संवेग मानचित्र

गणित में, विशेष रूप से सिंपलेक्टिक ज्यामिति में, संवेग मानचित्र (या, गलत व्युत्पत्ति विज्ञान द्वारा, संवेग मानचित्र ) सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड पर लाई समूह के हैमिल्टनियन कार्रवाई से जुड़ा उपकरण है, जिसका उपयोग एक्शन के लिए संरक्षित मात्राओं का निर्माण करने के लिए किया जाता है। संवेग मानचित्र रैखिक और कोणीय संवेग की मौलिक धारणाओं को सामान्यीकृत करता है। यह सिंपलेक्टिक मैनिफ़ोल्ड के विभिन्न निर्माणों में आवश्यक घटक है, जिसमें सिंपलेक्टिक (मार्सडेन-वेनस्टीन) भागफल, नीचे चर्चा की गई है, और सिंपलेक्टिक कटस और सिंपलेक्टिक योग सम्मिलित हैं।

औपचारिक परिभाषा
मान लीजिए कि M सहानुभूतिपूर्ण रूप ω वाला मैनिफोल्ड है। इस प्रकार मान लीजिए कि लाई समूह G, M पर सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म के माध्यम से कार्य करता है (अर्थात, G में प्रत्येक G की क्रिया ω को संरक्षित करती है)। होने देना $$\mathfrak{g}$$ G का लाई बीजगणित हो, $$\mathfrak{g}^*$$ इसका दोहरा स्थान, और


 * $$\langle \, \cdot, \cdot\rangle : \mathfrak{g}^* \times \mathfrak{g} \to \mathbb{R}$$

दोनों के मध्य जोड़ी. कोई भी ξ में $$\mathfrak{g}$$ M पर सदिश क्षेत्र ρ(ξ) प्रेरित करता है जो ξ की अतिसूक्ष्म क्रिया का वर्णन करता है। त्रुटिहीन होने के लिए, M सदिश में बिंदु x पर $$\rho(\xi)_x$$ है


 * $$\left.\frac{d}{dt}\right|_{t = 0} \exp(t \xi) \cdot x,$$

कहाँ $$\exp : \mathfrak{g} \to G$$ घातीय मानचित्र (लाई सिद्धांत) और है $$\cdot$$ M पर G -क्रिया को दर्शाता है। होने देना $$\iota_{\rho(\xi)} \omega \,$$ इस सदिश क्षेत्र के आंतरिक उत्पाद को ω से निरूपित करें। चूँकि G लक्षणात्मकता द्वारा कार्य करता है, यह उसी का अनुसरण करता है $$\iota_{\rho(\xi)} \omega \,$$ बंद और त्रुटिहीन अंतर रूप है (सभी ξ के लिए)। $$\mathfrak{g}$$).

लगता है कि $$\iota_{\rho(\xi)} \omega \,$$ न केवल बंद है किंतु त्रुटिहीन भी है, इसलिए $$\iota_{\rho(\xi)} \omega = d H_\xi$$ किसी फलन के लिए $$H_\xi : M \to \mathbb{R}$$. यदि यह बात कायम रहती है, तब कोई इसे चुन सकता है $$H_\xi$$ नक्शा बनाने के लिए $$\xi \mapsto H_\xi$$ रैखिक. (M, ω) पर G-क्रिया के लिए संवेग मानचित्र मानचित्र है $$\mu : M \to \mathfrak{g}^*$$ ऐसा है कि


 * $$d(\langle \mu, \xi \rangle) = \iota_{\rho(\xi)} \omega$$

सभी के लिए ξ में $$\mathfrak{g}$$. यहाँ $$\langle \mu, \xi \rangle$$ M से 'R' तक का फलन परिभाषित है $$\langle \mu, \xi \rangle(x) = \langle \mu(x), \xi \rangle$$. संवेग मानचित्र को एकीकरण के योगात्मक स्थिरांक (प्रत्येक जुड़े घटक पर) तक विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है।

एक $$G$$-एक सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड पर कार्रवाई $$(M, \omega)$$ यदि यह सहानुभूतिपूर्ण है और यदि कोई संवेग मानचित्र उपस्तिथ है तब इसे हैमिल्टनियन कहा जाता है।

एक गति मानचित्र की भी अधिकांशतः आवश्यकता होती है $$G$$-समतुल्य, जहां G कार्य करता है $$\mathfrak{g}^*$$ सहसंयुक्त क्रिया के माध्यम से, और कभी-कभी इस आवश्यकता को हैमिल्टनियन समूह क्रिया की परिभाषा में सम्मिलित किया जाता है। यदि समूह सघन या अर्धसरल है, तब संवेग मानचित्र को सहसंयुक्त समतुल्य बनाने के लिए एकीकरण के स्थिरांक को सदैव चुना जा सकता है। चूँकि, सामान्यतः मानचित्र को समतुल्य बनाने के लिए सह-संयुक्त क्रिया को संशोधित किया जाना चाहिए (उदाहरण के लिए यूक्लिडियन समूह के लिए यह मामला है)। यह संशोधन 1-समूह सह-समरूपता द्वारा समूह पर मूल्यों के साथ किया गया है $$\mathfrak{g}^*$$, जैसा कि सबसे पहले सौरियाउ (1970) द्वारा वर्णित है।

संवेग मानचित्रों के उदाहरण
सर्कल की हैमिल्टनियन कार्रवाई के स्थितियोंमें $$G = U(1)$$, लाई बीजगणित द्वैत $$\mathfrak{g}^*$$ स्वाभाविक रूप से पहचाना जाता है $$\mathbb{R}$$, और संवेग मानचित्र केवल हैमिल्टनियन फलन है जो वृत्त क्रिया उत्पन्न करता है।

एक और मौलिक मामला तब घटित होता है जब $$M$$ का कोटैंजेंट बंडल है $$\mathbb{R}^3$$ और $$G$$ घूर्णन और अनुवाद द्वारा उत्पन्न यूक्लिडियन समूह है। वह है, $$G$$ छह-आयामी समूह है, जिसका अर्धप्रत्यक्ष उत्पाद है $$SO(3)$$ और $$\mathbb{R}^3$$. संवेग मानचित्र के छह घटक तीन कोणीय संवेग और तीन रैखिक संवेग हैं।

होने देना $$N$$ चिकनी अनेक गुना हो और चलो $$T^*N$$ प्रक्षेपण मानचित्र के साथ इसका कोटैंजेंट बंडल बनें $$\pi : T^*N \rightarrow N$$. होने देना $$\tau$$ टॉटोलॉजिकल एक-रूप को निरूपित करें $$T^*N$$. कल्पना करना $$G$$ पर कार्य करता है $$N$$. की प्रेरित कार्रवाई $$G$$ सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड पर $$(T^*N, \mathrm{d}\tau)$$, द्वारा दिए गए $$g \cdot \eta := (T_{\pi(\eta)}g^{-1})^* \eta$$ के लिए $$g \in G, \eta \in T^*N$$ गति मानचित्र के साथ हैमिल्टनियन है $$-\iota_{\rho(\xi)} \tau$$ सभी के लिए $$\xi \in \mathfrak{g}$$. यहाँ $$\iota_{\rho(\xi)}\tau$$ सदिश क्षेत्र के आंतरिक उत्पाद को दर्शाता है $$\rho(\xi)$$, की अतिसूक्ष्म क्रिया $$\xi$$, 1-रूप के साथ $$\tau$$.

नीचे उल्लिखित तथ्यों का उपयोग गति मानचित्रों के अधिक उदाहरण उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है।

गति मानचित्रों के बारे में कुछ तथ्य
होने देना $$G, H$$ लाई बीजगणित के साथ लाई समूह बनें $$\mathfrak{g}, \mathfrak{h}$$, क्रमशः


 * 1) होने देना $$\mathcal{O}(F), F \in \mathfrak{g}^*$$ सहसंयुक्त कक्षा हो। फिर वहाँ पर अद्वितीय सहानुभूतिपूर्ण संरचना उपस्तिथ है $$\mathcal{O}(F)$$ ऐसा समावेशन मानचित्र $$\mathcal{O}(F) \hookrightarrow \mathfrak{g}^*$$ संवेग मानचित्र है।
 * 2) होने देना $$G$$ सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड पर कार्य करते हैं $$(M, \omega)$$ के साथ $$\Phi_G : M \rightarrow \mathfrak{g}^*$$ कार्रवाई के लिए गति मानचित्र, और $$\psi : H \rightarrow G$$ लाई समूह समरूपता हो, जो क्रिया को प्रेरित करती हो $$H$$ पर $$M$$. फिर की कार्रवाई $$H$$ पर $$M$$ हैमिल्टनियन भी है, गति मानचित्र द्वारा दिया गया है $$(\mathrm{d}\psi)_{e}^* \circ \Phi_G$$, कहाँ $$(\mathrm{d}\psi)_{e}^* : \mathfrak{g}^* \rightarrow \mathfrak{h}^*$$ का दोहरा मानचित्र है $$(\mathrm{d}\psi)_{e} : \mathfrak{h} \rightarrow \mathfrak{g}$$ ($$e$$ के पहचान तत्व को दर्शाता है $$H$$). विशेष रुचि का मामला है जब $$H$$ का लाई उपसमूह है $$G$$ और $$\psi$$ समावेशन मानचित्र है।
 * 3) होने देना $$(M_1, \omega_1)$$ हैमिल्टनियन बनें $$G$$-अनेक गुना और $$(M_2, \omega_2)$$ हैमिल्टनियन $$H$$-अनेक गुना. फिर की स्वाभाविक क्रिया $$G \times H$$ पर $$(M_1 \times M_2, \omega_1 \times \omega_2)$$ हैमिल्टनियन है, गति मानचित्र के साथ दो गति मानचित्रों का सीधा योग है $$\Phi_G$$ और $$\Phi_H$$. यहाँ $$\omega_1 \times \omega_2 := \pi_1^*\omega_1 + \pi_2^*\omega_2$$, कहाँ $$\pi_i : M_1 \times M_2 \rightarrow M_i$$ प्रक्षेपण मानचित्र को दर्शाता है।
 * 4) होने देना $$M$$ हैमिल्टनियन बनें $$G$$-अनेक गुना, और $$N$$ का उपमान $$M$$ के अंतर्गत अपरिवर्तनीय $$G$$ इस प्रकार कि सिम्प्लेक्सिक फॉर्म का प्रतिबंध पर $$M$$ को $$N$$ गैर पतित है. यह सिम्पलेक्सिक संरचना प्रदान करता है $$N$$ प्राकृतिक तरीके से. फिर की कार्रवाई $$G$$ पर $$N$$ हैमिल्टनियन भी है, गति मानचित्र के साथ समावेशन मानचित्र की संरचना $$M$$ का गति मानचित्र हैं।

सांकेतिक भागफल
मान लीजिए कि सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड (एम, ω) पर ली समूह G की कार्रवाई हैमिल्टनियन है, जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, समतुल्य गति मानचित्र के साथ $$\mu : M\to \mathfrak{g}^*$$. हैमिल्टनियन स्थिति से, यह इस प्रकार है $$\mu^{-1}(0)$$ G के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है।

अभी मान लें कि G स्वतंत्र रूप से और ठीक से कार्य करता है $$\mu^{-1}(0)$$. इसका तात्पर्य यह है कि 0 नियमित मान है $$\mu$$, इसलिए $$\mu^{-1}(0)$$ और इसका भागफल स्थान (टोपोलॉजी) $$\mu^{-1}(0) / G$$ दोनों चिकने मैनिफोल्ड हैं। भागफल को M से सहानुभूतिपूर्ण रूप प्राप्त होता है; अर्थात्, भागफल पर अद्वितीय सहानुभूतिपूर्ण रूप होता है जिसका पुलबैक (विभेदक ज्यामिति) होता है $$\mu^{-1}(0)$$ ω के प्रतिबंध के सामान्तर है $$\mu^{-1}(0)$$. इस प्रकार, भागफल सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड है, जिसे मार्सडेन-वेनस्टीन भागफल कहा जाता है।, सिंपलेक्टिक भागफल, या M का G द्वारा सिंपलेक्टिक कमी और निरूपित किया जाता है $$M/\!\!/G$$. इसका आयाम M के आयाम को घटाकर G के आयाम के दोगुने के सामान्तर है।

अधिक सामान्यतः, यदि G स्वतंत्र रूप से कार्य नहीं करता है (किन्तु फिर भी ठीक से), तब पता चला है कि $$M/\!\!/G = \mu^{-1}(0)/G$$ स्तरीकृत सिंपलेक्टिक स्थान है, अर्थात स्तरों पर संगत सिंपलेक्टिक संरचनाओं के साथ स्तरीकृत स्थान हैं।

सतह पर समतल कनेक्शन
अंतरिक्ष $$\Omega^1(\Sigma, \mathfrak{g})$$ तुच्छ बंडल पर कनेक्शनों का $$ \Sigma \times G $$ सतह पर अनंत आयामी सहानुभूतिपूर्ण रूप धारण करता है


 * $$\langle\alpha, \beta \rangle := \int_{\Sigma} \text{tr}(\alpha \wedge \beta).$$

गेज समूह $$ \mathcal{G} = \text{Map}(\Sigma, G) $$ संयुग्मन द्वारा कनेक्शन पर कार्य करता है $$ g \cdot A := g^{-1}(dg) + g^{-1} A g $$. पहचान करना $$ \text{Lie}(\mathcal{G}) = \Omega^0(\Sigma, \mathfrak{g}) = \Omega^2(\Sigma, \mathfrak{g})^*$$ एकीकरण युग्मन के माध्यम से. फिर मानचित्र


 * $$\mu: \Omega^1(\Sigma, \mathfrak{g}) \rightarrow \Omega^2(\Sigma, \mathfrak{g}), \qquad A \; \mapsto \; F := dA + \frac{1}{2}[A \wedge A]$$

जो अपनी वक्रता के लिए कनेक्शन भेजता है वह कनेक्शन पर गेज समूह की कार्रवाई के लिए क्षण मानचित्र है। विशेष रूप से फ्लैट कनेक्शन मॉड्यूलो गेज तुल्यता का मॉड्यूल स्पेस $$\mu^{-1}(0)/\mathcal{G} = \Omega^1(\Sigma, \mathfrak{g}) /\!\!/ \mathcal{G}$$ सिम्प्लिक्टिक रिडक्शन द्वारा दिया गया है।

यह भी देखें

 * जीआईटी भागफल
 * परिमाणीकरण कमी के साथ चलता है।
 * पॉइसन-लाई समूह
 * टोरिक मैनिफ़ोल्ड
 * ज्यामितीय यांत्रिकी
 * किरवान मानचित्र
 * कोस्टेंट की उत्तलता प्रमेय

संदर्भ

 * जे.-एम. सौरियाउ, स्ट्रक्चर डेस सिस्टम्स डायनामिक्स, मैट्रिसेस डी मैथेमेटिक्स, डुनोद, पेरिस, 1970.
 * एस. के. डोनाल्डसन और पी. बी. क्रोनहाइमर, फोर-मैनिफोल्ड्स की ज्यामिति, ऑक्सफ़ोर्ड विज्ञान प्रकाशन, 1990 ISBN 0-19-850269-9.
 * डूसा मैकडफ़ और डाइटमार सलामोन, सिम्पलेक्टिक टोपोलॉजी का परिचय, ऑक्सफोर्ड साइंस पब्लिकेशन, 1998 ISBN 0-19-850451-9.