मोत्ज़किन संख्या

गणित में, $n$वें मोट्ज़किन नंबर के बीच गैर-प्रतिच्छेदी कॉर्ड (ज्यामिति) खींचने के विभिन्न तरीकों की संख्या है $n$ एक वृत्त पर बिंदु (जरूरी नहीं कि प्रत्येक बिंदु को एक तार से स्पर्श किया जाए)। मोट्ज़किन संख्याओं का नाम थिओडोर मोत्ज़किन के नाम पर रखा गया है और ज्यामिति, साहचर्य और संख्या सिद्धांत में इसके विविध अनुप्रयोग हैं।

मोत्ज़किन संख्याएँ $$M_n$$ के लिए $$n = 0, 1, \dots$$ अनुक्रम बनाएं:


 * 1, 1 (संख्या), 2 (संख्या), 4 (संख्या), 9 (संख्या), 21 (संख्या), 51 (संख्या), 127 (संख्या), 323, 835, ...

उदाहरण
निम्नलिखित चित्र एक वृत्त पर 4 बिंदुओं के बीच गैर-प्रतिच्छेदी जीवाएँ खींचने के 9 तरीके दिखाता है ($M_{4} = 9$):


 * [[Image:MotzkinChords4.svg]]निम्नलिखित चित्र एक वृत्त पर 5 बिंदुओं के बीच गैर-प्रतिच्छेदी जीवाएँ खींचने के 21 तरीके दिखाता है ($M_{5} = 21$):


 * [[Image:MotzkinChords5.svg]]

गुण
मोत्ज़किन संख्याएँ पुनरावृत्ति संबंधों को संतुष्ट करती हैं


 * $$M_{n}=M_{n-1}+\sum_{i=0}^{n-2}M_iM_{n-2-i}=\frac{2n+1}{n+2}M_{n-1}+\frac{3n-3}{n+2}M_{n-2}.$$

मोट्ज़किन संख्याओं को द्विपद गुणांक और कैटलन संख्याओं के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:


 * $$M_n=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n}{2k} C_k,$$

और इसके विपरीत,
 * $$C_{n+1}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} M_k$$

यह देता है


 * $$\sum_{k=0}^{n}C_{k} = 1 + \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} M_{k-1}.$$

उत्पन्न करने वाला कार्य $$m(x) = \sum_{n=0}^\infty M_n x^n$$ मोत्ज़किन संख्याएँ संतुष्ट करती हैं
 * $$x^2 m(x)^2 + (x - 1) m(x) + 1 = 0$$

और स्पष्ट रूप से व्यक्त किया गया है
 * $$m(x) = \frac{1-x-\sqrt{1-2x-3x^2}}{2x^2}.$$

मोट्ज़किन संख्याओं का एक अभिन्न प्रतिनिधित्व किसके द्वारा दिया गया है
 * $$M_{n}=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi \sin(x)^2(2\cos(x)+1)^n dx$$.

उनका व्यवहार स्पर्शोन्मुख है
 * $$M_{n}\sim \frac{1}{2 \sqrt{\pi}}\left(\frac{3}{n}\right)^{3/2} 3^n,~ n \to \infty$$.

मोट्ज़किन अभाज्य एक मोट्ज़किन संख्या है जो अभाज्य संख्या है।, केवल चार ऐसे अभाज्य ज्ञात हैं:


 * 2, 127, 15511, 953467954114363

संयुक्त व्याख्याएँ
के लिए मोट्ज़किन नंबर $n$ लंबाई के धनात्मक पूर्णांक अनुक्रमों की संख्या भी है $n &minus; 1$ जिसमें प्रारंभिक और अंतिम तत्व या तो 1 या 2 हैं, और किन्हीं दो लगातार तत्वों के बीच का अंतर −1, 0 या 1 है। समान रूप से, मोत्ज़किन संख्या $n$ लंबाई के धनात्मक पूर्णांक अनुक्रमों की संख्या है $n + 1$ जिसमें प्रारंभिक और अंतिम तत्व 1 हैं, और किन्हीं दो लगातार तत्वों के बीच का अंतर −1, 0 या 1 है।

इसके अलावा, मोट्ज़किन नंबर के लिए $n$ निर्देशांक (0, 0) से समन्वय तक ग्रिड के ऊपरी दाएं चतुर्थांश पर मार्गों की संख्या देता है$n$, 0) में $n$ कदम यदि किसी को प्रत्येक कदम पर केवल दाईं ओर (ऊपर, नीचे या सीधे) जाने की अनुमति है लेकिन नीचे डुबकी लगाने से मना किया गया है $y$ = 0 अक्ष.

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित आंकड़ा (0, 0) से (4, 0) तक 9 वैध मोत्ज़किन पथ दिखाता है:


 * [[Image:Motzkin4.svg]]जैसा कि गणना की गई है, गणित की विभिन्न शाखाओं में मोट्ज़किन संख्याओं की कम से कम चौदह अलग-अलग अभिव्यक्तियाँ हैं मोत्ज़किन संख्याओं के अपने सर्वेक्षण में।

दिखाया गया है कि वेक्सिलरी इन्वोल्यूशन  की गणना मोट्ज़किन संख्याओं द्वारा की जाती है।

यह भी देखें

 * टेलीफोन नंबर (गणित) जो प्रतिच्छेदन की अनुमति होने पर जीवाएँ खींचने के तरीकों की संख्या को दर्शाता है
 * डेलानॉय नंबर
 * नारायण संख्या
 * श्रोडर संख्या