यूक्लिडियन वेक्टर

गणित, भौतिकी और अभियांत्रिकी में, एक यूक्लिडियन वेक्टर या मात्र एक वेक्टर (कभी-कभी एक ज्यामितीय वेक्टर या स्थानिक वेक्टर कहा जाता है) एक ज्यामितीय वस्तु है जिसमें परिमाण (या लंबाई) और दिशा होती है। सदिश बीजगणित के अनुसार सदिशों को अन्य सदिशों में जोड़ा जा सकता है। एक यूक्लिडियन वेक्टर को अक्सर एक निर्देशित रेखा खंड द्वारा, या रेखांकन के रूप में एक प्रारंभिक बिंदु A को एक अंतिम बिंदु B से जोड़ने वाले तीर के रूप में दर्शाया जाता है, और $$\overrightarrow{AB}$$ द्वारा निरूपित किया जाता है।

बिंदु A को बिंदु B तक ले जाने के लिए एक सदिश की आवश्यकता होती है, लैटिन शब्द "वेक्टर" का अर्थ वाहक होता है। इसका उपयोग पहली बार 18 वीं शताब्दी के खगोलविदों द्वारा सूर्य के चारों ओर ग्रहों की क्रांति की जांच करने के लिए किया गया था।।वेक्टर का परिमाण दो बिंदुओं के बीच की दूरी है, और दिशा A से B तक विस्थापन की दिशा को दर्शाती है। वास्तविक संख्याओं पर कई बीजीय संक्रियाओं जैसे जोड़, घटाव, गुणा, और निषेध में वेक्टर के लिए करीबी एनालॉग होते हैं, संचालन जो कम्यूटेटिविटी, सहयोगीता और वितरण के परिचित बीजगणितीय कानूनों का पालन करते हैं। ये ऑपरेशन और संबंधित कानून यूक्लिडियन वेक्टर को वेक्टर स्पेस के तत्वों के रूप में परिभाषित वेक्टर की अधिक सामान्यीकृत अवधारणा के उदाहरण के रूप में अर्हता प्राप्त करते हैं।

भौतिकी में वेक्टर एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। एक चलती वस्तु का वेग और त्वरण और उस पर कार्य करने वाले बल सभी को वेक्टर के साथ वर्णित किया जा सकता है। कई अन्य भौतिक मात्राओं को उपयोगी रूप से सदिशों के रूप में माना जा सकता है। हालांकि उनमें से अधिकांश दूरियों का प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं (उदाहरण के लिए, स्थिति या विस्थापन को छोड़कर), उनके परिमाण और दिशा को अभी भी एक तीर की लंबाई और दिशा द्वारा दर्शाया जा सकता है। भौतिक सदिश का गणितीय निरूपण इसका वर्णन करने के लिए प्रयुक्त समन्वय प्रणाली पर निर्भर करता है। अन्य वेक्टर जैसी वस्तुएं जो भौतिक मात्राओं का वर्णन करती हैं और समन्वय प्रणाली के परिवर्तनों के तहत समान रूप से रूपांतरित होती हैं, उनमें स्यूडोवेक्टर और टेंसर शामिल हैं।

इतिहास
वेक्टर की अवधारणा, जैसा कि हम आज जानते हैं, 200 से अधिक वर्षों की अवधि में क्रमिक विकास का परिणाम है। इसके विकास में लगभग एक दर्जन लोगों का महत्वपूर्ण योगदान रहा। 1835 में, Giusto Bellavitis ने मूल विचार को सारगर्भित किया जब उन्होंने समरूपता की अवधारणा को स्थापित किया। एक यूक्लिडियन समतल में काम करते हुए, उन्होंने समान लंबाई और अभिविन्यास के समानांतर रेखा खंडों के किसी भी जोड़े को सम-विषम बनाया। अनिवार्य रूप से, उन्होंने समतल में बिंदुओं के जोड़े (द्विबिंदु) पर एक तुल्यता संबंध का एहसास किया, और इस प्रकार समतल में वेक्टर का पहला स्थान बना। वेक्टर शब्द विलियम रोवन हैमिल्टन द्वारा एक चतुर्भुज के भाग के रूप में पेश किया गया था, जो एक वास्तविक संख्या s (जिसे अदिश भी कहा जाता है) और एक 3-आयामी वेक्टर का योग $q = s + v$ है। बेलावाइटिस की तरह, हैमिल्टन ने वेक्टर को समान निर्देशित खंडों के वर्गों के प्रतिनिधि के रूप में देखा। चूंकि जटिल संख्याएं वास्तविक रेखा के पूरक के लिए एक काल्पनिक इकाई का उपयोग करती हैं, हैमिल्टन ने वेक्टर V को एक चतुर्भुज का काल्पनिक भाग माना।

उन्नीसवीं सदी के मध्य में कई अन्य गणितज्ञों ने वेक्टर जैसी प्रणाली विकसित की, जिनमें ऑगस्टिन कॉची, हरमन ग्रासमैन, ऑगस्ट मोबियस, कॉम्टे डी सेंट-वेनेंट और मैथ्यू ओ'ब्रायन शामिल हैं। ग्रासमैन का 1840 का काम थ्योरी डेर एब्बे अंड फ्लूट (Theorie der Ebbe und Flut) (थ्योरी ऑफ द एब एंड फ्लो) स्थानिक विश्लेषण की पहली प्रणाली थी जो आज की प्रणाली के समान है, और इसमें पार गुणनफल, स्केलर गुणनफल और वेक्टर भेदभाव के अनुरूप विचार थे।1870 के दशक तक ग्रासमैन का काम काफी स्तर तक उपेक्षित था।

हैमिल्टन के बाद पीटर गुथरी टैट ने चतुर्धातुक मानक को आगे बढ़ाया। क्वाटरनियंस पर उनके 1867 के प्राथमिक ग्रंथ में नाबला या डेल ऑपरेटर ∇ का व्यापक उपचार शामिल था।

1878 में, विलियम किंगडन क्लिफोर्ड द्वारा एलिमेंट्स ऑफ डायनेमिक प्रकाशित किया गया था। क्लिफोर्ड ने दो वेक्टर के डॉट गुणनफल और क्रॉस गुणनफल को पूर्ण क्वाटरनियन गुणनफल से अलग करके क्वाटरनियन अध्ययन को सरल बनाया।इस दृष्टिकोण ने सदिश गणनाओं को अभियंताओं के लिए उपलब्ध कराया- और अन्य तीन आयामों में काम कर रहे थे और चौथे पर संदेह कर रहे थे।

योशिय्याह विलार्ड गिब्स, जो विद्युत और चुंबकत्व पर जेम्स क्लर्क मैक्सवेल के ग्रंथ के माध्यम से चतुर्धातुक के संपर्क में थे, ने स्वतंत्र उपचार के लिए अपने वेक्टर भाग को अलग कर दिया। 1881 में प्रकाशित गिब्स के एलीमेंट्स ऑफ वेक्टर एनालिसिस का पहला भाग, वेक्टर विश्लेषण की अनिवार्य रूप से आधुनिक प्रणाली को प्रस्तुत करता है। 1901 में, एडविन बिडवेल विल्सन ने वेक्टर विश्लेषण प्रकाशित किया, जिसे गिब के व्याख्यान से अनुकूलित किया गया, जिसने वेक्टर कैलकुस के विकास में चतुर्भुज के किसी भी उल्लेख को हटा दिया।

अवलोकन
भौतिकी और अभियांत्रिकी में, एक वेक्टर को आम तौर पर एक ज्यामितीय इकाई के रूप में माना जाता है जो एक परिमाण और एक दिशा की विशेषता होती है। इसे औपचारिक रूप से एक यूक्लिडियन स्पेस में एक निर्देशित रेखा खंड, या तीर के रूप में परिभाषित किया गया है। शुद्ध गणित में, एक सदिश को सामान्यतः सदिश समष्टि के किसी भी तत्व के रूप में परिभाषित किया जाता है। इस संदर्भ में, वेक्टर अमूर्त संस्थाएं हैं जो परिमाण और दिशा द्वारा विशेषता हो सकती हैं या नहीं भी हो सकती हैं। इस सामान्यीकृत परिभाषा का तात्पर्य है कि उपर्युक्त ज्यामितीय संस्थाएं एक विशेष प्रकार के वेक्टर हैं, क्योंकि वे एक विशेष प्रकार के वेक्टर स्पेस के तत्व हैं जिन्हें यूक्लिडियन स्पेस कहा जाता है।

यह लेख सदिशों के बारे में है जिन्हें यूक्लिडियन स्पेस में तीर के रूप में दृढ़ता से परिभाषित किया गया है। जब इन विशेष वेक्टरों को शुद्ध गणित में परिभाषित वेक्टर से अलग करना आवश्यक हो जाता है, तो उन्हें कभी-कभी ज्यामितीय, स्थानिक या यूक्लिडियन वेक्टर के रूप में जाना जाता है।

एक तीर होने के कारण, एक यूक्लिडियन वेक्टर के पास एक निश्चित प्रारंभिक बिंदु और अंतिम बिंदु होता है। एक निश्चित प्रारंभिक और अंतिम बिंदु वाले वेक्टर को बाउंड वेक्टर कहा जाता है। जब केवल सदिश का परिमाण और दिशा ही मायने रखती है, तब विशेष प्रारंभिक बिंदु का कोई महत्व नहीं होता है, और सदिश को मुक्त सदिश कहा जाता है। इस प्रकार दो तीर $$\stackrel {\,\longrightarrow}{AB}$$ तथा $$\stackrel {\,\longrightarrow}{A'B'}$$ अंतरिक्ष में एक ही मुक्त वेक्टर का प्रतिनिधित्व करते हैं यदि उनके पास समान परिमाण और दिशा है: यानी, वे समरूप हैं  यदि चतुर्भुज ABB′A ′ एक समांतर चतुर्भुज है। यदि यूक्लिडियन अंतरिक्ष मूल के विकल्प से सुसज्जित है, तो एक मुक्त वेक्टर उसी परिमाण और दिशा के बाध्य वेक्टर के बराबर होता है जिसका प्रारंभिक बिंदु मूल होता है।

वेक्टर शब्द में उच्च आयामों के लिए सामान्यीकरण भी हैं, और अधिक व्यापक अनुप्रयोगों के साथ अधिक औपचारिक दृष्टिकोण हैं।

अग्रिम जानकारी
चिरसम्मत यूक्लिडियन ज्यामिति (अर्थात, सिंथेटिक ज्यामिति ) में, वेक्टर को (19वीं शताब्दी के दौरान) समरूपता के तहत तुल्यता वर्गों के रूप में, बिंदुओं के क्रमबद्ध जोड़े के रूप में पेश किया गया था, दो जोड़े $(A, B)$ और $(C, D)$ सम-विषम होते हैं यदि अंक $A, B, D, C$, इस क्रम में, एक समांतर चतुर्भुज बनाते हैं। इस तरह के एक तुल्यता वर्ग को एक वेक्टर कहा जाता है, अधिक सटीक रूप से, एक यूक्लिडियन वेक्टर (A, B) के समतुल्य वर्ग को अक्सर निरूपित किया जाता है AB→

एक यूक्लिडियन वेक्टर इस प्रकार समान परिमाण (उदाहरण के लिए, रेखा खंड की लंबाई (A, B) ) और एक ही दिशा (उदाहरण के लिए, A से B की दिशा) के साथ निर्देशित खंडों का एक समकक्ष वर्ग है। भौतिकी में, यूक्लिडियन वेक्टर का उपयोग उन भौतिक मात्राओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है जिनमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं, लेकिन अदिश के विपरीत, एक विशिष्ट स्थान पर स्थित नहीं होते हैं, जिनकी कोई दिशा नहीं होती है।  उदाहरण के लिए, वेग, बल और त्वरण को सदिशों द्वारा निरूपित किया जाता है।

आधुनिक ज्यामिति में, यूक्लिडियन रिक्त स्थान को अक्सर रैखिक बीजगणित से परिभाषित किया जाता है। अधिक सटीक रूप से, एक यूक्लिडियन स्थान $E$ को एक ऐसे सेट के रूप में परिभाषित किया जाता है जिससे वास्तविक पर परिमित आयाम का एक आंतरिक उत्पाद स्थान जुड़ा होता है $$\overrightarrow{E},$$ और योगात्मक समूह की एक समूह क्रिया $$\overrightarrow{E},$$ जो मुफ़्त और संक्रमणीय है (इस निर्माण के विवरण के लिए एफ़िन स्पेस देखें)। के तत्व $$\overrightarrow{E}$$ अनुवाद कहलाते हैं।

यह साबित हो गया है कि यूक्लिडियन रिक्त स्थान की दो परिभाषाएँ समतुल्य हैं, और यह कि समरूपता के तहत तुल्यता वर्गों को अनुवादों के साथ पहचाना जा सकता है।

कभी-कभी, यूक्लिडियन वेक्टर को यूक्लिडियन स्पेस के संदर्भ के बिना माना जाता है। इस मामले में, एक यूक्लिडियन वेक्टर वास्तविक पर परिमित आयाम के एक आदर्श वेक्टर स्थान का एक तत्व है, या, आमतौर पर, का एक तत्व है $$\mathbb R^n$$ डॉट उत्पाद से लैस। यह समझ में आता है, क्योंकि इस तरह के एक वेक्टर स्पेस में जोड़ वेक्टर स्पेस पर ही स्वतंत्र रूप से और संक्रमणीय रूप से कार्य करता है। वह है, $$\mathbb R^n$$ एक यूक्लिडियन स्पेस है, जो स्वयं एक संबद्ध वेक्टर स्पेस के रूप में है, और डॉट उत्पाद एक आंतरिक उत्पाद के रूप में है।

यूक्लिडियन स्पेस $$\mathbb R^n$$ अक्सर आयाम के यूक्लिडियन स्थान के रूप में प्रस्तुत किया जाता है $n$. यह इस तथ्य से प्रेरित है कि आयाम का प्रत्येक यूक्लिडियन स्थान $n$ यूक्लिडियन स्पेस के लिए समरूपी है $$\mathbb R^n.$$अधिक सटीक रूप से, इस तरह के यूक्लिडियन स्थान को देखते हुए, कोई भी बिंदु चुन सकता है $O$ एक मूल के रूप में। ग्राम-श्मिट प्रक्रिया द्वारा, संबंधित वेक्टर स्पेस का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार भी मिल सकता है (एक आधार ऐसा है कि दो आधार वेक्टर का आंतरिक उत्पाद 0 है यदि वे अलग हैं और 1 यदि वे बराबर हैं)। यह स्पेस के किसी भी बिंदु P के कार्टेशियन निर्देशांक को वेक्टर के आधार पर निर्देशांक के रूप में परिभाषित करता है $$\overrightarrow{OP}.$$ ये विकल्प दिए गए यूक्लिडियन स्थान के एक समरूपता को परिभाषित करते हैं $$\mathbb R^n,$$ किसी भी बिंदु को उसके कार्टेशियन निर्देशांक के n -tuple पर मैप करके, और प्रत्येक वेक्टर को उसके निर्देशांक वेक्टर में मैप करके।

एक आयाम में उदाहरण
भौतिक विज्ञानी की बल की अवधारणा में एक दिशा और परिमाण होता है, इसे एक वेक्टर के रूप में देखा जा सकता है। एक उदाहरण के रूप में, 15 न्यूटन के दाहिने बल F पर विचार करें। यदि धनात्मक अक्ष को भी दाईं ओर निर्देशित किया जाता है, तो F को सदिश 15 N द्वारा दर्शाया जाता है, और यदि धनात्मक बिंदु बाईं ओर हैं, तो F के लिए सदिश −15 N है। किसी भी स्थिति में, वेक्टर का परिमाण 15 N है। इसी तरह, 4 मीटर के विस्थापन का सदिश निरूपण इसकी दिशा के आधार पर 4 मीटर या -4 मीटर होगा, और इसका परिमाण 4 मीटर होगा।

भौतिकी और अभियांत्रिकी में
भौतिक विज्ञान में वेक्टर मौलिक हैं। उनका उपयोग किसी भी मात्रा का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जा सकता है जिसमें परिमाण है, दिशा है, और जो वेक्टर जोड़ के नियमों का पालन करता है। एक उदाहरण वेग है, जिसका परिमाण गति है। उदाहरण के लिए, वेग 5 मीटर प्रति सेकंड ऊपर की ओर सदिश (0, 5) (2 आयामों में 'ऊपर' के रूप में सकारात्मक y-अक्ष के साथ) द्वारा दर्शाया जा सकता है। एक सदिश द्वारा प्रदर्शित एक अन्य राशि बल है, क्योंकि इसमें परिमाण और दिशा होती है और यह सदिश योग के नियमों का पालन करता है। वेक्टर कई अन्य भौतिक मात्राओं का भी वर्णन करते हैं, जैसे रैखिक विस्थापन, विस्थापन, रैखिक त्वरण, कोणीय त्वरण, रैखिक गति और कोणीय गति। अन्य भौतिक सदिश, जैसे विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र, को भौतिक स्थान के प्रत्येक बिंदु पर सदिशों की एक प्रणाली के रूप में दर्शाया जाता है; वह है, एक वेक्टर क्षेत्र। मात्राओं के उदाहरण जिनमें परिमाण और दिशा है, लेकिन वे वेक्टर जोड़ के नियमों का पालन करने में विफल हैं, कोणीय विस्थापन और विद्युत प्रवाह हैं। नतीजतन, ये वेक्टर नहीं हैं।

कार्टेशियन स्पेस में
कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, एक बाध्य वेक्टर को उसके प्रारंभिक और टर्मिनल बिंदु के निर्देशांक की पहचान करके दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, अंक $A = (1, 0, 0)$ तथा $B = (0, 1, 0)$ अंतरिक्ष में बाध्य वेक्टर निर्धारित करें $$\overrightarrow{AB}$$ बिंदु से इशारा करते हुए $x = 1$ x-अक्ष पर बिंदु तक $y = 1$ y-अक्ष पर।

कार्टेशियन निर्देशांक में, एक मुक्त वेक्टर को संबंधित बाध्य वेक्टर के रूप में माना जा सकता है, इस अर्थ में, जिसका प्रारंभिक बिंदु मूल के निर्देशांक हैं $O = (0, 0, 0)$. यह तब उस बाध्य वेक्टर के टर्मिनल बिंदु के निर्देशांक द्वारा निर्धारित किया जाता है। इस प्रकार (1, 0, 0) द्वारा निरूपित मुक्त सदिश इकाई लंबाई का एक सदिश है—जो धनात्मक x-अक्ष की दिशा में इंगित करता है।

मुक्त सदिशों का यह समन्वय निरूपण उनकी बीजीय विशेषताओं को सुविधाजनक संख्यात्मक तरीके से व्यक्त करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, दो (मुक्त) सदिशों (1, 2, 3) और (−2, 0, 4) का योग (मुक्त) सदिश है $$(1, 2, 3) + (-2, 0, 4) = (1-2, 2+0, 3+4) = (-1, 2, 7)\,.$$

यूक्लिडियन और एफाइन वेक्टर
ज्यामितीय और भौतिक समायोजन में, कभी-कभी, प्राकृतिक तरीके से, लंबाई या परिमाण और वेक्टर के लिए एक दिशा को जोड़ना संभव होता है। इसके अलावा, दिशा की धारणा दो वेक्टर के बीच कोण की धारणा से सख्ती से जुड़ी हुई है। यदि दो वेक्टर के डॉट उत्पाद को परिभाषित किया जाता है—दो वेक्टर का एक अदिश-मूल्यवान उत्पाद—तो लंबाई को परिभाषित करना भी संभव है; डॉट उत्पाद दोनों कोण (किसी भी दो गैर-शून्य वेक्टर के बीच डॉट उत्पाद का एक फ़ंक्शन) और लंबाई (एक वेक्टर के डॉट उत्पाद का वर्गमूल) का एक सुविधाजनक बीजगणितीय लक्षण वर्णन देता है। तीन आयामों में, क्रॉस उत्पाद को परिभाषित करना और भी संभव है, जो दो वेक्टर (समानांतर चतुर्भुज के किनारों के रूप में प्रयुक्त) द्वारा परिभाषित समांतर चतुर्भुज के स्थान में क्षेत्र और अभिविन्यास के बीजगणितीय लक्षण वर्णन की आपूर्ति करता है। किसी भी आयाम (और, विशेष रूप से, उच्च आयामों) में, बाहरी उत्पाद को परिभाषित करना संभव है, जो (अन्य बातों के अलावा) n वेक्टर द्वारा परिभाषित n- आयामी समानांतर के अंतरिक्ष में क्षेत्र और अभिविन्यास के बीजगणितीय लक्षण वर्णन की आपूर्ति करता है।

एक छद्म-यूक्लिडियन स्पेस में, एक वेक्टर की वर्ग लंबाई सकारात्मक, नकारात्मक या शून्य हो सकती है। एक महत्वपूर्ण उदाहरण मिंकोव्स्की स्पेस है (जो विशेष सापेक्षता की हमारी समझ के लिए महत्वपूर्ण है)।

हालांकि, वेक्टर की लंबाई को परिभाषित करना हमेशा संभव या वांछनीय नहीं होता है। यह अधिक सामान्य प्रकार का स्थानिक वेक्टर वेक्टर रिक्त स्थान (मुक्त वेक्टर के लिए) और एफ़िन रिक्त स्थान (बाध्य वेक्टर के लिए, जैसा कि प्रत्येक "अंक" की एक जोड़ी द्वारा दर्शाया गया है) का मामला है। एक भौतिक उदाहरण ऊष्मप्रवैगिकी से आता है, जहां अंतरिक्ष में रुचि की कई मात्रा को लंबाई या कोण की धारणा के बिना वेक्टर माना जा सकता है।

सामान्यीकरण
भौतिकी के साथ-साथ गणित में, वेक्टर को अक्सर घटकों के टपल या संख्याओं की सूची के साथ पहचाना जाता है, जो आधार वेक्टर के एक सेट के लिए अदिश गुणांक के रूप में कार्य करता है। जब आधार रूपांतरित होता है, उदाहरण के लिए घूर्णन या खिंचाव द्वारा, तो उस आधार के संदर्भ में किसी भी सदिश के घटक भी विपरीत अर्थ में रूपांतरित होते हैं। वेक्टर स्वयं नहीं बदला है, लेकिन आधार है, इसलिए वेक्टर के घटकों को क्षतिपूर्ति करने के लिए बदलना होगा। सदिश को सहसंयोजक या असंगत कहा जाता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि सदिश के घटकों का परिवर्तन आधार के परिवर्तन से कैसे संबंधित है। सामान्य तौर पर, असंगत वेक्टर दूरी की इकाइयों के साथ नियमित वेक्टर होते हैं (जैसे कि विस्थापन), या किसी अन्य इकाई (जैसे वेग या त्वरण) की दूरी के समय दूसरी ओर, सहसंयोजक वेक्टर में एक से अधिक दूरी की इकाइयाँ होती हैं जैसे कि ढाल। यदि आप इकाइयों (आधार परिवर्तन की एक विशेष स्थिति) को मीटर से मिलीमीटर में बदलते हैं, तो 1/1000 का स्केल फैक्टर, 1 मीटर का विस्थापन 1000 मिमी हो जाता है—संख्यात्मक मान में एक विपरीत परिवर्तन। इसके विपरीत, 1 K/m का एक ग्रेडिएंट 0.001 K/mm हो जाता है—मान में एक सहसंयोजक परिवर्तन (अधिक के लिए, सहप्रसरण और सदिशों का अंतरविरोध देखें)। टेंसर एक अन्य प्रकार की मात्रा है जो इस तरह से व्यवहार करती है, एक वेक्टर एक प्रकार का टेंसर है।

शुद्ध गणित में, एक वेक्टर किसी क्षेत्र में एक वेक्टर स्पेस का कोई भी तत्व होता है और इसे अक्सर एक समन्वय वेक्टर के रूप में दर्शाया जाता है। इस आलेख में वर्णित वेक्टर इस सामान्य परिभाषा का एक बहुत ही खास मामला है, क्योंकि वे परिवेश स्थान के संबंध में विरोधाभासी हैं। विरोधाभास इस विचार के पीछे भौतिक अंतर्ज्ञान को पकड़ता है कि एक वेक्टर में "परिमाण और दिशा" होती है।

अभ्यावेदन
वेक्टर आमतौर पर छोटे अक्षर और मोटे अक्षर में दर्शाए जाते हैं, जैसे कि $$\mathbf{u}$$, $$\mathbf{v}$$तथा $$\mathbf{w}$$ जैसा कि a में है। (बड़े अक्षरों का प्रयोग आम तौर पर मैट्रिस का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है।) अन्य सम्मेलनों में शामिल हैं $$\vec{a}$$ या a, विशेष रूप से हस्तलेखन में। कुछ प्रतीक के नीचे एक टिल्ड (~) या लहराती रेखांकन का उपयोग करते हैं, जैसे $$\underset{^\sim}a$$, जो मोटे अक्षरों को इंगित करने के लिए एक सम्मेलन है। यदि सदिश एक बिंदु A से एक बिंदु B तक एक निर्देशित दूरी या विस्थापन का प्रतिनिधित्व करता है (आकृति देखें), इसे इस रूप में भी दर्शाया जा सकता है $$\stackrel{\longrightarrow}{AB}$$ या AB। जर्मन साहित्य में, विशेष रूप से छोटे फ्रैक्टर अक्षरों वाले वैक्टर का प्रतिनिधित्व करना आम था जैसे कि $$\mathfrak{a}$$.

वेक्टर आमतौर पर ग्राफ़ या अन्य आरेखों में तीर (निर्देशित रेखा खंड) के रूप में दिखाए जाते हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। यहां, बिंदु A को मूल, पूंछ, आधार या प्रारंभिक बिंदु कहा जाता है, और बिंदु B को सिर, सिरा, समापन बिंदु, अंतिम बिंदु या अंतिम बिंदु कहा जाता है। तीर की लंबाई वेक्टर के परिमाण के समानुपाती होती है, जबकि जिस दिशा में तीर इंगित करता है वह वेक्टर की दिशा को इंगित करता है।

द्वि-आयामी आरेख पर, आरेख के तल पर लंबवत एक वेक्टर कभी-कभी वांछित होता है। इन सदिशों को सामान्यतः छोटे वृत्तों के रूप में दिखाया जाता है। इसके केंद्र में एक बिंदु के साथ एक वृत्त (यूनिकोड U+2299 ) एक वेक्टर को इंगित करता है जो आरेख के सामने से दर्शक की ओर इशारा करता है। इसमें एक क्रॉस के साथ एक वृत्त (यूनिकोड U+2297 ) खुदा हुआ है जो आरेख में और पीछे की ओर इशारा करते हुए एक वेक्टर को इंगित करता है। इन्हें एक तीर के सिर की नोक को देखने और पीछे से एक तीर की उड़ानों को देखने के बारे में सोचा जा सकता है।

वेक्टर के साथ गणना करने के लिए, चित्रमय प्रतिनिधित्व बहुत मुश्किल हो सकता है। एक एन-आयामी यूक्लिडियन स्पेस में वेक्टर को कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में समन्वय वेक्टर के रूप में दर्शाया जा सकता है। एक वेक्टर के समापन बिंदु को n वास्तविक संख्याओं (n-tuple) की एक क्रमबद्ध सूची के साथ पहचाना जा सकता है। ये संख्याएं किसी दिए गए कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के संबंध में वेक्टर के समापन बिंदु के निर्देशांक हैं, और आमतौर पर समन्वय प्रणाली के अक्षों पर वेक्टर के 'स्केलर घटक' (या 'स्केलर अनुमान') कहा जाता है।

दो आयामों में एक उदाहरण के रूप में (आकृति देखें), मूल O = (0, 0) से बिंदु A = (2, 3) तक के सदिश को इस प्रकार लिखा जाता है। $$\mathbf{a} = (2,3).$$ यह धारणा कि वेक्टर की पूंछ मूल के साथ मेल खाती है, निहित है और आसानी से समझ में आता है। इस प्रकार, अधिक स्पष्ट संकेतन $$\overrightarrow{OA}$$ आमतौर पर आवश्यक नहीं समझा जाता है (और वास्तव में शायद ही कभी इसका उपयोग किया जाता है)।

त्रिविमीय यूक्लिडियन अंतरिक्ष में (या $R^{3}$), सदिशों को अदिश घटकों के त्रिगुणों से पहचाना जाता है: $$\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3).$$ भी लिखा है, $$\mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z).$$ इसे n-आयामी यूक्लिडियन स्पेस (या .) के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है $R^{n}$). $$\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3, \cdots, a_{n-1}, a_n).$$ इन नंबरों को अक्सर कॉलम वेक्टर या रो वेक्टर में व्यवस्थित किया जाता है, खासकर जब मैट्रिसेस से निपटते हैं, निम्नानुसार है: $$\mathbf{a} = \begin{bmatrix}    a_1\\    a_2\\    a_3\\  \end{bmatrix} =  [ a_1\ a_2\ a_3 ]^{\operatorname{T}}. $$ एन-आयामों में एक वेक्टर का प्रतिनिधित्व करने का दूसरा तरीका मानक आधार वेक्टर पेश करना है। उदाहरण के लिए तीन आयामों में, उनमें से तीन हैं: $${\mathbf e}_1 = (1,0,0),\ {\mathbf e}_2 = (0,1,0),\ {\mathbf e}_3 = (0,0,1).$$ ये एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के क्रमशः x-, y- और z-अक्ष की ओर इशारा करते हुए इकाई लंबाई के वेक्टर के रूप में सहज व्याख्या करते हैं। इनके संदर्भ में, कोई भी सदिश 'a' in $R^{3}$ रूप में व्यक्त किया जा सकता है: $$\mathbf{a} = (a_1,a_2,a_3) = a_1(1,0,0) + a_2(0,1,0) + a_3(0,0,1), \ $$ या $$\mathbf{a} = \mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2 + \mathbf{a}_3 = a_1{\mathbf e}_1 + a_2{\mathbf e}_2 + a_3{\mathbf e}_3,$$ जहाँ एक1, एक2, एक3 a के आधार सदिशों के सदिश घटक (या सदिश अनुमान) कहलाते हैं या, समान रूप से, संगत कार्तीय अक्षों x, y, और z (आंकड़ा देखें) पर, जबकि ' 'एक''1, एक2, एक3 संबंधित अदिश घटक (या अदिश अनुमान) हैं।

प्रारंभिक भौतिकी पाठ्यपुस्तकों में, मानक आधार वेक्टर को अक्सर निरूपित किया जाता है $$\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$$ इसके बजाय (या $$\mathbf{\hat{x}}, \mathbf{\hat{y}}, \mathbf{\hat{z}}$$, जिसमें टोपी का प्रतीक ^ आमतौर पर यूनिट वेक्टर को दर्शाता है)। इस मामले में, अदिश और सदिश घटकों को क्रमशः a . दर्शाया जाता हैx, एकy, एकz, और 'ए'x, एकy, एकz (बोल्डफेस में अंतर नोट करें)। इस प्रकार,

$$\mathbf{a} = \mathbf{a}_x + \mathbf{a}_y + \mathbf{a}_z = a_x{\mathbf i} + a_y{\mathbf j} + a_z{\mathbf k}.$$ संकेतन ईi उच्च स्तरीय गणित, भौतिकी और अभियांत्रिकी में आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले सूचकांक संकेतन और योग सम्मेलन के साथ संगत है।

अपघटन या संकल्प
जैसा कि ऊपर बताया गया है, एक वेक्टर को अक्सर वेक्टर घटकों के एक सेट द्वारा वर्णित किया जाता है जो दिए गए वेक्टर को बनाने के लिए जोड़ते हैं । आमतौर पर, ये घटक परस्पर लंबवत संदर्भ अक्षों (आधार वेक्टर) के एक सेट पर वेक्टर के अनुमान हैं। उस सेट के संबंध में वेक्टर को विघटित या हल किया गया कहा जाता है।

अपघटन या संकल्प घटकों में एक वेक्टर का अद्वितीय नहीं है, क्योंकि यह उन अक्षों की पसंद पर निर्भर करता है जिन पर वेक्टर प्रक्षेपित होता है।

इसके अलावा, कार्तीय इकाई वेक्टर का उपयोग जैसे कि $$\mathbf{\hat{x}}, \mathbf{\hat{y}}, \mathbf{\hat{z}}$$ एक आधार के रूप में जिसमें एक वेक्टर का प्रतिनिधित्व करना अनिवार्य नहीं है। सदिशों को एक मनमाना आधार के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है, जिसमें एक बेलनाकार समन्वय प्रणाली के इकाई वेक्टर भी शामिल हैं ($$\boldsymbol{\hat{\rho}}, \boldsymbol{\hat{\phi}}, \mathbf{\hat{z}}$$) या गोलाकार समन्वय प्रणाली ($$\mathbf{\hat{r}}, \boldsymbol{\hat{\theta}}, \boldsymbol{\hat{\phi}}$$) बाद के दो विकल्प उन समस्याओं को हल करने के लिए अधिक सुविधाजनक हैं जिनमें क्रमशः बेलनाकार या गोलाकार समरूपता होती है।

आधार का चुनाव एक वेक्टर के गुणों या परिवर्तनों के तहत उसके व्यवहार को प्रभावित नहीं करता है।

एक वेक्टर को गैर-निश्चित आधार वाले वेक्टर के संबंध में भी तोड़ा जा सकता है जो समय या स्थान के कार्य के रूप में अपना अभिविन्यास बदलते हैं। उदाहरण के लिए, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक वेक्टर को दो अक्षों के संबंध में विघटित किया जा सकता है, क्रमशः सामान्य, और एक सतह पर स्पर्शरेखा (आकृति देखें)। इसके अलावा, एक वेक्टर के रेडियल और स्पर्शरेखा घटक किसी वस्तु के घूमने की त्रिज्या से संबंधित होते हैं। पूर्व त्रिज्या के समानांतर है और बाद वाला इसके लिए ओर्थोगोनल है। इन मामलों में, प्रत्येक घटक एक निश्चित समन्वय प्रणाली या आधार सेट (जैसे, एक वैश्विक समन्वय प्रणाली, या जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम) के संबंध में विघटित हो सकता है।

मूल गुण
निम्नलिखित खंड आधार वेक्टर के साथ कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का उपयोग करता है $${\mathbf e}_1 = (1,0,0),\ {\mathbf e}_2 = (0,1,0),\ {\mathbf e}_3 = (0,0,1)$$ और मानता है कि सभी सदिशों की उत्पत्ति एक उभयनिष्ठ आधार बिंदु के रूप में होती है। एक सदिश a को के रूप में लिखा जाएगा $${\mathbf a} = a_1{\mathbf e}_1 + a_2{\mathbf e}_2 + a_3{\mathbf e}_3.$$

समानता
दो सदिश समान कहलाते हैं यदि उनके परिमाण और दिशा समान हों। समान रूप से वे समान होंगे यदि उनके निर्देशांक समान हैं। तो दो वेक्टर $${\mathbf a} = a_1{\mathbf e}_1 + a_2{\mathbf e}_2 + a_3{\mathbf e}_3$$ तथा $${\mathbf b} = b_1{\mathbf e}_1 + b_2{\mathbf e}_2 + b_3{\mathbf e}_3$$ बराबर हैं अगर $$a_1 = b_1,\quad a_2=b_2,\quad a_3=b_3.\,$$

विपरीत, समानांतर, और विरोधी समानांतर वेक्टर
दो वेक्टर विपरीत होते हैं यदि उनके समान परिमाण लेकिन विपरीत दिशा होती है। तो दो वेक्टर $${\mathbf a} = a_1{\mathbf e}_1 + a_2{\mathbf e}_2 + a_3{\mathbf e}_3$$ तथा $${\mathbf b} = b_1{\mathbf e}_1 + b_2{\mathbf e}_2 + b_3{\mathbf e}_3$$ विपरीत हैं अगर $$a_1 = -b_1,\quad a_2=-b_2,\quad a_3=-b_3.\,$$ दो वेक्टर समानांतर होते हैं यदि उनकी दिशा समान होती है लेकिन जरूरी नहीं कि समान परिमाण हो, या विपरीत दिशा में विपरीत समानांतर हो, लेकिन जरूरी नहीं कि समान परिमाण हो।

जोड़ और घटाना
अब मान लें कि a और b आवश्यक रूप से समान सदिश नहीं हैं, लेकिन उनके परिमाण और दिशाएँ भिन्न हो सकती हैं। a और b का योग है $$\mathbf{a}+\mathbf{b} =(a_1+b_1)\mathbf{e}_1 +(a_2+b_2)\mathbf{e}_2 +(a_3+b_3)\mathbf{e}_3.$$ तीर a के शीर्ष पर तीर b की पृष्ठभाग पर रखकर, और फिर a की पृष्ठभाग से b के शीर्ष तक तीर खींचकर जोड़ को रेखांकन द्वारा दर्शाया जा सकता है। खींचा गया नया तीर वेक्टर a + b का प्रतिनिधित्व करता है, जैसा कि नीचे दिखाया गया है:

इस जोड़ विधि को कभी-कभी समांतर चतुर्भुज नियम कहा जाता है क्योंकि a और b समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ बनाते हैं और a + b विकर्णों में से एक है। यदि a और b समान आधार बिंदु वाले बद्ध सदिश हैं, तो यह बिंदु भी a + b का आधार बिंदु होगा। कोई ज्यामितीय रूप से जाँच कर सकता है कि a + b = b + a और ( a + b ) + c = a + ( b + c )।

a और b का अंतर है

$$\mathbf{a}-\mathbf{b} =(a_1-b_1)\mathbf{e}_1 +(a_2-b_2)\mathbf{e}_2 +(a_3-b_3)\mathbf{e}_3.$$ दो सदिशों के घटाव को ज्यामितीय रूप से इस प्रकार चित्रित किया जा सकता है: a से b घटाना, a और b की टेल्स को एक ही बिंदु पर रखना, और फिर b के शीर्ष से a के शीर्ष पर एक तीर खींचना। यह नया तीर वेक्टर (-बी) + ए का प्रतिनिधित्व करता है, जिसमें (-बी) बी के विपरीत है, चित्र देखें। और (-बी) + ए = ए - बी।



अदिश गुणन
एक सदिश को वास्तविक संख्या r से गुणा या पुन: स्केल भी किया जा सकता है। पारंपरिक वेक्टर बीजगणित के संदर्भ में, इन वास्तविक संख्याओं को अक्सर स्केलर ( पैमाने से) कहा जाता है ताकि उन्हें वैक्टर से अलग किया जा सके। किसी सदिश को अदिश से गुणा करने की क्रिया को अदिश गुणन कहते हैं। परिणामी वेक्टर है

$$r\mathbf{a}=(ra_1)\mathbf{e}_1 +(ra_2)\mathbf{e}_2 +(ra_3)\mathbf{e}_3.$$ सहज रूप से, एक अदिश r से गुणा करने पर सदिश r के गुणनखंड से खिंच जाता है। ज्यामितीय रूप से, इसकी कल्पना की जा सकती है (कम से कम उस स्थिति में जब r एक पूर्णांक है) वेक्टर की r प्रतियों को एक पंक्ति में रखने के रूप में जहां एक वेक्टर का समापन बिंदु अगले वेक्टर का प्रारंभिक बिंदु होता है।

यदि r ऋणात्मक है, तो सदिश दिशा बदलता है: यह 180° के कोण से घूमता है। दो उदाहरण (r = -1 और r = 2) नीचे दिए गए हैं:

स्केलर गुणन निम्नलिखित अर्थों में वेक्टर जोड़ पर वितरणात्मक है: r ( a + b ) = r a + r b सभी वैक्टर a और b और सभी स्केलर r के लिए। कोई यह भी दिखा सकता है कि a - b = a + (−1) b ।

लंबाई
वेक्टर 'ए' की लंबाई या परिमाण या मानदंड को 'a'‖ या, कम सामान्यतः, |'a'| द्वारा दर्शाया जाता है, जिसे निरपेक्ष मान (एक अदिश मानदंड) के साथ भ्रमित नहीं होना है।

वेक्टर 'ए' की लंबाई की गणना यूक्लिडियन मानदंड के साथ की जा सकती है,

$$\left\|\mathbf{a}\right\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2},$$ जो पायथागॉरियन प्रमेय का परिणाम है क्योंकि आधार सदिश e1, तथा2, तथा3 ओर्थोगोनल यूनिट वेक्टर हैं।

यह अपने साथ वेक्टर के नीचे चर्चा किए गए डॉट उत्पाद के वर्गमूल के बराबर होता है:

$$\left\|\mathbf{a}\right\|=\sqrt{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}.$$

इकाई वेक्टर
एक इकाई वेक्टर कोई भी वेक्टर होता है जिसकी लंबाई एक होती है; आमतौर पर इकाई वेक्टर का उपयोग केवल दिशा को इंगित करने के लिए किया जाता है। एक इकाई वेक्टर बनाने के लिए मनमानी लंबाई के एक वेक्टर को इसकी लंबाई से विभाजित किया जा सकता है। इसे एक वेक्टर को सामान्य करने के रूप में जाना जाता है। एक इकाई वेक्टर को अक्सर एक टोपी के साथ दर्शाया जाता है जैसा कि 'â' में होता है।

एक वेक्टर को सामान्य करने के लिए a = (a1, a2, a3)सदिश को उसकी लंबाई a‖ के व्युत्क्रम से मापें। वह है:

$$\mathbf{\hat{a}} = \frac{\mathbf{a}}{\left\|\mathbf{a}\right\|} = \frac{a_1}{\left\|\mathbf{a}\right\|}\mathbf{e}_1 + \frac{a_2}{\left\|\mathbf{a}\right\|}\mathbf{e}_2 + \frac{a_3}{\left\|\mathbf{a}\right\|}\mathbf{e}_3$$

शून्य वेक्टर
शून्य वेक्टर लंबाई शून्य वाला वेक्टर है। निर्देशांक में लिखा गया, वेक्टर है (0, 0, 0), और यह आमतौर पर निरूपित किया जाता है $$\vec{0}$$, 0, या बस 0। किसी भी अन्य वेक्टर के विपरीत, इसकी एक मनमानी या अनिश्चित दिशा होती है, और इसे सामान्यीकृत नहीं किया जा सकता है (अर्थात, कोई इकाई वेक्टर नहीं है जो शून्य वेक्टर का एक गुणक है)। किसी भी सदिश a के साथ शून्य सदिश का योग होता है a (अर्थात, 0 + a = a).

डॉट उत्पाद
दो वेक्टर 'ए' और 'बी' का डॉट उत्पाद (कभी-कभी आंतरिक उत्पाद कहा जाता है, या, क्योंकि इसका परिणाम एक स्केलर, स्केलर उत्पाद है) को 'ए' ∙ 'बी' द्वारा दर्शाया जाता है और इसे इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} =\left\|\mathbf{a}\right\|\left\|\mathbf{b}\right\|\cos\theta,$$ जहाँ 'a' और 'b' के बीच के कोण का माप है (कोसाइन की व्याख्या के लिए त्रिकोणमितीय फलन देखें)। ज्यामितीय रूप से, इसका मतलब है कि 'a' और 'b' एक सामान्य प्रारंभिक बिंदु के साथ खींचे जाते हैं, और फिर 'a' की लंबाई को 'b' के घटक की लंबाई से गुणा किया जाता है जो 'a' के ​​समान दिशा में इंगित करता है।.

डॉट उत्पाद को प्रत्येक वेक्टर के घटकों के उत्पादों के योग के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है:

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.$$

क्रॉस उत्पाद
क्रॉस उत्पाद (जिसे वेक्टर उत्पाद या बाहरी उत्पाद भी कहा जाता है) केवल तीन या सात-आयामी क्रॉस उत्पाद सात आयामों में सार्थक है। क्रॉस उत्पाद डॉट उत्पाद से मुख्य रूप से इस मायने में भिन्न होता है कि दो वेक्टर के क्रॉस उत्पाद का परिणाम एक वेक्टर होता है। क्रॉस उत्पाद, जिसे 'a' × 'b' कहा जाता है, 'a' और 'b' दोनों के लिए लंबवत एक वेक्टर है और इसे परिभाषित किया गया है।

$$\mathbf{a}\times\mathbf{b} =\left\|\mathbf{a}\right\|\left\|\mathbf{b}\right\|\sin(\theta)\,\mathbf{n}$$ जहां 'a' और 'b' के बीच के कोण का माप है, और 'एन' एक इकाई वेक्टर है जो 'a' और 'b' दोनों के लिए लंबवत है जो दाएं हाथ के नियम को पूरा करता है। दाहिने हाथ की बाधा आवश्यक है क्योंकि दो इकाई वेक्टर मौजूद हैं जो 'a' और 'b' दोनों के लंबवत हैं, अर्थात् 'n' और (-'n')। क्रॉस उत्पाद a× b को परिभाषित किया जाता है ताकि a, b, और a× b भी दाएं हाथ की प्रणाली बन जाए (हालांकि a और b आवश्यक रूप से ऑर्थोगोनल नहीं हैं)। यह दाहिने हाथ का नियम है।

a × b की लंबाई की व्याख्या समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के रूप में की जा सकती है जिसमें a और b भुजाएँ हों।

पार उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है $${\mathbf a}\times{\mathbf b} = (a_2 b_3 - a_3 b_2) {\mathbf e}_1 + (a_3 b_1 - a_1 b_3) {\mathbf e}_2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1) {\mathbf e}_3.$$ स्थानिक अभिविन्यास के मनमाने विकल्पों के लिए (अर्थात, बाएं हाथ के साथ-साथ दाएं हाथ के समन्वय प्रणालियों के लिए अनुमति देना) दो वेक्टर का क्रॉस उत्पाद एक वेक्टर के बजाय एक छद्मवेक्टर है (नीचे देखें)।

स्केलर त्रिपक्षीय उत्पाद
स्केलर त्रिपक्षीय उत्पाद (जिसे बॉक्स उत्पाद या मिश्रित ट्रिपल उत्पाद भी कहा जाता है) वास्तव में एक नया प्रचालक नहीं है, बल्कि अन्य दो गुणन प्रचालकों को तीन वेक्टरों पर लागू करने का एक तरीका है। अदिश त्रिगुण उत्पाद को कभी-कभी ('a' 'b' 'c') द्वारा निरूपित किया जाता है और इस प्रकार परिभाषित किया जाता है।

$$(\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c}) =\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}).$$ इसके तीन प्राथमिक उपयोग हैं। सबसे पहले, बॉक्स उत्पाद का निरपेक्ष मान समानांतर चतुर्भुज का आयतन है जिसमें किनार होते हैं जो तीन वेक्टर द्वारा परिभाषित होते हैं। दूसरा, स्केलर ट्रिपल उत्पाद शून्य है यदि और केवल तभी तीन वेक्टर रैखिक रूप से निर्भर हैं, जिसे आसानी से यह माना जा सकता है कि तीन वेक्टरों को वॉल्यूम नहीं बनाने के लिए, वे सभी वे सभी एक ही स्पेस में नहीं  हैं। तीसरा, बॉक्स उत्पाद सकारात्मक है यदि और केवल अगर तीन वेक्टर a, b और c दाएं हाथ के हैं।

घटकों में (दाहिने हाथ के ऑर्थोनॉर्मल आधार के संबंध में), यदि तीन वेक्टर को पंक्तियों (या कॉलम, लेकिन एक ही क्रम में) के रूप में माना जाता है, तो स्केलर ट्रिपल उत्पाद केवल 3- का निर्धारक होता है। बाय-3 मैट्रिक्स जिसमें तीन वेक्टर पंक्तियों के रूप में होते हैं। $$(\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c})=\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \end{vmatrix}$$ स्केलर ट्रिपल उत्पाद तीनों प्रविष्टियों में रैखिक है और निम्नलिखित अर्थों में विरोधी सममित है: $$ (\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c}) = (\mathbf{c}\ \mathbf{a}\ \mathbf{b}) = (\mathbf{b}\ \mathbf{c}\ \mathbf{a})= -(\mathbf{a}\ \mathbf{c}\ \mathbf{b}) = -(\mathbf{b}\ \mathbf{a}\ \mathbf{c}) = -(\mathbf{c}\ \mathbf{b}\ \mathbf{a}).$$

एकाधिक कार्टेशियन आधारों के बीच रूपांतरण
अब तक के सभी उदाहरणों में एक ही आधार के रूप में व्यक्त सदिशों का वर्णन किया गया है, अर्थात् e आधार {'e'1, e2, e3}. हालांकि, एक वेक्टर को किसी भी संख्या में विभिन्न आधारों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जो जरूरी नहीं कि एक दूसरे के साथ संरेखित हों, और फिर भी वही वेक्टर बने रहें। ई आधार में, एक सदिश 'a' को परिभाषा के अनुसार, इस प्रकार व्यक्त किया जाता है।

$$\mathbf{a} = p\mathbf{e}_1 + q\mathbf{e}_2 + r\mathbf{e}_3.$$ e आधार में अदिश घटक हैं, परिभाषा के अनुसार,

$$\begin{align} p &= \mathbf{a}\cdot\mathbf{e}_1, \\ q &= \mathbf{a}\cdot\mathbf{e}_2, \\ r &= \mathbf{a}\cdot\mathbf{e}_3. \end{align}$$ एक अन्य सामान्य आधार पर n = { n 1, n 2, n 3 } जो आवश्यक रूप से e के साथ संरेखित नहीं है, सदिश a को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है।

$$\mathbf{a} = u\mathbf{n}_1 + v\mathbf{n}_2 + w\mathbf{n}_3$$ और n आधार में अदिश घटक हैं, परिभाषा के अनुसार,

$$\begin{align} u &= \mathbf{a}\cdot\mathbf{n}_1, \\ v &= \mathbf{a}\cdot\mathbf{n}_2, \\ w &= \mathbf{a}\cdot\mathbf{n}_3. \end{align}$$ p, q, r, और u, v, w के मान इकाई सदिशों से इस प्रकार संबंधित हैं कि परिणामी सदिश योग दोनों स्थितियों में बिल्कुल समान भौतिक सदिश 'a' है। विभिन्न आधारों के संदर्भ में ज्ञात वेक्टरों का सामना करना आम है (उदाहरण के लिए, एक आधार पृथ्वी के लिए तय किया गया है और दूसरा एक चलती वाहन के लिए तय किया गया है)। ऐसे मामले में आधारों के बीच परिवर्तित करने के लिए एक विधि विकसित करना आवश्यक है ताकि मूल वेक्टर संचालन जैसे जोड़ और घटाव का प्रदर्शन किया जा सके। u, v, w को p, q, r के रूप में व्यक्त करने का एक तरीका है कॉलम मैट्रिसेस का उपयोग एक दिशा कोसाइन मैट्रिक्स के साथ जिसमें दो आधारों से संबंधित जानकारी होती है। ऐसा व्यंजक उपरोक्त समीकरणों को प्रतिस्थापित करके बनाया जा सकता है।

$$\begin{align} u &= (p\mathbf{e}_1 + q\mathbf{e}_2 + r\mathbf{e}_3)\cdot\mathbf{n}_1, \\ v &= (p\mathbf{e}_1 + q\mathbf{e}_2 + r\mathbf{e}_3)\cdot\mathbf{n}_2, \\ w &= (p\mathbf{e}_1 + q\mathbf{e}_2 + r\mathbf{e}_3)\cdot\mathbf{n}_3. \end{align}$$ डॉट-गुणा का वितरण देता है।

$$\begin{align} u &= p\mathbf{e}_1\cdot\mathbf{n}_1 + q\mathbf{e}_2\cdot\mathbf{n}_1 + r\mathbf{e}_3\cdot\mathbf{n}_1, \\ v &= p\mathbf{e}_1\cdot\mathbf{n}_2 + q\mathbf{e}_2\cdot\mathbf{n}_2 + r\mathbf{e}_3\cdot\mathbf{n}_2, \\ w &= p\mathbf{e}_1\cdot\mathbf{n}_3 + q\mathbf{e}_2\cdot\mathbf{n}_3 + r\mathbf{e}_3\cdot\mathbf{n}_3. \end{align}$$ प्रत्येक डॉट उत्पाद को एक अद्वितीय स्केलर के साथ बदलना देता है।

$$\begin{align} u &= c_{11}p + c_{12}q + c_{13}r, \\ v &= c_{21}p + c_{22}q + c_{23}r, \\ w &= c_{31}p + c_{32}q + c_{33}r, \end{align}$$ और इन समीकरणों को एकल मैट्रिक्स समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

$$\begin{bmatrix} u \\ v \\ w \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p \\ q \\ r \end{bmatrix}.$$ यह मैट्रिक्स समीकरण 'n' आधार (u', v, और w) में a के अदिश घटकों को e आधार () से संबंधित करता है पी ,  क्यू , और  आर )। प्रत्येक मैट्रिक्स तत्व सीjk n . से संबंधित दिशा कोज्या हैj फिरk. दिशा कोसाइन शब्द दो इकाई वेक्टर के बीच के कोण के कोसाइन को संदर्भित करता है, जो उनके डॉट उत्पाद के बराबर भी है। इसलिए,

$$\begin{align} c_{11} &= \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{e}_1 \\ c_{12} &= \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{e}_2 \\ c_{13} &= \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{e}_3 \\ c_{21} &= \mathbf{n}_2\cdot\mathbf{e}_1 \\ c_{22} &= \mathbf{n}_2\cdot\mathbf{e}_2 \\ c_{23} &= \mathbf{n}_2\cdot\mathbf{e}_3 \\ c_{31} &= \mathbf{n}_3\cdot\mathbf{e}_1 \\ c_{32} &= \mathbf{n}_3\cdot\mathbf{e}_2 \\ c_{33} &= \mathbf{n}_3\cdot\mathbf{e}_3 \end{align}$$ e. को सामूहिक रूप से संदर्भित करके1,e2, e3 e आधार के रूप में और 'n' के n1, n2, n3 n आधार के रूप में, मैट्रिक्स जिसमें सभी c. हैंjk को e से n' में परिवर्तन मैट्रिक्स के रूप में जाना जाता है, या e से n तक रोटेशन मैट्रिक्स के रूप में जाना जाता है (क्योंकि इसे एक आधार से एक वेक्टर के घूर्णन के रूप में कल्पना की जा सकती है) दूसरे के लिए), या दिशा कोसाइन मैट्रिक्स e से n तक (क्योंकि इसमें दिशा कोसाइन होते हैं)। एक रोटेशन मैट्रिक्स के गुण ऐसे होते हैं कि इसका व्युत्क्रम इसके स्थानान्तरण के बराबर होता है। इसका अर्थ यह है कि e से n तक का रोटेशन मैट्रिक्स n से e तक रोटेशन मैट्रिक्स का स्थानान्तरण है।

एक दिशा कोसाइन मैट्रिक्स, सी के गुण हैं:
 * निर्धारक एकता है, |सी| = 1;
 * व्युत्क्रम स्थानान्तरण के बराबर है;
 * पंक्तियाँ और स्तंभ ओर्थोगोनल यूनिट वेक्टर हैं, इसलिए उनके डॉट उत्पाद शून्य हैं।

इस पद्धति का लाभ यह है कि एक दिशा कोसाइन मैट्रिक्स आमतौर पर दो वेक्टर आधारों को जोड़ने के लिए यूलर कोण या एक चतुर्भुज का उपयोग करके स्वतंत्र रूप से प्राप्त किया जा सकता है, इसलिए ऊपर वर्णित सभी डॉट उत्पादों को काम किए बिना आधार रूपांतरण सीधे किया जा सकता है।.

उत्तराधिकार में कई मैट्रिक्स गुणन लागू करके, किसी भी वेक्टर को किसी भी आधार पर व्यक्त किया जा सकता है जब तक कि दिशा कोसाइन का सेट क्रमिक आधारों से संबंधित हो।

अन्य आयाम
क्रॉस और ट्रिपल उत्पादों के अपवाद के साथ, उपरोक्त सूत्र दो आयामों और उच्च आयामों को सामान्यीकृत करते हैं। उदाहरण के लिए, जोड़ दो आयामों को सामान्यीकृत करता है: $$(a_1{\mathbf e}_1 + a_2{\mathbf e}_2)+(b_1{\mathbf e}_1 + b_2{\mathbf e}_2) = (a_1+b_1){\mathbf e}_1 + (a_2+b_2){\mathbf e}_2,$$ और चार आयामों में के रूप में $$\begin{align} (a_1{\mathbf e}_1 + a_2{\mathbf e}_2 + a_3{\mathbf e}_3 + a_4{\mathbf e}_4) &+ (b_1{\mathbf e}_1 + b_2{\mathbf e}_2 + b_3{\mathbf e}_3 + b_4{\mathbf e}_4) =\\ (a_1+b_1){\mathbf e}_1 + (a_2+b_2){\mathbf e}_2 &+ (a_3+b_3){\mathbf e}_3 + (a_4+b_4){\mathbf e}_4. \end{align}$$ क्रॉस उत्पाद अन्य आयामों के लिए आसानी से सामान्यीकरण नहीं करता है, हालांकि निकट से संबंधित बाहरी उत्पाद करता है, जिसका परिणाम एक द्विभाजक है। दो आयामों में यह केवल एक स्यूडोस्केलर है। $$(a_1{\mathbf e}_1 + a_2{\mathbf e}_2)\wedge(b_1{\mathbf e}_1 + b_2{\mathbf e}_2) = (a_1 b_2 - a_2 b_1)\mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2.$$ एक सात-आयामी क्रॉस उत्पाद क्रॉस उत्पाद के समान है जिसमें इसका परिणाम दो तर्कों के लिए एक वेक्टर ऑर्थोगोनल है; हालांकि ऐसे संभावित उत्पादों में से किसी एक को चुनने का कोई स्वाभाविक तरीका नहीं है।

भौतिकी
भौतिकी और अन्य विज्ञानों में वेक्टर के कई उपयोग हैं।

लंबाई और इकाइयाँ
अमूर्त वेक्टर रिक्त स्थान में, तीर की लंबाई एक आयाम रहित पैमाने पर निर्भर करती है। यदि यह प्रतिनिधित्व करता है, उदाहरण के लिए, एक बल, पैमाना भौतिक आयाम लंबाई/बल का है। इस प्रकार आम तौर पर समान आयाम की मात्राओं के बीच पैमाने में एकरूपता होती है, लेकिन अन्यथा पैमाने के अनुपात भिन्न हो सकते हैं; उदाहरण के लिए, यदि 1 न्यूटन और 5 मीटर दोनों को 2 सेमी के तीर से दर्शाया जाता है, तो तराजू क्रमशः 1 मीटर:50 एन और 1:250 हैं। विभिन्न आयामों के वेक्टरों की समान लंबाई का कोई विशेष महत्व नहीं है जब तक कि सिस्टम में निहित कुछ आनुपातिकता स्थिरांक न हो जो कि आरेख का प्रतिनिधित्व करता है। इसके अलावा एक इकाई वेक्टर की लंबाई (आयाम की लंबाई, लंबाई/बल, आदि नहीं) का कोई समन्वय-प्रणाली-अपरिवर्तनीय महत्व नहीं है।

वेक्टर-मूल्यवान कार्य
अक्सर भौतिकी और गणित के क्षेत्रों में, एक सदिश समय के साथ विकसित होता है, जिसका अर्थ है कि यह एक समय पैरामीटर t पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, यदि 'r' किसी कण की स्थिति सदिश का प्रतिनिधित्व करता है, तो 'r'(t) कण के प्रक्षेप पथ का एक पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व देता है। वेक्टर-मूल्यवान कार्यों को वेक्टर के घटकों को विभेदित या एकीकृत करके विभेदित और एकीकृत किया जा सकता है, और कैलकुस से कई परिचित नियम वेक्टर-मूल्यवान कार्यों के व्युत्पन्न और अभिन्न के लिए जारी हैं।

स्थिति, वेग और त्वरण
एक बिंदु x की स्थिति = (x1, एक्स2, एक्स3) त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक स्थिति वेक्टर के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है जिसका आधार बिंदु मूल है। $${\mathbf x} = x_1 {\mathbf e}_1 + x_2{\mathbf e}_2 + x_3{\mathbf e}_3.$$ स्थिति वेक्टर में लंबाई के आयाम होते हैं।

दो बिंदुओं x = ( x 1, x 2, x 3 ), y = ( y 1, y 2, y 3 ) को देखते हुए उनका विस्थापन एक सदिश है। $${\mathbf y}-{\mathbf x}=(y_1-x_1){\mathbf e}_1 + (y_2-x_2){\mathbf e}_2 + (y_3-x_3){\mathbf e}_3.$$ जो x के सापेक्ष y की स्थिति निर्दिष्ट करता है। इस वेक्टर की लंबाई x से y तक सीधी रेखा की दूरी देती है। विस्थापन की लंबाई के आयाम हैं।

किसी बिंदु या कण का वेग 'v' एक सदिश है, इसकी लंबाई गति देती है। अचर वेग के लिए समय t पर स्थिति होगी $${\mathbf x}_t= t {\mathbf v} + {\mathbf x}_0,$$ जहाँ x 0 समय t = 0 पर स्थिति है। वेग स्थिति का समय व्युत्पन्न है। इसके आयाम लंबाई/समय हैं।

एक बिंदु का त्वरण एक सदिश है जो वेग का समय व्युत्पन्न है। इसके आयाम लंबाई/समय 2 हैं।

बल, ऊर्जा, कार्य
बल द्रव्यमान × लंबाई/समय के आयामों वाला एक सदिश है2 और न्यूटन का दूसरा नियम अदिश गुणन है $${\mathbf F} = m{\mathbf a}$$ कार्य बल और विस्थापन का बिंदु गुणनफल है $$E = {\mathbf F} \cdot ({\mathbf x}_2 - {\mathbf x}_1).$$

वेक्टर, स्यूडोवेक्टर, और ट्रांसफॉर्मेशन
यूक्लिडियन वेक्टर का एक वैकल्पिक लक्षण वर्णन, विशेष रूप से भौतिकी में, उन्हें उन मात्राओं की सूची के रूप में वर्णित करता है जो एक समन्वय परिवर्तन के तहत एक निश्चित तरीके से व्यवहार करते हैं। एक प्रति परिवर्ती वेक्टर में ऐसे घटक होने चाहिए जो आधार के परिवर्तन के तहत आधार के विपरीत रूपांतरित हों। आधार बदलने पर वेक्टर स्वयं नहीं बदलता है; इसके बजाय, वेक्टर के घटक एक परिवर्तन करते हैं जो आधार में परिवर्तन को रद्द कर देता है। दूसरे शब्दों में, यदि संदर्भ कुल्हाड़ियों (और इससे प्राप्त आधार) को एक दिशा में घुमाया जाता है, तो वेक्टर का घटक प्रतिनिधित्व उसी अंतिम वेक्टर को उत्पन्न करने के लिए विपरीत तरीके से घूमेगा। इसी तरह, यदि संदर्भ कुल्हाड़ियों को एक दिशा में बढ़ाया जाता है, तो वेक्टर के घटक बिल्कुल क्षतिपूर्ति तरीके से कम हो जाएंगे। गणितीय रूप से, यदि आधार एक इनवर्टिबल मैट्रिक्स एम द्वारा वर्णित परिवर्तन से गुजरता है, ताकि एक समन्वय वेक्टर 'x' में परिवर्तित हो जाए x′ = Mx, तो एक प्रति परिवर्ती वेक्टर v को इसी तरह से बदलना चाहिए v′ = M$^{-1}$v. यह महत्वपूर्ण आवश्यकता वह है जो एक प्रति परिवर्ती वेक्टर को भौतिक रूप से सार्थक मात्रा के किसी भी अन्य ट्रिपल से अलग करती है। उदाहरण के लिए, यदि v में वेग के x, y और z-घटक शामिल हैं, तो v एक विपरीत वेक्टर है: यदि अंतरिक्ष के निर्देशांक खिंचे हुए, घुमाए गए या मुड़े हुए हैं, तो वेग के घटक उसी तरह बदल जाते हैं. दूसरी ओर, उदाहरण के लिए, एक आयताकार बॉक्स की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई से मिलकर एक ट्रिपल एक अमूर्त वेक्टर के तीन घटक बना सकता है, लेकिन यह वेक्टर विपरीत नहीं होगा, क्योंकि बॉक्स को घुमाने से नहीं बदलता है बॉक्स की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई। विरोधाभासी वेक्टर के उदाहरणों में विस्थापन, वेग, विद्युत क्षेत्र, संवेग, बल और त्वरण शामिल हैं।

डिफरेंशियल ज्योमेट्री की भाषा में, एक वेक्टर के घटकों को कोऑर्डिनेट ट्रांजिशन के समान मैट्रिक्स के अनुसार बदलने की आवश्यकता एक कॉन्ट्रावेरिएंट वेक्टर को कॉन्ट्रावेरिएंट रैंक वन के टेंसर के रूप में परिभाषित करने के बराबर है। वैकल्पिक रूप से, एक प्रति परिवर्ती वेक्टर को एक स्पर्शरेखा वेक्टर के रूप में परिभाषित किया जाता है, और एक प्रति परिवर्ती वेक्टर को बदलने के नियम श्रृंखला नियम से अनुसरण करते हैं।

कुछ वेक्टर प्रति परिवर्ती वेक्टर की तरह रूपांतरित होते हैं, सिवाय इसके कि जब वे दर्पण के माध्यम से परावर्तित होते हैं, तो वे पलट जाते हैं और एक ऋण चिह्न प्राप्त करते हैं। एक परिवर्तन जो दाएं हाथ को बाएं हाथ में बदलता है और इसके विपरीत दर्पण की तरह स्पेस के उन्मुखीकरण को बदलने के लिए कहा जाता है। एक सदिश जो स्पेस के उन्मुखीकरण में परिवर्तन होने पर एक ऋण चिह्न प्राप्त करता है उसे छद्मवेक्टर या अक्षीय वेक्टर कहा जाता है। साधारण वेक्टर को कभी-कभी सच्चे वेक्टर या ध्रुवीय वेक्टर कहा जाता है ताकि उन्हें छद्मवेक्टर से अलग किया जा सके। स्यूडोवेक्टर अक्सर दो साधारण वेक्टर के क्रॉस उत्पाद के रूप में होते हैं।

स्यूडोवेक्टर का एक उदाहरण कोणीय वेग है । एक कार में ड्राइविंग, और आगे की ओर देखते हुए, प्रत्येक पहिए में एक कोणीय वेग वेक्टर होता है जो बाईं ओर इंगित करता है। यदि दुनिया एक दर्पण में परिलक्षित होती है जो कार के बाईं और दाईं ओर स्विच करती है, तो इस कोणीय वेग वेक्टर का प्रतिबिंब दाईं ओर इंगित करता है, लेकिन पहिया का actual कोणीय वेग वेक्टर अभी भी बाईं ओर इंगित करता है, जो ऋण के अनुरूप है संकेत। स्यूडोवेक्टर के अन्य उदाहरणों में चुंबकीय क्षेत्र, टोक़, या अधिक सामान्यतः दो (सच्चे) वैक्टर के क्रॉस उत्पाद शामिल हैं।

वैक्टर और स्यूडोवेक्टर के बीच के इस अंतर को अक्सर नजरअंदाज कर दिया जाता है, लेकिन यह समरूपता गुणों के अध्ययन में महत्वपूर्ण हो जाता है। समता (भौतिकी) देखें।

यह भी देखें

 * एफ़िन स्पेस, जो वैक्टर और पॉइंट्स के बीच अंतर करता है
 * सरणी डेटा संरचना या वेक्टर (कंप्यूटर विज्ञान)
 * बनच स्पेस
 * क्लिफोर्ड बीजगणित
 * जटिल संख्या
 * निर्देशांक तरीका
 * सहप्रसरण और सदिशों का अंतर्विरोध
 * चार-सदिश, मिंकोव्स्की अंतरिक्ष में एक गैर-यूक्लिडियन वेक्टर (यानी चार-आयामी स्पेसटाइम), सापेक्षता में महत्वपूर्ण
 * फंक्शन स्पेस
 * ग्रासमैन का ऑस्डेनुंगस्लेहर
 * हिल्बर्ट स्पेस
 * सामान्य वेक्टर
 * शून्य वेक्टर
 * स्थिति (ज्यामिति)
 * स्यूडोवेक्टर
 * चतुर्भुज
 * स्पर्शरेखा और सामान्य घटक (एक वेक्टर के)
 * टेंसर
 * इकाई वेक्टर
 * वेक्टर बंडल
 * वेक्टर पथरी
 * वेक्टर संकेतन
 * वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन

बाहरी संबंध

 * Online vector identities (PDF)
 * Introducing Vectors A conceptual introduction (applied mathematics)
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