विस्तारित कलमैन फ़िल्टर

अनुमान सिद्धांत में, विस्तारित कलमन फ़िल्टर (ई के एफ) कलमैन फ़िल्टर का गैर-रेखीय संस्करण है जो वर्तमान माध्य और सहप्रसरण के अनुमान के बारे में रैखिककरण करता है। अच्छी तरह से परिभाषित संक्रमण मॉडल के मामले में, ईकेएफ पर विचार किया गया है अरेखीय राज्य अनुमान, नेविगेशन प्रणाली और GPS के सिद्धांत में वास्तविक मानक।

इतिहास
कलमन प्रकार के फिल्टर की गणितीय नींव स्थापित करने वाले पेपर 1959 और 1961 के बीच प्रकाशित हुए थे।  कलमन फ़िल्टर रैखिक के लिए इष्टतम रैखिक अनुमानक है संक्रमण और माप प्रणाली दोनों में योगात्मक स्वतंत्र श्वेत शोर के साथ सिस्टम मॉडल। दुर्भाग्य से, इंजीनियरिंग में, अधिकांश प्रणालियाँ अरेखीय हैं, इसलिए इसे लागू करने का प्रयास किया गया नॉनलाइनियर सिस्टम के लिए यह फ़िल्टरिंग विधि; इनमें से अधिकांश कार्य नासा एम्स में किया गया था। ईकेएफ ने कामकाजी बिंदु के बारे में मॉडल को रैखिक बनाने के लिए गणना से तकनीकों को अनुकूलित किया, अर्थात् बहुभिन्नरूपी टेलर श्रृंखला विस्तार। यदि सिस्टम मॉडल (जैसा कि नीचे वर्णित है) अच्छी तरह से ज्ञात नहीं है या गलत है, तो अनुमान के लिए मोंटे कार्लो विधियों, विशेष रूप से कण फिल्टर को नियोजित किया जाता है। मोंटे कार्लो तकनीक ई के एफ के अस्तित्व से पहले की है लेकिन किसी भी मध्यम आकार के राज्य-स्थान के लिए कम्प्यूटेशनल रूप से अधिक महंगी है।

निरूपण
विस्तारित कलमैन फ़िल्टर में, राज्य संक्रमण और अवलोकन मॉडल को राज्य के रैखिक कार्य होने की आवश्यकता नहीं है, बल्कि इसके बजाय अलग-अलग फ़ंक्शन फ़ंक्शन हो सकते हैं।


 * $$\boldsymbol{x}_{k} = f(\boldsymbol{x}_{k-1}, \boldsymbol{u}_{k}) + \boldsymbol{w}_{k}$$
 * $$\boldsymbol{z}_{k} = h(\boldsymbol{x}_{k}) + \boldsymbol{v}_{k}$$

यहाँ डब्ल्यूk और वीk प्रक्रिया और अवलोकन शोर हैं जिन्हें शून्य माध्य माना जाता है सहप्रसरण मैट्रिक्स के साथ बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण शोरk और आरk क्रमश। यूk नियंत्रण वेक्टर है.

फ़ंक्शन f का उपयोग पिछले अनुमान से अनुमानित स्थिति की गणना करने के लिए किया जा सकता है और इसी तरह फ़ंक्शन h का उपयोग अनुमानित स्थिति से अनुमानित माप की गणना करने के लिए किया जा सकता है। हालाँकि, f और h को सीधे सहप्रसरण पर लागू नहीं किया जा सकता है। इसके बजाय आंशिक डेरिवेटिव (जेकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक) के मैट्रिक्स की गणना की जाती है।

प्रत्येक समय चरण पर, जैकोबियन का मूल्यांकन वर्तमान अनुमानित स्थितियों के साथ किया जाता है। इन मैट्रिक्स का उपयोग कलमन फ़िल्टर समीकरणों में किया जा सकता है। यह प्रक्रिया अनिवार्य रूप से वर्तमान अनुमान के आसपास गैर-रेखीय फ़ंक्शन को रैखिक बनाती है।

सांकेतिक टिप्पणियों के लिए कलमन फ़िल्टर लेख देखें।

असतत-समय की भविष्यवाणी और समीकरणों को अद्यतन करें
नोटेशन $$\hat{\mathbf{x}}_{n\mid m}$$ के अनुमान को दर्शाता है $$\mathbf{x}$$ समय पर n तक और समय पर अवलोकन दिए गए m ≤ n.

अद्यतन
जहां राज्य संक्रमण और अवलोकन मैट्रिक्स को निम्नलिखित जैकोबियन के रूप में परिभाषित किया गया है


 * $$ = \left . \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{x} } \right \vert _{\hat{\boldsymbol{x}}_{k-1|k-1},\boldsymbol{u}_{k}} $$
 * $$ = \left . \frac{\partial h}{\partial \boldsymbol{x} } \right \vert _{\hat{\boldsymbol{x}}_{k|k-1}} $$

नुकसान
अपने रैखिक समकक्ष के विपरीत, सामान्य रूप से विस्तारित कलमैन फ़िल्टर इष्टतम अनुमानक नहीं है (यह इष्टतम है यदि माप और राज्य संक्रमण मॉडल दोनों रैखिक हैं, क्योंकि उस स्थिति में विस्तारित कलमैन फ़िल्टर नियमित के समान है)। इसके अलावा, यदि स्थिति का प्रारंभिक अनुमान गलत है, या यदि प्रक्रिया को गलत तरीके से तैयार किया गया है, तो इसके रैखिककरण के कारण फ़िल्टर जल्दी से अलग हो सकता है। विस्तारित कल्मन फ़िल्टर के साथ और समस्या यह है कि अनुमानित सहप्रसरण मैट्रिक्स वास्तविक सहप्रसरण मैट्रिक्स को कम आंकता है और इसलिए स्थिरता (सांख्यिकी) बनने का जोखिम होता है #स्थिर शोर को शामिल किए बिना सांख्यिकीय अर्थों में स्थिरता.

यह कहने के बाद, विस्तारित कलमैन फ़िल्टर उचित प्रदर्शन दे सकता है, और यकीनन नेविगेशन सिस्टम और जीपीएस में वास्तविक मानक है।

सतत-समय विस्तारित कलमैन फ़िल्टर
नमूना

\begin{align} \dot{\mathbf{x}}(t) &= f\bigl(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t)\bigr) + \mathbf{w}(t) &\mathbf{w}(t) &\sim \mathcal{N}\bigl(\mathbf{0},\mathbf{Q}(t)\bigr) \\ \mathbf{z}(t) &= h\bigl(\mathbf{x}(t)\bigr) + \mathbf{v}(t)  &\mathbf{v}(t) &\sim \mathcal{N}\bigl(\mathbf{0},\mathbf{R}(t)\bigr) \end{align} $$ प्रारंभ

\hat{\mathbf{x}}(t_0)=E\bigl[\mathbf{x}(t_0)\bigr] \text{, } \mathbf{P}(t_0)=Var\bigl[\mathbf{x}(t_0)\bigr] $$ भविष्यवाणी-अद्यतन

\begin{align} \dot{\hat{\mathbf{x}}}(t) &= f\bigl(\hat{\mathbf{x}}(t),\mathbf{u}(t)\bigr)+\mathbf{K}(t)\Bigl(\mathbf{z}(t)-h\bigl(\hat{\mathbf{x}}(t)\bigr)\Bigr)\\ \dot{\mathbf{P}}(t) &= \mathbf{F}(t)\mathbf{P}(t)+\mathbf{P}(t)\mathbf{F}(t)^{T}-\mathbf{K}(t)\mathbf{H}(t)\mathbf{P}(t)+\mathbf{Q}(t)\\ \mathbf{K}(t) &= \mathbf{P}(t)\mathbf{H}(t)^{T}\mathbf{R}(t)^{-1}\\ \mathbf{F}(t) &= \left. \frac{\partial f}{\partial \mathbf{x} } \right \vert _{\hat{\mathbf{x}}(t),\mathbf{u}(t)}\\ \mathbf{H}(t) &= \left. \frac{\partial h}{\partial \mathbf{x} } \right \vert _{\hat{\mathbf{x}}(t)} \end{align} $$ असतत-समय विस्तारित कलमैन फ़िल्टर के विपरीत, पूर्वानुमान और अद्यतन चरण निरंतर-समय विस्तारित कलमैन फ़िल्टर में युग्मित होते हैं।

असतत-समय माप
अधिकांश भौतिक प्रणालियों को निरंतर-समय मॉडल के रूप में दर्शाया जाता है, जबकि डिजिटल प्रोसेसर के माध्यम से राज्य अनुमान के लिए असतत-समय माप अक्सर लिया जाता है। इसलिए, सिस्टम मॉडल और माप मॉडल द्वारा दिया गया है

\begin{align} \dot{\mathbf{x}}(t) &= f\bigl(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t)\bigr) + \mathbf{w}(t) &\mathbf{w}(t) &\sim \mathcal{N}\bigl(\mathbf{0},\mathbf{Q}(t)\bigr) \\ \mathbf{z}_k &= h(\mathbf{x}_k) + \mathbf{v}_k  &\mathbf{v}_k &\sim \mathcal{N}(\mathbf{0},\mathbf{R}_k) \end{align} $$ कहाँ $$\mathbf{x}_k=\mathbf{x}(t_k)$$.

प्रारंभ

\hat{\mathbf{x}}_{0|0}=E\bigl[\mathbf{x}(t_0)\bigr], \mathbf{P}_{0|0}=E\bigl[\left(\mathbf{x}(t_0)-\hat{\mathbf{x}}(t_0)\right)\left(\mathbf{x}(t_0)-\hat{\mathbf{x}}(t_0)\right)^T\bigr] $$ भविष्यवाणी करना

\begin{align} \text{solve } &\begin{cases} \dot{\hat{\mathbf{x}}}(t) = f\bigl(\hat{\mathbf{x}}(t), \mathbf{u}(t)\bigr) \\ \dot{\mathbf{P}}(t) = \mathbf{F}(t)\mathbf{P}(t)+\mathbf{P}(t)\mathbf{F}(t)^T+ \mathbf{Q}(t) \end{cases}\qquad \text{with } \begin{cases} \hat{\mathbf{x}}(t_{k-1}) = \hat{\mathbf{x}}_{k-1|k-1} \\ \mathbf{P}(t_{k-1}) = \mathbf{P}_{k-1|k-1} \end{cases} \\ \Rightarrow &\begin{cases} \hat{\mathbf{x}}_{k|k-1} = \hat{\mathbf{x}}(t_k) \\ \mathbf{P}_{k|k-1} = \mathbf{P}(t_k) \end{cases} \end{align} $$ कहाँ
 * $$ \mathbf{F}(t) = \left. \frac{\partial f}{\partial \mathbf{x} } \right \vert _{\hat{\mathbf{x}}(t),\mathbf{u}(t)} $$

अद्यतन
 * $$\mathbf{K}_{k} = \mathbf{P}_{k|k-1}\mathbf{H}_{k}^{T}\bigl(\mathbf{H}_{k}\mathbf{P}_{k|k-1}\mathbf{H}_{k}^{T} + \mathbf{R}_{k}\bigr)^{-1} $$
 * $$\hat{\mathbf{x}}_{k|k} = \hat{\mathbf{x}}_{k|k-1} + \mathbf{K}_{k}\bigl(\mathbf{z}_{k} - h(\hat{\mathbf{x}}_{k|k-1})\bigr) $$
 * $$\mathbf{P}_{k|k} = (\mathbf{I} - \mathbf{K}_{k}\mathbf{H}_{k})\mathbf{P}_{k|k-1} $$

कहाँ
 * $$ \textbf{H}_{k} = \left . \frac{\partial h}{\partial \textbf{x} } \right \vert _{\hat{\textbf{x}}_{k|k-1}} $$

अद्यतन समीकरण असतत-समय विस्तारित कलमैन फ़िल्टर के समान हैं।

उच्च-क्रम विस्तारित कलमैन फ़िल्टर
उपरोक्त रिकर्सन प्रथम-क्रम विस्तारित कलमैन फ़िल्टर (ई के एफ) है। टेलर श्रृंखला विस्तार की अधिक शर्तों को बनाए रखते हुए उच्च क्रम वाले ई के एफ प्राप्त किए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, दूसरे और तीसरे क्रम के ईकेएफ का वर्णन किया गया है। हालाँकि, उच्च क्रम के ईकेएफ केवल तभी प्रदर्शन लाभ प्रदान करते हैं जब माप शोर छोटा होता है।

गैर-योज्य शोर सूत्रीकरण और समीकरण
ईकेएफ के विशिष्ट सूत्रीकरण में योगात्मक प्रक्रिया और माप शोर की धारणा शामिल है। हालाँकि, यह धारणा ईकेएफ कार्यान्वयन के लिए आवश्यक नहीं है। इसके बजाय, फ़ॉर्म की अधिक सामान्य प्रणाली पर विचार करें:


 * $$\boldsymbol{x}_{k} = f(\boldsymbol{x}_{k-1}, \boldsymbol{u}_{k-1}, \boldsymbol{w}_{k-1})$$
 * $$\boldsymbol{z}_{k} = h(\boldsymbol{x}_{k}, \boldsymbol{v}_{k})$$

यहाँ डब्ल्यूk और वीk प्रक्रिया और अवलोकन शोर हैं जिन्हें शून्य माध्य माना जाता है सहप्रसरण मैट्रिक्स के साथ बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण शोरk और आरk क्रमश। फिर सहप्रसरण भविष्यवाणी और नवप्रवर्तन समीकरण बन जाते हैं


 * $$ \boldsymbol{P}_{k|k-1} =  {\boldsymbol{P}_{k-1|k-1}} {+} {\boldsymbol{L}_{k-1}} {\boldsymbol{Q}_{k-1}}{\boldsymbol{L}^{T}_{k-1}} $$
 * $$ \boldsymbol{S}_{k} = {\boldsymbol{P}_{k|k-1}} {+} {\boldsymbol{M}_{k}} {\boldsymbol{R}_{k}} {\boldsymbol{M}_{k}^{T}}$$

जहां मैट्रिक्स $$\boldsymbol{L}_{k-1}$$ और $$\boldsymbol{M}_{k}$$ जैकोबियन मैट्रिक्स हैं:


 * $$ = \left . \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{w} } \right \vert _{\hat{\boldsymbol{x}}_{k-1|k-1},\boldsymbol{u}_{k-1}} $$
 * $$ = \left . \frac{\partial h}{\partial \boldsymbol{v} } \right \vert _{\hat{\boldsymbol{x}}_{k|k-1}} $$

अनुमानित स्थिति अनुमान और माप अवशिष्ट का मूल्यांकन प्रक्रिया और माप शोर शर्तों के माध्य पर किया जाता है, जिसे शून्य माना जाता है। अन्यथा, गैर-एडिटिव शोर फॉर्मूलेशन को एडिटिव शोर ईकेएफ के समान ही कार्यान्वित किया जाता है।

अंतर्निहित विस्तारित कलमैन फ़िल्टर
कुछ मामलों में, गैर-रेखीय प्रणाली के अवलोकन मॉडल को हल नहीं किया जा सकता है $$\boldsymbol{z}_{k}$$, लेकिन अंतर्निहित फ़ंक्शन द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:


 * $$h(\boldsymbol{x}_{k}, \boldsymbol{z'}_{k}) = \boldsymbol{0} $$

कहाँ $$\boldsymbol{z}_{k} = \boldsymbol{z'}_{k} + \boldsymbol{v}_{k}$$ शोरगुल वाले अवलोकन हैं।

पारंपरिक विस्तारित कलमैन फ़िल्टर को निम्नलिखित प्रतिस्थापनों के साथ लागू किया जा सकता है: <संदर्भ नाम= झांग 1997 पृ. 59-76 >


 * $$ \leftarrow    $$
 * $$ \tilde{\boldsymbol{y}}_{k} \leftarrow -h(\hat{\boldsymbol{x}}_{k|k-1}, \boldsymbol{z}_{k}) $$

कहाँ:


 * $$ = \left . \frac{\partial h}{\partial \boldsymbol{z} } \right \vert _{\hat{\boldsymbol{x}}_{k|k-1}, \hat{\boldsymbol{z}}_{k}} $$

यहां मूल अवलोकन सहप्रसरण मैट्रिक्स है $$ $$ रूपांतरित हो गया है, और नवीनता $$ \tilde{\boldsymbol{y}}_{k} $$ अलग ढंग से परिभाषित किया गया है। जैकोबियन मैट्रिक्स $$  $$ पहले की तरह परिभाषित किया गया है, लेकिन अंतर्निहित अवलोकन मॉडल से निर्धारित किया गया है $$h(\boldsymbol{x}_{k}, \boldsymbol{z}_{k})$$.

पुनरावृत्त विस्तारित कलमैन फ़िल्टर
पुनरावृत्त विस्तारित कलमैन फ़िल्टर टेलर विस्तार के केंद्र बिंदु को पुनरावर्ती रूप से संशोधित करके विस्तारित कलमैन फ़िल्टर के रैखिककरण में सुधार करता है। यह बढ़ी हुई कम्प्यूटेशनल आवश्यकताओं की कीमत पर रैखिककरण त्रुटि को कम करता है।<रेफ नाम = झांग 1997 पीपी. 59-76 />

मजबूत विस्तारित कलमन फ़िल्टर
विस्तारित कलमैन फ़िल्टर वर्तमान स्थिति अनुमान के बारे में सिग्नल मॉडल को रैखिक बनाने और अगले अनुमान की भविष्यवाणी करने के लिए रैखिक कलमैन फ़िल्टर का उपयोग करके उत्पन्न होता है। यह स्थानीय रूप से इष्टतम फिल्टर का उत्पादन करने का प्रयास करता है, हालांकि, यह आवश्यक रूप से स्थिर नहीं है क्योंकि अंतर्निहित रिकाटी समीकरण के समाधान सकारात्मक निश्चित होने की गारंटी नहीं है। प्रदर्शन में सुधार का तरीका नकली बीजगणितीय रिकाटी तकनीक है जो स्थिरता के लिए इष्टतमता का व्यापार करता है। विस्तारित कलमैन फ़िल्टर की परिचित संरचना को बरकरार रखा गया है लेकिन लाभ डिज़ाइन के लिए नकली बीजगणितीय रिकाटी समीकरण के सकारात्मक निश्चित समाधान का चयन करके स्थिरता प्राप्त की जाती है।

विस्तारित कलमैन फ़िल्टर प्रदर्शन को बेहतर बनाने का अन्य तरीका मजबूत नियंत्रण से एच-इन्फिनिटी परिणामों को नियोजित करना है। डिज़ाइन रिकाटी समीकरण में सकारात्मक निश्चित शब्द जोड़कर मजबूत फ़िल्टर प्राप्त किए जाते हैं। अतिरिक्त शब्द स्केलर द्वारा पैरामीट्रिज़ किया गया है जिसे डिज़ाइनर माध्य-वर्ग-त्रुटि और शिखर त्रुटि प्रदर्शन मानदंड के बीच व्यापार-बंद प्राप्त करने के लिए बदल सकता है।

अपरिवर्तनीय विस्तारित कलमैन फ़िल्टर
इनवेरिएंट एक्सटेंडेड कलमैन फ़िल्टर (IEKF) समरूपता (या इनवेरिएंस) वाले नॉनलाइनियर सिस्टम के लिए EKF का संशोधित संस्करण है। यह ईकेएफ और हाल ही में पेश किए गए समरूपता-संरक्षण फिल्टर दोनों के फायदों को जोड़ता है। रैखिक आउटपुट त्रुटि के आधार पर रैखिक सुधार शब्द का उपयोग करने के बजाय, IEKF अपरिवर्तनीय आउटपुट त्रुटि के आधार पर ज्यामितीय रूप से अनुकूलित सुधार शब्द का उपयोग करता है; उसी तरह लाभ मैट्रिक्स को रैखिक राज्य त्रुटि से अद्यतन नहीं किया जाता है, बल्कि अपरिवर्तनीय राज्य त्रुटि से अद्यतन किया जाता है। मुख्य लाभ यह है कि लाभ और सहप्रसरण समीकरण संतुलन बिंदुओं की तुलना में प्रक्षेपवक्र के बहुत बड़े सेट पर स्थिर मूल्यों में परिवर्तित हो जाते हैं क्योंकि यह ईकेएफ के मामले में है, जिसके परिणामस्वरूप अनुमान का बेहतर अभिसरण होता है।

असुगंधित कलमैन फिल्टर
एक नॉनलाइनियर कलमैन फिल्टर जो ईकेएफ पर सुधार का वादा करता है, वह कलमैन फिल्टर#अनसेंटेड कलमैन फिल्टर (यूकेएफ) है। यूकेएफ में, संभाव्यता घनत्व का अनुमान बिंदुओं के नियतात्मक नमूने द्वारा लगाया जाता है जो गाऊसी के रूप में अंतर्निहित वितरण का प्रतिनिधित्व करता है। इन बिंदुओं के अरेखीय परिवर्तन का उद्देश्य पश्च वितरण का अनुमान लगाना है, जिसका क्षण (गणित) तब रूपांतरित नमूनों से प्राप्त किया जा सकता है। परिवर्तन को असुगंधित परिवर्तन के रूप में जाना जाता है। यूकेएफ सभी दिशाओं में त्रुटि के आकलन में ईकेएफ की तुलना में अधिक मजबूत और सटीक होता है।

 विस्तारित कलमैन फ़िल्टर (ईकेएफ) संभवतः गैर-रेखीय प्रणालियों के लिए सबसे व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला अनुमान एल्गोरिदम है। हालाँकि, अनुमान समुदाय में 35 से अधिक वर्षों के अनुभव से पता चला है कि इसे लागू करना कठिन है, ट्यून करना कठिन है, और केवल उन प्रणालियों के लिए विश्वसनीय है जो अपडेट के समय के पैमाने पर लगभग रैखिक हैं। इनमें से कई कठिनाइयाँ इसके रैखिककरण के उपयोग से उत्पन्न होती हैं। 

2012 के पेपर में सिमुलेशन परिणाम शामिल हैं जो सुझाव देते हैं कि यूकेएफ के कुछ प्रकाशित संस्करण सेकेंड ऑर्डर एक्सटेंडेड कलमैन फ़िल्टर (एसओईकेएफ) के समान सटीक होने में विफल रहते हैं, जिसे संवर्धित कलमैन फ़िल्टर के रूप में भी जाना जाता है। एसओईकेएफ बास एट अल द्वारा पहली बार वर्णित गतिशीलता के साथ यूकेएफ से लगभग 35 साल पहले का है। गैर-रेखीय राज्य संक्रमणों के लिए किसी भी कलमन-प्रकार के फिल्टर को लागू करने में कठिनाई परिशुद्धता के लिए आवश्यक संख्यात्मक स्थिरता के मुद्दों से उत्पन्न होती है, हालाँकि यूकेएफ इस कठिनाई से नहीं बचता है क्योंकि यह रैखिककरण, अर्थात् रैखिक प्रतिगमन का भी उपयोग करता है। यूकेएफ के लिए स्थिरता के मुद्दे आम तौर पर संख्यात्मक सन्निकटन से सहप्रसरण मैट्रिक्स के वर्गमूल तक उत्पन्न होते हैं, जबकि ईकेएफ और एसओईकेएफ दोनों के लिए स्थिरता के मुद्दे प्रक्षेपवक्र के साथ टेलर श्रृंखला सन्निकटन में संभावित मुद्दों से उत्पन्न होते हैं।

कलामन फ़िल्टर को इकट्ठा करें
यूकेएफ वास्तव में कलमैन फ़िल्टर को इकट्ठा करें से पहले का था, जिसका आविष्कार 1994 में इवेंसेन ने किया था। यूकेएफ पर इसका लाभ यह है कि उपयोग किए जाने वाले एन्सेम्बल सदस्यों की संख्या राज्य आयाम से बहुत छोटी हो सकती है, जो बहुत उच्च-आयामी प्रणालियों में अनुप्रयोगों की अनुमति देती है।, जैसे कि मौसम की भविष्यवाणी, अरब या उससे अधिक के राज्य-स्थान आकार के साथ।

फ़ज़ी कलमैन फ़िल्टर
संभावना वितरण का प्रतिनिधित्व करने के लिए नई विधि के साथ फ़ज़ी कलमैन फ़िल्टर को हाल ही में वास्तविक संभावनावादी फ़िल्टर प्राप्त करने के लिए संभावित वितरण द्वारा संभाव्यता वितरण को प्रतिस्थापित करने का प्रस्ताव दिया गया था, जो गैर-सममित प्रक्रिया और अवलोकन शोर के उपयोग के साथ-साथ दोनों प्रक्रियाओं में उच्च अशुद्धियों को सक्षम करता है। अवलोकन मॉडल.

यह भी देखें

 * कलमन फ़िल्टर
 * कलमन फ़िल्टर को इकट्ठा करें
 * तेज़ कलमन फ़िल्टर
 * अपरिवर्तनीय विस्तारित कलमैन फ़िल्टर
 * गतिशील क्षितिज अनुमान
 * कण फिल्टर
 * कलमन फिल्टर#असुगंधित कलमन फिल्टर

अग्रिम पठन








बाहरी संबंध

 * Position estimation of a differential-wheel robot based on odometry and landmarks