रूलेट (वक्र)

वक्रों की विभेदक ज्यामिति में, रूलेट एक प्रकार का वक्र होता है, जो चक्रज ्स, अधिचक्रवात, हाइपोसाइक्लोइड्स, ट्रोचोइड्स, एपिट्रोकोइड्स, हाइपोट्रोकोइड्स और उलझा हुआ को सामान्यीकृत करता है।

अनौपचारिक परिभाषा
मोटे तौर पर कहें तो, रूलेट किसी दिए गए वक्र से जुड़े एक बिंदु (जिसे जनरेटर या पोल कहा जाता है) द्वारा वर्णित वक्र है क्योंकि वह वक्र बिना फिसले, दूसरे दिए गए वक्र के साथ घूमता है जो स्थिर है। अधिक सटीक रूप से, एक विमान से जुड़ा एक वक्र दिया गया है जो घूम रहा है ताकि वक्र बिना फिसले, उसी स्थान पर रहने वाले एक निश्चित विमान से जुड़े दिए गए वक्र के साथ घूम सके, फिर चलती विमान से जुड़ा एक बिंदु एक वक्र का वर्णन करता है, स्थिर तल को रूलेट कहा जाता है।

विशेष मामले और संबंधित अवधारणाएँ
ऐसे मामले में जहां रोलिंग वक्र एक रेखा (ज्यामिति) है और जनरेटर रेखा पर एक बिंदु है, रूलेट को निश्चित वक्र का एक इनवॉल्व कहा जाता है। यदि रोलिंग वक्र एक वृत्त है और स्थिर वक्र एक रेखा है तो रूलेट एक ट्रोचॉइड है। यदि, इस स्थिति में, बिंदु वृत्त पर स्थित है तो रूलेट एक चक्रज है।

एक संबंधित अवधारणा एक स्लाइडर  है, किसी दिए गए वक्र से जुड़े एक बिंदु द्वारा वर्णित वक्र जब यह दो (या अधिक) दिए गए वक्रों के साथ स्लाइड करता है।

औपचारिक परिभाषा
औपचारिक रूप से कहें तो, वक्र यूक्लिडियन विमान में अवकलनीय फलन वक्र होने चाहिए। स्थिर वक्र को अपरिवर्तनीय रखा जाता है; रोलिंग वक्र एक सतत कार्य सर्वांगसमता (ज्यामिति) परिवर्तन के अधीन है, जैसे कि हर समय वक्र संपर्क के एक बिंदु पर स्पर्शरेखा होते हैं जो किसी भी वक्र के साथ ले जाने पर समान गति से चलते हैं (इस बाधा को व्यक्त करने का दूसरा तरीका यह है कि बिंदु दो वक्रों के संपर्क का सर्वांगसम परिवर्तन के घूर्णन का तात्कालिक केंद्र है)। परिणामी रूलेट जनरेटर के लोकस (गणित) द्वारा सर्वांगसम परिवर्तनों के समान सेट के अधीन बनता है।

आइए मूल वक्रों को जटिल तल में वक्रों के रूप में मॉडलिंग करें $$r,f:\mathbb R\to\Complex$$ वक्रों की दो विभेदक ज्यामिति हो#रोलिंग की लंबाई और प्राकृतिक पैरामीट्रिजेशन ($r$) और तय किया गया ($f$) वक्र, ऐसे कि $$r(0)=f(0)$$, $$r'(0) = f'(0)$$, और $$|r'(t)| = |f'(t)| \neq 0$$ सभी के लिए $$t$$. जनरेटर का रूलेट $$p\in\Complex$$ जैसा $$r$$ चालू किया गया है $$f$$ फिर मैपिंग द्वारा दिया गया है:


 * $$t\mapsto f(t)+(p-r(t)) {f'(t)\over r'(t)}.$$

सामान्यीकरण
यदि, एक बिंदु को रोलिंग वक्र से जुड़े होने के बजाय, एक और दिए गए वक्र को गतिशील विमान के साथ ले जाया जाता है, तो सर्वांगसम वक्रों का एक परिवार उत्पन्न होता है। इस परिवार के लिफाफे को रूलेट भी कहा जा सकता है।

उच्च स्थानों में रूलेट्स की निश्चित रूप से कल्पना की जा सकती है, लेकिन स्पर्शरेखाओं से कहीं अधिक संरेखित करने की आवश्यकता है।

उदाहरण
यदि स्थिर वक्र एक ज़ंजीर का  है और रोलिंग वक्र एक रेखा (गणित) है, तो हमारे पास है:


 * $$f(t)=t+i(\cosh(t)-1) \qquad r(t)=\sinh(t)$$
 * $$f'(t)=1+i\sinh(t) \qquad r'(t)=\cosh(t).$$

लाइन का मानकीकरण इसलिए चुना गया है
 * $$|f'(t)| = \sqrt{1^2+\sinh^2(t)} = \sqrt{\cosh^2(t)} = |r'(t)|. $$

उपरोक्त सूत्र को लागू करने पर हमें प्राप्त होता है:


 * $$f(t)+(p-r(t)){f'(t)\over r'(t)}

=t-i+{p-\sinh(t)+i(1+p\sinh(t))\over\cosh(t)} =t-i+(p+i){1+i\sinh(t)\over\cosh(t)}.$$ यदि p = −i अभिव्यक्ति में एक स्थिर काल्पनिक भाग है (अर्थात् −i) और रूलेट एक क्षैतिज रेखा है। इसका एक दिलचस्प अनुप्रयोग यह है कि एक चौकोर पहिया सड़क पर बिना उछले घूम सकता है जो कि कैटेनरी आर्क की एक सुमेलित श्रृंखला है।

यह भी देखें

 * लुढ़कना
 * गियर
 * लोकस (गणित)
 * सुपरपोजिशन सिद्धांत
 * स्पाइरोग्राफ
 * तुसी दंपत्ति
 * रोसेटा (कक्षा)

संदर्भ

 * W. H. Besant (1890) Notes on Roulettes and Glissettes from Cornell University Historical Math Monographs, originally published by Deighton, Bell & Co.

अग्रिम पठन

 * Roulette at 2dcurves.com
 * Base, roulante et roulettes d'un mouvement plan sur plan
 * Eine einheitliche Darstellung von ebenen, verallgemeinerten Rollbewegungen und deren Anwendungen