श्वेत रव

[[संकेत आगे बढ़ाना ]] में, सफेद शोर एक यादृच्छिक सिग्नल है जिसमें विभिन्न आवृत्तियों पर समान तीव्रता होती है, जो इसे एक स्थिर शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व देता है। इस शब्द का उपयोग भौतिकी, ध्वनिक इंजीनियरिंग, दूरसंचार और सांख्यिकीय पूर्वानुमान सहित कई वैज्ञानिक और तकनीकी विषयों में, इस या समान अर्थ के साथ किया जाता है। श्वेत शोर किसी विशिष्ट सिग्नल के बजाय सिग्नल और सिग्नल स्रोतों के लिए एक सांख्यिकीय मॉडल को संदर्भित करता है। व्हाइट नॉइज़ का नाम व्हाइट#ऑप्टिक्स से लिया गया है, हालाँकि सफ़ेद दिखाई देने वाली रोशनी में आम तौर पर दृश्यमान स्पेक्ट्रम पर एक फ्लैट पावर वर्णक्रमीय घनत्व नहीं होता है।

असतत समय में, सफेद शोर एक असतत संकेत है जिसका नमूना (संकेत) शून्य माध्य (सांख्यिकी) और परिमित विचरण के साथ क्रमिक सहसंबंध यादृच्छिक चर के अनुक्रम के रूप में माना जाता है; सफ़ेद शोर का एक भी एहसास एक आकस्मिक झटका है। संदर्भ के आधार पर, किसी को यह भी आवश्यकता हो सकती है कि नमूने सांख्यिकीय स्वतंत्रता वाले हों और समान संभाव्यता वितरण हो (दूसरे शब्दों में, आईआईडी सफेद शोर का सबसे सरल प्रतिनिधित्व है)। विशेष रूप से, यदि प्रत्येक नमूने में शून्य माध्य के साथ एक सामान्य वितरण होता है, तो संकेत को योगात्मक सफेद गाऊसी शोर कहा जाता है। श्वेत शोर संकेत के नमूने समय में अनुक्रमिक हो सकते हैं, या एक या अधिक स्थानिक आयामों के साथ व्यवस्थित हो सकते हैं। डिजिटल छवि प्रसंस्करण में, एक सफेद शोर छवि के पिक्सेल आमतौर पर एक आयताकार ग्रिड में व्यवस्थित होते हैं, और कुछ अंतराल पर निरंतर समान वितरण के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक चर माने जाते हैं। इस अवधारणा को अधिक जटिल डोमेन, जैसे कि गोले या टोरस्र्स  में फैले संकेतों के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है।

एक अनंत-बैंडविड्थ श्वेत शोर संकेत एक विशुद्ध सैद्धांतिक निर्माण है। श्वेत शोर की बैंडविड्थ व्यवहार में शोर उत्पन्न करने के तंत्र, संचरण माध्यम और सीमित अवलोकन क्षमताओं द्वारा सीमित है। इस प्रकार, यादृच्छिक संकेतों को सफेद शोर माना जाता है यदि उन्हें संदर्भ के लिए प्रासंगिक आवृत्तियों की सीमा पर एक सपाट स्पेक्ट्रम के रूप में देखा जाता है। एक ऑडियो संकेत  के लिए, प्रासंगिक सीमा श्रव्य ध्वनि आवृत्तियों का बैंड (20 और 20,000  हेटर्स ़ के बीच) है। ऐसा संकेत मानव कान द्वारा फुफकारने की ध्वनि के रूप में सुना जाता है, जो निरंतर आकांक्षा में /h/ ध्वनि जैसा दिखता है। दूसरी ओर, श ध्वनि  राख में एक रंगीन शोर होता है क्योंकि इसकी एक फॉर्मेंट संरचना होती है। संगीत और ध्वनिकी में, सफेद शोर शब्द का उपयोग किसी भी सिग्नल के लिए किया जा सकता है जिसमें समान हिसिंग ध्वनि होती है। श्वेत शोर शब्द का उपयोग कभी-कभी फ़ाइलोजेनेटिक तुलनात्मक तरीकों के संदर्भ में तुलनात्मक डेटा में फ़ाइलोजेनेटिक पैटर्न की कमी को संदर्भित करने के लिए किया जाता है। इसे कभी-कभी गैर-तकनीकी संदर्भों में सार्थक सामग्री के बिना यादृच्छिक बातचीत के अर्थ में समान रूप से उपयोग किया जाता है।

सांख्यिकीय गुण
मूल्यों का कोई भी वितरण संभव है (हालांकि इसमें शून्य डीसी घटक होना चाहिए)। यहां तक ​​कि एक बाइनरी सिग्नल जो केवल 1 या 0 मान ले सकता है वह सफेद होगा यदि अनुक्रम सांख्यिकीय रूप से असंबद्ध है। निरंतर वितरण वाला शोर, जैसे कि सामान्य वितरण, निश्चित रूप से सफेद हो सकता है।

यह अक्सर गलत तरीके से माना जाता है कि गाऊसी शोर (यानी, गाऊसी आयाम वितरण के साथ शोर) – सामान्य वितरण देखें) आवश्यक रूप से सफेद शोर को संदर्भित करता है, फिर भी कोई भी संपत्ति दूसरे को नहीं दर्शाती है। गाऊशियनिटी का तात्पर्य मूल्य के संबंध में संभाव्यता वितरण से है, इस संदर्भ में किसी विशेष आयाम सीमा के भीतर सिग्नल के गिरने की संभावना, जबकि 'व्हाइट' शब्द उस तरीके को संदर्भित करता है जिस तरह सिग्नल शक्ति समय के साथ या आवृत्तियों के बीच वितरित की जाती है (यानी, स्वतंत्र रूप से)।

श्वेत शोर वीनर प्रक्रिया या एक प्रकार कि गति का सामान्यीकृत माध्य-वर्ग व्युत्पन्न है।

अनंत आयामी स्थानों पर यादृच्छिक तत्वों का सामान्यीकरण, जैसे कि यादृच्छिक क्षेत्र, परमाणु स्थान है।

संगीत
श्वेत शोर का उपयोग आमतौर पर इलेक्ट्रॉनिक संगीत के उत्पादन में किया जाता है, आमतौर पर या तो सीधे या अन्य प्रकार के शोर संकेत बनाने के लिए फ़िल्टर के इनपुट के रूप में। इसका उपयोग बड़े पैमाने पर ऑडियो संश्लेषण में किया जाता है, आमतौर पर झांझ या ड्रम फन्दे  जैसे ताल वाद्य यंत्रों को फिर से बनाने के लिए, जिनके आवृत्ति डोमेन में उच्च शोर सामग्री होती है। श्वेत शोर का एक सरल उदाहरण एक अस्तित्वहीन रेडियो स्टेशन (स्थैतिक) है।

इलेक्ट्रॉनिक्स इंजीनियरिंग
श्वेत शोर का उपयोग विद्युत सर्किट, विशेष रूप से एम्पलीफायरों और अन्य ऑडियो उपकरणों की आवेग प्रतिक्रिया प्राप्त करने के लिए भी किया जाता है। इसका उपयोग लाउडस्पीकरों के परीक्षण के लिए नहीं किया जाता है क्योंकि इसके स्पेक्ट्रम में उच्च-आवृत्ति सामग्री बहुत अधिक मात्रा में होती है। गुलाबी शोर, जो सफेद शोर से भिन्न होता है, जिसमें प्रत्येक सप्तक में समान ऊर्जा होती है, का उपयोग लाउडस्पीकर और माइक्रोफोन जैसे ट्रांसड्यूसर के परीक्षण के लिए किया जाता है।

कंप्यूटिंग
श्वेत शोर का उपयोग कुछ हार्डवेयर यादृच्छिक संख्या जनरेटर के आधार के रूप में किया जाता है। उदाहरण के लिए, Random.org स्रोतों से यादृच्छिक अंक पैटर्न उत्पन्न करने के लिए वायुमंडलीय एंटीना की एक प्रणाली का उपयोग करता है जिसे सफेद शोर द्वारा अच्छी तरह से मॉडल किया जा सकता है।

टिनिटस उपचार
श्वेत शोर एक सामान्य सिंथेटिक शोर स्रोत है जिसका उपयोग टिनिटस मास्कर द्वारा ध्वनि मास्किंग के लिए किया जाता है। श्वेत शोर मशीनों और अन्य श्वेत शोर स्रोतों को गोपनीयता बढ़ाने वाले और नींद सहायक (संगीत और नींद देखें) और tinnitus  को छिपाने के लिए बेचा जाता है। मार्पैक स्लीप-मेट पहली घरेलू उपयोग वाली सफेद शोर मशीन थी जिसे 1962 में ट्रैवलिंग सेल्समैन जिम बकवाल्टर द्वारा बनाया गया था। वैकल्पिक रूप से, अप्रयुक्त आवृत्तियों (स्थैतिक) पर ट्यून किए गए एफएम रेडियो का उपयोग सफेद शोर का एक सरल और अधिक लागत प्रभावी स्रोत है। हालाँकि, अप्रयुक्त आवृत्ति पर ट्यून किए गए एक सामान्य वाणिज्यिक रेडियो रिसीवर से उत्पन्न सफेद शोर, नकली संकेतों से दूषित होने के लिए बेहद संवेदनशील है, जैसे कि आसन्न रेडियो स्टेशन, गैर-आसन्न रेडियो स्टेशनों से हार्मोनिक्स, प्राप्त करने वाले एंटीना के आसपास के विद्युत उपकरण जो हस्तक्षेप पैदा करते हैं, या यहां तक ​​कि सौर फ्लेयर्स और विशेष रूप से बिजली जैसी वायुमंडलीय घटनाएं भी।

कार्य वातावरण
संज्ञानात्मक कार्य पर श्वेत शोर का प्रभाव मिश्रित होता है। हाल ही में, एक छोटे से अध्ययन में पाया गया कि सफेद शोर पृष्ठभूमि उत्तेजना ध्यान घाटे सक्रियता विकार (एडीएचडी) वाले माध्यमिक छात्रों के बीच संज्ञानात्मक कार्यप्रणाली में सुधार करती है, जबकि गैर-एडीएचडी छात्रों के प्रदर्शन में कमी आती है। अन्य कार्यों से संकेत मिलता है कि यह पृष्ठभूमि कार्यालय के शोर को छुपाकर श्रमिकों के मूड और प्रदर्शन को बेहतर बनाने में प्रभावी है, लेकिन जटिल कार्ड सॉर्टिंग कार्यों में संज्ञानात्मक प्रदर्शन कम हो जाता है। इसी तरह, सीखने के माहौल में सफेद शोर के उपयोग के लाभों को देखने के लिए छियासठ स्वस्थ प्रतिभागियों पर एक प्रयोग किया गया। प्रयोग में प्रतिभागियों को पृष्ठभूमि में अलग-अलग ध्वनियों के साथ अलग-अलग छवियों की पहचान करना शामिल था। कुल मिलाकर प्रयोग से पता चला कि सीखने के संबंध में सफेद शोर का वास्तव में लाभ है। प्रयोगों से पता चला कि सफेद शोर ने प्रतिभागियों की सीखने की क्षमताओं और उनकी पहचानने की स्मृति में थोड़ा सुधार किया।

श्वेत शोर वेक्टर
एक यादृच्छिक वेक्टर (अर्थात, एक वेक्टर-मूल्यवान यादृच्छिक चर) को एक सफेद शोर वेक्टर या सफेद यादृच्छिक वेक्टर कहा जाता है यदि इसके प्रत्येक घटक में शून्य माध्य और परिमित विचरण के साथ संभाव्यता वितरण होता है, और सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र होते हैं: अर्थात, उनका संयुक्त संभाव्यता वितरण व्यक्तिगत घटकों के वितरण का उत्पाद होना चाहिए। दो चरों की सांख्यिकीय स्वतंत्रता के लिए एक आवश्यक (लेकिन, सामान्य रूप से वितरित और असंबद्ध का अर्थ स्वतंत्र नहीं है| सामान्य तौर पर, पर्याप्त नहीं) शर्त यह है कि वे सहसंबंध हों; अर्थात् उनका सहप्रसरण शून्य है। इसलिए, n तत्वों के साथ एक सफेद शोर वेक्टर w के घटकों का सहप्रसरण मैट्रिक्स R एक n बाय n विकर्ण मैट्रिक्स होना चाहिए, जहां प्रत्येक विकर्ण तत्व Riiघटक w का विचरण हैi; और सहसंबंध और निर्भरता#सहसंबंध मैट्रिक्स मैट्रिक्स n बटा n पहचान मैट्रिक्स होना चाहिए।

यदि, स्वतंत्र होने के अलावा, w में प्रत्येक चर का शून्य माध्य और समान विचरण के साथ एक सामान्य वितरण भी होता है $$\sigma^2$$, w को गॉसियन श्वेत शोर वेक्टर कहा जाता है। उस स्थिति में, w का संयुक्त वितरण एक बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण है; चरों के बीच स्वतंत्रता का तात्पर्य यह है कि वितरण में एन-आयामी अंतरिक्ष में अण्डाकार वितरण है। इसलिए, वेक्टर के किसी भी ऑर्थोगोनल परिवर्तन के परिणामस्वरूप गॉसियन सफेद यादृच्छिक वेक्टर होगा। विशेष रूप से, अधिकांश प्रकार के असतत फूरियर रूपांतरण के तहत, जैसे कि तेज फूरियर ट्रांसफॉर्म और असतत हार्टले परिवर्तन, डब्ल्यू का ट्रांसफॉर्म डब्ल्यू एक गाऊसी सफेद शोर वेक्टर भी होगा; अर्थात्, w के n फूरियर गुणांक शून्य माध्य और समान विचरण के साथ स्वतंत्र गॉसियन चर होंगे $$\sigma^2$$.

एक यादृच्छिक वेक्टर w के पावर स्पेक्ट्रम P को इसके फूरियर ट्रांसफॉर्म W के प्रत्येक गुणांक के वर्ग मापांक के अपेक्षित मूल्य के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, अर्थात, Pi= ई(|डब्ल्यूi|2). उस परिभाषा के तहत, एक गाऊसी सफेद शोर वेक्टर में पी के साथ एक बिल्कुल सपाट पावर स्पेक्ट्रम होगाi= पी2सभी के लिए i.

यदि w एक सफेद यादृच्छिक वेक्टर है, लेकिन गाऊसी नहीं है, तो इसका फूरियर गुणांक W हैiएक दूसरे से पूर्णतः स्वतंत्र नहीं होंगे; हालाँकि बड़े n और सामान्य संभाव्यता वितरण के लिए निर्भरताएँ बहुत सूक्ष्म हैं, और उनके जोड़ीदार सहसंबंध को शून्य माना जा सकता है।

अक्सर सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र के बजाय सांख्यिकीय रूप से असंबद्ध कमजोर स्थिति का उपयोग सफेद शोर की परिभाषा में किया जाता है। हालाँकि, सफेद शोर के कुछ सामान्य अपेक्षित गुण (जैसे फ्लैट पावर स्पेक्ट्रम) इस कमजोर संस्करण के लिए उपयुक्त नहीं हो सकते हैं। इस धारणा के तहत, सख्त संस्करण को स्पष्ट रूप से स्वतंत्र सफेद शोर वेक्टर के रूप में संदर्भित किया जा सकता है। अन्य लेखक इसके स्थान पर दृढ़तापूर्वक सफेद और कमजोर सफेद का उपयोग करते हैं। एक यादृच्छिक वेक्टर का एक उदाहरण जो कमजोर अर्थ में गाऊसी सफेद शोर है लेकिन मजबूत अर्थ में नहीं है $$x=[x_1,x_2]$$ कहाँ $$x_1$$ शून्य माध्य वाला एक सामान्य यादृच्छिक चर है, और $$x_2$$ के बराबर है $$+x_1$$ या करने के लिए $$-x_1$$, समान संभावना के साथ। ये दो चर असंबंधित हैं और व्यक्तिगत रूप से सामान्य रूप से वितरित हैं, लेकिन वे संयुक्त रूप से सामान्य रूप से वितरित नहीं हैं और स्वतंत्र नहीं हैं। अगर $$x$$ 45 डिग्री तक घुमाया जाता है, इसके दो घटक अभी भी असंबद्ध होंगे, लेकिन उनका वितरण अब सामान्य नहीं होगा।

कुछ स्थितियों में कोई व्यक्ति सफेद यादृच्छिक वेक्टर के प्रत्येक घटक को अनुमति देकर परिभाषा में ढील दे सकता है $$w$$ गैर-शून्य अपेक्षित मान होना $$\mu$$. विशेष रूप से छवि प्रसंस्करण में, जहां नमूने आम तौर पर सकारात्मक मूल्यों तक ही सीमित होते हैं, कोई अक्सर लेता है $$\mu$$ अधिकतम नमूना मूल्य का आधा होना। उस स्थिति में, फूरियर गुणांक $$W_0$$ शून्य-आवृत्ति घटक के अनुरूप (अनिवार्य रूप से, का औसत $$w_i$$) का एक गैर-शून्य अपेक्षित मान भी होगा $$\mu\sqrt{n}$$; और पावर स्पेक्ट्रम $$P$$ केवल गैर-शून्य आवृत्तियों पर समतल होगा।

असतत-समय सफेद शोर
एक पृथक-समय स्टोकेस्टिक प्रक्रिया $$W(n)$$ घटकों की एक सीमित संख्या से लेकर अनंत अनेक घटकों तक यादृच्छिक सदिशों का एक सामान्यीकरण है। एक पृथक-समय स्टोकेस्टिक प्रक्रिया $$W(n)$$ इसे श्वेत शोर कहा जाता है यदि इसका माध्य समय पर निर्भर नहीं करता है $$n$$ और शून्य के बराबर है, अर्थात $$\operatorname{E}[W(n)] = 0$$ और यदि ऑटोसहसंबंध कार्य करता है $$R_{W}(n) = \operatorname{E}[W(k+n)W(k)]$$ केवल के लिए शून्येतर मान है $$n = 0$$, अर्थात। $$R_{W}(n) = \sigma^2 \delta(n)$$.

निरंतर-समय सफेद शोर
निरंतर-समय संकेतों के सिद्धांत में सफेद शोर की धारणा को परिभाषित करने के लिए, किसी को एक यादृच्छिक वेक्टर की अवधारणा को एक निरंतर-समय यादृच्छिक संकेत द्वारा प्रतिस्थापित करना होगा; अर्थात्, एक यादृच्छिक प्रक्रिया जो एक फ़ंक्शन उत्पन्न करती है $$w$$ एक वास्तविक-मूल्यवान पैरामीटर का $$t$$.

ऐसी प्रक्रिया को सबसे मजबूत अर्थों में सफेद शोर कहा जाता है यदि मूल्य $$w(t)$$ किसी भी समय के लिए $$t$$ एक यादृच्छिक चर है जो अपने पहले के संपूर्ण इतिहास से सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र है $$t$$. एक कमज़ोर परिभाषा के लिए केवल मूल्यों के बीच स्वतंत्रता की आवश्यकता होती है $$w(t_1)$$ और $$w(t_2)$$ अलग-अलग समय के प्रत्येक जोड़े पर $$t_1$$ और $$t_2$$. इससे भी कमजोर परिभाषा के लिए केवल ऐसे युग्मों की आवश्यकता होती है $$w(t_1)$$ और $$w(t_2)$$ असंबंधित होना. जैसा कि अलग मामले में, कुछ लेखक सफेद शोर के लिए कमजोर परिभाषा को अपनाते हैं, और मजबूत परिभाषाओं में से किसी एक को संदर्भित करने के लिए स्वतंत्र क्वालीफायर का उपयोग करते हैं। अन्य लोग उनके बीच अंतर करने के लिए कमजोर सफेद और जोरदार सफेद का उपयोग करते हैं।

हालाँकि, इन अवधारणाओं की सटीक परिभाषा तुच्छ नहीं है, क्योंकि कुछ मात्राएँ जो परिमित असतत मामले में परिमित योग हैं, उन्हें अभिन्नों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए जो अभिसरण नहीं हो सकते हैं। दरअसल, एक सिग्नल के सभी संभावित उदाहरणों का सेट $$w$$ अब कोई परिमित-आयामी स्थान नहीं है $$\mathbb{R}^n$$, लेकिन एक अनंत-आयामी फ़ंक्शन स्थान। इसके अलावा, किसी भी परिभाषा के अनुसार एक सफेद शोर संकेत $$w$$ हर बिंदु पर अनिवार्य रूप से असंतत होना होगा; इसलिए यहां तक ​​कि सबसे सरल ऑपरेशन भी $$w$$एक सीमित अंतराल पर एकीकरण की तरह, उन्नत गणितीय मशीनरी की आवश्यकता होती है।

कुछ लेखकों को प्रत्येक मान की आवश्यकता होती है $$w(t)$$ अपेक्षा के साथ एक वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर होना $$\mu$$ और कुछ सीमित भिन्नता $$\sigma^2$$. फिर सहप्रसरण $$\mathrm{E}(w(t_1)\cdot w(t_2))$$ दो समय के मानों के बीच $$t_1$$ और $$t_2$$ अच्छी तरह से परिभाषित है: यदि समय अलग-अलग हैं तो यह शून्य है, और $$\sigma^2$$ यदि वे बराबर हैं. हालाँकि, इस परिभाषा के अनुसार, अभिन्न
 * $$W_{[a,a+r]} = \int_a^{a+r} w(t)\, dt$$

सकारात्मक चौड़ाई के साथ किसी भी अंतराल पर $$r$$ अपेक्षा से केवल चौड़ाई गुणा होगी: $$r\mu$$. यह गुण भौतिक श्वेत शोर संकेतों के मॉडल के रूप में अवधारणा को अपर्याप्त बना देगा।

इसलिए, अधिकांश लेखक सिग्नल को परिभाषित करते हैं $$w$$ के अभिन्नों के लिए गैर-शून्य मान निर्दिष्ट करके अप्रत्यक्ष रूप से $$w(t)$$ और $$|w(t)|^2$$ किसी भी अंतराल पर $$[a,a+r]$$, इसकी चौड़ाई के एक फ़ंक्शन के रूप में $$r$$. हालाँकि, इस दृष्टिकोण में, का मूल्य $$w(t)$$ एक पृथक समय को वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर के रूप में परिभाषित नहीं किया जा सकता है. सहप्रसरण भी $$\mathrm{E}(w(t_1)\cdot w(t_2))$$ अनंत हो जाता है जब $$t_1=t_2$$; और स्वत: सहसंबंध कार्य $$\mathrm{R}(t_1,t_2)$$ के रूप में परिभाषित किया जाना चाहिए $$N \delta(t_1-t_2)$$, कहाँ $$N$$ कुछ वास्तविक स्थिरांक है और $$\delta$$ डिराक डेल्टा फ़ंक्शन है|डिराक का फ़ंक्शन।

इस दृष्टिकोण में, कोई आमतौर पर अभिन्न को निर्दिष्ट करता है $$W_I$$ का $$w(t)$$ एक अंतराल पर $$I=[a,b]$$ सामान्य वितरण, शून्य माध्य और विचरण वाला एक वास्तविक यादृच्छिक चर है $$(b-a)\sigma^2$$; और यह भी कि सहप्रसरण $$\mathrm{E}(W_I\cdot W_J)$$ अभिन्नों का $$W_I$$, $$W_J$$ है $$r\sigma^2$$, कहाँ $$r$$ चौराहे की चौड़ाई है $$I\cap J$$ दो अंतरालों में से $$I,J$$. इस मॉडल को गाऊसी श्वेत शोर संकेत (या प्रक्रिया) कहा जाता है।

गणितीय क्षेत्र में श्वेत शोर विश्लेषण, एक गाऊसी श्वेत शोर के रूप में जाना जाता है $$w$$ इसे स्टोकेस्टिक टेम्पर्ड वितरण के रूप में परिभाषित किया गया है, यानी अंतरिक्ष में मूल्यों के साथ एक यादृच्छिक चर $$\mathcal S'(\mathbb R)$$ वितरण का (गणित)#टेम्पर्ड वितरण। परिमित-आयामी यादृच्छिक वैक्टर के मामले के अनुरूप, अनंत-आयामी अंतरिक्ष पर एक संभाव्यता कानून $$\mathcal S'(\mathbb R)$$ इसके विशिष्ट कार्य के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है (अस्तित्व और विशिष्टता की गारंटी बोचनर-मिनलोस प्रमेय के विस्तार द्वारा दी जाती है, जो बोचनर-मिनलोस-सज़ानोव प्रमेय के नाम से जाना जाता है); बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण के मामले के अनुरूप $$X \sim \mathcal N_n (\mu, \Sigma )$$, जिसका विशिष्ट कार्य है
 * $$\forall k \in \mathbb R^n: \quad \mathrm{E}(\mathrm e^{\mathrm{i} \langle k, X \rangle }) = \mathrm e^{\mathrm i \langle k, \mu \rangle - \frac 1 2 \langle k, \Sigma k \rangle } ,$$

सफ़ेद शोर $$w : \Omega \to \mathcal S'(\mathbb R)$$ संतुष्ट होना चाहिए
 * $$\forall \varphi \in \mathcal S (\mathbb R) : \quad \mathrm{E}(\mathrm e^{\mathrm{i} \langle w, \varphi \rangle }) = \mathrm e^{- \frac 1 2 \| \varphi \|_2^2},$$

कहाँ $$\langle w, \varphi \rangle$$ टेम्पर्ड वितरण की प्राकृतिक जोड़ी है $$w(\omega)$$ श्वार्ट्ज फ़ंक्शन के साथ $$\varphi$$, के लिए परिदृश्यानुसार लिया गया $$\omega \in \Omega$$, और $$\| \varphi \|_2^2 = \int_{\mathbb R} \vert \varphi (x) \vert^2\,\mathrm d x $$.

समय श्रृंखला विश्लेषण और प्रतिगमन
सांख्यिकी और अर्थमिति में अक्सर यह माना जाता है कि डेटा मूल्यों की एक देखी गई श्रृंखला एक नियतात्मक रैखिक मॉडल द्वारा उत्पन्न मूल्यों की एक श्रृंखला का योग है, जो कुछ आश्रित और स्वतंत्र चर | स्वतंत्र (व्याख्यात्मक) चर और यादृच्छिक शोर मूल्यों की एक श्रृंखला पर निर्भर करती है। फिर प्रतिगमन विश्लेषण का उपयोग प्रेक्षित डेटा से मॉडल प्रक्रिया के मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए साधारण न्यूनतम वर्गों द्वारा, और परिकल्पना परीक्षण के लिए कि प्रत्येक पैरामीटर वैकल्पिक परिकल्पना के मुकाबले शून्य है कि यह गैर-शून्य है। परिकल्पना परीक्षण आम तौर पर मानता है कि शोर मान शून्य माध्य के साथ परस्पर असंबद्ध हैं और समान गाऊसी संभाव्यता वितरण है – दूसरे शब्दों में, यह शोर गॉसियन सफ़ेद है (सिर्फ सफ़ेद नहीं)। यदि विभिन्न अवलोकनों के अंतर्निहित शोर मूल्यों के बीच गैर-शून्य सहसंबंध है तो अनुमानित मॉडल पैरामीटर अभी भी एक अनुमानक का पूर्वाग्रह हैं, लेकिन उनकी अनिश्चितताओं (जैसे आत्मविश्वास अंतराल) का अनुमान पक्षपातपूर्ण होगा (औसतन सटीक नहीं)। यह भी सत्य है यदि शोर विषमलैंगिकता वाला हो – अर्थात, यदि इसमें अलग-अलग डेटा बिंदुओं के लिए अलग-अलग भिन्नताएं हैं।

वैकल्पिक रूप से, प्रतिगमन विश्लेषण के सबसेट में जिसे समय श्रृंखला विश्लेषण के रूप में जाना जाता है, मॉडल किए जा रहे चर (आश्रित चर) के पिछले मूल्यों के अलावा अक्सर कोई व्याख्यात्मक चर नहीं होते हैं। इस मामले में शोर प्रक्रिया को अक्सर चलती औसत मॉडल प्रक्रिया के रूप में तैयार किया जाता है, जिसमें आश्रित चर का वर्तमान मूल्य अनुक्रमिक सफेद शोर प्रक्रिया के वर्तमान और पिछले मूल्यों पर निर्भर करता है।

यादृच्छिक वेक्टर परिवर्तन
ये दो विचार चैनल अनुमान और मिक्सिंग कंसोल#दूरसंचार और ध्वनि पुनरुत्पादन में चैनल समीकरण जैसे अनुप्रयोगों में महत्वपूर्ण हैं। इन अवधारणाओं का उपयोग डेटा संपीड़न में भी किया जाता है।

विशेष रूप से, एक उपयुक्त रैखिक परिवर्तन (एक रंग परिवर्तन) द्वारा, एक सफेद यादृच्छिक वेक्टर का उपयोग एक गैर-सफेद यादृच्छिक वेक्टर (यानी, यादृच्छिक चर की एक सूची) उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है, जिनके तत्वों में एक निर्धारित सहप्रसरण मैट्रिक्स होता है। इसके विपरीत, ज्ञात सहप्रसरण मैट्रिक्स वाले एक यादृच्छिक वेक्टर को एक उपयुक्त श्वेतकरण परिवर्तन द्वारा एक सफेद यादृच्छिक वेक्टर में परिवर्तित किया जा सकता है।

पीढ़ी
सफेद शोर डिजिटल सिग्नल प्रोसेसर, माइक्रोप्रोसेसर या microcontroller  के साथ डिजिटल रूप से उत्पन्न किया जा सकता है। श्वेत शोर उत्पन्न करने में आम तौर पर डिज़िटल से एनालॉग कन्वर्टर को यादृच्छिक संख्याओं की एक उचित धारा खिलाना शामिल होता है। श्वेत शोर की गुणवत्ता उपयोग किए गए एल्गोरिदम की गुणवत्ता पर निर्भर करेगी।

अनौपचारिक उपयोग
इस शब्द का उपयोग कभी-कभी बोलचाल की भाषा में परिवेशीय ध्वनि की पृष्ठभूमि का वर्णन करने के लिए किया जाता है, जो एक अस्पष्ट या निर्बाध हंगामा पैदा करता है। निम्नलिखित कुछ उदाहरण हैं:


 * एक सीमित स्थान की ध्वनिकी के भीतर कई वार्तालापों से होने वाली बातचीत।
 * राजनेताओं द्वारा शब्द-बाहुल्य शब्दजाल का उपयोग उस बिंदु को छुपाने के लिए किया जाता है जिस पर वे ध्यान नहीं देना चाहते।
 * ऐसा संगीत जो अप्रिय, कठोर, बेसुरा या सुर रहित और असंगत हो।

इस शब्द का उपयोग रूपक के रूप में भी किया जा सकता है, जैसा कि डॉन डिलिलो के उपन्यास व्हाइट नॉइज़ (उपन्यास) (1985) में किया गया है, जो आधुनिकता # सांस्कृतिक और दार्शनिक के लक्षणों की पड़ताल करता है जो एक साथ आते हैं ताकि किसी व्यक्ति के लिए अपने विचारों और व्यक्तित्व को साकार करना मुश्किल हो जाए।

यह भी देखें
• Bochner–Minlos theorem

• Brownian noise

• Dirac delta function

• Independent component analysis

• Noise (electronics)

• Noise (video)

• Pink noise

• Principal component analysis

• Sound masking