सतह (सांस्थिति)



गणित के हिस्से में जिसे सांस्थिति कहा जाता है, वह सतह एक द्वि-आयामी बहुविध है। कुछ सतहें त्रि-आयामी ठोसों की सीमा के साथ बहुविध के रूप में उत्पन्न होती हैं; उदाहरण के लिए, गोला ठोस गेंद की सीमा है। अन्य सतहें दो चरों के फलन के लेखाचित्र के रूप में उत्पन्न होती हैं। हालांकि, सतहों को किसी परिवेश स्थान के संदर्भ के बिना, अमूर्त रूप से भी परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, क्लेन की बोतल एक ऐसी सतह है जिसे त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में अंतर्निहित नहीं किया जा सकता है।

संस्थानिक सतहों को कभी-कभी अतिरिक्त जानकारी से लैस किया जाता है, जैसे कि रिमेंनियन मीट्रिक या एक जटिल संरचना, जो उन्हें गणित के भीतर अन्य विषयों से जोड़ती है, जैसे अंतर ज्यामिति और जटिल विश्लेषण। भौतिक दुनिया में सतहों को प्रतिमान करने के लिए विभिन्न सतह (गणित) का उपयोग किया जा सकता है।

सामान्य तौर पर
गणित में, सतह एक ज्यामितीय आकार है जो विकृत पृष्ठ जैसा दिखता है। सामान्य त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष R 3 में ठोस वस्तुओं की सीमाओं के रूप में सबसे परिचित उदाहरण उत्पन्न होते हैं, जैसे गोले। सतह की सटीक परिभाषा संदर्भ पर निर्भर हो सकती है। आमतौर पर, बीजगणितीय ज्यामिति में, सतह स्वयं को पार कर सकती है (और बीजगणितीय विविधता के अन्य एकवचन बिंदु हो सकते हैं), जबकि, सांस्थिति और अंतर ज्यामिति में, यह नहीं हो सकता है।

सतह एक द्वि-आयामी स्थान है; इसका मतलब है कि सतह पर गतिमान बिंदु दो दिशाओं में गति कर सकता है। दूसरे शब्दों में, लगभग हर बिंदु के आसपास, एक समकक्ष भाग होता है जिस पर द्वि-आयामी समन्वय प्रणाली परिभाषित होती है। उदाहरण के लिए, पृथ्वी की सतह (आदर्श रूप से) द्वि-आयामी क्षेत्र के समान है, और अक्षांश और देशांतर उस पर द्वि-आयामी निर्देशांक प्रदान करते हैं (ध्रुवों को छोड़कर)।

भौतिक विज्ञान, अभियांत्रिकी, कंप्यूटर ग्राफिक्स और कई अन्य विषयों में सतह की अवधारणा का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, मुख्य रूप से भौतिक वस्तुओं की सतहों का प्रतिनिधित्व करने में। उदाहरण के लिए, एक हवाई जहाज के वायुगतिकीय गुणों का विश्लेषण करने में, केंद्रीय विचार इसकी सतह के साथ हवा का प्रवाह है।

परिभाषाएं और उदाहरण
इस विषय पर अधिकांश लेखों में, यह बहुधा, स्पष्ट रूप से या निहित रूप से माना जाता है, कि एक स्थलीय स्थान के रूप में एक सतह भी खाली नहीं है, दूसरा-गिनने योग्य स्थान|दूसरा-गणनीय, और हौसडॉर्फ अंतरिक्ष। यह भी बहुधा माना जाता है कि विचाराधीन सतहें जुड़ी हुई हैं।

इस लेख के बाकी हिस्सों में मान लिया जाएगा, जब तक कि अन्यथा निर्दिष्ट न किया जाए, कि एक सतह गैर-खाली, हॉसडॉर्फ, दूसरी-गणना योग्य और जुड़ी हुई है।

अधिक आम तौर पर, सीमा के साथ एक (स्थलीय) सतह एक हॉसडॉर्फ स्पेस संस्थानिकस्पेस है जिसमें हर बिंदु पर ऊपरी आधे-प्लेन 'एच' के बंद होने के कुछ खुले सेट के लिए एक खुला संस्थानिकपड़ोस होमोमोर्फिज्म है। इन होमियोमॉर्फिज्म को (समन्वय) चार्ट के रूप में भी जाना जाता है। ऊपरी अर्ध-तल की सीमा x-अक्ष है। चार्ट के माध्यम से x-अक्ष पर मैप की गई सतह पर एक बिंदु को सीमा बिंदु कहा जाता है। ऐसे बिंदुओं के संग्रह को सतह की सीमा के रूप में जाना जाता है जो आवश्यक रूप से एक-कई गुना है, अर्थात बंद वक्रों का मिलन। दूसरी ओर, x-अक्ष के ऊपर मैप किया गया बिंदु एक आंतरिक बिंदु है। आंतरिक बिंदुओं का संग्रह सतह का आंतरिक है जो हमेशा गैर-खाली सेट होता है। बंद डिस्क (गणित) सीमा के साथ सतह का एक सरल उदाहरण है। डिस्क की सीमा एक वृत्त है।

योग्यता के बिना प्रयुक्त 'सतह' शब्द बिना सीमा के सतहों को संदर्भित करता है। विशेष रूप से, खाली सीमा वाली सतह सामान्य अर्थों में एक सतह होती है। खाली सीमा वाली एक सतह जो सघन होती है उसे 'बंद' सतह के रूप में जाना जाता है। द्वि-आयामी क्षेत्र, द्वि-आयामी टोरस्र्स और वास्तविक प्रक्षेपी तल बंद सतहों के उदाहरण हैं।

मोबियस पट्टी एक ऐसी सतह है जिस पर दक्षिणावर्त और वामावर्त के बीच के अंतर को स्थानीय रूप से परिभाषित किया जा सकता है, लेकिन विश्व स्तर पर नहीं। सामान्य तौर पर, एक सतह को उन्मुख कहा जाता है, अगर इसमें मोबियस स्ट्रिप की होमियोमॉर्फिक कॉपी नहीं होती है; सहज रूप से, इसके दो अलग-अलग पक्ष हैं। उदाहरण के लिए, गोला और टोरस उन्मुख हैं, जबकि वास्तविक प्रक्षेपी तल नहीं है (क्योंकि वास्तविक प्रक्षेपी तल एक बिंदु को हटाकर खुली मोबियस पट्टी के लिए होमोमोर्फिक है)।

विभेदक ज्यामिति और बीजगणितीय ज्यामिति में, सतह की सांस्थिति पर अतिरिक्त संरचना जोड़ी जाती है। यह अतिरिक्त संरचना एक चिकनी संरचना हो सकती है (सतह से अलग-अलग मानचित्रों को परिभाषित करना संभव बनाता है), एक रिमेंनियन मीट्रिक (सतह पर लंबाई और कोणों को परिभाषित करना संभव बनाता है), एक जटिल संरचना (होलोमोर्फिक को परिभाषित करना संभव बनाता है) सतह से और सतह से मानचित्र-जिस स्थिति में सतह को रीमैन सतह कहा जाता है), या एक बीजगणितीय संरचना (जिससे किसी बीजगणितीय किस्म के एकवचन बिंदु का पता लगाना संभव हो जाता है, जैसे कि स्व-चौराहे और कूप्स, जिसे पूरी तरह से वर्णित नहीं किया जा सकता है) अंतर्निहित सांस्थिति की शर्तें)।

बाहरी रूप से परिभाषित सतहें और एम्बेडिंग
ऐतिहासिक रूप से, सतहों को प्रारंभ में यूक्लिडियन रिक्त स्थान के उप-स्थान के रूप में परिभाषित किया गया था। बहुधा, ये सतहें कुछ कार्यों, आमतौर पर बहुपद कार्यों के एक समारोह की जड़ का स्थान थीं। इस तरह की परिभाषा ने सतह को एक बड़े (यूक्लिडियन) स्थान के हिस्से के रूप में माना, और इस तरह इसे बाहरी कहा गया।

पिछले खंड में, एक सतह को कुछ गुणों के साथ स्थलीय स्थान के रूप में परिभाषित किया गया है, जैसे हॉसडॉर्फ और स्थानीय रूप से यूक्लिडियन। इस संस्थानिक स्थान को दूसरे स्थान का उप-स्थान नहीं माना जाता है। इस अर्थ में, ऊपर दी गई परिभाषा, जो वर्तमान में गणितज्ञों द्वारा उपयोग की जाने वाली परिभाषा है, आंतरिक है।

यूक्लिडियन अंतरिक्ष के उप-स्थान होने की अतिरिक्त बाधा को पूरा करने के लिए आंतरिक रूप से परिभाषित सतह की आवश्यकता नहीं है। यह संभव प्रतीत हो सकता है कि आंतरिक रूप से परिभाषित कुछ सतहें बाहरी अर्थों में सतहें न हों। हालांकि, व्हिटनी अंतर्निहित प्रमेय का दावा है कि वास्तव में हर सतह को यूक्लिडियन अंतरिक्ष में होमोमोर्फिक रूप से अंतर्निहित किया जा सकता है, वास्तव में 'E4' में: बाह्य और आंतरिक दृष्टिकोण समतुल्य हो जाते हैं।

वास्तव में, कोई भी सघन सतह जो या तो उन्मुख है या जिसकी सीमा E3 में अंतर्निहित की जा सकती है; दूसरी ओर, वास्तविक प्रक्षेपी तल, जो सघन, गैर-उन्मुख और बिना सीमा के है, को E3 में अंतर्निहित नहीं किया जा सकता है। बॉय की सतह, रोमन सतह और क्रॉस-कैप सहित स्टेनर सतहें E3 में वास्तविक प्रक्षेपी सतह के प्रतिमान हैं। लेकिन केवल बॉय की सतह एक विसर्जन (गणित) है। ये सभी प्रतिमान उन बिंदुओं पर एकवचन हैं जहां वे खुद को काटते हैं।

अलेक्जेंडर सींग वाला क्षेत्र एक प्रसिद्ध पैथोलॉजिकल (गणित) है जो दो-क्षेत्रों को तीन-क्षेत्रों में अंतर्निहित करता है।

किसी सतह के किसी अन्य स्थान में चुनी गई अंतर्निहित को बाहरी जानकारी माना जाता है; यह सतह के लिए आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए, टोरस को E3 में मानक तरीके से (जो बैगल जैसा दिखता है) या गाँठ (गणित) तरीके से (आंकड़ा देखें) अंतर्निहित किया जा सकता है। दो अंतर्निहित टोरी होमोमॉर्फिक हैं, लेकिन  समस्थानिक नहीं हैं: वे स्थैतिक रूप से समतुल्य हैं, लेकिन उनके अंतर्निहित नहीं हैं।

R2 से उच्च-आयामी R n तक एक सतत, अंतःक्षेपी फलन की छवि (गणित) को प्राचलिक सतह कहा जाता है। ऐसी छवि तथाकथित है क्योंकि 'R2' डोमेन की x- और y- दिशाएं चर हैं जो छवि को प्राचलिक करते हैं। एक प्राचलिक सतह को एक संस्थानिक सतह नहीं होना चाहिए। परिक्रमण की सतह को एक विशेष प्रकार की प्राचलिक सतह के रूप में देखा जा सकता है।

बहुभुज से निर्माण
प्रत्येक बंद सतह को अभिविन्यस्त बहुभुज से पक्षों की एक समान संख्या के साथ बनाया जा सकता है, जिसे सतह के मौलिक बहुभुज कहा जाता है(इसके किनारों की जोड़ीदार पहचान से)। उदाहरण, नीचे दिए गए प्रत्येक बहुभुज में, पक्षों को मिलान उपनाम (A के साथ A, B के साथ B) के साथ संलग्न करना, ताकि तीर एक ही दिशा में इंगित करें, संकेतित सतह प्राप्त करें।

किसी भी मूल बहुभुज को सांकेतिक रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है। किसी भी शीर्ष पर प्रारंभ करें, और बहुभुज की परिधि के चारों ओर किसी भी दिशा में तब तक आगे बढ़ें जब तक कि शुरुआती शीर्ष पर वापस न आ जाएं। इस ट्रैवर्सल के दौरान, प्रत्येक किनारे पर लेबल को रिकॉर्ड करें, यदि किनारे ट्रैवर्सल की दिशा के विपरीत इंगित करता है तो -1 के एक एक्सपोनेंट के साथ। उपरोक्त चार मॉडल, जब ऊपरी बाएँ से प्रारंभ करते हुए दक्षिणावर्त घुमाए जाते हैं, तो परिणाम मिलते हैं

ध्यान दें कि गोला और प्रक्षेपी तल दोनों को 2-गॉन के भागफल के रूप में महसूस किया जा सकता है, जबकि टोरस और क्लेन बोतल को 4-गॉन (वर्ग) की आवश्यकता होती है।
 * वृत्त: $$A B B^{-1} A^{-1}$$
 * वास्तविक प्रक्षेपी विमान: $$A B A B$$
 * टोरस : $$A B A^{-1} B^{-1}$$
 * क्लेन बोतल: $$A B A B^{-1}$$.

इस प्रकार एक सतह के मौलिक बहुभुज से प्राप्त अभिव्यक्ति जनरेटर के रूप में बहुभुज किनारे के लेबल के साथ सतह के मौलिक समूह के एक समूह की प्रस्तुति में एकमात्र संबंध बन जाती है। यह सीफर्ट-वैन कम्पेन प्रमेय का परिणाम है।

बहुभुजों के किनारों को चिपकाना एक विशेष प्रकार की भागफल स्थान (सांस्थिति) प्रक्रिया है। सतहों के नए या वैकल्पिक निर्माणों का उत्पादन करने के लिए भागफल अवधारणा को अधिक व्यापक रूप से लागू किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, गोले पर विपरीत बिंदुओं के सभी जोड़े की पहचान करके वास्तविक प्रक्षेपी तल को गोले के भागफल के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। भागफल का एक और उदाहरण जुड़ा हुआ योग है।

जुड़ा योग
दो सतहों M और N का जुड़ा हुआ योग, M # N को निरूपित करता है, उनमें से प्रत्येक से एक डिस्क को हटाकर और परिणामी सीमा घटकों के साथ उन्हें ग्लूइंग करके प्राप्त किया जाता है। डिस्क की सीमा एक वृत्त है, इसलिए ये सीमा घटक वृत्त हैं। यूलर विशेषता $$\chi$$ का M # N योग की यूलर विशेषताओं का योग है, शून्य से दो:


 * $$\chi(M \mathbin{\#} N) = \chi(M) + \chi(N) - 2.\,$$

स्फेयर एस कनेक्टेड योग के लिए एक पहचान तत्व है, जिसका अर्थ है S # M = M. ऐसा इसलिए है क्योंकि गोले से डिस्क को हटाने से डिस्क निकल जाती है, जो ग्लूइंग पर एम से हटाए गए डिस्क को आसानी से बदल देती है।

टोरस 'टी' के साथ जुड़े हुए योग को अन्य योग एम के लिए एक हैंडल संलग्न करने के रूप में भी वर्णित किया गया है। यदि एम उन्मुख है, तो ऐसा है T # M. जुड़ा योग साहचर्य है, इसलिए सतहों के परिमित संग्रह का जुड़ा योग अच्छी तरह से परिभाषित है।

दो वास्तविक प्रक्षेपी विमानों का जुड़ा योग, P # P, क्लेन बोतल K है। वास्तविक प्रोजेक्टिव प्लेन और क्लेन बोतल का कनेक्टेड योग टोरस के साथ वास्तविक प्रोजेक्टिव प्लेन के कनेक्टेड योग के लिए होमियोमॉर्फिक है; एक सूत्र में, P # K = P # T. इस प्रकार, तीन वास्तविक प्रक्षेपी विमानों का जुड़ा योग टोरस के साथ वास्तविक प्रक्षेपी विमान के जुड़े योग के लिए होमोमोर्फिक है। वास्तविक प्रक्षेपी विमान से जुड़ा कोई भी जुड़ा हुआ योग गैर-अभिविन्यास योग्य है।

बंद सतहें
एक बंद सतह एक सतह है जो सघन जगह है और कई गुना सीमा के बिना है। बंद सतहों के उदाहरणों में गोला, टोरस और क्लेन बोतल सम्मिलित हैं। गैर-बंद सतहों के उदाहरणों में एक डिस्क (गणित) (जो एक पंचर (सांस्थिति) के साथ एक गोला है), सिलेंडर (ज्यामिति) (जो दो पंक्चर वाला एक गोला है), और मोबियस पट्टी सम्मिलित  हैं।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में अंतर्निहित एक सतह बंद है अगर और केवल अगर यह ठोस की सीमा है। जैसा कि किसी भी बंद मैनिफोल्ड के साथ होता है, यूक्लिडियन अंतरिक्ष में अंतर्निहित एक सतह जो विरासत में मिली यूक्लिडियन सांस्थिति के संबंध में बंद है, जरूरी नहीं कि एक बंद सतह हो; उदाहरण के लिए, एक डिस्क में अंतर्निहित $$ \mathbb{R}^3 $$ जिसमें इसकी सीमा होती है वह सतह होती है जो स्थैतिक रूप से बंद होती है लेकिन बंद सतह नहीं होती है।

बंद सतहों का वर्गीकरण
बंद सतहों के वर्गीकरण प्रमेय में कहा गया है कि कोई भी जुड़ा हुआ (सांस्थिति) बंद सतह इन तीन परिवारों में से किसी एक सदस्य के लिए होमोमोर्फिक है:
 * 1) गोला,
 * 2) जी ≥ 1 के लिए जी टोरी का जुड़ा हुआ योग,
 * 3) k ≥ 1 के लिए k वास्तविक प्रोजेक्टिव प्लेन का कनेक्टेड योग।

पहले दो परिवारों में सतहें उन्मुखता हैं। गोले को 0 तोरी के संयुक्त योग के रूप में मानते हुए दोनों परिवारों को जोड़ना सुविधाजनक है। सम्मिलित तोरी की संख्या जी को सतह का जीनस कहा जाता है। गोले और टोरस में क्रमशः यूलर विशेषताएँ 2 और 0 हैं, और सामान्य रूप से जी तोरी के जुड़े योग की यूलर विशेषता है 2 &minus; 2g.

तीसरे परिवार में सतहें गैर-उन्मुख हैं। वास्तविक प्रक्षेपी तल की यूलर विशेषता 1 है, और सामान्य तौर पर उनमें से k के जुड़े योग की यूलर विशेषता है 2 &minus; k.

यह इस प्रकार है कि एक बंद सतह का निर्धारण होमोमोर्फिज्म तक, जानकारी के दो टुकड़ों द्वारा किया जाता है: इसकी यूलर विशेषता, और क्या यह उन्मुख है या नहीं। दूसरे शब्दों में, यूलर की विशेषता और अभिविन्यास पूरी तरह से होमोमोर्फिज्म तक बंद सतहों को वर्गीकृत करते हैं।

कई जुड़े हुए घटकों (सांस्थिति) के साथ बंद सतहों को उनके प्रत्येक जुड़े हुए घटकों के वर्ग द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, और इस प्रकार आम तौर पर यह माना जाता है कि सतह जुड़ी हुई है।

मोनोइड संरचना
इस वर्गीकरण को कनेक्टेड राशियों से संबंधित करते हुए, होमोमोर्फिज्म तक की बंद सतहें कनेक्टेड योग के संचालन के तहत एक विनिमेय मोनोइड बनाती हैं, जैसा कि वास्तव में किसी भी निश्चित आयाम के कई गुना होता है। पहचान क्षेत्र है, जबकि वास्तविक प्रक्षेप्य विमान और टोरस इस मोनॉइड को एक संबंध के साथ उत्पन्न करते हैं P # P # P = P # T, जो लिखा भी जा सकता है P # K = P # T, जबसे K = P # P. इस संबंध को कभी-कभी के रूप में जाना जाता है वाल्थर वॉन डाइक के बाद, जिन्होंने इसे साबित किया, और ट्रिपल क्रॉस सतह P # P # P तदनुसार कहा जाता है

ज्यामितीय रूप से, एक टोरस के साथ कनेक्ट-योग (# T) सतह के एक ही तरफ दोनों सिरों के साथ एक हैंडल जोड़ता है, जबकि क्लेन बोतल के साथ कनेक्ट-सम करता है (# K) एक ओरिएंटेबल सतह के विपरीत पक्षों से जुड़े दो सिरों के साथ एक हैंडल जोड़ता है; एक प्रक्षेपी विमान की उपस्थिति में (# P), सतह उन्मुख नहीं है (पक्ष की कोई धारणा नहीं है), इसलिए टोरस को जोड़ने और क्लेन बोतल को जोड़ने के बीच कोई अंतर नहीं है, जो संबंध बताता है।

प्रमाण
बंद सतहों का वर्गीकरण 1860 के दशक से जाना जाता है, और आज कई प्रमाण मौजूद हैं।

संस्थानिक और कॉम्बीनेटरियल प्रूफ सामान्य रूप से कठिन परिणाम पर भरोसा करते हैं कि प्रत्येक सघन 2-मैनिफ़ोल्ड होमियोमॉर्फिक टू सरल जटिल है, जो अपने आप में रुचि का है। वर्गीकरण का सबसे सामान्य प्रमाण है, जो हर त्रिकोणीय सतह को एक मानक रूप में लाता है। एक सरलीकृत प्रमाण, जो एक मानक रूप से बचा जाता है, की खोज जॉन एच. कॉनवे ने लगभग 1992 में की थी, जिसे उन्होंने शून्य अप्रासंगिकता प्रमाण या जिप प्रमाण कहा और इसमें प्रस्तुत किया गया है.

एक ज्यामितीय प्रमाण, जो एक मजबूत ज्यामितीय परिणाम देता है, एकरूपता प्रमेय है। यह मूल रूप से केवल 1880 और 1900 के दशक में फेलिक्स क्लेन, पॉल कोबे और हेनरी पॉइनकेयर द्वारा रीमैन सतहों के लिए सिद्ध किया गया था।

सीमा के साथ सतहें
सघन मैनिफोल्ड सतहें, संभवतः सीमा के साथ, छिद्रों की एक सीमित संख्या के साथ बंद सतहें हैं (खुली डिस्क जिन्हें हटा दिया गया है)। इस प्रकार, एक कनेक्टेड सघन सतह को सीमा घटकों की संख्या और संबंधित बंद सतह के जीनस द्वारा वर्गीकृत किया जाता है - समतुल्य, सीमा घटकों की संख्या, उन्मुखता और यूलर विशेषता द्वारा। एक सघन सतह के जीनस को संबंधित बंद सतह के जीनस के रूप में परिभाषित किया गया है।

यह वर्गीकरण बंद सतहों के वर्गीकरण से लगभग तुरंत अनुसरण करता है: एक बंद सतह से एक खुली डिस्क को हटाने से सीमा घटक के लिए एक चक्र के साथ एक सघन सतह प्राप्त होती है, और k खुली डिस्क को हटाने से सीमा घटकों के लिए k असंबद्ध हलकों के साथ एक सघन सतह प्राप्त होती है। छिद्रों के सटीक स्थान अप्रासंगिक हैं, क्योंकि होमोमोर्फिज्म समूह कम से कम 2 आयाम के किसी भी जुड़े कई गुना पर सकर्मक क्रिया | k-संक्रमणीय रूप से कार्य करता है।

इसके विपरीत, एक सघन सतह की सीमा एक बंद 1-कई गुना है, और इसलिए परिमित संख्या में हलकों का असंबद्ध मिलन है; इन मंडलियों को डिस्क से भरना (औपचारिक रूप से, शंकु (सांस्थिति) लेना) एक बंद सतह पैदा करता है।

जीनस g और के सीमा घटकों के साथ अद्वितीय सघन ओरिएंटेबल सतह को बहुधा निरूपित किया जाता है $$\Sigma_{g,k},$$ उदाहरण के लिए मानचित्रण वर्ग समूह के अध्ययन में।

गैर-सघन सतहें
गैर-सघन सतहों को वर्गीकृत करना अधिक कठिन होता है। एक साधारण उदाहरण के रूप में, एक गैर-सघन सतह को एक बंद मैनिफोल्ड में पंचर करके (बिंदुओं के एक परिमित सेट को हटाकर) प्राप्त किया जा सकता है। दूसरी ओर, एक सघन सतह का कोई भी खुला उपसमुच्चय अपने आप में एक गैर-सघन सतह है; उदाहरण के लिए, क्षेत्र में एक कैंटर सेट के पूरक पर विचार करें, अन्यथा कैंटर पेड़ की सतह के रूप में जाना जाता है। हालांकि, प्रत्येक गैर-सघन सतह एक सघन सतह का एक सबसेट नहीं है; दो विहित प्रतिउदाहरण जैकब की सीढ़ी (कई गुना) | याकूब की सीढ़ी और लोच नेस मॉन्स्टर सतह हैं, जो अनंत जीनस के साथ गैर-सघन सतह हैं।

एक गैर-सघन सतह एम में एक गैर-खाली अंत (सांस्थिति) ई (एम) है, जो अनौपचारिक रूप से बोलने वाले तरीकों का वर्णन करता है कि सतह अनंत तक जाती है। स्थान E(M) हमेशा स्थलीय रूप से कैंटर सेट के एक बंद उप-स्थान के समतुल्य होता है। M के पास परिमित या गणनीय रूप से अनंत संख्या N हो सकती हैh हैंडल की, साथ ही एक परिमित या गणनीय रूप से अनंत संख्या एनp प्रक्षेपी विमानों की। यदि दोनों एनh और np परिमित हैं, तो ये दो संख्याएँ, और सिरों के संस्थानिकप्रकार के स्थान, सतह एम को संस्थानिकतुल्यता तक वर्गीकृत करते हैं। यदि कोई एक या दोनों एनh और np अनंत है, तो एम का संस्थानिकप्रकार न केवल इन दो नंबरों पर निर्भर करता है, बल्कि यह भी है कि कैसे अनंत (एस) छोरों के स्थान पर पहुंचते हैं। सामान्य तौर पर एम के संस्थानिकप्रकार को ई (एम) के चार उप-स्थानों द्वारा निर्धारित किया जाता है जो असीमित रूप से कई हैंडल और असीम रूप से कई प्रोजेक्टिव विमानों के सीमा बिंदु हैं, केवल हैंडल के सीमा बिंदु, केवल प्रोजेक्टिव विमानों के सीमा बिंदु, और न तो सीमा बिंदु.

दूसरी-गिनती की धारणा
यदि कोई सतह की परिभाषा से द्वितीय-गणनीयता की धारणा को हटा देता है, तो वहां (अनिवार्य रूप से गैर-सघन) संस्थानिक सतहों का अस्तित्व होता है, जिनके सांस्थिति के लिए कोई गणनीय आधार नहीं होता है। शायद सबसे सरल उदाहरण वास्तविक संख्या के स्थान के साथ लंबी लाइन (सांस्थिति) का कार्टेशियन उत्पाद है।

एक और सतह जिसकी सांस्थिति के लिए कोई गणनीय आधार नहीं है, लेकिन इसके अस्तित्व को साबित करने के लिए चॉइस के स्वयंसिद्ध की आवश्यकता नहीं है, प्रूफर मैनिफोल्ड है, जिसे सरल समीकरणों द्वारा वर्णित किया जा सकता है जो इसे एक वास्तविक विश्लेषणात्मक | वास्तविक-विश्लेषणात्मक सतह दिखाते हैं। टेस्टर मैनिफोल्ड को एक अतिरिक्त जीभ T के साथ ऊपरी आधे विमान के रूप में माना जा सकता है प्रत्येक वास्तविक x के लिए, बिंदु (x, 0) के ठीक नीचे इससे नीचे लटका हुआ है।

1925 में, टिबोर राडो ने साबित किया कि सभी रीमैन सतहें (यानी, एक आयामी जटिल मैनिफोल्ड्स) आवश्यक रूप से दूसरी-गणना योग्य हैं (रीमैन सतहें)। इसके विपरीत, यदि कोई जटिल संख्याओं द्वारा प्रूफ़र सतह के निर्माण में वास्तविक संख्याओं को प्रतिस्थापित करता है, तो कोई द्वि-आयामी जटिल मैनिफोल्ड प्राप्त करता है (जो आवश्यक रूप से एक 4-आयामी वास्तविक मैनिफोल्ड है) जिसमें कोई गणनीय आधार नहीं है।

ज्यामिति में सतहें
बहुतल, जैसे घन की सीमा, ज्यामिति में सामने आने वाली पहली सतहों में से हैं। चिकनी सतहों को परिभाषित करना भी संभव है, जिसमें प्रत्येक बिंदु 'E2' में कुछ खुले सेट के लिए पड़ोस भिन्नता है। यह विस्तार कई परिणामों को साबित करने के लिए कलन को सतहों पर लागू करने की अनुमति देता है

दो चिकनी सतहें अलग-अलग होती हैं यदि और केवल यदि वे होमियोमॉर्फिक हों (समान परिणाम उच्च-आयामी कई गुना के लिए सही नहीं है।)। इस प्रकार बंद सतहों को उनकी यूलर विशेषता और उन्मुखता द्वारा अलग-अलग आकार में वर्गीकृत किया जाता है।

रिमेंनियन छंदशास्त्र से लैस चिकनी सतहें विभेदक ज्यामिति में आधारभूत महत्व रखती हैं। एक रिमेंनियन मीट्रिक एक सतह को जियोडेसिक, दूरी, कोण और क्षेत्र की धारणाओं से संपन्न करता है। यह गॉसियन वक्रता को भी जन्म देता है, जो बताता है कि प्रत्येक बिंदु पर सतह कितनी घुमावदार या मुड़ी हुई है। वक्रता एक कठोर, ज्यामितीय संपत्ति है, जिसमें यह सतह के सामान्य भिन्नताओं द्वारा संरक्षित नहीं है। हालांकि, बंद सतहों के लिए प्रसिद्ध गॉस-बोनट प्रमेय कहता है कि संपूर्ण सतह s पर गॉसियन वक्रता के अभिन्न अंग यूलर विशेषता द्वारा निर्धारित किया जाता है:
 * $$\int_S K \; dA = 2 \pi \chi(S).$$

यह परिणाम सतहों की ज्यामिति और सांस्थिति (और, कुछ हद तक, उच्च-आयामी कई गुना) के बीच गहरे संबंध का उदाहरण देता है।

एक अन्य तरीका जिसमें ज्यामिति में सतहें उत्पन्न होती हैं, जटिल डोमेन में जाने से होती है। एक जटिल एक-कई गुना एक चिकनी उन्मुख सतह है, जिसे रीमैन सतह भी कहा जाता है। कोई भी जटिल गैर-एकवचन बीजगणितीय वक्र जिसे एक जटिल मैनिफोल्ड के रूप में देखा जाता है, एक रीमैन सतह है। वास्तव में, प्रत्येक सघन ओरिएंटेबल सतह रीमैन सतह के रूप में वसूली योग्य है। इस प्रकार सघन रीमैन सतहों को उनके जीनस द्वारा स्थलीय रूप से चित्रित किया जाता है: 0, 1, 2, .... दूसरी ओर, जीनस जटिल संरचना की विशेषता नहीं है। उदाहरण के लिए, जीनस 1 (एलिप्टिक कर्व ओवर द कॉम्प्लेक्स नंबर्स) की असंख्य गैर-समरूपी सघन रीमैन सतहें हैं।

एक बंद उन्मुख सतह पर जटिल संरचनाएं सतह पर रिमेंनियन मेट्रिक्स के अनुरूप समकक्ष के अनुरूप हैं। एकरूपता प्रमेय का एक संस्करण (हेनरी पोंकारे | पोंकारे के कारण) कहता है कि एक उन्मुख, बंद सतह पर कोई भी रिमेंनियन मीट्रिक निरंतर वक्रता के अनिवार्य रूप से अद्वितीय मीट्रिक के अनुरूप है। यह टेचमुलर सिद्धांत के दृष्टिकोणों में से एक के लिए एक प्रारंभिक बिंदु प्रदान करता है, जो अकेले यूलर विशेषता द्वारा संस्थानिकएक की तुलना में रीमैन सतहों का एक बेहतर वर्गीकरण प्रदान करता है।

एक जटिल सतह एक जटिल दो-कई गुना है और इस प्रकार एक वास्तविक चार-कई गुना है; यह इस लेख के अर्थ में एक सतह नहीं है। सम्मिश्र संख्याओं के अलावा क्षेत्र (गणित) पर परिभाषित बीजगणितीय वक्र भी नहीं हैं, न ही वास्तविक संख्याओं के अलावा बीजगणितीय सतहों को क्षेत्र (गणित) में परिभाषित किया गया है।

यह भी देखें

 * सीमा (सांस्थिति)
 * खंड प्रपत्र, En
 * रीमैन सतहों के मीट्रिक गुणों के लिए पोंकारे मीट्रिक
 * रोमन सतह
 * बॉय की सतह
 * टेट्राहेमीहेक्साइड्रोन
 * क्रम्प्लिंग, एक अलग करने योग्य सतह को विकृत (सिकोड़ना) करके प्राप्त एक गैर-विभेदक सतह

होमियोमॉर्फिज्म तक वर्गीकरण के सरल प्रमाण

 * , 1934 की क्लासिक जर्मन पाठ्यपुस्तक का अंग्रेजी अनुवाद
 * , अध्याय 1
 * , कैम्ब्रिज स्नातक पाठ्यक्रम
 * , बंद उन्मुख रिमेंनियन मैनिफोल्ड्स के लिए
 * , बंद उन्मुख रिमेंनियन मैनिफोल्ड्स के लिए
 * , बंद उन्मुख रिमेंनियन मैनिफोल्ड्स के लिए

डिफियोमोर्फिज्म तक वर्गीकरण के मोर्स सैद्धांतिक प्रमाण

 * , अंडरग्रेजुएट के उद्देश्य से सावधान प्रमाण
 * (मूल 1969-70 सांस्थिति डेस सरफेस के लिए फ्रेंच में ओरसे कोर्स नोट्स)
 * , अंडरग्रेजुएट के उद्देश्य से सावधान प्रमाण
 * (मूल 1969-70 सांस्थिति डेस सरफेस के लिए फ्रेंच में ओरसे कोर्स नोट्स)

अन्य प्रमाण

 * , संलग्न हैंडल के स्लाइडिंग का उपयोग करके मोर्स थ्योरिटिक प्रूफ के समान
 * , फैले हुए रेखांकन का उपयोग करते हुए लघु प्रारंभिक प्रमाण
 * , थॉमसन के प्रमाण का संक्षिप्त विवरण सम्मिलित है
 * , थॉमसन के प्रमाण का संक्षिप्त विवरण सम्मिलित है

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * समारोह (गणित)
 * विविध
 * अंक शास्त्र
 * समतल ज्यामिति)
 * निर्देशांक तरीका
 * वृत्त
 * स्वतंत्रता का दर्जा
 * 180वीं मध्याह्न रेखा
 * देशान्तर
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 * एक बीजगणितीय किस्म का एकवचन बिंदु
 * खुला सेट
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 * ऊपरी आधा विमान
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 * सिकंदर सींग वाला गोला
 * त्रि-आयामी स्थान
 * कई गुना की सीमा
 * कई गुना बंद
 * जुड़ा हुआ घटक (सांस्थिति)
 * लोच नेस राक्षस सतह
 * कैंटर के पेड़ की सतह
 * जटिल कई गुना
 * डिफियोमोर्फिज्म
 * घनक्षेत्र
 * गणना
 * अनुरूप रूप से समकक्ष

बाहरी संबंध

 * Classification of Compact Surfaces in Mathifold Project
 * The Classification of Surfaces and the Jordan Curve Theorem in Home page of Andrew Ranicki
 * Math Surfaces Gallery, with 60 ~surfaces and Java Applet for live rotation viewing
 * Math Surfaces Animation, with JavaScript (Canvas HTML) for tens surfaces rotation viewing
 * The Classification of Surfaces Lecture Notes by Z.Fiedorowicz
 * History and Art of Surfaces and their Mathematical Models
 * 2-manifolds at the Manifold Atlas