एक सतत परिकल्पना

गणित में, विशेष रूप से सेट सिद्धांत, सातत्य परिकल्पना अनंत सेटों के संभावित आकारों के बारे में एक परिकल्पना है। यह प्रकट करता है की "there is no set whose cardinality is strictly between that of the integers and the real numbers," या समकक्ष, वह "any subset of the real numbers is finite, is countably infinite, or has the same cardinality as the real numbers."

ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी में पसंद के स्वयंसिद्ध (जेडएफसी) के साथ, यह एलेफ संख्याओं में निम्नलिखित समीकरण के बराबर है: $$2^{\aleph_0}=\aleph_1$$, या बेथ संख्याओं से भी छोटा: $$\beth_1 = \aleph_1$$.

1878 में जॉर्ज कैंटर द्वारा सातत्य परिकल्पना को आगे बढ़ाया गया था, और इसकी सच्चाई या झूठ को स्थापित करना हिल्बर्ट की समस्याओं में से पहली है। हिल्बर्ट की 23 समस्याओं को 1900 में प्रस्तुत किया गया। इस समस्या का उत्तर ZFC की स्वतंत्रता (गणितीय तर्क) है, ताकि या तो सातत्य परिकल्पना या इसके निषेध को एक स्वयंसिद्ध के रूप में जोड़ा जा सके ZFC सेट थ्योरी के लिए, परिणामी थ्योरी के अनुरूप होने पर और केवल अगर ZFC संगत है। यह स्वतंत्रता 1963 में पॉल कोहेन (गणितज्ञ) द्वारा सिद्ध की गई थी, जो 1940 में कर्ट गोडेल के पहले के काम का पूरक था।

परिकल्पना का नाम वास्तविक संख्याओं के लिए सातत्य (सेट सिद्धांत) शब्द से आया है।

इतिहास
कैंटर का मानना ​​था कि सातत्य परिकल्पना सत्य है और कई वर्षों तक इसे साबित करने के लिए व्यर्थ प्रयास किया। यह डेविड हिल्बर्ट की हिल्बर्ट की समस्याओं पर पहली बार बनी, जिसे पेरिस में वर्ष 1900 में गणितज्ञों की अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस में प्रस्तुत किया गया था। स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत उस बिंदु पर अभी तक तैयार नहीं किया गया था। कर्ट गोडेल ने 1940 में साबित किया कि सातत्य परिकल्पना की उपेक्षा, यानी, मध्यवर्ती कार्डिनैलिटी के साथ एक सेट का अस्तित्व, मानक सेट सिद्धांत में साबित नहीं किया जा सका। सातत्यक परिकल्पना की स्वतंत्रता का दूसरा भाग - अर्थात, एक मध्यवर्ती आकार के सेट के अस्तित्वहीनता की अप्राप्यता - 1963 में पॉल कोहेन (गणितज्ञ) द्वारा सिद्ध किया गया था।

अनंत सेटों की कार्डिनैलिटी
कहा जाता है कि दो सेटों में एक ही कार्डिनैलिटी या बुनियादी संख्या  होता है यदि उनके बीच एक विशेषण (एक-से-एक पत्राचार) मौजूद होता है। सहज रूप से, दो सेट एस और टी के लिए एक ही कार्डिनैलिटी होने का मतलब है कि एस के तत्वों को टी के तत्वों के साथ इस तरह से जोड़ना संभव है कि एस के प्रत्येक तत्व को टी के एक तत्व के साथ जोड़ा जाता है और इसके विपरीत। इसलिए, सेट {केला, सेब, नाशपाती} में {पीला, लाल, हरा} के समान ही प्रमुखता है।

अनंत समुच्चय जैसे कि पूर्णांकों या परिमेय संख्याओं के समुच्चय के साथ, दो समुच्चयों के बीच एक आपत्ति का अस्तित्व प्रदर्शित करना अधिक कठिन हो जाता है। प्रतीत होता है कि परिमेय संख्याएँ सातत्य परिकल्पना के लिए एक प्रतिउदाहरण बनाती हैं: पूर्णांक परिमेय का एक उचित उपसमुच्चय बनाते हैं, जो स्वयं वास्तविक का एक उचित उपसमुच्चय बनाते हैं, इसलिए सहजता से, पूर्णांकों की तुलना में अधिक परिमेय संख्याएँ और परिमेय संख्याओं की तुलना में अधिक वास्तविक संख्याएँ होती हैं। हालाँकि, यह सहज विश्लेषण त्रुटिपूर्ण है; यह इस तथ्य पर उचित ध्यान नहीं देता है कि तीनों समुच्चय अपरिमित समुच्चय हैं। यह पता चला है कि परिमेय संख्याओं को वास्तव में पूर्णांकों के साथ एक-से-एक संगति में रखा जा सकता है, और इसलिए परिमेय संख्याओं का समुच्चय पूर्णांकों के समुच्चय के समान आकार (कार्डिनैलिटी) है: वे दोनों गणनीय समुच्चय हैं।

कैंटर ने दो प्रमाण दिए कि पूर्णांकों के सेट की कार्डिनैलिटी वास्तविक संख्याओं के सेट की तुलना में सख्ती से छोटी है (कैंटर का पहला बेशुमार सबूत और कैंटर का विकर्ण तर्क देखें)। हालाँकि, उनके प्रमाण इस बात का कोई संकेत नहीं देते हैं कि पूर्णांकों की कार्डिनैलिटी वास्तविक संख्याओं की तुलना में किस हद तक कम है। कैंटर ने इस प्रश्न के संभावित समाधान के रूप में सातत्य परिकल्पना का प्रस्ताव रखा।

सातत्य परिकल्पना बताती है कि वास्तविक संख्याओं के सेट में न्यूनतम संभव कार्डिनैलिटी होती है जो पूर्णांकों के सेट की कार्डिनैलिटी से अधिक होती है। अर्थात्, वास्तविक संख्याओं के प्रत्येक सेट, S, को या तो पूर्णांकों में एक-से-एक प्रतिचित्रित किया जा सकता है या वास्तविक संख्याओं को S में एक-से-एक प्रतिचित्रित किया जा सकता है। क्योंकि वास्तविक संख्याएँ पूर्णांकों के घातांक के समतुल्य हैं।, $$|\mathbb{R}|=2^{\aleph_0}$$ और सातत्य परिकल्पना कहती है कि कोई समुच्चय नहीं है $$S$$ जिसके लिए $$ \aleph_0 < |S| < 2^{\aleph_0}$$.

पसंद के स्वयंसिद्ध को मानते हुए, एक अद्वितीय सबसे छोटी कार्डिनल संख्या होती है $$\aleph_1$$ से अधिक $$\aleph_0$$, और सातत्य परिकल्पना बदले में समानता के बराबर है $$2^{\aleph_0} = \aleph_1$$.

ZFC
से स्वतंत्रता कर्ट गोडेल और पॉल कोहेन (गणितज्ञ) के संयुक्त कार्य से जर्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत (जेडएफ) से सातत्य परिकल्पना (सीएच) की स्वतंत्रता का पालन होता है।

गोडेल ने दिखाया कि CH को ZF से अस्वीकृत नहीं किया जा सकता है, भले ही पसंद का स्वयंसिद्ध (AC) अपनाया गया हो (ZFC बना रहा हो)। गोडेल के सबूत से पता चलता है कि सीएच और एसी दोनों रचनात्मक ब्रह्मांड एल में हैं, जेडएफ सेट सिद्धांत का एक आंतरिक मॉडल, केवल जेडएफ के सिद्धांतों को मानते हैं। ZF के एक आंतरिक मॉडल का अस्तित्व जिसमें अतिरिक्त अभिगृहीत होल्ड से पता चलता है कि अतिरिक्त अभिगृहीत ZF के अनुरूप हैं, बशर्ते ZF स्वयं संगत हो। गोडेल के अपूर्णता प्रमेयों के कारण बाद की स्थिति को ZF में ही सिद्ध नहीं किया जा सकता है, लेकिन इसे व्यापक रूप से सत्य माना जाता है और इसे मजबूत सेट सिद्धांतों में सिद्ध किया जा सकता है।

कोहेन ने दिखाया कि CH को ZFC स्वयंसिद्धों से सिद्ध नहीं किया जा सकता है, समग्र स्वतंत्रता प्रमाण को पूरा करता है। अपने परिणाम को सिद्ध करने के लिए, कोहेन ने फोर्सिंग (गणित) की विधि विकसित की, जो सेट थ्योरी में एक मानक उपकरण बन गया है। अनिवार्य रूप से, यह विधि ZF के एक मॉडल से शुरू होती है जिसमें CH धारण करता है, और एक अन्य मॉडल का निर्माण करता है जिसमें मूल से अधिक सेट होते हैं, जिस तरह से CH नए मॉडल में नहीं होता है। कोहेन को उनके प्रमाण के लिए 1966 में फील्ड मेडल  से सम्मानित किया गया था।

अभी वर्णित स्वतंत्रता प्रमाण से पता चलता है कि सीएच जेडएफसी से स्वतंत्र है। आगे के शोध से पता चला है कि जेडएफसी के संदर्भ में सीएच सभी ज्ञात बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्धों से स्वतंत्र है। इसके अलावा, यह दिखाया गया है कि सातत्य की प्रमुखता कोनिग की प्रमेय (सेट सिद्धांत)|कोनिग की प्रमेय के अनुरूप कोई भी कार्डिनल हो सकती है। सोलोवे का एक परिणाम, कोहेन के परिणाम के बाद निरंतरता परिकल्पना की स्वतंत्रता पर साबित हुआ, यह दर्शाता है कि ZFC के किसी भी मॉडल में, यदि $$\kappa$$ बेशुमार cofinality का एक कार्डिनल है, फिर इसमें एक जबरदस्त विस्तार है $$2^{\aleph_0} = \kappa$$. हालांकि, कोनिग प्रमेय के अनुसार, यह मानने के अनुरूप नहीं है $$2^{\aleph_0}$$ है $$\aleph_\omega$$ या $$\aleph_{\omega_1+\omega}$$ या किसी भी कार्डिनल के साथ $$\omega$$.

सातत्य परिकल्पना गणितीय विश्लेषण, बिंदु सेट टोपोलॉजी और माप सिद्धांत में कई बयानों से निकटता से संबंधित है। इसकी स्वतंत्रता के परिणामस्वरूप, उन क्षेत्रों में कई महत्वपूर्ण अनुमानों को बाद में भी स्वतंत्र दिखाया गया है।

ZFC से स्वतंत्रता का अर्थ है कि ZFC के भीतर CH को सिद्ध या असिद्ध करना असंभव है। हालांकि, गोडेल और कोहेन के नकारात्मक परिणामों को सार्वभौमिक रूप से स्वीकार नहीं किया जाता है क्योंकि निरंतरता परिकल्पना में सभी रुचियों का निपटान किया जाता है। हिल्बर्ट की समस्या अनुसंधान का एक सक्रिय विषय बनी हुई है; डब्ल्यू ह्यूग वुडिन देखें और पीटर कोएल्नर वर्तमान शोध स्थिति के अवलोकन के लिए।

सातत्य परिकल्पना ZFC से स्वतंत्र दिखाया गया पहला कथन नहीं था। गोडेल के अपूर्णता प्रमेय का एक तात्कालिक परिणाम, जो 1931 में प्रकाशित हुआ था, यह मानते हुए कि ZFC संगत है, ZFC की निरंतरता को व्यक्त करते हुए एक औपचारिक बयान (प्रत्येक उपयुक्त Gödel नंबरिंग योजना के लिए एक) है। जेडएफ सेट सिद्धांत से स्वतंत्र दिखाए जाने वाले पहले गणितीय बयानों में से सातत्य परिकल्पना और पसंद का स्वयंसिद्ध थे।

सातत्य परिकल्पना के पक्ष और विपक्ष में तर्क
गोडेल का मानना ​​था कि CH झूठा है, और उसका प्रमाण कि CH ZFC के अनुरूप है, केवल यह दर्शाता है कि ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत | ज़र्मेलो-फ्रेंकेल स्वयंसिद्ध सेट के ब्रह्मांड को पर्याप्त रूप से चित्रित नहीं करते हैं। गोडेल गणित का एक दर्शनशास्त्र था #प्लैटोनिज्म और इसलिए उनकी उपयोगिता से स्वतंत्र बयानों की सच्चाई और झूठ पर जोर देने में कोई समस्या नहीं थी। कोहेन, हालांकि औपचारिकतावाद (गणित), ने भी CH को अस्वीकार करने की ओर प्रवृत्त किया।

ऐतिहासिक रूप से, गणितज्ञ जो सेट के एक समृद्ध और बड़े ब्रह्मांड (गणित) के पक्षधर थे, वे सीएच के खिलाफ थे, जबकि एक स्वच्छ और नियंत्रणीय ब्रह्मांड के पक्ष में सीएच के पक्ष में थे। रचनाशीलता के स्वयंसिद्ध के पक्ष और विपक्ष में समानांतर तर्क दिए गए थे, जिसका तात्पर्य CH है। अभी हाल ही में, मैथ्यू फोरमैन ने बताया है कि सत्तामूलक अधिकतमवाद का उपयोग वास्तव में सीएच के पक्ष में बहस करने के लिए किया जा सकता है, क्योंकि जिन मॉडलों में समान वास्तविक हैं, वास्तविक के अधिक सेट वाले मॉडल में सीएच को संतुष्ट करने का बेहतर मौका है।

एक अन्य दृष्टिकोण यह है कि समुच्चय की अवधारणा यह निर्धारित करने के लिए पर्याप्त विशिष्ट नहीं है कि CH सत्य है या असत्य। गोडेल के पहले अपूर्णता प्रमेय से भी पहले, विद्यालय  द्वारा इस दृष्टिकोण को 1923 में उन्नत किया गया था। स्कोलेम ने उस आधार पर तर्क दिया जिसे अब स्कोलेम के विरोधाभास के रूप में जाना जाता है, और इसे बाद में ZFC के स्वयंसिद्धों से CH की स्वतंत्रता द्वारा समर्थित किया गया क्योंकि ये स्वयंसिद्ध सेट और कार्डिनैलिटी के प्राथमिक गुणों को स्थापित करने के लिए पर्याप्त हैं। इस दृष्टिकोण के खिलाफ बहस करने के लिए, यह नए सिद्धांतों को प्रदर्शित करने के लिए पर्याप्त होगा जो अंतर्ज्ञान द्वारा समर्थित हैं और सीएच को एक दिशा या किसी अन्य में हल करते हैं। यद्यपि रचनाशीलता का स्वयंसिद्ध सीएच को हल करता है, यह आम तौर पर सहज रूप से सत्य नहीं माना जाता है, सीएच की तुलना में किसी भी अधिक को आम तौर पर गलत माना जाता है।

कम से कम दो अन्य अभिगृहीत प्रस्तावित किए गए हैं जिनका सातत्य परिकल्पना के लिए निहितार्थ है, हालांकि इन अभिगृहीतों को वर्तमान में गणितीय समुदाय में व्यापक स्वीकृति नहीं मिली है। 1986 में, क्रिस फ्रीलिंग ने CH के विरुद्ध तर्क प्रस्तुत करते हुए दिखाया कि CH का निषेध समरूपता के फ्रीलिंग के स्वयंसिद्ध के समतुल्य है, एक कथन संभाव्यता के बारे में विशेष अंतर्ज्ञान से तर्क द्वारा प्राप्त किया गया है। फ़्रीलिंग का मानना ​​है कि यह स्वयंसिद्ध सहज रूप से सत्य है लेकिन अन्य असहमत हैं।

डब्ल्यू ह्यूग वुडिन द्वारा विकसित सीएच के खिलाफ एक कठिन तर्क ने वर्ष 2000 के बाद से काफी ध्यान आकर्षित किया है। मैथ्यू फोरमैन वुडिन के तर्क को सिरे से खारिज नहीं करता है लेकिन सावधानी बरतने का आग्रह करता है। वुडिन ने एक नई परिकल्पना प्रस्तावित की जिसे उन्होंने लेबल किया (*)-axiom", या स्टार स्वयंसिद्ध। स्टार स्वयंसिद्ध का अर्थ होगा $$2^{\aleph_0}$$ है $$\aleph_2$$, इस प्रकार सीएच को गलत साबित करना। स्टार स्वयंसिद्ध को एक स्वतंत्र मई 2021 के प्रमाण से बल मिला था, जिसमें दिखाया गया था कि स्टार स्वयंसिद्ध को मार्टिन की अधिकतम भिन्नता से प्राप्त किया जा सकता है। हालांकि, वुडिन ने 2010 के दशक में कहा कि वह अब सीएच को सच मानते हैं, जो उनके नए अंतिम एल अनुमान में उनके विश्वास पर आधारित है। सोलोमन फेफरमैन ने तर्क दिया है कि CH एक निश्चित गणितीय समस्या नहीं है। वह जेडएफ के अर्ध-अंतर्ज्ञानवादी उपप्रणाली का उपयोग करके निश्चितता के सिद्धांत का प्रस्ताव करता है जो बाध्य क्वांटिफायर के लिए शास्त्रीय तर्क स्वीकार करता है लेकिन असीमित लोगों के लिए अंतर्ज्ञानवादी तर्क का उपयोग करता है, और सुझाव देता है कि एक प्रस्ताव $$\phi$$ गणितीय रूप से निश्चित है यदि अर्ध-अंतर्ज्ञानवादी सिद्धांत सिद्ध कर सकता है $$(\phi \lor \neg\phi)$$. वह अनुमान लगाता है कि सीएच इस धारणा के अनुसार निश्चित नहीं है, और प्रस्ताव करता है कि सीएच को इसलिए सत्य मूल्य नहीं माना जाना चाहिए। पीटर कोएल्नर ने फेफ़रमैन के लेख पर आलोचनात्मक टिप्पणी लिखी।

जोएल डेविड हैम्किंस सेट थ्योरी के लिए एक मल्टीवर्स (सेट सिद्धांत)  दृष्टिकोण का प्रस्ताव करते हैं और तर्क देते हैं कि मल्टीवर्स में यह कैसे व्यवहार करता है, इसके बारे में हमारे व्यापक ज्ञान द्वारा मल्टीवर्स व्यू पर कॉन्टिनम परिकल्पना तय की जाती है, और परिणामस्वरूप, इसे अब तय नहीं किया जा सकता है। जिस प्रकार से पूर्व में आशा की जाती थी। संबंधित नस में, सहारों शेलाह ने लिखा है कि वह शुद्ध प्लेटोनिक दृष्टिकोण से सहमत नहीं हैं कि सेट सिद्धांत में दिलचस्प समस्याओं का फैसला किया जा सकता है, कि हमें केवल अतिरिक्त स्वयंसिद्ध की खोज करनी है। मेरी मानसिक तस्वीर यह है कि हमारे पास कई संभावित सिद्धांत हैं, जो सभी ZFC के अनुरूप हैं।

सामान्यीकृत सातत्य परिकल्पना
सामान्यीकृत सातत्य परिकल्पना (GCH) में कहा गया है कि यदि एक अनंत सेट की कार्डिनैलिटी एक अनंत सेट 'S' और सत्ता स्थापित  के बीच स्थित है $$\mathcal{P}(S)$$ S का है, तो इसमें S या के समान ही कार्डिनैलिटी है $$\mathcal{P}(S)$$. यानी किसी भी अनंत सेट कार्डिनल के लिए $$\lambda$$ कोई कार्डिनल नहीं है $$\kappa$$ ऐसा है कि $$\lambda <\kappa <2^{\lambda}$$. जीसीएच इसके बराबर है:
 * $$\aleph_{\alpha+1}=2^{\aleph_\alpha}$$ हर क्रमिक संख्या के लिए $$\alpha$$ (कभी-कभी कैंटर की एलीफ़ परिकल्पना कहा जाता है)।

बेथ संख्याएँ इस स्थिति के लिए एक वैकल्पिक संकेतन प्रदान करती हैं: $$\aleph_\alpha=\beth_\alpha$$ हर अध्यादेश के लिए $$\alpha$$. सातत्य परिकल्पना क्रमसूचक के लिए विशेष मामला है $$\alpha=1$$. GCH का सुझाव सबसे पहले फिलिप जॉर्डन ने दिया था। जीसीएच के प्रारंभिक इतिहास के लिए, मूर देखें।

CH की तरह, GCH भी ZFC से स्वतंत्र है, लेकिन Wacław Sierpinski|Sierpinski ने सिद्ध किया कि ZF + GCH का अर्थ पसंद का स्वयंसिद्ध (AC) है (और इसलिए निर्धारण के स्वयंसिद्ध का निषेध, AD), इसलिए पसंद और GCH स्वतंत्र नहीं हैं जेडएफ; ZF का कोई मॉडल नहीं है जिसमें GCH होल्ड करता है और AC विफल रहता है। इसे साबित करने के लिए, सिएरपिन्स्की ने दिखाया कि जीसीएच का तात्पर्य है कि प्रत्येक कार्डिनैलिटी एन कुछ एलेफ संख्या से छोटा है, और इस प्रकार आदेश दिया जा सकता है। यह यह दिखा कर किया जाता है कि n से छोटा है $$2^{\aleph_0+n}$$ जो अपनी खुद की हार्टोग्स संख्या से छोटा है - यह समानता का उपयोग करता है $$2^{\aleph_0+n}\, = \,2\cdot\,2^{\aleph_0+n} $$; पूर्ण प्रमाण के लिए, गिलमैन देखें।

कर्ट गोडेल ने दिखाया कि GCH, ZF + Axiom of Constructionibility|V=L (स्वयंसिद्ध है कि हर सेट ordinals के सापेक्ष रचनात्मक है) का एक परिणाम है, और इसलिए ZFC के अनुरूप है। चूंकि जीसीएच सीएच का तात्पर्य है, कोहेन का मॉडल जिसमें सीएच विफल रहता है वह एक मॉडल है जिसमें जीसीएच विफल रहता है, और इस प्रकार जीसीएच जेडएफसी से सिद्ध नहीं होता है। डब्ल्यू. बी. ईस्टन ने ईस्टन के प्रमेय को साबित करने के लिए कोहेन द्वारा विकसित बल प्रयोग की विधि का उपयोग किया, जो दर्शाता है कि यह मनमाने ढंग से बड़े कार्डिनल्स के लिए ZFC के अनुरूप है $$\aleph_\alpha$$ संतुष्ट करने में असफल होना $$2^{\aleph_\alpha} = \aleph_{\alpha + 1}$$. बहुत बाद में, मैथ्यू फोरमैन और डब्ल्यू ह्यूग वुडिन ने साबित किया कि (बहुत बड़े कार्डिनल्स की निरंतरता को मानते हुए) यह सुसंगत है कि $$2^\kappa>\kappa^+$$ हर अनंत कार्डिनल के लिए है $$\kappa$$. बाद में वुडिन ने $$2^\kappa=\kappa^{++}$$ हरएक के लिए $$\kappa$$. कार्मि मेरिमोविच ने दिखाया कि, प्रत्येक n ≥ 1 के लिए, यह ZFC के अनुरूप है कि प्रत्येक κ, 2 के लिएκ κ का nवां उत्तराधिकारी है। दूसरी ओर, लास्ज़्लो पटाई ने सिद्ध किया कि यदि γ एक क्रमिक है और प्रत्येक अनंत कार्डिनल κ, 2 के लिएκ κ का γवाँ उत्तराधिकारी है, तो γ परिमित है।

किसी भी अनंत सेट ए और बी के लिए, यदि ए से बी तक इंजेक्शन है तो ए के सबसेट से बी के सबसेट तक इंजेक्शन होता है। इस प्रकार किसी भी अनंत कार्डिनल ए और बी के लिए, $$A < B \to 2^A \le 2^B$$. यदि A और B परिमित हैं, तो असमिका उतनी ही प्रबल होगी $$A < B \to 2^A < 2^B $$ रखती है। जीसीएच का तात्पर्य है कि यह सख्त, मजबूत असमानता अनंत कार्डिनल्स के साथ-साथ परिमित कार्डिनल्स के लिए भी है।

कार्डिनल घातांक के लिए जीसीएच के निहितार्थ
हालांकि सामान्यीकृत सातत्य परिकल्पना सीधे केवल कार्डिनल एक्सपोनेंटिएशन को आधार के रूप में 2 के साथ संदर्भित करती है, कोई इससे कार्डिनल एक्सपोनेंटिएशन के मूल्यों को घटा सकता है $$\aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}}$$ सभी मामलों में। जीसीएच का तात्पर्य है कि:
 * $$\aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}} = \aleph_{\beta+1}$$ जब α ≤ β+1;
 * $$\aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}} = \aleph_{\alpha}$$ जब β+1 <α और $$\aleph_{\beta} < \operatorname{cf} (\aleph_{\alpha})$$, जहां सीएफ कॉफिनैलिटी ऑपरेशन है; और
 * $$\aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}} = \aleph_{\alpha+1}$$ जब β+1 <α और $$\aleph_{\beta} \ge \operatorname{cf} (\aleph_{\alpha})$$.

पहली समानता (जब α ≤ β+1) इस प्रकार है:
 * $$\aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}} \le \aleph_{\beta+1}^{\aleph_{\beta}} =(2^{\aleph_{\beta}})^{\aleph_{\beta}} = 2^{\aleph_{\beta}\cdot\aleph_{\beta}} = 2^{\aleph_{\beta}} = \aleph_{\beta+1} $$, जबकि:
 * $$\aleph_{\beta+1} = 2^{\aleph_{\beta}} \le \aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}} $$ ;

तीसरी समानता (जब β+1 < α और $$\aleph_{\beta} \ge \operatorname{cf}(\aleph_{\alpha})$$) इस प्रकार है:
 * $$\aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}} \ge \aleph_{\alpha}^{\operatorname{cf}(\aleph_{\alpha})} > \aleph_{\alpha} $$, कोनिग की प्रमेय (सेट थ्योरी) द्वारा#कोनिग की प्रमेय और कोफाइनलिटी|कोनिग की प्रमेय, जबकि:
 * $$\aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}} \le \aleph_{\alpha}^{\aleph_{\alpha}} \le (2^{\aleph_{\alpha}})^{\aleph_{\alpha}} = 2^{\aleph_{\alpha}\cdot\aleph_{\alpha}} = 2^{\aleph_{\alpha}} = \aleph_{\alpha+1}$$

जहाँ, प्रत्येक γ के लिए, GCH का उपयोग समीकरण के लिए किया जाता है $$2^{\aleph_{\gamma}}$$ और $$\aleph_{\gamma+1}$$; $$\aleph_{\gamma}^2 = \aleph_{\gamma}$$ प्रयोग किया जाता है क्योंकि यह पसंद का अभिगृहीत#समकक्ष है।

यह भी देखें

 * पूर्ण अनंत
 * बेथ संख्या
 * कार्डिनैलिटी
 * Ω-तर्क
 * वेट्ज़ेल की समस्या

अग्रिम पठन

 * Gödel, K.: What is Cantor's Continuum Problem?, reprinted in Benacerraf and Putnam's collection Philosophy of Mathematics, 2nd ed., Cambridge University Press, 1983. An outline of Gödel's arguments against CH.
 * Martin, D. (1976). "Hilbert's first problem: the continuum hypothesis," in Mathematical Developments Arising from Hilbert's Problems, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics XXVIII, F. Browder, editor. American Mathematical Society, 1976, pp. 81–92. ISBN 0-8218-1428-1
 * Gödel, K.: What is Cantor's Continuum Problem?, reprinted in Benacerraf and Putnam's collection Philosophy of Mathematics, 2nd ed., Cambridge University Press, 1983. An outline of Gödel's arguments against CH.
 * Martin, D. (1976). "Hilbert's first problem: the continuum hypothesis," in Mathematical Developments Arising from Hilbert's Problems, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics XXVIII, F. Browder, editor. American Mathematical Society, 1976, pp. 81–92. ISBN 0-8218-1428-1
 * Martin, D. (1976). "Hilbert's first problem: the continuum hypothesis," in Mathematical Developments Arising from Hilbert's Problems, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics XXVIII, F. Browder, editor. American Mathematical Society, 1976, pp. 81–92. ISBN 0-8218-1428-1