विद्युत प्रतिरोधकता और चालकता

विद्युत प्रतिरोधकता (जिसे विशिष्ट विद्युत प्रतिरोध या आयतन प्रतिरोधकता भी कहा जाता है) एक पदार्थ का मूलभूत गुण है जो यह मापता है कि विद्युत प्रवाह का कितनी दृढ़ता से प्रतिरोध करता है। कम प्रतिरोधकता ऐसी सामग्री को इंगित करती है जो आसानी से विद्युत प्रवाह की अनुमति  देता है विद्युत प्रतिरोधकता की SI इकाई ओम - मीटर (Ω⋅m) है। उदाहरण के लिए, यदि a $ρ$ पदार्थ के ठोस घन में दो विपरीत फलकों पर शीट संपर्क होते हैं, और इन संपर्कों के बीच प्रतिरोध 1 Ω है, तो पदार्थ की प्रतिरोधकता 1 Ω⋅m होती है।

विद्युत चालकता (या विशिष्ट चालकता) विद्युत प्रतिरोधकता का व्युत्क्रम है। यह विद्युत प्रवाह संचालित करने के लिए पदार्थ की क्षमता का प्रतिनिधित्व करता है। यह सामान्यतः ग्रीक अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है $1 m3$ (सिग्मा) द्वारा दर्शाया जाता है, किन्तु $σ$ (विशेषकर विद्युत अभियन्त्रण में) और $κ$ (गामा) कभी-कभी उपयोग किया जाता है। विद्युत चालकता की SI इकाई सीमेंस (इकाई) प्रति मीटर (एस/एम) है।

प्रतिरोधकता और चालकता पदार्थ में सघन विशेषताएं होती है, जो वस्तु के मानक घन के प्रतिरोध को धारा में प्रदान करते है। विद्युत प्रतिरोध और चालन संबंधित व्यापक गुण होते हैं जो विद्युत प्रवाह कों किसी विशिष्ट वस्तु का प्रतिरोध प्रदान करते हैं।

अनुकूल स्थति
एक आदर्श स्थिति में, जांच की गई पदार्थ का अंतः वर्ग और भौतिक संरचना पूरे प्रतिरूप में समान होते है, और विद्युत क्षेत्र और धारा घनत्व दोनों समानांतर और स्थिर होते हैं। कई प्रतिरोधों और विद्युत चालकों में वास्तव में विद्युत प्रवाह के एक समान प्रवाह के साथ एक समान अनुप्रस्थ काट होता है, और वे एक ही पदार्थ से बने होते हैं, जिससे कि यह एक अच्छा मॉडल हो। (आसन्न आरेख देखें।) जब ऐसा होता है, विद्युत प्रतिरोधकता $γ$(ग्रीक: Rho (अक्षर)) द्वारा गणना की जा सकती है:$$\rho = R \frac{A}{\ell},$$जहाँ पे 1=

$R$ सामग्री के एक समान नमूने का विद्युत प्रतिरोध है

$\ell$ नमूने का लंबाई है

$A$ नमूने का अनुप्रस्थ काट अंतः वर्ग क्षेत्र है

प्रतिरोधकता को एसआई इकाई ओम मीटर (Ω⋅m) का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है - अर्थात ओम को वर्ग मीटर (अनुप्रस्थ काट क्षेत्र के लिए) से गुणा किया जाता है और फिर मीटर (लंबाई के लिए) से विभाजित किया जाता है

प्रतिरोध और प्रतिरोधकता दोनों वर्णन करते हैं कि किसी पदार्थ के माध्यम से विद्युत प्रवाह बनाना कितना मुश्किल है, किन्तु प्रतिरोध के विपरीत, प्रतिरोधकता आंतरिक विशेषता है। इसका मतलब यह है कि सभी शुद्ध तांबे के तार (जो उनकी क्रिस्टलीय संरचना आदि के विरूपण के अधीन नहीं हैं), उनके आकार और आकार के अतिरिक्त, एक ही प्रतिरोधकता है, किन्तु एक लंबे, पतले तांबे के तार में मोटे तार की तुलना में बहुत अधिक प्रतिरोध होता है। लघु तांबे के तार प्रत्येक वस्तु की अपनी विशिष्ट प्रतिरोधकता होती है। उदाहरण के लिए, रबर में तांबे की तुलना में बहुत अधिक प्रतिरोधकता होती है।

द्रवगैसप्रवाह सादृश्य में, उच्च-प्रतिरोधक वस्तु के माध्यम से धारा पास करना रेत से भरे पाइप के माध्यम से पानी को धकेलने जैसा है - जबकि कम-प्रतिरोधक पदार्थ के माध्यम से धारा पास करना एक खाली पाइप के माध्यम से पानी को धकेलने जैसा है। यदि पाइप समान आकार का हैं, तो रेत से भरे पाइप में प्रवाह के लिए उच्च प्रतिरोध होता है। प्रतिरोध, चूँकि, केवल रेत की उपस्थिति या अनुपस्थिति से निर्धारित नहीं होता है। यह पाइप की लंबाई और चौड़ाई पर भी निर्भर करता है: छोटे या चौड़े पाइप में संकीर्ण या लंबे पाइप की तुलना में कम प्रतिरोध होता है।

उपरोक्त समीकरण को पॉइलेट के नियम ( क्लाउड पौइलेट के नाम पर) प्राप्त करने के लिए स्थानांतरित किया जा सकता है:

$$R = \rho \frac{\ell}{A}.$$किसी दिए गए तत्व का प्रतिरोध लंबाई के समानुपाती होता है, किन्तु अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल के व्युत्क्रमानुपाती होता है। उदाहरण के लिए, यदि $ρ$ = $A$, $$\ell$$ = $1 m2$ (विपरीत चेहरों पर पूरी तरह से प्रवाहकीय संपर्कों के साथ एक घन बनाना), तो ओम में इस तत्व का प्रतिरोध संख्यात्मक रूप से उस पदार्थ की प्रतिरोधकता के बराबर होता है जिससे यह Ω⋅m में बना होता है।

चालकता, $1 m$, प्रतिरोधकता का विपरीत है:

$$\sigma = \frac{1}{\rho}.$$ चालकता में सीमेंस (इकाई) प्रति मीटर (एस/एम) की एसआई इकाइयां हैं।

सामान्य अदिश राशि
कम आदर्श स्थितियों लिए, जैसे कि अधिक जटिल ज्यामिति, या जब वस्तु के विभिन्न हिस्सों में धारा और विद्युत क्षेत्र भिन्न होते हैं, तो अधिक सामान्य अभिव्यक्ति का उपयोग करना आवश्यक होता है जिसमें किसी विशेष बिंदु पर प्रतिरोधकता को अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है विद्युत क्षेत्र धारा के धारा घनत्व के लिए उस बिंदु पर बनाता है:

$$\rho=\frac{E}{J},$$ जहाँ पे

1=

$\rho$ चालकता, सामग्री की प्रतिरोधकता है,

$E$ विद्युत क्षेत्र का परिमाण है,

$J$ वर्तमान घनत्व का परिमाण है,

जिसमें $$E$$ तथा $$J$$ चालक के अंदर हैं।

चालकता प्रतिरोधकता का विलोम (पारस्परिक) है। यहाँ, इसके द्वारा दिया गया है:

$$\sigma = \frac{1}{\rho} = \frac{J}{E}.$$ उदाहरण के लिए, रबर एक ऐसी वस्तु है जिसमें बड़े $σ$ और छोटा $ρ$- क्योंकि रबर में एक बहुत बड़ा विद्युत क्षेत्र भी इसके माध्यम से लगभग कोई प्रवाह नहीं करता है। दूसरी ओर, तांबा एक छोटी सी वस्तु है $σ$ और बड़ा $ρ$- क्योंकि एक छोटा विद्युत क्षेत्र भी इसके माध्यम से बहुत अधिक धारा खींचता है।

जैसा कि नीचे दिखाया गया है, जब विद्युत क्षेत्र और पदार्थ में धारा घनत्व स्थिर होता है, तो यह अभिव्यक्ति एकल संख्या तक सरल हो जाती है।


 * {| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left;"

! प्रतिरोधकता की सामान्य परिभाषा से व्युत्पत्ति
 * There are three equations to be combined here. The first is the resistivity for parallel current and electric field:
 * There are three equations to be combined here. The first is the resistivity for parallel current and electric field:

$$\rho=\frac{E}{J},$$

If the electric field is constant, the electric field is given by the total voltage $σ$ across the conductor divided by length $V$ of the conductor:

$$E = \frac{V}{\ell}.$$

If the current density is constant, it is equal to the total current divided by the cross sectional area:

$$J = \frac{I}{A}.$$

Plugging in the values of $ℓ$ and $E$ into the first expression, we obtain:

$$\rho = \frac{V A}{I\ell}.$$

Finally, we apply Ohm's law, $σ, κ, γ$:

$$\rho = R\frac{A}{\ell}.$$


 * }

टेंसर प्रतिरोधकता
जब किसी पदार्थ की प्रतिरोधकता में एक दिशात्मक घटक होता है, तो प्रतिरोधकता की सबसे सामान्य परिभाषा का उपयोग किया जाना चाहिए। यह ओम के नियम के टेंसर-वेक्टर रूप से प्रारंभ होता है, जो एक पदार्थ के अंदर विद्युत क्षेत्र को विद्युत प्रवाह से जोड़ता है। यह समीकरण पूरी तरह से सामान्य है, जिसका अर्थ है कि यह सभी यदि में मान्य है, जिसमें ऊपर वर्णित भी सम्मलित है। चूँकि, यह परिभाषा सबसे जटिल है, इसलिए इसका उपयोग केवल  असमदिग्वर्ती होने की दशा  यदि में किया जाता है, जहां अधिक सरल परिभाषाओं को लागू नहीं किया जा सकता है। यदि पदार्थ अनिसोट्रोपिक नहीं है, तो टेंसर-वेक्टर परिभाषा को अनदेखा करना और इसके बजाय एक सरल अभिव्यक्ति का उपयोग करना सुरक्षित है।

यहाँ, अनिसोट्रॉपी का अर्थ है कि पदार्थ के अलग-अलग दिशाओं में अलग-अलग गुण हैं। उदाहरण के लिए, सीसा के एक क्रिस्टल में सूक्ष्म रूप से चादरों का ढेर होता है, और प्रत्येक शीट के माध्यम से प्रवाह बहुत आसानी से होता है, किन्तु एक शीट से आसन्न एक तक बहुत आसानी से प्रवाहित होता है। ऐसे यदि में, विद्युत क्षेत्र के समान दिशा में धारा प्रवाहित नहीं होता है। इस प्रकार, उपयुक्त समीकरणों को त्रि-आयामी टेंसर रूप में सामान्यीकृत किया जाता है:

$$\mathbf{J} = \boldsymbol\sigma \mathbf{E} \,\, \rightleftharpoons \,\, \mathbf{E} = \boldsymbol\rho \mathbf{J},$$ जहां चालकता $J$ और प्रतिरोधकता $σ$ रैंक -2 टेन्सर  और विद्युत क्षेत्र हैं $V/I = R$ और धारा घनत्व $E$ वेक्टर हैं। इन टेंसरों को 3×3 मैट्रिसेस द्वारा दर्शाया जा सकता है, 3×1 मैट्रिसेस वाले वैक्टर, इन समीकरणों के दाईं ओर उपयोग किए गए मैट्रिक्स गुणन के साथ होता है। मैट्रिक्स रूप में, प्रतिरोधकता संबंध द्वारा दिया जाता है:

$$ \begin{bmatrix} E_x \\ E_y \\ E_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \rho_{xx} & \rho_{xy} & \rho_{xz} \\ \rho_{yx} & \rho_{yy} & \rho_{yz} \\ \rho_{zx} & \rho_{zy} & \rho_{zz} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} J_x \\ J_y \\ J_z \end{bmatrix}, $$ जहाँ पे

1=

$\mathbf{E}$ घटकों के साथ विद्युत क्षेत्र वेक्टर है ($J$);

$\boldsymbol{\rho}$ प्रतिरोधकता टेंसर है, सामान्यतः तीन बटा तीन मैट्रिक्स;

$\mathbf{J}$ घटकों के साथ विद्युत प्रवाह घनत्व वेक्टर है ($E_{x}, E_{y}, E_{z}$).

समान रूप से, अधिक सघन आइंस्टीन संकेतन में प्रतिरोधकता दी जा सकती है:

$$\mathbf{E}_i = \boldsymbol\rho_{ij} \mathbf{J}_j ~.$$ किसी भी स्थिति में, प्रत्येक विद्युत क्षेत्र घटक के लिए परिणामी व्यंजक है:

$$\begin{align} E_x &= \rho_{xx} J_x + \rho_{xy} J_y + \rho_{xz} J_z \\ E_y &= \rho_{yx} J_x + \rho_{yy} J_y + \rho_{yz} J_z \\ E_z &= \rho_{zx} J_x + \rho_{zy} J_y + \rho_{zz} J_z \end{align}.$$ चूंकि समन्वय प्रणाली का चुनाव स्वतंत्र है, इसलिए सामान्य परंपरा यह है कि a को चुनकर व्यंजक को सरल बनाया जाए $ρ$-अक्ष धारा दिशा के समानांतर, इसलिए $J_{x}, J_{y}, J_{z}$. यह छोड़ देता है:

$$\rho_{xx}=\frac{E_x}{J_x}, \quad \rho_{yx}=\frac{E_y}{J_x}, \text{ and }\rho_{zx}=\frac{E_z}{J_x}.$$ चालकता को इसी तरह परिभाषित किया गया है:

$$ \begin{bmatrix} J_x \\ J_y \\ J_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} E_x \\ E_y \\ E_z \end{bmatrix} $$ या

$$\mathbf{J}_i = \boldsymbol{\sigma}_{ij} \mathbf{E}_{j},$$ दोनों के परिणामस्वरूप:

$$\begin{align} J_x = \sigma_{xx} E_x + \sigma_{xy} E_y + \sigma_{xz} E_z \\ J_y = \sigma_{yx} E_x + \sigma_{yy} E_y + \sigma_{yz} E_z \\ J_z = \sigma_{zx} E_x + \sigma_{zy} E_y + \sigma_{zz} E_z \end{align}.$$ दो भावों को देखते हुए, $$\boldsymbol{\rho}$$ तथा $$\boldsymbol{\sigma}$$ एक दूसरे के उलटा मैट्रिक्स  हैं। चूँकि, सबसे सामान्य स्थिति में, व्यक्तिगत मैट्रिक्स तत्व जरूरी नहीं कि एक दूसरे के पारस्परिक हों; उदाहरण के लिए, $J_{y} = J_{z} = 0$ के बराबर नहीं हो सकता $σ_{xx}$. इसे हॉल प्रभाव में देखा जा सकता है, जहां $$\rho_{xy}$$ शून्येतर है। हॉल प्रभाव में, के बारे में घूर्णी अपरिवर्तनशीलता के कारण $x$-एक्सिस, $$ \rho_{yy}=\rho_{xx} $$ तथा $$ \rho_{yx}=-\rho_{xy}$$, इसलिए प्रतिरोधकता और चालकता के बीच संबंध सरल हो जाता है:

$$\sigma_{xx}=\frac{\rho_{xx}}{\rho_{xx}^2 + \rho_{xy}^2}, \quad \sigma_{xy} = \frac{-\rho_{xy}}{\rho_{xx}^2 + \rho_{xy}^2}.$$ यदि विद्युत क्षेत्र लागू धारा के समानांतर है, $$\rho_{xy}$$ तथा $$\rho_{xz}$$ शून्य होता हैं। जब वे शून्य हों, एक संख्या, $$\rho_{xx}$$, विद्युत प्रतिरोधकता का वर्णन करने के लिए पर्याप्त है। फिर इसे सरलता से लिखा जाता है $$\rho$$, और यह सरल अभिव्यक्ति को कम कर देता है।

धारा घनत्व और विद्युत प्रवाह वेग के बीच संबंध
विद्युत प्रवाह विद्युत आवेश की क्रमबद्ध गति है।

बैंड सिद्धांत सरलीकृत
प्राथमिक क्वांटम यांत्रिकी के अनुसार, एक परमाणु या क्रिस्टल में एक इलेक्ट्रॉन में केवल कुछ निश्चित ऊर्जा स्तर हो सकते हैं; इन स्तरों के बीच ऊर्जा असंभव है। जब बड़ी संख्या में इस तरह के अनुमत स्तरों में निकट-स्थान वाले ऊर्जा मान होते हैं - अर्थात ऐसी ऊर्जाएँ होती हैं जो केवल सूक्ष्म रूप से भिन्न होती हैं - संयोजन में उन निकट ऊर्जा स्तरों को "ऊर्जा बैंड" कहा जाता है। किसी वस्तु में ऐसे कई ऊर्जा बैंड हो सकते हैं, जो घटक परमाणुओं की परमाणु संख्या और क्रिस्टल के भीतर उनके वितरण पर निर्भर करते हैं।

पदार्थ के इलेक्ट्रॉन कम ऊर्जा वाले स्थितियों में व्यवस्थित होकर वस्तु में कुल ऊर्जा को कम करना चाहते हैं; चूँकि, पाउली अपवर्जन सिद्धांत का अर्थ है कि ऐसे प्रत्येक स्थिति में केवल एक ही सम्मलित हो सकता है। तो इलेक्ट्रॉन नीचे से प्रारंभ होकर बैंड संरचना को भरते हैं। जिस अभिलाक्षणिक ऊर्जा स्तर तक इलेक्ट्रॉन भरे होते हैं उसे फर्मी स्तर कहते हैं। बैंड संरचना के संबंध में फर्मी स्तर की स्थिति विद्युत चालन के लिए बहुत महत्वपूर्ण है : फर्मी स्तर के पास या उससे ऊपर के ऊर्जा स्तरों में केवल इलेक्ट्रॉन व्यापक सामग्री संरचना के भीतर जाने के लिए स्वतंत्र हैं, चूंकि उस क्षेत्र में आंशिक रूप से व्याप्त राज्यों के बीच इलेक्ट्रॉन आसानी से सम्मलित हो सकते हैं। इसके विपरीत, कम ऊर्जा स्थिति हर समय इलेक्ट्रॉनों की संख्या पर एक निश्चित सीमा से भरे होते हैं, और उच्च ऊर्जा स्थिति हर समय इलेक्ट्रॉनों से खाली होते हैं।

विद्युत प्रवाह में इलेक्ट्रॉनों का प्रवाह होता है। धातुओं में फर्मी स्तर के पास कई इलेक्ट्रॉन ऊर्जा स्तर होते हैं, इसलिए स्थानांतरित करने के लिए कई इलेक्ट्रॉन उपलब्ध होते हैं। यही धातुओं की उच्च इलेक्ट्रॉनिक चालकता का कारण बनता है।

बैंड सिद्धांत का एक महत्वपूर्ण हिस्सा यह है कि ऊर्जा के प्रतिबंधित बैंड हो सकते हैं: ऊर्जा अंतराल जिसमें कोई ऊर्जा स्तर नहीं होता है। विद्युत्‍रोधन और सेमीचालक्स में, इलेक्ट्रॉनों की संख्या कम ऊर्जा बैंड की एक निश्चित पूर्णांक संख्या को बिल्कुल सीमा तक भरने के लिए सही मात्रा है। इस स्थिति में, फर्मी स्तर एक बैंड गैप के भीतर आता है। चूंकि फर्मी स्तर के पास कोई उपलब्ध अवस्था नहीं है, और इलेक्ट्रॉन स्वतंत्र रूप से चलने योग्य नहीं हैं, इसलिए इलेक्ट्रॉनिक चालकता बहुत कम है।

धातुओं में
एक धातु में परमाणु ओं की एक क्रिस्टल लैटिस होती है, प्रत्येक में इलेक्ट्रॉनों के बाहरी आवरण होते हैं जो अपने मूल परमाणुओं से स्वतंत्र रूप से अलग हो जाते हैं और जाली के माध्यम से यात्रा करते हैं। इसे एक सकारात्मक आयनिक जाली के रूप में भी जाना जाता है। वियोज्य इलेक्ट्रॉनों का यह 'समुद्र' धातु को विद्युत प्रवाह का संचालन करने की अनुमति देता है। जब एक विद्युत संभावित अंतर (एक वोल्टेज ) धातु पर लागू होता है, तो परिणामी विद्युत क्षेत्र इलेक्ट्रॉनों को सकारात्मक टर्मिनल की ओर ले जाने का कारण बनता है। मीटर प्रति घंटे के परिमाण के क्रम में इलेक्ट्रॉनों का वास्तविक बहाव वेग सामान्यतः छोटा होता है। चूँकि, गतिमान इलेक्ट्रॉनों की भारी संख्या के कारण, यहां तक ​​कि एक धीमी बहाव वेग के परिणामस्वरूप एक बड़ा धारा घनत्व होता है। यह क्रियाविधि न्यूटन के पालने में गेंदों के संवेग के स्थानांतरण के समान है किन्तु एक तार के साथ विद्युत ऊर्जा का तेजी से प्रसार यांत्रिक ऊर्जाों के कारण नहीं होता है, ऊर्जा्कि तार द्वारा निर्देशित ऊर्जा-वाहक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का प्रसार होता है।

अधिकांश धातुओं में विद्युत प्रतिरोध होता है। सरल मॉडल (गैर क्वांटम मैकेनिकल मॉडल) में इसे इलेक्ट्रॉनों और क्रिस्टल जाली को तरंग जैसी संरचना से बदलकर समझाया जा सकता है। जब इलेक्ट्रॉन तरंग जाली के माध्यम से यात्रा करती है, तो तरंगें हस्तक्षेप करती हैं, जो प्रतिरोध का कारण बनती हैं। जाली जितनी अधिक नियमित होती है, उतनी ही कम अशांति होती है और इस प्रकार कम प्रतिरोध होता है। इस प्रकार प्रतिरोध की मात्रा मुख्य रूप से दो कारकों के कारण होती है। सबसे पहले, यह तापमान और इस प्रकार क्रिस्टल जाली के कंपन की मात्रा के कारण होता है। उच्च तापमान बड़े कंपन उत्पन्नकरते हैं, जो जाली में अनियमितताओं के रूप में कार्य करते हैं। दूसरा, धातु की शुद्धता प्रासंगिक है क्योंकि विभिन्न आयनों का मिश्रण भी एक अनियमितता है। शुद्ध धातुओं के पिघलने पर चालकता में थोड़ी कमी लंबी दूरी के क्रिस्टलीय क्रम के नुकसान के कारण होती है। शॉर्ट रेंज ऑर्डर बना रहता है और आयनों की स्थिति के बीच मजबूत सहसंबंध के परिणामस्वरूप आसन्न आयनों द्वारा विवर्तित तरंगों के बीच सामंजस्य होता है।

अर्धचालक और इन्सुलेटर में
धातुओं में, फर्मी स्तर चालन बैंड में होता है (ऊपर बैंड थ्योरी देखें) मुक्त चालन इलेक्ट्रॉनों को जन्म देता है। चूँकि,  अर्धचालकों  में फर्मी स्तर की स्थिति बैंड गैप के भीतर होती है, चालन बैंड न्यूनतम (अभरित इलेक्ट्रॉन ऊर्जा स्तरों के पहले बैंड के नीचे) और संयोजी बंध अधिकतम (कंडक्शन के नीचे बैंड का शीर्ष) के बीच लगभग आधा होता है। बैंड, भरे हुए इलेक्ट्रॉन ऊर्जा स्तरों का)। यह आंतरिक (पूर्ववत) अर्धचालकों के लिए लागू होता है। इसका मतलब है कि परम शून्य तापमान पर, कोई मुक्त चालन इलेक्ट्रॉन नहीं होगा, और प्रतिरोध अनंत है। चूँकि, चालन बैंड में  आवेश कैरियर घनत्व (अर्थात, आगे की जटिलताओं को प्रस्तुत किए बिना, इलेक्ट्रॉनों का घनत्व) के रूप में प्रतिरोध कम हो जाता है। बाह्य (डोपित) अर्धचालकों में, डोपित परमाणु चालन बैंड में इलेक्ट्रॉनों को दान करके या संयोजी बंध में छेद उत्पन्नकरके बहुसंख्यक आवेश वाहक एकाग्रता को बढ़ाते हैं। (एक छेद एक ऐसी स्थिति है जहां एक इलेक्ट्रॉन गायब है; ऐसे छेद इलेक्ट्रॉनों के समान व्यवहार कर सकते हैं।) दोनों प्रकार के दाता या स्वीकर्ता परमाणुओं के लिए, डोपित घनत्व बढ़ने से प्रतिरोध कम हो जाता है। इसलिए, अत्यधिक डोप किए गए अर्धचालक धात्विक रूप से व्यवहार करते हैं। बहुत अधिक तापमान पर, डोपित परमाणुओं के योगदान पर ऊष्मीय रूप से उत्पन्न वाहकों का योगदान हावी होता है, और तापमान के साथ प्रतिरोध तेजी से घटता है।

आयनिक तरल पदार्थ/इलेक्ट्रोलाइट्स में
इलेक्ट्रोलाइट ्स में, विद्युत चालन बैंड इलेक्ट्रॉनों या छिद्रों से नहीं होता है, ऊर्जा्कि पूर्ण परमाणु प्रजातियों ( आयन ों) द्वारा यात्रा करता है, जिनमें से प्रत्येक में विद्युत आवेश होता है। आयनिक विलयनों (इलेक्ट्रोलाइट्स) की प्रतिरोधकता सांद्रता के साथ काफी भिन्न होती है - जबकि आसुत जल लगभग एक इन्सुलेटर है, खारा पानी  एक उचित विद्युत चालक है। आयनिक द्रवों में चालन भी आयनों की गति से नियंत्रित होता है, किन्तु यहाँ हम विलेय आयनों की बजाय गलित लवणों की बात कर रहे हैं।  कोशिका झिल्ली  में धाराएं आयनिक लवणों द्वारा प्रवाहित होती हैं। कोशिका झिल्लियों में छोटे छेद, जिन्हें  आयन चैनल  कहा जाता है, विशिष्ट आयनों के लिए चयनात्मक होते हैं और झिल्ली प्रतिरोध को निर्धारित करते हैं।

एक तरल में आयनों की एकाग्रता (उदाहरण के लिए, एक जलीय घोल में) एक हदबंदी गुणांक द्वारा विशेषता, भंग पदार्थ के पृथक्करण की डिग्री पर निर्भर करती है $$\alpha$$, जो आयनों की सांद्रता का अनुपात है $$N$$ भंग पदार्थ के अणुओं की एकाग्रता के लिए $$N_0$$:

$$N = \alpha N_0 ~.$$ विशिष्ट विद्युत चालकता ($$\sigma$$) एक विलयन के बराबर है:

$$ \sigma = q\left(b^+ + b^-\right)\alpha N_0 ~,$$ जहाँ पे $$q$$: आयन आवेश का मॉड्यूल, $$b^+$$ तथा $$b^-$$: धनात्मक तथा ऋणावेशित आयनों की गतिशीलता, $$N_0$$: घुले हुए पदार्थ के अणुओं की सांद्रता, $$\alpha$$: हदबंदी का गुणांक।

अतिचालकता
तापमान कम होने पर धातु के चालक की विद्युत प्रतिरोधकता धीरे-धीरे कम हो जाती है। तांबे या चांदी  जैसे सामान्य (अर्थात गैर-अतिचालक) चालकों में, यह कमी अशुद्धियों और अन्य दोषों से सीमित होती है। निरपेक्ष शून्य के पास भी, एक सामान्य चालक का वास्तविक नमूना कुछ प्रतिरोध दिखाता है। एक अतिचालकता में, जब पदार्थ को उसके महत्वपूर्ण तापमान से नीचे ठंडा किया जाता है, तो प्रतिरोध अचानक शून्य हो जाता है। एक सामान्य चालक में, धारा एक वोल्टेज  प्रवणपता द्वारा संचालित होता है, जबकि एक अतिचालकता में, कोई वोल्टेज  प्रवणपता नहीं होता है और धारा इसके बजाय अतिचालकता ऑर्डर पैरामीटर के  चरण प्रवणपता से संबंधित होता है। इसका एक परिणाम यह होता है कि अतिचालक तार के लूप में बहने वाली विद्युत धारा बिना किसी शक्ति स्रोत के अनिश्चित काल तक बनी रह सकती है।

अतिचालकता के एक वर्ग में टाइप II अतिचालकता के रूप में जाना जाता है, जिसमें सभी ज्ञात उच्च-तापमान अतिचालकता्स सम्मलित हैं, एक बेहद कम किन्तु गैर-शून्य प्रतिरोधकता नाममात्र अतिचालकता संक्रमण से बहुत नीचे तापमान पर दिखाई देती है जब एक विद्युत प्रवाह एक मजबूत चुंबकीय क्षेत्र के संयोजन के साथ लागू होता है, जो विद्युत प्रवाह के कारण हो सकता है। यह इलेक्ट्रॉनिक सुपरफ्लुइड में एब्रिकोसोव भंवर की गति के कारण है, जो धारा द्वारा की गई कुछ ऊर्जा को नष्ट कर देता है। इस प्रभाव के कारण प्रतिरोध गैर-अतिचालक पदार्थ की तुलना में छोटा है, किन्तु संवेदनशील प्रयोगों में इसे ध्यान में रखा जाना चाहिए। चूँकि, जैसे-जैसे तापमान नाममात्र अतिचालकता संक्रमण से काफी कम हो जाता है, ये भंवर जमे हुए हो सकते हैं जिससे कि पदार्थ का प्रतिरोध वास्तव में शून्य हो जाए।

प्लाज्मा
प्लाज़्मा बहुत अच्छे संवाहक होते हैं और विद्युत क्षमता एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है।

आवेशित कणों के बीच की जगह में औसतम सम्मलित क्षमता, इस सवाल से स्वतंत्र कि इसे कैसे मापा जा सकता है, इसे प्लाज्मा क्षमता या अंतरिक्ष क्षमता कहा जाता है। यदि एक इलेक्ट्रोड को प्लाज्मा में डाला जाता है, तो इसकी क्षमता सामान्यतः प्लाज्मा क्षमता से काफी कम होती है, जिसे डेबी म्यान कहा जाता है। प्लाज़्मा की अच्छी विद्युत चालकता उनके विद्युत क्षेत्र को बहुत छोटा बना देती है। यह अर्ध-तटस्थता की महत्वपूर्ण अवधारणा का परिणाम है, जो कि ऋणात्मक आवेशों का घनत्व प्लाज्मा के बड़े आयतन पर धनात्मक आवेशों के घनत्व के लगभग बराबर होता है ($1/ρ_{xx}$), किन्तु डेबी की लंबाई के पैमाने पर आवेश असंतुलन हो सकता है। विशेष स्थिति में जब दोहरी ऊर्जा परत (प्लाज्मा) बनती है, आवेश पृथक्करण कुछ दसियों डिबाई लंबाई का विस्तार कर सकता है।

क्षमता और विद्युत क्षेत्रों का परिमाण केवल शुद्ध आवेश घनत्व को खोजने के अलावा अन्य माध्यमों से निर्धारित किया जाना चाहिए। एक सामान्य उदाहरण यह मान लेना है कि इलेक्ट्रॉन बोल्ट्जमान संबंध को संतुष्ट करते हैं: $$n_\text{e} \propto e^{e\Phi/k_\text{B} T_\text{e}}.$$ इस संबंध को अलग करने से घनत्व से विद्युत क्षेत्र की गणना करने का एक साधन मिलता है: $$\mathbf{E} = -\frac{k_\text{B} T_\text{e}}{e}\frac{\nabla n_\text{e}}{n_\text{e}}.$$ (∇ वेक्टर ढाल संचालक है; अधिक जानकारी के लिए ऊर्जाा प्रतीक और प्रवणपता देखें।)

ऐसे प्लाज्मा का उत्पादन करना संभव है जो क्वासीन्यूट्रल नहीं है। उदाहरण के लिए, एक इलेक्ट्रॉन बीम में केवल ऋणात्मक आवेश होते हैं। गैर-तटस्थ प्लाज्मा का घनत्व सामान्यतः बहुत कम होना चाहिए, या यह बहुत छोटा होना चाहिए। अन्यथा, प्रतिकारक विद्युत ऊर्जा इसे नष्ट कर देता है।

एस्ट्रोफिजिकल प्लाज़्मा में, विद्युत क्षेत्र स्क्रीनिंग बिजली के क्षेत्रों को बड़ी दूरी पर प्लाज्मा को सीधे प्रभावित करने से रोकती है, अर्थात डेबी लंबाई से अधिक। चूँकि, आवेशित कणों के अस्तित्व के कारण प्लाज्मा उत्पन्न होता है, और चुंबकीय क्षेत्र से प्रभावित होता है। यह अत्यंत जटिल व्यवहार का कारण बन सकता है और करता है, जैसे प्लाज्मा ऊर्जा परतों की पीढ़ी, एक वस्तु जो कुछ दसियों डेबी लंबाई पर आवेश को अलग करती है। मैग्नेटोहाइड्रोडायनामिक्स के अकादमिक अनुशासन में बाहरी और स्व-निर्मित चुंबकीय क्षेत्रों के साथ बातचीत करने वाले प्लाज़्मा की गतिशीलता का अध्ययन किया जाता है।

प्लाज्मा को अधिकांशतः ठोस, तरल और गैसों के बाद पदार्थ की चौथी अवस्था कहा जाता है। यह इन और पदार्थ की अन्य निम्न-ऊर्जा अवस्थाओं से अलग है। यद्यपि यह गैस चरण से निकटता से संबंधित है, इसका कोई निश्चित रूप या आयतन भी नहीं है, यह निम्नलिखित सहित कई विधियों से भिन्न होता है:

विभिन्न सामग्रियों की प्रतिरोधकता और चालकता

 * धातु जैसे सेमीचालक  में उच्च चालकता और कम प्रतिरोधकता होती है।
 * कांच जैसे विद्युत इन्सुलेशन में कम चालकता और उच्च प्रतिरोधकता होती है।
 * अर्धचालक की चालकता सामान्यतःमध्यवर्ती होती है, किन्तु विभिन्न परिस्थितियों में व्यापक रूप से भिन्न होती है, जैसे कि विद्युत क्षेत्र या प्रकाश की विशिष्ट आवृत्तियों के लिए पदार्थ का एक्सपोजर, और सबसे महत्वपूर्ण, अर्धचालक पदार्थ के तापमान और संरचना के साथ।

डोपिंग की डिग्री (अर्धचालक) चालकता में एक बड़ा अंतर बनाती है। एक बिंदु तक, अधिक डोपिंग से उच्च चालकता होती है। एक पानी (अणु) / जलीय घोल (रसायन विज्ञान) की चालकता भंग लवणों की सांद्रता, और अन्य रासायनिक प्रजातियों पर अत्यधिक निर्भर है जो विलयन में आयनीकरण करते हैं। पानी के नमूनों की विद्युत चालकता का उपयोग इस बात के संकेतक के रूप में किया जाता है कि नमूना कितना नमक-मुक्त, आयन-मुक्त या अशुद्धता-मुक्त है; पानी जितना शुद्ध होगा, चालकता उतनी ही कम होगी (प्रतिरोधकता जितनी अधिक होगी)। पानी में चालकता माप को अधिकांशतः शुद्ध पानी की चालकता के सापेक्ष विशिष्ट चालकता के रूप में रिपोर्ट किया जाता है $z$. एक ईसी मीटर सामान्यतः एक विलयन में चालकता को मापने के लिए प्रयोग किया जाता है। एक मोटा सारांश इस प्रकार है:

यह तालिका प्रतिरोधकता दर्शाती है ($25 °C$), विभिन्न सामग्रियों की चालकता और तापमान गुणांक  20 C.

प्रभावी तापमान गुणांक पदार्थ के तापमान और शुद्धता स्तर के साथ बदलता रहता है। अन्य तापमानों पर उपयोग किए जाने पर 20 डिग्री सेल्सियस मान केवल एक अनुमान है। उदाहरण के लिए, तांबे के लिए उच्च तापमान पर गुणांक कम हो जाता है, और मान 0.00427 सामान्यतः निर्दिष्ट किया जाता है $ρ$. चांदी की अत्यंत कम प्रतिरोधकता (उच्च चालकता) धातुओं की विशेषता है। जॉर्ज गामो ने अपनी लोकप्रिय विज्ञान पुस्तक वन, टू, थ्री ... इन्फिनिटी (1947) में इलेक्ट्रॉनों के साथ धातुओं के व्यवहार की प्रकृति को स्पष्ट रूप से अभिव्यक्त किया: "धात्विक पदार्थ अन्य सभी सामग्रियों से इस तथ्य से भिन्न होते हैं कि उनके परमाणुओं के बाहरी गोले ढीले ढंग से बंधे होते हैं, और अधिकांशतः उनके एक इलेक्ट्रॉन को मुक्त होने देते हैं। इस प्रकार एक धातु का आंतरिक भाग बड़ी संख्या में अनासक्त इलेक्ट्रॉनों से भरा होता है जो विस्थापित व्यक्तियों की भीड़ की तरह लक्ष्यहीन होकर इधर-उधर घूमते रहते हैं। जब एक धातु के तार को उसके विपरीत सिरों पर लगाए गए विद्युत बल के अधीन किया जाता है, तो ये मुक्त इलेक्ट्रॉन बल की दिशा में दौड़ते हैं, इस प्रकार जिसे हम विद्युत धारा कहते हैं, बनाते हैं।"

अधिक तकनीकी रूप से, मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल धातुओं में इलेक्ट्रॉन प्रवाह का मूल विवरण देता है।

लकड़ी को व्यापक रूप से एक अत्यंत अच्छा इन्सुलेटर माना जाता है, किन्तु इसकी प्रतिरोधकता नमी की मात्रा पर संवेदनशील रूप से निर्भर होती है, जिसमें नम लकड़ी कम से कम एक कारक होती है। $ρ$ ओवन-ड्राई से विद्युत्‍रोधन। किसी भी स्थिति में, पर्याप्त रूप से उच्च वोल्टेज - जैसे कि बिजली के हमलों या कुछ उच्च-तनाव वाली बिजली लाइनों में - स्पष्ट रूप से सूखी लकड़ी के साथ भी विद्युत्‍रोधन भंजन और विद्युत्मारण जोखिम उत्पन्न कर सकता है।

रैखिक सन्निकटन
अधिकांश सामग्रियों की विद्युत प्रतिरोधकता तापमान के साथ बदलती है। यदि तापमान $ρ$ बहुत अधिक भिन्न नहीं होता है, सामान्यतः रैखिक सन्निकटन का उपयोग किया जाता है: $$\rho(T) = \rho_0[1 + \alpha (T - T_0)],$$ जहाँ पे $$\alpha$$को प्रतिरोधकता का तापमान गुणांक कहा जाता है, $$T_0$$ एक निश्चित संदर्भ तापमान (सामान्यतः कमरे का तापमान), और $$\rho_0$$ तापमान पर प्रतिरोधकता है $$T_0$$।  पैरामीटर $$\alpha$$ माप डेटा से लगाया गया एक अनुभवजन्य पैरामीटर है. क्योंकि रैखिक सन्निकटन एक सन्निकटन है, $$\alpha$$ विभिन्न संदर्भ तापमान के लिए अलग है। इस कारण से तापमान को निर्दिष्ट करना सामान्य है कि $$\alpha$$ एक प्रत्यय के साथ मापा गया था, जैसे कि $$\alpha_{15}$$, और संबंध केवल संदर्भ के आस-पास के तापमान की एक सीमा में रहता है। जब तापमान एक बड़ी तापमान सीमा में भिन्न होता है, तो रैखिक सन्निकटन अपर्याप्त होता है और अधिक विस्तृत विश्लेषण और समझ का उपयोग किया जाना चाहिए।

धातु
सामान्यतः, धातुओं की विद्युत प्रतिरोधकता तापमान के साथ बढ़ जाती है। इलेक्ट्रॉन-फोनन इंटरेक्शनल एक महत्वपूर्ण भूमिका निभा सकता है। उच्च तापमान पर, धातु का प्रतिरोध तापमान के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है। जैसे ही धातु का तापमान कम होता है, प्रतिरोधकता की तापमान निर्भरता तापमान ऊर्जा नियम के कार्य का अनुसरण करती है। गणितीय रूप से प्रतिरोधकता की तापमान निर्भरता $20 °C$ ऊर्जाोच-ग्रुनेसेन सूत्र के माध्यम से एक धातु का अनुमान लगाया जा सकता है:

$$\rho(T) = \rho(0) + A\left(\frac{T}{\Theta_R}\right)^n \int_0^{\Theta_R/T} \frac{x^n}{(e^x - 1)(1 - e^{-x})} \, dx ,$$ जहाँ पे $$\rho(0)$$ दोष प्रकीर्णन के कारण अवशिष्ट प्रतिरोधकता है, A एक स्थिरांक है जो फर्मी सतह पर इलेक्ट्रॉनों के वेग, डेबी त्रिज्या और धातु में इलेक्ट्रॉनों की संख्या घनत्व पर निर्भर करता है। $$\Theta_R$$ प्रतिरोधकता माप से प्राप्त डेबी तापमान है और विशिष्ट ताप माप से प्राप्त डेबी तापमान के मूल्यों के साथ बहुत निकटता से मेल खाता है। n एक पूर्णांक है जो अंतःक्रिया की प्रकृति पर निर्भर करता है:


 * $σ$= 5 का तात्पर्य है कि प्रतिरोध फोनन द्वारा इलेक्ट्रॉनों के बिखरने के कारण होता है (जैसा कि साधारण धातुओं के लिए होता है)
 * $20 °C$= 3 का तात्पर्य है कि प्रतिरोध s-d इलेक्ट्रॉन प्रकीर्णन के कारण है (जैसा कि संक्रमण धातुओं के स्थिति में है)
 * $1.65$= 2 का तात्पर्य है कि प्रतिरोध इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन परस्पर क्रिया के कारण है।

ऊर्जाोच-ग्रुनेसेन फॉर्मूला एक अनुमान है जो यह मानते हुए प्राप्त किया गया है कि अध्ययन की गई धातु में गोलाकार फर्मी सतह है जो पहले ब्रिलौइन क्षेत्र और एक डेबी मॉडल के भीतर अंकित है।

यदि प्रकीर्णन के एक से अधिक स्रोत एक साथ सम्मलित हैं, तो मैथेथेसन का नियम (पहली बार 1860 के दशक में ऑगस्टस मैथिसेसेन द्वारा तैयार किया गया) बताता है कि कुल प्रतिरोध को कई अलग-अलग शब्दों को जोड़कर अनुमानित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक n के उचित मान के साथ है।

चूंकि धातु का तापमान पर्याप्त रूप से कम हो जाता है (जिससे कि सभी फोनों को 'फ्रीज' कर दिया जाए), प्रतिरोधकता सामान्यतः स्थिर मूल्य तक पहुंच जाती है, जिसे अवशिष्ट प्रतिरोधकता के रूप में जाना जाता है। यह मान न केवल धातु के प्रकार पर निर्भर करता है, ऊर्जा्कि इसकी शुद्धता और ऊष्पीय इतिहास पर भी निर्भर करता है। किसी धातु की अवशिष्ट प्रतिरोधकता का मान उसकी अशुद्धता सान्द्रता से निर्धारित होता है। अतिचालकता नामक प्रभाव के कारण कुछ पदार्थ पर्याप्त रूप से कम तापमान पर सभी विद्युत प्रतिरोधकता खो देते हैं।

धातुओं की निम्न-तापमान प्रतिरोधकता की एक जांच, हेइक कामेरलिंग ओन्स के प्रयोगों की प्रेरणा थी, जिसके कारण 1911 में अतिचालकता की खोज हुई। विवरण के लिए अतिचालकता का इतिहास देखें।

विडेमैन-फ्रांज नियम
विडेमैन-फ्रांज नियम कहता है कि सामान्य तापमान पर धातुओं की विद्युत चालकता का अनुपात तापमान के समानुपाती होता है:

$$\sigma \thicksim {1 \over T}.$$ उच्च तापमान पर धातुओं के लिए, विडेमैन-फ्रांज नियम मानता है:

$${K \over \sigma} = {\pi^2 \over 3} \left(\frac{k}{e}\right)^2 T,$$ जहाँ पे $$K$$तापीय चालकता है, $$k$$ बोल्ट्जमान स्थिरांक है, $$e$$ इलेक्ट्रॉन आवेश, $$T$$ तापमान है, और $$\sigma$$ विद्युत चालकता गुणांक है। rhs पर अनुपात को लॉरेंज संख्या कहा जाता है।

अर्धचालक
सामान्यतः, बढ़ते तापमान के साथ आंतरिक अर्धचालक प्रतिरोधकता घट जाती है। इलेक्ट्रॉनों को तापीय ऊर्जा द्वारा चालन बैंड से टकराया जाता है, जहां वे स्वतंत्र रूप से प्रवाहित होते हैं, और ऐसा करने में संयोजी बंध में इलेक्ट्रॉन छेद को पीछे छोड़ देते हैं, जो स्वतंत्र रूप से प्रवाहित होते हैं। एक विशिष्ट आंतरिक अर्धचालक (गैर डोप्ड) अर्धचालक का विद्युत प्रतिरोध तापमान के साथ चरघातांकी को कम करता है:

$$\rho = \rho_0 e^{-aT}.$$ अर्धचालक की प्रतिरोधकता की तापमान निर्भरता का और भी बेहतर सन्निकटन स्टाइनहार्ट-हार्ट समीकरण द्वारा दिया गया है:

$$\frac{1}{T} = A + B \ln\rho + C (\ln\rho)^3,$$ जहाँ पे $20 °C$, $α$ तथा $1.59$ तथाकथित स्टीनहार्ट-हार्ट गुणांक हैं।

इस समीकरण का उपयोग ताप प्रतिरोधक को अंशशोधन करने के लिए किया जाता है।

बाहरी (डोप्ड) अर्धचालकों का तापमान अधिक जटिल होता है। जैसे ही तापमान पूर्ण शून्य से प्रारंभ होता है, वे पहले प्रतिरोध में तेजी से घटते हैं क्योंकि वाहक दाताओं या स्वीकारकर्ताओं को छोड़ देते हैं। अधिकांश दाताओं या स्वीकारकर्ताओं के अपने वाहक खो देने के बाद, वाहकों की घटती गतिशीलता (जैसे धातु में) के कारण प्रतिरोध फिर से थोड़ा बढ़ने लगता है। उच्च तापमान पर, वे आंतरिक अर्धचालकों की तरह व्यवहार करते हैं क्योंकि दाताओं/स्वीकारकर्ताओं के वाहक उष्मीय रूप से उत्पन्न वाहकों की तुलना में नगण्य हो जाते हैं।

गैर-क्रिस्टलीय अर्धचालकों में, आवेश क्वांटम टनलिंग द्वारा एक स्थानीय साइट से दूसरे में चालन हो सकता है। इसे परिवर्तनीय क्षेत्र हॉपिंग के रूप में जाना जाता है और इसका विशिष्ट रूप है $$\rho = A\exp\left(T^{-\frac{1}{n}}\right),$$ जहाँ पे $6.3$ = 2, 3, 4, प्रणाली की विमीयता पर निर्भर करता है।

जटिल प्रतिरोधकता और चालकता
विद्युत प्रतिबाधा टोमोग्राफी जैसे अनुप्रयोगों में, वैकल्पिक विद्युत क्षेत्रों ( ढांकता हुआ स्पेक्ट्रोस्कोपी ) के लिए पदार्थ की प्रतिक्रिया का विश्लेषण करते समय प्रतिरोधकता को एक जटिल मात्रा के साथ प्रतिस्थापित करना सुविधाजनक है जिसे प्रतिबाधा कहा जाता है (विद्युत प्रतिबाधा के अनुरूप)। प्रतिबाधा एक वास्तविक घटक, प्रतिरोधकता और एक काल्पनिक घटक, प्रतिक्रियात्मकता ( प्रतिक्रिया के अनुरूप) का योग है। प्रतिबाधा का परिमाण प्रतिरोधकता और प्रतिक्रियाशीलता के परिमाण के वर्गों के योग का वर्गमूल है।

इसके विपरीत, ऐसे स्थितियों में चालकता को एक जटिल संख्या के रूप में व्यक्त किया जाना चाहिए  (या अनिसोट्रोपिक सामग्रियों के स्थिति में जटिल संख्याओं के एक मैट्रिक्स के रूप में भी) जिसे स्वीकार्यता कहा जाता है। स्वीकार्यता एक वास्तविक घटक का योग है जिसे चालकता कहा जाता है और एक काल्पनिक घटक जिसे संवेदनशीलता कहा जाता है।

वैकल्पिक धाराओं की प्रतिक्रिया का एक वैकल्पिक विवरण वास्तविक पारगम्यता के साथ-साथ वास्तविक (किन्तु आवृत्ति-निर्भर) चालकता का उपयोग करता है।जितनी बड़ी चालकता होती है, उतनी ही तेजी से प्रत्यावर्ती-धारा संकेत पदार्थ द्वारा अवशोषित हो जाता है (अर्थात, पदार्थ जितनी अधिक अपारदर्शी होती है)। विवरण के लिए, अपारदर्शिता का गणितीय विवरण देखें।

जटिल ज्यामिति में प्रतिरोध बनाम प्रतिरोधकता
यदि पदार्थ की प्रतिरोधकता ज्ञात हो, इससे बनी किसी चीज़ के प्रतिरोध की गणना करना, कुछ स्थितियों में, सूत्र की तुलना में बहुत अधिक जटिल हो सकता है$$R = \rho \ell /A $$ के ऊपर। एक उदाहरण प्रसार प्रतिरोध रूपरेखा है, जहां पदार्थ विषम है (विभिन्न स्थानों में अलग-अलग प्रतिरोधकता), और धारा प्रवाह के त्रुटिहीन पथ स्पष्ट नहीं हैं।

इस तरह के स्थितियों में, सूत्र $$J = \sigma E \,\, \rightleftharpoons \,\, E = \rho J$$ के साथ प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए $$\mathbf{J}(\mathbf{r}) = \sigma(\mathbf{r}) \mathbf{E}(\mathbf{r}) \,\, \rightleftharpoons \,\, \mathbf{E}(\mathbf{r}) = \rho(\mathbf{r}) \mathbf{J}(\mathbf{r}),$$ जहाँ पे $3.8$ तथा $n_{e} = ⟨Z⟩>n_{i}$ अब सदिश क्षेत्र हैं। यह समीकरण, $1.68$ के लिए निरंतरता समीकरण और $5.96$ के लिए पोइसन के समीकरण के साथ, आंशिक अवकल समीकरणों का समुच्चय बनाते हैं। विशेष स्थितियो में, इन समीकरणों का एक त्रुटिहीन या अनुमानित विलयन हाथ से तैयार किया जा सकता है, किन्तु जटिल स्थितियों में बहुत सटीक उत्तरों के लिए परिमित तत्व विश्लेषण जैसी कंप्यूटर विधियों की आवश्यकता हो सकती है।

प्रतिरोधकता- घनत्व उत्पाद
कुछ अनुप्रयोगों में जहां किसी वस्तु का वजन बहुत महत्वपूर्ण होता है, प्रतिरोधकता और घनत्व का उत्पाद पूर्ण निम्न प्रतिरोधकता की तुलना में अधिक महत्वपूर्ण होता है - उच्च प्रतिरोधकता के लिए चालकता को ठोस, बनाना अधिकांशतः संभव होता है; और फिर एक कम प्रतिरोधकता-घनत्व-उत्पाद पदार्थ (या समकक्ष रूप से एक उच्च चालकता-से-घनत्व अनुपात) वांछनीय है।उदाहरण के लिए, लंबी दूरी की ओवरहेड बिजली लाइनों के लिए, तांबे (Cu) के अतिरिक्त अधिकांशतःएल्यूमीनियम का उपयोग किया जाता है क्योंकि यह समान चालन के लिए हल्का होता है।

चूँकि, चांदी यह सबसे कम प्रतिरोधी धातु है, इसका उच्च घनत्व है और इस उपाय से यह तांबे के समान प्रदर्शन करती है, किन्तु यह बहुत अधिक महंगा होता है। कैल्शियम और क्षार धातुओं में सबसे अच्छा प्रतिरोधकता-घनत्व उत्पाद होते हैं, किन्तु पानी और ऑक्सीजन (और शारीरिक शक्ति की कमी) के साथ उनकी उच्च प्रतिक्रियाशीलता के कारण चालकों के लिए संभवतः ही कभी उपयोग किया जाता है। एल्युमीनियम कहीं अधिक स्थिर होती है। विषाक्तता बेरिलियम विकल्प को बाहर करती है। (शुद्ध बेरिलियम भी भंगुर होता है।) इस प्रकार, एल्यूमीनियम सामान्यतः विकल्प धातु होती है, जब चालक का वजन या लागत परिचालन पर विचार होता है।

यह भी देखें

 * चार्ज परिवहन तंत्र
 * रसायनज्ञ
 * परमिटिविटी#सामग्री का वर्गीकरण
 * परकोलेशन थ्रेशोल्ड के पास चालकता
 * संपर्क प्रतिरोध
 * तत्वों की विद्युत प्रतिरोधकता (डेटा पृष्ठ)
 * विद्युत प्रतिरोधकता टोमोग्राफी
 * पत्रक प्रतिरोध
 * एसआई विद्युत चुंबकत्व इकाइयाँ
 * त्वचा प्रभाव
 * स्पिट्जर प्रतिरोधकता
 * ढांकता हुआ ताकत

अग्रिम पठन

 * Measuring Electrical Resistivity and Conductivity
 * Measuring Electrical Resistivity and Conductivity

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक कड़ियों की सूची

 * रो (पत्र)
 * तथा
 * व्यापक संपत्ति
 * विद्युत प्रतिरोध और चालकता
 * अवरोध
 * बहाव का वेग
 * तरंग हस्तक्षेप
 * दोपंत
 * आयनिक तरल
 * परम शुन्य
 * ताँबा
 * अब्रीकोसोव भंवर
 * उच्च तापमान अतिचालकता
 * बिजली चमकना
 * देबी म्यान
 * आवेश का घनत्व
 * वस्तुस्थिति
 * द्रव्य की अवस्थाएं
 * डोपिंग (अर्धचालक)
 * एकाग्रता
 * विलयन (रसायन विज्ञान)
 * रोशनी
 * विद्युतीय इन्सुलेशन
 * फोनोन
 * ब्रिलॉइन क्षेत्र
 * ऊष्मीय चालकता
 * ग्रहणशीलता
 * परावैद्युतांक
 * प्रसार प्रतिरोध रूपरेखा
 * सातत्य समीकरण
 * आंशिक विभेदक समीकरण
 * सीमित तत्व विधि
 * ओवरहेड पावर लाइन
 * अंतःस्रावी दहलीज के पास चालकता
 * त्वचा का प्रभाव

बाहरी संबंध

 * Comparison of the electrical conductivity of various elements in WolframAlpha
 * Comparison of the electrical conductivity of various elements in WolframAlpha