सजातीय बहुपद

गणित में, सजातीय बहुपद, जिसे पुराने ग्रंथों में मात्रा कहा जाता है: एक ऐसा बहुपद है जिसके शून्येतर पदों की सभी डिग्री समान होती है। उदाहरण के लिए, $$x^5 + 2 x^3 y^2 + 9 x y^4$$ दो चरों में डिग्री 5 का सजातीय  बहुपद है; प्रत्येक पद में डिग्रीांकों का योग हमेशा 5 होता है। बहुपद $$x^3 + 3 x^2 y + z^7$$ सजातीय नहीं है, क्योंकि डिग्रीांक का योग एक पद से दूसरे पद तक मेल नहीं खाता है। सजातीय  बहुपद के माध्यम से परिभाषित फलन हमेशा सजातीय  फलन होता है।

एक बीजगणितीय रूप एक ऐसी कार्य होता है जो सजातीय बहुपदी से परिभाषित होती है। एक बाइनरी फॉर्म दो वेरिएबल्स में एक फॉर्म है। रूप भी एक सदिश स्थल  पर परिभाषित एक कार्य है, जो किसी भी  आधार (रैखिक बीजगणित)  पर निर्देशांक के एक सजातीय कार्य के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

शून्यता डिग्री का बहुपद हमेशा सजातीय होता है; यह साधारणतः गुणांकों के क्षेत्र (गणित)  या वलय (गणित) का एक तत्व है, जिसे सामान्यतः स्थिर या अदिश कहा जाता है। डिग्री 1 का रूप एक रैखिक रूप है। डिग्री 2 का रूप  द्विडिग्री रूप है।  ज्यामिति  में,  यूक्लिडियन दूरी  द्विडिग्री रूप का  वर्गमूल  है।

सजातीय बहुपद गणित और भौतिकी विज्ञान में सर्वव्यापी हैं। वे बीजगणितीय ज्यामिति में एक मौलिक भूमिका निभाते हैं, क्योंकि प्रक्षेपी बीजगणितीय विविधता को सजातीय बहुपदों के समुच्चय के उभयनिष्ठ शून्यों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है।

गुण
सजातीय बहुपद एक सजातीय  कार्य को परिभाषित करता है। इसका अर्थ यह है कि, यदि एक  बहुभिन्नरूपी बहुपद  P, डिग्री d का सजातीय  है, तो
 * $$P(\lambda x_1, \ldots, \lambda x_n)=\lambda^d\,P(x_1,\ldots,x_n)\,,$$

दिए गए क्षेत्र में, हर एक लैम्बडा ($$\lambda$$) के लिए पी के गुणांक होते हैं। अगर यह संबंध अनेकों के लिए सत्य होता है तो डिग्री d बहुपद और सजातीय होता है।

विशेष रूप से, यदि P सजातीय है तो
 * $$P(x_1,\ldots,x_n)=0 \quad\Rightarrow\quad P(\lambda x_1, \ldots, \lambda x_n)=0,$$

हर एक के लिए $$\lambda.$$ यह गुण प्रक्षेपी किस्म  की परिभाषा में मौलिक है।

किसी भी गैर-शून्य बहुपद को अलग-अलग डिग्री के सजातीय बहुपदों के योग के रूप में एक अनोखे तरीके से विघटित किया जा सकता है, जिसे बहुपद के सजातीय घटक कहा जाता है।

एक बहुपद वलय  दिया गया है $$R=K[x_1, \ldots,x_n]$$ एक क्षेत्र के ऊपर (गणित) (या, अधिक सामान्यतः, एक वलय (गणित)) K, डिग्री d रूप के सजातीय बहुपद एक सदिश स्थान (या एक मॉड्यूल (गणित) ), सामान्यतः निरूपित $$R_d.$$ उपरोक्त अद्वितीय अपघटन का अर्थ है कि $$R$$ का  प्रत्यक्ष योग  है $$R_d$$ (सभी गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का योग)।

सदिश स्थान का आयाम (या मुक्त मॉड्यूल) $$R_d$$ n चर में डिग्री d के विभिन्न मोनोमियल की संख्या है (जो कि n चर में डिग्री d के एक सजातीय बहुपद में गैर-शून्य पदों की अधिकतम संख्या है)। यह द्विपद गुणांक  के बराबर है


 * $$\binom{d+n-1}{n-1}=\binom{d+n-1}{d}=\frac{(d+n-1)!}{d!(n-1)!}.$$

सजातीय बहुपद यूलर के सजातीय  फलन प्रमेय को संतुष्ट करता है | सजातीय  फलनों के लिए यूलर की पहचान। यानी अगर $P$ डिग्री का एक सजातीय  बहुपद है $d$ अनिश्चित में $$x_1, \ldots, x_n,$$ एक है, जो भी गुणांकों का क्रमविनिमेय वलय है,
 * $$dP=\sum_{i=1}^n x_i\frac{\partial P}{\partial x_i},$$

यहाँ पे $$\textstyle \frac{\partial P}{\partial x_i}$$ के औपचारिक व्युत्पन्न  को दर्शाता है $P$ इसके संबंध में $$x_i.$$

समरूपीकरण
एक गैर-सजातीय बहुपद P(x1,...,xn) को एक अतिरिक्त चर x0 को प्रस्तुत करके और सजातीय बहुपद को कभी-कभी एचपी के रूप में परिभाषित करके समरूप बनाया जा सकता है।
 * $${^h\!P}(x_0,x_1,\dots, x_n) = x_0^d P \left (\frac{x_1}{x_0},\dots, \frac{x_n}{x_0} \right ),$$

जहाँ d, P के बहुपद की डिग्री है। उदाहरण के लिए, यदि
 * $$P=x_3^3 + x_1 x_2+7,$$

तब
 * $$^h\!P=x_3^3 + x_0 x_1x_2 + 7 x_0^3.$$

अतिरिक्त चर x0 = 1 सेट करके एक समरूप बहुपद को डीहोमोजेनाइज़ किया जा सकता है:
 * $$P(x_1,\dots, x_n)={^h\!P}(1,x_1,\dots, x_n).$$

यह भी देखें

 * बहु-सजातीय बहुपद
 * अर्ध-सजातीय बहुपद
 * विकर्ण रूप
 * ग्रेडेड बीजगणित
 * हिल्बर्ट श्रृंखला और हिल्बर्ट बहुपद
 * बहुरेखीय रूप
 * बहुरेखीय नक्शा
 * बीजीय रूप का ध्रुवीकरण
 * शूर बहुपद
 * डिफरेंशियल ऑपरेटर का सिंबल