साइन-गॉर्डन समीकरण

साइन-गॉर्डन समीकरण फलन $$\varphi$$ के लिए अरेखीय प्रणाली हाइपरबोलिक आंशिक अंतर समीकरण है जो सामान्यतः $$x$$ और $$t$$ दर्शाए गए दो चर पर निर्भर करता है, जिसमें वेव ऑपरेटर और $$\varphi$$ की साइन और कोसाइन सम्मिलित होती है।

3-आयामी अंतरिक्ष में निरंतर गॉसियन वक्रता -1 की सतहों के लिए गॉस-कोडाज़ी समीकरण के रूप में छद्ममंडल के अध्ययन के समय, इसे मूल रूप से प्रस्तुत किया गया था। द्वारा समीकरण को पुनः खोजा गया। क्रिस्टल अव्यवस्थाओं के उनके अध्ययन को फ्रेनकेल-कोंटोरोवा मॉडल के रूप में जाना जाता है। सॉलिटन समाधानों की उपस्थिति के कारण इस समीकरण ने 1970 के दशक में बहुत अधिक ध्यान आकर्षित किया, और एकीकृत प्रणाली का उदाहरण है। प्रसिद्ध इंटीग्रेबल पीडीई के बीच, साइन-गॉर्डन समीकरण अपने लोरेंट्ज़ इनवेरिएंस के कारण एकमात्र सापेक्ष प्रणाली है।

विभेदक ज्यामिति में समीकरण की उत्पत्ति
साइन-गॉर्डन समीकरण के दो समकक्ष रूप हैं। (वास्तविक संख्या) अंतरिक्ष-समय निर्देशांक में, $$(x,t)$$ दर्शाया गया है, समीकरण पढ़ता है:
 * $$\varphi_{tt} - \varphi_{xx} + \sin\varphi = 0,$$

जहां आंशिक व्युत्पन्नों को सबस्क्रिप्ट द्वारा दर्शाया जाता है। प्रकाश-शंकु निर्देशांक (u,v) को पास करना, स्पर्शोन्मुख निर्देशांक के समान है;


 * $$u = \frac{x + t}{2}, \quad v = \frac{x - t}{2},$$

समीकरण यह रूप ले लेता है
 * $$\varphi_{uv} = \sin\varphi.$$

यह साइन-गॉर्डन समीकरण का मूल रूप है, क्योंकि इसे 19वीं शताब्दी में निरंतर गाऊसी वक्रता K = −1 की सतहों की विभेदक ज्यामिति की जांच के समय माना गया था, जिसे छद्मगोलाकार सतह भी कहा जाता है। ऐसी सतह के लिए विशिष्ट समन्वय प्रणाली है, जिसमें समन्वय मेश u = स्थिरांक, v = स्थिरांक चाप की लंबाई के संबंध में पैरामीटरयुक्त स्पर्शोन्मुख वक्र द्वारा दिया जाता है। इन निर्देशांकों में सतह के प्रथम मौलिक रूप का विशेष रूप होता है:


 * $$ds^2 = du^2 + 2\cos\varphi \,du\,dv + dv^2,$$

जहाँ $$\varphi$$ स्पर्शोन्मुख रेखाओं के बीच के कोण को व्यक्त करता है, और दूसरे मौलिक रूप के लिए $$L = N = 0, M = \sin \varphi$$, फिर पहले और दूसरे मौलिक रूपों के बीच अनुकूलता की स्थिति को व्यक्त करने वाले गॉस-कोडाज़ी समीकरण का परिणाम साइन-गॉर्डन समीकरण होता है।

इस विश्लेषण से पता चलता है कि कोई भी छद्मगोलाकार सतह साइन-गॉर्डन समीकरण के समाधान को जन्म देती है, चूँकि कुछ चेतावनियों के साथ: यदि सतह पूर्ण है, तो यह हिल्बर्ट के प्रमेय (विभेदक ज्यामिति) के कारण आवश्यक रूप से एकवचन वक्र है। सबसे सरल स्थिति में, छद्ममंडल, जिसे ट्रैक्रोइड के रूप में भी जाना जाता है, स्थिर एक-सॉलिटॉन से मेल खाता है, लेकिन ट्रैक्रॉइड के भूमध्य रेखा पर विलक्षण पुच्छ होता है।

इसके विपरीत, कोई व्यक्ति कठोर परिवर्तन तक विशिष्ट रूप से छद्ममंडल प्राप्त करने के लिए साइन-गॉर्डन समीकरण के समाधान से प्रारंभ कर सकता है। प्रमेय है, जिसे कभी-कभी सतहों का मौलिक प्रमेय कहा जाता है, कि यदि आव्यूह-मूल्यवान द्विरेखीय रूपों की जोड़ी गॉस-कोडाज़ी समीकरणों को संतुष्ट करती है, तो वे 3-आयामी अंतरिक्ष में एम्बेडेड सतह के पहले और दूसरे मौलिक रूप हैं। साइन-गॉर्डन समीकरण के समाधान का उपयोग ऊपर प्राप्त रूपों का उपयोग करके ऐसे आव्यूह के निर्माण के लिए किया जा सकता है।



पुराने से नए समाधान
19वीं सदी में लुइगी बियानची और अल्बर्ट विक्टर बैक्लुंड द्वारा इस समीकरण और छद्मगोलाकार सतहों के संबंधित परिवर्तनों के अध्ययन से बैक्लुंड परिवर्तनों की खोज हुई। छद्मगोलाकार सतहों का अन्य परिवर्तन 1879 में सोफस लाई द्वारा प्रारंभ किया गया स्क्वीज़ मैपिंग लाई ट्रांसफ़ॉर्म है, जो साइन-गॉर्डन समीकरण के समाधान के लिए लोरेंत्ज़ बूस्ट से मेल खाता है। नए समाधान बनाने के कुछ अधिक सरल विधियाँ भी हैं, लेकिन वे नई सतह नहीं देते हैं। चूँकि साइन-गॉर्डन समीकरण विषम है, किसी भी समाधान का नकारात्मक दूसरा समाधान है। चूँकि यह नई सतह नहीं देता है, क्योंकि संकेत-परिवर्तन सतह के सामान्य के लिए दिशा के चुनाव पर निर्भर करता है। समाधान का अनुवाद करके नए समाधान ढूंढे जा सकते हैं: यदि $$\varphi$$ समाधान है, तो $$n$$ पूर्णांक के लिए $$\varphi + 2n\pi$$ है।

नामकरण
साइन-गॉर्डन समीकरण नाम भौतिकी में प्रसिद्ध क्लेन-गॉर्डन समीकरण पर वाक्य है:


 * $$\varphi_{tt} - \varphi_{xx} + \varphi = 0.$$

साइन-गॉर्डन समीकरण उस क्षेत्र का यूलर-लैग्रेंज समीकरण है, जिसका लैग्रेंजियन घनत्व निम्न द्वारा दिया गया है


 * $$\mathcal{L}_\text{SG}(\varphi) = \frac{1}{2} (\varphi_t^2 - \varphi_x^2) - 1 + \cos\varphi.$$

लैग्रेंजियन में कोज्या के टेलर श्रृंखला विस्तार का उपयोग करते हुए,


 * $$\cos(\varphi) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-\varphi^2)^n}{(2n)!},$$

क्लेन-गॉर्डन लैग्रेंजियन प्लस उच्च-क्रम नियमों के रूप में पुनः लिखा जा सकता है:



\begin{align} \mathcal{L}_\text{SG}(\varphi) &= \frac{1}{2} (\varphi_t^2 - \varphi_x^2) - \frac{\varphi^2}{2} + \sum_{n=2}^\infty \frac{(-\varphi^2)^n}{(2n)!} \\ &= \mathcal{L}_\text{KG}(\varphi) + \sum_{n=2}^\infty \frac{(-\varphi^2)^n}{(2n)!}. \end{align} $$

सॉलिटॉन समाधान
साइन-गॉर्डन समीकरण की रोचक विशेषता सॉलिटॉन और मल्टीसॉलिटॉन समाधानों का अस्तित्व है।

1-सॉलिटॉन समाधान
साइन-गॉर्डन समीकरण में निम्नलिखित 1-सॉलिटॉन समाधान हैं:


 * $$\varphi_\text{soliton}(x, t) := 4 \arctan \left(e^{m \gamma (x - vt) + \delta}\right),$$

जहाँ


 * $$\gamma^2 = \frac{1}{1 - v^2},$$

और समीकरण का थोड़ा अधिक सामान्य रूप ग्रहण किया गया है:


 * $$\varphi_{tt} - \varphi_{xx} + m^2 \sin\varphi = 0.$$

1-सॉलिटॉन समाधान जिसके लिए हमने $$\gamma$$ सकारात्मक जड़ को चुना है, इसे किंक कहा जाता है और यह चर में मोड़ $$\varphi$$ का प्रतिनिधित्व करता है, जो प्रणाली को स्थिर समाधान $$\varphi = 0$$ से आसन्न स्थिर समाधान $$\varphi = 2\pi$$ के लिए ले जाता है। स्थिति $$\varphi \cong 2\pi n$$ इन्हें निर्वात अवस्था के रूप में जाना जाता है, क्योंकि ये शून्य ऊर्जा के निरंतर समाधान हैं। 1-सॉलिटॉन समाधान जिसमें हम $$\gamma$$ के लिए नकारात्मक मूल लेते हैं, जिन्हें एंटीकिंक कहा जाता है। 1-सॉलिटॉन समाधान का रूप बैक्लुंड ट्रांसफॉर्म को तुच्छ (निर्वात) समाधान में प्रयुक्त करने और परिणामी प्रथम-क्रम अंतर के एकीकरण के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है:


 * $$\varphi'_u = \varphi_u + 2\beta \sin\frac{\varphi' + \varphi}{2},$$
 * $$\varphi'_v = -\varphi_v + \frac{2}{\beta} \sin\frac{\varphi' - \varphi}{2} \text{ with } \varphi = \varphi_0 = 0$$

सदैव के लिए।

1-सोलिटॉन समाधानों को 1970 में जूलियो रुबिनस्टीन द्वारा प्रस्तुत इलास्टिक रिबन साइन-गॉर्डन मॉडल के उपयोग से देखा जा सकता है। यहां हम टोपोलॉजिकल चार्ज $$\theta_\text{K} = -1$$ के साथ किंक होने के लिए इलास्टिक रिबन को दक्षिणावर्त (बाएं हाथ से) घुमाते हैं। टोपोलॉजिकल चार्ज $$\theta_\text{AK} = +1$$ के साथ वैकल्पिक वामावर्त (दाएं हाथ) मोड़ एंटीकिंक होगा।



2-सॉलिटॉन समाधान
मल्टी-सॉलिटॉन समाधान को 1-सॉलिटॉन समाधान में बैक्लुंड ट्रांसफॉर्म के निरंतर अनुप्रयोग के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है, जैसा कि रूपांतरित परिणामों से संबंधित बियांची जाली द्वारा निर्धारित किया गया है। साइन-गॉर्डन समीकरण के 2-सॉलिटॉन समाधान सॉलिटॉन की कुछ विशिष्ट विशेषताएं दिखाते हैं। यात्रा करने वाले साइन-गॉर्डन किंक और/या एंटीकिंक एक-दूसरे से ऐसे गुजरते हैं मानो पूरी तरह से पारगम्य हों, और एकमात्र देखा गया प्रभाव चरण (तरंगें) है। चूंकि टकराने वाले सॉलिटॉन अपने वेग और आकार को पुनः प्राप्त कर लेते हैं, इसलिए इस तरह की वार्तालाप को लोचदार टक्कर कहा जाता है।

किंक-किंक समाधान द्वारा दिया जाता है $$\varphi_{K/K}(x,t) = 4 \arctan \left(\frac{v^2 \sinh \frac{x}{\sqrt{1 - v^2}}}{\sqrt{v^2-1}\cosh \frac{vt}{\sqrt{1 - v^2}}}\right)$$ जबकि किंक-एंटीकिंक समाधान द्वारा दिया जाता है $$\varphi_{K/AK}(x,t) = 4 \arctan \left(\frac{v \cosh \frac{x}{\sqrt{1 - v^2}}}{\sinh \frac{vt}{\sqrt{1 - v^2}}}\right)$$

अन्य रोचक 2-सॉलिटॉन समाधान युग्मित किंक-एंटीकिंक व्यवहार की संभावना से उत्पन्न होता है जिसे ब्रीथर के रूप में जाना जाता है। तीन प्रकार के ब्रीथ लेने वाले ज्ञात हैं: खड़े होकर ब्रीथ लेने वाले, बड़े आयाम वाले ब्रीथ लेने वाले, और छोटे आयाम वाले ब्रीथ लेने वाले। स्टैंडिंग ब्रीथ सॉल्यूशन द्वारा दिया जाता है: $$\varphi(x,t) = 4 \arctan\left(\frac{\sqrt{1-\omega^2}\;\cos(\omega t)}{\omega\;\cosh(\sqrt{1-\omega^2}\; x)}\right).$$

3-सॉलिटॉन समाधान
ट्रैवलिंग किंक और स्टैंडिंग ब्रीथ या ट्रैवलिंग एंटीकिंक और स्टैंडिंग ब्रीथ के बीच 3-सॉलिटॉन टकराव के परिणामस्वरूप स्टैंडिंग ब्रीथ में चरण परिवर्तन होता है। ट्रैवलिंग किंक और स्टैंडिंग ब्रीथ के बीच टकराव की प्रक्रिया में, ब्रीथ लेने वालों का बदलाव $$\Delta_\text{B}$$ द्वारा दिया गया है:


 * $$\Delta_\text{B} =\frac{2\operatorname{artanh}\sqrt{(1 - \omega^2)(1 - v_\text{K}^2)}}{\sqrt{1 - \omega^2}},$$

जहाँ $$v_\text{K}$$ किंक का वेग है, और $$\omega$$ ब्रीथ लेने की आवृत्ति है। यदि खड़े होकर ब्रीथ लेने की पुरानी स्थिति $$x_0$$ है, टक्कर के बाद नई स्थिति $$x_0 + \Delta_\text{B}$$ होगी।

बैकलुंड परिवर्तन
लगता है कि $$\varphi$$ साइन-गॉर्डन समीकरण का समाधान है
 * $$ \varphi_{uv} = \sin \varphi.\,$$

फिर प्रणाली
 * $$\begin{align}

\psi_u & = \varphi_u + 2a \sin \Bigl( \frac{\psi+\varphi}{2} \Bigr) \\ \psi_v & = -\varphi_v + \frac{2}{a} \sin \Bigl( \frac{\psi-\varphi}{2} \Bigr) \end{align} \,\!$$ जहां a इच्छानुसार पैरामीटर है, किसी फलन $$\psi$$ के लिए हल करने योग्य है, जो साइन-गॉर्डन समीकरण को भी संतुष्ट करेगा। यह दोनों की तरह, ऑटो-बैकलंड परिवर्तन का उदाहरण $$\varphi$$ और $$\psi$$ है, एक ही समीकरण, अर्थात् साइन-गॉर्डन समीकरण के समाधान हैं।

आव्यूह प्रणाली का उपयोग करके, साइन-गॉर्डन समीकरण के समाधान के लिए रैखिक बैक्लुंड परिवर्तन खोजना भी संभव है।

उदाहरण के लिए, यदि $$\varphi$$ तुच्छ समाधान $$\varphi \equiv 0$$ है, तब $$\psi$$ के साथ एक-सॉलिटॉन पर प्रयुक्त किए गए बूस्ट से संबंधित समाधान $$a$$ है।

टोपोलॉजिकल चार्ज और ऊर्जा
किसी समाधान का टोपोलॉजिकल चार्ज या वाइंडिंग नंबर $$\varphi$$ है $$N = \frac{1}{2\pi} \int_\mathbb{R} d\varphi = \frac{1}{2\pi} \left[\varphi(x = \infty, t) - \varphi(x = -\infty, t)\right].$$ समाधान की ऊर्जा $$\varphi$$ है $$E = \int_\mathbb{R} \left\{\frac{1}{2}(\varphi_t^2 + \varphi_x^2) + [1 + \cos\varphi]\right\}$$ (जो साइन-गॉर्डन मॉडल के लिए लैग्रेन्जियन के लिए हैमिल्टनियन है)।

यदि ऊर्जा सीमित है तो टोपोलॉजिकल चार्ज संरक्षित रहता है। टोपोलॉजिकल चार्ज समाधान का निर्धारण नहीं करता है, यहां तक ​​कि लोरेंत्ज़ बूस्ट तक भी। तुच्छ समाधान और सोलिटॉन-एंटीसोलिटन जोड़ी $$N = 0$$ समाधान दोनों में है।

शून्य-वक्रता सूत्रीकरण
साइन-गॉर्डन समीकरण किसी विशेष के वक्रता रूप $$\mathfrak{su}(2)$$- प्रमुख संबंध $$\mathbb{R}^2$$ शून्य के बराबर होना।

स्पष्ट रूप से, निर्देशांक $$(u,v)$$ पर $$\mathbb{R}^2$$ के साथ, कनेक्शन घटक $$A_\mu$$ द्वारा दिए गए हैं $$A_u = \begin{pmatrix}i\lambda & \frac{i}{2}\varphi_u \\ \frac{i}{2}\varphi_u & -i\lambda\end{pmatrix} = \frac{1}{2}\varphi_u i\sigma_1 + \lambda i\sigma_3,$$ $$A_v = \begin{pmatrix}-\frac{i}{4\lambda}\cos\varphi & -\frac{1}{4\lambda}\sin\varphi \\ \frac{1}{4\lambda}\sin\varphi & \frac{i}{4\lambda}\cos\varphi\end{pmatrix} = -\frac{1}{4\lambda}i\sin\varphi\sigma_2 - \frac{1}{4\lambda}i\cos\varphi\sigma_3,$$ जहां $$\sigma_i$$ पॉल के आव्यूह हैं। फिर शून्य-वक्रता समीकरण $$\partial_v A_u - \partial_u A_v + [A_u, A_v] = 0$$ साइन-गॉर्डन समीकरण $$\varphi_{uv} = \sin\varphi$$ के बराबर है। शून्य-वक्रता समीकरण को इसलिए नाम दिया गया है क्योंकि यदि इसे $$F_{\mu\nu} = [\partial_\mu - A_\mu, \partial_\nu - A_\nu]$$ परिभाषित किया जाए तो यह वक्रता के शून्य के बराबर होने के अनुरूप है।.

आव्यूह की जोड़ी $$A_u$$ और $$A_v$$ साइन-गॉर्डन समीकरण के लिए लैक्स जोड़ी के रूप में भी जाना जाता है, इस अर्थ में कि शून्य-वक्रता समीकरण लैक्स के समीकरण को संतुष्ट करने के बजाय पीडीई को पुनर्प्राप्त करता है।

संबंधित समीकरण
द्वारा दिया गया है
 * $$\varphi_{xx} - \varphi_{tt} = \sinh\varphi.$$

यह लैग्रेंजियन (क्षेत्र सिद्धांत) का यूलर-लैग्रेंज समीकरण है


 * $$\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\varphi_t^2 - \varphi_x^2) - \cosh\varphi.$$

अन्य निकटतम संबंधित समीकरण अण्डाकार साइन-गॉर्डन समीकरण या यूक्लिडियन साइन-गॉर्डन समीकरण है, जो द्वारा दिया गया है


 * $$\varphi_{xx} + \varphi_{yy} = \sin\varphi,$$

जहाँ $$\varphi$$ अब चर x और y का फलन है। यह अब सॉलिटॉन समीकरण नहीं है, लेकिन इसमें कई समान गुण हैं, क्योंकि यह विश्लेषणात्मक निरंतरता (या विक घूर्णन ) y = it द्वारा साइन-गॉर्डन समीकरण से संबंधित है।

अण्डाकार सिंह-गॉर्डन समीकरण' को इसी तरह से परिभाषित किया जा सकता है।

अन्य समान समीकरण लिउविले क्षेत्र सिद्धांत के लिए यूलर-लैग्रेंज समीकरण से आता है

$$\varphi_{xx} - \varphi_{tt} = 2e^{2\varphi}.$$ टोडा क्षेत्र सिद्धांत द्वारा सामान्यीकरण दिया गया है। अधिक स्पष्ट रूप से, लिउविले क्षेत्र सिद्धांत परिमित केएसी-मूडी बीजगणित के लिए टोडा क्षेत्र सिद्धांत $$\mathfrak{sl}_2$$ है, जबकि पाप(एच)-गॉर्डन एफ़िन काक-मूडी बीजगणित के लिए टोडा क्षेत्र सिद्धांत $$\hat \mathfrak{sl}_2$$ है।

अनंत आयतन और आधी रेखा पर
रेखाखंड पर, या आधी रेखा पर कोई वृत्त पर साइन-गॉर्डन मॉडल पर भी विचार कर सकता है। ऐसी सीमा स्थितियाँ खोजना संभव है जो मॉडल की अभिन्नता को संरक्षित करती हैं। आधी रेखा पर स्पेक्ट्रम में सोलिटॉन और ब्रेथर्स के अतिरिक्त सीमाबद्ध अवस्थाएँ होती हैं।

क्वांटम साइन-गॉर्डन मॉडल
क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में साइन-गॉर्डन मॉडल में पैरामीटर होता है जिसे प्लैंक स्थिरांक से पहचाना जा सकता है। कण स्पेक्ट्रम में सॉलिटॉन, एंटी-सॉलिटॉन और ब्रीथ लेने वालों की सीमित (संभवतः शून्य) संख्या होती है।  ब्रीथ लेने वालों की संख्या पैरामीटर के मान पर निर्भर करती है। बड़े पैमाने पर शेल पर बहुकण उत्पादन रुक जाता है।

साइन-गॉर्डन मॉडल का अर्ध-शास्त्रीय परिमाणीकरण लुडविग फद्दीव और व्लादिमीर कोरेपिन द्वारा किया गया था। स्पष्ट क्वांटम प्रकीर्णन आव्यूह की खोज अलेक्जेंडर ज़मोलोडचिकोव ने की थी।

यह मॉडल कॉलिंग मॉडल का एस-द्वैत है, जैसा कि सिडनी कोलमैन द्वारा खोजा गया था। इसे कभी-कभी कोलमैन पत्राचार के रूप में जाना जाता है और यह इंटरैक्टिंग स्थिति में बोसोन-फर्मियन पत्राचार के उदाहरण के रूप में कार्य करता है। इस लेख से यह भी पता चला है कि मॉडल में दिखने वाले स्थिरांक पुनर्सामान्यीकरण के अनुसार अच्छा व्यवहार करते हैं: तीन पैरामीटर $$\alpha_0, \beta$$ और $$\gamma_0$$ हैं। कोलमैन ने दिखाया $$\alpha_0$$ केवल गुणात्मक सुधार प्राप्त करता है, $$\gamma_0$$ केवल योगात्मक सुधार प्राप्त करता है, और $$\beta$$ पुनर्सामान्यीकृत नहीं किया गया है। इसके अतिरिक्त महत्वपूर्ण, गैर-शून्य मान $$\beta = \sqrt{4\pi}$$ के लिए, सिद्धांत वास्तव में मुक्त विशाल लैग्रेंजियन सूत्रीकरण का दोहरा है।

क्वांटम साइन-गॉर्डन समीकरण को संशोधित किया जाना चाहिए जिससे घातांक शीर्ष ऑपरेटर बन जाएं


 * $$\mathcal{L}_{QsG} = \frac{1}{2} \partial_\mu \varphi \partial^\mu \varphi + \frac{1}{2}m_0\varphi^2 - \alpha(V_\beta + V_{-\beta})$$
 * $$V_\beta = :e^{i\beta\varphi}:$$ के साथ, जहां अर्धविराम सामान्य क्रम को दर्शाते हैं। संभावित सामूहिक शब्द सम्मिलित है।

पुनर्सामान्यीकरण के नियम
पैरामीटर के विभिन्न मानों $$\beta^2$$ के लिए, साइन-गॉर्डन सिद्धांत के पुनर्सामान्यीकरण गुण बदल जाते हैं। इन अवस्थाओं की पहचान का श्रेय जुर्ग फ्रोहलिच को दिया जाता है।

परिमित व्यवस्था $$\beta^2 < 4\pi$$ है, जहां सिद्धांत को अच्छी तरह प्रस्तुत करने के लिए किसी प्रतिशब्द की आवश्यकता नहीं है। सुपर-रेनॉर्मलाइज़ेबल अवस्था $$4\pi < \beta^2 < 8\pi$$ है, जहां सिद्धांत को अच्छी तरह प्रस्तुत करने के लिए सीमित संख्या में प्रतिशब्दों की आवश्यकता होती है। प्रत्येक सीमा के लिए अधिक प्रतिशब्दों $$\frac{n}{n+1}8\pi$$ के उत्तीर्ण होने की आवश्यकता है। $$\beta^2 > 8\pi$$ के लिए, सिद्धांत अपरिभाषित हो जाता है । सीमा मान $$\beta^2 = 4\pi$$ और $$\beta^2 = 8\pi$$ हैं, जो क्रमशः मुक्त फर्मियन बिंदु हैं, क्योंकि सिद्धांत कोलमैन पत्राचार के माध्यम से मुक्त फर्मियन के लिए दोहरी है, और स्व-दोहरी बिंदु, जहां शीर्ष ऑपरेटर एक एफ़िन sl2 उपबीजगणित काक-मूडी बीजगणित बनाते हैं, और सिद्धांत कठोरता से पुनर्सामान्यीकरण योग्य (पुनर्सामान्यीकरण योग्य, लेकिन अति-पुनर्सामान्यीकरण योग्य नहीं) हो जाता है।

स्टोकेस्टिक साइन-गॉर्डन मॉडल
स्टोकेस्टिक या डायनेमिक साइन-गॉर्डन मॉडल का अध्ययन मार्टिन हेयरर और हाओ शेन द्वारा किया गया है, क्वांटम साइन-गॉर्डन सिद्धांत से अनुमानी परिणामों को सांख्यिकीय सेटिंग में सिद्ध करने की अनुमति देना है।

समीकरण है:

जहाँ $$c, \beta, \theta$$ वास्तविक-मूल्यवान स्थिरांक हैं, और $$\xi$$ अंतरिक्ष-समय का श्वेत शोर है। अंतरिक्ष आयाम 2 पर तय किया गया है। समाधान के अस्तित्व के प्रमाण में, सीमा $$\beta^2 = \frac{n}{n+1}8\pi$$ फिर से कुछ नियमों के अभिसरण को निर्धारित करने में भूमिका निभाते हैं।

सुपरसिमेट्रिक साइन-गॉर्डन मॉडल
साइन-गॉर्डन मॉडल का सुपरसिमेट्रिक विस्तार भी उपस्थित है। इस विस्तार के लिए सीमा संरक्षण की अभिन्नता की स्थिति भी पाई जा सकती है।

भौतिक अनुप्रयोग
साइन-गॉर्डन मॉडल फ्रेनकेल-कोंटोरोवा मॉडल की सातत्य सीमा के रूप में उत्पन्न होता है जो क्रिस्टल अव्यवस्थाओं को मॉडल करता है।

यह निरंतर शास्त्रीय XY मॉडल में क्वांटम भंवर और एंटी-भंवर की कूलम्ब गैस के लिए प्रभावी कार्रवाई के समान सार्वभौमिकता वर्ग में है जो चुंबकत्व का मॉडल है। इसलिए भंवरों के लिए कोस्टरलिट्ज़-थूलेस संक्रमण को साइन-गॉर्डन क्षेत्र सिद्धांत के पुनर्सामान्यीकरण समूह विश्लेषण से प्राप्त किया जा सकता है।  साइन-गॉर्डन समीकरण चुंबकत्व के अलग मॉडल, क्वांटम हाइजेनबर्ग मॉडल, विशेष रूप से XXZ मॉडल की औपचारिक सातत्य सीमा के रूप में भी उत्पन्न होता है।

यह भी देखें

 * जोसेफसन प्रभाव
 * फ्लक्सन
 * तरंगों को आकार दें

बाहरी संबंध

 * sine-Gordon equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
 * Sinh-Gordon Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
 * sine-Gordon equation at NEQwiki, the nonlinear equations encyclopedia.