कज़्दान-लुज़्तिग बहुपद

प्रतिनिधित्व सिद्धांत के गणितीय क्षेत्र में, एक कज़दान-लुज़्ज़टिग बहुपद $$P_{y,w}(q)$$ द्वारा शुरू किए गए अभिन्न बहुपदों के एक परिवार का सदस्य है. वे कॉक्सेटर समूह डब्ल्यू के तत्वों वाई, डब्ल्यू के जोड़े द्वारा अनुक्रमित होते हैं, जो विशेष रूप से एक लाइ समूह के वेइल समूह हो सकते हैं।

प्रेरणा और इतिहास
1978 के वसंत में कज़दान और लस्ज़टिग एक बीजगणितीय समूह के वेइल समूह के स्प्रिंगर पत्राचार का अध्ययन कर रहे थे $$\ell$$-adic cohomology cohomology समूह संयुग्मी वर्गों से संबंधित है जो एकरूप हैं। उन्होंने जटिल संख्याओं पर इन अभ्यावेदन का एक नया निर्माण पाया. प्रतिनिधित्व में दो मूलांक थे, और इन दो आधारों के बीच संक्रमण मैट्रिक्स अनिवार्य रूप से कज़्दान-लुज़्ज़िग बहुपदों द्वारा दिया गया है। उनके बहुपदों का वास्तविक काज़्दान-लुज़्ज़टिग निर्माण अधिक प्राथमिक है। कज़दान और लुज़्ज़टिग ने इसका उपयोग कॉक्सेटर समूह के हेके बीजगणित और उसके प्रतिनिधित्व में बहुपद आधार बनाने के लिए किया।

अपने पहले पेपर में कज़दान और लुज़्ज़टिग ने उल्लेख किया कि उनके बहुपद Schubert किस्म के लिए स्थानीय पोंकारे द्वैत की विफलता से संबंधित थे। में उन्होंने  मार्क गोर्स्की  और रॉबर्ट मैकफ़र्सन (गणितज्ञ) के प्रतिच्छेदन कोहोलॉजी के संदर्भ में इसकी पुनर्व्याख्या की, और कुछ प्रतिच्छेदन कोहोलॉजी समूहों के आयामों के संदर्भ में इस तरह के आधार की एक और परिभाषा दी।

स्प्रिंगर प्रतिनिधित्व के लिए दो आधारों ने वर्मा मॉड्यूल और सरल मॉड्यूल द्वारा दिए गए सेमीसिंपल लाई बीजगणित के कुछ अनंत आयामी प्रतिनिधित्व के ग्रोथेंडिक समूह के लिए दो आधारों के कज़दान और लुसटिग को याद दिलाया। यह सादृश्य, और जेन्स कार्स्टन जैंटजेन और एंथोनी जोसेफ (गणितज्ञ) का काम यूनिवर्सल लिफ़ाफ़े वाले बीजगणित के आदिम आदर्शों को वेइल समूहों के प्रतिनिधित्व से संबंधित करता है, जिससे काज़दान-लुज़्ज़िग अनुमानों का नेतृत्व हुआ।

परिभाषा
जनरेटिंग सेट S के साथ एक कॉक्सेटर समूह W को ठीक करें, और लिखें $$\ell(w)$$ एक तत्व w की लंबाई के लिए (एस के तत्वों के उत्पाद के रूप में डब्ल्यू के लिए अभिव्यक्ति की सबसे छोटी लंबाई)। डब्ल्यू के कॉक्सेटर समूह के हेके बीजगणित में तत्वों का आधार है $$T_w$$ के लिए $$w\in W$$ रिंग के ऊपर $$\mathbb{Z}[q^{1/2}, q^{-1/2}]$$द्वारा परिभाषित गुणन के साथ


 * $$\begin{align}

T_y T_w &= T_{yw}, && \mbox{if }\ell(yw) = \ell(y) + \ell(w) \\ (T_s + 1)(T_s - q) &= 0, && \mbox{if }s \in S. \end{align}$$ द्विघात द्वितीय संबंध का तात्पर्य है कि प्रत्येक जनरेटर $T_{s}$ व्युत्क्रम के साथ, हेके बीजगणित में व्युत्क्रमणीय है $T_{s}^{−1} = q^{−1}T_{s} + q^{−1} − 1$. ये व्युत्क्रम संबंध को संतुष्ट करते हैं $(T_{s}^{−1} + 1)(T_{s}^{−1} − q^{−1}) = 0$ (के लिए द्विघात संबंध को गुणा करके प्राप्त किया गया $T_{s}$ द्वारा $−T_{s}$−2क्यू-1), और चोटी के संबंध भी। इससे यह पता चलता है कि हेके बीजगणित में एक ऑटोमोर्फिज्म डी है जो क्यू भेजता है1/2 से क्यू−1/2 और प्रत्येक $T_{s}$ को $T_{s}^{−1}$. अधिक आम तौर पर एक है $$D(T_w)=T_{w^{-1}}^{-1}$$; डी को भी एक जुड़ाव के रूप में देखा जा सकता है।

कज़्दान-लुज़्तिग बहुपद पीyw(क्यू) डब्ल्यू के तत्वों वाई, डब्ल्यू की एक जोड़ी द्वारा अनुक्रमित किया जाता है, और विशिष्ट रूप से निम्नलिखित गुणों द्वारा निर्धारित किया जाता है।
 * वे 0 हैं जब तक कि y ≤ w (W के Bruhat क्रम में), 1 यदि y = w, और y <w के लिए उनकी डिग्री अधिकतम (ℓ(w) − ℓ(y) − 1)/2 है।
 * अवयव
 * $$C'_w=q^{-\frac{\ell(w)}{2}}\sum_{y\le w} P_{y,w}T_y$$
 * हेके बीजगणित के इनवोल्यूशन डी के तहत अपरिवर्तनीय हैं। अवयव $$C'_w$$ एक के रूप में हेके बीजगणित का आधार बनाएं $$\mathbb{Z}[q^{1/2}, q^{-1/2}]$$-मॉड्यूल, जिसे कज़्दान-लुज़्तिग आधार कहा जाता है।

कज़दान-लुज़टिग बहुपदों के अस्तित्व को स्थापित करने के लिए, कज़दान और लुज़टिग ने बहुपद पी की गणना के लिए एक सरल पुनरावर्ती प्रक्रिया दीyw(क्यू) अधिक प्रारंभिक बहुपद के संदर्भ में आर निरूपित कियाyw(क्यू)। द्वारा परिभाषित


 * $$T_{y^{-1}}^{-1} = \sum_xD(R_{x,y})q^{-\ell(x)}T_x.$$

रिकर्सन संबंधों का उपयोग करके उनकी गणना की जा सकती है


 * $$R_{x,y} =

\begin{cases} 0,                         & \mbox{if } x \not\le y                \\ 1,                         & \mbox{if } x = y                      \\ R_{sx,sy},                 & \mbox{if } sx < x \mbox{ and } sy < y \\ R_{xs,ys},                 & \mbox{if } xs < x \mbox{ and } ys < y \\ (q-1)R_{sx,y} + qR_{sx,sy}, & \mbox{if } sx > x \mbox{ and } sy < y \end{cases}$$ कज़दान-लुज़्ज़टिग बहुपदों को तब संबंध का उपयोग करके पुनरावर्ती रूप से गणना की जा सकती है


 * $$q^{\frac{1}{2}(\ell(w)-\ell(x))}D(P_{x,w}) - q^{\frac{1}{2}(\ell(x)-\ell(w))}P_{x,w} = \sum_{x<y\le w}(-1)^{\ell(x)+\ell(y)}q^{\frac{1}{2}(-\ell(x)+2\ell(y)-\ell(w))}D(R_{x,y})P_{y,w}$$

इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि बाईं ओर के दो पद q में बहुपद हैं1/2 और क्यू−1/2 स्थिर शर्तों के बिना। ये सूत्र लगभग 3 से अधिक रैंक के लिए हाथ से उपयोग करने के लिए थकाऊ हैं, लेकिन कंप्यूटर के लिए अच्छी तरह से अनुकूलित हैं, और उनके साथ कज़्दान-लुज़्ज़टिग बहुपदों की गणना करने की एकमात्र सीमा यह है कि बड़े रैंक के लिए ऐसे बहुपदों की संख्या कंप्यूटर की भंडारण क्षमता से अधिक है.

उदाहरण

 * यदि y ≤ w तो Py,w स्थिर अवधि 1 है।
 * यदि y ≤ w और $ℓ(w) − ℓ(y) ∈ {0, 1, 2}$ फिर पीy,w = 1।
 * अगर डब्ल्यू = डब्ल्यू0 कॉक्सेटर समूह का सबसे लंबा तत्व है तो पीy,w = 1 सभी वाई के लिए।
 * यदि W कॉक्सेटर समूह A है1 या ए2 (या अधिक आम तौर पर रैंक के किसी भी कॉक्सेटर समूह में अधिकतम 2) तो पीy,w 1 है अगर y≤w और 0 अन्यथा।
 * यदि W कॉक्सेटर समूह A है3 सेट एस = {ए, बी, सी} उत्पन्न करने के साथ ए और सी के साथ पीb,bacb = 1 + क्यू और पीac,acbca = 1 + q, गैर-निरंतर बहुपदों का उदाहरण देते हुए।
 * निम्न रैंक समूहों के लिए कज़दान-लुज़्ज़टिग बहुपदों के साधारण मूल्य उच्च रैंक समूहों के लिए विशिष्ट नहीं हैं। उदाहरण के लिए, ई के विभाजित रूप के लिए8 सबसे जटिल Lusztig–Vogan बहुपद (काज़्दान–Lusztig बहुपदों का एक प्रकार: नीचे देखें) है
 * $$\begin{align}

152 q^{22} &+ 3,472 q^{21} + 38,791 q^{20} + 293,021 q^{19} + 1,370,892 q^{18} + 4,067,059 q^{17} + 7,964,012 q^{16}\\ &+ 11,159,003 q^{15} + 11,808,808 q^{14} + 9,859,915 q^{13} + 6,778,956 q^{12} + 3,964,369 q^{11} + 2,015,441 q^{10}\\ &+ 906,567 q^9 + 363,611 q^8 + 129,820 q^7 + 41,239 q^6 + 11,426 q^5 + 2,677 q^4 + 492 q^3 + 61 q^2 + 3 q \end{align}$$
 * ने दिखाया कि स्थिर शब्द 1 और गैर-ऋणात्मक पूर्णांक गुणांक वाला कोई भी बहुपद कुछ सममित समूह के तत्वों की जोड़ी के लिए कज़्दान-लुज़्ज़िग बहुपद है।

कज़्दान-लुज़्ज़टिग अनुमान
कज़्दान-लुज़्ज़टिग बहुपद उनके विहित आधार और हेके बीजगणित के प्राकृतिक आधार के बीच संक्रमण गुणांक के रूप में उत्पन्न होते हैं। इन्वेन्शन्स पेपर में दो समतुल्य अनुमान भी प्रस्तुत किए गए, जिन्हें अब कज़दान-लुज़्ज़्टिग अनुमान के रूप में जाना जाता है, जो जटिल अर्ध-सरल झूठ समूहों और अर्ध-सरल झूठ बीजगणित के प्रतिनिधित्व के साथ 1 पर उनके बहुपदों के मूल्यों से संबंधित हैं, जो प्रतिनिधित्व सिद्धांत में एक लंबे समय से चली आ रही समस्या को संबोधित करते हैं।

W को एक परिमित वेइल समूह होने दें। प्रत्येक के लिए w ∈ W द्वारा निरूपित करता है $M_{w}$ उच्चतम भार का वर्मा मॉड्यूल हो $−w(ρ) − ρ$ जहां ρ सकारात्मक जड़ों (या वेइल वेक्टर) का आधा योग है, और चलो $L_{w}$ इसका अप्रासंगिक भागफल हो, उच्चतम भार का सरल उच्चतम भार मॉड्यूल $−w(ρ) − ρ$. दोनों $M_{w}$ और $L_{w}$ Weyl समूह W के साथ जटिल अर्धसरल लाई बीजगणित g पर स्थानीय रूप से परिमित वजन मॉड्यूल हैं, और इसलिए एक बीजगणितीय चरित्र को स्वीकार करते हैं। जी-मॉड्यूल एक्स के चरित्र के लिए हम सीएच (एक्स) लिखते हैं। कज़दान-लुज़्ज़टिग अनुमान राज्य:


 * $$\operatorname{ch}(L_w)=\sum_{y\le w}(-1)^{\ell(w)-\ell(y)}P_{y,w}(1)\operatorname{ch}(M_y)$$
 * $$\operatorname{ch}(M_w)=\sum_{y\le w}P_{w_0w,w_0y}(1)\operatorname{ch}(L_y)$$

कहाँ $w_{0}$ वेइल समूह की अधिकतम लंबाई का तत्व है।

इन अनुमानों को विशेषता 0 बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों द्वारा स्वतंत्र रूप से सिद्ध किया गया था और तक. सबूत के दौरान शुरू की गई विधियों ने 1980 और 1990 के दशक में ज्यामितीय प्रतिनिधित्व सिद्धांत नाम के तहत प्रतिनिधित्व सिद्धांत के विकास को निर्देशित किया है।

टिप्पणी
1. दो अनुमानों को समतुल्य माना जाता है। इसके अलावा, बोरो-जैंटजेन के अनुवाद सिद्धांत का अर्थ है कि $w(ρ) − ρ$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है $w(λ + ρ) − ρ$ किसी भी प्रमुख अभिन्न भार के लिए $λ$. इस प्रकार, काज़दान-लुज़्ज़टिग अनुमान बर्नस्टीन-गेलफैंड-गेलफैंड श्रेणी ओ के किसी भी नियमित अभिन्न ब्लॉक में वर्मा मॉड्यूल के जॉर्डन-होल्डर बहुलताओं का वर्णन करते हैं।

2. कज़्दान-लुज़्ज़टिग बहुपदों के सभी गुणांकों की एक समान व्याख्या जांटज़ेन अनुमान से होती है, जो मोटे तौर पर कहती है कि व्यक्तिगत गुणांक $P_{y,w}$ की बहुलता हैं $L_{y}$ एक कैनोनिकल फिल्ट्रेशन द्वारा निर्धारित वर्मा मॉड्यूल के कुछ उपभाग में, जैंटजेन फिल्ट्रेशन। रेगुलर इंटेग्रल केस में जैंटजेन का अनुमान बाद के एक पेपर में साबित हुआ था.

3. डेविड वोगन ने अनुमानों के परिणाम के रूप में दिखाया कि


 * $$P_{y,w}(q) = \sum_{i} q^i \dim(\operatorname{Ext}^{\ell(w)-\ell(y)-2i}(M_y,L_w))$$

ओर वो $Ext^{j}(M_{y}, L_{w})$ गायब हो जाता है अगर $j + ℓ(w) + ℓ(y)$ विषम है, इसलिए श्रेणी O में ऐसे सभी बाहरी समूहों के आयाम काज़दान-लुज़्ज़टिग बहुपदों के गुणांकों के संदर्भ में निर्धारित किए जाते हैं। यह परिणाम दर्शाता है कि एक परिमित वेइल समूह के कज़्दान-लुज़्ज़टिग बहुपदों के सभी गुणांक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं। हालांकि, एक परिमित वेइल समूह डब्ल्यू के मामले के लिए सकारात्मकता पहले से ही कज़्दान-लुज़्ज़िग बहुपदों के गुणांकों की व्याख्या से ज्ञात थी, जो अनुमानों के बावजूद, प्रतिच्छेदन कोहोलॉजी समूहों के आयामों के रूप में थी। इसके विपरीत, कज़्दान-लुज़्तिग बहुपदों और एक्सट समूहों के बीच के संबंध को सैद्धांतिक रूप से अनुमानों को साबित करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है, हालांकि उन्हें साबित करने के लिए यह दृष्टिकोण बाहर ले जाने के लिए और अधिक कठिन हो गया।

4. काज़दान-लुज़टिग अनुमानों के कुछ विशेष मामलों को सत्यापित करना आसान है। उदाहरण के लिए, एम1 प्रतिप्रधान वर्मा माड्यूल है, जिसे सरल माना जाता है। इसका मतलब है कि एम1 = एल1, w = 1 के लिए दूसरा अनुमान स्थापित करना, क्योंकि योग एक शब्द तक कम हो जाता है। दूसरी ओर, w = w के लिए पहला अनुमान0 वेइल वर्ण सूत्र और बीजगणितीय वर्ण के सूत्र से अनुसरण करता है, साथ ही इस तथ्य के साथ कि सभी कज़्दान-लुज़्ज़िग बहुपद $$P_{y,w_0}$$ 1 के बराबर हैं।

5. काशीवारा (1990) ने सममित काक-मूडी बीजगणित के लिए कज़दान-लुज़टिग अनुमानों का एक सामान्यीकरण साबित किया।

शुबर्ट किस्मों के प्रतिच्छेदन कोहोलॉजी से संबंध
ब्रुहाट अपघटन द्वारा बीजगणितीय समूह जी के अंतरिक्ष जी / बी वीइल ग्रुप डब्ल्यू के साथ एफिन रिक्त स्थान एक्स का एक अलग संघ हैw डब्ल्यू के तत्वों डब्ल्यू द्वारा पैरामिट्रीकृत। इन रिक्त स्थान के बंद होने $X_{w}$ को शूबर्ट किस्में कहा जाता है, और डेलिग्ने के एक सुझाव के बाद, काज़दान और लुज़्ज़टिग ने दिखाया कि शूबर्ट किस्मों के प्रतिच्छेदन कोहोलॉजी समूहों के संदर्भ में कज़दान-लुज़्ज़टिग बहुपदों को कैसे व्यक्त किया जाए।

अधिक सटीक रूप से, कज़्दान-लुज़्ज़टिग बहुपद पीy,w(क्यू) के बराबर है
 * $$P_{y,w}(q) = \sum_iq^i\dim IH^{2i}_{X_y}(\overline{X_w})$$

जहां दाहिनी ओर प्रत्येक शब्द का अर्थ है: ढेरों का जटिल आईसी लें जिसका हाइपरहोमोलॉजी शुबर्ट किस्म के w का प्रतिच्छेदन समरूपता है (कोशिका का बंद होना) $X_{w}$), इसकी कोहोलॉजी ऑफ़ डिग्री लें $2i$, और फिर सेल के किसी भी बिंदु पर इस पूले के डंठल का आयाम लें $X_{y}$ जिसका बंद होना y की शुबर्ट किस्म है। विषम-आयामी कोहोलॉजी समूह योग में प्रकट नहीं होते हैं क्योंकि वे सभी शून्य हैं।

इसने पहला प्रमाण दिया कि परिमित वेइल समूहों के लिए कज़्दान-लुज़्ज़टिग बहुपदों के सभी गुणांक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं।

वास्तविक समूहों के लिए सामान्यीकरण
लुज़टिग-वोगन बहुपद (जिसे कज़दान-लुज़टिग बहुपद या कज़दान-लुज़टिग-वोगन बहुपद भी कहा जाता है) को पेश किया गया था. वे कज़्दान-लुज़्ज़टिग बहुपदों के अनुरूप हैं, लेकिन वास्तविक अर्धसूत्रीय झूठ समूहों के प्रतिनिधित्व के अनुरूप हैं, और उनके एकात्मक दोहरे के अनुमानित विवरण में प्रमुख भूमिका निभाते हैं। जटिल समूहों की तुलना में वास्तविक समूहों के प्रतिनिधित्व की सापेक्ष जटिलता को दर्शाते हुए उनकी परिभाषा अधिक जटिल है।

भेद, सीधे तौर पर प्रतिनिधित्व सिद्धांत से जुड़े मामलों में, दोहरे कोसेट के स्तर पर समझाया गया है; या जटिल झंडा कई गुना ्स G/B के एनालॉग्स पर कार्रवाई के अन्य शब्दों में जहां G एक जटिल लाइ समूह है और B एक बोरेल उपसमूह है। मूल (के-एल) मामला तब अपघटन के विवरण के बारे में है


 * $$B\backslash G/ B$$,

Bruhat अपघटन का एक शास्त्रीय विषय, और एक Grassmannian में Schubert कोशिकाओं से पहले। एल-वी मामला एक वास्तविक रूप लेता है GR}जी का }, एक अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह $K_{R}$ उस अर्धसरल समूह में $G_{R}$, और जटिलता K बनाता है $K_{R}$. फिर अध्ययन की प्रासंगिक वस्तु है


 * $$K\backslash G/ B$$.

मार्च 2007 में, इसकी घोषणा की गई थी कि E8 (गणित)#External Links|L-V बहुपदों की गणना E के विभाजित रूप के लिए की गई थी8.

प्रतिनिधित्व सिद्धांत में अन्य वस्तुओं के लिए सामान्यीकरण
काज़दान और लुज़्ज़टिग के दूसरे पेपर ने कज़दान-लुज़्ज़टिग बहुपदों की परिभाषा के लिए एक ज्यामितीय सेटिंग की स्थापना की, अर्थात् ध्वज विविधता में शुबर्ट किस्मों की विलक्षणताओं की बीजगणितीय ज्यामिति। लुज़टिग के बाद के अधिकांश कार्यों ने प्रतिनिधित्व सिद्धांत में उत्पन्न होने वाली अन्य प्राकृतिक एकवचन बीजगणितीय किस्मों के संदर्भ में, विशेष रूप से, निलपोटेंट कक्षा ्स और तरकश किस्मों के बंद होने के संदर्भ में कज़दान-लुज़टिग बहुपदों के एनालॉग्स की खोज की। यह पता चला है कि क्वांटम समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत, मॉड्यूलर लाई बीजगणित और एफ़िन हेके बीजगणित सभी कज़दान-लुज़्ज़िग बहुपदों के उचित अनुरूपों द्वारा नियंत्रित होते हैं। वे एक प्रारंभिक विवरण स्वीकार करते हैं, लेकिन प्रतिनिधित्व सिद्धांत के लिए आवश्यक इन बहुपदों के गहरे गुण आधुनिक बीजगणितीय ज्यामिति और समरूप बीजगणित की परिष्कृत तकनीकों का पालन करते हैं, जैसे कि इंटरसेक्शन कोहोलॉजी, विकृत शीव्स और बीलिन्सन-बर्नस्टीन-डेलिग्ने अपघटन का उपयोग।

कज़्दान-लुज़्ज़टिग बहुपदों के गुणांकों को सोर्जेल की बिमॉड्यूल श्रेणी में कुछ समरूपता रिक्त स्थान के आयामों के रूप में अनुमान लगाया गया है। मनमाने कॉक्सेटर समूहों के लिए इन गुणांकों की यह एकमात्र ज्ञात सकारात्मक व्याख्या है।

मिश्रित सिद्धांत
कज़्दान-लुज़्ज़टिग बहुपदों के संयुक्त गुणों और उनके सामान्यीकरण सक्रिय वर्तमान शोध का विषय हैं। प्रतिनिधित्व सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति में उनके महत्व को देखते हुए, ज्यामिति पर कुछ हद तक निर्भर करते हुए, लेकिन प्रतिच्छेदन कोहोलॉजी और अन्य उन्नत तकनीकों के संदर्भ के बिना, पूरी तरह से दहनशील फैशन में कज़दान-लुज़टिग बहुपदों के सिद्धांत को विकसित करने का प्रयास किया गया है। इससे बीजगणितीय कॉम्बिनेटरिक्स में रोमांचक विकास हुआ है, जैसे पैटर्न-परिहार घटना। की पाठ्यपुस्तक में कुछ संदर्भ दिए गए हैं. विषय पर एक शोध मोनोग्राफ है.

, सममित समूहों के लिए भी कज़्दान-लुज़्ज़टिग बहुपदों (कुछ प्राकृतिक सेटों की प्रमुखताओं के रूप में) के सभी गुणांकों की कोई संयुक्त व्याख्या नहीं है, हालांकि कई विशेष मामलों में स्पष्ट सूत्र मौजूद हैं।

असमानता
कोबायाशी (2013) ने साबित किया कि कज़दान-लुज़्ज़टिग बहुपदों के मूल्य $$q=1$$ क्रिस्टलोग्राफिक कॉक्सेटर समूहों के लिए कुछ सख्त असमानता को पूरा करते हैं: होने देना $$(W, S)$$ एक क्रिस्टलोग्राफिक कॉक्सेटर सिस्टम हो और $${P_{uw}(q)}$$ इसके कज़्दान-लुज़्तिग बहुपद। अगर $$u1$$, तब एक प्रतिबिम्ब होता है $$t$$ ऐसा है कि $$P_{uw}(1)>P_{tu, w}(1)>0$$.

बाहरी संबंध

 * Readings from Spring 2005 course on Kazhdan–Lusztig Theory at U.C. Davis by Monica Vazirani
 * The GAP programs for computing Kazhdan–Lusztig polynomials.
 * Fokko du Cloux's Coxeter software for computing Kazhdan–Lusztig polynomials for any Coxeter group
 * Atlas software for computing Kazhdan–Lusztig-Vogan polynomials.
 * Atlas software for computing Kazhdan–Lusztig-Vogan polynomials.