आदर्श त्रिकोण

अतिपरवलयिक ज्यामिति में एक आदर्श त्रिभुज एक अतिशयोक्तिपूर्ण त्रिभुज होता है जिसके तीन कोने आदर्श बिंदु होते हैं। आदर्श त्रिभुजों को कभी-कभी त्रिगुणात्मक स्पर्शोन्मुख त्रिभुज या ट्रेतिहरा स्पर्शोन्मुख त्रिभुज भी कहा जाता है। शीर्षों को कभी-कभी आदर्श शीर्ष कहा जाता है। सभी आदर्श त्रिभुज सर्वांगसमता (ज्यामिति) हैं।

गुण
आदर्श त्रिभुजों में निम्नलिखित गुण होते हैं:


 * सभी आदर्श त्रिभुज एक दूसरे के सर्वांगसम होते हैं।
 * एक आदर्श त्रिभुज के सभी आंतरिक कोण शून्य होते हैं।
 * एक आदर्श त्रिभुज का परिमाप अनंत होता है।
 * एक आदर्श त्रिभुज अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति में सबसे बड़ा संभव त्रिभुज है।

मानक अतिशयोक्तिपूर्ण तल में (एक सतह जहां निरंतर गॉसियन वक्रता -1 है) हमारे पास निम्नलिखित गुण भी हैं:


 * किसी भी आदर्श त्रिभुज का क्षेत्रफल π होता है।

एक आदर्श त्रिकोण में दूरी
* एक आदर्श त्रिभुज के लिए उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या होती है $$r=\ln\sqrt{3} = \frac{1}{2} \ln 3 = \operatorname{artanh}\frac{1}{2} = 2 \operatorname{artanh}(2- \sqrt{3}) = $$$$= \operatorname{arsinh}\frac{1}{3}\sqrt{3} = \operatorname{arcosh}\frac{2}{3}\sqrt{3} \approx 0.549 $$. : त्रिभुज के किसी भी बिंदु से त्रिभुज की निकटतम भुजा की दूरी केवल अंतःवृत्त के केंद्र के लिए समानता के साथ ऊपर की त्रिज्या r से कम या उसके बराबर होती है, ।


 * अंकित वृत्त त्रिकोण से स्पर्शरेखा के तीन बिंदुओं पर मिलता है, जिससे एक समबाहु अंकित वृत्त बनता है भुजा की लंबाई $$ d = \ln\left(\frac{\sqrt 5 + 1}{\sqrt 5 - 1}\right)= 2\ln\varphi\approx 0.962$$ के साथ जहाँ $$\varphi=\frac{1+\sqrt 5}{2}$$ सुनहरा अनुपात है।


 * त्रिभुज के भीतर किसी बिंदु के चारों ओर त्रिज्या d वाला एक वृत्त त्रिभुज की कम से कम दो भुजाओं को काटेगा या मिलेगा।


 * त्रिभुज की एक भुजा पर किसी भी बिंदु से त्रिभुज की दूसरी भुजा की दूरी $$ a = \ln\left(1+ \sqrt 2\right) \approx 0.881$$ के बराबर या उससे कम है, जिसमें समानता केवल ऊपर वर्णित स्पर्शरेखा के बिंदुओं के लिए।।
 * a भी श्वेकार्ट त्रिभुज की ऊँचाई है।

यदि वक्रता -1 के स्थान पर हर जगह -K है, तो ऊपर के क्षेत्रों को 1/K से गुणा किया जाना चाहिए और लंबाई और दूरियों को 1/$\sqrt{K}$ से गुणा किया जाना चाहिए।

क्षीण त्रिभुज स्थिति
क्योंकि अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति में आदर्श त्रिभुज सबसे बड़ा संभव त्रिभुज है, ऊपर दिए गए उपाय किसी भी अतिपरवलयिक त्रिभुज के लिए अधिकतम संभव हैं, यह तथ्य δ-अतिपरवलयिक स्थान के अध्ययन में महत्वपूर्ण है।

प्रतिरूप
अतिशयोक्तिपूर्ण तल के पोइनकेयर चर्किका प्रतिरूप में, एक आदर्श त्रिभुज तीन वृत्तों से घिरा होता है जो सीमा वृत्त को समकोण पर काटते हैं।

पोइनकेयर अर्ध-विमान प्रतिरूप में, एक आदर्श त्रिभुज को एक अर्बेलोस द्वारा प्रतिरूपित किया जाता है, जो तीन पारस्परिक रूप से स्पर्शरेखा वाले अर्धवृत्तों के बीच की आकृति है।

अतिशयोक्तिपूर्ण तल के बेल्ट्रामी-क्लेन प्रतिरूप में, एक आदर्श त्रिभुज को एक यूक्लिडियन त्रिभुज द्वारा प्रतिरूपित किया जाता है जो सीमा चक्र द्वारा परिचालित होता है। ध्यान दें कि बेल्ट्रामी-क्लेन प्रतिरूप में, एक आदर्श त्रिकोण के कोने पर कोण शून्य नहीं होते हैं, क्योंकि बेल्ट्रामी-क्लेन प्रतिरूप, पोइनकेयर चर्किका और अर्ध-समतल प्रतिरूप के विपरीत, अनुरूप मानचित्र नहीं है, अर्थात यह कोणों को संरक्षित नहीं करता है।

वास्तविक आदर्श त्रिभुज समूह
वास्तविक आदर्श त्रिभुज समूह एक आदर्श त्रिभुज के किनारों के माध्यम से अतिपरवलयिक तल के प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न प्रतिबिंब समूह है। बीजगणितीय रूप से, यह तीन क्रम-दो समूहों (श्वार्ट्ज 2001) के मुक्त उत्पाद के लिए समरूप है।