वॉल्यूम फॉर्म

गणित में, वॉल्यूम फॉर्म या टॉप-डायमेंशनल फॉर्म अलग करने योग्य कई गुना डायमेंशन के बराबर डिग्री का विभेदक रूप है। इस प्रकार कई गुना $$M$$ आयाम का $$n$$, वॉल्यूम फॉर्म के लिए $$n$$-प्रपत्र होते हैं। यह लाइन बंडल के अनुभाग (फाइबर बंडल) के स्थान का तत्व $$\textstyle{\bigwedge}^n(T^*M)$$ होता हैं, इस रूप में $$ \Omega^n(M)$$ घोषित किया जाता हैं, जिसमें कई गुना होने वाले तत्व की $$ \Omega^n(M)$$ मात्रा के रूप में स्वीकार करता है इस स्थिति में यह उन्मुख रहता है। कुंडा कई गुना होने पर अधिक रूप से कई वॉल्यूम फॉर्म प्राप्त होते हैं, क्योंकि वॉल्यूम फॉर्म को फ़ंक्शन द्वारा गुणा करने से और वॉल्यूम फॉर्म प्राप्त होता है। गैर-उन्मुख कई गुना पर, इसके अतिरिक्त कई गुना पर घनत्व की कमजोर धारणा को परिभाषित किया जा सकता है।

एक वॉल्यूम फॉर्म अलग-अलग कई गुना पर फ़ंक्शन (गणित) के अभिन्न अंग को परिभाषित करने का माध्यम प्रदान करता है। दूसरे शब्दों में, आयतन रूप माप (गणित) को जन्म देता है जिसके संबंध में फलनों को उपयुक्त लेबेस्ग इंटीग्रल द्वारा एकीकृत किया जाता हैं। वॉल्यूम फॉर्म का पूर्ण मूल्य वॉल्यूम तत्व है, जिसे विभिन्न रूप से मुड़ वॉल्यूम फॉर्म या छद्म-वॉल्यूम फॉर्म के रूप में भी जाना जाता है। यह माप को भी परिभाषित करता है, किन्तु किसी भी अलग-अलग कई गुना, उन्मुख या नहीं पर सम्मिलित रहते हैं।

काहलर मैनिफोल्ड्स, जटिल मैनिफोल्ड्स होने के कारण, स्वाभाविक रूप से उन्मुख होते हैं, और इसलिए उनके पास वॉल्यूम फॉर्म होता है। अधिक सामान्यतः, $$n$$साहचर्य रूप की बाहय शक्ति पर साहचर्य बहुरूपी मात्रा रूप है। मैनिफोल्ड के कई वर्गों में कैनोनिकल वॉल्यूम फॉर्म होते हैं: उनके पास अतिरिक्त संरचना होती है जो पसंदीदा वॉल्यूम फॉर्म की पसंद की अनुमति देती है। ओरिएंटेड स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड में संबंधित कैनोनिकल वॉल्यूम फॉर्म है।

अभिविन्यास
निम्नलिखित केवल अलग-अलग मैनिफोल्ड की उन्मुखता के बारे में होगा (यह किसी भी टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड पर परिभाषित अधिक सामान्य धारणा है)।

यह एक मैनिफोल्ड एडजस्टेबल है यदि इसमें समन्वय एटलस का उपयोग करते हैं जिसके सभी संक्रमण फलनों में धनात्मक जैकोबियन निर्धारक घोषित किया जाता हैं। इस प्रकार अधिकतम ऐसे एटलस का चयन अभिविन्यास $$M.$$ है। इस मात्रा में $$\omega$$ पर $$M$$ समन्वय चार्ट के एटलस के रूप में स्वाभाविक रूप से अभिविन्यास $$M$$ को जन्म देता है इस प्रकार $$\omega$$ यूक्लिडियन वॉल्यूम फॉर्म के धनात्मक गुणक के लिए $$dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^n.$$का उपयोग करता हैं। यहाँ एक वॉल्यूम फॉर्म चलती फ्रेम के वर्ग के विनिर्देश $$M.$$ के लिए भी अनुमति देता है, स्पर्शरेखा सदिशों के आधार को $$(X_1, \ldots, X_n)$$ दाहिना हाथ काॅल किया जाता हैं।$$\omega\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right) > 0.$$सभी दाएं हाथ के फ़्रेमों का संग्रह समूह क्रिया (गणित) $$\mathrm{GL}^+(n)$$ द्वारा समूह (गणित) है, इसमें सामान्य रेखीय समूह मैपिंग की $$n$$ धनात्मक निर्धारक के साथ आयाम के प्रिंसिपल बंडल या प्रिंसिपल $$\mathrm{GL}^+(n)$$ बनाते हैं। इसके रैखिक फ्रेम बंडल का उप-बंडल $$M,$$ और इसलिए वॉल्यूम फॉर्म से जुड़ा ओरिएंटेशन फ्रेम बंडल के कैनोनिकल रिडक्शन $$M$$ देता है, संरचना समूह के साथ उप-बंडल के लिए $$\mathrm{GL}^+(n).$$ का तात्पर्य यह है कि आयतन रूप जी-संरचना $$\mathrm{GL}^+(n)$$ को जन्म देता है- जिसकी संरचना $$M.$$ द्वारा प्राप्त की जाती हैं। इन फ़्रेमों पर विचार किया जाता हैं, इन पर विचार करके प्राप्त होने वाली कमियों को स्पष्ट रूप से संभवतः प्राप्त किया जाता है-

इस प्रकार आयतन रूप को $$\mathrm{SL}(n)$$-संरचना भी जन्म देती है। इसके विपरीत $$\mathrm{SL}(n)$$-संरचना, कोई थोप कर आयतन रूप को पुनः प्राप्त कर सकता है। इस प्रकार समीकरण ($$) विशेष रैखिक फ्रेम के लिए $$n$$-प्रपत्र $$\omega$$ अपने तर्कों में एकरूपता की आवश्यकता के द्वारा और फिर आवश्यकता के अनुसार हल करता हैं।

एक मैनिफोल्ड ओरिएंटेबल है अगर और केवल अगर इसमें कहीं नहीं विलुप्त होने वाले वॉल्यूम फॉर्म द्वारा प्रदर्शित होता है। वास्तव में, $$\mathrm{SL}(n) \to \mathrm{GL}^+(n)$$ के पश्चात विरूपण को $$\mathrm{GL}^+ = \mathrm{SL} \times \R^+,$$ द्वारा वापस किया जाता है, जहां धनात्मक वास्तविकताओं को अदिश आव्यूहों के रूप में सन्निहित किया जाता है। इस प्रकार $$\mathrm{GL}^+(n)$$-संरचना के लिए कम हो जाती है। जो $$\mathrm{SL}(n)$$-संरचना, और $$\mathrm{GL}^+(n)$$-संरचनाएं अभिविन्यास $$M.$$ के साथ मेल खाती हैं। इसके अधिक संक्षेप में, निर्धारक बंडल की तुच्छता $$\Omega^n(M)$$ ओरिएंटेबिलिटी के समतुल्य है, और लाइन बंडल तुच्छ है अगर और केवल अगर इसमें कहीं विलुप्त अनुभाग नहीं है। इस प्रकार, वॉल्यूम फॉर्म का अस्तित्व उन्मुखता के बराबर है।

उपायों से संबंध
एक मात्रा रूप दिया $$\omega$$ ओरिएंटेड मैनिफोल्ड पर, डेंसिटी ऑन मैनिफोल्ड $$|\omega|$$ आयतन स्यूडोटेंसर है। अभिविन्यास को भूलकर प्राप्त गैर-कई गुना पर छद्म रूप से प्राप्त किया जाता हैं। गैर-उन्मुख मैनिफोल्ड पर घनत्व को अधिक सामान्यतः परिभाषित किया जा सकता है।

कोई भी आयतन छद्म रूप $$\omega$$ (और इसलिए कोई भी आयतन रूप) बोरेल सेट पर माप को परिभाषित करता है$$\mu_\omega(U) = \int_U\omega .$$अंतर यह है कि जब माप को (बोरेल) सबसेट पर एकीकृत किया जा सकता है, तो वॉल्यूम फॉर्म को केवल उन्मुख सेल पर ही एकीकृत किया जा सकता है। एकल चर कलन में, लेखन $\int_b^a f\,dx = -\int_a^b f\,dx$ पर विचार $$dx$$ मात्रा के रूप में, न केवल उपाय के रूप में, और $\int_b^a$  सेल पर एकीकृत इंगित करता है। इस प्रकार $$[a,b]$$ विपरीत अभिविन्यास के साथ, कभी-कभी $$\overline{[a, b]}$$ द्वारा निरूपित किया जाता है।

इसके अतिरिक्त, सामान्य उपायों को निरंतर या सुचारू होने की आवश्यकता नहीं है: उन्हें मात्रा के रूप में परिभाषित करने की आवश्यकता नहीं है, या अधिक औपचारिक रूप से, किसी दिए गए मात्रा के संबंध में उनके रेडॉन-निकोडीम डेरिवेटिव को बिल्कुल निरंतर नहीं होना चाहिए।

विचलन
$$\omega$$ पर $$M,$$ मात्रा को एक रूप दिया जाता हैं। कोई सदिश क्षेत्र के विचलन $$X$$ को परिभाषित कर सकता है। इसलिए अद्वितीय स्केलर-मूल्यवान फ़ंक्शन के रूप में $$\operatorname{div} X,$$ द्वारा चिह्नित संतुष्टि देने के लिए प्रायोजित करते हैं जो इस प्रकार हैं।-$$(\operatorname{div} X)\omega = L_X\omega = d(X \mathbin{\!\lrcorner} \omega) ,$$जहाँ $$L_X$$ असत्यता से व्युत्पन्न को दर्शाता है इस प्रकार यह $$X$$ और $$X \mathbin{\!\lrcorner} \omega$$ के आंतरिक उत्पाद या बाएं टेन्सर संकुचन को दर्शाता है। इसी प्रकार $$\omega$$ साथ में $$X.$$को प्रदर्शित करता हैं यदि $$X$$ कॉम्पैक्ट समर्थन वेक्टर फील्ड है और $$M$$ सीमा के साथ कई गुना है, तो स्टोक्स के प्रमेय का तात्पर्य है$$\int_M (\operatorname{div} X)\omega = \int_{\partial M} X \mathbin{\!\lrcorner} \omega,$$जो विचलन प्रमेय का सामान्यीकरण है।

परिनालिका सदिश क्षेत्र वे होते हैं जिनके साथ $$\operatorname{div} X = 0.$$ यह लाइ डेरिवेटिव की परिभाषा से अनुसरण करता है कि वॉल्यूम फॉर्म सोलनॉइडल वेक्टर क्षेत्र के वेक्टर प्रवाह के अनुसार संरक्षित रहता हैं। इस प्रकार सोलनॉइडल वेक्टर फ़ील्ड ठीक वे हैं जिनमें वॉल्यूम-संरक्षण प्रवाह होते हैं। यह तथ्य प्रसिद्ध है, उदाहरण के लिए, द्रव यांत्रिकी में, जहां वेग क्षेत्र का विचलन द्रव की संपीड्यता को मापता है, जो बदले में द्रव के प्रवाह के साथ किस मात्रा को संरक्षित करता है, इसका प्रतिनिधित्व करता है।

असत्य समूह
किसी भी असत्य समूह के लिए, प्राकृतिक आयतन रूप को अनुवाद द्वारा परिभाषित किया जाता हैं। अर्ताथ यदि $$\omega_e$$ का तत्व $${\textstyle\bigwedge}^n T_e^*G,$$ है, तब वाम-अपरिवर्तनीय रूप द्वारा परिभाषित किया जा सकता है $$\omega_g = L_{g^{-1}}^*\omega_e,$$ कहाँ $$L_g$$ वाम-अनुवाद है। परिणाम के रूप में, प्रत्येक असत्य बोलने वाला समूह उन्मुख होता है। यह आयतन रूप अदिश तक अद्वितीय है, और इसी माप को हार माप के रूप में जाना जाता है।

सहानुभूतिपूर्ण कई गुना
किसी भी सहानुभूतिपूर्ण कई गुना (या वास्तव में किसी भी लगभग सहानुभूतिपूर्ण कई गुना) में प्राकृतिक मात्रा का रूप होता है। अगर $$M$$ है $$2 n$$-आयामी कई गुना सहानुभूतिपूर्ण रूप के साथ $$\omega,$$ तब $$\omega^n$$ सहानुभूतिपूर्ण रूप की गैर-अपमानता के परिणामस्वरूप कहीं भी शून्य नहीं है। परिणाम के रूप में, कोई भी सहानुभूतिपूर्ण कई गुना उन्मुख (वास्तव में, उन्मुख) है। यदि कई गुना दोनों सहानुभूतिपूर्ण और रीमानियन हैं, तो दो वॉल्यूम फॉर्म सहमत हैं यदि कई गुना काहलर कई गुना है। काहलर।

रीमानियन वॉल्यूम फॉर्म
कोई भी ओरिएंटेशन (गणित) स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड या स्यूडो-रीमैनियन (रीमैनियन [[कई गुना]] सहित) मैनिफोल्ड के प्राकृतिक आयतन का रूप है। स्थानीय निर्देशांक में, इसे इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है$$\omega = \sqrt{|g|} dx^1\wedge \dots \wedge dx^n$$जहाँ $$dx^i$$ 1-रूप हैं जो कई गुना के स्पर्शरेखा बंडल के लिए धनात्मक रूप से उन्मुख आधार बनाते हैं। यहाँ, $$|g|$$ कई गुना पर मीट्रिक टेंसर के आव्यूह प्रतिनिधित्व के निर्धारक का पूर्ण मूल्य है।

वॉल्यूम फॉर्म को विभिन्न प्रकार से निरूपित किया जाता है$$\omega = \mathrm{vol}_n = \varepsilon = {\star}(1).$$यहां $${\star}$$ हॉज स्टार है, इस प्रकार अंतिम रूप, $${\star} (1),$$ इस बात पर ध्यान देते हैं कि वॉल्यूम फॉर्म कई गुना पर निरंतर मानचित्र का हॉज डुअल है, जो लेवी-सीविटा टेंसर के बराबर है। इस लेवी-सिविता टेंसर $$\varepsilon.$$ को ग्रीक अक्षर $$\omega$$ वॉल्यूम फॉर्म को निरूपित करने के लिए अधिकांशतः उपयोग किया जाता है, यह संकेतन सार्वभौमिक नहीं है। इसके लिए प्रतीक $$\omega$$ अंतर ज्यामिति में अधिकांशतः कई अन्य अर्थ होते हैं (जैसे कि सहानुभूतिपूर्ण रूप में होता हैं)।

वॉल्यूम फॉर्म के इनवेरिएंट्स
वॉल्यूम फॉर्म अद्वितीय नहीं हैं; वे निम्नानुसार कई गुना गैर-लुप्त होने वाले फलनों पर टोरसर बनाते हैं। $$f$$ पर $$M,$$ गैर-लुप्त होने वाला फलन दिया जाता हैं और $$M.$$ को मात्रा के रूप में $$\omega,$$ $$f\omega$$ वॉल्यूम फॉर्म ऑन के लिए उपयोग किया जाता हैं। इसके विपरीत, दो मात्राओं $$\omega, \omega',$$ द्वारा प्रदर्शित किया जाता हैं। उनका अनुपात गैर-लुप्त होने वाला फलन है (धनात्मक यदि वे समान अभिविन्यास को परिभाषित करते हैं, ऋणात्मक यदि वे विपरीत अभिविन्यास को परिभाषित करते हैं)।

निर्देशांक में, वे दोनों केवल गैर-शून्य फलन समय लेबेस्गु माप हैं, और उनका अनुपात फलनों का अनुपात है, जो निर्देशांक की पसंद से स्वतंत्र है। आंतरिक रूप से, यह रेडॉन-निकोडिम प्रमेय रेडान.E2.80.93निकोडियम व्युत्पन्न या रेडान–निकोडियम का व्युत्पन्न है। इस प्रकार $$\omega'$$ के संबंध में $$\omega.$$ ओरिएंटेड मैनिफोल्ड पर, किसी भी दो वॉल्यूम रूपों की आनुपातिकता को रैडॉन-निकोडीम प्रमेय के ज्यामितीय रूप के रूप में माना जा सकता है।

कोई स्थानीय संरचना नहीं
मैनिफोल्ड पर वॉल्यूम फॉर्म में इस अर्थ में कोई स्थानीय संरचना नहीं है कि यूक्लिडियन स्पेस पर दिए गए वॉल्यूम फॉर्म और वॉल्यूम फॉर्म के बीच अंतर करना छोटे खुले सेटों पर संभव नहीं है।. अर्ताथ हर बिंदु के लिए $$p$$ में $$M,$$ खुला समीप है। इस प्रकार $$U$$ का $$p$$ और डिफियोमोर्फिज्म $$\varphi$$ का $$U$$ खुले सेट पर $$\R^n$$ ऐसा है कि वॉल्यूम फॉर्म चालू है। $$U$$ का संलग्न रहना $$dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n$$ साथ में $$\varphi.$$ द्वारा रहता है।

इसके परिणामस्वरूप यदि $$M$$ और $$N$$ दोनों कई गुना रहते हैं तब प्रत्येक मात्रा $$\omega_M, \omega_N,$$ के रूपों के साथ फिर किसी भी बिंदु के लिए $$m \in M, n \in N,$$ के समीप रहते हैं। $$U$$ का $$m$$ और $$V$$ का $$n$$ और नक्शा $$f : U \to V$$ इस प्रकार है कि वॉल्यूम फॉर्म $$N$$ है। जिसके समीप सीमित $$V$$ वॉल्यूम फॉर्म पर वापस खींचता है। जिसके फलस्वरूप $$M$$ पड़ोस तक ही सीमित $$U$$: $$f^*\omega_N\vert_V = \omega_M\vert_U.$$ का उपयोग करता हैं। इस प्रकार इसके आयाम में, कोई इस प्रकार सिद्ध कर सकता है:

$$\omega$$ पर $$\R,$$ एक मात्रा के रूप में दिया गया हैं जिसे उक्त समीकरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता हैं।$$f(x) := \int_0^x \omega.$$फिर मानक लेबेस्ग्यू माप $$dx$$ पुलबैक (अंतर ज्यामिति) को $$\omega$$ अंतर्गत $$f$$: $$\omega = f^*dx.$$ ठोस रूप से, $$\omega = f'\,dx.$$ उच्च आयामों में, कोई बिंदु दिया गया $$m \in M,$$ इसका स्थानीय रूप से होमियोमॉर्फिक पड़ोस है $$\R\times\R^{n-1},$$ और ही प्रक्रिया लागू कर सकते हैं।

वैश्विक संरचना: आयतन
कनेक्टेड मैनिफोल्ड पर वॉल्यूम फॉर्म $$M$$ एकल वैश्विक अपरिवर्तनीय है, अर्थात् (समग्र) आयतन, निरूपित $$\mu(M),$$ जो आयतन-रूप संरक्षण मानचित्रों के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है; यह अनंत हो सकता है, जैसे कि लेबेस्ग माप के लिए $$\R^n.$$ डिस्कनेक्ट किए गए मैनिफोल्ड पर, प्रत्येक जुड़े हुए घटक का आयतन अपरिवर्तनीय रहता हैं।

इन प्रतीकों में, यदि $$f : M \to N$$ कई गुना का होमियोमोर्फिज्म है जो $$\omega_N$$ को $$\omega_M,$$ के मान को वापस उपयोग करता है इस प्रकार उक्त समीकरण इस प्रकार हैं।-$$\mu(N) = \int_N \omega_N = \int_{f(M)} \omega_N = \int_M f^*\omega_N = \int_M \omega_M = \mu(M)\,$$और यहाँ पर मैनिफोल्ड्स का आयतन समान रहता हैं।

कवरिंग नक्शें के अनुसार वॉल्यूम रूपों को भी वापस खींचा जा सकता है, इस स्थिति में वे फाइबर की कार्डिनैलिटी (औपचारिक रूप से, फाइबर के साथ एकीकरण द्वारा) द्वारा मात्रा को गुणा करते हैं। अनंत शीट वाले कवर के स्थिति में (जैसे $$\R \to S^1$$), परिमित आयतन मैनिफोल्ड पर आयतन रूप अनंत आयतन कई गुना पर आयतन रूप में वापस खींचता है।

यह भी देखें

 * पॉइनकेयर मीट्रिक जटिल तल पर आयतन रूप की समीक्षा प्रदान करता है
 * पॉइनकेयर मीट्रिक जटिल तल पर आयतन रूप की समीक्षा प्रदान करता है
 * पॉइनकेयर मीट्रिक जटिल तल पर आयतन रूप की समीक्षा प्रदान करता है