द्विपद गुणांक

गणित में, द्विपद गुणांक धनात्मक पूर्णांक  होते हैं जिन्हें  द्विपद प्रमेय  में गुणांक के रूप में प्रयोग किया जाता हैं। साधारणतयः द्विपद गुणांक को पूर्णांकों के एक युग्म द्वारा अनुक्रमित किया जाता है, $n ≥ k ≥ 0$ और लिखा है $$\tbinom{n}{k}.$$ यह द्विपद गुणांक  घातांक  $(1 + x)^{n}$ के बहुपद विस्तार में $x^{k}$ पद का गुणांक है; इस गुणांक की गणना गुणक सूत्र द्वारा की जा सकती है
 * $$\binom nk = \frac{n\times(n-1)\times\cdots\times(n-k+1)}{k\times(k-1)\times\cdots\times1},$$

फैक्टोरियल नोटेशन का उपयोग करके कॉम्पैक्ट रूप से व्यक्त किया जा सकता है


 * $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}.$$

उदाहरण के लिए, ($1 + x$)4 घातांक है
 * $$\begin{align}

(1 + x)^4 &= \tbinom{4}{0} x^0 + \tbinom{4}{1} x^1 + \tbinom{4}{2} x^2 + \tbinom{4}{3} x^3 + \tbinom{4}{4} x^4 \\ &= 1 + 4x + 6 x^2 + 4x^3 + x^4, \end{align}$$ और द्विपद गुणांक $$\tbinom{4}{2} =\tfrac{4\times 3}{2\times1} = \tfrac{4!}{2!2!} = 6$$, $x^{2}$ पद का गुणांक है।

संख्याओं को व्यवस्थित करने के लिए $$\tbinom{n}{0}, \tbinom{n}{1}, \ldots, \tbinom{n}{n}$$ लगातार पंक्तियों में $$n=0,1,2,\ldots$$ श्रंख्ला पास्कल का त्रिभुज नामक त्रिकोणीय सारणी देता है, जो पुनरावृत्ति संबंध  को संतुष्ट करता है
 * $$\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1}.$$

द्विपद गुणांक गणित के कई क्षेत्रों में विशेष रूप से संयोजन विज्ञान में पाए जाते हैं। जिसका प्रतीक साधारणतयः $$\tbinom{n}{k}$$ के रूप में पढ़ा जाता है, $n$ और $k$ को इस प्रकार चुना जाता है कि $$\tbinom{n}{k}$$ का एक उपसमुच्चय चुनने के लिए $k$ के एक निश्चित समुच्चय से तत्व $n$ को चुनते है। उदाहरण के लिए, हैं $$\tbinom{4}{2}=6$$ से 2 तत्वों को चुनने के लिए $$\{1,2,3,4\},$$ अर्थात $$\{1,2\} ,\, \{1,3\} ,\, \{1,4\} ,\, \{2,3\} ,\, \{2,4\} ,$$ तथा $$\{3,4\}.$$ हैं।

द्विपद गुणांक को $$\tbinom{z}{k}$$ से सामान्यीकृत किया जा सकता है  किसी भी जटिल संख्या के लिए $z$ और पूर्णांक $k ≥ 0$, और इस प्रकार इनके कई मान अधिकांशतः सामान्य रूप में बनी रहती हैं।

इतिहास और संकेतन
1826 में एंड्रियास वॉन एटिंग्सहॉसन ने $$\tbinom nk$$ की शुरुआत की।, हालाँकि संख्याएँ सदियों पहले ज्ञात थीं (पास्कल का त्रिकोण देखें)। द्विपद गुणांकों की सबसे पहली ज्ञात विस्तृत चर्चा, हलयुध:  द्वारा, एक प्राचीन  संस्कृत  पाठ,  पिंगला   के चंदाशास्त्र पर, दसवीं शताब्दी की टिप्पणी में है। द्विपद गुणांकों का दूसरा सबसे पुराना विवरण गैराज द्वारा दिया गया है। लगभग 1150 में, भारतीय गणितज्ञ भास्कराचार्य ने अपनी पुस्तक लीलावती में द्विपद गुणांकों की व्याख्या की।

वैकल्पिक नोटेशन में $C(n, k)$, $_{n}C_{k}$, $^{n}C_{k}$, $C^{k}n$, $C^{n}k$, तथा $C_{n,k}$  शामिल हैं जिनमें से सभी में  $C$  संयोजन या विकल्पों के लिए है। कई कैलकुलेटर सी नोटेशन के रूपों का उपयोग करते हैं क्योंकि वे इसे एक-पंक्ति डिस्प्ले पर प्रदर्शित कर सकते हैं। इस रूप में द्विपद गुणांक की तुलना n के k-क्रमपरिवर्तन से आसानी से की जाती है, जिसे $P(n, k)$, आदि के रूप में लिखा जाता है।

परिभाषा और व्याख्या
प्राकृतिक संख्याओं के लिए (0 को शामिल करने के लिए) n और k, द्विपद गुणांक $$\tbinom nk$$ को $(1 + X)^{n}$ के विस्तार में मोनोमियल Xk के गुणांक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। द्विपद सूत्र (यदि $k ≤ n$) में भी यही गुणांक होता है ।

(कम्यूटेटिव रिंग के किसी भी तत्व x, y के लिए मान्य),जो द्विपद गुणांक नाम की व्याख्या करता है।

इस संख्या की एक और घटना कॉम्बिनेटरिक्स में है, जहां यह तरीकों की संख्या देता है, आदेश की अवहेलना करता है, कि k वस्तुओं को n वस्तुओं में से चुना जा सकता है; अधिक औपचारिक रूप से, एन-तत्व सेट के के-तत्व सबसेट (या के-संयोजन) की संख्या। इस संख्या को पहली परिभाषा में से एक के बराबर देखा जा सकता है, इसकी गणना करने के लिए नीचे दिए गए किसी भी सूत्र से स्वतंत्र: यदि शक्ति के n कारकों में से प्रत्येक में $(1 + X)^{n}$ एक अस्थायी रूप से शब्द X को एक सूचकांक i (1 से n तक चल रहा है) के साथ लेबल करता है, तब k सूचकांकों का प्रत्येक उपसमुच्चय विस्तार के बाद Xk का योगदान देता है, और परिणाम में उस एकपदी का गुणांक ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या होगी। यह विशेष रूप से दिखाता है कि $$\tbinom nk$$ किसी भी प्राकृतिक संख्या n और k के लिए एक प्राकृतिक संख्या है। द्विपद गुणांकों की कई अन्य संयोजी व्याख्याएं हैं (के लिए समस्याओं की गणना करना जिसका उत्तर एक द्विपद गुणांक अभिव्यक्ति द्वारा दिया गया है), उदाहरण के लिए n बिट्स (अंक 0 या 1) से बने शब्दों की संख्या जिसका योग k है $$\tbinom nk$$, जबकि लिखने के तरीकों की संख्या $$k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$$ जहां प्रत्येक ai एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है $$\tbinom{n+k-1}{n-1}$$ द्वारा दिया जाता है। इनमें से अधिकतर व्याख्याओं को आसानी से गिनती के-संयोजनों के बराबर देखा जा सकता है।

द्विपद गुणांकों के मान की गणना
$$\tbinom{n}{k}$$ के मान की गणना करने के लिए कई विधियाँ मौजूद हैं बिना वास्तव में द्विपद शक्ति का विस्तार किए बिना या k-संयोजन की गणना किए बिना।

पुनरावर्ती सूत्र
एक विधि पुनरावर्ती, विशुद्ध रूप से योज्य सूत्र का उपयोग करती है $$ \binom nk = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}k$$ सभी पूर्णांकों के लिए $$n,k$$ ऐसा है कि $$1 \le k \le n-1,$$ प्रारंभिक/सीमा मूल्यों के लिए$$\binom n0 = \binom nn = 1$$सभी पूर्णांकों के लिए $$n \ge 0.$$

सूत्र सेट ${1, 2, 3, ..., n}$ पर विचार करने और अलग से गिनती करने से आता है (ए) k-तत्व समूह जिसमें एक विशेष सेट तत्व शामिल है, "i" कहें, प्रत्येक समूह में (चूंकि "i" पहले से ही प्रत्येक समूह में एक स्थान भरने के लिए चुना गया है, हमें शेष $n − 1$ और (b) सभी k-समूहों में से केवल $k − 1$ चुनने की आवश्यकता है जिसमें "i" शामिल नहीं है; यह n तत्वों के सभी संभावित k-संयोजनों की गणना करता है। यह $(1 + X)^{n−1}(1 + X)$ में Xk के योगदान को ट्रेस करने के बाद भी आता है। चूंकि $X^{n+1}$ में शून्य $(1 + X)^{n}$ या $X^{−1}$ है, इसलिए $$\tbinom nk = 0$$ जब या तो $k > n$ या $k < 0$। यह पुनरावर्ती सूत्र तब पास्कल के त्रिकोण के निर्माण की अनुमति देता है, जो सफेद रिक्त स्थान से घिरा हुआ है जहां शून्य या तुच्छ गुणांक होंगे।

गुणक सूत्र
व्यक्तिगत द्विपद गुणांकों की गणना करने के लिए एक अधिक कुशल विधि सूत्र द्वारा दी गई है$$\binom nk = \frac{n^{\underline{k}}}{k!} = \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-(k-1))}{k(k-1)(k-2)\cdots 1} = \prod_{i=1}^k\frac{ n+1-i}{ i},$$जहां पहले भिन्न का अंश $$n^{\underline{k}}$$ को घटती क्रमगुणित शक्ति के रूप में व्यक्त किया जाता है। यह सूत्र द्विपद गुणांकों की संयोजक व्याख्या के लिए समझने में सबसे आसान है। अंश n वस्तुओं के एक सेट से, चयन के क्रम को बनाए रखते हुए, k विशिष्ट वस्तुओं के अनुक्रम का चयन करने के तरीकों की संख्या देता है। भाजक विशिष्ट अनुक्रमों की संख्या की गणना करता है जब आदेश की अवहेलना की जाती है तो उसी के-संयोजन को परिभाषित करता है। k और $n − k$ के संबंध में द्विपद गुणांक की समरूपता के कारण, k और $n − k$ के छोटे से ऊपर उत्पाद की ऊपरी सीमा निर्धारित करके गणना को अनुकूलित किया जा सकता है।

गुणनखंड सूत्र
अंत में, हालांकि कम्प्यूटेशल रूप से अनुपयुक्त, कॉम्पैक्ट फॉर्म है, जिसे अक्सर सबूत और व्युत्पत्तियों में उपयोग किया जाता है, जो परिचित फैक्टोरियल फ़ंक्शन का बार-बार उपयोग करता है:: $$ \binom nk = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} \quad \text{for }\ 0\leq k\leq n,$$जहां पर n! के भाज्य को दर्शाता है। यह सूत्र अंश और हर को $(n − k)!$ परिणामस्वरूप इसमें अंश और भाजक के लिए सामान्य कई कारक शामिल होते हैं। यह स्पष्ट संगणना के लिए कम व्यावहारिक है (उस स्थिति में जब k छोटा है और n बड़ा है) जब तक कि सामान्य कारकों को पहले रद्द नहीं किया जाता है (विशेष रूप से क्योंकि तथ्यात्मक मूल्य बहुत तेजी से बढ़ते हैं)। सूत्र एक समरूपता प्रदर्शित करता है जो गुणात्मक सूत्र से कम स्पष्ट है (हालांकि यह परिभाषाओं से है)

जो एक अधिक कुशल गुणात्मक कम्प्यूटेशनल रूटीन की ओर ले जाता है। गिरते क्रमगुणित अंकन का उपयोग करना,$$ \binom nk = \begin{cases} n^{\underline{k}}/k! & \text{if }\ k \le \frac{n}{2} \\ n^{\underline{n-k}}/(n-k)! & \text{if }\ k > \frac{n}{2} \end{cases}. $$

सामान्यीकरण और द्विपद श्रृंखला से संबंध
गुणात्मक सूत्र द्विपद गुणांक की परिभाषा को विस्तारित करने की अनुमति देता है n को एक मनमाना संख्या α (ऋणात्मक, वास्तविक, जटिल) या यहां तक ​​​​कि किसी भी कम्यूटेटिव रिंग के एक तत्व द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है जिसमें सभी सकारात्मक पूर्णांक व्युत्क्रमणीय होते हैं:$$\binom \alpha k = \frac{\alpha^{\underline k}}{k!} = \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1} \quad\text{for } k\in\N \text{ and arbitrary } \alpha. $$इस परिभाषा के साथ द्विपद सूत्र का सामान्यीकरण होता है (1 पर सेट चर में से एक के साथ), जो अभी भी $$\tbinom\alpha k$$ द्विपद गुणांकों को बुलाने को सही ठहराता है:

यह सूत्र सभी सम्मिश्र संख्याओं α और X के साथ |X| के लिए मान्य है <1। इसे एक्स में औपचारिक शक्ति श्रृंखला की पहचान के रूप में भी व्याख्या किया जा सकता है, जहां यह वास्तव में 1 के बराबर निरंतर गुणांक वाली शक्ति श्रृंखला की मनमानी शक्तियों की परिभाषा के रूप में काम कर सकता है; मुद्दा यह है कि इस परिभाषा के साथ सभी सर्वसमिकाएं, विशेष रूप से, घातांक के लिए अपेक्षा रखती हैं$$(1+X)^\alpha(1+X)^\beta=(1+X)^{\alpha+\beta} \quad\text{and}\quad ((1+X)^\alpha)^\beta=(1+X)^{\alpha\beta}.$$यदि α एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n है, तो $k &gt; n$ वाले सभी पद शून्य हैं, और अनंत श्रृंखला एक परिमित योग बन जाती है, जिससे द्विपद सूत्र को पुनः प्राप्त किया जा सकता है। हालांकि, α के अन्य मूल्यों के लिए, नकारात्मक पूर्णांक और परिमेय संख्याओं सहित, श्रृंखला वास्तव में अनंत है।

पास्कल का त्रिभुज


पास्कल का नियम महत्वपूर्ण पुनरावृत्ति संबंध है

जिसका उपयोग गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है कि $$ \tbinom n k$$ सभी पूर्णांक n ≥ 0 और सभी पूर्णांक k के लिए एक प्राकृत संख्या है, एक तथ्य जो सूत्र (1) से तुरंत स्पष्ट नहीं होता है। पास्कल के त्रिभुज के बाएँ और दाएँ, प्रविष्टियाँ (रिक्त स्थान के रूप में दिखाई गई) सभी शून्य हैं।

पास्कल का नियम भी पास्कल के त्रिभुज को जन्म देता है:
 * $$(x + y)^5 = \underline{1}x^5 + \underline{5}x^4y + \underline{10}x^3y^2 + \underline{10}x^2y^3 + \underline{5}xy^4 + \underline{1}y^5.$$

संयोजन और सांख्यिकी
कॉम्बिनेटरिक्स में द्विपद गुणांक महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि वे कुछ लगातार गिनती की समस्याओं के लिए तैयार सूत्र प्रदान करते हैं:
 * n तत्वों के एक सेट से k तत्वों को चुनने के लिए $$\tbinom n k$$ तरीके हैं। संयोजन देखें।
 * $$\tbinom {n+k-1}k$$ n तत्वों के एक सेट से k तत्वों को चुनने के तरीके हैं यदि दोहराव की अनुमति है। मल्टीसेट देखें।
 * $$ \tbinom {n+k} k$$ स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान) में k वाले और n शून्य हैं।
 * $$ \tbinom {n+1} k$$ स्ट्रिंग्स हैं जिनमें k वाले और n शून्य हैं जैसे कि कोई भी दो आसन्न नहीं हैं।
 * कैटलन संख्या हैं $$\tfrac{1}{n+1}\tbinom{2n}{n}.$$
 * सांख्यिकी में द्विपद वितरण  $$\tbinom n k p^k (1-p)^{n-k} .$$ है

द्विपद गुणांक बहुपद के रूप में
किसी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक k के लिए, व्यंजक $\binom{t}{k}$ द्वारा विभाजित बहुपद के रूप में सरल और परिभाषित किया जा सकता है $k = 0, …, n$:


 * $$\binom{t}{k} = \frac{t^\underline{k}}{k!} = \frac{t(t-1)(t-2)\cdots(t-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots2 \cdot 1};$$

यह परिमेय संख्या  गुणांक के साथ t में एक  बहुपद  प्रस्तुत करता है।

जैसे, इस तरह के पहले तर्कों के साथ द्विपद गुणांक को परिभाषित करने के लिए किसी भी वास्तविक या जटिल संख्या टी पर इसका मूल्यांकन किया जा सकता है।

ये "सामान्यीकृत द्विपद गुणांक" न्यूटन के सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय में दिखाई देते हैं।

प्रत्येक k के लिए, बहुपद $$\tbinom{t}{k}$$ अद्वितीय डिग्री k बहुपद के रूप में चित्रित किया जा सकता है $k!$ संतुष्टि देने वाला $p(t)$ तथा $p(0) = p(1) = ⋯ = p(k − 1) = 0$.

इसके गुणांक पहली तरह की स्टर्लिंग संख्या के रूप में अभिव्यक्त होते हैं:
 * $$\binom{t}{k} = \sum_{i=0}^k s(k,i)\frac{t^i}{k!}.$$

$$\tbinom{t}{k}$$ के डेरिवेटिव की गणना लघुगणक विभेदन द्वारा की जा सकती है:
 * $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \binom{t}{k} = \binom{t}{k} \sum_{i=0}^{k-1} \frac{1}{t-i}.$$

$$0$$ से $$t-1$$ तक पूर्णांकों पर मूल्यांकन करने पर यह समस्या पैदा कर सकता है, लेकिन नीचे दी गई पहचानों का उपयोग करके हम व्युत्पन्न की गणना कर सकते हैं:
 * $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \binom{t}{k} = \sum_{i=0}^{k-1} \frac{(-1)^{k-i-1}}{k-i} \binom{t}{i}.$$

बहुपद के स्थान के आधार के रूप में द्विपद गुणांक
विशेषता (बीजगणित) के किसी भी  क्षेत्र (गणित)  पर (अर्थात, कोई भी क्षेत्र जिसमें परिमेय संख्याएँ होती हैं), प्रत्येक बहुपद p(t) डिग्री का अधिकतम d एक रैखिक संयोजन के रूप में विशिष्ट रूप से अभिव्यक्त होता है $\sum_{k=0}^d a_k \binom{t}{k}$  द्विपद गुणांक के। गुणांक एk अनुक्रम p(0), p(1), ..., p(k) का परिमित अंतर है। स्पष्ट रूप से,

पूर्णांक-मूल्यवान बहुपद
प्रत्येक बहुपद $$\tbinom{t}{k}$$ पूर्णांक-मूल्यवान बहुपद  है: सभी पूर्णांक इनपुट $$t$$ पर इसका एक पूर्णांक मान होता है। (इसे साबित करने का एक तरीका पास्कल की पहचान का उपयोग करके के पर प्रेरण है।) इसलिए, द्विपद गुणांक बहुपदों का कोई पूर्णांक रैखिक संयोजन भी पूर्णांक-मूल्यवान होता है। इसके विपरीत, ($$) दर्शाता है कि कोई भी पूर्णांक-मान बहुपद इन द्विपद गुणांक बहुपदों का एक पूर्णांक रैखिक संयोजन है। अधिक आम तौर पर, विशेषता 0 फ़ील्ड K के किसी भी सबरिंग R के लिए, K[t] में एक बहुपद सभी पूर्णांकों में R में मान लेता है यदि और केवल यदि यह द्विपद गुणांक बहुपदों का R-रैखिक संयोजन है।

उदाहरण
पूर्णांक-मूल्यवान बहुपद $p(k) = 1$ को फिर से लिखा जा सकता है
 * $$9\binom{t}{2} + 6 \binom{t}{1} + 0\binom{t}{0}.$$

द्विपद गुणांक वाली सर्वसमिकाएँ
भाज्य सूत्र निकटवर्ती द्विपद गुणांकों को संबंधित करने की सुविधा प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, यदि k एक सकारात्मक पूर्णांक है और n मनमाना है, तो

और, थोड़ा और काम करके,
 * $$\binom {n-1}{k} - \binom{n-1}{k-1} = \frac{n-2k}{n} \binom{n}{k}.$$

हम भी प्राप्त कर सकते हैं
 * $$\binom {n-1}{k} = \frac{n-k}{n} \binom {n}{k}.$$

इसके अलावा, निम्नलिखित उपयोगी हो सकते हैं:
 * $$\binom{n}{h}\binom{n-h}{k}=\binom{n}{k}\binom{n-k}{h}=\binom{n}{h+k}\binom{h+k}{h}.$$

निरंतर n के लिए, हमें निम्नलिखित पुनरावृत्ति मिलती है:
 * $$ \binom{n}{k} = \frac{n-k+1}{k} \binom{n}{k-1}.$$

संक्षेप में, हमारे पास है
 * $$\binom {n}{k} = \binom n{n-k} = \frac{n-k+1}{k} \binom {n}{k-1} = \frac{n}{n-k} \binom {n-1}{k} = \frac{n}{k} \binom {n-1}{k-1} = \frac{n}{n-2k} \Bigg(\binom {n-1}{k} - \binom{n-1}{k-1}\Bigg) = \binom{n-1}k + \binom{n-1}{k-1}.$$

द्विपद गुणांकों का योग
सूत्र

यह सूत्र कहता है कि पास्कल के त्रिभुज की nवीं पंक्ति में तत्व हमेशा nवें घात में 2 तक जुड़ते हैं। यह x = 1 और y = 1 सेट करके द्विपद प्रमेय (∗) से प्राप्त किया जाता है। सूत्र की एक प्राकृतिक दहनशील व्याख्या भी है: बाईं ओर आकार k = 0, 1, ..., n के {1, ..., n} के उपसमुच्चयों की संख्या का योग है, जिससे उपसमुच्चयों की कुल संख्या मिलती है। (यानी, बाईं ओर {1, ..., n} के पावर सेट की गणना करता है।) हालाँकि, ये उपसमुच्चय प्रत्येक तत्व 1, ..., n; n स्वतंत्र बाइनरी विकल्प (बिट-स्ट्रिंग्स) कुल {\displaystyle 2^{n}}2^{n} विकल्पों की अनुमति देते हैं। उपसमुच्चयों के समान संग्रह को गिनने के लिए बाएँ और दाएँ पक्ष दो तरीके हैं, इसलिए वे समान हैं।

सूत्र

तथा
 * $$\sum_{k=0}^n k^2 \binom n k = (n + n^2)2^{n-2}$$

$$ के संबंध में अवकलन (बाद वाले के लिए दो बार) और फिर $3t(3t + 1) / 2$ को प्रतिस्थापित करने के बाद द्विपद प्रमेय से अनुसरण करें।

चू-वंडरमोंड की पहचान की गई, जो किसी भी जटिल मान m और n और किसी भी गैर-नकारात्मक पूर्णांक k के लिए है

और $x = y = 1$ के विस्तार में $$x^k$$ के गुणांक की जांच करके पाया जा सकता है समीकरण ($$)। जब m = 1, समीकरण ($$) समीकरण ($n$) में बदल जाता है। विशेष मामले में $(1 + x)^{m}(1 + x)^{n−m} = (1 + x)^{n}$ का उपयोग करके, विस्तार ($$) हो जाता है (जैसा कि पास्कल के त्रिकोण में दाईं ओर देखा गया है)

जहां दाईं ओर का पद एक केंद्रीय द्विपद गुणांक है।

चू-वंडरमोंड पहचान का दूसरा रूप, जो 0 ≤ j ≤ k ≤ n को संतुष्ट करने वाले किसी पूर्णांक j, k, और n के लिए लागू होता है, यहाँ प्रमाण समान है, लेकिन ऋणात्मक पूर्णांक घातांक के साथ द्विपद श्रृंखला विस्तार ($$) का उपयोग करता है। जब $n = 2m, k = m$, समीकरण ($$) हॉकी-स्टिक की पहचान देता है
 * $$\sum_{m=k}^n \binom m k = \binom {n+1}{k+1}$$

और इससे जुड़े हुए
 * $$\sum_{r=0}^m \binom {n+r} r = \binom {n+m+1}{m}.$$

मान लीजिए कि F(n) n-वें फाइबोनैचि संख्या  को दर्शाता है। फिर
 * $$ \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom {n-k} k = F(n+1).$$

यह ($$) का उपयोग करके या ज़ेकेनडॉर्फ के प्रतिनिधित्व द्वारा प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है। एक संयोजन प्रमाण नीचे दिया गया है।

राशियों का बहुविकल्पी
पूर्णांक एस और टी के लिए ऐसा है कि $$0\leq t < s,$$ श्रृंखला बहुविभाग द्विपद गुणांकों के योग के लिए निम्नलिखित पहचान देता है:
 * $$\binom{n}{t}+\binom{n}{t+s}+\binom{n}{t+2s}+\ldots=\frac{1}{s}\sum_{j=0}^{s-1}\left(2\cos\frac{\pi j}{s}\right)^n\cos\frac{\pi(n-2t)j}{s}.$$

छोटे $$ के लिए, इन श्रृंखलाओं के विशेष रूप से अच्छे रूप हैं; उदाहरण के लिए,
 * $$ \binom{n}{0} + \binom{n}{3}+\binom{n}{6}+\cdots = \frac{1}{3}\left(2^n +2 \cos\frac{n\pi}{3}\right) $$
 * $$ \binom{n}{1} + \binom{n}{4}+\binom{n}{7}+\cdots = \frac{1}{3}\left(2^n +2 \cos\frac{(n-2)\pi}{3}\right) $$
 * $$ \binom{n}{2} + \binom{n}{5}+\binom{n}{8}+\cdots = \frac{1}{3}\left(2^n +2 \cos\frac{(n-4)\pi}{3}\right) $$
 * $$ \binom{n}{0} + \binom{n}{4}+\binom{n}{8}+\cdots = \frac{1}{2}\left(2^{n-1} +2^{\frac{n}{2}} \cos\frac{n\pi}{4}\right) $$
 * $$ \binom{n}{1} + \binom{n}{5}+\binom{n}{9}+\cdots = \frac{1}{2}\left(2^{n-1} +2^{\frac{n}{2}} \sin\frac{n\pi}{4}\right) $$
 * $$ \binom{n}{2} + \binom{n}{6}+\binom{n}{10}+\cdots = \frac{1}{2}\left(2^{n-1} -2^{\frac{n}{2}} \cos\frac{n\pi}{4}\right) $$
 * $$ \binom{n}{3} + \binom{n}{7}+\binom{n}{11}+\cdots = \frac{1}{2}\left(2^{n-1} -2^{\frac{n}{2}} \sin\frac{n\pi}{4}\right) $$

आंशिक योग
यद्यपि आंशिक योगों के लिए कोई बंद सूत्र  नहीं है


 * $$ \sum_{j=0}^k \binom n j$$

द्विपद गुणांकों की, कोई फिर से ($x$) और प्रेरण का उपयोग कर सकता है यह दिखाने के लिए कि $m = 3$
 * $$ \sum_{j=0}^k (-1)^j\binom{n}{j} = (-1)^k\binom {n-1}{k},$$

विशेष मामले के साथ
 * $$\sum_{j=0}^n (-1)^j\binom n j = 0$$

n > 0 के लिए। यह बाद वाला परिणाम भी परिमित अंतर के सिद्धांत से परिणाम का एक विशेष मामला है कि n से कम डिग्री के किसी भी बहुपद P(x) के लिए,
 * $$ \sum_{j=0}^n (-1)^j\binom n j P(j) = 0.$$

विभेदक ($$) k बार और सेटिंग x = −1 इसके लिए देता है $$P(x)=x(x-1)\cdots(x-k+1)$$, जब 0 k < n, और सामान्य स्थिति इनके रैखिक संयोजनों को लेकर अनुसरण करती है।

जब P(x) n से कम या उसके बराबर डिग्री का है,

कहाँ पे $$a_n$$ P(x) में डिग्री n का गुणांक है।

अधिक सामान्यतः के लिए ($$),
 * $$ \sum_{j=0}^n (-1)^j\binom n j P(m+(n-j)d) = d^n n! a_n$$

जहाँ m और d सम्मिश्र संख्याएँ हैं। यह तुरंत आवेदन करने के बाद ($$) बहुपद के लिए $$ के बजाय $$, और यह देखते हुए कि $$ की अभी भी डिग्री n से कम या उसके बराबर है, और यह कि डिग्री n का गुणांक dnan है।

श्रृंखला (गणित) $\frac{k-1}{k} \sum_{j=0}^\infty \frac 1 {\binom {j+x} k}= \frac 1 {\binom{x-1}{k-1}}$  k ≥ 2 के लिए अभिसरण है। इस सूत्र का उपयोग  जर्मन टैंक समस्या  के विश्लेषण में किया जाता है। यह इस प्रकार है $\frac{k-1}k\sum_{j=0}^{M}\frac 1 {\binom{j+x} k}=\frac 1{\binom{x-1}{k-1}}-\frac 1{\binom{M+x}{k-1}}$  जो एम पर प्रेरण द्वारा सिद्ध होता है।

मिश्रित सबूत के साथ पहचान
द्विपद गुणांकों वाली अनेक सर्वसमिकाओं को संयोजी विधियों द्वारा सिद्ध किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के लिए $${n} \geq {q}$$, पहचान


 * $$\sum_{k=q}^n \binom{n}{k} \binom{k}{q} = 2^{n-q}\binom{n}{q}$$

(जो कम हो जाता है ($$) जब q = 1) को दोहरी गणना (प्रूफ तकनीक) निम्न प्रकार से दी जा सकती है। बाईं ओर कम से कम q तत्वों के साथ [n] = {1, 2, ..., n} के उपसमुच्चय का चयन करने और चयनित तत्वों में q तत्वों को चिह्नित करने के तरीकों की संख्या की गणना करता है। दाहिना पक्ष एक ही चीज़ को गिनता है, क्योंकि वहाँ हैं $$\tbinom n q$$ चिह्नित करने के लिए q तत्वों का एक सेट चुनने के तरीके, और $$2^{n-q}$$ यह चुनने के लिए कि [n] के शेष तत्वों में से कौन सा सबसेट से संबंधित है।

पास्कल की पहचान में
 * $${n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k},$$

दोनों पक्ष [n] के k-तत्व उपसमुच्चय की संख्या की गणना करते हैं: दाईं ओर के दो पद उन्हें उन तत्वों में समूहित करते हैं जिनमें तत्व n होता है और जो नहीं होते हैं।

पहचान ($$) का एक संयोजन प्रमाण भी है। पहचान पढ़ता है


 * $$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n}.$$

मान लीजिए आपके पास है $$2n$$ एक पंक्ति में व्यवस्थित खाली वर्ग और आप उनमें से n को चिह्नित (चयन) करना चाहते हैं। वहाँ हैं $$\tbinom {2n}n$$ ऐसा करने के तरीके। दूसरी ओर, आप पहले n और. में से k वर्ग चुनकर अपने n वर्ग चुन सकते हैं $$n-k$$ शेष n वर्गों से वर्ग; 0 से n तक कोई भी k काम करेगा। यह देता है
 * $$\sum_{k=0}^n\binom n k\binom n{n-k} = \binom {2n} n.$$

अब आवेदन करें ($$) परिणाम प्राप्त करने के लिए।

यदि कोई दर्शाता है $j = k$ फाइबोनैचि संख्याओं का क्रम, अनुक्रमित ताकि $k = 0, …, n − 1$, फिर पहचान $$\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} \binom {n-k} k = F(n)$$निम्नलिखित संयोजन प्रमाण है। इंडक्शन द्वारा दिखाया जा सकता है कि $F(i)$ उन तरीकों की संख्या की गणना करता है जिनमें $F(0) = F(1) = 1$ वर्गों की पट्टी को $F(n)$ और $n × 1$ टाइलों द्वारा कवर किया जा सकता है। दूसरी ओर, यदि ऐसी टाइलिंग $2 × 1$ टाइलों में से ठीक $$ का उपयोग करती है, तो यह $1 × 1$ टाइलों में से $2 × 1$ का उपयोग करता है, और इसलिए कुल $1 × 1$ टाइलों का उपयोग करता है। इन टाइलों को ऑर्डर करने के $$\tbinom{n-k}{k}$$ तरीके हैं, और इसलिए इस गुणांक को $$ के सभी संभावित मानों पर योग करने से सर्वसमिका प्राप्त होती है।

गुणांकों का योग पंक्ति
k-संयोजन की संख्या# सभी k के लिए k-संयोजनों की संख्या k, $\sum_{0\leq{k}\leq{n}}\binom nk = 2^n$, द्विपद गुणांकों की nवीं पंक्ति (0 से गिनती) का योग है। इन संयोजनों की गणना आधार 2 संख्याओं के सेट के 1 अंकों द्वारा की जाती है, जिनकी गणना 0 से होती है $$2^n - 1$$, जहां प्रत्येक अंक की स्थिति n के सेट से एक आइटम है।

डिक्सन की पहचान
डिक्सन की पहचान है


 * $$\sum_{k=-a}^{a}(-1)^{k}{2a\choose k+a}^3 =\frac{(3a)!}{(a!)^3}$$

या, अधिक आम तौर पर,


 * $$\sum_{k=-a}^a(-1)^k{a+b\choose a+k} {b+c\choose b+k}{c+a\choose c+k} = \frac{(a+b+c)!}{a!\,b!\,c!}\,,$$

जहाँ a, b और c गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं।

सतत पहचान
कुछ त्रिकोणमितीय समाकलों के मान द्विपद गुणांकों के रूप में व्यक्त किए जा सकते हैं: किसी के लिए $$m, n \in \N,$$
 * $$\int_{-\pi}^{\pi} \cos((2m-n)x)\cos^n(x)\ dx = \frac{\pi}{2^{n-1}} \binom{n}{m}$$

\int_{-\pi}^{\pi} \sin((2m-n)x)\sin^n(x)\ dx = \begin{cases} (-1)^{m+(n+1)/2} \frac{\pi}{2^{n-1}} \binom{n}{m}, & n \text{ odd} \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$

\int_{-\pi}^{\pi} \cos((2m-n)x)\sin^n(x)\ dx = \begin{cases} (-1)^{m+(n/2)} \frac{\pi}{2^{n-1}} \binom{n}{m}, & n \text{ even} \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$ त्रिकोणमितीय कार्यों को जटिल घातांक में बदलने के लिए, द्विपद प्रमेय का उपयोग करके विस्तार करने और शब्द द्वारा शब्द को एकीकृत करने के लिए यूलर के सूत्र का उपयोग करके इन्हें सिद्ध किया जा सकता है।

सर्वांगसमताएं
यदि n प्रधान है, तो $$\binom {n-1}k \equiv (-1)^k \mod n$$ हर कश्मीर के साथ $$0\leq k \leq n-1.$$ अधिक आम तौर पर, यह सत्य रहता है यदि n कोई संख्या है और k ऐसा है कि 1 और k के बीच की सभी संख्याएँ n के सहअभाज्य हैं।

वाकई, हमारे पास है

\binom {n-1} k = {(n-1)(n-2)\cdots(n-k)\over 1\cdot 2\cdots k} = \prod_{i=1}^{k}{n-i\over i}\equiv \prod_{i=1}^{k}{-i\over i} = (-1)^k \mod n. $$

साधारण उत्पादन कार्य
एक निश्चित के लिए $n − 2k$, अनुक्रम का सामान्य जनरेटिंग फ़ंक्शन $$\tbinom n0,\tbinom n1,\tbinom n2,\ldots$$ है
 * $$\sum_{k=0}^\infty {n\choose k} x^k = (1+x)^n.$$

एक निश्चित के लिए $n − k$, अनुक्रम का सामान्य जनरेटिंग फ़ंक्शन $$\tbinom 0k,\tbinom 1k, \tbinom 2k,\ldots,$$ है
 * $$\sum_{n=0}^\infty {n\choose k} y^n = \frac{y^k}{(1-y)^{k+1}}.$$

द्विपद गुणांकों का द्विचर जनक फलन है
 * $$\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n {n\choose k} x^k y^n = \frac{1}{1-y-xy}.$$

द्विपद गुणांकों का एक सममित द्विभाजित जनक फलन है
 * $$\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^\infty {n+k\choose k} x^k y^n = \frac{1}{1-x-y}.$$

जो प्रतिस्थापन के बाद पिछले जनरेटिंग फ़ंक्शन के समान है $$x\to xy$$.

घातीय जनरेटिंग फ़ंक्शन
द्विपद गुणांकों का एक सममित घातांक उत्पन्न करने वाला फलन है:
 * $$\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^\infty {n+k\choose k} \frac{x^k y^n}{(n+k)!} = e^{x+y}.$$

विभाज्यता गुण
1852 में, गंभीर दुख  ने साबित किया कि यदि एम और एन गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं और पी एक प्रमुख संख्या है, तो पी विभाजन की सबसे बड़ी शक्ति $$\tbinom{m+n}{m}$$ पी के बराबरc, जहाँ c वह संख्या है जब m और n को आधार p में जोड़ा जाता है। समान रूप से, प्राइम पी के एक्सपोनेंट में $$\tbinom n k$$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक j की संख्या के बराबर है जैसे कि k/p का भिन्नात्मक भागj n/p. के भिन्नात्मक भाग से बड़ा हैजे. इसका अंदाजा इसी से लगाया जा सकता है कि $$\tbinom n k$$ n/महानतम सामान्य विभाजक (n,k) से विभाज्य है। विशेष रूप से इसलिए यह अनुसरण करता है कि p विभाजित करता है $$\tbinom{p^r}{s}$$ सभी सकारात्मक पूर्णांक r और s के लिए जैसे कि $n$. हालाँकि यह p की उच्च शक्तियों के लिए सही नहीं है: उदाहरण के लिए 9 विभाजित नहीं करता है $$\tbinom{9}{6}$$.

डेविड सिंगमास्टर (1974) द्वारा कुछ हद तक आश्चर्यजनक परिणाम यह है कि कोई भी पूर्णांक  लगभग सभी  द्विपद गुणांकों को विभाजित करता है। अधिक सटीक रूप से, एक पूर्णांक d को ठीक करें और मान लें कि f(N) द्विपद गुणांकों की संख्या को दर्शाता है $$\tbinom n k$$ n <N के साथ जैसे कि d विभाजित होता है $$\tbinom n k$$. फिर
 * $$ \lim_{N\to\infty} \frac{f(N)}{N(N+1)/2} = 1. $$

द्विपद गुणांकों की संख्या के बाद से $$\tbinom n k$$ n <N के साथ N(N + 1) / 2 है, इसका तात्पर्य है कि d से विभाज्य द्विपद गुणांक का घनत्व 1 हो जाता है।

द्विपद गुणांकों में क्रमागत पूर्णांकों के लघुत्तम सामान्य गुणजों से संबंधित विभाज्यता गुण होते हैं। उदाहरण के लिए:

$$\binom{n+k}k$$ विभाजित $$\frac{\operatorname{lcm}(n,n+1,\ldots,n+k)}n$$.

$$\binom{n+k}k$$ का गुणज है $$\frac{\operatorname{lcm}(n,n+1,\ldots,n+k)}{n\cdot \operatorname{lcm}(\binom{k}0,\binom{k}1,\ldots,\binom{k}k)}$$.

एक और तथ्य: पूर्णांक $k$ प्रधान है अगर और केवल अगर सभी मध्यवर्ती द्विपद गुणांक
 * $$ \binom n 1, \binom n 2, \ldots, \binom n{n-1} $$

n से विभाज्य हैं।

सबूत: जब p अभाज्य होता है, p विभाजित होता है
 * $$ \binom p k = \frac{p \cdot (p-1) \cdots (p-k+1)}{k \cdot (k-1) \cdots 1} $$ सभी के लिए $s < p^{r}$

इसलिये $$\tbinom p k$$ एक प्राकृतिक संख्या है और p अंश को विभाजित करता है लेकिन हर को नहीं। जब n संमिश्र है, तो p को n का सबसे छोटा अभाज्य गुणक होने दें और दें $n ≥ 2$. फिर $0 < k < p$ तथा
 * $$ \binom n p = \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-p+1)}{p!}=\frac{k(n-1)(n-2)\cdots(n-p+1)}{(p-1)!}\not\equiv 0 \pmod{n}$$

अन्यथा अंश $k = n/p$ से विभाज्य होना चाहिए $0 < p < n$, यह तभी हो सकता है जब $k(n − 1)(n − 2)⋯(n − p + 1)$ p से विभाज्य है। लेकिन n, p से विभाज्य है, इसलिए p विभाजित नहीं होता है $n = k×p$ और क्योंकि p अभाज्य है, हम जानते हैं कि p विभाजित नहीं होता है $(n − 1)(n − 2)⋯(n − p + 1)$ और इसलिए अंश n से विभाज्य नहीं हो सकता।

सीमा और स्पर्शोन्मुख सूत्र
निम्नलिखित सीमाएँ: $$\tbinom n k$$ n और k के सभी मानों के लिए ऐसे रखें $n − 1, n − 2, …, n − p + 1$: $$\frac{n^k}{k^k} \le {n \choose k} \le \frac{n^k}{k!} < \left(\frac{n\cdot e}{k}\right)^k.$$ पहली असमानता इस तथ्य से आती है कि $$ {n \choose k} = \frac{n}{k} \cdot \frac{n-1}{k-1} \cdots \frac{n-(k-1)}{1} $$ और इनमें से प्रत्येक $$k $$ इस उत्पाद में शर्तें हैं $ \geq \frac{n}{k} $. दूसरी असमानता दिखाने के लिए इसी तरह का तर्क दिया जा सकता है। अंतिम सख्त असमानता के बराबर है $e^k > k^k / k!$, यह स्पष्ट है क्योंकि RHS चरघातांकी श्रेणी का पद है $ e^k = \sum_{j=0}^\infty k^j/j! $.

विभाज्यता गुणों से हम यह अनुमान लगा सकते हैं $$\frac{\operatorname{lcm}(n-k, \ldots, n)}{(n-k) \cdot \operatorname{lcm}\left(\binom{k}{0}, \ldots, \binom{k}{k}\right)}\leq\binom{n}{k} \leq \frac{\operatorname{lcm}(n-k, \ldots, n)}{n - k},$$ जहां दोनों समानताएं हासिल की जा सकती हैं।

सूचना सिद्धांत में निम्नलिखित सीमाएँ उपयोगी हैं: $$ \frac{1}{n+1} 2^{nH(k/n)} \leq {n \choose k} \leq 2^{nH(k/n)} $$ कहाँ पे $$H(p) = -p\log_2(p) -(1-p)\log_2(1-p)$$ बाइनरी एन्ट्रापी फ़ंक्शन  है। इसे और कड़ा किया जा सकता है $$ \sqrt{\frac{n}{8k(n-k)}} 2^{nH(k/n)} \leq {n \choose k} \leq \sqrt{\frac{n}{\pi k(n-k)}} 2^{nH(k/n)}$$ सभी के लिए $$1 \leq k \leq n-1$$.

दोनों $s$ तथा $$ बड़ा
स्टर्लिंग के सन्निकटन से निम्नलिखित सन्निकटन प्राप्त होता है, जब मान्य होता है: $$n,k$$ दोनों अनंत की ओर प्रवृत्त होते हैं: $${n \choose k} \sim \sqrt{n\over 2\pi k (n-k)} \cdot {n^n \over k^k (n-k)^{n-k}} $$ क्योंकि स्टर्लिंग के फार्मूले के असमानता रूपों ने फैक्टोरियल्स को भी बाध्य किया है, उपरोक्त स्पर्शोन्मुख सन्निकटन पर मामूली भिन्नताएं सटीक सीमाएं देती हैं। विशेष रूप से, कब $$n$$ पर्याप्त रूप से बड़ा है, एक है $$ {2n \choose n} \sim \frac{2^{2n}}{\sqrt{n\pi }}$$ तथा $$\sqrt{n}{2n \choose n} \ge 2^{2n-1}$$ और, अधिक आम तौर पर, के लिए $(n − 1)(n − 2)⋯(n − p + 1)$ तथा $1 ≤ k ≤ n$, $$\sqrt{n}{mn \choose n} \ge \frac{m^{m(n-1)+1}}{(m-1)^{(m-1)(n-1)}}.$$ यदि n बड़ा है और k n में रैखिक है, तो द्विपद गुणांक के लिए विभिन्न सटीक स्पर्शोन्मुख अनुमान मौजूद हैं $ \binom{n}{k}$. उदाहरण के लिए, यदि $$| n/2 - k | = o(n^{2/3})$$ फिर $$ \binom{n}{k} \sim \binom{n}{\frac{n}{2}} e^{-d^2/(2n)} \sim \frac{2^n}{\sqrt{\frac{1}{2}n \pi }} e^{-d^2/(2n)}$$ जहाँ d = n - 2k।

$$ से बहुत बड़ा $$
यदि $$ बड़ा है और $$ है $m ≥ 2$ (यानी, अगर $n ≥ 1$), फिर

कहाँ फिर से $Q(x):=P(m + dx)$ छोटा ओ संकेतन है।

द्विपद गुणांकों का योग
द्विपद प्रमेय का उपयोग करके द्विपद गुणांकों के योग के लिए एक सरल और अपरिष्कृत ऊपरी सीमा प्राप्त की जा सकती है: $$\sum_{i=0}^k {n \choose i} \leq \sum_{i=0}^k n^i\cdot 1^{k-i} \leq (1+n)^k$$ द्वारा अधिक सटीक सीमाएँ दी गई हैं $$\frac{1}{\sqrt{8n\varepsilon(1-\varepsilon)}} \cdot 2^{H(\varepsilon) \cdot n} \leq \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} \leq 2^{H(\varepsilon) \cdot n},$$ सभी पूर्णांकों के लिए मान्य $$n > k \geq 1$$ साथ $$\varepsilon \doteq k/n \leq 1/2$$.

सामान्यीकृत द्विपद गुणांक
अनंत गुणनफल के रूप में गामा फलन#यूलर की परिभाषा भी द्विपद गुणांकों के लिए एक व्यंजक देती है $$(-1)^k {z \choose k}= {-z+k-1 \choose k} = \frac{1}{\Gamma(-z)} \frac{1}{(k+1)^{z+1}} \prod_{j=k+1} \frac{\left(1+\frac{1}{j}\right)^{-z-1}}{1-\frac{z+1}{j}}$$ जो असिम्प्टोटिक सूत्र उत्पन्न करता है $${z \choose k} \approx \frac{(-1)^k}{\Gamma(-z) k^{z+1}} \qquad \text{and} \qquad {z+k \choose k} = \frac{k^z}{\Gamma(z+1)}\left( 1+\frac{z(z+1)}{2k}+\mathcal{O}\left(k^{-2}\right)\right)$$ जैसा $$k \to \infty$$.

यह स्पर्शोन्मुख व्यवहार सन्निकटन में निहित है $${z+k \choose k}\approx \frac{e^{z(H_k-\gamma)}}{\Gamma(z+1)}$$ भी। (यहां $$H_k$$ के-वें हार्मोनिक संख्या  है और $$\gamma$$ यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक है।)

इसके अलावा, स्पर्शोन्मुख सूत्र $$\frac\to \left(1-\frac{j}{k}\right)^{-z}\quad\text{and}\quad \frac\to \left(\frac{j}{k}\right)^z$$ सच मानो, जब भी $$k\to\infty$$ तथा $$j/k \to x$$ कुछ जटिल संख्या के लिए $$x$$.

बहुपदों का सामान्यीकरण
द्विपद गुणांक को संख्या के रूप में परिभाषित बहुपद गुणांक के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है:
 * $${n\choose k_1,k_2,\ldots,k_r} =\frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_r!}$$

कहाँ पे
 * $$\sum_{i=1}^rk_i=n.$$

जबकि द्विपद गुणांक (x+y) के गुणांकों का प्रतिनिधित्व करते हैंn, बहुपद गुणांक बहुपद के गुणांकों का प्रतिनिधित्व करते हैं
 * $$(x_1 + x_2 + \cdots + x_r)^n.$$

मामला r = 2 द्विपद गुणांक देता है:
 * $${n\choose k_1,k_2}={n\choose k_1, n-k_1}={n\choose k_1}= {n\choose k_2}.$$

बहुराष्ट्रीय गुणांकों की संयुक्त व्याख्या r (अलग-अलग) कंटेनरों पर n अलग-अलग तत्वों का वितरण है, प्रत्येक में बिल्कुल k होता हैiतत्व, जहां मैं कंटेनर की अनुक्रमणिका है।

बहुपद गुणांकों में द्विपद गुणांकों के समान कई गुण होते हैं, उदाहरण के लिए पुनरावृत्ति संबंध:
 * $${n\choose k_1,k_2,\ldots,k_r} ={n-1\choose k_1-1,k_2,\ldots,k_r}+{n-1\choose k_1,k_2-1,\ldots,k_r}+\ldots+{n-1\choose k_1,k_2,\ldots,k_r-1}$$

और समरूपता:
 * $${n\choose k_1,k_2,\ldots,k_r} ={n\choose k_{\sigma_1},k_{\sigma_2},\ldots,k_{\sigma_r}}$$

कहाँ पे $$(\sigma_i)$$ (1, 2, ..., r) का क्रमचय है।

टेलर श्रृंखला
किसी भी मनमाने ढंग से चुने गए बिंदु के आसपास टेलर श्रृंखला की पहली तरह की स्टर्लिंग संख्याओं का उपयोग करना $$z_0$$ है
 * $$\begin{align} {z \choose k} = \frac{1}{k!}\sum_{i=0}^k z^i s_{k,i}&=\sum_{i=0}^k (z- z_0)^i \sum_{j=i}^k {z_0 \choose j-i} \frac{s_{k+i-j,i}}{(k+i-j)!} \\ &=\sum_{i=0}^k (z-z_0)^i \sum_{j=i}^k z_0^{j-i} {j \choose i} \frac{s_{k,j}}{k!}.\end{align}$$

साथ द्विपद गुणांक $o(n)$
द्विपद गुणांक की परिभाषा को उस मामले तक बढ़ाया जा सकता है जहां $$n$$ वास्तविक है और $$k$$ पूर्णांक है।

विशेष रूप से, निम्नलिखित सर्वसमिका किसी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए लागू होती है $$k$$:
 * $${{1/2}\choose{k}}={{2k}\choose{k}}\frac{(-1)^{k+1}}{2^{2k}(2k-1)}.$$

यह विस्तार करते समय दिखाई देता है $$\sqrt{1+x}$$ न्यूटन द्विपद श्रृंखला का उपयोग करके एक शक्ति श्रृंखला में:
 * $$\sqrt{1+x}=\sum_{k\geq 0}{\binom{1/2}{k}}x^k.$$

द्विपद गुणांकों के गुणनफल
दो द्विपद गुणांकों के गुणनफल को द्विपद गुणांकों के रैखिक संयोजन के रूप में अभिव्यक्त किया जा सकता है:


 * $${z \choose m} {z\choose n} = \sum_{k=0}^m {m + n - k \choose k, m - k, n - k} {z \choose m + n - k},$$

जहाँ संबंध गुणांक बहुपद प्रमेय  हैं। लेबल किए गए कॉम्बिनेटरियल ऑब्जेक्ट्स के संदर्भ में, कनेक्शन गुणांक असाइन करने के तरीकों की संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं $k/n → 0$ लेबल किए गए कॉम्बीनेटरियल ऑब्जेक्ट्स की एक जोड़ी के लिए लेबल - क्रमशः वजन एम और एन - जिनके पहले के लेबल की पहचान की गई है, या वजन के एक नए लेबल वाले कॉम्बीनेटरियल ऑब्जेक्ट को प्राप्त करने के लिए एक साथ चिपकाया गया है $n = 1/2$. (अर्थात, लेबल को तीन भागों में अलग करने के लिए चिपकाए गए भाग पर लागू करने के लिए, पहली वस्तु का अनलग्ड भाग, और दूसरी वस्तु का अनलग्ड भाग।) इस संबंध में, द्विपद गुणांक घातीय जनरेटिंग श्रृंखला के लिए हैं जो घटते हुए फैक्टोरियल हैं। साधारण उत्पादन श्रृंखला के लिए हैं।

पास्कल त्रिभुज की nवीं पंक्ति में सभी द्विपद गुणांकों का गुणनफल सूत्र द्वारा दिया जाता है:


 * $$\prod_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=\prod_{k=1}^{n}k^{2k-n-1}.$$

आंशिक अंश अपघटन
व्युत्क्रम का आंशिक अंश अपघटन द्वारा दिया जाता है
 * $$\frac{1}= \sum_{i=0}^{n-1} (-1)^{n-1-i} {n \choose i} \frac{n-i}{z-i},

\qquad \frac{1}= \sum_{i=1}^n (-1)^{i-1} {n \choose i} \frac{i}{z+i}.$$

न्यूटन की द्विपद श्रृंखला
सर आइजैक न्यूटन के नाम पर न्यूटन की द्विपद श्रृंखला, अनंत श्रृंखला के लिए द्विपद प्रमेय का एक सामान्यीकरण है:


 * $$ (1+z)^{\alpha} = \sum_{n=0}^{\infty}{\alpha\choose n}z^n = 1+{\alpha\choose1}z+{\alpha\choose 2}z^2+\cdots.$$

पहचान यह दिखा कर प्राप्त की जा सकती है कि दोनों पक्ष अवकल समीकरण को संतुष्ट करते हैं $m + n − k$.

इस श्रृंखला की अभिसरण की त्रिज्या  1 है। एक वैकल्पिक अभिव्यक्ति है


 * $$\frac{1}{(1-z)^{\alpha+1}} = \sum_{n=0}^{\infty}{n+\alpha \choose n}z^n$$

जहां पहचान


 * $${n \choose k} = (-1)^k {k-n-1 \choose k}$$

लागू की गई है।

बहुसेट (बढ़ती) द्विपद गुणांक
द्विपद गुणांक किसी दिए गए सेट से निर्धारित आकार के सबसेट की गणना करते हैं। एक संबंधित संयोजी समस्या निर्धारित आकार के मल्टीसेट को किसी दिए गए सेट से निकाले गए तत्वों के साथ गिनना है, अर्थात, एक ही तत्व को बार-बार चुनने की संभावना के साथ दिए गए सेट से तत्वों की एक निश्चित संख्या का चयन करने के तरीकों की संख्या की गणना करना। परिणामी संख्याओं को मल्टीसेट#काउंटिंग मल्टीसेट कहा जाता है; एक n तत्व सेट से k आइटम को बहुचयन करने के तरीकों की संख्या (यानी, प्रतिस्थापन के साथ चुनें) को दर्शाया गया है $\left(\!\!\binom n k\!\!\right)$. इस लेख में n मुख्य अर्थ के साथ अस्पष्टता और भ्रम से बचने के लिए, जाने दें $m + n − k$ तथा $(1 + z) f'(z) = α f(z)$.

बहुसेट गुणांक को नियम द्वारा द्विपद गुणांक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$\binom{f}{k}=\left(\!\!\binom{r}{k}\!\!\right)=\binom{r+k-1}{k}.$$ इस पहचान का एक संभावित वैकल्पिक लक्षण वर्णन इस प्रकार है: हम गिरने वाले भाज्य को परिभाषित कर सकते हैं $$(f)_{k}=f^{\underline k}=(f-k+1)\cdots(f-3)\cdot(f-2)\cdot(f-1)\cdot f,$$ और इसी बढ़ती भाज्य के रूप में $$r^{(k)}=\,r^{\overline k}=\,r\cdot(r+1)\cdot(r+2)\cdot(r+3)\cdots(r+k-1);$$ तो, उदाहरण के लिए, $$17\cdot18\cdot19\cdot20\cdot21=(21)_{5}=21^{\underline 5}=17^{\overline 5}=17^{(5)}.$$ फिर द्विपद गुणांक के रूप में लिखा जा सकता है $$\binom{f}{k} = \frac{(f)_{k}}{k!} =\frac{(f-k+1)\cdots(f-2)\cdot(f-1)\cdot f}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdots k} ,$$ जबकि संबंधित मल्टीसेट गुणांक को बढ़ते हुए फैक्टोरियल के साथ गिरने से बदलकर परिभाषित किया गया है: $$\left(\!\!\binom{r}{k}\!\!\right)=\frac{r^{(k)}}{k!}=\frac{r\cdot(r+1)\cdot(r+2)\cdots(r+k-1)}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdots k}.$$

ऋणात्मक पूर्णांक n
का सामान्यीकरण

किसी भी एन के लिए,


 * $$\begin{align}\binom{-n}{k} &= \frac{-n\cdot-(n+1)\dots-(n+k-2)\cdot-(n+k-1)}{k!}\\

&=(-1)^k\;\frac{n\cdot(n+1)\cdot(n+2)\cdots (n + k - 1)}{k!}\\ &=(-1)^k\binom{n + k - 1}{k}\\ &=(-1)^k\left(\!\!\binom{n}{k}\!\!\right)\;.\end{align}$$ विशेष रूप से, ऋणात्मक पूर्णांक n पर मूल्यांकन किए गए द्विपद गुणांक हस्ताक्षरित मल्टीसेट गुणांक द्वारा दिए गए हैं। विशेष मामले में $$n = -1$$, यह कम हो जाता है $$(-1)^k=\binom{-1}{k}=\left(\!\!\binom{-k}{k}\!\!\right) .$$ उदाहरण के लिए, यदि n = -4 और k = 7, तो r = 4 और f = 10:
 * $$\begin{align}\binom{-4}{7} &= \frac

{-10\cdot-9\cdot-8\cdot-7\cdot-6\cdot-5\cdot-4} {1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7}\\ &=(-1)^7\;\frac{4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot10} {1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7}\\ &=\left(\!\!\binom{-7}{7}\!\!\right)\left(\!\!\binom{4}{7}\!\!\right)=\binom{-1}{7}\binom{10}{7}.\end{align}$$

दो वास्तविक या जटिल मूल्यवान तर्क
द्विपद गुणांक को गामा समारोह  या  बीटा फ़ंक्शन  के माध्यम से दो वास्तविक या जटिल मूल्यवान तर्कों के लिए सामान्यीकृत किया जाता है
 * $${x \choose y}= \frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(y+1) \Gamma(x-y+1)}= \frac{1}{(x+1) \Beta(y+1, x-y+1)}.$$

यह परिभाषा इन निम्नलिखित अतिरिक्त गुणों को इनहेरिट करती है $$\Gamma$$:
 * $${x \choose y}= \frac{\sin (y \pi)}{\sin(x \pi)} {-y-1 \choose -x-1}= \frac{\sin((x-y) \pi)}{\sin (x \pi)} {y-x-1 \choose y};$$

इसके अतिरिक्त,
 * $${x \choose y} \cdot {y \choose x}= \frac{\sin((x-y) \pi)}{(x-y) \pi}.$$

परिणामी फ़ंक्शन का बहुत कम अध्ययन किया गया है, जाहिरा तौर पर पहले में रेखांकन किया जा रहा है. विशेष रूप से, कई द्विपद सर्वसमिकाएं विफल हो जाती हैं: $\binom{n }{ m} = \binom{n }{ n-m}$ लेकिन $\binom{-n}{m} \neq \binom{-n}{-n-m}$  एन सकारात्मक के लिए (इसलिए $$-n$$ नकारात्मक)। व्यवहार काफी जटिल है, और विभिन्न अष्टक में स्पष्ट रूप से भिन्न है (अर्थात, x और y अक्षों और रेखा के संबंध में) $$y=x$$), ऋणात्मक x के लिए व्यवहार के साथ ऋणात्मक पूर्णांक मान और धनात्मक और ऋणात्मक क्षेत्रों की एक बिसात पर विलक्षणताएँ हैं:
 * अष्टांश में $$0 \leq y \leq x$$ यह एक रिज (पास्कल रिज) के साथ सामान्य द्विपद का सुचारू रूप से प्रक्षेपित रूप है।
 * अष्टांश में $$0 \leq x \leq y$$ और चतुर्थांश में $$x \geq 0, y \leq 0$$ समारोह शून्य के करीब है।
 * चतुर्थांश में $$x \leq 0, y \geq 0$$ फ़ंक्शन बारी-बारी से बहुत बड़े धनात्मक और ऋणात्मक समांतर चतुर्भुज पर शिखर के साथ है $$(-n,m+1), (-n,m), (-n-1,m-1), (-n-1,m)$$
 * अष्टांश में $$0 > x > y$$ व्यवहार फिर से वैकल्पिक रूप से बहुत बड़ा सकारात्मक और नकारात्मक है, लेकिन एक वर्ग ग्रिड पर।
 * अष्टांश में $$-1 > y > x + 1$$ निकट विलक्षणताओं को छोड़कर, यह शून्य के करीब है।

q-श्रृंखला के लिए सामान्यीकरण
द्विपद गुणांक में क्यू-एनालॉग  सामान्यीकरण होता है जिसे गॉसियन द्विपद गुणांक कहा जाता है।

अनंत कार्डिनल्स के लिए सामान्यीकरण
द्विपद गुणांक की परिभाषा को परिभाषित करके बुनियादी संख्या  के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है:


 * $${\alpha \choose \beta} = \left| \left\{ B \subseteq A : \left|B\right| = \beta \right\} \right|$$

जहाँ A प्रमुखता  के साथ कुछ सेट है $$\alpha$$. कोई यह दिखा सकता है कि सामान्यीकृत द्विपद गुणांक अच्छी तरह से परिभाषित है, इस अर्थ में कि कार्डिनल संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए हम जो भी सेट चुनते हैं, उससे कोई फर्क नहीं पड़ता $$\alpha$$, ${\alpha \choose \beta}$ वही रहेगा। परिमित कार्डिनल्स के लिए, यह परिभाषा द्विपद गुणांक की मानक परिभाषा के साथ मेल खाती है।

पसंद के स्वयंसिद्ध मानकर, कोई यह दिखा सकता है कि ${\alpha \choose \alpha} = 2^{\alpha}$ किसी भी अनंत कार्डिनल के लिए $$\alpha$$.

प्रोग्रामिंग भाषाओं में
संकेतन $ {n \choose k} $ लिखावट में सुविधाजनक है लेकिन  टाइपराइटर  और  कंप्यूटर टर्मिनल ों के लिए असुविधाजनक है। कई  प्रोग्रामिंग भाषा एं द्विपद गुणांक की गणना के लिए एक मानक उपनेमका प्रदान नहीं करती हैं, लेकिन उदाहरण के लिए  एपीएल प्रोग्रामिंग भाषा  और (संबंधित)  जे प्रोग्रामिंग भाषा  विस्मयादिबोधक चिह्न का उपयोग करती हैं:. द्विपद गुणांक SciPy  में scipy.special.comb के रूप में लागू किया गया है। फैक्टोरियल फॉर्मूले का सरल कार्यान्वयन, जैसे कि पायथन (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज) में निम्नलिखित स्निपेट: <वाक्यविन्यास लैंग = अजगर> गणित आयात भाज्य से डीईएफ़ द्विपद गुणांक (एन: इंट, के: इंट) -> इंट: रिटर्न फैक्टोरियल (एन) // (फैक्टोरियल (के) * फैक्टोरियल (एन - के)) 

बहुत धीमी हैं और बहुत अधिक संख्याओं के फैक्टोरियल की गणना के लिए बेकार हैं ( सी (प्रोग्रामिंग भाषा) या  जावा (प्रोग्रामिंग भाषा)  जैसी भाषाओं में वे इस कारण से अतिप्रवाह त्रुटियों से ग्रस्त हैं)। गुणात्मक सूत्र का सीधा कार्यान्वयन अच्छी तरह से काम करता है:

<वाक्यविन्यास लैंग = अजगर> डीईएफ़ द्विपद गुणांक (एन: इंट, के: इंट) -> इंट: यदि के <0 या के> एन: वापसी 0 अगर के == 0 या के == एन: वापसी 1 k = min(k, n - k) # समरूपता का लाभ उठाएं सी = 1 मैं सीमा में (के) के लिए: सी = सी * (एन - मैं) // (मैं + 1) वापसी सी  (पायथन में, रेंज (के) 0 से के-1 तक एक सूची बनाता है।)

पास्कल का नियम एक पुनरावर्ती परिभाषा प्रदान करता है जिसे पायथन में भी लागू किया जा सकता है, हालांकि यह कम कुशल है: <वाक्यविन्यास लैंग = अजगर> डीईएफ़ द्विपद गुणांक (एन: इंट, के: इंट) -> इंट: यदि के <0 या के> एन: वापसी 0 अगर k> n - k: # समरूपता का लाभ उठाएं के = एन - के अगर के == 0 या एन <= 1: वापसी 1 वापसी द्विपद_गुणांक (n - 1, k) + द्विपद_गुणांक (n - 1, k - 1) 

ऊपर वर्णित उदाहरण को कार्यात्मक शैली में भी लिखा जा सकता है। निम्नलिखित योजना (प्रोग्रामिंग भाषा)  उदाहरण पुनरावर्ती परिभाषा का उपयोग करता है
 * $${n \choose k+1} = \frac{n-k}{k+1} {n \choose k} $$

पूर्णांक विभाजन का उपयोग करके तर्कसंगत अंकगणित को आसानी से टाला जा सकता है
 * $${n \choose k+1} = \left[(n-k) {n \choose k}\right] \div (k+1) $$

निम्नलिखित कार्यान्वयन इन सभी विचारों का उपयोग करता है <वाक्यविन्यास हाइलाइट लैंग = योजना> (परिभाषित करें (द्विपद n k) (परिभाषित करें (द्विपद-पुनरावृति n k i पिछला) (यदि (>= मैं कश्मीर)     पिछला     (द्विपद-पुनरावृति n k (+ i 1) (/ (* (- n i) पिछला) (+ i 1)))) (यदि (< के (- एन के))   (द्विपद-पुनरावृति n k 0 1)    (द्विपद-पुनरावृति n (- n k) 0 1))) 
 * फॉरवर्ड रिकर्सन के माध्यम से सी (एन, के) की गणना करने के लिए हेल्पर फ़ंक्शन
 * सममिति गुण का प्रयोग करें C(n,k)=C(n, n-k)

गणना करते समय $ {n \choose k+1} = \left[(n-k) {n \choose k}\right] \div (k+1) $ निश्चित-लंबाई वाले पूर्णांक वाली भाषा में, द्वारा गुणा किया जाता है $$(n-k)$$ परिणाम फिट होने पर भी ओवरफ्लो हो सकता है। पहले विभाजित करके और शेष का उपयोग करके परिणाम को ठीक करके अतिप्रवाह से बचा जा सकता है:
 * $${n \choose k+1} = \left[\frac{\binom {n}{k}}{(k+1)}\right](n-k) + {\left[{n\choose k}\ \mathrm{mod}\ (k+1)\right](n-k) \over (k+1)}$$

सी भाषा में कार्यान्वयन:

<वाक्यविन्यास हाइलाइट लैंग = सी प्रारंभ = 1>
 * 1) शामिल करें 

अहस्ताक्षरित लंबी द्विपद (अहस्ताक्षरित लंबी n, अहस्ताक्षरित लंबी k) { अहस्ताक्षरित लंबा सी = 1, मैं;

अगर (के> एन-के) // समरूपता का लाभ उठाएं के = एन-के;

के लिए (i = 1; i <= k; i++, n--) { अगर (c/i > ULONG_MAX/n) // संभावित अतिप्रवाह पर 0 लौटाएं वापसी 0;

सी = सी / आई * एन + सी% आई * एन / आई; // विभाजित c * n / i में (c / i * i + c% i) * n / i }

वापसी सी; }  बड़ी संख्याओं का उपयोग करते समय द्विपद गुणांक की गणना करने का दूसरा तरीका यह है कि इसे पहचानें
 * $${n \choose k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} = \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(k+1)\,\Gamma(n-k+1)} = \exp(\ln\Gamma(n+1)-\ln\Gamma(k+1)-\ln\Gamma(n-k+1)),$$

कहाँ पे $$\ln \Gamma(n)$$ गामा फ़ंक्शन के प्राकृतिक  लघुगणक को दर्शाता है $$n$$. यह एक विशेष कार्य है जिसे आसानी से गणना की जाती है और कुछ प्रोग्रामिंग भाषाओं में मानक है जैसे मैक्सिमा (सॉफ्टवेयर)  में log_gamma का उपयोग करना, गणित में लॉगगामा,  MATLAB  में गैमलन और पायथन के SciPy मॉड्यूल, PARI/GP में lngamma या C, R में lgamma ( प्रोग्रामिंग भाषा), और  जूलिया (प्रोग्रामिंग भाषा) । राउंडऑफ़ त्रुटि के कारण लौटाया गया मान पूर्णांक नहीं हो सकता है।

यह भी देखें

 * द्विपद परिवर्तन
 * डेलानॉय संख्या
 * यूलेरियन संख्या
 * हाइपरज्यामितीय समारोह
 * तथ्यात्मक और द्विपद विषयों की सूची
 * मैकाले एक पूर्णांक का प्रतिनिधित्व
 * मोट्ज़किन संख्या
 * पास्कल के त्रिकोण में प्रविष्टियों की बहुलता
 * नारायण संख्या
 * डेविड प्रमेय का सितारा
 * सूर्य की जिज्ञासु पहचान
 * न्यूटोनियन श्रृंखला की तालिका
 * त्रिनोमियल विस्तार