ऊर्जा के स्तर को कम करना

क्वांटम यांत्रिकी में, एक ऊर्जा स्तर अपकर्ष होता है यदि यह एक क्वांटम प्रणाली के दो या दो से अधिक भिन्न-भिन्न औसत दर्जे की अवस्थाओं से अनुकूल होती है।इसके विपरीत, क्वांटम यांत्रिक प्रणाली की दो या दो से अधिक विभिन्न अवस्थाओं को विकृत कहा जाता है यदि वे माप पर ऊर्जा का समान मान देते हैं। एक विशेष ऊर्जा स्तर के अनुरूप विभिन्न अवस्थाओं की संख्या को स्तर की अपकर्षकी श्रेणी के रूप में जाना जाता है। इसे गणितीय रूप से हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) के माध्यम से एक ही ऊर्जा प्रेरक मान के साथ एक से अधिक रैखिक रूप से स्वतंत्र रैखिक स्वतंत्रता वाले सिस्टम के लिए दिखाया गया है।। जब यह स्थिति होती है, तो अकेले ऊर्जा यह बताने के लिए पर्याप्त नहीं होती है कि सिस्टम किस अवस्था में है, और जब अंतर वांछित होता है, तो सटीक स्थिति को चिह्नित करने के लिए अन्य क्वांटम संख्याओं की आवश्यकता होती है। शास्त्रीय यांत्रिकी में इसे एक ही ऊर्जा के अनुरूप विभिन्न संभावित प्रक्षेपवक्रों के संदर्भ में समझा जा सकता है।

अपकर्षक्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी में एक आधारभूत भूमिका निभाता है। एक के लिए $N$-कण प्रणाली तीन आयामों में, एक एकल ऊर्जा स्तर अनेक भिन्न-भिन्न तरंग कार्यों या ऊर्जा अवस्थाओं के अनुरूप हो सकता है। समान स्तर पर इन अपकर्ष अवस्थाओं में सभी के भरित होने की समान संभावना है। ऐसे अवस्था ों की संख्या एक विशेष ऊर्जा स्तर की अपकर्षबताती है।



अंक शास्त्र
क्वांटम यांत्रिक सिस्टम की संभावित अवस्थाओं को गणितीय रूप से एक अलग जटिल हिल्बर्ट अन्तराल में अमूर्त वैक्टर के रूप में माना जा सकता है, चूँकि अवलोकनों को उन पर कार्य करने वाले रैखिक संचालको हर्मिटियन के माध्यम से दिखाया जा सकता है। एक उपयुक्त आधार फलन का चयन करके, इन संवाहको के घटकों और उस आधार पर संचालको के मैट्रिक्स तत्वों का निर्धारण किया जा सकता है। यदि $A$ एक $N × N$ मैट्रिक्स $X$ एक अ-शून्य संवाहक है, और $λ$ एक अदिश है, जैसे कि $$AX = \lambda X$$ तो अदिश λ को $A$ का प्रेरक मान कहा जाता है और संवाहक $X$ को $λ$. के अनुरूप प्रेरक संवाहक कहा जाता है। शून्य संवाहक, किसी दिए गए प्रेरक मान $λ$. के अनुरूप सभी प्रेरक संवाहक s का सेट $C^{n}$ का एक उप-स्थान बनाता है जिसे $λ$. का प्रेरक अन्तराल कहा जाता है। एक प्रेरक मान $λ$. जो दो या दो से अधिक भिन्न-भिन्न रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रेरक संवाहक s से अनुकूल होता है, उसे अपकर्ष कहा जाता है, अर्थात, $$A X_1 = \lambda X_1$$ और $$ A X_2 = \lambda X_2$$ जिस स्थान पर $$ X_1 $$ और $$ X_2 $$ रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रेरक संवाहक हैं। उस प्रेरक मान के अनुरूप प्रेरक अन्तराल के आयाम को उसकी अपकर्षकी श्रेणी के रूप में जाना जाता है, जो सीमित या अनंत हो सकता है। एक प्रेरक मान को अ-अपकर्ष कहा जाता है यदि उसका प्रेरक अन्तराल एक-आयामी है।

क्वांटम यांत्रिकी में भौतिक अवलोकनीय का प्रतिनिधित्व करने वाले आव्यूहों के प्रेरक मान इन अवलोकनीय के मापने योग्य मान देते हैं, चूँकि इन प्रेरक मान ​​के अनुरूप प्रेरक अवस्था संभावित स्थिति देते हैं जिसमें सिस्टम को माप पर प्राप्त जा सकता है। एक क्वांटम प्रणाली की ऊर्जा के मापने योग्य मान हैमिल्टनियन संचालको के प्रेरक मान के माध्यम से दिए जाते हैं, चूँकि इसके प्रेरक अवस्था सिस्टम की संभावित ऊर्जा स्थिति देते हैं। ऊर्जा के एक मान को अपकर्ष कहा जाता है यदि इससे जुड़े कम से कम दो रैखिक रूप से स्वतंत्र ऊर्जा अवस्थाएँ मौजूद हों। इसके अतरिक्त, दो या दो से अधिक अपकर्ष प्रेरक अवस्था का कोई भी रैखिक संयोजन भी हैमिल्टनियन संचालको का एक प्रेरक अवस्था है जो समान ऊर्जा प्रेरक मान के अनुरूप है। यह इस तथ्य से स्पष्ट रूप से पता चलता है कि ऊर्जा मान प्रेरक मान $λ$ का प्रेरक अन्तराल एक उपस्थान है (हैमिल्टनियन ऋणात्मक $λ$ गुणन समरूपता का कर्नेल (रैखिक बीजगणित)) है, इसलिए इसे रैखिक संयोजनों के साथ  संवृत कर दिया गया है।

$$

ऊर्जा के मापन पर अपकर्ष का प्रभाव
अपकर्षकी अनुपस्थिति में, यदि एक क्वांटम प्रणाली की ऊर्जा का मापा मान निर्धारित किया जाता है, तो प्रणाली की इसी स्थिति को ज्ञात माना जाता है, क्योंकि मात्र एक प्रेरक अवस्था प्रत्येक ऊर्जा प्रेरक मान से अनुकूल होती है। हालाँकि, यदि हैमिल्टनियन $$\hat{H}$$ में डिग्री gn का अपकर्ष प्ररेक मान $$E_n$$ है, तो इससे जुड़े प्ररेक अवस्था आयाम gn का एक संवाहक उप-स्थान बनाते हैं। ऐसे मामले में अनेक अंतिम अवस्थाएँ संभवतः एक ही परिणाम $$E_n$$ से सम्मिलित हो सकती हैं, जिनमें से सभी gn प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण प्रेरक संवाहक $$|E_{n,i}\rangle$$ के रैखिक संयोजन हैं।

हालाँकि, यदि हैमिल्टनियन $$\hat{H}$$ में डिग्री gn का अपकर्ष प्ररेक मान $$E_n$$ है, तो इससे जुड़े प्ररेक अवस्था आयाम gn का एक संवाहक उप-स्थान बनाते हैं। ऐसे मामले में अनेक अंतिम अवस्थाएँ संभवतः एक ही परिणाम $$E_n$$ से सम्मिलित हो सकती हैं, जिनमें से सभी gn प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण प्रेरक संवाहक $$|E_{n,i}\rangle$$ के रैखिक संयोजन हैं।

इस मामले में, संभावना है कि अवस्था $$|\psi\rangle$$ में एक प्रणाली के लिए मापा गया ऊर्जा मान $$E_n$$ उत्पन्न करेगा, इस आधार पर प्रत्येक अवस्था में प्रणाली को अन्वेषण की संभावनाओं के योग के माध्यम से दिया गया है, अर्थात
 * $$P(E_n)=\sum_{i=1}^{g_n}|\langle E_{n,i}|\psi\rangle|^2$$

विभिन्न आयामों में अपकर्ष
यह खंड विभिन्न आयामों में अध्ययन किए गए क्वांटम सिस्टम में अपक्षयी ऊर्जा स्तरों के अस्तित्व को चित्रित करने का अभिप्राय रखता है। एक और द्वि-आयामी प्रणालियों का अध्ययन अधिक जटिल प्रणालियों की वैचारिक समझ में सहायता करता है

एक आयाम में पतन
अनेक मामलों में, एक-आयामी प्रणालियों के अध्ययन में विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति के परिणाम अधिक सरलता से प्राप्त किए जा सकते हैं। तरंग फ़ंक्शन $$|\psi\rangle$$ वाले एक क्वांटम कण के लिए एक-आयामी क्षमता $$V(x)$$ में घूमते हुए अवधि -स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है
 * $$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} + V\psi =E\psi$$

चूँकि यह एक सामान्य अवकल समीकरण है, किसी दी गई ऊर्जा $$E$$ के लिए दो स्वतंत्र प्रेरक फलन होते हैं, जिससे अपकर्षकी श्रेणी कभी भी दो से अधिक न हो। यह सिद्ध किया जा सकता है कि एक आयाम में, सामान्यीकृत तरंग समारोह के लिए कोई अपकर्ष बाध्य अवस्थाएँ नहीं हैं। खंड अनुसार के निरंतर क्षमता पर एक पर्याप्त स्थिति $$V$$ और ऊर्जा $$E$$ पर एक पर्याप्त परिस्थिति $$M \neq 0$$ के साथ दो वास्तविक संख्या $$M,x_0$$ का अस्तित्व है, जैसे कि $$M,x_0$$ हमारे पास $$V(x) - E \geq M^2$$ है।


 * {| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"

!उपरोक्त प्रमेय का प्रमाण.


 * Considering a one-dimensional quantum system in a potential $$V(x)$$ with degenerate states $$|\psi_1\rangle$$ and $$|\psi_2\rangle$$ corresponding to the same energy प्रेरक मान $$E$$, writing the time-independent Schrödinger equation for the system:
 * $$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi_1}{dx^2} + V\psi_1 =E\psi_1$$
 * $$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi_2}{dx^2} + V\psi_2 =E\psi_2$$
 * $$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi_2}{dx^2} + V\psi_2 =E\psi_2$$

Multiplying the first equation by $$ \psi_2 $$ and the second by $$\psi_1$$ and subtracting one from the other, we get:
 * $$\psi_1\frac{d^2}{dx^2}\psi_2-\psi_2\frac{d^2}{d x^2}\psi_1=0$$

Integrating both sides
 * $$\psi_1\frac{d\psi_2}{dx}-\psi_2\frac{d\psi_1}{dx}=\mbox{constant}$$

In case of well-defined and normalizable wave functions, the above constant vanishes, provided both the wave functions vanish at at least one point, and we find: $$\psi_1(x)=c\psi_2(x)$$ where $$c$$ is, in general, a complex constant. For bound state eigenfunctions (which tend to zero as $$x \rightarrow \infty$$), and assuming $$V$$ and $$E$$ satisfy the condition given above, it can be shown that also the first derivative of the wave function approaches zero in the limit $$x\to\infty$$, so that the above constant is zero and we have no degeneracy.
 * }

द्वि-आयामी क्वांटम सिस्टम में अपकर्ष
पदार्थ की तीनों अवस्थाओं में द्वि-आयामी क्वांटम प्रणालियाँ मौजूद हैं और त्रि-आयामी पदार्थ में देखी जाने संबंधी अधिकांश विविधताएँ दो आयामों में बनाई जा सकती हैं। वास्तविक द्विविमीय पदार्थ ठोसों की सतह पर एक परमाणुक परतों से बने होते हैं। प्रयोगात्मक रूप से प्राप्त द्वि-आयामी इलेक्ट्रॉन प्रणालियों के कुछ उदाहरणों में मोसफेट, हीलियम, नियोन, आर्गन, क्सीनन आदि के द्वि-आयामी उत्तम लैटिस और तरल हीलियम की सतह शामिल हैं। एक वर्ग में कण और द्वि-आयामी लयबद्ध दोलक के मामलों में अपकर्ष ऊर्जा स्तरों की उपस्थिति का अध्ययन किया जाता है, जो अनेक वास्तविक विश्व प्रणालियों के लिए उपयोगी गणितीय अनुरूप के रूप में कार्य करता है।

आयताकार तल में कण
अभेद्य भित्ति के तल में आयाम $$L_x$$ और $$L_y$$ के तल में एक मुक्त कण पर विचार करें। तरंग फ़ंक्शन $$|\psi\rangle$$ के साथ इस प्रणाली के लिए समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है
 * $$ -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2 \psi}{{\partial x}^2} +\frac{\partial^2 \psi}{{\partial y}^2}\right) =E\psi$$

अनुमत ऊर्जा मान हैं
 * $$E_{n_x,n_y}=\frac{\pi^2 \hbar^2}{2m}\left(\frac{n_x^2}{L_x^2}+\frac{n_y^2}{L_y^2}\right)$$

सामान्यीकृत तरंग समारोह है
 * $$\psi_{n_x,n_y}(x,y)=\frac 2{\sqrt{L_xL_y}} \sin\left(\frac{n_x\pi x}{L_x}\right)\sin\left(\frac{n_y\pi y}{L_y}\right)$$

जिस स्थान पर $$n_x,n_y=1,2,3...$$तो, क्वांटम संख्या $$n_x$$ और $$n_y$$ ऊर्जा प्रेरक मान ​​​​का वर्णन करने के लिए आवश्यक हैं और सिस्टम की सबसे कम ऊर्जा के माध्यम से दी गई है
 * $$E_{1,1}=\pi^2\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac 1{L_x^2}+\frac 1{L_y^2}\right)$$

दो लंबाई के कुछ अनुरूप अनुपात के लिए $$L_x$$ और $$L_y$$अवस्था के कुछ जोड़े अपकर्ष हैं। यदि $$L_x/L_y=p/q$$ जिस स्थान पर p और q पूर्णांक हैं, तो अवस्था $$(n_x, n_y)$$ और $$(pn_y/q, qn_x/p)$$ में समान ऊर्जा होती है और इसलिए वे एक-दूसरे के लिए अपक्षयी होती हैं।

एक वर्ग वर्ग में कण
इस मामले में, वर्ग के आयाम $$L_x = L_y = L$$ और ऊर्जा प्रेरक मान s ​​के माध्यम से दिया जाता है
 * $$E_{n_x,n_y}=\frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}(n_x^2+n_y^2)$$

चूंकि $$n_x$$ और $$n_y$$ को ऊर्जा में परिवर्तन किए रहित आपस में प्रवर्तित किया जा सकता है, $$n_x$$ और $$n_y$$ भिन्न होने पर प्रत्येक ऊर्जा स्तर में कम से कम दो की पतन होती है। अपकर्ष अवस्थाएँ तब भी प्राप्त होती हैं जब विभिन्न ऊर्जा स्तरों के अनुरूप क्वांटम संख्याओं के वर्गों का योग समान होता है। उदाहरण के लिए, तीन अवस्था (nx = 7, ny = 1), (nx = 1, ny = 7) और (nx = ny = 5) सभी मे $$E=50 \frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}$$ है और एक अपकर्ष सेट का गठन करते है।

एक वर्गाकार वर्ग में एक कण के लिए विभिन्न ऊर्जा स्तरों की पतन की श्रेणी:

एक घन वर्ग में कण
इस मामले में, वर्ग के आयाम $$L_x = L_y =L_z= L$$ और ऊर्जा प्रेरक मान ​​​​तीन क्वांटम संख्याओं पर निर्भर करते हैं।
 * $$E_{n_x,n_y,n_z}=\frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}(n_x^2+n_y^2+n_z^2)$$

चूँकि ऊर्जा को परिवर्तन रहित $$n_x$$, $$n_y$$ और $$n_z$$ परवर्तित किया जा सकती है, प्रत्येक ऊर्जा स्तर में कम से कम तीन की अपकर्ष होती है जब तीन क्वांटम संख्याएँ सभी समान नहीं होती हैं।

== अपकर्ष== के मामले में एक अद्वितीय प्रकार आधार निष्कर्ष

यदि दो संचालक (भौतिकी)  $$\hat{A}$$ और  $$\hat{B}$$ आवागमन करते हैं, यानी  $$[\hat{A},\hat{B}]=0$$ तो प्रत्येक प्रेरक संवाहक  के लिए  $$\hat{A}$$, $$\hat{B}|\psi\rang$$ में से  $$|\psi\rangle$$ भी समान प्रेरक मान  के साथ  $$\hat{A}$$ का एक प्रेरक संवाहक  है। हालाँकि, यदि यह प्रेरक मान, मान लें कि  $$\lambda$$ अपकर्ष है, तो यह कहा जा सकता है कि  $$\hat{B}|\psi\rangle$$ एवं $$\hat{A}$$ के प्रेरक अन्तराल   $$E_\lambda$$ से संबंधित है, जिसे  $$\hat{B}$$ की अनुयोजन के साथ  वैश्विक रूप से अपरिवर्तनीय कहा जाता है। दो कम्यूटिंग अवलोकनीय  A  और B  के लिए, दो संचालको के लिए प्रेरक संवाहक के साथ अवस्था अन्तराल के एक सामान्य आधार का निर्माण कर सकते हैं। हालाँकि  $$\lambda$$ एवं  $$\hat{A}$$ का एक अपकर्ष प्रेरक मान है, तो यह  $$\hat{A}$$ का एक प्रेरक अन्तराल है जो $$\hat{B}$$ की अनुयोजन के साथ अपरिवर्तनीय है, इसलिए  $$\hat{A}$$ के प्रेरक मान  में $$\hat{B}$$ का  प्रतिनिधित्व (अंक शास्त्र) एक विकर्ण नहीं है, बल्कि एक खंड विकर्ण मैट्रिक्स है, यानी  $$\hat{A}$$ के पतित प्रेरक संवाहक  हैं सामान्य तौर पर,  $$\hat{B}$$ के प्रेरक संवाहक  नहीं है।

आवागमन संबंधी अवलोकनों का एक पूरा सेट का चयन
यदि एक दिया गया अवलोकन योग्य A अ-अपकर्ष है, तो इसके प्रेरक संवाहक के माध्यम से गठित एक अद्वितीय आधार मौजूद है। दूसरी ओर, यदि $$\hat{A}$$ एक या अनेक प्रेरक मान अपकर्ष हैं, एक आधार संवाहक को चिह्नित करने के लिए एक प्रेरक मान निर्दिष्ट करना पर्याप्त नहीं है। यदि, एक अवलोकन योग्य  $$\hat{B}$$ को चयनित करके  जो  $$\hat{A}$$ के साथ गति करता है,  $$\hat{A}$$ और  $$\hat{B}$$  के लिए साधारण प्रेरक संवाहको का एक  प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण आधार बनाना संभव है जो कि प्रेरक मान {a,b} के प्रत्येक संभावित जोड़े के लिए अद्वितीय है, तो  $$\hat{A}$$ और  $$\hat{B}$$  हैं कहा जाता है कि यह आवागमन संबंधी अवलोकनों का एक पूरा सेट तैयार करता है। हालाँकि, यदि प्रेरक संवाहकों  का एक अनूठा सेट अभी भी निर्दिष्ट नहीं किया जा सकता है, तो प्रेरक मान ​​के जोड़े में से कम से कम एक के लिए, एक तीसरा अवलोकन योग्य  $$\hat{C}$$  जो  $$\hat{A}$$ और $$\hat{B}$$  दोनों के साथ आवागमन करता है, इस प्रकार प्राप्त  जा सकता है कि तीनों आवागमन संबंधी अवलोकनों का एक पूरा सेट बनाते हैं।

यह इस प्रकार है कि एक सामान्य ऊर्जा मान के साथ एक क्वांटम प्रणाली के हैमिल्टनियन के प्रेरक फलन को कुछ अतिरिक्त जानकारी देकर सामान्य किया जाना चाहिए, जो हैमिल्टनियन के साथ चलने वाले संचालको को चयनित करके  किया जा सकता है। इन अतिरिक्त सामान्यों को एक अद्वितीय ऊर्जा प्रेरक फलन  के नामकरण की आवश्यकता होती है और आमतौर पर सिस्टम की गति के स्थिरांक से संबंधित होते हैं।

अपकर्ष ऊर्जा प्रेरक अवस्था और समानता संचालिका
समानता संचालको को r को −r में परिवर्तन के $$|r\rangle$$ प्रतिनिधित्व में इसकी क्रिया के माध्यम से परिभाषित किया गया है, अर्थात
 * $$\langle r|P|\psi\rangle=\psi(-r)$$

P के प्रेरक मान ​​को $$\pm1$$ तक सीमित दिखाया जा सकता है, जो कि अनंत-आयामी अवस्था अन्तराल में अपकर्ष प्रेरक मान ​​हैं।    P के प्रेरक मान +1 वाले प्रेरक संवाहक को सम कहा जाता है, जबकि प्रेरक मान -1 वाले को विषम कहा जाता है।

अब, एक सम संचालिका $$\hat{A}$$ है जो संतुष्ट करती है,
 * $$\tilde{A}=P \hat{A} P$$
 * $$[P,\hat{A}]=0$$

चूँकि एक विषम संचालको $$\hat{B}$$ है जो संतुष्ट करता है
 * $$P \hat{B}+\hat{B} P=0$$

चूँकि संवेग संचालक $$\hat{p}^2$$ का वर्ग सम है, यदि संभावित V(r) सम है, तो हैमिल्टनियन  $$\hat{H}$$ को एक सम संचालक कहा जाता है। उस स्थिति में, यदि इसके प्रत्येक प्रेरक मान  ​​अपकर्ष हैं, तो प्रत्येक प्रेरक संवाहक आवश्यक रूप से P का एक प्रेरक क्षेत्र है, और इसलिए सम और विषम राज्यों के बीच  $$\hat{H}$$ के प्रेरक क्षेत्र को देखना संभव है। हालाँकि, यदि किसी ऊर्जा प्रेरक क्षेत्र में कोई निश्चित  समानता (भौतिकी) नहीं है, तो यह दावा किया जा सकता है कि संबंधित प्रेरक मान पतित है, और  $$P|\psi\rangle$$ एवं $$|\psi\rangle$$ के समान प्रेरक मान के साथ  $$\hat{H}$$  का एक प्रेरक संवाहक है।

अपकर्ष और समरूपता
क्वांटम-यांत्रिक सिस्टम में अपक्षय की भौतिक उत्पत्ति प्राय: सिस्टम में कुछ समरूपता की उपस्थिति होती है। क्वांटम प्रणाली की समरूपता का अध्ययन, कुछ मामलों में, हमें श्रोडिंगर समीकरण को हल करे बिना ऊर्जा के स्तर और पतन को अन्वेषण में सक्षम बनाता है, जिससे प्रयास कम हो जाता है।

गणितीय रूप से, समरूपता के साथ अपकर्ष के संबंध को इस प्रकार स्पष्ट किया जा सकता है। एकात्मक संचालक $S$ से संबंधित समरूपता संक्रिया पर विचार करें।    इस तरह के एक संचालन के साथ, नया हैमिल्टनियन संचालक   $S$  के माध्यम से उत्पन्न समानता परिवर्तन के माध्यम से मूल है। मिल्टनियन से संबंधित है, जैसे कि  $$H'=SHS^{-1}=SHS^\dagger$$ चूंकि   $S$  एकात्मक है। यदि परिवर्तन संचालन  $S$ के साथ हैमिल्टनियन अपरिवर्तित रहता है तो हमारे पास है
 * $$SHS^\dagger=H$$
 * $$SHS^{-1}=H$$
 * $$SH=HS$$
 * $$[S,H]=0$$

अब यदि $$|\alpha\rangle $$ एक ऊर्जा अवस्था है,
 * $$H|\alpha\rangle=E|\alpha\rangle$$

जिस स्थान पर E संगत ऊर्जा प्रेरक मान है।
 * $$HS|\alpha\rangle=SH|\alpha\rangle=SE|\alpha\rangle=ES|\alpha\rangle$$

जिसका अर्थ है कि $$S|\alpha\rangle$$भी समान प्रेरक मान  $E$ के साथ एक ऊर्जा प्रेरक अवस्था है। यदि दोनों अवस्था $$|\alpha\rangle$$ और $$S|\alpha\rangle$$ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं (अर्थात् भौतिक रूप से भिन्न), इसलिए वे अपकर्ष हैं।

ऐसे मामलों में जहां $S$  को एक सतत पैरामीटर  $$\epsilon$$  की विशेषता है, प्रपत्र  $$S(\epsilon)|\alpha\rangle$$ की सभी अवस्थाओं में समान ऊर्जा प्रेरक मान होती है।

 हैमिल्टनियन का समरूपता समूह 

क्वांटम सिस्टम के हैमिल्टनियन के साथ आवागमन करने वाले सभी संचालको के सेट को हैमिल्टन के समरूपता समूह बनाने के लिए कहा जाता है। इस समूह के जनक (समूहों) के क्रमविनिमेयक समूह के बीजगणित का निर्धारण करते हैं। समरूपता समूह का एक n-आयामी प्रतिनिधित्व समरूपता संचालको की गुणन तालिका को संरक्षित करता है। एक विशेष समरूपता समूह के साथ हैमिल्टनियन की संभावित अपकर्ष समूह के अलघुकरणीय अभ्यावेदन के आयामों के माध्यम से दिए गए हैं। n-गुणन अपकर्ष प्रेरकमान के अनुरूप प्रेरक फलन  हैमिल्टनियन के समरूपता समूह के n-आयामी अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व के लिए एक आधार बनाते हैं।

अपकर्ष के प्रकार
एक क्वांटम प्रणाली में अपकर्ष स्वभाव में व्यवस्थित या आकस्मिक हो सकती है।

व्यवस्थित या आवश्यक अपकर्ष
इसे एक ज्यामितीय या सामान्य अपकर्ष भी कहाँ जाता है, और विचाराधीन प्रणाली में किसी प्रकार की समरूपता की उपस्थिति के कारण उत्पन्न होता है, अर्थात एक निश्चित संचालन के साथ हैमिल्टनियन की अपरिवर्तनीयता है, जैसा कि पूर्व वर्णित है। एक सामान्य अपकर्ष से प्राप्त प्रतिनिधित्व अप्रासंगिक है और संबंधित प्रेरक फलन  इस प्रतिनिधित्व के लिए एक आधार बनाते हैं।

आकस्मिक अपकर्ष
यह प्रणाली की कुछ विशेष विशेषताओं या विचाराधीन क्षमता के कार्यात्मक रूप से उत्पन्न होने संबंधी अपकर्ष का एक प्रकार है, और संभवतः प्रणाली में एक लुप्त हुई गतिशील समरूपता से संबंधित है। इसका परिणाम संरक्षित परिमाण में भी होता है, जिन्हें स्पष्ट करना प्राय: सरल नहीं होता है। असतत ऊर्जा वर्णक्रम में आकस्मिक समरूपता इन अतिरिक्त अपकर्ष की ओर ले जाती है। एक आकस्मिक अपकर्ष इस तथ्य के कारण हो सकता है कि हैमिल्टनियन का समूह पूर्ण नहीं है। ये अपकर्ष शास्त्रीय भौतिकी में बाध्य कक्षाओं के अस्तित्व से जुड़े हैं।

उदाहरण: कूलॉम और अनुरूप दोलक सामर्थ्यः
केंद्रीय $1/r$  क्षमता में एक कण के लिए, लाप्लास-रनगे-लेन्ज़ संवाहक एक संरक्षित मात्रा है जो आकस्मिक अपकर्ष के परिणामस्वरूप होती है, इसके अतरिक्त आवर्तनशील अपरिवर्तनीयता के कारण कोणीय गति का संरक्षण भी होता है।

शंकु की शीर्ष पर केन्द्रित $1/r$ और $r^{2}$  सामर्थ्यः के प्रभाव में शंकु पर घूमने वाले एक कण के लिए, आकस्मिक समरूपता के अनुरूप संरक्षित परिमाण  एक घटक के अलावा, रनगे-लेनज़ संवाहक के समतुल्य के दो घटक होंगी। कोणीय संवेग संवाहक की यह परिमाण  दोनों संभावनाओं के लिए  SU(2)  समरूपता उत्पन्न करती हैं।

उदाहरण: स्थिर चुंबकीय क्षेत्र में कण
स्थिर चुंबकीय क्षेत्र के प्रभाव में गतिमान कण, एक वृत्ताकार कक्षा पर साइक्लोट्रॉन गति से गुजर रहा है, आकस्मिक समरूपता का एक और महत्वपूर्ण उदाहरण है। इस मामले में समरूपता गुणक लैंडौ स्तर हैं जो अनंततः रूप से अपकर्ष हैं।

हाइड्रोजन परमाणु
परमाणु भौतिकी में, एक हाइड्रोजन परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन की बाध्य अवस्थाएँ हमें अपकर्ष के उपयोगी उदाहरण दिखाती हैं। इस मामले में, हैमिल्टनियन कुल कोणीय गति संचालको $$\hat{L^2}$$ के साथ आवागमन करता है, इसका घटक z-दिशा के साथ $$\hat{L_z}$$, कुल चक्र (भौतिकी) कोणीय गति $$\hat{S^2}$$ और इसका z-घटक $$\hat{S_z}$$ है। इन संचालको के अनुरूप क्वांटम संख्याएं क्रमशः $$l$$, $$m_l$$, $$s$$ हैं (सदैव एक इलेक्ट्रॉन के लिए 1/2) और $$m_s$$ क्रमानुसार है।

हाइड्रोजन परमाणु में ऊर्जा का स्तर मात्र मुख्य क्वांटम संख्या $n$ पर निर्भर करता है। दिए गए  n के लिए  $$l=0, \ldots, n-1$$ के अनुरूप सभी अवस्थाओं में समान ऊर्जा होती है, और वे अपकर्ष होते हैं। इसी प्रकार  $n$ और $l$  के दिए गए मानों के लिए  $$m_l = -l, \ldots, l$$ के साथ  $$(2l+1)$$ स्थितियाँ अपकर्ष हैं। ऊर्जा स्तर En की अपकर्ष की श्रेणी इसलिए  :$$\sum_{l \mathop =0}^{n-1}(2l+1) = n^2$$ है जो चक्र अपकर्ष को शामिल करने पर युग्मित हो जाती है।

$$m_l$$ के संबंध में अपकर्ष एक आवश्यक अपकर्ष है जो किसी भी केंद्रीय क्षमता के लिए मौजूद है, और एक अनुकूल स्थानिक दिशा की अनुपस्थिति से उत्पन्न होता है। $l$  के संबंध में अपकर्ष को प्राय एक आकस्मिक अपकर्ष के रूप में वर्णित किया जाता है, किन्तु इसे श्रोडिंगर समीकरण की विशेष समरूपता के संदर्भ में समझाया जा सकता है जो मात्र हाइड्रोजन परमाणु के लिए मान्य है जिसमें संभावित ऊर्जा कूलम्ब के नियम द्वारा दी गई है।।

आइसोट्रोपिक त्रि-आयामी अनुरूप ऑसीलेटर
यह द्रव्यमान एम का एक स्पिन रहित कण है जो त्रि-आयामी अन्तराल में घूम रहा है, केंद्रीय बल के अधीन जिसका पूर्ण मान बल के केंद्र से कण की दूरी के समानुपाती होता है।
 * $$F=-kr$$

इसे क्षमता के बाद से आइसोट्रोपिक कहा जाता है $$V(r)$$ इस पर कार्य करना आवर्तनशील रूप से अपरिवर्तनीय है, अर्थात:$$V(r) = 1/2 \left(m\omega^2r^2\right)$$ जिस स्थान पर $$\omega$$ के माध्यम से दी गई कोणीय आवृत्ति है $\sqrt{k/m}$.

चूंकि इस तरह के एक कण का अवस्था स्थान भिन्न-भिन्न एक-आयामी तरंग कार्यों से जुड़े अवस्था अन्तराल का टेन्सर उत्पाद है, इस तरह की प्रणाली के लिए अवधि -स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण के माध्यम से दिया जाता है-
 * $$-\frac{\hbar^2}{2m} \left(\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}\right) +\frac{1}{2}{m\omega^2(x^2+y^2+z^2)\psi}=E\psi$$

तो, ऊर्जा प्रेरक मान s ​​​​हैं $$E_{n_x,n_y,n_z}=(n_x+n_y+n_z+3/2) \hbar\omega$$ या, $$E_n=(n+3/2)\hbar\omega$$ जिस स्थान पर n एक अ-ऋणात्मक पूर्णांक है। तो, ऊर्जा के स्तर अपकर्ष हैं और अपकर्षकी श्रेणी विभिन्न सेटों की संख्या के बराबर है $$\{n_x, n_y, n_z\}$$ संतुष्टि देने वाला
 * $$n_x+n_y+n_z=n$$

की अपकर्ष $$n$$-वें अवस्था के वितरण पर विचार करके प्राप्त जा सकता है $$n$$ क्वांटा पार $$n_x$$, $$n_y$$ और $$n_z$$. 0 में होना $$n_x$$ देता है $$n + 1$$ भर में वितरण की संभावनाएं $$n_y$$ और $$n_z$$. 1 क्वांटा होना $$n_x$$ देता है $$n$$ संभावनाएं भर $$n_y$$ और $$n_z$$ और इसी तरह। यह के सामान्य परिणाम की ओर जाता है $$n - n_x + 1$$ और कुल मिलाकर $$n$$ की अपकर्ष की ओर ले जाता है $$n$$-वें अवस्था ,
 * $$\sum_{n_x=0}^n (n-n_x+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$$

जैसा कि दिखाया गया है, मात्र जमीनी अवस्था जिस स्थान पर $$n = 0$$ अ-अपकर्ष है (यानी, की पतन है $$1$$).

अपकर्षदूर करना
एक क्वांटम यांत्रिक प्रणाली में पतन को हटाया जा सकता है यदि अंतर्निहित समरूपता बाहरी गड़बड़ी सिद्धांत (क्वांटम यांत्रिकी) के माध्यम से तोड़ा जाता है। यह अपकर्ष ऊर्जा स्तरों में विभाजन का कारण बनता है। यह अनिवार्य रूप से मूल अलघुकरणीय अभ्यावेदन का एक विखंडन है जो विकृत प्रणाली के निम्न-आयामी ऐसे निरूपणों में होता है।

गणितीय रूप से, एक छोटी गड़बड़ी क्षमता के आवेदन के कारण विभाजन की गणना अवधि -स्वतंत्र अपकर्ष गड़बड़ी सिद्धांत का उपयोग करके की जा सकती है। यह एक सन्निकटन योजना है जिसे हेमिल्टनियन एच के लिए समाधान दिए जाने पर, एक अनुप्रयुक्त गड़बड़ी के साथ एक क्वांटम प्रणाली के हैमिल्टनियन एच के लिए प्रेरकमान समीकरण के समाधान को अन्वेषण के लिए लागू किया जा सकता है।0 असंतुलित प्रणाली के लिए। इसमें गड़बड़ी श्रृंखला में हैमिल्टनियन एच के प्रेरक मान s ​​​​और eigenkets का विस्तार करना शामिल है। किसी दिए गए ऊर्जा प्रेरक मान के साथ degenerate eigenstates एक संवाहक उप-स्थान बनाते हैं, लेकिन इस स्थान के eigenstates का हर आधार गड़बड़ी सिद्धांत के लिए एक अच्छा प्रारंभिक बिंदु नहीं है, क्योंकि आम तौर पर उनके पास परेशान प्रणाली के कोई eigenstates नहीं होंगे। चुनने का सही आधार वह है जो अपकर्ष उप-स्थान के भीतर गड़बड़ी हैमिल्टनियन को विकर्ण करता है।


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!Lifting of degeneracy by first-order degenerate perturbation theory.
 * Consider an unperturbed Hamiltonian $$\hat{H_0}$$ and perturbation $$\hat{V}$$, so that the perturbed Hamiltonian
 * $$\hat{H}=\hat{H_0}+\hat{V}$$
 * $$\hat{H}=\hat{H_0}+\hat{V}$$

The perturbed eigenstate, for no degeneracy, is given by-
 * $$|\psi_0\rangle=|n_0\rangle+\sum_{k\neq0}V_{k0}/(E_0-E_k)|n_k\rangle$$

The perturbed energy eigenket as well as higher order energy shifts diverge when $$E_0=E_k$$, i.e., in the presence of degeneracy in energy levels. Assuming $$\hat{H_0}$$ possesses N degenerate eigenstates $$|m\rangle$$ with the same energy प्रेरक मान E, and also in general some non-degenerate eigenstates. A perturbed प्रेरक अवस्था$$|\psi_j\rangle$$ can be written as a linear expansion in the unperturbed degenerate eigenstates as-
 * $$ |\psi_j\rangle=\sum_{i}|m_i\rangle\langle m_i|\psi_j\rangle=\sum_{i}c_{ji}|m_i\rangle$$
 * $$[\hat{H_0}+\hat{V}]\psi_j\rangle=[\hat{H_0}+\hat{V}]\sum_{i}c_{ji}|m_i\rangle=E_j\sum_{i}c_{ji}|m_i\rangle$$

where $$E_j$$ refer to the perturbed energy प्रेरक मान s. Since $$E$$ is a degenerate प्रेरक मान of $$\hat{H_0}$$,
 * $$\sum_{i}c_{ji}\hat{V}|m_i\rangle=(E_j-E)\sum_{i}c_{ji}|m_i\rangle=\Delta E_j\sum_{i}c_{ji}|m_i\rangle$$

Premultiplying by another unperturbed degenerate eigenket $$\langle m_k|$$ gives-
 * $$\sum_{i}c_{ji}[\langle m_k|\hat{V}|m_i\rangle-\delta_{ik}(E_j-E)]=0$$

This is an प्रेरक मान problem, and writing $$V_{ik}=\langle m_i|\hat{V}|m_k\rangle$$, we have-
 * $$\begin{vmatrix} V_{11}-\Delta E_j & V_{12} & \dots & V_{1N} \\

V_{21} & V_{22}-\Delta E_j & \dots & V_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ V_{N1} & V_{N2} & \dots & V_{NN}-\Delta E_j \end{vmatrix}.\,$$

The N प्रेरक मान s obtained by solving this equation give the shifts in the degenerate energy level due to the applied perturbation, while the प्रेरक संवाहक s give the perturbed states in the unperturbed degenerate basis $$|m\rangle$$. To choose the good eigenstates from the beginning, it is useful to find an operator $$\hat{V}$$ which commutes with the original Hamiltonian $$\hat{H_0}$$ and has simultaneous eigenstates with it.
 * }

क्षोभ के माध्यम से अपक्षय को दूर करने के भौतिक उदाहरण
भौतिक स्थितियों के कुछ महत्वपूर्ण उदाहरण जिस स्थान पर एक क्वांटम प्रणाली के अपक्षयी ऊर्जा स्तर एक बाहरी गड़बड़ी के अनुप्रयोग के माध्यम से विभाजित होते हैं, नीचे दिए गए हैं।

दो-स्तरीय प्रणालियों में समरूपता टूटना
एक दो-स्तरीय प्रणाली अनिवार्य रूप से एक भौतिक प्रणाली को संदर्भित करती है जिसमें दो अवस्था होते हैं जिनकी ऊर्जा एक साथ होती है और सिस्टम के अन्य अवस्था ों से बहुत अलग होती है। ऐसी प्रणाली के लिए सभी गणनाएं अवस्था अन्तराल के द्वि-आयामी उप-स्थल टोपोलॉजी पर की जाती हैं।

यदि किसी भौतिक प्रणाली की जमीनी स्थिति दो गुना अपकर्ष है, तो दो संबंधित अवस्था ों के बीच कोई भी युग्मन प्रणाली की जमीनी स्थिति की ऊर्जा को कम करता है, और इसे और अधिक स्थिर बनाता है।

यदि $$E_1$$ और $$E_2$$ सिस्टम के ऊर्जा स्तर हैं, जैसे कि $$E_1=E_2=E$$, और गड़बड़ी $$W$$ निम्नलिखित 2×2 मैट्रिक्स के रूप में द्वि-आयामी उप-स्थान में दिखाया गया है


 * $$\mathbf{W}=\begin{bmatrix}

0 & W_{12} \\ W_{12}^* & 0 \end{bmatrix}. $$ तब विक्षुब्ध ऊर्जाएं हैं
 * $$E_{+}=E+|W_{12}|$$
 * $$E_{-}=E-|W_{12}|$$

दो-अवस्था प्रणालियों के उदाहरण जिनमें सिस्टम की अंतर्निहित संपत्ति के कारण आंतरिक संपर्क से हैमिल्टनियन में ऑफ-डायगोनल परिस्थितिों की उपस्थिति से ऊर्जा अवस्था ों में पतन टूट जाती है:
 * बेंजीन, पड़ोसी कार्बन परमाणुओं के बीच तीन दोहरे बंधनों के दो संभावित स्वभावों के साथ।
 * अमोनिया अणु, जिस स्थान पर नाइट्रोजन परमाणु तीन हाइड्रोजन परमाणुओं के माध्यम से परिभाषित विमान के पूर्व या नीचे हो सकता है।
 * अणु, जिसमें इलेक्ट्रॉन को दो नाभिकों में से किसी एक के आसपास स्थानीयकृत किया जा सकता है।

ललित-संरचना विभाजन
आपेक्षिकीय गति और स्पिन-कक्षा युग्मन के कारण हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन के बीच कूलॉम  अन्योन्यक्रिया में सुधार एक एकल प्रमुख क्वांटम संख्या n के संगत l के विभिन्न मानों के लिए ऊर्जा स्तरों में अपकर्षको तोड़ने में परिणाम देता है।

आपेक्षिक सुधार के कारण गड़बड़ी हैमिल्टन के माध्यम से दिया गया है


 * $$H_r=-p^4/8m^3c^2$$

जिस स्थान पर $$p$$ संवेग संचालक है और $$m$$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है। में प्रथम-क्रम सापेक्ष ऊर्जा सुधार $$|nlm\rangle$$ के माध्यम से आधार दिया गया है
 * $$E_r=(-1/8m^3c^2)\langle nlm|p^4|nlm \rangle$$

अब $$p^4=4m^2(H^0+e^2/r)^2$$
 * $$\begin{aligned}

E_r&=(-1/2mc^2)[E_n^2+2E_ne^2\langle 1/r \rangle + e^4\langle 1/r^2 \rangle]\\ &=(-1/2)mc^2\alpha^4[-3/(4n^4)+1/{n^3(l+1/2)}] \end{aligned}$$ जिस स्थान पर $$\alpha$$ ठीक संरचना स्थिर है।

स्पिन-ऑर्बिट इंटरेक्शन, प्रोटॉन के साथ सापेक्ष गति के कारण इसके के माध्यम से अनुभव किए गए चुंबकीय क्षेत्र के साथ इलेक्ट्रॉन के आंतरिक चुंबकीय क्षण के बीच की बातचीत को संदर्भित करता है। इंटरैक्शन हैमिल्टनियन है
 * $$H_{so}=-(e/mc){\vec{m}\cdot\vec{L}/r^3}=[(e^2/(m^2c^2r^3))\vec{S}\cdot\vec{L}] $$

जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है


 * $$H_{so}=(e^2/(4m^2c^2r^3))[\vec{J}^2-\vec{L}^2-\vec{S}^2]$$

में पहला क्रम ऊर्जा सुधार $$|j,m,l,1/2\rangle$$ आधार जिस स्थान पर हैमिल्टनियन विकर्ण है, के माध्यम से दिया गया है
 * $$E_{so}=(\hbar^2e^2)/(4m^2c^2)[j(j+1)-l(l+1)-3/4]/((a_0)^3n^3(l(l+1/2)(l+1))]$$

जिस स्थान पर $$a_0$$ बोह्र त्रिज्या है। टोटल फाइन-स्ट्रक्चर एनर्जी शिफ्ट के माध्यम से दिया गया है


 * $$E_{fs}=-(mc^2\alpha^4/(2n^3))[1/(j+1/2)-3/4n]$$

के लिए $$j=l\pm1/2$$.

ज़ीमान प्रभाव
चुंबकीय क्षण की परस्पर क्रिया के कारण बाहरी चुंबकीय क्षेत्र में रखे जाने पर परमाणु के ऊर्जा स्तरों का विभाजन $$\vec{m}$$ लागू क्षेत्र के साथ परमाणु को Zeeman प्रभाव के रूप में जाना जाता है।

कक्षीय और स्पिन कोणीय संवेग को ध्यान में रखते हुए, $$\vec{L}$$ और $$\vec{S}$$, क्रमशः, हाइड्रोजन परमाणु में एक एकल इलेक्ट्रॉन की गड़बड़ी हैमिल्टन के माध्यम से दी गई है
 * $$\hat{V}=-(\vec{m_l}+\vec{m_s})\cdot\vec{B}$$

जिस स्थान पर $$m_l=-e \vec{L}/2m$$ और $$m_s=-e \vec{S}/m$$. इस प्रकार,
 * $$\hat{V}=e (\vec{L}+2\vec{S})\cdot\vec{B}/2m$$

अब, कमजोर क्षेत्र Zeeman प्रभाव के मामले में, जब आंतरिक क्षेत्र की तुलना में लागू क्षेत्र कमजोर होता है, तो स्पिन-ऑर्बिट युग्मन हावी होता है और $$\vec{L}$$ और $$\vec{S}$$ अलग से संरक्षित नहीं हैं। अच्छी क्वांटम संख्याएँ n, l, j और m हैंj, और इस आधार पर, पहला आदेश ऊर्जा सुधार के माध्यम से दिखाया जा सकता है
 * $$E_z=-\mu_B g_j B m_j$$, जिस स्थान पर

$$\mu_B={e\hbar}/2m$$ बोह्र मैग्नेटो कहा जाता है। इस प्रकार, के मान पर निर्भर करता है $$m_j$$, प्रत्येक अपकर्ष ऊर्जा स्तर अनेक स्तरों में विभाजित हो जाता है।

मजबूत-क्षेत्र Zeeman प्रभाव के मामले में, जब लागू क्षेत्र काफी मजबूत होता है, ताकि कक्षीय और स्पिन कोणीय गति कम हो जाए, तो अच्छी क्वांटम संख्याएं अब n, l, m हैंl, और एमs. इधर, एलzऔर एसzसंरक्षित हैं, इसलिए गड़बड़ी हैमिल्टन के माध्यम से दी गई है-
 * $$\hat{V}=eB(L_z+2S_z)/2m$$

चुंबकीय क्षेत्र को z- दिशा के साथ मानते हुए। इसलिए,
 * $$\hat{V}=eB(m_l+2m_s)/2m$$

एम के प्रत्येक मान के लिएl, m के दो संभावित मान हैंs, $$\pm1/2$$.

निरा प्रभाव
किसी बाहरी विद्युत क्षेत्र के अधीन होने पर किसी परमाणु या अणु के ऊर्जा स्तरों का विभाजन स्टार्क प्रभाव के रूप में जाना जाता है।

हाइड्रोजन परमाणु के लिए, गड़बड़ी हैमिल्टनियन है


 * $$\hat{H}_{s}=-|e|Ez$$

यदि विद्युत क्षेत्र को z-दिशा के साथ चुना जाता है।

लागू क्षेत्र के कारण ऊर्जा सुधार की अपेक्षा मान के माध्यम से दिए गए हैं $$\hat{H}_{s}$$ में $$|nlm\rangle$$ आधार। यह चयन नियमों के माध्यम से दिखाया जा सकता है कि $$\langle nlm_l|z|n_1l_1m_{l1}\rangle\ne0$$ कब $$l=l_1\pm1$$ और $$m_l=m_{l1}$$.

पहले क्रम में चयन नियमों का पालन करने वाले कुछ अवस्था ों के लिए ही अपकर्षको हटा दिया जाता है। अपकर्ष अवस्था ों के लिए ऊर्जा स्तरों में प्रथम-क्रम विभाजन $$|2,0,0\rangle$$ और $$|2,1,0\rangle$$, दोनों n = 2 के अनुरूप, के माध्यम से दिया गया है $$\Delta E_{2,1,m_l}=\pm|e|(\hbar^2)/(m_e e^2)E$$.

यह भी देखें

 * अवस्था ों का घनत्व

अग्रिम पठन

 * Quantum degeneracy in two dimensional systems, Debnarayan Jana, Dept. of Physics, University College of Science and Technology
 * Quantum degeneracy in two dimensional systems, Debnarayan Jana, Dept. of Physics, University College of Science and Technology
 * Quantum degeneracy in two dimensional systems, Debnarayan Jana, Dept. of Physics, University College of Science and Technology
 * Quantum degeneracy in two dimensional systems, Debnarayan Jana, Dept. of Physics, University College of Science and Technology
 * Quantum degeneracy in two dimensional systems, Debnarayan Jana, Dept. of Physics, University College of Science and Technology
 * Quantum degeneracy in two dimensional systems, Debnarayan Jana, Dept. of Physics, University College of Science and Technology