समस्थेयता सिद्धांत

गणित में, समस्थेयता सिद्धांत उन स्थितियों का एक व्यवस्थित अध्ययन है जिसमें मानचित्र उनके बीच समस्थेयताओं के साथ आ सकते हैं। यह बीजगणितीय सांस्थितिकी में एक विषय के रूप में उत्पन्न हुआ था लेकिन आजकल इसे एक स्वतंत्र विषय के रूप में अध्ययन किया जाता है। बीजगणितीय सांस्थितिकी के अलावा, सिद्धांत का उपयोग गणित के अन्य क्षेत्रों में भी किया गया है जैसे कि बीजगणितीय ज्यामिति (उदाहरण के लिए, A1 समस्थेयता सिद्धांत) और श्रेणी सिद्धांत (विशेष रूप से उच्च श्रेणियों का अध्ययन)।

अंतराल और मानचित्र
समस्थेयता सिद्धांत और बीजगणितीय सांस्थितिकी में, "अंतराल" शब्द एक सांस्थितिक अंतराल को दर्शाता है। पैथोलॉजी से बचने के लिए, शायद ही कोई यादृच्छिक अंंतराल के साथ काम करता है इसके स्थान पर, किसी को अतिरिक्त बाधाओं को पूरा करने के लिए अंतराल की आवश्यकता होती है, जैसे सघन रूप से उत्पन्न किया जाना, या हॉसडॉर्फ़, या सीडब्ल्यू (CW) संकुल।

उपरोक्त के समान ही, "मानचित्र" एक सतत फलन है, संभवतः कुछ अतिरिक्त बाधाओं के साथ।

प्रायः, कोई एक सुस्पष्ट अंतराल के साथ काम करता है - अर्थात्, एक "विशिष्ट बिंदु" वाला अंतराल, जिसे आधार बिंदु कहा जाता है। एक सुस्पष्ट मानचित्र तब मानचित्र होता है जो आधार बिंदुओं को संरक्षित करता है अर्थात, यह प्रक्षेत्र के आधार बिंदु को सहप्रक्षेत्र के आधार बिंदु को भेजता है। इसके विपरीत, स्वतंत्र मानचित्र वह होता है जिसे आधार बिंदुओं को संरक्षित करने की आवश्यकता नहीं होती है।

समस्थेयता
मान लीजिए कि I इकाई अंतराल को निरूपित करता है। I, $$h_t : X \to Y$$ द्वारा अनुक्रमित मानचित्रोंं की श्रेणी को $$h_0$$ से $$h_1$$ तक समस्थेयता कहा जाता है यदि $$h : I \times X \to Y, (t, x) \mapsto h_t(x)$$ मानचित्र है (उदाहरण के लिए, यह एक सतत फलन होना चाहिए)। जब X, Y सुस्पष्ट अंतराल होते हैं, तो आधार बिंदुओं को संरक्षित करने के लिए $$h_t$$ की आवश्यकता होती है। समस्थेयता को समतुल्यता संबंध के रूप में दिखाया जा सकता है। सुस्पष्ट अंतराल X और पूर्णांक $$n \ge 1$$ को देखते हुए, $$\pi_n(X) = [S^n, X]_*$$ को (सुस्पष्ट) n-क्षेत्र $$S^n$$ से X तक आधारित मानचित्रों $$S^n \to X$$ के समस्थेयता वर्ग मान लीजिए। जैसा कि यह पता चला है, $$\pi_n(X)$$ समूह हैं विशेष रूप से, $$\pi_1(X)$$ को X का आधारभूत समूह कहा जाता है।

यदि कोई सुस्पष्ट अंतराल के स्थान पर एक अंतराल के साथ काम करना पसंद करता है, तो परिभाषा के अनुसार आधारभूत समूह (और उच्च भिन्नरूप) की धारणा है, अंतराल X का आधारभूत समूह वह वर्ग है जहाँ वस्तुएँ X के बिंदु हैं और आकारिकी पथ हैं।

कोफिब्रेशन और फाइब्रेशन
मानचित्र $$f: A \to X$$ को कोफिब्रेशन कहा जाता है यदि (1) मानचित्र $$h_0 : X \to Z$$ और (2) समस्थेयता $$g_t : A \to Z$$ दी गई हो, समस्थेयता $$h_t : X \to Z$$ उपस्थित है जो $$h_0$$ को बढ़ाता है और इस प्रकार कि $$h_t \circ f = g_t$$ है। कुछ अस्पष्ट अर्थों के लिए, यह संक्षेप बीजगणित में अंतःक्षेपक प्रतिरूपक के परिभाषित आरेख के अनुरूप है। सबसे मूल उदाहरण सीडब्ल्यू (CW) युग्म $$(X, A)$$ है चूंकि कई सीडब्ल्यू (CW) संकुलों के साथ ही काम करते हैं, इसलिए कोफिब्रेशन की धारणा प्रायः अंतर्निहित होती है।

सेरे के अर्थ में फ़िब्रेशन कोफ़िब्रेशन की दोहरी धारणा है- अर्थात, मानचित्र $$p : X \to B$$ फ़ाइब्रेशन है यदि दिया गया है (1) मानचित्र $$Z \to X$$ और (2) समस्थेयता $$g_t : Z \to B$$, समस्थेयता $$h_t: Z \to X$$ उपस्थित है इस प्रकार कि $$h_0$$ दिया हुआ है और $$p \circ h_t = g_t$$ है। मूल उदाहरण एक आच्छादन मानचित्र (वास्तव में, फ़िब्रेशन आच्छादन मानचित्र का सामान्यीकरण है) है। यदि $$E$$ प्रमुख जी (G)-बंडल है, जो कि सांस्थितिक) समूह की स्वतंत्र और सकर्मक (सांस्थितिक) समूह क्रिया के साथ एक अंतराल है, तो प्रक्षेपण मानचित्र $$p: E \to X$$ फाइब्रेशन का उदाहरण है।

अंतराल और समस्थेयता संचालन का वर्गीकरण
सांस्थितिक समूह जी (G) को देखते हुए, प्रमुख जी(G)-बंडलों के लिए वर्गीकृत अंतराल ("समतुल्यता तक") एक अंतराल $$BG$$ है, जैसे कि प्रत्येक अंतराल X के लिए,
 * $$[X, BG] = $$ {एक्स पर प्रमुख जी (G)-बंडल} / ~ $$, \,\, [f] \mapsto f^* EG$$

जहाँ ब्राउन की प्रतिनिधित्व क्षमता प्रमेय वर्गीकरण अंतराल के अस्तित्व का आश्वासन देता है।
 * बाईं ओर $$X \to BG$$ मानचित्रों के समस्थेयता वर्गों का समूह है,
 * ~ बंडलों की समरूपता को संदर्भित करता है, और
 * = $$BG$$ पर विशिष्ट बंडल $$EG$$ को पश्‍चकर्षी द्वारा दिया जाता है (जिसे सार्वभौमिक बंडल कहा जाता है) मानचित्र $$X \to BG$$ के साथ।

स्पेक्ट्रम और सामान्यीकृत सह समरूपता
यह विचार कि वर्गीकृत अंतराल प्रमुख बंडलों को वर्गीकृत करता है, को और आगे बढ़ाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, गणित में विनिमेय समूह A (जैसे $$\mathbb{Z}$$) को देखते हुए सह समरूपता वर्गों को वर्गीकृत करने का प्रयास किया जा सकता है।
 * $$[X, K(A, n)] = \operatorname{H}^n(X; A)$$

जहाँ $$K(A, n)$$ ईलेनबर्ग-मैकलेन अंतराल है।

एबेलियन समूहों की श्रेणी का एक प्रतिपरिवर्तक फ़ंक्टर जो साधारण कोहोलॉजी सिद्धांत को सामान्य बनाने वाले स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है। जैसा कि यह पता चला है, ऐसा फ़ैक्टर किसी स्थान द्वारा प्रतिनिधित्व करने योग्य फ़ंक्टर नहीं हो सकता है, लेकिन इसे हमेशा स्पेक्ट्रम नामक संरचना मानचित्रों के साथ (नुकीले) रिक्त स्थान के अनुक्रम द्वारा दर्शाया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, सामान्यीकृत कोहोलॉजी सिद्धांत देने के लिए एक स्पेक्ट्रम देना है।

एक स्पेक्ट्रम का एक मूल उदाहरण एक गोलाकार स्पेक्ट्रम है: $$S^0 \to S^1 \to S^2 \to \cdots$$

प्रमुख प्रमेय

 * सीफ़र्ट-वैन कम्पेन प्रमेय
 * होमोटोपी छांटना प्रमेय
 * फ्रायडेंथल निलंबन प्रमेय (छांटना प्रमेय का एक परिणाम)
 * लैंडवेबर सटीक फ़ैक्टर प्रमेय
 * डोल-कान पत्राचार
 * एकमैन-हिल्टन तर्क - उदाहरण के लिए यह दर्शाता है कि उच्च होमोटॉपी समूह एबेलियन समूह हैं।
 * सार्वभौमिक गुणांक प्रमेय

बाधा सिद्धांत और विशेषता वर्ग
यह भी देखें: विशेषता वर्ग, पोस्टनिकोव टॉवर, व्हाइटहेड मरोड़

विशिष्ट सिद्धांत
कई विशिष्ट सिद्धांत हैं
 * सरल समरूपता सिद्धांत
 * स्थिर समरूपता सिद्धांत
 * रंगीन समरूपता सिद्धांत
 * तर्कसंगत समरूपता सिद्धांत
 * पी-एडिक समरूपता सिद्धांत
 * समपरिवर्तक समरूपता सिद्धांत

होमोटॉपी परिकल्पना
समरूपता सिद्धांत की नींव में मूल प्रश्नों में से एक अंतरिक्ष की प्रकृति है। होमोटॉपी परिकल्पना पूछती है कि क्या कोई स्थान मौलिक रूप से बीजगणितीय है।

अवधारणाएं

 * फाइबर अनुक्रम
 * कोफाइबर अनुक्रम

सिंपल होमोटॉपी थ्योरी

 * सिंपल होमोटॉपी

यह भी देखें

 * अत्यधिक संरचित रिंग स्पेक्ट्रम
 * होमोटॉपी प्रकार सिद्धांत
 * स्टैक का पीछा करना

संदर्भ

 * May, J. A Concise Course in Algebraic Topology
 * Ronald Brown, Topology and groupoids (2006) Booksurge LLC ISBN 1-4196-2722-8.
 * Ronald Brown, Topology and groupoids (2006) Booksurge LLC ISBN 1-4196-2722-8.

अग्रिम पठन

 * Cisinski's notes
 * http://ncatlab.org/nlab/files/Abstract-Homotopy.pdf
 * Math 527 - Homotopy Theory Spring 2013, Section F1, lectures by Martin Frankland

बाहरी संबंध

 * https://ncatlab.org/nlab/show/homotopy+theory