रैखिक बीजगणितीय समूह

गणित में, एक रेखीय बीजगणितीय समूह व्युत्क्रमणीय आव्यूह के समूह (गणित) का उपसमूह होता है। $$n\times n$$ मैट्रिक्स (गणित) (मैट्रिक्स गुणा के अंतर्गत) जो बहुपद समीकरणों द्वारा परिभाषित किया गया है। एक उदाहरण ओर्थोगोनल समूह है, जो संबंध द्वारा परिभाषित है $$M^TM = I_n$$ कहाँ $$M^T$$ का स्थानान्तरण $$M$$ है $$M$$.

कई झूठ समूहों को वास्तविक संख्या या जटिल संख्या संख्याओं के क्षेत्र (गणित) पर रैखिक बीजगणितीय समूहों के रूप में देखा जा सकता है। (उदाहरण के लिए, प्रत्येक कॉम्पैक्ट लाई समूह को R (आवश्यक रूप से R-अनिसोट्रोपिक और रिडक्टिव) पर एक रैखिक बीजगणितीय समूह के रूप में माना जा सकता है, जैसा कि कई गैर-कॉम्पैक्ट समूह जैसे कि साधारण लाई समूह विशेष रैखिक समूह | SL(n, आर।) 1880 और 1890 के दशक में विल्हेम हत्या  और एली कार्टन द्वारा सरल झूठ समूह को वर्गीकृत किया गया था। उस समय, इस तथ्य का कोई विशेष उपयोग नहीं किया गया था कि समूह संरचना को बहुपदों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है, अर्थात ये बीजगणितीय समूह हैं। बीजगणितीय समूहों के सिद्धांत के संस्थापकों में लुडविग मौरर, क्लाउड चेवेली और कोलचिन (1948) सम्मिलित हैं। 1950 के दशक में, आर्मंड बोरेल ने बीजगणितीय समूहों के अधिकांश सिद्धांत का निर्माण किया, जैसा कि आज भी उपस्थित है।

सिद्धांत के लिए सबसे पहले उपयोगों में से एक शेवलेली समूहों को परिभाषित करना था।

उदाहरण
एक सकारात्मक पूर्णांक के लिए $$n$$, सामान्य रैखिक समूह $$GL(n)$$ एक क्षेत्र के ऊपर $$k$$, सभी उल्टा से मिलकर $$n\times n$$ आव्यूह, एक रेखीय बीजगणितीय समूह $$k$$ है $$k$$. इसमें उपसमूह सम्मिलित हैं
 * $$U \subset B \subset GL(n)$$

फॉर्म के मैट्रिसेस से मिलकर, सम्मान।
 * $$\left ( \begin{array}{cccc} 1 & * & \dots & * \\ 0 & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & * \\ 0 & \dots & 0 & 1\end{array} \right )$$ और $$\left ( \begin{array}{cccc} * & * & \dots & * \\ 0 & * & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & * \\ 0 & \dots & 0 & *\end{array} \right )$$.

समूह $$U$$ एक असमान रैखिक बीजगणितीय समूह, समूह का उदाहरण $$B$$ है, एक हल करने योग्य समूह  बीजगणितीय समूह का एक उदाहरण है जिसे बोरेल उपसमूह $$GL(n)$$ कहा जाता है यह लाई-कोलचिन प्रमेय का एक परिणाम है कि किसी भी जुड़ा हुआ हल करने योग्य उपसमूह $$\mathrm{GL}(n)$$ में संयुग्मित $$B$$ होता है किसी भी गैर-शक्तिशाली उपसमूह $$U$$ को संयुग्मित $$U$$ किया जा सकता है।

का एक और बीजगणितीय उपसमूह $$\mathrm{GL}(n)$$ विशेष रैखिक समूह है $$\mathrm{SL}(n)$$ निर्धारक 1 के साथ मेट्रिसेस की। समूह $$\mathrm{GL}(1)$$ गुणात्मक समूह कहा जाता है, जिसे सामान्यतः निरूपित किया जाता है $$ \mathbf G_{\mathrm m}$$. का समूह $$k$$-अंक $$\mathbf G_{\mathrm m}(k)$$ गुणक समूह है $$k^*$$ क्षेत्र के अशून्य तत्वों की $$k$$. योगात्मक समूह $$\mathbf G_{\mathrm a}$$, किसका $$k$$-बिंदुओं के योगात्मक समूह के लिए आइसोमोर्फिक हैं $$k$$, को मैट्रिक्स समूह के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है, उदाहरण के लिए उपसमूह के रूप में $$U$$ में $$\mathrm{GL}(2)$$ : है
 * $$\begin{pmatrix}

1 & * \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$ क्रमविनिमेय रेखीय बीजगणितीय समूहों के ये दो मूलभूत उदाहरण, गुणक और योज्य समूह, उनके रेखीय प्रतिनिधित्व (बीजीय समूहों के रूप में) के संदर्भ में बहुत भिन्न व्यवहार करते हैं। गुणक समूह का हर प्रतिनिधित्व $$\mathbf G_{\mathrm m}$$ अप्रासंगिक अभ्यावेदन का प्रत्यक्ष योग है। (इसके अप्रासंगिक अभ्यावेदन में सभी का आयाम 1 है $$x \mapsto x^n$$ एक पूर्णांक के लिए $$n$$।) इसके विपरीत, योज्य समूह का एकमात्र अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व $$\mathbf G_{\mathrm a}$$ तुच्छ प्रतिनिधित्व है। तो का हर प्रतिनिधित्व $$\mathbf G_{\mathrm a}$$ (जैसे ऊपर 2-आयामी प्रतिनिधित्व) तुच्छ प्रस्तुतियों की एक पुनरावृत्त रचना श्रृंखला है, न कि प्रत्यक्ष योग (जब तक कि प्रतिनिधित्व तुच्छ न हो)। रैखिक बीजगणितीय समूहों का संरचना सिद्धांत किसी भी रैखिक बीजगणितीय समूह का विश्लेषण इन दो मूलभूत समूहों और उनके सामान्यीकरण, टोरी और यूनिपोटेंट समूहों के संदर्भ में करता है, जैसा कि नीचे चर्चा की गई है।

परिभाषाएँ
एक बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड k के लिए, एक बीजगणितीय किस्म X के ऊपर k की अधिकांश संरचना को k-तर्कसंगत बिंदुओं के अपने समुच्चय X(k) में एन्कोड किया गया है, जो एक रेखीय बीजगणितीय समूह की प्राथमिक परिभाषा की अनुमति देता है। सबसे पहले, अमूर्त समूह GL(n,k) से k तक एक फलन को 'नियमित' होने के लिए परिभाषित करें यदि इसे n×n मैट्रिक्स A की प्रविष्टियों में बहुपद के रूप में और 1/det(A) में लिखा जा सकता है, जहां det निर्धारक है। तब बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र k पर एक 'रैखिक बीजगणितीय समूह' G कुछ प्राकृतिक संख्या n के लिए अमूर्त समूह GL(n,k) का एक उपसमूह G(k) है जैसे कि G(k) कुछ समुच्चय के गायब होने से परिभाषित होता है नियमित कार्यों की। एक मनमाना क्षेत्र k के लिए, k से अधिक बीजगणितीय किस्मों को k से अधिक योजना (गणित) के एक विशेष स्थितियों के रूप में परिभाषित किया गया है। उस भाषा में, एक क्षेत्र के ऊपर एक 'रैखिक बीजगणितीय समूह' जी कुछ प्राकृतिक संख्या एन के लिए जीएल (एन) के ऊपर जीएल (एन) की एक चिकनी योजना बंद उपसमूह योजना है। विशेष रूप से, जीएल (एन) पर जीएल (एन) पर नियमित कार्यों के कुछ समुच्चय के गायब होने से जी परिभाषित किया गया है, और इन कार्यों में संपत्ति होनी चाहिए कि प्रत्येक कम्यूटेटिव के-एसोसिएटिव बीजगणित आर के लिए, जी (आर) सार का एक उपसमूह है समूह जीएल (एन, आर)। (इस प्रकार एक बीजगणितीय समूह जी ओवर के केवल अमूर्त समूह जी (के) नहीं है, बल्कि कम्यूटेटिव के-बीजगणित आर के लिए समूह जी (आर) का पूरा परिवार है; यह बिंदुओं के कारक द्वारा एक योजना का वर्णन करने का दर्शन है .)

किसी भी भाषा में, रैखिक बीजगणितीय समूहों के 'समूह समरूपता' की धारणा है। उदाहरण के लिए, जब k बीजगणितीय रूप से बंद होता है, तो G ⊂ GL(m) से H ⊂ GL(n) तक एक समाकारिता सार समूहों G(k) → H(k) का समाकारिता है जो G पर नियमित कार्यों द्वारा परिभाषित है। यह k पर रैखिक बीजगणितीय समूहों को एक श्रेणी (गणित) में बनाता है। विशेष रूप से, यह परिभाषित करता है कि दो रैखिक बीजगणितीय समूहों के लिए श्रेणी (गणित)#आकारिकी के प्रकार होने का क्या अर्थ है।

योजनाओं की भाषा में, एक क्षेत्र k पर एक रैखिक बीजगणितीय समूह G विशेष रूप से k के ऊपर एक 'समूह योजना' है, जिसका अर्थ k-बिंदु 1 ∈ G(k) और morphisms के साथ k पर एक योजना है।
 * $$m\colon G \times_k G \to G, \; i\colon G \to G$$

ओवर k जो एक समूह में गुणन और व्युत्क्रम मानचित्रों के लिए सामान्य स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है (साहचर्य, पहचान, व्युत्क्रम)। एक रेखीय बीजगणितीय समूह भी सुचारू है और योजना सिद्धांत की शब्दावली # परिमित प्रकार (स्थानीय रूप से) k से अधिक है, और यह affine योजना (एक योजना के रूप में) है। इसके विपरीत, क्षेत्र k पर परिमित प्रकार की प्रत्येक affine group योजना G में कुछ n के लिए GL(n) over k में एक वफादार प्रतिनिधित्व है। एक उदाहरण योगात्मक समूह जी का एम्बेडिंग हैa जैसा ऊपर बताया गया है, जीएल (2) में। नतीजतन, एक रैखिक बीजगणितीय समूहों के बारे में या तो मैट्रिक्स समूहों के रूप में या अधिक सारगर्भित रूप से, एक क्षेत्र पर चिकनी एफ़िन समूह योजनाओं के रूप में सोच सकता है। (कुछ लेखक रैखिक बीजगणितीय समूह का उपयोग किसी क्षेत्र पर परिमित प्रकार की किसी भी समूह समूह योजना का अर्थ करने के लिए करते हैं।)

रैखिक बीजगणितीय समूहों की पूरी समझ के लिए, किसी को अधिक सामान्य (गैर-चिकनी) समूह योजनाओं पर विचार करना होगा। उदाहरण के लिए, मान लीजिए k विशेषता (बीजगणित) p > 0 का एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है। फिर समाकारिता f: Gm → जीm एक्स ↦ एक्स द्वारा परिभाषितp अमूर्त समूहों k* → k* की तुल्याकारिता को प्रेरित करता है, लेकिन f बीजगणितीय समूहों की तुल्याकारिता नहीं है (क्योंकि x1/p नियमित कार्य नहीं है)। समूह योजनाओं की भाषा में, एक स्पष्ट कारण है कि f एक समरूपता क्यों नहीं है: f विशेषणात्मक है, लेकिन इसमें गैर-तुच्छ कर्नेल (बीजगणित) है, अर्थात् गुणात्मक समूह # एकता की जड़ों की समूह योजना | समूह योजना μpएकता की pth जड़ों की। यह समस्या विशेषता शून्य में उत्पन्न नहीं होती है। वास्तव में, विशिष्ट शून्य के क्षेत्र k पर परिमित प्रकार की प्रत्येक समूह योजना k पर चिकनी होती है। किसी भी क्षेत्र k पर परिमित प्रकार की एक समूह योजना k पर सुचारू है यदि और केवल यदि यह 'ज्यामितीय रूप से कम' है, जिसका अर्थ है कि योजनाओं का फाइबर उत्पाद $$G_{\overline k}$$ कम योजना है, जहां $$\overline k$$ k का बीजगणितीय समापन है। चूँकि एक affine योजना X नियमित कार्यों के अपने रिंग (गणित) O(X) द्वारा निर्धारित की जाती है, एक क्षेत्र k पर एक affine समूह योजना G को रिंग O(G) द्वारा निर्धारित किया जाता है, जिसकी संरचना हॉप बीजगणित से होती है। जी पर गुणन और व्युत्क्रम मानचित्र)। यह k से अधिक affine समूह योजनाओं और k पर कम्यूटेटिव हॉफ अलजेब्रा के बीच श्रेणियों (पीछे तीर) की समानता देता है। उदाहरण के लिए, गुणक समूह जी के अनुरूप हॉफ बीजगणितm = जीएल (1) लॉरेंट बहुपद वलय k [x, x है−1], द्वारा दिए गए सहगुणन के साथ
 * $$x \mapsto x \otimes x.$$

मूलभूत धारणाएं
फ़ील्ड k पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह G के लिए, पहचान घटक Go (जुड़ा हुआ घटक (टोपोलॉजी) जिसमें बिंदु 1 है) एक उपसमूह के परिमित सूचकांक का एक सामान्य उपसमूह है। तो एक समूह विस्तार है
 * $$1 \to G^\circ \to G \to F \to 1, $$

जहाँ F एक परिमित बीजगणितीय समूह है। (k बीजगणितीय रूप से बंद होने के लिए, F को एक सार परिमित समूह के साथ पहचाना जा सकता है।) इस वजह से, बीजगणितीय समूहों का अध्ययन ज्यादातर जुड़े समूहों पर केंद्रित होता है।

समूह सिद्धांत से विभिन्न धारणाओं को रैखिक बीजगणितीय समूहों तक बढ़ाया जा सकता है। सार समूह सिद्धांत में परिभाषाओं के अनुरूप, यह परिभाषित करना सीधा है कि एक रेखीय बीजगणितीय समूह के लिए एबेलियन समूह, निलपोटेंट समूह, या सॉल्व करने योग्य समूह होने का क्या मतलब है। उदाहरण के लिए, एक रैखिक बीजगणितीय समूह 'सुलझाने योग्य' होता है यदि इसमें रैखिक बीजगणितीय उपसमूहों की एक रचना श्रृंखला होती है जैसे कि भागफल समूह क्रमविनिमेय होते हैं। इसके अलावा, सामान्यक, एक समूह का केंद्र, और एक रेखीय बीजगणितीय समूह G के एक बंद उपसमूह H के केंद्रक को स्वाभाविक रूप से G की बंद उपसमूह योजनाओं के रूप में देखा जाता है। यदि वे k पर सुचारू हैं, तो वे रैखिक बीजगणितीय समूह परिभाषित हैं ऊपर।

कोई यह पूछ सकता है कि एक क्षेत्र k पर जुड़े रैखिक बीजगणितीय समूह G के गुण किस हद तक अमूर्त समूह G (k) द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। इस दिशा में एक उपयोगी परिणाम यह है कि यदि क्षेत्र k पूर्ण क्षेत्र है (उदाहरण के लिए, विशेषता शून्य का), या यदि G रिडक्टिव है (जैसा कि नीचे परिभाषित किया गया है), तो G, k के ऊपर अपरिमेय है। इसलिए, यदि अतिरिक्त k अनंत है, तो समूह G(k) G में Zariski सघन है। उदाहरण के लिए, उल्लिखित मान्यताओं के अंतर्गत, G क्रमविनिमेय, नीलपोटेंट, या सॉल्व करने योग्य है यदि और केवल यदि G(k) के पास संबंधित संपत्ति है।

इन परिणामों में जुड़ाव की धारणा को छोड़ा नहीं जा सकता है। उदाहरण के लिए, G को समूह μ होने दें3 ⊂ परिमेय संख्या 'Q' पर एकता के घनमूल का GL(1)। फिर जी 'क्यू' पर एक रैखिक बीजगणितीय समूह है जिसके लिए जी ('क्यू') = 1 जी में ज़रिस्की घने नहीं है, क्योंकि $$G(\overline {\mathbf Q})$$ क्रम 3 का समूह है।

बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर, बीजगणितीय समूहों के बारे में बीजगणितीय किस्मों के रूप में एक मजबूत परिणाम है: बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर प्रत्येक जुड़े रैखिक बीजगणितीय समूह एक तर्कसंगत विविधता है।

एक बीजगणितीय समूह का झूठा बीजगणित
झूठ बीजगणित $$\mathfrak g$$ एक बीजगणितीय समूह जी को कई समान तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है: ज़ारिस्की स्पर्शरेखा स्थान टी के रूप में1(जी) पहचान तत्व 1 ∈ जी (के), या बाएं-अपरिवर्तनीय व्युत्पन्न (सार बीजगणित) के स्थान के रूप में। यदि k बीजगणितीय रूप से बंद है, तो एक व्युत्पत्ति D: O(G) → O(G) G के निर्देशांक वलय के ऊपर 'बायाँ-अपरिवर्तनीय' है यदि
 * $$D \lambda_x = \lambda_x D$$

G(k) में प्रत्येक x के लिए, जहाँ λx: O(G) → O(G) बायें गुणन द्वारा x से प्रेरित है। एक मनमाना क्षेत्र k के लिए, व्युत्पत्ति के बाएँ व्युत्क्रम को दो रैखिक मानचित्रों O(G) → O(G) ⊗O(G) के अनुरूप समानता के रूप में परिभाषित किया गया है। दो व्युत्पत्तियों के लेट ब्रैकेट को [डी द्वारा परिभाषित किया गया है1, डी2] = डी1D2 - डी2D1.

जी से मार्ग $$\mathfrak g$$ इस प्रकार विभेदन (गणित) की एक प्रक्रिया है। एक तत्व x ∈ G(k) के लिए, संयुग्मन (समूह सिद्धांत) मानचित्र G → G, g ↦ xgx के 1 ∈ G(k) पर व्युत्पन्न-1, का एक automorphism  है $$\mathfrak g$$, आसन्न प्रतिनिधित्व दे रहा है:
 * $$\operatorname{Ad}\colon G \to \operatorname{Aut}(\mathfrak g).$$

विशेषता शून्य के एक क्षेत्र पर, एक रैखिक बीजगणितीय समूह G का एक जुड़ा हुआ उपसमूह H इसके लाई बीजगणित द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है $$\mathfrak h \subset \mathfrak g$$. लेकिन हर झूठ का सबलजेब्रा नहीं $$\mathfrak g$$ जी के एक बीजगणितीय उपसमूह से मेल खाता है, जैसा कि टोरस जी = (जी) के उदाहरण में देखा गया हैm)2 ओवर सी। सकारात्मक विशेषता में, समूह  जी  के कई अलग-अलग जुड़े उपसमूह हो सकते हैं, एक ही झूठ बीजगणित के साथ (फिर से, टोरस  जी  = (  जी m)2 उदाहरण प्रदान करता है)। इन कारणों से, हालांकि एक बीजगणितीय समूह का झूठा बीजगणित महत्वपूर्ण है, बीजगणितीय समूहों के संरचना सिद्धांत के लिए अधिक वैश्विक उपकरणों की आवश्यकता होती है।

सेमीसिम्पल और यूनिपोटेंट तत्व
एक बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड k के लिए, GL(n,k) में एक मैट्रिक्स g को 'सेमीसिम्पल' कहा जाता है यदि यह विकर्णीय है, और 'nilpotent' है यदि मैट्रिक्स g - 1 शून्य है। समतुल्य रूप से, जी अप्रभावी है यदि जी के सभी eigenvalues ​​​​1 के बराबर हैं। मेट्रिसेस के लिए जॉर्डन विहित रूप  का तात्पर्य है कि जीएल (एन, के) के प्रत्येक तत्व जी को एक उत्पाद जी = जी के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है।ssgu ऐसा है कि जीss अर्धसरल है, जीu शक्तिहीन है, और जीss और जीu एक दूसरे के साथ आने वाले मैट्रिसेस।

किसी भी क्षेत्र k के लिए, GL(n,k) के तत्व g को अर्धसरल कहा जाता है यदि यह k के बीजगणितीय समापन पर विकर्णीय हो जाता है। यदि क्षेत्र k पूर्ण है, तो g के अर्धसरल और अप्रभावी भाग भी GL(n,k) में स्थित होते हैं। अंत में, किसी भी रेखीय बीजगणितीय समूह G ⊂ GL(n) के लिए एक क्षेत्र k पर, G के k-बिंदु को सेमीसिम्पल या यूनिपोटेंट के रूप में परिभाषित करें यदि यह GL(n,k) में सेमीसिंपल या यूनिपोटेंट है। (ये गुण वास्तव में जी के एक वफादार प्रतिनिधित्व की पसंद से स्वतंत्र हैं।) यदि क्षेत्र के एकदम सही है, तो जी के एक के-बिंदु के अर्धसूत्रीय और गैर-शक्तिशाली हिस्से स्वचालित रूप से जी में होते हैं। यानी (जॉर्डन अपघटन) '): जी (के) के प्रत्येक तत्व जी को विशिष्ट रूप से उत्पाद जी = जी के रूप में लिखा जा सकता हैssgu जी (के) में ऐसा है कि जीss अर्धसरल है, जीu शक्तिहीन है, और जीss और जीu एक दूसरे के साथ आवागमन। यह जी (के) में संयुग्मन वर्गों का वर्णन करने की समस्या को कम कर देता है जो अर्ध-सरल और अप्रभावी मामलों में होता है।

तोरी
एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र 'के' पर एक टोरस का अर्थ है एक समूह आइसोमोर्फिक टू (जीm)n, कुछ प्राकृतिक संख्या n के लिए, k पर गुणात्मक समूह की n प्रतियों का कार्टेशियन गुणनफल। एक रेखीय बीजगणितीय समूह G के लिए, G में एक 'अधिकतम टोरस' का अर्थ G में एक टोरस है जो किसी भी बड़े टोरस में समाहित नहीं है। उदाहरण के लिए, k पर GL(n) में विकर्ण मैट्रिसेस का समूह GL(n) में एक अधिकतम टोरस है, आइसोमॉर्फिक टू (Gm)एन. सिद्धांत का एक मूल परिणाम यह है कि बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड k पर समूह G में कोई भी दो अधिकतम तोरी संयुग्मी वर्ग हैं#G(k) के कुछ तत्वों द्वारा उपसमूहों और सामान्य उपसमुच्चयों की संयुग्मनता। 'जी' की रैंक का अर्थ है किसी भी अधिकतम टोरस का आयाम।

मनमाना क्षेत्र k के लिए, k के ऊपर एक टोरस T का अर्थ है k पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह जिसका आधार परिवर्तन $$T_{\overline k}$$ k के बीजगणितीय बंद होने के लिए isomorphic है (Gm)n खत्म $$\overline k$$, किसी प्राकृत संख्या n के लिए। k के ऊपर एक 'विभाजित टोरस' का अर्थ है एक समूह समरूपी (Gm)n कुछ n के लिए k से अधिक। वास्तविक संख्या 'आर' पर एक गैर-विभाजित टोरस का उदाहरण है
 * $$T=\{(x,y)\in A^2_{\mathbf{R}}: x^2+y^2=1\},$$

जटिल संख्याओं x+iy को गुणा करने के सूत्र द्वारा दी गई समूह संरचना के साथ। यहाँ T 'R' के ऊपर आयाम 1 का एक टोरस है। यह विभाजित नहीं है, क्योंकि इसका वास्तविक बिंदुओं का समूह T('R') वृत्त समूह है, जो कि G के लिए एक सार समूह के रूप में भी आइसोमोर्फिक नहीं हैm(आर) = आर *।

फ़ील्ड k पर टोरस का प्रत्येक बिंदु सेमीसिंपल है। इसके विपरीत, यदि 'G' एक जुड़ा हुआ रैखिक बीजगणितीय समूह है जैसे कि प्रत्येक तत्व $$G(\overline k)$$ सेमीसिम्पल है, तो G एक टोरस है। एक सामान्य क्षेत्र k पर एक रैखिक बीजगणितीय समूह G के लिए, G (k) के तत्वों द्वारा संयुग्मित होने के लिए G से अधिक k में सभी अधिकतम टोरी की अपेक्षा नहीं की जा सकती है। उदाहरण के लिए, दोनों गुणक समूह जीm और वृत्त समूह T ऊपर 'R' के ऊपर SL(2) में अधिकतम तोरी के रूप में होता है। हालांकि, यह हमेशा सच होता है कि जी ओवर के में कोई भी दो 'मैक्सिमल स्प्लिट टोरी' (मतलब जी में स्प्लिट टोरी जो एक बड़े स्प्लिट टोरस में समाहित नहीं है) जी (के) के कुछ तत्व द्वारा संयुग्मित होते हैं। परिणामस्वरूप, k के ऊपर k समूह g के k-रैंक या स्प्लिट रैंक को परिभाषित करना समझ में आता है क्योंकि g में किसी भी अधिकतम स्प्लिट टोरस के आयाम के रूप में 'g 'क।

किसी भी अधिकतम टोरस T के लिए एक रेखीय बीजगणितीय समूह G में एक क्षेत्र k पर, ग्रोथेंडिक ने दिखाया कि $$T_{\overline k}$$ में एक अधिकतम टोरस है $$G_{\overline k}$$. यह इस प्रकार है कि एक क्षेत्र के ऊपर जी में किसी भी दो अधिकतम टोरी का एक ही आयाम है, हालांकि उन्हें आइसोमोर्फिक होने की आवश्यकता नहीं है।

एकाकी समूह
यूn फ़ील्ड k पर 1 के बराबर विकर्ण प्रविष्टियों के साथ GL(n) में ऊपरी-त्रिकोणीय मैट्रिसेस का समूह हो। फ़ील्ड k पर एक समूह योजना (उदाहरण के लिए, एक रैखिक बीजगणितीय समूह) को 'यूनिपोटेंट' कहा जाता है यदि यह U की एक बंद उपसमूह योजना के लिए आइसोमोर्फिक हैn कुछ एन के लिए यह जाँचना सीधा है कि समूह Un शक्तिहीन है। नतीजतन, हर गैर-शक्तिशाली समूह योजना शून्य है।

एक फ़ील्ड k पर एक रैखिक बीजगणितीय समूह G एकरूप है यदि और केवल यदि प्रत्येक तत्व $$G(\overline{k})$$ शक्तिहीन है। ग्रुप बीn जीएल (एन) में ऊपरी-त्रिकोणीय आव्यूहों का एक अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है
 * $$B_n = T_n \ltimes U_n,$$

जहां टीn विकर्ण टोरस है (जीm)एन. अधिक आम तौर पर, प्रत्येक जुड़ा हुआ हल करने योग्य रैखिक बीजगणितीय समूह एक टोरस का एक यूनिपोटेंट समूह, टी ⋉ यू के साथ एक अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है। एक पूर्ण क्षेत्र k (उदाहरण के लिए, एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र) पर एक सुचारू रूप से जुड़ा हुआ एकतरफा समूह, योगात्मक समूह G के लिए सभी भागफल समूहों के साथ एक रचना श्रृंखला है।a.

बोरेल उपसमूह
रैखिक बीजगणितीय समूहों के संरचना सिद्धांत के लिए बोरेल उपसमूह महत्वपूर्ण हैं। बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र के पर एक रैखिक बीजगणितीय समूह जी के लिए, जी के एक बोरेल उपसमूह का अर्थ है एक अधिकतम चिकनी जुड़ा हुआ हल करने योग्य उपसमूह। उदाहरण के लिए, जीएल(एन) का एक बोरेल उपसमूह ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स का उपसमूह बी है। ऊपरी-त्रिकोणीय आव्यूह (विकर्ण के नीचे सभी प्रविष्टियां शून्य हैं)।

सिद्धांत का एक मूल परिणाम यह है कि बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र k पर जुड़े समूह G के किसी भी दो बोरेल उपसमूह G(k) के कुछ तत्वों द्वारा संयुग्मित होते हैं। (एक मानक प्रमाण बोरेल फिक्स्ड-पॉइंट प्रमेय का उपयोग करता है: एक बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड k पर एक उचित विविधता X पर कार्य करने वाले कनेक्टेड सॉल्वेबल ग्रुप G के लिए, X में एक k-पॉइंट है जो G की क्रिया द्वारा तय किया गया है।) GL(n) में बोरेल उपसमूहों की संयुग्मता लाई-कोलचिन प्रमेय के बराबर है: GL(n) का प्रत्येक सुचारू रूप से जुड़ा हुआ हल करने योग्य उपसमूह GL(n) में ऊपरी-त्रिकोणीय उपसमूह के एक उपसमूह से संयुग्मित है।

एक मनमाना क्षेत्र k के लिए, G के एक बोरेल उपसमूह B को k पर एक उपसमूह के रूप में परिभाषित किया गया है, जैसे कि एक बीजगणितीय समापन पर $$\overline k$$ के, $$B_{\overline k}$$का एक बोरेल उपसमूह है $$G_{\overline k}$$. इस प्रकार G में k के ऊपर बोरेल उपसमूह हो भी सकता है और नहीं भी।

G की एक बंद उपसमूह योजना H के लिए, भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित) G/H k पर एक चिकनी अर्ध-प्रक्षेपी योजना है। एक जुड़े समूह G के एक चिकने उपसमूह P को 'परवलयिक उपसमूह' कहा जाता है यदि G/P k (या समतुल्य, k से अधिक उचित) पर प्रक्षेपी विविधता है। बोरेल उपसमूह बी की एक महत्वपूर्ण संपत्ति यह है कि जी / बी एक प्रक्षेपी किस्म है, जिसे जी की 'ध्वज किस्म' कहा जाता है। यानी बोरेल उपसमूह परवलयिक उपसमूह हैं। अधिक सटीक रूप से, k बीजगणितीय रूप से बंद होने के लिए, बोरेल उपसमूह बिल्कुल G के न्यूनतम परवलयिक उपसमूह हैं; इसके विपरीत, बोरेल उपसमूह वाला प्रत्येक उपसमूह परवलयिक होता है। तो एक G के सभी परवलयिक उपसमूहों को सूचीबद्ध कर सकता है (G (k) द्वारा संयुग्मन तक) G के सभी रैखिक बीजगणितीय उपसमूहों को सूचीबद्ध करके जिसमें एक निश्चित बोरेल उपसमूह होता है। उदाहरण के लिए, उपसमूह P ⊂ GL(3) over k जिसमें ऊपरी-त्रिकोणीय मैट्रिसेस के बोरेल उपसमूह B सम्मिलित हैं, स्वयं B हैं, संपूर्ण समूह GL(3), और मध्यवर्ती उपसमूह
 * $$\left \{ \begin{bmatrix}

* & * & * \\ 0 & * & * \\ 0 & * & * \end{bmatrix} \right \}$$ और $$\left \{ \begin{bmatrix} * & * & * \\ * & * & * \\ 0 & 0 & * \end{bmatrix} \right \}.$$ संबंधित सामान्यीकृत ध्वज विविधता जीएल(3)/पी (क्रमशः) हैं: रैखिक उप-स्थानों की सभी श्रृंखलाओं का ध्वज कई गुना
 * $$0\subset V_1\subset V_2\subset A^3_k$$

वी के साथi आयाम का मैं; एक बिंदु; ' प्रक्षेपण स्थान ' 'पी'A में 2 रेखाएँ (1-आयामी रैखिक उप-स्थान)।3; और दोहरी प्रोजेक्टिव स्पेस पीA में 2 विमान 3।

सेमीसिंपल और रिडक्टिव ग्रुप्स
एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर एक जुड़ा हुआ रैखिक बीजगणितीय समूह G को 'अर्धसरल' कहा जाता है यदि G का हर सुगम जुड़ा हुआ हल करने योग्य सामान्य उपसमूह तुच्छ है। अधिक आम तौर पर, एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर एक जुड़ा हुआ रैखिक बीजगणितीय समूह जी को 'रिडक्टिव ग्रुप' कहा जाता है, यदि जी के हर चिकनी जुड़े असमान सामान्य उपसमूह तुच्छ हैं। (कुछ लेखकों को जोड़ने के लिए रिडक्टिव समूहों की आवश्यकता नहीं होती है।) एक सेमीसिंपल समूह रिडक्टिव है। एक मनमाना क्षेत्र k पर एक समूह G को सेमीसिम्पल या रिडक्टिव कहा जाता है यदि $$G_{\overline k}$$ सेमीसिंपल या रिडक्टिव है। उदाहरण के लिए, किसी भी क्षेत्र k पर निर्धारक 1 के साथ n × n मैट्रिसेस का समूह SL(n) सेमीसिम्पल है, जबकि एक नॉनट्रिविअल टोरस रिडक्टिव है लेकिन सेमीसिम्पल नहीं है। इसी तरह, जीएल (एन) रिडक्टिव है लेकिन सेमीसिम्पल नहीं है (क्योंकि इसका केंद्र जीm एक नॉनट्रिविअल स्मूथ कनेक्टेड सॉल्वेबल नॉर्मल सबग्रुप है)।

प्रत्येक कॉम्पैक्ट कनेक्टेड लाई समूह में एक जटिलता (लाई समूह) होती है, जो एक जटिल रिडक्टिव बीजगणितीय समूह है। वास्तव में, यह निर्माण समरूपता तक कॉम्पैक्ट कनेक्टेड लाइ समूहों और जटिल रिडक्टिव समूहों के बीच एक-से-एक पत्राचार देता है। फ़ील्ड k पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह G को 'सरल' (या k-'सरल') कहा जाता है, यदि यह अर्धसूत्रीय, गैर-तुच्छ है, और G से अधिक k का हर सुचारू रूप से जुड़ा हुआ सामान्य उपसमूह तुच्छ या G के बराबर है। (कुछ लेखक इस संपत्ति को लगभग सरल कहते हैं।) यह सार समूहों के लिए शब्दावली से थोड़ा अलग है, जिसमें एक साधारण बीजगणितीय समूह में गैर-तुच्छ केंद्र हो सकता है (हालांकि केंद्र परिमित होना चाहिए)। उदाहरण के लिए, किसी भी पूर्णांक n के लिए कम से कम 2 और किसी भी फ़ील्ड k के लिए, k पर समूह SL(n) सरल है, और इसका केंद्र समूह योजना μ हैn एकता की nth जड़ों की।

प्रत्येक जुड़ा हुआ रैखिक बीजगणितीय समूह G एक पूर्ण क्षेत्र k पर (एक अनोखे तरीके से) एक सुचारू रूप से जुड़े एकतरफा समूह U द्वारा एक रिडक्टिव ग्रुप R का विस्तार है, जिसे G का 'यूनिपोटेंट रेडिकल' कहा जाता है:
 * $$1\to U\to G\to R\to 1.$$

यदि k की विशेषता शून्य है, तो अधिक सटीक 'लेवी अपघटन' है: प्रत्येक जुड़ा रैखिक बीजगणितीय समूह G over k एक अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है $$R\ltimes U$$ एक अप्रभावी समूह द्वारा एक रिडक्टिव समूह का।

रिडक्टिव समूहों का वर्गीकरण
रिडक्टिव समूहों में व्यवहार में सबसे महत्वपूर्ण रैखिक बीजगणितीय समूह सम्मिलित हैं, जैसे शास्त्रीय समूह: जीएल (एन), एसएल (एन), ऑर्थोगोनल समूह एसओ (एन) और सहानुभूतिपूर्ण समूह एसपी (2 एन)। दूसरी ओर, रिडक्टिव समूहों की परिभाषा काफी नकारात्मक है, और यह स्पष्ट नहीं है कि कोई उनके बारे में बहुत कुछ कहने की उम्मीद कर सकता है। उल्लेखनीय रूप से, क्लाउड चेवेली ने एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर रिडक्टिव समूहों का एक पूर्ण वर्गीकरण दिया: वे मूल डेटा द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। विशेष रूप से, एक बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड k पर साधारण समूहों को उनके डायनकिन आरेखों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है (परिमित केंद्रीय उपसमूह योजनाओं द्वारा भागफल तक)। यह हड़ताली है कि यह वर्गीकरण k की विशेषता से स्वतंत्र है। उदाहरण के लिए, असाधारण झूठ समूह जी2, एफ4, और6, और7, और ई8 किसी भी विशेषता में परिभाषित किया जा सकता है (और Z पर समूह योजनाओं के रूप में भी)। परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण कहता है कि अधिकांश परिमित सरल समूह k के समूह के रूप में उत्पन्न होते हैं - एक परिमित क्षेत्र k पर एक साधारण बीजगणितीय समूह के अंक, या उस निर्माण के मामूली रूप के रूप में।

एक क्षेत्र पर प्रत्येक रिडक्टिव समूह एक टोरस और कुछ सरल समूहों के उत्पाद की एक परिमित केंद्रीय उपसमूह योजना द्वारा भागफल है। उदाहरण के लिए,
 * $$GL(n)\cong (G_m\times SL(n))/\mu_n.$$

एक मनमाने क्षेत्र k के लिए, एक रिडक्टिव ग्रुप G को 'स्प्लिट' कहा जाता है, अगर इसमें k के ऊपर एक स्प्लिट मैक्सिमम टॉरस होता है (यानी, G में एक स्प्लिट टोरस जो k के बीजगणितीय बंद होने पर अधिकतम रहता है)। उदाहरण के लिए, GL(n) किसी भी क्षेत्र k पर विभाजित रिडक्टिव समूह है। शेवाली ने दिखाया कि विभाजित रिडक्टिव समूहों का वर्गीकरण किसी भी क्षेत्र में समान है। इसके विपरीत, आधार क्षेत्र के आधार पर मनमाना रिडक्टिव समूहों का वर्गीकरण कठिन हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक फ़ील्ड k पर प्रत्येक गैर-डीजेनरेट द्विघात रूप q एक रिडक्टिव समूह SO(q) निर्धारित करता है, और प्रत्येक केंद्रीय सरल बीजगणित A ओवर k एक रिडक्टिव समूह SL निर्धारित करता है1(ए)। परिणामस्वरूप, k पर रिडक्टिव समूहों को वर्गीकृत करने की समस्या में अनिवार्य रूप से k पर सभी द्विघात रूपों को वर्गीकृत करने की समस्या या k पर सभी केंद्रीय सरल बीजगणित सम्मिलित हैं। बीजगणितीय रूप से बंद k के लिए ये समस्याएँ आसान हैं, और उन्हें कुछ अन्य क्षेत्रों जैसे संख्या क्षेत्रों के लिए समझा जाता है, लेकिन मनमाने क्षेत्रों के लिए कई खुले प्रश्न हैं।

प्रतिनिधित्व सिद्धांत
रिडक्टिव समूहों के महत्व का एक कारण प्रतिनिधित्व सिद्धांत से आता है। एक शक्तिहीन समूह का हर अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व तुच्छ है। अधिक आम तौर पर, किसी भी रेखीय बीजगणितीय समूह जी के लिए एक विस्तार के रूप में लिखा जाता है
 * $$1\to U\to G\to R\to 1$$

यू यूनिपोटेंट और आर रिडक्टिव के साथ, आर के माध्यम से जी कारकों का हर इर्रिडिएबल प्रतिनिधित्व। यह रिडक्टिव समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत पर ध्यान केंद्रित करता है। (स्पष्ट होने के लिए, यहां पर विचार किए गए प्रतिनिधित्व एक बीजगणितीय समूह के रूप में जी के प्रतिनिधित्व हैं। इस प्रकार, समूह जी के लिए क्षेत्र के ऊपर, प्रतिनिधित्व के-वेक्टर रिक्त स्थान पर हैं, और जी की क्रिया नियमित कार्यों द्वारा दी जाती है। यह टोपोलॉजिकल समूह को वर्गीकृत करने के लिए एक महत्वपूर्ण लेकिन अलग समस्या है # वास्तविक रिडक्टिव ग्रुप जी के लिए समूह जी ('आर') के कॉम्पैक्ट या स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूहों का प्रतिनिधित्व, या अन्य क्षेत्रों में इसी तरह की समस्याएं।)

Chevalley ने दिखाया कि एक क्षेत्र k पर एक विभाजित रिडक्टिव समूह के अप्रासंगिक प्रतिनिधित्व परिमित-आयामी हैं, और उन्हें प्रमुख भार द्वारा अनुक्रमित किया जाता है। यह वही है जो कॉम्पैक्ट कनेक्टेड लाई समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में होता है, या जटिल अर्ध-सरल झूठ बीजगणित के परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व सिद्धांत में होता है। विशेषता शून्य के k के लिए, ये सभी सिद्धांत अनिवार्य रूप से समकक्ष हैं। विशेष रूप से, विशेषता शून्य के एक क्षेत्र पर एक रिडक्टिव समूह G का प्रत्येक प्रतिनिधित्व अलघुकरणीय अभ्यावेदन का एक प्रत्यक्ष योग है, और यदि G विभाजित है, तो अलघुकरणीय अभ्यावेदन का वर्ण सिद्धांत वेइल वर्ण सूत्र द्वारा दिया जाता है। बोरेल-वील प्रमेय विशेषता शून्य में एक रिडक्टिव समूह जी के इरेड्यूसबल प्रतिनिधित्व का एक ज्यामितीय निर्माण देता है, जैसा कि फ़्लैग मैनिफोल्ड जी / बी पर उलटा शीफ के वर्गों के रिक्त स्थान के रूप में होता है।

सकारात्मक विशेषता पी के एक क्षेत्र पर रिडक्टिव समूहों (टोरी के अलावा) का प्रतिनिधित्व सिद्धांत कम अच्छी तरह से समझा जाता है। इस स्थिति में, एक प्रतिनिधित्व को अलघुकरणीय अभ्यावेदन का प्रत्यक्ष योग नहीं होना चाहिए। और यद्यपि अलघुकरणीय अभ्यावेदन प्रमुख भार द्वारा अनुक्रमित होते हैं, अलघुकरणीय अभ्यावेदन के आयाम और चरित्र केवल कुछ मामलों में ही ज्ञात होते हैं। ने इन वर्णों को निर्धारित किया (जॉर्ज लुसिग के अनुमान को साबित करते हुए) जब समूह की कॉक्समुच्चयर संख्या की तुलना में विशेषता पी पर्याप्त रूप से बड़ी है। छोटे अभाज्य p के लिए, यहाँ तक कि एक सटीक अनुमान भी नहीं है।

समूह क्रियाएं और ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत
एक फ़ील्ड k पर एक विविधता (या योजना) X पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह G की एक समूह-स्कीम क्रिया एक आकारिकी है
 * $$G \times_k X \to X$$

जो समूह क्रिया (गणित) के सिद्धांतों को संतुष्ट करता हो। अन्य प्रकार के समूह सिद्धांत के रूप में, समूह क्रियाओं का अध्ययन करना महत्वपूर्ण है, क्योंकि समूह प्राकृतिक रूप से ज्यामितीय वस्तुओं की समरूपता के रूप में उत्पन्न होते हैं।

समूह क्रियाओं के सिद्धांत का एक हिस्सा ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत है, जिसका उद्देश्य एक्स पर एक बीजगणितीय विविधता के रूप में एक रेखीय बीजगणितीय समूह जी की कक्षा (समूह सिद्धांत) के समुच्चय का वर्णन करते हुए एक भागफल किस्म एक्स / जी का निर्माण करना है। तरह-तरह की पेचीदगियां पैदा हो जाती हैं। उदाहरण के लिए, यदि एक्स एक एफ़िन किस्म है, तो कोई एक्स/जी को इनवेरिएंट ओ (एक्स) की अंगूठी की अंगूठी के स्पेक्ट्रम के रूप में बनाने का प्रयास कर सकता है।जी. हालांकि, न्यायमूर्ति नगाटा ने दिखाया कि आक्रमणकारियों की अंगूठी को के-बीजगणित के रूप में सूक्ष्म रूप से उत्पन्न करने की आवश्यकता नहीं है (और इसलिए अंगूठी की कल्पना एक योजना है लेकिन विविधता नहीं है), हिल्बर्ट की 14 वीं समस्या का नकारात्मक उत्तर। सकारात्मक दिशा में, आक्रमणकारियों की अंगूठी अंतिम रूप से उत्पन्न होती है यदि जी रिडक्टिव है, हबॉश के प्रमेय द्वारा, डेविड हिल्बर्ट और नागाटा द्वारा विशेषता शून्य में सिद्ध किया गया।

ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत में और अधिक सूक्ष्मताएं सम्मिलित होती हैं जब एक रिडक्टिव ग्रुप G एक प्रोजेक्टिव किस्म X पर कार्य करता है। विशेष रूप से, सिद्धांत X में स्थिर और अर्धस्थिर बिंदुओं के खुले उपसमुच्चय को परिभाषित करता है, भागफल रूपवाद के साथ केवल अर्धस्थिर बिंदुओं के समुच्चय पर परिभाषित किया जाता है।

संबंधित धारणाएं
रेखीय बीजगणितीय समूह कई दिशाओं में भिन्नताओं को स्वीकार करते हैं। उलटे नक्शे के अस्तित्व को छोड़ना $$i\colon G \to G$$, एक रैखिक बीजगणितीय मोनोइड की धारणा प्राप्त करता है।

झूठ समूह
वास्तविक संख्या 'आर' पर एक रैखिक बीजगणितीय समूह जी के लिए, वास्तविक बिंदुओं का समूह जी ('आर') एक लाइ समूह है, अनिवार्य रूप से क्योंकि वास्तविक बहुपद, जो जी पर गुणन का वर्णन करते हैं, चिकनी कार्य हैं। इसी तरह, एक रैखिक बीजगणितीय समूह जी के लिए 'सी' पर, जी ('सी') एक जटिल झूठ समूह है। बीजगणितीय समूहों के अधिकांश सिद्धांत झूठ समूहों के साथ सादृश्य द्वारा विकसित किए गए थे।

ऐसे कई कारण हैं कि एक झूठ समूह में 'आर' पर एक रैखिक बीजगणितीय समूह की संरचना क्यों नहीं हो सकती है।


 * घटकों G/G के अनंत समूह के साथ एक झूठ समूहo को एक रेखीय बीजगणितीय समूह के रूप में महसूस नहीं किया जा सकता है।
 * 'आर' पर एक बीजगणितीय समूह जी एक बीजगणितीय समूह के रूप में जुड़ा हो सकता है जबकि लाई समूह जी ('आर') जुड़ा नहीं है, और इसी तरह केवल जुड़े समूहों के लिए। उदाहरण के लिए, बीजगणितीय समूह SL(2) केवल किसी भी क्षेत्र से जुड़ा हुआ है, जबकि लाइ समूह SL(2,'R') में पूर्णांक 'Z' के लिए मौलिक समूह आइसोमॉर्फिक है। SL(2,'R') का डबल कवर H, जिसे ' मेटाप्लेक्टिक समूह ' के रूप में जाना जाता है, एक लाइ ग्रुप है जिसे 'R' के ऊपर एक रेखीय बीजगणितीय समूह के रूप में नहीं देखा जा सकता है। अधिक दृढ़ता से, एच ​​के पास कोई वफादार परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व नहीं है।
 * अनातोली माल्टसेव ने दिखाया कि हर सरलता से जुड़े निलपोटेंट लाइ समूह को 'आर' के ऊपर एक अद्वितीय बीजगणितीय समूह जी के रूप में एक अनोखे तरीके से देखा जा सकता है। (एक किस्म के रूप में, जी 'आर' पर कुछ आयाम के स्थान को परिशोधित करने के लिए आइसोमोर्फिक है।) इसके विपरीत, बस जुड़े हुए हल करने योग्य झूठ समूह हैं जिन्हें वास्तविक बीजगणितीय समूहों के रूप में नहीं देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, सेमीडायरेक्ट उत्पाद S का सार्वभौमिक आवरण  H1 ⋉ आर2 का केंद्र Z के समतुल्य है, जो एक रैखिक बीजगणितीय समूह नहीं है, और इसलिए H को R के ऊपर एक रैखिक बीजगणितीय समूह के रूप में नहीं देखा जा सकता है।

एबेलियन किस्में
बीजगणितीय समूह जो संबधित नहीं हैं बहुत भिन्न व्यवहार करते हैं। विशेष रूप से, एक सुचारू रूप से जुड़ी हुई समूह योजना जो एक क्षेत्र के ऊपर एक प्रक्षेपी किस्म है, एक एबेलियन किस्म कहलाती है। रेखीय बीजगणितीय समूहों के विपरीत, प्रत्येक एबेलियन किस्म क्रमविनिमेय है। बहरहाल, एबेलियन किस्मों का एक समृद्ध सिद्धांत है। यहां तक ​​कि अण्डाकार वक्रों का मामला (आयाम 1 की एबेलियन किस्में) संख्या सिद्धांत के लिए केंद्रीय है, जिसमें फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के प्रमाण सम्मिलित हैं।

तन्नाकियन श्रेणियां
एक बीजगणितीय समूह जी के परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व, प्रतिनिधित्व के टेन्सर उत्पाद के साथ मिलकर, एक तन्नाकियन श्रेणी प्रतिनिधि बनाते हैंG. वास्तव में, एक क्षेत्र पर एक फाइबर फ़ैक्टर के साथ तन्नाकियन श्रेणियां एफ़िन समूह योजनाओं के बराबर होती हैं। (फ़ील्ड k पर प्रत्येक affine समूह योजना इस अर्थ में समर्थक-बीजगणितीय है कि यह k पर परिमित प्रकार की affine समूह योजनाओं की व्युत्क्रम सीमा है। ) उदाहरण के लिए, इस औपचारिकता का उपयोग करके ममफोर्ड-टेट समूह और प्रेरक गैलोइस समूह का निर्माण किया गया है। एक (प्रो-) बीजगणितीय समूह G के कुछ गुणों को इसके प्रतिनिधित्व की श्रेणी से पढ़ा जा सकता है। उदाहरण के लिए, विशेषता शून्य के क्षेत्र में, प्रतिनिधिG एक अर्धसरल श्रेणी है अगर और केवल अगर G का पहचान घटक प्रो-रिडक्टिव है।

यह भी देखें

 * झूठ प्रकार का समूह परिमित क्षेत्रों पर सरल बीजगणितीय समूहों से निर्मित परिमित सरल समूह हैं।
 * लैंग प्रमेय
 * सामान्य ध्वज विविधता, ब्रुहत अपघटन, बीएन जोड़ी, वेइल समूह, कार्टन उपसमूह, संलग्न प्रतिनिधित्व # गुण, परवलयिक प्रेरण
 * वास्तविक रूप (झूठ सिद्धांत), साटेक आरेख
 * एडेलिक बीजगणितीय समूह, तमागावा संख्या पर वेइल का अनुमान
 * लैंगलैंड्स वर्गीकरण, लैंगलैंड्स कार्यक्रम, ज्यामितीय लैंगलैंड्स कार्यक्रम
 * मरोड़, नॉनबेलियन कोहोलॉजी, स्पेशल ग्रुप (बीजगणितीय समूह सिद्धांत), कोहोलॉजिकल इनवेरिएंट , आवश्यक आयाम, केसर-स्तन अनुमान, सेरे का अनुमान II (बीजगणित)|सेरे का अनुमान II
 * छद्म-अपचायक समूह
 * विभेदक गाल्वा सिद्धांत
 * एक रेखीय बीजगणितीय समूह पर वितरण