पियरपोंट प्राइम

संख्या सिद्धांत में, पियरपॉन्ट प्राइम कुछ गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के लिए $u$ और $v$ के लिए $$2^u\cdot 3^v + 1\,$$ के रूप की एक अभाज्य संख्या है। अर्थात् वे अभाज्य संख्याएँ $p$ हैं जिसके लिए $p − 1$ 3-स्मूथ है। उनका नाम गणितज्ञ जेम्स पियरपोंट (गणितज्ञ) के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने उन्हें उन नियमित बहुभुजों को चिह्नित करने के लिए उपयोग किया था जिन्हें शंकु वर्गों का उपयोग करके बनाया जा सकता है। समान लक्षण वर्णन उन बहुभुजों पर प्रायुक्त होता है जिनका निर्माण रूलर, कम्पास और कोण त्रिखंड का उपयोग करके या पेपर फोल्डिंग के गणित का उपयोग करके किया जा सकता है।

2 और फर्मेट प्राइम्स को छोड़कर, प्रत्येक पियरपोंट प्राइम 1 मॉड्यूलो 6 होना चाहिए। पहले कुछ पियरपोंट प्राइम्स हैं:

यह अनुमान लगाया गया है कि अनंत रूप से कई पियरपोंट अभाज्य हैं, लेकिन यह अप्रमाणित है।

वितरण
पियरपोंट प्राइम के साथ $v = 0$ रूप का है $$2^u+1$$, और इसलिए फर्मेट प्राइम है (जब तक $u = 0$). अगर $v$ तब धनात्मक संख्या है $u$ भी सकारात्मक होना चाहिए (क्योंकि $$3^v+1$$ 2 से अधिक सम संख्या होगी और इसलिए अभाज्य नहीं है), और इसलिए गैर-फर्मेट पियरपोंट अभाज्य सभी का रूप है $6k + 1$, कब $k$ धनात्मक पूर्णांक है (2 को छोड़कर, जब $u = v = 0$).

अनुभवजन्य रूप से, पियरपोंट प्राइम्स विशेष रूप से दुर्लभ या दुर्लभ रूप से वितरित नहीं लगते हैं; 10 से कम 42 पियरपोंट प्राइम्स हैं6, 10 से 65 कम9, 157 10 से कम20, और 795 10 से कम100. पियरपोंट प्राइम्स पर बीजगणितीय कारकों से कुछ प्रतिबंध हैं, इसलिए मेर्सन प्रीमियम कंडीशन जैसी कोई आवश्यकता नहीं है कि एक्सपोनेंट प्राइम होना चाहिए। इस प्रकार, यह उम्मीद की जाती है कि बीच $n$-सही रूप की अंकों की संख्या $$2^u\cdot3^v+1$$, इनमें से जो अंश प्रधान हैं, उनके समानुपाती होना चाहिए $1/n$, सभी के बीच अभाज्य संख्याओं के अनुपात के समान अनुपात $n$-अंकीय संख्याएँ। जैसे वहां है $$\Theta(n^{2})$$ इस श्रेणी में सही रूप की संख्याएँ होनी चाहिए $$\Theta(n)$$ पियरपोंट प्राइम्स।

एंड्रयू एम। ग्लीसन ने इस तर्क को स्पष्ट किया, अनुमान है कि अनंत रूप से कई पियरपोंट अभाज्य हैं, और अधिक विशेष रूप से कि लगभग होना चाहिए $9n$ पियरपोंट तक प्राइम करता है $10^{n}$. ग्लीसन के अनुमान के अनुसार हैं $$\Theta(\log N)$$ छोटे अनुमानित संख्या के विपरीत पियरपोंट प्राइम एन से छोटा है $$O(\log \log N)$$ Mersenne primes की उस सीमा में।

प्राथमिक परीक्षण
कब $$2^u > 3^v$$, $$2^u\cdot 3^v + 1$$ प्रोथ संख्या है और इस प्रकार प्रोथ के प्रमेय द्वारा इसकी मौलिकता का परीक्षण किया जा सकता है। वहीं, जब $$2^u < 3^v$$ के लिए वैकल्पिक प्रारंभिक परीक्षण $$M=2^u\cdot 3^v + 1$$ के गुणनखंडन के आधार पर संभव हैं $$M-1$$ छोटी सम संख्या के रूप में 3 की बड़ी शक्ति से गुणा किया जाता है।

पियरपोंट प्राइम फ़र्मेट संख्या
के कारकों के रूप में पाए जाते हैं

फ़र्मेट संख्या के कारकों के लिए चल रही विश्वव्यापी खोज के हिस्से के रूप में, कुछ पियरपोंट प्राइम्स को कारकों के रूप में घोषित किया गया है। निम्न तालिका एम, के, और एन के मान देता है जैसे कि

बाईं ओर फर्मेट संख्या है; दाईं ओर पियरपोंट प्राइम है।

, सबसे बड़ा ज्ञात पियरपॉन्ट प्राइम 2 × 3 है10852677 &hairsp;+ 1 (5,178,044 दशमलव अंक), जिसकी मौलिकता जनवरी 2023 में खोजी गई थी।

बहुभुज निर्माण
पेपर फ़ोल्डिंग के गणित में, हुज़िता-होतोरी स्वयंसिद्ध सात प्रकार के फ़ोल्ड में से छह को परिभाषित करते हैं। यह दिखाया गया है कि ये तह किसी भी घन समीकरण को हल करने वाले बिंदुओं के निर्माण की अनुमति देने के लिए पर्याप्त हैं। यह इस प्रकार है कि वे किसी भी नियमित बहुभुज की अनुमति देते हैं $N$ पक्षों का गठन किया जाना है, जब तक $N ≥ 3$ और रूप का है $2^{m}3^{n}ρ$, कहाँ $ρ$ विशिष्ट पियरपोंट प्राइम्स का उत्पाद है। यह नियमित बहुभुजों का वही वर्ग है जो कम्पास, सीधा किनारा, और कोण तिराहे के साथ बनाया जा सकता है। नियमित बहुभुज जिनका निर्माण केवल कम्पास और स्ट्रेटेज (रचनात्मक बहुभुज) के साथ किया जा सकता है, वे विशेष मामले हैं जहाँ $n = 0$ और $ρ$ अलग फ़र्मेट प्राइम्स का उत्पाद है, जो खुद पियरपोंट प्राइम्स का सबसेट है।

1895 में, जेम्स पियरपोंट (गणितज्ञ) ने नियमित बहुभुजों की ही कक्षा का अध्ययन किया; उनका काम पियरपोंट प्राइम्स को नाम देता है। पियरपोंट ने कम्पास और स्ट्रेटेज निर्माणों को अलग तरीके से सामान्यीकृत किया, शंकु वर्गों को आकर्षित करने की क्षमता जोड़कर जिनके गुणांक पहले निर्मित बिंदुओं से आते हैं। जैसा कि उन्होंने दिखाया, नियमित $N$-गॉन जिनका निर्माण इन संक्रियाओं के साथ किया जा सकता है, वे ऐसे हैं जो यूलर के टोटेंट का कार्य करते हैं $N$ 3-स्मूथ है। चूँकि अभाज्य का कुल योग उसमें से को घटाकर बनाया जाता है, अभाज्य $N$ जिसके लिए पियरपोंट के निर्माण कार्य वास्तव में पियरपोंट प्राइम्स हैं। हालांकि, पियरपोंट ने 3-स्मूथ कुलियों के साथ समग्र संख्याओं के रूप का वर्णन नहीं किया। जैसा कि ग्लीसन ने बाद में दिखाया, ये संख्याएँ ठीक उसी रूप की हैं $2^{m}3^{n}ρ$ ऊपर दिया गया है।

सबसे छोटा अभाज्य जो पियरपोंट (या फर्मेट) अभाज्य नहीं है, वह 11 है; इसलिए, hedecagon  पहला नियमित बहुभुज है जिसे कम्पास, स्ट्रेटेज और एंगल ट्राइसेक्टर (या ओरिगेमी, या कॉनिक सेक्शन) के साथ नहीं बनाया जा सकता है। अन्य सभी नियमित $N$-gons साथ $3 ≤ N ≤ 21$ कम्पास, स्ट्रेटेज और ट्राइसेक्टर के साथ बनाया जा सकता है।

सामान्यीकरण
दूसरी तरह का पियरपॉन्ट प्राइम फॉर्म 2 की प्रमुख संख्या हैमें3 v − 1. ये संख्याएँ हैं

इस प्रकार के सबसे बड़े ज्ञात अभाज्य मेर्सेन अभाज्य हैं; वर्तमान में सबसे बड़ा ज्ञात है $$2^{82589933}-1$$ (24,862,048 दशमलव अंक)। दूसरी तरह का सबसे बड़ा ज्ञात पियरपोंट प्राइम जो मेर्सन प्राइम नहीं है $$3\cdot 2^{18924988}-1$$, प्राइमग्रिड द्वारा पाया गया। सामान्यीकृत पियरपॉन्ट प्राइम फॉर्म का प्राइम है $$p_1^{n_1} \!\cdot p_2^{n_2} \!\cdot p_3^{n_3} \!\cdot \ldots \cdot p_k^{n_k} + 1$$ के फिक्स्ड प्राइम पी के साथ1 < पृ2 < पृ3 < ... < पीk. दूसरी तरह का सामान्यीकृत पियरपॉन्ट प्राइम फॉर्म का प्राइम है $$p_1^{n_1} \!\cdot p_2^{n_2} \!\cdot p_3^{n_3} \!\cdot \ldots \cdot p_k^{n_k} - 1$$ के फिक्स्ड प्राइम पी के साथ1 < पृ2 < पृ3 < ... < पीk. चूँकि 2 से बड़ी सभी अभाज्य संख्याएँ समता (गणित) हैं, दोनों प्रकार में p1 2 होना चाहिए। OEIS में ऐसे प्राइम्स के क्रम हैं:

यह भी देखें

 * प्रोथ प्रधान, फॉर्म के प्राइम्स $$N = k \cdot 2^n + 1$$ जहाँ k और n धनात्मक पूर्णांक हैं, $$k$$ विषम है और $$2^n > k.$$