अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य

गणित में, अतिपरवलिक कार्य सामान्य त्रिकोणमितीय कार्यों के अनुरूप होते हैं, किंतु घेरा के अतिरिक्त हाइपरबोला का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है। बिंदुओं के रूप में $(cos t, sin t)$ इकाई त्रिज्या के साथ वृत्त बनाते हैं, बिंदु $(cosh t, sinh t)$ इकाई अतिपरवलय का दाहिना आधा भाग बनाते हैं। इसके अतिरिक्त, इसी तरह $sin(t)$ और $cos(t)$ के अवकलज $cos(t)$ और $–sin(t)$ क्रमशः $sinh(t)$ तथा $cosh(t)$ के अवकलज $cosh(t)$ तथा $+sinh(t)$ क्रमशः है |

अतिपरवलिक ज्यामिति में कोणों और दूरियों की गणना में अतिपरवलिक कार्य होते हैं। वे कई रेखीय अंतर समीकरण के समाधान में भी पाए जाते हैं (जैसे कि कैटेनरी को परिभाषित करने वाला समीकरण), घन समीकरण या वास्तविक जड़ के लिए अतिपरवलिक समाधान, और कार्तीय निर्देशांक में लाप्लास का समीकरण भौतिकी के कई क्षेत्रों में महत्वपूर्ण हैं, जिनमें विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत, गर्मी हस्तांतरण, द्रव गतिकी और विशेष सापेक्षता सम्मिलत हैं।

बुनियादी अतिपरवलिक कार्य हैं: जिनसे व्युत्पन्न हैं: व्युत्पन्न त्रिकोणमितीय कार्यों के अनुरूप।
 * अतिपरवलिक ज्या $sinh$,
 * अतिपरवलिक कोसाइन $cosh$,
 * अतिपरवलिक स्पर्शरेखा $tanh$,
 * अतिपरवलिक व्युत्क्रमज्या $csch$ या $cosech$ (
 * अतिपरवलिक कोटिज्या $sech$ ,
 * अतिपरवलिक स्पर्शरेखा $coth$ ,

प्रतिलोम अतिपरवलिक कार्य हैं:
 * क्षेत्र अतिपरवलिक साइन $arsinh$ ($sinh^{−1}$, $asinh$ या कभी कभी $arcsinh$ भी दर्शाया गया है )
 * क्षेत्र अतिपरवलिक कोसाइन $arcosh$ ( $cosh^{−1}$, $acosh$ या कभी कभी $arccosh$ भी दर्शाया गया है )
 * और इसी तरह।

अतिपरवलिक कार्य वास्तविक संख्या लेते हैं जिसे अतिपरवलिक कोण कहा जाता है। अतिपरवलिक कोण का आकार उसके अतिपरवलिक क्षेत्र के क्षेत्रफल का दोगुना है। अतिपरवलिक कार्यों को इस क्षेत्र को कवर करने वाले अतिपरवलिक क्षेत्र या अतिपरवलिक त्रिकोण के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है।

जटिल विश्लेषण में, काल्पनिक कोण पर साधारण साइन और कोसाइन कार्य प्रयुक्त करते समय अतिपरवलिक कार्य उत्पन्न होते हैं। अतिपरवलिक साइन और अतिपरवलिक कोसाइन संपूर्ण कार्य हैं। परिणाम स्वरुप, अन्य अतिपरवलिक कार्य पूरे जटिल स्तर में मेरोमॉर्फिक हैं।

लिंडमैन-वीयरस्ट्रास प्रमेय द्वारा, अतिपरवलिक कार्यों में तर्क के प्रत्येक गैर-शून्य बीजगणितीय संख्या के लिए पारलौकिक संख्या होती है।

1760 के दशक में स्वतंत्र रूप से विन्सेंट रिकाती और जोहान हेनरिक लैम्बर्ट द्वारा हाइपरबॉलिक कार्य प्रस्तुत किए गए थे। रिकाटी ने $Sc.$ का प्रयोग किया तथा $Cc.$ (साइनस/कोसिनस सर्कुलर) परिपत्र कार्यों $Sh.$ को संदर्भित करने के लिए और $Ch.$ (sinus/cosinus hyperbolico) अतिपरवलिक कार्यों को संदर्भित करने के लिए। लैम्बर्ट ने नामों को अपनाया, किंतु आज उपयोग होने वाले संक्षिप्त रूपों को बदल दिया। व्यक्तिगत वरीयता के आधार पर संक्षिप्ताक्षर $sh$, $ch$, $th$, $cth$ वर्तमान में भी उपयोग किए जाते हैं।

परिभाषाएँ
अतिपरवलिक कार्यों को परिभाषित करने के लिए कई समान विधि हैं।

घातीय परिभाषाएँ
घातीय कार्य के संदर्भ में:

= \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1}.$$ = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1}.$$ = \frac{2e^x} {e^{2x} + 1}.$$ = \frac{2e^x} {e^{2x} - 1}.$$
 * अतिपरवलिक साइन: घातीय कार्य के कार्य का विषम भाग, अर्थात, $$ \sinh x = \frac {e^x - e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} - 1} {2e^x} = \frac {1 - e^{-2x}} {2e^{-x}}.$$
 * अतिपरवलयिक कोसाइन: घातीय कार्य के कार्य का सम भाग, अर्थात, $$ \cosh x = \frac {e^x + e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} + 1} {2e^x} = \frac {1 + e^{-2x}} {2e^{-x}}.$$
 * अतिपरवलिक स्पर्शरेखा: $$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}}
 * अतिपरवलिक कोस्पर्शज्या: के लिए $sinh x$, $$\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}}
 * अतिपरवलिक कोटिज्या: $$ \operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x} = \frac {2} {e^x + e^{-x}}
 * अतिपरवलिक व्युत्क्रमज्या: के लिए $e^{x}$, $$ \operatorname{csch} x = \frac{1}{\sinh x} = \frac {2} {e^x - e^{-x}}

विभेदक समीकरण परिभाषाएँ
अतिपरवलिक कार्यों को अंतर समीकरणों के समाधान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है: अतिपरवलयिक साइन और कोसाइन प्रणाली के समाधान $e^{−x}$ हैं $$\begin{align} c'(x)&=s(x),\\ s'(x)&=c(x),\\ \end{align} $$ प्रारंभिक नियमो के साथ $$s(0) = 0, c(0) = 1.$$ प्रारंभिक स्थितियाँ समाधान को विशिष्ट बनाती हैं; उनके बिना कार्यों की कोई जोड़ी $$(a e^x + b e^{-x}, a e^x - b e^{-x})$$ समाधान होगा।

$cosh x$ तथा $e^{x}$ समीकरण $e^{−x}$, के अद्वितीय हल भी हैं ऐसा है कि $x ≠ 0$, $x ≠ 0$ अतिपरवलिक कोसाइन के लिए, और $(s, c)$, $sinh(x)$ अतिपरवलिक साइन के लिए है ।

जटिल त्रिकोणमितीय परिभाषाएँ
अतिपरवलिक कार्यों को जटिल संख्या तर्कों के साथ त्रिकोणमितीय कार्यों से भी घटाया जा सकता है:

जहाँ $i$, $cosh(x)$वाली काल्पनिक इकाई है।
 * अतिपरवलिक ज्या: $$\sinh x = -i \sin (i x).$$
 * अतिपरवलिक कोसाइन: $$\cosh x = \cos (i x).$$
 * अतिपरवलिक स्पर्शरेखा: $$\tanh x = -i \tan (i x).$$
 * अतिपरवलिक स्पर्शरेखा: $$\coth x = i \cot (i x).$$
 * अतिपरवलिक कोटिज्या: $$ \operatorname{sech} x = \sec (i x).$$
 * अतिपरवलिक व्युत्क्रमज्या:$$\operatorname{csch} x = i \csc (i x).$$

उपरोक्त परिभाषाएँ यूलर के सूत्र के माध्यम से घातीय परिभाषाओं से संबंधित हैं (देखें नीचे)।

अतिपरवलिक कोसाइन
यह दिखाया जा सकता है कि अतिपरवलिक कोसाइन (एक परिमित अंतराल पर) के वक्र के नीचे का क्षेत्र हमेशा उस अंतराल के अनुरूप चाप की लंबाई के समान होता है: $$\text{area} = \int_a^b \cosh x \,dx = \int_a^b \sqrt{1 + \left(\frac{d}{dx} \cosh x \right)^2} \,dx = \text{arc length.}$$

अतिपरवलिक स्पर्शरेखा
अतिपरवलिक स्पर्शरेखा अंतर समीकरण $f&thinsp;″(x) = f&thinsp;(x)$, $f&thinsp;(0) = 1$ का (अद्वितीय) समाधान है.

उपयोगी संबंध
अतिपरवलिक कार्य कई सर्वसमिकाओं को संतुष्ट करते हैं, वे सभी त्रिकोणमितीय पहचान के रूप में समान हैं। वास्तव में, ओसबोर्न का नियम बताता है कि कोई भी $$\theta$$, $$2\theta$$, $$3\theta$$ या $$\theta$$ तथा $$\varphi$$ के लिए किसी भी त्रिकोणमितीय पहचान को अतिपरवलयिक पहचान में परिवर्तित कर सकता है,, साइन और कोसाइन की अभिन्न शक्तियों के संदर्भ में इसे पूरी तरह से विस्तारित करके, साइन को साइन और कोसाइन को कोश में बदलकर, और दो साइन के उत्पाद वाले प्रत्येक शब्द के चिह्न को स्विच करते है ।

विषम और सम कार्य:$$\begin{align} \sinh (-x) &= -\sinh x \\ \cosh (-x) &= \cosh x \end{align}$$ अत: $$\begin{align} \tanh (-x) &= -\tanh x \\ \coth (-x) &= -\coth x \\ \operatorname{sech} (-x) &= \operatorname{sech} x \\ \operatorname{csch} (-x) &= -\operatorname{csch} x \end{align}$$ इस प्रकार, $f&thinsp;′(0) = 0$ तथा $f&thinsp;(0) = 0$ कार्य भी हैं; अन्य विषम कार्य हैं।

$$\begin{align} \operatorname{arsech} x &= \operatorname{arcosh} \left(\frac{1}{x}\right) \\ \operatorname{arcsch} x &= \operatorname{arsinh} \left(\frac{1}{x}\right) \\ \operatorname{arcoth} x &= \operatorname{artanh} \left(\frac{1}{x}\right) \end{align}$$ अतिपरवलिक ज्या और कोसाइन संतुष्ट: $$\begin{align} \cosh x + \sinh x &= e^x \\ \cosh x - \sinh x &= e^{-x} \\ \cosh^2 x - \sinh^2 x &= 1 \end{align}$$ जिनमें से अंतिम पायथागॉरियन त्रिकोणमितीय पहचान के समान है।

एक के पास भी है $$\begin{align} \operatorname{sech} ^{2} x &= 1 - \tanh^{2} x \\ \operatorname{csch} ^{2} x &= \coth^{2} x - 1 \end{align}$$ अन्य कार्यों के लिए।

तर्कों का योग
$$\begin{align} \sinh(x + y) &= \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y \\ \cosh(x + y) &= \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y \\[6px] \tanh(x + y) &= \frac{\tanh x +\tanh y}{1+ \tanh x \tanh y } \\ \end{align}$$ विशेषतया $$\begin{align} \cosh (2x) &= \sinh^2{x} + \cosh^2{x} = 2\sinh^2 x + 1 = 2\cosh^2 x - 1\\ \sinh (2x) &= 2\sinh x \cosh x \\ \tanh (2x) &= \frac{2\tanh x}{1+ \tanh^2 x } \\ \end{align}$$ भी: $$\begin{align} \sinh x + \sinh y &= 2 \sinh \left(\frac{x+y}{2}\right) \cosh \left(\frac{x-y}{2}\right)\\ \cosh x + \cosh y &= 2 \cosh \left(\frac{x+y}{2}\right) \cosh \left(\frac{x-y}{2}\right)\\ \end{align}$$

व्यवकलन सूत्र
$$\begin{align} \sinh(x - y) &= \sinh x \cosh y - \cosh x \sinh y \\ \cosh(x - y) &= \cosh x \cosh y - \sinh x \sinh y \\ \tanh(x - y) &= \frac{\tanh x -\tanh y}{1- \tanh x \tanh y } \\ \end{align}$$ भी: $$\begin{align} \sinh x - \sinh y &= 2 \cosh \left(\frac{x+y}{2}\right) \sinh \left(\frac{x-y}{2}\right)\\ \cosh x - \cosh y &= 2 \sinh \left(\frac{x+y}{2}\right) \sinh \left(\frac{x-y}{2}\right)\\ \end{align}$$

आधा तर्क सूत्र
$$\begin{align} \sinh\left(\frac{x}{2}\right) &= \frac{\sinh x}{\sqrt{2 (\cosh x + 1)} } &&= \sgn x \, \sqrt \frac{\cosh x - 1}{2} \\[6px] \cosh\left(\frac{x}{2}\right) &= \sqrt \frac{\cosh x + 1}{2}\\[6px] \tanh\left(\frac{x}{2}\right) &= \frac{\sinh x}{\cosh x + 1} &&= \sgn x \, \sqrt \frac{\cosh x-1}{\cosh x+1} = \frac{e^x - 1}{e^x + 1} \end{align}$$ जहाँ $f&thinsp;′(0) = 1$ साइन समारोह है।

यदि $i^{2} = −1$, फिर

$$ \tanh\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cosh x - 1}{\sinh x} = \coth x - \operatorname{csch} x $$

वर्ग सूत्र
$$\begin{align} \sinh^2 x &= \tfrac{1}{2}(\cosh 2x - 1) \\ \cosh^2 x &= \tfrac{1}{2}(\cosh 2x + 1) \end{align}$$

असमानताएं
निम्नलिखित असमानता सांख्यिकी में उपयोगी है:

$$\operatorname{cosh}(t) \leq e^{t^2 /2}$$

यह दो कार्यों की टेलर श्रृंखला की नियमो की तुलना करके सिद्ध किया जा सकता है।

लघुगणक के रूप में विपरीत कार्य करता है
$$\begin{align} \operatorname {arsinh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right) \\ \operatorname {arcosh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} - 1} \right) && x \geq 1 \\ \operatorname {artanh} (x) &= \frac{1}{2}\ln \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right) && | x | < 1 \\ \operatorname {arcoth} (x) &= \frac{1}{2}\ln \left( \frac{x + 1}{x - 1} \right) && |x| > 1 \\ \operatorname {arsech} (x) &= \ln \left( \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} - 1}\right) = \ln \left( \frac{1+ \sqrt{1 - x^2}}{x} \right) && 0 < x \leq 1 \\ \operatorname {arcsch} (x) &= \ln \left( \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} +1}\right) && x \ne 0 \end{align}$$

व्युत्पत्ति
$$\begin{align} \frac{d}{dx}\sinh x &= \cosh x \\ \frac{d}{dx}\cosh x &= \sinh x \\ \frac{d}{dx}\tanh x &= 1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x} \\ \frac{d}{dx}\coth x &= 1 - \coth^2 x = -\operatorname{csch}^2 x = -\frac{1}{\sinh^2 x} && x \neq 0 \\ \frac{d}{dx}\operatorname{sech} x &= - \tanh x \operatorname{sech} x \\ \frac{d}{dx}\operatorname{csch} x &= - \coth x \operatorname{csch} x && x \neq 0 \end{align}$$ $$\begin{align} \frac{d}{dx}\operatorname{arsinh} x &= \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \\ \frac{d}{dx}\operatorname{arcosh} x &= \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} && 1 < x \\ \frac{d}{dx}\operatorname{artanh} x &= \frac{1}{1-x^2} && |x| < 1 \\ \frac{d}{dx}\operatorname{arcoth} x &= \frac{1}{1-x^2} && 1 < |x| \\ \frac{d}{dx}\operatorname{arsech} x &= -\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}} && 0 < x < 1 \\ \frac{d}{dx}\operatorname{arcsch} x &= -\frac{1}{|x|\sqrt{1+x^2}} && x \neq 0 \end{align}$$

दूसरा व्युत्पत्ति
प्रत्येक कार्य $f&thinsp;′ = 1 − f&thinsp;^{2}$ तथा $f&hairsp;(0) = 0$ इसके दूसरे व्युत्पन्न के समान है, जो है: $$ \frac{d^2}{dx^2}\sinh x = \sinh x $$ $$ \frac{d^2}{dx^2}\cosh x = \cosh x \, .$$ इस गुण वाले सभी कार्य के रैखिक संयोजन हैं $cosh x$ तथा $sech x$, विशेष रूप से घातीय कार्य $$ e^x $$ तथा $$ e^{-x} $$है.

मानक अभिन्न
$$\begin{align} \int \sinh (ax)\,dx &= a^{-1} \cosh (ax) + C \\ \int \cosh (ax)\,dx &= a^{-1} \sinh (ax) + C \\ \int \tanh (ax)\,dx &= a^{-1} \ln (\cosh (ax)) + C \\ \int \coth (ax)\,dx &= a^{-1} \ln \left|\sinh (ax)\right| + C \\ \int \operatorname{sech} (ax)\,dx &= a^{-1} \arctan (\sinh (ax)) + C \\ \int \operatorname{csch} (ax)\,dx &= a^{-1} \ln \left| \tanh \left( \frac{ax}{2} \right) \right| + C = a^{-1} \ln\left|\coth \left(ax\right) - \operatorname{csch} \left(ax\right)\right| + C = -a^{-1}\operatorname{arcoth} \left(\cosh\left(ax\right)\right) +C \end{align}$$ अतिपरवलिक प्रतिस्थापन का उपयोग करके निम्नलिखित अभिन्न सिद्ध किए जा सकते हैं: $$\begin{align} \int {\frac{1}{\sqrt{a^2 + u^2}}\,du} & = \operatorname{arsinh} \left( \frac{u}{a} \right) + C \\ \int {\frac{1}{\sqrt{u^2 - a^2}}\,du} &= \sgn{u} \operatorname{arcosh} \left| \frac{u}{a} \right| + C \\ \int {\frac{1}{a^2 - u^2}}\,du & = a^{-1}\operatorname{artanh} \left( \frac{u}{a} \right) + C && u^2 < a^2 \\ \int {\frac{1}{a^2 - u^2}}\,du & = a^{-1}\operatorname{arcoth} \left( \frac{u}{a} \right) + C && u^2 > a^2 \\ \int {\frac{1}{u\sqrt{a^2 - u^2}}\,du} & = -a^{-1}\operatorname{arsech}\left| \frac{u}{a} \right| + C \\ \int {\frac{1}{u\sqrt{a^2 + u^2}}\,du} & = -a^{-1}\operatorname{arcsch}\left| \frac{u}{a} \right| + C \end{align}$$ जहाँ C समाकलन का स्थिरांक है।

टेलर श्रृंखला के भाव
उपरोक्त कार्यों के टेलर श्रृंखला को स्पष्ट रूप से शून्य (या लॉरेंट श्रृंखला, यदि कार्य शून्य पर परिभाषित नहीं है) पर स्पष्ट रूप से व्यक्त करना संभव है।

$$\sinh x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ यह श्रृंखला $x$के प्रत्येक सम्मिश्र संख्या मान के लिए अभिसरण श्रृंखला है. समारोह के बाद से $sgn$ विषम कार्य है, $x ≠ 0$ के लिए केवल विषम घातांक इसकी टेलर श्रृंखला में होता है।

$$\cosh x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}$$

यह श्रृंखला $x$ के प्रत्येक सम्मिश्र संख्या मान के लिए अभिसरण श्रृंखला है. समारोह के बाद से $sinh$ सम कार्य है, $x$ केवल घातांक के लिए इसकी टेलर श्रृंखला में होता है।

सिंह और कोश श्रृंखला का योग घातीय कार्य की अनंत श्रृंखला अभिव्यक्ति है।

निम्नलिखित श्रृंखला उनके अभिसरण के डोमेन के उपसमुच्चय के विवरण के बाद होती है, जहां श्रृंखला अभिसरण होती है और इसका योग कार्य के समान होता है। $$\begin{align}

\tanh x &= x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \qquad \left |x \right | < \frac {\pi} {2} \\

\coth x &= x^{-1} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, \qquad 0 < \left |x \right | < \pi \\

\operatorname{sech} x &= 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!}, \qquad \left |x \right | < \frac {\pi} {2} \\

\operatorname{csch} x &= x^{-1} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{ 2 (1-2^{2n-1}) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \qquad 0 < \left |x \right | < \pi

\end{align}$$ जहाँ:
 * $$B_n $$ nवीं बर्नौली संख्या है
 * $$E_n $$ nवां यूलर संख्या है

अनंत उत्पाद और निरंतर अंश
निम्नलिखित विस्तार पूरे जटिल स्तर में मान्य हैं:
 * $$\sinh x = x\prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right) =

\cfrac{x}{1 - \cfrac{x^2}{2\cdot3+x^2 - \cfrac{2\cdot3 x^2}{4\cdot5+x^2 - \cfrac{4\cdot5 x^2}{6\cdot7+x^2 - \ddots}}}} $$
 * $$\cosh x = \prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{x^2}{(n-1/2)^2\pi^2}\right) = \cfrac{1}{1 - \cfrac{x^2}{1 \cdot 2 + x^2 - \cfrac{1 \cdot 2x^2}{3 \cdot 4 + x^2 - \cfrac{3 \cdot 4x^2}{5 \cdot 6 + x^2 - \ddots}}}}$$
 * $$\tanh x = \cfrac{1}{\cfrac{1}{x} + \cfrac{1}{\cfrac{3}{x} + \cfrac{1}{\cfrac{5}{x} + \cfrac{1}{\cfrac{7}{x} + \ddots}}}}$$

परिपत्र कार्यों के साथ तुलना
अतिपरवलिक कार्य परिपत्र कार्यों से परे त्रिकोणमिति के विस्तार का प्रतिनिधित्व करते हैं। दोनों प्रकार किसी कार्य के तर्क पर निर्भर करते हैं, या तो कोण या अतिपरवलिक कोण है।

चूँकि त्रिज्या $u$ और कोण $u$ (रेडियन में) वाले वृत्ताकार त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $cosh$ है, यह $sinh$ होने पर $r$ के समान होगा। आरेख में, ऐसा वृत्त अतिपरवलय xy = 1 पर (1,1) पर स्पर्शरेखा है। पीला क्षेत्र क्षेत्र और कोण परिमाण दर्शाता है। इसी तरह पीले और लाल क्षेत्र साथ क्षेत्र और अतिपरवलिक कोण परिमाण दर्शाते हैं।

कोणों को परिभाषित करने वाली किरण पर कर्ण के साथ दो समकोण त्रिभुजों के पैर लंबाई $u$ के होते हैं परिपत्र और अतिपरवलिक कार्यों का होती है।

अतिपरवलिक कोण निचोड़ मानचित्रण के संबंध में अपरिवर्तनीय उपाय है, जिस तरह परिपत्र कोण घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय है।

गुडरमैनियन कार्य वृत्तीय फलनों और अतिपरवलयिक फलनों के बीच सीधा संबंध देता है जिसमें सम्मिश्र संख्याएं सम्मिलत नहीं होतीं है।

समारोह का ग्राफ $cosh$ कैटेनरी है, समान लचीली श्रृंखला द्वारा गठित वक्र, समान गुरुत्व के तहत दो निश्चित बिंदुओं के बीच स्वतंत्र रूप से लटका हुआ है।

एक्सपोनेंशियल फंक्शन से संबंध
इसके सम-विषम अपघटन में घातांक कार्य का अपघटन सर्वसमिका देता है $$e^x = \cosh x + \sinh x,$$ तथा $$e^{-x} = \cosh x - \sinh x.$$ यूलर के सूत्र के साथ संयुक्त $$e^{ix} = \cos x + i\sin x,$$ यह देता है $$e^{x+iy}=(\cosh x+\sinh x)(\cos y+i\sin y)$$ घातीय कार्य या जटिल तल के लिए।

इसके अतिरिक्त, $$e^x = \sqrt{\frac{1 + \tanh x}{1 - \tanh x}} = \frac{1 + \tanh \frac{x}{2}}{1 - \tanh \frac{x}{2}}$$

सम्मिश्र संख्याओं के लिए अतिपरवलिक कार्य
चूँकि चरघातांकी कार्य को किसी सम्मिश्र संख्या तर्क के लिए परिभाषित किया जा सकता है, हम अतिपरवलयिक फलनों की परिभाषाओं को जटिल तर्कों तक भी बढ़ा सकते हैं। कार्य $sinh x$ तथा $x$ होलोमॉर्फिक कार्य हैं।

जटिल संख्याओं के लिए यूलर के सूत्र द्वारा सामान्य त्रिकोणमितीय कार्यों के संबंध दिए गए हैं:$$\begin{align} e^{i x} &= \cos x + i \sin x \\ e^{-i x} &= \cos x - i \sin x \end{align}$$ इसलिए: $$\begin{align} \cosh(ix) &= \frac{1}{2} \left(e^{i x} + e^{-i x}\right) = \cos x \\ \sinh(ix) &= \frac{1}{2} \left(e^{i x} - e^{-i x}\right) = i \sin x \\ \cosh(x+iy) &= \cosh(x) \cos(y) + i \sinh(x) \sin(y) \\ \sinh(x+iy) &= \sinh(x) \cos(y) + i \cosh(x) \sin(y) \\ \tanh(ix) &= i \tan x \\ \cosh x &= \cos(ix) \\ \sinh x &= - i \sin(ix) \\ \tanh x &= - i \tan(ix) \end{align}$$ इस प्रकार, अतिपरवलिक कार्य काल्पनिक घटक के संबंध में आवधिक कार्य हैं, अवधि के साथ $$2 \pi i$$ ($$\pi i$$ अतिपरवलिक स्पर्शरेखा और cotangent के लिए) है।

यह भी देखें

 * ई (गणितीय स्थिरांक)
 * सिंह पर आधारित समान अंतःवृत्त प्रमेय
 * अतिपरवलिक विकास
 * व्युत्क्रम अतिपरवलिक कार्य
 * अतिपरवलिक कार्यों के इंटीग्रल की सूची
 * पॉइन्सॉट के सर्पिल
 * सिग्मॉइड कार्य
 * सोबोलेवा संशोधित अतिपरवलिक स्पर्शरेखा
 * त्रिकोणमितीय फलन

बाहरी संबंध

 * Hyperbolic functions on PlanetMath
 * GonioLab: Visualization of the unit circle, trigonometric and hyperbolic functions (Java Web Start)
 * Web-based calculator of hyperbolic functions
 * Web-based calculator of hyperbolic functions