बेबीलोनियन गणित

बेबीलोनियन गणित ('असीरो-बेबीलोनियन गणित' के रूप में भी जाना जाता है)   ) प्रारंभिक सुमेरियों के दिनों से लेकर 539 ईसा पूर्व में बाबुल के पतन के बाद की शताब्दियों तक मेसोपोटामिया के लोगों द्वारा विकसित या अभ्यास किया जाने वाला गणित है। बेबीलोनियन गणितीय ग्रंथ प्रचुर मात्रा में और अच्छी तरह से संपादित हैं। समय के संबंध में वे दो अलग-अलग समूहों में आते हैं: एक प्रथम बेबीलोनियन राजवंश काल (1830-1531 ईसा पूर्व) से, दूसरा मुख्य रूप से पिछली तीन या चार शताब्दी ईसा पूर्व से सील्यूसिड साम्राज्य से। सामग्री के संबंध में, ग्रंथों के दो समूहों के बीच लगभग कोई अंतर नहीं है। लगभग दो सहस्राब्दियों तक, चरित्र और सामग्री में बेबीलोनियन गणित स्थिर रहा।

मिस्र के गणित में स्रोतों की कमी के विपरीत, बेबिलोनिया गणित का ज्ञान 1850 के दशक से खोजी गई लगभग 400 मिट्टी की गोलियों से प्राप्त हुआ है। क्यूनिफॉर्म लिपि में लिखे गए, गोलियां तब अंकित की गई थीं जब मिट्टी नम थी, और एक ओवन में या सूरज की गर्मी से कड़ी मेहनत की गई थी। अधिकांश बरामद मिट्टी की गोलियां 1800 से 1600 ईसा पूर्व की हैं, और उन विषयों को कवर करती हैं जिनमें अंश (गणित), बीजगणित, द्विघात समीकरण और घन समीकरण और पाइथागोरस प्रमेय शामिल हैं। बेबीलोनियन टैबलेट वाईबीसी 7289 एक अनुमान देता है $$\sqrt{2}$$ तीन महत्वपूर्ण सेक्सजेसिमल अंकों (लगभग छह महत्वपूर्ण दशमलव अंक) के लिए सटीक।

बेबीलोनियन गणित की उत्पत्ति
बेबीलोनियन गणित प्राचीन निकट पूर्व में संख्यात्मक और अधिक उन्नत गणितीय अभ्यासों की एक श्रृंखला है, जो कीलाक्षर लिपि में लिखी गई है। उपलब्ध आंकड़ों की संपत्ति के कारण अध्ययन ने ऐतिहासिक रूप से पहली सहस्राब्दी ईसा पूर्व में प्रथम बेबीलोनियन राजवंश पर ध्यान केंद्रित किया है। बेबीलोनियन गणित के शुरुआती स्वरूप पर बहस हुई है, इतिहासकारों ने 5वीं और तीसरी सहस्राब्दी ईसा पूर्व के बीच की तारीखों की एक श्रृंखला का सुझाव दिया है। बेबीलोनियन गणित मुख्य रूप से अक्कडियन भाषा या सुमेरियन भाषा की भाषाओं में क्यूनिफॉर्म लिपि में मिट्टी की गोलियों पर लिखा गया था।

बेबीलोनियन गणित शायद एक अनुपयोगी शब्द है क्योंकि सबसे पहले सुझाई गई मूल तिथि 5 वीं सहस्राब्दी ईसा पूर्व में बुल्ला (सील) और प्राचीन संख्याओं को लिखने का इतिहास#मिट्टी के टोकन जैसे लेखांकन उपकरणों के उपयोग के लिए थी।

बेबीलोनियन अंक
गणित की बेबीलोनियन प्रणाली एक सेक्सजेसिमल (आधार 60) अंक प्रणाली थी। इससे हम एक मिनट में 60 सेकंड, एक घंटे में 60 मिनट और एक सर्कल में 360 डिग्री के आधुनिक उपयोग को प्राप्त करते हैं। बेबीलोन के लोग दो कारणों से गणित में बड़ी प्रगति करने में सक्षम थे। सबसे पहले, संख्या 60 एक श्रेष्ठ उच्च संमिश्र संख्या है, जिसमें 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 के कारक हैं (उन लोगों सहित जो स्वयं समग्र हैं), गणना की सुविधा अंश (गणित)। इसके अतिरिक्त, मिस्रियों और रोमनों के विपरीत, बेबीलोनियों के पास एक वास्तविक स्थान-मूल्य प्रणाली थी, जहां बाएं स्तंभ में लिखे अंक बड़े मूल्यों का प्रतिनिधित्व करते थे (जैसे कि, हमारे आधार दस प्रणाली में, 734 = 7×100 + 3×10 + 4×1).

सुमेरियन गणित
मेसोपोटामिया के प्राचीन सुमेरियों ने 3000 ईसा पूर्व से मैट्रोलोजी की एक जटिल प्रणाली विकसित की थी। 2600 ईसा पूर्व से, सुमेरियों ने मिट्टी की गोलियों पर गुणन सारणी लिखी और ज्यामिति अभ्यास और विभाजन (गणित) की समस्याओं से निपटा। बेबीलोनियन अंकों के शुरुआती निशान भी इसी अवधि के हैं।

पुराना बेबीलोनियन गणित (2000-1600 ईसा पूर्व)
अधिकांश मिट्टी की गोलियाँ जो बेबीलोनियन गणित का वर्णन करती हैं, वे पहले बेबीलोनियन राजवंश से संबंधित हैं, यही कारण है कि मेसोपोटामिया के गणित को आमतौर पर बेबीलोनियन गणित के रूप में जाना जाता है। कुछ मिट्टी की गोलियों में गणितीय सूचियाँ और तालिकाएँ होती हैं, अन्य में समस्याएँ और समाधान होते हैं।

अंकगणित
बेबीलोनियों ने अंकगणित में सहायता के लिए पूर्व-परिकलित तालिकाओं का उपयोग किया। उदाहरण के लिए, 1854 में महानद पर सेनकेराह में मिली दो गोलियाँ, 2000 ईसा पूर्व से डेटिंग, 59 तक की संख्याओं की वर्ग संख्या और 32 तक की संख्याओं के घन (अंकगणित) की सूची देती हैं। बेबीलोनियों ने वर्गों की सूचियों का एक साथ उपयोग किया सूत्रों के साथ:


 * $$ab = \frac{(a + b)^2 - a^2 - b^2}{2}$$
 * $$ab = \frac{(a + b)^2 - (a - b)^2}{4}$$

गुणन को आसान बनाने के लिए।

बेबीलोनियों के पास लंबे विभाजन के लिए कोई एल्गोरिद्म नहीं था। इसके बजाय उन्होंने अपनी पद्धति को इस तथ्य पर आधारित किया कि:


 * $$\frac{a}{b} = a \times \frac{1}{b}$$

गुणक व्युत्क्रम की तालिका के साथ। संख्याएं जिनके केवल प्रमुख कारक 2, 3 या 5 हैं (5-चिकनी संख्या या नियमित संख्या के रूप में जाना जाता है) सेक्सजेसिमल नोटेशन में परिमित पारस्परिक (गणित) हैं, और इन पारस्परिकों की विस्तृत सूची वाली तालिकाएं पाई गई हैं।

व्युत्क्रम जैसे कि 1/7, 1/11, 1/13, आदि का सेक्सगेसिमल संकेतन में परिमित निरूपण नहीं होता है। 1/13 की गणना करने के लिए या किसी संख्या को 13 से विभाजित करने के लिए बेबीलोन के लोग एक सन्निकटन का उपयोग करेंगे जैसे:


 * $$\frac{1}{13} = \frac{7}{91} = 7 \times \frac {1}{91} \approx 7 \times \frac{1}{90}=7 \times \frac{40}{3600} = \frac{280}{3600} = \frac{4}{60} + \frac{40}{3600}.$$

बीजगणित
बेबीलोनियन मिट्टी की गोली येल बेबीलोनियन संग्रह 7289 (सी. 1800-1600 ईसा पूर्व) का एक अनुमान देता है $√2$ चार सेक्सजेसिमल आंकड़ों में, 1;24,51,10, जो लगभग छह दशमलव अंकों तक सटीक है, और निकटतम संभव तीन-स्थान सेक्सजेसिमल प्रतिनिधित्व है $√2$:
 * $$1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = \frac{30547}{21600} = 1.41421\overline{296}.$$

अंकगणितीय गणनाओं के साथ-साथ, बेबीलोन के गणितज्ञों ने समीकरणों को हल करने के प्राथमिक बीजगणित के तरीके भी विकसित किए। एक बार फिर, ये पूर्व-परिकलित तालिकाओं पर आधारित थे।

द्विघात समीकरण को हल करने के लिए, बेबीलोनियों ने अनिवार्य रूप से मानक द्विघात सूत्र का उपयोग किया। उन्होंने फार्म के द्विघात समीकरणों पर विचार किया:


 * $$\ x^2 + bx = c$$

जहां बी और सी आवश्यक रूप से पूर्णांक नहीं थे, लेकिन सी हमेशा सकारात्मक था। वे जानते थे कि समीकरण के इस रूप का हल है:
 * $$x = - \frac{b}{2} + \sqrt{ \left ( \frac{b}{2} \right )^2 + c}$$

और उन्होंने विभाजन और औसत का उपयोग करके वर्गमूलों को कुशलता से पाया। वे हमेशा सकारात्मक जड़ का उपयोग करते थे क्योंकि वास्तविक समस्याओं को हल करते समय यह समझ में आता था. इस प्रकार की समस्याओं में एक आयत के आयामों को उसके क्षेत्रफल और उस राशि को खोजना शामिल है जिससे लंबाई चौड़ाई से अधिक हो जाती है।

N के मानों की तालिकाएँ3 + n2 का उपयोग कुछ घन समीकरणों को हल करने के लिए किया गया था। उदाहरण के लिए, समीकरण पर विचार करें:


 * $$\ ax^3 + bx^2 = c.$$

समीकरण को गुणा करके a2 और b से विभाजित करना3 देता है:


 * $$\left ( \frac{ax}{b} \right )^3 + \left ( \frac {ax}{b} \right )^2 = \frac {ca^2}{b^3}.$$

प्रतिस्थापित करना y = ax/b देता है:


 * $$y^3 + y^2 = \frac {ca^2}{b^3}$$

जिसे अब n को देखकर हल किया जा सकता है3 + n2 दाहिनी ओर के निकटतम मान का पता लगाने के लिए तालिका। बेबीलोन के लोगों ने बीजगणितीय अंकन के बिना इसे पूरा किया, जिससे समझ की उल्लेखनीय गहराई दिखाई देती है। हालाँकि, उनके पास सामान्य घन समीकरण को हल करने की कोई विधि नहीं थी।

वृद्धि
बेबीलोनियों ने घातीय वृद्धि, विवश वृद्धि (सिग्मॉइड कार्यों के एक रूप के माध्यम से), और दोहरीकरण समय, ऋण पर ब्याज के संदर्भ में उत्तरार्द्ध का मॉडल तैयार किया।

मिट्टी की गोलियाँ सी से। 2000 ई.पू. व्यायाम शामिल करें 1/60 प्रति माह की ब्याज दर (कोई चक्रवृद्धि नहीं) को देखते हुए, दोहरीकरण समय की गणना करें। यह 12/60 = 20% की वार्षिक ब्याज दर देता है, और इसलिए 100% वृद्धि/20% प्रति वर्ष की वृद्धि का दोगुना समय = 5 वर्ष।

प्लिम्पटन 322
Plimpton 322 टैबलेट में पायथागॉरियन ट्रिपल्स की एक सूची है, यानी, पूर्णांक $$(a,b,c)$$ ऐसा है कि $$a^2+b^2=c^2$$. त्रिगुण बहुत अधिक हैं और बहुत बड़े हैं जिन्हें पाशविक बल द्वारा प्राप्त नहीं किया जा सकता है।

इस विषय पर बहुत कुछ लिखा गया है, जिसमें कुछ अटकलें (शायद कालानुक्रमिक) शामिल हैं कि क्या टैबलेट एक प्रारंभिक त्रिकोणमितीय तालिका के रूप में काम कर सकता था। टैबलेट को उस समय परिचित या लेखकों के लिए सुलभ तरीकों के संदर्भ में देखने के लिए सावधानी बरती जानी चाहिए।  [...] सवाल टैबलेट की गणना कैसे की गई? होना जरूरी नहीं है प्रश्न के समान उत्तर टैबलेट क्या समस्याएं सेट करता है? पहले का उत्तर दिया जा सकता है सबसे संतोषजनक रूप से पारस्परिक जोड़ियों द्वारा, जैसा कि पहली बार आधी सदी पहले सुझाया गया था, और दूसरा किसी प्रकार की समकोण-त्रिकोण समस्याओं से।  (ई. रॉबसन, न तो शर्लक होम्स न ही बेबीलोन: प्लैम्पटन 322 का पुनर्मूल्यांकन, हिस्टोरिया मठ। '28' (3), पृष्ठ 202)।

ज्यामिति
बेबीलोन के लोग आयतन और क्षेत्रफल मापने के सामान्य नियम जानते थे। उन्होंने एक वृत्त की परिधि को व्यास के तीन गुने के रूप में और क्षेत्रफल को परिधि के वर्ग के एक-बारहवें हिस्से के रूप में मापा, जो सही होगा यदि पाई |$\pi$3 के रूप में अनुमानित है। वे जानते थे कि यह एक सन्निकटन था, और 1936 में सूसा के निकट खुदाई में प्राप्त एक पुरानी बेबीलोनियन गणितीय गोली (19वीं और 17वीं शताब्दी ईसा पूर्व के बीच की) एक बेहतर सन्निकटन देती है π 25/8 = 3.125 के रूप में, सटीक मान से लगभग 0.5 प्रतिशत कम। एक बेलन के आयतन को आधार और ऊँचाई के गुणनफल के रूप में लिया गया था, हालाँकि, एक शंकु या वर्ग पिरामिड के छिन्नक के आयतन को गलत तरीके से ऊँचाई और आधारों के योग के आधे के गुणनफल के रूप में लिया गया था। पाइथागोरस प्रमेय#इतिहास बेबीलोनियों को भी ज्ञात था। बेबीलोनियन मील लगभग 11.3 किमी (या लगभग सात आधुनिक मील) के बराबर दूरी का एक माप था। दूरी के लिए यह माप अंततः सूर्य की यात्रा को मापने के लिए उपयोग किए जाने वाले समय-मील में परिवर्तित हो गया, इसलिए समय का प्रतिनिधित्व करता है। प्राचीन बेबीलोनियों को कई सदियों से समान त्रिभुजों की भुजाओं के अनुपात से संबंधित सूत्रों के बारे में पता था, लेकिन उनके पास कोण माप की अवधारणा का अभाव था और परिणामस्वरूप, इसके बजाय त्रिभुजों की भुजाओं का अध्ययन किया। बेबीलोनियन खगोल विज्ञान ने सितारों के उदय और अस्त होने, ग्रहों की गति, और सौर और चंद्र ग्रहणों का विस्तृत रिकॉर्ड रखा, जिनमें से सभी को आकाशीय क्षेत्र पर मापी गई कोण दूरी के साथ परिचित होने की आवश्यकता थी। उन्होंने एक पंचांग (खगोलीय स्थिति की तालिका) की गणना करने के लिए फूरियर विश्लेषण के एक रूप का भी उपयोग किया, जिसे 1950 के दशक में ओटो नेउगेबॉयर द्वारा खोजा गया था।  खगोलीय पिंडों की गति की गणना करने के लिए, बेबीलोनियों ने बुनियादी अंकगणित और क्रांतिवृत्त पर आधारित एक समन्वय प्रणाली का उपयोग किया, जो आकाश का वह भाग है जिससे होकर सूर्य और ग्रह गुजरते हैं।

ब्रिटिश संग्रहालय में रखी गई गोलियाँ इस बात का प्रमाण देती हैं कि बेबीलोन के लोगों ने यहाँ तक कि एक अमूर्त गणितीय स्थान में वस्तुओं की एक अवधारणा भी बना ली थी। गोलियाँ सा.यु.पू. 350 और 50 के बीच की हैं, जिससे यह पता चलता है कि बेबीलोन के लोग ज्यामिति को पहले की सोच से भी पहले समझते थे और उसका उपयोग करते थे। बेबीलोनियों ने एक वक्र के नीचे क्षेत्र का अनुमान लगाने के लिए एक समलम्ब को चित्रित करके एक विधि का उपयोग किया था, जिसे पहले 14 वीं शताब्दी के यूरोप में उत्पन्न होने वाली तकनीक माना जाता था। अनुमान की इस पद्धति ने उन्हें, उदाहरण के लिए, यह पता लगाने की अनुमति दी कि बृहस्पति ने एक निश्चित समय में कितनी दूरी तय की थी।

यह भी देखें

 * बेबीलोनिया
 * बेबीलोनियन खगोल विज्ञान
 * गणित का इतिहास
 * इराक के इतिहास में गणित के लिए इस्लामी गणित | इस्लामी इराक / मेसोपोटामिया

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 * 2 का वर्गमूल
 * पहला बेबीलोनियन राजवंश
 * सेल्यूसिड साम्राज्य
 * कीलाकार लिपि
 * मिस्र का गणित
 * अक्कादियन भाषा
 * बुल्ला (मुहर)
 * स्थितीय संकेतन
 * सुपीरियर अत्यधिक समग्र संख्या
 * प्रभाग (गणित)
 * पहाड़ा
 * लम्बा विभाजन
 * मुख्य कारक है
 * गुणात्मक प्रतिलोम
 * सिग्मॉइड फ़ंक्शन
 * दोहरा समय
 * आकाशीय पिंड
 * सितारा
 * ओटो न्यूगेबॉयर

संदर्भ

 * (1991 pbk ed. ISBN 0-471-54397-7).
 * (1991 pbk ed. ISBN 0-471-54397-7).