विलोम संबंध

गणित में, वह सम्बन्ध जो सम्बन्ध में तत्वों के क्रम को परिवर्तित करने पर प्राप्त होता है, द्विआधारी सम्बन्ध का प्रतिलोम-सम्बन्ध (कन्वेर्ज़ रिलेशन), या पक्षांतरण (ट्रांस्पोज) कहलाता है। उदाहरण के लिए, 'चाइल्ड ऑफ़' सम्बन्ध का प्रतिलोम 'पैरेंट ऑफ़' सम्बन्ध है। औपचारिक पदों में, यदि $$X$$ और $$Y$$ समुच्चय हैं और $$L \subseteq X \times Y$$ $$X$$ से $$Y$$ तक का सम्बन्ध है, तो $$L^{\operatorname{T}}$$ सम्बन्ध परिभाषित किया गया है ताकि $$yL^{\operatorname{T}}x$$ यदि और केवल यदि $$xLy$$ हो। समुच्चय-बिल्डर नोटेशन में,
 * $$L^{\operatorname{T}} = \{ (y, x) \in Y \times X : (x, y) \in L \}.$$

किसी प्रतिलोम फलन के लिए संकेतन इसके अनुरूप होता है। हालाँकि कई फलनों का प्रतिलोम नहीं होता है, फिर भी प्रत्येक सम्बन्ध का एक विशिष्ट प्रतिलोम होता है। यूनरी ऑपरेशन जो एक सम्बन्ध को प्रतिलोम-सम्बन्ध में प्रतिचित्रित (मैप) करता है, एक अंतर्वलन (इनवोल्यूशन) होता है, अतः यह एक समुच्चय पर द्विआधारी सम्बन्धों पर अंतर्वलन के साथ एक अर्द्धसमुह की संरचना को प्रेरित करता है, या, अधिक साधारणतयः, नीचे दिए गए विवरण के अनुसार सम्बन्धों की श्रेणी पर एक डैगर श्रेणी उत्पन्न करता है। एक यूनरी ऑपरेशन के रूप में, संबंधों की गणना के क्रम से संबंधित संचालन के साथ प्रतिलोम (कभी-कभी रूपांतरण या पक्षांतरण कहा जाता है) प्राप्त करना, अर्थात यह संघ, सर्वनिष्ठ और पूरक के साथ कम्यूट करता है।

चूँकि एक सम्बन्ध एक तार्किक मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जा सकता है, और प्रतिलोम-सम्बन्ध का तार्किक मैट्रिक्स मूल का पक्षांतरण है, प्रतिलोम-सम्बन्ध को भी पारगमन सम्बन्ध कहा जाता है। इसे मूल सम्बन्ध का विपरीत या दोहरा भी कहा गया है, या मूल सम्बन्ध का व्युत्क्रम, या सम्बन्ध $$L$$ का पारस्परिक $$L^{\circ}$$।

प्रतिलोम-सम्बन्ध के लिए अन्य संकेतन में $$L^{\operatorname{C}}, L^{-1}, \breve{L}, L^{\circ},$$ या $$L^{\vee}$$ शामिल हैं।

उदाहरण
सामान्य (शायद सख्त या आंशिक) आदेश सम्बन्धों के लिए, बातचीत भोले-भाले अपेक्षित "विपरीत" क्रम है, उदाहरण के लिए, $${\leq^\operatorname{T}} = {\geq},\quad {<^\operatorname{T}} = {>}$$। एक सम्बन्ध को एक तार्किक मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जा सकता है जैसे कि$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. $$तब प्रतिलोम-सम्बन्ध को उसके पक्षांतरण मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाता है:$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}. $$रिश्तेदारी सम्बन्धों के प्रतिलोम का नाम दिया गया है: "$$A$$ $$B$$ की संतान है" का प्रतिलोम "$$B$$ $$A$$ के माता-पिता हैं"। "$$A$$, $$B$$ का भतीजा या भतीजी है" का प्रतिलोम है "$$B$$, $$A$$ के चाचा या चाची हैं"। सम्बन्ध "$$A$$ $$B$$ का सहोदर है" इसका स्वयं का प्रतिलोम है, क्योंकि यह एक सममित सम्बन्ध है।

गुण
एक समुच्चय पर द्विआधारी एंडोरेलेशन के मोनोइड में (सम्बन्धों की संरचना होने वाले सम्बन्धों पर द्विआधारी ऑपरेशन के साथ), विपरीत सम्बन्ध समूह सिद्धांत से व्युत्क्रम की परिभाषा को संतुष्ट नहीं करता है, अर्थात्, यदि $$L$$ $$X,$$ पर एक मनमाना सम्बन्ध है, तो $$L \circ L^{\operatorname{T}}$$ सामान्य रूप से $$X$$ पर तत्समक सम्बन्ध के बराबर नहीं है। प्रतिलोम-सम्बन्ध एक अर्धसमूह के (कमजोर) सिद्धांतों को अंतर्वलन से संतुष्ट करता है: $$\left(L^{\operatorname{T}}\right)^{\operatorname{T}} = L$$ और $$(L \circ R)^{\operatorname{T}} = R^{\operatorname{T}} \circ L^{\operatorname{T}}$$।

चूंकि आम तौर पर विभिन्न समुच्चयों के बीच सम्बन्धों पर विचार किया जा सकता है (जो एक मोनोइड के बजाय एक श्रेणी बनाते हैं, अर्थात् सम्बन्धों की श्रेणी रिले), इस संदर्भ में विपर्यय सम्बन्ध एक डैगर श्रेणी (अंतर्वलन के साथ उर्फ ​​श्रेणी) के सिद्धांतों के अनुरूप है। इसके व्युत्क्रम के बराबर सम्बन्ध एक सममित सम्बन्ध है; खंजर श्रेणियों की भाषा में यह स्वतःसंबद्ध है।

इसके अलावा, एक समुच्चय पर एंडोरेलेशन का सेमीग्रुप भी एक आंशिक रूप से क्रमबद्ध संरचना है (सम्बन्धों को समुच्चय के रूप में शामिल करने के साथ), और वास्तव में एक समावेशी क्वांटले है। इसी प्रकार, विषम सम्बन्धों की श्रेणी, Rel भी एक क्रमबद्ध श्रेणी है।

सम्बन्धों की कलन में, रूपांतरण (विपरीत सम्बन्ध लेने की एकात्मक संक्रिया) संघ और प्रतिच्छेदन की अन्य द्विआधारी संक्रियाओं के साथ संचलित होता है। रूपांतरण पूरकता के एकात्मक संचालन के साथ-साथ सुप्रीमा और इन्फिमा लेने के साथ भी शुरू होता है। रूपांतरण समावेशन द्वारा सम्बन्धों के क्रम के साथ भी संगत है।

यदि कोई सम्बन्ध रिफ्लेक्सिव, इर्रेफ्लेक्सिव, सममित, एंटीसिमेट्रिक, असममित, सकर्मक, जुड़ा हुआ, त्रिकोटोमस, एक आंशिक क्रम, कुल आदेश, सख्त कमजोर आदेश, कुल पूर्व आदेश (कमजोर क्रम), या एक तुल्यता सम्बन्ध है, तो इसका प्रतिलोम भी है।

उलटा
यदि $$I$$ तत्समक सम्बन्ध को प्रदर्शित करता है, तो सम्बन्ध $$R$$ का प्रतिलोम इस प्रकार हो सकता है: $$R$$ कहलाता है


 * दाहिने प्रतीप्य
 * यदि कोई सम्बन्ध $$X$$ मौजूद है, जिसे $$R$$ का सही प्रतिलोम कहा जाता है, जो $$R \circ X = I$$ को संतुष्ट करता है।


 * बाँया प्रतीप्य
 * यदि कोई सम्बन्ध $$Y,$$ मौजूद है, जिसे $$R,$$ का बायां प्रतिलोम कहा जाता है, जो $$Y \circ R = I$$ को संतुष्ट करता है।


 * प्रतीप्य
 * यदि यह दायां-उलटा और बायां-उलटा दोनों है।

एक व्युत्क्रमणीय समरूप सम्बन्ध $$R,$$ के लिए, सभी दाएँ और बाएँ व्युत्क्रम संपाती हैं; इस अनूठे समुच्चय को इसका व्युत्क्रम कहा जाता है और इसे $$R^{-1}$$ द्वारा दर्शाया जाता है, इस मामले में, $$R^{-1} = R^{\operatorname{T}}$$ होल्ड करता है।

किसी फलन का प्रतिलोम-सम्बन्ध
एक फलन व्युत्क्रमणीय होता है यदि और केवल यदि इसका प्रतिलोम-सम्बन्ध एक फलन हो, तो इस मामले में प्रतिलोम-सम्बन्ध प्रतिलोम फलन होता है।

किसी फलन $$f : X \to Y$$ का प्रतिलोम-सम्बन्ध $$\operatorname{graph}\, f^{-1} = \{ (y, x) \in Y \times X : y = f(x) \}$$ द्वारा परिभाषित सम्बन्ध $$f^{-1} \subseteq Y \times X$$ है।

यह आवश्यक रूप से एक फलन नहीं है: एक आवश्यक शर्त यह है कि $$f$$ अंतःक्षेपी हो, क्योंकि $$f^{-1}$$ बहु-मूल्यवान है। यह स्थिति $$f^{-1}$$ के लिए एक आंशिक फलन होने के लिए पर्याप्त है, और यह स्पष्ट है कि $$f^{-1}$$ तब एक (कुल) फलन है यदि और केवल यदि $$f$$ विशेषण है। उस मामले में, यदि $$f$$ एक विशेषण है, तो $$f^{-1}$$ को $$f$$ का प्रतिलोम फलन कहा जा सकता है।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन $$f(x) = 2x + 2$$ में व्युत्क्रम फ़ंक्शन $$f^{-1}(x) = \frac{x}{2} - 1$$ है।

हालांकि, फलन $$g(x) = x^2$$ का व्युत्क्रम सम्बन्ध $$g^{-1}(x) = \pm \sqrt{x},$$ है जो कि बहु-मूल्यवान होने के कारण फलन नहीं है।

सम्बन्ध के साथ रचना
सम्बन्धों के संघटन का प्रयोग करते हुए, प्रतिलोम को मूल सम्बन्ध से बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, इसके प्रतिलोम से बना उपसमुच्चय सम्बन्ध हमेशा सार्वभौमिक सम्बन्ध है:
 * ∀A ∀B ∅ ⊂ A ∩B ⇔ A ⊃ ∅ ⊂ B ⇔ A ⊃ ⊂ B. इसी प्रकार,
 * U = ब्रह्मांड के लिए, A ∪ B ⊂ U ⇔ A ⊂ U ⊃ B ⇔ A ⊂ ⊃ B.

अब समुच्चय सदस्यता सम्बन्ध और इसके प्रतिलोम पर विचार करें।
 * $$A \ni z \in B \Leftrightarrow z \in A \cap B \Leftrightarrow A \cap B \ne \empty.$$

इस प्रकार $$A \ni \in B \Leftrightarrow A \cap B \ne \empty .$$ विपरीत रचना $$\in \ni$$ सार्वभौम सम्बन्ध है।

रचनाओं का उपयोग सम्बन्धों को प्रकार के अनुसार वर्गीकृत करने के लिए किया जाता है: एक सम्बन्ध क्यू के लिए, जब क्यू की सीमा पर पहचान सम्बन्ध में क्यूटीक्यू होता है, तो क्यू को एकतरफा कहा जाता है। जब Q के डोमेन पर तत्समक सम्बन्ध Q QT में निहित होता है, तो Q को कुल कहा जाता है। जब Q एकसंयोजक और कुल दोनों हो तो यह एक फलन है। जब क्यूटी एकतरफा होता है, तो क्यू को इंजेक्शन कहा जाता है। जब QT कुल होता है, तो Q को विशेषण कहा जाता है।

यदि Q एकसंयोजक है, तो QQT, Q के प्रांत पर एक तुल्यता सम्बन्ध है, देखें सकर्मक सम्बन्ध#सम्बन्धित गुण।