त्सोल्कोव्स्की रॉकेट समीकरण

मौलिक राकेट समीकरण, या आदर्श रॉकेट समीकरण एक गणितीय समीकरण होता है जो रॉकेट के मूल सिद्धांत का पालन करने वाले रॉकेटों की गति का वर्णन करता है: यह एक उपकरण होता जो उच्च वेग के साथ अपने द्रव्यमान का उपयोग करके त्वरण उपयुक्त कर सकता है। संवेग के संरक्षण के कारण इसका श्रेय रूसी वैज्ञानिक कॉन्स्टेंटिन त्सोल्कोव्स्की को दिया जाता है, जिन्होंने स्वतंत्र रूप से इसे प्राप्त किया था और इसे 1903 में प्रकाशित किया था, चूंकि इसे ब्रिटिश गणितज्ञ विलियम मूर द्वारा स्वतंत्र रूप से प्राप्त और प्रकाशित किया गया था। 1810, में और  1813 में एक अलग पुस्तक में प्रकाशित हुआ था। अमेरिकी रॉबर्ट गोडार्ड ने भी इसे 1912 में स्वतंत्र रूप से विकसित किया था, और जर्मन हरमन ओबर्थ ने इसे 1920 के आसपास स्वतंत्र रूप से प्राप्त किया था।

रॉकेट के वेग में अधिकतम परिवर्तन, $$\Delta v$$ (बिना किसी बाहरी ऊर्जा के कार्य करते हुए) है:

$$\Delta v = v_\text{e} \ln \frac{m_0}{m_f} = I_\text{sp} g_0 \ln \frac{m_0}{m_f},$$ जहाँ:
 * $$v_\text{e} = I_\text{sp} g_0$$ प्रभावी निकास वेग है;
 * $$I_\text{sp}$$ समय के आयाम में विशिष्ट आवेग है;
 * $$g_0$$ मानक गुरुत्व है;
 * $$\ln$$ प्राकृतिक लघुगणक फलन है;
 * $$m_0$$ प्रारंभिक कुल द्रव्यमान है, जिसमें प्रणोदक, अर्थात द्रव्यमान सम्मलित होता है;
 * $$m_f$$ प्रणोदक के बिना अंतिम कुल द्रव्यमान, अर्थात शुष्क द्रव्यमान होता है।

रॉकेट मोटर के डिज़ाइन, वांछित डेल्टा-वी, और दिए गए शुष्क द्रव्यमान द्वारा निर्धारित प्रभावी निकास वेग को देखते हुए $$m_f$$, आवश्यक प्रणोदक द्रव्यमान के लिए समीकरण को हल किया जा सकता है $$m_0 - m_f$$: $$m_0 = m_f e^{\Delta v / v_\text{e}}.$$ आवश्यक द्रव्यमान वांछित डेल्टा-वी के साथ तेजी से बढ़ता है।

इतिहास
इस समीकरण का नाम रूसी वैज्ञानिक कॉन्स्टेंटिन त्सोल्कोव्स्की के नाम पर रखा गया है जिन्होंने स्वतंत्र रूप से इसे प्राप्त किया और 1903 में प्रकाशित किया था।

यह समीकरण पहले संयुक्त राज्य अमेरिका के गणितज्ञ विलियम मूर (ब्रिटिश गणितज्ञ) द्वारा 1810 में प्रस्तावित किया गया था। और यह बाद में 1813 में एक अलग पुस्तक में प्रकाशित हुआ था।

अमेरिकी रॉबर्ट गोडार्ड ने 1912 में स्वतंत्र रूप से समीकरण विकसित किया था जब उन्होंने संभावित रॉकेट इंजन में सुधार के लिए अपना शोध शुरू किया था। जर्मन अभियांत्रिकी हरमन ओबर्थ ने अंतरिक्ष यात्रा की व्यवहार्यता का अध्ययन करते हुए स्वतंत्र रूप से 1920 के बारे में समीकरण निकाला।

जबकि रॉकेट समीकरण की व्युत्पत्ति एक सीधा गणना अभ्यास है, त्सोल्कोव्स्की को इस सवाल पर उपयुक्त करने वाले पहले व्यक्ति के रूप में सम्मानित किया जाता है कि क्या रॉकेट स्पेसफ्लाइट के लिए आवश्यक गति प्राप्त कर सकते हैं।

त्सोल्कोव्स्की द्वारा नाव का प्रयोग
रॉकेट प्रणोदन के सिद्धांत को समझने के लिए, कॉन्स्टेंटिन त्सोल्कोव्स्की ने नाव के प्रसिद्ध प्रयोग का प्रस्ताव रखा। एक व्यक्ति किनारे से दूर बिना चप्पू वाली नाव में है। वे इस किनारे तक पहुंचना चाहते हैं. उन्होंने देखा कि नाव पर एक निश्चित मात्रा में पत्थर लदे हुए हैं और उन्होंने इन पत्थरों को एक-एक करके और जितनी जल्दी हो सके, किनारे की विपरीत दिशा में फेंकने का विचार किया। प्रभावी रूप से, एक दिशा में फेंके गए पत्थरों की गति की मात्रा दूसरी दिशा में नाव की गति की समान मात्रा से मेल खाती है।

सबसे लोकप्रिय व्युत्पत्ति
निम्नलिखित प्रणाली पर विचार करें:

निम्नलिखित व्युत्पत्ति में, रॉकेट का अर्थ रॉकेट और उसके सभी अप्रयुक्त प्रणोदक से लिया गया है।

न्यूटन की गति का दूसरा नियम बाहरी शक्तियों से संबंधित है ($$F_i$$) पूरे सिस्टम (रॉकेट और निकास सहित) के रैखिक गति में परिवर्तन निम्नानुसार है: $$\sum_i F_i = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{P_2 - P_1}{\Delta t}$$ जहाँ $$P_1$$ समय पर रॉकेट की गति है $$t = 0$$: $$P_1 = \left( {m + \Delta m} \right)V$$ और $$P_2$$ रॉकेट का संवेग और समय पर ख़त्म हुआ द्रव्यमान है $$t = \Delta t$$: $$P_2 = m\left(V + \Delta V \right) + \Delta m V_\text{e}$$ और कहां, पर्यवेक्षक के संबंध में: निकास का वेग $$V_\text{e}$$ प्रेक्षक फ्रेम में रॉकेट फ्रेम में निकास के वेग से संबंधित है $$v_\text{e}$$ द्वारा (चूँकि निकास वेग ऋणात्मक दिशा में है) $$V_\text{e} = V - v_\text{e}$$ इसे हल करने से यह प्राप्त होता है: $$P_2 - P_1 = m\Delta V - v_\text{e}\Delta m$$ और, का उपयोग कर $$dm = -\Delta m$$, एक सकारात्मक को बाहर निकालने के बाद से $$\Delta m$$ समय के साथ द्रव्यमान में कमी आती है, $$\sum_i F_i = m \frac{dV}{dt} + v_\text{e} \frac{dm}{dt}$$ अगर कोई बाहरी ताकतें न हों तो $\sum_i F_i = 0$ (गति#संरक्षण) और $$-m\frac{dV}{dt} = v_\text{e}\frac{dm}{dt}$$ ये मानते हुए $$v_\text{e}$$ स्थिर है (त्सोल्कोव्स्की की परिकल्पना के रूप में जाना जाता है)। ), इसलिए यह एकीकरण के अधीन नहीं है, तो उपरोक्त समीकरण को निम्नानुसार एकीकृत किया जा सकता है: $$-\int_{V}^{V + \Delta V} \, dV = {v_e} \int_{m_0}^{m_f} \frac{dm}{m} $$ इसके बाद पैदावार होती है $$\Delta V = v_\text{e} \ln \frac{m_0}{m_f}$$ या समकक्ष $$m_f = m_0 e^{-\Delta V\ / v_\text{e}}$$ या $$m_0 = m_f e^{\Delta V / v_\text{e}}$$ या $$m_0 - m_f = m_f \left(e^{\Delta V / v_\text{e}} - 1\right)$$ जहाँ $$m_0$$ प्रणोदक सहित प्रारंभिक कुल द्रव्यमान है, $$m_f$$ अंतिम द्रव्यमान, और $$v_\text{e}$$ रॉकेट के संबंध में रॉकेट निकास का वेग (विशिष्ट आवेग, या, यदि समय में मापा जाता है, जो पृथ्वी पर गुरुत्वाकर्षण त्वरण से गुणा होता है)। अगर $$v_\text{e}$$ स्थिर नहीं है, हमारे पास रॉकेट समीकरण नहीं हो सकते हैं जो उपरोक्त रूपों के समान सरल हों। कई रॉकेट गतिकी अनुसंधान त्सोल्कोवस्की स्थिरांक पर आधारित थे $$v_\text{e}$$ परिकल्पना।
 * $$V$$ समय पर रॉकेट का वेग है $$t = 0$$
 * $$V + \Delta V$$ समय पर रॉकेट का वेग है $$t = \Delta t$$
 * $$V_\text{e}$$ समय के दौरान निकास में जोड़े गए (और रॉकेट द्वारा खोए गए) द्रव्यमान का वेग है $$\Delta t$$
 * $$m + \Delta m$$ समय पर रॉकेट का द्रव्यमान है $$t = 0$$
 * $$m$$ समय पर रॉकेट का द्रव्यमान है $$t = \Delta t$$

मूल्य $$m_0 - m_f$$ व्यय किए गए प्रणोदक का कुल कार्यशील द्रव्यमान है।

$$\Delta V$$ ( डेल्टा में ी) रॉकेट इंजन का उपयोग करके उत्पन्न त्वरण के परिमाण का समय के साथ एकीकरण है (यदि बाहरी बल अनुपस्थित थे तो वास्तविक त्वरण क्या होगा)। मुक्त स्थान में, वेग की दिशा में त्वरण के मामले में, यह गति में वृद्धि है। विपरीत दिशा में त्वरण (मंदी) के मामले में यह गति में कमी है। बेशक गुरुत्वाकर्षण और खिंचाव भी रॉकेट को गति देते हैं, और वे रॉकेट द्वारा अनुभव किए गए वेग में परिवर्तन को जोड़ या घटा सकते हैं। इसलिए डेल्टा-वी हमेशा रॉकेट की गति या वेग में वास्तविक परिवर्तन नहीं हो सकता है।

आवेग-आधारित
समीकरण को द्रव्यमान पर बल (जोर) के रूप में त्वरण के मूल अभिन्न अंग से भी प्राप्त किया जा सकता है। डेल्टा-v समीकरण को निम्नलिखित के रूप में प्रस्तुत करके: $$\Delta v = \int^{t_f}_{t_0} \frac{|T|}{{m_0}-{t} \Delta{m}} ~ dt$$ जहां T जोर है, $$m_0$$ प्रारंभिक (गीला) द्रव्यमान है और $$\Delta m$$ प्रारंभिक द्रव्यमान घटाकर अंतिम (शुष्क) द्रव्यमान है,

और यह समझना कि समय के साथ परिणामी बल का अभिन्न अंग कुल आवेग है, यह मानते हुए कि जोर ही एकमात्र बल है, $$\int^{t_f}_{t_0} F ~ dt = J$$ अभिन्न पाया जाता है: $$J ~ \frac{\ln({m_0}) - \ln({m_f})}{\Delta m}$$ यह समझते हुए कि द्रव्यमान में परिवर्तन पर आवेग प्रणोदक द्रव्यमान प्रवाह दर (पी) पर बल के बराबर है, जो स्वयं निकास वेग के बराबर है, $$ \frac{J}{\Delta m} = \frac{F}{p} = V_\text{exh}$$ अभिन्न को बराबर किया जा सकता है $$\Delta v = V_\text{exh} ~ \ln\left({\frac{m_0}{m_f}}\right)$$

त्वरण-आधारित
कल्पना कीजिए कि अंतरिक्ष में एक रॉकेट स्थिर अवस्था में है और उस पर कोई बल नहीं लगाया गया है (न्यूटन के गति के नियम|न्यूटन के गति के प्रथम नियम)। जिस क्षण इसका इंजन चालू किया जाता है (घड़ी 0 पर सेट होती है) रॉकेट एक स्थिर द्रव्यमान प्रवाह दर आर (किलो/सेकेंड) पर और रॉकेट वी के सापेक्ष निकास वेग पर गैस द्रव्यमान को बाहर निकालता है।e(एमएस)। यह रॉकेट को आगे बढ़ाने वाला एक स्थिर बल F बनाता है जो R × v के बराबर होता हैe. रॉकेट एक निरंतर बल के अधीन है, लेकिन इसका कुल द्रव्यमान लगातार घट रहा है क्योंकि यह गैस निकाल रहा है। न्यूटन के गति के नियमों के अनुसार|न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार, किसी भी समय इसका त्वरण t इसके प्रेरक बल F को इसके वर्तमान द्रव्यमान m से विभाजित किया जाता है: $$ ~ a = \frac{dv}{dt} = - \frac{F}{m(t)} = - \frac{R v_\text{e}}{m(t)}$$ अब, रॉकेट में प्रारंभ में ईंधन का द्रव्यमान m के बराबर है0 - एमf. इसलिए स्थिर द्रव्यमान प्रवाह दर R के लिए T = (m) समय लगेगा0 - एमf)/R इस सारे ईंधन को जलाने के लिए। 0 से टी तक समय के संबंध में समीकरण के दोनों पक्षों को एकीकृत करना (और यह ध्यान में रखते हुए कि आर = डीएम/डीटी दाईं ओर प्रतिस्थापन की अनुमति देता है) प्राप्त होता है: $$ ~ \Delta v = v_f - v_0 = - v_\text{e} \left[ \ln m_f - \ln m_0 \right] = ~ v_\text{e} \ln\left(\frac{m_0}{m_f}\right).$$

परिमित द्रव्यमान गोली निष्कासन की सीमा
रॉकेट समीकरण को एक रॉकेट के लिए गति परिवर्तन के सीमित मामले के रूप में भी प्राप्त किया जा सकता है जो इसके ईंधन को बाहर निकालता है $$N$$ छर्रों लगातार, जैसे $$N \to \infty$$, एक प्रभावी निकास गति के साथ $$v_\text{eff}$$ जैसे कि प्रति इकाई ईंधन द्रव्यमान प्राप्त यांत्रिक ऊर्जा दी जाती है $\tfrac{1}{2} v_\text{eff}^2 $.

रॉकेट के द्रव्यमान के केंद्र फ्रेम में, यदि द्रव्यमान की एक गोली $$m_p$$ गति से बाहर निकाला जाता है $$u$$ और रॉकेट का शेष द्रव्यमान है $$m$$, रॉकेट और गोली की गतिज ऊर्जा को बढ़ाने के लिए परिवर्तित ऊर्जा की मात्रा है $$\tfrac{1}{2} m_p v_\text{eff}^2 = \tfrac{1}{2}m_p u^2 + \tfrac{1}{2}m (\Delta v)^2. $$ इजेक्शन से ठीक पहले रॉकेट के फ्रेम में संवेग संरक्षण का उपयोग करते हुए, $ u = \Delta v \tfrac{m}{m_p}$, जिससे हम पाते हैं $$\Delta v = v_\text{eff} \frac{m_p}{\sqrt{m(m+m_p)}}.$$ होने देना $$\phi$$ बोर्ड पर प्रारंभिक ईंधन द्रव्यमान अंश हो और $$ m_0$$ रॉकेट का आरंभिक ईंधनयुक्त द्रव्यमान। ईंधन के कुल द्रव्यमान को विभाजित करें $$\phi m_0$$ में $$N$$ प्रत्येक द्रव्यमान के अलग-अलग छर्रे $$m_p = \phi m_0/N$$. बाहर निकलने के बाद रॉकेट का शेष द्रव्यमान $$j$$ छर्रों तो है $$m = m_0(1 - j\phi/N)$$. इजेक्ट करने के बाद समग्र गति बदल जाती है $$j$$ छर्रों का योग है $$ \Delta v = v_\text{eff} \sum ^{j=N}_{j=1} \frac{\phi/N}{\sqrt{(1-j\phi/N)(1-j\phi/N+\phi/N)}} $$ ध्यान दें कि बड़े पैमाने पर $$N$$ हर में अंतिम पद $$\phi/N\ll 1$$ और देने में उपेक्षा की जा सकती है $$ \Delta v \approx v_\text{eff} \sum^{j=N}_{j=1}\frac{\phi/N}{1-j\phi/N} = v_\text{eff} \sum ^{j=N}_{j=1} \frac{\Delta x}{1-x_j} $$ जहाँ $ \Delta x = \frac{\phi}{N}$ और $ x_j = \frac{j\phi}{N} $.

जैसा $$ N\rightarrow \infty$$ यह रीमैन योग निश्चित अभिन्न अंग बन जाता है $$ \lim_{N\to\infty}\Delta v = v_\text{eff} \int_{0}^{\phi} \frac{dx}{1-x} = v_\text{eff}\ln \frac{1}{1-\phi} = v_\text{eff} \ln \frac{m_0}{m_f} ,$$ चूँकि रॉकेट का अंतिम शेष द्रव्यमान है $$ m_f = m_0(1-\phi)$$.

विशेष सापेक्षता
यदि विशेष सापेक्षता को ध्यान में रखा जाए, तो सापेक्षतावादी रॉकेट के लिए निम्नलिखित समीकरण प्राप्त किया जा सकता है, साथ $$\Delta v$$ रॉकेट के अंतिम वेग के लिए फिर से खड़ा होना (इसके सभी प्रतिक्रिया द्रव्यमान को बाहर निकालने और शेष द्रव्यमान में कम होने के बाद)। $$m_1$$) संदर्भ के जड़त्वीय फ्रेम में जहां रॉकेट आराम से शुरू हुआ (ईंधन सहित बाकी द्रव्यमान के साथ)। $$m_0$$ प्रारंभ में), और $$c$$ निर्वात में प्रकाश की गति के लिए खड़े होना: $$\frac{m_0}{m_1} = \left[\frac{1 + {\frac{\Delta v}{c}}}{1 - {\frac{\Delta v}{c}}}\right]^{\frac{c}{2v_\text{e}}}$$ लिखना $\frac{m_0}{m_1}$ जैसा $$R$$ इस समीकरण को इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित करने की अनुमति देता है $$\frac{\Delta v}{c} = \frac{R^{\frac{2v_\text{e}}{c}} - 1}{R^{\frac{2v_\text{e}}{c}} + 1}$$ फिर, पहचान (गणित) का उपयोग करते हुए $R^{\frac{2v_\text{e}}{c}} = \exp \left[ \frac{2v_\text{e}}{c} \ln R \right]$ (यहां क्स्प घातीय फ़ंक्शन को दर्शाता है; प्राकृतिक लघुगणक के साथ-साथ लघुगणक#उत्पाद, भागफल, शक्ति और मूल पर शक्ति पहचान भी देखें) और पहचान $\tanh x = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1}$  (अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य देखें), यह इसके बराबर है $$\Delta v = c \tanh\left(\frac {v_\text{e}}{c} \ln \frac{m_0}{m_1} \right)$$

डेल्टा-इन
डेल्टा-वी (शाब्दिक रूप से डेल्टा (अक्षर)#वेग में ऊपरी मामला), जिसे 'Δv' के रूप में दर्शाया गया है और उच्चारित डेल्टा-वी है, जैसा कि उड़ान गतिशीलता (अंतरिक्ष यान) में उपयोग किया जाता है, आवेग (भौतिकी) का एक माप है जिसे निष्पादित करने के लिए आवश्यक है एक पैंतरेबाज़ी जैसे कि किसी ग्रह या चंद्रमा से लॉन्च करना, या उस पर उतरना, या अंतरिक्ष में कक्षीय पैंतरेबाज़ी। यह एक अदिश (गणित) है जिसमें गति की इकाइयाँ होती हैं। जैसा कि इस संदर्भ में उपयोग किया गया है, यह रॉकेट के डेल्टा-वी (भौतिकी) के समान नहीं है।

डेल्टा-वी का उत्पादन रॉकेट इंजन जैसे प्रतिक्रिया इंजनों द्वारा किया जाता है और यह प्रति यूनिट द्रव्यमान के जोर और जलने के समय के समानुपाती होता है, और रॉकेट समीकरण के माध्यम से दिए गए पैंतरेबाज़ी के लिए आवश्यक रॉकेट प्रणोदक के द्रव्यमान को निर्धारित करने के लिए उपयोग किया जाता है।

एकाधिक युद्धाभ्यासों के लिए, डेल्टा-v का योग रैखिक रूप से होता है।

अंतरग्रहीय मिशनों के लिए डेल्टा-वी को अक्सर पोर्कचॉप प्लॉट पर प्लॉट किया जाता है जो लॉन्च तिथि के फ़ंक्शन के रूप में आवश्यक मिशन डेल्टा-वी को प्रदर्शित करता है।

द्रव्यमान अंश
अंतरिक्ष इंजिनीयरिंग में, प्रणोदक द्रव्यमान अंश रॉकेट के द्रव्यमान का वह हिस्सा होता है जो गंतव्य तक नहीं पहुंचता है, आमतौर पर रॉकेट के प्रदर्शन के माप के रूप में उपयोग किया जाता है। दूसरे शब्दों में, प्रणोदक द्रव्यमान अंश प्रणोदक द्रव्यमान और रॉकेट के प्रारंभिक द्रव्यमान के बीच का अनुपात है। एक अंतरिक्ष यान में, गंतव्य आमतौर पर एक कक्षा है, जबकि विमान के लिए यह उनका लैंडिंग स्थान है। एक उच्च द्रव्यमान अंश किसी डिज़ाइन में कम वजन का प्रतिनिधित्व करता है। एक अन्य संबंधित माप पेलोड अंश है, जो प्रारंभिक वजन का अंश है जो पेलोड है।

प्रभावी निकास वेग
प्रभावी निकास वेग को अक्सर एक विशिष्ट आवेग के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है और वे एक दूसरे से संबंधित होते हैं: $$v_\text{e} = g_0 I_\text{sp},$$ जहाँ
 * $$I_\text{sp}$$ सेकंड में विशिष्ट आवेग है,
 * $$v_\text{e}$$ विशिष्ट आवेग मीटर प्रति सेकंड|एम/एस में मापा जाता है, जो एम/एस (या फीट/सेकेंड यदि जी फीट/सेकेंड में है) में मापा गया प्रभावी निकास वेग के समान है2),
 * $$g_0$$ मानक गुरुत्व है, 9.80665एमएस2(शाही इकाइयों में 32.174फीट/से2).

प्रयोज्यता
रॉकेट समीकरण रॉकेट उड़ान भौतिकी की अनिवार्यताओं को एक संक्षिप्त समीकरण में समाहित करता है। जब भी प्रभावी निकास वेग स्थिर होता है तो यह रॉकेट-जैसी प्रतिक्रिया रॉकेटों के लिए भी सच होता है, और जब प्रभावी निकास वेग भिन्न होता है तो इसे सारांशित या एकीकृत किया जा सकता है। रॉकेट समीकरण केवल रॉकेट इंजन से प्रतिक्रिया बल के लिए जिम्मेदार है; इसमें अन्य बल सम्मलित नहीं हैं जो रॉकेट पर कार्य कर सकते हैं, जैसे वायुगतिकीय बल या गुरुत्वाकर्षण बल। जैसे, किसी वायुमंडल वाले ग्रह से प्रक्षेपण (या संचालित वंश) के लिए प्रणोदक आवश्यकता की गणना करने के लिए इसका उपयोग करते समय, इन बलों के प्रभावों को डेल्टा-वी आवश्यकता में सम्मलित किया जाना चाहिए (नीचे उदाहरण देखें)। जिसे रॉकेट समीकरण का अत्याचार कहा गया है, उसमें पेलोड अंश की मात्रा की एक सीमा होती है जिसे रॉकेट ले जा सकता है, क्योंकि उच्च मात्रा में प्रणोदक समग्र वजन बढ़ाता है, और इस प्रकार ईंधन की खपत भी बढ़ाता है। यह समीकरण गैर-रॉकेट अंतरिक्ष प्रक्षेपण|गैर-रॉकेट सिस्टम जैसे एयरोब्रेकिंग, अंतरिक्ष बंदूक, अंतरिक्ष लिफ्ट, लॉन्च लूप, तार प्रणोदन या सौर पाल पर उपयुक्त नहीं होता है।

रॉकेट समीकरण को कक्षीय युद्धाभ्यास पर उपयुक्त किया जा सकता है ताकि यह निर्धारित किया जा सके कि किसी विशेष नई कक्षा में बदलने के लिए कितने प्रणोदक की आवश्यकता है, या किसी विशेष प्रणोदक के जलने के परिणामस्वरूप नई कक्षा का पता लगाया जा सके। कक्षीय पैंतरेबाज़ी के लिए आवेदन करते समय, एक कक्षीय पैंतरेबाज़ी #आवेगपूर्ण पैंतरेबाज़ी मान ली जाती है, जिसमें प्रणोदक को छुट्टी दे दी जाती है और डेल्टा-वी को तुरंत उपयुक्त किया जाता है। यह धारणा छोटी अवधि के जलने के लिए अपेक्षाकृत सटीक है जैसे कि मध्य-पाठ्यक्रम सुधार और कक्षीय सम्मिलन युद्धाभ्यास के लिए। जैसे-जैसे जलने की अवधि बढ़ती है, युद्धाभ्यास की अवधि के दौरान रॉकेट पर गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव के कारण परिणाम कम सटीक होता है। कम-जोर, लंबी अवधि के प्रणोदन के लिए, जैसे कि विद्युत चालित अंतरिक्ष यान प्रणोदन, अंतरिक्ष यान के राज्य वेक्टर के प्रसार और जोर के एकीकरण के आधार पर अधिक जटिल विश्लेषण का उपयोग कक्षीय गति की भविष्यवाणी करने के लिए किया जाता है।

उदाहरण
का निकास वेग मान लें 4500 m/s और ए $$\Delta v$$ का 9700 m/s (पृथ्वी से निम्न पृथ्वी कक्षा तक, सहित $$\Delta v$$ गुरुत्वाकर्षण और वायुगतिकीय खिंचाव पर काबू पाने के लिए)।


 * एकल-चरण-से-कक्षा रॉकेट: $$1-e^{-9.7/4.5}$$ = 0.884, इसलिए प्रारंभिक कुल द्रव्यमान का 88.4% प्रणोदक होना चाहिए। शेष 11.6% इंजन, टैंक और पेलोड के लिए है।
 * दो-चरण-से-कक्षा: मान लीजिए कि पहले चरण को एक प्रदान करना चाहिए $$\Delta v$$ का 5000 m/s; $$1-e^{-5.0/4.5}$$ = 0.671, इसलिए प्रारंभिक कुल द्रव्यमान का 67.1% पहले चरण के लिए प्रणोदक होना चाहिए। शेष द्रव्यमान 32.9% है। पहले चरण के निपटान के बाद, एक द्रव्यमान इस 32.9% के बराबर रहता है, पहले चरण के टैंक और इंजन के द्रव्यमान को घटाकर। मान लें कि यह आरंभिक कुल द्रव्यमान का 8% है, तो 24.9% बचता है। दूसरे चरण को एक प्रदान करना चाहिए $$\Delta v$$ का 4700 m/s; $$1-e^{-4.7/4.5}$$ = 0.648, इसलिए शेष द्रव्यमान का 64.8% प्रणोदक होना चाहिए, जो मूल कुल द्रव्यमान का 16.2% है, और 8.7% दूसरे चरण के टैंक और इंजन, पेलोड और अंतरिक्ष शटल के मामले में रहता है, ऑर्बिटर भी। इस प्रकार मूल लॉन्च द्रव्यमान का 16.7% सभी इंजनों, टैंकों और पेलोड के लिए उपलब्ध है।

चरण
क्रमिक रूप से थ्रस्टिंग स्टेजिंग (रॉकेटरी) के मामले में, समीकरण प्रत्येक चरण के लिए उपयुक्त होता है, जहां प्रत्येक चरण के लिए समीकरण में प्रारंभिक द्रव्यमान पिछले चरण को छोड़ने के बाद रॉकेट का कुल द्रव्यमान होता है, और समीकरण में अंतिम द्रव्यमान होता है संबंधित चरण को त्यागने से ठीक पहले रॉकेट का कुल द्रव्यमान। प्रत्येक चरण के लिए विशिष्ट आवेग भिन्न हो सकता है।

उदाहरण के लिए, यदि किसी रॉकेट के द्रव्यमान का 80% पहले चरण का ईंधन है, और 10% पहले चरण का शुष्क द्रव्यमान है, और 10% शेष रॉकेट है, तो



\begin{align} \Delta v \ & = v_\text{e} \ln { 100 \over 100 - 80 }\\ & = v_\text{e} \ln 5 \\ & = 1.61 v_\text{e}. \\ \end{align} $$ तीन समान के साथ, बाद में समान के साथ छोटे चरण $$v_\text{e}$$ प्रत्येक चरण के लिए, देता है:


 * $$\Delta v \ = 3 v_\text{e} \ln 5 \ = 4.83 v_\text{e} $$

और पेलोड प्रारंभिक द्रव्यमान का 10% × 10% × 10% = 0.1% है।

0.1% पेलोड के साथ एक तुलनीय सिंगल-स्टेज-टू-ऑर्बिट रॉकेट का द्रव्यमान ईंधन टैंक और इंजन के लिए 11.1% और ईंधन के लिए 88.8% हो सकता है। ये देगा


 * $$\Delta v \ = v_\text{e} \ln(100/11.2) \ = 2.19 v_\text{e}. $$

यदि पिछले चरण को त्यागने से पहले एक नए चरण की मोटर को प्रज्वलित किया जाता है और साथ ही काम करने वाले मोटरों में एक अलग विशिष्ट आवेग होता है (जैसा कि अक्सर ठोस रॉकेट बूस्टर और तरल-ईंधन चरण के मामले में होता है), तो स्थिति अधिक जटिल होती है।

सामान्य धारणाएं
जब एक चर-द्रव्यमान प्रणाली के रूप में देखा जाता है, तो एक रॉकेट का न्यूटन के गति के दूसरे नियम के साथ सीधे विश्लेषण नहीं किया जा सकता है क्योंकि यह नियम केवल स्थिर-द्रव्यमान प्रणालियों के लिए मान्य होता है।  यह एक धारणा उत्पन्न कर सकता है कि त्सोल्कोवस्की रॉकेट समीकरण सापेक्षवादी यांत्रिकी गति के समान दिखता है $$F = dp/dt = m \; dv/dt + v \; dm/dt$$. इस सूत्र के प्रयोग के साथ $$m(t)$$ चूँकि रॉकेट के अलग-अलग द्रव्यमान से त्सोल्कोव्स्की रॉकेट समीकरण प्राप्त होता है, लेकिन यह व्युत्पत्ति सही नहीं है। ध्यान दें कि प्रभावी निकास वेग $$v_\text{e}$$ इस सूत्र में भी नहीं दिखता है।

यह भी देखें

 * डेल्टा-v बजट
 * जीप समस्या
 * द्रव्यमान अनुपात
 * गुरुत्वाकर्षण कुएं में डेल्टा-वी लगाने से ओबेरथ प्रभाव अंतिम वेग बढ़ जाता है
 * सापेक्ष रॉकेट
 * कक्षाओं की उत्क्रमणीयता
 * रॉबर्ट एच. गोडार्ड ने ऊर्ध्वाधर उड़ान में गुरुत्वाकर्षण और खिंचाव के लिए शब्द जोड़े
 * अंतरिक्ष यान प्रणोदन
 * स्टिगलर का नाम-नाम का नियम

बाहरी संबंध

 * How to derive the rocket equation
 * Relativity Calculator – Learn Tsiolkovsky's rocket equations
 * Tsiolkovsky's rocket equations plot and calculator in WolframAlpha