संचयी वितरण फलन

प्रायिकता सिद्धांत और सांख्यिकी में, वास्तविक मानांकन वाले यादृच्छिक चर $$X$$ का संचयी बंटन फलन (सीडीएफ), या केवल $$X$$ का बंटन फलन, $$x$$ पर मूल्यांकन किया गया, प्रायिकता यह है कि $$X$$ $$x$$ से कम या उसके बराबर मान लेता है। वास्तविक संख्याओं पर समर्थित प्रत्येक प्रायिकता बंटन, विविक्त या "मिश्र" के साथ-साथ संतत, एक लंब-संतत एकदिष्ट वर्धमान फलन (एक कैडलैग फलन) $$F \colon \mathbb R \rightarrow [0,1]$$ द्वारा $$\lim_{x\rightarrow-\infty}F(x)=0$$ और $$\lim_{x\rightarrow\infty}F(x)=1$$ को संतुष्ट करके विशिष्ट रूप से पहचाना जाता है।

एक अदिश सतत बंटन की स्थिति में, यह शून्य से अनंत तक $$x$$ तक प्रायिकता घनत्व फलन के अंतर्गत क्षेत्र देता है। संचयी बंटन फलनों का उपयोग बहुविचर यादृच्छिक चरों के बंटन को निर्दिष्ट करने के लिए भी किया जाता है।

परिभाषा
वास्तविक मानांकन यादृच्छिक चर $$X$$ का संचयी बंटन फलन द्वारा दिया गया फलन है

जहां दाहिना हाथ इस प्रायिकता को दर्शाता है कि यादृच्छिक चर $$X$$ का मान $$x$$ से कम या उसके बराबर है।

प्रायिकता यह है कि $$X$$ अर्ध संवृत अंतराल $$(a,b]$$ में स्थित है, जहां $$a < b$$, इसलिए है

उपरोक्त परिभाषा में, "इससे कम या इसके बराबर" चिह्न, "≤", एक कन्वेंशन है, सार्वभौमिक रूप से उपयोग नहीं किया जाने वाला (उदाहरण के लिए हंगेरियन साहित्य "<" का उपयोग करता है), लेकिन सतत बंटन के लिए यह अंतर महत्वपूर्ण है। द्विपद और प्वासों बंटन की सारणियों का उचित उपयोग इस कन्वेंशन पर निर्भर करता है। इसके अलावा, अभिलक्षण फलन के लिए पॉल लेवी के प्रतिलोमन सूत्र जैसे महत्वपूर्ण सूत्र भी "इससे कम या बराबर" सूत्रीकरण पर निर्भर करते हैं।

यदि अनेक यादृच्छिक चरों X,Y....आदि का उपचारण किया जाए तो संगत अक्षरों का उपयोग पादांकों के रूप में किया जाता है, जबकि, यदि केवल एक का उपचारण किया जाता है, तो पादांक को आमतौर पर छोड़ दिया जाता है। प्रायिकता घनत्व फलन और प्रायिकता द्रव्यमान फलन के लिए उपयोग किए जाने वाले लघु अक्षर $$F$$ के विपरीत, संचयी बंटन फलन के लिए पूंजी $$f$$ का उपयोग करना औपचारिक है। यह सामान्य बंटनों पर परिचर्चा करते समय लागू होता है: कुछ विशिष्ट बंटनों के अपने सम्मत संकेतन होते हैं, उदाहरण के लिए प्रसामान्य बंटन क्रमशः F और f के बजाय $$\Phi$$ और $$\phi$$ का उपयोग करते है।

एक सतत यादृच्छिक चर के प्रायिकता घनत्व फलन को कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करके और अवकलन करके संचयी बंटन फलन से निर्धारित किया जा सकता है; यानी दिया गया$$F(x)$$, $$f(x) = \frac{dF(x)}{dx}$$ जब तक अवकलज उपस्थित है।

एक सतत यादृच्छिक चर $$X$$ के सीडीएफ को प्रायिकता घनत्व फलन $$f_X$$ के समाकल में निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है: $$F_X(x) = \int_{-\infty}^x f_X(t) \, dt.$$ एक यादृच्छिक चर $$X$$ की स्थिति में जिसका बंटन मान b पर एक विविक्त घटक है, $$\operatorname{P}(X=b) = F_X(b) - \lim_{x \to b^-} F_X(x).$$ अगर $$F_X$$ $$b$$ सतत है, तो यह शून्य के बराबर है और $$b$$ पर कोई विविक्त घटक नहीं है।

गुण
प्रत्येक संचयी बंटन फलन $$F_X$$ गैर-ह्रासमान और सम-सतत हैं, जो इसे एक कैडलैग फलन बनाता है। आगे, $$\lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0, \quad \lim_{x \to +\infty} F_X(x) = 1.$$ इन चार गुणों वाला प्रत्येक फलन एक सीडीएफ है, ऐसे प्रत्येक फलन के लिए, एक यादृच्छिक चर को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है कि फलन उस यादृच्छिक चर का संचयी बंटन फलन है।

यदि $$X$$ एक पूर्ण रुप से विविक्त यादृच्छिक चर है, तब यह प्रायिकता $$p_i = p(x_i)$$ के साथ मान x1,x2,... प्राप्त करता है, और $$X$$ का सीडीएफ बिंदु $$x_i$$ पर असंतत होगा: $$F_X(x) = \operatorname{P}(X\leq x) = \sum_{x_i \leq x} \operatorname{P}(X = x_i) = \sum_{x_i \leq x} p(x_i).$$ यदि वास्तविक मान वाले यादृच्छिक चर $$X$$ का सीडीएफ Fx सतत है, तो $$X$$ एक सतत यादृच्छिक चर है; यदि इसके अलावा $$F_X$$ पूर्ण संतत है, तो एक लेब्सग्यू समाकलनीय फलन $$f_X(x)$$ उपस्थित है जैसे कि $$F_X(b)-F_X(a) = \operatorname{P}(a< X\leq b) = \int_a^b f_X(x)\,dx$$ सभी वास्तविक संख्याओं $$a$$ और $$b$$ के लिए है।  फलन $$f_X$$ लगभग हर जगह $$F_X$$ के अवकलज के बराबर है, और इसे $$X$$ के बंटन के प्रायिकता घनत्व फलन कहा जाता है।

यदि $$X$$ का परिमित L1-नोर्म है, अर्थात $$|X|$$ की प्रत्याशा परिमित है, तो प्रत्याशा रीमैन-स्टिल्टजेस समाकल द्वारा दी गई है $$\mathbb E[X] = \int_{-\infty}^\infty t dF_X(t)$$और किसी के लिए भी $$x \geq 0$$, $$\begin{align} x (1-F_X(x)) & \leq \int_x^{\infty} t dF_X(t) \\ x F_X(-x)   & \leq \int_{-\infty}^{-x} (-t) dF_X(t) \end{align}$$जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।विशेष रूप से, हमारे पास है $$\lim_{x \to -\infty} x F(x) = 0, \quad \lim_{x \to +\infty} x (1-F(x)) = 0. $$

उदाहरण
उदाहरण के तौर पर, मान लीजिए कि $$X$$ को एकांक अंतराल $$[0,1]$$ पर एक समान रूप से बंटित किया गया है।

फिर $$X$$ का सीडीएफ दिया गया है $$F_X(x) = \begin{cases} 0 &:\ x < 0\\ x &:\ 0 \le x \le 1\\ 1 &:\ x > 1 \end{cases}$$ इसके बजाय मान लीजिए कि $$X$$ समान प्रायिकता के साथ केवल विविक्त मान 0 और 1 लेता है।

फिर $$X$$ का सीडीएफ दिया गया है $$F_X(x) = \begin{cases} 0 &:\ x < 0\\ 1/2 &:\ 0 \le x < 1\\ 1 &:\ x \ge 1 \end{cases}$$ मान लीजिए कि $$X$$ घातीय रूप से बंटित है | फिर $$X$$ का सीडीएफ दिया गया है $$F_X(x;\lambda) = \begin{cases} 1-e^{-\lambda x} & x \ge 0, \\ 0 & x < 0. \end{cases}$$ यहां λ > 0 बंटन का प्राचल है, जिसे अधिकतर दर प्राचल कहा जाता है।

मान लीजिए $$X$$ प्रसामान्य बंटन है| फिर $$X$$ का सीडीएफ दिया गया है $$F(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x \exp \left( -\frac{(t - \mu)^2}{2\sigma^2} \right)\, dt. $$ यहाँ प्राचल $$\mu$$ बंटन का माध्य या प्रत्याशा है; और $$\sigma$$ इसका मानक विचलन है.

मानक प्रसामान्य बंटन की सीडीएफ की एक सारणी अधिकतर सांख्यिकीय अनुप्रयोगों में उपयोग की जाती है, जहां इसे मानक सामान्य सारणी, एकांक सामान्य सारणी या Z सारणी का नाम दिया जाता है।

मान लीजिए $$X$$ द्विपद बंटन है. फिर $$X$$ का सीडीएफ दिया गया है $$F(k;n,p) = \Pr(X\leq k) = \sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }{n \choose i} p^{i} (1-p)^{n-i}$$ यहाँ $$p$$ सफलता की प्रायिकता है और फलन $$n$$ स्वतंत्र प्रयोगों के अनुक्रम में सफलताओं की संख्या के असतत संभाव्यता वितरण को दर्शाता है, और $$\lfloor k\rfloor$$ नीचे की मंजिल है $$k$$, यानी सबसे बड़ा पूर्णांक से कम या उसके बराबर $$k$$.

पूरक संचयी बंटन फलन (पुच्छ बंटन)
कभी-कभी, विपरीत प्रश्न का अध्ययन करना और यह पूछना उपयोगी होता है कि यादृच्छिक चर कितनी बार किसी विशेष स्तर से ऊपर होता है। इसे पूरक संचयी बंटन फलन (सीसीडीएफ) या केवल पुच्छ बंटन या अतिरेक कहा जाता है, और इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है $$\bar F_X(x) = \operatorname{P}(X > x) = 1 - F_X(x).$$ उदाहरण के लिए, सांख्यिकी परिकल्पना परीक्षण में इसका अनुप्रयोग होता है, क्योंकि एकपक्षीय पी-मान एक परीक्षण आँकड़ा देखने की प्रायिकता है जो कम से कम उतना ही चरम है जितना कि देखा गया है। इस प्रकार, बशर्ते कि परीक्षण आँकड़ा, T, का सतत बंटन हो, एकपक्षीय पी-मान केवल सीसीडीएफ द्वारा दिया जाता है: परीक्षण आँकड़े के देखे गए मान t के लिए $$p= \operatorname{P}(T \ge t) = \operatorname{P}(T > t) = 1 - F_T(t).$$ अतिजीविता विश्लेषण में, $$\bar F_X(x)$$ को अतिजीविता फलन कहा जाता है और $$S(x)$$ को दर्शाया जाता है, जबकि विश्वसनीयता फलन शब्द अभियांत्रिकी में सामान्य है।

\operatorname{E}(X) = \int_0^\infty x f_X(x) \, dx \geq \int_0^c x f_X(x) \, dx + c\int_c^\infty f_X(x) \, dx $$ फिर पहचानने पर $$\bar F_X(c) = \int_c^\infty f_X(x) \, dx$$ और पदों को पुनर्व्यवस्थित करना, $$ 0 \leq c\bar F_X(c) \leq \operatorname{E}(X) - \int_0^c x f_X(x) \, dx \to 0 \text{ as } c \to \infty $$ जैसा कि दावा किया गया है |
 * गुण
 * एक प्रत्याशा वाले अऋणात्मक संतत यादृच्छिक चर के लिए, मार्कोव की असमानता बताती है कि $$\bar F_X(x) \leq \frac{\operatorname{E}(X)}{x} .$$
 * जैसा कि $$x \to \infty, \bar F_X(x) \to 0$$, और वास्तव में $$\bar F_X(x) = o(1/x)$$ बशर्ते कि $$\operatorname{E}(X)$$ परिमित है. प्रमाण: यह मानते हुए कि किसी भी $$c > 0$$ के लिए X का घनत्व फलन fx है $$
 * एक प्रत्याशा वाले यादृच्छिक चर के लिए, $$\operatorname{E}(X) = \int_0^\infty \bar F_X(x) \, dx - \int_{-\infty}^0 F_X(x) \, dx$$ और एक अऋणात्मक यादृच्छिक चर के लिए दूसरा पद 0 है। यदि यादृच्छिक चर केवल अऋणात्मक पूर्णांक मान ले सकता है, तो यह इसके तुल्य है $$\operatorname{E}(X) = \sum_{n=0}^\infty \bar F_X(n).$$

मुड़ा हुआ संचयी बंटन
जबकि एक संचयी बंटन की साजिश $$F$$ अक्सर इसका आकार S-जैसा होता है, एक वैकल्पिक चित्रण मुड़ा हुआ संचयी बंटन या पर्वतीय प्लॉट है, जो ग्राफ़ के शीर्ष आधे हिस्से को मोड़ देता है, वह है
 * $$F_\text{fold}(x)=F(x)1_{\{F(x)\leq 0.5\}}+(1-F(x))1_{\{F(x)>0.5\}}$$

कहाँ $$1_{\{A\}}$$ सूचक फलन को दर्शाता है और दूसरा सारांश उत्तरजीवी फलन है, इस प्रकार दो पैमानों का उपयोग किया जाता है, एक ऊपर की ओर और दूसरा नीचे की ओर। चित्रण का यह रूप माध्यिका (सांख्यिकी), फैलाव (सांख्यिकी) (विशेष रूप से, माध्यिका से माध्य निरपेक्ष विचलन) पर जोर देता है ) और बंटन या अनुभवजन्य परिणामों की विषमता।

व्युत्क्रम बंटन फलन (मात्राफल फलन)
यदि सीडीएफ एफ सख्ती से बढ़ रहा है और निरंतर है $$ F^{-1}( p ), p \in [0,1], $$ अद्वितीय वास्तविक संख्या है $$ x $$ ऐसा है कि $$ F(x) = p $$. यह व्युत्क्रम बंटन फलन या मात्रात्मक कार्य को परिभाषित करता है।

कुछ बंटनों में कोई अद्वितीय व्युत्क्रम नहीं होता है (उदाहरण के लिए यदि $$f_X(x)=0$$ सभी के लिए $$a<x<b$$, कारण $$F_X$$ स्थिर रहना) इस मामले में, कोई सामान्यीकृत व्युत्क्रम बंटन फलन का उपयोग कर सकता है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है

F^{-1}(p) = \inf \{x \in \mathbb{R}: F(x) \geq p \}, \quad \forall p \in [0,1]. $$
 * उदाहरण 1: माध्यिका है $$F^{-1}( 0.5 )$$.
 * उदाहरण 2: रखो $$ \tau = F^{-1}( 0.95 ) $$. फिर हम कॉल करते हैं $$ \tau $$ 95वाँ प्रतिशतक.

व्युत्क्रम सीडीएफ के कुछ उपयोगी गुण (जो सामान्यीकृत व्युत्क्रम बंटन फलन की परिभाषा में भी संरक्षित हैं) हैं:


 * 1) $$F^{-1}$$ घट नहीं रहा है
 * 2) $$F^{-1}(F(x)) \leq x$$
 * 3) $$F(F^{-1}(p)) \geq p$$
 * 4) $$F^{-1}(p) \leq x$$ अगर और केवल अगर $$p \leq F(x)$$
 * 5) अगर $$Y$$ एक $$U[0, 1]$$ बंटन तो $$F^{-1}(Y)$$ के रूप में वितरित किया जाता है $$F$$. इसका उपयोग व्युत्क्रम परिवर्तन नमूनाकरण-विधि का उपयोग करके यादृच्छिक संख्या पीढ़ी में किया जाता है।
 * 6) अगर $$\{X_\alpha\}$$ स्वतंत्र का एक संग्रह है $$F$$-वितरित यादृच्छिक चर को एक ही नमूना स्थान पर परिभाषित किया गया है, फिर यादृच्छिक चर मौजूद हैं $$Y_\alpha$$ ऐसा है कि $$Y_\alpha$$ के रूप में वितरित किया जाता है $$U[0,1]$$ और $$F^{-1}(Y_\alpha) = X_\alpha$$ सभी के लिए प्रायिकता 1 के साथ $$\alpha$$.

समान बंटन के लिए प्राप्त परिणामों को अन्य बंटनों में अनुवाद करने के लिए सीडीएफ के व्युत्क्रम का उपयोग किया जा सकता है।

अनुभवजन्य बंटन फलन
अनुभवजन्य बंटन फलन संचयी बंटन फलन का एक अनुमान है जो नमूने में अंक उत्पन्न करता है। यह उस अंतर्निहित बंटन में संभाव्यता 1 के साथ अभिसरण करता है। अंतर्निहित संचयी बंटन फलन के लिए अनुभवजन्य बंटन फलन के अभिसरण की दर निर्धारित करने के लिए कई परिणाम मौजूद हैं.

दो यादृच्छिक चर के लिए परिभाषा
एक से अधिक यादृच्छिक चर के साथ एक साथ व्यवहार करते समय संयुक्त संचयी बंटन फलन को भी परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यादृच्छिक चर की एक जोड़ी के लिए $$X,Y$$, संयुक्त सी.डी.एफ $$F_{XY}$$ द्वारा दिया गया है

जहां दाईं ओर यादृच्छिक चर की संभावना का प्रतिनिधित्व करता है $$X$$ से कम या उसके बराबर मान लेता है $$x$$ ओर वो $$Y$$ से कम या उसके बराबर मान लेता है $$y$$.

संयुक्त संचयी बंटन फलन का उदाहरण:

दो सतत चर X और Y के लिए: $$ \Pr(a < X < b \text{ and } c < Y < d) = \int_a^b \int_c^d f(x,y) \, dy \, dx;$$ दो अलग-अलग यादृच्छिक चर के लिए, संभावनाओं की एक तालिका तैयार करना और एक्स और वाई की प्रत्येक संभावित सीमा के लिए संचयी संभावना को संबोधित करना फायदेमंद है, और यहां उदाहरण दिया गया है: सारणीबद्ध रूप में संयुक्त संभाव्यता द्रव्यमान फलन को देखते हुए, संयुक्त संचयी बंटन फलन निर्धारित करें। समाधान: X और Y की प्रत्येक संभावित सीमा के लिए संभावनाओं की दी गई तालिका का उपयोग करके, संयुक्त संचयी बंटन फलन का निर्माण सारणीबद्ध रूप में किया जा सकता है:

दो से अधिक यादृच्छिक चरों के लिए परिभाषा
के लिए $$N$$ यादृच्छिक चर $$X_1,\ldots,X_N$$, संयुक्त सी.डी.एफ $$F_{X_1,\ldots,X_N}$$ द्वारा दिया गया है

की व्याख्या करना $$N$$ एक यादृच्छिक वेक्टर के रूप में यादृच्छिक चर $$\mathbf{X} = (X_1, \ldots, X_N)^T$$ एक छोटा संकेतन उत्पन्न करता है: $$F_{\mathbf{X}}(\mathbf{x}) = \operatorname{P}(X_1 \leq x_1,\ldots,X_N \leq x_N)$$

गुण
प्रत्येक बहुभिन्नरूपी सीडीएफ है: एकल आयाम मामले के विपरीत, उपरोक्त चार गुणों को संतुष्ट करने वाला प्रत्येक फलन एक बहुभिन्नरूपी सीडीएफ नहीं है। उदाहरण के लिए, चलो $$F(x,y)=0$$ के लिए $$x<0$$ या $$x+y<1$$ या $$y<0$$ और जाने $$F(x,y)=1$$ अन्यथा। यह देखना आसान है कि उपरोक्त शर्तें पूरी होती हैं, और फिर भी $$F$$ यदि ऐसा होता तो यह सीडीएफ नहीं है $\operatorname{P}\left(\frac{1}{3} < X \leq 1, \frac{1}{3} < Y \leq 1\right)=-1$ जैसा कि नीचे बताया गया है।
 * 1) इसके प्रत्येक चर के लिए नीरस रूप से गैर-घटता हुआ,
 * 2) इसके प्रत्येक चर में सही-निरंतर,
 * 3) $$0\leq F_{X_1 \ldots X_n}(x_1,\ldots,x_n)\leq 1,$$
 * 4) $$\lim_{x_1,\ldots,x_n \rightarrow+\infty}F_{X_1 \ldots X_n}(x_1,\ldots,x_n)=1 \text{ and } \lim_{x_i\rightarrow-\infty}F_{X_1 \ldots X_n}(x_1,\ldots,x_n)=0, \text{for all } i.$$

एक बिंदु के हाइपरआयतकोण से संबंधित होने की संभावना 1-आयामी मामले के अनुरूप है: $$F_{X_1,X_2}(a, c) + F_{X_1,X_2}(b, d) - F_{X_1,X_2}(a, d) - F_{X_1,X_2}(b, c) = \operatorname{P}(a < X_1 \leq b, c < X_2 \leq d) = \int ...$$

सम्मिश्र यादृच्छिक चर
वास्तविक से सम्मिश्र यादृच्छिक चर में संचयी बंटन फलन का सामान्यीकरण स्पष्ट नहीं है क्योंकि रूप $$ P(Z \leq 1+2i) $$ के व्यंजकों कोई अर्थ नहीं है। हालाँकि $$ P(\Re{(Z)} \leq 1, \Im{(Z)} \leq 3) $$ रूप के व्यंजक समझ में आते हैं। इसलिए, हम एक सम्मिश्र यादृच्छिक चर के संचयी बंटन को उनके वास्तविक और काल्पनिक भागों के संचयी बंटन के माध्यम से परिभाषित करते हैं: $$ F_Z(z) = F_{\Re{(Z)},\Im{(Z)}}(\Re{(z)},\Im{(z)}) = P(\Re{(Z)} \leq \Re{(z)}, \Im{(Z)} \leq \Im{(z)}). $$

सम्मिश्र यादृच्छिक सदिश
$$ उपज का सामान्यीकरण $$F_{\mathbf{Z}}(\mathbf{z}) = F_{\Re{(Z_1)},\Im{(Z_1)}, \ldots, \Re{(Z_n)},\Im{(Z_n)}}(\Re{(z_1)}, \Im{(z_1)},\ldots,\Re{(z_n)}, \Im{(z_n)}) = \operatorname{P}(\Re{(Z_1)} \leq \Re{(z_1)},\Im{(Z_1)} \leq \Im{(z_1)},\ldots,\Re{(Z_n)} \leq \Re{(z_n)},\Im{(Z_n)} \leq \Im{(z_n)})$$ एक सम्मिश्र यादृच्छिक सदिश के सीडीएस की परिभाषा के रूप में $$\mathbf{Z} = (Z_1,\ldots,Z_N)^T$$.

सांख्यिकीय विश्लेषण में उपयोग
संचयी बंटन फलन की अवधारणा सांख्यिकीय विश्लेषण में दो (समान) तरीकों से स्पष्ट रूप से प्रकट होती है। संचयी आवृत्ति विश्लेषण एक संदर्भ मान से कम किसी परिघटना के मानों की घटना की आवृत्ति का विश्लेषण है। आनुभविक बंटन फलन संचयी बंटन फलन का एक औपचारिक प्रत्यक्ष आकलन है जिसके लिए सरल सांख्यिकीय गुण प्राप्त किए जा सकते हैं और जो विभिन्न सांख्यिकीय परिकल्पना परीक्षणों का आधार बन सकते हैं | ऐसे परीक्षण यह आकलन कर सकते हैं कि क्या किसी दिए गए बंटन से उत्पन्न डेटा के प्रतिदर्श के सम्मुख प्रमाण है, या एक ही (अज्ञात) समष्टि बंटन से उत्पन्न हुए डेटा के दो प्रतिदर्शों के सम्मुख प्रमाण है।

कोलमोगोरोव-स्मिरनोव और कुइपर के परीक्षण
कोलमोगोरोव-स्मिरनोव परीक्षण संचयी बंटन फलन पर आधारित है और इसका उपयोग यह देखने के लिए किया जा सकता है कि क्या दो आनुभविक बंटन अलग-अलग हैं या क्या एक आनुभविक बंटन एक आदर्श बंटन से अलग है। यदि बंटन का प्रक्षेत्र सप्ताह के दिन के जैसा चक्रीय है तो संवृततः से संबंधित कुइपर का परीक्षण उपयोगी है। उदाहरण के लिए, कुइपर परीक्षण का उपयोग यह देखने के लिए किया जा सकता है कि क्या वर्ष के दौरान टॉर्नेडो की संख्या बदलती रहती है या किसी उत्पाद की बिक्री सप्ताह के दिन या महीने के दिन के अनुसार बदलती रहती है।

यह भी देखें

 * वर्णनात्मक सांख्यिकी
 * बंटन फिटिंग
 * तोरण (सांख्यिकी)
 * पीडीएफ के साथ आपरिवर्तित अर्ध-चरघातांकी बंटन $$(0, \infty)$$ के रूप में दिया गया है $$ f(x)= \frac{2\beta^{\frac{\alpha}{2}} x^{\alpha-1} \exp(-\beta x^2+ \gamma x )}{\Psi{\left(\frac{\alpha}{2}, \frac{ \gamma}{\sqrt{\beta}}\right)}}$$, जहां $$\Psi(\alpha,z)={}_1\Psi_1\left(\begin{matrix}\left(\alpha,\frac{1}{2}\right)\\(1,0)\end{matrix};z \right)$$ फॉक्स-राइट साई फलन को दर्शाता है।