स्थानीय क्षेत्र

गणित में, एक फ़ील्ड (गणित) K को (गैर-आर्किमिडीयन) 'स्थानीय फ़ील्ड' कहा जाता है, यदि यह एक अलग मूल्यांकन v से प्रेरित टोपोलॉजी के संबंध में पूर्ण मीट्रिक स्थान है और यदि मूल्यांकन k का इसका अवशेष क्षेत्र परिमित है। समान रूप से, एक स्थानीय क्षेत्र एक असतत स्थान | गैर-असतत टोपोलॉजी के संबंध में एक स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल क्षेत्र है। कभी-कभी, वास्तविक संख्या आर, और जटिल संख्या सी (उनके मानक टोपोलॉजी के साथ) को स्थानीय फ़ील्ड के रूप में भी परिभाषित किया जाता है; यह वह सम्मेलन है जिसे हम नीचे अपनाएंगे। एक स्थानीय क्षेत्र को देखते हुए, उस पर परिभाषित मूल्यांकन (बीजगणित) दो प्रकार का हो सकता है, प्रत्येक दो मूल प्रकार के स्थानीय क्षेत्रों में से एक से मेल खाता है: वे जिनमें मूल्यांकन आर्किमिडीयन संपत्ति है और वे जिनमें यह नहीं है. पहले मामले में, कोई स्थानीय क्षेत्र को आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र कहता है, दूसरे मामले में, कोई इसे गैर-आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र कहता है। संख्या सिद्धांत में वैश्विक क्षेत्रों की पूर्णता के रूप में स्थानीय क्षेत्र स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं।

जबकि आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र कम से कम 250 वर्षों से गणित में काफी प्रसिद्ध हैं, गैर-आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्रों के पहले उदाहरण, सकारात्मक अभाज्य पूर्णांक पी के लिए पी-एडिक संख्याओं के क्षेत्र, कर्ट हेंसल द्वारा के अंत में पेश किए गए थे। 19 वीं सदी।

प्रत्येक स्थानीय क्षेत्र निम्नलिखित में से किसी एक के लिए समरूपी (एक टोपोलॉजिकल क्षेत्र के रूप में) है:


 * आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र (विशेषता (बीजगणित) शून्य): वास्तविक संख्या आर, और जटिल संख्या सी।
 * विशेषता शून्य के गैर-आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र: पी-एडिक संख्या के परिमित विस्तार|पी-एडिक संख्याएं क्यूp (जहाँ p कोई अभाज्य संख्या है)।
 * विशेषता पी के गैर-आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र (किसी भी अभाज्य संख्या पी के लिए): औपचारिक लॉरेंट श्रृंखला 'एफ' का क्षेत्रq((T)) एक परिमित क्षेत्र 'F' परq, जहां q, p का घातांक है।

विशेष रूप से, संख्या सिद्धांत में महत्व, स्थानीय क्षेत्रों की कक्षाएं उनके अधिकतम आदर्शों में से एक के अनुरूप उनके असतत मूल्यांकन के संबंध में बीजगणितीय संख्या क्षेत्रों की पूर्णता के रूप में दिखाई देती हैं। आधुनिक संख्या सिद्धांत में शोध पत्र अक्सर एक अधिक सामान्य धारणा पर विचार करते हैं, जिसके लिए केवल यह आवश्यक है कि अवशेष क्षेत्र सकारात्मक विशेषता का पूर्ण क्षेत्र हो, जरूरी नहीं कि सीमित हो। यह आलेख पूर्व परिभाषा का उपयोग करता है।

प्रेरित निरपेक्ष मान
फ़ील्ड K पर ऐसे निरपेक्ष मान को देखते हुए, निम्नलिखित टोपोलॉजी को K पर परिभाषित किया जा सकता है: एक सकारात्मक वास्तविक संख्या m के लिए, उपसमुच्चय B को परिभाषित करेंm के द्वारा
 * $$B_m:=\{ a\in K:|a|\leq m\}.$$

फिर, बी+बीm K में b का पड़ोस आधार बनाएं।

इसके विपरीत, गैर-अलग-अलग स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट टोपोलॉजी वाले एक टोपोलॉजिकल क्षेत्र में इसकी टोपोलॉजी को परिभाषित करने वाला एक पूर्ण मूल्य होता है। इसका निर्माण क्षेत्र के हार माप (गणित)#क्षेत्र की बीजगणितीय संरचनाओं का उपयोग करके किया जा सकता है।

गैर-आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्रों की बुनियादी विशेषताएं
एक गैर-आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र F के लिए (|·| द्वारा दर्शाए गए निरपेक्ष मान के साथ), निम्नलिखित वस्तुएं महत्वपूर्ण हैं:
 * यह 'पूर्णांकों का वलय' है $$\mathcal{O} = \{a\in F: |a|\leq 1\}$$ जो एक अलग मूल्यांकन रिंग है, एफ की बंद इकाई गेंद है, और सघन स्थान  है;
 * इसके पूर्णांकों के वलय में 'इकाइयाँ' $$\mathcal{O}^\times = \{a\in F: |a|= 1\}$$ जो एक समूह (गणित) बनाता है और F का इकाई क्षेत्र है;
 * अद्वितीय गैर-शून्य प्रधान आदर्श $$\mathfrak{m}$$ इसके पूर्णांकों के वलय में जो इसकी खुली इकाई गेंद है $$\{a\in F: |a|< 1\}$$;
 * एक प्रमुख आदर्श $$\varpi$$ का $$\mathfrak{m}$$ का एकरूपकारक कहा जाता है $$F$$;
 * इसका अवशेष क्षेत्र $$k=\mathcal{O}/\mathfrak{m}$$ जो परिमित है (चूँकि यह सघन और असतत स्थान है)।

F के प्रत्येक गैर-शून्य तत्व a को a = ϖ के रूप में लिखा जा सकता हैnu के साथ आपके पास एक इकाई है, और n के साथ एक अद्वितीय पूर्णांक है। F का 'सामान्यीकृत मूल्यांकन' विशेषण फलन v : F → 'Z' ∪ {∞} है जिसे अद्वितीय पूर्णांक n पर एक गैर-शून्य a भेजकर परिभाषित किया गया है जैसे कि a = ϖnu के साथ u एक इकाई, और 0 को ∞ भेजकर। यदि q अवशेष क्षेत्र की प्रमुखता है, तो स्थानीय क्षेत्र के रूप में इसकी संरचना से प्रेरित F पर निरपेक्ष मान इस प्रकार दिया गया है:
 * $$|a|=q^{-v(a)}.$$

गैर-आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र की एक समतुल्य और बहुत महत्वपूर्ण परिभाषा यह है कि यह एक ऐसा क्षेत्र है जो पूर्ण मूल्यवान क्षेत्र है और जिसका अवशेष क्षेत्र परिमित है।

उदाहरण

 * 1) पी-एडिक संख्याएँ: क्यू के पूर्णांकों का वलयp पी-एडिक पूर्णांकों का वलय 'Z' हैp. इसका प्रमुख आदर्श p'Z' हैp और इसका अवशेष क्षेत्र Z/pZ है। Q का प्रत्येक गैर-शून्य तत्वp यू पी के रूप में लिखा जा सकता हैn जहां 'Z' में u एक इकाई हैp और n एक पूर्णांक है, तो v(u pn) = n सामान्यीकृत मूल्यांकन के लिए।
 * 2) 'एक परिमित क्षेत्र पर औपचारिक लॉरेंट श्रृंखला': 'एफ' के पूर्णांक की अंगूठीq((T)) औपचारिक शक्ति श्रृंखला 'F' का वलय हैq T  . इसका अधिकतम आदर्श (T) है (अर्थात शक्ति श्रृंखला जिसका स्थिर पद शून्य है) और इसका अवशेष क्षेत्र 'F' हैq. इसका सामान्यीकृत मूल्यांकन औपचारिक लॉरेंट श्रृंखला की (निचली) डिग्री से निम्नानुसार संबंधित है:
 * $$v\left(\sum_{i=-m}^\infty a_iT^i\right) = -m$$ (जहाँ एक&minus;m गैर-शून्य है)।
 * 1) सम्मिश्र संख्याओं पर औपचारिक लॉरेंट श्रृंखला कोई स्थानीय क्षेत्र नहीं है। उदाहरण के लिए, इसका अवशेष क्षेत्र 'C' T  /(T) = 'C' है, जो परिमित नहीं है।

  उच्च इकाई समूह
तब गैर-आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र का उच्च इकाई समूह एफ'' है
 * $$U^{(n)}=1+\mathfrak{m}^n=\left\{u\in\mathcal{O}^\times:u\equiv1\, (\mathrm{mod}\,\mathfrak{m}^n)\right\}$$

n ≥ 1 के लिए. समूह U(1)प्रधान इकाइयों के समूह को कहते हैं तथा इसके किसी भी तत्व को प्रधान इकाई कहते हैं। पूर्ण इकाई समूह $$\mathcal{O}^\times$$ यू से दर्शाया जाता है(0).

उच्च इकाई समूह इकाई समूह का घटता हुआ निस्पंदन (गणित) बनाते हैं
 * $$\mathcal{O}^\times\supseteq U^{(1)}\supseteq U^{(2)}\supseteq\cdots$$

जिसका भागफल समूह द्वारा दिया गया है
 * $$\mathcal{O}^\times/U^{(n)}\cong\left(\mathcal{O}/\mathfrak{m}^n\right)^\times\text{ and }\,U^{(n)}/U^{(n+1)}\approx\mathcal{O}/\mathfrak{m}$$

n ≥ 1 के लिए. (यहाँ$$\approx$$इसका मतलब एक गैर-विहित समरूपता है।)

इकाई समूह की संरचना
गैर-आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र F के गैर-शून्य तत्वों का गुणक समूह समरूपी है
 * $$F^\times\cong(\varpi)\times\mu_{q-1}\times U^{(1)}$$

जहां q अवशेष क्षेत्र का क्रम है, और μq−1 एकता (F में) की (q−1)st जड़ों का समूह है। एबेलियन समूह के रूप में इसकी संरचना इसकी विशेषता (बीजगणित) पर निर्भर करती है:
 * यदि F में सकारात्मक विशेषता p है, तो
 * $$F^\times\cong\mathbf{Z}\oplus\mathbf{Z}/{(q-1)}\oplus\mathbf{Z}_p^\mathbf{N}$$
 * जहाँ N प्राकृतिक संख्याओं को दर्शाता है;


 * यदि F में विशेषता शून्य है (अर्थात यह Q का एक सीमित विस्तार हैp डिग्री का d), फिर
 * $$F^\times\cong\mathbf{Z}\oplus\mathbf{Z}/(q-1)\oplus\mathbf{Z}/p^a\oplus\mathbf{Z}_p^d$$
 * जहाँ a ≥ 0 को परिभाषित किया गया है ताकि F में एकता की p-शक्ति जड़ों का समूह हो $$\mu_{p^a}$$.

स्थानीय क्षेत्रों का सिद्धांत
इस सिद्धांत में स्थानीय क्षेत्रों के प्रकारों का अध्ययन, हेंसल के लेम्मा का उपयोग करके स्थानीय क्षेत्रों का विस्तार, स्थानीय क्षेत्रों के गैलोइस विस्तार, स्थानीय क्षेत्रों के गैलोइस समूहों के प्रभाव समूह निस्पंदन, स्थानीय क्षेत्रों पर मानक मानचित्र का व्यवहार, स्थानीय पारस्परिक समरूपता और स्थानीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत में अस्तित्व प्रमेय, स्थानीय लैंगलैंड्स पत्राचार, हॉज-टेट सिद्धांत (जिसे पी-एडिक हॉज सिद्धांत भी कहा जाता है), स्थानीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत में हिल्बर्ट प्रतीक के लिए स्पष्ट सूत्र, उदाहरण देखें।

उच्च-आयामी स्थानीय फ़ील्ड
स्थानीय फ़ील्ड को कभी-कभी एक-आयामी स्थानीय फ़ील्ड कहा जाता है।

एक गैर-आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र को उसके गैर-एकवचन बिंदु पर रैंक 1 की एक-आयामी अंकगणितीय योजना के स्थानीय रिंग के पूरा होने के अंशों के क्षेत्र के रूप में देखा जा सकता है।

एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक n के लिए, एक n-आयामी स्थानीय क्षेत्र एक पूर्ण असतत मूल्यांकन क्षेत्र है जिसका अवशेष क्षेत्र एक (n - 1)-आयामी स्थानीय क्षेत्र है। स्थानीय क्षेत्र की परिभाषा के आधार पर, एक शून्य-आयामी स्थानीय क्षेत्र या तो एक सीमित क्षेत्र होता है (इस लेख में प्रयुक्त परिभाषा के साथ), या सकारात्मक विशेषता वाला एक आदर्श क्षेत्र होता है।

ज्यामितीय दृष्टिकोण से, अंतिम परिमित अवशेष क्षेत्र वाले एन-आयामी स्थानीय क्षेत्र स्वाभाविक रूप से एन-आयामी अंकगणितीय योजना की उप-योजनाओं के पूर्ण ध्वज से जुड़े होते हैं।

यह भी देखें

 * हेंसल की लेम्मा
 * रामीकरण समूह
 * स्थानीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत
 * उच्च स्थानीय क्षेत्र