होमोटोपी विश्लेषण विधि

होमोटॉपी विश्लेषण विधि (एचएएम) गैर-रेखीय साधारण अंतर समीकरणों/आंशिक अंतर समीकरण अंतर समीकरणों को हल करने के लिए एक अर्ध-विश्लेषणात्मक तकनीक है। होमोटॉपी विश्लेषण विधि गैर-रेखीय प्रणालियों के लिए एक अभिसरण श्रृंखला समाधान उत्पन्न करने के लिए टोपोलॉजी से होमोटॉपी की अवधारणा को नियोजित करती है। इसे सिस्टम में गैर-रेखीयताओं से निपटने के लिए होमोटॉपी-टेलर श्रृंखला का उपयोग करके सक्षम किया गया है।

HAM को पहली बार 1992 में शंघाई जियाओतोंग विश्वविद्यालय के लियाओ शिजुन ने अपने पीएचडी शोध प्रबंध में तैयार किया था। और आगे संशोधित किया गया 1997 में एक गैर-शून्य सहायक पैरामीटर पेश किया गया, जिसे अभिसरण-नियंत्रण पैरामीटर, सी कहा जाता है।0, सामान्य रूप में एक विभेदक प्रणाली पर एक समरूपता का निर्माण करना। अभिसरण-नियंत्रण पैरामीटर एक गैर-भौतिक चर है जो समाधान श्रृंखला के अभिसरण को सत्यापित और लागू करने का एक सरल तरीका प्रदान करता है। श्रृंखला समाधान के अभिसरण को स्वाभाविक रूप से दिखाने के लिए एचएएम की क्षमता गैर-रेखीय आंशिक अंतर समीकरणों के विश्लेषणात्मक और अर्ध-विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण में असामान्य है।

विशेषताएँ
HAM चार महत्वपूर्ण पहलुओं में खुद को विभिन्न अन्य गणितीय विश्लेषणों से अलग करता है। सबसे पहले, यह एक श्रृंखला (गणित) विस्तार विधि है जो सीधे छोटे या बड़े भौतिक मापदंडों पर निर्भर नहीं है। इस प्रकार, यह मानक गड़बड़ी सिद्धांत की कुछ अंतर्निहित सीमाओं से परे जाकर, न केवल कमजोर बल्कि दृढ़ता से गैर-रेखीय समस्याओं के लिए भी लागू होता है। दूसरा, एचएएम अलेक्जेंडर ल्यपुनोव कृत्रिम छोटे पैरामीटर विधि, डेल्टा विस्तार विधि, एडोमियन अपघटन विधि के लिए एक एकीकृत विधि है। और होमोटोपी गड़बड़ी विधि। विधि की व्यापक व्यापकता अक्सर बड़े स्थानिक और पैरामीटर डोमेन पर समाधान के मजबूत अभिसरण की अनुमति देती है। तीसरा, एचएएम समाधान की अभिव्यक्ति और समाधान को स्पष्ट रूप से कैसे प्राप्त किया जाता है, इसमें उत्कृष्ट लचीलापन देता है। यह वांछित समाधान के आधार कार्यों और होमोटॉपी के संबंधित सहायक रैखिक ऑपरेटर को चुनने की बड़ी स्वतंत्रता प्रदान करता है। अंत में, अन्य विश्लेषणात्मक सन्निकटन तकनीकों के विपरीत, HAM समाधान श्रृंखला के अनुक्रम की सीमा सुनिश्चित करने का एक सरल तरीका प्रदान करता है।

होमोटॉपी विश्लेषण विधि वर्णक्रमीय विधियों जैसे गैर-रेखीय अंतर समीकरणों में नियोजित अन्य तकनीकों के साथ संयोजन करने में भी सक्षम है और पाडे सन्निकटन। इसे आगे कम्प्यूटेशनल तरीकों के साथ जोड़ा जा सकता है, जैसे कि सीमा तत्व विधि, रैखिक विधि को गैर-रेखीय प्रणालियों को हल करने की अनुमति देती है। संख्यात्मक निरंतरता की संख्यात्मक तकनीक से भिन्न, होमोटोपी विश्लेषण विधि एक असतत कम्प्यूटेशनल विधि के विपरीत एक विश्लेषणात्मक सन्निकटन विधि है। इसके अलावा, एचएएम केवल सैद्धांतिक स्तर पर होमोटॉपी पैरामीटर का उपयोग यह प्रदर्शित करने के लिए करता है कि एक नॉनलाइनियर सिस्टम को रैखिक सिस्टम के अनंत सेट में विभाजित किया जा सकता है, जिसे विश्लेषणात्मक रूप से हल किया जाता है, जबकि निरंतरता के तरीकों के लिए एक अलग रैखिक सिस्टम को हल करने की आवश्यकता होती है क्योंकि नॉनलाइनर सिस्टम को हल करने के लिए होमोटॉपी पैरामीटर भिन्न होता है।

अनुप्रयोग
पिछले बीस वर्षों में, विज्ञान, वित्त और इंजीनियरिंग में गैर-रेखीय साधारण अंतर समीकरणों/आंशिक अंतर समीकरणों की बढ़ती संख्या को हल करने के लिए HAM का उपयोग किया गया है। उदाहरण के लिए, गहरे और सीमित पानी की गहराई में कई स्थिर-अवस्था वाली गुंजयमान तरंगें यात्रा करने वाली गुरुत्वाकर्षण तरंगों की मनमानी संख्या की तरंग प्रतिध्वनि मानदंड के साथ पाए गए; यह छोटे आयाम वाली चार तरंगों के लिए फिलिप्स की कसौटी से सहमत था। इसके अलावा, HAM के साथ एक एकीकृत तरंग मॉडल लागू किया गया, न केवल पारंपरिक चिकनी प्रगतिशील आवधिक/एकान्त तरंगों को स्वीकार करता है, बल्कि सीमित पानी की गहराई में शिखर वाली प्रगतिशील एकान्त तरंगों को भी स्वीकार करता है। यह मॉडल दिखाता है कि शिखर वाली एकान्त तरंगें ज्ञात चिकनी तरंगों के साथ-साथ सुसंगत समाधान हैं। इसके अतिरिक्त, एचएएम को कई अन्य गैर-रेखीय समस्याओं जैसे गैर-रेखीय ताप हस्तांतरण, पर लागू किया गया है। अरेखीय गतिशील प्रणालियों का सीमा चक्र, अमेरिकी पुट विकल्प, सटीक नेवियर-स्टोक्स समीकरण, स्टोकेस्टिक अस्थिरता के तहत विकल्प मूल्य निर्धारण, इलेक्ट्रोहाइड्रोडायनामिक प्रवाह, अर्धचालक उपकरणों के लिए पॉइसन-बोल्ट्ज़मैन समीकरण, और दूसरे।

संक्षिप्त गणितीय विवरण
एक सामान्य अरेखीय अवकल समीकरण पर विचार करें



\mathcal{N}[u(x)] = 0 $$,

कहाँ $$\mathcal{N}$$ एक अरेखीय ऑपरेटर है. होने देना $$\mathcal{L}$$ एक सहायक रैखिक ऑपरेटर को निरूपित करें, यू0(x) u(x), और c का प्रारंभिक अनुमान0 क्रमशः एक स्थिरांक (जिसे अभिसरण-नियंत्रण पैरामीटर कहा जाता है)। होमोटॉपी सिद्धांत से एम्बेडिंग पैरामीटर q ∈ [0,1] का उपयोग करके, कोई समीकरणों का एक परिवार बना सकता है,



(1 - q) \mathcal{L}[U(x; q) - u_0(x)] = c_0 \, q \, \mathcal{N}[U(x;q)], $$ शून्य-क्रम विरूपण समीकरण कहा जाता है, जिसका समाधान एम्बेडिंग पैरामीटर q ∈ [0,1] के संबंध में लगातार बदलता रहता है। यह रैखिक समीकरण है

\mathcal{L}[U(x; q) - u_0(x)] = 0, $$ ज्ञात प्रारंभिक अनुमान के साथ U(x; 0) = u0(x) जब q = 0, लेकिन मूल अरेखीय समीकरण के बराबर है $$\mathcal{N}[u(x)] = 0$$, जब q = 1, अर्थात U(x; 1) = u(x)). इसलिए, जैसे-जैसे q 0 से 1 तक बढ़ता है, शून्य-क्रम विरूपण समीकरण का समाधान U(x; q) चुने गए प्रारंभिक अनुमान u से भिन्न होता है (या विकृत होता है)।0(x) विचारित अरेखीय समीकरण के समाधान u(x) के लिए।

q = 0 के बारे में टेलर श्रृंखला में U(x; q) का विस्तार करने पर, हमें होमोटॉपी-मैकलॉरिन श्रृंखला मिलती है



U(x;q) = u_0(x) +\sum_{m=1}^{\infty} u_m(x) \, q^m. $$ यह मानते हुए कि तथाकथित अभिसरण-नियंत्रण पैरामीटर c0 शून्य-क्रम विरूपण समीकरण को ठीक से चुना गया है कि उपरोक्त श्रृंखला q = 1 पर अभिसरण है, हमारे पास समरूप-श्रृंखला समाधान है



u(x) = u_0(x) + \sum_{m=1}^\infty u_m(x). $$ शून्य-क्रम विरूपण समीकरण से, कोई सीधे यू के शासी समीकरण को प्राप्त कर सकता हैm(एक्स)



\mathcal{L}[u_m(x) - \chi_m u_{m-1}(x) ] = c_0 \, R_m[u_0, u_1, \ldots, u_{m-1}], $$ एम को बुलायावें-क्रम विरूपण समीकरण, जहां $$\chi_1 = 0$$ और $$\chi_k = 1$$ k > 1 के लिए, और दाहिनी ओर Rm केवल ज्ञात परिणामों पर निर्भर है यू0, में1, ..., मेंm − 1 और कंप्यूटर बीजगणित सॉफ़्टवेयर का उपयोग करके आसानी से प्राप्त किया जा सकता है। इस तरह, मूल अरेखीय समीकरण को अनंत संख्या में रैखिक समीकरणों में स्थानांतरित कर दिया जाता है, लेकिन बिना किसी छोटे/बड़े भौतिक मापदंडों की धारणा के।

चूंकि एचएएम एक होमोटॉपी पर आधारित है, इसलिए किसी को प्रारंभिक अनुमान यू चुनने की बड़ी स्वतंत्रता है0(x), सहायक रैखिक संचालिका $$\mathcal{L}$$, और अभिसरण-नियंत्रण पैरामीटर सी0 शून्य-क्रम विरूपण समीकरण में। इस प्रकार, एचएएम गणितज्ञ को उच्च-क्रम विरूपण समीकरण के समीकरण-प्रकार और उसके समाधान के आधार कार्यों को चुनने की स्वतंत्रता प्रदान करता है। अभिसरण-नियंत्रण पैरामीटर का इष्टतम मान c0 चुने गए प्रारंभिक अनुमान और रैखिक ऑपरेटर के लिए सामान्य रूप को हल करने के बाद शासक समीकरणों और/या सीमा स्थितियों की न्यूनतम वर्ग अवशिष्ट त्रुटि द्वारा निर्धारित किया जाता है। इस प्रकार, अभिसरण-नियंत्रण पैरामीटर c0 होमोटॉपी श्रृंखला समाधान के अभिसरण की गारंटी देने का एक सरल तरीका है और एचएएम को अन्य विश्लेषणात्मक सन्निकटन विधियों से अलग करता है। कुल मिलाकर यह विधि समरूपता की अवधारणा का एक उपयोगी सामान्यीकरण देती है।

HAM और कंप्यूटर बीजगणित
HAM एक विश्लेषणात्मक सन्निकटन विधि है जिसे कंप्यूटर युग के लिए संख्याओं के बजाय फ़ंक्शन के साथ कंप्यूटिंग के लक्ष्य के साथ डिज़ाइन किया गया है। मेथेमेटिका या मेपल (सॉफ्टवेयर) जैसे कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली के संयोजन में, कोई व्यक्ति केवल कुछ ही सेकंड में एचएएम के माध्यम से मनमाने ढंग से उच्च क्रम में एक अत्यधिक गैर-रेखीय समस्या का विश्लेषणात्मक अनुमान प्राप्त कर सकता है। विभिन्न क्षेत्रों में HAM के हालिया सफल अनुप्रयोगों से प्रेरित होकर, HAM पर आधारित एक गणित पैकेज, जिसे BVPh कहा जाता है, को गैर-रेखीय सीमा-मूल्य समस्याओं को हल करने के लिए ऑनलाइन उपलब्ध कराया गया है । बीवीपीएच अत्यधिक गैर-रेखीय ओडीई के लिए एक सॉल्वर पैकेज है जिसमें एकवचन, एकाधिक समाधान और एक परिमित या अनंत अंतराल में बहु-बिंदु सीमा की स्थिति होती है, और इसमें कुछ प्रकार के गैर-रेखीय पीडीई के लिए समर्थन शामिल होता है। अमेरिकी पुट विकल्प की इष्टतम व्यायाम सीमा के एक स्पष्ट विश्लेषणात्मक अनुमान को हल करने के लिए एक और HAM-आधारित गणित कोड, APOh, तैयार किया गया है, जो ऑनलाइन भी उपलब्ध है ।

नॉनलीनियर ऑसिलेटर्स के लिए आवृत्ति प्रतिक्रिया विश्लेषण
एचएएम को हाल ही में गैर-रेखीय आवृत्ति प्रतिक्रिया समीकरणों के लिए विश्लेषणात्मक समाधान प्राप्त करने के लिए उपयोगी बताया गया है। ऐसे समाधान विभिन्न गैर-रेखीय व्यवहारों जैसे सख्त-प्रकार, नरम-प्रकार या ऑसिलेटर के मिश्रित व्यवहार को पकड़ने में सक्षम हैं। ये विश्लेषणात्मक समीकरण गैर-रेखीय प्रणालियों में अराजकता की भविष्यवाणी में भी उपयोगी हैं।

बाहरी संबंध

 * http://numericaltank.sjtu.edu.cn/BVPh.htm
 * http://numericaltank.sjtu.edu.cn/APO.htm