जटिल द्विघात मैपिंग के आवधिक अंक

यह लेख कुछ जटिल द्विघात मानचित्रों के आवधिक बिंदुओं का वर्णन करता है। एक नक्शा चर के मान की गणना करने के लिए एक सूत्र है जो अपने पिछले मूल्य या मूल्यों के आधार पर होता है, एक द्विघात मानचित्र वह है जिसमें एक और दो की घातों (गणित) के लिए बढ़ा हुआ पिछला मान सम्मलित होता है, और एक जटिल मानचित्र वह है जिसमें चर और पैरामीटर जटिल संख्याएँ होती है। मानचित्र का आवर्ती बिंदु चर का एक मान है जो एक निश्चित लंबाई के अंतराल के बाद बार-बार होता है।

ये आवधिक बिंदु फतौ सेट और जूलिया सेट के सिद्धांतों में एक भूमिका निभाते है।

परिभाषाएँ
मान लेते है


 * $$f_c(z) = z^2+c\,$$

जटिल द्विघात बहुपद होता है, जहाँ $$z$$ और $$c$$ जटिल संख्याएँ है।

सांकेतिक रूप से, $$f^{(k)} _c (z)$$ है $$k$$-गुना समारोह की संरचना $$f_c$$ खुद के साथ (भ्रमित होने की नहीं $$k$$वें का व्युत्पन्न $$f_c$$)—अर्थात्, k-वें पुनरावृत्त फलन के बाद का मान $$f _c.$$ इस प्रकार है


 * $$f^{(k)} _c (z) = f_c(f^{(k-1)} _c (z)).$$

आवृत्ति के एक जटिल द्विघात मानचित्रण के आवधिक बिंदु $$p$$ बिंदु है $$z$$ चरण है कि


 * $$f^{(p)} _c (z) = z,$$

जहाँ $$p$$ वह सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक है जिसके लिए समीकरण उस z पर टिका रहता है।

हम एक नया कार्य प्रस्तुत कर सकते है:


 * $$F_p(z,f) = f^{(p)} _c (z) - z,$$

इसलिए आवधिक बिंदु फ़ंक्शन के फ़ंक्शन के शून्य है $$F_p(z,f)$$: अंक z संतोषजनक है


 * $$F_p(z,f) = 0,$$

जो बहुपद की डिग्री का बहुपद है $$2^p.$$

आवधिक बिंदुओं की संख्या
बहुपद की डिग्री $$F_p(z,f)$$ आवधिक बिंदुओं का वर्णन होता है $$d = 2^p$$ इसलिए बीजगणित का मौलिक प्रमेय $$d = 2^p$$ जटिल मूल (= आवधिक अंक), बहुलता (गणित) के साथ गिना जाता है।

आवधिक बिंदुओं (वर्ग) की स्थिरता - गुणक
गुणक (या eigenvalue, व्युत्पन्न) $$m(f^p,z_0)=\lambda$$ एक तर्कसंगत मानचित्र का $$f$$ आवर्ती $$p$$ चक्रीय बिंदु पर बार $$z_0$$ परिभाषित किया जाता है:


 * $$m(f^p,z_0) = \lambda = \begin{cases}

f^{p \prime}(z_0), &\mbox{if }z_0 \ne \infty \\ \frac{1}{f^{p \prime} (z_0)}, & \mbox{if }z_0 = \infty \end{cases}$$ जहाँ $$f^{p\prime} (z_0)$$ का प्रथम व्युत्पन्न है $$f^p$$ इसके संबंध में $$z$$ पर $$z_0$$.

क्योंकि गुणक किसी दिए गए वर्ग पर सभी आवधिक बिंदुओं पर समान होता है, इसे आवधिक वर्ग (गतिकी) का गुणक कहा जाता है।

गुणक है: आवर्त बिन्दु है आवधिक बिंदु
 * एक सम्मिश्र संख्या;
 * अपने निश्चित बिंदु पर किसी भी तर्कसंगत मानचित्र के संयुग्मन के अनुसार अपरिवर्तनीय;
 * स्थिरता सूचकांक के साथ आवधिक (निश्चित भी) बिंदुओं की स्थिरता की जांच करने के लिए उपयोग किया जाता है $$abs(\lambda). \,$$
 * जब आकर्षित करना $$abs(\lambda) < 1;$$
 * सुपर-आकर्षक जब $$abs(\lambda) = 0;$$
 * आकर्षित करना लेकिन सुपर-आकर्षित नहीं करना $$0 < abs(\lambda) < 1;$$
 * उदासीन जब $$abs(\lambda) = 1;$$
 * तर्कसंगत रूप से उदासीन या परवलयिक यदि $$\lambda$$ एकता की जड़ है;
 * सीगल डिस्क अगर $$abs(\lambda)=1$$ लेकिन गुणक एकता का मूल नहीं है;
 * प्रतिकारक जब $$abs(\lambda) > 1.$$
 * जो आकर्षित कर रहे है वे हमेशा घटकों के वर्गीकरण में होते है;
 * जो प्रतिकारक है वे जूलिया सेट में है;
 * जो कि उदासीन निश्चित बिंदु है, एक या दूसरे में हो सकते है। जूलिया सेट में एक परवलयिक आवधिक बिंदु होती है

परिमित निश्चित बिंदु
आइए, एक अनुप्रयोग द्वारा अपरिवर्तित छोड़े गए सभी परिमित बिंदुओं को खोजकर प्रारंभ करें $$f$$. ये वो बिंदु है जो संतुष्ट करते है $$f_c(z)=z$$. यानी हम सुलझाना चाहते है


 * $$z^2+c=z,\,$$

जिसे फिर से लिखा जा सकता है


 * $$\ z^2-z+c=0.$$

चूँकि यह एक अज्ञात में एक साधारण द्विघात समीकरण है, हम द्विघात सूत्र लागू कर सकते है:


 * $$\alpha_1 = \frac{1-\sqrt{1-4c}}{2}$$ और $$\alpha_2 = \frac{1+\sqrt{1-4c}}{2}.$$

अभीतक के लिए तो $$c \in \mathbb{C} \setminus \{1/4\}$$ हमारे पास दो परिमित निश्चित बिंदु है $$\alpha_1$$ और $$\alpha_2$$.

तब से
 * $$\alpha_1 = \frac{1}{2}-m$$ और $$\alpha_2 = \frac{1}{2}+m$$ जहाँ $$m = \frac{\sqrt{1-4c}}{2},$$

अपने पास $$\alpha_1 + \alpha_2 = 1$$.

इस प्रकार निश्चित बिंदु सममित होते है $$z = 1/2$$.



जटिल गतिशीलता
यहाँ सामान्यतः अलग-अलग संकेतन का उपयोग किया जाता है:
 * $$\alpha_c = \frac{1-\sqrt{1-4c}}{2}$$ गुणक के साथ $$\lambda_{\alpha_c} = 1-\sqrt{1-4c}$$

और


 * $$\beta_c = \frac{1+\sqrt{1-4c}}{2}$$ गुणक के साथ $$\lambda_{\beta_c} = 1+\sqrt{1-4c}.$$

फिर हमारे पास है


 * $$\alpha_c + \beta_c = 1 .$$

चूंकि z के संबंध में व्युत्पन्न है


 * $$P_c'(z) = \frac{d}{dz}P_c(z) = 2z ,$$

अपने पास


 * $$P_c'(\alpha_c) + P_c'(\beta_c)= 2 \alpha_c + 2 \beta_c = 2 (\alpha_c + \beta_c) = 2 .$$

इसका अर्थ यह है कि $$P_c$$ अधिकतम एक आकर्षक निश्चित बिंदु हो सकता है।

इन बिंदुओं को इस तथ्य से अलग किया जाता है कि:
 * $$\beta_c$$ है:
 * बाहरी किरण का अवतरण बिंदु कोण के लिए=0 के लिए $$c \in M \setminus \left\{ 1/4 \right\}$$
 * जूलिया सेट का सबसे रिपेलिंग फिक्स्ड पॉइंट
 * दाईं ओर वाला (जब भी निश्चित बिंदु जटिल विमान के चारों ओर सममित नहीं होता है), यह कनेक्टेड जूलिया सेट सही बिंदु है।
 * $$\alpha_c$$ है:
 * कई किरणों का अवतरण बिंदु
 * आकर्षित जब $$c$$ मैंडलब्रॉट सेट के मुख्य कार्डियोइड में है, जिस स्थिति में यह भरे हुए जूलिया सेट में है, और इसलिए सेट से संबंधित है (सख्ती से परिमित निश्चित बिंदु में)
 * मैंडेलब्रॉट सेट के अंग के मूल बिंदु पर परवलयिक
 * के अन्य मूल्यों के लिए प्रतिकर्षण $$c$$

विशेष स्थितियां
द्विघात मानचित्रण का एक महत्वपूर्ण स्थिति है $$c=0$$. इस स्थिति में, हम प्राप्त करते है $$\alpha_1 = 0$$ और $$\alpha_2=1$$. इस स्थिति में, 0 एक अति-आकर्षक निश्चित बिंदु (गणित) है, और 1 जूलिया सेट से संबंधित है।

केवल एक निश्चित बिंदु
अपने पास $$\alpha_1=\alpha_2$$ ठीक कब $$1-4c=0.$$ इस समीकरण का एक हल है, $$c=1/4,$$ इस स्थिति में $$\alpha_1=\alpha_2=1/2$$. वास्तव में $$c=1/4$$ सबसे बड़ा सकारात्मक, विशुद्ध रूप से वास्तविक संख्या मान है जिसके लिए एक परिमित आकर्षण उपस्तिथ है।

अनंत निश्चित बिंदु
हम जटिल विमान का विस्तार कर सकते है $$\mathbb{C}$$ रीमैन क्षेत्र के लिए| रीमैन क्षेत्र (विस्तारित जटिल तल) $$\mathbb{\hat{C}}$$ अनंत पर बिंदु जोड़कर:


 * $$\mathbb{\hat{C}} = \mathbb{C} \cup \{ \infty \}$$ और विस्तार करें $$f_c$$ ऐसा है कि $$f_c(\infty)=\infty.$$

फिर अनंत पर बिंदु है:
 * अत्यधिक आकर्षक
 * का एक निश्चित बिंदु $$f_c$$: $$f_c(\infty)=\infty=f^{-1}_c(\infty).$$

अवधि-2 चक्र
अवधि -2 चक्र दो अलग-अलग बिंदु है $$\beta_1$$ और $$\beta_2$$ ऐसा है कि $$f_c(\beta_1) = \beta_2$$ और $$f_c(\beta_2) = \beta_1$$, और इसलिए
 * $$f_c(f_c(\beta_n)) = \beta_n$$

के लिए $$n \in \{1, 2\}$$:


 * $$f_c(f_c(z)) = (z^2+c)^2+c = z^4 + 2cz^2 + c^2 + c.$$

इसे z के बराबर करने पर, हम प्राप्त करते है


 * $$z^4 + 2cz^2 - z + c^2 + c = 0.$$

यह समीकरण डिग्री 4 का एक बहुपद है, और इसलिए इसके चार (संभवतः गैर-विशिष्ट) समाधान है। चूंकि, हम पहले से ही दो समाधानों को जानते है। वे है $$\alpha_1$$ और $$\alpha_2$$, ऊपर गणना की गई है, क्योंकि यदि इन बिंदुओं को एक आवेदन द्वारा अपरिवर्तित छोड़ दिया जाता है $$f$$, तो स्पष्ट रूप से वे एक से अधिक अनुप्रयोगों से अपरिवर्तित रहते है $$f$$.

इसलिए हमारे चौथे क्रम के बहुपद को 2 विधियों से विभाजित किया जा सकता है:

गुणनखंडन की पहली विधि

 * $$(z-\alpha_1)(z-\alpha_2)(z-\beta_1)(z-\beta_2) = 0.\,$$

यह सीधे के रूप में फैलता है $$x^4 - Ax^3 + Bx^2 - Cx + D = 0$$ (वैकल्पिक संकेतों पर ध्यान दें), जहां


 * $$D = \alpha_1 \alpha_2 \beta_1 \beta_2, \,$$
 * $$C = \alpha_1 \alpha_2 \beta_1 + \alpha_1 \alpha_2 \beta_2 + \alpha_1 \beta_1 \beta_2 + \alpha_2 \beta_1 \beta_2, \,$$
 * $$B = \alpha_1 \alpha_2 + \alpha_1 \beta_1 + \alpha_1 \beta_2 + \alpha_2 \beta_1 + \alpha_2 \beta_2 + \beta_1 \beta_2, \,$$
 * $$A = \alpha_1 + \alpha_2 + \beta_1 + \beta_2.\,$$

हमारे पास पहले से ही दो समाधान है, और केवल अन्य दो की आवश्यकता है। इसलिए समस्या द्विघात बहुपद को हल करने के बराबर है। विशेष रूप से, ध्यान दें


 * $$\alpha_1 + \alpha_2 = \frac{1-\sqrt{1-4c}}{2} + \frac{1+\sqrt{1-4c}}{2} = \frac{1+1}{2} = 1$$

और


 * $$\alpha_1 \alpha_2 = \frac{(1-\sqrt{1-4c})(1+\sqrt{1-4c})}{4} = \frac{1^2 - (\sqrt{1-4c})^2}{4}= \frac{1 - 1 + 4c}{4} = \frac{4c}{4} = c.$$

उपरोक्त में इन्हें जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है $$D = c \beta_1 \beta_2$$ और $$A = 1 + \beta_1 + \beta_2$$. विस्तार से गुणांक के विरुद्ध इनका मिलान करना $$f$$ होता है, हम पाते है


 * $$D = c \beta_1 \beta_2 = c^2 + c$$ और $$A = 1 + \beta_1 + \beta_2 = 0.$$

इससे हम आसानी से प्राप्त कर लेते है


 * $$\beta_1 \beta_2 = c + 1$$ और $$\beta_1 + \beta_2 = -1$$.

यहाँ से, हम एक द्विघात समीकरण बनाते है $$A' = 1, B = 1, C = c+1$$ और प्राप्त करने के लिए मानक समाधान सूत्र लागू करते है


 * $$\beta_1 = \frac{-1 - \sqrt{-3 -4c}}{2}$$ और $$\beta_2 = \frac{-1 + \sqrt{-3 -4c}}{2}.$$

निकट परीक्षा से पता चलता है कि:


 * $$f_c(\beta_1) = \beta_2$$ और $$f_c(\beta_2) = \beta_1,$$

मतलब ये दो बिंदु एक ही अवधि -2 चक्र पर होती है।

गुणनखंडन की दूसरी विधि
हम गुणनखंडों को विभाजित करने के लिए बहुपद दीर्घ विभाजन का उपयोग करके चतुर्थांश का गुणनखंडन कर सकते है $$(z-\alpha_1)$$ और $$(z-\alpha_2), $$ जो दो निश्चित बिंदुओं के लिए है $$\alpha_1$$ और $$\alpha_2$$ (जिनके मान पहले दिए गए थे और जो अभी भी दो पुनरावृत्तियों के बाद निश्चित बिंदु पर बने हुए है):


 * $$(z^2+c)^2 + c -z = (z^2 + c - z)(z^2 + z + c +1 ). \,$$

पहले कारक की मूल दो निश्चित बिंदु है। वे मुख्य कार्डियोइड के बाहर है।

दूसरे कारक की दो मूल है


 * $$\frac{-1 \pm \sqrt{-3 -4c}}{2}. \,$$

ये दो मूल, जो पहली विधि द्वारा पाई गई समान है, अवधि -2 वर्ग बनाती है।

विशेष स्थितियां
दोबारा, देखें $$c=0$$. तब


 * $$\beta_1 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$$ और $$\beta_2 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2},$$

जिनमें से दोनों जटिल संख्याएं है। अपने पास $$| \beta_1 | = | \beta_2 | = 1$$. इस प्रकार, ये दोनों बिंदु जूलिया सेट में छिपे हुए है। एक और खास स्थिति है $$c=-1$$, जो देता है $$\beta_1 = 0$$ और $$\beta_2 = -1$$. यह द्विघात मैंडलब्रॉट सेट की सबसे बड़ी अवधि -2 लोब में पाया जाने वाला प्रसिद्ध सुपरआकर्षिक चक्र देता है।

2 से अधिक अवधि के लिए चक्र
समीकरण की डिग्री $$f^{(n)}(z)=z$$ 2 हैएन; इस प्रकार उदाहरण के लिए, 3-चक्र पर बिंदुओं को खोजने के लिए हमें डिग्री 8 के समीकरण को हल करने की आवश्यकता होती है। कारकों को दो निश्चित अंक देने के बाद, हमारे पास छठा डिग्री समीकरण होता है।

डिग्री पांच या उससे अधिक के बहुपद समीकरणों के रेडिकल्स में कोई सामान्य समाधान नहीं है, इसलिए 2 से अधिक अवधि के चक्र पर बिंदुओं को सामान्य रूप से संख्यात्मक विधियों का उपयोग करके गणना की जानी चाहिए। चूंकि, अवधि 4 के विशिष्ट स्थिति में चक्रीय बिंदुओं में मूलांक में लंबी अभिव्यक्ति होती है।

सी = -2 के स्थिति में, सभी अवधियों के आवधिक बिंदुओं के लिए त्रिकोणमिति समाधान उपस्तिथ है। स्थिति $$z_{n+1}=z_n^2-2$$ तार्किक मानचित्र स्थिति r = 4 के बराबर है: $$x_{n+1}=4x_n(1-x_n).$$ यहाँ समानता द्वारा दिया गया है $$z=2-4x.$$ तार्किक चर x के k-चक्रों में से एक (जिनमें से सभी चक्र प्रतिकारक है) है


 * $$\sin^2\left(\frac{2\pi}{2^k-1}\right), \, \sin^2\left(2\cdot\frac{2\pi}{2^k-1}\right), \, \sin^2\left(2^2\cdot\frac{2\pi}{2^k-1}\right), \, \sin^2\left(2^3\cdot\frac{2\pi}{2^k-1}\right), \dots, \sin^2\left(2^{k-1}\frac{2\pi}{2^k-1}\right).$$

अग्रिम पठन

 * Geometrical properties of polynomial roots
 * Alan F. Beardon, Iteration of Rational Functions, Springer 1991, ISBN 0-387-95151-2
 * Michael F. Barnsley (Author), Stephen G. Demko (Editor), Chaotic Dynamics and Fractals (Notes and Reports in Mathematics in Science and Engineering Series) Academic Pr (April 1986), ISBN 0-12-079060-2
 * Wolf Jung : Homeomorphisms on Edges of the Mandelbrot Set. Ph.D. thesis of 2002
 * The permutations of periodic points in quadratic polynominials by J Leahy

बाहरी संबंध

 * Algebraic solution of Mandelbrot orbital boundaries by Donald D. Cross
 * Brown Method by Robert P. Munafo
 * arXiv:hep-th/0501235v2 V.Dolotin, A.Morozov: Algebraic Geometry of Discrete Dynamics. The case of one variable.