मॉड्यूलर ग्राफ

ग्राफ सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, मॉड्यूलर ग्राफ़ अप्रत्यक्ष ग्राफ़ होते हैं जिनमें प्रत्येक तीन वर्टेक्स (ग्राफ़ सिद्धांत) $x$, $y$, और $z$ में कम से कम एक माध्यिका शीर्ष है $m(x, y, z)$ जो प्रत्येक जोड़ी के बीच सबसे छोटे रास्तों से संबंधित है $x$, $y$, और $z$. उनका नाम इस तथ्य से आता है कि एक परिमित जाली (आदेश) एक मॉड्यूलर जाली है अगर और केवल अगर इसका हस आरेख एक मॉड्यूलर ग्राफ है। मॉड्यूलर ग्राफ के लिए विषम लंबाई का चक्र शामिल करना संभव नहीं है। यदि $C$ एक ग्राफ में सबसे छोटा विषम चक्र है, $x$ का शीर्ष है $C$, और $yz$ का किनारा है $C$ से सबसे दूर $x$, कोई माध्यिका नहीं हो सकती $m(x, y, z)$, सबसे छोटे पथ पर केवल शीर्षों के लिए $yz$ हैं $y$ और $z$ खुद, लेकिन दोनों में से कोई भी सबसे छोटे रास्ते से संबंधित नहीं हो सकता है $x$ बिना शॉर्टकट के दूसरे को $C$ और एक छोटा विषम चक्र बनाना। इसलिए, प्रत्येक मॉड्यूलर ग्राफ एक द्विदलीय ग्राफ है।

मॉड्यूलर ग्राफ़ में एक विशेष मामले के रूप में माध्य रेखांकन होता है, जिसमें प्रत्येक ट्रिपल के कोने में एक अद्वितीय माध्यिका होती है; माध्य रेखांकन उसी तरह से वितरणात्मक जाली से संबंधित होते हैं जिस तरह से मॉड्यूलर ग्राफ मॉड्यूलर लैटिस से संबंधित होते हैं। हालाँकि, मॉड्यूलर ग्राफ़ में अन्य ग्राफ़ भी शामिल होते हैं जैसे कि पूर्ण द्विदलीय ग्राफ़ जहाँ माध्य अद्वितीय नहीं होते हैं: जब तीन कोने $x$, $y$, और $z$ सभी एक पूर्ण द्विदलीय ग्राफ के द्विभाजन के एक पक्ष से संबंधित हैं, दूसरी ओर प्रत्येक शीर्ष एक माध्यिका है। प्रत्येक कॉर्डल द्विपक्षीय ग्राफ (ग्राफ का एक वर्ग जिसमें पूर्ण द्विपक्षीय ग्राफ और द्विपक्षीय दूरी-वंशानुगत ग्राफ शामिल हैं) मॉड्यूलर है।