सामान्यीकृत ईजेनवेक्टर

रेखीय बीजगणित में, एक का एक सामान्यीकृत ईजेनवेक्टर $$n\times n$$ मैट्रिक्स (गणित) $$A$$ एक वेक्टर (गणित और भौतिकी) है जो कुछ मानदंडों को पूरा करता है जो एक (साधारण) आइजन्वेक्टर की तुलना में अधिक आराम से हैं। होने देना $$V$$ सेम $$n$$-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष और चलो $$A$$ रेखीय मानचित्र बनें # एक रेखीय मानचित्र के उदाहरण $$V$$ को $$V$$ कुछ आदेशित आधार (रैखिक बीजगणित) के संबंध में।

हमेशा का पूरा सेट मौजूद नहीं हो सकता है $$n$$ रैखिक स्वतंत्रता के ईजेनवेक्टर $$A$$ के लिए एक पूर्ण आधार बनाता है $$V$$. यानी मैट्रिक्स $$A$$ विकर्णीय मैट्रिक्स नहीं हो सकता है। यह तब होता है जब कम से कम एक eigenvalue की बीजगणितीय बहुलता $$\lambda_i$$ इसकी ज्यामितीय बहुलता से अधिक है (कर्नेल (रैखिक बीजगणित) # मैट्रिक्स के मैट्रिक्स गुणन के रूप में प्रतिनिधित्व $$(A-\lambda_i I)$$, या इसके कर्नेल (रैखिक बीजगणित) का आयाम (वेक्टर स्थान)। इस मामले में, $$\lambda_i$$ एक दोषपूर्ण eigenvalue कहा जाता है और $$A$$ दोषपूर्ण मैट्रिक्स कहा जाता है। एक सामान्यीकृत ईजेनवेक्टर $$x_i$$ तदनुसार $$\lambda_i$$, मैट्रिक्स के साथ $$(A-\lambda_i I)$$ रैखिक रूप से स्वतंत्र सामान्यीकृत ईजेनवेक्टरों की एक जॉर्डन श्रृंखला उत्पन्न करें जो एक अपरिवर्तनीय उप-स्थान के लिए आधार बनाती हैं $$V$$.   सामान्यीकृत eigenvectors का उपयोग करना, के रैखिक रूप से स्वतंत्र eigenvectors का एक सेट $$A$$ के लिए, यदि आवश्यक हो, पूर्ण आधार पर बढ़ाया जा सकता है $$V$$. इस आधार का उपयोग लगभग विकर्ण मैट्रिक्स को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है $$J$$ जॉर्डन सामान्य रूप में, करने के लिए मैट्रिक्स समानता $$A$$, जो कुछ मैट्रिक्स कार्यों की गणना करने में उपयोगी है $$A$$. गणित का सवाल $$J$$ साधारण अवकल समीकरण#ODE की प्रणाली को हल करने में भी उपयोगी है $$\mathbf x' = A \mathbf x,$$ जहाँ $$A$$ विकर्ण होने की आवश्यकता नहीं है। किसी दिए गए ईगेनवैल्यू के अनुरूप सामान्यीकृत आइगेनस्पेस का आयाम $$\lambda$$ की बीजगणितीय बहुलता है $$\lambda$$.

अवलोकन और परिभाषा
एक साधारण ईजेनवेक्टर को परिभाषित करने के कई समतुल्य तरीके हैं।       हमारे उद्देश्यों के लिए, एक ईजेनवेक्टर $$\mathbf u$$ एक eigenvalue से जुड़ा हुआ है $$\lambda$$ की एक $$n$$ × $$n$$ आव्यूह $$A$$ जिसके लिए एक अशून्य सदिश है $$(A - \lambda I) \mathbf u = \mathbf 0$$, जहाँ $$I$$ है $$n$$ × $$n$$ पहचान मैट्रिक्स और $$\mathbf 0$$ लंबाई का शून्य वेक्टर है $$n$$. वह है, $$\mathbf u$$ रैखिक परिवर्तन के कर्नेल (रैखिक बीजगणित) में है $$(A - \lambda I)$$. यदि $$A$$ है $$n$$ रैखिक रूप से स्वतंत्र ईजेनवेक्टर, फिर $$A$$ विकर्ण मैट्रिक्स के समान है $$D$$. अर्थात्, एक व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स मौजूद है $$M$$ ऐसा है कि $$A$$ समानता परिवर्तन के माध्यम से विकर्ण है $$D = M^{-1}AM$$. गणित का सवाल $$D$$ के लिए वर्णक्रमीय मैट्रिक्स  कहा जाता है $$A$$. गणित का सवाल $$M$$ के लिए एक मोडल मैट्रिक्स  कहा जाता है $$A$$. विकर्णीय मेट्रिसेस विशेष रुचि रखते हैं क्योंकि उनके मैट्रिक्स फ़ंक्शंस की आसानी से गणना की जा सकती है। वहीं दूसरी ओर यदि $$A$$ नहीं है $$n$$ इसके साथ जुड़े रैखिक रूप से स्वतंत्र eigenvectors $$A$$ विकर्णीय नहीं है। परिभाषा: एक वेक्टर $$\mathbf x_m$$ मैट्रिक्स के रैंक m का एक सामान्यीकृत ईजेनवेक्टर है $$A$$ और eigenvalue के अनुरूप $$\lambda$$ अगर


 * $$(A - \lambda I)^m \mathbf x_m = \mathbf 0$$

लेकिन


 * $$(A - \lambda I)^{m-1} \mathbf x_m \ne \mathbf 0.$$

स्पष्ट रूप से, रैंक 1 का सामान्यीकृत ईजेनवेक्टर एक साधारण ईजेनवेक्टर है। प्रत्येक $$n$$ × $$n$$ आव्यूह $$A$$ है $$n$$ इसके साथ जुड़े रैखिक रूप से स्वतंत्र सामान्यीकृत ईजेनवेक्टर और इसे लगभग विकर्ण मैट्रिक्स के समान दिखाया जा सकता है $$J$$ जॉर्डन में सामान्य रूप। अर्थात्, एक व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स मौजूद है $$M$$ ऐसा है कि $$J = M^{-1}AM$$. गणित का सवाल $$M$$ इस मामले में सामान्यीकृत मोडल मैट्रिक्स कहा जाता है $$A$$. यदि $$\lambda$$ बीजगणितीय बहुलता का आइगेनमान है $$\mu$$, तब $$A$$ होगा $$\mu$$ इसके अनुरूप रैखिक रूप से स्वतंत्र सामान्यीकृत ईजेनवेक्टर $$\lambda$$. ये परिणाम, बदले में, के कुछ मैट्रिक्स कार्यों की गणना के लिए एक सीधी विधि प्रदान करते हैं $$A$$.

ध्यान दें: एक के लिए $$n \times n$$ आव्यूह $$A$$ एक क्षेत्र पर (गणित) $$F$$ जॉर्डन सामान्य रूप में अभिव्यक्त करने के लिए, के सभी eigenvalues $$A$$ में होना चाहिए $$F$$. अर्थात्, विशेषता बहुपद $$f(x)$$ पूरी तरह से रैखिक कारकों में कारक होना चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि $$A$$ वास्तविक संख्या | वास्तविक-मूल्यवान तत्व हैं, तो यह आवश्यक हो सकता है कि eigenvalues ​​​​और eigenvectors के घटकों के पास जटिल संख्या हो। किसी दिए गए के लिए सभी सामान्यीकृत eigenvectors द्वारा सेट लीनियर स्पैन # परिभाषा $$ \lambda $$ के लिए सामान्यीकृत आइगेनस्पेस बनाता है $$ \lambda $$.

उदाहरण
सामान्यीकृत ईजेनवेक्टरों की अवधारणा को स्पष्ट करने के लिए यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं। कुछ विवरणों का वर्णन बाद में किया जाएगा।

उदाहरण 1
यह उदाहरण सरल है लेकिन स्पष्ट रूप से बात को दर्शाता है। पाठ्यपुस्तकों में इस प्रकार के मैट्रिक्स का प्रयोग अक्सर किया जाता है। कल्पना करना
 * $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}. $$

तब केवल एक आइगेनवैल्यू होता है, $$ \lambda = 1$$, और इसकी बीजगणितीय बहुलता है $$m=2$$.

ध्यान दें कि यह मैट्रिक्स जॉर्डन सामान्य रूप में है लेकिन विकर्ण मैट्रिक्स नहीं है। इसलिए, यह मैट्रिक्स विकर्णीय नहीं है। चूँकि एक सुपरडायगोनल प्रविष्टि है, वहाँ 1 से अधिक रैंक का एक सामान्यीकृत ईजेनवेक्टर होगा (या कोई यह नोट कर सकता है कि वेक्टर स्पेस $$ V $$ आयाम 2 का है, इसलिए रैंक 1 से अधिक का एक सामान्यीकृत ईजेनवेक्टर हो सकता है)। वैकल्पिक रूप से, कोई रिक्त स्थान के आयाम की गणना कर सकता है $$ A - \lambda I $$ होना $$p=1$$, और इस प्रकार वहाँ हैं $$m-p=1$$ 1 से अधिक रैंक के सामान्यीकृत ईजेनवेक्टर।

साधारण ईजेनवेक्टर $$ \mathbf v_1=\begin{pmatrix}1 \\0 \end{pmatrix}$$ हमेशा की तरह गणना की जाती है (उदाहरण के लिए आइगेनवैल्यूज़ और ईजेनवेक्टर#गणना पृष्ठ देखें)। इस eigenvector का उपयोग करके, हम सामान्यीकृत eigenvector की गणना करते हैं $$ \mathbf v_2 $$ हल करके


 * $$ (A-\lambda I) \mathbf v_2 = \mathbf v_1. $$

मान लिखना:
 * $$ \left(\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix} - 1 \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right)\begin{pmatrix}v_{21} \\v_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{21} \\v_{22} \end{pmatrix} =

\begin{pmatrix}1 \\0 \end{pmatrix}.$$ यह करने के लिए सरल करता है


 * $$ v_{22}= 1. $$

तत्व $$v_{21}$$ कोई प्रतिबंध नहीं है। रैंक 2 का सामान्यीकृत ईजेनवेक्टर तब है $$ \mathbf v_2=\begin{pmatrix}a \\1 \end{pmatrix}$$, जहाँ a का कोई भी अदिश मान हो सकता है। a = 0 का चुनाव आमतौर पर सबसे सरल होता है।

ध्यान दें कि


 * $$ (A-\lambda I) \mathbf v_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a \\1 \end{pmatrix} =

\begin{pmatrix}1 \\0 \end{pmatrix} = \mathbf v_1,$$ ताकि $$ \mathbf v_2 $$ एक सामान्यीकृत ईजेनवेक्टर है,


 * $$ (A-\lambda I) \mathbf v_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\0 \end{pmatrix} =

\begin{pmatrix}0 \\0 \end{pmatrix} = \mathbf 0,$$ ताकि $$ \mathbf v_1 $$ एक साधारण ईजेनवेक्टर है, और वह $$ \mathbf v_1$$ और $$ \mathbf v_2$$ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं और इसलिए सदिश समष्टि के लिए एक आधार का निर्माण करते हैं $$ V $$.

उदाहरण 2
यह उदाहरण सामान्यीकृत ईजेनवेक्टर # उदाहरण 1 की तुलना में अधिक जटिल है। दुर्भाग्य से, निम्न क्रम का एक दिलचस्प उदाहरण बनाना थोड़ा कठिन है। गणित का सवाल


 * $$A = \begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 6 & 3 & 2 & 0 & 0 \\ 10 & 6 & 3 & 2 & 0 \\ 15 & 10 & 6 & 3 & 2 \end{pmatrix}$$ ईगेनवेल्यूज हैं $$ \lambda_1 = 1 $$ और $$ \lambda_2 = 2 $$ बीजगणितीय गुणकों के साथ $$ \mu_1 = 2 $$ और $$ \mu_2 = 3 $$, लेकिन ज्यामितीय गुणक $$ \gamma_1 = 1 $$ और $$ \gamma_2 = 1$$.

के सामान्यीकृत eigenspaces $$A$$ नीचे गणना की जाती है। $$ \mathbf x_1 $$ से जुड़ा साधारण ईजेनवेक्टर है $$ \lambda_1 $$. $$ \mathbf x_2 $$ से जुड़ा एक सामान्यीकृत ईजेनवेक्टर है $$ \lambda_1 $$. $$ \mathbf y_1 $$ से जुड़ा साधारण ईजेनवेक्टर है $$ \lambda_2 $$. $$ \mathbf y_2 $$ और $$ \mathbf y_3 $$ से जुड़े सामान्यीकृत ईजेनवेक्टर हैं $$ \lambda_2 $$.


 * $$(A-1 I) \mathbf x_1

= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 6 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 10 & 6 & 3 & 1 & 0 \\ 15 & 10 & 6 & 3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -9 \\ 9 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \mathbf 0 ,$$
 * $$(A - 1 I) \mathbf x_2

= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 6 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 10 & 6 & 3 & 1 & 0 \\ 15 & 10 & 6 & 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -15 \\ 30 \\ -1 \\ -45 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -9 \\ 9 \\ -3 \end{pmatrix} = \mathbf x_1 ,$$
 * $$(A - 2 I) \mathbf y_1

= \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 6 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 10 & 6 & 3 & 0 & 0 \\ 15 & 10 & 6 & 3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \mathbf 0 ,$$
 * $$(A - 2 I) \mathbf y_2 = \begin{pmatrix}

-1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 6 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 10 & 6 & 3 & 0 & 0 \\ 15 & 10 & 6 & 3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix} = \mathbf y_1 ,$$
 * $$(A - 2 I) \mathbf y_3 = \begin{pmatrix}

-1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 6 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 10 & 6 & 3 & 0 & 0 \\ 15 & 10 & 6 & 3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \mathbf y_2 .$$ इसका परिणाम प्रत्येक के सामान्यीकृत ईजेनस्पेस के लिए एक आधार के रूप में होता है $$A$$. साथ में सामान्यीकृत ईजेनवेक्टरों की दो श्रृंखलाएं सभी 5-आयामी स्तंभ वैक्टरों के स्थान को फैलाती हैं।



\left\{ \mathbf x_1, \mathbf x_2 \right\} = \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -9 \\ 9 \\ -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -15 \\ 30 \\ -1 \\ -45 \end{pmatrix} \right\}, \left\{ \mathbf y_1, \mathbf y_2, \mathbf y_3 \right\} = \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}. $$ एक लगभग विकर्ण मैट्रिक्स $$J$$ जॉर्डन में सामान्य रूप, के समान $$A$$ निम्नानुसार प्राप्त किया जाता है:



M = \begin{pmatrix} \mathbf x_1 & \mathbf x_2 & \mathbf y_1 & \mathbf y_2 & \mathbf y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 &0& 0 \\ 3 &  -15 & 0 &0& 0 \\ -9 &  30 & 0 &0& 1 \\ 9 &  -1 & 0 &3& -2 \\ -3 &  -45 & 9 &0& 0 \end{pmatrix},$$
 * $$J = \begin{pmatrix}

1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}, $$ जहाँ $$M$$ के लिए एक सामान्यीकृत मोडल मैट्रिक्स है $$A$$, के स्तंभ $$M$$ एक कैननिकल आधार हैं#रैखिक बीजगणित के लिए $$A$$, और $$AM = MJ$$.

जॉर्डन चेन
परिभाषा: चलो $$\mathbf x_m$$ मैट्रिक्स के अनुरूप रैंक m का एक सामान्यीकृत ईजेनवेक्टर बनें $$A$$ और eigenvalue $$\lambda$$. द्वारा उत्पन्न श्रृंखला $$\mathbf x_m$$ वैक्टर का एक सेट है $$\left\{ \mathbf x_m, \mathbf x_{m-1}, \dots, \mathbf x_1 \right\}$$ द्वारा दिए गए

इस प्रकार, सामान्य तौर पर,

सदिश $$\mathbf x_j $$, द्वारा दिए गए ($$), eigenvalue के अनुरूप रैंक j का एक सामान्यीकृत ईजेनवेक्टर है $$\lambda$$. एक श्रृंखला वैक्टर का एक रैखिक रूप से स्वतंत्र सेट है।

विहित आधार
परिभाषा: 'एन' का एक सेट रैखिक रूप से स्वतंत्र सामान्यीकृत ईजेनवेक्टर एक विहित आधार है यदि यह पूरी तरह से जॉर्डन श्रृंखलाओं से बना है।

इस प्रकार, एक बार जब हम यह निर्धारित कर लेते हैं कि m रैंक का एक सामान्यीकृत ईजेनवेक्टर एक विहित आधार पर है, तो यह अनुसरण करता है कि m - 1 वैक्टर $$ \mathbf x_{m-1}, \mathbf x_{m-2}, \ldots, \mathbf x_1 $$ जो कि जॉर्डन श्रृंखला द्वारा उत्पन्न हैं $$ \mathbf x_m $$ विहित आधार पर भी हैं। होने देना $$ \lambda_i $$ का आइगेनवैल्यू हो $$A$$ बीजगणितीय बहुलता का $$ \mu_i $$. सबसे पहले, मैट्रिसेस की रैंक (रैखिक बीजगणित) (मैट्रिक्स रैंक) खोजें $$ (A - \lambda_i I), (A - \lambda_i I)^2, \ldots, (A - \lambda_i I)^{m_i} $$. पूर्णांक $$m_i$$ जिसके लिए पहला पूर्णांक निर्धारित किया जाता है $$ (A - \lambda_i I)^{m_i} $$ रैंक है $$n - \mu_i $$ (n पंक्तियों या स्तंभों की संख्या होने के नाते $$A$$, वह है, $$A$$ एन × एन है)।

अब परिभाषित करें


 * $$ \rho_k = \operatorname{rank}(A - \lambda_i I)^{k-1} - \operatorname{rank}(A - \lambda_i I)^k \qquad (k = 1, 2, \ldots, m_i).$$

चर $$ \rho_k $$ eigenvalue के अनुरूप रैंक k के रैखिक रूप से स्वतंत्र सामान्यीकृत eigenvectors की संख्या को निर्दिष्ट करता है $$ \lambda_i $$ के लिए एक विहित आधार में दिखाई देगा $$A$$. ध्यान दें कि


 * $$ \operatorname{rank}(A - \lambda_i I)^0 = \operatorname{rank}(I) = n $$.

सामान्यीकृत ईजेनवेक्टरों की गणना
पिछले अनुभागों में हमने प्राप्त करने की तकनीकों को देखा है $$n$$ सदिश स्थान के लिए एक विहित आधार के रैखिक रूप से स्वतंत्र सामान्यीकृत ईजेनवेक्टर $$V$$ एक के साथ जुड़ा हुआ है $$n \times n$$ आव्यूह $$A$$. इन तकनीकों को एक प्रक्रिया में जोड़ा जा सकता है:


 * के अभिलाक्षणिक बहुपद को हल कीजिए $$A$$ आइगेनवैल्यू के लिए $$ \lambda_i $$ और उनकी बीजगणितीय बहुलताएं $$ \mu_i $$;
 * प्रत्येक के लिए $$ \lambda_i :$$
 * ठानना $$n - \mu_i$$;
 * ठानना $$m_i$$;
 * ठानना $$\rho_k$$ के लिए $$(k = 1, \ldots, m_i)$$;
 * प्रत्येक जॉर्डन श्रृंखला के लिए निर्धारित करें $$\lambda_i$$;

उदाहरण 3
गणित का सवाल



A = \begin{pmatrix} 5 & 1 & -2 &  4 \\ 0 &  5 &  2 &  2 \\ 0 &  0 &  5 &  3 \\ 0 &  0 &  0 &  4 \end{pmatrix} $$ एक आइगेनवैल्यू है $$\lambda_1 = 5$$ बीजगणितीय बहुलता का $$\mu_1 = 3$$ और एक eigenvalue $$\lambda_2 = 4$$ बीजगणितीय बहुलता का $$\mu_2 = 1$$. हमारे पास भी है $$n=4$$. के लिए $$\lambda_1$$ अपने पास $$n - \mu_1 = 4 - 3 = 1$$.



(A - 5I) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -2 &  4 \\ 0 &  0 &  2 &  2 \\ 0 &  0 &  0 &  3 \\ 0 &  0 &  0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad \operatorname{rank}(A - 5I) = 3. $$

(A - 5I)^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 &  2 & -8 \\ 0 &  0 &  0 &  4 \\ 0 &  0 &  0 & -3 \\ 0 &  0 &  0 &  1 \end{pmatrix}, \qquad \operatorname{rank}(A - 5I)^2 = 2. $$

(A - 5I)^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 &  0 & 14 \\ 0 &  0 &  0 & -4 \\ 0 &  0 &  0 &  3 \\ 0 &  0 &  0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad \operatorname{rank}(A - 5I)^3 = 1. $$ पहला पूर्णांक $$m_1$$ जिसके लिए $$(A - 5I)^{m_1}$$ रैंक है $$n - \mu_1 = 1$$ है $$m_1 = 3$$.

अब हम परिभाषित करते हैं


 * $$ \rho_3 = \operatorname{rank}(A - 5I)^2 - \operatorname{rank}(A - 5I)^3 = 2 - 1 = 1 ,$$
 * $$ \rho_2 = \operatorname{rank}(A - 5I)^1 - \operatorname{rank}(A - 5I)^2 = 3 - 2 = 1 ,$$
 * $$ \rho_1 = \operatorname{rank}(A - 5I)^0 - \operatorname{rank}(A - 5I)^1 = 4 - 3 = 1 .$$

नतीजतन, तीन रैखिक रूप से स्वतंत्र सामान्यीकृत ईजेनवेक्टर होंगे; प्रत्येक रैंक 3, 2 और 1 में से एक। चूंकि $$\lambda_1$$ तीन रैखिक रूप से स्वतंत्र सामान्यीकृत eigenvectors की एक श्रृंखला से मेल खाती है, हम जानते हैं कि एक सामान्यीकृत eigenvector है $$ \mathbf x_3 $$ रैंक 3 के अनुरूप $$\lambda_1$$ ऐसा है कि

लेकिन

समीकरण ($$) और ($$) रैखिक समीकरणों की प्रणाली का प्रतिनिधित्व करता है जिसे हल किया जा सकता है $$ \mathbf x_3 $$. होने देना



\mathbf x_3 = \begin{pmatrix} x_{31} \\ x_{32} \\ x_{33} \\ x_{34} \end{pmatrix}. $$ तब



(A - 5I)^3 \mathbf x_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 &  0 & 14 \\ 0 &  0 &  0 & -4 \\ 0 &  0 &  0 &  3 \\ 0 &  0 &  0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{31} \\ x_{32} \\ x_{33} \\ x_{34} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 x_{34} \\ -4 x_{34} \\ 3 x_{34} \\ - x_{34} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$ और



(A - 5I)^2 \mathbf x_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 &  2 & -8 \\ 0 &  0 &  0 &  4 \\ 0 &  0 &  0 & -3 \\ 0 &  0 &  0 &  1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{31} \\ x_{32} \\ x_{33} \\ x_{34} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 x_{33} - 8 x_{34} \\ 4 x_{34} \\ -3 x_{34} \\ x_{34} \end{pmatrix} \ne \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}. $$ इस प्रकार, शर्तों को पूरा करने के लिए ($$) और ($$), हमारे पास यह होना चाहिए $$x_{34} = 0$$ और $$x_{33} \ne 0$$. पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाया गया है $$x_{31}$$ और $$x_{32}$$. चुनने के द्वारा $$x_{31} = x_{32} = x_{34} = 0, x_{33} = 1$$, हमने प्राप्त



\mathbf x_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} $$ रैंक 3 के सामान्यीकृत ईजेनवेक्टर के अनुरूप $$ \lambda_1 = 5 $$. ध्यान दें कि विभिन्न मानों को चुनकर रैंक 3 के असीम रूप से कई अन्य सामान्यीकृत ईजेनवेक्टर प्राप्त करना संभव है $$x_{31}$$, $$x_{32}$$ और $$x_{33}$$, साथ $$x_{33} \ne 0$$. हालाँकि, हमारी पहली पसंद सबसे सरल है। अब समीकरणों का प्रयोग ($$), हमने प्राप्त $$ \mathbf x_2 $$ और $$ \mathbf x_1 $$ क्रमशः रैंक 2 और 1 के सामान्यीकृत ईजेनवेक्टर के रूप में, जहां



\mathbf x_2 = (A - 5I) \mathbf x_3 = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, $$ और



\mathbf x_1 = (A - 5I) \mathbf x_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}. $$ सरल ईगेनवैल्यू $$\lambda_2 = 4$$ Eigenvalues ​​​​और eigenvectors#गणना का उपयोग करके निपटा जा सकता है और एक साधारण eigenvector है



\mathbf y_1 = \begin{pmatrix} -14 \\ 4 \\ -3 \\  1 \end{pmatrix}. $$ के लिए एक विहित आधार $$A$$ है



\left\{ \mathbf x_3, \mathbf x_2, \mathbf x_1, \mathbf y_1 \right\} = \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -14 \\ 4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}. $$

$$ \mathbf x_1, \mathbf x_2 $$ और $$ \mathbf x_3 $$ से जुड़े सामान्यीकृत ईजेनवेक्टर हैं $$ \lambda_1 $$, जबकि $$ \mathbf y_1 $$ से जुड़ा साधारण ईजेनवेक्टर है $$ \lambda_2 $$.

यह काफी सरल उदाहरण है। सामान्य तौर पर, संख्याएँ $$\rho_k$$ रैंक के रैखिक रूप से स्वतंत्र सामान्यीकृत ईजेनवेक्टरों की $$k$$ हमेशा बराबर नहीं रहेगा। अर्थात्, एक विशेष ईजेनवेल्यू के अनुरूप विभिन्न लंबाई की कई श्रृंखलाएं हो सकती हैं।

सामान्यीकृत मोडल मैट्रिक्स
होने देना $$A$$ एक n × n मैट्रिक्स बनें। एक 'सामान्यीकृत मोडल मैट्रिक्स' $$M$$ के लिए $$A$$ एक n × n मैट्रिक्स है जिसके स्तंभ, जिन्हें वैक्टर माना जाता है, के लिए एक विहित आधार बनाते हैं $$A$$ और में दिखाई देते हैं $$M$$ निम्नलिखित नियमों के अनुसार:


 * एक सदिश (अर्थात् लंबाई में एक सदिश) से बनी सभी जॉर्डन शृंखलाएं के पहले कॉलम में दिखाई देती हैं $$M$$.
 * एक श्रृंखला के सभी सदिश एक साथ के आसन्न स्तंभों में दिखाई देते हैं $$M$$.
 * प्रत्येक श्रृंखला में प्रकट होता है $$M$$ रैंक बढ़ाने के क्रम में (अर्थात, रैंक 1 का सामान्यीकृत ईजेनवेक्टर उसी श्रृंखला के रैंक 2 के सामान्यीकृत ईजेनवेक्टर से पहले प्रकट होता है, जो उसी श्रृंखला के रैंक 3 के सामान्यीकृत ईजेनवेक्टर से पहले प्रकट होता है, आदि)।

जॉर्डन सामान्य रूप


$$V$$ एक n-डायमेंशनल वेक्टर स्पेस बनें; $$\phi$$ में एक रेखीय नक्शा हो $L(V)$, से सभी रैखिक मानचित्रों का सेट $$V$$ अपने आप में; और जाने $$A$$ का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व हो $$\phi$$ कुछ आदेशित आधार के संबंध में। यह दिखाया जा सकता है कि यदि विशेषता बहुपद $$f(\lambda)$$ का $$A$$ रैखिक कारकों में कारक, ताकि $$f(\lambda)$$ रूप है


 * $$ f(\lambda) = \pm (\lambda - \lambda_1)^{\mu_1}(\lambda - \lambda_2)^{\mu_2} \cdots (\lambda - \lambda_r)^{\mu_r} ,$$

जहाँ $$ \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_r $$ के विशिष्ट eigenvalues ​​हैं $$A$$, फिर प्रत्येक $$\mu_i$$ इसके संगत आइगेनमान की बीजगणितीय बहुलता है $$\lambda_i$$ और $$A$$ मैट्रिक्स के समान है $$J$$ जॉर्डन में सामान्य रूप, जहां प्रत्येक $$\lambda_i$$ दिखाई पड़ना $$\mu_i$$ विकर्ण पर लगातार बार, और सीधे प्रत्येक के ऊपर प्रवेश $$\lambda_i$$ (अर्थात, सुपरडायगोनल पर) या तो 0 या 1 है। अन्य सभी प्रविष्टियाँ (यानी, विकर्ण और सुपरडायगोनल से दूर) 0 हैं। अधिक सटीक रूप से, $$J$$ एक जॉर्डन मैट्रिक्स है जिसका जॉर्डन ब्लॉक एक ही ईजेनवैल्यू के अनुरूप है, एक साथ समूहीकृत किया जाता है (लेकिन आइगेनवैल्यू के बीच कोई ऑर्डर नहीं लगाया जाता है, न ही किसी दिए गए ईजेनवेल्यू के लिए ब्लॉक के बीच)। गणित का सवाल $$J$$ उतना ही निकट है जितना कोई एक विकर्णीकरण के लिए आ सकता है $$A$$. यदि $$A$$ विकर्ण योग्य है, तो विकर्ण के ऊपर की सभी प्रविष्टियाँ शून्य हैं। ध्यान दें कि कुछ पाठ्यपुस्तकों में वे सबडायगोनल होते हैं, जो सुपरडायगोनल के बजाय मुख्य विकर्ण के ठीक नीचे होते हैं। eigenvalues ​​अभी भी मुख्य विकर्ण पर हैं। हर n × n मैट्रिक्स $$A$$ मैट्रिक्स के समान है $$J$$ जॉर्डन में सामान्य रूप, समानता परिवर्तन के माध्यम से प्राप्त किया $$ J = M^{-1}AM $$, जहाँ $$M$$ के लिए एक सामान्यीकृत मोडल मैट्रिक्स है $$A$$. (ऊपर #नोट देखें।)

उदाहरण 4
जॉर्डन सामान्य रूप में एक मैट्रिक्स खोजें जो समान हो



A = \begin{pmatrix} 0 & 4 &  2 \\ -3 &  8 &  3 \\ 4 & -8 & -2 \end{pmatrix}. $$ समाधान: $$A$$ का अभिलाक्षणिक समीकरण है $$(\lambda - 2)^3 = 0$$, इसलिए, $$\lambda = 2$$ एक बीजगणित समत्वता त्रिविधता घातांक है। पिछले खंडों के प्रक्रियाओं का पालन करते हुए, हम पाते हैं कि


 * $$ \operatorname{rank}(A - 2I) = 1$$

और


 * $$\operatorname{rank}(A - 2I)^2 = 0 = n - \mu .$$

इस प्रकार, $$\rho_2 = 1$$ और $$\rho_1 = 2$$, होता है, जिससे यह स्पष्ट होता है कि $$A$$के लिए एक कैननिकल आधार श्रेणी 2 की एक असंख्यात विशिष्ट एजेंवेक्टर और श्रेणी 1 की दो असंख्यात विशिष्ट एजेंवेक्टरों का योग होगा, या समकक्ष रूप में, दो वेक्टरों की एक श्रेणी $$ \left\{ \mathbf x_2, \mathbf x_1 \right\} $$ और एक वेक्टर की एक श्रेणी $$ \left\{ \mathbf y_1 \right\} $$. होगी। $$ M = \begin{pmatrix} \mathbf y_1 & \mathbf x_1 & \mathbf x_2 \end{pmatrix} $$, नामित करके, हम पाते हैं कि:



M = \begin{pmatrix} 2 & 2 &  0 \\ 1 &  3 &  0 \\ 0 & -4 &  1 \end{pmatrix}, $$ और



J = \begin{pmatrix} 2 & 0 &  0 \\ 0 &  2 &  1 \\ 0 &  0 &  2 \end{pmatrix}, $$ जहाँ $$M$$ के लिए एक $$A$$ सामान्यीकृत मोडल मैट्रिक्स है, $$M$$ की स्तंभ मात्राएँ $$A$$ के लिए एक कैननिकल आधार हैं, और $$AM = MJ$$ होता है। ध्यान दें कि क्योंकि साधारित एजेंवेक्टर स्वयं में अद्वितीय नहीं होते हैं, और क्योंकि $$M$$ और $$J$$ की कुछ स्तंभ मात्राएँ परस्पर बदला जा सकता हैं, इसलिए यह अनुसरण होता है कि $$M$$ और $$J$$ दोनों अद्वितीय नहीं होते हैं।

उदाहरण 5
उदाहरण 3 में, हमने एक मैट्रिक्स के लिए रैखिक रूप से स्वतंत्र सामान्यीकृत ईजेनवेक्टरों का एक विहित आधार पाया $$A$$. के लिए एक सामान्यीकृत मोडल मैट्रिक्स $$A$$ है



M = \begin{pmatrix} \mathbf y_1 & \mathbf x_1 & \mathbf x_2 & \mathbf x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -14 &  2 &  -2 &   0 \\   4 &   0 &   2 &   0 \\  -3 &   0 &   0 &   1 \\   1 &   0 &   0 &   0 \end{pmatrix}.$$ जॉर्डन सामान्य रूप में एक मैट्रिक्स, $$A$$ के समान है


 * $$J = \begin{pmatrix}

4 & 0 &  0 &  0 \\ 0 &  5 &  1 &  0 \\ 0 &  0 &  5 &  1 \\ 0 &  0 &  0 &  5 \end{pmatrix}, $$ ताकि $$AM = MJ$$.

मैट्रिक्स फ़ंक्शंस
स्क्वायर मैट्रिक्स पर किए जा सकने वाले तीन महत्वपूर्ण परिचालन हैं मात्रिका जोड़ना, एक स्केलर द्वारा गुणा करना, और मात्रिका गुणा हैं। ये वास्तव में वे संक्रियाएँ $$A$$ हैं जो एक n × n आव्यूह के बहुपद फलन को परिभाषित करने के लिए आवश्यक हैं। यदि हम प्राथमिक कलन से समझते हैं कि कई फ़ंक्शनों को मैकलॉरिन श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है, तो हम आसानी से मात्रिकाओं के अधिक सामान्य फ़ंक्शनों की परिभाषा कर सकते हैं। यदि $$A$$ विकर्णीय है, अर्थात्


 * $$ D = M^{-1}AM ,$$

साथ



D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots &    \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 &         0 & \cdots & \lambda_n \end{pmatrix}, $$ तब



D^k = \begin{pmatrix} \lambda_1^k &          0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2^k & \cdots & 0 \\ \vdots &     \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 &          0 & \cdots & \lambda_n^k \end{pmatrix} $$ और यद्यपि $$A$$ के फ़ंक्शनों के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला का मूल्यांकन काफ़ी सरल हो जाता है। उदाहरण के लिए,$$A$$ की कोई घात k प्राप्त करने के लिए, हमें केवल $$D^k$$ की गणना करनी होगी, इसे $$D^k$$ से पूर्व गुणन करें, और परिणाम को $$M$$, द्वारा पूर्व गुणित करें, और $$M^{-1}$$ द्वारा पश्चात गुणित करें।

सामान्यीकृत ऐजेन्वेक्टर्स का उपयोग करके, हम जॉर्डन सामान्य रूप प्राप्त कर सकते हैं $$A$$ और इन परिणामों को नॉनडायगोनलाइज़ेबल मेट्रिसेस के कार्यों की गणना के लिए एक सीधी विधि के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। (मैट्रिक्स फ़ंक्शन # जॉर्डन अपघटन देखें।)

विभेदक समीकरण
रैखिक साधारण अंतर समीकरणों की प्रणाली को हल करने की समस्या पर विचार करें

जहाँ



\mathbf x = \begin{pmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \\ \vdots \\ x_n(t) \end{pmatrix}, \quad \mathbf x' = \begin{pmatrix} x_1'(t) \\ x_2'(t) \\ \vdots \\ x_n'(t) \end{pmatrix}, $$     और      $$ A = (a_{ij}) .$$ यदि मैट्रिक्स $$A$$ एक विकर्ण मैट्रिक्स है जिसके लिए $$ a_{ij} = 0 $$ होता है जब $$i \ne j$$, तो प्रणाली ($$) को n समीकरणों की प्रणाली में संक्षेपित किया जा सकता है जो इस प्रारूप में होती हैं:

इस स्थिति में, सामान्य समाधान द्वारा दिया गया है


 * $$ x_1 = k_1 e^{a_{11}t} $$
 * $$ x_2 = k_2 e^{a_{22}t} $$
 * $$ \vdots $$
 * $$ x_n = k_n e^{a_{nn}t} .$$

सामान्य स्थिति में, हम विकर्ण $$A$$ को विस्तारयुक्त करने और प्रणाली ($$) को ($$) जैसी एक प्रणाली में संक्षेपित करने की कोशिश करते हैं। यदि $$A$$ विकर्णीय होता है, तो हमें $$ A = MDM^{-1} $$ के लिए $$ D = M^{-1}AM $$ जैसा होगा, जहाँ $$M$$ के लिए एक मॉडल मैट्रिक्स $$A$$ है। इसके प्रयोग से, समीकरण($$) का प्रारूप इस प्रकार होगा $$ M^{-1} \mathbf x' = D(M^{-1} \mathbf x) $$, या

जहाँ

का समाधान ($$) है


 * $$ y_1 = k_1 e^{\lambda_1 t} $$
 * $$ y_2 = k_2 e^{\lambda_2 t} $$
 * $$ \vdots $$
 * $$ y_n = k_n e^{\lambda_n t} .$$

($$) की समाधान $$ \mathbf x $$ उपयोग करके प्राप्त किया जाता है जिसमें सम्बंध ($$) का उपयोग होता है।

वहीं दूसरी ओर यदि $$A$$ विस्तारयुक्त नहीं है, तो हम $$A$$ के लिए एक साधारित मोडल मात्रिका $$M$$ चुनते हैं, जिसके लिए $$ J = M^{-1}AM $$ जॉर्डन साधारित प्रारूप होता है। प्रणाली $$ \mathbf y' = J \mathbf y $$ का प्रारूप होता है।

जहां $$ \lambda_i $$ के मुख्य विकर्ण से आइगेनमान हैं $$J$$ और $$ \epsilon_i $$ के सुपरडाइगोनल से से 0 और 1 हैं। $$J$$. प्रणाली ($$) आमतौर पर ($$) से आसानी से हल होती है। ($$) में अंतिम समीकरण को $$y_n$$, प्राप्त करना $$y_n = k_n e^{\lambda_n t} $$. इसके बाद हम इस समाधान को प्रतिस्थापित करते हैं । फिर हम इस समाधान को $$y_{n-1}$$ के लिए ($$) में पिछले से दूसरे समीकरण में उपयोग करते हैं और उसे हल करते हैं। इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए हम ($$) में अंत से पहले समीकरण तक काम करते हैं, जिससे हम पूरी प्रणाली को $$ \mathbf y $$ के लिए हल करते हैं। अंतिम उत्तर $$ \mathbf x $$ का प्राप्त होता है जिसका सम्बंध ($$) से होता है।

लेम्मा: लंबाई r के सामान्यीकृत ईजेनवेक्टर की निम्नलिखित श्रृंखला को देखते हुए:
 * $$ X_1 = v_1e^{\lambda t}$$
 * $$ X_2 = (tv_1+v_2)e^{\lambda t}$$
 * $$ X_3 = \left(\frac{t^2}{2}v_1+tv_2+v_3\right)e^{\lambda t}$$
 * $$ \vdots $$
 * $$ X_r = \left(\frac{t^{r-1}}{(r-1)!}v_1+...+\frac{t^2}{2}v_{r-2}+v_r\right)e^{\lambda t}$$

ये कार्य समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं:
 * $$ X' = AX$$

प्रमाण: निम्नलिखित योग को परिभाषित करते हैं:
 * $$X_j(t)=e^{\lambda t}\sum_{i = 1}^j\frac{t^{j-i}}{(j-i)!} v_i$$

तब:
 * $$X'_j(t)=e^{\lambda t}\sum_{i = 1}^j\frac{t^{j-i-1}}{(j-i-1)!}v_i+e^{\lambda t}\lambda\sum_{i = 1}^j\frac{t^{j-i}}{(j-i)!}v_i$$

दूसरी ओर हमारे पास यह होता है:
 * $$AX_j(t)=e^{\lambda t}\sum_{i = 1}^j\frac{t^{j-i}}{(j-i)!}Av_i$$
 * $$=e^{\lambda t}\sum_{i = 1}^j\frac{t^{j-i}}{(j-i)!}(v_{i-1}+\lambda v_i)$$
 * $$=e^{\lambda t}\sum_{i = 1}^j\frac{t^{j-i}}{(j-i)!}v_{i-1}+e^{\lambda t}\lambda\sum_{i = 1}^j\frac{t^{j-i}}{(j-i)!}v_i$$
 * $$=e^{\lambda t}\sum_{i = 1}^j\frac{t^{j-i-1}}{(j-i-1)!}v_{i}+e^{\lambda t}\lambda\sum_{i = 1}^j\frac{t^{j-i}}{(j-i)!}v_i$$
 * $$=X'_j(t)$$

जैसा की आवश्यक है।