अंकगणित का गैर-मानक मॉडल

गणितीय तर्क में, अंकगणित का एक गैर-मानक मॉडल (प्रथम-क्रम तर्क|प्रथम-क्रम) पीनो सिद्धांतों का एक मॉडल है जिसमें गैर-मानक संख्याएं होती हैं। अंकगणित का मानक मॉडल शब्द मानक प्राकृतिक संख्याओं 0, 1, 2,… को संदर्भित करता है। पीनो अंकगणित के किसी भी मॉडल के तत्व रैखिक रूप से क्रमबद्ध होते हैं और मानक प्राकृतिक संख्याओं के लिए एक प्रारंभिक खंड समरूपी होते हैं। एक गैर-मानक मॉडल वह है जिसमें इस प्रारंभिक खंड के बाहर अतिरिक्त तत्व होते हैं। ऐसे मॉडलों का निर्माण थोरल्फ़ स्कोलेम  (1934) की देन है।

अस्तित्व
ऐसी कई विधियाँ हैं जिनका उपयोग अंकगणित के गैर-मानक मॉडल के अस्तित्व को साबित करने के लिए किया जा सकता है।

संहतता प्रमेय से
अंकगणित के गैर-मानक मॉडल के अस्तित्व को कॉम्पैक्टनेस प्रमेय के अनुप्रयोग द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, स्वयंसिद्ध P* के एक सेट को एक भाषा में परिभाषित किया गया है जिसमें एक नए स्थिर प्रतीक x के साथ पीनो अंकगणित की भाषा भी शामिल है। स्वयंसिद्धों में पीनो अंकगणित पी के स्वयंसिद्धों के साथ-साथ स्वयंसिद्धों का एक और अनंत सेट शामिल है: प्रत्येक अंक n के लिए, स्वयंसिद्ध x > n शामिल है। इन स्वयंसिद्धों का कोई भी परिमित उपसमुच्चय एक ऐसे मॉडल से संतुष्ट होता है जो अंकगणित का मानक मॉडल है और स्थिरांक x को P* के परिमित उपसमुच्चय में उल्लिखित किसी भी अंक से बड़ी संख्या के रूप में व्याख्या किया जाता है। इस प्रकार सघनता प्रमेय द्वारा सभी अभिगृहीतों P* को संतुष्ट करने वाला एक मॉडल है। चूँकि P* का कोई भी मॉडल P का एक मॉडल है (चूँकि स्वयंसिद्धों के एक सेट का एक मॉडल स्पष्ट रूप से स्वयंसिद्धों के उस सेट के किसी सबसेट का एक मॉडल भी है), हमारे पास है कि हमारा विस्तारित मॉडल भी पीनो स्वयंसिद्धों का एक मॉडल है। इस मॉडल का x से संबंधित तत्व एक मानक संख्या नहीं हो सकता है, क्योंकि जैसा कि संकेत दिया गया है यह किसी भी मानक संख्या से बड़ा है।

अधिक जटिल तरीकों का उपयोग करके, ऐसे गैर-मानक मॉडल बनाना संभव है जिनमें अधिक जटिल गुण हों। उदाहरण के लिए, पीनो अंकगणित के ऐसे मॉडल हैं जिनमें गुडस्टीन का प्रमेय विफल हो जाता है। यह ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत में साबित किया जा सकता है कि गुडस्टीन का प्रमेय मानक मॉडल में है, इसलिए एक मॉडल जहां गुडस्टीन का प्रमेय विफल होता है वह गैर-मानक होना चाहिए।

अपूर्णता प्रमेयों से
गोडेल की अपूर्णता प्रमेय अंकगणित के गैर-मानक मॉडल के अस्तित्व का भी संकेत देती है। अपूर्णता प्रमेय दर्शाते हैं कि एक विशेष वाक्य जी, पीनो अंकगणित का गोडेल वाक्य, पीनो अंकगणित में न तो सिद्ध करने योग्य है और न ही अस्वीकृत करने योग्य है। गोडेल की पूर्णता प्रमेय के अनुसार, इसका मतलब है कि पीनो अंकगणित के कुछ मॉडल में जी गलत है। हालाँकि, G अंकगणित के मानक मॉडल में सत्य है, और इसलिए कोई भी मॉडल जिसमें G गलत है, एक गैर-मानक मॉडल होना चाहिए। इस प्रकार किसी मॉडल के गैरमानक होने के लिए ~G को संतुष्ट करना पर्याप्त शर्त है। हालाँकि, यह कोई आवश्यक शर्त नहीं है; किसी भी गोडेल वाक्य जी और किसी अनंत प्रमुखता के लिए जी सत्य और उस कार्डिनैलिटी के साथ अंकगणित का एक मॉडल है।

~G true
वाले मॉडलों के लिए अंकगणितीय अस्वस्थता

यह मानते हुए कि अंकगणित सुसंगत है, ~G के साथ अंकगणित भी सुसंगत है। हालाँकि, चूँकि ~G बताता है कि अंकगणित असंगत है, परिणाम ω-संगत नहीं होगा (क्योंकि ~G गलत है और यह ω-संगतता का उल्लंघन करता है)।

एक अल्ट्राप्रोडक्ट से
अंकगणित के एक गैर-मानक मॉडल के निर्माण की एक अन्य विधि अल्ट्राप्रोडक्ट के माध्यम से है। एक विशिष्ट निर्माण प्राकृतिक संख्याओं के सभी अनुक्रमों के सेट का उपयोग करता है, $$\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$$. दो अनुक्रमों की पहचान करें यदि वे बिल्कुल सहमत हैं लेकिन सीमित रूप से कई शर्तों पर सहमत हैं। परिणामी मोटी हो जाओ अंकगणित का एक गैर-मानक मॉडल है। इसे अतिप्राकृतिक संख्याओं से पहचाना जा सकता है।

गणनीय गैर-मानक मॉडल की संरचना
अल्ट्राप्रोडक्ट मॉडल अनगिनत हैं। इसे देखने का एक तरीका अल्ट्राप्रोडक्ट में एन के अनंत उत्पाद का एक इंजेक्शन बनाना है। हालाँकि, लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय के अनुसार अंकगणित के गणनीय गैर-मानक मॉडल मौजूद होने चाहिए। ऐसे मॉडल को परिभाषित करने का एक तरीका द्वितीय-क्रम तर्क#शब्दार्थ विज्ञान का उपयोग करना है।

अंकगणित के किसी भी गणनीय गैर-मानक मॉडल में ऑर्डर प्रकार होता है ω + (ω* + ω) &sdot; η, जहां ω मानक प्राकृतिक संख्याओं का क्रम प्रकार है, ω* दोहरा क्रम (एक अनंत घटता क्रम) है और η परिमेय संख्याओं का क्रम प्रकार है। दूसरे शब्दों में, एक गणनीय गैर-मानक मॉडल एक अनंत बढ़ते क्रम (मॉडल के मानक तत्व) से शुरू होता है। इसके बाद प्रत्येक ऑर्डर प्रकार के ब्लॉक का संग्रह आता है ω* + ω, पूर्णांकों का क्रम प्रकार। बदले में ये ब्लॉक परिमेय के क्रम प्रकार के साथ सघन रूप से क्रमबद्ध होते हैं। परिणाम काफी आसानी से आता है क्योंकि यह देखना आसान है कि गैर-मानक संख्याओं के ब्लॉक को Dense_order होना चाहिए और अंतिम बिंदुओं के बिना रैखिक रूप से क्रमबद्ध होना चाहिए, और कुल क्रम#उदाहरण। तो, गणनीय गैर-मानक मॉडल का ऑर्डर प्रकार ज्ञात होता है। हालाँकि, अंकगणितीय संक्रियाएँ बहुत अधिक जटिल हैं।

यह देखना आसान है कि अंकगणितीय संरचना भिन्न है ω + (ω* + ω) &sdot; η. उदाहरण के लिए, यदि कोई गैर-मानक (गैर-परिमित) तत्व यू मॉडल में है, तो ऐसा ही है m &sdot; u प्रारंभिक खंड 'एन' में किसी भी एम के लिए, फिर भी यू2से बड़ा है m &sdot; u किसी भी मानक परिमित एम के लिए।

इसके अलावा कोई वर्गमूल को न्यूनतम v जैसे परिभाषित कर सकता है v2 > 2 &sdot; u. ये आपके किसी परिमेय गुणज की मानक परिमित संख्या के भीतर नहीं हो सकते। गैर-मानक विश्लेषण के अनुरूप तरीकों से कोई भी गैर-मानक संख्या यू के अपरिमेय गुणकों जैसे कि कम से कम वी के साथ करीबी अनुमान को परिभाषित करने के लिए पीए का उपयोग कर सकता है v > $\pi$ &sdot; u (इन्हें π के गैर-मानक परिमित अनुमानों का उपयोग करके पीए में परिभाषित किया जा सकता है| के तर्कसंगत अनुमान π चाहे πस्वयं नहीं हो सकता). एक बार और, v − (m/n) &sdot; (u/n) किसी भी मानक परिमित m, n के लिए किसी भी मानक परिमित संख्या से बड़ा होना चाहिए। इससे पता चलता है कि गणनीय गैर-मानक मॉडल की अंकगणितीय संरचना परिमेय की संरचना से अधिक जटिल है। हालाँकि इसमें इसके अलावा और भी बहुत कुछ है: टेनेनबाम के प्रमेय से पता चलता है कि पीनो अंकगणित के किसी भी गणनीय गैर-मानक मॉडल के लिए मॉडल के तत्वों को (मानक) प्राकृतिक संख्याओं के रूप में कोड करने का कोई तरीका नहीं है, जैसे कि जोड़ या गुणन ऑपरेशन। मॉडल कोड पर पुनरावर्तन सिद्धांत है। यह परिणाम पहली बार 1959 में स्टेनली टेनेनबाम द्वारा प्राप्त किया गया था।

स्रोत

 * बूलोस, जॉर्ज, और जेफरी, रिचर्ड 1974। कम्प्यूटेबिलिटी एंड लॉजिक, कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस। ISBN 0-521-38923-2.

यह भी देखें

 * गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति - ज्यामिति में गैर-मानक मॉडल के बारे में

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