द्विविभाजितता

ज्यामिति में, द्विभाजन दो समान या सर्वांगसमता (ज्यामिति) भागों में विभाजन है, आमतौर पर एक रेखा (गणित) द्वारा, जिसे तब द्विभाजक कहा जाता है। द्विभाजक के सबसे अक्सर माने जाने वाले प्रकार हैं  खंड द्विभाजक  (एक रेखा जो किसी दिए गए रेखा खंड के मध्य बिंदु से होकर गुजरती है) और  कोण द्विभाजक  (एक रेखा जो किसी के शीर्ष (ज्यामिति) से होकर गुजरती है) कोण, जो इसे दो समान कोणों में विभाजित करता है)।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, द्विभाजन आमतौर पर एक विमान (ज्यामिति) द्वारा किया जाता है, जिसे 'द्विभाजक' या 'द्विभाजक विमान' भी कहा जाता है।

परिभाषा
* एक रेखा खंड का लंबवत द्विभाजक एक रेखा है, जो खंड को उसके मध्य बिंदु पर लंबवत रूप से मिलती है।

एक खंड का क्षैतिज प्रतिच्छेदन $$AB$$ इसके प्रत्येक बिंदु की संपत्ति भी है $$X$$ खंड के अंत बिंदुओं से समदूरस्थ है: (डी)$$\quad |XA| = |XB|$$. प्रमाण इस प्रकार है $$$$ और पाइथागोरस प्रमेय:
 * $$|XA|^2=|XM|^2+|MA|^2=|XM|^2+|MB|^2=|XB|^2 \; .$$

संपत्ति (डी) आमतौर पर लंबवत द्विभाजक के निर्माण के लिए प्रयोग की जाती है:

सीधे किनारे और कम्पास द्वारा निर्माण
शास्त्रीय ज्यामिति में, द्विभाजन एक सरल कम्पास और सीधा निर्माण है, जिसकी संभावना समान त्रिज्या और विभिन्न केंद्रों के चाप (ज्यामिति) को आकर्षित करने की क्षमता पर निर्भर करती है:

खंड $$AB$$ समान त्रिज्या के प्रतिच्छेदी वृत्त खींचकर समद्विभाजित किया जाता है $$r>\tfrac 1 2 |AB|$$, जिनके केंद्र खंड के अंतिम बिंदु हैं। दो वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं द्वारा निर्धारित रेखा खंड का लंबवत द्विभाजक है। क्योंकि द्विभाजक का निर्माण खंड के मध्यबिंदु के ज्ञान के बिना किया जाता है $$M$$, निर्माण का निर्धारण करने के लिए प्रयोग किया जाता है $$M$$ द्विभाजक और रेखा खंड के चौराहे के रूप में।

यह निर्माण वास्तव में किसी दिए गए रेखा के लंबवत रेखा का निर्माण करते समय उपयोग किया जाता है $$g$$ एक निश्चित बिंदु पर $$P$$: एक वृत्त खींचना जिसका केंद्र है $$P$$ जैसे कि यह रेखा को काटता है $$g$$ दो बिंदुओं में $$A,B$$, और बनाया जाने वाला लंब एक समद्विभाजक खंड है $$AB$$.

समीकरण
यदि $$\vec a,\vec b$$ दो बिंदुओं के स्थिति वैक्टर हैं $$A,B$$, तो इसका मध्यबिंदु है $$M: \vec m=\tfrac{\vec a+\vec b}{2}$$ और वेक्टर $$\vec a -\vec b$$ लंबवत रेखा खंड द्विभाजक का एक सामान्य वेक्टर है। अतः इसका सदिश समीकरण है $$(\vec x-\vec m)\cdot(\vec a-\vec b)=0$$. डालने $$\vec m =\cdots$$ और समीकरण का विस्तार करने से सदिश समीकरण बनता है

(वी) $$\quad \vec x\cdot(\vec a-\vec b)=\tfrac 1 2 (\vec a^2-\vec b^2) .$$ साथ $$A=(a_1,a_2),B=(b_1,b_2)$$ किसी को समन्वय रूप में समीकरण मिलता है:

(सी) $$\quad (a_1-b_1)x+(a_2-b_2)y=\tfrac 1 2 (a_1^2-b_1^2+a_2^2-b_2^2) \; .$$ या स्पष्ट रूप से: (इ)$$\quad y = m(x - x_0) +y_0$$, कहाँ पे $$\; m = - \tfrac{b_1 - a_1}{b_2 - a_2}$$, $$\;x_0 = \tfrac{1}{2}(a_1 + b_1)\;$$, तथा $$\;y_0 = \tfrac{1}{2}(a_2 + b_2)\;$$.

अनुप्रयोग
लंबवत रेखा खंड द्विभाजक का उपयोग विभिन्न ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए किया गया था:
 * 1) थेल्स प्रमेय के केंद्र का निर्माण|थेल्स सर्कल,
 * 2) त्रिभुज के बहिर्वृत्त के केंद्र का निर्माण,
 * 3) वोरोनोई आरेख सीमाओं में ऐसी रेखाओं या विमानों के खंड होते हैं।



अंतरिक्ष में लंबवत रेखा खंड द्विभाजक
इसका सदिश समीकरण वस्तुतः वैसा ही है जैसा कि समतल मामले में है:
 * एक रेखा खंड का लंबवत द्विभाजक एक विमान है, जो खंड को उसके मध्य बिंदु पर लंबवत रूप से मिलता है।

'(वी)' $$\quad \vec x\cdot(\vec a-\vec b)=\tfrac 1 2 (\vec a^2-\vec b^2) .$$ साथ $$A=(a_1,a_2,a_3),B=(b_1,b_2,b_3)$$ किसी को समन्वय रूप में समीकरण मिलता है:

(C3) $$\quad (a_1-b_1)x+(a_2-b_2)y+(a_3-b_3)z=\tfrac 1 2 (a_1^2-b_1^2+a_2^2-b_2^2+a_3^2-b_3^2) \; .$$ संपत्ति (डी) (ऊपर देखें) अंतरिक्ष में भी सचमुच सच है: (डी) एक खंड के लंबवत द्विभाजक विमान $$AB$$ किसी भी बिंदु के लिए है $$X$$ संपत्ति: $$\;|XA| = |XB|$$.

कोण द्विभाजक
एक कोण समद्विभाजक समता (गणित) उपायों के साथ कोण को दो कोणों में विभाजित करता है। एक कोण में केवल एक समद्विभाजक होता है। कोण द्विभाजक का प्रत्येक बिंदु कोण के पक्षों से समान दूरी पर होता है।

एक कोण का आंतरिक या आंतरिक द्विभाजक वह रेखा, अर्ध-रेखा या रेखा खंड है जो 180° से कम के कोण को दो समान कोणों में विभाजित करता है। बाहरी या बाहरी समद्विभाजक वह रेखा है जो पूरक कोण (180° माइनस ओरिजिनल कोण) को विभाजित करती है, जो मूल कोण को बनाने वाले एक तरफ और दूसरी तरफ के विस्तार को दो बराबर कोणों में विभाजित करती है। स्ट्रेटेज और कम्पास के साथ एक कोण को समद्विभाजित करने के लिए, एक वृत्त खींचा जाता है जिसका केंद्र शीर्ष है। वृत्त दो बिंदुओं पर कोण से मिलता है: प्रत्येक पैर पर एक। इन बिंदुओं में से प्रत्येक को केंद्र के रूप में उपयोग करते हुए, समान आकार के दो वृत्त बनाएं। मंडलियों का प्रतिच्छेदन (दो बिंदु) एक रेखा निर्धारित करता है जो कोण द्विभाजक है।

समस्या की समरूपता पर निर्भर करते हुए, इस निर्माण की शुद्धता का प्रमाण काफी सहज है। कोण को त्रिविभाजित करना (इसे तीन समान भागों में विभाजित करना) अकेले कम्पास और शासक के साथ प्राप्त नहीं किया जा सकता है (यह पहली बार पियरे वांजेल द्वारा सिद्ध किया गया था)।

एक कोण के आंतरिक और बाह्य समद्विभाजक लंबवत होते हैं। यदि कोण बीजगणितीय रूप से दी गई दो रेखाओं से बनता है $$l_1x+m_1y+n_1=0$$ तथा $$l_2x+m_2y+n_2=0,$$ तो दो समीकरणों द्वारा आंतरिक और बाह्य समद्विभाजक दिए जाते हैं
 * $$\frac{l_1x+m_1y+n_1}{\sqrt{l_1^2+m_1^2}} = \pm \frac{l_2x+m_2y+n_2}{\sqrt{l_2^2+m_2^2}}.$$

संगामिति और संरेखता
दो बाह्य कोणों के समद्विभाजक और दूसरे आंतरिक कोण के समद्विभाजक संगामी होते हैं। तीन चौराहे बिंदु, विपरीत विस्तारित पक्ष के साथ एक बाहरी कोण द्विभाजक में से प्रत्येक, संरेखता हैं (एक दूसरे के समान रेखा पर गिरते हैं)। तीन चौराहे बिंदु, उनमें से दो एक आंतरिक कोण द्विभाजक और विपरीत पक्ष के बीच, और तीसरा अन्य बाहरी कोण द्विभाजक और विपरीत पक्ष विस्तारित के बीच, संरेख हैं।

कोण द्विभाजक प्रमेय
कोण द्विभाजक प्रमेय दो खंडों की सापेक्ष लंबाई से संबंधित है जो एक त्रिभुज की भुजा को एक ऐसी रेखा से विभाजित करती है जो विपरीत कोण को समद्विभाजित करती है। यह उनकी सापेक्ष लंबाई को त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं की सापेक्ष लंबाई के बराबर करता है।

लंबाई
यदि एक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई है $$a,b,c$$, अर्धपरिधि $$s=(a+b+c)/2,$$ और A विपरीत भुजा का कोण है $$a$$, तो कोण A के आंतरिक समद्विभाजक की लंबाई है
 * $$ \frac{2 \sqrt{bcs(s-a)}}{b+c},$$

या त्रिकोणमितीय शब्दों में,
 * $$\frac{2bc}{b+c}\cos \frac{A}{2}. $$

यदि त्रिभुज ABC में कोण A के आंतरिक द्विभाजक की लंबाई है $$t_a$$ और यदि यह समद्विभाजक A के विपरीत भुजा को लंबाई m और n के खंडों में विभाजित करता है, तब
 * $$t_a^2+mn = bc$$

जहाँ b और c शीर्षों B और C के विपरीत भुजाओं की लंबाई हैं; और A के सामने वाली भुजा को b:c के अनुपात में विभाजित किया गया है।

यदि कोण A, B और C के आंतरिक समद्विभाजक की लंबाई है $$t_a, t_b,$$ तथा $$t_c$$, फिर
 * $$\frac{(b+c)^2}{bc}t_a^2+ \frac{(c+a)^2}{ca}t_b^2+\frac{(a+b)^2}{ab}t_c^2 = (a+b+c)^2.$$

कोई भी दो गैर-सर्वांगसम त्रिभुज तीन आंतरिक कोण द्विभाजक लंबाई के समान सेट को साझा नहीं करते हैं।

पूर्णांक त्रिकोण
परिमेय कोण द्विभाजक के साथ पूर्णांक त्रिभुज#पूर्णांक त्रिभुज मौजूद हैं।

चतुर्भुज
उत्तल बहुभुज चतुर्भुज के आंतरिक कोण द्विभाजक या तो एक चक्रीय चतुर्भुज बनाते हैं (अर्थात, आसन्न कोण द्विभाजक के चार प्रतिच्छेदन बिंदु चक्रीय बिंदु होते हैं), या वे समवर्ती रेखाएँ हैं। बाद के मामले में चतुर्भुज एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज है।

रोम्बस
समचतुर्भुज का प्रत्येक विकर्ण विपरीत कोणों को समद्विभाजित करता है।

पूर्व स्पर्शरेखा चतुर्भुज
एक पूर्व-स्पर्शरेखा चतुर्भुज का केंद्र छह कोण द्विभाजक के चौराहे पर स्थित है। ये दो विपरीत शीर्ष कोणों पर आंतरिक कोण द्विभाजक हैं, अन्य दो शीर्ष कोणों पर बाहरी कोण द्विभाजक (पूरक कोण द्विभाजक), और बाहरी कोण द्विभाजक उन कोणों पर बनते हैं जहाँ विस्तारित पक्ष प्रतिच्छेद करते हैं।

परवलय
किसी भी बिंदु पर परबोला की स्पर्शरेखा बिंदु को फोकस से मिलाने वाली रेखा और बिंदु से सीधी रेखा के बीच के कोण को समद्विभाजित करती है।

माध्यिकाएं
एक त्रिकोण के तीन मेडियन (ज्यामिति) में से प्रत्येक एक रेखा खंड है जो एक वर्टेक्स (ज्यामिति) # एक पॉलीटॉप और विपरीत पक्ष के मध्य बिंदु से होकर जाता है, इसलिए यह उस पक्ष को द्विभाजित करता है (हालांकि सामान्य रूप से लंबवत नहीं)। तीनों माध्यिकाएँ एक दूसरे को एक ऐसे बिंदु पर काटती हैं जिसे त्रिभुज का केन्द्रक#कहा जाता है और त्रिभुज का चतुष्फलक, जो एकसमान घनत्व होने पर द्रव्यमान का केंद्र होता है; इस प्रकार त्रिभुज के केन्द्रक और उसके किसी एक शीर्ष से होकर जाने वाली कोई भी रेखा विपरीत भुजा को समद्विभाजित करती है। केन्द्रक किसी भी एक भुजा के मध्यबिंदु के उतना करीब है जितना कि यह विपरीत शीर्ष के पास है।

लंबवत द्विभाजक
एक त्रिभुज की एक भुजा का आंतरिक लंब समद्विभाजक वह खंड होता है, जो पूरी तरह से त्रिभुज पर और उसके अंदर पड़ता है, उस रेखा का जो लंबवत रूप से उस भुजा को समद्विभाजित करता है। एक त्रिभुज की तीन भुजाओं के तीन लंब समद्विभाजक परिकेन्द्र (तीन शीर्षों से होते हुए वृत्त का केंद्र) पर प्रतिच्छेद करते हैं। इस प्रकार त्रिभुज के परिकेन्द्र से होकर जाने वाली कोई भी रेखा और किसी भुजा पर लंब उस भुजा को समद्विभाजित करती है।

एक तीव्र त्रिभुज में परिकेन्द्र दो सबसे छोटी भुजाओं के आंतरिक लंब द्विभाजक को समान अनुपात में विभाजित करता है। एक मोटे त्रिभुज में दो सबसे छोटी भुजाओं के लंब समद्विभाजक (उनकी विपरीत त्रिभुज भुजाओं से परिधि तक विस्तारित) को उनके संबंधित प्रतिच्छेदी त्रिभुज भुजाओं द्वारा समान अनुपात में विभाजित किया जाता है। किसी भी त्रिभुज के आंतरिक लंब समद्विभाजक द्वारा दिए जाते हैं $$p_a=\tfrac{2aT}{a^2+b^2-c^2},$$ $$p_b=\tfrac{2bT}{a^2+b^2-c^2},$$ तथा $$p_c=\tfrac{2cT}{a^2-b^2+c^2},$$ जहां पक्ष हैं $$a \ge b \ge c$$ और क्षेत्र है $$T.$$

चतुर्भुज
एक उत्तल बहुभुज चतुर्भुज के दो चतुर्भुज#द्विमध्य रेखा खंड हैं जो विपरीत पक्षों के मध्यबिंदुओं को जोड़ते हैं, इसलिए प्रत्येक दो पक्षों को द्विभाजित करता है। दो द्विमाध्यिकाएँ और विकर्णों के मध्यबिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड एक बिंदु पर संगामी होते हैं जिसे वर्टेक्स सेंट्रोइड कहा जाता है और सभी इस बिंदु से द्विभाजित होते हैं। एक उत्तल चतुर्भुज के चार गुण विपरीत दिशा के मध्य बिंदु के माध्यम से एक तरफ के लंबवत होते हैं, इसलिए बाद वाले पक्ष को द्विभाजित करते हैं। यदि चतुर्भुज चक्रीय चतुर्भुज (एक वृत्त में खुदा हुआ) है, तो ये गुण समवर्ती रेखाएँ हैं (सभी मिलते हैं) एक सामान्य बिंदु पर जिसे एंटीसेंटर कहा जाता है।

ब्रह्मगुप्त के प्रमेय में कहा गया है कि यदि एक चक्रीय चतुर्भुज ओर्थोडायगोनल चतुर्भुज है (अर्थात, लंबवत विकर्ण हैं), तो विकर्णों के चौराहे के बिंदु से एक तरफ लंबवत हमेशा विपरीत पक्ष को द्विभाजित करता है।

एक चतुर्भुज का लम्ब समद्विभाजक निर्माण दूसरे चतुर्भुज की भुजाओं के लम्ब समद्विभाजकों से एक चतुर्भुज बनाता है।

त्रिभुज
ऐसी अनंत रेखाएँ हैं जो त्रिभुज के क्षेत्रफल को समद्विभाजित करती हैं। उनमें से तीन त्रिभुज की माध्यिका (ज्यामिति) हैं (जो भुजाओं के मध्यबिंदुओं को विपरीत शीर्षों से जोड़ती हैं), और ये त्रिभुज के केन्द्रक पर समवर्ती रेखाएँ हैं; वास्तव में, वे ही एकमात्र क्षेत्र द्विभाजक हैं जो केन्द्रक से गुजरते हैं। तीन अन्य क्षेत्र समद्विभाजक त्रिभुज की भुजाओं के समानांतर हैं; इनमें से प्रत्येक अन्य दो पक्षों को काटता है ताकि उन्हें अनुपात के साथ खंडों में विभाजित किया जा सके $$\sqrt{2}+1:1$$. ये छः रेखाएं एक समय में समवर्ती तीन हैं: तीन माध्यिकाएं समवर्ती होने के अलावा, कोई भी एक माध्यिका दो पार्श्व-समानांतर क्षेत्र द्विभाजक के साथ समवर्ती है।

क्षेत्र द्विभाजक की अनंतता का लिफ़ाफ़ा (गणित) एक डेल्टॉइड वक्र है (व्यापक रूप से एक आकृति के रूप में परिभाषित किया गया है, जो कर्व से जुड़े तीन कोने हैं जो डेल्टॉइड के बाहरी भाग के लिए अवतल हैं, आंतरिक बिंदुओं को एक गैर-उत्तल सेट बनाते हैं)। डेल्टॉइड के शीर्ष मध्यिका के मध्य बिंदु पर होते हैं; डेल्टॉइड के अंदर सभी बिंदु तीन अलग-अलग क्षेत्र द्विभाजक पर हैं, जबकि इसके बाहर के सभी बिंदु सिर्फ एक पर हैं। डेल्टॉइड की भुजाएँ हाइपरबोलस के चाप हैं जो त्रिभुज की विस्तारित भुजाओं के लिए स्पर्शोन्मुख हैं। समद्विभाजक के लिफाफे के क्षेत्रफल का त्रिभुज के क्षेत्रफल से अनुपात सभी त्रिभुजों के लिए अपरिवर्तनीय होता है, और बराबर होता है $$\tfrac{3}{4} \log_e(2) - \tfrac{1}{2},$$ यानी 0.019860... या 2% से कम।

त्रिभुज का एक क्लीवर (ज्यामिति) एक रेखा खंड है जो त्रिभुज की परिधि को द्विभाजित करता है और तीन भुजाओं में से एक के मध्य बिंदु पर एक अंत बिंदु होता है। तीन विदारक समवर्ती रेखाएँ स्पाइकर केंद्र पर (सभी से होकर गुजरती हैं) हैं, जो औसत दर्जे के त्रिकोण का अंतःवृत्त है। क्लीवर कोण द्विभाजक के समानांतर होते हैं।

एक त्रिभुज का विभाजक (ज्यामिति) एक रेखा खंड होता है जिसका एक समापन बिंदु त्रिभुज के तीन शीर्षों में से एक पर होता है और परिधि को समद्विभाजित करता है। त्रिभुज के नागल बिंदु पर तीन विभाजक मिलते हैं।

त्रिकोण के माध्यम से कोई भी रेखा जो त्रिभुज के क्षेत्र और इसकी परिधि दोनों को आधे में विभाजित करती है, त्रिकोण के अंतःकेंद्र (इसके अंतःवृत्त का केंद्र) से होकर जाती है। किसी दिए गए त्रिकोण के लिए इनमें से एक, दो या तीन हैं। केंद्र के माध्यम से एक रेखा क्षेत्र या परिधि में से एक को विभाजित करती है यदि और केवल अगर यह दूसरे को भी विभाजित करती है।

समांतर चतुर्भुज
समांतर चतुर्भुज के मध्यबिंदु से होकर जाने वाली कोई भी रेखा क्षेत्रफल को समद्विभाजित करती है और परिधि।

वृत्त और दीर्घवृत्त
एक वृत्त या अन्य दीर्घवृत्त के सभी क्षेत्र समद्विभाजक और परिधि समद्विभाजक केंद्र (ज्यामिति) के माध्यम से जाते हैं, और केंद्र के माध्यम से कोई भी राग (ज्यामिति) क्षेत्र और परिधि को द्विभाजित करता है। एक वृत्त के मामले में वे वृत्त के व्यास हैं।

समांतर चतुर्भुज
समांतर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।

चतुर्भुज
यदि किसी चतुर्भुज के विकर्णों को जोड़ने वाला एक रेखा खंड दोनों विकर्णों को समद्विभाजित करता है, तो यह रेखा खंड (न्यूटन रेखा) स्वयं चतुर्भुज#उत्तल चतुर्भुज|शीर्ष केन्द्रक में उल्लेखनीय बिंदुओं और रेखाओं से विभाजित होता है।

मात्रा द्विभाजक
एक समतल जो चतुष्फलक के दो विपरीत किनारों को दिए गए अनुपात में विभाजित करता है, चतुष्फलक के आयतन को भी उसी अनुपात में विभाजित करता है। इस प्रकार टेट्राहेड्रॉन के बाइमेडियन (विपरीत किनारों के मध्यबिंदुओं का संबंधक) वाला कोई भी विमान टेट्राहेड्रॉन के आयतन को समद्विभाजित करता है

बाहरी संबंध

 * The Angle Bisector at cut-the-knot
 * Angle Bisector definition. Math Open Reference With interactive applet
 * Line Bisector definition. Math Open Reference With interactive applet
 * Perpendicular Line Bisector. With interactive applet
 * Animated instructions for bisecting an angle and bisecting a line Using a compass and straightedge