंडों को समावेशन के Mie अनुनादों के आसपास प्रदर्शित करने के लिए डिज़ाइन किया गया है: ऋणात्मक प्रभावी पारगम्यता को Mie विद्युत द्विध्रुव प्रकीर्णन गुणांक की प्रतिध्वनि के आसपास डिज़ाइन किया गया है, जबकि ऋणात्मक प्रभावी पारगम्यता (विद्युत चुंबकत्व) को अनुनाद के आसपास डिज़ाइन किया गया है Mie चुंबकीय द्विध्रुव प्रकीर्णन गुणांक, और दोगुनी ऋणात्मक सामग्री (DNG) को Mie विद्युत और चुंबकीय द्विध्रुव प्रकीर्णन गुणांक के अनुनादों के ओवरलैप के आसपास डिज़ाइन किया गया है। कण में सामान्यतः निम्नलिखित संयोजन होते हैं:
 * 1) सापेक्ष पारगम्यता और पारगम्यता के मान वाले मैग्नेटोडायइलेक्ट्रिक कणों का एक समूह एक से बहुत अधिक और एक दूसरे के करीब;
 * 2) समान विद्युतशीलता किन्तु भिन्न-भिन्न आकार वाले दो भिन्न-भिन्न ढांकता हुआ कण;
 * 3) समान आकार किन्तु भिन्न-भिन्न पारगम्यता वाले दो भिन्न-भिन्न ढांकता हुआ कण।

सिद्धांत रूप में, Mie सिद्धांत द्वारा विश्लेषण किए गए कण सामान्यतः गोलाकार होते हैं, किन्तु व्यवहार में, कणों को निर्माण में आसानी के लिए सामान्यतः क्यूब्स या सिलेंडर के रूप में निर्मित किया जाता है। समरूपीकरण के मानदंडों को पूरा करने के लिए, जिसे इस रूप में कहा जा सकता है कि जाली स्थिरांक ऑपरेटिंग तरंग दैर्ध्य से बहुत छोटा है, ढांकता हुआ कणों की सापेक्ष पारगम्यता 1 से बहुत अधिक होनी चाहिए, उदाहरण के लिए। $$\varepsilon_\text{r} > 78(38)$$ ऋणात्मक प्रभावी पारगम्यता (पारगम्यता) प्राप्त करने के लिए।

कण आकार
कण आकार प्रभाव का निरीक्षण करने के लिए माई सिद्धांत को अधिकांशतः लेजर विवर्तन विश्लेषण में प्रयुक्त किया जाता है। जबकि 1970 के दशक के प्रारंभिक कंप्यूटर केवल अधिक सरल फ्राउनहोफर सन्निकटन के साथ विवर्तन डेटा की गणना करने में सक्षम थे, Mie का 1990 के दशक से व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है और दिशानिर्देश ISO 13320:2009 में 50 माइक्रोमीटर से नीचे के कणों के लिए आधिकारिक तौर पर अनुशंसित किया गया है।

प्रदूषित पानी में तेल की सघनता का पता लगाने में माई सिद्धांत का उपयोग किया गया है।

माई स्कैटरिंग पानी में हवा के एकल सोनोलुमिनसेंस को आकार देने की प्राथमिक विधि है  और सामग्री में गुहाओं के साथ-साथ सामग्री में कणों के लिए भी मान्य है, जब तक कि आसपास की सामग्री अनिवार्य रूप से गैर-अवशोषित होती है।

परजीवविज्ञान
इसका उपयोग प्लाज्मोडियम फाल्सीपेरम की संरचना का अध्ययन करने के लिए भी किया गया है, जो मलेरिया का एक विशेष रूप से रोगजनक रूप है।

एक्सटेंशन
1986 में, पी. ए. बोबर्ट और जे. व्लीगर ने समतल सतह पर रखे एक सजातीय माध्यम में एक गोले द्वारा प्रकीर्णन की गणना करने के लिए मी मॉडल का विस्तार किया। Mie मॉडल की तरह, विस्तारित मॉडल को आपतित प्रकाश की तरंग दैर्ध्य के करीब त्रिज्या वाले क्षेत्रों पर प्रयुक्त किया जा सकता है। बॉबबर्ट-वेलीगर (बीवी) मॉडल को प्रयुक्त करने वाला एक C++ कोड है। हाल के घटनाक्रम दीर्घवृत्ताभ द्वारा प्रकीर्णन से संबंधित हैं।  समसामयिक अध्ययन रेले के सुप्रसिद्ध शोध की ओर जाते हैं।

यह भी देखें

 * कम्प्यूटेशनल इलेक्ट्रोमैग्नेटिक्स
 * कणों द्वारा प्रकाश का प्रकीर्णन
 * वायुमंडलीय विकिरण स्थानांतरण कोड की सूची
 * गोले द्वारा विद्युत चुम्बकीय प्रकीर्णन के लिए कोड
 * पानी और बर्फ के ऑप्टिकल गुण

बाहरी संबंध

 * स्कैटरलिब and scattport.org फोरट्रान, सी++, आईडीएल, पास्कल, मैथमेटिका और मैथकैड में एमआईई समाधानों के कार्यान्वयन के साथ प्रकाश प्रकीर्णन कोड का संग्रह है।
 * जेएमआईई (जेफरी एम. मैकमोहन द्वारा विकसित एक अनंत सिलेंडर के आसपास विश्लेषणात्मक क्षेत्रों की गणना करने के लिए 2D C++ कोड)
 * ScatLab. विंडोज़ के लिए Mie स्कैटरिंग सॉफ्टवेयर।
 * विभक्त उन स्थितियों में बहुस्तरीय क्षेत्रों से प्रकीर्णन का मैटलैब कोड जहां स्रोत एक बिंदु द्विध्रुवीय और एक समतल तरंग है। arXiv:2006.06512 में विवरण
 * स्कैटनले, an open-source C++ Mie solution package with Python and JavaScript wrappers. Provides far-field and near-field simulation results for multilayered spheres.
 * ऑनलाइन माई स्कैटरिंग कैलकुलेटर बल्क, कोर-शेल और मल्टीलेयर क्षेत्रों के लिए प्रकीर्णन गुणों (मल्टीपोल अपघटन सहित) और निकट-क्षेत्र मानचित्रों का अनुकरण प्रदान करता है। सामग्री मापदंडों में सभी एनके-डेटा फ़ाइलें सम्मिलित हैं refractiveindex.info वेबसाइट. स्रोत कोड स्कैटनले परियोजना का हिस्सा है।
 * ऑनलाइन Mie समाधान कैलकुलेटर जर्मन और अंग्रेजी में दस्तावेज़ीकरण के साथ उपलब्ध है।
 * ऑनलाइन माई स्कैटरिंग कैलकुलेटर विभिन्न मापदंडों पर सुंदर ग्राफ़ तैयार करता है।
 * phpMieऑनलाइन Mie स्कैटरिंग कैलकुलेटर PHP पर लिखा गया है।.
 * Mie resonance मध्यस्थ प्रकाश प्रसार और यादृच्छिक लेज़िंग।
 * गोलाकार कणों के लिए Mie समाधान.
 * PyMieScatt, पायथन में लिखा गया एक Mie समाधान पैकेज।
 * pyMieForAll, पायथन रैपर के साथ एक ओपन-सोर्स C++ Mie समाधान पैकेज।