आवधिक क्रम

गणित में, आवधिक अनुक्रम (जिसे कभी-कभी चक्र भी कहा जाता है) अनुक्रम है जिसके लिए ही शब्द (तर्क) बार-बार दोहराया जाता है:


 * a1, a2, ..., ap, a1, a2, ..., ap, a1, a2, ..., ap, ...

इस प्रकार दोहराए गए पदों की संख्या p को 'अवधि ' (आवृत्ति) कहा जाता है।

परिभाषा
A (विशुद्ध रूप से) आवधिक अनुक्रम (अवधि p के साथ), या पी-आवधिक अनुक्रम, अनुक्रम a1, a2, a3, ... संतोषजनक है


 * an+p = an

n के सभी मानों के लिए। यदि किसी अनुक्रम को फलन (गणित) के रूप में माना जाता है जिसका डोमेन प्राकृतिक संख्याओं का समूह है, तब आवधिक अनुक्रम बस विशेष प्रकार का आवधिक फलन है। इस प्रकार सबसे छोटा p जिसके लिए आवर्त अनुक्रम p-आवधिक होता है, उसे  'न्यूनतम अवधि' या त्रुटिहीन अवधि. कहा जाता है

उदाहरण
प्रत्येक स्थिर फलन 1-आवधिक है।

क्रम $$1,2,1,2,1,2\dots$$ न्यूनतम अवधि 2 वाला आवर्त है।

1/7 के दशमलव विस्तार में अंकों का क्रम आवर्त 6 के साथ आवर्ती है:


 * $$\frac{1}{7} = 0.142857\,142857\,142857\,\ldots$$

इस प्रकार अधिक सामान्यतः, किसी भी परिमेय संख्या के दशमलव विस्तार में अंकों का क्रम अंततः आवधिक होता है (नीचे देखें)।

−1 की घातों का क्रम आवर्त दो के साथ आवर्ती है:


 * $$-1,1,-1,1,-1,1,\ldots$$

अधिक सामान्यतः, एकता की किसी भी जड़ की शक्तियों का क्रम आवधिक होता है। इस प्रकार समूह (गणित) में परिमित क्रम (समूह सिद्धांत) के किसी भी तत्व की शक्तियों के लिए भी यही सच है।

किसी फलन के लिए आवधिक बिंदु $f : X → X$ बिंदु $x$ जिसकी कक्षा (गतिशीलता) है


 * $$x,\, f(x),\, f(f(x)),\, f^3(x),\, f^4(x),\, \ldots$$

आवधिक क्रम है. यहाँ, $$f^n(x)$$ का कारणहै $n$-fold की कार्य संरचना $f$ के लिए आवेदन किया $x$. गतिशील प्रणालियों के सिद्धांत में आवधिक बिंदु महत्वपूर्ण हैं। परिमित समुच्चय से प्रत्येक फलन का आवर्त बिंदु होता है; इस प्रकार चक्र का पता लगाना ऐसे बिंदु को खोजने की एल्गोरिथम समस्या है।

आंशिक रकम

 * $$\sum_{n=1}^{kp+m} a_{n} = k*\sum_{n=1}^{p} a_{n} + \sum_{n=1}^{m} a_{n}$$ जहाँ k और m<p प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

आंशिक उत्पाद

 * $$\prod_{n=1}^{kp+m} a_{n} = ({\prod_{n=1}^{p} a_{n}})^k * \prod_{n=1}^{m} a_{n}$$ जहाँ k और m<p प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

आवधिक 0, 1 अनुक्रम
किसी भी आवधिक अनुक्रम का निर्माण शून्य और से युक्त आवधिक अनुक्रमों के तत्व-वार जोड़, घटाव, गुणा और भाग द्वारा किया जा सकता है। इस प्रकार आवधिक शून्य और अनुक्रम को त्रिकोणमितीय कार्यों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:


 * $$\sum_{k=1}^{1} \cos (-\pi\frac{n(k-1)}{1})/1 = 1,1,1,1,1,1,1,1,1...$$
 * $$\sum_{k=1}^{2} \cos (2\pi\frac{n(k-1)}{2})/2 = 0,1,0,1,0,1,0,1,0...$$
 * $$\sum_{k=1}^{3} \cos (2\pi\frac{n(k-1)}{3})/3 = 0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1...$$
 * $$\sum_{k=1}^{N} \cos (2\pi\frac{n(k-1)}{N})/N = 0,0,0...,1 \text{ sequence with period  } N $$
 * $$\sum_{k=1}^{N} \cos (2\pi\frac{n(k-1)}{N})/N = 0,0,0...,1 \text{ sequence with period  } N $$

सामान्यीकरण
अनुक्रम अंततः आवधिक होता है यदि प्रारंभ से कुछ सीमित संख्या में पदों को हटाकर इसे आवर्ती बनाया जा सकता है। इस प्रकार उदाहरण के लिए, 1/56 के दशमलव विस्तार में अंकों का क्रम अंततः आवधिक है:


 * 1 / 56 = 0 . 0 1 7 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2...

अनुक्रम अंततः आवधिक होता है यदि यह शर्त को पूरा करता है $$a_{k+r} = a_k$$ कुछ r और पर्याप्त रूप से बड़े k के लिए।

अनुक्रम असम्बद्ध रूप से आवधिक है यदि इसकी शर्तें आवधिक अनुक्रम के करीब आती हैं। अर्थात् अनुक्रम x1, एक्स2, एक्स3,... यदि कोई आवधिक अनुक्रम उपस्तिथ है तब यह असम्बद्ध रूप से आवधिक है1, ए2, ए3, ... जिसके लिए


 * $$\lim_{n\rightarrow\infty} x_n - a_n = 0.$$

उदाहरण के लिए, अनुक्रम


 * 1 / 3, 2 / 3, 1 / 4, 3 / 4, 1 / 5, 4 / 5,...

इस प्रकार स्पर्शोन्मुख रूप से आवर्त है, क्योंकि इसके पद आवर्त अनुक्रम 0, 1, 0, 1, 0, 1, ... के निकट आते हैं।